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DER UNTERRICHT AN

BAOOEWERKSCHULEN

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HERAUSGEBER:

PROFESSOR M. GIRNDT IN MAGDEBURG

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P.WEISKE

DIE BERECHNUNG VON EISENBETONBAUTEN

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VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UNO BERLIN

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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DIE BERECHNUNG YON EISENBETONBAUTEN

HEFT I:

PLATTEN, PLATTENBALKEN UND SÄULEN

BEARBEITET AUF GRUNDLAGE DER AMTLICHEN BESTIMMUNGEN FÜR DIE AUSFÜHRUNG VON KONSTRUKTIONEN AUS EISENBETON BEI HOCHBAUTEN VOM 24. MAI 1907

VON

DR.-lNG. P. WEISKE,

OBERLEHBEB AN DEB KGL. BAUGEWERKENSCHTJLE IN CASSEL

MIT 29 FIGUREN IM TEXT

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LEIPZIG UND BERLIN

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1907

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Vorwort.

Der vorliegende Leitfaden hat den Zweck, Techniker mit den Grundlagen der statischen Berechnung von Eisenbetonbauten vertraut zu machen.

Ich halte es für nötig, daß jeder Bautechniker, welcher Bauausführungen in Eisenbeton zu beaufsichtigen oder zu kontrollieren hat, mit den statischen Grundlagen der Eisenbetonbauten durchaus vertraut ist. Zu diesen rechne ich die Berechnung der einfachen Eisenbetonplatten, der Plattenbalken und der zentrisch belasteten Säulen. Hierbei sind nicht nur die Zug- und Druckspannungen oder die Bemessung der Querschnittsabmessungen zu behandeln, sondern vor allem ist auch die Sicherung der Verbundwirkung, also die Aufnahme der Schub- und Haftspannungen am Auflager, in Betracht zu ziehen. Die Techniker sollen die Überzeugung geAvinnen, daß die Berechnung der Eisenbetonbauten nicht allein in der Handhabung einiger bequemer Dimensionierungsformeln besteht, sondern daß die Sicherung des Verbundes zwischen Beton und Eisen im Auge behalten werden muß, um sich und andere vor Schaden zu bewahren.

Der Stoff in dem vorliegenden Hefte I ist beschränkt auf die Berechnung der Eisenbetonplatten, Plattenbalken und Säulen, da das Buch zunächst für Hochbautechniker geschrieben ist.

In jedem Kapitel ist die Querschnittsermittelung und Spannungsberechnung getrennt behandelt.

Die Eormeln für die direkte Bestimmung der Querschnitte sind in drei Tabellen zusammengestellt. Diese können auch für statische Berechnungen bei Bauvorlagen an Behörden benutzt werden, da das Königlich Preußische Ministerium für öffentliche Arbeiten in seinem Erlaß vom 24. Mai 1907 durch Aufnahme von Dimensionierungsformeln diese Vereinfachung anstrebt.

Das vorliegende Buch enthält die ausführliche Ableitung der in verschiedenen Veröffentlichungen von mir angegebenen Eormeln und Tabellen (s. u. a. Berechnung der Eisenbetonträger, Verlag der Tonindustriezeitung). Da indes durch den neuen Ministerialerlaß die zulässige Zugspannung des Eisens auf 1000 kg/qcm herabgesetzt ist, so mußten die Tabellen entsprechend umgerechnet werden, so daß dieselben nunmehr eine Erweiterung der in den neuen Vorschriften angegebenen Tabellen

und eine Ausdehnung auf die Plattenbalken, deren ISTullinie den Steg schneidet, darstellen.

Für das Studium des Buches werden die mathematischen und statischen Kenntnisse vorausgesetzt, welche von einem Schüler der II. Klasse einer preußischen Baugewerkschule verlangt werden müssen. Erwünscht ist, daß möglichst die drei ersten Abschnitte am Schluß der II. Klasse und die drei letzten Abschnitte am Anfang der I. Klasse erledigt werden.

Für die Zwecke der Tiefbautechniker und Spezialtechniker ist die Herausgabe einer Fortsetzung (Heft II) in Aussicht genommen, welche die Berechnung der Eisenbetonplatten mit doppelten Einlagen, der Eisenbetonträger auf mehreren Stützen, der Treppenkonstruktionen, der Betonbalken mit Trägereinlagen, der exzentrisch belasteten Stützen, der Mauern mit Seitenschub, der Gewölbe und der kreisförmigen Röhren behandelt.

Die Konstruktion und Ausführung der Eisenbetonbauten ist für die Zwecke der Baugewerkschulen und Bautechniker im Anschluß an diesen Leitfaden von Herrn Oberlehrer Ingenieur Preuß-Breslau in einem besonderen Hefte behandelt, das in demselben Verlage erschienen ist.

Cassel, Juni 1907.

P. Weiske.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Einleitung............

Begriff und Anwendung des Eisenbetons II. Grundlagen für die statische Berechnung der Eisenbetonbauten .    3

1.    Dehnungsverhältnisse von Beton und Eisen......

2.    Festigkeit von Beton und Eisen. Druckfestigkeit des Betons 5

3.    Zulässige Beanspruchungen des Eisenbetons und Berechnungs-

annahruen...................

III.    Berechnung der Eisenbetonplatten ......... .    .

A.    Querschnittsermittelung............

Tabelle I..................

Tabelle II.................

B.    Spannungsberechnung.............

IV.    Berechnung der Plattenbalken.............

A.    Querschnittsermittelung............

Tabelle III.................

B.    Spannungsberechnung.............

V. Berechnung der Schub- und Haftspannungen.......

A.    Schubspannungen .    ..............

B.    Haftspannungen...............

C.    Verstärkung der Eisenbetonträger zur Entlastung der

Schub- und Haftspannungen ...........

I. Entlastung der Schubspannungen........

II. Entlastung der Haftspannungen........

VI. Berechnung der Säulen...............

A.    Querschnittsermittelung.............

B.    Spannungsberechnung.............

C.    Berechnung auf Zerknicken...........

Anhang ....................

1.    Auszug aus den Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907    50

I.    Allgemeine Vorschriften.....

II.    Leitsätze für die statische Berechnung

III. Rechnungsverfahren.......

2.    Tabelle der Rundeisen.......

13

14

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21

21

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28

30

30

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36

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44

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50

50

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54

Zum weiteren Studium des Beton- und Eisenbetonbaues werden empfohlen:

Lehrbücher.

Preuß, Konstruktion der Eisenbetonbauten. Leipzig 1908. B. GL Teubner. M. 1.50.

Wayß u. Freytag-Mörsch, Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung. M. 6.50.

Christophe, Der Eisenbeton. M. 30.—.

Ast, Der Beton und seine Anwendung. M. 10.—.

Büsing, Der Portlandzement und seine Anwendungen im Bauwesen. M. 10.50.

Zeitschriften.

Beton und Eisen, herausgegeben von v. Emperger. Jährlich 12 Hefte. M. 16.—.

Zement und Beton, herausgegeben von der Tonindustrie-Zeitung.

Jährlich 52 Hefte. M. 12.—.

Deutsche Bauzeitung. Jährlich M. 15. — .

Kalender, Tabellen.

Betonkalender, herausgegeben von Beton und Eisen. Jährlich M. 4.—. Beton-Taschenbuch, herausgegeben von der Tonindustrie - Zeitung. Jährlich M. 2.—.

Amtliche Bestimmungen für die Ausführung vqn Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten. M. 0.60.

Kaufmann, Tabellen für Eisenbetonkonstruktionen. M. 2.—.

Harnisch u. G-oeldel, Bestimmung der Stärken, Eisenquerschnitte und Gewichte von Eisenbetonplatten. M. 3.—.

Für Baustofflehre.

Girndt u. Jessen, Leitfaden für Baustofflehre. Leipzig. B. G. Teubner. M. 1.50.

Girndt, Bautechnische Chemie. Leipzig. B. G. Teubner. M. 1.20.

I Einleitung.

Begriff und Anwendung des Eisenbetons.

Eisenbeton ist eine Vereinigung von Beton und Eisen zur gemeinsamen statischen Wirkung.

In den Beton werden Eisenstäbe eingelegt, welche die Festigkeit der Betonbauten bedeutend erhöhen. Ein Betonbalken ohne Eiseneinlagen hat bei Beanspruchung auf Biegung nur eine geringe Tragfähigkeit, da die Zugfestigkeit des Betons sehr gering ist. Infolgedessen kann die etwa 10 mal größere Druckfestigkeit des Betons nicht ausgenutzt werden, sondern der Balken muß nach der zulässigen Zugspannung b erechnet werden.

rT

V.

Fig. la.

Legt man aber in den gezogenen Teil des Betoubalkens #-Eisenstäbe ein, so halten | diese den Balken nach Art I ^ eines Ankers zusammen, so daß der Balken nicht bricht, obwohl im Beton auf der Zugseite Risse auftreten können.

In Fig. la ist ein auf | der Zugseite gerissener Eisen- | betonbalken dargestellt.

Fig. lb.

Denkt man sich den infolge der Belastung gerissenen Teil des Betons weg, so entsteht die Fig. 1 b, aus welcher man die verankernde Wirkung der Eiseneinlage erkennen kann.

Der Betonbalken bildet eine Art Gewölbe, in welchem der Seitenschub durch die Eisenstangen aufgehoben wird, so daß nur senkrechte Auflagerdrücke entstehen.

In einem Balkenquerschnitt bildet die Resultierende aller Druckspannungen D mit der gleich großen Zugkraft Z in den Eiseneinlagen ein inneres Kräftepaar, welches dem äußeren Biegungsmoment das Gleichgewicht hält.

Die Wirkung der Eiseneinlagen ist nur so lange gesichert, als diese nicht aus dem Beton sich herauslösen. Der Zugkraft Z wirkt am Umfang der Eiseneinlagen eine Kraft entgegen, welche das Herausziehen derselben aus dem Beton zu verhindern sucht. Dieser Widerstand heißt Gleitwiderstand oder Haftfestigkeit. Durch Umbiegen der Enden der Rundeisen läßt sich offenbar der Widerstand gegen das Herausziehen der Eisen aus dem Beton erhöhen.

Die Betrachtung der Fig. 1 zeigt auch die Ursachen des Bruches eines Eisenbetonbalkens.

Die Zerstörung kann auf folgende Weise erfolgen:

1.    Die Druckspannung aus der Druckkraft D wird zu groß; der Beton auf der Druckseite wird zerquetscht.

2.    Die Zugspannung aus der Zugkraft Z wird zu groß; die Eiseneinlage reißt.

3.    Die Haftfestigkeit zwischen den Eiseneinlagen und dem Beton wird überwunden; die Eiseneinlage zieht sich aus dem Beton am Auflager heraus und der Beton schlitzt längs der Eiseneinlagen am Auflager auf.

4.    Bei schmalen Balken kann die Zerstörung auch durch Überwindung der Schubfestigkeit des Betons erfolgen. Die Schubfestigkeit des Betons ist ebenso wie seine Zugfestigkeit nur gering. Die Schubspannungen sind am Auflager am größten, da hier die Querkraft am größten ist. Die durch Überwindung der Schubfestigkeit entstehenden Risse treten in der Nähe des Auflagers auf und sind ungefähr unter einem Winkel von 45° von unten nach oben geneigt. (Siehe Abschnitt V.)

In den beiden ersten Fällen findet die Zerstörung des Balkens in der Nähe des Bruchquerschnittes, in den beiden letzten Fällen in der Nähe des Auflagers statt.

Das Auftreten von Zugrissen im Beton bedingt nicht die Zerstörung des Eisenbetonbalkens. Die Zugfestigkeit des Betons ist aber doch nicht gleichgültig, da der Beton die Eisenzugspannungen entlastet, solange er noch nicht gerissen ist, indem er einen Teil der Zugspannungen aufnimmt. Außerdem ist die Sicherheit gegen das Herausziehen der Eiseneinlagen aus dem Balkenende um so größer, je weiter die Zugrisse vom Auflager entfernt sind.

Die Haupteigenschaft des Eisenbetons ist seine Biegungsfestigkeit. Die wichtigste Anwendung desselben ist daher die Herstellung biegungsfester Konstruktionen.

In den Eisenbetonstützen übernehmen die Eiseneinlagen ebenfalls einen Teil der Belastung.

Wichtiger ist jedoch die Erhöhung ihrer Knickfestigkeit durch die Einlage von Eisenstäben. Besonders vorteilhaft werden die Eiseneinlagen bei einseitiger Belastung, welche in den Stützen außer Druckspannungen auch noch Zugspannungen hervorruft. Hier wirken die Eiseneinlagen auf der Zugseite als vertikale Anker und machen die Betonzugspannungen unschädlich. Die gleiche Aufgabe haben die Eiseneinlagen in flachen Gewölben.

Infolge ihrer großen Festigkeit finden die Eisenbetonbauten im Hoch- und Tiefbau vielfache Anwendung, z. B. zu massiven Decken, Unterzügen, Überlagsträgern, Treppen, Gewölben, Dachkonstruktionen, Fundamenten, Erd- und Wassermauern, Behältern und Brücken. Feuersicherheit, Dauerhaftigkeit und verhältnismäßige Billigkeit sind, weitere Vorzüge des Eisenbetons, welche ihm eine immer größere Verbreitung im Bauwesen sichern.

II. Grundlagen für die statische Berechnung der Eisenhetonhauten.

1. Dehmmgsverhältnisse you Beton und Eisen.

Das Verhalten der beiden Baustoffe Beton und Eisen gegen die Einwirkung von Belastungen ist verschieden.

Die Längenänderungen, die ein Körper durch eine Belastung erleidet, sind abhängig:

1.    von der Größe und Art der Belastung,

umiâ.

2.    von der eigenen Widerstandsfähigkeit gegen Formänderung.

In Fig. 2 ist ein prismatischer Stab, der durch eine Kraft P gezogen wird, dargestellt.

iX

Ist L die Länge, F der Querschnitt und l die Verlängerung des Stabes, so gilt bis zu einer bestimmten Belastung das Gesetz:

= 6 • CC.

Z P L F a

Fig. 2.

Das Verhältnis der Verlängerung l zur ursprünglichen Länge L heißt die Dehnung. Die Dehnung s ist proportional mit der Spannung 6. Der Wert a ist der Dehnungskoeffizient, welcher von der Beschaffenheit des Baustoffes abhängig ist.

Das Dehnungsgesetz heißt also:

Die Dehnun'g ist gleich der Spannung mal dem Dehnungskoeffizienten.

Setzt man die Spannung gleich 1, so ist:

s₁ — a.

Der Dehnungskoeffizient ist also gleich derjenigen Dehnung, welche ein Stab erleidet, dessen Querschnitt mit 1 kg/qcm belastet ist.

Die wichtigsten Dehnungskoeffizienten sind folgende:

2100000

1000000

Flußeisen Gußeisen

Holz

100000

140000

Beton

Ziegelmauerwerk £ =

80000

Der Dehnungskoeffizient a ist für die meisten Stoffe kein konstanter Wert, sondern wächst mit zunehmender Spannung und ist bei Beanspruchung auf Zug oder Druck verschieden.

Bei Fluß eis en ist a innerhalb der Streckgrenze (2500—3000 kg/qcm) konstant und für Zug und Druck gleich.

Bei Beton wächst a mit zunehmender Spannung, und zwar unter Zugbeanspruchung schneller als unter Druckbeanspruchung.

Innerhalb der für die statische Berechnung zugelassenen Spannungen ist a hei Druckbeanspruchung ziemlich konstant.

Für die statische Berechnung ist vorgeschrieben, für Beton den Dehnungskoeffizienten :

140000

als Mittelwert einzuführen, falls nicht durch Versuche ein anderer Wert nachgewiesen wird.

Der reziproke Wert des Dehnungskoeffizienten heißt Elastizitätsmodul (JE).

Demnach ist:

Eb = 140000.

für Flußeisen Ee = 2100000, für Beton

Ee

Das Verhältnis der beiden Werte Ee und Eb ist daher: _ _ 2100000 n~ Wb ~ 140000 ’

n = 15.

Der Wert n ist für die statische Berechnung der Eisenbetonbauten von großer Bedeutung, wie folgende Betrachtung zeigt.

Durch das feste Anhaften des Betons am Eisen sind die Formänderungen vom Beton und vom Eisen im Eisenbetonkörper gemeinsam. Da jedoch das Eisen sich langsamer dehnt und verkürzt als Beton bei derselben Belastung, so wird der in der Formänderung voreilende Beton durch das Eisen zurückgehalten, während das Eisen die tatsächlichen Formänderungen des Betons mitmacht.

1. Dehnungsverhältnisse von Beton usw. 2. Festigkeit von Beton u. Eisen usw. 5

Verkürzt sich, ein Eisenstab von der Länge L um das Maß l, so ist nach der Formänderungsgleichung seine Beanspruchung:

■E„

' f.

Verkürzt sich ein Betonstab von derselben Lauge L um dasselbe Maß l, so ist seine Beanspruchung:

6t=h

Teilt man die erste Gleichung durch die zweite, so ist:

Eb n’

oder 6e = n-6b.

Dieselbe Gleichung läßt sich auch für eine Zugbeanspruchung ableiten. Es ergibt sich also der folgende Satz:

Die Eisenspannung ist das wfache der Betonspannung an gleicher Stelle.

n = 15

anzunehmen entsprechend den Werten

Ee = 2100000 und Eb = 140000.

Nach den „amtlichen Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen in Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907“ ist

2. Festigkeit von Beton und Eisen. Druckfestigkeit des Betons.

Die Druckfestigkeit des Betons ist abhängig von dem Mischungsverhältnis seiner Bestandteile, von dem Wassergehalt beim Stampfen, von der Güte der Stampfarbeit, von der Güte und Festigkeit der Bestandteile und von dem Alter des Betons. Nach Versuchen von R. Dyckerhoff*) ist folgende Tabelle zusammengestellt:

Mischungsverhältnis in Raumteilen

Alter

Zement

Sand

Kies

Druckfestigkeit

kg/qcm

28 Tage

28

28

;;

28

28

28

28

28

^ w w to to to

CO O iO IO io

*) Siehe Portlandzement

seine Anwendungen, 1899, S. 95.

Aus der Tabelle ergibt sich, daß die Betone mit Kiesgehalt den eigentlichen Mörteln aus Zement und Sand überlegen sind.

Der verwendete Zement hatte nach der Normenprobe eine Zugfestigkeit von 16,3 kg/cm².

Die Festigkeit des Betons nimmt mit dem Wasserzusatz ab. Man unterscheidet erdfeuchten und weichen oder plastischen Beton. Bei letzterem ist der Wasserzusatz so bemessen, daß die Betonmasse auf der Schaufel noch nicht fließt, sondern ihre Form bewahrt.

. Aus folgender Zusammenstellung¹) ist der Einfluß des Wasserzusatzes und des Alters des Betons auf seine Festigkeit zu erkennen.

Er

10 % Wasser

12 % Wasser

15 % Wasser

härtungs

dauer

Zug Druck

Druck

Zug

r,    i Druck

Zug Druck —„-

Zug

Zug Druck

Druck

Zug

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Zugfestigkeit des Betons. Die Zugfestigkeit ist in derselben Weise vom Mischungsverhältnis und Wassergehalt, von der Sorgfalt des Stampfens und der Wahl der Stoffe abhängig, wie die Druckfestigkeit. Dieselbe ist bei nicht zu nassen Mischungen etwa der zehnte bis zwölfte Teil der Druckfestigkeit.

Schubfestigkeit des Betons. Die Schubfestigkeit des Betons ist etwas größer als die Zugfestigkeit desselben, sie beträgt etwa den 1,2- bis 1,5 fachen Wert derselben.

Biegungsfestigkeit des Betons. Die Biegungsfestigkeit des Betons ist das 2- bis 3 fache seiner Zugfestigkeit. Diese Erscheinung ist durch das verschiedene Verhalten des Betons gegen Zug oder Druck begründet.

Festigkeit des Eisens. Für die Eisenbetonkonstruktionen kommt fast nur Flußeisen in Gestalt von Rundeisen in Frage. Die Druck- und Zugfestigkeit ist im Mittel 4000 kg/qm, seine Streckgrenze, bis zu welcher sich die Formänderungen in derselben Weise wie die Spannungen ändern, liegt zwischen 2500 und 3000 kg/qcm.

Haftfestigkeit. Die Haftfestigkeit zwischen Beton und Eisen oder der Gleitwiderstand nimmt ebenfalls mit der Güte des Betons zu und mit dem Wasserzusatz ab. Die aus Versuchen gewonnenen Haftfestigkeitszahlen sind daher ebenfalls sehr verschieden.

Man kann die Haftfestigkeit im Mittel zu 15 — 30 kg/cm2 annehmen.

Durch Umbiegen der Enden der Rundeisen und durch Umschnüren des die Eisen einhüllenden Betons durch Bügel oder Spiralen wird der Widerstand gegen das Herausziehen der Eiseneinlagen aus dem Beton bedeutend erhöht.

3. Zulässige Beanspruchungen des Eisenbetons und Berechnungsannahmen.

Die amtlichen Bestimmungen vom 24. Mai 1907 enthalten folgende Bestimmungen:

I. Die Betonzugspannungen sind zu vernachlässigen.

II. Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen soll die Druckfestigkeit des Betons den sechsten Teil seiner Bruchfestigkeit nicht übersteigen.

III.    In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als dem zehnten Teil seiner Bruchfestigkeit beansprucht werden.

IV.    Die Schubspannung des Betons darf das Maß von 4,5 kg/qcm nicht überschreiten. Wird größere Schubfestigkeit nachgewiesen, so darf die auftretende Spannung nicht über ein Fünftel dieser Festigkeit hinausgehen.

V. Die Haftspannung darf die zulässige Schubspannung nicht überschreiten.

VI. Die Zug- und Druckspannung des Eisens darf den Betrag von 1000 kg/qcm nicht übersteigen.

VII. Das Gewicht des Betons einschließlich der Eiseneinlagen ist zu 2400 kg für das Kubikmeter anzunehmen, sofern nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird. Bei Decken ist außer dem Gewicht der tragenden Bauteile das Gewicht der zur Bildung des Fußbodens dienenden Bauteile nach bekannten Einheitssätzen zu ermitteln.

Da die zulässige Beanspruchung als Teil der Bruchfestigkeit des Betons vorgeschrieben ist, so empfiehlt es sich, nach Erfahrungswerten die für bestimmte zulässige Spannungen erforderlichen Mischungsverhältnisse festzusetzen.

Für auf Biegung beanspruchte Bauteile, welche nach den amtlichen Bestimmungen berechnet werden, können die Mischungsverhältnisse nach folgender Zusammenstellung gewählt werden:

360

1:4

Betondruck

spannung

Zement kg pro cbm : | fertigen Beton

Angenähertes

Mischungsverhältnis

bis 25 kg/cm'²

250

275

IO o co xr

300

330

vH

^ Ol O'* Ci to I M-

to I H*-

bis 45 kg/cnr

In der Regel werden Eisenbetonplatten mit 40 kg/qcm Druckbeanspruchung ausgeführt, welche also einen Zementgehalt von 330 kg pro cbm fertigen Beton erfordern.

Die Balken von Plattenbalken sind in etwas fetterer Mischung (1 : 4) auszuführen, weil infolge der zahlreichen Eiseneinlagen das Stampfen erschwert ist und daher ein größerer Wassergehalt gewählt wird.

Aus demselben Grunde wird die fettere Mischung für Eisenbetonsäulen gewählt. Diese sind trotz der besseren Mischung nur mit 25 bis 30 kg/qcm Druckbeanspruchung zu berechnen, weil nach den amtlichen Bestimmungen eine lOfache Sicherheit verlangt wird.

III. Berechnung der Eisenhetonplatten.

Die statische Berechnung kann nach zwei Gesichtspunkten geschehen.

Entweder sind für eine gegebene Belastung unter Einhaltung der zulässigen Spannungen die Abmessungen einer Konstruktion festzustellen, oder es sind in einer Konstruktion die infolge einer Belastung auftretenden Spannungen nachzuweisen.

Die erste Aufgabe ist die wichtigere.

Im folgenden sollen beide Aufgaben getrennt behandelt werden. Wir bezeichnen die erste Aufgabe als diejenige der Querschnittsermittelung, die zweite als diejenige der Spannungsberechnung.

A. Querschnittsermittelung.

Die Annahmen der Berechnung sind folgende:

1.    Die Betonzugspannungen sind zu vernachlässigen.

2.    Das Eisen ist mit dem n = 15 fachen Werte einzuführen.

3.    Die Druckspannungen wachsen in gleichem Verhältnis mit dem Abstand von der Nullinie, die Querschnitte sind auch nach der Biegung als eben anzunehmen.

In Fig. 3 ist ein Eisenbetonquerschnitt einer auf Biegung beanspruchten Platte dargestellt in Verbindung mit dem zugehörigen Spannungsdiagramm.

Die Bezeichnungen haben folgende Bedeutung:

<3d Druckspannung in der Druckkante des Betons, tfg Zugspannung in der Eiseneinlage ; x Breite der Drucljzone,

h statische Höhe der Eisenbetonplatte, d. i. der Abstand des Schwerpunktes der Eiseneinlage von der Druckkante, ht der Abstand des Druckmittelpunktes vom Schwerpunkt der Eiseneinlage oder der Hebelarm der inneren Kräfte, b die Breite des. Eisenbetonquerschnittes,

fe der Querschnitt der auf die Breite b entfallenden Eiseneinlagen.

Aus den oben gemachten Annahmen folgt, daß die im Spannungsdiagramm an der Stelle der Eiseneinlagen yerzeichnete Spannung gleich dem 15. Teile der hier auf-tretendenEisenspannungist. Wegen der Kleinheit der Eiseneinlagen kann angenommen werden, daß die Eisenzugspannung sich gleichmäßig über den Eisenquerschnitt verteilt.

Die Nullinie liegt nicht mehr in der Mitte des Balkens, sondern ist von der Größe des Eisenquerschnittes und des hierdurch bedingten Verhältnisses der Spannungen <3d und <3a abhängig.

Für die statische Berechnung kommt nur die statische Höhe Ji in Frage. Zur vollständigen Einhüllung der Eisen im Beton ist noch unter der Eiseneinlage eine Betonschicht anzuordnen, deren Dicke für Platten nicht unter 1 cm, für Plattenbalken nicht unter 2 cm betragen soll.

Der Gang der Berechnung ist folgender: Zunächst wird x nach 6d, 6e und h ausgedrückt.

Man zieht im Spannungsdiagramm (Fig. 3) die Gerade JBE\\AD. Dann ist wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke AOE und CEE:

AB OB ~ÖB ~ BO

k____*

\fa

Fig. 3.

W\ft

oder

°d + ro

⁶d

oder

■ h,

z. B. für

ist

40

6d = 40 kg/cm <3e = 1000 kg/cm²

h = l h.

600

1600

_ , 1000 ⁴⁰    15~

Nunmehr wird das Widerstandsmoment in bezug auf die Druckkante berechnet.

Im Spannungsdiagramm ist die Darstellung der Druckspannungen ein Dreieck. Für die Breite des Querschnittes b ist daher die Summe aller Druckspannungen:

bx

D^—<5d-

Der Angriffspunkt der Resultierenden D liegt wegen der Dreieckform des Spannungsdiagrammes im Abstande ~ von der Druckkante entfernt. Daher ist die Entfernung dieses Druckmittelpunktes von dem Schwerpunkt der Eiseneinlage oder der Hebelarm der inneren Kräfte:

Wählt man den Schwerpunkt der Eiseneinlagen als Drehpunkt, so muß in bezug auf diesen das Moment der inneren Spannungen gleich dem äußeren Biegungsmoment sein.

Daher ist

oder

e-‘biih-î) = M

und

₇ x /₇ x\ M

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung hat die Bedeutung des Widerstandsmomentes des Eisenbetonquerschnittes bezogen auf die Druckkante, weil die rechte Seite den Quotienten Biegungsmoment größte Druckspannung

Es ist also:

darstellt. Die Dimension ist cm³.

I)

Für 6d — 40 kg/cm² und 6e — 1000 kg/cm² ist

Wd =

• bh²

2-8-8

= 0,16467*²

= ~ 4 bh²-6

Allgemein wird für beliebige Spannungen öd und öe : Wd = a b k².

In dieser Form ist das Widerstandsmoment einer Eisenbetonplatte in derselben Weise ausgedrückt, wie bei einem gewöhnlichen

für rechteckigen Querschnitt).

Das Widerstandsmoment wird benutzt, um eine Formel für die statische Höhe k zu erhalten:

Aus

Balken (z. B. W —

67i²

a bk² = —

°d

ergibt sich

h²= -

abGd

-V'ü

Y. Berechnung der Schub- und Haftspannungen.

Anhang.

¹

Siehe Portlandzement und seine Anwendungen, 1899, S. 19.

oder

-V'ü

-y- ist das auf die Breiteneinheit bezogene Biegungsmoment.

Für öd = 40 kg/cm² und öe = 1000 kg/cm² ist a = 0,164. Daher ist:

Vt

^ K 0,164-40

= t/-J_ -l/—

V 6,56 V 6 = ]/0,1524.]/^

- 0,390 ym

Nunmehr ist noch der erforderliche Eisenquerschnitt zu bestimmen. Er ergibt sich aus der Gleichung der inneren Kräfte:

Z=D

oder

bx

öe ■ fe = “g“ • <3d

j. bx ⁶d

t e    o

Für = 40 kg/cm² und öe = 1000 kg/cm² ist also

3 ₇    40

• — • h •

fe =

! CM

1000

15 6 -h

0,75

2000

100

■bk.

Der Eisenquerschnitt ist also 0,750 % des Rechteckes aus der Breite b und der Höhe h.

Führt man b in m ein, so ist:

/¹,= 0,750 bh.

Tn der Regel berechnet man den Eisenquerschnitt für 1 m Breite, so daß

cm

fe = 0,750 h ist. qcm

Man kann auch den Eisenquerschnitt als Funktion des Biegungsmomentes angehen.

bh

In die Bleichung fe = 0,750 h — 0,390 ~j/^f eingesetzt, so daß man erhält:

f, = 0,750 ■ 0,390]/ f- ■ (jjJ₅)

100

wird der zugehörige Wert

= 0,293

Statt - kann man auch b in m einsetzen.

In der Regel pflegt man das Biegungsmoment und den Eisenquerschnitt für 1 m Breite zu berechnen, dann erhält man:

h = 0,390 Y M und fe = 0,293 ŸM.

In diesen Gleichungen ist das Biegungsmoment in m kg für 1 m Plattenbreite einzusetzen.

Für die Berechnung der Schub- und Haftspannungen¹), deren Nachweis hei Eisenbetonplatten gewöhnlich nicht erforderlich ist, ist der Wert \ wichtig.

Für die angenommenen Spannungen ist

h,

7q = 0,875 li.

In folgender Tabelle I sind für verschiedene Werte von 6d zwischen 20 und 45 kg/cm² und für <3e — 800 bis 1000 kg/qcm die Werte von x, 7q, h und fe zusammengestellt.

Tabelle I.

7?i

h=a Ym /? = — - 7 y g /;=z? y M fe=

1000    45    0,403 7?

0,866 7?    0,357 }/M 0,126 7 y g 0,324 YM

0,398 7?

0,392 7?

0,387 7?

0,381 7? 0,873 7? 0,383 yM 0,135 7 y g" 0,300 yM 0,375 7? 0,875 7? 0,390 j/M 0,138 7 y^ 0,293 j/M

o' o' o' o" o' o"

t~-    O    O    CO    rH    O

O    1>    rfl    H    00    O

O    CO    CO    (X)    l>    l>

1000 39 1000 38 1000 37 1000 36 1000 35

0,369 7? 0,363 7? 0,357 7? 0,351 7? 0,344 7? I

1000

1000

1000

1000

1000

0,877 7?    0,398 Y~M    0,141    7    y g”    0,287    yW    0,720    %

0,879 7?    0,406    j/M~    0,144    7    j/g⁷    0,280    j/M    0,690    %

0,881 7?    0,414 j/M    0,147    7    /g"    0,274    j/M    0,661    %

0,883 7?    0,423 j/M    0,150    7    y^    0,267    j/M    0,632    %

0,885 7?    0,433 j/M    0,153    7    j/g    0,261    j/M    0,603    %

0,887 7?    0,443    yW    0,157    7    y^    0,254    yM    0,575    %

0,890 7?    0,453 j/M    0,160    7    j/g    0,248    j/M    0,548    %

0,892 7?    0,464 j/M    0,164    7    y"g    0,242    j/M    0,520    %

0,894 7?    0,477 j/M    0,168    7    j/g    0,235    j/M    0,493    %

0,897 7?    0,490 j/M    0,173    7    j/g    0,228    j/M    0,465    %

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

900

900

900

900

OGOt-OiO ^COC^łHO OCOl^OO ^H ^G^T-IO OO OOO (M (M (M CM (M (M (M (M CM (N H rH -rH rH tHItH rH rH rH rH    CO CO (M CM

0,899 7?    0,504 Y M.    0,178 7 ]/ą    0,221 ÿM

0,901 11    0,518 yW    0,183 7 }/q    0,214 Y~W

0,904 7?    0,534 j/Äf    0,189 7 j/g⁷    0,207 j/M

0,907 7?    0,550 j/jf    0,195 Z j/g    0,200 j/Üÿ

0,909 7?    0,569 y~M    0,201 7 j/g    0,194 j/âf

0,912 7?    0,588 j/M    |    0,208 7 y^    0,187 j/Jf

0,914 7?    0,610 j/M    0,216 Z j/g    0,180 yjf

0,917 h    0.682 ÿ.1/    0,224 Z }/g    0,173 j/lf

0,920 7?    0,659 j/Âf    j    0,233 Z j/g"    0,166 j/M

0,923Â    0,686 j/Jf    0,243 Z]/'g 0,159 j/M~

0,222 7?    0,926 7?    0,714 yjf    j    0,253 7 j/g~    0,151 ylf

0,213 7?    0,929 7?    0,748 ]/M    ;    0,265 Z j/g⁷    0,144 j/M

0,203 7?    0,932 7?    0,786 j/M    j    0,278 Z j/g    0,136 j/M

0,194 7?    :    0,935 7?    0,828 j/M    ;    0,293 Z j/g"    0,129 j/M

0,184 7?    0,939 7?    0,876 j/M    0,310 7 ]/g~    0,121 1/M

0,174 7?    ,    0,942 7?    0,932 ]/~M    0,329 Z ]/"g    0,114 yM

0,163 7?    0,946 7?    0,996 j/M    0,352 Z j/g    0,107 j/M

0,153 7?    0,949 7?    1,07 j/M    0,3787 j/g 0,099 j/M

0,142 7?    0,953 7?    1,16 j/M    0,410 7 j/g    0,091 j/M

0,130 7?    0,957 7?    1,27 ÿM_    0,449 7 ]/~q    0,083 j/M

0,400 7?    I    0,867 7?    0,380 ]/W    0,134 Z j/g    0,337 yM

0,368 7?    0,877 7?    0,420 j/M    0,148 Z j/g    0,302 j/M

0,333 7?    !    0,889 7?    0,475 j/M    0,168 7 y g⁷    0,263 j/M

0,294 7?    I    0,902 7?    0;549 yjf    0,194 7 y^    0,224 j/M

0,250 7?    I    0,917 7?    0,660 j/M    0,233 7 y g"    0,184 j/M

0,303 7? 0,296 7? 0,288 7? 0,280 7? 0,273 7? 0,265 7? 0,257 h 0,248 7? 0,239 7? 0,230 7?

0,440 % 0,414 % 0,889 % 0,364 % 0,341 % 0,318 % 0,295 % 0,273 % 0,251 % 0,232 %

cT cT cT o' o'

rH    (M    CO    O    GO

tH    O    t-    iO    CO

rH    rH    tH    tH

0,122 % 0,107 % 0,092 % 0,078 % 0,065 % 0,887 % 0,719 % 0,554 % 0,408 % 0,279 %

Tabelle I, (Portsetzung.)

⁶e

⁶d

fe = byjK

bh

100

800

40

800

35

800

30

800

25

800

20

0,429 h 0,396 li 0,360 h 0,319 h 0,273 h

0,857 h 0,868 h 0,880 h 0,894 h 0,909 h

0,367 yw    0,130 /,yj

0,408 y~M    0,144 Z Vq

0,459 yW_    0,159 Z V~q

0,530 ylÿÿ    0,187 Z Yq

0,635 YM j    0,224 Z Yq

0,397 YM

0,353 yw 0,309 yyy

0,264 Ym_ 0,498 % 0,217 Ym 0,342 %

1,08 % 0,865 % 0,673 %

Die Formeln lassen sich bei gleichmäßig verteilter Belastung noch vereinfachen.

Für den Balken auf zwei Stützen ist bei freier Auflagerung der Enden:

V8

= 0,354 l }/q

für <3d = 40 kg/cm², 6e = 1000 kg/cm²

ist

h = 0,390 YM h = 0,390 • 0,354 l Yq h = 0,138 l Yq.

Setzt man ]/g für verschiedene Werte von q ein, so erhält man h = cl.

Tabelle II.

co I a

FT

400 kg 500 kg

5,37 Z 7,77 Z

1000 kg    45 kg    0,403 h    0,866 h

1000 kg    40 kg    0,375 h    0,875 h

1000 kg    35 kg    0,344 h    0,885 h

1000 kg    30 kg    0,310 h    0,897 h

1000 kg    25 kg    0,273 h    0,909 h

1000 kg    20 kg    0,230 h    0,923 h

1000 kg    15 kg    0,184 li    0,939 h    0,310    Z

1000 kg    10 kg    0,130 h    0,957 h    0,449    Z }/q

2,52 Z 2,76 Z 3,06 Z 3,46 Z 4,02 Z 4,86 Z 6,20 Z 8,98 Z

2,82 Z 3,08 Z

3.42    Z 3,86 Z 4,49 Z

5.43    Z 6,93 Z

10,0 Z

pro qcm pro qcm x u. h in cm

hx u. h in cm

Z in m q in kg

Die verschiedenen Werte von c für verschiedene Spannungen und Belastungen sind aus Tabelle II zu entnehmen. Hierbei ist h in cm abzulesen, wenn man l in m und q in kg/qm einsetzt.

Bei der Benutzung dieser Tabellen sind noch folgende Bestimmungen zu beachten.

1.    Bei frei aufliegenden Platten ist die Freilänge zuzüglich der Deckenstärke, bei durchgehenden Platten die Entfernung zwischen den Mitten der Stützen als Stützweiten l in die Rechnung einzuführen. Die letztere Bestimmung gilt auch für Decken zwischen eisernen Trägern.

2.    Bei Platten, die über mehrere Felder durchgehen, darf das Moment in den Feldmitten zu vier Fünfteln des Wertes angenommen werden, der bei einer auf zwei Stützen frei aufliegenden Platte vorhanden sein würde. Dieselbe Bestimmung gilt für Deckenplatt en, die beiderseits auf den unteren Flanschen eiserner Träger aufruhen und dicht an die Stege dieser Träger

anschließen.*) Diese Decken sind also nach der Formel M—^ zu berechnen.

weiche für M = mittelten li Werte noch mit:

Sollen für diesen Fall die Tabellenwerte in der Form h = cl> — berechnet werden, benutzt werden, so sind die er

*) Erlaß vom 6. Mai 1904 des Ministers der öffentlichen Arbeiten an den Polizeipräsidenten von Berlin: Decken, die beiderseits auf den unteren Flanschen eiserner Träger aufruben und dicht an die Stege dieser Träger anschließen,

be-

p

dürfen als halb eingespannt angesehen, also nach der Formel M = p~^ rechnet werden.

f‘-Woih

600 kg 700 kg 800 kg 900 kg 1000 kg 1100 kg 1200 kg/qm

3,08 Z \ 3,38 Z ;    3,75 Z

4,23 Z 4,92 Z ; 5,95 Z 7,59 Z 11,0 Z

3,34 Z 3,66 Z 4,06 Z 4,58 Z 5,32 Z 6,43 Z 8,20 Z 11,9 Z

3,56 Z 3,90 Z 4,33 Z 4,89 Z 5,68 l 6,87 Z 8,76 Z 12,7 Z

JX> 05 Gi JP* jW

Gi Gl Gl

O ^05 '"-q ~0 'bl K Q ^ W CO GO CO

b-    CO    O    CO    50    (N

CO    b*    CO    05    05    ^

Tji    ü    »o    lO    crT    oo

13,5 Z

14,2 Z

o'

■ł—I tH

M- M-

Gl <z> 05 'oo

0,907 % 0,750 % 0,603 % 0,465 % 0,341 % 0,232 % 0,138 % 0,065 %

fe in gem.

Z in m, h in cm.

zu multiplizieren.

j/JL = -j/0,80 = 0,894

Die für gegebene Werte von h und fe nach der Tabelle berechneten zulässigen Spannweiten sind noch mit

}/f - /h25 - 1,12

zu multiplizieren, wenn die Decke zwischen eisernen Trägern mit festem Anschluß an den Steg ausgeführt ist oder über mehrere Stützen wegläuft (halbe Einspannung).

Für das Gedächtnis merke man sich folgende etwas zu günstige

Regel:

Im Falle halber Einspannung kann die Deckenstärke 10% kleiner, oder die Spannweite 10% größer sein als bei freier Auflagerung.

Beispiele. 1. Eine frei aufliegende Deckenplatte mit einfachen Eiseneinlagen und 2,00 m Spannweite hat eine Nutzlast von 1000 kg/qm. Die Deckenplatte soll für die Spannungen 6d = 40 kg/cm² und <5e — 1000 kg/cm² berechnet werden. Es wird eine Plattenstärke von 15 cm für die Berechnung des Eigengewichtes angenommen.

Belastung pro qm:

Eigengewicht

20 cm Überschüttung mit gewalzter Schlacke 20- 6 = 120 kg 2 cm Estrich

15 • 24 = 360 kg

2 • 20 = 40 kg 520 kg

Nutzlast 1000kg/qm, für Erschütterungen Zuschlag 50 %. 500 kg/qm 1500 kg/qm.

Spannweite l = 2,15 m. Biegungsmoment in mkg:

■ 2,15²

520 -f 1500

8-

für

ist

= 1167 mkg ]Æ= ]/Il67-34,2 6d — 40 kg/cm², 6e — 1000 kg/cm2 h = 0,39 y Jf = 0,39 • 34,2 = 13,4 cm. Der Eisenquerschnitt ist:

fe = 0,750 • h = 0,750 • 13,4 = 10,0 qcm.

Gewählt wurden:

9 Rundeisen mit 12 mm $ und fe = 9 ■ 1,13 = 10,2 cm².

Als Deckenstärke wird 15 cm gewählt, so daß die Eiseneinlagen 1,6 cm von der Unterkante entfernt sind. (Fig. 4.)

Beispiel 2. Ein Raum von 2,3 m Lichtweite und 250 kg/qm Nutzlast soll durch eine Eisenbetonplatte überdeckt werden. Über der tragenden Eisenbetonplatte befindet sich eine Sandschicht von 2 cm, darüber ein Gipsestrich von 2 cm Stärke mit Linoleumbelag. Die Deckenplatte wird zur Schätzung des Eigengewichtes 12 cm stark angenommen.

---ri

ü‘sf h- -

'VJ

K* -

S;

Fig. 5.

Fig. 4.

Belastung.

12 • 24 = 288 kg/qm 2 • 16 = 32    „

2 • 10 = 20 „

Eigengewicht Sand

Gipsestrich Deckenputz, Linoleum rd. = 20

Nutzlast

Sa. 360 kg/qm

250

für

ist

zusammen 610 kg/qm 6d = 30 kg/cm², 6e = 1000 kg/cm2 A = 4,23 Z = 4,23 -(2,3 + 0,1)

= 4,23 • 2,4 = 10,2 cm.

Die Auflagerlänge ist hierbei mit 10 cm eingeführt. Der Eisenquerschnitt ist:

/; = 0,465 • h = 0,465 • 10,2 = 4,75 cm².

Gewählt werden 8 Bundeisen à 9 mm mit fe = 5,08 cm². (Fig. 5.) Die Deckenstärke genügt mit 12 cm.

Beispiel 3. Für ein Biegungsmoment von 432000 cmkg ist ein Eisenbetonbalken von 50 cm Breite zu berechnen. Die Höhe der Balken soll 46 cm betragen.

Das Biegungsmoment wirkt auf eine Balkenbreite von 50 cm. Die berechneten Formeln gelten für Breiten von 1 m. Daher muß das Biegungsmoment reduziert werden auf:

= 864000 cmkg = 8640 mkg YM = ]/864Ö = 93.

432000

0,5

Um die verfügbare Höhe ausnutzen zu können, nehmen wir die statische Höhe zu 43 cm an und bestimmen in der Höhenformel:

den Wert

43

y 3i

Diesem Wert entspricht die Formel:

- i - °-⁴⁶²-

h = 0,464 YM = 0,464 • 93 = 43,2 cm und der Eisenquerschnitt:

fe = 0,242 YM • b = 0,242 • 93 • 0,5 = 11,2 cm².

Fig. 6.

Gewählt werden 5 Rundeisen à 17 mm ^ mit fe = 11,35 cm². (Fig. 6.)

In der Formel für den Eisenquerschnitt ist die richtige Breite b in m einzusetzen.

Den benutzten Formeln entsprechen die Spannungen:

6d = 32 kg/cm² und öe — 1000 kg/cm².

B. Spannungsberechnung.

Ist der Querschnitt gegeben, so sind für die Belastung die Spannungen zu berechnen.

Zunächst ist die Höhe der Druckzone zu ermitteln. In der

Gleichung für x dürfen aber nur Querschnittsgrößen und keine Spannungen Vorkommen.

Die Nullinie muß durch den Schwerpunkt des Eisenbetonquerschnittes gehen. Bei der Schwerpunktsbestimmung ist jedoch der gezogene Teil des Betonquerschnittes auszuschalten.

In bezug auf die Nullinie muß daher das statische Moment des gedrückten Betonquerschnittes gleich dem statischen Moment des Eisenquerschnittes sein, wobei letzterer mit dem n = 15 fachen Werte einzuführen ist. — Die Bezeichnungen sind aus Fig. 7 zu ersehen.

‘P-VWVclv

Fig. 7.

Es ist also:

m-

b x'-

= n • fe ■ (h — x)

oder

oder

Setzt man

b x*    ,    ,7

— + n •    • x = n ■ fe ■ h

n-f h

-⁸~f-

2n-f,

-s--*--».

so ist

oder

x* + 2-n^-x

nJl-A b -A’

x² + 2 Ax - B

n-fe

~ ~r

a + y A² + B =

Statt

x = —

2n-f

&    • h kann man aucli schreiben:

wV,ł 2h-b

-j/w²-/;²

V ft*

■h.

&²

Dann erhält man:

n-fe

n-fe

oder

~~r ⁺

.^₊^yT+

2h-b

n-fe

■fe

i].

mit n = 15 und 5 = 100 erhält man

100

[^1+

200 h

¹⁵4

Aus der Momentengleichung in bezug auf den Schwerpunkt des Eisenquerschnittes

geht hervor:

<5d =

2 If

K)

punkt

Aus der Momentengleichung in bezug auf den Druckmittel

ergibt sich:

6e

Man kann auch die Eisenspannung nach der berechneten Druckspannung <jb ausrechnen.

Aus der Proportion

s? I * I

welche sich aus dem Spannungsdiagramm ablesen läßt, folgt:

ll — X

6e — n-

IT'⁶*

- h — x

= 15--------<3d.

x a

Beispiel. Die Spannungen des Zahlenbeispieles III, 1 (S. 16) sind zu berechnen.

Es ist das Biegungsmoment:

M = 1167000 cmkg.

Ferner ist h = 13,4 cm, fe — 10,2 cm für 1 m Breite (9 Rundeisen à 12 mm &).

Daher ist:

16-f.

I III)

[V' +

200 h

w.

15 10,2

100

[]/l+

200-13,4

15-10,2

153

100

[1/ï

2680

153

l] = 1,53 (4,30 -1) = 1,53 • 3,3 = 5,00 cm

233400

2-116700

233400

100-

500 11,7

5850

<5e

1167000    1167000

4-f)

10,211,7

1190

980 kg/cm².

Dieses Beispiel bestätigt die Richtigkeit der im vorigen Abschnitt abgeleiteten Dimensionierungsformel

h = 0,390 l/W fe = 0,242 y M.

Da die Eiseneinlage etwas größeren Querschnitt hat (10,2 gegen 10,0 cm²), so ist die berechnete Eisenzugspannung auch etwas geringer.

Die abgeleiteten Formeln stimmen überein mit den amtlichen Bestimmungen. Nur bezeichnet hier h die statische Höhe, welche in den Bestimmungen mit h — a bezeichnet ist.

Auch soll noch einmal hervorgehoben werden, daß der Faktor b der amtlichen Formeln weggelassen werden kann, wenn das Biegungsmoment für 1 m Breite berechnet und in mkg eingesetzt wird.

IV. Berechnung der Plattenbalken.

Ein Plattenbalken entstellt aus einer Eisenbetonplatte dadurch, daß der statisch nicht wirksame Beton der Zugzone weggelassen wird, soweit er nicht zur Einhüllung der Eiseneinlagen und zur Yer-bindung derselben mit der gedrückten Platte notwendig wird.

Fig. 8.

Die Eiseneinlagen werden in einer Betonrippe zusammen eingelegt. (Pig. 8.)

Man unterscheidet für die Berechnung zwei Fälle:

1.    Die Plattenstärke d ist gleich oder größer als die Breite der Druckzone x.

2.    Die Plattenstärke d ist kleiner als die Breite der Druckzone x.

Im ersten Falle werden die Plattenbalken ebenso wie die Eisenbetonplatten berechnet, und die im vorigen Abschnitt abgeleiteten Formeln und Tabellen können ohne weiteres Verwendung finden.

Im zweiten Falle müssen neue Formeln abgeleitet werden. Hierbei wird entsprechend den amtlichen Bestimmungen die vereinfachende Annahme gemacht, daß die geringen unter die Platte fallenden Druckspannungen der Rippe vernachlässigt werden, so daß man es nur mit der Druckplatte und dem gezogenen Eisenquerschnitt zu tun hat. Die Spannungsverteilung in der Platte ist daher trapezförmig.

A. Querschnittsermittelung.

In Fig. 9 ist für den oben erläuterten zweiten Fall ein Plattenbalkenquerschnitt mit dem zugehörigen Spannungsdiagramm dargestellt.

Sind die Spannungen 6d und k-<5e gegeben, so ist wie bei der ein- j fachen Platte die Breite der Druck

st

•h.

zone:

Fig. 9.

^ ⁺ V

Die gesamte Druckkraft ist gleich dem Inhalt des Druckspannungskörpers, der sich als Differenz eines rechteckigen und eines dreieckigen Prismas von der Tiefe b dar stellt.

Es ist also:

7 7    d • b

D = <5d-d-b — 6dl- —

^ = <3d •

Z=6e- fe.

D = Z

«.■f, = gd-b-ä[ 1-^]

Für d = x erhält man, wie bei der einfachen Eisenbetonplatte

ä-M¹- )• -¥•£•

Aus der Momentengleichung in bezug auf die Eiseneinlage wird das Widerstandsmoment des Querschnittes, bezogen auf die Betondruckkante, berechnet.

Unter Benutzung der oben angewendeten Zerlegung des Spannungsdiagramms der Druckzone lautet die Momentengleichung:

M= öa-b-dfh - )

oder da

ist, so ist auch

= Ga •

Die gesamte Zugkraft ist:

Da

ist, so ist auch oder

⁶d

⁶e

M.

tO|

Der Klammerfaktor drückt das Widerstandsmoment in bezug auf die Druckkante aus.

Es ist also:

wd = M [h - \

Das Widerstandsmoment läßt sich auch wie bei einem gewöhnlichen Balken in der Form schreiben:

Wd=a-b-W,

so daß sich ergibt:

io; a,

oder

l (Ä - U)]

a ■ bJd = bd j h

bd 2 2x \    3 )

bh

«- [>-*

a,

2*V    3 1}

1st a berechnet, so erfolgt die Ermittelung der statischen Höhe h nach der im Abschnitt III abgeleiteten Formel:

h=VYYS’

in welcher M in mkg für einen Meter Breite einzusetzen ist.

Beispiel: Für einen Plattenbalken, dessen Plattenstärke 0,20 der Höhe h ist, ist unter Annahme der Spannungen:

Gd — 40 kg/cm²

und

<5e = 1000 kg/cm²

die Formel für die Nutzhöhe h und den Eisen-

querschnitt fe zu berechnen. (Fig. 10.)

».

jV_ .

Es ist die Breite der Druckzone x:

Fig. 10.

■h =

40

⁶dJr

40 4-

1000

15

600

■h =

CO jGO

h.

1600

Der Koeffizient a des Widerstandsmomentes Wd ist:

l\ d d    2 d\~|

K= L¹-2Ä-2S1¹-»Ol

Für = 0,20 und ^

K = 0,2 [l — ₂

« = 0,2 [0,9 - 0,23] = 0,134.

OD W

0,2 0,2 • 8

(!- M]

Daher ist:

h = yj—-VM

V a ■ ad y

■VM= 0,432 YM.

= ~|/—-V 0,134-40

Der Eisenquerschnitt ist:

£-»<*(»-£)■

= 6-0.2 ä

(i

0,2 • 8

⁴⁰

1000

f' = 0,2 (1-0,27)~-bh = 0,00586 • bh

= °,586 (A).7j.

Setzt man b in m, h in cm, fe in qcm ein, so erhält man: fe — 0,586 bh.

Führt man für h den Wert 0,432~\/M ein, so erhält man fe als Funktion von YM zu

fe = 0,586 • 0,432 -|Æ- b = 0,253]/M- b.

Der Eisenquerschnitt fe ist also 0,586 Prozent des ans der Breite b und der Nutzhöhe h gebildeten Rechteckes.

Für die Benutzung der abgeleiteten Formeln sind in Übereinstimmung mit den amtlichen Bestimmungen noch folgende Sätze zu beachten:

1.    M ist der Biegungsmoment in mkg für 1 m Breite.. Ist daher die wirksame Plattenbreite b in Metern, so ist das Biegungsmoment zunächst durch b zu dividieren.

2.    Als wirksame Plattenbreite darf nur der dritte Teil der Spannweite l in Rechnung gesetzt werden ^ der Spannweite nach jeder Seite), wenn die Entfernung der einzelnen Rippen größer als If₃ ist.

3.    In jeder Rippe wird der Eisenquerschnitt für die wirksame Plattenbreite b vereinigt; daher ist der Eisenquerschnitt für 1 m Breite mit b in Metern zu multiplizieren, um den Eisenquerschnitt für eine Rippe zu erhalten.

4.    Als Stützweite der Plattenbalken gilt die um eine Auflagerlänge vergrößerte freie Lichtweite. Bei Plattenbalken, die über mehrere Felder durchgehen, darf das Biegungsmoment in den Feldmitten zu vier Fünfteln des Wertes angenommen werden, der bei einer auf zwei Stützen frei auf liegend en Platte vorhanden sein würde, falls nicht die wirklich auftretenden Momente und Auflagerkräfte rechnerisch oder durch Versuche nachgewiesen werden.²)

Beispiel. Ein Plattenbalken von 8 m Stützweite und 3 m Rippenentfernung hat eine Belastung von 800 kg/qm aufzunehmen.

Die Plattenstärke soll mit 0,2 h in Rechnung gesetzt werden. Die zulässigen Spannungen sind 6d = 40 kg/cm² und <3e = 1000 kg/cm². Die Belastung ist:

Q = 0,8 • 8 • 3 = 19,2 x.

Das Biegungsmoment ist daher:

jyj- Q' l 19,2-8

= 19,2 mt.

Das Biegungsmoment ist auf eine wirksame Plattenbreite l 8 0

von b = — — --- = 2,67 m wirkend anzunehmen.

Daher ist für 1 m Breite:

7,19 mt = 7190 mkg

19,2

2,67

l/M = t/7190 = 84,8. Daher ist die Nutzhöhe

h = 0,4321/M= 0,432 • 84,8 = 36,7 cm.

Der Eisenquerschnitt ist für 2,67 m Breite: fe = 0,586 bh

= 0,586 • 2,67 • 36,7 = 57,2 cm².

Gewählt werden: 6 Rundeisen mit 32 mm (P und 48,3 cm² Eisenquerschnitt und 2 Rundeisen mit 26 mm <P und 10,6 cm² Eisenquerschnitt. Die Plattenstärke muß d = 0,2 • 36,7 = 7,4 cm sein. Diese ist jedoch nach den amtlichen Vorschriften min- ' destens 8 cm stark auszuführen.

Die Gesamthöhe H ist

zu 43 cm angenommen. (Fig. 11.)

jL

Wegen der geringen Stärke der Platte sind

I Sf,

j-

Fig. 11.

ai

STf.t.Ä

zwischen den Hauptrippen Querrippen anzuordnen, deren Berechnung in Verbindung mit der Platte in derselben Weise zu geschehen hätte.

Für die Berechnung der Schub-undHaftspannungen ist der Abstand des Druckmittelpunktes

mittelpunkte (Schwerpunkt der Eiseneinlagen) oder der Hebelarm der inneren Kräfte hx wichtig/)

vom

Zug-

_*.

Fig. 12.

) Siehe Abschnitt Y.

Bezeichnet in Fig. 12: e den Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberkante und 6U die Spannung in der Unterkante der Platte, so ist mit Beibehaltung der übrigen Bezeichnungen:

d ⁶d-\-^⁶u 3 ⁶d + ⁶u

d

6u — &d— 6dx = <3d — <3d • —

Ks ist aber

Daher ist:

—(‘-i>

*d + ßd (i-")'²

°d+⁶d

co

C = -TT

d ¹ + ²~2 ³ 1+1-

, 3-2 -d    x

4“

2--

„    „ d

6-3-

Daher ist der Hebelarm der inneren Kräfte: \ = h — e

3-2-

2--

6-4-j d    x

— h — — • ---—, ?

² 6 — 3 —

37j

für d = 0,2 h und æ = — ist:

\ = h — 0,1 h

6-4.0,2--

6-30,2-

= (1 — 0,088) h \ = 0,912 Ji.

Nach den abgeleiteten Formeln ist für verschiedene Druckspannungen von 20 bis 45 kg/cm² und für die Eisenzugspannung 6e = 1000 kg/cm² folgende Tabelle berechnet, aus welcher die Werte

ht, h, fe, x für verschiedene Werte \

Wird die Plattenstärke gleich der Höhe der Druckzone oder größer, so gelten die Formeln für die Platten:

h>

<3d und <5e zu ersehen sind.

Tabelle III.

d/h

Ge

h = aVM h = ~iyą fe — b~\/M fe = JLbh-

1000    45    0,403 Zł    0,952 h    0,514 Ÿ~M_    0,182    Z Yq    0,203 ŸM    0,394    %

1000    45    0,403 Zł    0,931 Zł    0,442 y M    0,156 Z Ÿg_    0,243 Ÿ~M    0,549    %

1000    45    0,403 Zł    0,911 Zł    0,403 Y~M    0,143    Z Y q    0,274 ]/M    0,677    %

1000    45    0,403 Zł    0,894 Zł    0,380 ]/~M    0,134    Z Ÿq    0,295 j/Âf    0,776    %

1000    45    0,403 Zł    0,880 Zł    0,366 ŸM    0,129    Z YY    0,310 ŸM    0,848    %

1000    45    0,403 Zł    0,870 Zł    0,359 yM    0,127    Z YY    0,320 ]/M    0,891    %

1000    45    0,403 Zł    0,866 Zł    0,357 YM    0,126 Z Ÿg_    0,324 Y~M    0,907    %

0,403 PZ    1000    45    0,403 Zł    0,866    Zł    0,357    0,126 Z Yq    0,324 j/Af    0,907    %

1000    40    0,375 Zł    0,953    Zł    0,548    0,193    Z Y~q    0,190 ŸM    0,345    %

1000    40    0,375 Zł    0,931    Zł    0,473    j/If    0,167 iy~q    0,227-j/Âf    0,480    %

1000    40    0,375 Zł    0,912 Zł    0,432 ]/Af    0,154    Z Y q_    0,253 ]/ ~M_    0,586    %

1000    40    0,375 Zł    0,896 Zł    0,410 j/lf    0,145    Z]/^    0,274 y Af    0,667    %

1000    40    0,375 Zł    0,883 Zł    0,397 ŸM    0,140    Z j/g    0,286 y Af    0,720    %

1000    40    0,375 h    0,876 Zł    0,391 y Af    0,139 Z    0,292 j/jf    0,746    %

0,375 PZ 1000    40    0,375 Zł    0,875 Zł    0,390 j/Äf    0,138 Zj/g    0,293 yÄT    0,750    %

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

1000    35    0,344 h    0,953 h    0,587 }/M

1000    35    0,344 Ji    0,932 h    0,510 \/~M

1000    35    0,344 7ł    0,914 h    0,469 YM

1000    35    0,344 h    0,899 h    0,448 ]/Jf

1000    35    0,344 h    0,889 h    0,437-jfM

0,344PZ 1000    35    0,344 h    0,885 h    0,433 l/M

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

t- O

O cc

<N^ H

cT o' o' o" cT o"

CO 00 lO CD iO iO O

TH rH TH T-H

co

o

0,176 y M_    0,299    %

0,210 y ~M_    0,411    %

0,233 YW    0,496    %

0,250 ŸM    0,557    %

0,259 Y~M    0,592    %

0,261 VH    0,603    %

1000    30    0,310 h    0,953 h    0,646 YM_    0,228 Z]/g    0,163 Y~M    0,252    %

1000    30    0,310 h    0,934 h    0,561 ]/¥    0,198    Z Yq    0,192 j/ïf    0,342    %

1000    30    0,310 Zł    0,916 Zł    0,519 Y~M    0,183    Z]/y    0,211 Ÿ~M_    0,406    %

1000    30    0,310 Zł    0,903 Zł    0,497 ]/M    0,176    l\/q    0,222 ŸM    0,447    %

1000    30    0,310 Zł    0,898 h    0,491 YM_    0,173    lÿq    0,227 \/M_    0,464    %

0,310PI 1000    30    0,31 Oh    0,897 h    0,490 ŸM    0,173    lY q    0,228 j/ïjf    0,465    %

1000    25    0,273 Zł    0,954 Zł    0,716 YM    0,253 Z y#    0,146 y~M_    0,204    %

1000    25    0,273 Zł    0,935 Zł    0,629 Ÿ~M    0,222    Z|/g    0,171 ]/M    0,272    %

1000.25    0,273    h    0,919 Zł    0,587 ]/jf    0,207    Zj/g    0,186 ]/jf    0,317    %

1000    25    0,273 h    0,911 h    0,570 y Jf    0,202 Z J/g    0,193 y M    0,339    %

0,273PZ 1000    25    0,273 Zł    0,909 Zł    0,569 j/Äf    0,201    Z y g'    0,194 y Af__0,341    %

1000    20    0,230 Zł    0,955 Zł    0,817 yif    0,288    Z    0,128 ]/Äf    0,157    %

1000    20    0,230 Zł    0,937 Zł    0,728 ]/Jf    0,257    Z yj    0,148 j/Af    0,203    %

1000;20    0,230    Zł    0,925 Zł    0,690 ]/M    0,244    Z "/g    0,166 j/Âf    0,226    %

0,23OPZ    1000 i 20    0,230    Zł    0,923 Zł    0,686 yif    0,243    Z"j/g    0,159 y Af    0,232    %

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,10

0,15

0,20

0,25

0,10

0,15

0,20

0,10    1000

0,15    1000

0,184PZ 1000

0,10

1000

0,130 PZ 1000

O XO XQ © O tH tH tH tH

0,184 h    0,956 Zł    0,976    y Jf    0,344 Z]/g    0,108 ]/M    0,110    %

0,184 h    0,944/i    0,891    ylf    0,314 Z)/g    0,119 ÿiy    0,134 %

0,184h 0,939 Zł 0,876 yif 0,310 Z~|/g 0,121 ÿ Jf ; 0,138 % 0,130 h    0,960 h    1,30    j/ïif    0,458    0,081 ylf    0,062 %

0,130 Zł    0,957 Ä    1,27    Vif    0,449 Z y^    0,083-j/Jf    0,065 %

B. Spannungsberechnung.

Zunächst wird die Lage der Nullinie aus den Querschnittsabmessungen berechnet. — Fig. 13.

h--

---H

* Bwcfv

4..... 6g

!-f

_J. j______>)

•r»

£g

^n.

Kg. 13.

Faßt man die Nullinie als Lage der Resultierenden aus der Betondruckplatte und dem Eisenquerschnitt auf (Schwerpunktslage), so liefert die Momentengleichung in bezug auf die Betondruckkante den Wert:

(bd + n-fe) x = bd-^ -f n fe-h

oder

bd² +n-fe-h

2 b d -f n • fe

Hierbei werden die Betonzugspannungen und die Druckspannungen, soweit sie in die Rippe fallen, vernachlässigt.

Der Druckmittelpunkt hat von der Druckkante die Entfernung x — y, welche wegen der Trapezform des Druckspannungsdiagramms sich durch die Gleichung:

d ⁶dJr²⁶u

x — y = v • —i-

Diese Gleichung läßt sich, wie oben ermittelt, umformen in: d

,, 8-2-d    x

3 d 2--

ausdrücken läßt.

oder x

x-y =

3 dx — 2 d²

Dividiert man auf der rechten Seite der Gleichung den Zähler durch den Nenner, so erhält man:

oder

d    d²

y ~ X ~ 2"    6 (2x- d)

Der Abstand der Eiseneinlage von dem Druckmittelpunkt ist

6 (2 x — d)

daher:

\=h — x +y

7    ₇ d .    d²

\=h--+ 6{2x_d)

Die Eisenzugspannung ergibt sieb aus der Momentengleichung in bezug auf den Druckmittelpunkt:

M = de ■ fe Qi — x -f y) oder

Die Druckspannung im Beton ergibt sich aus dem Spannungsdiagramm zu:

feQi-x-\-y)

⁶d

oder

<3e =

Zahlenbeispiel. (Fig. 14.) EinPlatten- ^ balken von nebenstehenden Abmessungen ist r bei einer Lichtweite von 9,6 m und einer Stützweite von 10,0 m durch 500 kg/m Nutzlast belastet.

***----*

_ttS2Z3d

Die Eiseneinlagen bestehen aus 8 Rundeisen von 24 mm Q und haben einen Querschnitt von 36,2 cm.

Gesucht werden die Spannungen.

Eigengewicht (1,5 • 0,1 + 0,5 • 0,25) • 2400 = 660 kg hohe gewalzte Schlacke 6 • 6 = 36 kg 2 • 20 = 40 kg 14 kg 90 kg 90 ■ 1,5 = 13öTg

Überschüttung 6 cm Zementfußboden von 2 cm Stärke

Deckenputz

für 1.5 m Breite

iS

Vig. 14.

Nutzlast 500 kg/qm.

Gesamtlast für 1 m Länge

q = 660 + 135 + 500 = 1295 kg = ~ 1300 kg.

Daher ist

1300•IO²-100

= 1625000 cm/kg,

ferner ist

hä²

n-fe'h + ^2~

n-fe+bd

150 • 10²

15-36,2-56 +

•i

y X 2^ 6(2 x-d)

15 • 36,2 + 150 • 10

) y = 18,6 — 5 +

18,6 cm.

io²

6(37,2 - 10)

14,2 cm,

1625000

fe{h-x + y) 1625000

36,2(56- 18,6 + 14,2)

36,2 • 51,6

= ~ 870 kg/cm²,

18,6    870 _ 1620

56 -18,6 ’ TA ~ +6CT

= 29 kg/cm².

¹

Siehe Abschnitt V, Berechnung der Schub- und Haftspannungen.

²

Über die Berechnung der negativen Stützmomente siehe Abschnitt VI Schlußbemerkung und Anhang I.

Y. Berechnung der Schub- und Haftspannungen.

A. Schubspannungen.

In Fig. 15 ist ein gleichmäßig belasteter Balken mib dem zugehörigen Querkraftsdiagramm dargestellt. Der zwischen den.

beiden Yertikalschnitten I und IE

?.....

o.

--P

k--

liegende Balkenteil ist in Fig. 16 noch, einmal größer dargestellt mit den auP die beiden Schnittflächen I und IE

Wir he-

wirkenden Spannungen, trachten zunächst den oberhalb des Horizontalschnittes a — a gelegenem Balkenteil. Die im Schnitt I wirken-

den Spannungen lassen sich zu einer-Druckkraft Di zusammensetzen, ebenso die im Schnitt II wirkenden Spannungen zu einer Druckkraft Du-Da der Schnitt II näher nach der Balkenmitte liegt, so ist bei Voraussetzung gleicher Querschnitte Z)//> Di, die Differenz von Dir

und Di ist eine nach dem Auflager gerichtete Kraft, welche den Balkenteil längs der Schnittfläche a — a zu verschieben sucht und daher in dieser Schnittfläche einen Gleitwiderstand oder Schubwiderstand hervorruft. Bezeichnet ra diesen Widerstand pro qcmr und ist b die Breite und yn— iji die Länge des Schnittes a — a, so ist die Größe von ra aus der Gleichung:

Fig. 15.

■4-J- V

fr'

I«

XX

»Vi.

Sk

v , _2Ł . i.

ix

ta 'My II - y i) = Du — D

Fig. 16.

zu berechnen.

Die Differenz Du — Di läßt sich graphisch als Differenz der beiden Spannungsdiagramme darstellen. Man erkennt, daß Du — Dr seinen größten Wert erreicht, wenn der Schnitt a — a mit der Nulllinie zusammenfällt. Dann wird Dn— Di durch einen Spannungskeil von der Länge b und dem Querschnitt (pn —<?/)• ~ dargestellt.

Bezeichnet r die größte Schubspannung in der Höhe der Nulllinie, so ist:

t ■ b (yn — yi) = {pn-<3i)'~-b.

oder

Aus der Berechnung der Eisenbetonplatten folgt:

2 Mn

<5ll= -

03; «

<?/ =

2 MI

bx

(*- )

03 j «

6 u — 6i • =

HMn-Mi)

bx

03 I 8

,    s bx

{an- <3;) • — =

h-

Es ist also auch:

* ■ Kvn— yî.)=

Mu - M

oder

Mn-Mj i_

y ii ~vi jt _ x.

3

Mir-M>

y n~ Vi

der Querkraft ausgedrückt werden. Der Inhalt der Querkraftfläche vom Auflager bis zur betrachteten Schnittstelle ist gleich dem Biegungsmoment an der Schnittstelle. Bezeichnet man diese Flächen bis zu den Schnitten 1 und II mit Fi und Fn, so ist:

Mz =Fj

Mn = Fn

Der Ausdruck

kann mit Hilfe der Querkraftfläche nach

und

also

Mn - Mz = Fii - Fj.

Bei genügend naher Lage der beiden Schnitte I und II kann die Differenz der beiden Flächen Fn und Fj als Rechteck aufgefaßt werden. Die Höhe desselben ist die Querkraft V, welche innerhalb der beiden Schnitte als konstant angenommen wird, seine Breite ist y ii — yi, daher ist:

und

Mn — Mi = V- ( y ii — yr)

Mn-Mi

y ii yi

Daher ist

oder

rSS

w| «

b\

Die größte Schubspannung x wird erhalten, indem man die Querkraft durch den Inhalt des Rechteckes aus der Querschnittsbreite und dem Hebelarm der inneren Kräfte dividiert.

Die überhaupt größte Schubspannung t lager auf, weil hier die Querkraft ihren größten Wert als Auflagerdruck A erreicht.

Es ist also

max

tritt am Auf-

T'max —

b ■ \

In dieser Form gilt die Gleichung auch für Plattenbalken. Die Ableitung läßt sich in derselben Weise, wie für einfache Platten durchführen.

Beispiele. 1. Eisenbetonplatte. Die größten Schubspannungen des im Abschnitt III A berechneten Beispieles 1 sind zu ermitteln.

Belastung: Eigengewicht 520 kg/qm

1000 kg/qm.

Nutzlast

Spannweite: l — 2,15 m. Auflagerdruck für 1 m Plattenbreite:

1520 • 2,15

= 1634 kg.

Hebelarm der inneren Kräfte:

h, = h —

= h-i

rSS 05

= 4- h = — • 13,4 = 11,7 cm.

O    O

Querschnittsbreite & = 100 m 1684

b ~ 11,7 • 100 —

2. Plattenbalken. Die größten Schubspannungen des im Ab' schnitt IV A berechneten Zahlenbeispieles sind zu ermitteln.

Die Belastung ist 19,2 t.

Der Auflagerdruck ist daher:

Æ 2

max

1634

1170

= 9.6 t.

= 1,4 kg/cm².

Die statische Höhe ist h — 36,7 cm. Nach der Tabelle III für Plattenbalken ist für <3d = 40 kg/cm², 6e — 1000 kg/cm d/h = 0,2:

\ = 0,912 h

Jh = 0,912 • 36,7 = 33,5 cm.

Die Rippenstärke wird mit b — 36 cm ausgeführt, da

her ist:

9600

9600

Tmax b ■ \    36 • 33,5    1206

— ~ 8,0 kg/qcm.

Nach den amtlichen Besthnmungen ist die zulässige Schubspannung 4,5 kg/qcm. Wird größere Schubfestigkeit nachgewiesen, so darf die auftretende Spannung nicht über ein Fünftel derselben hinausgehen.

Bei Eisenbetonplatten ist in der Regel die Schubspannung geringer als die zulässige Beanspruchung, bei Plattenbalken übersteigt dagegen sehr häufig die Schubspannung das zugelassene Maß.

Auf-

In diesem Falle muß entweder die Rippenbreite b vergrößert werden, oder der Beton muß Eiseneinlagen zur nähme der Schubspannungen erhalten. Diese Eiseneinlagen sind unten berechnet.

Für die Berechnung der erforderlichen Rippenbreite & ohne besondere Eiseneinlagen zur Aufnahme der Schubspannungen läßt

A

-, j umformen in b b ■ \

sich die Gleichung: r

max

rmax ' A

Es ist A =

— 4,5 kg/cm, hx — ~ 0,9 Ji als Mittelwert

r

der wenig voneinander verschiedenen Werte für \ (s. Tabellen S. 13 u. 27). Mit Einsetzung dieser Werte erhält man:

mas

— '(fr

GO I f-Q

ql

2 • 4,5 • 0,9 • h

In dieser Gleichung ist q die Belastung für 1 cm Breite und 100 cm Tiefe, b die für 1 m Plattenbreite erforderliche Rippenbreite.

Beispiel. Für <5d = 40kg/cm², öe= 1000kg/cm², Q — 600kg/qm ist h = 3,38 l (nach Tabelle II). In dieser Gleichung ist h in cm und l in m abzulesen. Setzt man auch l in cm ein, so wird

100

h 3,38

= 29,6.

Die Belastung für 1 cm Breite und 100 cm Tiefe ist

⁶⁰⁰ a i

ï“Î00“6 k«'

Daher ist:

O0Ä

'h~

• 29,6 = 22,2 cm.

Da bei der Berechnung von Eisenbetondecken in der Regel nicht über 40 kg/qcm Druckspannung hinausgegangen wird und die Belastung für gewöhnliche Massivdeckenkonstruktionen im Hochbau den Wert von 600 kg/qm bei 250 kg/qm Nutzlast nicht übersteigt, so ergibt sich als Regel, daß eine besondere Armierung gegen die Schubspannungen erst erforderlich ist, wenn die Rippenbreite kleiner als der fünfte Teil der Plattenbreite ist.

Weiske, Eisenbetonbauten.

B. Haftspannungen.

Nach Fig. 16 ist die Eisenzugspannung an zwei benachbarten Balkenschnittstellen I und II ebenfalls verschieden. Die in dem

Balkenteil zwischen den beiden Schnittstellen befindliche Eiseneinlage erleidet auf der rechten Seite die Zugspannung <7e und auf der linken Seite die Zugspannung <?e/, so daß die Zugkraft, welche die Eiseneinlage aus dem Balkenteil nach der Balkenmitte hin zu ziehen sucht, sich aus der Gleichung:

Z ^«// fe Gej ■ fe

ergibt.

Z=[Gen - 6ei)-fg

Dieser Zugkraft wirkt längs des Umfanges der Eiseneinlagen die Haftfestigkeit zwischen Beton und Eisen oder der Gleitwiderstand entgegen. Haftspannung ist die Beanspruchung, welche infolge der Zugkraft Z am Umfang der Eiseneinlage zwischen Beton und Eisen auftritt. Dieselbe wird mit te bezeichnet.

Es ist also

te - U • (yn — yi) = Z.

Hierbei ist U der Umfang der Eiseneinlagen, welche den Querschnitt f bilden.

Aus den beiden Gleichungen für Z erhält man:

Es ist:

⁶‘ii =

Mn

fe \

mt

und

oder

(Öen

fe-\

⁶'i) ‘ fß = (Mn ~ Mi) • \ '

Setzt man diesen Wert in die Gleichung für te ein, so erhält man:

Mir-Mj !

Vii-Vi ' ü-hi‘

bedeutet die Querkraft, welche auf den heraus-

Der Wert

Mu-Mi

y ii Vi

geschnittenen Balkenteil wirkt. Daher ist

te =

U-h₁

Da V den größten WertH am Auflager erreicht, so ist

Nach den amtlichen Bestimmungen soll re max die zulässige Schuhspannung nicht übersteigen. Der zulässige Wert für re ist also ebenfalls 4,5 kg/qcm.

Der erforderliche Wert U ist also:

77 =

re inax ' \

4,5 • hx

Mit A = q-^, \ — 0,9 7^ ergibt sich für 77 derselbe Wert wie für die Rippenbreite b:

' r

Da die zulässigen Schub- und Haftspannungen gleich sind, so sind bei Ausnutzung der zulässigen Werte die Umfänge der Eiseneinlagen und die Rippenbreite b gleich.

Beispiele. 1. Die Haftspannungen der Eiseneinlagen des im Abschnitt III A berechneten Beispieles sind zu ermitteln. Auflagerdruck A = 1634 kg Eiseneinlagen 9 Rundeisen à 12 mm 0 mit £7= 9- 3,77 = 34 cm Hebelarm der inneren Kräfte 7q = 12,43 cm.

Die Haftspannung ist:

Te =

1634    _ 1634

ü- \ ~~ 34 • 11,7 ~~ 398

re = 4,1 kg/cm².

Der Umfang der Eiseneinlagen genügt.

Beispiel 2. Die Haftspannungen der Eiseneinlagen des im Abschnitt IY A berechneten Zahlenbeispieles sind zu ermitteln. Auflagerdruck A = 9600 kg Hebelarm der inneren Kräfte 7q = 33,5 cm Eiseneinlagen: 6 Rundeisen mit 32 mm 0 und 2 Rundeisen mit 30 mm 0.

Da von den 8 Rundeisen nur 6 Stück von 32 mm 0 gerade durchgehen, während 2 Stück von 26 mm 0 aufgebogen werden, so ist der am Auflager vorhandene Umfang der geraden Eisen:

£7=6- 10,05 = 60,3 cm. Daher ist die Haftspannung:

Ve =

re =

u-\

9600    9600

60,3-33,5 ~ 2020

= 4,75 kg/cm².

Da die zulässige Beanspruchung von 4,5 kg/cm² etwas überschritten wird, sind die Enden der Rundeisen am Auflager umzubiegen, um den Widerstand gegen das Herausziehen der Eiseneinlagen zu erhöhen.

C. Verstärkung der Eisenbetonträger zur Entlastung der Schub- und Haftspannungen.

I. Entlastung der Schubspannungen.

Für die Armierung der Eisenbetonträger gegen Schubbeanspruchung gibt es zwei Mittel:

1.    Aufbiegen eines Teiles der auf der Zugseite eingelegten Eisenstäbe.

Hierbei werden die Eiseneinlagen in der Nähe des Auflagers unter einem Winkel von etwa 45° in die Höhe gebogen (Fig. 17.)

2.    Einlegen vertikaler Bügel.

Fig. 17.

Die Erfahrung¹) hat gezeigt, daß es das

beste ist, beide Mittel miteinander zu vereinigen. Die schräg aufgebogenen Eiseneinlagen verhindern in den schmalen Rippen der Plattenbalken das Entstehen schräger nach der Mitte ansteigender Risse, während die vertikalen Bügel die Rippe mit der Deckenplatte verbinden und eine umschnürende Wirkung auf den Beton ausüben. Wird die Rippenbreite 5 nicht in der Stärke ausgeführt, welche die zulässige Schubbeanspruchung von 4,5 kg/qcm

erfordert, ist also (bei gleichmäßig verteilter Belastung) b <    (^j, so sind jedenfalls die Eiseneinlagen der Zugzone teilweise in die Höhe zu

-    -    ¹    ->j

biegen. Außerdem ist ein Einlegen von — vertikalen Bügeln erwünscht, da nach Ver-... suchen diejenigen Plattenbalken die höchste Bruchlast erreichten, welche durch beide Anordnungen verstärkt waren.

!«

“1

a) Berechnung der aufzubiegenden Eisen.

Fig. 18.

In Fig. 18 ist das Diagramm der Schubspannungen gezeichnet. Da nur 4,5 kg/cm² Schubbeanspruchung zulässig sind, wird im Diagramm der Schubspannungen die größte Schubspannung rmax in zwei Teile zerlegt. Der untere Teil ist die zulässige Schubspannung von

4,5 kg/qcm, der obere Teil ist der Rest rmax — 4,5 kg/qcm. Durch den Teilpunkt zieht man eine Parallele zu der Grundlinie des Diagramms, welche von dem Diagramm die schraffierte Fläche abschneidet. Bei gleichmäßig verteilter Belastung ist das Diagramm ein Dreieck.

portion:

Die Länge des schraffierten Dreiecks y ergibt sich aus der Pro

oder

*max - h⁵

^ Tmax

W“⁴»⁵ Z

'max

Multipliziert man den Inhalt der schraffierten Fläche mit der Breite b der Rippe, so erhält man die Schubkraft T, welche nicht durch die zulässige Schubbeanspruchung aufgenommen werden kann. Es ist also

T=(r

max

max

- 45) ■ I • b,

-4,5)

bl

Lnax

Denkt man sich den Eisenbetonbalken längs der Nullachse derartig aufgetrennt, daß der Schnitt nicht eben, sondern sägeartig geführt wird, so werden sich bei einer Belastung des Balkens die nach der Mitte abfallenden Flächen aufeinander pressen, während die nach der Mitte ansteigenden Flächen auseinanderklaffen, wenn nicht durch besondere Verb indungsmittel dies verhindert wird. Man denkt sich also die nach außen wirkende horizontale Kraft T in zwei Seitenkräfte zerlegt, die sich rechtwinklig schneiden und mit der horizontalen Richtung einen Winkel von 45° bilden.

Die eine Seitenkraft ist eine Druckkraft, welche im Beton ohne weiteres aufgenommen wird. Die andere Seitenkraft ist eine Zugkraft, welche das Entstehen der schräg nach der Mitte ansteigenden 1 Risse in der Nähe der Auflager verursacht, wenn nicht durch besondere Eiseneinlagen senkrecht zu ihrer Richtung ihr Entstehen möglichst verhindert oder unschädlich gemacht wird.*) (Fig. 19.)

Die Größe der aufzunehmenden Seitenkraft ist daher

T •

J".

s»

-ćx

Fig. 19.

/v

*) Siebe Mörsch, Versuche usw. D. B. Z. 1907, S. 207ff.

Der erforderliche Eisenquerschnitt, der durch Aufbiegen eines Teiles der Eiseneinlagen gewonnen wird, ist:

l T

Mit öe — 1000 kg/cm² ist:

max

-4,5)² bl

max

fe =

(W-L5)²

y 2.îooo

.1.1 = 0,000177

(W-W

4-]/2 1000

Setzt man die Rippenbreite & und die Spannweite l in m ein, so erhält man:

Lnax

Lnax

fe = 1,8

• eqcm ²

-L5)²

Lnax

•    ‘ Im-

Das Aufbiegen der Eisen hat innerhalb der Länge y zu erfolgen.²) Werden mehrere Eisen aufgebogen, so zerlegt man das schraffierte Dreieck in eine entsprechende Anzahl flächengleicher

Streifen. (Fig. 20.)

Man trägt beispielsweise bei

_    3 Eisen am Endpunkt von y

<r —

Fig. 20.

■ \ — x-ł senkrecht die Werte }/l, ]/2 und Y 3 auf, verbindet den Endpunkt von y 3 mit dem Anfangspunkt von y, und zieht durch die Teilpunkte von "]/1 und ]/2 Parallele zu dieser Verbindungslinie bis zum Schnitt mit y-hierdurch erhält man die flächengleiche Zerlegung. Die Schwerpunktssenkrechten dieser Flächen auf y bestimmen die Durchgangspunkte der aufzubiegenden Eiseneinlagen. Es genügt in der ersten Teilstrecke den Drittelspunkt, in den übrigen Teilstrecken nahezu den Mittelpunkt anzunehmen.³)

Zahlenbeispiel. Bei dem im Abschnitt V, 1 berechneten Plattenbalken war die ermittelte größte Schubspannung rmax = 8,0 kg/cm²

Die Rippenbreite war b = 35 cm, der Durchmesser der Eiseneinlagen war d = 32 mm für 6 gerade und d = 26 mm für 2 aufgebogene Eisen. Es ist

(w-⁴-⁵)²

Hnax

f’qcm

fe-

1,8 (8,0 - 4,5)

• 0,36 -8 = 8 qcm.

Vorhanden ist 2 • 5,30 = 10,6 cm², da 2 Eisen von 26 mm 0 aufgebogen werden.

Das Auf biegen hat innerhalb der Länge:

2/ =

W“⁴'⁵ l 8-4,5    8

max

• - = 1,75 m

zu

geschehen.

b) Berechnung der Bügel.

Die aufzunehmende wagerechte Schubkraft auf jeder Balkenhälfte ist:

Tmax

Die Bügel wirken nach Art der Dübel im verdübelten Balken. Denkt man sich den Eisenbetonbalken in horizontale Scheiben zerlegt, so können die Bügel als senkrechte Nägel aufgefaßt werden, welche diese Scheiben Zusammenhalten und hierdurch dieselben im Balken zur gemeinsamen Wirkung bringen. Bis zur Beanspruchung von 4,5 kg/qcm soll der Beton selbst durch seine eigene Schubfestigkeit den Zusammenhang der einzelnen wagerechten Schichten sichern, darüber hinaus sollen die Bügel die auftretende Schubkraft aufnehmen.

Der erforderliche Bügelquerschnitt in einer Balkenhälfte ist daher bei 800 kg/cm² zulässiger Schubbeanspruchung des Eisens:

T

^e== 8ÖÖ

8200

-4,5 )²

Hnax

• bl = 0,00031

max

-Lö)*

Hnax

■bl,

f* = 3,1

¹ Kqcm ’

max

-4,5)

rmax

. bra • Im;

wenn man b und l in Metern einsetzt.

Zahlenbeispiel. Für denselben Plattenbalken ist der Eisenquerschnitt der Bügelanordnung zu bestimmen.

2,4 » ⁵'⁷ ~ ⁶‘

13,7

Es ist:

fe = 3,1

(8 — 4,5)

. 0,36 • 8 • 0 = 3,1 • 12,25 • 0,36 = 13,7 qcm.

Die Verteilung der Bügel hat auf die Länge von 8-4,5 8    ₁

‘j = 1,75 m

zu geschehen.

Werden 6 Bügelarme querschnitt und 6 • 0,4 = 2,4 qcm Gresamtquerschnitt angeordnet, so ist die Anzahl der Bügelstellen

von 20/2

mm Bandeisen-

Die Bügel sind nach dem Wurzelgesetz auf die Länge von 1,75 zu verteilen, so daß sie am Auflager enger liegen (siehe Fig. 21).

SOO_

ÆtL

#=•

Jv»

Fig. 21.

Für die Ausführung empfiehlt sich eine gemischte Anordnung, da Bügel allein ohne Aufbiegen eines Eisens nicht zu empfehlen sind, weil sich die schrägen Risse durch dieselben nicht unschädlich machen lassen.

Man kann also in dreifacher Weise bei der Armierung Vorgehen:

1.    Es werden die aufzubiegenden Eisen berechnet und außerdem einige Bügel eingelegt.

2.    Es werden die Bügel berechnet und außerdem mindestens 1 Eisen aufgebogen.

3.    Es werden sowohl die aufzubiegenden Eisen als auch die Bügel berechnet, indem man jeder Anordnung etwa die Hälfte der Entlastung zuweist. Hierbei wird jedoch der Querschnitt der aufzubiegenden Eisen infolge ihrer größeren Wirksamkeit um etwa 60 % erhöht, zur Erhöhung der Sicherheit, da infolge von Einzellasten die Schubspannungen größer werden können. Dann erhält man:

kg/qcm y

fe in qcm b in in l in m

Außerdem empfiehlt sich über y hinaus noch einige Bügel ein

zulegen.

a) für die aufzubiegenden Eisen:

(rmax - ⁴>⁵)

fe - 1,5

Tm

‘ 5m ‘ Im

b) für die Bügel:

fe = 1,5

max

-4,5)

5m ax

Man erhält also für beide Werte dieselbe Formel.

die

Aus folgender Tabelle sind für verschiedene Werte von x Länge des durch Bügel und aufgebogene Eisen zu schützenden Balkenteiles y und die Größe des Eisenquerschnittes der Bügel und der aufgebogenen Eisen, entsprechend der Formeln:

-4,5)²

max

-4,5

und fe = 1,5 •

&m "

rmax

zu entnehmen. Hierbei ist 5 die Rippenbreite und l die Spannweite des Plattenbalkens in m, y in cm und fe in qcm einzusetzen und abzulesen.

ma x

max

fe

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

0,050 l 0,091 l 0,125 l 0,154 l 0,179 l 0,200 l 0,219 l 0,235 l 0,250 l 0,263 l 0,275 l

0,075 bl 0,273 bl 0,563 bl 0,923 bl 1,34 bl 1,80 bl 2,30 bl 2,82 bl 3,38 bl 3,95 bl 4,54 bl

II. Entlastung der Haftspannungen.

Das einfachste Mittel, das Herausziehen der Enden der Rundeisen aus dem Beton infolge Überwindung der Haftfestigkeit zu verhindern, ist das Umbiegen der Enden.

Nach den amtlichen Bestimmungen darf die Haftfestigkeit nur bis 4,5 kg/cm² ausgenutzt werden. Da die Haftspannung te in derselben Weise wie die Schubspannung xb berechnet wird, indem man nur die Rippenbreite b durch den Umfang der Eiseneinlagen U ersetzt, so kann man zur Ermittelung der überschüssigen Kraft P, welche das Herausziehen der Eiseneinlagen aus dem Beton erstrebt, in derselben Weise die Formel ableiten:

(re 4,ö)² l.JJ

Die Kraft P ist die Summe aller auf die Länge

- ⁴>⁵ l

Te

entfallender Haftspannungen, welche das zulässige Maß von 4,5 kg/qcm überschreiten.

Diese Kraft ist als eine Zugkraft anzusehen, welche auf das umgebogene Ende der Eiseneinlagen wirkt. Hierbei wirkt dieses Ende als Ankerplatte.

Für die Berechnung der Länge der Umbiegung z werden folgende vereinfachende Annahmen gemacht:

1. Der Druck des Endes gegen den Beton ist nicht gleichmäßig,

sondern nimmt von der Stelle der Umbiegung bis zur Spitze nach dem Dreiecksgesetz ab.

Fig. 22.

2. Das Ende selbst wird als ein Balken aufgefaßt, der an der Stelle der Umbiegung eingespannt ist und an seinem Ende gegen den umhüllenden Beton drückt, also hier ein freies Auflager hat. (Fig. 22.)

Aus der ersten Annahme ergibt sich die Bedingung:

6, • Z

oder

p = Ą-d

-    • d =------i -

2    r    4

Z — -r

(*e-4,5)² i

■i

Te

°d

Cv

A

in m

Man liât also die Haftspannung re zu berechnen und nach der Tabelle die Länge der Umbiegung abzuschätzen.

Es wird empfohlen, nicht über die Grenze von 6 kg/cm2 hinauszugehen.

Durch die zweite Annahme ist die auszunutzende Länge der Umbiegung z beschränkt, da man diese nicht beliebig lang machen darf.

Durch den Gegendruck des Betons gegen das umgebogene Ende werden in demselben Biegungsspannungen hervorgerufen. (Fig. 22.)

Für den angenommenen Belastungsfall ist das größte Biegungsmoment an der umgebogenen Stelle:

M=-*

15

Hierbei ist p = öd- d die Druckbelastung am umgebogenen Ende. Daher ist:

6d ■ d ■ z² _7tds

15    32    ^e

oder

oder

<5d ist als ein Lochwanddruck zu betrachten und könnte mit der doppelten Größe der zulässigen Druckspannung eingeführt werden. Setzt man jr = 3,14, <3d = 40 kg/cm², und l in m ein, so erhält man:

_ d K-4,5)

Folgende Tabelle liefert die erforderlichen Längen z für verschiedene Haftspannungen xe:

^em

(re — 4,5) kg/cm²

0,20 l 0,73 l 1,50 l

iß

o' o' o'

o o O

O' T“! i-T

in cm

kg/cm²

kg/cm²

j l/15 • % ⁶e

S = d' V^2

Mit <3e — 1000 kg/cm², öd = 40 kg/cm² ist:

₇ T /16 • 8,14 1000

'■-y-T’ir

z<6d.

Die auszunutzende Höhe des umgebogenen Endes darf also diesen Wert auf keinen Fall überschreiten.

Zahlenbeispiel. In dem oben berechneten Beispiel ist die Haftspannung im Abschnitt Y 2 zu 4,75 kg/cm² ermittelt. Die 6 geraden Eisen haben einen Durchmesser von 3,2 cm.

Es ist daher nach der Tabelle

0    0,2 l

< 0,2 • 8,0 < 1,6 cm.

Das Verhältnis von s und d ist hierbei

Statt dessen werden zur Erhöhung der Sicherheit die Rundeisen 5 cm umgebogen.

Bei Plattenbalken sind stets die Enden der geraden Eisen umzubiegen, bei Platten ist dies in der Regel nicht erforderlich.

VI. Berechnung der Säulen.

A. Querschnittsermittelung.

Der in den Betonquerschnitt eingebettete Eisenquerschnitt erleidet aus der Druckkraft P eine n fach größere Druckbeanspruchung als der Beton. (Fig. 23.)

Ist Fb der Betonquerschnitt, fe der Eisenquerschnitt, öd die Beanspruchung der Betons auf Druck, so ist daher:

Öd • Fb -f- n ■ 6d • fe — P

oder

Fb • (öd + ^ • öd •    = P

Mg. 23.

.g.

Fb =

Fb =

-Gl)

Der Eisenquerschnitt wird als Prozentsatz des Beton-

fe

querschnittes angenommen, hierdurch ist der Wert r=- bestimmt.

fe

1    2 5

schwankt zwischen — und höchstens -Ar-

100

100

A. Querschnittsertnittelung. B. Spanmingsberechnung.

45

Die Druckspannung 6d darf nach den amtlichen Bestimmungen nur der Bruchfestigkeit betragen. Um daher

schlanke Säulen zu erhalten, muß die Betonmischung fett sein.

Bei einer Mischung 1:4, welche auf den cbm Beton rund 360 kg Zement erfordert, kann eine Beanspruchung von <3d = 25 kg/qcm angenommen werden.

Man erhält also bei 1 °/₀ Armierung:

Fb =

25 (1 -j- 15-0,01)    25 1,15    28,8

Setzt man P in Tonnen ein, so erhält man

0,035 P.

Fb = 35 P.

Beispiel:

P = 70 £

p; = 35.P = 35.70 = 2450 qcm

Eisenquerschnitt :

a = y2450 = 49,5

cm.

fe = 0,01 • Fh =

2450

= 24,5 cm²,

gewählt sind 4 Rundeisen à 28 mm mit fe — 24,6 cm² Eisenquerschnitt (siehe Fig. 24). Die Eisenbeanspruchung ist óed = 15 • 30 == 450 kg/cm².

In folgender Tabelle sind für 6d = 30 kg/cm

f :

und für verschiedene Werte von die Formeln für

F

Fb angegeben.    b

100

Fig. 24.

6d

6e

Fb in qcm

fe in qcm

25

375

28,8

25

375

30,8

25

375

32,5

25

375

34,4

34.7    P 32,5 P

30.8    P 29,1 P

0,35 P 0,49 P 0,62 P 0,73 P

P in

kg

P in Tonnen

P in Tonnen

B, SpannungsTbereclmung.

1st der Querschnitt Fb und die Eiseneinlage fe gegeben, so ergibt sieb aus der Gleichung: der Wert:

6d-FbJrn-öd-fe = I>

6ä =

Fb + »-f.

Beispiel: Auf eine Säule von 40/40 cm Seitenlange und mit 4 Rundeisen von 28 mm (P und 24,6 qcm Eisenquerschnitt wirkt eine zentrische Belastung von 54 t.

Gesucht wird die Beanspruchung.

Es ist:

Fb + n-fe

<3d =

54000

540f 0

1600 + 15-24,6    1600 + 369

54000

1969

Die Eisenbeanspruchung ist :

= ~ 27,5 kg/cm².

<5ed = 15 • 27,5 = 413 kg/cm².

O. Berechnung auf Zerknicken.

Für die Berechnung auf Zerknicken ist die Eulersche Formel vorgeschrieben:

5t² E J sl⁸

JE ist der Elastizitätsmodul des Betons (140000), J ist das Trägheitsmoment des armierten Querschnittes,

s ist der Sicherheitsgrad (10), l ist die Länge der Säule.

10 PP IÖ'140000'

Setzt man 2 in m und P in t ein, so erhält man:

Es ist also

J=

s PP n² E

rsj

<7 =

100 • 100 • 1000

140000

J= - 70 PI².

JPP _ *000 P £2

J= J.Ą- n-f -a².

b '    ' e

Mit Vernachlässigung des eigenen Trägheitsmomentes der Eiseneinlagen ist:

Hierbei ist a der Abstand der Eiseneinlagen von der Schwerpunktsachse.

Für quadratischen Querschnitt von der Seitenlange h ist das Trägheitsmoment:

r __    .

tJb 12

I «»4»

¹ o,\b • — *r. ih.4&

Fig. 25.

Wird der Abstand der Eiseneiulage vom Rande zu 0,1 h angenommen, so ist a = 0,4 h. (Fig. 25.)

Für fe — 0,01 h² ist:

~ + 15 • 0,01 h² • 0,4². h* = ^ (1 -f 12 -15 - 0,01 • 0,16)

= ~ (1 + 0,288) =    = 0,1073 JA

Die zulässige Belastung auf Zerknicken ist:

10-

140000• 0,1073 Ä⁴ 15020 h*

ÏWP    Ï*

P = 34,5 • Fb = 34,5 h².

Die zulässige Belastung auf Druck ist bei 1% Armierung und 6d = 30 kg/qcm

Setzt man beide Werte für P gleich, so erhält man diejenige Länge l, von welcher ab eine Berechnung auf Zerknicken erforderlich wird. Es ist also:

oder

34,5 h² = 15020 'C

15020

7² =

34,5

■Ji²

15020

34,5

l = K]/ l = 20,86 Ti.

= 7* ]/435

Bei stärkerer Armierung als 1% wird die entsprechende Länge l noch größer.

Die Berechnung dieser Grenzwerte l erübrigt sich jedoch, da in den amtlichen Bestimmungen vorgeschrieben ist, daß die Berechnung auf Zerknicken erfolgen soll, wenn die Höhe der Stütze das Achtzehnfache der kleinsten Querschnittsabmessung übersteigt.

In derselben Weise ist die zulässige größte Entfernung der Querverbindungen der Eiseneinlagen zu berechnen. (Fig. 26.)

Vig. 26.

Es ist bei 5 fâcher Sicherheit gegen Ausknicken der Eiseneinlagen:

**EJe 5 • 0²

10-2100000 Je

T*

= 4200000

Die auf das Eisen entfallende Belastung ist

48

YI. Berechnung der Säulen. Setzt man beide Werte gleich, so ist:

oder

15 ■ /; ■ ^ = 420000 J%

420000 Je 1

¹⁵ fe' ⁶d

£² =

für kreisförmigen Querschnitt ist:

Je

_ 7i d* ■ 4

fe    64 -itd²

Mit 6d = 30 kg/cm² erhält man daher: *² =

420000

15 • 16 • 30

0 = d ~j/

4200000

7200

16

= di 583

5 = 24,14 d.

In den amtlichen Bestimmungen ist vorgeschrieben, daß g höchstens den 30fachen Wert des Durchmessers betragen darf, und daß 0 nicht größer werden soll als die kleinste Abmessung der Stütze.

Es empfiehlt sich den Wert 0 nicht zu groß anzunehmen, da eine möglichst enge Lage der Querverbindungen die Bruchlast der Säulen erhöht.

Beispiel. Für die im Abschnitt YI, B berechnete Säule von 40/40 cm Breite und 541 Belastung ist die Berechnung auf Zerknicken durchzuführen, wenn die Säulenlänge 6,00 m beträgt.

Das erforderliche Trägheitsmoment ist:

Jerf= 70PZ² = 70- 54 • 36 = 136000 cm⁴.

Das vorhandene Trägheitsmoment ist bei der Entfernung der Rundeisen von der Säulenachse von 16 cm:

w • °! = w +¹⁵ •⁴ ■⁶’¹⁶ •¹⁶²

= 213300 + 94600 = 307900 ein¹.

Das Trägheitsmoment genügt bei weitem. Das Verhältnis der Säulenlänge zur Querschnittsbreite ist ==» ^ = 15. Der erforderliche Abstand der Querverbindung der Rundeisen ist:

0 = 40 cm.

Die Eisen werden im Abstand von 30 cm durch Querbügel von 6 mm 0 verbunden.

Die Eisenbetonsäulen werden in Verbindung mit den Unterzügen (Plattenbalken) ausgefübrt. Auf die Ausbildung der Anschlüsse der Unterzüge an die Säulen ist besondere Sorgfalt zu verwenden. Den amtlichen Bestimmungen, welche für die Berechnung

der größten Momente in der Mitte der Unterzüge des Wertes der

Momente für freie Auflagerung der Enden vorschreiben, würden nur geringe Stützmomente über den Säulen ent- \ sprechen. Der größeren Sicherheit wegen ist ; jedoch vorgeschrieben, “Ë daß das negative Moment über den ,

Stützen so groß wie das Feldmoment bei beiderseits freier Auflagerung anzunehmen ist.

Fig. 27.

Es ist also bei gleichmäßigverteilter Belastung über den Stützen mit ^ zu rechnen, falls nicht

die genauen Biegungs- und Stützmomente mit Berücksichtigung teilweiser Entlastung der Felder berechnet werden. Da die Zugspannungen über den Stützen oben sind, so tritt bei durchlaufenden Plattenbalken an seine Stelle als rechnungsmäßiger Querschnitt ein Rechteck, nämlich der bis zur Oberkante der Platte verlängerte Balken, der nunmehr an seinev Oberseite Einlagen zu erhalten hat. Dies geschieht durch Aufbiegen der Eisen über der Stütze und Überführen derselben in das benachbarte Feld, außerdem durch Einlegen besonderer Eisen. Der Balken selbst ist an der Unterseite konsolartig zu verstärken, mindestens um die halbe Balkenhöhe. Auch ist ein Teil der unteren Eiseneinlagen in diese Konsole und im Anschluß daran in die Säule abzubiegen, so daß der Balken auch auf der Druckseite Eiseneinlagen erhält. Hierdurch wird die Druckfestigkeit des verhältnismäßig schmalen Balkens gesteigert. (Fig. 27.)

¹

Mörsch, Versuche über die Schubwirkung von Eisenbetonträgern. Deutsche Bauzeitung 1907, S. 2071f.

²

Siehe Vorläufige Leitsätze für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung der Eisenhetonbauten vom Verband deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine und vom Deutschen Beton-Verein.

³

Walter und Weiske. Statische Berechnung der Betonträger mit Eiseneinlagen. S. 35 ff.

Anhang.

1. Auszug aus den Bestimmungen für die Ausführung vou Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907.

I. Allgemeine Vorschriften.

A. Prüfung.

Der Ausführung von Bauwerken oder Bauteilen aus Eisenbeton hat eine besondere baupolizeiliche Prüfung voranzugeben. Zu diesem Zwecke sind bei Nachsuchung der Bauerlaubnis für ein Bauwerk, welches ganz oder zum Teil aus Eisenbeton hergestellt werden soll, Zeichnungen, statische Berechnungen und Beschreibungen beizubringen, aus denen die Gesamtanordnung und alle wichtigen Einzelheiten zu ersehen sind. In der Beschreibung ist der Ursprung und die Beschaffenheit der zum Beton zu verwendenden Baustoffe und ihr Mischungsverhältnis anzugeben.

Es darf nur Portlandzement verwendet werden, der den preußischen Normen entspricht. Die Zeugnisse über die Beschaffenheit müssen Angaben über Raumbeständigkeit, Bindezeit, Mahlfeinheit, sowie über Zug- und Druckfestigkeit enthalten. Zur Herstellung des Betons ist nur scharfer Sand, Kies oder ein sonstiger, erfahrungsgemäß geeigneter Zuschlag von zweckentsprechender Korngröße zu verwenden.

Die Druckfestigkeit, die der zu verwendende Beton in dein vorhergesehenen Mischungsverhältnis nach 28 Tagen erreichen soll, ist in der Beschreibung anzugeben.

Das Verfahren der statischen Berechnung muß mindestens dieselbe Sicherheit gewähren, wie die Berechnung nach den Leitsätzen in Abschnitt II dieser Bestimmungen.

Bei noch unerprobter Bauweise kann die Baupolizeibehörde die Zulassung von dem Ausfälle zuvoriger Probeausführungen und Belastungsversuche abhängig machen.

B. Ausführung.

Die für eine Prüfung bestimmten Betonkörper müssen Würfelform von 30 cm Seitenlange erhalten.

Das Mischen des Betons muß derart erfolgen, daß die Menge der einzelnen Bestandteile dem vorgesehenen Mischungsverhältnis stets •genau entspricht und jederzeit leicht gemessen werden kann. Bei Benutzung von Meßgefäßen ist die Füllung zur Erzielung möglichst gleichmäßig dichter Lagerung in stets gleicher Weise zu bewirken.

Mit besonderer Sorgfalt ist darauf zu achten, daß die Eiseneinlagen die richtige Lage erhalten und dicht mit Zementmörtel umkleidet werden. Die Eiseneinlagen sollen bei Plattenbalken 2 cm, bei Platten 1 cm im mindesten von der Außenkante des Betons entfernt sein.

C. Abnahme.

Bei der Abnahme müssen die Bauteile an verschiedenen von dem abnehmenden Beamten zu bestimmenden Stellen freiliegen, so daß die Art der Ausführung zu erkennen ist. Auch bleibt es Vorbehalten, die einwandfreie Herstellung, den erreichten Erhärtungsgrad und die Tragfähigkeit durch besondere Versuche festzustellen. Bei der Probebelastung von Deckenplatten und Balken ist folgendermaßen zu verfahren. Bei Belastung eines ganzen Deckenfeldes soll, wenn mit g das Eigengewicht und mit p die gleichmäßig verteilte Nutzlast bezeichnet wird, die Auflast den Wert von:

q — 0,5 g + 1,5 p

nicht übersteigen.

Bei höheren Nutzlasten als 1000 kg/qm können Ermäßigungen bis zur einfachen Nutzlast eintreten. Soll nur ein Streifen des

Deckenfeldes zur Probe belastet werden, so ist die Auf last in der Deckenmitte gleichmäßig auf einen Streifen zu verteilen, dessen Länge gleich der Spannweite und dessen Breite ein Drittel der Spannweite, mindestens aber 1 m ist. Die Auflast soll hierbei den Wert: nicht übersteigen.

Bei Probebelastungen von Stützen ist ein ungleichmäßiges Setzen der Bauteile und eine das zulässige Maß überschreitende Belastung des Untergrundes zu verhüten. Probebelastungen sollen erst nach 45tägiger Erhärtung des Betons vorgenommen und auf den nach Ermessen der Baupolizeibehörde unbedingt nötigen Umfang beschränkt werden.

A. Eigengewicht.

Das Gewicht des Betons einschließlich der Eiseneinlagen ist zu 2400 kg für das Kubikmeter anzunehmen, sofern nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird. Bei Decken ist außer dem Gewicht der tragenden Bauteile das Gewicht der zur Bildung des Fußbodens dienenden Baustoffe nach bekannten Einheitssätzen zu ermitteln.

B. Ermittelung der äußeren Kräfte.

Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen sind die Angriffsmomente und Auflagerkräfte je nach der Art der Belastung und Auflagerung den für frei aufliegende oder durchgehende Balken geltenden Regeln gemäß zu berechnen.

Bei frei aufliegenden Platten ist die Freilänge zuzüglich der Deckenstärke, bei durchgehenden Platten die Entfernung zwischen den Mitten der Stützen als Stützweite in die Berechnung einzuführen.

Bei Platten, die über mehrere Felder durchgehen, darf das Biegungsmoment in den Feldmitten zu vier Fünfteln des Wertes angenommen werden, der bei einer auf zwei Stützen frei aufliegenden Platte vorhanden sein würde, falls nicht die wirklich auftretenden Momente und Auflagerkräfte rechnerisch oder durch Versuche nachgewiesen werden.

Dieselbe Regel gilt auch für Balken, Plattenbalken und Unterzüge, jedoch mit der Ausnahme, daß ein Einspannungsmoment au den Enden nicht in Rechnung gestellt werden darf, wenn nicht besondere bauliche Anordnungen zur sicheren Einspannung getroffen werden. Als Stützweite gilt die um eine Auflagerlänge vergrößerte freie Spannweite.

(m = Q 0. Bei Anordnung der Eiseneinlagen ist unter

Uber den Stützen ist dann das negative Biegungsmoment so groß wie das Feldmoment bei beiderseits freier Auflagerung anzunehmen

allen Umständen die Möglichkeit des Auftretens negativer Momente sorgfältig zu berücksichtigen.

Die rechnerische Annahme des Zusammenhanges darf nicht über mehr als drei Felder ausgedehnt werden. Bei Nutzlasten von mehr als 1000 kg/qm ist die Berechnung auch für die ungünstigste Lastverteilung anzustellen. Bei der genaueren Berechnung gelten also die Formeln für den Balken auf 4 Stützen.

Bei Plattenbalken darf die Breite des plattenförmigen Teiles mit nicht mehr als einem Drittel der Balkenlänge in Rechnung gestellt werden, und zwar mit einem Sechstel nach jeder Seite. Die rechnungsmäßig sich ergebende Dicke der Platten und der plattenförmigen Teile der Plattenbalken ist überall auf mindestens 8 cm zu bringen.

Bei Stützen ist auf die Möglichkeit einseitiger Belastung Rücksicht zu nehmen.

C. Ermittelung der inneren Kräfte.

Das Elastizitätsmaß des Eisens ist zu dem Fünfzehnfachen von dem des Betons anzunehmen.

Die Spannungen im Querschnitt des auf Biegung beanspruchten Körpers sind unter der Annahme zu berechnen, daß sich die Ausdehnungen wie die Abstände von der Nullinie verhalten und daß die Eiseneinlagen sämtliche Zugkräfte aufzunehmen vermögen.

Schubspannungen sind nachzuweisen, wenn Form und Ausbildung der Bauteile ihre Unschädlichkeit nicht ohne weiteres erkennen lassen. Sie müssen, wenn zu ihrer Aufnahme keine Mittel in der Anordnung der Bauteile selbst gegeben sind, durch entsprechend gestaltete Eiseneinlagen aufgenommen werden.

Die Eiseneinlagen sind möglichst so zu gestalten, daß die Verschiebung gegen den Beton schon durch ihre Form verhindert wird. Die Haftspannung ist stets rechnerisch nachzuweisen.

Die Berechnung der Stützen auf Knicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das Achtzehnfache der kleinsten Querschnittsabmessung beträgt. Querverbände, welche geeignet sind, die eingelegten Eisenstäbe unveränderlich gegeneinander festzulegen, sind in Abständen von höchstens dem dreißigfachen Betrage des Eisenstabdurchmessers anzubringen. Außerdem soll der Abstand die Länge der kleinsten Querschnittsabmessung nicht überschreiten.

Zur Berechnung der Stützen auf Knicken ist die Eulersche Formel anzuwenden.

D. Zulässige Spannungen.

Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen soll die Druckspannung des Betons den sechsten Teil seiner Bruchfestigkeit, die Zug- und Druckspannung des Eisens den Betrag von 1000 kg/qcm nicht übersteigen.

Dabei sind folgende Belastungswerte anzunehmen:

a)    bei mäßig erschütterten Bauteilen, z. B. Decken von Wohnhäusern, Geschäftshäusern, Warenhäusern: die wirklich vorhandene Eigen- und Nutzlast;

b)    bei Bauteilen, die stärkeren Erschütterungen oder stark wechselnder Belastung ausgesetzt sind, wie z. B. Decken in Versammlungsräumen, Tanzsälen, Fabriken, Lagerhäusern: die wirkliche Eigenlast und die bis zu fünfzig v. H. erhöhte Nutzlast;

c) bei Belastungen mit starken Stößen, wie z. B. bei Kellerdecken unter Durchfahrten und Höfen: die wirkliche Eigenlast und die bis zu hundert v. H. erhöhte Nutzlast.

In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als einem Zehntel seiner Bruchfestigkeit beansprucht werden. Bei Berechnung der Eiseneinlagen auf Knicken ist fünffache Sicherheit nachzuweisen.

Die Schubspannung darf das Maß von 4,5 kg/qcm nicht überschreiten. Wird größere Schubfestigkeit nachgewiesen, so darf die auftretende Spannung nicht über ein Fünftel dieser Festigkeit hinausgehen.

Die Haftspannung darf die zulässige Schubspannung nicht überschreiten.

III. Reclmungsverfaliren.

A. Reine Biegung.

-&■

Fig. 28.

Bei einfacher Eiseneinlage vom Querschnitt fe auf die Plattenoder Balkenbreite b ergibt sich, wenn das Verhältnis der Elastizitätsmaße des Eisens und des Betons mit n bezeichnet wird, der ^ Abstand der Nullinie von der Oberkante aus der Gleichung der statischen Momente der Flächenelemente für die Nullinie.*) (Fig. 28.)

1)

~ = n- fe(h — x).

2)

ÄVi+r

■fe

i

IJ’

Aus der Gleichsetzung der Momente der äußeren und inneren Kräfte folgt dann:

3)

M = <3b ■

worin <5b die größte Betondruckspannung und öe die mittlere Eisenzugspannung bedeutet Hieraus folgt:

4)

Ob =

bx

(*- )’

Ge =

^-1)

*) In den folgenden Formeln ist die Nutzhöhe nicht mit h — a, sondern mit h bezeichnet, so daß der Wert a, d. i. der Abstand der Eiseneinlagen, von der Unterkante aus den Formeln herausfällt.

Bei Tförmigen Querschnitten, sogenannten Plattenbalken, unterscheidet sich die Berechnung nicht von der vorigen, wenn die Nullinie in die Platte selbst oder in die Unterkante der Platte fällt.

-U—, ---

Geht die Nullinie durch den Steg, so können die geringen, im Steg auftretenden Druckspannungen vernachlässigt werden.

Fig. 29.

Dann ist (Fig. 29):

5)

öe= n- --

⁰ x

⁶o + K bä

oder nach Einsetzen der angegebenen Werte von 6₀, 6a und 6e\

bä²

6)

h-n-fe + ^

bä + n-fc

Da der Abstand des Schwerpunktes des Drucktrapezes von der Oberkante:

d Go + 2au x — y = -    —

³    + GU

ist, so wird nach Einsetzen des obigen Wertes von <3U\

ä    ä²

2 ⁺ 6 (2 x--~cl)⁷

7)

y = x-

8)

feOl-X + y)’

9)

<?0

•<v

w (A — x)

Die Schubspannung im Steg wird bei der Stegbreite b₁ und der größten Querkraft V:

10)

ro =

biQi-x + y)

Die Haftspannung am Umfange der geraden (unteren) Rundeisen, deren Gesamtumfang TJ ist, ist:

H)

oder aus der Beziehung

TJ(h-x + y)

fl ___

r₀ Ü(h-x + y)

b₁(h — x-\- y)

12)

Ti — ro ' JJ '

B. Zentrischer Druck.

Ist F der Querschnitt der gedrückten Betonfläche und fe der der gesamten Eiseneinlage, so wird die zulässige Belastung:

13)

14)

F —. 6j> (F + n ■ fe).

F+ n fe

15)

6e=n-6b =

F+n-'fe

C. Exzentrischer Druck.

Die Berechnung erfolgt wie bei homogenem Baustoff, wenn in den Ausdrücken für die Querschnittsfläche und das Trägheitsmoment der Querschnitt der Eiseneinlagen mit seinem n fachen Werte zum Betonquerschnitt hinzugerechnet wird. Auftretende Zugspannungen müssen durch die Eiseneinlagen aufgenommen werden können.

2. Tabelle der Ruudeisen.

Durch

messer

Gewicht

d/mm kg/m

Um- I fang I

m i qcm

Fläche

2 St. 3 St. 4 St. 5 St.

qcm qcm

qcm

qcm

6 St. 7 St. 8 St. 9 St. qcm j qcm qcm qcm

10 St.

qcm

rH CM CO iO

o*' o' cT o*~ cT

►-•OOOO O' CD 'O' to o 05 cc O' ^ Q

rl CO r)i CD 1> CO CD 05 (M vO o' ©~ cT ,-T t-T

CO T—ł

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O O O 1-H (M

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(M 05 H CO 05 O O CM CO »O o' O*' cT O*' o'

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t- co

^ GO (M O 00

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O0 oo W to w tö K o -*a    h—⁴- go ~oi "inO "go

^ O CO <1 05    ^ W K o CO

CO CO O Tji 05 CM CO »O CO o cT o' o' o' o'

0,95

1,13

1,33

1,54

1,76

OOHHHlrlOlfM CO CO

Cf»OQU)CO ÜtWO^Oi WCOO'C50M*dO*d05

lO    lO    T-i    tH    ©    lOOCO<M©

CO_    t-^    »O    Gi    CO    CO CO 05 CO CO

O    TH    tH    tH    (M    (M CO CO TiT »cT

1,13

1,54

2,01

2,54

3,14

H CM ri CO CO ^05 »O i-t Ci tH tH (M CO CO

O O TU o o co co n co »o' ZD CO

O TH tH (M tH !>• CO O CO t-r-T CM' CO CO -rjT

Oi    OS    to    y-k.

Oi    O'    Iji    *sD

O    05    K    co    CO

CO CO (M GO GO CM_ 0_ O (M (M CO Tfl Ç&

CO (M (M h->0 tH. iO O CO »00 t'*

j-4 07 Ol oc to

*oo 'bo *© "go 'bo

O' 05 to rfi- to

5,70

6,79

7,96

9,24

10,60

6,65

7,92

SD —ł

9,29    10,62

10,78 ; 12,32 12,36    14,14

CH 02 O O GO SD CO ~SD ~M- 'ca O 05 O' CO o»

9,50

11,31

13,27

15,39

17,67

© t- OO © © H H H rl 51

co co

o O CO O 00

»O^ I>-^ Ci (M rH tH t-T CM*' ©f

00 © 05

CO Tf o l> CO CO CO 05 (M

»o »o »o »o' srT

TH t-    rfl

0_ (M^ »O^ GO -r-H CM <M~ (M* Cef CO

(M ^ 05 t> CO O^ »O O SD CM ^ rfT \0 %Q ZO

6,03

6,81

7,63

8,51

9,42

2. Talbelle der Rundeisen.

(Fortsetzung.)

Durchmesser !

Gewicht

d/mm kg/m

Umfang

m qcm

Fläche

2 St. 3 St. i 4 St. 5 St.

qcm qcm

qcm qcm

6 St. 7 St. i 8 St. qcm qcm qcm

9 St.

10 St.

qcm

qcm

21

22

23

24

25

(M CvT CO CO CO

CO CD

6,93

7,60

8,31

9,05

9,82

o' tH (N CO

t—i tH rH t—I tH

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

oo    ffl    tu N    cs    » t-    n    o    ®

oi    oi    crq o    os co    co    co    t-

>o    co    co t-5    t-T    t-T ao    ao    of    af

9,74

10,05

10,37

10,68

11,00

11,31

11,62

11,94

12,25

12,57

jo ja cd jx> -n -i ® o oi tu os o cn o'oii'o'os i-L'--a'w

C« 05 Ol iS. Ol    O CS W M.

04    lQ    t-H    t—I    Ttl

CD    ^    CO    (M    H

cT t-T    01    CO    rjT

tH    tH    tH    tH    tH

15,93 21,24 26,55 17,18 22,90 28,63 18,47 24,63 30,79 19,81 26,42 33,02 21,21 28,27 35,34

19,24 i 28,86 38,48 48,11

31,86

34,35

36,94

39,62

42,41

45,29

48,26

51,32

54,48

57,73

52,84

56,30

59,87

63,56

67,35

10,18    20,36    30,54    40,72    50,90    ,    61,07    71,25    81,43    91,61

10,75.    21,50    32,26    43,01    53,76    |    64,51    75,26    86,02    96,77

11,34    22,68    34,02    45,36    56,70    68,04    79,38    90,73    102,07

11,94    23,89    35,48    47,78    j    59,73    71,68    83,62    95,57    107,51

12,56    25,13    37,70    j 50,26    !    62,83 j    75,40    87,96    100,53    113,09

O O 1-H

TH T“( T"!

t-T CO

119,46

125,66

41

42

43

92,42 105,62 118,82 132,03 96,97 110,83 124,68 138,54

44

45

10,280 j 12,88    13,20    26,41    39,61    52,81    66,01    79,22

10,794 j 13,20    13,85    27,71    41,56    55,42    69,27    83,12

11,314 13,51    14,52    29,04    43,56    58,09    72,61    87,13    101,65    116,18    130,70    145,22

11,846 13,82    15,20    30,41    45,61    60,82    76,03    91,23    106,43    121,64    136,84    152,05

12,391 14,14    15,90    31,81    47,71    63,62    79,52    95,42    111,32    127,23    143,13    159,04

49,86

52,05

54,29

56,27

58,90

66,48

69,40

72,38

75,43

78,54

co CO O -H CO CO CO 05 Oi 05

O IO co co t-

T-q -q oi th

99,71

104,09

108,58

113,14

117,81

116,33 132,95

121.44    138,79 126,67 144,77 132,00 150,86

137.44    157,08

149,57

156,14

162,86

169,72

176,71

166,19

173,49

180,96

188,57

196,35

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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Dertag t)on B. <5. tEeubne

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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PEŁSSa

11-351295

Sammlung roiffcnfc^aftItd)=gemelnt)e:

©ebteten 5csXDif[ens in Bäi

3u erfdjöpfenber unö aIIgemein*oerftänbItd)et Belfanblung to erb en in abgefdjloffetten Bönbert auf tDiffenfćfjaftlidjer (Brunblage rufyenbe Dat* I ftellungen wichtiger (Bebiete in plano oller Befdjränhmg aus alien Stóeigen bes TBiffens geboten, bie oon allgemeinem 3ntereffe finb unb bauernben ïlutjen gewähren.

ffieljeftet

ÎÎÏÏarf

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

(Eruierten finb 200 Biinbe aus den »erfc^tebenften (gebieten, u.

Stopfungen ber Ungenieupte^mî ber ïîeujeit. Bon Baurat K. ïïïerdel. 2. Auflage. ÎÏÏit 55 Hbbilbungen.

5üBrt eine Reihe îjeruorragen&er unô intereffanter .Ingenieurbauten nad) iijrer tedwifehen und roirt= fdjaftlichen Bedeutung nor: die ©ebirgsbahnen, die Bergbahnen, und als deren Dorläufer die bedeutenden ©ebirgsftraßen der S<h»ei3 und tlirols, 6 e großen ©tfettbahtroerbtuöungen tu. Afiett, endlich die modernen Kanal. und bjafenbaut

Briber aus ber Sngenieurtetniï. Bon Baurat K. Itter del. mit 43 flbb.

■ J 3eigt in einer Schilderung der Sngenieurbauten der ' Babylonier und Affyrer, der jngenieuriccEjnti der alten Ägypter unter uergleid)stceijer Behandlung der modernen Srrtgationsaniagen dafelbft, der Schöpfungen der anitien griechtfchen Sngenieure, des Städtebaues im Altertum und der rötnifeben tDaffer» teitungsbauten die hohen Stiftungen der ööltet des Altertums.

DeuifdK Baufunft im tlUiielaUev. Bon profeffor Dr. fl. îïïattlfaei. 2. Auf* läge. ÎÏÏit flbbilbungen im aert unb auf 2 Doppeltafeln.

Der Derfaffer will mit der Darftellung der €nt» tötcfluttg der deutfdjcn Baufunft des Rtirtelalters 3ugleich über das tDefen der Baufunft als Kuttft ‘auftlären, indem er 3eigt, tute fict> trn Der tauf der (Entœfcflung die Raumoorftellung tlärt und oertieft, ttfie das teĄntfĄe Können roädjft unö die prafttfdjen Äu,gaben ficî} er» eitern, tote die romantic Kunst gefdjaffen und 3ur ffiotif toetter entroicfelt roird.

Kulturgefäjtdjte bes beutfeften Bauernhaufes. Bon Regierungsbau= meifter a. D. (Etjr. Rand. ÎÏÏit 70 Ab* bilbungen.

s Der Derfaffer führt Öen Sefer fn das Ejaus des ! germanifrben Candroirtcs und 3eigt öeffen (Entœidlung, , in end et fid) dann dem häufe der ftauöinaotfäjen Bauern 3U, um hierauf die (Eittroicflung des öeutfehen Bauernhaufes mährend des Rlittetalters dar3ufte!Ien : uttö mit einer Schilderung der heutigen 5otm des ; öeutfdjen Bauernhaufes 3U fchlicßen.

Das beutfdje ï?ans unb fein ïjaus*

i rat. Bon profeffor Dr. R. îïïeringer.

îïïit 106 flbbilbungen, barunter 85 oon : profeffor fl, oon Sdfroetter.

I Das Buch toill das Sntereffe an dem dsuifdjert haus, ] toie es geworden tft, fördern ; mit 3al)irctchen fünft. lerifd)cn Slluftrationen ausgeftattet, behandelt es nad) dem „fjerdhaus" das oberdeutfdje haus- fährt i dann anfdiaulid] öte (Einrichtung der für ötefes i charafteriftifchen Stube, deren (Einrichtung uor unö behandelt die bjerfunft non Efaus unö haustat.

Bas Huto mobil. «Eine (Einführung in Bau unb Betrieb bes mobernen Kraft, toagens. Bon 3ngenieur Karl Blau, îïïit 83 flbbilbungen.

©ibt fn gedrängter Darftellung und letdjtfäßlbher $orm eilten anfchaulidjeit Überbitd über das ffiefc gebiet des, modernen Automobilismus, fo daß ädt auch der llidjttechnifer mit den ffirunöprtn3tpien \ pertraut machen fann. Behandelt werden das B‘e automobil, das (Elefiroutobilunö das DampfnutomoMl nach ihren Kraftguelicn und fonftigen technischen (Einrichtungen wie Sündung, Kühlung, Bremfett, Stunöiing, Bereifung ufr».    s

Die Sunïcniclegrapifie. Bon, ©ber* poftpraftirant £j. (Elfurn. ÎÏÏit 54 3Au* ftrationen.

Rad) einer Ubcrfidp über die eleftrifheit Dorgänge ,    .    .    _    bei der 5uufentelegrapt)ie und einer eingehenden,

©te Bclsudftungsavten ber (Segen* Darstellung des Spftems Œelefunfen »erden die für roavt. Bon Dr. pllil. IBilbelm Brufd). die perfĄiedenen Anwendungsgebietei erforderlichen mit 155 flCMtagc.

ffitbt einen Überbticf über etn gewaltiges Arbeits» bahnöienft), wobet nach dem neueften Stand non fetö öeutfdter ©edfnif unö lOiffenfdiaft, indem die IDiffenfdiaft und ÎEediuif in jüngfter Seit ausgefuhrte techntfdjcn und toiffenfcbaftlid)''“ -----------— {:l-    »erden. Danach »trö der (tin.

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URrtes für den Derbraucher,    ccresdienjt, für den Wetter,

tungsarien foroohl Ijtnfidjtlidi    Anfdjluß daran öte Regelung

unö (hemifthen ffirunölaocn a    im öeutfdjen und internat»,

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