WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

B2S2T:3CT ESr®J

.£

..

a

ii

Ili

Biblio

teka Politechniki Krakowskiej

.

•/

.

■■

)

i

f

Û t

••

\

f

■ r /

\

<*

- •

/ ;

'# V

*

. ■>"

*

*

«

I

•> \

r\

. ■

"S

'

• -< ■

.

HYDRAULIKA

—i

A

X

\

,s

HYDRAULIKA

KURS SZKOŁY POLITECHNICZNEJ

DLA

INŻYNIERÓW I MECHANIKÓW

UŁOŻYŁ I WYDAŁ

wcewó

Z UDZIAŁEM FUNDUSZU WYDAWNICTW TECHNICZNYCH, ZOSTA, POD ZARZĄDEM STOWARZYSZENIA TECHNIKÓW W WAR«j

WARSZAWA

SKŁAD GŁÓWNY W STOWARZYSZENIU TECHNIKÓW ul. Czackiego INI 3—5

„Geprüft und auch für die Ausfuhr treigegebenu, Warschau den 2. 10. 19T7. T. AT® 7755. Dr. jY® 396.

n 7 y

»1

TLGHRl

c_>o

00

Druk Rubieszewskiego i Wrotnowskiego w Warszawie.

1. Przedmiot Hydrauliki

I. Hydrostatyka.

2.    Płyny, ciecze, gazy................

3.    Ciśnienie w płynach (Zadania 1 — 4).........

4.    Równania równowagi. Powierzchnie poziomu ....

5.    Równowaga cieczy i gazów .    ............

6.    Przypadki równowagi względnej (Zadania 5—8).....

7.    Ciśnienie cieczy na powierzchnię płaską (Zadania 9—11) .

8.    Ciśnienie na jakąkolwiek powierzchnię. Zasada Archime-

desa (Zadania lz, 13)...............

9.    Stałość równowagi ciał pływających.........

10. Zastosowanie do graniastosłupa o przekroju kwadratowym

(.Zadania 14, 15).................

II. Hydrodynamika.

11. Równania Eulera

26

Str.

TREŚĆ.

12.    Ruch ustalony płynów (Zadania 16—18)

13.    Ruch potencyalny cieczy (Zadanie 19) .    .

28

. . 33

18.    Strata naporu, prędkość średnia

19.    Prąd regularny. Prawą Poiseuille’a i Reynolds’a .... 57

20.    Prąd burzliwy........

21.    Ogólne równanie prądu ustalonego

43

51

52

61

64

III. Rury.

22.    Ruch jednostajny........

23.    Obliczanie rur (Zadania 26—30) . .

24.    Spadek, średnica, wydatek i koszt rur

25.    Rozkład prędkości na przecięciu poprzecznem rury .    .    89

67

77

83

Str.

26.    Ruch zmienny (Zadanie 31, Wodomiar „ Venturi“)

27.    Zmiany przekroju i ciśnienia (Zadanie 32).....

28.    Rura główna i bocznice............

29.    Straty naporu podrzędne............

30.    Rura lewarowa...............

31.    Rury ogrzewań centralnych...........

32.    Wahania wody w rurach...........

33.    Uderzenie wodne...............

o CO co CO ^

IV. Kanały.

‘K-*»—

147

150

V. Okoliczności przypadkowe ruchu.

47.    Otwór w cienkiej ścianie (Zadania 41—44).....

48.    Przystawki.................

49.    Wytryski (Zadania 45, 46)...........

50.    Nagła zmiana średnicy rury...........

51.    Wypływ przez otwór pod zmiennym naporem {Zad. 47-

52.    Przewał {Zadania 52, 53)...........

Ol QO CO O O CD CD

t-H

I>- U-tH r—<

kó co t> oć

lO O O O iT.

VI. Energia prądu.

f-¹ I“¹

oo oo

OS O'

187

189

Rozkład ciśnień w turbinie .    .

Turbina Francis’a {Zadanie 54)

193

199

Sączenie przez piasek .    .    .

Powierzchnia wody wgłębnej Sztolnie........

VII. Wody wgłębne.

206

209

. 211

Studnie.......

Studnie artezyjskie .    .    .

Wzajemny wpływ studzien

212

to te

O CO

Str.

219

66.    Prawa ogólne (Zadania 55—63)........

67.    Wpływ ciepła (Zadania 64—68)........

68.    Przemiany termodynamiczne (Zadania 69—72) .    .

69.    Zbiorniki powietrza............

70.    Wypływ przez otwór (Zadania 73 — 77).....

71.    Ruch gazów w rurach (Zadania 78—81).....

IX.    Opór płynów.

72.    Oddziaływanie prądu (Zadanie 82).......

73.    Uderzenie żyły..............

74.    Ciśnienie prądu na ciało zanurzone (Zadania 83—94)    . . 255

75.    Ciśnienie prądu wodnego na ściany ruchome

X.    Hydrometrya.

76.    Badanie zjawisk. Mierzenie czasu ....

77.    Pomiary prądów...........

78.    Pływaki..............

79.    Młynki..............

80.    Pitoty..................

81.    Wydatek prądu...........

82.    Wodomiary.............

83.    Gazometrya.............

INDEX..............

223

226

229

. 232

237

246

251

266

271

273

276

279

281

284

286

288

291

Tablice liczbowe.

Str.

Wartości funkcyi <p (x) według Bresse’a........

Wartości spółczynnika wydatku fx, dla otworów kołowych

w cienkiej ścianie, według H. Smitha.........

9. Wartości spółczynnika wydatku dla otworów prostokątnych, według A. Gräeff’a................

10.    Wartości spółczynnika b we wzorze (94) dla wężów sikawek, według Freeman’a . .

11.    WTartości spółczynnika m we wzorze (259) dla różnych wysokości zagrody i wzniesień wody nad progiem przewału . 178

12.    Wartości y, R, Cp, c», k, dla gazów

59

(M Tti S CO N CO

76

143

154

157

. . 166

Rys.

Nomogramy.

Str.

47. Obliczanie rur, według inż. Biegeleisena i Bukowskiego . 81 68. Obliczanie kanałów, według wzoru Bazin’a .    .

. . 119

ERRATA.

Sir.

Wiersz

Zamiast:

Winno być:

6    11 od góry

Po

Po

UJ2

11    3 od dołu

12    1 od góry

13    19 od góry

6 od dołu 16    13 „    „

11

(1-“*) na wysokość z {1-o.t) g i 6x gęstszych xl = OC

(1 +«*)

na wysokości zy

a + «*)

g i 0²a? lżejszych x₂ — aC

8 od dołu

13 „    „

P* = PS² + 2    .

P =

PB

TZ

39    3    od    góry

n 9 od dołu 43    17    od    góry

da?

(5)

(35)

PyV 2    2^2

cotg a.

o;

(53)

57    10 od dołu

dy

( d² u d² u \

KW ⁺ T^J

91    7 od dołu

11

5 od dołu

lt² D³

32 a'

rcD³

32 a'

101 nagłówek

** g

161

115

151

132    2 od dołu

a — sin a

K* g 101 115

(a — sin a) r²

136    12 od góry

142    2 od dołu

d, s profesó

ds,

professé

176    11 od góry

r₀ + h'

l'-‘

e — h'

r + h'

-V

h—s—h'

Słr.

22

28

29

42

51

94

117

139

209

210

210—218

212

ERRATA (dalszy ciąg str. VIII).

Wiersz

Zamiast:

Winno być:

17 od dołu

8 od góry

10

20

7 od góry

2 od dołu

10 od góry

4 od dołu 7 od góry 4 od dołu

1 od góry

wszędzie 14 od dołu

Bouger’a kąt DHB P u du dz dt dp u dx

Bouguer’a kąt DHA P u dy dz dt dt> u + ~ dcc~

dp

dz

ty

dodatnych

4/t [

x y

fl 2 U

V-

. M-

AB

dp

-ar d z

d<I>

dy

odjemnych

x = i 4- 2 h

x' y'

Q — m z U

M-

A' B'

V

■

m.

s.

1. Przedmiot Hydrauliki. Mechanika stosowana,

podobnie jak mechanika teoretyczna, dzieli się według dwóch stanów skupienia ciał, na mechanikę ciał stałych i płynnych. Pierwsza nosi zwykle miano nauki o wytrzymałości materyałów i stałości budowli, a druga nazwę hydrauliki.

Hydraulika jest zbiorem prawideł, jakie mogą kierować inżyniera, przy rozwiązywaniu zadań, dotyczących ruchu płynów. Wyraz jej, pochodzący od greckich: o§<op = woda i àoXoç = flet, oznaczał u starożytnych sztukę budowania organów, które przed zastosowaniem do tego celu miecha, potrzebowały ciśnienia wody, do wprowadzania powietrza do piszczałek, dla wydawania dźwięku.

Jako część mechaniki stosowanej, opiera się hydraulika na zasadach hydro-mechaniki, czyli mechaniki ciał płynnych, której odróżniane bywają dwie części: statyka i dynamika, zwane też hydrostatyką i hydrodynamiką. Pierwotnie nazwy te stosowano wyłącznie do cieczy, do gazów zaś odnosiły się nazwy: aerostatyki, aerodynamiki i aeroliki czyli pneumatyki (łać. aër = powietrze, grec. rcvêopa = dmuch).

Najdawniejszą z tych nauk jest hydrostatyka, której ojcem był Archimedes, w ni w. po Chrystusie; rozwinięta pracami Pascal’a, Stevin’a i Bouger'a, nauka o równowadze cieczy doszła do wysokiego stopnia rozwoju, posiadając bardzo małą liczbę praw zasadniczych, a wyniki i zastosowania nader liczne i ważne.

Hydraulika, której zasady stosowane były intuicyjnie w starożytności, przy wznoszeniu wielkich budowli wodnych, wzięła swój początek we Włoszech. Czem był Galileusz dla nauki o wytrzymałości materyałów, tem się stali dla hydrauliki: Torricelli i Castelli. Pierwszy z nich oznaczył prędkość wypływu wody przez otwory a drugi próbował ująć we wzory bieg wody w rurach i kanałach.

Główniejsze zasady hydrauliki ugruntowali w końcu XVHI w. pracami swemi: Miehelotti, Borda, Yenturi, Bossut, Dubuat, de Ckézy i de Prony, a równocześnie Daniel Bemoulli, Euler, d’Alembert i Lagrange zapoczątkowali hydrodynamikę. Pierwotnie wiązało z sobą te dwie nauki jedno tylko twierdzenie Bernoulli;ego.

F. K. Hydraulika.

Na dalszy rozwój hydrauliki największy wpływ wywarły doświadczenia i prace krytyczne: Poiseuille’a, Darcy’ego i Ba-zin’a we Francyi, Weisbacha w Niemczech i Reynolds a w Anglii. Wyniki prac Bazin’a zbliżyły w końcu ubiegłego stulecia hydraulikę do hydrodynamiki, z którą tylko luźny związek utrzymywać starali się przedtem: Navier, Belanger i St. Venant ¹). Na dostarczonych przez Bazin’a podstawach doświadczalnych, odbudował Boussinesq²) całą teoryę ruchu wody. W powstałych, w końcu ubiegłego i na początku bieżącego stulecia, przy politechnikach, pracowniach hydraulicznych, prowadzić zaczęto badania maszyn i różnych zjawisk wodnych, ćwiczenia hydrometryczne i wszelkie doświadczenia nad ruchem wody. Profesorowie wszechnic technicznych a także inżynierowie, ubiegający się o stopień doktora tych nauk, bogacili naukę nowymi przyczynkami³). Dążenie do wzmocnienia związku między hydrauliką a hydrodynamiką, uwidoczniające się u nas w pracy Łukasza Bodaszewskiego⁴), występuje stale w nowszych pracach. W ostatnich czasach, niektóre rozdziały hydrodynamiki opracowywali w zastosowaniu do potrzeb technicznych:

A. Föppl⁵), H. Lorenz⁶), F. Prâsil⁷)

Kurs hydrauliki w politechnikach, obejmuje obok wiadomości zasadniczych z hydrostatyki i hydrodynamiki, nauki o biegu wody w rurach i kanałach, wypływie wody przez otwory, przystawki i przewały, o energii prądu, wodach wgłębnych, ruchu gazów, oporze płynów, wreszcie hydrometryę czyli naukę o mierzeniu wydatku i prędkości prądów⁸). Podawana dawniej przy hydraulice, teorya maszyn wodnych przeszła, w większości szkół politechniczych, do kursów budowy maszyn.

*) Dzieje rozwoju poszczególnych rozdziałów hydrauliki podano w przedmowie do dzieła „Wykład hydrauliki, wraz z teoryą machin wodnych, poprzedzony wiadomościami w^stępnemi z mechaniki analitycznej ciał płynnych, przez Feliksa Kucharzewskiego i Władysława Klugera. Paryż 1873, nakład hr. Jana Działyńskiego“, gdzie dołączoną jest także bibliografia traktujących o hydraulice dzieł i rozpraw dawniejszych, obcych i polskich. Wiadomości o dalszym rozwoju nauki streszczono w artykule: „Postępy hydrauliki“ {Przegląd Techniczny 1916).

'■') Prace Boussinesq’a streścił A. Boulanger w dziele: Hydraulique générale. Paris 1909, 2 tomy.

³)    Tytuły prac nowszych, przy powoływaniu się na nie, wymieniane są w przypiskach.

⁴)    Teorya ruchu wody na zasadzie ruchu falowego. Lwów 1902.

⁵)    Vorlesungen über technische Mechanik VI B. Leipzig 1910.

⁶)    Technische Hydromechanik. München 1910.

T) Technische Hydrodynamik. Berlin 1913.

s) Czytelnikom pragnącym rozszerzyć i pogłębić zawarte tu wiadomości, poleca się główne źródła, z których te szczegóły zostały wybrane: A. Flamant, Hydraulique, Paris 1909; G. Dariès, Précis

I. Hydrostatyka.

2. Płyny, ciecze, gazy. Płynami nazywamy ciała, których cząstki są nadzwyczajnie ruchome, jedne wzglądem drugich. Przesuwając po sobie różne części masy płynnej, nie czujemy oporu, jaki ma miejsce, gdy to robimy z ciałami sta-łemi. Ten brak oporu przy odkształcaniu sprawia, że płyny przybierają same przez sią kształt ciał stałych, z któremi się stykają. Jeżeli wyobrazimy sobie płaszczyzną, dzielącą masą płynną na dwie cząści, to do przesuwania wzdłuż tej płaszczyzny, jednej cząści masy płynnej po drugiej, wystarcza nader mały wysiłek.

Płynem doskonałym nazywamy płyn idealny, w którym ten wysiłek jest ściśle równy zeru. Płyn taki nie istnieje w naturze, podobnie jak niema ciał stałych absolutnie nieod-kształcalnych. Mechanika rozważa prawa równowagi i ruchu takiego płynu fikcyjnego, gdyż prawa te mogą być stosowane w wielu przypadkach i do płynów istniejących w naturze, z przybliżeniem wystarczającem. Przy tern stosowaniu jednak, zwłaszcza w przypadkach ruchu, uwzglądniać należy wysiłek, potrzebny do przesuwania jednej po drugiej sąsiednich warstw płynu, przedzielonych idealną płaszczyzną.

Wysiłek ten nazwał Newton lepkością. Jest to opór styczny do powierzchni, wzdłuż której ślizgają sią po sobie warstwy płynu; pod tym wzglądem, przypomina tarcie mią-dzy ciałami stałemi i jakkolwiek w płynach inny ma charakter, to jednak zwykle nosi nazwą tarcia wewnętrznego.

Dwa są rodzaje płynów. Jedne cechują sią ściśliwością nader małą, tak że w praktyce uważać je można jako nieściśliwe. Nazywamy je cieczami. Ciecz, którą głównie zajmować sią mamy, woda, jest płynem jednorodnym i uważaną być może jako nieściśliwa. Gąstość jej zmienia sią wraz z temperaturą i ciśnieniem, ale w granicach dość zbliżonych, tak że można ją uważać jako stałą. Ciążar jednego centymetra sześciennego wody destylowanej wynosi przy temperaturach:

100° Cels.

0,99987 1,00000 0,99973 0,99823 0,98324 0,95818 gram.; bez wielkiego wiąc błądu przyjmowany być może za 1 gr.

0°

4°

10°

20°

60°

d'Hydraulique, Paris 1912; Ph. Forchheimer, Hydraulik, Leipzig 1914; J. F. Bubendey, Praktische Hydraulik, Leipzig 1911; A. Budau, Kurzgefasstes Lehrbuch der Hydraulik, Wien 1913; R. von Mises, Elemente der technischen Hydromechanik I Th. 1914; F. Wittenbauer, Aufgaben aus der technischen Mechanik III Bd. Berlin 1911; H. Lamb (przekł. niem. J. Friedel’a) Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig 1907,

Przy temperaturze stałej, ciężar ten wzrasta razem z ciśnie* niem, ale wzrost ten wynosi zaledwie 0,000049 na każdy kilogram wzrostu ciśnienia na 1 cm², Spójność międzycząstecz-kową cieczy, w porównaniu z ciałami stałemi, określają obliczone przez Heinemanna, dla wody przy 12° C., spółczynniki wytrzymałości: na rozerwanie 0,00037 kg jem,² i na przecinanie 0,00026 kgjcm², które dla żelaza wynoszą 4000 kg/cm2 i 2800 ległem².

Inne znów płyny są bardzo ściśliwe i powracają do pier: wotnej objętości, skoro tylko przestaje działać siła ściskająca; noszą też nazwę płynów sprężystych czyli gazów. Hydraulika podaje tylko niektóre wiadomości, odnoszące się do równowagi i ruchu takich gazów, do których stosują się prawa Mariotte’a i Gay-Lussaca. Łączona dawniej z hydrauliką większość zasad aeromechaniki, z powstaniem teoryi mechanicznej ciepła, weszła w zakres termodynamiki.

3. Ciśnienie W płynach. Weźmy pod uwagę jakikolwiek płyn jednorodny w równowadze i oddzielmy w myśli pewną jego część, otoczoną ze wszystkich stron idealną powierzchnią. Na powierzchni tej ma miejsce pewne działanie międzycząsteczkowe, którego wynikiem jest utrzymywanie cząstek wewnątrz tej idealnej powierzchni. Działanie to nazywamy ciśnieniem. Pod tern działaniem znajdują się wszystkie punkty powierzchni, a jeżeli weźmiemy pod uwagę bardzo mały element tej powierzchni, to przyjąć można, że działanie na wszystkie punkty tego elementu jest jednakowe. Dzieląc więc ciśnienie Pna cały element powierzchni, wyrażone w gramach^ przez wielkość a) tej powierzchni, wyrażoną w centymetrach kwadratowych, otrzymamy ciśnienie na jednostkę powierzchni elementu:

P — —

O)

czyli ciśnienie na jednostkę powierzchni w jakimkolwiek punkcie płynu.

może za

Wiadomo z doświadczenia, że w płynach naturalnych tarcie wewnętrzne zależy od prędkości, z jaką ślizgają się po sobie warstwy płynu, i schodzi do zera razem z tą prędkością. W płynie naturalnym, pozostającym w równowadze, niema więc żadnego tarcia międzycząsteczkowego, czyli niema żadnego natężenia stycznego do uważanego elementu powierzchni w danym punkcie i płyn taki z całą ścisłością uważany być płyn doskonały. Wynika stąd twierdzenie: W płynie naturalnym w równowadze, ciśnienie w jakimkolwiek punkcie jest normalne do powierzchni, na jaką działa.

Jeżeli przez punkt M płynu w równowadze (rys. 1) poprowadzimy trzy płaszczyzny do siebie prostopadłe i czwartą ukośną, to ciśnienie w punkcie M na którąkolwiek z tych płaszczyzn będzie do niej prostopadłe. Jeżeli w odległości nieskończenie małej od płaszczyzny ukośnej, poprowadzimy płaszczyznę do niej równoległą, odcinającą pomiędzy trzema płaszczyznami pro-stopadłemi nieskończenie mały czworościan AB CM, to ciśnienie na podstawę ABC będzie musiało równoważyć wszystkie siły, działające na czworościan. Z pomiędzy tych sił, wszystkie działające na masę czwoi-ościanu siły zewnętrzne, są proporcyonalne do tej / masy, a więc do objętości i wobec C ciśnień działających na ściany, / proporcyonalnych do powierzchni ^ tych ścian, mogą być pominięte, jako nieskończenie małe wyższego rzędu (trzecie potęgi wobec drugich). Aby więc czworościan pozostawał w równowadze, muszą się rówmoważyć ciśnienia na jego cztery ściany. Rzuty na osie x y z ciśnienia p, działającego na ścianę ABC o powierzchni co, oznaczając przez Imn dostawy kątów, jakie czyni p z osiami Mx, My, M z, wyrazić można przez iloczyny p co l, p co ra, p co n. Rzuty te winny być równe skierowanym wzdłuż osi ciśnieniom P\ P% na ściany MCA, MAB, MCB, o powierzchniach co, co2 w₃, co daje równania:

1/

Rys. 1.

p tu l — p₁oi{,

Z drugiej znów strony, powierzchnie coj co₂ co₃ są rzutami, na płaszczyzny zy, zx, yx, powierzchni co, co daje:

(ul = 00j ,

p (O m = p₂(n₂ ,

poi 71= psll>₃ .

co m

- dl ₂ >

oon = co

wuęc:

P = Pi = P₂ = P% 7

ciśnienie na jednostkę powierzchni, na którąkolwiek ze ścian prostopadłych, jest równe ciśnieniu na jednostkę powierzchni na ścianę ukośną. Innemi słowy, ciśnienie w punkcie M jest jednakowe na wszystkie powierzchnie, przez ten punkt przechodzące, czyli jednakie we wszystkich kierunkach.

Dla zastosowania prawa rówmości ciśnień we wszystkich kierunkach wrnkoło danego punktu, czyli prawa równomiernego rozkładu ciśnień w płynach, wyrażonego przez Pascala, do

płynu, na który, oprócz ciśnień zewnętrznych me działają inne siły, należy wyobrazić sobie płyn nieważki, albo też pomijać różnice ciśnień, wynikające z własnego ciężaru płynu. Jeżeli płyn taki, oczywiście nieściśliwy, a więc ciecz, wypełnia dwa cylindry różnej średnicy, połączone rurą u spodu a u góry zamknięte tłokami, to siły działające na tłoki z zewnątrz będą równoważone przez parcie płynu na dolne ściany tłoków. Oznaczając siły zewnętrzne, działające: na tłok większy o powierzchni o)₂ przez P₂, a na tłok mniejszy o powierzchmi przez Px,—mieć będziemy ciśnienie na jednostkę powierzchni pod tło-p

. Na zasadzie pra-

kiem większym —-, a pod mniejszym Ava Pascala, ciśnienia te są równe, więc:

pi

W.,

P1

(Ol

Zatem, dla zapewnienia równowagi, siły działające na tłoki winny być proporcyonalne do powierzchni tłoków, albo do kwadratów ze średnic cylindrów. Na tej zasadzie budowane są prasy hydrauliczne, akumulatory, windy hydrauliczne i t. p.

Zadanie 1. W rurze AB (rys. 1) utrzymywane ma być ciśnienie p, naciskiem tłoka o średnicy d. Tłok ten stanowi jedną całość z tłokiem większym o średnicy Z), na którego spód działa ciśnienie-słupa wody, wysokości h. W jakim stosunku mają być dobrane średnice D i d ?

Oznaczając przez y ciężar właściwy wody, z równania:

Tc d²

otrzymujemy:

— =1/' P .

d V hj

Po

Rys. 2.

Ü.

Zadanie 2. Akumulator różniczkowy utrzymuje ciśnienie p w rurze AB (rys. 3), za pomocą tłoka o średnicy ô, połączonego stale z parą tłoków (o średnicy D i d), pomiędzy które wchodzi para pod ciśnieniem pi. Jakie ma być to ciśnienie?

Równanie:

(P.-Po)^- (£³- d*) = p — daje:

K'

Rys. 3.

Pl=Po + P

8²

Z)²-d²

4. Równania równowagi. Powierzchnie poziomu.

Zadanie 3. Pod tłokiem akumulatora (rys. 4), o średnicy d=20 cm, działa ciśnienie wody p = 35 atmosfer. Jeżeli tłok podnosi się na wysokość h = 2,40 m, jakie będzie, po podniesieniu, ciśnienie na tłok, odliczając 3% na tarcie kołnierza uszczelniającego?

Ciśnienie na tłok będzie:

TÄ) (1-0,03) = 10592 kg, przyjmując y = 0,001 kg, h = 240 cm.

Zadanie 4. Ciśnienie wody podnosi tłok akumulatora o powierzchni co (rys. 5). Łańcuch ABCD, o długości l, przechodzący przez dwa bloki, łączy akumulator z przeciwwagą,

Jaka ma być odległość bloków e i ciężar jednostki długości łańcucha q, aby zrównoważyły zmianę ciśnienia na tłok, podczas podnoszenia?

Oznaczając AB = x, CD — y, a różnicę wysokości między spodem tłoka i rurą doprowadzającą wodę przez z, to zmienne ciśnienie na tłok będzie yioz, a równowaga będzie miała miejsce, gdy qx—yuz = qy. Że zaś x-\-e-\-y=l, x-\-h — b-\-z, więc:

Rys. 4.

r ■■

sTß «

TT

i)

a = _    T⁰*?_

v 2z-f 26 - 2Ä - J + e '

Jeżeli e=l—2 (b — h), to 9 = ~

Ö.J

Rys. 5.

4. Równania równowagi. Powierzchnie poziomu.

JA

'_V

Odnosząc punkty płynu w równowadze do trzech osi prostokątnych Ox, Oy, Oz (rys. 6), weźmy pod uwagę nieskończenie mały prostościan ABEF, mający krawędzie równoległe do osi i równe dx, dy, dz. Równanie równowagi prostościanu otrzymamy, przyrów-nywując do zera sumy rzutów na trzy osie, sił działających na prostościan.

Rys. 6.

masy,

Siły te składają się najprzód z ciśnień, działających na sześć ścian prostościanu, równoległych ńo osi i z sił zewnętrznych, przyłożonych do masy płynu. Sumy składowych tych sił, odniesionych do jednostki

według trzech osi, oznaczymy przez X, F, Z, tak że przy gęstości płynu p i masie elementarnego prostościanu p dx dy dz, składowa według osi x będzie p Xdxdydz i tak samo dwie pozostałe. Oznaczając ciśnienie w A przez p, będzie ono w B:

dx, a że jedyne ciśnienia, mające rzuty na oś x, są

p-> &

działające na ściany AF i BE, których powierzchnie są równe dydz, przeto suma wszystkich rzutów ciśnień na oś x będzie

p-[p+itdx)]

dy dz albo —

dp

_ dx dy dz i ta suma, do-dx

dana do składowej p X dx dy dz sił zewnętrznych, winna być równą zeru, co po podzieleniu przez dx dy dz daje pierwsze z następujących trzech równań, a dwa inne otrzymuje się, rozważając rzuty na dwie osie y i z:

dp

dp

dp

Sz =?*• •• U)

Mnożąc te równania, pierwsze przez dzc, drugie przez dy a trzecie przez dz, dodając je do siebie i mając na uwadze, że suma:

= p X, dx ‘

= pY,

dp

dp

dp

dx

dy

dy+ dz

dz

jest całkowitą różniczką ciśnienia p. uważanego jako funkcyą spółrzędnych x, y, z, otrzymamy równanie ogólne hydro-statyki:

dp = p (Xdx -}- Y dy -[- Z dz) ....    (2)

Odnosząc punkty płynu do spółrzędnych cylindrycznych

(rys. 7): promienia wodzącego r, kątacp i wysokości liczonej po osi OZ, i biorąc pod uwagę, zamiast elementarnego prostościanu, nieskończenie mały wycinek cylindryczny, zawarty między dwiema powierzchniami wal-cowemi, mającemi wspólną x oś OZ, a promienie r i r-\-dr, dwiema płaszczyznami pionowymi, przechodzącemi przez oś OZ i tworzącemi przy tej osi kąt d cp, wreszcie dwiema płaszczyznami poziomemi, odległemi na dz, — mieć będziemy masę elementarnego wycinka p . dr . rdfi . dz, i składowy sił zewnętrznych R, T, Z, mianowicie: U w kierunku promienia wodzą-

Rys. 7.

dr

dz

dp

cego r, T w kierunku stycznej do koła o promieniu r, Z w kierunku równoległym do osi OZ. Równania równowagi będą:

dp

¹ =PT,

dp

• (3)

3    = PÄ>

er

a równanie ogólne hydrostatyki:

dp = p (Rdr -f Trdtp -j- Z dz).....(4)

Powierzchnie w płynie, których wszystkie punkty ponoszą jednakie ciśnienie, nazywamy powierzchniami poziomu. Wyrażając to określenie równaniami:

(5)

p = ilości stałej, | dp — 0,

otrzymamy równania powierzchni poziomu, z wzoru (2) w spół-rzędnych prostokątnych:

• • (6),

Xdx -f- Ydy -j- Zdz = 0    .

a z wzoru (4) w spółrzędnych cylindrycznych:

.    .    (7)

R dr -J- T r dy    Z dz = 0

Równania te wyrażają, że praca elementarna wypadkowej sił zewnętrznych F, gdy jej punkt przyłożenia przebiega drogę ds na powierzchni poziomu, jest równa zeru. Gdybyśmy zamiast na trzy osie, rzucili tę wypadkową F na kierunek ds, to oznaczając przez a. kąt, jaki kierunek F czyni z kierunkiem ds, mielibyśmy:

. (8)

F cos a ds == 0

cos a = 0, skąd a —

W ogóle równaniu temu uczynić można zadość, kładąc —. W każdym więc punkcie powierzch-

Li

ni poziomu, wypadkowa sił zewnętrznych jest normalną do powierzchni poziomu przez ten punkt przechodzącej.

Powierzchnia swobodna cieczy w naczyniu, ponosząca we wszystkich swych punktach stałe ciśnienie powietrza, jest jedną z powierzchni poziomu.

5. Równowaga cieczy i gazów⁷. Jeżeli na płyn działa tylko siła ciężkości, to w równaniu (2) składowe wypadkowej sił zewnętrznych

X — 0, Y — 0, Z — —g,

gdzie g oznacza przyspieszenie siły ciężkości, równe dla Warszawy 9,81196 m i równanie przyjmuje kształt:

dp + p g dz = 0,

albo oznaczając przez y — Pff ciężar jednostki objętości płynu:

(9)

dp -J- Y dz = 0

To równanie różniczkowe równowagi płynów ważkich, zcałkujemy w dwóch przypadkach:

1) W przypadku cieczy jednorodnej, jak woda, y jest stałe i po zcałkowaniu równania (9) otrzymujemy:

• • (10)

2 + — = S₀ + P° Tf    Y

oznaczając przez z₀ rzędną poziomu cieczy, przez p₀ ciśnienie powietrza na tym poziomie, a przez H wysokość stałą. Stosuje

nek — ciśnienia w punkcie, którego rzędną jest z, do ciężaru

właściwego cieczy, nazywamy naporem. Jest to wielkość jednowymiarowa, bo w liczniku mamy ciśnienie na jednostkę powierzchni, czyli siłę podzieloną przez powierzchnię a w mianowniku ciężar właściwy, to jest siłę podzieloną przez objętość. Równanie (10) wyraża, że jeżeli w każdym punkcie cieczy, na przedłużeniu w górę rzędnej tego punktu, odetniemy wyso-

kość —, to końce górne wszystkich tych pionowych leżeć będą

T

na jednej płaszczyźnie poziomej, wzniesionej na wysokość H nad płaszczyzna^ porównania.

Gdybyśmy za tę płaszczyznę porównania wzięli płaszczyznę poziomu cieczy, rzędne z liczyli od niej w dół i pominęli ciśnienie powietrza na poziomie cieczy, wtedy z będzie od-jemne, p₀ =. 0, z₀ — H = 0 i z równania (10) pozostanie:

. (11)

co znaczy, że we wszystkich punktach cieczy jednorodnej, ciśnienie jest proporcyonalne do głębokości tych punktów pod poziomem cieczy i dla każdego punktu jest równe ciężarowi słupa cieczy, mającego za podstawę jednostkę powierzchni, a za wysokość głębokość punktu pod poziomem cieczy.

Równanie (5), to jest równanie różniczkowe powierzchni poziomu, będzie wtedy:

Y dz — 0

■ • (12)

a po zcałkowaniu:

-i ! a

• (13)

gdzie a jest stałą dowolną. Jest to równanie płaszczyzn równoległych do płaszczyzny xy. Powierzchnie poziomu są więc dla cieczy jednorodnych płaszczyznami poziomemi, prostopadłemi do kierunku siły działającej, to jest siły ciężkości, i odwrotnie każda płaszczyzna prostopadła do tego kierunku jest powierzchnią poziomu i ponosi jednakie ciśnienie we wszystkich swych punktach. Stwierdzają to fakty. Powierzchnia swobodna wody w zbiorniku, po zamknięciu przypływu, przyjmuje kształt płaszczyzny poziomej. Gdy do naczynia wiejemy ciecze różnych gęstości i te oddzielą się jedna od drugiej, to ułożą się one warstwami poziomemi, porządkiem ciężarów właściwych, najcięższe u spodu, najlżejsze u góry, a po ustaleniu się równowagi, warstwy oddzielone są jedna od drugiej płaszczyznami poziomemi. Wobec stwierdzenia wywodów analitycznych przez obserwacyę, mamy prawo wnioskować, że przypuszczenie płynności doskonałej, służące za podstawę wywodów, może być przyjętem w hydrostatyce, i doprowadza do pierwszego przybliżenia, wystarczającego dla objaśnienia obserwowanych faktów.

Równanie (10) wypisać można w postaci:

Po

= zo — z

• • (14)

Różnica zatem naporów, na dwóch poziomach cieczy jednorodnej w równowadze, jest równa różnicy głębokości tych poziomów.

2) W przypadku gazu doskonałego, to jest takiego, do którego prawo Mariotte’a stosuje się w zupełności, jeżeli y₀ jest ciężarem jednostki objętości gazu pod ciśnieniem atmosferycz-nem p₀ i w temperaturze 0°, a y ciężarem tejże jednostki pod ciśnieniem piw temperaturze t°, to według praw Mariotte’a i Gay-Lussaca:

7o

Po '    1 + Ct*

gdzie a jest współczynnikiem rozszerzalności gazu, równym 0,003663. Stąd:

7o

Po (1 + a<)

a wstawiwszy tę wartość w równanie różniczkowe dp -j- y dz = 0, otrzymamy po podzieleniu przez p:

dp

7o dz

— 0.

Po zcałkowaniu, przyjmując, że t jest stałe, otrzymujemy;

]nP +

= C.

7o g

Po (1 -f a t)

Mierząc ciśnienie px na wysokość z, znajdziemy:

C — ln Pl -f

To zi Po

a po wstawieniu tej wartości otrzymamy:

In

Tr.

(® —«1) = 0,    .    (15)

Po (1 ~f~ a0

równanie równowagi gazu doskonałego. Równanie to, przystosowane do atmosfery ziemskiej, służy za podstawę poziomowania barometrycznego, pozwalając oznaczyć wzniesienie

Pi

V

w funkcyi stosunku . W tym celu jednak wprowa-

z —

dzone być w niem muszą różne zmiany. Ciężar y₀ jednostki objętości powietrza, przy temperaturze 0° i pod ciśnieniem atmosfery, jest równy iloczynowi z gęstości czyli masy właściwej p₀ przez przyśpieszenie siły ciężkości g. Czynnik g nie jest stały i zmienia się razem z wysokością punktu nad powierzchnią ziemi, według prawa ciążenia, w stosunku odwrotnym do kwadratu z odległości od środka ziemi. Wyrażenie 1 -|- a t, które przy całkowaniu uważaliśmy za stałe, zmienia się w miarę wzrostu wysokości. Nie znając ściśle prawa zależności temperatury od wysokości, bierze się zwykle t jako średnią dwóch temperatur, zaobserwowanych na dwóch stanowiskach. Wreszcie zamiast wartości a = 0,00366, przyjmuje się a = 0,004, uwzględniając parę wodną rozpuszczoną w powietrzu. Przez wprowadzenie tych zmian otrzymuje się z równania (15), podawane w podręcznikach wzory na poziomowanie barometryczne, Laplace a lub Gaussa.

6. Przypadki równowagi względnej. Wyznaczyć powierzchnie poziomu w następujących czterech przypadkach równowagi względnej:

Pa

Zadanie 5. Jeżeli wielka kadź, napełniona wodą (jak używana do przewozu statków na równiach pochyłych, łączących dwie, położone na różnych wysokościach części kanału) wprawioną zostanie w ruch z przyspieszeniem u' =

du

JTs

/'I c*

Rys. 8.

w kierunku strzałki

(rys. 8), po równi nachylonej do poziomu pod kątem ot, to po uspokojeniu się wstrząśnienia, z jakiem nachyleniem do poziomu układa się powierzchnia wody w kadzi?

dt

dz

Kąt ß, którego styczna tg ß =

otrzymamy kładąc w ró-

Zadanie 6. Jeżeli ciecz zawarta w naczyniu wprowadzoną zostanie w ruch obrotowy około osi pionowej (np. woda w szklance przy kręceniu łyżeczką) i ruch ten się ustali, to przypuścić można, że ciecz doszła do względnej równowagi, w odniesieniu do osi spół-rzędnych prostokątnych, ożywionych tym samym ruchem obrotowym, około osi z.

<o

Punkt M cieczy, położony na płaszczyźnie południkowej zox, utrzymywany jest w równowadze na tej płaszczyźnie, obracającej się razem z cieczą, działaniem dwóch sił: rzeczywistej, jaką jest jego ciężar i siły pozornej bezwładności w ruchu obrotowym.

Rys. 9.

Wielkości tych sił, odniesione do jednostki masy, będą: g i bx, jeżeli 6 jest prędkością kątową ruchu obrotowego, a x odległością MP punktu M, od osi obrotu oz. Siły skierowane są według MB i MA. Kładąc w równaniu (6) X = b²x, Y = 0, Z — — g, otrzymujemy równanie krzywej, według której powierzchnia równiny przechodząca przez punkt M, przecina płaszczyznę zx:

0² x dx — g dz = 0,

oc^

a po zcałkowaniu: b² —^--gz — C. Krzywa ta jest parabolą, ma

zawsze

Je-

wnanie (6), X — — u' cos u , I — 0, Z — — g — u' sin a . Mamy wtedy:

X dz _ Z dx

u' cos a

skąd:

g -f- u' sin a. ’

ß = arc tang

w' cos o g -f- sin a

jącą za oś pionową, oś obrotu, a powierzchnie poziomu są tu para-bolóidami obrotowemi, w każdym punkcie normalnemi do MC, wypadkowej dwóch sił MB — g i MA — b²x, przyłożonych do jednostki masy w punkcie M. Wypadkowa MC = yg²-\-b*x² jest większą od g i to tern więcej, im prędkość kątowa obrotu 0 jest większa. Cząstka cieczy w punkcie M i we wszystkich punktach położonych w odległości x od osi, znajduje się więc w tych warunkach, jakby jej ciężkość powiększyła się w stosunku g : ]/g² + 0⁴ X² . żeli te cząstki mają różne gęstości, to różnica sił na nie działających, przy równych objętościach, wzrośnie w tym samym stosunku i stanie się taką, jak gdyby w cieczy w spoczynku, wzrosła w tym stosunku różnica gęstości. Wynika stąd, że jeżeli z mieszaniny cieczy dwóch różnych gęstości, pozostającej w spoczynku, wydzielenie cieczy gęstszej jest trudne, to staje się ono ułatwionem przez wprawienie mieszaniny w ruch obrotowy, przyczem ciecz gęstsza oddala się od osi obrotu. Własność ta znalazła zastosowanie w przemyśle, w wirówkach lub odśrodkowcaęh, służących do filtrowania lub wydzielania z mieszanin cieczy    np. śmietanki z mleka. W wirówkach,

używanych w cukrowniach, ma miejsce zastosowanie samej tylko siły odśrodkowej, gdyż małe otwory na obwodzie zatrzymują kryształy cukru, a przepuszczają sok lub melas.

Zadanie 7. Jeżeli ruch obrotowy cieczy ma miejsce około osi poziomej, której rzutem jest punkt O (rys. 10), to cząstka M prze-

biega okrąg koła MN o promieniu r, z prędkością kątową stałą 0. Dla sprowadzenia tego przypadku do zadania równowagi względnej, trzeba do siły rzeczywistej MB = g, odniesionej do jednostki masy, dołączyć siłę pozorną, pochodzącą z bezwładności 6²r skierowaną według Ma, przedłużenia promienia OM. Wypadkowa tych dwóch sił MC N będzie normalną do powierzchni poziomu \ w punkcie M. Przedłużmy tę normalną do \ spotkania się z pionową, przechodzącą przez punkt 0. Dwa trójkąty podobne MCB J i PMO dają:

⁷    PO OM

MB ~ CB

Położenie punktu P jest więc niezależne od położenia punktu M. Wszystkie normalne do powierzchni poziomu spotykają płaszczyznę pionową, przechodzącą przez oś obrotu, na tej samej wysokości ponad tą osią. Powierzchnie poziomu są walcami o tworzących poziomych, równoległych do osi obrotu, a podstawy tych walców są okręgami kół zakreślonymi z punktu P jako ze środka. Odległość pionowra PO jest odwrotnie proporcyonalna do kwadratu z prędkości kątowej 0². Gdy ta prędkość jest znaczną, OP staje się bardzo małem. Objaśnia to, dlaczego można obracać, jak kamyk przywiązany do sznurka, szklankę z wodą, bez wylania wody. Koniecznem jest wtedy, aby punkt P leżał wewnątrz koła, jakie zakreślają w ruchu obrotowym cząsteczki

leżące na powierzchni wody w szklance, czyli żeby OP = —— było

C* .

"*B

Rys. 10.

-, skąd PO — ^—

Q²r

0² '

6²

mniejsze od OM = r. Jest to także warunkiem ciągłego wyprężenia sznurka, podczas ruchu kołowego szklanki.

Zadanie 8. Jeżeli w zagięciu (kolanie) rzeki o przekroju poprzecznym stałym, jak na rys. 11, woda ma jednostajną prędkość w,

to poziom podnosić się będzie przy brzegu zewnętrznym, a obniżać przy wewnętrznym. Cząstka cie--r' czy, której ciężar jest G, podlegać _ będzie działaniu siły odśrodkowej

- i z równania (6) otrzymamy:

Git?

X _ gx

²I

ł~

€ur

Rys. 11.

dz

dx

g dz = u*

dx

gx

Dla x = Ri, z = 0

gZ = u² ln X -f C.

0 — u² ln Rl -f- C u³ , x

n_pT

Podniesienie pozorne na brzegu zewnętrznym (w log. Briggsa):

2,30 — (log P, — log P,).

7. Ciśnienie cieczy na powierzchnię płaską.

15

7. Ciśnienie cieczy na powierzchnię płaską. W § 5

doszliśmy do równania p = 7z, wyrażającego, że dla każdego punktu cieczy jednorodnej w równowadze, ciśnienie jest równe ciężarowi słupa cieczy, mającego za podstawę jednost-kę powierzchni, a za wysokość—głębokość punktu pod poziomem cieczy.

Jeżeli wewnątrz cieczy w równowadze weźmiemy pod uwagę powierzchnię, ograniczoną jakąkolwiek linią zamkniętą, położoną na płaszczyźnie, nachylonej do poziomu pod kątem a M_

a przecinającej poziom cieczy według prostej MN, to na element tej powierzchni płaskiej, którego odległość od MN jest cc, a głę-bokość pod poziomem cieczy z = x sin a, działa ciśnienie 7 co x sin a, a na całą powierzchnię AB ciśnienie P = £ 7 co cc sin a = 7 sin a £ co cc. Ciśnienie w każdym punkcie jest proporcyo-nalne do odległości tego punktu od prostej MN. Jeżeli przez Xq oznaczymy odległość GE, środka ciężkości G powierzchni AB, od prostej MN, a przez £2 całą powierzchnię AB, to to £ co x = £2 cc₀, a ciśnienie całkowite P = 7£2cc₀sina:, jest równe iloczynowi z powierzchni £2 przez ciśnienie w środku ciężkości, będące tym sposobem ciśnieniem średniem na powierzchni AB.

Punkt C przyłożenia wypadkowej P, albo środek ciśnienia, leży w odległości xx od MN, a odległość tę otrzymać można z uwagi, że moment wypadkowej P względem osi MN jest równy sumie momentów ciśnień elementarnych:

Pxx — £ 7 co x sin a . x = 7 sin a £ co cc². .    .    .    (16)

\D[

°C

Rys. 12.

i Go

A/

£ coce² jest to moment bezwładności'powierzchni AB względem osi MN, a jeżeli przez I oznaczymy moment bezwładności tej powierzchni względem osi M'Nr, przechodzącej przez jej środek ciężkości, będzie:

£ co cc² = 7 -j- £2 x₀²,

a więc:

Pxx 7 sin a £ co cc² _ £2 cc₀² -f-1

£2 x₀

Wynika stąd, że xx > cc₀, czyli że środek ciśnienia leży zawsze pod środkiem ciężkości powierzchni, na którą ciecz ciśnie.

Jeżeli powierzchnia płaska jest symetryczna względem średnicy prostopadłej do MN, to środek ciśnienia leży na tej

^1= p

7 sin a £ co cc

Qx₀

■ • (17)

średnicy i wzór powyższy, dający xx odległość środka ciśnienia od MNf pozwala odnaleść jego położenie.

Zadanie 9. Wzory (16) i (17) zastosować do prostokąta o dwóch bokach poziomych, oraz do przypadku, gdy bok górny prostokąta leży na poziomie cieczy i gdy ściana jest pionową.

Dla prostokąta o szerokości poziomej b a wysokości a, U = ab I — a³ b / 12 i wzór (16) daje ciśnienie P = f ab x₀ sin a, a wzór (17) odległość środka ciśnienia od poziomu wody:

a³b

Xx = x₀ +

12 abx₀

= a?o +

a².

12 x₀

Odległość środka ciśnienia od środka ciężkości: xx—x₀ =

12 Xq

jest odwrotnie proporcyonalna do x₀. Jeżeli bok górny prostokąta

leży na poziomie cieczy, x₀ = ■—

2’

Xx — x₀ = -

Y ~2~ b sin a.

Gdy przytem ściana jest pionową, sin a = 1, P —    ^ a* b.

Zadanie 10. Wzory (16) i (17) zastosować do koła o promieniu r, oraz do przypadku, gdy koło dotyka poziomu cieczy.

Dla koła o promieniu r, Q — .-er², I = — itr⁴, wzór (16) daje:

P = y Tc r² X₀ sin a,

a wzór (17):

Tc r⁴

4 Tc r² x₀

= æ₀-f

r²

4œ₀ '

Odległość środka ciśnienia od środka ciężkości: xx — x₀ = jest mniejsza niż dla prostokąta.

r² (2 r)²

4 æ₀    16æ₀ ’

Gdy koło dotyka poziomu wody, x₀ = r, P = ^ n r³ sin ay a dla ściany pionowej: P = y * r³ •

TT

Zadanie 11. Obliczyć spółrzędną xx — OC (rys. 13) środka ciśnienia Ć dla trapezu na ścianie pionowej, o bokach równoległych: a, b, z których a leży na poziomie cieczy, b — na głębokości h.

Bys. 13.

8. Ciśnienie na jakąkolwiek powierzchnię. Zasada Archimedesa. Jeżeli powierzchnia zamknięta poddana jest we wszystkich swych punktach, ciśnieniu normalnemu stałemu na jednostkę powierzchni, to wypadkowa tych wszystkich ciśnień elementarnych jest równa zeru.

Odnosząc powierzchnię do jakichkolwiek trzech osi spół-rzędnych prostokątnych (rys. 14), podzielmy ją na graniasto-

słupy nieskończenie małe, równoległe do jednej z osi, np. do 0x. Ciśnienie na podstawę nachyloną jednego z tych gra-niastosłupów równa się ciśnieniu p, pomnożonemu przez powierzchnię tej podstawy. Rzut tego ciśnienia na oś x jest równy iloczynowi z p przez powierzchnię przecięcia graniastosłupa. Tak samo ciśnienie na drugą podstawę Mr będzie miało rzut na oś równy • iloczynowi z p przez powierzchnię przecięcia prostego, czyli równy tej samej wartości. Suma więc tych dwóch rzutów, równych i skierowanych w strony przeciwne, będzie równa zeru i toż samo będzie miało miejsce z rzutami na oś x ciśnień działających na podstawy wszystkich gra-niastosłupów. Suma rzutów na oś x wszystkich ciśnień na powierzchnię zamkniętą jest więc równa zeru, a ponieważ tożsamo wywieść można dla rzutów ciśnień na inne dwie osie, wynika stąd, że i wypadkowa wszystkich ciśnień jest równa zeru.

Rys. 14.

Rys. 15.

Twierdzenie to daje możność znalezienia wypadkowej ciśnień normalnych, stałych na jednostkę powierzchni, działających na jakąkolwiek powierzchnię nieregularną ograniczoną płaszczyzną. Niech będzie AMB (rys. 15), ta powierzchnia, ograniczona płaszczyzną AB i poddana we wszystkich swych punktach działaniu ciśnienia normalnego p. Jeżeli weźmiemy pod uwagę objętość, jaką tworzy ta powierzchnia razem z płaszczyzną AB i ciśnienie p, działające na całą powierzchnię, tak płaską jak i krzywą, zamy- & kającą tę objętość, to wypadkowa ciśnień elementarnych będzie równa zeru, czyli uważana objętość będzie w równowadze. Wynika stąd, że ciśnienie p na jednostkę powierzchni na płaszczyznę AB, równoważy ciśnienie p na jednostkę powierzchni AMB, albo że wypadkowa ciśnienia na tę powierzchnię jest równa wypadkowej ciśnień na płaszczyznę AB, czyli iloczynowi z p przez powierzchnię płaską AB, jest prostopadła do AB i przyłożona w środku ciężkości tej powierzchni płaskiej.

Zadanie 12. Mur bulwaru ma kształt ostrokręgu ścię

dy

v2

23. Obliczanie rur. We wzorach (93—109) na ruch je

N,

so-

a jeżeli i jest stały spadek dna AB (rys. 79):

g dt ~

ËS

\Hc

V + -^r

pv2 — RTt

= p2 dz K p dp -)- — (a K' p + b K'2) ds.

Q =z co U sin a.

°,9t

Zadanie 12. Mur bulwaru ma kształt ostrokręgu ściętego o promieniach podstaw: R ■— dolnej, r — górnej (rys. 16); tworzące ostrokręgu nachylone są pod kątem a do poziomu, a wysokość h jest jednocześnie głębokością wody. Wyznaczyć ciśnienie P na po-

F. K- Hydraulika.

P:=PB +2 Py‘*

Q;—h

1/ 8 -f- K'J cotg¹ a

wierzchnię ostrokręgu, jego uachylenie o do poziomu i odległość od podstawy punktu przecięcia się P z osią ostrokręgu.

Ciśnienie pionowe na powierzchnię ostrokręgu:

(P² + Pr + r²)| = ?- ~ (2 P² - Rr - r»).

Ciśnienie poziome, prostopadłe do płaszczyzny rysunku, na trapez o podstawach R i r:

P„=Ą(R+r₎H.*.-r±l£

-=-■-£ (2S + r),

a taką samą wartość ma składowa, równoległa do płaszczyzny rysunku Px. Ciśnienie całkowite:

P* =

[R'r.h-

i!

XI

i"

frïï\\

i wl

y/yr/yy////

7 /i² (2 R -f r)

12

gdzie:

Rys. 16.

cotg a =

R — r

~~h~-

Dla znalezienia położenia punktu, w którym kierunek ciśnienia P (rys. 17) przecina oś ostrokręgu, trzeba wziąć pod uwagę wązki pasek powierzchni AB, między dwiema two-rzącemi ostrokręgu, trapez o podstawach

-A—. Śro-sin a

dek ciśnienia na ten trapez, według wzoru zadania 11, leży w odległości AM od wierzchołka A:

h-x

y i?

r d <o i Rcl cp i wysokości AB =

AM — Xy — -

h    3 P-j-r

2 sin a    2 P -f- r

Ponieważ wszystkie ciśnienia elementarne dP przecinają oś ostrokręgu w tym samym punkcie, więc ten punkt będzie zarazem środkiem ciśnienia: że zaś dla tego środka ciśnienia: (li—x) sin a = xx -f-r cos a, więc:

Rys. 17.

x— li

3 P-fr

— r cotg a.

2 sin² a ’ 2 P -(- r Zadanie 13. Półkula, wypełniona cieczą, pozostaje pod ciśnieniem słupa cieczy h (rys. 18). Jakie jest ciśnienie pionowe na wewnętrzną powierzchnię półkuli ?

Ciśnienie to jest równe ciśnieniu na płaską podstawę półkuli, na którą od spodu

ciśnie 7 n r² h, a od góry — y xr³. Ciśnie

nie więc wynosi:

Rys. 18.

w! to

Jeżeli cicdo stale jest zanurzone w płynie ważkim, będącym w równowadze, to składowa pozioma wypadkowej ciśnień na nie działających jest równa zeru, co znaczy, że ta wypadkowa jest pionowa. Przypuściwszy bowiem, że ciało stałe podzielone jest na warstwy poziome nieskończenie cienkie, przez płaszczyzny poziome równoległe, to ciśnienie na jednostkę powierzchni będzie jednakowe na obwodzie każdej poszczególnej warstwy, a rozumując w ten sam sposób jak poprzednio, dojdziemy do wniosku, że suma rzutów na dwie osie poziome, ciśnień działających na obwodzie każdej warstwy, jest równa zeru i składowa pozioma wypadkowej ciśnień na wszystkie warstwy także równa zeru, czyli że ta wypadkowa jest pionową.

"/N

Jeżeli ciało stale jest zanurzone w płynie ważkim, będącym w równowadze, to wypadkowa pionowa ciśnień działających na jego powierzchnię jest równa ciężarowi Cieczy wypchniętej i przechodzi przez środek ciężkości masy jednorodnej, wypełniającej objętość zajmowana przez ciało. Podzielmy ciało stałe na graniasto-słupy pionowe nieskończenie małe i niech będzie w przecięcie proste, t. j. poziome jednego z tych graniastosłupów MM' (rys. 19). Jeżeli y p i p' są ciśnienia na jednostkę powierzchni w M i M\ to suma rzutów na oś pionową ciśnień na ścianki górną i dolną graniastosłupa MM' będzie:

p'u>—p co — (p' ~p) co.

Rys. 19.

Jeżeli h i h' są głębokości punktów M i M' pod powierzchnią swobodną cieczy, to:

{p —p) to = y (h¹—h) to.

p' = y h'

P = Y h,

Różnica głębokości h—hr jest równa wysokości graniastosłupa MM'. Widzimy więc, że suma rzutów na oś pionową ciśnień działających na podstawy Mi M jest. równa ciężarowi graniastosłupa wypełnionego płynem, w którym ciało jest zanurzone i że wypadkowa pionowa tych ciśnień działa od dołu do góry, w kierunku przeciwnym działaniu siły ciężkości. Powtarzając to rozumowanie dla każdego elementarnego graniastosłupa, dojdziemy do wniosku, że wypadkowa ciśnień na całą powierzchnię ciała stałego, jest równa ciężarowi płynu, któryby wypełniał objętość ciała stałego, i przechodzi przez środek ciężkości wszelkiej masy jednorodnej, wypełniającej tę objętość, gdyż wszystkie ciśnienia elementarne, składające się na tę wypadkową, są siłami pionowemi, których środek jest środkiem ciężkości masy jednorodnej, wypełniającej objętość ciała.

Wypadkową tę, usiłującą wypierać ciało z pod poziomu cieczy, nazwano wyporem. Twierdzenie o wyporze nosi nazwę zasady Archimedesa. Ponieważ wypór sprawia pozorne zmniejszenie ciężaru ciała, nazywany bywa niewłaściwie strata^ ciężaru.

Twierdzenie wywiedziono w przypuszczeniu, że ciężar właściwy płynu jest stały. Dowieść można w ten sam sposób praw dziwości zasady Archimedesa i przy zmiennym ciężarze. Prawdziwość tę zresztą, we wszystkich przypadkach, wykazuje następujące rozumowanie. Jeżeli w płynie, będącym w równowadze, weźmiemy pod uwagę tę część płynu, która zostaje wypchniętą przez ciało stałe, gdy je w płynie zanurzono, to ta część płynu ponosi od części, które ją otaczają, ciśnienie pionowe równe i wprost przeciwne jej ciężarowi. Ciśnienie to, będące wypadkową wszystkich ciśnień działających na powierzchnię, która oddziela część płynu uważaną od części ją otaczających, pozostaje niezmienione, gdy uważana część płynu zastąpioną zostaje przez ciało zanurzone, gdyż powierzchnia, na którą to ciśnienie działa, nie ulega zmianie. Punkt przyłożenia tej wypadkowej, będący środkiem ciężkości masy jednorodnej, wypełniającej objętość ciała, nosi nazwę, gdy mowa o ciałach pływających na powierzchni cieczy, środka zanurzenia. Możnaby stosować tę nazwę i do ciał całkowicie zanurzonych.

cY

r,

i (e

Rys. 20.

9. Stałość równowagi ciał pływających. Ciało sta łe, całkowicie zanurzone w cieczy, poddane jest działaniu dwóch sił, mianowicie swemu ciężarowi, przyłożenemu w środku ciężkości ciała G i wyporowi, t. j. ciśnieniu cieczy otaczającej, równemu ciężarowi cieczy wypchniętej i przyłożonemu w środku zanurzenia C. Ażeby ciało pozostawało w równowadze pod działaniem tych dwóch sił, trzeba i wystarcza, aby te siły były sobie równe i wprost przeciwne, t. j. aby ciężar ciała był równy ciężarowi cieczy wypchniętej i aby środek ciężkości ciała i środek zanurzenia leżały na jednej pionowej. Ale żeby równowaga była stałą, trzeba jeszcze, aby środek ciężkości ciała leżał pod środkiem • zanurzenia. Widzimy bowiem, że wtedy (rys. 20), przy najlżejszem poruszeniu, obie siły dążą do przywrócenia ciału Rys. 21. położenia równowagi, gdy przeciwnie, jeżeli środek zanurzenia leży pod środkiem ciężkości ciała (rys. 21), wtedy ciało dąży do dalszego odchylenia się od położenia równowagi.

Jeżeli ciężar ciała stałego jest mniejszy od ciężaru cieczy, która byłaby przez ciało wypchniętą przy całkowitem zanurzeniu, wtedy ciało pływa na powierzchni cieczy i zanurza się na tyle tylko, aby ciężar cieczy wypchniętej był równy ciężarowi ciała. Wtedy wypadkowa ciśnień cieczy na ciało równoważy ciężar ciała, a środki ciężkości ciała i zanurzenia leżeć winny na jednej pionowej. Warunek wszakże stałości równowagi przybiera wtedy inną postać, co pochodzi stąd, że przy każdej zmianie położenia ciała pływającego zmienia się kształt części zanurzonej, a więc i położenie środka zanurzenia.

«/i

/!

»,1

'i i

<7

Rys. 22.

Niech będzie G (rys. 22), środek ciężkości ciała pływającego, C — środek zanurzenia, odpowiadający położeniu równowagi. Jeżeli przypuścimy, że ciało pływające zmieniło położenie w ten sposób, że oś pływania GC przyjęła położenie GC, to nowy środek zanurzenia znajdować się będzie w D, Dt lub Z>₂ . Jeżeli leżeć będzie w D na pionowej GC', wtedy dwie siły na ciało działające, mianowicie ciężar i wypór, są wprost przeciwne i ciało pozostaje w stanie równowagi obojętnej, utrzymującej się przy każdej pomyślanej zmianie położenia ciała. Jeżeli środek zanurzenia przejdzie do Dj, to para sił dąży do dalszego oddalania ciała od położenia równowagi i równowaga jest nie stałą. Stałą być może wtedy tylko, gdy nowy środek zanurzenia przypadnie w D₂, poza pionową, przechodzącą przez G, t. j. gdy pionowa D₂M₂, przechodząca przez nowy środek zanurzenia, przecina CG nad punktem G. Punkt M₂, w którym wtedy kierunek wyporu przecina oś pływania GC, nazywamy metacentreyn. Warunkiem więc stałości równowagi jest położenie metacentru nad środkiem ciężkości ciała pływającego.

i'.

rl U c :

Rys. 23.

Postarajmy się oznaczyć poło-zenie metacentru. Niech będzie ciało pływające, którego środek ciężkości jest w G (rys. 23). W po- \ łożeniu rówmowagi linią pływania l jest DE, przecięcie powierzchni \ ciała przez płaszczyznę poziomu cieczy i środek zanurzenia C leży na prostopadłej do DE, przechodzącej przez G. Przypuśćmy, że skutkiem nieskończenie małej zmiany położenia ciała pływającego, linią pływania staje się AB. a nowy środek zanurzenia znajduje się w C. Metacentrem

jest granica położenia punktu M, przecięcia się prostej CG z pionową, przechodzącą przez C, przy nieskończenie małej zmianie położenia ciała pływającego. Przyjmijmy, że płaszczyzna rysunku jest pionową, prostopadłą do przecięcia płaszczyzn AB i DE, że zmiana położenia jest bardzo małą. tak że dwa przekroje AB i DE różnią się bardzo mało jeden od drugiego. Każdy z tych przekrojów będzie prawie równy przekrojowi pośredniemu 1K ciała przez płaszczyznę, dzielącą na połowę kąt, pod jakim przecinają się płaszczyzny DE i AB\ na tej płaszczyźnie leżą środki ciężkości dwóch klinów: DHA i BHE, których objętości są równe, ponieważ równe są objętości ALB i DLE, wypychające każda objętość cieczy V, której ciężar jest równy ciężarowi ciała pływającego.

Weźmy momenty względem płaszczyzny IK dwóch objętości: DLE i ALB. Jeżeli przypuścimy, że pierwszy z tych momentów jest znany, to aby otrzymać drugi, trzeba od pierw szego odjąć moment klina DHA, równy zeru, bo jego środek ciężkości leży na IH, i dodać moment klina BHE, także równy zeru. Oba więc momenty są sobie równe, a ponieważ objętości DLE i ALB są równe, przeto ich środki ciężkości leża w tej samej odległości od 1K, czyli że środek zanurzenia C' leży na równoległej do IK, przechodzącej przez C.

Weźmy następnie momenty tych samych dwóch objętości względem prostej, prostopadłej do IK. Różnicę ich stanowić będzie iloczyn z V przez odległość CC. I tu możemy przechodzić od jednego z tych momentów do drugiego, dodając moment klina BHE a odejmując moment klina BHA. Różnica momentów dwóch objętości DLE i ALB, równa FX CC. będzie także różnicą momentów dwóch klinów BHE i DHA i nie zmieni się, jakiekolwiek będzie położenie linii prostej, prostopadłej do IK, branej za oś momentów. Jeżeli przypuścimy, że ta oś przechodzi przez punkt H, to moment jednego klina będzie dodatny, a drugiego odjemny i ich różnica algebraiczna będzie równa sumie arytmetycznej. Weźmy na płaszczyźnie LK element powierzchni nieskończenie mały to . leżący w odległości y od osi, której rzutem na płaszczyznę rysunku jest punkt II. Element ten uważać można jako przecięcie proste kloca graniastosłupowego, między płaszczyznami AB i DE. Jeżeli -6 jest kąt DHB. to wysokość gra-

6    .    .    9

niastosłupa będzie 2y sin a objętość 2y co sin —-, albo '//co9.

Li    Li

przyjmując, że kąt 9 jest bardzo mały, tak że można zastąpić jego wstawę długością łuku. Moment tego graniastosłupa, względem prostej, której rzutem jest punkt H, będzie y² co 6 ,

a suma momentów wszystkich graniastosłupów, tworzących oba kliny X;//²10 6 = 0 X o> y², obejmuje wszystkie elementy przecięcia IK. Mamy więc:

V X CC = ÔXco

że zaś kąt CMC jest równy 6 i CC' __ 2 MC sin

to cr>

= 3/ C X 6,

przeto:

F X MF X 6 — 6 X co y².

W granicy, przecięcie IJC schodzi się z przecięciem DE i prosta H przechodzi przez środek ciężkości tego przecięcia. Jeżeli oznaczymy przez I =. X w y² moment bezwładności względem osi, przechodzącej przez środek ciężkości przecięcia DE ciała pływającego, płaszczyzną poziomu cieczy w położeniu równowagi, to z równania ostatniego otrzymamy:

MC —

Jeżeli wreszcie oznaczymy przez A odległość CG, środka zanurzenia od środka ciężkości w położeniu równowagi, to odległość MG, metacentru od środka ciężkości ciała pływającego będzie:

MG —

. . (18)

gdzie znak odnosi się do przypadku, gdy środek ciężkości G leży pod środkiem zanurzenia C. Aby więc równowaga była stałą, trzeba i wystarcza, aby MG było dodatne. Ta wielkość MG jest niejako miarą stałości równowagi, będąc przy każdej zmianie położenia ciała pływającego proporcyonal-ną do ramienia pary sił, dążącej do przywrócenia ciału pływającemu położenia równowagi. Moment bezwładności I winien tu być najmniejszym z momentów bezwładności przecięcia DE względem wszystkich osi, przechodzących przez środek ciężkości tego przecięcia. Wyznaczony w ten sposób metacentr zajmuje położenie określone, niezależne od kąta 6, o ile ten kąt jest bardzo mały. W przypadkach większych odchyleń od położenia równowagi, trzeba dla każdego odchylenia oznaczać położenie metacentru z wdelkości wahań, uskutecznianych przez ciało pływTające. Okres tych wahań jest równy okre-

jeżeli R ozna-

R²

MG

eza promień wirowania ciała, w zględem jego osi podłużnej poziomej, przechodzącej przez środek ciężkości.

som wraliań wahadła prostego o długości

10. Zastosowanie do graniastoslupa o przekroju kwadratowym. Weźmy pod uwagę graniastosłup jednorodny, nieokreślonej długości, o przekroju kwadratowym. Oznaczmy przez a bok kwadratu a przez d stosunek ciężaru właściwego graniastoslupa do ciężaru wł. cieczy; będzie to ciężar właściwy graniastosłupa, przy ciężarze wł. cieczy wziętym za jedność. Pierwszy warunek równowagi, polegający na tern, aby środek ciężkości ciała pływającego i środek zanurzenia, leżały na jednej pionowej, może tu mieć miejsce przy dwóch położeniach graniastosłupa: pierwszem, gdy dwie ściany są równoległe do poziomu cieczy i drugiem, gdy ściany są nachylone pod kątem 45° do poziomu cieczy. W tern ostatniem położeniu graniastosłup mieć będzie jedną lub trzy krawędzie zanurzone, stosownie do tego, czy jego ciężar właściwy będzie mniejszy lub większy od 0,50.

Zadanie 14. W pierwszym przypadku (rys. 24) oznaczmy głębokość ściany poziomej AB pod poziomem cieczy NN' przez z—AE=BF. Jeżeli przyjmiemy długość graniasto-

słupa równą jedności, będzie I —

F=az, a odległość metacentru od środka ciężkości graniastosłupa:

Rys. 24.

V I2z '

zanu

Odległość ta powinna być większa od odległości, środka

rzenia od środka ciężkości ciała pływającego, to jest od A — Z

Warunkiem więc stałości równowagi jest:

a — z

12 2 g

czyli że -= d ciężarowi właściwemu graniastosłupa, przy ciężarze

cieczy równym jedności, winno być albo = 0,212 albo

mniejsze od

J/3./

'+') = 0,788. Ró-

większe od

wnowaga będzie niestałą między temi dwiema granicami.

Zadanie 15 W drugim przypadku (rys. 25), gdy ściany są pochylone pod kątem 45° i jedna krawędź jest zanurzona, jeżeli przez z oznaczymy głębokość zanurzenia AH tej krawędzi, to przy objętości graniastoslupa a² i objętości części zanurzo-

r:"T

4--L—Ï

' \A

Rys. 25.

N’

nej z², ciężar właściwy d —

55 M

M M

. Moment bezwładności:

(2 zf 2 z3 12 3 *

Stosunek ten winien być większy od odległości, środka ciężko-sei graniastosłupa od środka zanurzenia, czyli od:

__ a Y 2

04 ' CC

warunkiem więc stałości równowagi jest nierówność:

3^2

04 CO

albo:

w cc

skąd:

czyli ciężar właściwy:

d > 0,281.

Tak samo dla przypadku, gdy trzy krawędzie będą zanurzone, otrzymać można warunek stałości równowagi:

23

d <32

czyli:

d < 0,719.

Graniastosłup więc, o podstawie kwadratowej, pływać będzie ze ścianą górną poziomą, gdy jego ciężar właściwy jest mniejszy od 0,212 lub większy od 0,788. Będzie miał ściany nachylone pod kątem 45° przy ciężarze właściwym, zawartym w granicach od 0,281 do 0,719. Można więc np. z samego położenia belki drewnianej o przekroju kwadratowym, pływającej na powierzchni wody, wnosić czy jest dębową czy sosnową. Ciężar właściwy dębu wynosi około 0,87, belka więc dębowa pływać będzie ze ścianą górną poziomą; ciężar właściwy sosny jest około 0,49, belka więc sosnowa ułoży się ze ścianami nachylonemi, pod kątem 45°.

II. Hydrodynamika.

11. Równania Eulera. Gdy płyn jest w ruchu, siły zewnętrzne X, Y, Z, działające na prostościan elementarny (rys. 6), równoważyć wdnny rzuty przyśpieszenia, jakie nadaje jednostce masy prostościanu prędkość V, której składowe według trzech osi spółrzędnych są u, v, w. Rzuty przyspieszenia są całkowitemi pochodnemi tych składowych prędkości względem czasu t i oznaczymy je przez u\ vr, w'. Stawiając w równaniu (1), zamiast X, Y, Z, różnice X—u’, Y—v'. Z — w', otrzymujemy równania ruchu płynów doskonałych:

P (X—«')

Ol Oj

= 0,

p (Y— v’) —

- = o,

p (Z—w')

dp

■    .    (19

Składowe u,v,w, prędkości F, są funkcyami spółrzędnych x, y,z i czasu t. Całkowita różniczka każdej z nich, np. u, ma wyrażenie:

du =

a pochodną u' względem czasu, otrzymamy, dzieląc różniczkę przez dt :

dy

■w

u' —

Stosunki

są to składowe w, v, u>, prędko-

dx dy dz dt ’ dt ' dt

ści V. Otrzymujemy więc wyrażenia na u¹, a w ten sam sposób na v i io', następujące:

v' —

w' =

“ 8Ï+Üi;+*

dv

USx+V

dv

dy

dy

du

dz

Oj

OJ

+ “V₂ +

r-j

oj

dt

. . (20)

W spółrzędnych cylindrycznych r, cp, z (§ 4), które, jak

uwidocznia rys. 26, odpowiadają spółrzędnym prostokątnym cc, y, z, w ten sposób, że:

x = r cos cp, y = r sin cp, z = z;

wstawiając w równania (3) zamiast R, T, Z, składowych wypadkowej sił zewnętrznych w trzech kierunkach: promieniowym, stycznym i osiowym, różnice pomiędzy te-mi składowremi a przyspieszeniami w tychże kierunkach, pamiętając

przytem, że « =

3Z ’

v — r 9,

gdzie prędkość kątowa 6 =

e- -w

Rys. 26.

to

3z

OJ

, otrzymamy równania ruchu płynów doskonałych:

p(b

-j- e²rj

dp

= 0,

p(t

--6 u

r 3 cp

= o.

. . (21)

p Z-

dp

= 0.

a rozwinięcia pochodnych prędkości względem czasu: d u

d cp

(Z Z

- 4- 6 +-

36

OJ

. . (22)

d to

3 u;

3 co

OJ

+ M,'?r + T7

Dla wyznaczenia pięciu nieznanych p, p, x, y, z, (lub p, p, r, cp, z) potrzeba jeszcze dwóch równań. Jedno z nich wynika z samej natury płynu, mamy bowiem dla cieczy p =

gdzie a jest

ilości stałej, a dla gazów p = Kp =

kp

1 —J— cc Z

spółczynnik rozszerzalności, a Z temperatura.

Piąte równanie, zwane równaniem ciągłości, otrzymamy wyrażając, że płyn w ruchu pozostaje ośrodkiem ciągłym, nie

ciągłości:

<x> Co

OJ

(25)

tworzą się w nim próżnie, a masa każdej cząstki pozostaje wciąż równą iloczynowi z objętości przez gęstość. Jeżeli weźmiemy pod uwagę elementarny prostopadłościan o objętości d cc, dy, dz w położeniu niezmiennem, przez ściany którego przechodzi płyn, wchodzący do jego wnętrza i z niego wychodzący, to przy składowej u prędkości cząstek, przechodzących przez ściankę dydz, prostopadłą do tej składowej, przechodzi w ciągu czasu dt masa płynu p u dy, dz dt, a wychodzi przez ściankę przeciwległą masa zwiększona o swoją różniczkę 3 p u \

d* dy dz dt. Stosując to obliczenie do wszyst

|p u -|-

kich trzech par ścianek, otrzymamy ogólne powiększenie masy:

3 p v ,    3 p w

I dPu i

\ dx "T"

dz

dx dy dz dt.

Ponieważ objętość się nie zmienia i pozostaje równą d x d y d z, więc powiększenie masy równe jest iloczynowi z objętości, przez powiększenie gęstości w ciągu czasu dt, t. j.

dt. Wypisując to równanie i dzieląc obie strony d t

przez dx dy dz dt, otrzymujemy równanie ciągłości dla płynów doskonałych:

przez

d pv 3 p w dp

= 0. . . (28)

a w spółrzędnych cylindrycznych, rozważając wycinek cylindryczny o masie p dr . rdw . dz jak w § 3:

3 p w

dp

dp e

+ ‘dT +

= 0.    .    (24)

Dla cieczy p jest stałe,

= 0 i pozostaje równanie

odniesieniu do spółrzędnych cylindrycznych:

SS

36

3 cp

= 0. . .

. . (26)

12. Ruch ustalony płynów. Jeżeli dla każdego punktu przestrzeni, którą płyn w swym ruchu wypełnia, pięć zmiennych: p, p, u, v. w, zachowują wciąż te same wartości w każdym poszczególnym punkcie, a zmieniają się wtedy tylko, gdy przechodzimy do innego punktu tejże przestrzeni, mówimy, że ma miejsce ruch płynu ustalony. W ruchu takim każda cząstka płynu nie zachowuje koniecznie tej samej prędkości, ale różne cząstki, przechodzące kolejno przez jeden i ten sam punkt przestrzeni, nabierają w nim prędkości jednakich co do wielkości i kierunku. Wszystkie cząstki, przechodzące przez jeden i tenże sam punkt przestrzeni następują ciągle jedna po drugiej i przebiegają jeden i ten sam tor. Nieprzerwany ciąg tych cząstek, wzdłuż ich wspólnego toru, nazywamy struga, a zbiór wszystkich strug, czyli całą poruszającą się masę— prądem płynu w ruchu.

Z określenia ruchu ustalonego wynika, że w równaniach (20) i (22) pochodne cząstkowe zmiennych p, p, u, v, w, brane względem czasu t, są równe zeru:;

CU

= 0,

— o,

= 0,

= o,

= 0.

Jeżeli równania (19) pomnożymy kolejno przez:

dz = w dt,

d x = udt, i dodamy, to otrzymamy równanie:

dy = v d t,

dp

dx —j—

dp

dy-j-

— p (X d x -J- Y dy -j- Z dz) —

— p (u u —j— v v' -(- w w') d t.

Pierwsza strona tego równania jest różniczką całkowitą dp ciśnienia p, a po drugiej stronie:

v' dt = dv,

u dt = du,

w' dt — dw\

zaś trzy składowe: u, v, w, prędkości V, związane są równaniem:

V² = u² 4' V² -\- w² ,

z którego po zróżniczkowaniu:

Vd V — u du -J- v dv 4~ w dw.

Otrzymujemy więc:

dp

— (Xd cc 4- Ydy Ą- Zdz) + V d V — 0,

a gdy na płyn działa tylko sama siła ciężkości:

T= 0,

mamy ogólne równanie różniczkowe hydrodynamiki:

+ g dz -\- Vd V —

x — o,

0.....(27)

Dla cieczy p jest stałe i po zcałkowaniu, ponieważ p u = Y, będzie:

, P , V²

Z + “ H"

— ilości stałej ....    (28)

równanie wyrażające twierdzenie Daniela Bernoulli’ego.

Jest ono analogiczne z równaniem hydrostatyki (10) i może być w podobny sposób przedstawione geometrycznie. Jeżeli w każdym punkcie płynu doskonałego w ruchu ustalonym, wyprowadzimy rzędną pionową, równą wysokości ciśnienia w tym punkcie, a nad nią odetniemy wysokość --, odpowiadającą prędkości cząstki w

2 g    ' m

końce górne wszystkich tych rzędnych leżeć będą na płaszczyźnie poziomej, wyznaczonej przez rzędną H i zwanej płaszczy-

V

Suma z -)——■, która w hydrostatyce stanowiła

cały napór, jest tu tylko jego częścią i stanowi tak zwaną wysokość poziomu piezometrycznego.

Jeżeli w prąd cieczy wstawimy rurkę pionową AB, na obu końcach otwartą, zwaną piezometrem, to ciecz wzniesie się w rurce do wysokości odpowiadającej ciśnieniu w punkcie A (którego rzędną

p

jest z), tak, że AB = —-. Poziom cie-

T

czy B w piezometrze leżeć będzie na wysokości z -J--— nad płaszczyzną porównania. Słup cieczy AB nazywamy słupem piezometrycznym. Dwie rurki piezometryczne, złączone w górnej części, pozwalają mierzyć różnicę ciśnienia w dwóch sąsiednich punktach prądu i stanowią piezometr różniczkowy.

Oznaczając wysokość pozionm piezometrycznego

= h, mamy z równania Bernoulli’ego: h -f {

tym punkcie, to

zna napom.

Rys. 27.

= ilości stałej

i jeżelibyśmy wzięli pod uwagę punkt materyalny, o ciężarze równym jedności, poddany działaniu tych samych sił, jakie działają na ciecz, przebiegający tę sarną drogę, po jakiej bieży

cząstka cieczy, i z temiż samemi prędkościami, to ponieważ jego energia kinetyczna jest równa

V²

więc jego energia

wy-

za na

potencyalna będzie proporcyonalną do wyżej określonej sokości piezometrycznej h. Jeżeli przecięcie poprzeczne prądu zmienia się, jak to ma miejsce np. w mrze o zmiennym przekroju, to prędkość zmienia się w ten sposób, że objętość cieczy przechodząca w jednostce czasu przez rożne przekroje pozostaje stałą, czyli innemi słowy prędkość zmienia się w stosunku odwrotnym do powierzchni przecięcia, jest mniejs przekroju większym B (rys. 28) a większa na mniejszych A i C.

Rys. 28.

Piezometry umieszczone w punktach A, B, C, wskażą poziom piezometryczny wyższy w B a niższy w A i C. Ciecz, bieżąca w kierunku strzałki, spotyka między A i B coraz większe ciśnienie i przezwycięża je, tracąc na prędkości. Pewna część jej energii kinetycznej zamienia się na potencyalną. Odwrotnie, przechodząc od B do C, ciśnienie się zmniejsza a prędkość powiększa i to powiększenie energii kinetycznej wynika ze zmniejszenia energii po-tencyalnej.

W innych znów słowach, trzy wyrazy wzoru (28), których stała suma stanowi całkowitą energię cząstki cieczy w ruchu, przedstawiają każdy inny składnik energii. Wzniesienie punktu z jest energią z położenia, wysokość odpowiadająca ci-

P

śnieniu — energw z ciśnienia, wreszcie wysokość odpowiada-

jąca prędkości

— energia^ z ruchu.

Równanie ruchu ustalonego, z którego wynikło twierdzenie Bemoulli'ego, wywiedzionem było w założeniu, że różniczki: dx, dy, dz, są rzutami istotnego przemieszczenia cząstki cieczy w ciągu czasu dt, na osie spółrzędnych. Stosuje się więc to twierdzenie tylko do rzeczywistego toru, którą przebiega cząsteczka, czyli do jednej i tej samej strugi. Uwzględniając wszakże prędkości średnie na kolejnych przecięciach poprzecznych prądu, o jakich codopiero była mowa, stosować można twierdzenie Bemoulli’ego do prądu w ruchu ustalonym, uważając za strugę cieczy, nie istotny tor cząsteczki, przedstawiający liczne zagięcia i raptowne zmiany kierunku, lecz krzywą, będącą we wszystkich swych punktach styczną do kierunków prędkości średniej w tych punktach.

Gdy prędkości u wszystkich cząstek prądu cieczy, przechodzących przez przecięcie poprzeczne o powierzchni to, są sobie równe i do tego przecięcia prostopadłe, to Q = to « będzie wydatkiem prądu, czyli objętością cieczy, przechodzącej przez przecięcie to w jednostce czasu. Objętość cieczy przechodzącej przez to przecięcie w ciągu czasu d t będzie Q> d t, a cieczy przechodzącej przez przecięcie następne, odległe od pierwszego na ds :

(Q + 4!rdsH

tak, że objętość, zawarta między dwoma przecięciami nieskończenie blizkiemi, powiększa się w ciągu tego czasu o

To powiększenie objętości może być tylko wynikiem powiększenia przecięcia poprzecznego co, które przybrało wartość

^ dt, co odpowiada powiększeniu objętości

Przyrównywując do siebie te dwa wyrażenia, po podzieleniu przez czynnik wspólny dt ds, otrzymujemy równanie:

d co

d co

+

dt    ds

ds

ds dt.

d co

dt ds.

• ■ (2«)

wyrażające w innym kształcie równanie ciągłości (25).

Zadanie 16. Jaka jest różnica energii dwóch cząstek cieczy w spoczynku, jednakiej masy, z których jedna leży na poziomie cieczy, a druga pod poziomem na głębokości h ?

Stosując wzór (28), mamy dla obu cząstek w spoczynku V— 0 energia z ruchu jest równa zeru i zostają tylko składniki z położenia i z ciśnienia. Dla cząstki na poziomie z — li, p = 0 i cała energia wynosi li. Dla cząstki na głębokości li, przymując płaszczyznę porównania przechodzącą przez tę cząstkę, z = 0, a według (11)

® = h. Obie więc cząstki mają jednakowa energię i różnica jest Ï

równa zeru.

Zadanie 17. Jaka jest różnica energii dwóch cząstek cieczy, z których jedna jest w spoczynku na poziomie w naczyniu, a druga wypłynęła na zewnątrz przez otwór u spodu naczynia i znajduje się w* ruchu, w odległości h od poziomu?

Stosując wzór (28), mamy dla cząstki w spoczynku na poziomie cieczy V — 0, p — 0, z = h i cała energia sprowadza się do energii z położenia. Dla cząstki w ruchu V =]/2gh, p = 0, z — 0>

i cała energia sprowadza się do energii ruchu obu energii jest równa zeru.

— = h. Różnica więc

Zadanie 18. Ciecz wypływająca z naczynia przez przepustnik (rys. 29) dąży do zamknięcia prze-pustnika. Jak się objaśnia to zjawisko?

iTr

Itys. 29.

13. Ruch potencyalny cieczy. Dopisując do prawej strony pierwszego z równań (19), po wstawieniu za u' rozwinięcia według (20), tożsamość:

Według (28) suma energii jest stałą. Gdy prędkość pod przepustnikiem wzrasta, ciśnienie musi się zmniejszać i przestaje równoważyć napór cieczy na przepustnik. Napór ten dąży do zamknięcia prze-pustnika.

Vdi + WSx otrzymamy równanie:

dv

-VZX-W3x=⁰'

1 dp

p dx

CU! <U

CO CO

+ *»

CU CU

V I

-j- W

OJ CO

CS

CU| cu

i- S

s> | 8 co ;co

ist ! S

cu; cu 8 ' s

a ponieważ po zróżniczkowaniu równania:

mamy:

CU CU

8 I 8

?    4-

cu CU |

« I CS CS

to

s

to

CU CU

« s II

EL II

tej H-¹

CU

CD

gdzie V jest prędkością wypadkową trzech składowych u, v, w, to przekształcając w ten sam sposób pozostałe dwa równania (19), mieć będziemy:

du

J-.Æ+zn+

3æ \p ' 2 I ' dt

s> I 8

CO ICO

cu; cu

N ! K

2,8

co co

3 ip . V²\ . dv Idv

Sÿ\7 + T/⁺9«'+W(3Ï

CU

-o

CU cu

8 g

2 ! S i N CÔ co co co

⁸ i H

CO co.

<s

cu; cu c«S i §

3 ; 50 SIS co co co co

::

Jeżeli ruch cieczy odbywa się w ten sposób, że: u 3 v 3 v 3 w

CU! CU

co

3cc ’ 3s 32/ ⁷

a,’    ■ • <³¹>

to odpadają ostatnie dwa wyrazy każdego z równań (30) i składowe u, v, w stają się cząstkowemi pochodnemi pewnej funkcyi:

O = O (x, y, 3, t) ,    .

•    •    (32)

nazwanej przez Helmholtza potencyalemprędkości. Grdy bowiem: F. K. Hydraulika.

3 f|)

dy

IV =

dz

.    (33)

to, różniczkując pierwsze z tych równań względem 3y a drugie względem dx, otrzymujemy:

du 3²tp    3²<I>    3v

dy    dxdy    dydx    dX

czyli pierwsze z równań (31) a podobnie dwa pozostałe.

Warunek istnienia dla danego prądu potencyału prędkości jest identyczny z innym warunkiem hydrodynamiki. Aby prędkość prądu ulegała stałym zmianom, winno dla nieskończenie małego elementu płaskiego AB (rys. 30) następo-

$•

SIS'

hVi-

& dx

dx

s'\~- ~

dz

Rys. 30.

Rys. 31.

wać powiększanie składowych prędkości, od wartości u i r

dy w punkcie A i wartości

w punkcie M, do wartości u-j-

dx w punkcie B. Powiększeniom tym:

dv

dy

dx

^r-dy

dy

CD; <D

dx

odpowiadają, w przeciwne strony skierowane prędkości kątowe wierzchołków A i B wokoło punktu M, które po podzieleniu przez ramiona momentów dy i dx są:

CU

dy

Przyjmujemy tu za dodatni, ten kierunek obrotu, jaki mają skazowki zegarka, widziane z początku spółrzędnych ilf, położonego z tyłu płaszczyzny rysunku. Tym sposobem, uważany element płaski dx, dy, oprócz przesunięć z prędkością-

mi u i V, wykonywa jeszcze obrót ze średnią prędkością ką-

1    / dv

2    \

tową:

. Oj

dy

= c,

około osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Dwa podobne obroty, tak samo mają miejsce, około dwóch pozostałych osi (rys. 31). tak że razem dla uważanego elementu otrzymujemy trzy prędkości kątowe:

2 \dy

ł(

3 iv

2x

= 'fl

•    •    (34)

dv

będące, jak wiadomo z mechaniki, składowemi prędkości kątowej wypadkowej 0, takiej że:

C2 = 62

Prędkość kątową 0 nazwał Helmholtz prędkością wirowania, oś obrotu osia wirowania, wielkości £, 7j, Ç składowemi wiro-wania. Osie tych składowych są równoległe do osi spółrzędnych. Ruch potencyalny cieczy, określony równaniami (31), przy których te składowe (34) są równe zeru, jest ruchem bez wirowania, albo niewirowym.

Wprowadzając do równań (30) wartości (33) składowych prędkości, otrzymujemy:

3 (P , F²

3 sc \ p 2

3*

~r

r==

⁹ U ! ⁷² i

3y I p 2 7“ dt I ’

a po położeniu:

A. O-

, F² .30

' .2    3#

= F, .    .

.    .    (35)

mieć będziemy:

3JF

3sc

tak że, przy potencyale prędkości, składowe sił zewnętrznych, działających na ciecz, są także pochodnemi pewnej funkcyi:

(36)

F = ^(æ, y, z,

noszącej nazwę potencyału sił. Jeżeli więc ruch cieczy doskonałej posiada potencyał prędkości, to równocześnie istnieje dla tego ruchu potencyał sił zewnętrznych.

Po wprowadzeniu potencyału prędkości, równanie ciągłości (25) przybiera kształt:

•    ■    (37)

a² cj> , a² o a² o

dy

dz²

a takież równanie (26), w odniesieniu do spółrzędnych cylindrycznych:

aa o a r²

~r r a

i a² (j> a² o . i a o

a<p+ dz²

o .    .    (38)

Równanie (32) potencyału prędkości, daje dla każdej wartości <t> i równanie jednej powierzchni ekwipotencyalnej prędkości, czyli powierzchni jednakowych prędkości. Różniczkując je i uwzględniając (33), mamy wogóle:

ao

d O — —- — dt -j- udx -j- vdy -j- wdz....    (39)

C t

a dla powierzchni ekwipotencyalnej, t. j. dla d<J) =0:

ao

dt-j- udx -f- vdy-j- wdz,    (40)

O t

skąd wynika, że powierzchnia ekwipotencyalna wogóle zmienia w czasie swój kształt i położenie. W pewnej oznaczonej chwili mamy, dla dt = 0:

udx -|- vdy -j- wdz = 0,

• • (41)

gdzie różniczki dzc, dy, dz są rzutami, na trzy osie spółrzędnych prostokątnych, przesunięcia ds na powierzchni ekwipotencyalnej. Równanie (41) wyraża, że prędkość wypadkowa V jest w każdej chwili normalną do powierzchni ekwipotencyalnej. Postępując zaś w kierunku ruchu cieczy, mamy przesunięcia:

dx = udt

dy = udt,

dz — wdt

albo:

dx

dy

dz

•    •    (42)

Jest to równanie różniczkowe toru cząstki cieczy, ożywionej prędkością V. Tor ten nosi nazwę strugi cieczy. Kształt i położenie strugi w przestrzeni, zmienia się podobnie jak kształt i położenie powierzchni ekwipotencyalnej.

Jeżeli dn jest elemntem normalnej do powierzchni ekwi-potencyalnej, to prędkość wypadkowa analogicznie do (33):

V—

■    (43).

3(J)    30    3x    30    3y    30    3 z

3 n    dx    3 n    3 y    3 n    3 z    3 n

Prędkość wypadkowa jest więc identyczną ze zmianą poten-cyału prędkości w kierunku ruchu, która to zmiana nosi nazwę spadku albo gradientu potencyału prędkości. Według (43), odległości dn powierzchni ekwipotencyalnych, jednej od drugiej, są odwrotnie proporcyonalne do prędkości. To też powierzchnie różnych potencyałów nie mogą się nigdy przecinać, gdyż dla dn — O, byłaby prędkość V — oo.

Zadanie 19. Jakie będą strugi cieczy w ruchu, którego po-tencyał prędkości:

skąd:

<D = cxx -f- c₂y -j- c₃z -j- at ?

Według (32) i (33), u = cx, v=c₂, W — C₃, ^

V² = Cj³ -j- c₂² + ca² — ilości stałej = c². Według (42), równanie różniczkowe strugi będzie: dx _ dy _ dz

c₃ ’

Ci

c₃

x = cx t + &, y = c₂ t + &2 3 = C₈ i + ft, ,

= «,

gdzie , fe₂, 5₃ są nowe stałe, wyznaczające położenie cząstki w chwili £ = 0. Strugi są liniami prostemi prostopadłemi do płaszczyzn ekwipotencyalnych a cząstki cieczy przechodzą, przez każdą z tych płaszczyzn, ze stałą prędkością V — c.

Gdy siły zewnętrzne sprowadzają się do działania samej tylko siły ciężkości, wtedy:

x=o, r= O, Z = g,

potencyał sił zewnętrznych:

i według (35):

F=g (z — z₀)

-ya = g (z — z₀).

Ciśnienie więc powiększa się linijnie, razem z głębokością pod poziomem normalnym z₀, tak, że jeżeli dla z = z₀, wynosi p — p₀, to z równania:

p0 -f + a = O

p    2

(?+-£>•

oznaczyć można ilość stałą a i potencyał prędkości będzie wtedy: © = cxx -f- c₃y -f- c₃z

14. Prąd ustalony, równoległy, plaski. W przypadku prądu ustalonego dwuwymiarowego, gdy ciecz nie ma żadnego ruchu w kierunku np. osi z, z równania ciągłości (25) pozostaje:

du

cu <v>

•    •    (44)

dx

a po wprowadzeniu potencyału prędkości, określonego wartościami:

ao

dy

•    •    (45)

równanie:

32 0

• • (46)

a²a>

a?/²

i to równanie różniczkowe drugiego rzędu, na całej rozciągłości prądu, czynić winno zadość potencyałowi prędkości:

(47)

(J* =    (3C, y)

Równanie (47), będące całką równania (46), daje dla każdej wartości parametru <1> pewną krzywą płaską, przedstawia zatem dla różnych możliwych wartości parametru wiązkę krzywych na płaszczyźnie xy. Są to krzywe niezmiennego potencyału, zwane ekwipotencyal nemi albo równicami. Zmianę, przy przejściu od jednej z tych krzywych do drugiej, przedstawia różniczka:

a (j)

dy = udx -f- v dy .    .    (48)

ad>

dy

d O =    _ dx -j-

dx    ¹

Zmiana ta znika, gdy się pozostaje wciąż na tej samej równicy, t. j. gdy da? i dy do tej równicy się odnoszą. Grdy zaś odnoszą się do strugi prądu, to muszą czynić zadość równaniu (42):

dy

albo:

(49)

u dy — v dx — 0

Przechodząc od jednej strugi do sąsiedniej, czyli uogólniając znaczenie różniczki, musimy zamiast (49) napisać ogólniej:

■    .    (50)

(51)

dW — u dy — v dx oznaczając przez W nową funkcyę:

W = W(x,y),    .    .    .

którą Stokes nazwał Junkcyą prądową i której równanie różniczkowe:

3 4'

dx

— dx -j-

O)

3y

dy,

wtedy tylko odpowiadać będzie równaniu (50) i (47), gdy:

O) Oj

3 4'

» V ——

skąd, mając na uwadze że według (45):

30

30

3y

dx ’ '

.    .    (52)

.    .    (53)

otrzymujemy, po zróżniczkowaniu raz jeszcze względem y i x:

3- 4?

3 uc‘²

3²¥

3 y²

równanie podobne zupełnie do równania (46). Funkcya prądowa zatem czyni zadość ściśle takiemuż samemu równaniu o różniczkach cząstkowych drugiego rzędu, jak i odpowiadający potencyał prędkości. Z podzielenia przez siebie równań (53), otrzymujemy:

•    •    (54)

30

dW

30

.    .    (55)

co w geometryi różniczkowej ł) wyraża, że spółczynnik kątowy stycznej do krzywej O (cc, y) w pewnym punkcie, jest równy spółczynnikowi kątowemu normalnej do krzywej 4    (x, y)

w tymże punkcie. Styczne do równic są więc normalnemi do strug, czyli obie te wiązki krzywych przecinają się normalnie. Jedna z tych wiązek wyznacza drugą, co wynika i stąd także, że obie czynią zadość takiemuż samemu równaniu różniczkowemu (46) i (5) i obie te funkcye O i są sprzężone.

Y+<JY'

Znaczenie parametru \łT funkcyi prądowej, po lewej stronie równa- q nia (51), objaśnia rys. 32, przedstawiający dwie sąsiednie strugi: W

*) Ob. W. Folkierski. Zasady rachunku różniczkowego i całkowego. Wyd. 2-e, t. II, 1909, §§ 105 - 108.

Rys 32.

i 'T -|- d ty*. Dla przejścia od jednej do drugiej, cofnąć się trzeba o dx i posunąć naprzód o dy. Objętość cieczy, przepływającej w jednostce czasu między temi dwiema strugami, odniesiona do jednostki długości osi z, prostopadłej do płaszczyzny rysunku, wynosi v dx— u dy, co się równa według (50) różniczce d ty', tak że parametr ty’, w przybliżeniu pewnej dowolnej ilości stałej, oznacza pewną objętość cieczy. Wzmiankowaną ilość stałą oznaczyć można, odnosząc parametr ty* = 0 do strugi przechodzącej przez początek spółrzędnych, a wtedy ty’ oznaczać będzie, dla jakiejkolwiek strugi, ilość cieczy biegnącej między tą strugą a strugą, która przechodzi przez początek spółrzędnych, czyli wydatek prądu między temi strugami.

W ten sam sposób oznaczony być może potencyał prędkości dla jakiegokolwiek punktu płaszczyzny xy, w przy-

Y=0

<P>0

\9

<P=o

Rys. 83.

Rys. 34.

bliżeniu pewnej ilości stałej, którą wyrugować można przez odniesienie wartości $ = 0 do równicy przechodzącej przez początek spółrzędnych. Z siatki normalnych do siebie (rys. 34) strug i równic widzimy, że obie wiązki krzywych mogą być zamieniane jedne na drugie i że każde rozwiązanie równań różniczkowych (46) i (54) przedstawia dwa sprzężone prądy. Z drugiej znów strony wiązki te, jako przecinające się normalnie, uważane być mogą za kątowo zgodne obrazy siatki kwadratÓAY na płaszczyźnie O ty*, z początkiem w Q (rys. 33), czyli jako przedstawiające odpowiedni temu wykresowi prąd równoległy. Spółrzędne zatem xy pewnego punktu siatki (rys. 34) przedstawiać można jako funkcye:

x = x ty*),

y = y i®, V)

parametrów O i ty’, czyli że każdemu punktowi płaszczyzny O, ty’, odpowiada jeden punkt płaszczyzny x, y i odwrotnie.

Dla zestawienia wykresu jak na rys. 34, jako obrazu rys. 33, wyobraźmy sobie oba wykresy, w liczbach zespo-

lonych tak narysowane, że przy i = V—1, punktowi S = 4> -|- i W na pierwszym wykresie odpowiada punkt s = x -(- i y na drugim, tak że:

8 — f (s) albo O i W = / (x i y) .    .    (56)

Mamy wtedy:

2S

dS _ 28 dx ds 2x ds

28 dy 2x 2 y ds

d x -j-

dy

dx -f- i dy

albo:

28    38

2x

dy

2y dx

ds

dy

•    •    (57)

dx

Jeżeli oba wykresy mają być kątowo zgodne, czyli w swych elementach podobne, to przyrost linijny d 8, na pła-

sA

S+c/S

s + c/s

dY

dd

dx

\r

<P

Rys. 36.

Rys. 35.

szczyznie O rysunku 35, będzie wszędzie proporcyonalny do przyrostu linijnego ds na płaszczyźnie xy rysunku 36, czyli iloraz różniczkowy (57) niezależny od danego przez

kierunku przyrostu d s. Warunek ten pociąga za sobą

dy

dx

zniknięcie czynnika

dy

dx

w pochodzącem z (57) równaniu:

dS 28

2 S\ dy

ds

2x

dx

i prowadzi do równań:

dS

OJ OJ

1 2S

i 2y

.    .    (58)

Ponieważ nadto, różniczkując równanie $=0 4" otrzymujemy:

30

3^¹

2x 3 a? przeto według¹ (58):

dx ’

dy

“f ‘ ¹

dW\

V/ ’

a po przyrównaniu do siebie części rzeczywistych i urojonych:

3 0    3 W 30

9 X    3 y    6 y    3 a?

Są to znów związki (53), z których wynika normalne przecinanie się strug i równic, tak, że główna własność tych dwóch wiązek krzywych pozostaje nienaruszoną, przy przedstawianiu krzywych przez funkcye zespolone. Teorya ta pozwala przez prosty wybór jakichkolwiek funkcyj:

30

9x

CO CO

30

dy

s =f(s)=f    -f- i y),

albo odwrotnie:

= F (8) = ¹’(<!> + i 3F),

i przez branie za spółrzędne części rzeczywistych i urojonych, otrzymywać wykresy, obrazujące ruch prądu potencyalnego l)' W następujących zadaniach należy dla prądu, określonego daną wartością funkcyi / (x -f- i y) oznaczyć równice, linie strug i prędkość.

Zadanie 20. f (x -j- i y) — A (x Ą- i y). Według (56) przy stałem A :

= Ax,

dx

= A,

— 0.

Strugi są liniami prostemi, równoległemi do osi X, a równice takiemiż liniami równoległemi do osi y.

v — 0,

prędkość jest stała, ruch prądu prostolinijny i jednostajny wzdłuż osi X.

V — U = A ,

a prędkość:

V — 2 A ]/ x% + y * — 2 Ar,

proporcyonalna do odległości r cząstki cieczy od początku spółrzędnych, a więc równa zeru dla cząstek znajdujących się w wierzchołku kolana prostokątnego.

15. Ruch osiowo-symetryczny. Jeżeli ciecz obraca się ruchem symetrycznym około osi OZ (rys. 26), w ten sposób, że we wszystkich jej punktach, położonych na tym samym równoleżniku, ciśnienie cieczy jest jednakowe, to siły zewnętrzne, albo przecinające się z osią, albo do niej równoległe, mają składową styczną T— 0. Jeżeli w drugiem z równań (21) położymy:

p = ilości stałej,

T— 0,

pozostanie :

dv

do

dx

Zadanie 21. f(x 4- iy) = A\x-\- iyf = A (x¹ — if) + 2 iAxy. Według (56), przy stałem A:

— 2 Axy,

= 2 Ay.

— 2 Ax,

dV

óx

Równice i strugi (rys. 37) są wiązkami przecinających się normalnie hyperbol równoramiennych i przedstawiają prąd biegnący łożyskiem, którego dno stanowi płaszczyzna rysunku a ściany boczne pionowe ustawione są według osi x i y, tak że łożysko tworzy kolano prostokątne z wierzchołkiem w początku spółrzędnych.

Składowe prędkości są:

d®

\/

<t>

ii

dx

= 2 Ax,

Rys. 37.

i według (35):

OO

dl'

—j— 6 u — 0

dt

a ponieważ:

dr

dt ’

rf> = r df, dt ’

więc:

dr

dt

d² œ

r----

d dr dt dt

d cp dr dt dt

i równanie (59) przybierze kształt:

d cp dr    d² cp

dt dt    dt²

a po zcałkowaniu:

r²—-L--—w = ilości stałej    ....    (60).

d cp

(U

Gdy więc ciecz obraca się około osi symetryi, prędkość cząstki zmienia się, w ciągu obrotu, w stosunku odwrotnym do odległości cząstki od osi.

Jeżeli ciecz, w swym ruchu symetrycznym, nie obraca się około osi z i każda struga pozostaje wciąż na płaszczyźnie południkowej, wtedy składowe prędkości są:

dr

v — 0, w

dz

dt ’

dt ’

skąd wynika, w spółrzędnych cylindrycznych, równanie różniczkowe strugi na płaszczyźnie południkowej:

w dr— udz — 0,

odpowiadające równaniu (49) w spółrzędnych prostokątnych. W równaniach (21) i (22) znikają wtedy wyrazy zależne od kąta cp:

CO (CO

= 0,

O) CO

-O ¹ S

= o,

ae

3 cp

= 0,

3 cp

= 0,

a jeżeli przyjmiemy, że ruch jest ustalony, to znikną także pochodne cząstkowe prędkości względem czasu:

dt

— o,

36

dt

= 0,

= 0.

Jeżeli wreszcie na ciecz działa sama tylko siła ciężkości, to:

T= 0,

i z równań (21) i (22) pozostaje:

1 dp

p dr

B = 0,

Z = -g

CO co

dw

dw

. ■ (61),

dz

% równania ciągłości (26):

co

dw

dr

ro

■ ■ (62),

równania (38):

a² o a²<ï> . i a<î>

“ł~ ~^r

a r²

9 z²

=o. . .

.    .    (63)

To ostatnie napisać można w kształcie:

•('£) . ⁸(^)

"T

=°-

a dobierając dla strug funkcyę zmiennych r i z, taką aby było:

ao

aq*

a O atf

3z dr ’

•    •    (64)

mamy :

dW

9z

OJ

•    (65)

dz

Równanie to, odpowiadające równaniu (55) dla prądu równoległego płaskiego, wyraża warunek normalnego przecinania się linij równic z liniami strug, na płaszczyźnie południkowej, przechodzącej przez oś z, to jest linij wyrażonych równaniami:

O (r, z) = ilości stałej, ty* (r, z) = ilości stałej:

że zaś:

ag cl) _ a² o

drdz dz dr ’

przeto po zróżniczkowaniu równań (64) otrzymujemy:

1 dW

r d z

Oj

dz

1 dW\

r dr ’

albo:

dW

3r²

dW

d Z¹

równanie odpowiadające równaniu (54), wywiedzionemu dla prądu równoległego płaskiego.

W następujących zadaniach należy dla danego poten-cyału O prądu, osiowo symetrycznego: a) sprawdzić czy prąd czyni zadość równaniu (63), b) określić składowe u, w i prędkość V, c) wskazać powierzchnie ekwipotencyalne i równice na

1 dW

. . (66)

płaszczyźnie południkowej, d) wskazać linie strug, wyznaczające profil przewodu na płaszczyźnie południkowej.

Zadanie 22. O az b

a)

dr

= 0»

d z-

= 0, więc prąd czyni zadość

równaniu (63).

dO

b)    u = —— = 0,    w

c)    Powierzchnie ekwipotencyalne są płaszczyznami a równice prostemi poziomemi.

d)    Linie strug są proste, równoległe do osi z.

Zadanie 23.    = a log r.

d*_<D _

dr ~ r ’ dr2 —    1 ’ dz²

a - V —a.

dz

a)

0²€>

= 0, więc prąd czyni za -

dość równaniu (63).

. v    «

b) u = - ,

r

w = 0, V —

c)    Powierzchnie ekwipotencyalne są tu cylindry o osi 2r a równice są proste, równoległe do tej osi.

d)    Linie strug są proste, prostopadłe do osi z i oś tę przeci

nające.

Zadanie 24. O

Vr* +2* '

a)    = — ar (r² + 2»)

^rf = —a (r² 4 2*) *+ 3 ar* (r² -+- 2²) d²®

d®

-i

-i

-i

dz²

« (r² -j- 2²)    -4-3 rt2² (r* 4 s³)    » więc prąd czyni

zadość równaniu (63).

d® "dr“’

b) « =

o®

r² 4    ’

c) Powierzchnie ekwipotencyalne są kulami, mającemi wspólny środek w początku spółrzędnych.

02 ’

0⁽P

d) = r -£ ■ = - ar2 (r² 4 2²)

-1

d<P

a®

TT = -*•* ■ = "*(«” + **)

d<P = ~ dr + dr

d<P

dïdz=⁰’

skąd równanie strug;

*P=

az

= ilości stałej,

Ÿr' + z²

czyli że są to linie proste, przechodzące przez początek spółrzęd-nych. Prąd przechodzi przez rurę kształtu ostrokręgowego i wierzchołek ostrokręgu leży w początku spółrzędnych.

Zadanie 25. <D = 2 az² — ar-

dO , d² <D

*’ dr ~ ar’ dr-

e/.yni zadość równaniu (63);

b)    u = — 2 ar, jo = 4 az, F = 2 a |/r* -f- 4 z*

c)    Przewód stanowi tu rura ssąca turbiny (rys 38). Składowa u jest stałą dla wszystkich punktów powierzchni cylindrycznej ABCD, a składowa w dla wszystkich punktów poziomego przekroju AB. Ponieważ powierzchnia tego przekroju u>, = r*TC a powierzchnia cylindryczna

uij = 2it rz,

przeto:

0>1 to -j- ui 2 W — 0,

czyli że taż sama ilość wody, która dopływa przez powierzchnię cylindryczną, przechodzi przez przekrój AB, co odpowiada warunkowi ciągłości prądu. Wyrażenie prędkości V wykazuje, że jednakową prędkość mają punkty, położone na elipsoidzie obrotowej, której środek leży w O a osie są w stosunku 2:2: 1.

d)    Z równań (64) i (65) wynika;

= — 2 or,

d³<D

dz²

= 4 a, więc prąd

TĄ

///Ty/yy//yy////)/.Afj,//Ąy//^y}///////////////////

Rys. 38.

d<P

D7

= 4 ar z

09

- —2 ar², Oz    ’

d<P

d d>

dz

dr '

dr

d⁽P    d <D    iv    dz ’

'OT

ÓŻ

skąd równanie strug 'P = r'z = ilości stałej, wyznacza profil rury ssącej na płaszczyźnie południkowej.

Zadanie 26. Dla prądu, określonego w poprzedniem zadaniu, wyznaczyć ciśnienie i otrzymać równanie powierzchniekwipotencyalnej. Ponieważ według równań (61):

1 dp du , ,

-J-äP=uW = tar'

1 dp _

P dz

die

— 9+16a*s,

więc całkowita różniczka:

dp==Dr

dr -f- dz — — p (4 a*rdr -f- gdz -f-16 a²zdz),

a po zcałkowaniu:

C— — = 2 n²r ²-f- gz 4- 8 a²z¹,

P

i równanie powierzchni ekwipotencyalnej:

2 r² -f- 8 z² -|- z — ilości stałej,

Ct"

wyznaczające powierzchnię elipsoidy obrotowej, ze środkiem na osi z.

16. Twierdzenia Bernoulli’ego, Torricelli’ego i Bordy. Twierdzenie Bernoulli’ego (28), stosowane prawie na każdym kroku w hydraulice, wywiedzione być może bez pomocy równań ogólnych mchu cieczy, stanowiąc bezpośredni wynik zasady równowartości pracy i energii kinetycznej. Jeżeli MN (rys. 39) jest torem cząstki cieczy, poprowadźmy przez M płaszczyznę normalną w tym punkcie do MN i weźmy na niej element płaski AB, którego środek ciężkości leży w M. Przy nieskończenie małej powierzchni AB przyjąć można, że prędkości cząstek są do niej normalne i że tory oddalają się bardzo mało od linii MN, tworząc pewien rodzaj walca o przekroju poprzecznym bardzo małym. Osią tego walca jest MN. Ciecz w tym walcu zawarta stanowić będzie strugę cieczy. Weźmy drugie przecięcie poprzeczne CD tej strugi i do cieczy zawartej między AB i CD zastosujmy zasadę równowartości pracy i energii kinetycznej. Oznaczmy przez F₀ i p₀, Fi p, prędkość i ciśnienie na przecięciach AB i CD, których powierzchnie będą u>₀ i w i weźmy pod uwagę ruch w ciągu nieskończenie małego czasu dt, po upływie którego uważana objętość cieczy AB CD przechodzi do położenia A’B'C'D'. Przy ruchu ustalonym, cząstki zawarte między przecięciami AB i CD będą miały też same prędkości na początku i na końcu czasu dt, tak że przyrost energii kinetycznej całego systemu wynikać będzie z różnicy energii części CDC D¹ i ABA'B'. Jeżeli oznaczymy przez m masę każdej części, to przyrost energii kinetycznej wynosić będzie

m (F²—F₀²). Również przy obliczaniu pracy siły ciężkości,

nie potrzebujemy brać w rachunek części wspólnej A'B'CD i praca tej siły będzie takaż sama, jak gdyby masa cieczy

----A.

Rys. 39.

Cr'

jyL

CO , h-*

ABA'B' przechodziła do położenia CDCrD'. Ponieważ ciecz jest nieściśliwą i zachowuje tęż samą objętość, przeto praca sił wewnętrznych jest równą zeru, jeżeli przytem przyjmujemy ciecz doskonałą. Równą zeru także jest praca sił zewnętrznych na obwodzie strugi AB CD, ponieważ ciśnienia są normalne do przemieszczeń. Pozostaje więc tylko oznaczyć pracę siły ciężkości i ciśnień na końcowych ściankach AB i CD. Oznaczając przez z₀ i z wzniesienia punktów M i W nad płaszczyzną porównania, otrzymamy pracę siły ciężkości równą ciężarowi objętości ABA'B\ pomnożonemu przez z₀—z. Objętość ta jest V₀oo₀dt albo Vtodt, stosownie do tego, czy się ją mierzy w ABA'B' czy w CDC'D'. Wynika stąd naprzód: F₀o>₀ — Fw. Masa tej objętości jest m a ciężar mg\ praca więc siły ciężkości wynosi mg(z₀ — z). Ciśnienie całkowite na AB jest p₀(a₀ a jego praca, gdy AB przechodzi do A'Br i przebywa drogę VQdt. wynosi

p.*₀V₀df, że zaś F₀(*>₀dż jest to objętość ABA'B\ czyli

...... ™9

więc praca ciśnienia pQ jest p₀

nia p na CD jest równa —pinVdt — — p

mg

Y ’

tak samo praca eiśnie-

' mg

—. Wynika stąd 7

równanie :

2 m ( F² — F₀²) = mg (e₀ — z)-|- (p₀

które dzieląc przez mg i grupując po każdej stronie wyrazy z jednakim znaczkiem, otrzymujemy:

•    ■    (67)

i p , r!_.. , po , V

⁺ 7 ⁺ ^    "⁺7 ⁺ 27 •

czyli w innym kształcie wypisane równanie (28), wyrażające twierdzenie Bernoulli’ego.

Z równania (67) mamy także:

F²—F₀²

— Z0 zi

i P — Po

a kładąc z₀ — z — h, p₀ —p — ^h'\

F² — F₀²

OD

— F, co wstawiając

wo

z równości zaś w₀ F₀ = <*> V wynika F₀ = otrzymujemy wzór Torricelli’ego:

v=

[ 2g(h+h<)

V ‘

CD²

«o*

F. K. Hydraulika.

co V dt . V —

co

w kształcie najogólniejszym. Zwykle stosunek —

(o₀

dzo mały, a nadto p = p₀ i wzór sprowadza się do postaci:

V = V2gh, ■ *

bywa bar-

• • (6 8)

spotykanej często w hydraulice.

Przy zmianach poziomu piezometrycznego, odpowiadających stopniowym zmianom przekroju poprzecznego prądu

(rys. 39), płaszczyzna naporu pozostaje nieruchomą, jak to wyraża twierdzenie Bernouil-li’ego. W razie nagłej zmiany przekroju poprzecznego (rys.40), powstaje wzburzenie i strata energii, objawiająca się przez obniżenie płaszczyzny naporu.

Prędkość strug w przekroju powiększonym c d jest mniejsza niż w przekroju ab, tak że cząstki napływające w kierunku strzałki, uderzają o te, które się znajdują przed niemi. Dla określenia wynikającej stąd straty naporu, weźmy pod uwagę masę cieczy, zawartą między przecięciami ab i cd, w których prędkości strug są równoległe do xy. Po upływie bardzo krótkiego przeciągu czasu, masa ta przenosi się do położenia a b' c' d' i do tego przemieszczenia zastosować można twierdzenie ilości ruchu w rzucie na xy. Oznaczając przez co₀ i co powierzchnie przekrojów ab i cd, przez V₀i V prędkości, a przez p₀ i p ciśnienia w tych przekrojach, mamy najprzód:

■<

Rys. 40.

(69)

wo V₀ = co V

a następnie, ponieważ ilość ruchu części wspólnej a b¹ cd nie ulega zmianie, przeto powiększenie ilości ruchu, wynikające z przejścia masy aba’b' do położenia cdc' d', wyraża się przez różnicę:

y wo Vo dt . V₀ =

co V. (V—V₀) dt.

Siły zewnętrzne są tu: siła ciężkości i ciśnienia. Jeżeli przez ds oznaczymy odległość przecięć ab i cd, to ciężar całej masy ab cd, wynosi 7(0 ds i działa w kierunku pionowym, który z osią xy czyni kąt a. Rzut więc siły ciężkości na tę oś jest równy 7 co ds cos a. Ciśnienia p₀ i p, działające równolegle do osi xy, z jednej strony na powierzchnię ab i powierzchnię

Obwodu prądu między ab i cd czyli (§ 8) na prostopadłą do xy powierzchnię płaską cd a z drugiej na tęż samą powierzchnię cd są równe p₀o>—pu>. Równanie ilości ruchu będzie więc:

y

(/ co V (V — T ₀) dt — (pQ co—poj) dt -}- y «) ds cos a. dt,

a że d .9 cos a — z₀ — z, to po podzieleniu obu stron przez Y w d t, otrzymamy:

V{V-V₀)

— po:z:

co można napisać:

I Po

zo 4- — +

2/7

s -J-

(Fo-P)²

CM

•    •    (70)

Zestawienie tego równania z równaniem (28) wykazuje, że strata naporu wynikająca z nagłej zmiany przekroju prądu ciekłego, jest równa wysokości, odpowiadającej zmniejszeniu prędkości. O doświadczeniach Bordy, który wywiódł to prawo, uogólniające późniejsze twierdzenia Carnota o uderzeniu ciał niesprężystych, będzie mowa w roz. V.

17. Ruch cieczy naturalnych. Przy ruchu cieczy naturalnych, ciśnienia nie są już skierowane normalnie do powierzchni elementów i wytwarzają się działania styczne do tych powierzchni. Prostościan elementarny AE (rys. 41) odkształca się i ścianki AF i EB, ożywione różnemi pręd-

dr, odsuwa-

JA-

kościami u i u -}-ją się jedna od drugiej na długość

Wytwarza

3x

3 u 3x

3x z prędkością

to siłę, podobną do tej, która wywołuje rozciąganie w ciałach stałych.

Newton przyjął, że ta siła jest proporcyonalną do prędkości

względnej strug, czyli równą p e

my stały spółczynnik tarcia. Prostościan ponosić więc będzie

na ściance ACED całkowite działanie pędy 3 z

runku odciętych dodatnych. Na ściance HEGB będzie miało miejsce w kierunku przeciwnym tożsamo działanie, powiększone

3x

Rys. 41.

jeżeli przez s oznaczy-

3x

w kie-

różniczką względem x, tak że suma działań sprowadza się do 3² u

Tak samo ścianki przeciwległe AB G D

p s dx3y 3z

dVr

dy

i C HE F, których prędkości w rzucie na oś cc są u i u -f-

; wynika stąd siła p s

na jednostkę

doznają ślizgania, którego prędkość odniesiona do jednostki . 3 u

dy

dy

odległości wynosi

Wreszcie względne ślizganie na ścian-

p e dx dy d z

powierzchni i całkowita wypadkowa działań, wywołanych lepkością na tych ściankach, w rzucie na oś x, będzie d²u dy²‘

Dodając te trzy wypadkowe cząstkowe i dzieląc sumę przez masę prostościanu p dx dy dz, otrzymamy rzut na oś x siły wywołanej lepkością podczas ruchu, wynoszący na jednostkę masy elementarnego prostościanu:

kowitą pedxdydz

kach ABHC i EFDG wytwarza, w rzucie na oś x, siłę cał-d² u

dz²

Id² u 3²

E + a.

to

3² u \ dz² /'

W ten sam sposób otrzymać można rzuty tej siły na osie y i 2, a uzupełniając tymi wyrazami równania ruchu cieczy doskonałych (19), dojdziemy do równań ruchu cieczy naturalnych, zwanych równaniami Naviera:

3² u

dp

p {X-u') + » (

ld²v d²v d²v\ p (Y-v) + .■

p (*_«-)+ .(j£ +

dy

3² u dx²

Si a.

• (71)

.    3²|M

+ ~dz*l

O)

d-W dy²

18. Strata napom, prędkość średnia. Twierdzenie Bernoulli’ego stosuje się tylko do płynów doskonałych, w których działania styczne, czyli tarcia cząstek jednych o drugie, nie istnieją. Stosowane do płynów naturalnych, w których tarć nie można pomijać, daje tylko przybliżenie, wogóle odległe od rzeczywistości, zbliżające się do niej wszakże w niektórych przypadkach tak dalece, że może być użytem do rozwiązywania zadań praktycznych.

Wogóle tarcie cząstek jednych o drugie wytwarza opór, który w równaniu energii winienby być przedstawiony

i w skutku którego prędkość V w punkcie N (rys. 39, § 16) ma wartość niższą niż wynikająca z twierdzenia Bernoulli’ego.

v    V²

Suma z -1- — -j-T

przestaje być stałą i zmniejsza się w miarę postępowania cząsteczki po torze. Oznaczając liczoną po torze odległość punktu N, od wziętego za początek ruchu, punktu M, przez .<?, możemy to wyrazić, pisząc:

¹

Wykład geometryi prądu ustalonego podany jest w książce F. PraŚiTa (przyp. 7, str. 2), a ogólne wskazówki, odnoszące się do tego przedmiotu, we wstępie do pracy inż. C. Witoszyńskiego: „Podstawy teoryi hydrodynamicznej turbin, wentylatorów i pomp odśrodkowych“ (Przegląd Techniczny, 1916).

v²

Wzniesienie płaszczyzny naporu przestaje być stałem dla wszystkich punktów strugi i wyraża się przez F (s). Różnica wzniesień w dwóch punktach M i N, równa F (s₀) — F (s, nosi nazwę straty naporu między tymi dwoma punktami. Strata naporu jest więc miarą części energii, pochłoniętej przez tarcia międzycząsteczkowe. W niektórych okolicznościach ta strata naporu bywa nader małą i może być pomijaną, ale zawsze ma ona miejsce i w skutku tego twierdzenie Bernoulli ego stosować można do cieczy naturalnych tylko w przybliżeniu.

Skoro np. ruch jest bardzo powolny, wtedy natężenie tarcia, proporcyonalne do prędkości względnej, jest bardzo małe i małą jest także praca tego oporu biernego. Wyrażamy to mówiąc, że w cieczy albo w części cieczy, której ruch jest bardzo powolny, ciśnienie zmienia się prawie według praw hydrostatyki. Podobnież, przy jakichkolwiek prędkościach cząstek, skoro te prędkości są jednakowe i równoległe, prędkość względna jest równa zeru i niema działań stycznych, a ciśnienie jest w każdym punkcie normalne do przecięcia poprzecznego prądu, co charakteryzuje stan hydrostatyczny. Może się także zdarzać, że ciśnienie jest stałe na obwodzie prądu, którego cząsteczki mają prędkości równoległe, jak to ma miejsce np. gdy ciecz wypływa z naczynia przez otwór, tworząc żyle, ze wszystkich stron otoczoną powietrzem. Przyjmuje się wtedy, z dostatecznem przybliżeniem, że ciśnienie jest jednakie i równe ciśnieniu atmosferycznemu, we wszystkich punktach przecięcia poprzecznego, prostopadłego do kierunków pojedynczych strug. Przy tych przybliżeniach, stosować można twierdzenie Bernoulli’ego do cieczy naturalnych w ruchu, ale tylko po zapewnieniu się, że między dwoma przecięciami poprzecznemi niema żadnej przyczyny specyalnej, mogącej powodować stratę naporu i że tarcia międzycząsteczkowe na tej przestrzeni mogą być pomijane- Też same zastrzeżenia stosują się i wtedy, gdy do ruchu cieczy naturalnej stosujemy równania ogólne hydrodynamiki, wywiedzione w przypuszczeniu cieczy doskonałej.

Kuch ustalony cieczy zachodzi w rurze, kanale otwartym i przy wypływie przez otwory. W ruchu takim przyjmujemy, że prędkości pojedynczych cząstek są prawie równoległe, czyli że ruch odbywa się strugami prostopadłemi do jakiegokolwiek przecięcia poprzecznego prądu. Powierzchnię tego przecięcia poprzecznego oznaczmy przez co, a jej element nieskończenie mały przez d to, prędkość średnią strug przechodzących przez ten element oznaczmy przez u, a prędkość średnią, dla całego przecięcia to. przez

u dio,

to

rozciągając tę całkę do wszystkich elementów dto. Jeżeli nadto oznaczymy przez Q wydatek prądu, t. j. objętość cieczy przechodzącej przez przecięcie to w ciągu jednostki czasu, to będzie:

d Q, — u d to Q = Uia = j u d to.

Porównajmy ilość ruchu i energię prądu, jakie są w istocie, z ilością ruchu i energią, jakieby były, gdyby strugi, zamiast istotnych swych prędkości, miały wszystkie prędkoąć« średnią U. Masa cieczy, przechodząca przez przecięcie d to

w jednostce czasu jest — dCl . u

d Q, a ilość ruchu i energia będą:

Y dQ-4-

0 2

Sumując te ilości dla wszystkich elementów dto, otrzymujemy istotną ilość ruchu i energię prądu, mając przytem na uwadze, że dQ = u dio:

u² dm

- - { u³ dco.

2 gj

to

Gdyby wszystkie strugi miały prędkość średnią C/j byłyby te ilości odpowiednio równe:

a U

albo kładąc Q — Uio :

«o : —î

⁷- U³ to.

Jakikolwiek znak ma ux, kwadrat ux² jest zawsze dodat-ny i całka / ux dia jest zawsze różna od zera i dodatna. Wynika stąd, że istotna ilość ruchu jest zawsze większa, od ilości ruchu odpowiadającej prędkości średniej, a kładąc

! ux²dia

otrzymamy stosunek ilości ruchu rzeczywistej do

Ti =

U²ia

ilości ruchu odpowiadającej prędkości średniej:

! u² d co

a takiż stosunek dla energii:

f u³ dia

f ux² dia

U³ia

f «i³ dtù

U² <a

U³ ta

t^co

Mamy więc do porównania, dla ilości ruchu f u² d la

ft>

i Ć7²a), a dla energii / u³ d to i U³ co. Oznaczmy przez ux różni

cę dodatną lub odjemną, pomiędzy istotną prędkością pewnej strugi u a prędkością średnią U i połóżmy:

u — U ux, u² = C7² + 2 üux -j- u^, ms = U³ + 3 U² ux + 3 U u² + u,⁵.

Mnożąc wszystkie wyrazy tych trzech równań przez dia i całkując dla całej przestrzeni przecięcia poprzecznego prądu, otrzymamy z pierwszego równania:

u dm = Uia

a że

! u dia = Uia, więc:

j¹ ux dia

f ux dia

= 0.

Mając to na uwadze, otrzymamy z pozostałych dwóch

równań:

-}- j ux ² d la

r/³ w 3 U f u ² dia -j- J ux³ dia.

Stosunek więc ilości ruchu rzeczywistej, do ilości ruchu odpowiadającej prędkości średniej, jest równy:

fu³ dia

Ißia

) u² dia

C/²co

f Mj² d co

U² io

gdzie fj jest liczbą zawsze dodatną.

Co do stosunku energii należy zauważyć, że ostatni wy-

raź

U³ co

jest zawsze bardzo mały, w porównaniu z po

przednim

d oj

U²0,

, gdyż najprzód w₁ jest tylko małym ułam-

kiem prędkości średnej U i wyraz

IP co

jest wielkością rzę-

du

| £T j i podczas gdy wyraz

j'U² d<o

jest wielkością rzędu

U² (*>

| ; nadto wartości są naprzemian dodatne i odjemne,

gdyż l'u₁dm = 0, całka więc j «j³ dw składa się mentów dodatnych i odjemnych, gdy elementy całki f u²dto są wszystkie dodatne. Z tych dwóch względów wy-

z ele-

raz

f u ³ dio

może być pominiętym wobec pozostałych i sto-

U² co

sunek energii sprowadza się do:

fu³ d oj IP OJ

jest więc, podobnie jak stosunek ilości ruchu, większy od jedności i to o ilość trzy razy większą. Wynik ten zasługuje na uwagę. W skutku różnych prędkości pojedyńczych strug, ilość ruchu i energia prądu są zawsze większe od ilości ruchu i energii, jakieby były, gdyby wszystkie strugi miały jednakową prędkość średnią. Spółczynniki Tj i a są oczywiście zmienne, ząleżne od różnicy między prędkością średnią a największą prędkością w przecięciu poprzecznem prądu. Wartości ich, obliczono z pomiarów prędkości, dla prądów w rurach i kanałach.

Przy stosowaniu twierdzenia Bernoulli’ego (72), już nie do pojedyńczej strugi o prędkości V, ale do prądu ustalonego, w którym ta struga przechodzi przez środki ciężkości powierzchni, następujących po sobie przecięć poprzecznych, oznaczać będą w równaniu:

z -f

V²

= F (s),

z — rzędną środka ciężkości przecięcia poprzecznego prądu,

P    .    V²

—wysokość ciśnienia w tym środku ciężkości. Zamiast —

7 2

a wzniesienie płaszczyzny napom F(s)

wyrażać możemy także przez funkcyę prędkości średniej J (U)-Że zaś, jak zobaczymy w dalszym ciągu, strata naporu następować może przy mchu prądu, z różnych przyczyn i na różnych przecięciach, przeto najogólniejsze wyrażenie całkowitego wzniesienia płaszczyzny naporu między dwoma przecięciami poprzecznemi prądu będzie £/(£7) i równanie, wyrażające twierdzenie Bernoulli’ego dla prądu ustalonego przybierze kształt:

weźmiemy wtedy ot

2 g'

Z -j—    -4- Ot

7

= *f(U).....(73)

19. Prąd regularny. Prawa Poiseuille’a i Reynoldsa. Prądem regularnym nazywamy powolny ruch cieczy, strugami prawie prostolinijnemi i równoległemi, bez wirów i wzburzeń. Ruch taki odbywać się może tylko w przewodach o bardzo małym przekroju poprzecznym i bardzo gładkich ścianach. Jako wstęp do badań nad cyrkulacyą krwi w naczyniach włoskowatych. przeprowadził w połowie ubiegłego stulecia dr. Poiseuille szereg ścisłych doświadczeń nad ruchem wody w rurkach szklanych i wyciągnął z nich, że wydatek prądu regularnego jest: 1) proporcyonalny do różnicy naporów na dwóch końcach rurki, 2) odwrotnie proporcyonalny do długości rury, 3) proporcyonalny do czwartej potęgi z promienia rury. Wzór streszczający te prawa, wywiódł Bous sinesq z równań Navier'a (§ 17). Przyjmując oś x schodzącą się z osią rurki, pominąć można w tych równaniach pochodne składowych v i iv, a także przy ruchu prawie jednostajnym u! — 0 i z pierwszego równania pozostaje:

_r / 3² u .    3³ u \

= ** + .(-57 + -,,-)

•    .    (74)

Przy nachyleniu 7 rurki do poziomu, składowa siły ciężkości X — g sin 7, ciężar właściwy y = p y, nazwawszy więc różnicę wysokości słupów piezometrycznych na jednostkę długości rurki:

sin 7

= J,

otrzymamy:

a²

a² u

9 2²

— 0. .

•    •    (75)

a y

Jeżeli oznaczymy przez r odległość cząstki cieczy od osi cc, to przy kołowem przecięciu poprzecznem rurki, pręd-

kość u jest z symetryi wyłącznie funkcyą promienia r. Ponieważ r² = y² -[- 'z² , więc:

32

dy²    r

y    du    du dr

r ’ 3 y    dr dy

y du r³ 3 r

03 CO

d /*

y² 3 m r³ 3 /•

3² M r 3 r² J d y y² 3² « r² 3 r*

i tak samo:

3z

3² u 3 z²

z² 3 m r³ 3 r

2²    3- M

' r² 3 r² !

skąd:

3² m ! 3² m 1 d u    3² M

d y² 3 z²    r dr    d r² '

i równanie (75) przybierze postać:

= 0.

r² + A ln r -f B.

W rurce o przekroju kołowym, wypełnionej cieczą, prędkość jest skończoną i przy r = 0, co wymaga, aby A było równe zeru. Ponieważ przy ruchu cieczy w rurce, najmniejsza różnica prędkości stykających się cząstek wywołuje tarcie, więc różnica prędkości cząstki nieruchomej na powierzchni wewnętrznej rurki i stykającej się z nią w swym ruchu cząstki na zewnętrznej powierzchni prądu, wywoływałaby tarcie jeszcze większe. Tarcie to nie mogłoby zostawiać w równowadze dynamicznej, warstwy nieskończenie cienkiej, przylegającej do ściany rurki, gdyż musiałoby równoważyć działanie styczne, wywierane na drugą stronę tej warstwy. Prędkość więc tej warstwy musi być nieskończenie mała i dla R = r, t. j. przy powierzchni wewnętrznej rurki przyjmujemy u = O. Wynika stąd:

(77)

₍R2 _ r2)

a wydatek prądu o przekroju to = z Ä, czyli wzór Poiseuille’a: 7 J o²

A*

p gJr.R⁴

CD²

• • (78)

8 z £

Przy stałej prędkości, J wyraża stratę naporu na jednostkę długości rurki; wydatek przeto jest proporcyonalny do różnicy naporów na dwóch końcach rurki a odwrotnie proporcyonalny do jej długości.

Doświadczenia, przeprowadzone w granicach temperatury od 0° do 45° C. dały dla wody wartość spółczynnika tarcia wewnętrznego przy temperaturze 10" C.:

s = 0,01303 jednostek C. G. £., a przy temperaturze t w stopniach, liczonych powyżej 10° C.:

0,01303

⁼ ~ 1 + 0,02884 t + 0,000188 ł²

Spółczynnik £ używany jest w hydraulice w kształcie nieco zmienionym, mianowicie jako tak nazwany przez Max-wella kinematyczny spółczynnik tarcia:

T.

R²

równy stosunkowi spółczynnika tarcia wewnętrznego s, do gęstości płynu p, przyczem wzór Poiseuille’a przybiera kształt:

g J tz Ri

<2 =

(79)

Wartości v dla niektórych płynów przy różnych temperaturach podane są w następującej tablicy:

TABLICA 1.

Stopnie

Celsiusza

Wody

Wartość spółczynnika v w cm²jsek dla: Powietrza pod ciśn.

1 atm.

Oliwy

Paliwa

płynnego

motorowego

10

20

30

50

0,0173

0,0131

0,0101

0,00S1

0,0055

0,0027

O ppppo

IO IO t— —    *—

-    I O ->1 C5 0« 4-

—    CO -vl O* O* O*

,    . <M O O O

«HOC

Ze wzrostem prędkości i przekroju poprzecznego prądu ruch regularny przechodzi w burzliwy. Zwracał już na to uwagę Henryk Darcy, który wartości s, otrzymane przez Poiseuille’a, stwierdził niektóremi doświadczeniami nad powolnym ruchem wody w rurach o średnicy paru centymetrów, uwidocznił zaś w r. 1883 Osborne Reynolds, wprowadzając do rury szklanej, przez którą przebiegała woda, cienką strugę cieczy zafarbowanej, wyciąganą działaniem prądu z włoskowatej rurki, której ostro zakończony koniec umieszczony był na osi rury szklanej. Ruch regularny znamionowany był w rurce zafarbowaną strugą środkową, równą i prostą; gdy wszakże prędkość prądu się zwiększała i przekraczała pewną granicę, wtedy struga zafarbowana przerywała się i cząstki kolorowe rozpraszały się pod postacią wirów. Doświadczenia wykazały, że ruch regularny przechodzi w burzliwy, przy prędkości średniej U czyniącej zadość równaniu:

U R

= 1000 jednostek C. G. S. .    .    .    (80)

Reynolds wszakże zauważył, że przy zachowaniu ostrożności, można utrzymywać w rurkach ruch regularny i przy prędkości większej, odpowiadającej stosunkowi:

. • (81)

— 6900 .    .

UR

i tę prędkość nazwał prędkością krytyczna.

Wzmiankowane doświadczenia doprowadziły Reynoldsa do wykrycia tak zwanego prawa podobieństwa prądów. Jeżeli w pierwsze z równań Navier’a (71) wstawimy za u' rozwinięcie (20) z § 11 i wprowadzimy oznaczenia: z P

h = — ,    ,

T

to równanie przyjmie kształt:

ro oj

du

4-.. •

) ⁺ 7(4'+"4⁰ ^82>

y \ dx

Pomijając pierwszy wyraz, w który wchodzi składowa siły ciężkości, nie ulegająca zmianie, odróżniamy w tern równaniu:

wysokość ciśnienia 7 --

dh

dx’

7

siły bezwładności typu u

siły tarcia typu

du

Oj

Składowe prędkości w, v, w i wysokość ciśnienia h są łunkcyami spółrzędnych cc, y, z. Reynolds zauważył, że jeżeli znany jest z dokonanego doświadczenia pewien prąd (I), dla którego wymienione siły są w równowadze określonej równaniem (82) i jeżeli od tego prądu przechodzić będziemy do innego podobnego prądu (II), powiększając wszystkie długości, a więc spółrzędne w stosunku fz, wysokość ciśnienia w stosunku prędkości w stosunku fu, ciężar właściwy w stosunku /p spółczynnik v w stosunku /v, to wszystkie te ilości określające prąd (II) uczynią zadość równaniu (82), gdy wymienione trzy typy sił powiększone zostaną w jednakim stosunku, to jest gdy:

ft fh _ ffju² _ jfT /v fu

fi

fi

fu fl

skąd:

. . (88)

fh — fu² .

Pierwsze z tych równań jest jednoznaczne z równaniem:

Mj Zj    Uy 1'2

V2

V1

. Z dru-

i wyraża warunek podobieństwa prądów (I) i (II), polegający na jednakowej dla obu prądów wartości stosunku giego równania wynika, że wtedy jednakowym dla obu prą-

dów winien być także stosunek

funkcyą — dziale, a co do stosunku

Innemi słowy jest h

O stosunku —— będzie mowa w następnym roz-

.ii ■

to biorąc w nim zamiast prędkości cząstkowej u prędkość średnią prądu 17, a zamiast długości lt oznaczającej którykolwiek z wymiarów prądu, promień rury

R, otrzymamy wzmiankowany stosunek ^ niósł Reynolds pomiary prądów w swych doświadczeniach.

do którego od-

20. Prąd burzliwy. Zjawiska burzliwego ruchu cieczy są najważniejsze w hydraulice, wszakże aż do ogłoszenia poszukiwań Boussinesq’a stanowiły w nauce, jak się wyraził Saint Venant, „rozpaczliwą zagadkę“. Jeszcze Leonard Vinci zwracał uwagę na to, że w masie cieczy, płynącej pewnem korytem, najmniejsze zboczenie wywołane nierównościami ścian, powoduje uderzenia, które przechodząc od jednej cząsteczki do

drugiej, mnożą się przy znaczniejszej prędkości i rozchodzą wśród cieczy w różnych kierunkach, wywołując wzburzenia nieregularnie peryodyczne, zwane niekiedy przez hydraulików pulsem prądu. Tam więc, gdzie mechanicy wprowadzali tylko prędkości i ciśnienia, zmieniające się w sposób regularny i ciągły, od jednego punktu do punktów sąsiednich i od jednej chwili do następnych, trzeba było wprowadzać przeważny wpływ zmian nagłych i nieregularnych: prędkości, przyspieszeń i ciśnień w różnych punktach cieczy. Odróżnić przyszło więc najprzód dwie części o różnych własnościach, w prędkości i przyspieszeniu, czy to jednej i tej samej cząstki, śledzonej w jej kolejnych położeniach przez krótką chwilę, czy też cząstek przechodzących kolejno przez dany punkt, o spółrzędnych x, y, z, w krótkim przeciągu czasu.

Część pierwsza, odpowiadająca ogólnemu przemieszczeniu cząstek jest średnia miejscowa^ wartości prędkości lub przyspieszenia. Jest ona większą od części drugiej, ale ma mniejsze pochodne, ponieważ zmienia się stopniowo. Tylko ta część jest ważną dla hydraulika, ponieważ może być zmierzoną za pomocą przyrządów hydrometrycznych. Odpowiada ona istotnemu ruchowi prądu i może być przedstawioną przez funkcye, regularne i względnie proste, zmiennych x, y, z, t. Co do drugiej części, ta zmienia się bardzo szybko razem z as, y, z, t, w kierunkach przeciwnych dla bardzo blizkich wartości tych zmiennych, tak, że średnia jej wartość, w ciągu jakiegokolwiek dość krótkiego czasu, jest w każdem miejscu równa zeru. Może ona mieć pochodne o dość znacznych wartościach, ale o wartości średniej także równej zeru. Jest to prędkość lub przyspieszenie wzburzenia miejscowego, które, gdyby samo tylko istniało, wytwarzałoby wszędzie znaczne odkształcenia przypadkowe, ślizgania miejscowe w różnych kierunkach, ale bez ogólnego ruchu całej masy.

Z przeprowadzonej na tej podstawie subtelnej analizy Boussinesq'a wynika, że wywiedzione w § 17 równania Na-vier’a, stosowane być mogą do ruchu burzliwego, jeżeli funkcye u, v, w uważać będziemy za składowe prędkości średniej miejscowej. Spółczynnik tarcia będzie w nich funkcyą wszystkich przyczyn, wywołujących wzburzenia. Przyczyny te w ten sposób rozbiera Boussinesq: „Jeżeli obserwujemy powierzchnię wody wzburzonej, płynącej kanałem otwartym, spostrzegamy, jak wciąż pewne jej cząstki, niewielkie ale skończonych wymiarów, chwilowo przylegają do brzegów koryta, potem odrywają się odeń nagle i rozbiegają, dążąc ku Avnętrzu prądu i tworząc jeden lub więcej wirów o osiach pionowych. Widać także, zwłaszcza w pośrodku kanału, wzburzenia lub wiry o osi

poziomej, wydobywające się z głębi, ukazujące się chwilowo na powierzchni i jakby zanurzające się z powTrotem. Zaburzenie więc ruchu głównego, skutkiem którego ruchy drugorzędne, odbywające się w kierunkach naprzemian przeciwnych, składają się razem na ruch główny, pochodzi przedewszystkiem ze skończonej ale bardzo znacznej liczby wirów, wytwarzających się przy ścianach koryta i stamtąd się rozchodzących. W zburzenie zatem wirowe zależy od wielu przyczyn. A najprzód wzburzenie, powstające w pewnym punkcie na ścianie koryta zmienia się razem:

1)    z prędkością średnią miejscową w tym punkcie (prędkością, którą możemy utożsamiać ze składową u₀)₇ bo ta prędkość jest miarą średniego popędu, wytwarzającego wiry i udzielającego im swej siły żywej (prędkość ta nawet dochodzić winna do pewnej wartości, aby wzburzenie mogło powstać; doświadczenia wykazały, że ruchy cieczy w rurkach nawet większej średnicy niż 0,01 m, lecz z gładkiemi ścianami wrewnętrznemi, są regularne aż do pewnej granicy prędkości, tern niższej, im większą jest średnica rurek);

2)    z wielkością stosunku , przekroju prądu do obwo-

X

du zwilżonego, stosunku, który mierzy rozległość przekroju, odpowiadającą jednostce obwodu zwilżonego, gdyż ta wielkość sprzyja oscylacyom, prostopadłym do ścian koryta (ruchom falistym), dążącym do odrywania od ścian grup cząstek i bez których działanie styczne, wywierane przez ściany na te grupy, nie doznawałoby nagłych zmian; te to zmiany, łącznie z ogólnym ruchem prądu, wprawiają cząstki cieczy w ruchy wirowe;

3)    ze stopniem gładkości ścian przewodu (rury lub kanału); im więcej są one chropowate, tern więcej powodują uderzeń cząsteczek, wytwarzających wiry i przyczyniają się do powstawania ruchów oscylacyjnych, o których była mowa.

Od ścian wiry kierują się ku wnętrzu prądu i ocenienie wzburzenia miejscowego, jakie wytwarzają w danym punkcie, nie jest możliwem bez znajomości praw ich rozchodzenia się i zanikania (albo przekształcenia na energię wewnętrzną lub cieplikową), a także praw ich odbijania się o powierzchnie graniczne prądu, które spotykają w swym ruchu. Wszakże przyjąć wypada: że wzburzenie wirowe zwiększa się, postępując od ścian, gdyż wiry na ścianach powstałe, lub przez nie odbite, rozchodzą się po powierzchniach coraz mniejszych, jak to ma miejsce, gdy obwód zwilżony jest wklęsły (łożysko kołowe lub rura); że to wzburzenie pozostaje mniej więcej stałem przy obwodzie zwilżonym wydłużonym (łożyska prostokątne o pod-

stawie bardzo znacznej w stosunku do wysokości). Przypuszczać też należy, że wzburzenie wirowe jest prawie jednakie, w rurze o przekroju prostokątnym bardzo szerokim lub okrągłym, jak i w kanale otwartym, mającym za przekrój dolną połowę przekroju rury, gdyż odbijanie się na powierzchni swobodnej, wirów nadchodzących z głębi lub od brzegów, wytwarza w kanale otwartym wzburzenie podobne do tego, jakie wytwarzają w dolnej połowie przekroju rury, wiry nadchodzące od strony ścian górnych“.

Uwzględniając wszystkie przyczyny wzburzeń, doszedł Boussinesq do ogólnego wyrażenia na spółczynnik tarcia w ruchu burzliwym:

O)

•    •    (84)

6 = P.M₀

U)

z \ w

w którem u₀ jest składowa, równoległa do osi æ, prędkości średniej miejscowej na ścianie przewodu, w pewnym punkcie przekroju poprzecznego o powierzchni w , np. w punkcie najniższym przekroju, A₀ współczynnik wzburzenia wywołanego w tym punkcie chropowatością ścian przewodu na obwodzie zwilżonym F pewna funkcya stosunków spółrzędnych y, 2, uwa-

żanego punktu do promienia średniego przekroju. Jak wykazały doświadczenia, w kanale prostokątnym 1 m głębokim, przy prędkości na dnie 1 m/sek., spółczynnik s = 64 jednostek C. G. S., czyli jest prawie 5000 razy większy niż przy ruchu regularnym.

21. Ogólne równanie prądu ustalonego. Weźmy pod uwagę prąd ustalony, którego przekrój poprzeczny zmienia się bardzo wolno i którego oś jest prostolinijna lub bardzo mało zakrzywiona, tak, że prędkości różnych pojedynczych strug uważać można jako do siebie równoległe. Przyjmując trzy osie spółrzędnych prostokątnych x, y, 2, umieśćmy ich początek w którymkolwiek punkcie przekroju poprzecznego prądu i skierujmy oś x równolegle do wspólnego kierunku prędkości strug, oś y — poziomo a oś 2 — prostopadle do xy. W równaniach Navier’a (71), zastosowanych do takiego prądu, składowe prędkości v i w będą mogły być pominięte, równie jak ich pochodne v i wr oraz drugie pochodne, których sumy mnoży spółczynnik e. Pominiętym może być także wy-

3² u

raz s

dx²

Navier’a pozostaną trzy równania:

przy bardzo wolnej zmianie prędkości u. Z równań

£ / d² u    d²u\

p~ \dy*\ ' ~dz2/ +

1 dp

p dx

= Z—u'

1 dp

p dy

1 dp p d z

.    .    (85)

w których Z, T, Z, przedstawiają rzuty na trzy osie sił zewnętrznych, działających na cząsteczkę. Siłami temi są: siła ciężkości i tarcie. Ponieważ

przypuszczamy, że tory cząstek są prawie równoległe do osi x, więc tarcie, wynikające z prędkości względnej, czyli różnicy prędkości dwóch cząstek sąsiednich, skierowane będzie w kierunku przeciwnym kierunkowi prędkości względnej, to jest prawie równolegle do x. Rzuty jego na osie y i z są równe zeru, a rzut na oś x przedstawia pierwszy wyraz pierwszego równania, który oznaczamy:

e Id² u p \ d y²

Jeżeli przez I oznaczymy nachylenie osi x do poziomu, składowe siły ciężkości według trzech osi będą: g sin J, 0, g cos 1 i równania (85) przybiorą kształt:

d²U

d z²

= F.

1 dp p dx

1 dp p dz

Mnożąc dwa ostatnie kolejno przez p dy i p dz, dodając i całkując na przestrzeni tegoż samego przecięcia poprzecznego prądu, od punktu, gdzie oś x spotyka to przecięcie i gdzie y — 0, z = 0 a ciśnienie jest p₀, do jakiegokolwiek punktu, gdzie ciśnienie jest p, mieć będziemy p —p₀ -j- p g z cos I. Wzór ten wykazuje, że ciśnienie zmienia się na tern samem przecięciu poprzecznem według praw hydrostatyki i że jeżeli powierzchnia prądu jest otwarta, to jej profil poprzeczny jest

dp dp₀

g sini—F—u',

Ł|£_o,

p dy

= g cos 1 . . (86)

poziomy. W^ykazuje także, że

dx

a wstawiając tę 1 dp₀

dx ’

w pierwsze równanie, otrzymujemy —

P

= gsinI —F—u'. Nazwijmy jakikolwiek element powierzchni przecięcia poprzecznego prądu i weźmy sumę podobnych równań wypisanych dla różnych elementów całego

d Pq

przekroju co. Otrzymamy wtedy, ponieważ - ■ - i sin I są stałe:

O X

wartość

1 dp

dx

)=P’⁸“+ /

u' d O) .

■    ■    (87)

F. K. Hydraulika

Ponieważ F jest rzutem na oś x oporu pochodzącego z tarcia na jednostkę masy, przeto F 3 to jest natężeniem tarcia dla strugi o przekroju 3 to i na długości równej jedności. Tarcia wewnętrzne, t. j. pojedynczych strug prądu jednych o drugie są wzajemne i mają miejsce między każdemi dwiema strugami: suma więc ich rzutów na oś x jest równa zeru. Pozostaje do uwzględnienia tarcie na powierzchni zewnętrznej prądu, o ściany rury lub koryta, przez które prąd bieży. Tarcie to, zależne od chropowatości ścian przewodu, jest propor-cyonalne do prędkości u₀ cząstek na powierzchni zewnętrznej prądu, oraz do liczby cząstek cieczy, uderzających o chropowatości ścian przewodu, a że ta liczba jest także proporcyonalną do w₀. więc tarcie jest proporcyonalne do u₀². Na elemencie dy, obwodu zwilżonego działa przeto siła oporu, wynikającego z tarcia, którą wyrazić można iloczynem:

9 B "-o² d y

jeżeli przez B oznaczymy spółczynnik liczbowy. Prędkość na powierzchni zewnętrznej prądu u₀ zastąpić można w przybliżeniu pewną funkcyą prędkości średniej na danym przekroju,

albo ogólniej, przypuszczając, że obliczono całkę /*B m₀? d y

z

dla każdego przekroju i otrzymaną wartość podzielono przez x-uważać w przybliżeniu iloraz jako funkcyę prędkości średniej cp (U). Ściśle wywiedzionem to zostało przez Boussinesq’a, tu bierzemy w przybliżeniu:

f F dm — gxy (U).

Dla obliczenia drugiej całki f u' dm, zauważmy że:

u' dw =

dx

dt ’

u du dia

dx (u d(o) d u

dx

u d (û jest to wydatek strugi, który będąc stałym wzdłuż całej strugi, wprowadzony być może pod różniczkę względem x, można więc napisać:

d (w² d w)

dx

u’ dia =

uŁ d to,

lu'da,=-Lf

a. że w

paragrafie 18 mieliśmy j u² dv> — (l -f ?]) ( ² <*>, przeto:

[(1+7)) ü].

dio =

<o

r. d

dx

<U

Przyjmując, że spółczynnik yj jest także niezależny od x, jeżeli położymy: a! — 1 yj, otrzymamy:

Ud U 1 d(?7²)

2 dx '

I a dia —

H Ol

a' w

d (U²)

dx

<!>

a zastępując w równaniu (87) dx przez element toru ds, wstawiając otrzymane wartości na f F dio i f ud oj i dzieląc

to

OJ

obie strony przez g co, mieć będziemy ogólne równanie ruchu ustalonego cieczy naturalnych:

sin 1--— dp°

a«

x nU)+a'±iF_j . .

o) ' ¹ ds \ 2g I

. (88)

Rury.

22. Ruch jednostajny. W ogólnem równaniu prądu ustalonego (88), zastosowanem do biegu wody w rurze o stałej średnicy D, mamy prędkość średnią U stałą i ostatni wyraz równy zeru. Nadto obwód zwilżony '/ = z Z>, powierzchnia przecięcia poprzecznego rury m =

m.

71 D²

stosunek

i równanie przybiera postać:

sin i-i

■    .    (89)

Pierwsza strona równania wyraża spadek, czyli obniżenie poziomu piezometrycznego, na jednostkę długości rury. Ponieważ prędkość U jest stałą, przeto na mocy równania (28), linia poziomów piezometrycznych jest równoległą do linii na-poru, i w każdym punkcie rury obniżenie poziomu piezome-trycznego jest równe obniżeniu linii naporu. To też spadek nosi także nazwę straty naporu na jednostce długości rury. Jeżeli spadek na całej długości rury l wynosi h, to oznaczając

spadek na jednostkę długości rury przez J, będziemy mieli:

J= —

b¹

<?(U).....(90)

albo:

(91)

Wzory te, razem z wyrażeniem wydatku rury:

re D² U . .

¹ i-*

•    .    . .- . (92)

służą do rozwiązywania zadań, dotyczących ruchu jednostajnego wody w rurach.

Kształt funkcyi cp (U) oznaczano przez roztrząsanie doświadczeń nad biegiem wody w rurach wodociągowych. Z 51 doświadczeń, wykonanych jeszcze w XVIII w., wyciągnął de Prony (1804 r.) wzór:

.    .    (93)

¹ DJ = aU+bU² . . 4

ze spółczynnikami: a — 0,0000173, b = 0,000348 i ułożył tablice, używane w XIX w. we Francyi i w innych krajach. Dla prędkości większych od 0,25 m/seknajczęściej się zdarzających w praktyce wodociągów, pierwszy wyraz wzoru (93) jest bardzo mały w stosunku do drugiego, co zauważywszy, Dupuit pierwszy wyraz pominął, a położył b = 0,0004, podając wzór:

•    *    (94)

-- D J — b [J² .    .

Na podstawie 51 dawnych i 20 własnych doświadczeń, podał Weisbach (1855 r.) wzór:

\DJ =

BU1,

2 g’

kładąc a — 0,0035975, b = 0,0023678 i ujednostajniając równanie (90), po którego lewej stronie jest wysokość spadku h,

U²

przez wprowadzenie po stronie prawej stosunku --, czyli

2 g

wysokości, odpowiadającej prędkości. Dla prędkości około 2 m/sek., spółczynnik wzoru Weisbacha brać można w rachunkach przybliżonych B — 0.005, a pisząc wzór w kształcie:

.    .    (95a)

l , JT

D V 2 g

spółczynnik oporu przy biegu wody w rurach Ç — 0,02.

Wszystkie te wzory nie uwzględniały natury i stopnia chropowatości ścian rur. Na ten czynnik pierwszy zwTÓcił uwagę Henryk Darcy (1857 r.) i opierając się na wynikach 198 własnych doświadczeń, podał:

.    (96)

-i- DJ = B₁ V², gdzie B, = (a + ^}’ •    •

proponując dla rur z żelaza lanego, pokrytych wewnątrz osadem:

a — 0,000507,    5 = 0,00001294,

a dla rur nowych spółczynniki o połowę mniejsze.

Z innych wzorów¹ dawniejszych, wymienimy jeszcze, służące tak dla rur pełnych, jak i dla kanałów' o przekroju kołowym, wzory Ganguillefa i Kuttera:

dla rur nowych:

U²

•    •    (97)

0,0003997    0,0003997    0,00009998

D²

é .

i używanych:

0,0003997 ,    0,0002399    0,0003602

D¹>⁵ ' D²

a także nowszy, odnoszący się nie tylko do ruchu wody, ale i do ruchu nafty i ropy, wzór Henryka Merczynga: x)

JD

.    .    (98)

dla którego obliczone zostały, przy trzech różnych średnicach, następujące spółczynniki:

Średnica rury D=21,2 mm 26,2 45,25

Woda

Nafta

«=0,001401    5=0,000437

«=0,001294 5=0,000502

0817

484

0791

513

0526

618

0405

768

a dla ropy przy średnicy D = 101,6 mm:

b = 0,00611.

a = 0,00270,

We wzorach (95) i (96), ? (U) jest kwadratem z prędkości średniej, pomnożonym przez pewien spółczynnik zmienny,

zależny od u (95) lub od D (96). Przyjmując kształt tej funkcyi, jak we wzorze (95):

? (U) =

U2 B ,

mamy po wstawieniu w równanie (90):

! »

skąd:

_ gDJ _ gD h ~ 2 U² 2 Z ’ U- ' ‘

.    .    (99)

h

Ponieważ według prawa Reynoldsa (83) stosunek

UR

przeto i spółczynnik B jest także

jest funkcyą stosunku — tunkcyą tego stosunku ²), który nazwiemy prędkością zreduko

wana i oznaczymy przez:

UR UD

. . (100>

W przypadku ruchu regularnego, wstawiając w równanie (99) wartość na J wyciągniętą z wzoru Poiseuille’a (79), z uwzględnieniem:

—I <N

D, Q =

./=

4

32 v U

gTtR*

gD²

• (101)

otrzymamy, mając na uwadze (100):

_ 9_p± _ R 2,L _

2 U*⁻ UD ~ C

. . (102}

co wyraża zależność spółczynnika B wyłącznie od prędkości

zredukowanej.

Można zatem, dla jakiejkolwiek rury, wykreślić według równania BC — 8, krzywą H (rys. 42), stanowiącą część hyperboli równoramiennej, która w pewnym punkcie przechodzi w krzywą

0,04)

0,0/

1000

S000 Rys. 42.

/oooo

to

?⁰¹!' U-Blasius: Das Aehnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgän-gen in Flüssigkeiten. Mitteilungen über Forschungsarbeiten H 131 Berlin, 1913.

T, odpowiadającą ruchowi burzliwemu. Ma to miejsce przy wartości (80): C = 1000 jedn. C. G. S.; wtedy B = 0,008 a prędkość krytyczna z równania (100):

2 Cv

Uh=.

Posiłkując się tablicą 1 (§ 19), dającą wartości v dla różnych cieczy i temperatur, mamy dla wody przy 20° C. i średnicy rury:

2 cm, D = 20 cm,

Ui — 10 cm/sek.,

Uk —    1 cm/sek.,

a że zwykłe prędkości w rurach wodociągowych są znacznie większe, przeto do ruchu wody w tych rurach nie można stosować wzoru Poiseuille’a. Wzór ten w rozleglejszycli granicach stosowany być może do innych płynów, bo np. dla olejów przy 20° 0., v = 3, i ruch regularny w rurze o średni-c3 D — 2 cm, trwa dopókąd prędkość nie przekroczy granicy ( k = 2.1000 -3:2 = 3000 cm/sek.

W zwykle spotykanym w praktyce, przypadku ruchu burzliwego, gdy C > 1000 jednostek C. G. S , spółczynnik B

BC

!D0

■S,

S,i

I-

SC

ID

r>

1000

sooo

10000

Rys. 43.

IS000

wyznaczać trzeba przez interpolacyę wyników doświadczeń, które wykazują zależność B nie tylko od prędkości zredukowanej C, ale i od natury ścian wewnętrznych rury. Na rys. 43, dla którego zmniejszenia wzięto za rzędne nie B, ale iloczy-ny BC, oznaczone są literą R wyniki doświadczeń Reynoldsa nad ruchem wody w rurkach ołowianych ciągnionych o średnicach 0,615 i 1,67 cm, a literami St S₂ wyniki doświadczeń Sapha i Schodera (1903 r.) nad ruchem wody w rurach żelaznych cynkowanych, o średnicach Dx = 1,234, D₂ =z 1,54, Z)j = 2,16 cm. Ruch regularny przedstawia prosta pozioma o rzędnej BC = 8.

Z wzorów praktycznych, wywiedzionych drogą podobnych interpolacyj, największe mają rozpowszechnienie wzory Reynoldsa, Flamanta, Biela i Langa.

We wzorze Reynoldsa:

spółczynniki: X

tdj—

xr²-n~

XJH

D'i-» '

.    .    (103)

396M

, r=l-f-0,0336 t-\-0,00023lt²,

4X67.7X10⁶

gdzie t jest temperatura w stopniach Cels. Wykładnik n waha się między 1,8 dla rur bardzo gładkich a 2 dla bardzo chropowatych. Dla rur nowych brać należy n — 1,85, dla pokrytych małym osadem n = 1,95.

Flamant (1892 r.) doszedł do wzoru:

DJ = 0,00092

.    .    (104)

dla rur mało używanych i ułożył rozpowszechnione we Francyi tablice, ułatwiające obliczenia według tego wzoru. Jeżeli wzór Flamanta wypiszemy w kształcie:

Db J* = a⁴ U¹

i wstawimy:

tz D²

otrzymamy:

D¹⁹ J⁴ ==

skąd:

tości:

l'D‘⁹

Tablica 2 daje dla wartości D od 0,1 m do 1,40 m war

«Q

a tablica 3 pozwala z ilorazu:

VQ⁷

otrzymać wydatek Q.

Biel (1907 r.) wrócił do dwumianu de Prony’ego (93):

— D J = at U² -f hx U .    .    .    .    (105)

kładąc spółczynniki: ^=0,12 -j-

gdzie v =

V\b'

£

— (§ 19), a dla rur z żelaza lanego: P

używanych / = 0,072,

/ — 0,036,

nowych

ll\D 9

b — 0,27 b = 0,46.

TABLICA 2,

ułatwiająca obliczenia rur według wzoru Flamanta.

w metrach

w metrach

w metrach

—< Ol CM CO    >C co !>• CD    G^> O h (M CO    ^ lO co 1> 00    0)OrH

O O O O O    O O O O O    O 1—^    < r-H t    f-H —• r-H «-H i-H    f-i CM (M

o" d'd:©cT    o"o"o o o    ddd'o'6'    dd'd'd'd'    d'oc?

4 427 000 645 000 I 164 500 57 100 24 000

6 100 2 100

890

480

227

O 05 O CO 03 co O. O CO 03

r—I

on co co co 03 co^co^ t>^pco_ Or-tooccT^r co c\f

pop ppppp ppppp ppppp pop po

^HiOOO) N O CO N l> «O O- Cł

ąsąsą ąsąsą sąąąs ssaąą ąsą

ppp_r₀ o o o o o o o o o o ooooo ooo

0,45

0,062 0,056 0,051 0,046 0,041

0,0377 0,0313 0,0240 0,0158 0,65    0,0108

0,70    0,0076

0,75    0,0055

0,80    0,0040

0.0030 0,0023

0,0018 0,0014 1,05    0,0011

0,00089 0,00059

1,30    0,00040

1,40    !    0,00028

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,52

0,55

0,60

0,85

0,90

0,95

1,00

1,10

1,20

TABLIC A 3.

ułatwiająca obliczenia rur według wzoru Flamanta.

w litrach

w metrach sześciennych

[ w metrach : sześciennych

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

10 000 000 8 464 000 7 268 000 6 318 000 5 550 000

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

4 919 000 4 393 000 3 951 000 3 575 000 3 252 000

0,0020

0,0021

0,0022

0,0023

0,0024

0,0025

0,0026

0,0028

0,0030

0,0035

53 (XX) 49 000 45 000 41 000 38 000

36 000 33 400 29 300 26 000 19 900

o o

-H -JH

0,20

0,21

0,22

0,0040

0,0045

0.0050

0,23

0,24

0,25

0,26

0,28

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2 973 000 2 730 000 2 516 000 2 328 000    0,0055

2 161 000 ¹    0,0060

0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0090

0,010 0,011 0,012 0,013 0,014

0,020 0,021 0,022 0,023 0,024

2 012 000 1 878 000 1 650 000 1 462 000 1 117 000

884 000 719 000 598 000 506 000 435 000

178 000 151 000 i 129 000 I 112 000 99 000 i

15 700 12 800 10 600 9 000 7 700

6 700 5 900 5 230 4 670 3 810

3 160 2 680 2 300 2 000 1 750

1 560 1 390 1 250 1 130 1 030

O O CO CO CO 05 CC

os cc t>. i -~

hx-;

g§

Oł

<M CO CO o

•o

35.4

ifilil lilii 1111 IfSIS Iflil f2SS| ii-iii |||ff

O O O O O O OOOOO O O O O O OOOOO OOOOO O O O O O O O O' O O' O O'o

280

227

189

160

137

— —ooocoS^

^§o.r’

H. Lang, w rozpowszechnionym podręczniku „Hütte“ (1915 r.) podaje wzór ogólny:

(-£)> +

. . (106)

0,0018 \ 1 VüD i 2

w którym, dla rur bez osadu, D — Dv Obliczone dla takich rur tablice podręcznika, dają dla średnic od 0,02 m do 1 m odpowiadające wartości iloczynu 1000² D⁵ i wartości spółczynnika:

k — 0,02 -(—

0,0018 fUD

odpowiadające prędkości U od 0,10 m do 2 m. W użyciu mniej są dogodne od tablic Flamanta.

Ogólniejszy od powyższych, bo dający się stosować nie-tylko do wody, ale do różnych płynów i temperatur, oraz rur z różnego materyału, jest wzór Misesa ¹), który, trzymając się ogólnej postaci:

DJ =

•    •    (107)

przyjął, podobnie jak Lang, kształt paraboliczny krzywej T (rys. 42), wychodzącej z punktu o spółrzędnych C — 1000, B = 0,008, obliczył spółczynniki równania:

BC — 8 = a (6'—1000) + ß VC—1000, czyli wartość spółczynnika:

B=z a 1

ür)+ ÿc W

•to

1000 8

~C~    ' C '

Dla prędkości spotykanych w praktyce wodociągowej, C jest znacznie większe od 1000 a tembardziej od 8, wyrazy

i ™ mogą być pominięte i zostaje B=za-\-    Roz

trząsanie wyników doświadczeń dało:

ß == 0,3, a = 0,0024 +

gdzie —

jest miarą chropowatości względnej, a k chropo-

ł) Por. przyp. 8, str. 2.

watością absolutną. Wynika stąd dla prędkości bliskich prędkości krytycznej:

£ = (0,0024 +j/ |² j (l

)00\ , Ml/ 1000    8

+ Vc \ ¹

a wogóle:

io

B = 0,0024 +j/~ +

0,3

Vć ' '

■ (108)

gdzie prędkość zredukowaną C daje równanie (100), a wartości 10⁶ k dla różnych materyałów tablica 4. Wszystkie średnice i prędkości we wzorze Misesa wyrażone są w centymetrach.

TABLICA 4.

Chropowatość absolutna k różnych ścian.

10⁶ fe w cm

Materyał

Rura gazowa.....

_ żelazna asfaltowana

„    „    lana nowa

„    „    „ używana

„ z blachy żel. nitowana Drzewo gładko heblowane . ociosane .    .. .

100 „ 200

T)

T)

T)

500

500

50

Mur z ciosów

surowe chropowate

„ „ cegieł fugowanych . . « » w zwykłych . . . , „    „ kamieni nieociosanych

Ściany z ziemi i darni .

. 10000 . 20000

Inżynierowie lwowscy B. Biegeleisen i R. Bukowski Ł) po roztrząśnieniu doświadczeń w liczbie 1761 i krytycznym

rozbiorze dwudziestu jeden dawniejszych wzorów, podanych przez poprzedników, wywiedli:

U³>⁹

D³’³

C71>9

.    .    (109)

dla rur używanych J= 0,002568

„    „ nowych J = 0,0012

Z)’-³ 4 5

Jak znaczne zachodzą różnice między wynikami obliczeń, dokonanych za pomocą różnych wzorów, wykazali inż. Biegeleisen i Bukowski w szczegółowych zestawieniach. W tablicy 5 podajemy wyciągnięte z tych zestawień liczby, odnoszące się do wzorów wyżej podanych.

TABLICA 5.

Strata naporu J na 1 m bieżący rury żelaznej lanej średnicy D = 0,2 m

Wzory

Rury nowe

Rury używane

17=0,6 mjsek, 17=1 m/sek.

U—0,6 misek.

77=1 misek.

de Prony (93) . Dupuit (94) . . Weisbach (95). Darcy (96) , . . G-anguillet i Kutler (97) . i Reynolds (103) Flamant (104) : Biel (105) . . . Lang 1106). . . Mises (108) . . Biegeleisen i Bukowski (109)

0,002713

0,002841

0,002442

0,002060

0,003227

0,002311

0,002264

0,002329

0,002321

0,002756

0,007306    :    0,002713

0,007890    i    0,002841

0,006080    li    0,002442

0,005723    !    0,004120

0,008965    0,004928

0,005944    0,003943

0,005532    0,002814

0,006130    0,003355

0,006439    0,007049

0,007368    0,003505

0,002673 i 0,007053

0,005715

0,007306

0,007890

0,006080

0,01142

0,01368

0,01095

0,006879

0,009127

0,01868

0,009444

0,01508

¹

) O biegu w rurach wody, nafty i ropy (PrzegL Techn. 1890).

²

Grundlagen zur Berechnung von Wasserrohr-leitungen. Gesundheits-Ingenieur, 1914.

³

znając dwie z nich, możemy obliczyć dwie pozostałe. W prak

⁴

tyce dane bywają zwykle:

⁵

D, Q,

23. Obliczanie rur. We wzorach (93—109) na ruch jednostajny wody w rurach, do których dochodzi wzór na wydatek (92), mamy cztery zmienne:

J,

Q,

U,

a\ a2 — at

brano dwie osie spółrzędnych prostokątnych 0X i OY (rys. 44),

JO

60

a szukane są:

J,

Q,

D,

oraz w

niektórych przypadkach prędkość U, która według'

wzoru

(92):

O*

1- TC D* ’

obliczona być może z łatwością, przy użyciu tablic powierzchni kół, podawanych w podręcznikach technicznych.

Obliczanie rur bezpośrednio z wzorów jest zbyt uciążliwe, zwłaszcza przy potęgach ułamkowych, wymagających stosowania logarytmów. To też wszędzie, gdzie obliczanie to prowadzone było intensywniej, używano oddawna tablic liczbowych, w rodzaju podanych poprzednio (tabl. 2 i 3) przy

Flamanta. Dogodniejszemi od tablic liczbowych okazały się w użyciu tablice wykreślne. Sporządzano je dawniej w sposób następujący. Dla wykreślnego przedstawienia jakiegokolwiek wzoru, np. iloczynu:

wzo

rze

na których odcinano w dowolnej po-działce długości pro-porcyonalne do ax i a₂ :

10

20

30

x = ma, y — na ₂ ,

biorąc dowolne m i n. Każde dwie wartości ax i a₂ dawały tym sposobem punkt ai, należący do krzywej

------

xy — mn as

0/2

O,

Rys. 44.

X i każdej wartości a% odpowiadała jedna krzywa. Otrzymywano tym sposobem szereg krzywych a₃ dający wartości a₃ odpowiadające różnym wartościom x i y. Np. dla = 2, a₂ = 3, wykres daje

fl₃ - 0.

Zastosowanie logarytmów pozwoliło uprościć te wykresy i otrzymywać szeregi linii prostych, zamiast linii krzywych.

W przykładzie powyższym:

l°g ai + log «₂ = log a3 odcinając więc na osiach 0X i OY:

x = log ax, y = log a₂, otrzymujemy linię prostą, której równanie jest:

x + V — log a₃.

w użyciu będące tablice wykreślne !), z których jedną, w zmniejszeniu ¹⁰/₂₂ przedstawia rys. 45. Na tablicy tej linie pionowe

W ten sposób, dla wzorów Kuttera (97) ułożone zostały

e-:

-i—

fv

•/

N    IX: S,|Y(

*v:

55N

SZQ

■ s "Y»' N /s. '/•

Y.Y

.;n

K7k<

tzmM

Yfe/i

-i-Xj

vV;-

's.-,

MM

IN

si WlWyYj /\ Y-/s

S--ÎO

V?

Jm*/:

< >n/W

Rys 45.

przedstawiają wydatki Q. od 2,5 do 300 litrów na sekundę, linie poziome — spadki J od 0,05 do 0,005, linie ukośne, obniżające się od lewej ku prawej stronie,—prędkości U od 0,4 do 3,5m/sek., a obniżające się od prawej ku lewej stronie średnice D od 80 do 500 milimetrów. Np. dla D = 0,2 m, Q = 48 litr,/sek. tablica daje J — 0,02 i prędkość U = 1,50 m/sek. Tablice podobne, rysowane na większą podziałkę i obejmujące szerszy zakres wartości czterech zmiennych, okazały się w użyciu prak-tyczniejszemi od tablic liczbowych.

Znakomite ulepszenie metod wykreślnych dokonane zostało przez inż. Maurycego d'Ocagne, twórcę nauki wykładanej na politechnikach, zwanej nomografią ²). Doszedł on do zastąpienia siatek linii prostych, zbyt nużących oczy, nomograma-

>) Por. R. Weyrauch. Hydraulisches Rechnen Stuttgart 1915. ²) Por. M. d’Ocagne. Traité de nomographie. Theorie des abaques. Applications pratiques. Paris 1899.

mi, złożonymi z podziałek równoległych. Dla wziętego poprzednio przykładu prostego a,a₂ = a₃, nomogram d’Ocagne’a przedstawia rys. 46. Podziałki z wartościami zmiennych tak są ustawione w nomogra-mie, że punkty, odpowiadające wartościom a₁, a₂ , as leżą na linii prostej. Biorąc więc ax =2, «₂ = 3 i prowadząc przez nie linię prostą, otrzymuje się punkt a₃ — 6. Ponieważ każdorazowe kreślenie linii prostych -3 t psułoby rysunek, zastąpić je można przykładaniem linii prostej, nakreślonej na szkle lub celluloidzie. Inż. Bie-geleisen i Bukowski zestawili według teoryi d’Ocagne a dla wzoru (109), nomogramy dla rur nowych i używanych, podając nadto środkową część ostatniego -w większej po-działce (rys. 47).

a,

/oo

/O

10 -,

9o-

/o-

-80

50-

- 60

-.4-0

-30

S-

■t

_ JO \

3 ---

9~

S-

3-

-2

Rys. 46.

Zadanie 26. Jaka jest strata naporu w rurze żelaznej lanej, o średnicy 225 mm, 500 m długiej, przez którą przepływa 10 litrów wody na sekundę?

Na nomogramie (rys. 47) prosta przechodząca przez punkty Q — 0,01, D — 0,225, przecina podziałkę J w punkcie J= 0,00045. Na długości 500 m strata naporu wynosić będzie: 0,00045.500 =0,225 m. Przy użyciu tablic Flamanta otrzymalibyśmy z tabl. 3 dla

Q = 0.01 m³, -y- =3160, a z tabl. 2 dla D = 0,225 m, c = 1,785, czyli:

1,785

3160

= 0,00056.

Wykres (rys. 45) nie obejmuje danych zadania. Prędkość U

według (92):

= 0,25 misek.

0,01

0,03976

Zadanie 27. Ile wody daje rura żelazna lana o średnicy 125 mm, 100 m długa, przy spadku całkowitym 0,55 m.

= 0,0055.

0,55 l — 100

Na nomogramie (rys. 47) prosta, przechodząca przez punkty: ,7 = 0,0055, D = 0,125 przecina podziałkę Q w punkcie 0,0082; rura daje więc 8,2 litrów na sekundę.

Przy użyciu tablic Flamanta otrzymalibyśmy z tabl. 2, dla D = 125, c = 27,8, ~ =3 5054, a z tabl. 3, Q = 0,0078 m³.

oraz U = 0,54.

Z wykresu (rys. 45) mamy dla D = 0,125 m i J = 0,0055: Q = 0,0066 m³

O'

0 04

0,03

0,02

o,

0,0 !y O 009 ]008-

0,007

Dm

0,550

Om

0 450

om

0,350

-<o

0250

/0,200

0,150

Rys. 47.

0,000! i-

z-

ć-

8-

Ooo/ —

O005 —

Zadanie 28. Jaką średnicę winna mieć rura żelazna lana 1000 m długa przy spadku całkowitym 3m, dawać mająca 15 litrów wody na sekundę?

J = 0,003, Q = 0,015 ?n³/sek.

Na nomogramie (rys. 47) prosta, przechodząca przez te punkty,

F. K- Hydraulika.

przecina podziałkę D między punktami 0,175 i 0,20. W praktyce przyjąć należy średnicę 0,20 m.

Przy użyciu tablic Flamanta otrzymalibyśmy dla Q = 0,015, z tabl. 3 :    = 1560, czyli c = 1560 J — 1560 . 0,003 = 4,68;

w tabl. 2 średnica, odpowiadająca tej wartości c zawarta jest między 0,18 a 0,19, co prowadzi do poprzedniego rozwiązania.

0,015

Wykres (rys. 45) nie obejmuje danych zadania. Prędkość U

— 0,50 m/sek.

0,03

Zadanie 29. Rura z żelaza lanego, 0,75 km długa, ma dostarczać 1200 m³ wody na godzinę, w temperaturze 5° C. Prędkość wody w rurze nie może przekraczać 120, m/sek. Obliczyć średnicę rury i pracę pompy.

Wobec zastrzeżonej temperatury uciec się tu należy do wzorów Misesa (107) i (108). pamiętając, że średnice i prędkości wyrażone są w nich w centymetrach. Według (92):

według (92): dla D — 0,20 m,

4 . 1200 . 10« 3600 . 120 . ic

— 59,4 cm,

4 . 1200 . 106 3600.3600 7~

wziąć więc należy rurę o średnicy D = 60 cm. Prędkość średnia będzie:

= 118 cmjsek.

Według tabl. 4, dla rury z żelaza lanego, 10⁶ A: = 180, a według tabl. 1, dla wody przy 5° C. wziąć można v = 0,015. Równanie (100) daje prędkość zredukowaną:

UD

a względna chropowatość:

118 . 60 2 v — 27 0,015

— 23,6 . 10*,

2 . 180

60 . 10«

= 6 . 10⁻⁶.

Według (108):

B = 0,0024 + 0,00245 -+

0,3

1/ 23,6 . 10⁴

— 0,0055.

= 0,0026

Z równania (107), przyjmując (7 = 981 cm, otrzymujemy: 0,0055.118².2

60.981

na metr bieżący. Całkowita strata naporu wynosi 0,0026.750 = 1,95 m a praca potrzebna dla pokonania oporów:

= 8,7 k. m.

1200.10³.1,95

3600.75

Po zanieczyszczeniu się rury praca ta może nie wystarczać, gdyż 10⁶/c = 500 daje drugi wyraz sumy, tworzącej spółczynnik B, równy:

= 0,0041,

2.500 . 10-6

60

skąd B = 0,0071, t'j. o 30% większe, a praca potrzebna 11 koni zamiast 8,7.

Zadanie 30. Ile wody spływać będzie ze zbiornika, pod ciśnieniem 1,4 atm. rurą gazową dwucalową, 6 m długą, nachyloną na 20° do poziomu i otwartą na końcu?

wzoru

Dane są tu spadek J i średnica D, możnaby więc łatwo obliczyć wydatek jak w zadaniu 27. Spróbujemy jednak jeszcze Misesa Według (89) i (90) spadek:

J = sin 20°

g    - -IjW-L ,

bo ciśnienie 1,4 atm. odpowiada wysokości ciśnienia wody 14 m. Z tablicy 4-ej 10⁶/c = 40, a że D = 5,08 cm, więc względna chropowatość:

Ol

- —- = 16 . 10-6

i pierwsze dwa wyrazy spółczynnika B dają sumę 0,0064. Próbując wartości B = 0,009, otrzymamy według (92):

530 cm

981 . 5,08.1,01 2 . 0,009

a przy v 0,01 (tabl. 1):

530.5,08

2.0;01

B = 0,0024 + 0,0040 +

= 13,5 . 10*

0,3

y 13,5 . 10¹

= 0,0072.

Należy więc powiększyć 77 w stosunku

90

72

— 1.12, to jest

wziąć równe 590 cm. Obliczenie nowej wartości B dla 77 = 590 cm, nie zmieni jej czterech pierwszych dziesiętnych. Ilość wody spływającej będzie:

Q = u . 5,08². 590.10-3 ₌ 12 litr/sek. Tablice Flamanta dałyby: Q — 12,7 litr/sek.

stałej CE = SR —

24. Spadek, średnica, wydatek i koszt rur. Jeżeli AB (rys. 48) jest linią osi rury, przez którą wypływa woda ze zbiornika Z pod naporem poziomu C, to linia naporu CD leży nad linią poziomów piezometrycznycli EF, na wysokości TP

. Dla punktu M rury, rzędna MN = z,

RM =

V    •    P

—, tak, że rzędna linii naporu SN — h — z-(— [-

+-p- ■ i

a rzędna linii poziomów piezometrycznych RN = Ä1 Obniżenie poziomu piezometrycznego między dwoma punkta-

D, J,

mi osi rury, odległymi od siebie na ds, równe obniżenie linii napom, wiąże się ze średnicą i prędkością średnią równaniem (90):

dh _ 4 cp (U)

dhx

ds

ds

które napisać można, oznaczając ostatni wyra« stały przez K i odnosząc krzywe AB, EF i OZ), do osi oz, ox :

dx+K

Równanie to wiąże elementy różniczkowe dwóch linii AB i CD (lub EF) i pozwala wyznaczyć jedną z nich, gdy dru-

dh

. . (110)

—-

dh 'artrt--*—

i

--F

dz

dx

Rys. 48.

ga jest znaną. Jeżeli np. oś rury jest linią prostą, wtedy sto-

d h

będzie także stałym i linia

ds

d jest stały, stosunek

poziomów piezometrycznych EF linią prostą. Wogóle, przy osi rury określonej równaniem z — j (x):

sunek

dx

dS =*V

dx

a z równania (110):

dh

dx

= — KV    h = — K

Jvi+r

o

(x) . dx.

Ilość stała K jest funkcyą średnicy i wydatku Q. Linia naporu równoległa do linii poziomów piezometrycznych, ma

Zwykle, przy znaczniejszej

rzędne większe o ilość stałą

O²

2 g'

długości rury, profil jej zbliża się do linii prostej, wtedy i linię poziomów piezometrycznych uważa się za prostą i pomijając U²

bardzo małą wobec h, bierze się ją za linię

wysokość

naporu.

Średnica D jest głównym czynnikiem wydatku rury Q. Rugując U, otrzymujemy z wzorów (92) i (94):

Db J

(iii)

Na wielkość wydatku czynnik D wpływa w potędze

a spadek J w potędze różniczkowego:

to O'

co wynika bezpośrednio z równania

dQ

1 dJ

:7 ~T'

otrzymanego z wzoru (111). Jeżeli np. podwoimy średnicę, nie zmieniając spadku, wydatek będzie więcej niż pięciokrotny; gdy przeciwnie podwoimy spadek, nie zmieniając średnicy, powiększenie wydatku wyniesie około 40%. Wogóle, mnożąc średnicę przez n, otrzymamy wydatek:

n⁵ D* J

—T“*    skąd-ę

5 dD

IO

Q' =

sl

Q'

a mnożąc spadek przez n :

or=

y~;j

, skąd

Q"

— Mn ;

stosunek powiększonych wydatków jest więc:

Q'

J/v

= n² .

Powiększając jednocześnie D i J, otrzymalibyśmy:

Q"' = n» Q.

może

Ponieważ zbytnie powiększenie wydatku wywoływać drgania, zagrażające stałości połączeń różnych części rury, lub podpór podtrzymujących rurę, nie należy przeto przekraczać w tym względzie pewnej granicy. Teoretycznie niepodobna oznaczyć tej granicy, zdaje się jednak, że wydatek

maximum rośnie szybciej od pierwiastku kwadratowego ze średnicy. Inż. Ch. Rabut *) proponuje wzór:

. . (112)

Q < 1,2.0* . .

wyrażony w jednostkach: metr, sekunda. Z ograniczenia wydatku wynika ograniczenie naporu, które wyrazić można przez:

.    .    (113)

J < 0,02 l>-\ .    .

a względem wydatku:

J > 0,009 Q 5ÏÏ .

■    ■    (114)

Że zaś stosowanie tych wzorów wymaga logarytmów, a inżynier zmuszony bywa oryentować się szybko w praktyce, przeto inżynier Rabut zaleca swym uczniom utrwalenie w pamięci następujących liczb:

dla średnicy D = 20    40    60    80    100    200    centymetr.

maximum

maximum

Q = 20    120    380    700    1200    2000 litr. na sek.

J — 360    280    240    210    200    190    centymetr.

na kilometr.

Zmniejszanie wydatku nie może także przekraczać pewnej granicy, bo przy małej prędkości, w rurach tworzą się osady, unoszone przez wodę gdy prędkość się powiększy, i powodujące wtedy zatkania rur lub zanieczyszczenie wody. W praktyce przyjmuje się prędkość minimalną 25 cm na sekundę.

Podobnie jak wydatek, ciśnienie w rurach ma także swą granicę wyższą i niższą. Granicę wyższą daje wytrzymałość materyału, z jakiego są zrobione rury. Przy grubości e ściany rury i praktycznej granicy wytrzymałości materyału na rozerwanie R, ciśnienie wewnątrz rury p winno być:

.    .    (115)

2 e R

Rury z żelaza lanego nie przekraczają zwykle średnicy D = 1,20 m, kładąc więc przytem K = 2,5 kg na milimetr kwadratowy i e = 12 mm, mamy według (115) granicę wyższą ciśnienia w tych rurach:

p 50 m słupa wody.

') Por. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées. Cours d’Hy-draulique. Notes prises par les Elèves aux leçons de M. Rabut, Ingénieur en chef des P. et Ch., professeur. 1905—1906 (litografowane).

Rury większe o średnicach 1,25 lub 1,50 m odlewane być muszą z grubością e , odpowiadającą istotnemu naporowi, jaki mają ponosić.

Niższa granica ciśnienia wynika z warunku, aby w wodociągach miejskich woda dochodziła do górnych piętr pod ciśnieniem większem od atmosferycznego.

Obliczenia kosztu przewodów rurowych, glinianych lub żelaznych, wykazują proporcyonalność sum kosztu do średnicy rury i długości przewodu. Koszt rury o średnicy D, ułożonej na długości l, wynosi:

. . (116)

K= nlD .    .

gdzie n jest stałe i zależne od materyału i miejscowości.

na-

64 b Q²

Zwykle w wodociągach, pompy umieszczone na brzegu rzeki lub przy źródłach, zaczerpnąwszy wodę rurą ssącą, pchają ją rurą tłoczącą do zbiornika, umieszczonego na pewnej wysokości. Znaną jest długość rury i wydatek Q, a średnica pozostaje nieoznaczoną, gdyż praca maszyn przez powiększanie lub zmniejszanie prędkości w przewodzie, dostarczać może zawsze żądanej ilości wody. Przy większej długości rury, umniejszenie średnicy obniża znacznie koszta budowy, ale powiększa prędkość, a więc i pracę maszyn, co wywołuje zwiększenie kosztów eksploatacyi (paliwo); przeciwnie znów zwiększeni« średnicy powiększa pierwsze a zmniejsza drugie. Prowadzi to do wniosku, że pewna średnica, łącznie z pewną prędkością, dawać winny oszczędność na kosztach rury tłoczącej. Jeżeli l jest długość tej rury, H—całkowita wysokość ssania i tłoczenia, k — koszt konia mechanicznego maszyny podnoszącej (koszt utrzymania i oprocentowanie kapitału),, k'—koszt metra bieżącego rury z ułożeniem, N — liczba koni mechanicznych maszyny, 7]—sprawność maszyny i pomp, to kapitał odpowiadający kosztom budowy będzie K k N k' D l. Praca dostarczana przez maszynę składa się z pracy użytecznej podnoszenia wody i pracy traconej na pokonanie oporów ruchu wody w rurze. Wysokość H należy przeto powdększyć wysokością straty poru h na długości l. Suma H h będzie wysokością ciśnienia, wskazywaną manometrem przy początku rury. Ponieważ według (111):

%² D⁵

.    .    (117)

przeto:

1000QOS + Ä) _ 1000 Q

64 b l Q²

75 7]

75 7]

7C² Db

1000 kQ

64 blQ²

75 7]

u² Db

j -j- k’ D l.

Gdy chodzi o wybór takiego -D, aby K było jaknajmniej-sze, przyrównać trzeba do zera pochodną K względem D, co daje równanie:

64000 Q³ k 5 b

z którego:

75 iz² Y]

6

-Y

5 . 64000 . b

y ^    2 Yj    ^

Przy średnich wartościach: & = 1600 rb 7] = 0,60,    6 = 0,0004 (94), wypadł stąd wzór:

D — 1,50 VQ:

r=r waha się między 1,35 a 1,70, sto-

k! = 40 rb.,

a w praktyce stosunek

VO

k'

sownie do wielkości ilorazu —

k

otrzymuje się U = 0,57.

W podobny sposób określić można średnicę rury doprowadzającej wodę np. do zakładów hydroelektrycznych. Jeżeli wzniesienie zbiornika nad zakładem jest H, to tylko część z tego naporu pochłaniają opory w rurze, a reszta jest użytkowana do poruszania kół lub turbin. Bierze się przytem linię poziomów piezometrycznych za linię naporu i energia dostarczana do zakładu wynosić

Z wyrażenia U w funkcyi Q

ma:

P=tQ(H—h),

gdzie y oznacza ciężar właściwy wody, a że według (117):

64 b l Q

TC² Z>⁵

więc:

p — tQ \h-

64 b l Q²

Maximum P będzie przy wartości Q określonej równaniem: dP

czyli:

dQ

r(s

„ 64 blQ'\

d it² D⁵ )

= o,

64 blQ²

• (118)

Przesyłka więc energii drogą wodną jest najodpowiedniejsza przy użyciu rury, która daje stratę naporu, wynoszącą

g- całego napom rozporządzalnego. Maximum energii, jaką otrzyma zakład, będzie:

(N ICO

(119)

7 QH

Dane zadania są Q, l, R, a szukane h i D. Naprzykład dla R = 260 m, I = 23 km, Q — 22 litr/sek., będzie

h— 86,7 m, — = J = 0,0038, nomogram (str. 81) daje D — 0,20 m, a maximum energii:

Pm = ~ • 1000 . 0,022 . 260 = 3746 kg/sek.

3

25. Rozkład prędkości na przecięciu poprzecz-nem rury. Przy ruchu regularnym wody w rurze o promieniu R, cząstka biegnąca w odległości r od osi ma prędkość (77):

Pm =

— 51 k. m.

(JS2_r2).

Jeżeli wstawimy w to wyrażenie wartość J (101): 32 v U

otrzymamy:

9 D²

8 s U pg R² '

r²

u I

U == 2 (¹    ^2

Dla strugi na osi rury r = 0 i prędkość największa u₀ = 2 U, dla strugi przy ścianie rury r — R, u₁ = 0.

Przy ruchu burzliwym, według doświadczeń Bazin’a:

. . (120)

U0-u

Vrj

h~W ■

■ ■ (121)

a po zróżniczkowaniu względem r :

r² =

3 k VRJ

Mnożąc obie strony przez % J i kładąc według (94) RJ — — DJ — 2 b U², otrzymamy:

tz r² J — — 2 Kr

[i-

du

Porównywając to równanie z równaniem (90), któremu można nadać kształt: wyrażającem równowagę walca pełnego wody, zawartego mię-dz‘y dwoma przecięciami poprzecznemi, odległemi na 1 m, widzimy, że czynnik w nawiasie przedstawia opór na jednostkę powierzchni, przy ślizganiu się warstwy walcowej o promieniu r, po warstwie sąsiedniej, nieskończenie bliskiej. Tarcie między te-mi warstwami jest więc proporcyonalne do: prędkości względnej d u

promienia średniego —, rozległości powierzchni w zetknięciu 2 7c r . 1, a odwrotnie proporcyonalnie do odległości r uważanej warstwy od osi rury.

Dla rur, wartość spółczynnika k wynosi od 18 do 28, i blizką jest 21. Przy ścianach r = -B, tak że z wzoru (121) u₁ — m₀ — 21 VRJ. Wydatek warstwy walcowej o promieniu r i prędkości u jest d Q — 2 % r . u . dr, a wydatek rury:    r

J ur dr, o

albo wstawiając u z wzoru (121):

9 R

hf

o

u₀ — 21

WVbj]

r dr — <<₀ — 8,4 VRJ,

a po wstawieniu wartości rj = 2b U²:

= 1 -f 11,9 J/&,    = 1 - 17,85 Vb.

Biorąc b = 0,0004 (94), otrzymujemy: u₀ = 1,24 U,

ax == 0,64 U.

Przy ruchu więc burzliwym, prędkości na przecięciu po-przecznem rozkładają się jednostajniej aniżeli przy ruchu regularnym. Spółczynnik Y] (§ 18), zależny od różnicy między prędkością średnią a największą prędkością prądu, obliczony został przez Boussinesq’a, przy powyższej wartości k dla rur:

Y] = 0,033

- - (122)

Z tej wartości y] wynikają wartości spółczyników (§ 18

i § 21):

a = 1 -f 3 Y] = 1,099,

a' 1 -j- Yj = 1,033 .    . (123)

26. Ruch zmienny. Gdy przekrój przewodu rurowego nie jest stały, wtedy zwrócić się trzeba do równania ogólnego prądu ustalonego (88):

=    C*⁷) +a'

sin 1 —

JL[U1\

ds \2gr

którego pierwsza strona wyraża spadek, czyli obniżenie poziomu piezometrycznego na jednostkę długości rury. Na długości rury ds (por. rys. 48, § 24) obniżenie to wynosi dli, bę-

dzie więc, na jednostkę długości rury, równe nie powyższe przybierze postać:

dli

ds

i równa-

ds

ds

■    ■    (124)

a po zcałkowaniu w granicach s₀ i s, w których to punktach prędkości średnie są UQ i U.

■    .    (125)

h = o!

U²^—U₀²

so

W miejsce cp ( U) wstawione być może którekolwiek z wyrażeń, podanych w § 22. Zwykle profil osi rury dany jest równaniem z =z j (.s), przekrój poprzeczny równaniem co =■ 6 (a), gdzie / i 6 są funkcyami znanemi lub nieznanemi. Gałka po prawej stronie równania (125) przedstawia stratę naporu między przekrojami s₀ i s. Kładąc według (94):

*(U) = b U²,

a dla przekroju kołowego o średnicy D :

u=

Tl D² ’

Tl D

co ~ iii D² ~ D

otrzymujemy:

dU _ ds tzD² ’ ds

4 dQ 8Q_ dD 7i² Ds ds

co wstawione w (124), daje:

dh 16 a a d Q ti² g Di ’ ds 64 bQ²

ds

32 a' Q² dD Tc zg Db ds

7C² -D⁵

= 0. .

. . (126)

Ostatnie równanie, w którem spółczynnik a' zastąpiony być winien wartością (123), daje związek między elementami różniczkowymi osi rury (ds) i linii poziomów piezometrycz-nych (dh) i pozwala nakreślić tę ostatnią, gdy pierwsza jest znaną. Jeżeli rura, w swym przebiegu, nie dostarcza wody

dQ

a ——

^    — 0; gdy jednocześnie średni-

bocznicom, Q jest stałe,

ca jest stałą,

= 0 i z równania (126) zostaje:

dh

64 b Q²

ds

ÎT² D h ’

wracamy więc do równania (117).

Rury o zmieniającej się stopniowo średnicy spotykamy w praktyce li tylko pod postacią krótkich kloców ostrokręgo-wych, służących do łączenia rur różnych średnic. Z połączonych niemi sekcyi o stałych średnicach składają się długie przewody rurowe. Każda zmiana średnicy wywołuje obniżenie płaszczyzny naporu, tak że linia naporu ma postać schodkowatą (rys. 49). Zwykle jednak te cząstkowe straty naporu bywają pomijane, wobec straty naporu dla całego przewodu, wywołanej przez tarcie o ściany rury. Jeżeli przewód składa się z sekcyj AB, B C, CD,... których długości i średnice są kolejno \DX, Z₂ D₂, Z₃ Z>₃,... to straty naporu dla tych sekcyi będą (117):

-y'Vs

>----

"T--—

Rys. 49.

64 b l₃ Q²

64 b Q²

7l² DA

64 b l₂ Q2 TC² Db"

Stratę naporu dla całego przewodu, równą ich sumie, przyrównajmy do straty naporu, jakąby dała rura o stałej średnicy D i długości l, a otrzymamy:

64 b l Q² _ 64 b Q²    l

DA

Tt² Db _ “ TC²    D₁

czyli:

Db Dl

—1--U

5

5" H”

A⁵

.    .    (127)

Znając D oraz długości i średnice wszystkich sekcyi, można stąd otrzymać l i odwrotnie, oznaczyć D w funkcyi l.

Obniżenie poziomu piezometrycznego między dwoma końcami przewodu daje równanie (125), które można napisać w kształcie:

h — a!

+ Äi •    •    •    •    (128)

jeżeli przez hx oznaczymy stratę napom, wynikającą z tarcia o ściany rury. Najczęściej, gdy prędkości nie przekraczają 2 ra/sek., w miejsce linii poziomów piezometrycznycłi bierze się linię napom, kładąc h = hx.

Rys. 50.

Zadanie 31. Dane są średnice i straty naporu rur A,B. C, schodzących się we wspólnym węźle O (rys. 50). Obliczyć trzeba średnicę rury R, mogącej zastąpić wszystkie te rury przy danej stracie naporu.

Oznaczmy przez Q, D, J, wydatek, średnicę i stratę naporu rury OR, a przez Q, di jx, q₂ d₂ j₂, qz dz j₃ . . . też same ilości dla rur O A, OB, OC. Według (111):

TE I JD⁵

~8' ~b~i

<21=

q₂=

/L |/Ml

8 r b ’

Q»=

• « ]/jW ‘ 8'A b " ‘

Ponieważ ma być Q — qx    4* • •

równania i skróceniu:

więc po wypisaniu

. . (129)

Związek ten pozwala obliczyć D ze znanego J i odwrotnie. Gdy J jest jednakowe dla wszyytkich rur, wtedy:

VD> = Vd? + Vd₂s + Yd? +... . .

Wodomiar „ Venturi*. Na zasadzie równania (125), inżynier amerykański C. Herschell zbudował wodomiar, dając mu nazwę „Venturi“ od wielkiego hydraulika włoskiego XVIII w. Wodomiar ten składa się

yjDb = ]/ms + V)\d₂s + vjzd^ +... .

. . (130)

*1

-y

JL

ir

ILC iJL

O

in-ni

Rys. 51.

z części rury T (rys. 51) o zmniejszonej średnicy, łączącej się za pośrednictwem dwóch części ostrokręgowych z rurą, której wydatek ma być mierzony. Zwężenie powiększa prędkość przepływu, co wywołuje między przecięciami U i T obniżenie poziomu piezometryczne-go h, tern większe, im prędkość jest większa. Obniżenie to wykazują, w każdej chwili, dwa piezometry P i P’. W równaniu (125) kładąc y (U) — b U², otrzymujemy:

U-W

h = a'

64bQ- Ç ds

o

D⁵ '

Oznaczając przez D₀ średnicę przecięcia U, przez d średnicę przecięcia T, mamy Q — co₀ U₀ ~ U, skąd:

u₀ =

Q _ ⁴ <2

*d³ ’

*D₀

a po wstawieniu tych wartości w powyższe równanie:

O>o

OJ

a'

\    _64_& Ç² r ds

J~T~ K* J D* o

16

-² 2(jr 'yd⁴ D₀⁴

Średnica D przekroju pośredniego między U i T jest funkcyą linijną odległości s od przecięcia U:

D==B₀ — k.S,

gdzie k jest miarą nachylenia tworzących ostrokręgu. Będzie więc:

J ds _ j' ds o    o

CD₀-ksy

4 k [_ (D₀ — k s)⁴

ol

albo:

16 Ç² T a' / 1

L2g \d*

h -

rc*

w)⁺ir{

d⁴

D₀⁴

skąd:

d⁴

Do⁴

od

(131)

d⁴

W

Wzór ten daje wydatek rury, w funkcyi obniżenia piezometrycz-nego h i wartości D₀, d i k, stałych dla danego przyrządu.

27. Zmiany przekroju i ciśnienia. Dla szczegółowego rozpatrzenia zmian przekroju rury i ciśnień na poszczególnych przekrojach, zastosujemy do ruchu zmiennego równanie Bemoulli’ego. Gdy przez rurę idealną (bez tarcia) o zmiennym przekroju: Wj, co₂, co₃, bieży woda w kierunku od w₁ do co₃ (rys. 52), to dodając do wysokości ciśnienia na przekroju co p¹

t. j. do —-, wysokość odpowiadającą prędkości na tym przekro-otrzymamy napór N₁, wyznaczający linię naporu AB

ju

U,

2 9 ’

dla całej rury. Odejmując od —

Pd

sferycznego ——, mieć będziemy poziom piezometryczny dla

przekroju iû₁ . H oznacza różnicę wzniesień poziomów piezo-metrycznych dla przekrojów co₁ i co₈. Po odcięciu w podob

ni

wysokość ciśnienia atmo-

ny sposób wysokości, odpowiadających ciśnienia i prędkości dla przekroju najmniejszego io₂, będzie według (67):

r/2

2? +'y +²> + z2-

u*

UJ

+^=#,(132)

7

albo:

^1 Zl H“ z2 - ^2 + z2 = 2^3 •

Aby otrzymać ciśnienia i prędkości na przekroju zwężo-

U,

A_, U?)

T ł₂

Tik

2q

N,

»3

ii

2,

<•4

Î?

Rys. 52.

nym w₂, połóżmy W równaniu ciągłości Q = Ulw₁ = U₂(i>₂ = — Ü,.«,, dla uproszczenia: coj = n to₃, to₂ = ww₃, a otrzymamy Ç = n U\ Wg — m U₂ cd₃ =« ?7₃ cu₃ , oraz:

Ï7

14 =

.    .    (133)

Ponieważ według rys. 52 i równań (132) i (133):

H=NZ

U__1]

~ 2 g r »*)’

będą więc prędkości wyrażone w funkcyi H, m, n, uwzględniając (133):

=-//

m f

2gH

Tl²—1 '

•    (134)

Dla otrzymania z wyrażeń (134) rzeczywistych prędkości, koniecznym jest wąrunek: n > 1, albo û)j > w,.

Z równań (132) mamy:

Ul

wstawić ich wyra-

i dla otrzymania p₂ należy za

żenią w funkcyi U, m i n. W tym celu weźmy jeszcze z równań (132):

U*

Uł

+ ^-:=jv

Uł

29

Ul

2.9

I Pi

i y

i połóżmy w tych równaniach za Ux i Z7₂ wartości (133), a otrzymamy:

t/²

2.9

(i —    - p.‘ +    +²») —

i>3

L__M ==    4- z

2,9 \ m² /    7    '    ²

po podzieleniu zaś drugiego z tych równań przez pierwsze:

m² n²

skąd:

p2 _ ; p s

\T

m²

Y H .    .    (135)

n²

= A₂ ? pomiędzy wysokością ciśnienia

Różnicę

--3o

7

na przekroju w₃ a odległością pionową przekrojów (o₂ i (o oznaczyć można za pomocą piezometru i pomiaru rury. Kła-

nry

dąc analogicznie —— -[- zt — hx, mamy: hx — h₂ = H.

o>₃

Według (134) prędkość U₂ będzie tern większa, im mniejsze będzie m =    to jest mniejszy przekrój to₂ a większy

przekrój w₃. Przeciwnie ciśnienie p₂ zmniejsza się z m, podczas gdy U₁ i Us są niezależne od m. Ale zmniejszanie się p₂ i m ma pewną granicę, po przekroczeniu której, przy p₂ — 0, ciągłość prądu się przerywa. Granicę tę, według równ. (135), określa równanie:

razem

z którego pomocą oznaczyć można jedną z sześciu wielkości w skład jego wchodzących, gdy inne pięć są dane. Można np. po wykonaniu prostych działań algebraicznych, otrzymać:

n—mj/

I m² hx

nj/

■    .    (136)

— H

(n²—1)hx~\~ H

Na przekroju, gdzie p₂ =0, mamy, kładąc w równ. (134) wartość na m z równ. (136) i uwzględniając równ. (132), prędkość największą:

U₂ max =

hl~\

I l'2y.V

niezależną od m. Choćby zatem m jeszcze się zmniejszało, prędkość £7₃ nie może być większą od ^2 g N₂ . Wydatek:

Q — U₂ w₂

= m co

2 gH

n²—1

U CO

!2gH

n²—1

nie zaiezy ou m, a więc i od w₂, dopókąd p₂ Si 0; nie powiększy się zatem nawet przy takim wzroście prędkości, że ciśnienie będzie p₂ = 0 i nie przekroczy wartości, jaką miał przed zmniejszeniem w₂. Wpływ na wydatek, oprócz przekroju o)₃, ma tu jeszcze różnica wzniesień poziomów piezo-metrycznych:

y- + (zi + ³o) — “p

co

jak również stosunek

dopótąd wszakże, dopókąd

o>₃ '

przekrój co₂ jest większy lub równy przekrojowi, warunkującemu ciśnienie p₂ = 0.

Zadanie 32. Przez rurę pionową (rys. 53), której średnica górna ma 1200 mm, przepuszczaną jest woda ze zbiornika R do Z.

F. K- Hydraulika.

Różnica poziomów w zbiornikach H — 10 m. Na wysokości 4 m nad poziomem zbiornika Z umieszczony jest przepustnik P, pozwalający zmniejszać lub wstrzymywać zupełnie przepływ wody. Określić: 1) kie-

T5T

—m/200

Ho

6 m. Y*

Ho

420

K-

Km

v*

ï_

;r-r-

La

4m la

400

Si

'*-400-^1

420

Qf-r-Z

P#

s =5

Rys. 53.

dy podczas zamykania przepustnika objawia się zmniejszenie wydatku, 2) jaki będzie wydatek przy różnych położeniach przepustnika.

Prędkość £7, na poziomie zbiornika R przyjąć można równą zeru, co odpowiada: u>,r=co- Przekrój zmienny otworu w przepust-niku: a>x = Dkx. Maximum podniesienia przepustnika x będzie mia-

B2 n-

ło miejsce, gdy wx = u>₂ = —    ; a że I) — D₂ = 400 mm, więc

4

max x■= 100 mm. Oznaczając przez io₃ powierzchnię dolnego otworu rury, będzie:

D Tc x

<»x

tu3

Ą*«

Da* ’

a prędkości według równ. (134):

U₃ = Y2g H, U₂ =

_ -D-5²    _

V2gH = j£xV2gH . . . (137)

Prędkość na zmiennym przekroju przepustnika jest więc zależną od podniesienia æ. Na wykresie (rys 54) przedstawia ją część hyperboli mn. Wydatek Q — <»₃ ZJ₃ — iux U₂ jest stały i z pominięciem tarcia wynosi Q — u>₃ J/2 g H, skoro tylko ciecz wypełnia wszystkie przekroje

Prędkość Z7S na głębokości Hn pod poziomem górnym, nie może jednak przybierać dowolnej wartości, ale ma pewne maximum, odpowiadające warunkowi p{) — 0. Ponieważ x jest bardzo małe względem H₀, przyjmować można, że cały otwór przepustnika leży na głębokości H₀, i prędkość największa:

(138)

U₂ max

Od chwili dopiero, kiedy U₂ osiągnie tę wartość, można zmniejszając x, zmniejszać Q. Ponieważ przekrój przepustnika zmniejsza się razem z x, a prędkość U₂ utrzymuje swą wartość maximum, to wydatek zmniejsza się razem z x w stosunku Unijnym, jak to uwidocznia wykres (rys. 54).

Przy regularnym przepływie:

U nyśek. W

Ux = ! 2g H = 14 m'sek., Q = — 1,94 m³ sęk., w przepustniku przy X— 100 mm prędkość U₂ ma war-

tość najmniejszą U-, = 15,5 m/sek. a dochodzi do maximum, według równ. (138), U₂ max == 17,9 misek., pEzv podniesieniu x, które bedzie 15,5 . 100 17,9

wtedy: x —

= 87 mm. 1 94

Połowa wydatku Q — —— =

U

= 0,97 m³/sek. będzie miała miejsce przy połowicznem podniesieniu przepustnika, to jest przy 87

₉ == 43,5 mm.

Q "ÿstk.

735*

87-

-X

X mm

/'⁹H

-->-X mm.

28. Rura główna i bocznice. Gdy rura zasila po drodze bocznice, ruch przy zmiennym wydatku nie przestaje być ustalonym. Jeżeli weźmiemy pod uwagę rurę, której średnica zmienia się według równania: D — f (.9), a która zasilając po drodze bocznice, ma wydatek zmieniający się według Q = <p (s), przyczem / i cp są znane, to kładąc w równ. (126):

32 a'

Kr

700

Rys. 54.

16 a'

W

Tt² g

64 b

•otrzymujemy:

Q dQ _ Q² dJJ ds ‘ D⁴ ds    W ds

a ponieważ D i Q mamy wyrażone w funkcyi s, to w końcu dochodzimy do związku:

dh

D5 =0,    . (139)

dh

ds

']> («) = 0.

z którego otrzymać możemy, po zcałkowaniu między przecięciami 0 i s:    *

ds

(1401

Równanie to daje rzędną linii poziomów piezometrycz

nych w funkcyi długości s, liczonej po osi rury. Równanie tej linii otrzymujemy, rugując s między równaniem (140) równaniem osi rury x = 0 (s).

Zadanie to uprościł Dupuit, pomijając czynnik %, kładąc Q = Q₀ — qs, gdzie Q₀ jest wydatek na początku rury, a q wydatek bocznic na jednostkę długości rury zasilającej i przyjmując stałą średnicę D. Przy tych założeniach równanie (139) przybiera kształt:

64 b

ds 7t² D°

dh

skąd:

646

TU² Ub

a kładąc Q₀ = Q + 5s '•

[Qo² — 2Ç₀ Qs~\-q² *²)> (Qo2s—+ y î2 (Q²s-\-Q qs^-Çs-^.

64 b u² Db

Wzór ten daje związek między ilościami 6, D, Q, s, q, i pozwala oznaczyć którąkolwiek z nich, a zwłaszcza D, w funkcyi pozostałych.

Jeżeli na końcu rury Q — 0, wtedy s — l, ql = Q₀: 646 q² 1 64:blQ₀2 3 tt² Z)⁵    ‘

Porównywając to wyrażenie ze wzorem (117), widzimy, że założenie Dupuita prowadzi do otrzymania wartości h równej

.    .    (141)

ic²2)ł 3

.    .    (142)

tej wartości, jaka była potrzebną dla rury nie zasilającej

bocznic i dającej, w swym końcu, wydatek Q₀. Innemi słowy, oddająca bocznicom jednostajnie na całej swej długości cały wydatek Q₀, potrzebuje trzy razy mniejszego naporu niż rura doprowadzająca tęż samą objętość wody Q₀, na długość l.

Jeżeli oś rury jest linią prostą, określoną równaniem s — vnzc, to równanie linii poziomów piezometrycznych będzie:

rura

(Q*x

m² q

64 b m

przedstawiające parabolę sześcienną. Gdyby zasilanie bocznic zaczynało się dopiero w pewnej odległości od zbiornika, to linia poziomów piezometrycznych składać się będzie z odcinka prostolinijnego łączącego się z parabolą.

Jeżeli położymy w równaniu (141):

Qo 7    ""ł⁻

•    (143)

to otrzymamy:

h — —

widocznem znów jest, że:

Q, >Q + ~,

albo kładąc —— = 0,57:

64 b s Qj²

TC² JJb

(144)

$!<<?+ "

Vs:

Q 4- 0,57 qs > Qi > Q -j- 0,50 qs.

Przyjąć więc można z dostatecznem przybliżeniem:

Qi = Q+ 0,55 qs . .

i wtedy według wzoru (144) obliczyć można średnicę rury, bez względu na zasilanie bocznic, dodając do stałego końcowego wydatku 0,55 ilości potrzebnej na to zasilanie. Ponieważ Qt — Q₀ — 45 q s, można też obliczyć średnicę rury na podstawie wydatku początkowego, odejmując od tego wydatku 0,45 qs.

•    .    (145)

29. Straty naporu podrzędne. Przy wejściu wody •do rury, w miejscach zmiany średnicy, rozgałęzieniach, kolanach i łukach, wreszcie przy przechodzeniu wody przez różne urządzenia, służące do zatrzymywania lub zmniejszania przepływu, powstają straty naporu, na które, przy obliczaniu wodociągów, pozostawia się zwykle pewien zapas spadku, ustalony praktyką. O wejściu wody do rury i o nagłych zmianach średnicy będzie mowa w rozdz. Y. Gdy na niewielkiej długości Z, średnica zmienia się w sposób ciągły, przechodząc od D₁ do D₂ i rura ma na tej długości kształt ostrokręgu, to według równ. (99):

dli

dl

4 B U2 D 2 o

skąd:

dl U2 D 2 g

Kładąc D = DX + 21 tg a, mamy d D — 2 tg a . dl, a że:

DP %

h = f±B

~U, skąd V = 4‘- U

to po wstawieniu, pod znak całki, wartości za dl i £7, otrzymamy:

cr,=

III. Rury.

f dD J D⁵

B iDfU?

2 tg a \ 2 g D/    2 g D₂⁴

^2 ^1

2» sa

DHl

a wysokości, odpowiadające

4 BDS U ¹ 2 tg a . 2 g

albo, ponieważ tg a = prędkościom i U.

B D¹ U¹ i 1 2 tg a 2 g \D2¹    D\¹

B

2 tg a \2 g 2gr

(Z>2 —A)

- (¹ i ~h₂)    •    •    •    (146)

Strata napom jest więc proporcyonalną do długości ostro-kręgowego kawałka rury i do różnicy wysokości odpowiadających prędkościom na przecięciach krańcowych, a odwrotnie proporcyonalną do zmiany średnicy.

W miejscach rozgałęzień, według doświadczeń Belan-gera, gdy do rury większej dochodzi bocznica pod kątem prostym a prędkość w bocznicy jest U, strata naporu wynosi:

U²

h = 2 ——

(147)

Badania d-ra inż. H. Grethera ¹), nad rozkładem ciśnień w prądzie dwuwymiarowym, przechodzącym przez kolana i łuki o przekroju wewnętrznym prostokątnym, dały interesujące wykresy (rys. 55) rozkładu ciśnień w krzywkach:

A)    o profilu zewnętrznym hyperbolicznym a zmiennej szerokości przekroju prostokątnego;

B)    o profilu łukowym i stałym przekroju. W krzywce hy-perbolicznej odpowiadają: profil zewnętrzny, linii , a linie przerywane — równicom 4> (por. rys. 37, na str. 43). Linie pełne równic na rys. 55, wykreślone na podstawie pomiaru piezometrycznego, wykazują cofanie się równic w kierunku przeciwnym prędkości.

Kolana, z któremi robione były doświadczenia, mianowicie hyperboliczne o przekroju prostokątnym zmiennej szerokości i kołowe o przekroju kwadratowym, przedstawia rys. 56. Przez otwory, zrobione w ściankach tych kolan, w miejscach oznaczonych małemi kółkami na rys. 55 wstawiane były włoskowa-te rurki łączone z piezometrem.

Badania inż. Grethera nie dostarczyły jednak danych,

3

A

£

kV

t

31

?

..-o⁻

,cr

-O"

Xd>

A

•<o- - -

.0'

p''

O'

A>

36

JL^LjfLvjp

tf

,cr

&

3C

<H

²y^//o-/M

B

O''

20

/

rzz

>v\\^28

vÀ X^X?⁶

‘²<>J'x \ V\

^.:v>

Cm>'- ^

1

0 so

.:.! I 1 1 1 1 I 1 1

100

-L-i

i .t.i

2 00 mm

•9 o>

Rys. 55.

A

<37°

/y

*ç?

'Ni

\x

X

/C

sXN

vt

B

/

V:

X

<r

/

%

K

Ö

WJ\-

V/

X

V/

X

y

V/

xy

X

Rys. 56.

mogących zastąpić dawny wzór Weisbacha na stratę napom:

(148)

,=ku-

<f

w którym dla kolana, gdy oś rury załamuje się pod kątem ß (rys. 57 I):

i _|_ 2 sin ⁴ ~    .

2 ¹ 2

& = sin²

.    .    (149)

- -D- —

a dla łuku o promieniu r, rury o średnicy D (rys. 57 II):

Eys. 57.

k = 0,18 -f 0,16

(150)

30. Rura lewarowa. Ze zbiornika A (rys. 58) przeprowadzać można wodę do niżej położonego zbiornika B rurą lewarową, nie naruszając całości ścian obu zbiorników. Ruch

\/*S

■i

x>

7/

Eys. 58.

wody odbywa się w rurze lewarowej, pod naporem różnicy poziomów H, z prędkością U ~ V2 g H. Wydatek byłby więc Q — u Ÿ2 g H, gdyby nie było strat naporu. Głębokości zanurzenia końców lewam s₁ z₂ nie mają żadnego wpływu na prędkość. Długość lewara między przekrojami M i N : D₁ -j- Lk -)- L₂ — L. Strata naporu hr w rurze lewarowej wynosi według wzoru (99):

U²

hr = 4 B

Q = co Ÿ2 g (H — hb — hr — hk).

Ze strat naporu podrzędnych, hb ma miejsce przy wejściu wody do rury, o czem będzie mowa w rozdz. V. Jak tam zobaczymy, straty tej można uniknąć przez odpowiednie rozszerzenie wejścia, przedstawione liniami kropkowanemi na rysunku Między przekrojami E i F stratę naporu hk w łuku daje wzór (150). Z uwzględnieniem tych strat naporu będzie wydatek:

Rozkład ciśnień przedstawiony jest na rysunku. Woda przepływa dopótąd, dopóki wewnątrz lewaru ciśnienie, w którymkolwiek punkcie, nie zejdzie do zera, co się odnosi przede-wszystkiem do ciśnienia pc w wierzchołku lewaru. Ściśle rzecz biorąc, granica, do której może zejść pc bez przerwania ciągłości ruchu w lewarze, jest większą od zera i równą ciśnieniu pary wodnej w temperaturze panującej podczas ruchu i dlate-’ go woda silnie nagrzana nie może być przeprowadzana lewarem. Na przekrojach M i N, przed rozpoczęciem przepływu, panuje ciśnienie atmosferyczne pa = y ha . Z chwilą rozpoczęcia ruchu, ciśnienie to zmniejsza się o wysokość, odpowia-

u²

dającą prędkości

' 2 g

kreskowana byłaby przeto linią poziomów piezometrycznych, a przy uwzględnieniu tych strat, będzie nią linia łamana m efn.

Bez uwzględniania strat naporu, linia

Na każdym przekroju poziomym lewaru, ciśnienie jest stałe. Na przekrojach prostopadłych do osi rozkład ciśnień ma miejsce według praw hydrostatyki: im punkt na przekroju leży niżej, tem ciśnienie jest większe. Między przekrojami E i F rozkład ten ulega zmianie, pod działaniem siły odśrodkowej w łuku, w skutku którego ciśnienie się powiększa, razem ze wzrostem promienia łuku każdej strugi.

31. Rury ogrzewań centralnych. Jeżeli, w rurze pionowej o stałym przekroju, płyn jest ogrzewany u spodu, to jego ciężar właściwy się zmniejsza, i powstaje ruch pod działaniem wyporu (y — yO O, gdzie Y i y sat ciężary właściwe płynu gorącego w rurze i płynu zimnego otaczającego aO = «)l objętość płynu w rurze o przekroju co i długości /. Gdy rura jest otwarta u góry, i płyn ogrzany w zetknięciu z płynem otaczającym się oziębia, a do rury dochodzi wciąż od spodu płyn gorący, ustala się ruch zwany w kominach ciągiem, którego prędkość tem jest większą, im większa jest różnica y — 1? ■> czyli im więcej rozgrzane gazy wchodzą do komina i im większą jest jego wysokość. Warunki tego ruchu komplikują się, gdy komin nie jest pionowy lecz nachylony, i gdy jego oś ma zmienny kierunek, lub gdy na jego przekroju poziomym temperatura nie jest jednakową. Wypór zależeć będzie od ciśnień na przekrojach górnym i dolnym, jak i od rozkładu temperatury w rurze, warunkującego ciśnienie na przekroju dolnym.

Podobne okoliczności zachodzą przy ruchu cieczy w rurach ogrzewań centralnych (rys. 59). W kotle a ogrzewaną jest woda, niżej 100° wr ogrzewaniach o nizkiem, od 100° do

CD C =) CD (=3

---SiSiSiil:

CDCDCZDCID

150° w ogrzewaniach o śred-niem ciśnieniu, tak że w rurze ab ciągnącej się do góry, ma ona ciężar właściwy Y₂ mniejszy od ciężaru właściwego wody schodzącej z powrotem do kotła rurą cd, po przejściu przez ogrzewacze.

A~~

Rys. 59.

Jeżeli główne punkty, w których woda otrzymuje i oddaje ciepło, dzieli od-, ległość pionowa H, to u spodu rury ab, w miejscu gdzie się łączy z kotłem, panować będzie mniejsze ciśnienie7₂I7. niż w miejscu gdzie schodzi do kotła woda, spływająca rurą cd, gdzie ciśnienie jest 7XH. Ta nadwyżka ciśnienia (qx—'(₂)H wytwarza ruch wody z prędkościami U₂ i Ux, a nadto pokonywa opory wTynikające z tarcia w rurach i ogrzewaczach. Przy jednakich przekrojach rur, prędkość U., w rurze ab będzie większą od prędkości L\ w rurze cd. Jeżeli w obu rurach ma być jednakowa prędkość U, to powierzchnie przekrojów rur winny być dobrane w stosunku odwrotnym ciężarów właściwych.

Ilość ciepła, doprowadzanego przez wodę, zużytą zostaje na ogrzanie pomieszczeń, w których ustawione są ogrzewacze, pewna jej część wszakże służy do utrzymania ruchu wody, inna znów rozchodzi się przez promieniowanie bezużyteczne. Jeżeli 0 jest objętość wody, krążącej w rurach w ciągu sekundy, a jej ciężar 7 0, q₂ ilość ciepła rozchodzącego się w ciągu tego czasu użytecznie i bezużytecznie, qx ilość ciepła doprowadzanego, c — ciepło właściwe wody, A — mechaniczny równoważnik ciepła, t₂ i tx—temperatury wody w rurach ab i cd, hw — suma wszystkich strat naporu wynikłych z tarcia, to:

q₁ = V2 = T 0 c (ń — tx) -f- A 7 O K .

Sumę strat naporu A„, otrzymać można z równania:

7*«« — (Ti—72) H >

bo napór iï wytworzywszy prędkość £7, służy następnie do pokonywania oporów, wynikłych z tarcia.

32. Wahania wody w rurach. Jeżeli w rurze wygiętej, jak na rys. 60, i zwróconej otw⁷artemi końcami ku górze, woda doprowadzoną zostanie w jednem ramieniu do poziomu A, położonego wyżej od poziomu B w ramieniu drągiem, a następnie pozostawioną sama so

B'

l'B

Rys. 60.

bie, wrtedy poziom A się obniża a poziom B A podnosi, ale ruch nie ustaje gdy oba 5’ poziomy dochodzą do poziomu równowa- , gi MN. W skutku prędkości nabytej, ^ ruch trwa dalej, a gdy tarcia są nieznaczne, poziom B podnosi się do B' a poziom A obniża do A', położonych w tych samych odległościach od MN, jak poziomy pierwotne, tylko po stronach przeciwnych. Następuje potem ruch odwrotny i t. d.; tarcie jednak nie dopuszcza, aby ruch powtarzał się do nieskończoności i zmniejsza wciąż wysokość w⁷ahań.

Oznaczając przez 2 A pierwotną różnicę poziomów, przez 2 x różnicę poziomów w pewnej chwdli t, to — przekrój poprzeczny rury, a l—długość słupa wahającego A M A'B,— mieć będziemy siłę przyśpieszającą ruch w chwili t równą 7 to 2 x. Przy liczeniu x dodatnych od poziomu M N ku do-łowTi wt ramieniu AA!, tak że na początku ruchu x = —A, siła przyspieszająca będzie dodatna przy x odjemnem i od-

wrotnie. Masa

d² x

¹    00 Z, poruszająca się z przyspieszeniem

dt²

daje rówmanie:

— 7 to 2 x —

1 »<

d²x

dt² ’

a po podzieleniu obu stron przez 7 co :

d²x

dt²

•    .    (151)

Całka tego równania, przyjmując że dla Z=0, a x — —A, będzie:

dx

x — — A cos

.    .    (152)

Jest to równanie ruchu wahadłowego harmonicznego.

Ozas upływający między wyjściem poziomu A z położenia pierwotnego i powrotem do tego położenia czyli okres wahań:

■fM.

jest niezależny od pierwotnej różnicy poziomów 2 h.

Podobny wynik otrzymamy w przypadku rury CD (rys. 61), łączącej dwa zbiorniki pionowe, innej średnicy niż

rura, tylko okres wałfań uleg-ß nie zmianie. Jeżeli oznaczymy - A przez £2 przekrój poziomy każde-ß go zbiornika, H — wzniesienie poziomu równowagi MN nad rurą C D, I i w — długość i przekrój tej rury, U

chu wody w jakiejkolwiek chwili w zbiornikach pionowych, a u — prędkość w tejże chwili w ru-

poziomej, mieć będziemy u —

Siła, wywołująca nieskończenie małe przemieszczenie dx poziomu w zbiornikach, wynosi 7 £2 2 a? i daje pracę 7 £2 2 xdx, której odpowiada przyrost energii, równy w zbiorniku

-    2 Q H U d U, a w rurze —

g    9

dnakowego znaku, to U i d U będą znaków przeciwnych i odwrotnie. Mamy więc równanie:

T= 2'tc

A'

rze

Rys. 61.

prędkość ru-

£ ÏC

U.

to u d u.

Jeżeli x i dx są ję

Q2HUdU+ -L

O²

w którem kładąc u du ~ —y i d U, będzie:

j(H+il)VdlT+xd*

— 7 £2 2x dx —

ta

w lud u

a całkując i mając na uwadze, że U = 0 dla x = h :

h² — x²

Z £2

Równanie to, zróżniczkowane względem Z, ponieważ

dx

dt ’

daje:

li

a kładąc dla skrócenia \ — H -|-d²x

1    ii

2    w

x,

di²

identyczne z równ. (151), jeżeli — zastąpić przez X. Czas trwa-

Li

nia wahnięcia wynosi:

T= 2 Ji

= 2x

]/H

\ 9

2 9 «*> ’

Wahania słupów wodnych stosowane być mogą dla zaoszczędzenia ilości wody, potrzebnej do przeprowadzania statków przez komory wielkich szluz na kanałach. Gdy statek z kanału górnego przechodzi przez szluzę do kanału dolnego, poziom wody w komorze zrównany jest z kanałem górnym. Po wprowadzeniu statku do komory, zamyka się wrota górne i wypuszcza wodę z komory, dopókąd poziom jej nie zejdzie do poziomu kanału dolnego. Wtedy otwarte zostają wrota dolne i statek wyprowadzony z komory. Każde przejście statku, w jedym lub drugim kierunku, wymaga napełnienia komory i przy ożywionym ruchu statków ilość zużywanej wody bywa znaczną. Przy ograniczonym zapasie, oszczędzanie wody nabiera znaczenia.

Jeżeli dwa zbiorniki pionowe AA' i BB' (rys. 61) przedstawiają dwie sąsiednie komory, lub komorę i zbiornik zapasowy o jednakim przekroju poziomym, to powtarzające się wahania przeprowadzać mogą wodę z komory do zbiornika i odwrotnie i wystarczałoby wstrzymanie ruchu po pierwszej połowie wahnięcia, aby zaoszczędzić całe jedno napełnienie szluzy, gdyby nie tarcie, pochłaniające według doświadczeń prawie a/₅ uaporu i pozwalające zaoszczędzać zaledwie ³/₅ napełnienia. Doświadczenia inż. de Lagrené’go i Flamant’a ł) wykazały, że oszczędność wody wzrasta razem z długością przewodu l i jego przekrojem oj, oraz zmniejszaniem się obwodu zwilżonego tego przekroju.

Na po lobnych zasadach oparte zostało urządzenie przy szluzie Aubois na kanale bocznym Loary, zaprojektowane przez margrabiego de Caligny ²) a mające na celu dla oszczędzania wody: 1) przeprowadzanie do kanału górnego części wody przy opróżnianiu komory, 2) doprowadzanie do komory, podczas jej napełniania, pewnej ilości wody z kanału dolnego (rys. 6-’). AA'BB' jest komora szluzy, AA' — poziom kanału górnego, B B' - poziom kanału dolnego. Akweduk C D E, jak można najdłuższy, dochodzi do komory przy wrotach dolnych w C. Na drugim końcu w D i E akweduk ma u góry dwa otwory okrągłe, na których stawiane być mogą rury pionowe FF' i GG'. Pierwsza, rura górna FF', umieszczona jest w zbiorniku, łączącym się bezpośrednio z kanałem górnym, a jej wierzch F' wznosi się zaledwie na parę centymetrów, nad poziomem

’) Annales des Ponts et Chaussées. 1831.

²) M‘s A. de Caligny. Recherches théoriques et experimentales sur les oscillations de l'eau et les machines hydrauliques à colonnes liquides oscillantes. Versailles-Paris. 1880—1883.

kanału górnego. Druga, rura dolna G G', umieszczona jest w zbiorniku, mającym połączenie z kanałem dolnym, za pośrednictwem rowu, możliwie jaknajszerszego, a jej wierzch G' umieszczony jest znacznie wyżej niż F'.

Gdy chodzi o opróżnienie komory, napełnionej do poziomu AA', wyjętą zostaje rura GG', woda przechodzi przez otwór E do kanału dolnego i prędkość w akweduku C D E wzrasta; gdy jest już dość znacz-

rźL =zv//'

-ff-■    ~ -

W/~G

Rys. 62.

ną, wstawia się napowrót rurę G G', a woda z nabytą prędkością podnosi się w obu rurach G G' i FF' i przekraczając poziom F' przelewa się do kanału górnego. Prędkość w akweduku CDE stopniowo się zmniejsza i doszłaby do zera, gdyby nie wyjęto powtórnie rury G G'. Wtedy prędkość znów wzrasta i dochodzi do wielkości wystarczającej, aby po ponownem wstawieniu rury G G', poziom znów się podniósł w obu rurach ponad F' i nastąpiło nowe przelanie się wody do kanału górnego. Przy każdem wahnięciu, objętość przelewanej wody się zmniejsza i czynność prowadzoną jest do chwili, gdy ta objętość staje się nieznaczną. Wtedy opróżnienie komory ma miejsce dalej, przy "wyjętej rurze G G' i otwartej komunikacyi z kanałem dolnym.

Przy napełnianiu komory używane są naprzemian rury FF1 i GG'. Gdy poziom wody w komorze jest BB’, wyjętą zostaje rura górna FF', woda z kanału górnego wchodzi przez otwór D i przez akweduk do komory i prędkość w akweduku wzrasta; gdy staje się znaczną, wtedy wstawia się rurę FF' a wyjmuje rurę GG'. Ruch wody w akweduku, nieustający w skutku prędkości nabytej, wytwarza spadek ciśnienia w części DE i wessanie wody z kanału dolnego przez otwór E. Gdy ten ruch ustaje, ustawia się rurę GG’ a wyjmuje FF, wywołując nowy przypływ wody z kanału dolnego przez otwór E i akweduk do komory.

Doświadczenia wykazały, że oszczędność przy szluzowaniu wyno- * siła 0,412 podczas napełniania, a 0,386 podczas opróżniania komory, razem 0,798. Jeżeli, bez tego urządzenia, potrzeba było dla napełnienia komory wziąć objętość wody 0 z kanału górnego, któraby w całości przeszła przy opróżnianiu komory do kanału dolnego, to przy opisa-nem urządzeniu, zużyto do napełnienia komory 0,412 O wody wziętej z kanału dolnego, a więc z kanału górnego tylko 0,558 O. Przy opróżnianiu, z objętości O przeprowadzono do kanału górnego 0,386 0, a do kanału dolnego spłynęło tylko 0,614 O. Kanał górny dostarczył zatem (0,588 — 0,386) 0 = 0,202 0, a kanał dolny otrzymał (0,614—0,412) 0 — 0,202 O. Przy każdem szluzowaniu oszczędność wynosiła prawie ⁴/s potrzebnej ilości wody.

33. Uderzenie wodne. Przy nagłem zamknięciu otworu, przez który woda wypływa z rury, następuje równie nagłe zatrzymanie ruchu, uderzenie wody o ściany rury i strata ener-

gxi. W rurze, nad otworem, wytwarza się, bezpośrednio po uderzeniu, przewyżka ciśnienia, tem większa, im raptownie] zamknięto otwór, im dłuższa jest rura i znaczniejsza prędkość ruchu. Ta przewyżka ciśnienia rozchodzi się falą wzdłuż rury. odbija w zbiorniku i wraca napo wrót; następują wahania, pochłaniane stopniowo przez tarcie o ściany rury. Uderzenia takie są szkodliwe dla przewodów, naruszają spojenia a nieraz, przy większych prędkościach, wywołują pękanie rur. Obawiać się ich należy, zwłaszcza przy rurach tłoczących lub rurach większych średnic, doprowadzających wodę do turbin, z prędkością dochodzącą do 3 lub 4 misek. Unika się uderzeń przez

IV

TT

^ ------»40;

!/?i

Rvs. 63.

powolne zamykanie otworów, ale na rurach tłoczących wodę do zbiorników, lub doprowadzających (rys. 63), umieszczane bywają dzwony powietrzne, jak W, w których woda ściskając powietrze, traci energię. Uderzenie wodne następuje także przy nagłem otwarciu rury i zmniejszeniu naporu, wtedy wszakże bywa już mniej niebezpieczne.

Gdy niema dzwonu powietrznego W, i rura l metrów długa doprowadza rurę ze zbiornika Z do otworu R, pod na-porem H, to przy nagłem zamknięciu otworu, następuje uderzenie wodne, którego wielkość, wyrażona wysokością słupa wody, wynosi H₁ i zależy od Z i od prędkości U wypływu wody przez otwór R. Gdy otwór zostaje zamkniętym, w przeciągu bardzo krótkiego czasu T, to w przybliżeniu obliczyćby można siłę uderzenia P z pomocą równania ilości ruchu:

T

j*P dt — m U, o

w którem m =

Z (O Y

--, gdyby znaną była zależność P od cza-

9

su t. Z następujących po uderzeniu wahań słupa wody w rurze, odbywających się według prawa ruchu wahadłowego har-

monicznego (152), wyciągnął A. Budau J) wniosek, że ta zależność wyraża się również sinusoidą omnpą (rys. (64). Zastępując, dla obliczenia zakreskowanej powierzchni, łuk sinusoidy łukiem paraboli, otrzymać można:

V?

Pm

"•Q

Rys. 64.

r    2

f P dt = ~— Pm T — mU,

o

gdzie POT oznacza wartość odpowiadającą czasowi T. Ponieważ:

l co y U

więc:

Pm =

3 lût 2 ~gT

albo w wysokości słupa wody:

.    .    (153)

Pm _ jj- _ 3

Y    1 — 2

odpowiadającej wysokości h we wzorze (152).

W skutku sprężystości ścian rury i ściśliwości wody, istotna przewyżka naporu bywa mniejszą. Ścisłą teoryę uderzenia wodnego podał inżynier włoski L. Alliévi²), a teorya ta sprawdzaną była doświadczalnie przez inż. L. Dufour’a w zakładach hydroelektryeznych w Viège (Szwajcarya), gdzie woda pod naporem 720 to dochodziła przewodem rurowym 1420 to długim, złożonym z jednej rury średnicy 0,7 m i długości 1157 to, rozgałęziającej się na dwie o średnicy 0,5 to na długości 263 to. Niektóre z otrzymanych wykresów podane są na rys. 65. Rachunek przybliżony za pomocą wzoru (153), biorąc podane przy wykresach wartości T i Q i obliczając U dla średnic 0,7 to i 0,5 to na długościach 1157 to i 263 to, daje Hx zbliżone do uwidocznionych na wykresach, np. dla Ne 1 Hl = 49 to, dla Ne 3    = 40 to i t. d.

’) Ob. przyp. 8, str. 2.

²) „Teoria generale del moto perturbato dell’ acqua nei tubi in pressione“ (Annali délia Société degli Ingeneri ed architetti. 1903). Przekład, niemiecki tej pracy podany jest w dziele: Alliévi-Dubs-Bataillard.. Allgemeine Theorie über die veränderliche Bewegung des Wassers in Leitungen, Berlin 1909 (I. Theil: Rohrleitungen von Lorenzo Alliévi, deutsche, erläutere Ausgabe bearbeitet von Robert Dubs und V. Bataillard. II. Theil: Stollen und Wasserschloss, von Robert Dubs).

Wzrost ciśnienia, następujący po nagłem zamknięciu rury prowadzącej wodę, użytym być może, przy odpowiedniem urządzeniu, do podnoszenia wody na znaczne wysokości. Urzą-

/frzywe wedfog teorjii.Aitievi eyo tfrzywe wed/ucj doświadczeń 7. Z7ap~our o

C/smerne

/Y/ Zamknięc/e /SOLdo 0 'vZsat //3 Zo/nkmęc/e 493Lc/o 0^ w 8lek.'

70-

6<V

3t>:

f\

r\

ÏX

r-

20

10-

⁷⁰°-to.

So

%k

8sek:

seĄ.

7o :

60

•j

SO—

//4 Otwarcie 0 ^ do /SO ^ w 2 sek.

Zsek.ifi

,’2>

70-

¹

Über Potentialbewegung tropfbarer Flüssigkeiten in gekrümmten Kanälen. Berlin 1909.

so-

30-

70-

700 —

90 -

70-

JQ=L

70-

Zamknięcie /78LdoOLyv3s>ek. //ß l po 8sok. potem otwarcie O do/78L w 2,4 sek.

Zamknięcie 490 ‘do 9^ Jf S w 8 sek ipo /Osek otwarcie 0Cdo 490Ł wjssek.

soi

30-

- to-⁷⁰⁰ 90-

M-À

tęi

3sek.

.J

8sefi.

J lek.

so-

73,4 sek

4/sek-¹*

78seA

2SSóek. *-

Rys. 65.

dzenie to nosi nazwę taranu hydraulicznego. Jeżeli w ZL(rys. 66) mamy do rozporządzenia spadek H i prowadzimy wodę rurą R do położonego niżej odpływu B, to przy końcu tej rury umieszczony taran hydrauliczny podnosić może wodę i przelewać ją do zbiornika C. Taran składa się z przepustnika V₁, opadającego własnym ciężarem, a podnoszącego się, gdy prędkość U w rurze R osiąga pewną oznaczoną wartość. Przed przepustnikiem, na rurze R umieszczony jest dzwon powietrzny W, zamykany przepustnikiem opadającym V₂ w ten sposób, że woda z rury wchodzić może swobodnie do dzwonu, gdy swem ciśnieniem podniesie przepustnik, a nie może wracać na-powrót. Pod działaniem naporu H, woda płynie rurą R, dopó-

F. K. Hydraulika.

kąd przepustnik Vx jest otwarty. Gdy prędkość U dochodzi do wartości, przy której ciśnienie całkowite na powierzchni prze-pustnika Vx staje się większem od jego ciężaru, wtedy przepustnik Vx nagle się podnosi i przepływ zostaje wstrzymanym. Następuje wzrost ciśnienia, wskutku którego znaczna ilość wody

/?

Ci

I!

",

y,

w\

V?

Rys. 66.

przechodzi z rury do dzwonu przez przepustnik V₂ i ściska w dzwonie powietrze, wypychając z niego wodę rurą Rx do zbiornika C. Wynikiem tego jest zmniejszenie ciśnienia w rurze, otwarcie przepustnika Vx, nowy przypływ wody i t. d.

Taran hydrauliczny jest maszyną racyonalną i dobrze zbudowany osiągać może sprawność 80°/₀, t. j. że iloczyn HX^QX wynosi 0,8 iloczynu 7HQ, jeżeli Qx oznacza ilość wody podnoszonej w ciągu sekundy do zbiornika C, na wysokość Hx, a Q — wydatek rury R. To też maszyna ta jest rozpowszechnioną, zwłaszcza w gospodarstwach rolnych, w krajach górzystych.

IV. Kanały.

34. Ruch Jednostajny. W ogólnem równaniu prądu ustalonego (88), kładąc, jak dla rur, spadek osi prądu na jednostkę długości:

sin J _ _

1 dpA 7    3 s

= J,

otrzymujemy:

j=

.    .    (154)

Przy stałym przekroju poprzecznym prądu, prędkość £7bę-dzie stałą i drugi wyraz prawej strony równy zeru; pozostanie:

.    .    (155)

■ ■

X

Stosunek -, powierzchni przekroju poprzecznego, do

X

długości obwodu zwilżonego, stanowi tak zwany promień średni R przecięcia poprzecznego. Równanie ruchu jednostajnego wody w kanałach będzie:

RJ=<? (U)

a równanie wydatku:

•    (157)

Q — (a U

w ru-

Przy roztrząsaniu doświadczeń nad biegiem wody rach, które doprowadziły do wzorów praktycznych, braną była za punkt wyjścia prędkość krytyczna, stanowiąca granicę pomiędzy ruchem regularnym a burzliwym (§ 19). W kanałach, ruch regularny trudniejszym jest do osiągnięcia niż w rurach, skutkiem większych wymiarów przekroju, wystawionej na działanie wiatru otwartej powierzchni prądu i nierówności powierzchni dna i ścian bocznych. Przy zestawianiu wzorów praktycznych na ruch wody w kanałach, nie brano też pod uwagę prędkości krytycznej.

Najdawniejszym z wzorów praktycznych jest wzór Ta-dini'ego:

.    .    (158)

RJ =bü²

który, przy średniej wartości b = 0,0004 ma kształt:

U = 50 fRJ.

Wzór ten daje dość dokładne wyniki dla kanałów szerokich i głębokich, przy małym spadku. Podobne też wyniki daje wzór Weisbacha:

RJ =

U\ . .

•    •    (159)

w którym dla kanałów i rzek z dnem chropowatem:

_, ,    0,000433

B = 0,0074 H--—^-,

a średnio B = 0,0075, U = 51 VRJ.

Porównawcze zbadanie wyników przeszło 700 doświadczeń,

wykonanych na kanałach ze ścianami z różnych materyałów, doprowadziło Bazin’a do wzoru:

87

. . (160)

U=Bl VRJ, w którym jB, =

I⁷«

z wartościami spółczynnika chropowatości ścian:

e = 0,06 dla ścian bardzo gładkich, 0,16 „

0,46 „

0,85 „

1,30 „

1,75 .

,, gładkich,

„ z kamieni grubo ociosanych, „    „ nieociosanych,

z ziemi,

„ wyjątkowo opornych.

Wzór Bazin’a wypisać można w kształcie:

RJ =

[sV i¹ + w)]

u²,

cały więc opór, stawiany przez ściany, zależy od c i od Rr to jest od natury ścian i od kształtu przekroju poprzecznego.

Wyniki równie dobre, jak wzór Bazin’a, daje wzór Kutte-ra, używany także do obliczania rur:

0,00155

23 -j-

i + (23 -f

0,00155

. VR J . . (161)

VR

z wartościami:

100 dla ścian bardzo gładkich,

„ gładkich,

„ mało gładkich,

„ chropowatych,

„ z ziemi,

„    ze żwiru,

„    ze żwiru nieregularnego,

„ bardzo chropowatych.

Dla rur nowych brano zwykle n — 0,01, a dla używanych n = 0,013 i tym dwóm wartościom n odpowiadają wzory (97), podane w § 22.

W Aglii używano również wzoru Manninga:

0,010

0,013

0,017

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

77 „ 58 „ 50 „ 40 „ 33 „ 29 „ 25 „

, . (162)

w którym spółczynnik zmienny C ma wartość stosunku —

wchodzącego do* wzoru Kuttera. I tak np. dla ścian gładkich C — 77. Wzór ten może mieć postać:

jeśli położymy:

U= Cx VR j\

<•

Ci = CVR.

Zamiast promienia średniego R, wprowadzoną została przez niektórych inżynierów, do wzorów na bieg wody w rzekach, średnia głębokość T. Między innymi prof. M. Matakie-wicz *) proponował wzór:

116 J

0,493+ 10 J

2 0,10

T. .

.    .    (163)

tT

2,2 -f T

35. Obliczanie kanałów. Przekrój kanałów miewa zwykle kształt trapezu równobocznego AB CD (rys. 67), ścia-

Rys. 67.

ny boczne są mniej lub więcej nachylone do poziomu, stosownie do rodzaju gruntu, najczęściej pod kątem 45°. Jeżeli głębokość wody w kanale EC — h, szerokość dna BC — l, to ED = h cotg 6, powierzchnia przekroju:

to = h (l -j- h cotg 6).....(164)

a obwód zwilżony A B -j- B C -j- CD :

.    .    (165)

sin 6

i te dwa związki pozwalają obliczyć dla każdego przekroju pro-

O)

mień średni R = —.

Gdy 6 = 90°, trapez zamienia się na prostokąt i wtedy:

oi = hl, y — 2h .

*) Zeitschr. f. Gewässerkunde 10 (1911). Por. art. prof. Mata-kiewicza: „Próby ustawienia wzorów empirycznych na przypływ wody w korytach naturalnych“ (Czasopismo Techniczne lwowskie 1906).

. . (166)

a promień średni:

hl

(167)

; + 2 h

Dla przekroju prostokątnego bardzo szerokiego a małej głębokości, zamiast (167) bierze się zwykle R = h\ gdy przy-tem spadek J jest znany, wtedy wzory praktyczne pozwalają obliczyć prędkość Z7, a wzór (157) wydatek Q.

Różni autorowie, dla ułatwienia obliczeń, zestawiali tablice liczbowe, podobne do podanych dla rur (§ 22). Tablica 6 obejmuje wartości spółczynnika Bx wzoru Bazina (160), odpowiadające różnym wartościom promienia średniego R i spółczynnika c.

TABLICA 6.

Wartości spółczynnika Bx wzoru Bazina (160), odpowiadające różnym wartościom spółczynika c i promienia średniego R.

0,06

0,16 j 0,46

8,85

1,30

1,75

R = 0,05

68,5

50,7

0,10

73,1

57,7

0,15

75,3

61,5

0,20

76,7

64,1

28.4

35.5 39,7 42,9

18,1

23,6

27,2

30,0

12,8

9,9

17,0

19,9

22,3

13,3

15,8

17,7

0,25

77,6

65,9

45,3

32,2

24,2

19,3

0,30

78,4

67,3

47,3

34,1

25,8

20,7

0,35

79,0

68,4

48,8

35,7

27,2

0,40

0,45

0,50

0,60

0,70

79,4 79,8 i 80,2 80,7 81,1

69,4

70,2

70,9

72,1

73,0

50,4

51,6 :

52,7

54,6 i

56,1

37,1

88,4

39,5

41,4

43,1

28,5

29,6

30,6

32,5

34,1

22,0

23,1

24,1

25,0

26,7

28,1

0,80

81,5

73,8

57,4

44,6

35,5

29,4

0,90

81,8

74,4

58,6

45,9

36,7

30,6

1,00

82,0

75,0

2,00

83,4

78,1

59,6

65,6

47,0

54,3

37,8    31,6

45,3

38,9

3,00

84,0

79,6

68,7

58,3

49,7

43,3

4,00

84,4    80,5

70,7

61,0

52,7

46,4

5,00

84,7

81,2

72,1

63,0

55,0

48,8

6,00

84,9

81,6

73,2

64,6

56,8

50.7

10,00

20,00

85,3

82,8

75,9

68,5    . 61,6

56,0

85,8

84,0

78,8

73,0

67,3

62,5

LTkładano także nomogramy i rys. 68 przedstawia nomo-gram, ułatwiający rachunki według wzoru Bazina. Nomogram

ma podziałki dla trzech głównych czynników" tego wzoru: promienia średniego Ä, prędkości U i spadku J

oraz czwartą podziałkę z lewej strony pionowej J z w^artościa-mi spółczynnika c :

0,06    0,16    0,46    0,85    1,30    1,75

Sposób użycia nomogramu jest następujący: poprowadziwszy linię prostą przez punkt odpowiadający jednej z powyższych wartości spółczynnika c i punkt podziałki R odpo-

N* '    °'S

OZ

■+-+■

"/sek.

0,06 ~ 0,16 ~

-    0,000/

— 0,00/

'TÇAf—

Z_ 0002 Z—0003 7

^-0,005 — 0,006 /,7s ~z_0 007 — 0,008

—    0.009

—    0,0/0

Rys. 68.

wiadający wartości promienia średniego, obraca się tę prostą około punktu jej przecięcia z pionową górną, nie mającą po-działki, dopókąd nie przejdzie przez punkt podziałki J, odpowiadający danemu spadkowi. Prosta ta, w nowem swem położeniu, przetnie podziałkę U w punkcie odpowiadającym szukanej prędkości. Jeżeli np. mamy dane:

c = 1,30 (ściany z ziemi), R = 1,60 m, J = 0,002,

to dla znalezienia odpowiadającej prędkości Z7, przykładamy do nomogramu linię prostą (nakreśloną na szkle lub celuloidzie) tak, aby przechodziła przez punkty: podziałki spółczyn-nikowej c = 1,30 i podziałki promienia średniego R — 1,60. to jest miała położenie linii przerywanej niższej na rys. 68,

Prostą tę obracamy około punktu jej przecięcia z pionową bez podziałki, dopókąd nie przejdzie przez punkt J = 0,002 (linia przerywana wyższa). W tem nowem położeniu prosta przecina podziałkę U w punkcie odpowiadającym szukanej prędkości

TJ = 2,40 m.

Tak samo, przy wiadomej zawsze wartości spółczynnika c można ze znanych U i R otrzymać J, lub mając U i J, znaleść R.

Ponieważ promień średni R nie określa wymiarów h, l, 9 przekroju trapezowego, przyjmować wypada w tym celu warunki dodatkowe. I tak przyjmuje się zwykle, że kanał ma przepuszczać jak można największą ilość wody, t. j. że wymiary h, l, 9 mają być dobrane w ten sposób, aby Q było maximum. Według równ. (157) maximum Q odpowiada największym wartościom to i £7, a według równ. (155), przy stałym spadku J maximum U odpowiada największej wartości to a najmniejszej y. Warunek więc największego wydatku sprowadza się do określenia maximum w i minimum y. Zróżniczkowanie wzorów (164) i (165) daje:

dm — h dl (l Ą- 2h cotg 9) dh

A²

sin ² 9

dy — dl

sin 9

dli —

2 h cos 9

. . (168)

sin² 9

Kąt 9 bywa zwykle stały i d 9 = 0. Maximum w i minimum y warunkują wtedy równania:

h dl -j- (Z -f- 2h cotg 9) dh — 0,

dh — 0,

z których rugując dh i dl i mając wzgląd na równania (164) i (165), otrzymujemy:

“=6

.    .    (169)

to sin 6 -7\ J *

— cos Ö

gdy zaś h, o> i 9 są znane, wzór (164) daje l. Geometrycznie

wzór (169) wyraża, że trapez AB CD (rys. 69) winien być opisany na półkolu, którego środek leży w 0, środku AD, bo wtedy równanie (169):

m — h?

Rys. 69.

sin 6

cotg 9j

.    .    (170)

sin 6 ’

związek wyrażający, że A D = 2 DC albo 0D — 0C. Trójkąt ODC jest więc równoramienny, dwie wysokości O G i CE są równe, okrąg opisany ze środka 0 promieniem O G jest styczny do trzech boków trapezu. Z drugiej znów strony z równań (164) i (165) wypada w tym przypadku:

h (l h cotg 6) sin 6

l sin 8 -f 2 h

łącznie z równaniem (164) daje:

• • (171)

W przypadku danych Q, J, 6, z wzorów (160), (169) i (171), otrzymuje się dwa równania:

O». 3

= Bx VÈJ . .

•    .    (172)

4 R² =

.    .    (173)

w sin 9 2—cos 6    ’

z których otrzymać można R iw, biorąc jako pierwsze przybliżenie, średnią wartość:

B₁ ~ 50 ,

odpowiadającą wartości b = 0,0004 wzoru (158).

Gdy 9 = 90°, trapez jest prostokątem, co = lh, */ = l -)- 2 h, i maximum wydatku ma miejsce przy:

■    (174)

l — 2h.

Przy nieznanych wymiarach przekroju prostokątnego, położyć można l = mli, co daje:

co = mh², y — (m -j- 2)h

R=z

mli

•    (175)

a że, z wzorów (157) i (158) mamy:

czyli -

Ot)    771

RJ =

mh J    bQ²

-j-2 m² h⁴

więc:

{m-\-2)bQ2 h= m*J

m³ A⁵ J

(m2) b

.    .    (176)

a największy wydatek mą miejsce, gdy l = 2h czyli m —2. Mając m Q J, obliczyć można li z wzoru (176), przy użyciu podawanej w podręcznikach technicznych tablicy kwadratów i sześcianów.

A cos 6

d 6 = 0,

sin* 0

sin 0

a po wyrugowaniu d A i d0 otrzymujemy warunek:

■    ■    (177)

cotg 2 0 = —

Przyjmując, że szerokość dna kanału jest stałą, dl = 0, i równania różniczkowe (168) dadzą:

(l -j- 2 A cotg 6) d A —

A²

sin ² 6

d 6 = 0,

2 A '    '

Przy stałej znów wysokości trapezu A, d A = 0, a z równań (168) wypada:

dl —

Ad 0 sin² 0

= o,

2 A cos 0 d 0 sin² 0

= 0,

skąd:

2 cos 0 — 1=0,    .    .

.    .    (178)

0 = 60°.

co daje: cos 0 = —-

Zadanie 33. Ile wody dawać będzie kanał, wykopany w ziemi, o przekroju trapezowym, ze skarpami nachylonemi jak 1:2 (1 wysokości na 2 podstawy), szerokości dna 2 m, przy głębokości 0,80 m i spadku 20 cm na kilometr?

Z danych:

cotg 6 — 2,    1 = 2 m, h = 0,80 m,

otrzymujemy według równania (164):

a że:

w = 0,8 (2 -f 0,8.2) = 2,88 w²,

sin 6

y i -f-cot² 6

0,45,

więc według równ. (165):

X = 2 + (2.0,8) : 0,45 = 5,5 w,

R = 2,88 : 5,5 = 0,52.

Jakkolwiek znamy c, R, J, nie otrzymamy jednak U z nomo-gramu, gdyż podziałka J nie obejmuje wartości 0,0002. Tablica 6, dla c = 1,3 i R = 0,52, daje B, = 31, a według równ. (160):

i szukane:

U = 31 y0,52 ! 0,0002 = 0,32 ra>

Q = 0,32.2,88 = 0,92 m³ = 92 litr./sek.

Zadanie 34. Rów wykopany w ziemi, mający 1 m szerokości dna, ze skarpami nachylonemi jak 2 :3 (2 wys. na 3 podst.) i spadkiem 15 cm na kilometr ma dawać 300 litrów wody na sekundę. Jaka będzie głębokość wody w rowie?

Dane: Q = 0,3 m³, J = 0,00015, l — 1 m, cotg 6 = 1,5, c = 1,3, nie wystarczają do oznaczenia przekroju to i prędkości U, zadanie więc rozwiązać można tylko przez kolejne próby. Dana wartość Q pozwala przypuszczać h C 1 m, a biorąc h = 1 m, mielibyśmy, obliczając jak w poprzedniem zadaniu:

co = 2,5 m-, 1 = 4,7 m, B = 0,53 m,

B, = 31,    17 = 0,45,

co dawałoby:

co = 0,3 : 0,45 = 0,66,

wartość zbyt różną od 2,5. Dla h = 0,8, otrzymamy:

co = 1,76, / = 4, B — 0,44,

Bi = 29,5,    17=0,24,

co znów daje co = 0,3 : 0,24 = 1,25, wartość jeszcze niedość bliską 1,76. Dla h = 0,7 mieć będziemy:

c« = l,44, x = 3,5, B = 0,41,

Bi = 28,6, U = 0,21, co

= 1,43,

0,3

0,21

wartość tak już bliską 1,44, że h — 0,7 m uważać można za szukaną głębokość.

Zadanie 3.5. Kanał ma przepuszczać 800 litrów na sekundę, z prędkością średnią 0.50 m, w gruncie pozwalającym na nachylenie skarp pod kątem 45°. Jaka będzie szerokość dna, głębokość i spadek? Dane są:

skąd:

Q = 0,8 m³, U — 0,50 m/sek., 6 = 45°,

cotg 6 = 1, co = 0,8 :0,5 = 1,6 m².

Z wzoru (169), mając sin 6 = cos 6 = 0,707, otrzymujemy h = 0,93 m, z wzoru (170) l = 0,76, a z wzoru (171) B = h : 2 = 0,47. Tablica 6 dla c = 0,85 (skarpy pod 45° przyjmujemy wyłożone kamieniem nieociosanym) daje Bx = 38,8 i według równ. (160) będzie J — 0,00036. Będzie więc szerokość dna kanału 0,76 m, głębokość 0,93 m, spadek 36 cni na kilometr.

Zadanie 36. Kanał w ziemi, ma przepuszczać dziesięć metrów sześciennych wody na sekundę przy spadku dziecięciu centymetrów na kilometr. Jaki ma być przekrój poprzeczny, przy skarpach z nachyleniem 1 : 2 ?

Dane są:

Q = 10, J = 0,0001, cotg 6 = 2.

Z równań (172) i (173), mając sin 6 = 0,45, cos 6 = 0,89, otrzymuje się:

= 50 y 0,0001 B, 4 B² =

co 0,45

= 0,405 co,

skąd B⁵ = 25 (0,405)² a przy użyciu logarytmów B — 1,32 m. Przy c = 1,30 tablica 6 daje Bt = 40,2, a biorąc tę wartość zamiast średniej 50, otrzymamy B⁵ = 38,5 (0,405)² i B = 1,44. Tablica 6 daje dla tej wartości promienia średniego Bi = 41,1, wartość dość bliską poprzedniej, tak że gdy ją weźmiemy zamiast 40,2, otrzymamy Bb = 37 (0,405)² i B — 1,43, którą przyjąć można ostatecznie. Bę-

2 — 0,89

dzie więc h = 2 R = 2,86, tu = 9,87 R² = 20,23 m, U = -J- =

10

— "2Q23 ⁼ ®,49, co sprawdzić można za pomocą nomogramu, wreszcie, według równ. (170), l = 1,27 m.

Zadanie 37. Mały kanał z betonu, o przekroju prostokątnym, 1450 m długi, ma doprowadzać 50 litrów wody na sekundą, ze źródła wytryskującego na wzniesieniu 80 m, do zbiornika, wzniesionego na 78,8 m. Jakie winny być wymiary kanału⁻?

J = 1,20 :1450 = 0,00082.

Dla maximum wydatku (174):

/ = lJr2h = 21, R =

.. P (o = l h == —

z wzoru: (158):

4 Q²

J = 0,0004 .

skąd:

0,00082 ~ ’

W tablicy kwadratów i sześcianów odnaleść można liczbę, dla której PP = p — 195. Próbując 20 X911 = 182, 21 X 967 = 203, dochodzimy do 20,7 X 941 = 195, dla l = 0,455 m. Kanał więc mieć będzie 46 cm szerokości dna, a 23 cm głębokości.

Zadanie 38. Dany jest spadek kanału 0,80 m na kilometr, szerokość l = 0,40 m, głębokość h = 0,30. Jaka jest prędkość i wydatek na sekundę, przy ścianach c = 0,16 ?

tu = 0,40.0,30 = 0,12 m²,    / = 0,40 + 0,60 = 1 m,

„ 0,12 R~ ÎD0 =°>l2w>

B{ = 58,9,    Z7= 58,9 J/0,12 X 0,0008 = 0,57 m,

Q = 0,12 X 0,57 = 68,4 litr./sek.

Rys. 70.

a zmniejszamy jego przekrój poprzeczny. Odwrotny wynik daje przesunięcie punktu A w dół rzeki i wtedy przekrój poprzecz-

36. Kanał doprowadzający. Spadek kanału, doprowadzającego wodę do zakładu z silnikami wodnymi, obliczony być może w ten sam sposób, jak w § 24 oznaczaną była średnica rury tłoczącej. Technicznie kwestya tak się przedstawia. W punkcie A (rys. 70) rzeki lub strumienia, których spadek jest znany, ma brać początek kanał doprowadzający pewną objętość wody do punktu M, o znanem wzniesieniu. Chodzi o wyznaczenie położenia punktu 1 i o spadek projektowanego kanału. Jeżeli ujęcie wody odsuwamy od M w górę rzeki, powiększamy długość i spadek kanału,

ny kanału się powiększa a spadek i długość się zmniejszają. Ponieważ koszt kanału zależy od przekroju poprzecznego, prowadzi to do wniosku, że jest pewna kombinacya spadku i przekroju korzystniejsza od wszystkich innych. Oznaczmy przez H wzniesienie punktu M, nad przedłużeniem linii spadku A N, doprowadzonem do pionowej przez M przechodzącej, k— koszt metra bieżącego kanału na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego, obejmujący kupno gruntu i budowę, co — przekrój poprzeczny kanału, J — spadek kanału, L — całkowitą długość kanału, J' — spadek rzeki w pobliżu punktu A. Dane są h, &, J' a szukane J i L.

Koszt budowy, o którego minimum chodzi, będzie

K = kiû L.

Z trójkąta AMN mamy H = L (J⁷—■«/), bo J' przedstawia spadek A N a J — spadek A M.

Dla trapezu, dającego maximum wydatku, promień średni według równ. (173):

*-Wi

co sin 6

— cos 6

Jeżeli położymy dla skrócenia:

, to R² == m co.

1 sin 6

4 2 — cos 0

Równanie (158):

RJ — bU²

bQ²

co²

daje:

J=.

m² b Q

a kładąc m²bQ² = p⁵/', otrzymujemy:

Ri

(179)

Koszt budowy będzie:

K—koi L = k ca —

R⁷

kH p⁵

J'—J    w³ b Q²    Rb—p⁵'

W wyrażeniu tern, tylko R jest zmienne. Aby K było

minimum, trzeba aby R czyniło zadość warunkowi czyli:

dK

dR

R* =

7 (R⁵—p⁵) — 5 R'° = 0,

2 p ’

2

co według równ. (179) odpowiada warunkowi J — — J'. Spa-

7

dek więc najekonomiczniejszy, kanału doprowadzającego, jest równy dwóm siódmym spadku rzeki, w pobliżu punktu ujęcia wody.

Długość kanału doprowadzającego będzie:

J'-J 5 Jr

Dla kanału o przekroju prostokątnym, szerokości l i głę-

bokości h, mielibyśmy w = AZ, a następnie J =

bQ²

Rh²l²‘

Przyjmując, że promień średni jest stały równie jak i głębokość, połóżmy:

bQ²

Rh²

= Xa J',

wtedy:

,/ =

X²

J’ . .

. . (180)

i otrzymamy:

khn²RH /³

‘ l² -\r

dK

dl

bQ²

Czynnikiem zmiennym jest tu szerokość l. Równanie = 0, daje:

l² — 3 X² — 0,

J'

a według równania (180):

Przyjmując więc przekrój prostokątny, otrzymujemy najekonomiczniejszy spadek, kanału doprowadzającego, równy

— spadku rzeki. Praktycznie brać można w przybliżeniu 3

J = 0,30 J'.

37. Przekrój, prędkość i wydatek kanału. W praktyce najczęściej spotykane są przekroje trapezowe, rzadziej prostokątne, a w szczególnych przypadkach tylko dobierane bywają przekroje, dające maximum prędkości lub wydatku. Ponieważ według równ. (160) U = Bl !/RJ a promień średni

R = —, przeto przy stałym spadku J, U ząleży wyłącznie X

od R, a więc od kształtu przekroju poprzecznego kanału.

Wartości w i y, przy których U jest maximum, winny czynić zadość równaniu:

albo:

(181)

y doj — co dy = 0

0'

Jeżeli np. weźmiemy pod uwagą przekrój kołowy (rys. 71) i będziemy chcieli oznaczyć położenie a b, przy którem prędkość średnia będzie największa, to oznaczając przez r promień koła, a przez a kąt przy- a środkowy, odpowiadający obwodowi zwilżo- / nemu, mamy:    I

co =

r²

— (a — sina), y

— ra

skąd:

dio =

r²

— (1—cosa)cZa, dy — rd a, a po wstawieniu tych wartości w równanie (181):

Rys. 71.

. . (182)

a cos a — sin a = 0, .

co odpowiada w przybliżeniu wartości a = 258°.

Gdy powierzchnia przekroju jest stałą, dco = 0, a maximum prędkości odpowiada najmniejszemu obwodowi zwilżonemu. Krzywą odpowiadającą temu warunkowi jest łuk koła.

Prędkość prądu w kanale, ze względu na podmywanie ścian łożyska, nie powinna przekraczać pewnej granicy. Dla różnych łożysk, prędkości dopuszczalne są następujące:

Prędkość w misek.

Ro dzaj łożyska

na

na

Miał, glina brunatna

Piasek drobny.......

Glina (złoża pierwotne)

Piasek rzeczny tłusty .

Żwir..........

Głazy drobne.......

Odłamy łupkowe ...

Skały uwarstwowione .

„ twarde nieuwarstwowione

powierzchni dnie

0,15    0,08

0,20    0,10

średnia

0,22

0,16

0,30

0,16

0,25

0,60

0,31

0,50

1,22

1,52

2,22

2,75

4,27

0,70

0,94

1,49

1,82

1,00

1,25

1,80

2,30

3,50

3,14

Profil dający tęż samą prędkość dla jakiegokolwiek położenia poziomu wody, wyznaczony jest stałym promieniem średnim R — a. Mamy wtedy w = ay, dia — ady. To ostatnie równanie, wypisane we spółrzędnych prostokątnych ydx = ads, określa krzywą łańcuchową. Dla uzyskania więc

a wstawiając te wartości w równanie (183), otrzymamy:

3(1 — cos a) = 1 —

sin a

albo:

stałej prędkości profilować wypada skarpy kanału według łuków krzywej łańcuchowej.

W kanale, którego przekrój byłby utworzony jak na rys. 72, z półkola o promieniu 2a ze skarpami ab i cd w lukach krzywej łańcuchowej, promień średni zachowuje istotnie stałą wartość, przy jakiemkolwiek położeniu poziomu ac, bo dla krzywej łańcuchowej :

Rys. 72.

co = 21: a¹ -f- 2 as, y — 2Tza-\-2s, skąd:

ß _ co _ 2 TC a¹ -f- 2

2% a -J- 2 s

Przekrój odpowiadający największemu wydatkowi otrzymamy z równania: d Q = 0, wyrażając Q w funkcyi go i y. Ponieważ Q = w U =    VRJ, więc:

as

— a.

(l\3

B,* J —.

Jeżeli kształt przekroju jest oznaczony, wtedy wydatek Q jest największy przy wartościaph go i y, czyniących zadość równaniu:

czyli:

dQ =r 0,

(183)

Sydui — go dy — 0

Dla uproszczenia przyjmujemy tu, że Bt jest stałe; biorąc je jako zmienną funkcyę y, otrzymać można wynik zbliżony. Różnica w praktyce może być pominiętą.

Jeżeli np. przekrój kanału jest kołowy, jak na rys. 71, z kątem przyśrodkowym a, wyznaczającym położenie poziomu wody a b dla największego wydatku, mamy wtedy:

GO

to: "L

(a — sin a),

X — ra>

r¹

d go = —- (1 — cos a) d a ,

dy — rda.,

co odpowiada w przybliżeniu wartości:

a = 308°.

Poziom więc największego wydatku różni się od poziomu największej prędkości, dla którego otrzymaliśmy wyżej a = 258°.

ma-

38. Rozkład prędkości. Prawo rozkładu prędkości na przecięciu poprzecznem kanału, ma wielkie znaczenie praktyczne, zwłaszcza dla wielkich rzek, których wydatek oznaczany bywa przez pomiar prędkości. Dawniejsi hydraulicy dążyli do streszczenia tego prawa w jednym wzorze ogólnym *), z licznych wszakże doświadczeń, wykonanych w ostatnich czasach przez Bazin’a we Francyi, Cunningham’a na kanale Gangesu i Humphreys’a i Abbot’a na Mississipi, okazało się to nie-możliwem. Na poziomej prostopadłej do osi kanału, prędkość największa ma miejsce w pobliżu środka kanału a zmniejsza się stale, gdy postępujemy ku brzegom. Zmniejszenie to, zrazu powolne, staje się coraz szybszem przy zbliżaniu się do brzegów. Każde znów powiększenie głębokości zwiększa prędkość i odwrotnie. Na pionowej, prędkość maximum rzadko kiedy ma miejsce na powierzchni prądu. Odległość tego ximum od poziomu wody, zależy od głębokości i szerokości kanału i dochodzi niekiedy do ¹/z głębokości.

u-

Jeżeli v (rys. 73) jest prędkość na głębokości z pod powierzchnią wody, V — prędkość maximum na tej samej pionowej, na głębokości z', to według wzoru wywiedzionego doświadczalnie przez Bazin’a:

v — V— 6 (z — z')², .    .    (185)

Rys. 73.

gdzie 6 jest spółczynnik, inny dla każdej pio- ₍2 nowej i każdego przecięcia poprzecznego. Jak widzimy, prawo zmiany prędkości na jednej pionowej, przedstawione jest przez parabolę ^ drugiego stopnia, o osi poziomej.

Gdy szerokość kanału jest bardzo wielką w stosunku do głębokości, wpływ ścian bocznych się zmniejsza, i dla wielkich rzek:

h²

. . (186)

J) Por. art. inż. Wł. Witkowskiego: „Kilka doświadczeń w przedmiocie rozkładu prędkości wody, na jednej pionowej na rzece Wiśle, przy stanie jej zamarznięcia pod lodem“. Dziennik Politechniczny, r. 1862.

F. K. Hydraulika.

gdzie spółczynnik k jest blizki 24. Wtedy:

.    .    (187)

v = V— ~ Vhj(z — »y. .

Wzór (187) przedstawia pewne podobieństwo do wzoru (121), otrzymanego dla rur i dowieśćby tu można tak samo, że tarcie dwóch warstw cieczy, równoległych do powierzchni prądu w kanale, jest proporcyonalne do ich prędkości względnej.

Dla kanału, o przekroju prostokątnym mniejszych wymiarów, najczęściej spotykanego w praktyce, podał Bazin wzór odmienny od (187), mianowicie:

U — F— 14 \fRJ, .    .

. . (188)

w którym U oznacza prędkość średnią, V — prędkość największą na pionowej w pośrodku prądu. Kładąc, według (160):

lrBJ =

otrzymujemy:

14 ’    '

.    .    (189)

dla każdej wartości B]

wzór, pozwalający obliczyć stosunek

(§ 35, tabl. 6).

Spółczynnik tj (§ 18), zależny od różnicy pomiędzy prędkością średnią a największą prędkością prądu w danem przecięciu poprzecznem, obliczony został przez Boussinesq’a według powyższych wyników doświadczeń Bazin’a dla kanałów:

skąd:

a = 1    3 7] = 1,06

.    .    (190)

a' = 1 + ij = 1,02 .    .    (191)

Rys. 74.

39. Kanały rozprowadzające. Gdy kanał irygacyjny, którego wymiary i spadek są znane, doprowadza do punktu 0 (rys. 74) zmienną objętość wody, która ma być rozdzieloną między wielu użytkowników, proporcyonalnie do danych liczb, — zachodzi potrzeba obliczenia kanałów rozprowadzających: Oa, Ob, Oc. Oznaczmy w tym celu, przyjmując, że wszystkie kanały mają przekrój prostokątny, przez: l, h, J, Q, szerokość, głębokość, spadek i wydatek ka-

nału głównego, a przez:    h^    , Z₂ h₂ J₂ Q

Z₃ A3 (167),

J% Q31 też same wymiary kanałów Oa, Ob, Oc.

Wstawiając we wzór (158) za R wartość z wzoru a za U z wzoru (157) i (166), otrzymujemy związek:

IhJ

f+ 2 h ~~ Z² A²

z którego:

•    •    (192)

Z³ A³ J 1+2 h ■    *

i takież same wyrażenia na , Q₂ , Qs. Ponieważ wydatek kanału głównego winien być równy sumie wydatków kanałów drugorzędnych, mamy przeto równanie ciągłości:

Q — Q\ H“ Qi + Qz • •

•    •    (193)

Jeżeli woda ma być rozdzieloną pomiędzy użytkowników, proporcyonalnie do liczb: m, n, p, to:

Qi Q

tj_Q±

•    .    (194)

albo:

<?,=

Q, = ~Q

3’ •

.    .    (195)

a po wstawieniu tych wartości w równanie (193), będziemy mieli:

Qz,

m Ą- n +■ p

lub zastępując Q i Q₃ wartościami według równ. (192):

m + n + V

7/ Ą I Z3+2 h₃

l³h³J Z —|— 2 Ä

Równanie to daje związek między wymiarami kanału głównego i kanału Oc, a równania (195) dwa związki między wymiarami kanałów Oa i Obi.

Jeżeli wszystkie kanały mają jednaki spadek, co często się zdarza, równanie (196) ma postać:

Z³ A³

T+2h

a przy jednakiej głębokości wszystkich kanałów:

■    (196)

+ n 4- p

z₃³ hs³

Z₃-j-2/i₃ ’

•    (197)

r l+2h

+ n-\- p

y■

r ^3~t“2A

•    (198)

To ostatnie równanie pozwala obliczyć Z₃ skoro Z i h są znane, z równań zaś (194), wypisanych w kształcie:

lx -|-2 A

jY

Z₈ 4~ 2ń

Z₃-f 2 Ä ’

Z₃ 4- 2 ń

obliczyć będzie można lx i Z₂.

Jeżeli głębokość kanałów jest tak mała, w stosunku do ich szerokości, że może nie być uwzględnianą, to szerokości Zx l₂ Z₃ otrzymane być mogą przez podzielenie Z proporcyo-nalnie do liczb m n p. Grdy wreszcie woda ma być rozdzieloną pomiędzy użytkowników w równych częściach a głębokości i spadki są jednakie, będzie oczywiście:

h ~ h — h

oraz:

Z³

7 3

ł3

z₃ 4- 2 h ’

Rachunek ten stosować można do jakiejkolwiek liczby kanałów rozdzielczych, a także do przekrojów trapezowych i półkołowych, przyczem wzory będą więcej złożone. Można-by także, przy proporcyonalności kosztu budowy kanału do jego przekroju, stosować, dla obliczenia najekonomiczniejszego rozdziału wody, metodę podaną w § 36.

40. Äkweduki i kanały ściekowe. Akweduki obliczać można przy użyciu wzoru Bazin’a (160), przyjmując spół-czynnik chropowatości, dla ścian bardzo gładkich c = 0,06, lub dla ścian gładkich j c = 0,16. Zwykle wydatek, spadek i kształt J geometryczny przekroju są znane i obli-/ czać wypada wymiary tego przekroju. Najwięcej używane są przekroje kołowe i jaj-kowate.

Dla przekroju kołowego o promieniu r (rys. 75), jeżeli położenie poziomu wody ab określone jest wielkością kąta przyśrodkowego a, będzie jak w § 37 (str. 127):

a — sin a

Rys. 75.

— mr^,

y — ar = nr,

a z równania (160):

m = 3,08, n — 5,37.

Wydatek ten jest o 5% większy od wydatku, gdy woda

"f

y)

600

/400

800

~ = Bt 0) ¹

rJ,

- r J =r

m²r⁴ B,²

(199)

tsa u

m³ J 5X²

Wzór ten daje r, gdy m, n, Q, J są znane. Dla małych kweduków cementowych brać można Bx — 50, dla średnich gładkiemi ścianami Bx — 58, dla wielkich przekrojów Bx — 71. Najczęstszy jest przypadek, gdy a = 240°, wtedy:

W = Y (2|^3,14+0,87) = 2,53,    » = 2 || 3,14 = 4,19,

a równanie (199) daje:

r5 ₌

0,26 Q²

. . (200)

JBf '

Wydatek największy osiągnięty będzie przy a — 308°, co odpowiada wartościom:

I /06°/6'

-1,1

Rys. 76.

płynie pełnym przekrojem akweduku, a o 18% większy od wydatku, gdy poziom a b odpowiada kątowi a = 240°.

Przekroje kanałów ściekowych warszawskich Lindley’a są trzech typów: eliptyczne, gruszkowe i dzwonowe. Rys. 76

przedstawia przekrój eliptyczny kanału III-ej klasy, 80 cm szerokości na 140 cm wysokości przy wypełnieniu:

po pachy, w' = 0,4837 m2 X' — 1,915 m R' = 0,25258 m

całego przekroju, to" = 0,8679 m2 X" = 3,518 m R" = 0,2467 m

Biorąc we wzorze Bazin'a (160) c = 0,16, będzie spół-czynnik Bx :

BJ = 65,9

B" = 65,7

U" — 1,457 misek.

a dla spadku J — 0,002 : prędkość:'

wydatek:

U' — 1,48 m/sek.

Q" =1,28 ms/sek.

Q' = 0,716 m³/sek.

na-

Gdy kanał otwarty spotyka w swym biegu drogę lub inny kanał, trzeba wtedy przepuszczać wodę akwedukiem pod potkaną przeszkodą Przekrój takiego akweduku, pod drogą

V-----------1    ^

Rys. 77.

żelazną, przedstawia rys. 77. Woda, napływająca z górnej części kanału z prędkością U₀, wchodzi do akweduku, ogólnej długości L, złożonego z dwóch studzienek pionowych i przewodu poziomego; po przejściu przez ten akweduk z prędkością Ul, odpływa dolną częścią kanału otwartego, z prędkością U₂ . Puch ten pokonywać musi różne opory, w skutku których wzniesienie hx, poziomu wody w górnej części kanału nad dnem akweduku, będzie większe od wzniesienia h₂ w dolnej części kanału. Straty naporu wywołane są tarciami wewnętrznemi prądu, tarciami o ściany akweduku i wzburzeniami przy nagłych załamaniach kierunku pod kątem prostym. Ogólna suma strat naporu, przyjmując U₀= U₂, wynosi hx — h₂ i składa się z następujących strat naporu szczegółowych:

1) napór zużyty na powiększenie prędkości z JJ₀ na Ul, gdyż wogóle dla oszczędności przekroje akweduków są mniejsze od przekrojów kanałów otwartych:

hs =

2) strata naporu, wynikająca z tarcia o ściany akweduku, według równ. (159) po położeniu J

h/ =

3)    strata naporu przy czterech zmianach kierunku hs", którą obliczyć można z pomocą wzoru (148) dla kolan rur.

Jeżeli przekroje tak są dobrane, że Uy — U₂ albo bardzo blizkie, to całkowita strata naporu jest sumą powyższych trzech strat szczegółowych; gdy zaś JJX < U₂, dochodzi jeszcze

4)    odpowiadająca różnicy prędkości w dolnej części kanału i w akweduku strata naporu:

hs'" =

2.(7

Uf*-Ul* _

+ *■" +

Wogóle więc:

_ zy-Pp²

BL U*

2 <7

hs,T •

R 2 g

wTypada hs'" odjemne, co wykazywałoby zysk na naporze. W rzeczywistości objawia się wtedy tyl-

Jeżeli £7, > U.

rvî

Rys. 78.

ko wzburzenie na poziomie, przy wychodzeniu wody z akweduku. Ogólną stratę naporu zmniejszyć można znacznie, projektując adweduk o profilu hydraulicznie racyonalnym, jak na rys. 78, który nie ma załamań, ani nagłych zmian przekroju.

41. Ruch zmienny. Gdy przekrój kanału się zmienia, inna jest prędkość na każdem przecięciu poprzecznem prądu

i stosować wtedy wypada ogólne równanie ruchu ustalonego (154),

(rys. 79)

^ w którem spadek J = ^

Rys. 79.

odnosi się do linii a b, przedstawiającej strugę na powierzchni, ożywioną największą prędkością, to jest oś hydrauliczna prądu:

a'

dU

Po zcałkowaniu w granicach od 0 do s, otrzymujemy:

U² — Uq*

z = a'

. . (202)

różnicę wzniesień poziomów wody na przekrojach m₀ i m, na których prędkość średnia jest U₀ i U.

We wzorze (202) w^artość spółczynnika a' jest ściśle oznaczoną (191), ale wartości cp (£7) podane w § 34 a obliczone dla ruchu jednostajnego, stosowane być mogą do ruchu zmiennego tylko w przybliżeniu i, według St-Yenanta, pod warunkiem lekkiego powiększenia wartości a', a mianowicie przyjęcia wartości zawartej między 1,08 a 1,138. W dalszym ciągu spół-czynnik ten oznaczać będziemy literą a, przyjmując:

a = 1,111

10

.    .    (203)

Dla przekroju prostokątnego (rys. 80) o stałej szerokości l i zmiennej głębokości h wzory (166) i (167) dają co, y, R. Oznaczmy przez z i zt rzędne dna i poziomu wody, mamy wtedy:

z — z₁ — h,

dz

dzx

dh

ds

ds

¹

a — 3 a cos a -j- sin a = 0,    .    .    .    (184)

a jeżeli i jest stały spadek dna AB (rys. 79):

Rys. 80.

to równanie (201) przybiera kształt:

dU

ds

dh

cp(Z7)

ds

ds

.    .    (204)

= 0.....(206)

h~d7 + 0 ds

przyczem:

jest stałe, więc:

IhU = Q

(205)

dU

Z równań (204) i (206) po wyrugowaniu——, otrzymujemy:

ds ’

d h    a U² dh

? (U)

ds

g h ds

.    .    (207)

a kładąc według równ. (158) <p (U) — bU² oraz za R i U wartości z równań (167) i (205):

aÇ² d gl²h³ ds

dh

ds

b Q² (l + 2 h)

l³ h³

. . (208)

albo:

r*=(i

J dh . . (209)

l³ h³

a£²

gVh³

Równanie to daje się zcałkować bez trudności i dostarcza związku w kształcie s — j (h), wyznaczającego oś hydrauliczna prądu, czyli tor cząstki, ożywionej największą prędkością na powierzchni ab, między przekrojami s₀ i s, których głębokości są h₀ i h. Znając h w funkcyi s, otrzymuje się U w funkcyi s, co rozwiązuje zadanie.

Gdy ruch jednostajny wody w kanale tamuje zagroda z prze wałem, podnosząca poziom wody w górze prze wału i wywołująca zmienność ruchu, wtedy mają miejsce zjawiska, które objaśnić może szczegółowe roztrząśnienie równania (207). Kładąc w tern równaniu za / (U) wartość (80), mamy:

bU²

dh = i

a U²

ds .    .    .    .    (210)

gh

Jeżeli H jest głębokość wody w kanale o szerokości l, wydatku Q i spadku dna i przy ruchu jednostajnym, to gdy h jest stałe i równe H, mamy dli— 0, czyli ruch jednostajny.

zbli-

b U²

Gdy h mało się różni od H, wartość stosunku -=~r

R i

ża się do jedności; licznik ułamka (210) jest bardzo mały w porównaniu z mianownikiem i tak samo dh względem ids. W tym przypadku głębokość w kanale zmienia się nieznacznie na długiej przestrzeni i ruch uważać można za jednostajny.

Gdy h < IZ, prędkość średnia jest większa od tej, która odpowiada ruchowi jednostajnemu, bo wydatek się nie zmie nia, a powierzchnia przekroju jest mniejsza. Jest więc wtedy b U² > R i, i licznik ułamka (210) jest odjemny. Rzecz się ma odwrotnie, gdy h > H. Co do mianownika, dwa przypad-

ki są do rozważenia, stosownie do tego, czy a U²

gh.

Oś hydrauliczną prądu wyznaczają analitycznie równania (207) i (210).. Gdy ta krzywa rozciąga się nad linią pó

Xł

\h

-y

Rys. 81.

ziomów prądu jednostajnego, nazywamy ją osią podniesienia, a gdy biegnie pod tą linią — osią obniżenia.

Dla osi podniesienia (rys. 81), ponieważ H czyni zadość równaniom (158) i (167):

Ri — —

czyli:

iHi

1+2H

iHi

b (l -\-2 H) ’

to wstawiwszy tę wartość w równanie (209), otrzymamy po skróceniu:

i-\-2h h*; Ï+2H’~W.

Przyjmując:

l H*    ,

¹ bg'l+2Hrw\dh * ⁽²¹¹⁾

a U² < gh i h > H, mamy:

Ri> bU²\

w tym przypadku ułamek (210) pozostaje dodatnym i dA ma ten sam znak co i d s.

W miarę postępowania w dół prądu, h powiększa się razem z s. U się zmniejsza i nierówności powyższe utrzymują się dla kolejnych wartości h. Przeciwnie, gdy się cofamy w górę prądu, h zmniejsza się razem z s.

Ale h, zmniejszając się, zbliża się do H, gdyż przyjęliśmy h > H. Gdy więc poprowadzimy xy równoległą do dna kanału, w odległości H, to oś podniesienia będzie asymptotą spółczynnik stycznej do osi hydraulicznej, dąży do granicy i, co wskazuje, że ta oś jest asymptotą do pewnej poziomej xy.

Oś podniesienia jest krzywą zwróconą swą wklęsłością w górę. Wykreślać ją przychodzi w każdym szczególnym przypadku na profilu podłużnym kanału, od zagrody w górę, aż do punktu, w którym różnica h — H staje się nieznaczną, dla przekonania się, czy obwałowanie brzegów jest dostatecznie wysokie i czy skutkiem urządzenia zapory i podniesienia poziomu wody, na któremkolwiek przecięciu poprzecznem nie nastąpi wylew. Wykreślenie to dokonanem być może na podstawie równania, otrzymanego przez zcałkowanie równania (211), co nie przedstawia trudności ale daje wzór zbyt złożony, aby mógł służyć do celów praktycznych. Zastępując przy całkowaniu zmienną h przez wysokość podniesienia z nad prostą xy, czyli kładąc h = H -j- z, a dla skrócenia:

== m,

do tej równoległej. Równoległa xy przedstawia oś prądu jednostajnego.

Jeżeli znów h się powiększa, to ilorazy

K i

b U² .a Ü²

gh

nie

przestają się zmniejszać, bo R rośnie razem z h i ilorazy zbli-

przedstawiający kątowy

żają się do zera. Stosunek więc

ds

3Z-4-4#

bg Z-f-2iZ

i wprowadzając inne jeszcze uproszczenia, dojść można do wzoru:

mH

ln»( 3-H+23q) Z₀ (3 h —|— 2 s)

. (212)

w którym wartości s=s₀ odpowiada wartość z = z₀. Jeżeliby odległości s liczone były od zagrody w górę, wtedy s₀ = 0, a z₀ przedstawia podniesienie przy zagrodzie. Gdy z₀ jest małe

YÏI    2

w porównaniu z H, bierze się dla — wartość średnią —- i za-

stępuje logarytm ilorazem kształt uproszczony:

is —

a wtedy wzór przyjmuje

z₀—z

z₀—z

Pif +³’⁴⁵) • • • • (²¹³>

Dla osi obniżenia, przyjmując a U² < g h i h < H, ułamek (210) jest odjemny i dh ma znak przeciwny niż d s Gdy postępujemy w kierunku prądu, h się zmniejsza a U powiększa; przeciwnie, postępując w górę prądu, h się powiększa.

Przy zmniejszaniu się h, nierówność h<C.H będzie stale się utrzymywać, ale przy zmniejszaniu się różnicy gh—a U'² dojść można do równości a U² — gh. Oś hydrauliczna oddala się stale od prostej odpowiadającej ruchowi jednostajnemu, ale pozostaje pod nią w całości. Dla pewnej wartości h = h’, odpowiadającej wartości s = s’, styczna do osi hydraulicznej staje się prostopadłą do dna kanału, co stoi w sprzeczności z hypotezą równoległości strug; przy pewnej więc wartości s mniejszej od s' i wartości h większej od h’ następuje przerwa w ciągłości ruchu. Zauważono istotnie, że w tym przypadku oś hydrauliczna przybiera kształt zaokrąglony (rys. 82) i ciecz wzburzona dochodzi, kłębiąc się, do prądu w dole, ożywionego już inną prędkością. Wynik ten powodowany jest zwykle nagłem obniżeniem dna kanału.

W//////////////////

Rys. 82.

42. Odskok. Nazwę tę nosi zjawisko, obserwowane często w kanałach ściekowych, a nieraz i w kanałach ze znacznym spadkiem, skoro prąd regularny następuje po wzburzeniu; miewa ono także miejsce przy wypływie wody przez otwór z pogródką; obserwowali je Bidone i Bazin. Jeżeli, rozważając w dalszym ciągu równanie (210), przypuścimy, że:

a U² y gh i h < H,

dh

wtedy pochodna

jest dodatną i głębokość h wzrasta razem z s, a U się zmniejsza. Dochodzi się wtedy do jednego z dwóch równań:

h = H.

O.TJ² — gh,

Jeżeli ruch prądu czyni wprzód zadość pierwszemu z tych równań, to styczna do osi hydraulicznej, w pewnym jej punkcie, staje się prostopadłą do dna kanału, co, jak wzmiankowaliśmy wyżej, jest niedopuszczalne. W rzeczywistości, przed dojściem jeszcze do tej wartości s, następuje przerwa w ciągłości ruchu: masa wody pędząca z góry, uderza o masę dolną, ożywioną mniejszą prędkością i wytwarza wzburzenia, tak że poziom nagle się podnosi (rys. 83). Ma wtedy miejsce tak zwany odskok podniesienia, po za którym ruch w kanale ulega zmiąnie.

Jeżeli zaś ruch prądu czyni wprzód zadość równaniu h = H, to oś hydrauliczna się nie przerywa i styczna do niej staje się równoległą do dna kanału na pewnem przecięciu po-przecznem (rys. 84); poza tern przecięciem h pozostaje stałem

ni żenią.

Odskok więc podniesienia charakteryzują warunki: a U² > g h i h < H.

Odskok wytwarza się także, gdy prąd czyni zadość nierównościom:

, a U² > gh i h> H.

dh

Pochodna

i wtedy ruch. jest jednostajnym, albo też różnica h—iz staje się będzie odjemne i wracamy do warunków osi ob-

dodatną,

dh

jest wtedy odjemną, głębokość h najprzód

się zmniejsza, a U powiększa, gdy postępujemy ku dołowi prądu. Mianownik ułamka (210) pozostaje odjemnym, ale może

a-

-fi

k h>

Rys. 84.

Rys. 83.

się zdarzyć, że licznik schodzi do zera, a wtedy styczna do osi hydraulicznej staje się równoległą do dna na pewnem przecięciu poprzecznem. Poza tem przecięciem licznik staje się odjemnym, h się powiększa, co powoduje odskok więcej lub mniej wydłużony.

Oznaczmy przez h i Jlt (rys. 83) głębokość wody bezpośrednio przed i po za odskokiem. Twierdzenie Bernoullfego daje, uwzględniając nagłą zmianę przekroju prądu (70). dla strugi stanowiącej oś hydrauliczną:

F²

Vi²

io

(F-FJ²

a zastępując prędkości na powierzchni przez prędkości średnie (§ 18) ze spółczynnikiem a (203):

h -I

a U*

2?

Po wyrugowaniu na mocy związku Uh — Uxh^ (szerokość kanału l stała), otrzymujemy:

•    .    (214)

'ölT²

gh

wzór pozwalający obliczyć wysokość hl—h odskoku, w funkcyi prędkości U i głębokości h. Zresztą, wyrażając, że stosunek po pierwszej stronie jest większy od jedności, wracamy do nierówności, charakteryzującej odskok podniesienia.

43. Kanal bardzo szeroki. Przy znacznej szerokości kanału, wzory (211) — (213) uproszczają się. Pozostaje <ù = lh, ale można położyć w przybliżeniu y = l, R — h. Równanie (211), pomijając h i H w obec l, przybiera kształt:

oi_I£_

dh =

dh,

. ,    ¹ bg h%

H³

i as — —

ffs 1

albo kładąc dla uproszczenia h — XH:

idS=dh + (¹~fgj

dh

i?³

i/dX

.    .    (215)

Iloraz

X³-l

rozkłada się na ułamki:

X —f- 2

X³—1 — 3 U—1    X² —j— X —)— 1 J’

a po pomnożeniu przez d\ i zcałkowaniu otrzymujemy:

1    (X —— l)²

X³—1 “6    X¹-f X+1

j-^3 , arc. cotg—+ C(216)

Bresse ¹) obliczył wartości funkcyi:

2 as-j-1 arc. cotg -—^—,

i / \    1 !    ac²-+-æ-j-l

«b (cc) = — ln —;--—

* W 6    (cc—l)²

stanowiącej ze zmienionym znakiem drugą stronę równania (216). Mamy więc:

= c—ł(X) . .

.    .    (217)

dX

X¹-l

a całkując równanie (215) w granicach s₀ i s, wstawiając za całkę drugiego wyrazu wartość (217) i wracając do zmiennej h, dochodzimy do równania:

. . (218)

Z pomocą tego równania, mając dany spadek dna i, wydatek ą na jednostkę szerokości dna i głębokość h₀ tuż przy zagrodzie, to jest w punkcie s₀ = 0, można bez wykreślania osi hydraulicznej zdawać sobie sprawę z jej kształtu i sprawdzać, w jakiej odległości s w górze od zagrody, prąd mieć będzie pewną dowolną głębokość h różną od h₀, a oczywiście większą od if, głębokości prądu jednostajnego przed postawieniem zagrody. Ponieważ Q = ql — U l H, więc według równania (158):

bq²

Hi = bU² =

3, , 2 / bq*

•    .    (219)

Następujący wyciąg z tablicy Bresse a obejmuje wartości t|) (cc) odpowiadające niektórym wartościom cc = X =

H

TABLICA 7.

<!» (*)

0,01

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,4*0

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

-0,6046 -0,5946 —0,5546 : —0,5046 ; -0,4545 ! —0,4042 S -0,3536 1 -0,3025 I -0,2508 -0,1980 : -0,1438 -0,0878 J -0,0293 +0,0825 j +0,0987 +0,1711 ; +0,2520 +0,3459 +0,4605 l +0,6138 +0,8624

oo

1,005

1,015

1,025

1,035

1,04

1,045

1,055

1,065

1,07

1,075

1,08

1,085

1,095

1,01

1,02

1,03

1,05

1,06

1,09

1,10

1,6469

1,4159

1,2807

1,1848

1,1241

1,0610

1,0080

0,9709

0,9311

0,8931

0,8665

0,8301

0.8188

0,7871

0,7675

0,7490

0,7315

0,7069

0,6990

0,6766

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

2,00

2,50

3,00

10,00

0,6489

0,6327

0,6025

0,5749

0,5619

0,5494

0,5258

0,5146

0,4932

0,4831

0,4198

0,3671

0,3343

0,3047

0,2778

0,2580

0,1318

0,0821

0,0553

0,0050

OO

Dla osi obniżenia wzór (218) ma kształt:

h9

i(s — s₀) — h—ho -f- jl

i w tym przypadku służą w tablicy 7 wartości x mniejsze od jedności. Nie należy wzakże zapominać, że wzór (218) stosuje się tylko do prądów wielkiej szerokości. Stosowany do kanałów mniejszych wymiarów dałby wyniki błędne.

Zadanie 39. Na rzece ze spadkiem dna i — 0,0002 i wydatkiem q — 5,66 m³ podniesiono poziom przez postawienie zagrody w ten sposób, że głębokość przy zagrodzie h₀ — 6 m. Jak daleko w górze od zagrody głębokość będzie o 1 m mniejsza?

bq²

Biorąc b = 0,0004, mamy

H = 4 m, według (203) a =

— = 4 = 1,50, A = 6 — 1 daîe 4 (J^j = 0,258,    =

= 64, według równania (219)

Ty = °-⁰⁵⁶'

~ — 1,25, tabl. 7

-, g — 9,81 m,

= 5 m,

H 4

0,4198, c® wstawiając we wzór (218):

0,0002 s = l + 0,608,

1,608

8 kim.

0,0002

W górze rzeki głębokość 5 m spotyka się, w odległości 8 kim odzagrody. Stosując wzór przybliżony (213), otrzymalibyśmy 5=7,45 kim

"o- P'

44. Wzory praktyczne. Do wykreślenia osi podniesienia, wzór (212) zbyt jest złożony, a wzór (213) służyć może tylko wtedy, gdy z₀ jest małe w porównaniu z H. Zwykle też przy kreśleniu osi podniesienia, używaną jest przybliżona ale prostsza metoda Poirée’go. Jeżeli PN (rys. 85) jest zagrodą, w górze której chcemy otrzymać wykres osi hydraulicznej prądu, a FB jest osią prostolinijną ruchu jednostajnego, jaki miał miejsce przed zbudowa-niem zagrody, to wzniesienie N    AP poziomu wody nad krawę

Rys. 85.

dzią P, otrzymać można z wzoru na wypływ przez przewał, który podany będzie w rozdz. V. Znając tym sposobem głębokość przy zagrodzie AN=BN-\-AB = H-\-z₀, możemy przyjąć na podstawie licznych doświadczeń, dokonanych na kanałach i rzekach z małym spadkiem, że podniesienie osi hydraulicznej nad osią biegu jednostajnego staje się niedostrze-galnem w okolicy punktu P, położonego na poziomej, prze-

chodzącej przez punkt D, który znów znajduje się na pionowej AN i leży w odległości od A, równej AD — AB.

Skoro oznaczony został punkt F, metoda Poirée’go polega na zastąpieniu osi hydraulicznej, parabolą o osi pionowej, z wierzchołkiem w punkcie A, styczną do poziomej A G

IZo

\Zo

Jl

Rys. 86.

i do prostej FB. Równanie tej paraboli, odniesione do osi xy (rys. 86), będzie y² = 2p x. Ponieważ krzywa przechodzi przez F, którego spółrzędne są z₀ i S, więc §² == 2p z₀, a że z trójkąta BDF mamy: 2z₀ = di, więc:

— 2 p z₀

2 z₀ \²

i równanie paraboli:

zo y² =

PM*-

Kładąc mn — z i mając na uwadze, że wzniesienie punktu n nad punktem B jest równe iy, mamy:

z — x -j- iy = s₀ ,

skąd:

²o V²

z — z₀ — iy -\- x = zo — iy -j-

albo:

i² y²

4g₀a — 4z₀ iy -[- i²y²

wreszcie:

4z₀

4 z₀

(2 2₀ — iy)²

4z₀

Zwykle, przy małych spadkach kanałów, brać można zamiast odległości poziomych y, długości s liczone po osi hy-

10

F. K- Hydraulika.

draulicznej i wtedy otrzymujemy wzór Poirée’go:

z _ (2 s₀ — is)²

4 s₀

Możnaby, prościej jeszcze, zastąpić łuk paraboli lukiem koła, stycznym do poziomej AG w punkcie A i do prostej FB. Oznacza się wtedy punkt F, biorąc G F — G A. Te przybliżone wykresy stosują się do kanałów o jakichkolwiek przekrojach i oddalają mniej lub więcej od istotnej krzywej, pod wpływem spadku, przekroju i szerokości koryta. Jakkolwiek przy małych spadkach uważane bywają za wystarczające, to jednak dla wielkich rzek wzbudzać mogą wątpliwość. I tak np. dla danych zadania 39, przy których wzór ścisły (218) dał odległość od zagrody, dla głębokości o 1 m mniejszej niż tuż przy zagrodzie, s = 8 Jem, a wzór przybliżony (213) s = 7,45 Jem, otrzymalibyśmy z wzoru (221) s = 5,9 Jem.

Długością spiętrzenia wody w górze zagrody jest odległość F A = s, a ponieważ w punkcie F mamy 2 = 0, więc według równania (221):

czyli:

2 z₀ — i s

2z₀

(222)

Objętość wody, jaką zatrzymuje zagroda, jest równa objętości graniastosłupa prostego, o podstawie F AB (rys. 85), będącej różnicą trójkąta FBD i odcinka paraboli F AD. Przy szerokości kanału l i przekroju kanąłu prostokątnym, po-

a objętość wody

wierzchnia odcinka F AD jest równa zatrzymanej:

— de₀,

3    °’

(l52z°-ła‘°)

l-

Zadanie 40. Kanał cementowy, o przekroju prostokątnym 1,2 szerokości, zagrodzony został do wysokości 1,15 m. Wydatek kanału wynosi 300 litr./seJe. przy spadku 0,10 m na kilometr. Wykreślić oś podniesienia.

Wzór na wypływ przez przewał daje przy Q = 0,3 m³ wysokość AP (rys. 85) równą 0,28 m, będzie więc: AN = PNĄ- AP= 1,15 + -[-0,28 = 1,43 m. Według równania (174), dla maximum wydatku

będzie H = y =0,60 m, co daje 2₀ = 1,43 — 0,60 = 0,83. Długość wspięcia, w górze zagrody, będzie według równania (222):

= 16,6 Jem.

1,66

0,000f

Wzór (221) daje:

_ (1,66 - 0,0001 sy

skąd:

3,32

₅ = 10000 (1,66 — J/3,32 z).

Kładąc za z wartości od z₀ do 0, mamy:

dla 2 = 0,80    0,60    0,40    0,20    0,10    0,05

s = 0,31    2,49    5,08    8,45    10,84    12,53

wartości wystarczające do wykreślenia osi hydraulicznej.

km

45. Przekrój prostokątny, zmiennej szerokości.

Oś hydrauliczną wyznaczają zawsze wzory poprzednio podane, ale obliczenia są więcej złożone, gdyż we wzorach zjawia się, oprócz h, druga zmienna l. Obie są funkcyami długości s i przy całkowaniu wprowadzić trzeba pewne hypotezy, np. stałość promienia średniego R.

Weźmy na uwagę kanał, którego sąsiednie dwie części, większej długości a szerokeści (₀ i l, połączone są odcinkiem o zmiennym przekroju, długości X.

Przyjmijmy Z₀ > l, co odpowiada zwężeniu koryta. W dolnej części kanału ruch jest jednostajny i głębokość H (rys. 87) a w części górnej H₀ i mamy H₀ < H. Głębokości te mogą być oznaczone według wydatku kanału, spadku i szerokości l₀ i l. Ponieważ spadek dna się nie zmienia, więc oś hydrauliczna będzie jak na rys. 87.

Na przekroju A₀B₀ oś hydrauliczna wznosić się będzie na wysokość m n stajnego, z którą schodzi się w górnej części kanału.

Obniżenie osi hydraulicznej, między przekrojami A₀B0 i AB, daje wzór (202). Zmiana głębokości, którą tu oznaczymy przez y, wynosi na odległości s = X, y = z— i X, a wstawiając wartość z według wzoru (202), mamy:

U²—U²

3o

h, i* r-

Rys. 87.

nad osią ruchu jedno-

Kładąc:

+/[-£-?(P)-i]

o

V (U) = b U\

y 1

— = -g- = ilości stałej

ds. .    (223)

o) — cOq —k X,

wzór (223) pozwala obliczyć y w funkcyi powierzchni a>₀ i a) r przekrojów AQB₀ i AB, długości X i spadku i. Podniesienie z₀ otrzymamy ze związku:

zo = H — H₀ -f- y.

Znając z₀, wykreślić można oś hydrauliczną w górnej części kanału, jak to było wskazane w § 44.

W praktyce nieraz pomija się całkę po drugiej stronie równania (223), której wartość jest stosunkowo mała wobec pierwszego wyrazu i przyjmuje się:

U²~ U₀²

.    .    (224)

Dla przybliżonych obliczeń, gdy l mało się różni od Z0 i X jest niewielkie, kładą nawet z₀ = H—H₀, pomijając y~ Głębokości H₀ i H mierzone są na pionowych a X na poziomej, co jest możliwem przy małym spadku.

Też same wzory stosowane być mogą do rozszerzenia koryta, tylko wtedy H₀ > H i poziom wody układa się jak na rys. 88.

Al

W przypadku stopniowego zwężenia, oddzielonego od stopniowego rozszerzenia, odcinkiem o stałym przekroju, zbyt krótkim wszakże, aby się mógł w nim ustalić ruch jednostajny, mieć będziemy ruch zmienny, nie tylko na całym odcinku pośrednim, ale i do pewnej odległości

-ST c.-—

£>

77/

77/

Rys. 89.

Rys. 88.

w górze, tak samo jak przy stopniowem zwężeniu. Profil osi hydraulicznej przedstawiony jest na rys. 89 z podniesieniem w górze, wynikającem ze stopniowego zmniejszania się szerokości od A₀B₀, obniżeniem rozciągającem się aż do A₂B., i podniesieniem między A ₂ B₂ i As B%. Prędkość średnia U0 t na początku ruchu zmiennego, nie przestaje się zmniejszać aż do przekroju A₀B₀ , gdzie jest minimum, następnie powiększa się do przekroju A₂ B₂, gdzie ma wartość maximum U. Pomiędzy A₂B₂ i AiBt prędkość zmniejsza się od U do U₀. Podniesienie cd, będące faktem zaobserwowanym, wynika właśnie z różnicy naporu, odpowiadającej temu zmniejszeniu prędkości i może być obliczone w przybliżeniu zapomocą wzoru (224). Wydatek bowiem: l (H₀ — y) U = l₀ H₀ UQ, skąd:

l₀ H₀ U₀

i(H₀—yy

l], •    .    •    (225)

co wstawiając we wzór (224), otrzymujemy: a Uq²

równanie trzeciego stopnia, pozwalające obliczyć y ze znanych wartości U₀, Z₀, H₀. Mając y, oznaczyć możemy głębokość H w punkcie c. W ten sam sposób oznaczyć można zapomocą wzoru (223) lub (224) głębokość w b, a następnie w m. Wreszcie, według podniesienia mn — z₀ wykreślić można oś hydrauliczną w górze zwężenia, jak w § 44.

Gdy l > Z₀, to jest gdy zamiast zwężenia mamy krótkie rozszerzenie koryta, wtedy w górze oś obniżenia łączy się z osią ruchu jednostajnego i rozciąga się w dół do przecięcia A₀B gdzie się zaczyna oś podniesienia i ciągnie między A₀B0 A₂B₂, obniżając się następnie i schodząc z- osią ruchu jednostajnego. Obliczenie podniesienia y i wykreślenie osi hydraulicznej, dokonanem być może jak przy zwężeniu, zapomocą tych samych wzorów.

-"TT

nv

Rys. 90.

W przypadku nagłego zwężenia, jakie ma miejsce np. przy przejściu rzeki pod mostem, obserwacya poucza, że oś hydrauliczna ma kształt ogólny jak na rys. 89, z podniesieniem rozciągającem się na pewną odległość w górę, po którem następuje obniżenie : więcej lub mniej wydatne, a w końcu ^ znów podniesienie, rozciągające się na —* pewnej długości w dół rzeki. W zwykłych okolicznościach, gdy spadek, wydatek i długość zwężenia, są niewielkie, i l mało się różni od Z₀, wysokość tego końcowego podniesienia jest również mała, a ponieważ trudne jest oznaczenie punktów, w których się ono zaczyna i kończy, przeto się je pomija, przyjmując wykres osi hydraulicznej jak na rys. 90. Można wtedy obliczyć w przybliżeniu podniesienie mn = z₀, zapomocą wzoru (224), biorąc za U₀ i U ilorazy wydatku Q, przez powierzchnie przekrojów poprzecznych i stosując przytem spółczynnik ścieśnienia (o którym będzie mowa w rozdz. V) m — 0,8. W górze zwę-

żenią powierzchnia przekroju jest Z₀ (H-{-z₀) a prędkość w zwężeniu IH i U. będzie więc:

«0 (SĄ-Zo) U₀ — ml HU = Q,

skąd:

U₀ =

mlH ’

a po wstawieniu we wzór (224):

a Q²

Z0 =

2.9

m² Z² H ²

. (226)

*o²(# + »o)

Równanie to, trzeciego stopnia względem z₀, rozwiązać można przez kolejne próby albo też graficznie. Posługują się niem, przy obliczaniu podniesienia w górze projektowanego mostu, biorąc za Z₀ średnią szerokość rzeki przed zbudowaniem mostu a za l średnią szerokość przepływu pod mostem. Można także obliczyć l ze znanego Z₀ i postawionego à priori podniesienia z₀. Pamiętać należy wszakże, że obliczenie to stosuje się tylko do niewielkich podniesień, przy większych dawać może wyniki niezgodne z rzeczywistością.

46. Ruch nieustalony. Równanie ruchu ustalonego otrzymano z równań ogólnych hydrodynamiki (19, 20) przez pominięcie pochodnych cząstkowych, zmiennych p, p, u, v, w, branych względem czasu Z. W przypadku więc ruchu nieustalonego, do równania różniczkowego (201) dojdzie jeszcze ß d TJ ~dt~’

wyraz — i mieć będziemy.

w którym ß jest spółczynnik podobny do a,

dU

ds

ds

+iî(f/) + r

dt

•    (227)

Równanie ciągłości (29), kładąc w niem Q = co 77, będzie:

d(û

dU

. . (228)

4- U

dt    ds

Dla kanału o przekroju prostokątnym stałej szerokości i o stałym spadku, równanie (227) przybiera postać (204):

dS +7tri^r+1ż

a równanie (228):

dh

dU

co

dt

~r--1- h 4- u

dt    d s

ds

dh

9 (U)

.    (229)

, = 0 . . . (280) ds

Zadanie ruchu nieustalonego w kanale o przekroju prostokątnym, stałej szerokości i stałego spadku, sprowadza się więc do zcałkowania dwóch równań różniczkowych, o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu; zmienne niezależne są s i t a funkcye nieznane h i U. Całkowanie to możliwem jest tylko w przypadku, gdy druga strona równania (229) jest równą zeru.

Przyjmiemy więc, że spadek dna i jest tak mały, że może być pominiętym, równie jak i tarcie strug o ściany kanału. Inaczej mówiąc, przypuścimy, że tarcia zewnętrzne równoważą się ze spadkiem w ten sposób, że:

<?{U)

== 0.

W tym przypadku równania (229) i (230), kładąc jeszcze dla uproszczenia a = ß — 1, będą:

dh , U dJJ 1 dU _

¹

Cours de mécanique appliquée, profesé à l’École des ponts et chaussées, 2-e partie, Hydraulique. Paris 1868.

ds

ds

g dt ~

dh

dU

-f h dt '

a ponieważ prędkość U jest funkcyą sit, przeto:

d U    d U dh

ds    dh ds

i równania przyjmą postać:

dh ■ U d U dh . 1 d U dh

ds ' g dh ds

d U dh

dh ds

ds

+ u^ü = ⁰'

dU dJJ dh dt dh dt

⁺J

dh dt

- = 0 .    (231)

Aj

4- u

dh

ds

.    .    (232)

Biorąc wartość z równania (232) na wnanie (231), mamy:

dh , TJ dU dh    h I dU\² dh

dh ds    g \ dh I ds

Aj

i wstawiając w ró-

+T

ds

a po skróceniu:

U d U dh

g dh ds

dh

d U\²1

ds

dh

= 0.

Pierwsze rozwiązanie

dh

ds

= 0, daje h — ilości stałej,

czyli oś hydrauliczną równoległą do dna kanału, co odpowiada ruchowi jednostajnemu, dla którego istotnie Ri — <p (U)-

skąd U —

_ •.    .    . j . dU

dh

Drugie rozwiązanie daje:

= + 2 Kgr A-j-(7. Związek ten daje prędkość, na którymkolwiek przekroju poprzecznym, w funkcyi głębokości. Ilość stałą G oznaczyć można z wartości początkowych U₀ i A₀ :

C=U₀+2ŸgL.

Kładąc wartości U i

dU

dh

w równanie (232), otrzymujemy:

dh

-4- V g h dt — y

dh

dh

ds

± (2 V,k + C) ds

czyli:

dh

dt ±(3^A+C)

= 0.

Po zcałkowaniu, oznaczając przez cp funkcyę dowolną, otrzymamy:

s — + (3 Vgh -[- C) t -j- cp (A).

dU

dobrany będzie w każdym

dh ’

przypadku znak wartości 3 Vg A. Mając A wyrażone w funkcyi sit, można zapomocą równania U— + 2 ^ A -(- (7 wyrażać U w funkcyi tychże zmiennych.

Równanie to określa A w funkcyi s i i, daje profil osi hydraulicznej w jakiejkolwiek chwili, gdy znamy cp to jest profil w epoce poprzedniej, odpowiadającej np. t — 0. Stosownie do wartości początkowej

V. Okoliczności przypadkowe ruchu.

47. Otwór w cienkiej ścianie. Gdy szerokość brzegów otworu, w dnie lub ścianie bocznej zbiornika, jest mniejsza od połowy najmniejszego wymiaru powierzchni otworu, mówimy, że to jest otwór w cienkiej ścianie. Strugi cieczy, kierując się ku środkowi otworu, ze wszystkich stron, zbiegają się, tworząc żyłę i w niewielkiej odległości po za otworem, przyjmują kierunki równoległe. Pomiędzy otworem a punktem, w którym strugi stają się równoległemi, przekrój żyły się zmniejsza. Po za tym punktem zmienia się kształt powierzchni przekroju a wielkość jej pozostaje niezmienioną. Omawiane zjawisko nosi nazwę ścieśnienia żyły, a przecięcie poprzeczne najbliższe otworu, na którem strugi stają się równoległe-mi — nazwę przeeięcia ścieśnionego.

Po\

T-

Rys. 91.

we

Jeżeli poziom cieczy w zbiorniku lub naczyniu, z którego ciecz wypływa, utrzymywany jest na niezmiennej wysokości a jego powierzchnia jest bardzo wielka w stosunku do powierzchni otworu, to wypływ nie narusza równowagi cząstek znajdujących się na poziomie, albo też nadaje im prędkości tak małe, że mogą być pominięte. Biorąc więc na uwagę dwie cząstki: tn₀ (rys. 91) na poziomie cieczy wt zbiorniku i m na przecięciu ścieśnionem, których rzędne są z₀ i z a prędkości V₀ = 0 i T⁷, mieć będziemy ciśnienie powietrza p₀ w punkcie m₀ i takież ciśnienie p — p₀ na obwodzie przecięcia ścieśnionego. Ciśnienie to ma miejsce na całem przecięciu ścieśnionem, bo strugi przechodzące przez to przecięcie są równoległe, i ciśnienie rozchodzi się na przecięciu, jednostajnie wszystkich kierunkach.

Według twierdzenia Torricellego (68) prędkość cząstki m na przecięciu ścieśnionem wynosi V= V2 gh, czyli równa jest prędkości spadku z wysokości h. Nie należy wszakże zapominać, że wzór ten wywiedziony był dla płynów doskonałych, że w cieczach naturalnych mają miejsce tarcia międzycząsteczko-we, zwłaszcza gdy strugi zbiegając się ku środkowi otworu, nie mają kierunków równoległych, w skutku czego prędkość rzeczywista musi być nieco mniejszą:

.    .    (233)

V = cp /2 gh .    .

Doświadczenie wykazało, że spólczynnilc prędkości cp , bliski jedności i często pomijany w rachunkach, zmienia się w ciasnych granicach, od 0,96 do 0,98. Przyjmując wartość <p = 0,98, obliczyć możemy stratę naporu przy wypływie przez otwór w cienkiej ścianie, to jest różnicę między napo-rem teoretycznym a rzeczywistym:

V²    rfV²_ V²

(1 — T²) = 0,04 ht,

2g 2 g 2g wynoszącą 4 % naporu teoretycznego, czyli wzniesienia poziomu cieczy w zbiorniku ponad środkiem otworu. Spółczynnik

oporu, to jest stosunek tej różnicy do naporu rzeczywistego:

T²

Gdyby prędkość Vn na poziomie cieczy nie mogła być pomijaną, wtedy z twierdzenia Torricellego otrzymalibyśmy V— 12 gh -|-F₀². Jeżeli żyła cieczy nie wypływa z otworu na powietrze, ale wchodzi do naczynia napełnionego cieczą, której poziom ma stałe wzniesienie, wtedy otwór jest zatopiony. Prędkość na przecięciu ścieśnionem daje wtedy również wzór (233), ale h przedstawia różnicę poziomów w dwóch zbiornikach lub naczyniach.

Ponieważ na przecięciu ścieśnionem wszystkie cząstki cieczy mają jednakową prędkość, więc wydatek otworu Q otrzymamy, mnożąc przez tę prędkość powierzchnię przecięcia ścieśnionego. Jeżeli powierzchnię otworu oznaczymy przez co. to powierzchnia przecięcia ścieśnionego będzie m co, gdzie m jest spółczyunikiem ścieśnienia, a wydatek otworu będzie:

Q = m(û.yV2gh=\xiùV2gh. .    .    (235)

Iloczyn m cc = jjl stanowi spólczynnik wydatku, zmieniający się razem z kształtem otworu i wysokością h. W przypadkach, gdy wymiar pionowy otworu jest bardzo mały w stosunku do h, spółczynnik wydatku waha się w granicach 0,57 do 0,70 i zwykle jest bliski 0,62.

Dla otworów okrągłych od 0,006 m do 0,3 m średnicy granice te są jeszcze więcej zbliżone, jak pokazuje tablica 8, obejmująca wyniki doświadczeń H. Smith’a x).

TABLICA 8.

0,30 m 0,18 m 0,06 m ¹ 0,03 m \ 0,015 m 0,006 m

Wzniesienie po- Wartości spółczynników wydatku dla otworów ziomuwody nad kołowych, w cienkiej ścianie pionowej, o średnicy: środkiem otworu h

qO^htHOOOOOOO

i-HCO_05^o ö'ö'd'd'd'o' -T <nT co' <xT

ooocTocToocT

, O *"H ł“H O t>» CO CO >0 05 050505005 05 005 lOOOlOlOlOlOlOO

OO OOOOOOoo

Cń Cń 'Ćjn 'qi qi 'çjx 'ęji "ęjn CO CO CO CO cO CO co CO CO CD

oo «<1    ^ ^ co

o co CO CO

HHH005 0i®COI>!0 0000050505050505 CO^CO^OO^CO    O O lO o

OO^OOOOOOOO

ö'oö'od'oddoö'

O» G5> 05 O O 05 O 05 Oi COCOOOOOO>— ^ ^ 05 OOOCOCOrf^OOOt—‘CO

•^(MONOCOO

CM'MC'dr-Hr-HOOOO

CûcOîûCDCicOvOCOCDO

cToooooooocT

CO 1-H

co

00

»O

LO »o CO co

ooooooocToo

oo ^

co

CO CO CO

05 05 05 05 05

O •—¹ >—‘ co co

I—‘ I—‘ ^ CO

') Hamilton Smith. Hydraulics. London 1886.

Jeżeli otwór ma większe wymiary, co najczęściej spotyka się w praktyce, niepodobna już wtedy przypuszczać, że wszystkie cząstki cieczy mają jednakową prędkość na przecięciu ście-śnionem; że zaś wzór (235) opiera się na tern przypuszczeniu, wynikałoby stąd, że nie można go używać w tym przypadku; wszakże tak doświadczenie jak i rachunek wykazują, że wzór (235) daje wyniki bliskie rzeczywistych, dla wielkich otworów, jeżeli za wysokość h brać będziemy odległość pionową środka ciężkości powierzchni otworu od poziomu cieczy.

Podzielmy powierzchnię otworu w ścianie nachylonej do poziomu pod kątem 0, na paski szerokości x a wysokości dy. Wydatek każdego paska, którego odległość pionowa środka ciężkości od poziomu cieczy wynosi z, będzie według wzoru (235):

jj. x dz sin 0

Znając kształt otworu, to jest funkcyę x = f (z), można zcałkować to wyrażenie w granicach z₁ i z₂, rzędnych dwóch punktów obwodu położonych najdalej i najbliżej poziomu cieczy i otrzymać Q. W przypadku otworu prostokątnego w ścianie pionowej, szerokości a, wysokości b = z₂—zt '•

dQ = \ial'2gz.dz,

y2 g z. .    .    (236)

dQ — \xx dy V2g z ==

Q — \^a J y 2 g z

(JL a

Si

(/ 2 g j V z

dz —

<N CO

a y 2 g{zf—z*)y

a że:

więc:

co = ah = a (z₂—zJ

(N 'CO

co V2 g

.    .    (237)

z2—S.

Ułamek ostatni jest prawie równy * V^ (s₁-|-z₂), a że odległość środka ciężkości prostokąta od poziomu cieczy h = ^ (zj -j- s₂), więc wracamy do wzoru (235):

Q — jjl co y2g h.

Wywiedzione wzory odnoszą się do przypadku ścieśnienia całkowitego, gdy żyła cieczy podlega ścieśnieniu na całym swym obwodzie. Grdy wszakże brzegi otworu są w pewnych swych częściach przedłużone na wewnątrz zbiornika, lub schodzą się z jego dnem lub ścianami, wtedy ścieśnienie żyły w tych częściach obwodu nie następuje i jest czastkowem. Jeżeli przez k oznaczymy stosunek części obwodu dającej ścieśnienie do całego obwodu otworu, to według doświadczeń Bidone’a, spół-

.    .    (238)

czynnik ścieśnienia cząstkowego wyraża się w funkcyi spół-czynnika ścieśnienia całkowitego [i wzorem:

fi/ =: p. (1 “I⁻ 0,15 &) .

W praktyce, zwłaszcza przy większych otworach, bezpieczniej jest zamiast wzoru (238) używać wartości spółczynni-ków wydatku obliczonych doświadczalnie przez inż. Graëff’a ł) dla otworów prostokątnych w ścianie pionowej zbiornika, dających całkowite lub cząstkowe ścieśnienie żyły wodnej. Wartości te streszcza, dla siedmiu przypadków położenia i ustroju brzegów otworu, tablica 9, stosująca się tylko do otworów, których szerokość nie przewyższa 20 razy wziętej wysokości. Przypadki uwzględnione są następujące:

A.    Otwór w cienkiej ścianie, odsunięty od dna i ścian bocznych zbiornika, dający całkowite ścieśnienie żyły wodnej.

B.    Otwór w cienkiej ścianie, którego brzegi pionowe stanowią przedłużenie ścian zbiornika, dający ścieśnienie cząstkowe żyły wodnej, na wierzchu i na spodzie.

C.    Otwór w cienkiej ścianie, którego brzeg dolny schodzi się z dnem zbiornika, tak że żyła wodna nie podlega ścieśnieniu od spodu.

T>. Otwór mający tylko brzeg górny zaostrzony, tak że ścieśnienie żyły ma miejsce tylko na wierzchu.

E.    Otwory, mające brzegi od 0,04 m do 0,05 m szerokie, odsunięte od dna i ścian bocznych zbiornika (zwykłe otwory sta wideł drewnianych).

F.    Takież otwory z brzegami pionowymi, stanowiącymi przedłużenie ścian zbiornika (jak B).

O. Takież otwory, w których ścieśnienie jest usunięte na dnie i z obu boków (jak D).

r1-T

hz

-8

Spółczynniki wydatku mierzone były przez inż. Graëff’a dla powyższych siedmiu typów otworów w dwóch różnych warunkach, mianowicie przy swobodnym wypływie wody na powietrze i przy otworze przedłużonym łotokiem czyli rynną jednakowej szerokości z otworem, tak krótką wszakże, że ruch jednostajny nie mógł się w niej ustalić. W obu tych przypadkach spółczynniki obliczane były dla otworów większych i mniejszych, tych ostatnich nie przekraczających 0,03 m wysokości. Spółczynniki zależne są od stosunku naporu na górny brzeg otworu, do wysokości otworu czyli do różnicy naporów na brzegi dol-

Rys. 92.

ny i górny, t. j. od stosunku -

^2

— (rys. 92).

K

*) A. G-raëff. Traité d’hydraulique. Paris 1882.

TABLICA 9.

Wartości spólczynników wydatku dla otworów prostokątnych.

Ai

hz—hi

Otwory wielkie (wysokość > 0,03 m)

Położenie i ustrój otworu

Otwory małe (wysokość < 0,03 m)

Położenie i ustrój otworu

40

100

400

1000 i więcej

10

20

40

100

400

1000 i więcej

^ -

m CO O H H O Ob OO CO CO t^    t>- COCO^CO^

^ oooo ö'ö'ö'o lOt-oooo oo co co co

P?    CO cû CD CO CO CO CO CO

è O o o ©_© O O P    0

t> b®®CO OOOCINN p- !>. CO CO CO COCOCOCO

oooo © o* ©~ ©

_J t^ [>-[>- CO CO CO iO O co CO CO cO cO CO CO CO

d’d'dd oooo"

O00 00 NOOO co CO CO CO CO COCOCO

cTo'o ©~ oooo

r-H Od C<J ł-H *“H O O O

cocococo cocococo oooo dodo

03

•<

pppp pppp ®0®05 OJ OJ OJ CN O O O >—¹ i—‘ł—‘i—'-o

pppp pppp Oj Oj Oj Oj Oj Oj Oj Oj O O O CO OJ OJ UJ. tfr. PPPP PPPP OJOJOJOS OJ OJ OJ OJ tO to tO Oi OJ 03 to O

PPPP PPPP OC> 05 Oi Ci 05 05 05 05

Ql O' pi ^ o

łJCC-t iO rH CO CO CO co CO CO CO co CO CO CO

o o o* o o" o o o

OCDN N

CO CO CO CO CO CO CO CO

dodd" ö'ö'ö'o’'

cr

tSJ

05

■    ■    ■__—— o =

PPPP    PPPP    p,

PPPP    PPPP    p

OQMto    «<1    _

PPPP    PPPP    g

05> Ob 05» Ob Ob Ob Ob    M

tO OO 00 ^ cn Ob 0_

PPPP    pppp    *0

pp'p'p    'p'p'^o'^    9

-•J 00 00 CO    tOOOH    ^

pppp    pppp    g*

05 05 05 05    -<1 *<1 “<] ■<!    ^

^3 Q0 CO CO    O O >—* tO    3

POCO    pppp    P

Ob 05 05 05    *<] “<1 "<] •<]

OO OO CC CO    OOP»—*

pppp    oooo

K- t-- to 00

—

Ht-

•g

P

0,65

0,64

0,64

0,63

g-

0,67

0,66

0,65

0,64

0,67 0,69 0,67:0,68 0,67 0,68 0,66 0,68

0,68

0,70

^ H O

oo co oo OOP

0,62

0,63

0,67

0,71

0,67 0,71

0,67

0,70

0,61

0,60

0,60

0,62

0,61

0,61

0,66 0,67 0,65 0,67

0,65

0,66

0,64

0,66

0,66

0,66

0,65

0,65

0,70

0,69

0,68

0,67

CS

pop

'booo'oo

i—¹¹ rf»- OJ

Zadanie 41. Jaki jest wydatek otworu trapezowego (rys. 93) w ścianie pionowej?

Wzór (236), dla 6 = 90°, daje:

skąd:

d Q = fiæ dz y2 g z,

= F- J/2 gfx ]/s

. dz.

<52

Równanie x = f (z) będzie dla trapezu:

a — b .

Rys. 93.

a po wykonaniu działań:

2 J/2 g

-- -

Ä1 ~ s₂ L

azi—bz₂

ri_j')    \ h

fUA (2, - 2, ).

5

‘IE

K-

Rys. 95.

Zadanie 42. Jaki jest wydatek tegoż otworu, gdy bok a leży na poziomie wody?

n    a — b

z₂ = 0, x — a--z

«i

H (2 a + 3 b) z, J/2 g z, .

Zadanie 43. Dwa zbiorniki (rys. 94) mają w ścianach bocznych otwory o powierzchniach iu, , tu,. Jaki będzie stosunek wysokości h, i Ä, po ustaleniu wypływu?

Dla otworu tot wzór (233), przyjmując <p = 1, daje F,² = Z g hi ', dla otworu zatopionego ui₂ tenże wzór: V,² — 2 g h₂. Ponieważ po ustaleniu ruchu:

CJ₀

—

- — Jr.

",

Rys. 94.

więc:

tu, Fj — cu₃ r₂,

vU | /Ł ^ - tUv " ]l₂ .

Zadanie 44. Jaka jest prędkość wypływu i wydatek otworu na dnie zbiornika (rys. 95). Wymiary dna i otworu są:

a—4 m, b—3 m, c=ócm, d—3cm.

Stała głębokość wody w zbiorniku h = 0,8 m, ciśnienie wewnętrzne 1,2 At, zewnętrzne 1 At.

Napór w otworze będzie:

Po — P

po

3E

liii

H=hĄ

0,8+ 0,2.10,333 ==

— 2,867 vi. Prędkość wypływu:

V =0,97 J/2 g H= 7,278 m.

Przy cząstko wem ścieśnieniu żyły, stosunek k we wzorze (238):

k = 11:16,

skąd: [i' = 0,68,

£=0,68 .3.5.727,8 cra³=7,425 litr./sek.

48. Przystawki. Przy wypływie przez otwór w cienkiej ścianie, spółczynnik wydatku p. zależy od kształtu otworu, którego brzegi mogą być mniej lub więcej ostre i powodować mniejsze lub większe ścieśnienie żyły. Spółczynnik wydatku zmienia się więcej jeszcze przez umieszczenie w otworze rurek dodatkowych czyli przystawek, jak przedstawione na rys. 96. Przystawki mogą być wewnętrzne, wchodzące wewnątrz naczynia, jak 7, 77, i zewnętrzne, jak IV i F (III jest otwór w cienkiej ścianie) i stosownie do wielkości kąta S wytwarzają mniejsze lub większe ścieśnienie żyły, jak to wykazują wartości spół-czynnika ji, obliczone doświadczalnie przez Weisbacha dla pięciu typów otworu, przedstawionych na rysunku. Przystawka V ma brzegi zaokrąglone tak, że jej profil zbliża się do profilu żyły wodnej, wychodzącej z otworu w cienkiej ścianie.

£ / J" H k k IV

S'-45° (J--0,703    0,954

V(t|is(^k V, V', '

/U- 054/ 056-0,6 Qó/Ś- Û62

Rys. 96.

Przez dobór odpowiedniego zaokrąglenia doprowadzać można spółczynnik ^ do wartości 0,98, pamiętać należy wszakże, że |T = w cp i jeżeli spółczynnik ścieśnienia m przedstawia zmniejszenie wydatku otworu, to spółczynnik prędkości cp określa

p2

stratę naporu, wynoszącą według równania (234)    (1—cp²).

Po

Strata naporu staje się większą jeszcze w przystawkach zewnętrznych cylindrycznych (rys. 97), gdy żyła wodna wychodząca z otworu ab, uległszy ścieśnieniu na przecięciu cd, zaraz potem się rozszerza, wypełniając całą przystawkę, której przekrój poprzeczny w jest równy powierzchni otworu.

Rys. 97.

Wszelka bowiem nagła zmiana przekroju prądu ciekłego wywołuje wzburzenie i stratę energii, objawiającą się przez obniżenie płaszczyzny naporu, jak to Avykazuje wzór (70). Grdy prędkości strug nie są jednakie na przecięciu poprzecznem prądu, rzeczywista strata naporu jest jeszcze większa (§ 18), a nadto uwzględnioną być winna strata naporu wynikająca z tarcia cząstek o ściany przewodu, w którym prąd płynie. W tych warunkach całkowita strata naporu, wynikająca z nagłego powiększenia przekroju prądu między przecięciem cdi otworem ef, przedstawioną być może według doświadczeń Bordy wzorem:

hs — -

(U₀-U)>

co : i—¹

.    .    (239)

w którym prędkość średnia U zastępuje prędkość pojedynczej strugi V, jaką mieliśmy we wzorze (70). Że zaś przy prądzie ustalonym: (o₀ U₀ = oo £7, a powierzchnia przecięcia ścieśnionego cd jest <D₀ = w w, więc:

he =

U²

O)

O)₀

^r+łj

[fe-r+i]

. . (240)

a kładąc (§ 47) ni = 0,62:

£/²

Äs ~ 0,49 —

•    •    (241)

Stosując twierdzenie Bernoulli’ego, przy uwzględnieniu tej straty naporu, między poziomem cieczy w zbiorniku a otworem ef, mamy:

zo +

Po _

U²

to h-

2 9'

skąd, ponieważ z₀ — z = h :

wreszcie:

=T*’

f/ — 0,82 Ÿ2 g h

.    .    (242)

a wydatek przystawki:

Q = 0,82 iû V2gh, . •

.    .    (243)

większy niż przy otworze w cienkiej ścianie, gdzie był równy 0,62 oo ^2 g h- To powiększenie wydatku jest wynikiem zmniejszenia ciśnienia na przecięciu c d. Jeżeli bowiem ciśnienie to oznaczymy przez p, a prędkość na przecięciu cd przez Uy mieć będziemy według twierdzenia Bernoulli’ego:

Us

j-A

'    7 ’ *

.    .    (244)

a że: Z7i m co = U oo, skąd:

U 0,82

0,62

. (245)

więc:

Po —Pi _

Zmniejszenie ciśnienia na przecięciu ścieśnionem żyły w przystawce cylindrycznej wykazał słynnem doświadczeniem Yenturi (rys. 98). Napór całkowity h uważać można jako

złożony y dwóch części: jednej równej:

• 2

(0,82)²ä — 0,6724 h czyli prawie — h

O

2 g'

odpowiadającej prędkości U z jaką woda wychodzi z przystawki

i drugiej prawie równej — h, przed-

o    .

stawiającej stratę napom w przystaw-ce. Wynika stąd, że podczas przejścia wody przez przystawkę, płaszczyzna naporu obniża się o h, czyli o:

O

1 u²

1—1 CO

toi a

rr

%/?

Wzór (241) pozwala obliczyć stratę naporu, przy wejściu wody ze zbiornika do rury, wzmiankowaną w § 29, gdyż wejście to odbywa się zupełnie w ten sam sposób jak do przystawki walcowej (rys. 98).

Rys. 98.

W przystawkach ostrokręgowych zbieżnych, gdy kąt u wierzchołka ostrokręgu nie odpowiada profilowi żyły ścieśnionej, ma także miejsce strata napom. Prędkość przy wyjściu z przystawki jest tylko ułamkiem V2gh, czyli ^ Ÿ2 g h.

Jeżeli powierzchnię wylotu oznaczymy przez Wj, będzie

wydatek:

g = (o₁ V2gh,

prędkość średnia przy wyjściu:

= t* Ÿ2gh,

napór:

a strata naporu w przystawce:

h—^h = (1—^²)

.    .    (246)

V? 2 g '

Doświadczenia wykazały, że maximum wydatku ma miejsce, gdy kąt przy wierzchołku ostrokręgu wynosi około 12° i wtedy jr = 0,95. Rury wylotowe używane przy wężach si

F. K- Hydraulika.

li

kawek zaopatrywane są w przystawki składane, jak na rys. 99. Badając doświadczalnie te przystawki, znalazł Freeman:

dla wylotu A

{i = 0,976 ^

[Ł = 0,971 j

W przystawkach ostrokręgowych rozbieżnych, gdy rozszerzenie jest niewielkie, tak że żyła wciąż dotyka ścian we-

•    (247 )

63S

00'

-v<\

/A

<V

762.

Mi.

O»'

«0'

<\j

Rys. 99.

wnętrznych przystawki, strata naporu bywa nieznaczną. Prędkość przy wyjściu jest więc teoretycznie równa /2 gh, przy jakiejkolwiek powierzchni otworu EF (rys. 100). Wynikałby

stąd paradoks, że można nieograni-czenie powiększać wydatek, przedłużając przystawkę. W rzeczywistości mają tu miejsce straty naporu, trudne do obliczenia, ale wykazywane doświadczeniami. Nadto, gdy prędkość U = V 2 g h w otworze EF o powierzchni o),

to na przecięciu GD o powierzchni w₁ prędkość =

.D

Rys. 100.

U co

Ü>1

jest tern większa, im stosunek Ul według twierdzenia Bernoulli ego (244):

Po - Pi

—- jest większy, a ta prędkość ®i

Ut> =2 g\h +

Ciśnienie px nie może być zmniejszanem nieogranicze-nie, nie tylko bowiem nie może być odjemnem ani dochodzić do zera, ale nawet nie może schodzić poniżej pewnego ułamka

(np. połowy lub trzeciej części) ciśnienia atmosferycznego p₀. Poza tą granicą wydziela się powietrze rozpuszczone dzie i następuje wypływ burzliwy. Gdy woda wychodzi z przystawki na powietrze, to ponieważ —A wynosi około 10 m, wy-

w wo-

raz —

nie może praktycznie przekraczać 5—7 m. Przyjmując, że schodzi do zera, największa prędkość, jaką można osiągnąć, nie może być większą od:

Z7t — Ÿ2g (h -f- 10m).

Gdy więc woda wychodzi z przystawki na powietrze, byłoby bezużytecznem powiększać stosunek — przecięć EF i CD

ponad granicę odpowiadającą powyższej wartości Ul :

co

Ux

C0₁ U

V2 g Q-f-10™) V2gh

Większa wartość tego stosunku nie dawałaby już regularnego wypływu i istotnego powiększenia wydatku. Wydatek więc przystawki ostrokręgowej rozbieżnej, przystosowanej do przecięcia ścieśnionego co₁, przy naporze h, nie może być większy od:

Wj Ux = ü)₁ Ÿ2g ( h -[- 10m) ,

a dla pewności lepiej będzie brać pod pierwiastkiem h -j- 7*» zamiast h -j- 10m. Aby otrzymać powiększenie wydatku przy użyciu takiej przystawki, trzeba aby przystawka miała ściany szczelne, nie przepuszczające powietrza i aby ciśnienie atmosferyczne nie dochodziło do wnętrza przystawki. W razie przeciwnym nie otrzymuje się żadnego powiększenia wydatku, jak to wykazał Yenturi, wiercąc w ścianach przystawki małe otwory.

Przystawki ostrokręgowe rozbieżne stosowane są na wielką skalę przy otworach szluzowych zbiorników płucznych, gdzie chodzi o osiągnięcie maximum wydatku tych otworów. Gromadzona w tych zbiornikach woda, podczas największych przypływów, wypuszczana jest dla pogłębiania i czyszczenia kanałów wejściowych w portach, podczas odpływów morza.

49. Wytryski, żyła wodna, wytryskająca swobodnie, z powodu oporu powietrza i działania siły ciężkości, zmienia kształt przekroju i stopniowo traci swą spójność. Od jej trzonu oddzielają się pojedyńcze krople, a w końcu żyła zamienia się na deszcz. Gdy napór jest znaczny a ścieśnienie małe, żyła trzyma się dłużej w spójności.

Jeżeli przez mały otwór w ścianie pionowej zbiornika wytryska żyła z prędkością U, to jej struga środkowa zakreśla parabolę, której spółrzędne odniesione do osi prostokątnych, mających początek w otworze (rys. 104, str. 166), będą, oznaczając czas przez t :

a*

■    .    (.248)

X — U t,

Kdgując t i kładąc g = 9,81 m, otrzymujemy:

U = 2,2146

.    .    (249}

prędkość wypływu w funkcyi spółrzędnych któregokolwiek punktu strugi. Wzór ten, w razie możności dokładnego obliczenia spółrzędnych AXA i AB (rys. 104, str. 166) służy do obliczenia wydatku otworu.

Przekrój żyły, wychodzącej z otworu kwadratowego w ścianie pionowej zbiornika, zmienia swój kształt, jak na rys. 101,

/>

stając się najprzód ośmiokątnym, a następnie gwiaździstym. Przyczyną tak zwanego wywrotu żyły jest ściąganie się powierzchni zewnętrznej, stępiające najprzód kąty kwadratu a następnie wywołujące zaklęśnięcia nowo powstałych boków. Zjawiskiem tem, nie ma-jącem praktycznego znaczenia, zajmowali się gorliwie dawni hydraulicy.

L----

Gdy żyła wychodzi przez otwór okrągły na dnie zbiornika (rys. 102), wtedy na pewnej głębokości zx pod poziomem AB, ma pewien przekrój rx² îu, na większej s₂, w skutku zwiększonej prędkości przekrój mniejszy r₂² %. Prawo ciągłości wymaga, aby było:

rl² ^üi — r* tu U₂ . Wstawiając:

Rys. 101.

U₁ = V 2 g zx,

U₂ — V 2 gz2r

otrzymujemy związek między r i z:

rł ²2 = rl4 Z1 >

albo

r.₂ = rx

²i

Dla 3 = 0, r — oo, co zgadza się z przypuszczeniem, źe na poziomie AB, U — 0 i powierzchnia przekroju żyły jest nieskończona.

-t-

/    ;i|'i

iiiM

-Ä

rz F

Rys. 102.

Podobny kształt winienby mieć wytrysk skierowany pionowo w górę, gdyby nie było strat naporu i gdyby cząstki cieczy, dochodzące do szczytu wytrysku, pod działaniem siły ciężkości, nie wstrzymywały ruchu cząstek następujących, skutkiem czego wytrysk przybiera kształt jak na rys. 103. Na różnicę wysokości h — s, z których pierwsza jest wzniesieniem płaszczyzny naporu a druga rzeczywistą wysokością wytrysku, obok straty naporu w rurze doprowadzającej i oporu powietrza, wpływa

-B

U--o

-    , Tl

_R) Ajp-v .

i l \ h

---1

Rys. 103.

głównie wzmiankowane opadanie cząstek cieczy u szczytu, tak że wytrysk lekko nachylony, wznosi się wyżej od wytrysku pionowego. Bossut, Weisbach, Lueger, podali wzory wyciągnięte z doświadczeń nad wytryskami pionowymi³), a Freeman dla wylotów gładkich (rys. 99), zwracając uwagę na stan powietrza podczas doświadczeń, otrzymał wzór:

A²

s = h — 0,000113 -vr

.    .    (250)

«) Teoryę wytrysków i wzory praktyczne podał inż. H. Czo-powski w pracy p. t. „Z teoryi wodotrysków“ w Przeglądzie Technicznym z r. 1902.

w którym D oznacza średnicę wylotu. Najmniejszy jednak podmuch powietrza nie dozwala wytryskowi wznosić się na tę wysokość, a strumień pozostaje pełnym i wywierającym skuteczne działanie gaszące, przy wartościach:

5 = 15,2    22,9    30,5    38,1    45,7 metrów,

tylko do wysokości wynoszącej:

0,88 s, 0,79 s, 0,73 5,    0,67 5,    0,63 5.

Przy badaniu doświadczalnem sikawek oznaczał Freeman stratę naporu, w wężach z różnych materyałów. Stosując do ruchu wody w wężach wzór (94), otrzymał wartości spółczyn-nika b, podane w następującej tablicy:

TABLICA 10.

Wąż sikawki

Spółczynnik b wzoru (94)

Gumowy najgładszy..........

„ zwyczajny..........

Bawełniany, wewnątrz gumowany, najgładszy

b. chropowaty

0,000215

225

221

)}    r>    r

Lniany lub konopny zwyczajny Skórzany wyborowy.....

408

533

343

Zadanie 45. W ścianie pionowej zbiornika (rys. 104) zrobione są, jeden nad drugim, dwa otwory: jeden na głębokości hl pod poziomem cieczy, drugi na wysokości h₂ nad podstawą AB. Jaki ma

i rr™

r\>

Rys. 104.

być stosunek tych wysokości, aby żyły wodne, wychodzące z otworów, schodziły się na podstawie w B.

Według wzorów (248), mamy dla górnego otworu:

2 ¹ « hl =    2 g t² =

4 A,

x—Ut= t J/2~ghu

a dla dolnego:

x= Ut — ł V2g (h—h₂),

y = h₂ = y Q t²

,r-

4 (h—h₂) '

Rugując —j— z obu równań, otrzymujemy:

(h — hi) hi — (h — h₂) h₂

czyli hi = h₂.

Zadanie 46. Ile wody dawać będzie sikawka, działająca pod ciśnieniem 4,6 at., której wąż, wewnątrz chropowaty, 210 m długi, 5 cm średnicy, ma rurę wylotową zakończoną przystawką o wylocie 1,5 cm średnicy i jak wysoko sięgać będzie strumień?

Prędkość JJ w wylocie przystawki odpowiada prędkości 0,09 U w wężu. Przy wejściu wody do węża ma miejsce (241) strata

~2g- Tarcie o ściany węża daje stratę naporu (94) przy

spółczynniku (według tabl. 10) 0 = 0,0004. W przystawce, według wzoru (246), biorąc fi = 0,975, strata naporu wynosi:

1 — 0,95    Z7²

naporu 0,49

a napór w wylocie:

0,95    ' 2 g ’

I7²

= 0,051 Z7².

Całkowity więc napór 46 m zużyty będzie jak następuje: 4.0,0004. (0,09 uy

46 = 0,49 (0,09 Uf 0,051 4

0,05

210 + 0,05. UK 0,051 +

+ U- 0,051 = (0,0002 + 0,0544 + 0,0026 + 0,0510) Z7² = 0,1082 Z7².

skąd U = 20,6 m/sek. Przy wylocie o powierzchni 1,77 cm? sikawka dawać będzie 3,65 litr./sek. = 219 litr./min. Napór na początku rury wylotowej wynosi:

(0,0026 + 0,0510) C7S = 0,05636.424 = 22,7 m.

Według równania (250) otrzymaćby można strumień pionowy, którego najwyższe krople dosięgną wysokości:

22,7 — 0,000113

515

= 22,7 — 3,9 = 18,8 m,

0,015

pełny strumień sięgać będzie do wysokości 0,79 . 18,8 = 15 m.

50. Nagła zmiana średnicy rury. Przy nagłem powiększeniu średnicy rury zachodzić mogą dwa przypadki. G-dy rura

kowo znaczna, wtedy żyła wodna przechodzi przez rurę szerszą, nie dotykając jej ścian i wypływ nie powoduje żadnej miejscowej straty naporu. W drugim przypadku, gdy rura dla prędkości U₀ jest dostatecznie długa (rys. 105), wtedy woda napływająca napełnia ją całkowicie i następuje częściowa przemiana energii kinetycznej w potencyalną (§ 12)

szersza jest krótka a prędkość U₀ w rurze węższej stosun-

szersza

oraz strata naporu, według wzoru (70):

Pa » Ł7q²₌ P 7    ' 2g    7 ' 2g

(0

po położeniu U₀ = —— U — n JJ, wynosząca:

[]2

Z7² .    (U₀-U)

O)₀

(t/o —C7)²

U²

Öl 'S/

2.9

29

/V<?

Z/

e /r,

fo :

7";

~ćj—

<z-

ËS

Rys. 105.

ru c :

Stosunkowi przekrojów w odpowiadają spółczynniki opo

1,3    1,5

0,25

co

5    10 50,

16 81 2401.

Wysokość ciśnienia, która przed nagłą zmianą średnicy wynosiła staje się równą , a różnica:

— 2 (» — 1)

.    .    (252)

P—Po.

wytwarza działanie ssące w rurze c. Jeżeli ta rura połączoną zostanie ze zbiornikiem dolnym, którego poziom leży pod osią a b, na głębokości:

— Pa

h"<p.

to woda ze zbiornika dolnego wciąganą będzie do rury szerszej, a mieszanina obu wód wychodzi z rury szerszej z prędkością U.

Na tej zasadzie x) budowane są tak zwane pompy prądowe czyli smoczki wodne, przepompowujące wodę ze zbiornika dolnego C do zbiornika B pod działaniem prądu, wychodzącego ze zbiornika górnego A (rys. 106) z prędkością U₀, zmie-

-- A

ho

h"

ti

i..

Rys. 106.

niającego nagle swój przekrój o)₀ na m w D. Teoretycznie, pomijając tarcia w miejscu rozszerzenia prądu, skuteczność tego działania jest równa stosunkowi różnicy ciśnień -—— do

T

różnicy wysokości odpowiadających prędkościom:

(n² — 1)

Ut

U²

czyli równa:

P— Po

2 (n — 1)

n² — 1

h —jr- Jl’

Jeżeli przez Q₀ oznaczymy wydatek rury doprowadzającej wodę ze zbiornika A, to 7 Q₀h przedstawiać będzie całkowitą energię zużywaną na podnoszenie ilości wody Q' na se-

>) Działanie ssące, wykazane doświadczeniem Venturi’ego (rys. 98), służył© za podstawę przy projektowaniu w początku XIX w. różnych przyrządów do osuszania bagien we Włoszech. Należała do nich „trąba hydrauliczna“, opisana w artykule: „Pomysły techniczne generała Sokolnickiego“ (Przegląd Techniczny r. 1905).

kundę, na wysokość h'. Skuteczność więc pompy prądowej

, który w praktyce wynosi zaledwie

0,1 do 0,3. I inne przyrządy, oparte na tej samej zasadzie, jak smoczki parowe, dmuchawki parowozowe, miechy wodne, mają równie małą skuteczność, a rozpowszechnienie swe zawdzięczają wyjątkowej prostocie ustroju, która je czyni w wielu przypadkach jedynymi, nadającymi się do użycia.

Przy nagłem zmniejszeniu przekroju (rys. 107), następuje najprzód ścieśnienie żyły, nieco odmienne niż przy otworze w cienkiej ścianie, a następnie rozszerzenie, jak w przystawce cylindrycznej. Spółczynnik ścieśnienia m

= n mniejszego od jedności

wyrazi się stosunkiem

Q'h

Q„h

—- u»\ ~£rf~^ù>tcâr

Rys. 107.

co

zależy tu od stosunku

°>o

a w wyrażeniu straty naporu Ç Weisbacha:

spółczynnik oporu według

.    .    (253)

i dla n = 0,01 m = 0,60 C = 0,50

0,2    0,4    0,6    0,8

0,46

<M (N

03 Ol

o CO

00

—~u°\ -^î

Rys. 108.

Jeżeli woda z rury szerszej o>₀ wchodzi do rury węższej (o, przez otwór w cienkiej ścianie (Oj (rys. 108), wtedy:

C = 0,04

( - U ( -

\ (Oj /    \ m (Oj

•    .    (254)

i gdy (Oj < 0,1 (o₀ , to przyjmować można m = 0,63, gdy zaś <Oj ^ 0,1 o>₀, to:

dla —±- = 0,1    0,2    0,4    0,6    0,8

(0₀

m = 0,63    0,64    0,67    0,72    0,85.

Jeżeli (o₀ == w, pozostaje tylko otwór w cienkiej ścianie przegradzającej rurę, której średnica nie ulega zmianie.

51. Wypływ przez otwór, pod zmiennym napo-rem. Na dnie zbiornika, którego przekrój poziomy o powierzchni S jest stały, zrobiony jest otwór o powierzchni to. Przyjmujemy, że to jest bąrdzo małe względem S i znając wysokość k poziomu wody w zbiorniku nad otworem, w chwili otwarcia otworu, oznaczymy czas, w ciągu którego następuje całkowite opróżnienie zbiornika.

Jeżeli w chwili t wysokość wody w zbiorniku jest z, to w bezpośrednio następującym przeciągu czasu dt wypływa przez otwór (235) objętość {iw V2gz . dt. Ponieważ jednocześnie poziom wody w zbiorniku obniża się o wysokość de, więc objętość ta jest równa — S d z, tak że:

z . dt — — S dz .    .    .    .    (255)

m to

albo:

m to ,,—

—£ - y 2 g . dt =

Czas T, w ciągu którego zbiornik całkowicie się opróżni, otrzymamy, całkując to równanie w granicach od h do 0:

Vz

= 2 Vh,

skąd:

2 SVh

.    .    (256)

V2g

Czas t, w ciągu którego poziom wody w zbiorniku zejdzie do wysokości z, będzie:

?n to

m to

Vz

= 2 (Vä — y z),

(Vh — Vz) ....    (257)

m to

!/2g

Gdy powierzchnia Ä przekroju poziomego zbiornika nie jest stałą, ale zmienia się razem z obniżaniem poziomu, to jest razem z z, wtedy równanie (255) ma kształt:

m to

y 2 gzdt = —/ (z) dz

i czas T, w ciągu którego zbiornik całkowicie się opróżni,

otrzymać można z wzoru:

/(z) dz

¹ i

p. (o V2g J Vz

O

Grdy wartości S, odpowiadające różnym z, różnią się między sobą nieznacznie, zastąpić można całkę we wzorze (258) średnią wartością powierzchni S. ł)

Zadanie 47. Pod jakim stałym naporem średnim wypływałaby ze zbiornika taż sama objętość wody. jaka wypływa w ciągu czasu t według wzoru (257), gdy poziom wody w zbiorniku schodzi z wysokości h do wysokości z.

W ciągu czasu t wypływa ze zbiornika objętość S (h— z). Pod naporem stałym hs, wypłynęłaby równocześnie, przez otwór tu, objętość p. tu j/2 g hs. Z równania:

p u Y2g hs. t — S(h — z),

po wstawieniu za t wartości z wzoru (257) otrzymamy:

I Vh+Ÿïl²

hs = |_

Zadanie 48. W ciągu jakiego czasu opróżni się naczynie, mające kształt odwróconego kloca ostrosłupowego (rys. 109), wysokości

6Jo

- c

\ *

Rys. 109.

__i

60

Rys. 110.

h = 20 cm do poziomu wody, z przekrojami kwadratowymi o bokach a — 20 cm, b — 10 cm. Otwór w dnie jest kwadratowy o boku c = 1 cm. Spółczynnik [i. = 62.

We wzorze (258) będzie f (z) =    2 +öl

T=ß.

, skąd:

Vh

15

— (3 a² + 4 a b + 8 b²) — 60,8 sek.

ł) Szersze a oryginalne rozwinięcie tego przedmiotu znaleść • można w pracy prof. H. Jewniewicza: *0 wypływie cieczy przy zmiennym poziomie“ (Przegl. Techn. 1890); por. także art. inż. Fr. Lewandowskiego „Oznaczanie naturalnych stanów wody w sztucznych jej zbiornikach“ (Przegl. Techn. 1905).

Zadanie 51. Jak oznaczyć czas wyrównania poziomów, w zbiornikach połączonych?

rze ui,

Zadanie 49. W ciągu jakiego czasu opróżni się zbiornik, mający kształt paraboloidy obrotowej (rys. 110), jeżeli powierzchnia poziomu cieczy jest S₀, otwór u spodu tu stosunkowo mały i h wzniesienie poziomu cieczy nad otworem?

We wzorze (258), f (2) = S₀

skąd:

Ol co

P- u> J/2 g

Zadanie 50. Jak oznaczyć czas opróżnienia zbiornika naturalnego, utworzonego przez zamknięcie doliny groblą?

W braku wyrażenia analitycznego zmiennej powierzchni S w funkcyi obniżenia poziomu z, dzieli się całą masę wody w zbiorniku na warstwy poziome. Objętości poszczególnych warstw, których średnie wzniesienia nad otworem:

hi, /i-2 »

hn ,

są znane, oblicza się przez zdjęcie na gruncie powierzchni odpowiadających poziomów:

Si, s₂,

Przyjmując, że poszczególne warstwy, których objętości:

rlf v₂

Sn .

Vn

zostały obliczone, wypływają przez otwTór üj, każda pod stałym napo-rem równym jej średniemu wzniesieniu nad otworem, w ciągu odstępów czasu:

tx, t₂, .

tn ,

będą objętości:

Vi ⁼⁼ [i tu tx J/2 g hx, V₂—\i. w t₂ ]/źgh₂,

stąd wyciągając wartości poszczególnych czasów i sumując, otrzymujemy czas całkowity:

Vn — JJ- w tn j/ 2 g hn ,

(t) =

- t*4s

[vh\

fi u> J/2 g

Ściślej obliczyć można czas T, stosując zamiast prostego sumowania metodę Simpsona; wtedy wszakże warstwy muszą być jednakiej wysokości i w liczbie całkowitej. Po zdjęciu odpowiadających im powierzchni 3, mamy z jednej strony całkowitą objętość równą iloczynowi ze średniego wydatku Qm przez czas T, a z drugiej według wzoru Simpsona:

_    ht — hn

QmT= 3-—

i tak samo czas:

(S, + 4fifa + 2Sł + 4iS4 +

4" Sn):

T— hl ~hn I

3 w fi w J/2 g \yhi

4 S₂    2S₃    4£₄

yh₂    Vh₃    y hi    ' 1/hn

Sn \

Zbiorniki 4 i B (rys. 111) połączone są przewodem o otwo-w którym jest klapa k, przedstawiona w położeniu otwartem

na rysunku. Przed otwarciem klapy poziomy wody w zbiornikach, były ab i a'b', a różnica ich wzniesień H. Po upływie czasu t poziom w zbiorniku A obniży się o x, a w zbiorniku B podniesie się na y, tak że:

H = X + y + 2.

Po upływie następnego nieskończenie małego czasu d t, przepłynie przez otwór co objętość fi co J/2g z . dt, przyczem w zbiorni-

_J _4i_

i* *

c ~    tr~

- - - no‘_

:----d

b'

/I

Rys. 111.

ku A poziom obniży się o dx, a w zbiorniku B podniesie na dy. Będzie więc, oznaczając przez Sx 8% stałe przekroje poziome zbiorników A i B:

fi u) ]/2gz . dt = St dx — S₂ dy\

że zaś z równania H — X -f~ y -J- z wynika: dz — — (d x -f- d y) — dx), przeto:

= — (dx-\-

SQ ICQ

,    S₂

dx — —

S\ + S₂

dz,

fi    z . dt —

Sj S₂

Si + S₂

dz,

dt — —

dz

fl CD

s,_s2 Si -+- S₂ y z ’ 8, S₂

fl (U

y 2 g Si -j- S₂

a/h- y*)-

Wyrównanie poziomów następuje, gdy z = 0, t. j. po upływie czasu:

fH.

__ . s₂

fi (« J/2 g Si -f- S₂

52. Przewal. Otwór prostokątny większych wymiarów, którego wierzch leży nad poziomem cieczy, stanowi przewal. Spód otworu, zwykle poziomy, nazywamy progiem przewału. Gdy próg ma bardzo małą grubość, mówimy, że przewał zrobiony jest w cienkiej ścianie. Przewał taki urze-

czywistnić można, tworząc próg z blachy żelaznej lub z deski skośnie obciętej.

Przy wypływie przez przewał, poziom cieczy w górze przewału, zrazu poziomy, obniżą się nad progiem; strugi dolne, dotykające progu, podnoszą się w górę i następuje ścieśnienie płachty wodnej, tak, że jej grubość poza progiem (rys. 112) jest mniejsza od wysokości h w górze przewału. Doświadczenia Ba-zin’a stwierdziły wyniki dawniejszych, d’Aubuisson’a i Ponceleta, wykazując, że wydatek przewału może być wyrażony wzorem, podobnym do (235):

Q = mlhV2gh, .    (259)

w którym l przedstawia długość przewału, t. j. szerokość prądu.

Na wartość spółczynnika m wpływają różne okoliczności, a zwłaszcza prędkość, z jaką woda dochodzi do przewału. Wartość ta waha się między 0,40 a 0,44, wynosząc średnio m — 0,42.

Dla wyprowadzenia wzoru (259) Belanger i Boussinesq przyjmowali, że przy ruchu ustalonym, wypływ reguluje się w ten sposób, aby dla danego A, Q było maximum. Wyniki logiczne tego postulatu sprawdzone zostały licznemi doświadczeniami Bazin ’a.

n

zYa

_m_\

\c

* T* —

•i

Rys. 112.

Boussinesq przyjął, że strugi przechodzące przez przecięcie ścieśnione są normalne do tego przecięcia i mają wspólny środek krzywizny o, co odpowiada przypuszczeniu, że cała masa cieczy, przechodząc przez przecięcie ac, wykonywa ruch obrotowy około osi o, równoległej do progu przewału. Siły zewnętrzne sprowadzają się tu do siły ciężkości, przechodzącej przez oś obrotu, a we wszystkich punktach każdej strugi ciśnienie jest stałe. Odnosząc rzędne do poziomej, przechodzącej przez b, oznaczmy przez r₀ promień krzywizny o c strugi spodniej, — e podniesienie się tej strugi nad linią poziomą,— z rzędną strugi przechodzącej przez m, której promień krzywizny jest r = r₀ -j- z

prędkość V. Przy ruchu obrotowym około osi o mamy według równania (60): Vr — ilości stałej. Jeżeli więc przez V₀ i Vx oznaczymy prędkości strug: spodniej i wierzchniej, przez h' grubość ac płachty wodnej nad przewałem, to:

— sa

V₀r₀ = V (r₀ — e + z) = Vx (r₀ + V) .    .    (260)

Stosując do strug fc i da twierdzenie Bernoulli’ego, od

df do «c, i przyjmując, że prędkości w górze przewału są równe zeru, mamy:

-î

skąd:

~ 2 *7 ' Po I

T +

r,²

vl = K2ir(A—S-Ä’),

F₀ = V2g (k — s), a prędkość jakiejkolwiek strugi w, według rówania (260):

VoJjL₌ V₂g(h-s)

r

. . (261)

ro

r₀ + z —s

Oznaczywszy przez X stosunek prędkości Vli V₀, mamy według równań (260) i (261):

skąd:

ro =

Vx__ r0

v0 roJTh>

X h'

1 — X² =

h'

1 —X

ro — ^ (1 + X) (Ä — s).

Wydatek przewału, mającego długość Z będzie:

V+«

ÄM-s

,/ri* = ' r« ' ** lA " *>/ r₀ + . - .    ■

a po zcałkowaniu:

Q = lr₀ V2g (h — e) . ln 1(14

h'

'’o

albo zastępując r₀ wartością w funkcyi X:

Q = lV2g(h — «f-ß + X») ln -i-.

Przyjmując, że wypływ reguluje się w ten sposób, aby Q było maximum, otrzymamy X z równania:

dQ

dX

dającego:

— lV2 9 (h — s) (1 4~ 2 X) ln ^ — (1 —{— X)J (1 -j— 2 X) ln -r— — (l —|— X) =■ 0.

A

— 0,

więc:

Wartość X z tego równania wynosi około 0,46854 ... .

a kładąc:

h' = 0,781 (h — e),

Q — 0,522 l V2 g (A-^ąf = 0,522 l (l-f-^rf h ^2gh

>» = 0,522(1+^),

taco

wracamy do wzoru (259). Bazin przekonał się, że e jest pro-porcyonalne do A i wynosi średnio e — 0,18 A, co wstawiając w wyrażenie na m, otrzymujemy m — 0,423, spółczynnik zbliżony do podanego poprzednio m =: 0,42.

Wzór (259) wyprowadzony został w przypuszczeniu, że prędkość prądu w górze przewału jest równa zeru. Jeżeli ta prędkość ma wartość skończoną, to napór A winien być powiększony o pewną wysokość A", będącą funkcyą pominiętej

U²

prędkości Ü. Doświadczenia wykazały, że A" =» a — i że spółczynnik a jest bardzo blizki 1,56. Wtedy wydatek:

(*+* ■Ii)]/

U²

29 r

gdzie [JL jest spółczynnikiem wydatku, zmieniającym się bardzo mało razem z A. Wypisując ten wzór w kształcie:

__ /    {72 \|

Q ₌ ^V2₉k[l + a— ),

rozwijając w szereg dwumian po stronie drugiej równania i za-

a U2 2 gh

zy rozwinięcia, otrzymamy wzór:

trzymując, w obec małego

, tylko dwa pierwsze wyra-

Q z=z pi l V 2 g A 11 -j-

2 2 g hT

który, jeżeli położymy:

3 a £7²

2 2gh I’

sprowadza się do wzoru (259)- Prędkość średnia U, pomnożona przez przekrój kanału w górze przewału, daje wydatek Q.

F. K. Hydraulika

12

Oznaczając przez p wysokość zagrody, stanowiącej przewał o długości l, mamy:

Q = (p + h) l U,

skąd:

l {p h)'

a następnie uwzględniając równanie (259):

•U-r)

2 g h 2 g h l² (p h)²

Kładąc

CO <N

cl m² = k, będzie:

m = Ą1 + k{jThf:

zależne od h, p, p. i nowego spółczynnika k, według Bazin a blizkiego 0,55. Wydatek przewału daje wzór (259), pod warunkiem oznaczenia w każdym przypadku spółczynnika m według powyższego wzoru i po położeniu k — 0,55 a także według Bazin’a:

P = 0,405 -f- -5^—.

Obliczenia ułatwia następująca tablica w metrach:

TABLICA 11.

Wysokość h

Wartość spółczynnika m dla wysokości zagrody

p = 0,30

0,60

1,00

1,50

2,00

b. wielkie

pppppp oi'b’Tf^'bo cod-* o o o o o <£>

pppppp ^ o oo -o o*

OOOÜ<®<I

CO CO

co co ^ o o co

rłH ^ ^ ^ Tfl

o o o o o cT

05 CO I—¹

pppppp ^

łf. CO 05 W CO W CO O 00 If.

I-* -5]

CO CM CM Cd <N 03

o o o o cT cd

co    co

o o p o o p

co co co to co co M M M M CO W

CM

CO Od r-H ł H

oddodd'

Jeżeli zagroda nie jest pionową, lecz nachyloną, ku górze lub ku dołowi prądu (stawidła młynów, zastawy ruchome), spółczynnik m, przy nachyleniu zagrody:

wynoszącem:

ku górze prądu,

ku dołowi prądu,

należy pomnożyć przez: 0,93 ! 0,94 ! 0,96

1,04 | 1,07 | 1,10 1,12 | 1,09

Jeżeli zaś zagroda w planie ustawioną jest nie prostopadle, lecz ukośnie do osi kanału, to spółczynnik m należy pomnożyć przez 0,942 lub 0,911, stosownie do tego, da czyni z osią kanału kąt 45° czy 65°.

W powyższem przyjmowano, że płachta wodna, spadając swobodnie poza progiem przewału, otoczona jest ze wszystkich stron powietrzem (rys. 113). Jeżeli ściany boczne kanału przy przewalę nie dopuszczają swobodnego dopływu powietrza pod płachtę, warunki wypływu ulegają zmianie. Bazin obserwował podobne płachty tworzące się w warunkach następujących:

1) h < 0,4/?, płachta niestała, zbliżająca się do dy (rys. 114),

czy zagro-

•/

Rys. 113.

zagro-

///////////ttttv////////////////////^

Rys. 114.

777777777-

w

777777/777777777777777777777777777777777777

Rys. 115.

2) h 5? 0,4 .p, płachta zatopiona od spodu (rys. 115),

1 fcVNtt&ss .

^7^7/77777777/77777777777777777777777777777777777777

Rys. 116.

3) różnica wzniesień poziomu wody przed i poza prze-

3

- p, płachta zatopiona całkowicie od spodu a czę-

wałem

ściowo od wierzchu (rys. 116),

4) h = 0,31 p, płachta przylegająca do zagrody (rys. 117, przekrpj i plan).

Wydatek przewału był większy niż przy płachcie swobodnej i spółczyn-nik w pierwszym przypadku wahał się między m a 0,8 m, w drugim wynosił 1,10 m, w trzecim od 1,06 ra do 1,18 m a w czwartym 1,3 m.

Liczne doświadczenia nad wypływem przez przewał przeprowadzał w Karlsruhe prof, Th. Rehbock i podał różne wzory, z których ostatni z roku 1913 jest następujący:

1050 h—3

Q — — 0,605>-f"

-jf 0,08 — hlVZgh . . (262)

Pr-

Rys. 117.

Gdy przewał ma próg szeroki (rys. 118) a wysokość h jest niewielką, strugi cieczy ślizgają się po progu i przyjąć można, że na pewnej długości mają kierunki poziome. Przypuszczając, że prędkość w górze przewału jest równą

TT

t,

Rys. 118.

zeru a wszystkie strugi na przecięciu a b mają wspólną prędkość średnią: U = V2 g (h—A'), mieć będziemy wydatek przewału :

Q=lh'V2g (h—ti).

Grubość płachty h' oznaczyć można, przyjmując jak wyżej, że wypływ reguluje się w ten sposób, aby dla danego h,

Doświadczenia wykazały, że spółczynnik teoretyczny 0,385 jest za wielki i że w skutku tarcia strug na progu przewału w rzeczywistości sprowadza się do 0,â5. Przyjmować więc należy w praktyce, dla przewału z szerokim progiem:

.    .    (263)

Q = 0,35 l h ]/2 gh] .    .

jeżeli wszakże h jest większe od dwa razy wziętej grubości progu, to według Bazin’a przewał działa jak w cienkiej ścianie i stosuje się wzór (259).

Jeżeli poziom wody w dole przewału wznosi się na wysokość hx nad progiem, wtedy przewał jest zatopiony, a wydatek daje wzór przybliżony:

— ht). .    .    (264)

Q = 0,411    V2g{h

Zadanie 52. Ze zbiornika, o stałym przekroju poprzecznym S, wypływa woda przez przewał w cienkiej ścianie, długości l. Poziom wody w zbiorniku, na początku wypływu, leży na wysokości h nad progiem przewału. W ciągu jakiego czasu poziom w zbiorniku obniży się o wysokość e ?

Jeżeli przez z oznaczymy wysokość poziomu nad progiem przewału w chwili t, to w ciągu czasu dt wypłynie wody: dQ = ml z Ÿ 2, g z . dt. Objętość ta jest równa — S dz, mamy więc — Sdz = ml z ]/ 2 gV. d t, skąd:

VSi • —=- 4-c.

miy2g y z

dz

dt — —

Q było maximum ¹). Wtedy h' czynić winno zadość warunkowi:

lV2g [Vh—hf

h'

2 Vh—hr

skąd:

= 0,385 l h Ÿ2gh.

h' =

miyzg y z³ ’

Dla t = 0, z = h, więc szukany czas T będzie:

_ r 1

^    ml y 2 g - y z

‘) Por. art. inż. W. Rechniewskiego „Oznaczenie ilości przepływu wody przez przewał“, Przegląd Techniczny 1881.

albo, ponieważ z

ml]/2g U J/h — s Vh J

Dla e = h, T = oo, teoretycznie więc trzeba nieskończenie długiego czasu, aby poziom wody w zbiorniku zrównał się z progiem przewału; w praktyce zrównanie to następuje, gdy różnica h — e staje się bardzo małą.

Zadanie 53. Do zbiornika dopływa woda w ilości Q na sekundę. Dla uregulowania jej odpływu, budowany ma być przewal, z progiem umieszczonym na głębokość h pod najwyższym poziomem dopuszczalnym w zbiorniku. Jaką długość ma mieć przewał?

Ze wzoru (259):

m h]/2 g h

53. Wiry. W rzekach i strumieniach często mają miejsce, pochodzące od nierówności ścian koryta, ruchy nieregularne, wzburzenia przybierające postać wirów, krótkotrwałe, powtarzające się jednak peryodycznie w tern samem miejscu, pod wpływem przyczyn, które jakkolwiek stałe, wywołują przerywane i powtarzające się objawy. Hydraulicy, jak widzieliśmy w § 20, usiłują zdawać sprawę z tych ruchów wprowadzając do wzorów, zamiast rzeczywistych prędkości cząstek cieczy, prędkości średnie miejscowe. Wzburzenia te przybierają postać wirówT o osiach poziomych, podnoszących się jak wały od dna koryta, w którem prąd bieży, i rozwijających się na powierzchni prądu, lub też wirów o osiach pionowych, trwających dłużej, znikających w pewnej odległości od punktu powstania i wracających po chwili.

Niezależnie od tych wirów, przypadkowych i nieregularnych, powstają także w cieczach naturalnych, pod wpływem ściśle określonych przyczyn, wiry regularne i ustalone, w których cząstki krążą dokoła osi prawie pionowych, po drogach mniej lub więcej kołowych. Wiry te bywają dwojakie: albo ciecz wirująca wciąż się odnawia, spływając w dół osi, albo też obracają się około osi wciąż też same cząstki cieczy.

Pierwszy rodzaj wirów pojawia się przy wypływie cieczy przez otwTór w dnie naczynia. Gdy poziom wody w naczyniu się obniża, to w pewnej chwili tworzy się wklęsłość nad otworem i przy jakiemkolwiek naruszeniu symetryi dopływu do otworu, powstaje obrót całej masy cieczy około osi pionowej. Wiry takie tworzą się w zbiornikach z otworem w dnie, albo przy stawidłach szluz otwartych u spodu; tworzą się także przy ruszeniu wiosła, nadającego cząstkom wody na pewnej głębokości prędkość większą od prędkości cząstek na powierzchni i tworzącego za sobą próżnię, którą wypełnia woda schodząca z powierzchni. W tych wszystkich przypadkach tworzy się lejek o osi pionowej i cząstki cieczy schodzą po powierzchni lejka od jego górnego brzegu ku dołowi. Jeżeli v = r 9 jest prędkością cząstki, położonej w odległości r od osi, to według równania (60):

v r = ilości stałej.

Prędkość więc cząstki cieczy w wirze zmienia się w stosunku odwrotnym do odległości od osi, tak, że dla cząstki dochodzącej z prędkością v₀ do brzegu lejka na poziomie, położonego w odległości r₀ od osi, będzie:

vr = v₀r₀ = C.

Stosując do cząstki, krążącej w około osi a jednocześnie schodzącej od brzegu lejka ku dołowi, twierdzenie Bernoulli’ego (67). mamy przy stałem ciśnieniu p =. p₀:

T

skąd, oznaczając przez h = z₀ — z głębokość pod poziomem cieczy, na którym leży brzeg lejka o promieniu r₀, mamy:

v² — V

ro

~2 >

2 g \r²

równanie krzywej, według której powierzchnia lejka przecina płaszczyznę południkową. Oś wiru stanowi asymptotę tej krzywej. Ponieważ jednak, według równania (60), prędkość jest odwrotnie proporcyonalną do promienia, więc dla cząstki na osi wiru byłaby nieskończenie wielką. To też wywody te-nie stosują się do cząstek bardzo blizkich osi wiru.

Energia takiego wiru jest znaczną. Dla warstwy zawartej między dwiema płaszczyznami poziomemi, odległemi na jednostkę długości i dwoma okręgami kół o promieniach rx i r₀, energia wynosi:

r.°

r₀

J -i- p v² (2 r) d r

*Pclj~r

— %p C² In —

ri

i staje się bardzo wielką przy bardzo małem rx.

na

Drugi rodzaj wirów, w których masa cieczy się.nie odnawia, powstaje zawsze, gdy masa w kształcie pierścienia ożywio-jest ruchem obrotowym i ruch ten komunikuje pierścieniom przyległym. Ruch początkowy Wytworzony być może, albo przez obracanie zanurzonego w cieczy cylindra pustego, albo też przez dwa prądy poziome, biegnące w przeciwnych kierunkach i działające, jak para sił, na dwa przeciwległe punkty

VI. Energia prądu.

184

pierścienia. Ruch zależy wtedy od tarcia wewnętrznego cieczy, określonego spółczynnikiem e (§ 17). Przyjmując w pierścieniu jednakową prędkość, dla wszystkich punktów położonych na jednej pionowej, mieć będziemy, biorąc pod uwagę element podobny do przedstawionego na rys. 7 (§ 4), prędkość względną ślizgania na ściance o powierzchni rd dz, równą iloczynowi z promienia r przez pochodną względem r prędkości

V

kątowej —. Siła styczna, na jednostkę powierzchni ścianki, r

będzie mieć wartość:

dr

T = er

Wyrażając równowagę tego elementu, czyli przyrówny-wując do zera sumy rzutów na trzy kierunki r, <p, z , sił działających na element i sił bezwładności, i mając na uwadze, że składowe bezwładności elementu są:

v²

p — w kierunku promienia,

T

p ~ w kierunku stycznej,

mieć będziemy trzy równania:

dp

v²

dr

1 d. Tr . T dv dr    r ^ dt

Jeżeli ruch jest ustalony, ostatni wyraz trzeciego równania jest równy zeru, a wstawiając za T poprzednią wartość, mamy:

r dr

<ń

t,

a.

i d I v \ + S dr ( i- )

albo:

= 0,

r³ dr

dr \ r

skąd:

rs —

j—|    ilości stałej

= — 2 B,

r3 ’

-s «

i r

Wzór ten daje prędkość nieskończenie wielką dla r — 0. podobnie jak przy wirach pierwszego rodzaju, nie może się też stosować do oząstek bardzo blizkich osi wiru. W każdym razie prędkość się zmniejsza, w miarę oddalania się od środka wiru; przechodzi przez minimum, w odległości od środka wiru zależnej od wartości stałych A i B a następnie powiększa się razem z r.

VI. Energia prądu.

54. Rzeki i potoki. Ruch wód bieżących bywa zwykle zmienny, bo szerokość koryta, głębokość i nachylenie brzegów, inne są w każdym przekroju; spadek zmniejsza się, w miarę oddalania się od źródeł; oś prądu rzadko bywa prostolinijną na większej długości, a równie rzadko przekrój symetrycznym względem osi i koryto niepodmywalnem. Do zadań przeto, dotyczących ruchu wód bieżących, stosować wypada wzory wyprowadzone dla ruchu ustalonego zmiennego, a otrzymane wyniki będą tylko przybliżone, z powodu niemożności wprowadzenia w rachunek wszystkich czynników zmiennych. W wyjątkowych tylko razach, gdy koryto na znacznej długości jest regularne, obliczać można wydatek według wzorów na ruch jednostajny. Podczas wezbrań, wydatek rzeki w każdym przekroju bywa zmienny i obliczony być może tylko zapomo-cą wzorów § 46.

Stosownie do wielkości spadku, odróżniane są potoki i rzeki. Spadek potoków bywa większy od 2,50 m na kilometr, spadek rzek mniejszy od tej granicy. Wogóle, według Boussinesq’a, za potoki uważać wypada wody bieżące, ze spadkiem i, czyniącym zadość we wzorze (211) nierówności a i b g, a za rzeki spokojne o słabym spadku takie, dla których ai < bg. Przy średnich wartościach a = 1,10, b == 0,0003, g — 9,81, pierwsza nierówność daje i 2,67 m na kilometr.

Na zagięciach osi koryta, w łukach, strugi przestają być równoległemi, bo występują w każdej chwili nowe siły, zmieniające ich kierunek. Bezwładność sprzeciwia się tej zmianie i powstają wzburzenia, mniej lub więcej znaczne, w pobliżu brzegu zewnętrznego. Przy brzegu wewnętrznym, poziom skutkiem działania -siły odśrodkowej się obniża (§ 6, Zadanie, 8). Prawo ruchu strug, uderzających o brzeg zewnętrzny i odrzucanych na brzeg przeciwległy, jest nieznane, i zwykle zjawisko to brane jest w rachunek jako nagła zmiana przekroju prądu (§ 16).

Według Boussinesq a strata naporu, wynikająca podczas przepływu prądu przez łuk o długości s a promieniu r, gdy kanał ma szerokość Z a głębokość h, wyraża się dość ściśle związkiem:

u\ . .

.    .    (265)

przy wartości spółczynnika bx = 0,0004 i długości s liczonej po osi kanału, której promień krzywizny jest r. Dołączając to wyrażenie na i, do równania (202), mieć będziemy wzór określający prawo ruchu zmiennego prądu w kolanach rzek.

Spadki wód bieżących używane są od najdawniejszych czasów do wprawiania w ruch silników wodnych, zwłaszcza spadki średnie, kilkometrowe, często spotykane. W okolicach górzystych pożytkowane są również od dawna spadki większe, od 15 do 20 m. W naszych czasach wreszcie, eksploatować zaczęto w tym celu potoki górskie, przekraczające nawet 500 m i niektóre gałęzie przemysłu przenoszą swe zakłady w góry, pomimo miejscowych niedogodności. Koszta instalacyi silników wodnych w wielkich zakładach bywają znaczne, za to koszty eksploatacyi niewielkie, w niektórych przypadkach wszakże odgrywające pewną rolę.

55. Zakłady wodne. Dwa główne czynniki trzeba mieć na względzie, gdy chodzi o zużytkowanie spadku wody, mianowicie wydatek prądu i wysokość spadku. O pomiarze wydatku będzie mowa w rozdz. X; jeżeli cała rozporządzalna ilość wody zużywaną ma być w zakładzie, to wydatek mierzony być winien przy średnim stanie wód, jaki ma miejsce zwykle w ciągu dziewięciu miesięcy roku, z pominięciem okresów wód nizkich i wezbrań. Wysokość spadku otrzymuje się przez poziomowanie. Niech A — B— C—F (rys. 119) przedstawia profil podłużny koryta prądu, między A i F, którego wydatek Q i różnica poziomów H są znane. W odpowiednio wybranem a zależnem od natury gruntu, miejscu B, zbudowaną zostaje zagroda K, podnosząca poziom w B o wysokość z₀. Część spadku, wynosząca także z₀, według przybliżonego wzoru Poiré’go (§ 44), zostaje straconą, jeżeli poziom w punkcie A, w skutku miejscowych warunków, nie może być podniesiony. Od koryta prądu odgałęzia się przed zagrodą kanał doprowadzający wodę do silnika, zamykamy jedną lub paroma szluzami S. Przy zamkniętych szluzach, przelewa się woda przez próg prze wału pod naporem h (§ 52). Przy szluzach otwartych, poziom w górze zagrody obniża się do wysokości progu, albo niżej jeszcze, i woda wchodzi do kanału doprowadzającego.

W punkcie C, wyznaczonym przez warunki miejscowe, ustawiony zostaje budynek silnikowy. D jest długością kanału doprowadzającego a O odprowadzającego wodę. W miejscowościach, gdzie siła wodna ma wysoką wartość, np. w pobliżu miast, lub w okolicach przemysłowych, przekroje tych kanałów dobiera się możliwie wielkie, aby ich spadki mogły być jak najmniejsze i jak najmniejsza strata spadku całkowi-

h.

--

\Hc

-D-

r:p

Rys. 119.

tego, który jest do rozporządzenia. Przy dużym bowiem przekroju w, będą, dla danego wydatku Q, mniejsze : tak prędkość U, jak i spadek J. O najekonomiczniejszym spadku kanału doprowadzającego Jd była mowa w § 36. Do obliczenia spadku kanału odprowadzającego JQ służą wzory § 34. Z czterech ilości związanych tymi wzorami, Q jest dane, a prędkość średnia U nie może przekraczać granic podanych na str. 127.

Im mniejszy jest spadek całkowity Hc, o tem mniejsze należy się starać spadki Jd i J₀ ; w praktyce spotyka się wartości tych spadków 0,0005 do 0,001. Przy uwzględnieniu wymienionych strat, pozostaje do zużytkowania w zakładzie wodnym spadek:

H — Hc — z₀ — h — hd — h₀ .    .    .    (266)

na

56. Przemiana na ciepło. Mając w pewnym punkcie prąd o wydatku Q na sekundę i przeprowadzając ten prąd do innego punktu, położonego niżej o wysokość H, zużywamy sekundę ilość energii yQH kilogrametrów. Odbywa się to w zakładach wodnych i najczęściej energia potencyalna spadku wody przekształcana bywa na energię kinetyczną, zużywaną bezpośrednio, lub na prąd elektryczny, służący do wy-

tworzenia energii kinetycznej, potrzebnej w innem miejscu. Okoliczności przypadkowe ruchu wody sprawiać mogą wszakże inną przemianę energii prądu, wcale niepożądaną, mianowicie przemianę na ciepło, przez podniesienie temperatury wody.

Jeżeli przez rurę pionową (rys. 120), ze zbiornika górnego do dolnego, przy różnicy poziomów H, przepływa Q m3 Wody na sekundę i rurę tę przegrodzimy płytą dziurkowaną z otworami w kształcie dwóch przystawek ostrokręgowych, stykających się węższą podstawą, to woda przechodząc przez otwory płyty ze znaczną prędkością, będzie się w nich rozgrzewać. Pewna część energii 7 Q H zamieniać się będzie na ciepło a wynikiem tej zamiany będzie inny rozkład prędkości i ci-

Po

U-o

CJ\

BHB

a'

* cr*

Cu

TüAß'

C%

SC

^7777777777777^777777777777777777    #

Rys. 120.

śnień. Wpływ tej zamiany na prędkość, wtedy dopiero staje się widocznym, gdy stosunek sumy powierzchni (o wszystkich otworów w płycie, do powierzchni co₃ dolnego otworu rury, przekracza granicę, przy której prędkość U w małych otworach dochodzi do wartości maximum, określonej na str. 97; ciśnienia zaś rozkładają się w sposób uwidoczniony na wykresie. Gdyby rura była u spodu zamkniętą, ciśnienia rozkładałyby się według praw hydrostatyki, zwiększając się od góry do dołu, jak pokazuje nachylenie linii prostej m n. Przy otwartej rurze, napór zmniejszać się będzie o wysokość odpowiadającą prędkości, aż do przekroju to, a następnie powiększać przy rozszerzaniu się rury. Bez straty energii, byłaby na przekrojach AA! i BB' prędkość Ux — U₂ i linia naporu, po pewnem wygięciu w lewo, spowodowanem różnicą wysokości odpowiadających prędkościom U i U, , przechodziłaby od o do tof, równolegle do mn. W rzeczywistości linia ta przechodzi przez w i w w' — rr' jest stratą energii przy przejściu wody przez płytą dziurkowaną, przyczem wszakże nie bierze się pod uwagą strat energii w górnej cząśei rury. Od w napór sią powiąksza, do przekroju CC', na którym ciśnienie staje sią równe atmosferycznemu pa, wysokości zaś odpowiadające prędkościom zmniejszają sią razem z powiąkszaniem przekroju rury. Na przekroju, wzniesionym na Hs ponad poziom dolny:

u?

-j- straty -f- Hz =

Ciągłość prądu u spodu rury zawarunkowaną jest takim wzrostem prądkości i przemianą energii w ciepło, przy przejściu wody przez płytą dziurkowaną, że przy nich ciśnienie jest mniejsze od atmosferycznego, gdyż inaczej prędkość przybierałaby tam wartości niedopuszczające całkowitego wypełnienia przekrojów rury. Przy bardzo cienkiej płycie, ciśnienie zmniejsza sią nagle na krótkim przebiegu prądu, a temperatura wody staje sią wyższą pod płytą. Podniesienie to wszakże, przy małym naporze H, jest nieznaczne. Przyjmując, że cała energia pewnego wodospadu zużytą zostaje na jego ogrzanie, to spadek H = 100 m, jednego kilograma wody, odpowiadać bądzie pracy 100 kgm. Ponieważ do ogrzania 1 kg wody, na 1° C., potrzeba jednej ciepłostki, równej 427 kgm, więc spadek

100

1 kg wody wytworzy

427:

podniesieniu temperatury o 0,235° C. Przy spadku H= 10 m, podniesienie wynosiłoby 0,0235° C. Dopiero przechodząc kil-kakrotnip przez płyty dziurkowane, woda mogłaby sią rozgrzewać w sposób widoczny, jak to obserwować można przy regulatorach hamulcowych turbin i kół wodnych. Zwykle jednak podnoszenie sią temperatury przy ruchu wody jest niepożądane i przy budowie zakładów wodnych unika sią strat naporu, * powodujących zamianą energii prądu na ciepło.

= 0,235 ciepłostek, co odpowiada

57. Silniki wodne. Woda bieżąca wprawia w ruch silnik, działając albo energią, albo ciążarem, albo wreszcie oddziaływaniem; działać może także równocześnie dwoma z tych sposobów. Najprzód powstać mogła myśl postawienia wodzie bieżącej pewnej przeszkody, którąby popychała w swym ruchu, — myśl najprostsza lecz zarazem najwadliwsza, gdyż uderzenie połączone jest zawsze ze stratą energii a wiąc i pracy, a nadto powodować może uszkodzenie silnika. Takie jest działanie wody w kołach podsiąbiernych z płaskiemi łopatkami i kołach wiszących, umieszczanych na rzekach, przy statkach, lub między dwoma statkami. Następnie zwrócić musiano uwagę na możność spożytkowania samego ciężaru wody, jak to ma miejsce w starodawnych, a do dziś jeszcze na małych spadkach używanych, kołach nasiębiernych czyli skrzynkowych i w niektórych, na tej samej zasadzie opartych, urządzeniach hydraulicznych. W trzecim sposobie działania wody, przeszkody ruchome, nie zmniejszając nagle jej prędkości, jak przy uderzeniu, usiłują zmieniać stopniowo kierunek prądu i woda oddziaływa na nie swą bezwładnością, jak w kołach podsiębiernych z łopatkami zakrzywionemi i kołach śródbier-nych. W większości turbin, woda działa głównie swą energią, przez ciśnienie a nie przez uderzenie. Podczas gdy w kołach wodnych, woda w swym ruchu względem silnika, wycofuje się z niego tą samą drogą, jaką doń weszła, — w turbinach wchodzi jedną stroną łopatki a wychodzi drugą. Turbinę składają dwa koła: stałe, zwane kierownicą i ruchome zwane wirnikiem. W turbinach promieniowych, koła te u-mieszczone są jedno w dru-giem, z wirnikiem zewnętrznym w turbinie odśrodkowej Fournayron’a a wewnętrznym w turbinie dośrodkowej Francis'a (rys. 121, K kierownica, W wirnik, S rura ssąca). W turbinach osiowych, albo równoległych, Fontaine’a, Jonval’ą, prąd przebiega drogę cylindryczną, nie zmieniając swej odległości od turbiny. Są także turbiny mieszane, w których oś prądu nie pozostaje * ani na płaszczyźnie prostopadłej do osi turbiny ani na cylindrze około tej osi opisanym. Wreszcie w kołach styczno-biernych Pelton’a (rys. 122), o których będzie jeszcze mowa, żyła wodna padając na krawędź między podwójnemi łyżkami, umocowanemi w pewnej liczbie na obwodzie koła, rozdziela się i napiera na wewnętrzne powierzchnie łyżek, wychodząc z nich dwoma strumieniami, po obu stronach koła.

iu

jr

II

Rys. 121.

Woda przechodząca przez silnik nie ma ruchu ściśle ustalonego. Zwykle ruch ten powtarza się w identycznych warunkach, w ciągu okresów bardzo krótkich. Jeżeli weźmiemy

pod uwagę koło wodne, zaopatrzone w szereg łopatek, lub turbinę ze swemi międzyłopatkowemi przewodami (komórkami), to po obróceniu się koła lub wirnika turbiny o kąt odpowiadający rozstawieniu łopatek, każda łopatka zajmuje położenie ło-

Z⁷? 77

Rys. 122.

patki poprzedzającej i cały system wraca do położenia pierwotnego. Rozważanie jednego takiego okresu, czas trwania którego niech, będzie 6, pozwala zestawić^równanie ogólne ruchu silnika, z uwydatnieniem wszystkich działań, które należy mieć na uwadze przy określaniu jego sprawności. Przyjmijmy, że woda doprowadzaną jest do silnika kanałem o pewnym przekroju iod (rys. 123) i ma na tym przekroju prędkość Ud dostatecznie małą, aby można było pomijać jej energię Ud³ , a odchodzi z pod silnika kanałem odprowadzającym o)₀ . Jeżeli spadek zużytkowany został w zupełności, prędkość U₀ będzie także dość małą, aby U₀² mogło być pominięte. Wysokość spadku H stanowi różnicę wzniesień poziomów górnego i dolnego, między którymi ustawiony zostaje silnik.

Weźmy pod uwagę masę cieczy, w prądzie ciągłym lub przerywanym, przechodzącym przez przewody i silnik. Po upływie czasu 6, przekroje AdBd, A₀B₀\ przybierają położę-

777777777^7777/

BdBd

TT

Ą, A*

Ga

///////.

77

//////

B₀ Bo

Rys. 123.

nie AJ BJ , AJ BJ. Przyrost energii, wobec małej wartości Ud i U₀ może być pominiętym; jakkolwiek bowiem energia masy, zawartej między AJ BJ a A₀B₀ jest znaczną, to jednak gdy cały system na końcu okresu wraca do warunków, w jakich się znajdował na początku, więc owa energia nie ulega zmianie i praca wszystkich sił, działających na uważaną masę będzie równą zeru. Ciężar wody, przechodzącej przez silnik w ciągu sekundy, równa się yQ, więc wydatek w kilogramach w ciągu jednego okresu będzie 7Ç 0. Wysokość z jakiej spada ten ciężar wynosi H—jeżeli przez ifd i y₀ oznaczymy głębokości środków ciężkości przekrojów Ud i G₀ pod poziomami, górnym i dolnym. Praca więc siły ciężkości będzie 7 Q 0 (H — yd + y o) • W przypadku gdy yd jest różne od y₀, praca ta nie odpowiada, spadkowi H a różnica uwzględnioną zostaje w pracy ciśnień. Wyłączywszy, z pośród tych ciśnień, ciśnienie powietrza oraz ciśnienia normalne do kierunku prądu, nie dające żadnej pracy, mieć będziemy tylko ciśnienia na przekrojach AdBd i A₀B₀ : jedno, wprawiające masę w ruch a drugie stawiające opór temu ruchowi. Oznaczając powierzchnie przekrojów przez ct^ i o>₍, mieć będziemy ciśnienia, w środkach ciężkości Gd i G₀ równe ^yp i —7 y₀, a na całych przekrojach: 7 yd &d i—7?/₀<ö₀. Prace tych ciśnień, przy drogach przebieżonych Ad AJ — Ud 0, A₀4J=U₀Q, będą: iydu>dUdQ i — 72/otóo ^oe> albo uwzględniając Q = iodUd — io₀U₀:

7 Q (Ud — y o) 6,

a suma prac siły ciężkości i ciśnień:

iQQ(H — yd + y₀) -f 7Q(yd — y₀)^ = 7QHQ-

Pozostają jeszcze: praca użyteczna, wytworzona przez spadek wody w silniku, albo raczej praca odjemna, wynikająca z oddziaływania silnika na wodę, oraz prace oporów biernych, które w całem urządzeniu sprowadzone być winny do minimum. Spadek wody, działając na silnik, wykonywa pracę P w kilogrametrach na sekundę, czyli P0 w ciągu jednego okresu. Oddziaływanie silnika na wodę, w kierunku przeciwnym, daje pracę — P0. Z innych prac odjemnych uwzględnić trzeba: straty naporu, wynikające z tarcia przy ruchu cieczy, których obliczaniem zajmowaliśmy się dotąd i które dają zmniejszenie wysokości spadku h' i pracę straconą —następnie pewną niezużytkowaną część wysokości spadku — h/'yQ0, wreszcie straty naporu wynikające z uderzeń i nagłych zmian przekroju prądu, według wzoru (252), proporcyonalne do kwadratu z prędkości straconej. Oznaczając tę prędkość przez Us,

mieć będziemy pracę — 7 Q 6 S

u₈²

. Wreszcie, jeżeli woda z silnika wychodzi z prędkością , to uwzględnić trzeba stratę

U ²

i pracę odjemną — y QQ ——. Zbierając razem te

UJ

naporu -

2 9

wszystkie czynniki i dzieląc przez 6, otrzymujemy wzór:

■iQ[h

Uł

— h' —

.    (267)

wyrażany zwykle w słowach: dobre zużytkowanie spadku wody, uwarunkowane jest wejściem wody do silnika bez uderzeń, a wyjściem bez prędkości. Słowa te uwzględniają prace od-jemne, mające za czynnik Us i U$, ale nie uwzględniają strat hr i h".

P wyrażone jest we wzorze (267) w kilogrametrach na sekundę; należy je podzielić przez 102 aby otrzymać kilowaty, a przez 75 aby otrzymać konie mechaniczne. Nie jest to jeszcze rzeczywista praca silnika, doszliśmy bowiem do wzoru (267), rozważając tylko działanie wody na silnik. Ten ostatni, jako mechanizm, ma tarcia wewnętrzne części składowych, jednych o drugie, a także, obracając się w powietrzu lub w wodzie, narażony bywa na opór ośrodka, w którym się porusza. W skutku tego rzeczywista praca silnika Pr, którą można mierzyć zapomocą dynamometru, ustawionego na wale silnika, jest równa pracy P, zmniejszonej pewną pracą P'. Stosunek pracy rzeczywistej Pr do iloczynu 7 Q H jest sprawnością silnika:

Pr

T| 1QH ■ ■

. . (268)

Stosunek ten bywa rozmaity: 0,25 dla kół wiszących, 0,4 do 0,6 dla kół podsiębiernych lub śródbiernych, 0,6 do 0,9 dla kół nasiębiernych, 0,65 do 0,85 dla kół styczno-biernych, 0,70 do 0,85 dla turbin.

58. Rozkład ciśnień W turbinie. Jako przykład weźmiemy turbinę osiową, bo w niej rozkład ciśnień przedstawia się prościej i zbliża do podanego na rys. 120. Prąd, mogący mieć różne kierunki w silnikach wodnych, jest tu pionowy (rys. 124: (a)— przekrój pionowy, (5) — plan). Woda dopły- -kanałem P>, przechodzi przez rurę BdR₀, spadając

ma w silniku na

wająca

z wysokości H. Spadek ten przemienić się energie kinetyczną, z potrąceniem małego tylko ułamka

(267). Przez danie do-

straty, jak wyszczególnione

we wzorze

na

; K. Hydraulika

13

statecznie wielkiego przekroju to,, można prędkość Us, z jaką woda opuszcza silnik, doprowadzić do minimum; straty zaś zależą głównie od tej prędkości.

W kanale dopływowym D, prędkość jest Ud i właściwie

. Ponie-

ud²

za napór rozporządzalny uważaćby należało H -f-

waż jednak w kanale odpływowym O woda musi mieć także pewną prędkość U₀, prawie równą Ud, można więc, albo pomijając obie te prędkości, przyjmować do rachunku spadek H, albo też, jak się to robi zwykle, uwzględniać tylko prędkość U₀. Przy wejściu z kanału D do górnej części rury Rd, woda nabiera prędkości U.

W miejscu przemiany energii, woda, przez zmniejszenie przekroju, powiększa swoją prędkość. Zmniejszenie przekroju następuje przy przejściu prądu między płaszczem turbiny Kd a ścianami rury Rd, a następnie przy przejściu przez koło kierownicze z łopatkami, którego przekrój cylindryczny (rzut poziomy cylindra o średnicy ds na rys. 124 b) przedstawiony jest w rozwinięciu na rys. 124 c. Łopatki nadają prądowi kierunek nachylony Ux. Z komórek kierownicy wychodzi woda z prędkością Ux, odpowiadającą naporowi Hd, t. j. odległości poziomu górnego od przekroju I, u spodu koła kierowniczego i pod ciśnieniem odpowiadającem wysokości A, , takiem, że pomijając straty energii wynikające z tarcia:

U*

ha -J- Hd = Aj -f-

skąd:

Ui = V2g(h„ + Hi-h₁).

Ilość wody, przepływająca w ciągu sekundy przez koło kierownicze, przy przekroju (ud, mierzonym prostopadle do kierunku Ux, będzie: Q = cddU₁. Jeżeli liczbę łopatek koła kierowniczego oznaczymy przez ix, szerokość komórek przez b a grubość żyły przez a, to u>d = ix a b.

Gdyby ustrój silnika kończył się na kierownicy, woda płynęłaby dalej, linią śrubową, przez dolną rurę R₀, do kanału odprowadzającego. Ale, pod kołem kierowniczem stałem, umieszczone jest drugie koło ruchome, zwane wirnikiem, osadzone na, ruchomym około swej osi, wale N. Wodą zmuszona jest przechodzić przez wirnik, a ponieważ jego łopatki mają inny kierunek niż w kierownicy (rys. 124 c), więc woda przyjmuje kierunek Wx względem wirnika. W skutku zmiany kierunku na łopatce wirnika, ciśnienie na stronę wklęsłą łopatek wirnika jest większe niż na stronę wypukłą, a wynikający stąd moment sił wprawia wirnik, wraz z wałem N, w ruch obrotowy.

idj

fel

m-

W-T

II!'

//ł

/,

il'

#=2

HW

/j

K/

//,

yś<kS~s'- ^ ^

/%& i V iMo* '

/'/£^ \ i ,    \ 'y

-u

«>? *Wrf*Z'

Uv/i^

TW~ T---f

il

u wejścia:

il

feMl

c*7 /A* U

SP

nsoj/pl/dpDiyzoy

-ï

«o{f ï

Il sĄ

X'/K¹

SJ

<b

<^V

<%

o,

ui

r⁻?

Fv^i^L.

’^i

un

DO/UMOJd/y

Wirnik

*.» y*^    j u    *

flozkladpredk u y/ußda:

Rys. 124.

♦ił

ii

, jQÈx; *>?

r^*$*h W

M\

Przekroje komórek wirnika zmniejszają się od wejścia wody do jej wyjścia. Gdyby wirnik się nie obracał, to w skutku nagłych zmian przekroju i kierunku prądu, powstawałyby w nim znaczne wzburzenia i straty naporu, gdyż przekroje wejściowe wirnika są o wiele większe od przekrojów wyjściowych kierownicy. Ponieważ jednak wirnik obraca się w kierunku strzałki (rys. 124 c), więc woda wchodzi doń z prędkością względną Wx, która jest wypadkową prędkości U₁ i od-jemnie wziętej prędkości na obwodzie wirnika u, jak to wskazuje wykres (rys. 124 d). Przez odpowiedni dobór prędkości na obwodzie wirnika, utrzymywać można Wx znacznie mniejsze od U₁, a tym sposobem większy przekrój wejścia do wirnika może się podczas obrotu całkowicie wypełniać wodą. Z zasady ciągłości wynika: Ç = ô)₁ Wx=oi₂ W₂, gdzie co₁ i oo₂ są przekroje wejścia i wyjścia w wirniku, brane prostopadle do kierunku prędkości względnej. Zachowując oznaczenia rys. 124 c i oznaczając przez i₂ liczbę łopatek wirnika, mieć będziemy także:

Q = i₂ ax b Wx = i₂ «2 ^ ^2 •

Dla doprowadzenia tej małej prędkości Wx do większej W₂, którą winna mieć woda, aby przechodzić mogła przez wązkie otwory wyjściowe wirnika, ciśnienie musi się zmniejszyć i wartość hx ciśnienia panującego w szczelinie między kierownicą a wirnikiem zejdzie do h₂ pod wirnikiem. Z wirnika wychodzi woda z prędkością bezwzględną Z7₂, wypadkową prędkości na obwodzie u i prędkości względnej W₂ (rys. 124 e). Ta prędkość Î7₂ będzie małą względem W₂, a w dobrze zbui dowanych turbinach mieć będzie kierunek równoległy do os-(a₂ = 90°). W dawnych turbinach, wyjście wody z wirnika nie odbywało się regularnie, gdyż woda musiała przechodzić z przekroju pierścieniowego n dsb do znacznie większego

- dr², co wywoływało straty naporu. Obecnie, przy budowie

turbiny osiowej, zaradzićby można tej niedogodności, przez dodanie dolnego płaszcza K₀, wpływającego na stopniowe zmniejszanie się prędkości z U₂ na Us. Nieregularność, o której mowa, nie została uwzględnioną w wykresie na rys. 124.

Omówiony wyżej korzystny układ prędkości wody w turbinie, może mieć miejsce tylko przy pewnej oznaczonej prędkości na obwodzie wirnika. Przy obrocie wolniejszym lub szybszym, prędkość U₂ będzie większą. W obu tych przypadkach woda przechodzić będzie przez rurę R₀, nie w kierunku osi, lecz w kierunku śrubowym: w stronę obrotu wirnika przy szybszym jego biegu, lub w stronę przeciwną przy biegu powolniejszym.

cy prędkości

Odpowiadająca różnicy ciśnień hx — h₂ = hp oraz różniej 2_JJ 2

------— energia prądu przemienia się na ener-

gię kinetyczną za pośrednictwem wału N. Wszakże podczas przejścia wody przez turbinę pewna część spadku H zostaje straconą, w skutku przemiany na ciepło. Różne straty naporu:

1) podczas dopływu do przekroju I :

US

= <*i H,

2) w wirniku:

H₂r - C₂

w₂²

= g₂H

3) w rurze R₀ :

us

=

ńiogą także być wyrażone jako pewien ułamek spadku H\

Hr    (g^ —J— g₂ —|— Gj) H = g H.

Ciśnienie pod wirnikiem, odpowiadające wysokości h jest zwykle mniejsze od atmosferycznego i dlatego rurę nazwano rurą ssącą (por. str. 47, Zad. 25). Grdy niema żadnego ruchu obrotowego wody w rurze ssącej, czyli gdy turbina jest prawidłowo zbudowana i ma najodpowiedniejszą liczbę obrotów, Avtedy według twierdzenia Bernoulli’ego:

2*7

us

US

gdzie h.₆ oznacza wysokość ciśnienia na przekroju III rury ssącej. Pomiędzy znów tym przekrojem a na zewnątrz rury leżącym poziomem dolnym IV, podległym ciśnieniu powietrza:

TT ²

uo

us

Pomijając U₀, zwykle bardzo małe, mamy z powyższych dwóch równań:

K - ha H₀

us

Na wykresie (rys. 124) przedstawiony jest cały ten układ ciśnień i prędkości, przez rzędne prostopadłe do osi pio-Podziałka jest jednakową dla rzędnych i odcię-nachylona pod kątem 45° przedstawia ciśnie-

nowej zz. tych, i prosta m n nia hydrostatyczne, jakie miałyby miejsce na różnych przekro-

jach, przy zamkniętym otworze dolnym rury R₀. Linia m' nr odległa od mn na wysokość odpowiadającą ciśnieniu atmosferycznemu ha =

——, określa też same ciśnienia z pominięciem Ï

ciśnienia powietrza. Pomijając bardzo małą prędkość Ud w kanale D, przyjęto od poziomu wody do dna kanału hydrostatyczny rozkład ciśnień, według m o. Grdyby jednak wypadało uwzględniać prędkość dopływu i odpowiadającą jej wysoki

2 g ’

kość

to zamiast mn przyjąć należy równoległą do niej

linię m" nn. Przy wejściu do rury woda nabiera prędkości U,

i obniże-

U ²

co wywołuje zmniejszenie ciśnienia o wysokość

nie linii mn do pq. W miejscu, gdzie woda wchodzi w przestrzeń pierścieniową, między płaszczem turbiny a ścianami rury, wraz ze zmniejszaniem się przekroju, prędkość zaczyna się powiększać i przechodzi od wartości U w rurze, do w kierownicy, co wywołuje spadek ciśnienia od q do r. Linia r r' przedstawia wysokość ciśnienia hl w szczelinie między kierownicą a wirnikiem. W wirniku wysokość ciśnienia schodzi do wartości 'h₂, powyżej obliczonej. Spadek ciśnienia, między r i s, przemienia się w energię kinetyczną.

Na przekroju III energia prądu równoważyć winna, działające na poziom dolny, ciśnienie atmosferyczne. Przy ideal-nem urządzeniu, mianowicie przy stopniowem powiększaniu przekroju rury ssącej i to aż do wielkości nieskończonej (dla sprowadzenia prędkości U₀ do zera), możnaby otrzymać:

Urządzenie takie, w zmniejszonej podziałce przedstawia rys. 124/. Przekrój kołowy wylotu rury ssącej przechodzi w cylindryczny, zawarty między dolnym brzegiem rury a odpowiednio ukształtowanem dnem kanału odprowadzającego, przez co prąd rozchodzący się na wszystkie strony w kierunku promieni, ma coraz większe przekroje. Można wtedy wprowadzić do wykresu:

t. j. linię tt\ iw takim razie odjęta prądowi przez silnik energia Ei odpowiada całkowitemu spadkowi H. Zwykle jednak wysokość h₃ musi być większą od powyższej granicy, gdyż za-

miana wysokości

na ciśnienie, może mieć miejsce tylko

Uz²

do wartości, odpowiadającej prędkości U₀ w kanale odprowadzającym i punkt t wykresu przesunie się dalej na prawo. Przy rurze ssącej, takiej jak na rys. 124 a, przyjmować można, że na przekroju III panuje ciśnienie atmosferyczne. Wtedy punkt t wykresu przechodzi do t" (t' t" = ha), i energia odjęta prądowi wynosi:

TJŁ.

² g ’

jest więc mniejszą od całkowitego spadku o wzmiankowaną

stratę naporu

która przez stopniowe rozszerzanie rury U ²

uo

Ul

² 9 ’

. Przy uwzględnieniu na

wykresie strat naporu wewnątrz silnika, wartości których na wykresie podane są w nawiasach ( ), otrzymujemy zamiast linii ciśnień p q r s t, linię p r sr t", a energia rzeczywiście odjęta wynosi:

ssącej zmniejszoną być może do

UJ

a H-

59. Turbina Francis’a. W turbinie osiowej ruch wody odbywa się w kierunku osi i każda .cząstka nie opuszcza w swym ruchu powierzchni cylindrycznej, której rozwinięcie, ze śladami łopatek, przedstawiał rys. 124 c. W turbinie promieniowej dośrodkowej, ustawionej pionowo, jak przedstawiona na rys. 121 turbina Francis’a, strugi skierowane poziomo między łopatkami kierownicy, zaginają się w komórkach międzyłopatkowych wirnika i wychodzą skierowane po powierzchniach cylindrycznych. W rurze ssącej ciśnienie się powiększa a prędkość maleje; o ile wszakże cząstka wychodząca z wirnika zachowuje jeszcze pewien ruch obrotowy, to ruch ten powoduje bezużyteczną stratę energii. Stracie tej zapobiegać może tylko takie urządzenie łopatek, przy którem woda, wychodząca z wirnika, nie ma już żadnego ruchu obrotowego. Oznaczając przez Q objętość wody, przechodzącej przez turbinę w ciągu sekundy, mieć będziemy masę tej wody:

PÖ = —,

a gdy rx jest promieniem zewnętrznym wirnika, ux składową obrotową prędkości, to moment obrotu wirnika będzie:

.    .    (269)

Na przekroju poziomym kierownicy i wirnika (rys. 125) przedstawione są ślady łopatek. Prędkość cząstki przy wyjściu z kierownicy ma trzy składowe: ux w kierunku stycznej do obwodu zewnętrznego wirnika, Wx w kierunku promienia rx

_s:

'S

«à

Rys. 125.

i wreszcie małą bardzo składową w kierunku równoległym do osi turbiny, którą tu pominiemy, tak, że oznaczając przez Ux prędkość bezwzględną, z jaką woda wychodzi z kierownicy, mamy:

(270)

Ux² — V -j- Wx2 Kierunek Ux nachylony jest do promienia rx pod kątem ßj, który może być obliczony z równania:

(271)

wx tg ßj = Ux

Pod tym kątem nachylone być winny, przy wyjściu wody, cylindryczne łopatki kierownicy, do promienia rx . Aby wirnik, obracający się z prędkością kątową 6, wypełniony był stale wodą, musi składowa Wx odpowiadać prędkości wody przypływającej. Jeżeli oprócz warunku, aby wychodzenie wody z wirnika odbywało się bez ruchu obrotowego, wypełniony ma być jeszcze warunek wejścia wody do wirnika bez uderzenia, to względna składowa obrotowa prędkości ux — r\ 6 czynić winna ze składową Wx kąt ax, określony równaniem:

(272)

Wx tg ax — ux — rxQ

Pod kątem ax, nachylony ma być do promiemia rx, względny tor cząstki przy wejściu do wirnika, a więc i łopatka wirnika w tern miejscu. Ponieważ przy wyjściu wody z wirnika składowa u₂ ma zniknąć, aby nie było ruchu obrotowego wody, przeto kąt a₂ określony będzie równaniem analo-gicznem do równania (272):

(273)

W₂ tg ₂ = — r₂ 0

Wzory (271), (272) i (273), przy danych prędkościach Wx, ux, W₂, i promieniach rx, r₂, określają kąty, pod jakimi ustawione być mają łopatki kierownicy i wirnika, przy wchodzeniu i wychodzeniu z nich wody. Zresztą kształt łopatek bywa dowolny a ich liczba oznaczana według wskazówek praktyki. Wykreślenie śladów łopatek wyznacza także, kreskowany na rys. 125, bezwzględny tor cząstki, który, przy uwzględnieniu warunku, aby woda opuszczała wirnik, nie mając żadnego ruchu obrotowego, schodzi się w końcu z kierunkiem promienia.

Jeżeli wirnik, obracając się z prędkością 6₀, czyni zadość dwom powyższym warunkom (wchodzenia wody bez uderzeń i wychodzenia bez ruchu obrotowego), to przy prędkości obrotowej 6' i bez zmiany ilości i prędkości wody dopływającej, równania (270) i (271) pozostają w swej mocy; składowa zaś, w kierunku stycznej do obwodu zewnętrznego wirnika, nie będzie już ux lecz ux , czyniąca zadość równaniu:

Wx tg ïj = m/ — rx 6',    .    ■    .    .    (27 4)

skutkiem czego następować może, przy wejściu wody do wirnika uderzenie w tym kierunku. W skutku zmiany prędkości kątowej wirnika, zmieni się także równanie (273), woda nie będzie już wychodziła bez obrotu, i mieć będziemy:

W₂ tg a₂ = u₂ — r₂ 6',    .    .    .    .    (275)

a zamiast wzoru (269), moment obrotu:

.    .    (276)

W = ----- (ttŁ rx — u₂r₂),.    .

któremu odpowiada praca użyteczna:

Pr =

— K ri — u2 r2) ⁶' » • •

.    (277)

podczas gdy, w skutku uderzenia przy wejściu i zachowania ruchu obrotowego przy wyjściu, następuje strata energii:

P> =

(ux — u/)² -f

.    (278)

Jeżeli prędkość wody, dopływającej do turbiny kanałem

a odpływającej przez U₀

górnym, oznaczymy przez Ud, i uwzględnimy stratę energii, przez wprowadzenie spółczynni-ka C, to przy różnicy poziomów H, mieć będziemy między tymi dwoma poziomami równanie energii:

lQH =

7Ö

29

Uv(i+9

uĄ+pr + p\

albo uwzględniając wzory (277) i (278):

2 g H = U₀² (1 -j— C) — U ² -j- 2 (mx rx — u₂ r₂) 6' +

+ (ui — Mi0² + Ma²*- i •    (279)

Rugując składowe ui, u/, u₂, z tego równania i równań (271), (274) i (275), otrzymujemy:

2g H = U²{ 1 + 0- £/? + 6'² (+-+) +

+ TFi² (tg ßx — tg at)² + W₂² tg ² a₂ + 2    6' tg at .

Wprowadzenie objętości wody Q, przepływającej przez turbinę w jednostce czasu i powierzchni przekrojów co*? i w0 na poziomach górnym i dolnym, oraz co₁ i <o₂ przy wejściu i wyjściu wody z wirnika, daje:

Q — (üdUd—^o U o — Wx W₁ — (ü₂Wÿ. . (280)

i równanie (279) przyjmuje kształt:

= 6'2 (V — r,²) + 2WQ-Tltg*¹ +

W1

tg² «2 “>2³ ■

Dla wejścia wody bez uderzenia i wyjścia z wirnika bez ruchu obrotowego, równanie (279) upraszcza się, bow₁=!i/, u₂ = 0, 6' = 6 i pozostaje:

2 g H= U₀² (1 + C)—£7d² + 26w₁r₁ . . (282)

• (281)

o>i²

,    \ l+C__1    _J_ (tg Pi — tg ai)²

0>o²    »i*

a zamiast (281):

2gH=2rl*V + 2QQ    (D^--U . (283)

0>1    \ 0)₀² (ûd² I

Równanie (281) służyć może do obliczenia głównych wymiarów turbiny, jeżeli spadek H i prędkość kątowa 6 (albo odpowiadająca liczba obrotów) są dane. Dobiera się wtedy odpowiedni promień rx i wprowadza stratę energii:

u²(l+o- ud

= i H = H' .    .    .    (284)

jako stratę spadku, przyjmując według wskazówek praktyki i — 0,15 do 0,2. Z równania (282) mamy:

.    .    (285)

ux —

g(H—m

6 rx

a po dobraniu możliwie małych składowych Wx i W₂ , przez urządzenie możliwie wielkich przekrojów ft)x i w₂, mogą być

obliczone trzy kąty: ßj, 04 i 04 z równań (271), (272) i (273). Po wyrugowaniu z tych wzorów, tak Q jak i 9, pozostaje równanie warunkowe:

tg J, — tg 04

tgaj r2 °>2

= 0.

rl W1

Wysokość, na której umieszczony ma być wirnik, między poziomami górnym i dolnym, oraz ciśnienia px i p₂ przy wejściu i wyjściu wody z wirnika, nie wchodzą do powyższych równań i nie mają wybitnego wpływu na zużycie energii w turbinie. Ograniczenie wysokości, na jakiej umieszczony będzie wirnik nad poziomem dolnym, wynika tylko z warunku, że żadne z tych ciśnień nie może być odjemnem, gdyż rura ssąca musi wciąż być wypełnioną. Sprawność turbiny, przy ku wejścia wody do wirnika bez uderzenia i wyjście bez ruchu obrotowego, dają równania (268), (269), (282) i (284) według których:

warun-

•/] =

Pr

Y QH *tQH

M d    Uo*(l + Q-UJ

2gH

= l—l. (286)

Jeżeli moment obrotu zmienia się przez powiększanie lub zmniejszanie dostarczanej przez turbinę pracy, to przy stałych kątach 04, ßj i stałym spadku, prędkość kątowa 6' i objętość Q zmieniać się będą według wzoru (281). Wykres tego równania, biorąc za spółrzędne prostokątne wartości 6' i Q, daje nachyloną elipsę albo hyperbolę, ze środkiem w początku spółrzędnych, stosownie do tego, czy:

(V-V) [i# -    +

, tgßi — -tgai)2 1    ... 2

V tg² 04 ^

“1

.    (287)

Cûi

te⁸«» 1 w₂² J '

W przypadku równości obu tych wyrażeń, równanie (281) rozpada się na równania dwóch prostych równoległych, położonych w równych odległościach od początku spółrzędnych. Ponieważ wyrażenie w drugim nawiasie, po prawej stronie, ma stale wartość dodatną, przeto kształt wyrażonej przez równanie (281) linii charakterystycznej turbiny, zależy przeważnie od różnicy 74²— r₂², która w nowszych turbinach, prawie wyłącznie dośrodkowych, bywa zwykle dodatną. Dla turbiny Francis’a linią charakterystyczną jest elipsa (rys. 126), przecinająca osie spółrzędnych w punktach A i B, w których Q = 0 i 6' — 0. Drugi z tych punktów odpowiada objętości Q, przepływającej przez mocno zahamowany wirnik, podczas

gdy pierwszy nie ma praktycznego znaczenia, bo elipsa, wyszedłszy z B, jeszcze przed dojściem do A, mianowicie już w punkcie C odpowiada bezwodnemu czyli jałowemu biegowi turbiny. Bieg ten ma miejsce z powodu, że M' — 0, czyli według wzoru (276)    = u₂r₂, albo według wzorów (271)

i (275), dla 9' = 9₀ i Q — Q₀:

. (288)

Punktowi A, to jest objętości Q — 0, odpowiada według wzoru (281) prędkość kątowa:

Qos

öi =

2 gH

r 2_r 2 »

'l

.    (289)

' I!

jak się okazuje, niezależna od kątów łopatkowych. Nowsze turbiny wszakże budowane są w ten sposób, że kąt ßj może być zmienianym, dla regulowania ruchu turbiny zapomocą specyalnego urządzenia, tak, że każdej wartości kąta ßj, odpowiada inna elipsa charakterystyczna. Wszystkie te elipsy mają oczywiście różne nachylenia osi i według wzoru (289) przechodzą przez ten sam punkt A. Przez wyrugowanie kąta ßi z równań (288) i (281) i położenie 9' = 9 Q = Q₀, otrzymać można jako równanie miejsca geometrycznego wszystkich punktów biegu jałowego C, znów pewną elipsę C Cr, która przy Q₀ — 0 przecina oś 9' w punkcie C przy prędkości kątowej :

//.

c'y,

'/

/I

Rys. 126.

d₂ =

2 gH

< d₁ ...    .    (290)

V + -^r

ri

i którą, razem z drugą linią charakterystyczną B' C A, przedstawia rys. 126.

Wreszcie równanie (283), w które kąt ßj nie wchodzi, daje dla 9 i Q elipsę ze środkiem w O, jako miejsce geometryczne wszystkich stanów ruchu, z wejściem wody do wirnika bez uderzenia i wyjściem bez ruchu obrotowego, tak, że każda linia charakterystyczna rys. 126 posiada jeden taki punkt.

Dla jakiegokolwiek ruchu turbiny, mamy według równań (268) i (277) sprawność:

Pr _ (mł rl — m₂ r₂) O'

gE

albo według równań (271) i (275).

0'

ri tg ßi r2 tg a2

gE

(Ol

(0₂

skąd, dla biegu jałowego 0O znów czynić będzie zadość równaniu (288). Oczywiście, dla 0' = 0, będzie tj' = 0.

Zadanie 5Ł Obliczyć główne elementy turbiny Francis’a, dla objętości wody Q — 4 m³/sek. i spadku H — 2,5 m, ustawionej w zbiorniku otwartym, o powierzchni poziomu wody (o<ż = 4m².

Przyjmując spółczynnik 1 = 0,2 a więc sprawność y]=1 — i — — 0,8, ponieważ:

Ud — —

(JUd

= 1 m/sek.,

mamy z równania (284):

= 3 m/sek.,

skąd dolny przekrój rury ssącej:

u)₀ = 1,333 m² (średnica 1,3 m).

Praca turbiny będzie:

Pr =

4000.2,5.0,8

75

= 106,7 k. m.

Jeżeli turbina ma działać przy liczbie obrotów ro=80 na minutę (6 = 8,37), to z równania (285), dla H' = ê H = 0,5 m :

thTi = 2,34.

Biorąc średnicę wirnika 2 r, = 1,5 m, wysokość kierownicy & = 0,4 m, będzie (pomijając ścieśnienie żyły przy wejściu):

(oi =2 jx ryb — 1,885 ml,

TT, = — = 2,125 m/sek.,

«h

u, — 3,12 m/sek.

Według równania (272):

TPj tg a, — Ui — T! 8 = 3,12 — 0,75.8,37 = — 3,16 ,

więc: tg a, = — 1,49 ; kąt łopatkowy przy wejściu do wirnika a, = 3030 55' = — 56° 5'. Równanie (271) daje kąt łopatkowy przy wyjściu wody z kierownicy:

= 1,47,    = 55° 45'.

o 3,12 tg ~ 2,125

Jako promień wewnętrzny wirnika, praktycznie będzie przyjąć r₂ = 0,45 m, co przy średniej wysokości łopatek b = 0,4 m daje:

ui₂ = 1,7 m?, W2 — 2,35 m/sek.,

3,76

a według wzoru (273):

tg «2 = —

— 1,6, *2 = 302°.

2,35 —

Wyznaczone zostają w ten sposób kierunki początkowe i końcowe łopatek, których zakrzywienie między r, i r.t, jak i krzywe południkowe, projektowane są według mniej lub więcej dowolnych przepisów praktyki.

Równanie linii charakterystycznej (281) będzie:

49,05 = 0,36 0'² - 1,185 0' Q + 3,967 Q²

i przedstawia elipsę, która w punktach: A (Q — 0, 0' = 11,67) i B (6' = 0, Q = 3,52 m³) przecina osie spółrzędnych. Wielka oś elipsy nachylona jest pod kątem tp = 9°8' do osi 0'. Odpowiadający biegowi jałowemu turbiny punkt C elipsy, leży według równania (288) na przecięciu elipsy z prostą 0O = 5 Q₀, odpowiadającą ilości wody Q₀ = 2,64 m³ przy 0 = 13,2 albo n = 126 obrotów na minutę. Przez C przechodzi elipsa biegu jałowego, która w punkcie C (Q = 0,    0₂ = 10,64) przecina oś 0'. Wreszcie z równa

nia (283) otrzymuje się elipsę:

49,05 = 1,125 0² — 1,185 6 Q + 0,617 Q\

jako miejsce geometryczne wszystkich biegów turbiny, z wejściem wody bez uderzenia i wyjściem bez obrotu. Przecięcie tych dwóch elips odpowiada danym zadania: Q = 4 w³, 0 = 8,37.

VII. Wody wgłębne.

60. Sączenie przez piasek. W warstwach piaskowych woda sączy się cienkiemi strugami, przez następujące jedna po drugiej w kierunku ruchu, szczeliny między ziarnkami piasku. Ścianki tych fikcyjnych rurek utworzone są przez powierzchnie ziarn i przez płyn nieruchomy, wypełniający szczeliny poprzeczne, w których ciśnienie jest takie samo, jak na sąsiednich przekrojach rurek. Płyn, o którym mowa, przenosi ciśnienie od jednej rurki do drugiej i wytwarza solidarność ruchu w całej warstwie. Ciśnienie w przekroju każdej rurki, rozkłada się według praw hydrostatyki. Jeżeli h jest wzniesienie, nad płaszczyzną pionową stałą, punktu, w którym ciśnienie jest p, to w przekroju prostopadłym do kierunku ruchu: dp — —ydh, skąd:

= N = ilości stałej.

Ponieważ napór jest stały w przekroju prostopadłym do osi rurki, oraz w szczelinach sąsiednich, wypełnionych płynem nieruchomym, przeto kierunek całego sączącego się prądu jest

normalny do szeregu 'powierzchni jednakowego napom, określonych równaniem: N — ilości stałej. Powierzchnie te, jakkolwiek przedstawiające niezliczone nieregularności miejscowe, niedostrzegalne wgłębienia, z których każde stanowi otwór fikcyjnej rurki, są jednak ciągłe w swej całości. Dla elementu rurki, spadek czyli strata naporu:

dN

dn ’

(292)

gdzie dn jest nieskończenie małą normalną do powierzchni jednakowego naporu, skierowaną w stronę ruchu prądu. Wydatek pojedynczej rurki będzie, przy ruchu jednostajnym, według wzoru Poiseuille’a (79):

q = « -,

¹    v

gdzie w = 7C R² jest powierzchnią przekroju poprzecznego rurki, v spółczynnik określony w § 19 a k spółczynnik liczbowy,

zależny od kształtu przekroju w —— dla przekroju kołowego,

L 8 TC

0,029 dla przekroju trójkątnego równobocznegoj.

Dla wiązki rurek, odcinającej na powierzchni jednakowego go naporu N , pole dość ograniczone, aby można było przyjmować dla nich jednaki spadek J, biorąc sumę wydatków i dzieląc ją przez sumę powierzchni przekrojów, otrzymamy prędkość średnią:

gJ

a kładąc spółczynnik wydatku uważanego ośrodka:

1 _ 9 Z (k <*>)<*> _ g_

gdzie k (o przedstawia średnią wartość powierzchni przekroju fikcyjnej rurki, otrzymamy:

.    (293)

Przypuśćmy, że ośrodek porowaty, przez który przechodzi woda, jest jednorodny, złożony z ziarnek kulistych i że wszystkie rurki mają jednaki kształt i przekrój; wtedy:

^ g ' k ö) *

Między trzema ziarnkami stycznemi, obwód przekroju rurki tworzą trzy łuki kół wielkich, będących przekrojami kulek, a linie proste styczne do tych łuków w ich środkach dają trójkąt równoboczny, którego powierzchnia, w funkcyi promienia koła wielkiego kulki i?, wynosi V3 (7 — 4^3 ) Ä² = 0,124Ä². Biorąc k — 0,029 a to = 0,124 Ä², mieć będziemy:

0,0009 g (2 R)² '

Dla ziarnek 0,001 m średnicy, [i w jednostkach metr-sekunda będzie bliskie 600, a tern większe od 600 im ziarnka będą mniejsze.

Przy ruchu ustalonym, wydatek na jednostkę powierzchni przecięcia poprzecznego prądu będzie: oznaczając przez m stosunek sumy przekrojów rurek fikcyjnych do całej powierzchni przekroju. Jeżeli za U wstawimy wartość według wzoru (293), otrzymamy:

(294)

Q — — J.

0,35m

"T

Wzór ten sprawdzony został doświadczalnie. Darcy przepuszczał wodę przez rurę pionową 0,35 m średnicy (rys. 127), u spodu której, na kracie i grubych kamykach ułożona była warstwa piasku grubości n, możliwie jednorodnego. Powierzchnie jednakowego naporu były tu płaszczyznami poziome-mi, spadek:

a wydatek na jednostkę powierzchni filtru:

Rys. 127.

t*

Darcy znalazł dla piasku grubego (m = 0,38): m

—- = 0,0003,

czyli [j. = 1266; Dupuit dla drobnych piasków (m — 0,30):

— = 0,00005

a więc jr = 5700. Dla zdania sobie sprawy z prędkości sączenia, która według wzoru (293):

weźmy, jak na filtrach wodociągu warszawskiego, n = 1,5 m, z — 2,50 m a będzie:

U = 0,0013 mjsek. u = 0,0003    „

dla |i = 1266 „ [A = 5700

Dla skutecznego oczyszczania wody stosowane bywają na filtrach wodociągowych prędkości sączenia znacznie mniejsze. Normalnie, na filtrach warszawskich sączenie odbywać się ma z prędkością 100 mm na godzinę, czyli:

U = 0,000028 m/.ęe/c.,

lecz i tę prędkość, w wielu razach, wypada znacznie zmniejszać.

61. Powierzchnia wody wgłębnej. Jeżeli AB (rys. 128) przedstawia przekrój powierzchni gruntu, płaszczyzną prostopadłą do linii głównego ścieku doliny, a M' M prze-

^Mmsek

Wo rs tw nżebrzcpuszc żalna

mmmm, x

Rys. 128.

krój powierzchni prądu podziemnego, sączącego się w kierunku M M', przypuśćmy dla uproszczenia: że warstwa spodnia nieprzemakalna jest pozioma, schodzi się z dnem rzeki w dolinie i oznaczmy przez z rzędną jakiegokolwiek punktu M krzywej Mr M, Q wydatek prądu na jeden metr bieżący rzeki, h głębokość rzeki, ja spółczynnik przepuszczalności warstwy wodonośnej, U prędkość średnią prądu podziemnego na przekroju MP. Wydatek na tym przekroju:

.    .    (296)

Między punktami nieskończenie bliskimi M i M ', całkowita strata naporu wynosi — dz, grubość warstwy wodo-

czyli

. dz

ds ¹

nośnej ds, tak, że strata naporu na lm wynosi

F. K. Hydraulika.

oznaczając spółczynnik —

P¹

= p, będzie:

dz

U = p-j-.....

d s

Wyrugowanie U z równań (296) i (297) daje:

Q—^pz

R. a.

albo:

Q ds = [x p z dz,

skąd po zcałkowaniu:

Ponieważ dla 5 = 0, z = h, przeto:

[JL p h² —f— C = 0,

wreszcie:

2 Qs — ^p(z² — A²).....(298)

Jest to równanie liniipiezometrycznej MM', określające pewną odmianę logarytmiki i aby je otrzymać w spółrzędnych prostokątnych, wyrugować należy ds, zapomocą związku: ds² = dx² -f- dz², a całkowanie daje:

Różniczkując równanie (298) i uważając s jako stałe a h jako zmienne, otrzymamy przy ds = 0:

2 Qx = zV^²p²z² — Q² —

Q²

&)+*•

dz = — dh,

a ponieważ h jest mniejsze od z, więc dz < dh i przyrosty z są mniejsze od przyrostów h. Stwierdza to fakt wielokrotnie obserwowany, że na poziom wody w rzece bardzo mały wpływ wywierają górne warstwy sączącej się wody w warstwie wodonośnej.

Dla uproszczenia równania krzywej M M', zastąpić można element MM' = ds, jego rzutem poziomym dx, wtedy równanie (297) będzie:

U= p

dz

dx ’

a po wyrugowaniu U w równaniach (296) i powyższem, otrzymamy:

Q dx = p p z dz ,

.    .    (299)

po z całkowaniu zaś:

.    .    (300)

2 Q x = p (z² — A²). .

Krzywa piezometryczna jest wtedy parabolą, której oś schodzi się z O x ; wykreślić ją można, mając spółrzędne dwóch jej punktów, dostarczone przez dwa otwory świdrowe, dające głębokości spotkania wody wgłębnej.

62. Sztolnie. Jeżeli koryto rzeki przechodzi przez grunt przepuszczalny, to do wykopanej równolegle do koryta sztolni, przesączać się może oczyszczona od unoszonych części stałych woda rzeczna.

mm

o p . x

.Rys. 129.

Gdy sztolnia wykopana jest do warstwy nieprzepuszczalnej 0x (rys. 129), to przyjmując w niej stałą głębokość wody A, przy głębokości rzeki H a grubości warstwy przepuszczalnej n, mamy na prze- h kroju MP według wzoru (299):

dx

a po zcałkowaniu:

2 Qx — \ip z²-\-C,

krzywą piezometryczną w łuku paraboli. Rugując C w granicach A i H, otrzymamy:

2 • • (³⁰¹⁾

(Ł p (jff² — h?) _ jjl p(H—A) H-\-h

Dla danej więc przepuszczalności , wydatek sztolni jest proporcyonalny do obniżenia poziomu wody wgłębnej (H—A),

do wysokości średniej

kanej i odwrotnie proporcyonalny do grubości tej warstwy.

Czas, w ciągu którego woda przesiąka, obliczyć można

z dx.

— (H -j- A) wody w warstwie przesią-

2

zważywszy, że: U =

dx

dx

dt ’

Rugując z z równania (300), otrzymamy:

dt ’

a stąd dt —

2 Qx

-j- A² . d x,

a całkując to wyrażenie w granicach 0i », mieć będziemy czas szukany:

CO

[>

U

albo po uproszczeniu:

1 ^ (2Qn S²

8 Qa [\    ^ !

— h³

a ponieważ według- równania (301):

2 Q n

można więc napisać:

[J- L>

- -f- h* = H>,

(«*-*).....(302)

63. Studnie. Weźmy pod uwagę w warstwie przepuszczalnej, która leży na warstwie nieprzepuszczalnej poziomej, masę cylindryczną AB CD (rys. 130), do której ze wszyst-

jiJ

r

-c-

Grunt ,0/eprzefiuszt z o/ny

alti

■M

Rys. 130.

kich stron przesiąka woda. W tej masie cylindrycznej wykopaną została studnia, dochodząca do warstwy nieprzepuszczalnej. Dopókąd nie czerpie się wody ze studni, poziom utrzymuje się na linii AB', i w warstwie piaskowej woda pozostaje w spokoju. Wypompowanie wody ze studni obniża poziom do mn i powoduje ruch dośrodkowy w warstwie wodonośnej. Powierzchnia wody w tej warstwie przybiera kształt powierzchni obrotowej, której tworzącą jest pewna krzywa Mn. Ruch każdej cząstki wody skierowany jest ku osi studni, a rzuty poziome pojedynczych strug są promieniami, schodzącymi się w jednym punkcie, na osi studni i jednakowo względem siebie nachylonymi. Jeżeli grubość warstwy wodonośnej oznaczymy przez H, promień studni przez p, promień uważanej masy cylindrycznej przez s, głębokość wody w studni po wypompowaniu przez h, mamy na przekroju cylindrowym o tworzącej M P:

Q=:2&'KzxU,

a że JJ = p ——, więc Q ~ 2pnKzx--

dx    dx

skrócenia k

albo kładąc dla

Q — 2k z x

dz

Rozdzieliwszy zmienne, mamy: Q dx

— 2Jc z dz,

a po zcałkowaniu, uważając wydatek Q jako stały:

Q ln x = k z² -j- C. .    . .

(303)

Dla x = p i x .= s, powinno być z = h i z — H, więc: Q ln p = k A² -j- C,

Q ln s — k H² -^j- C,

C między pierwszem równaniem a dwoma

a po wyrugowaniu ostatniemi:

skąd:

nr*

Q ln — = k (z² — A²), Q ln — = k (H² — A²),

ln —

z² — A²

ln —

H²—A² ’ ‘

.    .    (304)

k (H²— A²)

ln —

.    .    (305)

Równanie (304), niezależne od k i Q, to jest od przepuszczalności gruntu i wydatku studni, jest równaniem krzywej Mn i określa krzywą wykładniczą.

Równanie (305) wykazuje, że wydatek studni powiększa się razem z naporem H — A, przepuszczalnością warstwy wodonośnej i promieniem p studni a zmniejsza się razem z promieniem s masy wodonośnej otaczającej studnię. W rzeczywistości, ponieważ p wchodzi tylko logarytmem, zmiany promienia mają niewielki wpływ na wydatek, zwłaszcza gdy promień s jest znacznie większy od p, co zwykle ma miejsce. Jeżeli jednak oznaczymy przez a kąt, jaki styczna do krzywej Mn w punkcie M czyni z osią 0 x, to Q = 2 k z x sin a a tak samo przy ścianie studni, oznaczając kąt stycznej z osią O x przez a', Q = 2 k h p sin a', skąd:

2 k p sin a'

Ponieważ maximum sin a' jest równe jedności, przeto minimum h, odpowiadające danemu wydatkowi Q i promieniowi p, będzie:

2 k p

co uwidocznia wpływ wielkości promienia studni na wydatek, gdyż przy większym promieniu powiększać można znacznie głębokość wypompowywania, a więc i napór.

Do studni rozważanej woda dochodziła wyłącznie przez ściany, gdyż dno przyjmowano nieprzepuszczalne; zdarza się

=.

jednak, że studnia zasilaną jest równocześnie przez dno i ściany, albo wyłącznie przez dno. W tym ostatnim przypadku, : wi. ,i    rachunek wykazuje wogóle

— t    większy wpływ promienia stu-

=jp,' £^:-_±±r-2---x dni na wydątek, niż przy dnie

nieprzepuszczalnem, co zre-2.    sztą sprawdzone zostało do

to o—

Rys. 131.

świadczeniami. I rzeczywiście, jeżeli weźmiemy pod uwagę studnię (rys. 131), której ściany są nieprzepuszczalne, to dla strugi przechodzącej przez przekrój Oz w punkcie m, którego rzędna jest z, droga do przebycia jest H-\-2z, napór H—h i według wzoru (297):

U=p

H+2z •

Wydatek cylindra elementarnego wysokości dz przechodzącego przez punkt m, będzie:

dQ = 2izpp (H—h) {i

dz

H+2z

— 2kp (H — h)

H^2z ’

a po zcałkowaniu, w granicach od z — 0, Q = 0, do z — H

l 2 H

Q = kp (H— h) ln(l + ^jÿ wzór wskazujący, że Q jest proporcyonalne do H—h i do p.

)•

64. Studnie artezyjskie. Jeżeli rurą zapuszczoną w głąb i dochodzącą do niższej warstwy wodonośnej, która leży pod warstwami nieprzepuszczalnemi, podnosi się woda i jeżeli rura u wierzchu zatrzymuje się w punkcie b (rys. 132), w pewnej odległości od poziomu piezometrycznego, to powierzchnia tego poziomu obniża się ku otworowi rury, według krzywej mb d, i woda wypływa z rury pod naporem b 0. Do studzien artezyjskich stosowany być może wzór (305), gdyż okoliczności ruchu wody są podobne w obu przypadkach. Średnią wysokość warstwy wodonośnej

/V

H\

— (H-\-h) zastąpić należy przez

Li

grubość n warstwy, z której przypływa woda wznosząca się w rurze, a napór H — h przez wysokość b 0 = H. Ilości s i p zachowują swe znaczenia: s szerokość warstwy przepuszczalnej otaczającej studnię, a p promień studni. Wzór (305) przybiera kształt:

Rys. 132.

Q = 2 k n--

ln —

(306)

Dla ścisłości należałoby odejmować od H stratę naporu wynikającą z tarcia wody o ściany zapuszczonej rury; ta strata naporu jest funkcyą średnicy rury i wydatku, ale ponieważ wogóle bywa niewielka w stosunku do całego naporu, może przeto być pomijaną

Proporcyonalność wydatku do naporu sprawdza się we wszystkich studniach artezyjskich, ale doświadczenia wykazują, że wpływ średnicy rury bywa większy, niż wskazany wzorem (306). Za wyborem większych średnic przemawia także większa łatwość przy wierceniu, zapuszczaniu rur i ich naprawie.

Oznaczmy przez Q' wydatek winnym punkcie c (rys. 133), H¹ napór odpowiadający temu wydatkowi. I tu także:

Q' = 2 k n

.    .    (307)

ln

a dzieląc równanie (306) przez (307), mamy:

Q' ~ W ’

Q'

Rys. 133.

proporcyę wykazującą, że jeżeli na poziomych przeprowadzonych przez punkty b i c odetniemy rzędne proporcyonalne Q i’ Q', prosta fg teoretycznie przechodzić powinna przez poziom piezo-metryczny O. Najczęściej wszakże, otrzymany tym sposobem poziom pie-zometryczny jest niższy od rzeczywistego, który w przybliżeniu oznaczyć można tylko przez badanie kształtu i rozległości warstwy wodonośnej. Wydatek studni bywa zawsze w pewnym stosunku zmniejszony, w skutku strat na-poru przy połączeniach rur, w szczelinach i dziurach przewodu, który nigdy nie może być bezwzględnie nieprzepuszczalnym. Pewna część wydatku wznosi się pomiędzy rurą a ścianami przebitego otworu aż do warstw przepuszczalnych, w których się rozprasza.

65. Wzajemny wpływ studzien. Gldy warstwa, przez którą woda przesiąka, jest jednorodna i leży na poziomej warstwie nieprzepuszczalnej, to dla pojedynczej studni, powierzchnie jednakowego naporu (§ 60) są cylindrami pionowymi, których osią wspólną jest oś studni. Rzuty poziome tych powierzchni cylindrycznych, czyli lcrzywe jednakowego naporu, są kołami, mającemi środek wspólny na osi studni a rzuty poziome pojedynczych strug prądu przesiąkającego — promieniami tych kół. Jeżeli w tej samej masie przepuszczalnej, w niewielkiej odległości jedna od drugiej, wykopanych będzie kilka studzien, to wydatki ich będą zależne jedne od drugich a krzywe jednakowego naporu i normalne do nich linie strug przybiorą różne kształty, odpowiednio do liczby studzien, ich wydatków

\M

i względnych odległości.

Rys. 134.

Weźmy pod uwagę dwie studnie A i B (rys. 134), zasi-^ . lane przez tęż samą warstwę ß wodonośną. Niech będzie Q wydatek studni A ; iloraz

— q przedstawia wydatek

najednostkę kąta między promieniami i dla kąta 6 wydatek odpowiadający będzie qb. Za płaszczyznę porównania weźmy po-

ziome dno warstwy wodonośnej, na którem położone są punkty A i B i jakikolwiek punkt M krzywej MN, położonej na tej płaszczyźnie.

Jeżeli oznaczymy przez q' wydatek na jednostkę kąta studni B, to objętość wody, przechodząca ku studni A, przez cylinder pionowy MN, w ciągu sekundy, ma wyrażenie q 6, a przechodząca ku studni B wyrażenie q' 6', tak że wydatek cylindra będzie q 6 — q 6'. Połóżmy:

q Q — q'br = Kh,    .

oznaczając przez h ilość stałą a przez K spółczynnik liczbowy. Dla każdego systemu wartości q, q', K, h , równanie (308) daje na płaszczyźnie porównania pewną krzywą MN, wzdłuż której wydatek cylindra jest stały. Krzywa ta jest rzutem poziomym strug, biegnących po powierzchni cylindra. Dając kolejno spółczynnikowi K wartości 0, 1, 2, 3, 4. ... , otrzymamy wiązkę krzywych, odtwarzających rzuty strug na płaszczyznę poziomą. W przypadku q — q\ równanie (308) daje:

6 — 6' = —

•    .    (308)

.    .    (309)

a krzywe odpowiadające są hyperbolami równobocznemi, prze-chodzącemi przez środki A i B. Krzywe te są nakreślone na rys. 136.

Aby otrzymać równanie powierzchni wody w warstwie wodonośnej, w której wykopane są studnie, weźmy AB za oś x (rys. 135), prostopadłą A y za oś y a prostopadłą w A do !J płaszczyzny porównania za oś z, skierowaną od dołu do góry.

Niech będzie MM' = dy, równoległy do O y ślad płaszczyzny pionowej. Poprowadźmy prostopadłe M P i MQ do promieni AM' i BM' i połóżmy MAM' = <26, MBM’=dV,

MP—rd 6, MQ = r'd 6'. Na płaszczyźnie MM’ wydatek będzie: dQ = >^zdyU, a że weoług (308) i (297):

de

der

Rys. 135.

d Q = q d 6 — q' d 6',

więc:

dz

= qd 6 — q d 6'.

P z dy

Według rys. 135 mamy rzuty elementów dy i dx, kierunki promieni AM i BM:

dx

na

r d 6 = d y cos 6 , r' db' = dy cos 6',

dr = dx cos 6, dr' — — dx cos6',

a związki te pozwalają wyrugować z poprzedniego równania: dx, dy, dO, dQ'. Otrzymujemy wreszcie: a po zcałkowaniu:

albo:

jjl p z² = 2 In rir'i' C.....(310)

Jest to w spółrzędnych cylindry cznych^ równanie powierzchni piezometrycznej dla warstwy wodonośnej.

Gdy ą — qf, równanie przybiera kształt:

\^p z² = 2 q ln r r C.....(311)

Według wzoru (310), warstwice na powierzchni wody wgłębnej, wzdłuż których z jest stałe, mają za równanie na płaszczyźnie poziomej, oznaczając ilość stałą przez Æ²:

rq r’q' _ £2 ^

a gdy q = ę', równanie to, oznaczając inną stałą przez b²,

będzie:

rr' = bK

Krzywe, wyrażone tern równaniem, są to tak zwane owale Cassini’ego\ niektóre z nich przedstawione są na rys. 136.

Rys. 136.

Owale te sa normalne do hyperbol określonych równaniem (309). Gdy ilość stała b jest równa połowie odległości AB

VIII.

między studniami, owal zamienia się na lemniskatę, nakreśloną na rysunku; gdy zaś b różni się znacznie od połowy A B, krzywe zbliżają się do kształtu kołowego. Objętość wody przechodzącej w jednostce czasu przez cylindry opisane owalach otaczających obie studnie wynosi 2 n —|— q'^, a przez takież cylindry otaczające jedną studnię: 2 71 q i 2 % ą'.

Dla otrzymania wartości q = przypuśćmy, że dwa punkty, przez które przechodzi prąd wgłębny, leżą na jednej płaszczyźnie pionowej z osiami obu studzien, tak że oznaczając AB = l, można położyć, jak w § 63:

r’ = P,

r' =

na

r = Z + p, r = Z + s,

Przyjmując te granice dla wyrugowania ilości stałej

Jc

wzorze (311) i mając na uwadze, że [i p — — (§ 63) otrzy-

B² — h²

mujemy:

s,

z — h z — H.

we

2 7C

.    .    (312)

ln ——j- ln P

wzór uwydatniający wpływ odległości, między dwiema studniami, na wydatek każdej ze studzien. Widzimy, że ten wydatek powiększa się razem z odległością i staje się równy wydatkowi pojedynczej studni gdy l — oo, a połowie tego wydatku gdy 1 — 0.

Gazy.

66. Prawa ogólne. Przy rozważaniu ruchu cieczy można było pomijać wpływ zmian temperatury; przy ruchu gazów uwzględniać trzeba ilość ciepła, jaką płyn nabywa lub traci i wynikające stąd zmiany ciśnienia i objętości. Brać trzeba także pod uwagę możliwy stan płynu, w pobliżu punktu skroplenia’; ten wzgląd wszakże, wchodzący już w zakres termodynamiki, można tu pominąć, gdyż zajmować nas będą wyłącznie gazy stałe, to jest znajdujące się w stanie dostatecznie odległym od punktu skroplenia, mianowicie też gazy doskonałe, które podpadają w zupełności pod prawa Mariotte’a i Gay Lussac’a. Wprawdzie podciąganie pod te prawa gazów naturalnych nie będzie ścisłem, da wszakże, dla ich większości, przybliżenie wystarczające w praktyce.

Oznaczając przez p ciśnienie gazu, v objętość odpowiadającą jednostce jego ciężaru, a spółczynnik rozszerzalności na 1° C., i temperaturę, mamy według praw Mariotte’e i Gray-Lussac’a:

= ilości stałej.

1 —j— ot t

R

Oznaczywszy tę ilość stałą przez-i biorąc spółczynnik:

a

a = 0,003663,

— = 273,

równaniu powyższemu nadać możną postać:

= R.

273 + t

Ilość 273 —}- t stanowi tak zwaną temperaturę bezwzględną, t. j. liczoną od zera bezwzględnego, położonego na stopniu— 273° podziałki Celsiusza. Kładąc 273 -j-t=T, mieć będziemy:

pv — RT

(31S)

Stała R nie jest jednakową dla wszystkich gazów. Przy jednakiem ciśnieniu i jednakowej temperaturze, R jest pro-porcyonalne do v objętości jednostki ciężaru, albo odwrotnie proporcyonalne do ciężaru jednostki objętości, czyli do gęstości płynu 7 . Mamy więc:

.    .    (314)

a jeżeli G jest ciężar objętości V gazu, czyli:

.    .    (315)

.    .    (316)

V=Gv, .

to według równania (314):

Vp = GRT. . .

Dla mieszaniny gazów ilość stała Rm jest według prawa

Daltona:

Rm =

.    .    (317)

Z praw równowagi płynów (rozdz. I) wynikają dwa wzory dla balonów. Zasada Archimedesa (§ 8) dostarcza wzoru na siłę S, podnoszącą w powietrzu balon, którego objętość V wypełniona jest gazem, o ciężarze właściwym 7, , mniejszym od ciężaru właściwego powietrza 7, przyczem całkowity ciężar balonu wynosi G :

.    .    (318)

a z podanego w § 5 równania równowagi gazu doskonałego (15), mamy, oznaczając przez p₀ ciśnienie powietrza na

Zadanie 59. Znalesć stałą R i ciężar właściwy y gazu oświetlającego, w którego 100 m³ jest 10 tlenku węgla, 45 wodoru, 35 metanu, 4 etylenu, 3 kwasu węglane^o i 3 azotu. Stałe R i ciężary właściwe y wymienionych składników podane są w tabl. 12.

Obliczywszy ciężary składników, otrzymuje się dla gazu oświe-

= 67,19.

2 JRGr

tlającego y — 0,5634 kg Im³, a z wzoru (317) Rm = —

2 0r

Zadanie 60. Urządzenie gazowe zużywa na płomień i godzinę 0,07 m³ gazu oświetlającego, przy ciśnieniu gazu 100 mm słupa wody, temperaturze 15° i ciśnieniu powietrza 700 mm. Sprowadzić te liczby do ciśnienia gazu wyrównywającego ciśnienie powietrza, temperatury 0° i normalnej wysokości barometru 760 mm.

Pierwotne ciśnienie gazu: p, — p₀ hy, gdzie p₀ ciśnienie powietrza, h = 10 cm, y ciężar właściwy wody. Przy 700 mm barometru i ciężarze rtęci y, = 0,013596, p₀ = 70, y, = 0,95172 at. a Pi = 0,96172 at.

Według wzoru (316):

V₁pl == GRTn V2P2 — GRT2 V, = V, pÊ

a że p₂ = 1,0333 at, więc:

Pu

F₂ = 0,07

0,96172.273

1,0333 . 288

= 0,0618 m³.

Zadanie 61. Balon napełniony wodorem ma unosić, oprócz trzech ludzi (po 80 kg), motor ważący 450 kg i ciężar własny wynoszący 2800 kg, przyczem podnosić się ma w górę z siłą 1370 kg. Stan barometru 730 mm, temperatura 20° C. Jaka ma być objętość balonu?

Przy ciśnieniu: p = 10333

730

760

kg/m³ i temperaturze T—293°

P

mamy według wzoru (314): y — —, a biorąc wartości R z tabl. 12,

tl 1

będzie dla powietrza y = 1,16 kglm³ a dla wodoru y, = 0,08 kg/m3 Według wzoru (318):

F =

4860 ~ 1,08

Zadanie 62. Balon sztywny, objętości F unosi ciężar G. Do jakiej wysokości wzięci, przyjmując, że temperatura nie ulega zmianie? Największą wysokość osiąga balon, gdy 8 — 0, wtedy według

T —Ti

= 4500 m³.

wzoru (318): y — y,

<;

~V’

P więc p = ~

a że według wzoru (314): y

RT ’

Jeżeli y₀ i p₀ oznaczają cię-

Tl “ R} T’

żar właściwy i ciśnienie powietrza na powierzchni ziemi, to ponieważ

F ‘ 1 /R—l/Ri

Po

Po

To RT,V Vy₀ ’ 1 -R/R, ’ największa wysokość będzie:

więc według wzorów (319) i (320)

h = R T ln

Vy₀

Bi

Zadanie 63. Do jakiej największej wysokości wzniesie się balon z zadania 67, przyjmując, że temperatura nie ulega zmianie?

powierzchni ziemi, a przez p ciśnienie powietrza na wysokości h nad ziemią:

ln^-

To

—7-^;-r h = 0 •

Po (1 + **)

Jeżeli tu położymy, według praw Mariotte’a i Gay-Lussaca,

To

Po (i 4"a0

to otrzymamy wysokość, do której wznosi się balon:

Po

(319)

We wzorze tym, spółczynnik k, przy uwzględnieniu równań (313) i (314) oraz wartości dla powietrza R = 29,27 :

k = —

pv = RT=ąwi (l+g^g-).

.    (320)

Zadanie 55. Jak obliczyć, z ilości stałej R, ciężar właściwy gazu y i przyjmując temperaturę 0° i normalną wysokość barometru 760 mm?

mamy:

Z równania (314), kładąc p = 1 At ’) = 10333 kg/m¹ 2, T= 273,

37,85 R '

Zadanie 56. Ile waży 1 m³ powietrza przy temp. 0° i ciśnieniu normalnem?

Według wzoru otrzymanego w zadaniu 61, biorąc z tabl. 12 (str. 224) wartość stałej R dla powietrza, będzie:

37,85

29,27

= 1,293 kg.

Zadanie 57. Ile waży 8,5 m³ powietrza, pod ciśnieniem 4,2 at²) i przy temperaturze 20°.

Według wzoru (316), przyjmując okrągło p = 1 at = 10000 kg/m² :

8,5.42000

= 41,627 kg,

przyjmując jak w zadaniu 61, p = 10333 kg/m³ :

8,5 . 4,2 . 10333 29,27 (273 + 20)

Zadanie 58. Jaką objętość ma 12,4 kg powietrza, pod ciśnieniem 5,7 At i przy temperaturze 35°.

Według wzoru (316):

GRT 12,4 . 29,27 (274 —j— 35)

~    5,7.10333    ~~

29,27 (273 + 20)

= 43,013 kg.

V ==

1,898 w³.

Dla Y„ = 1,16, t

h = 7992

(■+£) I

20°, według wzorów (319) i (320): 4500 . 1,16

3490

(■

29,27

422,59

2837 m.

67. Wpływ ciepła. Gdy jednostka ciężaru gazu otrzymuje pewną ilość ciepła, nieskończenie małą dQ, przyjmujemy, że temperatura gazu powiększa się o dT a objętość o d V. Dostarczona więc ilość ciepła d Q rozkłada się na dwie części, wywołujące te dwa skutki. Pierwsza z tych części będzie cvdT, gdzie cv jest spółczynnik stały, a druga będzie propor-cyonalną do pracy pd V, wytworzonej przez zmianę objętości, czyli równą ApdV, gdzie A jest także spółczynnikiem stałym. Będzie więc:

d Q = cv d T -J- Ap dv.

.    .    (321)

Przyjmując dv = 0 , to jest objętość gazu stałą, mamy dQ = cvdT, albo:

Q = cv (T₂ — Tx). . .

.    .    (322)

Spółczynnik cv mierzy więc ilość ciepła, która dostarczoną być winna jednostce ciężaru gazu, dla podniesienia temperatury o 1° C., przy zachowaniu stałej objętości. Jest to więc pojemność cieplikowa gazu, o stałej objętości, albo ciepło właściwe. Spółczynnik ten nie jest jednaki dla wszystkich gazów i zmienia się w stosunku odwrotnym do ich gęstości.

Jeżeli przyjmiemy dT = 0, czyli temperaturę stałą,

mamy:

dQ = Apdv,

albo po zcałkowaniu:

Q = A f p dv.

Gdy uważamy temperaturę za miarę wewnętrznej energii gazu, to ilości ciepła Q pochłoniętej przez gaz, odpowiada wykonana praca Jpdv. Oznaczając tę pracę przez W, mamy:

(323)

Q = AW

Spółczynnik A, mierzący ilość ciepła, potrzebną do wykonania jednostki pracy, nosi nazwę równoważnika cieplikowego pracy a jego odwrotność 1 /A, wyrażająca ilość pracy, która odpowiada jednostce ciepła, jest równoważnikiem mechanicznym ciepła. Spółczynnik ten jest stały, nietylko dla wszystkich gazów, ale i dla wszelkich przemian ciepła na pracę lub odwrotnie. Przyjmując kilogrametr za jednostkę pracy a cie-płostkę (ilość ciepła potrzebną do podniesienia od 0° do 1° temperatury kilograma wody) za jednostkę ciepła, mamy:

= 427 .

A = 0,00234,

Gdy objętość i temperatura zmieniają się równomiernie a ciśnienie p pozostaje stałem, to oznaczając przez vx i T1 początkową objętość jednostki ciężaru i początkową temperaturę, a przez v₂ i T₂ też same ilości, po otrzymaniu przez gaz jakiejkolwiek ilości ciepła Q, mieć będziemy po zcałkowaniu równania (321):

Q — cv (T₂ — że zaś według wzoru (313) :

pvx = RTX,

Tx) + Ap {v₂ — vj);

¹

   At = atmosfera fizyczna (ciśnienie 10333 kg/m²).

²

   at — atmosfera techniczna (ciśnienie 1 kg/cm²).

pv2 — RTt

więc:

.    (324)

Q = (Tt-T,) (c„ + AR) = cp (T₂ - Tx)

po położeniu spółczynnika liczbowego:

cv —|— A. R — Cp ,

a według wzorów (323) i (313) jest wtedy praca:

cp

(T₂    T]) = R (T₂    T}) = p (v₂ vt) . (325)

Spółczynnik cp przedstawia ilość ciepła, jakiej trzeba dostarczyć jednostce ciężaru gazu dla podniesienia temperatury o 1° C., przy stałem ciśnieniu. Jest to więc pojemność cieplikowa, albo ciepło właściwe gazu, przy stałem ciśnieniu.

Stosunek — = k ma dla gazów jednoatomowych war-cv

tość ⁵/₃ , a dla dwuatomowych, przy zwykłych temperaturach 1,4. Wartości: y , R, cp, c„ i k , te ostatnie odpowiadające temperaturom między 0° i 200°, podane są w następującej tablicy.

TABLICA 12.

Gaz

kg/m³

Ciepło właściwe

Cp

Stosunek

H o M t-* H •-*

'to'Vjo'co'o'tote-lo m a v co t" co co HO'lti.OO

PCÜ3

29,27

26,50

30.26 420,6 30,29

19.27 52,90 30,25

QO 05 o O

•^H^OOHOiO 03 0^03 ^ 03 03 lO ^

cT cT o co* o o cT o

03 C£> 00 03 <X> »O NOI>^NCDîO(M

r-H i-H r—ł 03 »“H t—1 Tfł CO

o o cT o o o" o" ö

1,407

1,398

1,28

1,28

1,25

Zadanie 64. Przez ogrzanie powietrza zanlkhiętego, o temperaturze 20°, potraja się jego ciśnienie. Jaka będzie temperatura powietrza po ogrzaniu?

Przy stałej objętości, według wzoru (313):

Pi : Pi — Ti : T, = 1 : 3, t₂ = T₂ — 273 == 606°.

Zadanie 65. W cylindrze, pod tłokiem, ma powietrze temperaturę tl = 550°. Spalenie wstrzykniętegó paliwa płynnego doprowadza taką ilość ciepła, że objętość powietrza się podwaja, bez zmiany ciśnienia na tłok. Jaki będzie wzrost temperatury powietrza i praca ciśnienia na tłok?

Przy stałem p, według wzoru (313):

Vl : v₂ = T, : To = 1 : 2, t₂ = 1373«,

a według wzoru (325):

b

W= R (T₂ - Ti) — 24089 mkg.

Zadanie 66. Gaz, o ciśnieniu 5,2 at, ponad ciśnieniem powietrza zewnętrznego, rozpręża się bez zmiany temperatury do 0,28 at, poniżej tego ciśnienia. Ilokrotnie powiększy się jego objętość, przy wysokości barometru rtęciowego 690 mm?

U

Ciśnienie powietrza zewnętrznego w słupie rtęciowym —==69 cm,

ciężar właściwy rtęci y = 0,013596 kg/cm³, p₀ = 0,938 at. Przy stałej temperaturze, według wzoru (313):

Po + 5,2_

Po — 0,28

Objętość gazu powiększy się 9,3 razy.

<3 : e

— IO

Pi

Pt

= 9,3.

Zadanie 67. Gaz o ciśnieniu 2,5 at, ponad ciśnieniem powietrza zewnętrznego, rozpręża się do 4 ^ razy większej objętości. Jaka będzie, po rozprężeniu, przewyżka ciśnienia w gazie, ponad ciśnieniem zewnętrznem, jeżeli to ostatnie wynosi 720 mm barometru rtęciowego a temperatura gazu nie ulega zmianie.

= 72 cm, y ⁼ 0,013596 kg/cm³, p₀ = 0,979 at,

2,5 -h 0,979

Pj

p₂

= 4,5 = ^

skąd p₂ — 0,773 at, a szukana przewyżka:

0,773 — 0,979 = — 0,206 at.

Zadanie 68. Dwa zbiorniki, jednakiej temperatury, mieszczą w sobie dwa różne gazy o ciężarach Gr,, Gr₂, ciśnieniach pY, p₂ i ilościach stałych R₁,R₂. Jakie będzie ciśnienie p w połączonych zbiornikach ?

ru (316):

Oznaczając przez Vx V₂ objętości zbiorników, mamy według wzo-

R₂T

Ri T

Pi

V₂ =

P₂

G₂,

15

F. K. Hydraulika

a po połączeniu zbiorników będzie całkowita objętość obu gazów:

V = Vt -j- V₂ = ißi + G.)-Według wzoru (317):

GxRy + G₂R₂

GlRlp₂ -}- G₂R₂px ‘

P = P1P2

68. Przemiany termodynamiczne. Różniczkując równanie (313), otrzymujemy:

RdT=pdv-\-v dp,

a wstawiając otrzymaną z tego równania wartość na d T w równanie (321), mieć będziemy:

£

dQ — ~~ (v dp-\-pdv)-\-Apdv, albo z uwagi, że c„ -(- RA = kcv:

dQ = - - (v dp-\-kpdv).

Gdy gaz nie otrzymuje ani nie traci ciepła, dQ = 0, czyli: v dp -j- k p d v = 0,

dp

a po zcałkowaniu:

p vk — ilości stałej, a także j p Vk — ilości stałej.    J

.    .    (326)

Przemiana gazu, nieotrzymującego ani nietracącego ciepła, nosi nazwę przemiany adiabatycznej; towarzyszy jej zmiana temperatury i wytworzenie albo zużycie pracy. Gdy gaz, ze stanu pxvx przechodzi do stanu p₂v₂ przez przemianę adiabatyczną, mamy:

a jeżeli Tx i T₂ są to temperatury odpowiadające, mamy także według równania (313):

Pivt = RTX,

skąd:

V’l v2 - -^2 >

Vl

k— 1

V2

Pi

.    .    (327)

Odpowiadająca przemianie adiabatycznej, praca mechaniczna związana jest ze zmianą temperatury równaniem (321),

w którem dQ — O, czyli równaniem:

c„ d T -{- Ap d v = O , z którego otrzymujemy po zcałkowaniu:

v₂

(T₂ — Tx ) -j- A f p d v

a praca mechaniczna:

Vi

v%

= J'p d v —

Vi

^(T₂-T₁) =

albo z uwagi na związki: cv-{- AR-=cp=kcv, oraz na wzór (313):

_ Pl V1

A-l

[-Ö

i—1

A—1

ii—1

. . (328)

Wytworzeniu więc pracy zewnętrznej towarzyszy zmniejszenie temperatury i odwrotnie powiększenie temperatury towarzyszy zużyciu pracy zewnętrznej.

Dla gazów dwuatomowych przyjmuje się następujące wartości wykładników:

A = 1,4

Pr-1 i—¹

A — 1 = 0,4

= ⁰’⁷¹⁴ üè~i = ²’°

A—1

—-— = 0,286 K

- = 3,5.

Grdy gaz przechodzi z jednego stanu do drugiego, zachowując tęż samą temperaturę, przemiana jest izotermiczną i równanie (313) przy stałej temperaturze daje:

•    •    • 11(329)

p v = ilości stałej

Przemianie towarzyszy zysk lub strata ciepła i wytworzenie lub zużycie pracy mechanicznej, bo kładąc w równanie (321) dT = 0, mamy:

dQ — A p d v,

a wstawiając za p wartość z równania (313):

dv

dQ = ART

Po zcałkowaniu w granicach v} i v₂ , otrzymamy:

ART f-r-./ v

®l

V = ART ln-²

V1

i ilość ta nie może być zerem, gdy tylko v₂ jest różne od vx. Ponieważ według wzoru (313) p₁v₁ — p₂v₂ = RT, więc:

Q — Apx vx ln

a praca mechaniczna:

vi

— A p₂v₂ ln

P2

. • .    (Ś30)

r²

W — / p d v

Vi

v,

= /'2 »a ln ?

.    (331)

Zadanie 69. Powietrze V = 0,4 m³, t₀ == 15°, p₀ = 1,8 At, rozpręża się bez doprowadzania ciepła do objętości podwójnej i następnie bez zmiany temperatury schodzi do objętości pierwotnej. Jaka będzie praca całkowita, końcowa temperatura i ciśnienie?

Dla pierwszej przemiany (adiabatycznej), według wzoru (328):

= Pi vi ln

V1

P2 ‘

W,

T₀ = t₀ + 273° = 288°,    ^    ¹

Dla drugiej przemiany (izotermicznej), według wzoru

RT, ln VA-, vi

RT₀

'fe

nu

co.

w₂ =

T, = T₀(^J \

— = 2.

Od

Praca całkowita W = G ( W, -(- W₂), a że G

Vp₀

RT₀’

przeto:

^)1>

a po wstawieniu p₀ 1,8 . 10333 kg/m?, k — 1,41 :

W = 607,88 mkg.

i >u a

oncowa:

Temperatura koń

T, = Tt = TJÿ

4—1

= 288°

1 \o,4l

= 216,7°,

t₂— —56,3°.

Ciśnienie końcowe, według wzorów (313), (314) i (326): Po v₀k    Pi V, =    ,

Pi

1,355 At.

Zadanie 70. Powietrze F, = 3,2 w³, p = 1,5 At, t, = 36°, rozpręża się bez zmiany ciśnienia, do objętości V₂ = 5,2 m³. Jak się zmienia temperatura, jaka zostaje wykonana praca i ile ciep ła należy doprowadzić ?

T, == 273°-(-36°, więc według wzoru (316),przy stałem ciśnieniu:

= 502,1°,

t₂ = tx

V₂

Vi

t₂ — T₂ — 273 = 229,1°; według wzoru (325) praca wykonana:

T₂-Tx

G W — Vxp

T,

= 3,2 . 1,5 . 10333 .

502,1 - 309

309

= 30995 mkg,

a według wzoru (323) potrzebna ilość ciepła, przy cp = 0,24 :

GQ = GW-& = 254 ciepłostek.

H

Zadanie 71. Powietrze Vx = 2,4 m³, px — 5,8 At, £, = 15° rozpręża się do F₂ = 4 m³, bez zmiany temperatury. Jak się zmienia ciśnienie, jaka została! dokonana praca i ile trzeba doprowadzić ciepła ?

Avzoru (331):

Według wzoru (316): Vxpx = V^p₂, p₂ = 3,48 At, dalej według

GW=V,p, ln

= 73471 m/kg,

= 2,4.5,8 . 10333 ln

T 2,4

a według (323) : G Q = A G W = —₂y G W— 172 ciepłostek.

Fi

Zadanie 72, W cylindrze silnika znajduje się mieszanina powietrza i pary paliwa płynnego, pod ciśnieniem p, — 0,9 at i w temperaturze t.x — 100°. Dla zapalenia mieszaniny doprowadzić trzeba temperaturę do t₂ — 600°. Jakiego użyć trzeba ciśnienia, aby przemiana nastąpiła bez straty lub zysku na cieple ?

o,«

Według wzóru (827):

273 + 600 373 + 100

p₂ — 16,76 at.

61). Zbiorniki powietrza. Używane przy wodociągach. dzwony powietrzne (§ 33) dla unikania szkodliwych skutków uderzeń wody w rurach przy nagłem zamykaniu kranów, pochłaniają energię wody przez ściskanie zawartego w nich powietrza. Jeżeli D jest średnica rury, l jej długość, U średnia prędkość wody, to energia wynosi:

U²

T

4

i wyrównywać winna pracę, wykonaną przy podniesieniu ciśnienia powietrza w dzwonie, od wartości początkowej px przed zamknięciem kranu, do wartości maximum p₂, zawarunkowa-nej wytrzymałością ścian dzwonu. Pominiętą tu zostanie prą-ca siły ciężkości, działającej na wodę w krótkim przeciągu czasu jej wchodzenia do dzwonu i ściskania powietrza, a także tarcie wody o ściany rury w ciągu tego czasu i przyrównaną będzie połowa siły żywej wody do pracy oporu, jaki stawia powietrze, gdy jego ciśnienie przechodzi od p₁ do p₂. Wartość tej pracy zależy od warunków, w jakich się odbywa ściskanie powietrza, które może następować według przemiany izoter-micznej lub adiabatycznej. W pierwszym przypadku praca

p.

Pi

odjemna będzie na jednostkę ciężaru (331): —Pxv\ In ——

a dla całej ilości powietrza V₁ zawartej w dzwonie —px Vx ln

i otrzymamy równanie: Y tu D²

U²

- + PiV₁\n

Pi

.    (332)

pozwalające obliczyć objętość początkową Vx , jaką ma mieć dzwon, przy której ciśnienie nie będzie przekraczać wartości pv W praktyce trudno przypuszczać, aby ściskanie powietrza w dzwonie odbywało się według przemiany izotermicznej, czyli aby powietrze oddawało ścianom dzwonu ilość ciepła równoważną wykonanej pracy. Przyjmować wypada raczej, że w ciągu krótko trwającego ściskania, powietrze nie otrzymuje ąni nie traci ciepła, t. j. że ściskanie odbywa się według prawa adiabatycznego. Obliczając wtedy pracę według wzoru (328), mamy:

Y tu D²

îilhUipft¹'

k —1[ W

= 0.

.    (333)

Hypoteza przemiany adiabetycznej daje zwykle objętość Vx większą niż przy przemianie izotermicznej. Jeżeli np. dla skrócenia, oznaczymy przez W pierwszy wyraz każdego z równań (332) i (333) i postawimy warunek — = 2, otrzy-

P i

mamy według wzoru (332):

Vi

= 1,45

px ln 2

a według wzoru (333), biorąc k = 7/5:

= 1,80

W'

0,22 p

czyli wartość przeszło o ¹/₄ większą. W praktyce więc bezpieczniej jest obliczać objętość dzwonu w przypuszczeniu przemiany adiabatycznej.

W ten sam sposób obliczane są dzwony powietrzne, umieszczane na rurach zasilanych przez pompy tłoczące, w celu

P\

regulowania ruchu wody w tych rurach. Między pompą a dzwonem ruch wody jest przerywany i objętość dostarczana w każdej chwili przez pompę, gdy ta jest o działaniu pojedyńczem, waha się między zerem a pewnem maximum.. Objętość całkowita, dostarczana przez pompę w danym przeciągu czasu, w rurze po za dzwonem biedź powinna z prędkością, o ile można zbliżoną do jednostajnej. Ciśnienie więc w dzwxmie zmieniać się winno w granicach dość, zbliżonych. Oznaczając przez Ft objętość powietrza przy ciśnieniu najmniejszem px, a przez V2 przy największem p₂, związek między V₁ a V₂ dadzą warunki zasilania rury i różnica V\—V₂ odpowiadać będzie prze wyżce objętości wody, dostarczanej przez pompę w pewnym okresie jej ruchu, nad objętością, która bieży w rurze poza dzwonem, z prędkością średnią stałą. Przyjąć więc można, że V₁—V₂ jest jedną z danych zadania, równie jak p₁. Wreszcie, stosownie do stopnia regularności, jaki ma być nadanym ruchowi wody w rurze, ograniczyć należy wartość różnicy

P2

p₂ —p₁, albo stosunku ¹ 1 . Chodzi więc o obliczenie V₁ , ze

znanych — i V₁—V₂ . Hypoteza izotermiczna daje p₁ Vx — P2

Vi =

(V\ — v₂),

= p₂V₂, skąd:

a hypoteza adiabatyczna px V* — p₂ V₂k :

Ponieważ

Vi =

(Vi-vty

IT

P2

jest mniejsze od jedności, przeto druga war-

mało się różni od jedności, do

tość Vx będzie większą; gdy

P2

czego zawsze się dąży, to druga wartość wynosi prawie:

r(-S)

(Fi— y2)

O' 1

, jest więc

czyli równa się pierwszej, pomnożonej przez k =

2

od niej o — większą. W praktyce objętośść Vt powietrza, 5

w dzwonach przy pompach, bywa zwykle od 4 do 10 razy większą od objętości wody, dostarczanej przez każdy skok tłoka pompy.

70. Wyplyyr przez otwór. G-dy z napełnionego gazem zbiornika, w którym utrzymywane jest stałe ciśnienie pl, wypływa gaz przez otwór o przekroju co, zaopatrzony yt przystawkę o takimże przekroju, pokonywując w swym ruchu również stałe ciśnienie p₂, w otworze i przystawce, — to ciśnienia te można uwidocznić (rys. 137): w zbiorniku tłokiem AB,

Rys. 137.

o przekroju &, popychanym przez ciśnienie pŁ a w przystawce tłokiem G D, ponoszącym w przeciwnym kierunku ciśnienie p₂. Fikcyjne te tłoki zastępują idealne przekroje płynu płaszczyznami AB i CD. Prędkość średnia U, ruchu gazu w przystawce, będzie w tern przypuszczeniu prędkością posuwania się tłoka C D. Gdy tłok A B posunie się o ilość taką, że przez otwór wyjdzie ze zbiornika jednostka ciężaru gazu, to objętość odpowiadająca temu przesunięciu tłoka w zbiorniku będzie a praca udzielona gazowi przez tłok AB równa pŁ vx. Równocześnie jednostka ciężaru gazu, wchodząca do przystawki, przesuwa tłok CD o ilość odpowiadającą objętości v₂ gazu w przystawce i praca wykonana tam przez gaz wynosi p₂ v₂. Całkowita więc praca gazu jest równa pt vx—p₂ v₂, a według wzoru (313):

V\    — R (2\ . TA.

Z drugiej znów strony, jednostka ciężaru gazu, zajmująca w zbiorniku objętość vx, zajmie w przystawce objętość v₂, różną od vt, przyczem gaz dokona pracy p (v₂—vi), która według wzoru (324):

(T₂ - Tx).

v {v₂ — vx) — —r

Całkowita więc praca gazu, przy wypływie przez otwór będzie (328):

R(Tl-T₂) +

% IT%-TX) =

Jeżeli wypływ gazu odbywa się przy stałej temperaturze, t. j. według prawa izotermicznego, wtedy Tx — i z równania (334) otrzymujemy według wzoru (330):

= 4=.*« in*

.    .    (336),

c²

.1

' 2g

Zwykle wypływ gazu ze zbiornika odbywa się bez zysku lub straty ciepła i w praktyce stosuje się wzór (335).

Tak samo, jak przy wypływie wody (§47), prędkość rzeczywista jest mniejsza od teoretycznej i wprowadzany bywa spółczynnik cp, tak że:

•    .    (337)

Praca ta zużytą zostaje na wytworzenie ruchu, przez powiększenie energii gazu o iloczyn

U²

z masy jednostki cięża-

ru — przez połowę kwadratu z 9

prędkości ; otrzymamy

zatem:

91 = 9,

2g A

Jeżeli gaz przy wypływie nie zyskuje ani nie traci ciepła, t. j. gdy wypływ się odbywa na podstawie prawa adiąbą-tycznego, wtedy Q = 0 i pozostaje:

cv

.    .    .    (334)

(r>-r’>=-x {'-%)•

² g A

a ponieważ według wzorów (324), (313) i (327): ~    ) RT^ = Pi Vi,

ui k

-^=T= T W

przeto:

t₂

Ti

jt-i

cc

MtF)

Zeuner zastąpił spółczynnik cp zmniejszeniem wartości k

k — 1

w wykładniku —y— i zamiast k = 1,41 przyjął wartość m,

tC

określoną nierównościami:

1 < m < 1,41.

Jeżeli przez p oznaczymy ciśnienie w samym otworze, podczas gdy px oznaczą ciśnienie w zbiorniku, a p₂ ciśnienie

w przystawce poza otworem, to dla danej wartości ra, spół-

V

czynnik cp zależy od stosunku —- = ß, tak że cp maleje razem

P 2

ze wzrostem ß. Gdy ß = 1 :

.    .    (338)

, m — 1

? =T=Ta że według wzoru (234) spółczynnik oporu:

1 — cp²

więc:

*(i+«

1-+-H

(339)

Odpowiadające różnym wartościom ß, wartości m i spół-czynnika cp są dla powietrza:

TABLICA 13.

1,4

1,38

1,35

1,30

1,25

0,530

0,533

0,538

0,547

0,556

0,940

0,876

0,767

0,654

cp =

0,970

0,936

0,876

0,810

Biorąc m za wykładnik przemiany stanu gazu między zbiornikiem a otworem, mielibyśmy zamiast wzoru (327):

ZL __ / «i 'w~l

v \m_1

-U .    .    (340)

Pl vim = P Vm ,

a ciężar gazu wypływającego przez otwór o przekroju co w ciągu jednej sekundy:

Tx

ßm-ßm •

m-\-\

Ponieważ maximum wyrażenia: ßm — ß m ma miejsce dla:

.    .    (341)

przy tej więc wartości ß ciężar G będzie największy. Rozróżniać tu należy dwa przypadki:

1) P₂ > ß Pi » wtedy V — P₂ >

.    .    (342)

G = o)

Po \-

1 m

Pi

.    .    (343)

a dla bardzo małej różnicy p₁ — p₂ przyjmuje się zwykle:

-V

2 <7

£-1

i vx (pŁ—p₂),    G = O) — . (344)

0i

Według Weisbacha i Grrashofa, dla powietrza, gdy ß > 0,5 wartości spółczynników i wydatku jj. , ścieśnienia żyły a, prędkości cp, oporu i oraz wykładnika m są następujące:

TABLICA 14.

Otwór okrągły

H-

Uwagi

0,64 0,65 i 0,981 0,04    1,388

14 mm średnicy w cieu-kiej ścianie płaskiej

z krotką przystawką cylindryczną tejże średnicy

*”H CO GO OO QO

o o o

0,821 0,490 1,243 p,: pi = 1,08 0,838 0,444 1,252'

0,866 0,362 1,271

= 1,41 == 1,70

0,97

z przystawką ostrokrę-gową zwężającą, średnica końcowa 10 mm

1    0,974 0,034 1,392

2) P₂ < ß Px, wtedy p = ß p

ü,=

m—1 ⁹ k—1 ' »i—{—1

0 = 0)

Pi vi » •

.    .    (345)

ßw .    .

.    .    (346)

Zadanie 73. Obliczyć temperaturę powietrza w otworze, z temperatury Tj wewnątrz zbiornika, przyjmując maksymalny ciężar G powietrza, wypływającego przez otwór, w ciągu jednej sekundy.

Z równań (313 j, (340) i (341):

m-f-1

T = Tj

Zadanie 74. Jaka jest prędkość wypływu powietrza ze zbiornika, w którym temperatura jest T, , do próżni, jeżeli się pomija opory w otworze?

Ponieważ p₂ = 0, więc można zastosować wzór (345). Dla £ = 0, według wzoru (339) m = k :

RT.

n2 g,TVip'v'

Zadanie 75. Powietrze w zbiorniku, pod ciśnieniem 4,8 At ma temperaturę t, = 30°. Przez otwór o powierzchni 12 cm³ następuje wypływ powietrza na zewnątrz, gdzie ciśnienie p₂ = 1 At. Spół-czynnik Oporu w otworze wynosi £ == 0,025. Obliczyć prędkość wypływu i ciężar powietrza, wypływającego w ciągu jednej sekundy.

Według wzoru (339):

— 1,396,

* (i + «)

a według (341):

1 — ki

(dpr)”⁻¹ = °’52S;

ponieważ p₂ — 1 At, Py = 4,8 At;, więc p₂ <T ßp, i stosują się równania (345) i (346), ciśnienie w otworze p = ßp, = 2,539 At, a temperatura (Zadanie 73):

T = T,

= 252,92°,

prędkość wypływu:

U = /g kpv ~~^]/gk RT

m-1

k-1

314,49 m/sek.,

ciężar powietrza wypływającego w ciągu sekundy: G — i» — ß m

Vt

G — 1,338 kg!sek.

vl =

RTy

Zadanie 76. Zbiornik powietrza, w którym ciśnienie p,==l,6At, temperatura ty = 6°, ma otwór w cienkiej ścianie o powierzchni w = 4 cm², przez który powietrze wychodzi na zewnątrz. Ile kilogramów powietrza wypływać będzie w ciągu sekundy, jeżeli spół-czynnik oporu w otworze wynosi £ = 0,04 ?

Jak w poprzedniem zadaniu, m — 1,388, ß = 0,530, p2>+Pi

m—1

PYnr =

p = p₂, według wzoru (340) T = T,

Według wzoru (342) kładąc:

Pi Vy

0,388

(273+6) (~)W =. 244,71°.

— RTi (l---= R(Ty-T)

_    0,0004.260,23 . 1 . 1Ô333

= 0,150 kg/sek.

29,27 . 244771

Zadanie 77. Zbiornik gazu oświetlającego^ w którym temperatura t, = 20° a ciśnienie, wynosi 40 mm słupa wody, ma otwór o średnicy 3 cm. Przy wypływie gazu przez ten otwór, spółczynnik oporu 4 = 0,034. Ile kilogramów gazu wypływać będzie w ciągu sekundy ?

Przy małej różnicy ciśnień stosować można wzór (344) i uwzględniając (339), mamy:

ï+e

G — tu

otrzymujemy:

- I - k I

a według wzoru (343):

Oa

R(Ti—T) — 260,23 m/sek.,

Pl W ₌

tu U p

Vi (Pl —Pi),

albo według (313):

skąd:

Z zadania 59, dla gazu oświetlającego, mamy R = 67,19 ^ T, = 273 + 20 = 293°

p₂ = 10333 mm słupa wody, p, = (10333 -h 40) mm,

G = tu —

U — 37,96 m/sek-, M U Pi

Vi

R T,

— 0,014138 kg/sek.,

co wynosi 50,897 kg na godzinę.

71. Ruch gazów W rurach. Dla wyprowadzenia wzorów praktycznych na ruch gazów w rurach, przyjmuje się, że temperatura gazu pozostaje stałą podczas ruchu. Z przyjęcia tej hypotezy wynika zamiana ciepła między gazem w ruchu a ścianami rury, gdyż każdej przemianie izotermicznej towarzyszy koniecznie zysk lub strata ciepła a ruch gazu może mieć miejsce o tyle tylko, o ile jego ciśnienie i gęstość wciąż się zmieniają. Zmiany te wszakże wogóle bywają niewielkie, następują zwolna, a małe różnice temperatury, gdyby gaz nie zyskiwał ani nie tracił ciepła, znikają szybko przy stykaniu się gazu ze ścianami rur, których temperatura jest prawie niezmienna pod ziemią. Ściany te odstępują gazowi lub otrzymują od niego małe ilości ciepła, potrzebne do utrzymania go w stałej temperaturze, a jednocześnie nie zmieniają prawie własnej temperatury. Z przyjęciem hypotezy izotermicznej

zadanie zostaje ułatwionem; pozostaje wszakże wyrazić tarcie gazu o ściany rury, co się uskutecznia w sposób podobny, jak przy ruchu cieczy.

Przypuśćmy, że strugi gazu, na danem przecięciu po-przecznem rury o średnicy D (rys. 138), ożywione są wszystkie jednakową prędkością średnią (7, i weźmy pod uwagę dwa przecięcia nieskończenie bliskie AB. i A'B', położone w odległości d s — Ud t. Oznaczając przez:

% D²

—-

Rys. 138.

co =

X = kD,

powierzchnię i obwód przekroju, przez p ciśnienie a przez y ciężar właściwy gazu, mamy masę gazu,

co ds, a przyrost

Y

między przecięciami AB i A! B¹ równą —

9

ilości ruchu w jednostce czasu, przyjmując, że wszystkie cząst

ki przechodzą równocześnie od prędkości U do U -j- d U, ró-

wny iloczynowi z tej masy przez stosunek

dU

dt ’

czyli równy

y

— <o ds

dU

dt • Ten przyrost ilości ruchu winien być równy

sumie rzutów sił na kierunek prędkości U, czyli na oś rury. Ciśnienie na przekroju A B wynosi p co, a na przekroju A! B’ :

—    (p -}- dp) to i siły te rzucają się na oś rury w naturalnej wielkości. Ciężar uważanej warstwy wynosi ya* ds, a jego rzut na oś rury, oznaczając przez dz odległość pionową środków ciężkości przecięć AB i A¹ B', jest równy —y m dz. Tarcie, wyrażone przez f ( U), będzie proporcyonalne do powierzchni X^s i 3e&° rzut na oś rury wynosić będzie

—    Xf(U)ds- Mamy więc:

co ds

dU

dt

— — co dp — y °> dz — xf (U) ds,

ds

albo. kładąc

Oj t

— U i dzieląc przez y co :

UdU

dp

X f(U)

ds = 0, .    (347)

-j----\- dz -\--- -

g    Y    ¹    <0 Y

równanie podobne do otrzymanego dla ruchu cieczy w rurach (124).

Doświadczenia Arsona ¹) wykazały, że tarcie wyrazić można, podobnie jak dla cieczy we wzorze (93), dwumianem z pierwszej i drugiej potęgi prędkości średniej:

f(U)

= aU + 5 Z7²

i że między y i U zachodzi związek, wykazujący stałość ciężaru gazu, przechodzącego przez wszystkie przekroje rury w jednostce czasu:

Y U = ilości stałej.

Przyjmując stałą temperaturę, mieć będziemy ciężar właściwy gazu y proporcyonalny do ciśnienia, czyli stosunek V

AL — % także stały i tak samo iloczyn p U — K', skąd

dU= —

K' dp

. Wstawiając te wartości w równanie (347)

¹

) Expériences sur l’écoulement des gaz en longues conduites par M. Arson, ingénieur en chef de la Compagnie parisienne du Gaz. Paris 1867. Doświadczenia z powietrzem prowadzonem rurami, pod wysokiem ciśnieniem, o których mowa na str. 242, robione były w roku 1890 w Paryżu w zakładach Sain Fargeau przez inżynierów Towarzystwa Popp. Zdawał z nich sprawę prof. Riedler w broszurze, której przekład francuski wydany był p. t. La distribution de la force par l’air comprimé dans Paris (procédés Victor Popp), Paris 1891.

i mnożąc przez p², otrzymujemy:

K‘² dp

9P

= p² dz K p dp -)- — (a K' p + b K'²) ds.

Biorąc, zamiast zmiennego ciśnienia p, wartość średnią 2 (Po “1“ Pi) ciśnień na przekrojach, początkowym i końco-

wym, uważanej części rury, o długości l, przytem oznaczając przez h różnicę poziomów tych przekrojów, dodatną, gdy koniec leży wyżej od początku a odjemną w razie przeciwnym, y

kładąc wreszcie

0)

4

—, mieć będziemy po zcałkowaniu:

K'²

Po

.    4 K' l

' D

h+K    +

/ar«±£L ₊ JZA

Stosownie do tego, czy chodzi o obliczenie prędkości średniej U₀ przy wejściu do rury, czy TJX przy wyjściu, kładzie

się zamiast spółczynnika K' wartości p₀ U₀ lub p, Ui, otrzymując wzory:

4 b l

fccj ; <N

ln*L

P\

) p>² +

l‘+S)

ux =

Wzory t‘e, nie nadające się do użytku praktycznego, można

X)

uprościć. Stosunek —— jest bliski jedności i jego logarytm,

Po

bardzo mały, pominięty być może wobec poprzedniego wyrazu, gdy l jest wielkie. Możną także, w wyrazach, w które

wchodzi U₀ i h, zastąpić stosunek — przez jedność;'wreszcie

zamiast

napisać można

2 (Po — Pt)

&⁺¹) ( Po

Po - Pi

albo

Przy tych uproszczeniach, pierwsze z powyższych równań przÿbietze kształt:

Po

41

(aU₀ + b U₀²) = K (

Po—Pi

Po

-P,    •    (348)

a takież samo będzie drugie równanie, dla Ux, tylko w mianowniku pierwszego wyrazu po drugiej stronie, mieć będziemy px zamiast p₀. Dwie prędkości U₀ i TJX nie wiele więc się różnią, jedna od drugiej. W zastosowaniach uważa się te prędkości jako jednakie i przyjmuje się prędkość średnią gazu w rurze U, odpowiadającą ciśnieniu pośredniemu między pn i p, ; kładzie się więc równocześnie U zamiast U₀ i wartość średnią ciśnienia zamiast p₀, co odpowiada zastąpieniu stosunku

Po

przez , to jest przez odwrotność ciężaru właściwego

gazu, przy ciśnieniu średniem. Jeżeli jeszcze przyjmiemy, że początek i koniec rury leżą na tym samym poziomie, to h = 0, i otrzymamy z równania (348):

Po—Pl =

41

D l(aU+blP),

a ponieważ strata naporu na jednostkę długości rury:

Po — Pi

więc:

DJ— i(aU-\-b U²) ....    (349)

W tym wzorze Arsona, podobnym do wzoru (93) dla cieczy, spółczynniki a i b są zależne od średnicy rury, zmieniając się w miarę wzrostu średnicy. Dla rur z żelaza lanego, średnicom D odpowiadają następujące wrartości spółczynników:

a = 0,000 702 0,000 589 0,000 560 0,000 237 0,000 151 0,000 020

b = 0,000 595 0,000 489 0,000 480 0,000 359 0,000 326 0,000 246

D = 0,05 m 0,081 0,103 0,254 0,325 0,500

Dla większych średnic, a — 0 :

D — 0,60 m

b = 0,000 202 0,000 200.

Dla rur blaszanych o średnicy D =■ 0,05 m otrzymano:

b = 0,000 345.

0,70

a = 0,000 738

Jeżeli do wzoru (349) dołączymy wzór na wydatek w mïjsek. :

.    .    (350)

mieć będziemy ruch gazu w rurach określony w ten sam sposób, jak ruch wody w rozdziale III.

Przy obliczaniu ilości 77, Q, y , pamiętać należy o sprowadzeniu ich do temperatury i ciśnienia gazu płynącego przez rurę. Jeżeli ta temperatura jest t, a Q₀ oznacza objętość pod ciśnieniem atmosfery i przy temperaturze 0° C., p ciśnienie gazu w rurze w atmosferach (10m,33 wody), obliczać należy Q z wzoru:

Qo (1 +a

gdzie a = 0,003663. Tak samo, oznaczając przez y₀ ciężar właściwy gazu w temperaturze 0°, pod ciśnieniem atmosferycz-nem, otrzymamy:

To P

16

F. K. Hydraulika.

Dla gazu oświetlającego *f₀ — 0,5634 kg/m³ a dla powietrza y₀ = 1,293 kg/m³.

Wzór (349), dający wyniki dostatecznie ścisłe dla gazu oświetlającego i dla powietrza, płynących pod ciśnieniem zbli-żonem do atmosferycznego, daje przy wysokich ciśnieniach, gdy prędkość przekracza 2 do 3 m na sekundę, straty naporu zbyt wielkie. Jak wykazały doświadczenia (por. przyp. str. 239), wyniki ściślejsze otrzymywać wtedy można, stosując do gazów wzór Fłamanta (104) i tablice 2 i 3 z rozdz. III. I tak np. gdy przez rurę o średnicy 0,30 wi, długości 16502 m, przepływało w ciągu godziny przy jednem doświadczeniu 13788 to³ powietrza (objętość ta odnosi się do powietrza pod ciśnieniem atmo-sferycznem), ciśnienie na początku rury wynosiło 6,25 at, a średnia temperatura powietrza w rurze 15° C., to:

p = 1,00 -f- 6,25 = 7,25 At.

= 0,528 m³/sek.

13788 7,25 . 3600

= 8,886 kg.

1,293 X 7,25

1 -f 15 a

Ciśnienie na końcu rury wynosiło 4,25 At, czyli całkowita strata naporu wykazana doświadczeniem wynosiła 2 At a obliczona w kg/m² i na 1 kim, długości rury:

= 1252 kg.

2 X 10334

16,502

Obliczając stratę naporu według wzoru Fłamanta, otrzymalibyśmy dla D = 0,30 i Q — 0,528, z tablic 2 i 3 (§ 22), J — 0,1419, czyli dla powietrza, w kg m* i na 1 kim rury:

1000 J 7 = 1261 kg,

wynik nader zbliżony do otrzymanego z doświadczenia.

Z wzorów podanych w rozdz. III, stosowany może być także do ruchu powietrza w rurach wzór Misesa (107 i 108).

Zadanie 78. Dla dostarczania 2,7 mifsek. powietrza, rurą 100 m długą, jest do rozporządzenia wentylator tłoczący powietrze w temperaturze 10° C., pod ciśnieniem 0,0048 at t. j. p — 1,0048 at. Jaka ma być najmniejsza średnica rury, pozwalająca powietrzu wychodzić z rury swobodnie na zewnątrz ?

Ciężar właściwy powietrza w temperaturze 10° C. pod ciśnieniem p = 1,0048 at wynosi:

1,293 X 1,0048 1 + 10 «

= 1,2

więc różnicy ciśnień na obu końcach rury 0,0048 at odpowiada wysokość:

0,0048 X 10*

1,2

= 40 TO,

co daje spadek na metr bieżący J = 0,4- Tablice do wzoru Fla-manta nie obejmują wydatków większych, od 1 jrf/sek., użyjemy tu więc wzoru Mis o* a (107) i wzoru na wydatek (350), według których:

f/32 B Q*

’ J g

U¹ 32 B Q-

Jg = 2B

Biorąc na próbę B = 0,006, otrzymamy:

Di ic*

<5---Ï_

/ 32.0,006.2,7* .

0,4.981 . a*

Dla sprawdzenia B, obliczmy ten spółczynnik według wzoru (108): Z tablicy 4-ej weźmiemy 10® k — 25 cm i będziemy mieli:

10'*

= 51,4 cm.

I ‘-V

⁵⁰ = 0.001 ;

51,4 . 10®

że zaś według wzoru (350):

UD =

4 y _ 4.2,7 . 10«

D *

51,4 . rc

= 6,69 . 10«,

z tablicy l*ej v = 0,155, a według wzoru (100):

UD

6,69 . 10«

2.0,155

= 21,93 . 10«,

przeto według wzoru (108):

B — 0,0024 + 0,0010 +

U’³    = 0,004,

y 21,93. 10«

zamiast wartości próbowanej 0,006. Otrzymana poprzednio wartość D — 51,4 jest więc za wielka i podzieloną być winna przez:

tO

1,08,

co daje:

Po

~A F

D — 48 cm .

Zadanie 79. W pompie „Mammut“ (rys. 139), rurką A doprowadzane jest powietrze, pod ciśnieniem p,, do przestrzeni B, gdzie miesza się z wodą, wchodzącą przez otwór D, z prędkością Ui s Mieszanina wody i powietrza podnosi się większej średnicy i wrychodzi na zewnątrz w C, z prędkością ł7₀. Z danych: głębokości h₀ i prędkości U₀ i U%, obliczyć stosunek tj , pracy podnoszenia wody do pracy zgęszczania powietrza, czyli sprawność pompy.

Według twierdzenia Bernoulli ego (28), po wprowadzeniu straty naporu przy wejściu wody przez otwór D (251):

US

w rurze o

; —ß

=• 4T-

A,-

Pl-Po

Tj 2 g

(1+C,).. • • (a)

Rys. 139.

jeżeli przez Ti oznaczymy ciężar właściwy wody, a przez Ci spółczynnik oporu przy wejściu B. Do ruchu mieszaniny wody i powietrza, od B do Ć, zastosujemy ogólne równanie różniczkowe hydrodynamiki Ç27), które po podzieleniu przez g, położeniu p g = y ciężarowi właściwemu mieszaniny, z = h, V — U i wprowadzeniu zmiennej straty U²

naporu ht = C₂

w rurze C, przybierze postać:

UdU

d-^=0,. .

. . (b)

Jeżeli przez Grt i Gr₂ oznaczymy ciężary wody i powietrza, dostarczane w ciągu sekundy, y₂ i To ciężary właściwe powietrza, w rurze i poza rurą, to:

O, + O, Gk , Gt

“T “zr.

Ti

Ï2

a przy przemianie izotermicznej: y₂ = —

Całkując równanie (b) od B do C, mamy:

Uł - Ui

To-

c

h₀ -f- ht -f- f dht

B

Po

+ /-

Pi

= o,

p° j

a że:

Ć?! + G₂

/?

P«

ö. + ö,

- (Po-Pi) +

To

Po ln —

Pi

więc:

~ (*0 4 *l) 4

0,4-0,

¹ (P. — Po) 4-?-²Po ln —

Ti

To

Po

Uo² —- Ur

Jeżeli położymy:

G

f f dht

B

(c

/ dht='Q₂

B

i dodamy równania (a) i (c), otrzymamy:

Po łn Pi _ Pi—Po To Po

*0 4“

Ö2

US

g,4-g>2

Ti

⁼ 2 <7 ⁽¹+&)4--2

i/

c,.

W nawiasie, po pierwszej stronie, pominąć można ——— —®

Ti

a zamiast Gr, -f- G₂ wziąć Grt, wtedy będzie:

U₀²

0₂    p° , P|    ,    .

— ln —    =    Ä₀    4-

Gr, f₀ Po

2g

(i 4- 4) 4"

U,

C,.. . . (d)

Według wzorów (314) i (331), dla zgęszczenia 1 kg powietrza od p₀ do p, potrzeba użyć pracy:

To

W = — ln ,

Po

a dla zgęszczenia ciężaru ćr₂ powietrza:

Wt = Gs -^ ln —- ■ To Po

dla podniesienia zaś ciężaru wody Gx na wysokość h₀:

W, = Cr, h₀.

Sprawność pompy:

T( = -

W,

a Avedług równania (d):

u₀' (i +J₂) + F²

2 g h₀

• • (e)

Zadanie 80. Jeżeli przy obliczaniu pompy „Mammut“, jak w poprzedniem zadaniu, oznaczymy przez F, objętość wody podnoszonej w ciągu sekundy, przez F₂ objętość powietrza wtłaczanego w tymże czasie (odniesioną do ciężaru właściwego y₀ powietrza zewnętrznego) a przez tu przêkrôj rury między C a D (rys. 139), to jakie będzie dla objętości F, wody najmniejsze zużycie powietrza F₂ ?

Kładąc:

= F1Y1,

— Ul,

otrzymamy równanie (d) w postaci:

F Po V\ ' Ti Po

F jö

G, = V₂ To F -f- F₂ = o U₀,

lnP.=Ä0+ a+t.HF.+ F^ + c.r,’

2 g ai²

Minimum F₂ dla danego F otrzymamy, przyrównywując do zera pochodną Fx względem F₂:

AZl ä o

d F₂

czyli :

Pi (i + Q(F+ F)

2 g w²

4- . *tm--

1. Ti Po

a po podzieleniu poprzedniego równania przez równanie (f):

• • (f)

(1 + c₂) (F;³ - F²) = Cl Vr + 2g «,* A0 Równanie to, łącznie z równaniem (f) pozwala obliczyć Vl i F₂.

(g>

Zadanie 81. Pompa „Mammut“ ma podnosić 7 litrów wody w ciągu sekundy, na wysokość h₀ = 15 m, przez rurę C, długości 36 m a średnicy 8 cm. Jakiej potrzeba najmniejszej objętości powietrza na sekundę i jaką sprawność winna mieć pompa, przy spółczyn-

(95 a) dla biegu wody w rurze i = 2 (251)

nikach oporu: £₂ = 0,02 dla wejścia wody do przestrzeni B.

~d

a z równania (a) głębokość zanurzenia rury:

hi = 17,35 m.

Sprawność pompy:

Dane są: Fi = 0,007 mi, o> =

k (0.08)²

= 0,005 w², ^ = 2

;₂ = 0,02

36

= 9.

0,08

Z równania (g) otrzymujemy najmniejsza potrzebną objętość

powietrza:

V₂ = 0,0282 >n²/sek. = 28,2 liłr./sek., z równania (f), dla p₀ — 10333 kg/m* :j

ln = 0,972,    — = 2,65,

Po

Po

W,

V₂ p₀ ln Pl

— 0,37.

IX. Opór płynów.

72. Oddziaływanie prądu. Ciecz w naczyniu, pozostająca w spokoju, układa się do poziomu i wszystkie powierzchnie wewnątrz cieczy, na których ciśnienie jest jednakowe, są płaszczyznami poziomemi. Wypadkowe ciśnień na ściany

jn

U=0

—w

/i

R' /*

* //—

U>

/n

J’

RT

-s-

fi*

s.

/T⁷

Rys. 140.

boczne pionowe naczynia (rys. 140), R' i R", wzajemnie się znoszą a wypadkową ciśnień na dno naczynia, jest ciężar cieczy.

Gdy w ścianie prawej naczynia zrobiony jest otwór op i ciecz wypływa przez otwór, przy utrzymywaniu poziomu w naczyniu na niezmiennej wysokości, to w masie cieczy, znajdującej się w ruchu ustalonym, powierzchnie jednakowego ciśnie-nia przybierają inne kształty, naszkicowane na rysunku liniami pełnemi: 1, 2, 3, 4, 5. Na poziomie i przy otworze, ciśnienie jest prawie jednakowe a ciśnienia na ścianę lewą pełną, które przedstawia linia mn. dadzą oczywiście wypadkową R', większą od wypadkowej R" ciśnień na ścianę prawą z otworem, przedstawionych przez linię m' o p n . Różnica R' — R" stanowi oddziaływanie prądu. Ścisłe wyznaczenie powierzchni jednakowego ciśnienia, pozwoliłoby przez zsumowanie iloczynów z powierzchni, pomnożonych przez ciśnienie na jednostkę każdej, otrzymać wypadkowe R' i Rrr ; ale zadanie to zbyt jest trudnem i do otrzymania wypadkowych dojść można prostszą drogą.

Na zasadzie równości działania i oddziaływania, parcie R = Rr — R", nadające wodzie wychodzącej przez otwór prędkość    rówme jest parciu wody na ścianę przeciwległą.

Oznaczając przez M masę wody, wypływającej przez otwór w ciągu sekundy, mieć będziemy ilość ruchu M U₂, popęd f R dt i rów lianie ilości ruchu:

f R dt = M (Jt.

o

Przy ruchu ustalonym, popęd jest stały, wTięc:

f R dt = R f dt — R,

o    o

a oznaczając przez: G ciężar masy M, ~ ciężar właściwy wody a Q wydatek otworu, otrzymujemy:

M U₂= U. = *

9    9

U.

.    .    (351)

wzór na oddziaływanie prądu w oznaczonym kierunku (U₂) > w przypuszczeniu, że na poziomie w naczyniu prędkość U= 0. Oddziaływanie prądu jest więc rówme iloczynowi z prędkości średniej przez masę wypływającą w ciągu sekundy, czyli równe ilości ruchu w jednostce czasu. Wielkość ta wyraża się w kilogramach, jak wskazuje następujące zestawienie:

Ilość ruchu

-- —— m asa X prędkość = seK.

= [kg).

sek.

1 kg . sek- met. sek. met sek.

Kładąc Q = & U₂, napisać można wzór (.351) wt postaci:

Ï

a że według wzoru (68) dla cieczy doskonałych, bez tarcia,

U ²

2.7

= H, przeto:

R — 2 y co H. .

.    .    (352)

Oddziaływanie prądu jest więc równe dwa razy wziętemu ciśnieniu słupa wody w równowadze, mającego za podstawę powierzchnię otw^oru a za wysokość odległość pionową środka ciężkości tej powierzchni od poziomu cieczy.

Gdyby ściana naczynia, w której zrobiony jest otwór, nie była pionową, lecz nachyloną do poziomu pod kątem a, to i oddziaływanie R, przechodzące przez środek ciężkości powierzchni otworu, miałoby toż samo nachylenie. Składowa pozioma oddziaływania byłaby X — R cos a i miałaby kierunek wprost przeciwny składowej poziomej prędkości wypływu a składowa pionowa Z = R sin a zmniejszałaby ciężar wody w naczyniu.

Gdy ciecz przepływa przez rurę zwężającą się (rys. 141), oznaczmy w przekrój ach    i w₂, ciśnienia przez p₂, apręd-

U,

/>*Ąe

5k

Rys. 141.

kości przez L\, U₂ • Zmiana wielkości i kierunku prędkości wywołuje oddziaływanie prądu na ściany rury. Jeżeli dla uproszczenia przyjmiemy, że oś rury leży na płaszczyźnie poziomej, to według twierdzenia Bemoulli’ego (67):

C? _ P2

UJ

Zl ₊

7

'a 2

7    '    2# *

Jeżeli ciśnienie p₂ jest stałe, to przy powiększaniu się ciśnienia px, zwiększać się będzie prędkość U₂ a razem z nią i oddziaływanie prądu na ściany rury .

W poszczególnych warstwach, ciśnienia nie rozkładają się jednostajnie, w skutku wywiązujących się sił odśrodko-

wych, przy ruchu krzywolinijnym cząstek. Od ściany wypukłej (p) do wklęsłej (p-j- Ip) ciśnienie stale się powiększa, jak to przedstawia na rysunku linia mn. W danym punkcie, któregokolwiek przekroju, prędkość Z7, przy ruchu ustalonym, jest stałą; przy dalszym ruchu cząstki prędkość ta zmniejsza się lub (jak na rys. 141) powiększa. Składowe przyspieszenia będą:

d (U cos a)

d (U sin a)

dt

dt

a siły odpowiadające tym przyspieszeniom: d (U cos a)

d X = dm .

dt

d Y = dm

d ( U sin a)

dt

Oddziaływanie prądu będzie równe i wprost przeciwne tym siłom, a że, dla ruchu ustalonego:

dm = M dt a M =

więc:

dX = Md (U cos a), a po zcałkowaniu:

dY — Md (U sin a),

70

(C7₈ cos a₂ — Ux cos o.x),

r=

70

.    .    (35.3)

(U2 sin a₂ — Ul sin ax) ;

całkowite zaś oddziaływanie prądu na ściany:

R = Vx‘l 4- Y-

(354)

Jak widzimy, kształt rury nie ma wpływu na wielkość oddziaływania, które zależy wyłącznie od ciśnień i prędkości przy wejściu wody do rury i przy wyjściu. Jeżeli przyjmiemy, * że wszystkie cząstki mają w przekrojach, wejściowym i wyjściowym, jednakowe w każdym z nich ilości ruchu, a więc i jednakowe prędkości, to kierunek wypadkowej R przechodzić będzie przez punkt, w którym się przetną przedłużenia kierunków prędkości cząstek przechodzących przez środki ciężkości przekrojów Wj i w₂, t. j. przez punkt A. Kierunek więc wypadkowej nie zależy także od kształtu rury.

Na rurę działają jeszcze, ciśnienia <o₁px i (û₂p₂, dające siłę wypadkową i moment obrotu a także działać mogą siły zewnętrzne na ściany rury. Ważnem jest zatem oznaczenie kierunku oddziaływania, a zwłaszcza kierunku, w którym, pod jego wpływem, mogłoby nastąpić poruszenie rury. Co do kie-

runku składowej X, to przyjmując, że rura leży nie na płaszczyźnie poziomej, lecz na pionowej, niema wątpliwości, iż ruch pod wpływem tej składowej nastąpić może od strony prawej ku lewej. Trudno znów orzec, jakie wtedy będzie działanie, skierowanej na rysunku ku dołowri, składowej Y■ Mogą być przypadki, w których składowa ta znika, lub w których skierowaną jest pod górę i zmniejsza ciężar cieczy.

Z równania (353) wynika, że oddziaływanie prądu, w jakimkolwiek kierunku, jest równe różnicy rzutów ilości ruchu

■c

crŁ

U,

fL

Rys. 142.

Rys. 143.

na ten kierunek, przy wejściu wody do rury i przy wyjściu. Jeżeli przeto (rys. 142) w kierunku pionowym ab — Ux sina, będzie równe cd = U₂ sin a₂, to według drugiego z równań (353), 7=0 i niema składowej pionowej oddziaływania. Gdy ab >» cd, oddziaływanie skierowane będzie ku dołowi, gdy zaś ab < cd (rys. 143), to Y działać będzie pod górę, zmniejszając ciężar cieczy.

Zmniejszeniu składowej pionowej prędkości odpowiada opóźnianie ruchu w tym kierunku. Jeżeli weźmiemy pod uwagę rurę o stałym przekroju, wygiętą pod kątem 90° (rys. 144), to każda cząstka cieczy w przekroju A B będzie miała składową pionową prędkości równą U. Składowa ta będzie się wciąż zmiejszać i w końcu znika w przekroju CD. U Jednocześnie wytwarza się składowa pozioma prędkość, rosnąca od 0 wr przekroju .4 B do U w przekroju CD. Składowa oddziaływania:

u,

71

v>

Rys. 144.

X=Y=-

iQU

skierowrane są: pierwsza w stronę przeciwną ruchu prądu, a dm-

ga w stronę tego ruchu. Wypadkowa:

R = X V2 = Y \ 2.

Niektórzy autorowie dawali tej wypadkowej nazwę parcia odchylającego, w miejsce której proponuje Budau ¹) dwie różne nazwy dla X i Y: przeciwparcie przyspieszające i parcie opóźniające.

Zadanie 82. Do otworu, w ścianie pionowej zbiornika, przyśrubowaną jest przystawka zważająca (rys. 145). Jaka będzie siła, usiłująca oderwać przystawkę od ściany zbiornika ?

Każda cząstka, przebiegająca przez przystawkę, zwiększa swą prędkość z £7, na £7,. W skutku tego występuje przeciwparcie przyspieszające R, w kierunku strzałki, które zmniejsza ciśnienie hydrostatyczne na ściany przystawki i równe jest różnicy ilości ruchu:

MUa — MUt=R.

Kładąc:

31 =

%7—\

zsss ir

U.

Rys. 145.

T fi>, Z7, _ T

9

j K ŁV

Parcie to działa na przeciwległą otworowi ścianę zbiornika w kierunku przeciwnym wypływowi i śruby przymocowujące przystawkę wytrzymywać muszą działanie odrywające, równe różnicy między ciśnieniem hydrostatycznem Ps — ou, y H, jakie miałoby miejsce przy zamkniętym otworze, a oddziaływaniem prądu R:

P — Ps - R = u»i T H— 1 (»2 £7₂² — «, £7,*).

Ściślej byłoby wstawić w tym wzorze, w miejsce y H, wyso-

JJ 2

kość ciśnienia zmniejszoną wysokością ; staje się to niezbęd-

^ 9

nem w przypadku, gdy tuj jest niewiele większe od to₂.

73. Uderzenie Żyły. Jeżeli żyła wodna, wypływająca poziomo z naczynia (rys. 146), w którem poziom utrzymywany jest na niezmiennej wysokości, spotyka ścianę pionową B, to uderzenie ma pewne podobieństwo do rozpatrywanego W mechanice uderzenia ciał niesprężystych, strata energii wszakże jest znacznie mniejsza. Cząstki cieczy, uderzające o ścianę, w małym stopniu tylko wpływają na zmniejszenie prędkości, bo na ścianie tworzy się stożek S, wypełniony po

mamy:

- «•, ŁV).

) Por. przyp. 8 str. 2.

zostającą w spoczynku, albo w ruchu wirowym, cieczą wyburzoną. Po powierzchni tego stożka ześlizgują się i zaginają pod kątem 90° pojedyncze strugi. Ruch tych strug odbywa się w tych samych warunkach, jak rozważany wyżej (rys. 144) ruch w rurze zagiętej, a ponieważ prędkość cząstek pozostaje

Wm:

«S

co

Rys. 146.

U*

niezmienioną, przeto i powierzchnia przekroju prądu nie zmienia swej wielkości. Ilość ruchu w rzucie pionowym schodzi do zera, a w rzucie poziomym stanowi ciśnienie i?, równe, kładąc

R= U =

' “ I7² r=2 7 <0 h.    .    (355)

W przypadku cieczy doskonałej, nieobecności tak tarcia jak i ścieśnienia żyły, uważać można h = R; w rzeczywistości ciśnienie będzie mniejsze, niż je daje wzór (352). Z drugiej znówr strony, pewna ilość wody rozpyla się przy uderzeniu, cząstki odskakują od ściany, tak że oba te wpływy prawie się równoważą i wzór (355) zgadza się z wynikami doświadczeń. Wzór ten jest jednobrzmiący z wzorem (351) i (352), bo ciśnienie w stronę prawą jest rówme oddziaływaniu, skierowanemu w lewą stronę. Gdyby ściana B przymocowaną była, zapomocą ramienia D, do naczynia, z którego woda wypływa i została, razem z naczyniem, zawieszoną na długim sznurze, lub umieszczoną na ruchomym wagoniku, przekonaćby. się można, że wypływ razem z uderzeniem nie dają żadnej składowej poziomej prędkości. Ciśnienie więc żyły poziomej, na płaszczyznę pionową, równa się oddziaływaniu wody na naczynie.

Jeżeli ściana pionowa oddala się od naczynia z prędkością V, to w miejsce U wprowadzać należy do wzoru (355) różnicę U — V i będzie:

O»

(U-V),

(356)

Wzory (355) i (356) wywiedzione zostały bez określenia wymiarów ściany B: według doświadczeń, powierzchnia tej ściany Q winna być, przy kołowym kształcie, względem powierzchni przekroju żyły to , w stosunku:

Q > 9 to ,

inaczej bowiem wzory nie dają dokładnych wyników. Jeżeli Q jest mniejsze, siła uderzenia się zmniejsza i schodzi przy Q = to do połowy wartości, jaką dają powyższe wzory.

fi

Jeżeli ściana, o którą żyła uderza, nie jest prostopadłą do osi żyły, ale nachyloną do tego kierunku pod kątem a (rys. 147), to ciśnienie normalne R najłatwiej się oznacza jako wypadkowa dwóch składowych: poziomej Rx i pionowej Ry :

R = VRS 4- R,².    .    (357)

Rys. 147.

Obie zaś składowe wynikają z różnicy rzutów ilości ruchu na te dwa kierunki. W kierunku poziomym ilość ruchu żyły, przed spotkaniem ściany jest M U, a ilość ruchu żyły. biegnącej po ścianie, M U cos a, więc:

Rx = MU — MU cos a =

——r JJ ( 1 — cos a) . 9

.    (358)

W tym kierunku ilość ruchu ulega zmniejszeniu, a Rx działa wr kierunku prędkości U i w tę samą stronę. W kierunku pionowym ilość ruchu żyły, przed spotkaniem ściany jest równa zeru, a po spotkaniu wynosi M U sin a, więc:

U sin a .    .    (359)

'-s

Ry = 0 — MU sin a = —

i działa wr stronę przeciwną ruchu, t. j. pod górę.

Żyła, biegnąca wzdłuż ściany, wywołuje także opór tarcia Rt, usiłujący przesunąć ścianę, którą żyła spotyka. Całkowite działanie uderzenia R¹ jest wj^padkową sił: R (357) i Rt . Taki rozkład sił ma miejsce, gdy żyła nie rozlewa się po ścianie nachylonej, lecz płynie w jednym kierunku (np. wyznaczonym przez umieszczone na ścianie listwy). W przypadku płaszczyzny nieograniczonej, tworzyć się będzie stożek S (rys. 148), wokoło którego wyginać się będą strugi, jak przy spotkaniu ściany prostopadłej do osi żyły; wywód teoretyczny wypadkowej ciśnień jest w^tedy niepewmy. Zadanie staje się prostszem przy uderzeniu żyły o powierzchnię obrotową (rys. 149), której oś stanowi przedłużenie osi żyły. Gdy powierzchnia zwrócona jest do żyły stroną wypukłą, R będzie

6/

6/

cf

'Gf

60

ĆO

Rys. 149.

Rys. 148.

mniejsze niż w przypadku ściany płaskiej. Jeżeli kierunek strug wygiętych czyni z osią żyły kąt a, to suma ilości ruchu, pa uderzeniu, w rzucie na oś żyły, będzie:

7 to U² cos a

Rzuty na kierunek prostopadły do osi żyły, wrobec symetrycznego rozchodzenia się strug, wzajemnie się znoszą i całkowite ciśnienie przy uderzeniu będzie:

R₂ =

.    .    (360)

7 <*> u²

'-(1 — cos a) ,

9

wzór wraca do postaci (355).

Jeżeli powierzchnia obrotowa zwrócona jest do żyły stroną wklęsłą (rys. 150), będzie wtedy kąt a rozwarty i cos a odjemne. Przy wygięciu strug pod kątem 180°, cos a = — li

równe różnicy ilości ruchu, przed dojściem żyły do powierzchni obrotowej i przy odchodzeniu od tej powierzchni, poszczególnych strug. Dla a = —

fi    R=r-

2 7<o U²

= 47m 27, . . (361)

dwa razy większe niż przy ścianie płaskiej (355).

Rys. 150.

Porównyw⁷ając ruch strug po powierzchni stożka z ruchem w rurze wygiętej (rys. 144), mamy od a do b (rys. 150) działanie opóźniające R’ skierowane w stronę biegli strug, a przeciwnie od

b do d równe poprzedniemu oddziaływanie przyspieszają ce R" , skierowane w stronę przeciw nabiegowi strug. Oba te ciśnienia się sumują i przy pominięciu tarcia :

R = R' -f R” = M UĄ- MU = 2 MU =

tylko w przebiegu od a do 6 działa właściwe uderzenie, a od b do d — oddziaływanie.

Wywiedzione wzory służyć mogą i wtedy, gdy prąd wodny przebiega drogę w odwrotnym kierunku. Na rys. 151 przedstawiony jest przekrój wirnika turbiny Francisa, o średnicy zewnętrznej 2 rx i wewnętrznej 2 r₂. Jak o tern była mowa w" § 59, prędkość t7₃ jest równoległa do osi turbiny i jednakowa dla wszystkich strug. Oddziaływanie R w kierunku osi, zależne jest tylko od ilości ruchu na przekroju wyjścio-

k-

4L

u,

»'ii¹ i;m' -j i iii i Kii i

Rj s. 151.

wym wirnika. gdyż woda dochodząca do wirnika z prędkością U₁ nie ma w rzucie na oś turbiny żadnej ilości ruchu. Całkowite więc oddziaływanie w kierunku osi turbiny będzie:

Uy>

MU, = —

9

gdzie Q oznacza ilość wody przechodzącej przez turbinę w ciągu sekundy. Ponieważ przy tern powstaje pewna ilość ruchu i wytwarza się przeciwparcie przyspieszające (X na rys. 144), przeto wypadkowa ciśnień działa w kierunku przeciwnym prądowi, od dołu do góry, przyczyniając się do zmniejszenia ciśnienia w rurze ssącej (por. § 58).

74. Ciśnienie prądu na ciało zanurzone. Kwestye, dotyczące oporu, jaki stawiają prądom płynnym, umieszczone wśród nich ciała stałe, przedstawiają się często wt praktyce technicznej. Filary mostów wytrzymywać muszą ciśnienie prądu wodnego, kominy fabryczne ciśnienie wiatru i t. d. Wiatr działa także na dachy budynków i na przęsła mostów, a dla latawców^, wypuszczonych przez stacye meteorologiczne, z przyrządami samopiszącymi, stanowi siłę, jednocześnie podnoszącą je i utrzymującą na wysokości.

Weźmy najprzód pod uwagę stałą powierzchnię płaską, pogrążoną w ośrodku płynnym nieograniczonym. Ośrodek ten w ruchu stanowi prąd, a powierzchnia płaska, utrzymywana stale w położeniu prostopadłem do osi prądu, stawia opór ruchowi. Przed nią i za nią gromadzą się cząstki płynu, tworzące nieregularne wzburzenia, jak na rys. 146 i 148, a wokoło tych dwóch stożków, których wspólną podstawę stanowi dana powierzchnia, obiegają strugi prądu, wywierając nie tylko nacisk, ale także tarcie o cząstki tworzące stożki. Ciśnienie, odpowiadające uderzeniu żyły wodnej na płaszczyznę prostopadłą do jej osi, będzie według wzoru (355):

w ? £7²

gdzie w oznacza wielkość powierzchni płaskiej, wystawionej na działanie prądu. Wzór ten wszakże, wywiedziony przez analogię, zaopatrzed należy w spółczynnik k, który równoważy niepewności, wynikające z pochodzenia wzoru. Będzie więc dla uderzenia prostopadłego powierzchni płaskiej, zanurzonej w nieograniczonym prądzie płynnym:

U²

R = k y oj

.    .    (362)

Dla powietrza otrzymał R. v. Lössl wartości spółczynni-ka k zależne od kształtu powierzchni płaskiej, mianowicie:

Koło .    ...........

Kwadrat...........

Trójkąt równoboczny.......

Prostokąt (1 wysokości na 2 podstawy) .

„    (1 wysokości na 4 podstawy) .

Jakakolwiek powierzchnia z wystającym

brzegiem.........

Wzór (362) stosuje się tak ściśle do ciśnienia wiatru, że można w nim spółczynnik k położyć równym jedności. Ponieważ 1 m³ powietrza waży od 1,2 do 1,3 kg, można więc po-

Y

łożyć — = 0,12 do 0,13 kg i ciśnienie wiatru na 1 m² stałej 9

powierzchni płaskiej, prostopadłej do kierunku wiatru, liczyć:

s~kg'

Mniej pewne wyniki otrzymać można przy obliczaniu ciśnienia płynu na powierzchnię płaską, nachyloną do kierunku

k = 0,83

0,86

0,90

0,92

0,94

1,00

U²

prądu. Żądanie to, nie tyle ważne dla wody, jest wielkiego znaczenia dla powietrza, wobec rozwoju lotnictwa. Ciśnienie oznaczać tu przychodzi, według wzorów (357) — (361), jako wypadkową dwóch składowych, przyczem, jak pokazuje rys. 152, ilość płynu uderzająca w ciągu sekundy wynosi:

.    .    (363)

Wywód nadto stosować się będzie tylko do nachylenia: o. < 45°, gdyż przy kącie większym, odpływ płynu w jedną tylko stronę, nachylonej powierzchni płaskiej, nie może mieć miejsca. Mamy więc:

Q =z co U sin a.

Y

w U² sin a (1 —cos a)

Rx =

.    .    (364)

Rv = —- (o U² sin² a 9

y    ____

w U² sin a 12 (1 — cos a)

Wzór na ciśnienie płynu otrzymywano dawniej, rozkładając prędkość prądu na dwie składowe: jedną prostopadłą, a drugą równoległą do uderzanej powierzchni płaskiej. Pierw-

—Lh+Qi/ncS -

:rt-ą

4 /j

sinti

Rys. 152.

szą z tych składowych uważano za straconą i energię uderzenia za zniszczoną. Prof. Donat Banki*) wykazał niesłuszność tego poglądu, zarzuconego już obecnie. Pogląd ten, w danym przypadku doprowadzałby do wzoru na ciśnienie równe składowej prostopadłej Rn:

Rn —

Y

— QU sin a, 9

') Por. „Über unrichtige Anwendung hydraulischer Sätze“ (,Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1910. str. 1410).

F. K. Hydraulika.

a kładąc za Q wartość (363):

Rn — — o) U² sin² a.

!1

Wzór ten, znany pod nazwą wzoru Newtona, służył przez długie lata do oznaczania ciśnienia prądu płynnego na zanurzone w nim powierzchnie płaskie, skierowane ukośnie do kierunku prądu. Składowa pozioma Rx tej wypadkowej R stanowiąca tak zwany napęd wsteczny, byłaby:

Rx — ‘ w U² sin³ a,

V

składowa pionowa, nosząca nazwą wyporu:

R, = -

9

w U² sin² a cos a .

Wychodząc z innych założeń, różni badacze dochodzili do wzorów na ciśnienie, jakie płyn w ruchu wywiera na ścianką nachyloną, nie osiągając wszakże zupełnej zgodności wzorów z doświadczeniami. Jeden z pierwszych, wykazał zupełną niemożliwość czysto teoretycznego wzoru Newtona, F. v. Lössl i na licznych doświadczeniach oparł wzór:

Rn =

.    .    (366)

— co U² sin a,

!l

odpowiadający lepiej rzeczywistym warunkom, tak dla latawców (powietrze w ruchu, ścianka w spokoju), jak i dla aeroplanów (powietrze w spokoju, ścianka w ruchu). Wzór Lössla daje wypór, to jest ciśnienie podnoszące ścianką, wiąksze niż otrzymywane z wzoru Newtona.

'S

Niezgodności wzorów z wynikami doświadczeń objaśniają sią niez wracaniem uwagi na związki, zachodzące miądzy ciśnieniami prądu, na obie strony powierzchni zanurzonej. Doświadczenia wykazują, trudne do ścisłego oznaczenia przeciwciśnienie, zwiększające całkowity opór płynu; wykazują nadto, że zależność całkowitego ciśnienia od nachylenia ścianki ma miejsce tylko przy a < 38°. Przy nachyleniu

___ wiąkszem, dochodzącem do 42°, ciśnie-

Rys. 153.

0 /o 30 so 70 30° nie może sią znacznie zmniejszać i dopiero, poczynając od tego nachylenia, wraca stała zależność ciśnienia, od nachylenia ścianki. Na rys. 153 przedstawiony jest wykres, mający za odcięte nachylenia a, a za rządne ciśnienia i?„, odpowiadające tym nachyleniom. Krzywe a i i odnoszą sią do

ścianki kwadratowej, o boku 305 mm, a krzywa c jest krzywą ciśnienia na ściankę prostokątną, długości 76 mm (na płaszczyźnie rysunku 152), a szerokości (w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku 152) 1218 mm. Wogóle, przekonano się. że ścianki prostokątne większej szerokości, przy tej samej powierzchni dają opór większy. Zjawisko to objaśnia stożek wzburzenia z tyłu ścianki (rys. 154), tworzący pierścień wirowy, w którym, w około okręgu koła m n wirują cząstki, łeżące

Li

/7

Rys. 154.

bliżej powierzchni zewnętrznej stożka. Przy mniejszym kącie nachylenia ścianki (rys. 155) pierścień się spłaszcza i w końcu rozrywa, tworząc warkocze /ij n₂, ciągnące się w prądzie, na pewnej długości poza ścianką. Od chwili utworzenia się pierś-

//

Rys. 155.

cienia wirowego, zmienia się stosunek ciśnień, i wypadkowa staje się mniejszą, co objaśnia skok krzywych a i b na wykresie (rys. 153).

Opór, jaki stawiają ruchowi nieograniczonego prądu płynnego ciała stałe w nim zanurzone, wobec komplikacyi, uwidocznionych w przypadku ścianki płaskiej, oznaczony być może wyłącznie drogą poszukiwań doświadczalnych. Dla wody, prowadzono je w znacznej liczbie tylko przy ruchu statków; dla powietrza wykonano ich więcej, zwłaszcza przy ruchu okrągłych pocisków. Doświadczenia stwierdziły, przy prędkościach, spotykanych w hydraulice i technice lotniczej, a więc dochodzących do U — 40 m/sefc., wywiedzioną teoretycznie zależność oporu: linijną — od ciężaru właściwego płynu i od wielkości powierzchni ciała zanurzonego, a w kwadracie — od prędkości, i to aż do prędkości pocisków 250 mjsek. Ponad tą granicą, aż do 500 m/sek., opór powietrza wzrasta znacznie, wynosząc do 2¹/₂ raza więcej niż daje wzór:

R = k — w t/²,

gdzie (o oznacza powierzchnię przekroju o największej średnicy, a przy ciałach nie kulistych powierzchnię największego

rzutu na płaszczyznę prostopadłą do kierunku lotu. Ponad prędkością 500 misek, opór się zmniejsza, jak przedstawia wykres (rys. 156), dający spółczyn-nik k w funkcyi prędkości U.

0 /oo joo soo 700 /ooo

Rys. 156.

Opór płynu jest skutkiem tarcia wewnętrznego cząstek, niema go w płynie doskonałym, a zmniejszony być może przez odpowiedni dobór przekroju ciała zanurzonego w prądzie, gdyż przeważny ma nań wpływr, tworzący się za ciałem, stożek lub walec wyburzenia, o przekroju o) (rys. 157). Wewnątrz tej przestrzeni, ciśnienie p₂ jest mniejsze niż px z przodu ciała o opór całkowity:

R — (u (p₁ —p₂).

Doświadczenia wykazały, że przekroje, zwężające się ku tyłowi, dają opór mniejszy od przekrojów, nawet więcej za-

cC

Y/i

mm

-Oi

ój~

Rys. 157.

Rys. 158.

ostrzonych z przodu a tępych z tyłu. Przy pierwszych, cylinder wzburzenia wirowego, w skutku przylegania cząstek płynu

Dla nadania masie powietrza M wykonać trzeba pracę:

u» lT, prędkości U/sek.

tu V -f

do powierzchni ciała ma mniejszy przekrój (rys. 158) niż przy drugich (rys. 157).

Zadanie 83. Na ściankę poziomą (rys. 159) o powierzchni to i ciężarze G, podnoszącą się w górę z prędkością V, uderza od spodu pionowy prąd powietrza. Jaka ma być prędkość U tego prądu i jakiej potrzeba pracy dla jej osiągnięcia?

Prędkość względna prądu w odniesieniu do podnoszącej się ścianki będzie U— V, a ciśnienie na ściankę według wzoru (362);

*?-•(!7- P)>. i/

Od góry ścianka ponosi ciśnienie:

kliU V*

9

a przy ruchu jednostajnym ścianki warunkiem równowagi będzie równanie:

CC

\r

Î'

Rys. 159.

R = G + R',

z którego:

U = V -K

Gq

+ F».

7 G g A: Y tu

Zadanie 8d. Jaka być winna prędkość prądu U i praca, jeżeli ścianka opada z prędkością V?

Prędkość względna prądu, w odniesieniu do ścianki jest wtedy U -f- V. a równanie równowagi:

“(Ł'+ F)«,

skąd:

- Y-f.

Os ³

- V,

O MU* =

Xw

k T U>

Zadanie 85. Jaka potrzebna jest praca dla utrzymywania w powietrzu ścianki o powierzchni tu i ciężarze G?

Jeżeli w rozwiązaniach dwóch poprzednich zadań położymy V — 0, to szukana praca:

aU’

a prędkość prądu mogącego podtrzymywać ściankę w powietrzu:

-y

Gg

k ut

Przy kołowym kształcie ścianki (por. str. 256) k — 0,83, a kła-i g

dąc    == 8, otrzymamy:

1,87 -H

Ol

2 0U-

Dla k = 1,

Zadanie 86. Jaka ma być prędkość U i praca P prądu nachylonego do pionu pod kątem ß (rys. 160), podnoszącego ściankę z prędkością pionową V.

Mamy jak w zad. 83:

k Tto

ej

r/

— (Ucosß- F)², R’= -~— 9    9

R = G + 12',

F².

Rys. 160.

17 =

cos ß

Gg

Uł

MU-,

(u Ï7 cos ß,

2 g cos² ß [ F J/

t G 9    72

7t r «> J ’

Zadanie 87. Przy prądzie, nachylonym do pionu pod kątem ß, jakiej prędkości i jakiej pracy wymaga utrzymywanie w powietrzu ścianki, o powierzchni tu i ciężarze G ?

Gdy F = 0, wzory poprzedniego zadania przyjmują postać:

Ol

tu U³ cos ß =

—G— 1, 2 k cos² ß Ji

_Gg f k T tu

cos ß

Gg ₌

feloi 2k cos ß '

Zadanie 88. Powierzchnia nośna tu aeroplanu, ustawiona pod kątem ot do poziomu (rys 161), porusza się z prędkością poziomą F. Jakie są składowe ciśnienia powietrza na tę powierzchnię: pionowa, podnosząca aeroplan w górę, i pozioma, wyrównywająca siłę popędową ruchu aeroplanu?

Ciśnienie w kierunku normalnym do powierzchni to daje wzór (366):

Rys. 161.

T tu

F² sin a

skąd składowa pionowa, podnosząca aeroplan w górę:

T tu

ß = ii„ cos a =

if    n

a składowa pozioma, równa sile popędowej:

— R sin a = —

9

V² sin a cos a

F² sin² a .

Zadanie 90. Aeroplan o powierzchni nośnej tu i ciężarze G (rys. 161) porusza się z prędkością poziomą V. Jakiej to potrzebuje pracy?

Kładąc, we wzorach otrzymanych w Zadaniu 88, Ry = G,

otrzymamy:

Ol

T tu

V² sin (a — ß) sin a. 9

Zadanie 89. Powierzchnia nośna aeroplanu, ustawiona pod kątem a do poziomu (rys. 162), porusza się z prędkością V, nachyloną do poziomu pod kątem ß. Jakie będą składowe Ry i Rx ?

Ciśnienie normalne będzie według wzoru (366):

T OJ

co

skąd:

R”    '9

V² sin (a — ß),

oi

Rys. 162.

Ry = Rn cos a —

Rx = Rn sin a =

V² sin (a — ß) cos a,

T tu    y sin a cos a

Rx — G tg a,

P — Rx V — G

Os 3

i/j^,

I &oCs³a

wyłączyć tu należy przypadki: a = 0, a = 90°, przy których wzory powyższe dają V — oo.

Z zadania 89, dla ß = 0, mamy ciśnienie na powierzchnię

Zadanie 91. Jeżeli dla pokonania oporu powietrza, przy ruchu powierzchni nośnej aeroplanu (rys. 161), potrzeba pracy P, a przy ruchu innych części aeroplanu, pracy P₂, to przy jakim stosunku tych dwóch prac i jakiej prędkości V, praca całkowita P będzie najmniejsza?

nośną tu:

Ï tu

V² sin² a.

Rx = —

X    g

Oznaczając przez u>' powierzchnię największego przekroju korpusu aeroplanu, prostopadłego do V, mieć będziemy ciśnienie na tę powierzchnię:

Będzie więc:

<J

V².

a' z zadania 88 :

p* - R,x v,

Ry — ——- V² sina cos a.

Gdy Ry = G, to:

P= P, + P₂ = 4- + ÖF³,

gdzie:

G²g

Y tu cos³ a ⁵

w'.

Gg

-V

v* = ^ , czyli F

y cos a J/3 u> u>'

Zadanie 92. Ciężar G aeroplanu składa się z trzech części: ciężaru użytkowego 6rg, ciężaru wartości 6?₂ = n P proporcjonalnego do pracy, potrzebnej dla pokonania wszystkich oporów i ciężaru

w ten

P

powierzchni nośnej G, = m o>. Oznaczyć stosunek x = -—

sposób, aby 2/ = —— było maximum.

10

Z zadania 88 siła podnosząca:

Y

— uj V² sin a cos a

Kładąc:

dP

dV ~ °’

otrzymamy:

-y = 3 F³, czyli P, = 3P₂, a odpowiadająca wartość prędkości:

J2y = -

g

równa się ciężarowi całkowitemu:

G = Gi -J- G‘£ -{- G₃ = m uj -j- n P -j- G₃,

a z zadania 91 :

P = (Rx + E'x) V = ' sin² a + —) — w F³,

V    m / g

Kładąc a? =

Os 3

y = —- , otrzymamy:

F³ =

1- ^sin³ a -J——\

(D \    U> /

y = a x — nx — m,

gdzie:

sin a cos a

a z równania:

= o,

otrzymamy szukaną wartość stosunku:

x, =

CO

CM CO

przy której:

max. y = max.

G₃

4 a*_ uj ) ~ 27 n²

$ CM

Zadanie 93. Przv jakiej najmniejszej wartości stosunku —

(JD

aeroplan poprzedniego zadania będzie mógł unosie ciężar użytkowy G₃ ?

Ostatnie równania napisać można w postaci:

27    3

n³ xy, max. y —

i przedstawić je na wykresie (rys. 163). Aby ciężar G₃ mógł być unoszony, winno być:

a³ —

8‘

nxi — m,

&3

max. y = max —- ;> 0

albo:

\Ham.

i taka jest najmniejsza szukana wartość stosunku, przyczem wszakże wypełniony ma być warunek: a > ax (por. rys. 163), albo:

Rys. 163.

Zadanie 94. Dla aeroplanu o powierzchni nośnej tu = 110 m-, ustawionej pod kątem a — 15°, której ciężar Gt = 143 kg, z motorem o sile 70 k m., ważącym 6.25 kg na jednego konia mechanicznego, przy powierzchni największego przekroju u/ = 0,0259 tu , obliczyć ciężar użytkowy i ciężar całkowity przy ruchu poziomym, jak również największy ciężar użytkowy i pracę motoru, potrzebną dla unoszenia tego ciężaru.

Według danych zadauia:

6,25

143

75

12 ’

HO

= 1,3

/'"V

= 0,393,

a przyjmując

tę -t

“ 8“:

W|H-Ł

sin ot cos a

««‘V

sin- ot h--)

= 0,609 .

0)

równania:

Warunek a > a± jest więc wypełniony. Ciężar użytkowy dają

70 . 75 110 '

skąd:

a ciężar całkowity:

G₃ — 301 kg ,

G = ć?₃ -+- n P -+- nuu = 881,5 kg.

Dla największego ciężaru użytkowego:

= 115,6,

2 n\³

to

₌ fl

max. G₃

n x — m to = 386 kg ,

P — 115,5 oj = 12705 kgm/sek. — 169,4 k. m.

75. Ciśnienie prądu wodnego na ściany rucho

me. Oddziaływanie prądu na ściany naczynia (§ 72) bywa tak znaczne, że poruszyć może z miejsca samo naczynie. Jeżeli naczyniu daną będzie możność poruszania się w kierunku wypadkowej oddziaływania, lub jednej z jego składowych, to pewna oznaczona prędkość tego ruchu pokonać może opory, i ruch, po początkowym okresie przyspieszenia, będzie mógł być uważany za jednostajny. Przy zwiększającej się wszakże prędkości tego ruchu, ciśnienie będzie się zmniejszało. Gdy żyła uderza o ścianę płaską ruchomą (§ 73,), to z wzoru (356):

(U- V),

w którym U jest prędkością żyły a V prędkością ruchu ściany, wynika, że przy zwiększaniu się V, zmniejsza się R i dochodzi do zera, gdy U = V. Toż samo ma miejsce przy nachylonem położeniu ściany i R schodzi do zera przy V — U cos a. Gdy ściana nie jest płaską, wtedy zamiast ciśnienia R, działać będzie jedna ze składowych oddziaływania (353).

Opierając się na tych wywodach, łatwo będzie zdać sobie sprawę z działania prądu na łopatki kół wodnych, za pośrednictwem których energia prądu przekształconą zostaje na ruch obrotowy koła. Znaczna liczba dawniejszych systemów tych kół opartą była na zasadzie oddziaływania prądu, jak koła wiszące, koła podsiębierne i koła o odziaływaniu. Należy tu także najnowsze, koło popędowe Peltona.

Koło podsiębierne, przedstawione na rys. 164, ma średnicę _D, mierzoną między środkami t zanurzanych części przeciwległych łopatek. Punkty te poruszają się ze stałą prędkością obwodową V. Woda wychodzi z pod nachylonego sta-widła S, przy naporze iZ, z prędkością U₁. Jakkolwiek spotyka łopatki koła w różnych kierunkach, i po parę z nich jednocześnie, to jednak zdać sobie można sprawę z jej działania, biorąc pod uwagę jedną łopatkę, skierowaną prostopadle do kierunku żyły wodnej. Oddziaływanie prądu we wszystkich położeniach łopatki daje równanie (356). Kładąc w niem Q = (aUx , co = ab iloczynowi z grubości żyły a przez jej szerokość b, która tu niewiele się różni od szerokości łopatki, otrzymujemy:

7 iU'~V) =

Ul (U₁—V). (367)

Praca koła, nie biorąc pod uwagę podrzędnych strat na-poru, będzie:

P=RV =

— (Ut— V) V. . .

9

.    (368)

Prędkość na obwodzie koła, opisywanego przez środek zanurzonej części łopatki, dającą pracę maximum, otrzymać

mmsm

mmm.

Ę/d -L/yy' y

Rys. 164.

można przez zróżniczkowanie równania (368) względem V i przyrównanie pochodnej do zera. Prędkość ta wynosi:

U,

Kładąc tę wartość za V w równanie (368), otrzymamy:

dQH’- ■ ⁽³⁶⁹⁾

Cl²

UJ

9    '    4

czyli że teoretycznie, dająca się zużytkować praca wody w tern kole jest równa połowie dostarczanej energii brutto 7 Q II. Druga połowa tej energii pozostaje w wodzie odchodzącej z pod koła, i wynosi w przybliżeniu, jeżeli przez U2 oznaczymy prędkość wody odchodzącej:

u*

9 2 •

Wywód ten uwidocznia wykres (rys. 165), w którym za odcięte wzięto prędkości V, a za rzędne ciśnienia R (prosta mn) i prace P (krzywa oqn). Dla F=0, czyli gdy koło jest zahamowane, ciśnienie R jest największe. Gdy prędkość koła wzrasta, ciśnienie według wzoru (367) zmniejsza się w stosunku linijnym, a dla Vj — L i, li dla tak zwanej prędkości jałowej, schodzi do zera. Tak w jednym,

/>

mat.

jak i w drugim przypadku koło nie pracuje i P = 0. Między temi dwiema wartościami prędkości, parabolę oqn daje równanie (368). Maximum pracy odpowiada

K-

Ru\

-y-4-

Rys. 165.

\    wartości —.

\ 2

t/    Opisywany w fizyce, koło-

^ wrót hydrauliczny wprowadzony był w użycie, jako koło o oddziaływaniu, w połowie XVIII w., przez prof-

Dwie

■*ł

Segnera z Getyngi, rury zwężające się, podobne do przedstawionej na rys. 141, ustawione są poziomo (rys. 166) i połączone z naczyniem cy-

lindrycznem Z, ruchomem około osi pionowej, o trzy mu -jącem stały dopływ wody p    z kanału D . Pod naporem H

- woda wypływa przez dwie — —JP wygięte rury o powderzchni wylotu Wg, wywierając oddziaływanie Pi, które wpra-ruch obrotowy całą

-®h

'=0

H,

ZŁ

wia w

maszynę, w kierunku prze ciwnym prędkości wody wypływającej, jak to oznaczają strzałki na rysunku. Woda wypływa z otworów z pręd-

która

wwwwww

kością względną u₂, z prędkością bezwzględną U2 i prędkością obrotu koła F, wiąże się równaniem:

r~

«₂ = F+t7₂, . . (370)

bo gdy koło, przy V= 0, jest w spoczynku, wtedy prędkość bezwzględna ( .> musi być równa prędkości względnej u₂, a znów przy obrocie koła tak

•i

Rys. 166.

szybkim, że m₂ = V, będzie U₂ = 0, czemu także czyni zadość równanie (370). Nie biorąc tymczasowo pod uwagę prędkości względnej Wj, przy wejściu wody do rur wygiętych, mamy oddziaływanie w odległości r od osi, według wzoru (351), kładąc za U₂ prędkość względną u₂. Moment tego oddziaływania będzie:

P= Vu₂. 9

a pomnożony przez prędkość kątową 6. z równania rö = F, daje pracę:

Część wszakże tej pracy zużytą zostaje na wytworzenie prędkości u₂, której nie można obliczać ze spadku H znanym

wzorem    \2gH. Gdyby bowiem otwory rur wygiętych

były zamknięte, wtedy ciśnienie wody zawartej w rurach wygiętych zwiększałoby się przy obrocie koła, tak, jak się zwiększa ciśnienie w przypadku względnej równowagi cieczy (por. Zad. 6, str. 13). Przy otwartych rurach zwiększenie ciśnienia nie będzie wprawdzie następowało, ale wypływ z otworów będzie

F²

od wysokości ci-

miał miejsce pod naporem większym o ^

śnienia hydrostatycznego w rurach zamkniętych. Prędkość

, tak, że:

F²

względną u₂ wytwarzać więc będzie napór H -f-

«₂ = l'ZgH+V¹, . .

.    .    (371)

powiększa się razem z prędkością obrotową. Może to wszakże mieć miejsce tylko do pewnej granicy, gdyż przy wejściu wody do rur wygiętych, udzieloną zostaje jej nagle prędkość obrotowa, co przy zwiększaniu się tej ostatniej powoduje coraz większe wzburzenia i straty naporu. W rzeczywistości, osiągniętą zostaje pewna oznaczona prędkość biegu jałowego Fj, wynosząca, według Weisbacha, około 2 Ÿ2 g H.

Po wyjściu z rur wygiętych, woda posiada jeszcze pewną

U²

energię:

9 ’ 2 ’

tak, że całkowita energia udzielona kołu, w najpomyślniejszym przypadku, wynosić może:

Pr = lQH-P„ = -iQ[H

2g I’

gdzie praca brutto *(QH odnosi się do spadku Hr, zużywanego istotnie przez koło, t j. wysokości od poziomu górnego do

IX. Opór płynów.

płaszczyzny przechodzącej przez środki otworów rur wygiętych, a nie do spadku rozporządzalnego Hr (od poziomu górnego do dolnego). Różnica Hr — H. t. j. wysokość, na jakiej są umieszczone środki otworów nad poziomem dolnym, może być bardzo małą i dla tego nie została uwzględnioną. Wprowadzając w ostatnie równanie wartości H i L\ z równań (370) i (371), otrzymujemy:

Pr =

iQ

(372)

związek między pracą i prędkościami, podobny do otrzymanego dla koła podsiębiernego. Możnaby więc i tu zestawić wykres, jak na rys. 165, otrzymując najlepszą pracę wtedy, gdy koło o oddziaływaniu ma prędkość obrotową równą połowie prędkości względnej, przy wyjściu wody z rur wygiętych. Je żeli położymy wtedy m₂ = «„, to

Pr =

7^    «» «*    1 T Q    ₂

(N

ff \    2 /    4    g

Sprawność 7j, czyli według wzoru (268) stosunek Pr do pracy brutto fQH, która dla kół podsiębiernych wynosiła według wzoru (369) tylko 0,5, będzie tu większą. Ze wzoru (371):

a kładąc 2 V = un — u₂ :

U²

'O

*„²

2 g    8 g

przy tej zaś wartości H mamy:

00 ¹ cc

Un²

'■o

Pr

¹    Ww*

rl =

Un

lQH 3_ yQ

S g

W kole o oddziaływaniu, podobnie jak w kole podsiebier-nem, większa część niezużytej energii uchodzi wraz z wodą. Tarcie wałów i powietrza oraz nieuwzględnione w powyższem rozważaniu podrzędne straty naporu, zmniejszają sprawność w większym jeszcze stopniu, tak, że jeżeli od koła podsiębiernego spodziewać się można sprawności 40°/₀, to koło o oddziaływaniu dać może conajwyżej 60% •

W kole popędowem Peltona (rys. 122), uniknięto większej straty energii, wynikającej z prędkości wody przy odpływie z pod silnika, przez zastosowanie podwójnych łyżek \rys. 167), które zwracają wodę pod kątem prawie 180° względem pierwotnego kierunku. Żyła wodna wpada na łopatkę utworzoną z dwóch łyżek z prędkością Ux i rozdzieliwszy się na dwie połowy, przepływa po łyżkach z prędkością względną przy t wejściu:

ui = Ul-V.

U “■

Rys. 167.

Na łyżkach ta prędkość względna mało się zmniejsza, tak. że przy wyjściu otrzymać można z trójkąta prędkości, nakreślonego na rysunku, prędkość u₂ bardzo małą. dobierając mały kąt a₂ i zbliżone do siebie wielkości u₂ i V (najlepiej gdy V — u2 cos a₂). Mając na uwadze uderzenie żyły o powierzchnię wklęsłą (rys. 150) oraz określenia składowych X i Y oddziaływania R (str. 251), widzimy, że w kole Peltona, względnie do łyżki, działa od a do b parcie opóźniające, a od b do wyjścia wody z łyżki przeciwparcie przyspieszające. Oddziaływanie R (361) będzie tu dwa razy większa niż przy kole podsiebiernem (355) lub kole o oddziaływaniu (352), co przy małej stracie energii przy wyjściu wody z łyżek, daje w^ysoką, do 80% dochodzącą, sprawność koła Peltona.

X. Hydrometrya.

76. Badanie zjawisk. Mierzenie czasu. Hydrometrya podaje sposoby dokonywania pomiarów, stanowiących podstawę projektowania robót wodnych !), jak regulacye rzek, budowa kanałów i t. p., a także obliczania ilości wody rozpo-rządzalnej dla zakładów wodnych ²), o których była mowa w § 55.

Jakąkolwiek będzie metoda, użyta przy badaniu zjawisk hydraulicznych: dostrzeganie, doświadczanie, czy analiza mate-

‘) Por. J. Rychter. Roboty wodne. Część I. Pomiary wodne, rowy i kanały. Lwów 1894.

²) Por. O. Nadolski. Zakłady o sile wodnej, obliczenia hydrotechniczne. Lwów 1910.

matyczna, chodzi zawsze o oznaczenie praw równoczesnej zmiany różnych ilości. Przy dostrzeżeniach i doświadczeniach, badanie ma różne stopnie doskonałości, z których pierwszym jest proste odróżnienie, w którą stronę następuje zmiana. Wydaje się to rzeczą elementarną, łatwą do wykrycia, a jednak w obecnym stanie wiedzy nieznanym bywya w wielu razach sam kierunek zjawisk. I tak, przyjmowano powszechnie, do ostatnich % czasów, że przekrój poprzeczny żyły wodnej, wychodzącej z otworu w cienkiej ścianie, przechodzi wogóle przez pewne minimum w pobliżu otworu. Badania Bazin’a wykazały, że w żyłach, poddanych ścisłym pomiarom, nie wykryto żadnego minimum przekroju, lecz minimum szerokości pozornego obwodu żyły, którego położenie zależnem jest od punktu, z jakiego obserwuje się żyłę. Fakt ten tłumaczy początek przesądu, którego długowieczność pochodzi z nazwy ścieśnienia (kontrakcyi), nadanej przez dawnych hydraulików pozorowi zjawiska, nie sprawdzonemu przez ścisłe pomiary. Nie mniej czasu wymagało obalenie innego rozpowszechnionego przesądu, że miejscowe rozszerzenie koryta rzeki obniża poziom przyboru wody. Możność przeciwnego wyniku, zauważona podczas wielkiego wylewu Loary w 1840 r., ustaloną została dopiero przez poszukiwania doświadczalne inż. Vautier’ôw. Przykłady te, wykazujące, jak ważnem jest samo tylko odróżnienie, w którą stronę zmieniają się ilości w zjawisku, dowodzą potrzeby niezmiernej ścisłości w pomiarach wodnych. Stosowanie przy tych pomiarach sposobów ulepszonych, stało się też jedynym środkiem zapewnienia dalszych postępów hydrauliki.

Drugi stopień doskonałości w badaniu zjawisk stanowi równoczesne mierzenie ilości zasadniczych w tych zjawiskach i powtarzanie pomiarów. Aby z szeregów liczb otrzymywanych wyciągać było można należyte wnioski, należało te liczby zestawie, co uskuteczniano dawniej w⁷ tablicach o wejściu pojedyńczem, lub podwójnem. Pierwotny ten sposób, zestawiania liczb z pomiarów⁷, zastąpiony został wykresami, a uwieńczeniem postępu wr tej dziedzinie stały się nomogramy d’Ocagne’a (§ 23). Potrzeba równoczesnego mierzenia ilości zasadniczych i powtarzania pomiarów doprowadziła do dokonywania ich w odstępach czasu coraz krótszych i trzecim stopniem doskonałości w badaniu zjawisk stały się przyrządy re-gestrujące, najprzód samopiszące, a następnie automatycznie zestawiające wykresy.

Pomiary wodne polegają na mierzeniu czasu i wymiarów prądu, oraz ilości pochodnych, jakiemi są: ciśnienie, prędkość, wydatek, praca. Do mierzenia czasu używany bywa zwykle

zegarek, ze skazówką sekundową, która przez trzy kolejne naciśnięcia guziczka: puszczaną jest w ruch, zatrzymywaną i na-powrót sprowadzaną do zera. W braku zegarka, do liczenia sekund używać można bardzo pierwotnego wahadła sekundowego, mianowicie kamyka zawieszonego na sznurku, długości 0,994 ra.

W przyrządach regestru jących, czas stanowi odciętą wykresu i ruch jednostajny papieru, na którym przyrząd rysuje przebieg zjawiska, nadawany jest przez mechanizm zegarowy, umieszczony najczęściej wewnątrz cylindra, na który nawinięty jest papier. Jednostajność ruchu zapewnia zwykły regulator skrzydełkowy. Ścisłe zaznaczanie chwili pewnego faktu, np. przejścia pływaka przez dany przekrój poprzeczny prądu, przy mierzeniu prędkości, dokonywanem być może naciskaniem specyalnego skaźnika.

77. Pomiary prądów. Mierzenie wydatku prądów jest czynnością delikatną, wymagającą wielkiej staranności. Gdy na pewnem przecięciu poprzecznem o przekroju co ra², prędkość średnia wynosi U m/seJc., to wydatek Q mzjsek. będzie:

Q = (O U.

Jeżeli więc prędkość U może być oznaczoną bezpośrednio przez doświadczenie, to łatwo już będzie otrzymać wydatek Ç, gdyż powierzchnia w może być zawsze dokładnie obliczoną, zwykłymi sposobami mierniczymi. Odwrotnie znów, jeżeli możemy zmierzyć wydatek Ç, przez pomiar zbiornika, do którego prąd zostanie wpuszczony, to otrzymamy prędkość średnią: .

0)

Wogóle więc, pomiary prądów polegają na mierzeniu prędkości, w pewnem danem przecięciu poprzecznem, lub też , ilości wody nagromadzonej w zbiorniku. Jakikolwiek jednak będzie sposób wykonywania tych pomiarów, zwracać należy baczną uwagę na to, czy prąd jest ustalony, to jest czy wydatek jest stały w ciągu przeprowadzania pomiaru, a w przypadku mierzenia prędkości, czy prąd jest jednostajny. Na wykonanie bowiem pomiaru potrzeba pewnego czasu, a gdy w ciągu tego czasu wydatek i prędkość ulegają zmianie, otrzymalibyśmy w wyniku nie wydatki i prędkości średnie, o jakie chodzi, ale wydatki i prędkości rzeczywiste w poszczególnych chwilach. Dwa te warunki: ruch ustalony przy mierzeniu wydatku i ruch jednostajny przy mierzeniu prędkości, stanowią podstawę dokładności pomiarów prądu. Czyni się im zadość

18

F. K. Hydraulika

wytwarzając, gdy to jest możliwem, ruch ustalony na danem przecięciu, przez zagrodzenie strumienia i urządzenie odpowiednich przepustów, a na rzekach, których nie można zagradzać, wyczekując niskiego stanu wody, kiedy ruch bywa ustalony, i wybierając regularne części koryta, na przestrzeni których ruch ustalony bywa równocześnie jednostajnym.

Bezpośrednio mierzyć można wydatek małego strumienia, wpuszczając wodę, w ciągu pewnego czasu, do pomierzonego uprzednio zbiornika. Gdy zbiornik objętości F w³ napełnia się w ciągu czasu T sekwtedy wydatek:

Wydatki niewielkie, wynoszące od 0,3 do 3 mzjsek., o ile nie mogą być obliczone przy użyciu znajdujących się na strumieniu otworów stawidłowych, mierzyć można, urządzając spe-cyalnie dla pomiaru tak zwany przewal Poncelet'a (rys. 168). Przewał ten daje zupełne ścieśnienie płachty u spodu i po bokach i swobodny dopływ powietrza do płachty, jak na rys. 113. Napór h, na kra-_____    ,    wędź przewału, odczytywać

i    można w każdej chwili na

wodowskazie, umieszczonym P ZT |    w odległości 2 do 3 m od za-

ć&szzsgrody, której wysokość jest p.

Wydatek otrzymać można z wzoru (259), a spółczynnik m z tablicy 11 (str. 178); wszakże doświadczenia precyzyjne, wykonane w nowym wiedeńskim zakładzie do badań dla robót wodnych, przy austryackiem ministe-ryum robót publicznych *), wykazały, że odpowiedniejszym jeszcze do stosowania przy tych pomiarach jest wzór (262) Th. Rehbock’a.

Na większych strumieniach i rzekach wydatek otrzymywać można tylko przez pomiar przekroju poprzecznego i prędkości. Pomiary te wszakże dają wydatek, mający miejsce w chwili ich wykonywania, gdy tymczasem zwykle chodzi o ilość przepływu w dłuższych

h 'riodortsko i

<--2-5 m—

T-

-~T—

-t:

n'H

Rys. 168.

’) Por. Dr. Fritz Schaffernak. Die Versuchsanstalt für Wasserbau im k k. Ministerium für öffentlichen Arbeiten (Zeitschrift der Oesterreichischen Ingenieur und Architekten-Vereines 1916).

okresach czasu. To też zdawna już, przy filarach mostów, lub na brzegach rzek urządzane są wodowskazy i prowadzona stała kontrola wysokości wody. Kontrola taka daje możność obli-

/X

2.0

P 1.5

KO

.5

S. W.

~7Tw.

Rys. 169.

czania wydatku w ciągu dłuższego okresu czasu. Dla ułatwienia odczytywań wrysokości na wodowskazie, wyprowadzaną bywa z koryta rzeki, od najniższego stanu wody rura do studzienki, umieszczonej na brzegu wysokim, i w studzience stawiany wodowskaz (rys. 169). Płaska bańka blaszana unosi wtedy drążek ze skazówką, której położenie odczytywane jest na łacie. Największe wszakże ulepszenie w prowadzeniu kontroli stanów wody, stanowią wodowskazy samo-kreślne, albo zegarowe, zwane także limnigrajami. W przyrządach tych pływak P, opuszczany do studzienki, równoważony jest przeciwwagą G (rys. 170) w ten sposób, że sznur, na którym zawieszony jest pływak, nawija się na kółko Rx , osadzone na jednej osi i stale złączone z kółkiem R₂, na które nawija się sznur od przeciwwagi G, przechodzący przez krążek, umieszczony na słupie F. Po słupie tym przesuwać się może, połączone z obiegiem sznurowym przeciwwagi, pióro <7, odtwarzające w każdej chwili ruchy pływaka. Pióro J kreśli na papierze kratkowanym, na-

Oj

'f

j-M.

Kg

Rys. 170.

fi

winiętym na cylindrze T, krzywą, przedstawiającą zmiany stanu wody. Cylinder T wprawiany jest w ruch przez mechanizm zegarowy Z. Ze szczególną starannością urządzone zostały w r. 1914 wodowskazy precyzyjne, przy wzmiankowanych doświadczeniach nad przewałami w nowym wiedeńskim zakładzie do badań dla robót wodnych, przy austryackiem mi-nisteryum robót publicznych.

Do mierzenia prędkości służą przyrządy zwane hydrometrami; są one dwóch rodzajów: 1) pływaki, wymagające mierzenia czasu, w ciągu którego przebywają daną przestrzeń, 2) przyrządy, dające prędkość w pewnych punktach przecięcia poprzecznego prądu, czy to przez obrót skrzydełek (młynki), czy też dostrzeganie wysokości słupów wodnych w rurkach (pitoty).

78. Pływaki. Przedmiot lekki, umieszczony z ostroż-nością na powierzchni prądu, tak, aby przytem żaden ruch nie był mu nadany, mocą swej bezwładności opiera się zrazu ruchowi prądu. Prędkość jego, najprzód mniejsza od prędkości prądu, stopniowo się powiększa, dążąc do zrównania się z tą ostatnią. Wtedy już pływak poddany jest tylko działaniu siły ciężkości, a prędkość jego powiększa się dalej, dopókąd opór płynu, wynikający z prędkości względnej pływaka, nie zrówna się ze składową ciężkości, równoległą do powierzchni prądu. Od tej chwili prędkość pływaka staje się jednostajną i pomiar może być rozpoczętym. Wynika stąd, że pływaki dawać mogą wogóle prędkości na powierzchni nieco za duże, jakkolwiek tarcie wody o spód pływaka działa wstrzymująco na jego ruch, zwłaszcza gdy ta woda ma prędkość nieco mniejszą, niż woda na powierzchni. W praktyce unikać można tych różnic, używając pływaków bardzo małych. W ścisłych doświadczeniach, nad prędkością różnych prądów, używał Boileau pie-

°,9t

Rys. 171.

czątek z opłatka, które, oprócz bardzo małej objętości, miały jeszcze tę zaletę, że przylegały do cieczy, co częściowo równoważyło działanie siły ciężkości.

O rozkładzie prędkości na powierzchni prądu była wzmian-

l) Traité de ia mesure des eaux courantes. Paris 1854.

ka w § 38. Dla lepszego uwidocznienia tego rozkładu a także ogólnego rozkładu prędkości w przecięciu poprzecznem prądu, podajemy ten ostatni na rys. 171. Jak widzimy, prędkość na powierzchni zmniejsza się, gdy postępujemy od osi koryta ku brzegom. Dla otrzymania średniej prędkości na powierzchni, należy przecięcie poprzeczne podzielić na pewną liczbę części (rys. 172), odpowiednio do zmian głębokości i puszczać pływa-

/, //, ///, //, , /

in

krt²!-?³

Rys. 172.

ki tak, aby przechodziły, ile można, nad środkami ciężkości powierzchni tych części. Średnią prędkość na powierzchni U6 otrzymamy, oznaczając przez u₀ prędkości pływaków J, II. . . a przez to powierzchnie części 1, 2, ... :

U₀ =

Aby ze średniej prędkości na powierzchni prądu, otrzymać średnią prędkość w całem przecięciu poprzecznem, posługiwać się można wzorami R. Siedek a l), który, oznaczając przez U prędkość średnią na przecięciu poprzecznem, U₀ prędkość średnią na powierzchni, ponad tern przecięciem, l szerokość, h głębokość prądu, wywiódł z wielkiej liczby doświadczeń, dla głębokości h większej od 0,8 m a mniejszej od 2 m :

a dla h > 2 m :

u$r'

u₀ -j-- 0,4

20

Ä²

Pływaki, zanurzające się na pewną głębokość, nie mierzą dokładnie prędkości na powierzchni prądu, ale za to dają prędkość średnią, odpowiadającą głębokości zanurzenia. Powstał stąd pomysł używania, do oznaczania prędkości średniej, lasek odpowiednio obciążonych aby się zanurzały prawie do dna ko-

*) Oesterreichische Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst. 1912.

Ponieważ pływak, zanurzony w prądzie, nie odrazu płynąć zaczyna z prędkością jednostajną, należy przeto wypuszczać pływaki z miejsca położonego wr górze przekroju, od którego zaczyna się liczenie czasu i sprawdzać, czy ruch ich doszedł do jednostajności, notując czasy przebycia dw'ôch równych odległości. Czasy te będą sobie rówrne, gdy ruch pływaka jest jednostajny. Odległości do przebycia oznaczane bywają za pomocą znaków' stałych. Przypuśćmy, że co 25 m postawiony jest znak. Wypuszczając pływaki z punktu, położonego powyżej pierwszego znaku i zapisując liczby sekund, w ciągu których pływak przebywa kolejne przestrzenie między znakami, przekonamy się zaraz, od którego znaku ruch pływaka stał się jednostajnym. Mając zaś zapisany, przy każdym znaku, czas przejścia pływ-aka, oblicza się prędkość, dzieląc odległość między znakami, przez wyrażony w sekundach czas, w ciągu którego pływak przebywa tę odległość. Zwykle prędkość pływaka ujednostajnia się po przebyciu 15 do 20 m, a z pięćdziesięciu metrów ruchu jednostajnego pływraka, można już otrzymywać wyniki dostatecznie ścisłe. Pomiary wykonywane być winny w czasie spokojnym, gdyż działanie wiatru może być przyczyną znacznych błędów, zwłaszcza przy pływakach na powierzchni. Na ruch lasek obciążonych wdatr nie ma już wdększego wpływu. W każdym razie górny koniec laski nie wiele wystawać powinien nad poziomem wody; aby zaś laska była łatwo widzianą, dobrze jest zaopatrywać ją w chorągiewkę, lub przyszpilony na wderzchu kawTałek papieru.

ryta. Sposób ten, stosowany był przez Buffon’a, przy mierzeniu prędkości Tygrysu, przez Lombardini ego na rzece Po, inżynierów amerykańskich na Mississipi i angielskich na Irra-vaddy; wszędzie, przy mierzeniu prędkości wielkich rzek. okazał się praktycznym. Na rzece Po, używane były łaski bukowe, malowane i pokostowane, żeby w nie woda nie wsiąkała, z zawieszonym u spodu blaszanym cylindrem, w którym umieszczano ciężarki ołowiane. Laski te zastępować można jakiemikolwiek drążkami z twardego drzewa, z przywiązanym u spodu kamieniem. Drążek, tak obciążony, przyjmuje w prądzie położenie prawie pionowe, pochylając się nieco w kierunku biegu wody przy większych prędkościach, i utrzymując tern stałej to położenie, im jego środek ciężkości leży niżej. Dlatego też obciążenie umieszczone być winno u samego spodu, a górny koniec drążka dochodzić winien do powierzchni prądu. Doświadczenia Cunningham’a, na kanale Gangesu, wykazały, że drążek w tern położeniu, gdy jego długość wynosi ⁹/₁₀ głębokości, płynie z prędkością prawie równą prędkości średniej prądu.

79. Młynki. Do mierzenia prędkości w poszczególnych punktach przecięcia poprzecznego prądu, obmyślił Wolt mann, jeszcze w r. 1790, przyrząd noszący jego imię. Młynek Wolt-manna, zwany także młynkiem mechanicznym, dla odróżnienia od ulepszonego, elektrycznego, składa się z dwuskrzydłowego wiatraczka W (rys. 173), umocowanego na osi, obracającej się swobodnie w ramie R. Na osi umieszczony jest ślimak S, przesuwający zęby kółka , które za pośrednictwem drążka A, ruchomego około punktu O, może być podnoszone przez pociągnięcie w górę sznura N i doprowadzone do zetknięcia ze ślimakiem. Puszczenie sznura znosi to zetknięcie, bo sprężyna P odsuwa kółko zębate od ślimaka, a umocowany na ramie R ząb Z zatrzymuje obrót kółka zębatego, odsuniętego od ślimaka, wpadając między dwa zęby kółka. Skazówka,

N\

'IV

3>

\o\

Rys. 173.

przymocowana do ramy R, pokazuje na podziałce kółka, zgodnej z liczbą jego zębów, każdorazowe położenie kółka względem ramy. Rama umocowana jest na pochwie H, którą można przesuwać wzdłuż drążka D iw każdem położeniu zatrzymywać za pomocą śruby K. W dawniejszych przyrządach, pochwa zaopatrzoną była jeszcze w ster blaszany B, ustawiający oś przyrządu w kierunku ruchu prądu, na którym ściśle znajdować się winna, podczas pomiaru.

Stawiając drążek, z umocowanym na nim młynkiem, pionowo na przekroju prądu, doprowadzać można młynek do każdego punktu tego przekroju. Po doprowadzeniu młynka na miejsce, podnosimy, za pomocą sznurka, kółko zębate i od tej chwili liczymy sekundy. Po upływie do l¹/, minuty opuszczamy sznurek, notując liczbę sekund, w ciągu których kółko było podniesione, wyciągamy młynek z wody i odczytujemy, na podziałce kółka zębatego, liczbę zębów przesuniętych przez ślimak, czyli liczbę obrotów wiatraczka. Dzieląc tę liczbę przez zanotowaną liczbę sekund podniesienia kółka, otrzymujemy liczbę obrotów młynka na sekundę n, a według dołączonego do każdego przyrządu wzoru, prędkość, w miejscu gdzie był umieszczony młynek:

m = a-fßn,

gdzie a i ß są ilości stałe, odnoszące się do danego przyrządu.

Gdybyśmy przyjmowali, że niema żadnego tarcia w przyrządzie, to ilość stała a winnaby być równa zeru. Jeżeli bowiem przypuścimy, że młynek, zanurzony w wodzie stojącej, porusza się z prędkością u, to droga przebyta przez przyrząd, w ciągu jednej sekundy będzie równa u a liczba obrotów wiatraczka w ciągu tego czasu, wynosić będzie n. Podczas jednego obrotu wiatraczka, przyrząd przebędzie drogę S, taką. że n S = u. W tern więc przypuszczeniu, ilość stała ß jest właściwie tą średnią drogą *S i w ten sposób winna być obliczaną, a ilość stała a jest tą najmniejszą prędkością, posuwania się przyrządu w wodzie stojącej, przy której wiatraczek zaczyna się obracać.

Młynek mechaniczny Woltmanna przedstawiał poważne niedogodności. Każdy pomiar wymagał dwóch odczytów na kółkach i po w’ykonaniu obserwacyi przyrząd musiał być wyjmowany z wody. Niedogodności te zostały usunięte przez wprowadzenie sygnalizacyi elektrycznej i innych ulepszeń, dokonanych przez Harlachera i Rittera. Młynek elektryczny

^—'jDzwne/i i—, ßa ter j/a

//

J/j

's

Rys. 174.

czas

(rys. 174) ma kółko zębate St, dotykające stale ślimaka S. Kółko zębate ma okrągłą liczbę zębów (z = 20, 50 lub 100), jest izolowane i połączone przewodnikami z bateryą i dzwonkiem elektrycznym. Na kółku umie-ßjf szczony jest guzik E, który przy obrocie kółka wchodzi w zetknięcie z izolowaną i także połączoną z bateryą. sprężyną E₁, co powToduje zamknięcie obiegu elektrycznego i puszczenie w ruch dzwonka. Obserwator mierzy między ^dworna sygnałami, a lepiej jeszcze, czas odpowiadający kilku sygnałom i ze znanej liczby zębów z, otrzymuje liczbę obrotów młynka między sygnałami końcowymi, czyli w ciągu czasu T:

Prędkość u, z zaobserwowanego czasu T, daje wzór:

80. Pitoty. Hydrometry, mierzące prędkość przez dostrzeganie różnicy wysokości słupów piezometrycznych (str. 30) w rurkach, noszą nazwę pitotów. Jeszcze w r. 1732 proponował Pitot mierzenie prędkości wody, za pomocą rurki, za puszczonej w prąd dowolnej głębokości. Zauważył on, używa

HM/?

j gą S=-poz/o/7? h/oc/y

_dno rzeJr/

Rys. 175.

= A', wywodził

jąc rurki zakrzywionej, skierowanej przeciw prądowi, jak NS (rys. 175), że woda w rurce podnosiła się na wysokość mn nad powierzchnią prądu i wysokość tę uważał jako odpowiadającą prędkości w punkcie <$, czyli kładąc prędkość:

u = V2 g h'.

Wywód ten wszakże nie był ścisłym, gdyż nie uwzględniał faktu, że przy zanurzeniu rurki prostej MS, wysokość Si, mierząca ciśnienie w punkcie S, jest mniejsza od Sk, tak, że i wtedy woda nie podnosi się w rurce do wysokości powierzchni prądu. Pochodzi to stąd, że wprowadzenie rurki do wnętrza prądu, przy jak najmniejszej nawet jej średnicy, narusza zawsze rozkład prędkości i wywołuje stratę naporu, wykazywaną przez obniżenie ki słupa wody w rurce. Stosunek tego obniżenia, do wysokości odpowiadającej prędkości, jest zresztą stał}', tak. że jeżeli ki = h", to należałoby położyć, nie jak wyżej:

w²

ci

= A'

i jak to uczynił Pitot, ale:

= mh",

u~

gdzie m jest spółczynnikiem stałym. Aby więc z rurki Pitot a uczynić przyrząd ścisły, należało oznaczyć spółczynnik m przez doświadczenie; uczynił to Darcy. wprowadzając przytem. do tego prostego przyrządu, znakomite ulepszenia.

Ustawiając poziomy koniec rurki, nie przeciw prądowi, lecz w stronę ruchu prądu, jak RS (rys. 175), dostrzegamy obniżenie qp . Oznaczając je przez h"', można jeszcze położyć:

U— — m' hn>,

gdzie m' jest spółczynnikiem, który oznaczyć wypada przez doświadczenie.

Darcy używał dwóch rurek, u góry ze sobą połączonych i zamykanych kurkiem A a u spodu przedłużonych rurkami zagiętemi poziomo w strony przeciwne i zamykanych kurkiem B. Jest to zestawienie razem rurek NS i RS. Grdy, przy kurkach otwartych, przyrząd zanurzony zostanie w prąd, woda podniesie się w obu rurkach, i otrzymamy:

u²

2.9

= m h" i

u²

ci

= m' h'"

a z tych równań:

a = K V2 g (h” -{- h>")

po położeniu:

mm'

rn -j- 7n'

h" -(- h'n jest to różnica poziomów mp w obu rurkach, którą odczytywać można na podziałce prawidła metalowego, na którem umocowane są rurki. Spółczynnik K oznacza się przez przesuwanie przyrządu ze stałą prędkością w wodzie stojącej. Prawidło z rurkami połączone jest z pochwą, którą przesuwać można wzdłuż drążka, ustawionego pionowo w danym punkcie przekroju poprzecznego prądu. Za pomocą małej pompki, połączonej z rurką górną AC, doprowadzać można, przy otwartym kurku A, poziomy wody w rurkach do podział-ki na prawidle, nie zmieniając ich różnicy wysokości. Tym sposobem różnica ta odczytywaną być może na podziałce, nad poziomem wody. Dla zmierzenia prędkości, w danym punkcie przecięcia poprzecznego prądu, pjzyrząd zostaje opuszczonym, tak, aby jego spód S dochodził do danej głębokości, i otwiera się kurek B za pomocą sznurka, jak przy młynku mechanicznym Woltmanna. Słupy wody w rurkach oscylują zrazu silnie, następnie słabo, uwydatniając tylko nierówności ruchu burzliwego (§ 20). Wtedy zamyka się kurek B, otwiera kurek A, dla podciągnięcia słupów w obu rurkach do po-działki i po zamknięciu kurka A, odczytuje na podział ce różnicę h, otrzymując prędkość z wzoru:

u — k Ÿ2g h.

Dla zmniejszenia oscylacyi, Darcy dał otworom rurek średnicę 0,0015 m, gdy same rurki miały średnicę 0,01 m.

Przy pomiarach prędkości na większych głębokościach, do rurek dostosowywane są przedłużnice, półmetrowej długości, wstawiane między wylotami poziomymi a podziąłką. Ponieważ, przy małych prędkościach, odczytywanie na podziałce drobnych różnic h jest trudne i powoduje błędy, przeto h można powiększać, umieszczając między wierzchołkami słupów wodnych a kurkiem ciecz o mniejszym ciężarze właściwym, jak np. zafarbowana nafta, gliceryna lub olej. Powoduje to wszakże inną niedokładność, polegającą na nieuwzględnieniu ciężaru słupa powietrza, wysokości h, który obciąża więcej słup wody w jednej z rurek. Gdy ten słup powietrza zastąpiony zostaje słupem płynu, o większym ciężarze właściwym, ciężar ten będzie jeszcze więcej obniżał poziom niższy wody w jednej rurce, a podnosił poziom wyższy w drugiej.

Pitot, ulepszony przez Darcy ego, zmodyfikowany został przez Rittera, który umieścił rurkę z wylotem, skierowanym przeciw prądowi (hydrauliczną), wewnątrz rurki z wylotem pionowym (statycznej). Obie rurki są mosiężne, a rurka statyczna komunikuje u spodu, przez otwór 2 mm średnicy z rurką poziomą, 10 cm długą, 1 cm średnicy, o bardzo cienkich ścianach, z obu stron otwartą, równoległą do poziomego wylotu rurki hydraulicznej. Przez tę rurkę poziomą przechodzą swobodnie strugi prądu. Ritter przekonał się, że obniżenie poziomu w rurce statycznej pochodzi prawie wyłącznie od prądów ukośnych, a skoro te są usunięte, za pomocą rurki poziomej z obu końców otwartej, obniżenia niema wcale. Gdy rurka pozioma ustawiona jest dokładnie w kierunku prądu, wtedy prędkość u odpowiada ściśle wysokości h i mamy:

u = V 2 gh,

bez żadnego spółczynnika.

Pitoty znalazły szersze zastosowanie w Ameryce, podczas gdy w Europie do mierzenia prędkości używane są przeważnie młynki.

81. Wydatek prądu. Z pomiaru prędkości, w poszczególnych punktach przecięcia poprzecznego prądu, otrzymywać można wydatek, przy użyciu różnych metod, z których najogólniejsza polega na podzieleniu powierzchni przecięcia na pewną liczbę figur (prostokąty, trapezy i trójkąty), zmierzeniu prędkości w punktach odpowiadających środkom ciężkości tych figur i obliczeniu wydatku według wzoru:

Q = Ii u 1 cu,

gdzie A to oznacza powierzchnię figury, w której środku ciężkości zmierzoną została prędkość u.

Ściślejsze wyniki otrzymane być mogą przy użyciu innej metody, objętościowej, polegającej na obliczeniu objętości bryły, utworzonej przez przecięcie poprzeczne prądu, jako podstawę i powierzchnię przechodzącą przez wierzchołki linij prostych, prostopadłych do przecięcia poprzecznego, wyprowadzonych w punktach, w których pomierzone zostały prędkości, i równych tym prędkościom. Objętość tej bryły jest całką równania:

u dt» = d Q,

równą objętości wody, przechodzącej w ciągu sekundy przez przecięcie ta, czyli równą iloczynowi z prędkości średniej U przez powierzchnię od :

Q= Ut».

Objętość tę wyznaczyć można, kreśląc na przecięciu po-przecznem prądu linie jednakowej prędkości, czyli izotachy (rys. 171), będące kolejnymi przekrojami bryły o jakiej mowa, przez płaszczyzny równoległe do przecięcia poprzecznego prądu, położone w odległościach od tego przecięcia, równych kolejnym wartościom prędkości. Bryłę taką, dla trapezowego przecięcia poprzecznego prądu, przedstawia schematycznie rys. 176. Jeżeli tym prędkościom:

Rys. 176.

Mj ,    ł M3 t • • • >

odpowiadają obwiedzione izotachami, na przecięciu poprzecz-nem prądu, powierzchnie: to objętość bryły będzie:

Q = wi Mi-f

Powierzchnie obwiedzione izotachami. obliczane być mogą za pomocą planimetru.

Metodę skróconą obliczania wydatku prądu, płynącego spokojnie w korycie prostokątnem, podał prof. Teichman, wywodząc ją analitycznie w przypuszczeniu, że krzywa prędko ści na jednej pionowej jest parabolą (§ 38). Metoda polega na pomiarze prędkości tylko w czterech punktach przecięcia poprzecznego, których położenie przedstawia rys. 177. Odległości a i 6 w funkcyi szerokości l i głębokości h są:

77777?.

-H

a = 0,215 h b = 0,211 l,

| ! J t-Jt J fŁt.

W///À7////JO///////)///////

77777

Rys. 177.

a prędkość średnia jest średnią arytmetyczną prędkości pomierzonych w czterech wskazanych punktach przecięcia poprzecznego prądu.

Zwykle prędkość średnia w korycie prostokątnem oznaczaną bywa sposobem wykreśl-nym, jak następuje. Na rys 178 powierzchnia przekroju podzieloną została na piętnaście prostokątów, po trzy na każdej z pięciu pionowych: I— V. Prędkości, pomierzone w trzech punktach każdej pionowej, odłożone zostają na wjTkresach (rys. 179) w ten sposób, że na pionowej mn = h wyprowadzone zostają poziome w punktach 1, 2, 3 i na tych poziomych odcięte prędkości: m/₁ , w/₂, w/₃. Przez otrzymane punkty o, p, q przeprowadzoną zostaje krzywa m'opqn', której punkty końcowe ni , n', pozostawione dowolności rysownika, są najmniej pewne. Zmierzona przy użyciu planimetru, powierzchnia mm' opqn' n, podzielona przez h, daje prędkość średnią pionowej I i tak samo otrzymuje się prędkości średnie na czterech pozostałych pionowych. Otrzymane w ten sposób prędkości średnie na pionowych:

77777 / // /// /y /

To

-    o—t- o i-    ;

-    1 f -¹- + -    ₊ i /]

y’ ; 7 ,    — T-o-

kr

Rys. 178.

ui na

ui, uu, uin, uIV, Uy

odcięte zostają na rzędnych prostopadłych do ab = l (rys. 178)

i dają znów krzywą cd. Zmierzona planimetrem powierzchnia acdb, podzielona przez Z, daje prędkość średnią U.

Średnie prędkości na pionowych, mierzone mogą być także bezpośrednio hydrometrami. Była już mowa o mierze niu ich za pomocą pływaków, w postaci lasek (§78). Prze-

/ ' //    ///    // y

^    Y-Up

z-*Vrf : n‘\ ;

Bys. 179.

suwając młynek (§79), ze stałą prędkością, wzdłuż drąga pionowego, na którym jest umieszczony, możemy z liczby sekund, w ciągu których dokonanem zostało to przesunięcie i z liczby obrotów młynka w ciągu tego czasu, otrzymać prędkość średnią na danej pionowej. Bezpośrednio, daje także tę prędkość średnią specyalny pitot (§ 80), rurka hydrometryczna Franka, tak długa jak głębokość w danym punkcie, mająca na całej swej długości otwartą szczelinę, skierowaną przeciw prądowi.

82. Wodomiary. Przyrządy, służące do mierzenia prędkości w różnych punktach przecięcia poprzecznego prądu, płynącego otwartem korytem, mogą być w tych punktach umieszczane na czas pomiaru, a następnie wyjmowane, lub przestawiane. W rurach, które prąd całkowicie wypełnia, przyrządy do mierzenia prędkości pozostawać muszą stale i dawać wskazówki, któreby można było odczytywać z zewnątrz, w każdej chwili. Przyrządy te, zwane wodomiarami, wskazują nie prędkość średnią, lecz odrazu wydatek rury, przy stałem przecięciu poprzecznem, proporcyonalny do prędkości. Wodomiary używane są przy wodociągach, dla kontrolowania ilości wody dostarczanej do domów. Szczegóły dotyczące ich ustroju, wchodzą w zakres nauki o wodociągach.

to

Z rozlicznych systemów wodomiarów, za najdokładniejsze uważane są wodomiary tłokowe. Przy znanej objętości cylindra pompy, ilość wody dostarczanej przez pompę może być mierzona liczbą skoków tłoka, a liczba ta może być wskazywana w każdej chwili na tarczy, dodanego do pompy licznika. Jeżeli D jest średnica cylindra pompy a <8 skok tłoka. D²xS

--------będzie objętością wody wessanej przez pompę, w eią-gu jednego skoku tłoka. Przy J skokach, w ciągu czasu T, pompa o działaniu pojedyńczem dostarcza wody na sekundę:

s-

n    ~ J

a pompa o działaniu podwójnem:

D-ic

Q ⁼ - Ti ₄

sama

Spółczynnik Tj jest sprawnością objętościową pompy i zależnie od regularnego działania przepustników i szczelności tłoków i dławnic, waha się między 0,9 a 0,99. Pompa więc mierzy dokładnie ilość dostarczanej wody i w ten sposób mierzoną bywa woda dostarczana kotłom parowym. W odę, dostarczaną przez wodociągi, mierzyć można, przepuszczając ją przez wodomiar tłokowy, będący małą pompą z licznikiem, wprawianą w ruch przez wodę napływającą i przy zużyciu pewnej cząstki naporu. W najwięcej rozpowszechnionym wodo-miarze Kennedy’ego, pompa jest o działaniu pojedyńczem. Bywają także wodomiary dwutłokowe, jak również wodomiary z trzema lub czterema cylindrami i tłokami.

Cenionym, dla swój dokładności i prostoty ustroju wewnętrznego, dającej mniejszą stratę naporu, niż pompa w wo-domiarze tłokowym, jest wodomiar „Venturi“, którego zasadę podano w § 26. Wodomiar ten daje wydatek Q w funkcyi obniżenia piezometrycznego h, według wzoru (131). Obniżenie to mierzyć można przez połączenie końców rurek piezo-metrycznych pip' (rys. 51) z ramionami rurki wygiętej w postaci litery U , napełnionej rtęcią. Gdy h się zmienia, mały tłok, umieszczony w jednem z ramion rurki, podnosi się i spada, a połączone z drążkiem tłoka pióro, kreśli krzywą na przyrządzie regestrującym, podobnym do opisanego przy limnigrafie (rys. 165). Przyrząd regestrujący jest kosztowny i wymaga ciągłej obsługi, w skutku czego wodomiar „Ven-turiu nie może znaleść rozpowszechnienia przy wodociągach.

W wodomiarach skrzydełkowych, zastosowane zostały, do mierzenia prędkości i wydatku, młynki. Liczba obrotów jest w nich, prawie linijnie, proporcyonalna do prędkości prądu {§ 79), a więc i do wydatku, wskazywanego przez licznik. Wodomiary skrzydełkowa wszakże przedstawiają ten niedostatek, że cząstki stałe, znajdujące się w zawieszeniu wr wodzie, osiadają na skrzydłach młynka, stale zanurzonego, i utrudniają swobodny obrót. Drugi niedostatek polega na małej czułości młynka, gdy prędkość jest nieznaczna i oddziaływanie skrzydełek nie może podtrzymywać ruchu obrotowego młynka;

wodomiar nie regestruje wtedy ilości wody przezeń przechodzącej. Zaznaczone wady zmniejszać można: pierwszą, przez umieszczenie młynka w rurze w ten sposób, aby woda wkoło niego miała szerokie przejście, a drugą—przez powiększanie prędkości wody, wpadającej na skrzydełka po przejściu przez małe otwory kierownicze. W tym ostatnim przypadku, przed wodomiarem umieszczany bywa filtr, zatrzymujący zawieszone w wodzie części stałe. Wodomiary skrzydełkowe, w zasadzie mniej dokładne od tłokowych, są znacznie tańsze i przy wodociągach największe znalazły rozpowszechnienie.

83. Gazometrya. Do mierzenia objętości ciał lotnych służą gazometry, zbiorniki określające objętość wchodzącego do nich gazu, ilością cieczy przez gaz wypchniętej. Używane przy oświetleniu gazowem, gazomierze różnych systemów, mierzą i regestrują objętości gazu oświetlającego, dochodzącego rurami do mieszkań.

Większe ilości powietrza w ruchu, przy niewielkiej różnicy ciśnień, nie przekraczającej 200 mm słupa wody, mierzone być mogą w ten sam sposób, jak ciecze. Głównymi czynnikami obliczenia są tu: powierzchnia co przecięcia poprzecznego przewodu, którym płynie powietrze i średnia prędkość U prądu powietrznego na tem przecięciu. Dają one objętość:

F=o) Ü,

i ciężar:

gazu przechodzącego przez przecięcie poprzeczne wr ciągu sekundy.

Unika się oznaczania prędkości średniej, gdy zmierzoną może być ściśle, za pomocą manometru lewarowego, różnica ciśnień, wywołująca ruch gazu w przewodzie. Z różnicy tej otrzymać można prędkość średnią

Do bezpośredniego oznaczania prędkości powietrza na przecięciu poprzecznem przewTodu, używać można także otwartego manometru lewarowego (rys. 180), którego ramię poziome skierowane jest przeciw prądowi, o ile manometr może być ustawianym w różnych punktach przecięcia. Różnica wysokości słupów cieczy H pozwala obliczyć prędkość w punkcie ustawienia manometru. Prąd powietrza, którego ciężar właściwy jest , wpadając z prędkością U do ramienia poziomego rurki o przekroju to, wywiera na ciecz w rurce ciśnienie R — p io. Kładąc za R wartość, według wzoru (355), otrzymamy:

ÛJ

F~

//

Rys. ISO.

U²;

Ti «

p IÙ =

a ponieważ, w obu ramionach rurki manometru, ciśnienie jest jednakie, przeto oznaczając przez y₂ ciężar właściwy cieczy, wypełniającej manometr, będziemy mieli:

p (*> = w II.

Z powyższych dwóch równań wynika:

a następnie:

TlW-

|/Ł„. . .

.    .    (373)

Jeżeli manometr nie może być obserwowanym na przecięciu poprzecznem przewodu, wtedy użyte być muszą dwa manometry lewarowe, z których jeden mierzy w zwykły sposób różnicę między ciśnieniem powietrza zewnętrznego a ciśnieniem statycznem na danem przecięciu, podczas gdy drugi, zaopatrzony w ramię poziome, skierowane przeciw prądowi, mierzy prze wyżkę ciśnienia wytwarzaną przez ruch powietrza. Prędkość obliczyć można za pomocą wzoru (373), w którym H oznaczać będzie różnicę ciśnień w obu manometrach. Pomia ry ciśnienia wewnątrz przewodu są trudne i niepewne, bo nawet gdy ramię poziome manometru skierowane zostanie prostopadle do kierunku prądu, to i wtedy powietrze przepływające koło otworu wywiera działanie ssące na ciecz w manometrze.

Pewniejszem w tych przypadkach jest oznaczanie prędkości za pomocą przyrządów kalibrowanych, składających się z tak zwanej tarczy spiętrzającej, opartej na tej samej zasadzie co pitoty, i z manometru. Przyrząd taki, przedstawiony na rys. 181, ma tarczę spiętrzającą T systemu Krella. Jest to krótki i pusty cylinder T, mający 10 mm średnicy. Każda z podstaw cylindra ma w środku bardzo mały otwór. Wnętrze cylindra przedzielone jest ścianką pełną na dwie połowy, z których jedna połączona jest cienką rurką, z naczyniem M manometru, a druga takąż rurką z górnym końcem rurki R, połączonej z naczyniem M i zaopatrzonej w podziałkę. Ciśnienie, wT zwróconej przeciw prądowi połowie małego cylindra, działa na poziom cieczy w naczyniu M, a ciśnienie w drugiej połowie cylindra — na słup cieczy w rurce R. Różnicę tych ciśnień, t. j. wysokość H, odczytywać można na podziałce

19

F. K. Hyilraulika.

rurki R. Zwykle podziałka ta daje bezpośrednio prędkość prądu. Poziom cieczy w naczyniu M (alkohol zafarbowany o ściśle oznaczonym ciężarze właściwym) stać winien równo

J8|

Af

€j*

Rys. 181.

z zerem podziałki na rurce R. Kontrolę ułatwia poczwórny kranik K, który w położeniu K' sprowadza wierzch słupa cieczy w rurce R do zera podziałki.

Rys. 182 przedstawia widzianą z przodu i z boku (K) tarczę spiętrzającą Krella T i (P) takąż tarczę prof. Prandtl’a

iiijl

Rys. 182.

T\ dającą bezpośrednie połączenie powietrza, po obu stronach tarczy, z rurkami prowadzącemi do manometru. Kalibrowanie tych przyrządów, budowanych dla prędkości powietrza od 02, do 40 m, odbywa się przy mniejszych prędkościach, ustawiając tarczę przed otworem, przez który wychodzi powietrze z dużego zbiornika. Z ilości powietrza, wychodzącej przez otwór w jednostce czasu, obliczaną jest prędkość i znaczoną na rurce R (rys. 181).

Do mierzenia prędkości powietrza, w przewodach o większych przekrojach, używane bywają też same anemometry, które w obserwatoryach meteorologicznych służą do mierzenia prędkości wiatru, a także małe przyrządy z licznikiem, w zasadzie podobne do młynków hydrometrycznych.

INDEX.

Aeroplany 262—266.

Akumulator 6,7 — różniczkowy 6. Boulanger 2.

Abbot 129.

Akweduki 132, 134.

Alembert d’ 1.

Alliévi 112, 113.

Archimedes 1, 16, 20, 220.

Arson 239, 241.

Artezyjskie studnie 215. Atmosfera fizyczna 221, — tech-nicznaa 221.

Aubuisson d’ 175.

Azot 224.

Badanie zjawisk 271.

Balon 220, 222.

Bânki D. 257.

Bataillard 112.

Bazin 2, 116, 118, 129, 130, 140, 175, 177-179, 272.

Belanger 2, 175.

Belka pływająca dębowa 25, — sosnowa 25.

Bernoulli 1, 30, 48, 56-57, 160, 197, 243, 248.

Bidone 140, 155.

Bieg jałowy (bezwodny) turbiny 204.

Biegeleisen 76, 77, 80.

Biel 72, 73.

Blasius 70.

Bocznica (rura wodociągowa) 99.

Bodaszewski 2.

Boileau 276.

Borda 1, 48, 159.

Bossut 1, 165. Bouger 1.

Boussinesq 2, 57, 61—64, 90, 130, 175, 185.

Bresse 142, 143.

Bubendey 3.

Budau 3, 112.

Buffon 278.

Bukowski 76, 77, 80.

Caligny de 109.

Carnot 51.

Castelli 1.

Chézy de 1.

Chropowatość ścian rur 76.

Ciało pływające 20,—zanurzone 19

Ciecze 3.

Ciepła wpływ 223.

Ciepło właściwe gazu 223, — przY stałem ciśnieniu 224, — przy stałej objętości 223.

Ciepłostka 223.

Ciężar właściwy wody 3.

Ciśnienie cieczy na powierzchnię jakąkolwiek 16, — płaską 15, wewnętrzną półkuli 18, —w płynach 4, — prądu na ciało zanurzone 255, — prądu wodnego na ściany ruchome 266.

Cunningham 129, 278.

Czas opróżnienia zbiornika 171.

Czopowski 165.

Darcy 2, 60, 69, 208, 282.

Dmuchawka parowozowa 170.

Ekwipotencyalna krzywa 38, — po- Humphreys 129. wierzchnia 36.

Elipsa biegu jałowego turbiny 204.

Energia kinetyczna 31, — poten-cyalna 31, — prądu 54, 185,

—    wiru 183, — z ciśnienia 31,

—    z położenia 31, — z ruchu 31.

Energii przemiana na ciepło 187,

—    przesyłka 88 Etylen 224.

Euler 1, 26

rozprowadzają-

Koło nasiębierne 190, 193 — o od-Peltona

Dubs 112.

Dubuat 1.

Dufour 112, 113.

Dupuit 68, 208.

Działanie ssące 169.

Dzwon powietrzny 111, 229.

Graniastosłup pływający 24. Grashof 235.

Grether 102,

Harlacher 280. Helmholz 33, 35. Herschell 93.

Filtry wodociągowe 209. Flamant 2, 72, 73, 74, 109, 242

Foeppl 2.

Folkierski 38.

Fontaine 190.

Forchheimer 3.

Fournayron 190.

Francis 190, 199, 255.

Frank 286.

Freeman 162, 165, 166. Funkcya prądowa 39.

Funkcye sprzężone 39.

Galileusz 1.

Ganguillet 69.

Gauss 12.

Gay Lussac 4, 11, 219, 220.

Gaz 4, — doskonały 219, — oświetlający 222, — stały 219. Gazometr 288.

Gazometrya 288.

Gazomierz 288.

Gazów ruch 219.

Gradient 37.

Graeff 156.

Hydrodynamika 26. Hydroelektryczne zakłady 112. Hydrometr 276.

Hydrometrya 271. Hydrostatyka 3.

Hyperbole równoramienne 43.

Ilość ruchu prądu 54. Izotachy 284.

Jałowy bieg turbiny 204.

Jewniewicz 172.

Jonval 190.

Kanał bardzo szeroki 142, — doprowadzający 124.

Kanały 114,

ce 130, — ściekowe 132.

Kennedy 287.

Kierownica 190.

Kluger 2,

Kolano hyperboliczne 102, — łukowe o przekroju prostokątnym 102, — prostokątne 43, — rzeki 14.

działywaniu 268,

190, 270, — podsiębierne 189, 193, 267, — skrzynkowe ob. nasiębierne, — śródbierne 190,193. Komora szluzy 109.

Koszt rur 83, 87.

Krell 289.

Krzywe ekwipotencyalne 38, — jednakowego naporu 216.

; Krzywka (rura) 102, — hyberbo-liczna 102.

Kucharzewski 2. Kutter 69, 79, 116. Kwas węglowy 224.

Lagrange 1.

Lagrené de 109.

Lamb 3.

Lang 72, 75.

Laplace 12.

Lemniskata 219.

Lepkość 3.

Lewandowski 172.

Lewarowa rura 104.

Liczby zespolone 40, 4L Limnigraf 275.

Lindley 133.

Linia charakterystyczna (turbiny) 203, — naporu 83, — poziomów piezometrycznych 83. Linie strug 216.

Loessl v. 256.

Lombardini 278.

Lorenz 2.

Lueger 165.

Łotok (rynna) 156, 157. Łyżki (koła Peltona) 271.

Mammut (pompa) 243—246. Manning 116,

Manometr lewarowy 288.

Mariotte 4, 11, 219, 221.    '

Matakiewicz 117.

Maxwell 59.

Merczyng 69.

Metacentr 21.

Metan 224.

Miechy wodne 170.

Mierzenie czasu 271, — wydatku 284.

Mises v. 3, 75, 76, 242.

Młynek mechaniczny 279, — elektryczny 280.

Młynki 279.

Mur bulwaru 17, 18.

Nadolski 271.

Nagła zmiana szerokości kanału 149, — średnicy rury 167.

Napęd wsteczny 258.

Napór hydrauliczny 30, — hydrostatyczny 10, — zmienny 171.

Navier 2, 52.

Newton 3, 51.

Nomogramy 79, 80, 81, 119.

Objętościowa metoda 284.

Obliczanie kanałów 117, — rur 77.

Ocagne d’ 79, 272.

Oddziaływanie prądu 246.

Odskok 140, — podniesienia 140.

Odśrodkowce 13.

Ogrzewań centralnych rury 105.

Okoliczności przypadkowe ruchu 152.

Opór płynów 246.

Oszczędzanie wody 109.

Oś pływania 21, — symetryi 44, — wirowania 35.

Oś hydrauliczna prądu 136, — obniżenia 138, 147, — podniesienia 138, 149.

Otwór w cienkiej ścianie 152, — zatopiony 154.

Owale Cassini’ego 218.

Parcie odchylające 251, — opóźniające 251.

Pascal 1, 5.

Pelton 190, 266, 270.

Piezometr 30, — różniczkowy 30.

Pitot 281.

Pito ty 281.

Płachta wodna nad progiem prze-wału 175, —niestała 179, — przylegająca do zagrody 180, — zatopiona od spodu 179, — od wierzchu 180.

Płaszczyzna naporu 30.

Płyn doskonały 3, — nieściśliwy 3, — sprężysty 4.

Płyny 3.

ny zmiennej szerokości 147.

—    trapezowy 120.

Przekroje żyły 164.

Przemiana adiabatyczna 226,

—    energii prądu na ciepło 187.

—    izotermiczna 227.

Pływaki 276.

Poiseuille 2, 57, 59, 207.

Poirée 144. 186.

Pojemność cieplikowa gazu 223.

Pomiary prądów 273, — wodne 272.

Pompa Mammut 243 —246, — prą- Przemiany termodynamiczne 226.

dowa 169.

Przepustnik 98.

Poncelet 175, 274.

Poncelet’a 274,

Przewał 174,

Popp 239.

— zatopiony 181.

— sił 36.

Potencyał prędkości 33, 37, 38, 40, Przypadki równowagi względnej 12.

Potoki 185.

Powierzchnia ekwńpoteneyalna 36, 46, — nośna — wody wgłębnej 209. Powierzchnie jednakowego napo ru 207, — poziomu 7, 9. Powietrze 224.

Poziom piezometryczny 30. Poziomowanie barometryczne 12. Praca silnika wodnego 193.

Prandtl 290.

Przyspieszenie średnie miejsco-

we 62.

aeroplanu 262, Przystawki 158,-cylindryczne 159, — ostrokręgowe rozbieżne 162,

— zbieżne 161, — wewnętrzne 158, — zewnętrzne 158.

Puls prądu 62.

Rabut 86.

Rehbock 180, 274. Rechniewski 181. Reynolds 2, 60, 70, 72. Riedler 239.

Ritter 283.

Praśil 2, 42.

Prasa hydrauliczna 6.

Prawa ogólne ruchu gazów 219.

Prawo Poiseuille’a 57, — podo- Roboty wodne 271.

noldsa 57.

bieństwa prądów 60, — Rey- Równania Eulera 26. — równowagi ⁷-

ustalonego 64, — toru cząstki

Prąd burzliwy 61, — regularny 57, Równanie ciągłości 27, — prądu równoległy płaski 38, — usta-

cieczy 36.

lony 29.

Prędkość krytyczna 60, — średnia Równia pochyła 12. miejscowa 62, — średnia prą- Równica 38, 43. du 52,    — zredukowana 70, Równowaga ciał pływających 20,

mechaniczny cie-

- wirowania 35, - w kana- ~ płynów 9, - względna 12 łach 127.    Równoważnik cieplikowy pra-

cy 223, pła 223.

Rozkład ciśnień wr turbinie 193,

Prony de 1, 68.

Próg przewału 174.

— w prądzie dwuwymiarowym 102.

Rozkład prędkości w kanałach 129, — w rurach 89.

Przecięcie ścieśnione żyły wodnej 153.

Przeciwparcie przyspieszające 251. Przedmiot hydrauliki 1.

Przekrój kanału 120, — prostokąt-

Rozszerzenie koryta 148.

Sprawność objętościowa pompy tłokowej 287, — pompy Mammut 246,    —

dnych 193, 270.

Różnica energii dwóch cząstek

silników wo-

cieczy 32.

cych 20.

Ruch cieczy naturalnych 51, — gazów w rurach 237, — jedno- Stałość równowagi ciał pływają-stajny wody w rurach 67,1

—    ustalony płynów 28, — zmień- Stawideł otwory 156. ny w kanałach 136, — zmienny Stevin 1.

kanału 186.

w rurach 91, — niewirowy cie- Strata naporu 53, 57, 67, — w łuku czy 35, — nieustalony w kanałach 150, — obrotowy cieczy 13. Straty naporu podrzędne 101.

43, — osiowo symetryczny 43, i Struga 29, 36.

Studnie 212, — artezyjskie 215.

—    potencyalny cieczy 33.

Ścieśnienie żyły 153, — całkowite 155, — cząstkowe 155. Średnica rur 83, 85, 88.

Średnicy rury nagła zmiana 167. Środek ciśnienia 15, — zanurzenia 20.

Rura doprowadzająca 88, — głó- Studzien wzajemny wpływ 216. wna 99, — lewarowa 104, — ssą- | Sztolnie 211. ca turbiny 47, 197, — tłocząca 87.

ogrzewań central-

Rury 67,    —

nych 105. Rzeki 185.

Saint Venant 2, 136.

Saph 72.

Tablice liczbowe (spis) iv, — wy-kreślne 79.

Tadini 115.

Taran hydrauliczny 113.

Tarcie wewnętrzne 3.

Tarcza spiętrzająca 289.

Teichman 285.

Temperatura bezwzględna 220. Tlen 224.

Sączenie przez piasek 206.

Schaffernack 274 Schoder 72.

Segner 268.

Siatka strug i równic 40.

Siedek 277.

Silniki wodne 189.

Składowe prędkości 26, — wirowania 35.

Słup piezometryczny 30.

Smith 154.    Torricelli 1,48,49,153.

Smoczekparo^j 1/0, wodny 169. Trąba hydrauliczna 169.

Turbina 190

Tlenek węgla 224.

Francis’a 199, — osiowa 190,193,—promieniowa 190.

Twierdzenie Bernoulli’ego 30, 48, — Bordy 48, — Torricelli’ego 48, 153.

Uderzenie wodne 110.

Sokolnicki 169.

Spadek ob. strata naporu, — po-tencyału 37.

Spadki wód bieżących 185.

Spółczynnik a 56, 90, 130, — r\ 56, 90, 130, — prędkości 153, — ścieśnienia 154, — tarcia e 51, 59, — wydatku 154.

Spółrzędne cylindryczne 8, 26.

Wodór 224.

Woltmann 279, 283.

Wpływ ciepła na gazy 223.

Wydatek kanałów 128, — otworu 154, - prądu 54, 284,—prze-wału 175, — rur 85.

Wypływ cieczy pod zmiennym naporem 171 otwór 232.

Wykresy uderzeń wodnych 113.

Wytryski 162.

Wypór 258.

Wzajemny wpływ studzien 216.

I Wzburzenie miejscowe 62.

Vautier’owie 272. Venturi 1, 93, 160, 169. Vinci 61.

Wahanie wody w rurach 107. Warstwice, na powierzchni wody wgłębnej 218.

Weisbach 2, 68,115, 159, 165, 170, 235. 269.

Weyrauch 79.

Węże sikawek 166.

Wiązki strugi równic 40.

Winda hydrauliczna 6.

Wirnik 190, 194.

Wirowanie 35.

Wirówka 13.

Wiry 62-64, 182.

Witkowski 129.

Witoszyński 42.

Wittenbauer 3.

Wodomiary 286, — tłokowe 286, skrzydełkowe 287, — Yentu-' ri 93, 287.

Wodotryski 165.

Wodowskaz 274, — zegarowy 275. Wody wgłębne 206.

gazu przez

Zakłady wodne 186, 271.

Zasada Archimedesa 16—20. Zbiornik naturalny 173,— powietrza 229.

Zbiorniki połączone 173.

Zeuner 233.

Zmiany przekroju i ciśnienia w rurach 94.

Zwężenie koryta 147.

Żyła cieczy 53, 152.

~’TJ

TO

r*-j!

s

t

.'ł

-

/

/

\

i

\

'

mm

\

\

S-96

K

V

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

100000294418

SgpSjjjgg