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Biblioteka Politechniki Kr akowskiej

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THEORIE

DES

GLEICHGEWICHTES

ELASTISCHER SYSTEME

UND DEREN ANWENDUNG.

VON

A. CASTIGLIANO,

INGENIEUR DER OBERITALIENISCHEN EISENBAHNEN.

AUS DEM FRANZÖSISCHEN

VON

EMIL HAUFF,

INGENIEUR-ASSISTENT DER PRIV. ÖSTERR.-UNGAR. STAATS - EISENBAHN - GESELLSCHAFT.

MIT 50 HOLZSCHNITTEN UND EINEM ATLAS VON 10 TAFELN.

WIEN.

VERLAG VON CARL GEROLD’S SOHN.

BIBLIOTEKA POLITECUHISHtt

CTfr

VORWORT.

Vorliegendes Werk enthält die Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme, und zwar zusammengestellt nach einer neuen Methode und gegründet auf einige Lehrsätze, welche theils vollkommen neu, tlieils wenig bekannt sind.

Als Theil dieser Theorie findet man hierin die mathematische Theorie des Gleichgewichtes fester Körper vom Standpunkte der Widerstandsfähigkeit der Materien betrachtet.

Es wäre wohl an der Zeit, diese rationelle Art der Vorstellung in die Betrachtungen über den Widerstand der Materien einzuführen und somit die alte Methode zu verlassen, welche der berühmte Lamé als halb-analytisch und halb-empirisch bezeichnet hat, loelche aber nur dazu diente, den Weg zur wahren Wissenschaft zu verdecken.

Im Folgenden werden einige geschichtliche Daten über die Entdeckung der im Laufe des vorliegenden Werkes zur Anwendung kommenden Lehrsätze zusammengestellt.

Diese Lehrsätze sind die folgenden drei:

1.    von den Differentialquotienten der Arbeit, erster Theil;

2.    von den Differentialquotienten der Arbeit, zweiter Theil;

3.    von der kleinsten Arbeit.

Der erste derselben wurde schon von dem berühmten englischen Astronomen Green angewendet, aber nur bei einer speciellen Aufgabe und nicht in dieser allgemeinen Weise vorgebracht und bewiesen, wie dies im vorliegenden Werke der Fall ist.

Der zweite ist die Umkehrung des ersteren und, wie ich glaube, wurde derselbe zum ersten Male im Jahre 1873, und zwar in meiner Diplomsarbeit als Ingenieur in Turin aufgestellt und bewiesen; in der Folge habe ich demselben in meinen Memoiren, betitelt: „Nuova teoria intorno all’ equilibrio dei sistemi elastiei“, eine grössere Ausdehnung gegeben. Diese Memoiren wurden in den Schriften der Akademie der Wissenschaften zu Turin im Jahre 1875 veröffentlicht.

Der dritte Lehrsatz kann wohl als Folgerung des zweiten betrachtet werden. Wie in anderen Fragen des Maximums und Minimums, wurde derselbe, so zu sagen, schon vor der Entdeckung des eigentlichen Lehrsatzes geahnt, denn in der That hat schon im Jahre 1818 Herr Vene, Capitän der französischen Genietruppe, ein Princip aufgestellt, welches zwar ganz unrichtig in den Bedingungen, auf Grund welcher er dasselbe anwenden wollte, doch durch eine der sonderbaren Combinationen, deren die Wissenschaft einige Beispiele liefert, zur Entdeckung des Lehrsatzes der kleinsten Arbeit geführt hat.

Nach diesem ersten Schritte beschäftigten sich mehrere Gelehrte mit diesem Gegenstände; unter anderen auch die Herren A. Cournot, Pagani, Mossotti, A. Dorna und der General L. F. Ménabréa. Letzterer gab dem Lehrsätze von der kleinsten Arbeit den Namen Princip der Elasticität und machte ihn zum Gegenstände seiner Untersuchungen, und zwar zuerst in einer im Jahre 1857 der Akademie der Wissenschaften zu Turin vorgelegten Denkschrift, sodann in einer zweiten, welche er im Jahre 1858 der Akademie der Wissenschaften zu Paris vorlegte, und endlich in einer dritten, der erstgenannten Akademie im Jahre 1868 übergebenen Arbeit.

Indessen waren die Beweise, welche Herr Ménabréa gab, nicht vollgiltig, woraus folgte, dass das Princip der Elasticität von der Mehrzahl der Gelehrten nicht anerkannt wurde, und dass einige von denselben Erwiderungen veröffentlichten, um deren Irrthümer zu zeigen.

Erst im Jahre 1873 kam ich in die Lage, diesen Lehrsatz in meiner obgenannten Diplomsarbeit in einer präcisen und verständlichen Form aufzustellen, indem ich hieftir auch die ersten strengen Beweise gab; ferner zeigte ich in meiner schon oben angeführten Denkschrift vom Jahre 1875, dass der Lehrsatz von der kleinsten Arbeit nur eine Folgerung jenes vom Differentialquotienten der Arbeit (zweiter Theil) ist.

Ich bin daher wohl in der Lage versichern zu können, dass das vorliegende Werk, welches die vollständige Theorie der elastischen Systeme enthält, von welcher die mathematische Theorie der Elasticität fester Körper nur ein Capitel bildet, sich vollkommen auf die Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit stützt.

Nachdem es mein Ziel ist, nicht nur eine Theorie aufzustellen, sondern auch dahin zu wirken, dass deren Vortheile: „die Kürze und Einfachheit“, in der praktischen Anwendung geschätzt werden, habe ich ausser der Mehrzahl der allgemeinen Probleme Uber den Widerstand der Materien, welche in den Schulen behandelt werden, auch noch mehrere ziffermässige Beispiele Uber die Berechnung der wichtigsten elastischen Systeme nach dieser neuen Methode aufgelöst. Jedes dieser Beispiele gibt, so zu sagen, die auf eines dieser Systeme besonders angewendete Theorie ; und um vorliegendem Werke eine allgemeine praktische Bedeutung zu geben, wurde jedes Beispiel in jene Form gekleidet, welche man einem Projecte zu Grunde legt, um hiernach die Dimensionen der hauptsächlichen Constructionsbestandtheile zu rechtfertigen.

Meinen Intentionen folgend, diese Beispiele als Muster für ähnliche Berechnungen gelten zu lassen, habe ich immer mehrere Fälle der Belastung behandelt und zugleich über den Einfluss der Temperatur Aufschluss gegeben ; das heisst, es wurden für jede Annahme der Belastung die bei den verschiedenen Temperaturen zur Geltung kommenden elastischen Kräfte bestimmt.

Bei Berücksichtigung’ dieser Umstände und hei Befolgung der neuen Methode der Berechnung, welche die Lösung aller Fragen über das Gleichgewicht elastischer Systeme gestattet, ohne irgend eine Hypothese zu machen, erreicht man den Vortheil, einen viel grösseren Festigkeits-coëfficienten annehmen zu können ; denn eine der Ursachen, welche uns oft zwingen, kleine Werthe für diesen Coëfficienten zu wählen, ist die Unvollständigkeit der Principien, auf Grund welcher man die elastischen Kräfte in Anschlag bringt; eine andere Ursache ist ferner die, dass man sich nicht Rechenschaft geben kann über alle Umstände, welche diese Kräfte vermehren können.

Was die Berechnungen betrifft, so wird bemerkt, dass dieselben nicht länger sind als bei Anwendung der gewöhnlichen Methoden, und dass man dieselben übrigens fast immer bedeutend abkürzen kann, indem man solche Rechnungsglieder vernachlässigt, welche das Resultat wenig beeinflussen.

Dieses Vorwort schliesse ich mit dem Ausdrucke meines besten Dankes an Herrn Louis Réeb (Chef de section principal au Matériel fixe des chemins de fer de la Haute-Italie), welcher sich der Mühe einer Revision der Beispiele unterzogen hat.

A. Castigliano.

Vorwort

INHALT.

Erster Theil. — Theorie,

Seite

1.    Capitel. Gegliederte Systeme.....................

2.    Capitel. Gefügte Systeme.......................

3.    Capitel. Allgemeine Gleichungen des Elasticitätsgleichgewichtes fester

Körper..........................

4.    Capitel. Annäherungsweise Anwendungen...............

5.    Capitel. Theorie der Gitterträger...................

6.    Capitel. Formeln fiir die Deformationsarbeit fester Körper........

7.    Capitel. Theorie belasteter Träger mit geradliniger Achse........

S. Capitel. Theorie der auf Zerknicken beanspruchten Träger mit geradliniger Achse.......................

9. Capitel. Theorie krummer Balken mit einfacher Krümmung.......

10.    Capitel. Theorie zusammengesetzter Systeme..............

11.    Capitel. Unvollkommen elastische Systeme,, wie gemauerte Gewölbe . . . 313

38

48

135

170

186

199

246

261

286

Zweiter Theil. — Anwendung.

Seite

1.    Capitel. Ein durch zwei Zugstangen aus Schmiedeisen und einer

Druckstrebe aus Gusseisen armirter Balken.....

2.    Capitel. Ein durch drei Zugstangen aus Schmiedeisen und zwei

Druckstreben aus Gusseisen armirter Balken.....

3.    Capitel. Ein durch drei Zugstangen aus Schmiedeisen und zwei

Druckstreben aus Gusseisen armirter Balken.....330

4.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren ohne Zug

stangen ......................

5.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit je

einer Zugstange..................

Tafel

316

323

337 II

354 III

Seite

6.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren nach Type

Polonceau.....................

7.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit meh

reren Zugstangen.................

8.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit meh

reren Zugstangen.................

9.    Capitel. Eine Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit mehreren Zugstangen.................

Eine eiserne Bogenbrücke mit ebenen Auflagflächen . . 419 Eine eiserne Bogenbrücke mit cylindrischen Auflagflächen 434 Die Brücke aus Ziegelmauerwerk, welche für die Eisenbahnlinie von Mailand nach Venedig über den Oglio

construirt wurde..................

13. Capitel. Die Brücke aus Hausteinen, welche von dem Ingenieur

Charles Mosca über die Doire bei Turin construirt wurde 459

Tafel

10.    Capitel.

11.    Capitel.

12.    Capitel.

Berichtigungen.

364

379

391

399

447

IV

VI

VII

VIII

VIII

IX

Seite 372, 10. Zeile von unten »    374, 4.    „

JR'

statt

B’

„    426, 13.    „

„ oben

Tafel VII, Figur 5

statt cTj

THEORIE

DES GLEICHGEWICHTES ELAST1SCHEE SYSTEME

UND DEREN ANWENDUNG.

<x>-

Erster The il. — Theorie.

1. Capitel.

Gegliederte Systeme.

1.    Definition. — Wir nennen dasjenige System, welches keine andere Deformation erleiden kann, als seiner Elasticität entspricht, ein System von unveränderlicher Form.

2.    El’fahrungssatz. — Ein homogener gerader Stab oder Balken von constantem Querschnitte, welcher in der Richtung seiner Achse gezogen oder gedrückt wird, verlängert oder verkürzt sich proportionaf der Kraft, welcher er unterworfen ist.

Bei Stäben von^gleichem Materiale, aber von verschiedenem Querschnitten und verschiedenen_ Längen sind die Verlängerungen oder Verkürzungen direct proportional den Kräften und den Längen der Stäbe und verkehrt proportional^ den Flächen der Querschnitte.

Wenn man also T die Spannung eines homogenen Stahes nennt, l seine Länge, Q die Fläche des Querschnittes, l seine Verlängerung und endlich E einen Zahlencoefficienten, welcher nur von dem Materiale des Stabes ab-

hängig ist, so kann man yj l

Tl

EQ

(1)

setzen, woraus folgt, dass

r-

~zr

setzt man nun abgekürzt

EQ

(2)'

T = 8 l.

so ergibt obige Formel

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

3. Deformationsarbeit eines in der Richtung seiner Achse gezogenen oder gedrückten Stabes. — Wenn sich ein Stab durch die Wirkung einer in der Richtung seiner Achse thätigen und in unendlich , kleinen Abstufungen von Null bis T wachsenden Kraft von seiner ursprünglichen Länge l bis zur Länge l -j- A ausdehnt oder auf die Länge l — l verkürzt, so wird die Arbeit dieser Kraft T, welche gleich ist mit der Deformationsarbeit des Stabes, ausgedrückt durch

'•X

(4)

l dl —

sW _ 1 T 2

Wenn man aber statt einer in unendlich kleinen Abstufungen von Null bis 7⁷ wachsenden Kraft sogleich eine dem Endwerthe T gleiche Kraft auf den Stab ein wirken lässt, so wird die Verlängerung des Stabes

grösser sein als —; denn nennt man die Verlängerung, welche diesfalls £

stattfindet, Ï, so ist offenbar die Deformationsarbeit des Stabes gleich s V²

während die Arbeit der Kraft TI' ist; nachdem diese zwei Arbeiten einander gleich sein müssen, erhält man die Gleichung

TÏ

s t 2

2T

woraus hervorgeht, dass

Die Kraft T bewirkt also eine doppelt so grosse Verlängerung als diejenige ist, welche durch eine in unendlich kleinen Abstufungen von Null bis zum Endwerthe wachsende Kraft hervorgerufen wird, d. i. doppelt so gross als diejenige, welche von dieser Kraft constant erhalten werden kann. Hieraus folgt, dass nach der Verlängerung der Stab sich bis zur ursprünglichen Länge verkürzt, um sodann in der Längsrichtung zu vibriren, wobei die Amplitüde des Angriffspunktes der Kraft gleich T ist.

4. Bemerkungen über gegliederte Systeme. — Man nennt gegliederte Systeme diejenigen, welche aus Stäben zusammengesetzt sind, deren äusserste Enden mittelst Charnieren verbunden sind, und bei welchen jeder Stab nur an seinen zwei Enden befestigt ist, so zwar, dass er sich um eines derselben unbehindert drehen könnte, wenn das andere Ende frei wäre.

Diese Systeme haben die Eigenschaft; dass die Stäbe, aus welchen sie zusammengesetzt sind; nur solchen Kräften unterworfen sind, deren Richtung mit ihrer Achse zusammenfallt, und dass somit die Biegungsmomente in den Knotenpunkten Null sind.

Denkt man sich nun im Raume eine Anzahl von n Punkten F,, F₂, Fn, so kann man dieselben mittelst Stäben derart verbinden, dass ein gegliedertes System von unveränderlicher Form entsteht. Wählt man drei Punkte, z. B. V1} F₂, F₃, und verbindet dieselben durch drei Stäbe, so ergibt sich ein Dreieck; verbindet man sodann einen anderen Punkt V₄, welcher nicht in der Ebene der drei anderen gelegen ist, durch drei Stäbe mit jenen, so hat man mit sechs Stäben ein gegliedertes System mit vier Ecken gebildet, welches eine unveränderliche Form hat. Verbindet man ferner noch einen Punkt V₅ durch drei Stäbe mit drei der vier ersten Punkte, in deren Ebene sich derselbe nicht befinden darf, so ergibt dies ein System von unveränderlicher Form, welches fünf Ecken hat und aus neun Stäben zusammengesetzt ist. Fährt man in dieser

Weise fort, d. h. verbindet man jeden der folgenden Punkte F₆, F₇,.....

Fn mit drei der vorangegangenen, in deren Ebene der betreffende Punkt nicht gelegen ist, so gelangt man hiedurch zu einem gegliederten System von unveränderlicher Form, dessen Eckenzahl n und dessen Stäbezahl 3 n — 6 beträgt.

Man sieht aus Obigem, dass es nicht möglich ist, ein System von unveränderlicher Form mit einer geringeren Anzahl von Stäben zu bilden ; aber mit dieser Anzahl lassen sich im Allgemeinen mehrere Varianten machen. Um die grösste Anzahl der Stäbe zu finden, welche man anwenden kann, um ein gegliedertes System von n Ecken zu bilden, ist zu beachten, dass vorerst die zwei Punkte Ft und F₂ untereinander verbunden werden müssen, sodann der Punkt F₃ mit diesen zwei, der Punkt V₄ mit allen drei und so fort, indem man successive jeden der anderen Punkte mit allen vorangehenden verbindet. Die Gesammtzahl der Stäbe ist somit

n (n — 1)

1+2+3+4+

Gewöhnlich sind gegliederte Systeme mit mehr als 3 n — 6 Stäben zu betrachten; von diesen Stäben wählt man sodann 3n — 6, welche

derart gelegen sind, dass sie ein System von unveränderlicher Form geben, selbst dann noch, wenn die anderen Stäbe nicht vorhanden wären; diese nennt man Hauptstäbe, alle anderen aber heissen Hebenstäbe.

Im Allgemeinen gibt es nicht nur ein System von Hauptstäben, d, h. man kann unter den Stäben eines Systems in mehrfacher Weise die Anzahl von 3 n — 6 Stäben wählen, welche die Eigenschaft haben, ein System von unveränderlicher Form zu geben. Es werden auch dementsprechend unsere Betrachtungen auf alle diese verschiedenen Arten zur Anwendung gebracht werden.

n (n— 1)

Es ist zu bemerken, dass die beiden Ausdrücke 3 n — ß und

für die Wertke n — 3 und n = 4 einander gleich werden, d. h. die gegliederten Systeme mit drei oder vier Ecken können keine grössere Zahl von Stäben haben, als unbedingt nothwendig ist, um eine unveränderliche Form zu bilden. Für eine grössere Anzahl von Ecken überschreitet

immer diejenige von 3 n — 6.

die Zahl

n (n — 1)

Aus der Art der Zusammensetzung eines Systems von unveränderlicher Form mit n Ecken und 3 n — 6 Stäben folgt, dass in einem solchen System nur dann Spannungen eintreten, wenn äussere Kräfte darauf einwirken. Wird angenommen, dass keine äussere Kraft auf das System wirkt, dass aber andere Stäbe eingeführt wurden, so ist es klar, dass in dem aus mehr als 3 n — 6 Stäben zusammengesetzten System —■ vor Einwirkung einer äusseren Kraft — keine Spannung vorhanden sein kann, sobald die Längen dieser Stäbe genau gleich sind den Entfernungen derjenigen Ecken, welche sie verbinden sollen; haben aber die neuerdings hinzugekommenen Stäbe nicht genau jene Längen, welche den Entfernungen der zu verbindenden Ecken gleich sind, so erkennt man wohl, dass es nothwendig sein wird, dieselben zu verlängern oder zu verkürzen, um sie in das System einführen zu können, oder andererseits diejenigen Ecken, welche verbunden werden sollen, einander zu nähern oder von einander zu entfernen, was nicht stattfinden kann, ohne Spannungen oder Pressungen hervorzurufen, und es werden somit in einem solchen System die Stäbe gezogen oder gedrückt, noch bevor äussere Kräfte darauf einwirken.

gegliedertes System mit n Ecken Vx, V₂, F₃, jede derselben eine Kraft ein wirken.

5. Deformation gegliederter Systeme. — Wir denken tins ein

Fn und lassen auf

Nachdem die Spannungen der Stäbe und in Folge dessen auch die relativen Verrückungen der Ecken von den Verlängerungen der Stäbe abhängen, so beziehen wir das System auf drei mobile Achsen, indem wir als Anfangspunkt derselben die Ecke F, annehmen/ als cc-Achse die Strecke F, F₂ und als xy-Ebene die Ebene der drei Punkte Fu V₂, F₃, welche nicht in einer geraden Linie liegen dürfen. Sind Fp und Fq zwei beliebige Punkte, welche durch einen Stab verbunden sind, so können wir xp, yp, zp; xq, yq} zq deren Coordinaten vor der Deformation nennen, lpq die Länge des Verbindungsstabes, apq, ßpq, ypq die Winkel dieses Stabes mit den Achsen.

Nach der Deformation werden die Coordinaten des Punktes Fp folgende sein: x'p = xp -j- y'p — yPß- riP, z'p= zp-\-lp-, die Länge des Stabes Fp Fq: l'pq= lpq -j- lpqi die Winkel, welche dieser Stab mit der Achse einschliesst: a'pq, ß’pq, y'pq und endlich Tpq seine Spannung. Zufolge dem in Nummer 2 Gesagten erhalten wir

-^pq - ^pq h

wobei £pq eine constante Grösse ist.

Es ist ferner

Fq = V(xq — xpy + {yq — ypy + (zq — zpy,

Fq H ^pq if (^"PCj ^p Cp)^ F" C^/q i 2/p ^pP ~P dq ~P Cq 4> CpP j

letztere Formel lässt sich auch in folgender Form schreiben:

Fq "P F>q-

1 / f Ppq + 2 [xq — xp) (|q — £p) + 2 (yq V 2 (zq — 2P) (£q — Lp) -f- (£q — £p)² + (yq — rJp)² -f- (Lq — Lp)²}

— 2/p) (V* —Vv)

Wenn die Deformation des Systems sehr klein ist, wie wir dies auch für die Folge immer voraussetzen, so sind auch die Differenzen !q — èp? rjq — Tjp, Lq — Lp im Verhältnisse zu den anderen xq— xp, yq — yp, zq— zp sehr klein und kann obige Wurzelgrösse in einer convergenten Keihe entwickelt werden, und zwar wie folgt:

wobei 0pq die Summe jener Glieder der Reihe darstellt, welche höhere Grade der Grössen —£p, rjq—rJP, |q—|p enthalten. Hieraus ergibt sich, dass

Q

das Verhältnis als Grenze den Werth Null hat, indem diese Differenzen

^pq

sich auch der Null nähern.

Da    ^

cos«pq,

V‘i    y p

^pq

COS/?pq,

z« — zp

K<i

= COS/pq, (⁵)

so lässt sich obige Formel auch folgendermassen schreiben:

^pq- (lq lp) COS C(pq | (j]ą ?/p) COS^Jpq | ('-q wpj COSypq | 0pq,

setzt man der Kürze halber

(lq — lP) coscfpq -f- (rjq — rlv) cos/ipq+ (|q — |p) cos/pq = Ï

K<1 — ^ pq + Öpq .

Die Cosinus der Winkel, welche der Stab Fp Vq nach der Deformation mit den Achsen bildet, sind:

so hat man

COSß'pq

®q + lq — »p — lp

^pq H⁻ ^pq

pq?

COS/?'pq

V p V'i ~k 0q    yv    0p

^pq "f ^pq

cosy'pq =

«pq

Fq — s'p

gq ~i~ lq-^p — lp

^pq “t⁻ ^pq

^'pq

Diese Ausdrücke lassen sich in convergenten Reihen nach den Grössen |q — |p, rj,t—7^p, |q—|p entwickeln und erhält man sodann

cos«pq

£Cq t"Cp

^pq

I⁻ O^pq - COSCfpq I    10pq ,

cos/?'pq

2/q— yP

pq

Wpq — cos ßpq -j- CO

pq?

(6)

COS/pq

~r oj pq — cos yp(, -j~ io

io pq Ausdrücke von gleichem Grade wie die Differenzen lq—lp, %— %, |q—|p vorstellen und welche sich daher mit diesen der Null nähern.

0. Gleieligewicktsgleielmngen gegliederter Systeme. — Da

nach der Deformation das System sich im Gleichgewicht befindet, so ist

worin

Wpq?

(0

pq?

Gq

pq?

es klar, dass die Spannungen in allen Stäben, welche in irgend einer Ecke Zusammenkommen, gleich sein müssen der in dieser Ecke wirkenden äusseren Kraft.

Wenn man Ap, Fp, Zv die zu den Achsen parallelen Componenten der in der Ecke Vp wirkenden äusseren Kraft nennt, so hat man für den Gleichgewichtszustand folgende Gleichungen :

Ap 4- X, 7pq cos« pq — 0,

Fp -f- 2 Fpq COS/?'pq = 0,

Zp + 2 Fpq cos y ,pq = 0.

Nachdem man aber in vorhergehender Nummer gesehen hat, dass

tC q X p

(7)

COS«'pq =

7'

¹ pq

COS/?'pq — V q r V p.

COS/'pq —

so lassen sich obige Gleichungen wie folgt schreiben :

X q X p _ q

Ap 2 Tpq

^pq

Fp+^Fpq^

Ap + 2 7pq

z' _ z' à q z V

= <>,>

(8)

0.

L,

Wenn man die zweite dieser Gleichungen mit z\ multiplicirt und sie sodann von der mit y\ multiplicirten dritten Gleichung abzieht, so erhält man die erste der nachfolgenden Gleichungen; die beiden anderen lassen sich in ähnlicher Weise ableiten.

Ap y 'v — Fp z -f- 2 FPq —

r

h pq

x\ z p — aî'p z q

= o.

Ap x'v — Ap y'v -f- 2 rpq

^pq

³² p y' g— x\y\

0,

= 0.

Man hat somit für jede Ecke zwei Gruppen von Gleichungen analog

den Gleichungen (8) und (9). Wenn man alle jene Gleichungen vereinigt; welche sich aus diesen sechs Gleichungen ableiten lassen; indem man

P — 1; p = 2; p = 3 genden Gleichungen; welche von den Spannungen in den Stäben unab

p — n macht; so erhält man die sechs fol-

hängig sind:

2XP = 0, X YP = 0, 2ZV = 0,

-    (^p2/'p— Yp z'p) =

(10)

2 (Xp z’p — Zp xv) — 0;

-    (YPX'p— XvVv) = ⁰-

Man erkennt leicht; dass diese sechs Gleichungen die sechs Cha-rakteristikons der starren Systeme sind; woraus folgt; dass ein System, welches nach der Deformation als starr betrachtet wird, unter der Einwirkung der äusseren Kräfte im Gleichgewicht ist.

Nachdem man für jeden Punkt eines Systems drei Gleichungen hat, welche analog jenen unter (8) sind, so sieht man wohl, dass für das ganze System zwischen den Spannungen in den Stäben 3 n Gleichungen vorhanden sind. Verbindet man dieselben untereinander, so kann man hiedurch die sechs Gleichungen (10) erhalten, welche von den Spannungen unabhängig sind, woraus folgt, dass die für die Bestimmung dieser Spannungen nützlichen Gleichungen sich auf 3 n — 6 reduciren.

Indessen darf man nicht glauben, dass die sechs Gleichungen (10) an die Stelle von irgend welchen sechs Gleichungen analog denen unter (8) gesetzt werden können, denn thatsächlich sind diese letzteren derartig, dass, wenn alle Spannungen der Stäbe gegeben wären, sie alle äusseren Kräfte zur Kenntniss bringen würden. Wenn man hingegen nur 3 n — 6 der Gleichungen unter (8) nimmt, so bestimmen dieselben nur 3 n — 6 der äusseren Kräfte in Functionen der Spannungen in den Stäben, und es müssten daher die sechs Gleichungen unter (10) die sechs unbekannt gebliebenen äusseren Kräfte bestimmen lassen.

Es lässt sich aber leicht erkennen, dass diese Gleichungen ein Besultat

von der Form geben, wenn man sich derselben bedienen wollte, um die

sechs auf nur zwei Eckpunkte wirkenden Kräfte zu bestimmen; man kann daher mit Bezug auf nur zwei Eckpunkte die Gleichungen (10) nicht für zwei Gruppen von Gleichungen analog jenen unter (8) substituiren.

Nimmt man hingegen zur Vereinfachung als Anfangspunkte der Coordinaten den Eckpunkt und lässt man die x -Achse durch den Eckpunkt F₂ gehen, sowie die x «/-Ebene durch den Eckpunkt F,, so sieht man, dass die sechs Gleichungen (10) genügen, um die drei Kräfte Xlf Ê,, Zx, welche auf den ersten dieser Eckpunkte wirken, die zwei auf den zweiten Punkt wirkenden Kräfte F₂, Z₂, sowie die auf den dritten wirkende Kraft Z₃ zu bestimmen; diese Gleichungen können daher für drei Gleichgewichtsgleichungen des Punktes Vi, für zwei Gleichungen des Punktes F₂, welche die zur x-Achse und 2-Achse parallelen Compo-nenten enthalten, und endlich für jene Gleichung des Punktes F₃, welche die zur «-Achse parallelen Componenten enthält, substituirt werden. Demzufolge werden wir künftighin diese sechs letzten Gleichungen nicht mehr schreiben.

Es ist nun zu beachten, dass die restlichen 3 n — 6 Gleichungen zwischen den Spannungen in den Stäben und den äusseren Kräften genau diejenigen sind, welche man erhält, sobald der Eckpunkt Vl fix ist, der Punkt F₂ sich nur in der x -Achse bewegen kann, und der Punkt F3 gezwungen ist, in der a? «/-Ebene zu verbleiben.

Durch diese Annahme verhindert man wohl die allgemeinen Bewegungen des Systems, die relativen Bewegungen können indess vollkommen frei stattfinden. In diesem Falle können sodann die Gleichungen (10) noch zur Bestimmung der Kräfte Xlf Y1; Zt ; F₂, Z₂; Z3; welche die Réaction der Unterlage ausdrücken, dienen.

7. Vereinfachung der Gleichungen (7). — Die 3 m — 6 Gleichungen (7) enthalten die Endspaunungen der Stäbe und die Winkel, welche dieselben nach der Deformation mit den Achsen einschliessen.

Aus Nummer 5 ist zu ersehen, dass

^pq £pq ^pq - £pq (^ pq "f* Öpq )

und

pq;

cos a pq — cos ßpq -f- (0 wobei A'pq bezüglich der Verrückung der beiden Punkte Fp und Fq eine Function ersten Grades ist und durch die Formel

^ pq (^q    p>) COS C£pq T (?/q    ?/p) COS /?pq —(— (Çq p>) COS y

gegeben ist; die Grösse 6pq enthält nur höhere Grade der Werthe von £q— £ , rJq — rJP, Lq — Lp, während die Grösse 10m sowohl aus Werthen ersten Grades, als auch aus Werthen höheren Grades dieser Differenzen zusammengesetzt ist.

Nachdem dieselben als kleine Werthe ersten Grades betrachtet werden können, so sieht man, dass /Tpq und wpq ebenfalls kleine Werthe desselben Grades sind, während 0pq ein kleiner Werth des zweiten Grades ist.

Wenn man nun das Product Tm cos«'pq bildet, welches in den Gleichungen (7) vorkommt, so erhält man

Tpą cos a pq = £pq (2 pq -f“ Qpq) (cos crpq -f- wpq)

= £pq (/l'pq COSßpq + /t'pq (Opq + 6pq COS CCpq + 9pq Wpq) J

der erste in der Parenthese enthaltene Ausdruck l'pq cosapq ist eine kleine Grösse ersten Grades; die zwei anderen l'pq wpq und 6pqcosapq sind kleine Grössen des zweiten Grades und der letzte Ausdruck 0pq copq ist eine kleine Grösse dritten Grades; wenn wir also den annäherungsweisen Werth auf die Grössen ersten Grades beschränken, wie dies bisher stets gethan wurde und wie dies übrigens in den Fragen über elastische Systeme immer genügend ist, so können wir die drei letzten Ausdrücke in der Parenthese vernachlässigen und erhalten sodann

7^}q COS ß pq £pq À pq COSć£pq ,

wenn man Tpq die Endspannung im Stabe Vp Vq nennt, welche man erhält, indem man im Vergleich zu der Grösse ersten Grades lm die Grösse zweiten Grades 0pq vernachlässigt, d. h. wenn man

Tpą £pq pq

macht, so ergibt sich Tpq cosa'pq= Tpq cosapq.

Man sieht daher, dass bei dem annäherungsweisen Verfahren, welches wir im Auge haben, die Gleichungen (7) in folgender Weise geschrieben werden können:

Ap -j- 2 Tpq COSOTpq = 0, ■

(11)

Yp + ^ Tpq cos/?pq == 0, >

Zp + 2 Tm cos ypq = 0.

Obzwar diese Gleichungen genau dieselbe Form haben wie die Gleichungen (7), so sieht man doch, dass sie viel einfacher sind, denn sie enthalten die Winkel, welche die Stäbe vor der Deformation mit den

Achsen einschliessen, statt jener, welche sie nach der Deformation mit den Achsen bilden; hiebei ist auch wohl darauf zu achten, dass in diesen Formeln nicht die genauen Spannungen T'm enthalten sind, sondern die angenäherten Spannungen Tw welche lineare Functionen der Verrückungen 7/p, Cp sind.

In Folge dieser Betrachtung werden wir künftighin stets die Gleichungen (11) an wenden.

8. Bestimmung der Spannungen in den Stäben. — Die 3?i — 6

Gleichungen (11) zwischen den Spannungen in den Stäben und den äusseren Kräften können zur Bestimmung dieser Spannungen dienen, wie gross auch deren Anzahl sei.

Betrachten wir nun zwei Fälle:

1.    Die Zahl der Stäbe sei genau auf 3 n — 6 beschränkt, d. i. auf die kleinstmöglicke Anzahl, um noch ein System von unveränderlicher Form zu bilden. Zerschneidet man in diesem Falle einen der Stäbe, so wird das System aufhören, eines von unveränderlicher Form zu sein, und es wird irgend eine Bewegung sich geltend machen. Um diese Bewegung zu verhindern, muss man in dem zerschnittenen Stabe eine Kraft anbringen, welche durch die gewöhnlichen Gesetze der Statik bestimmt werden kann, und welche gleich ist jener Spannung, welcher der Stab vor der Trennung unterworfen war. Man sieht also, dass, wenn ein gegliedertes System von unveränderlicher Form nur aus 3 n — 6 Stäben zusammengesetzt ist, die Spannungen in den Stäben mit Hilfe der gewöhnlichen Gesetze der Statik fester Körper bestimmt werden können. Dies folgt auch aus der analytischen Auflösung, denn man hat 3 n — 6 Gleichungen, analog denen unter (11), zwischen 3 n — 6 unbekannten Spannungen.

2.    Nun nehmen wir an, dass die Anzahl der Stäbe grösser sei als 3 n — 6. In diesem Falle kann man einige von den Stäben des Systems auslassen, ohne dass dasselbe aufhört, eines von unveränderlicher Form zu sein. Es ist aber nicht mehr möglich, die Spannungen in den Stäben mit den gewöhnlichen Gesetzen des Gleichgewichtes fester Körper zu bestimmen; trägt man indess der Elasticität Bechnung, so sieht man, dass alle diese Spannungen bestimmt werden können, denn wenn das System sich deformirt, so müssen sich alle Stäbe verlängern oder verkürzen, und es ist schon bekannt, dass die Verlängerungen oder Verkürzungen die Spannung oder Compression jedes Stabes bestimmen.

Wir wollen nun sehen, in welcher Weise man Vorgehen kann, um die unbekannten Spannungen zu bestimmen.

Wenn man den Punkt Vy als Anfangspunkt der Coordinaten wählt, die x-Achse durch den Punkt V₂ gehen lässt und die x y-Ebene durch den Punkt Fg, so erhält man nachfolgend die 3 n — 6 Gleichungen, welche das Elasticitätsgleickgewicht des Systems unter der Voraussetzung aus-drücken, dass den sechs Charakteristikons des allgemeinen Gleichgewichtes des als fest betrachteten Systems schon Genüge getlian sei.

A~2 -f- 2 T2q cos a2q — 0,

Ag -f- 2 TZq cos «3q = 0, r₃ -f 2 TZq cos/?3q = 0,

A₄ + ^ ^4qCOSß4q = 0, Yi-\- 2 F4qcos/?4q = 0, Zi-\-2 V4qcosy4q= 0, (12)

Ap-j-^ Fpq COSßpq = 0, I p + 2 Im COS/?pq = 0, Zp -f- 2 Tpq COS/pq = 0,

|p, rn>, Çp die Verrückungen der Punkte F₄

Vp

Nennt man |₂ die Verrückung des Punktes V₂ nach der x-Achse; £₃, % die Verrückungen des Punktes F₃ parallel zur x- und zur y-Achse; Vx> A

parallel zu den drei Achsen : so ergeben sich folgende Gleichungen, um die Spannungen aller Stäbe auszudrücken:

Alq— £lq [£q COS C£[ q j Tjq COS/?lq+ £q COS/|q],

Vjq S₂q [(ÿq    ^9) COSflfjq "j~ ^q COS/?₂q I p COSj^₂q];

>(13)

^3q £3q j_(§q    ^₃) COSß3q-f" (j]q %) ^nS/?3q-j— £q COS^gqJ,

•fpq - £pq [(Vq £p) COS CJpq "f” (jjq p) COS/?pq -f- (Cq Cpj COSj'pq],

Man sieht also, dass, wenn die Sn — 6 Verrückungen

£4,

tr:

bekannt sind, man die Spannungen in allen Stäben erhalten kann.

Wenn man nun in den Gleichungen (12) für die Spannungen deren Ausdrücke (13) setzt, so hat man als Unbekannte nur die 3 n — 6 Verrückungen der Eckpunkte, d. h. eine Anzahl von Unbekannten, welche der Anzahl der Gleichungen vollkommen entspricht.

Nachdem dieselben ersten Grades sind, bietet deren Auflösung keine Schwierigkeiten.

Hat man die 3 n — 6 Verrückungen erhalten, so setzt man deren Werthe in die Gleichungen (13) ein und erhält sodann die Spannungen aller Stäbe des Systems.

9. Betrachtungen über vollkommen starre Systeme. — Die

einsetzt. Folglich sind auch die

Werthe der Verrückungen, welche man durch die Auflösung der obigen Gleichungen erhält, können in der Form von Brüchen zweier Determinanten von der 3« — 6ten Ordnung geschrieben werden. Die Determinante, welche den Nenner bildet, ist für alle Verrückungen dieselbe und jedes ihrer Elemente enthält einen der Coëfficienten e als Factor, so dass sie eine homogene Function des 3 n — 6ten Grades bezüglich dieser Coëfficienten ist. Die Determinanten, welche den Zähler bilden, lassen sich alle von jener des Nenners ableiten, indem man in den Elementen einer Keihe die bekannten Glieder der Gleichungen (12), d. h. die Kräfte *25 *3, F₃;

Nenner Determinanten der 3n — 6ten Ordnung; bezüglich der Coëfficienten s sind es aber homogene Functionen des 3 n—7ten Grades.

Wenn man also in die Gleichungen (13) die Ausdrücke für die Verrückungen einsetzt, so erkennt man, dass jeder Nenner durch eine der Grössen s multiplicirt wird, und dass derselbe in Folge dessen eine homogene Function des 3 n — 6ten Grades dieser Grössen wird. Jede der Spannungen wird somit durch das Verhältniss zweier homogenen Functionen, welche bezüglich der Coëfficienten s vom 3 n— 6ten Grade sind, ausgedrückt und sind folglich nicht von dem absoluten Werthe dieser Coëfficienten, sondern von dem gegenseitigen Verhältnisse derselben abhängig.

Es folgt daraus, dass, wenn man z. B. alle Querschnitte der Stäbe in demselben Verhältnisse vergrössert, was nichts in dem Verhältnisse der Coëfficienten s ändert, die Spannungen in den Stäben des Systems vollkommen dieselben bleiben.

Man kann sieli leicht über diese Eigenschaft Rechenschaft geben, wenn man bedenkt, dass, sobald alle Coëfficienten e in demselben Verhältnisse vergrössert werden, sich auch die Verlängerungen und Verkürzungen der Stäbe im gleichen Verhältnisse verringern, und dass daher die Beziehungen zwischen diesen Verlängerungen oder diesen Verkürzungen nicht geändert werden.

In den vollkommen starren Systemen aber, bei welchen es keine Verlängerungen oder Verkürzungen der Stäbe gibt, kann es zwischen diesen Werthen keine bestimmte Beziehung geben und somit auch nicht zwischen den Coëfficienten e, woraus folgt, dass die Spannungen in den Stäben nicht bestimmt werden können.

Auf Grund dieser Betrachtungen kann man auch den Irrthum erkennen, in welchen die Herren Vene, Gournot und andere Gelehrte verfallen waren; dieselben erachteten es nämlich für möglich, die Spannungen in den vollkommen starren Systemen zu bestimmen, indem sie dieselben als Grenzen der elastischen Systeme ansahen, bei welchen sich die Elasti-cität in unbestimmter Weise vermindert hat. Selbst wenn man diese Idee als richtig annimmt, folgt doch nicht daraus, dass in den starren Systemen die Spannungen bestimmt werden können, denn hiezu ist noth-wendig, dass, wenn sich die Elasticität der Stäbe unbestimmt vermindert, d. h. wenn die Coëfficienten s unbestimmt wachsen, die Beziehungen zwischen diesen Coëfficienten als Grenzen endliche und bestimmte Werthe haben müssten, was eben nicht der Fall ist.

Uebrigens hat die Bestimmung der Spannungen in vollkommen starren Systemen gar keine Bedeutung, denn solche Systeme existiren in der Natur nicht.

Man muss wohl beachten, dass obiger Beweis nur auf Systeme, welche n Ecken und mehr als 3 n — 6 Stäbe haben, anzuwenden ist, denn bei solchen, welche nur 3 n — 6 Stäbe haben, kann die Bestimmung der Spannungen, wie wir es schon früher gesehen haben, einfach durch die gewöhnlichen Gesetze der Statik fester Körper geschehen.

10. Ausdruck für die Deformationsarbeit in einer Function der äusseren Kräfte. — Im Vorhergehenden wurde die Gleichung T

1 v

«i 9-x2 + «2 3v2 + «3 3z2 + hi (2 3v 3z + V-2) + h (2 3Z 3X H- <7zx2) + ^3 (2 3X 3y + </iy2) + 2 q (3X </vz + f/zx ^xy)

liebigen Kräften unterworfenen festen Körpers.

u = cf [y ± ]/y2z *)

3 B4i

jEa, + 4A + 9V + !/V = 0,

8. Kleinheit der Deformationsarbeit, welche den Tangentialkräften entspricht, sobald keine Torsion vorhanden ist. — Wir

r=b‘(*-y(2»,

Dies ist jene Gleichung, von welcher wir bei den A

+ *00*0

Vj(y) = (h — y)-,

Theorie der auf Zerknicken beanspruchten Träger mit geradliniger Achse,

266

Theorie zusammengesetzter Systeme,

11/

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit je einer Zugstange.*)

i (18,746.zr24 —19,992.2r4r4 -f- 29,342.—547,31. q. 2t4 -j-546,02. <2.2r4) j

8. Capitel.

6. Thatsächlich zu wählende Dimensionen. — Da, wie aus

126 125 . S = 0.

n2 ß3 n, a

v/r ej >

%■»

(£q — £P) COS «pq + 0/q ~ Vv) C0S/?pq + (Tq — Q COS

10. Ausdruck für die Deformationsarbeit in einer Function der äusseren Kräfte. — Im Vorhergehenden wurde die Gleichung T

pq £pq

f- (£p cosßpq + 7]p cos/?pq + Çp cosypq)

T

pq

£pq

gefunden. Beachtet man nun, dass

cos/?pq = — cos/? so kann man obige Gleichung auch folgendermassen schreiben:

COSßpq = — COSßq?,

qpj

COS^pq= — COS/qp,

4- (Iq COSßTqp + 2/q COS^?qp ] Çq cos yqp) = 0.

Multiplicirt man alle Ausdrücke mit — Tvq und bildet sodann die

2

Summe der für alle Stäbe des Systems analogen Gleichungen, so kann man, unter Beachtung, dass irgend eine Verrückung, z. B. £p in allen Gleichungen für die Stäbe, welche in dem betreffenden Punkte Vp zusammenlaufen, Vorkommen muss, die obgenannte Summe in folgender Form schreiben:

T—l |

CS

er er r Pi A

Sh «

fco I l—^ fcO | l—¹ fcO | l—¹

'Sr!    ,'pf

b^ b^

er

Es

o

Ul

US

CO

u-

US

er

CO

Ö

g

Ul

£

US

fcO I h-i fco I I—¹

US

"Cb

US

er

4

us

15

US

fcO I t—¹

•u/>

b/J

Ul

4

US

fco I I-¹

Qi

Ul

B

<rv

►o

Substituirt man fur 2 l\ą cosa.iq, 2 T3ą cosa3q etc. die aus den Gleichungen (12) hervorgehenden Wertlie —X₂₎ —X₃ etc., so ergibt sich

I^Zk2 2 ^ £pq

_ 1 fx₂ ç₂ + x₃ ^3 + r3 V:) + z₄+ r4 V4 + zx çA

2 V.H-..........4 -ïp iP + Yv -f- Zv LpJ

oder symbolisch ^

T 2

v pq __

cpq

2 (Xp + 1 p f]P + Zp çp).

Der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen stellt die Deformationsarbeit des Systems dar (Nummer 3) ; diese Arbeit kann daher auch mit Hilfe folgender Formel in einer Function der äusseren Kräfte ausgedrückt werden:

2 ^ (^p £P + ZP Vv + ^p ?p)-

(14)

Die Deformationsarbeit des Systems ist also nur von dem Endwerthe der äusseren Kräfte und nicht von dem Gesetze abhängig, nach welchem diese Kräfte von Null bis zu ihren Endwerthen gewachsen sind.

Nennt man

Rp jene Kraft, deren Componenten Ap, Yp, Zp parallel zu den Achsen sind;

op die kleine Strecke, welche die Endlage des Angriffspunktes dieser Kraft mit der ursprünglichen Lage verbindet, d. i. die kleine Strecke, deren Projectionen auf die Achsen £p, rlv, çp sind;

a, b, c die Winkel, welche die Kraft Rp mit den Achsen einschliesst; a, ß, / die Winkel, welche die Strecke op mit den Achsen bildet;

so hat man

Ap — Rp cos a, £P = Qp COSor^

Kpr= Rp cos b,

7]p— Qp COS/?,

Zp = Rp cosc, tp=o, cosy,

und folglich

Ap £p-j- Ypgp-\~ Zp tp = Rp qp (cos a cos« + cos b cos/? -j- cos c cos/).

Wenn man 6 den Winkel nennt, welchen die beiden Strecken Rp und £>p einschliessen, so ergibt sich

cosa cosa -f- cos6 cos/? + cosc cos/ = cosö; die rechte Seite obiger Gleichung wird daher

Rp qp cos 6.

Das Product qp cos6 stellt aber die Projection der Strecke qp auf die Eichtling der Kraft Rp dar; wenn man nun diese Projection rp nennt, so erhält man folglich

^P £P + -^P Vp + ZP Cp — Rp Qp ;

und die Formel (14), welche die Deformationsarbeit des ganzen Systems

ausdrückt, wird

2 Rp rp.

(15)

Ist Rp die Resultirende mehrerer Kräfte Qp, Sp etc., welche nach irgend welchen Richtungen auf den Punkt Vp wirken, und nennt man

qp, sp etc. die Projectionen der Verrückung' des Punktes Fp auf diese Richtungen, so ergibt sich zufolge der allgemeinen Regeln für die Arbeit

der Kräfte

-^p rP = QP <ZP + $P sp +.....

Die Ausdrücke der rechten Seite der Gleichung sind vollkommen ähnlich dem Ausdrucke auf der linken Seite, und ist jeder derselben das Product einer auf das System wirkenden Kraft mit der Projection der Verrückung ihres Angriffspunktes auf die Richtung dieser Kraft.

Es kann also die Deformationsarbeit des ganzen Systems noch durch eine Formel ausgedrückt werden, welche analog jener unter (15) ist, in welcher aber alle auf das System wirkenden Kräfte in getrennter Weise erscheinen. Man könnte sich selbst direct der Formel (15) bedienen, wenn man nur im Auge behält, dass Rp eine beliebige Kraft von den auf den Eckpunkt Vp wirkenden Kräften und nicht deren Resultirende vorstellt.

Die Deformationsarbeit eines elastischen gegliederten Systems ist also gleich der halben Summe der Producte, welche man erhält, indem man jede auf das System wirkende äussere Kraft mit der Projection der Verrückung ihres Angriffspunktes auf die Richtung der Kraft multifflicirt.

Man muss wohl beachten, dass für das Product

Rp Qp cos 6

vorausgesetzt wurde, dass die Kraft Rp und die Verrückung op ihres Angriffspunktes im positiven Sinne genommen werden, denn die Lage der Strecke, welche die Kraft Rp vorstellt, und jene der Strecke op um den Punkt Fp sind durch die Winkel a, b, c, a, ß, y bestimmt.

Es ist aber bekannt, dass der Werth des cos G positiv oder negativ ist, je nachdem der Winkel 6 kleiner oder grösser als ein rechter ist, d. h. je nachdem die Projection von gp auf die Richtung der Rp auf dieselbe Seite der Wirkung der Kraft oder auf die entgegengesetzte fällt.

Die Projection der Verrückung des Angriffspunktes einer Kraft muss positiv oder negativ genommen werden, je nachdem sie auf dieselbe Seite mit der Wirkung der Kraft oder auf die entgegengesetzte

Seite fällt.

Der Kürze halber nennen wir künftighin die Projection rp der Ver

rückung op auf die Richtung einer Kraft Rp relative Verrückung des Angriffspunktes dieser Kraft.

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

11. Lehrsatz roń den Differentialquotienten der Deforma-tionsarheit. Erster Tlieil. — Wenn man die Deformationsarbeit eines gegliederten Systems in Functionen der relativen Verrückungen der an den Eckpunkten wirkenden Kräfte ausdrückt, so erhält man eine Formel, deren Differentialquotienten mit Bezug auf diese Verrückungen den Werth der correspondirenden Kräfte geben.

Zweiter Tlieil. — Wenn man andererseits die Deformationsarbeit eines gegliederten Systems in Functionen der äusseren Kräfte ausdrückt, so erhält man eine Formel, deren Differentialquotienten mit Bezug auf diese Kräfte die relativen Verrückungen ihrer Angriffspunkte geben.

Wenn man in der Tliat die äussere Kraft Rp beliebig, aber um einen unendlich kleinen Theil d Rp wachsen lässt, so erleidet das System eine unendlich kleine Deformation, bei welcher sich die relative Verrückung des Angriffspunktes der Kraft Rp, welche rp war, um die Grösse d rp vergrössert ; die Arbeit dieser Kraft während der als unendlich klein betrachteten Deformation wird Rp d rp sein.

Es folgt hieraus, dass die gesammte Deformationsarbeit, welche

durch dieses Wachsen der äusseren Kräfte um d Rp entsteht, durch folgende Formel ausgedrückt wird:

2 Rpd rp.

Nennt man die durch die Kräfte Rp ausgeübte gesammte Deformationsarbeit des Systems L, indem man diese Arbeit in einer Function der relativen Verrückungen der äusseren Kräfte ausdrückt, so wird offenbar das durch das Wachsen d rp der relativen Verrückungen der Eckpunkte hervorgerufene Wachsen dieser Arbeit durch die Formel

drp

„dL

d rp

gegeben; diese Formel muss mit der vorhergehenden identisch sein, welches auch immer die Werthe der Zunahmen drp sind, woraus sich ergibt, dass man für jede Kraft folgende Gleichung hat:

dB d rp

was den ersten Theil des Lehrsatzes beweist.

Bezüglich des zweiten Theiles ist zu beachten, dass die dem Wachsen d rp der äusseren Kräfte entsprechende Deformationsarbeit des Systems

auch durch das Differentiale der Formel (15) dargestellt wird; d. i. durch

i 2 Rp d rp + 12 rp d Pq;

|2 Ev d rt + | 2 rp d Rp,

man hat daher die Gleichung

2 Rpd rp =

2 Rpd rp — 2 rp d Rp-

woraus sich ergibt

da die linke Seite dieser Gleichung die Deformationsarbeit des Systems für das Wachsthum d Rp der äusseren Kräfte darstellt, so folgt daraus, dass die rechte Seite ebenfalls diese Arbeit ausdrückt.

Wenn man wie früher die durch die Kräfte Rp entstandene Deformationsarbeit des Systems L nennt, so wird offenbar die dem Wachsen d Rp entsprechende unendlich kleine Arbeit durch nachfolgende Formel

dargestellt :

d Rp.

^ dL d Rv

Nachdem diese Formel mit der anderen 2 rp d Rp identisch sein muss, so erhält man für jede Kraft

dL d Rp

was den zweiten Theil des Lehrsatzes beweist.

12. Fortsetzung des Lehrsatzes von den Differentialquotienten der Deformationsaribeit. — Um bei der Anwendung vorstehenden Lehrsatzes in keinen Irrthum zu verfallen, müssen alle äusseren Kräfte als von einander unabhängig betrachtet werden, weshalb sie durch verschiedene Buchstaben zu kennzeichnen sind.

Prüfen wir übrigens, was man erhält, wenn man den Differentialquotienten der Deformationsarbeit des Systems mit Bezug auf eine Kraft F bildet, im Falle, als zwei gleich grosse, parallele Kräfte im entgegengesetzten Sinne auf das System wirken und beide durch denselben Buchstaben bezeichnet werden.

Zuerst werde vorausgesetzt, dass die beiden Kräfte P durch verschiedene Buchstaben P und P' bezeichnet seien. Bildet man nun den Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit Bezug auf P, indem P’ als Function von P betrachtet wird, und stellt man durch F jene Function der äusseren Kräfte dar, welche die Deformationsarbeit gibt, so erhält man als . deren gesammten Differentialquotienten mit Bezug auf P

dP + dP' dP

dF dP’

nachdem aber P' = P ist, so wird

dP'

dP

und obiger Differentialquotient von F

dF , dF

dP dP'}

wobei und ^—r die Wege¹) ausdriicken, welche die Angriffspunkte d P d P

der beiden Kräfte P und P' zurücklegen. Hiebei muss man beachten, dass, da diese zwei Kräfte im entgegengesetzten Sinne gerichtet sind, die Differentialquotienten dF

dP

und

dF

₇ dasselbe oder entgegenge-

P¹

dP

setzte Zeichen haben, je nachdem sich die zwei Wege A a und A a im entgegengesetzten oder im selben Sinne ergeben. Wir wollen nun zwei sehr wichtige Fälle betrachten:

a A:

Fig. 1.

1. Die beiden Kräfte P und P fallen in die Richtung der Verbindungslinie der Angriffspunkte.

d. i. die Summe der

In diesem Falle stellt die Summe —— -j-

dP dP beiden Wege A a und A a, jenen Weg dar, um welchen sich die beiden

Angriffspunkte A und A' von einander entfernen, wobei vorausgesetzt wird, dass die beiden Kräfte P und P' in dem in nebenstehender Figur ersichtlichen Sinne wirken, d. h. dass sie die beiden Punkte A und A zu entfernen trachten.

Wenn im selben Falle die Summe

Fig. 2.

dF dF ~dP ⁺ ~dP

folgt daraus, dass sich die beiden Punkte A und A' genähert haben.

Wenn die beiden Kräfte P und P' in nebenstehender Weise wirken, d. h. wenn sie die beiden Punkte A

; negativ ausfällt, so

und A' zu nähern suchen, so drückt dF dF dP ⁺ dP'

zung der Strecke A Ä aus, wenn sie positiv, und deren Verlängerung, wenn sie negativ wird.

2. Die beiden Kräfte P und P' sind senkrecht auf die Verbindungslinie A A' der beiden Angriffspunkte.

Wird in diesem zweiten Falle M das Moment des Kräftepaares PP’ genannt, so erhält

P. ÄÄ = M.

die Deformationsarbeit F kann als eine Function der veränderlichen Grössen P, P' betrachtet werden und letztere sind ihrerseits wieder Functionen von Jf; der Differentialquotient von F mit Bezug auf diese letzte Grösse ist also

die Summe

man

nachdem aber

so erhält man

die Verkür-

ß^ar

p¹

-<r

P\ AA' = M:

dM dP dM dP 1

dM A A

dF

Fig. 3.

•*

LAa

Fig. 4.

dP' dM’

dP' 1

dM A Af’

1 fd F ₍ d F\ dM ATT [ZF

Wenn die Verbindungslinie der Angriffspunkte beider Kräfte, welche vor der Deformation die Stellung A A' hatte, sich nach der Deformation

in einer solchen Stellung befindet, dass deren Projection auf die Ebene des Kräftepaares C C ist, so wird offenbar der Winkel, um welchen die Strecke A A' um eine auf der Ebene des Kräftepaares senkrecht stehende Achse gedreht wurde, durch die beiden Strecken A A' und C C' gebildet. Wenn man vom Punkte C die Linie C b parallel zu A A', vom Punkte C die Linie C b senkrecht auf A A' zieht und die Linie A Ä

bis nach a verlängert, so sieht man, dass C a und a b die Projectionen der Verrückungen A' C und A C auf die Richtung der Kräfte, d. h. die Projectionen der Wege der Angriffspunkte dieser Kräfte sind, und dass

^ gegeben sind. Der Winkel C Cb hat

deren Werthe durch

dP

und

dP

als Tangente

Cb

Cb

oder

C'b

indem man die sehr kleine Grösse A' a vernachlässigt. Nachdem der Winkel C Cb sehr klein ist, kann man ihn seiner Tangente gleichsetzen und ihn daher durch folgende Formel ausdrück en:

AA' (dP ' dP'

Cb C a -j- ab

A A'

AA'

Dieselbe spricht folgenden Lehrsatz aus:

Der Differentialquotient der Deformationsarbeit eines gegliederten elastischen Systems mit Bezug auf das Moment eines auf die Verbindungslinie der Angriffspunkte senkrechten Kräftepaares drückt die Drehung dieser Linie um eine auf die Ebene des Kräftepaares senkrechte Achse aus.

Da die partiellen Differentialquotienten —Ę: und ^~r positiv oder

dP

dP

negativ sind, je nachdem die Projectionen der Verrückungen A C und A' C auf die Kichtung der Kräfte selbst oder auf deren Verlängerung fallen, so folgt daraus, dass der Differentialquotient

1 rdF^_dF\

ÄÄ\dP ' dP'J

positiv oder negativ ist, je nachdem die Drehung der Strecke A A' im selben Sinne der Wirkung des Kräftepaares oder im entgegengesetzten Sinne stattfindet.

13. Lehrsatz yoii der kleinsten Arbeit. — Sucht man das Minimum der Function

1    T ²

v pq

2    ^pq

welche die Deformationsarbeit eines gegliederten Systems ausdrückt, indem man die 3n — 6 Gleichungen (12) zwischen den Spannungen aller Stäbe des Systems in Rechnung zieht, so erhält man für diese Spannungen jene Werthe, welche in dem System nach der Deformation herrschen.

Zuerst ist zu beachten, dass nach der Deformation jeder Stab Vv Vq durch zwei Kräfte ersetzt werden kann, welche, an den Punkten Fp und Vq wirkend, gleich sind der Spannung Tpq, und von welchen jede die Richtung nach dem Angriffspunkte der anderen hat, sobald der Stab thatsächlich gezogen wird, die entgegengesetzte aber, wenn derselbe gedrückt wird.

Wir wählen nun unter allen Stäben des Systems, deren Anzahl grösser als 3 n — 6 vorausgesetzt wird, 3 n — 6 Stäbe, welche eine derartige gegenseitige Lage haben, dass diese Stäbe genügen, um das System zu einem solchen von unveränderlicher Form zu machen. Alle anderen Stäbe können sodann entfernt werden, ohne dass das Gleichgewicht des Systems gestört wird, vorausgesetzt, dass man in den durch die Stäbe verbundenen Punkten je zwei Kräfte wirken lässt, welche der Spannung in dem betreffenden Stabe gleich sind und die oben angeführten Richtungen einnehmen. Die 3 n — 6 Gleichungen (12) dienen dazu, die Spannungen der 3 n — 6 Hauptstäbe in Functionen der äusseren, in den Eckpunkten wirkenden Kräfte, sowie die Spannungen der entfernten Stäbe zu bestimmen.

Nachdem diese letzteren aber unbekannt sind, so muss man dieselben durch die geometrischen Bedingungen, welchen das System genügen muss, ausdrücken.

Diese Bedingungen sind sehr einfach, denn wenn man in dem auf die alleinigen Hauptstäbe reducirten System, wobei die Nebenstäbe durch gleichwerthige Kräfte ersetzt wurden, zwei Eckpunkte eines inzwischen entfernten Stabes betrachtet, so werden sich offenbar bei der Deformation des Systems diese zwei Eckpunkte in der gleichen Weise von einander entfernen oder einander nähern wie in dem ursprünglichen System, d. h.

in einer der Verlängerung oder Verkürzung des entfernten Stabes gleichen Grösse.

Stellt man nun die Deformationsarbeit des auf 3 n — 6 Stäbe redu-cirten Systems von unveränderlicher Form durch F dar, so kann man diese Arbeit in einer Function der äusseren Kräfte und der Spannungen der entfernten Stäbe ausdrücken.

Wenn Vp und Vq zwei Punkte sind; welche durch einen dieser letzteren Stäbe verbunden sind; und Tpq die Spannung desselben ist, so resultirt aus dem in Nummer 12 geprüften ersten Falle; dass der Ditferential-quotient von F mit Bezug auf Tpq die Annäherung oder Entfernung der beiden Punkte Vv und Vq ausdrückt. Die Entfernung der letzteren, wenn Tpq in der Tliat eine Zugspannung ist, und ihre Annäherung, wenn Tpq eine Pressung ist, werden ausgedrückt durch

dF d Tm

Der Stab Vv Vq verlängert oder verkürzt sich unter der Einwirkung der Spannung oder der Pressung Tpq um die Grösse -    Fpq

£pq

und man erhält daher die Gleichung

d F _ Tm

d 1 pq    fipq

T

pq

oder

= 0.

dF

£pq

d Tp q

Für jeden der entfernten Stäbe gibt es eine ähnliche Gleichung; man hat also ebensoviele Gleichungen, als Unbekannte vorhanden sind.

Die Deformationsarbeit des ursprünglichen Systems, d. h. desjenigen Systems, welches nicht nur die Hauptstäbe, sondern auch die Nebenstäbe enthält, wird durch folgende Formel ausgedrückt:

T 2

pq

£pq

wobei die Summe 2 so viele Glieder enthält, als es Nebenstäbe gibt.

Die obigen Gleichungen, welche alle geometrische Bedingungen ausdrücken, welchen das System entsprechen muss, sind nichts Anderes als

die gleich Null gesetzten Differentialquotienten der Deformationsarbeit des ganzen gegebenen Systems; die Spannungen, welche nach der Deformation stattbaben, sind also diejenigen, welche diese Arbeit zu einem Minimum machen.

14. Zweiter Beweis des Lehrsatzes von der kleinsten Arbeit.

— Wir lassen hier einen anderen Beweis folgen, welcher im Jahre 1873 veröffentlicht wurde und welcher zu einer beachtenswerthen Eigentümlichkeit führt.

Auf Grund der Gleichungen (12), in welchen die äusseren Kräfte als Constante betrachtet werden können, hat man, um das Minimum der

zu suchen, die Gleichung ITJ!1d_T3L==0

1 T 2 Function -2-**-

£pq

(16) wobei die Spannungen Tm durch die 3 n — 6 Gleichungen (12) und die Differentiale d Tpq durch die 3 n — 6 folgenden Gleichungen gegeben sind ; letztere ergehen sich durch Differentirung der selben Gleichungen (12).

2 d . COSa.₂q — 6,

(17)

2 d T₃q . cosa3q = 0, 2 d T₃q. cos/?3q = 0,

2 d Tiq. cosa4q = 0, 2 d Tiq. cos/?4q =0, 2 d Tią. cos/4q = 0, |

In diesen 3 n — 6 Gleichungen und der Gleichung (16) muss man nun die 3 n — 6 Differentiale der Spannungen eliminiren; aber anstatt diese Elimination direct durchzuführen, kann man jede der Gleichungen (17) mit einer unbestimmten Constanten multipliciren und diese Producte in die Gleichungen (16) einführen; sodann setzt man die Coëfficienten aller Differentiale d T gleich Null, was ebenso viele Gleichungen gibt, als Spannungen vorhanden sind. Es ist wohl wahr, dass man auf diese Weise 3 n — 6 neue Unbekannte eingeführt hat, nämlich die unbestimmten Constanten ; nachdem man aber auch die 3 n — 6 Gleichungen (12) hat, so sieht man schliesslich, dass ebensoviele Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind, und dass dieselben somit alle vollkommen bestimmt werden können.

--

Wir nennen nun

CO -T

die Constanten, mit welchen wir die Gleichungen (17) multipliciren, und suchen jene Gleichung, welche sich ergibt, indem man den Coëfficienten irgend eines Differentials, z. B. von d Tm, gleich Null setzt.

Es ist klar, dass sich dieses Differentiale nur in einem Ausdrucke

T

— 4- A cos apq -f Bv cos ßpq + Cp cosypq

der Gleichung (16) und nur in je einem Ausdrucke der sechs Gleichungen des Systems (17), welche sich auf die zwei Punkte Fp und Vq beziehen, befinden kann; man sieht daher, dass die gesuchte Gleichung folgende sein wird:

£i«i

+ Aq cosorqp + Bq cos ßqp -f Cq cosyqp = 0;

bei Beachtung, dass

COSOTqp = - COSCfpq,

cos ßqv = — COS/?

cos yqP = — cos/Pq, und indem man diese Gleichung mit «pq multiplicirt, erhält man

i-r

Tm = «pq [(Aq — Ap) COSOTpq -f (.Bq — Bp) COS/?pq + (Cq — Cp) COS/pq] (18).

Man hat also ebensoviele ähnliche Gleichungen als Spannungen, d. i. als Stäbe im System vorhanden sind, und alle diese Spannungen werden in Functionen der 3?i — 6 Constanten A₂; A₃, B₃ ; A₄, Bq, C± etc. ausgedrückt.

Wenn man die auf obige Weise erhaltenen Gleichungen mit den Gleichungen (13) vergleicht, so erkennt man, dass die einen von den anderen nur darin verschieden sind, dass die Buchstaben A, B, C durch die Buchstaben £, rj, Ç ersetzt sind; die Indices bleiben dieselben.

£p<i

Um jene Spannungen zu erhalten, welche die Function -

2

zu einem Minimum machen, muss man zuerst in den Gleichungen (12) die Werthe der Spannungen, welche sich aus der Gleichung (18) ergeben, einsetzen und die so erhaltenen Gleichungen auf lösen, auf welche Weise sich die Werthe der eingeführten Constanten ergeben. In ähnlicher Weise muss man, um die Spannungen zu erhalten welche nach der Deformation statthaben, in den Gleichungen (12) die Werthe der durch die Gleichungen (13) gegebenen Spannungen einsetzen und erhält sodann aus diesen resultirenden Gleichungen die Verrückungen der Eckpunkte.

Man sieht aber, dass diese zwei Operationen vollkommen identisch sind, vorbehaltlich der Aenderung der Buchstaben, welche die Unbekannten darstellen. Für die Constanten Av) Bv, Cp ergeben sich dieselben Werthe wie für die Verrückungen £p, rjv, Lp, woraus folgt, dass die Werthe der Spannungen, welche man erhält, indem man das Minimum der Deformationsarbeit des Systems sucht, diejenigen sind, welche nach der Deformation statthaben.

Aus diesem Beweise resultirt die bemerkenswerthe Eigenschaft, auf welche wir die Aufmerksamkeit lenken wollten, und welche darin besteht, dass die Werthe der Constanten, welche man in die Rechnung einbezieht, um das Minimum der Deformationsarbeit zu suchen, die Verrückungen der Eckpunkte aus drücken.

Dieser Beweis des Lehrsatzes von der kleinsten Arbeit ist meines Wissens der erste genaue, welcher gegeben wurde.

15. Fälle, in welchen der Lehrsatz von der kleinsten Arbeit nicht angewendet werden kann. — Wir wollen hiebei nicht die Art und Weise betrachten, wie man den Lehrsatz von der kleinsten Arbeit in jenen Fällen anwendet, in welchen irgend welche Eckpunkte des Systems fix sind, oder in welchen dieselben gezwungen sind, auf Flächen oder Linien ohne Beibung zu verbleiben, denn in diesen Fällen kann man keiner Schwierigkeit begegnen.

Aber es gibt einen Fall, welchen man betrachten muss, und zwar ist es jener, in welchem einige der Eckpunkte gezwungen sind, auf Linien oder Flächen zu verbleiben, welche der Bewegung dieser Punkte einen Reibungswiderstand entgegensetzen.

Zur Vereinfachung sei vorausgesetzt, dass es in dem System nur einen Eckpunkt gibt, welcher gezwungen ist, auf einer gegebenen Fläche zu verbleiben. In diesem Falle kann es eintreffen, dass die Reibung genügend gross ist, um die Bewegung dieses Punktes zu verhindern, weshalb dieser als fix betrachtet werden muss, so dass die Berechnung keiner Schwierigkeit unterliegt.

Aber es kann auch eintreffen, dass eine Bewegung stattfindet. Nennt man nun den Druck des Punktes auf die Fläche Q, so ist der Widerstand gegen das Gleiten fQ, wobei f ein constanter Coefficient ist.

Um zu erkennen, welche dieser zwei Voraussetzungen eintrifft, und um gleichzeitig die Richtung der Kraft f Q zu finden, betrachte man zuerst den auf der Fläche befindlichen Punkt als fix und bestimme die drei Componenten der Reaction des Punktes, welche parallel zu den Achsen sind, indem man ausdrückt, dass die Verrückungen dieses Punktes parallel zu den Achsen gleich Null sind. Sodann reducirt man diese drei Componenten auf zwei Kräfte, deren eine Q senkrecht und deren andere tangential zur Fläche ist, und untersucht, ob diese letztere kleiner oder grösser als f Q ist ; wenn sie kleiner ist, so kann kein Gleiten stattfinden ; ist sie hingegen grösser, so wird das Gleiten in der Richtung der tangentialen Kraft stattfinden, vorausgesetzt, dass der Gleitungswiderstand in jeder Richtung gleich ist.

Unter dieser letzteren Annahme nimmt man die Berechnung wieder auf, indem man voraussetzt, dass der auf der Ebene befindliche Punkt frei ist, dass er aber durch zwei Kräfte beansprucht wird, deren eine Q senkrecht auf die Fläche und deren andere f Q tangential zur Fläche und parallel zur Richtung des Gleitens ist.

Nachdem die Kräfte Q und fQ als äussere Kräfte betrachtet werden können, so lassen sich die Spannungen aller Stäbe des Systems, sowie auch die Deformationsarbeit desselben, welche wir F nennen wollen, in Functionen der einzigen Unbekannten Q ausdrücken.

Zufolge dem Lehrsätze von der kleinsten Arbeit muss man, um die Unbekannte Q zu bestimmen, die Function F zu einem Minimum machen, d. h. den Differentialquotienten von F mit Bezug auf Q gleich Null setzen.

Nennt man zur grösseren Verständlichkeit S die tangentiale Kraft/Q, so wird die Deformationsarbeit F durch eine Function von Q und von S

ausgedrückt werden, und der gleich Null werdende Differentialquotient von F mit Bezug auf Q wird folgende Gleichung geben:

f=0.

d F dF

Geht man hingegen von den geometrischen Bedingungen aus, welchen das System entsprechen muss, so hat man offenbar zum Ausdruck zu bringen, dass der auf die Fläche sich stützende Punkt nur in dieser Fläche sich bewegen kann, d. h. dass seine Bewegung in der Richtung der senkrechten Kraft Q gleich Null ist.

Zufolge dem Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit muss man den Differentialquotienten von F mit Bezug auf Q gleich Null setzen, was folgende Gleichung gibt:

— = 0.

Diese Gleichung kann nicht identisch sein mit der vorhergehenden, 0 sein, was in Rücksicht darauf nicht möglich die Verrückung des Punktes in der Ebene ausdrückt, welche

Verrückung nach der gemachten Annahme nicht Null ist.

Dies zusammenfassend kann man sagen, dass, sobald die freie Verrückung der Punkte durch die Reibung gehindert ist, man durch die Anwendung des Lehrsatzes von der kleinsten Arbeit in einen Irrthum verfallen würde; hiebei bleibt es aber unbenommen, in diesem Falle sich des Lehrsatzes von den Differentialquotienten der Arbeit zu bedienen.

16. Systeme, in welchen schon vor Anwendung äusserer Kräfte Spannungen vorhanden sind. — Bis jetzt wurden nur derartige gegliederte Systeme betrachtet, bei welchen in ihrem natürlichen Zustande, d. h. im Falle, als keine Kraft auf sie einwirkt, die Stäbe weder gezogen, noch gedrückt werden; dies setzt voraus, dass alle Stäbe genau die zur Zusammenstellung des Systems nothwendigen Längen haben, so dass, nachdem das System mit den zu einem System von unveränderlicher Form genügenden 3 n — 6 Stäben zusammengesetzt wurde, die anderen Stäbe genau die den Entfernungen der zu verbindenden Eckpunkte gleichen Längen haben.

Nunmehr erübrigt noch, die sehr wichtigen Fälle zu untersuchen, bei welchen nach Zusammensetzung des Systems aus 3 n — 6 Stäben andere Stäbe von solchen Längen eingesetzt werden, welche den Ent-

denn hiezu müsste

ist, als

dF

dS

dS

fernungen zwischen den zu verbindenden Eckpunkten nicht entsprechen, welche aber nur um sehr kleine Grössen differiren und daher mit Längenänderungen zu vergleichen sind, welche die Elasticität der Stäbe nicht überschreiten.

In dem Falle also, wo man in dem aus 3 n — 6 Stäben zusammengesetzten System noch einen anderen Stab von einer der Entfernung der zu verbindenden Eckpunkte nicht vollkommen gleichen Länge einfügt, kann dies nur dadurch stattfinden, dass man diesen Stab dehnt oder zusammendrückt und die beiden Punkte einander nähert oder von einander entfernt; in Folge dessen werden nach Einführung des neuen Stabes alle anderen gezogen oder comprimirt werden, obzwar noch keine äussere Kraft auf das System einwirkt.

Es wird nun für jeden neu eingeführten Stab eine Aenderung in den Spannungen der anderen Stäbe die Folge sein.

Lässt man auf das in dieser Weise zusammengesetzte System noch äussere Kräfte in den Eckpunkten einwirken, so wird eine neue Aenderung in den Spannungen der Stäbe eintreten. Es ist daher folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben sei ein gegliedertes System, dessen Nebenstäbe in ihrem natürlichen Zustande nicht jene Längen haben, welche den Entfernungen der zu verbindenden Eckpunkte entsprechen, solange das System nur aus Hauptstäben zusammengesetzt war und solange noch keine Kraft darauf einwirkte; zu finden ist die Spannung aller Stäbe des Systems nach der Einwirkung von äusseren Kräften.

Es seien A und B zwei durch einen Nebenstab verbundene Punkte,

2?

Ss/ CL

4\!Z

"b

welche einem aus 3 n —6 Stäben zusammengesetzten System angehören, und l sei die Entfernung dieser zwei Punkte, während l — 1 die natürliche

Länge dieses Stabes ist; 1 ist eine mit Kücksicht

Figro.

auf l sehr kleine Grösse und mit einer Dehnung zu vergleichen, welche die Elasticität des Stabes nicht überschreitet.

Um diesen Stab in das System einzuführen, muss man denselben dehnen und gleichzeitig die zwei Punkte einander nähern, was in allen anderen Stäben Spannungen hervorruft.

Wenn man nach der durch die Einführung der Nebenstäbe entstandenen Deformation äussere Kräfte auf die Eckpunkte einwirken lässt, so wird eine neue Deformation entstehen, und es werden sich die Spannungen der Stäbe ändern.

Es ist klar, dass die Deformation des Systems und die Endspannungen in den Stäben in gleicher Weise entstehen würden, wie es thatsäch-lich der Fall ist, wenn der Nebenstab A B nicht eingeführt worden wäre, wohl aber in den Punkten A und B zwei Kräfte wirken würden, welche gleich sind der Endspannung T in diesem Stabe, und von welchen eine gegen die andere gerichtet ist.

Die gleiche Untersuchung kann man für alle anderen Nebenstäbe wiederholen. Es folgt aber aus dem Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit, dass, wenn man, nachdem die Deformationsarbeit F des auf die alleinigen Hauptstäbe reducirten Systems in einer Function der in den Eckpunkten wirkenden äusseren Kräfte und der als äussere Kräfte betrachteten Spannungen in den Nebenstäben ausgedrückt wurde,

deren Differentialquotienten

mit Bezug auf T nimmt, man die Grösse

d F d T

erhält, um welche sich die zwei Punkte A und B einander genähert haben.

Diese Annäherung der zwei Punkte plus der Verlängerung des Stabes, T

welche — ist, gibt die Grösse l, um welche der Stab bezüglich der £

ursprünglichen Entfernung der zwei Punkte A und B zu kurz war; dies lässt sich durch folgende Gleichung ausdrücken:

l.

(19)

d F T dT «

Man hat daher ebensoviele der obigen ähnliche Gleichungen, als Nebenstäbe vorhanden sind, und wenn man hiezu die 3 n — 6 Gleichungen (12) gibt, so erhält man die gleiche Anzahl Gleichungen, als Stäbe in dem System vorhanden sind, so dass die Spannungen in allen diesen Stäben bestimmt werden können.

Als Ergänzung ist zu beachten, dass man alle Gleichungen, welche jener (19) analog sind, dadurch erhält, dass man die Differentialquotienten der Function

jnn

F+2--2 TI

rf2

gleich Null macht; die Summen 2 beziehen sich nur auf die Nebenstäbe. Nachdem die Function

die Deformationsarbeit des ganzen Systems ausdrückt, so folgt daraus, dass die Spannungen in den Stäben nach der Deformation diejenigen sind, welche die Deformationsarbeit des Systems zu einem Minimum machen, aber noch vermindert um die Summe der Producte TX für alle Nebenstäbe; hiebei sind die 3n—6 Gleichungen (12) zwischen den Spannungen der Stäbe zu berücksichtigen.

17. Zusatz. — Wenn die Differenzen l gleich Null sind, d. h. wenn die Nebenstäbe genau jene Längen haben, welche nothwendig sind, um sie in das System einführen zu können, ohne schon vor Einwirkung äusserer Kräfte darin Spannungen hervorzurufen, so erkennt man, dass der Ausdruck 2 T1 Null sein wird, und dass somit die Function, welche zu einem Minimum werden soll, indem sie den 3 n — 6 Gleichungen Genüge thut, einfach die Deformationsarbeit des Systems sein wird, d. h.

FS- 2—.

Man findet also neuerdings den Lehrsatz von der kleinsten Arbeit.

18. Einfluss der Aenderungen der Temperatur. — Das Problem, welches in Nummer 16 aufgelöst wurde, findet seine unmittelbare Anwendung bei der Bestimmung der Veränderungen der Spannungen in den Stäben eines gegliederten Systems in Folge von Aenderungen der Temperatur.

Wird ein gegliedertes System vorausgesetzt, auf dessen Eckpunkte gegebene Kräfte einwirken, und welches sich bezüglich der Temperatur in einem beliebigen Zustande befindet, so kann man offenbar behufs Bestimmung der Spannungen in den Stäben während dieses Zustandes in folgender Weise Vorgehen.

Wird zuerst angenommen, dass alle äusseren Kräfte und alle Nebenstäbe entfernt wären, so ergibt sieb ein System, welches nur aus Hauptstäben zusammengesetzt ist, wobei in denselben keine Spannungen auf-treten. Die Entfernungen der Punkte dieses Systems und die natürlichen Längen der Nebenstäbe bei der vorausgesetzten Temperatur bleiben vollkommen bestimmt, so zwar, dass die kleine Grösse 1 bekannt ist, um welche jeder der Nebenstäbe mit Rücksicht auf die Entfernung der zu verbindenden Punkte zu kurz ist.

Um nunmehr die Endspannungen zu bestimmen, welche in dem gegebenen System stattfinden, muss man sich in das auf die Hauptstäbe reducirte System die Nebenstäbe eingefügt denken und schliesslich die gegebenen Kräfte auf die Eckpunkte einwirken lassen.

Man sieht also, dass man hiedurch auf das in Nummer 16 gelöste Problem geführt wird.

19. Summirung cler Wirkungen. — Wir werden sehen, dass in den Fragen über die Elasticität das Princip der Summirung der Wirkungen immer stattfindet; der grösseren Deutlichkeit halber wollen wir aber zwei Fälle besonders behandeln.

1. Zuerst sei vorausgesetzt, dass es sich um ein System handelt, in welchem vor Einwirkung äusserer Kräfte keine Spannungen vorhanden sind.

In Nummer 8 wurde gesehen, dass in diesem Falle die Spannungen in den Stäben durch die Auflösungen der zwei Systeme von Gleichungen (12) und (13) gegeben sind; nachdem alle diese Gleichungen nur lineare Grössen der Spannungen und der äusseren Kräfte enthalten, so folgt daraus, dass die ersteren auch nur lineare Functionen der zweiten sind.

Nennt man also T die Spannung in einem Stabe und P, Q, P.....

die in den Eckpunkten des Systems wirkenden Kräfte, so hat man

T—ccP-\-ßQ~\-yR-\-.....

wobei a, ß, y

Wenn man nun an Stelle der Kräfte P, Q, R

constante Coëfficienten sind.

in denselben

Punkten und in denselben Richtungen die Kräfte P+p, Q -f- q, R-\-r.....

wirken lässt, und wenn man T -\- t die Spannung in dem oben betrachteten Stabe nennt, so hat man

T+ t = ß (P + P) + ß (Q + q) + 7 (P + r) 4-

woraus sich bei Berücksichtigung des Werthes von T t — a p -f- ß q + / r 4~.....

und jener der Kräfte p, q, r

hat.

ergibt, d. h. es ist die Spannung, welche ein Stab unter dem Einflüsse der auf ein System wirkenden Kräfte P + p, Q -f- q, E -j- r etc. erleidet, gleich der Summe der Spannungen, welche derselbe unter der alleinigen Wirkung der Kräfte P, Q, R

Man sieht also, dass das Princip der Summirung der Wirkungen stattfindet, und dass man daher die Wirkungen der auf ein System thätigen, verschiedenen Kräfte getrennt von einander untersuchen kann und sie sodann nur zu addiren hat, um die Wirkung zu erhalten, welche alle Kräfte hervorgerufen hätten, wenn dieselben gleichzeitig thätig gewesen wären.

2. Nunmehr betrachten wir jenen Fall, in welchem die Stäbe in ihrem natürlichen Zustande nicht die für die Zusammensetzung des Systems genau nothwendigen Längen haben, d. h. in welchem in dein System selbst vor Einwirkung äusserer Kräfte Spannungen oder Com-pressionen stattfinden.

Aus dem Vorhergehenden ist zu ersehen, dass man ebensoviele Gleichungen, ähnlich jenen unter (19) hat, als Nebenstäbe in dem System vorhanden sind.

Die Function P, welche in dieser Gleichung vorkommt, und welche die Deformationsarbeit der Hauptstäbe ausdrückt, ist eine Summe von

¹

Ingenieur François Crotti, welcher im Ingenieurverein von Mailand und im Lombard-Institut (à la Société des Ingenieurs de Milan et à l’Institut Lombard) einige Vorlesungen über meine vorhergehenden Arbeiten gehalten hat, machte den Vorschlag, die relative Verrückung des Angriffspunktes einer Kraft Weg dieser Kraft zu nennen.

der Form

j-2

1    v

2

dF

quotienten von

wobei sich diese Summe nur auf die Hauptstäbe erstreckt. Mit Hilfe der Gleichungen (12) kann man die Spannungen dieser Stäbe durch lineare Functionen der äusseren Kräfte und der Spannungen in den Neben-stäben ausdrücken; hieraus folgt, dass obige Summe in einer Function zweiten Grades der Spannungen in den Nebenstäben und der äusseren Kräfte ausgedrückt werden kann, und dass daher alle Differentiallineare Functionen dieser Grössen sind.

d T

Indem man das System von Gleichungen, welche jener unter (19) analog sind, auflöst, um die Spannungen in den nebensächlichen Stäben zu bestimmen, erhält man für diese Spannungen und in Folge dessen

wobei cc, ß, y

auch für diejenigen der Hauptstäbe mit Hilfe der Gleichungen (12) lineare Functionen der äusseren Kräfte und der Grössen L

Ist nun T die Spannung in irgend einem Stabe, sind P, Q, B etc. die in den Eckpunkten wirkenden äusseren Kräfte und    1. etc. die

Werthe der kleinen Grössen A, so hat man

T — a P 4- ß Q -f- y B +.....

+ «l A[ + Ci₂ A₂ H- a3 A +.....;

,    , Ci₂, Cij

constante Coëfficienten sind.

Wenn man hingegen T{ die Spannung nennt, welche der betrachtete Stab nach Einführung aller Nebenstäbe, aber vor Einwirkung der äusseren Kräfte hat, so erhält man den Werth von T{ offenbar dadurch, dass man P = 0, Q = 0, B = 0 etc. macht ; man hat also

A = ai + cc₂ -j- a₃ +.....

Nennt man ferner T.l die Spannung, welche der unter der Einwirkung der äusseren Kräfte befindliche Stab hat — vorausgesetzt, dass jeder Stab genau die zur Zusammensetzung nothwendige Länge hat — so sieht man leicht, dass der Werth von Tt gefunden wird, indem man Aj = 0, A₂ — 0, A₃ = 0 etc. macht, was folgende Gleichung ergibt:

T₂ = aP+ßQ + yB +.....

Es kann daher der allgemeine Werth von T in der Form T= 2] + T₂

gegeben werden, wodurch bewiesen wird, dass auch in diesem Falle das Princip der Summirung der Wirkungen Geltung hat.

Hat man also ein gegliedertes System zu untersuchen, bei welchem die Stäbe nicht genau die zu dessen Zusammensetzung nothwendige Länge haben, so zwar, dass schon vor Einwirkung äusserer Kräfte Spannungen auftreten, so kann man die Untersuchung in zwei Theile trennen. Man bestimmt zuerst die Spannungen, welche in dem System vor Einwirkung äusserer Kräfte vorhanden sind, sodann die Spannungen, welche die äusseren Kräfte hervorrufen, wenn in dem System ursprünglich keine Spannungen sind. Man findet demnach für jeden Stab zwei Spannungen, welche vereinigt die effective Spannung des Stabes geben.

30. Beispiel.— Es sei AB CD ein aus sechs Stäben zusammengesetztes gegliedertes Viereck, dessen Stäbe bei der Temperatur t derartige Längen haben, dass, nach-Fh dem die zwei Dreiecke ABC und ABD gebildet sind, wodurch die Lage der Punkte C und D bestimmt ist, die Entfernung dieser Punkte genau gleich ist der Länge des dieselben verbindenden Stabes. Wenn die Stäbe nicht von \ demselben Materiale sind, oder wenn sich die Temperatur nicht für alle gieichmässig ändert, so wird bei einer anderen Temperatur, nachdem man die beiden Dreiecke ABC und AB D gebildet hat, die Entfernung zwischen den beiden Punkten C und D verschieden sein von der Länge des Stabes, welcher sie verbinden soll, und zwar wird derselbe um ein gewisses Stück, welches wir nennen, zu kurz oder zu lang sein, für welch’ letzteren Fall l₃ negativ genommen werden muss.

Diese Grösse lässt sich leicht durch einfache geometrische Berechnung bestimmen. Sobald man dieselbe gefunden hat, kann man die Spannungen in den Stäben, welche der neuen Temperatur entsprechen,

• berechnen, indem man gleichzeitig die äusseren Kräfte in Kechnung nimmt, denn diese Spannungen müssen nachfolgende Function zu einem Minimum machen :

[2V

Tf

Fig. 6.

Pc

rrç

l «i

TA

TA

ta ta

£•2

S3

£i

«5

TA)

«6 J

(20)

sobald man die Bedingungsgleichungen zwischen den Unbekannten berücksichtigt.

Derlei Gleichungen gibt es fünf; denn indem vorausgesetzt wurde, dass der Punkt A fix bleibt und der Punkt B gezwungen ist, auf der Linie AB zu verbleiben, hat man nur eine Gleichung für den Punkt B und je zwei Gleichungen für die Punkte C und D.

Um nun für den Punkt C die Gleichgewichtsgleichungen in der einfachsten Form zu erhalten, kann man zuerst ausdrücken, dass die

Summe der Projectionen der in diesem Punkte zusammenkommenden Kräfte auf eine auf die Diagonale A C senkrechte Linie gleich Kuli sein muss, und sodann, dass die Summe der Projectionen derselben Kräfte auf eine auf B C senkrechte Linie ebenfalls gleich Kuli sein muss.

Für das Gleichgewicht um den Punkt D ergeben sich die Bedingungen, dass die Projectionen der in diesem Punkte zusammenkommenden Kräfte auf eine auf die Diagonale B D senkrechte Linie eine Summe gleich Kuli geben müssen, sowie dass auch die Summe der Projectionen derselben Kräfte auf eine Linie, welche auf die Linie A D senkrecht ist, gleich Kuli sein muss.

Man erhält also folgende Gleichungen:

XX

7; + T₂ cos ABC + P₆ cos ABD - Pb = 0,

XX    XX    XX

T₂ sinMCP — P₃ sinMPD — Pc sinACPc = 0,

XX    XX    XX

(21)

T- sin ACB + P₃ sinBCD + Pc sinBCPc = 0, ;

rl\ sin ADB — T, sinBDC — Pd sinPPPd = 0,

XX

2; An ADB + T, sin ADC + Pd sinADPd ^ 0.

Die vier letzten Gleichungen geben die Spannungen T2 und P₆ in Functionen von P₃; durch Substitution in die erste erhält man P, auch in einer Function von P₃. Die Formel (20) kann demnach in einer Function der einzigen Spannung P₃ ausgedrückt werden, so zwar, dass, wenn man deren Differentialquotienten mit Bezug auf diese Unbekannte gleich Kuli werden lässt, man eine Gleichung vom ersten Grade erhält, woraus sich die Spannung sodann berechnen lässt.

Hat man die Spannung P₃ in einer Function von erhalten, so sind durch die Gleichungen (21) alle anderen Spannungen in Functionen derselben Grösse gegeben.

2. Gapitel.

Gefügte Systeme,

1. Definition und Grundbegriffe. — Wir haben bis jetzt die gegliederten Systeme betrachtet, d. h. Systeme, welche ans geraden Stäben zusammengesetzt sind, von welchen jeder einzelne mit den anderen durch Charnière verbunden ist, und zwar an seinen beiden Enden, so dass sich irgend ein Stab um eines dieser Enden frei drehen könnte, wenn das andere frei wäre.

Nunmehr wären die gefügten Systeme zu betrachten, d. h. Systeme, welche aus in einander gefügten, festen Körpern zusammengesetzt sind, so dass irgend einer derselben nicht in der Lage ist, sich um eines seiner Enden zu drehen, selbst wenn das andere frei wäre.

Gefügte Systeme werden auch jene genannt, welche sowohl aus festen, in einander gefügten Körpern, als auch aus Stäben zusammengesetzt sind, welche mittelst Charnieren mit einander und mit diesen festen Körpern verbunden sind.

Wir wollen nun den Beweis liefern, dass der Lehrsatz von den Differentialquotienten der D eformations arb eit und jener von der kleinsten Arbeit für die gefügten Systeme ebenso wie für die gegliederten Systeme Geltung hat.

Zuerst ist es aber angezeigt, einige Aufschlüsse über die moleculare Zusammensetzung der Körper zu geben, wie sie im vorliegenden Werke vorausgesetzt werden.

In gleicher Weise, wie dies seitens der Herren Navier, Poisson, Cauchy, Lamé, Barré de Saint-Venant und der Mehrzahl der Physiker geschehen ist, wird angenommen, dass alle Körper aus sehr kleinen Moleciilen zusammengesetzt sind, welche von einander durch sehr kleine Intervalle getrennt sind.

Wenn man sagt, dass auf die ganze Masse eines Körpers eine Kraft wirkt, wie z. B. die Schwerkraft, so bedeutet dies, dass auf jedes Molecül ein Theil dieser Kraft wirkt, und dass dieser Tlieil proportional zu dessen Masse ist.

Es wird häufig gesagt, dass auf die Oberfläche eines Körpers eine Kraft in der Grösse von p Kilogramm per Quadratmeter vertheilt ist; man will hiemit ausdrücken, dass dem betrachteten Körper ein anderer genähert wurde, dessen Moleciile auf eine äusserst dünne Schichte des ersteren ihren Einfluss üben, so zwar, dass die Resultirende jener Kräfte, welche in einem Elemente io der Trennungsfläche beider Körper thätig sind, gleich top ist.

Diese Betrachtungen zeigen uns, dass ein Körper, welcher, sei es in seiner ganzen Masse, sei es nur in den Molecülen der Oberfläche, durch Kräfte beansprucht wird, als ein System von materiellen Punkten betrachtet werden kann, von welchen jeder durch gewisse Kräfte beansprucht wird.

Ist ein Körper äusseren Kräften nicht unterworfen, so sagt man, er befinde sich in seinem natürlichen Zustande.

Befindet sich ein Körper in diesem Zustande, oder ist er unter der Einwirkung von äusseren Kräften im Gleichgewicht, so wird er sich deformiren, wenn neue Kräfte auf ihn einwirken, und die Entfernungen zwischen den Molecülen werden sich ändern. Hiefür wurde folgender Erfahrungssatz gefunden :

Wenn sich zwei Molecüle eines Körpers einander nähern oder sich von einander entfernen, und zwar um eine im Verhältniss zur ursprünglichen Entfernung ihrer Mittelpunkte sehr kleine Grösse, so entwickelt sich in der Verbindungslinie beider Mittelpunkte eine elastische Kraft, welche proportional ist zur Grösse der Entfernung oder Annäherung, und welche anziehend oder abstossend ist, je nachdem sich die beiden Molecüle einander genähert oder sich von einander entfernt haben.

Dieses Gesetz angenommen, lässt sich aus den folgenden Betrachtungen ersehen, dass alle Körper und alle in irgend einer Weise verbundenen Systeme von Körpern als gegliederte Systeme betrachtet werden können, und dass sie daher dieselben Eigenschaften haben.

Wird in einem Körper, welcher sich unter der Einwirkung gewisser Kräfte im Gleichgewicht befindet, ein Moleciil Vp betrachtet, so müssen sich offenbar alle auf ihn einwirkenden Kräfte auch im Gleichgewicht befinden. Bezieht man diesen Körper auf drei recht winkelige Achsen, deren Anfangspunkt der Mittelpunkt eines Molecüls ist, deren x -Achse durch ein anderes Molecül geht, und deren xy-Ebene ein drittes Molectil enthält, so kann man xp} yp, zp und xą, yą, zą die Coordinaten zweier beliebiger Moleciile Fp und Vq vor der Deformation nennen, und es werden

H⁻ ^p? Uv Vv> zp H⁻ -p und xq j , yą —P yq, zq | Lq

die Coordinaten derselben Moleciile nach der Deformation sein.

apq, ßm, ypq sind dann die Winkel, welche die Strecke Vp Vq vor der Deformation mit den Achsen einschliesst.

Während der Deformation werden sich die zwei Moleciile um die Grösse ÄFq weiter entfernen, und ist dieselbe gegeben durch

(1)

^pq (bq ^p) COSßpq (j]q    tjßj COS ßpq | (uq bp) COS^pq,

die zwischen den beiden Molecülen entstehende elastische Kraft ist

Tpq £pq [(^q    ^p) COS <Xpq “j“ ( f/q Vp) COS/?pq—f— (Lq    -p) COS^pq],    (2 )

wobei £pq ein für jedes Paar von Molecülen verschiedener Coefficient ist.

Nennt man ferner Xv) Yp, Zp die zu den Achsen parallelen Compo-nenten der auf das Molecül Vv wirkenden äusseren Kraft, so ergeben sich die drei Gleichgewichtsgleichungen

ATp -j- Y Tpq cos apq — 0,

(3)

d p + N Tpq COS/?pq = 0,

Zp    2 Tpq cos ypq = 0.

Man sieht nun, dass die Gleichungen (1), (2), (3) dieselben sind, wie sie für die gegliederten Systeme erhalten wurden, so zwar, dass man hieraus dieselben Folgerungen ziehen kann, d. h. dass die Principien und Lehrsätze, welche für die gegliederten Systeme bewiesen wurden, auch für die gefügten Systeme Geltung haben. Wir wollen aber demungeachtet diese Principien und Lehrsätze besonders entwickeln, da sich dieselben für die gefügten Systeme in eine für die Anwendung bequemere Form bringen lassen.

2. Princip der Summirung der Wirkungen. — Dasselbe hat für alle Körper und Systeme von Körpern Anwendung, und zwar in der Weise, dass die durch mehrere äussere Kräfte auf einen Körper oder ein System von Körpern hervorgerufene Wirkung gleich ist der Summe

der Wirkungen, welche die. einzelnen Kräfte hervorrufen würden, falls sie einzeln tliätig wären.

Dieses sehr wichtige Princip kann auch in anderer Weise ausgedrückt werden, indem man sagt, dass die Verrückungen der verschiedenen Punkte, sowie die inneren oder elastischen Kräfte lineare Functionen der äusseren Kräfte sind.

Man muss aber beachten, dass dieses Princip nur so lange Geltung hat, als die gesummte Entfernung oder Annäherung irgend zweier Moleciile noch sehr klein ist im Verliältniss zur ursprünglichen Distanz ihrer Mittelpunkte, denn ohne diese Voraussetzung ist es nicht gestattet, in den Gleichungen (1), (2), (3) die Winkel, welche die Verbindungslinien der Moleciile vor ihrer Deformation mit den Achsen einschliessen, statt jener einzusetzen, welche sie nach der Deformation bilden.

3. Eigenschaft der Deformationsarbeit. — Für alle Körper oder Systeme von Körpern, welche der Einwirkung von beliebigen, in unendlich kleinen Abstufungen von Null bis zu ihren Endwerthen wachsenden Kräften unterworfen icerden, bleibt die Deformationsarbeit dieselbe, wie auch das Gesetz sei, nach welchem diese Kräfte icachsen.

Multiplicirt man die Formel (2) aus Nummer 1 mit — Tm und ver-

2

einigt man sodann die für alle Paare von Molecülen analogen Gleichungen, indem man alle Ausdrücke vereinigt, welche dieselbe Verrückung enthalten, und indem man die Gleichungen (3) berücksichtigt, wie dies in Nummer 10 des ersten Capitels für die gegliederten Systeme geschehen ist, so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit folgende Formel:

H I <?<|

i/yy

Hieraus ergibt sieb die oben angeführte Eigenschaft; denn die Verrückungen £p, rjp; Lp sind nur von den Endwerthen der äusseren Kräfte abhängig.

Nennt man wie in Nummer 10 des ersten Capitels Rp die Resul-tirende der Kräfte Xp, Yp, Zp und rp die relative Verrückung des Angriffspunktes dieser Resultirenden, d. h. die Projection der Verrückung

Ap + Fp yP + Ap Lp — 7tp / p,

des Angriffspunktes auf die Richtung der -Kraft Rv, so hat man wie früher

so dass die Deformationsarbeit des ganzen Systems durch die Formel

(o)

2R,r₉

ausgedrückt wird.

4.    Lehrsatz von den I) i ffe r e nt i a I q u o t i e n te n der Deformations-arheit. Erster Theil. — Wenn man die Deformationsarbeit eines elastischen Körpers oder Systems in einer Function der relativen Verrückung der Angriffspunkte der äusseren Kräfte ausdrückt, so erhält man eine Formel, deren Differentialquotienten mit Bezug auf diese Verrückungen die correspondirenden Kräfte geben.

Zweitel* Theil. — Wenn man andererseits die Deformationsarbeit eines elastischen Körpers oder Systems in einer Function der äusseren Kräfte ausdrückt, so gibt der Differentialquotient dieses Ausdruckes mit Bezug auf eine dieser Kräfte die relative Verrückung ihres Angriffspunktes. •

Für beide Tlieile dieses Lehrsatzes kann man die Beweisführung in der gleichen Weise durchführen wie für die gegliederten Systeme.

5.    Fortsetzung des Lehrsatzes von den Differentialquotienten der Arbeit. — Wenn man die Deformationsarbeit eines elastischen Körpers oder Systems in einer Function der äusseren Kräfte und der Kräftepaare ausdrückt, so erhält man eine Formel, deren Differentialquotient mit Bezug auf ein Kräftepaar die relative Drehung jener Linie gibt, welche die Angriffspunkte der beiden Kräfte des Paares verbindet.

Unter einem Kräftepaar versteht man das System zweier gleicher, paralleler, entgegengesetzt gerichteter und auf die Verbindungslinie ihrer Angriffspunkte senkrechter Kräfte.

Ferner versteht man unter relativer Drehung dieser Linie die Drehung ihrer Projection auf die Ebene des Kräftepaares.

Dies vorausgeschickt, kann dieser Lehrsatz in derselben Weise wie für das gegliederte System bewiesen werden.

C. Erweiterung des Lehrsatzes ron denDifferentialquotienten der Arbeit. — Wir betrachten nun in einem Körper oder System ein kleines Volumen, dessen Molecüle sich in der allgemeinen Deformation sehr wenig von einander verschieben, so dass man die relativen Verrückungen dieser Molecüle im Verhältnisse zu den absoluten Verrückungen vernachlässigen kann. Durch einen Punkt des betrachteten Volumenelementes führen wir sodann drei rechtwinkelige Achsen, welche vor der Deformation parallel sind zu den fixen Achsen der Coordinaten, auf welche das ganze System bezogen wurde, und nennen X, Y, Z die zu den Achsen parallelen Componenten der in einem beliebigen Molecüle des Systems wirkenden äusseren Kraft und £, rj, L die absoluten Verrückungen dieses Molecüles. Das Differentiale der Deformationsarbeit des ganzen Systems kann, wie bekannt, durch jede der beiden Formeln

2(XdÇ+Ydi] + ZdÇ), 2(ßdX + yd Y+'QdZ)

(6)

(?)

ausgedrückt werden, indem man die Summe 2 auf den ganzen Körper oder das ganze System ausdelmt.

Für alle in einem Elemente des betrachteten Volumens enthaltenen Molecüle können die Verrückungen £, rj, £ in Functionen von sechs Grössen ausgedrückt werden, denn der Weg dieses Elementes von seiner ursprünglichen Lage in seine Endlage kann auf folgende verschiedene Arten gebildet werden : durch eine geradlinige Bewegung und eine Drehung; oder durch drei geradlinige Bewegungen £₀, rj₀, c₀ parallel zu den drei fixen Achsen, auf welche man das ganze System bezogen hat, und welche den Anfangspunkt der mobilen Achsen in dessen Endlage bringen; oder endlich durch drei Drehungen 6X, 0y, um diese drei mobilen Achsen, auf welche man das Volumenelement bezieht.

Nennt man x, y, z die Coordinaten eines Molecüles des betrachteten Elementes in Bezug auf die mobilen Achsen, so lassen sich die absoluten Verrückungen mit Hilfe folgender Formeln ausdrücken.

CO

Deren Differentiale sind:

d § = d £₀ + z d Oy —yd 6Z, j dly = d 7]₀ -+• x d Öz — z d 6X d L — d c₀ + y d Öx — x d dy

denn die Coordinaten a?; y, z des betracliteten Moleciiles sind bezüglich der mobilen Achsen constant.

Man erhält also für dieses Moleciil

XdÇ+Ydy + Z dl =

Xd£„ + Ydtjü-\- ZdZd-f- (Zy— Fz) c70x-j- (Xjz — Zx)d0y-f- (Fa? — Ab/) e76Z

und

ÇdX+rjdY+ldZ =

£₀ d X 4- y₀ d Y -f- L₀ d Z -f- (y d Z — z d Y) 6X -{- (z d X — x d Z) 6y

(x d F — yd X) 6Z.

Wir nennen nun SC, ^ S die auf das in Betracht gezogene Element entfallenden Summen der Componenten X, Y, Z der auf alle Moleciile wirkenden äusseren Kräfte und ilfx; My, Mz die Summen der Momente Z y—Yz, Xz — Z x, Yx — Xy dieser Kräfte in Bezug auf die mobilen Achsen. Nachdem die Coordinaten x, y, z diejenigen vor der Deformation sind, so können sie für jedes Moleciil des Elementes als constant betrachtet werden und man erhält

y d Z — z dY — d (Z y — F z) etc. ;

die Summen der sechs Grössen dX, dY, dZ, ydZ — zdY, zdX — xdZ, x dY— yd X sind daher folgende:

dX£, d ôÿ dZ, d Mx, d My, d Mz. Die Summen der Grössen

XdÇ + Ydrj-Y Zdt,

ZdX+ydY 4-LdZ,

auf alle Molecüle des betrachteten Elementes bezogen, sind:

2C c7 £o + d rJO + Z> d L₀ -f- d 6X + My d 0y -f- Mz d 0Z,    (1

d SC + rJ0 d    r₀ d Z + 6X d Mx + 6y d My +6 zd Mz.    ( 1

Die Summe (6), welche das Differentiale der als Function der relativen Verrückung der äusseren Kräfte betrachteten Deformationsarbeit

des Körpers oder Systems gibt;, enthält die Differentiale cZf₀, d rj₍₎, cl c₀, dbx, d9V, <ZQz, da diese Summe auch die Formel (10) enthält; in gleicher Weise enthält die Summe (7), welche das Differentiale der als Function der äusseren Kräfte betrachteten Deformationsarbeit gibt, die Differentiale d 9C, d Qf, d %, d 4/x; d My, d Mz nur aus dem Grunde, weil sie die Formel (11) enthält.

Hieraus ergeben sich die zwei folgenden Lehrsätze:

1.    Die Resultirenden 9C,    % und die resultirenden Momente

Mx, M

y’

Mz sind die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des

Systems mit Bezug auf die Verrückungen |₀, rjQ, L₀ und die Drehun-gen Qx, %, %.

2.    Die drei Verrückungen £₀,    , L₀ und die drei Drehungen 6X,

6y, 9Z sind die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des Systems mit Bezug auf die Resultirenden SC, Qf % und die resultirenden Momente Mx, My, Mz.

7. Zusatz. — Wir betrachten nun ein ebenes Element co auf der Oberfläche eines Körpers oder Systems, welches man auch nach der Deformation des Körpers oder Systems als solches sich denken kann.

Wenn man sagt, dass eine Kraft nur auf die Oberfläche eines Körpers wirkt, so will man damit ausdriicken, dass sie nur auf eine sehr dünne Schichte von Moleciilen nahe an der Oberfläche wirkt; wir nehmen nun an, dass die Dimensionen der Fläche oj im Yerhältniss zu jenen des Körpers oder Systems sehr klein sind, hingegen sehr gross im Ver-hältniss zu der sehr geringen Dicke der oberflächlichen Schichte.

Auf das sehr niedrige Prisma, welches zur Grundfläche das Oberflächenelement oj und zur Höhe die Dicke dieser Schichte hat, kann man die beiden vorangehenden Lehrsätze anwenden, denn wenn auch die auf dieses Prisma wirkenden Kräfte derartige sind, von welchen man sagt, dass sie auf das Flächenelement co wirken, so erkennt man doch, dass sich diese Lehrsätze ebensowohl auf ein Flächenelement, als auch auf ein Körperelement anwenden lassen.

Wenn es sich um ein Flächenelement handelt, so wird im Allgemeinen dessen Schwerpunkt als Anfangspunkt der Coorclinaten, die Normale als x-Achse und die Trägheitshauptachsen als y- und 2-Achse genommen. 6X ist sodann die Drehung der Fläche co um deren Seliwer-punkt und wird Torsionswinkel genannt; 6V und bz sind die Drehungen derselben Fläche um die beiden Trägheitshauptachsen und werden Flexionswinkel genannt. Desgleichen ist Mx das Moment der auf die Fläche co wirkenden Kräfte, und sucht dasselbe diese Fläche um die x -Achse, d. h. um den Schwerpunkt zu drehen; dieses Moment wird Torsionsmoment genannt. My und M} hingegen sind die Momente, welche die Fläche co um deren Trägheitshauptachsen zu drehen suchen, und werden Flexionsmomente oder Biegungsmomente genannt.

8. Lehrsatz von der kleinsten Arbeit. — Wenn die Gleichungen (2) und (3), welche in Kummer 1 des gegenwärtigen Capitels gegeben wurden, in gleicher Weise behandelt werden, wie dies in Kummer 13 und 14 des ersten Capitels geschehen ist, so gelangt man zu folgendem Lehrsätze, welcher jener von der kleinsten Arbeit genannt wird.

Die elastischen Kräfte, welche nach der Deformation des Körpers oder Systems zwischen den Moleciilpaaren auftreten, sind jene, welche die Deformationsarbeit zu einem Minimum machen, insoferne man jene Bedingungsgleichungen berücksichtigt, welche ausdrücken, dass zwischen diesen Kräften um jedes Molecül Gleichgewicht herrscht.

Dieser Lehrsatz hat eine grosse Wichtigkeit.

Es empfiehlt sich aber, hier einige Betrachtungen anzuschliessen, um dessen Gebrauch zu zeigen, denn es ist klar, dass man nicht wie für die gegliederten Systeme für jeden Eckpunkt, d. h. für jedes Molecül die drei Gleichgewichtsgleichungen aufstellen kann.

Im Allgemeinen tritt für Körper oder Systeme der Fall ein, dass die Unbekannten, welche man kennen muss, um den Werth der elastischen Kraft in einem beliebigen Punkte zu finden, entweder die resultirenden Kräfte und Momente der zwischen gewissen inneren ebenen Flächen thätigen Molecularkräfte oder aber die Reactionen der besonderen Bedingungen unterworfenen Punkte oder Flächen sind. Die Deformationsarbeit des Systems kann in einer Function dieser Unbekannten ausgedrückt werden. Hat man zwischen diesen einige Bedingungsgleichungen, so kann man sich derselben bedienen, um in dem Ausdrucke für die Arbeit eine gleiche Anzahl von Unbekannten zu eliminiren. Die verbleibenden Unbekannten, welche Functionen der Molecularkräfte sind, dienen sodann dazu, die Spannung in irgend einem beliebigen Punkte des Körpers oder

Systems auszudrttcken, cl. k. um die elastischen Kräfte zwischen allen Paaren von Molecülen zu bestimmen; nachdem diese elastischen Kräfte die Deformationsarbeit des Systems zu einem Minimum machen müssen, folgt daraus, dass das Gleiche auch für die Werthe der Unbekannten, in deren Functionen man diese Arbeit ausgedrückt hat, ein treffen muss.

Man kann nun den Lehrsatz von der kleinsten Arbeit in einer viel allgemeineren Weise ausdriicken, indem man sagt, dass, welches auch die unbekannten Grössen sind, in deren Functionen man die Deformationsarbeit eines Systems ausgedrückt hat, die Werthe, welche dieselben nach der Deformation des Systems haben, derartige sind, dass sie unter Berücksichtigung der zwischen ihnen stattfindenden Bedingungsgleichungen diese Arbeit zu einem Minimum machen.

3. Capitel.

Allgemeine Gleichungen des Elasticitätsgleichgewichtes

fester Körper.

1. Deformation der Körper. — Wir betrachten nun einen Körper in seinem natürlichen Zustande und beziehen denselben auf drei rechtwinkelig auf einander stehende Achsen, deren Anfangspunkt mit einem Molectil des Körpers zusammenfällt, deren x-Achse durch dieses Molecül selbst und durch ein anderes geht, und deren -Ebene diese zwei und ein drittes Molecül enthält.

Von diesem Körper fassen wir ein parallelopipedisches Element ins Auge, dessen Kanten A x, Ay, Az parallel zu den drei Achsen sind, und welches eine sehr grosse Anzahl von Molecülen enthält, welch’ letztere aber alle sehr klein sind.

Wirkungs- oder Actionssphäre eines Moleciiles nennen wir jene Sphäre, welche ihren Mittelpunkt in diesem Molecül hat, und welche alle Moleciile umfasst, auf welche ersteres seine Wirkung ausübt. Der Halbmesser dieser Sphäre ist mit der Molecularentfernung vergleichbar und daher sehr klein.

Die Kanten Ax, Ay, Az des elementaren Parallelopipedons sind, wenn auch sehr klein, dennoch verhältnissmässig gross in Bezug auf den Halbmesser der Actionssphäre der Moleciile, so zwar, dass, wenn man auf der Oberfläche des Parallelopipedons eine Schichte betrachtet, welche diesen Halbmesser zur Höhe hat, das Volumen derselben im Vergleich zu jenem des Parallelopipedons verschwindend klein ist.

Lässt man auf den in Betracht gezogenen Körper irgend welche Kräfte einwirken, so wird sich derselbe deformiren, und dessen Moleciile werden sich verschieben. Die von Lamé und von Barré de Saint-Venant gewählten Bezeichnungen beibehaltend, nennen wir u, v, io die Verrückungen parallel zu den Achsen eines beliebigen Moleciiles, dessen ursprüngliche Coordinaten x, y, z sind. Diese Verrückungen sind Functionen der Coordinaten.

Dies vorausgesetzt, nehmen wir nun in dem sehr kleinen Parallelo-pipedon eine Strecke an, welche die Länge r hat, die Mittelpunkte zweier Molecüle verbindet und mit den Achsen die Winkel «, ß, y einschliesst. Die ursprünglichen Coordinaten des einen dieser Molecüle sind x, y, z7 die des anderen

x + r cos «,

y -f- r cos/?,

z -f- r cos y.

Da die Verrückungen des ersten Molecüles parallel zu den Achsen

u, v, ic sind, so werden, wenn man jene Ausdrücke vernachlässigt, welche

Werthe der Grössen r cos «, r cos/? und r cos y vom höheren als vom

ersten Grade enthalten, die Verrückungen des zweiten Molecüles folgende

,    . d u

U = U -j--V cos«

sein :

dy

r cos/? -j-

r cos/,

V — V -f-

r cos« H--r cos/? -\--r cos/,

(1)

r cos« 4-

-— r cos/? -j-

dy

d ic

-r cos/.

2. Specifische Dehnung. — Die totale Verlängerung der Strecke r wird durch nachstehende Formel ausgedrückt:

(2)

(V— u) cos« 4"    — v) cos/? 4- (w — iv) cos/.

Die Verlängerung derselben jper Längeneinheit, d. i. die specifische Dehnung des festen Körpers im Punkte (x, y, z) in der Richtung (a, ß, y) ist sodann gleich der totalen Verlängerung, getheilt durch die ursprüngliche Länge. Nennt man also die oben defmirte Dehnung dr und setzt für u— u, v— v7 iv—iv die durch die Formel (2) gegebenen Werthe ein, so ergibt sich

d v _ d iv

cos²« 4

dy

cos²/? 4

d iv

cos²

f d iv    du\    , f

i--h —- cos/ cos« 4-

\dx clzj    V

^ cos/? cos/ I

COS« COS/?. I

}(3)

d y d x

Durch successive Anwendung dieser Formel auf die drei zur x-₇ y-und 2-Achse parallelen Richtungen erhält man die drei correspond]rennen specitischen Dehnungen

d x;

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

dy

(4)

(1 +d₇)Jy,

Hieraus folgt, dass die drei Kanten des Parallelopipedons nach der Deformation die Längen

(1 4- dx) J x,

(1 + 3.) d z

haben werden, und dass hei Vernachlässigung der Producte je zweier Dehnungen dessen Volumen

(1 + 9X -f- dy + 9Z) J x J y A z

sein wird, woraus sich die Vergrösserung des Volumens mit (d*4-dy+ <?■) dx/ly/lz

ergibt; die cubische specifische Dehnung, welche wir 6 nennen wollen, d. li. die Dehnung auf die Volumeinheit bezogen, ist daher

(5)

du, dv , dw

dy

3. Verschiebung. — Wir betrachten nun in dem Parallelopipedon ein drittes Moleciil, welches eine derartige Lage hat, dass vor der Deformation die Verbindungslinie s dieses Molecüles mit dem ersten Moleciil senkrecht ist auf der Strecke r, welche das erste Moleciil mit dem zweiten verbindet.

Der Winkel, welchen die beiden Strecken r und s einschliessen, sei nach der Deformation ein spitzer und dessen Cosinus gleich dem Sinus der Abnahme des rechten Winkels oder auch dieser Abnahme seihst, nachdem es sich um einen sehr kleinen Winkel handelt.

Diese Abnahme ist die Summe zweier kleiner Grössen, um welche der rechte Winkel kleiner geworden wäre, wenn jede der beiden Strecken r und s für sich die Richtung geändert hätte, während die Richtung der anderen dieselbe gebliehen wäre.

Um also die Grösse zu bestimmen, um welche der rechte Winkel kleiner wird, wenn die Strecke r allein die Richtung ändert, muss man die drei Verrückungen des Endpunktes dieser Strecke auf die ursprüngliche Richtung der Strecke s projiciren und die Summe der drei Projectionen durch die Endlänge der Strecke r dividiren oder auch durch die ursprüngliche Länge selbst, indem man die Grössen zweiten Grades gegenüber jenen des ersten Grades vernachlässigt. Nennt man a, ßs, y die Winkel, welche die Strecke s mit den Achsen bildet, so hat man folgende Formel, um den oben bezeichneten kleinen Winkel auszudrUcken:

— cosa S

dy

cos/? -f- — cos/') cos a' d z J

. ( d v    . d v

4- I — cos a H--cos /?

\dx    d

f dio    . d

( — cosa -j— \d x    d

As g

dy

COS/? 4

Aj Aj

CS

cos/

J COS/?'

cos/j cos/’.

Die Grösse, um welche der rechte Winkel abnehmen würde, wenn nur die Strecke s ihre Richtung¹ geändert hätte, wird durch die vorhergehende Formel ausgedrückt, indem man darin die Winkel a, /?, / in a', /?', /' und umgekehrt ändert; man erhält somit:

cosa' -j--cos/?'d

4- f— cosa'4

\dx

cs AS

4~

fd io

I — cosa 4-\d x

Aj Aj

cos/?' 4

Aj Aj

COS/'J cos«

dy

cos/?' 4

Aj Aj

COS/

J cos/?

COS/'^j cos/.

Indem man die Summe dieser zwei Ausdrücke bildet, erhält man für die Abnahme des ursprünglich rechten Winkels folgende Formel:

d u

9™= 2

cosa cosa' 4- 2 -— cos/? cos/?' 4- 2

dy

cos/ cos/'

dv . d io

4-

Aj Aj

Aj Aj

Aj Aj

Aj Aj

J (cos/? COS/' 4- COS/?' cos/) — j (cos/ cosa' 4- cos/' cosa)

zj

J (cosa cos/?' 4- cosa'cos/?).

(6)

dy d x

Diese Grösse grs werden wir Verschiebung nennen, und lässt sich dieselbe von zwei verschiedenen Seiten ins Auge fassen; denn da man ein Rechteck hat, dessen zwei Seiten die Strecken r und s sind, so sieht man, dass dieses Rechteck nach der Deformation ein Rhombus sein wird, und man kann sagen, dass diese Deformation sowohl durch die Verschiebung der zwei Seiten r, als auch der zwei Seiten s gegen einander

entstanden ist; aber in beiden Fällen wird der Cosinus des Winkels zwischen den Strecken r und s nach der Deformation das Mass für die Verschiebung sein. Wendet man die Formel (6) auf den Fall an, wo die Strecken r und s parallel zu den Achsen sind, indem man sie zuerst parallel zur y- und z-Achse, sodann parallel zur z- und cc-Achse und schliesslich parallel zur ce- und //-Achse sein lässt, so erhält man

d w

du, dv

die , du d z’

Mit Hilfe dieser und jener in vorhergehender Nummer gegebenen Kelationen kann man die Ausdrücke 3r und grs in folgender Form schreiben:

3r == 3X cos²« -j- 3y cos²/? -j- 9Z cos²/ -j- gyz cos/? cos/

+ fjzx COS / COS« 4* ⁽Jxy cos« cosß,

grs — 2 3X cos« cos«' -f- 2 3y cos/? cos/?' -f- 2 3Z cos/ cos/'

4- gyz (cos/? cos/' -j- cos/?' cos/) -J- gzx (cos / cos«' + cos/' cos«) (9)

-j- </xy(cos« cos/?' -}- cos«'cos/?).

9r-

dy

9 zu

9*y =

• (?)

(8)

Diese Formeln dienen dazu, um die drei specifischen Dehnungen 3,, 9y, 9Z und die drei Verschiebungen gyz, gzx, gxy in Functionen der drei

specifischen Dehnungen 3X», dz, und der drei, auf drei andere rechtwinkelige Achsen bezogenen Verschiebungen gy'z>, g₇/x>, gX’y> auszudrücken. Hiebei ist hauptsächlich jener später sehr nützlich werdende Fall zu prüfen, wo nämlich die ce'-Achse mit der ce-Achse zusammenfällt, und wo daher die y- und z- Achse in die y z-Ebene fallen. Aus nebenstehender

iz

z'

\8

~Y'

Fig. 7.

Figur lässt sich ersehen, dass in diesem Falle die x-Achse mit der ce'-, y'-} z-Achse die Winkel 0°, 90°, 90° einschliesst, die y -Achse die Winkel 90°, — /?, — (90 -f- /?), und endlich die z-Achse die Winkel 90°, 90 — /?, /?.

Durch Substitution in die Formeln (8) und (9), und nachdem man auf der rechten Seite ce, y, z in ce', y, z verwandelt hat, erhält man:

Sx = Sx',

3y = dy, cos²/? -j- Sz> sin²/? — gy>z> cos/? sin/?,

3Z — 9y, sin²/? -f- 9Z, cos²/? + SW cos/? sin/?, gyz = 2 (3y, — dj) cos/? sin/? + &v (cos²,? — sin²/?),

&x = 0z'x' COS/? -f sin/?; g,y = — ^z'x' sin/? + flrxv cos,?.

4. Deformationsarbeit des sehr kleinen Parallelopipedons.

— Nehmen wir in dem elementaren Parallelopipedon, dessen Kanten Ax, A y, Az sind, die kleine Strecke r an, welche zwei sehr nahe Molecttle verbindet, so wird diese Strecke bei der Deformation wachsen, und zwar von der ursprünglichen Länge r bis zum Werthe r (1 -f~ 3r), und ebenso wird die Spannung zwischen den beiden Molecülen proportional zur specifischen Dehnung zunehmen, so zwar, dass, wenn die angenommene Strecke die Länge r -j- o hat, wobei o eine Grösse kleiner als r 3r ist, die Spannung zwischen den beiden Molecülen so sein wird; hiebei ist e ein für jedes Paar von Molecülen constanter Coefficient, welcher aber für die verschiedenen Paare auch verschieden ist.

Die Deformationsarbeit der Strecke r ist also

f T e g d g = —e r² d², JO    2

und wenn man für 3r den durch die Formel (8) gegebenen Werth einsetzt

— € r² (3X cos²« -f- 3y cos²/? -f- dz cos²/ -f- gyz cos/? cos/ 2

+ g„ cos/ cos« -f- gxy cos« cos,?)²,

welcher Ausdruck nach Durchführung des Quadrates und nach Zusammen-ziehung jener Ausdrücke, welche gleiche Producte von cos«, cos/?, cos/ enthalten, schliesslich fünfzehn verschiedene Ausdrücke enthält.

Um die Deformationsarbeit des ganzen Parallelopipedons zu erhalten, muss man die für alle anderen Molecüle analogen Formeln addiren. Strenggenommen muss man eigentlich auch einen Theil der Deformations-arbeit jener Paare von Molecülen hinzufügen, welche eines der Molecüle im Parallelopipedon selbst, das andere ausserhalb desselben haben. Für jedes dieser Paare» erhält man einen dem vorhergehenden analogen Ausdruck ; aber da man nur einen Theil der Deformationsarbeit dieser Paare nehmen darf, so kann man diese multiplicirenden Bruchtheile als in der Constanten e aufgenommen betrachten;, so dass die Form des Ausdruckes nicht geändert wird.

Für alle Paare von Molecülen, welche man betrachten muss, um die Deformationsarbeit des Parallelopipedons zu erhalten, ist die Summe der Werthe der Coëfficienten er²cos⁴« proportional dem Volumen dieses Elementes. Das Gleiche findet für die anderen Coëfficienten statt. Wenn man zur Vereinfachung

Ax A y dz — 10

setzt, so kann man folgende Gleichungen aufstellen:

2er²cosia = wal‘₇

2e r² cos⁴/? = 10 a₂ ;

2er² cos⁴/ = 10 «₃;

2e r² cos²/? cos²/ = wbl- 2e r² cos²y cos²a = 10 b₂ ; 2er² cos²« cos²/? = 10 b₃• 2e r² cos²« cos/? cos/ = w Cj ;

2er² cos « cos²/? cos y = w c₂ ;

2e r² cos« cos/? cos²/ = w c₃ ;

2 e r² cos/? cos³ y — 7Ô ey ; 2e r² cos³« cos / = w e₂ ; 2er² cos« cos³/? = w e₃ ; 2£r²cos³/?cos/ = w/,; 2e r²cos«cos³/ = w/₂; 2e r²cos³«cos/? = töf₃ ;

«,, *2; *3; ^1;    ■ sind fünfzehn numerische Coëfficienten, welche von

einem Punkte des festen Körpers zum andern veränderlich sind, sobald derselbe nicht homogen ist, welche aber für jeden Punkt constant bleiben.

Mit diesen Benennungen wird die Deformationsarbeit des Parallelopipedons durch folgende Formel ausgedrückt:

to I £ I

«i ⁹-x² + «2 ³v² + «3 ³z² + hi (2 ³v ³z + V-²) + h (2 3Z 3X H- <7zx²) + ^3 (2 3X 3y + </iy²) + 2 q (3X </vz + f/zx ^xy)

(H)

~T~ 2 C2 ( 3y f/zx + //yz ^/-xy) 4~ 2 Cg (3Z </xy “f~ (Jyz [f zx)

+ 2 e, 3Z gyz + 2e₂3x g2X + 2 e₃ 3y ^xy + 2/, 3y #yz

H“ 2/2 3 <jzx + 2/g 3X xx•

5. Elastische Kräfte, welche in den Flächen des Parallelopipedons wirken. — Wir betrachten nun jene zwei Flächen des Parallelopipedons, welche senkrecht sind zur «-Achse und deren Fläche A y A z ist, und bezeichnen mit A die Fläche, deren Abscisse x ist, und mit A' die parallele Fläche, deren Abscisse x -f- A x ist. Ferner denken wir uns von beiden Seiten der Fläche A zwei sehr dünne Schichten, deren

Dicke gleich ist dem Halbmesser der Wirkungssphäre der Molectile und daher im Verhältnisse zur Grösse der Kante Ax des Parallelopipedons vernachlässigt werden kann. Die Molecularkräfte zwischen den beiden Schichten sind diejenigen, welche man als auf der Fläche Ay Az wirksam betrachtet; jede dieser Molecularkräfte kann in drei Kräfte parallel zu den Achsen zerlegt werden, und wir wollen die auf die Flächeneinheit entfallende Summe der zu den Achsen parallelen Componenten

r* y)

nennen, indem wir durch den ersten Index die Achse bezeichnen, auf welche die betrachtete Fläche senkrecht steht, und durch den zweiten jene Achse, zu welcher die Componente der auf diese Fläche wirkenden Kraft parallel ist. Wir nennen nun elastische Normalkraft die Kraft pxx, welche auf der Fläche AyAz senkrecht ist, und elastische Tangentialkräfte die beiden anderen Kräfte pxy, pxz, welche parallel zu dieser Fläche sind. Die in der Fläche Ä wirkenden elastischen Kräfte sind

cl pxy

Pxx +

d p„

Ax,

~^Ax,

x

Pxz +

dp„

Ax;

dieselben reduciren sich auf p%x, pxy, />sz, wie in der Fläche A, wenn

cfp^

man die sehr kleinen Werthe

Ax etc. vernachlässigt, was man

thun muss, sobald man den Ausdruck der Kräfte pxx, pxy, pxz in Functionen der drei specifischen Dehnungen und der drei Verschiebungen sucht.

Wenn man die beiden auf die y-Achse senkrechten Flächen B und B' betrachtet, so werden die auf die Flächeneinheit entfallenden elastischen Kräfte folgende sein:

Pyxj

Py* 1

Pyy>

in ähnlicher Weise erhält man für die beiden auf die s-Achse senkrechten Flächen C und C

Pzy>

P~7

Um nun diese neun Kräfte in Functionen der drei specifischen Dehnungen und der drei Verschiebungen ausgedrückt zu erhalten, muss man zuerst beachten, dass sich die gegenseitige Lage der beiden Flächen A und A in der Richtung der æ-Achse um die Grösse 3X A x, in der Richtung der y- und 2-Achse um die Grössen gxy A x und azx A x ändern

P zz-

wird. Nimmt man also die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des Parallelopipedons (letzte Formel von Nr. 4) mit Bezug auf die relativen Verschiebungen 3X Ax, gxy Ax, gzx Ax, so erhält man die absoluten Werthe der auf die Fläche A y Az wirkenden Kräfte, und durch Division dieser Ditferentialquotienten durch das Product A y A z ergeben sich die Werthe von pxx, Pxy, px?.- Man sieht daraus, dass diese letzteren die durch das Volumen tö = AxAyAz getheilten Ditferentialquotienten der Deformationsarbeit des Parallelopipedons mit Bezug auf dx, gsy und gzx sind.

In ähnlicher Weise sind die Kräfte

Pyx) Pyyj Pyz) und pz-zj JPz y) P zz

die Ditferentialquotienten desselben Ausdruckes mit Bezug auf die Grössen

(jxy ; ^yj Qyz Ulld £/zx; 9yz) 4 ]

hieraus folgt unmittelbar, dass sich die neun Kräfte auf sechs verschiedene reduciren werden, denn man kann nur sechs Ditferentialquotienten bilden und erhält somit

P*z Pzzj

Pv—Pyz-

Pyx Pxy;

Künftig wenden wir immer die Bezeichnungen pxy, pZK, pyz an, um ebensowohl    die auf die    Flächen A, C, B    bezüglichen, zur y-, x-    und    2-A dise

parallelen    Tangentialkräfte, als auch    die auf die Flächen B,    A,    C    bezüg

lichen, zur x-, z- und y-Achse parallelen Tangentialkräfte darzustellen.

Die in der oben angedeuteten Weise gesuchten Ausdrücke der sechs elastischen Kräfte ergeben sich dann in folgender Weise:

Txx — ai ax 4- h ay + 3z ff Cj gyz + e₂ gzx ff ff gxy,

l>yy = ^3 ax + ai dy + hi az +/i    +    Cj gzx + e₃ gxy,

y’ (12)

Pzz =    K + Jh ³y 4- a314- ei dy* 4-/₂ 9zz 4- c3 g*

y;

Pyz = c,    dx ff ff 3V ffe{d₇    ff by gyz + c₃ gzx ff c₂ gx:

y;

pzx = e₂ 3x ~j- c₂ dy ff ff 3Z + c₃ gyz + b₂ gZK + c, gx pxy = ff ax ff e^y ff c₃ 3Z ff c₂ gyz + c, gzx ff b₃ gxy.

Die drei ersten Gleichungen geben die elastischen Normalkräfte, die drei letzten hingegen die Tangentialkräfte.

Es sei hier wiederholt, dass in diesen Gleichungen nur fünfzehn verschiedene numerische Coëfficienten Vorkommen.

Ferner ist es noch wichtig anzuführen, dass, da die sechs elastischen

Kräfte die Differentialquotienten des mit ~ multiplicirten Werthes in dem

Ausdrucke für die Deformationsarbeit des parallelopipedischen Elementes mit Bezug auf 3X, 3y, 3Z, gyz, gzx, gxy sind, und da dieser Werth andererseits eine homogene Function zweiten Grades von 3X, 3y, 3Z, gyz, gzx, gxy ist, man den Ausdruck für die Deformationsarbeit des Elementes w auch in folgender Form schreiben kann:

(pxx °x “1“ Pv? ^y ~ł“ P™ ^z Pyz ⁽Jyz ~ł~ Pzx 0ZX “1“ pxy ⁽Jxy))

was sich übrigens leicht nachweisen lässt.

6. Aenderung der elastischen Kräfte eines festen Körpers von einem Punkte zum anderen. — Aus Obigem ist zu ersehen, dass die auf die Flächen A, B, C, A', B', C des betrachteten Parallelo-pipedons wirkenden elastischen Kräfte folgende sind:

auf A:

Pxx: Pxy) P’zxf

auf Ä: pxx A

d pxx

A x, p%7 -f

dpx y

A x, pzx -f

dpzx

A x\

auf B:

Pxy; Pyyy Pyz?

auf B'\

Pxy

dpxy

dPyy

dy

Ay, PyzA-

d py z

Ay,

auf C:

auf C: pZK-f-

dpz

- A z, py7. -f

Pzxj Py z; P ZZ7

d Py

A z, pzz -f

dp«

A z.

Zwischen diesen auf die Flächen des Parallelopipedons wirkenden elastischen Kräften und den äusseren Kräften, welche auf die ganze Masse wirken, wie die Schwerkraft, muss Gleichgewicht herrschen.

Nennen wir X₀, Y₀, Z{) die zu den Achsen parallelen Componenten der auf das Element oi = Äx A y A z wirkenden äusseren Kraft, auf die Masseneinheit bezogen, und q das specifische Gewicht des Körpers im Punkte (x, y, z), so sind die effectiven Werthe der auf das Parallelo-pipedon wirkenden äusseren Kraft

X₀ q Ax A y Az,

ZQ q Ax A y Az.

Y₀ q Ax A y Az,

P Q zo = 0.

Für das Gleichgewicht des Parallelopipedons muss die Summe der zu einer Achse parallelen Componenten aller Kräfte, welche auf dasselbe wirken, gleich Null sein; wenn man z. B. die zur «-Achse parallelen Componenten betrachtet, so erhält man folgende Wertlie :

pxx A y Az u. auf die Fläche A': ^psx+—^

B: —pxy Az Ax

C: —pzx Ax A y

auf die Fläche A : —

C:

Ax

j Ay Az-

P*y

dy

Az Ax\

" A z^ Ax Ay

und für die ganze Masse des Parallelopipedons X₍₎ q Ax Ay Az.

Die Summe aller dieser Kräfte gleich Null gesetzt und durch das Volumen A x A y A z dividirt, gibt die erste der drei folgenden Gleichungen, während man die beiden anderen auf gleiche Weise erhält:

d pxx , d pxy , dpzx

dy

f- Q X₀ — 0,

dpxy . d pyy dpyz

dy

t-er„=o,

(13)

dpZK dpya dp_ d x d y dz

Für das Gleichgewicht des Parallelopipedons müssen auch die Summen der Momente der Kräfte in Bezug auf drei rechtwinkelig auf-einanderstehenden Achsen gleich Null sein. Führt man diese drei Achsen durch den Mittelpunkt des Parallelopipedons und parallel zu den Coordinatenachsen, so geben die Kräfte V₀, F₀, Z₀ keine Momente, denn deren Resultirende geht durch den Mittelpunkt des Parallelopipedons, da die Kräfte auf die ganze Masse desselben gleichmässig vertheilt sind. Ebenso sind die auf jeder Fläche wirkenden elastischen Kräfte gleichmässig vertheilt und können also als im Mittelpunkte wirkend betrachtet werden ; ferner geben auch die auf die Flächen normalen elastischen Kräfte mit Bezug auf die drei Achsen kein Moment.

Denkt man sich die zur «-Achse parallele Momentenachse, so werden die Ebenen A und Ä durch dieselbe in ihren Mittelpunkten getroffen

und die daselbst wirkenden elastischen Kräfte geben kein Moment. In den Flächen B und B' hat man nur die beiden Kräfte

pyz Az Ax,

dp

dy

j Ay^ Az Ax,

welche das Parallelopipedon um die cc-Achse zu drehen suchen ; wird der

A x A y A z vernachlässigt;, so erhält man ein Kräftepaar, dessen Hebelarm A y und dessen Moment daher

pyz Ax A y Az

sehr kleine Werth

d pyz

dy

ist. Für die Flächen C\ C geben die Kräfte

dp}

— pyzAx A y,

p A x A y^ Ax Ay

ein Kräftepaar, welches das Parallelopipedon im entgegengesetzten Sinne zu dem letztgenannten Kräftepaar zu drehen sucht, und dessen Moment

— pyz Ax A y A z\

ist. Diese beiden Kräftepaare heben sich auf, und es herrscht daher in Bezug auf die zur cc-Achse parallele Momentenachse Rotationsgleichgewicht.

Bezüglich der anderen zwei Achsen gelangt man zu denselben

Resultaten.

Die drei Gleichungen (12) sind daher für das Elasticitätsgleich-gewicht irgend eines Körpers oder Systems genügend. Wie man aus den Formeln (4), (7) und (12) ersieht, sind die sechs elastischen Kräfte pxx, pyy, etc. Functionen der drei Verrückungen u, v, w, so dass man durch Integration der drei erhaltenen Gleichungen diese drei Verrückungen in Functionen der Coordinaten erfahren kann, worauf die oben angeführten Gleichungen jdie Werthe der elastischen Kräfte in irgend einem Punkte geben.

Wenn ein Körper nur durch Kräfte, welche auf seine Oberfläche vertheilt sind, und nicht durch eine Kraft, welche wie die Schwerkraft auf die Masse wirkt, beansprucht wird, so hat man X₀ = 0, Y₀ = 0, Z₀ = 0, und die allgemeinen Elasticitätsgleichungen erhalten folgende Form:

d p*x , d pxy dpzx

0,

dy

d P*y d pyy d pyz

dy

= 0,

(14)

= 0.

d pzx , d pyz , d pzz dx dy dz

Jener Fall, dass die Masse eines Körpers durch keine Kraft beansprucht wird, kann zwar nicht stattfinden, da die Schwerkraft immer vorhanden ist, aber man kann zufolge dem Principe der Summirung der Wirkungen den Einfluss der auf die Oberfläche wirkenden Kräfte und derjenigen, welche auf das Innere wirken, wie die Schwerkraft, gesondert betrachten und erkennt, dass die Formeln (13) dazu dienen, die elastischen Kräfte zu bestimmen, welche durch die auf die Oberfläche wirkenden äusseren Kräfte entstehen.

7. Componenten der elastischen Kraft, welche in einer gegen die Achsen geneigten kleinen Fläche auftritt. — Man denke sich in der Mitte des festen Körpers einen kleinen Tetraeder, dessen drei in dem Eckpunkte (x, y, z) zusammenkommenden Kanten parallel zu den Achsen sind, und welcher eine solche Gestalt hat, dass die von diesem Eckpunkte aut die gegenüberliegende Fläche gefällte Senkrechte die Winkel «, /?, / mit den Achsen bildet.

Kennt man diese sehr kleine Fläche co, so werden die drei anderen Flächen, welche senkrecht auf die Achsen sind, ausgedrückt durch

co cos «, io cos/?, to cos y und die in diesen drei Flächen wirkenden Kräfte durch

pxx • co cos «, pxy. o) cos«,

'pzx • O) cos«,

pzx. co cos y, Pyz ■ co cos/, pzz . co cos/;

Pxy. co cos/?,

Pyy . CO COS/?,

pyz. co cos/?,

in Folge dessen erhält man, wenn die zu den Achsen parallelen Componenten der auf die Flächeneinheit bezogenen, längs der Fläche co thä-tigen elastischen Kräfte X, Y, Z genannt werden, und wenn die Bedingung berücksichtigt wird, dass für das Gleichgewicht die Summe der zu jeder Achse parallelen Componenten gleich Kuli sein muss, folgende drei Gleichungen :

X = pxx cos« 4- pxy cos/? + plx cos /,

(15)

Y = pzy cos « -f - pyy cos/? -f- pyz cos/,

Z = 2}zx cos « + pyz cos/? + i>zz cos/.

Diese Gleichungen dienen dazu,, um die elastischen Kräfte zu bestimmen, welche auf die Flächen eines Parallelopipedons thätig* sind, dessen Kanten parallel zu drei neuen rechtwinkeligen Achsen sind.

Wir werden nur den einen Fall untersuchen, wo die æ-Achsen zusammenfallen und wo die y'- und F-Achse mit der y- und z-Achse den Winkel ß einscldiessen (s. Fig. 7, S. 52). Betrachtet man zuerst die Fläche des neuen Parallelopipedons, welche senkrecht auf die æ-Aclise ist, so muss man in den Gleichungen (15)

cos/? = 0,

cos/ = 0

cos« = 1, machen und erhält sodann

X = pxx,

Z =P,xj

für die auf die neuen Achsen bezogenen Kräfte erhält man

px'x' - Pxx?

Ps'y' =Pzx »hl/? + pxy COS/?,

Pz’x' = pzx cosß—pX7 sin/?.

Wenn man sodann die auf die y-Achse senkrechte Fläche des Parallelopipedons betrachtet, so muss man in den Gleichungen (15)

cos« = 0,

machen und erhält

COS/? = COS/?,

cos/ = sin/?

X — pxy cos/? H- pzx sin/?,

Y — pyy cos/? 4- pyz sin/?,

Z = pyz cos/? 4- pzz sin /?, woraus folgt, dass die Componenten der in der betrachteten Fläche sich geltend machenden elastischen Kraft in der Richtung der neuen Achsen in folgender Weise ausgedrückt werden können:

Px'y> = X = pxy cos/? 4-Pzx sin/?,

pyfyf — Y cosß 4- X sin/? —pyy cos⁷/? 4~ 2^>yz sin/? cos/? 4-Pzz sin²/?, pyz< = — Y sin/? 4- X cos/? = (—pyy -f-pzz) sin ß cos/? 4~pyx (cos²/? — sin²/?).

Wenn man schliesslich die zur z-Achse senkrechte Fläche des Parallelopipedons betrachtet, so findet man die Ausdrücke für pz>x>, py'₇/>

pz,z>, und nachdem die zwei ersten schon erhalten wurden, erübrigt nur noch den dritten aufzuschreiben, d. i.

pz>z> = pyy sin²/? — 225yz sin/? cos/? -f- pzz cos²/?.

Durch Zusammenstellung der vorhergehenden Resultate ergeben sich nachfolgende sechs Gleichungen, um die elastischen Kräfte in Bezug auf die neuen Achsen auszudrücken:

jPx'x' -Pxxy

iV/ — Vyy cos²/?    2pyz sin/? cos/?    pzz    sin²/?,

(16)

Pz'z' = Pyy sin²/? —    2pyz sin/? cos/?    y>zz    cos²/?,

= (—pyy sin/? cos/? -f-lbz (cos²/? —sin²/?),

Pz'x' =i>*x COS/? —pXy sin/?,

iVy' = JVX sin/? -f    cos/?.

8. Vereinfachung der die elastischen Kräfte ausdriickenden Gleichungen (12), sobald die Körper gewisse mechanische Eigenschaften besitzen. Erster Fall. — Der Körper sei homogen und habe in jedem Punkte eine zur y z-Ebene parallele Symmetrieebene seines Gefüges.

Ein Körper hat dann eine zu einer gegebenen Ebene parallele Symmetrieebene seines Gefüges, wenn jede zu dieser Ebene parallele Deformation in zwei zu obgenannter Ebene symmetrischen Flächen gleiche elastische Kräfte hervorruft. Sehen wir nun, welche Form die Ausdrücke (12) für die Kräfte pxx, pyy, etc. annehmen, wenn die Symmetrieebene parallel zur y z-Ebene ist, d. h. senkrecht auf die æ-Achse.

Wir betrachten in einem Punkte zwei zu dieser Ebene symmetrische Flächen und nennen a, /?, y die Winkel, welche die Senkrechte auf eine derselben mit den Achsen einschliesst, und in Folge dessen sind 180° — a, /?, y die Winkel, welche die Senkrechte auf die andere mit denselben Achsen bildet.

Die Componenten X: Y, Z der elastischen Kraft in der ersten Fläche sind durch die Gleichungen (15) gegeben und diejenigen X', Yj Z in der zweiten Fläche durch dieselben Gleichungen (15), indem man 180° — a für a einsetzt, d. h. indem man cos a in —cos« ändert. Wenn aber die Deformation des Körpers symmetrisch zur y z-Ebene ist, müssen

unserer Annahme zufolge die Kräfte X', Y'} Z' mit den Kräften X, Y, Z gleich und symmetrisch sein, d. h. es muss sein

Y'z=Y,

Drückt man diese Bedingungen mit Hilfe der Gleichungen (15) und derjenigen aus, welche man aus jenen ableitet, indem man cos« in — cos a ändert, so erhält man

Pzk = 0,

X'= — X,

Z' = z.

Pxy = 0.

Damit eine Deformation in Bezug auf die yz-Ebene symmetrisch sei, darf dieselbe nur aus den drei specifischen Dehnungen 3X, 3y, 3Z und der Verschiebung gyz zusammengesetzt sein, so dass die allgemeinen Ausdrücke (12) von pxy und pzx auf folgende Form reducirt werden:

P** = e₂ 3X + c₂ 9y -h/₂ 3Z + c₃ gyz Pxy —A + e3 ³y + C₃ 3z + C2 g y z

nachdem aber pzx und pxy Null werden müssen, welches auch die Werthe der Deformationen 3X, 9y, 3Z, gyz sind, so folgt daraus, dass

e2 — 0, e₃ = 0,

Die Ausdrücke für die sechs elastischen Kräfte stellen sich nun in folgender Weise dar:

ci = 0,

c₃ = 0,

A = °,

A = 0-

Pxx = «1 3X + h 3y -b Mz -h c! gyz,

Pyy = M* + a₂3y + \ 3Z-b/i gyx,

Pzz — b₂ 3X H- 3y -j- «3 3Z -f- gyl,

Pyz = C| 3X +/l 3y + ßi 3Z + &1 £yz,

Pzx - ^2 9*X + Ci gxy,

P xy Ci ÿzx + ^₃ Sby 9. Zweiter Fall. — Der Körper sei homogen und habe in jedem Punkte drei Symmetrieebenen.

Wenn die Symmetrieebene, statt senkrecht auf die x-Achse zu sein, senkrecht auf die y- Achse ist, so sieht man leicht, dass die Coëfficienten, welche Null sein müssen, folgende sind:

(17)

Cb Cb co ►—

, tH . CO

wenn der Körper also in jedem Punkte zwei Symmetrieebenen besitzt, welche senkrecht anf die x- und y-Achse sind, so müssen die nenn Coëfficienten

cu

c₂

e₂,

A>

c3>

fs

gleichzeitig’ Kuli sein; dies zeigt auch, dass die auf die z-Achse senkrechte Ebene in gleicher Weise eine Symmetrieebene ist, und dass somit der Körper in jedem Punkte drei Symmetrieebenen hat, welche sämmtlich auf die Coordinatenachsen senkrecht sind.

Man erhält in diesem Falle für die elastischen Kräfte folgende Ausdrücke, wenn man gleichzeitig die Coëfficienten b{, b₂, b₃ in Fiy P₂, F3 verwandelt:

iV = F\ 9y*,

Pzx = Ą g**,

Pxy F3 g%y

pxx — a\ + Fz 3y -f- F₂ dz,

(18)

V yy = FZ + «2    + Fl

Pzz = ax -f- F\ 3y + «3 3* ,

Die Coëfficienten Flf F.ly F₃, welche mit den Verschiebungen gyz, gzx, gxy multiplicirt die elastischen Tangentialkräfte geben, werden Coëfficienten der tangentialen Elasticität genannt.

10. Drittel* Fall. — Der Körper sei homogen und habe in jedem Punkte eine zur x-Achse parallele Flasticitätsachse.

Man sagt, es gebe für jeden Punkt eines homogenen, festen Körpers eine Symmetrie- oder Flasticitätsachse, wenn der Körper in allen von dieser Achse getroffenen Ebenen dieselben Eigenschaften bezüglich der Elasticität zeigt.

Hieraus folgt, dass, wenn man ein System rechtwinkeliger Achsen O X, O Y', O Z' betrachtet, wo die x- Achse Elasticitätsachse ist, und wenn man die sechs elastischen Kräfte pxx, pyy, etc. in Functionen der drei Dehnungen 3X-, dr, 3Z, und der auf dieselben Achsen bezogenen drei Verschiebungen gy>z>, gy/x’, gx’y> ausdrückt, die solchermassen erhaltenen Formeln unabhängig sein müssen von der Richtung der y- und z -Achse.

Um nun zu prüfen, unter welchen Bedingungen dies möglich ist, beziehen wir die mobilen Achsen der y und z auf zwei fixe rechtwinkelige Achsen OY, O Z derselben Ebene (s. Fig. 7, S. 52) und betrachten letztere als zu einem System von rechtwinkeligen Achsen Ol,

OY, OZ gehörend, deren Achse O X (in der betreffenden Figur nicht dargestellt) mit der Achse O X' zusammenfällt.

Zuerst ist zu beachten, dass zufolge der Definition der Elasticitäts-achse jede auf dieser xlclise senkrecht stehende Ebene eine Symmetrie-ebene ist, und dass man daher von den Gleichungen (18) ausgehen kann.

Weiters erkennt man, dass eine Dehnung 3X zwei gleiche Kräfte pyy und pxz geben wird, wodurch bedingt ist, dass F₂ = F₃ ; die zwei unter einander gleichen Dehnungen dy und 3Z geben auch gleiche elastische Kräfte pyy, pzz, und es muss a₂ = a₃ sein. Es werden daher die Gleichungen (18) folgendermassen dargestellt werden können:

Pyz ^\ ÿyz)

P™ = Ą gzx, > P*y — Ï 2 i/xy • .

F- = «1 3.x + Ą (3y+ 3Z),

(19)

Pyy = F₂ 8x + a> dy + p\ 3Z, pzz — F₂ dx -f- P\ dy -f- a₂ 3

Um nun die Ausdrücke für die Kräfte jw, py>y, Pz’z>, pyz> etc. zu erhalten, substituirt man zuerst in vorstehenden Gleichungen für 9X, dy etc. deren Werthe in Functionen von 3X,, 3y,, etc., welche durch die Gleichungen (10) gegeben sind, und setzt die so erhaltenen Ausdrücke für pxx, pyy, pzz etc. in die Gleichungen (16) ein, worauf man nachstehende Formeln erhält:

Fx'x' — ai 3X' -f- F₂ (dy -j- dz,)

pyy = F₂ dx, -j- [«-2 (cos⁴/? -f- sin⁴/?) + 6 Fv cos²/? sin²/?] dy,

+ [2 a₂ cos²/? sin²/? Fx (cos⁴/? — 4 cos²/? sin²/? + sin⁴/?)] 3z + (3 P\ — a₂) (cos²/? — sin²/?) cos/? sin/? . gy,z», pz,z, = F₂ dx, -j- [2 a₂ cos²/? sin²/? -f- F{ (cos⁴/? — 4 cos²/? sin²/? -f- sin⁴/?)] 3y, + [a₂ (cos⁴/? -f- sin⁴/?) + 6 F₁ cos²/? sin²/?] 3Z,

— (3    — a₂) (cos²/? — sin²/?) cos/? sin/? . gy,z,,

pyz> = (3 Fx — a.}) (cos²/? — sin²/?) cos/? sin/? (dy — dz)

-f- [Fy (cos²/? — sin²/?)² -f- 2 (a₂ — Fx) cos²/? sin²/?] gy,z,,

Pz'x' — Fi gz'x’> Px’y’ - F₂ gxt y.

Diese Formeln müssen aber von ß unabhängig sein, damit die x-Achse eine Elasticitätsachse sei, und man kann leicht erkennen, dass dieser Bedingung vollständig entsprochen wird, wenn

a₂ = 3 Fi.

Dies ist also die Beziehung, welche man in die Gleichungen (19) einführen muss, sobald die x-Achse eine Elasticitätsachse ist, und man erhält liiemit die folgenden Gleichungen:

Pyz    -^1 9yz ;

Pzx    -^2 ^fzx,

pxy    -^2 9*y

i>xx = «1    + Ą (ß? 4- 3.),

(20)

Pyy = ^2    4“ ^1 (3 3y + 3Z),

i>zz = 9X -f- ^ (3y + 3 3Z),

In diesen Formeln gibt es nur die drei Coëfficienten al, F), FT₂.

11. Vierter Fall. — Körper von constanter Elasticität oder isotrope Körper.

Ist die y-Achse auch eine Elasticitätsachse, so hat man

*1 = ^

womit sich obige Gleichungen folgendermassen gestalten, wenn man gleichzeitig Ft in F ändert :

Pxx — F (3 3X + dy + 3Z),

Pyy — F (^X 4- 3 3y -j- 3Z), jPzz = F (3X + 3y 4~ 3 3Z),

a{ = 3 P\,

Pyz.    9 y

(21)

Pzx - F £fzx,

JP*y    ÿiy

in welchen Gleichungen nur der Coefficient F bleibt.

Man erkennt leicht, dass, wenn zwei Elasticitätsachsen vorhanden sind, welche parallel zur x- Achse und parallel zur y- Achse sind, es auch eine dritte Elasticitätsachse parallel zur z-Achse geben muss.

Man kann in diesem Falle die Ueberzeugung gewinnen, dass jede Linie eine Elasticitätsachse ist; denn nachdem in Bezug auf die Widerstandsfähigkeit um die cc-Achse herum vollkommen Gleichheit herrscht, hat jede Linie, welche auf dieser Achse senkrecht steht, dieselben Eigenschaften wie die y- und z-Achse, so zwar, dass, wenn dies Elasticitätsachsen sind, alle in deren Ebene durch den Coordinaten-Anfangspunkt geführten Linien es ebenfalls sind. Aus demselben Grunde sind alle Linien, welche in den beiden anderen Coordinatenebenen gezogen werden, ebenfalls Elasticitätsachsen.

Nennt man 6 die cubische specifische Dehnung, so hat man, wie •oben gesehen wurde, die Gleichung (5)

6 = 3X -f 3y -F 3Z;

es können daher die Gleichungen (21) auch in folgender Form geschrieben werden :

P~ = F (2 3X 4- 6), Pyy = F (2 3y -f- 9), Pzz — F (2 3Z + 9),

Pyz F gyz, I

Pzx    {Jzx, t

(22)

Pxy — F gxy. J

Jene Körper, auf welche sich diese Gleichungen anwenden lassen, und welche in jeder Richtung dieselbe Elasticität haben, werden von Lamé „Körper von constanter Elasticität“ und von Cauchy und Barré de Saint-Venant „isotrope Körper“ genannt.

12. Bedingungsgleichungen für die Oberfläche. — Der in Kummer 7 betrachtete kleine Tetraeder kann auch in der Weise angenommen werden, dass seine in Bezug auf die Achsen schiefe Fläche an der Oberfläche des festen Körpers sich befindet; X, Y, Z sind dann die Componenten der auf die Oberfläche wirkenden und auf den Quadratmeter bezogenen Kraft. Wenn man diese Kraft iö nennt und a, ß', y die Winkel, welche deren Richtung mit den Achsen bildet, so ergeben sich aus den Gleichungen (15) folgende:

(23)

co cos ci — P** cos a -f- pKy cos ß 4- p™ cos y, cö cos/?' = pxy cos a 4- Pyy cos/? 4 pyz cos y, w cos / = pzx cos a 4 Py* cos/? -\-pzz cos y,

wobei zu beachten ist, dass a, ß, y jene Winkel sind, welche die in dem betrachteten Punkte der Oberfläche des Körpers auf dieselbe errichtete Senkrechte mit den Achsen bildet.

Es müssen also die Functionen von x, y, z, welche die elastischen Kräfte y>xx, pyy, etc. darstellen, derartige sein, dass sie den Gleichungen (13) genügen, welches auch der Werth der Coordinaten sei; und ebenso auch den vorhergehenden Gleichungen für alle Punkte der Oberfläche.

13. Differentialbeziehungen zwischen (len speciflschen Dehnungen und (len Verschiebungen. — Nachdem die drei speciflschen Dehnungen

du

3x = —,

dx

und die drei Verschiebungen

3y =

dy

die

3z = —

dz

(24)

9y*

dv , dw

dy’

9zx

dy

(25)

von den drei Verrückungen (Ortsveränderungen) u, v, iv abhängen, ist es klar, dass man nicht sechs beliebige Functionen von x, y, z aufstellen kann, welche die drei specifischen Dehnungen und die drei Verschiebungen darstellen, sondern es müssen diese Functionen allen Differentialbeziehungen genügen, welche man aus den Gleichungen (24) und (25) durch Elimination von u, v, io ableitet.

Um diese Beziehungen zu finden, muss man zuerst die erste der Gleichungen (25) successive nach y und 2 differentiiren und erhält dadurch :

d 2(h* ____

dy clz dy dz² ^ dy² dz

d* v

substituirt man für — und

d ic

dy

die Werthe 3V und 3Z, so erhält man die

erste der folgenden Gleichungen; die beiden anderen lassen sich in ähnlicher Weise ableiten:

d<19y-

d² 3 d² 3z '

dy dz dl9-

dz²

d² 3

dzdx dx-

dl 9*y

dd 3

dy

d² 3 x

dz

(26)

d² 3

y

dx'¹ '

Differentiirt man nun die drei Gleichungen (25) nach x, respective y und z, so ergeben sich die Gleichungen:

dxdy dy

d9y z

d² v

dd w

dx    dzclx    dxdy⁷

d g7 X d ’²w ₍ d ² u

dy    dxdy    dydz⁷

dydz

d² gxy_ d² u ^ d² v

dz dxy

d² u dydz’

enthalten. Durch Addition der zwei letzten Gleichungen

in welchen die rechten Seiten nur die Differentialquotienten d² v d² w dzdx’ dxdy

und darauffolgende Subtraction der ersten erhält man:

_ clhi i    — o cpu ■

d x d y dz dy dzy

Damit also sechs Functionen von x, y, z die drei specifischen Dehnungen und die drei Verschiebungen vorstellen können, müssen dieselben ebensowohl den Gleichungen (26) als auch den Gleichungen (27) entsprechen.

14. Bestimmung des Elasticitäts-Gleichgewichtes eines be-

Die allgemeine

= dx ist.

dieses Resultat nach x differentiirt gibt, bei Beachtung dass

die erste der folgenden Gleichungen; die zwei anderen werden in ähnlicher Weise erhalten:

2 d¹3, _

dy dz

±(.

d x y

2 dd₇ __ _d_ C

dz dx d y y

d fjy* | dgzx dgxy dx d y dz

d gy, d g.zx

d. x

dy

dg J]

dz J

(27)

ddz

dx dy

d / dz y

dgyz , dgzx dgx

dy

liebigen Kräften unterworfenen festen Körpers.

und directe Auflösung dieses Problems fordert, dass man in den Glei chungen (13) die Werthe der elastischen Kräfte pyy, etc. einsetzt, a vie sie in Functionen der drei specifischen Dehnungen und der drei Verschiebungen durch die Gleichungen (12) oder (17), (18), (20), (21) gegeben wurden, je nachdem der homogene Körper eine absolut beliebige Gestalt hat, oder in jedem Punkte eine oder drei Symmetrieebenen besitzt, oder eine Elasticitätsachse hat oder endlich isotrop ist.

In diesen so erhaltenen Differentialgleichungen der ersten Ordnung substituirt man für 3X, 3y, 3Z, gyz, g7X, gxy deren Werthe in Functionen der drei Verrückungen u, v, w und erhält dadurch drei Differentialgleichungen zwischen diesen drei Unbekannten. Diese Gleichungen müssten sodann integrirt werden, indem man die beliebigen Functionen der Coordi-naten derartig bestimmt, dass den drei Bedingungsgleichungen für die Oberfläche in allen Punkten derselben Genüge gethan wird.

Dies wäre der directe Weg, welchen man zu verfolgen hätte.

Die Integrationen, welche derselbe erfordert, sind aber so schwierig, dass sie die Kräfte der jetzigen analytischen Wissenschaft noch übersteigen und man auf diese Weise bis jetzt nicht einmal die einfachsten derartigen Probleme lösen konnte.

70

Um nun diejenigen Fälle zu behandeln, welchen man in der Praxis oft begegnet, musste man den umgekehrten Weg einschlagen. Die Erfahrung hat uns gelehrt, im Innern der festen Körper eine gewisse Verkeilung der elastischen Kräfte vorauszusetzen, und man hat versucht, sich zu überzeugen, ob diese Verkeilung den Gleichungen des Elasticitäts-Gleichgewichtes ebenso für das Innere als auch für die Oberfläche entspricht.

Man ist hiebei zu dem Resultate gekommen, dass in den einfachen Fällen der gleichmässigen Pressung auf die ganze Oberfläche eines Körpers oder der Längsdehnung eines Prismas allen diesen Gleichungen zur Genüge entsprochen wird; während in den viel complicirteren Fällen, welche aber die wichtigsten sind, d. h. in den Fällen der Torsion oder der Biegung oder des Abscheerens eines Prismas oder Cylinders die vorausgesetzten Kräfte den Gleichgewichtsgleichungen nicht entsprechen.

Für diese letzteren hat M. Barré de Saint-Venant eine sehr scharfsinnige Idee entwickelt, indem er nur einen Theil der elastischen Kräfte als bekannt vorausgesetzt hat, d. h. jene Kräfte, welche man mit grösserer Berechtigung genau annehmen kann; die anderen elastischen Kräfte hat er unbestimmt gelassen. Indem er nun ausdrückt, dass allen Gleichgewichtsbedingungen entsprochen wird, kommt er zu dem Resultate, dass die angenommenen Kräfte wirklich genügen, und erhält zwischen den unbestimmt gelassenen Kräften eine Gleichung mit partiellen Differentialen, welche zu deren Bestimmung genügt, indem sie in der Mehrzahl der Fälle integrirt werden kann.

Wir werden die erhaltene Auflösung kurz gefasst bekannt geben, indem wir uns immer auf die Hauptsache beschränken. Aber vorerst ist es nothwendig, eine wichtige Bemerkung zu machen.

Man könnte vielleicht fürchten, dass diese auf indirectem Wege erhaltenen Auflösungen nur theilweise Lösungen sind, welche uns nicht die wahren Gleichgewichtsbedingungen der festen Körper zu erkennen geben; aber es ist klar, dass jedem System von äusseren Kräften, welche auf einen elastischen Körper wirken, ein besonderer Zustand des Elasti-citäts-Gleichgewichtes entspricht, und dass dieser Zustand einzig ist. Es folgt daraus, dass, wenn man für einen gegebenen Körper die elastischen Kräfte findet, welche einem System von äusseren Kräften das Gleich-

gewicht halten, die Lösung eine einzige ist, und dass sie daher immer die gleiche bleibt, welches auch der Weg ist, auf dem sie erhalten wurde.

In allen folgenden Problemen setzen wir voraus, dass die betrachteten Körper nur Kräften unterworfen sind, welche auf die Oberfläche wirken, d. h. keiner Kraft, welche wie die Schwerkraft auf die ganze Masse wirkt; es werden daher stets die Gleichungen (14) das Elasticitäts-Gleichgewicht im Innern eines festen Körpers ausdrücken.

15. Körper von beliebiger Fläche, welche auf ihrer ganzen Oberfläche einem normalen und gleichmässigen Drucke aus-gesetzt sind. — Ein homogener Körper von beliebiger Form sei an der Oberfläche einem normalen Drucke von q Kilogr. per Quadratmeter aus-gesetzt. In diesem Falle muss man in den Gleichungen (23), welche das Gleichgewicht an der Oberfläche ausdrücken,

ß' = 180° + ß,

io = q,

setzen, so dass man folgende Gleichungen erhält:

(Pxx + q) COS « 4- pxy cos/? 4- pzx cos y = 0, pxy cos Cf 4- (p₇y 4- q) COS/? 4- pyz cos y = 0, pzx cos cf 4- py* cos/? 4- (pzz -f- q) cos y = 0.

Diesen Gleichungen wird entsprochen, wenn

y = 180° -j- y,

a = 180° -f- cf,

(28)

py7,=pzx=pxy = 0j

pxx P yy Pzz

es wäre nun zu untersuchen, ob diese Vertheilung der elastischen Kräfte im Innern möglich ist.

Zuerst sieht man, dass den drei unbestimmten Gleichungen (14) durch die Annahme (28) entsprochen wird, denn alle Differentialquotienten der elastischen Kräfte sind Null.

Wenn man weiters in den allgemeinen Gleichungen (12) für pxx, pyy, pz7 den Werth —q und für pyz, pzx, pxy den Werth Null einsetzt, so erhält man für die drei specifischen Dehnungen und die drei Verschiebungen constante Werthe, welche proportional zu q sind, so dass hiedurch auch allen Gleichungen (26) und (27) entsprochen wird.

Die erhaltenen elastischen Kräfte sind also diejenigen, welche unter dem Einflüsse der gleichmässigen äusseren Pressung in dem Körper wirklich stattfinden.

Wenn der Körper in jedem Punkte drei Symmetrieebenen hat, welche

9y* = °;

g*y =

senkrecht auf die Coordinatenaehsen stehen, so zeigen die Gleichungen (18), dass

d. h. dass die Verschiebungen überall Null sind.

Wenn der Körper isotrop ist, so werden aus den drei ersten Gleichungen (21) folgende:

-    3 3X + dy -f- dz,

- 3x -f* 3 3y -f- dz,

— dx -f- 3y ~h 3 dz

woraus man erhält

dx = dy — dz =

1_£.

5 F’

und die cubische Compression ist

— 6 — — (dx + 3y + dx) —

CO iO

Wir werden später sehen, dass der Werth, welchen man gewöhnlich Elasticitätscoefficient nennt, und welchen man mit dem Buchstaben E bezeichnet, durch die Gleichung

(29)

gegeben ist, so dass

3x = 3y = d] —

g_.

2 E'

(30)

(31)

2E'

16. Ein Prisma oder Cylinder werde durch Kräfte gezogen, welche auf den Grundflächen gleichmässig yertlieilt sind und in der Richtung der Achse wirken. — Wir denken uns ein Prisma oder einen Cylinder, auf dessen seitlicher Oberfläche keine Kraft thätig ist, auf dessen Grundflächen aber normale und gleichmässig vertheilte Kräfte in der Stärke von p Kilogr. per Quadratmeter wirken. Nimmt man als «-Achse eine Parallele zur Cylinderachse, so hat man für alle Punkte der seitlichen Oberfläche

cos a = 0,

cos/ = sin/?;

0 = 0,

womit sich die Bedingungsgleichungen für die Oberfläche folgendermassen gestalten :

Pxy COS/? -hpZx sin/? = 0, pn, cos/? Ą- P y 2. sia/? = 0; pvz cos ß -]- Pzz sin ß = 0 ; und nachdem diesen Gleichungen entsprochen werden muss, welches auch die Lage des betrachteten Oberflächenelementes sei, d. h. welches auch der Werth von ß sei, so muss man untersuchen, ob für alle Punkte der seitlichen Oberfläche

Pyy = O, J9ZZ = O, ])yz = O, p,.x = O, pxy = 0.

Für alle Punkte der beiden Grundflächen hat man

cos/ = cos y = 0;

(32)

cos/? = cos ß' = 0, für eine der Grundflächen bat man

cos« — cos et = 1,

cos a = cos a — — 1;

hieraus ergeben sich als Bedingungsgleichungen für die Grundflächen des Prismas oder Cylinders folgende drei Gleichungen:

= 0,

Den Gleichungen (23) wird also für alle Punkte der Oberfläche entsprochen, wenn für alle Punkte des Körpers

Pyy = P» = Py = P~ = P*y = °-

während für die andere

P*X=P,

P**=P,

Pzx = 0.

(33)

Nachdem alle diese Kräfte constant sind, sind auch alle ihre Differentialquotienten gleich Null, und es wird somit den unbestimmten Gleichungen (14) Genüge gctlian. Wenn man ferner mit Hilfe der Gleichungen (12) die Bedingungen (33) ausdrückt und die so erhaltenen sechs Gleichungen nach 3X, 9y, 9Z, gyz? . . . auflöst, erhält man Resultate von folgender Form

3X

ay = — V

dy = -V'j£> ]

9y

_P_

fJy.K

_ P_

(34)

9*y TT >

worin E, rj, vf, Hly Hz constante Coëfficienten sind.

h₂

Wir nennen normalen Elasticitätscoefficienten die Grösse E und Contractionscoefficienten die Werthe rj und rf} welche die Beziehungen zwischen den transversalen Contractionen des Prismas in der Richtung der y- und «-Achse und der Längsdehnung desselben ausdrücken.

Nachdem die durch die Gleichungen (34) gegebenen Dehnungen und Verschiebungen alle constant sind, genügen dieselben offenbar den Bedingungsgleichungen (26) und (27), woraus folgt, dass in der durch die Annahme (33) gegebenen Auflösung die wirkliche Lösung des Problems liegt.

Dieselbe zeigt uns; dass ein Prisma oder ein Cylinder, welcher nur an seiner Grundfläche von gleichmässig vertheilten und nach dessen Achse gerichteten Kräften beansprucht wird, sich in dieser Richtung ausdehnt und quer dazu sich zusammenzieht, und dass in einem beliebigen Querschnitte parallel zur Grundfläche es nur eine mit der Richtung der Achse des Prismas zusammenfallende Spannung gibt, deren Grösse gleich ist den in den Grundflächen thätigen Spannungen.

Wenn der Körper in jedem Punkte drei Symmetrieebenen besitzt, muss man die Bedingungen (33) mit Hilfe der Gleichungen (18) ausdrücken; in diesem Falle werden die Verschiebungen gyz, gzx, gxy für alle Punkte gleich Null, und man hat zur Bestimmung der Dehnungen 3X, 3y, 3Z die drei Gleichungen

p = a] dx -j- F.ą 3y + E₂ 3z ,

0 = F₃dx-\- a₂ 3y -j- Fl 3Z, o — F₂ dx + Fl dy 4- «₃ az, und indem man der Abkürzung halber

(35)

al a₂ a₃ — aL Ft ² — a₂ F₂² — a₃ F₃ ² -f- 2 F{ F₂ F₃ = K

setzt, erhält man

a₂ — F{ ²

K P’

a a F₂    Fi I¹₂

P,

a2    F₃

(36)

p.

Wenn man diese Ausdrücke für die Dehnungen mit jenen durch die Gleichungen (34) gegebenen vergleicht, erhält man

__a3    F2 ' _ <h F-i -ftj F₃

a, a₃ — Fi²’

a₂ a₃ — Fi2 ;    ¹ ~ a₂ a₃ — F ² ' J

Ist die cc-Achse eine Elasticitätsachse, so hat man nach Obigem a ₂ = a₃ — 3 Fx,

man erhält also in diesem Falle

(38)

K = 4Fl(2alFl-FS), 2 alFl — i-V 2FX

F₂ = Fl = F,

Und wenn der Körper isotrop ist, hat man noch aj = 3 Fi,

und daher

(39)

>? = 4-

Man sieht hieraus, dass für einen isotropen Körper der normale Elasticitätscoefficient gleich ist dem zweiundeinhalbfachen tangentialen Elasticitätscoefficienten, und dass die seitliche Contraction gleich ist dem Viertel der specifischen Längsdehnung.

17. Torsion eines homogenen Prismas oder Cylinders. — Es sei ein Prisma oder Cylinder gegeben, auf dessen seitliche Oberfläche keine Kraft wirkt, dessen Grundflächen aber durch Tangentialkräfte bean- • spracht werden, welche denselben zu drehen suchen.

Es wird angezeigt sein, zuerst das Gesetz zu bestimmen, nach welchem diese Kräfte auf die Grundflächen vertheilt sind, damit in jedem Querschnitte die elastischen Kräfte vollkommen gleich sind den auf die Grundfläche wirkenden äusseren Kräften.

Ferner wird die Annahme gemacht, dass die y- und die z-Achse in einer der Grundflächen liegen, dass folglich die æ-Achse parallel zur Achse des Prismas ist, und dass die positiven Abscissen auf der Seite des Prismas liegen.

In einem Oberflächenelement parallel zu den Grundflächen, d. h. senkrecht auf die æ-Achse, dürfen zufolge dem früher Gesagten nur die elastischen Tangentialkräfte pzx und jpxy auftreten, und müssen dieselben die gleichen Werthe behalten, wenn man auch von einem Punkte eines Querschnittes auf den correspondirenden Punkt eines anderen Querschnittes übergeht, d. h. wenn man nur x ändert und für y und z dieselben Werthe behält. Es folgt daraus, dass die elastischen Kräfte nur Functionen von y und z sind, und dass somit

dpzx

= 0, d pxy 0 ist.

Dies für alle Elemente jener Grundfläche vorausgesetzt, wofür x = 0

cos/? = 0,

und für alle Elemente der anderen Grundfläche

cos ß = 0,

ist, gibt

COS ft = — 1,

COS ft = 1,

cos / = 0,

cos/ = 0;

da aber die auf die Grundflächen wirkenden äusseren Kräfte senkrecht auf die ce-Achse sind, so hat man für beide cos a = 0, ' so dass die Gleichungen (23) die folgenden ergeben:

to cos ß',= pxy,

Pxx = 0,

wcos/ = pzx.

Für alle Elemente der seitlichen Oberfläche des Prismas oder des Cylinders hat man

io — 0,

cos « = 0,

cos / = sin/?,

womit sich die Gleichungen (23) folgendermassen gestalten:

pxy cos ß -(- pzx sin ß — 0,

Pyy cos ß + pyz sin ß — 0, pyz cos/? + pzz sin/? = 0.

Die beiden Kräfte pzx und pxy können weder an der Oberfläche, noch im Innern gleich Null werden; die vier anderen p^, pyy, pzz, pyz aber werden den zwei letzten, auf die seitliche Oberfläche Bezug habenden Gleichungen und derjenigen pxx = 0 für die Grundfläche entsprechen, wenn sie überall Null sind.

Es ist also zu untersuchen, ob man für alle Punkte des Prismas

d pzx

o, 7^ = °- (40)

pxx 0, Pyy 0, p./z - 0, pyz 0,

setzen kann.

Substituirt man diese Wertlie in die unbestimmten Gleichungen (14) ein, so ersieht man daraus, dass den beiden letzten in gleicher Weise entsprochen wird, und dass die erstere

d pxy , dpzx _ dz

dy

ergibt; es müssen also die Kräfte pzx und pxy im Innern des Prismas in der Art vertheilt sein, dass sie für alle Punkte des festen Körpers der Gleichung- (41) entsprechen.

Aber ausserdem müssen diese Kräfte für alle Punkte der seitlichen

Oberfläche, d. h. für alle Punkte der Contour eines beliebigen Querschnittes, der Gleichung

pxy cos/? + pzx sin/? = 0

entsprechen; da ß der Winkel ist, welchen die Normale auf diese Contour mit der y-Achse bildet, so hat man

tang/? = —

und aus obiger Gleichung wird sodann

pxy d z —pZK dy = 0.

Die Kräfte pzx und pxy dürfen daher nur Functionen von y und 2 sein und müssen für alle Punkte eines beliebigen Querschnittes der Gleichung (41) und für alle Punkte der Contour dieses Querschnittes der Gleichung (42) entsprechen.

Differentiirt man nun die sechs Gleichungen (12) nach x, so erhält man bei Berücksichtigung der Gleichungen (40) die folgende:

fz _ A d Qyr- _ A d _ A d 9*y

x ⁷ dx ⁷ dx ⁷ dx

ddx _ ,

d x ~ ⁷

ddy

-0,

su

dz ⁷

(42)

= 0.

Auf Grund dieser Resultate geben uns die Gleichungen (26) und (27)

dl (Jy*

d² dy d² dz

dz²

dy

5 = 0»

d²dx

(43)

d z¹

°, I

d C d gz: d y \ dy

Diese zwei letzten Gleichungen zeigen, dass die Grösse

d (Jzx d gxy

0 = 0,

d f d gz, dz yd y

- 0.

dy

weder eine Function von y, noch von z sein kann, und nachdem dieselbe auf Grund der Gleichungen

d9*y

auch keine Function von x sein kann, so muss dieselbe constant sein, und man kann daher schreiben:

dy

= 26,

(44)

wobei 6 eine constante Grösse ist.

Substituirt man in diese Gleichungen

d io , du

9Z*

d z’

9*y

du, dv

so erhält man

dy

d² io

und nachdem

dx dy dz dx

= 26;

d g yz

= 0, oder

d² v

d² io

dz dx

so ergibt sich

dx dy °;

d² io

d² v

dx dy

dz dx

= —6.

Wenn man diese beiden Gleichungen unter der Voraussetzung integrirt, dass derjenige Punkt, welcher vor der Deformation mit dem Anfangspunkt der Coordinaten zusammenfällt, fix bleibt, und dass der unendlich nahe Punkt auf der «-Achse sich auch nach der Deformation

dort befinde, d. h. wenn für x = 0, y = 0, z — 0 das Resultat der Integration

v = 0,

ist, so erhält man

w = 0,

dv

d io

io — 6 « 3/,

setzt man diese Werthe für v und io in die Ausdrücke für gZK und gxy ein, so folgt daraus, dass

0«* =

v = — 6 x z:

9xy

dy

6 z.

(45)

Das Ergebniss dieser Untersuchung zeigt also, dass die drei speci-fischen Dehnungen und die drei Verschiebungen nur solche Functionen von y und z sein dürfen, welche den Differentialgleichungen (43) und (44)

entsprechen, und welche für die Kräfte pzx und jpxy Werthe geben, die sowohl der Gleichung (41) für alle Werthe von y und z, als auch der Gleichung (42) für alle Contourpunkte der Querschnitte entsprechen.

Wir wollen nun jene Fälle ins Auge fassen, wo das Problem in endlichen Ausdrücken gelöst werden kann; vorerst müssen wir aber beachten, dass, wenn pzx und pxy als Functionen von y und z betrachtet werden, die Gleichung (41) die Bedingung der Integrirbarkeit der Gleichung (42) ausdrückt, so zwar, dass, wenn die für pzx und pxy gefundenen zwei Functionen der Gleichung (41) entsprechen und man dieselben in die Gleichung (42) einsetzt, die resultirende Gleichung direct integrirbar sein wird.

18. Fortsetzung der Betrachtungen über die Torsion. — Homogenes Prisma von beliebigem Gefüge mit elliptischem Querschnitte. — Hat ein Körper ein beliebiges Gefüge, so werden die elastischen Kräfte mittelst der Gleichungen (12) in Functionen der speci-

pzz = A + By + Cz,\

P* = Al+Bly + C{ z, J

worin A, B, C, Al,    , C\ constante Coëfficienten sind.

Nachdem die Dehnungen und Verschiebungen lineare Functionen von y und z sind, wird den Gleichungen (43) und (44) vollständig entsprochen; ebenso genügen die für pzx und pxy gegebenen Ausdrücke der unbestimmten Gleichung (41) unter der Voraussetzung, dass

fischen Dehnungen und der Verschiebungen ausgedrückt; macht man nun in den vier ersten p^ = 0, pyy = 0, pzz = 0, pyz = 0, so erhält man die Werthe von 3X, 3y, 3Z, gyz in Functionen von und gxy, und es sind diese Ausdrücke linear; wenn also die Verschiebungen gzx und gxy lineare Functionen von y und z sind, so sind es auch die Dehnungen 3X, 3y, dz und die Verschiebung gyz. Folglich geben die zwei letzten Gleichungen (12) für pzx und pxy lineare Functionen von y und z, d. h. Ausdrücke von der Form

(46)

(47)

Ą + C = 0;

unter Berücksichtigung dieser Beziehung, und indem man in der Gleichung (42) für pzx und pxy deren Ausdrücke in Functionen von y und z einsetzt, erhält man die Differentialgleichung

80 —

Ay dz — Ady — C (y d z -j- z d y) -f- C\ z d z — B y dy = 0, welcher für die ganze Contour der Querschnitte entsprochen werden muss. Es muss also die Gleichung- dieser Contour das Integral obiger Gleichung sein, d. h.

(48)

A. z —

wobei D eine beliebige Constante ist.

Man sieht hieraus, dass die Querschnittscontour eine Curve zweiten Grades sein muss; sie könnte eine Parabel oder eine Hyperbel sein, aber dann würde das Prisma eine unendliche Querschnittsfläche haben ; es erübrigt daher nur den Fall zu betrachten, in welchem der Querschnitt elliptisch ist.

Hat man also ein Prisma von elliptischem Querschnitt, welches homogen ist, aber sonst ein beliebiges Gefüge hat, und sucht man dasselbe um eine zu dessen Achse parallele Linie zu drehen, so zwar, dass die elastischen Kräfte eines beliebigen Querschnittes gleich sind den auf die Grundflächen wirkenden Tangentialkräften, so schreibt man die Gleichung des Querschnittes des Prismas, indem man dieselbe auf zwei durch den Durchstosspunkt der Drehungsachse mit dem Querschnitte gehende rechtwinkelige Achsen bezieht; sodann vergleicht man diese Gleichung mit der Gleichung (48), damit diese die gleiche Ellipse darstelle, was dadurch erreicht wird, dass man ausdrückt, dass die Coëfficienten der Gleichung (48) proportional sind zu jenen der Gleichung der gegebenen Ellipse; man erhält also fünf Beziehungen zwischen den Coëfficienten A, Ay, B, (7, Cy, D, und indem man hiezu die Gleichung (47) gibt, hat man sechs Gleichungen zwischen den sechs Coëfficienten der Gleichungen (46) und der beliebigen Constanten D.

Um noch eine andere Beziehung zu finden, welche im Vereine mit den sechs vorhergehenden die zur Bestimmung der Unbekannten noth-wendige Zahl der Gleichungen vervollständigen soll, wäre zu beachten, dass, wenn die Summe der Momente aller auf eine Grundfläche wirkenden Kräfte auf die Torsionsachse bezogen, d. h. das Torsionsmoment des Prismas M genannt wird, man folgende Gleichung hat:

Hiebei ist d w ein Oberflächenelement der Grundfläche, und die Summe ^ muss sich auf die ganze Grundfläche erstrecken. Indem man für pzx und -pxy deren Ausdrücke (46) einsetzt, erhält man

(50)

M = A 2 y d oj — A{ 2 z d w -\- B 2 y¹* d oj — C\ 2 2² d oj 2 C 2 y z d co,

welches die letzte Beziehung zwischen den unbekannten Grössen ist.

Wenn also ein Prisma von beliebiger Gestalt gegeben ist, so kann das Problem der Torsion nur dann in endlichen Werthen gelöst werden, wenn der Querschnitt eine Ellipse ist.

19. Fortsetzung über die Torsion. — Homogenes Prisma, welches in jedem Punkte eine zu den Grundflächen parallele Symmetrieebene oder auch drei Symmetrieebenen hat, deren eine parallel zu den Grundflächen ist. — Besitzt das Prisma in jedem Punkte eine zu dessen Achse senkrechte Symmetrieebene, so lassen sich die elastischen Kräfte in Functionen der specifischen Dehnungen und Verschiebungen mit Hilfe der Gleichungen (17) ausdrücken. Wenn man zufolge der Hypothese (40) in den vier ersten Gleichungen

Vyy

Pxx = 0,

setzt, erhält man

a, = o,

fjyz = 0;

woraus folgt, dass den Gleichungen (43) gleichfalls entsprochen wird. Für gzx und gxy kann man daher beliebige Functionen von y und z wählen, vorausgesetzt, dass dieselben der Gleichung (44) genügen, und dass die beiden Kräfte pzx und pxy, welche man hieraus mittelst der zwei letzten Gleichungen (17) ableitet, der unbestimmten Gleichung (41) für alle Werthe von y und 2 und der Gleichung (42) für alle Wertlie von y und 2 der Querschnittscontour entsprechen.

Denkt man sich nun für gzx und gxy zwei beliebige Functionen von y und 2 gewählt, welche mehrere unbestimmte Coefticienten enthalten, so erhält man durch Einsetzen dieser Functionen in die Gleichung (44) zwischen den unbekannten Coëfficienten gewisse Beziehungen, wodurch die Zahl derselben vermindert wird; substituirt man dieselben sodann in die zwei letzten Gleichungen (17) und setzt die so erhaltenen Ausdrücke in die Gleichung (41), welche für alle Werthe von y und z bestehen muss, so ergehen sich neue Beziehungen zwischen den unbestimmten Coëffîcienten, deren Anzahl dadurch noch kleiner wird; wenn man schliesslich die Ausdrücke von g./jX und gxy in die Gleichung (42) einsetzt, indem man gleichzeitig die zwischen den unbekannten Coëffîcienten erhaltenen Beziehungen berücksichtigt, erhält man eine direct integrirbare Differentialgleichung, welche der Querschnittscontour entsprechen wird; durch Integration dieser Gleichung erhält man in endlichen Ausdrücken die Gleichung der Contour, welche der Querschnitt des Prismas haben muss, damit die für gyx und gxy angenommenen Werthe möglich sind.

Diese Contourgleichung enthält im Allgemeinen noch mehrere unbestimmte Coëffîcienten, über welche man verfügen kann, so dass diese Gleichung wenigstens annäherungsweise eine gegebene Curve darstellt.

Man sieht also, dass für ein Prisma, welches in jedem Punkte eine Symmetrieebene hat, das Problem der Torsion, wenigstens annäherungsweise, gelöst ist, welches auch die Form des Querschnittes sei.

Wenn das Gefüge des Körpers noch bestimmter ist, d. h. wenn derselbe in jedem Punkte drei Symmetrieebenen besitzt, deren eine senkrecht auf die Achse des Prismas ist, so wird sich die Auflösung des Problems noch mehr vereinfachen, denn in diesem Falle hat man, zufolge der Gleichungen (18)

jPzx--^ ‘1 ()/.x J

P*y ^3 9*y > und bei Berücksichtigung der Gleichungen (45),

P*y =

'*(

(51)

welche Formeln augenscheinlich der Gleichung (41) entsprechen.

Durch Substitution dieser Ausdrücke von pzx und -pxy in die Gier clmngen (41) und (42) erhält man die Gleichungen

d² u

d² u

dy

d, z²

= 0,

(52)

■(

(53)

von welchen die erste für alle Werthe von y und z, die zweite hingegen nur für die Querschnittscontour bestehen muss.

Nunmehr wollen wir für zwei Fälle, welche die wichtigsten der Praxis sind, die Auflösung des Problems suchen.

20. Fortsetzung über die Torsion. — Prisma mit reclit-winkeligem Querschnitte. — Wir denken uns, dass von den Flächen des Prismas je zwei parallel zu drei Symmetrieebenen sind, und nennen b und c die zur y- und z-Aclise parallelen Seiten des Querschnittes.

In diesem Falle hat man für die zur y-Achse parallele Seite des dz

Querschnittes die Gleichung — = 0, welches auch der Werth von y sei,

dy    d

und für die zur z-Achse parallele Seite — = 0, wie gross auch z sei.

d

Aus der Gleichung (53) leiten sich daher folgende zwei Bedingungen ab :

du

dy

o    c c

6z — 0, für y = ± -, welchen Werth zwischen — — und — z auch habe,

^ und ^ y auch habe ;

d u    c

——B Qy = 0, für z = dt —, welchen Werth zwischen —

die Integration der Gleichung (52) muss ferner ein Resultat geben, welches diesen zwei Bedingungen entspricht.

Der unbestimmten Gleichung (52) wird, wie man sich leicht überzeugen kann, entsprochen, wenn man

ara z

— amz

macht, wie gross hiebei auch die Zahl der in der Summe 2 enthaltenen Ausdrücke sei, vorausgesetzt, dass für alle diese Ausdrücke

-v

ist; die Grössen An und m können sich übrigens in den verschiedenen Gliedern ändern und sind in der Weise zu bestimmen, dass der Ausdruck von u den zwei Bedingungen entspricht, in welche die Gleichung (53) für die Contour getheilt wurde.

Die erste dieser Bedingungen, d. i.

dy

Bz — 0 für y — ±

ergibt, wenn man für u dessen Werth einsetzt,

TTl Z

— am z

rrt b

m cos — = 0:

und nachdem dieser Gleichung für alle Werthe von z zwischen —-entsprochen werden soll, muss für alle Ausdrücke der Summe

— und

cos

sein; und folglich, wenn man n eine beliebige ganze Zahl nennt,

(2 n — 1) Ti

2n — 1

7t oder m =

Es wird also der Ausdruck für u

r «(2w — i)tcz

a(2ra— 1)7: zn

s.n(2M-l )ny

Drückt man nun mit Hilfe dieser Gleichung die zweite Bedingung

aus, d. h.

-f- B y — 0 für z — -+

so erhält man die Gleichung

<x(2 n — 1)”^

26 I

welche bestehen muss, welchen Werth zwischen — Die bekannte Formel von Lagrange ist:

(y) =    sin -2n 2ï~lty f i y (y )sin

ln-\

cp (y) = 2 Qy,

so gestaltet sich dieselbe wie folgt:

macht man

. 2n — 1 )7ty sm--y-d-—-

b

b , b — und —

0, (54)

— y auch hat.

2 y

(2 n — 1) 7t y

cp (y) = 2 Oy,

21

26?/--|

4 6"

?/ sin oJ

(2n — 1) 7T y'

<* y ) = o

und wenn man beachtet, dass

J/8in

(2 n — 1 )jzy

2Z

dy'=d

4Z²

so reducirt sich obige Formel auf

20y

16 l 6“

== oo

2Z

(2w — l)²

wobei man das obere Zeichen in der Summe ^ für ungerade Werthe von n und das untere Zeichen für gerade Werthe nehmen muss.

Der Vergleich dieser Formel mit derjenigen (54) ergibt, dass dieselben identisch werden, wenn man

TT²

2 l = b,

An

« (2 n — 1) 7t f

a(2n — 1) ~c

a.(2n — i)r.c\

Ti> I — rp__

J (2«

1616

— 1)²7T²

macht; der Gleichung (54) wird also für alle beliebigen Werthe von y

zwischen —— und — entsprochen, wenn man im Allgemeinen für einen 2 2

beliebigen Werth von n

8 b² 6

a(2n l)³ 7t³ [e

a(2re— 1) 7t c

26 -fß

«(2 n — l)7t c~| 26 ;

setzt, wobei das obere Zeichen für alle ungeraden Werthe von n, das untere für die geraden Werthe zu nehmen ist.

Wenn man diesen Werth von An in den allgemeinen Ausdruck von u einsetzt, und wenn man die Ausdrücke

ex -f- e~x

ex — e~K

ex e x

ex — e~x e* -(- e ~ x ’

hyperbolischen Sinus, Cosinus, hyperbolische Tangente und Cotangente einer Grösse x nennt und dieselben durch die Symbole

sih, coh, tah, coth

ex

darstellt, erhält man schliesslich die Gleichung

a(2n— V)rtz . (2n — 1 )rry

yz +

8 0²

n~ CO

(— l)n sih

CC TT³ n

(2 n — l)³ coh

a(2n— V)itc

2b

Man kann sich überzeugen, dass eine Vertauschung von y in 2, von F₂ in F₃, von b in c und ausserdem von 0 in — 0 weder die Gleichung (52), noch die aus der Gleichung (53) abgeleiteten, auf die Contour bezüglichen Bedingungen ändert, woraus folgt, dass man auch in der Gleichung (55) dieselbe Verwechslung durchführen kann und einen Ausdruck für u erhält, welcher wieder das Integral der Gleichung (52) ist, wenn man hiebei die aus der Gleichung (53) abgeleiteten Bedingungen berücksichtigt, Die Vertauschung von F₂ in F₃ bedingt auch eine Aenderung

von a in —, und erhält man somit: a

= .(■— l)“sih

8 c² or ”

(2n — 1) n z

7V³

(2 n — l)³ coh

(2n — 1) n b

■ (56)

Diese beiden so erhaltenen Formeln für u, welche zwar verschiedene Zusammensetzung zeigen, repräsentiren doch beide jene Flächen, in welche die — vor der Deformation ebenen — Querschnitte des Prismas durch die Deformation verwandelt wurden.

Mit Hilfe der Gleichungen (51) kann man nun die Formeln für die elastischen Kräfte pzx und pxy finden, und zwar erhält man, ebenso wie für u, auch für und pxy je zwei Ausdrücke:

= œ(— l)ncoh

a (2 n — 1) tc z (2 n — 1) rt y

n =1

o n— 00

=-^2

(—l)“sih

(2 n — l)² coh ( 2n — 1) 7t y

a (2 n — 1) tc c

cos

2b

(2 h — 1 )itz

(2 ri — l)² coh

(2n—l)7tb

2a c

a (2n — 1) 7t z

cos

(2 n — V)ny

l\y= F.d 6

a 7t²

71 — 1

(2n — l)² coh —

(2 n— 1) TT y

(211- 1) TTC

2b

a. (— l)“coh

.    (2 11— 1) TtZ

(2 n — l)² coh (2 ra — 1) tt. b

In diesen Formeln erscheint die Grösse 6, welche die Torsion des Prismas ausdrückt, und zwar ist dies der Winkel, um welchen nach der Deformation ein Querschnitt in Bezug auf einen anderen in der Entfernung einer Einheit befindlichen Querschnitt gedreht worden ist.

Diese Erklärung von 6 leitet sich aus den zwei Gleichungen

w = Ox y,

Um nun aber den Torsionswinkel b zu bestimmen, drücken wir denselben in einer Function des Torsionsmomentes aus, d. h. in einer Function der Summe der Momente aller auf die Grundfläche wirkenden Kräfte

v — —0 x z ab.

in Bezug auf die Torsionsachse. Wenn wir in einer Grundfläche ein Oberflächenelement dy dz mit den Coordinaten y und z betrachten, so werden die in diesem Elemente wirkenden effectiven Kräfte p.AX dy dz und pxy dy dz und deren Momente in Bezug auf die Torsionsachse y pzx dy dz und — 2 pxy dy dz sein ; nennt man M das Torsionsmoment, so ist dasselbe

c (JP« V — Pxy Z) d Z.

*=/-d»ÏA

Substituirt man in diese Formel für pyx und pxy die ersten oder die zweiten Ausdrücke (57) und (58), so erhält man für das Moment M die zwei folgenden Ausdrücke:

M = F₂ Q bs c

T-H i CO

7i⁵ ac £

— F₃ 0 b c³

64 ac”

tth b ■

co tah

y'.

(2 n — l)⁵

(2 n — 1) 7t b ) 2 a c

(2n — l)⁵

Mit Hilfe dieser Formeln (59) kann man den Torsionswinkel 0 bestimmen, sobald das Torsionsmoment gegeben ist.

Die Formeln (59) können aber auch in eine für die Berechnung viel einfachere Form gebracht werden, denn in der That hat man gleichbedeutend

Ti— CO

tah

a (2n — 1) 7i c

25

Ti — co 1 — tah

a (2 n — 1) 7t c

25

71— CO

71 — 1

(2n — l)⁵

71 — 1

{2n — I)³

l)⁵

und da man leicht berechnen kann, dass

64

71 — CO

7lh

= 0,20914,

= 1,00452,

= 0,21008,

64    1

^ “i (2n — l)5 so bekommen die Gleichungen (59) folgende Form:

M— F₂6b³c

rH CO

7    7    ⁷¹ — °

_ 0,21008 — + 0,20914 — V

aC n^l

ccc

» 1—tah

a(2n — 1)tcc

2b

(2n

l)⁵

= F₃ 6 5 c³

t-h I CO

71 —

— 0,21008 — + 0,20914 — V * *

» 1—tah

(2n — 1 )rcb\

(2n — l)⁵

, (60)

Der erste Ausdruck für M ist mehr oder weniger convergent als der zweite, je nachdem die Grösse a c grösser oder kleiner als b ist, so dass man zur Erleichterung der Berechnung je nach dem zu behandelnden Falle sich des einen oder anderen Ausdruckes bedienen kann.

Nachdem

tah x —

ex — e x

e2 x — 1

und 1 — tah x —

e2x-f l⁷

ex + e~x e2x-fl

sieht man, dass, wenn x eine genügend grosse Zahl ist, es auch die Grösse e2x ist, so dass die Grösse 1 — tah x sehr klein wird ; hieraus folgt, dass für den Gebrauch der Formeln (60) es im Allgemeinen genügt, eine sehr kleine Anzahl von Ausdrücken zu berechnen.

Besitzt der feste Körper in der Richtung der beiden Achsen der y und der z die gleiche Festigkeit, so kann man F., = F:i und a = 1 setzen, was die gegebenen Formeln etwas vereinfacht; dies ist wohl jener Fall, welchen man in der Praxis gewöhnlich annehmen muss, denn meistens kennt man nicht die beiden Coëfficienten F.₂ und F.i} sondern nur einen Mittelwerth, und man muss daher diese zwei Coëfficienten als mit dem bekannten Mittelwerthe gleichwerthig betrachten.

Wenn die Elasticität in den zwei Richtungen der y und der z gleich ist und ausserdem der Querschnitt des Prismas ein Quadrat ist, also a = 1 und b = c, so erhält man

(2n — 1) Tt |

go 1 — tah

71 —

CO l-i

0,21008 + 0,20914

n — 1

Die Grösse zwischen den Klammern ist vollständig numerisch und kann sogleich berechnet werden; hiebei ist zu beachten, dass, um fünf Decimalstellen genau zu erhalten, es genügt, nur das erste Glied der durch das Symbol 2 angezeigten Reihe zu berechnen, so dass man leicht finden wird

3/= F₂ 6bi

(2n — l)⁵

; (6i)

M — 0,84368 F₂ Q

6

Nachdem aber — das polare Trägheitsmoment des Quadrates mit

M = 0,84368 F₂ b J

(62)

Bezug auf dessen Mittelpunkt ist, so hat man, wenn dieses Moment J genannt wird,

anstatt

M= F₂ b J,

was durch die alte Methode erhalten wird, wobei angenommen wurde, dass bei der Torsion die Querschnitte nach der Deformation eben bleiben.

21. Fortsetzung über die Torsion. — Prisma mit einem beliebigen Querschnitte. — Wir werden nun eine Methode verfolgen, welche derjenigen für den rechteckigen Querschnitt angewendeten entgegengesetzt ist, indem wir die Function u, welche jene gekrümmte Fläche darstellt, in welche die ebenen und auf die Achse des Prismas senkrecht stehenden Querschnitte verwandelt werden, als gegeben betrachten und sodann die Formel für die Contour der Querschnitte suchen.

Unter der unendlichen Zahl von Formen, welche man der Function u geben kann, wählen wir

u = cf(ßy + yz),

wobei (7, ß, y constante Coëfficienten sind. Wir finden daraus

d²u

dV2 d²u

dz²

und nach Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung (52) ersehen wir, dass derselben entsprochen wird, wenn

Ą ß² + Ą y² — 0;

machen wir in dieser Gleichung ß — 1, was die Allgemeinheit der Function nicht vermindert, so erhalten wir

— Cßf (ß y + y z),

= c ß²f"{ß y + Y z)>

dz

= Cyf (ßy +yz),

= c y\f" iß y + y 4

es kann also die Function u auch in folgender Form geschrieben werden:

u = cf [y ± ]/y₂z    *)

iy,z) ± V~ ¹ (y> z)~\ >

Durch Entwicklung der rechten Seite der Gleichung und durch Vereinigung aller Ausdrücke, welche von Y' — 1 unabhängig sind, und andererseits derjenigen, welche mit dieser Grösse multiplicirt werden, erhält man

wobei cp und ifj zwei Functionen sind, welche man leicht bestimmen kann.

Es ist bekannt, dass, wenn mehrere Functionen von y und z der Gleichung (52) genügen, man dieselben addiren kann, nachdem jede derselben mit einer Constanten multiplicirt wurde, und dass man hiedurch eine Summe erhält, welche ebenfalls dieser Gleichung entspricht.

Da also die beiden Functionen

<P (y>z) +    1 y (y> z\

y iy>z) — V ¹ iy> z)y

n (n

<p* iy> z) = yn—

der Gleichung- (52) genügen, kann man dieselben mit der gleichen Constante — B,, oder auch die erste mit — —Ć, Y — Ï und die zweite mit ! ²_ ²

— C\ Y — 1 multipliciren und erhält sodann durch Addition die beiden 2

Bi (p (y, z)>

welche der Gleichung (52) entsprechen und deren Summe desgleichen genügen muss.

Wir können demzufolge für u einen genügend allgemeinen Ausdruck annehmen, und zwar von der Form

Functionen

c\ (y> z)>

« =    [⁵> ⁽f & v (y>z)] •

(63)

Da man in diesem Ausdrucke eine beliebige Anzahl von Gliedern einführen kann, indem man jedem dieser Glieder einen beliebigen Coëffi-cienten gibt, und da diese Coëfficienten in der Gleichung der Contour erhalten bleiben, so kann man dieselben olfenbar so wählen, dass sie, wenigstens annäherungsweise, eine beliebige Curve darstellen.

Nehmen wir z. B.

y -4- a z

r=*J.

indem wir voraussetzen, dass n eine ganze Zahl sei, und dass

“=]/

ist.

Durch Entwicklung ergibt sich

n (n — 1)

1.2

a² z¹ yn 2

% (y, z) — na [,yn

1) (n-2)

2.3

- a¹ z³ yn 3

ax zh ya ~ ⁵ —

(n — 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4)

wobei den Symbolen (p und ip der Index n gegeben wurde, um hiedurch den Grad der durch diese Functionen dargestellten Polynome zu kennzeichnen.

Wenn wir nun

(65)

annehmen, Avobei Bn und Cn beliebige Constante sind, und wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung (53), welche auch in der Form

a²

dy

— dy — 6 (a² zdz-\-ydy) — Q

geschrieben werden kann, einsetzen, erhalten wir

SH

d¹

d cpn

dy

dz —

d cp

~d

a²

d Ipn

d ip

dy

■i,)

6 (a² z d z -j- y d y) = 0-

aber man kann leicht erkennen, dass d <pn

a²

dy

dz —

dcpn

dV =

a dp)

d ifjn

dy

dy — — a d <jpn ;

das Integral obiger Gleichung ist also

(66)

a S ^ ä) “ Ca v» (y> *)] ~ 2    ²'2 yT) ~ A>

Avobei A eine constante Grösse ist.

Dies ist also die allgemeine Gleichung der Contour der Querschnitte, Avelche sich in Folge der Torsion nach der durch die Gleichung (65) dargestellten gebogenen Fläche krümmen.

Wenn man successive n — 1, n — 2, n = 3 etc. macht, so erhält die Formel (65) folgende Gestalt:

u — B{y -f-B₂ (y²—a²z²) A~Ba (y³—3 a²z²y) -j- Bi Q/⁴— 6a²z²y² -j- a⁴z⁴) -f-..

-f- Cv az -J- C₂.2azy Ą- C₃(Sazy² — a³s³) -f- C₄ (4azys — 4a‘³zdy)-\~...

und aus der Gleichung (66), welche die Querschnittscontour darstellt, wird, indem man sie gleichzeitig durch a dividirt, folgende:

a z + B₂.2 a z y -f- B₃ (3 a z y¹ — et³ z³) -f- B₄ (4 a z y* — 4 et³ z³ y)-j- • • • —C[y—Cï(Ky²—a‘îz‘l) —    3a‘²z²y) —C±(yx — 6a²2²y² + o:⁴z⁴) —...

= -. (68) Cf

2 cf

(2/² + ct² z²)

Indem man auf der linken Seite der Gleichung eine genügend grosse

Anzahl von Gliedern nimmt und deren Coëfficienten B

Ą, . . . CI,

C₂. . . etc. passend bestimmt, kann man durch diese Gleichung, wenigstens annäherungsweise, jede beliebige Contour darstellen.

Prisma mit einem

22. Fortsetzung über die Torsion, elliptischen Querschnitte. — Ist der Querschnitt des Prismas eine Ellipse, so ist die Lösung dieses Problems der Torsion in dem unter der vorhergehenden Nummer behandelten Falle schon inbegriffen; setzen wir z. B. voraus, dass die Torsion um die Achse des Prismas stattfinde, und dass die Ebenen, welche durch diese Achse und durch die Ellipsenachsen gehen, parallel zu den Symmetrieebenen sind, und nennen wir die beiden Halbachsen der Ellipse b und c, so ist deren Gleichung

z²

►o

ri—: — 1-

c²

(69)

Die Gleichung (68) nimmt, wenn sie nur auf die alleinigen Glieder zweiten Grades beschränkt wird, folgende Forai an:

B, .2 a zy —

Damit diese Gleichung mit deijenigen der Ellipse identisch wird, muss man die beliebigen Coëfficienten Bt, C₂, A in folgender Weise bestimmen

B<2 — 0,

a ą -f-

to I 05

1—1 S)

a2[aC‘-l)

woraus man durch Elimination von A

a² c²

cc C₂ ri

et C-2 —

erhält und folglich

b² — a²c²

C₂ =

2 a i² + «²c²

Der Ausdruck von u für die betrachtete elliptische Contour lässt sich aus der Gleichung- (67) ableiten, indem man alle beliebigen Coëfficienten gleich Null setzt, mit Ausnahme von C.₂, welches den oben gefundenen Werth haben wird: wir erhalten somit

(70)

b² — a² c²

y z.

b² -Ą- a²c²

Durch Einführung dieses Werthes von u in die Gleichung (51) und

, erhält man

bei Beachtung, dass a² ==

P*y =

b² — a² c²

0²-f- a² c1 b²—a² c²

+■)»-

2i\ Fs c²

⁶ y> ]

2F,F,b²

(71)

0² -j- 7^ C²

0 2!.

Wir wollen nun das Torsionsmoment M suchen, welches nach dem in Nummer 18 Angeführten durch die Formel

— z) dy dz

(G-, y

ausgedrückt wird, wobei sich die Integration auf den ganzen Querschnitt erstreckt. In dieser Formel substituiren wir für pzx und pxy deren Werthe (71), und setzen zur Vereinfachung

jjy²dydz

= 1,

^ j z² d y d z = Iy

d. h., wir nennen Iy und I z die Trägheitsmomente der Ellipse in Bezug auf die Hauptachsen c und b ; unter diesen Voraussetzungen erhalten wir

2F₂F₃(c²Iz + b²Iy)

F₂ b² -)- F₃ c²

(72)

aus welcher Formel man den Werth des Torsionswinkels 6 berechnen kann, sobald das Moment M gegeben ist.

Aus der Gleichung (70) kann man den Schluss ziehen, dass für alle Werthe von y und zu — 0 wird, sobald zwischen den Achsen b und c die Beziehung

b² — a¹ c- = 0 oder

b²

(73)

besteht, d. h. sobald die Quadrate der Halbachsen proportional sind den tangentialen Elasticitätscoefficienten in deren Richtungen. In diesem Falle bleiben die Querschnitte auch nach der Deformation eben.

Wenn die beiden Coëfficienten und F.A gleich sind, was für jene Fälle gilt, wo die x-Achse eine Elasticitätsachse ist, oder wo der Körper isotrop ist, nehmen die Formeln (70), (71), (72) folgende Formen an:

⁶ £2 _|_ c-2 V z’ P~ ~ "p Ij_ c2 V’ ⁼

2F’₂(c²Iz+Z>²/y)

6² + e²

aus der ersten dieser Formeln sieht man, dass bei einem Cylinder mit kreisförmiger Grundfläche die Querschnitte auch nach der Deformation eben bleiben.

23. Biegung eines homogenen Prismas oder Cylinders. —

Wir denken uns ein Prisma oder einen Cylinder AB CD auf drei recht-

-c²

2 F, c² 6

2 jF₂ b² 6

(74)

kr

jr

J)

Fig. 8.

winkelige Achsen 01, OY, OZ bezogen, welche vor der Deformation mit den folgenden drei Linien zusammenfallen, und zwar:

O X mit der Achse des Prismas oder Cylinders, 0 Y und 0 Z mit den Trägheitshauptachsen der Grundfläche.

Ferner setzen wir voraus, dass die drei Achsen mit dem festen Körper mobil seien, so zwar, dass nachfolgend angeführte Bedingungen erfüllt werden :

1. Der Mittelpunkt der Grundfläche AB muss immer mit dem Anfangspunkt der Coordinaten zusammenfallen, so dass, wenn man die Verrückungen irgend eines Punktes parallel zu den Achsen u, v, w nennt, man

u = O,

v = 0,

für x = O, y = O, z = O erhält ;

2. das den Werthen y = 0 und z=0 entsprechende Element der Basis A B muss immer tangirend zur y z-Ebene bleiben, wodurch bedingt ist, dass für x = 0, y = 0, z — 0 sich

dy

= 0 und

du

dz

— 0 ergibt ;

3. schliesslich soll jene Trägheitshauptachse, welche vor der Deformation mit der y-Achse zusammenfällt, nach der Deformation tangirend zu dieser Achse sein, d. h., man hat für x = 0, y = 0, z — 0

— = 0.

dy

Unter diesen Bedingungen sind die Coordinatenachsen mit dem festen Körper mobil, so dass u, v, w nur die relativen Verrückungen darstellen, d. h. diejenigen, welche durch die Deformation entstehen.

Auf die seitliche Oberfläche des Prismas oder Cylinders wirke keine Kraft, hingegen seien die Grundflächen in folgender Weise beansprucht:

Die Fläche CD durch eine Kraft, deren Componenten co cos ß' und co cos/ nach einem Gesetze vertheilt sind, welches wir vorläufig unbestimmt lassen, und deren Nonnalcomponente ïo cos a in der Weise vertheilt ist, dass sie in jedem Punkte proportional zur Coordinate z ist, so dass

co cosof — mz,

co cos/?' = cp (y, z),

CO COS y =yj(y,z)-

Die Grundfläche A B durch eine Kraft, deren Tangentialcomponenten genau jenen gleich sind, welche auf die Fläche CD wirken, welche aber entgegengesetzte Richtung haben, und deren Nonnalcomponente bezüglich der auf die andere Grundfläche wirkenden verkehrt gerichtet und ebenfalls proportional zur Coordinate z ist, so dass

co cos ß' — — cp (y, z),

co cos / =

co cos«' — — (m -f- Ccl) z,

wobei C eine neue ganz beliebige Grösse und a die Länge des Prismas ist.

Untersuchen wir nun, ob die inneren elastischen Kräfte den folgenden Bedingungen entsprechen können, und zwar:

1.    dass die tangentialen Kräfte pzx und pxy dieselben sind für die Grundflächen, sowie für einen beliebigen Querschnitt, so dass überall p,y = (p (y,z) und p7X = ip (y, z) ist ;

2.    dass die normale Kraft pXK für die verschiedenen Punkte desselben Querschnittes sich proportional zu den Coordinaten z und für die correspondirenden Punkte verschiedener Querschnitte nach einem in Bezug auf x linearen Gesetze ändere;

3.    dass die normalen Kräfte p7y und p7Z, sowie die tangentiale Kraft py7, überall Null sind.

Wenn diesen Bedingungen entsprochen wird, hat man für einen beliebigen Punkt des Körpers

Pxx = [m -f C (a — x)\ z, pyy = 0, pzz = 0, pyz — 0,

Pzx = tp (;y> z),    p*y = cp (y, *),

d pxy

und folglich auch

dpzx

0.

(75)

(76)

Mit Rücksicht auf diese letzten Beziehungen (75) und (76) sieht man, dass den zwei letzten Bedingungsgleichungen (14) entsprochen wird, während die erste derselben die folgende Form annimmt:

d pxy    d p7X

dy

Cz.

(77)

Sehen wir nun, was in dem gegenwärtigen Falle aus der Gleichung (23) für die Oberfläche wird.

Für die seitliche Oberfläche hat man überall

w — 0,

cos a — 0,

es wird daher den beiden letzten Gleichungen (23) entsprochen, während die erste derselben die Gleichung

cos y = sin ß;

pxy cos ß + pzx sin ß — 0

ergibt; nachdem aber ß der Winkel ist, welchen die Normale auf die Contour des Querschnittes mit der «/-Achse bildet, hat man

_ ty.

tang ß —

so dass aus obiger Gleichung die folgende entsteht:

pKy dz —pzx dy = 0.

dz’

(78)

Für die Fläche C D hat man

cos a — 1, cos ß — 0, cos y = 0, w cos a — m z, oj cos ß' — cp (y, z), Tj cos y' =ip (y, z) ;

wenn man beachtet, dass für x — a

pxx — m z

ist, und unter Berücksichtigung’ der Werthe für pxy und p7X findet man, dass den Gleichungen (23) vollständig entsprochen wird.

Für die Fläche A B hat man

cos a — — 1,

To cos a — — (m -f- C a) z,

cos ß = 0,

cos y = 0

co cos ß’ = To cos / = — tp (y, z),

y (y, z)>

und indem man x — 0 macht,

pxx — (m + Ca) 2,

woraus folgt, dass den Gleichungen (23) ebenfalls entsprochen wird.

Unter der Voraussetzung, dass das Gefüge des Körpers drei auf die Coordinatenachsen senkrechte Symmetrieebenen habe, ist es klar, dass die vier ersten Gleichungen (18) und die Differentialquotienten der beiden letzten mit Bezug auf x, bei Berücksichtigung der Formeln (75), folgende Gleichungen geben:

3 _\m 4~ C (a — a?)] 2

x~    E    '

9t* = °;

dgzx

d gxy

= 0;

(79)

wobei die Coëfficienten E, g, g dieselbe Bedeutung und denselben Werth haben wie in den Formeln (37).

Diese Ausdrücke für die Dehnungen und Verschiebungen entsprechen vollständig den Gleichungen (26), sowie der ersten der Gleichungen (27) und redlichen die beiden letzten auf folgende:

dgz

dy

d_ f d g7X dgx dz\dy    dz

= 0.

Da man übrigens aus den zwei letzten Gleichungen (79) auch

d C dj« _ dgIy dx \ dy    dz

erhält, so folgt daraus, dass die Function

d gzx    d gxy

dy

weder eine Function von x, noch von z sein kann, sondern nur von y, so dass

__l_ dg^ ₌ 2yC

dy dz

_dg™

iry'

(80)

Wir fügen diesmal keine beliebige Constante hinzu, denn es folgt aus dem Problem über die Torsion, dass die hinzugefügte Constante einer gleichmässigen Torsion des Prismas oder Cylinders entspricht, einer Torsion, welche wir in diesem Falle als nicht stattfindend voraussetzen.

Man sieht also, dass die Annahmen (75) und (76) über die elastischen Kräfte im Innern des Cylinders wirklich zutreffen, soferne die Vertheilung der Tangentialkräfte über die Grundflächen eine solche ist, dass diese Kräfte den Gleichungen (77) und (80) für alle Punkte der Grundflächen und ausserdem der Gleichung (78) für alle Punkte der Contour entsprechen.

Wrir wollen nun die Kräfte pxy und pzx mit Hilfe einer einzigen unbekannten Function in der Weise ausdrücken, dass dieselben der unbestimmten Gleichung (80) entsprechen; es genügt also, die Function unter Berücksichtigung der unbestimmten Gleichung (77), sowie der Gleichung (78) für die Contour zu bestimmen.

d² iv _2 g C

Setzt man in die Gleichung (80) für gzx und gxy deren Ausdrücke (25), so erhält man

dz dx dx dy

nachdem aber gyz — 0 ist, hat man auch

= o,

^ = 0, oder

dg

dz dx dx dy

so dass man durch Combination dieser Gleichung mit der vorangehenden die folgenden erhält:

d² v. y C

-= -— y,

dzdx E J

d² iv

v_ç

dx dy

y-

Ferner geben die drei ersten Gleichungen (79)

du _ [m + G(a_æ)]g

d x

dv

y [m -f- C (a — cc)] z

dy

d iv_ y [m -f- C' (a

x)] z

dz

woraus man durch Differentirung d² il

4- C {a — x)

d¹ u

dzdx

dx dy

d² ïc y C z

dzdx

y C z

~

ableitet; die beiden letzten Gleichungen (79) geben

dx dy

d² a'

cZ²

cZ² w

dx dy

woraus sieh bei Berücksichtigung obiger Resultate

d²w

ergibt.

dx²

d² v d x²

dzdx

= 0,

dx²

d²v d x²

= 0,

m -f- C (a — x)

Alle vorangehenden Resultate vereinigt geben also:

d² v d x²

= 0,

d²v _y C z

dx dy

d² v _y C y

dzdx

d² xv

+ C (a — x)

d² w

dx²

⁷ dx dy

E ⁷ dzdx

d² iv y C y

d. h. man kennt somit alle drei Differentialquotienten von

d iv

sowie

von

mit Bezug auf x, y, z.

Durch Integration erhält man hieraus

yCyz E ’

= C"

m x — — C [a — x 'f-

2E

2E ’

wobei C und C" zwei beliebige Constante sind.

d v

Substituirt man diese Werthe von — und für gxy und g2X, so erhält man

d to

in die Ausdrücke

dy

m x--C(a —x)²

rf C z²

2E

2E

im Anfänge dieser Nummer wurde gesehen, dass für x = 0, y = 0, z = Q d u

man

dy

= 0, — = 0 hat ; wenn man also in diesen Formeln x = 0,

y — 0, z = 0 macht und g\y und g{)zx die correspondirenden Werthe von gxy und g./jX nennt, so erhält man

y xy —C,

y"zx — c -j-

C a²

2E’

so dass man nach Elimination von C und C" schreiben kann:

yCy*

y&y ₇ “C g xy

dy

mx — C (2 a x — x²)

, H⁻ y zx

2E

2E

Man erhält also folgende Ausdrücke für die elastischen Kräfte:

yCyz

Pxy

'•(

du

+ y+ E

mx -f- — C(2 a x — x-)

dy

-hy⁰zx

y C y'² y C z²

2E 2E

welche nur von der einzigen Function u ab hängen. Durch Substitution in die unbestimmte Gleichung (77) nimmt letztere folgende Form an:

V F₃    rjF,2

d- u

dz²

(‘

C z.

■ (82)

diß

*24. Fortsetzung über die Biegung. — Bestimmung der Con-stanten C und m. — Nachdem wir die Möglichkeit, das Problem der Biegung aufzulösen, erkannt haben, gehen wir daran, die Bedeutung der Constanten C und m zu bestimmen.

Wenn wir nun in dem Querschnitte, dessen Abscisse x ist, ein Oberflächenelement dto = dy dz betrachten, so wird die in diesem Elemente wirkende normale elastische Kraft ausgedrückt sein durch

xj] z dy dz-

pxx d co = \m -J- C (a

das Moment dieser Kraft in Bezug auf die zur y-Achse parallele Hauptachse ist somit

- pxx z d co = [m + C(a — a?)] z¹ dy dz-

die Summe dieser Elementarmomente auf den ganzen Querschnitt bezogen ist daher

2pxx z d (o = [m + C(a — a?)]J jz² dy dz. Es ist bekannt, dass die Grösse

z² dy dz,

indem man die zweifache Integration auf die ganze Fläche ausdehnt, das Trägheitsmoment des Querschnittes mit Bezug auf die Trägheitshauptachse genannt wird; diese Achse werden wir künftighin Biegungsachse nennen. Wird dieses Moment durch I dargestellt, so hat man

2 pxx z d u = [m -j- C (a — x)\ I.

Denkt man sich das Prisma nach dem Querschnitt GH (s. Fig. 8, S. 95) geschnitten, so wird offenbar das Gleichgewicht des Stückes CD HG nicht gestört, vorausgesetzt, dass man auf den Querschnitt GH äussere Kräfte wirken lässt, welche den thatsächlich wirkenden Kräften gleich sind ; das Stück CD HG wird also unter der Einwirkung der auf die Grundfläche CD wirkenden äusseren Kräfte, sowie der in dem Querschnitte G H

statthabenden elastischen Kräfte im Gleichgewicht sein. Diese Kräfte sind folgende:

Auf die Grundfläche CD die Normalkräfte rn z und die Tangentialkräfte cp (y,z) und ip (y, z) ;

Auf den Querschnitt G H die Normalkräfte — [m -f- C (a — x)\ z und die Tangentialkräfte — cp (y, z), — ifj (y, z).

Man sieht zuerst, dass, nachdem die Tangentialkräfte auf CD und GH einander gleich und im entgegengesetzten Sinne gerichtet sind, die Gleichgewichtsbedingungen sowohl der Fortbewegung in der Richtung der y- und der z-Achse, sowie jene der Drehung um die x-Achse vollkommen erfüllt werden; ferner führt die Bedingung, dass die Summe der auf C D und G H wirkenden Normalkräfte Null sei, zu folgender Gleichung :

z dy d z

[m -4- C (a — æ)]

— — C(a — x)

z dy dz = 0,

wobei die zweifache Integration auf den ganzen Querschnitt ausgedehnt werden muss. Dieser Gleichung wird vollständig entsprochen, denn da die Coordinaten 2 die Entfernungen der Elemente dy dz von einer Achse sind, welche durch den Schwerpunkt des Querschnittes geht, wird auch das in der Formel enthaltene Doppelintegral gleich Null sein.

Es erübrigt nunmehr noch auszudrücken, dass die Summe der Momente aller auf das Stück CD HG wirkenden Kräfte in Bezug auf zwei zu den Achsen der y und z parallelen Linien gleich Null se’en. Wir nehmen für diese zwei Linien die Hauptachsen des Querschnittes CD, so dass die auf diesen Querschnitt wirkenden Tangentialkräfte ein Moment gleich Null geben. Dies angenommen, muss man ferner beachten, dass, da die auf die Grundfläche CD wirkenden Normalkräfte m z, wie oben zu ersehen ist, eine Summe gleich Null haben, sie statisch gleich sind zwei Kräftepaaren, welche die y- und z-Achse zu Achsen haben, und deren Momente

y z dy dz

z^dydz und m

sind, wobei die Entfernungen y und z auf die Hauptachsen der Grundfläche CD bezogen werden. Die Beziehung zwischen diesen beiden Achsen ergibt aber

y z dy dz = 0;

es wird also das zur z -Achse senkrechte Kräftepaar gleich Null sein, und bleibt somit nur das zur y-Achse senkrechte Kräftepaar, dessen Moment

z- dy dz = ml

ist, indem man I das Trägheitsmoment des Prismaquerschnittes in Bezug auf dessen zur y-Achse parallele Trägheitshauptachse nennt.

Desgleichen sind die auf den Querschnitt GH wirkenden Normal

kräfte gleich einem Kräftepaar, welches als Achse die y-Achse hat, und dessen Moment

— [m -f- C (a — a?)] I ist.

Für das Rotationsgleichgewicht um die Trägheitshauptachsen des Querschnittes GH hat man die beiden Gleichungen

C{a

x) 14- (a — x) l j ifj (y, z) d y d z — 0,

(a

x)\ \⁽p{y>z)dydz — o,

oder nach Division durch (a — x)

JjV (JO z) dy dz

— CI,

JJcp (y>z) dy dz

= 0.

Die zweite dieser Gleichungen zeigt, dass die Summe der zur y-Achse parallelen Tangentialkräfte gleich Null ist, während aus der ersten hervorgeht, dass die Summe der zur z-Achse parallelen Kräfte gleich CI ist. Wird die letztere Summe S genannt, so erhält man

S=CI und daher C=~.

was den Werth der Constanten C gibt.

Um m zu bestimmen, hat man zu beachten, dass, wenn die Summe der Momente der auf die Grundfläche CD wirkenden Normalkräfte mz in Bezug* auf die zur y-Achse parallele Trägheitshauptachse M genannt wird, man folgende Gleichungen erhält:

M —ml und in Folge dessen m — —

Bei Berücksichtigung dieser Werthe von C und m erhalten die ersten Gleichungen (75) und (79), die Gleichungen (81) und die unbestimmte Gleichung (82) folgende Form:

M 4- S(a — x)

P** =----

M -j- S(a — x)

EI

(83,

Pxy =

'■(

+ g\y +

ySyz

EI

)'

Mx + ^S(2

ax — x²)

(84)

y Sy²

rf S z²

dz

EI

2 EI

2 EI

dl u

r.

y F.a rj I\ \ S z

dy

d²z

25. Fortsetzung über die Biegung. — Betrachtung eines Prismas mit rechteckigem Querschnitte. — Es seien b und c die zur y- und zur z-Achse parallelen Seiten des Querschnittes; der Anfangspunkt der Coordinaten befindet sich im Mittelpunkte einer Grundfläche des Prismas.

Macht man nun

u = u — g\₇ y —

[<A.

Mx + — S(2 ax — x²)

EI

7b² 1 £c²“j _

ËÏ12 ⁺ F, 8/J ²

2EI

y F.{\ S z3 ~E~J 6 F₂1’

wobei u eine unbekannte Function von y und z ist, so werden aus den Formeln (84) und aus der Gleichung (85) folgende:

P*y — -^3

d u'

dy

P zx

-*[

du' yS

EI

(y² —

2F,ll 4jJ’l

d'¹ u

cl¹ u'

dy

= 0.

(87)

Die Gleichung

d z — pzx d y — 0,

welche sich auf die Contour der Querschnitte bezieht, theilt sich in zwei andere; denn für die Kanten c hat man überall dy = 0, und es muss daher pxy — 0 sein, während für die Kanten b überall dz = 0 ist, was wieder pzx = 0 gibt, so dass hieraus die folgenden Bedingungen resultiren :

für y — rfc

to

pxy = 0 oder

wie auch 2 sei;

und für z = dz —

2

wie gross auch y sei.

Nehmen wir nun an, dass

pzx = 0 oder

dy

(88)

d u rj S

EI

) cos m y,

wobei die Summe 2 eine beliebige Anzahl von Gliedern enthält und wobei die Grössen An und m von einem Glied zum andern verschieden sein können.

Zuerst ist zu beachten, dass dieser Ausdruck der unbestimmten Gleichung (87) unter der Voraussetzung entspricht, dass

amz

— amz

F₃ — a-1\ — 0 oder a — ±

Weiters erhält man, indem man den Differentialquotienten von u

nach y nimmt und denselben nach Einführung von y — -fc -, zufolge

2

F₂

der Bedingung (88), gleich Null setzt, folgende Formel:

v . mb )Sni —

amz

— amz

hieraus ergibt sich

2717t

— n 7t und folglich wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Mit diesem Werthe von m erhält man

s 2 nTZz

2nr.z\

•T)

cos

2n 7T y

Bildet man den Differentialquotienten von u' nach z imd substituirt

£

denselben in die Bedingungsgleichung (89), indem man 2 = dz — macht, so erhält man

EI

2 7t Ci

r n~c

h S»4,(W

>T)

cos

ZnTty _ Q

b

worauf man die Anzahl der in der Summe 2 enthaltenen Glieder und den Coëfficienten An jedes Gliedes in der Weise bestimmen muss, dass dieser Gleichung entsprochen wird.

Die Formel von Lagrange lautet:

1 Ç¹

<p(y) — j\₀⁽p(yldy'=

n «=°°

tS

cos

n7ty

y (y)cos

nrty

dy,

worin das Symbol cp (y) eine beliebige Function von y darstellt. Macht man <p(y.') = y² und cp(y') = y\

so findet man sogleich

¹ y¹ dy' = l-, 0    o

'2

n 7t y

(—l)“-¹ 2 P

n² 7t¹

und aus obiger Gleichung von Lagrange wird folgende:

(—l)n_1 cos

n 7t y

¹

(n — 2) (n — 3) 1.2.3.4

= 0:

3    B4i

der Vergleich dieser Gleichung mit jener, welche aus der Bedingungsgleichung (89) abgeleitet wurde, zeigt, dass dieselben identisch sind, sobald man

27t aEI

y Sb

setzt, d. h. dass

i=l-

nr.c    nzc^

+ e— a~I =

und

(—1 f-'b*

7t-² n²

7] Sb* 2?r³ aEI

(-i)—

w³

r nTZc    n7Zc\

|ea&-(-e ß 6 !

Bei Berücksichtigung der in Nummer 20 für den hyperbolischen Sinus und Cosinus gegebenen Ausdrücke erhält man durch Substitution dieses Werthes von An in den allgemeinen Ausdruck für u

,    ___ ... 2nitz

n- o» (“ 1)    S1^ a j-

x—i    b

ySb* y, 2?c³ a EI

. COS

2n 7i y

o -, nix c n³ coh a-

— •    (90)

Dies ist somit das allgemeine Integral der Gleichung (87) unter Berücksichtigung der Bedingungsgleichungen (88) und (89).

Nimmt man die partiellen Dilferentialquotienten dieses Ausdruckes nach y und z und substituirt man dieselben in die Formeln (86), welche die Werthe der elastischen Kräfte pxy und pzx geben, so ergibt sich

2 n n y

2 n 7i z

n— Qo

y Sb²

a*aEI B = 1

(—l^-’siha —

b

sin

n² coha —

P==—

j rjF₂S

—zï|

2/U J EI

,    . 2 mtz 2ii7ty\

(— l)n "¹ coh a-cos- -

(91)

mrc

n²coha-

b

Will man die Werthe der elastischen Tangentialkräfte pxy und pzx im Mittelpunkte des Querschnittes erfahren, so hat man nur y = 0 und 2 = 0 zu machen und erhält

Pu -

GO I Go

₁ ZyFjl} 3E c -’

12 ^2j

i „    , nitc

n -¹ n² coli a-

(92)

26. Fortsetzung über die Biegung. — Betrachtung eines Prismas mit elliptischem Querschnitte. — Man denke sich nun, dass

AI x A~~ & (2 a x — a?²)

El

⁺0

yF?<_y F₂\ S z³

‘ E J 6 F₂I

-f Az

F:,

3F₂

sei, wobei A und B unbestimmte Coëfficienten sind.

Zuerst ist zu beachten;, dass für a? = 0, y = 0, z — 0 ebensowohl

du ,,    ,

-= 0 und

d u

als auch

dy

9°*j — 0 und g°zx = A,

sein muss., so dass man für u folgenden Ausdruck erhält:

AI x -j- ^ S (2ax — x²)

EI

z-f- j^l

); (93)

3 F₂

derselbe entspricht der unbestimmten Gleichung (85) und reducirt die Formeln (84) auf folgende:

iF'{B + ïé

i>« = ^[är"„ + f

lAy =

yz,

2EI

zA.

Macht man zur Vereinfachung

(94)

= P,

7j S

2EI

so ergeben sich folgende zwei Formeln: P*y = % F₃ Py z,

EI

y] + g-^)

z*¹ :

so dass die Contourgleichung

pxy dz — pzx dy = 0 nach Substitution zu folgender wird:

2 F₃ P y z d z —

rj S

El

= o.

Diese Gleichung- kann man homogen machen, indem man

^•■+(ê-^ = (ê“PsP>'²

setzt, denn man kann hieraus

z dz = z dz',

ableiten, womit die betrachtete Gleichung- die folgende ergibt:

2 Fz Py zd z

[{lrF>pyi+F'{p-fMdy

= 0.

Um diese Gleichung zu integriren, muss man vorerst die Variablen trennen; dies kann man durch Einführung einer neuen Variablen t machen, welche von z und y durch die Belation

z'=ty

abhängt. Setzt man in der vorhergehenden Gleichung- t y für z und berücksichtigt man, dass

d z — t d y -f- y dt ist, so erhält man in der That, nachdem man noch durch yl dividirt hat,

2 F, P t (t d y + y d t) - Qj|- F, p) P + F, tp - ||)1 dy = 0,

[(é-^p)<2+^(p-ë)]^=⁰-

oder

2 Fz P y t dt — und folglich

dy _

2 F₃ P t d t

wobei die Variablen getrennt sind.

Diese Gleichung kann leicht integrirt werden und gibt, wenn man C eine beliebige Constante nennt,

ĄP

log Cy —

Gr/-3PiP)

log-

21

will man von den Logarithmen zu den Zahlen übergehen, so hat man zur Vereinfachung

C2Kpi'³ = C'

zu setzen und erhält dann

C'y 2f,pi ³ —

(-

12/

— 3 FoP

P—

EI

durch Multiplication dieser Gleichung mit y² und indem man gleichzeitig z² für t² y² setzt, erhält man

Cy dW“ '¹ = (£- 3 F, P) *'> + F, f P -y\

Aus der Beziehung, welche zwischen z² und z² aufgestellt wurde,

ergibt sich

z²

= zl+s

F2 9°zx

21

-ĄP

so dass man der vorhergehenden Gleichung folgende Form geben kann:

r. __i

6 y 2 fx pi

— — 3 F.,P

(r,FlPy+F(P^+ĄłĄ

• (95)

21

Dies ist also die allgemeine Gleichung des Querschnittes der Cylinder, deren gekrümmte Oberfläche nach der Deformation durch die Gleichung (93) repräsentirt wird.

[yw

Differentiirt man die Gleichung (95), so erhält man l^j C'y2F₃pi~² —2 F.

unter der Voraussetzung, dass

2F.,PI

positiv ist, d. h. dass

2FZPI

1>1

(96)

ist, hat man auch

für y — 0

für z=0

woraus ersichtlich ist, dass der Werth von z, welcher einem Werthe y = 0 entspricht, ein Maximum oder Minimum ist, eben so wie der mit z = 0 correspondirende Werth von y.

Wird der Bedingung (96) entsprochen, so ist es klar, dass der

Exponent

immer in der Form

2 FZPI

2ß

geschrieben werden kann, wobei a und ß zwei ganze Zahlen sind, von welchen die zweite kleiner ist als die erste, so dass der Ausdruck

C'y 2 Fs Pi ¹

sein Zeichen nicht ändert, wenn dies auch bei y geschieht. Es folgt hieraus, dass die durch die Gleichung (95) dargestellte Curve symmetrisch ist, und zwar sowohl in Bezug auf die y-Achse, als auch in Bezug auf die z -Achse.

Wir nennen nun ± & die mit z — 0 correspondirenden Werthe von y und dhc die mit y = 0 correspondirenden Werthe von z und dividiren die ganze Gleichung (95) durch das letzte Glied derselben, machen aber

^k~F,P

21

21

EI

— — 3 F₃P 21 ³

1/F

(97)

21

F,P

F₂ g°zx S_

= C".

21

-3 F,P

wobei K eine constante Grösse ist. Aus der Gleichung (95) ergibt sich dann

C"yzF₃Pi ¹ + K

(fr 0

= 1,

und da man für z — 0 y = b erhalten muss, folgt hieraus

C" =

b2F,PI ¹

so dass man durch Eliminirung von C" und, indem man zur Abkürzung

(98)

2 Fs PI

macht, als Contourgleiehung der Querschnitte des Prismas oder Cylinders folgende Gleichung erhält:

a-*)(!) + *(!) +(9 =¹

(99)

Aus der Gleichung (98) und den zwei Gleichungen (97) lässt sich ableiten, dass

_ä_

2F₃ /(« + !)’ S“

Snc²

1 — (w + 1)

2VF*

E F, J2

womit man für die elastischen Tangentialkräfte folgende Ausdrücke erhält:

2F₂I(n-\-l)

(100)

(n -hl)/

yz,

2 in — 1) /

rw(C2_^₎_(n_₂₎^|2/2j j

} (101)

Die Gleichung- (99) kann offenbar unendlich viele Curven mit den Halbachsen b und c repräsentiren, denn man kann dem Coëfficienten n und folglich auch K unendlich viele Wertlie g-eben.

Macht man K = 1, so erhält man als Contourgleichung

* cs r-O

+ — — 1;

C²

welche eine Ellipse darstellt, deren Halbachsen b und c sind. Die letzte der Gleichungen (100) wird sodann

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

M-

woraus sich ergibt, dass

1 — (»4-1)

2rjF,

E F₂ 62

F₃cF

2 +fl

2VF^ F₂V

Fz c²

2yF₉ F₂ 6²

E F₃ c²

Für die Prismen oder Cylinder mit elliptischer Grundfläche, sowie für diejenigen mit rechteckiger Grundfläche kann das Problem der Biegung vollständig aufgelöst werden, sobald der betreffende Körper in jedem Punkte drei Symmetrieebenen besitzt, welche wechselseitig auf der Achse des Körpers und auf den Hauptachsen der Grundflächen senkrecht stehen.

27. Fortsetzung über die Biegung. — Form des Prismas oder Cylinders nach der Biegung. — Die Bestimmung der Form des Prismas oder Cylinders nach der Biegung erfordert, dass die Ausdrücke für die Verrückungen u, v, w in Functionen von x, y, z gefunden werden.

Was den Ausdruck für u betrifft, so wurde gesehen, dass derselbe nur für specielle Querschnitte gefunden werden kann; hingegen wird die Folge lehren, dass die Ausdrücke für v und w in Functionen der Coordinaten gefunden werden können, welches auch immer die Quer-schnittsform des Prismas oder Cylinders sei.

Zuerst betrachten wir aber den Ausdruck für u in den schon behandelten Fällen, um hieraus einige wichtige Eigenschaften zu folgern, und nehmen z. B. die Formel (93), welche für jene Cylinder gefunden wurde, deren Querschnitte im Allgemeinen durch die Gleichung (99) dargestellt werden.

Wird x als constant betrachtet, so gibt die Formel (93) offenbar die zur x-Achse parallelen Verrückungen der verschiedenen Punkte eines Cylinderquerschnittes, d. h. sie stellt jene krumme Fläche dar, in welche ein vorher ebener Querschnitt nach der Deformation verwandelt wurde. Die Formel (93) kann auch in die Form

u — u -j- u"

gebracht werden, indem man

Mx -f- i S (2 a x — x²)

EI

z,

(103)

u"= (l

vF3 v'F₂\ Sz*    I

E EJ 6 F₂I    t

f₃

u² z--— z%

3 F,

(104)

setzt. Wenn man x als eine Constante annimmt, d. li. wenn man die Punkte ein und desselben Querschnittes betrachtet, so stellt die erste dieser Gleichungen eine zur y-Achse parallele Ebene dar, während die zweite eine Fläche dritter Ordnung repräsentirt. Diese Ebene und diese Fläche sind im Mittelpunkte des Querschnittes zu einander tangential, denn für y = 0, z = 0 hat man, wie auch die Abscisse x sei,

du”

dy

0 und

du”

= 0;

daraus folgt, dass die Gleichung (104) jene krumme Fläche darstellt, in welche die der Abscisse x entsprechende Querschnittsfläche nach der Biegung verwandelt wurde. Nachdem der Ausdruck für u” von x unabhängig ist, kann man leicht ersehen, dass alle Querschnitte nach der Biegung dieselben krummen Flächen bilden.

Für das Prisma mit rechteckiger Grundfläche kommt man zu demselben Schlüsse.

Zur Bestimmung von v und w übergehend, integrire man die Gleichung

d²v d²w _2 y C

dzdx dx dy E

mit Bezug auf x; setzt man gleichzeitig für C dessen Werth

und nennt

man cp (y, z) eine beliebige Function von y und z, so erhält man

^ ⁼ ~Ëjxy + ²⁽p ($’*)'■>

dz dy

nachdem aber die Verschiebung gyz Null sein muss, hat man auch

d v . dw

dz d y

0;

8*

so dass durch Combination mit der vorhergehenden Gleichung folgende Formeln erhalten werden:

dv vS .    .    ,

— =ZEIXy + Cp^,Z'’

dy

EI

Durch DitFerentiation der ersten dieser Gleichungen nach y und der zweiten nach 2 ergibt sich d² v y S dy dz

andererseits erhält man aus den zwei Gleichungen

rj \m + C (a — xj\ z

EI

x -j-

dv(y>z)

dy

d² w

dy dz

rj [m + C (a — xj\ z

dy

durch Differentiation der ersten nach z und der zweiten nach y, und indem man für m und C deren Werthe setzt, d²v

y \M 4- S (a ■— xj]

d² w

dy dz

EI

Der Vergleich dieser Ausdrücke für haltenen ergibt

d² v

dy dz

und

dy dz d² vo

dy dz

0.

mit den oben er-

dcp(y, g) _

rj(M+Sa)

d(p{y, g)

dy

EI

= 0,

woraus man durch Integration

<p (y>z) =

y(M+ Sa)

EI

ableitet, wobei D eine beliebige Constante ist.

Diesen Werth der Function cp (y, z) kann man in die Ausdrücke für

und einsetzen und erhält

d v y S

dy

EI

xy

dy

EI

xy +

y + A

y (M + S a)

EI y

EI

-D;

und da man für x = 0, y = 0: — = 0 haben muss, folgt daraus, dass die Constante D gleich Null sein muss.

Unter Berücksichtigung der in Nummer 23 gefundenen Ausdrücke

für    und jener für — sind somit alle drei Differential-

dxdy    dx d z

quotienten von v und w mit Bezug auf x, y, z bekannt, und zwar sind es folgende:

——a⁰ i vsyz ’    ⁹*y EI ’

dx

-r~ = 9^-

dx

Mx^S(2ax — x²)

EI

y Sy² y Sz2 ~ 2EI ⁺ 2 El’

dv y[MĄ-S(a— a?)] z dw y [MĄ-S (a — a?)] y

dy

~~    " ZI ' ~dÿ~    El

dv    y[M-\- S (a — x)]y dw     y[M-\- S (a — a?)] 2

El

El

Die Integration dieser Gleichungen kann man vollständig ausführen, und da für x = 0, y — 0, 2 = 0: v = 0, w — 0 sein muss, hat man auch keine Constante hinzuzufügen, so dass die Integration folgende Werthe ergibt:

v = g\ x —

y [M -j-- S(a — a?)] y z

EI

w = <7°zx x —

A/æ²+/S^

2EI

[M -}- S(a — a?)] (y y²— y z²)

(105)

2 El

Dies sind in endlicher Form die Ausdrücke für die transversalen Verschiebungen v und w- es ist sehr bemerkenswerth, dass dieselben erhalten wurden, ohne dass eine Beschränkung bezüglich der Querschnittsform des Prismas oder Cylinders gemacht worden wäre. Diese Allgemeinheit ist jedoch nur scheinbar, denn die in den Ausdrücken für v und w enthaltenen Verschiebungen gxy und gxx sind ihrerseits von der Form des Querschnittes abhängig.

Wenn man die von der Achse des festen Körpers nach der Biegung beschriebene Curve bestimmen will, hat man y = 0 und 2 = 0 zu machen,

welchen Werth die Abscisse x in den Gleichungen (105) immerhin habe, und erhält sodann

v — g\yx,

Mx¹ + s r

oæ2-f) •

(106)

2 EI

diese Gleichungen geben die Curve, nach welcher sich die Achse des Prismas biegt. Die erste derselben zeigt, dass diese Curve eben ist.

Sobald der Querschnitt des Prismas oder Cylinders symmetrisch ist in Bezug auf die zur z-Achse parallele Trägheitshauptachse, muss offenbar die Biegung der Achse des Prismas in einer verticalen Ebene vor sich gehen, und man erhält somit für jeden beliebigen Werth von x v = 0 und folglich g(>xy = 0.

28. Das Prisma sei Kräften von verschiedener Art unterworfen. — Bis jetzt wurde das Elasticitätsgleichgewicht eines geraden Prismas untersucht, auf welches folgende äussere Kräfte einzeln wirken, und zwar:

1.    Eine gleichmässig über dessen Oberfläche, sowie über dessen Grundflächen vertheilte Kraft;

2.    eine nur über die Grundflächen gleichmässig vertheilte und senkrecht zu denselben gerichtete Kraft;

3.    Tangentialkräfte, welche nach einem von der Form der Querschnitte abhängigen Gesetze über die Grundflächen vertheilt sind, und welche eine gleichmässige Torsion hervorrufen;

4.    Tangentialkräfte, welche nach einem von der Form der Querschnitte abhängigen Gesetze über die beiden Grundflächen vertheilt sind, sowie gleichmässig über die beiden Grundflächen vertheilte Kormalkräfte ; alle diese Kräfte bewirken in dem Prisma eine Biegung in einer durch die Achse des Prismas und durch eine Hauptachse der Grundfläche bestimmten Ebene.

Es wurde aber gesehen, dass in jedem dieser Fälle die hervorgerufenen elastischen Kräfte lineare Functionen der äusseren Kräfte sind, woraus folgt, dass, sobald alle die oben betrachteten äusseren Kräfte gleichzeitig auf das Prisma wirken würden, die elastischen Kräfte pyy, pzz} pyz} jözx, pxy die Summen derjenigen Werthe sein würden, welche dieselben hätten, wenn jede dieser äusseren Kräfte einzeln thätig wäre.

Man betrachte z. B. jenen Fall, welcher im Verlauf dieses Werkes öfter Gegenstand der Untersuchung sein wird, d. h. den Fall, in welchem das auf drei rechtwinkelige Achsen bezogene Prisma in jedem seiner Punkte drei zu diesen Coordinatenachsen senkrechte Symmetrieebenen besitzt, und auf welches folgende Kräfte wirken:

1.    Auf die beiden Grundflächen, für welche x — a und x = 0 ist, die gleichmässig vertheilten Normalkräfte P und — P-

2.    auf die mit x — a correspondirende Grundfläche die nach dem linearen Gesetze

I?

vertheilten Normalkräfte und die analog wie in dem Probleme über die Biegung vertheilten Tangentialkräfte, welche parallel zur y-Achse eine Resultirende gleich Null und parallel zur 2-Achse eine solche gleich—Sz geben ; ferner auf die mit x = 0 correspondirende Grundfläche Normalkräfte, welche nach dem linearen Gesetze

M⁰ -f- S a ----z

i;

vertheilt sind, und Tangentialkräfte, welche gleich sind mit den auf die andere Grundfläche wirkenden, welche aber entgegengesetzte Richtung haben :

3. auf die mit x — a correspondirende Grundfläche die nach dem linearen Gesetze

— y

l. J

vertheilten Normalkräfte, und die analog wie in dem Probleme über die Biegung vertheilten Tangentialkräfte, welche parallel zur z-Achse eine Resultirende gleich Null und parallel zur y-Achse eine solche gleich —Sy geben ; ferner auf die mit x — 0 correspondirende Grundfläche Normalkräfte, welche nach dem linearen Gesetze

Sy Ct

T- y

vertheilt sind, und Tangentialkräfte, welche gleich sind mit den auf die andere Grundfläche wirkenden, welche aber entgegengesetzte Richtung haben ;

4. schliesslich auf die mit x = a correspondirende Grundfläche Tangentialkräfte, welche wie in dem Problem über die Torsion vertheilt sind, und welche in Bezug auf die Achse des Prismas ein Moment Mx geben ; ferner auf die mit x = 0 correspondirende Grundfläche Tangentialkräfte, welche vollkommen gleich sind mit den auf die andere Grundfläche wirkenden, welche aber entgegengesetzt gerichtet sind.

Wenn jedes dieser vier Systeme von Kräften einzeln auf das Prisma wirkt, so hat man, wie schon oben gesehen wurde, in jedem beliebigen Punkte

= o.

Ferner resultirt aus dem Problem über die einfache Dehnung, dass die alleinigen Kräfte des ersten Systems in jedem beliebigen Punkte

Pzy = 0,

Pzx = 0 geben.

Aus dem Problem über die Biegung folgt, dass die Kräfte des zweiten Systems allein, d. h. diejenigen, welche eine Biegung in der Richtung der x 2-Ebene hervorrufen, für die auf ein ebenes Element des mit der Abscisse x correspondirenden Querschnittes wirkende Normalkraft folgenden Werth geben:

Pxx —

M°y -f- Sz (a — x) z

ly

oder pxx

_M,

ly

wobei man My das Biegungsmoment in Bezug auf die zur y-Achse parallele Trägheitsachse des betrachteten Querschnittes nennt; für die Tangentialkräfte pxy und p2K erhält man Functionen von y und z, welche man durch die Formeln

= <Pl    z) ^ und pzx — <p₂ (y, z) Sz

darstellen kann, wobei die Functionen rpl (y, z) und cp₂ (y, z) nur von der Querschnittsform des Prismas oder Cylinders abhängen und nicht von der Grösse der auf die Grundflächen wirkenden Kräfte. Zur Vereinfachung können die beiden letzten Formeln auch in der Form

und pzx = A₂

_ A sz

psy -^1 „

geschrieben werden, indem man Q die Querschnittsfläche des Prismas oder Cylinders und Ah A₂ zwei Functionen von y und z nennt, welche nichts Anderes sind als die mit Q multiplicirten Functionen <pl (y, z) und cp₂ (y, z).

Die Kräfte des dritten Systems würden, wenn sie allein wären, eine Biegung in der Richtung der x y-Ebene hervorrufen und würden für die Normalkraft pxx den Werth

— df °z -J- Sy (a — x)

Pxx =

Mz

oder p

— y I*

geben, wobei Mz das Biegungsmoment in Bezug auf die zur z-Achse parallele Trägheitsachse des mit der Abscisse x correspondirenden Querschnittes ist; für die Tangentialkräfte pxy und pzx erhält man die Ausdrücke

1,.

xx

P*y =

Sy

~~ Bo ~~

o’

wobei Bl und B.₂ Functionen von y und z sind, welche nur von der Querschnittsform des Prismas oder Cylinders abhängen, aber nicht von der Grösse der auf die Grundflächen wirkenden Kräfte.

Schliesslich würden die Kräfte des vierten Systems, wenn dieselben allein wären, eine Torsion um die Achse des Prismas hervorrufen und zufolge dem Problem über die Torsion

p™ = yj₂(y, z) Mx    ,

ergeben, wobei (y, z) und ip₂ (y, z) von der Querschnittsform abhängige Functionen von y und z sind, welche aber von der Grösse der auf die Grundflächen wirkenden Kräfte nicht beeinflusst werden. Zur Vereinfachung kann man, wie oben,

Pxx = 0,

= Vb (y>z) M*>

Mx

P*y = C\

Mx

J’ ,

schreiben, indem man J das polare Trägheitsmoment des Querschnittes nennt, d. h. das Trägheitsmoment des Querschnittes in Bezug auf dessen Mittelpunkt und C\, C₂ die mit J multiplicirten Functionen rpl (y, z) und ijj₂ (;y, z.)

Auf Grund des Princips der Summirung der Wirkungen erhält man, wenn die oben betrachteten vier Systeme von Kräften gleichzeitig auf das Prisma oder den Cylinder wirken, für jeden Punkt

Pyy 0,

und für einen Punkt, dessen Coordinaten x, y, z sind,

l + *i

Q Iy

Pyz = 0,

(107)

iz

^z

P"-AQ+BlQ + Cl A₂ 4 + B

Mx

J’

(108)

Pzx =

Sy

+ C<i

Mx

Dies sind die allgemeinen Formeln für alle einzelnen Fälle, deren Kenntniss im Verlaufe dieses Werkes nothwendig sein wird. Die Functionen At,    , Cj, A2; B₂₎ C₂ können für viele in der Praxis vor-

kommende Fälle nicht genau bestimmt werden; für den rechteckigen, kreisförmigen und elliptischen Querschnitt kann dies, wie oben gesehen wurde, vollkommen geschehen.

29. Cohäsions- oder Festigkeitsgleicliungeii. — Damit alle Formeln und Resultate, welche wir bis jetzt zusammengestellt haben, genau seien, müssen die auf die betrachteten festen Körper wirkenden Kräfte in gewissen Grenzen bleiben, welche von den Dimensionen und der Materie des festen Körpers abhängen. Diese Grenzen geben die Werthe jener Kräfte, welche in den festen Körpern derartige Deformationen hervorrufen, dass dieselben nicht vollkommen verschwinden, wenn auch die Wirkung der äusseren Kräfte aufhört.

Diese Grenzen können für jede Materie, für jede Form des festen Körpers und für jede Art der Einwirkung der äusseren Kräfte nur durch directe Erfahrungen gefunden werden.

Nachdem man bis jetzt für die grosse Verschiedenheit der sich in der Construction darbietenden Fälle noch nicht die genügende Anzahl von Erfahrungen hat und noch lange nicht haben wird, hat man versucht, die Bestimmung dieser Grenzen, wenigstens für die isotropen Körper, auf allgemeine, wenn auch nicht strenge Methoden zu leiten.

Da es sich also um nicht ganz strenge Methoden handelt, wurden von den verschiedenen Autoren auch zweierlei Principe verfolgt, welche wir nachfolgend bekannt gehen und kurz discutiren wollen.

1.    Einige Autoren, namentlich Navier und Barré de Saint-Venant haben das Princip angenommen, dass in allen isotropen Körpern derselben Materie die Grenzen der elastischen Widerstandsfähigkeit erreicht werden, sobald — wie auch die Art der Einwirkung der äusseren Kräfte sei — die grösste specifische Dehnung einen gegebenen Werth erlangt hat.

Dieses Princip scheint nicht vollkommen streng zu sein; denn es kann geschehen, dass die Grenze der elastischen Widerstandsfähigkeit in einem Punkte nicht allein von dem Werthe der grössten specifischen Dehnung in diesem Punkte abhängt, sondern auch von der Art, wie die specifische Dehnung nach den verschiedenen Kichtungen sich ändert. Wenn z. B. ein Prisma von einer über seine ganze Oberfläche gleich-massig vertheilten Zugkraft in Anspruch genommen wird, so ist die specifische Dehnung um einen Punkt nach allen Richtungen dieselbe; wenn hingegen auf dieses Prisma eine nur über dessen Grundflächen gleichmässig vertheilte Zugkraft wirkt, so findet die grösste specifische Dehnung parallel zu den Seitenkanten statt, während in den Richtungen, welche mit diesen Kanten einen immer grösser werdenden Winkel ein-schliessen, die specifische Dehnung sich immer mehr vermindert und sich sogar in eine Contraction verwandelt, wie oben gesehen wurde. Es ist also zweifelhaft, ob in diesen beiden so verschiedenen Fällen die elastische Widerstandsfähigkeit erreicht wird, sobald die grösste specifische Dehnung denselben Werth hat.

2.    Andere Autoren, darunter Clebsch, nehmen an, dass in allen isotropen Körpern derselben Materie die Grenzen der elastischen Widerstandsfähigkeit ohne Rücksicht auf die Art der Einwirkung der äusseren Kräfte erreicht sei, sobald die grösste elastische Kraft in einem Punkte einen gegebenen Werth erlangt hat.

Dieses Princip scheint wie das vorhergehende nicht vollkommen streng zu sein, denn es kann geschehen, dass die Grenzen der elastischen Widerstandsfähigkeit nicht nur von dem Werthe der grössten elastischen Kraft, sondern auch von der Art und Weise abhängen, nach welcher sich die elastische Kraft um den betrachteten Punkt ändert, sobald man die Richtung' des Flächenelementes ändert, in Bezug- auf welches man diese Kraft betrachtet. Es wird z. B. in einem Prisma, welches einer über seine g-anze Oberfläche gleichmässig vertheilten Zugkraft unterworfen ist, die grösste elastische Kraft um einen Punkt dieselbe sein, wie auch die Richtung des durch diesen Punkt gehenden Flächenelementes sein mag; wenn hingegen auf dieses Prisma nur eine über dessen Grundflächen gleichmässig vertheilte Zugkraft wirkt, so erreicht die elastische Kraft in einem Punkt ihren grössten Werth für ein zu den Grundflächen paralleles Flächenelement und vermindert sich, bis sie gleich Null wird, sobald die Richtung des Elementes sich soweit ändert, dass dasselbe senkrecht auf die Grundflächen steht.

Es wurde aber schon oben gesehen, dass in diesen beiden Fällen der grösste Werth der elastischen Kraft derselbe ist, vorausgesetzt, dass die elastische Kraft in beiden Grundflächen für jede derselben gleich ist. Nachdem in dem zweiten Falle die Kräfte nur auf die Grundflächen des Prismas wirken, während dies in dem ersten Falle auch auf die seitliche Oberfläche stattfindet, ist es nicht klar, dass die Grenzen der elastischen Widerstandsfähigkeit in diesen beiden Fällen für denselben Werth der grössten elastischen Kraft erreicht seien.

Es ist daher keines dieser beiden aufgestellten Principien vollkommen streng; da man dieselben aber aus Mangel eines Besseren oft annehmen muss, so lassen wir die Formeln für ihre Anwendung folgen, indem wir ersteres so verallgemeinern, wie es Barré de Saint-Venant gethan hat, um dasselbe auch für Körper mit drei Symmetrieebenen anwendbar zu machen.

In dieser Hinsicht ist zu beachten, dass, wenn man für einen Körper von absolut beliebigem Gefüge 3r die specifische Dehnung um einen Punkt in einer gewissen Richtung nennt und ör die specifische Dehnung, welche in derselben Richtung mit der Elasticitätsgrenze corres-pondirt, 3r in allen Richtungen kleiner sein muss als dr. Die Richtung, für welche am meisten zu befürchten ist, dass die Elasticitätsgrenze

3,

erreicht werde, ist jene, wo das Verhältniss

hiebei stets unter der Einheit bleibend.

Was das zweite Princip betrifft, so lässt sich dasselbe nicht in gleicher Weise verallgemeinern, denn wenn man P die elastische Kraft

ör

den grössten Werth hat,

auf ein Flächenelement um einen Punkt nennt und R den Werth der elastischen Kraft, welche auf dieses Element senkrecht steht und mit

p

der Elasticitätsgrenze correspondit, so kann man das Verhältniss — nicht

R

als Mass der Festigkeit annehmen, da die effective Kraft P im Allgemeinen nicht senkrecht sein wird auf das Element, auf welches sie wirkt.

30. Ableitung der Cohäsionsgleiehungen aus den grössten speciflsclien Dehnungen. — In Nummer 3 wurde die Formel

dT — dx cos² a -j- 3y cos⁷/? -f- 3Z cos² y 4- gyz cosß cos y + azx cos y cos a -f- gxy cos a cos ß

gefunden. Man kann nun voraussetzen, dass der betrachtete Körper in jedem Punkte drei zu den Coordinatenebenen parallele Symmetrieebenen besitze, und kann die mit den Elasticitätsgrenzen correspondirenden specifi-schen Spannungen in den zu diesen Ebenen senkrechten Eichtungen

()z nennen.

Die specifische Dehnung dr, welche mit der Elasticitätsgrenze cor-respondirt und welche mit den Achsen die Winkel a, ß, y bildet, wird eine Function dieser drei Winkel sein, und zwar in der Art, dass sie die Werthe dx, dy, äz gibt, sobald man die Strecke r successive parallel zu den Coordinatenachsen nimmt.

Zur Vereinfachung sei

<1,

Öy,

dr == dx cos² a + öy cos² ß -f- dz cos² y;

es wären sodann die mit dem grössten Werthe des Verhältnisses correspondirenden Werthe von er, ß, y zu suchen.

Nachdem die Gleichung

(109)

dr

(110)

cos² er -f- cos² ß + cos² y — 1,

besteht, kann man einen der Winkel er, ß, y, z. B. er, als Function der beiden anderen betrachten und erhält folglich als Gleichungen zur Bestimmung des Maximums und Minimums der Function

| ro"

dr d cos er d cos a d cos ß d cos ß

= 0,

O, <x>

d cos a d cos er d cos y d cos y

= 0.

Die Gleichung (HO) gibt aber d cos a

cos a

d cos ß

-f- cos ß = 0,

cos a

d cos a

d cos y

-f- cos y = 0,

und somit erhält man durch Elimination der Verhältnisse d cos a

d cos a

d cos ß

und

d cos y

aus den vorhergehenden Gleichungen

&

3r

d~

dr

dr

cos cc d cos a

cos y d cos y

cos ß d cos ß

Wenn man den gemeinsamen Werth aller drei Ausdrücke k nennt, so erhält man

d^

àr

d cos a

= k cos a,

— k cos ß,

co I «o

d cos y

= k cos y ; (111)

d cos ß

multiplicirt man die drei Gleichungen der Reihe nach mit cos a, cos ß, cos y und addirt sie sodann, so findet man unter Berücksichtigung der Gleichung (110)

cos a

d cos a

-j- cos ß

O, ru

-j- cos y

d cos y

= k.

d cos ß d

Da — mit Bezug auf cos a, cos ß, cos y eine homogene Function ist,

so ist, wie man weiss, die linke Seite der letzten Gleichung gleich der

3

Function — selbst, multiplicirt mit ihrem Exponenten; nachdem aber Ör

dieser Exponent Null ist, hat man

k — 0.

Aus den Gleichungen (111) ergibt sich durch Differentiation und nacli-herige Multiplication mit 3r

ddr 3r d ör

d 3r 3r d dr

d 3r 3r d dr

d cos a ôrd cos a ; d cos ß öcd cos ß ; d cos y ôr d cos y

oder wenn man für die Differentialquotienten von 3r und är deren Werthe aus den Ausdrücken (8) und (109) einsetzt,

cos a -j- gxy cos ß -f- g™ cos y — 0,

gxy cos a

cos ß + gyz cos y = 0₇

(112)

gzx cos a -f- gyz cos

ß 4~ 2 ^3* — ôz —

-1

âj

cos y = 0.

Durch Elimination der Verhältnisse

cos ß

und

cos y

aus diesen drei

cos a

cos a

Gleichungen erhält man

dz

fą

(113)

dr

— da

dr

gzx gxy

°'J

deren grösste Wurzel

d. i. eine Gleichung dritten Grades in Bezug auf

zugleich den grössten Werth dieses Verhältnisses gibt.

Sobald man diese Wurzel gefunden hat, erhält man auch mit Hilfe der Gleichungen (112) im Verein mit der Gleichung (HO) die correspon-direnden Werthe von a, ß, y.

In der That kann man

Da die Gleichung (113) von ungerader Ordnung ist, muss sie noth-wendiger Weise wenigstens eine reale Wurzel haben; es lässt sich sogar beweisen, dass alle drei Wurzeln real sind, leicht ersehen, dass, wenn man dieselbe in der Form

2x

dr

)T⁴(æ K    ~ )l

/ L V0y j V orJ oyözJ ôzôx V    J \

_ j/W _ ôxôy \ dr)

(114)

g^z gzx gxy

dx äy dz

3

schreibt und a und b jene Werthe von — nennt, welche die Grösse in

= 0,

dr

der Klammer [ ] gleich Kuli machen, a und b reale Grössen sind, und dass eine derselben, z. B. a, grösser, die andere aber kleiner als jedes der 3    3

Verhältnisse — und — ist.

dy    öz

128

Substituirt man auf der linken Seite der Gleichung (114) a für so erhält man

()yz 9 7.x ÿxy

<Uy<L ’

welcher Ausdruck stets positiv ist, nachdem

und

e-)

e-*)

nach obiger Annahme stets negativ sind.

In gleicher Weise sieht man, dass, wenn man b für — substituirt,

dr

die linke Seite der Gleichung (114) stets eine negative Grösse darstellt. 3

dr

Gibt man also dem Ausdrucke — die Werthe -f oo, a, b, — oo, so er-

hält man Werthe mit den Zeichen--1---|-, wodurch bewiesen wird,

dass die drei Wurzeln der Gleichung (113) reell sind.

Wir wollen nun diese Gleichung auf den in den vorhergehenden Nummern betrachteten Fall anwenden, dass das Prisma in jedem Punkte drei Symmetrieebenen habe, welche senkrecht sind auf die Coordinaten-achsen.

9y - = 0,

3Z = — y 3*

erhält, so dass die Gleichung (113) folgende Form annimmt:

Es wurde schon früher gesehen, dass, wenn selbst das Prisma durch die verschiedenen Systeme von Kräften, welche in Nummer 28 betrachtet wurden, gleichzeitig beansprucht wird, man dy =—vdx,

(»,—<?. jj [v 3, + <5, fj    4    + 9*« [v 3, + 4 j + gW ^'3. + g-jj = «■

Wenn ausserdem die Elasticität parallel zur y- und z-Aclise dieselbe ist, hat man

7] — r[ und dy = öz,

wodurch man in der Lage ist, obige Gleichung durch den Factor

y ~b ày — zu dividiren ; hiedurch erhält man eine Gleichung zweiten dr

jEa, + 4A + ₉V + !/V = 0,

und sind deren Wurzeln

4 _ v4 4 Ôy

Damit aber die Elasticitätsgrenzen nicht überschritten werden, muss bei Annahme des Princips von Barré de Saint-Venant das Verhältniss

3

— stets kleiner als Eins sein, d. h. es muss die grössere der oben ge-

4

fundenen Wurzeln kleiner sein als Eins; man erhält also die Bedingung

fcO | l-¹

< 1. (116)

4** ~f~ 0 ~xy

4 4 4

Um diese Formel leichter anwenden zu können, ist es nützlich, dieselbe zu transformiren, indem man statt den Dehnungen und Verschiebungen die Kräfte einführt. Wenn wir nun folgende Benennungen einführen:

Ex und Ey für die normalen Elasticitätscoefficienten in der Bichtung der x und in den beiden Eichtungen der y und z-

F für die tangentialen Elasticitätscoefficienten in den beiden Sichtungen der y und z, d. h. für den gemeinsamen Werth der Coëfficienten F-2 und F₃ der Gleichungen (18);

Ex und Ey für die Normalkräfte in zwei auf die x- und y -Achse senkrecht stehenden Elementen, welche mit den Grenzen 4 und 4 4er specifischen elastischen Dehnung correspondiren ; so haben wir

3x =

q — in

⁹~ F ’

lEy

Ey

Ex

Ey’

und aus der Formel (116) wird sodann

V™ (

2EA

) + l/— fi + ^— —

EyEj V    EyEj

Ex Ey p-/x-F jj\y

4 Fi ExEy

<1. (117)

Macht man zur Vereinfachung

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

Ist die Normalkraft pxx gleich Null, so ergibt diese Gleichung

<1,

so erhält man

Ex Ey

V E₇ Ex ~ L

4c E²

ExEy

RxRy=R\,

(118)

p\x + P'Ky

<1.

(119)

Vp\, +

Rt

woraus folgt, dass Rt jener Werth der Tangentialkraft YP²** -hpVy ist, welchen dieselbe niemals überschreiten darf; oder in anderen Worten, Rt ist der tangentiale Wider standscoëfficient.

Wenn für einen Körper mit drei Symmetrieebenen in jedem Punkte der Versuch gezeigt hätte, dass

und

Rt

Rx

ist,

so würde man für die Formel (119) bei gleichzeitiger Multiplication mit Rx folgende Formel erhalten:

(120)

— pxX ~\~'~YP²** + 4 (jR-y,x + p Sy) <. Rx-o    à

Für einen isotropen Körper hat man

und daher

Rx = Ry = R,

Ek= Ey = E,

E,

Rt =

R,

so dass die Formel (,119) unter gleichzeitiger Multiplication mit R sich folgendermassen darstellt :

CO I CO

Pxx + ~ YP'²** + ⁴ (P²- +pVv) < R-

o

(121)

4

— R zeigt, dass für die isotropen Körper der

⁵    4 — des normalen Widerstands-

Das Resultat Rt =

tangentiale Widerstandscoëfficient gleich ist -

5

coëfficienten.

31. Ableitung der Coliäsionsgleielmngen aus den grössten elastischen Kräften. — In Nummer 7 wurde gefunden, dass die zu den Achsen parallelen Componenten der in einem ebenen Elemente, dessen Normale mit den Achsen die drei Winkel a, ß, y bildet, thätigen elastischen Kraft durch folgende Formeln ausgedrückt werden:

X = pxx cos a 4 pxy cos ß -f- ^>zx cos y,

(122)

Y    = pxy cos a 4 pyy cos ß -f- pyx cos /,

Y    — pZK cos a 4 pyz cos ß 4 pxx cos y.

Suchen wir nun, ob es ein ebenes Element gibt, in welchem sich

eine nach dessen Normale gerichtete elastische Kraft F kund gibt. Ist dies der Fall und nennt man «, /?, y die Winkel, welche diese Normale mit den Achsen bildet, so sind die Componenten der Kraft F durch folgende Ausdrücke gegeben:

Y — F cos ß,

Z = F cos /,

X = F cos a,

und obige Gleichungen ergeben die folgenden:

(123)

(p« — F) cos a 4- pxy cos ß 4 pzx cos y = 0, pxy cos a + (pyy — F) cos ß 4 jßyz. cos y = 0, pZK cos a 4 pyz cos ß 4 (pzt — F) cos y = 0.

Diese drei Gleichungen dienen in Verbindung mit der Gleichung cos²a 4 cos²/? 4 cos²/ = 1

zur Bestimmung der Unbekannten cos«, cos/?, cos/ und F.

Wenn man aus den Gleichungen (123) zuerst die Verhältnisse cos/

cos ß cos a

(Pxx — F) (pyy— F) (p7Z — F) — (i>xx— F)p\z — (pyy— F)p\x (?²*z    F) p xy -j- 2pyxpzxpxy 0,

das ist eine Gleichung vom dritten Grade, deren drei Wurzeln, welche wir Flf 4>, nennen wollen, reell sind, was sich auf dieselbe Weise begründen lässt, wie dies bei der Beweisführung über die Realität der drei Wurzeln der Gleichung (113) der vorhergehenden Nummer gethan wurde.

Nimmt man an, dass eine der Wurzeln der Gleichung (124), z. B. Fl gefunden wäre, und dass sodann die x-Achse die correspondirende

und

cos a

eliminirt, so erhält man

(124)

9*

Richtung’ habe, so wird die elastische Kraft in dem auf die sc-Achse senkrechten Elemente normal auf dieses Element sein, und man hat

P*y 'b

i>zx = 0;

P*x = F\, die Gleichungen (123) ergehen somit

— F) cos a = 0,

(p„ — F) cos ß + pyz cos / = 0, pyz cos ß + (i?zZ — F) cos y = 0;

damit nun die erste dieser Gleichungen für F = F₂ oder F = F₃ gelte, muss

cos a = 0

sein, woraus folgt, dass die beiden Normalen auf die zwei Elemente, in welchen die elastischen Normalkräfte F₂ und F₃ stattfinden, senkrecht sind auf die æ-Achse. Da also F[y F.}> F₃ die drei Wurzeln der Gleichung (124) in beliebiger Reihenfolge darstellen können, folgt daraus, dass die drei Elemente, auf welche die elastischen Normalkräfte thätig sind, aufeinander senkrecht stehen.

Wählt man nun die Coordinatenachsen in der Richtung der drei elastischen Kräfte Fly F₂, FZ) so ergibt sich

Pzx = 0,

Pyz = 0;

und aus den Gleichungen (122) wird sodann

Pxy 0;

Y=pyy cos/?,

Z =pZ2 cos*/.

X — pxx cos a,

In diesem Falle wird die elastische Kraft F auf ein Element, dessen Normale mit den Achsen die Winkel a, ß, y bildet, die Resultirende der drei Kräfte Xy Yy Z sein, so dass

F² — _p²xx cos² a -f-p-yy cos² ß + p¹zz cos² y.

Trägt man von dem Mittelpunkte dieses Elementes auf dessen

Normale eine Länge auf, welche dem positiv genommenen Verhältnisse —

(125)

entspricht, und nennt man x, y, z die Projectionen dieser Länge auf die drei rechtwinkeligen Achsen, welche durch diesen Punkt in der Richtung der drei hauptsächlichen elastischen Kräfte geführt werden, so erhält man

cos«,

y = 4 cos/?,

z = — cos/,

und aus der Gleichung (125) wird sodann

(126)

1 = p\x xl + p\y xß + p²zz z².

Dieselbe stellt ein Ellipsoid dar; dessen Hauptachsen parallel sind zu den hauptsächlichen elastischen Kräften Fu F₂, Fi} und hei welchem die Strahlen vom Mittelpunkte an die Oberfläche numerisch gleich sind der umgekehrten Grösse des Wertlies der elastischen Kräfte. Es corres-pondirt also die grösste und kleinste elastische Kraft mit der kleinsten und grössten Achse des Ellipsoids.

Betrachtet man wieder die Gleichung dritten Grades (124) und nimmt man an, dass, wie für das Prisma, welches successive oder gleichzeitig der Dehnung, Torsion oder Biegung unterworfen wurde, für die drei zu den Achsen senkrechten Elemente

= 0,

Py = 0

Pyy    0,

ist, so kann man diese Gleichung durch F dividiren und erhält

(Pxx — F) F-\- p\K -Fp\y = 0;

es ist daher

F=^f± j/^f +r\;+p\y.

Die grösste Spannung ist somit

(127)

Pxx ,    1 / P²xx

2 ' y 4

so dass, wenn R die Grenze der Spannung per Quadratmeter genannt wird, welche der betrachtete feste Körper ertragen kann, man als Festigkeitsbedingung folgende Formel erhält:

(!28)

Vergleicht man diese Bedingung mit derjenigen (121), welche für denselben Fall am Ende der vorhergehenden Nummer erhalten wurde, so sieht man, dass, wenn für R in beiden Fällen derselbe Werth genommen wird, sowohl die Bedingung (128) als auch jene (121) erfüllt wird. Denn man hat offenbar

4* 4- ~ Vf¹*X + 4 (^4 + 44) = Y ⁺ 2 ^²*X + 4 ^ “ +i>2^

+ ” jV.P 4 + 4 (>4 + 44) — p

\

~4--Y:P44- 4(444-44)<-pxx ~^^YP²™4- 4(44444) <R-

co 00

-]

und folglich

Man sieht also, dass für die in der angenommenen Weise beanspruchten Prismen es immer sicherer ist; jene Festigkeitsbedingung anzunehmen, welche wir mit Bestimmung einer Grenze für die grösste speci-fische Dehnung abgeleitet haben, als diejenige zu wählen, auf Grund welcher man die Grenzen für die grösste elastische Kraft feststellt ; umsomehr, als die erstere in der Weise verallgemeinert werden kann, dass sie für Körper mit einer Elasticitätsachse oder auch für solche mit drei Symmetrieebenen anwendbar wird, während die zweite Bedingung nur auf isotrope Körper anwendbar ist.

4. Capitel.

Annäherungsweise Anwendungen.

1. Erfahrungsresultate. — Aus den im vorhergehenden Capitel gelösten Problemen ersehen wir, dass man die elastischen Kräfte bestimmen kann, welche in einem der Dehnung, Biegung oder Torsion unterworfenen Prisma zur Geltung kommen, sobald dasselbe nur von solchen Kräften beansprucht wird, welche auf dessen Grundflächen wirken und nach einem gegebenen Gesetze vertheilt sind.

In der Praxis ist aber das Gesetz fast niemals bekannt, nach welchem die auf die Grundflächen eines Prismas wirkenden Kräfte vertheilt sind, so dass, streng genommen, die im vorhergehenden Capitel gefundenen Lösungen ohne Werth wären, wenn die Kenntniss dieses Gesetzes zur, wenigstens annäherungsweisen, Bestimmung der im Inneren stattfindenden elastischen Kräfte absolut nothwendig wäre. Glücklicherweise kann man derselben entbehren, und zwar anf Grund von nachfolgenden Resultaten, welche die Erfahrung bewiesen hat, und welche von den grössten Wichtigkeiten sind.

Sobald ein in Bezug auf die Querdimensionen sehr langes Prisma Kräften unterworfen ist, welche auf dessen Grundflächen wirken, bleiben die in einem nicht zu nahe an einem Ende befindlichen Querschnitte statthabenden elastischen Kräfte beinahe dieselben, wenn auch die Verkeilung der äusseren Kräfte sich in beliebiger Weise ändert, wohl vorausgesetzt, dass die resultirenden Kräfte und Momente aller auf die Grundfläche wirkenden Kräfte in Bezug auf drei fixe, rechtwinkelige Achsen immer dieselben bleiben. Der Einfluss der Vertheilung der äusseren Kräfte macht sich nur in den sehr nahe bei den Grundflächen befindlichen Querschnitten geltend, aber derselbe nimmt sehr schnell ab und wird in einer noch sehr kleinen und mit den Querdimensionen des Prismas zu vergleichenden Entfernung gänzlich bedeutungslos.

Es folgt daraus, dass, mit Ausnahme zweier kurzer Prismen an den Grundflächen, die Yertheilung der elastischen Kräfte im Inneren des Prismas nach den Gesetzen stattfindet, welche wir in den Problemen über die einfache Dehnung, über die Torsion und die Biegung angeführt und bewiesen haben.

Dieses Resultat kann auch noch für die in der Praxis am häufigsten zur Betrachtung kommenden Fälle verallgemeinert werden.

Nehmen wir an, dass das Prisma ABI) C, welches im Verhältnisse zu dessen Querdimensionen als sehr lang anzusehen ist, nicht nur durch die auf die beiden Grundflächen wirkenden Kräfte, welche nach einem

—a

L G TT

je

jr

r-^-fy/iyh

öl    i

Fig. 9.

beliebigen Gesetze vertheilt sind, sondern auch durch die Schwere und durch Kräfte beansprucht werde, welche nach einem stetigen Gesetze über die ganze seitliche Oberfläche vertheilt sind, und betrachten wir einen Querschnitt GII, welcher nicht sehr nahe an einer Grundfläche liegt, so können wir Px, Sy} Sz die Summen der Componenten aller rechts von diesem Querschnitte auf das Prisma wirkenden Kräfte in der Richtung der Achse des Prismas und in der Richtung der Trägheitshauptachsen des Querschnittes G H nennen, und Mx) My, Mz die Summen der Momente dieser Kräfte in Bezug auf dieselben Achsen.

Ferner denken wir uns rechts und links von diesem Querschnitte zwei niedrige Prismen G N und G L, deren Länge mit den Querdimensionen des ganzen Prismas vergleichbar ist, so dass dieselbe im Verhältnisse zur Gesammtlänge des Prismas sehr klein ist. Wenn der Querschnitt G H von den beiden Grundflächen genügend weit entfernt ist, so kann offenbar die Schwere der beiden sehr kleinen Stücke G L und G N, sowie die auf deren Oberfläche wirkenden Kräfte im Vergleiche zur Schwere des Stückes G C und der auf die Oberfläche desselben und die Grundfläche CD wirkenden Kräfte vernachlässigt werden. Unter der Voraussetzung, dass man die Wirkung der Schwere auf das Stück L N, sowie die auf die Oberfläche wirkenden äusseren Kräfte behoben hätte, und dass man in den Querschnitten L und N äussere Kräfte wirken Hesse, welche in Bezug auf den Querschnitt G H wieder die Summe der Componenten Px, S₇, Sz und die Summe der Momente Mz, My, Mz geben, werden die Bedingungen des Elasticitätsgleichgewichtes des kleinen Prismas L N sehr wenig geändert werden, und die elastischen Kräfte in dem Querschnitte G II bleiben ungefähr dieselben, wie sie früher waren.

Wenn aber das flache Prisma LN kein Gewicht hätte, und wenn auf dessen Oberfläche keine Kraft wirken würde, so könnte man dasselbe als ein Prisma betrachten, welches durch Kräfte beansprucht wird, welche nur über dessen Grundflächen vertheilt sind; denn die auf die Stücke AL und NC wirkenden Kräfte machen ihren Einfluss auf das Stück LN nur durch die in den Querschnitten L und N thätigen elastischen Kräfte geltend. Es folgt daher aus dem oben angeführten Erfahrungssatze, dass die in dem Querschnitte GH, dessen Entfernungen von den Querschnitten in L und N mit den Querdimensionen des Prismas vergleichbar sind, wirkenden elastischen Kräfte ungefähr nach dem Gesetze der einfachen Dehnung, der Torsion und der Biegung vertheilt sind, wie sie Barré de Saint-Venant gefunden hat; d. h. dass man für einen beliebigen Punkt des Querschnittes GH

Pzz = 0,

Lyy

hat, und für einen Punkt, für welchen y und z die Transversalcoordinaten, d. h. die Entfernungen von den Trägheitshauptachsen sind, folgende Formeln :

Px M₇ Mz

vx%=----Ł z — — y,

¹    9 Iy    Iz

. Sz „

Pxy -dl — +

Sv

mk

^ + CL =

n j

Lzx = A₂ + B₂ -(- C₂—jr,

(1)

Sz

sy

Mx

9.

wobei A,, PJ; C\, A₂, B,, C₂ Functionen von y und z sind, welche von der Form des Querschnittes, nicht aber von den äusseren Kräften abhängig sind. Diese Functionen lassen sich nach dem, was in den Problemen über die Torsion und über die Biegung gesagt wurde, für jeden Fall bestimmen.

Dies sind also die Formeln, welche für einen beliebigen Querschnitt eines Prismas annäherungsweise die Art der Yertheilung der elastischen Kräfte geben, sobald dasselbe durch die Schwere und durch Kräfte beansprucht wird, welche sowohl über die Grundflächen, als auch über die seitliche Oberfläche nach einem beliebigen, aber stetigen Gesetze vertheilt sind.

Diese Formeln sind sogar auch dann noch anwendbar, wenn das Prisma in unterbrochener Weise belastet wäre, z. B. durch Gewichte, welche in verschiedenen Punkten auf das Prisma wirken, vorausgesetzt, dass man in diesem Falle nicht solche Querschnitte betrachtet, welche den Angriffspunkten der Gewichte sehr nahe sind.

2. Lange und dünne Körper, welche eine beliebige Curve zur Achse haben. — Nun betrachten wir einen langen und dünnen Körper, dessen Achse, d. h. der geometrische Ort der Schwerpunkte der Querschnitte eine beliebige, gerade oder krumme Linie sei, welche aber, im Falle sie gekrümmt ist, in jedem Punkte einen im Verhältnisse zu den Querdimensionen sehr grossen Krümmungshalbmesser hat.

Es sei vorausgesetzt, dass der geometrische Ort der Trägheitshauptachsen der Querschnitte des festen Körpers, d. h. der senkrecht auf die Achse stehenden Schnitte, zwei continuirliche Flächen bilde, welche senkrecht aufeinander stehen, und welche so beschaffen sind, dass der Winkel zweier geradliniger Erzeugenden in Bezug auf deren Entfernung auf der Körperachse gemessen ein sehr kleiner sei.

Ferner wird vorausgesetzt, dass zwei unendlich nahe Querschnitte nur solche Differenzen in den Dimensionen zeigen, welche im Verhältnisse zur Entfernung der Querschnitte sehr klein sind.

Es ist nun klar, dass, wenn in einem solchen festen Körper ein Stück betrachtet wird, dessen Länge zwar sehr klein, aber immerhin mit den Dimensionen des Querschnittes noch vergleichbar ist, man dieses Stück annäherungsweise als ein Prisma oder einen Cylinder betrachten und daher zur Bestimmung der elastischen Kräfte in einem beliebigen Querschnitte die Formeln (1) der vorhergehenden Nummer anwenden kann.

Diese Formeln geben also nicht nur für die prismatischen oder cylindrischen Körper, sondern auch für feste Körper von der oben defi-nirten Beschaffenheit annäherungsweise die Vertheilung der elastischen Kräfte.

Es ist selbstverständlich, dass für diese festen Körper dieselben Beschränkungen eintreten wie für die Prismen oder Cylinder, d. h. dass, sobald die auf die Enden eines festen Körpers wirkenden äusseren Kräfte nicht nach dem durch die Formeln (1) gegebenen Gesetze vertheilt sind oder sobald die auf die seitliche Oberfläche wirkenden Kräfte nicht in steter Weise thätig sind, sondern als isolirte, in verschiedenen Punkten wirkende Kräfte auftreten, die Formeln (1) annäherungsweise die wahre Vertheilung der elastischen Kräfte nur für jene Querschnitte geben, welche sich nicht sehr nahe bei den Enden des festen Körpers oder bei den Angriffspunkten der isolirten äusseren Kräfte befinden.

3. Beziehung zwischen den Besultirenden Py, Pz und den resultirenden Momenten My, Mz. — Denken wir uns in einem festen Körper, welcher den in vorhergehender Nummer ausgesprochenen Bedingungen entspricht, zwei unendlich nahe Querschnitte, deren einer die auf der Achse des Körpers gemessene krummlinige Abscisse s, der andere die Abscisse s -}- d s hat, so können wir für den ersten Querschnitt folgende Benennungen einführen:

lfy, Mz für die auf des sen Trägheitshauptachsen bezogenen Biegungsmomente :

Ny, Sz für die Schubkräfte parallel zu diesen Achsen.

Ferner nennen wir p d s die auf diesen Querschnitt senkrechte Componente der Schwerkraft des unendlich kleinen, zwischen den beiden Querschnitten enthaltenen Elementes des festen Körpers und der äusseren Kräfte, welche auf die seitliche Oberfläche dieses Elementes wirken, und y, z die Coordinaten des Angriffspunktes dieser Componente in Bezug auf die Trägheitshauptachsen des Querschnittes.

Nachdem man auf Grund der Annahme die Trägheitshauptachsen des ersten Querschnittes mit denen des zweiten parallel laufend betrachten kann, werden bei Vernachlässigung der unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung die Biegungsmomente in Bezug auf die genannten Achsen folgende sein:

M'y — My — Szds —p ds . z,

M'z = Mz -f- Syds -\~pds . y.

Wenn zwischen den beiden betrachteten Querschnitten keine begrenzte Kraft wirkend ist, und wenn daher für die benachbarten Querschnitte die Biegringsmomente continuirliche Functionen der krummlinigen Abscisse s sind, so haben wir nach den Principien der Differentialrechnung

d Mz

d s und M'z = Mz 4

d s.

d My

ds

Der Vergleich dieser Formeln mit den vorhergehenden ergibt bei gleichzeitiger Division durch d s

— — Sz—pz,

d My

d Mz

= Sy Mp y.

Die beiden Ausdrücke p z und p y sind aber in folgenden beiden Fällen gleich Null:

1.    Wenn die auf das betrachtete Element des Körpers wirkende Kraft senkrecht ist auf die Achse desselben, denn dann ist die auf den Querschnitt senkrechte Componente p d s gleich Null;

2.    wenn die Coordinaten y und z Null sind, d. h. wenn die auf das betrachtete Element wirkende Kraft über den ganzen Querschnitt gleichmässig vertheilt ist.

d Mv

— — Sz und

= Sy,

Die vorhergehenden Gleichungen erhalten sodann die Form d My

ds

ds

so dass die Differentialquotienten der Biegungsmomente My und Mz gleich sind den Schubkräften — Sz und Sy.

Ausser in den beiden angeführten Fällen findet diese Beziehung sonst nicht statt; nachdem aber bei den im Verhältnisse zur Länge sehr dünnen, festen Körpern die Coordinaten y und « liotliwendigerweise sehr klein sein müssen, können im Allgemeinen die Producte p z und p y im Vergleiche zu Sz und Sy vernachlässigt werden, woraus folgt, dass für diese festen Körper die obgenannte Beziehung wenigstens annäherungsweise stets Geltung hat.

4. Formel für die Deformationsarbeit. — Wir wollen nun eine Formel aufstellen,, um die Deformationsarbeit eines den in beiden vorhergehenden Nummern angenommenen Bedingungen entsprechenden festen Körpers zu bestimmen, und erinnern zu diesem Behufe an die in Nummer 5 des 3. Kapitels gefundene Formel, um die Deformationsarbeit des Volumenelementes oj = Ax Ay Az auszudrücken, d. i. an die Formel

bO | l-¹

(pxx 4- pyy 3y + 3Z + ffya ^zx 0ZX + |>xy ffXy) A X A IJ A Z.

Nimmt man als Anfangspunkt der Coordinaten einen Punkt der Achse des festen Körpers, als y- und z-Achse die Trägheitshauptachsen des durch diesen Punkt gehenden Querschnittes und betrachtet man jenes Volumenelement, welches zwischen dem durch den Anfangspunkt gehenden und dem die Abscisse Ax habenden Querschnitte liegt, so hat man, wie in Nummer 2 gesehen wurde, für alle Punkte dieses Elementes

= o,

Pyy — 0,

woraus folgt, dass der Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen betrachteten Volumens Ax Ay Az

Pyz = °>

- (pxx -f pxy gxy -f Pzx ÿ„) AxAlJ A Z Jj

| 4 æjT(Pxx 3x + Pxy g.y + j?zx ^zx) ^

ist. Die Deformationsarbeit des ganzen zwischen den beiden Querschnitten genommenen Volumenelementes wird also ausgedrückt durch die Formel

indem man das Doppelintegral auf den ganzen Querschnitt ausdehnt. Um die Benennungen der Differentialrechnung einzuführen, kann man A in d und A x in ds verwandeln, da A x das Element der Achse des festen Körpers darstellt; man erhält also folgende Formel:

(2)

- d 8 j J(j9xx 3X + Ihy gxy H- i>zx fzx) dy dz.

Wird angenommen, dass der Körper in jedem Punkte drei Symmetrieebenen habe, welche senkrecht auf die Coordinatenachsen sind, so erhält man auf Grund der Gleichungen (18) des vorhergehenden Kapitels

Px* — av + F.a dy + F₂ 9z, 0 ⁼⁼ F:i 3X -f- a₂ -f- Fv 3Z , 0 = F₂ 9x 4- F₂ dy -(- a ₃ d

⁰ = F{ gjmf

Pzx    F₂ <7zx;

P *y    Fÿ yxy,

Z)

nennt man E den longitudinalen Elasticitâtscoëfficienten der Materie des festen Körpers zwischen den beiden betrachteten Querschnitten, so kann man hieraus

9*r

Pjw

Fs

ableiten und aus Formel (2) wird sodann

Wfß

F₂

Fs

(3)

In diese Formel kann man für pxx, pxy, pzx deren Ausdrücke (1) setzen. Bedenkt man nun, dass die transversalen Coordinaten y und 2 auf die durch den Mittelpunkt des betrachteten Querschnittes gehenden Trägheitshauptachsen bezogen wurden, und dass somit

y dy dz — 0,

^ÿz dy dz = 0,    j jy z dy dz =

dz =

ist, so erhält man sogleich

WJ

P²xx dy dz =

ds (P\ , M\ J/yi

⁺T ⁺ T)’

0)

macht man ferner

Ai

±UL _j_ BlI

Fs

f₂

B¹

B\

F₂

dy dz J dy dz

âq

Bx Cv

b₂c₂

F₂ ’

BQ

F,’

//(

F₃

f₂

Cl A,

C₂A₂

Fs

c\

Fs

F‘i

J dy dz

CJ

f₂

jjw

A₂B₂

f₂

J dy dz J dy d z dy dz

so ergibt sich

WJfê

'j dy dz SyMx

£²y

F,.

2 F₂

r S2 ( A — 4- 2? l ß ß

M\

SZMX

SySz

(5)

PJ

P²

Die Coëfficienten M, B, C, H, K’ L sind nur von der Form des Querschnittes und von der Beziehung- zwischen den tangentialen Elasticitäts-coëffîcienten abhängig und bleiben daher für einen gegebenen Querschnitt und eine bekannte Materie immer dieselben, welches auch die auf die Körper wirkenden Kräfte seien, und welche Curve auch von der Achse desselben gebildet würde.

Um die totale Deformationsarbeit der betrachteten unendlich kleinen Schichte zu erhalten, hat man nur nothwendig, die Formeln (4) und (5) zu vereinigen, da die erstere die Deformationsarbeit in Folge der elastischen Normalkräfte und die zweite diejenige der elastischen Tangentialkräfte gibt.

5. Vereinfachung der Formel (5) auf Grund der Yertlieilung der äusseren Kräfte. — In den gewöhnlichen Constructionen kommt es selten vor, dass Tlieile derselben der Torsion unterworfen sind, d. h. es ist fast immer das Moment MK gleich Null. In diesem Falle erhält die Formel (5) folgende Gestalt:

T²-

f₂

dy dz

2F₂

(a^

l 12

SA

P²

)• (6)

Ferner trifft es fast immer zu, dass bei festen Körpern, deren Achse

eine ebene Curve ist, die als y-Achse genommene Trägheitshauptachse der Querschnitte senkrecht auf die Ebene der Curve ist, und dass die äusseren Kräfte in Bezug auf diese Ebene symmetrisch vertheilt sind. In diesem Falle, dem einzigen, welcher in den rückwärts angeführten Anwendungen erscheint, hat man für alle Querschnitte nicht nur Mx = 0, sondern auch

Sy = 0,

» My = 0,

so dass die rechten Seiten der Gleichungen (4) und (5) bedeutend vereinfacht werden, und zwar:

ds ( P²X M²Z

2A ("ÄT ⁺ ^

cls

— -4 — ;

2i^₂ ß

die ganze Deformationsarbeit der unendlich kleinen Schichte wird somit cls rP²X    M\

YËVlz

cls

(7)

+ —.

2F, Q

Dies ist auch die Formel, von welcher wir bei allen Anwendungen Gebrauch machen werden.

6. Vereinfachung der Formel (5) auf Grund der Querschnittsformen. — Die Formel (5) wird auch dann vereinfacht, wenn zwar von den Grössen Syf Sz, Mx keine gleich Null ist, wenn aber der Querschnitt des festen Körpers in Bezug auf eine der Trägheitshauptachsen symmetrisch ist.

Nachdem es aber im Verlaufe des vorliegenden Werkes nicht notli-wendig ist, auf diese Vereinfachungen zurückzukommen, da die Coëfficienten H, K, L so wie so in der Formel (7) nicht enthalten sind, führen wir die wichtigsten Resultate nur an, ohne dieselben zu beweisen.

Man nehme zuerst an, dass der Querschnitt zur z-A dise symmetrisch sei, und dass

•A-i, Ą, Cl} Ä-2,    , C₂

die Werthe der für einen Punkt des Querschnitttes in die Ausdrücke von pxy und pzx eintretenden Coëfficienten seien. Es lässt sieh leicht nach-weisen, dass für den zu dem angenommenen Punkte in Bezug auf die z-Achse symmetrischen Punkt die analogen Coëfficienten folgende sind:

Ay, Bl, C\, A-2, Es folgt daraus, dass die Grössen ^ Al , CtA,

Bl y

-<k-

A\BV A₂B.,

F,

Fi ’

Fs

Fs

für die beiden betrachteten Punkte des Querschnittes dieselben Werthe mit entgegengesetzten Zeichen haben, und dass daher die Coëfficienten K und L gleich Null sind.

Wenn also der Querschnitt in Bezug auf die als z-Achse genommene

cls

SVMX

Trägheitshauptachse symmetrisch ist, so ergibt die rechte Seite der Formel (5)

nj

2F₂

Wenn hingegen der Querschnitt in Bezug auf die als y-Achse genommene Trägheitshauptachse symmetrisch ist, so werden die Coëffieienten H und L gleich Null, und die Formel (5) nimmt folgende Form an:

l 12    12

SJE

(9)

M\

ßj

2F.'

Man sieht daraus, dass der Coefficient L in beiden Fällen gleich Null ist, d. h. dass er Null ist für alle jene Querschnitte, welche eine Symmetrieachse haben, denn es ist bekannt, dass jede Symmetrieachse eines Querschnittes zugleich eine Trägheitshauptachse ist.

Wenn also ein Querschnitt in Bezug auf eine Achse symmetrisch ist, und wenn ferner das Torsionsmoment Mx gleich Null ist, so wird die rechte Seite der Gleichung (5)

2F₂

S'² S²

A ~~ -f- B y

(10)

Ist das Moment Mx nicht gleich Null, sind aber die beiden Trägheitshauptachsen eines Querschnittes gleichzeitig Symmetrieachsen, so sind dem oben Gesagten zufolge die drei Coëffieienten H, K, L alle Null, und die rechte Seite der Gleichung (5) nimmt daher nachfolgende Form an :

M\

d.s

S\

2F₂

( 12

A-B

12

A-C

(11)

Es ist noch zu beachten, dass in der Formel (5), sowie in allen von derselben abgeleiteten Formeln die Coëffieienten A, B, (7, H, K, L nicht nur von der Querschnittsform, sondern auch von dem Verhältnisse Fa zu F₂ abliängen.

Wenn die Elasticität in der Richtung der beiden Trägheitshauptachsen eines Querschnittes gleich ist, hat man F₂ == Fs = F, und die Coëffieienten A, B, .... sind nur noch von der Form des Querschnittes abhängig.

Dies ist der einzige Fall, welchen wir in den Anwendungen betrachten werden.

Wenn der Körper isotrop ist, hat man, wie oben bewiesen wurde,

-E.

7. Deformation langer und dünner fester Körper. — Wir

betrachten nun einen festen Körper A A'B'B: welcher den in Nummer 2

SA

A'

Fig. 10.

ausgesprochenen Bedingungen entspricht, und bestimmen die relativen Yenlickungen seiner Punkte, d. h. die Deformationen des Körpers in Folge der äusseren Kräfte.

Diesen Körper beziehen wir auf drei rechtwinkelige Achsen in der Weise, dass vor der Deformation die a?-Achse senkrecht auf den Querschnitt A A' ist, und die y- und die 2-Achse mit den Trägheitshauptachsen dieses Querschnittes zusammenfallen; ferner nehmen wir an, dass nach der Deformation die æ-Achse senkrecht ist auf das centrale Element des Querschnittes 4 4', und dass die y-Achse tangirend ist zu jener Trägheitsachse, mit welcher sie vor der Deformation zusammengefallen ist.

Könnte man die Deformationsarbeit des festen Körpers in einer Function aller auf dessen Punkte wirkenden elementaren Kräfte aus-drücken, ausgenommen deijenigen, welche auf das centrale Element des Querschnittes A Ä wirken (denn dieses Element muss als während der Deformation fix bleibend betrachtet werden), so findet man offenbar nach dem, was im Vorhergehenden gezeigt wurde, die Werthe der Verrückungen dieser Punkte in der Eichtung der Achsen, indem man die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des ganzen festen Körpers mit Bezug auf die zu den Achsen parallelen Componenten der in einem Punkte wirkenden elementaren Kraft nimmt.

Um die Verrückungen eines Punktes zu finden, auf welchen keine Kraft wirkt, kann man annehmen, dass in diesem Punkte drei beliebige Kräfte Ux, wv, <7)r parallel zu den Achsen wirken, womit sodann die Deformationsarbeit des ganzen festen Körpers in einer Function der effectiv auf ihn wirkenden Kräfte, sowie von Gx, töy, coz ausgedrückt wird, und nimmt schliesslich den Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit Bezug auf diese drei beliebigen Kräfte, welche nach beendeter Berechnung gleich Null gesetzt werden.

Für die strenge Anwendung dieses Vorganges müsste man aber in der Lage sein, das Problem aufzulösen, jene elastischen Kräfte genau zu bestimmen, welche sich in dem festen Körper A A' B' B unter der Einwirkung beliebiger äusserer Kräfte entwickeln; dies übersteigt aber die Kräfte der bekannten analytischen Mechanik, denn wie aus dem vorhergehenden Capitel zu ersehen ist, wurde dieses Problem bis jetzt nur für Prismen oder Cylinder gelöst, deren seitliche Oberfläche frei ist, und deren Grundflächen durch Kräfte beansprucht werden, welche nach einem ganz speciellen Gesetze vertheilt sind.

Glücklicherweise kann man in der Praxis diese strenge Auflösung entbehren, sobald man feste Körper betrachtet, welche im Verhältnisse zu deren Länge sehr dünn sind; denn in diesen Fällen kann man in folgender Weise Vorgehen und erhält Resultate, welche zwar nur annähernd, aber immerhin genügend sind.

mit

Zu diesem Behufe nimmt man an, dass auf den Querschnitt C C äussere Kräfte wirken, deren Componentensummen in der Richtung der Normale auf den Querschnitt und in den Richtungen der Trägheitshauptachsen gleich w,, w₂, öq sind; die Summe der Momente in Bezug auf diese Normale und diese Achsen seien fil} p₂, u₃. Die in vorhergehender Nummer gegebenen Formeln lassen ersehen, dass, wenn man die Deformationsarbeit des ganzen festen Körpers in einer Function der äusseren Kräfte ausdrückt, man eine Formel zweiter Ordnung in Bezug auf cöi7 w₂, Pi; f-i2; !h erhält. Von dieser Formel lässt sich aber sagen, dass die Differentialquotienten derselben nach ä)l, w₂, w3 einem genügenden Grade von Genauigkeit — die Verrückungen des Querschnittsmittelpunktes in der Richtung der Normale und der Trägheitshauptachsen gibt, während die Differentialquotienten derselben Formel nach u,, «₂, tt₃ die Drehung des Querschnittes um diese drei Linien gibt.

In der That resultirt aus dem Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit, dass, sobald die auf den Querschnitt C C wirkenden

148 —

Kräfte derartig vertheilt sind, dass während der Deformation dieser Querschnitt eben bleibt und dass dessen Contour sich nicht ändert, die oben angeführte Beziehung auch streng genommen stattfindet.

Uebrigens enthält die Formel, mittelst welcher die Deformationsarbeit ausgedrückt wurde, die drei Resultirenden w,, tö-₂, w₃ und die drei Momente (,ilf /.i₂, /.t₃, ist aber von dem Gesetz der Vertheilung der auf den Querschnitt C C wirkenden äusseren Kräfte nicht abhängig, woraus folgt, dass die Differentialquotienten dieser Formel nach w,, oj₂, w₃, (iV} q₂, die Verrückungen des Mittelpunktes und die Drehungen dieses Querschnittes geben, als ob die auf denselben wirkenden äusseren Kräfte in der Weise vertheilt wären, dass der Querschnitt auch nach der Deformation des festen Körpers eben wäre.

Aus Obigem ist zu ersehen, dass, wie auch das Gesetz der Vertheilung der auf den Querschnitt C C wirkenden äusseren Kräfte sei, wohl vorausgesetzt, dass dieselben die Componentensummen wt, <ä₂, w3 und die Momentensummen ,/q, u₂, q₃ geben, die elastischen Kräfte im Innern des festen Körpers und somit auch die relativen Verrückungen seiner Punkte für die ganze Ausdehnung des festen Körpers annäherungsweise dieselben bleiben, ausgenommen einer sehr dünnen Schichte, welche den Querschnitt C C zur Grundfläche hat. Wenn die Dicke dieser Schichte in Bezug auf die Länge der Stücke AA'C'C und CC'B'B vernachlässigt werden kann, so werden die absoluten Verrückungen der Punkte des Querschnittes C C nicht merklich geändert werden, wie auch die relativen Verrückungen der Punkte dieser sehr dünnen Schichte seien, d. h. sie werden annähernd dieselben sein, wie auch das Gesetz sei, nach welchem die Vertheilung der äusseren Kräfte auf den Querschnitt C C stattfindet.

Was oben für einen beliebigen Querschnitt bewiesen wurde, lässt sich offenbar auch für die äussersten Enden A A' und B B' anwenden.

¹

-dy dz = /v,

8. Kleinheit der Deformationsarbeit, welche den Tangentialkräften entspricht, sobald keine Torsion vorhanden ist. — Wir

haben gesehen, dass, wenn keine Torsion vorhanden ist und wenn alle Querschnitte des festen Körpers eine Symmetrieachse haben,, die Deformationsarbeit einer unendlich dünnen Schichte durch die Formel

1,,

d. h. nennt man ov und gz die Drehungshalbmesser des Querschnittes in Bezug auf die Trägheitshauptachsen, und nimmt man an, dass der Körper

2

isotrop sei, so dass i\ — ~E ist, so wird aus Formel (12) die folgende:

Wi+

Qy J

M\

2 Pß

)    2F,{_ P

ds_ rP\    M\    M\

2E\d    iz    iy

ausgedrückt wird, wobei die in Betracht gezogene Schichte zwischen den auf der Körperachse gemessenen Abscissen s und d s liegt.

Es lässt sich aber zeigen, dass die drei Ausdrücke

ds P²X

2Ë~n

(12)

A ^ 2 F₂ ß

ds

S²y

— P ^

2F.₁ ß

im Allgemeinen sehr klein sind im Verhältnisse zu den zwei anderen, welche die Biegungsmomente enthalten.

Macht man in der That

2EQ

Alle rechts von der betrachteten Schichte auf den festen Körper wirkenden äusseren Kräfte geben in der Eichtling senkrecht auf den Querschnitt eine Kesultirende gleich Px, deren Richtung den Querschnitt in einem Punkte trifft, dessen Coordinaten in Bezug auf die Trägheitshauptachsen y und 2 sind. Die Resultirende aller Componenten, welche parallel zu der als i/-Achse angenommenen Trägheitshauptachse sind, ist Sy und deren Entfernung von dem Querschnitte wird D.} genannt. Schliesslich ist die Resultirende aller zu der als s-Achse angenommenen Trägheitshauptachse parallelen Componenten gleich Sz und deren Entfernung von dem Querschnitte gleich D

Unter der Voraussetzung, dass Px eine Zugkraft sei, und dass die Richtung der Sy und der Sz mit der Richtung der negativen Coordinaten y und 2 zusammenfallen, hat man offenbar

My = PxzL + SZD{ und Mz = — PKy, — Sy D.,.

Durch Substitution dieser Werthe in obige Formel erhält man

2E£2

zA~\ ₊ 2P,Syÿ^î

Q 'J    Q'y

[p.,(l+Ll ₊ _i ♦*■•(¥+§)+*(?+£)]

+ 2PXSZ

q\

Wenn der Körper lang und diinn ist, werden im Allgemeinen die Hebelsarme yl} zlf Dn D.L sehr gross sein im Verhältnisse zu dessen Querdimensionen ; und nachdem die Drehungshalbmesser ov und oz immer kleiner sind als die Breiten der Querschnitte, auf welche sie bezogen werden, so folgt daraus, dass die Quotienten

V\

z\

Q* ’

Qy ’

sehr grosse Zahlen sind. Man kann also in Bezug auf deren Quadrate

sowohl die Einheit, als auch die Grössen —

2

vorausgesetzt, dass diese letzteren im Allgemeinen eine sehr kleine Zahl von Einheiten enthalten, wie wir dies später sehen werden.

Die letzte Formel wird somit

Qy

und

---- vernachlässigen,

«i A

q\

Qy

()'Z J

oder bei Berücksichtigung der oben [gegebenen Ausdrücke für My und Mz und der Beziehungen 12    = Iy und 22 q\ = Jz

(13)

d s yM\

Man sieht also, wie dies der Zweck der Beweisführung war, dass man im Allgemeinen in der Formel, welche die Deformationsarbeit einer unendlich dünnen Schichte gibt, die drei Ausdrücke, welche Px, Sy und Sz enthalten, im Verhältnisse zu den anderen, welche die Biegungsmomente enthalten, vernachlässigen kann.

Die Betrachtungen, welche uns zu diesem Besultat geführt haben, sind für Querschnitte, welche sehr nahe an den Enden des festen Körpers sich befinden, nicht anwendbar. Uebrigens muss man bedenken, dass in den praktischen Anwendungen nicht die Deformationsarbeit isolirter Schichten, sondern jene des ganzen Körpers zu betrachten ist; so dass

der Irrthum, welcher für zwei kleine Stücke an den Enden stattfinden kann, unbedeutend ist in Bezug auf die Deformationsarbeit des ganzen festen Körpers, und man kann daher statt der genaueren, aber nicht so einfachen Formel (12) jene (13) nehmen.

Es kann geschehen und geschieht thatsächlieh sehr oft, dass die Hebelarme der Resultirenden Px in Bezug auf die Trägheitshauptachsen des betrachteten Querschnittes Null oder doch sehr klein sind. In diesem

y\

Falle sind die Verhältnisse

Q\

und — nicht mehr sehr gross, und man Q*

dass die Ausdrücke

M\ , M2 ■ und -

kann daher in Bezug auf dieselben die Einheit nicht mehr vernachlässigen ; aber wenn die Hebelarme Z), und Z)₂ im Verhältnisse zu den Drehungshalbmessern o,, und qz sehr gross sind, erkennt man nach Obigem leicht, 5 a    5 75

-— S²Z und — S y mit Rücksicht auf die Ausdrücke 2 2 y

~ vernachlässigt werden können. Nun ist aber der Ausdruck

^y    5 A    5 ß

vom selben Grade wie die beiden Grössen -S²Z und —S\ und

2 2

kann daher zugleich mit diesen vernachlässigt werden, so dass selbst in dem Falle, als die Hebelarme y{ und z{ Null oder sehr klein sind, die Formel (12) auf die viel einfachere Formel (13) gebracht werden kann.

9. Betrachtungen über die krumme Fläche, welche von (len Querschnitten nach der Deformation bei ^Berücksichtigung der alleinigen elastischen Normalkräfte gebildet wird. — Wir wollen nunmehr zeigen, dass, wenn die Tangentialkräfte pxy und pzx Null sind, die Querschnitte auch nach der Deformation eben bleiben.

Wenn man in der That zwei unendlich nahe Moleciile m und m (s. Fig. 10, S. 146) betrachtet, deren Verbindungslinie m m vor der Deformation senkrecht ist auf den Querschnitt C C', d. h. parallel zu dem Elemente n n der Achse des festen Körpers, so ist offenbar diese Linie auch nach der Deformation parallel zu demselben Achsenelemente ; wenn ferner die Tangentialkräfte Null sind, werden es die Verschiebungen gxy und gxx auch sein, und die Linie m m wird nach der Deformation normal auf den Querschnitt C C sein, d. h. senkrecht auf das mit dem Punkte m correspondirende Element des Querschnittes.

Da nun nach der Deformation des festen Körpers die Strecken m m und n n zu einander parallel sind, so ist es klar, dass alle Elemente des Querschnittes senkrecht sein werden auf die Strecke n n, und dass daher der Querschnitt eben und senkrecht auf die Körperachse sein wird.

Dasselbe Resultat kann auch aus der Gleichung

la~ p.

P, , My —- z

Mz

— y

i.

cl XL

abgeleitet werden, denn substituirt man für pxx dessen Werth Edx= E —, i ..ii    d x

so erhalt man

dx

du = —

, Mr Mz --—

Iy

I.

»J.

bezieht man nun den Körper auf drei rechtwinkelige Achsen, deren Anfangspunkt im Mittelpunkte des Querschnittes CC sich befindet, und welche mit der Normale auf das centrale Element dieses Querschnittes, respective mit den Tangenten zu den Trägheitshauptachsen zusammen-fallen, so ergibt die obige Formel die Grösse, um welche ein in der Entfernung d x von dem Querschnitte C C sich befindlicher Punkt, welcher die Coordinaten y und z hat, sich von der y z-Ebene entfernt; dx du gibt sodann die Schlussentfernung des betrachteten Punktes von dieser Ebene. Wenn man diese Formel auf alle Punkte eines unendlich nahe an C C sich befindlichen Querschnittes anwendet, so werden die Grössen Px Mz M

—, —-, —- constant sein und die Grösse d x muss auch als constant

ß V ly

betrachtet werden, sobald die Querdimensionen des festen Körpers sehr klein sind im Verhältnisse zum Durchmesser der Biegungscurve.

Wir haben gesehen, dass der in Nummer 4

In diesem Falle wird dx du eine lineare Function von y und z sein; was uns zeigt, dass, wenn die aus der seitlichen Contraction entstehenden sehr kleinen Aenderungen der Coordinaten y und z vernachlässigt werden, der Querschnitt auch nach der Deformation eben bleibt.

10. Folgesatz.

bewiesene Lehrsatz von den Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit voller Genauigkeit besteht, sobald die Querschnitte nach der Deformation eben bleiben; in Nummer 5 wurde gesehen, dass für lange und dünne, feste Körper die Deformationsarbeit der elastischen Tangentialkräfte im Verhältnisse zu derjenigen der elastischen Normalkräfte im Allgemeinen vernachlässigt werden kann; endlich wurde in der letzten Nummer gezeigt, dass mit Rücksicht auf die alleinigen Normalkräfte die Querschnitte nach der Deformation auch eben bleiben. Es folgt daraus, dass der in Nummer 4 gegebene Lehrsatz strenge anwendbar ist, sobald man die Deformationsarbeit in Folge der elastischen Tangentialkräfte gegenüber derjenigen der elastischen Normalkräfte vernachlässigt.

11. Definition und Bezeichnungen fiir diejenigen Systeme, welche man in der Praxis gewöhnlich zu betrachten hat. — Im Allgemeinen entsprechen die elastischen Systeme, welche man in der Praxis zu betrachten hat, folgenden Bedingungen:

1.    Alle festen Körper haben, im Verhältnisse zu deren Länge, sehr kleine Querdimensionen ;

2.    die Achsen aller Körper sind in ein und derselben Ebene enthalten und nennt man diese die Ebene des Systems;

3.    alle Querschnitte der verschiedenen festen Körper haben in dieser Ebene eine Trägheitshauptachse;

4.    alle auf das System wirkenden elastischen Kräfte sind in dieser Ebene enthalten oder sind zu beiden Seiten derselben derartig vertheilt, dass für alle Querschnitte das Torsionsmoment ATX, das Biegungsmoment Mz in Bezug auf die in der Ebene des Systems befindliche Trägheitshauptachse, sowie die auf diese Ebene senkrechte Schubkraft Sy gleich Null sind.

Für diese Gattung von Systemen gibt es in einem beliebigen Querschnitte nur die Normalpressung (Normaldruck) Px, das Biegungsmoment4fy in Bezug auf die senkrecht zur Ebene des Systems stehende Trägheitshauptachse und die zu dieser Ebene parallele Schubkraft Sz. Nachdem wir in der Folge nur Systeme zu betrachten haben werden, welche den oben angeführten Bedingungen entsprechen, können wir, zur Vereinfachung, die Zeiger der bisher angewendeten Bezeichnungen weglassen und nennen somit für einen beliebigen Querschnitt

P die Normalpressung,

S die Schubkraft parallel zur Ebene des Systems,

M das Biegungsmoment in Bezug auf die zu dieser Ebene senkrecht stehende Trägheitshauptachse,

S2 A —

— Deformationsarbeit in Folge der Verschiebung ;

I das Trägheitsmoment des Querschnittes in Bezug auf dieselbe Achse, 52 die Fläche des Querschnittes.

Ferner nennen wir Biegungsachse eines Querschnittes die zur Ebene des Systems senkrecht stehende Trägheitshauptachse desselben.

Um die Deformationsarbeit einer unendlich kleinen Parallelschichte, deren Dicke d s ist, auszudrücken, kann man die Formel (7) benützen ; dieselbe ergibt nach Einführung der oben gewählten Bezeichnungen

ds rPm

⁺ T~

Nach dem in Nummer 5 Gesagten werden die beiden Ausdrücke

d s P2 ~2F~ä

und

S²

H--A — .

2Ft 52

(14)

S²

im Verhältnisse zu

2F,    52

cl s M²

2E Ï

gewöhnlich sehr klein sein. Künftig nennen wir d_i Pf 2E 52 ds AP²

2E ~T

den Ausdruck

den Ausdruck

Deformationsarbeit in Folge der Compression,

Deformationsarbeit in Folge der Biegung,

den Ausdruck

2 Ft

für die langen und dünnen, festen Körper sind daher im Allgemeinen die Deformationsarbeiten in Folge der Compression und der Verschiebung im Verhältnisse zur Deformationsarbeit in Folge der Biegung sehr klein.

12. Transformation einer der Differentialgleichungen des Elasticitätsgleichgewichtes fester Körper. — Wir betrachten nun ein Prisma (oder einen Cylinder) gleich demjenigen, welches wir im vorhergehenden Capitel im Problem über die Biegung behandelt haben und welches wir als von nur auf dessen Grundflächen wirkende Normal-und Tangentialkräfte beansprucht anseh en.

Nach Obigem besteht für dieses Prisma in allen Punkten der Umfangslinie eines Querschnittes die folgende Beziehung:

pxy d z    d y — 0.

(15;

Fenier muss für einen beliebigen inneren Punkt eines im Elasticitäts-gleichgewichte sich befindlichen festen Körpers die Gleichung

(16)

d P™ _|_ d pxy    dpzx _ ₀

d y    dz

bestehen, sofern man von dem Einflüsse der Schwere absieht.

Für das Prisma oder den Cylinder kann man diese Gleichung auch m eine solche Form bringen, dass die Gleichung (15), welche für die h mfangslinie (Contour) stattfinden muss, hierbei berücksichtigt wird. Die Kenntniss dieser Formel ist sehr wichtig.

.X

JO

Fig. il.

x von

Betrachten wir also den Querschnitt GH in der Entfernung dem Ende AB und nehmen wir dieselben Bezeichnungen wie in dem Problem über die Biegung, so haben wir

_\M₀ + S (a — x)

2JXX

wobei M₀ das Biegungsmoment der Grundfläche CD ist und S die Schubkraft in dieser Grundfläche und in allen Querschnitten des Prismas.

Aus dieser Gleichung erhält man

z,

dp„

so dass die Gleichung (16) die folgende ergibt:

d pxy , dpzx dy

Wir nehmen nun an, dass der Querschnitt GH durch nachfolgende bigur dargestellt sei, und integriren die mit dy dz multiplicirte Gleichung,

y—H

o>

05

indem wir die Integration auf die ganze, zwischen der Geraden C C" und der Cuiwe C'B C" der Umfangslinie enthaltene Fläche ausdehnen. Auf diese Weise erhält man zuerst

fJJ

zdydz —

dpzx

d y dz)

c'i

\ zieht man aber in der Fläche AB A' B' die Gerade —V"

A D' D" parallel zur ^/-Achse und ebenso die unendlich C nahe Gerade E'E", so hat man bei Ausführung der J Integration für das Trapez D'D" E"E'

— P*y)dz,

dy dz    dy

Fig. 12.

wobei p’xy und p"xy die Werthe von pKy für die Punkte DD" sind. Wenn man andererseits die beiden Geraden D' F' und E'H' zieht und die Integration für das Trapez D'F' H'E ausführt, erhält man

W<r

Tzx) dy,

wobei pzx und p'zx wieder die Werthe von pzx für die Punkte F' und D' sind. Obige Gleichung ergibt somit

§jjZ(ly dz=J(p"*y

p'xy) dz + f(/zs

— Pzx) dy.

(17)

Man kann aber auch schreiben

— P’xy) dz =

dz"—

4',

dz}

indem man

die Integrale jp"*y dz” undj*p'xy d z vom Punkte C", respective

von C bis zum höchsten Punkte der Umfangslinie ausdehnt, so dass die Elemente d z und d z" immer im positiven Sinne genommen werden ; wenn man hingegen die Curve C'BC" in fortgesetzter Weise von C ausgehend verfolgen will, so sind die Differentiale d z offenbar negativ, und man muss daher deren Zeichen ändern, d. h. es ist

— p'xy) dz — —

jp 'xy dz"cjp'zy

indem man das Integral der rechten Seite auf die ganze Curve C'BC" ausdehnt.

Ferner kann man schreiben

— i>zx) dy =

jVz xdy'—jp^dy,

indem man das erste Integral der rechten Seite auf die ganze Curve C'BC" ausdehnt und das zweite auf die ganze Gerade CG", welche parallel zur y-Achse ist.

Die Gleichung (17) kann daher in der Form

?SS

z dy dz =

-jjijp'^dz—p’^dy')

P dz — p'zx dy’ = 0

oder einfach

— P'xyj dz =

jVxy dz',

geschrieben werden, und nachdem uns die Gleichung (15) für jeden Punkt der • Umfangslinie

ergibt, folgt daraus, dass

z dy dz = —

jjpzxdy,

(18)

wobei nochmals zu beachten ist, dass das Integrale der linken Seite für den ganzen Tlieil des zwischen der Curve CB C und der Strecke C C” gelegenen Querschnittes genommen, das Integral der rechten Seite hingegen auf die ganze Gerade CC" ausgedehnt werden muss.

Man kann das Doppelintegrale auf ein einfaches reduciren, da die Integration nach y ausgeführt werden kann; nennt man X die Länge der Geraden I) /)', d. h. die Breite des Querschnittes in der Höhe 2 von der Biegungsachse, so erhält man

z dy d z = ^X z d z:

Die Grösse X kann als eine Function von 2 angesehen werden, und die Integration der linken Seite muss von dem mit der Geraden C'C" correspondirenden Werthe zy von z bis zu dem grössten Werthe von z: welchen wir Z nennen wollen, ausgedehnt werden. Die Gleichung (18) wird somit

²i

13. Andere Ableitung der Formel (19). — In der vorhergehenden Nummer haben wir die Formel (19) gefunden, indem wir von den allgemeinen Elastieitätsgleichungen ausgegangen sind; seitens der Autoren, welche diese Formel gefunden haben, wurde für dieselbe eine andere Ableitung gegeben, welche wir hier anführen wollen.

Denken wir uns dasjenige Körperelement isolirt, welches von der mit der Curve C B C" correspondirenden seitlichen Oberfläche, von der durch die Strecke C C" parallel zur Achse des Prismas gehenden Ebene und schliesslich von jenen Querschnitten eingeschlossen ist, welche den Abscissen x und x -f- d x entsprechen.

Eine der für das Gleichgewicht dieses Körperelementes nothwendigen Bedingungen ist die, dass die Summe der zur a?-Achse parallelen Com-ponenten aller auf dasselbe wirkenden Kräfte gleich Null ist.

Nun hat man für die Fläche, welche dem die Abscisse x habenden

Querschnitte angehört, die Normalkräfte pxx, deren auf die ganze Fläche ausgedehnte Summe

pxxX dz

Xzdz.

(19)

ist; auf die entgegengesetzte Fläche hat man die Normalkräfte —    +

d- -xx d x^ oder — Tpxx — ~ z d x deren Summe

pxx — ~ z dx^ X d z = —

pxx X dz -f- dx

²i

dx(jpz7L dy.

ist; auf die krumme Fläche des betrachteten Körperelementes darf laut Annahme keine äussere Kraft wirken; endlich hat man für die rechteckige Fläche, deren Seiten die Strecke C' C" und d x sind, die Kräfte pzx parallel zur a?-Achse, und ist deren Summe für die ganze betrachtete Fläche

pzx dy dx —

Addirt man diese drei Summen und setzt das durch d x dividirte Resultat gleich Null, so erhält man die Gleichung

s Cz c

—J zXdz-)-jpzxdij = 0,

welche mit der Formel (19) übereinstimmt.

14. Anwendung der Formel (19) auf beliebige feste Körper, deren Querschnitte eine im Verhältnisse zu deren Höhe sehr kleine Breite haben. — Die Formel (19) wurde für Prismen abgeleitet, welche durch nur auf deren Grundfläche wirkende Kräfte beansprucht werden; dieselbe lässt sich aber, wie alle anderen Formeln, welche für diese Prismen entwickelt wurden, annäherungsweise auch auf die in Nummer 8 definirten langen und dünnen festen Körper anwenden.

Der Querschnitt dieser Körper kann zwar beliebige Formen haben, aber wir werden nur jenen Fall betrachten, welcher in der Praxis am häufigsten vorkommt, dass nämlich die Querschnitte in der Richtung der Biegungsachse sehr schmal sind im Verhältnisse zur Höhe, welche senkrecht auf diese Achse gemessen wird.

Ist die in dem Querschnitte parallel zur Biegungsachse gezogene Gerade C C" (s. Fig. 12, S. 156) sehr kurz im Verhältnisse zur Höhe BB', so ist klar, dass die nach der Trägheitshauptachse B B' gerichtete Tangentialkraft j)zx auf der ganzen Länge der Geraden C C" sehr wenig variirt, und dass dieselbe daher annäherungsweise als constant angenommen werden kann. Nennt man Xv die Länge der Geraden C C", d. h. die Breite des Querschnittes in der Entfernung zl von der Biegungsachse, so hat man

und die Gleichung (19) ergibt nach Division durch üt

oder

P zx

S rz j»i

XJ,

X z dz,

XI

rz

; I Xz dz,

J 2

(20)

indem man die Indices von Xv und z[ weglässt, was der Deutlichkeit keinen Abbruch macht, und indem man die Tangentialkraft pzx positiv nimmt.

ÇZ

Xz dz mit dem

Da der grösste numerische Werth des Integrales 1

Werthe z = 0 correspondu!, folgt daraus, dass die Tangentialkraft jpzx ihren grössten Werth für die Biegungsachse erreicht; nennt man denselben _p°zx, so ist

P°,x =

S_ rz

XIJ 0

Xz dz.

'Z

Der Ausdruck

Xz dz repräsentirt aber das statische Moment jeder

der beiden durch die Biegungsachse getrennten Flächen in Bezug auf diese Achse; nennt man dieses statische Moment G, so wird der grösste Werth der elastischen Tangentialkraft ausgedrückt durch die Formel

(21)

P\x =

SG

XI

Der Ausdruck für die Tangentialkraft p7X in einem beliebigen Punkte des Querschnittes kann auch in eine andere Form gebracht werden, denn man hat

Xz dz =

Xz dz —

Xz dz —

Xz dz

und folglich

XI

Ferner lässt sich erkennen, dass für Querschnitte, welche in Bezug auf deren Höhe sehr schmal sind, die Tangentialkraft pxy immer sehr klein ist, und dass dieselbe daher gleich Null betrachtet werden kann. In der That erreicht im Allgemeinen diese Kraft ihren grössten Werth

dy •

in den Punkten C und C" der Umfangslinie. Die Gleichung (15) gibt für diese Punkte

Pxy Pzx y

a z

dy

und da für die Querschnitte von der angenommenen Form das Verhältniss sehr klein ist, so folgt daraus, dass die Tangentialkraft pxy im Verhältnisse zu pzx auch sehr klein ist.

Dieser Schluss ist für die höchsten Punkte der Umfangslinie, für welche das Verhältniss — nicht sehr klein ist, nicht vollkommen genau;

aber für diese Punkte ist die Kraft p,/x , wie aus Formel (20) folgt, selbst sehr klein, so dass dies auch bei der Kraft pxy der Fall sein wird.

15. Krumme Fläche der Querschnitte nach der Biegung, wenn dieselben im Verhältnisse zu deren Höhe eine sehr geringe Breite haben. — Die Gleichung (20) führt uns unmittelbar zur Gleichung für die krumme Fläche, welche nach der Biegung von den Querschnitten gebildet wird, wenn diese im Verhältnisse zu deren Höhe eine sehr geringe Breite haben. Denn, wenn wir g,x die der Tangentialkraft pzx entsprechende Verschiebung nennen, und wenn wir annehmen, dass der Körper drei Symmetrieebenen hat, welche senkrecht stehen auf der Normale des Querschnittes und auf dessen Trägheitshauptachsen, so ist auf Grund der Formeln (19) des 3. Capitels

und da

P** = F2 9z

9™ — P 1“

dx dz

ist, so erhält man aus der Gleichung (20), indem man wieder das negative Zeichen einsetzt.

'Z

"kz dz.

(22)

dx F₂1 IJ z

w ist die Verrückung eines Querschnittspunktes parallel zur z-Aclise; da für einen solchen Punkt mit der Ordinate y die Normalkraft

P-fX - I

M{) + S (a — x) ^

ist, so erhält man in diesem Punkte für die seitliche Contraction

ilP₀ -f- S (a — x)

£

so dass die Contraction der Ordinate z, d. h. die Verrückung iv, mit dem negativen Zeichen genommen, durch

M₀ -f- S (a — x)

S?dz)

gegeben ist.

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

11

Indem man die Integrationen mit Bezug auf z ausführt und das Resultat sodann nach x differentiirt, erhält man

d w_r[ S z¹

so dass man aus der Gleichung (22) die folgende ableiten kann :

(23)

Iz dz.

dz

v'Sz* S rz EI 2    F₂ll) z

Dies ist die Differentialgleichung der von dem Querschnitte nach der Biegung gebildeten cylindrischen Fläche.

Es ist zu beachten, dass für z — 0

Iz dz,

rdu\

\dz)o

d. li. dass zufolge der Formel (21)

pO

nun ist aber

F,

V dz Jo

P°zx .

Fi

der Werth der centralen Verschiebung g°ZK oder des

Cosinus des beinahe rechten Winkels, welchen das centrale Element des Querschnittes nach der Biegung mit der Achse des festen Körpers bildet; hieraus folgt, dass die y z-Ebene, auf welche die Gleichung (23) bezogen wurde, senkrecht auf diese Achse ist.

16. Deformationsarbeit für die in Nummer 8 definirten festen Körper. — Formel für den Coefficieiiten A. — Wir haben gesehen, dass für die in Nummer 8 definirten festen Körper die Deformationsarbeit einer zwischen zwei unendlich nahen Querschnitten befindlichen Schichte durch die Formel (14) ausgedrückt wird, worin A einen geometrischen Coefficieiiten darstellt, welcher nur von der Form dieses Querschnittes und von dem Verhältnisse der beiden tangentialen Elasticitäts-coëfficienten F₂ und F₃ abhängt. Dieser Coefficient wird durch die Formel

Ai2

Fi

ausgedrückt.

Aus dem in Nummer 5 Gesagten geht hervor, dass, ■wenn die Schubkraft Sy und das Torsionsmoment Mx gleich Null sind,

f⁺te-"'-

sa

ist, wobei Al und A₂ Functionen von y und z sind, welche von der Form des Querschnittes und von dem Verhältnisse der tangentialen Elasticitäts-coefficienten F.₂ und F₃ abhängen.

Für die in der Eichtling der Biegungsachse sehr schmalen Querschnitte hat man annäherungsweise

Pxy 0;

s rz

XL

Xz dz,

und folglich

A = o,

A-2 —

l z d z:

X IJ z

durch Substitution in obige Formel erhält man AQ _

F₂ ~ f₂b

Die erste Integration mit Bezug auf y kann man ausführen, indem man dieselbe auf die ganze Linie C'C"= X ausdehnt; die zweite Integration muss sodann auf den ganzen Querschnitt ausgedehnt werden, d. h. von —Z₀ bis Z genommen werden, indem man Z₍₎ und Z die numerischen Werthe der grössten negativen und der grössten positiven Ordinate nennt. Auf diese Weise erhält man aus der letzten Gleichung,

indem man dieselbe gleichzeitig durch —

² dy dz

F.

dividirt und

|Z

sodann F₂ in F verwandelt, folgenden Werth:

I²

f f

J -z₀VJ z J X

(24)

Ÿ

Dies ist also die allgemeine Formel, deren man sich zur Bestimmung des Coëfficienten A bedient.

17. Anwendung der Formeln (20), (21), (23) und (24) auf die einfachsten und gebräuchlichsten Querschnitte. 1. Rechteckiger Querschnitt. —

Betrachtet man einen rechteckigen Querschnitt, dessen Biegungsachse parallel zur Seite b ist, welche ihrerseits im Verhältnis zur Seite c als sehr klein zu betrachten ist, so hat man

z¹

Fig. 13.

11*

I = b für alle Werthe von s

— b c²,

-— b c³.

12

Die Formel (20) ergibt also

i>zx =

H I Ol

die Formel (21)

(!-)

P°zx =

CO I Oq

EO I Gq

(26)

die Formel (23)

dz

il*__*L_( _ZĄ

El 2 2FT₂A )⁷

woraus durch Integration und bei Beachtung, dass für z = sein muss, folgt, dass

0 auch u = 0

d. h.

rj'S z³ S fc²z

JTi~q— 2f.₂i vT ~ i J⁷

2Ftb

die Formel (24) gibt schliesslich

E- ('

rjF,

CO CO

I O

(27)

Qb

SiAS-ÿ⁴’’

woraus man nach Ausführung der Integrationen

erhält.

A = -*)

5 ;

(28)

*) Man kann den genauen Werth von A für jedes Yerhältniss der Seiten b und c des Querschnittes finden, wenn man sich der rigorosen Ausdrücke für pxy und pzx bedient, welche in dem Problem über die Biegung gefunden wurden. Hieraus resultirt

7+m

2 JP

c⁴

144 b

7T⁵ C

, ! nnc ® tah ——

^ b

n³

,\nnc

™ 7 w=cotah—T-

&

jjr 5 r ( J n — 1

n = 1

indem man die tangentiale Elasticität für die beiden Richtungen der y und s als gleich annimmt, d. h. indem man F₂ — F₃ — F macht.

II. Elliptisch er Querschnitt. — Sind b und c die Halbachsen des in nebenstehender Figur dargestellten elliptischen Querschnittes; wobei die erstere als Biegungsachse genommen wird; und wobei deren Länge kleiner ist als jene der zweiten; so ist die Gleichung der Umfangslinie

z²

+ -=1

b² c²

und man hat

±_

<-b

c²

V¹

Z₀ = Z = C; 52

— ftbc, G = — b c2 3

I=-bc\

’z'

Fig. 14.

Es ist daher

r.

Iz dz — 2b

\:V'

z²

--- z dz — — b c²

c²

fi _ fTjï ₌ łi²

l c²J 3b²

t (²⁹)

und folglich

4 f_ 3' b²’

ÏO I

(30)

Die Formel (23) ergibt d u

r[ S z²

EI 2

(-3

durch eine derartige Integration; dass für z — 0 auch u = 0 ist; erhält man

3F₂Q

[-(■

3 rj U₂b z³ ~1

J 3c²J

2E

(31)

Da das Yerhältniss

im Allgemeinen sehr klein ist, so sieht man, dass der Coefficient A als annäherungsweisen Werth — hat, selbst wenn die Seite b im

Verhältnisse zu c nicht sehr klein ist. Wenn der Körper z. B. isotrop ist, hat man

(iEY=Ä-

V E /    100

² ~F

Te'

7] F_

E ~ 10’

CD ! 10

woraus folgt, dass man

nehmen kann, selbst in dem Falle, als b — c ist.

Die Formel (24) gibt

y¹ dz,

oder, indem man die Symmetrie der Figur in Bezug auf die y-Achse beachte^

r

/² 96⁴J o

y⁵ dz-

nun ist

dz — —

V äy

5²

und da z — 0 mit y = b und z = c mit y = 0 correspondirt, so folgt daraus,, dass

y³ dz — —-

'S «

r¹0

y(i dy

1.3.5

_ Hl

— 7t c b'°

2.4.6

62

und folglich

k-a-

-a¹-

T¹

III. Doppel-T- und C-förmiger Querschnitt.—

Der in nebenstehender Figur dargestellte doppel-T-förmige Querschnitt sei bezüglich der Biegungsachse Y Y' symmetrisch. Mit den in der Figur angegebenen Benennungen erhält man alsbald

12 = ab — Ça — e) b{)

Z'

Fig. 15.

G = -[aW—{a — e)b\],

I== Liah3 — (« — e)hM

(32)

12

Zufolge der Formel (20) wird für die Punkte der im Steg parallel zur Biegungsachse gezogenen Geraden m n die Tangentialkraft pxx durch die Formel

(33)

ausgedrückt, und der grösste Werth dieser Kraft, welcher für die Biegungsachse gilt, d. h. für z = 0 wird sein

SG

(34)

P°zx

Die Summe der Tangentialkräfte, welche in Steg auftreten, ist I* ^G—^ez^j dz = ^^Gbv — ^eb\

pzx e d z —

I » L?*

24

)•

oder, wenn man für G dessen Werth substituirt,

12

Da die Summe aller im gesammten Querschnitte stattfindenden Tangentialkräfte gleich sein muss der Schubkraft S, so wird die Summe der Tangentialkräfte, welche in den beiden Flantschen stattfinden, gleich sein

b'¹ b{ — &³,

S—

b*

12

) = l¹"¹

b'¹ b| — b³,

e —"'j,

12 J

oder

Sa(b — Z>,)² (25 + 5,)

24

(35)

indem man für I dessen Werth einsetzt und sodann reducirt.

Das Trägheitsmoment I des ganzen Querschnittes ist jedenfalls grösser als jenes, welches man erhält, wenn man den Steg vernachlässigt, d. h. grösser als

T= — a (5³ — 6³j) =

12

12

a (b — bL) (&² + bbL -f-&²i),

b*+bbl+b\>2bbl +b\

und da offenbar ist, folgt daraus, dass, wenn man

¹

Auch für den elliptischen Querschnitt erhält man wie für den rechteckigen den Werth von A für jedes Verhältniss zwischen den Haihachsen h und c mit Hilfe der Ausdrücke pxy und pzx. wie sie in dem Problem über die Biegung für Cylinder mit elliptischer Grundfläche gegeben wurden; die Formel, welche man findet, und

welche hier anzuführen nicht nothwendig ist, gibt annäherungsweise A — ~

dies im Texte unter Berücksichtigung, dass das Verhältniss — der Halbachsen sehr

klein ist, erhalten wurde.

setzt,

r=b‘(*-y(2»,

/>!'>/";

die Formel (35) hat folglich einen gewiss kleineren Werth als S_ a(b — b{f {2b + bi) _ s b—bx

I"

24

2b

Wenn die Flantsclien eine im Verhältnisse zur ganzen Höhe des Querschnittes sehr geringe Höhe haben, was in der Praxis fast immer

eintritt, so ist das Verhältniss --— ein sehr kleiner Bruch, d. h. die

;    2 b{

Summe der Tangentialkräfte, welche in den Flantsclien stattfinden, ist sehr klein und kann daher im Vergleiche zur Summe jener Tangentialkräfte, welche im Steg auftreten, vernachlässigt werden.

Die Formel (23) ergibt zwischen z = — — und z = —

dz

rf S z-

EI 2 F.,el

(V-VV);

indem man nun in der Weise integrirt, dass für 2: = 0 auch u = 0 wird, erhält man

(36)

F₂I

Anstatt nun die Formel (24) auf den doppel-T-förmigen Querschnitt anzuwenden, suchen wir der grösseren Deutlichkeit halber den Ausdruck für die den Tangentialkräften entsprechende Deformationsarbeit auf directe Weise. Wie oben gesehen wurde, ist bei jeder beliebigen Form des Querschnittes für eine zwischen zwei unendlich nahen Querschnitten gelegene Schichte dieser Ausdruck der folgende:

p\x

2f/(f

Für den doppel-T-förmigen Querschnitt kann man nicht nur für alle Querschnittspunkte p>zy = 0 nehmen, sondern auch nach Obigem für alle Punkte der Flantsclien pxy = 0 setzen ; vorstehende Formel kann daher auf

p\x dy dz

2F,

reducirt werden, indem man die Integration nur auf den Steg ausdehnt. Führt man die Integration mit Bezug auf y aus und substituirt für pzx dessen Werth (33), so erhält man

wie

oder

d s S² rÿ f

2Fae/*J-H

fG²-^ — Geb²! + — l 12    320

d s S² b 2F₂ lü

indem man auch die Integration mit Bezug' auf z ausführt. Dieser Ausdruck kann auch in der Form

e²b\

)■

AS²

2 f₂ n

geschrieben werden, vorausgesetzt, dass

I²e

(G²— — Ge b\ + — e² b*. V k 12    320 J

(37)

Nun ist

G* — — Geb\ + —

12

und da in den praktischen Anwendungen der Ausdruck e² b\ im Allgemeinen gegenüber dem Ausdrucke

G— — eb\

e² b]

320

G 6 b²^

24

)'

— e²b*

720

720

1;

24

<£>

Tf l

sehr klein ist, kann man denselben vernachlässigen, indem man einfach nimmt

Qb

a— — eb²,

(38)

I² e

Es ist zu beachten, dass bei Ableitung obiger Formeln nicht die Bedingung aufgestellt wurde, dass der Steg jede Flantsche in zwei gleiche Hälften theile, so dass diese Formeln für jede Lage des Steges dieselben bleiben, folglich auch, wenn sich der Steg an einem Ende der Flantsche befindet, wie in nebenstehender Figur, welche den C-förmigen Querschnitt darstellt.

24

]v

Fig. 16.

5. Capitel.

Theorie der Gitterträger.

1. Définition. — Gitterträger nennt man diejenigen Träger, deren obere lind untere Gurten (auch Gurtungen), welche T- förmige Querschnitte haben, mit einander durch geneigte Stäbe verbunden sind (s. Fig. 20, S. 179).

Diese Stäbe sind gewöhnlich mit den beiden Gurten, ebenso wie untereinander an den Kreuzungen durch Nieten verbunden, so dass die Gitterträger undeformirbare Systeme bilden, d. li. dass sie nur die der Elasticität der Materialien entsprechenden Deformationen annehmen können.

Die genaue Bestimmung der in den verschiedenen, Constructions-gliedern der Gitterträger auftretenden Spannungen und der in den Knotenpunkten thätigen Kräfte könnte mit Hilfe des Lehrsatzes von den DifFerentialquotienten der Arbeit in vollkommener Weise geschehen, indem man die Gitterträger als zusammengesetzte Systeme betrachtet. Obzwar dieses Problem immer auf Gleichungen ersten Grades führt, so erhält man doch eine so grosse Anzahl von Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten, dass deren Auflösung ungemein schwierig wird.

I»

--------_______

SH

jP

vj

KP'

Ts ;    <_

XL

Fig. 17.

Man muss sich daher mit einer annäherungsweisen Lösung begnügen, welche aber für die Praxis im Allgemeinen vollkommen ausreichend ist. Um diese Auflösung in einer rationellen Weise zu geben, wollen wir einige theoretische Fälle betrachten.

2. Erster Fall eines gegliederten Gitterträgers. — Die vorstehende Figur stelle einen aus gegliederten Stäben zusammengesetzten Träger dar, und DE, EF, ÇG, GH etc. seien Stäbe, welche untereinander und mit den Querstäben durch Charnière verbunden sind.

Es werde nun angenommen, dass in dem Punkte A zwei Kräfte wirken, deren eine, P, vertical, deren andere, P"— P', von A nach D gerichtet ist, und in dem Punkte B zwei andere Kräfte, deren eine, P, vertical und deren andere, P"A~ P’, von B nach C gerichtet ist.

Wird der Träger nach der Linie IL geschnitten, und werden sodann die in den zerschnittenen Stäben etfectiv thätigen Spannungen durch die Kräfte 2\, T₂, T₃, T₄ ersetzt, so hat man für das Gleichgewicht des rechts von dem Schnitte IL gelegenen Theiles des Trägers die Bedingungen aufzustellen, dass die beiden Summen der horizontalen und der verticalen Kräfte gleich Null sind, und dass die Summe der Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt,, z. B. M, auch Null ist. Dies gibt die drei Gleichungen

T{ + T₂ + (T₃ + T₄) cos « + 2P"= 0, (T₃ — T₄)sin« + 2P=0,

(T[-T₂^-2P(x-i

(1)

— P'h = 0.

M

2 tang a J

Diese drei Gleichungen genügen indess nicht zur Bestimmung der vier Unbekannten T[} 7\, TZ} Tx. Führt man aber den Schnitt N0 und lässt wieder zwei Kräfte Th und T₆ wirken, welche mit den Spannungen in den geschnittenen Stäben gleich sind, so müssen sich offenbar die vier Spannungen Tx, T₃, Tb, Tn das Gleichgewicht halten, was unter Anderem bedingt, dass die Summe der Yerticalcomponenten dieser vier Spannungen gleich Null ist, d. h. dass

oder

(^3 A~ ^e)    a — 0

T%=    Tg ist.

Indem man diese Untersuchung auf alle Knotenpunkte ausdehnt, erkennt man leicht, dass alle Stäbe des Gitterträgers numerisch gleichen Kräften unterworfen sind, dass aber diese Kräfte für die zu DG parallelen Stäbe Spannungen, für die zu CE parallelen hingegen Pressungen sind.

Hieraus folgt, dass TA eine Spannung ist, wie dies auch angenommen wurde, T₃ hingegen eine Pressung, und dass somit

T₄ ist.

Diese Gleichung ergänzt die zur Bestimmung der Unbekannten nothwendige Anzahl von Gleichungen, und man erhält daher

T,=

2Pf

h l

x -j-

--1 +P'

2 tang a J

-P",

T₂ = -

2Pr

h l

x -f-

—)

2 tang a)

— P'—P".

(2)

Ta =

sin a

T, = -

sin a

Nennt man M das Biegungsmoment und S die Schubkraft für den durch den Punkt M gehenden Schnitt, so hat man

und folglich

S=2P

2Pfæ +

---+P’h

2 tang or J

(3)

Tx =

Ti = —

*%p",

h

(4)

T₃ = -Ti

2 sin a

(5)

Wenn man ferner 72 die Quersehnittsfläche nennt, welche die Stäbe mit den Spannungen Tl und 7\ haben, so sind die Spannungen dieser Stäbe per Flächeneinheit durch

und

7] _ M    P"

72    72h    72

M P"

72

72 h 72

gegeben; da das Trägheitsmoment der aus den beiden Stabquerschnitten zusammen gesetzten Figur

1=0-

ist, so wird aus obigen Gleichungen

M-

10 US

2    2P"

(6)

loU^s

20, ’

d. h. diese Gleichungen sind denjenigen vollkommen ähnlich, welche man für die Vertheilung der Normalkräfte in continuirlichen Trägern erhält.

Andererseits ist die Summe der Normalcomponenten der beiden Spannungen und 1\

T₃) sin a = S.

Auf Grund dieser Resultate kann man, wenn auch etwas ungenau, sagen, dass in den oben betrachteten Gitterträgern die horizontalen Stäbe dem Biegungsmomente und dem Normaldrucke widerstehen, während die Querstäbe die Schubkraft aufnehmen.

3. Zweiter Fall eines gegliederten Gitterträgers. — Bei dem

in Figur 18 dargestellten Träger seien die Stäbe DE, E F, F G etc. CH, HK etc. untereinander und mit den Querstäben mittelst Charnieren

!r

-ft

-30-

->V

Fig. 18.

kräfte

verbunden. Denkt man sich in den Punkten A und B die Vertical-2 P

— und in den beiden anderen Punkten L und N die Yertical-o

kräfte — wirkend, so ist die Summe der am Ende des Trägers wirkenden Verticalkräfte gleich 2 P.

Ferner wird angenommen, dass in den Punkten A und B zwei Horizontalkräfte P" — P' und P" -f- P in der Richtung von A nach D und von B nach C wirken.

Wenn man jede der vier am Ende des Trägers in den Punkten A, L, N, B wirkenden Kräfte in Componenten zerlegt, und zwar nach den Richtungen der beiden in dem jeweiligen Angriffspunkte zusammenkommenden Stäbe, so sieht man, dass die von den Punkten A, L, N ausgehenden und zu C G parallelen Gitterstäbe einer Pressung gleich

unterworfen sind, während die von den Punkten L, N, B aus-

6 sin a

gehenden und zn DI parallelen Gitterstäbe eine Spannung erleiden, welche

der Pressung der drei anderen numerisch gleich ist, d. h.

2 P 6 sin a

Betrachtet man andererseits die zwei in einem beliebigen Punkte, z. B. G, zusammenkommenden Gitterstäbe, so erkennt man auf Grund der gleichen Schlüsse, wie sie in der vorhergehenden Nummer gemacht wurden, dass die Summe der Verticalcomponenten der Spannungen dieser Stäbe gleich Null ist; hieraus folgt, dass einer dieser Stäbe gedrückt, der andere hingegen gezogen wird, dass aber diese beiden Kräfte einander numerisch gleich sind. Es sind also alle zu CG parallelen Stäbe

einer Pressung gleich

6 sin a

und alle zu DI parallelen einer Spannung

ebenfalls gleich

unterworfen.

6 sin a

Denkt man sich nun den Träger nach R U geschnitten, so muss offenbar der rechts vom Schnitte gelegene Tlieil desselben im Gleichgewichte bleiben, sobald man in den durchschnittenen Stäben Spannungen oder Pressungen wirken lässt, welche den früher im System herrschenden gleich sind. Die Summe der Verticalcomponenten dieser sechs Kräfte ist genau 2 P und die Summe der Horizontalcomponenten gleich Null. Es wird also der ersten von den drei für das Gleichgewicht des Stückes

AR UB zu erfüllenden Gleichungen, und zwar derjenigen, welche ausdrückt, dass die Summe der Verticalcomponenten aller Kräfte gleich Null ist, vollkommen entsprochen; die zweite, welche ausdrückt, dass die Summe der Horizontalkräfte Null ist, wird einfach

r₁ + r₂ + 2P" = O;

die dritte, als Bedingung, dass die Summe der Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt, z. B. V, gleich Null ist, wird

oder

(Tx-tĄ

— 2Px — P'h = 0,

Ti-T,

indem man M das Biegungsmoment 2 P x + P' h nennt. Aus diesen zwei Gleichungen erhält man die Formeln

Ah

ha

ha

welche identisch sind mit den für den zuerst betrachteten Gitterträger gefundenen Formeln, und welche auch zu dem gleichen Schlüsse führen, dass die horizontalen Stäbe dem Biegungsmomente und dem Normaldrucke icider stehen, während die Gitter Stäbe die Schubkraft auf nehmen.

4. Dritter Fall eines gegliederten Gitterträgers. — In beiden früheren Fällen haben die gewöhnlichen Gleichungen der Statik genügt, um die Kräfte in den einzelnen Gliedern der Gitterträger vollkommen zu bestimmen, ohne dass man genöthigt gewesen wäre, deren Elasticität in Berücksichtigung ziehen zu müssen.

Nunmehr ist ein anderer Fall zu betrachten, in welchem die Anzahl der Stäbe grösser ist als diejenige, welche gerade nothwendig wäre, um das System unveränderlich zu machen, d. h. in welchem die Zahl der unbekannten Spannungen grösser ist als die Zahl der durch die Statik starrer Körper gegebenen Gleichungen.

Man denke sich also einen Träger, wie er in Nummer 2 betrachtet wurde, welchem aber noch verticale Stäbe oder kurz Verticale beigefügt wurden, wie dies aus nebenstehender Figur zu ersehen ist.

2L&

.1

Kp"

T,

p+p"

fr

Fig. 19.

Ferner nehme man an, dass am Ende A B dieselben Kräfte wirken wie im ersten Falle, und dass nach dem Durchschneiden des Trägers in der Richtung IL die in den durchschnittenen Stäben effectiv thätigen Spannungen durch die Kräfte Tif J\, P₃, Tx ersetzt worden sind. Für das Gleichgewicht des rechts von IL gelegenen Theiles des Trägers hat man die drei Gleichungen (1) des ersten Falles, aus welchen man bei Berücksichtigung des Werthes (3) für das Biegungsmoment AI folgende Gleichungen erhält :

AI

tang a

T₂ — — P₄ cos a

AI

tang a

(7)

sin a

Wenn aber die Verticalen absolut starre Stäbe wären, d. h. wenn dieselben unfähig wären, sich unter der Einwirkung der Kräfte, welchen sie unterworfen sind, zu verlängern oder zu verkürzen, so ist offenbar deren Deformationsarbeit gleich Null. Nennt man

Q die Querschnittsfläche, l die Länge und E den Elasticitätscoeffi-cienten der horizontalen Stäbe, welche die Spannungen Tv und 1\ haben ;

_Ql die Querschnittsfläche, lv die Länge und E{ den Elasticitäts-coëfficienten der Gitterstäbe mit den Spannungen Tz und Tx ;

so hat man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Trägers die Formel

ÎS(

T\

T\ T\

T 2₄

«1

in welcher zur Vereinfachung

PE

= c und

gesetzt wurde.

Mit Hilfe der drei Gleichungen (7) kann man aus dem Ausdrucke für die Deformationsarbeit die Spannungen 7j, Tly 'J\ eliminiren, so dass dieselbe eine Function der alleinigen Spannungen der zu DG parallelen Stäbe wird. Um diese letzteren Spannungen zu erhalten, muss man, zufolge dem Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit, die Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit Bezug auf diese Spannungen gleich Null setzen. Der Ausdruck

T\ + T\

T\ + T\

2s

2«.

wird nach der Elimination von T{, 1\, T₃ nur die Unbekannte enthalten und jedes ähnliche Glied wird sich auf eine Function bringen lassen, welche nur die Spannung eines einzigen der zu DG parallelen Stäbe enthalten wird. Es ergibt dies also die Gleichung

rA

d T,

d Tf

dTa

d Tx

d Tx

«i

und mit Berücksichtigung, dass

dTx_d T,

d ï\ — Jtą

= -— cos a und

dl\

dT\

erhält man

T,) cos a

T, + T,

= 0.

(8)

Diese Gleichung gibt mit den drei oben angeführten die zur Bestimmung der vier Unbekannten nothwendige Anzahl von Gleichungen. Man erhält somit

P”-

cos² « -f- — G

T₂ =

ts = -

sin «

P" -

*i

cos² « 4- —

«i

(9)

P " cos a

cos² « -j-

T± =

P" cos «

sin «

cos²« -f-

I üj'

Der Vergleich dieser Formeln mit den für den ersten Fall gefundenen führt zu dem Resultate, dass die Anwesenheit der vollkommen starren Verticalen die Pressung aller horizontalen Stäbe um

P"cos²«

cos² « -f- —

«i

und die Spannung aller Gitterstäbe um

P"cos«

verringert.

Wenn man Th die Spannung in einer Verticalen nennt, und wenn man das Gleichgewicht zwischen den Spannungen für einen beliebigen Punkt ausdrückt, so hat man unter anderen die Gleichung

(P₃ + P₄) sin « + P₅ = 0, 2 P"sin« cos a

cos²« -f- —

G

Dies ist die Spannung in jeder Verticalen.

und folglich

T,=

Man sieht daraus, dass, wenn das Ende des Trägers nur durch die Kraft 2 P und das Kräftepaar (Pr, — P') beansprucht würde, d. h. wrenn P" Null wäre, auch die Spannung der Yerticalen Null sein würde, und dass die horizontalen Stäbe eben so wie die Gitterstäbe genau dieselben Spannungen haben würden, als wenn die Yerticalen nicht vorhanden wären.

5. Gewöhnliche Gitterträger. — Dies sind Träger mit continnir-lichen Gurten, bei welchen die Stäbe mit denselben nicht mittelst Char-nieren, sondern mittelst Nieten verbunden sind.

Xi

z/~

Fig. 20.

Wenn die Gurten und die Stäbe genügend klein sind, wie dies am häufigsten der Fall ist, so werden dieselben auch sehr kleine Trägheitsmomente haben im Verhältnisse zu dem Trägheitsmomente der aus den Querschnittsflächen der beiden Gurten zusammengesetzten Figur, so dass man sich von der Wahrheit sehr wenig entfernen wird, wenn man annimmt, dass das Trägheitsmoment jedes Stabes und jeder Gurte Null sei; man kann also den Träger als einen gegliederten betrachten und kommt hierbei auf die oben betrachteten Fälle zurück.

Man muss also annehmen, dass sich die beiden Gurten auf zwei Serien von Stäben reduciren, welche sich auf zwei horizontalen Linien gruppiren, und muss daher zuerst die Entfernung dieser beiden Linien berechnen, d. h. die Höhe des theoretischen Trägers, welcher an Stelle des gegebenen gedacht wird.

Aus Analogie mit dem für die vollen Träger Gefundenen kann man an nehmen, dass in den Gurten der Normaldruck pxx von einem Punkte zu dem anderen variabel ist, und zwar variabel nach einer linearen Function der Entfernung des betrachteten Punkte,? von der Biegungsachse. Nennt man für einen Querschnitt

P die Normalpressung,

M das Biegungsmoment,

S die Schubkraft,

ß die Fläche und I das Trägheitsmoment der durch die Querschnitte der beiden Gurten gebildeten Figur,

^ die Entfernung eines Punktes des Querschnittes von der Biegungsachse.

so kann man annehmen, dass

jst

(las ist dieselbe Formel, wie sie sich für die vollen Träger ergeben hat.

Diese Formel zeigt, dass auch nach der Deformation die Querschnitte des Trägers eben und auf dessen Achse senkrecht bleiben.

Dies Alles vorausgeschickt, betrachten wir nun das System der parallelen Kräfte r>xx, welche in allen Punkten eines Gurtquerschnittes wirken; der Mittelpunkt dieses Systems wird in der Entfernung

2(

*)

Z d (0

(ß

4-

•)

d co

von der Biegungsachse sein, wobei die Summen S} auf den ganzen Querschnitt einer Gurte auszudehnen sind.

Man hat aber

2?

macht man nun

2j z,dw = 2;

(12)

z d io = G

und multiplicirt die vorhergehende Formel mit 2, so erhält man als Ausdruck für die Entfernung der Mittelpunkte die Formel

1/

- G+ —

Wenn keine Normalpressung vorhanden ist, gibt diese Formel

(15)

Das letzte Resultat gibt die Entfernung der Schwerpunkte der Querschnitte der beiden Gurtungen.

Andererseits lässt sich erkennen, dass das erste Resultat — immer , dass es aber kleiner ist als die effective Höhe

grösser sein muss als

des Trägers. Da die Gurten einen T-förmigen Querschnitt haben, dif-ferirt die Entfernung der beiden Schwerpunkte sehr wenig von der ganzen Höhe des Trägers, woraus folgt, dass die oben erhaltenen Wertlie für h annäherungsweise als gleich betrachtet werden können, und dass man

Ji =

sein mag.

(14)

wenn hingegen das Biegungsmoment gleich Null ist, erhält man

nehmen kann, wie auch der Werth des Verhältnisses

Nachdem die Gitterstäbe im Allgemeinen mit einander Rhomben bilden, nennen wir

d die auf die Achse des Trägers senkrechte Diagonale, d' die zu dieser Achse parallele Diagonale,

a den Winkel, welchen die Stäbe mit der Achse des Trägers ein-schliessen.

Man sieht wohl leicht ein, dass die Bedingungen des Widerstandes des Trägers sehr wenig geändert werden, wenn man auch für dieses System von Gitterstäben ein anderes setzt, dessen Stäbe zu den ersteren parallel sind, aber untereinander eine grössere oder kleinere Entfernung haben; vorausgesetzt, dass deren Querschnittsfläche im Verhältnisse zu derjenigen des ersten Systems umgekehrt proportional ist zu der Entfernung der Stäbe, so dass das Volumen aller Gitterstäbe constant bleibt.

Unter dieser Voraussetzung kann man die theoretische Höhe des Trägers durch die Diagonale d dividiren und erhält als Quotient eine ganze

Zahl n und einen Bruch i. Substituirt man nun für dieses System von Gitterstäben ein anderes, dessen Diagonalen

n -f- i

und d'

dn-±±

genau w-mal in der

sind, so ist offenbar die neue Diagonale d

theoretischen Höhe h enthalten, so dass in dem zweiten System die Stäbe je zwei und zwei im selben Punkte mit den die Gurten darstellenden geraden Linien verbunden werden können. Man gelangt auf diese Weise zu einem gegliederten Gitterträger, ähnlich jenem, welcher in Nummer 3 betrachtet wurde. Die Spannung der Stäbe des zweiten Systems beträgt

2 n sin a

Da die für den Träger wirklich verwendeten Stäbe näher an einander stehen als diejenigen des angenommenen Systems, und zwar im

Verhältnisse von

TI

---, so folgt daraus, dass deren Spannung

n —f— i

ist; nun ist aber

2 n sin a

n -j- i

2 (n -f- i) sin a

d Gr

und

sin a =

Y d² + d'i ;

weshalb die Spannung in den Gitterstäben des betrachteten Trägers schliesslich durch die Formel

(16)

G x/ SYd*-Gd'i — X ~

gegeben ist.

Nennt man oj die Querschnittsfläche der Stäbe, so ist deren Spannung per Quadratmeter gegeben durch

G SY d-^d'-i

~z X

6. Deformationsarbeit der Gitterträger. — Die Deformationsarbeit der Gitterträger setzt sich aus zwei Theilen zusammen und zwar aus derjenigen der Gurten und derjenigen der Stäbe.

Für eine unendlich kleine Schichte mit der Dicke d s wird erstere durch die Formel

pE dy clz

2 Em

ausgedrückt, wobei das Doppelintegral für die ganze Fläche der beiden Gurten genommen werden muss. Setzt man für pxx dessen Werth

MC!

— z,

so erhält man wie für den vollen Träger

d s rP¹ Jim

¥je ⁺ ~T J

Um die Deformationsarbeit der Gitterstäbe in einer allgemeinen Weise auszudrücken, nimmt man für deren Länge die theoretische Länge

sin a

nennt man sodann T die Spannung eines Stabes, w dessen Querschnittsfläche, E' dessen Elasticitätscoefficienten, so wird offenbar dessen Deformationsarbeit ausgedrückt werden durch die Formel

rp₂ h

sin a

2E'o, ’

y 2 ^ sina

und nachdem in jeder Länge des Trägers, welche gleich ist der horizontalen Diagonale d’, es zwei Stab längen gibt, so folgt daraus, dass für jede Längeneinheit des Trägers die Deformationsarbeit der Gitterstäbe gegeben ist durch

1    2 T² h

2 Ew

2E'co d'sina

Früher wurde gefunden, dass

T G    Sf d*-\- d' 2

¹ — T X

sin a =

-fd-t + d’*

es erhält somit obiger Ausdruck folgende Form:

S² G (d* + d'²) |

2E'wX I 2dd'

Macht inan

= 4,

G (d- + d'²) f I 2dd’

so hat man, um die Deformationsarbeit der Gitterstäbe in der Länge d s des Trägers auszudrücken, die Formel

(0

2 JET

und die Deformationsarbeit der unendlich kleinen Schichte des Trägers von der Dicke d s wird ausgedrückt durch die Formel

ds

(18)

0)

ds fP² ₍ M2 YeXJÄ ” J ' 2E'

Sind die Gitterstäbe im Winkel von 45° gegen die Achse des Trägers geneigt, so werden die beiden Diagonalen d und d' einander gleich, und es wird der Coefficient

df 2.

Die Formeln für die Gitterträger wurden unter der Voraussetzung entwickelt, dass ein derartiger Träger nur durch Kräfte, welche an seinem Paule wirken, beansprucht werde, und dass alle Gitterstäbe derselben Spannung unterworfen sind. Aber ebenso Avie für die vollen Träger können die in diesem speciellen Falle erhaltenen Formeln auf alle Gitterträger angewendet werden, in welcher Weise die Kräfte auf dieselben auch wirken mögen.

Man kann annehmen, dass sich die Spannung eines Gitterstabes zwischen zwei Punkten nur dann ändert, wenn derselbe in diesem Intervalle mit einem anderen Stabe vernietet ist; in gleicher Weise muss die Grösse und Vertheilung der Normalkräfte für alle Querschnitte einer Gurte zwischen zwei aufeinander folgenden Verbindungspunkten mit den Stäben als gleichbleibend betrachtet werden. Indess kann man die Normalkräfte in den Gurten als in continuirlicher Weise veränderlich ansehen, wenn die Diagonalen der Gitterfelder nur ein kleiner Th eil der Höhe

des Trägers sind und diese Höhe wieder sehr klein ist im Verhältnisse zur Länge. Bezüglich der Gitterstäbe denke man sich den Träger derart getheilt, dass jeder Tlieil die Länge der horizontalen Diagonalen der Rhomben hat, und zwar mit Hilfe von senkrechten Schnitten, welche durch die Verbindungspunkte der Stäbe mit den Gurten gehen, und betrachte die Spannung aller in jedem dieser Abschnitte liegenden Stabstücke als constant. Bei Anwendung der Formel

co

'2 K

findet man, sobald man dieselbe für die ganze Länge des Trägers integrirt, beinahe dasselbe Resultat, indem die Schubkraft S als in continuirlicher Weise variabel angenommen wird.

Es bleibt noch zu erwähnen, dass die Formel (18) von derjenigen (14) des vorhergehenden Capitels, welche sich auf volle Träger bezieht, nur dadurch unterschieden ist, dass der Coefficient -F der tangentialen Elasticität mit dem Coëfficienten E' der normalen Elasticität der Gitterstäbe vertauscht wurde, und dass die Querschnittsfläche des einen Stabes für die Querschnittsfläche des Trägers gesetzt wurde. In den folgenden Capiteln werden wir immer von den Formeln, welche sich auf die vollen Träger beziehen, Gebrauch machen, wohl mit der Ueberzeugung, dass alle noch zu findenden Resultate auch auf die Gitterträger anwendbar sind, sobald man die oben angegebenen Verwechslungen vornimmt.

6. Capitel.

Formeln für die Deformationsarbeit fester Körper,

1. Deformationsarbeit eines Fadens oder eines an seinen Enden gegliederten prismatischen Stahes. — Nennt man l die Länge eines Fadens oder Stabes, to die Querschnittsfläche,

E den Elasticitätscoefficienten in der Längsrichtung,

T die Spannung,

so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit die Formel

(1)

1    TH

2    E io

2. Deformationsarbeit eines Stabes, welcher seiner ganzen Länge nach gleichmässig belastet wird, und dessen Enden in

beliebiger Weise befestigt

c^F° sind. — Es sei ABC die Achse des Prismas, welches durch folgende Kräfte beansprucht wird:

Fig. 21.

In dem Querschnitte C durch Normal- und durch Tangentialkräfte, welche eine Nor-malpressung P₀, eine Schubkraft S₀ in der Richtung einer Trägheitshauptachse des Querschnittes und ein Biegungsmoment M₀ in Bezug auf die andere Hauptachse geben;

in der ganzen Länge durch eine in der durch die Achse des Prismas und durch die Richtung der Kraft S₀ bestimmten Ebene liegende, gleichmässig vertheilte Kraft, von welcher der auf eine Längeneinheit wirkende Tlieil eine zur Achse des Prismas senkrechte Componente i\ und eine von C- nach A in der Richtung dieser Achse thätige Com-ponente _p₂ gibt;

in dem Querschnitte A durch Normal- und Tangentialkräfte, welche eine Normalpressung P₂, eine Schubkraft S₂ und ein Moment M₂ geben.

Für einen Querschnitt im Punkte I) in der Entfernung x von dem Ende C drückt man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft mit Hilfe der folgenden Formeln aus:

M =r M₀ -P S₀ x -f-1 pt x¹,

P=PQ + j?₂ X,

S /Sy —)—    X.

Nennt man nun 2 l die Länge des Prismas,

Q und I die Fläche und das Trägheitsmoment des Querschnittes, E den Elasticitätscoefficienten in der Längsrichtung,

F den Elasticitätscoefficienten in der Querrichtung, so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Prismas die Formel

2E Ij o

P¹ d x -f-

S'² d x.

Man könnte nun für M, P, S jene Werthe in Functionen von x, welche oben gegeben wurden, einsetzen und die Integrationen ausführen. Es ist aber vortheilhafter, zuerst zu beachten, dass, wenn man in dem Ausdrucke für M x — 21 setzt, man M₂ erhält, d. h.

M₂ = Mö -]- 2 l /S₀ -f- 2 V¹ ;

aus dem Ausdrucke für M₂ und demjenigen von M kann man /S₀ eliminiren und erhält

M= A/y +

M₂~M₀

21

Pi x + \pi *²-

(2)

Beachtet man ferner, dass

P₂ - Py -f- 2 j) ₂ l,

$1 ⁼    %Pl b

188 —

so erhält man zur Berechnung der Deformationsarbeit des Stabes bei Anwendung der Gleichung (2) nach durchgeführter Integration die Formel 21 rM\ -f- M{) M₂ + M\

2JÜ l

21 r P\ + P\

2EQ [    2

fpV*) +

2Al    2

2F£2 [    2

(3)

Dieser Formel kann man auch eine andere Form geben, wenn man das Biegungsmoment Mv die Normalpressung Pt und die Schubkraft SL bezüglich des mittleren Querschnittés des Stabes in dieselbe einführt; denn, wenn man in den allgemeinen Ausdrücken für M, P, S x = l macht, so erhält man

-2P,P’

+ V i h

Sl = S₀ Pi l-

Aus der ersten dieser Formeln ergibt sich

M\ + 2M₀Mi + M>₂l42(Mt + M₂)Pt P+Ai P = 4M\

oder, indem man M\ + M\--p\ P hinzu addirt und sodann durch 3

dividirt,    ^

12 + 1A pj ₌

M\+AM\+M\    1

15

Aus der zweiten Formel erhält man

P², — P²₀ + 2 Pl)p.₁l + p\ P, und da der Ausdruck P₂ = P₀ + 2 p₂1

P\ = P\ + 4 P₀ p₂ l + 4p²₂ P

ergibt, so folgt daraus

oder

P\ — 2 P\ = — P\ + 2p\ P, 2 (P²o + P\)    ^P\ P — 4P²i ;

durch Hinzufügen von P\ -f- P\ beiderseits der Gleichung und nacli-herige Division durch 3 findet man

g|-n+n

Aus der dritten Formel erhält man m gleicher Weise

S\

CM CO

p\ A

Auf Grund dieser Transformationen kann die Formel (3) in nachfolgender Form gegeben werden:

M\ H~ 4 M\ -f- M\

4-

2EI

l P\ + ±P\+P\

15

Al S\ + 4/S'2j 4-S\

2F Q

2EQ

3. Allgemeine Betrachtung. — Nachdem man bei Anwendung der Formeln, welche die Deformationsarbeit fester Körper ausdrücken, jederzeit die Differentialquotienten dieser Ausdrücke mit Bezug auf die in gegebenen Funkten wirkenden Kräfte oder die in gegebenen Querschnitten statthabenden Biegungsmomente zu nehmen hat, so kommen diese unbekannten Kräfte und Momente offenbar nur in den Ausdrücken für Mq, AL, ; P₍₎, P[: P₂ • SQ, S₂ vor; man kann also die in dem Ausdrucke für die Deformationsarbeit enthaltenen Glieder, welche von diesen Grössen unabhängig sind und bei der Differentiation nothwendiger-weise verschwinden müssen, aus diesem Ausdrucke weglassen, und die Formeln (3) und (4) können somit in folgender Form geschrieben werden:

21 CM\ + l/₀ M₂ + M\ M₀ + M₂

2EI

2EQ

{P\ + P\) +

Al

Pi )

(5)

2FQ

M\ + ±M\ + M\

l P\+AP\+P\

2EI

2EQ

Al S\-\-4S\A-S⁷2

(6)

2FL1

4. Deformationsarbeit eines festen Körpers mit constantem Querschnitte, welcher an seinen Enden in beliebiger Weise befestigt ist, und welcher durch ein längs seiner Achse gleich-massig vertheiltes Gewicht belastet wird, in dem Falle, als diese Achse ein Bogenstück ist, welches im Verhältnisse zur

Sehne eine sehr kleine Pfeilliöhe hat. — Es sei in nebenstehender Figur A B C die in einer Verticalebene gelegene Achse des festen Körpers

und a der Winkel, welchen die ,c Sehne A C mit der Horizontalen einsehliesst; ferner denke man sich folgende Kräfte auf den festen Körper wirkend, und zwar:

n'/

Fig. 22.

1. Im Querschnitte A Kräfte, welche zwei Resultirende Q₀ und R₍₎ geben, deren eine nach der Sehne und deren andere nach der

in der Ebene des Bogens auf die Sehne gezogene Senkrechte gerichtet ist; diese Kräfte geben ausserdem noch ein in derselben Ebene gelegenes Kräftepaar, dessen Moment i¥₀ ist;

2.    auf die ganze Länge der Achse ein gleichmässig vertheiltes Gewicht, und zwar in der Grösse von p Kilogramm per Längeneinheit;

3.    schliesslich in dein Querschnitte C Kräfte, welche zwei im Mittelpunkte wirkende Resultirende Q, und R₂, sowie ein Kräftepaar geben, dessen Moment i¥₂ ist.

Man hat nun das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft, welche in einem beliebigen Querschnitte des festen Körpers stattfinden, auszudrücken.

Nimmt man A als Anfangspunkt der Coordinaten, die Sehne A C als sc-A dise und deren Senkrechte als ?/-Achse, so erhält man, indem man R den Halbmesser nennt,

als Gleichung der Curve; da aber die Pfeilhöhe im Verhältnisse zur Sehne sehr klein ist, so wird diese auch im Verhältnisse zum Halbmesser sehr klein sein; man kann also die Wurzel der obigen Gleichung in einer sehr convergirenden Reihe entwickeln und sich mit den ersten zwei Gliedern dieser Reihe begnügen; dies gibt

und folglich

f ri — (i — xy = r —

2R

P = Q₍₎ cos ß + R₀ sin ß — p s . sin (a + ß), S = Qq sin ß — R₀ cos ß + p s . cos (a + ß).

Nachdem ß der AVinkel ist, welchen die Normale auf die Körperachse im Punkte E mit der ^/-Achse bildet, so hat man

tang ß =

y=f

(i-xy

2R

Substituirt man für 2 R dessen Werth

und vernachlässigt

man f² in Berücksichtigung’ von l², so erhält man

y = — (21 x — x'²).

(?)

Um das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für den Querschnitt in E zu finden, nenne man s die Länge des Bogens AE und ß den Winkel, welchen der betrachtete Querschnitt mit dem correspondirenden Querschnitte im Mittelpunkte B bildet.

Das Bogenelement n n = ds ist durch das Gewicht p d & belastet, welches man in zwei (Komponenten zerlegen kann, deren eine p d s cos a senkrecht auf die Sehne A C, deren andere p d s sin a nach dieser Sehne gerichtet ist. Diese zwei Componenten kann man auch mit pl ds' und p₂ d s' bezeichnen, wenn man zur Vereinfachung

p sin« = p2-

macht.

p cos a = Pi,

Um also für den Querschnitt in E die gesuchten Grössen auszu-drücken, hat man, wenn man x und y die Coordinaten des Punktes n nennt, folgende Formeln:    ,

M = Mü -)- Q₀ y

Rq x —(—

rx    f“x

Pi (x — x)ds — | p₂(y

Jo    Jo

— y)d s',

dy 2/(7 — x)

l²

und da die Pfeilhöhe / im Verhältnisse zu l sehr klein ist, wird die Grösse tang ß überall sehr klein sein, und man kann daher deren Quadrat in Bezug auf die Einheit vernachlässigen. Statt

ds = dxp\ -]r tang²ß, sinß =

tang ß

Y1 + tang² ß

COS 7 =

Y i -j- tang²/?

cos (« + /?) = cos « cos ß — sin a sin ß = cos a

sin a,

kann man annäherungsweise d s = d x,

nehmen und folglich

sin («-}-/?) = sin a cos ß

S = X,

sin ß —

cos ß —1

cos a sin ß = sin a -j-

²f(J

cos«,

j pl (x — x')ds'=pjj

Jo    Jo

j llh (y

X(x-x)dx= ae*

y')ds' = p₂jX(y — y) dx'=&£^

l x¹

Die Ausdrücke für M, P, S werden somit

2/

21— il/₀ -j- Qo — ²²

0-⁺(-¥⁺î-t)-

²Pif

3 z²

Qß 3

P==

(^o

2/Ą,

Pi

2/i>,

²/Pi

(8)

.)+(

²fp

-1 X -f-    X².

I p

Da sich leicht erkennen lässt, dass für x = 0 P = P₀ und S = Si} werden muss, so folgt daraus, dass

Po — Qo H—v~ P

0;

$0 =

2/

Q₀ Po •

Die drei Formeln (8) können daher auch in folgender Form aufgestellt werden :

M— M₀

= A x B x²,

3 P

P— P₀ = Av x -f- B{ x², B₂ x²-

(9)

S - Sy — A₂ X

hiebei sind durch A, B; Al, B{; A₂, B₂ die Coëfficienten von x und von x¹ in den Formeln (8) gegeben. Wenn man nun Mv das Biegungsmoment, P, die Normalpressung und Sl die Schubkraft für den mittleren Querschnitt nennt, so geben die obigen Gleichungen M = M{, P=P,, S — SL für x = l, aber ebenso M — M₂₎ P = P,, S = S₂ für x — 21]

aus den Gleichungen (9) und jenen, welche man aus ihnen ableitet, indem man x = l und x — 2l macht, lassen sich die Coëfficienten von x und x² eliminiren, und man findet sodann

Ix — x²

_l_    (3,3 — 3lx² -\-2P x),

21 x — x²

2P

P = P₀ + (P₁-P₀)

21 x — x²

— (P2 — Po)

Ix — x²

S=S₀ + (Sl-S₀)

21 x — x²

-(S₂-S₀)

2P ’

Ix-X²

Die Deformationsarbeit des ganzen festen Körpers wird, indem man immer d s = dx und s = x nimmt, ausgedrückt durch die Formel

r21    , A CU

I P² dx-{--I

2ES2J o    2FS2J o

1_P21 2EIJ o

Substituirt man hierin für M, P, S die oben erhaltenen Werthe und führt die Integration aus, so ergibt sich

M²dx-{~

S² dx.

2EI

64_p²₂ fl P

4o

P\ + 4P², + P\    (Po - 2PA + P₂)²

15

945

2EQ

15

(10)

+ 4^²i +    (S₀ - 2Si + Ą)

15

^ 2FQ

Diese Formel lässt sich aber bei Berücksichtigung der in Nummer 3 gemachten allgemeinen Bemerkungen wesentlich vereinfachen; man hat in der That

P\ — Po — l + P\

P₂ — P₀ = 2A[ Z + 4PX P-wenn man von der zweiten Gleichung die mit 2 multiplicirte erste Gleichung ahzieht, so erhält man

und, bei Beachtung, dass

Po — 2 Pi + P₂ = 2 Pj P,

2/

= — p,,

P

P₀-2P₁₊P₂ = 4/B;

dies zeigt, dass die Grösse P₀ — 2 P, —P₂ nur von der Last abhängig ist.

In gleicher Weise erhält man

S₀ 2 Si S₂ = 4 f p₂.

Vernachlässigt man also diejenigen Ausdrücke, welche von den Biegungsmomenten M₀, Mu M₂, von den Normalpressungen Pc, P,, P2 und von den Schubkräften S₀, Slf S₂ unabhängig sind, so ergibt sich für den oben betrachteten Ausdruck für die Deformationsarbeit des festen Körpers folgende Form:

J_rM\+±M\+M\    (.M₀-2M{ +AT₂)2    $p₂lf(M₂—M₀)

15

45

(H)

2 EI L

l P²₀H-4P2,+P2₂ Al +

2EH

2 FH

Da die Pfeilhölle im Verhältnisse zur Sehne als sehr klein vorausgesetzt wurde, wird auch der Ausdruck

8 P-2 lf (M₂ — M₀)

45

welcher diese Pfeilhöhe als Factor enthält, sehr klein sein im Verhältnisse zu dem Ausdrucke

M\ + 4 AP, -f- M\

welcher nur Werthe enthält, die von / unabhängig sind, wie dies aus der ersten Formel (8) resultirt.

Dasselbe gilt für den Ausdruck

+M₂y

15

denn man hat

à

M₂ — M₀ —

~p₂lf=2Al + 4BP,

O

und erhält daraus, indem man die erste Gleichung mit 2 multiplicirt und sodann von der zweiten abzieht,

der letzte Ausdruck der rechten Seite der Gleichung kann vernachlässigt werden, da er von Q₀ unabhängig ist; auch die beiden anderen rechtsseitigen Ausdrücke sind sehr klein, da sie die im Verhältnisse zur Sehne sehr kleine Pfeilhöhe / enthalten.

In der Formel (11) kann man in vielen Fällen das Binom

(M₀ - 2 Mx + M,)² Zp₂lf(M₂- M₀)

15

M₀ — 2Mi + M₂ — 4_p₂ If — 2 B P 1 0

— 2M{ -f- M₂ = — 2 Q₀f -f-B Z² -f- 2j9₂ ^/j

und, wenn man für B dessen Werth —

B/

setzt,

folglich ist

« — 2 Jfi -f- df₂)² = 4 Q²₀ /²    4 Q₀/(jPj. Z² -f- 2j9₂ Z/) -f- Z² -f- 2p₂ ^/)² ;

45

vernachlässigen, so dass man statt derselben die folgende Formel erhält: Z    l P2n + 4p2i+p2₂ Al £²₀ + 4£²t + £²₂

2 EI

2ES2

2 Fi2

• (12)

¹

² dx -j-

Dies ist jene Gleichung, von welcher wir bei den Anwendungen im Allgemeinen Gebrauch machen werden.

5. Deformationsarbeit eines festen Körpers mit constantem Querschnitte, wenn derselbe in seiner ganzen Länge nach einem continuirlichen Gesetze belastet wird, und wenn dessen Achse eine beliebige ebene Curve ist. — Zuerst theile man die Achse des festen Körpers in eine gerade Anzahl genügend kleiner, gleicher Theile, so dass jedes Stück des Körpers, welches zwei aufeinander folgende Theile der Achse enthält, eine im Verhältnisse zur Länge sehr kleine Pfeilhöhe hat und welches als gleichmässig belastet betrachtet werden kann.

Bezeichnet man nun mit 0, 1, 2, 3, . . ., n die den Theilungs-punkten entsprechenden Querschnitte und nennt man

Z die Länge der Theile 0, 1; 1, 2; 2, 3; . . . der Achse,

Q die Querschnittsfläche,

I deren Trägheitsmoment,

E und F die Elasticitätscoefficienten in der Längs- und in der Querrichtung,

l M\ + 4 A/2, + 2M\ + 4AA, + ... + ±M\_, -f- M\ 2EI

l P2o + 4p2i

(13)

2P\ + 4P²₃ + ... + 4P2„_, + P 2n

2ES2

A Z S²₀ -j- 4S²t -j- 2 /S²2 -j- 4 S²₃ -f- . .. -f- 4S²n_₁ -f- £²n

2 P/2

Die Deformationsarbeit eines beliebigen

6. Deformationsarbeit eines festen Körpers mit variablem Querschnitte, wenn derselbe in seiner ganzen Länge nach einem continuirlichen Glesetze belastet wird, und wenn dessen Achse eine beliebige Curve ist.

festen Körpers, welcher aber den in Nummer 11 des 4. Capitels angeführten Bedingungen entspricht, wird durch die Formel

2FJ n

M₀, Mlf Mv . .

Querschnitten 0, 1, 2, . .

Po, P\> Pï> • • •) P*

$0, S„ ^2; • •

so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des Körpers folgende Formel, welche sich daraus ergibt, dass die Formel (12) successive auf die Stücke 0, 2; 2, 4; 4; 6; . . . angewendet wird.

Ma

-i?

Mn die Biegungsmomente, welche den

— i;

n — 1, n entsprechen,

Pn die Normalpressungen,

Sn_,, Sn die correspondirenden Schubkräfte,

E[«la, + E[E1

2EJ I 2EJQ

ausgedrückt, wobei die Integrale für die ganze Länge des festen Körpers genommen werden müssen.

Beschreibt man eine Curve, welche als Abscissen die Werthe des

M²

• Bogens s und als Ordinaten die correspondirenden Werthe von —y~ hat,

so wird offenbar die zwischen dieser Curve, der Abscissenachse und den äussersten Ordinaten enthaltene Fläche durch das Integral

1/2

repräsentirt werden.

Zufolge der Simpson’schen Formel kann man diese Fläche annäherungsweise auch in folgender Weise ausdrücken: man theilt den

zwischen den äussersten Ordinaten gelegenen Theil der Abscissenachse in eine gerade Anzahl n Theile, nennt l die Länge jedes Theiles, y₀, V\> 2/2; • • •; 2/i die den Theilungspunkten entsprechenden Ordinaten und erhält sodann als Ausdruck für die gesuchte Fläche die Formel

— (2/0 +    + 2 2/2 -f- 4y-i + • • • + ^yn-i + 2/0-

o

Tlieilt man die Achse des festen Körpers in n gleiche Theile und nennt für die den Theilungspunkten entsprechenden Querschnitte

M0f Mlf M2f . . Mn die Biegungsmomente,

Pn die Kormalpressungen,

A ; A ; ^2 ; • •

S₀,    , $2; • • •; die Schubkräfte,

I{), I{, I2} . . ., Ia die Trägheitsmomente,

12₀, 12l7 12₂, . .    12n die Flächen,

A₀, Al, A₂, . . ., An die Coëfficienten bezüglich dieser Querschnitte, welche in dem Ausdrucke für die der Verschiebung entsprechenden Arbeit eintreten,

so hat man

2/0 =

M\

M'¹

2/l =

il

2/2 =

M\

2/n =

M\

und folglich

JA

JA

4^3

M\

-X

M\

i.

In

Denselben Vorgang kann man auch für die zwei anderen Integrale

S>’

A £2

verfolgen und erhält sodann analoge Formeln, so dass man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des festen Körpers folgende Formel erhält:

M\

2P3 I I₀

2E 3 ll20 1 lfĄS\ 2F 3 l 12,,

F4

Af2₁

ii

Ii

F4

4f²n_x . MK

In

In

P²1

P2₂

i”₃

12

t-4

A, S2

12₂

f-2

1-4—:

n.

A₂£2₂

F---+ 4

1-4

12₃

Oh

12n

P²„

12

A-x o²n

ßn-l

-1

12

Man muss wohl beachten, dass die Anwendung- der Simpson’schen Formel zur Bestimmung der zwischen den Curven eingeschlossenen Fläche an die Bedingung geknüpft ist, dass diese Curven continuirlich sind. Damit man also obige Formel für die festen Körper anwenden kann, müssen die Grössen M, P, S, I, Q, A continuirliche Functionen des Bogens s sein. Wenn eine dieser Functionen nicht continuirlich ist, d. h. wenn dieselbe plötzliche Aenderungen zeigt, muss man den Körper in mehrere Stücke theilen, und zwar derartig, dass man als Theilungspunkte diejenigen Punkte wählt, in welchen die plötzlichen Aenderungen stattfinden; sodann wendet man die Formel (14) auf jedes dieser Stücke an und summirt alle Resultate.

Wenn der Querschnitt des festen Körpers constant ist, so verwandelt sich die Formel (14) in diejenige (13), was wohl natürlich ist, da in diesem Falle der in gegenwärtiger Nummer behandelte Körper in den in der vorhergehenden Nummer betrachteten Körper übergeht; dieses Resultat ist aber um so beachtenswerther, als die Formel (13) auf Grund eines Vorganges erhalten wurde, welcher von demjenigen sehr verschieden ist, durch welchen wir zu der Formel (14) gelangt sind.

7. Capitel.

Theorie belasteter Träger mit geradliniger Achse.

Die geraden Träger, welche wir nunmehr

1. Vorbemerkungen.

betrachten wollen, entsprechen den in Nummer 11 des 4. Capitels ausgedrückten Bedingungen, d. h. es sind:

1.    die Dimensionen der Querschnitte des festen Körpers im Verhältnisse zu dessen Länge sehr klein;

2.    sind die zwei geometrischen Orte der Trägheitshauptachsen der Querschnitte zwei Ebenen, welche durch die Achse des Körpers gehen und auf einander senkrecht stehen;

3.    ist eine dieser beiden Ebenen vertical;

4.    gehen alle auf einer Seite eines beliebigen Querschnittes auf den festen Körper wirkenden Belastungen, sowie die Reactionen der Fixpunkte, welche auf dieser Seite sich befinden, durch die Achse des Körpers oder sind doch derartig zu beiden Seiten dieser Achse vertheilt, dass, wenn man alle Belastungen und Reactionen zusammenfasst, dieselben (zufolge der Statik starrer Körper) eine verticale Resultirende und ein Kräftepaar geben, welches als Achse die horizontale Trägheitsachse des in Betracht zu ziehenden Querschnittes hat.

Die Verticalebene, welche durch die Achse des festen Körpers geht, nennt man Biegungsebene, die horizontale Trägheitsachse eines beliebigen Querschnittes Biegungsachse.

Bei allen den oben ausgesprochenen Bedingungen entsprechenden Trägern wird sich die Achse des Körpers immer nur in der Biegungsebene durchbiegen, und die Biegungsachse eines beliebigen Querschnittes wird auch nach der Deformation horizontal bleiben.

2. Der an einem Ende eingespannte Träger. — Derselbe werde durch folgende Kräfte beansprucht:

1. Seiner Länge nach durch Gewichte, welche nach einem beliebig continuirlichen oder discontinuirlichen Gesetze yertheilt sind;

2. in dessen Grundfläche B durch Normalkräfte, welche nach einem

jß

linearen Gesetze yertheilt sind, und welche in Bezug auf den Mittelpunkt des Querschnittes eine Resultirende gleich Null und bezüglich dessen Biegungsachse ein Biegungsmoment M geben;

3. in derselben Grundfläche B durch verticale Tangentialkräfte, deren Richtung von unten nach oben geht und deren Summe Si ist.

Um die Gleichung der elastischen Linie, d. h. derjenigen Curve, welche von der Achse des festen Körpers nach der Deformation gebildet wird, sowie die Drehung des äussersten Querschnittes B zu bestimmen, nenne man l die Länge des Trägers und cp (x") das Moment aller Gewichte, welche das Stück DB belasten, in Bezug auf den in der Entfernung x vom Querschnitte A gelegenen Querschnitt D. Das Biegungsmoment und die Schubkraft bezüglich dieses Querschnittes werden dann offenbar durch die Formeln

r-------a?—

-*!

Fig. 23.

M = Mv — Sl (l — x) -f- cp (x ),

S = SLA-<p' {x)

ausgedrückt, wobei zu beachten ist, dass der Differentialquotient cp' (x) eine continuirliche oder discontinuirliehe Function ist, je nachdem dies bei der ursprünglichen Function cp (xr) der Fall war.

Diese beiden Formeln sind für alle Werthe von x anwendbar; lässt man aber im Punkte C der Achse, in der Entfernung x von der Einmauerung eine neue Last w wirken, so werden offenbar für das Stück A C, d. h. zwischen x' = 0 und x = x} das Biegungsmoment und die Schubkraft durch die Formeln

(1)

M= Mv — Sv (l — x) -f- cp (af) -j- to (x — x), S = St -j- <p' (x) — oj

ausgedrückt.

Die Deformationsarbeit des Trägers ist durch die Formel

r-H Ol

¹ — dx + o EI

i AS²

o E 9.

dx

gegeben, deren Differentialquotient nach to die Senkung des Angriffspunktes dieser Kraft gibt. Jedes dieser Integrale kann aber in zwei Tlieile zerlegt werden, deren einer zwischen 0 und x, deren anderer zwischen x und l genommen wird; letzterer enthält w nicht mehr und verschwindet daher, sobald man den Differentialquotienten nimmt. Wenn man rj die Senkung (Durchbiegung) des Punktes C der Körperachse nennt, so erhält man liieftir

x AI dM

0 EI dco

xASdS

0 F12 d to

oder

x AI (x — x)

EI

x AS , ,

-d x

o FA

bei Berücksichtigung, dass dM d to

= x — x und

Diese Formel muss für alle Werthe von to gelten, daher auch für cö = 0 ; in diesem Falle sind die Grössen M und S durch die Formeln

( L) gegeben, so dass man durch Substitution derselben in den Ausdruck von 7] folgende Gleichung erhält:

x (x — x ) dx

rj = Mv

EI

SL

'X (l- x) (x — x)

EI

dx'

~x cp (x,s) (x — x)

(2)

’x A qFË>

welches die Gleichung der elastischen Linie ist.

Um die Drehung 6j des äussersten Querschnittes B zu erhalten, muss man den Differentialquotienten der Deformationsarbeit des Trägers in Bezug auf Ai, nehmen; diese Arbeit ist ausgedrückt durch 1 ÇI M*    1 ri AS²

2JoEI X +2jo F12

EI

d x — S,

r

Jo

oc A cp' (x')

FA

wobei M und S durch die Formeln (1) gegeben sind. Nachdem der zweite Ausdruck von M{ unabhängig ist, wird derselbe verschwinden, sobald man den Differentialquotienten nach dieser Grösse nimmt, und man hat einfach

e, =

i Af dM o EI d AI,

¹ M , ,

oder

0i =

-d x .

0 EI

Substituirt man für M dessen Werth und verwandelt x in x, so

ergibt sieh

Cl dx g

£ (l — a?) d x

EI

EI

(3)

In dem speciellen Falle, als der Träger an seinem Ende B durch das Gewicht P und seiner ganzen Länge nach durch ein gleichmässig vertheiltes Gewicht von p Kilogramm per Längeneinheit belastet wird, hat man bei Beachtung, dass sowohl die Normalkräfte als auch die Tangentialkräfte, welche auf die Grundfläche B wirken, gleich Null sind,

$=0,

J*i = o,

cp'(x') = — P—p (l — x),

cp(x') = P{i-x) + ±p(i-xy,

xy,

cp' (x) — — P—p (l — x),

cp(x)= P(l — x)

und folglich

'-ry.

n(l-X ) (x — x')

EI

+Pf

« A dx

6i=P

o EU

'1(1 — x) dx o EI

dx -f-

xA(l — x) o F12 p /'¹ (l — x)‘²dx 2o EI

+p

x (i — x'y (x—x)

EI

(4)

Wenn der Träger homogen ist und einen constanten Querschnitt hat, so sind die Producte EI und FH auch constant und können ausserhalb des Integrationszeichens gesetzt werden, so dass

a?²

EI

6,

U⁺ 6 J'

EI

Um die Senkung / des einen Endes B des Trägers zu erhalten, muss man in dieser Formel x = l machen, womit

l³ /P pl

(5)

Yi U ⁺ T.

Man kann nun leicht zeigen, dass in dieser Formel der Ausdruck, welcher der Transversalverschieb ung entspricht, das ist der Ausdruck, welcher den Factor A enthält, sehr klein ist im Verhältnisse zu dem anderen Ausdrucke, welcher der Biegung entspricht, sobald nur die Querdimensionen des Trägers in Bezug auf dessen Länge sehr klein sind. Denkt man sich, dass der Querschnitt ein Rechteck mit der Breite b und der Höhe c sei, so hat man

— b c³,

12

Q = b c,

und man kann annehmen, dass ist, vorausgesetzt, dass die Seite c gleich oder grösser als b ist. Wenn der Körper ausserdem isotrop ist, so ergibt sich

Ie,

o

und folglich resultirt aus Formel (5) 12 l³ fP

Ebc* U ⁺ 8 J

oder

Ehe

(M)

/=

Eb c³

es wird also das zweite Glied in der Klammer, d. h. der Ausdruck, welcher von der Verschiebung herrührt, sehr klein werden im Verhältnisse zu dem ersten von der Biegung herstammenden, wenn die Querdimensionen des festen Körpers im Verhältnisse zu dessen Länge sehr

C2

ein sehr kleiner Bruch.

klein sind, denn dann wird —

P

3. Träger, welcher an einem Ende eingemauert ist und an dem anderen frei aufliegt. —Man denke sich den horizontalen Träger AB in A eingemauert und in B unterstützt, so dass das Ende B immer im gleichen Niveau mit A bleibt, wie auch der Träger belastet werde.

Unter der Voraussetzung, dass in dem Querschnitte B keine Kraft wirke, wird für diesen Querschnitt das Biegungsmoment gleich Null,

B und die Schubkraft gleich der ^ Reaction R{ des Stützpunktes B, welche vertical gedacht wird.

Den Stützpunkt am Ende B kann man sich entfernt denken, sobald man in diesem Punkte eine Kraft wirken lässt, welche von unten nach oben vertical gerichtet ist und welche gleich ist der Reaction R{ ; oder, was dasselbe ist, sobald man auf den Querschnitt B Tangentialkräfte wirken lässt, deren Summe gleich R{ ist. Man hat also wie in der vorhergehenden Kummer einen an einem Ende eingespannten Träger, welcher derartig beansprucht wird, dass die Senkung des einen Endes B gleich Kuli ist. Für diesen Träger wird die Senkung eines beliebigen Punktes der Achse und die Drehung der Fläche B durch die Gleichungen (2) und (3) der vorhergehenden Kummer ausgedrückt, indem man darin M{ = 0 macht und Sl in R{ verwechselt; man hat also

x (Z — x") (x — x)

Fig. 24.

v = -Rl

n:

EI

dx'

o ER

]'

⁺J.‘

x cp (x) (x — x )

x A cp' (x')

EI

FH

dx,

(6)

6, — R i

l(l — x) dx

¹ cp (x) d x

EI

EI

In diesen Gleichungen ist die Reaction R{ unbekannt; da aber für x = l rj = 0 sein muss, so erhält man zur Bestimmung von Rl die Gleichung

— R\

u:

l(l — x')²

EI

a‘⁺J

lcp (x') (Z — x)

o FH l A cp' (x’)

EI

FH

dx' —

»■ i

(?)

Wenn z. B. der Träger seiner ganzen Länge nach durch ein gleich-massig vertheiltes Gewicht belastet wird, und zwar von p Kilogramm per Längeneinheit, so hat man

V 0*0 = | (l — x')\

cp' (xf) — —p (Z — x)

und folglich

— R\

u:

l (l — xf

EI

-d x

0 FH

(8)

]-»■ I

i(i —x'y

o EI

Ist ferner der Träger prismatisch und homogen, so sind die Grössen constant, und es können die Integrationen ausgeführt werden, was nach Division durch l folgendes Resultat ergibt:

d x-\~ f

Jo

lA(l—x)

FH

EI und

Al

J ¹ 18 EI 2 FI2

rJL+—

[ßEI FH

Wie in vorhergehender Nummer lässt sich auch hier zeigen, dass, wenn die Querdimensionen des Trägers im Verhältnisse zu dessen Länge sehr klein sind, jener Ausdruck in den Klammern, welcher den Factor A enthält, sehr klein ist im Verhältnisse zu dein anderen und daher vernachlässigt werden kann; man erhält sodann

= 0.

(9)

Rl = — pl.

(10)

4. Träger, welcher an seinen beiden Enden eingemanert ist. — Man denke sich denselben vor der Belastung horizontal. Nach Einwirkung der Belastung existirt || in jedem Querschnitte an der Ein-mauerung ein Biegungsmoment und eine Schubkraft; man kann sich den Träger an dem einen Ende B auch frei denken, vorausgesetzt, dass in dem Querschnitte der Einmauerung die effectiv stattfindenden Normal- und Tangentialkräfte wirken. Es sei nun das Moment dieser Normalkräfte in Bezug auf die Biegungsachse dieses Querschnittes und Sl die Summe der von unten nach oben gerichteten Tangentialkräfte, so dass M{ das Biegungsmoment und Sl die Schubkraft für den Querschnitt B ist.

Man kommt also wieder auf das in Nummer 2 gelöste Problem zurück, nur mit dem Unterschiede, dass nunmehr das Biegungsmoment Mi, sowie die Schubkraft Sl Unbekannte sind, welche durch die Bedingung zu bestimmen sind, dass die Senkung des rechten Endes der Körperachse Null ist, und dass die Drehung dieses Querschnittes ebenfalls Null ist.

Fig. 25.

Man muss demnach den durch die Gleichung (2) gegebenen Werth von rj für x = l, und den durch die Gleichung (3) gegebenen Werth von 6( gleich Null machen, so dass man die beiden folgenden Gleichungen erhält:

Mx

l(l — x)

i(i —xy

EI

EI

o F Si

l q (x) (l — x')

¹A q' (x )

El

FQ

d x'— 0,

(H)

Mv

o El

*j:

l(l — x)

El

d x -f- r

JO

El

= 0.

Mit Hilfe dieser Gleichungen bestimmt man den Werth der Unbekannten Mx und S{, und indem man diesen Werth in die Gleichung (2) einsetzt, erhält man die Gleichung der betreffenden elastischen Linie.

Wird z. B. angenommen, dass der Träger homogen ist und constante Querschnitte hat, und dass die Belastung desselben durch ein Gewicht P gebildet wird, und zwar in der Entfernung a von dem Ende A, so hat man zwischen x = 0 und x == a

<p' (x) = — p;

q (x) — P (a — x),

und zwischen x = a und x — l

q'(x) = 0-,

q (x) = 0,

da ferner die Grössen und EI

ausgeführt werden. Es gestalten sich sodann die Gleichungen (11) wie folgt:

,r V    a C V

My--Sy -

2EI [ß EI FI2

12

S{ —--\- P

2EI 2EI

constant sind, kann die Integration

Al

a¹ (31 — a)

6EI

Aa~1    ~

H--= 0,

F12 J

EI

= 0.

Aus diesen zwei Gleichungen erhält man

Sy f—

\12EI

Al

F12

My

2A

F12

a¹ (3 l — 2 a)    Aa~\ ^    \

12EI    ; I

A P |“a²1 (l — a)    Aa(l — a)~I _ j

J~ l L QEI ⁺ F12

Nachdem man auf diese Weise die Werthe der Unbekannten erhalten hat, kann man dieselben in die Gleichung- (2) einfuhren, um die Gleichung der elastischen Linie zu erhalten. Diese Curve setzt sich aus zwei ver

schiedenen Theilen zusammen, und zwar der eine links, der andere rechts

cp (x) = P(a — x),

und deren anderer zwischen x = a und x —x

cp' (x) = — P

vom Angriffspunkt des Gewichtes P. Für diesen letzteren Theil, welcher sich zwischen x = a und x — l befindet, tlieile man die in der Gleichung (2) enthaltenen Integrale in zwei Theile, deren einer zwischen x — 0 und x — a

p (x') — 0

cp (x) = 0,

ergibt; nach Durchführung der Integration erhält man sodann

V = M1

x²

x¹ (31 — x) Ax

2JEI

6EI

F£>

l+f

a² (3 x — a)

QEI

FQ

Wenn a < — ist, wird diese Gleichung für x

die Senkung / des mittleren Punktes der Achse wird sein M, l²

- stattfinden, und 2

3EI

S' (

5^³

Al

a² (31 — 2 a)

Aa

12 EI

FO

), (13)

worin man die oben gefundenen Werthe für Mv und S{ einsetzen kann.

Nach dem, was am Ende der Nummer 2 bewiesen wurde, kann man, wenn die Querdimensionen des Trägers im Verhältnisse zu dessen Länge sehr klein sind, in jeder Klammer der Formeln (12) und (13) den Ausdruck, welcher von der Verschiebung herrührt, mit Bezug auf den von der Biegung herstammenden Ausdruck vernachlässigen, und erhält somit

8, = P

a² (31 — 2 a)

M,=P

a² (l -— a)

(14)

f=P

a² (31 — 4 a)

48 EI

Wenn der Träger durch zwei Gewichte belastet wird, und zwar durch eines, P, in der Entfernung a vom linken Stützpunkte, und ein

zweites; ebenfalls P, in der gleichen Entfernung vom rechten Stützpunkte; so erhält man auf Grund der Summirung der Wirkungen

S,=P

cP (31 — 2 a)

(l — q)² (31 — 21 Ą-2 a)

= P,

AL - P

a² (l — a)

(l — a)² a

a (l — a)

(15)

J- = P

a² (3 l — 4 a)

48 El

a² (3 l — 4 a)

2A EI

Denkt man sich den Träger; welcher homogen ist und einen con-stanten Querschnitt hat; ausserdem noch durch ein gleichmässig über dessen ganze Länge vertheiltes Gewicht; und zwar von p Kilogramm per Längeneinheit belastet; so hat man in diesem Falle

cp(x) =

cp' (x) = — p (l — x) ;

durch Substitution in die Gleichungen (11) und Ausführung der Integrationen erhält man

woraus

AI

2EI

EI

2EI

Al

Fi2

6EI

Al

Hl

= o,

Al 2

SEI 2FH

)=0;

S, f -¹—- + —

U 2EI FH

J \24EI

AP

2 FH

Mx

2A

\3EI FH

Hl

AP

12 EI 6 FH

oder

Sy =

AI =

— p P.

(16)

12

Um die Gleichung der elastischen Linie zu erhalten; hat man in die Gleichung (2) die Werthe

24 EI

2 F Et

zu substituiren ; die Integration derselben ergibt sodann bei Berücksichtigung, dass die Grössen

EI

und

FE

constant sind,

V = Mi

x²

Ax

x² (31 — x)

6EI

x² (6 V² — 41 x -j- a?²) Ax (21 — x)

2EI

FE

(p(x') = ^p{i — xy,

<p' (x') = —p (l — x')

und somit, wenn man für Mv und SL die soeben erhaltenen Werthe sub-stituirt,

V² x² — 21 x³ -f- xx

24 EI

A-p

A x (l — x)

2FQ

(17)

Die Senkung oder Durchbiegung f des Mittelpunktes der Träger-

achse kann aus der letzten Formel abgeleitet werden, indem man x = — macht; es ergibt sich sodann

(18)

384 EI

Ap l2 8 FE

Denkt man sich schliesslich, dass der Träger durch zwei in der Entfernung a von beiden Enden wirkende Gewichte P und durch ein der ganzen Länge nach gleichmässig vertheiltes Gewicht belastet wird, so sind zufolge dem Principe der Summirung der Wirkungen die Werthe von S{, My und / die Summen derjenigen, welche man erhalten hätte, wenn in einem Falle die beiden Gewichte P und in dem anderen Falle das gleichmässig vertheilte Gewicht vorhanden gewesen wäre, d. h. man erhält, indem man gleichzeitig in der Formel (18) den von der transversalen Verschiebung herrührenden Ausdruck vernachlässigt, die Formeln

S,=P + ^pl

My = P

a (l

a)

12

p V²

(19)

f=P

a² (31 — 4 a)

24: EI

384 EI

belasteter Träger, welcher an seinen Enden beliebigen Bedingungen entspricht, d. h. einfach unterstützt, oder einerseits unterstützt, andererseits eingemauert oder beiderseits eingemauert, oder schliesslich über die Stützpunkte hinaus verlängert ist.

Diese Formeln sind zur Berechnung' der Querträger oder der Con-structionstheile eiserner Böhrenbrücken nothwendig.

5. Der an seinen Enden unterstützte Träger. — Es sei A B ein nach einem beliebig eontinuirlichen oder discontinuirlichen Gesetze

j<-------jT'⁻

'V

Fig. 26.

Denkt man sich den Träger längs zwei Querschnitten geschnitten, welche unendlich nahe an den Stützpunkten A und B, aber innerhalb derselben sind, d. h. der eine rechts von A; der andere links von B, so bleibt der Träger im Gleichgewichte, sobald man in diesen beiden Querschnitten äussere Kräfte wirken lässt, welche den etfectiv stattfindenden elastischen Kräften gleich sind, so dass man das Elasticitäts-gleichgewicht des Trägers untersuchen kann, indem man denselben als einen durch folgende Kräfte beanspruchten, freien, festen Körper betrachtet, und zwar:

1.    durch Gewichte, welche nach einem beliebig eontinuirlichen oder discontinuirlichen Gesetze über den Träger vertheilt sind;

2.    durch Kräfte, welche auf den linken Endquerschnitt in A wirken, und welche für diesen Querschnitt ein Biegungsmoment Jf₀, eine von unten nach oben gerichtete Schubkraft S₀ und eine Normalpressung gleich Null geben;

3.    durch Kräfte, welche auf den rechten Endquerschnitt in B wirken, und welche für diesen Querschnitt ein Biegungsmoment , eine von unten nach oben gerichtete Schubkraft und eine Normalpressung gleich Null geben.

Da offenbar die Normalpressung in allen Querschnitten des Trägers Null ist, hat man nur nöthig, das Biegungsmoment und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt zu bestimmen.

Betrachtet man nun den Querschnitt C in der Entfernung x vom Ende A und nennt man

M das Biegungsmoment, S die Schubkraft,

Für einen beliebigen Querschnitt ist zu beachten, dass die Schubkraft im entgegengesetzten Sinne gerichtet ist, je nachdem man diesen Querschnitt als zu einem oder dem anderen der beiden Theile gehörend betrachtet; da aber vorausgesetzt wurde, dass die Kraft Sl von unten nach oben gerichtet ist, und da cp' (x) auch eine von unten nach oben gerichtete Verticalkraft ausdrückt, so muss offenbar *5', -f-cp' (x) die Schubkraft des Querschnittes C ausdrücken, und zwar indem man denselben als Ende des Stückes A C betrachtet ; wenn man hingegen die Schubkraft

— [Sy + cp' (æ)].

für den Querschnitt C, als Ende des Stückes B C gedacht, ausdrücken wollte, so hätte man

Für x = 0, d. i. für den Querschnitt in A, gibt die erste der Formeln (20) M=M₀ und die zweite S= — S0f so dass M₀ = Mi — Stl <p (0),

S₀ = Sl -j- cp (0),

cp( 0)

st =

cp (x) das Moment bezüglich dieses Querschnittes von allen auf das Stück B C wirkenden Gewichten,

cp' (x) den Differentialquotienten von cp (x), d. h. die negativ genom

mene Summe all dieser Gewichte, so findet man

M=Ml S= SL+cp' (x).

S[ (l — x) -j- cp (x),

(20)

wobei zu beachten ist, dass das Symbol cp’ (0) die Summe aller Gewichte ausdrückt, durch wTelche der Träger belastet ist, und das Symbol cp (0) die Summe der Momente dieser Gewichte in Bezug auf das Ende A. Aus diesen zwei Gleichungen erhält man My-M₀

M\-M«

<P (°)

— cp\0).

(21)

Nennt man für den oben betrachteten Querschnitt C die Fläche, I das Trägheitsmoment,

E den normalen Elasticitätscoefficienten und F den tangentialen Elasticitätscoefficienten, so wird die Deformationsarbeit des ganzen Trägers ausgedrückt werden durch die Formel

dx + -[dx, 2Jo FI2

1 rim_ 2joEI

deren Differentialquotient mit Bezug¹ auf J/₀ und die Drehungen 0O und 0[ der Endflächen und deren Differentialquotient bezüglich eines beliebigen auf den Träger wirkenden Gewichtes die Senkung des Angriffspunktes dieses Gewichtes gibt. Diese Drehungen und Senkungen werden auf die Lage der Körperachse vor der Deformation bezogen, indem man die Mittelpunkte der Endflächen als Fixpunkte betrachtet; es müssen daher die Reactionen S₀ und St als Functionen der anderen auf das System wirkenden Kräfte betrachtet werden, und zwar kann dies mit Hilfe der Gleichungen (21) geschehen.

Man hat also

6i =

•-J

i M dM o EI d Mi i M dM

d x ~ | ij

“⁺i

i AS dS o F 12 d M1 i AS dS 0 F12 d M₀

d x:

o EI d M₀

substituirt man nun in die Formeln (20) jenen Werth von Sl, welcher durch die erste der Gleichungen (21) gegeben ist, so erhält man

M= Mi y + M₀

Mj-M» , y( 0)

--T(O)

- + 9>W

(22)

+ (p'(x)y

und folglich hat man

dM

dMl

dM

d M₀

dS _ 1

d Mi l ’ d M₀

Für die Drehungen 0O und 0, erhält man sodann

1 r i Mx ZJo EI

_ i n m (i — x)

rjo

'1 =

0O =

d x —}—

EI

i riAS IJoFQ

d x ---

1 riAS IJ o FQ

d x.

Die Addition dieser zwei Gleichungen ergibt

öi-pöo —

l AI dx

o EI

„ l riMx ₁ l ri A S

e, = -    — dx + -\

IJoEI iJoFti

man kann daher für die zwei Gleichungen (23) die beiden folgenden substituiren :

••-J

o EI

Ol

Setzt man in diese Gleichungen für M dessen Werth (22) und für S den durch die zweite Gleichung (20) gegebenen Werth, so erhält man

i r i cp (x) x TJo EI

0i =

M₀ — cp (0)^ i (l — x)x

EI

dx-\-

M,

0o = — ©i G

Sx Çi A dx

⁺ TJ₀TT

J/p —y(0) ri(l — x) Jo EI

pjoEI

1 ri A cp'(x) zjo FH

dxA~

Mx

dx +

d x}

C E-dx-j-f JoEI

l cp (x) o ~EI

dx

dx.

(24)

In diesen letzten Gleichungen kann die Schubkraft Sl auf Grund der ersten der Gleichungen (21) in einer Function von M₀ und Mx aus-gedrückt werden.

Bevor man daran geht, die Senkung eines in der Entfernung x vom Ende A befindlichen Punktes der Körperachse zu suchen, werde angenommen, dass in dem betreffenden Punkte ein Gewicht <7j wirke.

Für einen beliebigen Querschnitt in der Entfernung x vom Ende A wird das Biegungsmoment und die Schubkraft ausgedrückt durch die Formeln

+ <p (»')>

M=    M₀

S = Sx -j- cp'(x'),

worin die Functionen cp und cp' die oben angeführten Bedeutungen haben.

Da das Gewicht w in die Functionen cp (x')} cp' (x') eintritt, sobald x <^x ist, sowie in die Functionen cp (0), cp'.(0), so kann man dasselbe ersichtlich machen, indem man folgende Gleichungen aufstellt:

cp (x') = Ip ix') -j- CD (X- x),

cp' (x) — ip'(x') — CO,

qp'(O) = ip'(0) — co.

cp (0) = if> (0) -|- a> x,

Die beiden ersten Gleichungen dürfen nur für einen Werth von x zwischen 0 und x angewendet werden, denn sobald x zwischen x und l genommen wird, enthalten die Functionen cp (x') und cp' (x) nicht mehr die Kraft Io, und man hat

cp (x') = ip (x),

cp’ (x') = ip' (x).

Es können also die Ausdrücke für M und S, welche oben gegeben wurden, auch in folgender Form aufgestellt werden: für die Werthe von x zwischen 0 und x

l-— x

M=ML=- +M₀

+ ip (x')-CO

ip{0)

+ ip' (x’) — CO

und für die Werthe von x zwischen x und l

M = Mx--j- M₀

ip (0)

+ ip (x) — CO

X,

s=

Mc-M₀

#(0)

+ ip'(x') + w %

so dass, wenn man für beliebige Werthe von x

— lp(0)

l — x

+ *00*0

setzt, man für x zwischen 0 und x

M= ZKC — To

S = & — CO

erhält, und für x zwischen x und l

-l — x

x,

S=8 + öj-.

Die Deformationsarbeit des ganzen Körpers wird also durch nachfolgende Formel ausgedrückt:

_ l —

9ÎC — w

911 — W

EI

cl x'-j-

t-H (M

EI

cl X

! p(s-s

^ 2 J o    FL

afj²

d x-\-

*+=f)

d x\

FQ

der Ditferentialquotient derselben mit Bezug auf co gibt die Senkung rj des Angriffspunktes dieses Gewichtes, d. h. es ist

_Z —

91c—äi

EI

Vi'¹'

— d*+] o-

_ l — x\ 0)- I

l J

F12

9ÎC — (Ô

ccj (l—x')

EI

dx—

flAl)

*J x    F O

dx

oder

’U'Md-⁺S

u:

l M(l — x)

x A S ₇ ,

-d x

O F12

i A S

(25)

El

F12

Beachtet man, dass, wenn man die Integration von 0 bis l ausführt,

wie aus der zweiten

das Binom in der zweiten Klammer gleich 10O wird Gleichung (23) ersehen werden kann — so folgt daraus, dass man für dieses Binom die Grösse

l 0O —

‘x M(l — x) o EI

x AS

0 FQ

setzen kann, womit der Ausdruck von tj die folgende Form annimmt:

x M (x — x)

j:

EI

o F12

(26)

Da die Kraft co einen Werth haben kann, so klein, wie man will, ja selbst Null sein kann, so gibt offenbar die Gleichung' (26) die Senkung eines beliebigen Punktes der Trägerachse.

Substituirt man nun für M dessen Werth (22), nachdem man x in x verwandelt hat, und für S den durch die zweite der Gleichungen (20) gegebenen Werth nach Durchführung derselben Aenderung, so erhält man

rJ = -d₍₎x-i

M₀—cp (0) r« (l — x) (x — x)

EI

d x'-\~

Mi r^x'(x — x)

J 0

EI

dx

j;

^ cp (x') (x — x)

EI

dx —

dx —

x A (p'(x)

(27)

0 EQ

o EQ

welches die Gleichung der elastischen Linie ist.

Es ist wohl zu beachten, dass S₁ mit Hilfe der ersten der Gleichungen (21) in einer Function von M₀ und Mv ausgedrückt werden kann.

6. Der an seinen Enden einfach unterstützte Träger, dessen Grundflächen keiner Normalkraft unterworfen sind. — Der in der letzten Nummer betrachtete Fall ist ein allgemeiner, so dass man aus demselben die Formeln für die in der Praxis am häufigsten vorkommenden Fälle ableiten kann. Ist nun der Träger an seinen Enden einfach unterstützt und wirkt keine Normalkraft auf dessen Endflächen, so hat man in den oben erhaltenen Formeln einfach

M₀ = 0 und Ma = 0

zu machen ; ist der Träger an dem linken Ende eingemauert und an dem rechten einfach unterstützt, so muss man

Mi_ — 0

machen und bestimmt M₀ dadurch, dass man ausdrückt, dass 6U Null ist ; ist endlich der Träger an seinen beiden Enden eingemauert, so bestimmt man M₀ und M₁ durch die Bedingung, dass 6₀ und 6y Null sein müssen.

Nachdem die beiden letzten Fälle in den vorhergehenden Nummern schon untersucht wurden, ist nur noch der erste Fall zu behandeln, d. h. derjenige, wo der Träger an seinen Enden einfach unterstützt ist.

In diesem Falle hat man M₀ — 0 und M₁ =0; folglich wird aus den Formeln (21), (22), (24), (27)

6i

S₁ = îÆl

s* = -

y(0)

i»f= —9(0)

ce / \ - + 9 H;

9(0)

Z*

[J

El

Çl Adx~1

JoTß"J

-in:

^ 9 (a?)

El

dx -\~

£ A 9' (a?)

(28)

mrhz^dx+

l J 0 El

9(0) f* (Z—af) (a? — a?')

6₀ —    ©i

rj = — QjX

El

cZæ'

.i

cZ a?,

j:

El

cZa?'

cp (0) Çæ A

~~Tj o9ß

Diese Formeln kann man nun auf einige specielle Fälle anwenden.

I. Der Träger wird durch ein Gewicht JP belastet, welches in der Entfernung a von dem linken Ende sich befindet.

Für die Werthe von x zwischen 0 und a hat man

r.

* A cp' (x)

En

9 (x) = P (a — a?), 9 (0) = P a,

9' (x) = —

9 (0) = -P;

P,

und folglich und für die Werthe von x zwischen a und Z

9 (a?) = 0,

cp' (x) = 0.

Aus der ersten, zweiten, vierten und fünften der Gleichungen (28) ergibt sich daher

Sy = P-

S₀ = P

61 = -

Pa r PI (Z—x)x

^LJo

dx—

EI

riAdxA Pr ra

Jo FÄ2_T ï[Jo

a(a—a?)a?

EI

dx—

r« Adx~\

JoÄÄLr

0o — Qi

rt,jïf“+ri

aa—

x ,

— dx.

0 EI

Die dritte und sechste sind verschieden; je nachdem man sie auf das bezüglich des Gewichtes P linke oder rechte Stück des Trägers anwendet; für das letztere; welches zwischen x — a und x = l liegt; ergeben dieselben

(30)

M= — Pa

rj — — 6₀a?—

Pa jx ft—x(x—x')

EI

dx'-\-P^

« (a—x) {x—x)

EI

dx

Pa[ — ds+pf

J o FQ J

(31)

o FH

und

Wenn der Träger homogen und prismatisch ist, so sind die Grössen EI — — constant; und man kann die Integration ausführen und erhält

0.

P a l² — a²

I 6 EI ’ Pa (l — a) (21

(32)

vj — — 6₀ x —

P«|~;u²(3Z— x) ! Ax

a²(?>x— a) A a

6ÈI

FH

6 EI

FH

■i

Unter der Voraussetzung; dass a

ist; kann der Ausdruck für rj

— zwischen x = a und x = l liegend — die Senkung oder Durchbiegung / des Trägermittelpunktes geben; sobald man x — — macht ; man erhält somit    _<> j.₂_^

f=Pa

48 P/

2FH

(33)

II. Der Träger wird durch zwei Gewichte JP in den Entfernungen a won den zwei Enden belastet.

Wenn der Träger durch zwei Gewichte P belastet wird; deren jedes in der Entfernung a von einem Ende wirkt; so müssen offenbar; zufolge dem Principe von der Summirung der Wirkungen; die Drehungen 6,, und 6t der äussersten Querschnitte unter einander gleich sein und auch gleich sein der Summe der beiden Drehungen; welche schon oben für jenen Fall gefunden wurden; als der Körper nur durch ein Gewicht beansprucht

wurde. In gleicher Weise ist die Durchbiegung / des Trägermittelpunktes gleich der Summe der zwei Durchbiegungen, welche den zwei einzeln wirkenden Gewichten entsprechen, d. h. gleich der doppelten durch die Formel (33) gegebenen Durchbiegung. Man hat also in dem Falle der zwei Gewichte P die folgenden Formeln:

Pa(l;—a)    »

2EI

f — Pa

3 P — 4 cP

(34)

]!

24 EI

III. Der Träger wird durch ein gleichinässig yertheiltes Gewicht belastet.

Nennt man das auf eine Längeneinheit des Trägers vertheilte Gewicht j), so hat man

FS2

^p(i — xy,

9>(°)

Wenn man ferner annimmt, dass der Träger symmetrisch ist, so sind die beiden Drehungen % und 6t der beiden Endflächen gleich, und man kann dieselben mit Hilfe der fünften Formel der Gruppe (28) bestimmen; diese Formeln ergeben für diesen Fall

und folglich

q>(x) =

(p’(x) = —p (l — x)

Sq = Sx = -p l,

~px(l-x)

a

M= —

n —

o ei

lx(l — x)

EI

(35)

EI

d x,

7] — — 6₀ x —

m:

x (l — x) (x — x)

EI

dć+PiŚŹl Jo FS2 J

x (i — x'y (x — x)

•xA(l — x)

EI

FS2

Da der Träger als zur Mitte symmetrisch angenommen wurde, hat

die Grösse

xij — x)

EI

für zwei Punkte, welche symmetrisch zur Mitte liegen, denselben Werth, d. h. man hat

¹ x (l — x)

l~ X (l — x)

EI

EI

d x.

In dem Ausdrucke für v kann man die ähnlichen Glieder vereinigen, so dass sich die beiden letzten Formeln in folgender Form darstellen lassen :

jT

Lx(l — a?)

EI

(36)

P r& x (i — x) (x — x)

2 J 0 _

'xA(l — 2 x ) o FH

Will man die Durchbiegung des Trägermittelpunktes bestimmen, so muss man in der Formel (37) x = ^ machen; verwechselt man x mit x,

rj = — 6₀ x —

EI

d x. (37)

substituirt man für 6₀ dessen Werth (36) und macht man schliesslich die nothwendigen Reductionen, so erhält man für die gesuchte Durchbiegung die Formel

/=

x¹ (l — x)

EI

to ise

A(l — 2 a?)

FH

d x.

(38)

In der Praxis hat man diese Formel häufig 'auf Eisenbrücken mit geraden Trägern anzuwenden ; aber in diesem Falle ist der Träger homogen und in mehrere Felder getheilt, wobei in jedem derselben das Trägheitsmoment, die Fläche und der Coefficient A constant sind. In Folge dessen ist die Anwendung der Gleichung (38) sehr einfach. Bei Gitterträgern kommt es vor, dass die verschiedenen Felder, deren jedes ein constantes

A

Trägheitsmoment hat, nicht solche sind, für welche das Verhältmss —

constant ist; dies macht aber die Anwendung der Formel (38) nicht viel schwieriger.

Ist der Querschnitt des Trägers der ganzen Länge nach constant, so kann man die Integration ausführen und erhält

p Z³

/=

Dp Z4 384 Æ¹/

24 EI

Api²_p Z²

8U12 _ ~~8~

5 Z²

(39)

48 JS'/ Uß

Wird der Träger gleichzeitig durch ein gleichmässig verth eiltes Gewicht und durch zwei Gewichte P belastet, so erhält man die Dre

hungen der Endflächen und die Durchbiegung des Mittelpunktes durch Vereinigung der durch die Formeln (39) und (34) gegebenen Resultate,

Pa (Z — a)

so dass

p Z³

2 EI

24 EI

f=p*(

3 Z² — 4 a² A

(40)

5 Z²

)+¥(

24FI

7. Mehrfach unterstützter Träger. — Derselbe werde in einer beliebigen Weise belastet. Jedes Stück des Trägers zwischen zwei auf einander folgenden Stützpunkten kann offenbar als ein isolirter Träger betrachtet werden, welcher an seinen Enden unterstützt, durch Gewichte belastet wird, und dessen Endflächen durch Normalkräfte beansprucht werden, welche die in den mit den Stützpunkten des continuirlichen Trägers correspondirenden Querschnitten effectiv stattfindenden Biegungsmomente geben.

Die Formeln (21), (22), (24), (27) aus Nummer 5 lassen erkennen, dass, wenn man für einen an seinen Enden unterstützten Träger die Gewichte, durch welche derselbe belastet wird, und ferner die Biegungsmomente in den Endflächen kennt, man die Biegungsmomente und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte, sowie die Drehung der Endflächen und die Gleichung der elastischen Linie erhalten kann.

Zur Bestimmung der Bedingungen des Elasticitätsgewichtes eines continuirlichen Trägers genügt es also, wenn man das Biegungsmoment für alle mit den Stützpunkten correspondirenden Querschnitte bestimmt.

Dies muss auch in dem gegenwärtigen Falle geschehen, und kann man zur Vereinfachung das zwischen zwei auf einander folgenden Stützpunkten gelegene Stück des Trägers „Fach“ nennen.

Um den allgemeinsten Fall zu behandeln, denke man sich, dass unter der Einwirkung des von dem Träger herrührenden Druckes die

FQ

48 EI FQ

Stützpunkte sieli senken; oder was dasselbe ist, dass diese Stützpunkte nicht genau in derselben Horizontalen liegen.

Dies vorausgeschickt, seien A, B, C drei auf einander folgende Stützpunkte, welche zuerst in derselben Horizontalen gelegen sind, und a, ß, y

S’,H«

■J

!<

"Z

X-

■V

y--Æ. -------*

Fig. 27.

die unendlich kleinen Senkungen dieser Punkte gegenüber ihrer ursprünglichen Lage.

Die Winkel, welche die Geraden A B und B C nach der Deformation mit der Horizontalen machen, sind

£=ï und

V

und folglich ist der Winkel IB C, d. h. der Winkel zwischen der Geraden B C und der verlängerten Geraden A B gleich

y—ß

Die schliessliche Lage des Querschnittes, welcher zuerst vertical war, und welcher mit dem Stützpunkt B correspondit, sei B H. Nennt man nach dem oben Gesagten AT₀, Mv, M.₂ die Biegungsmomente für die den Stützpunkten entsprechenden Querschnitte, so kann man das Fach A B als einen isolirten Träger betrachten, welcher an seinen Enden unterstützt ist, welcher durch Gewichte belastet wird, dessen Endflächen durch Normalkräfte beansprucht werden, welche die Biegungsmomente M₀ und Ml geben, und dessen Querschnitt in B vor der Deformation nach der Geraden B Hr normal zur Achse A B gerichtet war. Desgleichen kann man das Fach B C als einen isolirten Träger mit denselben äusseren Bedingungen ansehen, dessen Endflächen aber durch Normalkräfte beansprucht werden, welche die Biegungsmomente Mi und M₂ geben, und dessen Querschnitt in B vor der Deformation nach der Geraden BH" normal zur Geraden B C gerichtet war.

Man sieht aus Figur 21, dass, zwischen den drei Winkeln IIB H', H B H" und H' B H" folgende Relation besteht:

H' B H" = H B H" — HBH'-,

da der Winkel H' B H" gleich ist mit dem Winkel IB C, folgt daraus, dass

y—ß ß—<*

— HBH" — HBH'.

Nennt man L die Deformationsarbeit des Faches A B, und zwar in einer Function der Biegungsmomente M₀ und Mx, und L diejenige des Faches B C in einer Function von My und M.if so hat man zufolge dem Lehrsätze von den Ditferentialquotienten der Arbeit

dL

d Ml ’

HBH'= —

dL'

HB H" =

dMv'

wobei in dem ersten Ausdrucke das negative Zeichen deshalb gesetzt wurde, weil die Drehung, in Folge welcher die Fläche B H' in diejenige B H tibergeht, entgegengesetzt zu deijenigen stattfindet, welche dem Biegungsmomente zu Grunde gelegt wird, und zwar letzteres als am Ende des Faches A B wirkend angesehen. Durch Substitution in obige Gleichung erhält man

(41)

dL dL' l dMy Jm<

M= M0 g_^4

tC    T. M- OC    / r\\

\~ Mi ---cp (0)

Betrachtet man nun in dem Fache A B einen Querschnitt G in der Entfernung x vom Ende A und nennt man cp' (x) alle jene Gewichte, welche das Stück G B belasten, und cp (x) die Summe der Momente dieser Gewichte in Bezug auf den Querschnitt G, so werden zufolge der Formeln (22) der Nummer 5 das Biegungsmoment und die Schubkraft für den Querschnitt G durch die Formeln l —

(42)

cp (0)

ausgedrtickt werden.

Die Deformationsarbeit I für das Fach A B ist durch folgende Formel gegeben:

L=-

1 ri M-2)0 ¥i

d x -j-

1 ri A S²

2J oTß

d x,

woraus folgt, dass

dL

Ol 1-1.

- ri Mx

Jo ~FI

dx A~

lA S 0 FQ

Betrachtet man desgleichen in dem Fache B C einen Querschnitt K in der Entfernung y vom Stützpunkt C und nennt man ip' (y) die Summe aller auf das Stück BK vertheilten Gewichte und ip (y) deren Momenten-

- + (2/);

summe in Bezug auf den Querschnitt K, so erhält man als Ausdruck für das Biegungsmoment und die Schubkraft in diesem Querschnitte die Formeln

911 = M₂ a-1 ₊ Mx ^- — Ip (0)

h

M,-M% , ip(0)

(43)

Die Deformationsarbeit des Stückes B C wird ausgedrückt durch

1    rp 91 c²

2    J 0 in

die Formel

dy +

to i

p A S2 0 ~FQ

dy-

folglich hat man

d Ly    1

d My ly

Die Substitution in Gleichung (41) ergibt

i Mx

0 f1

^1 A S

0 Yà

dy~^

r^dxi i J 0 F Si J (

(44)

Diese Gleichung zwischen den drei Biegungsmomenten MQ} M{, M.2 kann leicht entwickelt werden, indem man für AI, S, 91c, S jene Werth e einsetzt, welche durch die Gleichungen (42) und (43) gegeben sind.

Dies ist die Verallgemeinerung der bekannten Gleichung von Clapeyron.

Ist der Träger in n -f- 1 Punkten unterstützt, so hat derselbe n Fächer oder Joche. Ist der Träger an seinen Enden einfach unterstützt, d. h. sind die Biegungsmomente in den äussersten Stützpunkten Null, so hat man nur die Biegungsmomente für die n — 1 zwischenliegenden Stützpunkte zu bestimmen und daher nur n — 1 Unbekannte.

Wendet man die Gleichung (44) zuerst auf das erste und zweite Fach von links an, sodann auf das zweite und dritte etc., so erhält man genau n — 1 Gleichungen, deren jede drei Biegungsmomente enthält, d. h. drei Unbekannte, mit Ausnahme der ersten und letzten Gleichung, welche nur zwei Unbekannte hat, denn in den Endflächen sind die Momente gleich Null.

Wenn der Träger an seinen Enden eingemauert ist, so sind die Biegungsmomente in den Endflächen nicht mehr gleich Null, und man hat dann n -f- 1 Unbekannte in den n — 1 durch Anwendung der Formel (44) erhaltenen Gleichungen. Diese Gruppe von Gleichungen genügt also nicht für die Bestimmung aller Unbekannten, und man muss dieselben dadurch ergänzen, dass man die Bedingung des Verticalbleibens der Endflächen ausdrückt.

Die Drehung der Fläche A des Faches A B wird ausgedrückt durch

die Formel

e₀ =

d il/₀

1 r r i M (l — x)

ïLJo”

EI

lA S o Fli

dx~\>

(45)

und die Drehung der Fläche C des Faches BC durch

riA SE. (Zt y)

k LJo EI~

da aber die Achse des Faches AB gegen die Horizontale um den Winkel

dB

d M₂

dy~^iy]

(46)

geneigt ist, und die Achse des Faches B C desgleichen um den Winkel

7~ß

so muss, damit die Flächen A und C vertical bleiben,

+ 0₂ = 0 sein.

-0o = O,

y—ß

Substituirt man für 6₀ und d₂ deren Werthe (45) und (46 ), nachdem

man die erste Gleichung- mit l, die zweite mit lL multiplicirt hat, so erhält man

•-J

l M (l — x)

EI

dx —

r.

EI

IA S o EP z₃ A S

o yp-

(47)

dy.

(48)

Durch Anwendung- der Formel (47) für das äusserste linke Fach und der Formel (48) für das äusserste rechte Fach erhält man die zwei zur Bestimmung- aller Biegungsmomente noch nöthigen Gleichungen.

In der Praxis ist der am häufigsten vorkommende Fall eines mehrfach unterstützten Trägers jener der eisernen Brücken mit geraden Trägern; hiebei sind die Enden nie eingemauert und die Senkungen der Stützpunkte, d. h. der Pfeiler oder Widerlager sind Null oder unbedeutend, so dass man nur die Formel (44) anzuwenden hat, indem man hierin a = 0, ß = 0, y = 0 setzt, was dieselbe auf folgende Form redueirt :

lr ri Mx r

Tl o^ldæ +

lA S

o Yp

MLf

Z, ©IC y o EI

z, A § o F P

dyj

= o.

Substituirt man in dieser Gleichung für M} S, 91c, S die durch die Formeln (42) und (43) gegebenen Ausdrücke, so erhält man eine Gleichung zwischen den drei Momenten JT₀, Mu M., ; setzt man nun zur Abkürzung

1(1—x)x

U o EI    Jo FS2J

i c cl 7    , rlAdx~\

ülj.ä/ ⁺JoWj

HJ 0 EI    \]

= C,

lAcpßx) o FP

l'(,h —y)y

If fh(h-y)ydi rh Ady\

l\ U o EI J JoEPj

pAJoEI j JoepJ

= B,

= C,

= A,

(49)

dx

hAifjßy)

o EP

=A,

so ergibt diese Gleichung

M, B + Mv ( C + C, ) + M₂ Bv = cp (0) B — D + q (0) B₂—Dv (50)

Es ist wichtig zu beachten, dass die Grössen B, C, By, C\ unabhängig sind von den Gewichten, welche den Träger belasten, so zwar,

dass man bei Untersuchung verschiedener Fälle der Belastung eines gegebenen Trägers diese Coefficienten nur einmal zu berechnen hat. Die Coefficienten D und Dx sind hingegen von diesen Gewichten abhängig und müssen für jeden Fall besonders berechnet werden.

Im Allgemeinen bleibt bei den Hauptträgern der eisernen Brücken

das Trägheitsmoment in einem Stücke constant, ändert sich dann plötzlich und bleibt für das folgende Stück wieder constant u. s. w. ; dasselbe gilt A

für die Grösse — ; nur sind in dem Falle, als der Träger ein Gitterträger ist, die Querschnitte, in welchen die Aenderung des Trägheitsmomentes

ändert. Für

stattfindet, nicht diejenigen, in welchen sich die Grösse —

die gewöhnlichen Fälle der Praxis sind also die Coefficienten B, C, Z>, B{, Cx, Dx sehr leicht zu berechnen.

Für die Untersuchung einiger speciellen Fälle der Belastung eines in mehreren Punkten unterstützten Trägers werde angenommen, dass derselbe homogen sei und überall denselben Querschnitt habe.

Die Grössen EI und

A

- sind dann constant, so dass sich die In-

FQ

tegrationen leicht ausführen lassen, und man erhält:

B = - f —---—,

l 16EI FS2J

(6EI Fttl’

C=-

(-£

l \3EI

⁺Jä)’

C=IfJV ,

L {.SEI^ EU

(51)

1) = -

A-t-

j cp' (sc) d sc]

x dx -j-

FQ

Man hat auch

Jov

x = cp (l) cp (0),

po A (y)d y = yj A) — (0) ,*

da cp (7) = 0 und ip (lx) = 0 ist, ergibt sieb daraus, dass

V'(y) d y = —y (0),

[jrjl^ydy-Yj    9 (°) —J lQ v O) « d æJ.

ilhGm~5'of(y)!,dy]-

Wird z. B. das Fach A B durch ein Gewicht P in den Entfernungen a und b von den Stützpunkten A und B, das Fach B C hingegen durch ein

(p\x) dx — — (p (0),

D=-

r—r <p(x)xdx

LEI Jo

und folglich

A cp (0')

FQ

A=—

Aip(0)

fq

<p (0) B — D =

tp (0) • B₁ — A =

(52)

PÎ

-a-

-x-

I«

-l

h-

«T

-X-

li

-b

>i

Fig. 28.

Gewicht P₁ in den Entfernungen % und b₁ von den Stützpunkten B und C belastet, so hat man für das Fach A B zwischen x — 0 und x = a

und folglich

zwischen x = a und x — l es resultirt daher

<p(x) = P{a — x), cp (0) — Pa-(p (®) = 0;

jo (f ^

x dx

x) x d x —

und folglich

tp (0) B — D = i -^2

£    6 EI

In gleicher Weise erhält man

q (0) Bv — Dy — — Px ^ h

womit dann die Gleichung (50) sich folgendermassen darstellt:

M₀

fJL

{ôei fd

3 El

F DJ    L {6 El FD

)i

P a (l²— a²)    P, 7>| (l\ — b\)

(5a)

61 EI

6 ly EI

Wenn man linksseitig die aus den tangentialen Elasticitätskräften

jl

hervorgegangenen Ausdrücke, d. li. die den Factor —enthaltenden Ausdrücke vernachlässigt, so vereinfacht sich die Gleichung bedeutend und ergibt nach Multiplication mit 6 EI

• (54)

Mq l -f- 2 My ( l -f- l\) + M, ly -

Pa (l²— a²) Py 7>i (l\ — b\)

Wirken auf die beiden Fächer A B und B C gleichmässig vertheilte Gewichte, und zwar mit p Kilogramm per Längeneinheit auf das erste Fach und mit p{ Kilogramm auf das zweite Fach, so hat man

Vj(y) = (h — y)-,

V/(°) = ^Pi l\>

und folglich

(p{x) = ^p{l — x)²,

<p (°) =    ¹²

jo ⁹ ^

riy    1    ri j

ip(y)y dy = -2)y\    (ly — y)²ydy = -

Jo    2 J o    24

(p(0)B—D =

— x)² x d x = — p P,

24

r: Pi l\;

— ¹ Pi /3i 24 P7

x d x = — p Ç (l

2 Jo

Ifj (0) By - Dy =

1 pP

2ÏË1’

Substituirt man diese Werthe und die Werthe (51) in die Gleichung (50), so ergibt letztere

M₀

(-

I VQEI FD

4 i JkCJJl___A ^ lpl'+pM.

J l Iß EI F DJ 24 EI ’

vernachlässigt man ferner auf der linken Seite der Gleichung die den A

Factor —— enthaltenden Ausdrücke, welche im Allgemeinen im Verhält-

SEI FD

nisse zu den anderen sehr klein sind, so vereinfacht sich die Gleichung noch mehr, und man findet nach Multiplication mit 6 EI

p P + pi Pi

M₀ l -f- 2 AI y (l -f- ly') -j- AR ly —

G>6)

Dies ist die sehr wichtige, von Clapeyron gegebene Gleichung, welche in der Praxis gewöhnlich die Berechnung der eisernen Brücken mit continuirlichen Trägern ermöglicht.

8. Praktische Berechnung eiserner Brücken mit einem Fache. — Diagramme der Biegungsmomente und der Schubkräfte, wenn eine gleichmässig yertlieilte Belastung angenommen wird. — Für die Berechnung eiserner Brücken mit nur einem Fache

(einer Oeffnung) wird im Allgemeinen eine auf einen -f    kleineren oder grösseren

Theil der Brücke gleich-massig vertheilte Belastung angenommen.

Es sei ABB'A' ein horizontaler, an seinen Enden !    unterstützter Träger, wel-

^    eher in dem Stücke CD'

durch ein gleichmässig vertheiltes Gewicht von p Kilogramm per Längeneinheit belastet wird.

Nennt man

l die Länge des Trägers, a die Länge des Stückes Ä C, b die Länge des belasteten Stückes A' D\ so findet man die Keactionen der Stützpunkte A und B wrie folgt:

J:

4k

__Cs

Tj

c~~~.

fr

Fig. 29.

Rx =p (b — a)

21 — a — b

21

R₂ — p (b — «)

ci —|— b

21

Das Biegungsmoment in Bezug auf einen Querschnitt in der Entfernung x vom Stützpunkte A ist AI = — Rx x, wenn x a,

a)², wenn x zwischen a und b genommen wird,

M= — Ey x -f-

(x

M■= — B₂ (l — x), wenn x zwischen b und l genommen wird.

Nimmt man also die Gerade Ä B' als sc-A dise an mit dem Anfangspunkte in Ä und zeichnet man hierüber das Diagramm der Biegungsmomente, d. h. eine Curve, deren Ordinaten den Biegungsmomenten proportional sind, so sieht man, dass dieses Diagramm sich aus den zwei Geraden A' E, F B' und einem Bogen F G F zusammensetzt ; letzterer gehört einer Parahel an, welche die Verticale G G' zur Achse hat, wie man aus deren Gleichung

M— - RyX-{~

(x — a) -,

[hl)

welche bezüglich der Abscisse x vom zweiten Grade ist, leicht ersehen kann.

clM

Dieser Parabelbogen wird in den beiden Punkten E und F von den zwei Geraden Ä E und B' F tangirt ; in der Tliat gibt die Gleichung (57) für x — a

dx

M = — Ry a,

was beweist, dass die Parabel durch den Punkt E der Geraden Ä E geht, und dass sie von derselben tangirt wird; in gleicher Weise lässt sich für x = b durch die Gleichung (57) und den Differentialquotienten derselben beweisen, dass die Parabel durch den Punkt F geht und tangential zur Geraden F B' ist.

Ferner ist zu beachten, dass der Parameter der Parabel, welcher

2

der Bogen EG F angehört, — ist, wie gross auch die Längen a und b

sind; daraus folgt, dass sich die Parabel umsomehr erhebt, je kleiner die Länge a und je grösser das belastete Stück CD' ist, und dass folglich das Biegungsmoment in einem beliebigen Querschnitte des Trägers sein Maximum in dem Falle erreicht, wo die Belastung von p Kilogramm per Längeneinheit sich über den ganzen Träger erstreckt.

In der Praxis nimmt man also als Diagramm der Biegungsmomente einen durch die Endpunkte A und B des Trägers gehenden Parabel-

2

bogen, dessen Achse vertical, und dessen Parameter — ist.

Nim wäre das Diagramm der Schubkräfte zu bestimmen, d. h. diejenige Curve, deren Abscissen die Entfernungen x sind, und deren Ordinaten für jeden Querschnitt die grösste Schubkraft geben, welche stattfinden kann, wenn man die Längen a und b variirt.

Da die Schubkräfte die Differentialquotienten der Biegungsmomente sind, so werden sich offenbar für dieselben folgende Ausdrücke ergeben : S— — Pl für das Stück A C,

S= — i?, -j- p (x — a) für das Stück CD,

S = — P₂ für das Stück DB;

da nur das Stück CD belastet ist, so setzt sich das Diagramm der Schubkräfte zusammen aus einer Geraden III, parallel zur x-Achse, deren Ordinate proportional zu —R{ ist, aus einer zweiten Geraden IL mit einem zu p proportionalen Winkelcoëfficienten, und schliesslich aus einer dritten Geraden, L P parallel zur x-Achse, deren Ordinate proportional zu + P₂ ist. Der Punkt G', wo die Gerade IL die a?-Achse schneidet, correspondit mit der Abscisse, für welche der Differentialquotient des Biegungsmomentes gleich Null wird, d. h. mit dem Querschnitte, in welchem, zufolge der für die Belastung gemachten Annahme, das grösste Biegungsmoment stattfindet.

In der Praxis trägt man im Allgemeinen, wie man in G'L'P (Fig. 29) sieht, jenen Theil des Diagrammes der Schubkräfte, welcher sich oberhalb der æ-Achse befindet, auch unterhalb derselben auf.

Will man nun den geometrischen Ort der Punkte I und I' suchen, indem man a und b sich ändern lässt, so sieht man zuerst, dass, wenn sich a und b derartig ändern, dass die Differenz b — a constant bleibt, die geometrischen Orte der Punkte I und L’ zwei untereinander vollkommen gleiche Curven bilden, welche bezüglich der Mitte des Trägers symmetrisch sind; es würde daher genügen, den geometrischen Ort des Punktes L zu suchen.

Lässt man nun a sich verringern, indem man die Grösse b constant beibehält, so wird die Ordinate des Punktes L wachsen, denn dieselbe ist proportional zu

21

P₂=p

Der grösste Werth der Ordinate DL' entspricht also a = 0 und ist

21

Nimmt man die Werthe von b als Abscissen und jene von S als Ordinaten, so folgt aus dieser Gleichung, dass die grössten Schubkräfte in den verschiedenen Querschnitten sich nach den Ordinaten einer Parabel AQT ändern; diese Parabel hat eine verticale Achse, wird von der

2 l

x-Achse im Punkte A tangirt und hat als Parameter die Grösse —.

Da man noch eine andere Parabel zu berücksichtigen hat, welche mit der ersten gleich ist und in Bezug auf die Mitte des Trägers symmetrisch zu derselben ist, so sieht man schliesslich, dass das Diagramm der Schubkräfte sich aus den zwei Bögen Q U und Q T zusammensetzt.

9. Diagramm der Biegungsmomente und der Schubkräfte, wenn man gleichzeitig das permanente Gewicht und die zufällige Belastung betrachtet. — Das permanente Gewicht der eisernen Brücken lässt sich im Allgemeinen als gleichmässig über die Länge der Brücke vertheilt betrachten.

Dasselbe betrage z. B. pi Kilogramm per Längeneinheit; die zufällige Belastung der Brücke sei hingegen p Kilogramm. Berücksichtigt man das permanente Gewicht allein, so ist offenbar das Biegungsmoment in der Entfernung x vom Stützpunkte A gleich

L\2 I

Nach Obigem hat man für die alleinige zufällige Belastung das grösste Biegungsmoment in dem betrachteten Querschnitte dann, wenn die Belastung über die ganze Brücke vertheilt ist; der Werth dieses Moments beträgt

Betrachtet man nun das permanente Gewicht und die zufällige Belastung gleichzeitig, so findet das grösste Biegungsmoment in jenem Querschnitte statt, dessen Entfernung vom Stützpunkte gleich A — x ist, und zwar ist dasselbe gleich

-    + p) X (l — x),

d. h. das Diagramm der Biegungsmomente ist eine durch die Enden des Trägers gehende Parabel, deren Achse vertical und deren Parameter

ist.

Pi + P

Auf die Schubkräfte übergehend, weiss man nach dem Vorausgegangenen, dass für den Querschnitt in der Entfernung x vom Stutzpunkt A das alleinige permanente Gewicht eine Schubkraft

—Pi

e-)

gibt; die grösste Schubkraft, welche die zufällige Belastung in dem betrachteten Querschnitte hervorruft, ist

P 21’

—. Es ist also für alle Werthe von x, welche dieser Be-2

dingung entsprechen, die grösste, dem permanenten Gewichte und der Belastung entsprechende Schubkraft gleich

wenn der Querschnitt sich in der rechten Hälfte des Trägers befindet, d. h. wenn x

— Pi

e-)⁺'S

Das Diagramm der Schubkräfte ist für die rechte Hälfte des

21

Trägers eine Parabel mit verticaler Achse, deren Parameter — ist, für

P

die linke Hälfte besteht dasselbe aus einem zu dem ersten symmetrischen Parabelbogen.

Um dieses Diagramm leicht zu construiren, beachte man, dass für den Mittelpunkt des Trägers die Ordinate

pl

Pi

±£i,

2

ist, und für die Enden

wie dies aus obiger Formel hervorgeht, wenn man successive x — — und x — l macht.    ^

und es setzt sich für diese Lage des Gewichtes das E Diagramm des Biegungsmomentes aus den zwei Geraden A D und D B zusammen, vorausgesetzt, dass die Ordinate C D das Biegungsmoment für den Querschnitt C darstellt. Das Diagramm der grössten Biegungsmomente für das sich längs der Brücke bewegende Gewicht ist offenbar der geometrische Ort des Punktes D, und ist derselbe durch die Gleichung (58) gegeben; daraus folgt, dass das gesuchte Diagramm eine durch die Enden A und B gehende Parabel ist, deren Achse vertical und deren Parameter

tr

Fig. 30.

10. Diagramm der Biegungsmomente lind der Schubkräfte in dem Falle, als ein einzelnes Gewicht JP sich iiher die Brücke bewegt. — Befindet sich das Gewicht in der Entfernung x von dem Ende A, so hat man finden Querschnitt, in welchem sich der Angriffs-' punkt des Gewichtes befindet, das Biegungsmoment y

x(l — x)

T).

-X---->

[B

M= —P

,(58)

->C

ist.

In dem Falle einer im Ausmasse von p Kilogramm per Längeneinheit gleichförmig über die Brücke vertheilten Belastung ist das Diagramm der Biegungsmomente, wie wir gesehen haben, eine Parabel, welche denselben Bedingungen entspricht, wie der oben definirte Bogen, deren Parameter aber

ist; die beiden Parabeln werden zusammenfallen, sobald

l__2

P p

ist, oder

pl = 2P,

2P

P = ~r

Man sieht also, dass bezüglich der Biegungsmomente ein über die Brücke sich bewegendes Geivicht P dieselbe Wirkung hervorruft wie ein doppelt so grosses, gleichmässig über die ganze Länge derselben ver-theiltes Gewicht.

Auf die Schubkräfte übergehend ergibt sich für das in der Entfernung x vom Punkte A befindliche Gewicht P, dass die Schubkraft in allen Querschnitten des Theiles A C gleich ist der Reaction im Punkte A, d. h. gleich ist und für alle Querschnitte des Theiles B C gleich ist der Réaction des Stützpunktes B, d. h.

so dass das Diagramm der Schubspannungen sich aus den zwei zur x-Achse parallelen Geraden E F und G H zusammensetzt.

Um das Diagramm der grössten Schubkräfte zu finden, wenn sich das Gewicht P über die Brücke bewegt, muss man den geometrischen Ort des Punktes F für die linke Hälfte der Brücke suchen und denselben sodann symmetrisch auf die andere Seite übertragen. Nun ist die durch die Ordinate C F dargestellte Schubkraft

S=P

l — x

und folglich in Bezug auf x linear, so dass der geometrische Ort des Punktes F eine Gerade sein muss.

Da obige Gleichung für

S=P S = 0

und für

gibt, so sieht man, dass die durch diese Gleichung gegebene Gerade durch den Punkt B geht, und dass deren Ordinate AI zu P proportional

ist. Für den Punkt in der Mitte, d. h. für x = — ist die Ordinate die

2

Hälfte von A I. Es setzt sich also das Diagramm der grössten Schubkräfte aus den zwei Geraden IL und LN zusammen und gehen dieselben durch die Endpunkte A und B.

11. Diagramm der Biegungsmomente und der Schubkräfte für Eisenbriicken. — Nach Obigem ist das gleichmässig über die ganze Länge eines Trägers vertheilte Gewicht, welches bezüglich der Biegungs-momente dasselbe Diagramm gibt wie das über die Brücke sich bewegende Gewicht P, durch die Gleichung

pl = 2P

bestimmt. Durch Multiplication dieser Gleichung mit — erhält man

p_P_Pl

P l ^

nun ist -— das grösste Biegungsmoment einer gleichmässig vertheilten

PI

Belastung und — dasjenige, welches das Gewicht überhaupt liervor-4

rufen kann, indem es sich über die Brücke bewegt; daraus sieht man, dass das gleichmässig über die Brücke vertheilte Gewicht, welches bezüglich der Biegungsmomente gleich ist dem sich über den Träger bewegenden Gewichte P, auch durch die Bedingung bestimmt werden kann, dass das grösste Biegungsmoment in beiden Fällen dasselbe ist.

Diese gegenseitige Beziehung wird in der Praxis dazu angewendet,

£i² = i¥.

um die Berechnung der eisernen Eisenbahnbrücken zu vereinfachen. Denn, da die Züge, welche die Brücke passiren, keine gleichmässig vertheilte Belastung geben, sucht man zuerst das grösste Biegungsmoment, welches dieselben geben können, und berechnet sodann die Brücke, als wäre sie durch ein ihrer ganzen Länge nach gleichmässig vertheiltes Gereicht belastet, leelches im Stande ist, das für den Verkehr der Züge berechnete grösste Moment zu geben. Nennt man dieses Moment M, so hat man die Gleichung

woraus sich ergibt wobei p ebenso wie früher das Gewicht per Längeneinheit ist.

Nach dem Vorhergegangenen sieht man, dass dieser für die Biegungsmomente wohl annehmbare Schluss für die Schubkräfte nicht gilt; denn für den Fall, als ein einzelnes Gewicht sich über die Brücke bewegt, wurde gefunden, dass das Diagramm der Schubkräfte sich aus den beiden Geraden IL und LN zusammensetzt, was für die Mitte des Trägers eine Kraft, gleich der Hälfte jener an den Enden, ergibt, während in dem Falle einer gleichmässig vertheilten Belastung — und zwar einer Belastung, welche bezüglich der Biegungsmomente gleichwertliig ist mit dem sich über die Brücke bewegenden Gewichte P — das Diagramm der Schubkräfte sich aus den beiden Geraden IL' und L'N zusammen

setzt, was für die Mitte des Trägers eine Schubkraft Null gibt und folglich für alle anderen Querschnitte kleinere Schubkräfte, als sie durch das Gewicht P hervorgerufen werden.

Man muss also für die Schubkräfte in jedem einzelnen Falle den schwersten in Betracht kommenden Güterzug als Grundlage nehmen und das Diagramm unter der Voraussetzung construiren, dass dieser Zug sich bewege.

12. Pfeilliölie der Durchbiegung in der Mitte einer eisernen Brücke mit einer einzigen Oeffnung, sobald diese Brücke durch ein gleichmässig vertlieiltes Gewicht belastet wird. — Für diesen Fall wurde in Nummer 6 die Formel (38), d. h.

_p Çix² (l — x) d x p ÇL A (l — 2x) dx

FQ

f=2j₀    Ë7    ⁺2jo

gefunden, welche ersehen lässt, dass die Pfeilhöhe / sich aus zwei Theilen zusammensetzt, und zwar aus

f=

EI

p ÇL x² (l — x) dx 2Jo~

von der Biegung herrührend, und aus

j,,,_p CL A (l — 2x) dx

o

F PI

von der Verschiebung stammend; und zwar wurden diese Formeln für

symmetrische Träger erhalten.

-----—H    Denkt man sich den Träger in

P    mehrere Theile getheilt, so zwar, dass

je zwei bezüglich der Mitte C zu einander symmetrisch sind, und dass die zwei äussersten Theile A D und B P ein constantes Trägheitsmoment gleich Iv haben ; die beiden folgenden D G und P N das Trägheits-

JL

/S

L.

-X

Xr

<t H C L N P Fig. 31.

moment /₂ ; die anderen G H und N L das Moment /₃ und der letzte Tlieil HL das Moment /„ so kann man die Integration des Ausdruckes für /' ausführen und erhält

f=

3 ly

a\ a\

a ³₃—a''

Æi'

2E

a\

a\ — ai₁

a⁴₃—a\

(0

— a%

Um f" zu berechnen, muss man den Träger in eine Anzahl gleicher, bezüglich der Mitte symmetrischer Theile zerlegen, so zwar, dass das

—><---------Jl,---------->

t* Or₃—-H

!    k-%-^

; i ;

Yerhältniss — nachfolgende Wertlie er-

p

A

i,.

hält, nämlich :

Vy

i<--------=L----

Q--

für alle Querschnitte À^aA

der äussersten Theile MP'und BP':

Fig. 32.

A    A

— für alle Querschnitte der Theile D'G' und P'N': —- für jene der

P₂

P₃

Theile G'H' und N'L'- und endlich —⁴ für jene des mittleren Theiles

P4

H'L'. Hierauf kann man die Integration des Ausdruckes für /" ausführen und erhält

Ayl 1

r-A

Qy

A₂ (l-i &i) A;f (jb₃ b₂)

P₂

P₃

2F

Ayl\

Aj (b\    b²] )

p₂

P₃

-h)\

P₄

A_

p₄

Im Allgemeinen kann man die vollen Blechwandträger sowohl bezüglich der Biegungsmomente als auch bezüglich der Schubkräfte in gleiche Theile zerlegen, so dass man in dem Ausdrucke für f" b in a ändern kann, was übrigens für die Rechnung keinen Vortheil bietet.

Bei den Gitterträgern hingegen findet diese Uebereinstimmung fast niemals statt, weshalb auch für die Pfeilhöhe der Durchbiegung die beiden Summanden f und f" unterschieden wurden.

Man muss wohl beachten, dass, sobald es sieh um einen Gitterträger handelt, die Formel (38) modificirt werden muss, indem man statt des Coëffieienten F der tangentiellen Elasticität, den Coëfficienten E' der longitudinalen Elasticität der Gitterstäbe und statt der Querschnittsfläche Q des Trägers den Querschnitt o> der Gitterstäbe setzen muss.

13. Eisenbrttcken mit continiiiiTichen Trägern. — Bei den Eisenbrücken über eine einzige Oeffnung ist das Biegungsmoment und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte nur von der Belastung und nicht von den Querdimensionen des Trägers abhängig. Bei den Eisenbrücken, deren Hauptträger sich von einem Widerlager zu dem anderen erstrecken, ohne auf den Pfeilern unterbrochen zu sein, resultirt hingegen aus den in Nummer 7 gegebenen Formeln (44) und (50), dass die Biegungsmomente auf den Pfeilern und folglich das Biegungsmoment und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte auch von den Dimensionen der Querschnittsfläche des Trägers abhängen.

Da aber gerade diese Dimensionen die Unbekannten sind, welche man zu berechnen hat, so sieht man, dass sich grosse Schwierigkeiten ergeben würden, wenn man das Problem auf directem Wege auf lösen wollte. Deshalb beschränkt man sich bis jetzt in der Praxis immer darauf, die continuirlichen Träger mit Hilfe der Formel (56) zu berechnen, welche Formel aus jener (50) abgeleitet wird, indem man sich das Gewicht gleichförmig über die Länge jedes Faches vertheilt denkt unter Vernachlässigung der durch die transversalen Verschiebungen hervorgerufenen Deformationen, und indem man schliesslich das Trägheitsmoment des Querschnittes von einem Ende zum anderen als constant annimmt.

Dieser Weg ist für die erste Berechnung ohne Zweifel der einzig rationelle, denn er gestattet, das Biegungsmoment und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte zu berechnen, ohne die Dimensionen des Trägers zu kennen. Sodann kann man mit Hilfe der erhaltenen Resultate jedes Fach in mehrere Theile theilen, indem man jedem derselben einen constanten Querschnitt gibt, jedoch derart, dass derselbe der grössten Schubkraft, welcher er unterworfen werden könnte, widerstehen kann.

Gewöhnlich beschränkt man sich darauf ; aber es ist klar, dass man, um die wirklichen Schubkräfte zu bestimmen, welche in dem Träger stattfinden, die Berechnung nochmals aufnehmen und ein zweites Mal das

Diagramm der Biegungsmomente und jenes der Schubkräfte bestimmen muss, wobei man auf die Aenderung sowohl des Trägheitsmomentes als

auch des Verhältnisses — Rücksicht nimmt. Diese zweite Berechnung

bietet keine Schwierigkeiten mehr, denn da der Träger nun in Abschnitte

getheilt wird,, für welche das Trägheitsmoment und das Verhältniss

constant sind, so lassen sich die Integrationen, welche für den Gebrauch der Formel (44) nothwendig sind, leicht durchführen.

Ferner ist noch zu beachten, dass bei Eisenbrücken gewöhnlich die Fächer untereinander nicht gleich sind, da man die beiden äussersten einander wohl gleich, aber etwas kleiner als die anderen macht.

Wenn man eine Eisenbrücke mit continuirlichen Trägern zu berechnen hat, genügt es für die Praxis, jene Fälle zu betrachten, wo die Fächer jedes für sich, oder wo die auf einander folgenden Fächer paarweise belastet sind.

Um die Durchbiegung f des Mittelpunktes eines beliebigen Faches eines continuirlichen Trägers zu berechnen, kann man sich der in Nummer 5

gegebenen Formel (25) bedienen, indem man x = - macht; dies gibt,

2

wenn man unter dem Integrationszeichen den Index bei x weglässt,

lM{l—x)

/=“

H I <73

dx

EI

rH 1 (73

dx —

JM-]

/'=

diese Pfeilhöhe / setzt sich, wie man sieht, aus zwei Theilen zusammen, deren einer

to|

EI

von der Biegung allein herrührt, und deren anderer

O to I

AS

FQ,

dx —

von der Verschiebung stammt.

Da angenommen wurde, dass das betrachtete Fach durch ein gleichförmig vertheiltes Gewicht belastet wird, so kann man in dem Ausdrucke (22) der Nummer 5

16

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

cp (0) = - p P und cp (x) = - p (l — x)¹ 2 2

setzen, wodurch man

M=M₀

^pQ — x)x

erhält, und folglich S =

My-M₀

p(hx)

Diese beiden letzten Formeln dienen dazu, um das Biegungsmoment und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte zu bestimmen, wenn die Biegungsmomente auf den Pfeilern bestimmt sind.

Durch die Substitution in die Ausdrücke für f und f " erhält man

f i (l — cc)¹ dx~j

Jł 57 J

f=~

to

U:

l- x¹ d x

l (7 — x) x d x

21

El

El

îU:

(7 — x) x¹ d x

El

l (l — x)¹x d x

El

r=

My-M₀

21

[J

l- A dx

F12

ri A dx~\

J

j A (l — 2x) d x

l A (l — 2 x) d x

EI

EI

Çl A dx~1

)i~FäJ

r=~

l A dx

■/

to',

- A (l — 2x) d x

2 F12

l A (l — 2x) d x

2 F12

2. Zwischenliegende Fächer. — Diese Fächer sind im Allgemeinen, wie dies schon erwähnt wurde, untereinander ganz gleich und ferner in Bezug auf deren Mitte symmetrisch; in diesem Falle ergeben

sich mehrere Vereinfachungen, denn, wenn man in den zwischen — und 1

2

genommenen Integralen l — x — y macht, d. h. wenn man für diese Integrale das rechte Ende als Ursprung nimmt, so erhält man

i (l — x) x dx _

i(i—xy

EI

y2dv

EI ’

xAxdx ÇLyï(l — y)dy

J 0

dx —

EI

EI

l A (l — 2x) dx

(l — y)ydy

EI

EI

FH

Ady

~¥n’

A(l — Zy)dy

2 FH

2 En

und da, auf Grund der Symmetrie, diese Integrale mit y gleich sind den Integralen, welche aus der Aenderung von y in x resultiren, so erhält man die Formeln

-f- Mx

21

LI

\(l — x) x dx

EI

rix^dx-1 Pri(l

Jo EI J ¹ 2J0

x)x‘¹dx

EI

FH

d x₇

deren erste sich noch vereinfachen lässt, und zwar wie folgt:

f=

Mq -f- My ÇL x dx p Ç1 (l — x) a?² dx

EI

2 Jo ~ËT ⁺ Aa

Die Anwendung dieser Formeln in den praktischen Fällen ist sehr leicht, denn jedes Fach wird im Allgemeinen in mehrere Theile getheilt, deren jeder eine constante Querschnittsfläche hat.

Es ist auch hier zu wiederholen, dass man, wenn es sich, wie hei Brücken mit einem einzigen Fache, um Gitterträger handelt, in dem Ausdrucke für f" statt des Coëfficienten F der tangentialen Elasticität, den Coëfficienten E' der normalen Elasticität der Gitterstäbe setzen muss.

Bezüglich des Coëfficienten A wurden die zu dessen Berechnung noth wendigen Formeln sowohl für den Fall der vollen Blech wandträger, als auch für jenen der Gitterträger schon gegeben.

16*

bezieht sich auf das Stück AC (Fig. 26, S. 210), während der zweite

Ausdruck

IM{1 — x)

EI

14. Betrachtungen über die horrnel (2o). — Von der Formel (25) kann man sogleich auf die Gleichung (44) übergehen, denn der erste Ausdruck der Formel (25), d. i.

I — x

’x Mx

o EI

dx -f-

rx AS Jo FH

FH

sich auf das Stück B C bezieht ; diesen letzten Ausdruck kann man aber auch folgendermassen schreiben:

M (l — x

Hl,

EI

r 0

d(l — x)A-\

J l-x

AS

FH

d(l — x')~\

Macht man hierin l — x — y' und l — x = y und kehrt man die Grenzen der Integrale um, was die Aenderung des Zeichens der Ausdrücke bedingt, so erhält man

(y ^y~dy—[y — dy'1

Jo EI J Jo FH J J

Man kann nun, der grösseren Deutlichkeit wegen, in dieser Formel M in und S in S ändern, um das Biegungsmoment und die Schubkraft für die Querschnitte des Stückes CB von den ähnlichen Grössen, welche sich auf die Querschnitte des Stückes A C beziehen, zu unterscheiden. Die Formel (25) kann also in folgender Form gegeben werden:

’x AS o EH

rj =

’x Mx o 1Ë1

dy'~SlÊdy']

x f Çy

o EI

Es ist bekannt, dass man das Biegungsmoment M und die Schubkraft S für einen beliebigen Querschnitt des Stückes A C in einer Function der dasselbe belastenden Gewichte und der in den Querschnitten A und C stattfindenden Biegungsmomente ausdriicken kann; in gleicher Weise kann das Biegungsmoment 9Î5 und die Schubkraft S für einen beliebigen Querschnitt des Stückes CB ausgedrückt werden in einer Function der

dasselbe belastenden Gewichte lind der in den Querschnitten B und C stattfindenden Biegungsmomente. Daraus folgt, dass man die Senkung y des Punktes C in einer Function der drei Biegungsmomente ausdrücken kann, d. h. jener Momente, welche an den Enden des Trägers, und desjenigen, welches in dem Querschnitte C stattfindet.

«,

Es ist zu beachten, dass die Formel (25) die Senkung y des Punktes C unter der Voraussetzung gibt, dass sich die Enden des Trägers nicht senken können; oder in anderen Worten, sie gibt die Senkung des Punktes C in Bezug* auf die Gerade, welche nach der Deformation die Mittelpunkte der äussersten Enden des Trägers verbindet. Wenn sich also die Enden A und B während der Deformation um die Grösse respective y senken und der Punkt C um die Grösse ß, so ist offenbar die Senkung dieses Punktes in Bezug auf die Gerade, welche nach der Deformation die Mittelpunkte der Endflächen verbindet, bei Beachtung, dass x + y = 1 ist, gegeben durch

<*)y

_ iß — Y) * + (ß

Durch Substitution dieses Werthes von rj in die oben erhaltene Formel und durch gleichzeitige Division durch — — erhält man

y—ß

x AS o FQ

+ Lf

yWCy

o EI

Will man nun diese Formel auf continuirliche Träger anwenden, so betrachte man die zwei aufeinander folgenden Fächer AB und BC als ein einziges Fach, was man machen kann, indem man sich den Stützpunkt B entfernt denkt und dafür eine von unten nach oben gerichtete vertical wirkende Kraft substituirt. Um nun eine Beziehung zwischen dem Biegungsmoment in den drei Stützpunkten A, B, C zu erhalten, hat man nur x in l und y in ly zu wechseln, womit die letzte Formel sogleich die Gleichung (44) gibt.

8. Capitel.

¹

F12

Im Allgemeinen vereinfachen sich diese Formeln in der Praxis, sowohl für die äussersten Fächer, als auch für die Zwischenfächer, wie dies aus den folgenden Betrachtungen hervorgeht:

1. Aeusserstes Fach. — Untersucht man z. B. das linke Fach, so hat man M₀ — 0 und folglich

Theorie der auf Zerknicken beanspruchten Träger mit geradliniger Achse,

Ib'

1. Curve, nach welcher sich ein verticaler, von oben belasteter Träger biegt. — Es sei A B ein Träger mit geradliniger und verticaler Achse, welcher an seinem unteren Ende eingespannt ist, und dessen Trägheitshauptachsen der Querschnitte in zwei aufeinander senkrecht stehende Ebenen fallen, deren Durchschnittslinie mit der Horizontalebene die zwei senkrechten Geraden XX' und YY' sind.

iß

"t *

Es werde nun angenommen, dass auf die obere Grundfläche folgende Kräfte wirken:

mmmmmi

Fig\ 33.

1.    Verticale, von oben nach unten gerichtete Kräfte, oder in anderer Weise ausgedrückt, gleichförmig über jede zur Achse XX' parallele Linie vertheilte Gewichte.

2.    Tangentialkräfte, parallel zur Achse Y Y', deren Summe St ist.

Px sei also die Summe aller auf die Fläche B wirkenden Vertical-kräfte oder Gewichte und M₁ die Summe ihrer Momente in Bezug auf die zur Achse XX' parallele Trägheitshauptachse der Grundfläche, so dass die Normalpressung auf die obere Grundfläche, sowie auf alle anderen Querschnitte des Körpers und M₁ das Biegungsmoment in der oberen Grundfläche ist.

Es handelt sich nun darum, die Drehung der oberen Fläche und ferner die Curve zu finden, nach welcher sich die Achse des Körpers biegt.

Wenn man annimmt, dass die Achse des Körpers nach der Deformation die Curve AP' bildet, und wenn man die Pfeilhöhe der Curve / nennt, d. h. die horizontale Verrückung BB' des Mittelpunktes der oberen Fläche und y die Ordinate des Punktes C der Curve, d. h. die

Verrückung C C des Mittelpunktes des Querschnittes C, so ist offenbar für den mit dem Punkte C in der Entfernung x von der Grundfläche des Körpers correspondirenden Querschnitt das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft durch folgende Formeln gegeben:

M=Mi+Pi(f-y) + Si(l-x),

(1)

P=P»

S = SV

Für die Schubkräfte wurde der constante Werth S genommen, indem man die Componente des Gewichtes P, welche von der kleinen Neigung der Querschnitte gegen die Horizontale nach der Deformation herrührt, vernachlässigt.

Nennt man nun

E den normalen Elasticitätscoefficienten des Körpers in dem Quer

schnitte C,

F den tangentialen Elasticitätscoefficienten,

S2 die Fläche und I das Trägheitsmoment dieses Querschnittes,

A den Coëfficienten, welcher in den Ausdruck für die aus den Tangentialkräften sich ergebende Deformationsarbeit eintritt, l die Länge des Körpers, so wird die Deformationsarbeit durch die Formel

Ç'Viv + lC'lLto + lC'** J o EI 2 J o F Si    2 J 0 FSi

ausgedrückt, deren Differentialquotient nach M₁ die Drehung 6, der obersten Fläche gibt. Das zweite und das dritte Integral enthält M₁ nicht und verschwindet daher, sobald man den Differentialquotienten nimmt;

man hat also, indem man berücksichtigt, dass

= 1 ist, einfach

dM

dM,

i M dM

dx =

(2)

d x,

0 EI d Mx

oder, wenn man für M dessen Werth (1) suhstituirt,

o EI

r^+P(itzidx+Sin

JoEI 'Jo EI ^ Mo

l (l — x)

EI

d x.

(2b)

Man sieht daraus, dass man von dieser Formel nur dann Gebrauch machen kann, wenn man y in einer Function von x erhalten hat, d. h. nachdem man die von der Achse des Körpers nach der Deformation beschriebene Curve bestimmt hat.

Um die Gleichung- dieser Curve zu bestimmen, denke man sich im Mittelpunkte des Querschnittes C eine horizontale Kraft <7 und eine verticale Kraft 7/ wirkend, und zwar so klein, als man will. Das Biegungs-moment, die Normalpressung- und die Schubkraft in einem Querschnitte D, dessen Entfernung von der Grundfläche x <; x ist, werden sodann durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

(3)

M— -f- Px ( f — y ) -f- $1 (l — x ) -f- (o (x — x ) -f- co (y — y), P=Pi+o/,

S = S₁ -f- cö.

Für die Querschnitte oberhalb von C sind die Wertlie co und cor in den Ausdrücken für das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft nicht enthalten, d. h. diese Grössen sind durch die Formeln (1) schon gegeben. Da die horizontale und die verticale Verrückung des Querschnittsmittelpunktes C die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des festen Körpers mit Bezug- auf co und To sind, und da jener Theil dieser Arbeit, welcher dem Stücke CB entspricht, die Kräfte To und T) nicht enthält, so genügt es, die Deformationsarbeit des Stückes A C zu betrachten, welche durch die folgende Formel ausgedrückt wird:

¹(XMldz'+¹[* P1 dx+¹{XÄS"

2jo EI 2jo EI 2Jo FQ

indem hierin für M, P, S deren Werthe (3) substituirt werden.

Nimmt man die Differentialquotienten dieser Formel nach Tö und

oi, so erhält man die horizontale Verrückung y und die verticale Ver

rückung £ des Mittelpunktes des Querschnittes C. Bei Beachtung, dass die Formeln (3)

dM

dP

dS

d co

d io

d o>

dM

da

ergeben, erhält man

; = y — y,

dP

d co

dS

d co'

Um nun die Verrückungen y und § zu finden, sobald die Kräfte o> und io' nicht vorhanden sind, muss man in diesen Formeln die Ausdrücke (3) von M, P, S substituiren, nachdem man hierin tö = 0 und co' = 0 gemacht hat, d. h. es ist

M=Ml-pPi (f-y) -pS.il- x’),

(5)

P=Pi,

s=s.

Es ist wohl zu beachten, dass man in den Formeln (4) für x und x die Abscissen der zu betrachtenden Punkte nach der Deformation nehmen muss, d. h. die ursprünglichen Abscissen vermindert um die durch die zweite dieser Formeln gegebenen verticalen Verrückungen. Wenn man also strenge Vorgehen wollte, wäre die Auflösung dieses Problems sehr schwierig; aber da die verticalen Verrückungen immer sehr klein sind, kann man offenbar mit mehr als genügender Genauigkeit in den Formeln (4) für x und x die ursprünglichen Abscissen nehmen. Die erste dieser Formeln genügt also, um die Ordinaten der von der Achse des Körpers nach der Deformation gebildeten Curve zu erhalten, während die zweite das Mittel gibt zur Berechnung der Verkleinerung der ursprünglichen Abscissen. Da aber die Ordinaten y im Verhältnisse zu deu Abscissen x ungemein klein sind, ist auch das Integral

EI

jx M (y — y)

sehr klein im Verhältnisse zu dem Integrale

d x,

r*M(x — x)

EI

ynl

x M (x — ar)

El

x AS o Fli

H:

x M (y y')

. Cx dx -4-1

Jo

(4)

Jo

K» -

r=-

21

r fl x¹ dx fl

l (l — x) x d x

EI

- (7 — x) x¹ d x

l (7 — x)¹x dx

so dass man in dem Ausdrucke für £ das erste Glied vernachlässigen

•x pl

o Ë1

und einfach

irr*

(6)

nehmen kann.

Differentiirt man die erste der Formeln (4) mit Bezug auf x und

berücksichtigt man, dass bei der Integration x als Constante betrachtet wurde, so erhält man nach den Regeln der Differentiation unter dem Integralzeichen

AS

dy Ix Mdx EI

Die Abscisse x kommt nun nicht mehr in der Grösse unter dem Integrationszeichen*) vor, sondern nur als obere Grenze des Integrales; folglich erhält man, wenn ein zweites Mal nach x differentiirt wird,

dx

FQ

(7)

d² y_ M

dx² EI

d ( - )

U'flJ

setzt man für — und EI

FQ

Werth e ein, so ergibt dies die Gleichung cPy _ Jtl + Pl(f-y) + Si(l

die mit der Abscisse x correspondirenden

x)

d f A )

\j'q)

dx²

EI

(8)

2. Integration der Gleichung (8) für homogene Prismen.

In dem Falle, als der Träger homogen und prismatisch ist und daher

constant sind, verschwindet das

das Product EI und die Grösse

F ü

letzte Glied der Gleichung (8) und man kann dieselbe leicht integriren; denn, setzt man

M, + Ą (/— y) + S, (*-*) = (M, + P, /) so erhält man durch zweimaliges Dififerentiiren

*) Man kann die Formel (7) auch erhalten, ohne die Regel der Differentiation unter dem Integralzeichen zu benützen, indem man zuerst den Werth von y in der Form

x Mdx

o EI

'«‘AS o FSl

dx'

schreibt; da die Variable x, bezüglich welcher man den Differentialquotienten nimmt, nicht mehr unter dem Integralzeichen vorkommt, so findet man nun nach der allgemeinen Regel der Differentialrechnung

dy ^

xMdx

dx

o EI

■f- x

M Mx , AS

EI EI ESI

=1

x Mdx , A St o EI ⁺ FSl

dy

dx

-S₁ = (Mi+PJ)^, dx

-P, p> = (M₁₊ P,/) d xl

so dass die von dem letzten Gliede befreite Gleichung (8) sieh folgender-massen darstellt:

dx² EI

Dieser linearen Gleichung- zweiter Ordnung mit constanten Coëffi-cienten wird offenbar Genüge gethan, wenn man für z entweder

nimmt ; folglich sind diese zwei

= 0.

cos

(■Kê)

oder sin

Werthe zwei partielle Integrale, und das allgemeine Integrale ist sodann

2 = ^    ^    ^ ^-X) _ (J COg

Mi+PJ

wobei Cy und C₂ zwei beliebige Constante sind.

Behufs Bestimmung dieser Constanten beachte man, dass für x — 0

d y _A Sy

F~Q

Gleichungen (4) und aus der Gleichung (7) resultirt; drückt man diese Bedingungen mit Hilfe des erhaltenen allgemeinen Integrales aus, so ergibt sich

man y = 0 und

haben muss, wie dies aus der ersten der

APy

Cy =

My+Pyf+Syl

My+Pyf ’

V Py My + Pyf

Sy.

In dem Werthe für C₂ kann man die Grösse die Einheit vernachlässigen, indem man einfach

APy

FI2

in Bezug auf

er

!/-•

V ^ My + Pyf

Sy

setzt; denn nimmt man z. B. ein homogenes Prisma, dessen Querschnitt

₃A;

Eli'

2    6

ein Rechteck ist, so hat man F = — E, A — — und folglich

5    5

APy

Fli

nun ist aber die Grösse

Oh

welche die Verkürzung’ des Prismas be-

PQ’

zügiich der Längeneinheit ausdriickt; immer sehr klein und absolut zu vernachlässigen, im Verhältnisse zur Einheit, welches auch immer die Materie des Prismas sei.

Das oben gefundene allgemeine Integrale gestaltet sich also folgen-

dermassen :

•    + P± (/— y) + Ą G — x)

(9)

3. Discussion der Gleichung (9), wenn die tangentiale Kraft ^ Null ist. Erster specieller Fall. — Wenn die tangentiale Kraft Si gleich Null wird, ergibt die Gleichung (9)

M, + PJ

= cos

(-KJ3

(10)

Da diese Gleichung die unbekannte Pfeilhöhe / enthält, muss man diese zuerst bestimmen, indem man beachtet, dass für x=l y—f sein muss: man erhält also

Mi

woraus sich ergibt

Mt+PJ

= cos

(■d).

Mi

f=

['-“•Ol/i)]

(11) •

Pi cos

Wenn die auf die obere Fläche wirkenden Gewichte gleichförmig vertheilt sind, d. h. wenn das Biegungsmoment Mx Null ist, so resultirt aus der Formel (11), dass im Allgemeinen die Pfeilhöhe / auch Null sein muss. Da übrigens diese Formel auch in der Form

/ cos

mhf, [■—OKS)]

geschrieben werden kann, so sieht man, dass, sobald das Moment M{ Null ist, man

/cosOKä⁼⁰

erhält; dieser Gleichung wird dadurch entsprochen, dass entweder die Pfeilhöhe / Null ist, oder dass

cos

l‘V$)

= 0 oder l

p,

El

= (2 n + 1)

(12)

ist, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Ans der Gleichung (12") ergibt sich

(13)

?r² EI

Pi = ( 2« + l)²A-=A

4 P

p _tc¹ EI

¹ ~~ T ‘1p

Der kleinste Werth dieses Ausdruckes correspondirt mit n — 0, und zwar ist derselbe

(14)

Daraus erkennt man, dass, wenn auf die obere Basis eines Prismas ein Gewicht 1\ und ein Kräftepaar Mt wirken, der Körper sich biegen wird, wie gross auch das Gewicht und das Kräftepaar sei, und dass die von der Achse des Körpers gebildete Curve durch die Gleichung (10) dargestellt wird. Wenn man nach der Biegung das Kräftepaar M₁ auf-hebt, wird der Träger seine gerade und verticale Biclitung wieder annehmen, wie gross auch das Gewicht I\ sei, vorausgesetzt, dass dessen Werth unterhalb dem durch die Formel (14) Gegebenen bleibt, denn

Gleichung / cos ^ l j^/

dann kann der

= 0 nur durch / = 0 entsprochen werden. Wenn aber das Gewicht I\ genau diesen Werth hat, so sieht man, dass der Träger gebogen bleibt; denn obiger Gleichung wird dann entsprochen, ohne dass / gleich Null ist, und — was be-merkenswerth ist — welches auch der Werth dieser Pfeilhöhe ist, vorausgesetzt, dass dieselbe sehr klein sei, denn dies ist die anfangs gestellte Bedingung, für welche nur alle erhaltenen Gleichungen anwendbar sind.

Die Gleichung der von der Achse des Körpers nach der Deformation gebildeten Curve wird von der Gleichung (10) abgeleitet, in-

dem man darin Ml = 0 macht und für Pi dessen Werth (14) einsetzt, so dass

Tt X\

— cos — I .

21

(15)

/    Man sieht daraus, dass die Ordinaten proportional zur Pfeil-

/ höhe / sind, welche nach den ohig'en Betrachtungen eine be-/ liebige Grösse haben kann.

/    Wird ein verticales Prisma durch ein Gewicht belastet,

welches durch die Gleichung (14) bestimmt ist, so wird dasselbe j sich nicht biegen, wenn es vollkommen homogen ist; wenn aber eine beliebige äussere Kraft die obere Grundfläche desselben ver-' rückt, so wird das Prisma sich nach der durch die Gleichung (15) bestimmten Curve biegen und die entsprechende Pfeilhöhe bilden. Vermehrt man nun die Belastung — selbst um eine sehr geringe Grösse — so wird sich die Pfeilhöhe bedeutend vergrössern, und es kann der Bruch des Trägers eintreten.

Man sieht daraus, dass in der Praxis die Belastung von Säulen bedeutend unter der durch die Formel (14) bestimmten bleiben muss.

Hieran reiht sich noch eine andere Betrachtung; diese Formel gibt nämlich den kleinsten Werth von 1\, welcher im Stande ist, den Träger gebogen zu erhalten. Die Formel (13) aber gibt eine grosse Anzahl anderer Werthe, denn man kann n = 1, 2, 3, . . . machen. Um die Bedeutung dieser verschiedenen Werthe von 1\ wohl zu verstehen, beachte p man, dass, wenn man in der Gleichung (9) M₁= 0 macht, und wenn man sodann für 1\ dessen allgemeinen Werth (13) sub-||r stituirt, man als Gleichung der Curve

(2n -j- 1) tcx

mmm.

Fig. 34

Di

c\—

-i

ił

y=f £

1 — cos

21

erhält.

BY

-4

!*

A\ ;

Für den Fall, als z. B. n= 1 ist, wird obige Gleichung

3 7t x

'mmm.

y=/(¹

— cos

21

Fig. 35

und man erkennt leicht, dass dieselbe nebenstehende Curve vorstellt, welche für die Ordinaten der Punkte B, C, D die Werthe

f, 2/,    /

p₌32^!^    ⁹ 7t* EI

gibt; der Werth

¹    4 I² 4 P

ist also jener, welcher fähig ist, den Träger AB CD nach der gegebenen Curve gebogen zu erhalten.

Man kann bemerken, dass der mit n= 1 correspondirende Werth von P₁ auch erhalten werden kann, indem man bedenkt, dass die drei Stücke AB, B C, CD vollkommen gleich sind, und dass jedes derselben als an einem Ende eingemauert und an dem anderen durch das Gewicht P, belastet gedacht werden kann; z. B. kann das Stück CD als im Punkte C eingemauert betrachtet werden, denn die Tangente in diesem Punkte ist vertical und der Werth des Gewichtes, welches dieses Stück gebogen zu erhalten im Stande ist, wird durch die Formel (14) gegeben, indem

man als Länge des Trägers — nimmt, d. h. man erhält

3

p,=

7t'¹ EI    EI

⁴G)

T'l¹’

wie dies die Gleichung (13) auch ergibt, wenn man n= 1 macht. Analoge Ableitungen dienen auch für n = 2, n — 3 etc.

4. Anwendung auf einen anderen speeiellen Fall, s wobei die horizontale Kraft St auch Null ist. — Wenn der Träger auch an seinem oberen Ende eingemauert ist, oder

D __ ri

besser gesagt, wenn die obere Fläche des Trägers gezwungen ist, horizontal zu bleiben, und verhindert ist, sich seitlich zu ver- \ rücken, so wird die Drehung derselben gleich Null sein und die \ Pfeilhöhe f oder die Verrückung des oberen Endes muss auch HHHS Null sein. Leitet man aus der Gleichung für die Curve den ³⁶⁻Werth von y in einer Function von x ab, nachdem man darin / = 0 gemacht hat, so muss, indem man diesen Werth in die Formel (2) sub-stituirt und dieselbe integrirt, = 0 sein; diese Gleichung dient sodann zur Bestimmung des Werthes von Mx.

Nimmt man z. B. einen prismatischen und homogenen Träger, so wird die nach der Deformation von der Achse des Körpers gebildete

Curve durch die Gleichung- (9) gegeben sein, und man erhält daraus, indem man f = 0 macht,

y Pl

[-

— cos

(■ l'Ml

(16)

OKÜ)

Diese Gleichung muss y = 0, sowohl für x — 0, als auch für x = l gehen, daher muss

COS

oder

lV

Pl

EI

2 n 7t

(17)

sein, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.

Führt man den durch die Gleichung (16) gegebenen Ausdruck von y in die Formel (2) ein und integrirt sodann, was in diesem Falle keine Schwierigkeiten bietet, da das Product EI constant ist, so erhält man

0, =

Y pi EI

wobei die rechte Seite der Gleichung offenbar Null wird, wenn man

für l

die Werthe 2 n tt, Avelche durch die Gleichung (17) ge-

geben sind, einführt; es folgt daraus, dass die obere Grundfläche des Trägers factisch horizontal bleibt,

Aus der Gleichung (17) ergibt sich

und für n — 1

F T

P₁ = 4 «² TT² _

r-

(18)

P1 = 4,2^.

V-

(19)

Dies ist der kleinste Werth des Gewichtes, welches im Stande ist, den Träger A B (s. Fig. 36) gebogen zu erhalten, sobald die obere Grundfläche horizontal bleiben muss und sich nicht horizontal verrücken kann.

Es wurde oben erwähnt, dass in der oberen Grundfläche ein Moment Mx auftreten muss; um den Werth dieses Momentes zu be-

stimmen, beachte man, dass, wenn in der Gleichung; (16) der Curve x — — gemacht wird, die Pfeilhöhe fx für die Mitte des Trägers erhalten wird,

d. h. es ist bei Berücksichtigung von ~ j/

pi

- = TV

EI

PT

/i = 2#

und folglich

Damit man in der oberen Grundfläche die Normalpressung Pi und das Biegungsmoment Mx erhalte, genügt es, dass das Gewicht 1\ nach einem linearen Gesetze derart vertheilt ist, dass dessen Resultirende in der

M    f

Entfernung —- oder — vom Mittelpunkte der Fläche wirkt. In dem Falle p\    %

also, wo die obere Grundfläche des Trägers gezwungen ist, sich vertical zu senken, indem sie horizontal bleibt, ist es klar, dass, um in dem Träger die der Pfeilhöhe ft entsprechende Biegung zu erhalten, immer dasselbe Gewicht I\ erforderlich ist, wrie gross auch diese Pfeilhöhe sei ; aber anstatt im Mittelpunkte des Querschnittes zu wirken,

f

muss dasselbe um die Grösse — von demselben entfernt sein.

Es wurde oben der einzige Fall untersucht, wo n— 1 ist; p n = 2 findet statt, wenn der Mittelpunkt des Trägers gezwungen / ist, in der Verticalen AB zu bleiben.    I

wmM

Fig. 37.

Wenn die drei Punkte des Trägers, welche denselben in ^ drei gleiche Stücke theilen, gezwungen sind, in der Verticalen AB zu bleiben, so hat man n = 3 zu nehmen.

Da die Discussion dieser Fälle keine Schwierigkeiten bietet, ist es nicht nothwendig, sich bei derselben länger aufzuhalten.

5. Dritter speeieller Fall.

Denkt man sich den prismatischen und homogenen Träger im Mittelpunkte der unteren Grundfläche unterstützt und auf der oberen Fläche durch ein gleichförmig vertheiltes, d. h. durch ein im Mittelpunkte wirkendes Gewicht belastet, so ist dieser

17

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

Punkt gezwungen, in der durch den Mittelpunkt der unteren Grundfläche

gehenden Verticalen zu verbleiben.

Dieser Fall lässt sich aus dem zuerst betrachteten ableiten; denn

offenbar setzt sich die nach der Biegung von der Achse des Trägers

gebildete Curve aus zwei vollkommen gleichen Stücken A C P

und B C zusammen und der mit dem Mittelpunkte des Trägers jJS

/ correspondirende Querschnitt wird horizontal bleiben, so dass / jede Hälfte des Trägers, z. B. BC, als ein am unteren Ende ein-gemauerter Träger betrachtet werden kann, welcher auf seiner oberen Fläche durch ein gleichförmig vertheiltes Gewicht belastet wird, wie dies in dem zuerst untersuchten Falle angenommen wurde.

wmm.

Nennt man l die ganze Länge des Trägers, so erhält Fig. 38. man cjen Werth der Kraft Px, welche im Stande ist, die Biegung zu erhalten, dadurch, dass man in der Formel (14) — für l setzt, d. h. es ist    ^ T

P, = TZ*

Ö3 -h)

Wenn der Mittelpunkt des Trägers derart gehalten ist, dass er sich nicht seitlich verrücken kann, so wird sich der Träger in nebenstehend angegebener Weise biegen, d. h. er tlieilt sich in zwei Theile, deren jeder sich genau unter denselben Bedingungen befindet, welchen /    der soeben betrachtete Träger unterworfen war; man erhält folg-

!    lieh den Werth der Kraft P₁, welche im Stande ist, die Biegung

' c zu erhalten, durch Substitution von — für l in der Gleichung (20), \ und zwar wie folgt:

(21)

'mmm.

Fig. 39.

6. Discussion der Gleichung (9), wenn das Biegungs-moinent 31x gleich Null ist. — Wenn das Biegungsmoment Mi gleich Null ist und die Tangentialkraft St einen endlichen Werth hat, so ergibt die Gleichung (9)

pi (/—y) + 8₁ {l—x) = (PJ+ S₁l) cos ^j/— 8, j/sin ^xj/. (22)

Diese Gleichung enthält die Pfeilhöhe /, welche unbekannt ist ; um dieselbe zu bestimmen, beachte man, dass für x — l man y—f haben muss, was zu folgender Relation führt:

= 0, (23)

woraus sich der Werth von / in einer Function der Kräfte Pt und Sl oder auch der Werth einer dieser Kräfte, wenn die andere und die Pfeilhöhe / gegeben sind, ableiten lässt.

Sucht man z. B. die nothwendige Bedingung, damit die obere Grundfläche sich nicht horizontal verrücken kann, d. h. damit die Pfeilhöhe / Null sei, so ergibt in diesem Falle die Formel (23)

Si

= o,

und damit derselben entsprochen wird, muss

l COS

VfrWE)

)-°

Diese transcendente Gleichung gibt für l

oder nach Division durch

(24)

eine unendliche

Zahl von Werthen, welche alle in der Formel (2 n -f-1) jt -|- x enthalten sind; hiebei ist n eine ganze Zahl und x eine mit den verschiedenen

Wurzeln verschiedene Grösse, aber immer kleiner als

Wurzel ergibt sich für n — 0, und da man findet, dass in diesem Falle der Werth von x sehr nahe dem Winkel von 78° entspricht, hat man

K

P<    78    129

tt; ⁼ ft + TXT 7X1 —-TT,

180

90

Die kleinste

und folglich

17*

Dies ist also der kleinste Werth der Kraft P1} welcher im Stande ist, den Träger in der Art gebogen zu erhalten, dass der Mittelpunkt der oberen Fläche keine horizontale Verrückung erleidet.

mmm.

Fig. 40.

-Piy=si

Für den Fall, als f = 0 ist, wird die Gleichung der von der Körperachse gebildeten Curve folgende sein:

(l—a?) + Zcos

P,

rmy^Ei

V. 90 J P

= 205

tt^EI

(25)

H'ïil 4    <*”

da die Kraft 1\ den oben bestimmten Werth hat, sieht man leicht, dass der Werth von S₁ dennoch unbestimmt bleibt, und dass man alle Ordinaten von y in einem beliebigen Verhältnisse variiren kann, wobei dieselben jedoch immer sehr klein bleiben müssen, wohl vorausgesetzt, dass man im selben Verhältnisse den Werth von /S't variirt.

Diese sonderbare Eigenschaft ist derjenigen ähnlich, welche in Nummer 4 in Bezug auf Mx gezeigt wurde.

9. Capitel.

Theorie krummer Balken mit einfacher Krümmung.

1. Deformation krummer Balken mit einfacher Krümmung.

— Die nunmehr zu betrachtenden Körper werden als den in Nummer 11 des 4. Capitels ausgedrückten Bedingungen entsprechend angesehen. Diese Bedingungen sind die folgenden:

1.    Die Achse des Körpers ist eine ebene Curve ;

2.    alle Querschnitte haben eine der Trägheitshauptachsen in der Ebene der Curve, und die andere, welche Biegungsachse genannt wird, senkrecht auf diese Ebene;

3.    alle auf den Körper wirkenden Kräfte sind derart vertheilt, dass jene rechts von einem beliebigen Querschnitte statisch gleich sind einem Kräftepaare vom Moment M, welches die Biegungsachse des Querschnittes zur Achse hat, und zwei Kräften P und 8, im Mittelpunkte des Querschnittes wirkend, deren erste in die Richtung der Normalen, deren zweite in die Richtung der in der Ebene der Curve gelegenen Trägheitshauptachse fällt;

4.    die Querdimensionen des Körpers sind im Verhältnisse zu dessen Länge sehr klein.

JB

'A.

Fig. 41.

Unter diesen Voraussetzungen sei in der nebenstehenden Figur A B die Achse eines Körpers auf zwei rechtwinkelige Achsen O X und O Y

Wird diesen Bedingungen entsprochen, so wird offenbar bei der Deformation des Körpers dessen Achse nicht aus der ursprünglichen Ebene treten. Da also nur die Drehung der Querschnitte und die Verrückungen der Achspunkte zu bestimmen sind, kann man diese Curve auf zwei in deren Ebene gelegene, recht winkelige Coordi- ~ö natenachsen beziehen.

bezogen ; dieser Körper sei in dem Querschnitte A eingemauert. Es sind nun die Verrückungen eines beliebigen Punktes C der Curve parallel zu den Achsen, sowie die Drehung des diesem Punkte entsprechenden Querschnittes zu suchen.

Nennt man

xu yx die Coordinaten des Punktes C der Curve,

£1; rji die Verrückungen dieses Punktes parallel zu den Achsen,

Öi die Drehung des demselben Punkte entsprechenden Querschnittes, si die Länge der Achse A C\

x, y die Coordinaten eines anderen Punktes D der Curve zwischen

A und C,

s die Länge der Achse AB,

M' das Biegungsmoment, P' die Normalpressung und S' die Schubkraft für den Querschnitt D,

E den Elasticitätscoefficienten des Körpers in diesem Querschnitte, -Q die Fläche desselben, I dessen Trägheitsmoment und A den Werth des Coëfficienten, welcher in dem Ausdrucke für jene Deformationsarbeit vorkommt, welche von den Tangentialkräften herrührt;

denkt man sich ferner in dem Querschnitte C, ausser den effeetiv wirkenden Kräften, noch statische Hilfskräfte, und zwar gleich zwei Kräften w und co, parallel zu den Achsen und einem Kräftepaare rh dessen Achse die Biegungsachse des Querschnittes D ist, und nimmt man schliesslich an, dass alle auf das Stück CB wirkenden Kräfte, einschliesslich der Reactionen der Fixpunkte, sofern deren vorhanden sind, bekannte äussere Kräfte sind, so werden offenbar das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft bezüglich des Querschnittes D durch folgende Formel gegeben:

M' = M -j- y — oj (y₁ — y) -f- w (x{ — x)

F=p'Vß- + 0'^;

ds

ds

dx

ds

ds

Die Deformationsarbeit des Stückes A C wird ausgedrückt durch

die Formel

b© h-*.

•i M'i .    , .

— cis A— o El

J oE£2    2 J 0 F £2

(1)

jene des Stückes CB kann weder die Kräfte a und w', noch das Kräftepaar u enthalten; folglich erhält man die Verrückungen ^ und rn des Punktes C und die Drehung 6 des correspondirenden Querschnittes durch Differentiiren des Ausdruckes (1) nach o>, w und p, indem man sodann ot = 0, w = 0, u — 0 setzt ; dies gibt nun

M (2/1 —

ii=-

EI

V-ds+j

P dx

0 E £2 ds

AS dy

0 F£2 ds

rn —

*1 M(xx—x)

EI

P d y 0 E£2 ds

AS dx

oFlid*ds’ ' ⁽²⁾

6i =

‘si M

-d s.

0 EI

Denkt man sich die in diesen Ausdrücken enthaltenen Integrationen ausgeführt, so dass man die Verrückungen und rn in Functionen von xx und yx erhält, und nennt man Xy und Yy die Coordinaten des Punktes C der Körperachse nach der Deformation, so hat man

Xy = Xy £y}

Yi = 2/1 — ;

(3)

da £y und rj{ bekannte Functionen von xx, y{ sind, kann man diese ursprünglichen Coordinaten zwischen den zwei Gleichungen (3) und der Gleichung der Körperachse vor der Deformation eliminiren, was eine Gleichung zwischen Xy und F₁ gibt, welche die Gleichung der Körperachse nach der Deformation sein wird.

Durch Differentiiren dieser Gleichung kann man sodann den allge-

d Yy

meinen Ausdruck von

d Xy

d. h. den Ausdruck für die Richtung der

Tangente an diese Achse erhalten. Man kann aber auch direct den Werth

dYy

von

bezüglich jenes Punktes der deformirten Curve erhalten, welcher

dXy

mit dem Punkte (xy, yy) der ursprünglichen Curve correspondit ; denn durch Differentiiren der Gleichungen (3) mit Bezug auf die Achse si

dieser Curve erhält man

d Xi _d Xy

d Sy

d Sy

dli

d Sy ⁷

dYy _

drjj

d Sy

und folglich

djh

d Xy

Die Differentiation von ^ und y y nach Sy bietet für die beiden letzten Glieder jedes Ausdruckes keine Schwierigkeiten, denn man hat nur das Integrationszeichen wegzulassen und die Differentiale auf den Punkt C zu beziehen, d. h. alle Grössen mit dem Index 1 zu versehen. Für das erste Glied jedes Ausdruckes, d. h. für jenes Glied, welches das

Moment M enthält, muss man jedoch in anderer Weise yorgelien; man hat nun

»i M o Ê1

und erhält folglich durch Differentiation nach Sy

EI

M y o Hl

& f¹xrT ds + Vy yj\

V d SyJ 0 E I    EylyJ

MiVi _dyir*y M

Eyly dSyJoEI

Gleicherweise ergibt sich

d ÇSy M(Xy — x) dsyj o

d g d X y f S1 M_ d

d SyJ o EI

Durch Substitution in den Ausdruck (4) findet man schliesslich

M

oYl

EI

dVi f₁

dYy _d Sy i

Pl

EyQy

4 dxy r r

J

Ay Sy

Fyliy

d Xy

Pl

Mto

*i M

oYi

ASi

(5)

FyHy

Ey Qy

2. Fälle, in welchen obige Formeln nicht anwendbar sind.

— Damit die obigen Formeln direct anwendbar sind, muss eines der Enden des Körpers eingemauert sein, d. h. dasselbe darf sich weder parallel zu seiner Ebene verrücken, noch um seine Biegungsachse drehen ; denn für <jie in vorhergehender Nummer gegebenen Formeln müssen die Integrale von einem Ende genommen werden.

Es kann aber Vorkommen und kommt thatsächlich oft vor, dass man Körper zu betrachten hat, von welchen kein Querschnitt eingemauert ist. Dies sind im Allgemeinen jene Körper, welche die Bögen eiserner Dachstühle oder die eisernen Bogenbrücken mit cylindrisclien Auflagflächen bilden.

Die für diese Fälle anwendbaren Formeln werden im Nachfolgenden gegeben.

Es sei in nebenstehender Figur A B ein fester Körper, welcher an seinen Enden durch zwei Stücke AI und BH derart abgegrenzt ist, dass sich der Körper in einem einzigen Punkte 0 des Stückes Al und in einem einzigen Punkte V des Stückes BH aufstützt ; der erste dieser Punkte sei fix gedacht, während der zweite gezwungen sein soll, in der Horizontalebene des Stützpunktes zu bleiben, so dass derselbe nur dadurch verrückt werden kann, dass er auf dieser Ebene gleitet.

<----—

-X

-l-

Fig. 42.

x\f

Der Körper kann also auf die Stützebenen nur verticale Drücke ausüben, derart, dass man sich die rechte Ebene unter der Voraussetzung entfernt denken kann, dass man in dem Ende V des Körpers eine Kraft oder verticale Reaction R hinzugibt, welche von unten nach oben gerichtet ist, und welche gleich ist dem Drucke auf die Stützebene.

Diesen Körper kann man auf zwei Coordinatenachsen O X und O Y beziehen, welche durch den Punkt 0 gehen, und von welchen die erste horizontal, die zweite vertical ist.

Um die Verrückungen des Punktes C der Körperachse, dessen Coordinaten xi und yi sind, zu finden, denke man sich, dass ausser den thatsächlich auf den Körper wirkenden Kräften auf den Querschnitt C noch Hilfskräfte tliätig seien, welche' statisch gleich sind einem Kräftepaare, dessen Moment p ist, und zwei Kräften w und w, deren eine horizontal, und deren andere vertical ist.

¹

F12

Im Allgemeinen vereinfachen sich diese Formeln in der Praxis, sowohl für die äussersten Fächer, als auch für die Zwischenfächer, wie dies aus den folgenden Betrachtungen hervorgeht:

1. Aeusserstes Fach. — Untersucht man z. B. das linke Fach, so hat man M₀ — 0 und folglich

266

Es wird sich dementsprechend die Réaction R des Stützpunktes V auch ändern, und um den neuen Werth R' zu finden, muss man den Ausdruck dafür suchen, dass das Moment der Differenz R'— R in Bezug auf den Fixpunkt 0 gleich ist der Summe der Momente der Hilfskräfte bezüglich desselben Punktes, dass nämlich

(R — R~) T /.i — io yi A⁻ w Xy

ist, woraus folgt, dass

R'—RĄ-

iu ■—• w y y -f- co x y

(6)

Betrachtet man nun einen Querschnitt D zwischen A und C mit den Coordinaten x und y, und nennt man M das Biegungsmoment, P die Normalpressung und S die Schubkraft vor Hinzufügung der Hilfskräfte, so ist klar, dass nach derselben diese Grössen folgende Werthe haben werden:

M' =M— (R'— R) (l-x)~\- y P'= P — fR'— R)^L-p(ö — + Co’

w(3/r— 3/)H-tö'(*i—;X),

dy

ds

ds

ds ’

dy

ds

ds

ds

Für einen Querschnitt E zwischen C und B ist, wenn man der grösseren Allgemeinheit wegen x und y die Coordinaten seines Mittelpunktes, M das Biegungsmoment, P die Normalpressung und S die Schubkraft vor Hinzufügung der Kräfte a und w nennt, das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft nach dieser Hinzufügung offenbar durch folgende Formeln ausgedrückt:

M"=M—(R'—R)(l — x),

dy

ds ’

(8)

P" — P — (Rr— R)

ds

S"= S -f- (R'— R) — .

Nennt man s₁ die Länge des Bogens A C der Körperachse und s.2 die Länge der ganzen Achse AB, so wird die Deformationsarbeit des ganzen Körpers durch folgende Formel gegeben:

t-h ! CM

(~ r*i M'²

LJ oYï

d s -j—

si

El

₊ir C'Hds+c 2 LJ oEQ ^J

S₂ P''²

EPI

K[J

s, A S'²

0 F £2

d s -j-J*

»2 AS"²

s\

FPL

Man erhält sodann die Verrückungen £ und rj des Mittelpunktes des Querschnittes C und die Drehung desselben, indem man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes mit Bezug auf co, io' und p nimmt und gleichzeitig die Gleichungen (6), (7), (8) berücksichtigt; dies ergibt

dM'

dP'

d (o

d io

y±dpi_^dx

I ds ds

dS'

dio

y y dx dy

l ds ds’

d io

(l — x),

dP"

y\ dy

dS"

y y dx

dio

l ds ’

dio

l ds ’

dM’

Xy

d io

(l—sc) —f— (a?±—x)

dP'

d io

xy dy dy dS'

Xydx dx

l ds ds

dio

l ds

ds

dM"

Xy

dM'

d (.i

dM"

(l — x),

-(I-25)4-1,

dP"

d io'

dP'

dP"

Xydy

l ds’

1 dy

l ds ’

dS"_Xy dx

dio'

l ds’

dS' 1 dx ITs’ dS" 1dx

l ds

Nimmt man also den Differentialquotienten der Arbeit mit Bezug auf io, so hat man

?1 “ J Ó ¥~i [t{l~x)~{yi ~¥)] d8 VC fr t⁽ '¹

— x) ds

rsy P' ryydy ....

J o EPi L ’ ’

l ds

fsiAS'r

J o fq L

li. + DZlai!

ds J J Sy EPI l ds

i"+m

dx

l ds ds

y y dx

l ds

man muss nun oj = 0, co = 0, p = 0 machen, wodurch M', P', S' und M", P", S" auf M, P, S reducirt wird. In diesem Ausdrucke kann man sodann jene Glieder, welche die gleichen Grössen enthalten, zusammen-

fassen und erhält sodann die erste der folgenden Formeln; die beiden anderen lassen sich in ähnlicher Weise ableiten.

Bi =

Th

j:

*x M (l — x)

EI

d s -j-J^

h:

EI

ds

Vi = —

x₁

s₂ M(l

x)

r j:

EI

«i M(xx—x)

d s -f-j

EI

d s -f-J*

«2 P dy qEI2 ds «i P dx 0 EU ds «2 P dy 0 EU ds P dy 0 Eil ds

ds —

d s -f-J"

ds —

ds —

«2 A S dx

0 FII ds

ds

0 FH ds

*2 AS dx ,

--- ds

0 F12 ds

si MG dx

(9)

ds

6i=~

t[/:

*2 M (l — x)

EI

d s -f-J"

p *ids-

o F12 ds *2 AS dx

0 EI2 ds

o F12 ds

ds

-d s.

0 EI

Diese Formeln lassen sich aber vereinfachen, denn, wenn man 60 die Drehung- des mit s₁ = 0 correspondirendeu Querschnittes A nennt, so gibt die dritte unter ihnen

%=~

u:

*2 M (l — x)

EI

d s 4-J*

«2 P dy 0 EI2 ds

0 F12 ds

folglich lassen sich obige Formeln auch folgendermassen schreiben:

fi=-

6o2/l + [ Jo⁻BÏ

ds -f-J"

P dx

V i=

S\ M(xy-x)

EI

ds -f-J~

0 EU ds «i P dy oEI2 ds

ds -f-J"

ds —

AS dy 0 FI2 ds AS dx

0 FI2 ds

ds]>

ds

d s.

«i M

oEI

Vergleicht man diese drei Gleichungen mit der Gruppe (2), so findet man eine überraschende Beziehung, und zwar die, dass die rechten Seiten der Gleichungen (11) von jenen der Gleichungen (2) nur durch die Addition der linearen Glieder von 0 verschieden sind. Man könnte in der That zeigen, dass man von der Gruppe (2) zur Gruppe (11) auf Grund einer sehr einfachen Betrachtung gelangen kann; aber der Vorgang, mittelst welchem die Gleichungen (11) soeben erhalten wurden, ist nicht weniger einfach und hat den Vortheil, natürlicher zu sein und die Anwendung des Lehrsatzes von den Differentialquotienten der Arbeit immer deutlicher zu zeigen.

3. Anwendung auf einen Bogen mit cylindrischen Auflag-fläelien. — Die Achse des zu betrachtenden Körpers sei ein Kreisbogen mit der horizontalen Sehne AB. Der Körper selbst sei an seinen Enden durch cylindrische Flächen begrenzt, deren Mittelpunkte in den Tangenten

c'

jr

-z-

-z-

Fig. 43.

liegen, welche man an die Enden des Bogens ziehen kann ; ferner seien auch die Stützebenen auf den Widerlagern senkrecht zu diesen Tangenten. In diesem Falle wird offenbar in Folge der Zusammendrückbarkeit die Berührung zwischen den Enden des Bogens und den Widerlagern nicht nur in der mit den Enden A und B correspondirenden Erzeugenden stattfinden, sondern sich ein wenig nach beiden Seiten derselben erstrecken, so dass im Allgemeinen der Druck per Quadratmeter nicht denjenigen Werth erlangen wird, welcher ein Zermalmen herbeiführen könnte.

Man sieht übrigens, dass die Berührungsfläche auf jedem Widerlager sehr klein sein wird, und dass der Mittelpunkt des Druckes beinahe genau mit dem Ende der Achse correspondit.

Den mittleren Querschnitt des Bogens nennt man Scheitel; derselbe ist vertical und bildet die Symmetrieebene für den Bogen, so dass zwei von demselben gleich weit entfernte beliebige Querschnitte untereinander genau gleich sind.

Wenn die Enden des Bogens in der Weise befestigt sind, dass dieselben auf den Widerlagern nicht gleiten können, so fällt die Bestimmung der Deformationen des Bogens mit jenem Falle zusammen, welcher in der letzten Nummer untersucht wurde; denn ist der Punkt B fix, so kann derselbe derart betrachtet werden, als ob er gezwungen wäre, in einer horizontalen Ebene zu bleiben.

Man kann sich nun das rechte Widerlager entfernt denken und in dem Punkte B eine von unten nach oben gerichtete verticale Kraft it, und eine von B nach A gerichtete horizontale Kraft Q wirken lassen, und zwar müssen diese zwei Kräfte gleich und entgegengesetzt gerichtet sein mit den Componenten des Druckes, welchen der Bogen auf das rechte Widerlager ausübt.

Um die verticale Reaction R₁ zu bestimmen, muss man zum Ausdrucke bringen, dass deren Moment in Bezug auf A gleich ist der Summe der Momente aller Gewichte, welche den Träger belasten.

Der Druck Q lässt sich bestimmen, indem man ausdrückt, dass die horizontale Verrückung des Punktes B gleich Null ist. Wenn man nun annimmt, dass der Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Bogens in einer Function der Gewichte, durch welche er belastet wird, und der Kräfte Rx und Q erhalten sei, so kann man hierin für Bi den bekannten Werth einsetzen, so dass der Ausdruck für die Arbeit nur eine einzige Unbekannte Q enthalten wird. Zufolge dem Lehrsätze von den Differentialquotienten der Arbeit gibt der Differentialquotient dieses Ausdruckes mit Bezug auf Q die horizontale Verrückung des Punktes B, und da diese Verrückung Null sein muss, folgt daraus, dass man den Differentialquotienten der Deformationsarbeit des ganzen Bogens mit Bezug auf Q gleich Null setzen muss; oder in anderen Worten: der Horizontalschuh ist durch jenen Werth von Q gegeben, welcher die Deformationsarbeit des ganzen Bogens zu einem Minimum macht.

Man kann übrigens den Werth von Q auch erhalten, indem man sich der ersten der Formeln (11) bedient.

Sobald der Werth der Unbekannten Q erhalten ist, kann man die Verrückung eines beliebigen Punktes der Achse des Bogens, sowie die Drehung eines beliebigen Querschnittes mit Hilfe der Formeln (11) finden.

Um ein Beispiel hiefiir zu geben, denke man sich einen homogenen Bogen von constantem Querschnitte, welcher durch ein in der Achse des Bogens wirkendes und bezüglich deren Horizontalprojection gleichförmig vertheiltes Gewicht belastet wird. Da in diesem Falle in Bezug auf die Scheitelebene Alles symmetrisch ist, kann man sagen, dass die Deformationsarbeit des ganzen Bogens doppelt so gross ist als jene einer Hälfte. Nennt man nun

r den Halbmesser der Achse des Körpers,

cpy den halben Winkel am Mittelpunkte, d. h. den Winkel, welchen die äussersten Halbmesser mit der Verticalen bilden,

cp den Winkel, welchen ein beliebiger Querschnitt mit der Verticalen bildet,

M das Biegungsmoment, P die Normalpressung und S die Schubkraft für diesen Querschnitt,

so findet man zuerst für die verticale Reaction an jedem Ende

und sodann

E = p r sin cpi

M = Q r (cos cp

P — Q cos cp -f- pr sin² cp,

S = — Q sin cp -f- p r sin (p cos <p.

cos cpj) — — p r² (sin² cp₁ — sin² cp), 2

(12)

Da das Element des Bogens r d cp ist, so wird offenbar die Defor

r<Pi M² ^ r Çtpi P²    r C<Pi M$²

Jo Ë1C 9 + 2 J o ES2 V + 2 J o ~¥ä

mationsarbeit des halben Bogens durch folgende Formel ausgedrückt werden :

d cp ;

gibt man die constanten Grössen EI, EU, F12 ausserhalb der Integrationszeichen, so erhält man als Formel für die Deformationsarbeit des ganzen Bogens

— M² dcpj--— f^¹ P² d<p -\- CPl S² d cp.

EI Jo    * EI2J o    FqJ o y

Nach dem Vorangegangenen muss man den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach Q gleich Null setzen, um diese Unbekannte zu finden; bei Berücksichtigung der Gleichungen (12) und nach Division durch 2 r erhält man also

t ftpi    i aPi    a r<pi

— I M(co$cp—cos cp{)dcp -j--I Pcoscpdcp--I Ssincpdcp = 0,

EI Jo    EQJ o    FUJ o

oder, indem man für M, P, S deren Wertlie (12) setzt und die Integration ausführt

T r2 f<Pi — 3 sin cpi cos (fi

L Ëi l

+ cpy cos² 99^

1 cpi -J- sin çq cos cpx

EQ

A cpy — sin cpy cos cpx

En

r r² f2

I 3 sin 3 9h ~~ 91sin 2 9>i cos <Pi + cos 9>i

q)i — sin q>i cos cpi

(13)

f-A.

I Ei2

A ^ sin³ cp{~\ IP2J 3 _T

woraus sich der Werth von Q ergibt.

Da die Pfeilhöhe des Bogens im Verhältnisse zur Sehne desselben sehr klein ist, lässt sich diese Formel bedeutend vereinfachen; nennt man 2 l die Sehne AB, f die Pfeilhöhe, x und y die Coordinaten des Punktes C in Bezug auf die Sehne A B und deren Senkrechte A Y (Fig. 43), so erhält man, wie aus Nummer 4 des 6. Capitels zu ersehen ist, als Gleichung des Bogens A B

®²),

y — — (2 Ix —

J Pv

woraus sich

dx

— — ~~ (l — x) ergibt.

dy

Da die Grösse —- sehr klein ist, kann man deren Quadrat im Ver-dx

hältnisse zur Einheit vernachlässigen, so dass

ds

dx

oder ds — dx,

ds

ds

und folglich

dx

dp _ 2f(l — x)

Das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft bezüglich des Querschnittes C kann man somit durch folgende Formeln ausdrücken :

M= Qy — p l x -f- i p x¹ — m — ^ (2 l x

P = Q — -f- p l — — p x — = Q -j- 2 p ds ¹ ds ¹ ds    ¹

ds V 2'²    2 J

dx

dy

dy

(14)

ds

ds

Die Deformationsarbeit des Bogens wird ausgedrückt durch die

F ormel

i_ni El) o

lf2Z

EEl) o

F² ds -f-

r-21 2 F El) o

oder durch die folgende, indem man für M, P, S deren Werthe (14) substituirt, ds = dx setzt, und die Integrationen ausführt

El\ P J

²lßl⁵ 21

15 2EE1

(^Q² + ^Qp/+ i?²/²j

o< |

2 F El

rQf yw W² J 3

Setzt man den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach Q gleich Null, so erhält man die Gleichung

A/i ,

15 FI ' FEI 3 P

pP

2/

welche auch folgendermassen geschrieben werden kann:

15 EI ‘ 3 P FQ

2/ 2f

Ol I CO

:=0,

oder

15 EI FEI 3 P FEI

, J_fPÜ

ESI l2f

o i co

pf)= 0, (15)

woraus man den Werth von Q leicht erhalten kann.

18

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

Würde man das letzte Glied der linken Seite der Gleichung: vernachlässigen, so ergäbe sich daraus

^ = 0,

2/

woraus andererseits auf Grund der Gleichungen (14) folgen würde, dass das Biegungsmoment M und die Schubkraft S für alle Querschnitte gleich Null wären; eine solche Vernachlässigung darf demnach nicht stattfinden und der Werth von Q muss aus der vollständigen Gleichung (15) berechnet werden. Immerhin kann man zur Vereinfachung dieser Gleichung mit

genügender Genauigkeit des Schlusswerthes den Ausdruck

4/² A

3P FÏI

ver-

nachlässigen, da derselbe im Allgemeinen im Verhältnisse zu

sehr

Eil

klein ist, indem er den sehr kleinen Factor — enthält; ferner kann auch

2

der Ausdruck — p f im Verhältnisse zu 3

j) P

2/

vernachlässigt werden ; aus

Gleichung (15) wird also

JL/i ,

15 EI ⁺

Eil) (

p V¹

2/

A_.£ü = 0

Eil 2f

und es ergibt sich daraus

2/

(16)

ro

PP

Diesen Werth kann man nun in die Gleichungen (14) substituiren, welche sodann zur Berechnung des Biegungsmomentes, der Normalpressung und der Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte dienen.

15 I

Betrachtet man z. B. den Scheitelquerschnitt, d. h. setzt man x = l, so erhält man

Q, P= Q, S= 0.

.1/

8 ilf

Man kann nun eine einfache Formel aufstellen, um hiemit sogleich die grösste specifische Pressung zu berechnen, welche im Scheitelquerschnitte stattfindet; denn nennt man v₁ und v₂ die Entfernungen der

Biegungsachse von den entferntesten Fasern an der Innen- und Aussen-seite des Bogens, so ist die Spannung per Quadratmeter an der Innenseite des Bogens gleich

MVy P

EO «D

15 vi

8/

⁺0-

und die an der Aussenseite

10 |ß>

co

h-¹

iż-

Aus der Prüfung der Formel (16) lässt sich leicht erkennen, dass hei der Anwendung mit vollkommen genügender Annäherung

2/

genommen werden kann, so dass man zufolge der Gleichung (17) als Formel für die grösste Spannung per Quadratmeter im Scheitel

1 ï> l² f jj> V2 | {\

ß2/U/ J

Bisher wurden die Bögen mit kleinen Pfeilhöhen, welche bezüglich ihrer Sehne gleichförmig belastet sind, als Bögen betrachtet, bei welchen die Biegungsmomente überall gleich Null sind, d. h. bei welchen die Pressung in einem beliebigen Querschnitte gleichförmig vertheilt ist,

und hat man dem Horizontalschub den Werth -— gegeben. Für die

erhält.

2/

specifische Pressung im Scheitel ergibt sich daher

(17b)

1 p l²

nYf’

und ist dieselbe kleiner als die durch die Formel (17b) genauer gegebene. Hat man z. B. — =

so ist die grösste specifische Pressung

im Scheitel zufolge der Gleichung (17b)

f 1 + —'J —LH

V    64) Q 2/

= 1,23 • -

1 p l²

Q2f’

18*

so dass die alte Theorie einen Irrthum um ungefähr ein Fünftel des genauen Werthes geben würde. Dieser Irrthum wird noch grösser, wenn

man

— nimmt.

4. Anwendung auf einen Bogen mit ebenen Auflagfläelien.

— In diesem Falle stützt sich der Bogen mittelst Ebenen, welche senkrecht auf dessen Achse sind, auf die Widerlager. Sind die Enden des

JJ

m£A

Fig. 44.

Bogens ausserdem noch in der Weise befestigt, dass sie auf den Widerlagern nicht zu gleiten vermögen, so können sich die Stützflächen auch nicht drehen und der Bogen kann als in seinen beiden Widerlagern eingemauert betrachtet werden, so dass man sich zur Bestimmung seiner Deformationen der in Nummer 1 gegebenen Formeln bedienen kann. Jedenfalls muss man die Annahme machen, dass eine der Stützen, z. B. das rechte Widerlager entfernt sei, und dass statt dessen in der äussersten Querschnittsfläche dieser Seite Normal- und Tangentialkräfte wirken, welche ein Biegungsmoment Mx, eine Normalpressung Px und eine Schubkraft Sx geben; diese drei Grössen werden durch die Bedingung bestimmt, dass der Querschnitt sich weder um seine Biegungsachse drehen, noch senkrecht oder parallel zu dessen Ebene gleiten kann.

Wenn aber der Bogen seine Stützflächen in gleicher Höhe hat, und wenn er in Bezug auf die durch den Scheitel gehende Verticalebene vollkommen symmetrisch ist, so dass zwei beliebige, bezüglich dieser Ebene symmetrisch gelegene Querschnitte vollkommen gleich sind, so

kann man die Berechnung sehr vereinfachen, indem man folgenden Weg einschlägt:

Ist M₀ das Biegungsmoment, P₀ die Normalpressung und S₀ die Schubkraft für den Scheitelquerschnitt und denkt man sich den Bogen nach dieser Ebene geschnitten, so kann man die beiden Halbbögen getrennt betrachten, vorausgesetzt, dass man im Scheitel jedes derselben Kräfte wirken lässt, welche ein Biegungsmoment M₀, eine Normalpressung P₀ und eine Schubkraft S₀ geben. Natürlich müssen dieses Moment und diese Kräfte als für beide Halbbögen im entgegengesetzten Sinne wirkend angenommen werden.

dL

dL

dL

Bildet man den Ausdruck für die Deformationsarbeit L des linken Halbbogens und L' des rechten Halbbogens in Functionen der auf jeden Halbbogen wirkenden Kräfte und der drei Grössen M₀, P₀, S₀, so geben die Differentialquotienten

d Mq ' d Pq’ d Sq

die Drehung des Scheitelquerschnittes des linken Halbbogens und die Verrückung seines Mittelpunktes in horizontaler und verticaler Richtung; die Differentialquotienten

dL’

dL'

dL'

d Mq’ dP₀ ’ d Sq

geben hingegen die Drehung und die Verrückungen bezüglich des Scheitelquerschnittes des rechten Halbbogens. Nun müssen aber diese drei letzten Differentialquotienten numerisch gleiche Resultate geben mit jenen der drei ersteren, aber mit entgegengesetzten Zeichen; denn erstlich verrückt sich der Scheitelquerschnitt nur in der gleichen Weise, welches auch der Halbbogen sei, in welchem man diesen Querschnitt als gelegen betrachtet; sodann wurden die Grössen M₀, Pq, Sq als für beide Halbbögen im entgegengesetzten Sinne wirkend angenommen. Man erhält also

dL

dL

d M₍₎ d M0 dL dL'

= 0, oder

d(L-LL')

d Mq

= 0,

= 0, oder

d(L±L)

d P₀

= 0,

= 0, oder

d(L+L')

dS₀

= 0;

— 278

woraus folgt, dass zur Bestimmung der Unbekannten A/₀, P₀, Stl man die Differentialquotienten der Deformationsarbeit des ganzen Bogens mit Bezug auf jene gleich Null setzen muss, d. h. man muss ausdrücken, dass diese Arbeit ein Minimum, ist.

Sind die Werthe der drei Unbekannten bestimmt worden, so kann man mit Hilfe der Gleichungen (2) die Verrückungen eines beliebigen Punktes der Achse, sowie die Drehung eines beliebigen Querschnittes berechnen.

Ist z. B. der spezielle Fall zu untersuchen, wo der Bogen einen constanten Querschnitt hat, und wo dessen Achse durch ein bezüglich der Horizontalprojection gleichförmig vertheiltes Gewicht belastet wird, und ist die Achse des Körpers ein Kreisbogen (Fig. 44), so dass bezüglich des Scheitelquerschnittes Alles symmetrisch ist, so wird die Schubkraft für diesen Querschnitt gleich Null. Man hat folglich hier nur zwei Unbekannte, d. h. die Normalpressung und das Biegungsmoment im Scheitel. Nachdem die Deformationsarbeit für beide Halbbögen gleich ist, genügt es, jene eines derselben zu betrachten.

Nennt man p den Winkel, welchen der Querschnitt C mit dem verticalen Scheitelquerschnitte bildet, und M₀ das Biegungsmoment, sowie P₀ die Normalpressung im Scheitel, so hat man, um das Biegungsmoment, die Normalpressung und die ,Schubkraft im Querschnitte C auszudrücken, folgende Formeln:

M = M₀ — P₀ r (1

P = P₀ cos p -f- p r sin² p, S =

cos p) ~\— jp r² sin² p, 2

(18)

P₀ sin p -P p r sin p cos p.

Nachdem die Deformationsarbeit eines Halbbogens durch die Formel

YiS:iM2d*

— P² d p EQJ 0 y

- f* S² dp 2FQJ o

ausgedrückt wird, erhält man, indem man gleichzeitig die Diflferential-

quotienten dieses Ausdruckes bezüglich M₍₎ und P₀ gleich Null setzt, die zwei Gleichungen:

El\o

(fl AI dp = 0,

(19)

r r cpi

Mit Rücksicht auf die erste Gleichung- kann man in der zweiten den Ausdruck

j M d cp weg-lassen und erhält somit

^ sin cpdcp = 0. (21)

v    l rep i

— 1    Mcos cp den -1--1 P cos cp d cp

EIJ o    EQJ o

Substituirt man sodann für M, P, S deren Werthe (18) und führt die Integrationen aus , so stellen sich die Gleichungen (19) und (21) folgendermassen dar:

cpi — sin cos cpx

= °> (22)

ié

M(1 — cos cp)dcp

- Pcoscp dq)--Ssin cp d cp = 0. (20)

EQJ0    FQJo

Mo — Po r (q>i — sin 9>i) + \ P r*

EI

j~df₀ sin cpx — P₀ r |^sin cpx

cpi -f- sin 9^ cos cpx

+ ^jP r² sin³ cp x J

kl«

cpx -j- sin cpx cos cpx 1

—p r sin³ÿ₁J

=0, (23)

cpx — sin cpx cos cpi 1

— pr

3

sin³ cpi J

woraus man die Werthe von ilf₀ und P₀ ableiten kann.

Da die Pfeilhöhe im Verhältnisse zur Sehne sehr klein ist, kann man diese Formeln wesentlich vereinfachen, indem man den Sinus und Cosinus in Functionen des Bogens entwickelt und hiebei nur die ersten Glieder berücksichtigt. Da dieser Fall sehr wichtig ist, wird es besser sein, denselben direct abzuleiten.

Nimmt man als Anfangspunkt der Coordinaten den Mittelpunkt des Scheitelquerschnittes, als ce-Achse die Horizontale und als ?/-Achse die Yerticale (Fig. 44), so erhält man als Gleichung der Achse des Körpers

oder annäherungsweise

«4 = (2 r — y) y, x² — 2 r y,

indem man die Ordinate y in Bezug auf 2 r vernachlässigt, da dieselbe kleiner ist als die Pfeilhöhe, welche ihrerseits im Verhältnisse zum Halbmesser sehr klein ist.

Nennt man l die halbe Sehne und / die Pfeilhöhe des Bogens,

welchen die Körperachse bildet, so muss diese Gleichung y=f für x = l geben, so dass

l² — 2 rf.

Zwischen dieser Gleichung und der vorhergehenden kann man den Halbmesser r eliminiren und erhält somit

(24)

woraus folgt, dass

die Grösse — ist demnach sehr klein, und es kann daher deren Quadrat

dx

im Verhältnisse zur Einheit vernachlässigt werden: dies gibt somit

dx

= 1 oder d s = d x

und

= 2/—. J l²

ds dx

Dies vorausgeschickt, werden das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für den mit der Abscisse x correspon-direnden Querschnitt durch folgende Formeln ausgedrüekt:

M=Mq

dx

dy

P=P₀-—+px-+ = P₀ + 2pf

ds

(25)

dx

(p°

p Z2>| 2 f x

J~P

2/

Beachtet man, dass für den gewünschten Grad der Genauigkeit d s = dx erhalten wurde, d. h. dass man die Abscisse statt des Bogens nehmen kann, so wird sich die Formel für die Deformationsarbeit des Halbbogens folgendermassen ausdrücken lassen:

M² d x -f-

i-f

2EIJ o 2EÏ2J o

2Fnj 0

S² dx:

die Differentialquotienten dieser Formel nach MQ und P₀ genommen und gleich Null gesetzt geben folgende Gleichungen:

j:

M dx — 0,

-• r

EI Jo

(26)

a 2fn

Fn pjo

Efif o

Substituirt man in diesen Gleichungen für M} P, S deren Werthe (25), und führt man die Integrationen durch, so ergibt dies

'S PK

Mx²dx

P dx

Sx dx — 0.

A l 4/2

EI

2/

FQ 3 P

MS)

= 0.

>(27)

Aus der ersten Gleichung erhält man

'■Kl CO

(28)

die zweite ergibt nach Substitution dieses Werthes von M0 4/2 A 4/2 45 EI    FS2 3 Z²

4-

EQ

(r. + fr/)-⁰,

welche Formel man auch in folgender Form schreiben kann:

4/² , 1    , 4/² A

45 EI EQ 3 12 Pß

){r-~w*Łm⁺ ’>)

Ol eo

woraus man leicht den Werth von P₀ ableiten kann.

Substituirt man diesen Werth in den Ausdruck für M0> so wird das Biegungsmoment im Scheitel durch eine Function des alleinigen Gewichtes p ausgedrückt.

Um das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in den Auflagflächen zu bestimmen, muss man in den Formeln (25) x = l machen, so dass

M, = M„- f P₀

p V¹

2/

y=!0>°

2/

)f,

A — A + 2 pf,

A = —

(30)

Cp _piT|2/

l ° 2/J 7

Mit Hilfe dieser Formeln lässt sich sodann der grösste Normal- und der grösste Tangentialdruck auf die Auflagfläehen berechnen.

5. Anwendung auf Bögen Ton beliebiger Gestalt, welche nach einem continnirlichen Gesetze belastet werden. — Die zwei speciellen Fälle, welche in den beiden vorhergehenden Nummern untersucht wurden, sind, obgleich vom theoretischen Standpunkte sehr wichtig, von keinem grossen Nutzen für die Praxis, indem es selten vorkommt, dass die Querschnitte constant sind, und noch seltener, dass die Belastung auf die Achse des Körpers vertheilt ist.

Der häufigste und allgemeinste Fall ist jener, wo der Querschnitt des Bogens variabel ist, und wo die Belastung nach einem beliebigen Gesetze auf der Aussenseite des Bogens, anstatt auf dessen Achse vertheilt ist.

Die Untersuchung des Elasticitätsgleichgewiclites des Bogens ist in diesem Falle nicht schwieriger als in den beiden oben betrachteten Fällen ; man kann sogar sagen, dass dieselbe leichter ist, sobald man die Deformationsarbeit des Bogens mit Hilfe der Annäherungsformel (14), welche in Nummer 6 des 6. Capitels gegeben wurde, ausdrückt.

Um die Wahrheit dieser Behauptung zu beweisen, denke man sich einen Bogen mit cylindrischer Auflage, welcher bezüglich der durch den Scheitel gehenden Yerticalebene symmetrisch ist, dessen Querschnitte nach einem continuirlichen Gesetze variabel sind, und welcher nach einem beliebigen Gesetze belastet wird, und zwar continuirlich für beide Halbbögen, aber gleich oder verschieden für beide.

In diesem Falle hat man nur eine einzige Unbekannte, d. h. den Horizontalschub auf die Widerlager, welcher Q genannt wird.

Theilt man nun die Achse jedes Halbbogens in eine gerade Anzahl gleicher Theile, und betrachtet man die durch die Theilungspunkte gehenden Querschnitte, so kann man für jeden dieser Querschnitte das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in Functionen der Gewichte, durch welche der Bogen belastet wird, und der Unbekannten Q ausdrücken. Berechnet man ferner für jeden Querschnitt die Fläche, das Trägheitsmoment und den Coëfficienten A der Verschiebung, so kann man mit Hilfe der Formel (14) des 6. Capitels die Deformationsarbeit des ganzen Bogens ausdrücken. Dieser Ausdruck, welcher nur die Unbekannte Q enthalten kann und vom zweiten Grade ist, muss offenbar die Form

to I H-*-

[ a Q² -f- 2 ß Q -j- y)

haben, wobei a, ß, y numerische Coefncienten sind.

Der Differentialquotient dieses Ausdruckes gibt die Annäherung beider Stützpunkte des Bogens auf die Widerlager, wenn diese zwei Punkte als frei und durch die Horizontalkraft q in Anspruch genommen betrachtet werden; da in diesem Falle die Annäherung gleich Null sein muss, hat man die Gleichung

a Q -j- ß — 0,

woraus sich

R l-tb,

ergibt.

Den nunmehr bekannten Horizontalschub Q substituirt man in die Ausdrücke für die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte für die in Betracht gezogenen Querschnitte, und erhält somit die numerischen Werthe dieser Elemente.

Der aus dieser Methode hervorgehende annäherungsweise Werth wird um so genauer sein, je grösser die Anzahl der gleichen Theile ist, in welche man die Achse des Bogens getheilt hat, und je kleiner folglich diese Theile selbst sind.

Diese Berechnungen werden nicht länger sein, als wenn man die Integrationen ausführen würde, um mit einem Male den Endwerth des Horizontalschubes zu erhalten; denn selbst in jenen Fällen, wo diese Integration möglich sein wird, muss man offenbar, nachdem der Werth von Q gefunden wurde, doch für eine genügend grosse Anzahl von Querschnitten den numerischen Werth des Biegungsmomentes, der Normal-pressung und der Schubkraft suchen, was wieder zu Operationen führt, welche auch für die Anwendung obiger Methode nothwendig sind, nur mit dem Unterschiede zu Gunsten letzterer, dass diese nur sehr einfache numerische Operationen bedingt, während die Methode der Bestimmung von Q mit Hilfe von Integrationen nur in sehr einfachen Fällen der Belastung und des Bogens anwendbar ist, und dass selbst in diesen Fällen sie im Allgemeinen schwierige Rechnungsoperationen bedingt.

Wir wollen hier keine weiteren Anwendungen anfügen, denn bei den numerischen Beispielen werden mehrere vollständige Durchführungen dieser oben angeführten Kechnungsmethode gegeben werden.

G. Mittellinie des Druckes. — Es sei für einen beliebigen Querschnitt eines Körpers

M das Biegungsmoment,

P die Normalpressung.

Die in diesem Querschnitte stattfindenden und nach einem linearen Gesetze vertheilten elastischen Normalkräfte seien derartige, dass ihre Summe gleich P, und dass die Summe ihrer Momente bezüglich der Biegungsachse gleich M ist.

Theilt man dieses Moment durch die Besultirende P, so gibt der Quotient die Entfernung von der Biegungsachse, in welcher diese Re-sultirende angreifen müsste, um das Moment M zu geben, d. h. die Entfernung von der Biegungsachse, in welcher sich der Mittelpunkt der auf den betrachteten Querschnitt wirkenden elastischen Normalkräfte befindet.

Wir nennen Druckmittelpunkt eines Querschnittes den Mittelpunkt der in dem Querschnitte auftretenden elastischen Normalkräfte; und Mittellinie des Druckes eines Körpers den geometrischen Ort der Druckmittelpunkte der Querschnitte.

Wenn man ausser den elastischen Normalkräften noch die Tangentialkräfte betrachtet, deren Summe gleich ist der Schubkraft S, so ist offenbar die Resultirende dieser Kraft und der im Druckmittelpunkte wirkenden Normalpressung eine Kraft, welche man absolute Pressung nennen kann.

Diese Pressung wird im Allgemeinen bezüglich des Querschnittes eine schiefe Richtung haben. Betrachtet man zwei unendlich nahe Querschnitte, so werden jene Geraden, welche deren absolute Pressungen darstellen, sich in einem Punkte treffen; der geometrische Ort dieser Punkte ist eine Curve, welche für jeden beliebigen Querschnitt tangirend ist an die absolute Pressung, d. h. es ist dies die Einhüllungscurve der absoluten Pressungen für alle Querschnitte.

Diese Einhüllungslinie wird von einigen Autoren Pressungscurve

genannt.

Dieselbe ist im Allgemeinen sehr wenig von der Mittellinie des Druckes verschieden wenigstens für jene Körper, deren Querdimensionen im Verhältnisse zu deren Länge sehr klein sind.

Man sieht also, dass die Gerade, welche die absolute Pressung in einem Querschnitte darstellt, im Allgemeinen nicht streng tangential an die Mittellinie des Druckes ist; aber sie ist es annäherungsweise, d. h. sie schneidet die Curve unter einem ausserordentlich kleinen Winkel.

Es folgt daraus, dass die Mittellinie des Druckes für einen Körper überall sehr wenig gegen die Achse des Körpers geneigt ist, und dass die absolute Pressung in einem beliebigen Querschnitte mit der Normalen in diesem Querschnitte einen sehr kleinen Winkel bildet, so dass die Schubkraft im Verhältnisse zur Normalpressung auch sehr klein ist.

10. Capitel.

Theorie zusammengesetzter Systeme,

1.    Bestimmung- der unbekannten elastischen Kräfte. — In

Nummer 4, 5, 6 und 8 des 2. Capitels wurde der Lehrsatz von den Differentialquotienten der Arbeit und jener von der kleinsten Arbeit für Systeme von beliebiger Form und Structur bewiesen und hiebei gezeigt, dass diese Lehrsätze, deren zweiter eigentlich nur ein Zusatz zu ersterem ist, genügen, um alle unbekannten elastischen Kräfte, welche in den Systemen stattfinden, zu bestimmen.

Wir wollen aber ausserdem noch einige Betrachtungen anstellen, um die Eigenheiten dieser Lehrsätze, sowie die Art, wie man sich derselben in den praktischen Anwendungen zu bedienen hat, besser hervortreten zu lassen.

Die Deformationsarbeit

2.    Aeiideruiig der Unbekannten.

eines elastischen Systems sei in einer Function gewisser unbekannter Grössen P, Q, R, . . . ausgedrückt, welche zufolge der Theorie von den Differentialquotienten der Arbeit dadurch bestimmt werden, dass man die Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit Bezug auf diese Unbekannten selbst gleich Null setzt.

Es kommt häutig vor, dass man diese Kräfte in Functionen anderer Unbekannten von gleicher Zahl y>, q, r, . . . ausdrücken kann, welche mit den ersteren durch lineare Ausdrücke in Beziehung stehen, so dass

(1)

wobei ay, by, c1; ... a₂, bt, c₂, ... aA, bA, cA, ... Coëfficienten sind, welche von den Unbekannten unabhängig sind.

Wir wollen nun eine sehr wichtige Eigenschaft obiger Lehrsätze beweisen, und zwar:

Drückt man die Deformationsarbeit des Systems in einer Function der neuen Unbekannten p, q, r, . . . aus, so können diese direct bestimmt werden, indem man die Differentialquotienten der Deformationsarbeit mit Bezug auf dieselben gleich Null setzt.

Nennt man L die Deformationsarbeit des Systems, so kann man L als Function der Unbekannten P, Q, R, . . . und diese wieder als Functionen der neuen Unbekannten p, q, r, . . . betrachten. Zufolge der bekannten Regeln der Differentialberechnung hat man also

dL dLdP ! dLdQ dLclR dp dP d p ' dQdp^dR dp

. . deren Wertlie a,, a₂, a₃..

dP dQ dR

substituirt man hierin tur —-, —, —, .

dp dp dp

so erhält man die erste der nachfolgenden Relationen und die anderen ergeben sich in gleicher Weise :

dL

— = «i

dL

tx X

+ «2

dL

dL

tx «O

tx i-a

a, a,

a, a.

³ dR

= C1

dP

² dQ

dR

Nachdem zufolge der Annahme d L _ d L

Jp~ ’ Jü~ ’

dL

dR

= 0, . . . ist,

hat man auch

dL

dp

= 0,

= 0,

dies gibt den Beweis für den oben angeführten Lehrsatz.

Man könnte diesen Lehrsatz direct aus der Betrachtung über das Minimum ableiten; denn wenn die Deformationsarbeit bezüglich der ursprünglichen Unbekannten P, Q, R, ... , welche als veränderlich betrachtet werden, ein Minimum sein soll, so muss dies auch bezüglich der neuen Unbekannten p, q, r, . . . sein, da diese von den ersteren abhängig sind. Wir glauben aber, dass der directe und sehr einfache Beweis, welcher soeben gegeben wurde, als genügend befunden wird.

3. Berechnung symmetrischer Systeme. — Wir haben schon gesehen, dass die in den Constructionen verwendeten elastischen Systeme fast immer eben sind, d. h., dass sie den in Nummer 11 des 4. Capitels ausgedrückten Bedingungen entsprechen.

Ferner kommt es fast immer vor, dass diese Systeme aus zwei vollkommen gleichen und symmetrischen Theilen zusammengesetzt sind.

In diesem Falle kann die Berechnung der unbekannten elastischen Kräfte bedeutend vereinfacht werden; dies tritt ebenfalls ein, wenn die auf das System wirkenden elastischen Kräfte gleich und symmetrisch für beide Hälften sind.

Um den Vorgang zu zeigen, wie man zu diesen Vereinfachungen gelangen kann, untersuchen wir einen speciellen Fall, denn, was man in diesem einen Falle thut, kann man ohne Schwierigkeiten auf alle anderen anwenden.

Man denke sich also ein System, welches aus einem Bogen A CB (in einem Stücke) und aus den Zugstangen AB, DE, etc. zusammengesetzt

c-

N.

J)

UJ

m.

Fig. 45.

ist; die Verbindung derselben unter einander und mit dem Bogen sei mittelst Charnieren bewerkstelligt. Dieses System sei bezüglich der Verticalen CE symmetrisch und an seinen Enden durch cylindrische Flächen abgeschlossen, in Folge welcher es sich auf jeden Pfeiler nur in einem Punkte aufstützt. Ferner denke man sich, dass auf dem rechten Pfeiler in B das Lager durch eine auf eisernen Cylindern ruhende Platte gebildet wird, welche dem Ende B das freie Gleiten gestattet, so dass dort kein Horizontaldruck stattfinden kann.

Dies vorausgeschickt, seien , cT₂, eT₃, cT₄, qT₅ die Spannungen in den linksseitigen Zugstangen und t{, f₂, t₃, t,, <₅ die Spannungen in den symmetrisch gelegenen rechtsseitigen Zugstangen.

Da die Spannungen der vier in dem Punkte D zusammenkommenden Zugstangen sich das Gleichgewicht halten müssen, hat man zwischen denselben zwei Gleichungen, aus welchen man qT₃ und cT₄ in Functionen von S"t und cT₂ ausdrücken kann; dasselbe muss auch für den Punkt F stattfinden, und da die Winkel der vier im Punkte D zusammenkommenden Zugstangen gleich sind mit jenen der vier im Punkte F zusammenkommenden Stangen, so folgt daraus, dass die zwei Paare von Gleichungen dieselben Coëfficienten haben, so dass

h = « G + ß h, G = y h + à t₂,

(2),

(3),

c>₃ = a -j- ß ,

S”₄ = y -f- d ob

wobei a, ß, y, ô numerische Coëfficienten sind.

Drückt man ferner aus, dass sich die Spannungen der vier im Punkte E zusammenkommenden Zugstangen das Gleichgewicht halten, so erhält man zwei Gleichungen, aus welchen man cT₅ und t-₀ in Functionen

ci₅ — A y.₂ -f- f.i t₂, th= 1 t₂ -f- l è-i .

von cT₂ und t₂ ableiten kann ; auf Grund der Symmetrie des Systems erkennt man, dass die so erhaltenen Gleichungen symmetrisch sind, d. h. dass eine in die andere übergeht, wenn man 5” für t und umgekehrt t für cT setzt. Nennt man l und ^ zwei bekannte numerische Coëfficienten, so erhält man

(4)

Man sieht also, dass mit Hilfe der Gleichungen (2), (3) und (4) die Spannungen in den zehn Zugstangen in Functionen von vier derselben, d. h. in Functionen von cTj, %₂,    , t₂ ausgedrückt werden können.

Nennt man nun

G die Längen der fünf Paare von Zugstangen,

, co ₂, w₃, o>A, co₅ die entsprechenden Querschnitte,

E{, E₂, Ei} Ex, E₅ die Elasticitätscoefficienten, so wird offenbar die Deformationsarbeit der Zugstangen durch die Formel

Castigiiano. Theorie des Gleichgewichtes.

h ; h ) G ;

19

ausgedrückt. Eliminirt man aus dieser Formel die Spannungen 3*₃, 3”₄, qT₅ , t₃, t₄ , t- mit Hilfe der Gleichungen (2), (3), (4), so erhält man einen Ausdruck von der Form

(5)

lrS\ + t\

2V

Ei coi

l.

E-i oj ₂

E'i w3

Eb(ob

— IA (&\ + t\) -j- B (è ²2 + t²2) -\-2 C (eh o>2 + h ^2) H~ 2 D ei₂ 1₂] ;

welcher bezüglich cT und t symmetrisch ist; und in welchem A, B, C, D numerische Coëfficienten sind.

Wenn man sich nun die Zugstange A D weggenommen denkt und statt derselben zwei Kräfte gleich 3^ wirken lässt, welche in A und D angreifen und gegeneinander gerichtet sind, so erkennt man leicht, dass das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte des Bogenstückes A G in Functionen der verti-calen Reaction im Stutzpunkte A, der Gewichte, durch welche das Stück A G belastet wird, und der Spannung cT, ausgedrückt werden kann: es wird also die Deformationsarbeit des Stückes A G eine Function zweiten Grades von 3”, sein, in welcher der Coefficient von S'\ nur von den Hebelarmen der Kräfte und von ihrer Richtung abhängt, während der Coefficient der ersten Potenz von 3”, auch von dem Gewichte, durch welches der Bogen belastet wird, abhängig und hievon eine lineare Function ist.

Wenn man sich dann die Zugstangen D E und D H entfernt denkt, wobei jene AD neuerdings an ihren Platz gesetzt worden ist, und wenn man annimmt, dass in den Punkten D, E} H Kräfte wirken, welche gleich sind mit den Spannungen in den entfernten Stangen und welche auch dieselbe Richtung haben, so kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte des Stückes GH in Functionen der Reaction im Stützpunkte A, der Gewichte, durch welche der Bogen zwischen A und H belastet wird, und schliesslich der Spannungen 3"₂ und 3*₄ ausdrücken.

I11 den so erhaltenen Ausdrücken kann man 3”₄ mittelst der zweiten der Gleichungen (2) eliminiren und die Deformationsarbeit des Stückes G H wird sich sodann als eine Function zweiten Grades von 3", und 3*₂ ergeben, in welcher die Quadrate und die Producte von cTt und e£₂ Coëf-ficienten haben, welche von den Gewichten unabhängig sind, durch welche der Bogen belastet wird, während die Glieder des ersten Grades von cTj und cT₂ als Coëfficienten lineare Functionen dieser Gewichte haben.

Denkt man sich endlich die zwei Zugstangen D H und D E wieder an ihre Stelle gesetzt und statt deren die zwei anderen Streben EI und E F entfernt, indem man dieselben in den Punkten E, I, F durch gleichwertige Kräfte ersetzt, so kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte des Stückes H C in Functionen der Reaction des Stützpunktes A, der Gewichte, durch welche der Halbbogen A C belastet ist, und der Spannungen t₂ und tb ausdrücken. Aus den so erhaltenen Ausdrücken kann man t-a mittelst der zweiten der Gleichungen (4) eliminiren und somit die Deformationsarbeit des Stückes H C durch eine Function zweiten Grades von eT₂ und t₂ ausdrücken.

Addirt man schliesslich die für die Deformationsarbeit der Stücke AG, GH und IIC des linken Halbbogens gefundenen Ausdrücke, so erhält man für die Deformationsarbeit des Halbbogens einen Ausdruck von der Form

)■

1    r G + H3\ -p Kt\ -f- 2 J%x cb₂ + 2 L §T₂1₂

2    v + 2 N$x + 2 Q $₂ + 2R t₂ + S,

wobei die Coëfficienten G, H, K, I, L von den Spannungen in den Zugstangen und von den Gewichten, welche den Bogen belasten, unabhängig sind und nur allein von den Hebelarmen der Zugstangen und von ihrer Richtung abliängen, während N, Q, R lineare Functionen jener Gewichte sind.

Die Deformationsarbeit des rechten Halbbogens wird offenbar durch eine mit der vorhergehenden ganz analoge Formel ausgedrückt, und zwar bildet man diese aus jener, indem man §" in t und umgekehrt t in 5" verwandelt und indem man die von den Gewichten abhängigen Coëfficienten N, Q, R durch andere Coëfficienten N', Q', R' ersetzt, welch’ letztere ebenfalls lineare Functionen dieser Gewichte sind.

Die Deformationsarbeit des ganzen Bogens wird also durch folgende Formel ausgedrückt :

19*

\    ²i+^\) + (H-j- K)(è \ +2 J (%>\ cT₂ +1\ G) H~ 4ZS*2^2_| /g\

2|_ + 27VSi + 2A^-F2(Q + Æ')S₂+2(Q'+Â)t₂-f-£-{-£' J [

Die Deformationsarbeit des ganzen Systems ergibt sich, wenn man die Formel (6) mit jener (5) vereinigt, und zwar wie folgt:

ipyl + ²i +1\) +    K') (0 "₂ -f-t²₂) -f- 2 (C-j- J) (^1^2 4~ h h)

2L+2(D + 2i)ci'₂t₂ + 2.¥Sri+2^Y,t₁+2(Q + 7?')S'₂+2(Q'+Jß)f₂ + /2+Ä

oder zur Vereinfachung

a ²1 H~ t²i) -f- b (<£ ²₂ -j- t²₂) -j- 2 C (cf>L d>2 ~U 9 G)”!

+ 2d&it₂ + 2KrSi + 2m₁ + 2fär₂ + 2gt₂ + h]’

wobei a, 6, c etc. numerische Coëffieienten sind.

Um die vier unbekannten Spannungen oT, , U₂, t{, f₂ zu bestimmen, muss man die Differentialquotienten des obigen Ausdruckes mit Bezug* auf diese Grössen gleich Null setzen. Hiebei ist leicht zu erkennen, dass der Differentialquotient nach S, nur die zwei Unbekannten SJ und cT₂, jener nach tv nur die Unbekannten #, und t₂ enthalten wird, dass hingegen die Differentialquotienten nach U₂ und t₂ drei Unbekannte enthalten werden.

Man kann aber die Rechnung sehr vereinfachen, indem man

^2 + G = t2;

°^2 G — ®2

fco 1 l-i

(7)

+ ^1 — Tl>

§i — tx = e

setzt; aus diesen Relationen ergibt sich Ti H~ öi

s; =

ti =

U — 0i

und folglich cf 4 +    —

§i cT₂ + q t₂ =

(8)

1;

t₂ 6₂

(9)

ü ²2 + t-2 =

t²₂ -f- e²₂

?i r₂ + Ö₁ e₂

t²₂—e²₂

(10)

Substituirt man dies in die Formel (7), so trennt sich dieselbe in zwei Partien, deren eine nur %v und t₂, deren andere nur 6t und 02 enthält. Es ergibt sich demnach

1 r [a t\ -j- (0 -f- d) t²₂ + 2 c ry r₂ -f- 2 (iV -f- AT ) % -f- 2 (/ -f- g) r₂]

j-(U)

4 i + [a+ (6-d) e²₂ + 2c 6, 0₂ + 2(A⁷— AT)6^+2(/-<?)0₂] + Ä

Zufolge dem schon in Nummer (2) bewiesenen Lehrsätze über die Aenderung der Unbekannten kann man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes mit Bezug auf , t₂ , 0, , 0₂ gleich Null setzen, anstatt dies bei den Differentialquotienten des Ausdruckes (7) mit Bezug auf eTj, qT₂ , q, f₂ zu thun, so dass man die zwei folgenden Gruppen von Gleichungen mit je zwei Unbekannten erhält, und zwar:

(12)

(13)

ar₁-\~ ex2 -f- (TV-f- N') = 0, c U + (& + d) Tï + (/ + d) — ö, I a 6l -f- c 6₂ -f- (AT — A⁷"') = 0, c 61 + (& — d) 0₂ + (/— g) — 0. /

Aus diesen Gleichungen kann man mit Leichtigkeit die Wertlie von ^, t₂ ,    , 0₂ ableiten, womit sich dann mittelst der Gleichungen

(8) die Werthe von S), U₂, tL, t₂ ergeben.

In der Mehrzahl der später zu machenden Anwendungen werden wir uns der soeben angeführten Vereinfachungen bedienen; denn alle Systeme, welche wir zu betrachten haben, sind symmetrisch.

4. Anwendung des Prineips der Suinmirung der Wirklingen bei der Untersuchung der zusammengesetzten Systeme. — Es wurde in Nummer 19 des 1. Capitels und in Nummer 2 des 2. Capitels gezeigt, dass in allen elastischen Systemen, gegliedert oder nicht, ebensowohl die inneren oder elastischen Kräfte, als auch die Verrückungen der verschiedenen Punkte und die Drehungen der Querschnitte lineare Functionen der äusseren Kräfte sind, und dass daher das Princip der Sum-mirung der Wirkungen statthat; d. h. dass, wenn zum Beispiel das System durch verschiedene Gewichte P, Q, R etc. belastet wird, die _ Spannung in einer Zugstange gleich ist der Summe der Spannungen, welche dieselbe erleiden würde, wenn die Kräfte P, Q, R etc. einzeln auf das System thätig wären.

Dasselbe findet statt für das Biegungsmoment, für die Normalpressung und für die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte.

Dieses Princip ist sehr wichtig, denn es gestattet das Gleichgewicht elastischer Systeme zu studiren, indem man jede der auf dasselbe wirkenden Kräfte für sich untersucht.

Folgende sehr einfache Betrachtung zeigt, welcher Vortheil behufs Vereinfachung der Berechnungen durch den oben angedeuteten Vorgang-geboten wird.

Man denke sich, dass zur Berechnung der Unbekannten man das Quadrat der Function p der äusseren Kräfte zu bilden hätte. Da

(14)

. p = aP+ßQ + yR + ...

ist, so ist es klar, dass, wenn man die äusseren Kräfte jede für sich betrachtet, man in jeder Rechnung nur die Quadrate der Mononome a P, ß Q, y R, .. . zu machen hat; wenn aber alle Kräfte gleichzeitig betrachtet werden müssten, so hätte man das Quadrat des allgemeinen Ausdruckes von p zu bilden, und folglich hätte man ausser den Quadraten dieser Mononome alle mögliche Combination der Producte von je zwei dieser Mononome zu machen.

Ein anderer Vortheil des Princips der Summirung der Wirkungen ergibt sich aus folgender Betrachtung: Man denke sich, dass behufs Untersuchung der Gleichgewichtsbedingungen eines bezüglich der Mitte symmetrischen Gespärres man zuerst die unbekannten elastischen Kräfte für die zwei folgenden Fälle bestimmt habe:

1.    indem man nur das permanente Gewicht, welches als symmetrisch zur Mitte vertheilt angesehen wird, in Betracht gezogen hat;

2.    indem man von dem permanenten Gewichte abgesehen und nur eine zufällige Belastung von p Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung auf der linken Hälfte des Dachstuhles betrachtet hat.

Mit Hilfe dieser Resultate kann man offenbar die unbekannten elastischen Kräfte in den verschiedenen Fällen bestimmen, welche in der Praxis von Wichtigkeit sind und welche wir später untersuchen wollen.

Zur grösseren Deutlichkeit wenden wir unsere Betrachtungen auf zwei symmetrische Zugstangen an, welche wir in einem System als vorhanden annehmen, und nennen T' die Spannung dieser zwei Zugstangen, wie sie in der ersten Berechnung erhalten wurde, wo das alleinige permanente Gewicht in Betracht gezogen wurde, und 5* und t die bezie-hungsweise für die linke und für die rechte Zugstange nach der zweiten Berechnung erhaltenen Spannungen, d. h. für eine Belastung von p Kilogramm per Quadratmeter auf der linken Hälfte des Gespärres, wobei man von dem permanenten Gewichte Abgang nimmt.

Es folgt aus der Symmetrie des Systems, dass, wenn die Belastung von p Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung nur für die rechte Seite des Dachstuhles angenommen wird, wobei man immer von dem permanenten Gewichte absieht, die linke Strebe die Spannung t und jene rechts die Spannung cT haben wird.

Aus dem Principe der Summirung der Wirkungen folgt nun, dass, wenn die Belastung von p Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung sowohl auf die linke, als auch auf die rechte Seite des Gespärres vertheilt ist, jede der beiden betrachteten Zugstangen die Spannung

haben wird.

cT-f-1

(15)

Wenn man, wie oben, die vollkommene Belastung und das permanente Gewicht gleichzeitig betrachtet, so wird die Spannung in beiden Streben durch

(16)

ausgedrückt.

Betrachtet man das permanente Gewicht und die Belastung auf der linken Hälfte als gleichzeitig, so ist

(17)

r+ oT

die Spannung der linken Zugstange und

(18)

r+1

jene der rechten Zugstange.

Man kann auch noch den Fall betrachten, wo die Belastung auf der linken Seite p ' Kilogramm per Quadratmeter und jene auf der rechten Seite p" Kilogramm beträgt. Das alleinige permanente Gewicht gibt dann für beide Zugstangen die Spannung T' ; die Belastung p links, gibt für die Zugstange links und für jene rechts die Spannungen

(19) die Belastung p ", rechts, gibt für dieselben Zugstangen die Spannungen

(20)

folglich wird die Endspannung in der linken Zugstange

T'+£-$+2-t

(21)

sein und jene in der rechten

r+** + £-sr.

(22)

Wenn in einem symmetrischen Gespärre eine horizontale Zugstange vorkommt, welche in der Mitte von der durch den First gehenden Ver-ticalebene getroffen wird, so wird dieselbe die gleiche Spannung haben, sowohl für eine nur auf die linke Hälfte wirkende Belastung, als auch für eine gleich grosse nur auf die rechte Hälfte wirkende Belastung; folglich wird deren Spannung, im Falle der beiderseitigen Belastung (von dem permanenten Gewichte abgesehen) das Doppelte derjenigen sein, welche sie durch die Belastung auf einer Seite erleidet.

In vielen, im Verlaufe dieses Werkes vorkommenden, praktischen Anwendungen werden die Berechnungen derart gemacht, dass man zuerst die complété Belastung betrachtet, d. h. das permanente Gewicht und die zufällige Belastung, sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Hälfte und sodann die alleinige Belastung der linken Hälfte, indem man von dem permanenten Gewichte absieht, worauf sich zeigen lässt, dass man aus diesen zwei Fällen den dritten ableiten kann, d. h. jenen Fall, wo man das permanente Gewicht und die nur auf die linke Seite des

Gespärres wirkende Belastung in Rechnung zieht. Oben wurde die Formel

erhalten, welche die Spannung der betrachteten zwei symmetrisch gelegenen Zugstangen in dem Falle gibt, als die Belastung sich auf das ganze Gespärre erstreckt, und indem hiebei auch das permanente Gewicht berücksichtigt wird. Aus dieser Formel ergibt sich

T— t,

T’-pt = T—$-

(23)

(24)

da T' -f- cT und T' -f- t die Spannungen zweier Zugstangen sind für den Fall eines permanenten Gewichtes und einer Belastung nur auf die linke Hälfte, so folgt daraus:

Für den Fall eines permanenten Gewichtes und einer linksseitigen Belastung erhält man die Spannung in einer von zwei Zugstangen, indem man von der Spannung, welche dieselbe Zugstange bei der completen Belastung haben würde, jene abzieht, welche die symmetrisch gelegene Zugstange bei der alleinigen linksseitigen Belastung haben würde.

Alles soeben für die Spannungen zweier symmetrischer Zugstangen Gesagte lässt sich auch auf die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte in symmetrisch gelegenen Querschnitten anwenden.

Nennt man z. B. für einen in Bezug auf den Scheitel symmetrischen Bogen M und P das Biegungsmoment und die Normalpressung für den Scheitelquerschnitt, in dem Falle einer alleinigen Belastung der linken Hälfte des Bogens, wobei man von dem permanenten Gewichte absieht, so wird offenbar in dem Falle, als auch auf der rechten Seite des Bogens die gleiche Belastung stattfindet, das Biegungsmoment und die Normalpressung im Scheitel gleich sein 2 M und 2 P; deren Yerhältniss bleibt

M

aber — wie in dem ersten Falle. Es wird also die Mittellinie des

‘ P

Druckes sowohl bei der Belastung einer einzigen Seite, als auch bei der Belastung beider Seiten durch denselben Punkt im Scheitel gehen.

5. Beweisführung für den geringen Einfluss, welchen die von der Verschiebung lierriihrenden Glieder auf die Bestimmung der unbekannten Kräfte oder Spannungen in elastischen Systemen haben. — Alle Systeme, welche wir in der Folge zu untersuchen haben, werden aus einem festen Körper, welcher der Compression, der Biegung und der Abscheerung unterworfen ist, und aus geraden Stäben zusammengesetzt, welche mit diesem Körper und untereinander durch Charnière verbunden sind. Diese Stäbe können also nur Spannungen oder Compressionen unterworfen sein, welche in die Richtung ihrer Achsen fallen.

Oft bildet das der Biegung unterworfene Stück allein das ganze System wie bei den Bögen mit cylindrischer und ebener Auflagfläche, welche in den Nummern 3 und 4 betrachtet wurden und hei welchen die Widerlager die Verrückung der Bogenenden verhindern.

Für die soeben definirten Systeme hat man offenbar die Mittellinie des Druckes nur für das der Biegung unterworfene Stück zu bestimmen ; denn für die gegliederten Stäbe fällt diese Curve mit der Achse zusammen.

Durch Prüfung aller numerischer Beispiele, welche später gegeben werden, kann man sich überzeugen, dass die Mittellinie des Druckes für das der Biegung unterworfene Object theils rechts, theils links von der Achse desselben geht, jedoch stets sehr nahe an derselben bleibt und bezüglich dieser Achse sehr wenig geneigt ist, d. h. dass die Tangente an die Mittellinie des Druckes in einem beliebigen Punkte einen sehr kleinen Winkel bildet mit der Tangente in dem correspondirenden Punkte an die Achse des Objectes.

Aus dem in Nummer 6 des vorhergehenden Capitels Gesagtem ist zu ersehen, dass die in einem beliebigen Querschnitte stattfindende absolute Pressung, d. h. die Resultirende aus der Normalpressung und der Schubkraft beinahe tangirend an die Mittellinie des Druckes ist, woraus folgt, dass die Normalpressung überall beinahe gleich sein wird mit der absoluten Pressung, während die Schubkraft in Bezug auf dieselbe sehr klein ist.

Da ferner die Mittellinie des Druckes theils rechts, theils links von der Achse geht, so sieht man, dass nicht nur die Schubkraft überall sehr klein sein wird im Verhältnisse zur Normalpressung, sondern dass dieselbe auch für gewisse Abschnitte positiv, für andere aber negativ ist. Die Normalpressung ist hingegen für alle Querschnitte positiv.

Es werden also für die der Biegung unterworfenen Objecte die den Schubkräften entsprechenden Deformationen im Verhältnisse zu jenen, welche von den Normalpressungen herrühren, sehr klein sein; ferner sind, wie aus Nummer 8 des 4. Capitels zu ersehen ist, im Allgemeinen sowohl die einen als auch die anderen im Verhältnisse zu jenen, welche der Biegung entsprechen, sehr klein; da andererseits die in dem elastischen System statthabenden unbekannten Kräfte und Spannungen von den Deformationen abhängen, so kann man den Schluss ziehen, dass es fast immer unnöthig ist, den Einfluss der Schubkräfte, d. h. der

Verschiebungen in Kechnung zu ziehen, sobald es sich darum handelt, die unbekannten Spannungen oder Reactionen zu bestimmen.

Da dieser Schluss für die Abkürzung der Berechnungen sehr wichtig ist, und da man bei allen numerischen Anwendungen daraus Nutzen zieht, erachten wir es für nützlich, durch einige specielle Beispiele die Wahrheit desselben zu zeigen, was auch vorzüglich dazu dient, klarzulegen, wovon es abhängt, dass der Einfluss jener Glieder, welche der Verschiebung entsprechen, sehr klein ist im Verhältnisse zu jenem der von der Compression herrührenden Glieder, obgleich die ersteren, jedes für sich genommen, grösser sein können als die letzteren.

Für den in Nummer 3 des 9. Capitels betrachteten Fall eines Bogens mit cylindrischen Auflagflächen wurde zur Bestimmung der einzigen Unbekannten des Problems, welche der Horizontalschub ist, die Formel (13)

gefunden; wenn der Winkel (p gleich — ist, d. h. wenn die Bogenachse

2

eine halbe Kreislinie ist, so gibt diese Formel

oder

4 p r EI

3 7i r²

El

En Fn

En Fn

3/r a + y’

(25)

1 A

--1--= y macht.

indem man

EI

— a,

En Fn x’

(a — x) fl —-1

V aj a

aA-y

der Ausdruck für den Horizontalschub wird dann, wenn man für a, x} y deren Werthe setzt,

r²

4p r EI EH

3 7t

r²

EI

Zu diesem Resultate würde man offenbar auch gekommen sein, wenn man von der Formel

ri

EH

3 7t r²

EI⁺ E H

ausgegangen wäre, wobei sowohl im Nenner, als auch im Zähler das

Glied —

FH

und ergibt sich daraus, dass dieses Glied einen unbedeutenden Einfluss auf den Werth von Q hat.

Man muss wohl beachten, dass das Glied

nicht sehr klein ist, sondern im Allgemeinen grösser sein

wird; wenn dasselbe nichtsdestoweniger geringen Einfluss auf den Werth von Q hat, so hat dies seinen Grund darin, dass dieses Glied sowohl im

dem Gliede

welches der Verschiebung entspricht, ausgelassen wurde,

FQ

im Verhältnisse zu

Nenner als auch im Zähler dasselbe Zeichen hat wie das Glied —,

EI

verschiedene

welches der Biegung entspricht, während das Glied —

Zeichen hat.

Da die Pfeilhöhe im Verhältnisse zur Sehne des Bogens sehr klein ist, wird der Horizontalschub Q durch die Gleichung (15) bestimmt, d. li. durch

EU

₊    +    Lp¹²

15 EI En 3 l² FHJ l 2fJ EH l

2/

P/j

- 0; (26)

A    .    1

da ferner die Grösse-- von demselben Grade ist wie die Grösse —-

eh

FA

, und

f²

der Bruch -— sehr klein ist, kann man das Glied

12

4 f* A

'    - im Verhält-

3J2 FH

nisse zu jenem

EQ

gendermassen darstellt :

vernachlässigen, so dass obige Gleichung sich fol-

15 EI

-J-l (q——)

Eli) l 2fJ

—r^²+- p/i=o;

Eli \ 2f 3 1 J J

d. h. dass sie kein von der Verschiebung herrührendes Glied enthält.

Wäre nunmehr ein Bogen mit ebenen Auflagflächen zu betrachten, wie derselbe in Nummer 4 des vorhergehenden Capitels untersucht wurde, so hat man die zwei Unbekannten M₀ und P₀, welche durch die beiden Gleichungen (22) und (23) bestimmt sind.

TC

Ist der Winkel cp wieder gleich —, so ergeben diese zwei Gleichungen

2

(f~¹)⁺f²'r2=0’

MĄ-P,r

— [m0 EI L

— Po r

⁺M

(27)

F Si

substituirt man in die zweite Gleichung den Werth von M₀ aus der ersten, so erhält man, indem man gleichzeitig die ähnlichen Ausdrücke vereinigt,

Le/A4 7t)

1 7t A TC

EU 4 Fi2 4

]p-(

12 EI 3 EU 3 F Si

pr-

bei Berücksichtigung, dass annäherungsweise

7t

2 _ 10 TT

4 tc ~ 53 4

ist, ergibt obige Formel

oder auch

Po =

4 p r 4EI EU 3 tc 10 r²

FSi

(28)

Po =

3 7t b-{-y⁷

wenn man

1*2

A EI

— a,

10 r²

53 EI

= *,

En Fn

= x,

En Fn

macht.

Da die Grössen a? und y im Verhältnisse zu den Grössen a und b sehr klein sind, kann man nehmen

|1sS

"r(' +

indem man die Grössen von — und - vom höheren als vom ersten

Grade vernachlässigt; substituirt man sodann für a, b, x, y wieder deren Werthe, so erhält man

1*2

93 1    13 A

Po =

4pr 4EI 40 En 40 Fn

3 TC

10 r²

53 EI

Um diese Formel zu discutiren, genügt es, den Zähler des Ausdruckes von P₀ zu betrachten oder besser noch die alleinige Grösse

^»2

93 1    13 A

4EI 40 En    40 En

und die zwei letzten Glieder, welche als im Verhältnisse zu dem ersten sehr klein schon bekannt sind, unter einander zu vergleichen.

Nimmt man nun an, dass der Bogen nicht allein homogen, sondern auch isotrop, und dass sein Querschnitt rechteckig sei, so hat man

² F

lE’

a = q-

13    _39    1

40 Yn ~ 4ö ’ Yn ’

so dass obiger Ausdruck folgende Form annimmt:

93    1__39 J_

4EI 40 ’ En 40 En 4EI 40 En

13 _A__39    1

40 ’ Fn ~~ 4Ö ’ ËÏ2

r-

132    1

da das Glied

beinahe zwei Siebentel des Gliedes

132

• -i— beträgt, so sieht man, dass 40 JEQ

das von der Verschiebung- herrührende Glied nur zwei Siebentel der Summe dieses und des der Normalpressung entsprechenden Gliedes ist; da andererseits diese Summe im Verhältnisse zu dem von der Biegung herrührenden

sehr klein ist, folgt daraus, dass man diese zwei Siebentel

r2

Gliede

4 EI

vernachlässigen kann, ohne einen zu grossen Fehler zu begehen.

Ausserdem muss man beachten, dass der Bogen mit ebenen Auf-lagflächen, welcher als Achse einen Halbkreis hat, einen bezüglich der Verschiebung sehr ungünstigen Fall darstellt; denn die Mittellinie des Druckes ergibt sich für einen grossen Theil ihrer Länge als sehr geneigt gegen die Körperachse, d. h. die Schubkräfte sind im Verhältnisse zu den Normalpressungen nicht sehr klein.

Mit Hilfe der Formeln (22) und (23) kann man leicht erkennen, dass, wenn die Achse des Körpers wohl ein Kreisbogen, aber kleiner als ein Halbkreis ist, die Wirkung der Verschiebung im Verhältnisse zu jener, wrelche der Normalpressung entspricht, vernachlässigt werden kann, und zwar mit einem um so grösseren Grade von Genauigkeit, je kleiner die

Pfeilhöhe in Bezug auf die Sehne ist.

Betrachtet man z. B. den Fall, wo die Pfeilhöhe im Verhältnisse

zur Sehne sehr klein ist, so ist der Werth des Horizontalschubes P0 durch die Gleichung (29) gegeben, welche von der schon oben in Betracht gezogenen Gleichung (15) nur durch den Coëfficienten des der Biegung entstammenden Gliedes differirt; hiedurch gelangt man wieder zu dem Schlüsse, dass der Einfluss der Verschiebung auf den Werth von P₀ unbedeutend ist, und dass es folglich nicht nothwendig ist, denselben in Bechnung zu ziehen.

Zusammenfassend sieht man, dass unter den vier in Betracht gezogenen Fällen für drei derselben die Wirkung der Verschiebung beinahe absolut Null ist, und dass nur für einen derselben diese Wirkung mit jener der Compression zu vergleichen ist, dass aber auch diese noch viel kleiner ist.

Man kann also in den praktischen Anwendungen zuerst die Unbekannten bestimmen, indem man den Einfluss der Verschiebungen vernachlässig!, und sodann die Mittellinie des Druckes zeichnen. Hat dieselbe überall eine sehr kleine Abweichung gegen die Körperachse, so können die erhaltenen Resultate als absolut genau betrachtet werden; ist aber diese Abweichung für einen grossen Theil der Curve bedeutend, so kann man die Berechnung wieder aufnehmen, indem man auch die Deformationsarbeit, welche den Schubkräften entspricht, in Rechnung zieht.

Dieser letzte Fall kommt aber in den numerischen Anwendungen, welche später folgen werden, niemals vor.

6. Lehrsatz über den Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Hat man ein elastisches System bei einer gewissen Temperatur zusammengesetzt, so werden sich beim Uebergang zu einer anderen Temperatur im Allgemeinen elastische Kräfte entwickeln, welche zu den durch die äusseren Kräfte erzeugten hinzukommen.

Wenn sich z. B. die Temperatur eines metallischen Bogens ändert, so wird sich dessen Sehne zu verlängern oder zu verkürzen trachten; ist derselbe aber in seinen Enden befestigt und kann daher die Verlängerung oder Verkürzung seiner Sehne nicht stattfinden, so werden sich in dem Bogen elastische Kräfte entwickeln, welche zu jenen durch die Belastung erzeugten hinzukommen.

Man nehme nun an, dass ein elastisches System bei einer gewissen Temperatur t zusammengesetzt worden wäre, für welche die einzelnen

ŚA

B'

C/J

Fig. 46.

Ist z. B. in nebenstehender Figur AB CD ein System, welches aus den ineinander gefügten Körpern AB, B C, DH und der an den Enden gegliederten Stange A C zusammengesetzt ist, so sieht man leicht, dass, wenn sich die Temperatur ändert, diese Körper sich nicht ungehindert

1 Theile genau den zur Zusammensetzung lj des Systems nothwendigen geometri-j§ sehen Längen entsprechen ; ferner mache man ein Ende jener Theile frei, welche zur Bildung eines Systems von unveränderlicher Form nicht unerlässlich sind, deren Längen sich somit nicht ungehindert ändern können und welche die freie Bewegung der anderen Theile hindern.

deformiren können, denn jeder derselben ist an seinen beiden Enden mit den anderen verbunden. Schneidet man den Körper B C in der Richtung EF und denkt man sich das Ende C der Stange A C frei, so ist jeder der Körper des Systems nur an einem Ende mit den anderen verbunden und kann daher ungehindert den Aenderungen der Temperatur folgen.

■V

Zufolge der gemachten Annahme werden sich bei der ursprünglichen Temperatur t die beiden Körper DBEF und CE F genau nach dem Querschnitte EF treffen, und die Stange wird genau / die Länge haben, welche gleich ist der b( /

Entfernung der zu verbindenden Punkte \

|s Je"

cC

Fig. 47.

A und C. Bei einer anderen Tempera- F tur t' aber werden die Querschnitte EF der Körper DBEF und CEF sich in E' F' und E" F" befinden, und ferner wird die Entfernung der Punkte A und C gleich AC, die Länge der Zugstange hingegen gleich A C" sein. Nennt man

l die Differenz zwischen der Entfernung A C und der Länge A C", 6 den sehr kleinen Winkel der beiden Flächen E' F’ und E" F", £ und rj die Projectionen der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte der Flächen Er F' und E" F" auf die ursprüngliche Lage des Querschnittes E F,

und nimmt man an, dass auf das in Figur 46 dargestellte System, wofür alle ursprünglichen Verbindungen wieder hergestellt zu betrachten sind, beliebige äussere Kräfte wirken, so wird sich das System deformiren, wobei die Deformationen, sowie die inneren Kräfte variabel sind, und zwar nach Functionen der Temperatur. Für eine beliebige Temperatur kann man offenbar die elastischen Kräfte in allen Punkten des Systems ausdrücken, sobald man die Spannung T der Stange A C und ferner das Biegungsmoment M, die Normalpressung P und die Schubkraft S für den Querschnitt E F kennt.

Um den Werth dieser vier Unbekannten bei der Temperatur t' zu bestimmen, nehme man an, dass sich das System in den durch die Figur 47 dargestellten Bedingungen befinde und lasse sodann darauf die gegebenen äusseren Kräfte und ausserdem noch folgende Kräfte wirken :

20

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

im Punkte C eine von C naci) A gerichtete Kraft T-in dem Ende C" der Stange eine andere Kraft T von C" nach (7; in der Schnittfläche E' F' Normal- und Tangentialkräfte; welche ein Biegungsmoment M₇ eine Normalpressung P und eine Schubkraft S geben ;

endlich in der Schnittfläche E" F" Normal- und Tangentialkräfte; welche gleich; aber entgegengesetzt gerichtet sind mit den auf die Fläche E' F' wirkenden, und welche folglich auch ein Biegungsmoment M, eine Normalpressung P und eine Schubkraft S geben.

Bezüglich der Richtung der in den Flächen E' F' und E" F" wirkenden Kräfte wird angenommen:

1.    dass die Momente M diese Querschnitte derart zu drehen suchen, dass dadurch der Winkel verkleinert wird ;

2.    dass die Resultirenden P wirkliche Normalpressungen seien, d. h. dass dieselben nach der in Figur 46 angeführten Disposition die Projection der Entfernung der Mittelpunkte der beiden Flächen E' F' und E" F" auf die Normale zur Fläche EF zu vergrössern strebt;

3.    dass die Schubkräfte S in der Weise wirken, dass sie die Projection dieser Entfernung auf die Fläche EF zu vermindern trachten.

Die vier Grössen 7) M, P, S müssen derartig sein, dass unter ihrer Wirkung und unter der Wirkung der gegebenen äusseren Kräfte die Punkte C und C", sowie die Flächen E' F' und E" F" nach der Deformation zur Uebereinstimmung kommen.

Der grösseren Deutlichkeit halber bezeichnen wir mit T' und T" die beiden in den Punkten C und C" wirkenden Kräfte T- mit M'} P', S' das Moment M und die Kräfte P und S in der Fläche E' F' ; endlich mit M", P", S" dieselben Grössen bezüglich der Fläche E" F Zufolge dem schon früher Gesagten kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt der das System bildenden Stücke und folglich auch die Deformationsarbeit in Functionen der äusseren Kräfte und der Grössen T', T"- M', P', S'-, M", P", S" ausdrücken.

Bezeichnet man mit L diesen Ausdruck für die Deformationsarbeit, so sind die Summen

dL

dL

d.T

dT'⁷ dM

dL dL dj^

dM"’ dP' ⁺

dL    d L    dL

JV'⁷ JS' ⁺

dS"

nichts Anderes als die Differentialquotienten der Function L mit Bezug auf die Grössen 1) M, P, S- denn betrachtet man z. B. T' und T" als Functionen von T: wie sie durch die Gleichungen

T— T, und T"= T

gegeben sind, so erhält man

dL dL dT' dL d T"

Jr~dT,'~dT ⁺ Jr'''lÏT⁷

und da

dT"

= 1 ist, resultirt daraus, dass

dL d L ~dT~ dl

dL

dT"

Da die Formel

dL

dL

dT"

die Summe der Verrückungen der Punkte C und C" gegen einander, d. h. die Verminderung der Entfernung C" C" ausdrückt, so muss für das Zusammenfallen dieser Punkte nach der Deformation

dl

d Z t d L

Jr^dT"

dL

= l oder — = l sein. dT

(29)

Die Formel

dM

dM"

gibt die Summe der Drehungen der beiden Flächen E' F' und E" F", d. h. die Verminderung des Winkels, welchen diese Flächen unter einander bilden. Damit nun dieselben nach der Deformation zusammenfallen, muss

dL dL dM' ' dM"

dL

= 6 oder —- = 6 sein. dM

(30)

Die Formel

dL dL

drückt die Grösse aus, um welche während der Deformation die Projection der Geraden, welche die Mittelpunkte der Flächen E' F' und E"F" verbindet, auf die Normale auf die Fläche EF vergrössert wird; damit nach der Deformation diese Flächen übereinstimmen, muss diese Grösse negativ und gleich | sein, d. h. es muss folgende Gleichung bestehen:

20*

dL dL

Endlich gibt die Formel

dL

dL

dP' ⁺ d P"

= — £ oder

(31)

dS' dS"

die Grösse, um welche während der Deformation die Projection der Geraden, welche die Mittelpunkte der Flächen E' F' und E" F" verbindet, auf die Fläche E F vermindert wird; damit diese Flächen nach der Deformation zusammenfallen, muss folgende Gleichung bestehen:

dS

dS"

= 7] oder

dL

d S V'

(32)

Die vier Gleichungen (29), (30), (31) und (32) dienen zur vollständigen Bestimmung der vier Unbekannten T, M, P, S.

Bis jetzt wurden die Betrachtungen nur auf ein elastisches System von besonderer Form angewendet; man erkennt aber leicht, dass sich dieselben auf alle Fälle ausdehnen lassen. Bezieht man dieselben z. B.

auf ein System mit mehreren Zugstangen und aus mehreren eingefügten Körpern, welche weggelassen, respective geschnitten werden können, ohne dass das System aufhört ein solches von unveränderlicher Form zu sein, so hat man für jede dieser Zugstangen eine unbekannte Spannung T und für jeden dieser Körper drei Unbekannte M} P, S. Um alle diese Unbekannten zu bestimmen, hat man für jede Zugstange eine Gleichung, ähnlich jener (29), und für jeden Körper drei Gleichungen, ähnlich jenen (30), (31), (32).

L — TI — (M 6 — P£ + Sij) mit Bezug auf T, M, P, S gleich Null setzt.

In dem allgemeinen Falle, als mehrere Zugstangen und mehrere eingefügte Körper vorhanden sind, welche man weglassen, respective durch-schneiden kann, ohne dass das System aufhört eines von unveränderlicher Form zu bleiben, erhält man die zur Bestimmung der Unbekannten noth-wendigen Gleichungen, indem man die Differentialquotienten der Function L — 2TI — 2 (Mb — P£ + Srj) mit Bezug auf diese Unbekannten gleich Null setzt.

Es ist zu beachten, dass die Gleichungen (29), (30), (31) und (32) erhalten werden können, indem man die Differentialquotienten der Function

Man gelangt auf' diese Weise zu folgendem Lehrsätze: Die elastischen Kräfte, welche in dem hei der Temperatur t' betrachteten System auf treten, sind jene, icelche die Deformationsarbeit des Systems zu einem Minimum machen, sofern man dieselbe um so viele Ausdrücke ähnlich jenem TX und jenem Mb — TÇ j- Sy vermindert, als Zugstangen vorhanden sind, welche entfernt werden können, respective als eingefügte Körper existiren, welche in einem Querschnitte durchschnitten werden können, ohne dass das System auf hört eines von unveränderlicher Form zu sein.

Es ist wohl zu beachten, dass dieser Lehrsatz als speciellen Fall jenen von der kleinsten Arbeit enthält; denn bei der ursprünglichen Temperatur müssen die Grössen X, 6, f y Null sein, und es ist also die Deformationsarbeit des Körpers allein, welche ein Minimum wird.

Ferner ist noch zu beachten, dass die Grössen X, 6, y, £ Functionen der Differenz t' — t der Temperatur sind, sowie gleichzeitig der Form und der Natur der einzelnen Bestandtheile des Systems, dass sie aber vollständig unabhängig sind von den äusseren Kräften.

Man kann dieselben im Allgemeinen auch durch die Formel a (f— t) ausdrücken, wobei a ein numerischer Coefficient ist, welcher wohl verschieden ist für jede dieser Grössen, aber bezüglich der Aenderung der Temperatur constant ist, d. h. unabhängig von t' — t.

7. Einfache graphische Construction en, welche man an Stelle der numerischen Berechnung setzen kann. — In den numerischen Aufgaben über das Gleichgewicht elastischer Systeme hat man immer die Ausdrücke für die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte für verschiedene Querschnitte der das System zusammensetzenden Körper zu bilden ; es kommt auch öfter vor, dass, wenn man vier in einem Punkte zusammenkommende Zugstangen hat, man die Spannungen in zwei von denselben in Functionen der Spannungen in den beiden anderen ausdrücken soll.

Um alle diese Operationen strenge durchzuführen, könnte man alle nothwendigen Elemente, d. h. die Hebelarme der Kräfte, die Winkel dieser Kräfte mit den verschiedenen Querschnitten, die Winkel der Zugstangen unter einander etc., mit Hilfe der Geometrie und der Trigonometrie berechnen. In der Praxis genügt es aber im Allgemeinen, alle diese Elemente von einer mit Sorgfalt und im genügend grossen Mass-stabe gemachten Zeichnung abzunehmen.

Wir geben zu diesem Behufe einige Belehrungen über das graphische Verfahren, wofür man die Anwendung im zweiten Theile findet.

Biegungsmomente. — Um den Ausdruck des Biegungsmomentes für einen gegebenen Querschnitt eines Körpers zu bilden, muss man die Hebelarme jeder der einerseits des betrachteten Querschnittes auf den Körper wirkenden Kräfte kennen, wobei unter diese Kräfte nicht nur die Belastungen, sondern auch die Spannungen in den Zugstangen, die Keactionen in den Auflagpunkten etc. einzubeziehen sind. In der Zeichnung, welche das zu untersuchende System darstellt, muss man also die Querschnitte, für welche man den Ausdruck für das Biegungsmoment bilden will, ziehen und sodann vom Mittelpunkte jedes Querschnittes Perpendikel auf alle bekannten und unbekannten Kräfte fällen, welche in diesem Querschnitte ein Biegungsmoment erzeugen können. Zu jedem Perpendikel schreibe man schliesslich die auf der Zeichnung gemessene Länge.

Normalpressungen und Schubkräfte. — Um den Ausdruck für die Normalpressung und jenen für die Schubkraft in einem Querschnitte eines Körpers zu erhalten, muss man dieselben Kräfte betrachten, wTelche ein Biegungsmoment erzeugen können, und sodann deren Projectionen auf die Normale in dem Querschnitte addiren, wenn man die Normalpressung erhalten will, hingegen deren Projectionen auf die Fläche selbst

addiren, wenn man die Schubkraft erhalten will. Die Werthe dieser Projectionen ergeben sich, indem man jede Kraft mit dem Sinus oder dem Cosinus, welchen sie mit der Querschnittsfläche bildet, multiplicirt.

Fig. 48.

Den Sinus und Cosinus der Winkel, welche eine Kraft mit den verschiedenen Querschnitten bildet, kann man mit Hilfe einer einzigen graphischen Operation finden. Zu dem Zwecke mache man, wie in obiger Figur zu ersehen ist, auf einer zur Richtung der Kraft parallelen Geraden die Länge AB gleich einer Einheit in einem beliebigen

Massstabe und beschreibe über dieser Linie als Durchmesser einen Halbkreis; sodann ziehe man vom Punkte B die Sehnen BC₀, BClf BCif BGA parallel zu den in Betracht zu ziehenden Querschnitten und vom Punkte A die Sehnen AC„, ACif AC₂, ACi} welche senkrecht auf die ersteren sind. Misst man nun die Längen aller dieser Sehnen mit dem Massstab, dessen Einheit gleich AB ist, so erhält man in AC₀, ACX, AC.₂, ACz die Sinus der Winkel, welche die Kichtung AB mit den betrachteten Querschnitten einschliesst, und in BC$, BCBC₂, BCZ die Cosinus derselben Winkel.

Bei der praktischen Anwendung wird sich Gelegenheit ergeben, diese graphische Construction durchzuführen.

t₃'

i iS

11/

7W

y

-aoi

JL

A, '-----

'0

Fig. 49.

Zerlegung der Kräfte. — Ist 0 in vorstehender Figur der Knotenpunkt, wo sich vier gegliederte Stäbe vereinigen, welche einem System angehören, das unter der Wirkung der äusseren Kräfte sich im Gleichgewichte befindet, und nennt man Tu Tv TZ} Tx die Spannungen in diesen Stäben, so kann man offenbar zwei dieser Kräfte in Functionen der anderen zwei ausdrücken, so dass, wenn diese letzteren bekannt sind, die ersten daraus leicht abgeleitet werden können.

Hätte man z. B. T.₁ und Tz in Functionen von '1\ und J\ auszudrücken, so nimmt man auf der Eichtung der Spannung Tz einen beliebigen Punkt A und fällt von diesem Punkte Senkrechte A Ai} A A₂, AA₄ auf die Richtung der Spannungen 7\, T₂, 7\. Da die algebraische Summe der Momente der vier Punkte in Bezug auf einen beliebigen Punkt gleich Null sein muss; so ist klar, dass, wenn man die Momente in Bezug auf den Punkt A nimmt, das Moment der Spannung 7\ gleich Null ist, und dass man folgende Gleichung erhält:

7y₂.AA₂—T₁.AA₁

T₄ . ÄJ₄ = 0;

nimmt man als Einheit die Länge des Perpendikels AA₂ und nennt man a₁ und a₄ die Längen der zwei anderen Perpendikel A A₄ und A A gibt obige Gleichung

so er-

T₂ — T₄a₄ -\~ 7₄ a₄.

Nimmt man nun auf der Richtung der Spannung T₂ die Länge OB — O A und fällt man vom Punkte B die Perpendikel BBU BB₃, BB4 auf die Richtungen der anderen Spannungen, so ergibt sich, wenn man ausdrückt, dass die Momente der vier Spannungen in Bezug auf den Punkt B eine Summe gleich Null geben, folgende Gleichung:

T₃. BB₃ — T₄ . BB₄ -f- t₄ . bb₄ = 0,

T₃ — T₄ b₄ J\ b₄.

wobei offenbar BB₃ = AA.₂ = 1 ist; nennt man ferner b₄ und b₄ die Längen der zwei anderen Perpendikel BB₄ und BB₄, so ergibt obige Gleichung

Zusammenfassend sieht man, dass nach Ausführung der oben ange

deuteten graphischen Construction die Spannungen 7\ und T₃ mit Hilfe der zwei Gleichungen

7\ = T₄ a₄ -f- 7 ₄ a₄,

T₃ = Tibi T₄ b₄

in Functionen der zwei anderen 7] und 7\ ausgedrückt werden können.

11. Capitel.

Unvollkommen elastische Systeme, wie gemauerte Gewölbe.

1. Betrachtungen über unvollkommen elastische Systeme.

— Wir nennen jene Körper unvollkommen elastisch, welche, falls sie comprimirt worden sind, nach Entfernung der äusseren Kräfte nicht genau ihre ursprüngliche Form wieder annehmen.

Da die Systeme, welche ans diesen nicht vollkommen elastischen Körpern zusammengesetzt werden, zusammendrückbar sind und in Folge dessen sich deformiren können, und da ferner ihre Deformationen um so grösser sind, je grösser die dieselben hervor ruf enden Kräfte waren, so folgt daraus, dass die Deformationen Functionen der äusseren Kräfte sind.

Hat man also ein gewissen geometrischen Bedingungen entsprechendes, unvollkommen elastisches System, so bestimmt man die unbekannten elastischen Kräfte, d. h. den Druck auf die Stützpunkte, das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in dem Querschnitte der Einmauerung, indem man die geometrischen Bedingungen ausdrückt, welchen das System genügen muss.

Ist ferner die Zusammendrückbarkeit der unvollkommen elastischen Körper, welche das zu betrachtende System bilden, proportional zu den Pressungen, wie dies zwischen gewissen Grenzen für die vollkommen elastischen Körper der Fall ist, so kann man leicht ersehen, dass die Vertheilung der äusseren Kräfte in derselben Weise stattfinden wird wie bei den letztgenannten Körpern. Daraus folgt, dass die Formeln und Lehrsätze, welche für die vollkommen elastischen Körper und Systeme bewiesen wurden, auch für die unvollkommen elastischen Körper Geltung haben. Der in der Praxis am häufigsten vorkommende Fall ist jener der gemauerten Bögen, so lange der Mörtel noch keine feste Verbindung gebildet hat.

Der Mörtel muss als jeder Widerstandskraft gegen Zug vollständig entbehrend angesehen werden, so dass an Orten, an welchen Zugspannungen stattfinden, dieselben sich durch Risse kenntlich machen werden. Man erkennt aber leicht, dass nichtsdestoweniger alle Formeln und alle Lehrsätze, welche im Obigen gegeben wurden, streng anwendbar sind ; nur werden die Berechnungen etwas länger sein, da diesfalls nicht alle Querschnitte des festen Körpers im Vorhinein bekannt sind.

Ey

Dasselbe gilt auch für Gewölbe aus Hausteinen, welche ohne Hilfe von Mörtel aufgeführt werden.

Fig. 50.

Wenn z. B. ein Gewölbe eine ià/c / im Verhältnisse zu dessen Oeffnung sehr kleine Pfeilhöhe hat, so kommt es fast immer vor, dass in allen Querschnitten eines Theiles AB DE nahe an den Widerlagern die Tendenz herrscht, am Gewölberücken Zugspannungen zu erzeugen; von dem Querschnitte ED aber bis zum Schlussstein wird jeder Querschnitt seiner ganzen Ausdehnung nach comprimirt. Hiedurch ist auch die Erklärung dafür gegeben, dass beim Wegnehmen der Gerüste sehr flacher Gewölbe sich am Bogenanfang immer Risse zeigen, welche vom Gewölberücken ausgehend mehr oder weniger tief in das Gewölbe eindringen.

Betrachtet man in diesem Falle einen beliebigen Querschnitt des Theiles AB ED, so wird derselbe in der ganzen zwischen der inneren Laibung und einer gewissen Curve CE befindlichen Partie comprimirt, während zwischen dieser Curve und dem Gewölberücken weder Druck-noch Zugspannungen stattfinden können.

Wenn man also die Gleichgewichtsbedingungen eines derartigen Gewölbes zu untersuchen hat, kann man wohl die Formeln und Lehrsätze darauf anwenden, welche für die vollkommen elastischen Körper und Systeme entwickelt wurden, nur für das Stück AB ED muss man sich den widerstandsfähigen Querschnitt des Gewölbes durch die Curve CE und nicht durch den Gewölberücken begrenzt vorstellen.

Der Theil BCE des Gewölbes darf nur als eine Last betrachtet

werden.

Die Schwierigkeit besteht also in der Bestimmung’ der Curve CE, welche von vornherein unbekannt ist, aber auch diese Schwierigkeit kann ohne zu lange Berechnungen durch die Methode der successiven Annäherung bewältigt werden, wofür wir später in der Betrachtung einer Brücke aus Hausteinen ein Beispiel geben werden. Der ausserordentlich kühne Bogen dieser vom Ingenieur C. Mosca im Jahre 1827 über die Doire bei Turin erbauten Brücke wurde theils ohne Anwendung von Mörtel, theils mit einer Zwischenlage von Mörtel zwischen den einzelnen Granitsteinen construirt.

Wir erachten es nicht für nothwendig, noch andere Betrachtungen hinzuzufügen, um zu zeigen, dass die Berechnung der unvollkommen elastischen Systeme auf Grund derselben Principien gemacht werden kann, wie sie für vollkommen elastische Systeme dienen ; denn in allen Körpern der Natur sind die innern oder elastischen Kräfte Functionen der durch die äusseren Kräfte hervorgerufenen Deformationen.

Man könnte wohl einwenden, dass, wenn die auf einen unvollkommen elastischen Körper wirkenden äusseren Kräfte zuerst von Null bis zu einem gewissen Werthe wachsen und sodann wieder bis auf Null abnehmen, um ein anderes Mal zu wachsen, der Zustand des Körpers bezüglich der Deformationen nicht vollkommen derselbe ist wie in der ersten Periode, selbst für ein gleiches System von äusseren Kräften, so wie dies bei vollkommen elastischen Körpern stattfindet.

Diese Einwendung ist ohne Zweifel richtig, aber sie kann im Allgemeinen das oben Bemerkte nicht entkräftigen.

Man muss übrigens wohl beachten, dass dieser Wechsel in den äusseren Kräften in der Praxis nur in sehr beschränkten Grenzen stattfindet. Z. B. kann sich bei einer Brücke aus Mauerwerk nur die zufällige Belastung ändern ; dieselbe ist aber immer nur ein sehr kleiner Theil des Eigengewichtes der Brücke.

THEOKIE

DES GLEICHGEWICHTES ELASTISCHER SYSTEME

UND DEREN ANWENDUNG.

<o

Zweiter The il. — Anwendungen.

1. Capitel.

Betrachtung eines durch zwei Zugstangen aus Schmiedeisen und einer Druckstrebe aus Gusseisen armirten Balkens.¹) (Tafel I, Figuren 1 und 2.)

1. Allgemeine Angaben. — Der in Figur 1 (Tafel I) dargestellte Träger hat eine lichte Spannweite zwischen den Stützen von 8m, 00 ;

die Entfernung zwischen dem Durchschnittspunkte der Mittellinien der beiden Zugstangen und der Achse des Balkens beträgt 0m,60; der Querschnitt des Balkens 0ra,20 X 0m,20 = 0^04; der Durchmesser der Zugstangen 0m,026.

Die Druckstrebe besteht aus Gusseisen, hat einen kreuzförmigen Querschnitt und kann wegen ihrer geringen Länge und der geringen Pressung, welcher sie unterworfen ist, als absolut starr betrachtet werden.

Die Belastung des Trägers, das Eigengewicht desselben mit inbegriffen, beträgt 180 Kilogramm per Längenmeter.

Die Normalpressung hat für alle Querschnitte des Balkens den constanten Werth

T cos ß = 0,9889 . T. Die Reaction der Stützen beträgt

R = 180 X 4,00 = 720.

Das Biegungsmoment in Bezug auf die Enden des Trägers ist Ml = 0, und bezüglich des mittleren Querschnittes C ist es

M.₂ = — R X 4,00 + ip . 4,00* + TX 4,00 X sin ß

oder

M₂ = — 1440 + 0,5928 . T.

Die Fläche und das Trägheitsmoment des Balkenquerschnittes haben

die Werthe

2. Berechnung der Spannung in den Zugstangen. — Nennt man T die Spannung in den Zugstangen,

T{ die Pressung in der Druckstrebe,

ß der Winkel, welchen die Zugstangen mit der Achse des Balkens bilden, so hat man

sin ß =

. 0,60

Y 4,00* + 0,60*

= 0,1482

cos ß —

4,00

= 0,9889

und folglich

Y4,00* + 0,60*

T, = 2 Tsin ß = 0,2964 . T.

(1)

ß = 0,20 X 0,20 = 0,04,

— 0,20X0,203 = 0,000133;

12

bezeichnet man mit E den Elasticitätscoefficienten des Holzes, so ist die Deformationsarbeit, welche der Zusammendrückung des Balkens entspricht, durch die Formel

8,00

2EQ

- X {Tcos /?)* =

X 195,58 . T\

(2)

und jene, welche der Biegung entspricht, durch folgende Formel ausgedrückt :

Nennt man schliesslich E' den Elasticitätscoefficienten des Eisens, und beachtet man, dass

4m,045 die Länge jeder Zugstange ist und

a, — O«“, 000531 die Fläche ihres Querschnittes, so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit der Zugstangen die Formel

4,045

2E'oj

2X

4,00 rm, m.₂

l 3    12

2EI

•P X 4;00²J

3- X (7046 .T2—21395000.2T). (3)

2E

. T* = J— X 15235 . T\

2E

und bei der Annahme, dass der Elasticitätscoefficient des Eisens zwölfmal grösser ist als jener des Holzes,

2E

x 1270. T\

(4)

Die Deformationsarbeit des ganzen Systems ergibt sich durch Vereinigung der drei Formeln (2), (3), (4), wie folgt:

(5)

— (8512 . T² — 21 395 000 X 2 T).

2 E

8512 .T — 21 395 000 = 0, T= 2514.

Um den Werth der Spannung T zu erhalten, muss man den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null setzen, d. h. man erhält

woraus

3. Grösste Beanspruchung der Zugstangen und des Balkens per Quadratmeter. — Die Spannung der Zugstangen per Quadratmeter der Querschnittsfläche ist

2514

= 4 730 000.

0,000531

Das Biegungsmoment bezüglich eines Querschnittes, dessen Entfernung vom nächst gelegenen Stützpunkte x ist, wird gegeben durch

M=

— R x -f- T sin ß . x -f- i x¹ =

— 347 . x -j- 90 . x².

Das Maximum dieses Ausdruckes findet statt für

= 1,93, und ist dessen Werth M =

347

180

woraus folgt, dass die grösste Pressung- des Balkens per Quadratmeter des Querschnittes durch die Formel

= 313 000

T cos/? Mv_2486    335 x 0,10

I ~ 0,04 ⁺ 0,000133

gegeben ist, d. h. dass dieselbe 31k§, 30 per Quadratcentimeter beträgt.

4. Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Die obigen Resultate gelten, wenn die Temperatur gleich bleibt mit jener im Momente der Montirung; dieselbe wollen wir mittlere Temperatur nennen.

Steigt oder fällt die Temperatur um t Grade, so würde sich jede Zugstange, wenn sie frei wäre, um die Grösse

4,045 . t

82500

= 0,000 049 . t

—-— der Ausdehnungs-82500

verlängern oder verkürzen, angenommen, dass coefficient des Eisens ist.

In Betreff des Balkens kann man annehmen, dass, selbst wenn derselbe frei wäre, die aus der Aenderung der Temperatur hervorgehenden Längenänderungen gleich Null wären.

Endlich kann man auch die Verlängerung der Druckstrebe vernachlässigen, sei es auf Grund der geringen Länge, sei es wegen der Art, wie sie in dem System wirkt.

Dies vorausgeschickt, ist es klar, dass, wenn die Montirung des Balkens bei einer Temperatur von t Graden über oder unter der mittleren geschehen würde, die Länge jeder Zugstange um 0,000 049 t grösser oder kleiner sein würde, als geometrisch nothwendig wäre.

Um also die Spannung der Zugstangen bei dieser Temperatur zu

±2X 0,000 049 .t. T= ± 0,000 098 . t. T

bestimmen, wohl vorausgesetzt, dass der Balken bei der mittleren Temperatur montirt und belastet wurde, muss man zur Formel (5) noch den Ausdruck

hinzugeben, womit man

(8512 .T2 — 21 395 000.2 T) ± 0,000 098 t.T

2E

erhält; setzt man sodann den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null, so erhält man die Gleichung

— (8512 . T— 21 395 000) ± 0,000098 . t. = 0,

E

(6)

woraus sich

T — 2514    17,27 . t

ergibt, wenn man E = 1 500 000 000 nimmt.

Das obere Zeichen bezieht sich auf eine höhere, das untere auf eine niedere Temperatur.

Nimmt man an, dass die mittlere Temperatur -j- 15° ist, die höchste -j- 40° und die niedrigste — 10°, so ist der grösste Werth von t 25, und

man kann nun die Bedingungen des Widerstandes des Balkens für die zwei äussersten Temperaturen einzeln betrachten.

Erster Fall. — Temperatur von 40°.

T= 2514 —432 = 2082.

Macht man in der Formel (6) t = 25 und nimmt das obere Zeichen, so erhält man

2082

In den Zugstangen beträgt die Spannung per Quadratmeter des Querschnittes

= 3 920 000

0,000531

die Normalpressung ist für alle Querschnitte des Balkens Tcosß = 2082 X 0,9889 = 2059,

ferner ist das Biegungsmoment in Bezug auf einen in der Entfernung x vom nächst gelegenen Stützpunkte befindlichen Querschnitt

Rx-\- Tsinß . x -j- ^ px² = — 411 x -f- 90a?²;

dessen grösster Werth ergibt sich für

411

= 2,28 mit M = — 469.

Bei der Temperatur von 40° hat die grösste Pressung des Holzes per Quadratmeter den Werth

= 405 000,

2059    469 X 0,10

0,04 ⁺ 0,000133

d. h. 40 X 50 per Quadrateentimeter.

Zweiter Fall. — Temperatur von 10°.

In diesem Falle muss man in der Formel (6) t — 25 machen und das obere Zeichen nehmen; man erhält dann

T= 2514 + 432 = 2946,

und die Spannung der Zugstangen per Quadratmeter ergibt sich mit

= 5 548 000.

2946 0,000531

Die für alle Querschnitte des Balkens constante Normalpressung ist Tcos/? = 2946 X 0,9889 = 2913;

das Biegungsmoment für den in der Entfernung x von dem nächst gelegenen Stützpunkte befindlichen Querschnitt ist

— Rx Tß . x -\- ^px² = —283 x -f- 90a?²;

dessen grösster Werth, welcher mit der Mitte des Balkens, d. h. mit x = 4,00 correspondit, beträgt

M —

M= + 308.

dratmeter

= 304 400

Es folgt daraus, dass die grösste Pressung des Balkens per Qua-2913    308 X 0,10

0,04 '    0,000133

ist, d. h. 30X 44 per Quadratcentimeter.

5 548 000 und 3 920 000ks

5. Schlussfolgerung. — Fasst man obige Resultate zusammen, so erkennt man, dass, wenn die Temperatur sich zwischen — 10° und + 40° ändert, die grösste Spannung der Zugstange per Quadratmeter zwischen

und die grösste Pressung des Holzes per Quadratcentimeter zwischen

30k&,44 und 40ks,50

variirt.

21

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

Es folgt daraus, dass bei Berechnung der aus Holz und Eisen zusammengesetzten Systeme es unbedingt nothwendig ist, den Aende-rungen der Temperatur Rechnung zu tragen.²)

2. Capitel.

Betrachtung eines durch drei Zugstangen aus Schmiedeisen und einer Druckstrebe aus Gusseisen armirten Balkens.

(Tafel I, Figuren 3 und 4.)

1.    Allgemeine Angaben. — Ausser den in Figur 3 (Tafel I) ersichtlich gemachten Massen hat der betreffende Träger noch folgende Abmessungen :

Querschnitt des Balkens 0m, 20 X 0ra, 20 = 0m,04;

Durchmesser der Zugstangen 0m, 024.

Die Druckstreben sind aus Gusseisen und haben einen kreuzförmigen Querschnitt ; man kann dieselben als vollkommen starr betrachten, sei es wegen ihrer geringen Länge, sei es wegen der geringen Pressung, welcher sie unterworfen sind.

Die Belastung des Trägers, dessen Eigengewicht mit inbegriffen, beträgt 180 Kilogramm per Längenmeter.

2.    Berechnung der Spannung in den Zugstangen. — Nennt man T die Spannung in den geneigten Zugstangen,

Tx jene der horizontalen Zugstange,

T₂ die Pressung in den Druckstreben,

ß den Winkel, welchen die seitlichen Zugstangen mit der Achse des Balkens bilden,

so hat man

sin ß —

0,60

y2,75² + 0,60²

= 0,2131,

cos/? =

2,75

= 0,9734

f2,75² + 0,60²

J\ = 0,9734 . T T₂ = 0,2131 . T.

Für alle Querschnitte des Balkens ist die Normalpressung constant und ist deren Werth gleich T{.

und folglich

(1)

21*

Die Réaction der Stützen ist

R = 180 X 4,00 == 720.

Die Biegungsmomente in Bezug auf die Enden des Balkens und auf die mit den Druckstreben correspondirenden Querschnitte sind beziehungsweise

M₂ =

Mx= 0,

— R . 2,75 + T. 0,60 . cos/? + - p . 2,75² = —1299,4 + 0,584 . T.

2

Nennt man nun

E den Elasticitätscoefficienten des Holzes,

Q — 0,20 X 0,20 = 0,04 die Querschnittsfläche des Balkens,

— 0,20 X 0,20³ — 0,000 133 das Trägheitsmoment dieses Quer-

12

Schnittes, so kann man die Deformationsarbeit des Balkens in folgender Weise ausdrücken:

für die alleinige Compression

1    8,00 X 0,97342

0,04

für die Biegung der seitlichen Balkenstücke 2,75 ni\ M2 2EI\ 3

für die Biegung des zwischen den beiden Druckstreben befindlichen 2,50 2EI

8,00

2EQ

Stückes

2 EI

• T\ =

2E

2X

12

(m\-

M₂

• T² =

— • 189,48 . T²-

■ P -2,760;

(2)

Wenn man diese zwei letzten Formeln summirt, für M₂ dessen Werth in einer Function von T substituirt und für I und p deren Werthe einsetzt, so erhält man als Ausdruck der Arbeit, welche der Biegung des ganzen Balkens entspricht, folgende Formel:

r 13,00

l 3

2,753 + 2,503 6 ¹

Die Deformationsarbeit der Zugstangen wird durch die Formel

-i-(2 X 2,815 • ^² +2,50 X^,)

2 E co

M\

.M,

’O

2E

(11084. T²—27 055054X2T). (3)

ausgedrückt; substituirt man in dieser Formel für T{ dessen Werth in einer Function von T, wie derselbe durch die erste der Gleichungen 1 gegeben wurde, beachtet man, dass die Querschnittsfläche der Zugstangen io = 0,000 452 beträgt, und nimmt man schliesslich an, dass der Elasti-citätscoefficient des Eisens zwölfmal grösser ist als jener des Holzes, d. h. dass E' — 12 . E ist, so erhält man

—.1475.T\

2E

(4)

Summirt man die drei Formeln (2), (3) und (4), so ergibt dies als Ausdruck der Deformationsarbeit des ganzen Systems die Formel

(5)

— (12 748 . T2 — 27 055 054.2 T).

2 E

12 748 . T— 27 055 054 = 0

Um nun den Werth der Spannung T zu bekommen, hat man den DifFerentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null zu setzen, daher

zu machen und erhält T =

27 055 054

12 748

= 2122,2.

3. Grösste Beanspruchung der Zugstangen und des Balkens

per Quadratmeter. — Setzt man in den Gleichungen (1) für T dessen Werth, so erhält man

7¹, =2065,7; T₂ = 452,2;

somit ist die Spannung der Zugstangen per Quadratmeter für die seitlichen Zugstangen =

2122,2 0,000 452 2065,7 0,000 452

Was die Druckstreben betrifft, so ist es unnöthig, sich weiters mit denselben zu befassen, denn man weiss, dass deren totale Spannung, resp. Pressung, so klein ist, dass derselben stets eine grössere Widerstandskraft entgegensteht.

Um nun die grösste Pressung des Holzes per Quadratmeter zu finden, muss man zuerst beachten, dass für alle Querschnitte des Balkens die Normalpressung gleich T{ ist.

für die mittlere Zugstange =

= 4 700 000 Kilogramm,

= 4 570 000 Kilogramm.

Das Biegungsmoment ist variabel und ergibt sich dessen Werth für einen Querschnitt der seitlichen Balkenstücke., d. h. für einen in einer Entfernung x < 2®, 75 von einem Stützpunkte gelegenen Querschnitt, aus der Formel

— R x -f- Tsin ß . x -j- p a?² —

— 267,8 . x -j- 90 . x¹.

M=

267,8

- 1,49,

Den grössten numerischen Werth ergibt diese Formel zwischen x — 0 und x — 2m,75 für

180

M = —199.

und zwar ist derselbe

Für das zwischen den Druckstreben befindliche Stück findet man, dass das grösste Biegungsmoment in dem mittleren Querschnitte stattfindet, und ist dessen Werth

M = — R X 4,00 4- -p X 4,002 x Tx + 0,60 = — 200,58.

2

Man sieht also, dass der grösste Werth des Biegungsmomentes für den mittleren Querschnitt des Balkens gilt; daraus folgt, dass die grösste Pressung des Holzes per Quadratmeter auch in diesem Querschnitte stattfinden wird, und dass deren Werth

2065,7

200,58 X 0,10 0,000133

= 201702

M v

&    0,04

ist, d. h. 20ke,17 per Quadratcentimeter.

4. Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Da die Aen-derungen der Temperatur beinahe gar keinen Einfluss auf das Holz haben, kann man annehmen, dass der einfache Holzbalken, selbst wenn er frei wäre, bei einer Aenderung der Temperatur sich weder verlängern noch verkürzen würde; die Zugstangen hingegen werden, wenn sie frei sind, sich verlängern oder verkürzen. Die Wirkung der Aenderung der Temperatur auf die Druckstreben kann man, sei es wegen ihrer geringen Länge, sei es wegen der Art, wie dieselben in dem System wirken, vernachlässigen.

Steigt oder fällt nun bezüglich der mittleren Temperatur die fac-tische Temperatur um t Brade, so wird sich die mittlere Zugstange,

± 2 X 0,000049 .t.T=± 0,000098 .t.T hinzuzufügen und erhält somit

— (12 748 . T2 — 27 055 054.2T)± 0,000098 .t.T-2 E

sodann muss man den Ditferentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null setzen, was folgende Gleichung ergibt:

- (12 748 . T— 27 055 054) ± 0,000 098 . t = 0.

Nimmt man E — 1 500 000 000, so erhält man

(6)

wenn sie frei wäre, um die Grösse 2,815. t

2,50. t 82500 '

verlängern oder verkürzen, vorausgesetzt,

und jede der beiden seit-

liehen Zugstangen um dass man wie im 1. Capitel und wie in der Folge den Ausdehnungs-

82500

coëfficienten des Eisens mit

82500

annimmt.

Wenn man nun die Montirung der verschiedenen Constructions-theile des Systems bei der betrachteten Temperatur ausführen wollte, so würde man bald erkennen, dass, nachdem die horizontale Zugstange an ihre Stelle gebracht worden ist, jede der seitlichen Zugstangen um die

2,815. t

Grösse

1 2,50. t

• cos ß +

= 0,000049. t

2 82500 zu lang oder zu kurz wäre.

Ist das System bei der mittleren Temperatur montirt worden, so hat man, zufolge eines im theoretischen Theile bewiesenen Lehrsatzes, zur Bestimmung der Spannung T der seitlichen Zugstangen bei der Temperatur t ober- oder unterhalb jener, bei welcher obige Belastung angenommen wurde, zu der Formel (5), welche die Deformationsarbeit des ganzen Systems ausdrückt, noch den Ausdruck

82500

T — 2122,2 qp 11,53 . t.

Dabei muss das obere Zeichen beim Steigen, das untere beim Sinken der Temperatur genommen werden.

Wir nehmen nun an, dass die Montirung des Trägers bei der mittleren Temperatur von 15° geschehen sei, und dass die Temperatur zwischen — 10° und -f- 40° veränderlich sei; die Untersuchung¹ der beiden äussersten Fälle ergibt sodann:

Erster Fall. — Temperatur von 40°.

In der Formel (6) muss man t = 25 machen und das obere Zeichen nehmen; es ergibt sich dann

1833,9

T= 2122,2 — 11,53 X 25 = 1833,9,

0,000452

woraus folgt, dass die Spannung der seitlichen Zugstangen = 4 057 000 Kilogramm per Quadratmeter beträgt.

Um die grösste Spannung im Balken zu finden, beachte man, dass für alle Querschnitte desselben die Normalpressung

7\ = T cos ß = 1785

ist, und dass ferner das Biegungsmoment, welches von einem Querschnitte zum anderen variabel ist, seinen grössten numerischen Werth in dem mittleren Querschnitte des Balkens hat, und zwar ist dieser Werth

M= —

R X 4,00 + - p . 4,002 tx . 0,60 = — 369.

2

Die grösste Pressung des Holzes per Quadratmeter ergibt sich demnach mit

= 322 069,

1785    369 X 0,10

0,40 ⁺ 0,000133

d. h. 32ks,21 per Quadratcentimeter.

Zweiter Fall. — Temperatur von — 10°.

Auch in diesem Falle muss man t = 25 machen, nur ist das untere Zeichen zu nehmen, so dass

T= 2122,2 + 11,53 X 25 = 2410,4;

es ist also die Spannung der seitlichen Zugstangen per Quadratmeter

= 5 332 000.

2410,4

0,000452

Die Normalpressung in dem Balken hat für alle Querschnitte den con-stanten Werth

Tcosß = 2410,4 X 0,9734 = 2346;

für einen in der Entfernung x vom nächst gelegenen Stützpunkte befindlichen Querschnitt, wobei x < 2m,75, wird das Biegungsmoment durch die Formel

ausgedrückt, deren numerisches Maximum, welches mit 206,4

= 1,15 correspondit, M ——118,3 ist.

iH= —

Rx -f- Tsin /? . cç -f- — px² = 2

206,4 . a? -|- 90 . x¹

180

Für den mittleren Querschnitt des Balkens erhält man auf leichte

Art das Biegungsmoment M = — 42,4, woraus folgt, dass die grösste Pressung des Holzes in den seitlichen Theilen stattfindet, und zwar ist deren Werth

2346    118,3 X 0,10

0,04

0,000133

= 147 600,

d. h. 14k&,76 per Quadratcentimeter.³)

5. Schlussfolgerung. — Die vorhergehenden Resultate zeigen, wie gross für die aus Holz und Eisen zusammengesetzten Systeme der Einfluss der Temperatur auf die Yertheilung der Spannungen und Pressungen sein kann.

In der That werden hei einer Veränderlichkeit der Temperatur von — 10° bis zu —{— 40⁰ auch die elastischen Kräfte per Quadratmeter zwischen folgenden Grenzen variiren:

für die seitlichen Zugstangen zwischen 4 057 000 und 5 332 000 Kilogramm,

für den Holzbalken

zwischen 322 069 und 147 600 Kilogramm.

3. Capitel.

Betrachtung eines durch drei Zugstangen aus Schmiedeisen und einer Druckstrebe aus Gusseisen armirten Balkens.

(Tafel I, Figuren 5 und 6.)

1. Allgemeine Angaben. — Ausser den in Figur 5 (Tafel I) ersichtlich gemachten Massen hat der in Rede stehende Träger noch folgende Abmessungen :

Entfernung der inneren Kanten der beiden Auflager, d. h. freie Tragweite des Trägers 6m,70;

Entfernung jeder Druckstrebe von dem zunächst gelegenen Auflager 2m,18;

Entfernung der horizontalen Zugstange von der Achse des Balkens 0m,60;

Verticalprojection der Zugstangen O®,60 — 0m,13 = Om,47;

Querschnitt des Balkens 0m,20 X 0m,20;

Durchmesser der Zugstangen 0m,025.

Die Druckstreben sind aus Gusseisen und haben einen kreuzförmigen Querschnitt; man kann dieselben hier als vollkommen starr betrachten.

Die Belastung des Trägers, dessen Eigengewicht mit inbegriffen, beträgt per Längenmeter    ~~ rrM

p = 2o0 Kilogramm.

2. Berechnung der Spannung in den Zugstangen. — Nennt man T die Spannung in den seitlichen Zugstangen,

Tx die Spannung in der horizontalen Zugstange,

T₂ die Pressung in den Druckstreben,

ß den Winkel, welchen die seitlichen Zugstangen mit der Horizontalen bilden,

so hat man

sin ß —

0,47

Y 2,07 *+0,472

= 0,2214,

cos/? =

2,07

Y 2,072 + 0,472

= 0,9752

Tx = 0,9752 . T, T₂ = 0,2214 . T.

und folglich

Die Normalpressung ist für alle Querschnitte des Balkens zwischen den äussersten Knotenpunkten der seitlichen Zugstangen constant und gleich rl\.

In den zwei kleinen seitlichen Stücken zwischen diesen Knoten

punkten und den Auflagflächen, deren jedes die Länge von 0m, 11 hat, ist die Normalpressung gleich Null.

Die Biegungsmomente für die Querschnitte, welche die verschiedenen

Stücke des Balkens trennen, werden durch folgende Formeln gegeben:

Für die mit den inneren Kanten der Auflager correspondirenden Querschnitte ist

M₀ =

\j>- 0,15* = 2,81;

für die in der Entfernung von 0m, 11 von den vorhergehenden befindlichen Querschnitte, d. h. für die mit den äussersten Knotenpunkten der seitlichen Zugstangen correspondirenden Querschnitte ist

— R . 0,11 + ~p . 0,262 + 0,13 . Tcos ß = — 87,80 + 0,1268 . T-2

für die mit den Druckstreben correspondirenden Querschnitte ist

M₂ = — R. 2,18 H--p . 2,33² ₊ 0;60. Tcos ß = —1228,89 + 0,5851. T. 2

Nennt man nun

E den Elasticitätscoefficienten des Holzes,

Q = 0,20 X 0,20 = 0,04 die Querschnittsfläche des Balkens,

I— ^ 0,20 X 0,20³ = 0,000 133 das Trägheitsmoment dieses Querschnittes,

so kann man die Deformationsarbeit des Balkens leicht ausdrücken. Denn für jenen Theil dieser Arbeit, welcher der alleinigen Compression, d. h. den Normalpressungen entspricht, hat man die Formel

2,07 X 2 + 2,34

2EQ

.Ti ₌1_ 6,48 X 0,97522

2E

0,04

•T2 = — -154,06.T2, (2)

2E

und für den von der alleinigen Biegung abhängigen Theil, d. h. für jenen Theil, welcher den Biegungsmomenten entspricht, hat man folgende Formeln :

Für die zwei äussersten Stücke zwischen den Auflagern und den äussersten Knotenpunkten der seitlichen Zugstangen

(3)

o 0,11 J~A?²o +Aip M{ +M\ 2EI\_    3

= A, -T'¹ — 607 X 2 T);

2 E

für die zwei Stücke von 2m,07 Länge zwischen den obgenannten äussersten Knotenpunkten und den Druckstreben

±p.2,0V(Ml + M₂j]

o 2,07 \-M\ +MxMj + M\

(4)

‘ 2 EIL

— (4488 . T2 — 9 640 068 X2T)-2 E

für das zwischen den Druckstreben befindliche Stück

2,34

— (6021. T2 — 13 842 407.2 T).    (5)

-p.2,342 .M,

6

Die Deformationsarbeit der Zugstangen wird durch die Formel

X- (² X 2,123 . T‘ + 2,34 . T‘) =

2 E co

ausgedrückt, wenn man mit co = 0, 000 491 die Querschnittsfläche der Zugstangen und mit E' den Elasticitätscoefficienten des Eisens bezeichnet. Man kann nun

2 EI

M\ —

2E

13179

2E'

J’2

E' — 18 000 000 000 und #= 1500 000 000 nehmen, womit E' =12 E ist, so dass obige Formel zu folgender wird:

(6)

— 1098 . TK 2E

Summirt man die Formeln (2), (3), (4), (5), (6), so erhält man

(?)

23 483 082.2 T),

— (11 770 . T2 2 Ek

d. h. den Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Systems.

Um nun den Werth der Spannung T zu finden, muss man den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null setzen, d. h.

11 770. T— 23 483 082 = 0

T = 1995.

machen, so dass

3. Grösste Beanspruchung cler Zugstangen und des Balkens per Quadratmeter. — Setzt man diesen Werth von T in die Gleichungen (1), so erhält man

Tx = 1945,5 und T₂ = 441,7.

Die seitlichen Zugstangen sind die am meisten beanspruchten und ist deren Spannung per Quadratmeter

= 4 063 000.

1995 0,000491

Um die grösste Pressung des Balkens per Quadratmeter zu erhalten, muss man zuerst das grösste Biegungsmoment kennen. Setzt man nun in den in vorhergehender Nummer gegebenen Ausdrücken von Mx und M2 T— 1995, so erhält man

Mx = 170,2 und M₂ = — 61,6;

bedenkt man aber, dass die Curven der Biegungsmomente für die drei Stücke des Balkens, welche mit den drei Zugstangen correspondiren, Parabelbögen sind, welche alle die Hälfte der Gesammtbelastung per Längenmeter, d. h. 125, zum Parameter haben, so erkennt man, dass das grösste Biegungsmoment in dem mittleren Querschnitte des Balkens auftritt. Dieses Moment hat also den Werth

— 232.

= 223 490.

4. Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Die obigen Resultate gelten für die Temperatur, bei welcher das System montirt wurde und welche mittlere Temperatur genannt wird.

Bei einer Temperatur von t Graden ober- und unterhalb der mittleren Temperatur haben die verschiedenen Stücke nicht mehr die proportionalen Längen, wie dieselben sie früher gehabt haben, weshalb die Montirung nicht durchgeführt werden kann, ohne schon vor der Belastung des Trägers Pressungen und Spannungen hervorzurufen.

Da für Holz die dem Wechsel der Temperatur entsprechenden Längenänderungen gleich Null angesehen werden können, kann man annehmen, dass die Länge des Balkens constant bleibt, wenn auch die Temperatur sich ändert.

Ferner kann man den Einfluss einer Aenderung der Temperatur auf die Druckstreben vernachlässigen, denn diese haben im Verhältnisse zur Länge der Zugstangen eine minimale Länge und ihre Lage in dem System ist eine derartige, dass eine Aenderung ihrer Länge nur einen sehr kleinen Einfluss auf die Berechnung hat, selbst wenn deren Länge mit jener der Zugstangen zu vergleichen wäre.

Wenn die Temperatur bezüglich der mittleren Temperatur um t Grade steigt oder fällt, so verlängern oder verkürzen sich die Zugstangen um folgende Grössen:

2,34 t 82500 ' 2,123 t 82500

die mittlere Zugstange um .    .

jede der seitlichen Zugstangen um .    .

2,123 . t

= 0,000040. t

cos ß +

Geschieht nun die Montirung bei der Temperatur von t Graden ober- oder unterhalb der mittleren Temperatur, so wird, nachdem die mittlere Zugstange an ihren Platz gebracht wurde, jede der seitlichen Zugstangen zu lang oder zu kurz sein, und zwar um eine Länge, deren Grösse durch die Formel 1 2,34. t

82500

2 82500

ausgedrückt wird.

Geschieht hingegen die Montirung bei der mittleren Temperatur, so muss man, um den Werth der Spannung T bei der Temperatur von

t Graden ober- oder unterhalb derselben bei Berücksichtigung der Belastung zu finden, zur Formel (7), welche die Deformationsarbeit des ganzen Systems gibt, noch den Ausdruck

±2 X 0,000040 . t. T= dt 0,000080 .t.T

hinzufügen, womit man

-¹- (11 770 . T² — 23 483 082.2 T)± 0,000080 .t.T 2 E

erhält; sodann muss man den Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach T gleich Null setzen. Dies ergibt somit die Gleichung

(8)

T= 1995 ± 10,20. t, indem man E = 1 500 000 000 macht und das obere Zeichen für das Steigen der Temperatur und das untere für das Sinken derselben nimmt.

Wir nehmen nun an, dass die mittlere Temperatur, bei welcher der Träger montirt wurde, 15° sei, und dass die Grenzen, zwischen welchen die Temperatur sich ändert, 40° und — 10° sind, und wollen diese beiden Fälle getrennt betrachten.

Erster Fall. Temperatur von 40°.

T = 1995 — 255 — 1740

In der Formel (8) muss man < = 25 machen und das obere Zeichen nehmen; dies ergibt

Ti ■= T cos/? = 1697,

und folglich

d. h. geringere Spannungen als jene, welche bei der mittleren Temperatur stattfinden.

Um den Werth der grössten Pressung per Quadratmeter des Balkens zu erhalten, hat man zuerst zu beachten, dass im vorliegenden Falle das grösste Biegungsmoment im mittleren Querschnitte des Trägers stattfindet, und dass dessen Werth

— R . 3,35 + - • 250 X 3,50² +    . 0,60 = — 382

2

der Werth

== 329 643,

ist; da ferner die Normalpressung in diesem Querschnitte gleich Ty = 1697 ist, so ergibt sich für die grösste Pressung des Holzes per Quadratmeter 1697    382 X 0,10

0,04    0,000133

d. h. 32ks,96 per Quadratcentimeter.

und folglich

Zweiter Fall. — Temperatur von — 10°.

Auch in diesem Falle muss man in der Formel (8) t — 2ö machen, nur ist das untere Zeichen zu nehmen; dies ergibt

T= 1995 + 255 = 2250 Tx = 2250 . cos ß — 2194.

Die grösste Spannung des Eisens findet in den seitlichen Zugstangen statt und beträgt deren Werth per Quadratmeter

= 4 583 000.

2250 0,000491

In Betreff des Balkens ist es unnöthig, den Werth der grössten Spannung per Quadratmeter zu suchen, da man leicht erkennt, dass diese Pressung geringer ist als im vorhergehenden Falle.⁴)

5. Schlussfolgerung. — Aus den in den oben betrachteten Fällen erhaltenen Resultaten ergibt sich, dass die grösste Spannung der Zugstangen bei der Temperatur von — 10° eintritt und dass deren Werth 4 kg,58 per Quadratmillimeter ist, während die grösste Pressung des Holzes bei der Temperatur von 40° stattfindet, und deren Werth 32ks,96 per Quadratcentimeter beträgt.

Man kann also hieraus folgern, dass den Stabilitätsbedingungen des Trägers vollkommen entsprochen wird.

¹

Die Mehrzahl der hier zur Betrachtung kommenden Anwendungen wurde einem Werke entnommen, welches seitens des Constructionsbureaus der oberitalienischen Eisenbahnen unter dem Titel: „Applications pratiques de la théorie sur Véquilibre des systèmes élastiques“ (Praktische Anwendungen der Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme) veröffentlicht wurde. Dieselben wurden nur insoferne ein wenig geändert, um sie mit der im Vorhergehenden entwickelten Theorie in bessere Ueber-einstimmung zu bringen.

²

Figur 2 der Tafel I stellt die Curven der Biegungsmomente für den in Figur 1 skizzirten Träger dar, und zwar für die mittlere, sowie für die beiden äussersten Temperaturen. Diese Curven sind Parabeln, deren Parameter gleich ist der Hälfte des Gewichtes der Längeneinheit, und dienen selbe hauptsächlich dazu, das Gesetz anschaulich zu machen, nach welchem die elastischen Kräfte in den verschiedenen Querschnitten vertheilt sind.

³

Figur 4 (Tafel I) stellt die Curven der Biegungsmomente für die mittlere, sowie für die beiden äussersten Temperaturen dar, und zwar sind dies Parabelbögen.

⁴

Figur 6 (Tafel I) stellt die Curven der Biegungsmomente für die mittlere, sowie für die beiden äussersten Temperaturen dar, und zwar sind dies Parallelbögen. Dieselben zeigen, dass bei der Temperatur von—10° die grössten Biegungsmomente geringere sind als jene, welche bei der Temperatur von 40° stattfinden.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren

ohne Zugstangen.*)

(Tafel II.)

Lichte Weite .... 48™,00;

........ . 24®00;

.........24® 00;

1. Allgemeine Angaben.

Pfeilhöhe

Durchmesser der inneren Wölbung Centriwinkel = 180⁰ ;

75®,398; 1®,816;

Entwickelte Länge der inneren Wölbung.......

Höhe des Bogens in der Richtung eines Durchmessers .    .    .

7®, 00.

Entfernung der Bundgespärre...........

Der Fuss jedes Bundgespärres, welcher bis zur Höhe von 5®,48 (an der Innenseite gemessen) aus Gusseisen besteht, dient als Widerlagsplatte und ist in dem Mauerwerke des Widerlagers verankert. Oberhalb dieser Widerlagsfläche besteht das Bundgespärre aus Schmiedeisen, und nur dieser Tlieil ist für die Berechnung in Betracht zu ziehen und kann als an seinen Enden eingemauert (eingespannt) betrachtet werden.

Der Centriwinkel des aus Schmiedeisen construirten Theiles des

Bogens beträgt 153⁰ 36 '.

2. Belastungen. — Es ist zu beachten, dass die Bedachung der Halle nicht gleichförmig ist, denn seitwärts wird sie durch Zinkblech gebildet, welches auf Latten von 0®,03 Dicke aufruht, während sie oben aus Glas besteht.

Da aber diese zwei Arten der Bedachung beinahe dasselbe Gewicht per Quadratmeter haben, so kann man annehmen, dass das

*) Die Bundgespärre der grossen Bahnhofhalle in Turin haben im Allgemeinen dieselbe Form, dieselbe Sehne und dieselbe Pfeilhöhe wie die hier zu betrachtenden ; jene differiren von diesen nur durch die Höhe, welche bei jenen 2m,00 statt lm,816 beträgt, durch die Dimensionen der Eisengattungen und durch die Art der Unterstützung der Enden. Der Vergleich der vorliegenden Bundgespärre mit jenen der Halle in Turin zeigt, dass diese letzteren eine genügende, wenn nicht eine etwas zu grosse Stabilität besitzen.

22

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

permanente Gewicht der Halle über die ganze Fläche gleichförmig- vertheilt ist.

Unter dieser Voraussetzung- ergibt sich das Gewicht der Bedachung per Quadratmeter aus folgender Zusammenstellung:

= 60 Kilogr.

Schnee- und Winddruck

Bedachung aus Zinkblech oder Glas .    .    = 28

= 18

Fetten .    .

Windstreben

Summe zur Berechnung der Fetten .    . 107 Kilogr.

19

Eigengewicht des Bogens

Summe zur Berechnung des Bogens .    . 126 Kilogr.

Last per Längenmeter auf die äussere Wölbung des Bogens:

- 60) X 7,00 = 462 Kilogr. • ⁶⁰ x 7,00 = 420    „

Summe .    .    . 882 Kilogr.

\ = (126

permanentes Gewicht.    .    .

zufällige Belastung .    .    .

3. Allgemeine Formeln für den Fall, als das Bundgespärre nur auf der linken Hälfte belastet ist, und wobei von dem per manenten Gewielite abgesehen wird. — Die Hälfte des eigentlichen Bogens kann man, wie aus Figur 1 ersichtlich ist, in sechs gleiche Abschnitte¹) theilen, deren jeder, in der Achse des Bogens gemessen, eine Länge von 5™, 565 und, auf der äusseren Wölbung gemessen, eine solche von 5m,769 hat.

Annäherungsweise kann man annehmen, dass der Schwerpunkt der von jedem dieser sechs Bogenstücke getragenen Last im Mittelpunkte der äusseren Wölbung des betreifenden Bogenstückes sich befinde.

Ferner kann man annehmen, dass nur die fünf oberen Bogenstücke belastet sind, während dies bei dem Stücke 0,1, dessen äussere Wölbung

sich beinahe ganz im Mauerwerk befindet, nicht der Fall ist. Für dieses Stück hätte man also nur das Eigengewicht des Bogens zu berücksichtigen; dieses ist jedoch im Verhältnisse zur Bedachung und zur Belastung sehr klein, so dass man dasselbe umsomehr vernachlässigen kann, als das Gewicht des Stückes 0,1, welches am Bogenanfange sich befindet, selbst wenn es nicht sehr klein wäre, immerhin nur einen geringen Einfluss auf das Resultat der Berechnung hätte.

Die Unbekannten des Problems sind:

M das Biegungsmoment,

P die Normalpressung,

S die Schubkraft im Scheitel;

in Functionen dieser Unbekannten kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt, sei es links, sei es rechts vom Scheitel, ausdrücken. In der That wird, wenn man sich den Bogen in zwei gleiche Hälften getheilt denkt, jede derselben im Gleichgewichte bleiben, sobald in dem Querschnitte 6 zwei Kräfte P und S im Mittelpunkte und ein Kräftepaar wirken, dessen Moment M ist; demnach sind, z. B. für den linken Querschnitt 4, die rechts davon wirkenden Kräfte die folgenden : die zwei Kräfte P und S, das auf den Querschnitt 6 wirkende Biegungsmoment M und das Gewicht von 420 Kilogramm per Längennieter auf die äussere Wölbung (obere Gurte) der beiden Stücke 4,5 und 5,6.

Um das Biegungsmoment Mx, die Normalpressung P₄ und die Schubkraft Si für den linken Querschnitt 4 auszudrucken, hat man also folgende Formeln : ²)

Mx = M— 2,45 . Q — 10,76 . S + 2423 X 7,84 + 2423 X 2,25,

P₄ = 0,902 . Q — 0,432 (S — 2423 X 2),

Sx = 0,432 . Q + 0,902 (S — 2423 X 2).

Für den Querschnitt 4 des rechten Halbbogens werden das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft durch die gleichen Formeln ausgedrückt, wenn man darin das Zeichen der Glieder mit S ändert und die rein numerischen Glieder weglässt, da zufolge der Annahme der rechte Halbbogen nicht belastet ist. Man erhält demnach

M\ = M— 2,45 . Q + 10,76 . S,

P\ = 0,902 . Q + 0,432 . S,

S', = 0,432 . Q — 0,902.8.

Bildet man nun die analogen Formeln auch für die Querschnitte 0, 1, 2, . . . 6, sowohl links als auch rechts, und führt man die numerischen Operationen aus, so lässt sich nebenstehende Tabelle zusammenstellen.

4. Bestimmung des Werth es der Unbekannten. — Die zwei getrennt betrachteten Halbbögen werden sich unter der Einwirkung der Kräfte, welche auf dieselben thätig sind, deformiren; diese Deformationen müssen aber derartig sein, dass der Querschnitt 6 des einen Halbbogens jenem des anderen folgt, so dass diese zwei Querschnitte fortwährend in Contact bleiben. Man hat also die folgenden drei geometrischen Bedingungen:

1. und 2. Die horizontale und die verticale Verrückung des Mittelpunktes des ScheitelquerSchnittes müssen für den linken und für den rechten Halbbogen gleich sein, aber entgegengesetzte Zeichen haben.

3. Die Drehung des Scheitelquerschnittes für den linken Halbbogen muss entgegengesetzt gleich sein der Drehung des Scheitelquerschnittes für den rechten Halbbogen.

Die Werthe von M, Q, S, welche diesen Bedingungen entsprechen, findet man, indem man die Deformationsarbeit des ganzen Bogens in Functionen dieser Unbekannten ausdrückt und sodann die Differentialquotienten mit Bezug auf diese Unbekannten gleich Null setzt.

Nennt man nun

E den Elasticitätscoefficienten des Eisens (wie dies in den folgenden Capiteln auch geschehen wird),

12 die Querschnittsfläche des Bogens,

I das Trägheitsmoment dieser Fläche, und macht man

cc

4-

Schubkräfte

5₀    = 0,977 . Q 4- 0,211 . S— 2556

5₁    = 0,899 . Q 4- 0,438 . S — 5306

5₂    = 0,779 . Q + 0,627.8 — 6077

5₃    = 0,621 . Q 4- 0,784.8 — 5699 St = 0,432 . Q 4- 0,902.8 — 4371 S₆ = 0,222 . Q 4- 0,975 . S — 2362

4- 1,000 . S

— 0,211 . 8

—    0,438 . S

—    0,627.8

—    0,784.8

—    0,902.8

—    0,975 . S

—    1,000.8

O¹ Ö © © O¹

= ⁹S

r-t O

Normalpressungen

I. Linker Halbbogen.

P₀ = 0,211 . Q — 0,977 . S-\- 11836 Pl = 0,438 . Q — 0,899.8 4- 10891 P₂ = 0,627. Q — 0,779. £4- 7550 Ps = 0,784. Q — 0,621.8-Ą- 4514 P₄ = 0,902 . Q — 0,432 . $4* 2093 P₅ = 0,975 . Q — 0,222 . S 4- 538 P₀ = 1,000. Q

II. Rechter Halbbogen.

Po =0,211 . Q-f-0,977 . S P\ = 0,438 . Q + 0,899 . S P\ = 0,627 . Q + 0,779 . £ Pj = 0,784 . Q + 0,621 . S P\ = 0,902 . Q -f- 0,432.8 P\ = 0,975 . Q Ą. 0,222 . S Pe = 1,000 . Q

Biegungsmomente

M₀=M— 19,22 . Q — 24,25.8+ 135688 Ml=M— 13,99 . Q — 22,39 . S + 113614 M₂ = M— 9,30 . Q — 19,41.84~ 83279 Ma =M— 5,39 . Q — 15,47.851949 Mt=M— 2,45 . Q — 10,76 . S24472 Msr=M— 0,62 .Q— 5,52 . S4~    6300

Mq — M

M₀=M— 19,22. Q -f- 24,25 . S M\ — M— 13,99 . Q-\- 22,39.8 M\ =M— 9,30 . Q -f- 19,41.8 M\ =M— 5,39 . Q + 15,47 . S M\ = M— 2,45 . Q 10,76.8 M\ = M— 0,62 . Q 4- 5,52.8 Ml r=M

e^raqos ^ -.ianf)

2 (Jf> + M'i) = i [“(JĄ +    + 4 (l/²,

+ M'\) + 2 (M\ + U\)

+ 4 (ił/², + 1T*,) + 2 (M\ + jr*,) + 4(JT\ + JT*,) + (U*, + M\) ,

2 (P² + P'2) = i |>₀ + P'\) + 4 (P², + P'²,) + %(P\ + P’\) + 4 (P\ + P\) + 2 (P\ + P’\) + 4 {P\ + P\) + {P\ + P'²,)j,

so erhält man — bei Beachtung, (lass die Länge jedes Bogenstückes, in der Achse gemessen, 5™,564 beträgt — als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Bogens (wenn man den sehr kleinen Theil dieser Arbeit, welcher der Verschiebung entspricht, vernachlässigt) die folgende Formel :

5,564

2EI

2 (ii/²+i/'²) +

5,564

2EQ

2 (P² + ^'²);

lässt man hierin den numerischen Factor

5.564

weg, was jene Glei-

2EI

chungen nicht ändert, welche man daraus ableitet, indem man die Differentialquotienten nach M, Q, S gleich Null setzt, so ergibt sich

2 CM² + i¥'²) + ^ J] (P² + P'²).

(1)

hat man

Für den durch die Figur 3 (Tafel II) dargestellten Bogenquerschnitt

Q = 0,22 X 1,816 — 0,072 X 1,80 — 0,122 X 1,782 — 0,018 X 1,66 — 0,008 X 1,36 = 0,011756;

1= — (0,22 X 1,8163 — 0,072 X 1,803 — 0,122 X 1,7823

12

— 0,018 X 1,663 — 0,008 X 1,36³) = 0,008735;

7 _ 0,008735 Q ~~ 0,011756

und folglich

= 0,743.

Substituirt man nun für Mt . . deren Ausdrücke in Functionen von M, Q, S, wie sie in der

p\ ; •

Tabelle auf Seite 341 gegeben wurden, so erhält man:

2j {M² + M'2) = 12.1/2 — 81,82.2QM + 346214.2M + 970,00 . Q2 — 3923436.2 Q + 3105,02 . S² — 6859647.2 £;

tO ³'»i

VJ (jP'2 _f— P'2) ₌ 5;18 . Q2 + 12040. 2 Q + 4,40 . S² — 18784.2 S- ³)

und die Formel (1) ergibt sodann

(2)

12.1/2 — 81,82.2Q1/+ 346 214.24/+ 975,18 . Q2 — 3 911 396.2 Q + 3109,42 . S² — 6 878 431.2 3.

Setzt man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes mit Bezug auf M, Q, S gleich Null, so ergeben sich folgende Gleichungen:

12. M— 81,82 . Q + 346214 = 0,

— 81,82.1/ + 975,18 . Q — 3911396 = 0,

3109,42 . S — 6878431 = 0,

von welchen, wie man sieht, die ersten zwei nur die Unbekannten M und Q und die dritte Gleichung die Unbekannte S enthält.

Aus diesen Gleichungen ergibt sich

M = — 3510,

3715,7,

3=    2212,1.

nügend sein.

5. Mittellinie des Druckes⁴) und grösste Beanspruchung des Eisens per Quadratmeter, wenn das permanente Gewicht und die Belastung, sowohl links als rechts toiu Scheitel, in Rechnung gezogen werden. — Da in diesem Falle die Belastung symmetrisch ist, so hat man

S= 0;

sieht man ferner von dem permanenten Gewichte ah und nimmt man an, dass die Belastung sowohl rechts als links vom Scheitel gleichförmig stattfindet., so ergehen sich als Werthe von M und Q M= — 3510 X ^ = — 7020,

3715,7 X 2 =    7431,4,

d. h. das Doppelte jener Werthe, welche oben gefunden wurden.

Die zufällige Belastung beträgt 420 Kilogramm per Längenmeter des Bogens, die Gesammtlast hingegen 882 Kilogramm. Für den letzten Fall erhält man demnach

M = — 7020 X

882

7431,4 X

co

= — 14742,0,

15605,9.

420

Kennt man somit das Biegungsmoment und den Horizontalschuh im Scheitel für den Fall der completen Belastung und ferner noch das von dem Bogen getragene Gewicht, so kann man leicht das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 berechnen. Durch Division der Biegungsmomente durch die entsprechenden Normalpressungen erhält man die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten. Mit Hilfe der

M v

Formel

in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment eines beliebigen Querschnittes und H, /, v die Fläche, das Trägheitsmoment und die halbe Höhe desselben Querschnittes ausdrückt, kann man die Pressung- per Quadratmeter an der Aussen- und an der Innenseite des Bogens in den Querschnitten 0, 1, 2, ... 6 erhalten.

Nennt man schliesslich

to — (0,100 +- 2 X 0,031) X 0,008 = 0,001296 die Querschnittsfläche der Gitterstäbe (Tafel II, Figur 4), d = 1,51 die Diagonale der durch die Achsen dieser Stäbe gebildeten Quadrate,

G = - (0,22 X 1;816² — 0,072 X 1,80² — 0,122 X 1,782² — 0,018 X 8

1,66² — 0,08 X 1,36²) = 0,005055 das statische Moment der halben Querschnittsfläche des Bogens in Bezug auf die Biegungsachse,

I = 0,008 735 das Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche, S die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte, so erhält man die Spannung und die Pressung per Quadratmeter für einen beliebigen Querschnitt der Gitterstäbe mit Hilfe der Formel

GSdf2

21 co

476,7 . S.

Alle Resultate dieser Berechnungen sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

—    29742    28148    +9878    — 1,056

+ 5519    29707    +2887    +0,185

+ 15009    25641    — 603    +0,585

3.    + 10233    21714    — 2276    +0,471

—    1585    18472    — 2436    — 0,085

—    11189    16346    — 1495    —0,684

— 0,944

6    — 14742    15606

Pressung per Quadratmeter an der

Spannung dei Gitterstäbe

inneren

Wölbung

äusseren

Wölbung

per

Quadratmeter

— 702000    5461000    +4709000

+ 3101000    1953000    + 1376000

287000

+ 3741000    621000

+ 2911000    783000    —    1085000

+ 1406000    1736000    —    1161000

+ 227000    2553000

— 205000    2859000

713000

Für den in Betracht gezogenen Fall der completen Belastung wird die Senkung des Mittelpunktes des Scheitelquerschnittes durch folgende Formel gegeben:

7] —

5; 564 M₀ x₀ -j- 4 x₁ -f- 2 M,, x₂ -f- .. . -f- 4 M₅ xh

ö, 564 P₀ sin cp₀ + 4 Px sin cp± -f- 2 P₂ sin cp₂ -f-... -f- 4 Ph sin cp^ in welcher M₀, M{} ... PQ} Pi} . . . die Biegungsmomente und die Normalpressungen in den Querschnitten 0, 1, 2, ... 6 darstellen; /und Q das Trägheitsmoment und die Fläche des Bogenquerschnittes; x₀, x₁, x₂, . . . die Entfernungen der Mittelpunkte der Querschnitte 0, l, 2,... 5 von der durch den Scheitel gehenden Verticalebene; und endlich (p₀, cp{, cp ₂ . . . die Winkel, welche diese Querschnitte mit der Verticalen bilden.*)

*) Um zu dieser Formel zu gelangen, denke man sich den Bogen im Scheitel geschnitten und den rechten Halbbogen entfernt. Man kann sodann den linken Halbbogen als durch folgende Kräfte beansprucht sich vorstellen:

1.    durch die äusseren Kräfte, welche den Halbbogen belasten;

2.    durch die im Scheitel wirkenden horizontalen Kräfte, welche einen Horizontalschub Q und ein Moment M geben;

3.    durch ein beliebiges im Scheitel wirkendes Gewicht «.

Wir nennen nun

M₀, Mx, M₂, ... M₆ die Biegungsmomente und P₀, Pt, P₂, ... P₆ die Normalpressungen in den Querschnitten 0, 1, 2, ... 6, so lange das Gewicht w gleich Null ist;

xUi xx, x₂, ... x₅ die horizontalen Entfernungen der Mittelpunkte der Querschnitte 0, 1, 2, ... 5 von der durch den Scheitel gehenden Verticalebene ;

cpo, (f₁, (f ₂, . .. cp₅ die Winkel, welche diese Querschnitte mit der Verticalen bilden.

Nach Hinzufügung des Gewichtes w erhalten die Biegungsmomente und die Normalpressungen folgende Werthe:

M₆,

Mo-\-(axü., Mx -j- « xx, M₂ -f- ta x₂, d/i -j- oj ,r₃, fl/ -p « x4f M₅-j-wx₅,

P₀-f-cösin cp₀, Pj-f-wsiny,, P₂-\-wsin(p₂, P₃-fwsiny₃, P₄-j-öJsin<p₄, P₅4-wsin(/)₅, P₆,

und die Deformationsarbeit des Halbbogens wird ausgedrückt durch

ö,564 (ii/ + ö> x₀¥ + 4 (Mi + ä> xx)² -f- 2 {M₂ + ü x₂)² + 4 (Jf₃ -f öS x₂Y

2 EI

Substituirt man in den vorhergehenden Formeln für die Buchstaben

deren Werthe aus der letzten Tabelle und aus Tafel II, so erhält man Mn a?₀ -f- 4 My Xy -[- 2 J\L, x₂ -f- • • • ~l~ 4 4^5 xr,

= 27 001 764,

P₀ sin (p₀ + 4 Py sin (py + 2 P₂ sin cp₂ + . . . + 4 P-a sin cp:,

3Q

= 7 274 977,

und folglich

190 715 787

Nimmt man als Elasticitätscoefficient des Eisens

so ist

E= 18 000 000 000, rj — 0,0106.

6. Mittellinie des Druckes und grösste Beanspruchung des Eisens per Quadratmeter, wenn man das permanente Gewicht in Rechnung zieht, und wenn man annimmt, dass die Belastung nur auf der linken Hälfte des Bogens stattfindet. — Man erhält in diesem Falle die Werthe von M} Q, $, wenn man zu jenen, welche für das alleinige permanente Gewicht Geltung haben, die anderen, welche aus der alleinigen linksseitigen Belastung resultiren, hinzufügt. Für das permanente Gewicht allein hat man

M = — 14742 X

462

15606 X

fco fco

7722,

882

8174,

_ >8 = 0,

5,564    (P₀ + « sin y₀)² + 4 (P, + 5 sin iptf + 2 (P₂ + ä sin <p₂)² + 4 (P₃ + <5 sin y₃)²

2 ESI

+ 2 (P₄ + 5 siny₄)²-f- 4 (P₅ + 5 siny₅)² + P\

Der Differentialquotient dieser Formel nach w gibt die Senkung des Angriffspunktes dieses Gewichtes, d. h. die Senkung des Scheitelquerschnittes, welches auch der Werth von w sei. Wenn dieses Gewicht Null ist, muss man in dem Ausdrucke für rj w — 0 setzen und erhält somit in dem in Nummer 5 betrachteten Falle für die Senkung des Scheitels die Formel

5,564 71p Xq —I⁻ 4: ilp Æ] —f- 2 dp Xi —)- 4 dp a?₃ -j— 2 dp Xą 4“ d dp x5 ¹¹ ~ E    *    3J

5,564 P₀ sin q?₀ -j- 4 P, sin -f- 2 P₂ sin <p₂ + 4 P₃ sin <p₃ -f- 2 P₄ sin y₄ -f- 4 P₅ siny₅

und für eine nur linksseitige Belastung die in Nummer 4 erhaltenen Werthe; für den Fall eines permanenten Gewichtes und einer linksseitigen Belastung ergibt sich also

M — — 7722 — 3510 = — 11232, 8174 + 3715,7 =    11890,

...........= 2212.

Nach erlangter Kenntniss des Biegungsmomentes, der Normalpressung und der Schubkraft im Scheitel kann man die drei analogen Grössen für die Querschnitte 0, 1, 2, . . . sowohl links als auch rechts leicht berechnen; dividirt man sodann die Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen, so erhält man die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten, und dienen dieselben dazu, die Mittellinie des Druckes zu zeichnen.⁵) Man kann somit folgende Tabelle zusammensetzen:

I. Linker Halbbogen

II. Rechter Halbbogen

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

M Querschnitte

Biegungs-

inomente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

DO

— 17586    12232

—    36861

—    3073

+ 12733 +16043 + 10359 +    536

—    11232

17689

19177

17484

15661

13983

12676

11890

+ 8337 —2,083 + 3884 —0,160 + 1192 +0,728

—    619 +1,024

—    1666 +0,741

—    2115 +0,042

—    2212    — 0,944

Wenn man die Resultate der letzten Tabelle mit jenen vergleicht, welche in Nummer 5 für den Fall der beiderseitigen Belastung erhalten wurden, so erkennt man, dass das grösste Biegungsmoment in dem Querschnitte 0 des unbelasteten Halbbogens stattfindet, wenn der andere Halbbogen belastet ist. Da aber in diesem Falle die Normalpressung kleiner ist als dann, wenn der Bogen vollständig belastet wird, so kann man von vorneherein nicht beurtheilen, in welchem dieser Fälle die grösste Pressung per Quadratmeter statthat. Ist nur die linke Hälfte des Bogens belastet, so ist die grösste Pressung per Quadratmeter im Querschnitt 0 des rechten Halbbogens gleich

= 5 335 000.

17 689    36 861 X 0,908

0,011 756 ⁺    0,008 735

während in dem Falle der vollständigen Belastung die grösste Pressung des Eisens mit 5 461 000 per Quadratmeter gefunden wurde.

In Betreff der Schubkräfte erkennt man, dass sich der grösste Werth derselben im Falle der vollständigen Belastung des Bogens ergibt.

Aus Obigem folgt also, dass es für Bundgespärre von der hier betrachteten Form im Allgemeinen genügt, den Fall der vollständigen Belastung zu untersuchen.

7. Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Bisher wurde das Gleichgewicht des Bogens nur in Bezug auf die Belastungen betrachtet; man muss aber auch untersuchen, welchen Einfluss die Aende-rungen der Temperatur auf die elastischen Kräfte haben.

Zufolge dem Principe der Summirung der Wirkungen kann man die den Aenderungen der Temperatur entsprechenden Wirkungen untersuchen, indem man sowohl von dem permanenten Gewichte, als auch von der Belastung vollständig absieht, denn es genügt, diejenigen elastischen Kräfte, welche einzig den Aenderungen der Temperatur entsprechen, zu jenen hinzuzufügen, welche den Belastungen entsprechen, um sodann jene zu erhalten, welche auftreten, wenn diese beiden Ursachen der Deformation gleichzeitig vorhanden sind.

Wir nennen t die mittlere Temperatur, bei welcher das Bundgespärre aufgestellt wurde.

Würde der Bogen, anstatt dass dessen Enden aufgestützt sind, vollkommen frei sein, so Avürden, wenn die Temperatur von t auf t' zunimmt, alle Dimensionen genau in demselben Verhältnisse zunehmen, und folglich würde die schliessliche Gestalt des Bogens geometrisch ähnlich sein der ursprünglichen. Es würde also die Sehne des Bogens, zwischen den Mittelpunkten der Querschnitte 0 gemessen, welche bei der Temperatur t 48m,50 beträgt, bei der Temperatur t'

48m,50

48m,50 +

82 500

- der Ausdehnungscoëfficient des Eisens ist.

82 500

Wenn nun das Bundgespärre bei der Temperatur t' aufgestellt

48,50

sein, wenn

wird, so ist dessen Sehne um

(t' — tj grösser als die erforder-

82 500

liehe geometrische Länge. Da die Winkel der äussersten Querschnitte sich bei den als frei angenommenen Bögen nicht ändern, selbst wenn die Temperatur wechselt, so bleiben dieselben vollkommen gleich den

Winkeln der Auflagflächen.

Um die elastischen Kräfte zu bestimmen, welche unabhängig von der Belastung bei der Temperatur t' eintreten, sobald das Bundgespärre bei der Temperatur t aufgestellt wurde, muss man zu der in

Function von M, Q, S ausgedrückten Deformationsarbeit den Ausdruck 48,50

(#' — t) Q hinzufügen und sodann die Ditferentialquotienten

82 500

dieser Summe mit Bezug auf M, Q, S gleich Null setzen.

Die Deformationsarbeit des ganzen, unter der Einwirkung des Kräftepaares M und der Kräfte Q und S stehenden Bogens wird, wenn man sowohl vom permanenten Gewichte, als auch von der zufälligen Be

lastung absieht, durch die Formel (2) aus Nummer 4 ausgedrückt, sofern

5,564

dieselbe mit dem Factor

multiplicirt und von den Gliedern befreit

wird, welche bezüglich M, Q, S erster Ordnung sind, denn diese Glieder hängen von der Belastung ab und verschwinden, sobald dieselbe Null ist. Diese Deformationsarbeit wird also durch folgende Formel ausgedrUckt:

2 EI

,564

2 EI

(12 . M² — 81,82 X 2 QM-\- 975,18 . Q² + 3109,42 . S²).

Summirt man hiezu den Ausdruck

(f ' — f). Q = — 0;000588 (t ' — i). Q;

48;50

82 500

und setzt man dann die Differentialquotienten mit Bezug- auf M} Q, S gleich Null, so erhält man die drei Gleichungen

12 . M— 81,82 . Q = 0,

— 81,82 . M+ 975,18 . Q = 16 616 . (G — t),

3109,42 . Ä = 0,

wobei berücksichtigt wurde, dass bei der Annahme E = 18 000 000 000

0,000588 = 16 616 ist.

EI

5,564

Die letzte obiger Gleichungen gibt S = 0 und zeigt dadurch an, dass die Schubkraft im Scheitel gleich Null ist, was man übrigens voraussehen kann, da das Gespärre in Bezug auf den Scheitel symmetrisch ist.

Die zwei anderen Gleichungen ergeben M = 271,57 (t' — t),

Q = 39,82 (t' — t).

Hat man also das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft im Scheitel bestimmt, so erhält man die analogen Werthe für die anderen Querschnitte 0, 1, 2 . . . 4, 5, indem man in der auf Seite 341 gegebenen Tabelle für den rechten Halbbogen, d. h. für den Halbbogen ohne Belastung, für M und Q die oben gefundenen Werthe einsetzt und S = 0 macht. Dies gibt folgende Tabelle:

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normal-

pressungen

Schubkräfte

© Ol 4^ CO tt)

—    493,8 (t — t)

—    285,5 (t'— t)

—    98,8 (t’— t) + 56,9 (tr— t) . + 174,0 (t’-t)

246,8 (t'~ t) -f- 271,6    — iî)

8,4 (t — t) 17,4 {t’— t) 25,0 (t’— t) 31,2 (t'—t) 35,9 (t'~ t)

38.8    («'— <)

39.8    (<'— <)

38,90 (t — t) 35,80 (t'— t) 31,02 («'— t) 24,73 (t — t) 17,20 (t'— t) 8,84 («'— t)

Wir nehmen nun an, dass die mittlere Temperatur, bei welcher der Bogen aufgestellt wurde, 15° sei, und dass die Grenzen, zwischen welchen die Temperatur variiren kann, —IO¹' und 40° seien, und wollen die zwei Grenzfälle untersuchen, um hiebei auch die Belastungen, d. h. sowohl das permanente Gewicht, als auch die Belastung in Rechnung ziehen zu können.

Temperatur von 40°. Man macht in obiger Tabelle t' — t = 25 und vereinigt die so erhaltenen Resultate mit den correspondirenden Resultaten der Colonnen 2, 3 und 4 der in Nummer 5 für den Fall des permanenten Gewichtes und der vollständigen Belastung zusammengestellten Tabelle.

Temperatur von —10°. Man macht in obiger Tabelle t' —1 = — 25 und vereinigt die Resultate (bei Berücksichtigung der Zeichen) mit den correspondirenden Resultaten der in Nummer 5 angeführten Tabelle, genau wie bei der Temperatur von 40°.

Auf Grund dessen lässt sich folgende Tabelle zusammenstellen:

Permanente Last und vollständige Belastung :

Temperatur von 40°

Temperatur von —10°

^ Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Biegungs

momente

co

Normal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

0    —42084    28358    -f-    10850    — 1,484    —    17399    27938    + 8905    — 0,622

1618    30142    -f-    3782    —0,053    —    12656    29272    + 1992    — 0,432

2    +    12539    20266    +    152    +0,618    +    17479    25016    + 1378    +0,698

3    +    11655    22494    —    1582    +0,518    +    8811    20934    — 2969    +0,420

4    +    2765    19369    —    2006    +0,142    +    5935    17574    —2866    +0,337

1274    —0,289    — 17359    15376    — 1716    — 1,128

— 1,027

5019    17316

6    — 14470    16602

— 0,871    — 15014    14612

Man sieht aus diesen Resultaten, wie gross der Einfluss der Aen-derungen der Temperatur auf Bundgespärre sein kann, deren Enden fix sind.

In der That ergibt sich bei einer Temperatur von 40° der Werth der grössten Pressung auf die Auflagfläche per Quadratmeter mit

28358    42084 X 0,908

0,011 756 ⁺    0,008 735

während bei einer Temperatur von —10° dieselbe nur 27938    17399X0,908

0,011 756 ⁺    0,008 735

= 6 786 000,

= 4 184 000

beträgt.

Ist das Bundgespärre constant belastet, so sieht man, dass, wenn die Temperatur von —10° bis -f~ 40° variirt, die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter sich zwischen 4184000 und 6786000 Kilogramm ändert.

Da man ohne Gefahr das Eisen einer continuirlichen Spannung von 8000000 Kilogramm per Quadratmeter aussetzen kann, so folgt daraus, dass das betrachtete Bundgespärre einen genügenden Grad von Festigkeit besitzt.

Ferner ist noch zu bemerken, dass bei einer Temperatur von 40" der Schneedruck immer Null ist, weshalb es nie Vorkommen kann, dass die Pressung des Eisens per Quadratmeter den Werth von 6 786000 Kilogramm erreicht. Da man übrigens auch die Kraft des Windes, welche sehr gross sein kann, berücksichtigen muss, so wird es gut sein, anzunehmen, dass selbst im Sommer das Bundgespärre in gleicher Weise wie im Winter belastet ist, und sich auch zu versichern, dass bei dieser Annahme die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter unterhalb der in der Praxis angenommenen Grenze bleibt.⁶)

5. Capitel.

¹

Es ist unerlässlich, dass die Zahl der Abschnitte, in welche man den Halbbogen theilt, eine gerade ist, denn wenn es auch zufolge den im 4. Capitel gegebenen Formeln erlaubt ist, den Halbbogen in eine beliebige Anzahl von Abschnitten zu theilen, so muss man doch für jeden derselben den mittleren Querschnitt betrachten, d. h. man muss jeden Abschnitt in zwei andere theilen, wodurch die Anzahl der Abschnitte immer eine gerade wird.

²

Die Längen der Hebelarme, welche zur Bildung der Biegungsmomente noth-wendig sind, kann man in Figur 1 ersehen. Um die Ausdrücke für die Normalpressungen und die Schubkräfte bilden zu können, muss man die Sinus und Cosinus der Winkel kennen, welche die Querschnitte mit der Verticalen einschliessen; alle diese Sinus und Cosinus erhält man aber auf einmal mit Hilfe der sehr einfachen, in Figur 2 dargestellten Construction.

22²

³

Aus diesen Ausdrücken sieht man, dass der zweite Theil der Formel (1), d. h. derjenige, welcher die Pressungen P enthält, im Verhältnisse zum ersten Theile, welcher die Biegungsmomente enthält, sehr klein ist. Bei der ersten Annäherung kann man sich demnach mit dem ersten Theile der Gleichung (1), in welchem weder die Fläche, noch das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes vorkommt, begnügen. Man findet auf diese Weise die Annäherungswerthe der drei Unbekannten M, Q, S für den Fall der Belastung nur eines Halbbogens; sodann ist es mit Hilfe des Principes der Summirung der Wirkungen leicht, die Werthe von M und Q für den Fall des permanenten Gewichtes und der Belastung über den ganzen Bogen zu erhalten und schliesslich das Biegungsmoment, die Normalspannung und die Schubkräfte für die Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 zu berechnen.

Diese Resultate dienen dazu, den Querschnitt des Bogens aufzustellen; sodann kann man die Berechnung wieder aufnehmen, um mit grösserer Genauigkeit die elastischen Kräfte, welche in den verschiedenen Fällen der Belastung entstehen, zu bestimmen.

Uebrigens wird in der Praxis im Allgemeinen die erste Annäherung ge

⁴

In dieser Betrachtung, sowie in allen folgenden geben wir in einer Colonne der numerischen Tabellen die Werthe für die Entfernungen zwischen den Druckmittelpunkten und den Querschnittsmittelpunkten und bezeichnen diese Colonne der Kürze halber mit „Mittellinie des Druckes1,1, denn die Daten, welche dieselbe enthält, dienen dazu, diese Curve zu zeichnen.

⁵

In Figur 5 der Tafel II wird die Mittellinie des Druckes durch eine volle Linie dargestellt, wenn das Gespärre vollständig, und durch eine gestrichelte Linie, wenn dasselbe nur auf der linken Hälfte belastet ist. Um den Platz auszunützen, wurde das linke Halbgespärre auf das rechte umgelegt.

Wir fügen hier bei, dass diese Bemerkung auch für jene Figuren gilt, welche in den Tafeln III, IV, V und VIII die Mittellinien des Druckes darstellen.

⁶

Die Untersuchung des Einflusses der Temperatur auf die Vertheilung der Pressungen in den Bundgespärren ist um so nothwendiger, als es gerade die Abnahme der Temperatur ist, welche häufig die grössten Pressungen hervorruft, und diese Abnahme im Winter stattfindet, wo die Gespärre vollständig belastet sein können.

Um dies gut zu verstehen, muss man beachten, dass die Zunahme der Temperatur die Pressungen an der äusseren Wölbung am Bogenanfang vergrössert, während die Abnahme der Temperatur jene an der inneren Wölbung vermehrt.

Bei Bögen, deren Pfeilhöhe im Verhältnisse zur Oeffnung sehr gross ist, herrscht im Bogenanfang, selbst bei der mittleren Temperatur, die grösste Pressung an der Aussenseite des Bogens, weshalb die Zunahme der Temperatur die grösste Pressung entstehen lässt.

Bei den gedrückten Bögen hingegen herrscht bei der mittleren Temperatur im Bogenanfang die grösste Pressung an der Innenseite des Bogens, und folglich ist es die Abnahme der Temperatur, welche die grösste Pressung hervorruft.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit je einer Zugstange.¹)

(Tafel III.)

1. Allgemeine Angaben.

. 47“ 70;

. 12“, 10;

. 29” 555;

Winkel, welcher mit der Oeffnung des Bogens correspondirt 107⁰ 36' 6” ; Entwickelte Länge der inneren Wölbung ....

Höhe des Bogens............

Entfernung der einzelnen Bundgespärre.....

Länge der Auflagfläche auf jedem Widerlager .    .

Sehne der inneren Wölbung .    .

Pfeilliöhe derselben.....

Halbmesser derselben .    .    .    .

.    .    55“,502;

.    .    1“,20;

.    .    7“,00;

.    .    0“,60.

2. Belastungen. — Von den Pfeilern bis zu einer gewissen Höbe wird die Bedachung der Halle durch Holzplatten von 0“,03 Dicke, welche durch Zinkblech verkleidet sind, gebildet. Der übrige Theil der Bedachung besteht aus 6 Millimeter starken Glasplatten.

Da aber für diese zwei Arten der Bedachung das Gewicht per Quadratmeter fast identisch ist, kann man dasselbe für die ganze Oberfläche der Halle als vollkommen gleich annehmen und es in folgender Weise veranschlagen:

Summe zur Berechnung der Fetten ...    95 Kilogr.

Eigengewicht des Bogens

16

(111 — 50) X 7,00 = 427 Kilogr. . . . 50 X 7,00 = 350

Schnee- und Winddruck .    .    .

Bedachung- aus Zinkblech oder Glas

Fetten..........

Windstreben........

50 Kilogr.

. 26

18

Summe zur Berechnung des Bogens . . .111 Kilogr. Last per Längenmeter auf die äussere Wölbung des Bogens. Permanentes Gewicht Zufällige Belastung

Summe .    .    .777 Kilogr.

3. Allgemeine Formeln für den Fall der Belastung über die ganze Länge des Bogens. — Wie man aus Tafel III ersieht, kann man die Hälfte des Bogens, mit Ausschluss jener Theile an den Bogenanfängen, welche aus vollen Blechen bestehen, in sechs gleiche Abschnitte theilen, deren jeder, in der Bogenachse gemessen, eine Länge von 4m,61 und an der äusseren Wölbung gemessen eine solche von 4m,70 hat.

Annäherungsweise kann man annehmen, dass der Schwerpunkt der von jedem dieser sechs Bogenstücke getragenen Last im Mittelpunkte der äusseren Wölbung des betreffenden Bogenstückes sich befinde.

Ferner ist das erste Bogenstück vom Auflager an theilweise in die Mauer eingelassen und trägt daher an dieser Stelle weder eine Bedachung, noch eine Belastung, sondern es kommt hier nur das Eigengewicht des Bogens in Betracht; dieses kleine Gewicht kann man der Einfachheit halber um so eher vernachlässigen, als es sich am Bogenanfang befindet und daher einen sehr kleinen Einfluss auf das Resultat der Berechnung übt.

Da die Auflagfläche des Bogens auf die Widerlager sehr klein ist, kann man schliesslich annehmen, dass sich der Druck auf dieselben im Mittelpunkte derselben überträgt.

Nennt man

p das Gesammtgewicht, welches von jedem der Bogenstücke 1, 2;

2, 3; . . . getragen wird,

pl dasjenige, welches von dein Stücke 0,1 getragen wird,

23*

R die verticale Réaction der Widerlager, welche der Hälfte des Gewichtes gleich ist, welches das ganze Bundgespärr belaste T die Spannung der Zugstange, welche als unbekannt zu bestimmen ist :

so hat man

p = mx 4,70 = 3651,90, px = 777 X 3,82 = 2968,14,

R = 3651,90 X 5 + 2968,14 = 21227,64.

Mit diesen Daten und mit jenen, welche dem Aufrisse entnommen werden können, kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für die Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 in Functionen von T berechnen; man hat z. B. für den Querschnitt 2

M% = 6,88 . T— 6,84 . R + 5,30 . px + 2,20 . p,

P₂ = 0,820 . T+ 0,572 {R — px —p),

S₂ = 0,572 . T— 0,820 (R —Pl —p).

Nach Substitution der numerischen Werthe für R, px und p lässt sich folgende Tabelle zusammenstellen, in welcher nur die Unbekannte T das ist die Spannung in der Zugstange vorkommt:

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normalpressungen

Schubkräfte

M₀ = 0,52. P —    6368

= 3,95. P — 64645 Jf₂ = 6,88 . P— 121432 If₃ = 9,20 . P— 170444 üf₄ = 10,95 . P— 208347 Jf₅ = 11,95 . P— 232121 = 12,30. P— 240338

P₀ = 0,615. P-f- 16812 P, = 0,725. P-f 12617 P₂ = 0,820 . P-f- 8356 P₃ = 0,897 . P-f 4831 P₄ = 0,953 . P-f- 2198 P₅ = 0,986 . P +    555

P₆ = 1,000 . P

Sü = 0,792 . P— 13055 Nj = 0,691 . P — 13238 S₂ = 0,572. P — 11978 £3 — 0,441 . P — 9827 St = 0,301 .P — 6961 Sà — 0,152 . P— 3601 = 0.

4. Bestimmung des Werthes der Unbekannten T. — Zu

diesem Behufe nennen wir

Q die Querschnittsfläche des Bogens,

I dessen Trägheitsmoment, co die Querschnittsfläche der Zugstange,

P\ + 4 P-\ + 2 P-+ 4 F», + 2 P*₄ + 4 .P », +

P* =

Unter Berücksichtigung, dass die Länge der sechs Stücke 0, 1 ; 1, 2; . . .5, 6 auf der Achse gemessen 4m,61 und jene der Zugstange 48m,10 heträgt; erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Gespärres (unter Vernachlässigung des der Verschiebung entsprechenden TheileS; welcher aber nur sehr geringen Einfluss hat) die folgende Formel:

4;6l

48; 10 . T²

2EQ

4;61

was jene

und machen

2**=

Durch Division dieser Formel durch den Factor 2 •

2 El

Gleichung nicht ändert; welche man daraus ableitet; indem man den DifFerentialquotient nach T gleich Null setzt; erhält man

48; 10

2 X 4,61

T 2.

a)

Da der Querschnitt des Bogens jener ist, welcher durch die Figur 3 (Tafel III) dargestellt wird, so hat man

n = 0,15 X 1,20 — 0,1375 X 1,175 — 0,0125 X 1,000 = 0,005937;

12

1= — (0,15 X 1,20³ — 0,1375 X 1,1753— 0,0125 X 1,000») = 0,001 970.

Der Durchmesser der Zugstange ist 0m,065, weshalb io = 0,003318,

und folglich

— 0,332; -=0,594.

CO

Substituirt man für M₀, etc., P₀, P, etc., deren Werthe in Functionen von P, wie sie in der Tabelle der vorhergehenden Nummer gegeben wurden, so erhält man

2J Ml = 486,06 . Tl — 9 194 095.2 . T*)

2 Pi = 1,52 . Ti + 9344.2. T,

T² = 3,10. T².**)

I 48,10 w 2.4,61

Durch Addition der rechten Seiten dieser drei Gleichungen kann

man die Formel (1) in einer Function von T ausdrücken, und zwar durch die Formel

(2)

490,68 Ti — 9 184 751.2 T.

Um den Werth der Spannung- T zu erhalten, muss man die Bedingung zum Ausdruck bringen, dass bei der Deformation des Systems

*) Man darf nicht vergessen, dass die blos numerischen, d. h. die von T unabhängigen Glieder ausgelassen wurden, da dieselben verschwinden, sobald der Differentialquotient der betreffenden Formel mit Bezug auf diese Unbekannte genommen wird.

**) Man erkennt, dass der Werth der Grössen

iS

und

P2

48,10

---i---

Oü 2X4,61

im Verhältnisse zu jenem der Formel    M² sehr klein ist, und kann daher die-

selben bei der ersten Annäherung vernachlässigen. Zur Bestimmung von T erhält man also die Gleichung

486,06 . T— 9 194 095 = 0,

woraus

T= 18915,

das ist ein Werth, welcher von dem oben erhaltenen sehr wenig verschieden ist.

Substituirt man den so gefundenen Werth von T in die Tabelle in Nummer 3, so erhält man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6.

Bei allen diesen Berechnungen ist es nicht nothwendig, den Querschnitt des Bogens und jenen der Zugstange zu kennen. Die erhaltenen, wenn auch nur annäherungsweisen Resultate können also zur Bestimmung der Dimensionen dieser Querschnitte dienen, so dass die grössten Beanspruchungen des Bogens und der Zugstange innerhalb der in der Praxis gewöhnlich angenommenen Grenzen liegen.

Die auf Grund dieser ersten Berechnung gefundenen, annäherungsweisen Werthe der Biegungsmomente werden im Allgemeinen nicht genügen, so dass es noch nothwendig ist, nachdem man den Querschnitt des Bogens und jenen der Zugstange aufgestellt hat, die Berechnung nach dem im Texte angegebenen Vorgang zu vollenden, um mit grösserer Genauigkeit sowohl die Spannung in der Zugstange, als die Vertheilung der Spannungen und Pressungen im Bogen zu bestimmen.

die Entfernung der Fusspunkte des Bogens von einander gleich sein muss der Ausdehnung der Zugstange ; und zwar kann man dies dadurch machen, dass man den Differentialquotienten der Deformationsarbeit des ganzen Systems, d. h. der Formel (2) mit Bezug auf T gleich Null setzt. Dies ergibt die Gleichung

490,68. T— 9 184 751 = 0.

woraus

T= 18718.

5. Mittel linie des Druckes und grösste Beanspruchung der Zugstange und des Bogens per Quadratmeter. — Die grösste Beanspruchung der Zugstange per Quadratmeter ist

= 5 640 000.

T _ 18718 co ~ 0,003318

Durch Substitution des Werthes von T in die Tabelle in Nummer 3 erhält man die in den Colonnen 2, 3 und 4 der unten angeführten Tabelle angezogenen Resultate, d. h. das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 des Bogens.

Dividirt man jedes Biegungsmoment durch die correspondirende Normalpressung, so erhält man dadurch die in Colonne 5 angezogenen Resultate, d. h. die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten.

Mit Hilfe der Formel

in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment eines Querschnittes und v die halbe Höhe dieses Querschnittes bezeichnet, erhält man die Pressung per Quadratmeter an der äusseren oder inneren Wölbung in den betrachteten Querschnitten; diese Resultate werden in den Colonnen 6 und 7 angeführt.

Beachtet man schliesslich, dass die Gitterstäbe aus U-Eisen (Tafel III, Figur 4) bestehen, dessen Querschnittsfläche

co = (0,064 + 2 X 0,031) 0,008 = 0,001008 ist, und dass dieselben Quadrate bilden, deren Diagonale

d = 1,01

ist, berechnet man für den Querschnitt des Bogens die Grösse

- (0,15 X 1,20² — 0,1375 X 1,1752 — 0,0125 X 1,00²) = 0,001708

8

7=0,001970

und bedenkt man, dass das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes den Werth

GSdf2

hat, so erhält man die Beanspruchung der Gitterstäbe per Quadratmeter mit Hilfe der Formel

21 co

= 614. S,

worin S die Schubkraft in dem betrachteten Querschnitte bedeutet.

Die Resultate dieser Berechnung sind in der letzten Colonne der folgenden Tabelle angeführt:

Quer

schnitte

Biegnngs-

momente

Normal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Pressung per Quadratmeter

an der inneren Wölbung

an der äusseren Wölbung

Spannung der Gitterstäbe

per

Quadratmeter

28324

26188

23705

21621

20036

19011

18718

+ 1770

304

— 1271

— 1572

— 1327

756

+ 0,117    5    781    500

+ 0,355    7    240    700

+ 0,310 i 6 230 600 + 0,081 j 4 178 340 --0,169    3 344 100

—    0,444    689 800

—    0,535

74 550

3 759 900

1 581 300

1 754 800

3 105 060

4 405 300

5 714 400

6 230 950

1 086 780

186 656

780 394

965 208

814 778

464 184

Man sieht hieraus: 1. dass die grösste Pressung an der inneren Wölbung- des Bog-ens in dem Querschnitte 1 stattfindet, und dass dessen Werth 7 240 700 Kilogramm per Quadratmeter beträgt, während an der äusseren Wölbung die grösste Pressung im Scheitel stattfindet und deren Werth 6 230 950 Kilogramm per Quadratmeter ist; 2. dass die grösste Pressung oder Spannung der Gitterstäbe in den Stäben des Bogenanfanges stattfindet, und dass dieselbe 1 086 780 Kilogramm per Quadratmeter beträgt.

Bundgespärres belastet wird.

6. Betrachtung des Falles, wo nur die linke Hälfte des

In diesem Falle bestellt die Total-

belastung des Bundgespärres per Längenmeter der äusseren Wölbung aus dem permanenten Gewichte, welches 427 Kilogramm ist, und aus den Belastungen des linken Halbgespärres, welche 350 Kilogramm beträgt.

Auf Grund des Principes der Summirung der Wirkungen kann man in dem gegenwärtigen Falle die Spannung der Zugstange leicht aus jener ableiten, welche für den Fall der vollständigen Belastung gefunden wurde.

Nennt man

G die Spannung, welche die Zugstange bei dem alleinigen permanenten Gewichte des Gespärres erleidet, t₂ jene für die vollständige Belastung über das ganze Gesparr, so erkennt man, dass im vorliegenden Falle des permanenten Gewichtes und der Belastung nur einer Hälfte des Gespärres die Spannung der Zugstange

sein wird.

Nachdem G und t₂ durch die Proportionen

777 : 427 = 18718 : G = 10287 777:350= 18718 : G = B 431

T= 14 502.

gegeben sind, ergibt sich

Die Reaction der Widerlager setzt sich auch aus zwei Theilen zusammen, und zwar aus jenem Theile, welcher von dem permanenten Gewichte herrührt, und aus jenem Theile, welcher der auf das linke Halbgespärre vertheilten Belastung entspricht. Der erste Theil ist für beide Widerlager gleich, und zwar gleich dem permanenten Gewichte, durch welches jedes Halbgespärre belastet wird, d. h.

427 X 3,82 + 5 X 427 X 4,70 = 11666.

Der zweite Theil ist für das linke Widerlager grösser als für das rechte; man kann dasselbe sowohl für das eine als für das andere leicht bestimmen, da man die Schwerpunkte der Belastung für jedes der Stücke

des linken Halbbogens kennt, und findet demnach, dass die Belastung dieses Halbbogens auf die Widerlager folgende Pressungen ausübt: auf das linke Widerlager 7316 Kilogramm, auf das rechte Widerlager 2246 Kilogramm.

Es ergeben sich in dem betrachteten Falle für die Reactionen der Widerlager somit folgende Werthe:

für das linke Widerlager 7316 +- 11666 = 18982 Kilogramm, für das rechte Widerlager 2246 + 11666 = 13912 Kilogramm. Kennt man nun die Spannung in der Zugstange und die Reaction der Widerlager, so kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2 ... 6 sowohl der linken als auch der rechten Hälfte berechnen. Die Zusammenstellung dieser Resultate ergibt folgende Tabelle:

I. Linker Halbbogen

II. Rechter Halbbogen

^ Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

M Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

188

456

— 0,535    6

+ 2930 +0,169 + 1118 +0,757

—    130 + 0,997

—    1020 +0,937

—    1601 +0,675

—    1990    4 0,138

—    2246 — 0,535

15685 X 0,60

= 7 360 000 Kilogramm,

0,001 970

Ans den in dieser Tabelle enthaltenen Resultaten erkennt man, dass die grösste Beanspruchung’ per Quadratmeter im linken belasteten Halbbogen in dem Querschnitte 4 an der Aussenseite stattfindet, und zwar ist deren Werth 15341 0,005937

während in dem rechten unbelasteten Halbbogen die grösste Pressung an der Innenseite des Querschnittes 2 stattfindet, und ist deren Werth 17717 X 0,60

17765

= 8 388 000 Kilogramm.

0,001970

0,005937

In dem Bundgespärre mit einer Zugstange, welches hier betrachtet wurde, finden demnach im Falle der Belastung nur eines Halbgespärres grössere Beanspruchungen statt als im Falle der Belastung des ganzen Gespärres ; dies beruht auf der Eigentümlichkeit, dass sich dieses System leicht deformiren kann.

7. Einfluss der Aenderungen der Temperatur. — Da eines der Enden des Gespärres auf Stahlwalzen aufruht, so kann offenbar das System den Einflüssen der Temperatur frei folgen. Nimmt man andererseits an, dass der Bogen und die Zugstange von einander unabhängig sind, so ist klar, dass für eine gewisse Steigerung der Temperatur die Ausdehnung der Zugstange genau gleich ist der Vergrösserung der Sehne des Bogens, woraus sich ergibt, dass, wenn man das System bei einer beliebigen Temperatur aufstellt, die Zugstange immer die zur Verbindung der beiden Enden des Bogens geometrisch notwendige Länge haben wird.

Die Aenderungen der Temperatur haben also keinen Einfluss auf die elastischen Kräfte, welche in dem betrachteten System entstehen, wenigstens in dem Falle, als diese Aenderungen auf alle Theile des Gespärres gleichförmig verteilt sind.

6. Capitel.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren nach Type Polonceau.

(Tafel IY.)

1. Allgemeine Angaben.

Die Bundgespärre dieser Halle sind einerseits auf die Mauer des Aufnahmsgebäudes und andererseits auf eiserne Säulen gelagert.

. . 26m,00 . . 0ra,20 . . 0m,20 . . 4m,90 . . 3 “75

Entfernung der Mauer von der Achse der Säulen .    .

Länge der Auflagfläche auf der Mauer......

Desgleichen auf den Säulen..........

Pfeilhöhe................

Entfernung der einzelnen Bundgespärre......

Die Hauptsparren bestehen aus Gitterträgern.

Die Bedachung besteht aus Wellblech von 1 Millimeter Dicke mit einer Oberlichte aus ungefähr 6 Millimeter starken Glastafeln.

Da die Bedachung aus Blech leichter ist als

2. Belastungen.

jene aus Glas; so setzen wir ungünstigere Bedingungen voraus, als tliat-sächlich gelten, indem wir erstere zwischen den Stützen und der Druckstrebe und letztere zwischen diesen und dem Giebel annehmen.

Geivicht per Quadratmeter der Bedachung zwischen den Stützen und den Druckstreben.

Schnee- und Winddruck Wellblech .... Fetten......

60 Kilogr.

11

. 18

Summe zur Berechnung der Fetten ....    89 Kilogr.

Eigengewicht des Bundgespärres mit Einschluss der Stangen .    12    „

Summe zur Berechnung des Bundgespärres . 101 Kilogr.

Geicicht per Quadratmeter der Bedachung zwischen den Druckstreben

und dem Giebel.

60 Kilogr.

OO

Schnee- und Winddruck

Bedachung aus Glas mit Einschluss der Sprosseneisen und deren Träger...............

Fetten

102 Kilogr.

Summe zur Berechnung der Fetten .    .    .

Eigengewicht des Bundgespärres mit Einschluss der Stangen .12    „

Summe zur Berechnung des Bundgespärres . 114 Kilogr.

Da die Entfernung zwischen den Bundgespärren 3m,75 beträgt, so ist die Belastung per Längenmeter der Hauptsparren:

1. Zwischen den Stützen und den Druckstreben:

Permanentes Gewicht (101 — 60) X 3,75 = 154 Kilogr. Zufällige Belastung ... 60 X 3,75 = 225    „

Summe .    .    .379 Kilogr.

2. Zwischen den Druckstreben und dem Giebel:

Permanentes Gewicht (114 — 60) X 3,75 = 203 Kilogr. Zufällige Belastung . . . 60 X 3,75 = 225    „

Summe .    .    . 428 Kilogr.

3. Allgemeine Formeln für die complété Belastung. — Es

seien Ti, T₂, T₃ (siehe Aufriss) die Spannungen in den drei Zugstangen und T₄ die Pressung in der Druckstrebe.

Ferner seien p und p₁ die Gewichte per Längenmeter, welche auf die Hauptsparren einerseits zwischen den Stützen und den Druckstreben und andererseits zwischen diesen und dem Giebel entfallen.

Die Reaction der Stützen ist

B = 6,79 .p -j- 6,93 . px.

Bestimmt man nun für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, 3, 4 das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in Functionen der unbekannten Spannungen 7\ und T₄, so kann man folgende Tabelle bilden :

>s-

03

t*

M Querschnitte

M₄ 3= 3,65 . P, — 6,46 . P₄ —

M₃ = 2,76 . Pj — 3,23 . P₄ — ^

M₂ = 1,87 . P,

Mi = 0,98 . Pt

M₀ = 0,10 . Ti

21,655 .p 4-66,927 .pj

21,655. p-f-60,843 .p.

21,655 . p -|~ 44,906 .p,

17,012 .p -f 23,770 .pi

2,436 . p -[-2,564. p.

Biegungsmomente

P₄ = 0,96 . Pt -f- 0,16. p,

P3 — 0,96 . P, 4~ 1,22 . p.

P₂ =33 0,96 . P, + 2,29.pt

Pt = 0,96 .

_o

50

J + Il

1)07 . p + 2,29 . p,

4e J~

['S    ,_.

CO 03

£

Norm al pressungert

Ą = 0,274. Ti- J\— 3,47.2,,

z8

0,274. Ti ... . — 6,51 .pj 0,274 . Pj — 24 — 6,51.2,,

Ą = 0,274 . P₄ . . .

S₀ = 0,274 . T⁷! . . .

Schubkräfte

JJS jw

jja

3-

4. Berechnung der Spannungen Tx und Tx. — Es seien Q und I die Fläche und das Trägheitsmoment des Querschnittes der Hauptsparren;

tox, io₂, w₃, tox die Querschnittsflächen und lx — 7,10, l₂ = 2 X 5,82, l₃ = 7,15, lx = 1,70 die Längen der Stangen;

M\ + 4 M\ + 2 M\ + 4 M\ + ilf²₄

P²o + 4 P\ -f- 2 P\ + 4 P\ + P\

l T¹_7,10 . T\ 5,82 . T\ , 7,15. T²₃    1,70 . T\

Wl

ft>2

co₄

Beachtet man, dass die Entfernung zwischen den Querschnitten 0, 1 ; 1, 2 etc, 3m,23 beträgt, so ergibt sich als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Systems, sofern man den Theil, welcher der Verschiebung entspricht, vernachlässigt, folgende Formel:

2    v ilf² -f

L2 EI ^

3,23

2EQ

3,23

dividirt, was nichts

oder, wenn man dieselbe durch den Factor 2 X

an den Gleichungen ändert, welche man daraus ableitet, indem man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes in Bezug auf Tx und Tx gleich Null setzt,

2 EI

3,23

Wählt man als Querschnitt der Hauptsparren jenen, welcher durch Figur 4 (Tafel IV) dargestellt wird, als Durchmesser der Zugstangen

d₃ = 38

dt — 44,

dx = 56,

, so ist

und für die Druckstrebe einen kreuzförmigen Querschnitt, und zwar 60 — 60

10 n = 0,100 X 0,500 — 0,091 X 0,480 — 0,009 X 0,350 = 0,003170, I— — (0,100 X 0,5003 — 0,091 X 0,480:s — 0,009 X 0,3500 = 0,000170,

wi = 0,002463,

co₂ = 0,001020,

io₃ = 0,001134,

co₄ = 0,001100,

und folglich

= 0,054,

= 0,0693;

— = 0,1125;

tO ₂

— = 0,1510;

«3

tüi

= 0,1555 ;

3,23

(0,160 . T\ + 0,203 . T\ + 0,335 . T\ + 0,082 . T\). (2)

Aus der in Figur 3 dargestellten graphischen Construction ergeben sich für 7 2 und T₃ folgende Ausdrücke in Functionen von Tx und J\ :

(3)

T₂ =0,915 . T⁷! —1,695.1\,

T₃ = 0,111 . Tx + 1,608 . Ti}

= 0,3341 . T\ — 0,2557.2 Tx T, + 1,5211. T\.

so dass man aus der Formel (2) T₂ und T₃ eliminiren kann, womit IT²

3,23

Substituirt man in ^ M² und ^ P² die Wertbe von M₀, Mx etc.,

P₀, Px etc. in Functionen von Tx und TA, wie sie in der Tabelle auf Seite 366 gegeben wurden, so erhält man

2 A/2 = 18,2128 . T\ — 19,7394.2 Tx Tx + 27,8211 . T\

— (155,33 p + 392,45 px) .2TX + (139,88 .p + 406,14px) .2 Tx] *)

*) Man erkennt, dass auch für dieses elastische System die Werthe von

P²    und

v —

3,23 2-1 (ü

im Verhältnisse zur Grösse M² sehr klein sind.

Aber man kann sich leicht überzeugen, dass, wenn man nur diese letzte Grösse berücksichtigt und die beiden anderen vernachlässigt, man Resultate erhält, welche sehr verschieden sind von jenen, welche sich durch die vollständige Berechnung ergeben, besonders in Bezug auf das Biegungsmoment der Hauptsparren.

In Folge dessen darf man bei der Berechnung der Dachstühle Type Polonceau weder die Deformationsarbeit, welche den Normalpressungen der Hauptsparren, noch jene, welche den Spannungen in den Zugstangen entspricht, vernachlässigen.

2] P² = 0,1991. T\ + (0,11 p + 0,36 . B) 2 Tx ,

und der Ausdruck (1) wird zu

18,746. T\ —19,995.2 Tx Tx + 29,342. T\ — (155,22 .p + 392,09Pi). 2 Tx + (139,88p + 406,14 . px) 2 Tx.

Die Differentialquotienten dieser Formel müssen behufs Bestimmung der zwei Unbekannten gleich Null gesetzt werden, was die zwei folgenden Gleichungen ergibt:

18,746 . Tt — 19,995 . T₄ — (155,22 . p -j- 392,09 .Pl) = 0,

— 19,995 . Tx + 29,342 . T, + (139,88 .p-f 406,14 .px) — 0;

hieraus folgt

(4)

Tx — 11,69 . p -)- 22,53 .pif Tx= 3,20 .p-\r 1,51 ,px.

5. Beanspruchung der Zugstangen und der Druekstrebe. —

Macht man nun in den Gleichungen (4)

p = 379 und px — 428

und substituirt man die erhaltenen Resultate in die Gleichungen (3), so erhält man für die Spannungen in den Zugstangen und für die Pressung der Druckstrebe folgende Werthe:

1\ = 14073, T₂ = 9726, T,= 4551, r₄ = 1859.

Die Beanspruchungen dieser vier Constructionstheile per Quadratmeter sind somit

14045

0,002463

= 5 700 000

T,

9696

co₂

0,001520

= 6 370 000

T*

4650

0,001134

= 4 100 000

T₄

1862

<>h

0,001100

= 1 700 000.

6. Mittellinie des Druckes für die Hauptsparren und grösste Beanspruchung derselben. — Wenn man in der Tabelle in Nummer 3 p = 379 und pY = 428 macht lind für Tx und Tx die oben gefundenen Werthe einsetzt, so erhält man die in den Colonnen 2, 3 und 4 der nachfolgenden Tabelle eingetragenen Zahlen. Dividirt man die Biegungsmomente durch die Normalpressungen, so findet man die Zahlen der Colonne 5, welche die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten geh en.

Mit Hilfe der Formel in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment eines Querschnittes und Q, I, v die Fläche, das Trägheitsmoment und die halbe Höhe dieses Querschnittes bedeuten, erhält man die in den Colonnen 6 und 7 angeführten Pressungen per Quadratmeter an der Innen- und Aussenseite der betrachteten Querschnitte.

Beachtet man, dass die Gitterstäbe aus Flacheisen von 0m,050 X 0m,006 bestehen, und nennt man

co = 0,000300 die Querschnittsfläche dieser Stäbe, d — 0,55 die Diagonale des Gitterwerkes in der Eichtling des Hauptsparrens,

dx = 0,42 die andere Diagonale,

I — 0,000170 das Trägheitsmoment des Querschnittes des Hauptsparrens,

G = - (0,100 X 0,5002 _ 0,091 X 0,480² — 0,009 X 0,350²) =

8

0,000366 das statische Moment des halben Querschnittes des Hauptsparrens in Bezug auf die Biegungsachse,

S die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte; so kann man die Spannung der Gitterstäbe mit Hilfe der Formel

= 2483 . S

GSfdd±d\

21 co

bereclmen, welche die in der letzten Colonne der folgenden Tabelle eingetragenen Resultate gibt.

m Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie des Druckes

Pressung per Quadratmeter

Spannung der Gitterstäbe

CC

in der unteren Gurte

in der oberen Gurte

per

Quadratmeter

O tH

613    15271    — 1238    —0,040    3 911 420    5 723 180    3 073 950

86    —0,192    489 000    8 892 000

— 2830    14869

•213 540

14)

— 1110    14463

+ 1062

800

— 0,080    2 852 200    6 272 800

2 636 950

1 986 400

— 1411    14006    + 501    —0,106    2 215 300    6 621 300    1 243 980

+ 2505    13552    + 1798    +0,175    7 779 400    770 600    4 464 430

7. Tliatsäelilicli zu wählende Dimensionen. — Aus den oben erhaltenen Resultaten sieht man, dass die Zugstange T₂ eine Spannung von mehr als 6 Kilogramm per Quadratmillimeter erleidet, was man in der Praxis im Allgemeinen nicht zulässt; man muss daher deren Durchmesser grösser machen, und zwar 46 Millimeter statt 44. Es ist dann

co₂ = 0,001662,

und die grösste Spannung der Zugstange ergibt sich mit

9726

0,001662

= 5 852 000,

d. h. 5k+85 per Quadratmillimeter.

Für die aus Eisengattungen von kleinen Dimensionen, welche im Allgemeinen frei von Materialfehlern sind, construirten Hauptsparren kann man eine Beanspruchung von 8 Kilogramm per Quadratmillimeter wohl zulassen. Da diese Grenze nur an der Aussenseite in der Mitte der Tlieile zwischen den Stützen und den Druckstreben überschritten wird, kann man an dieser Stelle den Querschnitt der äusseren Gurte dadurch verstärken, dass man an das T- Eisen ein Blech von gleicher Breite annietet, dessen Dicke 8 Millimeter beträgt. Man hat sodann

ß = 0,003970, /= i [0,100 (0,213« + 0,295«) — 0,091 (0,195« + 0,285«)

— 0,009 (0,130« + 0,0220«) J = 0,000212,

womit sich die Pressungen per Quadratmeter in der inneren und in der äusseren Gurte des Querschnittes 1 folgendermassen ergehen:

= — 224 000,

14869    2830 X 0,295 _

0,003 970    0,000 212

= 6 615 000.

14869    2830 X 0,213

0,003 970 ⁺    0,000 212

8. Betrachtung des Falles, wo die Belastung nur auf einer Seite des Bundgespärres stattfindet und wobei man von dem permanenten Gewichte absieht. — Es sei q das per laufenden Meter auf einen der Hauptsparren vertheilte Gewicht, und es werde angenommen, dass auf den anderen keine Last, selbst nicht dessen Eigengewicht wirke.

Das Gesammtgewicht der Belastung ist

(6,79 + 6,93) q = 13,72 . q-

nimmt man an, dass der linke Hauptsparren belastet ist, so ergehen sich die Reactionen der Stützflächen folgendermassen:

~ 13,72 . q = 10,29 . q,

- 13,72 . q = 3,43 . q.

4

für die linke Stützfläche R =

für die rechte Stützfläche R' =

Nennt man nun

X, 3), cT₃, 3) die Spannungen der Zugstangen und die Pressung der Druckstrebe für die linke Hälfte und tif Q, G, h die correspondirenden Grössen für die rechte Hälfte,

so müssen wohl die Spannungen 3"₂ und t₂ gleich sein, denn dieselben beziehen sich auf dieselbe Zugstange; doch ist es der Symmetrie halber angezeigt, die beiden Buchstaben beizubehalten.

Man kann nun analog der Tabelle auf Seite 366 die folgende zusammenstellen.

Schubkräfte

.....— 9,36 . g

.....— 6,33 . g

.....— 3,29 . g

—    £4 - ³>²⁹ • ?

-    §r₄ - 0,25 . g

4-2,78. g

’t    ^    T}<

"•O    *W

bc> t?S bc> kâ" kô ks

rf “rf ^

CQ CQ    ÖQ

en gq

00 OQ 00

CQ CQ

Normalpressun gen

I. Linker Hauptsparren.

P₀ = 0,96 . St 4- 3,29 . g P, =0,96.^4-2,22 .g

P₂ = 0,96 . §T,4- 1,15 .g

P₃ = 0,96 . §r, -|- 0,09 . g P₄ = 0,96 .S'j — 0,98. g

Biegungsmomente

—    3,731 .g

—    29,009 . g

— 44,339 . g

= 0,10. Sj = 0,98 . cT.

M₂ = 1,87 .S".

= 2,76 . S", — 3,23 . ST₄ — 49,810 . g = 3,65 . §T, — 6,46 . ST₄ — 45,433 . g

II. Rechter Hauptsparren.

0,96 . 4 4- 1,13 . g 0,96 . 4 4- 1,13 . g

fin ÖS

. — 1,269. g ; — 11,765 .g

= 0,10. tx = 0,98 . <j

P₂ = 0,96. tx 4- 1,13 . g

— 22,226. g

M\ = 1,87 . <j

P 3 = 0,96 . <,4-1,13. g P] = 0,96 . tx -f 1,13 . g

AT3 = 2,76 . <j - 3,23 . <₄ — 32,685 . g M\ = 3,65 . <, — 6,46 . t₄ — 43,149 . g

a^iuqos

-Jan?)

03

03

C0 r}*

374

Die Deformationsarbeit des ganzen Gespärres, dividirt durch den 3 23

Factor    w*r<^ ausgedrückt durch die Formel

M\ + 4M\ + 2M\ + 4 M\ + M\ I P\ + 4P²₄ + 2P\ + 4P²₃ + P\

7,13.    , 1,70.3"²₄

3,23

wi

CO 2

W₄

I P'\ H- 4P'²! + 2P\ + 4P'², + P'\

£2

'7,10 ,t\    5,82 . t\ 7,13. t\ 1.70. <y

3,23

Substituirt man in diesem Ausdrucke für die Momente M und fiir die Pressungen P die oben erhaltenen Werthe und für die Spannungen e£₂; ^3 , h, h deren Ausdrücke in Functionen von §4, tl} <₄, wie sie durch die folgenden Gleichungen gegeben werden:

3;=0,915.3;—1,695.3;,

$*3 = 0,111.3;+ 1,608.3*₄, t₂ = 0,915 . t₄ — 1,695 . <₄,

<3 = 0,111. <₄ +1,608. t₄,

C0₂

W₃

co₄

so erhält man die Formel

18,746 (3^ + t\) —19,992 X 2 (3^ 3, + t₄ <₄)    \

H-29,342(3"²₄ + t\) — (331,625 . q. 23"₄ + 215,685 .q.2tj } (7) + (312,345. q. 2 3; + 233,675. ₂.2 <₄).    J

Da 3; und <₂ dieselbe Spannung vorstellen, kann man aus den Gleichungen (5) und (6) die Beziehung

0,915.3; — 1,695.3; = 0,915 . tL — 1,695 . <₄

ableiten und folglich ist

3; — ^ = 0,540 (3;— *).

Auf Grund dieser Beziehung zwischen den vier in der Formel (7) enthaltenen Unbekannten kann man nun eine derselben eliminiren und sodann die Differentialquotienten des Ausdruckes (7) mit Bezug auf die

(8)

anderen g-leicli Null setzen.’ Diese Rechnung’ lässt sich aber vereinfachen;, indem man die Unbekannten ändert, und zwar indem man

^1 H“ h — T\>

ch £₄ = 0₄,

D H~ Qi

setzt; es ist somit

5*1

^4 + ^4 - X\l

§>4 - t₄ = 6₄

Ti + ö₄

(9)

*4

Substituirt man diese Werthe in die Formeln (7) und (8), so er

hält man

¹

Bundgespärre dieser Form wurden bei der grossen Bahnhofshalle in Genua angewendet. Diese haben mit den für die Berechnung angenommenen dieselbe Sehne und dieselbe Pfeilhöhe, nur ist die Höhe der Bögen in der Richtung des Halbmessers, sowie die Dimensionen des Eisens und die Form der Gitterstäbe verschieden. Der Vergleich zwischen den fiir die Berechnung gewählten Eisengattungen und jenen, welche für die Halle in Genua angewendet wurden, zeigt, dass man eine bedeutende Menge Material hätte ersparen können und doch noch eine genügende Stabilität erhalten hätte.

i (18,746.zr²₄ —19,992.2r₄r₄ -f- 29,342.—547,31. q. 2t₄ -j-546,02. <2.2r₄) j

+ i (18,746.6²₄ —19,992.2 6i 0₄ + 29,409.6²₄ — 115,94. q. 2 0₄ + 78,67. q. 2 0₄) ; J

(H)

(10)

0₄ = 0,540.0₄.

Man müsste nun 0₄ aus der Formel (10) eliminiren und sodann die Differentialquotienten nach t₁ , xi, 0₄ gleich Null setzen; aber man erkennt leicht, dass jener Theil des Ausdruckes (10), welcher r₄ und t4 enthält, genau mit der letzten, in Nummer 4 erhaltenen Formel für die Arbeit übereinstimmt, wenn man p = p₄ = q setzt. Man kann also die Werthe von t₄ und t₄, welche aus dem Ausdrucke (10) abgeleitet werden können, indem die Differentialquotienten mit Bezug auf rt und -r₄ gleich Null gesetzt werden, sogleich aus den Gleichungen (4) ableiten, indem man hierin p = p₄ = q macht, so dass

T\ — 34,22 . q, x4 = 4,71 . q.

Der zweite Theil der Formel (10), d. h. jener, welcher 0₄ und 64 enthält, stellt sich nach der Elimination von 0₄ folgendermassen dar:

— (5,730.6²₄ — 73,46 . . 2 0₄);

der Differentialquotient hievon gleich Null gesetzt ergibt 5,730.0j — 73,46 . q = 0,

Qt = 6,43 . q.

woraus

Substituât man diesen Werth von Ql in die Gleichung (11); so er-

hält man

0₄ = 3,47 . q.

Die Gleichungen (9) ergeben somit

tL — 10,68 . q, t₄ = — 1,12 . q.

ą — 23,54 . q, oT₄= 5,8 2.q,

Macht man in diesen Ausdrücken (siehe Nummer 2)

q = 225,

und substituât man die erhaltenen Resultate in die Formeln (5), (6) und in die in der vorliegenden Nummer schon früher angeführte Tabelle, so erhält man die folgenden Resultate:

eT₂ = t₂ — 2621,

§; = 5296,

ą = 2693, cT₄ = 1309,

= 2403,

«3 = —138, G = — 252.

Linker Hauptsparren

Rechter Hauptsparren

Quer

schnitte

Biegungs-

momente

Normal

em

Pressungen

Schub

kräfte

Quer

schnitte

Biegungs-

momente

r-4

^ Normal-pressungen

Schub

kräfte

310    5800

5580

<M

— 660 + 23 + 706 — 600

— 818    5100    + 83

+ 652    4850    + 765

— 1337

73    5310

45

2560

68

— 292

— 507

2560

2560

68

68

+ 178

+ 92    2560    + 178

+ 690    2560 + 178

9. Betrachtung des Falles, wo man das Eigengewicht des Bundgespärres und der Bedachung berücksichtigt, und wo man eine nur linksseitige Belastung annimmt. — Man weiss, dass sich

dieser Fall aus den beiden vorhergehenden durch einfache Addition oder Subtraction ableiten lässt, so dass man durch Anwendung der bekannten Regeln die nachfolgenden Tabellen erhält:

Spannung der Zugstangen und Pressung der Druckstrebe:

Links

Tx — tL = 11670 F₂ —1-2 == 7099 F₃ —t₃ = 4689

f₄ — f₄ = 2111

Rechts

Tx — §; = 8777 1\ — S"₂ = 7099

Fg - oTg = 1858

F₄ —    = 550.

Linker Hauptsparren

Rechter Hauptsparren

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

Quer

schnitte

Biegungs-

momönte

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

568    12711    — 1170 —0,044    0

18 — 0,208    1    — 1493

1    — 2538    12309

603    11903

+ 1130

978

303

9471

9289

578 — 0,032 63 —0,162

— 0,054    2    — 1037

9153

+ 356

200

— 0,116

3    — 1319    11746    + 323 —0,136    3

4    + 1815    10992    + 1620 +0,158    4    + 1853

593

8906

8702

+ 418 + 1033

— 0,072 + 0,204

Der Vergleich dieser Resultate mit jenen, welche in Nummer 6 erhalten wurden, zeigt, dass nur das Biegungsmoment des linksseitigen Querschnittes 3 in dem Falle einer vollständigen Belastung des ganzen Gespärres kleiner ist als in jenem Falle, wo nur die linke Hälfte desselben belastet ist; aber da in dem zweiten Falle die Normalpressung in demselben Querschnitte bedeutend kleiner ist als in dem ersten, so erkennt man auch ohne Berechnung, dass in dem Falle der Belastung des ganzen Gespärres die Beanspruchung per Quadratmeter grösser ist.

In Betreff der Schubkräfte trifft es wohl zu, dass dieselben im Falle der Belastung des ganzen Gespärres für einige Querschnitte kleiner sind als in jenem, wo nur die linke Hälfte desselben belastet ist; aber erstlich sieht man, dass diese Differenzen sehr klein sind, und dass die ab-soliit grössten Schubkräfte in dem Falle der beiderseitigen Belastung stattfinden, woraus folgt, dass die grösste Beanspruchung der Gitterstäbe in diesem letzteren Falle eintritt.

Man erkennt also, dass mit den für die Zugstangen und die Hauptstreben gewählten Dimensionen für alle in Betracht kommende Fälle vollkommene Sicherheit gewährt wird.

10. Einfluss der Aenderungen der Temperatur. — Da das System homogen ist und die Enden der Hauptstreben sich frei verlängern oder verkürzen können, indem eines der Enden auf gusseisernen Walzen aufruht, so folgt daraus, dass die Aenderungen der Temperatur — sobald dieselben gleichförmig über alle Constructionsglieder vertheilt sind — keinen Einfluss auf die elastischen Kräfte haben.

Man könnte wohl den Fall einer verschiedenen Aenderung der Temperatur für die einzelnen Glieder untersuchen ; aber es ist dies nicht nothwendig, denn die Temperaturdifferenzen können nicht sehr gross sein, weshalb ihr Einfluss auf die elastischen Kräfte zu vernachlässigen ist.

Für Bundgespärre von der betrachteten Form müsste man die Temperaturänderungen selbst dann, wenn dieselben über alle Glieder gleich sein würden, berücksichtigen, sobald die Hauptsparren aus Holz wären.

7. Capitel.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit mehreren Zugstangen.

(Tafel V.)

1.    Allgemeine Angaben. — Dieselben sind gleich mit jenen im vorhergehenden Beispiele, mit Ausnahme der Pfeilhöhe; welche nunmehr 6m,12 anstatt 4m,90 beträgt.

2.    Belastungen. — Auch die Belastung ist genau dieselbe, wie im 6. Capitel angenommen wurde, und zwar sowohl per Quadratmeter der Fläche, als auch per Längenmeter des Bogens.

3.    Allgemeine Formeln für den Fall der completen Belastung. — Man nenne

TXy T2! T₃, 1\ die Spannungen in den vier Zugstangen, p das Gewicht per Meter für den unteren Theil des Bogens,

Pi das Gewicht per Meter für den oberen Theil desselben und theile die Länge jedes der beiden Bögen — die Versteifungen am Fusse und am Scheitel ausgenommen (Fig. 1) — in vier gleiche Theile. Die Länge jedes dieser Theile beträgt in der Bogenachse gemessen 3m,58 und auf der äusseren Wölbung gemessen 3m,61.

Die Keaction der Auflagflächen ist

R = 3,61 X 2 X P + (3,61 X 2 + 0,22)Pl = 7,22 .p + 7,44 .Pl.

Es lässt sich nun für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, 3, 4 das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft berechnen; für den Querschnitt 1 hat man z. B. die folgenden Ausdrücke:

Mx = 1,85 Tx — 2,89 R + 3,61 p X 1,57,

Pi = 0,904 X + 0,575 (R — 3,61. p),

Si = 0,421 ^ — 0,818 (R — 3,61 . p).

Für die anderen Querschnitte ergeben sich ähnliche Ausdrücke, nur muss man für die Querschnitte 2, 3, 4 auch die Spannung Tx

X-

03

to

Quer-

^ schnitte

JW

-J

4-

4/₃ = 3,72.7’, + 3,55.1\ — ^

M₂ = 3,09.7',

47, = 1,85.7’,

\l ' 90‘0 = V

ci

CO O

ce GO

20,18. p+

62,95.^1

20,18.jp+

44,42 .pl

,£Îoe‘ig

+^'05*91

+ fî-80‘l .

Biegungsmomente

a ’ so‘o 4- U • ot s‘o+\i • 866‘o = V

P₃ = 0,995.7’, + 0,174.7’₄ +    1,02. Pl

\l ' î’96‘0 = lJ

\Tj ' f00‘0 — X<J

P₀ = 0,818.7',

t<f‘9ï‘s +

2,08-2»-f-4,28. jp,

'5,10.jp+' ,5,26. jo,

JN ormalpressungeri

St = — 0,075.7’, + 0,942.7’₄ — 0,22 .p,

Icî'69‘s —krm'o-f-lz'ieo'o = es

0,262. 7’,

'd'Ml 9 — ^'OOO'ï + lZ'm'O 'dŸ.Ll 9

£,=    0,421 .Ty

£„ =    0,576.7',

Schubkräfte

J3S J>ö

b 'o O c*

-r

berücksichtigen. Die betreffenden Ausdrücke sind alle in der nebenstehenden Tabelle aufgenommen und erscheinen darin nur die Unbekannten Ty und Ty.

4. Berechnung der Spannungen 1\ und T₄. — Nennt man Q und I die Fläche und das Trägheitsmoment der Bogenquerschnitte,

(Oy, io-2, w₃, ojy die Querschnittsflächen und ly — 7,37, Z₂ ⁼ 2 X 5,66, l₃ = 7,42, ly = 3,22 die Längen der Zugstangen ;

macht man

P\+±P\+2P\ + 4 P\ + P\

IT² _ 7,37 . T\ ^ ca

(Oy

5,66 . T\

7,42 . T\

3,22 . T\

(0 ₂

ca₃

(Oy

und beachtet schliesslich, dass die Länge der Bogenstücke 0,1; 1, 2; 2, 3; 3, 4 in der Bogenachse gemessen 3m,58 beträgt, so erhält man analog den früheren Betrachtungen als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Systems folgende Formel:

₂ r_3^58 y,

l_2 El ^

M² -F

3,58

2Ei2

Dividirt man diese Formel durch den numerischen Factor 2 X

3,58

2 EI’

was nichts an den Gleichungen ändert, welche man daraus ableitet, indem man die Differentialquotienten mit Bezug auf T{ und Ty gleich Null setzt, so erhält man

S^²+|XU² +

3,58

St

(1)

Nimmt man als Querschnitt der Bögen jenen, welcher durch Figur 6 (Tafel V) dargestellt wird, und als Durchmesser der Zugstangen

cl₂ = 42,

dy = 42,

d> = 20,

dy = 20,

so findet man

n = 0,080 X 0,400 — 0,072 X 0,384 — 0,008 X 0,274 = 0,002160,

1= -L(0,080 X 0,4003 _ 0,072 X 0,3843 — 0,008 X 0,274³) = 0,000073;

a>i — co-2 — 0,001385, o>₃ — foi — 0,000314,

- = 0,0338

und folglich ²

3,58 ^ oj

0,1085. T\ H- 0,0833. T\ + 0,4818. T\ -{-0,2091. T\. (2)

Da die vier Spannungen Tx, T₂, X und sich das Gleichgewicht halten müssen, so gibt es zwischen denselben zwei Gleichungen, mit Hilfe welcher man die Spannungen T₂ und P₃ in Functionen von Tx und X ausdrücken kann; diese zwei Gleichungen ergeben sich aus der in Figur 5 dargestellten graphischen Construction wie folgt:

(3)

T₂ = 0,784 . Ti + 1,498 .Ti} \

X = 0,264. Tx — 1,405 . T₄; / man kann daher X und X aus der Gleichung (2) eliminiren und erhält

0,19 . T\ — 0,08.2 X X 4- 1,35 . T\.

v—²

3,58 ^ oi

Substituât man in ^ ilT² und P² für die Momente M₀, TIP,

etc. und für die Normalpressungen P₀, I\ etc. deren Werthe in Functionen von P, und rl\, welche in der Tabelle der vorhergehenden Nummer gegeben wurden, so erhält man:

TIP² = 34,12 . T\ + 26,40.2 X X + 33,14 . T\

— (214,06 . p + 546,11 .px).2 X — (149,74 . p + 462,99 . Pi). 2 X ;

O S P2 = ⁰’¹² ■ T2i + ⁰^⁰¹ • 2 Tl Ti + °;°0 • T\

+ (0,13 . p -j- 0,34 . p₄). 2 Tx -f- 0,01. px . 2 Tt.

Es ergibt somit die Formel (1)

34,43 . T\ -F26,33. 2 X^₄ + 34,49 . T\ — (213,93 .p + 545,77 ,px).2 J\ — (149,74 . p + 462,98 . px) .2TV

Setzt man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach 2\ und Tx gleich Null, so erhält man die folgenden zwei Gleichungen:

woraus

34,43 . Tx + 26,33 . T₄ = 204,41 . p + 544,33 . px ; 26,33 . Tx + 34,49 . Tx = 142,61 . p + 461,12 . Pi ;

Tt = 6,659 . p -f- 13,421. px,    \

T₄ = — 0,955 . p    3,124 . px. J

(4)

5. Die Spannungen in den Zugstangen. — Macht man in den Formeln (4)

p — 379 und px = 428,

so erhält man die Werthe von rL\ und Tx, sowie nach Substitution derselben in die Gleichungen (3) auch die Werthe T₂ und Tv t Man hat also

Tx = 8268, T₂ = 7937, Tz= 811, T₄ = 975,

und ergeben sich daher die Spannungen in den Zugstangen per Quadratmeter wie folgt:

für die Zugstange 2] .. .

8268

0,001385

— 5 969 000:

für die Zugstange 2\ . . .

7937

0,001386

— 5 730 000 ;

für die Zugstange 2\ . . .

811

0,000314

= 2 582 000:

für die Zugstange 2\ . . .

975

0,000314

= 3 105 000.

6. Mittellinie des Druckes für die Bögen und grösste Beanspruchung per Quadratmeter. — Macht man in der Tabelle in Nummer 3 p = 379, px = 428 und setzt man für Tx und TA die oben gefundenen Werthe, so erhält man die in den Colonnen 2, 3 und 4 der nachfolgenden Tabelle enthaltenen Resultate.

w Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

co

386    11048

1    + 390    10195

+ 650

— 1152

9430

Pressung per Quadratmeter

Spannung der Gitterstäbe

an der inneren Wölbung

an der äusseren Wölbung

per

Quadratmeter

— 0,035 4057250 + 0,038 5793400

— 0,123 ; 1205800

— 0,043 I 3093200 + 0,053 | 5300700

6172350

3646600

7518200

5191200

2763300

1642550

411901

1730995

528143

477603

540778

Dividirt man die Biegungsmomente durch die correspondirenden

Normalpressungen, so ergibt dies die in der Colonne 5 angeführten Resultate, d. h. die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnitté-mittelpunkten.

Mit Hilfe der Formel in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment für einen Querschnitt und Q, I, v die Fläche, das Trägheitsmoment und die halbe Höhe des Bogenquerschnittes darstellen, erhält man die in den Colonnen 6 und 7 angeführten Pressungen per Quadratmeter an der inneren und äusseren Wölbung.

Berücksichtigt man, dass die Gitterstäbe aus Flacheisen bestehen und den Querschnitt 50 X 6 haben, und nennt man

to — 0,000300 die Querschnittsfläche der Gitterstäbe,

/ = 0,000073 das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes,

G = - (0,080 X 0,4002 — 0,072 X 0,384² — 0,008 X 0,274²) = 8

0,000198 das statische Moment des halben Bogenquerschnittes mit Bezug auf die Biegungsachse, d = 0,440 die Diagonale des Gitterwerkes in der Richtung der Bogenachse,

dy — 0,345 die andere Diagonale senkrecht auf diese Achse,

S = die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt, so kann man die Spannung’ per Quadratmeter in den Gitterstäben mit Hilfe der Formel

2 ho

= 2527. S

berechnen und gibt dieselbe die in der Colonne 8 enthaltenen Resultate.

7.    Tliatsäclilicli zu wählende Dimensionen. — Da die Spannung der Zugstangen per Quadratmeter kleiner ist als 6,000 000 Kilogramm und da die Pressung der Bögen überall weniger als 8,000 000 Kilogramm per Quadratmeter beträgt, so folgt daraus, dass die für die Berechnung vorausgesetzten Dimensionen definitiv anzunehmen sind.

Die Spannungen in den Gitterstäben sind nicht als sehr klein anzunehmen, denn diese Stäbe bestehen aus Flacheisen, deren Breite im Verhältnisse zur Länge sehr gering ist.

8.    Betrachtung des Falles, wo die Belastung nur auf einer Seite des Bogens stattfindet, und wobei man von dem permanenten Gewichte absieht. — Es betrage das auf den linken Bogen gleichförmig vertheilte Gewicht q Kilogramm per laufenden Meter, und es werde angenommen, dass der andere Bogen keine Belastung trägt,

(7,17 -f— 7,39) . q — 14,56 . q, und die Reactionen der Auflagfiächen sind:

selbst nicht sein Eigengewicht. Die Gesammtbelastung des Bundgespärres beträgt sodann

Rechts JR = 11,11 . q, Links R = 3,45 . q.

Wir nennen nun

h, gT₂ , gT₃ , qT₄ die Spannungen der Zugstangen für die linke Hälfte des Gespärres und

t{, t.₂, %, G die Spannungen der symmetrischen Zugstangen der rechten Hälfte.

Es ist wohl zu beachten, dass cT₂ und G dieselbe Spannung darstellt, denn sie beziehen sich auf dieselbe Zugstange; aber der Symmetrie halber ist es angezeigt, wieder die beiden verschiedenen Buchstaben beizubehalten.

Analog der Tabelle in Nummer 3 ist es nun leicht, die nachfolgende

zu bilden.

•4^3 — 3,72 . ty -f- 3,55 . ty — 32,76 . g My = 3,77 . ty -}- 7,00 . ty — 45,06 . g

= 3,09 . ty

— 20,98 . g

Mq = 0,06 . «J

Mj = 1,85 . ty

—    0,53. g

—    10,12 .g

0    M₀ = 0,06.3i

1    Ml = 1,85 . SJ

2    M₂ = 3,09 . SJ

3    — 3,72 .    -}- 3,55 . cij — 51,63 . q

4    4/4 = 3,77 .    -j- 7,00 .    — 46,35 . q

— 44,63 . q

-    1,67. g

—    26,98 . q

Quer

schnitte

Biegungsmomente

P₃ = 0,995 . ty —j— 0,174 . ty -j— 0,94.g Py = 0,998 . ty + 0,340 . ty -f- 0,35.g

P₂ = 0,964 . ty

P₀ =0,818 . ty Pj= 0,904 . ty

II. Rechter Bogen.

+ 2,49 .g + 2,02. g

P₀ = 0,818.3*1

P₁₌=0,904.3i

P₂ = 0,964.3*1

P₃ = 0,995.3i+ 0,174. Si + 0,08. q P₄ = 0,998. Si + 0,340. cT₄ — 0,33. q

I. Linker Bogen.

-f

®‘1Z‘Z +

.Normalpressungen

= 0,576 . ty = 0,425 . ty

0,262 . ty

—    2,48 .g

—    2,88. g

—    3,18.g

0,262    .    ty “j⁻ 1,000    . ty — 3,18. g

=    0,094    .    ty -{- 0,987    . ty — 3,39. g

—    0,075    .    ty -j- 0,942    . ty — 3,50. g

i* «§ö    & i* Jfc

0,576.0!

0,425. qTj '0,262.3*!

0,262.3*!-j-1,000. <+ — 3,55. g 0,094.3i+ 0,987.3*4 - 0,30. g - 0,075.3i + 0,9^2.3. -f 3,28. q

—    6,16. q

—    3,55 .q

— 7,86 .g

Schubkräfte

Die Deformationsarbeit des ganzen Gespärres — dividirt durch den 3,58

— wird ausgedrückt durch die Formel

Factor

2 EI

M\-i-4M\ + 2M\+4:M\ +    , I P\+±P\ + 2P\+±P\+P\

li

T-{

58 l

7,37.3% , 5,66.3²₂

W₄

7,42.3%    3,22.3y

W₃

Af²₀ + 4^+2ilT²₂ + 447% -j-lf% , IF\ + 4P% -f- 2P% + 4P%-f P%

7.37 ,£²

5,66. #².₂

%42 -*²3

3,22 . £ ²₄

3,58

«h

0)₂

w₃

Cü±

Substituirt man in dieser Formel für die Momente M, Mr und für die Pressungen P, P' deren Ausdrücke in Functionen von 3”,, 3₄, t]} t₄,

sowie für die Spannungen 32, 3₃, t₂, t₃ deren Werthe, wie sie durch die Gleichungen

3₂ = 0,784.3, + 1,498.3₄,    1

3g = 0,264.3₄ — 1,405.3₄, J t₂ = 0,784 . h -f- 1,498 .    |

«3 = 0,264 . #₄ — 1,405 . G, J gegeben werden, so erhält man die folgende Formel:

(5)

(6)

(7)

34,43 . (3% + t\) + 26,33 . (2 3₄ 3₄ + 2 tt «₄) -f 34,49 . (3²₄ + £²₄)

— (472,59.2.23;+ 287,11.₂.2*4)—(352,56.^.23₄+260,16.^.2«₄).

Da 3₂ und t₂ dieselbe Spannung darstellen, so ergeben die Gleichungen (5) und (6)

0,784.34 + 1,498.3₄ = 0,784 . f, + 1,498 . i₄,

und folglich

#i).

(8)

3₄ —1₄ = — 0,523 (3₄

Auf Grund dieser Beziehung zwischen den vier Unbekannten 3,, 3₄, 6, G, könnte man eine derselben aus der Formel (7) eliminiren und sodann die Differentialquotienten des sich ergebenden Ausdruckes mit Bezug auf die drei anderen gleich Null setzen. Aber man kann einen einfacheren Weg einschlagen, indem man wieder die Unbekannten ändert, und zwar indem man

^4 + G - Ti>

^4 — h = e₄

ÿ- _ r4 ~f~ 04

4_ 2 ;

h =

Substituirt man diese Werthe von f,, f4j tl} tA in die Formeln (7) und' (8), so erhält man

(34,43. t\ + 26,33. 2t₄ r₄ +34,49 . t²₄ — 759,70. q. 2z,—612,72. q. 2*₄) |

+| (34,43. 0²₄ + 26,33.2 6₄ 6₄ + 34,49. 0²₄ — 185,48. q. 2 0₄ — 92,40.q.2 0₄), I

0₄ = — 0,523.0₄.

Man muss nun aus der Formel (10) 0₄ eliminiren und sodann die Differentialquotienten des sich ergebenden Ausdruckes mit Bezug auf t₄, t₄ , 6t gleich Null setzen. Hiebei erkennt man leicht,* dass jener Theil des Ausdruckes (10), welcher rl und r₄ enthält, genau mit der in Nummer 4 erhaltenen Endformel für die Deformationsarbeit übereinstimmt, sobald man darin p = p{ = q macht; folglich erhält man die Werthe von rl und t₄ sogleich aus den Gleichungen (4), indem man darin p = pv = q setzt; es ist daher _ 20 372

t₄ = 2,212 . q.

Der zweite Theil des Ausdruckes, d. h. jener, welcher Ql und 04 enthält, ergibt nach Elimination von 0₄

- (16,32.0²₄ — 137,15 . g . 2 0₄ );

2

setzt, womit

2:4 — 0₄

(9)

}(10)

(H)

der Differentialquotient dieses Ausdruckes nach 0₄ gleich Null gesetzt und mit 2 multiplicirt, gibt

hieraus folgt und auf Grund der Gleichung (11)

04 ⁼⁼

16,32.0! — 137,15.2 = 0; 0₄ = 8,402 . q,

4,394. q.

Nachdem nun die Werthe von + , t₄, ß die Gleichungen (9) folgende Resultate:

ö₄ bekannt sind, geben

tY = 5,985 . g, ti = 3,306 . q.

=    14,387 . q,

i — — 1,087 . q,

Setzt man in diese Ausdrücke q — 225 und die erhaltenen Resultate sodann in die auf Seite 386 gegebene Tabelle, so erhält man folgende Resultate:

S; = 3237,

h — <Ä> = t₂ = 2171,

1347,

1199,

= — 690,

= — 245,

744.

Linkes Halbgespärre

Rechtes Halbgespärre

Quer

schnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Quer

schnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

CO

— 182

4284    + 96    0

38

1662 + 218

82

3903

10

+ 221

1672

76

39

3496

+ 49 — 196

— 558

1634

5    3    +244

+ 60    3073    +264    4    + 148

— 445

3196

1681

1676

f— 363

1+ 381

+ 98

— 188

9. Betrachtung des Falles, wobei man das permanente Gewicht berücksichtigt und eine nur linksseitige Belastung annimmt. — Dieser Fall lässt sich aus den beiden vorhergehenden durch einfache Addition und Substraction ableiten, indem man hiefür das Princip der Summirung der Wirkungen anwendet.

Man erhält also auf leichte Art die nachfolgenden Resultate:

Spannungen in den Zugstangen:

Rechts Ti- = ^2 °^2 —

t-

^ CO ■i—I CO iO i-O

Links

7032

T₂ — t₂ = 5887

r₃ — ą = — 384¹) 7j — Sj = 1239

— ta = 1505 r₄ —«4= 250

Linkes Halbgespärre

Rechtes Halbgespärre

M Querschnitte

Biegnngs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie des Druckes

CO

M Querschnitte

Biegungs

moraente

Normal-

CO    ¹

Pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie des Druckes

— 348    9386    + 432    — 0,037    0

+ 169    8523    — 87    +0,020    1

— 322

2    — 594    7796

72

— 204    6764    -f- 554

+ 472 6292    — 153

— 734 + 505 + 194

— 0,076    2    —1113    5934

3    —626    7266    + 91    —0,086    3    + 63    5751

4    +314    7033    +402    +0,045    4    + 402    5636

50

— 0,030 + 0,075

— 0,187

+ 0,010

+ 0,071

Der Vergleich dieser Resultate mit /jenen, welche in Nummer 5 und 6 erhalten wurden, zeigt, dass das grösste Biegungsmoment und die grösste Normalpressung im Falle der Belastung auf beiden Halbgespärren stattfinden.

Andererseits tritt die grösste Schubkraft in dem Querschnitte 3 jener Hälfte auf, welche keine Belastung trägt, wenn die andere Hälfte belastet ist. Die grösste Beanspruchung der Gitterstäbe in diesem letzten

Falle ist dann

2527 X 734 = 1,854,818,

d. h. kleiner als 2,000,000 Kilogramm per Quadratmeter.

10. Einfluss der Aenderungen der Temperatur. — In diesem Falle gilt dasselbe, was für das Bundgespärre System Poloneeau mit geraden Hauptsparren gesagt wurde.

¹

Man beachte, dass die Spannung I\ — qT₃ der rechten Zugstange, deren eines Ende mit dem Scheitel des Bundgespärres zusammenfällt, negativ wird. Indessen ist, da dieselbe sehr klein ist, kein Grund vorhanden, um die Disposition des Systems zu ändern, denn der Fall einer Maximalbelastung des linken Halbgespärres, während das rechte entlastet ist, tritt niemals ein. Andererseits ist es auf Grund des Principes von der Summirung der Wirkungen leicht, sich zu überzeugen, dass eine kleine Belastung des rechten Halbgespärres genügt, um die Spannung in der betrachteten Zugstange positiv zu machen.

8. Capitel.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit mehreren Zugstangen,

(Tafel VI.)

1.    Allgemeine Angaben.

. . 26ra,70

Lichte Weite zwischen den Pfeilern......

. . 0m,40 .    .    0m,40

. . 7m,20 . . 8m,00

Tiefe des Einlassens der Gespärre in die Mauer .    .

Länge der Auflagflächen..........

Pfeilhöhe der inneren Wölbung........

Entfernung der einzelnen Bundgespärre.....

Entfernung der Fetten, in der Bogenachse gemessen ....    lm,50

Die beiden Bögen und die Fetten sind aus Schmiedeisen; die letzteren bestehen aus zwei T-Eisen, deren unteres kreisförmig gebogen, deren oberes gerade ist und welche mit einander durch ein einfaches Gitterwerk verbunden sind.

Von den Pfeilern bis zu einer gewissen Höhe besteht die Bedachung aus Wellblech, in der oberen Partie aus Glas.

2.    Belastungen. — Da die Bedachung aus Wellblech ohne Holzverschalung leichter ist als jene der Oberlichte, so muss man diese Differenz in Berücksichtigung ziehen, indem man voraussetzt, dass erstere sich über die untere Hälfte jedes Halbgespärres und letztere Uber die obere Hälfte der beiden Bögen erstreckt. Auf diese Weise legt man der Berechnung ungünstigere Bedingungen zu Grunde, als thatsächlich vorhanden sind, denn die Oberlichte erstreckt sich nicht über die ganze obere Hälfte der beiden Bögen.

Geivicht per Quadratmeter Bedachung in der unteren Hälfte jedes

Halbgespärres.

Gewicht von 0in,60 hohem Schnee Wellblech ........

Fetten.........

60 KilogT.

11

12

Eigengewicht der Gespärre Windstreben.....

Summe zur Berechnung der Fetten .    .    . 83,00 Kilogr.

. 10,50    „

• 1,50    „

Summe zur Berechnung der Gespärre .    .    . 95,00 Kilogr.

Gewicht per Quadratmeter Bedachung in der oberen Hälfte jedes

Halbgespärres :

Schneedruck.......

Glas von 6 Millimeter Dicke . Sprosseneisen und deren Träger Fetten.........

.    60,00 Kilogr.

Eigengewicht der Gespärre Windstreben ....

Summe zur Berechnung der Fetten .    .    .    96,00 Kilogr.

10,50    „

1,50    „

Summe zur Berechnung der Gespärre

. 108,00 Kilogr.

Permanentes Gewicht Zufällige Belastung .

Last per Längenmeter der Bögen:

1. Für die untere Hälfte jedes Halbgespärres:

(95 _ 60) X 8,00 = 280 Kilogr. . .    60 X 8,00 = 480    „

.    . 760 Kilogr.

Summe .

2. Für die obere Hälfte jedes Halbgespärres:

(108 — 60) X 8,00 = 384 Kilogr. . .    60 X 8,00 = 480    „

Summe .    .    . 864 Kilogr.

Da sich diese Gewichte aus der Belastung, welche sich oberhalb der äusseren Wölbung der Bögen befindet, und aus dem permanenten Gewichte zusammensetzen, von welchem ein Theil beinahe mit der

Permanentes Gewicht Zufällige Belastung .

äusseren Wölbung correspondis , während der andere sich innerhalb derselben befindet, kann man annehmen, dass die Schwerpunkte der von den Bogenstiicken 0, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 3, 4 getragenen Gewichte mit den Mittelpunkten der äusseren Wölbungen dieser Bogenstücke selbst zusammenfallen.

3. Benennungen und allgemeine Formeln. — Wir nennen Tu T₂, 7 g, Ti die Spannungen in den Zugstangen und theilen die Gitterbögen zwischen den Versteifungsblechen am Fusse und am Scheitel in je vier gleiche Theile. Durch diese Theilungspunkte, deren einer in die Richtung der Zugstange Tx fällt, denken wir uns Querschnitte senkrecht auf die Bogenachse gezogen.

Es wird also jener Theil jedes Bogens, welcher aus einem Gitterwerk besteht, in vier Theile getheilt, welche in der Achse gemessen eine Länge von 3m,71, an der äusseren Wölbung gemessen eine solche von 3m,76 haben.

Die Reaction der Widerlager beträgt

R = 3,76 X 2 X 760 + (3,76 X 2 + 0,28) X 864 = 12454,40.

Für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, 3, 4 kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft berechnen; für den Querschnitt 1 erhält man z. B. folgende Formeln:

Mx = 1,98.7; — 3,03 . R + 3,76 X 760 X 1,68,

Px = 0,905 . Tx + 0,578 (R — 3,76 X 760),

6\ = 0,424 . Tx — 0,815 (R — 3,76 X 760),

worin 0,578 und 0,815 die Werthe des Sinus und des Cosinus des Winkels sind, welchen der Querschnitt 1 mit der Verticalen einschliesst (Tafel VI, Fig. 2), und 0,905 und 0,424 die Werthe des Sinus und Cosinus des Winkels, welchen derselbe Querschnitt mit der Richtung der Zugstange Tx bildet (Fig. 3).

Für die anderen Querschnitte erhält man ähnliche Formeln, nur muss man für die Querschnitte 2, 3 und 4 auch die Spannung der Zugstange Tx in Rechnung nehmen. Nach Entwicklung dieser Formeln in Zahlen lässt sich folgende Tabelle zusammenstellen, worin nur die Unbekannten 7) und Tx erscheinen.

4. Berechnung der Spannungen Tx und T₄. — Wenn man die Deformationsarbeit, welche der Verschiebung entspricht, und welche auf die Resultate der vorliegenden Berechnung einen unbedeutenden Einfluss hat, vernachlässigt; wenn man

Q und I die Fläche und das Biegungsmoment des Bogenquerschnittes,

iox, (0-2, w₃, m₄ die Querschnittsflächen und lx = 7,80, Z₂ = 2 X 5,85, l₃ — 7,80, Z₄ = 3,10 die Längen der Zugstangen nennt; wenn man ferner beachtet, dass die Länge der Stücke 0, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 3, 4 auf die Bogenachse bezogen, 3,68 beträgt, und wenn man der Kürze halber

]>] M² =

M\ + 4 M\ -f- 2 M\ 4- 4 M\ + M\

Ep2=

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normalpressiingen

Schubkräfte

tH

0 M₀ = 0,13 . ^ — 2488 1 My = 1,98 . Ty — 32936

P₀ = 0,824 . Ty 4- 8780 Py = 0,905 . Ty -f- 5547

S<s =

Si =

S₂ =

2 M₂ = 3,27 . Ty — 58064

P₂ = 0,965 . Ty + 2932

S₂={

CO

3,98 . Ty +

3,68 . ^ — 75440 4,07 . Tt +

7,26 Ti — 82000

P3

J 0,995. Ty +

~~ lo,165 . ^ + 970 0,997 . Ty -j-0,326 .Tt 4-    28

0,570 . Ty — 8892 0,424 . Ty — 7821 0,266 . Ty — 6065

0,266 . Ty +

1,000 . Ti — 6065 0,100 . Ty +

0,990 . Ti — 3352 -0,060.77 -f 0,950. Ti— 240

P\ + 4 P\ + 2P\ + 4 P\ + P\

l T²    7,80 . T\ , 5,85 . T\ , 7,80 . T\ 3,10 . T\

w₂

w₃

w₄

macht, so ergibt sich als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Systems die Formel

9 p3^68

“ \_2EI ^

3,68

2 EQ

3,68

welche, durch den Factor 2 X

dividirt — was jene Gleichungen nicht

2 EI

beeinträchtigt, welche man daraus ableitet, indem man deren Differentialquotienten nach Ti und T₄ gleich Null setzt — folgende Formel ergibt:

IX²+|l!P2+

V —

3,68 ^ co

Nimmt man als Querschnitt des Bogens jene Fläche, welche durch die Figur 6 (Tafel VI) dargestellt wird, und als Durchmesser der Zugstangen, in Millimetern ausgedrückt,

d₂ — 06,

dx = 60,

d₃ = 25,

d₄ = 22,

(1)

so erhält man

Q = 0,130 X 0,600 — 0,1205 X 0,579 — 0,0095 X 0,456 = 0,003898,

7= ~ (0,130 X 0,6003—0,1205 X 0,579»— 0,0095 X 0,4563) = 0,000315;

cox = 0,002827, co₂ = 0,002463, w₃ = 0,000491, co₄ = 0,000380,

und folglich

- = 0,0811,

- = 0,1114,    — = 0,1279,    — = 0,6415,    —=0,8289,

«h

CO ₄

V — = 0,2361. T\ + 0,2033. T\ + 1,3597 . T\ + 0,6982. T\. (2) 3,68 ^ co

Andererseits ergeben sich aus der in Figur 5 dargestellten Construction für das Gleichgewicht der vier Spannungen 7), T₂, T₃, 1\ in dem gemeinschaftlichen Angriffspunkte folgende Bedingungsgleichungen :

(3)

T₂ = 0,786 . Ti + 1,466 . T₄,

T₃ = 0,264 . Ti — 1,368 . T₄,

so dass man T₂ und T₃ aus der Formel (2) eliminiren kann, und hiedurch folgende Formel erhält:

7 T '2

3,68

V -— = 0,46 . T\ — 0,26. 2 T, T₄ + 3,68 . T\.

^ w

Substituirt man nun in ^ M² und ^ P² für M₀, My etc., P₀, I\ etc. deren Ausdrücke in Functionen von Ty und P4; wie sie in der Tabelle in Nummer 3 angeführt wurden, so erhält man

2 M² = 39,00 . T\ + 29,37.2 Ty P₄ + 35,62 . T\

— 725216.2 P₄ — 568592.2 P₄,

J] P² = 0,29 . P²₄ + 0,03.2 Ty P₄ + 0,01. T\

+ 1009.2P₄ + 13.2P₄;

aus Formel (1) wird somit

39,75 . T\ + 29,14.2 P₄ P₄ + 39,31. T\ — 724207.2 P₄ — 568579.2 P₄.

Indem man die Differentialquotienten dieser Formel nach Ty und P4 gleich Null setzt, erhält man die zwei Gleichungen

39,75 . P₄ + 29,14 . P₄ = 724207,

29,14 . Ty + 39,31. P₄ = 568579,

woraus

Ty 16689,68,

P₄ = 2093,04.

5. Grösste Spannung in den Zugstangen. — Substituirt man die Werthe von Tx und P₄ in die Formeln (3), so erhält man die Werthe der Spannungen P₂ und P₃, d. h.

P₂ = 16186,48,

T₃ = 1542,80.

Wenn man nun die Werthe für die Spannungen jeder Zugstange durch die betreffende Querschnittsfläche dividirt, erhält man die Spannungen in den einzelnen Zugstangen, wie folgt:

16689,68 0,002827 16186,48 ■

0,002463 1542,80 0,000491 2093,04 0,000380

für die Zugstange Ty . . .

für die Zugstange P₂ . . .

für die Zugstange P₃ . . .

, für die Zugstange P₄ . . .

= 5 903 000:

= 6 776 000:

= 3 142 000;

= 5 508 000.

6. Mittellinie des Druckes und grösste Beanspruchung der Bögen per Quadratmeter. — Wenn man in der Tabelle in Nummer 3 für Tx und Tx die in Nummer 4 gefundenen Werthe einsetzt, so erhält man für die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte in den Bögen die in den Colonnen 2, 3, 4 der nächsten Tabelle angeführten Werthe.

Durch Division jedes Biegungsmomentes durch die correspondirende Normalpressung erhält man die Zahlen der Colonne 5, welche die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten geben.

îO I l'rj

Mit Hilfe der Formel

in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment eines Querschnittes und Q, 1, v die Fläche, das Trägheitsmoment und die halbe Höhe dieses Querschnittes darstellen, erhält man die in Colonne 6 und 7 angeführten Zahlen, welche die Pressung per Quadratmeter an der inneren und äusseren Wölbung der Querschnitte O, 1, 2, 3, 4 ausdrücken. Beachtet man schliesslich, dass die Gitterstäbe aus Flacheisen vom

Querschnitt

to = 0,050 X 0,006 = 0,000300 bestehen, und dass dieselben Rhomben bilden, deren Diagonalen d — 0,660 und d' = 0,530

sind, und berechnet man für den Bogenquerschnitt die Grösse

-(0,130 X 0,602 — 0,1205 X 0,5792 — 0,0095 X 0,456²) = 0,000803, 8

so erhält man, da das Trägheitsmoment dieses Querschnittes

7=0,000315

ist, für einen beliebigen Punkt der Bögen die Pressung oder Spannung in den Gitterstäben per Quadratmeter mit Hilfe der Formel

G SY d* + d'2

2 ho

= 3494,66 . S,

worin S die Schubkraft in dem betrachteten Querschnitte bezeichnet.

Alle Resultate dieser Berechnung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

O m Querschnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes¹)

CO

Pressung per Quadratmeter

Spannung

der

an der inneren Wölbung

an der äusseren Wölbung

Gitterstäbe

per

Quadratmeter

— 318    22532    + 621    — 0,014    5 477 600    6 083 200    2 170 180

+ 110    26651    — 745    +0,004    6 905 500    6 696 500    2 603 480

4 280 400

—1626 + 476

— 1313    17922    + 390    —0,073    3 345 600    5 850 000    1 362 900

+ 1122    17350    + 747    +0,065    5 521 700    3 384 500    2 610 460

— 3489    19038

— 0,183    1 696 000    8 072 000

1 663 470

Man sieht also, dass die grösste Pressung des Eisens in dem Querschnitte 2 stattfindet, und dass dieselbe 8 072 000 Kilogramm per Quadratmeter beträgt.

Die grösste Pressung oder Spannung der Gitterstäbe findet auch im Querschnitte 2 statt und ist deren Werth 4 280 000 Kilogramm per Quadratmeter.

Man kann also den Schluss ziehen, dass das Gespärre sowohl in ökonomischer Beziehung, als auch in Bezug auf dessen Festigkeit vollkommen entsprechend construirt ist. ²)

9. Capitel.

Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren mit mehreren Zugstangen.

(Tafel VII.)

1. Allgemeine Angaben (Fig. 1). — Die Bundgespärre stutzen sich einerseits auf die Mauer, andererseits auf gusseiserne Säulen.

. 30“,00 . 5 “,50 . 23 “,068

Entfernung von der Mauer bis zur Mitte der Säulen .    .    .

Pfeilhöhe der inneren Wölbung..........

Halbmesser derselben..............

Halbmesser jenes Kreises, welcher das Polygon der Zugstangen

. 70 “,645 . 3 “,800

umschreibt........

Entfernung der einzelnen Bundgespärre Entfernung der Fetten, in der Bogenachse gemessen, .    .    .    1“,356.

2. Belastungen. — Die Bedachung der Halle besteht aus verzinktem Wellblech von 1““,25 Dicke, welches direct auf die Fetten befestigt ist; hievon ist jener Theil am Scheitel auszunehmen, welcher die Oberlichte bildet.

Das Gewicht per Quadratmeter ist wohl für die Bedachung der Oberlichte etwas grösser als jenes der Bedachung durch Wellblech; man kann dasselbe aber als gleich betrachten, indem man überall eine etwas grössere Belastung wählt, als streng genommen angenommen werden müsste.

Das Gesammtgewicht der Bedachung per Quadratmeter ergibt sich aus folgender Zusammenstellung:

Schnee- und Winddruck .    .    .    .

Wellblech von 1 mm,2ö Dicke .    .

Fetten ....

70 KilogT.

14

18

Summe zur Berechnung der Fetten .    .    .102 Kilogr.

Gewicht der Gespärre , auf einen Quadratmeter der Bedachung bezogen,.............1    „

Windstreben................ „

Summe zur Berechnung der Gespärre .    .119 Kilogr.

Da die Entfernung zwischen den Gespärren 3m,80 beträgt, so ist die Last per laufendem Meter

119 X 3,80 = 452,20 Kilogr.

3. Berechnung der Bundgespärre, wenn eine Belastung sowohl der linken, als auch der rechten Seite stattfindet. — Benennungen und allgemeine Formeln. — Der Halbbogen 0, 6 (Fig. 2) wird durch die Querschnitte 1, 2, 3, 4, 5 in sechs gleiche Theile getheill, welche, in der Achse gemessen, eine Länge von 2m,713 haben. Jeder Theil trägt eine Last von

452,20 X 2,713 = 1226,82 Kilogr.,

deren Schwerpunkt als im Mittelpunkte des Bogens befindlich gedacht werden kann, wie dies auch aus dem Aufrisse zu ersehen ist.

Die verticale Reaction jedes Auflagers ist gleich der Hälfte des von dem Bundgespärre getragenen Gewichtes, so dass dessen Werth

1226,82 X 3 = 7360,92 Kilogr. beträgt.

Wir nennen nun Tlf T₂, T₃, . . . T₉ die Spannungen der Zugstangen, wie dies in Figur 2 angedeutet ist.

Da die Reaction der Auflagflächen und das Gewicht, durch welches das Bundgespärre belastet wird, bekannt sind, kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 in Functionen dieser unbekannten Spannungen ausdrücken. Die Figur 2 (Tafel VII) gibt die Hebelarme der Reaction der Auflager, der Gewichte und der Spannungen der Zugstangen in Bezug auf die Mittelpunkte dieser Querschnitte; Figur 3 gibt den Sinus und den Cosinus des Winkels, welchen die Verticale, d. h. die Richtung

der Reactionen und der Gewichte mit den betrachteten Querschnitten einschliesst; Figur 4 gibt den Sinus und Cosinus der Winkel, welche die zwei Zugstangen T₂ und T. mit den Querschnitten 0, 1, 2 bilden; Figur 5 gibt den Sinus und Cosinus der Winkel, welche die zwei Zugstangen und T-j mit den Querschnitten 2, 3, 4 bilden; endlich gibt Figur 6 den Sinus und Cosinus der Winkel, welche die zwei Zugstangen I\ und T₉ mit den Querschnitten 4, 5, 6 bilden.

Mit allen diesen Elementen kann man ohne Schwierigkeit die auf Seite 402 befindliche Tabelle zusammenstellen.

In dieser Tabelle ist zu beachten, dass man für jeden der Querschnitte 2 und 4, für die Normalpressung und für die Schubkraft je zwei Werthe erhält. Dies rührt daher, dass, wenn auch die Normalpressung und die Schubkraft in den Bogenstücken 0, 2; 2, 4; 4, 6 con-tinuirliche Functionen sind, bei dem Uebergange von einem Stücke zum anderen eine plötzliche Aenderung stattfindet, und zwar in Folge der in den Punkten 2, 4, 6 einlaufenden Zugstangen. Dieselbe Ursache ändert die Biegungsmomente aber nicht plötzlich, denn die mit dem Bogen verbundenen Zugstangen kommen in den Mittelpunkten der Querschnitte 2, 4, 6 zusammen, so dass z. B. die zwei Spannungen Th und Tf) bezüglich des Querschnittes 2 kein Moment geben.

Die drei in dem Punkte B (Fig. 2) wirkenden Spannungen müssen sich das Gleichgewicht halten, desgleichen die im Punkte C wirkenden vier Spannungen, sowie die anderen im Punkte D zusammenkommenden Spannungen. Die in den Figuren 7, 8, 9 dargestellten graphischen Constructionen dienen dazu, Tx und Th in Functionen von T₂₎ T?I und Tn in Functionen von T₂ und T₃, und schliesslich TH und T{) in Functionen von To und TĄ auszudrücken; man erhält also folgende Formeln:

-    1,0    • T„

=    0,0    . T₂,

T,=

T₉ =

Ta — — 0,780 . T₂ -f- 0,825 . Tz, 0,635 . T₂ — 0,ölb . T₃, Ts = — 0,835 . Tz + 0,880 . Tif 0,834. T, — 0,785. T,.

Ci

O*

tf-

iS

Quer

schnitte

— 53 354

M₅ = 3,75 . 1\ 4 2,20 . P₉ - 51 686

Mi = 3,47 . T₂

— 46 815

Mi = 2,88 . r₃ + 1,84 . P₇ — 38 804

Z1 ' II*?, = lw

— 28 168

M, = 1,15 . T₂ + 0,95 . P₅ — 15 372

= n/tr

Biegungsmomente

736

P₆ = 1,000 . Ti + 0,540 . P₉

P₅ = 0,990 . Ti + 0,630 .    + 141

I\' == 0,970 . Ti + 0,720 . P₉ + 574

fLQ 4- LX ' 869‘0 4-    • 886*0 = VJ

P₃ = 0,960 . T₂ + 0,770 . P₇ + 1259

8or.r. -f- li * sts‘o 4- ?\L • r-r,6‘o = -zj

P₂ = 0,914 . T₂ + 0,950 . P₅ + 2208

P, = 0,904 . T₂ + 0,955 . P₅ + 3386

P{) = 0,848 . T₂ + 0,982 . P₅ + 4748

Normalpressungen

= ⁹P

0,840 . Tr,

&> = — 0,115 . Ti + 0,775 . Tr, + 1217

SAf = — 0,225 . 1\ + 0,690 . P₉ + 2390

S₃ — — 0,272 . T₂ + 0,635 .    + 3467

Si = — 0,165 . T₃ + 0,715 . P₇ + 2390

s₂. = — 0,385 . rĄ + 0,540 . P₇ + 4407

S₂ = — 0,320 . T₂ + 0,402 . T₅ + 4407

St= — 0,430 . T₂ + 0,295 . 1\ + 5134

So == — °,530 . T₂ -(- 0,180 . T₅ + 5638

Schubkräfte

In nebenstehender Tabelle kann man für Ts> Tn, T(J deren Ausdrücke in Functionen von T₂, TZ) Tx substituiren und gelangt sodann zu der auf Seite 404 befindlichen Tabelle, in welcher nur die drei unbekannten Spannungen T₂, Tz, Tx enthalten sind.

indem man nur jenen Theil vernachlässigt, welcher

4. Bestimmung der Unbekannten T₂, T₃, T₄. — Nennt man & die Fläche und I das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes, w₁, co₂, w₃, ... a>d die Querschnittsflächen der Zugstangen, und beachtet man, dass die sechs Bogenstücke 0, 1; 1, 2; 2, 3; ... 5, 6 eines Halbbogens in der Achse eine Länge von 2m,713 haben, und dass man die Längen aller Zugstangen der Zeichnung entnehmen kann, so erhält man sodann als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Bundgespärres

den Schubkräften entspricht und welcher nur einen unbedeutenden Einfluss auf die Bestimmung der unbekannten elastischen Kräfte hat — folgende Formel:

wobei

2,713

2 EQ

(2)

_    + 2M\ -f- 4M\ + 2M²₄ + 4M\ -f- M\

SP2

p\ + ±p\ + p\ , pv+4P2₃+p²4 , py+4P²₅+n

3 ........

2,510. T\

l T2    2,510 r T\

5,020. T\

5,020. T\

(3)

ü)₂

Cüz

3,210. T\

3,425. T\

4,240. T 2

1 _i_

4,370. T\

4,630. T\

O»;

w₈

*>9

Behufs Bestimmung der Werthe der Unbekannten T₂, Tz, 1\ muss man die Differentialquotienten der Formel (2) mit Bezug auf diese Grössen gleich Null setzen; man sieht aber, dass man in diesem Falle zu den gleichen Resultaten gelangt, wenn man statt dem Ausdrucke (2) jenen

2,713

2 EI

nimmt, welcher erhalten wird, indem man diesen Ausdruck durch 2 X dividirt, d. h.

Ci

Ox

00

tO

Quer

schnitte

*iZ’086*8 —

— 53 354

M₅ = 1,886. Ą +2,023.r₄ —61 686

— 46 815

M₃ = 1,168. T₂ +1,822. T₃ - 38 804

M₂ = 2,170. T₂

— 28 168

Mx = 1,235.7^.........— 15 372

= °W

Biegungsmomente

736

PG = 0,450 . T₃ + 0,576 . P₄

P₅ = 0,525 . T₃ + 0,495 . P₄ + 141

P₄. = 0,600 . T₃ + 0,405 . P₄ + 574

P₄ = 0,443 . T₂ + 0,587 . P₃ + 574

P₃ = 0,489 . T₂ + 0,517 . P₃ + 1259

\P₂, = 0,535 . T₂ + 0,438 . T₃ + 2208

P₂ = 0,999 . T₂

P, = 0,990 . P₂

P₀ — 0,936 . r₂

Normalpressungen

+ 2208

+ 3386

+ 4748

Sq = +* 0,701 . T₃ — 0,659 . T₄

S₅ = + 0,646 . T₃ - 0,723 . P₄ + 1217

\St' = + 0,575 . P₃ — 0,767 . P₄ + 2390

St = + 0,454 . T₂ — 0,576 . T₃ + 2390

S₃ = + 0,403 . T₂ — 0,637 . P₃ + 3467

S₂' — + 0,343 . T₂ — 0,695 . P₃ + 4407

S₂ = — 0,284 . T₂

Sx = — 0,403 . 1\

= — 0,514 . T₂

Schubkräfte

+ 4407

+ 5134

+ 5638

L_ vfü

(4)

2,713 ^ w

Wir substituiren nun für 4f₀, Mr etc., P₀, 1\ etc., deren Ausdrücke in Functionen von P₂, P₃, P₄, wie sie in der Tabelle auf Seite 404 gegeben werden, und für TX) 71, P₆, T₁, P₈, P₉ deren Ausdrücke in Functionen der gleichen Unbekannten und nehmen an, dass der Bogen den in Figur 10 (Tafel VII) dargestellten Querschnitt habe, und dass die Zugstangen folgende Durchmesser haben:

d{ = d₂ = d-₆ = di = 0m,060, d- = 0m,024, dG — d₇ = d^ = dä — 0m,020.

Wir erhalten demnach

Q == 0,12 X 0,175 — 0,104 X 0,155 = 0,00488,

12

1 = — (0,12 X 0,1753 — 0,104 X 0,1553) = 0,00002132,

oj{ = co₂ — (od = w₄ = 0,002826,

co. = 0,000452, o)q — to^ —    — (Oq — 0,000314;

und folglich

]►] Jf2 = 6,9918 . T\ H- 16,9431. T\ + 10,5788 . T\ + 2,8375.2 P₂ T, + 4,9496.2 Tz P₄ — 126493. 2 P₂ — 329025.2 P₃

—    209130.2 T₄,

J] P² — 0,0107 . P22 + 0,0048 . T\ + 0,0022 . P²₄ _j_ 0,0022.2 P₂ P3 + 0,0023. 2 P₃ P₄ + 35,14.2 P₂ + 6,67. 2 P₃ + 0,75.2 P₄,

I sr\ l T 2,713 ^ to

= 0,1169 . T\ + 0,2638 . T\ + 0,1625 . T\

—    0,0938.2 P₂ P₃ — 0,1559. 2 P₃ P₄.

Der Ausdruck (4) wird somit

7,1194 . T\ + 17,2117 . T\ + 10,7435 . T\ + 2,7459.2 P₂ P3 + 4,7960.2 P₃ P₄ —126458.2 P₂ — 329018. 2 P₃ — 209129.2 T₄,

und, indem man die Differentialquotienten hievon mit Bezug auf P₂, 1\ T, gleich Null setzt, erhält man die Gleichungen

Setzt man nun die oben erhaltenen Werthe von T₂, T3} TA in die auf Seite 404 gegebene Tabelle ein, so erhält man für das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in den Querschnitten 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 die in den Colonnen 2, 3 und 4 der nachfolgenden Tabelle angeführten Werthe.

Die Division der Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen ergibt die Entfernungen der Druckmittelpunkte von

P Mv

Q ± ~T*

7,1194 . T₂ + 2,7459 . T₃ — 126458 = 0,

2,7459 . T₂ + 17,2117 . T₃ + 4,7960 . Tx — 329018 = 0, 4,7960 . T₃ + 10,7435 . T₄ — 209129 = 0;

hieraus ergibt sich

T₂ = 12619,

= 13511.

I₃ = 13338,

5. Spannungen per Quadratmeter in den Zugstangen und im Bogen.

Formeln (1), so erhält man

Tx = 13528,

7; =    344,

und folglich für die Spannungen per Quadratmeter die Werthe

Substituirt man diese Werthe von T₂, T3} Tt in die

T₅ = 1136, T₈ = 752,

r₆ = ii6i,

T₉ = 518,

= 4 787 000,    —= 4 465 000, -Ł = 4 719 000

0)l

tü₂

0J₃

= 4 781 000,

T,

^=2 512 000,

= 3 697 000,

= 1 095 000,

s s s

OD QO O*

to₆

= 2 396 000,    ^4 ₌ i 648 000.

COg

den Querschnittsmittelpunkten, worauf man die Mittellinie des Druckes zeichnen kann.

Mit Hilfe der Formel worin die Buchstaben die bereits wiederholt angegebene Bedeutung haben, erhält man die Pressung per Quadratmeter sowohl an der inneren als auch an der äusseren Wölbung des Bogens in den Querschnitten 0, 1, 2 etc., wie dies in den Colonnen 6 und 7 angegeben ist.

Ist ferner

S die Schubkraft in einem beliebigen Querschnitte des Bogens,

I — 0,00002132 das Trägheitsmoment dieses Querschnittes,

G = - (0,12 X 0,175² — 0,104 X 0,155²) = 0,000147 das statische

8

Moment des halben Bogenquerschnittes in Bezug auf die Biegungsachse,

s = 0,008 X 2 = 0,016 die gesammte Dicke des Querschnittes in der Biegungsachse, d. h. die Summe der Eisenstärken der beiden C-Eisen, welche den Bogen bilden;

so berechnet man die grösste Tangentialkraft per Quadratmeter in den Querschnitten 0, 1, 2 etc. des Bogens mit Hilfe der Formel

SG

sl

= 431 . S,

was die in der Colonne 8 der folgenden Tabelle ausgewiesenen Werthe ergibt.

m Querschnitte

Biegungs-

tsD

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes³)

CO

ft

• Pressung per Quadratmeter

Spannung

der

an der inneren Wölbung

an der äusseren Wölbung

Gitterstäbe per Quadratmeter

2    — 784

4    — 531

181 600 f+ 6 253 400 f+ 354 713 184 500 1+6 250 500 1— 230 585

f— 0,037 j+ 688 500 r+5 046 900 f+ 187 916 1- 0,037 1+ 699 700 1+5 058 100 1— 131024

+ 0,009 +3 339 300 +2 329 700 + 28 015 _ 0,028 + 1 224 200 -4- 4 425 400 + 192 226

¹

Die Mittellinie des Druckes wird durch Figur 7 auf Tafel VI dargestellt.

²

Es wurde nicht für nothwendig befunden, auch in dieser Betrachtung den Fall zu untersuchen, wo sich die Belastung nur auf einem Halbbogen befindet, denn es folgt aus der früheren Betrachtung eines Gespärres derselben Type, dass im Allgemeinen in diesen elastischen Systemen die grössten Beanspruchungen im Falle der completen Belastung grösser sind als jene, welche auftreten, wenn die Belastung nur auf einer Seite stattfindet, mit Ausnahme der Gitterstäbe, für welche die Beanspruchungen im letzteren Falle grösser sein können; jedoch zeigen dieselben so kleine Differenzen, dass man dieselben ausser Berücksichtigung lassen kann.

Bezüglich der Aenderungen der Temperatur wurde schon in dem vorhergehenden Capitel erwähnt, dass dieselben auf diese S3Tsieme keinen Einfluss haben, sobald diese Aenderungen für alle Theile gleich sind.

³

Die Mittellinie des Druckes für das vollständig belastete Bundgespärre wird in Figur 11 durch eine continuirliche Linie dargestellt.

6. Thatsächlich zu wählende Dimensionen. — Da, wie aus

der vorhergehenden Tabelle folgt, die grösste Pressung im Bogen 6 414 500 Kilogramm per Quadratmeter beträgt, kann man als Querschnitt des Bogens endgiltig jene Fläche annehmen, welche für die Berechnung vorausgesetzt wurde.

Bezüglich der Zugstangen sieht man, dass deren Spannung geringer als 6 Kilogramm per Quadratmillimeter ist, so dass man deren Durchmesser etwas kleiner halten kann. Nichtsdestoweniger ist es angezeigt, diese Réduction nur für jene Zugstangen zu machen, welche das innere Polygon bilden, denn die anderen haben so wie so schon kleine Durchmesser. Indem wir also dy = d₂ = d₃ = di = 0m,054

wählen und folglich

ioy = co % = to₃ = toi = 0,002290

ist, ergeben sich die Spannungen der Zugstangen des inneren Polygons per Quadratmeter wie folgt:

Ty

= 5 908 000,

vO

3    ^

04    04

>o

CO

14

.4-

cT

lO

7. Betrachtung des Falles, wo nur die linke Hälfte des Bundgespärres belastet ist und wobei man von dem permanenten Gewichte ganz absieht. — Nachdem vorausgesetzt wurde, dass die zufällige Belastung 70 Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung beträgt, und da die Entfernung zwischen den Bundgespärren 3m,80 ist, so folgt daraus, dass die Belastung per Längenmeter des Bogens

70 X 3,80 = 266 Kilogr. beträgt.

Wir nehmen an, dass diese Belastung sich nur auf dem linken Halbbogen vorfindet, und dass es die einzige Last ist, welche das Bundgespärre zu tragen hat, indem von dem permanenten Gewichte vollkommen abgesehen wird.

Um in diesem Falle die Reactionen der Auflager zu bestimmen, nennen wir B die Reaction des linken und r jene des rechten Auflagers und beachten, dass, wenn man das Bundgespärre als frei annimmt, die

Summe der Gewichte, durch welche dasselbe belastet wird, gleich sein muss der Summe der Reaetionen R und r, und dass die Summe der Momente dieser Gewichte in Bezug auf einen beliebigen Punkt, z. B. in Bezug auf den Mittelpunkt des Querschnittes 6 gleich sein muss der Summe der Momente dieser Reaetionen (wobei wohl darauf zu achten ist, dass eines dieser letzteren Momente ein negatives Zeichen erhalten wird).

Man hat also die zwei Gleichungen

R + r = 266 X 2,713 X 6 = 4330,

(R — r) 15,05 = (1,36 + 4,05 + 6,67 + 9,23 +11,63 + 13,87) 266 X 2,713,

R = 3288 Kilogr.

woraus

r = 1042 Kilogr.

Wir nennen nun für den in Betracht gezogenen Fall der Belastung die Spannungen in den Zugstangen des linken Halbgespärres

&lf    S's;

und jene des rechten Halbgespärres

h> X X X X X X X X

wohl beachtend, dass sich die gleichen Indices auf symmetrische Zugstangen beziehen, und dass sie den für den Fall der vollständigen Belastung gewählten Indices entsprechen.

Es ist ferner zu beachten, dass rI\ und ti ein und dieselbe Spannung vorstellen, nachdem sie sich auf dieselbe Zugstange beziehen; für die Symmetrie der Formeln ist es jedoch nützlich, diese beiden Buchstaben beizubehalten.

Nachdem man die beiden Reaetionen R und r, sowie die Gewichte kennt, durch welche das linke Halbgespärre belastet wird, kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für die Querschnitte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 des rechten Halbbogens sowohl, wie auch des linken leicht berechnen.

Aus diesen Resultaten kann man eine Tabelle zusammensetzen, deren beide Theile 'sowohl untereinander, als auch mit der in Nummer 3 gegebenen ersten Tabelle durch die von den Spannungen unabhängigen

Glieder verschieden sind; während jene Glieder, welche die Spannungen enthalten, noch dieselben Coëfficienten haben und sich nur durch die Aenderung von T in 3" und von T in t unterscheiden.

Da man andererseits die zwei folgenden Serien von Gleichungen hat:

1,072. ci₂,

0,090. gT₂,

(5)

—    0,780 . oT₂ + 0,825 . cT₃,

0,635 .    — 0,575 . cT₃,

—    0,835 .    -j- 0,880 . c^₄,

0,834. oT₃ — 0,785 . cT₄,

1,072. «j, 0,090. t₂,

4 —

«e = — 0,780 . t₂ + 0,825 . ft,,

0,635 . t₂ — 0,575 . t₃,

h —

t₈ = — 0,835 . t₃ + 0,880 . i₄,

(6)

tç, -

0,834 . «g — 0,785 . tif

so kann man in den Formeln, welche sich anf den linken Halbbogen beziehen, gT₅, cT₇, Sv, and in jenen bezüglich des rechten Halbbogens th} t1} t₉ eliminiren ; dies gibt nebenstehende Tabelle, deren zwei Theile von der am Ende der Nummer 3 gegebenen Tabelle durch die vollkommen numerischen Glieder differiren, während jene Glieder, welche die Spannungen enthalten, dieselben sind, mit Ausnahme des Wechsels von T in % und von T in t. Dies zeigt uns, dass behufs Zusammenstellung der neuen Tabelle es nur nothwendig ist, die vollkommen numerischen Glieder zu berechnen, da sich die anderen aus der am Ende der Nummer 3 gegebenen Tabelle ableiten lassen.

Die Deformationsarbeit des linken Halbgespärres wird ausgedrückt durch die Formel

wobei

2,713

2 EI

2,713 2 EI l (g-2 _|_ t1)

(S^+Sp'²)

(?)

10

-f- 2519 4-2148

Schubkräfte

£₀ = — 0,514 S“2 Ą = —0,403 eT2 f Ä₂ = — 0,284 cT₂

\ S₂> = 4- 0,343 ob₂ — 0,695 qT₃ 4- 1657

5₃    — 4- 0,403 §T₂ — 0,637 cT₃ + 1058

5₄    = 4- 0,454 o^2 — 0,576 ST₃ -f- 391 Sf = 4- 0,575 Si — 0,767 oT, -f- 391

5₅    = + 0,646 S*₃ — 0,723 cT₄ — 318 $g ⁼ 4“ 0,701 ci₃ — 0,659 cT₄ — 1042

4-1657

4- 798 -J- 872

-f 936

S'g = — 0,514 . t2 S’4 = — 0,403 . t2 (S'₂ = — 0,284 . t₂

l^V = 4- 0,343 . t₂ — 0,695 . t₃ 4- 936 Ä 3 = 4- 0,403 . t₂ — 0,637 . <₃ -4- 982 '£'4 = 4“ 0,454 . t₂ — 0,576 . t₃ -f 1015 S\> = -f 0,575 . t₃ — 0,767 . «₄ + 1015 S'5 = 4- 0,646 . t₃ — 0,723 .    -f.    1034

S' g = 4- 0,701 . % — 0,659 . tA + 1042

N ormalpressungen

I. Linker Halbbogen.

Biegungsmomente

a^îiuqos

-.19TlÇ)

P'o = 0,936 . t₂..........-j-    672

P'j = 0,990 . t₂......... -f-    575

|P'₂ = 0,999 . ü₂..........+    469

\P ₂' — 0,535 . t₂    -j- 0,438    .    t₃    4-    469

P's = 0,489 . t₂    + 0,517    .    <₃    -f-    356

f P\ = 0,443 . t₂    4- 0,587    .    t₃    -f    243

\p'₄' = 0,600 . t₃    4- 0,405    .    tÎ₄    4-    243

P's = 0,525 . t₃    -j- 0,495    .    «₄    +    120

P'g = 0,450 . <₃    -f 0,576    .    «₄

4- 830

P₀ = 0,936 oT2 Pi = 0,990 P₂ = 0,999 ^

P₂> = 0,535 o^2 ~f~ 0,438 oi₃ -J- 830 P₃ = 0,489 qT₂ + 0,517 g'g -f- 384 f p₄ = 0,443 3~2 4- 0,587 eT₃ -f 94 l P₄' = 0,600 «T₃ + 0,405 S"₄ -f 94 P₅ — 0,525 eT₃ -f- 0,495 S"t —    37

1\ = 0,450 S'g + 0,576 ST₄

II. Rechter Halbbogen.

4-2121 4- 1417

329

6677

— 11787

^0 =........

4/j = 1,235 eT₂

4/2 = 2,170^2

44 = 1,168 0₂ 4- 1,822 cT₃ — 15459 4f₄ = 3,470 oT₃

4/₅ = 1,835 oT₃ + 2,023 ST₄ — 17556 4/g = 3,920 «T₄

— 17452

— 15692

104

2365

4783

M'o =........

Afj = 1,235 . t₂

M\ = 2,170 . <₂

M'₃ = 1,168 . t₂ -j- 1,822 t₃ — 7367 M\ = 3,470 . t₃

M'₅ = 1,835.^ 4-2,023 «₄ — 12848 M'g = 3,920 . «₄

— 10087

— 15692

AP

^M'* =

M\ + 4 M'\ 4- 2 M\ + 4 M\ +2 M\ + 4 M\ + M\ ]

3    ;

M’\ -{-4 M+ 2 M + 4 M‘+ 2 M‘+ 4 AT²₅ + 7>P²₆

P²₀+4P²₁+P²₂    P V + 4P²₃+P²₄    P24> + 4P25+P2₆

PVMPVF²    P'2.;, -|~4P'2g —|—P'24 | P'2₄, ₊ 4P'2₅₊P'2₆

Z (gp2 -f p) _ 2,510 (S^ + +)    5,020 (ß>\ + t\)

(8)

W₂

5,020 (g^+t*,) , 2,510 (H + «2.) ^ 3,210 (g\ + <»,)

£0,

3,425 (q7²₆ + t\)    4,240 (cT²₇ -f- G²₇)    4,370 (qT²₈ -f- P₈)

w₀

«s

4,630 (qT²₉ -f- P₉)

OAj

Zur Bestimmung der unbekannten Spannungen kann man die

2,713

Formel (7) durch den numerischen Factor folgende Formel erhält:

2 EI

dividiren, wodurch man

2 .1/2 + ^ .W* + |( 2 P,,+ S P4 +

2,713

Nun substituirt man in den ersten vier Formeln (8) für M{i, M-M₂, . . ., M₀, M ₄, M₂, . . ., P₀, P\, Pi> •• •> P Ausdrücke aus der vorhergehenden Tabelle; sodann eliminirt man mit Hilfe der Gleichungen (5) und (6) in der fünften Formel die Grössen cTi, eT₅, cT₆, . . ., t1; tb, t₆, . . schliesslich substituirt man die so erhaltenen Resultate in die Formel (9) und erhält:

7,1194 (5\ + t\) + 17,2117    + t\) +10,7435    + t\)

H- 2,7459.2 (gT₂ cT₃ + t₂ 1₃) + 4,7960.2 (cT₃ ST₄ + *₃ i₄)

—    (52107.2 ^ + 22280.2 G) —(120 879.2 & +72 665.2 g)

—    (6T873.2 Si+ 55 147.2 G).

0;

i;

P'i, P'₂, . . . deren

(10)

Es ist hiebei wichtig zu bemerken, dass die Coëfficienten der Glieder zweiten Grades in Bezug auf die Spannungen in dieser Formel wie in jener in Nummer 4 erhaltenen gleich sind; dies zeigt, dass man, um obige Formel zu erhalten, nur die Glieder, welche bezüglich der Spannungen ersten Grades sind, zu berechnen hat, welche Operation kurz und einfach ist.

Nunmehr muss man die Differentialquotienten der Formel (10) mit

^=tt=-é

$3 + h — ^3; % ⁼⁼ % 5

+ G — T1) + t₂ = Q₂₎

Bezug auf die Unbekannten, welche sie enthält, gleich Null setzen, indem man hiebei beachtet, dass + und t₄ dieselbe Spannung vorstellen. Zur Vereinfachung ändern wir aber die Unbekannten, und zwar in folgender Weise:

dies ergibt

t₂-\-Q₂

t₂ —

T₂ - Oj

^3

+ 63

^3 — 63

(11)

^4

*4

to I,?

und ferner

+ t\ =

*²2 + G²2

$\ + t\ = T-±

2 (cT₂ qT₃ + t₂ t₃) = t₂ t₃ + 6₂ 6₃,

2 (S'g qT₄ + *3 *₄) = r₃ r₄.

Die Substitution in die Formel (10) ergibt sodann

1    f 7,1 194. r\ + 17,2117. t²₃ +10,7435. r\ + 2,7459.2t₂t₃ + 4,7960.2t₃ t₄

2    l    — 74387.2t₂ — 193544.2t₃ — 123020.2t₄

1 f 7,1194.6\ + 17,2117.6²₃ + 2,7459.26₂ 6₃ — 29 827.202 ⁺ 2 I    — 48 214.2 6₃

Die Differentialquotienten dieses Ausdruckes mit Bezug auf t₂, t₃, t₄, 0₂, 0₃, müssen nun gleich Null gesetzt werden, wodurch sich fünf Gleichungen ergehen, von welchen die ersten drei zur Bestimmung von t₂, t₃, t₄ dienen, während die zwei letzten 6₂ und 6₃ zur Kenntniss bringen.

Aus dem Principe der Summirung der Wirkungen resultirt, dass, wenn man das Bundgespärre sowohl auf der linken als auch auf der rechten Hälfte belastet voraussetzt, indem man von dem permanenten Gewichte absieht, die Zugstangen B C, CD, DE die Spannungen haben; andererseits resultirt hieraus, dass die Spannung einer Zugstange im Falle, als die Belastung sich über die ganze Bedachung erstreckt, zu der Spannung derselben Zugstange bei Berücksichtigung dieser Belastung und des permanenten Gewichtes in demselben Verhältnisse steht wie die Last per Quadratmeter der Bedachung in diesen beiden Fällen; da die alleinige Belastung 70 Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung und die um das permanente Gewicht vermehrte Belastung 119 Kilogramm beträgt, kann man die Wertlie von t₂, Hy Ti berechnen, indem man die

multiplicirt, so dass

70

119

Wertlie (5) von T₂, T₃, 1\ mit dem Bruche

woraus

Tg = 7846,

Die zwei Gleichungen für 0₂ und % sind die folgenden:

7.1194.6₂    + 2,7459. 6₃ — 29 827 = 0,

2.7459.6₂    + 17,2117 . % — 48 214 = 0,

6₂ = 3313,

t₂ = 7423,

t₄ = 7947.

(12)

6₃ = 2273.

Bei Kenntniss der Wertlie von t₂, t₃, t₄ und von 0₂ , 6₃ ergeben die Formeln (11)

t₂ = 2055, t₃ = 2786,

cT₂ = 5368, qT₃ = 5059,

oT₄ = t₄ = 3974.

Die Substitution dieser Wertlie in die Formeln (5), (6) und in die darauffolgende Tabelle ergibt folgende Resultate:

Quer

schnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

CO

Quer

schnitte

Biegimgs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

CO

— 329    7145    —240

+ 436    6731

15

— 138

6193

+ 132

5918

18

+ 29    5625

+ 103

2    — 324

J2549 f [2816 [

J5422 f— 85 [4739    [+252

— 418

f2789 J [3524    [

—    234    4586    + 76

—    115    4565    — 115

5    + 304    3550

6    — 115    2543

39

+ 376

5755,

483,

2203,

13,

500.

— 728,

1100,

*i =

h =

t₆ = t:=— 297, ts —

V=— 795.

185,

696,

1170,

Linker Halbbogen

Rechter Halbbogen

Der soeben betrachtete Fall hat an und für sich keine praktische Nützlichkeit, denn es wurde hiebei von dem permanenten Gewichte abgesehen; aber er dient hiezu, die Untersuchung von verschiedenen, that-sächlich stattfindenden Fällen auf einfache Additionen und Substractionen zurückzuführen.

8. Bestimmung der elastischen Kräfte in dem Falle, als das permanente Gewicht in Rechnung genommen wird und man annimmt, dass das linke Halbgespärre eine Belastung von 70 Kilogramm per Quadratmeter der Bedachung tragen muss, das rechte hingegen nur eine solche von 35 Kilogramm. — Aus dem Principe der Summirung der Wirkungen folgt, dass dieser Fall sich leicht aus den zwei in den vorhergehenden Nummern betrachteten Fällen, d. h. aus jenem der completen Belastung und jenem, wobei man sich die Belastung nur auf das linke Halbgespärre bei Ausseraclitlassung des

permanenten Gewichtes vertheilt denkt, ableiten Lässt. Man kann in der That annehmen, dass die Belastung von 70 Kilogramm per Quadratmeter über das ganze Bundgespärre vertheilt ist, und dass man auf der linken Hälfte hievon 35 Kilogramm per Quadratmeter entfernt hätte ; die Spannungen der Zugstangen, sowie die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte im Bogen werden sich offenbar um jenen Werth vermindern, welchen diese Grössen bei einer Belastung von 35 Kilogramm per Quadratmeter auf dem rechten Halbgespärre bei Ausserachtlassung des permanenten Gewichtes haben würden.

Die Spannungen der Zugstangen in dem hier in Betracht gezogenen Falle sind also

für das Halbgespärre

links

rechts

— 10651,

2

To—^S'₂ = 9035,

T₃—lsr₃ = 10808,

Tt-±St = 11524, r,-|ä₅ =    894,

T,- |sr,=

r,— -§; =

2

r₈—|ą= me,

Das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, . . . 6, sowohl für den linken als auch für den rechten Halbbogen sind in der nachfolgenden Tabelle ersichtlich

T, — -t = 12427, 2

r,—K = 11692,

Ul

Ts-jts = 11945, r₄-|«J = 11524, 1043,

813,

492,

167

915,

1168,

94,

32.

gemacht, worin auch die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten angegeben sind. ¹)

I. Linker Halbbogen

II. Rechter Halbbogen

M Querschnitte

Biegungs

momente

Normal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal-0:1 Pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

0 — 684 1 + 35

15263 14575 13541 13393 3    + 183    12925

(12600 t12787

2 — 622

4    — 322

29    12057

6    — 332    12014

1— 387 1—0,046

+ 38    +0,014    3    + 224    11513    + 57    +0,019

(11273    |+479 (—0,051

111680 1—430 1—0,049 + 85    —0,002    5    +240    11539    + 27    +0,021

+ 258    —0,028    6    —332    11503    +504    —0,028

j+ 264 (— 0,025 l— 88 1—0,025

— 715

— 0,044 5    12514    + 56    —0,000

(11769    (+ 762    (—0,060

111842 (—526 1—0,060

— 582

Wenn man diese Resultate mit jenen vergleicht, welche für den Fall einer über das ganze Bundgespärre vertheilten Belastung von 70 Kilogramm per Quadratmeter erhalten wurden, so sieht man,

1.    dass die Spannungen in den Zugstangen des unteren Polygons im Falle der completen Belastung immer grösser sind;

2.    dass die Spannungen in den anderen Zugstangen in dem Falle grösser ist, wo die Belastung von 70 Kilogramm sich nur auf einer Hälfte befindet, während die andere geringer belastet ist;

3. dass in diesem letzten Falle die Spannung :7’₉ — — + negativ

2

ist, d. h. dass eine der gegen den Scheitel laufenden Zugstangen gedrückt wird; aber diese Compression ist sehr klein und verwandelt sich neuerdings in eine Spannung, sobald die Belastung des rechten Halbbogens etwas über 35 Kilogramm beträgt ;

27

4. dass das grösste Biegungsmoment und die grösste Normalpressling im Bogen und folglich auch die grösste Pressung per Quadratmeter in dem Falle der completen Belastung statthat.

Da ange-

9. Einfluss der Aenderiingen der Temperatur, nommen wurde, dass eines der Enden des Bundgespärres auf seinem horizontalen Auflager frei gleiten kann, und da andererseits alle Tlieile aus Eisen sind und denselben Ausdehnungscoëfficienten haben, so folgt daraus, dass eine gleichförmig auftretende Aenderung der Temperatur keine elastische Kraft hervorrufen kann.

10. Capitel.

Betrachtung einer eisernen Bogenbrücke mit ebenen Anflagflächen.

(Tafel VIII.)

1. Allgemeine Angaben.

. 45 “00;

. 45“,00;

.    5“,50;

. 48“ 773; 540 5₆' 42"; .    1“,50;

2 “00;

. 46“ 846; .    5    “,226;

. 55“, 102; 50° 18' 42"; .    1“,760;

4“ 50.

Weite des Bogenrückens.....

Entfernung der Querträger .... Breite der Brücke........

2. Belastungen. — Die permanente Last der Brücke per Längenmeter resultirt aus folgender Zusammenstellung:

39    X 2 = 78 Kilogr.

40    X 2 = 80    „

60 X 2 = 120    „

Schienen und Zugehör .    .

Langschwellen aus Eichenholz Holz für die Trottoirs .    .

Bleche zwischen den Schienen

Geländer.......

Querträger......

Bögen, Verticalstützen und obere Längsträger ....    1000

30

32

500

Gesammtes permanentes Gewicht .    .    .    1840 Kilogr.

Die zufällige Belastung sei gleich jener einer Brücke mit

geraden Trägern und derselben Oeffnung, d. h. . . 5200    „

Die Gesammtlast per Meter der Brücke beträgt also ; . 7040 Kilogr.

27*

Da zwei Bögen vorhanden sind, so ergibt sich für einen derselben als permanente Last per Meter und als zufällige Belastung .    .

920 Kilogr.

2600

Summe . . . 3520 Kilogr.

3. Benennungen und allgemeine Formeln in dem Falle, als man die Belastung nur für die linke Hälfte der Brücke annimmt und von dem permanenten Gewichte albsielit. — Wie aus

Figur 3 (Tafel VIII) zu ersehen ist, wurde die Bogenachse der linken Hälfte in sechs gleiche Theile getheilt, deren jeder die Länge von 3™,964 hat. Durch diese Theilungspunkte wurden sodann Senkrechte auf diese Achse, d. h. Durchmesser gezogen und durch die Schnittpunkte dieser Senkrechten mit der äusseren Wölbung wurden schliesslich Verticale errichtet. Das permanente Gewicht, sowie die zufällige Belastung kann man bezüglich der horizontalen Projection des Gewölbriickens, d. i. der äusseren Gewölblinie, gleichförmig vertheilt annehmen, so dass für ein beliebiges Bogenstück die Verticale in dem Schwerpunkte durch den Mittelpunkt der horizontalen Projection des Gewölbrückens des betreffenden Bogenstückes geht.

Der Fuss des schmiedeisernen Bogens wird durch eine Ebene gebildet, welche auf der inneren Laibung senkrecht steht, und mittelst welcher sich der Bogen auf die auf den Widerlagern befestigten gusseisernen Lagerplatten stützt.

Für die Berechnung muss man den Bogen als an seinen Enden eingemauert betrachten, denn da die Auflagflächen eben sind, können sich dieselben nicht drehen; sollte die Berechnung aber ergeben, dass in den als eingemauert betrachteten Querschnitten an der äusseren Wölbung Spannungen herrschen, so folgt daraus, dass diese Hypothese nicht gemacht werden darf.

Die Unbekannten des Problems sind wieder:

M das Biegungsmoment im Scheitel,

P die Normalpressung,

S die Schubkraft;

in Functionen dieser Unbekannten lassen sich das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt sowohl

Ma = M— 0,60 . Q — 7,86 . S + 2600 X 7,99 X ^,86

rechts als links vom Scheitel ausdrücken. Denkt man sich nun den Bogen im Scheitel zerschnitten, so wird an dem Gleichgewichte der beiden Hälften des Bogens nichts geändert, sobald man annimmt, dass in dem Scheitel jeder dieser Hälften zwei Kräfte P und S im Querschnittsmittelpunkte und ein Kräftepaar M wirken, so dass z. B. für den Querschnitt 4 des linken Halbbogens die zur Rechten desselben wirkenden Kräfte folgende sind: die zwei Kräfte P und S, welche im Mittelpunkte des Scheitelquerschnittes wirken, das Biegungsmoment M und das Gewicht von 2600 Kilogramm per Längenmeter in der Horizontalprojection der äusseren Wölbung der Bogenstücke 4, 5 und 5, 6. Man hat also, um das Biegungsmoment Mi} die Normalpressung P₄ und die Schubkraft S4 in dem betrachteten Querschnitte zu bestimmen, folgende Formeln:

?>²)

P₄ = 0,990 . Q — 0,160 . S + 2600 X 7,99 X 0,160;

S₄ = 0,160 . Q + 0,990 . S — 2600 X 7,99 X 0,990.

Für den Querschnitt 4 des rechten Halbbogens kann man die analogen Grössen dadurch ausdrücken, dass man in den vorhergehenden Formeln die blos numerischen Glieder weglässt, da dieselben von der zufälligen Belastung von 2600 Kilogramm per Längenmeter herrühren, und sodann das Zeichen der Glieder mit S ändert. Man erhält also:

M\ = M— 0,60 . Q + 7,86 . S;

P\ = 0,990 . Q + 0,160 . S;

S\ = 0,160 . Q + 0,990 . S.

Auf diese Weise lässt sich die Tabelle auf Seite 422 zusammenstellen.

4. Bestimmung der Unbekannten. — Die zwei als getrennt betrachteten Halbbögen werden sich unter der Einwirkung der auf dieselben wirkenden Kräfte deformiren; diese Deformationen müssen aber derartige sein, dass der Scheitelquerschnittt des einen Halbbogens jeder-

Quer

schnitte

Ml = M— 5,36 . Q 4- 22,96 . S M\ r=M— 3,72.04-19,33.8 Mi-H — 2,38 . Q 4- 15,59.8 M\ = M— 1,35. Q-\- 11,76 . S M\ = M— 0,60 . Q 4- 7,86.8 M\ = M— 0,15. Q4- 3,94.8 M\ = M

M₀ = M — 5,36 . Q - 22,96 . S + 685035 Mx = M — 3,72 . Q — 19,33 . S + 485831 M₂ = M - 2,38 . Q — 15,59 . S + 315868 M3 — M — 1,35 . Q - 11,76 . 8 + 179735 M₄=M— 0,6Q.Q — 7,86. £+ 80395 Mh =M— 0,15 . Q — 3,94 . 8-f- 20176 M₍, = M

Biegungsmomente

Pj = 0,894 . <24- 0,460,8 P\ = 0,926 . <2 -f 0,388 . S P\ — 0,954 . Q 4- 0,315.8

Ps = 0,976 . Q 4- 0,237.8 p\ = 0,990 . <2 4- 0,160.8 P\ = 0,999 . Q 4- 0,082.8

P\ = 1,000 . <2

II. Kechter Halbbogen.

P₀ = 0,894 . Q — 0,460 . 8 + 28010 Pi = 0,926 . Q — 0,388 . S + 19863 Pt = 0,954 . Q — 0,315 . Ä+ 12989 P₃ = 0,976 . Q — 0,237 . £+ 7370 P₄ = 0,990 . Q — 0,160 . S + 3324 P₆ = 0,999 . Q — 0,082 . S +    853

P₆ = 1,000 . Q

I. Linker Halbbogen.

N ormalpressungen

S\ — 0,460 . Q — 0,894 . S S\ = 0,388 . Q — 0,926.8 S\ =0,315. <2 — 0,954.8 S\ = 0,237 . «2—0,976.8 Sj = 0,160 . «2 — 0,990 . S 8 5 = 0,082. <2 — 0,999 . S — 1,000.8

S₆ — 0,082 . Q 4- 0,999.8— 10390

SQ =

4- 1,000. s

S₀ = 0,460 . Q -f 0,894 . S — 54437 Sx = 0,388 . Q + 0,926 . S — 47406

5₂    = 0,315 . Q 4- 0,954 . S — 39339

5₃    = 0,237 . Q 4- 0,976 . S — 30350 St = 0,160 . Q 4- 0,990.8 — 20566

Schubkräfte •

zeit mit jenem des anderen im Contact bleibt. Es sind daher folgende drei geometrische Bedingungen zu erfüllen:

1. und 2. Die horizontale und verticale Verrückung des Mittelpunktes des Scheitelquerschnittes muss für den linken Halbbogen entgegengesetzt gleich sein mit den analogen Verrückungen des Mittelpunktes des Scheitelquerschnittes des rechten Halbbogens.

3. Die Drehung des Scheitelquerschnittes des linken Halbbogens muss entgegengesetzt gleich sein jener des rechten Halbbogens.

Die Werthe der Unbekannten il/, Q, S, welche diesen drei Bedingungen entsprechen, findet man, indem man die Deformationsarbeit des ganzen Bogens in einer Function dieser Unbekannten ausdrückt und deren Differentialquotienten mit Bezug auf diese Unbekannten gleich Null setzt.

Nennt man nun

ß₀, ßt, ß₂, ... ß₆ die Flächen der Querschnitte 0, 1, 2 ... 6 des Bogens,

4, 4, 4; • • • 4 deren Trägheitsmomente;

macht man

^ A/²-fin _ j"

M\ + M\

tH CO

M\ + M\

M\ + M\

-4

P2 _j_ p'2

05 | I—¹-

p_|_p'2o

P21 + P'2l

P\ + P\

■ß₀

ß₄

ß₂

P²3+P'²3

P²4+P,24

p-2₅₊p'2

ß₃

ß₄

ß₅

P\+P\-1,

6 J

berücksichtigt man ferner, dass die Länge jedes Bogenstückes in der Achse gemessen 3m,964 beträgt, und vernachlässigt man die Deformationsarbeit, welche der Verschiebung entspricht, so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Bogens die Formel

if2 4_ Jf'2

3,964

2E

[S

+s

p²±_py1

ß

P2_|_ jP'2

(i)

3,964

dividirt — was jene Gleichungen nicht

welche, durch den Factor

ändert, welche daraus abgeleitet werden, indem man deren Differentialquotienten nach M, Q, 8 gleich Null setzt — folgende Formel gibt:

2E

Die Höhe der Bogenquerschnitte vermindert sich nach Massgabe der Entfernung von den Auflagern; aber mit Ausnahme des Steges, dessen Höhe für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 in Figur 3, Tafel VIII eingeschrieben ist, behalten alle anderen Constructionstheile, welche den Bogen bilden, ihre Dimensionen in der ganzen Länge des Bogens bei. Die allgemeine Form des Bogenquerschnittes ist durch Figur 8 gegeben.

In der folgenden Tabelle sind die Werthe für die Flächen und für die Trägheitsmomente der Querschnitte 0, 1, 2,    . . 6 angeführt, sowie

auch deren logarithmische Complemente, d. h. die Logarithmen der reciproken Werthe, welche zur Berechnung der Formel (1) dienen.

Querschnitte

Querschnitts

flächen

Trägheitsmomente der Querschnitte

Logarithmische Complemente

der

Flächen

der Trägheitsmomente

1,6462376

1,7263275

1,8007386

1,8615710

1,9062632

1,9327431

1,9393777

42₀ = 0,039024 = 0,037224 i2₂ = 0,035 6 66 42₃ = 0,034464 i2₄ = 0,033 6 24 &₈ = 0,033144 42₆ = 0,033024

J₀ = 0,022582 Jj = 0,018779 Z₂ = 0,015822 I₃ = 0,013754 /₄ = 0,012409 Z₅ = 0,011675 J₆ = 0,011498

1,4086682

1,4291770

1,4477456

1,4626343

1,4733506

1,4795951

1,4811703

Substituirt man nun in der Formel (1) für M₀, M'₀ ; Mi etc., P₀, P'₀ ; Pl} P\ ; etc. die Ausdrücke in Functionen von M, Q, 8, wie dieselben in der Tabelle auf Seite 422 angeführt wurden, und für /₀, Il} etc., 42₀, £2l, etc. deren oben angegebene Wertlie, und führt man alle numerischen Operationen aus, was mit grosser Genauigkeit und Ein-facliheit geschehen kann, indem man sich der Logarithmen bedient, so erhält man

= 843,51 . M² — 1247,51.2 44 Q + 81 961 733.2 M

^ M² + M'²

= 322,5 . Q² + 1 494 668.2 Q + 24 . S² — 555 444.2 S,

+ 3686,7 . Q² — 240 653 093.2 Q + 126 101 S² — 1 354 367 066.2 S-P² ₊ p' 2

and aus Formel (1) wird dann

}(2)

843,51. 44² —1247,51.2 44 Q + 81 961 733.2 44+ 4009,20. Q2 — 239 158 425.2 Q + 126 125. S² — 1354 922 510.2 S.

Setzt man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach Q, S gleich Null, so erhält man folgende drei Gleichungen :

843,51. M— 1247,51 . Q + 81 961 733 = 0,

— 1247,51.44+4009,20 . Q — 239 158 425 — 0,

126125 . S — 1 354 922 510 = 0,

wobei zu beachten ist, dass die zwei ersten Gleichungen nur die Unbekannten 44 und Q enthalten, während die letzte nur die Unbekannte S enthält.

Aus diesen Gleichungen ergibt sich

44 = — 16 527, P= 54 523, 10 743.

5. Mittellinie des Druckes, grösste Beanspruchung per Quadratmeter und Senkung des Scheitels bei Berücksichtigung des permanenten Gewichtes und einer Belastung sow ohl rechts als links Yom Scheitel. — Da in diesem Falle die Belastung symmetrisch vertheilt ist, hat man $ _ q .

lässt man ferner das permanente Gewicht ausser Beachtung, so dass man nur die Belastung längs der ganzen Brücke in Rechnung nimmt, so ergibt sich für den Scheitel

44= — 16 527 X 2 = — 33 054, 54 523 X 2 = 109 046.

Da die Belastung 2600 Kilogramm per Längenmeter beträgt, während das Gesammtgewicht, das permanente Gewicht mit inbegriffen, 3520 Kilogramm ist, so erhält man für diesen letzteren Fall

M = — 33 054 X

• 3520

2600

= — 44 749,

Q = 109 046 X

3520

2600

147 626.

Kennt man nun für den betrachteten Fall der totalen Belastung das Biegungsmoment und den Horizontalschub im Scheitel, so kann man leicht das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 berechnen. Durch Division der Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen erhält man die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten. Mit Hilfe der Formel

o Mv

gelangt man zu den Werth en für die grösste Pressung per Quadratmeter an der inneren und äusseren Wölbung der Querschnitte 0, 1, 2, . . . 6. Alle diese ^Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Norraal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

Pressung per Quadratmeter

an der inneren an der äusseren Wölbung

Wölbung

0    +91387

1    + 63 807

2    +31527

169 924    —5788

163 657    — 6901

158 444    — 6755

719    154 082    — 6101

4    —24 626    150 673

— 4223

— 39 584    148 656    — 1961

6    — 44 755    147 648

+ 0,538    8 401 300

+ 0,390

307 500

7 539 600    1 253 600

1 551 700    7 390 300

Zur Berechnung der Senkung des Scheitels kann man sich der

Formel

r _ ³>⁹⁶⁴    ¹ (M,qOCq . ±M₁Xl 2 M<1 X-2    d ^5 ^4

' E 3 l 7₀    7!    7₂    7S J

3,964 1 VP₀ sin cp0 ' 3 l

P, sin «jPi

P₂ sin (p₂

ß₀

ß.

“2

+ ... + 4

P₅ siny₅j

bedienen, in welcher x₀, xX) x₂, ... a?₅ die Entfernungen der Mittelpunkte der Querschnitte O, 1, 2, ... 5 von der durch den Scheitel gehenden Verticalebene und cp₀, <pif <p₂, ... cp-₀ die Winkel, welche diese Querschnitte mit derselben Ebene einschliessen, bezeichnen.

Substituirt man in dieser Formel für die Biegungsmomente 47₀, Mx, 47₂, ... und für die Normalpressungen P₀, Plf P₂, ... deren Werthe, wie sie sich aus der letzten Tabelle ergeben, für x₀, xx, x₂, . . ., sin cp₀, (p{, <p₂, ... die aus Tafel VIII sich ergebenden Werthe, und endlich für

ß₀j> ßi ? ß so erhält man

1 V47₀ x₀

3 l

2; •

. ., 7₀, 7t, 7₂, ... die in Nummer 4 angeführten Werthe,

il/j CCj

M₂x₂

Mnx,

= 110 212 000,

1 7 P₀ sin y0 3 v

ß₀

₄ 1\ sin cpx P₂ sin cp₂

ß₂

P₅ sin y A

5 X

= 6220 000:

folglich ergibt sich für E = 18 000 000 000

«7 = 0m,026.

6. Mittellinie des Druckes und grösste Beanspruchung per Quadratmeter bei Berücksichtigung des Eigengewichtes und bei Annahme, dass nur die linke Hälfte der Brücke belastet wird. — In diesem Falle erhält man die Werthe von 47, Q, S, indem man zu den Werthen, welche diese Grössen für das alleinige permanente Gewicht haben, jene Werthe addirt, welche sich bei alleiniger Belastung der linken Hälfte hiefür ergeben. Für das alleinige permanente Gewicht hätte man

*) Diese Formel ist eine Verallgemeinerung der in Nummer 5 des 4. Capitels „Betrachtung einer Halle aus schmiedeisernen Bundgespärren ohne Zugstangen“ gewählten Formel und lässt sich in gleicher Weise ableiten.

31 = — 33 054 X

920

2600

= — 11 696

Q = 109 046 X

920

2600

38 585,

S = 0:

für die alleinige Belastung der linken Hälfte würde man die in Nummer 4 erhaltenen Werthe von M} Q, S haben; hiemit ergibt sich für den hier zu betrachtenden Fall

M = — 11 696 — 16 527 = — 28 223, 38 585 + 54 523=    93 108,

S= 10 743.

Die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Daten lassen sich mit den soeben erhaltenen Werthen von 47, Q, S genau so wie in Nummer 5 berechnen.

I. Linker Halbbogen

II. Kechter Halbbogen

Querschnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

CO

CO

+ 153498 116223 + 75498 109001 + 10336 103045

— 21257

— 18172

— 13681

8538

2311

+ 4300 4- 10743

+ 1,321 + 0,693 + 0,100

—    0,375

—    0,629

—    0,612 — 0,303

—    38218 98112 + 13964 —0,389

+ 4991    97444    +    9467    +0,051

+ 29434 96824 + 5160 +0,304 + 36017 96044 +    842    +0,375

+ 28660    95090    —    3016    +0,301

+ 7273 94215 — 6774 + 0,077

—    28228 93125 — 10743 — 0,303

Der Vergleich dieser Tabellen mit jener, welche in der vorhergehenden Nummer erhalten wurde, zeigt, dass die grössten Biegungsmomente für den Fall der Belastung über die ganze Brücke viel geringer sind als im Falle der Belastung nur einer Hälfte. In diesem letzteren Falle beträgt die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter

116 223    153 498 X 1,00

9 775 000.

0,039024 ⁺    0,022582

welcher Werth viel grösser ist als jener, welcher im Falle der completen Belastung erhalten wurde.

Die grösste Tangentialspannung findet in dem linken Querschnitte 0 statt, da dort die Schuhkraft ein Maximum ist. Für diesen Querschnitt ist

G₀ =- (0,250 X 2,0242 _ 0,038 X 2,000³ — 0,176 X 1,976³ — 0,024 X 1,8002) = 0,013397,

J₀ = 0,022582,

so dass sich die grösste Tangentialspannung mit

berechnet.

21257 X 0,013397

0,022582 X 0,012

= 1050900

7. Einfluss der Aenderungen der Temperatur. — Wir nehmen an, dass der Bogen hei der Temperatur t aufgestellt worden ist, hei welcher

derselbe genau jene Dimensionen hat, welche nothwendig sind, um ihn auf seine Widerlager montiren zu können, ohne hiebei andere elastische Kräfte hervorzurufen als solche, welche dem Eigengewichte und den Belastungen entsprechen.

Wenn der Bogen frei wäre, so würde derselbe bei der Temperatur t' eine zur ursprünglichen Form ähnliche geometrische Form haben, so dass der Winkel der äussersten Querschnitte in beiden Fällen genau derselbe wäre ; aber die Entfernung zwischen diesen beiden Querschnitten 45 m,000 + 46 m,846

würde anstatt

(F— t) zu gross sein.

Werth

3,964

der Formel (2) in Nummer 4 erhalten, indem man dieselbe mit dem multiplicirt und hierin die Glieder ersten Grades in Bezug

Factor

2E

auf M, Q, S weglässt, da dieselben von der Belastung abhängen; diese Arbeit wird also durch folgende Formel gegeben:

3,964

2E

(843,51. M² — 1247,51.2 M Q + 4009,2 . Q² _j_ 126125 . S²).

Um die einzig und allein dem Wachsen der Temperatur t’ — t ent

sprechenden Werthe von M, Q, S zu finden, muss man zu diesem Aus-

drucke für die Deformationsarbeit noch den Ausdruck

45,923

82500

(t — t)Q

hinzufügen und sodann die Differentialquotienten nach M, Q, S gleich Null setzen. Multiplicirt man die so erhaltenen Gleichungen mit dem

numerischen Factor —-, wobei E = 18 000 000 000 ist, so dass

3,964

— 2 534 000,

E x/ 45,923

3,964 X 82500

so ergeben sich die obgenannten Gleichungen in folgender Form:

843,51. M— 1247,51 . Q = 0,

— 1247,51. M + 4009,2 . Q = 2 534 000 . (F— t),

¹

Für den oben betrachteten Fall ist die Mittellinie des Druckes in Figur 11 (Tafel VII) durch eine gestrichelte Linie dargestellt.

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

²

Es ist hiebei zu beachten, dass Figur 3, Tafel VIII die Hebelarme der Kräfte gibt, welche in dem Ausdrucke für die Biegungsmomente Vorkommen; Figur 9 hingegen gibt den Werth der Sinus und Cosinus der Winkel, welche die Gewichte und der Horizontalschub mit den Querschnitten einschliessen. Diese Sinus und Cosinus dienen dazu, die Normalpressungen und die Schubkräfte auszudriicken.

³

= 45m,923, das ist gleich der Entfernung der Mittelpunkte der Stützflächen auf den Widerlagern, um den 45 m, 923 82500

Müsste man also den Bogen bei der Temperatur t' aufstellen, so könnte dies nicht geschehen, ohne elastische Kräfte zu erzeugen, welche von dem Eigengewichte und der Belastung unabhängig sind und nur dem Wachsen der Temperatur t'— t entsprechen.

Die Deformationsarbeit des Bogens, welche dem Biegungsmomente M und den im Scheitel wirkenden Kräften Q und S entspricht, wird aus

126 125 . S = 0.

Die letzte Gleichung gibt sogleich S = 0, was sich übrigens voraussehen lässt, denn die Aenderungen der Temperatur erzeugen in den beiden Hälften des Bogens dieselbe Wirkung und können daher im Scheitelquerschnitte keine Schubkraft hervorrufen.

Die zwei anderen Gleichungen geben M = 1743 (t’—t),

Q = 1171 (F— t).

Nach Substitution der erhaltenen Werthe von M, Q und S in die zweite Hälfte der Tabelle in Nummer 3, welche sich auf den unbelasteten Bogen bezieht, kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 berechnen. Aus diesen Resultaten lässt sich die folgende Tabelle zusammenstellen.

Wenn die mittlere Temperatur, bei welcher der Bogen aufgestellt wird, 15° ist, und wenn die Grenzen, zwischen welchen die Temperatur variiren kann, 40° und — 10° ist, so muss man offenbar bei Betrachtung dieser zwei äussersten Fälle

40°. . . t’— t =    40—15=    25,

15 = — 25

S J = 539 . (P— t) S\ =454. (P— <) Ä2 =369. (P—0 Si = 277 .(«'—«) £4 = 187. (P—i) £5 = 96 . (P— t)

sl= 0

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normal

pressungen

Schubkräfte

if 0 = — ⁴⁵³³ • («'— <) M\ = — 2613 t) M\ = — 1044 . (P— «) «3=+ 163. (P— i) iJf 4 = + 1040 . (<'— <) AT s — -f- 1567 . (P— «) ¥! = 4- 1743 . (P— <)

P î = 1047 t) P\ = 1084 . («'— <) P2 = 1117 . («"— <) P3 = 1143 . (t'— t) P\ = 1159 . (P— t) P 5 = 1170 .(«'—«) P’ = 1171 .(< — <)

für die Temperatur von

für die Temperatur von — 10° ... t’—t = — 10

machen.

Wir werden nur den letzteren Fall untersuchen, da hiebei in der Nähe der Auflagflächen die Biegungsmomente positiv, beim Scheitel hingegen negativ sind, wie jene, welche im Falle der completen Belastung der Brücke für jede Bogenhälfte und im Falle der nur linksseitigen Belastung für die linke Bogenhälfte gefunden wurden.

Macht man also in der letzten Tabelle t'—t = — 25 und addirt diese Resultate zu jenen, welche in Nummer 6 für die linke Hälfte des Bogens erhalten wurden, so kann man die auf Seife 432 befindliche Tabelle zusammensetzen.

Aus diesen Resultaten erkennt man, wie gross bei eisernen Bögen mit ebenen Auflagflächen der Einfluss der Aenderungen der Temperatur ist. Das Biegungsmoment in den Auflagflächen, welches bei der mittleren Temperatur 153 498 Kilogramm beträgt, wächst bei derselben Belastung bis zu 267 923 Kilogramm, wenn die Temperatur bis — 10° sinkt. Die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter findet an der inneren Laibung der Auflagfläche statt und ist deren Werth

+ 267 923 + 140 823 -j- 36 436

—    40 999

—    85 725

—    96 331

—    72 803

90 048

— 34 732

81901

75 120

69 747

66 001

64 057

63 850

— 29 522

—    22 906

—    15 463

—    6 986 4- 1900 4- 10 743

+ 2,975 4-1,719 -f 0,484

Quer

schnitte

Schub

kräfte

90 048    , 266 823 X 1,00

0,039 024 ⁺    0.022 582

= 14122000;

daraus folgt, dass der Bogenanfang an der inneren Laibung verstärkt werden muss.

Auf der äusseren Wölbung beträgt die Pressung im selben Quer

schnitte

90 048    266 823 X 1,00

0,039 024    0,022 582

= — 9 508 000,

d. h. es ist statt einer Pressung eine Spannung vorhanden.

Linker Halbbogen

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Mittellinie

des

Druckes

8. Schlussfolgerung. — Dieses letzte Kesultat lässt uns erkennen, dass der Bogen die Neigung hat, sich an der äusseren Wölbung von den Widerlagern abzuheben, und dass die ganze Pressung sich in der Nähe der inneren Wölbung auf die Auflager überträgt. Der Bogen kann also nicht als eingemauert betrachtet werden, soferne man nicht die Einmauerung durch specielle Anordnungen erreicht; was aber nicht leicht thunlicli ist, wenn man die grossen Werthe des Biegungsmomentes in den Auflagflächen in Rechnung zieht.

Da die ganze Pressung auf die Widerlager sich gegen die innere Laibung concentrât, so haben die englischen Ingenieure, welche mehr

als alle anderen derartige Bögen angewendet haben, dieselben endlich verlassen, und zwar speciell wegen der Zerstörung des Mauerwerkes der Widerlager.

Aus diesem Grunde construirt man gegenwärtig im Allgemeinen die eisernen Bogenbrücken mit cylindrischen Auflagflächen.

11. Capitel.

Betrachtung einer eisernen Bogenbrücke mit cylindrisehen

Auflagflächen,

(Tafel VIII.)

Dieselben sind genau die gleichen

1. Allgemeine Angaben.

wie bei der soeben betrachteten Brücke.

Die Belastungen seien auch dieselben.

2.    Belastungen.

3.    Benennungen und allgemeine Formeln im Falle der Belastung der ganzen Brücke. — Wie aus Figur 4 (Tafel VIII) zu ersehen ist, wurde die Achse des Halbbogens in sechs gleiche Theile getheilt, deren jeder die Länge von 3m,964 hat. Durch die Theilungs-punkte wurden Senkrechte auf die Bogenachse gezogen, und durch die Schnittpunkte dieser Senkrechten mit der äusseren Wölbung wurden Verticale errichtet. Wir nehmen nun an, dass jedes Bogenstiiek ausser seinem Eigengewichte noch das Gewicht der Constructionstheile der Brücke, sowie der Belastung zu tragen hat, welche zwischen den beiden durch die Enden seines Gewölbrückens gehenden Vertiealen liegen, und dass diese Gewichte bezüglich der horizontalen Projection des betreffenden Gewölbrückens gleichförmig vertheilt sind, so dass der Schwerpunkt von den zwei obgenannten Vertiealen gleich weit entfernt ist.

Die Enden des Bogens werden durch cylindrisclie Flächen gebildet, mittelst welchen sich derselbe auf die gusseisernen Auflager stützt, welche gleichfalls cylindrisclie Oberflächen haben, jedoch mit etwas grösserem Halbmesser.

Wenn die Enden des Bogens und die Lagerplatten nicht zusammen-drückbar wären, so würde die Berührung zwischen denselben nur nach jener Erzeugenden der cylindrisehen Fläche stattlinden, welche von der Achse des Bogens getroffen wird; wegen der Zusammendrückbarkeit findet aber die Berührung in einer kleinen Fläche statt (immerhin genügend, dass die Gefahr des Zerdriickens, sei es der Enden des Bogens, sei es der Lagerplatten, nicht auftritt) ; der Mittelpunkt des Druckes kann auch jetzt mit grosser Annäherung’ in dem Punkte angenommen werden, wo die Bogenachse die Lagerplatte trifft.

Die Anwendung von Lagerplatten mit cylindrischer Fläche bietet den wesentlichen Vortheil, dass — da der Druck auf die Widerlager im Mittelpunkte der Lagerplatten stattfindet — diese den Druck gleichförmig auf das Mauerwerk vertheilen, wie auch im Uebrigen die Vertheilung der Last auf der Brücke sei. Dieser Vortheil ist so gross, dass für eiserne Bögen die cylindrischen Auflager immer den ebenen vorzuziehen sind.

An den Enden des Bogens ist das Biegungsmoment Null, und folglich ist nur der Horizontalschub unbekannt, wie auch die Vertheilung der Last auf den Bogen sei.

Um diese Unbekannte zu bestimmen, hat man folgende geometrische Bedingung:

Bei der Deformation des Bogens bleibt die Entfernung der Stützpunkte an den Enden constant.

Die an jedem Ende des Bogens wirkenden Kräfte sind die folgenden:

Q der Horizontalschub,

B die verticale Réaction, gleich der Hälfte des Gesannntge wichtes.

Die Belastung jedes der Bogenstücke 0, 1; 1, 2; etc. ergibt sich durch Multiplication der Horizontalprojection seines Gewölbrückens mit dem früher erhaltenen Gewichte von 3520 Kilogramm; die verticale Réaction, welche die Hälfte des den Bogen belastenden Gesammtgewichtes beträgt, hat als Werth

R = 3520 X 23,423 ==. 82 449.

Mit Hilfe des Horizontalschubes Q und der bekannten Gewichte ist es jetzt leicht, das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 auszudrücken. Für den Querschnitt 2 hat man z. B.

R + 3520 X 7,56 ^7,83 —

P₂ = 0,954 . Q + 0,315 (R — 3520 X 7,56),

Sz = 0,315 . Q — 0,954 (R — 3520 X 7,56).

2 J’

M₂ = 2,98 . Q — 737 .

Substituirt man für R dessen Werth und führt man die numerischen Operationen durch; so kann man die folgende Tabelle zusammen-setzem in welcher nur die Unbekannte Q vorkommt.

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normalpressungen

Schubkräfte

O T-H Ol co    »o o

Mo = 0

Ml = 1,64 . <3 — 269 972 M₂ = 2,98 . Q — 499 528 M₃ = 4,01 . g — 683 693 if₄ = 4,76 . Q — 818 394 Jf₅ = 5,21 . Q — 899 852 M₃ — 5,36 . Q — 927 167

P₀ = 0,894 . <3 -f- 37 922 P, = 0,926 . Q -f- 26 892 P₂ = 0,954. Ç+ 17 586 P₃ = 0,976 . <39 978 P₄ = 0,990 . Q -f- 4 500 P₅ = 0,999 .<34- 1 155 P₆ = 1,000 . Q

Sü = 0,460 . Q — 73 700 S, = 0,388 . «3 — 64 180

5₂    = 0,315 .Q — 53 259

5₃    = 0,237 . Q — 41 089 £₄ = 0,160.<3 — 27 844 S₅ = 0,082 . Q — 14 066 SG = 0.

4. Bestimmung des Berthes der Unbekannten. — Nennt man Q₀, ß1; ß₂; ... ß₆ die Flächen der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 des Bogens;

I₍₎, Ir, I), ... 7g die Trägheitsmomente dieser Querschnitte, und macht man

s m

sP2

Ii

F2

M\

I2

I3

F2

F4

I₅

I.

iß + 4

3 v.ß₀

^ + 2^ + 4^ + 2

Q₂ ^3 ß₄

P\

+ 4^ + ^)

so erhält man bei Berücksichtigung; dass die Länge der Bogenstücke 0,1 ; 1; 2; 2; 3; ... 5; 6 in der Achse gemessen 3m;64 beträgt; als Ausdruck für die Deformationsarbeit des ganzen Bogens (bei Vernachlässigung des sehr kleinen Theiles dieser Arbeit; welcher der Verschiebung entspricht) die Formel

₉ 3; 964

2E

[Sf+S

p₂

weglässt; was die

2E

oder die folgende; indem man den Factor 2 .

Gleichung nicht ändert; welche man daraus ableitet; indem man den Differentialquotienten nach Q gleich Null setzt

(1)

Der Querschnitt des Bogens wird durch Figur 8 (Tafel VIII) dargestellt, in welcher aber die Höhe unbestimmt gelassen ist, da sie sich von einem Querschnitte zum anderen ändert, wie dies aus Figur 4 hervorgeht.

Die Flächen und Trägheitsmomente der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben, welche auch die logaritli-mischen Complemente der Flächen und Trägheitsmomente enthält.

m Querschnitte

Querschnitts

flächen

Trägheitsmomente der Querschnitte

Logarithmische Complemente

der

Flächen

der Trägheitsmomente

1,4086682

1,4291770

1,4477456

1,4626343

1,4733506

1,4795951

1,4811703

1,6462376

1,7263275

1,8007386

1,8615710

1,9062632

1,9327431

1,9393777

i2₀ = 0,039024 Äj = 0,037224

51₂    = 0,035666

51₃    = 0,034464 _q₄ — 0,033624 Sl. = 0,033144 ß₆ = 0,033024

J₀ = 0,022582 Ix = 0,018779

1₂    = 0,015822

1₃    = 0,013754 J₄ = 0,012409 /₅ = 0,011675 J₆ = 0,011498

Mit Benützung der in den zwei letzten Tabellen angeführten Wertlie

erhält man

2 — = 7275 ■Q2— ¹²⁴⁸ 781 000 • 2 Q’

J] ^ = 161. Q2 + 2 024 000.2 Q;

hiemit stellt sich die Formel (1) folgendermassen dar:

(2)

7436. Q2_ 1 246 757 000.2 Q,

woraus

Q = 167 670.

5. Mittellinie des Druckes, grösste Beanspruchung des Eisens per Quadratmeter und Senkung des Bogens im Scheitel. — Wenn man in der in Nummer 3 gegebenen Tabelle für Q den soeben gefundenen

Werth einsetzt, so erhält man die Werthe für die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte in den Querschnitten 0, 1, 2, ... 6 des Bogens. Diese Werthe sind in der nachfolgenden Tabelle in den Colonnen 2, 3, 4 angeführt. Durch Division der Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen ergeben sich die Zahlen der Colonne 5, welche die Entfernung der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten bedeuten. ¹)

Mit Hilfe der schon vielfach angewendeten Formel

P Mv

- ~~fr~ -

Q I

gelangt man zu den Werthen für die grösste Pressung per Quadratmeter an der inneren und äusseren Wölbung der in Betracht gezogenen Querschnitte, d. h. zu den in den Colonnen 6 und 7 der nachfolgenden Tabelle angeführten Zahlen.

Quer

schnitte

Biegungs -momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Pressung per Quadratmeter

CO

an der inneren Wölbung

an der äusseren Wölbung

Ci O» ^    03 N)

187 819    +3428

+ 5 007    182 154    + 876    + 0,027

443    + 0,001

— 11 336    173 624    — 1351    — 0,065

—    1017    —0,119

—    317    —0,156

— 0,167

4 800 100    4 800 100

5 140 130    4 646 870

129    177 543

— 20 285    170 493

— 26 291

— 27 953

168 657

167 670

4 984 320    4 971 277

4 370 110    6 705 290

3 795 500    6 345 500

3 389 500    6 788 800

3 247 900    6 902 900

Bezüglich der Tangentialspannung per Quadratmeter ist bekannt, dass dieselbe bei Trägern mit einer vollen Mittelwand im Allgemeinen

sehr klein ist. Um den grössten Werth derselben für den Querschnitt 0 zu bestimmen, in welchem die Maximal-Schubkraft stattfindet, berechnet man für diesen Querschnitt die Grösse

(r₀ =

~ (0,250 X 2,0242 _ 0,038 X 2,0002 — 0,176 X 1,9762 — 0,024 X 1,8002) = 0,013397; beachtet sodann, dass das Trägheitsmoment dieser Fläche

I₀ = 0,022582

S₀ G₀ _ 3428 X 0,013397 0,012 X 0,022582

und die Dicke der Wand s — 0,012 ist, und findet schliesslich als gesuchten Werth

= 169 100,

s I₀

welches Resultat in der That sehr klein ist.

Um die Senkung des Scheitels des Bogens zu finden, kann man sich folgender Formel*) bedienen:

*) Diese Formel kann man leicht ableiten. — Nimmt man an, dass ausser den gleichförmig vertheilten Gewichten, durch welche der Bogen belastet wird, in dem Querschnitte 6 ein Gewicht w wirke, so vermehrt sich offenbar die Vertieal-

reaction des Widerlagers um die Grösse es werden demnach die Biegungsmomente

für die Querschnitte 0, 1, 2, . . . 6, welche zuerst 0, Mu M₂, . . . Jf₆ waren, nunmehr

,, w ■ Mq--

M₂-

13 !

x₂, . .

sein-, die Normalpressungen, welche zuerst P₀, P,, P₂, . . . P₆ waren, sind sodann P₀ + — sin <p₀

Pi + — sin fß. 2

P₂-f-sin</)2, • • • P₅4--sin^5 2 ' * 2

Es ist also die Deformationsarbeit des ganzen Bogens, wenn man nicht allein das gleichförmig vertheilte Gewicht, sondern auch das Gewicht w berücksichtigt, durch folgende Formel gegeben

g 3,964 1 2E 3

+ 2-

3,964 1 2 E 3

" h ⁺²

(    W    \2    V    «    \2

^P₀ + -sin<p₀j ^Pj + -sinyiJ

dfG-

13

Je

3,964 1 f Mi xi ~ H

M₂ x₂

a?₃

ü/₆ x₆

3,964 1 rP₀ sin cp₀ . Px sin qq ~JT ' 3 {    S2₀    S2t

P₂ sin cp₂

S2₂

+ ...+4

P, sin y A

5 f

in welcher x1; x₂, a?₃, . . . x₆ die horizontalen Entfernungen des Mittelpunktes des Querschnittes 0, d. h. des Stützpunktes auf das Widerlager von den Mittelpunkten der Querschnitte 1, 2, ... 6 und q>Q, cp1; cp₂, • ■ ■ cpö die Winkel sind, welche die Querschnitte 0, 1, 2, ... 5 mit der Verti-calen einschliessen.

Substituirt man in dieser Formel für die Biegungsmomente Mx, M2j . . . und für die Normalpressungen P₀, P1} P₂, . . . deren Werthe, wie sie in der letzten Tabelle gegeben wurden; für æ₀, aq, x2} . . ., sin q>₀, sin (pjl, sin q>₂, . . . die aus den Figuren 4 und 9 der Tafel VIII resul-tirenden Werthe; und endlich für 7₀, Il} I₂, . . ., f2₀, I2±, i2₂, ... die oben hiefür angeführten Werthe, so erhält man

r-l I CO

+ 2iæi + 4^ + ...

T—l ] CO

lo^

o

Ol

"kJ?*) = _ 103 148 000.

k J

₄ I\ sincpl 2 Pasing    ₄ Asinys^

ßi    ' ß₅ J

= 6 996 000;

da

P = 18 000 000 000

î? = 0m,0244.

ist, ergibt sich also

6. Untersuchung des Falles, wo man eine zufällige Belastung nur auf der linken Hälfte des Bogens annimmt, und wobei das permanente Gewicht in Rechnung gezogen wird. —

In diesem Falle hat man auf der linken Hälfte des Bogens ein Gewicht per laufenden Meter von 3520 Kilogramm und folglich ein Gesannnt-

Der Differentialquotient dieses Ausdruckes mit Bezug auf das Gewicht w gibt die Senkung des Querschnittes 6 in einer Function dieses Gewichtes. Ist aber der Bogen nur durch das gleichförmig vertheilte Gewicht belastet, so nimmt man den Differentialquotienten der obigen Formel mit Bezug auf w und macht sodann w = 0, was genau zu dem im Texte angegebenen Werth von r\ führt.

gewicht von 3520 X 23,423 — 82449 Kilogramm, während auf der rechten Hälfte die Last per Meter 920 Kilogramm beträgt und folglich das Gesammtge wicht 920 X 23,423 = 21549 Kilogramm ist.

Die Verticalreactionen der Auflager haben folgende Werthe:

für das linke Auflager

22,962

23,423

45,924

— • 82449 -f

22,962

23,423

45,924

■ 21549 = 67519:

für das rechte Auflager

*i =

22,962

23,423

45,924

• 82449

22,962 H-

45,924

. 21549 = 36467.

Der Horizontalschub lässt sich leicht finden, denn derselbe setzt sich aus zwei Theilen zusammen, deren einer dem alleinigen permanenten Gewichte entsprechend jener Horizontalschub ist, welcher zu dem im Falle der vollständigen Belastungen sich ergehenden, im Verhältnisse der Gewichte per laufenden Meter in diesen beiden Fällen, d. h. im Verhältnisse von 920 zu 3520 stellt; der andere Theil entspricht der alleinigen Belastung der linken Hälfte des Bogens und ist die Hälfte jenes, welchen man für eine alleinige Belastung der ganzen Brücke erhält. Dieser letztere steht zu dem im Falle der vollständigen Belastung gefundenen Horizontalschub im Verhältnisse von 2600 zu 3520. Für den in Betracht gezogenen Fall ist also der Horizontalschuh

167 670.

920

3520

+ - X 167 670 . 2

2600

3520

= 105 750.

Nachdem man auf diese Weise zur Kenntniss der beiden an jedem Ende des Bogens wirkenden Kräfte, d. h. der verticalen Reaction und des Horizontalschuhes gelangt ist, kann man das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... leicht berechnen und sodann folgende Tabelle zusammenstellen.

Der Vergleich dieser Resultate mit jenen, welche in der vorhergehenden Nummer gefunden wurden, ergibt, dass die grösseren Biegungsmomente in dem Falle der Belastung nur einer Bogenhälfte stattfinden. Die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter in der linken

Bogenhälfte kommt am Gewölbrücken des Querschnittes 3 vor und ist deren Werth

109 654 , 92 538 X 0,822 0,034464 H Ö/H3754

= 8 711000:

in der rechten Hälfte des Bogens findet die grösste Pressung an der inneren Laibung des Querschnittes 3 statt und hat dieselbe den Werth

= 7 492 000.

»-¹ Querschnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie des Druckes

CO

M Querschnitte

Biegungs

momente

„ Normales

Pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie des Druckes

125 599

1 — 42 385

119 028

2 — 74 437

113 771

3 — 92 538

109 654

4 — 89 742

106 805

5 —65 127

105 575

6 — 17 730

105 750

—    11 717

—    9 334

—    5 715

—    1 465 + 3 847 + 9 510 + 14 920

—    0,356 1

—    0,654 2

—    0,844 3

—    0,840 4

—    0,617 5

—    0,168 6

+ 78 254 ¹ 97 068 + 64 168 101 128 — 5 129 +0,634 + 31 977 104 119 — 9 911 ! + 0,307 — 17 730 ! 105 750 ! — 14 920 |i — 0,168

239 I + 0,806

I. Linker Halbbogen

II. Rechter Halbbogen

97 068    78 254 X 0,822

0,034464 ⁺    0,013754

Im Falle der Belastung des ganzen Bogens beträgt die grösste Pressung per Quadratmeter 6 705 290 Kilogramm, d. h. dieselbe ist merklich kleiner als im Falle der Belastung nur einer Seite.

Was die Tangentialspannung betrifft, so erkennt man leicht, dass deren Maximum im Scheitel erscheint, wo die Schubkraft den grössten Werth hat und wo der kleinste Querschnitt sich befindet. Da für diesen Querschnitt

G₆ = - (0;250 X 1,5242 — 0,038 X 1,5002 — 0,176 X 1,4762 — 0,024 X 1,3002) = 0,008894,

Z₆ = 0,011498,

und die Dicke des Steges 0in,012 ist, so findet man als grössten Werth der Tangentialspannung per Quadratmeter

= 1 686 000.

* • Ę

7. Einfluss der Aenderung der Temperatur. — Wir wollen annehmen, der Bogen werde hei der Temperatur t aufgestellt und habe hiebei genau die nothwendigen Dimensionen, um denselben auf die Auflager zu stellen, ohne ausser den seinem Gewichte und seinen Belastungen entsprechenden elastischen Kräften noch andere derlei Kräfte hervorzurufen.

Wenn nun dieser Bogen bei der Temperatur t' frei wäre, so würde die Sehne seiner Achse, statt die Länge von

S, G« _ 14920 X 0,008894 0,012 X 0,011498

= 45m,923

45m,ppp ₊ 46m,846

zu haben, d. h. genau gleich zu sein der Entfernung zwischen den Mittelpunkten der Lagerplatten, um die Länge von

zu gross sein.

Wird also der Bogen bei der Temperatur t aufgestellt, so ist offen

45™,923 82 5ÖÖ

bar bei der Temperatur t' der Horizontalschub gleich jenem, welcher für dieselben Belastungen bei der Temperatur t stattfindet, jedoch vermehrt um die Grösse Q, welche der Aenderung der Temperatur entspricht.

Um diese Grösse zu bestimmen, hat man zu beachten, dass die Deformationsarbeit des Bogens, welcher nur den an den Enden wirkenden Horizontalkräften Q unterworfen gedacht wird, durch die Formel (2)

in Nummer 4 gegeben ist, indem man dieselbe mit dem Factor 2 X

3,964

multiplicirt und hiebei das Glied ersten Grades in Bezug auf Q weglässt, da dasselbe von den Belastungen abhängt. Diese Deformationsarbeit wird daher durch die Formel

45,923 82 500

hinzufügen und schliesslich den Differentialquotienten nach Q gleich Null setzen. Man erhält somit die Gleichung

45,923

X 7436. Q

3,964

82 500

woraus mit

2X

3,964

2E

x 7436 . Q²

ausgedrückt.

Zu diesem Ausdrucke muss man das Glied

£=18 000 000 000 Q = 170,38 (T— t) wird.

Um das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, . . . zu erhalten, muss man den für Q gefundenen Werth in die in Nummer 3 erhaltene Tabelle ein-setzen, indem man vorerst daraus die einfach numerischen Glieder weglässt, da dieselben von den Belastungen abhängen. Man kann solcher-massen die folgende Tabelle zusammensetzen:

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normalpressungen

Schubkräfte

^o=0

jïJ = 279 (P— t) M\ = 408 (P— 0 ilf g = 683 (P— 0 I/4 —811 (P— t) M\ = 888 (P— 0 ilfg = 914 (P— ć)

P\ = 152 {t’—t) Pj¹ = 158 (t'—t) P\ = 163 (P— t) P\ --- 166 {t'—t) P\ = 169 {t'—t) P\ = 170 (P— «) P 6 = 170 (<'—0

£0 = 78 (P— t) S\ = M {t'- t) S\ = 54 (P— «) £3 = 40 {t'— t) S\ = 27 {('— t) Sl = U{t'-t)

sl = o

Wenn die mittlere Temperatur, bei welcher der Bogen aufgestellt wurde, 15° ist, und wenn die Grenzen, zwischen welchen die Temperatur variirt, 40° und — 10° sind, so muss man offenbar für die beiden Grenzfalle, und zwar für den ersten

«'—« = 40—15 = 25.

für den zweiten machen.

t'—1 = —10 — 15 = — 25

Die auf diese Weise sich ergebenden Resultate vereinigt man mit den in Nummer 6 erhaltenen, wobei angenommen wurde, dass die Belastung nur auf der linken Hälfte des Bogens stattfindet. Es ist indessen zu beachten, dass die grössten Biegungsmomente in der linken Hälfte des Bogens bei der Temperatur von — 10° und in der rechten Hälfte bei der Temperatur von 40° sich ergeben. Man erhält also folgende Tabellen :

Linker Halbbogen

Rechter Halbbogen

Temperatur von —10°

Temperatur von 40°

^ Querschnitte

Biegungs

momente

Normal-

pressungcn

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

03

^ Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

03

05 O»    W U) K o

121799 — 13667    0

115115 +14094    0

49350 115078 — 10984 —0,428    1    +55682    89056 + 8791 +0,625

84637 109696

7065 —0,771    2    +84811    95664 + 3807 +0,886

2465    — 1,038    3    + 95329    101218    — 1239    +0,941

—    100017    102580    +    3172    —0,975    4    +84443    105353    — 5804    +0,802

—    87327    101325    +    9160    —0,861    5    +54177    108369    — 10261    +0,499

—    40580    101500    +14920    —0,399    6    + 5120    110000    — 14920    +0,046

— 109613 105504

Die grösste Pressung- des Eisens per Quadratmeter findet in dem Falle, auf welchen sich die erste dieser Tabellen bezieht, am Gewölb-riicken des Querschnittes 3 statt und ist deren Werth

= 9516 000;

105 504    109 613 X 0,822

0,034464 ⁺    0,013754

in dem Falle, auf welchen sich die zweite Tabelle bezieht, tritt die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter an der inneren Laibung des Querschnittes 3 auf und ist deren Werth

101 218    95 329 X 0,822

= 8 550 000.

0,034464 ⁺    0,013754

8. Schlussfolgerung. — Diese letzten Resultate zeigen, dass mit den für die Bogen angenommenen Dimensionen die Brücke nicht den nöthigen Grad von Festigkeit besitzt.

Man muss also die Bögen verstärken, indem man an der inneren und an der äusseren Wölbung ein zweites Blech von 0m,25 Breite und 0™,012 Dicke befestigt, welches sich von der Mitte des Theiles 1, 2 bis zur Mitte des Theiles 4, 5, d. h. über eine Länge von ungefähr 12 Metern erstreckt. Die Fläche und das Trägheitsmoment des Querschnittes 3 haben sodann folgende Werthe:

ß₃ = 0,034464 + 2 X 0,250 X 0,012 = 0,040464,

(1,6683 — 1,644³) = 0,017035 ;

/₃ = 0,013754 -f

0,25

12

= 7 970 000.

die grösste Pressung des Eisens per Quadratmeter ist somit 105 504    109 613X 0,834

0^040464 ⁺    0,017035

Diese Pressung kann nicht als zu hoch gegriffen betrachtet werden, nachdem die den Aenderungen der Temperatur entsprechenden Beanspruchungen des Materials schon in Rechnung genommen wurden.²)

12. Capitel.

Betrachtung der Brücke aus Ziegelmauerwerk, welche für die Eisenbahnlinie von Mailand nach Venedig über den Oglio

construirt wurde.

Prüfung der Stabilität des Gewölbes des grossen mittleren Bogens.

(Tafel IX.)

. 42m,00;

. llm,90; 118o 5' 42".

Lichte Oeffnung³)

1. Allgemeine Angaben.

Pfeilhölie

Bogenweite der inneren Laibung.......

. 24ra,479; .    7™,50;

1 m;40 ; 2ra,38;

Halbmesser der inneren Laibung.......

Breite des Gewölbes in der Richtung der Erzeugenden

Stärke des Gewölbes im Scheitel.......

Stärke des Gewölbes im Anlauf.......

Der Gewölbrücken zeigt mehrere Abstufungen, wie aus Tafel IX zu ersehen ist.

2. Belastungen. — In den folgenden Berechnungen setzen wir an Stelle des wirklichen, stufenförmig gebildeten Gewölbrückens eine cy lindrische Oberfläche, welche als Leitlinie eine aus Kreisbögen zusammengesetzte Curve hat, deren jeder durch die drei auf einander folgenden Stufen geht. Man darf daher nicht vergessen, dass das Gewölbe, wofür die hier berechneten Resultate streng genommen zur Anwendung gelangen würden, das theoretische Gewölbe ist, welches als Gewölbrücken obge-

nannte cylindrische Fläche hat. Diese Resultate lassen sich aber offenbar mit genügender Annäherung auf das wirkliche Gewölbe anwenden.

Dem Gebrauche gemäss wird hier eine Brückenbreite von nur einem Meter betrachtet, obzwar diese Annahme keine Vereinfachung und auch keinen Vortheil in der Berechnung bietet und daher gar nicht noth-wendig wäre.

Das Gewölbe wurde mit ausgesuchten Ziegelsteinen und mit Mörtel ausgeführt, welcher mit hydraulischem Kalk von Palazzolo zusammengesetzt wurde.

Das Gewicht des Mauerwerks des Gewölbes beträgt 2000 Kilogramm per Cubikmeter.

Die Hintermauerung des Gewölbes besteht ebenfalls aus Ziegelmauerwerk und ist von einer Cementschichte bedeckt, um das Eindringen des Wassers zu verhindern. Auf diese Cementschichte wurde bis zur Schienenhöhe Kies geschüttet, welcher ein Gewicht von 1600 Kilogramm per Cubikmeter hat.

Die grösste Belastung, welche die Brücke beim Verkehr der Züge zu ertragen hat, beträgt 8000 Kilogramm per Längenmeter der Brücke, d. h.

== 1067 Kilogr.

8000 7,50

per Quadratmeter der Fläche.

Behufs Vereinfachung der Berechnung ist es angezeigt, sowohl den auf der Cementschichte ruhenden Kies, als auch die Belastung in Gewichten des Gewölbmauerwerks zu reduciren; man kann also die verticale Höhe des Kieses im Verhältnisse von 2000 zu 1600 vermindern und die Belastung durch eine Mauerwerksschichte darstellen, deren Höhe

— 0m,533 beträgt.

1067

2000

Nimmt man nun als Einheit das Gewicht eines Cubikmeters Mauerwerk, d. h. 2000 Kilogramm, so hat augenscheinlich das Gewicht eines beliebigen Gewölbsttickes und dessen Belastung genau denselben numerischen Werth wie die correspondirende Fläche.

Theilt man also die Achse des halben Gewölbes in sechs gleiche Theile, führt durch die Theilungspunkte Normale auf diese Achse, zieht

sodann in den Punkten, wo diese Normalen den Gewölbrücken treffen, Verticale, und nimmt man schliesslich an, dass jedes Gewölbsttick den zwischen den beiden correspondirenden Verticalen befindlichen Theil der Belastung tragen muss, so kann man mit den in der Figur eingeschriebenen Massen die

_ Fläche jedes Gewölbstückes und jedes der sechs Theile der Belastung finden ;

werden ferner die Schwerpunkte jeder dieser Flächen auf graphischem Wege bestimmt und die Entfernungen dieser Punkte von dem Scheitel gemessen, so lassen sich die Momente aller dieser Flächen bezüglich dieses Punktes berechnen und folglich auch die Momente der Flächen, welche das Eigengewicht und die Belastung der Stücke 0, 1; 0, 2; etc. darstellen.

Nachdem diese Momente bezüglich des Scheitels erhalten wurden, kann man hievon die Momente derselben Belastungen bezüglich der Querschnittsmittelpunkte 0, 1, 2, ... 5 leicht ableiten, d. h. das Moment der totalen Belastung des Stückes 6, 0 in Bezug auf den Querschnittsmittelpunkt 0; und desgleichen die Momente des Stückes 6, 1; 6, 2; 6, 3; ... 6, 5 bezüglich der Querschnittsmittelpunkte 1, 2, 3, . . . 5.

Nach Ausführung dieser Operationen findet man folgende Kesultate, wobei zu beachten ist, dass die in den Colonnen 3, 5 und 7 gegebenen Momente nicht die Momente bezüglich des Scheitels sind, sondern jene in Bezug auf die Mittelpunkte der Querschnitte 0, 1, 2, ... 5; so wurden z. B. für das Gewölbstück 6, 3 die gegebenen Momente in Bezug auf den Mittelpunkt des Querschnittes 3 berechnet.

Gewölbe allein

Belastung

Gewölbe und Belastung

Gewölb-

stücke

Flächen

Momente

Flächen

Momente

Flächen

Momente

6.0

6.1

6.2

6.3

6.4

51,35

41,17

31,42

22,11

13,59

6.5

6,34

458,49

339,55

224,96

127,66

56,28

14,52

94,67

66,14

42,19

24,81

13,12

5,52

556,19

378,42

227,85

118,63

48,80

11,46

146,02

107,31

73,61

46,92

26,71

11,86

1014,68

717,97

452,81

246,29

105,08

25,98

3. Benennungen und allgemeine Formeln für den Fall der Abrüstung der Leerbögen, d. li. so lange der Bogen nur sein eigenes Be wicht trägt. — Da in dem vorliegenden Falle die Belastung in Bezug auf den Scheitel symmetrisch ist, muss in diesem Querschnitte die Schubkraft gleich Null sein; folglich sind das Biegungsmoment M und die Normalpressung P im Scheitel als Unbekannte des Problems anzusehen, und man kann leicht das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt in Functionen derselben aus-drücken. Denkt man sich den Bogen im Scheitel geschnitten, so bleibt offenbar jede Hälfte im Gleichgewichte, vorausgesetzt, dass man im Scheitelquerschnitte eine nach einem gleichförmig veränderlichen Gesetze vertheilte Pressung anbringt, deren totale Grösse P beträgt, und deren Moment bezüglich der Biegungsachse des Scheitels, d. h. die Summe der elementaren Momente gleich M ist.

Um das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt, z. B. für den Querschnitt 4, auszudrücken, muss man die im Scheitel angebrachte Pressung und das Gewicht des Bogenstückes 6, 4 berücksichtigen, dessen Moment bezüglich des Mittelpunktes des Querschnittes 4 in der Colonne 3 der in vorhergehender Nummer angeführten Tabelle enthalten ist. Man erhält also

M, = M— 1,28 . Q + 56,28,

P₄ = 0,943 . Q + 13,59 X 0,335,

S₄ = 0,335 . Q — 13,59 X 0,943.

Quer

schnitte

Biegungsmom ente

IN ormalpressungen

Schubkräfte

S₀ = 0,857 . Q — 26,55 ą = 0,756 . Q — 26,97

5₂    = 0,635 . Q — 24,35

5₃    = 0,492 . Q — 19,24

5₄    = 0,335 . <9 — 12,82 ą = 0,170 . Q — 6,26

0 M₀ =M— 11,96. (9 + 458,49 P₀ = 0,517 . Q + 44,01

1    = M — 8,47.Q + 339,55 P₁ = 0,655 . Q + 31,12

6    = itf

P₆ = 1,000 . Q

Nach Aufstellung der analogen Formeln für alle Querschnitte .0, 1, 2, ... 5 und Durchführung der numerischen Operationen kann man die vorhergehende Tabelle bilden, in welcher nur M und Q als Unbekannte Vorkommen.

4. Bestimmung der Unbekannten. — Obgleich das zu untersuchende Gewölbe nicht homogen ist, muss es doch als solches betrachtet werden, da die Vertheilung der Ziegel und des Mörtels für dessen ganze Ausdehnung dieselbe ist.

Wenn man die Leerbögen abrüstet, wird sich das Gewölbe offenbar deformiren; da es aber symmetrisch ist, so wird der Scheitelquerschnitt, welcher vor der Abrüstung vertical war, auch während der Deformation vertical bleiben und sich in horizontaler Richtung weder nach links, noch nach rechts verschieben. Denkt man sich nun eine Hälfte des Gewölbes entfernt und, um das Gleichgewicht zu erhalten, im Scheitel der anderen Hälfte den Horizontalschuh Q und das Biegungsmoment M angebracht, so kann man die Werthe von Q und von M durch die Bedingung bestimmen, dass bei der Deformation des Halbbogens unter der Einwirkung des Horizontalschubes Q und des Momentes M und seines Eigengewichtes der Scheitelquerschnitt immer vertical bleibt, d. h.

1.    dass dessen horizontale Verrückung Null ist,

2.    dass dessen Drehung ebenfalls Null ist.

Man findet die Werthe von M und Q, welche diesen Bedingungen entsprechen, indem man die Deformationsarbeit des Halbbogens in einer Function der beiden Unbekannten ausdrückt und die Differentialquotienten nach denselben gleich Null setzt.

Nennt man

E den mittleren Zusammendrückungscoëfficienten des Gewölbes,

Q0f S2if ß₂, ... S2₆ die Flächen der Querschnitte 0, 1, 2, . . . 6,

7₀, I1} /₂, ... /₆ die Trägheitsmomente dieser Querschnitte und setzt man der Kürze halber

M'¹    1 rM\

M‘l

+-4

M\

M\

pi

₊ 4i^-|-2^+4^-f2^-f-4^q Pifi

¹

In Figur 4 (Tafel VIII) wird durch eine continuirliche Linie die Mittellinie des Druckes für den Fall der Belastung über die ganze Länge des Bogens dargestellt. Die unterbrochene Linie hingegen repräsentirt die Mittellinie des Druckes für den in Nummer 6 behandelten Fall einer nur linksseitigen Belastung.

²

Vergleicht man die grösste Pi’essung des Eisens per Quadratmeter für den Bogen mit ebenen Auflagflächen, d. h. für den als eingemauert anzusehenden, und für den Bogen mit cylindrischen Auflagflächen, d. h. für den einfach unterstützten, so könnte man glauben, dass der erste Fall für die Oekonomie in der Anwendung des Eisens ungünstig wäre, was aber den elementarsten Anschauungen entgegen wäre. Macht man aber einen vollständigen Vergleich der für die beiden Bögen erhaltenen Resultate, so erkennt man, dass, wenn man die Menge des zu verwendenden Eisens auf das genau nothwendige Mass beschränken könnte, der Bogen mit ebenen Auflagflächen ökonomischer wäre als jener mit cylindrischen.

In der Praxis hingegen tritt oft das Gegentheil ein, und zwar:

1.    weil die Einmauerung nur durch die Wahl besonderer Dispositionen zu erreichen ist, für welche eine gewisse Menge Eisen anzuwenden ist, welche in obigem Vergleiche nicht inbegriffen ist;

2.    weil es nicht möglich ist, den Bogen so zu construiren, dass das Eisen genau in dem nur nothwendigen Masse vertheilt ist.

³

Die Oeffnung- von 42 Meter wurde seitens des obersten Ratlies für öffentliche Bauten vorgeschrieben, und zwar in Folge der durch andere Projecte, welche die Construction von Pfeilern im Flussbette zur Voraussetzung hatten, hervorgerufenen Opposition. Das definitive Project wurde von Herrn César Bermani, Ingenieur der oberitalienischen Bahn, ausgearbeitet, und leitete derselbe auch den Bau dieses Werkes.

n₂ ß₃    n, a

so erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des halben Gewölbes (indem man jenen Theil vernachlässigt, welcher der Verschiebung entspricht, da derselbe einen sehr kleinen Einfluss auf die Resultate der Berechnung hat) die Formel

oder die folgende, wenn man den numerischen Factor

4,37

weglässt,

2P

was nichts an den Gleichungen ändert, welche man daraus ableitet, indem man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach M und Q gleich Null setzt,

(o

. ., für die Trägheitsmomente sowie für die logarithmischen Complemente dieser Werthe

Die Werthe für die Flächen ß(l, Q

• •}

•

sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Quer

schnitte

Flächen

Trägheits

momente

Logarithmische Complemente

der

Flächen

der Trägheitsmomente

<N CO ^ »O ZO

-V V J⁻¹ i° J® 4* J®

o § g g SS % &

1,1234

0,9877

0,8633

0,7499

0,5024

0,2812

0,2287

1,62342

1,64207

1,66154

1,68194

1,73993

1,82391

1,85387

1,94947

0,00537

0,06384

0,12500

0,29895

0,55098

0,64073

/₀, Ą, ... obige numerische Werthe, so er-

Substituirt man in der Formel (1) für die Momente M[)} Mx, und für die Pressungen P₀, P,, ... deren Ausdrücke in Functionen von M und Q, wie sie durch die Tabelle in Nummer 3 gegeben wurden, und für Q₀, Qi} f2₂, . hält man

_ J\/f2

^] ~Y = 11,72 . M- — 27,90.2 M Q + 180,80 . Q2 + 1138,68.2 M— 7254,40.2 Q,

= 2,38 . Q² + 28,42.2 Q,

und die Formel (1) ergibt

11,72. ilf² — 27,90.2 M Q +183,18. Q² + 1138,68.2 M — 7225,98.2 Q.

Setzt man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach M und Q gleich Null, so erhält man folgende Gleichungen:

11,72 . M— 27,90. Q = — 1138,68,

— 27,90 . M+183,18 . Q =    7225,98,

woraus

— 5,096,

Q= 38,671.

5. Mittellinie des Druckes und Pressung per Quadratmeter an der inneren Laibung und am Gewölbriicken. — Durch Substitution der oben gefundenen Wertlie für ilf und Q in die in Nummer 3 gegebene Tabelle erhält man die Werthe der Biegungsmomente, der Normalpressungen und der Schubkräfte in den Querschnitten 0, 1, 2, . . . 6. Dividirt man die Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen, so erhält man die Entfernungen der Mittelpunkte des Druckes von jenen der Querschnitte, womit sich die Mittellinie des Druckes zeichnen lässt. Mit den erhaltenen Werthen für die Biegungsmomente und die Normalpressungen ergeben sich die Pressungen per Quadratmeter sowohl für die innere Laibung, als auch für den Gewölbrücken mit Hilfe der Formel

P Mv

wQ ~ I ;

in welcher P und M die Normalpressung und das Biegungsmoment eines Querschnittes, D, /, v die Fläche, das Trägheitsmoment und die halbe Höhe desselben Querschnittes darstellen.

Alle Kesultate dieser Berechnung sind in folgender Tabelle zusammengefasst.

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Pressung per Quadratmeter

co

an der inneren Laibung

am

Gewölb-

rücken

—    9,11 + 6,91 + 9,11 + 7,32 + 1,69

—    5,27

—    5,10

64,00

56,45

49,92

44,52

41,02

39,25

38,67

+ 6,59 + 2,27 + 0,21 — 0,21 + 0,13 + 0,31

0,00

—    0,142 + 0,122 + 0,182 + 0,164 + 0,041

—    0,135

—    0,132

34 504

65 478

69 858

63 110

51 200

24 822

24 022

73 040

33 558

21 738

22 506

38 956

79 846

86 462

6. Senkung des Gewölbes im Scheitel in Folge der Abrüstung der Leerbögen.

des Gewölbes im Scheitel gegeben wird, ist folgende:

ilT₂ a?₂

Die Formel, durch welche diese Senkung

+ 4-

AG

4,37 1 /■ Pn sinç>0 3 L~

Pi sin cp₁

S2₍₎

ß.

P-, sin y₅ j .

in derselben sind Mn . . ., P₀, Plf . . . die Biegungsmomente und die Normalpressungen, deren numerische Werthe durch die Colonnen 2 und 3 der letzten Tabelle gegeben wurden; 7₀, Ix, . . ßtl, ß„ . . . sind die Trägheitsmomente und die Flächen der Querschnitte; a?(l,    . . . sind

die Entfernungen dieser Querschnitte von der durch den Scheitel gehenden Verticalebene; endlich sind cp₀,    . . . die Winkel, welche diese Quer

schnitte mit der Verticalen einschliessen. Hiebei hat man zu beachten, dass a?₆ = 0 und sin cpG = 0 ist.

Durch Substitution der aus der letzten Tabelle oder aus Tafel IX sich ergebenden Werthe erhält man

C Afp 3?o

l G

H I CO

Mx xt

.1X'2

AG

= 310,20;

1 /• g, sin y0 3 V

Py sin 9^

ß.

t- 2

F₂ sin cp₂

ß₂

Pr sin y5 4 5 y

= 65,01.

Diese Resultate müssen noch mit dem Gewichte eines Cubikmeters Mauerwerk, d. h. mit 2000 multiplicirt werden; die Senkung des Gewölbes im Scheitel wird also durch die Formel

3 280 000

gegeben.

Kennt man den Werth von E, d. h. den mittleren Coëfficienten der Zusammendrückbarkeit des Mauerwerkes im Momente der Wegnahme des Leergerüstes, so kann man mit obiger Formel die Senkung des Gewölbes im Scheitel bestimmen.

Hat man hingegen diese Senkung während der Abrüstung mit 0m,045 gemessen, so kann man den Werth von E aus obiger Gleichung ableiten und erhält

E= 12 889 000.

7. Betrachtung des Falles, in welchem man nicht nur das Eigengewicht des Gewölbes, sondern auch die ganze permanente Last, sowie die zufällige Belastung, welche dasselbe zu tragen hat, in Rechnung zieht. — Behält man dieselben Benennungen bei wie in Nummer 3 und 4 und beachtet man, dass für den Fall der com-pleten Belastung die Gewichte der Stücke 6, 0; 6, 1; 6, 2; ... 6, 5 und deren Momente bezüglich der Querschnittsmittelpunkte 0, 1, 2, ... 5 schon in den Colonnen 6 und 7 der in Nummer 2 enthaltenen Tabelle bekannt gegeben wurden, so kann man die folgende Tabelle leicht zusamm en setzen.

^ Querschnitte

Biegungsmomente

Normalpressungen

Schubkräfte

0    M₀ = M— 11,96. Q +1014,68

1    Mi = M— 8,47.Q-j- 717,97

2    M₂ = M— 5,45. Q-\- 452,81

3    MS=M— 2,98. Q+ 246,29

4    Ma = M— 1,28. Q-f 105,08

5    M-₀ = M— 0,38.Q + 25,98

6    M₆ = M

= 0,517. Q-f 125,14 Pi = 0,655.Q+ 81,13 P₂ = 0,775.Q + 46,74 P₃ = 0,870. Q+ 23,08 P₄ = 0,943.Q+    8,95

P₅ = 0,987.0+    2,02

Pc = 1,000. Q

Ą = 0,857. Q —75,49 Ą = 0,756. Q — 70,29

5₂    — 0,635. Q — 57,05

5₃    = 0,492. Q— 40,82 Ä₄= 0,335. Q — 25,19 N₅ = 0,170.Q— 11,71 ^6 = 0

In dieser Tabelle erscheinen nur die Unbekannten M und Q, welche man genau so wie in Nummer 4 bestimmen kann, d. h. man substituirt in der Formel (1) für die Momente M₀, Mx, . . . und für die Normalpressungen Pu, P„ . . . deren Ausdrücke in Functionen von M und Q, dann bildet man die Differentialquotienten des sich ergebenden Ausdruckes,, setzt dieselben gleich Null und erhält somit die gewünschten zwei Gleichungen.

Auf diese Weise findet man zuerst

V] = 11,72 . ilf² — 27,90.2MQ + 180,80 . Q2 + 2 320,33.2 ilf— 15 243,21. 2 Q;

ü-

Q

= 2,38 . Q² + 68,67.2 Q ;

die Formel (1) ergibt 11,72. ilf² —27,90.2MQ-p 183,18 . Q² + 2320,33.2 M—15174,54.2 Q,

11,72 . ilf— 27,90 . Q + 2 320,33 = 0, 27,90 . ilf + 183,18 . Q — 15 174,54 = 0,

ilf = — 1,220,-82,653.

die Differentialquotienten hievon gleich Null gesetzt, geben die zwei Gleichungen

woraus

Da der Werth von ilf negativ ist, folgt daraus, dass der Druckmittelpunkt im Scheitel oberhalb des Querschnittsmittelpunktes liegt.

Nachdem nun die Werthe von ilf und Q bekannt sind, substituirt man dieselben in die in obiger Tabelle enthaltenen Ausdrücke für die Biegungsmomente, die Normalpressungen und die Schubkräfte, und indem man sodann die gleichen Operationen durchführt wie in Nummer 5, kann man die folgende Tabelle zusammensetzen, in welcher für jeden der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 das Biegungsmoment, die Normalpressung, die Schubkraft, die Entfernung des Druckmittelpunktes vom Querschnittsmittelpunkte und endlich die Pressung per Quadratmeter sowohl für die innere Laibung, als auch für den Gewölbrücken enthalten sind.

Quer

schnitte

Biegungs

momente

Normal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Pressung per Quadratmeter

an der inneren Laibung

am

Gewölb-

rücken

+ 24,93 + 16,68 + 1,13

167,87

135,27

109.14

1.24

94,99

—    1,94    86,89

—    4,99    83,60

82.65

1.22

—    4,66

—    7,80

—    4,57 + 0,33 + 2,50 + 2,34

0,00

+ 0,152 + 0,121 + 0,010

—    0,013

—    0,022    88 180

—    0,060    84 850

—    0,015

183 880

157 162

102 980

87 898

110 602

88 048

80 154

97 272

94 778

103 108

138 086

125 538

Um die Senkung des Gewölbes im Scheitel für den Fall der com-pleten Belastung zu bestimmen, bediene man sich der in Nummer 6 gegebenen Formel, indem man darin für M(}, Mx, üf₂, . . .; P₀, P1; P₂, . . . die in den Colonnen 2 und 3 der vorhergehenden Tabelle enthaltenen Werthe einsetzt. Man erhält auf diese Weise

J/₂ æ₂

I«

Ii

+ • • • +4

= 462,07 ;

1 Ç A sin y₀ , ₁ A sin y, 3 v

P₂ sin y

A)

ß₂

? + ...+4

A sinfA 5    4

= 153,56

und (nachdem man diese Resultate mit 2000, d. h. mit dem Gewichte eines Cuhikmeters Mauerwerk multiplicirt hat)

5 380 000

Wenn man annehmen kann, dass nach der vollständigen Herstellung der Brücke der Coefficient der Zusammendrückbarkeit E noch denselben

5 380 000

Werth hat, welchen er während der Abrüstung der Leerbögen gehabt hat, d. h. 72 889 000, so ist die totale Senkung des Gewölbes im Scheitel gegeben durch

= 0,074.

72 889 000

Da sich das Gewölbe während der Abrüstung der Leerbögen durch die alleinige Wirkung seines Eigengewichtes um 0m,045 gesenkt hat, so sieht man, dass sich dasselbe in Folge der Belastung noch um 0m,029 senken wird.

Dieses Resultat zeigt, dass das Eigengewicht des Gewölbes auf die Senkung im Scheitel einen bedeutend grösseren Einfluss hat als die Last, welche dasselbe zu tragen hat. Dies erklärt sich durch die verschiedene Art, in welcher diese zwei Gewichte vertheilt sind; denn das Eigengewicht des Gewölbes ist über die ganze Länge beinahe gleichförmig vertheilt, während das Gewicht, durch welches das Gewölbe belastet wird, bei den Widerlagern bedeutend grösser ist als im Scbeitel.

Man muss noch beachten, dass sich die Senkung des Gewölbes im Scheitel in Folge der Belastung geringer ergibt, als durch die Berechnung erhalten wurde, d. h. geringer als 0,029, und zwar aus folgenden Ursachen :

1.    Im Masse, als man die Hintermauerung aufführt, nimmt auch die Bindung des Mörtels zu und dessen Zusammendrückbarkeit ab; ferner entspricht die Senkung von 0,029 zum grössten Theile dem Ballaste und der Belastung; sobald man den Ballast aufführt oder die Brücke belastet, ist der Mörtel schon fest gebunden und in Folge dessen sehr wenig zusammendruckbar ;

2.    bildet die Hintermauerung keine Belastung ohne Cohäsion, wie dies in der Berechnung angenommen wurde, sondern dieselbe bildet mit dem Mauerwerk der Widerlager einen einzigen massiven Körper. Sie bildet sozusagen zwei in die Widerlager eingefügte feste Körper, welche nicht nur auf das Gewölbe nicht mit ihren vollen Gewichten wirken können, sondern welche in Folge der Einmauerung auch noch verhindern, dass das Gewicht des Ballastes und der Belastung sich vollständig auf das Gewölbe überträgt. Dieser letzte Umstand hat jedoch geringen Einfluss auf die sehr gedrückten Bogen, für welche die Hintermauerung selbst bei den Widerlagern nur eine geringe Höhe hat.

13. Capitel.

Betrachtung der Brücke aus Hausteinen, welche von dem Ingenieur Charles Mosca über die Doire bei Turin construirt

wurde.

(Tafel X.)

1. Allgemeine Angaben. — Oeffnung .    .    .

Pfeilhöhe der inneren Laibung........

Halbmesser der inneren Laibung.......

Bogenweite der inneren Laibung.......

Stärke des Gewölbes im Scheitel.......

Stärke des Gewölbes im Anlauf.......

Sehne des Gewölbriickens.........

Pfeilhöhe des Gewölbrückens ........

Halbmesser des Gewölbriickens........

Bogenweite des Gewölbrückens........

Breite der Brücke mit Einschluss der Geländer .    .

. . 45® 00;

. .    5™ 50;

.    .    48ra,773;

. 54° 56' 42"; . .    1®,50;

. . 2m,00 ;

.    .    46m,846;

.    .    5“ 226;

. . 55® 102; . 50° 18' 42"; . . 12®,60.

2. Belastungen. — Das Gewölbe der Brücke besteht aus Granit von Manalaggio in der Nähe von Pignerol (Italien), dessen Gewicht per Cubikmeter* 2750 Kilogramm beträgt. Die Hintermauerung besteht aus Bruchstein und ist dessen Gewicht 2300 Kilogramm per Cubikmeter. Auf dem Mauerwerk befindet sich eine 0m,15 dicke Schichte Mörtel und auf dieser bis zur Höhe des Macadams wieder gestampfte Erde. Das Gewicht dieser Mörtelschichte und der Erde beträgt 1600 Kilogramm per Cubikmeter, jenes des Macadams 1800 Kilogramm.

Zur Vereinfachung kann man sowohl die Hintermauerung, sowie die Mörtelschichte, die darüber gelagerte Erde und das Macadam auf das specifische Gewicht des Mauerwerkes des Gewölbes reduciren. Es vermindert sich dann die verticale Höhe des Bruchsteinmauerwerkes im Verhältnisse von 2750 zu 2300, d. h. man erhält die reducirten Höhen 2300

. Die verticale Höhe der Mörtelschichte,

1600 2750;

multipliciren. Man kann also über dem Ge wölbrücken eine

durch Multiplication mit

2750

respec-

der Erde und des Macadams muss man mit den Brüchen

tive

1800

2750

Linie derartig- ziehen; dass die Last eines zwischen dieser Linie und dem Gewölbrücken befindlichen Materiales vom gleichen specifischen Gewichte wie jenes des Mauerwerks des Gewölbes gleich ist der wahren permanenten Last, und dass dieselbe auch in gleicher Weise vertheilt ist.

Als zufällige Belastung nehmen wir 600 Kilogramm per Quadratmeter an, wie dies einige Fachmänner vorschreiben, wenn auch selbst das grösste Menschengedränge nur eine Last von ungefähr 400 Kilogramm per Quadratmeter gibt. Diese angenommene Belastung ist gleich einer

= 0m,218 Höhe;

wenn man

Schichte aus Hausteinmauerwerk von ------

2750

also oberhalb der schon erhaltenen Linie, welche die Grenze der im Gewicht des Hausteines reducirten permanenten Last darstellt, in der Entfernung von 0ra,218 in der Verticalen gemessen eine parallele Linie zieht, so erhält man die Grenzlinie für die totale Belastung der Brücke.

Nimmt man als Einheit das Gewicht eines Cubikmeters des Gewölb-mauerwerkes, d. h. 2750 Kilogramm, und betrachtet man eine Breite der Brücke gleich einem Meter, so wird offenbar das Gewicht eines Gewölb-stückes und der Belastung durch dieselbe Zahl ausgedrückt wie die correspondirende Fläche.

Theilt man die Achse des Halbgewölbes in sechs gleiche Theile, zieht durch die Theilungspunkte Senkrechte zu dieser Achse, errichtet sodann in den Punkten, wo diese Senkrechten den Gewölbrücken treffen, Verticale, und nimmt man schliesslich an, dass jeder dieser sechs Theile des Halbgewölbes jenen Theil der Last trägt, welcher zwischen den beiden correspondirenden Verticalen liegt, so kann man mit den in der Figur eingeschriebenen Massen die Fläche jedes Stückes des Gewölbes und jeden der sechs Theile der Belastung finden. Bestimmt man ferner auf graphischem Wege die Schwerpunkte dieser Flächen und misst man die Entfernungen derselben von der durch den Scheitel gellenden Vertical ebene, so kann man die Momente dieser Flächen bezüglich dieser Ebene und in Folge dessen auch die Momente mehrerer dieser Flächen zusammengenommen finden.

Kennt man nun das Moment einer beliebigen Partie des Gewölbes und der correspondirenden Last, z. B. der Partie 6, 3 in Bezug auf den Scheitel, so kann man das zur Berechnung nothwendige Moment bezüglich des Schwerpunktes des Querschnittes 3 hieraus ableiten, indem man das schon erhaltene Product von jenem Producte abzieht, welches man durch Multiplication des Gewichtes der Partie 6, 3 mit der Horizontalentfernung der Mittelpunkte der Querschnitte 3 und 6, d. h. mit 11,81 erhält. Nennt man das Gewicht des Bogenstiickes 6, 3, d₃ und d₃ die Horizontalentfernung seines Mittelpunktes von den Mittelpunkten der Querschnitte 6 und 3,

D₃ die Horizontalentfernung der Mittelpunkte dieser zwei Querschnitte, m₃ und m₃' das Moment des Gewichtes jh bezüglich des Scheitels und bezüglich des Mittelpunktes des Querschnittes 3,

so hat man

mi — P‘i ^3?

da aber d₃'=D₃— d₃ ist, ergibt sich

m3— 2h A ~lh cli = 1h A — m

m3' — Xh ch'i

:: ’

wie oben erwähnt wurde.

Auf diese Weise gelangt man zu folgenden Resultaten :

i-¹ Gewölbstücke

Gewölbe

Belastung

Gewölbe und Belastung

Gewölbe und Belastung in Kilogramm

Flächen

Momente | Flächen Momente

Flächen Momente

Flächen

Momente

6.0

39,400

31.816

24.783

18,203

11,958

5,930

422,70

292,89

187,93

105,67

47,16

11,92

43,756    312,55

28,876    186,49

18,046    103,15

83,156    735,25

60,692    479,38

42,829    291,08

28.739    156.34

228 679    2 021 937

166 903    1 318 295

117 780    800 470

79 033    429 935

17,658    67,62

8,430    16,37

48 559    185 955

23 182

46 392

Es ist hiebei zu beachten, dass die in den Colonnen 3, 5, 7 und 9 gegebenen Momente nicht jene in Bezug auf den Scheitel sind, sondern die Momente bezüglich der entsprechenden Mittelpunkte der Querschnitte 0, 1, 2, ... 6; so wurde z. B. für das Bogenstitck 6, 3 das in der Tabelle angegebene Moment in Bezug auf den Mittelpunkt des Querschnittes 3

genommen.

Die in den Colonnen 8 und 9 angeführten Gewichte und Momente wurden aus den in den Colonnen 6 und 7 angegebenen Ziffern durch Multiplication mit 2750 abgeleitet.

3. Benennungen und allgemeine Formeln. — Ein Bogen aus Mauerwerk muss immer als an seinen Enden eingespannt (eingemauert) betrachtet werden, denn wenn derselbe genugsam studirt ist, wie man dies selbst für die erste Berechnung annehmen muss, so wird sich der Druck auf die Widerlager über die ganze Ausdehnung der Querschnitte des Anlaufes vertheilen.

Wenn aus der Berechnung resultiren würde, dass in einem Theile der Kämpferfugen Spannungen herrschen, und wenn diese Spannungen nicht stattfinden können, sei es weil das Gewölbe ohne Mörtel construirt wurde, sei es weil der angewendete Mörtel keine Widerstandskraft gegen Zug besitzt, so muss man die Berechnung nochmals aufnehmen, indem man sich die Querschnitte auf jene Theile reducirt denkt, welche bei der ersten Berechnung als gedrückt erscheinen. Diese Querschnitte können auch noch durch eine dritte Berechnung corrigirt werden.

Wir nehmen zuerst an, dass das Gewölbe der in Betracht gezogenen Brücke in die Widerlager eingefügt und vollständig belastet sei, so dass man für die Theile 6, 0 ; 6, 1 ; 6, 2 ; ... die in den zwei letzten Colonnen der vorhergehenden Tabelle angeführten Gewichte und Momente hat.

Da die Belastung bezüglich des Scheitels symmetrisch ist, wird die Schubkraft in diesem Querschnitte gleich Null sein; folglich sind das Biegungsmoment M und die Normalpressung P im Scheitel die Unbekannten des Problems, und es lassen sich das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt leicht in Functionen dieser Unbekannten ausdrücken. Denkt man sich nun die zwei Hälften des Gewölbes getrennt, so werden dieselben offenbar im Gleichgewichte bleiben, sobald man im Scheitel jeder derselben eine

Pressung wirken lässt, welche nach einem gleichförmig variablen Gesetze derartig vertheilt ist, dass ihre Gesannntgrösse P und ihr Moment bezüglich der Biegungsachse M ist.

Man erhält auf diese Weise das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft für einen beliebigen Querschnitt; z. B. erhält man für den Querschnitt 4, wenn man die im Scheitel wirkende Pressung und das Gewicht des Theiles 6, 4, dessen Moment bezüglich des Mittelpunktes des Querschnittes 4 in der Tabelle der vorhergehenden Nummer angeführt ist, betrachtet, folgende Werthe:

Mx =M— 0,60 . Q + 185 955,

Px = 0,998 . Q +- 0,154 X 48 559, Sx = 0,154 . Q — 0,988 X 48 559.

Durch Aufstellung der analogen Formeln für alle Querschnitte 0, 1, 2, ... 6 und Ausführung der numerischen Operationen ergeben sich die Daten für folgende Tabelle:

Quer

schnitte

Biegungsmomente

Normalpressungen

Schubkräfte

0,447. # — 204655 Ą = 0,378.#—154385 £₂ = 0,305.# — 111897 &,= 0,230.#— 76890 Ą = 0,154.#— 47987 S₅ = 0,078.#— 22962 Ä₆ = 0

M₀ = M— 5,36. #+2021937 P₀ = 0,895.(3+ 102217 Mj = >/—3,76. #+1318295 Pj= 0,925.#+ 63085 3/, = M— 2,40.#+ 800470 P₂ = 0,950.#+ 35915 M₃ — M— 1,35.#+ 429935 P₃ = 0,973.#+ 18177 MX = M— 0,60.#+ 185955 P₄ = 0,988.#+    7480

M₅^=M— 0,15.#+    46392 P₅ = 0,996.#+    1815

P₆ = 1,000.#

4. Bestimmung- des Werthes der Unbekannten. — Der Werth von Q und M wird offenbar variiren, je nachdem das Gewölbe homogen ist oder nicht und je nachdem die Mörtelschichten in den Fugen über die ganze Ausdehnung derselben eine constante Dicke oder aber eine von der inneren Laibung zum Gewölbrücken variable Dicke haben,

weshalb es nothwendig ist, eine kurze Beschreibung- des Gewölbes zu geben.*)

Dieses Gewölbe ist aus 93 Reihen Granitblöcken zusammengesetzt, welche derartig behauen sind, dass sie ohne Zwischenlagen von Mörtel genau ein Gewölbe von 45m,00 Sehne und 5m,50 Pfeilhöhe bilden können. Das Leergerüst des Bogens wurde hingegen nach einem Kreisbogen mit einer Sehne von 45m,00 und einer Pfeilhöhe von 5m,75 ausgeführt, dessen entwickelte Länge demnach um 0m,l62 gegenüber jener der inneren Laibung des Projectes grösser ist.

Diese Anordnung wurde gewählt, um die Granitblöcke derartig lagern zu können, dass im Bogenanlauf die Mörtelfugen an der inneren Laibung eine genügende Dicke haben, während sie am Gewölbrücken beinahe Null sind. Die an der inneren Laibung breiteste Fuge ist die Kämpferfuge und die anderen vermindern sich nach und nach, bis sie in der 11. Fuge gleich Null werden, wie man aus nachfolgender Zusammenstellung entnehmen kann.

Fuge

Dicke

Dicke

an der inneren Laibung am Geicölbrücken

h (6 co 4 o 0 S ai ai ö h

t-H tH

0,009

0,008

0,008

0,007

0,007

0,006

0,005

0,005

0,004

0,003

0,002

0,0037

0,0027

0,0034

0,0033

0,0032

0,0030

0,0024

0,0023

0,0020

0,0014

0,0009

0,064

0,0283

*) Alle im Verlaufe der vorliegenden Betrachtung nothwendigen Daten sind einer Abhandlung des Herrn C. Mosca, Ingenieur der oberitalienischen Eisenbahnen, (Neffe des berühmten Constructeurs dieser Brücke) entnommen.

Auf diese Weise hat man bei jedem Anlaufe an der inneren Laibung 0 m,064 gewonnen, d. h. 0m,128 für den ganzen Bogen. Um zu der ganzen Differenz von 0m,162 zu gelangen, bleiben noch 0m,034, aber man hat erwartet — was auch wirklich eingetreten ist — dass diese kleine Differenz in Folge der geringen Ungenauigkeiten der Granitblöcke verschwinden wird.

Von der 11. bis zur 36. Fuge wurde kein Mörtel angewendet.

In Folge der den Granitblöcken in der Nähe des Kämpfers gegebenen Stellung war der Winkel, welchen die 36. Fuge mit der durch den Scheitel gehenden Yerticalfuge bildete, grösser als die Summe der Winkel der Granitblöcke, welche zwischen der 36. Fuge und dem Scheitel gelagert werden sollten; folglich musste man diese Differenz zwischen der 36. und 47. Fuge dadurch vertheilen, dass man die Steine derartig stellte, dass sie sich wohl an der inneren Laibung, aber nicht am Ge-wölbrücken berühren, und dass man die leeren Bäume zwischen denselben mit Mörtel ausfüllte. Man hat also auch in der Nähe des Scheitels keilförmige Fugen wie im Bogenanlaufe, dieselben haben aber eine entgegengesetzte Richtung. Die Breite dieser Fugen ist aus folgender Zusammenstellung zu ersehen.

Dicke

am Geic'öibrücken

Fuge

Dicke

an der inneren Laibung

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

ooooooooooo

0,001

0,001

0,002

0,002

0,003

0,003

0,004

0,006

0,007

0,008

0,008

0,045

Die Breite der Fugen hat man dadurch zu erhalten gewusst, dass man zuerst kleine Eisenkeile zwischen die einzelnen Steine gab und

30

Castigliano. Theorie des Gleichgewichtes.

dieselben erst durch Mörtel ersetzte, nachdem man im Bau des Gewölbes bis zur 39. Reihe von Steinen vorgeschritten war.

Alle diese Anordnungen hatten zum Zweck, eine gute Vertheilung der Pressungen zu erreichen, was auch thatsächlich geschah, wie aus folgender Berechnung sich ergibt. Hiezu kann man der Einfachheit halber annehmen, dass alle Fugen ohne Mörtel gebildet wurden, ausgenommen der zwei Kämpferfugen, deren jede als die Vereinigung der eilf unteren Mörtelschichten anzusehen ist, und einer Scheitelfuge, worin man sich die Mörtelschichten der 37. Fuge links bis zu jener rechts vereinigt denkt.

Zufolge dieser Annahme hat man also bei jedem Kämpfer eine Mörtelschichte, deren Dicke an der inneren Laibung 0m,064, am Gewölb-rücken 0“,0283 beträgt,- und im Scheitel eine andere Schichte, deren Dicke an der inneren Laibung Null ist und am Gewölbrücken 0 m,045 X 2 = 0m,09 beträgt.

Man kann nun folgende Benennungen einführen:

E, E' die Zusammendrückungscoëfficienten des Granit und des Mörtels,

h₀, hi} h₂, ... h₆ die Höhen des Gewölbes in den Querschnitten

0, 1, 2, . . . 6,

ß₀,    ß₂, ... S2₆ die Flächen dieser Querschnitte, welche den

Höhen derselben numerisch gleich sind, da die Breite einen Meter beträgt,

-^o ⁼ tz ^³o; Ä ⁼

— h³

12

12

. . I₆ = — h³₆ die Trägheitsmomente

12

dieser Querschnitte.

Die Wertlie von £>₀, S21; . . . 12₆; I₀, I1; ... Iß, sowie deren logarithmische Complemente sind in nebenstehender Tabelle zusammengesetzt.

Wenn der ganze Bogen aus Granit wäre, d. h. wenn die theoretischen Verbindungsstücke im Bogenanfang und im Scheitel ebenfalls aus Granit wären, und wenn man jenen Theil der Deformationsarbeit, welcher der Verschiebung entspricht, vernachlässigt, so wird die Deformationsarbeit des ganzen Bogens durch die Formel

Quer

schnitte

Flächen

Trägheits

momente

Logarithmische Complemente

der

Flächen

der Trägheitsmomente

1.50

0,67672

0,52764

0,42404

0,35429

0,31032

0,28691

0,28125

1,69680

1,73283

1,76447

1,79049

1,80967

1,82102

1,82391

0,16959

0,27766

0,37259

0,45064

0,50819

0,54225

0,55091

[S

M²

(1)

2

2 E

ausgedrückt, in welcher die Symbole ^ -- und ~ die gleiche Bedeutung haben wie in den früheren Betrachtungen.

Um aber den genauen Ausdruck für die Deformationsarbeit des Gewölbes zu erhalten, muss man von diesem Ausdrucke jenen für die Deformationsarbeit der drei Granitkeile, welche fehlen, in Abschlag bringen und liiefür den betreffenden Ausdruck bezüglich der drei Keile aus Mörtel, welche deren Stelle einnehmen, hinzufügen.

Nun wird für einen Granitkeil, welcher einer zum mittleren Querschnitt senkrechten Pressung P und einem Momente M unterworfen ist, und dessen Dicke am Gewölbrücken a, an der inneren Laibung a" ist, die Deformationsarbeit durch folgende Formel ausgedrückt:

2E

V)

1 a-f- a" ( P²

M² [ a"— a 4MP I    a h i2

worin h die Höhe des Querschnittes Q und I dessen Trägheitsmoment ist.

*)' Um diese Formel zu beweisen, sei ABCDD'C'B'A’ (Tafel X, Figur 4) ein Granitkeil, dessen Kanten A A', B B', C C", T> B' untereinander parallel und gleichzeitig senkrecht sind auf eine Ebene, welche durch deren Mittelpunkte geht. Der Granitkeil ist daher bezüglich dieser Ebene symmetrisch, so dass man dieselbe

30*

Für einen Keil aus Mörtel, welcher jenem aus Granit gleich ist, und welcher auch den gleichen Kräften unterworfen ist, wird die Deformationsarbeit durch dieselbe Formel gegeben, wenn man darin E in E ändert. Die Differenz der beiden Arbeiten ist somit der Abkürzung halber Symmetrie-Ebene nennen kann. Alle Flächen des Keiles oder Prismas seien frei, ausgenommen die zwei Flächen AB CD und A' B' Cr D', welche durch Kräfte parallel zur Kante 14', d. h. senkrecht auf die Symmetrie-Ebene beansprucht werden. Die auf die Fläche A'B'C'D' wirkenden Kräfte werden mit den auf die Fläche AB CD thätigen Kräften als gleich, in gleicherweise vertheilt und im entgegengesetzten Sinne gerichtet angesehen, so dass der Keil sich unter der Einwirkung der äusseren Kräfte im Gleichgewichte befinden wird.

Nennt man P die Summe der auf die Fläche AB CD wirkenden Kräfte, ilI die Summe ihrer Momente bezüglich der Biegungsachse F G dieser Fläche, Si die Fläche und I das Trägheitsmoment jenes Querschnittes des Keiles, welcher parallel zur Symmetrie-Ebene, d. h. senkrecht zur Kante 11' ist, und sind die auf die Fläche AB C D wirkenden Kräfte nach einem linearen Gesetze vertheilt, so wird die Vertheilung der Pressungen per Quadratmeter auf den mittleren Querschnitt durch die Formel

--1—- z

Si

gegeben, wobei z die Entfernung eines Punktes des Querschnittes von der Biegungsachse ist.

Betrachtet man nun in diesem Keile ein Volumen element HKK’H’, dessen seitlichen Flächen zu den Flächen A B' und A D' parallel sind und dessen auf die Kante HH' senkrechter Querschnitt die unendlich kleinen Seiten dy und dz hat, und befindet sich die Kante IIH' in der Entfernung z von der Ebene F G G' F', welche die Biegungsachsen der Querschnitte enthält, so ist offenbar das Volumenelement HKK'H' einer Pressung gleich

(1+7 z)iyAz

unterworfen, welche parallel zur Kante HH' ist. Die Deformationsarbeit dieses Volumenelementes wird, wenn man E den Elasticitätscoefficient des Keiles nennt, ausgedrückt durch :

■2 E

—‘HAT■ (£ + y zYdy dz =*    fl⁷^ + y dVdz

d y dz.

ZE\ 2    h )\Sl I )

Um die Deformationsarbeit des ganzen Keiles zu finden, muss man diese Formel zuerst nach y integriren, wobei z als constant betrachtet wird, und sodann nach z integriren.

Die erste Integration muss sich von 0 bis zur Dicke A B, welche gleich einem Meter angenommen wurde, erstrecken. Da die vorstehende Formel die Variable y

f 1    1 ^ d+ a" f

a"— a 4 MP a"+ a h 12

lï?7 _ P J 2 l -Q

Für jede der Kämpferfugen ist

P—P0; M—Mq} 12— I2₀, I—Iqj h — hQy a — 0,0283, a"— 0,064;

für die Scheitelfuge ist

h = hGy

P - Pß y M - Mß y £2 - £2ß y I - Iß

d= 0,09, a"= 0.

Es ergibt sich also die Formel, welche man jener (1) hinzufügen muss, um die vollständige Deformationsarbeit des Gewölbes zu erhalten, in folgender Form:

rH I

Übi)[°’⁰⁹²³©

₊ 0,04Bg ₊ Ç_₄

H--^ + 1,547

hß £2₆

)]■

h₀ £2

31

(2)

nicht enthält, und da j dy = 1 ist, so erhält man als Resultat der ersten Integration

si'iwz₊*,y.

a'+a"h/\-Q I )

oder

2E

/a’ +■ a" \ 2

d z.

Die zweite Integration muss zwischen den Grenzen--

werden. Die Entwicklung der letzten Formel gibt

¹ a'+fl'TP² , a(PM a'—a" P2 2    |_ß2+    a'+a"hSl²

— 4 a'~ a" PM\ „2 _ 1 « — ^ J² a'+a" hill) h a'+a" I²

2E

3/²

h , 7t — und —

— durchgeführt

und da

toi SH

to | ?h

toi SH

Ti

toi SH

Ti

z dz — 0;

toi SH

z² dz —

2³ d s — 0,

toi SH

folgt daraus, dass das Resultat der zweiten Integration folgende Formel ist: 1 a'+a" /P² M² ia'—a"P3I\

2    \ SI I a'+a'' h£l) ’

d. h. die im Texte gegebene Formel.

Substitmrt man für M₀₎ Mi} T/₂, ... I\, P₁, f₂, ... deren Werthe in Functionen von M und Q, wie sie in der Tabelle in Nummer 3 angegeben wurden, und setzt man für /₀, /,, /₂, . . . 12₀, S2lf Q₂, . . . die oben angeführten numerischen Werthe, so erhält man

Y!

TP

= 16,34 . TP — 22,98.2 MQ + 66,67 . Q2 + 7 818 893.2 M— 23 340 905.2 Q;

^ + ^ + 1,547 ßo h

2 ^ = 3,39 . Q² + 91 020.2 Q;

= 1,50 . TP — 7,87.2 T/Q + 41,64 . Q²

Mo Po

K

+ 3 052 775.2M— 15 966 225.2 Q; P\ _!_ M\ 4

Qq Iq    hCl Qq

Aus Formel (1) wird sodann

= 3,56 . M² — 0,889.2MQ + 0,67 . Q².

2-

4,00

2E

(16,34 . M² — 22,98. 2T/Q + 70,06 . Q²

+ 7 818 893.2 M— 23 249 885.2 Q);

(3)

und aus Formel (2)

to i-t

(4)

f—r    —] (0,2984 . M² — 0,766.2 MQ + 3,876 . Q² }

v/r ej    >

+ 281 765.2 M— 1 466 630.2 Q).

Die zwei Ausdrücke (3) und (4) muss man nun vereinigen, wozu es nothwendig ist, die Werthe der Coëfficienten E und E’ oder wenigstens deren Yerhältniss zu kennen. Es sind uns aber keine vertrauungs-würdigen Versuche über die Zusammendrückbarkeit des Granits und des Mörtels bekannt; letzterer wird, da er frisch ist, wie dies bei der in Betracht gezogenen Brücke während der Abrüstung der Leerbögen der Fall war, sehr zusammendrückbar sein, während es der Granit sicherlich sehr wenig ist. Man kann daher annehmen, dass die Zusammendrückbarkeit des angewendeten Mörtels hundertmal grösser als jene des Granits war, d. h. es wäre

Bei Annahme dieses Verhältnisses kann die Formel (4) nunmehr folgendermassen geschrieben werden :

(3,69 . M² — 9,48.2MQ + 47,94 . Q²

o jOO

2E

+ 3 486 835.21/— 18 148 625.2 Q).

und durch Vereinigung dieser Formel mit jener (3) erhält man als Ausdruck für die Deformationsarbeit des Gewölbes

(20,03.1/² — 32,46.2 MQ + 118,00 . Q²

o 4,00

2E

+ 11 305 728.2 4/

41 398 510.2 Q).

Die geometrischen Bedingungen, welchen das Gewölbe bei seiner Deformation entsprechen muss, sind die zwei folgenden:

1.    Der Scheitelquerschnitt muss während der Deformation vertical bleiben, d. h. seine Drehung muss Null sein;

2.    derselbe Querschnitt muss sich vertical senken, d. h. seine horizontale Verrückung muss Null sein.

Die Werthe von M und Q, welche diesen zwei Bedingungen entsprechen, werden dadurch erhalten, dass man die Differentialquotienten der Deformationsarbeit nach M und Q gleich Null setzt. Man hat demnach folgende zwei Gleichungen: 20,03 . M— 32,46 . Q + 11 305 728 = 0,

— 32,46 . M + 118,00 . Q — 41 398 510 = 0,

woraus

Q = 352 990,

M= 7 690.

5. Mittellinie des Druckes und grösste Beanspruchung per Quadratmeter. — Durch Substitution der soeben gefundenen Werthe von M und Q in die in Nummer 3 angeführte Tabelle erhält man die Werthe für das Biegungsmoment, die Normalpressung und die Schubkraft in jedem der Querschnitte 0, 1, 2, . . . der Brücke, wie dieselben in nachstehender Tabelle zusammengestellt sind.

Durch Division der Biegungsmomente durch die correspondirenden Normalpressungen ergeben sich die Zahlen der Colonne 5, d. h. die Entfernungen der Druckmittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten.

Mit Hilfe der schon bekannten Formel

M v

- —f- -

Q I

erhält man die Pressung per Quadratmeter an der inneren Laibung und am Gewölbrücken für die in Betracht gezogenen Querschnitte.

Alle diese Besultate sind in folgender Tabelle vereinigt.

Querschnitte

Biegungs-

momente

Normal-

pressungen

Schub

kräfte

Mittellinie

des

Druckes

Pressung per Quadratmeter

CO

an der inneren Laibung

am

Gewölb-

rücken

O tH    CO    IQ

4- 137 627

418 137

— 46 865

4 237

+ 0,003 : 237 011 i 231045 + 0,022 ij 255 997 j 214 993

208 305

136 765

134 305

Ans dieser Tabelle sieht man, dass die Entfernung der Druck-mittelpunkte von den Querschnittsmittelpunkten überall kleiner ist als der sechste Theil der Höhe des betreffenden Querschnittes, d. h. dass die Mittellinie des Druckes sich liberal! innerhalb des mittleren Drittels des Bogens bewegt, und dass daher nirgends Spannungen hervorgerufen werden, sondern dass überall Pressungen herrschen.

Die grösste Pressung findet an der inneren Laibung bei den Widerlagern statt und ist deren Werth 412 425 Kilogramm per Quadratmeter, d. h. 41 +,24 per Quadratcentimeter.

Diese Pressung ist wrohl für den bei dieser Brücke angewendeten Granit nicht zu gross, aber sie ist es bedeutend für den Mörtel, welcher sich meistentheils schon unter einer geringeren Pressung als 40 Kilo gramm per Quadratcentimeter zerbröckelt.

Es ist deshalb nothwendig, hier eine wichtige Bemerkung anzu-schliessen.

Findet die Abrüstung der Leerbögen eines Gewölbes statt, wenn der Mörtel schon fest ist, so wird sich derselbe unter einer Pressung von 41 ks;24 per Quadratcentimeter zerbröckeln und nach und nach aus den Fugen herausfallen und somit die Stabilität des Gewölbes beeinträchtigen; wenn hingegen die Abrüstung der Leerbögen stattfindet, bevor noch der Mörtel fest ist, so wird derselbe wohl eine sehr starke Compression erleiden, aber die Sandkörner können nicht herausfallen, da sie durch den noch nicht verhärteten Kalk gehalten werden. In diesem Falle findet die Bindung (das Festwerden) des Mörtels unter einer Pressung statt gleich jener, welcher er unterworfen werden soll, und es wird daher der Gefahr des Zerbröckelns vorgebeugt.

Auf Grund dieser Betrachtungen erscheint es angezeigt, für grosse Gewölbe, in welchen die Pressung per Quadratcentimeter einen hohen Werth erreicht, die Abrüstung der Leerbögen kurze Zeit nach Einsetzen des Schlusssteines vorzunehmen. Für die kleinen Gewölbe, in welchen die Pressung per Quadratcentimeter fast immer nur ein kleiner Theil jener ist, welche die Zerbröcklung hervorrufen würde, kann die Abrüstung der Leerbögen gleichgiltig vor oder nach dem Festwerden des Mörtels stattfinden.

6. Studie über die Yertheilung der inneren Kräfte, welche sich in dem Gewölbe geltend machen würden, wenn man in keiner Fuge Mörtel angewendet hätte. — In diesem Falle kann in keinem Punkte eine Spannung auftreten, denn die Granitblöcke (Granitkeile) sind einfach aufeinander gelagert. Man muss daher zuerst untersuchen, ob in irgend einem Punkte sich eine Spannung ergeben würde; wenn dies der Fall ist, so folgt daraus, dass an einigen Stellen die wirklich Widerstand bietenden Querschnitte des Gewölbes kleiner sind als die scheinbaren. Man muss sodann mittelst der successiven Annäherung die wirkliche Grösse der widerstandsfähigen Querschnitte bestimmen.

Um zu erkennen, ob in- irgend einem Punkte die Neigung zu einer Spannung herrscht, muss man das Gewölbe als ein Monolith (aus einem Steine bestehend) betrachten, welcher in die Widerlager eingefügt und nicht einfach auf dieselben aufgestützt ist.

In diesem Falle wird die Deformationsarbeit des Gewölbes durch die in Nummer 4 gegebene Formel (1) oder durch die Formel (3) aus-

dividirt, erhält man die zwei Gleichungen:

gedrückt. Indem man die Differentialquotienten der letzteren nach M und Q gleich Null setzt und sie sodann durch den numerischen Factor

2.i^o

16,34 . M — 22,98 . Q -f- 7 818 893 = 0,

— 22,98 . M+ 70,06 . Q — 23 249 885 = 0,

woraus

M= — 21 800,¹)

Q = 324 710.

Durch Substitution dieser Werth e in die am Ende der Nummer 3 gegebene Tabelle erkennt man leicht, dass die Mittellinie des Druckes für die ganze Ausdehnung des Gewölbes, mit Ausnahme zweier ungefähr 2m,80 langer Stücke bei den Widerlagern, innerhalb des mittleren Drittels der Querschnitte geht. In diesen zwei Stücken geht sie unterhalb der Bogenachse, woraus folgt, dass sich das Gewölbe an der Aussenseite öffnen würde, was sich übrigens voraussehen lässt, wenn man die bezüglich der Sehne sehr kleine Pfeilhöhe berücksichtigt.

Für den Querschnitt 0, d. h. für die Kämpferfuge, findet man

Mq = 259 737,

Po = 392 827;

259 737

= 0,66,

die Entfernung des Druckmittelpunktes von dem Querschnittsmittelpunkte ergibt sich mit

392 827

d. h. viel grösser als der sechste Theil der Höhe des Querschnittes, welcher

9 01

-¹— = 0,335 beträgt.

6

21 800

= 0,067.

Wenn das Gewölbe ein an seinen Enden eingemauerter Monolith von der Art wäre, dass darin Spannungen auftreten können, so könnte man den Theil des Querschnittes suchen, in welchem Pressungen herrschen, und jenen, in welchem Spannungen herrschen. Zu diesem Behufe muss man die neutrale Achse, d. h. den geometrischen Ort der Punkte bestimmen, in welchen die Pressung Null ist. Nennt man die Entfernung dieser Achse, welche sich in der oberen Querschnittshälfte befindet, von der Biegungsachse y, so erhält man die Gleichung

Po

= 0,

M₀

Qq I

woraus bei Einführung der Werthe von P₀, M₀, £>₀, und I₀

y = 0,508.

Es ist also die Höhe des gepressten Theiles der Querschnitte

~y

2,01

+ 0,508 =

u

1,513,

jene des gezogenen Theiles

0,508 = 0,497.

2,01

Diese Resultate haben in dem betrachteten Falle keine Geltung, denn das Gewölbe könnte sich öffnen. Um nun die Tiefe zu bestimmen, auf welche sich in den verschiedenen Querschnitten dieses Oeffnen von dem Gewölbrticken aus erstreckt, nehme man an, dass die wirklich widerstehende Querschnittsfläche beim Bogenanfang beinahe gleich sei jenem Tlieile des Querschnittes, welcher in dem oben betrachteten hypothetischen Falle gepresst wird, d. h. welcher von der inneren Laibung gerechnet die Höhe von lm,50 hat.

Für die anderen Querschnitte 1, 2, ... 6 ist die scheinbare Höhe zu gleicher Zeit die widerstandsfähige, denn diese Querschnitte werden, wie oben gesehen wurde, ihrer ganzen Ausdehnung nach gepresst.

Da für die Querschnitte beim Bogenanfang die Höhe sich geändert hat, so ändern sich auch deren Mittelpunkte, oder besser gesagt, deren Biegungsachse, welche sich nunmehr in der Entfernung von 01U,75 von der inneren Laibung befindet; desgleichen ändern sich das Biegungs-moment Af₀, die Normalpressimg P{) und die Schubkraft Sùf denn man hat in dem Stücke 0, 1 nicht mehr dieselbe Bogeiiaclise, und folglich hat man auch weder dieselben Hebelarme für den Horizontalschub Q und für die Gewichte, durch welche der Bogen belastet ist, noch dieselben Winkel, welche die Bichtungen dieser Kräfte mit dein letzten Elemente der Bogenachse bilden.

Die in Nummer 3 und 4 gegebenen Tabellen entsprechen auch für den gegenwärtigen Fall, soferne man die Ausdrücke für M0} P₀ und S0 ausnimmt, welche sich in folgender Weise ergeben:*)

M₀ = M— 5,58 . Q + 1 996 782,

P₀ = 0,860 . Q H- 116 626,

__S₀ = 0,510 . Q — 196 664;

*) Die Gewölbachse hat man in dem Stücke 0, 1 in der Weise zu zeichnen, dass sie im Bogenanfang 0m,75 oberhalb der inneren Laibung geht. Um jeden Irrthum zu vermeiden, ist dies im Aufriss nicht geschehen, umsomehr, als dies Jedermann leicht selbst ausführen kann. Zur grösseren Deutlichkeit seien im Folgenden die für die Bildung der Ausdrücke M₀, P₀, S₀ nothwendigen Grössen gegeben, und zwar sowohl für den zuerst betrachteten Fall, wo man annimmt, dass die Querschnitte im Anlaufe auch den Spannungen widerstehen können, als auch für den vorliegenden Fall, wo man sich die Querschnitte am Bogenanfaug auf die Höhe von 1 m,50 reducirt denkt.

Höhe des Querschnittes 0

Vertical entfernung des Mittelpunktes des Querschnittes 0 von der durch den Mittelpunkt des Scheitels gezogenen Horizontalen.............

Horizontalentfernung des Mittelpunktes des Querschnittes 0 von der durch den Mittelpunkt des Scheitels

gezogenen Verticalen.......... .

Sinus des Winkels, welchen der Querschnitt 0 mit der

Verticalen bildet.............

Cosinus desselben Winkels...........

= 2“, 01

= 1 “,50

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1 996 782 = 2 021 937 — 228 679 X 0,11; 116 626 —    228 679 X 0,510:

196 664 =    228 679 X 0,860.

Bei Beachtung, dass das Gewicht des Stückes 0, 6 gleich 228 679 Kilogramm ist, und dass dessen Moment in Bezug auf den ursprünglichen Mittelpunkt des Querschnittes 0 gleich 2 021 937 Kilogramm ist (Tabelle Seite 461, Colonne 8, Zeile 1), erhält man in folgender Vreise die oben in den neuen Ausdrücken für M₀, P₀, S0 gegebenen Zahlen:

und die Werthe von D₀ und /₀, welche nunmehr die folgenden sind:

ßo = 1,50,

/₀ = 0,28125.

Mit diesen neuen Werthen von M₀, Pü, /₀, .Q₀ ergibt sich die Deformationsarbeit des Gewölbes, welche durch die Formel (1) in Nummer 4 ausgedrückt wurde, folgendermassen :

(17,03 . M² — 26,95.2 M Q + 92,86 . Q2 + 9 189 493.2M— 31 309 780.2 Q),

4,00

wobei der numerische Factor 2 •

ausgelassen wurde.

Setzt man die Differentialquotienten dieses Ausdruckes nach M und nach Q gleich Null, so erhält man folgende Gleichungen:

17,03 . M— 26,95 . Q + 9 189 493 = 0,

— 26,95 . M-\- 92,86 . Q — 31 309 780 = 0,

woraus

Q = 333 960,

M= — 11120.

Mit diesen Werthen ergeben die oben gefundenen Ausdrücke für

M₀ = 122 166,

P₀ = 403 832,

woraus folgt, dass am Gewölbanfang die Mittellinie des Druckes unterhalb

122 166

= 0,30.

des Mittelpunktes des Querschnittes geht, und zwar in der Entfernung vom Mittelpunkte gleich

403 832

1 50

Da diese Entfernung noch grösser ist als —— = 0,25, d. h. grösser

6

als der sechste Theil der betreffenden Querschnittshöhe, so folgt daraus, dass im Anlaufe die Mittellinie des Druckes noch ausserhalb des mittleren Drittels geht.

Sucht man auch für diesen Fall die Ausdehnung des gepressten Theiles des Querschnittes, indem man den andern Theil als gegen Zug widerstandsfähig betrachtet, und nennt man y die Entfernung der neutralen Achse von der Biegungsachse, so erhält man die Gleichung

— — 0,62 = 0,13. 2

Po

= o,

*^0 ^0 269 221 —434 350 . y = 0 y = 0,62.

d. li.

und folglich Der gepresste Theil des Querschnittes ist also

+ 0,62 =

1,37,

und der gezogene Theil 1,50

Man könnte nun auf eine dritte annäherungsweise Berechnung übergehen, indem man 1 m,37 als Höhe der Querschnitte am Bogenanfang nimmt. In der Praxis ist aber im Allgemeinen die zweite Annäherung genügend, und man könnte es folglich als vollkommen genügend ansehen, dass, wenn das Gewölbe als ohne Mörtel construirt betrachtet würde, die Querschnitte des Bogenanfanges nur in einer Höhe von 1 m,37, von der inneren Laibung gerechnet, gepresst werden, und dass folglich das Gewölbe sich von dem Kämpfer in einer Höhe von 2,01 — 1,37 = 0,64, vom Gewölbrücken gerechnet, abgehoben hätte.

Ohne auf eine dritte Berechnung überzugehen, kann man eine grössere Annäherung auch auf folgende Weise erreichen:

Zu diesem Beliufe nenne man 1 m,37 — x den wirklich gepressten Querschnitt des Bogenanfanges. In der ersten Berechnung, wobei der betreffende Querschnitt gleich 2m,01 angenommen wurde, d. h. grösser als die wirklich gepresste Fläche, und zwar um die Grösse 0m,64 + x, wurde für den gepressten Theil des Querschnittes der Werth lm,513. gefunden, welcher einen Fehler um 0in,143 -j- x ergibt; in der zweiten Berechnung für einen Querschnitt von lm;50; d. h. für einen um 0m,13 -j- x grösseren Querschnitt als der wirkliche, wurde für den gepressten Theil des Querschnittes der Werth lm,37 gefunden, welcher einen Fehler um x enthält. Wenn man nun annimmt, dass die ursprünglichen Fehler annäherungsweise proportional sind zu den Fehlern am Ende, so hat man die Proportion

0,64 -j- x : 0,143 -f- x = 0,13 -j- x : x,

welche sich auf eine Gleichung ersten Grades reducirt. Es ist also

x = 0m,042.

scheinlichkeit

Der wirklich gepresste Querschnitt ist somit mit grosser Wahr-lm,37 — 0m,042 == lm,328, und folglich wird sich das Gewölbe in einer Höhe von 2m,01 — 1“ 328 = 0™ 682,

von dem Gewölbrücken gerechnet, abheben.

Die Normalpressung kann als gleich mit jener angenommen werden, welche bei der zweiten Annäherung erhalten wurde. Da nunmehr die Mittellinie des Druckes im Bogenanfange, an der Grenze des mittleren Drittels des thatsächlich gepressten Querschnittes geht, folgt daraus, dass die grösste Pressung per Quadratmeter das Doppelte der mittleren Pressung ist, und dass deren Werth

X 2 = 608 200

403 832

1,328

beträgt; die grösste Pressung per Quadratcentimeter ist also 60k°,82.

7. Folgerung. — Da diese Pressung für den bei der Construction des Gewölbes angewendeten Granit nicht besonders gross ist, hätte dasselbe mit genügender Stabilität selbst ohne Anwendung der von dem berühmten Constructeur Ingenieur Charles Mosca erfundenen besonderen Anordnung gebaut werden können.

Der Vergleich der für die beiden untersuchten Fälle erhaltenen Resultate zeigt aber, wie nützlich diese Anordnungen für die Stabilität der Brücke sind, denn dieselben reduciren die grösste Pressung per Quadratcentimeter von 60k=,32 (für das Gewölbe ohne Mörtel) auf 41k",24.

---

Druck von Adolf Holzhausen in Wien,

k. k. Hof- und Universitäts-Buchdrucker

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MIT MEHREREN ZUGSTANGEN.

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Ausführung einer cylindrischen Auflagerfläche.

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BRÜCKE AUS HAUSTEINEN

über die Doire bei Turin von dem Jngenieur Charles Mosca.

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Mals stab der Figuren 1 und 3.

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324 710

Aus Obigem ist zu ersehen, dass, wenn man in den Fugen Mörtel verwendet, in allen Punkten Pressungen herrschen, und dass sich das Gewölbe wie ein Monolith verhält, dass aber die Mittellinie des Druckes unterhalb des Mittelpunktes des Scheitelquerschnittes geht, woraus man sieht, wie gross der Einfluss der Mörtelschichten (welche doch eine bedeutend grössere Zusammendrückbarkeit haben als der Granit) auf die Yertheilung der Pressungen ist.

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Biblioteka Politechniki Krak

owskiej