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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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FREIE PERSPECTIVE.

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FREIE PERSPEKTIVE

IN IHRER

BEGRÜNDUNG UND ANWENDUNG.

VON

GUSTAV AD. V. PESCHKA, o. ö. Professor am k. k. technischen Institute in Brünn, Besitzer des goldenen Verdienstkreuzes mit der Krone, kaiserl. Dampfkessel - Prüfungs - Commissair, Mitglied Wissenschaft!, und gewerbl. Gesellschaften und Vereine etc.

UND

EM. KOÜTNY,

k. k. technischen

Privat - Docent für Perspektive und Schattenlehre Institute in Brünn.

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HANNOVER.

CARL RÜMPLE R.

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KRAKÓW

14360

Vorwort.

Indem wir mit vorliegendem Werke vor die Oeffent-lichkeit treten, können wir nicht umhin zu bemerken, dass das Entstehen desselben in eine Zeit fällt, wo der freien Perspektive noch wenig, oder doch nicht jene Aufmerksamkeit zugewendet wurde, als es gegenwärtig der Fall ist.

In der damaligen Ermangelung eines Lehrbuches über „freie Perspektive“, das ein wohlgeordnetes, leicht-fassliches, systematisches Ganzes bilden und Gründlichkeit mit Wissenschaftlichkeit eben so sehr, als Einfachheit der Darstellung mit Kürze und Strenge in der Behandlung des Stotfes verbinden soll, entschlossen wir uns zur Herausgabe unserer Vorträge über obgenannten Gegenstand. Was dem Einzelnen jedoch allein, überhäufter Berufspflichten wegen, nicht möglich war, dem dürfte durch das gemeinschaftliche Wirken und durch die gleich-massige Arbeit mit vereinten Kräften entsprochen worden sein.

Nur in wenigen Lehrbüchern der darstellenden Geometrie findet die Centralprojektion als selbständige Projektionsart eine solche Behandlung, wie sie derselben gebührt, Werden auch hie und da die Grundsätze derselben angeführt, so trifft man doch äusserst selten ein Werk, welches der weiteren Ausbildung dieser Projektionsart den erwünschten Raum gönnen würde.

Bei der Wichtigkeit dieses Gegenstandes und bei der so interessanten Anwendung, die man in neuester Zeit von der Polarprojektion macht, schien es stets auffallend, dass die Untersuchungen über dieses System, welches in seiner Durchführung ein weit grösseres Interesse als die Parallelprojektion bietet, zu den besonderen Seltenheiten gehörten. Erst in neuester Zeit fand die Centralprojektion einigt Pflege und eine strengere wissenschaftliche Entwickelung, wobei wir namentlich des ausgezeichneten Werkes von Professor Tilscher, „System der malerisch technischen Perspektive“ und einiger wissenschaftlicher Abhandlungen gedenken. Doch eine selbständige von der Parallelprojektion ganz unabhängige Behandlung der perspektivischen Projektion, von dem Punkte angefangen bis zu den krummen Flächen, ist bisher nicht versucht worden. Die Verfasser glaubten daher im Interesse der Wissenschaft zu wirken, wenn sie sich der Aufgabe unterzogen, die „Freie Perspektive“ als selbständige Projektionsart mit jener Ausführlichkeit systematisch zu behandeln, deren sich bisher nur die Parallelprojektion erfreute. Desshalb konnte die Durchschnittsmethode nur vorübergehend eine kurze Besprechung finden, weil die Verfasser den Grundsatz festhielten, dass die Benützung der Parallelprojektion in der Perspektive nur • eine beschränkte sein und nur dort platzgreifen dürfe, wo deren Gebrauch eine bedeutende Vereinfachung der Construktion nach sich zieht.

Der heutige Stand der Wissenschaft erfordert eine streng wissenschaftliche Begründung aller Principien. Es genügt nicht mehr, einem Gegenstände hlos die praktische Seite abzugewinnen und die Theorie als unnütz bei Seite zu lassen. So kann sich auch heutzutage der Vortrag über Perspektive an höheren Unterrichtsanstalten nicht mehr auf die blose Darstellung einiger architektonischer Gegenstände nach receptartig gegebenen Regeln beschränken, sondern es muss die Centralprojektion, wenigstens in ihren wichtigsten Theilen, zur Grundlage genommen werden.

Vorliegendes Werk dürfte somit einerseits als Lehrbuch für Jene, die sich eingehender mit der Perspektive vertraut machen wollen, insbesondere daher auch für Lehramtscandidaten, andererseits aber auch als Leitfaden hei den Vorlesungen an technischen Instituten für den Lehrenden sowohl, als für den Schüler mit Nutzen verwendet werden können.

Um jede Schwierigkeit im Studium der freien Perspektive zu beheben, glaubten wir, dem angestrebten Zwecke entsprechend, verpflichtet zu sein, die Grund-prineipien der Perspektive möglichst vollständig und ausführlich behandeln und selbst specielle Fälle durch Figuren erläutern zu sollen. Hat sich der Anfänger die vorausgeschickten Grundlehren der Perspektive vollkommen eigen gemacht, so wird er mit Leichtigkeit darauf weiter bauen, und gewiss werden ihm bei den darauf folgenden Anwendungen auch nicht die geringsten Schwierigkeiten erwachsen. Dies diene zur Rechtfertigung, wenn wir mitunter sehr ausführlich wurden.

Dass bereits veröffentlichte Arbeiten dort wo es angezeigt schien oder noch möglich war (daś Manuscript unseres Werkes war bereits Ende 1865 in den Händen des Herrn Verlegers) theilweise benützt wurden, ist selbstverständlich, und wurde auch grossentheils auf diese Abhandlungen hingewiesen.

Die Verfasser können nicht umhin, dem Herrn Verleger für die sorgfältige Durchführung und schöne Ausstattung des Werkes, so wie für die besondere Bereitwilligkeit, mit welcher er ihren Wünschen stets entgegenkam, den verbindlichsten Dank auszusprechen.

Indem die Verfasser dieses Werk dem sachverständigen Publikum überliefern, glauben sie umsomehr auf eine freundliche Aufnahme und Beurtheilung desselben hoffen zu dürfen, als bekannt ist, welche Schwierigkeiten hei der Verfassung eines solchen Werkes zu überwinden sind. Dieselben werden allfällige, ihnen giitigst mitge-theilte Ansichten von Fachmännern mit dem grössten Danke entgegennehmen und hei einer späteren Bearbeitung nach Thunlichkeit benützen.

Brünn, im December 1867.

Die Verfasser.

Inhalt,

Erster Abschnitt. Grundzüge der freien Perspektive.

Kapitel I.

Einleitung.

Seite

<U90 cZ» «73 OSO cos «73 SCO «73

Allgemeine Bemerkungen.............

Freie Perspektive, Luft-Perspektive, Polarprojektion . . . Form und Stellung der Bildebene, Gesichtspunkt, Augdistanz Allgemeine Construktionsmetboden. Durchschnittsmethode . Methode der freien Perspektive, Grundbegriffe derselben . .

Vorbereitung der Zeichnungsfläche...........

Verschwindungspunkt einer Linie, Distanzkreis, Distanzpunkt Verschwindungslinie einer Ebene..........

O (N CO 0

t—I rH tH rH

Kapitel II.

Perspektivische Darstellung eines Punktes, einer Geraden und einer

Ebene.

§. 9. Darstellung und Bestimmung eines Punktes mit Zuhilfenahme der

Grundebene ...................

§. 10. Darstellung und Bestimmung einer geraden Linie mit Zuhilfenahme

der Grundebene ...............

§. 11. Darstellung und Bestimmung einer Ebene mit Zuhilfenahme der

Grundebene ...................

§. 12. Darstellung und Bestimmung eines Punktes mittelst einer durch

denselben geführten Geraden.............

§. 13. Darstellung und Bestimmung einer geraden Linie durch Angabe ihres Durchstoss- und Verschwindungspunktes    . .    .

§. 14. Darstellung und Bestimmung einer Ebene durch ihre Bildflächtrace

und Verschwindungslinie..............

§. 15. Gegenseitiger Zusammenhang beider Bestimmungsarten .... 23

19

20

22

23

24

27

Kapitel III.

Vermischte Aufgaben.

§. 16. Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben irgend eine bestimmte Linie ziehen...............

§• 17.

§• 18.

§. 19.

§• 20.

§■ 21.

z/o zoo

zrjj zen zoo

§ 8 52

Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben irgend eine

Ebene legen...................

Es ist eine Gerade gegeben, man soll durch dieselbe eine Ebene

legen.....................

Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben zwei oder

mehrere sich schneidende Linien ziehen.........

Auf einer gegebenen bildflächprojecirenden Geraden soll von einem bestimmten Punkte aus eine gegebene Länge abgeschnitten, und umgekehrt, für eine in zwei Punkten begränzte Gerade soll die wahre Länge des zwischen diesen Punkten enthaltenen Theiles

aufgefunden werden................

Lösung derselben Aufgabe für eine gegen die Bildebene geneigte

Gerade......................

Andere Lösung der vorhergehenden Aufgabe........

Dritte Lösung derselben Aufgabe............

Kapitel IY.

Theorie der Theilungspunkte.

Feststellung des Begriffes der Theilungspunkte.......

Bestimmung der Lage des Theilungspunktes........

Ort des Theilungspunktes für specielle Lagen der zu theilenden Geraden ....................

co co 7?

S oi ^

05 M. GO ^

î>- Oi    CO

O O    CD

Kapitel Y.

Gegenseitige Beziehungen zwischen Punkten, geraden Linien und Ebenen.

§. 27. Es ist der Winkel zu bestimmen, welchen eine in einer gegebenen Ebene liegende Gerade mit der Bildflächtrace dieser Ebene einschliesst

§. 28. Nebenaugpunkt, Nebenauge, Nebenaugdistanz, Nebendistanzpunkt 68 §. 29. Es ist in einer gegebenen Ebene eine Gerade zu ziehen, die mit der Bildflächtrace dieser Ebene einen bestimmten Winkel einschliesst ....................

§. 30. In einer Ebene ist eine Gerade und in ihr ein Punkt gegeben, man soll durch diesen Punkt in derselben Ebene eine zweite Gerade unter einem gegebenen Winkel zu der ersteren ziehen §. 31. Man soll den Neigungswinkel zweier sich schneidender Geraden

bestimmen....................

§. 32. Es ist eine Ebene und in derselben ein Punkt gegeben; die Ebene soll um ihre Trace gedreht, in die Bildfläche umgelegt und die

neue Lage des Punktes bestimmt werden........

§. 33. Es ist ein um die Bildflächtrace seiner Ebene in die Bildebene umgelegtes Polygon gegeben; man soll dessen Perspektive verzeichnen, nachdem die Ebene sammt dem Polygon in die ursprüngliche Lage zurückversetzt ist..........

34.    In einer Ebene ist ein Quadrat zu verzeichnen.......

35.    In einer Ebene ist die Perspektive der einen Seite eines regel

mässigen Polygons gegeben, man soll das Polygon perspektivisch darstelleu...................

67

69

74

75

zoo zoo

83

Seite

§. 36.

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CO CO    CO    vh*    vjH

V/J C/Ż)    oew    C//J    C03

§• 42.

§• 43.

§• 44.

§• 45.

zcn> zG? -4 G?

§• 48.

§• 49.

§• 50.

§• 51.

cCG zp?

Ol Ol

co

§• 54.

§. 55.

Eine Aneinanderreihung gleicher Polygone ist perspektivisch darzustellen ....................

Andere Lösung der vorhergehenden Aufgabe........

Es ist auf eine gegebene Gerade eine senkrechte Ebene zu errichten .....................

Es ist durch eine gegebene Gerade eine Ebene zu legen, die auf

einer anderen Ebene senkrecht steht.........

Es ist durch einen gegebenen Punkt eine Parallele zu einer gegebenen Geraden, und eine Ebene parallel zu einer gegebenen

Ebene zu führen.................

Es ist a) durch einen Punkt und eine Gerade, b) durch zwei parallele Gerade und c) durch zwei sich schneidende Gerade

eine Ebene zu legen...............

Es sind zwei Punkte gegeben, man soll deren Verbindungslinie

bestimmen................ . . .

Es ist durch drei gegebene Punkte eine Ebene zu legen . . . Es ist a) die orthogonale, b) die schiefe und c) die centrale Projektion eines Punktes auf einer gegebenen Ebene zu bestimmen ....................

Es ist der Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene zu

bestimmen.............,.....

Es ist durch einen Punkt eine Gerade unter einem bestimmten

Winkel gegen eine Ebene zu ziehen..........

Es ist eine Linie derart zu ziehen, dass ihre Grundflächprojektion mit der Grundebene und sie selbst mit der Grundflächprojektion einen bestimmten Winkel einschliesst........

Durch einen gegebenen Punkt ist eine Ebene zu legen, die mit der Grundebene den Winkel ng mit der Bildebene den Winkel

m einschliesst..................

Es ist der Neigungswinkel zweier Ebenen zu bestimmen . . . Es ist der Neigungswinkel einer Ebene gegen die Grundebene zu

bestimmen...................

Es ist der Neigungswinkel einer Ebene gegen die Bildfläche zu

bestimmen.................* .

Andere Methode zur Bestimmung des Neigungswinkels zweier Ebenen ....................

89

91

95

96

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100

102

103

103

104

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110

CO CO

vH vH vH vH

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vH

116

§• 56.

Cm c00    Go? ooo

SS

Es ist eine Ebene und in ihr eine Gerade gegeben; man soll durch die letztere eine Ebene legen, welche mit der gegebenen Ebene einen bestimmten Neigungswinkel einschliesst .... 120 Es ist der Abstand zweier paralleler Ebenen zu bestimmen . . 121 Es ist zu einer gegebenen Ebene in einem bestimmten Abstande eine parallele Ebene zu führen Es ist der Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen 123 Es ist der Abstand zweier paralleler Geraden zu bestimmen . . 124

122

OE

§. 61. Es ist durch eine Gerade, parallel zu einer andern, eine Ebene

zu legen....................

§. 62. Es ist der kürzeste Abstand zweier nicht paralleler und nicht in

einer Ebene liegender Geraden zu bestimmen......

§. 63. Es sind drei Punkte und eine Ebene gegeben ; man soll in dieser einen Punkt derart finden, dass er von den drei gegebenen Punkten gleich weit absteht.............

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Kapitel VL

Hilfsconstruktionen bei beschränkter Grösse der Zeichnungsfläche.

§. 64. Zweck der Hilfsconstruktionen..........T . . 1

§. 65. Aliquote Theile der Augdistanz, der Entfernung des Verscliwin-

dungs- und Theilungspunktes vom Aug- und Nebenaugpunkt 1 §. 66. Aufgabe 1. Es ist eine ihrer"Richtung nach bekannte, durch einen gegebenen Punkt gehende Linie darzustellen ....

§. 67. Aufgabe 2. Es ist durch einen Punkt zu einer gegebenen Geraden eine Parallele zu führen............

§. 68. Aufgabe 3. Es ist durch einen gegebenen Punkt eine Linie so zu ziehen, dass sie eine gegebene Gerade schneidet und mit

ihr einen bestimmten Winkel einschliesst........

§. 69. Aufgabe 4. Es ist auf einer gegebenen Geraden ein bestimmtes Längenstück abzuschneiden.............

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CO    CO

r-i    rH

139

141

Kapitel VII.

Perspektivische Massstäbe und Methode der Quadrate.

Construktion der perspektivischen Massstäbe......

Gebrauch perspektivischer Massstäbe........

Die Augdistanz als Einheit des Längenmassstabes .... Methode der Quadrate..............

151

152

155

161

Zweiter Abschnitt.

Durch ebene Flächen bekränzte Körper.

Kapitel VIII.

Die körperliche Ecke.

§. 74. Allgemeine Bemerkungen...............

§. 75. Darstellung und Auflösung einer körperlichen Ecke aus drei gegebenen Kantenwinkeln..............

§. 76. Darstellung der körperlichen Ecke aus zwei Kantenwinkeln und

dem eingeschlossenen Flächenwinkel..........

§. 77. Darstellung der körperlichen Ecke aus zwei Kantenwinkeln und

einem gegenüberliegenden Seitenwinkel.........

§. 78. Darstellung der körperlichen Ecke aus einem Kantenwinkel und den beiden anliegenden Flächenwinkeln

162

163

165

167

Kapitel IX.

Perspektivische Darstellung von Körpern, die von ebenen Flächen begränzt sind.

Seite

170

§. 79. Die Pyramide...................

§. 80. Das Prisma....................

§. 81. Es ist ein Würfel darzustellen, wenn dessen Kantenlänge gegeben ist.....................

§. 82 a. Es ist ein Würfel, dessen Basis in einer beliebigen Ebene liegt,

aus seiner Kantenlänge zu verzeichnen, und.......

§. 82 b. wenn derselbe mit einer Kante auf einer horizontalen Ebene

aufruht....................

§. 83. Es ist das Bild eines Würfels mit vertikal stehender Axe zu verzeichnen ................... .

§. 84. Es i$t das Bild eines Tetraeders zu construiren, wenn dasselbe

mit einer Seitenfläche auf einer horizontalen Ebene aufruht . 178 §. 85. Es ist ein Tetraeder perspektivisch so darzustellen, dass eine seiner Kanten in einer Horizontalebene liegt, und die beiden in derselben zusammenstossenden Flächen eine gleiche Neigung gegen die Horizontalebene haben.........

86.    Es    ist    ein    Oktaeder mit vertikal stehender Axe    darzustellen . .    180

87.    Es    ist    ein    Oktaeder,    mit einer Seitenfläche in    einer Horizontal

ebene liegend, zu verzeichnen............

§. 88. Es ist ein Dodekaeder darzustellen, wenn eine seiner Begrän-

zungsflächen horizontal ist.............

§. 89. Es ist ein Dodekaeder darzustellen, wenn eine Kante desselben horizontal und. parallel zur Bildebene ist und „die . in ihr zusammenstossenden Seitenflächen eine gleiche Neigung gegen die Horizontalebene besitzen............

90.    Es    ist    ein    Ikosaeder    mit vertikaler Axe zu verzeichnen ....

91.    Es    ist    ein    Ikosaeder    zu verzeichnen, wenn eine    Kante horizontal

und parallel zur Bildebene ist und die beiden in ihr zusammenstossenden Flächen eine gleiche Neigung gegen die Horizontalebene haben ................

171

172

173

176

177

179

ZJT/O ZOO

zoo zoo

Kapitel X.

Ebener und gegenseitiger Schnitt von durch ebene Flächen be-gränzten Körpern.

A. Ebener Schnitt.

181

182

185

188

190

zoo zoo zoo zoo zoo zoo

ZD ZD ZD ZD    ZD

-4 05 Ü* 03 *0

Allgemeine Bemerkungen.......

Ebener Schnitt einer Pyramide (Methode 1) Ebener Schnitt einer Pyramide (Methode 2) Schnitt eines Prisma durch eine Ebene Ebener Schnitt eines Prisma (Methode 2) . Ebener Schnitt eines Oktaeders.....

193

194

200

Seite

B. Gegenseitiger Schnitt.

x ci d h C: Cï O O O

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cch crjn cài c(/d c fh

§. 103.

§• 104. §. 105.

Allgemeine Bemerkungen..............

Durchschnitt einer Geraden mit einer Pyramide......

Durchschnitt einer Geraden mit einem Prisma.......

Wahl der Hilfsehene................

Durchschnitt zweier Pyramiden, deren Basen in einer Ebene

liegen.....................

Durchschnitt zweier Pyramiden, deren Basen in verschiedenen

Ebenen liegen..................

Durchschnitt zweier Prismen.............

Schnitt einer Pyramide mit einem Prisma . .......

203

204

205

205

206

207

209

210

Dritter Abschnitt.

Kapitel XL

Krumme Linien.

§. 106. Allgemeine Bemerkungen...............

§. 107. Verzeichnung der Perspektive eines Kreises........

§. 108. Auffindung eines Paares conjugirter Durchmesser der Perspektive eines Kreises................

§. 109. Durchmesser der Perspektive eines Kegelschnittes.....

§. 110. Senkrechte Axen der Kreisperspektive......... .

§. 111. Die Ellipse................... .

§. 112. Senkrechte Axen der Perspektive einer Ellipse......

§. 113. Die Hyperbel ... :...............

§. 114. Die Parabel...................

§. 115. Die Schraubenlinie.................

cM CO

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CM Ol

221

224

231

232

234

236

239

243

Vierter Abschnitt. Krumme Flächen.

Kapitel XII.

Perspektivische Darstellung krummer Flächen und Tangirungsebenen

an dieselben.

247

§. 116. Allgemeine Bemerkungen.......

§. 117. Darstellung der Kegel- und Cylinderflächen

§. 118. Umdrehungsflächen . ........

§. 119. Tangirungsebene durch einen Punkt der Oberfläche eines Kegels 251 §. 120. Tangirungsebene einer Cylinderfläche durch einen Punkt ihrer

Oberfläche................... .

§. 121. Tangirungsebene an eine Kegelfläche durch einen ausserhalb

derselben gelegenen Punkt.............

§. 122. Perspektivischer Umriss eines Rotationscylinders......

. 248

249

251

252

Seite

§. 123. Tangirungsebene eines Kegels, parallel zu einer gegebenen Geraden ......................

§. 124. Tangirungsebenen an eine Cylinderfläclie parallel zu einer gegebenen Geraden .................

§. 125. Contourbestimmung eines Rotationskegels.........

§. 126. Contourbestimmung der Rotationsflächen mit Zuhilfenahme berührender Kegel.................

§. 127. Contourbestimmung der Rotationsflächen mittelst umhüllender

Cylinderflächen..................

§. 128. Die Kugel....................

§. 129. Das Ellipsoid ...................

§. 130. Das Hyperboloid..................

§. 131. Das Paraboloid..................

§. 132. Umdrehungsflächen mit zur Bildebene geneigten Axen . . . . §. 133. Tangirungsebenen an Rotationsflächen durch einen Punkt ihrer

Oberfläche ...................

§. 134. Tangirungsebenen an Rotationsflächen durch einen ausserhalb

liegenden Punkt.................

§. 135. Tangirungsebenen an Rotationsflächen parallel zu einer gegebenen Geraden....................

258

264

267

271

278

282

285

290

291

294

Kapitel XIII.

Schnitte krummer Flächen mit Ebenen.

§. 136. Allgemeine Bemerkungen...............

§. 137. Schnitt einer Cylinderfläclie mit einer Ebene.......

§. 138. Ebener Schnitt eines Kegels.............

§. 139. Hyperbelschnitt eines Kegels.............

§. 140. Axenbestimmung der Schnittcurve eines senkrechten Kegels mit

einer Ebene...................

§. 141. Schnitt einer Umdrehungsfläche durch eine Ebene.....

§. 142. Ebener Schnitt einer Kugel..............

§. 143. Bestimmung der Perspektive eines Punktes der Oberfläche eines Rotationskörpers.................

299

300

302

304

307

309

313

315

§• IM.

ccc c th ccn>

Kapitel XIV.

Darstellung windschiefer Flächen.

Es ist die Fläche darzustellen, welche entsteht, wenn sich eine gerade Linie so fortbewegt, dass sie drei gegebene, sich nicht schneidende und nicht parallele Gerade schneidet .... 319

Das hyperbolische Paraboloid......

Die windschiefe Schraubenfläche.....

Das einer Kugel umschriebene schiefe Conoid

322

323

325

Kapitel XY.

Gegenseitiger Schnitt krummer Flächen.

§. 148. Allgemeine Bemerkungen . §. 149. Schnitt zweier Kegelflächen

327

Seite

§. 150. Schnitt einer Kegelfläche mit einem Cylinder

§. 151. Schnitt zweier Cylinder........

§. 152. Verzeichnung der Grathe eines Kreuzgewölbes §. 153. Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einer Cylinderfläche . 339 §. 154. Durchschnitt zweier Ümdrehungsflächen §. 155. Durchschnitt einer windschiefen Fläche mit einem Cylinder . . 343

Kapitel XVI.

Verschiedene Aufgaben.

§. 156. Es ist durch eine Gerade eine Ebene zu legen, die mit der Grundebene einen bestimmten Winkel einschliesst . .

§. 157. Es ist durch eine Gerade eine Ebene so zu legen, dass sie mit

einer gegebenen Ebene einen bestimmten Winkel einschliesst 348 §. 158. Es ist eine Gerade so zu verzeichnen, dass sie durch einen gegebenen Punkt geht und mit der Grundebene den Winkel x, mit der Bildfläche hingegen den Winkel y einschliesst . . . 351

330

332

336

341

. . 345

Fünfter Abschnitt.

Kapitel XVII.

Schattenconstruktionen.

§. 159. Allgemeine Bemerkungen.....

§. 160. Schatten eines senkrechten Prismas .

§. 161. Schatten eines Oktaeders.....

§. 162. Schatten einer vertikalen Mauerfläche

§. 163. Schatten einer Stiege......

§. 164. Schatten in das liniere eines parallelopipedischen Gefässes .    . 362    -

§. 165. Schatten in das Innere einer prismatischen und gedeckten Mauernische .....................

§. 166. Schatten in das Innere eines mit Fenster- und Thüröffnungen

versehenen Baumes................

§. 167. Schatten eines vertikalen Cylinders...........

§. 168.    Schatten zweier vertikaler, concentrisch befestigter Cylinder    .    .

§. 169.    Schatten einer prismatischen Platte auf einem horizontalen    Cylinder .....................

§. 170. Schatten in das Innere eines mit einem vollen Tonnengewölbe

überdeckten Ganges................

§. 171. Schatten eines schiefen, hohlen und nach vorn zu offenen

Cylinders..............'.....

§. 172.    Schatten einer Pyramide...............

§. 173.    Schatten eines Kegels................

§. 174.    Schatten einer horizontalen Platte auf einer Kegelfläche .    .    .    376

§. 175.    Schatten in das Innere eines halben, senkrechten Kegels .    .    .    378

§. 176. Selbst- und Schlagschatten von Umdrehungsflächen §. 177. Selbst- und Schlagschatten einer Kugelfläche . .

§. 178. Selbstschatten eines einmanteligen Hyperboloides .

354

356

358

359

360

363

366

367

368

369

370

372

374

374

379

. . 380

Seite

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Schatten im Innern einer hohlen Halbkugel Schatten im Innern einer Nische ....

Schatten im Innern eines halben Ellipsoides Schatten im Innern eines oben offenen, halben Rotationskörpers 394 Schatten einer horizontalen Platte auf einer Umdrehungsfläche 396

386

388

390

A n li a n g.

Perspektivische Darstellung architektonischer Gegenstände.

Allgemeine Bemerkungen.................

Horizontslinie, Augpunkt, Augdistanz............

Theilung von Linien ...................

Kreisperspektive....................

Kugelperspektive....................

Bemerkungen über die Verzeichnung des perspektivischen Grundrisses . 408 Höhenbestimmung einzelner Punkte

399

399

400

404

407

411

Darstellung verschiedener Objekte.

Stiegen........................

Darstellung einer halbkreisförmigen Spindelstiege.........

Gesimse........................

Gewölbe . .......................

Darstellung eines mit einem halbkreisförmigen Tonnengewölbe überdeckten, durch Gurten getheilten Ganges..........

Darstellung einer -Anzahl hintereinander gelegener Kreuzgewölbe . . . 427 Säulen

414

418

421

424

425

430

—¹----ooO§§Ooo-

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ERSTER ABSCHNITT.

(irnndziige der freien Perspektive.

Kapitel I.

Einleitung.

§■ l.

Allgemeine Bemerkungen.

Wenn die Lichttheilchen, welche ein Körper, wenn er selbst-leuchtend ist, unmittelbar aussendet, oder welche mittelbar, wenn er ein erleuchteter und matter Körper ist, von seiner Oberfläche nach allen Richtungen reflectirt werden, in das Auge gelangen, so wird uns derselbe sichtbar werden. In Anbetracht der Richtung ist erfahrungsgemäss sichergestellt, dass jedes dieser Lichttheilchen, so lange es in einerlei Mittel bleibt, und auf kein Hinderniss stösst, wodurch es absorbirt oder zurückgeworfen wird, sich beständig in gerader Linie fortbewegt. Diese Gerade nennt man einen Lichtstrahl.

Ein Sehstrahl hingegen ist eine ideale Gerade, welche man sich von dem Auge des Beobachters nach einem Punkte des betrachteten Gegenstandes gezogen denkt. Es heisst hier ausdrücklich von dem Auge des Beobachters, weil man in der Geometrie angewiesen ist, sich auf einen einzigen Augpunkt zu beschränken. In den gewöhnlichen Fällen sind auch die von unseren beiden Sehorganen empfangenen und dem Gehirn mit-getheilten Eindrücke ganz dieselben und bringen daher in unserer Seele auch nur eine und dieselbe Empfindung hervor, so zwar, dass wir die Vorstellung von nur einem einzigen Objecte erhalten. Eine Ausnahme hiervon tritt in dem Falle ein, wo wir dem Körper allzu nahe sind, als dass ein deutliches Sehen möglich wäre. Die deutliche Sehweite beträgt für kleine Gegenstände gewöhnlich 8 bis 12 Zoll. Bringt man einen sehr kleinen Gegenstand in eine Entfernung von etwa einem Zoll vor die Augen, so

Peschka u. Koutny, Perspektive.

sieht man ihn doppelt, weil alsdann die beiden Augenaxen sehr schief und entgegengesezt gerichtet sind, also die beiden Eindrücke nicht mehr in einen einzigen verfliessen können. Auf einer convexen Fläche, welche etwa 6 bis 10 Fuss entfernt ist, nimmt man allerdings mit beiden Augen einige Punkte wahr, welche man mit blos einem Auge nicht mehr sehen würde; doch sind diese Verschiedenheiten kaum merkbar, und gehören nur zu den unvermeidlichen Ursachen, welche es uns möglich machen, ein Gemälde auf einer ebenen Fläche von einem Gegenstände im Raume zu unterscheiden.

Eine Folge dieser angeführten Prinzipien ist, dass man von einem fixen Punkte O (Fig. 1), nie die ganze Oberfläche eines

Fig. 1.

gezogen,

isolirt gestellten Körpers K wahrnehmen , und selbst dann nicht übersehen kann, wenn dieselbe in allen ihren Theilen durch mehrere Lichtquellen erleuchtet wäre. Denkt man sich nämlich aus 0 alle Sehstrahlen oder Gesichtslinien OA, OB, OC welche Tangenten an diese Körper-Oberfläche sind, so bilden sie vereint im Allgemeinen einen Kegel, welcher den Körper gleichsam in seiner Leitlinie ABC DE berührt, jenseits welcher aber jeder Punkt der Oberfläche, wie F\ unsichtbar sein wird, weil alle von F ausgehenden Lichtstrahlen nicht anders zu dem in 0 befindlichen Auge gelangen könnten, als indem sie den, als undurchsichtig vorausgesetzten Körper durchdringen würden. Diese Linie AB CD F, welche sich gewöhnlich mit dem Punkte 0 ändert, heisst der scheinbare oder sichtbare Umriss, und ist nichts anderes, als die Reihe der Punkte, die man erhält, wenn man eine im Allgemeinen unbegrenzte Gerade, welche beständig durch 0 geht, sich so bewegen lässt, dass sie in jeder ihrer Lagen die äussere Umhüllung des Körpers streift, ohne sie je zu durchdringen.

Wichtig erscheint hier auch die Bemerkung, dass man zwar die Richtung, in welcher der von einem bestimmten Punkte eines Gegenstandes ausgehende Lichtstrahl ins Auge gelangt, so wie den Winkel, unter welchem eine der Dimensionen dieses Gegenstandes erscheint, d. i. den Sehwinkel, richtig angeben kann; dass man aber weder die Entfernung, in welcher der Gegenstand

sich befindet, noch die absolute Grösse desselben ohne weiteres zu bestimmen vermag.

Fig. 2.

Erscheint nämlich die Gerade AB, (Fig. 2) irgend eines Gegenstandes dem in 0 befindlichen Auge unter dem Sehwinkel A OB, so würde auch A‘B‘, für welche der Sehwinkel A‘ 0 B‘ =

-A

AOB ist, im Auge das nämliche Bild erzeugen.

Q’

Diese Behauptung scheint mit der Erfahrung im Widerspruche zu stehen, da wir bei gewöhnlichen Sehweiten über die Entfernung und Form der Körper ziemlich richtig zu urtheilen vermögen, wenn uns dieselben auch unter demselben Gesichtswinkel erscheinen; doch ist hierbei nicht zu vergessen, dass unser diessfälliges Urtheil durch die Vergleichung mit anderen benachbarten Gegenständen geleitet wird, deren Grösse oder Entfernung uns durch unmittelbares Betasten oder durch wirkliche Messung bekannt sind.

Als Richtschnur bei dieser Beurtheilung dient mitunter auch der Umstand, dass ein Körper einen anderen theilweise unsichtbar macht, oder dass er seinen Schatten auf ihn wirft, was zur richtigen Bestimmung ihrer gegenseitigen Lage genügt, oder, dass uns eine dunkle oder eine glänzende Kante sichtbar wird, was auf den Vorsprung einer ersten Grenzfläche vor einer zweiten deutet etc. Für geringe Entfernungen hat man einen Anzeiger in der Muskelanstrengung, welche man machen muss, um beide Augenaxen auf denselben Punkt des betrachteten Gegenstandes zu lenken ; je nachdem diese Anstrengung grösser oder kleiner ist, scldiesst man auf eine grössere oder geringere Nähe jenes Punktes. Handelt es sich aber um grössere Distanzen, so wird die Veränderung des Winkels jener beiden Axen ganz unmerklich, und kann somit nicht mehr als Anzeiger der Entfernungen dienen. Bei Gegenständen, die auf weitem Felde umher zerstreut liegen, beurtheilt man die Entfernung nach der grösseren oder geringeren Intensität des Lichtes, welches sie zurückwerfen; oder man zählt gleichsam in gewisser Art alle zwischenliegenden Gegenstände, um die Entfernung von dem, welcher insbesondere betrachtet wird, darnach bemessen zu können.

Hieraus ist ersichtlich, dass die Urtheile, welche man unter Anleitung des Gesichts allein über Entfernungen fällt, viel von gewissen beiläufigen Kenntnissen bedingt seien, die nur durch eine lange Gewohnheit erworben werden konnten. Das Sehen muss gelernt werden; und ein Blindgeborener, der durch die Operation des Staarstiches den Gebrauch seiner Augen erhält, wird anfänglich sehr falsch über die Entfernungen der ihn umgebenden Gegenstände urtheileri.

Zur Bestätigung des eben Gesagten wird die Erwägung genügen, dass auch der Sehendgeborene in ähnliche Irrthümer verfällt, wenn ihm die Anwendung der oben angeführten Verglei-chungsmittel unmöglich gemacht ist. Die Fixsterne und die Planeten erscheinen, obgleich ihre Entfernungen ungeheuer verschieden sind, alle auf einer und derselben Kugelfläche liegend, eben weil es an intermediären Punkten fehlt, nach denen man die Verschiedenheit jener Entfernungen beurtheilen könnte. Ebenso wird man auf offenem Meere die Entfernungen sehr schlecht abschätzen, und auf ähnliche Weise auch dann unrichtig urtheilen, wenn man, statt mit freiem Auge, mittelst eines einfachen cylin-clrisehen Rohres ohne Gläser, durch welches man nur einen Gegenstand auf Einmal wahrnehmen kann, in die Weite sieht. Bei grossen perspektivischen Gemälden, die man Panoramas nennt, wähnt man in grosser Distanz von den Gegenständen zu sein, welche sich in einer Nähe von wenigen Klaftern befinden. Diese Täuschung nun, der man sich unmöglich erwehren kann, rührt hauptsächlich daher, dass der Zuschauer aufs sorgfältigste isolirt und seinen Blicken alles verborgen wird, was in unmittelbarer Berührung mit dem Gemälde selbst ist; diese Täuschung verschwindet jedoch augenblicklich, sobald man die Umfassung wahrnimmt, oder Gegenstände erblickt, die, zwischen dem Beschauer und dem Gemälde liegend, dem ersteren die empfangenen Eindrücke berichtigen helfen.

§. 2.

Freie Perspektive, Luft-Perspektive, Polarprojektion.

Auf Grund der Erfahrung und all der angeführten Beobachtungen, welche die Richtigkeit des oben Bemerkten unterstützen, lässt sich der allgemein gütige Satz folgern, dass ein leuchtender oder ein erleuchteter Punkt an jeder Stelle eines und desselben Sehstrahles den nämlichen Eindruck auf das Auge hervorbringt.

bis werden daher auch Linien, welche zwischen denselben

§. 2. Freie Perspektive, Luft-Perspektive, Polarprojektion.

Sehstrahlen enthalten sind, die nämlichen Bilder im Auge erzeugen, so zwar, dass es scheinen wird, als hätten sie die nämliche Grösse und Lage, wenigstens dann, wenn man von den umliegenden Körpern und von der Abnahme der Lichtstärke, die durch grössere, zwischen dem Beobachter und den betrachteten Gegenständen liegende Luftmassen bewirkt wird, gänzlich absieht.

Denkt man sich daher von dem Punkte aus, in welchem sich das Auge des Beobachters befindet, nach allen sichtbaren und bemerkenswerthen Punkten eines Gegenstandes die einzelnen Sehstrahlen gezogen, von welchen die äussersten dem sichtbaren Umrisse angehören, und stellt zwischen das Auge und den betrachteten Gegenstand irgend eine Fläche, welche man die Bildfläche nennt, sucht sodann die Durchschnitte der einzelnen Sehstrahlen mit derselben auf, so bildet die Reihe der in dieser Weise erhaltenen Punkte eine Figur, welche eine getreue Darstellung, gleichsam das Abbild des betrachteten Gegenstandes liefert.

Die Lichtstrahlen, welche die verschiedenen Punkte der Fläche nach dem Auge des Beobachters senden, bilden Unter sich die nämlichen Winkel, wie die von den entsprechenden Punkten des betrachteten Gegenstandes ausgehenden Strahlen, daher auch die ersteren im Auge die nämlichen Bilder erzeugen werden, welche von den anderen erzeugt worden wären, und obwohl die absoluten Entfernungen verschieden sind, so wird es das Auge doch nicht empfinden, und besonders dann nicht bemerken, wenn man in den einzelnen Durchschnittspunkten der Fläche mit den Sehstrahlen die nämlichen Farben- uud Lichtabstufungen anordnet, wie sie auf den ihnen entsprechenden Theilen des Gegenstandes sich vorfänden.

Die Wissenschaft nun, welche derlei Abbilder der verschiedenen Gegenstände, die man Perspektiven nennt, herzustellen oder zu construiren lehrt, trägt den Namen „Perspektive“ und zwar: Freie oder Linear-Perspektive, wenn sie bloss auf die Umrisse der darzustellenden Körper Rücksicht nimmt, hingegen Lu ft-Perspektive, wenn sie auch Farbe und Beleuchtung in ihren Kreis zieht.

Betrachtet man die Umrisse allein, was, wie eben bemerkt, Gegenstand der Freien oder Linear-Perspektive ist, so hat man das, was gewöhnlich unter perspektivischer Zeichnung verstanden wird, und was nichts anderes ist, als die polare Projektion des betrachteten Gegenstandes auf der angenommenen Fläche, voraus-

gesetzt, dass man das Auge des Beschauers für einen physischen Punkt, d. i. für den Pol gelten lässt, und dass man die Lichtstrahlen schlechtweg für gerade, d. i. für projecirende Linien annimmt. Es ist somit auch die Identität der perspektivischen Zeichnung und der polaren Projektion leicht einzusehen.

§• 3.

Form lind Stellung der Bildeibene, Gesichtspunkt, Augdistanz.

Wir haben jetzt, wie dieses gewöhnlich vorausgesetzt wird, angenommen, die Bildfläche befinde sich zwischen dem Auge und dem Gegenstände, weil alsdann der Kegel der nach den verschiedenen Punkten des Gegenstandes zu ziehenden Sehstrahlen zwischen seiner Spitze und Leitlinie von der Bildfläche geschnitten wird, also eine Perspektive erzeugt, deren allgemeine Dimensionen kleiner sind, als die des Gegenstandes selbst, ein Umstand, welcher für die Darstellung der uns umgebenden Körper, deren natürliche Dimensionen gewöhnlich die Grösse der Bildfläche überragen, von grossem Vortheile ist. Uebrigens können die später anzuführenden Grundsätze für das Verzeichnen der Perspektiven gleich gut auf eine Bildfläche angewendet werden, welche hinter dem Gegenstände aufgestellt ist, oder welche denselben schneidet; nur werden in diesem Falle die Dimensionen der vor der Bildfläche liegenden Theile des Gegenstandes in der Perspektive sich grösser darstellen. Zugleich sei hier bemerkt, dass es nicht gleichgiltig ist, welche Form und Stellung die Bildfläche besitzt, wenn die darauf entworfene Perspektive einen günstigen Eindruck hervorbringen soll, und dass man in den gewöhnlichen Fällen, wo nicht besondere Zwecke zu Grunde liegen, eine ebene und vertikale Fläche als Bildfläche annimmt.

Nicht aber allein die Form und Stellung der Bildfläche, sondern auch die Wahl des Punktes, in welchen man sich das Auge des Beobachters versetzt denkt und welchen man den Gesichtspunkt oder das Auge nennt, üben einen Einfluss auf den Effekt, den eine perspektivische Zeichnung hervorbringen soll.

Man muss diesen Punkt so annehmen, dass man voraussetzen darf, der Beobachter wird denselben für sein Auge wählen.

Gewöhnlich ist es am schicklichsten, den für das Auge bestimmten Punkt auf der Senkrechten anzunehmen, welche man auf die Mitte der Bildebene errichtet, weil dieses die natürliche Stellung ist, welche der Zuschauer einnehmen kann, um die

Perspektive zu betrachten. Man kann jedoch diesen Punkt auch tiefer wählen, je nach der Höhe, in welcher die Bildebene über dem Boden sich befinden soll, und nach der Beschaffenheit des darzustellenden Gegenstandes. Bei architektonischen Gegenständen hat man sich das Auge in einer Höhe von etwa sechs Fuss über dem Boden, auf welchem der Gegenstand aufstellt, zu denken, und darnach die Lage des Gesichtspunktes in Bezug auf die Bildebene anzunehmen. Manchmal kann der Gesichtspunkt mehr rechts oder links gerückt werden, wenn ein wichtiger Grund dafür spricht; wenn z. B. die Hauptsache des darzustellenden Gegenstandes sich nahe am Seitenrahmen befindet.

Was die Entfernung des Gesichtspunktes von der Bildebene betrifft, so hängt dieselbe natürlich von der Art des darzustellenden Gegenstandes, so wie von der Beschaffenheit der einzelnen Theile ab.

Hamit jedoch ein recht deutliches Sehen stattfinden und der Beobachter die ganze Fläche der Bildebene, ohne den Kopf zu wenden, übersehen könne, muss der Gesichtspunkt in allen Fällen so weit entfernt von der Bildfläche angenommen werden , dass die Sehstrahlen die Bildebene nicht unter einem Winkel treffen, der kleiner als 45° ist. Wir haben nämlich die Gewohnheit, uns den Gegenständen, welche wir betrachten wollen, beinahe völlig zuzuwenden. Diess ist nothwendig, wenn auf der Netzhaut unseres Auges ein deutliches Bild entstehen und das Sehen uns durch die Anstrengung, welche eine sehr schiefe Axen-richtung der Augen erfordert, nicht beschwerlich werden soll. Wenn daher unsere Blicke sehr schief auf eine perspektivische Zeichnung fallen, so wird dieselbe uns fehlerhaft erscheinen, obgleich sie ganz regelrecht gezeichnet sein kann, die Dimensionen derjenigen Geraden, die nicht parallel mit der Bildebene sind, werden uns übermässig gross Vorkommen, obgleich sie ganz genau den gehörigen Gesichtswinkeln entsprechen; alles darum, weil wir nicht gewohnt sind, die Körper auf solche Weise zu betrachten, und weil unser Auge die Länge einer Geraden, welche fast parallel mit der Augenaxe ist, nicht gut zu beurtheilen vermag. Man muss daher eine Wahl vermeiden, die auf solche Resultate führen würde.

Aus den hier angeführten Gründen nimmt man die senkrechte Entfernung des Gesichtspunktes von der Bildebene, welche man die Augdistanz nennt, beiläufig gleich der ganzen grössten Ausdehnung derselben an.

Eine grössere Entfernung gewährt im Allgemeinen eine bessere Wirkung als eine kleinere, indem letztere leicht nach den Seiten hin für das Auge unangenehme Verziehungen mit sich bringt.

Mitunter jedoch führt man auch perspektivische Zeichnungen aus, für welche der Gesichtspunkt eine solche Lage hat, dass die Sehstrahlen sehr schief auf die Bildebene fallen; man nennt sie verzerrte Perspektiven. Denn ein Beobachter, welcher sich einer solchen Tafel gewohnterweise gerade gegenüberstellt, wird auf derselben nichts als unregelmässige oder unförmliche Umrisse erblicken, welche das dargestellte Bild unkenntlich machen; stellt er sich aber so, dass sein Auge den rechten Gesichtspunkt einnimmt, (was allenfalls durch eine kleine Oeffnung, die in einer Seitenwand angebracht ist, und ihm die umliegenden Körper verbirgt, jedoch die Perspektive sehen lässt, bewirkt werden kann), so wird er ganz anders urtheilen und oft mit Ueberraschung einen anmuthigen Gegenstand gewahren.

§• 4.

Allgemeine Construktionsmethoden; Diirclisclmittsmethode.

Nach dem Vorhergehenden ist klar, dass die Construktion eines perspektivischen Bildes darauf hinausläuft, die Durchschnittspunkte eines Systems von Geraden, nämlich der Sehstrahlen, mit einer Fläche zu finden. Bei der Bestimmung dieser Durchschnittspunkte, d. i. der einzelnen Punkte einer perspektivischen Zeichnung, kann man folgende zwei Methoden benützen:

1. Die sogenannte Durchschnittsmethode und 2. die Methode der freien Perspektive. Bei Anwendung der Durchschnittsmethode muss der perspektivisch darzustellende Gegenstand durch seine Projektionen auf eine horizontale und vertikale Projektionsebene bestimmt sein. Man hat alsdann nur die Bildfläche und den Gesichtspunkt auf dieselben Projektionsebenen zu beziehen, und die einzelnen Durchschnittspunkte der Sehstrahlen mit der Bildfläche nach den dafür geltenden Kegeln zu ermitteln.

Es sei z. B. Fig. 3, abc....S ein in seinen beiden Projektionen dargestellter Körper, A"A' das Auge und OPQ die Bildebene, so verbinde man, dem eben Gesagten zufolge, die einzelnen Punkte mit dem Auge durch gerade Linien, und suche deren Durchschnitte mit der Bildebene.

Hier wurden die vier Eckpunkte ab cd der unteren Basis, der höchste Punkt $, so wie jener Punkt /Sj gewählt, in welchem

Fig. 3.

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W.

Fig. 4.

die Kanten der vierseitigen Pyramide kl....qr zusammenstossen. Die Durchschnitte der den einzelnen Punkten entsprechenden Sehstrahlen (für oben genannte Punkte sonach rr, 2'2", 3'3", 4'4", 5'5",

6' 6",) sind nun zweckmässig in die Bildfläche zu übertragen.

_, _»__Ai.

Vi

jy

Legt man durch A eine horizontale Ebene, deren vertikale Trace h A" Ay" ist, und eine vertikale, auf der Bildfläche senkrecht stehende Ebene, deren Horizontaltrace A'A{ ist, und denkt sich die Bildfläche nach Fig. 4 übertragen, so können IIII,

VV als die Schnitte dieser Ebenen mit der Bildfläche angenommen werden.

Es ist nun am zweckmässigsten, zum Uebertragen der einzelnen Durchstosspunkte von Fig. 3 nach Fig. 4 sich dieser beiden zuletzt gezogenen Geraden als Coordinatenaxen zu bedienen. Von A₁ auf HH nach rechts und links sind sonach die Entfernungen der horizontalen Projektionen der Durchschnittspunkte von der horizontalen Projektion des Punktes A₁ nach gleicher Richtung aufzutragen, in den einzelnen Punkten Perpendikel zu errichten und auf diesen die Abstände der vertikalen Projektionen der Durchstosspunkte von der vertikalen Projektion A{' des Punktes A₁ abzuschneiden. Es wurde sonach für die früher bezeichneten Punkte A{ F = A₁1, A₁'2'=A₁2 u. s. w. gemacht, in 1, 2, 3 HH errichtet, und die Perspektiven der einzelnen Punkte so bestimmt, dass man Ï'A/' = 11, 2"A/' — 2 II u. s. w. auftrug. Die so gefundenen Punkte in der Weise, wie es in den Projektionen der Fall ist, mit einander verbunden, geben das Bild dieses Körpers, wobei zu berücksichtigen ist, dass nur solche Punkte desselben sichtbar sein können, deren Sehstrahl ungehindert die Bildebene trifft und ins Auge gelangt, ohne zuvor durch den Körper dringen zu müssen, was aus den Projektionen leicht zu ersehen ist.

Senkrechte auf

Es ist am besten, dieser Methode sich dann zu bedienen, wenn der darzustellende Gegenstand von komplizirten krummen Flächen begrenzt ist. Bei dieser Methode kann selbst die Bildfläche eine beliebige Form haben.

§• 5.

Methode der freien Perspektive, Grundbegriffe derselben.

Diese verlangt nicht mehr, dass der perspektivisch darzustellende Gegenstand zuerst durch die Projektionen bestimmt werde; setzt aber immer eine Ebene als Bildfläche voraus.

Die Durchschnittspunkte der Sehstrahlen mit der Bildfläche oder Tafel werden hier indirekt mit Zuhilfenahme der sogenannten Verschwindungspunkte, der Thei 1 ungspunkte und der perspektivischen Maasstäbe aufgefunden. Diese Methode wird Gegenstand unserer Betrachtungen sein.

Mit der Bildfläche (Fig. 5), die wir als eine vertikale Ebene voraussetzen, denkt man sich eine zweite horizontale Ebene, die sogenannte Grundriss- oder Grundebene in Verbindung, auf welcher entweder der perspektivisch darzustellende Gegen-

§. 5. Methode der freien Perspektive, Grundbegriffe derselben.

11

stand aufruhend gedacht, oder in Bezug auf welche, in Verbindung mit der Bildebene, die Lage dieses Gegenstandes angegeben wird.

Es sei nun, in Fig. 5, BE die Bildebene und GE die Grundebene, so heisst man die gemeinschaftliche Durchschnittslinie derselben G G die G r u n d 1 i n i e.

Fig. 5.

He,

[H

Be

mJ/

"Ge

Der Punkt 0, in welchem man sich das Auge des Beobachters denkt und welcher der Gesichtspunkt heisst, wird auf die Grund-und Bildebene bezogen und zwar nennt man die orthogonale Projektion S des Punktes 0 auf die Grundebene GE den Stand-oder Fusspunkt, und den Abstand OS dieses Punktes von der Grundebene die Aughöhe; ferner heisst die orthogonale Projektion A des Punktes 0 auf die Bildebene der Haupt- oder Äugpunkt und der Abstand AO dieses Punktes von der Bildebene die Augclistanz oder kurz Distanz. Man pflegt auch die Gerade OA, hinsichtlich ihrer Lage und Richtung, den Haupt-strahi oder die Gesiclitsaxe zu nennen.

Denkt man sich durch den Gesichtspunkt 0 eine horizontale Ebene HE gelegt, so heisst diese die Horizontal ebene, und ihr Durchschnitt mit der Bildebene HH die Horizontlinie;

und logt man durch 0 eine Ebene, die sowohl auf der Grundais auch auf der Bildebene senkrecht steht, also eine vertikale Ebene VE, so heisst diese die Vertikalebene; ihren Durchschnitt V V mit der Bildebene nennt man die V e r t i k a 11 i n i e.

Dem Durchschnittspunkte M der Grundlinie mit der Vertikallinie pflegt man den Namen Grundpunkt beizulegen. Dieser kann als der Anfangspunkt eines Coordinatensystems betrachtet werden, dessen Coordinatenebenen die Bild-, Grund- und Vertikalebene bilden.

Wenn wir nun den Abstand eines Punktes von der Vertikalebene Ve dessen Breite, von der Bildebene BE dessen Länge, und von der Grundebene GE dessen Höhe nennen, so ist klar, dass durch die Angabe dreier solcher Stücke ein jeder Punkt bestimmt sein wird.

Die hier gebrauchten Bezeichnungen werden wir auch in der Folge beibehalten.

§. 6.

e) es kann p jenseits, d. i. hinter Ev, fallen (Fi

§• 26.

b) Es ist ein Quadrat zu verzeichnen, wenn die Perspektive 1 2 (Eig. 102) der einen Seite desselben, in einer Ebene Eh Ev liegend gegeben ist.

Es sind zwei Punkte gegeben, man soll die Verbindungslinie dieser beiden Punkte bestimmen.

§• 61.

0,

Es ist eine körperliche Ecke perspektivisch darzustellen und aufzulösen, wenn ein Kantenwinkel und die anliegenden Flächenwinkel gegeben sind.

Es ist die Perspektive eines Ikosaeders in einer solchen Stellung zu verzeichnen, dass die Verbindungslinie von zwei gegenüberliegenden Eckpunkten vertikal wird.

§. 102.

Die Längen der letzteren perspektivisch nach 111 u

§. 122.

Bemerkung. Es ist ersichtlich, dass insbesondere f

Kapitel XIII.

Kapitel XIV.

Es ist der Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einer Cylinderfläche zu bestimmen.

Eine Stiege mit zur Bildfläche parallelen Stufen ist zu beiden Seiten von stufenförmig aufsteigenden Mauern begränzt; man bestimme den Selbst- und Schlagschatten des Objektes.

§• 176.

Perspektivische Darstellung architektonischer Gegenstände.

Es ist eine halbkreisförmige Spindelstiege perspektivisch darzustellen.

§. 6.

Vorbereitung¹ der ZeicJmuiigsfliicIie.

Das Auge muss die auf der Bildebene dargestellten perspektivischen Zeichnungen in einer bestimmten Entfernung betrachten, wenn diese denselben Eindruck, wie die entsprechenden Gegenstände im Raume bewirken sollen; wir müssen sie also auf die Zeichnungsfläche so bringen, wie sie auf der Bildfläche erschienen, also die Zeichnungsfläche selbst als Bildfläche betrachten.

Dieses thuen wir auch, wenn wir die Perspektive irgend eines

Fig. 6.

*o

Gegenstandes zu zeichnen haben, und ziehen demnach in der Zeichnungsfläche vor Allem eine hori-— zontale und eine vertikale Linie, die erste als Grundlinie G G, g die zweite als Vertikallinie VV betrachtend, wodurch wir zugleich in ihrem Durchschnittspunkte den Grundpunkt M erhalten. Nun tragen wir die Aughöhe auf der Vertikallinie von M nach A auf, wodurch in A der Augpunkt bestimmt ist. Durch A ziehen wir eine horizontale, also eine mit G G parallele Linie und erhalten die Horizontallinie HH.

Da sich nun das Auge im Raume befindet, und man selbes

bei der Konstruktion benöthigt, so kann man mit demselben um die Horizontallinie HH eine Drehung vornehmen, und es um diese Linie in die Bildebene umlegen. Es sei nun 0 dieser Punkt, in welchen das umgelegte Auge oder der umgelegte Gesichtspunkt, welchen man auch den Hülfspunkt zu nennen pflegt, zu liegen kommt, so ist klar, dass man denselben erhält, wenn man die Augdistanz auf der Vertikallinie vom Punkte A aufträgt.

§• 7.

Verschwindungspunkt einer Linie, Distanzkreis, Distanzpunkt.

Es sei in der nebenstehenden Fig. 7, L eine unbegrenzte gerade Linie, hinter BE gelegen, und 0 der Gesichtspunkt oder das Auge.

Fig. 7.

Bc

>><

nt

Denkt man sich von 0 aus eine mit L parallele Gerade gezogen, so ist diese nichts anderes als der Sehstrahl eines in unendlicher Entfernung auf der Linie L gelegenen Punktes. Sucht man nun den Durchschnittspunkt v dieser parallelen Geraden, oder dieses Sehstrahles mit Be auf, so heisst dieser der Yerschwindungspunkt der Linie L.

Einige Schriftsteller nennen diesen Punkt v den Fluchtpunkt, auch Begegnungs- oder Vertiefungspunkt.

Der Verschwindungspunkt ist also die Perspektive eines in unendlicher Entfernung hinter der Bildebene gelegenen Punktes einer geraden Linie. Derselbe wird demnach erhalten, wenn man durch den Gesichtspunkt einen mit der Geraden parallelen Sehstrahl zieht und dessen Durchschnittspunkt mit der Bildebene aufsucht.

Diesen mit einer geraden Linie L parallelen Sehstrahl Ov wollen wir den Parali eis trahi der Linie L nennen. Aus der hier angeführten allgemeinen Bestimmungsweise des jeweiligen Verschwindungspunktes geht hervor, dass:

1) Linien, die parallel zu einander sind, einen gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt haben. Pis werden demnach auch

die Perspektiven solcher Linien einen gemeinschaftlichen Punkt besitzen, oder in einem Punkte zusammenlaufen.

2)    Horizontale Linien, also auch alle Linien, die in der Grundebene liegen, ihren Verschwindungspunkt in der Horizontlinie haben.

3)    Linien, die in der Vertikalebene liegen, oder zu derselben parallel sind, kurz Linien, welche in Ebenen liegen, die senkrecht zur Grundlinie stehen, in der Vertikallinie verschwinden.

4)    Linien, die senkrecht zur Bildebene stehen, den Augpunkt zum Verseil windungspunkte haben.

5)    Linien, die parallel zur Bildebene liegen, daher auch Linien, die senkrecht zur Grundebene stehen oder in der Bildebene selbst gelegen sind, ihren Verschwindungspunkt in unendlicher Entfernung haben. Sind demnach derlei Linien unter einander parallel, so müssen es auch ihre Perspektiven zu einander sein; und

6)    Linien, die mit der Bildebene einen und denselben Neigungswinkel a einschliessen, ihre Verschwindungspunkte in der Peripherie eines Kreises haben, dessen Mittelpunkt der Augpunkt und dessen Halbmesser die Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist, welches zur anderen Kathete die Augdistanz hat, und sich

aus

Fig. 8.

dieser letzteren Kathete und dem derselben gegenüberliegenden Neigungswinkel a construiren lässt.

-■■O

L'

hKV-

Denn sind (Fig. 8) L, L', L" .... derlei Linien, die sämmt-lich mit der Bildebene den Neigungswinkel a bilden, so brauchen wir bloss von dem Gesichtspunkte 0 die zugehörigen Parallelstrahlen zu ziehen und ihre Durchschnittspunkte mit der Bildebene aufzusuchen, um die entsprechenden Verschwindungspunkte v, u, v".... zu erhalten. Verbinden wir nun diese Verschwindungspunkte

mit dem Augpunkte, so bilden diese Verbindungslinien vA, v'A, v"A ... . nichts anderes als die Projektionen der einzelnen Parallel-stralilen auf die Bildebene, demnach sind die Winkel OvA, Ov'A, Ov' A.... die Neigungswinkel derselben gegen die Bildebene, welche beziehungsweise mit jenen der Linie Z, Z', L".... übereinstimmen, und somit auch sämmtlich einander gleich und gleich a sein müssen. Es werden demnach die rechtwinkligen Dreiecke OAv, OAv\ OAv" .... alle untereinander kongruent, und somit auch die Abstände der einzelnen Verscliwindungspunkte von dem Augpunkte, wie Av, Av', Av".... sämmtlich unter einander gleich sein, woraus sich also das oben Ausgesprochene ergibt, dass nämlich die Verscliwindungspunkte der mit der Bildebene gleiche Neigungswinkel bildenden Linien, in der Peripherie eines Kreises v, v, v".... liegen müssen, dessen Mittelpunkt der Augpunkt und dessen Halbmesser die eine Kathete eines rechtwinklichen Dreieckes ist, das sich aus der anderen, der Augendistanz gleichen Kathete, und dem derselben gegenüberliegenden Neigungswinkel ot konstruiren lässt.

Diesen Kreis nun, in dessen Peripherie die Verschwindungs-punkte der Linien von gleicher Neigung liegen und dessen Halbmesser von diesem Neigungswinkel abhängig ist, wollen wir den Verschwindungskreis nennen.

Fig. 9.

Nimmt man den Neigungswinkel a (Fig. 9J der Linien Z, Z', Z" .... gleich 45° an; so übergehen die rechtwinkligen Dreiecke OAu, 0Av\ 04/,.., zugleich in gleichschenklige, so dass alsdann der Halbmesser des ihnen entsprechenden Verschwindungskreises gleich der Aug-distanz sein wird. Einen solchen Ver- / schwindungskreis nennen wir den Di - Hi stanzkreis und einen jeden Punkt desselben den Distanzpunkt.

4.V

Die wichtigsten Punkte des Distanzkreises sind diejenigen Distanzpunkte, welche in der Horizontal- und Vertikallinie liegen, weil erstere die Verscliwindungspunkte von horizontalen und letztere von jenen Linien sind, welche in vertikalen Ebenen liegen, und mit der Bildebene einen Winkel von 45° einschliessen.

§. 8.

Y er schwill «lungslinie einer Ebene.

Sei E eine die Bildfläche in der Linie Eb (Fig. 10) schneidende Ebene, folglich Eb die Trace derselben auf der Bildfläche, oder kurz ihre Bildflächtrace. Betrachten wir nun die in dieser Ebene gelegenen Linien L, L. L"...so werden offenbar die denselben zugehörigen, von 0 ausgehenden Parallelstrahlen sämmtlich in einer Ebene gelegen sein, welche durch den Gesichtspunkt hindurchgeht und parallel zur Ebene E ist. Demnach werden die einzelnen Verschwindungspunkte r, v\ v" .... der angenommenen

Fig. 10.

Geraden in der Durchschnittslinie Ev dieser parallelen Ebene mit der Bildfläche liegen müssen.

H,

l'

\L" A

Diese Durchschnittslinie Ev, welche, wie leicht einzusehen, mit der Bildflächtrace Eh parallel sein muss, enthält also die Ver-schwindungspunkte sämmtlicher in der

Ebene E gelegener

Linien und heisst die Verschwindungslinie der Ebene.

Einige nennen sie Fluchtlinie, auch Begegnungs- oder Vertiefungslinie.

Man erhält also die V er sch windungs linie einer Ebene, wenn man zu derselben durch den Gesichtspunkt eine parallele Ebene legt und ihren Durchschnitt mit der Bildebene auf sucht.

Diese mit E parallele Ebene wollen wir die Parallelebene der Ebene E nennen.

Aus dem obigen allgemeinen, zur Bestimmung der Ver-schwindungslinie einer Ebene dienenden Verfahren ergiebt sich :

1)    Untereinander parallele Ebenen haben eine gemeinschaftliche Verschwindungslinie.

2)    Für horizontale Ebenen, somit auch für die Grundebene, ist die Horizontallinie die Verschwindungslinie.

3)    Für die Vertikalebene und für Ebenen, die zu derselben parallel sind, kurz für die auf der Grundlinie senkrecht stehenden Ebenen, ist die Vertikallinie die Verschwindungslinie.

4)    Für Ebenen, die senkrecht zur Bildebene stehen, bildet eine durch den Augpunkt hindurchgehende Linie die Verschwindungslinie. Die Bichtung derselben bestimmt, wie bereits- oben bemerkt, die Bildflächtrace.

5)    Für Ebenen, die zur Bildebene parallel sind, liegt die Verschwindungslinie in unendlicher Entfernung.

6)    Ebenen, die bloss zur Grundlinie parallel laufen, haben eine zur Horizontlinie parallele Verschwindungslinie.

7)    Ebenen, die bloss auf der Grundebene senkrecht stehen, haben eine zur Vertikallinie parallele Verschwindungslinie.

8)    Die Verschwindungslinien von Ebenen, die alle eine und dieselbe Neigung gegen die Bildebene besitzen, sind Tangenten an den Verschwindungskreis jener Linien, welche die gleiche Neigung gegen die’ Bildebene haben.

Fig. 11.

v.

AV

\c

Denn ist E (Fig. 11) eine unter dem Winkel a gegen die Bildfläche geneigte Ebene, und Eh ihre Bildflächtrace, so ist klar, dass wenn man dieselbe und die Bildebene durch eine auf Et senkrechte Ebene schneidet, die so erhaltenen Durchschnittslinien L und L", wovon die zweite zugleich die Projektion der ersteren auf der Bildfläche ist, y den Neigungswinkel / a der Ebene E gegen die Bildebene bil- / den, welcher gleichzeitig der Neigungswinkel der Geraden L ist. Es hat somit die Ebene E und die Linie L eine gleiche Neigung gegen die Bildfläche.

Zieht man nun durch 0 den Parallelstrahl zu i, so liefert der Durchschnitt desselben den Verschwindungspunkt u, durch welchen die Verschwindungslinie Ev der Ebene E hindurchgehen

Peschka u. Koutny, Perspektive.

muss. Verbindet man nun v mit A, so muss Av als Projektion von Ov parallel zu L' sein, und somit, da L' senkrecht auf Ei ist, Av senkrecht zu Ev sein. Da nun Av der Halbmesser des Verseilwindungskreises aller unter oc gegen die Bildebene geneigten Linien ist, so folgt, dass Ev Tangente an diesen Ver-schwindungskreis sein muss.

Was hier für die Verschwindungslinie Ev der Ebene E gezeigt wurde, hat auch für die Verschwindungslinie jeder anderen unter dem Winkel a gegen die Bildfläche geneigten Ebene seine Richtigkeit, somit das oben Ausgesprochene bewiesen.

Das Gesagte lässt sich auch folgends darthun: Legt man durch den Punkt 0 Ebenen, die mit der Bildebene den Winkel a bilden, folglich als Parallelebenen aller Ebenen, die mit der Bildfläche den Winkel a einschliessen, angesehen werden können, so besitzen auch diese Ebenen eine gleiche Neigung (90 — a) gegen die Gerade OA. Die einhüllende Fläche aller dieser Parallelebenen ist sonach ein auf der Bildfläche senkrechter Kegel von kreisförmiger Basis, dessen Axe OA ist und dessen Durchschnitt mit der Bildebene sonach wieder ein Kreis sein muss. Der Halbmesser desselben ergibt sich als die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete A 0 und der dieser anliegende Winkel (90 — a) ist.

Bemerkung. Wir haben bereits auf die Identität einer perspektivischen Zeichnung und der centralen Projektion eines Gegenstandes hingewiesen; jedoch ist eigentlich die letztere eine allgemeinere Darstellung als die erstere, da die centralen Projektionen der vor der Bildebene und hinter dem Gesichtspunkte gelegenen Theile eines Körpers, nicht mehr als perspektivische Zeichnungen anzusehen sind. Die hier folgenden Grundsätze werden aber nicht nur auf perspektivische Zeichnungen, sondern auch auf centrale Projektionen eines Körpers Anwendung finden.

Kapitel II.

Perspektivische Darstellung eines Punktes, einer geraden Linie und einer Ebene.

§. 9.

Darstellung und Bestimmung eines Punktes mit Zuhilfenahme der

Urundehene.

Ist P (Fig. 12) ein Punkt im Raume, und P' dessen orthogonale Projektion auf der Grundebene, die wir kurz Grund-eben- oder Grundflächprojektion von P nennen, so wird derselbe perspektivisch dargestellt sein, wenn man von dem Gesichtspunkte 0 den ihm zugehörigen Sehstrahl OP zieht und dessen Durchschnittspunkt p mit der Bildebene BE aufsucht.

Um diesen Durchschnittspunkt zu erhalten, bedenke man, dass derselbe ausser in dem Sehstrahle OP auch in der Durchschnittslinie der denselben zur Grundebene projecirenden Ebene mit der Bildfläche gelegen sein muss. Verbindet man demnach G mit P', so ist dieses offenbar die Trace dieser projecirenden Ebene, und die in m anf die Grundlinie errichtete Senkrechte mp die Durchschnittslinie derselben mit der Bildebene. Es wird daher der Durchschnitt des Sehstrahles OP mit dieser Senkrechten, d. i. der Punkt p, die perspek- / tivische Darstellung oder die Perspektive des Punktes P vorstellen.

Auf diese Art ist zwar der Punkt P perspektivisch dargestellt, jedoch noch keineswegs bestimmt, weil bei gegebener Perspektive p der dieselbe liefernde Punkt P noch an jeder willkürlichen Stelle des Strahles Op angenommen werden kann.

Fig. 12.

L.

.....

M.

... :s.

Bestimmen wir nun noch clie Perspektive von P¹, so wird diese ausser in dem Sehstrahle OF auch in der im Punkte m auf die Grundlinie errichteten Senkrechten, also in p liegen müssen, da die projecirende Ebene des Sehstrahles OP auch OP' in sich enthält, woraus zu ersehen, dass die Perspektive und die Perspektive der Grundflächprojektion eines Punktes in einer und derselben auf der Grundlinie senk redit stehenden Geraden sich vorfinden.

Ferner wird der Punkt P durch seine Perspektive p und durch die Perspektive der Grundflächprojektion p' vollkommen bestimmt sein, da man den die Perspektive p liefernden Punkt auf dem Strahle Op nur dort annehmen kann, wo die in P' auf die Grundebene errichtete Senkrechte denselben schneidet. Der Punkt P' ergiebt sich als Durchschnitt des Sehstrahles Op' mit der Grundebene.

Liegt ein Punkt in der Bildebene, so hat er seine Perspektive der Grundflächprojektion in der Grundlinie; liegt er dagegen in der Grundebene, so fällt dessen Perspektive mit der Perspektive der Grundflächprojektion zusammen.

Aus dem bis jetzt Gesagten folgt nun:

„Ein Punkt wird perspektivisch dargestellt und bestimmt sein, wenn man dessen Perspektive und die Perspektive seiner Grund fl äch-projektion kennt.“

§. 10.

Darstellung' und Bestimmung einer geraden Linie mit Zuhilfenahme der

(Jrundebene.

Es sei L (Eig. 13) eine Gerade und II ihre Grundeben- oder Grundflächprojektion; ferner 7, 77, III... mehrere Punkte derselben, die beziehungsweise ihre Grundflächprojektion in 7', 77', IIP... haben. Bestimmen wir nun auf bekannte Art die Perspektiven 1,2,3... und die Perspektiven 1 ',2', 3'... der Grundflächprojektionen dieser einzelnen Punkte, so liefert offenbar die Verbindungslinie der Perspektiven 7, 2, 3..., d. i. I, die Perspektive der Geraden L, und die Verbindungslinie der Perspektiven der Grundflächprojektionen P, 2', 3'..., d. i. V, die Perspektive der Grundflächprojektion der Geraden L, wodurch diese Gerade nicht nur per- __ spektivisch dargestellt, sondern auch bestimmt erscheint.

Da nun aber die Sehstrahlen 07, 077, 0777... und OP,

OIV, 0111'... in Ebenen liegen, die durch 0 und beziehungsweise durch L und L hindurchgehen, so ist klar, dass man l und V auch erhält, wenn man durch den Gesichtspunkt 0 und

Fig. 13.

nr,

Be

n.

v>

l>

- ->o

t£

2>

M,

L'

beziehungsweise durch die Gerade L und ihre Grundflächprojektion L Ebenen, welche perspektivisch projecirende Ebenen heissen, hindurchlegt, und ihre Durchschnitte mit der Bildebene aufsucht.

Aus dem eben Gesagten ergibt sich also, dass die Perspektive und die Perspektive der Grundflächprojektion einer Geraden wieder gerade Linien sein müssen, und dass man daher, wenn es sich um die perspektivische Darstellung und Bestimmung einer Geraden handelt, bloss von zwei in derselben angenommenen Punkten die Perspektiven und die Perspektiven ihrer Grundflächprojektion anzugeben und zu verbinden bat, um die Perspektive und die Perspektive der Grundflächprojektion der vorgegebenen Geraden zu erhalten.

Liegt eine Gerade in der Bildebene, so hat sie die Perspektive ihrer Grundflächprojektion in der Grundlinie; liegt sie dagegen in der Grundebene, so fällt ihre Perspektive mit der Perspektive der Grundflächprojektion zusammen.

Eine . Gerade wird daher perspektivisch dargestellt und bestimmt sein, wenn man ihre Perspektive und die Perspektive ihrer Grundflächprojektion k e n n t.

§• 11.

Darstellung- lind Bestimmung' einer Eibene mit Zuhilfenahme der Grrundehene.

Die Ebene E (Fig. 14) habe Eh und Eg beziehungsweise als Bild- und Grundflächtrace, so wird dieselbe dar ge stellt und bestimmt sein, wenn ausser der Bild fläch trace Eh

Fig. 14.

ßc

V/

_p

G_

■ii

Et

'Gc

noch die Perspektive E'g der Grundflächtrace angegeben wird; denn alsdann kennt man zwei Linien, welche die Ebene E bestimmen.

Obwohl man, wie leicht einzusehen ist, alle möglichen Ebenen, mit Ausnahme derjenigen, die durch die Grundlinie hindurchgehen, in dieser Art bestimmen könnte, so wird es doch im Allgemeinen besser sein, nicht nur die durch die Grundlinie hindurchgehenden Ebenen, sondern auch alle zu derselben parallelen Ebenen, nur durch die Bildflächtrace (die im ersteren Falle die Grundlinie vorstellt), und durch einen derselben angeh origen Punkt zu bestimmen.

Die hier angeführte Bestimmungsart erfordert die Grundebene, man ist jedoch im Stande, Punkte, Linien und Ebenen auch ohne Anwendung der Grundebene zu bestimmen, welche Bestimmungsweise in Folgendem entwickelt werden wird.

§• 12.

Darstellung und Bestimmung' eines Punktes mittelst einer durch denselben geführten Geraden.

Es sei P (Fig. 15) ein Punkt im Raume und L irgend eine durch denselben hindurchgehende, die Bildebene in d schneidende

Fig. 15.

b₍

vP

_G

v.

Ci

S.

Csb

Linie; so ist klar, dass die Perspektive p von P in der Perspektive l von L liegen muss. Bestimmen wir nun auf bekannte Art den Verschwindungspunkt v der Linie X, so liefert offenbar die Verbindungslinie dv die Perspektive Z, welche p in sich enthält.

Es lässt sich nun leicht darthun, dass durch p und durch den Durchschnitts- und Verschwindungspunkt, d. i. d und v, der Linie X, der Punkt P vollkommen bestimmt ist ; denn der die Perspektive p liefernde Punkt muss in dem durch 0 und p gezogenen Sehstrahl sowohl, als auch in der durch d parallel mit Ov geführten Geraden L liegen, wesshalb er, als Durchschnittspunkt dieser beiden Geraden, durch dieselben vollkommen bestimmt ist.

Es ist demnach ein Punkt, ohne Benützung der Grundebene, perspektivisch dargestellt und bestimmt, wenn ausser seiner Perspektive, noch der Verschwindungspunkt und der Durphstosspunkt einer durch den zu bestimmenden Punkt gehenden Geraden mit der Bildebene gegeben ist.

Bemerkung 1. Wird die den Punkt bestimmende Gerade

senkrecht auf die Bildfläche gewählt, so fällt ihr Verschwind ungs-punkt mit dem Augpunkte zusammen, und es wird sodann ihr Durchstosspunkt mit der Bildfläche die orthogonale Projektion des Punktes auf der Bildebene sein.

Hieraus folgt, dass ein Punkt durch seine Perspektive und durch seine orthogonale Projektion auf der Bildebene bestimmt erscheint.

Bemerkung 2. Auf gleiche Weise kann man die in §. 12 gegebene allgemeine Bestimmungsweise dem frühem analog dahin aussprechen, dass der Punkt durch seine Perspektive und durch die schiefe Projektion desselben auf der Bildebene bestimmt ist. Denn es ist (Fig. 15) d nichts anderes als der Fusspunkt der projecirenden Geraden, deren Richtung durch den Parallelstrahl Ov gegeben ist.

§• 13.

Darstellung' und Bestimmung einer geraden Linie durch Angabe ihres Durchstoss- und Yerschwindungspunktes.

Ist L (Fig. 16) eine die Bildebene in d durchschneidende Linie, so braucht man nur den Verseil windungspunkt v derselben zu ermitteln, um so, durch die Verbindung der Punkte d und v, die Perspektive l der Geraden L zu erhalten. Hierdurch wird aber diese Gerade nicht nur dargestellt, sondern auch bestimmt erscheinen, da sie durch d parallel zu dem durch v bestimmten Parallelstrahle gehen muss.

Fig. 16.

Hieraus folgt, dass zur Bestimmung einer Geraden ausser der Perspektive derselben die Punkte d und v nothwendig sind.

Da aber Linien, die mit der Bildfläche parallel sind, weder die Bildfläche schneiden, noch einen V ersch windungspunkt haben, so pflegt man zur Bestimmung derselben (ausser der Richtung der Perspektive) noch einen ihnen angehörigen Punkt darzustellen und zu bestimmen, was jedenfalls hinreichend ist, indem solche

Linien mit. ihren Perspektiven parallel laufen müssen. (Siehe Fig. 17.)

Es wurde hier vorausgesetzt, die Linie L erstrecke sich hinter der Bildebene ins Unendliche, da u, wie bekannt, die Perspektive eines in unendlicher Entfernung hinter der Bildebene auf der Geraden L gelegenen Punktes bezeichnet.

Hat man aber begränzte Linien darzustellen und

Fig. 17.

d.

%>

L.

L,

l/\

d:

ri

•-O

vlY'

zu bestimmen, so hat man bloss auf der durch d und v begränzten Perspektive die Perspektiven der Gränzpunkte anzugeben. Wäre demnach unsere Linie L (Eig. 16) in / und II begränzt, so hätte man noch die Perspektiven 1 und 2 zu bestimmen.

Wie die Yerschwindungspunkte der zu bestimmenden Geraden bei specieller Lage derselben angenommen werden sollen, ist bereits im §. 7 ausführlich behandelt worden.

Bemerkung 1. Für Linien, die verlängert durch den Gesichtspunkt gehen, ist die Perspektive ein Punkt, mit welchem ihr Durchschnittspunkt mit der Bildebene, ihr Ver-schwindungspunkt und die Perspektive eines jeden ihrer Punkte zusammenfallen.

Fig. 18.

BC

Derlei

1,

'da

begränzte Linien würden also auf die obige Weise nicht bestimmt werden können. Wollte man sie aber dennoch fixiren und hiebei die Grundebene nicht benützen, so könnte man die Gränzpunkte derselben in der Art darstellen und bestimmen, wie es früher, §. 12, bei einem Punkte zur Sprache gebracht wurde.

UL

II

■Uj/ l₂

-:S

Ist also L (Fig. 18) eine solche Gerade, welche in den Punkten 1 und II zu begränzen ist, so müssen diese durch die Perspektiven v₁ d₁ und l₂ v₂ d₂ der durch diese beiden Punkte

Fig. 19.

I und 11 geführten Geraden Z,l5 L2 bestimmt werden.

di

1<

d<

In Fig. 19 ist ein solcher Fall in h der Zeichnungsfläche (als Bildebene) dargestellt.

V2

ZU

Bemerkung 2. Wir haben gesehen, dass die Perspektive einer hinter der Bildebene gelegenen Geraden, die sich ins Unendliche erstreckt, einerseits von dem Durchschnittspunkte derselben mit der Bildebene und anderseits von dem ihr entsprechenden Verschwindungspunkte begränzt sei, und dass demnach der Name Verschwindungspunkt ganz zweckmässig gewählt ist, da in demselben für den Beobachter eine Gerade verschwinden scheint.

Bemerkung 3. Auf gleiche Weise wie im §. 12, Bem. 1, gezeigt wurde, lässt sich auch hier darthun, dass eine Gerade vollkommen bestimmt sei, wenn ausser ihrer Perspektive, die Projektion derselben auf der Bildfläche gegeben ist.

Fig. 20.

l.

Be

d/

......D

M.

'S

Denken wir uns aber eine Gerade L (Fig. 20), die sich nicht nur hinter, sondern auch vor der Bildebene ins Unendliche erstreckt , so werden ihr Durchschnittspunkt d mit der Bildebene und ihr Verschwindungspunkt v nicht mehr die Gränz-punkte ihrer Perspektive l sein können, da diese auch als eine unendliche, d. i. unbegränzte Gerade erscheinen muss.

Ge

.G

Nachdem aber bekannt ist, dass die zwischen d und v liegenden Punkte der Perspektive l dem hinter der Bildebene gelegenen, ins Unendliche sich erstreckenden Tlieile der Geraden L entsprechen, so ist klar, dass die vor d und hinter v befindlichen Punkte der Perspektive Z, wie db und va: nur Perspektiven oder centrale

Projektionen jener Punkte sein können; die den vor der Bildebene liegenden, ins Unendliche sich erstreckenden Theil der Geraden L bilden.

Es ist leicht einzusehen, dass die ersteren, nämlich alle vor d liegenden Punkte, die Perspektiven derjenigen Punkte der Geraden L vorstellen, die zwischen den Durchschnittspunkten d und D dieser Geraden mit der Bildebene (d) und mit einer durch den Gesichtspunkt zur Bildebene parallel gelegten Ebene xy, d. i. Z), enthalten sind; und die letzteren, nämlich alle hinter v liegenden Punkte, nichts anderes als die centralen Projektionen jener Punkte angeben, welche dem in D beginnenden, vor dieser Ebene xy befindlichen Theile der Geraden L angehören. Man könnte diese centralen Projektionen ganz gut eingebildete oder imaginäre Perspektiven nennen.

Es ist nöthig, die hier angegebene Bedeutung der in der Perspektive einer Geraden oder in der Verlängerung derselben gelegenen Punkte richtig zu erfassen, um sogleich den Ort bezeichnen zu können, wo die ihnen entsprechenden im Raume befindlichen Punkte gelegen sind.

§. 14.

Darstellung¹ und Bestimmung einer Ebene durch ihre Bildflächtrace und Yersclnvindungslinie.

Offenbar wird eine die Bildfläche schneidende Ebene E (Fig. 21) schon bestimmt sein, wenn ausser ihrer Bildflächtrace Eh noch die, auf bereits erwähnte Weise bestimmte Ver-schwindungslinie Ev derselben gegeben ist; denn die Ebene muss durch Ei parallel zu der durch <1 Ev bestimmten Parallelebene hindurchgehen.

Ebenen, die zur Bild- / fläche parallel sind, haben keine Bildflächtrace und keine Verschwindungslinie; man pflegt daher zur Bestimmung derselben einen ihnen ungehörigen Punkt darzustellen und zu bestimmen.

Fig. 21.

lEv,

A>;

Zf

ßE

iS...

Für die Horizontsebene, für die Vertikalebene, so wie für jede durch das Auge gehende-Ebene fällt die Verschwindungslinie mit der Bildflächtrace zusammen, wesshalb solche Ebenen schon durch diese Trace bestimmt erscheinen, indem ein weiteres Bestimmungsstück das Auge ist, durch welches sie hindurchgehen.

Wie bei speziellen Lagen der Ebenen die Verseil windungs-linien derselben angenommen werden müssen, wurde bereits in §. 8 behandelt.

§• 15.

(leg-enseitiger Zusammenhang- beider Bestimmungsarten.

In der Folge werden wir die letztere der beiden eben angeführten Darstellungs- und Bestimmungsweisen bei der Durchführung und Auflösung der verschiedenen Probleme voraussetzen, und wollen demnach vor Allem zeigen, wie man aus der ersteren auf die letztere übergehen kann.

Wir werden demnach folgende Aufgaben aufzulösen haben:

1.    Es ist ein Punkt perspektivisch dargestellt und nach der ersteren Bestimmungsweise gegeben, man soll denselben nach der zweiten bestimmen.

2.    Es ist eine Gerade perspektivisch dargestellt und nach der ersteren Bestimmungsweise gegeben, man soll deren Ver-schwindungspunkt und Durchstosspunkt mit der Bildebene bestimmen.

3.    Es ist eine Ebene perspektivisch dargestellt und nach der ersteren Bestimmungsweise gegeben, man soll deren Ver-schwindungslinie und Bildflächtrace suchen.

4.    Es ist ein Punkt durch eine dieser Bestimmungsweisen gegeben, man soll seine orthogonale Projektion auf der Bildflache suchen.

Fig. 22.

s......r

Auflösung zu 1. Ist p (Fig. 22) y die Perspektive und p die Perspektive der Grundflächprojektion eines Punktes, welche wie bekannt in einer Senkrechten zur Grundlinie liegen, gegeben, so haben wir bloss A durch diesen Punkt irgend eine Linie zu ziehen und ihren Durchschnitt mit der Bildebene, so wie den derselben entsprechenden Yerschwindungspunkt zu bestim-

men, um den Anforderungen der vorgegebenen Aufgabe Genüge zu leisten.

Die Perspektive l dieser Geraden muss durch p und die Perspektive Ï ihrer Grundflächprojektion durch p gehen. Verlängert man nun V bis einerseits die Grundlinie in d' und anderseits die Horizontallinie in v geschnitten wird, so ist oifenbar d' die Perspektive der Grundflächprojektion eines Punktes, der nicht nur in der gezogenen Geraden, sondern auch in der Bildebene liegen muss, somit die Perspektive der Grundflächprojektion des Durchschnittspunktes dieser Geraden mit der Bildfläche. Errichtet man demnach in d' eine Senkrechte G G, so ist der Punkt d, in welchem sie l schneidet, die zu d' gehörige Perspektive, also auch der Durchschnittspunkt der gezogenen Geraden mit der Bildebene.

Betrachten wir nun jetzt den Punkt v , so ist klar, dass, nachdem horizontale Linien in der Horizontallinie verschwinden, v der Verschwindungspunkt der Grundflächprojektion der gezogenen Geraden sein müsse, oder mit anderen Worten, derselbe gibt die Perspektive der Grundflächprojektion eines in unendlicher Entfernung auf der gezogenen Geraden gelegenen Punktes an.

Es wird demnach der Punkt u, wo die in v auf 6f6r, oder was dasselbe ist, auf HH errichtete Senkrechte die Gerade l trifft, die «Perspektive dieses im Unendlichen liegenden Punktes, oder den Verschwindungspunkt dieser Geraden L bestimmen.

Es ist also d und v bestimmt, somit die Aufgabe gelöst.

Fig. 23.

Sollte p durch seine orthogonale Projektion auf der Bildebene bestimmt werden, so müsste die Gerade Z, mithin auch V bildflächprojecirend angenommen werden. Es wäre sodann p und p mit A zu verbinden, und der Durchstosspunkt mit der Bildebene auf gleiche Weise wie d zu bestimmen.

Es sei Z

Auflösung zu 2.

"O

(Fig. 23) die Perspektive und V die Perspektive der Grundflächprojektion einer durch die Punkte (1, Ï) und (2, 2') begränzten Geraden L, so kann V verlängert entweder die Grund- und Horizontslinie schneiden, oder mit diesen Linien parallel sein.

Im ersteren Falle durchschneidet die Gerade die Bildfläche, im letzteren dagegen läuft sie mit derselben parallel.

Setzen wir voraus, es trete das Erstere ein, so brauchen wir nur, wie aus dem Obigen einleuchtet, die Punkte d und v vermittelst d' und v auf bekannte Art zu bestimmen, da wir dadurch den Durchschnittspunkt und den Verschwindungspunkt der gegebenen Geraden erhalten.

Fig. 24.

H v'

Jd

.O

Im letzteren Falle hingegen, da wir es mit einer zur Bildfläche parallelen Linie zu thun haben, wird es nothwendig sein, einen in derselben gelegenen Punkt (pp) (Fig. 24) zu bestimmen, zu welchem ⁻ Zwecke für die durch denselben ge-G zogene Linie (m m ) der Durchschnittspunkt d und der Verschwindungspunkt v mit Benützung von d' und v anzugeben ist.

Bemerkung. Würde es sich um die Bestimmung einer Linie handeln, die verlängert durch den Gesichtspunkt hindurchgeht und begränzt ist, so werden noch die Gränzpunkte darzustellen und zu bestimmen sein.

Ist demnach der Punkt l (Fig. 25) die Perspektive und die Gerade V die Perspektive der Grundflächprojektion einer solchen

Fig. 25.

V,

V2

nv..-"

V/

v2

V-

><

di.

.--"'fl

.ii'

a:

d'

<3jL__g

Linie, ferner (f, Ï) und (2, 2') die Grenzpunkte derselben, wobei l als ein Punkt und V als eine durch denselben gellende auf der Grundlinie senkrecht stehende Gerade erscheinen muss, da die diese Gerade zur Grundebene projecirende Ebene durch den Gesichts-punkt hindurchgeht, oder mit andern Worten, weil die durch die Grundflächprojektion und den Gesichtspunkt gehende Ebene in diesem Falle vertikal ist, sich demnach mit der Bildfläche in einer vertikalen Geraden schneiden muss.

Wir brauchen also bloss, nachdem der Durchschnittspunkt d und der Yerschwindungspunkt v mit l selbst zusammenfällt, und demnach schon bestimmt ist, nur noch durch (i, 1') und (2, 2') die Linien (m, m ) und (n, ri) zu ziehen und ihre Durchschnittspunkte c?l5 d₂, so wie die zugehörigen Verschwindungspunkte wl5 «2 auf bereits erörterte Weise zu ermitteln.

Fig. 26.

Nb

iL

Fi

Auflösung zu 3. Stellt Eb (Fig. 26) die Bildflächtrace und E'g die Perspektive der Grnndflächtrace irgend einer Ebene E vor, so handelt es sich hier blos um die Bestimmung der Ver-schwindungslinie derselben. Nach- n dem aber bekannt ist, dass diese ±L mit der Bildflächtrace parallel sein muss, so wird es nur nöthig sein, g_ einen Punkt derselben zu ermitteln. Ein solcher ist nun offenbar der in der Horizontslinie gelegene Punkt v von E'g, denn Eg liegt in der Grundebene, verschwindet daher in der Horizontlinie. Nachdem aber E(J auch in der Ebene E liegt, so wird ihr Verschwindungspunkt v ein Punkt der Verschwindungslinie sein. Zieht man demnach durch diesen Punkt v die zur Bildflächtrace Parallele Ev, so ist diese Gerade die gesuchte Vescliwindungslinie.

Für eine zur Grundebene parallele Ebene, deren Bildflächtrace Ejj ist (Fig. 27), ist die Lage der Verschwindungslinie schon bekannt. Dieselbe ist nämlich die Horizontslinie HH.

Fig. 27.

Ev

Eb

°0

Für die durch die Grundlinie hindurchgehenden, oder bloss zu derselben parallelen Ebenen, welche — durch die Bildflächtrace und durch — einen ihnen ungehörigen Punkt he- A stimmt sind, muss man behufs der Bestimmung der Verschwindungslinie den Verschwindungspunkt irgend einer in diesen Ebenen gelegenen Geraden auffinden, wo man alsdann durch denselben nur eine Parallele zur Bildflächtrace zu ziehen haben wird.

Ist demnach E& (Fig. 28) die Bildfläch trace irgend einer solchen

Fig. 28.

:V

Ev

J_yi___H

aI

«To s

Ebene, und (p, p) der dieselbe bestimmende Punkt, so liegt offenbar die Verbindungslinie dieses Punktes mit irgend einem Punkte d, d' der Bildflächtrace Eh, d. i. Z, V in dieser Ebene, und die durch den auf be-G kannte Art bestimmten Verschwin-dungspunkt v zu Eh gezogene Parallele Ev, gibt die verlangte Ver-schwindungslinie an.

Endlich haben wir noch Ebenen zu betrachten, die keine Bildflächtrace und demnach auch keine Verschwindungslinie besitzen, also zur Bildfläche parallel sind.

Es sei nun E'g (Fig. 29) die Perspektive der Grundflächtrace einer solchen Ebene, so ist, nach dem früher Bemerkten, nur ein

Fig. 29.

in dieser Ebene gelegener Punkt darzustellen und zu bestimmen.

Da nun aber ein jeder in dieser £_H Ebene befindliche Punkt seine Grund

-A

Egl

"O

flächprojektion in der Grundflächtrace derselben haben muss, so ist klar, dass man die Perspektive p eines solchen Punktes beliebig wählen kann, die Perspektive seiner Gruncl-flächprojektion p hingegen in E'g angenommen werden muss.

Zur Bestimmung dieses Punktes hat man bloss das bekannte Verfahren anzuwenden, nämlich eine Linie (Z, V) durch denselben zu ziehen und ihren Durchschnittspunkt d, so wTie den Verschwindungspunkt v anzugeben, um die verlangte Ebene, welche parallel zur Bildfläche sein soll, darzustellen.

Bemerkung. Aus dem hier Angeführten ist auch ersichtlich, wie man sich zu benehmen hätte, wenn die eben behandelten Aufgaben, in umgekehrter Weise gestellt, zu lösen wären. Wir wollen uns aber damit nicht weiter beschäftigen, da es eine blosse Wiederholung des bereits ' Erörterten wäre.

Die unter (4.) gestellte Aufgabe ist bereits theilweise in (I.) gelöst, doch werden wir in der Folge nochmals auf dieselbe zurückkommen.

Kapitel III.

Verschiedene Aufgaben.

§• 16.

Aufgabe.

Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben irgend eine bestimmte Linie ziehen.

Fig. 30.

........

;;h

■i

Lösung. Ist p (Fig. 30) die Perspektive dieses Punktes, zu dessen Bestimmung die Gerade l, begränzt durch d und v, angenommen ist, so muss offenbar die Perspektive m einer durch denselben gehenden Geraden durch p gezogen werden, und es handelt sich bloss um die Bestimmung ihres Durchschnittes mit der Bildebene und um die Angabe ihres ~

Versch Windungspunktes.

Sind nun für die Lage der zu ziehenden Geraden keinerlei Bedingungen vorgeschrieben, so kann man einen dieser Punkte ganz beliebig wählen. Gewöhnlich wird es der Yerschwindungspunkt sein, bei dessen Annahme man jedoch das in §. 7 Gesagte zu berücksichtigen haben wird.

Ist v angenommen, so ergibt sich der Durchstosspunkt durch folgende Betrachtung:

Es liegen nämlich die beiden Linien l und m in einer Ebene, deren Verschwindungslinie Ev die beiden Punkte v und vj in sich enthält, und deren Bildflächtrace A/&, durch den Punkt d gehend, parallel zu Ev sein muss. Der Punkt d₁, in welchem Eb die Perspektive m trifft, liegt offenbar in der gezogenen Geraden und in der Bildebene, folglich ist er ihr Durchschnittspunkt. Wollte man dx annehmen, so ist leicht einzusehen, wie man sich bei der Bestimmung des Verschwindungspunktes vl zu benehmen hätte.

Für Linien, die parallel zur Bildfläche sein sollen, ist weder der Verschwindungspunkt noch der Durchschnittspunkt anzunehmen, da beide in unendlicher Entfernung liegen, und dieselben schon durch den gegebenen Punkt bestimmt sind.

Pesehka u. Koutny, Perspektive.

Linien, die einen bestimmten Winkel « (Lig. 31) mit der Bildebene einschliessen sollen, haben den Verschwindungspunkt vl in der Peripherie des entsprechenden Yerschwindungskreises.

Fig. 31.

90-0,/

Ist a = 45°, so fällt der Ver-schwindungspunkt in einen Distanzpunkt des Distanzkreises ; und zwar für die zur Horizon--- talebene parallelen Linien in denjenigen, der in der Horizontlinie liegt, und für die zur Vertikal-g ebene Parallelen in die in der Yertikallinie gelegenen Punkte des Distanzkreises.

Fig. 32.

Ist demnach p (Fig. 32) der durch die Gerade 1% bestimmte Punkt, durch welchen eine unter 45° gegen die Bildfläche geneigte Gerade gelegt werden soll, so ziehe man mit der Augdistanz als Halbmesser aus A den Distanzkreis K, welcher die Horizontslinie h in u₂, r₂, die Yertikallinie in v₃, v'₃ schneidet.

d-

Soll die zu ziehende Ge-jq rade horizontal sein, so z ist v₂ oder v₂ ; soll sie hin-\ gegen vertikal sein, so \ ist v₃ oder v₃ als deren Ver-schwindungspunkt anzunehmen, und mit p zu verbinden. Die zugehörigen Durchstosspunkte erhält man auf die oben angegebene Weise, wie dies auch in Fig. 32 bei den Geraden r₂,p, d₂, r₃, Vi ^3) s0 wie bei der beliebig gewählten Geraden vl, p, dl durchgeführt erscheint.

Bemerkung 1. Sollte die Linie, die durch den gegebenen Punkt gelegt werden soll, verlängert durch den Gesichtspunkt gehen, so braucht man den Verschwindungspunkt und den Durchschnittspunkt dl nicht mehr zu ermitteln, indem diese Punkte mit p zusammenfallen.

Bemerkung 2. In dem Falle, wo durch den gegebenen Punkt eine Linie zu ziehen ist, die auf der Bildebene senkrecht

steht, ist der Durchschnittspunkt dx derselben nichts anderes, als die orthogonale Projektion dieses Punktes auf der Bildebene. Wir können demnach diesen Durchschnittspunkt dx geeigneter mit P" bezeichnen, da wir den im Raume gelegenen Punkt, dessen Perspektive p ist, P nennen.

Es ist sonach klar geworden, wie man sich zu benehmen hat, wenn es sich darum handelt, die orthogonale Projektion eines Punktes aufzufinden, der in einer gegebenen Geraden liegt.

Fig. 33.

p"

Soll man aber für einen Punkt, der durch seine Perspektive und die Perspektive seiner Grundflächprojektion gegeben wäre, die orthogonale Projektion auf die Bildfläche auffinden, so wird es nicht nöthig sein, zuerst eine willkürliche Gerade durch diesen Punkt zu ziehen, um alsdann das obige Verfahren anzuwenden, sondern man wird sogleich durch den gegebenen Punkt (p, p)

''s

''»s j a

(Fig. 33) eine Linie (l, V) legen, die als projecirende Gerade zur Bildfläche erscheint, für welche h also die Perspektive l und die Perspektive ihrer Grundfläclipro- -jektion V im Augpunkte verschwinden.

Der auf bekannte Art ermittelte Durchschnittspunkt P" mit der Bildebene gibt alsdann die verlangte orthogonale Projektion.

Aus dieser Betrachtung geht das schon oben Erwähnte, dass nämlich ein Punkt P durch seine Perspektive p und durch die orthogonale Projektion P" auf die Bildebene bestimmt werden kann, hervor.

Es ist aber klar, dass die Linie P"A als Perspektive einer durch den Punkt P gehenden Geraden auch p in sich enthalten müsse, und dass man daher, wenn es sich um die Annahme eines Punktes handelt, der durch seine Perspektive p und die orthogonale Projektion P" bestimmt sein soll, das eine nicht unabhängig von dem anderen wählen könne, sondern dass immer A, p und P" in einer Geraden enthalten sein müssen.

3*

§• 17.

A u f g a b e.

Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben irgend eine Ebene legen.

Zieht man durch den Punkt irgend eine Gerade, und legt durch dieselbe eine Ebene, so wird diese auch den Punkt in sich enthalten, und wir werden demnach unmittelbar zur Lösung der folgenden Aufgabe übergehen können.

§• 18.

A u f g- a b e.

Es ist eine Gerade gegeben, man soll durch dieselbe eine Ebene legen.

Lösung. Bezeichnet l (Fig. 34) die Perspektive, d den Durchschnitts- und v den Verschwin-h_ dungspunkt dieser gegebenen Geraden, so ist klar, dass die Bild-G flächtrace Eh einer durch diese Gerade gelegten Ebene durch c/, und die Verseilwindungslinie Ev derselben durch v gehen muss. Ist für die Lage der zu legenden Ebene nichts vorgeschrieben, so wird man Eh oder Ev beliebig wählen können, weil durch eine Gerade die Ebene nicht vollkommen bestimmt ist, in jedem andern Falle aber wird Ev jl mit Beachtung des in §. 8 Gesagten 'anzunehmen sein, und zwar:

1. Für eine horizontale Ebene (Fig. 35), die jedoch nur dann gelegt werden kann, wenn die Linie selbst horizontal ist, ihr Verschwindungspunkt v also in der Horizontlinie liegt, gibt die Horizontslinie die Verschwindungs-linie Ev an.

Fig. 34.

Eb

Fig. 35.

ji

Eb

\a

G_

io

2. Für die zur Grundlinie senkrecht stehenden Ebenen (Fig. 36), welche nur durch Gerade gelegt werden können, deren Verschwindungspunkt in der Vertikallinie liegt, liefert die Vertikallinie die Verschwindungslinie Ev.

Fig. 36. .

Fig. 37.

Eb

Ev...

H_

.-V

J.

ü.

'<

tv

~6

9°

11'

"0

3.    Für Ebenen, die senkrecht zur Bildfläche gelegt werden sollen, muss die Verschwindungslinie Ev (Fig. 37) durch den Aug-punkt gehen.

Man wird demnach die verlangte Ebene erhalten, wenn man den Verschwindungspunkt v mit dem Augpunkt A verbindet und zu der so gefundenen Verschwindungslinie Ev die Bildflächtrace Eb durch den Punkt d parallel zieht.

4.    Für Ebenen, die parallel zur Bildfläche sein sollen, und die selbstverständlich nur durch eben solche Gerade geführt werden können, lässt sich keine Verschwindungslinie und keine Durchschnittslinie angeben. Sie sind aber schon durch den die gegebene Gerade l bestimmenden Punkt p fixirt.

5.    Ist die gegebene Gerade L (Fig. 38) parallel zur Bildebene, so müssen die Bildfläch-tracen und Verschwindungslinien aller durchgelegten Ebenen parallel zur Perspektive l dieser -~

Geraden sein.    —

Bei angenommener Ver- — schwindungslinie Ev wird man g_ durch den, die gegebene Gerade l bestimmenden, auf irgend einer Geraden m gelegenen Punkt p, bloss eine Linie n zu ziehen haben, deren Verschwindungspunkt v₁ in Ev angenommen ist. Ihr Durchschnittspunkt dx mit der Bildebene wird auf die bekannte Art, nämlich vermittelst

Fig. 38.

Eb

11

Ev.

4L

Pb

ä,

der durcli m und n hindurchgehenden Ebene (Fh) Fv) bestimmt, da Eb parallel zu Ev sein und durch dl hindurchgehen muss.

Würde man umgekehrt die Bildflächtrace Eh annehmen, so wäre das Verfahren zur Bestimmung von Ev dem vorhergehenden „ganz ähnlich.

Soll die Ebene durch die Grundlinie selbst hindurchgehen, so. kann man von der Annahme der Verschwindungslinie nicht ausgehen, da in diesem Falle die zu suchende Ebene, indem sie durch zwei parallele Gerade geht, vollkommen bestimmt ist. Durch obige Bedingung ist jedoch die Bildflächtrace schon festgestellt; sie wird nämlich mit der Grundlinie zusammenfallen.

Wir ziehen also durch den in l (Fig. 39) gelegenen und durch m bestimmten Punkt p eine Linie n, deren Durchschnittspunkt dl in Eb) also in der Grundlinie anzunehmen ist, und bestimmen den ihr entsprechenden Verschwindungspunkt vl wieder durch eine die Linien m und n in sich enthaltende Ebene {Fh ,FV). g Durch diesen Punkt vl ist dann Ev parallel zu Ei zu ziehen.

6. Soll die Ebene, welche durch eine gegebene Gerade gelegt werden soll, parallel zur Grundlinie sein, so muss auch die Verschwindungslinie und Bildflächtrace derselben parallel zur Grundlinie werden, daher man dieselben beziehungsweise durch den Verschwindungs- und Durchstosspunkt der gegebenen Geraden parallel zur Grundlinie zu ziehen haben wird.

Wäre die gegebene Gerade selbst parallel zur Grundlinie, so

ist die zu suchende Ebene unbestimmt, und deren Verschwindungs-linie kann somit, wie bereits gezeigt, in beliebiger Entfernung ~ parallel zur Grundlinie gezogen werden, wodurch jedoch gleich-g. falls ihre Bildflächtrace fixirt erscheint.

Fig. 39.

.Ev

'\v,

rv

V,

Fig. 40.

7. Für Ebenen, die bloss auf der Grundebene senkrecht stehen (Fig. 40) sollen, ist die Verschwindungslinie und Bildflächtrace parallel zur Vertikallinie anzunehmen.

8. Für Ebenen, die einen bestimmten Neigungswinkel a (Fig. 41) mit der Bildebene einscldiessen sollen, müssen, wie bekannt, die Verschwindungslinien Tangenten an den Verschwin-dungskreis der ebenfalls unter den Winkel a geneigten Linien sein.

Fig. 41.

Ev '

Ey\

6.

9 l)<l/

Man wird daher bloss den Halbmesser AK dieses Yer- JL scliwindungskreises aus dem gegebenen Winkel a und der Aug-distanz A 0 ermitteln (indem JL man das rechtwinklige Dreieck A OK derart verzeichnet, dass die eine Kathete A 0 gleich der Augdistanz und der anliegende Winkel AOK= 90 — oc genommen wird), und aus dem Verschwindungspunkte v der gegebenen Geraden l die Tangenten an den Verschwindungskreis ziehen, wodurch man die Verschwindungslinien Ev, E'v (im Allgemeinen zwei) erhält. Die zu denselben durch den Durchschnittspunkt d gezogenen parallelen Geraden geben alsdann die bezüglichen Bildflächtracen Eh. E\.

Damit aber das hier Angeführte möglich sei, darf der Neigungswinkel a der zu legenden Ebenen nicht kleiner sein, als jener der gegebenen Geraden Z, was sich daraus zu erkennen gibt, dass bei kleinerem Neigungswinkel der Verscliwindungs-punkt v der Geraden l innerhalb des entsprechenden Verschwin-dungskreises zu liegen kömmt, man daher keine Tangenten an denselben ziehen kann, und daher eine den Annahmen entsprechende Lösung unmöglich ist.

Fig. 42.

Ev

4L

Bemerkung 1. Für eine durch den Gesichtspunkt hindurchgehende Linie l (Fig. 42), die als ein Punkt sich darstellt, mit welchem der Durchschnittsund der Verschwindungspunkt zusammenfällt, fallen auch die Bildflächtrace Eh und die Ver-schwindungslinie Ev in eine durch l gehende Linie.

Bemerkung 2. Als wir durch eine Gerade L, welcher

die Perspektive l, der Durchschnittspunkt d und der Verschwin-dungspunkt v angehörten, eine zur Bildebene senkrecht stehende Ebene legten, gab die erhaltene Bildflächtrace Eh nichts anderes als die orthogonale Projektion der gegebenen Geraden auf der Bildebene an; wir können demnach diese Bildflächtrace Ei, da wir die im Baume gelegene Gerade L nennen, entsprechend mit L" bezeichnen.

Aus diesem ist zu ersehen, wie man zu verfahren hat, wenn es sich darum handelt, die orthogonale Projektion einer durch ihren Durchstoss- und Verschwindungspunkt bestimmten Geraden aufzufinden. Gleichzeitig sei bemerkt, dass in dem speciellen Falle, wo die gegebene Gerade l (Fig. 43)

zur Bildfläche parallel ist, und wo demnach zu ihrer Bestimmung noch ein Punkt p auf einer Geraden m angegeben ist, auf eine ganz ähnliche Art die Jj Bildflächtrace und demnach auch die orthogonale Projektion zu ~ bestimmen sei, wie es für die zur Grundlinie parallelen Ebenen gezeigt wurde. Man wird in der durch den Augpunkt parallel zur Perspektive l gezogenen Ver-schwindungslinie, den Verschwindungspunkt vx für eine durch p gezogene Gerade n annehmen, ihren Durchschnittspunkt dl mittelst der durch m und n gelegten Ebene Fh, Fv bestimmen, und durch denselben Ei, oder was dasselbe ist, L“ parallel zu Ev ziehen.

Fig. 43.

-'-H

L"

fl,

nèT

vV

Bemerkung 3. Wir haben schon früher erwähnt, dass

man durch die Perspektive l und die orthogonale Projektion L“ auf der Bildebene eine Gerade L be-—H stimmen könne.

Aus diesen beiden Bestim-

_g mungsstücken kann auch einfach

der Verschwindungs- und Durch-stosspunkt ermittelt werden, indem man nur durch den Augpunkt eine Gerade Av parallel zu L“ (Fig. 44) zu ziehen hat, um die Verschwindungslinie Ev einer auf der Bildfläche senkrecht stehenden Ebene zu erhalten, welche L“ zu

Fig. 44.

sV

L"

ii

EMd

ihrer Biklfläclitrace Eb hat, und durch die Gerade L hindurchgeht; die Punkte, in welchen l die Tracen Eb und Ev durchschneidet, geben den Durchschnittspunkt d und den Verschwin-dungspunkt v der Linie L an.

Fig. 45.

Ev.

:A

Eb

Bemerkung 4. Hätte man die orthogonale Projektion einer in I und II begränzten Geraden L (Fig. 45), die durch ihre Perspektive Z, durch ihren Durchschnittspunkt cZ, den Verschwindungs-punkt v und durch die Perspektiven der Gränzpunkte, d. i. 1 und 2, gege- ü-ben wäre, zu bestimmen, so müsste man noch auf der Bilddächtrace Eb Al der zur Bildfläche projecirenden Ebene, ^ d. i. auf der orthogonalen Projektion L", die orthogonale Projektion I" und II“ der Gränzpunkte angeben, was man durch die Linien Al und A2 erhält, indem diese die Perspektiven der die Punkte I und II zur Bildebene projecirenden Geraden vorstellen.

Bemerkung 5. Die Aufgaben: „Es ist in einer gegebenen Linie ein Punkt“, und: „Es ist in einer gegebenen Ebene ein Punkt oder eine Linie anzunehmen“, können umgekehrt der oben angeführten Aufgabe mit Leichtigkeit gelöst werden.

§. 19.

Aufgabe.

„Es ist ein Punkt gegeben, man soll durch denselben zwei oder mehrere sich schneidende Linien ziehen.“

Lösung. Nachdem bekannt ist, wie durch einen gegebenen Punkt eine Linie gezogen werden kann, so wird man durch Wiederholung dieses Verfahrens auch eine

beliebige Anzahl solcher Linien erhal- ±l_

ten können.

Einfach erhält man (Fig. 46) ein -Q-Jk System solcher Linien (die sämmtlich in einer Ebene liegen), wenn man durch die den Punkt p bestimmende Gerade Z eine beliebige Ebene legt, und sodann durch p in dieser

Fig. 46.

-V

-E-l

di

Eh

Ebene die verlangten Geraden zieht. Jede solche Gerade lässt sich wieder, wie l, zu gleichem Zwecke weiter benützen.

Auf gleiche Weise kann man untersuchen, ob sich zwei gegebene Linien durchschneiden.

Es sei l (Fig. 47) eine Gerade, die ihren Durchschnittspunkt in d, und ihren Verschwindungspunkt in v hat, und m die andere,

bei welcher dx und v₁ die gleichnamigen Punkte bezeichnen, so ist klar, dass nur dann ein Dureli-H schneiden der beiden Geraden ein-treten kann, wenn sie in einer Ebene - gelegen sind, wenn also die Verbindungslinien der Durchschnittspunkte d und dx und der Verschwindungs-punkte v und vx zu einander parallel sind. Tritt dieses wirklich ein, so ist p das Bild des Durchschnittspunktes, ' der hier durch zwei gerade Linien bestimmt erscheint.

Fig. 47.

vy

111

SL

Ei>

Bemerkung. Ist Eb die Bildfläch trace und Ev die Verschwin-

------ dungslinie der durch zwei Gerade

___h hindurchgelegten Ebene, so kann sich

■—" ' der Durchschnittspunkt p der Per-

_g spektiven der gegebenen Geraden l

und m folgends ergeben:

a) Es kann p zwischen Ei und Ev fallen, wie sich dieses in Fig. 47 ergab ;

b)    es kann p in Eh selbst gelegen sein (Fig. 48);

c)    es kann p in Ev zu liegen kommen (Fig. 49);

Fig. 48.

vv,

in/

/ A

a,

io

Eb

49.

Fig. 50.

V__E_v_---

v.____

1'

_H

dib_—P

15

<L

a,

d) es kann p diesseits, d. i. vor Eb (Fig. 50), oder

e)    es kann p jenseits, d. i. hinter Ev, fallen (Fig. 51); und

f)    es kann p in unendlicher Entfernung sich ergehen (Fig. 52),

Fig. 51.

Fig. 52.

d,

d,

Et

II

oE*

d. h. es können die Perspektiven der beiden Geraden zu einander parallel sein.

Nach dem in §. 13, Bern. 2, Gesagten wird es leicht sein, die Lage des Durchschnittspunktes im Raume, in allen hier angeführten Fällen anzugehen, und zwar:

in dem Falle a) liegt derselbe hinter der Bildfläche in einer endlichen Entfernung;

in dem Falle b) durchschneiden sich die Geraden in der Bildfläche ;

in dem Falle c) liegt der Durchschnittspunkt hinter der Bildfläche in unendlicher Entfernung, mithin sind die beiden Geraden zu einander parallel, was übrigens schon aus dem gemeinschaftlichen Verscliwindungspunkte hervorgeht;

in dem Falle d) durchschneiden sich die beiden Geraden in dem, zwischen der Bildfläche und einer durch den Gesichtspunkt zu derselben parallel gelegten Ebene, enthaltenen Raume;

in dem Falle e) liegt der Durchschnittspunkt vor der Bildfläche, aber ausserhalb dieses Raumes, somit vor der durch den Gesichtspunkt zur Bildfläche parallel gelegten Ebene; und

im Falle f) durchschneiden sich die Geraden in der durch den Gesichtspunkt gehenden, zur Bildfläche parallelen Ebene.

§. 20.

Aufgabe.

Auf einer gegebenen, perspektivisch dargestellten, auf der Bildfläche senkrecht stehenden Geraden soll von einem bestimmten Punkte aus eine gegebene Länge abgeschnitten, und umgekehrt? für eine in zwei Punkten begränzte Gerade soll die wahre Länge

des zwischen diesen Punkten enthaltenen Theiles aufgefunden werden.

Lösung a. Es sei d (Fig. 53) der Durchschnittspunkt und l die Perspektive der besagten Geraden, welche als solche im Augpunkte ihren Verschwindungspunkt hat. Der Punkt, von welchem die gegebene Länge a aufzutragen ist, sei der Durchschnittspunkt d.

Nimmt man die gegebene Länge a als den Halbmesser eines Kreises an, der den Punkt d zu seinem Mittelpunkte hat, verzeichnet ferner den Distanzkreis, und legt durch die Gerade l irgend eine Ebene Ei, Ev, welche selbst-- verständlich nur eine zur Bildfläche senk-rechte sein kann, so ist klar, dass wenn

Fig. 53.

V-

G_i_>■/ M L/'' ‘ G man die Durchschnittspunkte dy und d₂

°/"    in welchen die Bildflächtrace Eh von dem

d2

aus d beschriebenen Kreise geschnitten wird, mit jenen Punkten vy und v₂, in welchen die Verschwindungslinie Ev den Distanzkreis trifft, verbindetr die hier möglichen vier Verbindungslinien dy vy, d₂v₂, dyv₂ und d₂v₁, die Perspektiven solcher unter 45° gegen die Bildfläche geneigten Linien angeben, welche die gegebene Gerade l in den Punkten p und py durcli-schneiden, da sie mit derselben in einerlei Ebene liegen.

Betrachtet man nun die derart entstandenen und mit einander congruenten Dreiecke, deren Perspektiven durch dy dp, d₂dp, dydpy und d₂dpy angegeben werden, so sind sie nicht nur rechtwinklig, sondern auch gleichschenklig ; woraus folgt, dass die in der Perspektive durch d und p und durch d und py begränzten Stücke der gegebenen Geraden, eine dem Halbmesser des aus d beschriebenen Kreises, oder den andern Katheten ddy =dd₂ =a gleiche Länge besitzen müssen.

Von diesen

Auf diese Art ist man also im Stande auf der Geraden l Punkte, wie p und py, anzugeben, die von dem Durchschnittspunkte d eine der gegebenen abzuschneidenden Länge gleiche Entfernung haben.

Punkten, welche sich immer paarweise ergeben,- indem der eine p hinter, und der andere py vor die Bildfläche zu liegen kommt, wird man im Allgemeinen bloss die ersteren benützen.

Aus dem hier Gesagten ersieht man, wie man auch umgekehrt für eine auf der Bildfläche senkrechte, in ihrer Perspektive l durch d und p begränzte Gerade, die wahre Länge ermitteln kann. Man braucht nämlich bloss den Distanzkreis zu verzeichnen, eine Ebene Eb, Ev (Fig. 54) durch die gegebene Gerade zu legen und durch einen, mittelst Ev im Distanzkreise erhaltenen Durchschnittspunkt oder v₂ die Linie vx p oder v₂ p zu ziehen, wodurch sich der Punkt dl oder d₂ auf Eh ergibt.

Fig. 54.

H,

Der Abstand eines dieser Punkte von dem Punkte d, also ddl oder dd2 gibt dann die verlangte w ahre Länge des in der Perspektive durch d und p begränzten Stückes .der gegebenen Geraden an.

Es entstehen auch hier rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke, deren eine dem zu bestimmenden Stücke gleiche Seite wie ddy oder dd₂ in die Bildfläche zu liegen kommt, somit in der wahren Grösse erscheint.

Fig. 55.

Bemerkung 1. Sowohl beim Abschneiden einer gegebenen Länge, als auch bei der Bestimmung der wahren Grösse einer gegebenen Geraden, wird es nicht nöthig sein, die oben angeführten Kreise ganz zu ziehen; sondern es wird im ersteren Falle, Fig. 53, hinreichen, einen in der Bildflächtrace Eb und einen in der Verscliwindungslinie Ev gelegenen Punkt derselben zu bestimmen. Man wird, nachdem die Ebene Eb, Ev hindurchgelegt ist, mit Zuhilfenahme der bekannten Halbmesser, bloss die Punkte e?j, Vy oder d₂, v₂ oder auch dy, v₂ oder d₂, Vy zu bestimmen haben, je nachdem das abzuschneidende Stück hinter oder vor

der Bildebene gelegen sein soll.

Im zweiten Falle, Fig. 54, dagegen wird es genügen, einen in der Ver-schwindungslinie gelegenen Punkt des Distanzkreises mittelst der Augdistanz zu ermitteln, d. i. Vy oder v₂ anzugeben.

HD

DH

g\\

\\

'y

i_Jß

Bemerkung 2. Da zumeist die Wahl der durch die Gerade L (Fig. 55) zu legenden Ebene Eb, Ev ganz beliebig ist,

wird man sie m den meisten Fällen am zweckmässigsten horizontal legen, wo sodann die in der Horizontslinie liegenden Punkte D des Distanzkreises (Distanzpunkte) zu benützen sind, und die gegebene Länge auf einer zur Horizontslinie parallelen, durch den Durchstosspunkt d gehenden Geraden dx d₂ aufzutragen sein wird.

Mit gleichem Vortheil könnten auch die in der Vertikallinie liegenden Distanzpunkte Dv (Fig. 56) benützt werden, welches

Fig. 56.

Y...

Di

Ai /

yb¹

«fl"-,. \

\Y

sogar in dem Falle nothwendig sein wird, wo die gegebene, auf der Bildfläche senkrechte Gerade in der Horizontsebene liegt ; denn in diesem Falle wird ihr Bild l die Horizontslinie sein, und bei Anwendung der letzterwähnten Methode würden alle Construk-tionslinien in eine Gerade DD fallen, folglich nicht benützbar sein.

Wendet man daher DlDi an, so ist auf der im Durchschnittspunkte d errichteten Vertikalen dd₁ — d c?₂ = « aufzutragen, und die weitere Construktion wie früher durchzuführen, woraus sich die Punkte p und pv in der verlangten Entfernung ergeben.

Bemerkung 3. Ein Fall, der häufig vorkömmt, ist der, dass die Distanzpunkte D, D oder Z>l5 Dl (Fig. 55) ausserhalb der Zeichnungsfläche zu liegen kommen. Man kann sich dann dadurch helfen, dass man dieselbe Construktion, jedoch mit einem aliquoten Theile der Distanz und der Länge des aufzutragenden

Stückes durchführt: denn ist A A = -■- AD und d3 = —ddi, so

n    n ¹

folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke A Dp und pddx, so wie aus den Dreiecken AAp und pod, dass die Gerade Ao auf dA

Fig. 57.

ll

\P

.....

dasselbe Stück dp abschneidet. Ausführlicher wird hierüber in später fol-£ genden Paragraphen gesjJrochen werden. " Bemerkung 4. Denkt man sich,

........

H

......\ |b

7.....I.....p Coordinatensystem, dessen Ebenen

~    1 x die Grund-, Bild- und Vertikal

ebene bilden, und bei welchem der Grundpunkt M (Fig. 57) der An-

- wie schon früher erwähnt wurde, ein

fangspunkt ist, so wird man leicht,, nach dem oben Gezeigten, jeden Punkt P, für welchen man die zugehörige Breite 6, Länge l und Höhe h kennt, perspektivisch darstellen können, und wird man, nachdem vermittelst b und h die orthogonale Projektion des gegebenen Punktes auf der Bildebene, d. i. p" bestimmt wurde, in diesem Punkte p" eine Senkrechte p“ A auf die Bildebene zu errichten haben, und auf derselben die gegebene Länge l absclmeiden, wodurch man in p die Perspektive von P erhält. Zum Abschneiden dieser Länge l wurde hier die willkürliche Ebene Eh Ev benützt; man wird jedoch im Allgemeinen, wie bereits bemerkt, eine horizontale oder vertikale Ebene in Anwendung bringen.

zwar

Fig. 58.

AL

Eb

b) Soll man auf einer zur Bildfläche senkrecht stehenden Geraden, deren Perspektive l (Fig. 58), und deren Durchschnittspunkt d ist, nicht von dem Punkte d aus, sondern von einem anderen ge-Aï gebenen Punkte, z. B. 1, eine be-, / stimmte Länge abschneiden, so kann %• Ai H dieses folgends geschehen. Nachdem man die wahre Länge dd₁ des perspektivisch dargestellten Stückes dl - mittelst einer durchgelegten Ebene Ei, Ev und mittelst eines in Ev gelegenen Distanzpunktes vl ermittelt hat, trage man von dx auf Ey die abzuschneidende Länge auf, und zwar: bei einem links angenommenen Distanzpunkte, wie es hier mit der Fall ist, entweder rechts oder links von d₁, je nachdem das abzuschneidende Stück hinter oder vor dem gegebenen Punkte 1 gelegen sein so 11. Auf diese Art erhält man die beiden Punkte d₂ und d₃, deren Verbindungslinien mit v^, d. i. d₂ vl und d₃ v₁, die Perspektive l der gegebenen Geraden in p und pl durchschneiden. Der eine dieser Durchschnittspunkte p liegt hinter, der andere pl vor dem Punkte 1, und ihre Abstände lp und lp₁ vom Punkte 1 sind der abzuschneidenden Länge gleich; denn die Entfernungen dp und dpl sind beziehungsweise um die abzuschneidende Länge grösser oder kleiner, als die Entfernung dl.

Selbstverständlich hätte man auch den in Ev rechts gelegenen Distanzpunkt v₂ zu gleichem Zwecke benützen können.

Handelt es sich um das Umgekehrte, nämlich um die Be-

Stimmung der wahren Länge einer zur Bildebene senkrecht stehenden, dieselbe in d durchschneidenden Geraden, deren Perspektive l (Fig. 59) ist, und deren Gränzen die Punkte 1 und 2 angeben, so wird man, nachdem eine Ebene Eh, Ev durch dieselbe gelegt wurde, von einem der in Ev gelegenen Distanzpunkte vl die Linien rj 1 und Vy 2 ziehen, wodurch man in Ej, die Punkte und d₂ erhält, deren Abstand dx d₂ der wahren

Fig. 59.

da,

Länge des gegebenen Stückes i, 2 gleich ist.

Dieser Abstand ist offenbar^ der Unterschied der wahren Länge der Stücke d2 und dl. —

Mit Benützung des zweiten in Ev gelegenen Distanzpunktes v₂ würde .G man auch das Gewünschte erzielen, nur würde die gefundene wahre Länge auf die entgegengesetzte Seite von d fallen.

§• 21.

Aufgabe.

Es ist auf einer gegebenen, gegen die Bildfläche schiefen Geraden, von einem bestimmten Punkte aus, eine gegebene Länge abzuschneiden, und umgekehrt, für eine in zwei Punkten be-gränzte Gerade, die wahre Länge derselben aufzufinden.

a) Die Gerade L (Fig. 60) habe in l ihre Perspektive, in d den Durchschnitts- und in v den Yerschwindungspunkt ; es ist vom Punkte d auf derselben eine gegebene Länge a aufzutragen.

Lösung. Legt man durch die gegebene Gerade l eine dieselbe zur Bildfläche projecirende Ebene Eb, Ev, und denkt man sich diese Ebene um ihre Bildfläciitrace Eb in die Bildebene umgelegt, so muss auch die gegebene Gerade in dieselbe fallen. Zur Bestimmung ihrer Lage wird, da der Punkt d während des Umlegens unverändert bleibt, nur noch nöthig sein, die Lage irgend eines in der Geraden gelegenen Punktes nach der Umlegung zu bestimmen.

Wir wählen demnach einen willkürlichen, in der gegebenen Geraden gelegenen Punkt, dessen Perspektive x sei, und bestimmen mittelst der Geraden Ax, die nichts anderes als die Perspektive der den Punkt x zur Bildebene projecirenden Geraden vorstellt, die orthogonale Projektion a?" desselben; alsdann suchen wir die wahre Länge der Geraden xx“, d. i. den Abstand des Punktes x von der Bildebene, was nach dem Vorhergehenden (Fig. 60) vermittelst einer durch xx“ hindurchgehenden, beliebig gewählten, projecirenden Ebene geschehen kann, hier aber, der Einfachheit wegen, schon durch Anwendung der Ebene Ei, Ev erreicht wurde. Nachdem nun die ^ den Punkt x zur Bildebene projecirende Gerade auch nach dem Umlegen senkrecht auf Ei verbleibt, so ist klar, dass man nur auf der in x“ auf Eh senk- -recht errichteten Geraden die gefundene wahre Länge x“ dx abzuschneiden hat, um die Lage des Punktes x nach dem Umlegen, d. i. den Punkt xY, zu finden. Es gibt nun die Verbindungslinie dxx die Lage der gegebenen, in die Bildfläche umgelegten Geraden, auf welcher man vom Punkte d die gegebene Länge aufzutragen hat, um denjenigen in die Bildebene umgelegten Punkt P‘ der gegebenen Geraden zu finden, dessen Distanz vom Punkte d der abzuschneidenden Länge gleich ist.

Fig. 60.

Xu

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G_

M.

V'"

Bringen wir nun die Gerade wieder in ihre ursprüngliche Lage, so ist klar, dass die vom Punkte P* auf Ei gefällte Senkrechte zu ihrem Fusspunkt einen Punkt Pu haben wird, der die orthogonale Projektion des zurückgedrehten Punktes P‘ angeben muss. Die Perspektive dieses Punktes liegt also im Durchschnittspunkte von P“ A und der gegebenen Geraden l, also im Punkte p, welch letzterer die verlangte Länge abschneidet.

Dass man ausser dem Punkt p, der hinter der Bildebene liegt, noch einen zweiten vor der Bildebene gelegenen Punkt q, welcher der Bedingung der Aufgabe entspricht, auffinden kann, ist von selbst klar; man braucht nämlich ganz analog wie bei p zu verfahren, daher zuerst Q' und dann Q“ zu bestimmen, wo man sodann mittelst A Q“ den Punkt q erhält.

Um eine Contrôle für die Richtigkeit der Construktion zu erhalten, hat man blos auf den bildflächprojecirenden Geraden P"-4, Q“ A von den Punkten P" und Q" die Länge P‘P“ — Q‘ Q" perspektivisch abzuschneiden, indem man Q“r=Q“Q', P"s —P"P' macht, und die Punkte r und s mit v₁ verbindet. Diese Geraden werden selbstverständlich auch durch die beiden Punkte p und q gehen müssen. Dieses Verfahren anzuwenden würde sogar dann geboten sein, wenn sich im ersteren Falle die Punkte p und q durch zu schiefe Schnitte ergeben hätten.

Was die umgekehrte Aufgabe, nämlich die Bestimmung der wahren Länge einer einerseits durch den Durchschnittspunkt mit der Bildebene, und anderseits durch einen beliebigen Punkt begrenzten schiefen Geraden betrifft, so ist die Lösung derselben, nach dem oben Gesagten, von selbst einleuchtend, und wurde eigentlich schon in Bezug auf den angenommenen Punkt x durchgeführt, da offenbar dx\ die wahre Länge des Stückes dx angibt.

b) Soll auf einer gegebenen Geraden statt von dem Durchschnittspunkte d, von einem anderen gegebenen Punkte 4, eine bestimmte Länge abgeschnitten werden, so ist folgender Weg einzu schlagen.

Nachdem man wieder die jmojecirende Ebene Ei Ev (Fig. 61)

durch die Gerade la gelegt, drehe man dieselbe um Eb in die Bild-

Fig. 61.

-Qr

fläche, wodurch der Punkt 4 nach — I‘ zu liegen kömmt, und trage auf / ^    G c^er umgelegten Geraden vom Punkte

..................'/%'■ P die abzuschneidende Länge auf.

1p"

P' v

Hiemit werden die Punkte Pt und Q' erhalten, welche, indem die Gerade durch das Zurückdrehen die ursprüngliche Lage annimmt, ihre orthogonalen Projektionen in P“ und Q“ besitzen, und deren Perspektiven in den durch die Verbindungslinien AP“ und AQ“ erhaltenen Punkten p und q der Geraden l sich vorfinden. Dass die Punkte p und q diejenigen sind, die der Bedingung der Aufgabe entsprechen, und dass der

eine hinter und der andere vor dem Punkte 1 gelegen ist, erhellt von selbst.

Bei der Bestimmung der wahren Länge einer durch zwei Punkte 1 und p (Fig. 61) begrenzten Geraden, wird man sich auf bekannte Art die Lage der Gränzpunkte nach dem Umlegen um die Bildflächtrace einer durch die Gerade gelegten bildflächprojecirenden Ebene Eh Ev ermitteln, d. i. die Punkte 1‘ und P‘ bestimmen, wo sodann der Abstand I'P‘ die verlangte wahre Länge angibt.

§. 22.

Andere Lösung der vorhergehenden Aufgabe.

Die in §. 21 angeführten Aufgaben lassen eine einfachere Lösung zu, wenn man berücksichtigt, dass die Verschwindungs-linie Ev der durch die gegebene Gerade gelegten projecirenden Ebene EiEv nichts anderes, als die Trace der zugehörigen Parallelebene vorstellt, welche in sich auch, den der gegebenen Geraden entsprechenden Parallelstrahl enthält.

Denkt man sich demnach nicht nur die projecirende Ebene um ihre Bildflächtrace Eb in die Bildebene umgelegt, sondern nimmt man auch das Umlegen der Parallelebene um die zugehörige Trace Ev vor, jedoch so, dass der Sinn der Drehung beim Umlegen der beiden Ebenen derselbe bleibt, so muss offenbar der umgelegte Parallelstrahl zu der umgelegten Geraden parallel sein.

Da nun die Lage des umgelegten Parallelstrahles sehr leicht aufzufinden ist, indem man nur den umgelegten Gesichtspunkt (der auch in der Parallelebene enthalten ist) mit dem Verseil windungspunkte der gegebenen Geraden zu verbinden hat, so ist ersichtlich, dass, um die Lage der umgelegten Geraden zu h finden, es nur nöthig sei, durch den Durchschnittspunkt der gegebenen Geraden eine Parallele zur Richtung des umgelegten Parallelstrahles zu ziehen.

Fig. 62.

p‘

Eb.

5"'é;

—ft

Was

L,

-•-0.

das Umlegen des Gesichtspunktes betrifft, so bemerke man, dass bios im Augpunkte A (Fig. 62) auf die Verseilwindungslinie Ev der projecirenden Ebene Ei Ev

4*

eine Senkrechte A 0₁ zu errichten, und auf dieser die Aug-distanz A 0 — AOy vom Augpunkte aus, aufzutragen ist, wodurch man unmittelbar den umgelegten Gesichtspunkt Ox, und in 0±v den umgelegten Parallelstrahl, mithin auch die Richtung der umgelegten Geraden Lx erhält. Dieses vorausgesetzt, wird man die oben angeführten Aufgaben auch in nachfolgender Weise lösen können.

Die in §. 21, a) durchgeführte Construktion wird sich insoweit vereinfachen, als man nicht mehr die Distanz eines auf der gegebenen Geraden angenommenen Punktes x von der Bildebene zu bestimmen haben wird. (Siehe Fig. 62.)

Ebenso erfordert auch die im

§. 21 angeführte umgekehrte Aufgabe nicht mehr die Bestimmung des Ab- Xi> Standes des zweiten Endpunktes der Geraden von der Bildebene. (Siehe Fig. 63.)

Fig. 63.

.y'

d,

\x

v/

L\ A

In gleicher Weise können die in §. 21, b) behandelten Aufgaben, wie q Fig. 64 und Fig. 65 darthun, auf einfacherem Wege gelöst werden.

Fig. 64.

Fig. 65.

o;

,0,7

L,

SK.

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Li /j\Ev

/    / / M \

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Li,

p¹ V

§ 23.

Dritte Lösung derselben Aufgabe.

1. Bei den angeführten Aufgaben wurde zum Bebufe der Lösung derselben das Umlegen der gegebenen Geraden um die Bildflächtrace der entsprechenden projecirenden Ebene vorgenommen; man kann aber auch dasselbe erreichen, wenn man die perspektivisch projecirende Ebene der gegebenen Geraden um ihre Durchschnittslinie mit der Bildebene, welche nichts anderes als die Perspektive dieser Geraden ist, in die Bildfläche umlegt. Dieses Verfahren wird nicht nur auf schief gegen die Bildebene gerichtete Gerade, sondern auch für die auf derselben senkrecht stehenden angewendet werden können.

Fig. 66.

/v

G'

a) Es sei also l (Fig. 66) die Perspektive einer zur Bildfläche senkrecht stehenden Geraden, d der Durchschnitts-, A der Verschwindungspunkt derselben, und es soll auf dieser Geraden vom Punkte d eine bestimmte Länge a abgesclmitten, oder umgekehrt, die wahre Länge eines Stückes ermittelt werden, welches einer- ; seits von d und andererseits von einem Ś-perspektivisch bestimmten Punkte be-gränzt ist.

L,

Denken wir uns, wie oben bemerkt, die perspektivisch projecirende Ebene in die Bildfläche umgelegt, so ist klar, das der Gesichtspunkt in die im Aug-punkt auf der Perspektive l der gegebenen Linie senkrecht gezogene Gerade fallen müsse. Wird also AOx = A 0 gemacht, so gibt 0₁ die Lage des umgelegten Gesichtspunktes an. Hiebei bestimmt selbstverständlich A Ox zugleich die Lage des umgelegten Parallelstrahles, und die im Punkte d auf l errichtete Senkrechte Lx die Lage der gegebenen Geraden nach dem Umlegen in die Bildebene. Ferner ist ersichtlich, dass auch die sämmtlichen, den einzelnen Punkten der gegebenen Geraden an-gehörigen Sehstrahlen, nach dem Umlegen, in die Bildebene zu liegen kommen.

Dieses festgehalten, ergibt sich die Lösung der obigen Aufgaben sehr einfach; wir brauchen nämlich, um eine bestimmte

Länge dQy—dPy abzuschneiden, dieselbe nur auf der umgelegten Geraden Lx vom Punkte d aufzutragen, wodurch wir den Punkt P₁ erhalten, dessen Verbindungslinie mit Ol, d. i. OlP1 nichts anderes als den in die Bildebene umgelegten, dem Punkte P entsprechenden Sehstrahl angibt. Dieser schneidet die Perspektive l der gegebenen Geraden im Punkte p, welcher den auf der Perspektive der Geraden gelegenen Punkt, dessen Abstand von d der gegebenen abzuschneidenden Länge gleich kommt, liefert.

Dass man auch einen zweiten, vor der Bildebene gelegenen Punkt g, welcher der Bedingung der Aufgabe entspricht, auffinden kann, erhellt von selbst.

Die umgekehrte Aufgabe, nämlich die Bestimmung der wahren Länge einer begränzten Geraden, ist auf gleiche Weise zu lösen. Nur sei bemerkt, dass wenn p die Perspektive des Endpunktes des zu bestimmenden Stückes wäre, man bloss die Linie Oxp zu ziehen hätte, um vermittelst derselben auf Ly den Punkt Px zu erhalten, dessen Abstand von d, d. i. dPy, die verlangte Länge angibt.

Vergleicht man diese Lösung mit der ersteren, so findet man, dass hiebei dieselben Construktionslinien Vorkommen, wenn A Oy als Verschwindungslinie, und Ly als Bildflächtrace der durch L gelegten Ebene angenommen wird.

Fig. 67.

0,

b) Soll auf einer zur Bildfläche senkrecht stehenden Geraden, nicht von

f.

,P

L,

<0.

ihrem Durchschnittspunkte d aus, sondern von einem gegebenen Punkte 1 eine bestimmte Länge abgeschnitten, oder umgekehrt, die wahre Länge eines in zwei beliebigen Punkten begränzten Stückes aufgefunden werden, so ergibt sich das hier anzuwendende Verfahren

In der hierher gehörigen

I»

V\

von selbst.

Fig. 67 sind p und q diejenigen Punkte, welche die verlangte Länge auf der Linie l abschneiden.

2. Hat man es mit einer zur Bildfläche schief gerichteten Geraden zu tliun, so ist der Gang der Lösung derselbe; man wird nämlich vor Allem die Lage des umgelegten Gesichtspunktes, als auch jene der umgelegten Geraden zu bestimmen haben. Was den Gesichtspunkt (das Äuge) ■ anbelangt, so bedenke man, dass derselbe beim Umlegen einen Kreisbogen beschreibt, dessen Ebene auf der Perspektive der gegebenen Geraden senkrecht steht, und dessen Halbmesser gleich der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreieckes ist, für welches die eine Kathete gleich der vom Augpunkte auf die Perspektive der Geraden gefällten Senkrechten, und die andere Kathete gleich der Augdistanz ist.

Man wird aber, um die aus dem oben Gesagten sich ergebende Konstruktion für die Bestimmung der Lage des umgelegten Gesichtspunktes vorzunehmen, die Ebene des vom Auge beim Umlegen beschriebenen Kreisbogens in die Bildebene gedreht denken, also in derselben das erwähnte Dreieck mit den angeführten Katheten verzeichnen, auf diese Weise den Halbmesser des besagten Kreisbogens finden, und hiemit die Lage des Gesichtspunktes in der von dem Augpunkte auf die Perspektive der gegebenen Geraden gefällten Senkrechten erhalten.

Nach Durchführung des Gesagten ist bloss der umgelegte Gesichtspunkt mit dem Verschwindungspunkte der gegebenen Geraden zu verbinden, um so die Lage des umgelegten Parallelstrahles zu ermitteln.

Hiedurch ist zugleich auch die Lage der in die Bildebene gedrehten Geraden bestimmt, indem dieselbe durch die von dem Durchstosspunkte der gegebenen Geraden parallel zur Bichtung des umgelegten Parallelstrahles gezogene Linie angegeben wird.

Fig. 68.

P/

LI

/a

Nach dieser Erläuterung wird man, wenn eine bestimmte Länge auf einer gegebenen Geraden l von dem Durchstosspunkte d (Fig. 68) abzuschneiden ist, vorerst die Lage des umgelegten Gesichtspunktes 0₂ und jene der umgelegten Geraden Lx auffinden, hierauf die gegebene Länge a vom Punkte d auf Lx auftragen, und so zwei —

\ /

n-r

Punkte P₁ und Ql erhalten, welche mit Q₂ verbunden, im Durchschnitte p und q dieser Verbindungslinien mit der Perspektive l die Gränzpunkte der abzuschneidenden Stücke liefern.

Bei Bestimmung der wahren Länge eines gegebenen Stückes dp wird die Verbindungslinie 0₂p den Punkt Pl5 und somit dPl das Verlangte bestimmen.

Fig. 69. %JV

Soll auf einer seliiefen Geraden von einem gegebenen Punkte 1 (Pig. 69) eine bestimmte Länge abgeschnitten werden, so bestimme man sich die Lage Ą dieses

M\

Punktes, die derselbe nach dem Um-

G    ¹

am

I,

3>

~ legen der perspektivisch projeci-renden Ebene annimmt, trage alsdann die abzuschneidende Länge auf der umgelegten Geraden Lx auf, und verbinde die so erhaltenen Punkte Px und QY mit 02 wodurch sich in l die beiden Punkte p und q so ergeben, dass pl = ql gleich der abzuschneidenden Länge wird.

Der Gang der Lösung für die umgekehrte Aufgabe ergibt sich von selbst.

Bemerkung. Die hier unter (2.) gelösten Aufgaben über die schiefe Linie Hessen sich auch in der Art, wie im §. 21, mit Benützung des unter (a) in §. 23 Gesagten, durchführen; man wird aber von dieser Verfahrungsart nur dann Gebrauch machen, wenn der Verschwindungspunkt der Linie nicht angegeben ist.

Von den angeführten Verfahrungsarten zur Lösung der unter §. 20 gestellten Aufgabe wird man jedoch keine allzu häufige Anwendung machen, sondern sich vielmehr der unten auseinandergesetzten, durch Einfachheit sich auszeichnenden und interessanten Methode, welche in der Anwendung gewisser Punkte, „der sogenannten Theilungspunkte“ besteht, bedienen.

Kapilcl IV.

Theorie der Theilungspunkte.

§• 24.

Feststellung des Begriffes der Theilungspunkte.

Ist L (Fig. 70) irgend eine die Bildfläche im Punkte d schneidende Gerade, auf welcher von d aus bestimmte Längen-

Fig. 70.

b£

P,

A Ir

ij.

cE

stücke aufzutragen sind, so lege man durch diese Gerade irgend eine Ebene E’, schneide auf deren Bild-flächtrace Ei die aufzutragenden Längenstücke von d aus in den Punkten a, b, c.. ab (Fig. 70 und Fig. 71, welch’ letztere Figur die Ebene E sammt der in ihr enthaltenen Geraden L in die Zeichnungs»    ^

fläche gelegt vorstellen soll) und nehme an, dass die Linie Ei um den Punkt d in der Ebene E so lange

Fig. 71.

\\

gedrehet werde, bis sie mit L zusammenfällt. Hierdurch werden die Punkte a, b, c...., nachdem sie die ihren Entfernungen entsprechenden Kreisbögen durchlaufen haben, beziehungsweise nach /, II, III.... gelangen, und es ist klar, dass die Sehnen al, bll, clll.... sämmtlich untereinander parallel sind und zugleich mit Ei und L gleiche Winkel bilden. Daraus ist aber ersichtlich, das man das Aufträgen bestimmter Längenstücke auf einer gegebenen Geraden durch ein System paralleler Linien, welche man die Theilungslinien nennt, vornehmen kann, wenn nur diese parallelen Linien eine solche Richtung haben, dass dieselben mit Eb und L gleiche Winkel einschliessen.

Nachdem nun die Theilungslinien in der durch die Gerade L hindurchgelegten Ebene E enthalten sind, und diese ganz willkürlich gewählt wurde, so ergibt sich, dass man die Theilung einer Geraden durch verschiedene Systeme von Theilungslinien vornehmen könne.

Das eben Gesagte lässt sich nun mit Leichtigkeit dazu anwenden, um auf einer perspektivisch dargestellten und bestimmten

Fig. 72.

\\

1 \

V

b!

\v

v-..

t........^4 v

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vom

verlangten Längenstücke aufgetragen sind (wodurch man wie oben die Punkte a, b, c... erhält) bloss die Perspektiven der Theilungslinien anzugeben haben. Da

Geraden, für welche also, ausser der Richtung der Perspektive l (Fig. 72) der Durch-sclmittspunktcGnitder Bildfläche undderVer-schwindungspunkt v gegeben ist, bestimmte Längenstücke aufzutragen. Man wird nämlich, nachdem durch die vorgegebene Gerade eine beliebige Ebene Eb Ev gelegt ist, und auf der Bildflächtrace Punkte d die

c\

nun diese von den

in der Bildebene liegenden Punkten a, 5, c... ausgehen, und als parallele Linien einen gemeinschaftlichen Verschwindungs-punkt besitzen müssen, so ist es nur nöthig, diesen letzteren zu ermitteln. Dieser Verschwindungspunkt heisst nun, da man durch Anwendung desselben die Theilung einer gegebenen Linie vornehmen kann, der Theilu ngspunkt.

§. 25.

Bestimmung der Lage des Theilungspunktes.

a) Die Lage des Theilungspunktes, oder des Verschwindungs-punktes der parallelen Theilungslinien ergibt sich nun unmittelbar, wenn man bedenkt, dass derselbe durch jenen Punkt angegeben wird, in welchem der den Theilungslinien entsprechende Parallelstrahl die Bildfläche schneidet. Da nun dieser in der, der durchgelegten Ebene zugehörigen Parallelebene enthalten ist, so muss der Theilungspunkt in der Verschwindungslinie Ev liegen, und ausserdem von dem Verschwindungspunkte v der gegebenen Geraden, in einer der wahren Grösse des diesem Punkte v entsprechenden Sehstrahles gleichen Entfernung sich vorfinden; denn denkt man sich (Fig. 70) den erwähnten Sehstrahl Ov in der Parallelebene um den Punkt v so lange gedreht, bis derselbe in die Verschwindungslinie Ev nach T gelangt (wobei jedoch zu bemerken ist, dass der Sinn der Drehung ein, der früher mit a, 6, c .... vorgenommenen, entgegengesetzter sein muss), so schliesst offenbar die Sehne O T des vom Punkte 0 durchlaufenen Kreisbogens mit Ev und dem Parallelstrahle Ov gleiche Winkel ein; dieselbe erscheint daher als der den Theilungslinien entsprechende Parallelstrahl, und somit der Punkt T als der Theilungspunkt.

Wir können demgemäss allgemein den Satz aufstellen: der Theilungspunkt einer Geraden liegt in der Verschwindungslinie einer durch diese Gerade gelegten Ebene, und ist von dem Verschwindungspunkte der Linie um die wahre Grösse des diesem Verschwindungspunkte zugehörigen Sehstrahles entfernt.

Daraus ist ersichtlich, dass behufs Auffindung des der Geraden l'l (Fig. 72) zukommenden Theilungspunktes bloss die wahre Grösse des dem Punkte v entsprechenden Sehstrahles zu bestimmen sein wird, und dass man sich zu diesem Zwecke die Parallelebene um ihre Bildflächtrace, beziehungsweise Verschwindungslinie Ev der hindurchgelegten Ebene, in die Bildfläche gelegt denkt, wodurch auch der zu bestimmende Sehstrahl in dieselbe zu liegen kommt.

Es wird sich hierbei, da der erwähnte Strahl die Verbindungslinie des Gesichtspunktes und des Versehwindungspunktes v bildet, und da der letztere beim Umlegen seinen Ort nicht ändert, bloss um die Lage des in die Bildebene gedrehten Gesichtspunktes 0₁ handeln. Dieser ist mit Berücksichtigung des unter §. 23, 2. Gesagten, leicht ermittelt; man hat nämlich bloss die Senkrechte Ao (Fig. 72, siehe Seite 58) auf Ev zu fällen, das rechtwinklige Dreieck oAOl über dem Abstand A o als der einen, und der Augdistanz A 0₁ als der zweiten Kathete zu verzeichnen, und die Hypothenuse o Ol von o nach 0₂ aufzutragen, um so in 0₂ den umgelegten Gesichtspunkt zu erhalten.

d. i. Ta, Tb, Tc.... (die

Schneidet man alsdann die Länge v 0₂ vom Punkte v auf Ev ab, und zwar entgegengesetzt derjenigen Richtung, auf welcher das Aufträgen der abzuschneidenden Längenstücke geschah, so erhält man dadurch im Punkte T den Theilungspunkt, dessen Verbindungslinien mit a, b, c.. nichts anderes als die Perspektiven der Theilungslinien angeben), die Perspektive l in den Punkten 7, 2, 3.... durchschneidend, die verlangte Th eil un g bewirken.

Dass man die abzuschneidenden Längenstücke auf Eh auch nach entgegengesetzter Seite von d auftragen könne, und alsdann durch Benützung des auf ganz gleiche Weise, wie rl\ bestimmten Theilungspunktes T\ und zwar vermittelst der Verbindungslinien T'a, T'b', T'c..., das Gewünschte erreicht, braucht kaum bemerkt zu werden.

Bemerkung 1. Würde man den Theilungspunkt T und

durch

die Punkte a, b', c .... oder auch T' und a, b, c...

Gerade verbinden, so würden diese Verbindungslinien als Perspektiven solcher Theilungslinien erscheinen, welche jene auf der Bildfiächtrace aufgetragenen Längenstücke nicht mehr auf dem hinter der Bildfläche, sondern auf dem vor derselben gelegenen

Theile der gegebenen Geraden abschneiden.

Bemerkung 2. Aus dem bis jetzt Gesagten ist ersichtlich, dass jeder gegebenen Geraden zwei, in der Verschwindungslinie einer durch diese Gerade gelegten Ebene liegende Theilungs-punkte entsprechen, und dass ferner, wie übrigens schon bemerkt wurde, die Theilung einer Geraden durch verschiedene Systeme der Theilungslinien vorgenommen werden kann, indem die Wahl der durch die Gerade gelegten Ebene willkürlich zu treffen ist.

Aus dem eben Besprochenen ergibt sich, dass die aufeinander folgenden, in den Verschwindungslinien der willkürlich geführten Ebenen gelegenen Theilungspunkte einer gegebenen Geraden den Umfang eines Kreises bilden, dessen Halbmesser der wahren Länge des dem Verschwindungspunkte dieser Geraden zugehörigen Sehstrahles gleich, und dessen Mittelpunkt der genannte Verschwindungspunkt ist. Diesen Kreis nennt man den Theilungskreis, und jede durch den Mittelpunkt desselben gezogene Gerade bildet die Verschwin-dungslinie einer durch die gegebene Gerade gelegten Ebene, deren Bildfläclitrace durch den 'Durchstosspunkt der Geraden parallel zu dieser Verschwindungslinie zu ziehen ist.

Fig. 73.

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\0

Zur Erläuterung dessen sei die Perspektive l (Fig. 73) einer Geraden L im Raume gegeben, auf welcher von ihrem Durchschnittspunkte d ein bestimmtes Längenstück abzu-sclmeiden ist.    \

Man wird, nachdem die will- /

•    H

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£0l

a.'

kürliche Ebene Eh Ev durchgelegt, ~r~ und der Theilungspunkt T oder T\ wie oben, ermittelt wurde,, mit Leich- -qv⁻tigkeit den zweiten Endpunkt 1 des abzuschneidenden Längenstückes auffinden können. Dieser Punkt 1 kann, nach dem früher Gesagten, mit Zuhilfenahme jedes beliebigen im Umfange des Theilungskreises gelegenen Punktes bestimmt werden, welchen man von dem Verschwindungspunkte, als Mittelpunkt, mit dem bereits ermittelten Halbmesser v T beschrieben hat.

Hat man nämlich irgend einen Punkt Tx im Umfange des Theilungskreises angenommen, und den diesem Punkte entsprechenden Durchmesser gezogen, so ist durch den Durchschnittspunkt d der gegebenen Geraden eine Parallele zu diesem Radius nach entgegengesetzter Richtung zu ziehen, auf dieser das gegebene Längenstück aufzutragen, wodurch man den Punkt ax erhält, welcher mit Tx verbunden, die Perspektive einer Theilungslinie angibt, welche die gegebene Gerade ebenfalls im Punkte 1 durchschneidet.

Ebenso könnte man einen anderen Punkt T₂ annehmen und ganz analog wie bei 7\ durch die Verbindungslinie a₂T₂ dasselbe erreichen.

Selbstverständlich liegen auch die Punkte a, a}, a₂ .... im Umfange eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Durchschnittspunkt d der gegebenen Geraden, und dessen Halbmesser der abzuschneidenden Länge gleich ist.

Bemerkung 3. Ist eine Gerade schon in einer Ebene gegeben, so versteht es sich von selbst, dass man auch in dieser

Fig. 74.

Ebene den Theilungspunkt ermitteln wird.

...v

Wenn aber Behufs der

'l

\_

..........öt

GJ_\

Thêilung einer Linie erst eine Ebene gelegt werden soll, so H wird es zumeist am vortheil-haftesten sein, eine zur Bild-G fläche projecirende Ebene 7“ (Fig- 74) zu wählen.

In diesem Falle ergibt sich die wahre Länge v 0Y des dem Verschwindungspunkte v der gegebenen Geraden l zugehörigen Sehstrahles einfacher, indem bloss auf der im Augpunkte A auf Ev errichteten Senkrechten die Augdistanz abzuschneiden ist, um in Oj den umgelegten Gesichtspunkt zu erhalten.

Das weitere Verfahren bleibt dem früheren gleich,

b) Wäre umgekehrt der wahre Abstand eines auf einer Linie gegebenen Punktes 1 (Eig. 74) von ihrem Durchstosspunkte d zu bestimmen, so wird man, wenn irgend eine Ebene, am einfachsten eine projecirende Ebene Ei,Ev, durch die gegebene Gerade gelegt und einer der Theilungspunkte T oder T' aufgefunden worden ist, bloss eine durch den Punkt 1 gehende Theilungslinie TI oder T' 1, bis zum Durchschnitte a oder d mit der Bildfläch-trace Eb ziehen, und so in da oder da den verlangten Abstand in der wahren Länge erhalten.

einer

zuschneiden, oder die wahre Grösse einer begränzten Geraden aufzufinden, unterliegt, nach dem bis jetzt Gesagten, keiner weiteren Schwierigkeit.

Die Lösung der Aufgaben: von einem beliebigen Punkte Geraden auf derselben eine bestimmte Länge ab-

§• 26.

Ort des Theilimg’spunktes für speeielle Lagen der zu theilenden Geraden.

Mit Bezug auf das im Allgemeinen über die Lage des Thei-lungspunktes Gesagten, und mit Berücksichtigung dessen, dass man bei der Bestimmung der Theilungspunkte die der gegebenen Geraden entsprechende projecirende Ebene benützt, wird der Theilungspunkt in den nachstehenden Fällen folgende Lagen annehmen; und zwar:

1. Für Linien l, m, n.... (Fig. 75), die untereinander parallel sind, wird, da dieselben einen gemeinschaftlichen Ver-

Fig. 76.

Fig. 75.

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Et

Ek

n Ey."

A E„ \ T' H

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G.

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schwindungspunkt haben, daher die ihnen entsprechenden pro-jecirenden Ebenen eine gemeinschaftliche Yerscliwindungslinie besitzen, auch ein und derselbe Theilungspunkt T zu benützen sein.

2.    Für Linien l (Fig. 76) die in der Grundebene liegen oder zu derselben parallel sind, wird der Theilungspunkt T, T' in der Horizontslinie zu suchen sein.

3.    Für Linien l (Fig. 77) die in der Vertikalebene liegen oder zu derselben parallel sind, kurz, für Linien die in Ebenen liegen, welche senkrecht zur Horizonts- oder zur Grundlinie stehen, wird der Theilungspunkt V, T' in die Vertikallinie FF fallen.

Fig. 77.

El

H 0.

\\

1;

iL

.....

IV.

Ey

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I......-

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4. Für Linien l (Fig. 78) die senkrecht zur Bildebene stehen, wird gewöhnlich ein in der Horizonts- oder Vertikallinie gelegener

Distanzpunkt 7] T' als Theilungspunkt benützt. Für derlei Linien fällt der Theilungskreis mit dem Distanzkreise zusammen. Vergleicht man die Lösung der in §. 20 angeführten Aufgabe, wie sie für die zur Bildfläche senkrechten

Fig. 78.

Eb

<i, n

Ey

....V......\

i\

H 7......

Ev

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T :H

t'o

Linien mit Anwendung des Distanzkreises durchgeführt wurde, so wird man finden, dass sie mit jener übereinstimmt, welche sich mit Benützung der im Umfange des Theilungskreises gelegenen

Theilungspunkte ergibt.

5. Für Linien l (Fig. 79), die parallel zur Bildebene laufen, und zu deren Bestimmung ausser der Perspektive l noch ein

Punkt p auf einer Geraden m (nach §. 13) angegeben ist, würde man ausnahmsweise, wenn diese Gerade m zur Bildfläche nicht senkrecht

Fig. 79.

Ev

- steht, die projecirende Ebene bei g der Bestimmung des Tbeilungspunk-tes aus dem Grunde nicht benützen, weil die Trace derselben nicht so einfach wie die einer anderen, durch l und m gehenden Ebene Eh Ev ermittelt werden kann. Man braucht nämlich bloss durch den Durchschnittspunkt d und durch den Verschwindungspunkt v der Geraden m die zur Perspektive l parallelen Linien Eh und Ev zu ziehen, um so die Trace und Verschwindungslinie einer durch die gegebene Gerade gehenden Ebene zu erhalten. Der Theilungspunkt selbst kann nun in jedem beliebigen Punkte der Verschwindungslinie angenommen werden, und zwar ergibt sich dieses nicht nur aus dem allgemeinen für die Bestimmung des Theilungspunktes angegebenen Verfahren¹), sondern wird auch

Iß cD

schon aus dem Umstande klar, dass parallele Linien, als welche hier die Bildflächtrace Eh und die gegebene Gerade l erscheinen, durch andere dieselben schneidende Parallelen in gleiche Theile getheilt werden. Als solche Parallele erscheinen hier offenbar sämmtliche Geraden, -welche gegen einen Punkt v der Verschwin-dungslinie Ev gerichtet sind, da sie einen gemeinschaftlichen Ver-schwindungspunkt besitzen.

Man wird aber in einem solchen Falle, wie der hier angeführte, um sich der Annahme eines Punktes zu entheben, gleich den Verschwindungspunkt v der Geraden m als Theilungspunkt benützen.

Will man jedoch zum Behufe der Theilung einer solchen Geraden den Augpunkt selbst gebrauchen, so wird man durch dieselbe eine bildflächprojecirende Ebene zu legen haben. Man wird sonach vor Allem durch den Punkt p eine auf die Bildfläche senkrechte Gerade führen, deren Durchstosspunkt d mit Zuhilfenahme von m bestimmen, durch diesen Punkt d die Bildflächtrace Eb parallel zur gegebenen Geraden l ziehen, und auf dieser die Längen der abzuschneidenden Stücke von d aus auftragen.

Dass unter den zur

Fig. 80.

Bildfläche parallelen Linien auch die auf der Grundebene senkrecht stehenden und die zur Hori- -zontslinie parallelen mit-begriffen sind, versteht sich von selbst.

G

Zum Schlüsse sei noch solcher Linien Erwähnung H> gethan, die verlängert durch den Gesichtspunkt gehen. Eine solche, in den Punkten 1 und 2 be-gränzte Gerade, zu deren Bestimmung die Geraden m und n dienen, sei l (Fig. 80). Soll die wrahre Länge des von 1 und 2 begränzten Stückes angegeben werden, so wird es am geeignetesten sein, die gegebene Gerade sammt den Punkten 1 und 2 um ihre orthogonale Projektion L" auf der Bildebene, d. i. dA, in die Bildfläche umzulegen. Die Lage der umge-

E*V

/E'v

Et

d2

I.

C|

d3 /

legten Geraden Lx ergibt sich sehr einfach, da man bloss den umgelegten Gesichtspunkt Ox mit d zu verbinden hat, und die der umgelegten Gränzpunkte wird erhalten, indem man nur in den vermittelst der projecirenden Ebenen Eb Ev und E\E'V erhaltenen orthogonalen Projektionen der Punkte I und II, d. i. 1" und II", Senkrechte auf L" errichtet, und so in Ix und Ilx die gesuchte Länge erhält.

Würde es sich um die Lösung der umgekehrten Aufgabe handeln, sollte nämlich von einem gegebenen Punkte 1 ein bestimmtes Stück abgeschnitten, und hiebei der Endpunkt bestimmt werden, so wird man bloss auf der umgelegten Geraden Lx von dem Punkte Ą das gegebene Stück abschneiden, so den Punkt IIĄ erhalten und alsdann seine orthogonale Projektion III" ermitteln, durch welche er bestimmt ist. Soll zu seiner Fixirung irgend eine schiefe Gerade gewählt werden, so ziehe man durch 111" die Bildflächtrace E'\ irgend einer projecirenden Ebene E'\ E"v und in dieser Ebene irgend eine Gerade x, welche durch die, als ein Punkt sich darstellende Perspektive der gegebenen Geraden geht.

Dass man die Lage der umgelegten Geraden auch erhalten kann, wenn man auf den in 1" und II" über L" errichteten Senkrechten, die auf irgend eine Art ermittelten wahren Längen der projecirenden Geraden 11", 211" aufträgt, versteht sich von selbst; da jedoch dieses Verfahren nicht so einfach wie das obige ist, so wurde es bei der Ausführung nicht weiter benützt.

Kapitel V.

Gegenseitige Beziehungen zwischen Punkten, geraden Linien und Ebenen.

§• 27.

Aufgabe.

Es ist der Winkel zu bestimmen, welchen eine, in einer gegebenen Ebene Eh Ev (Fig. 81) liegende Gerade lvd mit der Bild-üächtrace dieser Ebene einschliesst.

Lösung. Der Winkel, um den es sieb liier bandelt, ist offenbar demjenigen gleich, welchen der, der gegebenen Geraden

Fig. 81.

v>-

_____

_____

A\

Ey...-

L,

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d.

0 2 ...

Eb

entsprechende Parallelstrabl mit der Yerschwindungslinie der Ebene bildet.

Man wird demnach, um die wahre Grösse desselben zu finden, bloss die Parallelebene um ihre Trace, d. i. um die Yerschwindungslinie Ev der gegebenen Ebene Ey Ev, sammt den in ihr gelegenen Parallelstrahl in die Bildebene umzulegen haben. Zu diesem Zwecke wird der umgelegte Gesichtspunkt 0₂ vermittelst des rechtwinkligen Dreieckes A A₁ 0₁ auf bekannte Art bestimmt, mit dem Verschwindungspunkte v der gegebenen Geraden l verbunden, und so in 0₂v der umgelegte Parallelstrahl, also in 0₂vAl — a der verlangte Winkel erhalten.

Zieht man durch den Durchschnittspunkt d der gegebenen Geraden eine zu 0₂v parallele Gerade Zl5 so gibt diese offenbar die Richtung der um die Bildfliichtrace in die Bildebene umgelegten Geraden. Der so erhaltene Winkel a, den Lx mit Eb bildet, ist dem zu suchenden Winkel a gleich.

Ebenso ist ersichtlich, dass auch die durch den umgelegten Gesichtspunkt 0₂ parallel zu Eb oder Ev gezogene Gerade 0₂x mit dem umgelegten Parallelstrahle 0₂v einen Winkel a bildet, welcher seiner Grösse nach mit a übereinstimmt.

§• 28.

Nebenaugpunkt, Nebenauge, Nebenaugdistanz, Nebendistanzpunkt.

Aus dem hier Angeführten ist ersichtlich, dass eine in einer Ebene gelegene Gerade einen desto grösseren Winkel mit der Bildflächtrace einschliesst, je kleiner die Entfernung des Ver-schwindungspunktes v vom Punkte Ax ist. Hieraus folgt, dass in dem Falle, wo v mit Ax zusammenfällt, der mit der Bildflächtrace eingeschlossene Winkel den grössten Werth annehmen müsse.

Da wir nun unter dem Winkel, mit dessen Bestimmung wir uns beschäftigen, den spitzen und nicht den stumpfen Winkel verstehen, so ist klar, dass der, bei Abnahme der Entfernung Ax v an Grösse zunehmende Winkel et zu seinem Grenzwerthe .90°, als den grössten spitzen Winkel, besitzen muss. Und in der Tliat schliesst diejenige Gerade, die ihren Yerschwindungspunkt in Ax hat, mit der Bildflächtrace einen rechten Winkel ein.

Man nennt nun den Punkt den man für jede willkürliche Ebene erhält, wenn man von dem Augpunkte A eine Senkrechte auf die Verschwindungslinie dieser Ebene fällt, den Neben augpunkt, und zwar aus dem Grunde, da derselbe den Verschwindungspunkt aller auf der Bildflächtrace einer Ebene senkrecht stehenden Linien bildet.

Den Punkt 0₂, in welchen der um die Trace der Parallelebene in die Bildebene umgelegte Gesichtspunkt zu liegen kommt, nennt man das Nebenauge, und die Entfernung 0₂ Ax wird mit dem Namen Nebenaugdistanz bezeichnet. Jeder Ebene entspricht also ein Nebenaugpunkt, ein Nebenauge und eine Nebenaugdistanz. Wir unterscheiden aber auch noch Nebendistanzpunkt e. Es sind dies nämlich diejenigen Punkte, welche die Verschwindungspunkte aller in einer Ebene gelegenen, gegen die Bildflächtrace derselben unter 45° geneigten Linien bilden. Dass dieselben von dem Nebenaugpunkte in einer Entfernung Ai vL — Ai v₂ sich vorfinden, die der Nebenaugdistanz 0₂AX gleich ist, ist leicht einzusehen.

Aus der Bestimmungsart des Nebenaugpunktes, des Nebenauges, der Nebenaugdistanz und der Nebendistanzpunkte ergibt sich, dass für die Grundebene, so wie auch für alle horizontalen Ebenen, für die Vertikalebene und alle zu ihr parallelen, und allgemein, für alle zur Bildfläche senkrecht stehenden Ebenen, der Augpunkt schon der Nebenaugpunkt bleibt, das Nebenauge in einer Entfernung, die der Augdistanz gleich ist, zu liegen kommt, und die Nebendistanzpunkte in dem Umfange des Distanzkreises sich vorfinden, also mit den Distanzjounkten zusammenfallen.

Dass Ebenen, die piarallel zur Bildebene sind, folglich keine Verscliwindungslinie besitzen, auch keinen Nebenaugpunkt, kein Nebenauge, keine Nebenaugdistanz und keine Nebendistanzpunkte zulassen, braucht wohl kaum erwähnt zu werden.

§. 29.

Aufgabe.

Es ist in einer gegebenen Ebene EhEv (big. 82) eine Gerade zu ziehen, die mit der Bildflächtrace dieser Ebene einen bestimmten Winkel a einschliesst.

Fig. 82.

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El

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Lösung. Da hier selbstverständlich unendlich viele Linien, die jedoch alle zu einander parallel sind, und demnach einen

gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt besitzen, gezogen werden können, so wollen wir noch den Punkt d der Bildflächtrace Eb, von welchem die zu ziehende Linie ausgehen soll, d. i. also den Durchschnittspunkt dieser Linie mit der Bildebene annehmen, um so die vorliegende Aufgabe näher zu bestimmen.

Die Lösung derselben ergibt sich aus dem Vorhergehenden. Man wird nämlich, nachdem man sich das Nebenauge 0₂ der gegebenen Ebene EbEv bestimmt hat, gegen die von 0₂ aus parallel zu der Bildflächtrace Eb gezogene Gerade 0₂ x eine Linie 0₂ v unter dem gegebenen Winkel a verzeichnen, und so in v den

Verscliwindungspunkt der verlangten Linie erhalten. Die Verbindungslinie dv gibt alsdann die Perspektive l der gesuchten Geraden.

Dass es noch eine zweite Linie gibt, welche der Bedingung der Aufgabe entspricht, ist, indem auch gegen die andere Seite der Geraden 0₂x der Winkel a aufgetragen werden kann, von selbst verständlich.

Fig. 83.

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Bemerkung 1. Wäre der gegebene Winkel a = 90⁰ (Fig. 83),

so wissen wir, dass der Nebenaugpunkt A₁ als Ver-schwindungspunkt der zu ziehenden Linie anzunehmen ist.

Bemerkung 2. Ist * a = 45⁰ (Fig. 84), so bildet einer der Neben-g distanzpunkte vL oder v2 den Verscliwindungspunkt N der verlangten Geraden, und die Perspektive derselben ergibt .$ich in dvl oder d v₂.

Fig. 84.

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Bemerkung 3. Soll endlich a — 0° (Fig. 85), also die Gerade parallel zur Bild-flächtrace werden, so wird man bloss durch den in der Ebene auf einer Geraden Id gegebenen Punkt p eine parallele m zu Eh zu ziehen haben, um so ^ die Perspektive der verlangten Geraden zu erhalten.

Fig. 85.

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§• 30.

Aufgabe.

In einer Ebene Eh Ev (Fig. 86), ist eine Gerade l nnd in ihr ein Punkt p gegeben; man soll durch diesen Punkt in derselben Ebene eine zweite Gerade unter einem gegebenen Winkel a zu der ersteren ziehen.

Lösung. Bestimmt man sich das Nebenauge 0₂ der gegebenen Ebene EhEv, so ist offenbar 0₂v der der gegebenen Ge-

Fig. 86.

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Da nun aber der Parallelstrahl, welcher der zu

raden entsprechende, in die Bildebene, um Ev, niedergelegte Parallelstrahl.

ziehenden Geraden entspricht, mit 0₂ v den Winkel « bilden muss, so hat man bloss durch 0₂ gegen 0₂v unter dem Winkel a eine Linie 0₂ vx zu ziehen, um so im Durchschnitte dieser letzteren mit Ev den Verschwindungspunkt vl5 also in d₁pvl die Perspektive der verlangten Geraden zu erhalten.

Sollte die zu ziehende Linie auf der gegebenen Geraden senkrecht stehen, so wäre selbstverständlich oc = 90° anzunehmen.

In Fällen, wo die gegebene Gerade la in der Grundebene, oder überhaupt in einer horizontalen Ebene (Fig. 87) ; in einer

Fig. 87.

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zur Grundlinie (Fig. 88), oder in einer zur Grundebene senkrecht Fig. 88.

Fig. 89.

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stehenden Ebene (Fig. 89) enthalten ist, wird man sich ganz

auf dieselbe Weise benehmen. Ist aber die Gerade l (Fig. 90) in der zur Bildfläche parallelen Ebene, zu deren Bestimmung ein Punkt q auf einer Geraden nl gegeben ist, gelegen, so wird unmittelbar die durch den gegebenen Punkt p gegen l unter dem Winkel « gezogene Gerade vv m, die Perspektive der verlangten Linie angeben. Dieses ist h_ leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass die Perspektive jj_ einer jeden Figur, die in der zur Bildfläche parallelen Ebene enthalten ist, der gegebenen Figur ähnlich sein muss.

Fig. 90.

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§. 31.

Aufgabe.

Es sind zwei sich schneidende, also in einer Ebene Eh Ev (Fig. 91) enthaltene Gerade l und m gegeben; man soll den von ihnen eingesehlossenen Winkel ermitteln.

Lösung. Der Winkel, den zwei Gerade im Paume bilden, ist, wie bereits erwähnt, demjenigen gleich, welchen die diesen Geraden entsprechenden Parallelstrahlen mit einander ein-schliessen. Es werden demnach die von dem Nebenauge 0₂ gegen die Yerschwindungspunkte JH v und vl gezogenen Linien, welche nichts anderes als die eben erwähnten, in die Bildebene um Ev niedergelegten Parallelstrahlen sind, einen Winkel v0₂v₁ = a einschliessen, welcher die Grösse des verlangten Neigungswinkels angibt.

Die speciellen Fälle, die sich hiebei, je nach der Lage der Ebene ergeben können, übergehen

Fig. 91.

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wir, indem die Lösung derselben ganz so wie im oben angeführten allgemeinen Lalle vorzunehmen ist.

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Sind die beiden Linien parallel zur Bildfläche, so wird der von ihnen eingeschlossene Winkel unmittelbar durch den ihren Perspektiven gebildeten Winkel angegeben.

§• 32.

Aufgabe.

Es ist eine Ebene Eb Ev (Fig. 92), nnd in derselben ein Punkt p gegeben; die Ebene soll um ihre Trace gedreht, in die Bildfläche umgelegt, und die neue Lage des Punktes bestimmt werden.

Lösung. Verbindet man den Nebenaugpunkt A₁ der gegebenen Ebene Eh Ev mit p, so gibt offenbar dpA₁ die Per-

Fig. 92.

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spektive der durch den gegebenen Punkt gehenden, auf Eh senkrecht stehenden Geraden an.

Bestimmt man nun die wahre Länge von dp, die in da oder d d vermittelst den in Ev gelegenen Nebendistanzpunkten erhalten wird, so ist klar, dass man bloss auf der im Punkte d auf Eb errichteten Senkrechten dPPx den eben gefundenen Abstand vom Punkte d nach der einen oder der anderen Seite von Eb aufzutragen habe, um so im P oder Px die Lage des umgelegten Punktes (je nachdem die Ebene nach der Seite des spitzen oder stumpfen Winkels gedreht wurde) zu erhalten.

§• 33.

-    Aufgabe.

Es ist ein um die Bildfläclitrace seiner Ebene EbEv (Fig. 93) in die Bildebene umgelegtes, also der wahren Grösse nach bekanntes Polygon gegeben; man soll dessen Perspektive verzeichnen, nachdem die Ebene sammt dem Polygon in ihre ursprüngliche Lage zurückversetzt ist.

Lösung. Nachdem für jedes Polygon dasselbe Verfahren, wie für ein Dreieck in Anwendung zu bringen ist, so wollen wir

Fig. 93.

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der Einfachheit wegen voraussetzen, die gegebene Figur sei das Dreieck 1IIIII.

Vor Allem erlauben wir uns hier die Annahme, dass die gegebene Ebene nach der Seite des spitzen Winkels in die Bildebene umzulegen sei.

1. Schneiden die Verlängerungen der drei Seiten des Dreiecks die Bildfläclitrace Eb beziehungsweise in den Punkten c/, clj und

d₂, so bleiben diese Punkte beim Zurückdrehen der Ebene unverändert, und die Perspektiven der verlängerten Seiten werden von denselben ausgehen müssen.

Nachdem aber auch die Neigung der einzelnen Seiten des Dreieckes gegen die Bildflächtrace durch die Winkel a, ß und y gegeben ist, so finden wir auf bekannte Art, mit Hilfe des Nebenauges 0₂, die Verschwindungspunkte v, v₁ und v₂, welche den Perspektiven der Dreieckseiten angehören.

Es sind mithin dv, d₁v₁, d₂v₂ die Perspektiven derjenigen Linien, in welche die Seiten des Dreieckes fallen, also die gegenseitigen Durchschnittspunkte 1, 2 und 3, beziehungsweise die Perspektiven der Endpunkte /, 11 und III, so dass das Dreieck 12 3 die Perspektive des gegebenen Dreieckes I II III in der verlangten Stellung angibt.

Fig. 94.

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In dem hier betrachteten Falle wurde das Verzeichnen der Perspektive an derselben Stelle, wo die gegebene Figur zu liegen kam, vorgenommen; dadurch sind aber die Perspektive und die wahre Grösse theilweise in einander gefallen. Um dieses zu vermeiden, wird man die Lage der zu verzeichnenden Figur in Bezug auf eine zur Bildflächtrace Eh parallele Gerade PQ, welche nichts anderes als die auf eine andere Stelle der Zeichnungsfläche versetzte Bildflächtrace vorstellt, angeben, und zum Uebertragen der zur Verzeichnung der Perspektive nöthigen Fixpunkte d, di, d₂ einen Punkt 0 benützen, welcher in einer solchen Geraden A 0 (sie heisse Hauptlinie) enthalten ist, die beim Zusammenfallen von P Q mit Ei nach Al 02 zu liegen kömmt.

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Bemerkung. In jenen Fällen, wo die Ebene der darzustellenden Figur eine besondere Lage hat, wie beispielsweise inFig.94, wo sie mit der Grund-

ebene zusammenfällt, oder in Fig. 95, wo sie auf der Grundebene senkrecht steht, bleibt die Lösung dieselbe.

Fig. 95.

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2. Schneiden bloss zwei Seiten, wie z. B. 1 11 und IIII (Fig. 96), verlängert die Bildflächtrace, also auch die Gerade PQ,

Fig. 96.

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innerhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche in den Punkten d

oder will man nur diese zwei Punkte benützen, so wird nachdem die Perspektiven jener Seiten, wie oben in dv und dx vx ermittelt worden sind, durch den Durchschnitt derselben bios die Perspektive des einen Eckpunktes I in 1 erhalten.

und d man.

Um nun auch die beiden anderen Endpunkte zu bestimmen, kann man folgends Vorgehen.

Bei der Bestimmung der Perspektive des Eckpunktes II lassen sich zwei verschiedene Wege einschlagen.

a)    Schneidet man vom Punkte 1 auf der Geraden dv die wahre Länge der Seite III vermittelst des in Ev gelegenen Theilungspunktes t ab, so wird offenbar der Endpunkt dieser Länge, d. i. der Punkt 2, die Perspektive von 11 abgeben.

b)    Errichtet man vom Punkte II auf J57*, also auch auf PQ, die Senkrechte IIo₂ und bestimmt ihre Perspektive in d₂Ax, so ist wieder der Durchschnitt 2 dieser letzteren mit dv die Perspektive des Eckpunktes II.

Bei Bestimmung der Perspektive des Eckpunktes III kann man ausser den unter a) und b) angeführten Verfahrungsarten (da schon die Perspektive der Ecke II bestimmt ist), auch das früher gelöste Problem ; durch einen Punkt eine Linie unter einem bestimmten Winkel gegen eine gegebene Gerade zu ziehen, in Anwendung bringen.

Bestimmt man nämlich die Perspektive derjenigen Linie, die durch 2 hindurchgeht und mit dv den von den Seiten III und IIIII eingeschlossenen Winkel y bildet, so hat man im Durchschnittspunkte 3 derselben mit die Perspektive der Ecke III.

3. Schneidet nur die Verlängerung der einen Seite, z. B. III, (Fig. 97) die Bildflächtrace, also auch PQ im Punkte <7, oder will man nur von diesem einen Durchschnittspunkt bei der Con-struktion Gebrauch machen, so ergeben sich die drei Eckpunkte auf folgende Weise:

Die Perspektiven der Eckpunkte 1 und II können entweder dadurch bestimmt werden, dass man auf der Geraden dv die wahren Längen dl und III vermittelst des in Ev gelegenen Theilungspunktes t abschneidet, oder dadurch, dass man sich die Perspektiven der von den Punkten ,/ und 11 auf die Bildflächtrace gefällten Senkrechten in dl A₁ und d₂ Al ermittelt, und so in den Durchschnittspunkten 1 und 2 derselben mit dv die Perspektive der Ecken I und II erhält.

Was die Perspektive 3 der Ecke III betrifft, so ergibt sich diese entweder als Durchschnitt der Perspektiven der durch die Punkte 1 und 2 gehenden, beziehungsweise unter den Winkeln

Fig. 97.

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a? und 3/ gegen 12 geneigten Linien, oder auch dadurch, dass man auf der Perspektive d₃ Al der von dem Punkte 111 auf die Bildflächtrace gefällten Senkrechten, die Länge d₃ III vermittelst des der Geraden d₃ Al entsprechenden, in Ev gelegenen Theilungs-punktes T (der hier mit dem Nebendistanzpunkte der Ebene EbEv zusammenfällt) abschneidet.

4. Würde keine der Seiten in ihrer Verlängerung innerhalb festgesetzter Gränzen die Bildflächtrace schneiden, oder will man von keinem der noch möglichen Durchschnittspunkte einen konstruktiven Gebrauch machen, so bleibt nichts anderes übrig, als

die Perspektiven wenigstens zweier Ecken, z. B. I und II (Fig. 98), nach dem im vorigen Falle für die Ecke III angegebenen Verfahren zu 02 A

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bestimmen, nämlich auf den Perspektiven 3j A₁ und der von I und II auf die Bildflächtrace gefällten Senk-

Fig. 98.

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rechten, die wahren Längen lol und IIo₂ abzuschneiden. Die Perspektive der Ecke III kann entweder als der Durchschnitt der durch 1 und 2, beziehungsweise unter dem Winkel x und y gegen 12 gelegten Geraden, oder analog den beiden Ecken 1 und 2 vermittelst 83^! bestimmt werden.

Es ist klar, dass in den hier angeführten Fällen sich die Eckpunkte der Figur als die Durchschnitte zweier durch jeden Eckpunkt hindurchgehenden Linien ergaben; denn selbst in dem Falle, wo zur Bestimmung einer Ecke blos eine Gerade, auf welcher wir von ihrem Durchschnittspunkte aus ein bestimmtes Längenstück abzuschneiden hatten, angenommen war, ist nichts anderes als der Durchschnitt aufgefunden worden, den die gegebene

Gerade mit der entsprechenden Theilungslinie lieferte. Es ist demnach leicht einzusehen, dass man durch einen Eckpunkt einer gegebenen Figur auch zwei ganz beliebige Linien ziehen könnte, indem durch die Darstellung derselben im Durchschnitte ihrer Perspektiven, die Perspektive der vorgegebenen Ecke erhalten werden müsste. Ueberhaupt wird also ein in einer Ebene gelegener Punkt dargestellt sein, sobald man die Perspektiven zweier Linien kennt, welche durch denselben hindurch gehen.

Wir haben oben vorausgesetzt, dass die darzustellende Figur in ihrer Ebene, welche nach der Seite des spitzen Winkels in die Bildfläche umgelegt wurde, verzeichnet sei. Wäre aber umgekehrt die Figur so dargestellt, wie sie nach einer in entgegengesetzter Richtung vorgenommenen Drehung ihrer Ebene in der Bildfläche erscheint, und will man nicht gleichzeitig auch das Umlegen der Parallelebene nach der Seite des stumpfen Winkels vornehmen, um so eine vollkommene Uebereinstimmung mit dem Yorhergehenden zu erzielen, so wird wenigstens in den drei ersten, für die Darstellung des Dreieckes angeführten Fällen, wo wir die Perspektiven mehrerer oder blos einer verlängerten Seite benützten, eben die Bestimmung jener Perspektiven nicht mehr so bequem wie früher auszuführen sein, indem diesfalls, behufs der Auffindung der erforderlichen Verschwindungspunkte, nicht unmittelbar parallele Linien aus dem Nebenauge zu den entsprechenden Seiten gezogen werden dürfen. Es müssen sodann die von den Verlängerungen der einzelnen Seiten mit der Bildflächtrace eingeschlossenen Winkel so übertragen werden, dass sie mit der letzteren den gleichen Winkel, jedoch in entgegengesetzter Richtung gemessen, einschliessen.

Bemerkung. Der Fall, wo die Figur um die Trace ihrer Ebene nach der Seite des stumpfen Winkels gedreht wird, gestattet die Verzeichnung der Perspektive unmittelbar. Man wird daher nicht erst veranlasst sein, die gegebene Figur an irgend einer Stelle der Zeichnungsfläche neuerdings verzeichnen zu müssen. Es ist diessfalls nicht möglich, dass, sobald die ganze Figur hinter der Bildebene sich vorfindet, Perspektive und wahre Grösse, so wie in Fig. 93, in einander fallen könnten.

Endlich ist noch zu erwähnen, dass in dem vierten, bei der Darstellung des Dreiecks angeführten Falle, wenn nämlich die Perspektiven der verlängerten Seiten gar nicht benützt werden,

Peschkau. Koutny, Perspektive.

die Verzeichnung der Perspektive einer um die Trace ihrer Ebene nach der Seite des stumpfen Winkels in die Bildebene niedergelegten Figur sogar leichter vorzunehmen sein würde. Da die Verzeichnung unmittelbar an der Stelle, wo die wahre Grösse sich vorfindet, ausgeführt werden kann, wird das Uebertragen der Fusspunkte der von den Ecken auf die Bildfläch trace PQ gefällten Senkrechten hinwegfallen, wie dieses aus Fig. 99 zu

Fig. 99.

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erselien ist, in welcher die Perspektive eines Viereckes I II III IV bestimmt wurde. Die Winkel des Viereckes blieben bei der Con-struktion unbenützt. Bei der Bestimmung der einzelnen Pickpunkte wurde blos von den Coordinaten der letzteren Gebrauch gemacht.

Auf gleiche Weise, kann nun jedes beliebige Polygon im Bilde verzeichnet werden. Es sei hier nur noch bemerkt, dass man bei grösserer Augdistanz die Eckpunkte auch mit Benützung eines aliquoten Theiles derselben bestimmen könnte, wie dessen bereits im §. 20, Bern. 3, Erwähnung geschah.

§. 34.

Aufgabe.

In irgend einer Ebene EhEv ist ein Quadrat zu verzeichnen,

a) Wenn dasselbe seiner wahren Grösse nach bekannt, und dessen Lage bezüglich der Bildflächtrace PQ (Fig. 100) mittelst der Hauptlinie A 0 gegeben ist.

Lösung. Abgesehen von den Eigenthümlichkeiten des Quadrates sei vorläufig angenommen, dass es sich um die Darstellung irgend einer ebenen Figur handle. Hiebei wird man die Perspektiven

Fig. 100.

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der Eckpunkte 7, 77, 777 und 7F in der Art, wie in §. 33 gezeigt wurde, auffinden, und zwar am einfachsten dadurch, dass man jeden Eckpunkt als den Durchschnitt zweier von demselben ausgehenden Linien, wovon die eine senkrecht zur Bildflächtrace und die andere gegen dieselbe unter 45° geneigt ist, darstellt, wie solches in Fig. 100 durchgeführt ist.

Bei dem Quadrate aber kann man kürzer so verfahren, dass man die Yerschwindungspunkte je zweier parallelen Seiten und den Verschwindungspunkt der Diagonale bestimmt.

Fig. 101.

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Hat man nämlich das Nebenauge 0₂ (Fig. 101) der gegebenen Ebene Eh Ev ermittelt, so bestimme man die den Seiten

Will man nun auch den Verschwindungspunkt der Diagonale 1III auflinden, so ist einleuchtend, dass man bloss den Winkel v 0₂ v{ zu halbiren habe, indem die Halbirungslinie 0₂ v₂ offenbar den dieser Diagonale zukommenden Parallelstrahl liefert, und somit v₂ den Verschwindungspunkt für I III bestimmt.

I II und IIV entsprechenden, in die Bildebene umgelegten Parallelstrahlen 0₂v und 0₂vl, wodurch man in v den Verschwin-dungspunkt für III und III IV und in vl jenen für IIV und II111 erhält.

Hierbei ist nur zu bemerken, dass 0₂ vx auf 0₂ v senkrecht steht. Pis wird nun am einfachsten sein, die Perspektiven A1 und 0₂ A₁ der von / und II auf die Bildflächtrace gefällten Senkrechten zu ermitteln, und diese mit der Perspektive der verlängerten Seite III, d. i. mit dv zum Durchschnitt zu bringen. Dadurch erhält man in 12 die Perspektive der Seite I II, und es handelt sich demnach blos noch um die Perspektiven der beiden Eckpunkte III und IV.

Verbindet man nun die Punkte 1 und 2 mit v₁, so sind offenbar in diesen Linien die Perspektiven der Seiten IIV und IIIII enthalten; zieht man ferner die Gerade lv₂, so wird diese als die Perspektive der Diagonale 1111 die Linie 2v₁ in 3 durchschneidend, die Perspektive 3 der Ecke III geben. Wird nun 3 mit v verbunden, und diese Verbindungslinie, in deren Verlängerung selbstverständlich die Perspektive der Seite III IV fällt, mit 1 vk zum Durchschnitt gebracht, so erhält man in 4 die Perspektive der Ecke IV. Somit ist in 12 3 4 die Perspektive des gegebenen Quadrates aufgefunden.

Benie r k u n g. Diese Construktionsweise wäre besonders dann zu empfehlen, wenn zur bildlichen Darstellung eines Objektes die Verzeichnung mehrerer ähnlich liegender Quadrate erforderlich wäre, weil sodann die gefundenen Verschwindungspunkte für alle Quadratseiten zu benützen sind. Diese Bemerkung lässt sich auch auf die folgenden Paragraphen anwenden.

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Nach diesem Verfahren ist die Länge des dem Verschwindungspunkte der gegebenen Geraden zugehörigen Sehstrahles von diesem Verschwindungs-punkte auf der Verschwindungslinie abzusclineiden, und somit, da der Ver-schwindungspunkt im vorliegenden Falle uuendlich weit liegt, und der demselben entsprechende Sehstralil eine unendliche Länge hat, der Theilungspunkt ganz unbestimmt gelassen.

b) Es ist ein Quadrat zu verzeichnen, wenn die Perspektive 1 2 (Eig. 102) der einen Seite desselben, in einer Ebene Eh Ev liegend gegeben ist.

Lösung. Nachdem man den der gegebenen Seite zugehörigen Verschwindungspunkt v mit dem Nebenauge 0₂ verbunden, und so den der Seite 1 2 entsprechenden, in die Bildebene umgelegten Parallelstrahl 0₂ v erhalten hat, wird man sich auf dieselbe Weise, wie im vorhergehenden Falle, zu benehmen haben, um auch die Perspektiven der beiden anderen Eckpunkte zu bestimmen. Dieses wollen wir, da das Verfahren bei jeder Lage einer die Bildfläche schneidenden Ebene das nämliche bleibt, für eine tikale Ebene durchführen. Man wird auf 0₂v die Linie 0₂v₁ senkrecht errichten, und den Winkel v 0₂vl durch die Gerade 0₂v₂ halbiren. Auf diese Art wird in der Verscliwindungs-\-j—~ punkt der beiden Seiten, die sich an die gegebene Seite 1 2 anschliessen, und in v₂ der Verschwindungspuukt der von 1 ausgehenden Diagonale erhalten. Verbindet man nun die Punkte 1 und 2 mit vt, und den Punkt 1 mit v₂, so wird die Linie 2vl, welche sich mit lv₂ in dem Punkte 3 durchschneidet, die Perspektive des dritten Eckpunktes bestimmen, und die verlängerte Gerade 3v mit lv₁ zum Durchschnitt in 4 gebracht, jene des vierten Eckpunktes des durch die gegebene Seite 1 2 bestimmten Quadrates angeben.

Fig. 102.

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Ist die Seite des darzustellenden Quadrates parallel zur Bildfläche, also auch parallel zur Bildfiächtrace der gegebenen Ebene E^EV gelegen, so ist die Construktion der Perspektive noch einfacher, indem alsdann der Nebenaugpunkt Al, als Ver-schwindungspunkt der beiden an die Ecken 1 und 2 sich anschliessenden Seiten erscheint, und die Verschwindungspunkte der von 1 und 2 ausgehenden Diagonalen mit den Nebendistanzpunkten der gegebenen Ebene zusammenfallen.

Fig. 103.

Hierbei kann man entweder blos einen Eckpunkt als den Durchschnitt der Perspektiven der einen Seite und der entsprechenden Diagonale T h ermitteln, und den anderen vermittelst der durch diesen Eckpunkt parallel zur gegebenen Seite gezogenen Linie auflinden,

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G oder beide Eckpunkte aus den Durch-schnitten der Perspektiven der Seiten mit den entsprechenden Diagonalen bestimmen.

In Fig. 103 ist vorliegende Aufgabe in der Grundebene durchgeführt. Bei dieser speciellen Lage der Ebene geht bekanntlich der Nebenaugpunkt in den Augpunkt über, und die

Nebendistanzpunkte werden mit den in der Horizontslinie gelegenen Distanzpunkten zusammenfallen.

§• 35.

Aufgabe.

In einer Ebene Eh Ev ist die Perspektive 1 2 der einen Seite eines regelmässigen Polygons, oder allgemein, eines der Form und Grösse nach bekannten Vieleckes gegeben, man soll das Polygon perspektivisch darstellen.

Lösung. Hiebei wird man sich die gegebene Ebene um ihre Bildflächtrace in die Bildebene umgelegt denken, und die Lage der gegebenen Seite auf bekannte Art ermitteln.

Am einfachsten wird man zum Ziele gelangen, wenn man eine Gerade parallel zur Bildflächtrace an einer beliebigen Stelle der Zeichnungsfläche zieht, die Lage der Hauptlinie annimmt, und die umgelegte Seite in der Stellung gegen die gewählte Gerade und die Hauptlinie verzeichnet, welche sie beziehungsweise gegen die Bildflächtrace und Hauptlinie einnimmt. Hierauf verzeichne man über der so bestimmten Seite das gegebene Vieleck.

Auf diese Art vorgehend, ist die zu lösende Aufgabe auf eine bereits behandelte zurückgeführt; denn es sind blos die Perspektiven der einzelnen Eckpunkte zu bestimmen. Wir werden demnach die Lösung dieser Aufgabe für ein willkürliches Polygon hier nicht weiter durchführen.

Bei regelmässigen Vielecken hingegen ergeben sich aus der gegenseitigen Lage der'einzelnen Punkte zumeist bedeutende Vereinfachungen, weshalb wir die perspektivische Darstellung einiger Polygone im Folgenden besprechen wollen.

Ist die darzustellende Figur ein regelmässiges Sechseck, so wird man, nachdem dieses über der gegebenen Seite III (Fig. 104) (welche in entsprechender Lage gegen die zur Bildflächtrace Ei unserer Ebene Eh Ev parallele Gerade P 0 gezeichnet ist) kon-struirt wurde, die Hilfslinien 1 V, IIIV, IIV, 11 V und III VI bei Bestimmung der einzelnen Eckpunkte in Anwendung bringen können.

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Ist 0₂ das in die Bildfläche umgelegte Nebenauge, so ziehe den der Geraden III entsprechenden Parallelstrahl 0₂ v parallel zu III, welcher die Verschwindungslinie Ev im Ver-schwindungspunkte v der Geraden 111, III VI und IV V treffen wird. Errichtet man weiters in 0₂ auf 0₂v die Senkrechte 0₂vx,

so erhält man in derselben den Versclrwindungspunkt vi der Geraden IIIV und I V. Wird endlich der rechte Winkel v0₂vj

Fig. 104.

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in drei gleiche Tlieile getlieilt, und ein solcher Theil von 0₂ v1 nach links übertragen, so erhält man durch diese Geraden 0₂v₃, 0₂ und 0₂ v₂ die Yerschwindungspunkte v₃, v₄ und v₂, welche beziehungsweise den Linien IIV, IIIII und V VI, — IIII und IV VI, — I VI, II V und IIIIV zukommen.

Sind auf diese Weise die sämmtlichen Verschwindungspunkte festgestellt, so übertrage man den Durchstosspunkt d der Geraden III nach 8 in die Bildflächtrace, ziehe die Perspektive 8u dieser Geraden und bestimme die Endpunkte derselben, d. i.

I    und 2, mittelst des dem Punkte v zugehörigen Theilungspunktes t oder nach einer andern bereits bekannten Methode.

Auf Grundlage dessen kann nun die Bestimmung der Perspektiven der noch fehlenden vier Eckpunkte des Sechseckes sehr leicht vorgenommen werden. Man wird nämlich jede dieser Ecken als den Durchschnitt zweier Linien darstellen, die entweder von den gegebenen Punkten 1 und 2 oder von den erst zu bestimmenden Punkten ausgehen. Auf diese Art wurde in Eig. 104 die Ecke V als der Durchschnitt der Perspektiven der beiden Linien I V und 11 V in 5 bestimmt; die Ecke IV ergab sich in 4 nicht nur auf die der Ecke V analoge Weise, indem man nämlich die beiden Linien IIIV und IIV zum Durchschnitt brachte, sondern auch mittelst der ihrer Lage nach bekannten Geraden VIV, die von einer der oberwähnten Linien IIIV oder IIV getroffen wird. Die Ecken VI und III sind als die Durchschnitte der Linien 1 VI, V VI, III VI, IV VI, beziehungsweise

II    III, IV III, VI III, IIII, von welchen blos je zwei zu benützen sind, in 6 und S aufgefunden worden.

Dass man für den Fall, als einige der hier angewendeten Yerschwindungspunkte ausserhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche fallen, sich leicht durch Abschneiden der betreffenden Längen behelfen kann, ist selbstverständlich und wird in folgendem Beispiele durch die Anwendung klar werden.

§. 36.

Aufgabe.

Eine Aneinanderreihung gleicher Polygone ist perspektivisch darzustellen.

a) Es sei in Eig. 105 a, ein aus regelmässigen sechseckigen Tafeln bestehender Eussboden perspektivisch so darzustellen, dass eine Seite der Sechsecke parallel zur Bildfläche ist.

Wird PQ (Fig. 105 b) in der Bildebene liegend vorausgesetzt, so folgt aus der bekannten Eigenschaft des Sechsecks, dass

die Diagonale PN gleich der doppelten Seitenlange MN, folglich P S=SN=MN=.... und P B = B S = S U= UN= ....

Fig. 105 b.

Fig. 105 a.

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ist. Ebenso ist ersichtlich, dass sämmtliche Punkte der aneinander gereihten Polygone in auf PQ senkrechten Geraden PP'. BIP, U U'.... liegen, deren Bilder mithin im Augpunkte verschwinden werden, und dass die zur Bildfläche parallelen Seiten in gleichen Abständen von einander hinter der Bildebene sich befinden.

Werden sonach die Punkte P, B, S.... in die Bildflächtrace nach p, r, s... übertragen, und diese Punkte mit dem Augpunkte A verbunden, so haben wir für die Bestimmung jedes einzelnen Eckpunktes eine durch denselben gehende Gerade als Bild des bezüglichen Perpendikels P P'.... erhalten.

so haben wir hiemit

Bestimmen wir nun die Perspektiven 1, 2, 3.... der Punkte I, II, III.... derart, dass wir auf einem dieser Perpendikel, z. B. auf p A, Punkte bestimmen, welche in gleichen Abständen wie PI.... auf einander folgen und ziehen durch diese Punkte die zur Bildflächtrace Parallelen 11', II IT .. ein zweites System von Linien erhalten, welches, im Durchschnitte mit den erst gefundenen, sämmtliche Eckpunkte liefert. Letztere sind nur noch entsprechend mit einander zu vereinen.

Ebenso lassen sich die Verschwindungspunkte v und vl der gegen die Bildebene unter einem Winkel von 60⁰ geneigten Seclis-eckseiten anwenden, wodurch alsdann die Auffindung der Punkte 1, 2, 3.... entfällt.

b) In Eig. 106 a ist ein aus regelmässigen Achtecken bestehender Eussboden so dargestellt, dass eine Achteckseite gleichfalls parallel zur Bildebene vorausgesetzt- wurde.

Berücksichtigt man, dass sodann zwei Seiten zur Bildebene senkrecht und die andern vier unter 45° gegen dieselbe geneigt sind, so wird die Construktion sich von selbst ergeben, und aus

Fig. 106 a.

Fig. 106 b.

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Fig. 106 b leicht zu entnehmen sein. Daselbst liegt die Seite PQ, deren Bild pq ist, im Abstande plrl hinter der Bildebene.

Bemerkung. Handelt es sich um die Bestimmung der wahren Grösse eines durch seine Perspektive gegebenen Polygons, so ist nur seine Ebene mit sämmtlichen darin gelegenen. Eckpunkten in die Bildebene umzulegen.

§• 37. Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt zweier Ebenen zu bestimmen.

Lösung. Ist EbEv (Fig. 107) die eine, und Eh Fv die andere Ebene, deren Durchschnitt bestimmt werden soll, so ist klar, dass der gemeinschaftliche Durch-schnittspunkt d der beiden Bildflächtracen Eb, Fb einen in der Bildebene gelegenen Punkt der zu bestimmenden Durchschnitts- H__j linie liefert.

Ebenso ergibt sich der Verschwindungs---r

punkt der zu suchenden Geraden als Durchschnitt der beiden Yerschwindungslinien Ev, Fv; denn die gerade Durchschnittslinie gehört beiden Ebenen an, folglich muss auch ihr Verschwindungs-punkt v in jeder der beiden Yerschwindungslinien gelegen sein. Es ist somit die Verbindungslinie l der beiden Punkte v und d der zu suchende Durchschnitt.

Fig. 107.

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Das eben Ausgesprochene findet in so lange seine Anwendung, als die zum Schnitt zu bringenden Ebenen die Bildebene schneiden.

Bestimmung derselben, wie wir früher an-

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Wäre jedoch eine der beiden Ebenen parallel zur Bildfläche (Eig. 108), und

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nahmen, ein Punkt p auf einer Geraden mvd gegeben, so wird man sich in diesem, wie überhaupt in allen Fällen, wo entweder der H Durchschnittspunkt der Bildfläch-“ tracen, oder der Verseil windungs-linien, oder beide zugleich ausser-G halb den Gränzen der Zeichnungsfläche fallen, dadurch helfen, dass man beide Ebenen durch andere

schneidet, und in den Durchschnittspunkten der so erhaltenen Schnittlinien, Punkte des verlangten Durchschnitts erhält.

I)ie zu dem eben genannten Zwecke dienenden Ebenen sind also Hilfsebenen, welchen beliebige Lagen gegeben werden können. In den Fällen aber, wo schon die Grundebene als solche anwendbar ist, wird man es selbstverständlich nicht unterlassen, dieselbe zu benützen.

Im obigen Beispiele, wo wir es mit einer zur Bildfläche parallelen und durch den Punkt p bestimmten Ebene zu tkun haben, erscheint es jedoch nicht immer zweckmässig, die Grundebene selbst als Hilfsebene zu benützen, indem man, um den Durchschnitt derselben mit der zur Bildfläche parallelen Ebene zu finden, noch einer zweiten Hilfsebene benöthigen würde.

Ebenso würde das hier von der Grundebene Gesagte auch für jede andere Hilfsebene, welche die Gerade md in sich nicht enthält, seine Geltung haben. Wir werden demnach, um am einfachsten zum Ziele zu gelangen, eine durch die Gerade md, also auch durch p hindurchgelegte Ebene hbhv, als Hilfsebene benützen. Da nun diese Ebene die zur Bildfläche parallele Ebene in der durch p zu lib parallel gezogenen Geraden n, und die Ebene Eb Ev in der Geraden dy Vy schneidet, so muss in dem diesen Durchschnittslinien gemeinschaftlichen Punkte q ein Punkt des verlangten Durchschnittes l sich ergeben, welch’ letzterer parallel zu Eb zu ziehen sein wird.

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überzugehen, wo die Ebene durch die Bildflächtrace und die Perspektive der Grundfläclitrace bestimmt wird. Dass es auch hier mitunter nöthig sein dürfte, Hilfsebenen anzuwenden, ist von selbst klar. So wurde z. B. in Fig. 110 für die zur Bildfläche parallele und durch den auf ma gelegenen Punkt p bestimmte Ebene die Perspektive der Grundfläclitrace E'g, die zu der Grundlinie parallel sein muss, vermittelst der durch ma gelegten Ebene hbhv ermittelt.

Fig. 111.

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Bemerkung 2. Ebenso einfach wird es sein zu zeigen, wie man von der im §. 12 und §. 13 behandelten Darstellungsart, einer Geraden und eines Punktes, auf die andere in §. 9 und §. 10 besprochene Darstellungsart, bei welcher man die Perspek- h_[A

tive und die Perspektive der Grundebenprojektion angibt, zurückkommen kann.

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In diesem Falle, wo schon für die Richtung der Durchschnittslinie eine Bedingung, nämlich die, dass sie parallel zu Eh sein müsse, vorlag, so wie auch in allen anderen Fällen, wo etwas Aelmliches eintritt, wie z. B. dort, wo sich blos der Durchschnitt der Bildflächtraeen, oder blos der der Verschwindungs-linien ermitteln lässt, reicht schon eine Hilfsebene aus, während sonst die Anwendung zweier Hilfsebenen geboten wäre.

Bemerkung 1. Sucht man zwischen einer Ebene Ei Ev (Fig. 109) und der Grundebene die Durchschnittslinie auf, so ist die Perspektive derselben nichts anderes, als die Perspektive der Grundebentrace E'g. Wir sehen somit wie leicht es ist von der zweiten Darstellungsart, §. 14, auf die erste, §. 11, d. i. diejenige

Fig. 109.

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Fig. 110.

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Ist nämlich 1% (Fig. 111) eine Gerade, fl—M ^ so hat man blos durch dieselbe eine zur 0 Grundebene projecirende Ebene pipv zu legen, und den Durchschnitt derselben mit der Grundebene zu

bestimmen, um so in V die Perspektive der Grundflächprojektion der Geraden ld zu erhalten.

Fig. 112.

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Wäre aber die Perspektive p (Fig. 112) eines Punktes auf einer Geraden ld, die zu seiner Bestimmung dient, gegeben, und man wollte die Perspektive seiner Grundflächprojektion erhalten, so wird es nur nöthig sein, die Perspektive der Grundflächprojektion V dieser Geraden, welche man P y mittelst pipv ermittelt hat, von einer durch q p zur Grundlinie senkrecht gezogenen Geraden in p zu durchschneiden, indem eben dieser Punkt p die verlangte Perspektive der Grundflächprojektion des gegebenen

Punktes bestimmt.

Bemerkung 3. Wir haben anfangs erwähnt, dass man einen Punkt und eine Gerade auch dadurch bestimmen kann, wenn man ausser der Perspektive noch die orthogonale Projektion auf der Bildebene angibt. Wie man sich diese orthogonale Projektion aus der zweiten Bestimmungsweise, §. 12 und §. 13, ermittelt, ist bereits bei der Bestimmung der wahren Länge einer Geraden durchgeführt worden, es ist demnach nur noch anzudeuten, wie man das Umgekehrte zu bewerkstelligen hat, d. i. wie man aus der gegebenen Perspektive und der orthogonalen Projektion auf die zweite Darstellungsart übergehen könne.

Fig. 113.

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Bei einer Geraden, die durch ihre Perspektive Z (Fig. 113) und ihre orthogonale Projektion L" bestimmt ist, hat man ihren Durchschnittspunkt mit der Bildebene in dem Punkte d, in welchem die Perspektive Z von der orthogonalen Projektion L" geschnitten wird, zu suchen, da L" zugleich die Bild-flächtrace Eh einer zur Bildfläche senkrech-- ten, die gegebene Gerade enthaltenden Ebene bestimmt. Der Yerschwindungspunkt v dieser Geraden wird sich nun in Z und in der Verschwindungslinie Ev dieser Ebene, welche durch A hindurchgeht und zu Eh parallel ist, ergeben.

Wie man sich bei gegebener Perspektive der Grundflächprojektion und bei bekannter orthogonaler Projektion eines Punktes oder einer Geraden die entsprechende Perspektive ermitteln kann, dürfte hier übergangen werden können, indem die dabei auszuführenden Construktionen, bei welchen man den Durchschnitt zweier Geraden oder zweier Ebenen zu bestimmen liât, einer weiteren Erklärung 'nicht bedürfen.

Die Grundflächprojektion und die orthogonale Projektion eines Punktes auf die Bildebene liegen immer in der zur Grundlinie senkrecht stehenden Ebene, es ist somit leicht einzusehen, in welcher Beziehung die Perspektive der Grundflächprojektion und die orthogonale Projektion zu einander stehen müssen.

§. 38.

A u f g- a h e.

Es ist der Durchschnitt einer Geraden ld mit einer Ebene Eb Ev zu construiren.

Lösung. Legt man durch die gegebene Gerade ld (Fig. 114) irgend eine Ebene Fb Fv, und bestimmt ihren Durchschnitt dl vx

Fig. 114.

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mit Eb Ev, so ist klar, dass derjenige Punkt, in welchem die eben aufgefundene Schnittlinie die gegebene Gerade trifft, /' den verlangten Durchschnittspunkt p an gibt.

Was die Wahl dieser Hilfsebene an-

_G belangt, so ist darauf zu sehen, dass sich

die Bildflächtracen und Yerschwindungs-linien noch innerhalb der Zeichnungsfläche treffen, und dass der Hilfsschnitt dx vx die gegebene Gerade unter einem Winkel schneide, der dem Winkel von ,90° möglichst nahe kommt.

In dem Falle, wo man den Durchschnitt einer Geraden ld (Fig. 115) mit einer zur Bildfläche parallelen Ebene (zu deren Bestimmung ein Punkt p auf einer Geraden md< gegeben ist) zu bestimmen hat, wird es, H nachdem man durch ld eine Ebene FhFv legte, noch nothwendig sein, eine durch .'■•G md‘ gehende Hilfsebene hbhv anzuwenden. Hiebei ist es zweckmässig für die Ebene Fb Fv die Verbindungslinie der Punkte v und vl als Verschwindungs-linie anzunehmen, und für die Ebene Jibhv die Gerade ddx als Bildflächtrace zu benützen.

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Fig. 115.

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Bei einer solchen Annahme wird nämlich dvx unmittelbar die Durchschnittslinie der beiden Ebenen hbhv und FhFv angeben. Nachdem nun die durch p bestimmte, zur Bildfläche parallele Ebene durch hbhv in der zur Bildflächtrace hb parallelen Geraden . p q geschnitten wird, so ist klar, dass die Gerade q r, welche durch q parallel zu Fh gezogen wird, die Durchschnittslinie der Ebene t\ Fv mit der zur Bildfläche parallelen Ebene vorstellt. Diese letztere Durchschnittslinie begegnet nun der Geraden lvd im Punkte r; es ist somit dieser Punkt der verlangte Durchschnittspunkt.

Bemerkung. Jede der Geraden dv, dvx, dxvx wird durch r, (7, p in proportionale Tlieile getheilt, und dies würde auch für jede andere Gerade gelten, deren Durchschnitt mit der durch p gehenden Ebene gesucht werden sollte. Man kann dies umkehren und sagen: alle Punkte, welche die Perspektiven von geraden Linien (nämlich ihre Längen zwischen dem Durchschnittsund Verschwindungspunkte) in proportionale Theile theilen, liegen in einer zur Bildfläche parallelen Ebene.

§. 39.

A u f g- a b e.

Es ist auf einer Ebene ein Perpendikel zu errichten.

Lösung. Nachdem die sämmtlichen auf Eh Ev senkrecht stehenden Linien, als untereinander parallel, einen gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt besitzen, so wird es sich bei der Lösung der vorliegenden Aufgabe vor Allem um den Ort dieses Verschwindungspunktes handeln. Dieser ergibt sich sehr einfach, wenn man bedenkt, dass derselbe nichts anderes als der Durchschnitt des entsprechenden Parallelstrahles, d. i. einer durch das Auge hindurchgehenden, auf der Parallelebene der gegebenen Ebene EhEu senkrecht stehenden Geraden mit der Bildfläche ist. Wenn also E (Fig. 116) die gegebene Ebene und e die ihr entsprechende Parallelebene ist, so bestimmt die Gerade Ov in ihrem Durchschnitt v mit der Bildebene den verlangten Verschwindungspunkt.

Es wird nur noch zu zeigen sein, wie man diesen Punkt auf der Zeichnungsfläche erhält.

Zu diesem Zwecke betrachten wir die Ebene vOAx, die wir durch Ov und OA hindurchlegen, und welche demnach die Linie vA zu ihrer Bildflächtrace haben wird. Diese Ebene steht auf

der Parallelebene e und der Bildfläche BE senkrecht, somit auch auf ihrem gemeinschaftlichen Durchschnitte, d. i. auf der Ver-

Fig. 116.

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schwindungslinie Ev. Daraus geht hervor, dass die Trace vAAl auf Ev senkrecht sein muss, und dass somit der Nebenaugpunkt einer Ebene, der Augpunkt und der Verschwindungspunkt der auf ihr senkrecht stehenden Linien in einer und derselben Geraden enthalten sind. Nachdem ferner die Linie Ov gegen OA1 perpendikulär ist, so wird, um die in Fig. 117 ausgeführte Construktion be- ^ hufs der Bestimmung des Verschwin-dungspunktes v zu erläutern, blos noch zu bemerken sein, dass man sich die Ebene v 0 Al um ihre Bildflächtrace Alv in die Bildebene umgelegt zu denken hat.

Es wurde sonach Alv senkrecht auf Ev, A 0₁ parallel zu Ev

Peschka u. Koutny, Perspektive.

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Fig. 117.

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gezogen, auf A Oj von A nach 0₁ die Augdistanz aufgetragen, und in Ol auf Al Ol die Senkrechte Ol v gefällt, welche A₁Av in dem zu bestimmenden Verschwindungspunkte v trifft.

Nun werden sämmtliche Linien, deren Perspektiven in dem eben aufgefundenen Punkte v verschwinden, zur Ebene Eh Ev perpendikulär gerichtet sein. Hiernach erhält man eine unbestimmte Zahl solcher Linien, falls nicht die senkrechte Gerade durch einen gegebenen Punkt gehen soll. Eine solche Linie wäre z. B. ld.

Nehmen wir aber an, es sei ein solcher Punkt p auf einer Geraden ml] gegeben, so wird man den Durchschnitt d₂ dieser Linie vd₂ mit der Bildebene nicht beliebig wählen können, sondern es wird sich derselbe vermittelst der Ebene Fb Fv ergeben, welche die Gerade m und die durch p hindurchgehende Senkrechte s in sich enthält.

Bemerkung 1. Aus der Construktion ist ersichtlich, dass der Verschwindungspunkt v lediglich von der Augdistanz und von der Verschwindungslinie Ev der gegebenen Ebene, keineswegs aber von deren Trace Eb abhängt.

Denn versetzt man Eb parallel zu sich selbst, so bestimmt diese Trace mit der Verschwindungslinie Ev eine neue Ebene, welche zu der ersten parallel ist, und auf welcher daher wieder alle in v verschwindende Linien senkrecht stehen müssen.

Bemerkung 2. Liegt die Verschwindungslinie Ev nahe dem Augpunkt, so fällt der Verschwindungspunkt v weit hinaus, und er fällt in unendliche Entfernung, wenn die Verschwindungslinie der Ebene durch den Augpunkt geht, weil dann die Ebene auf der Bildfläche senkrecht steht, daher die zu suchenden Geraden mit dieser parallel sind.

Ist die Ebene, auf welche die Senkrechte zu errichten ist, zur Bildfläche parallel, so wird die zu ziehende Gerade auch auf der Bildfläche senkrecht stehen, daher im Augpunkte verschwinden.

§. 40.

Andere Lösung- der vorhergegangenen Aufgabe.

Die eben gelöste Aufgabe, durch einen Punkt p auf eine Ebene eine senkrechte Gerade zu errichten, kann auch auf Grundlage des Satzes, dass, wenn eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, ihre Projektionen auf den Tracen dieser Ebene senkrecht sein müssen, durchgeführt werden.

Ist also Et, Ev die gegebene Ebene und p der durch die Gerade lvd bestimmte Punkt, und hat man die Bildflächprojektion p' (Eig. 118) und die Perspektive der Grundflächprojektion p mit Hilfe der durchgelegten Ebenen Fh Fv und Hh Hv aufgesucht, ferner die Perspektive der Grundflächtrace E'g der Ebene Ei Ev

Fig. 118.

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auf bekannte Art ermittelt, so wird die Bildflächprojektion S" der verlangten Senkrechten durch p" geometrisch senkrecht gegen die Bildflächtrace Et, zu ziehen sein. Die Perspektive S' der Grundflächprojektion dieser Senkrechten kann natürlich nur perspektivisch senkrecht gegen E'g gezogen werden, wesshalb man sich veranlasst sieht, ihren Verschwindungspunkt vx mittelst des der Grundebene entsprechenden, in die Bildebene umgelegten Parallelstrahles Ovx zu bestimmen.

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Kennt man sonach die Bildflächprojektion S" und die Perspektive der Grundflächprojektion S' des durch p zu ziehenden Perpendikels, so unterliegt es auch keiner weiteren Schwierigkeit, die Perspektive S desselben aufzufinden. Man hat nämlich nur die durch S' gelegte, zur Grundfläche projecirende Ebene p^pv mit der durch S" gehenden und auf der Bildebene senkrecht stehenden Ebene E\ E v zum Durchschnitt zu bringen, um die verlangte Gerade v₂d₂ zu erhalten.

Bemerkung. Es ist hier nur noch zu erwähnen, dass man in jenen Fällen, in welchen bei dem zuerst angeführten Verfahren der Verschwindungspunkt ausserhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche fällt, wo man also die Richtung der Perspektive der verlangten Senkrechten wenigstens nicht ohne Zwischenconstruktionen (die erst später besprochen werden) erhält, dieses auf die zuletzt auseinandergesetzte Art erreichen kann. Es kann nämlich die ■Durchschnittslinie der Ebenen pbpv und EhEv immer bestimmt werden, wenn es auch mit Anwendung von Hilfsebenen geschehen müsste.

§. 41.

Aufgabe.

Es ist auf eine gegebene Gerade eine senkrechte Ebene zu errichten.

Lösung. So wie man bei der vorhergehenden Aufgabe auf zweifache Weise zum Resultate gelangte, so wird es auch hier möglich sein, zwei verschiedene Verfahrungsarten anzuwenden,

um zu besagtem Ziele zu gelangen. Diese sind übrigens nichts anderes, als die Umkehrung der zur Lösung der vorhergehenden Aufgabe be-^ nützten Methoden.

Die eine Verfahrungsart beruht darauf, dass die Verschwindungs--5 linie einer Ebene, welche auf einer Geraden lvd (Fig. 119) senkrecht steht, mag diese Ebene durch was immer für einen Punkt hindurchgehen, sich durch das bei Ox rechtwinklige Dreieck v Ox Ax ergibt. Wird nämlich v mit A verbunden, so ist dies die orthogonale Projektion des dem Punkte v

Fig. 119.

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Der Nebenaugpunkt A₁ derselben wird einfach erhalten, wenn A0₁ senkrecht auf Av gezogen, gleich der Aug-distanz A 0 gemacht, und die Gerade Ai 0₁ bis zum Durchschnitte A₁ mit Av, durch Ol senkrecht auf vOx geführt wird.

entsprechenden Parallelstrahls auf der Bildebene, wesshalb die Verschwindungslinie der zu suchenden Ebene senkrecht auf Av stehen muss.

Auf diese Art ergibt sich die Verschwindungslinie Ev, und falls nun nicht ein bestimmter Punkt gegeben wäre, durch welchen die senkrechte Ebene hindurchgehen soll, so könnte jede beliebige parallel zu Ev gezogene Linie, wie z. B. E\, als Bildflächtrace dieser Ebene angenommen werden, weil unendlich viele Ebenen, welche jedoch sämmtlicli zu einander parallel sind, obiger Bedingung Genüge leisten.

Aus dem bei der vorhergehenden Aufgabe Bemerkten, dass nämlich der Verschwindungspunkt einer auf einer Ebene senkrecht stehenden Geraden blos von der Verschwindungslinie dieser Ebene abhängt, ist übrigens das eben Gesagte gleichfalls einleuchtend.

Fig. 120.

Soll aber die Ebene, welche senkrecht auf ld zu legen ist, durch einen bestimmten Punkt p, der sich auf einer Geraden md\ befindet, hindurchgehen, so kann die Bildflächtrace Eh vermittelst der Ebene Eh Fv, welche man durch md\ und durch eine durch p gehende, zu der zu suchenden Ebene Eb Ev parallele Gerade nvd% (deren Versch windungspunkt selbstverständlich in Ev zu wählen ist) ganz genau bestimmt werden. Sie ist nämlich durch den Durchstosspunkt tZ₂ der eben erwähnten Geraden nd\ zu führen.

Ist die Gerade l (Fig. 120), auf welche eine senkrechte Ebene zu

fällen ist, parallel zur Bildfläche, so wird die Verschwindungslinie der senkrechten Ebene durch den Aug-punkt A gehen müssen, und zugleich auf der Richtung der Perspektive l senkrecht erscheinen. Soll nun diese Ebene durch einen auf md\ gelegenen Punkt p gehen, so ergibt sich, wie oben, mit Hilfe der Ebene Fb Fv die Bildflächtrace Eh.

Die zweite Verfahrungsart bei der Lösung der hier gestellten Aufgabe fordert vor Allem die orthogonale Projektion der gege-

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benen Geraden und des gegebenen Punktes auf der Bildfläche, ferner die Perspektiven der entsprechenden Grundflächprojektionen.

Bemerkung. Da jedoch die Durchführung der liier noth-wendigen Construktionen eine blose Wiederholung des bereits in §. 40 Erörterten wäre, so kann dieselbe, unter Hinweisung auf das dort Gesagte, übergangen werden.

§• 42.

Aufgabe.

Es ist durch eine gegebene Gerade eine Ebene zu legen, die auf einer anderen Ebene senkrecht steht.

Um diese Aufgabe zu lösen, wird man sich in der gegebenen Geraden lvd einen Punkt p (Fig. 121) annehmen, durch diesen eine Senkrechte mvd\ zur gegebenen Ebene Eh Ev ziehen, und

Fig. 121.

hierauf in der Ebene Fh F v welche die Geraden l und m in sich enthält, das gewünschte Resultat finden.

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Dass man von der Geraden m blos (nach §. 39) den V ersch windungspunkt v zu suchen, und den-— selben mit v zu verbinden bat, um die Ver-schwindungslinie der zu suchenden Ebene zu erhalten , ist selbstverständlich.

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Bemerkung. Nachdem alle auf einer und derselben Ebene senkrecht stehenden Geraden in einem und demselben Punkte verschwinden, so ist leicht einzusehen, dass auch die Verschwindungslinien sämmtlicher Ebenen, die auf einer gegebenen Ebene senkrecht stehen, sich in einem bestimmten Punkte, und zwar in dem oberwähnten Verschwindungspunkte v der auf derselben Ebene senkrecht stehenden Geraden durchkreuzen müssen.

§• 43.

Aufgabe.

Es ist durch einen gegebenen Punkt eine Parallele zu einer gegebenen Geraden, und eine Ebene parallel zu einer gegebenen Ebene zu führen.

Wegen der bereits bekannten Lösung der ersten Aufgabe, soll blos der letzteren Erwähnung geschehen.

Lösung. Ist p (Fig. 122) der gegebene, auf lvd gelegene

Fig. 122.

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Punkt, und EbEv die gegebene Ebene, so wird blos ein Punkt dl der Bildflächtrace der fraglichen Ebene zu suchen sein, da die Verschwindungslinie Ev beiden Ebenen gemeinschaftlich ist. Dieser Punkt d₁ kann einfach dadurch festgestellt werden, dass man durch p irgend eine Gerade ml[ so legt, dass ihr Verschwin-dungspunkt v₁ in die Verschwindungslinie Ev fällt, und hierauf deren Durchstosspunkt d₁ mit Hilfe der durch l und m gehenden Hilfsebene EbFv aufsucht.

§. 44.

Aufgabe.

Es ist: a) durch einen Punkt und eine Gerade, b) durch zwei parallele Gerade und c) durch zwei sich schneidende Gerade eine Ebene zu legen.

Die beiden ersten Aufgaben können eine gemeinschaftliche Lösung finden, indem es am zweckmässigsten erscheint, die erstere

auf die zweite zurückzuführen ; die dritte hingegen kann, als schon mehrfach angewendet, hier übergangen werden.

Ist also Id (Fig. 123) die gegebene Gerade und p der auf

Fig. 123.

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der Linie m\ gelegene Punkt, so führe man durch denselben die Gerade ndi parallel zu lvd und bestimme deren Durchstosspunkt d₂, so wird dd₂ die Bildflächtrace Ei, und Ev durch v parallel zu dd₂ gezogen, die VerschWindungslinie der gesuchten Ebene Ei Ev sein.

§• 45.

Aufgabe.

Es sind zwei Punkte gegeben, man soll die Verbindungslinie dieser beiden Punkte bestimmen.

Lösung. Seien die besagten Punkte p und q (Fig. 124) auf den Geraden ld und md\ gelegen, so wird der Versch windungspunkt v₃ und der Durchstosspunkt d₃ der Verbindungslinie k zu suchen sein.

Zu diesem Zwecke verbinde man einen der beiden Punkte, z. B. p, mit dem Versch windungspunkte v₁ der zweiten Geraden, und bestimme den Durchstosspunkt d₂ dieser Geraden n mit

Hilfe der durch l und n gelegten Ebene Eb Ev. Nachdem nun n zu m parallel ist, und die Gerade k beide Linien durchschneidet, so werden offenbar diese drei Geraden in einer Ebene Hb Hv

Fig. 124.

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liegen, deren Bildfläclitrace durch d₂ d₁ gehend, die Gerade k in dem zu suchenden Durchstosspunkte d₃ trifft.

Ebenso schneidet die durch v₁ parallel zu Hb gezogene Ver-schwindungslinie Hv die Gerade k im fraglichen Verschwindungs-punkte v₃.

§• 46.

A u f g- a b e.

Es ist durch drei gegebene Punkte eine Ebene zu legen.

Lösung. Sind p, q und r (Eig. 125) die drei Punkte, welche beziehungsweise in den Geraden lvd, nid,, liegen, so bestimme man nach §. 45 die Verbindungslinie pq der Punkte p und q in u₄d₄, so wie die Verbindungslinie qr der Punkte q und r in

c?6- Bie Bildflächtrace Eb und die Verseilwindungslinie Ev der suchenden Ebene sind sodann durch Vereinigung der Durch-stosspunkte und der Verschwindungspunkte gegeben.

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Fig. 125.

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Der Umstand, dass Eh parallel zu Ev sein muss, bietet eine Contrôle für die Genauigkeit der durchgeführten Construktionen.

Einfacher jedoch gelangt man zum Ziele, wenn anstatt der zweiten Geraden rq jene Linie bestimmt wird, welche durch den Punkt r geht, und zu der eben bestimmten Geraden pq parallel ist. Letztere erhält man sonach, wenn r mit v₄ verbunden und ihr Durchstosspunkt dr mit Zuhilfenahme der Geraden n mittelst der Ebene Mv Mh aufgesucht wird.

Die Punkte d₄ und dr mit einander vereint, werden die Bildflächtrace der zu suchenden Ebene geben, deren Verschwindungs-linie Ev durch vą parallel zu Eb zu ziehen ist.

§• 47.

A u f g" a b e.

Es ist a) die orthogonale, h) die schiefe und c) die centrale Projektion eines Punktes auf einer gegebenen Ebene zu bestimmen.

Lösung, a) Man ziehe durch den gegebenen Punkt eine Senkrechte zur gegebenen Ebene und bestimme ihren Durchschnitt mit derselben. Der Durchschnittspunkt ist die gesuchte Projektion. b) Die parallel zu der als Richtung der projecirenden Geraden durch den Punkt geführte Linie gibt im Durchschnitt mit der gegebenen Ebene die verlangte Projektion, c) Man zieht durch den Pol oder das Projektionscentrum und den gegebenen Punkt eine Gerade, und sucht ihren Durchschnitt mit der gegebenen Ebene.

Bemerkung. Die Projektion irgend einer Figur auf eine Ebene in jedem der genannten Fälle wird durch die Projektionen der einzelnen Eckpunkte bestimmt.

Ist z. B. bei gegebener Ebene Eb Ev (Fig. 126) und gegebener Perspektive (1, 2, 3, 4) die Grundflächprojektion, oder umgekehrt, bei gegebener Ebene Eb Ev und bekannter Perspektive der Grundflächprojektion (!', 2', 5', 4') die Perspektive einer Figur zu bestimmen, so hat man einerseits blos die orthogonalen Projektionen der einzelnen Eckpunkte auf der Grundebene, und andererseits die schiefen Projektionen dieser Punkte auf der

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Ebene Eb Ev zu ermitteln, wobei die die Richtung der projecirenden Geraden bestimmende Linie auf der Grundin beiden Fällen wurden die nöthigen

ebene senkrecht steht.

Durchschnittspunkte der entsprechenden projecirenden Geraden in der Art bestimmt, dass man durch diese zur Bildfläche parallele Ebenen legte. Solche Hilfsebenen sind am zweckmässigsten

zu wählen, weil durch dieselben die Grundebene parallel zur Grundlinie, und die Ebene Eb Ev parallel zur Bildflächtrace geschnitten wird.

§• 48.

A u f g a b e.

Es ist der Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen.

Lösung. Ist la (Fig. 127) die gegebene Gerade, so wird man durch dieselbe eine senkrechte Ebene Fb Fv zur gegebenen

Ebene Eb Ev legen, und in dem Durchschnitte der beiden die orthogonale Projektion der Geraden auf der Ebene EbEv, also den zweiten Schenkel des verlangten H Neigungswinkels erhalten.

Wir haben demnach den Verschwindungspunkt aller G auf der Ebene Eb Ev senkrecht stellenden Geraden zu

Fig. 127.

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ermitteln, und diesen mit v zu verbinden, um die Ver-schwindungslinie Fv der durch lvd auf Eb Ev senkrecht ge-Die Durchschnittslinie d₂v₂

führten Ebene Fb Fv zu erhalten, gibt nun, indem sie die gegebene Gerade dv im Punkte p schneidet, den verlangten Neigungswinkel vpv₂.

Die wahre Grösse desselben wird sich auf bekannte Art

durch Umlegen der der Ebene Fb Fv entsprechenden Parallelebene, sammt den in ihr liegenden Parallelstrahlen v und v₂, in v 0₂ v₂ ergeben.

Eine zweite Lösung dieser Aufgabe wäre folgende:

Ist Ev (Fig. 128) die Verschwindungslinie der gegebenen Ebene, und v der Verschwindungspunkt der gegebenen Geraden, so bestimme man, wie im vorhergehenden Fall, den Verschwirr-dungspunkt vY der auf Ev senkrechten Geraden.

Bedenkt man, dass die den Punkten v und zugehörigen Parallelstrahlen den Complementswinkel des zu suchenden Neigungswinkels miteinander bilden, so folgt, dass man den ersteren

erhält, wenn man das Dreieck, dessen Ecken das Auge im Raume und die beiden Verschwindungspunkte v und Vj sind, um die Bild-flächtrace seiner Ebene, d. i. um vv₁, in die Bildebene umlegt.

Fig. 128.

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Hiebei fällt das Auge nach 0₂ (wenn g 0₂ = o O, gleich der Nebenaugdistanz gemacht wird), folglich ist v0₂vl das in die Bildebene niedergelegte Dreieck, welches bei 0₂ den Complements-winkel y = 90 — Ne enthält, weshalb blos in 0₂ die Senkrechte 0₂ S auf 0₂ vl zu errichten ist, um in v 0₂ S den verlangten Neigungswinkel zu erhalten.

Specielle Fälle.

Es ist der Neig-ungswinkel einer Geraden a) gegen die Bildebene, und b) gegen die Grundebene zu bestimmen.

Was diese beiden Fälle anbelangt, so ist der Gang der Lösung derselbe wie im Vorhergehenden.

Die graphischen Operationen vereinfachen sich aber, indem hier durch die gegebene Gerade lvd im ersten Falle eine proje-cirende Ebene zur Bildfläche, und im zweiten eine auf der Grundebene senkrecht stehende Ebene zu legen ist.

Der erste Fall ist in Fig. 129 durchgeführt. Hiebei ist EhEv die projecirende Ebene. Die wahre Grösse des Neigungswinkels, der hier von der Geraden dv und der Bildfläch trace Et einge-

schlossen wird, ist in Av Ol — v Ol E'b = Nb dargestellt, und würde sich nach der zweiten Lösungsweise unmittelbar durcli Verzeichnung des Dreiecks A v 0, ergeben.

Fig. 129.

Op

o

co

Jv

E*/

H___Dtxüg’

vi|A,

_H

EL

JL

IYLL-

(1

Die Fig. 130 zeigt die Lösung des zweiten Falles.

Hiebei ist die zur Grundfläche senkrecht geführte Ebene Pb PVi welche die Grundebene in dlvl schneidet. Diese Durch-schnittslinie trifft dv im Punkte p\ es ist somit vpvl der Neigungswinkel, dessen wahre Grösse sich in v Ol v₁ = Ng ergibt.

Fig. 131.

Einfacher noch gelangt man zur Lösung derselben Aufgabe, wenn man sich der zweiten Methode bedient.

,-'1r

0.

dO

Ist nämlich v (Fig. 131) der Ver-schwindungspunkt der gegebenen Geraden, und 0 der in der Vertikal-jj linie liegende Distanzpunkt, so hat man blos vd senkrecht auf die Horizontslinie zu ziehen, die Länge d 0 nach zu übertragen und Ol mit v zu verbinden, um in v Ol d = Ng den verlangten Neigungswinkel zu erhalten.

§. 49.

Aufgabe.

Es ist durch einen Punkt p (Fig. 132) eine Gerade unter einem bestimmten Winkel gegen eine Ebene Eh E„ zu ziehen.

Lösung. Damit die gestellte Aufgabe eine bestimmte werde, muss noch eine anderweitige Bedingung, z. B. die gegeben sein, dass die Gerade in der durch den Punkt p gehenden, senkrecht auf Eb Ev geführten Ebene Fb Fv enthalten sei.

Fig. 132.

Man wird daher hlos durch p in der Ebene Fb Fv gegen ihre Schnittlinie mit EbEv, also gegen dlv₁ eine Linie unter dem gegebenen Winkel zu ziehen haben.

Er.

Pi

Zur Bestimmung des Punktes p diene die Gerade lvd.

\ „

v\

/\

\s

7\

■<cS

s\\\

Ist also Fb Fv die durch p geführte auf EbEv senkrecht stehende Ebene, de- H renVerschwindungs- — linie Fv durch den vorerst bestimmten V erschwindungs-punkt v aller auf Eb Ev senkrechten Geraden beliebig ge- ^ zogen werden kann, so werden sich diese beiden Ebenen EbEv und Fb Fv in der Geraden vx d₁ schneiden, welche mit der zu führenden Linie den gegebenen Winkel Ne einschliessen soll. Nachdem aber auch die diesen beiden Geraden entsprechenden Parallelstrahlen, welche in der Parallelebene Fv liegen, denselben Winkel bilden, so wird man blos diese Parallelebene um deren Trace Fv in die Bildfläche umzulegen, das niedergelegte Auge 0₂ mit vl zu verbinden, und an 0₂ vl in 0₂ den Winkel Ne zu verzeichnen haben, dessen so gefundener Schenkel 0₂v₂ den umgelegten Parallelstrahl der zu bestimmenden Linie vorstellt, und Fv im Verschwindungspunkte v₂ dieser Geraden schneidet. Der Durchschnittspunkt d₂ derselben liegt offenbar in der Bildflächtrace Fb der angenommenen Ebene Fb Fv.

§• 50.

A u f g a b e.

Es ist eine Linie derart zu zielten, dass ihre Grundflächprojektion mit der Grundebene, und sie selbst mit der Grundflächprojektion einen bestimmten Winkel einschliesst ; oder mit anderen Worten: Es ist eine Linie zu finden, für welche ausser der Neigung der ihr entsprechenden vertikalen Ebene gegen die Bildfläche, noch der Neigungswinkel derselben gegen die Grund-ebene gegeben ist.

Lösung. Es ist klar, dass wenn auch der Punkt, durch welchen eine solche Linie gehen soll, gegeben wäre, der Ver-schwindungspunkt derselben von diesem Punkte nicht abhängen wird. Es ist demnach vor Allem zu zeigen, wie man den Ver-schwindungspunkt einer solchen Linie, für welche die oberwähnten Winkel gegeben sind, bestimmen kann.

Der erstere Winkel, welcher die Neigung der entsprechenden Vertikalebene gegen die Bildfläche angibt, heisse nt und der zweite, das ist der Neigungswinkel gegen die Grundebene, na.

Der Gang der Lösung erscheint sehr einfach, wenn man bedenkt, dass die von dem Gesichtspunkte (Auge) O (Fig. 133)

Fig. 133.

-X

-"-V

?r--

Ev

yVT

ct

gegen die Horizontslinie HH unter dem gegebenen Winkel nt, gezogene Linie Ov in v einen Punkt der Verschwindungslinie Ev derjenigen vertikalen Ebene angibt, welche die verlangte Gerade in sich enthält. Man findet nämlich H- in der Verschwindungslinie Ev, welche senkrecht auf der Grundebene steht, die Trace der ent-G sprechenden Parallelebene, die demnach auch den der zu ziehenden Geraden zugehörigen Parallelstrahl in sich enthalten muss. Denkt man sich also diese Paral-leiebene sammt dem Auge in die Bildebene umgelegt, wobei das Auge nach Ov und der Parallelstrahl, welcher dem Durchschnitte der oberwähnten vertikalen Ebene mit der Grundebene angehört, nach 0₁ v zu liegen kommt, so wird es nur nöthig sein, eine

Linie 0₁ v gegen 0X v unter dem Winkel ng zu ziehen, um im Punkte v den Verschwindungspunkt von Linien, welche der Aufgabe Genüge leisten, zu erhalten.

Da der Neigungswinkel ng von der Geraden und dem Durchschnitte der durch dieselbe gelegten vertikalen Ebene mit der Grundfläche gebildet wird, so ist die Linie Oxv der Parallelstrahl der verlangten Geraden, und muss als solcher mit Ox v den gegebenen Winkel ng bilden.

Wäre nun ein Punkt p auf lvd\ gegeben, und man sollte durch denselben eine Linie unter den genannten Winkel ziehen, so hätte man blos als Verschwindungspunkt für dieselbe den gefundenen Punkt v anzunehmen, während sich deren Durchschnittspunkt d mittelst der Ebene Fb Fv ergeben würde.

§. 51.

Aufgabe.

Durch einen gegebenen Punkt ist eine Ebene zu legen, die mit der Grundebene den Winkel ng und mit der Bildebene den Winkel nb einschliesst.

Lösung. Bestimmt man sich auf bekannte Weise eine Linie, welche mit der Grundebene den Winkel Ng — 90° — ng und mit der Bildebene den Winkel Nb = 90⁰ — nb bildet, so hat man blos durch den gegebenen Punkt eine Ebene senkrecht auf diese Linie zu legen, um den Bedingungen der Aufgabe zu genügen.

§. 52.

Aufgabe.

Es ist der Neigungswinkel zweier Ebenen EbEv und FbFv zu bestimmen.

Lösung. Es ist einleuchtend, dass, wenn man auf die gemeinschaftliche Durchschnittslinie der beiden Ebenen Eb Ev und FbFv durch einen willkürlich angenommenen Punkt dieser Durchschnittslinie eine Ebene senkrecht errichtet, und hierauf die Durchschnittsgeraden dieser letzteren Ebene mit den beiden gegebenen Ebenen aufsucht, diese so erhaltenen Schnittlinien einen Winkel bilden werden, welcher dem Neigungswinkel der beiden gegebenen Ebenen gleich ist, und dessen Scheitel in den angenommenen Punkt fällt.

Aus diesem ist ersichtlich, in welcher Art und Weise die

Peschka u. Koutny, Perspektive.

graphische Durchführung für die Lösung vorliegender Aufgabe zu geschehen hat.

Berücksichtigt man, dass die beiden Parallelebenen, welche den gegebenen Ebenen zugehören, denselben Neigungswinkel haben, so wird sich die Construktion desselben einfacher gestalten.

Zuvor sei jedoch noch bemerkt, dass bei unveränderter Lage des Auges der Neigungswinkel zweier Ebenen von den Bildfläch-tracen derselben unabhängig ist, indem die entsprechenden Parallelebenen blos durch das Auge und die Verschwindungslinien bestimmt werden. So lange also diese Stücke unverändert bleiben, kann sich auch weder der von den Parallelebenen gebildete Winkel noch der ihm gleiche Neigungswinkel der beiden gegebenen Ebenen ändern, wenn auch die Bildflächtracen der Ebenen parallel zu sich selbst beliebig verschoben werden.

Fig. 134.

■.7%'

Ist nun v (Fig. 134) der Durchschnittspunkt der Verschwindungslinien Ev und Fv der beiden gegebenen Ebenen, so ist offenbar die Gerade vA die Bildflächprojektion des Durchschnittes der beiden Parallelebenen.

<T-

f;<:

(-.o,

O2S

Q.

'e.

M XA,

Legt man nun durch das Auge eine Ebene senkrecht auf jenen Durchschnitt, so muss ihre Trace PQ rechtwinklig zu vA sein. Ein Punkt Al dieser Trace ward gefunden, wenn man auf den in v Ox um-gelegten Durchschnitt der beiden Parallelebenen im Punkte Ol die Linie OxA senkrecht errichtet. (Siehe

§• 41.)

Die genannte Ebene, deren Trace PQ den Verschwindungslinien Ev und Fv in den Punkten vx und v₂ begegnet, schneidet die beiden Parallelebenen nach zwei Geraden, welche das Auge mit vx und v₂ verbinden, und welche mit vx v₂ ein Dreieck bilden, wovon letztere Linie die Grundlinie, Ox Ax die Höhe, und Ax der Fusspunkt derselben ist. Dieses Dreieck um PQ in die Bildfläche nach vx0₂v₂ umgelegt, liefert, gegenüber von v₁ v₂, die Grösse des gesuchten Neigungswinkels Ne.

Bemerkung. Würde man das Anfangs angedeutete Verfahren bei Lösung dieser Aufgabe zur Ausführung bringen, so würde die Verschwindungslinie derjenigen Ebene, welche man durch einen in der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie angenommenen Punkt senkrecht auf diese Gerade führt, nach PQ fallen müssen, und es sind demnach die Linien 0₂v^ und 0₂^2 zugleich die umgelegten Parallelstrahlen derjenigen Geraden, welche als Durchschnitte der erwähnten senkrechten Ebene mit den beiden gegebenen Ebenen gefunden wurden.

§• 53.

Aufgabe.

Es ist der Neigungswinkel einer Ebene gegen die Grundebene zu bestimmen.

Lösung. Vorliegende Aufgabe kann als specieller Fall der eben gelösten betrachtet werden.

Fig. 135.

Ev;,''"'

A, h

Man wird da die Grundebene in der Horizontslinie verschwindet, diese letztere als die Verschwindungslinie der zweiten Ebene betrachten. Ist demnach Ei Ev (Fig. 135) die gegebene Ebene, v 0 der in die Bildebene umgelegte Durchschnitt der beiden Parallelebenen Ev, HH, und PQ -die mittelst OA₁ bestimmte Trace derjenigen Ebene, welche durch das Auge hindurchgeht und senkrecht auf der Grundflächtrace der gegebenen Ebene steht, also den Neigungswinkel in sich enthält, so wird, A₁ 0 nach A₁ Ol übertragen, in Ol der Scheitel des verlangten Neigungswinkels liegen, und letzterer in vl Ox A₁ = ng in der wahren Grösse erscheinen.

§• 54.

Aufgabe.

Es ist der Neigungswinkel einer gegebenen Ebene gegen die Bildebene zu bestimmen.

Lösung. Da der Bildebene eine in unendlicher Entfernung gelegene Verschwindungslinie zukömmt, so wird dieser Fall am zweckmässigsten derart zu behandeln sein, dass man den Neigungswinkel der Parallelebene Ev (Fig. 136) mit der Bildebene, und nicht, wie früher angenommen wurde, den Neigungswinkel der beiden Parallelebenen aufsucht. H Es ist sodann PQ die Trace der durch das Auge senkrecht auf Ev (das ist die Durchschnittslinie der beiden Ebenen) geführten Ebene, folglich Oj das um PQ umgelegte Auge, und Olv₁Q = nb der gewünschte Neigungswinkel.

Fig. 136.

vV"'

°X

Würde man jedoch beide Parallelebenen benützen, so würde sich der Neigungswinkel in UjO.Pj, wie leicht einzusehen, ergeben.

§. 55.

Andere Methode zur Bestimmung- des Neigungswinkels zweier Ebenen.

Diese Methode kann insbesondere dort mit Vorthei] angewendet werden, wo sich die Verschwindungslinien Ev E'v der gegebenen Ebenen innerhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche nicht schneiden.

Denkt man sich durch das Auge zwei Gerade senkrecht auf die gegebenen Ebenen gelegt, so sind, nach §. 39, v und v (Fig. 137) die Ver-schwindungspunkte dersel-H ben, mithinvu'die Verschwindungslinie jener Ebene, welche auf der Schnittlinie der beiden gegebenen Ebenen senkrecht steht, und g durch die senkrecht geführten Geraden geht. Diese beiden Geraden schliessen ebenfalls den zu suchenden Neigungswinkel ein, und bilden mit vv ein Dreieck, dessen eine Seite vv', und die beiden andern Seiten die Abstände des Auges von den Punkten v und v', also

Fig. 137. / V

\N/)Ne PÄ

;vN

4L.

.4

\fx /r'""A\

........\-7............ 'Si,

\ ; M

die Längen Oxv und O xv sind. Wird dieses Dreieck über vv verzeichnet, indem man aus v mit dem Radius v 0\ den Bogen 0\N beschreibt, und diesen von v als Mittelpunkt mit dem Bogen WO], dessen Radius vOY ist, in N durchschneidet, so ergibt sich das Dreieck vNv', und in Nder zu suchende Winkel Ne.

Bemerkung. Wird das Dreieck vNv, anstatt mit den ganzen Längen der Seiten, blos mit aliquoten Theilen derselben verzeichnet, so wird ein ähnliches Dreieck erhalten, das wieder in N den verlangten Winkel Ne gibt.

Dies ist insbesondere dann nothwendig anzuwenden, wenn, wie dies fast immer der Fall, eine grössere Augdistanz vorkömmt, oder die Entfernung der Verscliwindungslinien von dem Aug-punkte gering ist.

Fig. 138.

Sind also Ev E'v (Fig. 138) die Verscliwindungslinien zweier Ebenen, deren Neigungswinkel gesucht werden soll, so bestimme man anstatt den Verschwin-dungspunkten vv der auf diesen Ebenen senkrechten Linien, z. B. blos jene

: 'S

—, welche sich 4

in einem Abstande von A befinden, der einem aliquoten Theil von Av und Av gleich ist. Dieser aliquote Theil ist am zweck-massigsten als Quadratzahl zu wählen, also etwa zu 1 1

, —, —... anzunehmen,

da in diesem Falle die Auffindung der Punkte

sehr einfach erfolgt.

Punkte

Ev/

Ai/

A Oi

Denn trägt man auf der zu AAX Senkrechten —— der Distanz AO blos einen aliquoten Theil, hier ^ bindet Ax mit und errichtet wie vorher in auf Ax ■— eine Senkrechte v

anstatt

auf, ver-

-, so trifft diese die Gerade AAX in einem Punkte

-j, dessen Entfernung vom Augpunkte A gleich ~ Av ist, hier also

— vom Abstande Av des Verschwindungspunktes v vom Augpunkt beträgt. Wiederholt man dasselbe mit der Ebene Ev, so findet

, und es muss sonach auch

= ~vv sein, wie dies aus den ähnlichen Dreiecken A~~ 4    ’    4 4

man einen ähnlich liegenden Punkt v v'

¥ T

und Avv erhellt.

Es handelt sich nur noch um den n² sten, hier also um den -vierten Theil der beiden andern Dreiecksseiten. Diese Theile

werden gefunden indem man —- A dem n ten Theile der bereits

benützten Distanz ^-A Ogieich macht, hier also A ~ in ~~ hal-

*    birt, und die Gerade ~ zieht, welche das zu suchende Län-

gezogenen Bogen N- -Es ist alsdann -j N der verlangte

in N zu durchschneiden.

Neigungswinkel Ne.

*    Hätte man den vierten Theil der Augdistanz gewählt, so

würden sich alle Dreiecksseiten in ihrer Länge ergeben haben,

und es wäre sodann die Augdistanz, statt wie hier in 4, in 16 Theile zu theilen gewesen.

Specielle Fälle.

1.    Gehen beide Verseil Windungslinien durch den Augpunkt, so sind die beiden Ebenen senkrecht auf der Bildfläche, und es ist sonach ihr Neigungswinkel gleich jenem Winkel, den die beiden Tracen mit einander einschliessen.

2.    Sind beide Ebenen parallel zur Horizontslinie, so geben die in der Vertikallinie liegenden Punkte m und n (Fig. 139) der beiden Verschwindungslinien, mit dem Distanzpunkte D verbunden, die beiden Schenkel des Neigungswinkels Ne. Denn die Schnittlinie beider Ebenen ist parallel zur Horizontslinie, folglich die darauf senkrecht durch das Auge gelegte Ebene, die Vertikalebene, welche sammt den Schnittlinien in die Bildfläche gelegt, das umgelegte Auge als Scheitel im Distanzpunkte D gibt.

Fig. 139.

ix

•'Tiu

TWe

E'v

3.    Wären überhaupt die Ver-schwindungslinien Ev E'v zu einander parallel, so würde sich der Scheitel des Neigungswinkels im Distanzkreise, und zwar in der durch das Auge parallel mit Ev E'v gelegten Geraden ergeben, und je ein Punkt der Schenkel würde sich im Durchschnitte der durch den Augpunkt auf Ev E'v senkrecht geführten Geraden mit den Verschwin-dungslinien Ev und E'v vorfinden.

4.    Ist eine der beiden Ebenen parallel zur Bildfläche, so ist der Neigungswinkel der gegebenen Ebenen dem Neigungswinkel der andern Ebene mit der Bildfläche gleich und demnach als solcher zu bestimmen.

5.    Endlich wollen wir als speciellen Fall noch jenen durchführen, wo die eine Ebene bildflächprojecirend ist.

Fig. 140..

YM

•\

AB

In diesem Falle (Fig. 140) muss die orthogonale Projektion der Schnittlinie in die Verschwindungslinie Ev der bildflächprojecirenden Ebene fallen, wo sich dann der Winkel IVe, wie allgemein gezeigt wurde, so ergibt, dass der eine Schenkel in die Verschwindungslinie Ev der auf die Bildfläche senkrechten Ebene fällt.

?/

\\

In Fig. 140 ist ferner, gegenüber der in §. 52 durchgeführten Lösung, die Abänderung getroffen worden, dass man jene auf die Schnittlinie der beiden Ebenen Ev,

E'v senkrechte Ebene nicht durch das Auge, sondern so führte, dass ihre Bildflächtrace Fb durch den Augpunkt geht.

Es ist sodann die aus A auf den umgelegten Parallelstrahl 0₁ v geführte Senkrechte AB die Höhe des Dreieckes A NM, welches bei N den verlangten Neigungswinkel Ne, gebildet von den beiden in die Bildfläche niedergelegten Schnittlinien MN und AN, enthält.

§• 56.

Aufgabe.

Es ist eine Ebene Eb Ev, (Fig. 141) und in ihr eine Gerade Id gegeben; man soll durch die letztere eine Ebene legen, welche mit der gegebenen Ebene einen bestimmten Neigungswinkel Ne einschliesst.

Lösung. Man hat hier die (Konstruktionen der vorhergehenden Aufgabe in verkehrter Ordnung durchzuführen, um die

Fig. 141.

F4

o/

H.

ta

1/A'

lTj

Fb

fl

Verschwindungslinie der verlangten Ebene zu erhalten. Es wird also blos auf die in vA pro-jecirte und nach v Ol umgelegte Durchschnittslinie durch das Auge eine senkrechte Ebene (mit-— telst 0₁A₁) PQ zu führen, hierauf die Durchschnittsgerade der gegebenen Parallelebene in die Bildfläche nach G 0₂v^ umzulegen, und an diese Linie, als den einen Schenkel des Neigungswinkels, der gegebene Winkel Ne aufzutragen sein.

Hierdurch erhält man im Durchschnittspunkte v₂ des ver-zeichneten zweiten Schenkels mit der Trace PQ einen neuen Punkt der Verschwindungslinie der verlangten Ebene, und hat somit diese in Fb Fv vollkommen bestimmt.

Liegt die Gerade lvd in der Grundebene, und soll durch diese eine Ebene Eb Ev (Fig. 142) gelegt werden, die mit der Grundebene einen gegebenen Winkel ng bildet, so ist hiebei auch der Durchschnitt der Parallelebene, welche der

zu bestimmenden Ebene angehört, mit der Parallelebene der Grundfläche, d. i. der Horizontsebene, welcher in vA seine Bildflächprojektion hat, und in v 0 in die Bildebene umgelegt erscheint, bekannt.

Legt man demnach auf jene Durchschnittslinie mit Hilfe der Geraden 0 A₁ eine senkrechte Ebene P Q durch das Auge, und denkt sich diese in die Bildebene um- H-gelegt, so hat man, nachdem das Auge nach 0₁ zu liegen kömmt, in Ox A₁ den einen Schenkel des.Neigungs-winkels. Wird nun der andere Schenkel 0₁ v₁ unter dem gegebenen Winkel ng gegen A} Oj gezogen, so bestimmt mit dem gegebenen Punkte v verbunden, die Verschwindungslinie der verlangten Ebene, welche in Eh Ev dargestellt ist.

Der Eall, wo die gegebene Gerade l in der Bildebene liegt, wo also eine Ebene, deren Bildfläclitrace gegeben erscheint, unter einem bestimmten Winkel gegen die Bildfläche geführt werden soll, ist in Fig. 143 versinnlicht. Daselbst ^ stellt PQ die Trace einer auf der gegebenen Geraden l senkrechten Ebene vor. Wird diese in die Bild- G ebene umgelegt, so gelangt das in ~~ ihr liegende Auge nach Ol: und es ist sodann die Linie Ov v₁ unter dem gegebenen Winkel nb gegen PQ zu ziehen, um den Punkt vl zu erhalten, welcher die Verschwindungslinie Ev der gesuchten Ebene Ei Ev bestimmt.

Fig. 142.

Ęy.

Ey

A, H

ht

Fig. 143.

•A

---

§• 57.

Aufgabe.

Es ist der Abstand zweier parallelen Ebenen Eb Ev und E\ Ev zn bestimmen.

Lösung. Denkt man sich durch den Augpunkt A (Fig. 144)

eine auf Eb senkrechte Ebene, deren Trace bAl ist, gelegt, und von b eine Gerade senkrecht auf die andere Ebene E\ Ev bis

zum Durchschnitte x (im Raume) mit derselben gefällt, und diesen Durchschnittspunkt mit a verbunden, so bilden diese drei Geraden ab, aa?, bx ein bei x rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse ab ist, und worin der dem Abstande bx gegenüberliegende Winkel dem Neigungswinkel nb der gegebenen Ebene mit der Bildfläche gleich kömmt.

Fig. 144.

's

\K

i\f T

Ji \

XX

Xi

X,,

X.

JL

Construirt man ein solches Dreieck a cd, indem man z. B. ac parallel zu Ax 0₁ zieht, ac = ab macht, und cd senkrecht auf ab fällt, so ist cd der.zu suchende Abstand.

Auch erhält man denselben, wenn man das obengenannte rechtwinklige Dreieck abx um seine Hypothenuse ab in die Bildebene umlegt, wo sodann, wenn über ab ein Kreis beschrieben, und derselbe mit der durch b senkrecht auf A₁ Ol geführten Geraden bf zum Schnitt gebracht wird, man in bf den fraglichen Abstand findet.

§. 58.

Aufgabe.

Es ist zu einer gegebenen Ebene Eb Ev in einem gegebenen Abstande a eine parallele Ebene zu führen.

Lösung. Da die zu bestimmende Ebene dieselbe Verschwin-dungslinie Ev wie die gegebene Ebene haben muss, so wird es sich nur um die Bestimmung der Bildflächtrace E' b, eigentlich blos um die Bestimmung eines Punktes derselben, handeln. Zur Auffindung des letzteren sind blos die Construktionen der vorhergegangenen Aufgabe in umgekehrter Weise durchzuführen; denn dortselbst war der Abstand ab der beiden Tracen nebst dem Winkel nb gegeben, und der Abstand bf beider Ebenen zu suchen, während im jetzigen Falle der gegebene Abstand a, der Winkel nb bekannt, und ab zu suchen ist. Man wird also auf dem umgelegten

Schenkel A₁ 0Y (Fig. 145) von b aus eine Senkrechte errichten,

Fig. 145.

auf dieser den gegebenen Abstand a = bf nach / auf tragen, und f a parallel zu Al 0₁ ziehen, welch’ letzt gezogene Gerade die Trace bAx in einem Punkte a der zu suchenden Bild-

■b

f Xe*

g⁻;......

SV

flächtrace E' b schneidet.

Es ist einleuchtend, dass noch eine zweite Ebene E" b Ev den Bedingungen der Aufgabe entspricht, und dass sich deren Bildflächtrace E" b im gleichen Abstande, jedoch auf der entgegengesetzten Seite der gegebenen Trace Eb vorfindet.

c>

;0,

§• 59.

Aufgabe.

Es ist der Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen.

Lösung. Ist EbEv (Fig. 146) die gegebene Ebene, M der

Fig. 146.

T/

Fb

XX

/ri

M’

h''

<y

'

<r"

IX

o-

Punkt, welcher durch die Gerade ld\ bestimmt ist, so lege man durch denselben eine Gerade kd senkrecht auf die gegebene Ebene EbEv. indem man auf bekannte Weise den Verschwindungspunkt v dieser Geraden sucht, und mit M verbindet, hierauf vermittelst der durch kvd und ld\ gelegten Ebene E'bE'v die Durchstosspunkte d und M' der Geraden kd, beziehungsweise

mit der Bildebene und der Ebene EbEv, und legt durcli die Gerade kd die bildflächproje-cirende Ebene Eb Fv. bestimmt ferner den TJieilungspunkt T der Geraden kd) und mit Hilfe desselben die wahre Länge mn des perspektivischen Bildes MM'

den zu suchenden Abstand.

Eine andere Lösung wäre folgende:

Man lege durch den gegebenen Punkt M (Fig. 147) eine zu Ev Eb parallele Ebene E'bEv, und bestimme auf bekannte Weise den Abstand ab der beiden Ebenen.

Bestimmt man

Fig. 147.

Av-';£

~C

•b

;Qi

so liefert mn

§. 60.

Aufgabe.

Es ist der Abstand zweier paralleler Geraden zu bestimmen.

Lösung. Man lege durch die beiden Geraden ld und kdi (Fig. 148, s. S. 125) eine Ebene Eb Ev, bestimme den um Ev in die Bildfläche umgelegten Parallelstrahl 0₂v der Geraden ldkdi, ‘ so muss die um die Bildflächtrace Eh in die Bildebene umgelegte Gerade L‘ durch d parallel zu 0₂v gehen, und die Gerade kdi nach der Umlegung durch dl parallel zu 0₂v gezogen werden.

Wird von dl auf L das Perpendikel dl A gefällt, so gibt dieses den in Frage stehenden Abstand der beiden Geraden l und k.

§• 61.

Aufgabe.

Es ist durch eine gerade Linie Id parallel zu einer andern Geraden kvd\ eine Ebene zu legen.

Lösung. Da kd\ (Fig. 149) zur Ebene parallel sein soll, so muss der Verschwindungspunkt derselben in der Verschwin-Fig. 148.

''A

Fig. 149.

Ai

H'

Kj

IQS

A ,d₁

Ik

N.

Nvi

V\

■■

dungslinie Ev der Ebene Eb Ev liegen. Die Verschwindungslinie wird demnach erhalten, wenn man v mit vx verbindet. Die Bild-flächtrace Eb dieser Ebene ist durch d parallel zu Ev zu ziehen.

§. 62.

Aufgabe.

Es ist der kürzeste Abstand zweier nicht paralleler und nicht in einer Ebene liegender Geraden zu bestimmen.

Lösung. Man lege durch jede der beiden Geraden eine Ebene, welche zur andern Geraden parallel ist, und bestimme nach §. 57 den Abstand dieser Ebenen, so ist dieser zugleich die kürzeste Entfernung der gegebenen Geraden.

§• 63.

Aufgabe.

Es sind drei Punkte M Mx M₂, und eine Ebene EhEv gegeben, man soll in dieser Ebene einen Punkt C derart bestimmen, dass er von den drei gegebenen Punkten gleich weit absteht.

Lösung. Legt man durch die drei Punkte M, Ml) M₂ eine

Ebene E\ E'v (Fig. 150) und dreht dieselbe um die Bildflächtrace E'b in die Bildebene, so gelangen diese Punkte nach A/, M\, M\. Ist ferner w' der Mittelpunkt eines Kreises, welcher durch die

Fig. 150.

\\

\s

\a

'\D

H Ev

V-

K'S?*'................i

LS'.

\ ^S: s

ÿC y

//

drei Punkte A/, AT die Ebene E\ E'v zurückgeführten Mittelpunktes, so hat man bios w mit dem Verschwindungspunkte v aller auf E'hE'v senkrechten Geraden zu verbinden, und den Durchschnitt C dieser Verbindungslinie mit der gegebenen Ebene Eb Ev aufzusuchen, um den gewünschten Punkt zu erhalten, welcher gleichsam als Mittelpunkt einer Kugel zu betrachten ist, deren Oberfläche die drei gegebenen Punkte enthält.

Hiemit sei die Reihe von Aufgaben geschlossen, welche die Grundlage der perspektivischen Projektionslehre bilden, und gewiss hinreichend Gelegenheit geboten haben dürften, sich mit den Eigentümlichkeiten und dem Charakter dieser Projektionsmethode vertraut zu machen.

Wenn auch vielleicht das Verständniss der Construktionen dem Anfänger einige Schwierigkeiten verursachte, so dürften diese denn doch durch die systematische Aneinanderreihung des Stoffes, durch die allmählige Ueberführung vom Einfacheren zum Um-

M\ geht, und ic die Perspektive des in

ständlicheren, und durch den Vergleich mit der orthogonalen Projektionsart, indem wir gleichsam blos dieselben Gedanken in anderer Sprache ausdrückten, sehr herabgemindert worden sein.

So wie jedoch jede Sprache ihre Eigenthümlichkeiten hat, die sich wörtlich in keiner andern wiedergeben lassen, so zeigt sich auch hier in dem projektiven Ausdruck der Grössen sowohl, als auch in der Behandlungsart eine gewisse specifische Verschiedenheit.

Kapitel VI.

Hilfsconstruktionen bei beschränkter Grosse der Zeichnungsfläche.

§• 64.

Zweck der Hilfsconstruktionen.

Dass bei der Ausführung perspektivischer Zeichnungen häufig Fälle Vorkommen, wo die Verschwindungs- und Theilungspunkte, und der in die Bildfläche umgelegte Gesichtspunkt (Auge) entweder sämmtlich oder doch theilweise ausserhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche fallen, unterliegt keinem Zweifel; es wird demnach die Aufgabe vorliegen, die Mittel oder Hilfsconstruktionen aufzusuchen, welche es möglich machen, auch unter diesen Umständen zu gleichem Besultat zu gelangen, wie wenn alle diese Punkte auf der Zeichnungsfläche sich vorfänden.

Diese Hilfsconstruktionen beruhen auf der zweckmässigen Anwendung von geometrischen Sätzen, deren Gebrauch durch die in den §§. 66 bis 69 folgenden vier Aufgaben der Hauptsache nach erläutert werden soll.

§. 65.

Aliquote Theile der Augdistanz, der Entfernung des Verschwindungs-und Tlieilungspunktes vom Aug- und Nebenaugpunkt.

Vor Allem sei hier bemerkt, dass in den Fällen, wo der umgelegte Gesichtspunkt ausserhalb der Zeichnungsfläche fällt, wo also die Augdistanz nicht ganz aufgetragen werden kann, irgend ein aliquoter Theil dieser Distanz benützt werden könne, wie dies bereits in §. 20 angedeutet wurde. Wird also der nte Theil der Augdistanz benützt, so wollen wir den Endpunkt des aufgetragenen Stückes, um das Ausgeführte auf den ersten Blick

ersichtlich zu machen, mit — bezeichnen.

n

Ist demnach A~ = -^AO (Fig. 151) und wird aus A mit

dem Halbmesser A — ein Kreis beschrieben, so schneidet dieser n    ¹

Fig. 151.

I

/[

\t\

\\

Eb

die Horizontslinie in zwei Punkten deren Entfernung vom Augpunkte A dem wten Theil des Abstandes der Distanzpunkte vom Augpunkte gleich ist, so dass A ~    ~ A D wird.

Es ist ferner ersichtlich, dass der irgend einer Geraden L (Fig. 152), welche in der Ebene Eb Ev liegt, entsprechende Parallelstrahl Ov, falls dieser parallel zu sich selbst so weit

verschoben wird, dass er seinen Anfang in nimmt, (unter

Beibehaltung derselben Lage des Augpunktes A) aus der Parallelebene e, die ihre Trace in Ev hat, heraustreten würde,

den Fall ausgenommen, wo die Ebene E auf der Bildebene Um diesem vorzubeugen, denken wir

senkrecht steht.

uns

das Auge —, welches sich nun in einer nmal kleineren Entfer-

n

nung von der Bildebene befindet, in der durch dasselbe geführten

Fig. 152.

v /V

..................

'-—y--.

F;;: AA

H.

Ge

und auf der Yerschwindungslinie Ev senkrechten Ebene E{ so lange verschoben, bis dieses in die vorerwähnte Parallelebene fällt. Dieses wird offenbar dann eintreten, wenn man statt des

Punktes A einen solchen Punkt — als den Augpunkt betrachtet,

der von dem Nebenaugpunkte Aj eine n mal kleinere Entfernung, als der Punkt A besitzt; denn die beiden Dreiecke AY A 0 und

A — sind ähnlich und in Folge dessen ist

A(7_ n n

Ai —

¹ n

OA

AO

A A\

Einen solchen, gleichsam versetzten Augpunkt, bezeichnen wir mit —

um

sogleich darauf hinzuweisen, dass derselbe einer

wmal kleineren Augdistanz angehört.

Besagte Construktion ist auch (Fig. 151) in der Bildfläche

O'

durchgeführt. Es ist daselbst — das in die Bildebene umgelegte

n

Auge, und Augpunkt.

der dieser neuen Stellung des Auges entsprechende

Vermöge dieser Annahme wird der Durchschnittspunkt mit 0'

der Bildebene des von — (Fig. 152) ausgehenden Parallelstrahles,

d. i. — —, der selbstverständlich blos den ?iten Theil seiner n n

wahren Länge Ov erhält, in die Verschwindungslinie Ev fallen müssen; daher einen Punkt, den wir mit — bezeichnen, angeben,

welcher dem Nebenaugpunkte Ax «mal näher als der eigentliche Verschwindungspunkt v gelegen ist. Dieser Parallelstrahl

ist (Fig. 151) in A ~ angegeben, und erhalten worden, indem -~

in die Bildebene um Ev nach A umgelegt, und ~ ~ parallel zu

0₂v gezogen wurde. Das umgelegte Auge — ist auf bekannte

Weise zu bestimmen; man hat blos auf der durch — zu Ev pa-

rallel gezogenen Geraden die Länge ~ ~ — ^AO abzuschneiden,

und Ai — = Ai — = — Ai 0₉ zu machen.

71    ¹    71    71    ¹    *

Ferner stellt ~ gleichsam das Nebenauge für die Ebene die Nebenaugdistanz unter der Bedingung vor,

OS

EbEv, und A₁

dass das erstere in einem ramal kleineren Abstande von der Bild

ebene, und die letztere wmal verkleinert gedacht wird. Auch

kann hier noch der Nebendistanzpunkte welche dem Nebenaugpunkte A₁ n mal näher als die eigentlichen Nebendistanzpunkte Dx liegen, Erwähnung geschehen.

Schliesslich sei bemerkt, dass derjenige Punkt, welchen man

in Ev, durch das Aufträgen des dem Punkte — entsprechenden

fs a

Parallelstrahles nach - erhält, analog den bereits eingeführten

Bezeichnungen (da derselbe in einer wmal kleineren Entfernung von dem Nebenaugpunkte als der wahre Theilungspunkt T sich

vorfindet) mit — benannt wird. Es ist hiernach in Fig. 151 * AjT

Fig. 153.

In dem Falle, wo EhEv (Fig. 153) senkrecht auf der Bildebene ist, tritt, wie bereits erwähnt, der Parallelstrahl hei verkleinerter Augdistanz und derselben Lage des Augpunktes aus der entsprechenden Parallelebene nicht heraus, folglich auch ein Verschieben des Augpunktes A, um hiedurch die Punkte —

und —

-V

11

.Q

in der Ver-

Tl

schwindungslinie Ev zu erhalten, nicht noth-wendig ist.

Vo

Bei einer solchen Lage der Ebene ergeben sich dem zufolge gewisse Vereinfachungen, wesshalb, falls die durch eine Gerade gehende Ebene unserer Willkür anheim gestellt ist, dieselbe am besten senkrecht auf der Bildebene anzunehmen sein wird. Obwohl, wie in der praktischen Anwendung und auch bei der Durchführung nachfolgender Aufgaben leicht einzusehen sein wird, die schiefe Lage der Ebene fast gänzlich übergangen werden könnte, so wollen wir dennoch, um unseren Betrachtungen die Allgemeinheit nicht zu benehmen, auch letztem Fall der Besprechung unterziehen.

Endlich sei noch hinzugefügt, dass man die uneigentlichen Verschwindungs-, Distanz- und Theilungspunkte dem Werthe der Zahl n entsprechend benennt ; so heissen dieselben z. B. für n — 2 oder n— 4, welche Werthe die gebräuchlichsten sind, beziehungsweise halbe oder viertel Verschwindungs-, Distanz-und Theilungspunkte. Was aber die Lösungsarten betrifft, die in der Anwendung dieser halben, viertel oder allgemein wtel Verschwindungs-, Distanz- und Theilungspunkte bestehen, so beruhen diese auf den Eigenschaften ähnlicher Dreiecke, mit deren Hilfe auch jede nachfolgende Construktion, bei welcher derlei Punkte benützt werden, leicht zu erklären ist..

Hievon geschah auch schon in §§. 20 und 55 Erwähnung.

Dieses vorausgeschickt gehen wir zur Lösung derjenigen Aufgaben über, auf welche wir bereits im §. 64 hingewiesen haben.

§. 66.

A ii f g- a b e 1.

Es ist eine ihrer Richtung nach bekannte, durch einen gegebenen Punkt gehende Linie darzustellen.

Lösung. Bei dieser Aufgabe wird die Richtung der darzustellenden Geraden als bekannt vorausgesetzt, d. h. es wird angenommen, dass auch der ihr zugehörige Parallelstrahl, welcher in der entsprechenden Parallelebene liegt, seiner Richtung nach vollkommen bestimmt sei. Ist nun x der Punkt in der Ebene Eb Ev, duroh welchen die besagte Gerade gehen soll, so wird man sich, um dieselbe darzustellen, folgends zu benehmen haben.

Fig. 154.

/l

a) Bei der Annahme, dass nicht die ganze, sondern blos der nie Tlieil der Augdistanz benützt werden kann, bestimmt man sich

//iv

xl/

ÏÏ7

kl

05

n

das Nebenauge ~

(Tig. 154), zieht durch dasselbe den seinerRich-

tung nach bekannten

Parallelstrahl — —, n n

wodurch man —

er-

J21.

Der Punkt x

0

II

hält.

wird mit A₁ verbunden, die Verbindungslinie Ai x in n Theile

so getheilt, dass Ax

Al x wird, und alsdann zu der Linie

^ ~ durch den gegebenen Punkt x die Gerade l geometrisch parallel gezogen.

Die Linie l bestimmt die Perspektive der durch x gehenden Geraden, da ihre Ebene bekannt ist.

Bemerkung. Mitunter wird es möglich sein, trotzdem das mngelegte Auge 0₂ ausserhalb der Zeichnungsfläche fällt, den wahren Verschwindungspunkt v durch das n fache Aufträgen des i ~ zu erhalten, welcher Verschwindungspunkt sodann zu benützen am zweckmässigsten sein wird.

Abstandes A

b) Kann zwar die ganze Augdistanz aufgetragen, aber der Punkt v nicht mehr auf der Zeichnungsfläche erhalten werden, so wird man bei der Annahme eines aliquoten TJieiles der Augdistanz ganz so wie früher zu Werke gehen, doch gestattet dieser Fall, indem derselbe mit dem in der eben folgenden Aufgabe 2 in vollkommene Uebereinstimmung gebracht werden kann, noch andere Verfahrungsarten. Man hat sich dann blos unter dem Parallelstrahle die Perspektive einer in Eb Ev gelegenen Geraden, und unter x den gegebenen Punkt, durch welchen eine Parallele zu der ersteren zu ziehen ist, vorzustellen.

§. 67.

Aufgabe 2.

Es ist durch einen Punkt zu einer gegebenen Geraden eine Parallele zu ziehen.

Lösung. Ist p (Fig. 155) der Punkt auf der Geraden

Fig. 155.

Ey

durch welchen eine Linie perspektivisch parallel zu der gegebenen, in EbEv liegenden Geraden l gezogen werden soll, so reducirt sich diese Aufgabe auf jene, bei welcher durch einen Punkt eine Linie nach dem unzulänglichenDurchschnitts- h punkte zweier Geraden (l und Ev) zu ziehen ist.

M .1

Diese Aufgabe lässt mehrere Lö-sungsarten zu, wovon einige hier angeführt werden sollen.

a) Man ziehe durch p (Fig. 156 und 157) irgend eine Gerade ab und eine zu ihr Parallele aß in beliebiger Entfernung, trage aß vom Punkte b auf l auf, mache also b d — a ß, verbinde a mit d und ziehe durch p eine Parallele pd. zu ad.

Trägt man nun d. r' vom Punkte a auf aß nach tz auf, so wird die Verbindungslinie n der Punkte p und tt nach dem unzugänglichen Durchschnitte der beiden Geraden l und Ev gerichtet sein.

Der Beweis für die Richtigkeit folgt einfach aus dem Um-ab : â b = ap : öl iż

bestehen muss; dieser Bedingung ist aber durch obige Construk-tion Genüge geleistet, denn aus den ähnlichen Dreiecken abd und p b Tr folgt :

und nachdem ab — aß und a ir = axr ist, so sind beide Proportionen übereinstimmend, und folglich die Richtigkeit des Verfahrens dargethan.

b) Statt der eben angeführten Construktion kann man, wenn ab nicht durch p (Fig. 158 und Fig. 159) gelegt wird, folgendes Verfahren anwenden. Man ziehe irgend eine Gerade aß parallel

Fig. 158.

stände, dass, falls sich die Linien l, n und Ev in einem Punkte schneiden, die Proportion

ab: aß = ap : o.tz

Fig. 156.

Fig. 157.

Ci

Ey

g__

ii

ib

TT

os*

;b

Fig. 159.

00

Et

TL

j?

TU'-

Ey

Ab

zu ab, verbinde die Endpunkte a und b mit p und ziehe zu diesen Verbindungslinien beziehungsweise die Geraden aiz und ß~ parallel. Ihr Durchschnittspunkt tz gibt alsdann einen in der verlangten Geraden n gelegenen Punkt, was in Anbetracht der Aehnlichkeit der Dreiecke abp und aßxr auch schon daraus hervorgeht, dass man aß- als die Projektion eines zur Grundfläche

abp einer Pyramide, welche ihre Spitze in dem unzugänglichen Punkte v hat, parallel geführten Schnittes ansehen kann.

c) Man kann, nachdem durch p (Fig. J60 und Fig. 161) die beliebige Linie ab gezogen, und die Punkte p und b mit irgend einem Punkte c der Linie Ev verbunden wurden, eine Gerade

Fig. 161.

Fig. 160.

E,

>■

Ev ia

<p'

v.;;:

ib

re (3 geometrisch parallel zu ab, und hierauf ß cp parallel zu l ziehen, um so in der Linie tc cp die Richtung der verlangten Geraden zu erhalten. Denn, wird die Gerade n parallel zu -ir cp gezogen, so muss diese nach dem unzugänglichen Durchschnitte v der beiden Linien l und Ev laufen. Als Rechtfertigung der Construktion führen wir etwas Aehnliches wie im vorigen Falle an, nämlich: dass, wenn der Punkt v vorhanden wäre, das Dreieck pbv als ein mit der Grundfläche Ttßcp der in -rcßipc projecirten Pyramide paralleler Schnitt betrachtet werden kann.

Fig. 162.

e Ev

7f

d) Die nun folgende Lösung ist um so interessanter, als sie durch die Sätze, welche über die Perspektiven paralleler Geraden aufgestellt wurden, bewiesen werden kann. Zieht man nämlich zwei beliebige, im Punkte p (Fig. 162) sich schneidende Linien a d und b c, und ver-bindet ihre Endpunkte a, b, c und d durch die Geraden ab und cd, so werden sich diese in irgend einem Punkte s treffen.

Durch diesen Punkt s ziehe man beliebig eine dritte schneidende Linie sfe, so bestimmt diese ein zweites Viereck cdef, dessen Diagonalen sich in q begegnen.

Nun ist p q die gesuchte Linie n, d. i. diejenige, welche nach dem gemeinschaftlichen Punkte v der beiden Linien l und Ev gerichtet ist. Ebenso könnte man noch weitere Punkte derselben Geraden p q auf-

finden, wenn man durch den Punkt s eine neue schneidende Linie zöge.

Um diese Construktion zu rechtfertigen, bemerke man, dass die beiden Vierecke ab cd und cdef als die Perspektiven zweier Parallelogramme AB CD und CDEF (Fig. 163) betrachtet werden können, die hier so gewählt wurden, dass keine ihrer Seiten mit

der Bildebene parallel ist; denn alsdann müssen die Seiten AB,

E

— CD und EF in der Perspektive in einem einzigen Punkte s verschwinden, während AE und BF gegen einen andern Punkt v auf der Bildfläche convergiren. Nun ist die Gerade PQ, welche die Mittelpunkte dieser Parallelogramme verbindet, mit AE und BF parallel, folglich muss auch ihre Perspektive pq, welche durch die Durchschnittspunkte p und q der Diagonalen auf der Bildfläche bestimmt wird, gegen jenen Punkt v gerichtet sein.

Wenn der gegebene Punkt p (Fig. 164) ausserhalb der beiden gegebenen Geraden l und Ev liegt, so ist die Auflösung nicht mehr so einfach. Hat man die beiden schneidenden Linien pba und pdc willkürlich gewählt und die Diagonalen des Viereckes ab cd gezogen, welch’ letztere sich im Punkte s schneiden, so verbinde man diesen Punkt s mit p und betrachte die Linie pfse

Fig. 165.

hL

P,

Fig. 163.

/D

Fig. 164.

v-.

,Q

7f

'E

'C

\    y'"’7

À /X'h<\ L

s.

'0

r/

als die Perspektive der Geraden EF, welche das durch ab cd dargestellte Parallelogramm AB CD (Fig. 165) in zwei perspektivisch gleiche Parallelogramme abef und efcd, tlieilt. Denn ef geht durch den Mittelpunkt des Parallélogrammes und ist parallel

mit den Seiten ab und cd, da sie mit letzteren einen und denselben Punkt p als Verschwindungspunkt gemein bat. Zieht man nun die Diagonalen af und ed der partiellen Parallelogramme, so müssen erstere im Raume zu einander parallel sein, und in der Perspektive in einem Punkte q Zusammentreffen.

Ebenso werden auch die Diagonalen eb und c/, welche im Raume parallel sind, auf der Bildfläche in einem Punkte r sich begegnen. Die vier Punkte r, p, q und v (der Verschwindungspunkt von ac und bd) müssen in einer geraden Linie liegen; denn sie sind die Verscliwindungspunkte von vier Systemen paralleler Linien, die alle in der Ebene des durch ab cd dargestellten Parallélogrammes liegen, und demnach ihre Verschwindungspunkte in der Ver-schwindungslinie dieser Ebene haben müssen.

e) Eine andere durch perspektivische Sätze begründete Lösungsart ist folgende:

Fig. 166.

\f

.....O

Betrachtet man l und Ev (Fig. 166) als die Perspektiven zweier Parallelen, deren Ebene die beliebige Gerade ab c als Trace hat, und die gleichfalls willkürliche Gerade c d als Durchschnitt dieser Ebene mit einer zweiten, in welcher der Punkt p liegt, (deren Trace ce übrigens willkürlich angenommen werden kann) und denkt man sich ferner durch p und durch je eine der beiden Geraden Ev und l Ebenen gelegt, so muss ihr Durchschnitt zu beiden Geraden parallel sein, also seine Perspektive nach dem gemeinschaftlichen Verschwindungspunkte v gerichtet sein, demnach die verlangte Gerade angeben.

Indem wir f mit p verbinden, erhalten wir eine Gerade in der durch p und Ev gelegten Ebene.

Hiernach ist h auf der Trace c e der Durchstosspunkt der Geraden, und folglich ah die Trace jener Ebene.

Die Verbindungslinie von g und p hat i als Fusspunkt, und liegt in der durch l und p gelegten Ebene, wesshalb b i die Trace dieser letzteren ist.

Der Durchschnittspûnkt q der beiden Tracen und der gege-

bene Punkt p gehören beiden Ebenen an, es ist also pq die gesuchte Linie n.

Für den Fall, als der Punkt p ausserhalb der beiden Geraden l und Ev fällt, ist die Construktion in Fig. 167 durchgeführt.

Fig. 168.

Fig. 167.

\d

7:

j/

CK

Ji

r / o V'

5"'' P. 7 \ fr

®7 AK.

Eb

ei

f) Kennt man von der Geraden l, welche in der Ebene EbEv liegt, und zu welcher durch den Punkt p auf mvd (Fig. 168) die

Parallele n zu ziehen ist, den Verschwindungspunkt —, so wird

man das bei der Aufgabe 1 unter a) angeführte Verfahren in Anwendung bringen können, d. i. man wird die Linie Atp in

n gleiche Theile theilen, den hiedurch erhaltenen Punkt ^ mit ~

verbinden, und zu dieser Verbindungslinie eine geometrische Parallele n durch p ziehen.

Bemerkung. Wäre ^ nicht gegeben, so könnte man, um diese Construktion anzuwenden, denselben mittelst der vom Punkte — ausgehenden zu l parallelen Geraden — — bestimmen, wie es

fl    °    x    fl fl

in der Fig. 168 angezeigt ist.

Auch ist ersichtlich, dass die durch die Gerade l geführte Ebene Eb Ev auf die angewendeten Construktionen keinen Einfluss übt.

§• 68.

Aufgabe 3.

Es ist durch einen gegebenen Punkt eine Linie so zu ziehen, dass sie eine gegebene Gerade schneidet und mit ihr einen bestimmten Winkel einschliesst.

Lösung. Es sei p (Fig. 169) der Punkt in der Ebene Eh Ev, durch welchen eine Linie m unter einem bestimmten Winkel u> gegen die in derselben Ebene gelegene Gerade l zu ziehen ist.

Fig. 169.

//

71

\\

Ev/

A,

E    g*'“

Eb

II

a) In dem Falle, wo bios der n te Theil der Augdistanz auf der Zeichnungsfläche zu benützen möglich ist, wird man sich,

falls für die gegebene Gerade der Verschwinclungspunkt —• nicht

bekannt ist, denselben vorerst bestimmen. Zu diesem Zwecke wird die Verbindungslinie irgend eines in der Geraden l angenommenen Punktes x mit dem Nebenaugpunkte Ax in n gleiche

Tlieile getheilt, also Ax -S = ~ Ax x gemacht, und durch ~ eine

Linie geometrisch parallel zu l gezogen. Der Durchschnitt dieser

Parallelen mit Ev gibt den Punkt - . Bestimmt man weiters das

n

⁽h

so erhält man hiedurch den verkürzten Parallel

Nebenauge

strahl (>A und zieht man nun gegen diesen eine Gerade unter

dem verlangten Winkel o>, so wird dieselbe die Verschwindungs-linie Ev in einem Punkte durchschneiden, welcher Durchschnitt

den Yerschwindungspunkt — der zu ziehenden Geraden bestimmt. Nun ist blos durch den Punkt p eine Linie zu ziehen, deren Yerschwindungspunkt ~ bekannt ist, was bereits in Aufgabe 1

unter a) gezeigt wurde.

Man theilt demnach, wenn der eigentliche Verschwindungs-punkt vl , durch das n fache Aufträgen des Abstandes A₁ --sich ergebend, noch ausserhalb der Zeichnungsfläche fällt, p A₁

der Linie — — die

in n gleiche Theile und führt durch p zu

geometrische Parallele vi, so stellt diese die Perspektive der unter dem Winkel a> gegen l geneigten Geraden vor.

Wäre der Punkt p in der Linie l gelegen, wie in Fig. 169 angenommen, so würde man den Punkt x nicht willkürlich, sondern mit p zusammenfallend annehmen, und mit Hilfe des Punktes

— auch — auffinden.

Bemerkung. Ist — bereits bekannt, so bestimmt man den Punkt ~ mittelst einer von dem ersteren Punkte ausgehenden

Geraden, die zu l geometrisch parallel gezogen wird.

b) Ist die ganze Augdistanz und das eigentliche Nebenauge 0₂ auf der Zeichnungsfläche vorhanden, so kann man diesen Fall nicht nur durch die Annahme eines wmal näher gelegenen Gesichtspunktes auf den eben betrachteten zurückführen, sondern auch bei der Durchführung desselben unter Benützung des bei der Aufgabe 2 Angeführten sich folgends benehmen.

Durch das Nebenauge 0₂ (Fig. 170) wird eine Linie nach dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der Geraden l und der Verschwindungslinie Ev gezogen, hiedurch der Parallelstrahl von l erhalten, und sodann gegen denselben eine Gerade unter dem Winkel o> geführt. Diese Gerade gibt offenbar den Parallelstrahl der zu ziehenden Linien an, und es wird nur noch nöthig sein, durch p eine Linie gegen den diesem Strahle und der Verschwin-

Fig. 170.

•A

\\ ^

■;> <=>

\ CD

40j

* CD

dungslinie Ev gemeinschaftlichen Punkt zu führen, um die verlangte Gerade m zu erhalten.

§• 69.

Aufgabe 4.

Es ist auf einer gegebenen Geraden ein bestimmtes Längenstück abzuschneiden.

Diese Aufgabe, bei der es sich um das Abschneiden eines bestimmten Längenstückes auf einer in einer Ebene Eh Ev gelegenen Geraden l handelt, wird unter der Annahme, dass das abzuschneidende Längenstück von einem auf der gegebenen Geraden liegenden Punkte p mit Hilfe der Theilungspunkte vorgenommen werden soll, folgends zu lösen sein.

a) Bei einem aliquoten Theile der Augdistanz wird man,

nachdem das Nebenauge ~ (Tig. 171) ermittelt und der Ver-schwindungspunkt falls dieser nicht schon bekannt ist, mittelst

E aufgefunden wurde, den Theilungspunkt ~ leicht erhalten,

indem man — — = — — macht.

•    n n n n

Fig. 171.

Würde sich der wahre Theilungspunkt T durch das n fache Aufträgen

des Stückes A, —

¹ n

auf der Zeich n un gs-fläche nicht ergeben, so kann in folgender Weise vor-H gegangen werden.

a) Man wird zu der Verbindungslinie — — durch

n n

G den Punkt p die Parallele pP führen, vom Punkte P die abzuschneidende Länge (entweder auf die eine oder andere Seite) nach PQ auftragen, und hierauf durch Q eine Linie nach dem wahren Theilungspunkte T ziehen,

durch die zur Linie ~~ parallel geführte Gerade Q q bewirkt

wird. Die beiden Punkte p und q haben dann eine dem PQ gleiche Entfernung von einander.

ß) Wäre, nachdem man schnitt von App mit Eb bestimmt hat, nicht möglich die ganze abzuschneidende Länge PQ auf Eb aufzutragen, so kann man vorerst auf einer durch p zu

Geraden vom Punkte p die Länge PQ in pQi abschneiden.

n=a

y'⁴

J-

P'-

< Piep

was

den Punkt P (Fig. 172) als Durch-

dieser Trace Eb parallel gezogenen

Zum Behufe dessen wird man die Gerade    parallel

E den ?iten Theil der Länge nach auftragen

zu

Eb ziehen, von

und letzteren Punkt mit Al verbinden, welche Gerade auf

p Q das betreffende Stück pQ perspektivisch gleich PQ abschneidet.

Fig. 172.

i\

.....■

ca]

■ -a

TP

₇,

-=

CDl

Hierauf ist durch Q₁ eine Linie nach T zu ziehen, was gan-z

in derselben Weise wie in a) mittelst geschieht.

v    T

y) Theilt man die Entfernung der Punkte — und — (Fig. 173) in eine bestimmte Anzahl m gleicher Tlieile, und trägt hierauf den Abstand des dem Punkte ~ zunächst liegenden Theilungs-

von diesem

auf, so erhält man auf diese Weise einen Punkt —

welcher

in

derart benützt werden kann, dass man blos aliquote Tbeile der gegebenen Längenstücke, und zwar im vorliegenden Falle den raten Theil derselben, auf die Bildflächtrace der gegebenen Ebene

um

aufzutragen, und die Endpunkte mit zu verbinden bat, die Gränzpunkte der zu suchenden Perspektive zu bestimmen.

Fig. 173.

_______''

i\

--r

l iy «WH

II \

//

~T

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1... 7

i/

I \'7s

0,

11

n.= 4 nn»

ui

G.

.!

In Fig. 173 ist l die gegebene, in der Ebene Ej,Ev liegende Gerade, und p ein Punkt derselben, von welchem ausgehend ein bestimmtes Längenstück PQ — a der Geraden l abgeschnitten werden soll.

Es wurde daselbst m = 3 und n — 4 angenommen, mithin ~ ~ in drei gleiche Theile getheilt, und Ax 7- von Ax angefangen viermal gegen ~ zu nach aufgetragen, da der Theilpunkt

— zwischen Æ und — gelegen ist. bunden, von

getragen, und — mit verbunden, so schneidet diese Thei-⁰⁰    mm

lungslinie —

⁰    m

Endpunkte q.

mit p ver-

aus auf Eb das Stück — — = — P Q auf-

m m m

Wird also

die gegebene Gerade l in dem zu bestimmenden

Fig. 174.

n*4

m=2

Jl

.V

A\

------------------------

m

o*

CD

Z-""

Dieses Verfahren findet seine Begründung in den Eigenschaften ähnlicher Dreiecke; denn wären für eine Gerade l,

ausser den Punkten — und —, noch ihr eigentlicher Verschwin-

71    71

dungspunkt u, ihr Durchschnittspunkt d mit der Bildfläche, und ihr wahrer Theilungspunkt T (Fig. 174), vorhanden, so würde der

— auf

T

durch das n fache Aufträgen von Al — erhaltene Punkt

Ev so gelegen sein, dass sein Abstand von v gleich dem m ten

t 1

Theil der Entfernung der beiden Punkte v und T. also v — = — vT

.mm

wäre. Wird aber auf der Trace Eh vom Punkte d auch blos

der mte Theil einer abzuschneidenden Länge dP nach d—-

°    m

P    t

aufgetragen, und der Punkt — mit ~ verbunden, so muss, wie

leicht ersichtlich, diese Verbindungslinie die Gerade l in jenem Punkte p durchschneiden, in welchem diese Gerade auch von der Verbindungslinie PT getroffen wird.

Es ist einleuchtend, dass, falls die Proportion

dp:pv — d — : v — besteht, r r    mm    ¹

auch dp\pv — dP :vT,

P t

daher muss d — :v — = d P : v T.

in

— dP sein soll, so muss auch v — = — v T sein. m    ⁷    mm

Diese letzte Gleichung kann auch in der Form geschrieben werden

v n

Weil nun d

A₁v — Al — =

¹    m

— Ai v —

, woraus oder

n [~Aj —---—. — —1 folgt.

L ¹ n    m n n J °

Dieser letzt gefundene Ausdruck enthält die in y) ausgeführte Construktion, indem derselbe aussagt, dass — in m Theile

getheilt, ein solcher Theil von A₁ ~ abgezogen, und der Rest wmal von A₁ aufgetragen werden solle, um den in Rede stehenden Punkt vermittelst welchem die Theilung in obiger Weise

vorgenommen werden kann, zu erhalten.

Bemerkung. Ist die Gerade l (Fig. 175), und demnach auch ihre Ebene Eb Ev senkrecht auf der Bildebene, so wird offenbar der durch das Aufträgen des aliquoten Theiles der

Augdistanz A— in Ev erhaltene Theilungspunkt —

Ai — ¹ m

Ai

v TI

i r    vT i

— \ n.--

m L    n n

in einen

w mal näher gelegenen Distanzpunkt fallen, und das unter y) angeführte Verfahren, falls m = n angenommen wird, sich äusserst einfach gestalten, indem der t    T

Punkt — nach — zu liegen

Fig. 175.

kömmt.

W,-'

In Fig. 175 wurde von dem auf l gelegenen Punkte p auf der Geraden l ein n mal -so grosses Längenstück abgeschnitten, als dasjenige, was von P nach Q aufgetragen ist.

b) Ist auch zur Benützung der ganzen Augdistanz auf der Zeichnungsfläche der er- -forderliche Raum vorhanden, so bleibt dennoch, falls der eigentliche Verschwindungs-punkt v nicht zugänglich wäre, nichts anderes übrig, als einen aliquoten Theil der Augdistanz bei der Construktion zu benützen.

Wenn aber noch der Punkt v (Fig. 176) auf der Zeichnungsfläche vorhanden wäre, und blos der wahre Theilungspunkt T ausserhalb derselben fiele, so würde man entweder den Punkt T    t    •

— oder — bestimmen, und zwar den ersteren durch das Ein-

n    m

theilen der Differenz A\ 0₂ (zwischen dem bekannten Parallelstrahle v 0₂ und dem Abstande vÄ) in wTheile, und den letzte-

/T

£1

Eb

Pb

VI

ren, d. i. — dadurch, dass man den Parallelstrahl v 0₂ in m Theile m

f    #    J¹

theilt und den TheiJpunkt m nach —, so wie jenen n nach —

j.    m    J    n

überträgt.

Das weitere Verfahren, welches in der Anwendung dieser T

Punkte — und

besteht, wurde, was den ersten Punkt betrifft,

in a) unter a) und ß), und was den letzteren Punkt anbelangt unter y) angegeben.

Bemerkung 1. Schon bei der Bestimmung der Theilungs-punkte wurde darauf hingewiesen, dass es am zweckmässigsten sei, dieselben in der Verschwindungslinie einer durch die gegebene Gerade zur Bildfläche senkrecht geführten Ebene anzunehmen.

In den meisten Fällen wird auch jene Linie, auf welcher ein bestimmtes Längenstück abzuschneiden ist, in einer solchen Ebene enthalten sein. Aber auch dann, wenn die Linie in einer Ebene von schiefer Lage gegen die Bildfläche sich vorfindet, kann man mit Vortheil, sobald die ihr entsprechende und dieselbe zur

Fig 176.

0,

Ev

"A..

**«.

H'~'-

4iT

Vi /

\/

0,

.......

Bildfläche projecirende Ebene mit Leichtigkeit sich ergibt, vorerst diese bestimmen, und die Construktion in derselben ausführen, da die projecirenden Ebenen, wie schon früher erwähnt, einige Vereinfachungen in der Construktion zulassen. Nachdem nun bei der Aufgabe 4 die schiefe Ebene immer durch eine zur Bildfläche senkrecht stehende ersetzt werden kann; ferner die Aufgaben 3 und 2 auch ohne Anwendung des nach — verschobenen

Augpunktes sich lösen lassen, und nur bei der Aufgabe 1, welche bei schiefer Lage der Ebene in der Praxis der Perspektive nur

äusserst selten vorkömmt, von dem verschobenen Augpunkte — mitunter Gebrauch gemacht werden muss, so ist es gerechtfertigt, warum wir früher bemerkten, dass die schiefe Lage der Ebene einer minder ausführlichen Besprechung unterzogen werden könne.

Bemerkung 2. Aus dem bei der Aufgabe 4 Angeführten ist auch ersichtlich, wie man das Umgekehrte dieser Aufgabe, d. i. die Bestimmung der wahren Länge unter denselben Umständen vornehmen kann.

Ferner sei erwähnt, dass man durch die Anwendung der oben angeführten Hilfsconstruktionen nicht nur die vier hier speciell behandelten Aufgaben, sondern auch alle bisher mit Benützung der ganzen Augdistanz, der wirklichen Verseil windungs-und Theilungspunkte gelösten Aufgaben dann durchzuführen im Stande ist, wenn einer oder der andere der besagten Punkte ausserhalb der Zeichnungsfläche fällt.

Auch wurde hiervon bereits in den §§. 20 und 55 Gebrauch gemacht. Insbesondere dürfte die Lösung der im Kapitel V enthaltenen Aufgaben, mit Zugrundelegung einer grösseren Augdistanz eine ganz geeignete Uebung für den Anfänger bilden.

Bemerkung 3. Ist eine begränzte Linie p q (Fig. 177), in einer Ebene Eb Ev liegend, gegeben, und handelt es sich um das Eintheilen derselben in Längenstücke, welche ein bestimmtes Verhält-niss zu einander haben sollen, so ist es ganz gleichgiltig, _h ob der wahre Thei-lungspunkt aufgefunden werden kann oder nicht; denn man kann jeden beliebigen Punkt x der Verschwindungslinie Ev zur Theilung verwenden.

Werden nämlich

die Punkte p und q mit x verbunden, und hierdurch P und Q auf Eb erhalten, so Avird man nur PQ nach dem vorgegebenen Verhältnisse zu theilen, und die entsprechenden Theilpunkte 7, II etc. mit x zu verbinden haben, um so in den Durchschnitten der zugehörigen Verbindungslinien mit pq, d. i. in den Punkten

Fig. 177.

A_

■*=0

...........

Eb

7, 2 etc., diejenigen Punkte zu erhalten, welche die verlangte Theilung auf der gegebenen Geraden pq bewirken.

Zur Rechtfertigung des Gesagten genügt es auf den Umstand aufmerksam zu machen, dass die sämmtlichen von den Theil-punkten /, Il etc. ausgehenden und in x verschwindenden Linien zu einander parallel sind.

Bemerkung 4. Endlich sei noch bemerkt, dass in jenen Fällen, wo man mit dem ^ten Theile der Augdistanz arbeitet, es am zweckmässigsten sein wird, vor Allem die Linie Al o (Fig. 178), welche durch den Augpunkt A senkrecht auf die Bild-

Fig. 178.

\n

n=3

310

flächtrace und Verschwindungslinie geführt ist, und den Abstand der beiden letzteren angibt, in n Theile zu theilen, indem sodann die Theilung jener häufig vorkommenden Linien, welche beliebige in Ei, Ev gelegene Punkte mit A₁ verbinden, wie x Al etc., in eine gleiche Anzahl Theile mit Leichtigkeit durch die beiden

Parallelen o x und — — zu bewerkstelligen ist. n n

Kapitel VII.

Perspektivische Massstäbe und Methode der Quadrate.

§• 70.

Construktion der perspektivischen Massstäbe.

Schon in §. 20 wurde bemerkt, dass man einen Punkt, dessen Coordinaten in Bezug auf drei ihrer Lage nach bekannte Coor-dinatenaxen gegeben sind, perspektivisch darstellen könne. Wir nahmen nämlich den Grundpunkt M als den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems an, so dass die Grundlinie, der Durchschnitt der Vertikalebene mit der Grundebene, und die Vertikallinie die drei Coordinatenaxen bildeten, und benannten die Abstände eines Punktes von den durch die eben angegebenen Axen hindurchgehenden Coordinatenebenen, beziehungsweise mit Breite, Länge und Höhe des Punktes.

Fig. 179.

Wiewohl man den Grundpunkt M stets als den Anfangspunkt betrachten könnte, so pflegt man doch mitunter, und zwar namentlich dann, wenn Theile des darzustellenden Objektes zu beiden Seiten der Vertikalebene Vorkommen (um alle Abscissen gleich bezeichnet zu erhalten), den Anfangspunkt statt im Grundpunkte in einem andern Punkte K (Fig. 179) -lider Grundlinie anzunehmen.

Es wird sodann die eine Coordinatenaxe KX in die Grundlinie, die zweite K Y' in den Durchschnitt einer durch K parallel zur Vertikalebene geführten Ebene mit der Grundebene, und die dritte KZ in den Durchschnitt der eben erwähnten Ebene mit der Bildfläche zu liegen kommen.

Diese Annahme, durch welche die Wahl des Anfangspunktes dem jeweiligen Bedürfnisse angepasst werden kann, wollen wir hier voraussetzen, um drei Massstäbe zu construiren, nach welchen die gegebenen Coordinaten der durch dieselben festgestellten

Punkte auf den Coordinatenaxen aufzutragen, und mit Hilfe derer die Perspektiven der einzelnen Punkte zu bestimmen sind.

Was diese drei Abstände der Punkte von den Coordinaten-ebenen anbelangt, so wollen wir dieselben in Uebereinstimmung mit dem früher Angegebenen, beziehungsweise mit den Worten: „Breite, Länge und Höhe des Punktes“ bezeichnen, und darnach auch entsprechend einen Breiten-, Längen- und Höhenmassstab unterscheiden. Diese drei Massstäbe werden nach Leroy auch mit den Namen: Front-, Flieh- und Höhenmassstab bezeichnet; wobei sich die Bezeichnung Fliehmassstab dadurch rechtfertigt, dass man die auf der Grundlinie senkrecht stehenden Ebenen Fliehebenen zu nennen pflegt.

Was nun die Construktion dieser Massstäbe anbelangt, so ist diese eine höchst einfache, und besteht blos darin, dass man auf den bezüglichen Axen /fX, K Y' und KZ (Fig. 180) diejenige Einheit, in der man die Coordinaten der Punkte eines darzustellenden Körpers angibt, in genügender Zahl aufträgt, und die hierdurch erhaltenen Theilpunkte, welche man der Reihe nach mit 1, 2, 3...., b (Breite), l (Länge), h (Höhe) bezeichnet, auf denselben ersichtlich macht.

Der Breitenmassstab, welcher mit der Axe KX zusammenfällt, wird durchgehend in gleicher Entfernung gelegene Tlieil-punkte enthalten, da die aufzutragende Einheit an keiner Stelle * ■ verjüngt erscheinen kann.

Bei dem Längenmassstabe, welcher in die Axe KY' fällt, werden diese Theilpunkte, je weiter sie von K entfernt sind, desto näher an einander rücken, und sich als Durchschnittspunkte der Axe K Y' mit den von den Theilpunkten des Breitenmassstabes ausgehenden und in dem Distanzpunkte D verschwindenden Linien ergeben.

In Bezug auf den in der Axe KZ gelegenen Höhenmassstab gilt dasselbe, was bei dem Breitenmassstabe bemerkt wurde.

§. 71.

Gebrauch perspektivischer Massstäbe.

Es erübrigt noch, die Anwendung dieser Massstäbe für die perspektivische Darstellung von Punkten zu zeigen.

Zur Erläuterung nehmen wir an, dass die Perspektive p (Fig. 180) eines Punktes P aufzufinden sei, dessen Breite x = b, dessen Länge y— l, und dessen Höhe z — h, in Bezug auf die

bei der Construktion der drei Massstäbe angewandte Einheit gegeben ist.

Hat man in den Axen ifX, KY' und KZ die drei Theil-punkte 6, l und h aufgefunden, so wird sich die verlangte Perspektive p als der Durchschnitt der durch diese Theilpunkte beziehungsweise parallel zur Vertikal-, Bild- und Grundebene ge-

Fig. 180.

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führten Ebenen ergeben, und es wird somit blos jener Durchschnitt zu bestimmen sein.

Dieses kann, nachdem die Durchschnittslinie pp der beiden ersteren Ebenen, welche offenbar eine vertikale Gerade sein muss, mittelst des Durchschnittspunktes p ihrer Grundflächtracen bp und lp, aufgefunden, und dadurch zugleich die Grundflächprojektion des darzustellenden Punktes in p bestimmt wurde, entweder mit Benützung der Bildflächprojektion P", die sich als der Durchschnitt der Bildflächtracen b P" und hP" ergibt, oder mit Benützung der Projektion p" auf die zur Grundlinie senkrechte Coordinatenebene, welcher Punkt als Durchschnitt der beiden Geraden Ip" und Tip" erhalten wird, geschehen.

Man hat nämlich im ersten Falle eine zur Axe KY' parallele Gerade P"pA, und im zweiten Falle die zu KX parallele Linie p"p mit pp zum Durchschnitt zu bringen, um so in dem Durchschnittspunkte p die Perspektive von P zu erhalten.

Die Dichtigkeit dieses Verfahrens, bei welchem die Werthe der Coordinaten 6, l und h nicht nothwendiger Weise ganze Zahlen sein müssen, bedarf wohl keiner näheren Erörterung.

Man sieht demnach, dass bei der Anwendung dieser Mass-stäbe nur die Entfernung der einzelnen Punkte des darzustellenden Gegenstandes von den angenommenen drei Coordinatenebenen zu messen ist. Diese Abstände sind jedoch, namentlich bei regelmässigen Objekten, wie sie besonders in der Architektur vorzukommen pflegen, entweder unmittelbar gegeben, oder leicht abzunehmen, und daher auch der Körper durch Bestimmung einzelner Punkte desselben, ohne Schwierigkeit jDerspektivisch darzustellen.

Bemerkung 1. Nachdem die durch die Linien pp und Ip (Fig. 180) dargestellten Geraden, als in einer -zur Bildfläche parallelen Ebene gelegen, in gleichem Verhältniss verjüngt erscheinen müssen, so folgt daraus, dass man bei der Darstellung der einzelnen Punkte des Körpers den Höhenmassstab gänzlich • entbehren könnte. Man hätte sodann blos in KX den Theilpunkt 11 aufzufinden, denselben mit A zu verbinden, und die so erhaltene Länge ltt auf der Geraden pp von p nach p aufzutragen.

Bemerkung 2. Hätte man einen weit hinter der Bildfläche gelegenen Punkt darzustellen, z. B. einen, dessen Länge y = 15 ist, so könnte bei der Bestimmung des löten Tlieil-punktes auf KY' der hierzu nöthige P5te Theilpunkt auf KX entweder schon ausserhalb fallen, oder es könnte unbequem sein, falls derselbe noch vorhanden wäre, ihn zu benützen. In diesem Falle kann man jene Zahl, welche die Länge des darzustellenden Punktes angibt, als die Summe von zwei oder mehreren kleineren Zahlen betrachten, hier z. B. 15 in 8 und 7 zerlegen.

Diese Zerlegung kann selbstverständlich verschieden geschehen, muss aber so vorgenommen werden, dass die Theilpunkte

auf Kll, welche mit den Zahlen der angenommenen Addenden versehen sind, innerhalb der Zeichnungsfläche fallen.

Wird nun der eine Theilpunkt, z. B. 8, mit dem Augpunkte A, der andere, d. i. 7, mit dem Distanzpunkte D verbunden, und sodann durch den, mittelst der letzteren Verbindungslinie 7D in KY' erhaltenen Theilpunkt 7 eine Parallele 7x zu KX bis zum Durchschnitte x mit der Geraden 8A gezogen, so wird 7x die Perspektive einer Länge von 8 Einheiten vorstellen, welche in einer Entfernung K7 hinter der Bildfläche sich vorfindet. Der Punkt x mit D verbunden, bestimmt nun eine Linie, welche im Durchschnitte mit K Y' den verlangten Theilpunkt 15 angeben wird; denn die Linie xD ist unter 45⁰ gegen 7x und gegen 7 Y' geneigt, also die Entfernung 7, 15 perspektivisch gleich 7x oder gleich 8 Einheiten; demnach auch K7 -f- 7 15 — 15 Einheiten sein wird.

Würde man durch 15 die Parallele 15x zu KX ziehen, und den hierdurch erhaltenen Durchschnittspunkt x mit D verbinden , so erhielte man hierdurch in K Y' den Theilpunkt 23. Hieraus ist ersichtlich, wie man vorzugehen hätte, wenn die Zahl, welche die Länge eines Punktes angibt, in mehr als zwei Zahlen zerlegt werden müsste.

§. 72.

Die Augdistanz als Eiulieit des Längemnassstabes.

Bei den hier angestellten Betrachtungen haben wir die dem Breiten-, Längen- und Höhenmassstabe zu Grunde gelegte Einheit ganz willkürlich gewählt. Nehmen wir aber, wenigstens für den Längenmassstab, die Augdistanz als die Einheit an, so wird man finden, dass bei Voraussetzung dieser Einheit die erhaltenen Theilpunkte einem interessanten, leicht aufzufindenden Gesetze unterliegen.

Um dieses in seiner Allgemeinheit kennen zu lernen, denken wir uns auf einer Geraden Z, welche perspektivisch durch Id (Fig. 181) dargestellt und bestimmt ist, einen Punkt Pn, der hinter der Bildfläche n mal so weit entfernt ist, als das Auge vor derselben liegt, für welchen also die Entfernung dPn von dem Durchschnittspunkte cl gleich ii. Ov ist, und bestimmen seine Perspektive mittelst des Sehstrahles 0 Pn in jon, so ist ersichtlich, dass die beiden Dreiecke Ovpn und Pndpn einander ähnlich sind, und dass demnach die Proportion

h..

vpn : dpn = Ov : Pnd bestehen müsse. Nachdem nun aber

dPn = n. Ov

ist, so wird auch

vpn : dpn = 1 : n, oder vpn : dpn : vpn -f- dpn = 1 n : 1 -j- w, oder vpn : dpn : dv = 1 : n : 1 -j- n

und demnach

Vpn =

—. dv und dpn '= —.dv n-f-l    ¹ npl

Fig. 181.

Br

............

r.?₅

Pn

P₃

.....P

Pa

A...

7À

l.

Ge

Dieses Ergebniss sagt aus, dass mit der Zunahme von w, also bei grösser werdender Entfernung des hinter der Bildfläche gelegenen Punktes Pn die Perspektive pn sich nach einem bestimmten, durch die eben erhaltenen Gleichungen ausgedrückten Gesetze ununterbrochen dem Punkte v nähert.

Setzen wir in obige Gleichungen für n der Reihe nach die aufeinander folgenden Zahlen 1, 2, 3.... und suchen die entsprechenden Werthe von vpn und dpn, so ergiebt sich für n = 1\ vpi = ]/₂ d v und dpx = */₂ d „ n = 2; vp₂ = Il₃dv „ dp₂ = ²/₃d

„ etc.

für n = 3; vp₃ = % dv und dp₃ = ³/₄du etc.

etc.

woraus ersichtlich ist, dass für' eine beliebige Gerade L, durch das Eintheilen ihrer Perspektive la in 2, 3, 4.... gleiche Theile, in px, y>₂, P3 • ■ ■ • Theilpunkte erhalten werden, welche solchen Punkten der Geraden L im Raume entsprechen, die von der Bildebene in einer Entfernung gleich der 1, 2, 3.... fachen Augdistanz liegen.

Fig. 182.

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cl

Wenn man nun durch die Linie la (Fig. 182) irgend eine Ebene EbEv legt, und durch die auf die eben angegebene Weise erhaltenen Theil-punktep₂i p₃ - • • • die zur Bildfläch-’ trace Ei parallelen Linien a?₄, a?₂, x₃.... zieht, so kann man dieselben als Durchschnitte der Ebene Ei Ev mit solchen ^ zur Bildfläche parallelen Ebenen betrachten, welche von derselben beziehungsweise eine 1,

2,3... mal so grosse Entfernung als die Jl Augdistanz haben.

|v

Da nun selbstverständlich durch das System der gezogenen Parallelen x₁, x₂, x₃.... auch der senkrechte Abstand A₁o in den Punkten it₄, tt₂, tt₃ .... in demselben Verhältnisse, wie l in den Punkten px, p₂, p₃...., getheilt wird, so kann man die letzteren Theilpunkte, statt unmittelbar die Gerade l einzutheilen, auch als die Durchschnitte der Linie l mit solchen zwischen Eb Ev gelegenen Linien erhalten, welche

auf der Entfernung A₁ o Längenstücke ^4₄ ttj , Ax tt₂, Ax tt₃.....

gleich J/₂, !/₃, !/₄.... des Abstandes Ao abschneiden.

Um das hier erzielte Resultat zur Construktion eines Längenmassstabes, dem die Augdistanz als Einheit zu Grunde liegt, zu

benützen, haben wir nur einen speciellen Fall der Lage der geraden Linie ins Auge zu fassen.

Wir nehmen nämlich an, dass die Gerade L auf der Bildfläche senkrecht stehe, in der Grundebene gelegen sei, und dass der in der Grundlinie als Anfangspunkt angenommene Punkt K den Durchschnitt der Geraden mit der Bildfläche angäbe, mithin die Gerade L in die Y Axe übergehe. Unter solcher Voraussetzung stellt Fig. 183 den Längenmassstab Kÿ A vor. Es sind hiernach

Fig. 182.

|A H

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TT

-T5

JT\

XI

-n

>=0

1, 2, 3.... die aufeinander folgenden mit den früheren Punkten px, P21P3 • • • identischen, den bekannten Bedingungen entsprechenden Theilpunkte, welche vermittelst der Geraden æj, æ₂, £c₃ • • -, die den senkrechten Abstand der Horizonts- und Grundlinie in oberwähnter Weise theilen, erhalten wurden. Die Geraden x₁, x₂, x₃... sind hauptsächlich dess-ii wegen angegeben, um zugleich die Grundfläch-tracen von zur Bildfläche parallelen Ebenen darzustellen, welche stets in einer der Augdistanz gleichen Entfernung auf einander folgen.

Der so construirte Längenmassstab Ky zeigt deutlich, dass diejenigen in der Grundebene oder in einer zur Bildfläche parallelen Ebene gelegenen Punkte, deren Längen der 1, 2, 3... fachen Augdistanz gleich sind, ihre Perspektiven, oder beziehungsweise die Perspektiven ihrer Grundflächprojektionen in den auf einander folgenden Geraden ccj, x₂, x₃ .... haben müssen.

Es sind demnach die perspektivisch auf dem Längenmass-stabe abgeschnittenen Längen der Punkte nicht ihrem wirklichen oder geometrischen Masse proportional, sondern es tritt bei zuuehmender Entfernung des Punktes von der Bildebene, oder bei zunehmender Länge des Punktes, eine geregelte Abnahme in den perspektivisch dargestellten Längen ein.

Es fällt nämlich, wie ersichtlich, für eine Länge 7, 2, 3.... Augdistanzen der perspektivische Endpunkt derselben beziehungsweise nach i, also in die Halbirungslinie, — nach 2, d. i. in die obere Drittellinie, — nach 3, also in die obere Viertellinie der Horizontshöhe, etc. etc.

Nicht nur die Längen, sondern auch die Breiten und Höhen der Punkte nehmen in geregelter Weise ab.

Denkt man sich nämlich im Punkte K auf die Axe KX (Fig. 184) eine Senkrechte KZ errichtet, um auf diese Weise

Fig. 184.

Zi

rr⁴

1\

<cl

i—

i»

y'

X_G

>C0

gleichsam in    den Breiten- und in KZ den Höhenmassstab

zu erhalten, und trägt man auf diesen Axen die wirkliche Breite und Höhe irgend eines Punktes P auf, so dass die erstere nach Kb — b, die letztere nach Kln — h fällt, und verbindet sodann die beiden Punkte li und b mit dem Augpunkte A, so wird man in den Durchschnitten der Linie b A mit den auf einander folgen-

den Geraden acj,    , x₃ .... die Punkte p'l: p₂ •> P 3 • • •

und

in den Durchschnitten der Linie AJ. mit den in den Punkten 1, 2, 3.... auf die Grundebene senkrecht errichteten Geraden zii z2i z3 ■ • • die Punkte    p"₂, p'"₃... erhalten. Die ersteren

Punkte sind offenbar die Endpunkte der perspektivisch dargestellten Breiten, während die letzteren die Gränzen der dargestellten Höhen bilden.

Nachdem nun, wie aus der Aehnlichkeit der Dreiecke folgt, die Breiten

¹P\ = V2 2/2 = ^3 ³P 3 = lU b • • • •

und die Höhen

lp'i = V2 ä, V"₂ = 1/3 Ä, 3fz = 1/4 Ä....

sind, so ist ersichtlich, dass für diejenigen Punkte, welche ihre Grundflächprojektionen in x₁, x₂, x₃...., also in der Halbirungs-, Drittel-, Viertellinie.... der Horizonthöhe haben, oder was dasselbe ist, welche beziehungsweise in einer i, 2, 3.... fachen Aug-distanz hinter der Bildfläche liegen, ihre perspektivisch dargestellten Breiten und Höhen beziehungsweise nur %, lj/jt.... derjenigen Breiten und Höhen betragen, welche denselben in der Wirklichkeit zukommen.

Sind die darzustellenden Gegenstände von grösserer Ausdehnung, so kann man irgend ein System dieser Tracen, z. B. 2z₂, 2AL, 2x₂, oder allgemein nzn, nA, nxn als die zugehörigen perspektivischen Massstäbe betrachten, auf welchen sonach die gemessenen Dimensionen im entsprechend verjüngten Masse aufzutragen sind.

Bemerkung. Der im §. 72 erklärte Längenmassstab mit welchem wir die beiden Axen KX und KZ verbunden dachten, um die erstere als den Breiten- und die letztere als den Höhenmassstab zu benützen, eignet sich weniger zur perspektivischen Darstellung beliebiger Punkte, indem hier die Längen derselben auf die Augdistanz bezogen werden müssten.

Das Resultat dieser Untersuchung hat aber besonders für den Maler seine erheblichen Vortheile. Der Maler kann nämlich, nachdem er seine Horizontslinie angenommen hat, die Lage der perspektivisch darzustellenden Gegenstände, welche das von ihm auszuführende Bild fassen soll, je nach ihrer Entfernung von der Bildfläche, die er mit der Augdistanz vergleicht, hinreichend genau nach obigen Erörterungen, wenn selbst nur nach dem Augenmasse, ermitteln, und zugleich sich nicht nur leicht die nothwendigen Anhaltspunkte verschaffen, welcher er bei der perspektivischen Darstellung der auf der Bildfläche senkrecht stehenden Dimensionen (Längen) bedarf, sondern derselbe wird auch in der Lage sein, die Breiten- und Höhenmasse der Gegenstände ziemlich genau anzugeben, indem er weiss, dass diejenigen Objekte, welche in dem halben, dritten, vierten.... Theile der Horizontshöhe auf dem Bilde anzuordnen sind, von ihren wirklichen Ausmassen nur beziehungsweise den halben, dritten, vierten Theil zu erhalten haben.

Darnach kann also der Maler leicht ein richtiges Massver-liältniss der dargestellten Objekte einhalten, und sich auf diese Weise blos durch das einfache Messen ohne zu construiren, von den in perspektivischen Bildern häufig vorkommenden Verstössen gegen die richtige Massbestimmung, die oft aus Bequemlichkeit oder aus Mangel eines Lineals, oder überhaupt durch die Scheu, eine Construktion auf dem Bilde vorzunehmen, vernachlässigt wird, leicht befreien.

§• 73.

Methode der Quadrate.

Dieser Methode bedienen sich mitunter die Maler bei der Skizzirung ihrer Entwürfe. Hier sei dieselbe, als sich unmittelbar an die obigen Bemerkungen anschliessend, nur in aller Kürze berührt.

Diese Methode besteht im Folgenden. Hat man viele kleine und unregelmässig vertheilte Gegenstände darzustellen, so kann man die Ebene, auf welcher sie aufruhen, als Grundebene betrachten und diese in lauter Quadrate, deren Seiten zur Bildfläch-trace derselben Ebene beziehungsweise parallel oder senkrecht sind, so getheilt denken, dass die Grundflächprojektionen der darzustellenden Objekte in dem hierdurch erhaltenen Netze liegend erscheinen, und sodann die Perspektiven der Quadrate verzeichnen.

Auf diese Art wird die Bildfläche in perspektivische Quadrate getheilt, in welche man annäherungsweise die Perspektiven der Grundflächprojektionen der Gegenstände vertheilen kann. Hierdurch erhält man den Grundriss der darzustellenden Gegenstände in der Perspektive, welchen man auch den perspektivischen Grundriss nennt, und mit dessen Hilfe die Darstellung der Objekte sehr erleichtert wird. Dieses Verfahren ist übrigens zu einfach, als dass es einer weiteren Auseinandersetzung bedürfte.

ZWEITER ABSCHNITT.

Durch ebene Flächen begränzte Körper.

Kapitel VIII.

Die körperliche Ecke.

§■ 74.

Allgemeine Bemerkungen.

Schneiden sich drei Ebenen in einem Punkte, so schliessen dieselben eine körperliche Ecke ein.

Die von je zwei Schnittlinien der drei Ebenen gebildeten Winkel nennt man die Kantenwinkel, während die von je zwei dieser Ebenen eingeschlossenen Winkel die Seiten- oder Flächenwinkel der Ecke genannt werden.

Es hat somit jedes körperliche Dreieck drei Kanten- und drei Flächenwinkel, und wird im Allgemeinen durch drei dieser genannten sechs Stücke bestimmt sein.

Fällt man von irgend einem Punkte Ebenen senkrecht auf jede der drei Kanten, so bilden diese Ebenen wieder eine körperliche Ecke, welche der besonderen Eigenschaft wegen, dass die Kantenwinkel derselben die Seitenwinkel der ersteren Ecke und umgekehrt zu 180⁰ ergänzen, die Supplementar-Ecke heisst.

Ist das perspektivische Bild einer körperlichen Ecke gegeben, so können, nach den vorhergegangenen Sätzen, die Winkel, welche je zwei Kanten mit einander einschliessen, so wie die Neigungswinkel je zweier Ebenen, also alle sechs Bestimmungsstücke der Ecke gefunden werden.

Aus den sechs Bestimmungsstücken einer körperlichen Ecke können ebenso viele Combinationen zu je drei Stücken gebildet werden, wonach sich folgende Anflösungsfälle ergeben.

Es können entweder:

1. drei Kantenwinkel,

2.    zwei Kantenwinkel und der eingeschlossene Flächenwinkel,

3.    zwei Kantenwinkel und ein gegenüberliegender Flächenwinkel,

4.    drei Flächenwinkel,

5.    ein Kantenwinkel und die beiden anliegenden Flächenwinkel, oder endlich

6.    zwei Flächenwinkel und ein gegenüberliegender Kantenwinkel gegeben, und die fehlenden Stücke zu suchen sein.

§. 75.

Aufgabe.

Est ist die körperliche Ecke perspektivisch darzustellen und aufzulösen, wenn drei Kantenwinke], gegeben sind.

Lösung. Der Einfachheit wegen sei vorausgesetzt, dass die Ecke mit einer Seitenfläche, z. B. mit jener in der Horizontalebene E“b E“v (Fig. 185) liege, deren Kanten den Winkel ß ein-

Fig. 185.

7X

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■X

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8'

S/

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schliessen, und dass die eine Kante S 0 senkrecht auf der Bildebene sei.

derselben mit der

Nachdem man sich die beiden andern Seitenflächen um die bezüglichen horizontalen Kanten in diese Horizontalebene umgelegt, und die Perspektiven der sich so aneinanderreihenden Kantenwinkel m05, SOp und pön in der Horizontalebene verzeichnet hat, so wähle man auf der Kante m 0 einen Punkt, und zwar am zweckmässigsten den Durchstosspunkt m

Bildebene, und schneide auf der Kante nO ein Längenstück nO perspektivisch ab, welches der Kantenlänge m 0 gleich ist.

Werden die beiden Seitenflächen mOS und nOp, beziehungsweise um SO und pO, so lange gedreht, bis die Kanten mO und nO zusammenfallen, so ist ersichtlich, dass auch die beiden Punkte m und n Zusammentreffen werden. Legt man daher durch m und n Ebenen, beziehungsweise senkrecht auf OS und Op, und sucht die Perspektiven ihrer horizontalen Tracen, so sind diese mp (indem hier die erstere dieser beiden Ebenen die Bildebene selbst ist) und nr (welch’ letztere perspektivisch senkrecht auf Op zu ziehen ist).

Nun ist offenbar r ein Punkt des Schnittes dieser beiden Ebenen, welche, als Vertikalebenen, sich in einer vertikalen Geraden rt schneiden müssen.

Der Punkt m beschreibt bei seiner Drehung einen Kreis, der, als in der Bildebene liegend, sein eigenes perspektivisches Bild ist, folglich im Durchschnitte mit dem Perpendikel rt einen Punkt t der Kante Ot gibt, welcher zugleich der Durchstosspunkt dieser Kante mit der Bildebene ist.

Die drei Flächenwinkel können nun auf bekannte Weise gesucht werden; die besondere Lage der Kanten gestattet jedoch einige Abkürzungen.

Erstens ergibt sich der Neigungswinkel C der Flächen tOS und SOp einfach dadurch, dass man die Bildflächtrace St zieht; denn die genannten beiden Flächen stehen senkrecht auf der Bildebene, folglich schliessen ihre Bildflächtracen St und pS den Neigungswinkel derselben ein.

Betrachten wir ferner nr als die Grundfläch trace einer auf der Schnittlinie p 0 der beiden Ebenen SOp und p 01 senkrechten Ebene, so sind rf und ft die Schnitte dieser Hilfsebene mit den genannten Ebenen. Wird nun f um die Bildflächtrace rt in die Bildebene gedreht (was vermittelst des Theilungspunktes T der Geraden rfv geschieht), bis f nach g gelangt, so ist t g r der zu suchende Elächenwinkel A.

Was endlich den dritten Seitenwinkel B anbelangt, den die Flächen SOt und pOt einschliessen, so sind AU-₂ (durch Al parallel zu St) und Uj Vo (durch den Verschwindungspunkt vx der Kante pO parallel zu pt) die Verschwindungslinien Ev und E'v der beiden Seitenflächen, deren Neigungswinkel B sich auf die im §. 52 behandelte Weise ergeben wird.

Auf dieselbe Art wäre vorzugehen, wenn die körperliche Ecke eine beliebige Lage im Raume hätte, nur würde sich die Schnittlinie rt nicht vertikal, und das Bild des Kreises als Ellipse darstellen.

§• 76.

Aufgabe.

Es ist die körperliche Ecke darzustellen und aufzulösen, wenn zwei Kantenwinkel a und ß und der eingeschlossene Seitenwinkel C gegeben sind.

Lösung. Man lege wieder, der Einfachheit halber, die Kante so (Eig. 186), in welcher der Scheitel des Seitenwinkels

Fig. 186.

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liegt, senkrecht auf die Bildfläche und die Fläche s op horizontal. Die durch die- Kante s o gehende zweite Seitenfläche muss sonach senkrecht auf die Bildebene stehen, daher ihre Verschwindungs-linie Ev durch den Augpunkt so zu ziehen sein wird, dass sie mit der Horizontslinie HH den Winkel C bildet. Die Bildfläch-trace Eh dieser Ebene ist daher durch den Durchstosspunkt s der Kante os parallel mit Ev zu ziehen.

Ist som die Perspektive des ip die Grundebene umgelegten Kantenwinkels a, so nehme man irgend einen Punkt m der Kante mo an, und drehe diesen um so als Drehungsaxe so lange, bis er in die Ebene Eb Ev fällt. Zu diesem Ende lege man durch m eine auf so senkrechte Ebene, deren Grundflächtrace mp ist, und welche, da sie parallel zur Bildebene ist, sich mit der Ebene Eb Ev in einer zu Ev parallelen Geraden fr schneiden wird.

Der Punkt m beschreibt bei der Drehung einen Kreisbogen parallel zur Bildebene, dessen Perspektive also wieder ein Kreis vom Radius mf ist, und sich mit fr in einem Punkte r der dritten Kante ro schneidet.

Bei der Bestimmung der übrigen Stücke wird man in ähnlicher Weise, wie in der vorhergegangenen Aufgabe Vorgehen.

Zum Behufe der Bestimmung des Kantenwinkels por wird es am zweckmässigsten sein, denselben um die Trace pr seiner Ebene, welche die Gerade E'v zur Verschwindungslinie hat, in eine zur Bildfläche parallele Lage zu drehen.

Ist Ax der Nebenaugpunkt dieser Ebene, so ist AYob, als die auf pr Senkrechte, die Perspektive der Höhe des Dreiecks

ver-

rpo, welch⁷ letztere, wenn o mit — (Dl Nebendistanzpunkt)

bunden wird, sich in b l in ihrer halben Länge, selbstverständlich in einem der Entfernung von der Bildebene entsprechenden Masse verjüngt, ergibt.

Wird sonach im Eusspunkte b die Senkrechte bl' auf br errichtet, bl' = bl gemacht, br in r, bp in p halbirt, und V mit p und r verbunden, so ist der Winkel p V r — y der verlangte Kantenwinkel.

Ebenso einfach wird derselbe in —- ~ ~ erhalten, wenn die

/£ &

den beiden Geraden op und ot entsprechenden Parallelstrahlen in die Bildebene umgelegt werden.

Den Winkel A, den die beiden Ebenen sop und por bilden, erhält man, wenn durch s eine senkrechte Ebene auf op geführt, und diese, wie im vorigen Beispiele, um ihre vertikale Bildfläch-trace sammt den darin liegenden Schnittlinien in die Bildfläche gedreht wird.

Auf gleiche Weise, wie vorhergehend, erhielte man den Flächenwinkel B, welcher in hNv₂ gefunden wurde.

§ 77. Aufgabe.

Es ist eine körperliche Ecke darzustellen und aufzulösen, wenn zwei Kantenwinkel und ein gegenüberliegender Seitenwinkel gegeben sind.

Lösung. Legen wir die Ebene sop (füg. 187), in welcher der Winkel ß liegt, horizontal, und stellen die Kante so, an welcher sich der Seitenwinkel nicht befindet, senkrecht auf die Bildebene

verzeichnen an s o den in die Horizontalebene um-gelegten Winkel a, wenn möglich bis zum Durchschnitte r des Schenkels o r mit

u \v _

\ [Va

\

\S

Sv

Fig. 187.

Al

A'w

IW

.......

yV

der Bildebene, und legen, nach §. 56, durch p o eine Ebene EbE

welche mit der Horizontalebene den Winkel A einschliesst, so sind die nothwendigen Vorbereitungen zur Lösung der vorliegenden Aufgabe getroffen.

Führt man durch s eine auf so senkrechte Ebene, welche hier mit der Bildebene zusammenfällt, so schneidet diese die Ebene Et Ev in und dreht man die Seitenebene ros um so so lange, bis der Schenkel ro in die Ebene Eb Ev gelangt, so beschreibt der Punkt r einen in der Bildebene liegenden Kreis rtu, der die Schnittlinie Eb in t und u schneidet, welch’ letztere sich als Punkte der zu suchenden dritten Kante ergeben, woraus erhellt, dass diese Aufgabe im Allgemeinen zwei Auflösungen zulässt, in dem Falle jedoch, als der Kreis die Gerade Eb nur berührt, oder gar nicht trifft, blos eine, resp. keine Auflösung

gestattet.

Würde sich der Punkt r nicht mehr auf der Zeichnungsfläche ergeben, so könnte man ebenso einfach irgend einen Punkt rx der Geraden r o wählen, und mit demselben eine gleiche Con-

struktion durchführen.

Es wäre sodann rj pl die horizontale Trace einer zur Bildfläche parallelen Ebene, und px £l5 parallel zu pt, die Schnittlinie derselben mit der Ebene Eb Ev.

Die Gerade p₁ tx wird von dem aus sj mit dem Radius rx sl gezogenen Kreise in den beiden Punkten tx und ux geschnitten, welche mit o verbunden die dritten Kanten der beiden hier möglichen körperlichen Dreiecke geben.

Der Kantenwinkel top kann wieder gefunden werden, indem man seine Ebene um die Trace Eb in die Bildfläche, oder um p₁ tx in eine zur Bildfläche parallele Ebene umlegt.

Die durch A senkrecht auf Ev geführte Gerade AAl gibt in A₁ den Verschwindungspunkt aller in der Ebene EbEv liegenden, auf Eb senkrechten Geraden, daher ist Aiob das von o auf die Basis tlpl des Dreiecks pl ^ o geführte Perpendikel, welches in b seinen Fusspunkt hat. Wird nun die wahre Länge desselben in Bezug auf die zur Bildfläche parallele Ebene nach irgend einer der früher angeführten Methoden bestimmt und von b auf die in diesem Punkte auf tlpl errichtete Senkrechte boi übertragen, so ist t₁(j)pi das umgelegte Dreieck, folglich bei co der gesuchte dritte Kantenwinkel y.

Der Flächenwinkel C ergibt sich, wie bei allen jenen Auflösungsfällen, wo die Bestimmungsstücke eine solche Lage wie die hier angenommene gegen die Bildebene haben, indem man die Punkte t und s verbindet, wobei tsp= C den gewünschten Seitenwinkel darstellt.

Der Flächenwinkel B ist auf die allgemeine Art zu bestimmen.

Die Fälle 4, 5 und 6 können auf die soeben behandelten zurückgeführt werden, indem man die entsprechende Supplementar-ecke construirt und von einem Punkte innerhalb derselben Perpendikel auf die Ebenen der Supplementarecke fällt; diese bilden sodann die drei Kanten der zu suchenden Ecke.

Bei den Fällen 4 und 6 sind dies wohl die einfachsten Auflösungen; der Fall 5 jedoch lässt sich einfacher direkt, d. h. ohne Zuhilfenahme der Supplementarecke lösen.

§. 78.

A u f g- a h e.

Es ist eine körperliche Ecke perspektivisch darzustellen und aufzulösen, wenn ein Kantenwinkel und die anliegenden Flächenwinkel gegeben sind.

Lösung. Denken wir uns die körperliche Ecke in gleicher Lage gegen die Bildebene, wie in allen bereits behandelten Fällen, und in o (Fig. 188), als Scheitel, den gegebenen Kantenwinkel Sop verzeichnet, so werden wir blos an die beiden Kanten o S und op die Ebenen Eb Ev, E'b E'v unter den gegebenen

Fig. 188.

V'-..

Ki

E'v\

>K i

V¹

ft

//

Ac

\3

Winkeln gegen die Grundebene zu legen, und deren Durchschnitt zu bestimmen haben, um die dritte Kante ot der Ecke zu erhalten.

Da öS senkrecht auf der Bildebene steht, so ergibt sich die erste dieser beiden Ebenen einfach dadurch, dass man die Ver-schwindungslinie Ev durch A unter dem gegebenen Flächenwinkel C gegen die Horizontslinie zieht. Die zweite Ebene muss auf die bekannte Weise, nach §. 56, ermittelt werden.

Hiermit wäre die körperliche Ecke dargestellt. Behufs ihrer Auflösung wird es sich um die Grösse der zwei Kantenwinkel Sot und top und den von ihnen eingeschlossenen Flächenwinkel handeln.

Die Auffindung der Kantenwinkel betreffend ist es am zweck-massigsten, die einzelnen Flächen um deren Schnittlinien t S, Sp und pt mit der Bildebene, in dieselbe umzulegen.

Nachdem So senkrecht auf der Bildebene, daher auch senkrecht auf St und Sp steht, so sind die Dreiecke Sp o und Sto bei S rechtwinklig, und die eine Kathete derselben ist die wahre Grösse des Abstandes o S, dessen halbe Länge durch Verbinden

von o mit

■—in Sm erhalten wird.

Verzeichnet man sonach Dreiecke mit den halben Seitenlangen (des beschränkten Raumes wegen), so enthält das eine Dreieck Srn bei n den Kantenwinkel a, und das andere Slq bei l den Winkel ß.

Die Hypothenusen lq und rn dieser beiden Dreiecke, sind offenbar gleich den halben wahren Längen der Kanten op und ot und können zur Verzeichnung des dritten Dreiecks pto dienen,

welches die Stücke lq und rn zu Seiten, und der Seite ~

gegenüber den dritten Kantenwinkel, y, entsprechend der Perspektive top, hat.

Der dritte Seitenwinkel kann wieder auf die allgemeine Weise bestimmt werden, indem die Verschwindungslinien der ihn ein-schliessenden Seitenflächen bekannt sind.

Kapitel IX.

Perspektivische Darstellung von Körpern, die von ebenen Flächen hegränzt sind.

§• 79.

Die Pyramide.

Das perspektivische Bild einer Pyramide wird durch das Bild der Basis und durch die Perspektiven der sich in einem Punkte, der Spitze, vereinigenden Kanten gegeben sein.

Fig. 189.

Ev\

Ist demnach ab cd (Fig. 189) die in der Ebene Eb Ev gelegene Basis, und S die durch die Gerade lvd be-

l.

!A_

J\

stimmte Spitze der Pyramide, so hat man diese einfach mit den Eckpunkten des Basispolygons zu verbinden, um die einzelnen Kanten zu erhalten. Beim Verbinden ist überdies noch zu be-

rücksichtigen, welche von den so er-

In unserem

haltenen Kanten sichtbar oder gedeckt erscheinen.

Beispiele sind die Basiskanten bd und cd, mithin ebenfalls die

Kante d S gedeckt. Dies ist leicht zu erkennen, wenn man die Lage der Basisebene und die der Spitze richtig beurtheilt; hier z. B. zeigt die Verschwindungslinie Ev an, dass die Basisebene eine Neigung gegen die Bildfläche nach oben zu hat, und dass, weil die Bildflächtrace Eb unter Ev liegt, man auf die Ebene von oben sieht. Da ferner der Punkt S über der Basisebene

liegt, so sind die nach rückwärts, also hinter den äussersten Be-gränzungen liegenden Kanten durch die vorderen Seitenflächen gedeckt.

Wäre die Aufgabe gestellt, eine senkrechte Pyramide zu construiren, so würde man, wie aus dem Begriffe selbst folgt, ein regelmässiges Polygon als Basis in der gegebenen Ebene verzeichnen, im Mittelpunkte der Basis auf diese Ebene eine Senkrechte errichten und auf derselben, vom Fusspunkte aus, die gegebene Höhe abschneiden, wobei man die Spitze S erhielte.

§• 80.

Das Prisma.

Denkt man sich die Spitze der Pyramide immer weiter von der Basis entfernt, so werden die Kantenwinkel an der Spitze immer kleiner, bis sie schliesslich bei unendlicher Entfernung der Spitze von der Basisebene, d. i. bis die Kanten zu einander parallel werden, und die Pyramide in ein Prisma übergeht, gleich Null sind. Hieraus folgt, dass ein Prisma perspektivisch so wrie die Pyramide dargestellt wird, nur dass beim Prisma der Ver-schwindungspunkt der parallelen Kanten die Spitze des Bildes ist.

Der eben besprochene Uebergang von der Pyramide zum Prisma ist insbesondere für die perspektivische Darstellung dieser Körper von Vortheil, da hieraus hervorgeht, dass sämmtliche Con-struktionen bei beiden Körpern in gleicher Weise durchzuführen sind und sich bei Prismen aus dem Umstande, dass die Spitze als Versehwindungspunkt zu betrachten ist, noch besondere Vereinfachungen ergeben.

Ist also ab cd (Fig. 190) die in der Ebene Eb Ev gelegene Basis eines Prisma, v der Verschwindungspunkt der parallelen Prismenkanten, so werden die Verbindungslinien des Punktes v mit a, 6, c und d die perspektivischen Bilder der Kanten liefern.

Das Prisma ist gewöhnlich begränzt, und dies zumeist durch eine zur Basis parallele Ebene, wo dann die parallelen Kanten eine gleiche Länge besitzen. Tragen wir also auf jeder Kante

ein gleiches Stück perspektivisch auf, so wird die obere Begrän-zungsfigur d b' c d' erhalten, von welcher ćd' und ad' gedeckt sind. Von der Auffindung der oberen Basis wird erst in der Folge die Rede sein.

Fig. 190.

In derselben Figur wurde durch hfgkl h'f'g' k' l’ ein zweites Prisma perspektivisch dargestellt, bei welchem der Ver-schwindungspunkt der parallelen Kanten in unendliche Entfer-

U

nung fällt, d. h. dessen Kanten eine zur Bildfläche parallele Lage haben. In diesem speciel-c len Falle sind sonach auch die Perspektiven der Prismenkanten zu einander parallel.

Stehen die einzelnen Kanten, somit auch die Seitenflächen senkrecht auf der Basisebene, so ist das Prisma ein senkrechtes, dessen Construktion aus dem eben Gesagten folgt. In Fig. 190 wurde das Prisma lfghk l'f'g'h'k' als solches dargestellt, indem die Basisebene horizontal und die Kanten vertikal angenommen wurden.

g'

Jv

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//fei’¹

JJA

8' *

h Eb

Regelmässige Körper.

A. Das Hexaeder.

Das Hexaeder oder der Würfel ist von sechs congruenten Quadraten begränzt, wovon je zwei zusammenstossende Flächen auf einander senkrecht stehen.

§. 81.

A u f g- a b e.

Es ist ein Würfel darzustellen, wenn dessen Kantenlänge gegeben ist.

Lösung. Am einfachsten wird ein Würfel perspektivisch dargestellt, wenn derselbe mit einer Seitenfläche auf einer horizontalen Ebene aufsteht, und eine Seitenfläche zur Bildebene parallel ist. Ist also ab (Fig. 191) die Perspektive einer zur Bildfläche parallelen Würfelkante, so gibt das über derselben ver-zeichnete Quadrat ab c d, die eine Seitenfläche des Würfels.

Nachdem die vier in den Seiten dieses Quadrates aufstehenden Seitenflächen vertikal sind, so werden, wenn man über ab und cd die zur Bildfläche parallelen Quadrate abef H T und cdgh verzeichnet, durch dieselben die sämmtlichen acht Ecken des Kör-pers gefunden sein. Es ist mithin blos e mit g und f mit h zu verbinden, um die Bilder der noch fehlenden zwei Kanten des Würfels zu erhalten, welche bei richtiger Construktion im Augpunkte L: verschwinden müssen. ¹)

Fig. 191.

-H

c;

§• 82.

Aufgabe.

Es ist ein Würfel, dessen Basis in einer beliebigen Ebene liegt, ans seiner Kantenlänge zu verzeichnen.

Lösung. Es sei EbEv (Fig. 192) die gegebene Ebene und AB CD die um Eb in die Bildfläche umgelegte, in EbEv liegende Seitenfläche des Würfels.

Vor Allem suche man den Verschwindungspunkt v der auf Et Ev senkrechten Geraden, welcher jedoch in diesem Falle zu weit ausser die Bildfläche fällt, als dass er direkt benützt werden

könnte. Es wurde sonach ~ in der Weise bestimmt, dass auf

4

der durch A parallel zu Ev gezogenen Geraden die Länge A ~ gleich der halben Augdistanz aufgetragen, mit A₁ verbunden und -j senkrecht auf A₁ ~ errichtet wurde, welch’ letzt ge-

KM <8

zogene Gerade sich mit A₁A im Punkte A ~

4

so schneidet, dass

A v ist.

4

Weiters verzeichne man die Perspektive ab cd des in EbEv liegenden Quadrates AB CD, und zwar am zweckmässigsten in

und

der Weise, dass man die Viertelverscliwindungspunkte -~

» h«

-, so wie die Ecke d bestimmt, d mit A₁ verbindet, dAx in vier gleiche Theile theilt, so dass A₁

2

-j Axd ist, sodann die Linien — — und ~ ~ zieht und zu diesen durch d die Perspektiven der in d zusammenstossenden Quadratseiten parallel A und C die Perpendikel A a und C'y auf Ei gefällt und die Fusspunkte a und y mit zL verbunden so

führt. Werden von

Fig. 192.

CG

\ fz

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»,

schneiden diese Geraden die eben gefundenen Perspektiven in den Endpunkten c und a derselben, so wie die Geraden

und

f — in den Punkten ~ und 4 4    44

Diese Punkte mit

und

v"

— verbunden, bestimmen die Richtungen der Perspektiven ab und b c, welch’ letztere sonach durch a und c beziehungsweise

u— und ~ — zu ziehen sind, und im Durchschnitte

4    4 4

parallel zu b die Perspektive des Punktes B liefern.

E und Ą- mit ~

4    4    4

bunden, so sind hiermit die Richtungen der Perspektiven jener vier Kanten gegeben, welche auf Ei Ev senkrecht stehen. Diese

Werden nun die vier Punkte Ę,

4    4

ver-

Perspektiven sind mithin durch a, b, c und d parallel zu obigen Verbindungslinien zu ziehen.

Um endlich auf den letzt gefundenen Geraden die Kantenlänge abzuschneiden, kann auf bekannte Weise durch jede dieser vier Geraden eine bildflächprojecirende Ebene gelegt (für welche

AXA~ die gemeinschaftliche Verschwindungslinie bleibt, und die

Bildflächtrace erhalten wird, indem man den betreffenden Fuss-punkt, z. B. a mit Al verbindet und durch den Punkt a der Bildflächtrace Eb eine Parallele zu Al A zieht) und der gemeinschaftliche Theilungspunkt, entsprechend dem Verschwindungs-punkte v, benützt, oder auch folgends vorgegangen werden.

Berücksichtigt man nämlich, dass der Winke] —■ -- A den

Neigungswinkel der auf Ei Ev senkrechten Kanten gegen die Bildebene bestimmt, so ist einleuchtend, dass, wenn auf dem

Schenkel -~l- die Kantenlänge ~M— A B aufgetragen, und aus M die Senkrechte MN auf den zweiten Schenkel A errichtet

wird.

die Länge der orthogonalen Projektion obiger Kanten

auf der Bildebene angibt. Wird also die Bildflächtrace aa\ einer durch die Kante aax gehenden bildflächprojecirenden Ebene wie oben bestimmt, der Endpunkt a der Kante aax mit A verbunden, vom Durchschnitte a‘ dieser Geraden mit der Bildflächtrace aa\ auf der letzteren die Länge a‘a\ = N~ aufgetragen

und a\ mit A verbunden, so schneidet diese Verbindungslinie die Kantenrichtung aax in dem zu suchenden Endpunkte ax.

Ist auf diese Weise ein Punkt der untern Basis des Würfels gegeben, so kann dieselbe mit Benützung der Verschwindungs-punkte der obern in EbEv gelegenen Seitenfläche, oder durch weiteres Abschneiden der Kantenlängen auf den Kantenrichtungen bbx, cq und ddx gefunden werden.

Bemerkung, Ist das um Eb in die Bildebene umgelegte Quadrat AB CD daselbst verzeichnet, so ist ersichtlich, dass die aus den einzelnen Eckpunkten desselben auf Eb senkrecht errichteten Geraden zugleich die Bildflächtracen der betreffenden bildflächprojecirenden Ebenen angeben.

§• 82.

Auf g-a be.

wenn

Es ist die Perspektive eines Würfels zu constrniren, derselbe mit einer Kante derart auf einer Horizontalebene steht, dass die beiden in dieser Kante zusammenstossenden Flächen einen gleichen Winkel mit der Horizontalebene einschliessen.

Fig. 193.

>LV '\ i/iiF

4

i /r

Lösung. Wenn die horizontale Kante parallel zur Bildfläche und ab (Fig. 193) als die Perspektive derselben angenommen wird, so ist die gegenüberstehende parallele Kante cd in einer der Diagonale einer Quadratseitenfläche gleichen Höhe über derselben gelegen, indem sich in a und b senkrecht auf die Bildfläche die beiden Quadrate aceg und bdfh anreihen, deren in a und b zusammenstossenden Seiten, der Annahme zufolge, gleich geneigt sind, weshalb die Diagonalen ac und bd vertikal sein müssen. Beschreibt man also über a b das Quadrat abmn und überträgt dessen Diagonale b m von a nach c und von b nach d, so ist bd die oberste Kante.

Weiters sind die beiden obgenannten Quadrate zu verzeichnen, deren Diagonalen eg und fli horizontal und senkrecht auf die Bildfläche sind.

Man wird also ac und bd in k und l halbiren, die Richtungen A k und A l dieser Diagonalen ziehen, und auf denselben nach vorn und rückwärts die halbe Diagonalenlänge ak abschneiden, wodurch man die letzten vier Eckpunkte des Würfels erhält.

Zum Abschneiden dieser Längenstücke können zumeist die in der Vertikallinie gelegenen Distanzpunkte am vortheilhaftesten benützt werden.

Bemerkung. Die Seiten der letztgefundenen zwei Quadrate sind in vertikalen Ebenen gelegen und gegen die Bildfläche unter 4ö° geneigt, wesshalb ihre Verscbvvindungspunkte mit den in der Vertikallinie gelegenen Distanzpunkten zusammenfallen, was eine Contrôle für die Richtigkeit der durchgeführten Construktion bietet. Ebenso müssen cd, ej und gh parallel zur Horizontslinie sein.

§• 83.

Aufgabe.

Es ist das Bild eines Würfels zu zeichnen, wenn eine Axe desselben vertikal steht.

Fig. 194.

........

.....\

'/

C,Kr......

.........

Lösung. Ist ab (Fig. 194) die Lage der vertikalen Axe und a der Fusspunkt derselben, ferner a l die Perspektive einer Kantenlänge, welche in der durch a b gehenden, zur Bildfläche parallelen Ebene liegt, so ist bekannt, dass die Diagonale eines Würfels gleich der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sei, dessen eine Kathete die Kantenlänge, und die andere Kathete die Diagonale des über der Kantenlänge beschriebenen Quadrates ist. Wird demnach über a l ein Quadrat verzeichnet, pq senkrecht auf dessen Diagonale ap errichtet und der Kantenlänge al gleich gemacht, endlich aq von a nach b übertragen, so ist b die oberste Ecke des Würfels.

Die übrigen sechs Ecken liegen je drei in einer Ebene, so dass diese beiden Höhenebenen die Axe ab in drei gleiche Theile aa = aß = ßb theilen.

Da vorliegender Körper regelmässig ist, so müssen je drei in einer Ebene liegende Ecken sich als die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ergeben, dessen Seiten der Diagonale einer Würfelfläche gleich sind, indem je zwei dieser Ecken in einer Seitenfläche, und zwar einander gegenüber liegen.

Wird also über ap ein gleichseitiges Dreieck apr beschrieben, so ist dieses in die beiden Höhenebenen derart zu übertragen, dass die Mittelpunkte in die Axe ab fallen, und dass jenes in der Höhe ß eine um 180° verkehrte Stellung gegen das andere hat, sonst jedoch beliebig gelegt werden kann. Hier wurde eine Seite senkrecht, mithin die entsprechende Dreieckshöhe parallel zur Bildfläche angenommen.

Peschka u. Koutny, Perspektive.

Ist also (jos = — sr, so mache man a n = $m=sia, ac—fid—wr,

verbinde m und n mit A und schneide auf diesen bildflächpro-jecirenden Geraden, von n und m aus, nach vorn und rückwärts, die halbe Dreiecksseite as = sp ab, wodurch man die übrigen sechs Ecken c, d, e, /, g, und h erhält.

Bei einer solchen Stellung der Hilfsdreiecke werden die Kanten ac, bd, fg und eh zur Bildfläche parallel sein, mithin auch deren Perspektiven parallel zu einander erscheinen müssen.

b. Das Tetraeder.

Dieser Körper ist bekanntlich von vier gleichseitigen Dreiecken begränzt, und somit als eine regelmässige dreiseitige Pyramide von bekannter Höhe leicht zu verzeichnen.

§. 84.

Aufgabe.

Es ist das Bild eines Tetraeders zu construiren, wenn dasselbe auf einer horizontalen Ebene mit einer Seitenfläche aufruht. Lösung. Betrachten wir das Tetraeder als Pyramide, so

ist zunächst das Bild der Basis, also das eines regelmässigen Dreiecks darzustel-Ist also a b

Fi g. 195.

Py

111 i

len.

(Fig. 195) die Perspektive einer Tetraederkante, der wir eine zur Bildfläche parallele Lage geben wollen, so denke man

4É-

\\

sich die horizontale Dreiecksfläche abc um ab so lange gedreht, bis sie parallel zur Bildebene wird und somit als gleichseitiges Dreieck a bf erscheint, dessen Höhe fh auf der Horizon-

talen hc perspektivisch aufgetragen, die dritte Ecke c der Basis ab c bestimmt.

nur

Theilen wir diese Höhe h c perspektivisch in drei gleiche Theile, so ist der erste Theilpunkt l der Fusspunkt der aus der vierten Ecke d gefällten Vertikalen dl, und es wird sich noch darum handeln, die Höhe Id aufzufinden und entsprechend im Bilde aufzutragen. Diese Höhe ist jedoch leicht gefunden, indem sie als die eine Kathete h g eines rechtwinkligen Dreieckes erscheint, dessen Hypothenuse die Höhe hf einer Dreiecksseitenfläche afb, und die andere Kathete lik der dritte Theil dieser

Höhe ist. Wird also hk — —hf gemacht und die Senkrechte

hf aus k mit der Länge hf als Hypothenuse durchschnitten, so ist hg die Höhe des Tetraeders in der durch ab gehenden Vertikalebene, welche auf das in l errichtete Perpendikel übertragen wird, indem man g mit A verbindet und so im Durchschnitte von g A mit Id den vierten Eckpunkt d erhält, der mit a, b und c verbunden, das Bild des Tetraeders gibt.

Da die Ecke c in einer unter der Horizontsebene liegenden Horizontalebene und hinter der Kante a b liegt, so müsste der aus c gehende Sehstrahl vorerst den Körper durchdringen, ehe er in das Auge gelangt; es sind sonach c, also auch die drei in c sich vereinigenden Kanten, unsichtbar.

Bemerkung. In Fig. 195 wurde noch ein zweites Tetraeder in gleicher Weise, jedoch auf einer über dem Auge sich befindlichen Horizontalebene aufruhend und mit der Ecke o nach vorn gerichtet, dargestellt, daher in diesem Bilde alle Kanten sichtbar erscheinen.

Wäre das Tetraeder mit einer Ecke auf einer Horizontalebene aufstehend so darzustellen, dass alle in dieser Ecke zu-sammenstossenden Flächen mit der Horizontalebene einen gleichen Winkel einschliessen, so wäre die gleiche Construktion durchzuführen, nur würde das Tetraeder in verkehrter Stellung erscheinen, d. i. man hätte die Höhe Id von l aus nach unten aufzutragen.

§. 85.

Aufgabe.

Es ist ein Tetraeder perspektivisch so darzustellen, dass eine seiner Kanten in einer Horizontal ebene liegt, und die in

derselben znsammenstossenden Flächen eine gleiche Neigung gegen die Horizontalebene haben.

Lösung. Lassen wir die besagte Kante ab (Fig. 196) überdies noch parallel zur Bildfläche sein, so liegt die oberste Kante

cd ebenfalls horizontal, jedoch auf der ersteren, also auch auf der Bild-V fläche, senkrecht und es wird sich demnach blos um den vertikalen Ab-stand dieser beiden Kanten handeln. Derselbe ergibt sich als die Kathete gh des rechtwinkligen Dreiecks ghb, dessen Hypothenuse die Höhe f g einer Dreiecksfläche und dessen an-

Fig. 196.

:h,-

V"h

J-

‘b V

dere Kathete g b die halbe Kantenlänge ist.

Durchschneidet man demnach das im Halbirungspunkte g der Kante a b errichtete Perpendikel f g aus b mit einem Kreisbogen, dessen Radius der Höhe f g einer Seitenfläche afb gleichkommt, so ist h der Halbirungspunkt der oberen auf der Bildfläche senkrecht stehenden Tetraederkante, auf welcher, wenn von h nach c und d die halbe Kantenlänge perspektivisch aufgetragen wird, sich die Ecken c und d ergeben, welche mit a und b verbunden die übrigen Kanten des Tetraeders in der gewünschten Lage liefern.

c. Das Oktaeder.

Das Oktaeder ist von acht gleichseitigen Dreiecken begränzt, von welchen je vier in einer Ecke zusammenstossen, also eine regelmässige vierseitige Pyramide bilden.

§• 86.

A u f g a b e.

Es ist ein Oktaeder derart darzustellen, dass eine Axe desselben vertikal steht.

Lösung. Betrachten wir das Oktaeder als zwei congruente, regelmässige, vierseitige Pyramiden, welche ein gemeinschaftliches Quadrat als Basis haben, so kann die Höhe derselben als die Kathete ink (Fig. 197) eines rechtwinkligen Dreiecks gefunden werden, dessen Hypothenuse bk der Höhe mh einer Seitenfläche abli des Oktaeders, und dessen zweite Kathete bm der halben Kantenlänge gleich ist.

Ist sonach ab cd das über der Oktaederkante ab verzeich-nete Quadrat, und o dessen Mittelpunkt, so hat man von o auf der in diesem Punkte errichteten Vertikalen die Perspektive der eben bestimmten Höhe nach oben und unten aufzutragen, was einfach dadurch bewerkstelligt H-wird, dass man die Länge mk nach abwärts, d. i. nach ml überträgt und die Punkte k und l mit A verbindet. Die so erhaltenen Punkte f und g geben, mit a, b, c und d verbunden, die noch fehlenden acht Kanten des Polyeders.

Bemerkung. Berücksichtigt man, dass die beiden Ecken f und g, ebenso wie b und c, oder a und d, einander gegenüberliegen, so folgt, dass f g auch der Diagonale eines über der Kantenlänge beschriebenen Quadrates gleich sei. Die Punkte f und g können daher auch erhalten werden, wenn man durch o eine zu ab parallele Gerade on bis zum Durchschnitte mit ac und bd führt, über dieser so erhaltenen Länge ein Quadrat verzeichnet, und dessen halbe Diagonale von o nach / und g überträgt.

Fig. 197.

.(1.

liSlO

KT

Ml

§. 87.

Aufgabe.

Es ist ein Octaeder, mit einer Seitenfläche in einer Horizontalebene liegend, zu verzeichnen.

Lösung. Construiren wir die Perspektive der Dreiecksfläche abc (Fig. 198) in einer Horizontalebene derart, dass die eine Seite ab senkrecht auf die Bildebene, daher die Höhe ch parallel zu derselben zu liegen kommt, so ist die gegenüberstehende Fläche gleichfalls horizontal, jedoch gegen die untere Fläche um 180° verkehrt, daher wir die Perspektive ihrer Projektion auf die Basisebene erhalten, wenn wir ein gleiches Dreieck d'éf', um 18(ß gegen das erstere gedreht, jedoch mit Beibehaltung desselben Mittelpunktes, verzeichnen. Am einfachsten ergibt sich dies, wenn man die Höhe hc in drei gleiche Theile theilt, und einen Theil auf der Verlängerung der Geraden ch von h nach d'

aufträgt, woselbst sich in d‘ die Spitze, und im zweiten Theil-punkte 2 der Halbirungspunkt der auf die Bildebene senkrechten

Seite e'/' ergibt, deren Endpunkte e' und /' in den durch a und b gezogenen Horizontalen 6e' und af‘ liegen.

Fig. 198.

d,

JL

S/\h

,'A : ; \

Kjuy.ii'\\

Um nun die Entfernung der beiden Flächen abc und cl ef zu bestimmen, denke man sich in h eine auf die

Kante ab senkrechte, also zur Bildfläche parallele Ebene geführt, so wird dieselbe das rechtwinklige Dreieck dd‘h enthalten, dessen Spitze d gefunden wird, indem man die in d‘ errichtete Vertikale aus A, als Mittelpunkt, mit dem Radius lie durchschneidet, wodurch sich in dd‘ die gewünschte Entfernung ergibt.

Schliesslich hat man von d als Spitze das der horizontalen Projektion d‘ e‘ f‘ entsprechende Dreieck def zu verzeichnen, und die sechs Ecken gehörig unter einander zu verbinden, um die Perspektive des Oktaeders zu erhalten.

d. Das Dodekaeder.

Dieser Körper ist von zwölf congruenten regelmässigen Fünfecken begränzt, von welchen je zwei einander gegenüberstehende in zwei parallelen Ebenen, jedoch in verkehrter Stellung gegen einander, sich befinden.

§. 88.

A u f g- a b e.

Es ist das Bild eines Zwölfflächners zu construiren, wenn derselbe mit einer seiner Begränzungsflächen in einer horizontalen Ebene liegend angenommen wird.

Lösung. Die zwanzig Ecken des Dodekaeders liegen in vier parallelen, hier also horizontalen Ebenen, deren Entfernungen von einander leicht zu ermitteln sind. Je fünf in einer Horizontalebene befindliche Ecken bestimmen ein regelmässiges Fünfeck, von welchen die in den beiden äussersten Ebenen liegenden einander gleich sind und die Dodekaederkante zur Seite haben, während die in den beiden mittleren Höhenebenen gelegenen, ebenfalls congruenten Fünfecke mit einer Sehne des ersteren Fünfecks als Seite zu verzeichnen sein werden und, so wie die beiden obigen, eine um 180® gegen einander verwendete Lage haben. Die Mittelpunkte der diesen Fünfecken umschriebenen Kreise liegen sämmtlich in einer Vertikallinie.

Fig. 199.

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Behufs der perspektivischen Darstellung dieses Polyeders verzeichne man vorerst die Perspektive des in der gegebenen Horizontalebene liegenden Fünfecks ab cde (Fig. 199) und zwar am einfachsten so, dass eine Seite ae desselben senkrecht auf die Bildebene, somit die dieser Seite entsprechende -4-Höhe c2 parallel zur Bildfläche sei. Bezieht man nun die weitere Construktion auf diese Linien c2, d. h. will man bei der Construktion so verfahren, wie wenn diese Höhe in der Bildebene, folglich der entsprechende Körper zur Hälfte vor und hinter der Bildebene gelegen wäre, so verzeichne man ein Fünfeck aßyöe (Fig. 200), welches dieselbe Höhe 2‘y = 2 c hat, und dessen Mittelpunkt O ist.

Beschreibt man nun aus 0 einen Kreis, dessen Radius so gesucht wurde, dass das eingeschriebene Fünfeck die Diagonale ß 5 des ersteren zur Seite hat, so wird das in diesem Kreise parallel zu aßyos verzeichnete Fünfeck a'ß'y'8'e' die Lage der in der ersten Höhe liegenden fünf Eckpunkte geben. In demselben Kreis ein Fünfeck, jedoch um 180⁰ gedreht verzeichnet, stellt die Lage der fünf Eckpunkte in der zweiten Höhenebene vor, so wie das zu aßyos congruente Fünfeck IIIIIIIV V die oberste Seitenfläche gibt.

Verbindet man die Punkte a, a', p, e', e in der Weise, wie sie der Reihe nach aufeinander folgen, so stellt dies die Projektion

des an die Seite as stossenden Fünfecks vor, welches in a skx<p um as in die Basisebene umgelegt verzeichnet ist.

x4us dieser Projektion ist es nun sehr einfach, die Abstände der einzelnen Höhenebenen von einander oder von der Basisebene

zu ermitteln; denn es ist p 2' die Projektion von 2'cp und 2‘ V die Projektion von 2‘4\ somit die Höhen der beiden Punkte p und a‘ aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken 2' 1‘ <j/ und 2' pc|i, welche die genannten Projektionen als die einen Katheten

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und die entsprechenden wahren Längen als Hypothenusen besitzen, erhalten werden, wie dies aus der Figur zu ersehen ist, wo in p und V iy die Höhen gefunden wurden.

Die Länge V gibt zugleich die Entfernung der dritten und vierten Horizontalebene, wie aus der Symetrie des Körpers hervorgeht.

Errichtet man demzufolge im Punkte 6 (Fig. 199), nachdem zuvor 26 = 2‘p gemacht wurde, das Perpendikel r6 und trägt darauf die gefundene Höhe r 6 = p ^ auf, so ergibt sich der Punkt r, welcher mit 2 verbunden die Höhe des in a e anstossenden Fünfecks liefert. Da nun diese Gerade r2 parallel zur Bildebene ist, und mit 2 c in einer Ebene liegt, so wird man auf derselben von r aus das Stück I3‘ (Fig. 200) nach x aufzutragen, diesen Punkt mit dem Augpunkte zu verbinden, und auf dieser Geraden Ax die

Stücke xl und xp gleich der halben Fünfeckssehnenlänge \ |3 8

abzuschneiden haben, um die beiden Ecken l und p des Körpers, und dessen Seitenfläche alrpe, so wie auch die auf die Bildfläche senkrechte Seite lp jenes Fünfecks Ipmqn zu erhalten, welches die Lagen der bezeichneten fünf Eckpunkte in der zweiten Horizontalebene fixirt und dem Polygone a'ß'y'8'e' (Fig. 200)

entspricht. Als Höhe dieses Fünfecks wurde 1‘ y' gefunden, welches Stück sonach auf der durch x gezogenen Horizontalen nach n aufgetragen, den Eckpunkt n des Polyeders liefert. Macht man ferner xy — 1‘ y‘ und zieht die auf die Bildebene Senkrechte y A, so hat man auf derselben von y aus nach vorn und rückwärts die Stücke my = qy, gleich der halben Sehne o‘y‘ abzuschneiden, um die übrigen zwei in dieser Ebene liegenden Eckpunkte m und q zu erhalten. Verbindet man entsprechend die so erhaltenen Eckpunkte mit den Basispunkten, so ergeben sich die fünf Kanten a Z, hm, cn, dq und ep.

Eine beachtenswerte Contrôle bietet der auf die Axe ool nach S übertragene Punkt a, in welchem sich die letztgenannten Kanten verlängert vereinigen müssen. Construirt man in der Höhe des bereits gefundenen Punktes r dasselbe Fünfeck, jedoch so, dass in r eine Ecke zu liegen kömmt (also gegen das erstere um 180⁰ verwendet), so sind die fünf Eckpunkte rtuvw desselben die in der dritten Horizontalebene gelegenen fünf Ecken des Polyeders, welche mit den früher ermittelten entsprechend verbunden, weitere zehn Kanten geben.²)

Trägt man endlich vom Mittelpunkte o₃ dieses Fünfecks die Höhe o o₂ nach ol auf und verzeichnet das dem Basispolygone entgegengesetzt liegende Fünfeck fg li i k in der durch Oj gehenden Horizontalebene, so bildet dieses die höchstliegende und zu abcde parallele Seitenfläche des Dodekaeders. Diese Ecken mit jenen der vorher bestimmten Höhenebene o₃ entsprechend verbunden, geben die noch fehlenden fünf Kanten des Körpers.

Auch hier ist wieder zu bemerken, dass diese letzteren fünf Kanten verlängert in einem Punkte £j der Axe o o₁ sich vereinigen müssen, wobei o₂ Sl — o S ist.

§• 89.

A u f g- a b e.

Es ist ein Dodekaeder perspektivisch darzustellen, wenn eine Kante desselben horizontal und parallel zur Bildebene ist, und die beiden in dieser Kante zusammenstossenden Seitenflächen eine gleiche Neigung gegen die Horizontalebene besitzen.

Lösung. Denken wir uns das in Fig. 199 dargestellte Dodekaeder auf der Kante cn in eben angegebener Weise aufgestellt, so ist die gegenüberliegende Kante rf vertikal über derselben gelegen. Die Kanten ih und ae stehen dann senkrecht auf der Bildebene, die durch sie gelegte Ebene lialbirt die durch die Halbirungspunkte der Kanten rf und cn gezogene Vertikallinie und der Abstand dieser Kanten ih und ae ist jenem der Kanten rf und cn gleich. Die Kanten m t und qn sind sodann vertikale Gerade in demselben Abstande und gleichfalls sy-metrisch gegen die Mittellinie und gegen die Kanten rf und cn gelegen.

Endlich befinden sich die noch übrigen acht Ecken l, p, g, k, &, d, v, w in den Eckpunkten eines Würfels, der mit einer Seitenfläche zur Bildebene, und mit einer Kante parallel zu cn liegt, dem Polyeder eingeschrieben ist, und die Diagonale einer Fünfecksseitenfläche zur Kante bat.

Aus dem eben Gesagten folgt, dass sich die vorliegende Con-struktion auf die durch 12 (Fig. 201), d. i. auf die Perspektive der gegebenen Kante, gelegte Vertikalebene beziehen lässt. Es

handelt sich hier vorzugsweise um die Flöhe der beiden Punkte 7' und 8\ welche sich einfach ermitteln lässt. Wird nämlich aß (Fig. 202) gleich 1 2 (Fig. 201) gemacht , über dieser Seite ein regelmässiges Fünfeck beschrieben, und mit der Diagonale desselben als Seite ein Quadrat Y ô e cp so verzeichnet, dass a ß parallel zu einer Seite des Quadrates ist und der IFal-birungspunkt jx von aß mit dem Mittelpunkte zusammenfällt, so ist aß y 5 die Projektion eines durch die drei Seiten a 7, aß, ßo und die Diagonale 7 0 begränzten Theiles des Fünfecks, und wird [xv, als die wahre Grösse der dem Theile ;xX entsprechenden Höhe, von jx nach v als Hypothenuse aufgetragen, so ergibt sich

Fig. 201.

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durch die Kathete Xv die gewünschte Höhe. Tragen wir also diese Höhe X v auf der im Halbirungspunkte a der Kante 12 (Fig. 201) errichteten Vertikalen von a nach d auf, so ist d der Mittelpunkt der horizontalen Würfelseitenfläche 7‘8‘9‘ 10‘, welcher Würfel sich nun aus der bekannten Fünfecksdiagonale y 8 (Fig. 202) als Kante in 7 8 910 7‘ 8' 9‘ 10 ergibt ; denn dc — ^ 8 gemacht, wird in c den Mittelpunkt der oberen Würfelseitenfläche geben, so wie aus der Symetrie des Polyeders folgt, dass man nur noch das Stück ad. von c nach b aufzutragen habe, um den r Halbirungspunkt b der oberen Kante, also in 1‘2‘ diese selbst zu erhalten.

Fig. 202.

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Wird a b in O halbirt, so ist 0 der Mittelpunkt des Körpers, und es müssen sich, der gegebenen Erklärung gemäss, die Halbirungspunkte e und f der auf der Bildfiäche senkrechten Kanten ö 6 und 5‘ 6‘ in der durch 0 gezogenen Horizontalen ef befinden. Da jedoch ef parallel zur Bildfläche ist und mit a b in einerlei Ebene liegt, so hat man blos Oa = Of — Oe zu machen, in/ und e die Perpendikel f A und e A auf die Bildebene zu errichten und auf diesen nach vorn und rückwärts die halbe Kantenlänge 1 a aufzutragen, um die Perspektiven der Kanten 5 6 und 5‘ 6‘ zu erhalten.

Die Kanten 34 und 3‘4‘ endlich werden gefunden, wenn man in derselben Entfernung Ob von 0, jedoch in der durch die Axe a b gehenden, bildflächprojecirenden Ebene die beiden Vertikalen 34 und 3‘4‘ zieht, und auf denselben die Kantenlänge so aufträgt, dass die Endpunkte gleich weit über und unter der durch 0 gehenden Horizontalebene zu liegen kommen.

Auf diese x4rt hat man alle Ecken des Polyeders bestimmt, welche entsprechend mit einander verbunden, das zu suchende Bild dieses Körpers geben.

e. Das Ikosaeder.

Das Ikosaeder ist von zwanzig gleichseitigen Dreiecken be-gränzt, wovon je fünf in einer Ecke zusammenstossen.

§• 90.

Aufgabe.

¹

Um richtige perspektivische Bilder zu erhalten, musste die Distanz grösser als gewöhnlich angenommen werden, weshalb bei den Polyedern mit der Halben-, Drittel- oder Vierteldistanz gearbeitet werden wird.

²

Sollte, wie dies in Fig. 199 der Fall ist, diese Ebene der Horizontsebene sehr nahe liegen, so lässt sich zum Behufe der 'Auffindung der fünf Eckpunkte, jede andere Horizontalebene aushilfsweise benützen.

Es ist die Perspektive eines Ikosaeders in einer solchen Stellung zu verzeichnen, dass die Verbindungslinie von zwei gegenüberliegenden Eckpunkten vertikal wird.

Lösung. Berücksichtigt man, dass die fünf in der unteren Ecke zusammenstossenden Dreiecke eine regelmässige fünfseitige Pyramide bilden, deren Basis ein horizontales über der Kantenlänge beschriebenes Fünfeck ist, und dass an der oberen Ecke sich eine gleiche, jedoch gegen die untere um 180° gedrehte Pyramide bildet, so ist ersichtlich, dass durch die Darstellung dieser beiden Pyramiden die sämmtlichen zwölf Ecken des Polyeders fixirt erscheinen und ferner, dass die zwischen dem höchsten und tiefsten Eckpunkte liegenden zehn Ecken in zwei Horizontalebenen liegen, deren Entfernungen von einander und von den äussersten Ecken sich nach Obigem leicht bestimmen lassen.

Ist a. ß (Fig. 203) die Perspektive der gegebenen Ikosaederkante, welche in einer durch die vertikale Axe des Körpers gehenden, zur Bildfläche parallelen Ebene liegt, so verzeichne man über dieser Länge a ß ein Fünfeck a ß y 8 s und ein Dreieck aß cp.¹) Es ist sodann, wenn a und ß mit dem Mittelpunkte io des Fünfecks verbunden werden, aß m die Projektion der Dreiecksfläche a ß cp, woraus sich die Höhe to tt der über der untern Ecke befindlichen fünf Eckpunkte ergibt. Werden ferner die Bögen y s und ô s in a' und ß' halbirt, so wird a'ß' die Projektion einer

Seite jenes Fünfecks darstellen, welches von den nächsten fünf Eckpunkten gebildet wird. Hiernach ist a' ß' e die Projektion einer zwischen den beiden Horizontalebenen liegenden Dreiecksfläche, woraus der Abstand dieser beiden Ebenen zu bestimmen ist. Dieser wird durch fr die zweite Kathete rechtwinkligen Dreiecks X e p

Fig. 203.

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des

erhalten, dessen eine Kathete _

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s X die Projektion der Dreiecks- ^ höhe und dessen Hypothenuse diese Höhe p. tu = X ist.

Hat man auf diese Weise

die einzelnen Höhen ermittelt, so werden dieselben auf jener Vertikalen, welche die Axe vorstellt, derart aufzutragen sein, dass von der angenommenen unteren Ecke 1 (Fig. 204) angefangen, die Länge oi = coTi (Fig. 203 und 204), oox =ep und

Oj 2 =

CO 7Ï

gemacht wird.

-cf

Verzeichnet man in den, den Punkten o und Oj zugehörigen Horizontalebenen die

Fünfecke 3 4 5 6 7 und 3‘ 4‘ 5‘ 6‘ 7‘ auf die Weise, dass das zweite FÜinfeck eine um 180° verwendete Lage gegen das erstere erhält, und dass die Mittelpunkte derselben nach o und Oj fallen, so sind sämmtliclie Ecken des darzustellenden Körpers gefunden.

Fig. 204.

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In Fig. 204 wurde eine Seite des Fünfecks senkrecht zur Bildebene angenommen, welche Annahme den Vortheil einer leichteren Verzeichnung der Perspektiven dieser Polygone bietet. So ergeben sich alsdann z. B. die Ecken 7 und 7‘ einfach dadurch,

dass man die Länge 7 und 7' überträgt.

(Fig. 203) von o, und o (Fig. 204) nach

< JO £

Werden die so erhaltenen Eckpunkte mit den zugehörigen Ecken 1 und 2 sowohl, als auch entsprechend unter einander verbunden, so erhält man die Perspektiven sämmtlicher Kanten, also das Bild des Zwanzigflächners. Hiebei werden sich die gedeckten Kanten von den sichtbaren leicht unterscheiden lassen, wenn man bedenkt, dass alle Eckpunkte, welche hinter dem äussersten Begränzungspolygone 13 7‘23‘7 liegen, nicht gesehen werden können.

Bemerkung. Betrachten wir die Fünfecke 24‘766‘ und 147'5‘5, so entsprechen diese, als Basen der anfangs erwähnten Pyramiden, den Spitzen 3 und 3‘ in derselben Weise, wie jene zur Grundlage der Construktion verwendeten Fünfecke 34567 und 3,4‘5‘6‘7‘ den Ecken 1 und 2. Weil nun 7 und 7, so wie 7‘ und 2 in einer und derselben zur Bildfläche parallelen Ebene liegen, von welcher wir bei der vorigen Construktion ausgiengen, so müssen die Sehnen 1 7‘ und 2 7 in Bezug auf diese Ebene in ihrer wahren Länge erscheinen, also der Diagonale y ô (Fig. 203) gleich sein, und weil die Kanten 17 und 2 7‘ einander gegenüberliegen, so wird diese Diagonale die wahre Entfernung der beiden Kanten angeben. Abgesehen davon, dass diese Eigenschaft eine beachtenswerthe Contrôle für die Richtigkeit der Arbeit bietet, werden wir den Satz, dass bei einem Ikosaeder die Entfernung zweier gegenüberstehender Kanten gleich der Diagonale des über der gegebenen Kantenlänge verzeichneten regelmässigen Fünfecks ist, bei der Lösung der nächstfolgenden Aufgabe anwenden.

§. 91.

A u f g- a 1) e.

Es ist ein Ikosaeder, dessen eine Kante horizontal und zur Bildfläche parallel ist, so zu verzeichnen, dass die beiden in dieser Kante zusammenstossenden Seitenflächen gegen die Horizontalebene eine gleiche Neigung haben.

Lösung. Betrachten wrir das in Fig. 204 dargestellte Ikosaeder, und denken dasselbe auf die Kante 17 gestellt, so wird die Kante 2 7‘ vertikal über derselben in einem bekannten Abstande (siehe Bern. §. 90) liegen. Die Kanten 3 4 und 3‘ 4\ in einer durch den Mittelpunkt des Körpers gehenden Horizontal-

ebene befindlich, stehen senkrecht auf der Bildfläche und sind so wie jene 5 5‘ und 6 6‘, welche in einer auf der Bildfläche senkrechten Ebene vertikal stehen, ebenfalls in diesem Abstande von einander gelegen. Diesen sechs Kanten entsprechen zwölf Ecken, wesshalb die ganze Construktion sich nur darauf beschränken wird, diese Kanten zu verzeichnen.

Ist 1 2 (Eig. 205) die Perspektive der gegebenen horizontalen Kante, so wird — indem wieder die Construktion auf die durch diese Kante zur Bildfläche parallel gelegte Ebene bezogen, also gleichsam angenommen wird, dass ein Ikosaeder von der Kantenlänge 12, zur Hälfte vor und hinter der Bildebene gelegen, darzustellen ist — die Länge 12 als in der Bildfläche liegend vorausgesetzt werden können.

Ist a der Halbirungs-punkt der Kante 12 und ab das in diesem Punkte errichtete Perpendikel, so wird auf diesem (nach §. 90), die Diagonale 78 (Fig. 203) des über 12 = aß verzeichneten Fünfecks a ß y 8 s aufzutragen sein, um den Halbirungspunkt b der gegenüberliegenden Kante, also in V 2‘ diese Kante selbst zu erhalten.

Fig. 205.

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1)

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A,

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X.

Halbirt man ab in O, so ist dies der Mittelpunkt einer dem Polyeder umschriebenen Kugel, und führt man durch denselben die horizontale, zur Bildfläche parallele Gerade cd, und die zur Bildfläche Senkrechte efA, so sind auf diesen beiden Geraden die Stücke oc = od = oa und oe gleich 0/perspektivisch gleich oa abzuschneiden, um die Halbirungspunkte jener vier Kanten zu erhalten, von welchen die zwei ersteren auf die Bildfläche senkrecht, und die letzteren vertikal sind. Schneidet man nun auf diesen so gezogenen Kantenrichtungen von deren Halbirungs-punkten nach beiden Seiten die halbe Kantenlänge ab, indem die Stücke c3, c4, d3‘, d4‘, eö, e6, fö‘ und f6‘ perspektivisch gleich a 1 gemacht werden, so erhält man acht Eckpunkte, welche

untereinander und mit i, 2, 1‘, 2‘ entsprechend verbunden, den Körper in der verlangten Stellung perspektivisch darstellen.

Bemerkung 1. Nach dem bisher über das Dodekaeder, Oktaeder und Ikosaeder Gesagten wird es dem Anfänger auch keine Schwierigkeiten machen, das Oktaeder auf einer Kante, das Dodekaeder auf einer Ecke aufstehend und das Ikosaeder mit einer Seitenfläche in einer Horizontalebene liegend, perspektivisch darzustellen.

Aus den bisher verzeichneten Bildern dieser Körper wird man leicht auf die gegenseitige Lage der einzelnen Ecken in der verlangten Stellung schliessen, und mit gehöriger Berücksichtigung der daselbst angewandten Sätze auch deren Höhen bestimmen können.

Sollte einer dieser Körper auf einer beliebigen Ebene aufruhend dargestellt werden, so wäre in derselben Weise, wie in den bereits durchgeführten Fällen gezeigt wurde, vorzugehen, nur würden sich die einzelnen Construktionen nicht so einfach gestalten, wie es bei der Annahme einer Horizontalebene der Fall war.

Bemerkung 2. Bei all den besprochenen Körpern wurden, was sonst bei perspektivischen Bildern selten geschieht, auch die gedeckten Kanten verzeichnet, weil diese bei weiter vorzunehmenden Construktionen und insbesondere bei der perspektivischen Schattenbestimmung nothwendig sind.

Hat man jedoch die Absicht, blos ein Bild des Gegenstandes zu entwerfen, so wie sich derselbe dem Beschauer darstellt, so wird man die gedeckten Kanten bei der Verzeichnung nicht zu berücksichtigen, also auch jene Eckpunkte der in den einzelnen Höhenebenen gelegenen Polygone, welche nicht sichtbar werden (was immer leicht zu beurtheilen ist), nicht aufzusuchen haben.

Bemerkung 3. Steht ein Polyeder mit einer Kante, welche jedoch nicht zur Bildfläche parallel angenommen werden soll, auf einer Horizontalebene, und ist die Perspektive dieser Kante gegeben, so kann auch in einem solchen Falle die Construktion auf eine durch den Halbirungspunkt dieser Kante zur Bildfläche parallele Ebene bezogen werden.

Es wird alsdann die Kante perspektivisch zu halbiren und der Halbirungspunkt a als in der Bildebene liegend zu denken sein. Zieht man nun durch a eine horizontale, zur Bildfläche parallele Gerade, und schneidet auf derselben eine Länge a (3

derart ab, dass man die Endpunkte der gegebenen Kante mit dem ihrem Verscliwindungspunkte entsprechenden Theilungspunkte verbindet, so wird aß jenes Längenstück angeben, welches so wie die Perspektivenlänge der in den Aufgaben §§. 89 und 91 zur Bildfläche parallel gewählten horizontalen Kante 12 zu benützen ist.

Selbstverständlich werden auch die in den einzelnen Höhenebenen zu verzeichnenden Polygone eine der angenommenen Kantenrichtung entsprechende Stellung erhalten müssen.

Kapitel X.

Ebener und gegenseitiger Schnitt von durch ebene Flächen begränzten Körpern.

A. Ebener Schnitt.

§. 92.

Allgemeine Bemerkungen.

Was den Schnitt irgend eines von ebenen Flächen begränzten Körpers mit einer Ebene anbelangt, so lassen sich behufs der Construktion folgende allgemeine Kegeln aufstellen.

1. Man bestimme die Durchschnitte der einzelnen Kanten mit der gegebenen Ebene, und verbinde je zwei in einer Seitenfläche liegende Schnittpunkte mit einander.

Zur Bestimmung dieser Durchschnittspunkte wird durch jede Kante eine Ebene gelegt werden müssen. Was die Wahl dieser letzteren betrifft, so ist vorzugsweise darauf zu achten, dass die Kanten von den Schnittlinien der Hilfsebenen mit der schneidenden Ebene nicht unter zu spitzen Winkeln getroffen werden. Ferner ist zu bemerken, dass von den in Anwendung gebrachten Hilfsebenen zumeist nicht die Bildflächtrace und Verscliwindungs-linie, wie dies bisher fast durchgehends der Fall gewesen, zu benützen sein wird, sondern, dass es grösstentheils vortheilhaft erscheint, hievon blos dasjenige Bestimmungsstück der Ebene zu wählen, welches leichter aufgefunden werden kann, und als zweites

13

Peschta u. Koatny, Perspektive.

Bestimmungsstück die Trace der betreffenden Ebene auf der Basisebene des Körpers anzunehmen.

2.    Zu gleichem Ziele gelangt man, wenn durch jede Seiten

fläche eine Ebene gelegt, deren Schnitt mit der gegebenen Ebene aufgesucht, und von diesem nur das innerhalb der Begränzungen der Seitenfläche liegende Stück benützt wird.    *

Bei Anwendung dieser Methode wird ebenfalls zu berücksichtigen sein, dass die Basisebene des Körpers (falls eine vorhanden ist) mit Vortheil benützt werden könne, indem die Trace einer Ebene auf der Basisebene bereits ein Bestimmungsstück liefert, wodurch das Auffinden der Bildflächtrace oder der Verschwindungslinie entfallen kann.

3.    Oft wird es zweckmässig erscheinen, beide Methoden vereint anzuwenden. Hiebei wird es nur darauf ankommen, unter den zu schneidenden Flächen und Kanten eine geeignete Wahl zu treffen. Diese wird von der gegenseitigen Lage der Flächen und Kanten gegen einander und gegen die Bildfläche abhängen und bei einiger Uebung keinen Schwierigkeiten unterliegen.

Zu berücksichtigen ist, dass man bei Anwendung der Methode 2) je eine Seitenfläche übergehen kann, indem durch die Schnitte jener zwei Flächen, welche an diese Seitenfläche an-stossen, sich auch die zwei Endpunkte der Schnittlinie der letzteren ergeben.

§• 93.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt einer Pyramide mit einer Ebene nach Methode 1) zu bestimmen.

Lösung. Sei E\E'V (Fig. 206) die Basisebene einer fünf-seitigen Pyramide ab cde S, deren Spitze S durch die Gerade l\ bestimmt ist, und Eh Ev die schneidende Ebene, so lege man durch die Kante Sa eine auf die Bildfläche senkrechte Ebene, welche einfach dadurch erhalten wird, dass man durch die Spitze S das Perpendikel S" SA auf die Bildebene führt, den Durchschnitt S" desselben mit der Bildebene vermittelst der Geraden ld\, so wie jenen m mit der Basisebene sucht, und m mit a verbindet. Es ist sodann m a die Trace dieser Hilfsebene auf der Basisebene, welche die Bildflächtrace E\ in n trifft, daher n mit S" verbunden, die Bildflächtrace n S" der zu suchenden Ebene

gibt, während die aus A mit n S" Parallele Ad die Verschwin-dungslinie bestimmt.

Ist ferner r der Durchschnittspunkt der Geraden S" SA mit

der Ebene Ej, Ev, so wird die Gerade ar, welche r mit dem Durchschnitte a der bei-

Fig. 206.

den Bildflächtracen Eb und S" n verbindet und offenbar gegen den Ver-scb.windungslinien Ev und A d angebörigen Punkt d gerichtet ist, den Schnitt der Hilfsebene mit der schneidenden Ebene angeben und die Kante Sk'' a S in dem zu suchenden |

Punkte 1 treffen.

Führt man diese Con-struktion in gleicher Weise Lj bis zur letzten Kante fort, so erhält man die Schnittpunkte 1 bis 5, welche mit einander verbunden das Schnittpolygon geben.

Versucht man jedoch dasselbe Verfahren bei den Kanten cS oder dS, so ergeben sich Hilfsschnitte, welche den betreffenden Kanten unter sehr spitzen Winkeln begegnen, daher die Punkte ungenau bestimmen. In solchen Fällen wird man zu beliebigen Hilfsebenen seine Zuflucht nehmen, indem man statt    eine

andere durch S gehende Gerade, z. ß. l\ benützt, und die Con-struktion im Uebrigen auf gleiche Weise, wie früher, durchführt.

Es wurden zu diesem Behufe die Durchschnitte und m2 der Geraden l\ mit der Basis- und der schneidenden Ebene vermittelst der durchgelegten Vertikalebene Fh Ev bestimmt und, um z. B. den Schnitt der Kante c zu erhalten, ml mit c verbunden, wodurch sich in mxc die Trace der bezüglichen Hilfsebene auf der Basisebene und zugleich in g ein Punkt des Durchschnittes mit der schneidenden Ebene ergab. Es ist somit m^g dieser letztere selbst, welcher die Kante cS in dem zu suchenden Eckpunkte 3 des Schnittpolygons trifft.

Ebenso können auch die übrigen Punkte mit Benützung von durch lvd\ gehenden Hilfsebenen gefunden werden.

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Bemerkung 1. Nachdem der obere Theil der Pyramide gleichsam als weggeschnitten und abgenommen gedacht wurde, und die Stellung der Schnittebene eine solche ist, dass man von oben darauf sieht, so erscheint die ganze Schnittfigur sichtbar.

Bemerkung 2. Denkt man sich durch irgend eine Seitenfläche db S eine Ebene gelegt, so wird diese die Schnittlinie X Y der Basis- und Schnittebene in h treffen, wesshalb h ein gemeinschaftlicher Punkt dieser drei Ebenen, folglich auch ein Punkt des Schnittes von db S und Eb Ev sein muss. Die Seite 4 2 des Schnittpolygons wird sonach verlängert durch den Punkt li gehen, was eine Contrôle für die Genauigkeit der Arbeit bietet.

Bemerkung 3. Es sei hier noch erwähnt, dass für den Fall, als durch jede Kante eine schiefe Ebene gelegt wird, es auch zweckmässig erscheint, diese Ebenen so zu wählen, dass sie sich sämmtlich in einer durch die Spitze parallel zur Basis- oder Schnittebene geführten Geraden schneiden. Der in der Ver-schwindungslinie der betreffenden Ebene liegende Verscliwindungs-punkt dieser Geraden ist alsdann von Vorhinein so zu wählen, dass die Kanten von den Hilfsschnitten unter nicht zu spitzen Winkeln getroffen werden.

§• 94.

Aufgabe.

In einer Ebene E'b E'v (Fig. 207) ist die Basis abcdef einer sechsseitigen Pyramide und in S deren Spitze gegeben; man soll den Durchschnitt derselben mit einer Ebene Eb Ev nach Methode 2) bestimmen.

Lösung. Wenn durch drei nicht unmittelbar aufeinanderfolgende Seitenflächen Ebenen gelegt werden sollen, so wird vorerst eine zweckmässige Wahl der ersteren vorzunehmen sein, worüber deren gegenseitige Lage entscheidet.

Im vorliegenden Falle werden die Flächen agS, bcS und efS am geeignetesten erscheinen, weil sich die Verschwindungs-und Durchstosspunkte der zugehörigen Basiskanten noch auf der Zeichnungsfläche ergeben.

Beginnen wir mit der Seitenfläche Sef, so ist 8 der Durch-stosspunkt, vl der Verscliwindungspunkt der Kante ef, und Uj S die durch S zu ef parallel gezogene Gerade, deren Durchstoss-jmnkt dY mit Zuhilfenahme der die Spitze S bestimmenden Linie Id auf bekannte Art gefunden wird.

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Eb

!EV

Es ist sonach dx 8 die Bildflächtrace und vx n, parallel zu dx 8, die Verschwindungslinie der durch efS gelegten Ebene .F/,FV, welche sich mit der schneidenden Ebene Eb Ev in der Geraden m n begegnet, von welcher Schnittlinie blos das zwischen den Kanten e S und fS liegende Stück 45 als Seite des Schnittpolygons beizubehalten ist.

Auf dieselbe Weise wird die Ebene der Seitenfläche Sc b und ihr Durchschnitt mit Eb Ev bestimmt, von welchem das innerhalb bc S liegende Stück 23 eine zweite Seite der Schnittfigur liefert.

Fig. 207.

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Auf die Seitenfläche a g S übergehend, wird die Bildflächtrace ar der durchgelegten Ebene zu E'b parallel sein, weil die <r Basiskante eine zur Bildfläche parallele Lage hat. Die Trace ar trifft die Bildflächtrace Eb der schneidenden Ebene im Punkte r, und wird a g bis ß, d. i. bis zum Durchschnitte mit der Schnittlinie X Y der beiden Ebenen Eb Ev und E\ E'v verlängert, so muss ß auch ein Punkt des zu suchenden Plilfsschnittes r ß sein, von welchem blos das der Seitenfläche agS ungehörige Stück 16 zu benützen ist.

Bei der letzt gesuchten Seite 16 ist der Uebelstand eingetreten, dass die Punkte r und ß zu nahe an einander fielen, wodurch die Richtung ihrer Verbindungslinie nicht mit der erforderlichen Genauigkeit erhalten wurde. In solchen Fällen ist es am zweckmässigsten, von der Bildflächtrace ar ganz abzusehen und die Trace der betreffenden Seitenfläche sowohl, als auch die der Schnittebene auf einer andern Ebene P zu bestimmen, welche am einfachsten durch einen bestimmten Punkt gehend, parallel zur Bildfläche angenommen wird. Im vorliegenden Falle wurde diese Hilfsebene P durch den Scheitel S gelegt, die Schnitte derselben mit agS und Eb Ev gesucht und im Vereinigungspunkte der Schnittlinien ein anderer Punkt des Hilfsschnittes r ß gefunden. Der Schnitt der Ebene P mit der Seitenfläche a g S ist eine durch S parallel zu a g gezogene Gerade Sk, während jener von P und EbEv mit Zuhilfenahme einer neuen durch S gehenden Ebene, hier mit Benützung der bereits vorhandenen Fb Fv, nach §. 37, in i k ermittelt wurde. Diese Hilfstracen S k und i k vereinen sich im Punkte k, welcher gleichfalls der zu suchenden Geraden ß 16 k angehört.

Die Schnittlinien der übrigen drei Seitenflächen sind hiemit auch aufgefunden, weil in jeder Kante bereits ein Punkt bestimmt erscheint, und man hat somit bios 1 mit 2, 3 mit 5 und 4 mit 6 zu verbinden, um das vollständige Schnittpolygon zu erhalten.

Bemerkung. Auch bei dem Verbinden der Schnittpunkte in jenen Ebenen, durch welche keine Hilfsebenen gelegt wurden, ist es zweckmässig, die Durchschnittspunkte der betreffenden Basiskanten mit der Trace xy zu berücksichtigen, da hiedurch das Ziehen der entsprechenden Seite des Schnittpolygons mit grösserer Sicherheit vorgenommen werden kann.

§. 95.

Aufgabe.

Es ist ein Prisma durch eine zur Horizontslinie parallele Ebene zn schneiden.

Lösung. Ist E\E'V (Fig. 208) die Basisebene, ab cd die Basis, v (ausserhalb der Zeichnungsfläche) der Verschwindungs-punkt der parallelen Prismenkanten und Eb Ev die Schnittebene, so kann durch die Kante av eine bildflächprojecirende Ebene gelegt werden, deren Verschwindungslinie Av ist und deren Bild-flächtrace durch die orthogonale Projektion des Punktes a auf der Bildebene parallel zu Av gehen muss. Der Schnitt dieser Hilfsebene mit Eb Ev würde sodann die Kante a v in dem zu suchenden Schnittpunkte derselben treffen.

Abgesehen davon, dass sich bei der Anwendung solcher Hilfsebenen in den meisten Fällen schiefe Schnitte ergeben, bieten dieselben keinen besonderen Vortheil, daher es zumeist gerathen erscheint, willkührlich gewählte Hilfsebenen anzuwenden, wie dies in den vorliegenden Aufgaben auch durchgeführt wurde.

tracen 8 A, ôj Aj .... dieser Hilfsebenen gehen durch 8, 8! . ... parallel mit vv₁ und schneiden die Bildflächtrace Eb in A, Aj^...., wesshalb Au₂, Axv₂.... die Hilfsschnitte mit der Schnittebene Eb Ev sind, welche den entsprechenden Kanten in 2, 3 ... begegnen. Die Bildflächtracen der Hilfsebenen aufzusuchen ist zumeist

nicht nothwendig, indem die Punkte m, ml, m₂ ... die Tracen vl 8, 8j, vlc .... von der Durchschnittslinie X Y der Basis- und Schnittebene getroffen werden, ebenfalls den zu suchenden Schnittlinien angehören, daher letztere durch v₂ und die be-

Am einfachsten wird die Construktion, wenn diese Hilfsebenen sämmtlich zu einander parallel gelegt werden, in welchem Falle man folgends vorzugehen hat.

Wählt man in der Verschwindungslinie E'v einen Punkt vx als den Verschwin-dungspunkt der Tracen aller parallelen Hilfs-ebenen auf der Basisebene, so sind Ujo, Ujöj,

VjS₂ • • • die Tracen der durch au, b v, dv .... gelegten Hilfsebenen x und es ist vv₁ die diesen Ebenen gemein- h schaftliche Verschwin- ' dungslinie, welche ver- V; längert von der Verschwindungslinie Ev derschneidendenEbene im Punkte u₂ getroffen wird. Die Bildfläch-

Fig. 208.

V,.-

Eb-

V/

A,

<f

■C

in welchen

nannten Punkte m hindurchgehen müssen. Indessen bietet grössten-theils die Aufsuchung der Bildflächtracen keine Schwierigkeiten und eine grössere Genauigkeit.

Es ist ersichtlich, dass der Punkt Uj so zu wählen sein wird, dass sich die in u₂ verschwindenden Hilfsschnitte mit den einzelnen Kanten nicht unter zu spitzen Winkeln treffen, was in Vorhinein leicht beurtheilt werden kann.

Aus der Lage der schneidenden Ebene EbEv folgt, dass das Schnittpolygon gedeckt ist, daher die rückwärts liegenden Seiten desselben punktirt anzugeben sind.

§• 96.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt eines Prisma mit einer Ebene derart zu bestimmen, dass man die Durchschnitte einzelner Seitenflächen mit dieser Ebene aufsucht.

Lösung. Sei das Fünfeck ab cf g (Fig. 209) die in der Horizontalebene E\E'V liegende Basis, v der Verschwindungs-punkt der parallelen Prismenkanten (hier ausserhalb der Zeichnungsfläche gelegen und durch ~ bestimmt, so dass =

ist) und Ei Ev die schneidende Ebene, so wird wieder vorerst eine zweckmässige Wahl jener Seitenflächen, durch welche Ebenen

Fig. 209.

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gelegt werden sollen, zu treffen sein. Am geeignetsten erscheinen diejenigen Seitenflächen, bei welchen die Verschwindungs-und Durchstosspunkte der zugehörigen Basis-T+¹ kanten noch auf die ;a-.'\si Zeichnungsfläche fal-IV' len, oder mit andern Worten, deren ßasis-kanten verlängert, die Bildflächtrace und Ver-Eb schwindungslinie, oder wenigstens eine der beiden, noclhinnerlialb den Grenzen der Zeichnungsfläche schneiden. Hier sind es die Basiskanten ab und fg, durch deren Seitenflächen, dem Obigen zufolge, die Hilfsebenen zu legen sein werden.

Beginnen wir mit der Seitenfläche abv, so steht die durchgelegte Ebene senkrecht auf der Bildebene, weil ab in A verschwindet, und es ist demgemäss A~v die Verschwindungslinie

zu Av) die Bildflächtrace derselben. Der Durch-der Bildflächtracen o m und Eb mit jenen n der

und 8 m (parallel schnittspunkt m

Verschwindungslinien Av und Ev verbunden, liefert den Hilfs-schnitt mn, von welchem das Stück 12, innerhalb abv, eine Seite des Schnittpolygons gibt.

Auf die Seitenfläche gfv übergehend, ist zur Bestimmung der Richtung der Verschwindungslinie dieser Fläche offenbar Avx

von A aus im Punkte -X in drei gleiche Theile zu theilen und y mit y zu verbinden. Es gibt sodann die Gerade y , durch

V V\

T ~3

, die Bildflächtrace dieser Seitenfläche und

parallel zu

gezogen, die Verschwindungslinie, 8₁m₁, pa

rallel zu

den Hilfsschnitt mit der schneidenden Ebene, von welchem das innerhalb der Seitenfläche fgv liegende Stück 45 zu benützen sein wird. Schneidet die verlängerte Seite f g die Trace X Y der schneidenden Ebene auf der Basisebene noch innerhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche, so ist dieser Punkt a der Schnittlinie ml nx angehörig, wesshalb zur Auffindung derselben die Bestimmung der Bildflächtrace blml oder der Verschwindungslinie Vi nx entfallen kann.

Bei Kanten, deren Verschwindungs- und Durchstosspunkte sich noch auf der Zeichnungsfläche ergeben, wie dies z. B. bei f g der Fall ist, bietet der in 17 gelegene Punkt « keinen erheblichen Vortheil. Würde jedoch rl5 also auch y nx, für die Con-struktion nicht benützbar sein, so könnte einfach A g in drei

gleiche Theile getheilt und yy parallel zu fg gezogen werden,

um den Punkt y- und durch denselben die Richtung

v\n\

Mli n\

V V\

VT

Bildflächtrace zu erhalten, welch’ letztere, nachdem a bereits gefunden, zur Fixirung der Schnittlinie mx a ausreicht.

Nun wird es hier genügen, noch den Durchschnitt der Kante c v zu bestimmen, was vermittelst der durchgelegten bildfläch-

projecirenden Ebene A~, AcÔ₂, ö₂^2> m2n in der Zeichnung

durchgeführt ist. Es wurde jedoch daselbst auch die Seitenfläche dev auf obige Weise mit Eh Ev zum Schnitt gebracht, um zu zeigen, wie man sich zu benehmen habe, wenn sich weder der riurchstosspunkt noch der Verschwindungspunkt einer Basiskante auf der Zeichnungsfläche ergibt, wie dies eben bei der Kante b c der Fall ist.

Die verlängerte Kante b c trifft X Y in einem Punkte ß der zu suchenden Schnittlinie. Wird bA im Punkte in drei gleiche

der

Co ,

gezogen, so ist auch A y —Av₂₎ d. i. gleich dem dritten Theile des Abstandes des unzugänglichen YerschWindungspunktes v₂ der Kante bc vom Augpunkte A, und y y die Richtung der Ver-

Co <3

schwindungslinie und Bildflächtrace der durch bcv gelegten Ebene. Wird nun eine zur Bildfläche parallele Ebene in beliebiger Entfernung von der ersteren angewendet, also deren Trace hk auf der Basisebene durch irgend einen Punkt, z. B. durch den Schnittpunkt h der Geraden bc und - -y parallel zu E'b gehend angenommen, so wird offenbar kl, parallel zu Eb, der Hilfsschnitt mit EbEv, und hl, parallel zu - -y, (bei obiger Annahme mit

V v2 3 3

sein, folglich der beiden gemeinschaftliche Punkt l ebenfalls der zu suchenden Schnittlinie ßZ, durch welche die Seite 2 3 des Schnittpolygons bestimmt ist, angehört.

zusammenfallend), der Hilfsschnitt mit der Seitenfläche bcv

§. 97.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt eines Oktaeders mit einer Ebene zu be

stimmen.

Lösung. Das Oktaeder abcdef (Fig. 210) stehe mit einer Axe senkrecht auf der Bildebene, und mit der zweiten parallel zu derselben ; die schneidende Ebene sei Eb Ev.

Zur Bestimmung dieses Schnittes werden wir drei Ebenen legen, wovon jede derselben durch je zwei Axen des Körpers geht. Die erste, durch a b und df gehend, ist vertikal und senkrecht auf der Bildebene, hat lik zur Bildflächtrace, und die Vertikallinie VV zur Verschwindungslinie; es ist folglich pq der Schnitt derselben mit Eb Ev, welcher die in dieser Hilfsebene liegenden Kanten ad und bf in den Punkten 3 und 4 trifft. Die durch die Axen df und ce gelegte Ebene ist horizontal, hat E'& zur Bildflächtrace und die Horizontslinie zur Verschwindungslinie; es begegnet mithin der Hilfsschnitt yz den in dieser Ebene liegenden Kanten cd und ef in den Punkten 1 und 2.

Wird endlich durch die beiden Axen ab und ce eine Ebene gelegt, welche in diesem Falle parallel zur Bildfläche ist, so muss am deren Trace auf der Grundebene E"b sein, während ihr

Schnitt m n mit cler Ebene Ev zu Eb parallel ist. Da nun die Grundflächtrace xy der gegebenen Ebene EbEv von jener am der Hilfsebene in m getroffen wird, so ist der Hilfsschnitt m w, welcher die Kanten b c und a b in den Punkten 5 und 6 schneidet, durch m zu führen. Werden nun je zwei in einer Seitenfläche liegende Punkte mit einander verbunden, so erhält man in 12 3 456 das gewünschte Resultat.

Fig. 210.

b', ,\ i)

\!A

liW

Bemerkung. Aus dem h eben Besprochenen ist ersichtlich, dass es nicht zweckmässig gewesen wäre die Durchschnitte der Kanten einzeln zu bestimmen, sondern , dass man hier mit Axenebenen am einfachsten und schnellsten zum Ziele gelangte. Als allgemeine Regel lässt sich diess jedoch nicht aufstellen, hingegen wird es bei gehöriger Berücksichtigung der Stellung des Körpers, so wie seiner geometrischen Eigenschaften nicht schwer fallen, eine zweckmässige Wahl der Hilfsebenen zu treffen. Insbesondere werden die bei der Darstellung des Körpers benützten Höhenebenen zu berücksichtigen sein, weil ihre Bild-flächtracen und Verschwindungslinien bekannt sind, und weil die in denselben erhaltenen Punkte des Schnittpolygons zur richtigen Beurtheilung des letzteren im Vorhinein beitragen.

B. Gegenseitiger Schnitt.

§• 98.

Allgemeine Bemerkungen.

Zum Behufe der Bestimmung des Schnittes zweier durch ebene Flächen begränzter Körper kann wieder auf mehrfache Weise vorgegangen werden, und zwar:

1. Suche man die Durchschnitte der Kanten des einen Körpers mit den Seitenflächen des zweiten und umgekehrt, und verbinde

sodann je zwei in denselben Ebenen gelegene Schnittpunkte miteinander.

2. Bestimme man die Schnittlinie von je einer Seitenfläche des einen mit den entsprechenden Seitenflächen des andern Körpers und benütze nur dasjenige Stück derselben, welches innerhalb der Begränzungslinien beider Flächen liegt. Diese Methode findet wohl selten ihre Anwendung, da man zumeist, bei zweckmässiger Handhabung der ersteren, einfacher zum Ziele gelangt.

Da es demnach vorzugsweise darauf ankömmt, den Durchschnitt einer Kante mit der Seitenfläche des zweiten Körpers zu bestimmen, so soll vor Allem diese Aufgabe hier erörtert werden.

§. 99.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt einer Geraden mit einer Pyramide zu. bestimmen.

Lösung. Legt man durch die Gerade la (Fig. 211) eine Ebene und sucht deren Schnitt mit der Pyramide abcfS, so

wird letzterer die gegebene Gerade in den zu suchenden Punkten schneiden. Nachdem sonach die Wahl der Hilfsebene beliebig ist, wird diese , am zweckmässigsten so angenommen b werden, dass sie durch die Spitze der Pyramide geht. In diesem Falle wird der Scheitel der Pyramide be-\ / reits einen Punkt der Schnittfigur liefern, welche aus Geraden besteht, /Vy \ die sich im Scheitel vereinen.

Legt man sonach durch die Gerade Id und die Spitze ß eine Ebene E'b Ev und sucht deren Trace X Y auf der Basisebene Eb Ev der Pyramide, so schneidet erstere das Basispolygon in den Punkten 1 und 2, mithin die Ebene E b E v die Pyramide in den Kanten 1 S und 2 S, welche in den Begegnungspunkten / und II mit der Geraden Id den Ein- und Austritt derselben bestimmen.

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Fig. 211.

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Ei)

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Ev,

§. 100.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt einer Geraden mit einem Prisma zu bestimmen.

Fig. 212.

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Ev

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ff

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Eb

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Lösung. Ist die Basis ab cf g (Fig. 212) des Prisma in der Ebene EbEv gelegen, und vl der Verschwindungspunkt der parallelen Kanten desselben, ferner lva die gegebene Gerade, so lege man durch dieselbe eine Ebene E\ E'v parallel zu den Prismenkanten, welche daher die Verbindungslinie der beiden Punkte v und v zur Verschwindungslinie E'v und die durch d zu E'v parallel gezogene Gerade E\ zur Bildflächtrace hat. Bestimmt man den Schnitt X Y der beiden Ebenen E^EV und Ef E'v, d\ so trifft dieser die Basis in den Punkten 1 und 2, daher das Prisma von der Hilfsebene in den Geraden lvj und 2v| geschnitten wird. Wo die letzteren die gegebene Gerade treffen, ergeben sich die zu suchenden Schnittpunkte I und II.

§• 101.

Wahl der Hilfsebene.

Wenden wir das soeben Gefundene auf den gegenseitigen Durchschnitt zweier Pyramiden, zweier Prismen, oder einer Pyramide mit einem Prisma an, so folgt, dass behufs der einfachsten Lösung dieser Aufgaben es am zweckmiissigsten sei, die Durchschnitte der Kanten mit den betreffenden Seitenflächen vermittelst schneidender Hilfsebenen zu bestimmen und diese so zu wählen, dass sie im ersten Falle durch beide Pyramidenspitzen, somit durch deren Verbindungslinie gehen, im zweiten Falle hingegen parallel zu den Kanten beider Prismen, endlich im dritten Falle durch die Pyramidenspitze gehen und parallel zu den Prismenkanten sind, sich also sämmtlich in einer durch die Spitze parallel zu den Prismenkanten geführten Geraden schneiden.

Liegen die Basen der beiden Körper in einer Ebene, so suche man im ersten und dritten Falle den Durchschnitt der besagten Geraden mit der gemeinschaftlichen Basisebene; durch diesen so erhaltenen Schnittpunkt werden sodann die Tracen der Hilfsebenen auf der Basisebene zu ziehen sein. Im zweiten Falle ermittle man die Richtung der Trace einer zu den Kanten beider Prismen parallelen Ebene auf der Basisebene und führe die Tracen sämmtlicher Hilfsebenen zu dieser parallel.

Liegen die Basen in verschiedenen Ebenen, so sind die Durchschnittspunkte der den Hilfsebenen gemeinschaftlichen Geraden, beziehungsweise die Richtungen der Tracen, auf beiden Basisebenen anzugeben.

Sind die Durchschnittspunkte aller Kanten gefunden, so wird das Schnittpolygon in der Weise erhalten, dass man je zwei in derselben Seitenfläche des einen und des andern Körpers liegende Punkte mit einander verbindet.

Sichtbar sind nur diejenigen Schnittpunkte, welche in sichtbaren Seitenflächen beider Körper liegen, und eine sichtbare Schnittlinie kann nur durch zwei sichtbare Schnittpunkte gezogen werden. Dies zu bestimmen ist insbesondere desshalb wichtig, weil in den meisten Fällen blos der sichtbare Theil der Körper, also auch der Durchschnittslinie zu zeichnen ist.

¹

Die Kantenlänge a ß wurde in Fig. 203 desshalb so angenommen, wie sie sich bildlich unter der Voraussetzung, dass die gegebene Kante in einer durch die vertikale Axenlinie zur Bildfläche parallelen Ebene liegt, darstellt, weil es am zweckdienlichsten erscheint, die weitere Construktion auf diese Axe zu beziehen.

Wäre also die Axe fixirt, und die wahre Länge der Ikosaederkante gegeben, so hätte man nur durch den Fusspunkt der Axe eine zur Bildfläche parallele Gerade zu ziehen, und auf derselben eine Länge so zu bestimmen, dass sie der gegebenen Kantenlänge entspricht. Die so gefundene Länge ist sodann jene Fünfecks- und Dreiecksseite, welche, wie oben gezeigt, zu benützen ist.

Ein gleiches Verfahren wäre in allen vorhergehenden und nachfolgenden Fällen anzuwenden, wenn die Construktion auf eine bestimmte, zur Bildfläche parallele Vertikalebene bezogen werden sollte.

§. 102.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt zweier Pyramiden zu bestimmen, deren Basen in einer Ebene Eb Ev liegen.

Lösung. Ist abcS (Fig. 213) die eine, fglikS' die andere Pyramide, deren Scheitel S und S' durch die Geraden v Sd und v' S' d' bestimmt sind, so verbinde man die beiden Spitzen durch eine Gerade SS', suche den Durchschnitt A (fällt hier ausserhalb der Zeichnungsfläche) derselben mit der Basisebene *) und lege durch denselben die Tracen der schneidenden Hilfsebenen auf der Basisebene.

man

*) Es wäre hier nicht zweckmässig den Durchschnittspunkt A der Geraden SS mit der Ebene EbEv nach der allgemeinen Methode, §. 38, aufzusuchen, welche vorerst die Bestimmung der Geraden S S' nach §. 45 erheischt. In unserem-Falle dürfte man am einfachsten zum Ziele gelangen, wenn durch jeden der beiden Scheitel eine zur Bildfläche parallele Gerade so führt, dass sie auch zu einander parallel sind, die Durclistosspunkte derselben mit der Basisehene durch Zuhilfenahme der die betreffenden Spitzen fixirenden Geraden aufsucht, und die Verbindungslinie der so erhaltenen Punkte mit der Geraden SS' zum Durchschnitt bringt.

Vorerst ziehe man die Tracen der beiden Grenzebenen, d. s.

solche, innerhalb welchen die Schnittfigur liegt, deren Tracen mithin durch A so zu

Fig. 213.

führen sein werden, dass sie die eine Basis berühren, während sie die andere schneiden.

Beginnen wir sofort mit jener Hilfsebene, deren Trace Aa ist, so bestimmt dieselbe die Schnittpunkte der Kante a S mit der Pyramide S'; denn in der Kante a S wird die Pyramide S, und in a S' und ß S' die Pyramide S' ge-schnitten, daher sich im Durchschnitte dieser Geraden die Punkte 1 und 2 des Schnittpolygons ergeben.

Kiickt man nun mit der schneidenden Ebene zum nächsten Basiseckpunkte vor, hier also nach A </, so wird die Pyramide S in den Geraden y S und o £ geschnitten, welche im Durchschnitte mit der Kante gS den Ein- und Austrittspunkt derselben, d. i. 3 und 4, bestimmen. Da nun die Punkte 2 und 3 in denselben Seitenflächen, nämlich in g h S' und a b S' liegen, so sind sie auch mit einander zu verbinden; und weil diese beiden Ebenen gedeckt sind, so wird auch die Seite 23 des Schnittpolygons nicht sichtbar sein. Aus demselben Grunde sind auch die Punkte 2 und 4 zu vereinen.

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Auf gleiche Weise wurden die Durchschnittspunkte der Kanten h S, k S' und fS' gesucht und entsprechend mit einander verbunden, wodurch sich die zu suchende Durchdringungsfigur ergab.

§. 103.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt zweier Pyramiden zn construiren, deren Basen in verschiedenen Ebenen liegen, nnd blos der sichtbare Theil der beiden Körper zu verzeichnen.

Lösung. Sind hf g und dabc (Fig. 214) als die sichtbaren Theile der Basen, in den Ebenen EbEv und E'bE'v gelegen, und ist SS' die Verbindungslinie der beiden Spitzen, so suche man vorerst die Durchstosspunkte A und Aj dieser Geraden mit

Fig. 214.

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den Basisebenen, so wie den Schnitt X Y dieser letzteren. Die Tracen einer jeden Hilfsebene auf den Basisebenen werden beziehungsweise durch die Punkte A und Aj gehen und sich in einem Punkte der Geraden X Y treffen müssen.

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Sucht man wieder die Gränzebenen, so findet man hier (in Bezug auf den sichtbaren Theil), dass beide Pyramiden in den Kanten aS und f S' gleichzeitig berührt werden, dass sich sonach das Eintritts- mit dem Austrittspolygon im Durchschnittspunkte I der besagten Kanten bindet. Die nächste Schnittebene ist A(uA1; welche die Pyramide S in der Kante b S und jene S' in den Geraden a S' und ß S' schneidet, daher in 2 und 3 die Durchstosspunkte der Kante b S mit der Pyramide S' gibt.

Auf gleiche Weise werden nun die Ebenen AtcAj, ApAj,

A a Aj und A x Aj durch die aufeinanderfolgenden Eckpunkte der beiden Körper der Keihe nach gelegt und die Punkte 4, 5, 6... 9 erhalten, welche mit einander gehörig verbunden, das gewünschte Schnittpolygon geben.

Es ist hier noch darauf aufmerksam zu machen, dass auch die Construktion blos den sichtbaren Theil des Schnittes gibt, indem man endlich zu Ebenen, wie AaAj und AxAj, gelangt, welche für die betreffende Kante blos einen, oder auch keinen Durclischnittspunkt im sichtbaren Theile des zweiten Körpers liefern.

§• 104.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt zweier Prismen zu bestimmen.

Lösung. Sind v und vx die Verschwindungspunkte der parallelen Kanten der beiden Prismen P und Pl5 so ist offenbar die Gerade vvx die Verscliwindungslinie aller zu den Kanten der Prismen parallelen Ebenen, welche die Yerschwindungslinie Ev der Basisebene im Yerschwindungspunkte v₂ der diesen Ebenen entsprechenden Tracen auf der gemeinschaftlichen Basisebene trifft.

Der Punkt v₂ ist hier so zu benützen, wie der Durchstoss-punkt A in Fig. 213 bei der Bestimmung des Durchschnittes zweier Pyramiden (§. 102), indem die Tracen der schneidenden Hilfsebenen sämmtlich durch v₂ gezogen werden müssen. Die weitere Construktion ist mit der im §. 102 behandelten übereinstimmend, wenn man v und vl als die Spitzen dieser als Pyramiden gedachten Prismen ansieht.

Fig. 215.

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Sind die Basen der beiden Prismen in verschiedenen Ebenen gelegen, so verfahre man nach §. 103, indem man dieselben als Pyramiden behandelt, deren Spitzen in unendlicher Entfernung liegen. Die Verbindungslinie der beiden Verschwindungspunkte v und vl wird die Verschwindungslinien Ev und E'v der beiden Basisebenen in den Punkten v₂ und v₃ schneiden, welche nichts anders als die Ver-schwindungs-punkte der Tracen der Hilfsebenen auf den bezüglichen Basisebenen sind.

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Die beiden Tracen einer Hilfsebene müssen sich wieder in einem Punkte des Durchschnittes X Y der Basisebenen begegnen.

In Fig. 215 ist

der Fall durchgeführt, wo die Kanten beider Prismen zur Bildfläche parallel sind. Aus der Lage der Prismenkanten folgt, dass

14

Peschka u. Koutny, Perspektive.

die Hilfsebenen parallel zur Bildfläche gelegt werden müssen, und demnach die Basisebenen in Geraden schneiden, welche zu den Bildflächtracen parallel laufen. Die einzelnen Hilfsschnitte der Prismen sind parallel zu den Kanten und begegnen sich in den zu suchenden Durchschnittspunkten.

§. 105.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt einer Pyramide mit einem Prisma zu construiren.

Lösung. Was den Schnitt einer Pyramide mit einem Prisma anbelangt, so ist darüber nur zu bemerken, dass derselbe ebenso wie der Schnitt zwreier Pyramiden bestimmt wird; denn denkt man sich das Prisma als Pyramide mit der Spitze im Verschwin-dungspunkte der parallelen Kanten, so besteht die Auflösung der gestellten Aufgabe einfach darin, dass man die beiden Spitzen durch eine Gerade verbindet (deren Verschwindungspunkt in diesem Falle durch jenen der Prismenkanten bereits bestimmt ist), die Durchschnittspunkte derselben mit den Basisebenen sucht, und durch diese Punkte die Tracen der einzelnen Hilfsebenen auf den Basisebenen führt, wovon je zwei zusammengehörige Tracen sich in einem Punkte der Durchschnittslinie der beiden Basisebenen vereinen müssen.

Fig. 216.

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Als Beispiel wurde in Fig. 216 ein auf einer Horizontalebene Eb Ev senkrecht stehendes fünfseitiges Prisma abcde mit einer

vierseitigen Pyramide fg h kS, deren Basis in einer vertikalen, jedoch gegen die Bildfläche schiefen Ebene E\E'V liegt, zum Schnitt gebracht.

Die durch die Spitze S (welche durch ihre orthogonale Projektion S" auf die Bildebene bestimmt ist) zu den Prismenkanten parallel gezogene Gerade S A trifft die Basisebene Eb Ev im Punkte A und ist zur Basisebene E\ E'v der Pyramide parallel, wesshalb die Tracen auf dieser letzteren vertikal sind.

Jede die beiden Körper nach Geraden schneidende Ebene wird daher als horizontale Trace eine durch A gehende Gerade haben, und dort, wo diese die Schnittlinie xy der Ebenen EbEv und E\E'V schneidet, wird die Vertikaltrace parallel zu E'b, also vertikal zu ziehen sein. Die weiteren Construktionen zur Bestimmung der Durchschnittpunkte der einzelnen Kanten sind einestlieils aus der Figur ersichtlich, andererseits aber nach dem Yorhergegangenen bekannt, daher sie keiner näheren Erklärung bedürfen.

14*

DRITTER ABSCHNITT.

Kapitel XI.

Krumme Linien.

§. 106.

Allgemeine Bemerkungen.

Um die Perspektive einer krummen Linie

zu finden, wird

man im Allgemeinen die Perspektiven einzelner Punkte derselben zu bestimmen und dieselben mit einander zu verbinden haben. Da wir liiemit die Bestimmung der Perspektiven von Kurven auf jene einzelner Punkte zurückführen, so folgt, dass, sowie der Punkt (Kap. II) auch die Kurve auf verschiedene Weise fixirt werden könne. Es wird sonach ausser der Perspektive der Kurve entweder noch die Perspektive ihrer Projektion auf der Grundoder auf einer andern Ebene, oder ihre Bildflächprojektion und dergl. anzugeben sein, um die Kurve im Raume vollkommen zu bestimmen. Ebenso ist einleuchtend, dass unendlich viele Kurven im Raume dasselbe perspektivische Bild unter der Voraussetzung geben, dass dieselben auf der Oberfläche eines Kegels liegen, welcher die Perspektive der krummen Linie zur Leitlinie und das Auge zur Spitze hat. Das hier Gesagte gilt allgemein, sowohl für ebene als auch für Raumkurven, doch ergibt sich für erstere die wesentliche Vereinfachung, dass zu deren Bestimmung ausser ihrer Perspektive kein zweites Bild erforderlich ist, da eine ebene Kurve vollkommen fixirt erscheint, wenn ausser ihrer Perspektive die Ebene der Kurve gegeben ist.

Die Verzeichnung der Perspektive einer ebenen Kurve kann in der Art, wie die eines ebenen Polygons vorgenommen werden, indem einzelne Punkte der krummen Linie durch ihre Coordinaten in Bezug auf die Bildfhächtrace ihrer Ebene, oder durch Bestimmung einzelner Sehnenlängen, oder durch anderweitig an die Kurve gezogene Linien übertragen werden.

Für Raumkurven wird es zumeist am zweckmässigsten sein, sich vorerst die Perspektiven ihrer Grundflächprojektionen und die einer Vertikalprojektion zu verzeichnen, um sodann einzelne Punkte der Perspektive der Kurve als Durchschnitte der betreffenden projecirenden Perpendikel zu erhalten.

Hat jedoch die ebene oder Raumkurve besondere Eigenschaften, so wird man diese in vielen Fällen zur Construktion des perspektivischen Bildes mit Vortheil benützen können.

Ist an die Perspektive einer Kurve in einem gegebenen Punkte derselben eine Tangente zu führen, so wird nur die dem Punkte im Raume entsprechende Tangente in die Perspektive zu übertragen sein. Da ein Punkt der zu suchenden Tangente, d. i. der Berührungspunkt, gegeben ist, so ist selbstverständlich, dass blos noch ein zweiter Punkt derselben zu bestimmen sein wird, zu welchem Behufe, je nach Umständen, entweder der Durch-stosspunkt der Tangente mit der Bildebene, oder mit einer zur Bildfläche parallelen Ebene und dergl., oder ihr Verschwindungs-punkt gesucht werden kann.

Wir wrollen nun die Perspektiven der wichtigsten krummen Linien bestimmen, und in erster Reihe den Kreis einer eingehenderen Betrachtung unterziehen.

D e r Kr e i s.

§. 107.

Aufgabe.

Es ist die Perspektive eines in einer gegebenen Ebene liegenden Kreises von bestimmtem Halbmesser zu verzeichnen.

Lösung, a) Eis sei EbEv (Fig. 217) die Ebene des Kreises, c die Perspektive seines Mittelpunktes und 8 (3 = 8 a der Radius des Kreises, welcher daselbst von dem Fusspunkte 8 der aus c -auf die Bildflächtrace Eb gefällten Senkrechten Aj 8 nach a und ß übertragen wurde.

Würde der gegebene Mittelpunkt um die Bildflächtrace der Ebene Eb Ev in die Bildebene umgelegt, und daselbst der Kreis verzeichnet, so ist einleuchtend, dass man blos die Perspektiven einer Reihe nahe aneinander im Umfange des Kreises gelegener Punkte zu bestimmen und durch eine stetige Kurve zu verbinden hätte, um so die Perspektive des Kreises zu erhalten.

b) Denkt man sich die Ebene des Kreises nicht in die Bildebene, sondern in eine zu derselben parallele Lage gebracht, indem man den zur Bildebene, also auch zur Bildflächtrace Eb . parallelen Durchmesser als Drehungsaxe für die Kreisebene wählt, so wird sich die Perspektive des Kreises in dieser zur Bildfläche

Fig. 217.

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parallelen Lage, da die Perspektive einer zur Bildfläche parallelen Figur dieser selbst ähnlich ist, wieder als Kreis ergeben, welcher jedoch im Verhältnisse seines Abstandes von der Bildebene verjüngt oder vergrössert erscheint, je nachdem sich der Mittelpunkt hinter oder vor der Bildebene befindet.

Um das Gesagte zur Ausführung zu bringen, ermittle man vor Allem das perspektivische Bild des als Drehungsaxe anzunehmenden, zur Bildfläche parallelen Durchmessers, zu welchem Zwecke auf der durch c zu Eh parallel gezogenen Geraden UQ, beiderseits von c, vermittelst der Linien A₁ o, Al a und Al ß, die Länge des gegebenen Halbmessers ab — ßo abzuschneiden ist. Hiernach erhält man in fch den perspektivischen Durchmesser und in dem über demselben beschriebenen Kreise f G hJ die Perspektive des darzustellenden Kreises in der zur Bildfläche parallelen Lage.

Wird nun in diesem Kreise irgend eine Ordinate XYXx senkrecht auf fh angenommen, so können die Perspektiven x und x1 der in die ursprüngliche Lage zurückversetzten Eckpunkte X und Xl auch hier einfach gefunden werden, wenn man die Längen YX= YXl nach Y y = Pyt aufträgt, die Punkte y so wie yj mit den der Geraden XYXl entsprechenden Theilungspunkten T und T\ welche hier mit den Nehendistanzpunkten der Ebene Eb Ev zusammenfallen, verbindet, und mit der Perspektive A₁ Y der Geraden XYXl zum Durchschnitt bringt.

Bestimmt man analog der Ordinate XYXx die Perspektiven der Endpunkte für eine hinreichend grosse Anzahl solcher Ordi-naten und verbindet dieselben durch eine stetige Linie, so erhält man die Perspektive des gegebenen Kreises. Diese ist im Allgemeinen eine Kegelschnittslinie, zumeist jedoch eine Ellipse*), da solche Lagen des Kreises, in welchen derselbe in der Perspektive als Parabel oder Hyperbel erscheint, nur äusserst selten vor-

*) Dass die Perspektive eines Kreises im Allgemeinen eine Linie der zweiten Ordnung sein muss, folgt daraus, dass ein Kegel, dessen Leitlinie eine Linie der zweiten Ordnung (hier ein Kreis) ist, wieder nur in einer Linie der zweiten Ordnung durch eine Ebene geschnitten werden könne.

Nachdem daher ein Kegel von kreisförmiger Leitlinie in einer jeden der Kegelschnittslinien geschnitten werden kann, so folgt daraus, dass man als das perspektivische Bild eines Kreises einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder Parabel erhalten kann.

Was den ersten Fall anbelangt, so muss bemerkt werden, dass, da ein Kegel mit kreisförmiger Leitlinie.nur durch zwei verschiedene Lagen von Ebenen nach Kreisen geschnitten werden kann, wovon die eine Lage durch die Basisebene bestimmt ist, die Perspektive eines Kreises, ausser einer zweiten be-sondern Lage der Kreisebene, nur dann ein Kreis wird, wenn er in einer zur Bildfläche parallelen Ebene liegt.

Ist die Ebene des Kreises gegen die Bildfläche geneigt, und reicht die Peripherie desselben nicht weiter als bis zu der durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegten Ebene, so wird das Bild eine Ellipse sein, da in diesem Falle alle Kegelerzeugenden gegen die Bildfläche geneigt sind, also von ihr geschnitten werden. Würde der Kreis die durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegte Ebene blos berühren, so wäre seine Perspektive eine Parabel, weil die schneidende Ebene (die Bildebene) parallel zu einer Tangirungsebene an den Kegel wird; und schneidet endlich die erwähnte Parallelebene den Kreis, so wird das Bild desselben eine Hyperbel werden, weil diese Ebene sodann zwei Erzeugende des Kegels enthält, die Bildfläche demnach zu zwei Erzeugenden des Strahlenkegels parallel ist, und daher nur eine Hyperbel als Schnittfigur geben kann.

Geht die Ebene des Kreises durch das Auge, so ist sein perspektivisches Bild eine gerade Linie, indem die Bilder aller in einer solchen Ebene liegenden Punkte sich in der Bildflächtrace derselben ergeben.

kommen. Wir werden uns auch blos mit der perspektivischen Darstellung solcher Kreise befassen, deren Perspektive eine Ellipse wird und auf die Lösung der andern Fälle nur in aller Kürze hinweisen.

c) In der Praxis der Perspektive pflegp man dem darzustellenden Kreise ein Quadrat zu umschreiben, dessen Seiten auf der Bildflächtrace senkrecht stehen, beziehungsweise zu ihr parallel laufen. Ein solches, um den darzustellenden Kreis beschriebenes Quadrat wird sich, nachdem die Ebene Eb Ev in die zur Bildfläche parallele Lage gebracht wurde, in A'BDE ergeben, und die Diagonalen desselben werden den Kreisumfang in den vier Punkten FT, Z, M und N durchsclmeiden.

Die Perspektive ab de des Quadrates Ä B DE in der Ebene Ei Ev ergibt sich nun sehr einfach, indem die zur Bildflächtrace Ei parallelen Seiten auch in ihrer Perspektive zu derselben parallel sind, ferner, die auf der Bildflächtrace senkrecht stehenden Linien, durch f und h gehend, im Nebenaugpunkte A₁ verschwinden und die Diagonalen durch den Mittelpunkt c gegen die Nebendistanzpunkte T und T' zu ziehen sind.

Denkt man sich weiters über dem parallel zur Bildfläche gedrehten Kreis ein zweites Quadrat PQR U so verzeichnet, dass dessen Seiten gegen die Bildflächtrace Eb unter 45⁰ geneigt sind, so wird dasselbe den Kreis in den vier Punkten Ff, Z, M und N berühren, daher die Perspektiven dieser in die Ebene EbEv zurückversetzten Quadratseiten, durch die in der Drehungsaxe gelegenen Eckpunkte Q und U gehend, in den Nebendistanzpunkten T und T' verschwinden und die Kreisperspektive tangiren müssen.

Die so gefundenen Quadratseiten r Q, p Q, p U und r U schneiden sich mit den Richtungen c T und c T' der Diagonalen des ersten Quadrates ab de in k, l, m und w, d. i. in den Perspektiven der Punkte FT, Z, M und N, in welch’ ersfceren gleichzeitig die Berührung mit den letzt gefundenen Quadratseiten erfolgt.

Auf diese Weise haben sich in /, g, lg i und fc, l, m, n die Perspektiven der Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten der umschriebenen Quadrate ab de und UrQp ergeben, so dass man durch diese im Umfänge der Kreisperspektive gelegenen acht Punkte in den meisten Fällen die Ellipse mit hinreichender Genauigkeit verzeichnen kann, und dies um so mehr, als die Perspektiven der Quadratseiten die Tangenten der Kreisperspektive in diesen acht Punkten liefern.

Bemerkung. Was die Beziehung zwischen dem Punkte c und der Geraden Ev betrifft, so wollen wir noch darauf aufmerksam machen, dass ersterer, obwohl Perspektive des Kreismittelpunktes, nicht auch Mittelpunkt der Ellipse ist, weil die Tangenten ae und bd in den Punkten f und h nicht parallel sind, also f h kein Durchmesser ist, während aus eben besagtem Grunde gi ein Durchmesser sein wird. Denkt man sich nun um den Kreis beliebige Paare von parallelen Tangenten und die Durchmesser, welche die Berührungspunkte verbinden, gezogen, so gehen deren Perspektiven alle durch c, die Perspektiven der* Tangentenpaare aber convergiren gegen ihre in Ev liegenden Verschwindungspunkte. Wenn man sich daher aus einem Punkte der Yerschwindungslinie Ev zwei Tangenten an die Ellipse gezogen und ihre Berührungspunkte durch eine Sehne verbunden denkt, so geht diese durch c. Rückt nun der Verschwindungs-punkt auf der Geraden Ev so fort, dass die in demselben sich vereinigenden zwei Geraden die Ellipse berühren, so dreht sich die Sehne der Berührungspunkte um den Punkt c, welcher dess-halb in der ebenen Geometrie der Pol und Ev die ihm zugehörige Polare heisst.

d) Wäre in einer Ebene EbEv nicht der Mittelpunkt, sondern der Durchmesser fh selbst parallel zur Bildflächtrace Eb, durch seine Perspektive gegeben, so wird, nachdem man fh in c halbirt und so die Perspektive des Kreismittelpunktes aufgefunden hat, das Verfahren ganz dasselbe bleiben können, wie das unter b) und c) angeführte.

Fig. 218.

Wir wollen jedoch für diesen Fall noch eine andere Ver-fahrungsart, die sich übrigens auch für den vorhergehenden ganz gut eignet, anführen, bei welcher es nicht nöthig ist, den darzustellenden. Kreis in eine zur Bildfläche parallele Lage zu bringen. Man wird 3 auch hier acht im Umfange der Perspektive des Kreises gelegene Punkte bestimmen können, und zu diesem Zwecke von folgender Eigenschaft des Kreises Gebrauch machen.

Ist AB DE (Fig. 218) ein um einen Kreis, dessen Mittelpunkt C ist, beschriebenes Quadrat, AH eine Diagonale des

Halbquadrates, die den Kreisumfang in L schneidet, und wird L Q senkrecht auf A B errichtet, so ist vermöge einer bekannten Eigenschaft des Kreises, wenn wir dessen Halbmesser mit R bezeichnen:

A H² = 4R² -\- R² ~ 5 R²,

oder

und ferner

. woraus sich ergibt

* oder

AL.AH= R². AL. All² =--AH.R²

5AL.R² = AH.R²,

AL=*±AH,

AQ — —AB.

5

Aus der letzten Relation ist ersichtlich, dass man einen im

demnach auch

Umfange des Kreises gelegenen Punkt L erhält, wenn man die durch den Punkt Q, in welchem auf AB der fünfte Theil abgeschnitten wird, parallel zu AB gezogene Gerade QP mit der

Diagonale A H zum Durchschnitte bringt. Analog dem Punkte L werden sich auch

V t'/

Fig. 219.

k.....•

noch drei andere Punkte /f, M und N im Umfange des Kreises als die Durchschnitte der entsprechenden Geraden mit den Diagonalen ergeben.

Construirt man demnach vor Allem das perspektivische Bild des um den Kreis, von H welchem die Perspektiva hf (Fig. 219) des zur Bildfläche parallelen Durchmessers gegeben ist, beschriebenen Quadrates a b d e, zu welchem Zwecke wir jeden Eckpunkt desselben als den Durchschnitt der einen Seite mit der entsprechenden Diagonale darstellen, bestimmen sodann die vier Berührungspunkte des Quadrates mit dem Kreise in /, g, h, i und

hx'

Ai \ łSPŹfl

'k APklr

/ wknfJ

\!/ /

sV    a /

Ev/

•/

ermitteln sofort in der Art, Avie es aus dem Obigen hervorgeht, die Perspektiven der vier Punkte K, L, M und N, d. i. die Punkte k, l, m und so wird man im Stande sein, vermittelst der so erhaltenen acht Punkte und vier Tangenten wenigstens kleinere Ellipsen hinreichend genau zu verzeichnen.

Ebenso einfach wie die Punkte &, l, m und n lassen sich auch in diesen Punkten die Tangenten an die Kreisperspektive ermitteln.

Ist LS (Fig. 218) die in L an den Kreis gezogene Tangente, und schneidet dieselbe denN verlängerten Durchmesser FH in S, so ist bekanntlich

LU² — CU. U S — R . US.

Nun ist jedoch

UL² = PU — UC² = R2 — A E2 ₌    B²,

/15    /zö

daher

und

-R

f B* = ±B.U8,

woraus

15

oder

Ol! CO

SF= US — UF — %R —

15

folgt.

Wird mithin fli (Fig. 219) in drei gleiche Tlieile getheilt und ein solcher Theil auf der Verlängerung dieses Durchmessers von den Endpunkten f und h desselben nach s und u aufgetragen, so werden bios u und s beziehungsAveise mit m, n und k, l zu verbinden sein, um die fraglichen Tangenten zu erhalten.

Bemerkung 1. Wäre der in einer Ebene gegebene Durchmesser eines Kreises nicht parallel zu der Bildflächtrace, sondern hätte er eine beliebige schiefe Lage gegen dieselbe, so ist klar, dass man die bisher angeführten Verfahrungsarten auch für einen solchen Fall amvenden könnte.

Die Ausführung jedoch ist — Avenn der gegebene Durchmesser nicht zufällig auf der Bildflächtrace senkrecht steht — schon nicht mehr so einfach, weil die im vorhergehenden Fall zur Bildfläche parallelen Geraden jetzt eine gegen die Bildfläche

schiefe Lage annehmen, man also die angeführten Operationen nm mit Zuhilfenahme der entsprechenden Verschwindungs- und Theilungspunkte durchführen kann.

Es sei hier noch bemerkt, dass man diese Aufgabe auch nach den in c) und d) besprochenen Lösungsarten, bei welchen

wir von dem zur Bildfläch-trace parallelen Durchmesser ausgingen, durchführen kann. Ist nämlich st (big. 220) der gegebene Durchmesser, so ist es leicht, denselben mittelst des entsprechenden, in Ev gelegerien Theilungspunk-tes T in c zu halbiren, alsdann durch c eine Parallele zu Ev zu ziehen und auf dieser durch An-H Wendung des schon be-.'^0 stimmten Theilungspunktes T vom Punkte c aus zwei Stücke cf und cli abzuschneiden, die beziehungsweise den Radien cs und c t gleich sind, was einfach durch die beiden Theilungs-linien Tsf und Tht be-

Fig. 220.

T'k

P,

-h

A,;

A/

rg

werkstelligt wird.

Ist auf diese Weise in fh die Perspektive des zur Bildebene parallelen Durchmessers bestimmt, so wird der weitere Gang der Durchführung derselbe sein, wie er in den bereits betrachteten Fällen eingehalten wurde.

Bemerkung 2. Selbstverständlich kann auch die Eigenschaft des Kreises, dass jeder Punkt der Peripherie vom Mittelpunkte gleich weit entfernt ist, zur Bestimmung beliebig vieler Punkte der Perspektive benützt werden.

Zieht man nämlich durch den schon bestimmten Mittelpunkt c (Fig. 220) beliebige Linien, und schneidet auf diesen, beiderseits von c, vermittelst des ihnen entsprechenden, in E„ gelegenen Theilungspunktes Längenstücke ab, welche dieselbe wahre Länge

wie/c und hc besitzen, so werden in den Endpunkten derselben Punkte der lvreisperspektive erhalten.

In Fig. 220 ist xy ein solcher Durchmesser, 7j der zugehörige Theilungspuukt, mittelst welchem xc und yc beziehungsweise den Stücken f c und h c perspektivisch gleich gemacht wurden.

§. 108.

Auffindung eines Paares conjugirter Durchmesser der Perspektive eines Kreises.

a) Wie bereits erwähnt, wollen wir hauptsächlich den Fall einer eingehenderen Erörterung unterziehen, wo sich der Kreis perspektivisch als Ellipse darstellt, also uns auch hier mit der Auffindung eines Paares conjugirter Durchmesser dieser Ellipsen befassen.

Bevor zur Lösung vorliegender Aufgabe selbst geschritten wird, sei noch ein Satz vorangeschickt, auf welchen die folgende Construktion beruht, und dessen bereits in §. 19 Erwähnung

geschah.

Sind nämlich die Parallelen lx, l₂ . . . . (Fig. 221) die Perspektiven verschiedener Geraden, v, vL, v₂ .... die Verschwin-dungspunkte und cZ, dl: d₂.... die Durchstosspunkte derselben mit der Bildebene, und sind d, cZl5 d₂ ...., v, u,, v₂ .... in zwei zu einander parallelen Geraden jE&, Ev gelegen , so werden die diesen Bildern entsprechenden Geraden im Raume nicht pa-rallel sein können, weil sie verschiedene Verschwindungspunkte haben, sondern müssen sich, weil sie sämmtlich in einer Ebene Eh Ev liegen, schneiden. Es fragt sich nun um den Ort dieses Durchschnitts-

Fig. 221.

ln

■Vl

v₂

12j

punktes.

Denken wir uns zu diesem Behufe durch

also auch zur

das Auge und durch die einzelnen Linien d Z, Zj, l₂ . ... Ebenen gelegt, so werden sich diese offenbar in einer Geraden G schneiden, welche durch das Auge geht und zu den. Perspektiven Z, Zl5 Z₂ ...

Bildebene parallel ist. In dieser Geraden muss sonach der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt liegen. Der letztere befindet sich jedoch auch in der den gegebenen Geraden entsprechenden

Ebene EbEv, folglich im Durchschnitte derselben mit der Geraden 6r.

Hieraus folgt der Satz: Linien, die in einer und derselben Ebene liegen und parallele Perspektiven haben, ohne jedoch selbst zur Bildfläche parallel zu sein, schneiden sich in einem Punkte jener Ebene, welche durch das Auge parallel zur Bildfläche geht; die Entfernung dieses Durchschnittspunktes von der Bildfläche ist somit der Augdistanz gleich.

Es sei Eb Ev (Eig. 222) eine horizontale Ebene und d, fr', c, d' die Perspektive eines dem Kreise umschriebenen Quadrates,

dessen Seiten parallel, beziehungsweise senkrecht zur Bildebene sind, folglich a, fr, c, d die Perspektiven der vier Berührungspunkte und ab das perspektivische Bild des zur Bildfläche parallelen Durchmessers. Wird nun über a fr ein Kreis K beschrieben, so kann, wie schon aus dem vorhergegangenen Paragraphen ersichtlich ist, die Kreisperspektive mit Hilfe des Kreises K gefunden werden, indem man berücksichtigt, dass ein Kreis vom Radius «o, welcher in einer zu EbEv parallelen Ebene, zur Hälfte vor und hinter der Bildfläche, also mit dem Durchmesser ab in der Bildebene selbst liegt, dasselbe perspektivische Bild wie der ursprünglich gegebene Kreis liefert.

Unter dieser Voraussetzung werden wir bei der Bestimmung der Kreisperspektive stets einen derart gelegenen Kreis zur Con-struktion mit Vortheil benützen können, indem wir die Ver-schwindungslinie Ev der gegebenen Kreisebene beibehalten, die Bildflächtrace Eh derselben jedoch in die Perspektive ab des Bildfläche parallelen Durchmessers versetzen und den hiedurch für die Verzeichnung der Perspektive erforderlichen Hilfskreis annehmen, dass sein Mittelpunkt in der Bildebene liegt und mit der Perspektive des Kreismittelpunktes zusammenfällt, während sein Durchmesser durch die Länge der Perspektive ab gegeben ist.

Fig. 222.

e/

a\

' / är~ ' 2

so

iß

.!/

rpg

zur

Es ist sodann in Fig. 222 K der in die Bildfläche gedrehte Hilfskreis, mit Zuhilfenahme dessen die nachfolgende Construktion durchgeführt wird.

Da nun die Tangenten a‘b‘ und c‘ d‘ zu einander parallel sind, so muss c d ein Durchmesser der in Frage stehenden Ellipse sein, dessen conjugirter Durchmesser ax bx eine zu a b oder zu Eb parallele Dichtung hat. Die Tangenten in den Endpunkten ax und bx dieses letztem werden sonach parallel zu cd sein, jedoch in der Kreisebene liegen, folglich werden auch, nach dem oben Angeführten, die diesen Tangenten entsprechenden Geraden im Raume, so wie der Durchmesser cd, Linien sein, die sich in einer Entfernung D (Augdistanz) von der Bildfläche schneiden und w’ovon die beiden ersteren den Kreis berühren. Drehen wir demnach das Ganze um ab in die Bildfläche, so muss die dem Bilde cd entsprechende Linie senkrecht auf ab erscheinen. Wird auf dieser nach o 0 die Augdistanz D aufgetragen, und werden aus 0 die Tangenten an den Kreis gezogen, so sind diese die den zu suchenden Tangenten entsprechenden Geraden, welche ab in f und g treffen. Drehen wir nun den Kreis in seine frühere Lage zurück, so bleibt y und g ungeändert; es müssen demnach die gesuchten zwei Tangenten 12 und 3 4 durch f und g parallel zu cd gezogen werden. Endlich hat man nur noch cd zu halbiren und durch ox eine zu Eb parallele Gerade bis zum Durchschnitte ax und bx mit den letzt gefundenen Tangenten zu ziehen, um in ax bx die zweite Achse zu erhalten.

Fig. 223.

ß.

;y

H-

\W y*.

b) Liegt der Kreis nicht, wie hier angenommen, in einer horizontalen, sondern in einer beliebigen Ebene EhEv, so wird diese Auflösungsweise sich von der eben durchgeführten nicht wesentlich unterscheiden.

\\

-l<'0

's

Es wurde hier gleichfalls die Perspektive a b (Fig. 223) des zu Eb parallelen Durchmessers, ferner der auf Eb senkrechte Durchmesser cd, gesucht und durch diesen ein Durchmesser

der Perspektive erhalten, da die Tangenten in c und d parallel sind. Wird über ab der Hilfskreis K beschrieben, und dieser um a b in die Bildfläche umgelegt, so muss cd auf Eh senkrecht erscheinen und durch o gehen. Auf dieser Senkrechten o 0₂ hat man, um jene zwei im Bilde parallelen Tangenten finden, nicht die Distanz, sondern die Nebenaugdistanz A₁ Ox von o nach 0₂ aufzutragen und wie früher aus 0₂ die beiden Tangenten 0₂ m, 0₂ n an Kzu führen, welch’ letztere die Drehungsachse a b in den beiden Punkten / und g treffen, durch f und g die zu cd parallelen Geraden 13 und 24 gezogen, so schneiden dieselben auf der durch den Halbirungspunkt o1 von cd parallel zu Eb geführten Richtung der zweiten Axe die Länge al bY derselben ab.

zu

Werden nun

zu

Bemerkung. In den meisten Fällen ist die Augdistanz gross, als dass man bequem den Punkt 0₂ benützen könnte. In diesem Falle kann man — A₁ Ol bestimmen, diese Länge von o nach

den Kreis

auftragen und aus    mit dem Halbmesser o °²

mon beschreiben, welcher den erstem K in m und n trifft. In den Berührungspunkten m und n sind die Tangenten senkrecht auf die entsprechenden Radien zu ziehen.

§. 109.

Durchmesser der Perspektive eines Kegelschnittes.

Aus der bereits besprochenen Eigenschaft solcher Linien, deren Perspektiven zu einander parallel sind, folgt auch, dass man beliebig viele Durchmesser der Perspektive eines Kegelschnittes finden kann, wenn man nur den Punkt, wo sich die entsprechenden Tangenten _an die Curve (im Raume) schneiden sollen, in jener Geraden wählt, welche als Durchschnitt der Ebene des Kegelschnittes mit der durch das Auge zur Bildfläche parallel geführten Ebene erhalten wird.

Mit Hilfe dieses Satzes können beliebige Paare conjugirter Durchmesser gefunden werden, von welchen jedenfalls ein Paar die Eigenschaft besitzt, dass die betreffenden Durchmesser auf einander senkrecht stehen, also die senkrechten Hauptaxen liefern.

Es sei nun Gegenstand der nachfolgenden Untersuchung, die Grösse und Richtung dieser Axen zu bestimmen. Hiezu sind einige Hilfssätze nothwendig, welche in Kürze hier angeführt werden sollen.

1. Jede Transversale gd (Fig. 224) schneidet die drei Seiten eines Dreiecks so, dass das Produkt dreier nicht zusammenstossender Abschnitte einander gleich ist, d. h. dass ag.bf.cd — bg.cf.ad.

Fig. 224.

Beweis. Wird ch parallel zu ab gezogen, so ist AadgooAcdh und A bfg oo A cfh,

daher

und

cd : ad = cli : ag

bf : f c — g b : ch.

’A

Diese beiden Proportionen multiplicirt und in eine Gleichung verwandelt, geben:

ag.bf.cd — ad.cf. b g

oder

ag.bf.cd _ ^

ad.cf.bg

2. Setzt man einen Kreis bfdg (Fig. 225) und zwei Sehnen gf und bei desselben in Perspektive, wovon die eine gf parallel zur Bildflächtrace AX ist, so wird auch ihre Perspektive g‘f‘~ zu AX parallel sein müssen.

Betrachten wir das Dreieck ac'c, so wird dasselbe von den

Fig. 225.

Transversalen Ob und 0 d geschnitten. Es muss sonach: ab' . O d . b c V d . O c . ab

°V;

und

ad‘ . O d . cd

c‘ d! . O c . ad

sein.

Ferner ist bekannt, dass: c‘ f _ 0 c‘ . c'g' _ O d

Oc

cg

Oc

fff

cf-cg

= 1.

gN

Werden diese Gleichun-

\C

4 a.

gen mit einander multiplicirt, so ergibt sich nach entsprechender Abkürzung :

d f . dg‘ . ab'. a d‘

b‘ d . d d‘ . a b . ad

oder es ist:

c‘f‘ . c 9    _ ab .ad

b‘ ć . c‘ d‘

Aus dieser Gleichung ist zu ersehen, dass die Sehne gf durch was immer für einen Punkt der Sehne bd gezogen werden kann, ohne dass sich das Verhältniss c‘ f ■ c' 9

b‘ c‘ . c' d‘

Gleichung constant ist.

Es gilt also der Satz:

Wenn man in der Ebene eines Kegelschnittes zwei beliebige Richtungen OX und OY (Fig. 226) als fix X annimmt, und zu diesen parallele Sehnen bc, b‘c‘, df\ d‘f‘ zieht, so ist , d. i. der Quotient aus den Produkten

ab‘ . ad''

immer

Fig. 226.

n'/

li

ad . af

ändert, da der zweite Theil der

c'

£'

ab . a c

der Abschnitte der Sehnen, eine für die angenommenen Richtungen constante Grösse.

3. Zieht man (Eig. 227) einen zu A X senkrechten Durchmesser bc des Kreises bcd und in den Endpunkten b und c

Fig. 227.

desselben die zwei zu A X parallelen Tangenten, so wie irgend eine beliebige Tangente df in d, und verbindet diesen Punkt d mit b

muss

sein.

und c, so ist das Dreieck bdg rechtwinklig, und da fb — fd ist, auch fb — fg

In der Perspektive ist offenbar b‘ c‘ der zur Richtung b‘ g‘ con-jugirte Durchmesser, wesshalb ebenfalls f‘ b‘ — f‘ g‘ sein muss. Hier wurde dieser Satz für einen Kreis entwickelt, er lässt sich jedoch auf gleiche Weise für jede Kegelschnittslinie durchführen.

4. Wie anfangs angeführt wurde, schneiden sich je zwei Tangenten an einen Kegelschnitt, welche den in den Endpunkten eines conjugirten Durchmessers seiner Perspektive gezogenen Tangenten entsprechen, in einer Geraden, welche sich als der Durchschnitt einer durch das Auge parallel zur Bildfläche gelegten Ebene mit der Ebene des Kegelschnittes ergibt.

Ist die Zeichnungsfläche die Ebene des Kegelschnittes, AX (Fig. 228) der letztgenannte Durchschnitt , ferner a und a‘ die Punkte, aus welchen an die Curve diejenigen Tangenten zu ziehen sind, welche im Bilde den in den Endpunkten zweier conjugirten Diameter gezogenen Tangenten entsprechen, so a lässt sich nachweisen, dass das Produkt der Abstände ad . a‘d für jedes eonjugirte Diameterpaar constant ist.

Beweis. Es sei mn der Durchmesser der zu AX parallelen Sehnen. Zieht man aus a‘ die beiden Tangenten a‘ b‘ und a‘ c', ferner durch b‘ und c‘ die zu AX parallelen Sehnen 6'/c, c‘h und verbindet n mit b\ so folgt aus den ähnlichen Dreiecken nib‘ und nmg, dass mg :b' i = mn : ni oder, da mg = 2 mf ist, dass 2 mf : b‘ i = mn : ni.

Setzen wir der Kürze halber die beiden conjugirten Halb-axen o W = a, om — b, die halben Sehnenlängen ~

~~ = x₂ und die Abstände a‘d — p1? ad — ^i so folgt aus obiger Proportion

Fig. 228.

iii

vT

s'/

B-

a'

b' Je

-C

•X

= xli

mf —

b. x\

Andererseits ergibt sich aus dem Trapeze da‘b‘i

mf — x\ _ mi

Pi

oder aus 1) den Werth für mf gesetzt b .x\

~xx

mi

X\ (b — n i) n i (pi — xf)    di

und hieraus Xi (b — ni) . di — mi . ni . (pi — xf)

Pl —

(2

Nach dem zweiten Hilfssatze ist jedoch mi. n i

ferner

mi . n i b‘ i . k i

b²

- — const. =    ₂

(3

di = od — b -j- mi..... (4 und

b — ni = mi — b.......

Mit Hilfe dieser Gleichungen übergeht 2) in

jj2

Xi (b — ni) (od — b -f- m i) = —₂ x\ ²(pi—a?i) oder (o d — 6) (m i — 5) -j- m i (A — n i) — xx (p₍ — xt ) oder (o d, — b)mi — b (od — 6) -(- mi(b — t) = xt pj —

iß

o d . m i — mi . ni — b (od — b) — Xj pj — -^y xx ². Aus 3) folgt jedoch mi . ni = -~x₁², daher o d . m i — b (od — b) = -^y . pj

Gehen wir in Bezug auf den Punkt c‘ in ähnlicher Weise vor, so erhalten wir die Gleichung

b(o d — b) — mli . od = xo pi Addiren wir 6) und 7), so folgt

o d (m i — vili) — o d . h i — p! (a'j -)- x^) daher

X\ -j-

C7

__cd . o d

6² . pj

Zieht man durch h die Gerade Ip parallel aus den ähnlichen Dreiecken Idli und iph

Id ip

h d    ih

hi

(8

zu

a b\ so folgt

oder

do — b ■ j- m h

X\ -j- a?a a² . od

- “PTpT

Dieser Bruch vom Nenner befreit, gibt

b~ pi p₂ — b² pj x% = a² . o d¹ — a² . b . o d -j- a² . o d . m h und mit Berücksichtigung der Gleichung 7) wird 62.p, . p₂ — a² .b .(od— b) -J- a² . m h . o d = a² . od“ — a² .b. o d -f-

-|- a² . od . m /i,

woraus sich nach gehöriger Reduktion

Pi P'2 — "p~ {od“ — b²).... (10

ergibt.

Setzt man den zweiten Theil dieses Ausdrucks, nämlich — b²) = z², so ist

%- V7d}—b²

— z².......

Betrachten wir den Ausdruck 11), so lässt sich derselbe leicht construiren, indem man vorerst die Grösse ]/od²— b² als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks und z als vierte geometrische Proportionale zu ~V o d² — b², a und b graphisch darstellt.

, Diese Länge z ergibt sich jedoch auch auf folgende Weise: Denkt man sich nämlich um den gegebenen Kegelschnitt einen anderen ähnlichen und ähnlich liegenden beschrieben, welcher die Gerade AX in d berührt, (dessen Halbaxen und bx, analog mit ersteren bezeichnet, sich so wie diese zu einander verhalten

ist) so wird dieser von der Tangente mf in s und s' getroffen und es muss auch hier nach 3)

a² j

= -Ts- oder bl

Z~T

(11 und

Pl • P2

(12

müssen, wesshalb -

m s . m s‘

m . m d‘

rn

(o d — o m) (od-\-o m) aus welcher Gleichung

vis —

const. = m s²

_ Vd² — b² ~ ¹⁾²

a¹

... 12) sein,

resultirt.

f Vod² — b² =z b

(13

Denkt man sich ausser der durch das Auge zur Bildfläche parallelen Ebene, welche mit der Ebene des Kegelschnittes die Gerade AX als Trace gab, noch die Bildfläche selbst vorhanden, so wird ihr Schnitt BC mit der Kegelschnittsebene, d. i. die Bildfläch trace dieser letzteren, eine za A X parallele Gerade sein, welche von den Geraden dn, ab' und a'r in D, A und A' getroffen Avird und die ähnlichen Dreiecke

sowie

ADr und adr,

A' D r und a' dr

bildet.

Aus diesen Dreiecken ergeben sich folgende Proportionen:

D r

AD

P2

dr

und

A‘ D

Pi

welche mit einander multiplicirt AI) . Ä D

Pl • P2

oder, wenn wir A D = u₂

geben.

ui ■ u2 =    ¹ •

A‘ D — uy setzen, r DA

(14

Diese Formel lässt sich folgends aussprechen: Wenn man im Fusspunkte D des den beiden zur Bildfläch trace parallelen Tangenten T und T‘ entsprechenden Durchmessers mn ein Perpendikel FD (Fig. 229) auf B C errichtet und darauf das

Fig. 229.

^2

Stück FD — h —

ms . Dr

(Fig. 228)

au ft ragt, so liegen die zwei zusammengehörigen Punkte A und A\ welche den con-jugirten Durchmessern der Kegelschnittsperspektive entsprechen, immer in den Durchschnittspunkten der Bildflächtrace BC mit einem Kreise Je, dessen Mittelpunkt in der Bildflächtrace liegt, und der durch den Endpunkt des Perpendikels geht.

Durch diesen Satz ist der Weg vorgezeichnet, den man zu verfolgen hat, um zwei beliebige conjugirte Durchmesser der Perspektive zu erhalten. Wie man sieht, handelt es sich hier

ms . rD

•¹)

blos um die Construktion der Länge

Sollen jedoch die senkrechten Axen des Bildes gefunden werden, so ist nur zu berücksichtigen, dass, da dieselben einen rechten Winkel einschliessen und gegen A und A‘ gerichtet sein müssen, der Scheitel des rechten Winkels, d. i. der Mittelpunkt

der Perspektive, gleichfalls in der Peripherie des in Fig. 229 ver-zeichneten Kreises liegen muss. Es wird somit nothwendig sein, vorerst den Mittelpunkt des Bildes zu bestimmen, was am einfachsten dadurch erreicht wird, dass man den Durchmesser, dem zwei zur Bildflächtrace parallele Tangenten entsprechen, verzeichnet und im fraglichen Mittelpunkte halbirt.

§• HO.

Bestimmung' der senkrechten Axen der Perspektive eines Kreises.

Behufs der Bestimmung der senkrechten Axen der Kreisperspektive werden blos die im vorigen Paragraphen durchgeführten, allgemein für Kegelschnittslinien gültigen Sätze speciell auf den Kreis anzuwenden sein.

Ist Eb (Fig. 230) die Bildflächtrace einer horizontalen Ebene, in welcher der um Eb in die Bildfläche umgelegte -Kreis 0 12 3 4

Fig. 230.

’³/\

"4L

j-

.1

M__

tu :/

-Y

liegt und A O die Augdistanz, so ist 0 das in die Bildebene umgelegte Auge, wonach sich auf bekannte Weise die Gerade a ß als ein Durchmesser der Kreisperspektive und der Halbirungs-punkt p' von aß als Mittelpunkt derselben ergibt. Wird 0 mit p‘ verbunden und bis zum Durchschnitte p mit dem auf Eb senkrechten Durchmesser mn des umgelegten Kreises geführt, so

entspricht p dem Mittelpunkte p‘ im Bilde. Wird ferner Del = A 0 gemacht und dd‘ parallel zu Eb gezogen, so ist dd‘ die in die Bildfläche umgelegte Schnittlinie der Kreisebene mit der durch das Auge zur Bildfläche parallel geführten Ebene, und wird aus dem Mittelpunkte o ein zweiter Kreis K mit den Halbmesser o d beschrieben und mit der durch m zu Eo parallel gezogenen Geraden m S in S zum Durchschnitte gebracht, so gibt diese Ordinate mß jene Länge, welche zur Bestimmung des Punktes F im Hilfskreise k erforderlich ist. Das Stück DF ergibt sich bekanntlich als vierte geometrische Proportionale der Längen pZ), pd und m ß und wird daher erhalten, indem man dd‘ — mß macht und d‘ mit p verbindet, welche letztgezogene Gerade auf Eb das Stück DD*— DF abschneidet. Man hat hienach- bios den Kreis k so zu ziehen, dass die Punkte F und p‘ in der Peripherie desselben und sein Mittelpunkt in Ei liegt und sodann die Punkte a und a‘ mit p¹ und p zu verbinden, um die Richtungen der senkrechten Axen der Perspektive, beziehungsweise die denselben entsprechenden Sehnen im umgelegten Kreise zu erhalten.

¹

Die Construktion der conjugirten Durchmesser in §. 108 gibt blos ein bestimmtes Paar derselben, nämlich jenes, wo der eine Durchmesser zur Bildflächtrace parallel ist, und wurde aus dem Grunde vorausgeschickt, weil sich eben dieses Paar conjugirter Axen ohne jede analytische Untersuchung sein-einfach bestimmen lässt. Würde man sich jedoch zur Auffindung dieses Paares obiger Methode bedienen wollen, so gibt dieselbe ein gleiches Con-struktionsverfahren; denn, weil der eine Punkt A (Fig. 229) unendlich weit fällt, übergeht der durch F gehende Kreis in eine auf B G senkrechte Gerade, wesshalb A‘ mit I) zusammenfällt, somit die Grösse FD nicht erst zu berechnen sein wird.

Die Längen der letzteren perspektivisch nach 111 und 1111V übertragen, werden die Längen der zu suchenden Axen bestimmen. Das Uebertragen kann dadurch geschehen, dass man die Endpunkte 1, 2, 3, 4 der Sehnen mit 0 verbindet, und diese Linien mit den Richtungen der Axen zum Durchschnitt bringt.

Die Ellipse.

§. 111.

Punktweise Auffindung- der Perspektive einer Ellipse und Bestimmung eines Paares conjugirter Durchmesser dieser Perspektive.

Die punktweise Bestimmung der Perspektive einer Ellipse lässt sich im Allgemeinen wieder in ähnlicher Weise wie beim Kreise durch Verzeichnung umschriebener Rechtecke und Parallelogramme durchführen. Die Perspektive der Ellipse wird, wie jene des Kreises, eine Kegelschnittslinie sein, doch ist auch hier zu berücksichtigen, dass die Lage und Ausdehnung der Ellipse grösstentheils eine solche ist, dass die Perspektive derselben wieder eine Ellipse und in speciellen Fällen ein Kreis wird.

Sollen zwei conjugirte Durchmesser des Bildes gefunden werden, so können die in den vorhergegangenen Paragraphen entwickelten Grundsätze, welche allgemein für jede Kegelschnittslinie aufgestellt wurden, auch hier angewendet werden. Wir wollen jedoch wieder vorerst ein Paar dieser Durchmesser aufsuchen, deren Construktion die in §. 109 durchgeführte analytische Entwicklung nicht voraussetzt.

Fig. 231.

frl

t~z$ "

a

03

;A

Fig. 232.

aIv

-1,4'

-À

L$2

Es sei abcclo (Fig. 231) eine Ellipse, welche die in der Zeichnung angegebene Lage gegen die Bildflächtrace B (J hat, und in einer horizontalen Ebene liegt. Ist Eb (Fig. 232) die Bildflächtrace dieser Ebene, so bestimme man vorerst die Perspektive a‘ b‘ des zur Richtung B C conjugirten Durchmessers ab. Denkt man sich in der Bild- ^ fläche über der Perspektive c‘ cV des zu B C parallelen Durchmessers cd eine ähnliche Ellipse verzeichnet, so wird diese zur Verzeichnung der Perspektive der gegebenen Ellipse in derselben Weise wie der Kreis K in Fig. 222 und Fig. 223 zur Construktion der Kreisperspektive benützt werden können. Hat man jedoch die gegebene Ellipse bereits seitwärts verzeichnet, wie in Fig. 231, so wird es nicht erst nothwendig sein, dieselbe nochmals im verjüngten Massstabe zu construiren, hćaL sondern man wird sogleich von der Fig. 231 Gebrauch machen. Es wird also cd nach c‘d‘ zu übertragen, c‘ und d‘ mit 3 (d. i. der Verschwindungspunkt des Durchmessers ab) zu-verbinden, sowie 12 und 34 durch a‘ und b‘ parallel zu Eb zu ziehen sein, um das Trapez 1234 zu erhalten, dessen Seiten Tangenten an die Perspektive der Ellipse in den Punkten a\ b\ c', d‘ sind.

Weil nun die Tangenten in a‘ und b‘ parallel sind, so ist a‘b‘ ein. Durchmesser der Perspektive, dessen conjugirter Durchmesser c\d\ parallel zur Bildflächtrace Eb durch den Halbirungs-punkt oh des Durchmessers a‘ b‘ gehen muss. Um die Tangenten in c\ und d\ zu bestimmen, ist das in §. 108 Gesagte zu berücksichtigen, daher wir blos die Axe ab (Fig. 231) so weit zu verlängern haben, bis sie die Gerade AX, welche parallel zu EC in einer der Augdistanz gleichen Entfernung von B C gezogen wurde, in A trifft, und von A aus jene beiden Tangenten Aq, Adl zu ziehen haben, welche den zu suchenden Tangenten entsprechen und die Bildflächtrace in a und ß schneiden. Werden a und ß nach a', ß' übertragen, so bestimmen sie jene Punkte, durch welche die Tangenten a‘c\, ß'd\ parallel zu a‘b‘ zu ziehen sind. Letztere schneiden o\ c\ d\ in. c\ und d\, d. i. in den Endpunkten des verlangten zweiten Diameters.

Die (Konstruktion wurde hier für eine horizontale Ebene EbEv durchgeführt. Wäre die Ebene der Ellipse schief gegen die Bildfläche, so würde dieses Verfahren in gleicher Weise, jedoch mit der Modification, welche in §. 108 beim Kreise angedeutet wurde, zu wiederholen sein.

Ist eine der beiden Hauptaxen der Ellipse in der Vertikalebene gelegen, so erhält man durch das vorangegangene Verfahren die senkrechten Axen der Perspektive.

§• 112.

Constriiktion der senkrechten Axen der Perspektive einer Ellipse.

Sollen die senkrechten Axen der Perspektive einer Ellipse bestimmt werden, so hat man dasselbe Verfahren, wie es in §. 110 für den Kreis durchgeführt wurde, in Anwendung zu bringen, wesshalb die Operationen im Nachfolgenden nur kurz angedeutet werden sollen.

Ist n24ml3 (Fig. 233) eine Ellipse, welche um die Bild-flächtrace Eb ihrer Ebene, die horizontal angenommen wurde, in die Bildebene gedreht erscheint, so wird man vorerst den Mittelpunkt p‘ der Perspektive suchen, was am einfachsten, wie im vorigen Falle, durch Auffindung und Halbirung des Durchmessers m‘ n‘ erreicht wird.

Wird p‘ mit O (umgelegtes Auge) verbunden und bis zum Durchschnitte p mit der Geraden mn verlängert, so ist p jener Punkt der Axe vin, welcher dem Mittelpunkte p‘ entspricht. Es

Vsd²-bX

O* Si

handelt sich nun um die (Konstruktion der Länge z =

In vorliegender Aufgabe ist S\ = a, Sm==b, daher diese Länge z erhalten wird, wenn man eine ähnliche Ellipse, welche X Y in d berührt, über demselben Mittelpunkt s und den gleichen

durch graphische Construktion des Ausdrucks

Axennchtungen construirt und jene Ordinate derselben sucht, welche durch m zu Eh parallel läuft, oder, was einfacher ist,

P-Vld⁵

Fig. 233.

selbst, indem VSd¹ — b² die Kathete kd eines rechtwinkligen Dreiecks Skd vorstellt, dessen Hypothenuse Sd und dessen andere Kathete b ist, daher z — d l = d o als die vierte

geometrische Proportionale zu der eben gefundenen Kathete und zu den Axen a und b erhalten wird.

Endlich könnte man in Anbetracht dessen, dass die gegebene Ellipse mn zu der über Sd zu verzeichnenden ähnlich sein soll, leicht einen Punkt finden, welcher in der Axe Sm der ersteren Ellipse eine ähnliche Lage hat, wie der Punkt m in der Axe

3,

Ev

-H

kA

. \s

'-'A

cf

ni ~nV

|D

in

Sd der letztem, wo sodann die demselben entsprechende Ordinate, im Verhältnisse der Axen Sd und Sm der beiden Ellipsen vergrössert, das zu suchende Längenstück 0 gibt.

«*V,

//

V |v

Mittelst der

Ist nach einer dieser Methoden die Länge z bestimmt, und wird diese von d nach 8 aufgetragen, so hat man blos 8 mit p zu verbinden, das Stück Dy nach Da aufzutragen und durch die Punkte a und einen Kreis so zu führen, dass sein Mittelpunkt in B C zu liegen kömmt. Dieser Kreis wird die Bildfläch-trace B C in a und ax schneiden, welche Punkte mit p‘ verbunden, die Dichtungen der zu suchenden Axen des Bildes, und mit p verbunden, die den senkrechten Axen des Bildes entsprechenden Sehnen i2, 34 der Ellipse geben, letzteren sind nun die Längen der zu suchenden Axen leicht

zu bestimmen, indem deren Eckpunkte sich als Durchschnittspunkte der Richtungen ap‘ und a^p' mit den Verbindungslinien 01, 02, 03, 04 ergeben.

§. 113.

Die Hyperbel.

Die Perspektive einer Hyperbel wird im Allgemeinen wieder eine Hyperbel sein, und nur in speciellen Lagen derselben kann als Perspektive ein Kreis, eine Parabel oder eine Ellipse erhalten werden.

Denkt man sich nämlich die Hyperbel in einer solchen Stellung, dass sie von der durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegten Ebene geschnitten wird, und denkt man sich überdies das Auge als Kegelspitze, die Hyperbel aber als Leitlinie einer Kegelfläche, so wird, mit Ausnahme derjenigen Lage, wo die Hyperbel in einer zur Bildfläche parallelen Ebene liegt, jene durch die Spitze zur Bildfläche parallel gelegte Ebene die Hyperbel in zwei Punkten schneiden, also zwei Erzeugende der Kegelfläche in sich enthalten, und folglich der Schnitt mit der Bildebene selbst eine Hyperbel sein.

Aus dem Gesagten ergibt sich auch die Construktion der Perspektive dieser Curve.

Bestimmen wir vor Allem den Mittelpunkt und die Asymptoten der Perspektive. Letztere werden erhalten, wenn man in den Punkten, wo die Hyperbel von der durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegten Ebene getroffen Avird, die Tangirungs-ebenen an die oben erwähnte Kegelfläche legt und ihren Durchschnitt mit der Bildfläche, also ihre Bildflächtracen, aufsucht. Letztere werden die verlangten Asymptoten und ihr Durchschnittspunkt den Mittelpunkt der Perspektive geben. Zu diesem Behufe denke man sich die Ebene der Hyperbel, welche wir horizontal annehmen wollen, um ihre Bildflächtrace Eb (Fig. 234) in die Bildfläche gelegt, woselbst X Y der umgelegte Schnitt mit der durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegten Ebene und 0 das umgelegte Auge sein wird. Verzeichnet man nun den Hyperbelast Mab so weit, bis er XY in a und b trifft, so sind die in diesen Punkten an die Hyperbel gezogenen Tangenten bV und at die umgelegten Tracen der oben erwähnten Berührungsebenen auf der Ebene Eb Ev der Leitlinie. Die Perspektiven dieser Tangenten at und bV sind die Asymptoten selbst, weil die Berührungsebenen durch das Auge gehen, sonach die Bild-flächtrace, die Versehwindungslinie und die Perspektiven aller in einer solchen Ebene gelegenen Linien in eine Gerade fallen.

Diese Perspektiven sind leicht zu bestimmen; denn, zieht man aus O die Parallelen Ovl und Ov₂ zu den beiden Tangenten at und b.t\ so schneiden sie die Horizontslinie in den Punkten vx und t>₂, welche mit den Durchstosspunkten t und V verbunden, die gewünschten Bilder geben und zugleich deren Verschwin-dungspunkte sind. Die so gefundenen Asymptoten schneiden

Fig. 234.

B-

V-

Ev

Vs>

c\,

;~--k

v,

E,.

t.->

±Y

sich in dem Mittelpunkte c der Perspektive, welchem in der Ebene der Hyperbel der Punkt C entspricht. Werden endlich die Asymptotenwinkel vxcv₂ und v₁ct\ halbirt, so geben die Halbirungslinien cv und IIIIV die Richtungen der beiden senkrechten Axen, von welchen diejenige die reelle ist, deren zugehörige Gerade im Raume eine Sehne der gegebenen Hyperbel wird.

Verbindet man nämlich 0 mit den Verschwindungspunkten v und v‘ der gefundenen Axen, so ist Ov der umgelegte Parallelstrahl der Axe cv, daher wird die durch den Durchstosspunkt n

mit der Bildflächtrace zu Ov gezogene Parallele    welche

durch C gehen muss, die um E/, in die Bildfläche gedrehte Gerade im Raume geben und die Hyperbel in den beiden Punkten 1 und 2, die den Endpunkten I und II der reellen Axe der Perspektive entsprechen, treffen. Werden diese beiden Endpunkte 1 und 2 nach I und II übertragen, so hat man zur Construktion des Bildes die reelle Axe III und die beiden Asymptoten v t und r₂ t‘ bestimmt, mithin das Nöthige gefunden.

Bemerkung 1. Wird die Hyperbel aus den so ermittelten Bestimmungsstücken verzeichnet, so ergeben sich zwei unendliche Aeste, von welchen der eine die Yerschwindungslinie Ev durchschneidet.

Bestimmt man jedoch die Hyperbel durch punktweises Ueber-tragen, so ist klar, dass man als äusserste Gränze jene Punkte erhält, welche in der Yerschwindungslinie der Ebene liegen. In diesen Punkten werden die Perspektiven der Asymptoten der gegebenen Hyperbel Tangenten an die Perspektive der letzteren sein müssen, weil diese in der Yerschwindungslinie liegenden Punkte den unendlich weit entfernten Punkten der gegebenen Hyperbel entsprechen, und die Asymptoten bekanntlich nichts anderes als Tangenten an unendlich weit entfernte Punkte der Hyperbel sind.

Da sich nun bei Verzeichnung des Bildes aus den aufgesuchten Bestimmungsstücken die Aeste desselben über die Ver-schwindungslinie hinaus erstrecken, so entsteht die Frage: was jene Theile der Perspektive, welche über die Verschwindungslinie hinaus reichen, vorstellen. Die Beantwortung dieser Frage ist dieselbe wie bei einer über den Verschwindungspunkt verlängerten Perspektive einer Geraden; es ist nämlich das über die Verschwindungslinie hinausreichende Stück der Perspektive nichts anderes als die Centralprojektion jenes Curventheiles, welcher hinter der durch das Auge parallel zur Bildfläche gehenden Ebene sich befindet. Es ergibt sich also, dass die ganze als Perspektive erhaltene Hyperbel nichts anders, als die centrale Projektion der ganzen gegebenen Hyperbel ist.

Bemerkung 2. Die Lösung der eben behandelten Aufgabe für den Fall, als die gegebene Hyperbel in einer gegen die Bildfläche geneigten Ebene liegt, wird auf gleiche Weise durchgeführt, nur hat man die Länge A O so wie die Entfernung der beiden Geraden Eb und A" Y nicht der Augdistanz, sondern der Neben-augdistanz gleich zu machen. Die Construktion ändert sich auch dann nicht, wenn die Hyperbel eine verkehrte Lage gegen die Bildfläch trace hat, also jeder der beiden Aeste von der Geraden X Y in einem Punkte geschnitten wird.

Bemerkung 3. Behufs der Bestimmung der Tangenten at und b V in den Durchschnittspunkten a und b der Hyperbel mit der Geraden X Y können entweder die Winkel, welche die Verbindungslinien dieser Punkte mit den Brennpunkten bilden, halbirt, oder es kann die Entfernung des Durchschnittspunktes C dieser beiden Tangenten vom Mittelpunkte der gegebenen Hyperbel berechnet werden.

Legen wir nämlich ein Coordinatensystem durch den Mittelpunkt derart, dass die VAxe parallel zur Bildflächtrace Eb wird, und die XAxe mit dem zu dieser Richtung conjugirten Durchmesser der Hyperbel zusammenfällt, und sind x‘ und y‘ die Coordinaten des Punktes a oder b in Bezug auf dieses Axen-system, so ist die Gleichung der Tangente

xx'    yy‘

-a2    -p-

folglich für den zu suchenden Punkt C\ da y = 0 wird,

— 1 und hieraus

Jir

a²

x' ’

welcher Ausdruck leicht construirt werden kann.

Selbstverständlich stellt a die Länge der conjugirten reellen Axe der Hypei’bel vor, welche mit der XAxe zusammenfällt.

§• 114.

Die Parabel.

a) Die Perspektive einer Parabel wird im Allgemeinen nicht wieder eine Parabel sein, sondern in den meisten Fällen eine Ellipse oder Hyperbel werden, welch’ erstere jedoch in einem speciellen Falle auch in den Kreis übergehen kann.

Um im Vorhinein bestimmen zu können, welche Curve in einem gegebenen Falle als Bild erhalten wird, hat man die Parabel um die Bildflächtrace ihrer Ebene in die Bildfläche umzulegen und nachzusehen, ob die Curve von der umgelegten Schnittlinie X Y (der Parabelebene mit der durch das Auge zur Bildfläche parallel gelegten Ebene) getroffen, berührt oder nicht getroffen wird. — Im ersten Falle wird die Perspektive der Parabel eine

X =

Hyperbel, im zweiten, so wie auch in dem Falle, wo ihre Ebene parallel zur Bildfläche ist, eine Parabel, im dritten halle endlich eine Ellipse sein.

Wäre also abc (Fig. 235) jene um die Bildflächtrace Eb ihrer Ebene Eb Ev umgelegte Parabel und X Y die oberwähnte Schnittlinie, so wird dem Gesagten zu Folge die Perspektive der

Parabel eine Ellipse sein müssen, deren conjugirte und senkrechte Axen bestimmt werden sollen.

Zur Bestim-mungeinesPaares _ dieser conjugir-ten Axen wollen wir wieder von dem im §. 108 entwickelten Satze ausgehen.

Legen wir sonach an die Parabel parallel zur a Bildflächtrace die Tangente T, so wird diese die Curve in a berühren, während die zur Axe der Parabel parallel gezogene Gerade dap den dieser Y Richtung entsprechen den Durch-

h-

Fig. 235.

J-

là

n::z4'-U

Im

v iÆ>r

Ir

\\l

\S/

■ill

messer gibt.

Der Parallelstrahl Ovl trifft die Verschwindungslinie Ev im Verschwindungspunkte der Perspektive dieses Durchmessers, daher vl mit dem Durchstosspunkte D desselben mit der Bildebene verbunden, die Perspektive von ap liefert. Ist ferner a die Perspektive des Punktes a, so wird a«j ein conjugirter

Durchmesser der Ellipse sein und in p' halbirt den Mittelpunkt derselben geben. Der Punkt p' auf die Gerade ap übertragen, gelangt nach p; es kann somit die zweite Axe gefunden werden, wenn man bc durch p parallel zu Eb zieht und die Endpunkte b und c dieser Sehne auf die durch p‘ parallel zu Eb gezogene Axenrichtung perspektivisch nach ß und y überträgt.

Zu gleichem Resultate gelangt man auch durch folgenden Schluss: Da die in ß und y an die Ellipse gezogenen Tangenten mit avx parallel sind, so müssen die denselben entsprechenden Geraden Tangenten an die Parabel sein und sich mit pD in einem Punkte d der Trace X Y schneiden.

Der bekannten Eigenschaft der Parabel, dass ihre Subtangente gleich der doppelten Abscisse ist, zufolge hat man das Stück ad von a nach p aufzutragen, um jenen Punkt zu erhalten, welchem der Mittelpunkt der Perspektive der Parabel entspricht, somit blos die Sehne bc zu ziehen und ap und bc perspektivisch zu bestimmen. Die auf Eb abgeschnittene Länge rs ist alsdann die Länge des zu suchenden zweiten Diameters ßy.

Sollen jedoch die senkrechten Axen des Bildes bestimmt werden, so hat man auch hier die in §. 109 abgeleiteten Formeln und Sätze anzuwenden und für vorliegenden Fall einzurichten.

Ht»

Für die Parabel wird a = oo, b = oo, jedoch der Quotient - - = p (Parameter)-, dieses in §.109, Gleichung 13) substituirt

gibt:

Für senkrechte Axen muss jedoch auch p' in der Peripherie des Hilfskreises k liegen, wesshalb der Mittelpunkt desselben in der Bildflächtrace Eh so zu bestimmen ist, dass die Peripherie durch h und p' geht.

Verbindet man a und a‘ mit p' und p, so geben diese Geraden die Richtungen der senkrechten Axen der Perspektive, so wie die denselben entsprechenden Sehnen der gegebenen Parabel.

Um die Länge der Axen zu erhalten, wird man nur die Endpunkte 1 und 3 der Sehnen (die andern Endpunkte 2 und 4 der Sehnen fallen ausser die Zeichnungsfläche) entsprechend in die Perspektive zu übertragen haben.

Die anderen Halbaxen sind von p' aus nach entgegengesetzter Richtung zu übertragen.

b) Hat die Parabel gegen die Bildflächtrace eine entgegengesetzte Lage von derjenigen, welche unter a) angenommen wurde,

Fig. 236.

111

Ev

so wird die um Et (Fig. 236) in die Bildebene umgelegte Schnittlinie X Y die in die Bildfläche gedrehte Parabel in a und b schneiden, wesshalb die Perspektive derselben eine Hyperbel sein wird.

V' Ei.

tL

fr

Zur Verzeichnung der Bestimmungsstücke der letzteren wird man von den Asymptoten ausgehen, welche sich als die Bildfläch-tracen der in den Punkten a und b an den parabolischen -V Kegel (dessen Leitlinie die gegebene Parabel und dessen Spitze das Auge ist) geführten Tangirungs-ebenen ergeben. Zieht man sonach in a und b die beiden Tan-

genten at and bt‘ an die Parabel a ml, so sind dies die umge-Iegten Durchschnitte (Tracen) dieser Tangirungsebenen mit der Ebene der Parabel, und es werden die durch 0 (umgelegtes Auge) zu at und bt‘ gezogenen Parallelen Ov und Ov₁ die Ver-schwindungslinie Ev in den Verschwindungspunkten der diesen Tangenten entsprechenden Perspektiven, d. i. in v und vY treffen, welche Verschwindungspunkte mit t und V verbunden diese Perspektiven selbst, daher auch die gesuchten Asymptoten geben. Die beiden Asymptoten schneiden sich in p', d. i. im Mittelpunkte der Hyperbel, deren Axenrichtungen durch Halbirung des Winkels, welchen die Asymptoten einschliessen, erhalten werden. Hienach ergibt sich in t₂ v₂ die reelle und in der darauf Senkrechten III IV die imaginäre Axenrichtung. Um schliesslich auf t₂v₂ die Länge der reellen Axe zu erhalten, kann man sich diese Gerade in die Bildfläche gedreht denken, zu welchem Zwecke durch t₂ eine zu Ov₂ parallele Gerade mt₂ zu ziehen ist. Diese Gerade mt₂ schneidet die Parabel in m, welcher Punkt, in die Perspektive übertragen, nach I zu liegen kömmt und demnach p' I die reelle Halbaxe der Hyperbel gibt.

Bemerkung 1. Da die im Punkte I an die Hyperbel geführte Tangente senkrecht auf v₂1₂ ist, und der in m an die Parabel gezogenen Tangente entspricht, so müssen sich diese beiden Tangenten verlängert in einem Punkte der Bildflächtrace Eb schneiden.

Bemerkung 2. Die Bedeutung des zweiten Astes der Plyperbel ist dieselbe wie in §. 113, Bem. 1, für den über der Verschwindungslinie liegenden Theil des Bildes. Hieraus folgt auch, dass im vorliegenden Falle der in Ptede stehende Zweig der Hyperbel die Verschwindungslinie Ev berühren muss.

§. 115.

Die Schraubenlinie.

Zum Schlüsse sei noch eine Raumcurve perspektivisch dargestellt, welche einerseits zu den einfachsten gehört, andererseits aber fast die einzige ist, welche in der Praxis der Perspektive eine Anwendung findet. Es ist dies die Schraubenlinie, deren Construktion bei der Darstellung von Schrauben, Stiegen etc. als Grundlage dient.

So wie in der orthogonalen Projektion wollen wir auch hier bei Verzeichnung dieser Linie von der wichtigsten Eigenschaft

„derselben, dass sie nämlich in jedem Punkte eine gleiche Neigung gegen eine bestimmte Ebene hat, ausgehen. Daraus folgt, dass gleichen Längenstücken der Projektion dieser Curve auf die gegebene Ebene auch eine gleich grosse Höhenzunahme in Bezug auf eine darauf senkrechte Eichtung entspricht.

Wir wollen hier nur den einfachsten, jedoch am häufigsten vorkommenden Fall betrachten, wo die Schraubenlinie in der Oberfläche eines senkrechten Cylinders mit kreisförmiger Leitlinie liegt, und letzteren so stellen, dass seine Axe parallel zur Bildfläche und vertikal, d. i. senkrecht auf die Grundebene zu liegen kommt.

Ist sonach Eb (Fig. 237) die Bildflächtrace der Grundebene, so wird in dieser vorerst ein Kreis zu verzeichnen und dessen

05

I*

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T-

K-

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Peripherie in eine beliebig grosse Anzahl gleicher Theile zu theilen sein. Die in den Theilpunkten errichteten Vertikalen werden sodann die einzelnen Lagen der Erzeugenden einer Cylin-derfläche vorstellen, welche sämmtlich von der zu verzeichnenden Curve so geschnitten werden, dass der Höhenunterschied je zweier Durchschnittspunkte dem zwischen den betreffenden Erzeugenden

in der Basisebene liegenden Kreisbogen proportional ist, folgt, dass diese vertikalen Geraden nur in den zu bestimmenden Punkten der Curve dem Obigen gemäss zu theilen sind. Ist die Perspektive eines Kreises derart verzeichnet, dass man unmittelbar die Bilder jener Punkte sucht, in welchen der Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Theile (am besten eine durch 8 theilbare Zahl), hier in 8, getheilt wurde, so wird die Theilung der in diesen Punkten errichteten Vertikalen vorzunehmen sein, zu welchem Zwecke noch die Ganghöhe, d. i. der Höhenunterschied zweier Punkte der Schraubenlinie, welchen eine ganze Kreisperipherie entspricht, angenommen werden muss.

woraus

Zieht man nun in der Bildfläche irgend eine auf die Bild-flächtrace Et senkrechte Gerade dm, trägt auf dieselbe die Ganghöhe d8 auf und theilt diese in ebenso viele gleiche Theile als den Kreis, so kann diese Gerade als Bildflächtrace einer vertikalen Ebene betrachtet werden, deren Verschwindungslinie die Vertikallinie ist.

Es ist sodann A der Theilungspunkt aller in dieser Ebene befindlichen vertikalen Geraden. Denkt man sich nun die einzelnen Erzeugenden der Cylinderfläche auf diese Vertikalebene projecirt, so werden die Perspektiven der Füsspunkte 1 bis 8 dieser Erzeugenden in die Gerade A d derart fallen, dass je zweien dieser Punkte dieselbe Projektion zukömmt, wesshalb die Projektionen von je zweien, gleich weit hinter der Bildfläche liegenden Erzeugenden, in eine vertikale Gerade fallen. Verbindet man nun die einzelnen Theilpunkte der Geraden dm mit A, so werden durch dieselben die Projektionen der Erzeugenden der Beihe 'nach in 2', 3‘_____ geschnitten.

Zur Auffindung der den einzelnen Erzeugenden zugehörigen Punkte der Schraubenlinie bleibt nur zu berücksichtigen, dass der Schnittpunkt jeder Erzeugenden in einer Höhe zu suchen sein wird, welche dem Abstande des Fusspunktes derselben vom Ausgangspunkte 1 proportional ist. Werden nun die so gefundenen Punkte aus der Projektion in die betreffenden Erzeugenden zurückgeführt, was selbstverständlich durch horizontale Gerade geschieht, so erhält man einzelne Punkte der Schraubenlinie für ein Gewinde. Sind jedoch mehrere Gewinde zu verzeichnen, so kann entweder auf dm die Theilung weiter fortgesetzt und in gleicher Weise wie bei der ersten Windung vorgegangen werden, oder es kann, da der bewegliche Punkt bei jedem Umgang des

Cylinders eine gleiche Höhe durchläuft und die Erzeugenden parallel zur Bildfläche sind, die Bestimmung weiterer Punkte so vorgenommen werden, dass man von jedem in der ersten Windung bestimmten Punkte auf der zugehörigen Erzeugenden die Schraubengangshöhe (in der Länge wie sie sich in der Perspektive an der betreffenden Stelle ergibt und in der Projektion abgenommen werden kann), so oft mal aufträgt, als man Gewinde verlangt. Bei der Verbindung der einzelnen Punkte ist zu beachten, dass sie in der Reihe vorzunehmen sei, wie die Erzeugenden der Cylinderfläche, in welchen die Punkte liegen, auf einander folgen.

Eine andere interessante Construktionsweise bietet die

Schraubenlinie in der Lage, wenn ihre Axe senkrecht auf der Bildfläche steht. Geht die Axe überdies noch durch den Aug-punkt, so ist die Perspektive der Schraubenlinie eine hyperbolische Spirale.

Die Construktion der Tangente an irgend einen Punkt der Curve geschieht einfach dadurch, dass man in dem Fusspunkte der dem gegebenen Punkte zugehörigen Erzeugenden an den Kreis eine Tangente zieht, auf dieser eine Länge ab'schneidet, welche der abgewickelten Kreislinie, vom Anfangspunkte der Schraubenlinie bis zu dem Fusspunkte der Erzeugenden (mit Berücksichtigung des ein- oder mehrmaligen Umganges) gemessen, gleich ist, und den so gefundenen Punkt mit dem gegebenen verbindet.

Bemerkung. Zum Schlüsse dieses Abschnittes sei noch erwähnt, dass für solche Fälle, wo die Kreis- oder Ellipsenperspektive eine Hyperbel oder Parabel wird, die erforderlichen Bestimmungsstücke in gleicher Weise, wie dies bei der Hyperbel und Parabel gezeigt wurde, gefunden werden.

VIERTER ABSCHNITT.

Krumme Flächen.

Kapitel XII.

Perspektivische Darstellung krummer Flächen und Tangirungsebenen an dieselben.

§• 116.

Allgemeine Bemerkungen.

Insofern eine Fläche

nichts anders als der geometrische Ort aller Lagen einer nach einem bestimmten Gesetze bewegten Linie, der Erzeugenden ist, wird man im Allgemeinen auch von der Gestalt der Fläche eine richtige Vorstellung erhalten, wenn man die Perspektiven der Erzeugenden in verschiedenen Lagen darstellt. Diese Darstellungsweise einer Fläche ist in vielen Fällen auch die einzig mögliche, wie es aus den weiteren Betrachtungen klar

werden wird.

Die meisten Flächen haben eine nach einer oder nach mehreren Seiten hin begränzte Ausdehnung. Bei der perspektivischen Darstellung einer solchen Fläche wird es zweckmässig sein, die Gränzcurve, d. i. jene Curve, ausserhalb welcher sich kein Punkt der Fläche mehr vorfindet, und welche man den sichtbaren oder perspektivischen Umriss oder die Contour der Fläche nennt, perspektivisch zu bestimmen.

Wie aus der orthogonalen Projektionsmethode bekannt und wie gleich anfangs gezeigt wurde, ist der Umriss nichts anderes als die Beriihrungscurve des aus dem Auge an die Fläche gelegten tangirenden Kegels, und daher die Contour die Schnittlinie dieses Kegels mit der Bildebene.

In einzelnen Fällen wird die Fläche durch die Perspektive ihres sichtbaren Umrisses vollkommen bestimmt erscheinen, wie dies z. B. bei der Kugelfläche der Fall ist, und es wird als

Lösung der Aufgabe: „eine gegebene Fläche perspektivisch darzustellen“ oft genügen, blos den sichtbaren Umriss derselben anzugeben.

Aus dem Gesagten folgt zwar schon die Construktion des Umrisses im Bilde, doch kann dieser auch erhalten werden, wenn man mehrere auf einander folgende Lagen der Erzeugenden in angemessener Entfernung perspektivisch verzeichnet und untersucht, ob für dieselben eine einhüllende Curve zu ziehen möglich sei; ergibt sich eine solche, so ist diese die Contour der Fläche.

§• 117.

Darstellung“ der Kegel» und Cylinderflächen.

Ist das Bild eines gegebenen Kegels darzustellen, so kann dies, je nach der Erzeugungsweise desselben, auf verschiedene Weise geschehen. Die einfachste Darstellungsweise des Kegels ist jene, wo eine durch die Spitze gehende Gerade als Erzeugende, und eine in seiner Oberfläche gelegene Curve als Leitlinie angenommen wird.

Auch das perspektivische Bild dieser Fläche wird in gleicher Weise am einfachsten erhalten. Ist nämlich abc....z (Fig. 238)

Fig. 238.

v S iJs—-

-n

in,

die Perspektive der Leitlinie und der durch die Gerade ld bestimmte Punkt S die Spitze der Kegelfläche, so sind Sa, Sb.... Sz die Perspektiven einzelner Lagen der Erzeugenden, während die aus S an die Leitlinie gezogene Tangente Sm den sichtbaren Umriss der Fläche gibt; denn denkt — H man sich an den Körper im Raume vom Auge aus die tangirende Kegelfläche gelegt, so übergeht diese im vorliegenden Falle in eine oder meh-\ rere Berührungsebenen, welche sich ^ sämmtlich in einer das Auge und die Spitze des Kegels verbindenden Geraden schneiden, wesshalb die Schnitte dieser Ebenen mit der Bildfläche, d. s. eine oder mehrere in der Perspektive der Spitze sich vereinigende Geraden, den sichtbaren Umriss der Fläche bilden müssen. Weil ferner diese tangirenden Ebenen alle auf der Oberfläche des Kegels gezogenen Curven

berühren, so folgt, dass die obgenannten Tracen dieser Ebenen auch das Bild jeder in der Oberfläche liegenden Curve, mithin die Perspektive der Leitlinie selbst berühren müssen.

2 als Leitlinie einer

Betrachtet man die Curve ab c Cylinderfläche, deren parallele Erzeugenden ihren Verschwindungs-punkt in S haben, so kann Fig. 238 auch das Bild einer Cylinder-fläche vorstellen. Hieraus erhellt, dass insbesondere bei der perspektivischen Projektion die Betrachtung und Darstellung einer Cylinderfläche als Kegelfläche mit unendlich weit entfernter Spitze den grossen Vortheil bietet, dass alle Construktionen bei den genannten Flächen auf ganz gleiche Weise durchgeführt werden können. Auf dasselbe Verhalten wurde auch schon bei Pyramiden und Prismen hingewiesen.

Bemerkung. Lassen sich gerade Linien als Erzeugende einer krummen Fläche auffinden, so sind dieselben am zweck-massigsten für die perspektivische Darstellung der Fläche zu benützen. Eine andere Gattung dieser Flächen, welche man die regelrechten nennt, bilden die windschiefen Flächen, deren jedoch erst am Schlüsse dieses Abschnittes Erwähnung geschehen soll.

§• 118.

Umdreliungsfläclien.

Diese Flächen werden durch Ebenen, welche senkrecht auf der Drehungsaxe sind, in Kreisen und mittelst Ebenen, welche durch die Axe geführt werden, in congruenten Meridianen geschnitten. Die Darstellung dieser Flächen kann sonach durch Verzeichnung einer hinreichenden Anzahl von Parallelkreisen, welche man, je nach der Grösse der Krümmung der Meridian-curve, in grösseren oder kleineren Abständen von einander wählt, oder durch Bestimmung der Perspektiven einzelner Meridiane, welche insbesondere in der Nähe des sichtbaren Umrisses dieser Fläche näher aneinander gelegen anzunehmen sind, vorgenommen werden. Wird nun an die eine oder die andere ßeihe von Perspektiven die Umhüllungscurve gezogen, so bestimmt diese den sichtbaren Umriss der Fläche.

In den meisten Fällen hat die Drehungsaxe eine vertikale oder wenigstens eine zur Bildfläche parallele Lage, daher die Parallelkreise in horizontalen, resp. in zur Bildfläche senkrechten Ebenen liegen. Wählt man in diesen Fällen Parallelkreise zur

Darstellung der Fläche, so ist es am zweckmässigsten, vorerst die Perspektive des zur Bildfläche parallelen Meridians, welchen wir den Hauptmeridian nennen wollen, zu bestimmen. Die auf die Perspektive der Drehungsaxe senkrechten Sehnen der Hauptmeridianperspektive werden sodann als Perspektiven der zur Bildfläche parallelen Durchmesser der betreffenden Parallelkreise bei Verzeichnung ihrer Bilder zu benützen sein.

Ist also a mp r sw x (Fig. 239) die Perspektive des Hauptmeridians, so geben die über al, m2, p3.... als Radien verzeichne-ten Kreisperspektiven, welche von der Curve a‘ b‘ d‘ f‘

werden, das perspektivische Bild der Umdrehungsfläche.

Diese Art der Con-struktion des Bildes ist häufig zu mühsam, als dass man sich derselben durchgehends bedienen würde; wir werden daher in später folgenden Paragraphen andere Methoden kennen lernen, bei deren Anwendung jedoch die Kenntniss der Construktion von Berührungsebenen an Kegel- und Cylinderflächen vorausgesetzt wird.

Was hier über Umdrehungsflächen gesagt wurde, gilt auch in ähnlicher Weise für die fünf Flächen der zweiten Ordnung.

Fig. 239.

m'

tt

TCf

ni

in

TW

d'

6..............

's⁷⁻

berührt

■-V

Tangirungsebenen an Kegel- und Cylinderflächen.

Dasselbe Construktionsverfahren, welches in der orthogonalen Projektionsmethode bei der Lösung der hierher gehörigen Aufgaben Anwendung findet, wird auch hier zum Ziele führen.

§• 119.

A u f g a b e.

Es ist durch einen in der Kegelfläche gelegenen Punkt eine tangirende Ebene an diese Fläche zu legen.

Lösung. Ist Eb Ev (Fig. 240) die Basisebene, S die Kegelspitze, welche durch die Gerade la bestimmt ist, und M die Perspektive eines in der Kegeloberfläche gelegenen Punktes, so entsprechen, bei der angenommenen Leitlinie, dieser Perspektive M zwei Punkte im Raume, welche in einer und derselben durch das Auge gehenden Geraden (Sehstrahl) liegen. Die diesen Punkten zugehörigen Erzeugenden Sa und Sb schneiden die Basis in den Punkten a und b.

Zieht man in diesen Punkten an die Leitlinie die Tangenten dxa vl und d₂bv₂, so hat man blos durch diese und die betreffenden Erzeugenden die Ebenen Tb Tv und T'b T‘v zu legen, um die verlangten Tangirungsebenen zu erhalten.

Fig. 240.

a!

<rv av\ /

/ y »z \

(    /1)1 / Tb/

a;

\ \ / / \ ;//

y

Tr

Sucht man die Schnittlinie der beiden Tangirungsebenen, so muss dieselbe durch den Scheitel S des Kegels gehen.

Bemerkung. Es ist zweckmässig, da die Tangenten mit möglichster Genauigkeit an die Leitlinie zu ziehen sind, dieselben unmittelbar mit der Curve ins Bild zu übertragen, weil die Tangenten an die Curve selbst leichter genau gezogen werden können, als es im Bilde der Fall ist. Insbesondere lässt sich dies einfach bei dem Kreise, der Ellipse und überhaupt bei jeder nach einem geometrischen Gesetze geformten Curve durchführen.

§. 120.

Aufgabe.

Es ist an eine Oylinderfläche, durch einen Punkt derselben, eine tangirende Ebene zu legen.

Lösung. Liegt die Leitlinie EhE

Fig. 241.

man (Fig. 241) in der Ebene ist v der Verschwindungspunkt der parallelen Erzeugenden und M der gegebene Punkt der Oberfläche, so ist

I \\

v,;    \\ G

M\

tJ

El, \d

vMa die demselben zugehörige, im sichtbaren Tlieil der Fläche gelegene ^ Erzeugende, welche die Leitlinie in a '    trifft. Zieht man durch a an die Leit

linie die Tangente davy und legt durch diese und die Erzeugende va eine Ebene Tb Tv, so ist letztere die gesuchte Tan-girungsebene.

§. 121.

Aufgabe.

Es ist durch einen ausserhalb der Kegellläche gelegenen Punkt an dieselbe eine tangirende Ebene zu führen.

Lösung. Die Basis a f b liege in einer Horizontalebene Eb Ev (Fig. 242), $ sei die durch ihre Bildflächprojektion S"

bestimmte Spitze des Kegels und M der gegebene, ebenfalls durch M“ bestimmte Punkt. Verbindet man die Spitze S mit M durch die Gerade M S und sucht deren Durchschnitt A mit der Basisebene (zu welchem Behufe durch M S eine bildflächprojecirende Ebene gelegt wurde, deren Bild-fläcktrace M“ S“ die Trace Eb in 8 trifft, wesshalb 8 A die Schnittlinie mit der Basisebene und A der Durchschnittspunkt ist), so wird die durch A an die Leitlinie geführte Tangente vy A dY dieselbe in /, daher die durch M gelegte Berührungsebene die Kegelfläche in der Erzeugenden fS berühren.

Wäre auch die Bildfläch trace Th und die Verschwindungs-linie Tv der Berührungsebene zu suchen, so sind diese vermittelst der in der Berührungsebene gelegenen Geraden Sf, SA und Vy dy zu bestimmen.

Fig. 242.

—Jf

Ey

m/-

M /<

;-/a

'S

a,

Et,

Da jedoch vl nicht innerhalb der Zeichnungsfläche fällt, so wurde zur Ermittlung eines Punktes y der Yerschwindungslinie Tv nachfolgende Hilfsconstruktion angewendet: man hat nämlich / mit irgend einem Punkte a der Yerschwindungslinie Ev

ver-

parallel zu A dx gezogen, wodurch

f •    f

bunden, f a in ~ halbirt und ~

~ erhalten wurde. Wird nun durch diesen Punkt die Gerade

parallel zu Tb gezogen, so kann irgend ein Punkt y von Tv

erhalten werden, wenn man eine beliebige Gerade a (3 y durch a zieht und a y = 2 ß a von a nach y aufträgt.

Bemerkung 1. Ist die in die Bildfläche umgelegte Leitlinie gegeben, so wäre es auch hier am zweckmässigsten, den Punkt A gleichfalls umzulegen und die Tangenten durch den umgelegten Punkt an die erstere zu ziehen, weil sich auf diese Weise der Berührungspunkt f genauer angeben lässt. Dieselbe Bemerkung gilt auch für Cylinderflächen, so wie auch für beide Flächenarten in dem Falle, wo die berührenden Ebenen parallel zu einer gegebenen Richtung zu führen sind.

Bemerkung 2. Ist M ein leuchtender Punkt, so werden die Erzeugenden, in wmlchen die Berührung der durch M an die Kegel- oder Cylinderfläche gelegten Berührungsebenen stattfindet, die Gränzen zwischen Licht und Schatten an der betreffenden Fläche geben, so wie die Schnitte dieser Berührungsebenen mit irgend einer dem Punkte M entgegengesetzt liegenden Ebene, oder einem dortselbst befindlichen Körper, den Schlagschatten der Fläche auf der betreffenden Ebene oder auf dem Körper bestimmen.

§. 122.

Anfg'abe.

Es ist eine zur Bildfläche parallele Gerade als Axe eines Rotationscylinders von bekanntem Durchmesser gegeben; man soll den perspektivischen Umriss dieser Fläche verzeichnen..

Lösung. Man nehme die Axe l (Fig. 243) als in der Bildfläche liegend an und beschreibe über der Perspektive a b des zur Bildfläche parallelen Cylinderdurchmessers den Kreis k.

Wie aus dem Begriffe des perspektivischen Umrisses hervorgeht, hat man an den Cylinder durch das Auge die-beiden Berührungsebenen zu legen und deren Tracen auf der Bildfläche zu

bestimmen. Zu diesem Behufe führe man durch das Auge eine zu den Erzeugenden parallele Gerade, also die Bildflächprojektion A f derselben durch A parallel zu l bis zum Durchschnitte mit

Fig. 243.

der Ebene des Kreises k und lege letztere um a b in die Bildfläche. Der besagte Durchschnittspunkt gelangt hiebei in die Verlängerung der Geraden A /, in eine der Augdistanz gleiche Entfernung von /; seine halbe Entfernung von dem Kreismittelpunkte o wird mithin erhalten, wenn man of in c halbirt, cm senkrecht auf a b errichtet und der W halben Augdistanz gleich macht.

Der aus mit dem Badius u> o beschriebene Kreisbogen a o ß trifft den Kreis k in a und ß, welchen Punkten die den Umriss bildenden Erzeugenden entsprechen.

Die durch a und ß an k gezogenen Tangenten r «, ßs werden durch den vorerwähnten umgelegten Durchschnittspunkt gehen und, indem sie in den gewünschten Tangirungsebenen und in der Kreisebene k liegen, im Durchschnitte r und s mit der verlängerten Geraden a b zwei Punkte liefern, durch welche die fraglichen Contouren rm und sn parallel zu l gehen.

Dass die Perspektiven m und n der Punkte a und ■ß im Baume leicht erhalten werden, wenn man a a' senkrecht auf a b zieht und a' mit A verbindet, und ebenso mit ß verfährt, ist klar.

§. 123.

Aufgabe.

Es ist parallel zu einer gegebenen Geraden an die Segelfläche eine tangirende Ebene zu legen.

Lösung. Es sei U/,EV die Ebene der Leitlinie, S (Fig. 244) der auf der Geraden d₃v₃ gelegene Kegelmittelpunkt und v der Verschwindungspunkt der gegebenen Geraden. Wird nun S mit v verbunden, der Durchschnitt A dieser Geraden mit der Ebene Eb Ev vermittelst der Hilfsebene Fb Fv gesucht und werden von A aus die Tangenten A a und A b an die Leitlinie gezogen, so

wird letztere in a und b berührt, daher sich in a/8 und bS die Berührungserzeugenden ergeben. Um die Bestimmungsstücke der Berührungsebenen zu finden, hat man blos durch die drei sich schneidenden Geraden v S A, v₁ A bdY und b S, so wie durch vAd, v₂a und a S Ebenen zu legen, deren Verschwindungs-linien Tv und T‘v durch Verbinden der beiden Punkte v2 und vl mit v und deren Bild-flächtracen Tb T‘b durch den Durchstosspunkt d der Geraden v S mit der Bildfläche, welcher in der Bildflächtrace Fb liegt, parallel zu Tv und T\. zu ziehen sind.

Fig. 244.

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§. 124.

Aufgabe.

Es sind parallel zu einer gegebenen Geraden an eine Cylinder-fläche Berübrungsebenen zu legen.

Lösung. Ist die Leitlinie mabn in der Ebene Eb Ev (Fig. 245) gelegen und sind die Erzeugenden der Cylinderfläche, an welche parallel zu der Geraden lvd die Tangirungsebenen geführt werden sollen, parallel zur Bildfläche, so lege man durch lvd eine Ebene, deren Yerschwindungslinie Tv ist, pa-rarallel zu den Erzeugenden, suche den Verschwindungspunkt v der Trace dieser Ebene auf der Basisebene und führe durch denselben die möglichen Tangen-ten an die Leitlinie. Auf diese Weise    /

erhält man die Berührungspunkte a und    \

6, so wie in b b‘ und a a' diejenigen Erzeugenden, in welchen die Berührung _

erfolgt. Durch die in Eb gelegenen Durchstosspunkte der Geraden v a tracen Tb der fraglichen Berührungsebenen parallel zu den Er-

Fig. 245.

Y/

T1V

»>v

Eb

und v b sind die Bildfläch-

zeugenden zu ziehen, während Tv die gemeinschaftliche Ver-schwindungslinie dieser Ebenen ist.

Bemerkung. Befindet sich ein leuchtender Körper in unendlicher, oder wenigstens in so grosser Entfernung, dass im Yerhältniss zur Grösse der Gegenstände, mit welchen wir uns beschäftigen, die Lichtstrahlen als parallel angesehen werden können, wie dies z. B. bei der Sonnen- oder Mondbeleuchtung der Fall ist, so bestimmen die Berührungserzeugenden der parallel zu den Lichtstrahlen an die Kegel- oder Cylinderfläche gelegten Tangirungsebenen die Gränzlinien zwischen dem beleuchteten und dem im Schatten befindlichen Theil dieser Flächen. Ebenso ergeben die Schnitte dieser Ebenen mit den hinter der Fläche gelegenen Körpern (nach der Richtung der Lichtstrahlen betrachtet) die Grenzen jenes Schattens, den die Fläche auf die hinter ihr gelegenen Gegenstände wirft und welchen man im Gegensätze zu dem ersteren, d. i. dem Selb st schatten, den Schlagschatten nennt.

§. 125.

Aufgabe.

Es ist die Perspektive der Axe, und jene eines zur Bild-fläche parallelen Durchmessers der Leitlinie eines Rotationskegels gegeben, man soll die Contour dieser Fläche verzeichnen.

Lösung. Ist l (Fig. 246) die Perspektive und v der Verseil windungspunkt der Axe, so ist Av die Verschwindungslinie der durch l gelegten bildflächprojecirenden Ebene, auf welcher der gegebene Durchmesser ah senkrecht stehen muss.

Weil der Durchstosspunkt der Axe mit der Bildebene nicht angegeben ist, so kann a h auch als in der Bildfläche liegend betrachtet werden und es wird sodann a h die Bildflächtrace einer auf l senkrechten Ebene sein, welche den Kegel in einem Kreise k vom Durchmeser ah schneidet. Die Verschwindungslinie jEv dieser Ebene wird bekanntlich erhalten, wenn man A der Augdistanz gleich und senkrecht auf vA, ferner Ax 0₁ senkrecht auf v 0₁ macht und Ev durch Al parallel zu ah zieht, oder in gleicher Weise mit Benützung der halben Distanzen A-j, M-y-,

²-Äf■

Man denke sich die Kegelfläche so weit verlängert, bis sie die Parallelebene Ev trifft. Zu diesem Behufe verbinde man die

Kegelspitze S mit a und b und ziehe diese Geraden bis Durchschnitte a₁ und bx mit Ev, wodurch in ax \ die Perspektive des zur Bildfläche parallelen Durchmessers des Schnittkreises der Ebene Ev mit dem Kegel erhalten wird.

zum

Dreht man nun

Ev um a₁ in eine zur Bildfläche parallele Lage, so ist der Schnittkreis K über albl zu beschreiben, während das Auge nach 0₂ fällt.

Die beiden aus dem Auge an den Kegel geführten Tangirungs-ebenen, welche im Durchschnitte mit der Bildfläche die verlangten

Fig. 246.

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Contouren geben, werden von der Ebene Ev in zwei Geraden 0₂m₁tl, 0₂t₂ geschnitten, welche den Kreis K berühren, durch 0₂ gehen und die Trace Ev in den Punkten tx und t₂ der Con-tourgeraden ßtx und St₂ treffen.

Da die Tracen der durch das Auge gelegten Berührungsebenen auf der Ebene Ev parallel sind zu den Tracen besagter Ebenen auf jeder Parallelkreisebene des Kegels, so können beliebig viele Punkte der Contour erhalten werden, wenn man irgend einen Parallelkreis a b in eine zur Bildfläche parallele Lage k dreht, und an denselben parallel zu 0₂tl: 0₂t₂ die beiden Tangenten me, nf bis zum Durchschnitte e und f mit dessen Trace ab zieht. Hieraus ist ersichtlich, dass ein solches Verfahren

17

Peschka n. Koutny, Perspektive.

dann in Anwendung zu bringen wäre, wenn die Kegelspitze S ausser die Zeichnungsfläche fiele.

Kann Ev nicht benützt werden, so bestimme man, wie früher

angegeben, den Punkt ~~ (oder in ähnlicher Weise verbinde

S 0)

S mit A, halbire A S in s, ziehe —-o> senkrecht auf A v-

parallel zu l und sa parallel zu Sb. Hiedurch wird auf

■ o₁b₁ abgeschnitten, welches den Halbmesser eines aus dem Mittelpunkt m zu beschreibenden Kreises x liefert, an welchen durch

pT gezogen, die Richtungen der an die verschiedenen Parallelkreise k zu führenden Tangenten angeben. ¹)

ein Stück m a =

Ą¹ = —■ ~j die beiden Tangenten

Umdrehung sßächen.

§. 126.

Verzeichnung des sichtbaren Umrisses derselben mit Zuhilfenahme berührender Kegel.

Nach dem über Kegel- und Cylinderflächen Vorausgeschickten sind wir nun in der Lage auch andere Methoden, als jene in §. 118 angeführten, zu besprechen, welche sich zur Verzeichnung des sichtbaren Umrisses von Umdrehungsflächen mit Vortheil anwenden lassen. Vorerst sei jedoch Folgendes bemerkt:

Ist a die Entfernung der hinter der Bildfläche gelegenen, zu dieser parallelen Axe einer Rotationsfläche von der Bildebene, d die Augdistanz, und bestimmen wir das Bild desjenigen Meridians, dessen Ebene parallel zur Bildfläche ist, so wird sich dasselbe dem Hauptmeridiane ähnlich, jedoch in einem verjüngten Massstabe darstellen. Die Verjüngung wird durch die Grösse

d -j- d

Drehungsaxe und verzeichnen den Hauptmeridian in der Bildebene im besagten Massstabe, denken uns ferner die Perspektive des Meridians um die Perspektive der Axe gedreht, so entsteht eine der gegebenen ähnliche Umdrehungsfläche, welche zur Hälfte

angegeben. Bestimmen wir also die Perspektive der

d

vor und hinter der Bildfläche liegt, und deren sämmtliche Dimensionen im Verhältnisse zu jenen der wirklichen Flache im Mass-

stabe

dj^a verjüngt erscheinen. Hieraus folgt jedoch, dass die

aus

Bilder jener idealen Fläche und der gegebenen Umdrehungsfläche dieselben sein und Übereinanderfallen müssen, und dass der dem Auge an die letztere Rotationsfläche gelegte berührende Kegel auch die erstere berühren wird.

Es ist daher ersichtlich, dass das Bild jeder Umdreliungs-fläche verzeichnet werden kann, wenn eine andere der gegebenen

Rotationsfläche ähnliche, im Verliältniss

verjüngte Fläche

mit ihrer Umdrehungsaxe in der Bildfläche angenommen und das Bild dieser letzteren gesucht wird. ²)

Um die Perspektive des sichtbaren Umrisses einer Umdrehungsfläche zu bestimmen, kann in ähnlicher Weise wie bei der Bestimmung der Berührungscurven an Umdrehungsflächen in der orthogonalen Projektion vorgegangen werden. Man wird nämlich die Umdrehungsfläche in auf einander folgenden Parallelkreisen von berührenden senkrechten Kegeln, oder in einzelnen Meridianen von Cylindern umhüllt denken, an diese durch das Auge die berührenden Ebenen legen und die Bildflächtracen derselben aufsuchen. Letztere werden sodann Tangenten an den sichtbaren Umriss der Rotationsfläche in den betreffenden Punkten der Parallelkreise oder Meridiane sein.

Ist also amx (Fig. 247) die Perspektive der halben Haupt-meridiancurve³), YZ jene der Umdrehungsaxe, ferner mon der Durchmesser eines Parallelkreise's, von welchem blos die Perspektiven jener Punkte gesucht werden sollen, die im sichtbaren Umrisse der Fläche liegen, so ziehe man in m die Tangente m S an den Haujffmeridian und denke sich beide um die Axe YZ rotirt. Hierbei wird die Meridiancurve die Umdrehungsfläche, und die Tangente einen senkrechten Kegel beschreiben, welcher die Rotationsfläche in dem angenommenen Parallelkreise berührt.

Werden nun an den Kegel durch das Auge die tangirenden Ebenen gelegt, so berühren sie denselben in Erzeugenden, dge Umdrehungsfläche sonach im Durchschnitte dieser Erzeugenden

Fig. 247.

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mit dem Parallelkreise, welche Punkte dem sichtbaren Umrisse angehören.

Die in diesen Punkten an den Parallelkreis geführten Tangenten, d. s. die Tracen der Berührungsebenen auf der Parallelkreisebene, schneiden die Trace m n in Punkten, welche den Bildfläch tracen der Berührungsebenen angehören, also mit der zugehörigen Kegelspitze verbunden, die Contouren des Kegels und somit auch die Tangenten der Contour der Rotationsfläche in den im angenommenen Parallelkreise liegenden Punkten des Umrisses bilden.

Behufs der Durchführung der Construktion werden wir jeden Kegel bis zum Durchschnitte mit der Horizontsebene verlängern, diese Schnittcurve sammt dem Auge in die Bildfläche drehen und daselbst die Tangenten ziehen. Da die Tangenten sämmtlich durch das umgelegte Auge zu führen sind, dieses jedoch zumeist ausser die Zeichnungsfläche fällt, so wird es am zweckmässigsten sein, sich vorerst den geometrischen Ort aller Berührungspunkte, d. i. den durch das umgelegte Auge und den Durchschnittspunkt B der Kegelaxe mit der Horizontsebene (als Endpunkte eines Durchmessers) geführten Kreis zu verzeichnen, indem man AB in io halbirt, wo (senkrecht auf HH) gleich der halben Aug-distanz macht und besagten Kreis k aus S mit dem Radius SJ3 beschreibt.

Wird die Tangente m S bis zum Durchschnitte t mit H H verlängert und aus B mit dem Radius B t der Kreis t a ß bis zum Durchschnitte a, ß mit dem Kreise k beschrieben, so ist t a. ß die umgelegte Trace des Kegels auf der Horizontsebene, und es werden die in a und ß senkrecht auf die bezüglichen Radien all, ßB gezogenen Tangenten ae, ß/ die Gerade IIH in den Punkten' e, / der Bildflächtracen der verlangten Berührungsebenen treffen, also mit S verbunden Tangenten an die Contour in Punkten des Parallelkreises mn liefern.

r e zu

Um die Berührungspunkte selbst zu erhalten, hat man blos den Parallelkreis mn in die Bildfläche zu legen, an denselben parallel zu ae die Tangente TU cp und parallel zu ß f die Tangente ziehen, die Perpendikel WW‘ und rr‘ auf mn zu errichten und <o' und r‘ mit A zu verbinden. Letztere Geraden schneiden die zugehörigen Tangenten e S, fS in den Punkten II und I des perspektivischen Umrisses.

die Punkte e

oder f (wie dies auch hier bei / der Fall ist) ausser die Zeichnungsfläche fallen.

Ergibt sich die Kegelspitze S₁ des die Umdrehungsfläche im Parallelkreise mxnx berührenden Kegels nicht auf der Zeichnungsfläche, so werden die Punkte £j, cp^, fi, analog den Punkten Ecpe/ beim Kegel Smn, in gleicher Weise zu bestimmen und entsprechend zu verbinden sein. In diesem Parallelkreise liegen die Punkte III und IV der Contour.

wenn

Die Tangenten W cp und re schneiden m n in den Punkten rp und s, welche gleichfalls den Tangenten e S resp. f S angehören und insbesondere dann zu benützen sind

Schneidet die Tangênte mS die Gerade HH in sehr grosser Entfernung vom Punkte B, so dass 7. und ß nicht benützt werden können, so dürfte es gerathen erscheinen, die Contourpunkte des Kegels direct, ohne Benützung der Horizontsebene aufzusuchen, was auf mehrfache Weise durchgeführt werden kann.

Geht man von denselben Gesichtspunkten aus, welche in §. 121 erörtert wurden, so hat man S mit dem Auge zu verbinden, und den Durchschnitt dieser Geraden mit der Basisebene mn des Kegels zu bestimmen. Diese Gerade ist jedoch ein Sehstrahl, daher ist S zugleich die Perspektive des Durchschnittspunktes, welcher nur noch sammt dem Parallelkreise um mn in die Bildfläche zu drehen sein wird, woselbst er nach A gelangt

tob

verbunden, Tr A senkrecht auf mn und gleich

(S mit A und

2 . Tz 1). Die aus A an den Kreis m n geführten Tangenten A r, A W treffen mn in e und cp und fallen mit den vorher gezogenen Geraden T-Ucp, re zusammen.

Zu demselben Kesultat gelangt man, wenn man den Kegel Smn durch eine zu mn parallele Ebene o‘n‘ schneidet, den so erhaltenen Schnittkreis als Basis eines zweiten Kegels, dessen Spitze das Auge ist, betrachtet und an beide Kegel die gemeinschaftlichen Berührungsebenen legt. Sucht man die Trace des zweiten Kegels auf der Ebene mn, indem man o‘n‘ als Perspektive des zur Bildfläche parallelen Halbmessers dieser Trace ansieht, so gelangt deren Mittelpunkt nach der Umlegung um nm nach 4, während 23 die wahre Länge des Halbmessers ist. Schliesslich sind an die Kreise mn und x die gemeinschaftlichen Tangenten A s und A cp zu ziehen und die Durchschnittspunkte s und cp mit S zu verbinden.

Das eben angegebene Verfahren würde insbesondere dann zu empfehlen sein, wenn auch die Kegelspitze ausser die Zeichnungsfläche fiele. In diesem Falle ist jedoch zumeist die Hori-zontstrace der Kegelfläche benützbar.

Bevor man die Construktion des perspektivischen Umrisses mit beliebig gewählten Parallelkreisen beginnt, wird es zweckmässig sein, gewisse Punkte desselben gleich in Vorhinein zu bestimmen, weil deren Auffindung eine vereinfachte Construktion gestattet, oder weil dieselben eine besondere Lage haben, welche beim Ziehen des Umrisses wohl zu berücksichtigen ist. Dies sind insbesondere jene Punkte, in welchen die Contour den Hauptmeridian berührt, ferner die in der Horizontslinie oder in der Rotationsaxe gelegenen Punkte, und endlich Punkte, welchen tikale Tangenten zukommen.

ver

Was jene Punkte anbelangt, welche im Hauptmeridiane liegen, so muss für dieselben die zugehörige Tangirungsebene bildflächprojecirend sein und durch das Auge gehen, weil nur in diesem Falle ein Punkt mit seiner Perspektive zusammenfallen kann. Man wird sie daher erhalten, wenn man aus dem Augpunkte A an die Meridiancurve die möglichen Tangenten zieht, welche dann zugleich Tangenten der Contour in denselben Punkten sind.

schneidet den Kegel

Die beiden in der Horizontsebene liegenden Punkte VII und VIII ergeben sich durch Umlegen des Parallelkreises m₃Bn₃ im Durchschnitte der Tangenten ß₃ VII, a₃ VIII mit IIII. Die Tangenten in diesen Punkten müssen diesfalls mit Zuhilfenahme einer zweiten Horizontalebene mn gesucht werden, da die Kegelspitze S₃ ausser die Zeichnungsfläche fällt.

/S3 m₃ n₃ in einem Kreise vom Radius p o, an welchen parallel zu ß₃ VII und a₃ VIII die Tangenten gezogen, im Durchschnitte q mit mn weitere Punkte der verlangten Contourtangenten liefern.

Dass

Die Punkte des Umrisses, deren Perspektiven IX und X in die Axe Y Z fallen, werden erhalten, wenn man durch die Axe und den Gesichtspunkt eine Ebene legt, diese um YZ in die Bildfläche dreht und aus dem umgelegten Auge an den Hauptmeridian die möglichen Tangenten v₂ IX, v₂ X zieht. v₂ B = 2 . Bo wird, ist bekannt.

zu.

Die Tangenten in diesen Punkten der Curve stehen offenbar senkrecht auf der benannten Meridianebene. Ihr Verschwindungs-punkt v₃ wird erhalten, wenn man o ovl senkrecht auf Bh errichtet und die Entfernung des Durchschnittspunktes v\ dieser Geraden mit HH von B aus zwei Mal nach links auf HH aufträgt. Wird <\i o p parallel zu IIH gezogen, a p = o gemacht und p mit o verbunden, so geht p 6 auf den Punkt v₃

Um die in Rede stehenden Tangenten zu erhalten, wähle man in HH einen beliebigen Punkt t, ziehe t ix parallel zu o p bis zum Durchschnitte p. mit Bo, gv parallel zu o IX, ;xt parallel zu ol und die Tangenten T‘ und T parallel zu den V er-bindungslinien t v resp. 11.

Endlich wird es zumeist Punkte der Meridiancurve geben, welchen zu YZ parallele Tangenten zukommen. Wählt man die diesen Punkten entsprechenden Parallelkreise, wie m₂ o₂ und verfährt in gleicher Weise wie bei mn oder rnx nx, so erhält man die Contourpunkte V und VI mit den zu YZ parallelen Tangenten ß2 FJ, f₂ V.

§. 127.

Verzeichnung des sichtbaren Umrisses mittelst umhüllender Cylinder-

ilächen.

Ist amx (Fig. 248) die Meridiancurve, so denke man sich nach einer beliebigen Richtung durch die Axe YZ eine Meridian-

Fig. 248.

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ebene gelegt, z. B. jene, deren Verschwindungslinie die Horizontslinie in v schneidet, und betrachte diesen Meridian als Leitlinie einer Cylinderfläche, welche die Rotationsfläche in demselben berührt, folglich horizontale, auf der Meridianebene senkrechte Erzeugende besitzt.

Wenn man an diese Cylinderfläche aus dem Auge die möglichen Berührungsebenen legt, welche dieselbe in Erzeugenden berühren, so werden sich im Durchschnitte dieser Erzeugenden mit der angenommenen Meridiancurve, je nach der Gestalt derselben, ein oder mehrere Punkte der Berührungscurve und in den Perspektiven der ersteren, Punkte des zu suchenden Umrisses ergeben.

Die hiebei nöthigen Construktionen beziehen wir auf die Horizontsebene, und drehen dieselbe um IIH in die Bildfläche, wobei das Auge nach D gelangt und mithin die umgelegte Hori-zontaltrace B M der angenommenen Meridianebene durch B parallel zu vjD zu ziehen ist.

Fällt man aus dem Auge eine Senkrechte auf diese Ebene, also aus D eine Senkrechte Da auf B M, so ist a der Fusspunkt derselben; denkt man sich hierauf das Ganze in die ursprüngliche Lage zurückversetzt und die Meridianebene um die Bild-flächtrace YZ in die Bildfläche gedreht, so wird der Punkt a nach ß und der gewählte Meridian in den Hauptmeridian fallen. Man hat somit aus ß die Tangenten an den letzteren zu ziehen (hier ist blos eine, nämlich ßm, möglich) und die Berührungspunkte in die angenommene Meridianebene zurückzuführen. Dies kann einfach dadurch bewerkstelligt werden, dass man den dem Berührungspunkte m entsprechenden Drehungsradius m o, so wie dessen Perspektive v o in der Meridianebene B M zieht und auf v o den Radius m o perspektivisch abschneidet. Das Aufträgen dieser Länge kann mittelst des dem Verschwindungspunkte v zugehörigen Theilungspunktes t vorgenommen werden, welcher bekanntlich erhalten wird, wenn man vt — vD macht. Die Verbindungslinie tvi wird auf der Geraden ov das Stück vl gleich dem Radius m o abschneiden und in I den zu suchenden Punkt des Umrisses bestimmen.

Kann der Theilungspunkt t nicht leicht benützt werden, so wird der Punkt I auch auf folgende Weise erhalten. Man wird, da der Neigungswinkel MBDl der Geraden vol gegen die Bildfläche bekannt ist, auf den einen Schenkel B M das Stück B cp = m o auftragen und von cp auf den andern Schenkel eine Senkrechte cp cp' errichten, welche auf demselben das Stück jBcp', d. i. die orthogonale Projektion des Halbmessers Io auf der Bildfläche, abschneidet. Diese Länge von o nach aufgetragen und mit A verbunden, trifft die Gerade wo in dem Punkte I.

Durchschnitte k mit der Axe YZ

Soll in dem so gefundenen Punkte I die Tangente an den Umriss gezogen werden, so ist blos die an die Meridiancurve geführte Tangente ßm bis zum zu verlängern und k mit 1 zu verbinden.

Einige besondere Punkte ergeben sich auch bei dieser Con-

struktionsweise etwas einfacher, man als Meridianebene eine auf die Horizontslinie senkrechte

Diese werden erhalten, wenn

Ebene, oder die Bildfläche selbst, oder die durch das Auge und die Drehungsaxe YZ gebende Ebene wählt, welch’ letzterer Annahme übrigens schon bei der vorhergegangenen Auflösungsweise erwähnt wurde.

Im ersten Falle ist die zugehörige Verschwindungslinie die Vertikallinie V V, mithin der Verschwindungspunkt v nach A und der Theilungspunkt t in den Distanzpunkt Dl zu liegen kommt. Die auf die umgelegte Horizontaltrace B YZ aus D ge» fällte Senkrechte ist horizontal, und trifft erstere in a.x ⁴), welcher, in die Bildfläche gedreht nach ßj fällt. Die von ßx an den Hauptmeridian geführte Tangente ß₁ ml schneidet die Axe in 7% und es ist m₁ ox der dem Punkte ml zugehörige Kadius, welcher auf der Linie o₁ A durch die Tlieilungslinie D₁ m₁ in oY II abgeschnitten, den Punkt II des Umrisses gibt. In diesem Punkte ist die Tangente an den Umriss horizontal, weil die Cylindererzeugenden parallel zur Bildfläche sind, die Berührungsebenen daher, so wie deren Bildflächtracen zur Horizontslinie parallel sein müssen. Vermittelst dieses Meridians werden somit die höchsten und tiefsten Punkte des Bildes erhalten.

In dem zweiten der obgenannten Fälle trifft das aus dem Auge auf die Meridianebene gefällte Perpendikel die letztere im Augpunkte, und weil der Meridian selbst in der Bildfläche liegt, folglich keine weitere Drehung nothwendig ist, werden die aus A an den Hauptmeridian gezogenen Tangenten diesen in Punkten des Umrisses berühren.

Endlich wurde in der Meridianebene M₂ B auf gleiche Weise, jedoch mit Benützung einer Hilfsconstruktion und der Vierteldistanz, der Punkt III des Umrisses bestimmt. Es ist nämlich

parallel zur

A — Ą-AD, mithin A — — Ai», wenn ~

umgelegten Horizontaltrace M₂ B gezogen und vl der in der Horizontslinie gelegene Punkt der Verschwindungslinie der angenommenen Meridianebene ist. Die aus ß₂ an den Hauptmeridian geführte Tangente berührt denselben in m₂, welchem Punkte der Radius m₂ o₂ zukommt und welcher in die ursprüng- . liehe Lage zurückversetzt, in der Perspektive o₂ liegen muss. Die Richtung o₂ vx wird erhalten, wenn man in A b den vierten

Theil von A o₂ bestimmt und b ~~ zieht. Der Punkt III selbst

wurde mit Hilfe der Theilungslinie tx m₂ III gefunden.

Wendet man dieses Construktionsverfahren zur Bestimmung des Umrisses einer Rotationsfläche an, so wird es zweckmässig sein, gleich anfangs jene besonderen Punkte zu berücksichtigen, deren bereits im vorigen Paragraphen Erwähnung geschah.

Bemerkung. Es sei hier noch erwähnt, dass es mitunter an einzelnen Stellen einer Umdrehungsfläche vorteilhaft erscheinen kann, von der im §. 118 angegebenen Construktions-weise Gebrauch zu machen, oder dass eine vereinte Anwendung beider letzt angegebenen Methoden am einfachsten zum Ziele führt. Es lassen sich in dieser Beziehung nicht leicht allgemeine Regeln aufstellen, doch wird es bei einiger Uebung keinen Schwierigkeiten unterliegen, eine geeignete Wahl zu treffen. Insbesondere ist anzurathen, sich gleich im Vorhinein durch eine genaue Betrachtung der Form und Lage des Hauptmeridians eine annähernd richtige Vorstellung von dem Bilde des Umrisses zu verschaffen.

Nachdem wir nun die allgemeine Darstellungsweise der Umdrehungsflächen zur Genüge behandelt, übergehen wir zur Con-struktion des Umrisses specieller Flächenarten, die einerseits eine häufigere Anwendung finden, andererseits aber ihrer besonderen Eigenschaften wegen eine Vereinfachung der Construktion gestatten.

§. 128.

Die Kugel.

a) Die Kugel besitzt die Eigenschaft, von jeder Ebene nach einem Kreise geschnitten zu werden. Diese Eigenthümlichkeit derselben kann dazu benützt werden, ihren perspektivischen Umriss auf eine sehr einfache Weise darzustellen. Denkt man sich nämlich die Kugel durch eine Reihe von Ebenen, welche zur Bildfläche parallel sind, geschnitten, so werden die erhaltenen Schnittlinien sich perspektivisch wieder als Kreise darstellen und zieht man an die sämmtlichen so erhaltenen Perspektiven eine stätige umhüllende Curve, so bildet diese den Umriss der Kugel im Bilde.

Ist demnach O (Fig. 249) die Perspektive des Kugelmittelpunktes, ab jene des vertikalen Durchmessers derselben, so kann

man sich bekannter Massen a b auch als den wirklichen Durchmesser einer Hilfskugel vorstellen, welche den Mittelpunkt in der Bildfläche hat und denselben perspektivischen Umriss liefert.

Geht man von dieser Kugel aus und beschreibt über ab einen Kreis, so ist dieser als Schnitt der Hilfskugel mit der

Fig. 249.

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Bildfläche anzusehen. Bestimmt man die Endpunkte I und VIII des auf die Bildfläche senk-j H recht stehenden Durchmessers, indem man die Gerade A 0 mit ID und 8D zum Schnitte bringt, so wird blos noch die Anzahl der Ebenen zu wählen sein, durch welche die Kugel geschnitten werden soll.

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Wir wollen sechs Schnittebenen annehmen.

Es ist zweckmässig dieselben in gleicher Entfernung von einander zu legen, also behufs der Bestimmung der Mittelpunkte jener als Schnitte erhaltenen Kreise, den auf die Bildfläche senkrechten Durchmesser I VIII, welcher der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Schnittkreise ist, in den Punkten II bis VII perspektivisch in acht gleiche Theile zu theilen.

Weiters handelt es sich noch um die Perspektiven der diesen Mittelpunkten entsprechenden Radien.

Denkt man sich, zur Bestimmung derselben, durch Oab und VIIIOI eine Ebene gelegt, welche die Kugel in einem grössten Kreise schneidet, und diese Ebene um ab in die Bildfläche gedreht, so gelangen die Punkte I bis VIII nach 1 bis 8, und es werden die den Punkten 2 bis 7 entsprechenden Ordinaten, von welchen je zwei gleich weit vom Mittelpunkte abstehen, eine gleiche Länge, d. i. beziehungsweise die Grösse 77", 66", 55“ haben, die wahren Längen der zu bestimmenden Radien geben. Diese Längen sind nun auf O b nach 0 a, 0 ß, O y zu übertragen und die Endpunkte a, ß, y mit A zu verbinden, um auf den in den einzelnen Mittelpunkten errichteten Vertikalen die Perspektiven der Radien VII7', VI6‘ etc. zu erhalten. Man hat also schliesslich diese Kreise zu verzeichnen und dieselben vermittelst

welche sodann den zu

einer tangirenden Curve zu umhüllen suchenden Umriss in der Perspektive darstellen wird.*)

b) Der sichtbare Umriss einer Kugel ist im Allgemeinen eine Ellipse, kann jedoch auch ein Kreis, eine Hyperbel oder eine Parabel werden. Die Kugelperspektive ist ein Kreis, der Mittelpunkt der Kugel in der durch das Auge auf die Bildfläche errichteten Senkrechten, also im Hauptstrahl, liegt. Eine Parabel wird erhalten, wenn die durch das Auge zur Bildfläche parallel geführte Ebene die Kugel berührt, und eine Hyperbel, wenn die Kugel von dieser Ebene geschnitten wird. Die letzten zwei Fälle kommen in der Anwendung nur äusserst selten vor.

Für den ersten Fall, wo der perspektivische Umriss ein Kreis wird, muss Al (Fig. 250) die Perspektive des Mittelpunktes sein. Wir werden hier wieder das Bild ab oder cd eines zur Bildfläche parallelen Durchmessers bestimmen und über denselben einen Kreis verzeichnen. Da im Vorhinein bestimmt    /

ist, dass der Umriss ein Kreis werden jr__

soll, so wird blos der Kadius desselben aufzusuchen sein. Zu diesem Be-hufe führe man durch das Auge und den Mittelpunkt eine horizontale oder vertikale Ebene und drehe dieselbe um ihre Bildflächtrace in die Bildebene, wobei das Auge in einen der Distanzpunkte B oder Dl (hier durch — und bestimmt) fällt und die Peripherie des Schnittkreises in den bereits verzeichneten Kreis zu liegen kommt.

Zieht man aus Bl oder B die Tangenten Byg, Bxh oder Bk, Bl, so werden diese die entsprechenden Bildflächtracen (hier die Vertikal- und Horizontslinie) in den Punkten m, n, e und f des Umrisses treffen, und es werden die Verbindungslinien g h oder k l der Berührungspunkte zugleich den Durchmesser jenes Kreises angeben, in welchem die Berührung der Kugel und des Sehkegels erfolgt.

Fig. 250.

I²

wenn

\\

if

-H

*) Eine gleiche Lösungsweise wird man auch bei allen Umdrehungsflächen in Anwendung bringen, wenn deren Axe auf der Bildfläche senkrecht steht. Die Construktion ist eine so einfache und von selbst verständliche, dass nicht für nöthig erachtet wurde, dieselbe in einem Beispiele speciell durchzuführen.

Da liier blos

und —k innerhalb der Gränzen der Zeich-

& &

nungsfläche fallen, so wird man zur Verzeichnung dieser Tangenten die Kreise g Ah oder k Al aus jenen Punkten zu beschreiben und die Tangenten senkrecht auf die bezüglichen Radien zu ziehen haben.

c) Betrachtet man die Construktion des Umrisses in Fig. 249, so ist ersichtlich, dass die Verbindungsgerade A 0 des Mittelpunktes mit dem Augpunkte A die Richtung der grossen Axe der umhüllenden Curve bestimmt; denn in dieser Geraden liegen die Mittelpunkte aller eingehüllten Kreise, folglich jede auf A 0 senkrechte Sehne der Umhüllenden von dieser Geraden A 0 halbirt wird. Allein, unabhängig von dieser Construktionsweise, ist be-kannt, dass jeder eine Kugel berührende Kegel ein Rotationskegel ist, dessen Axe den Kugelmittelpunkt mit dem Auge verbindet, und dass eine der senkrechten Axen der Schnittlinie des Kegels mit der Bildebene sich in jener Ebene befindet, welche durch die Axe senkrecht auf die schneidende Ebene geführt wird.

Von diesem Gesichtspunkte ausgehend, werden sich die senkrechten Axen der Kugelperspektive einfach folgends ergeben.⁵)

Fig. 251.

f/N

Es sei der Kreis K (Fig. 251) der Hauptmeridian der Kugel, o deren |( Mittelpunkt und es sei blos der dritte Tlieil <o A der Augdistanz benützbar.

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iv/ !

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IV

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Die Gerade A o stellt offenbar die Trace der durch das Auge und den Kugelmittelpunkt senkrecht auf die Bildfläche geführten Ebene vor, welche den Sehkegel in zwei Erzeugenden schneidet, die, um A o in die Bildfläche gedreht, durch das umgelegte Auge gehen, den Kreis K berühren und im Durchschnitte mit Ao die Endpunkte der grossen Axe des Bildes geben.

o a =    . o a,

Oo Sa

Zieht man aus o den Kreis k mit dem Radius

macht o to = - -. o A, w A senkrecht auf A o und dem dritten Theil der Augdistanz gleich, so gehen die aus A an k gezogenen Tangenten A a, Aß die Richtungen der beiden Erzeugenden I\ und T₂ des Sehkegels, welche somit parallel zu diesen Richtungen tangentiell an den Kreis K gezogen, die grosse Axe III der Perspektive begränzen.

Der Halbirungspunkt C der Länge III ist der Mittelpunkt und IIIIV der Ort der kleinen Axe des perspektivischen Bildes. Zur Bestimmung der Länge der letzteren schneiden wir den Sehkegel durch eine auf seine Axe o A senkrechte Ebene MN in einem Kreise eBf vom Durchmesser ef (zwischen den äussersten Erzeugenden I\ und Tx ), legen diesen um ALN in die Bildfläche und ziehen durch C die auf M.N senkrechte Ordinate CB desselben, welche, weil sie durch den Punkt C hindurchgellt und nach dem Zurückdrehen in die Bildfläche zu liegen kommt, zugleich die wahre Grösse der zweiten Halbaxe der Contour liefert, also nur vermittelst eines Bogens IIIB IV aus dem Mittelpunkte C nach CIII und CIV übertragen zu werden braucht.

§. 129.

Das Ellipsoid.

Da bekanntlich der perspektivische Umriss dieser Fläche fast immer eine Ellipse ist, so soll unsere Aufgabe darin bestehen, zwei conjugirte Axen dieses Umrisses aufzufinden.

a) Ist Y Z (Fig. 252) die Drehungsaxe und zugleich die grosse Axe der in der Bildfläche liegend gedachten Ellipse 324, durch deren Rotation um YZ das Ellipsoid entsteht, so lege man durch das Auge drei vertikale Ebenen derart, dass die eine durch die Drehungsaxe geht, während die beiden andern die Fläche berühren. Durch Bestimmung der Berührungspunkte der beiden letzteren Ebenen ergeben sich zwei Punkte des Umrisses mit vertikalen Tangenten, wesshalb die Verbindungslinie derselben eine Axe des Umrisses gibt, während deren conjugirte Axe durch den Halbirungspunkt der ersteren gehen und eine vertikale Lage haben wird. Zur Bestimmung der Länge dieser Axe kann eine zu ihr parallele Sehne ermittelt und aus dieser und der bekannten Axe die zweite gefunden werden. Diese Sehne wird sich in der erst genannten Ebene ergeben.

Bezüglich der Berührungspunkte der beiden Vertikalebenen sei bemerkt, dass dieselben bei vertikaler Drehungsaxe im grössten Parallelkreise liegen, man also zu deren Bestimmung, wie dies im §. 122 gezeigt wurde, die Projektion des Auges auf

Fig. 252.

Y f

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'(7    -j-—.___

• r o

i »•

der Ebene des Parallelkreises zu suchen und letztere sammt dem Parallelkreis um die Trace 12 in die Bildfläche zu drehen hat. Die Projek-% tion des Auges gelangt f hiebei in die Vertikal-linie und zwar in eine der Augdistanz gleiche Entfernung von der Drehungsaxe 1 2.

t-—

Um nun aus diesem Punkte, der hier jedoch ausserhalb der Zeichnungsfläche fällt, die Tangente an den umgelegten Parallelkreis lm2n ziehen und die Berührungspunkte fixiren zu können, bestimme man den Halbirungspunkt der Entfernung des besagten Punktes vom Mittelpunkte o. Dieser wird erhalten,

zieht und gleich dieser

wenn man AB in b halbirt, b mit verbindet {A ~ ist die halbe Augdistanz) und o Ą- parallel zu b

Länge macht. Es wird alsdann blos aus ~ der Kreis mon zu

beschreiben sein, um die Berührungspunkte m und n zu finden, deren Perspektiven 1 und II die eine Axe III des Umrisses be-gränzen. Die in m und n an den umgelegten Parallelkreis gezogenen Tangenten schneiden die Trace 12 in den Punkten 1‘ und 2', durch welche die vertikalen Tangenten des Umrisses zu führen sind.

Der Halbirungspunkt 0 der Axe III liefert den Mittelpunkt der Perspektive, während in der durch diesen gehenden Vertikalen V O VI die Richtung des entsprechenden conjugirten Durchmessers gegeben ist. Behufs der Auffindung der Länge desselben suche man vorerst jene Punkte der Contour, welche in der Drehungsaxe

liegen. Zu diesem Ende wird man bekanntlich die durch das Auge und die Drehungsaxe gelegte Ebene in die Bildfläche drehen und aus dem umgelegten Auge D₂ an die Meridiancurve die beiden Tangenten T und T‘ zu ziehen haben. Da jedoch das Auge nach der Drehung ausser die Zeichnungsfläche fällt wird man zur Verzeichnung obiger Tangenten den Halbirungs-A'

so

Werden nämlich aus

punkt — der Entfernung oD₂ benützen.

A' .    A'    A'

— die    Tangenten    — œ    und    — ofl    an    eine    der    gegebenen    Meri-

-v    /V    &

diancurve    ähnliche    Ellipse,    welche    über    dem    Mittelpunkte    o    und

den halben Axenlängen —{102) und —{3 0 4) verzeichnet ist,

geführt, so sind die zu ziehenden Tangenten T und T‘ zu den eben gefundenen parallel. Ist daher f ein Brennpunkt der Meridianellipse und sind cp und cp' jene der ähnlichen Ellipse, wobei

1

selbstverständlich auch o cp = o cp' = — of zu nehmen ist, so wird

A'

man, nach der bekannten Construktionsmethode, aus — den Kreisbogen a cp' a' zu beschreiben, diesen mit einem Kreise vom Halbmesser 03 = 04 aus dem Mittelpunkte cp in a und a' zu.durch-

A' A'

schneiden und die Tangenten — u>, — <o' so zu ziehen haben,

dass die Bögen a cp', a'cp', oder deren Sehnen, durch dieselben

~ gefun-

halbirt werden. Der Punkt — wird ähnlich wie jener

den, indem man oB in h halbirt, Bo nach B o' überträgt und A'

o —, parallel zu h o' geführt, gleich der Länge h o' macht.

und «>' ge-

A'

~<u

zogenen Tangenten T und T‘ schneiden auf YZ die Länge 111 IV ab, welche eine vertikale Sehne des Umrisses ist, folglich durch die Axe III in o‘ halbirt werden muss.

Die an die Meridianellipse parallel zu

Die weitere Construktion wird nun blos darauf hinausgeben, aus der einen Axe 1II und der Sehne III IV die zweite Axe aufzufinden, was vermittelst der bekannten Verzeichnungsart der Ellipse aus deren conjugirten Durchmessern einfach durchführbar ist. Wird nämlich über 111 der Kreis Zß ß' II beschrieben, und werden in den Punkten o' und 0 die auf 111 senkrechten Sehnen o'ß, 0 ß' gefällt, ferner ß mit III verbunden und durch ß' eine zu ßZZZ parallele Gerade ß' V gezogen, so schneidet letztere auf

18

Peschka u, Koutny, Perspektive.

Fig. 253.

der bereits verzeichneten Axenrichtung die zu suchende Länge dieser Halbaxe im Punkte V ab.

b) Der zweite conjugirte Durchmesser des Umrisses kann auch direkt ermittelt werden. Dies sei an einem Ellipsoïde durchzuführen, dessen Axe YZ in der Bildfläche liegt, gegen die Vertikallinie jedoch geneigt erscheint.

Bestimmen wir wieder, wie im vorigen Beispiele, die Axe III (Fig. 253) mit Hilfe eines berührenden Cylinders, dessen Erzeugenden zur Rotationsaxe parallel sind, welcher mithin das Ellipsoid im grössten Parallelkreise 12 berührt. Es wurde zu .

diesem Zwecke a

senkrecht auf 1 2 und gleich der halben Aug-distanz gemacht, oa in c halbirt, oA patt rallel zu c

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c — abgeschnitten und aus A der Kreisbogen m o n bis zum Durchschnitte m und n mit dem umgelegten Parallelkreise geführt, welche Punkte zurückgedreht in ihren Perspektiven I und II die Eckpunkte des einen Durchmessers III geben. Diesem Durchmesser entsprechen in I und II zu YZ parallele Tangenten, daher die zweite Axe durch seinen Halbi-rungspunkt 0 parallel zur Rotationsaxe zu ziehen sein wird.

Um die Länge dieser Axe zu bestimmen, denke man sich an das Ellipsoid einen berührenden Cylinder parallel zur Axenrichtung III gelegt. Dieser wird dasselbe in einer Ellipse berühren, deren Ebene senkrecht auf der Bildebene steht und deren senkrechte Axen leicht zu bestimmen sind. Zieht man nämlich parallel zu III an den Hauptmeridian die beiden Tangenten, so wird die Verbindungslinie 3‘o 4‘ der Berührungspunkte 3‘ und 4‘ die grosse Axe der Berührungscurve und 1 2 die Länge der kleinen Axe sein. Letztere wird daher auf der in o senkrecht auf 3‘ 4‘ errichteten Geraden in 1" 2“ abzuschneiden sein. Werden an den besagten Cylinder durch das Auge die beiden Tangirungs-ebenen gelegt und deren Bildflächtracen gesucht, so werden diese zu einander und zu III parallel laufen, Tangenten an. den Umriss sein und die Axenrichtung III IV in den Endpunkten dieser Axe schneiden.

Behufs der Construktion wird aus dem Auge eine Parallele zu den Cylindererzeugenden zu führen, der Durchschnitt derselben mit der Ebene der obigen Berührungscurve zu bestimmen und von diesem Punkte an die Berührungscurve die Tangenten zu führen sein. Zu diesem Behufe legen wir die Ebene der Berührungscurve um 3‘4‘ in die Bildfläche um, wobei der erwähnte Durchschnittspunkt in die durch A auf 3‘ 4‘ errichtete Senkrechte

Ab —— fällt und erhalten wird, wenn man auf A b —— von b aus die Augdistanz aufträgt.

Des beschränkten Raumes wegen konnte jedoch blos die D*

halbe Distanz nach b~ übertragen werden, daher auf gleiche

Weise, wie in a), der Punkt A' als Ilalbirungspunkt der Länge o D‘ bestimmt werden musste. Es ist folglich auch hier wieder die Hilfsconstruktion mittelst einer aus o über den Axen

7    7

— {3‘0 4‘) und — (1“0 2") verzeichneten Ellipse zur Anwendung

gebracht worden. Sind / und /' die Brennpunkte dieser Hilfsellipse, so gibt das bekannte, in der Zeichnung angedeutete Verfahren die Tangenten A'to und A'oP, daher die Tangenten T und T‘ an die umgelegte Berührungscurve im doppelten Abstande von o, (oy = 2oy') parallel zu den ersteren gezogen, die Punkte

8    und 8' auf 3' o 4‘ bestimmen. Durch 8 und 8' sind die Bild« flächtracen der gesuchten Berührungsebenen parallel zu III zu führen. Dieselben schneiden die Gerade III IV in den fraglichen Endpunkten III und IV der zweiten Axe.

Wären die Berührungspunkte der Tangenten T und T‘ bestimmt und in die ursprüngliche Lage zurückversetzt worden, so hätten die Perspektiven dieser Punkte offenbar die Endpunkte III und IV direkt gegeben.

c) Eine andere Bestimmungsweise von conjugirten Durchmessern des Umrisses ist folgende:

18*

Es seien wieder Y Z (Fig. 254) die Drehungsaxe, 12 die. kleine und 34 die grosse Axe der rotirenden Ellipse. Vor Allem bestimme man, wie früher, die Axe III des Umrisses, was hier mit Benützung der Vierteldistanz durchgeführt wurde. Es wurden

Fig. 254.

Yl

iP

VI

!......

nämlich die beiden an den umgelegten grössten Parallelkreis K zu ziehenden Tangenten T und T‘ parallel zu jenen Tangenten t und V geführt, welche man aus A an den Kreis k,

dessen .Radius — . 01 4

II

ist, führte.

2'

i./

tj

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-Ï \>, n

i, -.......p

Halbirt man III im Mittelpunkte 0 der Perspektive, so ist H durch 0 die zweite Axenrichtung vertikal zu ziehen.

Je nachdem der Augpunkt A ausserhalb oder innerhalb des Umfanges der Meridianellipse liegt, sind behufs der Bestimmung der Länge dieser Axe zwei Fälle zu unterscheiden.

Für den ersten Fall, wie in Fig. 254, wo A ausserhalb des Umfanges liegt, construire man aus A eine der. beiden Tangenten, z. B. Ali an die Meridiancurve, so wie deren Berührungspunkt M und verlängere dieselbe so lange, bis sie die Axe III OIV in li schneidet. Nun ist bekannt, dass AR auch eine Tangente des Umrisses und M ein Punkt desselben ist, folglich die zu lösende Aufgabe darin besteht, aus den gegebenen Axenrichtungen der Ellipse, aus einer Tangente und dem Berührungspunkt derselben die Axenlängen zu bestimmen.

Nehmen wir zu diesem Behufe die bekannten Axenrichtungen als Coordinatenaxen, und zwar III IV als Abscissen-,

III als Ordinatenaxe an und bezeichnen die Coordinaten des Punktes M in Bezug auf dieses System, d. i. O.P mit x\ MP

mit y\ ferner die Längen der Halbaxen OIV mit a so ist bekanntlich

O l mit &,

JüL _

«2 W 62

wenn man in diese Gleichung y — o substituirt.

die Gleichung der Tangente AR, mithin die Länge OR = a erhalten wird,

Es ist somit

a x‘ = a²,

d. h. die zu suchende Länge a ist die mittlere geometrische Proportionale zu den beiden Längen OP und OR.

Man kann also OP nach Op übertragen, über Rp als Durchmesser einen Halbkreis beschreiben und im Punkte 0 die Senkrechte Ob auf IIIIV bis zum Durchschnitte b mit dem Halbkreise errichten, um in Ob die Länge der fraglichen zweiten Halbaxe zu erhalten, welche vermittelst des aus 0 beschriebenen Halbkreises III b IV nach OIII und O IV zu übertragen ist. Noch einfacher ergibt sich dieselbe jedoch, wenn über O R als Durchmesser der Halbkreis OBR beschrieben und in P die Senkrechte B P auf III IV errichtet wird. O B ist sodann die

gesuchte Halbaxenlänge.

Wäre A innerhalb des Umfanges der Meridianellipse gelegen , so könnten an letztere aus A keine Tangenten gezogen werden. Es dürfte sodann in den meisten Fällen zweckmässig sein, jene Punkte des Umrisses nebst den zugehörigen Tangenten aufzusuchen, welche in der Horizontsebene liegen-.

Die Auffindung dieser Punkte ist bereits im §. 126 erläutert

worden.

Im vorliegenden Falle wurde die halbe Augdistanz benützt, mithin A ol in r halbirt und r A' gleich der halben Augdistanz gemacht, daher der aus A' beschriebene Kreisbogen ao₁ß den umgelegten Parallelkreis mn aß in den Punkten a un.d ß schneidet, deren Perspektiven die in der Horizontslinie gelegenen Punkte des Umrisses geben. Die Bestimmung der zweiten Axe ist dieselbe wie in b), nachdem wieder die Axenrichtungen, ein Punkt V des Umfanges und dessen Tangente F gegeben sind.

¹

Andere Construktionen finden sich im LII. Bande (Jahrgang 1865) der Sitzungsberichte der mathem. naturw. Classe der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, vom Prof. R. Niemtschik veröffentlicht, vor.

²

Von derselben Idee wurde auch bereits bei den regelmässigen Körpei’n sowohl, als auch beim Kreise Gebrauch gemacht.

³

Wenn in der Folge eine in der Bildfläche gelegene Curve ohne nähere Bezeichnung „Meridiancurve“ genannt wird, so ist darunter stets die Perspektive des Hauptmeridians, oder, nach dem oben Angeführten, der wirkliche Meridian einer ähnlichen mit der Axe in der Bildebene gelegenen Umdrehungs-tiäche zu verstehen, auf welche Hilfsfläche die weiter folgenden Construktionen basirt werden sollen.

17²

⁴

Uni nicht immer die Senkrechten auf die umgelegten Horizontaltracen ziehen zu müssen, kann über HD, als Durchmesser, ein Kreis beschrieben werden, welcher die Fusspunkte sämmtliclier Perpendikel enthält.

⁵

Siebe Zeitschrift des österr. Ingenieur- und Architekten-Vereins in Wien, 18. Bd. E. Koutny: „Kugelperspektive“.

Bemerkung. Es ist ersichtlich, dass insbesondere für den praktischen Gebrauch sich die letzterwähnte Auflösungsweise c) nur dann eignet, wenn der Abstand der Ebene des grössten Parallelkreises von der Horizontsebene (wenn A ausserhalb der Meridianellipse liegt, mit Berücksichtigung des Abstandes dieses

Punktes vom Ellipsenumfange) verhältnissmässig nicht zu gering ist, so dass der Schnittpunkt R der Tangente nicht zu weit hinausfällt.

Wenn solch’ ein ungünstiger Fall eintritt, so ist entweder die Auflösungsweise a) anzuwenden, oder man kann sich auch in der Weise helfen, dass man nicht, wie bisher, von dem Durchmesser III ausgeht, sondern einen andern, z. B. jenen Durchmesser des Umrisses aufsucht, welcher erhalten wird, wenn man den höchsten und tiefsten Punkt des Bildes vermittelst eines dem Ellipsoide umschriebenen Cylinders; dessen Erzeugenden horizontal und parallel zur Bildfläche liegen, bestimmt (siehe §. 127) und diese Punkte, welchen zur Grundlinie parallele Tangenten zukommen, mit einander verbindet. Es ergibt sich sodann gerade in einem solchen Falle eine günstige Lage der zu benützenden Linien. Endlich könnte man auch mit Beibehaltung der Axe III, nach der allgemeinen Methode §. 126, eine Tangente und den Berührungspunkt in einer zweckmässigen Lage bestimmen und weiters, wie in c) angegeben wurde, Vorgehen.

§. 130.

Das Hyperboloid.

Da der perspektivische Umriss eines Hyperboloids mit einer zur Bildfläche parallelen Drehungsaxe fast immer eine Hyperbel ist, so wird es sich bei der Verzeichnung desselben um die Bestimmung einer .Axe und der Asymptoten dieser Hyperbel handeln.

Was die Axe betrifft, so ergibt sich dieselbe auf gleiche Weise wie beim Ellipsoid mit Zuhilfenahme eines Cylinders, welcher die Fläche im Kehlkreise berührt, dessen Erzeugenden sonach parallel zur Rotationsaxe sind. Es ist daher in Eig. 255, wenn YZ die Drehungsaxe, fn2x die rotirende Hyperbel und tt, t‘ t‘ deren Asymptoten darstellen, k der in die Bildebene umgelegte Kehlkreis 12, ferner sind I und II die Perspektiven der in demselben gelegenen Punkte des Umrisses, welchen zu YZ parallele Tangenten zukommen, folglich III eine Axe des Bildes wird, welche in 0 halbirt den Mittelpunkt desselben gibt.

Behufs der Asymptotenbestimmung lässt sich ein doppelter Weg einschlagen, und zwar a) ein indirecter und b) ein directer.

a) Indirect kann man die Asymptoten auffinden, wenn man,

. wie in §. 128, c) beim Ellipsoide, einen Punkt und die zugehörige Tangente des Umrisses sucht, hieraus mit Benützung des bereits

aufgefundenen reellen Durchmessers III die conjugirte imaginäre Axe bestimmt und in dem über beiden Axen verzeichneten Parallelogramme die Diagonalen zieht.

Fig. 255.

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es:

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In big. 254 wurde, da sich aus A keine Tangente an die Hyperbel fn2x ziehen liess, der in der Horizontsebene liegende Punkt M des Umrisses und dessen Tangente M a mit Benützung der halben Augdistanz auf-gesucht. Sollte jedoch die Horizontsebene dem Kehlkreise zu nahe liegen, so wäre es H zweckmässiger, nach der allgemeinen Methode einen Punkt des Umrisses in einem beliebigen Parallelkreise zu ermitteln.

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/y

Die im Halbirungs-punkte O des Durchmessers III errichtete Vertikale III ZU, welche offenbar die Richtung der zu III conjugirten, imaginären Axe des Bildes 1 angibt, wird von der Tangente Ma in einem Punkte B getroffen, für welchen, wenn 1II und IIIIV als Coordinatenaxen angenommen werden und M B‘ parallel zu 1II gezogen wird, bekanntlich die Relation OB. OB'= (0111)2

besteht, wobei O III die Länge der zu suchenden Halbaxe ist.

Wird daher über B B‘ als Durchmesser ein Halbkreis beschrieben und aus 0 die Gerade OB senkrecht auf III IV gefällt, so ist O B = O III = O IV die imaginäre Halbaxe. Durch die beiden Axen III und III IV sind die Asymptoten T T und T‘ T‘ gefunden.

b) Für die directe Auffindung der Asymptoten ist gleichfalls vorerst die Axe 1II (Fig. 256) und der Mittelpunkt 0 des

Umrisses auf gleiche Weise wie früher zu suchen. Die Richtungen der Asymptoten können sodann folgends erhalten werden:

Wird durch das Auge eine beliebige, das Hyperboloid schneidende Ebene geführt, werden ferner aus dem Auge an die Schnittlinie die möglichen Tangenten gezogen und diese bis zum Durchschnitte mit der Bildebene verlängert, so werden die so erhaltenen Punkte offenbar dem Umrisse angehören. Es werden daher die in unendlicher Entfernung liegenden Punkte des Bildes erhalten, wenn man die schneidende Ebene durch das Auge pa-• rallel zur Bildfläche führt. In Folge dessen werden die an die

Fig. 256.

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Schnittlinie gezogenen Tangenten auf jene in unendlicher Entfernung liegenden Punkte zugehen, daher parallel zu den Asymptoten sein müssen.

Wir haben sonach, behufs der Auffindung der Asymptotenrichtungen, den Schnitt einer durch das Auge parallel zur Bildfläche geführten Ebene mit dem Hyperboloide aufzusuchen und aus dem Auge an diese Schnittcurve, welche eine Hyperbel ist, die beiden Tangenten zu führen.

Bedenkt man jedoch, dass selbst bei einer verhältnissmässig kleinen Augdistanz die Axen der Schnitthyperbel sehr gross ausfallen, so ist' ersichtlich, dass man auf diese Weise nur umständlich zum Resultate gelangt.

Um dieses Construktionsverfahren auch praktisch anwendbar zu machen, werden wir eine der zu suchenden Schnitthyperbel (welcher zu tt parallele Asymptoten zukommen) ähnliche Curve, jedoch in ihrer orthogonalen Projektion auf der Bildfläche, über dem Mittelpunkte o und denselben Asymptoten 11 verzeichnen, sodann jenen, dem Punkte A analog liegenden Punkt in Bezug auf die verjüngte Hyperbel auffinden und aus diesem Punkte an letztere die beiden Tangenten ziehen, welche gleichfalls die Richtungen der Asymptoten angeben.

Die reelle Axe der Schnitthyperbel wird bekanntlich in jener Ebene erhalten, welche man durch die Drehungsaxe senkrecht auf die Bildfläche legt. Dieselbe ist mithin jener Doppelordinate der rotirenden Hyperbel gleich, welcher eine Abscissenlänge gleich der Augdistanz D entspricht.

Bezeichnen wir die Halbaxen der Meridiancurve mit a und b, ferner jene der Schnitthyperbel mit A und B (welche gegen erstere eine um 90⁰ verwendete Lage haben), so erhält man dem Obigen zufolge

— . l/Z>²--«²

a r

und weil blos eine ähnliche Hyperbel zu construiren ist, also die Sclmittcurve im verjüngten Maassstabe, z. B. in ein Viertel der wirklichen Grösse gezeichnet werden soll,

hu

Dieser Ausdruck lässt sich nun sehr einfach construiren ; denn es wird blos über dem vierten Theile A ~ der Augdistanz

.2 1

ein Halbkreis zu beschreiben, flA = — o2 = — a zu machen,

um in ab —

ferner A ^ von o nach a aufzutragen und daselbst die Vertikale ab bis zum Durchschnitte mit der Asymptote tt zu ziehen sein, oR = — A die verjüngte Axenlänge, mithin in R den Scheitel der betreffenden Hyperbel zu erhalten. Wird weiters ob nach oF übertragen, so ist F der Brennpunkt derselben.

Um nun einen dem Punkte A ähnlich liegenden Paukt zu erhalten, wird man blos A mit o zu verbinden und Ao in vier

jf

o = —Ao zu machen haben. 4

gleiche Theile zu theilen, also

Aus — können nun die beiden Tangenten an die verjüngte Hyperbel gezogen werden, ohne dass es nötliig wäre dieselbe zu verzeichnen, indem man aus ~ den Kreisbogen aFfi beschreibt,

denselben aus F‘ (dem zweiten Brennpunkte) mit einem Kreisbogen vom Radius RR‘ — 2oR in a und [3 durchschneidet und

die beiden Tangenten T und ~z so zieht, dass sie die Bögen

a F und [3 F halbiren. Die zu suchenden Asymptoten sind sodann durch 0 parallel zu den eben gefundenen Tangenten zu ziehen. Die eine T O T derselben fällt hier mit einer Asymptote der rotirenden Hyperbel zusammen, weil der Augpunkt A zufällig in der Asymptote TOT liegt.

Bemerkung. In gleicher Weise können auch die Bestimmungsstücke des perspektivischen Umrisses eines Hyperboloides mit zwei Mänteln gefunden werden, nur ist zu bemerken, dass man die eine Axe nicht mit Hilfe eines zur Rotationsaxe parallelen berührenden Cylinders bestimmen kann, sondern den Erzeugenden desselben eine gegen die Rotationsaxe geneigte, also z. B. eine auf dieselbe senkrechte, jedoch stets zur Bildfläche parallele Richtung geben muss.

§. 131.

Das Paraboloid.

Der perspektivische Umriss eines Paraboloids mit einer zur Bildfläche parallelen Axe ist immer eine Hyperbel, welche, selbst bei einer verhältnissmässig geringen Augdistanz, grosse Axen besitzt. Aus diesem Grunde wird es wohl am zweckmässigsten sein, den Umriss dieser Fläche punktweise zu bestimmen und hiezu die erste allgemeine Methode, §. 125, anzuwenden.

Hier wollen wir nur zeigen, auf welche Weise die Axen und Asymptoten des Umrisses einfach aufgefunden werden können.

amx,

Tangenten At und At‘, so sind diese auch Tangenten an die Perspektive, mithin ist III eine Sehne und AV eine Axen-richtung des Bildes. Um die Endpunkte dieser Axe zu erhalten, denke man sich das Paraboloid von der Vertikalebene V AV ge

Führt man aus dem Augpunkte A (Fig. 257) an die Parabel welche als Hauptmeridian angenommen wird, die beiden

schnitten und betrachte die erhaltene Curve, welche eine der Meridiancurve congruente Parabel ist, als Leitlinie einer berührenden Cylinderfläche, deren Erzeugenden offenbar parallel zu 111 und parallel zur Bildfläclie sind. Die durch das Auge an diesen Cylinder gelegten Berührungsebenen werden im Durchschnitte mit der Bildfläche die zu bestimmende Axe begränzen.

Zur Vereinfachung der Construktion bewegen wir die Parabel 1 V sammt dem Auge parallel zu sich selbst so lange fort, bis deren Axe mit der Drehungsaxe YZ zusammenfällt und der Scheitel 1 nach m, also A nach b gelangt. Weiters drehen wir das Ganze um YZ in die Bildebene, woselbst die Parabel mit

Fig. 257.

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jener amx zusammenfällt und das Auge nach D‘ (bD‘ die Aug-distanz) zu liegen kommt.

Aus D‘ sind nun die beiden Tangenten an die Parabel zu ziehen, wovon sich die eine D‘3, welche YZ in 3 trifft, leicht ergibt, während die andere erhalten werden kann, indem man D‘ M parallel zu 7Z führt, in M die Tangente an die Parabel, so wie durch irgend einen Punkt o der Geraden D‘ M eine Linie pq parallel zu dieser Tangente führt und op von o nach q aufträgt. Es ist ersichtlich, dass die so gefundene zweite Tangente pq die Axe YZ, selbst bei der hier angenommenen, kleinen Aug-distanz, viel zu weit ausser der Zeichnungsfläche schneiden würde,

Aus der vorhergegangenen Construktion ist ersichtlich, dass, wenn man MN parallel zu IIH zieht, in N der Scheitel der orthogonalen Projektion des Hilfsschnittes auf der Bildfläche erhalten wird. Tragen wir daher von N aus nach R und F den halben Parameter der Parabel amx auf, so wird durch R die Leitlinie LL des Schnittes senkrecht auf YZ zu führen sein, während F den Brennpunkt liefert. Die aus A zu ziehenden Tangenten ergeben sich einfach dadurch, dass man aus A die Leitlinie LL mit dem Bogen SF durchschneidet und die Sehnen SF halbirt. Würde der zweite Durchschnittspunkt des Bogens SF mit der Geraden LL ausserhalb die Zeichnungsfläche fallen, so könnte man auch eine zu 111 parallele Gerade ß y ziehen und a ß nach o. y übertragen. A T und A T‘ sind die verlangten Asymptotenrichtungen.

als dass der sich dort ergebende zweite Endpunkt 4 der Axen-länge 3 4 für eine Hyperbelconstruktion benützt werden könnte.

Schliesslich sind die beiden Punkte 3 und 4 parallel zu m 1 nach III, IV in die Vertikalebene zurückzuführen und in diesen Punkten die Tangenten FIII parallel zu III zu ziehen. ¹)

Zum Beliufe der Asymptotenbestimmung führen wir, so wie beim Hyperboloide, durch das Auge eine zur Bildflüche parallele Ebene, suchen den Schnitt derselben mit dem Para-boloide, welcher eine zu amx congruente Parabel ist, und führen aus dem Auge die beiden Tangenten an die Schnittfigur. Diese Tangenten bestimmen die zu suchenden Asymptotenrichtungen.

Bemerkung. Nach denselben Grundsätzen, welche hier bei Botationsflächen entwickelt und in Anwendung gebracht wurden, können auch die Umrisse von den fünf Flächen der zweiten

Ordnung bestimmt werden.

§. 132.

Umdreliungsfläctien mit zur Bildebene geneigten Axen.

Hat die Axe der Fläche eine gegen die Bildfläche geneigte Stellung, so gestaltet sich die directe Bestimmung des perspektivischen Umrisses etwas complicirter. Auch in diesem Falle wird es zumeist zweckmässig sein, berührende Rotationskegel zu benützen und die Contouren derselben, welche zugleich Tangenten des Umrisses der gegebenen Fläche sind, nach dem im §. 125 durchgeführten Verfahren zu bestimmen.

Ohne uns jedoch länger bei dieser Construktionsweise aufzuhalten , wollen wir zu einer zweiten Lösungsweise derselben Aufgabe übergehen und nach dieser Methode die Contour einer Ringfläche aufsuchen.

Es sei la (Fig. 258) die Perspektive der Drehungsaxe. Man lege durch diese und das Auge eine Ebene, deren Bildfläch trace und Verschwindungslinie yz ist und drehe diese sammt der Axe und der in ihr gelegenen Meridiancurve in die Bildfläche. Hiebei gelangt das Auge nach 0 (A\ 0 = A\ Ol5 AOx Augdistanz), weshalb Z, durch d parallel zu Ov, die umgelegte Axe ist. An der gegebenen Stelle verzeichne man nun den Meridian m5m₂6o)j, n n{ 8 n₂ 7 o>₂ • Soll die Verschwindungslinie Ev der Parallelkreisebenen gefunden werden, so ist diese nach §. 41 zu suchen. (0₂ A₁ 0₂ v, Ev A v.)

Behufs der Bestimmung einzelner Punkte des perspektivischen Umrisses denken wir uns wieder an irgend einen Parallelkreis mn der Fläche den berührenden Kegel gelegt, also in m die Tangente m t an den Kreis <o₂ gezogen, welche YZ in der Kegelspitze t schneidet, und an diesen Kegel durch 0 die berührenden Ebenen gelegt. Zu diesem Zwecke führe man durch O eine auf . YZ senkrechte Ebene OM; diese schneidet die Gerade mt in a, daher den Kegel mnt in einem Kreise vom Halbmesser Ca, welcher, um die Trace 0 AI in die Bildfläche gedreht, aus dem Mittelpunkte C zu beschreiben ist.

Um aus 0 an diesen Kreis a a C die beiden Tangenten zu führen, ist es am zweckmässigsten, über dem Durchmesser OC den Kreis K zu beschreiben, welcher die Berührungspunkte a in sich enthält. Auch ist zu berücksichtigen, dass je zwei zusammengehörige Berührungspunkte in einer auf O Al senkrechten Geraden a a‘ gelegen sind.

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Werden die Punkte a‘ und 0 mit t verbunden, was selbst in dem Falle, wo t ausser die Zeichnungsfläche fällt, leicht möglich ist, indem man nur eine zu OM parallele Sehne zu ziehen und diese entsprechend zu theilen hat. so erhält man im Durchschnitte der Geraden yz und Ot die Perspektive s der Kegelspitze t und im Durchschnitte der Geraden oft und mn den Punkt 1, d. i. die Projektion der beiden im Parallelkreise mn liegenden Punkte der Berührungscurve, auf der in die Bildfläche gedrehten Meridianebene a>₁o>₂. Die Entfernung dieser Punkte von der bezeicli-neten Meridianebene kann einfach durch PTmlegen des Parallelkreises mn in die Bildfläche, in lb (lb senkrecht auf mn) gefunden werden. Die Perspektive r dieser Projektion 1 ergibt sich offenbar im Durchschnitte des Sehstrahles Ol mit der Perspektive l.

Weiters denken wir uns die beiden im Parallelkreise mn gelegenen Punkte 11‘ um die Bildfläclitrace yz der Meridianebene l in die ursprüngliche Lage im Raume gedreht; jeder Punkt der Verbindungslinie 1V bewegt sich in einer auf der Bildflächtrace yz senkrechten Ebene, deren Verschwindungslinie Fv somit durch A und deren Bildflächtrace p 1 q durch 1 senkrecht auf yz geht. Die Gerade IV nach der Drehung steht bekanntlich senkrecht auf der durch das Auge gehenden Meridianebene, muss sonach in der Perspektive durch r auf den Ver-schwindungspunkt tq zugehen, welcher im Durchschnitte der Geraden Fv und Olvj (senkrecht auf OlA‘l) sich ergibt. Da jedoch Vy zumeist ausser die Zeichnungsfläche fällt, so ist nothwendig,

sich mit einem aliquoten Tlieile

behelfen. Man hat sodann blos die Länge r A\ geometrisch in n gleiche Tlieile zu theilen, den dem Punkte A\ Nächstliegenden

Theilpunkt mit — zu verbinden und die verlangte Perspektive

rlllvj durch r geometrisch parallel zur letzterhaltenen Geraden zu ziehen.

A₁ der Entfernung v₁ A\ zu

Endlich wird auf dieser Geraden rvl von r zu beiden Seiten die Länge b 1 abzuschneiden sein. Hiezu ist am besten der Theilungspunkt T (iq Ol — vl T) zu benützen, weil er fast immer innerhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche fällt. Man hat also die Gerade Trr' bis zum Durchschnitte r‘ mit p 1 q zu ziehen, r'p — 'Vq — bl zu machen und p und q mit T zu verbinden, um im Durchschnitte der letzteren mit rvl die Punkte III der Contour und in sl und s II die diesen Punkten zukommenden Tangenten zu erhalten.

un-

r Vj

zu legen, indem man die Bildfläch

Würde r sehr nahe an die Gerade Fv fallen, so ergeben sieli die Punkte I und II durch sehr schiefe Schnitte, also genau. Alsdann wäre es gerathen, sich vorerst die Gerade um p q in die Bildfläche Projektion und den Abstand des Punktes r im Raume von der Bildfläche bestimmt, durch den umgelegten Punkt R die Gerade PQ parallel zu Ol vl zieht, von R aus die Stücke RP — R Q = b 1 absclmeidet und die so erhaltenen Punkte P, Q um p q nach I, II zurückführt.

Dass der Punkt v₁ gleichfalls im Durchschnitte der Geraden Ev und Fv liegen muss, folgt daraus, weil die Gerade III im Raume sowohl in der Ebene pq, Fv als auch in der Parallelkreisebene, deren Verschwindungslinie Ev ist, liegt.

Besondere Punkte des perspektivischen Umrisses ergeben sich auch hier etwas einfacher.

Sucht man z. B. jene Punkte V, VI, VII, VIII, in welchen die Contour von der Axe yz geschnitten wird, welche also in der anfangs gewählten, durch das Auge gehenden Meridianebene liegen, so hat man blos aus 0 die möglichen Tangenten O VIII8,

ziehen. Die Tangenten in

zu

O VII7, O VI6, O V5 ana>lö)-2 diesen Punkten der Contour gehen gegen den Punkt vx.

Sollen jene Punkte der Contour gefunden werden, welchen zu yz parallele Tangenten zukommen, so ist zu berücksichtigen, dass für diesen Fall das perspektivische Bild der Kegelspitze in unendliche Entfernung fallen, diese somit im Durchschnitte der Kegelaxe mit jener Ebene, welche durch das Auge parallel zur Bildfläche geht, liegen muss. Die um yz in die Bildfläche gedrehte Kegelspitze befindet sich demzufolge in der Geraden YZ in einer der Länge Ov gleichen Entfernung von d. Werden somit aus dem so erhaltenen Punkte, welcher nebenbei bemerkt, auch als Durchschnitt der Geraden Y Z und O s₂ (durch O parallel zü y z) angesehen werden kann, an den Meridian a)X <u2 die Tangenten axnx verzeichnet (die zweite Tangente an den inneren Theil der Fläche wurde nicht gezogen) und die in dem betreffenden Parallelkreise ml ox nY liegenden Punkte III, IV in gleicher Weise wie die Punkte I und II des Parallelkreises

mn bestimmt*), so entsprechen denselben zu yz parallele Tangenten.

Von besonderer Wichtigkeit sind bei einzelnen Flächen die sogenannten Rückkehrpunkte der Contour, d. s. jene Contour-punkte, in welchen die Curve plötzlich abbricht, oder eigentlich blos einen entgegengesetzten Zug annimmt. Da die Berührungs-curve des Sehkegels mit der Fläche im Raume continuirlich ist, so können offenbar Rückkehrpunkte nur dann Vorkommen, wenn an einzelnen Stellen der Curve im Raume die Tangente derselben durch das Auge geht, sich also perspektivisch als Punkt darstellt. Aus diesem folgt, dass man, um solche Punkte zu fixiren, blos an die durch Verbinden der einzelnen Projektionen i, 2.... 8 — 6, 3, 4, 7 sich ergebende Projektion der Berührungscurve auf der Meridiancurve yz aus 0 die möglichen Tangenten 03, 04 zu ziehen, durch die Berührungspunkte 5, 4 die Parallelkreise m₂ o₂ n₂ zu legen und die Spitze Sl des bezüglichen berührenden Kegels durch die Tangente m₂ /Sj in m₂ zu bestimmen habe.

In der Figur ist die Construktion blos für die im Bilde sichtbaren Rückkehrpunkte IX und X durchgeführt. Es schneidet nämlich der Sehstrahl 0 3 die Axe y z in r₂, daher die Punkte IX und X in der Geraden r₂ vx in einem der Ordinate 3 b2 gleichen Abstande von yz liegen. Die Perspektive der Kegelspitze S₁ fällt nach und gibt mit IX und X verbunden die Tangenten dieser äussersten Punkte des Curvenstückes IX VIX.

Wie sich das eben durchgeführte Construktionsverfahren gestalten wird, wenn die Axe yz in der Bildebene liegt, also v in unendlicher Entfernung angenommen wird, bedarf wohl keiner weiteren Erörterung.

aus welchen

Ist die Rotationsfläche vom zweiten Grade, so wird man behufs der Bestimmung eines conjugirten Axenpaares am zweck-massigsten die beiden Punkte, welchen zur Axe der Rotationsfläche geometrisch parallele Tangenten zukommen und die in die Axenperspektive fallenden Punkte des Umrisses angeben. Die Verbindungslinie der ersteren Punkte bildet einen Diameter und die Verbindungslinie der letzteren, eine zu dem zweiten conjugirten Durchmesser parallele Sehne der Contour, beiden Stücken dieser Durchmesser selbst so gefunden werden kann, wie es in §. 129 angegeben wurde.

*) Die gleichen Construktionslinien sind hiebei auch mit denselben Buchstaben bezeichnet, welchen jedoch der Zeiger 1 beigesetzt wurde.

19

Peschka u. Koutny, Perspektive.

Tangirungsebenen an

Umdrehungsflächen.

§. 133.

Aufgabe.

Es ist durclj einen Punkt der Oberfläche eines Rotationskörpers eine berührende Ebene zu legen.

Lösung. Es sei amx (Fig. 259) die Perspektive der Bildfläche parallelen Meridiancurve, YZ die Drehungsaxe und der Halbmesser des durch den gegebenen Punkt Al gehenden Parallelkreises. Der Punkt Al sei durch seine orthogonale Projektion ³ M‘ auf der- Hauptmeridianebene angenommen worden. Es ist sodann M₂mMx der parallel zur Bildfläche gedrehte Parallelkreis, daher unserer Annahme die beiden Punkte Mx und AI₂ der Oberfläche entsprechen. A D sei die Augdistanz.

Wir wollen die Berührungsebene für den Punkt Alx der Fläche bestimmen. Da der Parallelkreis AI₂ m Mx x durch den Punkt Al der Fläche geht, so wird, wenn man an denselben in z Alx eine Tangente Alxd führt, Alx d die umgelegte Tangente Md, an den Parallelkreis im Raume sein, durch welche die Berührungsebene geht. Die durch D zu Mx d Parallele Dv trifft die Horizontslinie im Verschwindungspunkte v der Tangente Aid, daher Al mit v verbunden die Perspektive dieser Tangente ist, welche durch d hindurchgehen muss, weil dieser Punkt bei der Drehung ungeändert bleibt.

Denkt man sich ferner durch M die Meridianebene gelegt und dieselbe in den Hauptmeridian gedreht, so gelangt M nach to. Die in m an den Hauptmeridian geführte Tangente trifft die Axe YZ in t, welcher Punkt beim Zurückdrehen ungeändert bleibt, daher t mit d verbunden die Trace Eh der Berührungsebene auf der Hauptmeridianebene gibt, zu welcher die Yerschwindungslinie Ev dieser Ebene durch v parallel gezogen werden muss.

Fig. 259.

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Auf gleiche Weise kann die Berührungsebene im Punkte M2 gefunden werden.

§• 134.

Aufgabe.

Es ist durch einen ausserhalb liegenden Punkt an eine TJmdrehungsfläche ein berührender Kegel zu legen und dessen Berührungscurve zu bestimmen.

Lösung. Denken wir uns, der Einfachheit halber, wieder die Axe Y Z (Fig. 260) der Rotationsfläche in der Bildebene liegend und den Punkt S durch seine orthogonale Projektion S“ auf der Bildebene bestimmt, so kann man, zum Be- s hufe der Auffindung — einzelner Punkte der Berührungscurve, einen doppelten Weg einschlagen, nämlich wie bei der Con-struktion des sicht- 9 baren Umrisses, berührende Kegel-oder Cylinderflächen anwenden.

Fig. 260.

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Ist also nnxn₂ X die Meridiancurve (blos auf einer Seite der Axe verzeichnet), mn der Durchmesser eines Parallelkreises und ns die Tangente im Endpunkte desselben an die Meridiancurve, so hat man an die durch Rotation der Tangente ns um YZ entstandene Kegelfläche durçh S die berührenden Ebenen zu legen und jene Punkte der Berührungserzeugenden zu bestimmen, welche gleichzeitig in der Oberfläche des Rotationskörpers liegen. Zu diesem Zwecke denke man sich

19*

durch S eine horizontale Ebene geführt, deren Bildflächtrace S" T durch S“ geht.

Diese Ebene schneidet die Kegelfläche in einem Kreise, dessen Radius ja <o ist. Wird diese Horizontalebene, sammt dem in ihr liegenden Punkte S und dem Kreise ja œ, um S“ T in die Bildfläche gedreht, so fällt der Punkt S nach Sl, während der Kreis aus ui mit dem Radius jaw zu beschreiben ist. Von Sy sind nun die beiden Tangenten an den Kreis zu ziehen und die Berührungspunkte « und b zu bestimmen, was am einfachsten dadurch erreicht wird, dass man über S₁ u> als Durchmesser einen Kreis S₁S"(d beschreibt, welcher den ersteren in den Punkten a und b schneidet. Diese Punkte wären nun zurückzudrehen, mit s zu verbinden und die Verbindungslinien mit dem Parallelkreise mn zum Durchschnitte zu bringen, welches auf mehrfache Weise bewerkstelligt werden kann.

Am einfachsten und selbst in dem Falle, wo der Schnittkreis ja tu sehr klein wird, oder sogar in einen Punkt übergeht, erhält man vollkommen genau die den Punkten a und b entsprechenden Punkte 1 und 1‘ des Parallelkreises mn, wenn man die Radien 1 o und 1‘ o derselben senkrecht auf die bezüglichen Tangenten Sy b und Sy a fällt.

Die Punkte 1 und 1‘, um mn in die horizontale Lage zurückgedreht, geben die beiden im Parallelkreise mn gelegenen Punkte 1 und 1* der fraglichen Beriihrungscurve.

Wird dieses Verfahren mit hinreichend vielen Parallelkreisen wiederholt, und werden die so erhaltenen Punkte durch eine Curve verbunden, so ist diese das Bild der in Rede stehenden Tangirungscurve.

Um weiters die zweite Auflösungsweise, nämlich die mit berührenden Cylinderflächen, durchzuführen, wählen wir irgend einen Meridian der Fläche und betrachten denselben als die Leitlinie einer auf dieser Meridianebene senkrecht stehenden Cylinderfläche.

Legt man durch den Punkt S eine Gerade parallel zu den Cylindererzeugenden, bestimmt deren Durchschnitt mit der Meridianebene und dreht diese um YZ in den Hauptmeridian, wobei der Durchschnittspunkt in die Gerade S" T fällt, so hat man aus diesem Punkte die möglichen Tangenten an den Hauptmeridian zu führen und die Berührungspunkte in die angenommene Meridianebene zurückzudrehen.

Es ist einleuchtend, dass man auch bei dieser Methode die durch S gelegte, in die Bildfläche gedrehte Horizontalebene benützen wird.

Noch sei hier einiger besonderer Punkte Erwähnung gethan.

Die wichtigsten hievon sind jene, welche den sichtbaren Theil der Curve von dem gedeckten trennen und welche sonach im Umrisse der Fläche liegen. Wird dieser Umriss als Leitlinie eines die Umdrehungsfläche berührenden Kegels gedacht, so ist, wie aus dem Begriffe des Umrisses hervorgeht, die Spitze desselben das Auge. Es werden sonach die Bildflächtracen der durch den Punkt S im Raume an diese Kegelfläche gelegten, berührenden Ebenen durch die Perspektive S tangirend an den Umriss zu ziehen sein, wo sodann die Berührungspunkte II und 1I‘ die zu suchenden Punkte liefern.

Legt man durch den Punkt S und die Axe YZ eine Ebene und dreht dieselbe in die Bildfläche, so gelangt S nach S2 (o> S₂ — <o Si). Die durch S₂ an den Hauptmeridian gezogenen Tangenten berühren denselben in Punkten, welche, in die ursprüngliche Ebene zurückversetzt, die höchsten und tiefsten Punkte der Berührungscurve geben.²)

Wird der Hauptmeridian als Leitlinie der Cylinderfläche angenommen, so sind deren Erzeugenden senkrecht auf der Bildfläche und es ist mithin S" der Fusspunkt jener aus S zu den Cylindererzeugenden parallel geführten Geraden. Es werden daher aus S" die Tangenten an den Hauptmeridian zu ziehen sein, um die der Berührungscurve angehörigen Punkte III und 111‘ zu erhalten.

Wird bei der Methode der berührenden Kegelflächen die Kegelspitze immer weiter hinausgerückt, bis endlich die Kegelfläche in eine vertikale Cylinderfläche übergeht, und wird in gleicher Weise wie oben vorgegangen, so erhält man die Punkte IV und IV der Berührungscurve.

Wenn endlich derjenige Parallelkreis m₃ n₃ o₃ benützt wird, bei welchem die betreffende Kegelspitze mit o> zusammenfällt, so übergeht der Schnittkreis dieses Kegels mit der Horizontalebene $2 T in einen Punkt <o, woraus folgt, dass im Parallelkreise m₃ ?i3 der Durchmesser 5 5‘ senkrecht auf Sl(u zu führen ist, um die Punkte 5 und 5‘ zu erhalten, welche um m₃ n₃ in die horizontale Lage zurückversetzt, die Punkte V und V‘ der Curve liefern.

Es ist auch hier zweckmässig, sich vorerst alle besonderen Punkte zu bestimmen und hierauf nach der einen oder nach der andern Methode Punkte dort aufzusuchen, wo sie zur genauen Verzeichnung der Curve noch nothwendig sind.    *

§. 135.

Aufgabe.

Es ist parallel zu einer gegebenen Geraden an eine Um-drehungsfläebe ein berührender Cylinder zu legen und die Be-rührungscurve zu bestimmen.

Lösung. Diese Aufgabe lässt sich ebenfalls auf doppelte Weise, nämlich entweder mit Hilfe von berührenden Kegel-, oder Cylinderflächen durchführen, wovon jedoch die erste Methode die einfachere ist.

Es sei der Verschwindungspunkt v der Geraden, durch — {Ą-Ę- — ~£-Av) gegeben, amX (Fig. 261) der Hauptmeridian,

a‘ m‘ x‘ der perspektivische Umriss der Umdrehungsfläche und YZ die Rotationsaxe. Man betrachte einen Parallelkreis, z. B. mn, als die Leitlinie eines die Umdrehungsfläche berührenden Kegels, dessen Spitze in S ist, verbinde S mit dem Verschwin-dungspunkte v der gegebenen Geraden und lege auf bekannte Weise durch S v die tangirenden Ebenen an die Kegelfläche, welche in zwei Erzeugenden berührt wird, die im Durchschnitte mit dem Parallelkreise zwei Punkte der zu suchenden Curve bestimmen.

Um die hier nothwendigen Construktionen einfach durchzuführen, ohne die Perspektive des Parallelkreises zu verzeichnen, kann folgends vorgegangen werden.

Man bestimme vorerst den Abstand des Durchschnittspunktes der Geraden Sv mit der Parallelkreisebene von der Axe YZ, welcher erhalten wird, wenn man durch Sv und die Axe eine Ebene legt und selbe um YZ in die Bildfläche dreht. Hiebei wird es sich vorzugsweise um die Richtung der in die Bildfläche

gedrehten Geraden handeln, welche sich bekanntlich durch Drehung des Parallelstrahls v um die Trace v Vj ergibt.

Da hier die Construktion mit Benützung aliquoter Theile,

also mit ~~ vorgenommen wurde, so bestimmt — Ml die be-Æ Æ    4    4

sagte Richtung. Es ist nämlich A gleich dem vierten Theile

Fig. 261.

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der Augclistanz und die Länge    nach    zu übertragen.

Wird demnach Sb parallel zu — — YL bis zum Durchschnitte 8

4    4

mit der Trace mn gezogen, so ist bo der zu suchende Abstand.

Weiters denke man sich die Horizontalebene mn in die Bild-flache gedreht, woselbst der Parallelkreis über mn zu beschreiben ist und es nur noch darauf ankommt, den umgelegten Durchstoss-punkt o zu ermitteln, dessen Entfernung vom Mittelpunkte o soeben gefunden wurde.

Offenbar ist die Gerade 08 im Raume nichts anders als die orthogonale Projektion der Geraden Sv auf der Parallelkreisebene und muss daher auch parallel zur orthogonalen Projektion des Parallelstrahls v der gegebenen Geraden auf der Horizontsebene sein. Diese Projektion wird jedoch durch den Verschwin-

ist, angegeben, und es wird

dungspunkt vl, wobei Avl = 4 . A

mithin die Richtung der umgelegten Geraden oo durch den umgelegten Parallelstrahl vl, also in —A erhalten.

Dem Vorigen zufolge wird sich daher der umgelegte Durch-

V\ D‘2

ZU —r--~

gezogen und

stosspunkt 8 ergeben, wenn 08' parallel

gleich oo gemacht wird. Werden endlich von 8' an den Parallelkreis die beiden Tangenten 8‘1 und 8'2 gezogen und die Berührungspunkte 1 und 2 in die Horizontalebene zurückgedreht, so ergeben sich die in dem angenommenen Parallelkreise liegenden Punkte I und II der Berührungscurve.

Uebergeht für einen Parallelkreis die Kegelfläche in eine Cylinderfläche, so fällt der Durchstosspunkt einer durch die Spitze parallel zur gegebenen Geraden gelegnen Linie mit der Parallelkreisebene in unendliche Entfernung; es ist daher der Abstand 08 unendlich gross, folglich die Tangenten an den umgelegten Parallelkreis parallel zu ~ ~~ zu ziehen sein werden.

Bedenkt man, dass der Punkt 8' blos zum Ziehen der beiden Tangenten 8'i, o‘2 erforderlich ist und von diesen eigentlich nur die Berührungspunkte benützt werden, so ist einleuchtend, dass es am zweckmässigsten sei, nicht jenen Punkt 8', sondern sogleich den Halbirungspunkt a' der Länge o o‘ aufzusuchen, da sodann die Berührungspunkte 1, 2 durch Verzeichnen des Kreisbogens 2 o 1 aus dem Mittelpunkte a' leicht erhalten werden und hieraus überdies noch der Vortheil erwächst, dass diese Halbirungs-punkte nicht so häufig ausser die Zeichnungsfläche fallen, wie dies bei den umgelegten Durchstosspunkten 8' eintritt.

A und verbindet A mit

Halbirt man die Länge ~~~ in —, so wird man durch S anstatt der Geraden So jene Sa parallel zu A -j- zu ziehen und die Länge o a nach o cd zu über

tragen haben, um den gewünschten Halbirungspunkt zu erhalten.

Hier wurden auf diese Weise auch die in der Horizontsebene, also im Parallelkreise mj o₁ liegenden Punkte III und IV der Berührungscurve gefunden. ^ ist die Spitze des berührenden

Kegels, daher, wenn Sl ß parallel zu A J geführt und Oj ß = o₁ ß'

gemacht wird, sich in ß' der betreffende Halbirungspunkt ergibt, aus welchem, als Mittelpunkt, der die umgelegten Berührungspunkte enthaltende Bogen 4o₁3 zu ziehen ist. Der umgelegte Fusspunkt o\ der Geraden Slv hätte sich daselbst nicht mehr innerhalb den Gränzen der Zeichnungsfläche ergeben.

Fällt bei einem Parallelkreise die Spitze des betreffenden Berührungskegels zu weit ausser die Zeichnungsfläche, wie z. ß. bei Io₂, so kann man aliquote Tlieile der Entfernungen benützen. So wurde hier X o₂ in m₂ halbirt und m₂ a parallel zur Tangente Xt bis zum Durchschnitte a mit YZ geführt. Es ist alsdann auch o₂ a der halbe Abstand der Kegelspitze von o₂. Nun kann

S> Mi

durch a eine Gerade parallel zu

oder wie es hier gemacht

wurde, parallel zu A-— gezogen werden, woselbst man im ersten

Palle sogleich den Abstand des in Iiede stehenden Halbirungs-punktes von der Rotationsaxe, im letztem Falle jedoch den halben .Abstand o₂ £ erhält, welcher nun zweimal auf die Richtung o₂z‘ aufgetragen, d. i. o₂ z‘ = 2 o₂ e gemacht werden muss.

Würde auch z‘ über die Zeichnungsgränze hinausfallen, so wird man am einfachsten zum Resultate gelangen, wenn man so wie oben gezeigt wurde zu Werke geht, jedoch den Kreis über m₂ o₂ als Radius beschreibt, denselben aus s" (o₂ z“ — o₂ e) mit einem Kreisbogen vom Radius o₂ z“ durchschneidet und die Radien der beiden Durchschnittspunkte bis zum Durchschnitte 5 und 6 mit dem umgelegten Parallelkreise verlängert.

Die zweite Auflösungsweise dieser Aufgabe, d. i. jene mit Benützung von berührenden Cylindern, ist etwas umständlicher) jedoch für einzelne Lagen der Meridianebene vortheilhaft anzuwenden.

Nehmen wir nämlich den Hauptmeridian als Leitlinie einer Cylinderfläche an, deren Erzeugenden auf der Bildfläche senkrecht stehen und suchen jene Ebene, welche parallel zur gegebenen Geraden und zu den Erzeugenden ist, so muss Av die Ver-schwindungslinie sein und die Trace dieser Ebene auf der Meridianebene parallel zu Av gehen.

Zieht man daher parallel zu — A Tangenten an den Hauptmeridian, so berühren dieselben den letzteren in Punkten, welche der Berührungscurve angehören.

(bereits früher gefunden) die Rich-

fläche gedreht, so ist — tung des in gleicher Weise gedrehten Parallelstrahls. Es werden

Wird ferner jene Meridianebene gewählt, welche parallel zur gegebenen Geraden ist, deren Verschwindungslinie sonach die vertikale Gerade vvt ist, und wird dieser Meridian in die Bild-v B\

mithin die in der angenommenen Ebene liegenden Punkte der

Berührungscurve gefunden, wenn man parallel zu

v D\    -,

---- an den

4

Hauptmeridian Tangenten führt und die Berührungspunkte in die frühere Ebene, nach FZJ, zurückdreht. Die Tangente in diesem höchsten Punkte der Berührungscurve wird erhalten, wenn man

-~²- senkrecht auf ~ errichtet, A v₂ = 4. A macht und v₂ mit VII vereint.

Wichtige Punkte der Curve werden erhalten, wenn man aus v an den Umriss der Rotationsfläche die möglichen Tangenten (hier also vT) führt. In den Berührungspunkten (FIII....) ergeben sich sodann die Gränzen des sichtbaren Theiles der Berührungscurve.

Denn denkt man sich das Auge als die Spitze eines um die Rotationsfläche beschriebenen Kegels und an diesen parallel zur gegebenen Geraden die möglichen Tangirungsebenen gelegt, so werden ihre Bildflächtracen durch v tangirend an die Bildfläch-trace der Kegelfläche, d. i. an den Umriss zu ziehen sein. Dass diese Gerade v T zugleich zur Tangente der Berührungscurve im Punkte VIII derselben wird, ist selbstverständlich.

In jedem Falle ist es gerathen, vorerst die besonderen Punkte der Berührungscurve aufzusuchen und sodann auf die allgemeine Weise so viel Zwischenpunkte zu bestimmen, als man zum Ziehen der Curve für nothwendig erachtet.

*) Specielle Construktion der Berührungscurven an Rotationsflächen vom zweiten Grade finden sich im 55. Bande der Sitzungsberichte der kais. Akademie der Wissenschaften in Wien vor. (Siehe E. Koutny: „Construktion der Selbstschattengrenze von Rotationsflächen.)

¹

Wir haben hier gleichzeitig eine neue Construktion des Umrisses kennen gelernt, welche sich jedoch blos für ein Paraboloid eignet, indem dieses auch derart dargestellt werden kann, dass sich eine zu a m x congruente Parabel auf der Parabel amx, als Leitlinie, so fortbewegt, dass ihr Scheitel stets den Umfang der letzteren durchschneidet und die Ebenen beider Parabeln auf einander senkrecht stehen, während die Axen immer in einer und derselben Ebene verbleiben.

Wird also mit beliebigen, auf der Bildfläche senkrechten Vertikalebenen so verfahren, wie oben mit VA V, so wird man eine Reihe von Punkten des Umrisses nebst den zugehörigen Tangenten erhalten.

²

Hier wurde die Construktion blos für einen Punkt VI im Parallelkreise m₂ n-2 durchgefülirt.

Auch ist zu bemerken, dass die so erhaltenen Punkte wohl die höchsten und tiefsten Punkte der Curve im Raume, jedoch nicht die der Perspektive sind, dass denselben mithin horizontale Tangenten entsprechen, welche auf einen in der Horizontslinie liegenden Verschwindungspunkt zugehen.

Kapitel XIII.

Schnitte krummer Flächen mit Ebenen.

Kegel- und Cylinderflächen.

§. 136.

Allgemeine Bemerkungen.

Da eine Kegelfläche als Pyramide, eine Cylinderfläche als Prisma von unendlich grosser Seitenanzahl betrachtet werden kann, so findet das im Kapitel X Gesagte auch hier seine Anwendung und wird daher bei den folgenden Erörterungen als Grundlage dienen können.

Aus der unendlich grossen Flächenzahl folgt unmittelbar, dass die einzelnen Pyramiden- und Prismenflächen nur eine unendlich kleine Ausdehnung nach der Breite haben, ihre Ebenen sonach nichts anders als Tangirungsebenen an die einzelnen Erzeugenden der Kegel- und Cylinderfläche sind. Hieraus folgt ferner, dass die zweite dort angeführte Methode (wo durch die einzelnen Seitenflächen Ebenen gelegt und mit der schneidenden Ebene zum Durchschnitt gebracht werden), für diese Art krummer Flächen insoweit angewendet werden könnte, als man an mehr oder weniger nahe an einander gelegene Erzeugenden der Fläche die tangirenden Ebenen führen und dieselben mit der gegebenen Ebene zum Durchschnitt bringen würde. Die so gefundenen Schnittlinien würden sodann die Tangenten an die Schnittcurve in den ihnen zugehörigen Punkten der Erzeugenden geben, indem sie, wie bei eckigen Körpern, den Schnitt einer Seitenfläche, d. i. ein Element der Curve in sich enthalten.

Umgekehrt enthält der zuletzt aufgestellte Satz die Lösung der Aufgabe: „An einen Punkt der gefundenen Schnittcurve die Tangente zu ziehen.“ Dies wird sonach in der Weise geschehen, dass man in dem gegebenen Punkte die Tangirungsebene an die krumme Fläche legt und deren Schnitt mit der schneidenden Ebene sucht, welcher die verlangte Tangente gibt.

Dieser Satz hat auch seine Gültigkeit für alle andern Flächen, was leicht einzusehen ist, wenn man sich die krumme Fläche als ein aus unendlich vielen Elementen zusammengesetztes Polyeder denkt. Einfach ergibt sich aber auch dieser Satz aus der Eigen-

schaft der Tangirungsebenen, dass dieselben alle Tangenten der in dem betreffenden Punkte auf der krummen Oberfläche gezogenen Curven in sich enthalten, daher die Tangente an die Schnitt-curve, in der zugehörigen Berührungsebene und in der Schnittebene liegend, sich als Durchschnitt dieser beiden Ebenen ergeben muss.

Auf den Schnitt von Kegel- und Cylinderflächen übergehend, ist klar, dass die Auflösungsweise mit Hilfe von Tangirungsebenen viel zu umständlich wäre, als dass man dieselbe anwenden würde. Es ist daher für diese Flächen nur diejenige Auflösungsweise anzurathen, wo man den Durchschnitt einer ßeihe von Erzeugenden mit der Schnittebene aufsucht. Behufs der Wahl der durch die Erzeugenden zu legenden Hilfsebenen ist zu beachten, dass die Erzeugenden von den Hilfsschnitten nicht unter zu spitzen Winkeln getroffen werden sollen und dass es zweckmässig sei, diese Hilfsebenen bei Cylinderflächen zu einander parallel, bei Kegelflächen aber derart zu legen, dass sie sich in einer durch die Spitze gehenden Geraden schneiden. Diese Ebenen bildfiächprojecirend anzuwenden, wird wohl der schiefen Schnitte halber nur selten rathsam sein und sonst auch keine beachtens-werthe Vereinfachung der Construktion gewähren.

§. 137.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt einer Cylinderfläche mit einer Ebene zu bestimmen.

Lösung. Es sei Eb Ev (Fig. 262) die Leitlinienebene der Cylinderfläche, v der Verschwindungspunkt der Erzeugenden und E‘b E‘v die schneidende Ebene. Man wähle in der Verschwin-dungslinie Ev der Basisebene einen Punkt ^ und verbinde denselben mit v, wodurch man die gemeinschaftliche Verschwindungs-linie vvl der Hilfsebenen, in Vj den Verschwindungspunkt der Tracen der Hilfsebenen auf der Basisebene und im Durchschnitte v₂ der beiden Verseilwindungslinien vvl und E‘v den Verschwindungspunkt v₂ sämmtlicher Tracen auf der Sclmittebene erhält. Da hier jedoch der Punkt vx im Durchschnitte der beiden Ver-schwindungslinien Eu und E‘v angenommen wurde, so fällt auch v₂ mit vl zusammen.

Zieht man nun durch irgend eine die Leitlinie in c und d schneidende Gerade ^ß, so kann man durch diese und die

geraden Erzeugenden cv und dv eine Hilfsebene legen, welche vvl zur Yerschwindungslinie und (3 (3', parallel zu vvl^ zur Bild-flächtrace hat. Letztere schneidet E\ in (3', und da vx ein Punkt des Schnittes ist, so gibt vY (3' die Trace der Hilfsebene auf der Schnittebene, welche die Erzeugenden cv und dv in den Punkten 3 und 4 der Schnittcurve trifft.

Auf einige Punkte der Schnittlinie ist besonders Rücksicht zu nehmen, d. s. die Punkte in den sichtbaren Umrissen und jene, an welche die Hilfsschnitte zugleich Tangenten sind. Was die ersteren anhelangt, so ist klar, dass man einfach durch die

Fig. 262.

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Erzeugenden, welche den Umriss bilden, Hilfsebenen zu legen und wie früher vorzugehen hat. Die betreffenden Erzeugenden werden sodann Tangenten an die Curve in diesen Punkten sein und in jenen Fällen, wo die Lage der schneidenden Ebene eine solche ist, dass ein Theil der Schnittcurve durch den vordem Theil der Fläche gedeckt erscheint, werden dieselben die Gränz-punkte des sichtbaren Theils der Schnittlinie angeben. Aehnliches gilt allgemein für jede Fläche.

Zieht man ferner aus vx die beiden Tangenten an die Leitlinie und bestimmt auf gleiche Weise den Schnitt der betreffenden Erzeugenden, wie z. B. jenen 5 der Erzeugenden r/i, so ist die Schnittlinie b‘vx zugleich Tangente im Punkte 5 der Schnittcurve; denn die Ebene So', vvl ist zugleich Tangirungsebene der Cylinderfläche, daher ihr Schnitt mit E‘h E‘v Tangente an die Schnittcurve. Die zweite aus vx an die Leitlinie gezogene Tangente vl'( trifft Eb ausserhalb der Zeichnungsfläche. Man kann sich in einem solchen Falle leicht helfen, wenn man durch einen beliebigen Punkt der Schnittlinie UW der beiden Ebenen Eb Ev, E‘i E'v wählt und durch denselben eine zur Bildfläche parallele Hilfsebene legt. Es sind sodann <L> a parallel zu Et und ó «' parallel zu E't die Tracen dieser Hilfsebene auf der Basis- und Schnittebene. Wird nun y bis zum Durchschnitte y mit <17. verlängert, hierauf y y' parallel zu [5 ß' bis zum Durchschnitte y' mit fji a' gezogen, so ist yxvx der zu suchende Hilfsschnitt, welcher die Erzeugende y v in 6 schneidet und die Schnittcurve in diesem Punkte berührt. Hier wurde der Punkt <1 so gewählt, dass die Trace <l> a durch den Punkt y geht, und die durch tji gelegte zur Bildfläche parallele Ebene auf die eben angegebene Weise auch zur Bestimmung des im Umrisse av liegenden Punktes 1 der Schnittcurve benützt.

Ist im Punkte 3 an die Schnittcurve die Tangente zu ziehen, so bestimme man die diesem Punkte entsprechende Erzeugende cv und führe in c an die Leitlinie die Tangente cm bis zum Durchschnitte m mit X Y. Nachdem nun m ein Punkt des Schnittes der Tangirungsebene mit der schneidenden Ebene ist, so muss dieser mit 3 verbunden die gewünschte Tangente geben.

§. 138.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene zu bestimmen.

Lösung. Nehmen wir die Horizontalebene Eb Ev (Fig. 263) als Ebene der Leitlinie, S als Kegelspitze und die auf Et Ev gefällte Senkrechte SS' als dessen Höhe an; die schneidende Ebene sei E‘b E‘v und xy Y ihr Schnitt mit der Basisebene.

Fig. 263.

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Um die Schnittcurve zu bestimmen, ziehe man durch die Spitze irgend eine Gerade /SA so, dass sie parallel zur Basisebene ist und lege durch dieselbe die schneidenden Hilfsebenen. Hier wurde die Gerade SA parallel zur Bildfläche

Eb

angenommen, wesshalb die Tracen der Hilfsebenen auf der Basisebene zu Eh parallel sein müssen. Die Tracen auf der schneidenden Ebene hingegen geben durch den Durchstosspunkt A der Geraden SA mit letztgenannter Ebene, welcher in unserem Falle sich einfach vermittelst der durch SA zur Bildfläche parallel geführten Ebene S' « A ergibt.

Wählen wir irgend eine Trace e/ß, so ist ßA der zugehörige Hilfsschnitt mit E\ E‘v, welcher den entsprechenden Erzeugenden eS und fS in den Punkten 4 und 5 der Schnittcurve begegnet. Auf gleiche Weise werden die Punkte 2 und 3 in den Umrissen bS und cS und beliebig viele Punkte der Schnittcurve, so wie die in Bezug auf die Richtung Eb äussersten Punkte 6 und 7 in den Erzeugenden g S und h S gefunden. In 6 und 7 müssen die Hilfsschnitte y A und ô A die Schnittcurve tangiren.

Die Construktion der Tangenten an irgend einen Punkt 1 der Schnittlinie ist auf gleiche Weise wie im vorigen Falle vorzunehmen und aus der Figur ersichtlich.

Hat die schneidende Ebene eine solche Lage, dass eine oder mehrere Erzeugenden der Kegelfläche zu derselben parallel sind, so besitzt die Schnittcurve unendliche Aeste mit oder ohne Asymptoten, welch’ letztere sich im Durchschnitte der durch die bezeichneten Erzeugenden gelegten Tangirungsebenen mit der Schnittebene ergeben. Um diese Fälle festzustellen, verschiebe man die schneidende Ebene parallel zu sich selbst so lange, bis sie durch die Kegelspitze geht und untersuche, ob die Leitlinie von derselben geschnitten, berührt oder gar nicht getroffen wird. Im ersten Falle ergibt sich eine Schnittcurve mit Asymptoten, im zweiten Falle ohne Asymptoten, jedoch gleichfalls mit unendlichen Aesten, im letzten Falle endlich eine begränzte Schnittlinie. Ist die Leitlinie eine Curve des zweiten Grades, so sind die betreffenden Schnittcurven im ersten Falle Hyperbeln, im zweiten Parabeln und im dritten Ellipsen, selbstverständlich jedoch, dass im ersten Falle die Hyperbel zur geraden Linie wird, wenn die Schnittebene selbst durch die Spitze hindurchgeht und dass die Ellipse in speciellen Fällen in einen Kreis übergehen kann. Zu bemerken bleibt jedoch noch für solche Fälle, dass das eben Gesagte für die Schnittcurve im Raume und nicht für die Perspektive derselben gilt. Die Untersuchung der letzteren muss selbständig vorgenommen werden.

§. 139.

Aufgabe.

Es ist eine Kegelfläche mit kreisförmiger Leitlinie durch eine Ebene nach einer Hyperbel zu schneiden.

Lösung. Ist der in der Bildfläche gelegene Kreis ab cd (big. 264) die Leitlinie, S die durch ihre Bildflächprojektion S“ bestimmte Spitze der Kegelfläche, so wird, dem Vorhergegangenen zufolge, die schneidende Ebene derart anzunehmen sein, dass sie zu zwei Erzeugenden parallel ist. Zu diesem Behufe kann

man

Fig. 264.

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entweder zwei Erzeugende annehmen, durch dieselben eine Ebene legen und diese parallel verschieben, oder auf folgende Art Vorgehen. Sucht man den Verschwindungspunkt o‘ jener Geraden, welche den Kreismittelpunkt 0 mit der Spitze verbindet (was durch die schneidende Gerade ASS“ möglich ist, indem die durch A zu S“ 0 parallele Gerade Ao‘ die Linie öS im Punkte 0' trifft), ferner den Verschwindungspunkt a‘ irgend einer Erzeugenden a S, so ist 0' der Mittelpunkt und o‘a‘ der Radius jenes Kreises, welcher die Verseilwindungslinie der Kegelfläche, d. i. den Durchschnitt eines durch das Auge, als Spitze, zu dem

gegebenen Kegel parallel gelegten Kegels mit der Bildfläche darstellt. Wird die Verschwindungslinie Ev der schneidenden Ebene so angenommen, dass sie diesen Kreis schneidet, so kann die Bildflächtrace Eb beliebig gewählt werden, um einen Hyperbelschnitt zu erhalten; denn, da die Verschwindungslinie Ev den Kreis in den Punkten 7 und 8 schneidet, so wird die Ebene EbEv zu den beiden Erzeugenden 7 8 und 8 8 parallel sein.

Um die Schnittlinie zu construirez, könnte man auf dieselbe Weise wie im vorigen Beispiele zu Werke gehen, doch wollen wir hier eine andere, in einem solchen Falle anwendbare Methode angeben. Schneiden wir nämlich die Kegelfläche und die Ebene Ey Ev durch Hilfsebenen, welche zur Bildfläche parallel sind, so wird der Schnitt mit ersterer im Bilde ein Kreią und mit letzterer eine zu Ei parallele Gerade sein, und es werden sich, im Durchschnitte beider, Punkte der zu suchenden Schnittcurve ergeben.

Um die Construktion so einfach als möglich durchzuführen, werden wir die Grundebene G G benützen und die Trace Eg der Schnittebene auf derselben, so wie die orthogonale Projektion oo\ der Kegelaxe suchen.

Nehmen wir nun eine zur Bildfläche parallele Ebene durch deren Grundflächtrace an, so schneidet letztere die Trace Eg in einem Punkte, durch welchen der Hilfsschnitt mit der Ebene Eb Ev parallel zu Ei geht. Ferner begegnet dieselbe Gerade der Projektion o o\ in einem Punkte, über welchem der Mittelpunkt jenes Kreises ist, in dem die Kegelfläche geschnitten wird. Dieser Kreis ist daher so zu ziehen, dass er den sichtbaren Umriss der Kegelfläche berührt.

Es ergeben sich somit im Durchschnitte beider Hilfsschnitte zwei Punkte der zu suchenden Hyperbel und es liefert dieses Verfahren, genügend oft wiederholt, eine Reihe von Punkten, welche entsprechend verbunden, die Schnittcurve geben.

Es ist leicht einzusehen, dass man auf diese Weise zu einer Ebene gelangen wird, deren Schnitt mit EiEv den Kreis, in welchem die Kegelfläche geschnitten wird, berührt, woselbst sich demnach blos ein Punkt ergibt, an welchen der Hilfsschnitt Tangente ist. Dasselbe gilt für den zweiten Mantel des Kegels, woraus folgt, dass die Verbindungslinie dieser beiden Berührungspunkte eine Axe der Schnittcurve bildet. Diese kann, wie in der orthogonalen Projektion, leicht aufgefunden werden.

20

Peschka u. Koutny, Perspektive.

Zieht man nämlich parallel zu Eb an den Basis- und an den Verschwindungskreis die Tangenten als Bildflächtracen resp. Yerschwindungslinien der zu Eb parallelen Tangirungsebenen und sucht den Durchschnitt der durch die Berührungspunkte c und e gehenden Erzeugenden cS und eS mit der Ebene Eb Ev, indem man die Durchschnitte der Grundflächtracen Eg, Tg, T‘g dieser Ebenen benützt, so wird man die Punkte I und II der Schnitt-curve und die zu Eb parallelen Tangenten al, ß II derselben erhalten.

Sucht man die Perspektiven der Asymptoten nach dem in der orthogonalen Projektionsmethode angewandten Verfahren, indem man die Berührungsebenen in den Erzeugenden 7 S, 8 S der Kegelfläche mit der Ebene Eb Ev zum Durchschnitt bringt, so erhält man zwei Tangenten der Schnittcurve in den Punkten 7 und 8 derselben. Dies findet seine Begründung in dem Umstande, dass die Asymptoten im Baume als Tangenten an unendlich weit entfernte Punkte der Curve angesehen werden können, diese Punkte jedoch in der Perspektive zumeist in endlicher Entfernung vom Augpunkte, nämlich als Durchschnitt der Verseil win-dungslinien der schneidenden Ebene und des Kegels erhalten werden. Vermittelst dieses Verfahrens können somit die Asymptoten der Perspektive nicht gefunden werden.

Um diese zu verzeichnen, werden wir jene Erzeugenden des Kegels zu bestimmen trachten, deren Bilder zu den verlangten Asymptoten geometrisch parallel laufen. Aus diesem Umstande folgt, dass die durch diese Erzeugenden gehende Ebene F gegen die Ebene Eb Ev der Asymptoten eine solche Stellung haben muss, dass beide Ebenen durch irgend eine beliebige dritte Ebene in Geraden geschnitten werden, deren Perspektiven zu einander geometrisch parallel sind. Es muss demzufolge die Grundfläch-trace Eg der Ebene F geometrisch parallel zu Eg, die Bildfläch-trace Fb und Verschwindungslinie Fv derselben parallel zu Eb sein.

Nachdem jedoch F durch die Kegelspitze 8 geht, so hat man bloss durch S eine zu Eh parallele Gerade Sio zu ziehen, den Durchschnitt io derselben mit der Grundebene zu bestimmen und die Grundfiächtrace Fg der verlangten Ebene durch o> geometrisch parallel zu Eg und I\ durch d, Fv durch v parallel zu Ei, zu führen.

Die Ebene Fh Fv schneidet den Kegel in den Erzeugenden aSa\ bSb\ welche der Annahme zufolge die Asymptotenrichtungen angeben. Die Asymptoten selbst werden nun als Durchschnitte 44‘, 3 3‘ der durch aS und b S an die Kegelfläche gelegten Berührungsebenen mit der Ebene Eb Ev gefunden und müssen sich bei richtig durchgeführter Construktion im Halbirungs-punkte C des Diameters III, d. i. im Mittelpunkte des perspektivischen Bildes kreuzen.

Es ist einleuchtend, dass die Kegelspitze S gegen die Trace Eh eine solche Lage haben kann, dass Fb die Bildfläcktrace des Kegels nur berührt oder gar nicht schneidet; es treten dann die interessanten Fälle ein, wo sich die Schnittfigur, welche im Raume eine Hyperbel ist, als Parabel, beziehungsweise als Ellipse perspektivisch darstellt. ¹)

§. 140. Aufgabe.

Es ist ein auf der Grundebene senkrechter Rotationskegel durch eine Ebene nach einer Ellipse zu schneiden und ein con-jugirtes Axenpaar der Perspektive der Schnittcurve zu bestimmen.

Lösung. Nehmen wir die Kegelaxe So (Fig. 265) in der Bildfläche, G G als Grundlinie, Eb Ev als schneidende Ebene, a b als den Durchmesser der Grundflächtrace des Kegels, daher a S und b S als die in der Bildfläche liegenden Erzeugenden desselben an. Im Durchschnitte der letzteren mit Eb ergeben sich daher die der Schnittcurve angehörigen Punkte 5 und 6.

Am schnellsten ergibt sich jenes Paar conjugirter Diameter, von welchen der eine zur Bildfläche, also zu Eb parallel ist. Legt man nämlich an den Kegel zwei zu Eb parallele Tangirungs-ebenen und verzeichnet deren Schnitte mit der Ebene Eh Ev, so müssen die Schnittlinien zu Eh parallel und Tangenten der Schnittcurve sein, also einen Diameter derselben bestimmen.

Man wird zu diesem Zwecke durch S eine zu Eb Parallele So führen, den Durchschnitt A derselben mit der Grundebene suchen, diesen sammt dem Basiskreise in die Bildfläche drehen und daselbst an letztere die beiden Tangenten ziehen.

Da jedoch A ausser die Zeichnungsfläche fällt, so wurde die horizontale Hilfsebene Il II, welche den Kegel im Kreise ce, die Gerade aS'A in o schneidet, benützt und die verlangten Tangenten Af, Ag parallel zu den aus 5 an den Kreis ce gezogenen Tangenten geführt.

Die Berührungspunkte f und g, in die Grundebene zurückgeführt und daselbst perspektivisch bestimmt, fällen nach 1 und

Fig. 265.

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2, wesshalb 1A, 2A die Grundfläch-tracen der in Rede stehenden Berührungsebenen sind. Weil A nicht be-Mv nützt werden kann, so wurden noch zwei andere Punkte der Geraden f A, g A zurückgedreht und mit 1 und 2 verbunden.

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Diese Tracen be-^ gegnen der Grund-fläohtrace Eg der Schnittebene in m und n\ durch diese Punkte gehen die Schnittlinien n I, m II parallel zu Ev, treffen die zugehörigen Erzeugenden IS, 2S in den Punkten / und II und bilden zugleich die Tangenten in diesen Punkten, wesshalb III ein Durchmesser und der Halbirungspunkt C dieser Länge der Mittelpunkt des perspektivischen Bildes ist.

Der zu III conjugirte Durchmesser IIIIV geht durch C parallel zu Et, ; seine Endpunkte ergeben sich im Durchschnitte dieser Geraden mit der Kegelfläche.

Legt man durch C und S o A eine Ebene, so schneidet sie die Kegelfläche in zwei Erzeugenden 3S, 4S, welche im Durchschnitte mit III IV die gewünschten Endpunkte liefern.

Um die umlegte Grundfläehtrace besagter Ebene zu erhalten, ziehe man die Gerade CS bis zum Durchschnitte y mit 12, bestimme in p den eingelegten Punkt v und verbinde p mit A. Die

Gerade pA schneidet den Basiskreis in r und f, welche Punkte zurückgedreht sich in 3 und 4 darstellen.

Bei richtiger und genauer Construktion wird die Axe 111 die Sehne 5 6 halbiren und auf den Durchschnittspunkt der Geraden Ev und V V zugehen.

Sollen die Grenzpunkte des sichtbaren Theiles der Schnitt-curve angegeben werden, so müssen vorerst die Contourpunkte der Basis gesucht werden. Zu diesem Beliufe lialbire man A m in a, errichte a cp senkrecht auf H H, mache die Länge a cp der halben Augdistanz gleich, durchschneide den Kreis ce aus cp mit einem Bogen vom Radius cp tu, verzeichne die Tangenten in den Durchschnittspunkten beider Kreise und ziehe zu diesen parallel die Tangenten an den Kreis a b. Die letztgezogenen Geraden schneiden G G in den Punkten w der Contour und berühren in den entsprechenden Punkten den Grundkreis. Schliesslich hat man diese Berührungspunkte zurückzudrehen und die durch dieselben gehenden Erzeugenden mit Eb Ev zum Durchschnitt zu bringen.

In ähnlicher Weise wäre auch die Aufgabe zu lösen: die Bildfläehtrace oder Verseil Windungslinie einer Kegel- oder Cylinder-tiäche durch ein Paar conjugirter Axen zu bestimmen.

Umdrehungsflächen.

§. 141.

Aufgabe.

Es ist der Schnitt einer Umdrehungsfläche mit einer Ebene zu bestimmen.

Lösung. Der Hauptmeridian der gegebenen Fläche sei amdsb (Fig. 266) und a'm'b¹ der perspektivische Umriss derselben; ferner YZ die Rotationsaxe und EbEv die schneidende Ebene. Die Rotationsaxe sei durch den Durchstosspunkt b mit der Grundebene G G fixirt und stehe vertikal. Um den Schnitt der Ebene Eb Ev mit der Umdrehungsfläche zu bestimmen, lege man durch die Drehungsaxe YZ eine zur Bildfläche parallele Ebene, deren Grundflächtrace E‘g ist und bestimme den Schnitt gh derselben mit der gegebenen Ebene Eb Ev. Wendet man nun horizontale Hilfsebenen an, welche die Umdrehungsfläche in Parallelkreisen, die Ebene Eb Ev in zur Horizontraltrace Eg parallelen Geraden schneiden, so werden sich in den Durchschnitten

dieser Hilfsschnitte im Allgemeinen zwei Punkte der zu suchenden Schnittlinie ergeben. Hiebei wird es zweckmässig sein, jede solche Horizontalebene sammt den in ihr liegenden Schnittlinien in eine zur Bildfläche parallele Lage zu bringen. Ist also m n der Durchmesser eines Parallelkreises, in welchem der Schnitt

erfolgt, so ist mln2 der Parallelkreis nach der Drehung um mn. Für den umgelegten schnitt mit der Ebene EbEv ist a, wo gli von m n getroffen wird, ein Punkt desselben, während sich dessen Richtung durch Umlegung des dem Verschwin-dungspunkte v der Grundflächtrace Eg entsprechenden Parallelstrahls um HH, v

m

Wird sonach la.2 parallel zu ~

gezogen, so schneidet diese Gerade den Parallelkreis in den Punkten 1 und 2, d. i. in den umgelegten Schnittpunkten der Fläche. Diese beiden Punkte, in die Horizontalebene zurückgedreht, gelangen nach 1 und //, wobei nur zu bemerken ist, dass letztere in die Hilfs-trace fallen müssen, welche man erhält, wenn man a mit v vereint.

Fig. 266.

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*) Die Richtung \ — wurde mit Benützung der lialben Augdistanz be-stimmt, und -y- gefunden, indem man Ap senkrecht auf Ev führte, in q lial-parallel zu Ev zog.

birte und q

Auf diese Weise können beliebig viele Punkte der Schnittlinie gefunden werden.

Eine zweite Lösung der Aufgabe kann mit solchen Hilfsebenen vorgenonnnen werden, welche durch die Drehungsaxe gehen, mithin die Rotationsfläche in Meridianen schneiden. Dieses Verfahren ist im Allgemeinen weniger einfach, als das eben behandelte und für sich selbstverständlich, daher wir die Construktion gleich für einzelne specielle Lagen der Meridianebene durchführen werden.

Wird z. B. jene Meridianebene gewählt, welche auf der Bildebene senkrecht steht, so ist V V die Verschwindungslinie derselben, während der Durchschnittspunkt v₁ der Verschwindungs-linien Ev und V V den Verseil windungspunkt der Schnittlinie der gegebenen Ebene Eb Ev mit der angenommenen Meridianebene gibt. Wird dieser Hilfsschnitt um YZ in den Hauptmeridian gedrelit, so bleibt der Punkt A, d. i. der Durchschnittspunkt der Axe YZ mit der Ebene Eb Ev, ungeändert, während sich die Richtung der gedrehten Geraden durch Drehung des zugehörigen

Parallel Strahls vx um VV in die Bildebene, d. i. in k ergibt.

mit

Der Punkt ~ wird im Durchschnitte der Geraden q V V erhalten, und es ist A k selbstverständlich gleich der halben Augdistanz, also gleich A —.

Die durch A geführte, zu k parallele Gerade 5 A 6* schneidet

den Hauptmeridian in den Punkten 5 und 6, welche in die ursprüngliche Meridianebene zurückgeführt, nach V und VI gelangen.

Sehr einfach ergeben sich durch dieses Verfahren die Punkte III und IV der Schnittcurve als Durchschnitt des Plauptmeridians mit der Geraden gh.

Weiters lassen sich ' auch jene Punkte leicht finden, welche in der durch das Auge gehenden Meridianebene liegen; denn für diesen Fall ist YZ zugleich Bildfläclitrace und Verschwindungslinie der Meridianebene. Werden die Operationen in gleicher Weise wie oben durchgeführt, so erhält man jene Punkte, in welchen die Schnittcurve von der Axe YZ getroffen wird.

Ist, wie in unserem Beispiele angenommen wurde, die rotirende Curve eine Linie der zweiten Ordnung, so wird auch die Schnitt-linie eine solche Curve sein müssen. Es wird sonach der Schnitt des Ellipsoids mit der Ebene EbEv eine Ellipse sein. Wir wollen nun noch zeigen, auf welche Weise man zwei conjugirte Axen der Schnittfigur auffinden kann. Zu diesem Beliufe denken wir uns an das Ellipsoid einen berührenden Cylinder gelegt, dessen Erzeugenden parallel zur Bildflächtrace Eb sind. Führt man an den Hauptmeridian parallel zu Eb die beiden Tangenten rt und und verbindet die Berührungspunkte r und t, so ist rt die Trace jener auf der Bildfläche senkrechten Diametralebene des Ellipsoids mit der Hauptmeridianebene, in welcher die Berührung erfolgt, daher Fv, durch A parallel zu rt geführt, die zugehörige Verschwindungslinie gibt. Suchen wir den Schnitt dieser Diametralebene mit der schneidenden Ebene EbEv und mit dem Ellipsoide? so werden sich diese beiden Schnittlinien in zwei Punkten begegnen, welche der Sclmittcurve angehören und welchen zu Eb parallele Tangenten zukommen, folglich die Verbindungslinie derselben einen Durchmesser der zu suchenden Schnittfigur liefert.

Um dies durchzuführen, drehe man die in der Ebene r s, Fv gelegene Berührungscurve um rs in eine zur Bildfläche parallele Lage, woselbst sie über r o als grosse und oio = od als kleine Halbaxe zu verzeichnen sein wird.

Der um rs gedrehte Schnitt der Ebenen EbEv und rs, Fv ist offenbar durch den um Ev in die Bildfläche umgelegten Parallelstrahl u₂, d- i- in -K²seiner Richtung nach, und durch

den Schnittpunkt 0 der beiden Tracen rs und <77«, seiner Lage nach gegeben. Es werden daher die zu suchenden Endpunkte des Diameters erhalten, wenn man durch 0 die umgelegte Trace jjlv parallel zu — ^ zieht, mit der eben verzeichneten Ellipse rjxsv zum Durchschnitt bringt und diese Punkte g. und v in die ursprüngliche Ebene rs, Fv nach M und N zurückversetzt, woselbst sie in jene Gerade fallen müssen, welche den Punkt 0 mit u₂ verbindet.

Um schliesslich den zu MN conjugirten Durchmesser zu erhalten, wird man MN zu halbiren und durch diesen Punkt eine

*) Der Punkt welcher die Länge A halbirt, liegt ebenfalls in der Geraden q —Q-.

zu yli parallele Gerade zu führen haben, welche im Durchschnitte mit dem Ellipsoide die Endpunkte der zu suchenden Axe bestimmen wird. Zu diesem Behufe wird man durch die Richtung dieser zweiten Axe, entweder eine zur Bildfläche parallele, oder eine auf die Bildfläche senkrechte Ebene zu legen und den Schnitt mit dem Ellipsoide, welcher im ersten Falle eine zur Meridian-curve ähnliche Ellipse ist, im zweiten Falle aber aus seinen Axen einfach verzeichnet werden kann, zu bestimmen haben. In den Durchschnittspunkten dieser Ellipse mit der Axenrichtung ergeben sich sodann die fraglichen Endpunkte des Diameters. Ebenso könnte auch die Sehne IIIIV zur Auffindung der Länge der parallelen Axe benützt werden, wie dies auch seinerzeit bei der Bestimmung des sichtbaren Umrisses eines Ellipsoids gezeigt wurde.

§. 142.

A u f g- a 1) e.

Es ist der Schnitt einer Kngelfiäche mit einer Ebene zu ver

zeichnen.

Lösung 1. Eine einfache Lösung dieser Aufgabe bietet die Anwendung der in §. 127 durchgefiihrteii Methode für die Verzeichnung des sichtbaren Umrisses einer Kugel. Schneidet man nämlich die Kugel und die gegebene Ebene durch Ebenen, welche zur Bildfläche parallel sind, so wird die Kugel in Kreisen, welche sich perspektivisch wieder als Kreise darstellen, und die Ebene in zur Bildflächtrace parallelen Geraden geschnitten, welche, im Durchschnitte mit ersteren, Punkte der zu suchenden Sclmittcurve bestimmen.

Lösung 2. Ist O (Fig. 267) der in der Bildebene liegende Mittelpunkt der Kugel, welche von der Bildfläche im Kreise K geschnitten wird und Ei Ev die schneidende Ebene, so begegnet Ei dem Kreise K in den beiden Punkten « und ß, welche der Schnittlinie angehören. Letztere wird in diesem Falle ein Kreis sein, wesshalb es sich hier blos um die Verzeichnung der Perspektive eines Kreises handelt, welcher in der Ebene Ei Ev liegt, a ß ist eine zur Bildflächtrace parallele Sehne der Perspektive , daher diese in u> zu halbiren und io mit dein Neben-augpunkte A₁ zu verbinden ist, um in a> A₁ die Richtung der Perspektive des auf die Bildflächtrace Ei senkrechten Kreisdurchmessers zu erhalten.

Zur Bestimmung seiner Endpunkte lege man durch Ax m und O eine Ebene FbFv, welche senkrecht auf der Bildfläche steht und AA₁ zur Verschwindungslinie, tu 0 zur Bild fläch trace hat, und drehe diese um Fb in die Bildebene. Der dem Nebenaug-punkte A₁ der Ebene Eb Ev entsprechende Parallelstrahl gelangt alsdann nach A₁D, folglich to 12, parallel zu AlD gezogen, den Kreis K in den Punkten 1 und 2 trifft, deren Verbindungslinie 12 den Durchmesser jenes Kreises gibt, in welchem die Kugel

Fig. 267.

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\/ \£,

H—

Bf-

von der Ebene geschnitten wird. Die Punkte 1 und 2, in die Ebene FbFv zurückgeführt , gelangen nach I und II welche Punkte der Perspektive der Schnittcurve angehören und die Endpunkte jenes Durch-H messers III derselben bestimmen, welcher zur Richtung Eb conjugirt ist. Wird 12 in hal-birt und (Uj gleichfalls in die Ebene Fb Fv nach o zurückgeführt, so ist o das Bild des Mittelpunktes, wesshalb III o IV, durch o parallel zu Eb gezogen und darauf der gefundene Radius 1 wj = u>l 2 perspek-

1 2

tivisch nach beiden Seiten aufgetragen (indem w y — u> 8 = —

gemacht und y und 8 mit A₁ verbunden wird) die Bilder III und IV der Eckpunkte des zur Bildfläche parallelen Durchmessers des Schnittkreises geben. Mit diesen Bestimmungsstücken lässt sich nun die Kreisperspektive leicht verzeichnen.

Ebenso einfach wie III IV kann sogleich auch der zu III conjugirte Durchmesser V VI der Perspektive ermittelt werden, welcher eine zu Eb parallele Lage hat und durch den Halbirungs-punkt C der Länge III geht, wenn man den dem Punkte C entsprechenden Punkt c der Geraden 12 bestimmt, über 12 als Durchmesser den Halbkreis Kx beschreibt und die dem Punkte c

zukommende halbe Sehnenlänge cd zieht. Diese Länge cd, auf gleiche Weise wie es bei IIIIV durchgeführt wurde, auf die Gerade VCIV übertragen, wird den zweiten Durchmesser der Perspektive bestimmen.

§• 143. Aufgabe.

Es ist der Hauptmeridian einer Umdrehungsfläche und die Perspektive eines Punktes der Fläche gegeben; man suche die orthogonale Projektion dieses Punktes auf der Bildfläche und bestimme den Parallelkreis, in welchem derselbe sich befindet.

Lösung 1. Die Axe YZ der Umdrehungsfläche sei vertikal und in der Bildfläche gelegen, ferner amx (Fig. 268) der Haupt-meridian und M die Perspektive des gegebenen Punktes.

Man denke sich das Auge mit dem Punkte M durch eine Gerade verbunden und den Durchschnitt derselben mit der Umdrehungsfläche gesucht. Zu diesem Behufe lege man durch besagte Gerade eine Ebene, z. B.

Horizontslinie

Fig. 268.

D,

vR

\\®

eine zur

parallele Ebene, deren Bildflächtrace Eb mit der Versclxwindungslinie Ev zusammenfällt und parallel zu HH ist, und bestimme den Schnitt der- _    »

£----«^-1

selben mit der Umdre- h ' hungsfläche, welcher hier gleichfalls in die Gerade Ej, zu liegen kömmt, also in dieser Lage nicht benützt werden kann. Aus

p—-

p-

Mh

___

i;M

LS

r-...

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Ł,

n.

'ffi

b; -

fß

—i

diesem Grunde ist es nothwendig, die Schnittcurve um die Trace Eb in die Bildfläche umzulegen und die umgelegte Curve punktweise zu bestimmen.

Vorerst lege man eine vertikale Ebene, am einfachsten jene, welche durch die Drehungsaxe geht und auf der Bildfläche senkrecht stellt, und drehe die Schnittlinie derselben mit der Ebene Eb Ev um die Bildflächtrace YZ der erstem Ebene in die Bildfläche, woselbst diese Schnittlinie nach wk gelangt.*) Wendet man nun horizontale Hilfsebenen an, welche die Rotationsfläche in Parallelkreisen, die Ebene Eb Ev in horizontalen, zur Bildfläche parallelen Geraden schneiden, und ist mn eine solche Ebene, so wird ma [in der um mn in die Bildfläche gelegte Parallelkreis, ob die Entfernung des Hilfsschnittes mit der Ebene Eb Ev von der Bildfläche, daher, 8 b — 8 cp gemacht und durch cp die Horizontale a cp ß gezogen, wird oc cp ß der umgelegte Hilfsschnitt selbst sein, welcher den Parallelkreis in den Punkten a und ß trifft.

Die so erhaltenen Punkte a und ß, welche im Raume in der Ebene Ei Ev liegen, sind nun um Ei in die Bildfläche umzulegen und werden, da die beiden Drehungsaxen mn und Ei zu einander parallel sind, in jene Vertikallinien zu liegen kommen, welche durch a und ß gehen. Der Abstand der Geraden a ß im Raume von Eb ist jedoch durch die Länge b w gegeben, daher man blos iob = wbl zu machen und durch bl die Horizontale lbx2 zu führen hat, um die um Eb gedrehte Schnittlinie zu erhalten, welche von den vorerwähnten Vertikallinien in den Punkten 1 und 2 der umgelegten Schnittcurve getroffen wird.

Dieses Verfahren beliebig oft wiederholt, liefert eine Reiiie von Punkten, welche mit einander verbunden die um Eb umgelegte Schnittcurve 132III41IV geben. Die höchsten und tiefsten Punkte derselben liegen offenbar in der auf Eh Ev senkrechten Meridianebene, d. i. in jener Ebene, welche wir anfangs durch YZ senkrecht auf die Bildfläche führten. Wird diese in den Hauptmeridian gedreht, so ist wie der Schnitt derselben mit der Ebene EhEv. Der Schnitt w k trifft den Hauptmeridian in den Punkten <r und /, welche um io in die Axe YZ gedreht, den höchsten und tiefsten Punkt, d. i. 3 und 4, der Schnittcurve geben. Auch ist klar, dass die Punkte III und /F, in welchen der Hauptmeridian von Ei getroffen wird, der umgelegten Schnittcurve angehören.

*) v ist der Verschwindungspunkt der Schnittlinie, AD die Augdistanz, daher ist vD der um VV gedrehte Parallelstrahl und w lc parallel zu v 1) zu ziehen.

Weiters wird das um Ei gedrehte Auge nach , daher der dem Punkte M entsprechende Sehstrahl nach MDX gelangen und der Schnittcurve in Punkten I und II begegnen, welche schliesslich in die ursprüngliche Ebene Eb Ev zurückzuführen sind. Hiebei sind die obigen Construktionen im Vergleich zu den vorhergehenden in verkehrter Ordnung durchzuführen, also z. B. für den Punkt I die Horizontale Ih zu ziehen, toliy-wh zu machen und durch lix die Trace p l des zu suchenden Parallelkreises zu . führen. Ebenso findet man die Trace pY lY, welche dem Punkte II entspricht.

Wird M mit A verbunden, so ergeben sich im Durchschnitte mit den eben gefundenen Tracen die Bildflächprojektionen M‘ und M\ jener beiden Punkte im Baume, welche dieselbe Perspektive M besitzen.

Es ist ersichtlich, dass die beiden Punkte I und //, bei richtiger und genauer Construktion, vertikal über den Punkten M‘ und M\ liegen müssen.

Lösung 2. Wird jene Gerade, welche das Auge mit dem Punkte M verbindet, um die Axe YZ rotirend gedacht, so beschreibt dieselbe ein Rotationshyperboloid mit Einem Mantel, welches sich mit der gegebenen Umdrehungsfläche in den zu bestimmenden Parallelkreisen schneiden wird.

Die diesbezügliche Construktion wird derart durchgeführt werden müssen, dass man sich den Schnitt dieses Hyperboloids mit der Bildebene, cl. i. den Hauptmeridian desselben, sucht und die Bildflächtracen der in Rede stehenden Parallelkreisebenen durch die Schnittpunkte der Meridianhyperbel mit dem Meridian der Umdrehungsflache senkrecht auf YZ zieht.

Der Hauptmeridian des Hyperboloids lässt sich einfach punktweise bestimmen, wenn man die Bildfläche als vertikale, die Plorizontsebene als horizontale Projektionsebene annimmt, die letztere sammt der horizontalen Projektion MhR des dem Punkte M zukommenden Sehstrahls in die Bildfläche umlegt und die Construktion mit Hilfe dieser beiden Projektionen durchführt, wo sich alsdann der Plauptmeridian in der vertikalen Projektionsebene, also in der Bildfläche selbst darstellt.

Die vertikale Projektion des Sehstrahls ist die Gerade A/M, und die umgelegte Horizontalprojektion Mn R derselben wird erhalten, wenn man Mh mit dem in der Vertikallinie VV liegenden Distanzpunkte verbindet.

YZ ist die vertikale Projektion der Drehungsaxe und der Punkt P in der Horizontslinie deren horizontale Projektion.

Zur Verzeichnung von Punkten der Hyperbel hat man blos einzelne Punkte der Geraden (MA, MhR) so lange zu drehen, bis sie in die vertikale Projektionsebene fallen.

Ebenso einfach lassen sich auch die Bestimmungsstücke der Meridianhyperbel, d. s. die reelle Axe und die Asymptoten, auffinden.

Zumeist erhält man eine sehr gestreckte Hyperbel, welche den Meridian amx grösstentheils in zwei Punkten schneidet.

Lösung 3. Eine fernere Lösung dieser Aufgabe würde darin bestehen, dass man durch die Verbindungslinie des Punktes M mit dem Auge eine vertikale Ebene legt. Man hätte sodann die Schnittlinie derselben mit der Umdrehungsfläche um die Bildflächtrace in die Bildebene umzulegen und derart punktweise zu bestimmen, dass man eine Reihe von horizontalen Plilfsebenen anwendet, welche vorerst um deren Tracen gedreht werden müssten, um die Halbmesser für die Drehung um die Bildflächtrace der erstem Ebene zu bestimmen. Die Construktion selbst ist zu einfach, als dass sie hier speciell durchgeführt werden sollte, wesshalb wir blos darauf verweisen.

Bemerkung. Für specielle Fälle ergeben sich bei den Lösungsweisen 1 und 3 interessante Abkürzungen, und es ist insbesondere zu berücksichtigen, dass für den Fall, wo die gegebene Fläche eine Kegelschnittslinie als Hauptmeridian besitzt, die Schnittcurve auch durch ihre Axen ermittelt werden kann.

¹

Eine ausführliche Abhandlung über die ebenen Schnitte von Kegeln und Cylindem des zweiten Grades in der Perspektive, findet sich im 3. Hefte 1867 von Dr. O. Schło mil ch’s „Zeitschrift für Mathematik und Physik“, von Emil Koutny veröffentlicht, vor.

20¹

Kapitel XIV.

Darstellung der windschiefen Flächen.

Nachdem die windschiefen Flächen durch die Bewegung einer geraden Linie entstehen, also zu den regelrechten Flächen gehören, wird es sich, wie in der orthogonalen Projektion, auch bei der perspektivischen Darstellung derselben blos darum handeln, einzelne Lagen der Erzeugenden aufzufinden und bildlich

darzustellen, um das perspektivische Bild der Fläche zu erhalten. Ist es möglich, die so erhaltenen Perspektiven der Erzeugenden durch eine stetige Curve zu umhüllen, so wird diese den sichtbaren Umriss der Fläche gehen.

Ohne hier auf die Eigenschaften und die verschiedenen Erzeugungsweisen dieser Flächen näher einzugehen, wollen wir uns sogleich mit der Darstellung einiger dieser Flächen befassen, um zu zeigen, wie in ähnlichen Fällen vorzugehen wäre.

§. 144.

Aufgabe.

Es ist jene Fläche darzustellen, welche entsteht, wenn sich eine gerade Linie so fortbewegt, dass sie drei gegebene, sich nicht schneidende und nicht parallele Gerade schneidet.

Lösung. Sind Z, Z]5 Z₂ (Fig. 269) die drei gegebenen Geraden, v, Vj, -y₂ die Verschwindungspunkte, cZ, cZj, eZ₂ die Durch-stosspunkte derselben mit der Bildebene, so nehme man in der einen dieser Geraden, z. B. in Zj, irgend einen Punkt bx an, lege

Fig. 269.

d₂

A-

L.

Hb

b,

a,

L,

Vi

4.

durch denselben und durch eine der beiden andern Geraden, z. B. durch Z, eine Ebene und bestimme den Schnitt ax der dritten Geraden Z₂ mit dieser Ebene. Die Verbindungslinie ax bx der beiden Punkte ax und bx wird sodann eine Erzeugende der zu bestimmenden Fläche sein.

Hat man den Punkt bx angenommen, so ist es am zweck-massigsten, durch denselben eine zu l parallele Gerade zu führen, also bx mit v zu verbinden und den Durchstosspunkt 8j dieser Geraden bxv mit der Bildfläche zu bestimmen.

Zu diesem Zwecke lege man durch lx und bx v eine Ebene, deren Verschwindungslinie Hv die beiden Verschwindungspunkte v und vl verbindet und deren Bildflächtrace Hb durch dx parallel zu vvx geht. Diese Bildflächtrace kann für alle weitern Bestimmungen von Erzeugenden benützt werden, weil sie die Durch-stosspunkte aller Geraden enthält, welche die Gerade lx schneiden und zu l parallel sind. Wird sonach 8j mit d verbunden, so ist dies die Bildflächtrace Eb: und vox, parallel zu Eb, die Verschwindungslinie Ev der durch l und durcli den Punkt bx gelegten Ebene, deren Schnitt mit der Geraden l₂ zu suchen ist. Zur Bestimmung desselben lege man durch U eine Ebene Eh Fv und suche deren Schnitt fx ox mit der Ebene Eb Ev, welcher die Gerade l₂ in dem der zu suchenden Erzeugenden angehörigen Punkt ax schneidet. Die Gerade ax bx ist mithin eine Erzeugende der Fläche.

Für einen andern Punkt b₂ hat man blos b₂ mit v, sodann o₂ mit d zu verbinden, vo₂ parallel zu do₂ zu ziehen und die Punkte f₂ und o₂ zu vereinen, um im Durchschnitte des Hilfs-schnittes f₂ o₂ mit der Geraden l₂ den zweiten Punkt a₂ der verlangten Erzeugenden a₂ b₂ zu erhalten.

Auf diese Weise kann man einfach eine beliebige Anzahl der Erzeugenden finden, welche im vorliegenden Falle von einer Llyperbel eingehüllt werden.

Die eben behandelte Aufgabe ist eigentlich blos ein specieller Fall jener, wo die drei gegebenen Stücke nicht gerade Linien, sondern irgendwelche Curven im Raume sind. Die Lösung dieses allgemeinen Falles ist eine ähnliche, nur ist zu erwähnen, dass die erstbenützte Ebene in eine Kegelfläche übergeht, deren Schnitt mit der Curve l₂ zu suchen ist, welcher Schnittpunkt sodann, mit der Kegelspitze verbunden, die fragliche Erzeugende gibt. Sonst bietet jedoch dieser Fall kein besonderes Interesse.

Die in Fig. 269 verzeichnete Fläche ist bekanntlich ein Hyperboloid mit Einem Mantel, das sich auf mehrfache Weise darstellen lässt. Ein specieller Fall derselben ist in Fig. 270 durchgeführt, nämlich jener, wo das Hyperboloid eine Rotationsfläche

ist, und durch Umdrehung einer die Axe nicht schneidenden und zu ihr nicht parallelen Geraden erzeugt werden kann.

Will man diese Fläche nicht als Rotationsfläche, sondern als windschiefe Fläche behandeln, so gehe man von folgendem Gesichtspunkte aus. Man nehme an, es bewege sich eine gegebene Gerade II so, dass sie stets mit einer gegebenen Ebene, hier mit der Horizontalebene, einen constanten Winkel einschliesst und zwei vertikal übereinander liegende Kreise schneidet.

Fig. 270.

li

15

VA

12

in

3Ą-y

Ist YZ die Gerade, welche die Mittelpunkte dieser Kreise verbindet, 11 die Erzeugende, und sind 1 und I die Schnittpunkte derselben mit den horizontalen Kreisebenen, ferner O und o die Kreismittelpunkte, so sind ol und Ol die Perspektiven der Radien der

beiden horizontalen Kreise, welche

\/i)

.    * H-

NX

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'in

über diesen Radien zu verzeichnen sind. Dies geschieht am zweck-massigsten in der Art, dass man beide Kreise, von den Punkten 1 und I angefangen, in eine gleiche Anzahl gleicher Theile theilt und die Theilpunkte in Perspektive setzt.

Um nun die einzelnen Lagen i der Erzeugenden zu erhalten, hat man blos die aufeinanderfolgenden Theilpunkte beider Kreise der Reihe nach (aus der einen in die andere Kreisebene) zu verbinden. Jene Hyperbel, welche die einzelnen Lagen der Erzeugenden einhüllt, wird hier den perspektivischen Umriss der Fläche bestimmen.

Bemerkung. Ist die Axe YZ bekannt, so ist es am zweck-massigsten, wie dies auch in Fig. 270 geschah, vorerst den Ort des kürzesten Abstandes der Geraden II von der Axe, d. i. den Mittelpunkt der Fläche zu ermitteln und sodann die beiden horizontalen Kreisebenen in gleicher Höhe über und unter dem Mittelpunkte anzunehmen. Hiedurch werden die beiden Kreise denselben Halbmesser erhalten und am einfachsten zu verzeichnen sein. Auch wird sich das Bild, wenn die Fläche durch diese beiden Ebenen begränzt ist, am gefälligsten ergeben.

21

Peschka u. Koutny, Perspektive.

§• 145.

Aufgabe.

Es ist jene windschiefe Fläche darzustellen, welche entsteht, wenn sich eine Gerade auf zwei andern nicht parallelen und sich . nicht schneidenden Geraden so fortbewegt, dass sie stets zu einer gegebenen Ebene parallel bleibt.

Lösung. Um einzelne Lagen der Erzeugenden jener Fläche, welche bekanntlich das hyperbolische Paraboloid ist, darzustellen, verschiebe man die gegebene Ebene parallel zu sich selbst und suche die Durchschnittpunkte derselben mit den beiden gegebenen Geraden; diese Punkte mit einander verbunden, werden eine Erzeugende der Fläche geben.

Sind also l und Zj (Fig. 271) die beiden gegebenen Geraden, und ist Ev die Verschwindungslinie jener Ebene, zu welcher die

Fig. 271.

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VV

1,

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Hv-

Erzeugenden parallel sein sollen, so nehme man irgend eine zu Ev parallele Gerade Eb als Bildflächtrace an und bestimme die Durchschnittpunkte dieser Ebene Eb Ev mit den beiden Geraden l und l

Zu diesem Behufe lege man durch jede dieser Geraden eine Ebene FbFv, HbHV) welche für die Bestimmung aller weitern Lagen der Erzeugenden zu benützen sein werden. Es ist sodann V der Versehwindungspunkt aller Schnittlinien der Ebene Fb Fv

i-

mit sämmtlichen zu E/, Ev parallelen Ebenen, und Vx der Ver-scliwindungspunkt der Schnittlinien dieser Ebenen mit der Ebene Hi Hv. Die betreffenden Bildflächtracen schneiden sich in den Punkten h und /, wesshalb die Schnittlinien f V und li Vl auf den gegebenen Geraden die beiden Punkte 1 und I bestimmen, welche mit einander verbunden, eine Erzeugende der Fläche fixiren.

• Die Bestimmung weiterer Lagen der Erzeugenden ist nun äusserst einfach, indem für eine zweite, zu Ev parallele Ebene E\ Ev die Durchschnittspunkte \ und fx der entsprechenden Bildflächtracen, beziehungsweise mit V und Vl verbunden, die Hilfsschnitte fx V und hx V₁ geben, welche sich mit den gegebenen Geraden l und lx in den Punkten II und 2 der fraglichen Erzeugenden treffen.

Wird auf diese Weise eine genügende Anzahl von Erzeugenden bestimmt, so umschliessen dieselben nach der einen Seite eine Curve, welche den sichtbaren Umriss der Fläche bildet.

§. 146.

Die windschiefe Sclirauhenfliiche.

Diese Fläche entsteht, wenn sich längs einer Schraubenlinie eine Gerade so fortbewegt, dass sie stets die Schraubenlinie sowohl, als deren Axe schneidet und mit letzterer einen con-stanten Winkel einschliesst.

Wir wollen die Axe vertikal annehmen und die Schraubenlinie so verzeichnen, dass wir einzelne in horizontaler, also auch in vertikaler Richtung gleich weit abstehende Punkte derselben bestimmen. Hat man, nach §. 115, die Schraubenlinie in einer beliebigen Länge bestimmt, so ziehe man durch jenen Theilpunkt, welcher sich in der durch die Axe parallel zur Bildfläche gelegten Ebene befindet, eine gerade Linie IV (Fig. 272) derart, dass sie mit der Axe den gegebenen Winkel einschliesst, trage vom Punkte V derselben auf der Axe die Schraubengangshöhe so auf, dass 11 perspektivisch gleich V V wird und theile dieses Stück in ebenso viele gleiche Theile, als man Punkte der Schraubenlinie in einem Gange bestimmte. Verbindet man hierauf die Theilpunkte der Axe der Reihe nach mit den gleich-bezeichneten Punkten der Schraubenlinie, so erhält man verschiedene Lagen von Erzeugenden der Fläche, welche zu beiden Seiten der Axe von Hyperbelästen umhüllt werden. Bis zu dieser

21*

Umhüllungscurve sind die einzelnen Erzeugenden sichtbar, während der andere Theil derselben durch den vordem Theil der Fläche gedeckt erscheint.

Fig. 272.

16"

15

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16'

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1-i

13'

12

~\

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-H

II

10

Ij 3'

6.

2|

§• 147.

Aufgabe.

Es bewegt sieh eine gerade Linie parallel zu einer gegebenen Ebene derart, dass sie eine gegebene Gerade schneidet und eine bestimmte Fläche berührt; man soll die so erzeugte Fläche darstellen.

Lösung. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Riclitungsebene horizontal, dass ldv (Fig. 273) die gegebene Gerade

und die Kugel 0 jene Fläche sei, welche von den Erzeugenden stets berührt werden soll.

Um einzelne Lagen der Erzeugenden zu erhalten, schneide man die Kugel und die Gerade l durch Horizontalebenen. Jede solche Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise, die Gerade l in einem Punkte, von welchem aus die beiden Tangenten an den Kreis gezogen, die fraglichen Erzeugenden der Fläche liefern

Fig. 273.

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Ei

Eb

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•2^

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Hv\ //

' Hb

und die Kugel in Punkten der Berülirungscurve beider Flächen tangiren.

Denkt man sich die Kugel mit dem Mittelpunkte in der Pdldfläche liegend, (was ohne weiters vorausgesetzt werden kann wenn man denjenigen Punkt als Durchstosspunkt der Geraden l mit der Bildebene ansieht, in welchem diese Gerade von der durch den Kugelmittelpunkt parallel zur Bildfläche gelegten Ebene geschnitten wird) und nimmt man irgend eine horizontale Ebene iPi, HH an, deren Schnitt mit der Kugel ein Kreis vom Halbmesser ab und mit der Geraden l der Punkt a ist, so drehe man diese Ebene um ihre Bildflächtrace E‘t, in die Bildfläche, wobei der umgelegte Parallelkreis über a b als Halbmesser zu beschreiben ist und der Punkt a einen Kreisbogen durchläuft, dessen Radius sein Abstand von der Bildebene ist. Lim letzteren

zu erhalten, lege man durch die Gerade Z eine bildflächprojecirende Ebene Hb Hv und drehe dieselbe um IIb in die Bildebene, wobei die Gerade Z nach cZA (v D der umgelegte Parallelstrahl) zu liegen kommt. Errichtet man im Durchschnittspunkte n der Tracen E‘b und IIb auf letztere eine Senkrechte Durchschnitte mit der umgelegten Geraden d A, so ist dies der zu suchende Abstand, welcher von n aus auf die in n auf E‘b errichtete Senkrechte nach nq zu übertragen ist, um in q den umgelegten Durchschnittspunkt a zu erhalten.

bis zum

np

Berücksichtigt man, dass für alle Punkte der Geraden Z, deren Drehungsmittelpunkte in der Bildfkichtrace Hb liegen, die Drehungsradien auf gleiche Weise gefunden werden, so folgt, dass man blos die Punkte q und d zu verbinden hat, uip den geometrischen Ort aller um die betreffenden horizontalen Tracen umgelegten Punkte der Geraden Z zu ermitteln. Es ist also für irgend eine Horizontalebene nicht erst nothwendig, auf Hb das Perpendikel bis zum Durchschnitte mit d A zu errichten, sondern es wird blos im Durchschnittspunkte (n) der beiden Bildfläch-tracen (E'b Hb) eine Vertikale bis zum Durchschnitte mit der Geraden dq zu errichten sein, um im Durchschnittspunkte (q) den in die Bildfläche gedrehten Durchstosspunkt der Geraden Z mit der angenommenen Horizontalebene zu erhalten.

Schliesslich sind aus q an den Kreis ab die beiden Tangenten zu ziehen und die Berührungspunkte / und g in die Horizontalebene zurückzuführen, wodurch die Punkte III und IV erhalten werden, welche der Berührungscurve der Kugel mit der windschiefen Fläche angehören und mit a verbunden die Perspektiven der beiden in der angenommenen Ebene liegenden Erzeugenden geben.

In unserem Beispiele hat die Gerade Z eine solche Lage, dass die Hilfslinie dq mit der Vertikalrichtung einen sehr spitzen Winkel bildet, folglich mit derselben sehr schiefe Schnitte gibt. Bei dieser Annahme ist die eben besprochene Vereinfachung, des minder genauen Resultates wegen, nicht anzuempfehlen.

Beachtenswerth sind jene Erzeugenden, welche im Raume die höchste und tiefste Lage einnehmen. Man findet dieselben, wenn die schneidende Horizontalebene als die Kugelfläche berührend angenommen wird. In diesem Falle sind deren Tracen tangentiell an den Hauptmeridian K der Kugel, also durch die Punkte h und &, welche zugleich die Berührungspunkte sind,

horizontal zu ziehen. Man hat sodann nur die Punkte 1 und 2, in welchen die Gerade l von den beiden Tangirungsebenen geschnitten wird, mit k resp. h zu verbinden, um die gewünschten Erzeugenden zu erhalten.

Bemerkung 1. In Fig. 273 wurden die Erzeugenden be-gränzt angenommen und nur jene Theile derselben angegeben, welche durch die Gerade l und die Berührungscurve begränzt sind.

Bemerkung 2. Nennt man auch bei Regelflächen, wie wir es bei der Ebene gethan haben, jene Curve, welche die Ver-schwindungspunkte sämmtlicher Erzeugenden einer Regelfläche verbindet, die Verschwindungscurve oder Flucht der Fläche, so ist einleuchtend, dass die Flucht solcher windschiefen Flächen, welchen eine Iiichtungsebene zukommt, eine gerade Linie und zwar die Verschwindungslinie der Richtungsebene ist. Dies ist mithin auch bei dem eben besprochenen, der Kugel umschriebenen, schiefen Conoide der Fall, dessen Flucht die Horizontslinie bildet.

Kapitel XV.

Gegenseitiger Schnitt krummer Flächen.

§. 148.

Allgemeine Bemerkungen.

Um den Schnitt krummer Oberflächen zu bestimmen, schneide man dieselben durch eine Reihe von Ebenen, bestimme die Durchschnittspunkte beider Schnittlinien und verbinde die in den auf einander folgenden Ebenen gefundenen Punkte entsprechend durch eine stetige Curve.

Wie aus dem Angedeuteten hervorgeht, handelt es sich vorzugsweise um die Wahl der schneidenden Ililfsebenen. Dies bezüglich gilt die allgemeine Regel, dass man dieselben stets so zu wählen habe, dass ihre Hilfsschnitte mit den beiden Flächen möglichst einfach zu verzeichnen sind. Bei allen regelrechten Flächen wird man sonach die schneidenden Ebenen so legen, dass die Fläche in geraden Erzeugenden, bei Umdrehungsflächen dagegen in Parallelkreisen oder Meridianen etc. geschnitten wird. Weiter lässt sich darüber nichts Bestimmtes feststellen , doch wird bei einiger Uebung eine zweckmässige Wahl der schneidenden Ebenen keinen Schwierigkeiten unterliegen.

Es ist selbstverständlich, dass, so wie die Ebene, auch jede andere krumme Fläche zu gleichem Zwecke benützt werden könne. Uebrigens sei bemerkt, dass blos die Kugel eine Anwendung als Hilfsfläche findet.

Soll in einem Punkte der Schnittcurve die zugehörige Tangente gezogen werden, so ergibt sich diese als Durchschnitt der in diesem Punkte an beide Flächen gelegten Berührungsebenen, oder dadurch, dass man durch die dem gegebenen Punkte zukommenden Normalen beider Flächen die Normalebene der Durch-schnittscurve legt und die zu bestimmende Tangente senkrecht auf die Normalebene errichtet.

§. 149. Aufgabe.

Es ist der Schnitt zweier Kegelflächen zu construirez¹) Lösung. Sind Eb Ev und E'b E‘v (Fig. 274) die Ebenen der Leitlinien, S und s die Spitzen beider Kegelflächen, so verbinde man die beiden Scheitel durch eine Gerade Ss und suche deren Durchschnitte A und o mit den Ebenen der Leitlinien. Werden nun durch Ss die schneidenden Ebenen geführt, so werden beide Flächen in geraden Erzeugenden geschnitten, deren gegenseitiger Durchschnitt Punkte der zu suchenden Schnittcurve liefert.

Von den Hilfsebenen sind blos die Tracen auf den Ebenen der Leitlinien nothwendig. Dieselben gehen selbstverständlich durch die Punkte A und 8, wobei sich die beiden Tracen einer Hilfsebene in einem Punkte der Schnittlinie X Y der beiden Ebenen Eb Ev, E‘b E‘-₀ begegnen müssen.

Zieht man durch 8 und A an die in den betreffenden Ebenen liegenden Leitlinien jene Tangenten, deren zugehörige Tracen auf der andern Ebene die darin liegende Leitcurve noch schneiden, d. s. die Tangenten ov und Ajr, so werden diese die äussersten

Lagen der Hilfsebenen bestimmen, die Hilfsebene Aov, as als Schnitt mit der einen, a S und ß S als Schnitt mit der andern Kegelfläche, folglich im gegenseitigen

Hiernach ergeben sich für

Durchschnitt die Punkte 1 und 2 der Schnittcurve.

Ebenso ist für die Ebene 8 g. A, b S der Schnitt des Kegels S, dagegen y s und ss der Schnitt des Kegels s, mithin ergeben sich in diesen Erzeugenden die Punkte 3 und 4, welche der fraglichen Schnittcurve angehören.

Fig. 274.

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e;

Ev

//

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727^:

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Eb

A

Abgesehen davon, dass diese beiden Ebenen die Gränzen angeben, innerhalb welcher man die schneidenden Ebenen zu legen hat, haben die so gefundenen Punkte 7, 2, 5, 4 die Eigenschaft, dass die Erzeugenden a S, ß £, y s, s s Tangenten in diesen Punkten an die Schnittcurve sind.

Um dies für einen dieser Punkte nachzuweisen, suchen wir, z. B. für 2, die Tangente an die Schnittcurve nach der oben angegebenen allgemeinen Methode. Dieselbe ergibt sich als Schnitt der in den Kanten oc S und as an die Kegelflächen geführten Tangirungsebenen. Der Annahme zufolge ist jedoch die Hilfsebene schon tangirend an die Kegelfläche s, wird sich somit mit der in a S gelegten Berührungsebene nur in dieser Geraden schneiden können und folglich a S die gesuchte Tangente sein.

Weiters bestimme man jene Punkte der Schnittcurve, welche in den Umrissen der Kegelflächen liegen. Man wird, um z. B. die im Umrisse c £ gelegenen Punkte 5 und 7 zu erhalten, durch den Fusspunkt c dieser Erzeugenden cS die Trace co und die zugehörige zweite Trace co A ziehen und die Durchschnittspunkte 5, 6, 7, 8 der in dieser Ebene gelegenen Erzeugenden cs, d s, fs und gs bestimmen. Die in den Umrissen befindlichen Punkte sind darum von besonderem Interesse, weil in denselben die den Umriss bildende Erzeugende die Durchdringungscurve berührt, und weil diese Punkte die Begränzung des sichtbaren Theils der Schnittcurve dann bilden, wenn die Erzeugende in einem sichtbaren Tlieil der zweiten Fläche ein- oder ausdringt. Ersteres ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass die Tangirungs-ebene im Umrisse durch das Auge geht, mithin alle Schnitte, also auch die zu suchende Tangente, in ihrer Biiclflächtrace, welche der Umriss selbst ist, enthält.

Sind auf diese Art die wichtigsten Punkte der Schnittcurve gefunden, so ermittle man auf ähnliche Weise weitere Punkte derselben dort, wo diese zur genauen Verzeichnung der Curve als nothwendig erscheinen.

Schliesslich sei noch erwähnt, dass die hier gemachten Bemerkungen über die besonderen Punkte der Schnittcurve sowohl für den Durchschnitt zweier Cylinder, als auch für den Schnitt von Kegel- mit Cylinderflächen gelten, dortselbst also nicht wiederholt werden.

§. 150.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt einer Kegelfläche mit einer Cylinder-fläche zu construirez

Lösung. Es sei Eb Ev (Fig. 275) die Ebene der Leitlinie aß y der Cylinderfläche, deren Erzeugenden zur Bildfläche parallel sind, ferner E\E‘V die Basisebene und ab cd die Basis der Kegelfläche, deren Spitze S in der Bildfläche liegt und welche über die Leitlinie hinaus ins Unendliche fortgesetzt gedacht wird. Legt man durch S eine zu den Cylindererzeugenden parallele Gerade SoA, so liegt diese in der Bildebene und schneidet sich mit den Basisebenen in den Punkten A und ô ihrer Bildfläch-tracen. Die durch die Gerade So A gelegten Hilfsebenen schneiden die beiden Flächen in geraden Erzeugenden, in deren gegen-

seitigera Schnitt man Punkte der zu suchenden Durchdringungs-curve erhält.

Die Tracen der Hilfsebenen auf den Basisebenen gehen beziehungsweise durch die Punkte 6 und A, und je zwei einer Hilfsebene angehörige Tracen müssen sich in einem Punkte der Schnittlinie X Y der beiden Basisebenen begegnen.

Vorerst sind auch hier die Gränzebenen A y g und 8av zu legen und die Punkte in den sichtbaren Umrissen zu bestimmen.

Fig. 275.

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X4.

Ev

3.

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E'X

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//

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Die weitere Construktion stimmt mit der in der früheren Aufgabe durchgeführten überein und ist aus der Figur ersichtlich.

In unserem Beispiele berühren die Tracen A g und §jx der einen Grenzebene beide Leitlinien, wesshalb im Durchschnitte 1 der beiden Erzeugenden b S und y 1 ein vielfacher Punkt der Schnittcurve, d. h. ein solcher Punkt erhalten wird, in welchem sich die beiden Curvenäste kreuzen.

Bei dieser Annahme liegt die Leitlinie der Kegelfläche zum grössten Theile im Innern der Cylinderfläche, wesshalb wir, um die ganze Schnittfigur zu erhalten, die Kegelfläche über die Leitlinie hinaus fortsetzen mussten. Würde die Kegelfläche jedoch durch die Leitlinie begränzt sein, so wäre auch die Durchdrin-gungseurve nur bis zu dieser zu ziehen.

§• 151.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt zweier Cylinderflächen zu verzeichnen.

Lösung. Sind Eb Ev, E‘bE‘v die Basisebenen und v und Vj die Verschwindungspunkte der parallelen Erzeugenden, so schneide man die Flächen durch eine Reihe von parallelen Ebenen nach Erzeugenden. Da jede solche Ebene offenbar parallel zu den Erzeugenden beider Flächen sein muss, so wird sich die gemeinschaftliche Verschwindungslinie Fv sämmtlicher Hilfsebenen ergeben, wenn man die beiden Verschwindungspunkte v und vx mit einander verbindet.

Die Tracen dieser Ebenen auf den beiden Basisebenen sind parallele Gerade, deren Verschwindungspunkte V und V‘ im Durchschnitte der Verschwindungslinien Ev und E‘v mit Fv erhalten werden. Die weitere Construktion ist der in den vorhergehenden Beispielen durchgeführten gleich, nur hat man die Punkte V und F' in jener Weise, wie dort die Punkte o und A zu benützen.

Als Beispiel hierüber Avollen wir jenen Fall lösen, wo sich zwei Rotationseylinder durchdringen.

Die Achsen Y Z, Zl (Fig. 276), so wie die Durchmesser derselben seien gegeben, und zwar erstere durch die Verschwindungspunkte v und vx (A ~ = -L. . A v, A    . A vY ) und

durch die Durchstosspunkte o und ol mit der Bildebene oder mit einer zur Bildfläche parallelen Ebene, letztere durch die Perspektiven ab, «j bi in der durch o und o₁ gehenden, zur Bildfläche parallelen Lage. Wir können somit ab, albl auch als Bildflächtracen Eb, E‘b der auf YZ, YlZl senkrechten Basisebenen, welche die Cylinder nach Kreisen schneiden, betrachten.

Zur Fixirung der Verschwindungslinien Ev, E‘v dieser Ebenen

suchen wir auf bekannte Weise die Geraden —

4

fernung von A blos^den vierten Theil jener, der Geraden Ev, E‘v

Ev E-E, deren Ent-4

Oj

A ~ und gleich

I ~    , schneidet A ~ in dem der Geraden ~~ zuge

hörigen Punkte

von A beträgt.

°lAj

4    4

(Ä

Augdistanz,

A‘

Ev

; ebenso wird —— gefunden.)

Wird der Durchschnittspunkt d der Bildflächtracen mit jenem x der Verschwindungslinien verbunden, welch’ letzterer in der Verlängerung der Geraden 1c so gelegen ist, dass Ax — 4 . Ac

Fig. 276.

v\

Nix

------0

K.

/V

Ey

t-..

in.

nh

m;

a:

u ys

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•j?

vj

Z''

ist, so erhält man die Schnittlinie dx beider Basisebenen. Ebenso ergibt sich die Verschwindungslinie Fv der Hilfsebenen als Ver-

F    E

bindungslinie der Punkte t>, Vj, also analog —A, durch Ver-

~ und fy-.

4    4

Tracen der Hilfsebenen auf den Basisebenen sind somit durch die Schnittpunkte

binden von

Die Verschwindungspunkte F, V₁ der

Ev

E‘v

mit fixirt.

4

~ der Geraden 4

Um nun die Construktion einfach durchzuführen, drehen wir jede Basisebene um Eh, E‘h in die Bildebene, beziehungsweise in

ou und (Oy, und durch Verbinden der letzteren mit

eine zur Bildfläclie parallele Lage. Daselbst sind die Basiskreise K, Kv aus o, Oy über den Durchmessern a b, cty by zu beschreiben, während die umgelegten Basistracen durch Drehung der Punkte

nach

4    4

resp.

V,

ihrer Richtung nach erhalten werden.

Die Schnittlinie dx gelangt einmal nach dz, durch d parallel zu cd c, das andere Mal nach dy, parallel zu oiyc.

Die Basistracen werden nun in Bezug auf eine der beiden Leitlinien anzunehmen sein, es wird also z. ß. NO bis zum Durchschnitte x mit dz zu ziehen, dz nach dX zu übertragen

und die zugehörige Basistrace MN durch X parallel zu ojj - -

zu ziehen sein. MN und NO, so wie sämmtliche Paare zusammengehöriger Tracen schneiden sich in Punkten N, welche in einer Geraden uNdu liegen. Wir werden sonach ein solches Tracenpaar einfach so zu wählen haben, dass die beiden Tracen sich in einem Punkte der Geraden u d u schneiden.

Legen wir also wieder vorerst die Gränzebenen M N 0, My Ny Oy, drehen die in denselben liegenden Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 in die ursprüngliche Lage nach e,f ’ g, h, m, n zurück und ziehen die durch diese Punkte gehenden Erzeugenden beider Cylinder, so schneiden sich die in je einer Hilfsebene liegenden Erzeugenden in den Punkten III, III IV, welche der Durchdringungs-curve angehören und in welchen, weil diese Punkte in Gränzebenen liegen, beziehungsweise die Erzeugenden gvy, fvy, nv, mv Tangenten sein müssen.

In gleicher Weise hat man mit allen zwischen MNO und My Ny Oy angenommenen Hilfsebenen zu verfahren.

Von Wichtigkeit sind insbesondere jene Punkte der Durch-dringungscurve, welche in den Contourkanten der Cylinderflächen liegen, weil sie den sichtbaren Theil der Curve begränzen und die bezüglichen Contourgeraden zu Tangenten haben.

In unserem Beispiele müssen wir vorerst die Fusspunkte der die sichtbaren Umrisse bildenden Erzeugenden in den Kreisen K, Ky aufsuchen. Zu diesem Behufe denken wir uns die Cylinder bis zum Durchschnitte mit den zugehörigen Parallelebenen Ev, E‘v verlängert und an die so erhaltenen Schnittkreise aus dem Auge die Tangenten geführt, welche die Verschwindungslinien in Punkten des Umrisses schneiden, die eben bezeichneten Schnittkreise jedoch

in Punkten der diesen Contouren entsprechenden Erzeugenden im Baume berühren.

Weil jedoch Ev und E‘v ausser die Zeichnungsfläche fallen, so führen wir durch ■— die Geraden -^-ß parallel zu YZ, ~ y

parallel zu bv bis zum Durchschnitte ß und y mit beschreiben aus ß mit dem Halbmesser ß y den Kreis k, ziehen aus a> die beiden Tangenten m b an k und zu diesen Tangenten parallel die Tangenten 7 A an den Kreis K, welch’ letztere die Trace Ei in Punkten A der Contouren Au schneiden und den Basiskreis in den fraglichen Fusspunkten 7 der den Umriss bildenden Erzeugenden berühren.

Ebenso hat man mit dem Cylinder YXZX zu verfahren, um die Contouren A'uj und die Fusspunkte 8 der bezüglichen Erzeugenden zu erhalten.

Nun kann man durch die Punkte 7, <§.... die Tracen der Hilfsebenen ziehen und in gleicher Weise wie mit MNO vor-’ gehen. In jeder Hilfsebene werden vier Punkte der Durchdrin-gungscurve erhalten.

Soll blos der im Bilde sichtbar erscheinende Theil der Curve gesucht werden, so liât man selbstverständlich auch nur jene in den verschiedenen Hilfsebenen gelegenen Kanten zu ziehen, welche im Bilde sichtbar sind, was wieder durch die Punkte 7, 8.... der. Leitlinien angezeigt wird.

Dass man dann über jene Gränzebene nicht hinausgehen wird, welche, durch den in Bezug auf die Dichtung der Basis-trace rückwärts gelegenen Fusspunkt der Umriss-Erzeugenden der einen Fläche gehend, die andere Fläche wenigstens in einer sichtbaren Erzeugenden schneidet, ist klar.

Bemerkung 1. Es kann Vorkommen, dass die Tracen der Hilfsebenen auf den Basisebenen sich mit der Schnittlinie X Y der letzteren nicht auf der Zeichnungsfläche schneiden. In diesem Falle kann man die Bildflächtracen der Hilfsebenen, oder andere Bestimmungsstücke derselben, welche bisher nicht benützt wurden, anwenden.

Bemerkung 2. Ob ein Punkt der Schnittcurve sichtbar oder gedeckt ist, wird einfach daraus ersichtlich, ob die beiden Erzeugenden, als deren Durchschnitt der in Bede stehende Punkt erhalten wurde, sichtbar sind oder nicht. Derselbe kann nur dann sichtbar sein, wenn es beide Erzeugende sind.

§. 152.

Aufgabe.

Es sind die G-rathe eines Kreuzgewölbes zu verzeichnen.

Lösung. Bekanntlich entsteht ein Kreuzgewölbe durch den Schnitt zweier Tonnengewölbe von gleicher Pfeilhöhe. Wir wollen die Tonnen halbkreisförmig annehmen, und das Gewölbe so verzeichnen, dass die eine Tonne parallel zur Bildfläche ist, die andere dagegen senkrecht auf derselben steht.

Ist also ab cd (Fig. 277) das Bild des horizontalen Quadrates, welches von den Anlaufslinien der beiden Tonnengewölbe gebildet

Fig. 277.

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-C|

vc

\ V!

v„“4hß

wird, so sind die beiden Diagonalen des Quadrates die Perspektiven der horizontalen Projektionen der Durchdringungscurven beider Tonnen, daher o die horizontale Projektion des Scheitels s. Legt man durch o eine zur Bildfläche parallele Ebene, so ist der über fg als Durchmesser verzeiclinete Kreis die Perspektive des Schnittes dieser Ebene mit dem auf der Bildfläche senkrechten Cylinder, während der Schnitt des andern Cylinders eine diesen Kreis berührende horizontale Gerade ist. Ebenso sind die über a b und c d beschriebenen Kreise die Begränzungen der ersteren Cylinderfläche.

Um Punkte der Durchdringungscurve zu erhalten, kann man auf mehrfache Weise Vorgehen.

a)    Mit Benützung der horizontalen Projektion der Grathe.

Nimmt man nämlich irgend einen Punkt 1 der Projektion

an und legt durch denselben eine zu den Erzeugenden des er-steren Cylinders parallele vertikale Ebene, so ist Al deren horizontale Trace, welche noch überdies den Punkt 2 der zweiten Diagonale in sich enthält. Diese Trace schneidet die Gerade a b in 7c, daher die Vertikale kl die Trace der eben gelegten Ebene auf jener zur Bildfläche parallelen Seitenebene ab ist und den darin liegenden Kreis in l schneidet. Die Gerade A l ist mithin der Schnitt der Hilfsebene mit der Cylinderfläche, welcher die in 1 und 2 errichteten Vertikallinien in den Punkten 1 und II der fraglichen Schnittcurve trifft.

Diese Lösungsweise hat den Nachtheil, dass die in der Nähe des Augpunktes sich ergebenden Schnitte sehr schief ausfallen, daher die so gefundenen Punkte nicht mit der nöthigen Genauigkeit erhalten werden.

b)    Kann man horizontale Hilfsebenen anwenden, welche beide Cylinderflächen nach Geraden schneiden. Man wird vermittelst dieser Ebenen Punkte der Schnittcurve einfach erhalten, ohne dass hiezu die horizontale Projektion der Grathe benützt werden muss.

Ist Fb die Trace einer solchen Ebene auf der durch fg gelegten Vertikalebene, so wird der über fg beschriebene Kreis in den beiden Punkten p und q, die Cylinderfläche daher in den Erzeugenden pA und qA geschnitten. Wird die zweite Cylinderfläche in f durch eine auf die Bildfläche senkrechte Vertikalebene ff* begränzt und der so erhaltene Halbkreis um ff* in die Vertikalebene f g gedreht, so ist er daselbst aus dem Mittelpunkte f mit dem Radius ff* zu beschreiben, und wird daher dem Kreise fg congruent sein. Die zweite Cylinderfläche wird sonach in zwei horizontalen Erzeugenden geschnitten, welche sich im Abstande a q vor und hinter der durch fg gelegten Vertikalebene befinden. Werden daher die Punkte m und n des Kreises bmncl so bestimmt, dass hm = hn perspektivisch gleich «q ist, so schneiden die durch m und n geführten Erzeugenden jene des ersten Cylinders in den Punkten III, IV etc. der Durchdringungscurve.

c)    Eine dritte Auflösungsweise besteht darin, dass man zwei conjugirte Durchmesser der Perspektive der Sehnittcurven, welche

22

Peschka u. Koutny, Perspektive.

bekanntlich Ellipsen sind, sucht. Nachdem den Punkten 6, c, a und d der Grathe vertikale Tangenten entsprechen, so sind die Diagonalen a d und b c die einen Axen dieser Ellipsen, während die andern vertikal sind und durch die Halbirungspunkte der ersteren gehen. Wird also bc im Punkte 2 halbirt, daselbst die Vertikale 2II errichtet und deren Schnitt II mit der Cylinder-fläclie bestimmt, so ist 211 der gesuchte halbe Diameter. Auf gleiche Weise wird die zu ad conjugirte Halbaxe der andern Ellipse gefunden.

Die Construktion der Tangente an einen Punkt der Schnitt-curve lässt sich hier, ebenfalls auf mehrfache Weise durchführen und wird sehr einfach, wenn man berücksichtigt, dass die Tangente gleichfalls in der Ebene der Curve liegen muss. Sind z. B. in den Punkten V und VI der Erzeugenden 8 A die Tangenten an beide Grathe zu verzeichnen, so hat man durch 6 A eine Tan-girungsebene an den auf die Bildfläche senkrechten Cylinder zu legen und dieselbe mit den Ebenen der Curven zum Durchschnitt zu bringen. Diese Tangirungsebene schneidet die beiden durch ab und cd geführten Vertikalebenen in den Geraden ott und cp p, welche zu einander parallel und Tangenten in den Punkten 8 und cp der begränzenden Kreise aŁb und c cp d sind. Die Tracen der Diametralebenen ad und bc auf den vorgenannten Vertikalebenen sind offenbar die in a, b: c und d errichteten Vertikalen a T, b ctx und dt. Die Tangenten 8tt und epp schneiden sich mit einer der obigen, in derselben Diagonalebene liegenden Tracen in den Punkten tu und p, welche mit V und VI verbunden die gesuchten Tangenten geben.

Einfacher ergeben sich die Tangenten auf folgende Weise. Zieht inan an den Kreis fp g in dem Durchschnittspunkte 8 mit der Erzeugenden 8 A eine Tangente, so ist dies die Trace der Berührungsebene auf der durch fg gehenden Vertikalebene, welche mit den beiden Diagonalebenen bc und ad die Gerade os gemeinschaftlich hat. Der Punkt t, in welchem diese Gerade von ersterer geschnitten wird, muss somit den zu suchenden Tangenten angehören.

Wichtig ist ferner die Bestimmung der Tangenten in dem Kreuzungspunkte s beider Grathe. Die Construktion derselben muss nach der erst angeführten Methode vorgenommen werden, da für diesen Punkt die zweite Methode zu keinem Resultate führt. Für die Plrzeugende As ist die Trace der Berührungs-ebene in B horizontal und schneidet die durch a und b gehenden

Vertikallinien in T und 2\, daher diese Punkte blos mit s zu verbinden sind, um die fraglichen Tangenten zu erhalten, welche horizontal und gegen die Bildfläche unter einem Winkel von 45Q geneigt sind.

Die Construktion des Kreuzgewölbes in einer andern, als der hier angenommenen Stellung, würde in gleicher Weise, nur mit den durch die verschiedene Lage sich ergebenden Abänderungen durchzuführen sein.

§. 153.

Aufgabe.

¹

Ueber den gegenseitigen Schnitt von Kegel- und Cylinderfläclien gilt dasselbe, was über Pyramiden und Prismen bereits in den §§. 101—105 erörtert wurde.

Es ist der Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einer Cylinderfläche zu bestimmen.

Lösung. Der Einfachheit wegen nehmen wir an, dass die Cylindererzeugenden parallel zur Bildebene seien, und dass die Drehungsaxe der Umdrehungsfläche in der Bildebene liege. Ferner

Fig. 278.

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sei amnb (Fig. 278) die Trace der Cylinderfläche auf der Horizontalebene Ei und apß der Hauptmeridian der ßotationsfläche.

Um Punkte der Schnittcurve zu erhalten, kann man die Trace der Cylinderfläche um Eb in die Bildebene drehen, woselbst sie sich in a b ml ergibt, und ein System horizontaler Hilfs-

22*

ebenen anwenden, welche die Umdrehungsfläche nach Parallelkreisen, die Cylinderfläche hingegen nach zur Trace abmln1 congruenten Curven schneiden. Ist also Fb die Bildflächtrace einer Hilfsebene, so wird der mit dem Radius pq verzeichnete Kreis pqrxSi der in die Bildfläche gedrehte Parallelkreis und q dessen Mittelpunkt sein.

Denkt man sich diesen Parallelkreis als Leitlinie einer Cylinderfläche, deren Erzeugenden parallel zu jenen des gegebenen Cylinders sind, so ist die Trace derselben auf der Ebene Ei, wieder ein Kreis vom Radius pq, dessen Mittelpunkt ql erhalten wird, wenn man durch q eine Gerade qqy parallel zu den Erzeugenden führt und mit der Trace Ei zum Schnitte bringt. Der aus qY mit dem Radius p q beschriebene Kreis ist somit die in die Bildfläche umgelegte Trace der Hilfscylinderfläche, welche die umgelegte Trace des gegebenen Cylinders in r und s schneidet.

Beide Cylinder haben parallele Erzeugende, müssen sich sonach in zwei Erzeugenden schneiden, welche durch die um Ei in die Horizontalebene zurückgedrehten Punkte r und s im Raume gehen. Hiebei ist es am zweckmässigsten, die beiden Punkte r und s vorerst in den umgelegten Parallelkreis pqrlsl nach rx und sj zurückzuführen und letztere Punkte um Fh in die Horizontalebene zu drehen, woselbst die Punkte I und II des zu suchenden Schnittes erhalten werden. Vier Punkte der Schnitt-curve ergeben sich einfach, wenn man beide Flächen vermittelst einer durch die Axe YZ parallel zu den Erzeugenden geführten Ebene, hier daher durch die Bildebene, schneidet. Die Umdrehungsfläche wird im Meridiane, die Cylinderfläche in zwei Erzeugenden al, b3 geschnitten, deren Fusspunkte in unserem Falle im Durchschnitte der Trace Ei mit der Basiscurve abmn erhalten werden. Die vier Punkte 1, 2, 3, 4, in welchen diese Erzeugenden den Hauptmeridian treffen, gehören somit der Schnitt-curve an.

In vorliegender Aufgabe wurde die Cylinderfläche so gewählt, dass sie mit der Umdrehungsfläche eine gemeinschaftliche Berührungsebene und in derselben einen Punkt III gemein hat, in welchem sich sodann die beiden Schnittcurven, nämlich' die Eintritts- und Austrittscurve, vereinen.

§. 154. Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt zweier Umdrehungsflächen zu con

struirez

a) Die Axen beider Flächen seien in der Bildebene oder in einer zu derselben parallelen Ebene gelegen und beide vertikal.

Lösung. Es sei ein Paraboloid, dessen Hauptmeridian-liälfte amx ist, mit einem Ellipsoide, das durch Rotation der halben Ellipse axnxrj um ihre kleine Axe ciixj entstanden ist, zum Durchschnitt zu bringen. YZ und Yl Zx (letztere mit der Vertikallinie zusammenfallend) seien die beiden Drehungsaxen.

Zum Behufe der Auffindung einzelner Punkte des Schnittes werden wir horizontale Hilfsebenen anwenden und dieselben

Fig. 279.

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sammt den in ihnen gelegenen Schnittkreisen in die Bildebene umlegen. Ist Eh (Fig. 279) die Bildflächtrace einer solchen Ebene, so sind die in derselben liegenden Parallelkreise beider Flächen nach der Drehung um Eb über den Radien om, oxn zu verzeichnen. Diese schneiden sich in zwei Punkten cc, ai) welche gleich weit vor und hinter m n gelegen sind. Diese beiden Punkte in die horizontale Ebene zurückversetzt, geben die der Schnittcurve ungehörigen Punkte 1 und 2.

Die Punkte 7 und 77, in welchen sich die Hauptmeridiane beider Flächen schneiden, gehören gleichfalls der Schnittcurve an, während die diesen Punkten zugehörigen Tangenten im Aug-punkte A verschwinden.

b)    Es ist der Durchschnitt zweier Umdrehungsflächen mit vertikalen Axen zu suchen, wenn letztere nicht in der Bildfläche liegen.

Lösung. Man denke sich die Bildfläche durch eine der beiden Axen hindurchgehend und bestimme die Entfernung der zweiten Axe von der Bildfläche. Schneidet man beide Flächen durch horizontale Ebenen und legt diese sammt den beiden Parallelkreisen, die sich als Schnitte ergeben, in die Bildebene, so erhält man im Durchschnitte dieser Kreise zwei Punkte der fraglichen Durchdringungscurve. Der umgelegte Parallelkreis der Umdrehungscurve, deren Axe in der Bildfläche liegend angenommen wurde, ist über der betreffenden Sehne des Hauptmeridians, als Durchmesser, zu verzeichnen. Behufs der Auffindung des zweiten Parallelkreises wird man vorerst die orthogonale Projektion der zweiten Rotationsaxe auf der Bildebene, in welcher der umgelegte Mittelpunkt liegen muss, bestimmen, hienach auf derselben, von der Bildflächtrace der horizontalen Hilfsebene, ein der früher bestimmten Entfernung der Axe von der Bildfläche gleiches Stück abschneiden, um jenen Mittelpunkt zu erhalten, aus welchem der Parallelkreis der zweiten Fläche zu beschreiben ist. Den Halbmesser desselben findet man einfach aus der Perspektive des zur Bildfläche parallelen Hauptmeridians.

c)    Die Axen beider Umdrehungsflächen, deren gegenseitiger Schnitt bestimmt werden soll, schneiden sich.

Lösung. Nehmen wir die Bildfläche so an, dass sie durch beide Rotationsaxen gehe, und sind die beiden Hauptmeridiane der Flächen verzeichnet, so ergeben sich im Durchschnitte derselben Punkte der zu suchenden Curve. Schneidet man ferner beide Flächen durch eine Reihe concentrischer Kugeln, deren Mittelpunkt im Durchschnitte beider Axen liegt, so werden dieselben gleichfalls in Parallelkreisen geschnitten, deren Ebenen sich in einer auf der Bildfläche senkrechten Geraden begegnen. Der Fusspunkt dieser Geraden auf der Bildebene ergibt sich im Durchschnitte der Bildflächtracen der beiden Parallelkreisebenen. Nun hat man blos einen der beiden Parallelkreise sammt dieser Geraden in die Bildfläche umzulegen und die erhaltenen Durch-

sclmittspunkte, in die ursprüngliche Lage zurückgedreht, perspektivisch zu bestimmen.

§. 155. Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt einer windschiefen Fläche mit einer Cylinderfläche zu bestimmen.

Lösung. Hat die Cylinderfläche eine beliebige Lage im Raume, so wende man solche Hilfsebenen an, welche die windschiefe Fläche nach Erzeugenden schneiden und zu den Cylinder-erzeugenden parallel sind.

Wir wollen diesfalls eine windschiefe Dachfläche wählen und sie mit einer vertikalen Cylinderfläche von kreisförmiger Leitlinie zum Durchschnitt bringen.

Das Trapez ab cd (Fig. 280) sei beispielsweise der Grundriss eines Gebäudes, welches einen horizontalen, in der Mauerfläche cdgk gelegenen First erhalten soll. Die Gesimskante a b liege in der Bildebene, während die beiden Seitenmauern ac und bd auf derselben senkrecht stehen. af sei die Höhe des Dachfirstes.

Die beiden Punkte p

. ibi

g und k werden erhalten, wenn man auf den in c und d errichteten

Fig. 280.

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Vertikalen c g und d k das Längenstück af perspektivisch abschneidet; es ist mithin gk die Perspektive des Firstes.

Der in der Horizontalebene ab cd liegende Kreis mn bilde die äussere Fläche einer cylindrischen Mauer, welche aus Dach geführt wird, also letzteres durchdringt.

Am einfachsten erhält man diesfalls Punkte der Schnittcurve

horizontale Hilfsebenen anwendet,

dem Gebäude dufch das

beider Flächen, wenn man

welche die Cylinderfläche nach Kreisen, die windschiefe Fläche¹) nach geraden Erzeugenden schneiden. Hiezu kann unmittelbar die horizontale Ebene ab cd als Grundebene benützt werden. Am zweckmässigsten ist es, die Hilfsebenen in gleicher Entfernung von einander zu legen. Theilt man z. B. die Höhe a f in vier gleiche Theile und verbindet diese Theilpunkte mit A, so erhält man in den Punkten a, ß, y der Geraden a g die Schnittpunkte derselben mit den durch 1, 2, 3 gelegten Horizontalebenen. Auf gleiche Weise erhält man in der Geraden bk die Punkte a', ß', y', welche mit a, ß, y verbunden die entsprechenden Erzeugenden der windschiefen Fläche geben.

Die horizontalen Projektionen derselben werden einfach bestimmt, wenn man die Punkte a, ß, y, a', ß', y' in die Geraden ca und bd vertikal projecirt, oder, indem man die Geraden ca und b cl perspektivisch in vier gleiche Theile theilt, und die Theilpunkte in gehöriger Aufeinanderfolge mit einander verbindet. Die so gefundenen Geraden, so wie jene ab und cd, müssen verlängert sich in einem Punkte begegnen.

Die letzt gefundenen Geraden schneiden die Perspektive des Kreises in den Punkten II‘...., welche durch vertikale Perpendikel in die zugehörigen Erzeugenden projecirt, die zu suchenden Punkte I, II.... der Schnittlinie bestimmen.

Würden sich die erstgenannten Schnittpunkte mit der Kreisperspektive zu ungenau ergeben, so wäre es zweckmässiger, die horizontale Ebene ab cd um eine zur Bildfläche parallele Dre-hungsaxe rs, welche durch den Mittelpunkt des Kreises geht, parallel zur Bildfläche zu drehen, die angeführten Operationen in dieser Lage vorzunehmen, und sodann erst die ermittelten Punkte in die horizontale Lage zurückzuführen. Dieses Verfahren wurde in Fig. 280 angewendet.

Zieht man aus dem Durchschnittspunkte der beiden Geraden a b und c d an den Kreis die beiden Tangenten (tt, t‘ t‘), so stellen diese die horizontalen Projektionen der äussersten Erzeugenden vor, welche mit dem Cylinder noch zum Durchschnitt gelangen. Bestimmt man diese Erzeugenden p q und p‘ q‘ selbst und in ihnen die Berührungspunkte mit dem Cylinder, so müssen erstere auch die Durchdringungscurve in den Punkten V und VI berühren. Es ist selbstverständlich, dass man Punkte der Curve nur innerhalb denjenigen Horizontalebenen suchen wird, welche den beiden äussersten Erzeugenden entsprechen.

Kapilel XVI.

Verschiedene Aufgaben.

§. 156.

A u f g a b e.

Durch eine gegebene Gerade ist eine Ebene so zn legen, dass sie mit der Gfrundebene einen bestimmten Winkel einschliesst.

Lösung, a) Ist ldv (Fig. 281) die gegebene Gerade, so Avähle man eine horizontale Ebene als Grundebene derart, dass

Fig. 281.

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die Grundlinie G G durch den Durchstosspunkt d der Geraden l mit der Bildebene gehe. Es ist sodann dv‘ die Perspektive der Grundflächprojektion dieser Geraden.

Nimmt man irgend einen Punkt rn, m‘ dieser Geraden und denkt sich durch denselben alle Ebenen, welche mit der Gruncl-ebene den gegebenen Winkel einschliessen, geführt, so werden diese eine senkrechte Kegelfläche mit vertikaler Axe mm‘ umhüllen.

Von den besagten Ebenen werden die zu suchenden

durch die gegebene Gerade selbst gehen, demnach bestimmt werden, wenn man durch die Gerade l an diese Kegelfläche die möglichen Tangirungsebenen legt.

Zieht man die Horizontale m‘n parallel zu G G und führt mn unter den gegebenen Winkel h gegen dieselbe, so bestimmt das Stück m‘ n die Perspektive des zur Bildfläche parallelen Halbmessers der Grundflächtrace obiger Kegelfläche.

Es wird jedoch im vorliegenden Beispiele nicht nothwendig sein, die Perspektive dieses Kreises zu verzeichnen, sondern wir werden denselben um rs in eine zur Bildfläche parallele Ebene drehen und ihn daselbst aus m* mit dem Radius m‘n verzeichnen. Weiters ist erforderlich, den üurchschnittspunkt d der Geraden l mit der Grundebene nach der Drehung zu ermitteln. Es ist offenbar o der Drehungsmittelpunkt für den Punkt d und do der Drehungsradius, dessen halbe Länge po in Bezug auf die durch rn gehende Vertikalebene gefunden wird,

halbe Augdistanz) verbindet. Wird

wenn man d mit -y-, (A

also ô [x = 2. op gemacht, und werden aus g an den Kreis die beiden Tangenten gezogen, so sind dies die umgelegten Grund-flächtracen der zu suchenden Ebenen und schneiden die Drehungs-axe rn in den beiden Punkten r und s, welche mit d verbunden die Perspektiven der Grundflächtracen dieser Ebenen geben. Letztere schneiden die Horizontslinie in vl und u₂, welche Punkte mit v vereint die Versehwindungslinien Ev, E‘v der zu bestimmenden Ebenen liefern.

b) Eine einfachere Lösung dieser Aufgabe besteht in Eol-

gendem.

Durchschnitte derselben mit der

um im

Da die zu suchenden Ebenen durch die Gerade l (Fig. 282), also ihre Bildflächtracen durch d zu den durch v gehenden Versehwindungslinien parallel zu ziehen sind, so werden zur Bestimmung dieser Ebenen blos die Richtungen der Verschwindungs-linien erforderlich sein. Denkt man sich sonach den Parallelstrahl der Geraden l gezogen und aus dem Durchschnitte v desselben mit der Bildebene als Scheitel den obigen Kegel verzeichnet, so hat man durch den Parallelstrahl die Tangirungsebenen an den Kegel zu legen

Bildebene die zu suchenden Verschwindungslinien zu erhalten. Wird also vz unter dem gegebenen Winkel h gegen die Horizontslinie gezogen, und die Horizontsebene als Grundebene ange-so ist wz der Radius des Basiskreises der Kegelfläche.

nommen

Man wird sodann, wie früher, die Horizontsebene um die Horizontslinie in die Bildfläche drehen — woselbst der Basiskreis aus

w mit dem Radius ivz zu beschreiben ist und das Auge nach D {AD Augdistanz) gelangt — und aus D an den Kreis die beiden Tangenten Da und Db zu ziehen haben, um im Durchschnitte a und b derselben mit der Horizontslinie jene Punkte zu erhalten,

Fig. 282.

...

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X.

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welche mit v verbunden die Verschwindungslinien Ev und E‘v der Ebenen Eh Ev, E\E‘V geben.

Ist die Distanz AD zu gross, um mit derselben innerhalb der Gränzen der Zeichnungsfläche auszureichen, so kann ein aliquoter Theil derselben benützt werden.

Man wird sodann nicht die Horizontsebene, sondern, wenn z. B. die halbe Distanz benützt wird, eine durch den Halbirungs-punkt w der Geraden vio gehende Horizontalebene als Grundebene benützen, diese sammt dem in ihr liegenden Punkt A des Parallelstrahls in die Bildfläche umlegen und die weitern Operationen in derselben Weise wie früher durchführen, wodurch man

die Punkte a‘ und b‘ der beiden YerschWindungslinien erhält. Sämmtliche Construktionen sind in Fig. 282 ersichtlich.

§• 157.

Aufgabe.

man

Es ist eine Ebene Eb Ev und eine Gerade ldv gegeben; soll durch diese Gerade eine Ebene legen, welche mit der gegebenen Ebene einen bestimmten Neigungswinkel x einschliesst.

Lösung, a) Man bestimme vorerst den Durchschnittspunkt A (Fig. 283) der gegebenen Geraden mit der Ebene Eb Ev durch

Fig. 283.

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Zuhilfenahme einer Ebene Fb Fv, deren Verschwindungslinie den Verschwindungspunkt v mit dem Nebenaugpunkte A₁ der gegebenen Ebene verbindet, wähle sodann einen Punkt der Geraden l, z. B. den Durchstosspunkt d derselben mit der Bildebene, fälle

aus d ein Perpendikel vx d (mit Benützung von - -) auf Eb Ev,

und suche dessen Durchschnitt 8 mit dieser Ebene, wozu am zweckmässigsten die bildflächprojecirende Ebene Hb Hv zu benützen ist.

Betrachtet man o d als die Axe einer senkrechten Kegelfläche, deren Erzeugenden den Winkel x mit der Ebene Eh Ev bilden, so ist die Trace dieser Kegelfläche auf Eb Ev ein Kreis, dessen Halbmesser als die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks gefunden wird, welches die wahre Grösse der Entfernung d ô zur zweiten Kathete und dieser gegenüber den Winkel x hat. Wird daher auf irgend eine Weise die wahre Länge a

der Perspektive d ô gesucht und das Dreieck - -aß nach obiger

Angabe verzeichnet, so ist dessen Kathete a ß der in Rede stehende Halbmesser.

Da an die Kegelfläche durch die Gerade l die Tangirungs-ebenen, welche das Resultat der Aufgabe bilden, zu legen sind, so wird man zum Behufe dieser Construktion die Ebene Eh Ev um Eb in die Bildfläche umlegen, woselbst S nach o und A nach Aj gelangt. Man wird daselbst aus o als Mittelpunkt mit dem Radius a ß den umgelegten Basiskreis beschreiben und an denselben aus Aj die beiden Tangenten ziehen, welche die umgelegten Schnittlinien der zu suchenden Ebenen mit der gegebenen Ebene Eb Ev darstellen und verlängert die Bildflächtrace Eb in f und g treffen. Letztere Punkte gehören den Bildflächtracen Eb. El¹ der fraglichen Ebenen an und geben mit A verbunden die Perspektiven der zurückgedrehten Geraden f Al5 g Aj, welche Perspektiven im Durchschnitte mit der Verschwindungslinie Ev die Punkte r₂ und r₃ der Verschwindungslinien El, EJVT bestimmen. Selbstverständlich werden bei richtiger Construktion die Verschwindungslinien parallel zu den zugehörigen, früher gefundenen Bildflächtracen sein.

b) Eine zweite Lösungsweise dieser Aufgabe wäre jene, wo man vorerst die Verschwindungslinien der Ebenen aus der Verschwindungslinie Ev der gegebenen Ebene und aus dem Ver-schwindungspunkte v der gegebenen Geraden aufsucht.

Betrachtet man nämlich v als den Scheitel eines Kegels, dessen Erzeugenden gegen die Parallelebene Ev unter dem gegebenen Winkel x gerichtet sind, und legt durch den Parallelstrahl v an diesen Kegel die Tangirungsebenen, so werden diese die Bildfläche in Geraden schneiden, welche die Verschwindungslinien der fraglichen Ebenen sind.

Um das Gesagte durchzuführen, denke man sich durch v (Fig. 284) eine auf Ev senkrechte Ebene v A‘ gelegt und die-

Uv A” 2 / Ey

•vl

selbe um v A‘ in die Bildebene gedreht, woselbst die umgelegte Trace A'k dieser Ebene auf der Parallelebene Ev gegen v A‘ unter dem Neigungswinkel der Ebene Ev mit der Bildebene zu ziehen ist. Es ist sodann die aus v auf A‘ k gefällte Senkrechte v g nichts anders als die Kegelaxe. Wird über dieser, als Kathete, und mit Zuhilfenahme des gegenüberliegenden Winkels x das Dreieck vgk verzeichnet, so ist gk der Radius jenes Kreises, in welchem die Kegelfläche von der Parallelebene Ev geschnitten

wird. Alsdann drehe man die Parallelebene sammt dieser Kegeltrace und dem Auge um Ev in die Bildfläche , woselbst g als H Kreismittelpunkt nach o gelangt. Aus o ist der Kreis mit dem Radius bk zu beschreiben.

Das umgelegte Auge fiel hier ausser die Zeich-

Fig. 284.

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nungsfläche, wesslialb der Halbirungspunkt A der das Auge mit o verbindenden Geraden Ao derart gesucht wurde, dass man o mit A1 (Nebenaugpunkt) vereinigte, im Halbirungspunkte tu von Al o die auf Ev Senkrechte o> A zog, und auf dieser die durch das Dreieck

Aq erhaltene halbe Nebenaugdistanz q ~ von w nach A auftrug. Da aus dem umgelegten Auge an den eben verzeichneten Kreis die beiden Tangenten zu führen sind, so hat man den Kreis aus A mit dem Bogen a ob in a und b zu durchschneiden und in diesen Punkten die Tangenten zu ziehen. Letztere treffen die Verschwindungslinie Ev in den Punkten v₂ und ^3, welche mit v verbunden, die Verschwindungslinien E*v, E™ der zu suchenden Ebenen darstellen.

Schliesslich sind durch den bis jetzt nicht benützten Punkt d die Bildflächtracen El und Ei¹ parallel zu E\ und E„ zu ziehen.

§. 158.

Aufgabe.

Es ist eine Gerade so zu verzeichnen , dass sie durch einen gegebenen Punkt geht und mit der Grundebene den Winkel x, mit der Bildfläche hingegen den Winkel y einschliesst.

Lösung. Es sei a (Fig. 285) der gegebene Punkt, a‘ seine Grundflächprojektion und a“ seine Bildflächprojektion. Sämmt-liche Geraden, welche mit der Grundebene den Winkel x ein-schliessen, liegen in der Oberfläche eines senkrechten Kegels, dessen Spitze a und dessen Axe das Perpendikel aa‘ ist. Ebenso bilden alle Geraden, welche mit der Bildfläche den Winkel y ein-schliessen, einen Rotationskegel, welcher a als Spitze und aa“

Fig. 285.

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zur Höhe hat. Die zu suchende Gerade wird sich demnach als Durchschnitt dieser beiden Kegelflächen ergeben.

Um die Construktion in der Perspektive einfach durchzuführen, denke man sich durch beide Kegelaxen eine Ebene gelegt, welche demnach vertikal ist, senkrecht auf der Bildebene steht und jeden Kegel nach zwei Erzeugenden schneidet, welche gegen die Axe symetrisch gestellt sind. Ferner denke man sich die Ebene sammt_ den darin befindlichen Linien um a a‘ so lange gedreht, bis sie eine zur Bildfläche parallele Lage annimmt, wo-dann aa“ parallel zur Grundlinie G G wird. Die vorerwähnten Erzeugenden aa, a y beider Kegel sind daselbst durch a unter den Winkeln 90 — x gegen aa‘, und 90 — y gegen die zweite

Axe zu ziehen. Der Punkt a ist zugleich der Durchstosspunkt der betreffenden Erzeugenden mit der Grundebene, indem er in der Grundflächtrace a‘ a der durch aa‘ gehenden, zur Bildfläche parallelen Ebene liegt.

Um den Durchschnitt dieser beiden Kegel in der neuen Lage zu bestimmen, schneide man beide durch eine Kugel, welche ihren Mittelpunkt im gemeinschaftlichen Scheitel a beider Kegel hat, und deren Radius die Länge der Geraden aa — a^ ist. Diese Kugel schneidet beide Kegelflächen nach Kreisen, deren Ebenen senkrecht auf den zugehörigen Kegelaxen, daher auch senkrecht auf der Bildebene stehen, sich demnach auch in einer Geraden begegnen, welche senkrecht auf der Bildebene steht.

Zieht man also aus a mit dem Radius a a einen Kreisbogen, welcher den Schnitt der Kugel mit der durch aa‘ gehenden, zur Bildfläche parallelen Ebene vorstellt, so sind aa‘ und y 5 (senkrecht auf den betreffenden Axen) die Tracen obiger Kreisebenen auf derselben Ebene. Im Durchschnittspunkte k derselben ergibt sich mithin die orthogonale Projektion der zwei Durchschnittspunkte beider Kreise, also in ak die Projektion jener zwei Geraden, welche den Durchschnitt beider Kegel bilden.

Die Entfernung des der Projektion k entsprechenden Punktes im Raume von der Ebene aa‘a wird gefunden, wenn man den Kreis « a‘ um die Trace a' a seiner Ebene in die zur Bildfläche parai leie Lage dreht, woselbst die der Abscisse a'k entsprechende Ordinate k l des mit dem Radius a ß beschriebenen Kreises jene Entfernung angibt.

Drehen wir schliesslich das Ganze um 90⁰ in die ursprüngliche Lage zurück, welches nach der einen oder andern Richtung geschehen kann, so ergibt sich die Lage des Punktes k, wenn man auf der aus a‘ auf die Bildebene gefällten Senkrechten a‘A, nach beiden Seiten von a‘ die Länge a‘k abschneidet, also a‘ m — a‘n perspektivisch gleich a‘k macht. Die früher auf der Bildfläche senkrechte Gerade kl, welche sich in k pro-jecirte, wird gegenwärtig parallel zur Bildfläche erscheinen; man wird demnach durch m und n die Horizontalen ziehen und auf denselben von m und n aus nach beiden Seiten das Stück kl abschneiden (indem man a‘p — a‘ q — kl macht und p so wie q mit A verbindet), wodurch sich die Punkte 2, 22, 222 und IV ergeben, welche mit a verbunden vier Gerade bestimmen, die sämmtlich der gestellten Aufgabe Genüge leisten.

Verbindet man die Punkte /, 27, ///, IV mit a‘, so erhält man die Perspektiven der Grundflächprojektionen der gefundenen Geraden, vermittelst welchen man die Durchstoss- und Verschwin-dungspunkte dieser Geraden leicht ermitteln kann.

FÜNFTER ABSCHNITT.

Kapitel ITH.

Construktion der Schatten.

§. 159.

Tandet

Allgemeine Bemerkungen.

man die in der perspektivischen Projektionslehre aufgestellten Sätze und durchgeführten Construktionen auf die Bestimmung der Selbst- und Schlagschatten eines perspektivisch dargestellten Körpers in gleicher Weise an, wie dies in der orthogonalen Projektion geschieht, so wird auch die Schattenbestimmung in der Perspektive keinen Schwierigkeiten unterliegen.

Es ergeben sich jedoch für die Schattenbestimmung oft Vereinfachungen, wesshalb wir diesen Gegenstand im Wesentlichsten hier behandeln und die Construktionen an mehreren Beispielen durchführen wollen.

In der orthogonalen Projektion setzt man immer eine solche Stellung des leuchtenden Körpers voraus, dass die Gegenstände auf der Vorderseite beleuchtet erscheinen; in der Perspektive jedoch ist dies weniger häufig der Fall und man hat sehr oft Schattenbestimmungen vorzunehmen, wo der leuchtende Körper hinter dem Objekte sich befindet, die Schlagschatten demnach nach vorne geworfen werden.

In dieser Beziehung unterscheidet man eine dreifache Stellung des leuchtenden Körpers:

a)    dieser kann vor der Bildebene, vor oder hinter dem Beobachter, in grösserer oder kleinerer Entfernung sich befinden,

b)    der leuchtende Körper kann in der verlängerten Bildebene liegen, und

c)    kann er in endlicher oder unendlicher Entfernung hinter der Bildebene sich befinden.

Im letzteren Falle können die Lichtstrahlen mehr oder weniger schräg die beleuchteten Objekte treffen.

Die Verzeichnung der Gränzen der Selbst- und Schlagschatten , womit wir uns hier befassen werden, gehört in das Bereich der Linearperspektive, während die Bestimmung der Stärke der Töne, überhaupt die Ausführung in Farben, ein Gegenstand der Luftperspektive ist.

Je nachdem der leuchtende Körper sich in endlicher oder unendlicher Entfernung befindet, haben wir centrale oder parallele Lichtstrahlen zu unterscheiden. Der erstere Fall kommt im Vergleich zu letzterem nur selten vor. Parallele Lichtstrahlen können wir bekanntlich bei der Sonnen- und Mondbeleuchtung, so wie überhaupt bei der Beleuchtung durch Körper annehmen, welche im Verhältniss zur Ausdehnung der von uns betrachteten Körper eine sehr grosse Entfernung haben, wie dies bei allen Himmelskörpern der Fall ist. Eine centrale Beleuchtung bietet z. B. ein Kerzen- oder Lampenlicht.

Setzen wir parallele Lichtstrahlen voraus, so haben dieselben in der. Perspektive einen gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt, und es ist bezüglich der Lage desselben in den drei oben angegebenen Fällen folgendes zu merken:

a)    Befindet sich der leuchtende Körper vor der Bildebene, so ist der Verschwindungspunkt der parallelen Lichtstrahlen unter der Horizontslinie gelegen, und zwar um so tiefer, unter je grösserem Winkel die Lichtstrahlen die Horizontalebene treffen. Ob der Verschwindungspunkt rechts oder links vom Auge zu wählen ist, darüber entscheidet der Stand des leuchtenden Körpers.

b)    Der leuchtende Körper kann in der unendlich weit verlängert gedachten Bildfläche liegen. Diessfalls ist selbstverständlich, dass die Lichtstrahlen zur Bildfläche parallel sind, also auch in der Perspektive zu einander parallel sein müssen, wesshalb sodann blos die Richtung der parallelen Strahlen anzunehmen ist.

Dieser Fall bietet durchgehends die einfachste Lösung, was schon daraus hervorgeht, dass jeder Strahlencylinder zur Bildfläche parallel ist und bekanntlich in solchen Fällen die Operationen sehr einfach durchführbar sind.

c)    Ist der leuchtende Körper hinter der Bildebene, so liegt der Verschwindungspunkt der parallelen Lichtstrahlen oberhalb der Horizontslinie. Im Uebrigen gilt dasselbe, was unter a) bereits gesagt wurde, auch bleibt die Construktion mit wenigen

unwesentlichen, aus der Richtung der Strahlen sich von selbst ergebenden Abänderungen dieselbe wie im erstem Falle.

Zur Erläuterung der perspektivischen Schattenbestimmung wollen wir nun die Construktion derselben an einigen Körpern zeigen und zu diesem Zwecke von einfacheren Gegenständen auf complicirtere übergehen.

§. 160. Aufgabe.

Es ist der Schatten eines auf der Grundebene senkrecht stehenden Prismas zu bestimmen.

Lösung, a) Ist V (Fig. 286) der Verschwindungspunkt der parallelen Lichtstrahlen, so bestimme man vorerst die Richtung

der Tracen der parallel zu den Lichtstrahlen und den Prismenkanten gelegten Ebenen mit der Grundebene G G, also f-H den Verschwindungspunkt v dieser Tracen, welcher sich ergibt, indem man in V die Vertikale V v zieht, und diese mit der Horizontslinie zum Durchschnitt bringt. v kann auch als der Verschwindungspunkt der Projektionen der angenommenen Lichtstrahlen auf der Grundebene angesehen werden.

Fig. 286.

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Zieht man aus v die Geraden vc, vf zu den äussersten Basisecken, also gleichsam die Tangenten an das Basispolygon, so werden diese Geraden die Schattenrichtungen der beiden Kanten//' und cc‘ vorstellen, daher nur noch die Gränzen der Schatten, d. s. die der Punkte /' und c' zu bestimmen sein werden. Führen wir demnach durch c‘ und /' die Lichtstrahlen, indem wir /' und & mit V verbinden, so werden sich die verlangten Schatten im Durchschnitte dieser Lichtstrahlen mit der Grundebene in 1 und 2 ergeben.

Aus der Richtung der Lichtstrahlen ist weiters ersichtlich, dass von der obern Basis der Theil c' d‘ e' f‘ schattenwerfend sei, was übrigens auch, schon daraus hervorgeht, dass dieser Theil eine Gränze zwischen einem beleuchteten und einem im Schatten liegenden Theil der Oberfläche des Körpers bildet.

Führen wir also durch d‘ und e‘ die Lichtstrahlen Vd', Ve‘ und suchen ihren Schnitt mit der Grundebene, indem wir durch Vd\ Ve‘ vertikale Ebenen legen, deren Tracen die Geraden dv, e v sind, und diese letzteren zum Schnitt mit den genannten Lichtstrahlen bringen, so ergeben sich die Punkte 3 und 4 als die zu suchenden Schatten von d‘ und e'.

Hienach wird f1432c den fraglichen Schatten bestimmen, b) Haben die Lichtstrahlen eine zur Bildfläche parallele Lage, deren Richtung durch die Gerade mn (Fig. 287) bestimmt ist, so werden alle durch die einzelnen Punkte parallel zu den

Lichtlinien gelegten Vertikalebenen zur Bildfläche parallel, mithin deren Grundflächtracen zur c Horizontslinie parallele Gerade Die Schatten der Gränz-

Fig. 287.

cïF

--

sein- H_ kanten aa‘, dd‘ werden sonach

zur Grundlinie parallel laufen

und durch die Schatten 1 und 2

BB

il gl

der Punkte cd und d‘ begränzt

werden. Die Punkte 1 und 2 er- c

geben sich im Durchschnitt der durch a‘ und d‘ gelegten, zu mn parallelen Geraden mit den Tracen «2, dl.

Es ist ersichtlich, dass von der obern Basis die Kanten a'6', b‘ d‘ die Schlagschattengränzen bestimmen, wesshalb nur noch der Schatten 3 des Punktes b‘ auf gleiche Weise zu suchen und 3 mit 2 und 1 zu verbinden ist, um den vollständigen Schlagschatten zu erhalten.

In beiden soeben behandelten Aufgaben ist selbstverständlich, dass von dem sichtbaren Theil des Gegenstandes in Fig. 286 die Fläche cdc'd'i in Fig. 287 die Fläche aba‘b‘ im Selbstschatten sich befindet.

§• 161.

Aufgabe.

Es ist der Schatten eines Oktaeders auf eine horizontale Ebene zu construiren.

Fig. 288.

S.

\Ny

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h/ _A

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Lösung. Aus dem Vorhergehenden ist ersichtlich, dass, sobald das Bild der orthogonalen Projektion eines Punktes gefunden, sich auch sein Schatten auf dieser Ebene sehr einfach ergibt. Bei den regelmässigen Körpern ist die orthogonale Projektion der Eckpunkte leicht verzeichnet; es wird demnach auch die Bestimmung des Schlagschattens keinen Schwierigkeiten unterliegen. In unserem Falle ist die horizontale Projektion aller Punkte durch die Verzeichnung des Quadrates a'b'c'd1 über der Oktaederkante, wobei die Ecke S‘ den Mittelpunkt desselben bildet, gefunden.

Die Schattenbestimmung der einzelnen Eckpunkte geschieht wie früher.

Bemerkung. Sollte man im Zweifel sein, welche Kanten schattenwerfend sind, so wird man sich vorerst die muthmass-lichen Kanten wählen und ihre Schatten, so wie auch die Schatten der zweifelhaften Ecken bestimmen.

In unserem Beispiele wurden nach der Lage der Lichtstrahlen die Kanten Sb, Sc, S'b, S'c als schattenwerfend ver-muthet, und ihre Schlagschatten bestimmt, wodurch sich das Polygon 12S‘3 ergab. Es könnte jedoch sein, dass bei nahezu senkrechter Stellung der Lichtstrahlen, wobei die obere Pyramide ganz beleuchtet erscheint, die Spitze S keinen Schlagschatten wirft, in welchem Falle die Ecken a und d einen Schatten geben müssten. Sucht man diesen, so fällt er von beiden Punkten innerhalb des Polygons 123S‘, was ein Zeichen ist, dass die anfänglich angenommenen Schattengränzen die richtigen seien. Im vorliegenden Beispiele ist keine im Selbstschatten liegende Fläche des Körpers im Bilde sichtbar.

§. 162.

A u f g a b e.

Es ist M a* b'.... N (Fig. 289) als der Grundriss einer vertikalen Mauerfläche gegeben; man soll die sieh ergebenden Schatten verzeichnen.

Lösung. In vorliegendem Beispiele sind die Schatten nicht nur auf horizontale, sondern auch auf vertikale Ebenen zu bestimmen.

Fig. 289.

-=^-H

Bei der angenommenen Richtung V der Lichtstrahlen ist klar, dass die auf der Bildebene senkrecht stehende Mauer ab im Selbstschatten liegen und auf die nächstfolgende Mauerfront 6c, so wie auf den Boden Schatten werfen wird.

‘‘■i. |if.....",!A e'

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Bestimmen wir zunächst den Schatten der Kante a a\ so ergibt sich dieser auf der Grundebene, indem man a‘ mit v m-verbindet.

Die so erhaltene Gerade schneidet b‘ c‘ in 1, daher von hier aus der Schatten auf die Vertikalebene b‘'c‘ fällt.

Die durch aa‘ parallel mit den Lichtstrahlen gelegte Ebene ist vertikal, wird sich demnach mit der Vertikalebene b‘ & in einer vertikalen Geraden schneiden, die in 1 zu errichten ist.

Der Schatten des Punktes a liegt in dieser Geraden, so wie auch in dem durch a gezogenen Lichtstrahl a V, folglich im Durchschnitte 2 beider, in welchem Punkte somit der Schatten der Kante a a‘ begränzt ist. Dieser Kante zunächst wirft a b den Schatten auf dieselbe Plbene bc, welcher, indem der Punkt b sein eigener Schatten auf dieser Ebene ist, durch Verbinden der Punkte 2 und b erhalten wird.

Die Gerade b2 muss, wie aus dem Folgenden hervorgeht, parallel zur Verbindungslinie der Punkte V und A sein, was eine Contrôle für die Richtigkeit der Arbeit bietet. Es ist nämlich b 2 der Schnitt einer durch a b gelegten, also senkrecht auf

der Bildfläche stehenden, . zu den Lichtstrahlen parallelen Ebene mit der zur Bildfläche parallelen Mauerebene 6c, wesshalb ihr Schnitt parallel zur Bildfläclitrace der ersteren Ebene, also auch parallel zu ihrer Verschwindungslinie VA sein wird.

In der Vertiefung cdef wirft auf gleiche Weise die Kante cc' einen Schatten, der theils auf den Boden, theils auf die Ebene ef fällt und sich in c‘ 3 4 ergibt.

Weiters wirft die Kante cd ihren Schatten auf die Ebene ef. Denkt man sich durch cd eine mit den Lichtstrahlen parallele Ebene gelegt, so steht diese senkrecht auf der Bildebene, wird sich demnach mit der erstem, die vertikal ist und senkrecht auf der Bildebene steht, in einer auf der Bildfläche senkrechten Geraden schneiden. Es ist sonach diese Schattenlinie 45, durch 4 auf A zugehend, bis zur Gränze ee‘ zu ziehen. Endlich gibt 5 mit d verbunden den letzten Theil des Schattens derselben Geraden auf der zur Bildfläche parallelen Ebene ded‘e‘, welche Gerade, wie bereits früher gezeigt wurde, parallel zu 74 sein muss.

§. 163.

Aufgabe.

¹

Diese windschiefe Dachfläche ist ein Theil des in §. 145 behandelten hyperbolischen Paraboloids, indem daselbst a g und b Ti die Leitlinien sind und die Horizontalebene die Kichtungsebene der Fläche bildet.

Eine Stiege mit zur Bildfläche parallelen Stufen ist zu beiden Seiten von stufenförmig aufsteigenden Mauern begränzt; man bestimme den Selbst- und Schlagschatten des Objektes.

Anmerkung. Zum Behufe der (Konstruktion vorliegender Stiege sei Folgendes in Kürze angeführt.

Es seien akhg, alklh₁gl (Fig. 290) die Frontflächen der beiden Seitenmauern M und Ml, und in deren Ebene ab die erste Stufenhöhe. Die Stufenbreite sei doppelt so gross als die Stufenhöhe. Man verbinde a mit A und schneide darauf so viele Stufenbreiten ab, als Stufen Vorkommen, wodurch man die Punkte ßy.... erhält. Auf a g, von 6 aus, die Stufenhöhe ebenso oft aufgetragen und die Theilpunkte c, d, e mit A verbunden, bestimmen die Schnitte der horizontalen Stufenebenen mit der Seitenwand. Man hat nun in ß, y, 8.... die Perpendikel zu errichten und davon jene Stücke, welche der Reihe nach zwischen zwei aufeinander folgenden Horizontalebenen liegen, also tc p, u. s. w. zu benützen. Die durch diese Punkte gezogenen Horizontalen sind sodann die Bilder der horizontalen, zur Bildfläche parallelen Stufenkanten. Nach der vierten Stufe wurde

ein Ruheplatz angenommen, hierauf die Stufen fortgesetzt und daselbst der Mauer eine stufenförmige Erhöhung gegeben.

Lösung. V und v (beide ausserhalb der Zeichnungsfläche) seien beziehungsweise die Verschwindungspunkte der Lichtstrahlen und ihrer horizontalen Projektionen. Zuvörderst ist ersichtlich, dass die Kante a g eine Schattengränze der im Selbstschatten liegenden innern Mauerfläche ist, welche ihren Schatten auf die Stufen wirft. Dieser Schatten beginnt in 6, und es ist blos b mit” v zu verbinden, um den Schatten bl auf der ersten horizontalen Stufenebene bit zu erhalten. Auf der Vertikalebene tt p ist der Schatten vertikal durch III begränzt, und ist diese Gränzlinie

Fig. 290.

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auf der zweiten horizontalen Stufenehene von 11 aus gegen den Punkt v bis zum Durchschnitt mit der Horizontalen o fortzusetzen. Ein Gleiches wiederholt sich bei den folgenden Stufen. Letztgenannte Schattengränze IIv muss offenbar auf den Punkt c zugehen, und man wird, um sie von dem erst später gefundenen Punkte 11 unabhängig zu machen und um eine Contrôle für die Genauigkeit der Arbeit zu haben, dieselbe jedenfalls gleich im Vorhinein durch c ziehen. Werden die Schnitte der Geraden b v, cv.... mit den durch tt, p .... gezogenen Horizontalen sehr schief, so kann man die vertikalen Schattengränzen auch mit Hilfe der durch ah gehenden Horizontalebene bestimmen. Verbindet man nämlich a mit v, so ist av die Grundflächtrace der durch a g gehenden Lichtebene, und zieht man durch ß, y, 8.... die Horizontalen ßl', yII¹.... als Träcen der zur Bildfläche parallelen Stufenhöhenebenen tc p, o t.... bis zum Durchschnitt

IImit ersterer Trace, so bestimmen die durch diese Punkte geführten Vertikalen die Schattengränzen in den bezüglichen Ebenen.

Verbindet man g mit V, so trifft dieser Lichtstrahl eine der *so gefundenen Schattengränzen in III, wesshalb von III angefangen die auf die Bildfläche senkrechte Mauerkante gm schattenwerfend wird. Von dem Schatten dieser Geraden entfällt ein Theil 111 IV auf die durch x gehende Horizontalebene, wesshalb

III    IV gegen den Augpunkt zu ziehen ist. Der weitere Theil

IV    V der Schattengränze wird, wie bekannt, parallel zur Geraden VA sein, kann jedoch auch bestimmt werden, indem man die Vertikale bis zum Durchschnitte x mit der Kante gm verlängert und x mit IV verbindet; denn würde man diese Ebene fortsetzen, so wäre der Punkt x der Schnitt derselben mit der Kante m g, also auch sein eigener Schatten.

Auf dem angeordneten Buheplatze ist V VI, als die Fortsetzung der Schattengränze, gegen den Augpunkt zu ziehen, bei VI wiederholt sich die gleiche Construktion wie bei IV V, und wir erhalten hienach in VII den Schatten des Punktes m, von wo aus die Kante mp schattenwerfend wird. Die weitere Construktion ist der anfangs durchgeführten gleich.

Bei der Seitenmauer M₁ ist die Aussenseite kx hx nx pl rx im Selbstschatten, und die Gränzen derselben bilden die schattenwerfenden Kanten für den auf die Grundebene und den auf die rückwärtige Mauerfläche fallenden Schlagschatten, welcher auf bekannte Weise gefunden wird.

§. 164.

Aufgabe.

Es ist der Durchschnitt eines parallelopipedischen G-efässes, welches oben mit einer rechteckigen Oeffnung versehen ist, gegeben, man soll den sich ergebenden Schatten verzeichnen.

Lösung. Ist ab cd (Fig. 291) der Boden, klmn die Oeffnung, so wirft vorerst die Kante ae ihren Schatten a 12 auf die Bodenfläche und auf die hintere Seitenfläche. Der Schatten der horizontalen Kante ek ist von 2 aus horizontal bis zum Durchschnitt 3 mit kV zu ziehen. Würde man in den so gefundenen

Durclischnittspunkt 3, wegen des zu schiefen Schnittes, nicht genügend Vertrauen setzen, so kann man denselben auch dadurch feststellen, dass man kv mit fg zum Durchschnitte bringt und in 8 die Vertikale 8 3 errichtet, welche durch 3 gehen muss. Um weiters den Schatten der Kante k l zu finden, verlängere man dieselbe bis a, welcher Punkt sein eigener Schatten ist, und verbinde oc mit 3, welche Gerade 3 a bis zum Durchschnitte 4 mit l V zu ziehen ist und, wie schon früher gezeigt wurde, parallel zu A V sein muss. Die Horizontale 4 5 ist der Schatten von Im, so wie die Gerade 5 3, auf den Durchschnittspunkt ß von mn und fg zugehend, ein Theil des Schattens von mn sein wird; der andere Tlieil des Schattens fällt auf die Seitenwand cdgli. Um den Schatten des Punktes n zu Verzeichnen, ziehe man die Gerade nv bis zum Durchschnitte y mit gli und errichte die Vertikale y 7, welche den durch n gelegten Lichtstrahl nV in 7 trifft; 7 6 muss im Augpunkte verschwinden, und es wird schliesslich die Gerade 7h den Schatten der Kante nh geben, welche Gerade ihren Ver-schwindungspunkt V¹ im Durchschnitte der Vertikallinie mit der durch V gezogenen Horizontalen V V‘ hat.

Aus diesem Beispiele folgt, dass man zur Schattenbestimmung eine jede beliebige Horizontalebene, wie z. B. hier die obere Deckplatte des Gefässes, als Projektionsebene benützen kann, also nicht immer vorerst die Projektionen aller Punkte auf der Grundebene zu bestimmen braucht.

Fig. 291.

f.

v'k-

ß\C

xl

§. 165.

Aufgabe.

Es ist eine prismatische, mit einer Steinplatte gedeckte Mauernische gegeben; man soll den sich ergebenden Schatten construirez

Lösung. Ist, wie in allen vorhergehenden Beispielen, die Richtung der Lichtstrahlen durch den Verschwindungspunkt V

(Fig. 292). derselben gegeben, so ist ersichtlich, dass die Steinplatte ihren Schatten auf die Mauern fg und a h, so wie auch in das Innere der Nische werfen wird. Um ersteren zu bestimmen, verbinde man die Ecke u mit v, ziehe die Verbindungsgerade bis zum Durchschnitte a mit n o, und bringe die Kante a u zum Schnitte mit dem durch a gelegten Lichtstrahl a F, so wird 1 der Schatten des Punktes a auf der durch ah gehenden Vertikalebene und daher die durch 1 geführten Horizontalen / 2 und 3 4 die Schatten der Th eile n 0 und r s auf den Mauerflächen a h und f g sein. Der Punkt u ist hier aus dem Grunde am zweckmässigsten gewählt, weil er den in der Kante

liegenden Punkt der Schatten-

Fig. 292.

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ca.

El

-i

V-

Vzv

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*=1

gränze und jenen Punkt a der Kante no angibt, von welchem angefangen letztere ihren Schatten in die Nische wirft.

Um den Schatten in das Innere der Nische zu erhalten, suche man vorerst die durch die vertikale Kante au sich ergebende Schattengränze aöß auf der Bodenfläche und der rückwärtigen Mauerfläche cd.

Wie aus dem Vorigen ersichtlich, ist jedoch blos das Stück a 1 dieser Kante schattenwerfend, wesshalb die vertikale Schattengrenze 5 6 nur bis zu dem durch 1 gelegten Lichtstrahl a V gezogen werden kann.

Von hier aus fällt der Schatten der untern Plattenfläche in die Nische und wird vorerst durch den horizontalen Schatten 6 7

der Kante a o begränzt, welcher sich in 6 an 56 anschliesst. Die Kante o p wirft den Schatten auf die Flächen c d und d e. Um jenen auf die Fläche cd zu bestimmen, kann man den Schatten eines Punktes, z. B. von p, auf dieser Ebene suchen und mit 7 verbinden.

Bedenkt man jedoch, dass die Geraden c‘d‘ und op in einer Horizontalebene liegen, also gleichsam die Tracen der Mauerebene und der durch op gelegten Lichtebene auf dieser Horizontalebene sind, so ist ersichtlich, dass der Durchschnittspunkt ß der Tracen dem Schnitte beider Ebenen angehört, daher mit 7 vereint und bis zur Kante dd‘ verlängert, die in Bede stehende Schattengränze gibt. Der Punkt p wirft seinen Schatten auf die Ebene d e nach 9, mithin, ist 8 9 der zweite Theil des Schattens von op, welcher übrigens auch mit Hilfe des Durchschnittspunktes 7 der Verschwindungslinien der Mauerfläche de und der durch op gehenden Lichtebene gefunden werden kann.

Die Verschwindungslinie der ersteren ist offenbar die Vertikallinie 7 cp, und jene der letztem Ebene ist F7 (indem V mit dem Verschwindungspunkte der Geraden op verbunden wird).

Von 9 aus ist der Schnitt der durch pq gelegten Lichtebene mit der Ebene dee'd' zu bestimmen; da jedoch blos ein Theil des Schattens auf letztere Fläche fällt, so ist es am zweckmässig-sten, gleich jenen Punkt X der Kante pq zu bestimmen, der seinen Schatten nach ee‘ wirft. Zu diesem Beliufe ist einfach v mit e‘ zu verbinden und bis zum Durchschnitte X mit p q zu ziehen. X mit v verbunden gibt im Schnitte mit e e‘ den gesuchten Punkt 10.

Sucht man den Durchschnitt cp der Verschwindungslinien Fcp und w cp beider Ebenen, so wie den Schnitt ir ihrer Tracen p q und d‘ e\ so ist cp tt ebenfalls die gesuchte Schnittlinie.

Auf gleiche Weise wird endlich der Schatten 10 11 von \q auf e fe‘, so wie jener 11 3 der Kante qr auf der Ebene f g gefunden.

Die weiters noch vorkommenden Schatten sind auf bekannte

Weise construirt worden.

Die untere Fläche der Deckplatte sowohl, als auch die beiden Seitenflächen a b und b c im Innern der Nische liegen im Selbstschatten.

§. 166.

Aufgabe.

Es ist der Schatten, welcher in das Innere eines mit Fenster-und Thüröffnungen versehenen Raumes fällt, zu verzeichnen, wenn der leuchtende Körper unendlich weit hinter der Bildebene sich befindet.

Lösung. Es sei ab cd (Fig. 293) die

zur Bildfläche parallele hintere Wandfläche des Raumes, welcher oben offen und blos

Fig. 293.

von einigen, zur Bildfläche parallelen Balken, die in gleicher Entfernung von einander liegen, überzogen ist.

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1,1 :

In dieser Wandfläche befinde sich die Thüröffnung e f g h und die Fensteröffnung iklm. Unserer Annahme gemäss muss der Verschwindungs-punkt V der parallelen Lichtstrahlen oberhalb der Horizontslinie liegen, und es wäre demnach, wenn z. B. die Beleuchtung durch die Sonne geschähe, iii diesem Punkte das Bild der Sonne zu verzeichnen.

Behufs der Construktion der Schattengränzen verfahre man auf gleiche Weise wie in den vorhergehenden Beispielen. Ist v der Verschwindungspunkt der horizontalen Projektion eines Lichtstrahles , so gibt v e 1 den Schatten eines Theiles der vertikalen Thürkante eg; das obere Stück derselben wirft den Schatten auf die vertikale, zur Bildebene senkrechte Wandfläche, welcher demnach wieder vertikal sein muss und bis zu dem durch g gelegten Strahl g V zu ziehen ist. Ebenso wird der Schatten f 3 der Kante fh gefunden, während 34 parallel zu HH gezogen und 4 mit 2 verbunden, den Schatten von gli bestimmen.

Letztere Gerade 24 lässt sich jedoch auch direct ermitteln;, denn gli ist zur Bildebene parallel, folglich ist auch die Ver-

schwindungslinie V V‘ der dieser Geraden entsprechenden Lichtebene horizontal und schneidet die Verschwindungslinie A V1 der betreffenden Wandfläche in I j, welcher Punkt sonach der Schnittlinie angehört und in der Verlängerung von 2 4 liegen muss. Auf gleiche Weise werden die Schatten der Fensterkanten bestimmt, die jedoch diessfalls ganz auf die horizontale Bodenfläche fallen. Was die oben liegenden Balken betrifft, so werfen diese ihren Schatten auf eben dieselbe zur Bildfläche senkrecht stehende Wandfläche und sind überdies zur Bildfläche parallel, folglich ist zu deren Schattenbestimmung aus gleichem Grunde, wie bei der Thürkante gh gezeigt wurde, der Verschwin-dungspunkt Vi zu benützen, von welchem aus die Schattengränz-linien zu den äussersten Eckpunkten der in obgenannter Wandebene liegenden Balkenquerschnitte zu ziehen sind.

§. 167.

Aufgabe.

Es ist der Schatten eines vertikalen Cylinders auf der Grundebene zu bestimmen, und sind dessen Selbstschattengränzen anzugeben.

Lösung. Legt man parallel zu den Lichtstrahlen die tan-girenden Ebenen an die Cylinderfläche, so ist v (Fig. 294) der Verschwindungspunkt der horizontalen Tracen dieser Ebenen; es geben folglich die aus diesem Punkte an die Leitlinie gezogenen Tangenten in den Berührungspunkten r/q und nx die Fusspunkte jener Erzeugenden, welche h den Selbstschatten begränzen. Um die Berührungspunkte genauer zu erhalten, denke man sich die Leitlinie, welche wir hier als Kreis annahmen, um den zur Bildfläche parallelen Durchmesser in eine zur Bildebene parallele Lage gebracht. Die Richtung der gedrehten Horizontal-v 0

II

halbe Distanz benützt wird).

Werden nun parallel zu dieser an den Kreis die beiden Tangenten gezogen, so ergeben sich in den Berührungspunkten oq, ß|

trace ist sodann

Fig. 294.

K-

«!

(wenn nämlich zu deren Verzeichnung die

die zu suchenden Fusspunkte, welche in die Horizontalebene nach raj und nx zurückzudrehen sind.

Die Schlagschattengränze auf der Horizontalebene wird durch den Schlagschatten der beiden Erzeugenden mml: nnx und durch den Schatten des Halbkreises mpn der oberen Basis gebildet.

Letzterer ergibt sich am einfachsten, indem man auf bekannte Weise den Schatten einzelner Punkte des Halbkreises bestimmt. Zu bemerken ist, dass die geraden Schattengränzen m₁1 und nx 2 die Ellipse 123 in 1 und 2 berühren müssen, so wie, dass diese Curve von jenem Lichtstrahl berührt werden muss, welchen man aus V tangentiell an die obere Basiscurve zieht.

§. 168.

A u f g- a b e.

Auf einem vertikalen Cylinder ruht konzentrisch ein zweiter, grösserer auf; man soll die sich ergehenden Schatten bestimmen.

Lösung. Wir haben in diesem Falle offenbar die Selbstschatten beider Cylinder, ferner die Schlagschatten derselben auf

Fig. 295.

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Die

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die Horizontalebene und den Schatten des oberen Cylinders auf den unteren anzugeben. Selbstschatten werden in aß, y o (Fig. 295) auf die im vorigen Beispiele gezeigte Weise gefunden.

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Der Schlagschatten auf die untere Cylinder-fläche wird von einem Theile des Kreises cxfdx geworfen, daher behufs seiner Bestimmung blos der Durchschnitt zweier Cylinder zu verzeichnen sein wird. Die zu den Cylinderkanten parallelen Ebenen haben Vv zur Yerschwindungslinie und sind vertikal, weil V der Verscliwindungspunkt des Strahlencylinders ist und die zweite Fläche vertikale Erzeugende hat. Betrachten wir die Ebene beider Kreise aeb und cxfdx als gemeinschaftliche Basisebene beider Cylinder, so ist v der Yerschwindungspunkt der Tracen der Hilfsebenen auf dieser Basisebene.

Ziehen wir demnach die Trace fv einer solchen Hilfsebene, so schneidet diese die Leitlinien in e und f und die beiden Cylinder in den Erzeugenden e 3 und f F, in deren Durchschnitt der Punkt 3 der Schattengränze liegt. Auf diese Weise können beliebig viele Punkte der Schattengränze ermittelt werden.

Vorerst ist es zweckmässig, jene Punkte der Durchschnitts-curve aufzusuchen, welche ihre Perspektiven im sichtbaren Umrisse a aY der Cylinderfläche und in der Selbstschattengränze a ß haben. Zu diesem Behufe lege man die Tracen der Hilfsebenen durch die Punkte a und ß und bestimme wie früher die fraglichen Punkte 1 und 2.

In 2 muss der Lichtstrahl cp F Tangente an die Schattengränze sein, weil hier die schneidende Ebene zur Berührungsebene an die untere Cylinderfläche wird. Der Punkt ß jedoch ist auch aus dem Grunde wichtig, weil er jenen Punkt cp der Kreislinie cl fdx liefert, von welchem angefangen diese ihren Schatten auf die Grundebene wirft. Es ist also in 4 der Schatten der Erzeugenden aß begränzt, dagegen jener 4 5 des Kreisbogens y cp, ferner der Schatten der Geraden y 8 und eines Stückes des oberen Kreisbogens 8de als Begränzung des Schlagschattens auf der Grundebene zu suchen und wie in früheren Beispielen zu bestimmen.

§. 169.

Aufgabe.

Ein horizontaler, zur Bildfläche paralleler Cylinder trägt an dem einen Ende eine Platte, deren prismatische Basisfläche ein regelmässiges Sechseck ist; man soll den Schatten bestimmen, den diese Deckplatte auf die cylindrische Spindel wirft.

Lösung. Gehen wir von demselben Gesichtspunkte, wie in der vorhergehenden Aufgabe aus, indem wir nämlich den Schnitt des Strahlenprismas mit dem Cylinder suchen, so folgt, dass in diesem Falle die Horizontale V Vl (Fig. 296) die Verschwindungs-linie jener Hilfsebenen ist, welche parallel zu den Prismenkanten und Cylindererzeugenden sind. VV₁ schneidet die Vertikallinie, d. i. die Verschwindungslinie der gemeinschaftlichen Basisebene, in F₁, wesshalb dies der Verschwindungspunkt der Schnitte der Hilfsebenen mit dieser Basisebene ist. Wird von Vx an die Basis s g ß der Cylinderfläche die Tangente V\f gezogen, so erhält man jene Erzeugende a ß der Cylinderfläche, welche den Selbstschatten begränzt.

24

Peschka u. Koutny, Perspektive.

Um den Schlagschatten des Prismas auf dem Cylinder zu finden, bedenke man, dass blos die den beiden Kanten a b und b c entsprechenden Schattengränzen theilweise im Bilde sichtbar erscheinen. Man wird demnach vorerst Hilfsebenen durch die Selbstschattengrenze a (3, durch den sichtbaren Umriss s s, und durch xlie Ecke b legen. Für letztere ist b Vx die Trace der Hilfsebene, welche die Cylinderfläclie nach der Erzeugenden g 2, und das Strahlenprisma nach der Kante b V schneidet. Im Durchschnitte beider ergibt sich der Punkt 2 als Schatten der Ecke b.

Auf gleiche Weise werden die übrigen Punkte gefun-L) den. Es werden wieder die Erzeugende es₁, so wie der Lichtstrahl f V Tangenten an die Scliatten-gränze sein, welche in diesem Falle eine gebrochene Curve (aus mehreren Ellipsenstücken zusammengesetzt) ist.

Wichtig sind die im Punkte 2 den beiden daselbst zusammen-stossenden Curvenstücken zukommenden Tangenten, welche sich einfach ergeben, wenn man im Punkte g an die Ellipse s g ß eine Tangente führt und jene Punkte, in welchen diese die Kanten ab und bc trifft, mit 2 verbindet.

Fig. 296.

b.

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A.

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§. 170.

Aufgabe.

Es ist der Schatten in das Innere eines mit einem vollen Tonnengewölbe überdeckten Ganges zu construiren.

Lösung. Es bleibt sich gleich, ob der Gang senkrecht zur Bildebene, oder schief gegen dieselbe ist. A (Fig. 297) sei der Verschwindungspunkt der Erzeugenden der Cylinderfläche, welche das Tonnengewölbe . bildet. Die Begränzungsflächen des Ganges wollen wir parallel zur Bildebene annehmen.

Die Schlagschatten werden durch den Schatten der vertikalen Kante af auf den Boden und auf die Seitenfläche bcgk, ferner durch den Schatten eines Theiles des sich an / anschliessenden

Kreisbogens begränzt, welcher theilweise auf die Ebene bcgk und theilweise in die Cylinderfläche fällt. Der Schatten der Kante af ergibt sich auf bekannte Weise in a 12.

Fig. 297.

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Der Schatten des Kreisbogens flg auf dieselbe Seitenfläche wird erhalten, indem man den Schnitt des entsprechenden Strahlencylin-ders mit dieser Fläche sucht, was bekanntlich mit Hilfe von Ebenen geschieht, welche zu den Erzeugenden des Cylinders, also zu den Lichtstrahlen parallel sind. Von den unendlich vielen Lagen dieser parallelen Hilfsebenen sind folgende am zweckmässigsten :

1.    Vertikale Ebenen. Nimmt man z. B. den Punkt l an, so ist die durch ihn gezogene Vertikale la die Bildflächtrace, Vv die Verschwindungslinie, av die Trace dieser Ebene auf der Bodenfläche. Letztere schneidet b A in ß, daher die in ß errichtete Vertikale der Schnitt der Ebene bcgk mit dieser Hilfsebene ist, welcher die Erzeugende VI in dem Punkte 3 der Curve trifft.

2.    Ebenen parallel zur Grundlinie. Die Horizontale V V1 ist sodann die Verschwindungslinie derselben und schneidet die Verschwindungslinie A Vj der Seitenfläche bcgk in dem Punkte Vx als den Verschwindungspunkt der Hilfsschnitte.

Nehmen wir einen Punkt p des Kreisbogens an, so ist pq die entsprechende Bildflächtrace, mithin q V₁ der Hilfsschnitt mit bcgk, welcher dem Lichtstrahl in 4 begegnet.

3.    Solche Ebenen, welche die Seitenfläche nach Geraden schneiden, die zur Axe des Gewölbes parallel sind. Die Verschwindungslinie solcher Ebenen ist VA, folglich die durch irgend einen Punkt r gelegte Bildflächtrace My parallel zu VA. Diese schneidet die Kante b g in g, wesshalb sich im Durchschnitte des Hilfsschnittes g A mit dem Lichtstrahl rV ein Punkt 5 der Gränzcurve ergibt.

Vermittelst einer solchen Hilfsebene kann man auch jenen Punkt der Scliattengränze bestimmen, welcher die Gränze zwischen

24*

dem Schatten auf die Seitenfläche und in die Cylinderfläche bildet. Diese Gränzlinie ist gk; legt man folglich durch g die Bildfläch trace Mx parallel zu VA und zieht durch r den Lichtstrahl r V, so wird dieser die Gerade gk in dem zu suchenden Punkte 5 schneiden.

Von 5 angefangen, fällt der Schatten in das Innere des Gewölbes und wird von dem Schlagschatten des Bogens r sm be-gränzt; es ist also der Schnitt zweier Cylinderflächen zu con-struiren. Hilfsebenen, die zu den Erzeugenden beider parallel sind, entspricht die Verseilwindungslinie A V; sie sind sonach zu den letzt angewendeten Hilfsebenen (5) parallel. Legt man daher die Bildflächtrace M einer solchen Hilfsebene parallel zu VA, so schneidet dieselbe den Kreisbogen in den Punkten s und x, wovon ersterer dem Strahlencylinder, letzterer aber der andern Cylinderfläche angehört, und deren Erzeugenden s V und xA sich in dem Punkte 6 der Schlagschattengränze schneiden. Der letzte Punkt m dieser Curve ergibt sich als Tangirungspunkt der parallel zu FH an den Kreisbogen geführten Tangente Nm.

Wäre die vordere Seite des Gewölbes nicht parallel zur Bildfläche, so würde die Construktion in ähnlicher Weise durchzuführen sein.

§• 171.

Aufgabe.

Es ist ein hohler schiefer Cylinder, nach vorn und oben offen und auf einer Horizontalebene aufstehend, gegeben; man soll den Schatten, der in das Innere des Cylinders geworfen wird, so wie jenen auf die Horizontalebene, verzeichnen.

Lösung. Man lege, um die Selbstschattengränzen zu erhalten, Tangirungsebenen parallel zu den Cylindererzeugenden. Ist V (Fig. 298) der Verschwindungspunkt der Lichtstrahlen und v₂ jener der Cylindererzeugenden, so ist V v₂ die Verschwin-dungslinie aller zu den Lichtstrahlen und zu den Erzeugenden parallelen Ebenen und vx, in der Horizontslinie, der Verseil win-dungspunkt ihrer horizontalen Tracen. Demnach geben die aus vx an die Leitlinie gezogenen Tangenten vlm, vln die Schlagschattengränzen auf der Horizontalebene und die den Berührungspunkten m und n entsprechenden Erzeugenden m mx, nnx die Selbstschattengränzen der Cylinderfläche.

Die äussere Kante    so wie das Stück alm₁ der obern

Fin. 298.

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Begränzung der Cylinderfläche werfen ihre Schatten in das Innere derselben. Um diese zu bestimmen, legen wir vorerst durch aax die Lichtebene, deren Trace avx die Basiscurve in 1 schneidet. Es ist mithin a i die Gränze des Schattens, welcher im Innern der Fläche auf die Horizontalebene geworfen wird, und die Erzeugende 1 v₂, bis zum Durchschnitte I mit dem Lichtstrahl ax V, der Schlagschatten h von aax auf die innere Fläche des Cylinders.

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Behufs der Auffindung des Schattens der Curve axml haben wir blos den Durchschnitt des dieser Curve entsprechenden Strahlencylinders mit dem gegebenen Cylinder zu construire!]. Ebenen, welche zu den Erzeugenden beider parallel sind, sind bereits durch ihre Ver-schwindungslinie Vvx v₂ bestimmt. Legen wir demnach durch vx irgend eine Trace vx M, so wird der rückwärtige Theil der gegebenen Cylinderfläche nach der Kante a ax geschnitten. Die Erzeugende ß ßx bestimmt den Punkt ß! in der obern Curve, durch welchen die Erzeugende ß! V des Strahlencylinders geht. Letztere schneidet die Gerade a ax in dem Punkte II der Schlag-schattengränze IIIml.

Man hätte ebenso, was einfacher wäre, die Trace in der Ebene der obern Curve unmittelbar ziehen können, doch ist dieses dann zu vermeiden, wenn die obere Curve sehr nahe an die Horizontsebene zu liegen kömmt und man daselbst zu schiefe Schnitte erhalten würde.

Zur Begränzung des Schlagschattens auf der Horizontalebene fehlt noch der Schatten des rückwärtigen Theiles ml nx, der oberen Gränzcurve. Derselbe kann einfach mit Hilfe solcher Ebenen, deren Verschwindungslinie v₂ vx V ist, gefunden werden. Legt man durch einen beliebigen Punkt, z. B. ?/, eine solche Ebene, so ist yvx deren Trace, welche mit dem Lichtstrahl Vyx zum Schnitt gebracht, in 5 einen Punkt der zu suchenden Schatten-gränze gibt.

§. 172.

Aufgabe.

Es ist der Schatten einer Pyramide, den sie auf eine horizontale Ebene wirft, zu bestimmen.

Lösung. Ist abcdfS (Fig. 299) die Pyramide, so lege man parallel zu den Lichtstrahlen die beiden tangirenden Ebenen

und suche deren Schnittlinen mit der Basisebene, um durch letztere den Schlag-v schatten begränzt zu erhalten. In unserem Falle ist A der Schnitt des durch ~ S gelegten Lichtstrahls mit der Basisebene, welcher hier gefunden wurde, indem man mittelst der die Spitze S fixirenden Geraden v₁ S d₁ die orthogonale Projektion S‘ auf der Basisebene suchte und dann auf gewöhnliche Weise den Schatten des Punktes S bestimmte. Da die von A an das Basispolygon gezogenen Verbindungslinien mit den äussersten Ecken c und / die zu suchenden Schlagschattengränzen sind, so werden auch die rückwärts zwischen diesen beiden Kanten cS und fS liegenden Seitenflächen im Selbstschatten liegen.

Fig. 299.

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§• 173.

Aufgabe.

Es ist der Selbstschatten einer Kegelfläche, so wie deren Schlagschatten auf eine beliebige Horizontalebene zu bestimmen.

Lösung. Es sei die Horizontalebene EbEv (Fig. 300) die Leitlinienebene einer Kegelfläche, welche wir hier senkrecht auf die Grundebene und von kreisförmiger Basis annehmen wollen, wiewohl die hier folgende Construktion für jeden beliebigen Kegel gilt. G G sei die Bildflächtrace der Grundebene, auf welcher der Schlagschatten gesucht werden soll.

Um letzteren zu finden, lege man durch S eine zu den Lichtstrahlen parallele Gerade S V und suche ihren Durchschnittspunkt o mit der Ebene EhEv, welcher, da die orthogonale Projektion von S als Mittelpunkt des Basiskreises bekannt ist, sich im Durchschnitte der beiden Geraden G F und S‘v ergibt. Von 8 aus sind behufs der Bestimmung der Selbstschattengränzen an den Kreis die beiden Tangenten 8 a, 8 b zu ziehen, welche denselben in a und b berühren und so die Gränzen da, Sb bestimmen. Um diese Berührungspunkte genau zu erhalten, ist es zweckmässig, den Kreis sammt den Punkt 6 um die durch den Mittelpunkt S'

Bildfläche parallele Axe S‘ a in eine zur Bild-

zur

fläche parallele Ebene zu drehen.

Fig. 300.

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Um nun den Schlagschatten auf die Ebene G G zu erhalten, haben wir den Schnitt der den beiden Selbstschattengränzen entsprechenden Lichtebenen, so wie den Durchschnitt des der Kreislinie abc zu- U gehörigen Strahlencylinders mit der Grundebene zu bestimmen.

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Man suche zuerst den Schnitt (

A der Geraden S V mit der Grund-ebene durch Zuhilfenahme der hin- ! 'b durchgelegten Yertikalebene El Vv und ziehe durch A parallel zu 8 a und 8 b die beiden Schlagschattengränzen AI, AII, indem man A mit den, den ersteren Geraden zukommenden Verschwindungs-punkten Vj, v₂ (letzterer ausserhalb der Zeichnungsfläche) verbindet und zum Durchschnitte / und II mit den Lichtstrahlen aV, bV bringt. Von 1 bis II wird der Schlagschatten durch den Schatten des Kreisbogens acb abgegränzt. Zur Bestimmung desselben schneide mail den Strahlencylinder durch vertikale Ebenen nach Erzeugenden. Diese Ebenen werden Vv zur Ver-schwindungslinie und den Punkt v zum Verschwindungspunkt ihrer horizontalen Tracen haben.

Für irgend einen Punkt c der Kreislinie ziehe man die Trace c v bis zum Durchschnitte p mit Eh und die Erzeugende c V; führe ferner durch p die Bildflächtrace pq der Hilfsebene vertikal und ziehe aus dem Durchschnittspunkte q derselben mit G G die Schnittlinie qv mit der Grundebene, welche den Lichtstrahl c V in dem Punkte III der Schlagschattengränze trifft. Auf diese Weise können beliebig viele Punkte gefunden werden. Zu berücksichtigen bleibt, dass die so gefundene Curve von den aus V an die Leitlinie gezogenen Tangenten ebenfalls berührt werden muss, und dass jenen Tracen auf EhEv, welche die Leit-linie tangiren, auch Tracen auf der Grundebene entsprechen, welche die Schattencurve berühren.

In unserem Falle ist die Leitlinie des Strahlencylinders. ein Kreis, folglich wird auch sein Schatten auf einer zu seiner Ebene parallelen Ebene ein Kreis sein. Bestimmt man den Schatten des durch S‘ gellenden, zur Bildfläche parallelen Durchmessers, so ist ersterer gleichfalls zur Bildfläche parallel und gibt gleichzeitig das Bild des Durchmessers der zu suchenden Schattengränze, welche über diesem nun leicht zu verzeichnen ist.

§• 174.

Aufgabe.

Es ist der Schatten einer horizontalen Platte auf eine Kegelfläche und der Schlagschatten beider Körper auf einer Vertikalebene zu bestimmen.

Diese Aufgabe findet eine Anwendung bei Gesimsen, wo unter der Hängeplatte kegelförmige Ansätze, sogenannte Tropfen, angebracht sind.

Lösung. Nehmen wir die rückwärtige Wandfläche, also auch die Begränzungskante der horizontalen Platte parallel zur Bildebene und die Kegelfläche mit vertikaler Axe an, so ist, behufs der Bestimmung der Schlagschattengränze auf der Kegelfläche, der Durchschnitt derselben mit der durch mn gehenden Lichtebene und als Schlagschattengränze auf der durch p q bestimmten Vertikalebene, der Schnitt des dem untern Kegelrande zugehörigen Strahlencylinders, so wie die Schnitte der den Selbstschattengränzen und der Kante mn entsprechenden Lichtebenen mit obiger Vertikalebene zu verzeichnen.

Es sei V (Fig. 301) der Verschwindungspunkt der parallelen Lichtstrahlen (unterhalb HH rechts vom Augpunkte A, hier ausserhalb der Papierfläche gelegen).

Zur Verzeichnung des Schnittes der durch mn parallel zu den Lichtstrahlen gehenden Ebene mit der Kegelfläche, lege man durch die Spitze S eine mit den Lichtstrahlen parallele Gerade S V und bestimme deren Durchschnitte A und a mit der durch mn gehenden Horizontalebene und der rückwärtigen Wandfläche. Aus A an den obern Kreis die beiden Tangenten Ab, Ac gelegt, geben die beiden Berührungspunkte b und c mit S verbunden die Selbstschattengränzen Sb bi, /Sccj des Kegels. Weiters ist

A jener Punkt, durch welchen die Bilder der horizontalen Tracen der Hilfsebenen zu ziehen sind.

Fig. 301.

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Ist Ad eine solche Trace, und schneidet sie die Kante mn in d, den Kreis in ß, so wird die entsprechende Hilfsebene die Kegelfläche in der Erzeugenden S ß, die Lichtebene hingegen in dem Lichtstrahle d V schneiden, welche Geraden sich in dem Punkte 2 der Schlagschattengränze begegnen. Auf gleiche Weise werden die Punkte 1 und 3 gefunden, welche in den Erzeugenden fS,gS liegen und in welchen der Lichtstrahl f F, beziehungsweise die den sichtbaren Umriss bildende Erzeugende gS, Tangenten an die Schattencurve sind; ferner .ist / jener Punkt der Kante mn, von tvelchem aus diese ihren Schatten auf die rückwärtige Wandfläche wirft.

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Behufs der Construktion des Schlagschattens auf die Vertikalebene bestimme man vorerst deren Trace Py ql, mit der untern Basisebene der Kegelfläche, welche Trace zugleich die orthogonale Projektion des H Kreises k cy auf dieser Ebene ist. Suchen wir den Schatten dieses Kreisbogens, so ist es am einfachsten, bildflächprojecirende Hilfsebenen parallel zu den Lichtstrahlen anzuwenden. Nehmen wir z. B. den Punkt blf so ist y dessen orthogonale Projektion, daher y4, parallel zu A V, die Trace, welche im Durchschnitte mit dem Lichtstrahl bj V den Punkt 4 der Curve bestimmt. Da jedoch bx auch der Selbst-schattengränze bbY angehört, so muss 4 mit a verbunden den Schatten von b bY geben.

Dasselbe gilt bezüglich des Schattens 5 von cx und der Geraden 5 a. Auf gleiche Weise wie 4 und 5 können nun beliebig viele Punkte der Gränzcurve gefunden werden; nur ist hiebei zu bemerken, dass für den Fall, als sich zu schiefe Schnitte ergeben sollten, man andere Hilfsebenen benützen, oder die obigen in eine zur Bildfläche parallele Lage drehen muss.

Zieht man aus f den Lichtstrahl f V bis zum Durchschnitte l mit der Geraden 4o, so ist durch l der Schatten von mn, welcher hier die letzte Schattengränze bildet, horizontal zu ziehen. Die Geraden 4a, 5a werden blos unterhalb der Geraden Ir schlagschattenbegräuzende Linien sein.

§• 175.

À u f g- a b e.

Es ist der Schatten in das Innere eines halben senkrechten Kegels zu bestimmen.

L ö s u n g. Es sei ab c S (Fig. 302) die Hälfte eines Kegels, welcher durch eine zur Bildfläche parallele, durch seine Axe gehende

Ebene geschnitten wurde, und V der Verschwin-dungspunkt der Lichtstrahlen. Man ziehe wieder durch /S eine zu den Lichtstrahlen parallele Gerade S V und bestimme ihren Durchschnittspunkt mit der Ebene der Leitlinie. Zu diesem Ende

Fig. 302.

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ist es zweckmässig, den in eine durch ab gehende, zur Bildfläche parallele Ebene gedrehten Durch-stosspunkt zu bestimmen, was folgends bewerkstel-stelligt wird.

Denkt man sich den Kegel sammt der Geraden /$ V um So so lange gedreht, bis letztere parallel zur Bildebene wird, so gelangt diese nach Sm. Das Stück mo wird die wahre Entfernung des

Sv j

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V^iV

ZU

Zur

suchenden Durchstosspunktes von der Drehungsaxe sein. Bestimmung der Richtung von Sm drehe man den durch das Auge gehenden Parallelstrahl V um die Drehungsaxe Vv in die

Bildebene, was einfach dadurch geschieht, dass man A == A —,

verbindet. Es ist sonach

V 0 2

2~3~

v 0\

~2 ~2

Sm parallel zu

macht und mit zu z^en>

Weiters bestimme man die umgelegte Trace der durch S V gelegten Vertikalebene mit der Basisebene, welcher Trace der Punkt v als Verschwindungspunkt ihrer Perspektive zukommt. Die Richtung dieser umgelegten Trace wird man daher erhalten, wenn

O3

liegenden Distanzpunkt ö₃

man den in der Vertikallinie A ~ mit v, oder mit verbindet.

Zieht man also o A parallel zn ~ -A und trägt auf dieser

Geraden die früher gefundene Länge om von o nach A auf, so ist A der fragliche Durchstosspunkt, durch welchen die umgelegten Tracen der zu benützenden Hilfsebenen zu ziehen sind.

Der umgelegte Kreis ist über a b aus o zu verzeichnen. Wenn man an diesen Kreis aus A die Tangente zieht und den Berührungspunkt y in die Perspektive nach c überträgt , so wird c S auf der rückwärtigen Seite des Kegels den Selbstschatten be-gränzen.

Der Punkt A ist zugleich der Vereinigungspunkt der Tracen aller Ebenen, welche die Kegelfläche und den Strahlencylinder nach Erzeugenden schneiden.

Ziehen wir demnach eine solche Trace, z. B. jene, welche durch a hindurchgeht und drehen die Durchschnittspunkte a und a in die Horizontalebene nach a und d zurück, so schneiden sich die entsprechenden Erzeugenden a V, d S in dem Punkte 1 der Schattenlinie.

Nachdem a der Kante a S angehört und S sein eigener Schatten ist, so wird IS die Schattengränze sein, welche durch jene Erzeugende aS gebildet wird. So wie den Punkt 1 kann man beliebig viele Punkte der Curve ci, welche den Schatten des Kreisbogens a y bildet, bestimmen.

§• 176.

Selbst- und Schlagschatten von Uuidrehung-sflächen.¹)

Behufs der Verzeichnung des Selbstschattens einer Umdrehungsfläche lege man an dieselbe parallel zur Richtung der

Lichtstrahlen einen berührenden Cylinder und suche dessen Berührungslinie mit der in Rede stehenden Umdrehungsfläche. Die so erhaltene Curve ist die Selbstschattengränze und zugleich die Leitlinie des Strahlencylinders, welcher im Durchschnitte mit den rückwärts liegenden Objekten den von der Umdrehungsfläche erzeugten Schlagschatten begränzt.

ln speciellen Fällen erlaubt die Form der Meridiancurve eine vereinfachte Construktionsweise, wie es folgende Beispiele zeigen werden.

§• 177.

A u f g- a b e.

Es ist der Selbst- und Schlagschatten einer Kugelfläche zu bestimmen.

Lösung.    Es    ist    bekannt, dass bei einer Kugel die    Be-

rührungscurve    des    ihr    umschriebenen Cylinders ein Kreis    ist,

dessen Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel gebt und senkrecht    auf

den Lichtstrahlen steht. Wird    also

der Mittelpunkt O (Fig. 303)    der

Kugel in der Bildfläche gedacht, und

ist V(durch fly =    bestimmt)

der Verschwindungspunkt der paral-v leien Lichtstrahlen, so wird, wenn

senk-

Fig. 303.

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y.

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/n

—-H

' • • 0 man V mit A verbindet, A ~

recht auf - - A und gleich der hal-

ben Augdistanz macht, ferner mit ~ vereint und ~ senk-

recht auf - bis zum Durchschnitte mit VA zieht, dieser

-! die halbe Entfernung des Kebenaugpunktes der auf den Lichtstrahlen senkrechten Ebenen vom Augpunkte angeben, daher die in Ax (AAX = 2A^A) auf VA gefällte Senkrechte Ev

die Verseilwindungslinie dieser Ebenen ist. Da die Ebene des Berührungskreises durch den Mittelpunkt 0 geht, so ist deren Bildflächtrace Ei durch 0 parallel mit Ev zu ziehen. Um die zu suchende Selbstschattengräuze zu erhalten, ist nur über dem

Punkt

>-<

Durchmesser mn in der Ebene Ei Ev die Perspektive des Kreises zu verzeichnen.

Um den Schlagschatten der Kugel auf irgend einer Horizontalebene zu erhalten, bestimme man auf bekannte Weise den Schnitt eines senkrechten Cylinders mit dieser horizontalen Ebene. Dieser Schnitt wird selbstverständlich eine Ellipse sein.

§. 178.

Aufgabe.

Es ist der Selbstscliatten eines einmanteligen Hyperboloides zu bestimmen.

Lösung. Es sei xaz (Fig. 304) die Meridiancurve, welche sich blos zu einer Seite der Axe YZ verzeichnet vorfindet, weil

Fig. 304.

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sie auf der andern Seite dem Umrisse x'bz' der Fläche sehr nahe fällt.

Zur Bestimmung einzelner Punkte der Selbstschattengränze kann man hier, so wie bei sämmtlichen Flächen der zweiten Ordnung, von dem Grundsätze ausgehen, dass diese Flächen durch eine Reihe von parallelen Ebenen in ähnlichen Curven des zweiten

Grades geschnitten werden. Wählt man diese Ebenen derart, dass sie parallel zu den Lichtstrahlen sind, so wird der die Fläche berührende Strahlencylinder in geraden Erzeugenden geschnitten, welche die Schnittlinien der gegebenen Fläche in Punkten der fraglichen Gränzcurve berühren.

Wir schneiden sonach das Hyperboloid durch ein System von bildflächprojecirenden, zu den Lichtstrahlen parallelen Ebenen, deren Verschwindungslinie AV ist, und legen die erste dieser Ebenen durch den Mittelpunkt 0 der Fläche, so dass MN (durch 0 parallel zu A V) deren Bildflächtrace angibt. Das Hyperboloid wird in einer Ellipse geschnitten, deren grosse Axe der in MN gelegene Diaineter MN der Meridianhyperbel ist und deren kleine Axe der reellen Axe dieser Curve gleichkömmt. Diese Ellipse, in die Bildfläche umgelegt, könnte somit über den Axen MN und PQ verzeichnet werden, wo dann, wenn an die-

selbe parallel zur Richtung

der umgelegten Lichtstrahlen

0_F

die Tangenten a 1 gezogen und die Berührungspunkte 1 und 2 in die ursprüngliche Lage zurückversetzt wurden, sich in den Perspektiven /, II dieser Punkte zwei Punkte der Selbstschatten-gränze ergeben.*)

Denkt man sich die Punkte 1 und 2 sowohl mit einander, als auch mit den Endpunkten M, resp. N des Durchmessers MN verbunden, so erhält man die Geraden 12, Ml und N2, von welchen die beiden letzteren zu einander parallel sind und, in die Ebene MN, A-^- zurückgedreht, den Verschwindungspunkt

ihrer Perspektiven in v₁ haben (Av₁ = 2A~-,    Para^e^

zu 2 N). Die Punkte I und II liegen sonach auch in den Verbindungslinien der Punkte M und N mit vj.

Da der Verschwindungspunkt des Durchmessers III zumeist ausser die Zeichnungsfläche fällt, so wird es behufs der Fixirung

*) Dass zur Bestimmung der Berührungspunkte 1 und 2 die Ellipse nicht erforderlich ist, ist bekannt. Hier wurde zu diesem Zwecke der Viertel-

0 V

₂ ~2~ geführt,

kreis M ß p. gezogen, durch P die Gerade P tt parallel zu

die zur Verbindungslinie tt p. parallele Tangente a ß an den Kreis gezogen

0 V

und schliesslich die zu suchende Tangente a 1 durch a parallel zu ———

geführt. Die aus dem Berührungspunkte ß des Kreises auf MN errichtete Senkrechte ßP schneidet a 1 in dem fraglichen Berührungspunkte.

2 Pa"

der beiden Punkte I und II nothwendig sein, die Perspektiven irgend einer andern, durch je einen dieser Punkte gehenden Geraden anzugeben. In dieser Beziehung ist es am zweckmässig-sten, die Plalbaxen OM, ON in eine beliebige Anzahl, hier in zwei, gleiche Theile zu theilen, einen Theilpunkt 8 mit 1 zu verbinden und den Yerschwindungspunkt u₂ dieser in die Ebene

O V2

zurückversetzten Geraden zu bestimmen ^ —

MN, A

rallel zu 18, A u₂ = 2 . A    Die Perspektive I ergibt sich

sodann im Durchschnitte der Geraden Mvi, ou₂ und ähnlich so die Perspektive II.

Da nun sowohl die Verbindungslinien der Berührungspunkte mit den in der Meridiancurve liegenden Endpunkten der Axen der betreffenden Schnittellipsen, als auch jene der Berührungspunkte mit den Halbirungspunkten dieser Halbaxen in sämmt-lichen Hilfsschnitten eine und dieselbe Richtung haben und die Mittelpunkte aller Hilfssclmitte in jener Geraden Eh liegen, welche zu dem Durchmesser MN der Meridiancurve conjugirt ist, also zur Tangente TM im Punkte M der letzteren parallel läuft, so werden die in einer zweiten zu MN, AV parallelen Hilfsebene Ml ^ befindlichen Punkte der Schattengränze einfach erhalten, wenn man die Punkte Nx (der zweite fällt hier ausser die Zeichnungsfläche), in welchen die Trace MY Nx dieser Ebene die Meridianhyperbel schneidet, mit vx, die Halbirungspunkte der Halbaxen mit r₂ verbindet und je zwei zusammengehörige Gerade ü₂ol5 Ni vY in III zum Durchschnitt bringt.

Auf diese Weise lässt sich weiter leicht die erforderliche Anzahl von Punkten der Berührungscurve finden.

Berücksichtigt man, dass die Selbstschattengränze eine ebene Curve ist und die Ebene derselben den zu den Lichtstrahlen parallelen Durchmesser der Fläche conjugirt und eine Diametral-ebene der Fläche ist, so folgt, dass Eb zugleich die Bildfläch-trace dieser Ebene angibt. Nachdem jedoch Eb auch der geometrische Ort der Spitzen jener Kegel ist, welche die Fläche in den verschiedenen zu MN, A V parallelen Hilfsebenen berühren, so ergibt sich hieraus eine sehr einfache Construktionsweise der Tangenten in den verschiedenen Punkten der Schattengränze. Man wird nämlich, um z. B. die Tangente e 111 im Punkte 111 zu erhalten, blos in dem Punkte Nx der betreffenden Trace MxNi

die Tangente    der Meridianhyperbel

żu verzeichnen und zu vereinen

den Durchschnittspunkt e derselben mit Eb mit III haben; denn, weil e die Spitze des die Fläche in der Ebene

Wj, A V berührenden Kegels ist, muss die Bildflächtrace der Tangirungsebene der Fläche im Punkte III durch e gehen, wess-halb e, als in den beiden Bildflächtracen gelegen, einen Punkt der Durchschnittslinie der zugehörigen Ebenen, d. i. der fraglichen Tangente liefert.

Auf Grundlage dieses Construktionsverfahrens können auch die Asymptoten der Perspektive der Selbstschattengränze, wenn sich diese als Hyperbel darstellt, gefunden werden. Die einzelnen Punkte III der Curve ergeben sich nämlich als Durchschnitte je zweier Geraden, welche auf die fixen Punkte vl und v₂ zugehen. Lässt man die Ebene MlNi sich immer weiter von MN entfernen, so wird die Sehne der Meridiancurve, also auch die Viertelsehne NY fortwährend grösser, daher der Winkel v₂mv\ stets kleiner, bis endlich für eine gewisse Lage der Ebene Ml iVj dieser Winkel gleich Null wird, d. h. bis die genannten Geraden zu einander parallel werden, wo dann ihr Durchschnittspunkt in unendliche Entfernung fällt und diese Geraden, als auf unendlich weit entfernte Punkte der Curve zugehend, die Asymptotenrichtungen der Schattengränze angeben.

Sollen jedoch die beiden Geraden    und vx Wj parallel

werden, so muss für die diesfällige Lage der Ebene MW, da vAv₂ gleichfalls parallel zu MN ist, offenbar die Viertelsehne SjWj der Entfernung VjV₂, also die halbe Sehne MlNl = 2.vlv2 sein. Demzufolge wird man zur Bestimmung dieses Punktes Wj auf der verlängerten Geraden ON von 0 aus ein Stück gleich 2 . v₁v₂ aufzutragen und durch den Endpunkt dieser Länge eine Parallele zu Eb zu ziehen haben, um im Durchschnitte der letzteren mit der Meridianhyperbel die zu suchenden Endpunkte Wj der Sehnen zu erhalten.

Weil jedoch das Benützen solcher Längen zumeist nicht möglich ist, so müssen wir vorerst untersuchen, auf welche Weise die Construktion mit aliquoten Theilen der vorkommenden Längenstücke vorgenommen werden könne. Zu diesem Ende beziehen wir die Hyperbel xaz auf ein schiefwinkliges Coordinatensystem, dessen Ursprung mit dem Mittelpunkte 0 zusammenfällt und dessen Coordinatenaxen die Geraden MN und Eb bilden. Bezeichnen wir die Länge der Axe MN mit 2 a, die Länge der in Ei liegenden, zu MN conjugirten, imaginären Axe mit 2 6, so ist

(ff - (iy

die Gleichung der Meridiancurve.

Im Umfange dieser Hyperbel sind nun zwei Punkte Nx so anzugeben, dass denselben eine Abscissenlänge 2.v₁v₂ —v.c entspricht, und sind die Geraden zu bestimmen, welche diese Punkte mit vx oder v₂ verbinden. Die Ordinaten dieser Punkte haben somit die Länge

a²,

yi = ±f-V(2')*

1

oder, um mit aliquoten Theilen, z. B. mit — der einzelnen Längen, arbeiten zu können,

V\__V2

2 2

Dieser Ausdruck lässt sich leicht construiren; denn trägt man auf der XAxe von O aus das Stück 0 f = — . v₂ —

auf, beschreibt über dieser Länge als Durchmesser einen Halbkreis, durchschneidet denselben aus f mit einem Kreisbogen vom

Radius /y = — ON — — a und überträgt Oy nach 0</, so ist

Um endlich ~ als vierte geometrische Proportionale zu den

Grössen a, b und Og zu bestimmen, hat man blos durch g eine Parallele gh bis zum Durchschnitte h mit der Asymptote tüt der Meridiancurve zu ziehen, wo dann

gh =

• Og = ±yi

wird.

Es ist nun am zweckmässigsten, die so gefundene Länge -~

der Abscisse ~ — Of entsprechend aufzutragen, d. h. durch /

führen und auf derselben die Länge Man hat hiedurch einen Punkt k ge-

eine zu gh Parallele fk zu gh—f k abzuschneiden, funden, welcher vom Mittelpunkte O eine viermal kleinere Entfernung als der zu suchende Punkt Nx hat.

25

Peschka u. Koutny. Perspektive.

■i

Verbindet man nun vl mit 0 und macht Or — — Ov₁, so

hat offenbar der Punkt r gegen k eine ähnliche Lage, wie vl gegen den verlangten Punkt 2V, und es muss demzufolge die Verbindungslinie rk die Richtung der einen Asymptote geben.

Für die zweite Asymptote ist. das untere Zeichen (— ) in Betracht zu ziehen, d. h. die Ordinate fk ist nach abwärts aufzutragen und der so resultirende Punkt 7c, mit r zu verbinden. Halbirt man jedoch rk in s und verbindet s mit/, so wird, wie aus der Aehnlichkeit der Dreiecke skf und rkkl folgt, sf parallel zur besagten Verbindungslinie rkx sein, somit die Richtung der . zweiten Asymptote angeben.

Die Asymptoten selbst sind schliesslich durch den Hal-birungspunkt C der Sehne III zu /len eben gefundenen Geraden rk und sf parallel zu ziehen und ergeben sich in B C B, F CF²)

Dass die Punkte 2, II, welche in der Ebene MN, A V gefunden wurden, die Endpunkte eines Durchmessers der Perspektive der Selbstschattengränze, folglich im Halbirungspunkte C ihrer Verbindungslinie den Mittelpunkt der Curve bestimmen, folgt schon daraus, weil die Tangenten TXI in diesen Endpunkten, auf die früher angegebene Weise gesucht, sich zu Eb parallel ergeben.

Aus diesem Diameter und den Asymptoten lassen sich die senkrechten Axen der Hyperbel leicht auffinden.

§. 179.

A u f g a 1) e.

Es ist der Schatten ins Innere einer hohlen Halbkugel zu construiren.

Lösung. Es sei O (Fig. 305) der Kugelmittelpunkt, V der Verschwindungspunkt der Lichtstrahlen und v jener ihrer orthogonalen Projektionen auf der Horizontalebene, durch welche die Kugel in zwei Hälften getheilt wurde.

Zur Bestimmung der Schlagschattengränze wird man den Durchschnitt der Kugel mit jenem Strahlencylinder zu verzeichnen haben, welcher den Kreis mOn zur Leitlinie hat. Zu diesem

Ende wenden wir vertikale Hilfsebenen an und legen die' sich ergebenden Schnitte um die Bildflächtracen dieser Ebenen in die Bildfläche um.

Macht man A ~ gleich der halben Augdistanz und verbindet — mit so ist ---die Richtung der horizontalen Tracen

-v    st    £

der Hilfsebenen. Trägt man    nach ~ auf, so bestimmt

Y t

die Gerade — — die Richtung der in die Bildfläche gedrehten Lichtstrahlen. AT—2A-- gemacht, gibt den Theilungspunkt T für die Perspektiven der horizontalen Tracen an.

Fig. 305.

Il T

/.

b>

/ i— H

f idLj

r»

P,

6* <

•2¹

W"

Beschreibt man über m n aus dem Mittelpunkte O einen Kreis, so ist dies der in die Bildfläche gelegte obere Begrän-zungskreis der Halbkugel. Zur Bestimmung einzelner Punkte

der Schattengränze ziehe man parallel zu ~ ^

a b, welche die umgelegte Horizontaltrace einer Hilfsebene vorstellt. Diese Gerade trifft m n im Punkte a, wesshalb Ei die Bildflächtrace und av die Horizontaltrace unserer Hilfsebene ist. Letztere schneidet die Kugel nach einem Kreise vom Durchmesser «6, welcher, um Ei in die Bildfläche gedreht, dadurch erhalten wird, dass man den Halbirungspunkt o von ab um a nach w dreht und von œ aus mit dem Radius oa den Halbkreis

T V

f2g beschreibt. Der durch f parallel mit ——— gezogene Licht

eine Sehne, z. B.

25*

strahl trifft den Halbkreis in 2, welcher Punkt, als der Gränz-curve angehörig, blos in die ursprüngliche Ebene zurückzudrehen sein wird.

Hiebei bedenke man, dass der Punkt 2 bei seiner Drehung um JSi einen Kreisbogen vom Radius 2 2‘ beschreibt, mithin in die Gerade 2‘v gelangen muss, auf welcher das Stück 2 2‘ perspektivisch abgeschnitten (was durch Ziehen der Theilungslinie 2 T erreicht wird) den Punkt II der zu suchenden Schattenlinie gibt. Wird der dem Punkte f oder a entsprechende Punkt ß der Perspektive mit V verbunden, so muss diese Gerade, welche die Perspektive des betreffenden Lichtstrahls ist, ebenfalls durch den Punkt II des Schattens gehen.

Vermittelst dieser Hilfsebene haben wir den Punkt II unterhalb des Halbkugelrandes, also einen im Bilde unsichtbaren Punkt des Schlagschattens gefunden.

Ziehen wir aus v an die Kreisperspektive die Tangente v J, so ergibt sich im Berührungspunkte I der Anfangspunkt der Curve III.

Genauer wird jedoch dieser Punkt gefunden, wenn man parallel zu ~

an

den umgelegten Kreis eine Tangente zieht

2 2

und den Berührungspunkt 1 ins Bild überträgt.

Der Selbstschatten der Kugel wird wie im früheren Beispiele

ermittelt.

§. 180.

Aufgabe.

Es ist der im Innern einer Nische sich ergebende Schlagschatten zu construiren.

Die Nische besteht aus einem cylindrischen Mauerwerke und ist mit einem viertelkugelförmigen Gewölbe gedeckt.

Lösung. Der obere Rand 1b (Fig. 306) der Viertelkugel, so wie die Kante ab bestimmen durch ihren Schlagschatten die zu suchende Schattencurve, welche sich theils im Innern der Cylinderfläche, tlieils in der Viertelkugel und auf der horizontalen Bodenfläche ergibt.

Zur Bestimmung dieser Curve haben wir auf bekannte Weise den Schatten a 12 der Kante ab\ ferner, von 2 angefangen, den Durchschnitt des vertikalen Cylinders mit dem durch einen Theil des Halbkreises bl gelegten Straldencylinder und schliesslich den

Durchschnitt der Kugelfläche mit demselben Strahlencylinder zu construiren.

Fig. 306.

Fft.

Ebi

Die zu den beiden Cylinderflächen parallelen Hilfsebenen haben Vv zur Versehwindungslinie. Ist Eb die Bildflächtrace einer solchen Ebene, so ist av ihre Grundflächtrace, während ß3 und y V die in ihr liegenden Erzeugenden beider Cylinder sind, welche sich in dem Punkte 3 der Schattengränze schneiden. Pis ist zweckmässig, auf diese Weise einige Punkte der Curve selbst dann zu bestimmen, wenn einer oder der andere derselben über

xi

y/t

;;.....

ax

die Gränze der cyliudrischen Wand fallen sollte, um die Curve, welche bis zum Durchschnitte 4 mit dem Halbkreis bd reicht, richtig ziehen zu können.

2;

H--

X:

;■

*1

\

r\

•v \

j-ii.

rj

iX

a cc

Behufs der Bestimmung der Durchschnittscurve des Strahlen-cylinders mit der Kugelfläche wende man bildflächprojecirende Hilfsebenen an, welche parallel zu den Cylindererzeugenden gehend, den Cylinder nach Geraden, die Kugelfläche dagegen o nach Kreisen schneiden und VA zur Verschwindungslinie Fv haben. Ist Fb die Bildflächtrace einer solchen Hilfsebene, so lege man die in derselben liegenden Schnitte in die Bildfläche um, woselbst der Kreis über mn zu beschreiben, der Lichtstrahl durch m parallel zu dem umgelegten

Parallelstrahl - — zu ziehen ist.

die Bildfläche gedrehten Kreis in cp, welcher Punkt zurückgedreht seine orthogonale Projektion in cp' (cp cp' senkrecht auf mn) hat und in der Entfernung cp cp' hinter der Bildfläche liegt.

Wird also auf cp' A das Stück cp' II perspektivisch gleich cp cp' abgeschnitten, so ist II der gesuchte Punkt der Schattengränze, welcher ebenfalls im Lichtstrahle m V liegen muss.

Der Gränzpunkt dieser Curve, welche sich in 4 an die erstbestimmte so anschliesst, dass beide in diesem Punkte eine gemeinschaftliche Tangente besitzen, ergibt sich im Berührungs-

Letzterer schneidet den in

punkte I der an den Kreis b m d parallel żu A V gezogenen Tangente.

Verbindet man die umgelegten Punkte <p in den einzelnen Halbkreisen mit den Mittelpunkten derselben, so wird man offenbar ein System paralleler Geraden cp o erhalten, deren Verseil windungspunkt W sich in der gemeinschaftlichen Verschwindungs-linie A V der Hilfsebenen ergibt, wenn man den Parallelstrahl D W

parallel zu cpo, oder —

2AJ

parallel zu cp o zieht und AW =

macht.

Die letzterwähnten Geraden lassen sich mit Vortheil zur Auffindung von Punkten der Schattengränze anwenden. Ist nämlich Fh die Bildflächtrace einer Plilfsebene, und hat man auf F*₆, aus dem Kugelmittelpunkte 0 ein für alle Mal den senkrechten Durchmesser Ol gezogen, welcher der geometrische Ort der Mittelpunkte der Hilfsschnitte ist, so hat man blos den Mittelpunkt Oj mit W zu verbinden, um eine Gerade zu erhalten, in welcher der fragliche Punkt 111 der Schattengränze liegt,, und welcher sich sonach im Durchschnitte dieser Geraden mit dem durch mY gehenden Lichtstrahle ergibt.

Die Tangente dieser Curve im Punkte 1 wird einfach durch Verbinden der Punkte I und W erhalten; denn W ist der Durchschnittspunkt der Verschwindungslinien der Ebene dieser- Curve 14 und der Berührungsebene der Kugel im Punkte 1.

§. 181.

Aufgabe.

Es ist der Schatten ins Innere eines halben Ellipsoids zu construiren.

Lösung. Diese Aufgabe lässt sich auf ähnliche Weise wie die vorhergehende lösen.

Ist ~ A (Fig. 307) der dritte Theil der Entfernung des

Verschwinclungspunktes der Lichtstrahlen vom Augpunkte, 0 der Mittelpunkt des Ellipsoides, so kann man Hilfsebenen anwenden, welche auf der Bildebene senkrecht und parallel zu den Lichtstrahlen sind, demnach A~ zur Verschwindungslinie haben.

Am zweckmässigsten ist es, eine solche Ebene Eb durch den Mittelpunkt 0 und zwei Ebenen, d. s. T’₂ und 4], tangentiell an

die Ellipse pq selbst zu legen. Vermittelst der letzteren erhält man die Punkte I und II als die Gränzpunkte der Schattencurve.

Die Ebene Eb schneidet das Ellipsoid in einer Ellipse, deren eine Axe vi n und deren andere pq ist.

Denkt man sich diese Ebene um Eb in die Bildfläche gelegt, so ist über den beiden Axen mn und o r == op eine halbe Ellipse zu beschreiben und der umgelegte Lichtstrahl durch m parallel zu dem umgelegten Parallelstrahl —- -Q- zu ziehen, wel-3    3

eher die Ellipse in dem fraglichen Punkte d schneidet.*)

Dreht man diesen Punkt in die ursprüngliche Ebene zurück, so ist der Fusspunkt a des aus d auf Eb gefällten Perpendikels die orthogonale Projektion des Punktes 1

Fig. 307.

Ek

H—

J2-

\"

T\

—wv.

\w

*) Es ist zur Bestimmung des Durchschnittspunktes d der Ellipse mit der Geraden md nicht nothwendig, die erstere zu verzeichnen, sondern es lässt sich dieser Punkt auf folgende Weise einfach auffinden.

Es seien MO — NO = a, BO — b (Fig. 308) die beiden Halbaxen der Ellipse und MA jene Gerade, deren Durchschnitt mit der Ellipse gesucht werden soll und welche unter dem Winkel A Mn = a (dessen trigonometrische Tangente wir mit A bezeichnen wollen) gegen MN geneigt ist.

Nehmen wir M als den Ursprung und MN als Abscissenaxe eines rechtwinkligen Coor-dinatensystems an, so sind :

iß —    {2 a x — a:²)....

Fig. 308.

/R

\\

jO

(i

y²= 2 a x — x2 y = A x ... .

die Gleichungen der Ellipse, des über der grossen Axe beschriebenen Kreises und der gegebenen Geraden. Suchen wir die Abscisse MP des Durchschnitts- . Punktes der Geraden mit der Ellipse, so finden wir durch Auflösung der beiden Gleichungen (1 und (3

(2

(3

2 ab²

a² Äl + ft²

oder

im Raume, daher sich die Perspektive desselben im Durchschnitte der Geraden A a mit dem Lichtstrahl m V ergibt.

Auf gleiche Weise können nun beliebig viele Punkte der Durchschnittscurve bestimmt werden.

Bedenkt man jedoch, dass für alle Ellipsen, welche sich als Durchschnitte des Ellipsoids mit den Hilfsebenen ergeben, die Verbindungslinien der Schnittpunkte d mit den entsprechenden Mittelpunkten zu d 0 parallele Gerade sind, so wird man den Verschwindungspunkt ihrer Perspektiven erhalten, indem man aus

-y- die Parallele -y-.-y- zu dO zieht, welche auf M-y das Stück

A -y- abschneidet. A W — 3, A -y- gemacht, gibt den fraglichen Verschwindungspunkt W.

Für jede andere Hilfsebene, z. B. E‘h, hat man also blos den in der Verbindungslinie III liegenden Mittelpunkt o mit W zu verbinden und mit dem durch m‘ gehenden Lichtstrahl m‘ V zum

(5 eine zweite durch M gehende Gerade MB, so

Ist y = A\ x

erhält man durch Verbindung der Gleichungen (.2 und (5 für die Abscisse xi ihres Durchschnittspunktes B mit dem Kreise den Ausdruck:

X\

1 -j- AA

Durch Vergleichung der Ausdrücke (4 und (6 ersieht man, dass x = x\

(6

ci .z4.

wird, wenn A\ = —y angenommen wird, d. h. dass man bei dieser Annahme

vermittelst des Durchschnittspunktes^JS des Kreises den zu suchenden Punkt A der Ellipse im Perpendikel PB erhält.

Aus letzterer Bedingungsgleichung folgt:

b Ai — aA.

Die Länge a A = a . tg a ist jedoch jenes Stück OC der kleinen Axe, welches von der Geraden AM abgeschnitten wird. Wenn wir mithin OB = O B = b machen und B mit C verbinden, so ist :

0 C = b . tg C B 0 — b . tg ai und

OG

(7

tg a, = -j

woraus erhellt, dass die Gerade MB parallel zu CB zu ziehen ist. Wird im Durchschnittspunkte B dieser Geraden mit dem Kreise das Perpendikel B P errichtet, so schneidet es sich mit der gegebenen Geraden in dem zu suchenden Punkte A.

Schnitt zu bringen, um einen Punkt 2 cler Sohlagschattengränze zu erhalten.*)

Berücksichtigt man, dass die Schattengränze 12 111 eine ebene Curve ist und die Punkte 1 und 2 derselben in der Bildfläche liegen, ferner dass o W eine in der Ebene dieser Curve liegende Gerade ist, so folgt, dass III die Bildflächtrace und eine durch W zu III parallel gezogene Gerade die Verschwin-dungslinie der in Rede stehenden Ebene ist und dass daher die Schattengränze auch nach §. 140 als Durchschnitt des Ellipsoides mit dieser Ebene gefunden werden kann.

Hiedurch ergibt sich auch ein sehr einfaches Verfahren zur Verzeichnung der Tangente in irgend einem Punkte der Schattengränze. Mau wird nämlich, um z. B. die Tangente im Punkte 2 zu erhalten, blos in dem Punkte m', in welchem die Trace E‘b der durch 2 gehenden, zu A V parallelen Ebene E‘b, A V die Leitlinie lim¹ mall des Strahlencylinders schneidet, die Tangente

*) Dass sämmtliche obgenannte Verbindungslinien parallele Gerade sind, lässt sich leicht beweisen.

Denn, wie in der vorigen Anmerkung gefunden, sind die Coordinaten des Durchschnittspunktes A (siehe Fig. 308) :

x“ =

y“

*+m’

geht :

folglich die Gleichung der Geraden O A, welche durch diesen und den Punkt 0 x' — a) y‘ — o\

V“

x“ —

V“

wobei also der Ausdruck    —— die trigonometrische Tangente des Nei

gungswinkels cp der Geraden O A mit der Abscissenaxe angibt. Für y“ und x“ die Werthe substituirt, wird 2 A

tg Cp =*

1 — A*

,2

(I

Diese Formel beweist, dass tgcp, mithin auch cp, so lange ungeändert bleibt, als das Verhältniss sich nicht ändert. Nun wird jedoch ein Ellipsoid

durch parallele Ebenen in ähnlichen Ellipsen geschnitten, d. h. in Ellipsen, welche durchgehends ein gleiches Axenverhältniss haben, woraus folgt, dass in unserem Beispiele sämmtliche Geraden, welche die Punkte der Schatten-gränze mit den bezüglichen Mittelpunkten der Hilfsschnitt-Ellipsen verbinden, parallele Linien sind.

m<p an diese Curve bis zum Durchschnitte cp mit der verlängerten Geraden 7 77 zu verzeichnen und diesen Punkt mit 2 zu verbinden haben. Hieraus folgt, dass die Tangenten in den Punkten 7 und 77 auf W zugehen.

§. 182.

A u f g' a b e.

Es ist der im Innern eines oben offenen, halben Rotationskörpers sich ergebende Schlagschatten zu verzeichnen.

Lösung. Es sei die gegebene Rotationsfläche ein durch die zur Bildfläche parallel gehende Meridianebene getheiltes Ellipsoid, Avelches oben durch den Parallelkreis a b (Fig. 309) begränzt ist.

Man verzeichne vorerst auf die vorhergehend besprochene Weise den Schatten des äussern Randes xay in das Innere, ohne auf die obere Begränzung Rücksicht zu nehmen. Verbindet man sodann die Endpunkte a und 6 des Durchmessers a b mit V (hier v

durch — bestimmt), so werden diese Lichtstrahlen im Durchschnitte mit der eben erhaltenen Curve die Punkte 7, 77 angeben, zwischen welchen jene Schlagschatten-gränze, welche durch die obere kreisförmige Oeffnung bedingt ist, zu bestimmen sein wird. Um diese Schattengränze zu erhalten, haben wir offenbar den Durchschnitt des Strahlencylinders ab V mit dem Lllipsoide zu ermitteln.

Hiebei kann auf gleiche Weise wie im vorigen Beispiele vorgegangen werden.

Man kann nämlich solche Ebenen anwenden, welche die Cylinderflache nach geraden Erzeugenden schneiden und senkrecht auf der Bildebene stehen. Der Hilfsschnitt mit dem Ellip-

Fig. 309.

....... i".

.. 0

R\

gis!

y:

"!

CO <x>

OlcC

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;>

-.3

soicle wird eine halbe Ellipse sein. Die Construktion wird der im vorigen Beispiele angegebenen ähnlich, jedoch mit dem Unterschiede durchgeführt werden, dass die Lichtstrahlen nicht aus dem Endpunkte der grossen Axe der in die Bildfläche umgelegten Schnittellipse, sondern aus jenem Punkte zu ziehen sein werden, welcher dem im Halbkreise ab liegenden Endpunkt des Ellipsenbogens entspricht.

Eine zweite Auflösungsweise wäre jene mit Anwendung von horizontalen Hilfsebenen, welche beide Flächen nach Halbkreisen schneiden. Ist also Eb die Trace einer solchen Ebene, so wird der über aß beschriebene Halbkreis der in die Bildfläche umgelegte Hilfsschnitt des Ellipsoides sein. Um den Mittelpunkt des umgelegten Hilfsschnittes mit dem Strahlencylinder zu erhalten, lege man vorerst durch den Mittelpunkt o des Halbkreises a b den Lichtstrahl o V, welcher die Axe des Cylinders bildet, und drehe denselben um die Rotationsaxe in die Bildfläche. Zu diesem Ende verbinde man ~ mit mache ~—%■

3    o    3    3

welcher Geraden der gedrehte Strahl o S

zu

und ziehe -j ^

parallel sein muss. Offenbar wird das Stück tto der Trace Eb die Entfernung des Mittelpunktes unseres Hilfsschnittes von der Axe Y Z geben. Zieht man ferner durch o die Gerade o Sj

parallel zu A also die orthogonale Projektion der Axe des

Strahlencylinders auf der Bildebene, so ist der Durchschnittspunkt f dieser Geraden mit Eb der Fusspunkt des Perpendikels, welches aus dem Mittelpunkte des Hilfsschnittes mit dem Strahlen-cylinder auf die Bildfläche gefällt wird. Errichtet man also in f die Senkrechte /u> auf Eb und schneidet diese aus tt mit dem Radius tto in oj, so ist o der umgelegte Mittelpunkt, aus welchem der Halbkreis mit dem Radius oa = mi" gezogen, den umgelegten zweiten Hilfsschnitt gibt. Beide Halbkreise schneiden sich im Punkte 1", welcher seine orthogonale Projektion in V und, in die Horizontalebene Eb zurückgedreht, seine Perspektive in 1 hat.

Auf gleiche Weise können beliebig viele Punkte der Ellipse /1 11 gefunden werden.

Zu bemerken ist, dass dieselbe von dem aus V tangentiell an den Halbkreis a b gezogenen Lichtstrahl ebenfalls berührt werden muss.

§. 183.

Aufgabe.

Es ist der Schatten, den eine horizontale, rechtwinklige Platte auf eine Urndrehungsfläche wirft, zu construirai.

Als Urndrehungsfläche nehmen wir eine Ringfläche an, welche durch Rotation eines Viertelkreises mno (Fig. 310) um die verticale Axe YZ entstanden ist.

Lösung. Die untern Gränzkanten der Platte sind schattenwerfend und bilden die Basis eines Prismas, dessen parallele Kanten parallel zu den Lichtstrahlen sind. Es sind somit behufs-der Bestimmung der Schlagschattengränzen die Schnitte der

Fig. 310.

~:r

III 1

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durch die beiden Kanten a b und a c gelegten Lichtebenen mit der Urndrehungsfläche zu coustruiren. Zu diesem Zwecke lege man durch a den Lichtstrahl a V und bestimme dessen Durch-stosspunkt S mit der Bildfläche, welch’ letztere durch die Um-drehungsaxe gehend angenommen wurde.

Da wir die Platte mit je zwei Kanten, beziehungsweise parallel und senkrecht zur Feldebene gelegt haben, so ist c die orthogonale Projektion der Kante ac auf der Bildfläche, folglich Sc parallel zu A V die Bildflächtrace der durch den Lichtstrahl a V senkrecht auf die Bildfläche gelegten Ebene. Dieser Lichtstrahl a V, um die Bildflächtrace Sc in die Bildfläche umgelegt,

gelangt nach /Sotj, was man vermittelst des umgelegten Parallelstrahles, oder einfach dadurch erhält, dass man auf der in c auf cS errichteten Senkrechten c a± die wahre Länge von ca, d. i. c 0, von c nach ocj abschneidet und ax mit S verbindet.

Um nun ein/.elne Punkte der Schlagschattengränze zu erhalten, wende man eine Reihe von horizontalen Hilfsebenen an, welche die Umdrehungsfläche nach Parallelkreisen, das Strahlenprisma, oder besser die beiden durch a b und a c gelegten Lichtebenen nach zwei, beziehungsweise parallel und senkrecht zur Bildfläche stehenden Geraden schneiden, und lege jede dieser Hilfsebenen um deren Bildflächtrace in die Bildebene um.

Ist also Eb eine solche Hilfsebene, so ist der aus ot über mj nx als Durchmesser beschriebene Halbkreis ml12nl der Hilfsschnitt mit der Umdrehungsfläche und die im Durchschnittspunkte 3‘ auf Eh errichtete Senkrechte 3‘ ß der Hilfsschnitt mit der Lichtebene a c.

Zur Auffindung eines Punktes des Hilfsschnittes mit der andern Lichtebene ab, z. B. jenes Punktes, welcher in der Geraden 3'ß liegt, berücksichtige man, dass die aus 3‘ senkrecht auf c S errichtete Gerade 3‘ a, bis zum Durchschnitte a mit dem umgelegten Lichtstrahl Sa gezogen, den Abstand des in jener Hilfsebene liegenden Punktes des Lichtstrahles von der Bildebene gibt, mithin bios 3‘ ß = 3' a zu machen ist, um in ß den fraglichen Punkt und in der durch ß gezogenen Horizontalen den Hilfsschnitt mit der zweiten Lichtebene zu erhalten. Die so erhaltenen Geraden schneiden den Kreis in den Punkten 1, 2, 3, welche sonach in V, 2‘, 3‘ ihre orthogonalen Projektionen haben und deren Perspektiven I, II, III, nachdem erstere in die Horizontalebene zurückgedreht wurden, in den Abständen 11‘, 22‘, 33‘ von der Bildebene zu verzeichnen sind.

Durch Wiederholung dieses Verfahrens für beliebig viele Horizontalebenen erhält man eine Reihe von Punkten, von welchen immer zwei der einen, der dritte aber der andern Scldagschatten-gränzcurve angehören.

Erstere ist durch die Durchschnittspunkte r und t mit der Selbstschattengränze abgeschlossen, letztere hingegen berührt oben den sichtbaren Umriss der Umdrehungsfläche und ist nach unten bis zum Durchschnitte mit der Selbstschattengränze zu ziehen.

Die Selbstschattengränze ptrq wird auf die allgemeine Art

gefunden.

Wäre die obere Platte nicht in einer solchen Lage, dass eine Kante ab derselben parallel zur Bildfläche ist, so würde die Construktion in ganz gleicher Weise durchzuführen sein. Nur wären sodann die Hilfsschnitte mit den beiden Lichtebenen nicht mehr parallel und senkrecht zur Bildfläche, sondern es müssten vorerst deren Richtungen durch die entsprechenden in die Bildfläche umgelegten Parallelstrahlen bestimmt werden.

Aus diesen hier gegebenen Beispielen ist es klar, wie man in allen ähnlichen, mehr oder weniger complicirten Fällen vorzugehen haben wird.

Es bleibt jedoch auch hier zu bemerken nothwendig, dass es mitunter, insbesondere bei aus vielen und verschiedenen Theilen zusammengesetzten Gegenständen rathsam erscheinen kann, sich der Durchschnittsmethode zu bedienen, d. h. sich die Schattengränzen in orthogonaler Projektion zu verzeichnen und punktweise in die Perspektive zu übertragen.

ANHANG.

¹

Ausführliches hierüber siehe: E. Koutny, „Construktion der Selbst-schattengränze von Umdrehungsflächen in der Perspektive, unter Voraussetzung paralleler Lichtstrahlen“ in dem LV. Bande der Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, II. Abth., Februar-Heft, Jahrg. 1867,

²

Eine directe Bestimmungsweise der Asymptoten ist in der auf Seite 379 (Anmerkung) bezeiclmeten Abhandlung angeführt.

Perspektivische Darstellung architektonischer Gegenstände.

Allgemeine Bemerkungen.

Insofern, als man es in der Architektur grösstentheils mit Gegenständen zu thun liât, welche durch drei Systeme von aufeinander senkrechten Geraden begränzt sind, wovon überdies die beiden ersteren in Horizontalebenen liegen, das letztere jedoch vertikal ist, sich demnach auch perspektivisch vertikal darstellt; so ist einleuchtend, dass man bei der perspektivischen Darstellung solcher Objekte von den in der perspektivischen Projektionslehre aufgestellten allgemeinen Sätzen und Lösungsweisen einen beschränkten Gebrauch macht und dass selbst diese noch einige Vereinfachung gestatten.

Aus der eben bezeichneten Lage der Flächen und Kanten folgt, dass es in den meisten Fällen zweckmässig sein wird, vorerst das Bild des Grundrisses zu verzeichnen, sodann die vertikalen Kanten des Bildes in den einzelnen Eckpunkten des Grundrisses zu errichten und die betreffenden Längen daselbst aufzutragen.

Horizontslinie, Augpuukt, Augdistanz.

Es sei uns hier gestattet, Einiges nochmals zu berühren, welches bei der Construktion perspektivischer Bilder von besonderer Wichtigkeit ist. Es sind dies einzelne Bemerkungen über die zweckmässige Wahl der Horizontslinie, des Augpunktes und der Augdistanz.

Was die Horizontslinie anbelangt, so hängt die Annahme derselben von dem darzustellenden Gegenstände und von der Art und Aufstellung des Bildes ab.

Ist z. B. ein Gesimse perspektivisch zu verzeichnen, so kann der Horizont verhältnissmässig tief angenommen werden, während man ihn sonst gewöhnlich in der Mitte des Bildes wählt.

Durch den angenommenen Horizont kann der Augpunkt blos in der Breitenrichtung beliebig festgesetzt werden. Die natürlichste Lage des Augpunktes bietet der Mittelpunkt der begränz-ten Bildfläche, indem, um ein Bild zu betrachten, man dasselbe jedenfalls so vor das Auge stellt, dass sich letzteres nahezu über dem Mittelpunkte des Bildes befindet.

Es wird daher, wenn ein Bild den gewünschten Eindruck hervorbringen soll und nicht besondere Umstände eintreten, der Augpunkt stets in der Nähe des Mittelpunktes angenommen werden müssen.

Eine Ausnahme hievon könnte z. B. dann eintreten, wenn das Bild einen seitwärts liegenden Gegenstand von besonderem Interesse enthält; in diesem Falle wird der Augpunkt gegen diesen Gegenstand hin zu versetzen sein.

Das Wichtigste bei perspektivischen Zeichnungen bildet die Annahme der Augdistanz, welche, um das ganze Bild deutlich übersehen zu können, ohne das Auge zu wenden, wenigstens zweimal so gross angenommen werden muss, als der Abstand des entferntesten Punktes des Bildes vom Augp unkte beträgt. Ist also das Rechteck KL MN (Eig. 311)

Fig. 311.

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die begränzte Bildfläche und A der Augpunkt, so ist K jener Punkt des Bildes, welcher von A am weitesten absteht, wesshalb in diesem Palle die Augdistanz D wenigstens doppelt so gross als A K, daher als äusserste Gränze D = 2. AK anzunehmen ^ wäre. Hieraus ist ersichtlich, dass die Augdistanz fast durchgehends eine solche Ausdehnung erhält, dass die Construktionen nur mit aliquoten Theilen derselben durchgeführt werden können.

Tlieilmig' von Linien.

Die Theilung der Linien wurde bereits im Kapitel VI besprochen; es sei jedoch liier über diesen Gegenstand noch folgendes bemerkt.    v

1.    Ist ab (Fig. 312) das Bild einer horizontalen, durch die

beiden Punkte a und b begränzten Geraden, welche in eine bestimmte Anzahl ngleicher Tlieile getheilt werden soll, so kann dies mit Benützung eines beliebigen, in der Horizontslinie gelegenen Punktes v vorgenommen werden. Wird nämlich durch a eine zu 7777 parallele Gerade ac gezogen, b mit v verbunden und bis zum Durchschnitte c mit ac verlängert, ferner ac in die gegebene Anzahl gleicher Theile getheilt und die einzelnen Theil-punkte mit v vereint, so schneiden diese Theilungslinien die Perspektive ab in den zu bestimmenden Theilpunkten 7, 77.....

Fig. 312.

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2.    Um das Eintheilen der Länge ac zu vermeiden, kann ein beliebig angenommener Theil a 1 auf a c ^ n mal bis c aufgetragen und c mit b verbunden werden, wodurch sich in der Horizontslinie der Punkt v ergibt, welcher mit den einzelnen Theilpunkten der Geraden a c zu a-verbinden ist.

Die Richtigkeit dieser beiden Construktionen erhellt daraus, dass die einzelnen Theilungslinien, als auf einen gemein- ’ schaftlichen Verseil windungspunkt v zugehend, im Raume zu einander parallel sind, daher auch auf «6, so wie auf ac, gleiche Stücke abschneiden.

3.    Dieselbe Theilung kann auch in der Art vorgenommen werden, dass man auf der in dem einen Endpunkte a (Fig. 313) errichteten Vertikalen eine Länge al «mal aufträgt, den End-

Fig. 313.

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punkt c der so erhaltenen Länge mit dem Verschwindungspunkte v der gegebenen Geraden ab verbindet, ferner die Vertikale bd errichtet und die Diagonale ad zieht.

26

Peschka u. Koutny, Perspektive.

Werden nun die einzelnen Theilpunkte der Geraden ac mit v verbunden, so schneiden diese Verbindungslinien die Diagonale ad in den Punkten 1\ 2'...., während die durch diese Punkte gezogenen Vertikalen die Gerade ab in den gesuchten Punkten /, II.... treffen.

Werden sämmtliche Linien dieser Figur in der Lage, in welcher sie sich im Raume befinden, auf die Bildfläche übertragen, so wird die Richtigkeit des obigen Verfahrens von selbst klar; denn auf der Geraden AB (Fig. 314) wurde die Senkrechte AC errichtet, auf dieser eine Länge A /, von A nach C, «mal aufgetragen und die Geraden CD, IV, 22'.... parallel zu AB

Fig. 314.

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V, 2‘

111

geführt, nachdem deren Perspektiven auf den Verschwindungspunkt v der Geraden ab zugehen. Die Diagonale A D, entsprechend der Geraden ad des Bildes, wird mithin in den Punkten in n gleiche ß Theile getheilt, wesshalb die durch diese Theil-

punkte gezogenen Vertikalen die verlangte Theilung der Geraden AB in gleicher Weise bewirken.

4. Soll auf einer gegebenen Geraden abv (Fig. 312) eine schon in ihrer Perspektive gegebene Länge al mehrmals aufgetragen werden, so kann dies in gleicher Weise wie in den Fällen 1. und 2. geschehen.

Wäre die Theilung weiter

Es wird nämlich ein beliebiger Punkt v der Verschwindungs-linie HH als Verschwindungspunkt der Theilungslinien angenommen,' durch a eine zu HH parallele Gerade ac gezogen, I mit v verbunden und die Länge a 1 auf a c weiter aufgetragen. Die Verbindungslinien dieser Theilpunkte mit v schneiden av in den verlangten Punkten /, II fortzuführen und würde das Aufträgen der Theile auf ac, der begränzten Zeichnungsfläche wegen, weiter nicht mehr möglich sein, so könnte man durch irgend einen der bereits gefundenen Punkte, z. B. durch b eine zu ac Parallele ziehen und mit Hilfe der

Längenstücke b a — a ß fortsetzen.

— cf die Theilung, so wie früher,

Wäre ein Längenstück ab in eine Anzahl Theile zu theilen, welche in einem gegebenen Verhältnisse zu einander stehen, so müsste die Theilung der zu HH Parallelen ac in demselben Verhältnisse vorgenommen werden.

5.    Sind in den einzelnen Theilpunkten einer Geraden ab (Fig. 315) vertikale Gerade, z. B. als Mittellinien von Säulen, Bäumen u. dergl. zu errichten, so kann auch in der Weise vorgegangen werden, dass man auf die in a errichtete Vertikale eine beliebige oder gegebene Länge ac aufträgt, diese in d halbirt und die Linien cv und d v gegen den Ver- H schwindungspunkt v der gegebenen Geraden ab führt. ₍

Sollen nun die einzelnen Mittellinien in der Entfernung al gezogen werden, so wird man in dem gegebenen ersten Theilpunkte I die Vertikale II‘ zu errichten und deren Durchschnittspunkt e mit der Geraden dv mit c zu verbinden haben, um den nächsten Theilpunkt II zu erhalten. In derselben Weise wird die Theilung fortgesetzt.

Es sind daselbst offenbar die Längen cd und ei im Raume einander gleich, folglich die Dreiecke cde und elll congruent und daher auch die Stücke al und III gleich lang.

6.    Soll zwischen zwei perspektivisch gegebenen V ertikal-linien ab und cd (Fig. 316), deren h Fusspunkte a und c in einer und derselben Horizontalebene hegen, eine dritte, in der Mitte derselben, angegeben werden, so kann dies durch perspektivisches Halbiren der Länge ac nach 1. oder 2., oder auch derart geschehen, dass man einen beliebigen Punkt b mit dem Verschwin- a dungspunkte v der Geraden ac verbindet und die Diagonalen ad und b c des so erhaltenen Rechtecks zieht. Dieselben schneiden sich

Fig. 315.

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Fig. 316.

26*

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in einem Punkte o, durch welchen die fragliche Vertikallinie fe zu führen ist.

Kreisperspektive.

In der Praxis wird das Bild eines Kreises, mit Benützung der Perspektive des zur Bildfläche parallelen Kreisdurehmessers, zumeist in der Art verzeichnet, dass man die Bilder zweier, dem Kreise umschriebener Quadrate (§. 107, b) darstellt, wodurch acht Punkte der Peripherie nebst den zugehörigen Tangenten erhalten werden. Hier seien noch folgende Fälle einer nähern Betrachtung unterzogen.

1. Es kömmt häufig vor, dass das Bild ab cf (Fig. 317) eines Quadrates gegeben ist, in welches ein Kreis eingeschrieben werden soll und bei welchem die Verschwindungspunkte der

Fig. 317.

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A-8'

Seiten unzugänglich sind. In einem solchen Falle fällt immer der Verschwindungspunkt v der einen Diagonale cf innerhalb der Zeichnungsfläche und kann demgemäss zur Bestimmung der vier Berührungspunkte des Kreises mit dem gegebenen Quadrate, so wie auch zur Verzeichnung der Perspektive eines zweiten Quadrates benützt werden, dessen Seiten gegen jene des ersteren unter einem Winkel von 45° geneigt sind.

Um die Berührungspunkte 5, 4, 5 und 6 zu erhalten, sind blos die Seiten des gegebenen Quadrates perspektivisch zu hal-biren. Zu diesem Zwecke ziehe man durch irgend einen Punkt der Geraden o v eine Gerade vi n parallel zur Verschwindungs-linie Ev der Kreisebene und verbinde den Punkt b mit v. Wird

nun das auf mn abgesclmittene Stück ma in cp halbirt, cocp nach (o y übertragen, und werden die Punkte y und cp mit v vereint, so schneiden diese Geraden die Seiten des Quadrates in den vier Halbirungspunkten 3, 4, 5 und 6. Diese Punkte geben mit o verbunden die Diagonalen des zu suchenden zweiten Quadrates.

Um jene Punkte l und 2 zu finden, in welchen der Kreis die Diagonale ab schneidet, hat man diese Gerade in dem bekannten Verhältnisse 1 : |/2 — 1 zu theilen. In demselben Verhältnisse wird demnach auch die Länge tu a zu theilen sein, was einfach dadurch bewerkstelligt werden kann, dass man über co 7, als Radius, einen Kreisbogen «3 von 45° beschreibt und den Endpunkt 8 desselben senkrecht auf mn nach ß projecirt.

Es ist sodann blos co ß nach oj e zu übertragen und sind die Punkte s und ß mit v zu verbinden, um im Durchschnitte dieser Geraden mit den eben gefundenen Diagonalen die vier Eckpunkte des zweiten Quadrates ghik, dessen Seiten die Kreisperspektive berühren und die Diagonalen a b und c f in den vier Punkten f, 2, 7 und 8 des Bildes schneiden, zu erhalten.

ca a Gerade a v

Eine zweite Lösungsweise wäre jene, wo man über der Länge keinen Kreis beschreibt, sondern durch den Punkt a eine (Fig. 318) unter einem Winkel von 45⁰ gegen mn zieht und w v senkrecht auf av errichtet. Wird nun aus o> mit

Fig. 318.

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dem Radius o> v ein Kreis beschrieben, so schneidet er die Gerade mn in den Punkten 8 und

welche sammt den Punkten

cp und s, die durch die Senkrechten v cp, \x e (u> cp == co s) erhalten werden, in derselben Weise wie im vorigen Beispiele zu benützen sind,

um

die Punkte 1 bis 8 der Kreisperspektive, so wie das

Bild des zweiten dem Kreise umschriebenen Quadrates ghik zu erhalten.

2. Ist die Perspektive ab cd (Fig. 319) eines dem Kreise umschriebenen Quadrates gegeben, und hat die Kreisebene eine solche Lage, dass deren Verschwindungslinie ausser die Zeichnungsfläche fällt, so kann selbstverständlich der Verseil windungspunkt v der Diagonale cf nicht benützt werden, daher folgendes Verfahren eingeschlagen werden muss.

Man ziehe zwei Gerade m n und M N parallel zur Ver-schwindungslinie der Kreisebene, verlängere zwei gegenüberliegende

Fig. 319.

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Quadratseiten af und bc bis zum Durchschnitte y, 8, C, D mit diesen Geraden und beschreibe über den Durchmessern y 8 und CD Halbkreise; ziehe ferner die Radien tup, tu v wie die bezüglichen Tangenten ap, ßv, AH, BK unter einem Winkel von 45° gegen MN, mn und fälle die Perpendikel ps, v cp, HE, K F auf diese beiden Geraden. Verbindet man sodann die zusammengehörigen Punkte der Geraden mn und MN miteinander, so ergeben sich im Durchschnitte der Geraden s E, cp F mit den Diagonalen ab, cf des gegebenen Quadrates die Berührungspunkte 1, 2, 3, 4 des zweiten Quadrates mit der Kreisperspektive und im Durchschnitte der Geraden 0 co mit den Seiten ac und b f die Berührungspunkte 7 und 8 dieser beiden Seiten mit dem Kreise. Endlich begegnen die Linien A a, B 3

den obigen Diagonalen in den Endpunkten p, g, r, s eines Quadrates, dessen Seiten pq und rs die Gerade <o 0 in den Eckpunkten h und k des zu suchenden zweiten Quadrates treffen Es ist mithin blos h mit 1 und 3, k mit 2 und 4 zu verbinden, um das Bild dieses Quadrates zu erhalten, dessen zweite Diagonale g i die Seiten af und b c des ersten Quadrates in den Berührungspunkten 5 und 6 schneidet.

Kugelperspektive.

Der Umriss der Kugel wird zumeist nach der im §. 127, a) angegebenen Methode gesucht, jedoch können sehr einfach die senkrechten Axen desselben gefunden und über denselben die Ellipse, als welche sich der Umriss perspektivisch darstellt, aus vier Kreisbögen mit hinreichender Genauigkeit zusammengesetzt werden, da die Axendiflerenz in allen praktischen Fällen äusserst gering ist.*)

Ist o (Fig. 320) der Kugelmittelpunkt und K der in der Bildfläehe liegende grösste Kreis der Kugel, so denke man sich an diese einen berührenden Kegel aus dem Auge als Spitze und einen zweiten auf der Bildfläche senkrechten, berührenden Kegel gelegt, dessen Höhe die Augdistanz ist.

Schneidet man beide Kegel durch eine Ebene, welche durch das Auge und die Gerade A o geht und legt dieselbe um A o in die Bildfläehe, so gelangt das Auge in die im Punkte A auf Ao gefällte Senkrechte, während die Spitze des zweiten Kegels in die im Punkte o auf Ao errichtete Senkrechte So fällt. Die aus den beiden umgelegten Kegelspitzen an den Kreis K gezogenen Tangenten T{, T₂, T₃ schneiden auf A o Längenstücke gleich den

Fig. 320.

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T₃

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*) Die nachfolgende Bestimmungsweise der senkrechten Axen der Kugelperspektive wurde auch in der Zeitschrift des österr. Ingenieur-und Architekten-Vereins veröffentlicht. (Siehe XVIII. Jahrgang, S. 199, E. Koutny „Kugelperspektive“.)

beiden zu suchenden Axen ab, und zwar wird die grosse Axe durch die aus dem umgelegten Auge gezogenen Tangenten in den Punkten I und II begränzt, während das durch die beiden andern Tangenten begränzte Stück der Geraden Ao, als kleine Axe, auf die im Halbirungspunkte 0 der Länge III errichtete Senkrechte zu übertragen ist, woselbst mithin O III — O IV — o 1 wird.

Fallen die nmgelegten Spitzen, wie dies zumeist der Fall ist, ausser die Zeichnungsfläche, so wird man ebenso einfach mit Benützung von aliquoten Theilen der Augdistanz zum Ziele gelangen. Kann man z. B. blos den dritten Theil der Augdistanz in Anwendung bringen, so theile man Ao in drei gleiche Theile,

so dass o a = — A o wird, errichte in a und o die Senkrechten

a A und o S auf A o und trage auf denselben die Längenstücke a A — öS gleich dem dritten Theile der Augdistanz auf; beschreibe ferner aus o den Kreis k mit Ein Drittel des Halbmessers vom Kreise K als Radius, führe aus den Punkten A und S die Tangenten Ać, A^, St₂ an den Kreis k und ziehe schliesslich die fraglichen Tangenten 1] Tj, jT₂ parallel zu letzteren an den Kreis K.

Dass ol die kleine Halbaxe des Umrisses ist, folgt daraus, weil die Bildflächtracen der beiden, aus dem Auge an die zweite Kegelfläche gelegten Berührungsebenen zu einander und zu Ao parallel sind, daher als Tangenten an den Umriss, den Endpunkten der kleinen Axe desselben entsprechen und in einem Abstande, welcher dem Durchmesser des Basiskreises vom zweiten Kegel gleich ist, von einander gelegen sind.

Bemerkungen über die Verzeichnung¹ des perspektivischen Grundrisses.

Die Objekte stehen entweder mit einer Seitenfläche parallel und mit der andern senkrecht zur Bildfläche (frontal), oder die auf einander senkrecht stehenden Seitenflächen sind gegen die Bildebene unter 45° geneigt, oder endlich schliessen die Seitenflächen verschiedene Winkel mit der Bildebene ein. Im ersten Falle hat man horizontale, zur Bildfläche parallele Gerade und im Augpunkte verschwindende Linien zu verzeichnen; im zweiten Falle verschwänden die horizontalen Kanten in den Distanzpunkten und man erhält die sogenannte „Ansicht über’s Eck“; im dritten Falle endlich sind vorerst die Verschwindungs-punkte auszumitteln. Letztere fallen jedoch gewöhnlich über die Zeichnungsgränze hinaus, daher man sich mit aliquoten Theilen ihrer Entfernung vom Augpunkte behelfen muss. Das einfachste Verfahren, welches in einem solchen Falle angewendet werden kann, ist folgendes.

Es seien z. B. ab und ac (Fig. 321) die Perspektiven zweier in a sich schneidender Geraden, welche in einer horizontalen Ebene liegen und einen rechten Winkel einschHessen; man soll die diesen beiden Geraden entsprechende Augdistanz auffinden und mit MN, als Seitenlange, über der Ecke a ein Quadrat verzeichnen.

Auf den ersten Blick ist ersichtlich, dass die Verschwin-dungspunkte vl und v₂ dieser beiden Geraden ausser die Zeicli-

Fig. 321.

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nungsgränze fallen. Um daher aliquote Theile der Entfernungen Avj, Av₂ zu erhalten, theile man die Gerade A a geometrisch in so viel gleiche Theile, als man die Entfernungen Avl, Av₂ zu theilen sich veranlasst sieht, d. h. so, dass der erste Theilpunkt dieser Entfernungen noch innerhalb der Zeichnungsfiäche zu liegen kömmt.

Hier wurde die Construktion mit den halben Entfernungen durchgeführt; man hat also a A im Punkte m zu halbiren und durch m die Parallelen zu ac und ab zu führen, um im Durchschnitte derselben mit der Horizontslinie die Halbirungspunkte

der Längen iq, Av₂ zu erhalten.

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Behufs der Auffindung der Augdistanz denke man sich durch v₁ und v₂ die zugehörigen Parallelstrahlen geführt, welche sich im Gesichtspunkte schneiden und einen rechten Winkel ein-

scłiliessen; es werden demnach auch die durch ~-, ’ 2 ’

zu den

entsprechenden Parallelstrahlen gezogenen parallelen Geraden einen rechten Winkel bilden, sich jedoch in einem Punkte der aus dem Auge auf die Bildfläche gefällten Senkrechten schneiden, welcher von der Bildebene um die halbe Augdistanz absteht. Legt man die Horizontsebene sammt den eben genannten Linien

in die Bildfläche um, so wird dieser Durchschnittspunkt im

Perpendikel A~ liegen, während die Punkte , ~ als in der Drehungsaxe befindlich, ungeändert bleiben. Da die umgelegten Geraden ~L j-’ ~ °

— einen rechten Winkel einschliessen, so wird der Punkt ~ nach der Drehung erhalten, wenn man über ~ ~ als Durchmesser einen Halbkreis beschreibt und diesen mit der zum Durchschnitt bringt. Es ist somit A~ die halbe Augdistanz, und es muss ein richtiges perspektivisches Bild innerhalb des aus A mit dem Badius A gezogenen Kreises liegen.

Geraden A

O i«'!

Was den zweiten Theil unserer Aufgabe betrifft, nämlich auf den Seitenrichtungen a b und a c Stücke gleich M N abzuschneiden, so ist es am zweckmässigsten, sogleich den umgelegten

rechten Winkel

der Bildfläche liegt, mache man a = die Projektionen dieser Längen auf der Horizontalen a'ß' und übertrage diese Stücke --

Horizontallinie nach ab', ac' und ziehe schliesslich die bildfläch-projecirenden Geraden b'A, c'A, welche auf den Perspektiven der gegebenen Geraden die bestimmte Länge abschneiden. In vielen Fällen lässt sich auch der Theilungspunkt, oder ein aliquoter Theil seines Abstandes vom Augpunkte mit Vortheil benützen. Auch ist zu empfehlen, den Verschwindungspunkt o der Diagonale aufzusuchen, welcher sich bekanntlich einfach ergibt,

wenn man den rechten Winkel bei

zu

benützen. Vorausgesetzt, dass a in

~ ß = M N, bestimme

~-ß' auf die durch a gezogene

halbirt, die Halbirungs-

linie mit der Horizontslinie zum Durchschnitt bringt und A o — 2 . A ~ macht.

Hat man endlich aus irgend einem Punkte gegen die Ver-schwindungspunkte t?l5 v₂ Linien zu ziehen, so sind hiezu die

Punkte —, -v~ oder allgemein , — derart zu benützen, dass

ri ^    ft 77/

man den gegebenen Punkt mit dem Augpunkte verbindet, diese Linie in 2 oder allgemein in n gleiche Tlieile tlieilt, den dem

Augpunkte A nächsten Theilpunkt mit ~ und — vereint und

aus dem gegebenen Punkte zu letzteren Geraden die geometrisch Parallelen zieht. Zur Verzeichnung des Quadrates wird man also

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resp. p-j

die Parallelen

durch b und c zu den Geraden n~-,

bd und cd ziehen, welche sich in einem Punkte d der Diagonale ado schneiden müssen.

Für die Construktion perspektivischer Grundrisse sei nocli folgendes bemerkt: In vielen Fällen ist es wünschenswert!!, jenen Theil des Zeichnungsblattes, auf welchem das perspektivische Bild sich befindet, so viel als möglich frei von Construktionslinien zu erhalten. Dies kann dadurch erreicht Werden, dass man für den Fall, als unter der Bildgränze noch Raum auf der Zeichnungsfläche zur Verfügung steht, das Auge sammt der Horizontslinie und allen darin gelegenen Punkten, so wie die Ebene des perspektivischen Grundrisses, beliebig tief in vertikaler Richtung verschiebt und in dieser neuen Stellung die Perspektive des Grundrisses verzeichnet. Es ist einleuchtend, dass sich dabei die gegenseitigen Verhältnisse der Grundrisse nicht ändern, und dass demnach auch die Vertikallinien, die in den einzelnen Punkten des Grundrisses zu errichten sind, dieselben bleiben, da die Verschiebung in vertikaler Richtung vorgenommen wurde.

Bevor wir diese Methode in ihrer Anwendung zeigen, wollen wir vorher noch die Höhenbestimmung näher besprechen.

Höh en bestimm un g' einzelner Punkte.

Hat man die Perspektive des Grundrisses gefunden, so sind zur Auffindung der einzelnen Punkte des Bildes blos auf den Perpendikeln die gegebenen Entfernungen von der Grundebene auf bekannte Weise perspektivisch abzuschneiden. Aus gleichem Grunde jedoch, um nämlich auf der Fläche des Bildes nicht zu

viel Construktionslinien zu erhalten, kann man die Höhenbestim-mung sämmtlicher vertikalen Linien in einer einzigen Vertikal-ebene vornehmen, welche man wieder sammt dem Auge parallel zu sich selbst in horizontaler Richtung so weit fortgeschoben denkt, bis der Augpunkt an die Gränze der Bildfläche, oder wenigstens nahe an dieselbe zu liegen kömmt. Da in der so erhaltenen Ebene die Höhenbestimmung ausserhalb der Fläche des Bildes vorgenommen wird, so ist der Zweck erreicht, und es werden die zu suchenden Punkte selbst in den durch die eben bestimmten Höhenpunkte gezogenen Horizontallinien erhalten.

Es sei also z. B. BJK (Fig. 322) die Gränze der Fläche des Bildes und auf der Zeichnungsfläche nach unten und rechts ein

Fig. 322.

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freier Raum benützbar. BJ sei zugleich die Bildflächtrace der Grundebene, worauf eine durch Seitenmauern begränzte rechteckige Fläche sich vorfindet; A sei der Augpunkt.

Denken wir uns die Grundebene oder eine andere Horizontalebene sammt dem Auge so lange vertikal nach abwärts bewegt; bis der Augpunkt nach Ax gelangt, so wird Al Hx die neue Horizontal-

linie sein, während die Bildflächtrace Gy Gx der neuen Horizontalebene, je nach Massgabe des unten zu Gebote stehenden Raumes, mehr oder weniger tief unter Al Hy angenommen werden kann. Selbstverständlich werden alle in der früheren Horizontslinie sich befindlichen Yerschwindungs-, Theilungspunkte etc., so wie die Distanzpunkte vertikal in die neue Horizontslinie herab versetzt werden müssen. In der so fixirten Grundebene construire man nun den Grundriss M“ N“ P“ der im Bilde sichtbaren Mauerfronten.

Auf gleiche Weise denke man sich eine beliebige vertikale, auf der Bildfläche senkrechte Ebene, gleichsam als vertikale Pro-jectionsebene für die gleichnamigen Kanten, in horizontaler Richtung sammt dem Auge beliebig weit nach rechts versetzt, so dass z. B. die Vertikallinie V V nach CF und der Augpunkt nach A2 gelangt. Die Bildflächtrace Fb dieser Vertikalebene kann beliebig gewählt werden.

Die beiden Bildflächtracen Gx Gx und Fb schneiden sich in Gy und die neue Horizontslinie trifft die Vertikallinie CF in C; mithin C Gy als Schnittlinie dieser beiden Ebenen angesehen werden kann. Auf gleiche Weise kann die Gerade A₂ L (Z Durchschnittspunkt von Fb mit der früheren Grundflächtrace B J) als der Schnitt der Grundebene mit der neuen Vertikalebene betrachtet werden.

Um die Grundlinien der Mauern zu erhalten, wird man z. B. für den Punkt Mu die Horizontale M“ ra" bis zum Durchschnitte ra" mit CGX ziehen und in ra" und M“ die Perpendikel M“ M und ra"ra errichten, von welchen letzteres die . Gerade A₂ L in ra' trifft. Die durch ra' gezogene Horizontale M‘ ra' schneidet sich mit M“ M in dem verlangten Punkte Ml.

Weiters handelt es sich um den Punkt M, welcher von der Grundebene um die Mauerhöhe absteht. Zu diesem Ende ist vorerst auf ra' ra ein Stück abzuschneiden, welches der Mauerhöhe gleichkömmt, was bekanntlich dadurch bewerkstelligt wird, dass man auf der Bildflächtrace Fb das Stück L 0 gleich der Mauerhöhe aufträgt und 6 mit A₂ verbindet, wodurch in der Geraden m“ ra' der Punkt m erhalten wird, durch welchen die Horizontale Mm gezogen, die Gerade M“M‘ in dem fraglichen Punkte schneidet.

Auf gleiche Weise kann die Mauerkante N¹ N so wie jede andere Kante bestimmt werden, woraus ersichtlich ist, dass die Gerade 6 A₂ die Höhenpunkte aller gleich hohen Mauerkanten bestimmt.

Hat man derart die Gränzkanten der Mauer gefunden, und soll daselbst noch ein Steinschnitt z. B. von abwechselnd höliern und niedern Quadern angebracht werden, so sind blos die einzelnen Quaderhöhen von L gegen 6 nach den Punkten 1, 2, 3 .. . aufzutragen und diese Theilpunkte mit dem Augpunkte A₂ zu verbinden. Diese Linien werden auf den Vertikalprojektionen mm', nri, pp' der Kanten MM', NN', PP' jene Punkte ccj, ßj . . ., a₂, p2 • • • bestimmen, durch welche blos die Horizontallinien zu ziehen sind, um auf den obgenannten Kanten die Theilpunkte 1, 2, 3 . . ., 1, II, III... zu erhalten.

Aus diesem Beispiele ist ersichtlich, dass für gewisse Fälle die angeführte Methode mit Vortheil benützt werden kann, und dass insbesondere zur Bestimmung der Höhen verschiedener Punkte es gerathen erscheint, sich einer einzigen Vertikalebene zu bedienen.

Darstellung verschiedener Objekte.

Stiegen.

Ein Fall, und zwar der einfachste, wurde bereits in der Schattenlehre (§. 163) durchgeführt.

Nehmen wir an, es wären zwei Mauern A und B (Fig. 323) beziehungsweise parallel und senkrecht zur Bildebene, und es

Fig. 323.

lehne sich an dieselben eine Stiege, welche zu beiden Seiten einen Aufgang ge-stattet, wie dies aus dem Grundrisse 'Æ ersichtlich ist.

Das Profil in der Mauerfläche B (Fig. 324) wird auf bekannte Art (siehe §. 163) und wie aus der Figur ersicht-'|p lieh, gefunden. Es werden nun noch |p die Bilder der vertikalen Kanten der ||| Stufen (in der freien Ecke derselben) zu bestimmen sein. Betrachten wir den Grundriss (Fig. 323), so ist ersichtlich, dass sich die horizontalen Projektionen a, ß, j . . . dieser Kanten als die Eckpunkte der Diagonalen von Quadraten ergeben, welche die Stufenbreite zur Seite haben.

Trägt man also im Bilde auf ax (Fig. 324) die Stufen breite entsprechend oft auf, zieht aus a eine unter 45° gegen die Bild-

fläche geneigte Gerade a y und verbindet diese Theilpunkte mit dem Augpunkte, so wird a y in den Fusspunkten a, ß, y.... dieser Kanten geschnitten. In diesen Punkten sind nun Vertikallinien zu errichten und von denselben blos jene der Stufenhöhe gleichen Stücke zu benützen, welche innerhalb je zweier, die Stufenhöhe begrenzender, aus den Eckpunkten des Stiegenprofils der Mauer B gezogener Horizontallinien liegen. Aus den so erhaltenen Eckpunkten sind die Stufenkanten gegen den Augpunkt, und zwar bis zum Durchschnitte mit der Mauerfläche A fortzusetzen. In jener Mauerfläche A wird schliesslich das Profil zu verzeichnen sein,

Fig. 324.

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welches, als zur Bildfläche parallel, in einer dem wirklichen Profil ähnlichen Form erscheint. Zu diesem Knde wird die letzte Theilungs-linie 5 A bis zum Durchschnitte n mit der Mauer A, so wie die Kante a A bis m zu verlängern und in n die Vertikale np bis zum Durchschnitte p mit der der höchsten Platte ungehörigen Gränz-kante zu ziehen sein, wo dann blos über mn als Breite und np als Höhe das ähnliche Profil zu verzeichnen ist. Die so erhaltenen Kanten desselben werden jedoch nur theilweise sichtbar erscheinen.

Das Abschneiden der Stufenhöhen auf den in a, ß, y.... errichteten Vertikallinien kann auch, ohne das Profil der Mauer B zu benützen, derart geschehen, dass man in den beiden Punkten a und y Vertikallinien errichtet, auf beiden die Stufenhöhe entsprechend oft aufträgt und die gleich hoch gelegenen Punkte mit einander vereint.

Eine grössere Stiegenanlage wurde in Fig. 326 dargestellt. Der Grundriss dieser Anlage sei in Fig. 325 gegeben. Dieselbe soll gegen die Bildfläche schief gestellt erscheinen.

In erster Reihe ist es hier nothwendig, die Yerschwindungspunkte der beiden Systeme von parallelen, und beziehungsweise auf einander senkrechten Geraden zu fixiren, um vermittelst derselben den perspektivischen Grundriss verzeichnen zu können. Es sei A

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der Augpunkt — und —¹¹- die vierten Theile der Entfernungen der

obgenannten Verschwindungspunkte von demselben und ^ der umgelegte rechte Winkel. Mit Hilfe dessen ist die Perspektive

Fig. 325.

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des Grundrisses oder wenigstens der wichtigsten Theile desselben aufzufinden. Hier wurde keine neue Grundfläche gewählt, sondern die Construction sogleich in der Ebene des Bodens durchgeführt.

In einem solchen Falle ist es zweckmässig, eine Vertikalebene behufs der Höhenbestimmung anzuwenden. Es wurde daselbst der Augpunkt nach A₂ versetzt und die Vertikale J Z als die Bildflächtrace der Vertikalebene, A₂J daher als deren Grund-flächtrace angenommen. Auf HZ ist nun von H die Stufenhöhe entsprechend oft aufzutragen, und sind die Theilpunkte mit A2 zu verbinden.

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Die Construktion des Bildes besteht der Hauptsache nach in der Verzeichnung der einzelnen Profile.

Nachdem der Punkt a in der Bildfläche liegend vorausgesetzt wurde, so stellt sich die in diesem Punkte aufsteigende, vertikale Stufenkante in ihrer wahren Länge dar. Ist 0 der Verschwin-dungspunkt der Diagonale, so ist aO jene Linie, in welcher sich die Projectionen der Stufenkanten 1. .1.4 vorfinden müssen. Errichtet man in diesen Projektionen die Perpendikel und trägt auf die in a errichtete Vertikale die Stufenhöhe fünfmal auf und ver

bindet ferner die Theilpunkte mit 0, so sind die vertikalen Stufenkanten bestimmt. Auf gleiche Weise werden jene Kanten gefunden, welche in der durch b gelegten vertikalen Diagonalebene liegen.

Noch einfacher ergeben sich die in der Mauerfläche cd liegenden Stiegenprofile. Verlängert man nämlich cd bis zum Durchschnitte f und g mit der Horizontalen af und der Trace A₂ J, trägt sodann auf der in / errichteten Vertikalen die Stufenhöhe fünf Mal auf und zieht in g eine Vertikale, welche durch die anfangs gezogenen Theilungslinien entsprechend getheilt wird, so sind nur die gleichnamigen Punkte beider Vertikalen zu verbinden, um die horizontalen Profilkanten zu erhalten. Die vertikalen Kanten sind

wieder in den zugehörigen Punkten des Grundrisses zu errichten. Die zusammengehörigen Punkte der einzelnen Profile entsprechend verbunden, werden die untersten Stufen der Anlage geben.

Von den zunächst folgenden Stiegenarmen sind blos die rechtsliegenden Stufen theilweise sichtbar. Man verzeichne also das in der Mauer M liegende Profil aßyoscp auf gleiche Weise wie jenes in der Mauer cd. wobei nur zu berücksichtigen ist, dass die der Mauerfläche M zugehörige Grundlinie hk nicht so weit verlängert werden kann, dass sie die Horizontale af schneidet. Man nehme daher einen beliebigen Punkt h der Geraden hk an, ziehe durch denselben die Horizontale hhx bis zum Durchschnitte hx mit der Trace A₂ J und errichte in hx ein Perpendikel, welches durch die Theilungslinien in den Punkten 6 bis 9 getroffen wird. Letztere Punkte sind nun horizontal auf die in h errichtete Vertikale zu übertragen, um diese entsprechend zu theilen. Die Gerade hk schneidet verlängert A₂J in l, daher die in l errichtete Vertikale ebenfalls in den Punkten 6 bis 9 getheilt erscheint. Je zwei gleichbenannte Theilpunkte verbunden, werden innerhalb der durch den Grundriss bestimmten Profilkanten ota', yï'-... die

27

Peschka u. Kontny, Perspektive.

horizontalen Kanten des Profils geben. Aus den einzelnen Ecken des Letzteren sind die horizontalen Stufenkanten gegen den gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt Bx derselben zu ziehen, oder es können dieselben, falls Bl sich nicht innerhalb des zur Benützung stehenden Raumes vorfände und man keine weitern Hilfsconstruktionen anwenden wollte, mit Benützung des in der Mauerebene cd zu verzeichnenden Profils gefunden werden.

Hieraus ist ersichtlich, dass es selir vortheilhaft sei, wenn einer der beiden Verseil windungspunkte, wie dies hier der Fall ist, noch auf die Papierfläche fällt.

Endlich sind noch rechts jene Stufen zu verzeichnen, welche in der Fortsetzung der Mauer M liegen. Zu diesem Zwecke schneide man auf der Geraden m cp die Stufenhöhen ab, wobei die eine in dieser Geraden verbleibt, die andere jedoch um eine Stufenbreite zurückversetzt werden muss. Uie horizontalen Stufenkanten sind gegen den Verschwindungspunkt B₂ zu ziehen.

Die Stiegenmauern wurden stufenförmig abgesetzt. Die perspektivische Darstellung derselben unterliegt keinen Schwierigkeiten. Die Höhe der Mauer über den Stufen kann beliebig gewählt werden, während die Mauerstärke, die hier gleich der Stufenbreite angenommen wurde, aus dem gegebenen Grundrisse zu entnehmen ist.

Aufgabe.

Es ist eine halbkreisförmige Spindelstiege perspektivisch darzustellen.

Es sei O (Fig. 327) der Mittelpunkt der Spindel, Oa der Radius derselben und Ob der Radius des Stiegenhauses. Die Stiege soll aus 17 Stufen bestehen, wesshalb der über O b als Radius verzeichnete Halbkreis in 16 Theile getheilt werden muss. Eine Stufenbreite soll im Mittel der doppelten Stufenhöhe gleich sein.

Bei dieser Aufgabe ist es zweckmässig, zur Theilung der einzelnen Vertikallinien eine vertikale Hilfsebene zu benützen. Es sei also A₂ der verschobene Augpunkt, Hx Z die Bildfläch-trace und demnach A₂HX die Grundflächtrace derselben. Von den Theilpunkten 1 bis 16 des Halbkreises bbx projeciren sich je zwei in einem Punkte der Trace A₂HX.

Trägt man nun auf der Axe O des Stiegenhauses, so wie auf der Trace Hx Z die Stufenhöhe so oft auf, als Stufen vor-

Fig. 327.

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Ist das Stufenprofil in der Stiegenhausmauer gefunden, so hat man nur der Reihe nach je zwei in einer Horizontalebene liegende Punkte mit einem Theilpunkte der Stiegenaxe zu verbinden und bis zum Durchschnitte mit der Spindel zu ziehen. Das sich hiedurch auf der Spindel ergebende Profil wäre in gleicher Weise wie jenes auf der Stiegenhausmauer zu verzeichnen, ist jedoch hier, da es im Bilde nicht sichtbar erscheint, zu construiren nicht nothwendig, würde aber bei einer freitragenden Stiege durchgeführt werden müssen. In unserem Beispiele sind die horizontalen Stufenkanten blos bis zur vertikalen Kante a‘ der Spindel sichtbar.

Auf der andern Seite der Spindel sieht man unter die Stiege; es wird sonach blos eine Schraubenlinie als Schnitt der untern windschiefen Stiegenfläche mit der Stiegenhausmauer zu verzeichnen sein. Einzelne Punkte dieser Curve sind leicht gefunden, wenn man unter jede Stufenhöhe, z. B. xy, ein Stück von beiläufig zwei Zollen aufträgt. *

Die letzte Stufenhöhe kömmt in die Kante b zu liegen. In dieser Höhe wurde eine Platte, auf Tragsteinen ruhend, gezeichnet, welche den Gang bilden soll und mit einem Gitter versehen ist. Die Fortsetzung der Stiege in das nächste Stockwerk wird ganz auf dieselbe Weise erhalten.

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Gesimse.

Bei der perspektivischen Darstellung der Gesimse handelt es sich eigentlich blos um die Darstellung jener Gränze oder Ecke, Gesimsgrath genannt, welche im Durchschnitt der einzelnen Flächen der an den Hauptmauern umlaufenden gleichen Gesimse entsteht.

Zumeist haben die beiden Mauern eine aufeinander senkrechte Stellung, daher wir auch diesen Fall liier näher behandeln wollen. Wo dies jedoch nicht vorkömmt, unterliegen die Con-struktionen auch keinen Schwierigkeiten, indem es sich in allen Fällen eigentlich blos um den Durchschnitt zweier horizontalen Prismen von bekannter gleicher Leitlinie handelt.

Es sei also in Fig. 328 die horizontale Projektion eines Gesimses, dessen Profil abc....k in Fig. 329 angegeben ist. In K sei eine Ecke, von welcher aus die eine Mauerfront senkrecht, die andere parallel zur Bildfläche läuft. Das eben angegebene Profil sei der Durchschnitt, ęiner durch K parallel zur Bildfläche gelegten Ebene E mit dem Gesimse. Die Construktionen können wir so durchführen, als wenn jenes Profil in der Bildfläche läge, E also die Bildebene selbst wäre.

Aus der Betrachtung des Grundrisses geht hervor, dass sich die fraglichen Eckpunkte al5 cl5 el.... des Durchschnittes beider Gesimsfronten ergeben, wenn man von den Endpunkten a, ç, e.... des Profils E die Senkrechten aaj, cą.... auf die Bildebene zieht und darauf Stücke abschneidet, welche der Ausladung des betreffenden Gesimspuuktes, d. h. dem Abstande desselben von der Mauer, gleich sind, da offenbar aciy = ak, ccy = çk.... ist.

Hiedurch ist auch die Construktion der Perspektive eines solchen Gesimses bereits gegeben. Ist somit abc....k (Fig. 329) das in der Bildfläche angenommene Profil E, so hat man die einzelnen Eckpunkte desselben mit dem Augpunkte A zu verbinden und auf diesen Linien, nach vorn zu, perspektivisch Längenstücke abzuschneiden, welche den Entfernungen der betreffenden Punkte von der Kante KK gleich sind. Es ist also al—aa., b 11 = b ß .... zu machen.

Die krummen Gesimsglieder werden in gleicher Weise behandelt, indem man ihren Durchschnitt punktweise bestimmt, wie dies auch in der Fig. 329 bei den Punkten m und n durchgeführt ist. Es wurde durchgehends mit ein Drittel Distanz gearbeitet, daher die Abstände a a, b ß .... in drei gleiche Theile getheilt erscheinen.

Mit Benützung des perspektivischen Grundrisses und einer Höhenebene lässt sich dieselbe Aufgabe auch auf folgende Art lösen :

Es sei wieder eine parallele und eine senkrecht zur Bildfläche stehende Mauerfront gegeben, welch’ letztere mit einem Kisalit versehen ist. Wir werden daher an dieser Seite mehrere Gesimsgrathe darzustellen, also auch mehrere dem vorigen Beispiele gleiche Construktionen durchzuführen haben. In einem solchen zusammengesetzten Falle dürfte wohl die Anwendung der nachfolgenden Methode zweckmässig sein und zwar insbesondere dann, wenn beide Mauerflächen gegen die Bildebene geneigt sind.

Man verzeichne zunächst den perspektivischen Grundriss abcdefgh (Fig. 330) der Hauptmauer und jenen a₁bl....g₁h1 der äussersten Gesimskante. Dies kann in einer beliebigen oder in einer sammt dem Auge nach abwärts verschobenen Horizontalebene geschehen. Im vorliegenden Falle wurde der Augpunkt A für den Grundriss beibehalten; für die vertikale Höhenebene jedoch wurde der Augpunkt nach A₂ verlegt und Fh als deren Bildflächtrace angenommen.

Die Tracen bb{, ccl5 dd₁....ggl jener Vertikalebenen, in welchen die zu bestimmenden Gesimsgrathe liegen, sind gegen die Bildebene unter einem Winkel von 45⁰ geneigt, wie dies schon aus Fig. 328 ersichtlich ist. Die Bildfläche denken wir uns durch die Mauerfläche gh gelegt, mithin werden wir an Fb das gegebene Gesimsprofil a ß y S, dessen grösste Ausladung aa‘=gal ist, in der wirklichen Gesimshöhe zu zeichnen haben.

Die einzelnen Gesiinsglieder werden nun auf Fb und a a‘ projezirt, wodurch man auf Fb die Höhen derselben und auf a a‘ deren Entfernungen von der Hauptmauer in den Punkten 7, y'S §", cp" .... erhält.

Aus Fig. 328 erhellt, dass die Horizontaltrace der Diagonalprofilebene K durch die horizontalen Projektionen der einzelnen Gesimskanten in gleichem Verhältnisse, wie die Gesimsausladung ak getlieilt wird. Dies werden wir in unserem Falle auf die einzelnen Horizontaltracen anzuwenden, und daher g g₁ perspektivisch in demselben Verhältnisse zu theilen haben, wie 77' durch die einzelnen Vertikalpunkte getheilt wurde. Zu diesem Zwecke übertrage man diese Gerade sammt deren Theilpunkten von g nach 7l und verbinde die letzteren mit dem Augpunkte, durch welche Geraden nicht nur g gx, sondern auch alle ähnlich liegenden Profiltracen ffx, c Cj, bbl in dem gegebenen Verhältnisse perspektivisch getheilt werden. Die zu suchenden Punkte des Gesimsgrathes werden sonach in den in diesen Punkten 1, 2, 3.... errichteten Perpendikeln liegen.

Um die einzelnen Punkte selbst zu erhalten, hat man nur auf zwei in derselben Diagonalebene liegenden Vertikallinien die in der Trace Fb erhaltenen Theilpunkte 7'ß'y'.... entsprechend zu übertragen und je zwei gleich hoch liegende Punkte beider Vertikalen mit einander zu verbinden. Diese Geraden geben im Durchschnitte mit den zugehörigen Perpendikeln die zu suchenden Punkte des Grathes.

Für das Profil g gl wurde die Mauerkante g, auf welche, weil sie in der Bildebene liegt, die Theilpunkte nur horizontal nach a\, ß'l5 .... zu übertragen sind, und jene Vertikallinie 6r gewählt, welche sich als Durchschnitt der Diagonalebene ggl mit der Höhenebene Ff, ergibt, und welche durch die Theilungs-linien A₂ 7', A₂ ß'.... entsprechend getheilt wird. Die in den beiden Geraden G und gx erhaltenen Punkte geben, entsprechend mit einander verbunden, eine Reihe von horizontalen Geraden, welche die anfangs gezogenen Perpendikel in den zu suchenden Punkten /, //,.... des Grathes schneiden.

'Zur Bestimmung der Diagonalprofile bb^ ccj und ff± kann man das gleiche Verfahren anwenden. Es wird jedoch eine weitere Höhenbestimmung nicht nothwendig sein, da die bereits gefundenen Gesimskanten, welche durch die einzelnen Punkte des Grathes gegen den Augpunkt gezogen wurden, im Durchschnitte mit den in den Theilpunkten der betreffenden horizontalen Tracen errichteten Perpendikeln, die zu suchenden Eckpunkte der obbe-zeichneten Gratlie geben.

Für die noch übrigen Grathe, deren horizontale Projektionen die Geraden ddx und eéx sind, gilt dasselbe Verfahren. Es wird nämlich vorerst die Eintheilung der Horizontaltracen ddx und eex auf gleiche Art wie früher vorgenommen, jedoch ist zur Bestimmung der einzelnen Punkte keine weitere (Konstruktion erforderlich, da sich dieselben im Durchschnitte der in den Theilpunkten der Tracen ddx, ccx errichteten Vertikallinien mit den bezüglichen, durch die Eckpunkte der nächstliegenden Grathe gezogenen Gesimskanten ergeben.

Eine Contrôle für die Richtigkeit oder Genauigkeit der Arbeit kann jedoch eine unabhängige Höhenbestimmung für das eine oder das andere Diagonalprofil wünschenswerth erscheinen lassen.

Wie schon früher bemerkt, ist die eben behandelte Methode insbesondere dann mit Vortheil anzuwenden, wenn beide Mauer-llächen einen beliebigen Winkel mit einander bilden, oder wenn sie wohl senkrecht auf einander stehen, jedoch gegen die Bildfläche geneigt sind. In jedem Falle wird die Construktion in derselben Weise durchzuführen sein, wie in der behandelten Aufgabe gezeigt wurde, nur ist zu berücksichtigen, ob sich die Verschwindungs-punkte der horizontalen Projektionen der Gesimsgrathe noch auf der Zeichnungsfläche ergeben, weil dieselben sodann mit Vortheil benützt werden könnten.

Gewölbe.

Betreffs der perspektivischen Darstellung von Gewölben ist in Folge der bereits gegebenen Erläuterungen über die Darstellung und die gegenseitigen Beziehungen krummer Flächen (Abschnitt IV) nicht viel Neues mehr hinzuzufügen.

Für die Darstellung des Tonnengewölbes haben wir eine Cylinderfläche, für ein Kreuz- und Kappengewölbe zwei Cylinder nebst ihren Durchschnittslinien, wie in §. 152 durchgeführt wurde,., für ein böhmisches «Platzelgewölbe die vier Gurten, welche ‘die Pfeiler verbinden u. s. w. zu verzeichnen.

Ist an einem Gewölbe der Fugenschnitt anzugeben, so geschieht dies in der Perspektive ebenso wie in der orthogonalen Projektion. Die Fugen, welche fast durchgehends gerade Linien ■oder Kreisbogenstücke sind, werden durch die Construktion be-

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Behufs Darstellung der Pfeiler ist zu bemerken, dass dieselben zumeist einen quadratischen, mit Ansätzen A (Fig. 331) versehenen Querschnitt erhalten, welche Ansätze die Anläufe der hervortretenden, das Gewölbe begränzenden Gurten enthalten.

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Die sogenannten Schilde entstehen im Durchschnitte zweier Gewölbe. Ueber die Con-struktion der Durchdringungsfigur ist bereits in dem betreffenden Kapitel ausführlich gesprochen worden.

Als Beispiele über diesen Gegenstand wollen wir folgende Aufgaben lösen.

À u f g- a b e.

Es ist ein mit einem halbkreisförmigen Tonnengewölbe überdeckter, durch Grurten getheilter Gang darzustellen, wenn die Bildfläche senkrecht auf die Gangrichtung angenommen wird.

Man ziehe eine horizontale Gerade a d (Fig. 232), von welcher aus der Gang beginnen soll, trage darauf die Gangbreite ad, so wie die Stücke ac = cd gleich der Grösse des Vorsprungs der Gurten von a und d nach innen auf und verbinde die so erhaltenen Punkte a, b, c und d mit dem Augpunkte A.

Auf einer oder der andern dieser Geraden nehme man die Theilung derart vor, dass vorerst eine Gurtenbreite, dann ein Theil der Gangläuge, und in gleicher Ordnung weiter, perspektivisch aufgetragen wird, und verzeichne sodann die inneren Umfangslinien abfghkl.... der Seitenmauern. Errichtet man nun in den einzelnen Eckpunkten die vertikalen Mauerkanten a cq, bbv .... und zieht in der gegebenen Höhe des Anlaufes die Horizontale cq d₁, ferner aus den Punkten cq, Zq, cq, dl Gerade gegen den Augpunkt, welche den Linien ctM, bA.^.. der Bodenfläche entsprechen, so werden diese die Seitenmauern nach obenhin begränzen, wobei "selbstverständlich die Geraden cq A, dl A śo wie jene a A und dA blos in den Seitenmauerflächen, hingegen ZqM, c₁A nur in den innern Flächen der rechteckigen Vorsprünge zu ziehen sind und die Verbindung der einzelnen Linienstücke durch zur Bildfläche parallele Gerade.stattfindet. Weiters

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Durchmesser dieser Halbkreise ergehen sich sodann durch Verbindung je zweier gegenüberliegender Eckpunkte der Anlaufslinien.

Betreffend den Fugenschnitt nehme man sich die Quaderhöhe als aliquoten Theil von aax an, mache die Eintheilung auf den in der Vertikalebene a d dx cq gelegenen Gewölbequerschnitt in derselben Weise, wie in der orthogonalen Projektion, trage die Quaderlänge auf die Gerade A a zwischen je zwei Gurten entsprechend derart auf, dass man gleichzeitig die Halbirungspunkte der einzelnen Längen bestimmt und ziehe die Längenfugen des Gewölbes und der Seitenmauern durch die einzelnen auf a cq, b bl.... und auf den entsprechenden Kreisbögen erhaltenen Theil-punkte gegen den Augpunkt, die Querfugen jedoch in den Seitenmauern als vertikale Gerade, in der Gewölbsfläche als Kreisbogenstücke, deren Mittelpunkte auf gleiche Weise wie jene der Gurtenbögen sich ergeben.

Wäre das Gewölbe nicht senkrecht zur Bildfläche gelegen, so würde die Coiistruktion nur in so weit eine Abänderung erfahren, als sieli die Bilder sämmtlicher Bögen als halbe Ellipsen, resp. Ellipsenstücke darstellen würden.

Aufgabe.

Es sind zwei hinter einander gelegene gleiche Kreuzgewölbe, welche auf Pfeilern aufruhen, perspektivisch darzustellen.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass jedes dieser beiden Gewölbe über einen quadratischen Raum gespannt sei, und dass die Tonnen der Kreuzgewölbe halbkreisförmig seien. Ferner sollen die Pfeiler so gestellt werden, dass sie paarweise von der Bildfläche gleich weit abstehen.

Vorerst verzeichne man den Grundriss in der Ebene des Bodens, d. s. die Grundrisse der sechs Pfeiler (Fig. 333) und die beiden Diagonalen in den Quadraten ab cd und efg.li, welche die Perspektiven der horizontalen Projektionen der Durchschnittslinien beider Tonnen geben. Ferner errichte man in den einzelnen Eckpunkten des Grundrisses die vertikalen Pfeilerkanten, wovon jedoch blos einige und zwar jene, die nach vorne liegen, als sichtbar zu ziehen sein werden und schneide auf denselben die Pfeilerhöhe wie im vorigen Beispiele ab.

Auf diese Weise wird man die Fusspunkte der Bögen erhalten, welche den Gurten angehören. Die Mittelpunkte der zur

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Um die Bilder jener Halbkreise, welche Gurten angehören, die je zwei hintereinanderliegende Pfeiler verbinden, zu verzeichnen, ziehe man aus dem Durchschnittspunkte o der. beiden anfangs gezogenen Diagonalen die Horizontale a o als Grund-flächtrace jener Vertikalebene, in welcher die Mittelpunkte der in Rede stehenden Halbkreise liegen. Die Stücke a o und ß o geben die Längen an, in welchen die zur Bildfläche parallelen Halbmesser der durch p, beziehungsweise durch m und n gehenden Halbkreise im Bilde erscheinen.

Zieht man also durch « d;e' Vertikale a tu und trägt vom Mittelpunkte aus die Stücke «> o = o ß, o» y = o a auf, so sind die den Punkten n und p zugehörigen Halbkreise über diesen Halbmessern in der Vertikalebene a a A zu construiren.

Aehnlich verhält es sich mit dem durch m gehenden Kreisbogen. Von den so gefundenen Bildern sind blos jene Stücke sichtbar, welche bis zu den vorher bestimmten Gurten reichen.

Auf gleiche Art werden die sämmtlichen, ähnlich gelegenen Gurten bestimmt, nur ist hervorzuheben, dass man unmittelbar die Punkte der letztgefundenen Bögen bereits benützen kann, indem die gleichartigen Punkte ähnlichliegender Bögen in einer Horizontalebene enthalten sind.

Würde ausser dem bisher Durchgeführten nichts mehr angegeben werden, so würde diese Figur das Bild zweier hintereinanderliegender, böhmischer Platzelgewölbe vorstellen ; es wären sodann die den Geraden ab, b c, cd und ac entsprechenden Halbkreise nichts anders, als die Schnitte der durch a, b, ç und d gelegten Halbkugel mit den vier innern Seitenflächen oder Wandebenen. Für das Kreuzgewölbe sind jedoch noch die Ge-wölbsgrathe zu bestimmen, deren Verzeichnung bereits in §. 152 durchgeführt wurde.

Es wird hiezu grösstentheils der Grundriss benützt, und zwar werden zur Bestimmung einzelner Punkte dieser Curven Vertikalebenen E(J (Grundflächtrace), welche eine Tonne nach geraden Erzeugenden schneiden, hier also am zweckmässigsten senkrecht zur Bildfläche sind, angewendet. Eg schneidet die Diagonalen in den Punkten i, 2, 3, 4\ über welchen sich die Punkte der Schn itt-curve befinden. Der auf der Bildfläche senkrechte Cylinder wird in der Erzeugenden p A (p vertikal über 7t) geschnitten, welch’

letztere im Durchschnitte mit den eben gezogenen Perpendikeln die zu suchenden Punkte 7, 77, 777, IV gibt. Symetrisch diesen können weitere vier Punkte sehr leicht gefunden werden.

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Gleich in Vorhinein zu bestimmen werden insbesondere die Punkte M und N, als Durchschnitte der Grathe, sein, welche in den Perpendikeln über o und o‘ und in der Höhe ao über der Anlaufslinie liegen. Die Tangenten in jenen Punkten der Grathe sind horizontal und ergeben sich somit als Diagonalen des in der Ebene des Scheitels M und N parallel zu den Seitenwänden des Paumes verzeichneten Quadrates, in unserem Falle daher unter einem Winkel von -75° gegen die Bildebene geneigt.

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Aut dieselbe Weise müsste vorgega,ngen werden, wenn das Kreuzgewölbe in schiefer Stellung gegen die Bildebene zeichnen wäre, nur würden jene Kreise, die hier im Bilde wieder als Kreise erscheinen, sich dort als Ellipsen darstellen.

Säulen.

Von jeder Säule wird das Kapital, der Schaft und der Fuss zu verzeichnen sein.

Bezüglich des Säulenschaftes bleibt nur zu bemerken, dass dieser ein abgestutzter Kegel ist und dass dort, wo er Kanne-lirungen erhält, diese bestimmt werden, indem man den Basiskreis in die entsprechende Anzahl gleicher Theile theilt, durch dieselben die Erzeugenden der Kegelfläche zieht und diese Einschnitte am Boden zumeist nach dem Augenmasse, oder mit Hilfe eines an die Einschnitte tangentiell gelegten Kreises verzeichnet.

Was die beiden andern Theile der Säule anbelangt, so dürfte es in den meisten Fällen angezeigt sein, die Bilder der sich ergebenden Kanten, Ecken, Einschnitte u. dergl. zu construiren, weil sich sodann die sichtbaren Umrisse der Umdrehungsflächen zumeist sogleich oder allenfalls vermittelst eines oder des andern in der Mitte angenommenen und verzeichneten Parallelkreises leicht ergeben.

Zur Bestimmung der einzelnen Punkte der zu verzeichnenden Parallelkreise kann ein doppelter Weg eingeschlagen werden. Man kann nämlich die Perspektiven dieser Kreise auf gewöhnliche Weise bestimmen, wie dies auch in Fig. 334 geschah, welche ein einfaches Kapital, bestehend aus einer quadratischen Platte aaxbbj und einer einfachen Umdrehungsfläche cd, CjcZj darstellt.

Zur Verzeichnung desselben wird man vorerst die oberste Platte darstellen und hierauf die Perspektiven der beiden Kreise ccj, ddx bestimmen. Auch wird man nachseben, ob aus dem Auge an den Hauptmeridian eine Tangente möglich sei, welche sodann gleichfalls den sichtbaren Umriss berührt. Endlich wird man allenfalls noch einen zwischen ccj und ddx liegenden Parallelkreis verzeichnen, um den sichtbaren Umriss mit der nöthigen Sicherheit tangentiell an diese Kreise ziehen zu können.

Fig. 334.

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Behufs der Bestimmung des sichtbaren Umrisses des Säulenschaftes kann man noch irgend einen Querschnitt desselben perspektivisch verzeichnen und die den Umriss bildenden Erzeugenden tangentiell an diesen und an den Kreis ddx ziehen, oder man kann sich die Punkte des Umrisses in der Horizontsebene durch Umlegen des in dieser Ebene liegenden Querschnittes bestimmen, indem man aus dem umgelegten Auge die Tangenten an den Kreis zieht und diese bis zum Durchschnitte mit der Horizontslinie verlängert.

In Fig. 335 ist ein anderes Kapital nach derselben Methode perspektivisch dargestellt.

Das zweite Verfahren besteht darin, dass man beliebig viele Meridiane der Umdrehungsfläche perspektivisch verzeichnet. Hiezu ist es am zweckmässigsten, eine besondere Vertikalebene zur

Höllenbestimmung, so wie einen perspektivischen Grundriss anzuwenden.

Auf diese Weise wurde in Fig. 336 der attische Säulenfuss dargestellt. Für den Grundriss wurde Fb als Bildflächtrace angenommen und der Augpunkt nach Ax verschoben; ebenso sind

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Fb und A₂ die gleichnamigen Stücke für die Hölienebene, mithin JK die Trace dieser beiden Ebenen.

An Fb verzeichne man das Profil oder den Hauptmeridian, beziehe wie bei dem Gesimse (Fig. 330) die einzelnen Punkte desselben, welche man für die Verzeichnung der Meridiane als nothwendig erachtet, auf die vertikale Axe Fh der Säule und auf eine horizontale Linie aæ so, dass diese beiden Geraden in den Punkten a, b, c, d.... x und «, ß, y, ö .... x getheilt erscheinen.

Nimmt man nun die Grundflächtrace Mg irgend einer Meridianebene an und schneidet auf derselben von 0 aus die Längen æ8, ery.... perspektivisch ab, wozu der Theilungspumkt T der Trace Mg oder ein beliebig gewählter Verschwindungspunkt benützt werden kann, so liegen die zu suchenden Punkte der Me-ridiancurve vertikal über den eben gefundenen Punkten der horizontalen Trace.

Ferner verbinde man die in Fb liegenden Theilpunkte mit A₂ und verlängere diese Linien so weit, bis sie die im Durcli-

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schnitte m der Geraden JK und Mg errichtete Vertikale in den Punkten a₂, c2 • • • • treffen. Die Theilpunkte a, b, c.... übertrage man auch horizontal auf die Umdrehungsaxe nach ax, bx, cj .... Hiemit sind zwei in der Meridianebene M liegende Gerade in gleichem Verhältnisse getheilt, wesshalb die einzelnen Punkte dieser Geraden gehörig verbunden (ax mit a₂1 b₂ ....), die in a₂, ß₂, y₂ .... errichteten Perpendikel in den Punkten i, II. III.... des zu suchenden Meridians schneiden.

Nach gleichem Vorgänge können beliebig viele Meridiane bestimmt werden, nur ist zu bemerken, dass dieselben hauptsächlich dort nahe aneinander zu verzeichnen sind, wo die Krümmung der Parallelkreise im Bilde am grössten erscheint, also in der Nähe des perspektivischen Umrisses, welch’ letzterer sodann tan-gentiell an die Meridiancurven zu ziehen sein wird.

Nimmt man die Grundflächtrace a₃ 0 der Meridianebene derart an, dass sie die neue Horizontslinie noch innerhalb der Zeichnungsfläche trifft, so wird dieser Durchschnittspunkt v\ vertikal in die Horizontslinie HH nach vx heraufprojezirt, als Verschwindungspunkt der Theillinien zu benützen sein. Letzteren Punkt wird man sodann blos mit den einzelnen Theilpunkten der Axe YZ zu verbinden haben, daher diessfalls die Höhenbestimmung auf einer zweiten Vertikallinie entfällt.

Diese Methode gibt Punkte von den einzelnen, beliebig angenommenen Parallelkreisen, welche im Bilde theils als Kanten wirklich zu ziehen, theils blos für die Verzeichnung des Umrisses erforderlich sind.

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