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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Aufgaben zur

Differential- und Integralrechnung

nebst den Resultaten und den zur Lösung nötigen theoretischen Erläuterungen.

Von

Dr. H. Dölp, weiland Professor am Polytechnikum zu Darmstadt.

Siebente Auflage neu bearbeitet von

Dr. Eugen Netto,

Prof, der Mathematik a. d. Universität zu Giessen.

Kd

GIESSEN

J. BICKER’SCHE VERLAGS-BUCHHANDLUNG

1898.

KD 517.2/3

Aile Rechte Vorbehalten.

IIIUETEO PO'JTEGIBieZM

KRAKÓW

1 v

««s

UT?

Vorwort.

Während bei früheren Auflagen des Dölp’sehen Buches der Verlagshandlung von fleissigen Benutzern eine Fülle von Berichtigungen zuzugehen pflegte, trat dies bei der sechsten, erst vor drei Jahren erschienenen Auflage nicht mehr ein: es war gelungen, eine nahezu korrekte Aufgaben-Sammlung herzustellen. Dieser Erfolg Hess den Entschluss reifen, die Brauchbarkeit des Werkes durch zeitgemässe Überarbeitung auch der theoretischen Erläuterungen zu erhöhen. Ich habe dies in der Weise zu thun versucht, dass an Klarheit und leichter Verständlichkeit kein Verlust, an Schärfe der Beweisführung Gewinn zu verzeichnen sein möchte. Das ist hoffentlich gelungen, und befähigt das Buch, seinen Zwecken in noch erhöhter Weise gerecht zu werden.

Giessen, im Oktober 1897.

E. Netto.

Das INHAL TSVEBZEICHNIS befindet sieb am Schlüsse des Buches.

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

§ 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen.

y = axn

dy

dx

— na xn~l

y = — — a x~n y xn

= — nax

—n—l

y=a

n

\/ x = axn

55

n

\Zxl~n

1    — -1

= — axn

n

\foÄ

— ax

:i

a\/xP-n = P

— ax

2|/x

y = ex y ■= ax

„ =

„ = ax\g a

55

y = \gx

«s£

= sin# - cos X

„ == COS X

„ = — sin x

y = igx

55

cos²«

sin²«

l/l—x²

y = cotg x

y = arc sin x

Dölp, Aufgaben.

y = arc cos x

clij

dx

|/1 — x-

y - arc tg x

y = arc cotg x

§ 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen.

Erklärung und Entwicklung des Differentialquotienten.

Eine Gleichung, in welcher eine einzige unbestimmte Grösse x mit einer beliebigen Anzahl von gegebenen und unverändert beibehaltenen (konstanten) Grössen a, b, c, . . . durch irgend welche Rechnungsoperationen verbunden auftritt, ist entweder eine identische Gleichung oder eine Bestimmungs-Gleichung. Eine identische Gleichung ist eine solche, die für jeden Wert der Grösse x gilt, wie z. B.

(x -j- aY = æ² -f- 2 a x -J- a².

Eine Bestimmungs-Gleichung ist eine solche, die nicht für jeden Wert von x gültig bleibt; ein Beispiel hierfür bietet

a?² — 2ax-\-b = 0.

Bei einer Bestimmungs-Gleichung entsteht daher die Aufgabe, denjenigen Wert, oder diejenigen Werte von x zu finden, welche die Gleichung erfüllen. Die Grösse x heisst deshalb die Unbekannte. Ihre Bestimmung ist Aufgabe der Theorie der Gleichungen.

Eine Gleichung, in welcher ausser den gegebenen Konstanten zwei unbestimmte Grössen x und y auftreten, kann ebenfalls eine identische Gleichung sein, wie z. B.

(x + y) {x — y) = x- — if.

Ist jedoch die Gleichung keine identische, dann kann sie zu einer Bestimmungs-Gleichung für die eine der beiden Grössen y (oder x) dadurch gemacht werden, dass man der anderen x (oder y) irgend einen bestimmten Wert beilegt. Dieser Wert kann beliebig gewählt werden; von ihm ist die andere Grösse

abhängig. Die beliebig gewählte Grösse x (oder y) heisst deshalb die unabhängige Variabele; die andere durch sie bestimmte y (oder x) heisst die abhängige Variabele; sie wird auch als Funktion der unabhängigen Variabelen bezeichnet.

1. Beispiel: (a) A x JB y -f- C = 0,

Ax-j-C

folglich

(b) y = -

By+C

oder auch (c) x —

/T“    4/^

2. Beispiel: (a) —2~f“ p —

folglich

(b) V = ±laVa~ — x‘ii

oder auch (c) x — +    \/b² — y².

In beiden Beispielen ist der Zusammenhang der Variabelen durch jede der Gleichungen (a), (b), (c) ausgedrtickt. In (b) ist die Variabele y als analytischer Ausdruck dargestellt, der ausser den konstanten Grössen nur die unabhängige Variabele x enthält; man sagt hierbei: y ist explicite als Funktion von x gegeben, oder, was dasselbe bedeutet: y ist eine entwickelte Funktion von x. Ebenso liefert (c) die Variabele x als entwickelte Funktion von y. Die Darstellungen (a) geben dagegen die eine der beiden Variabelen durch die andere in impliciter oder unentwickelter Form. Symbole

wie die folgenden:

y=f{x\ y = <p{x\ y =    ■ • •

von

dienen zur allgemeinen Bezeichnung expliciter Funktionen die mit x verbundenen Konstanten sind hier nicht besonders hervorgehoben. In gleicher Weise kann man

fix, y) = 0, g (a, y) = 0, h {x, y) = 0, ... . als Symbole für das implicite Abhängigkeitsverhältnis ansehen, welches zwischen den Variabelen x und y besteht.

Es ist eine Eigentümlichkeit vieler Funktionen, dass jedem beliebigen Werte von x auch nur ein einziger Wert von y entspricht, wie in y = x^^ y = xSi y = sin x\ doch gieht es auch solche, die zu jedem Werte von x mehr als einen Wert von y liefern, wie y = \/ x, y = x, y = arc sin x. Hiernach werden ein- und mehrwertige Funktionen unterschieden; die mehrwertigen können zwei-, drei-, . .. wertige, ja auch wie 2/ = arc sin x unendlich vielwertige sein.

Substituiert man in einer entwickelten Funktion y = f(x) an Stelle der unabhängigen Variabelen x die beiden verschiedenen Werte x und xx, so ergeben sich die entsprechenden Funktionswerte y = f{x) und yx=f(aq), und man kann aus beiden Wertpaaren den folgenden Differenzenquotienten zusammensetzen:

(1)

fY' /y*    'y* /y*

iA/-j    iAy    iA/ «    iA/

Wir bezeichnen die Differenzen

xx — x = 4 x, yx

so dass (1) auch geschrieben werden kann:

(i“)

/i y 4f(x) _f(x-\-/fx)— f(x)

/ix

/i x    /ix

Der Wert des Differenzenquotienten liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen.

Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y = f{x) durch eine Kurve in der XF-Ebene. Die Abscisse O Q eines Kurvenpunktes P giebt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f(x) an. Je nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abscisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abscisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P — (x, y). Ebenso sei

P.

\c-

Q,

Der Differenzenquotient (1) oder (la) giebt das Steigungsmass der Sekante PPX an, welche zu den Kurvenpunkten P = (x, y) und P₁ = (x-\r Jx, yĄ-Jy) gehört.

Da wir die Funktion f als gegeben voraussetzen, so kann in jedem einzelnen Falle dieser Quotient auch ausgerechnet werden.

Px = (xx, yx) = (x-\-Jx, y-ß- Jy). Dann ist PR=QQX = xx — x — Jx und PXB = yx —-y — Jy, lind wir erhalten

tang ß.

Jy f(x-\-Jx)— f(x)

Jx

Wir können tang ß in einfacher und verständlicher Art das Steigungsmass der Geraden SPPX nennen. Dann sieht man:

Fig. 1.

.Xj

1. Beispiel: y = ax², y₁ = ax\] Jl[ ₌ Vi—y

Qß 2    _

Jx

= a-

xx —

Xx-X

2. Beispiel: y = \/x, yx — yxx ;

Jy

Jx

Vx—y

xx — x

\/xx —\/x

xx-X

Wir wollen nun in der Figur den Punkt P, auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sieb nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozess zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen.

Sieht man bei einer reellen Grösse a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem absoluten Betrage; beispielsweise haben -j- 1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch ja) bezeichnet.

Ändert sich eine Grösse derart, dass ihr absoluter Betrag kleiner wird und im weiteren Verlaufe der Änderung kleiner bleibt, als jede beliebig gegebene noch so kleine absolute Grösse, so nennt man die veränderliche Grösse unendlich klein. Eine unendlich kleine Grösse hat also keinen konstanten Wert; es ist eine Variabele, die sich unbegrenzt der Null nähert.

Ist die Differenz a — a zwischen einer veränderlichen Grösse a und einer festen Grösse a unendlich klein, d. h. nähern sich die Werte, welche die Differenz a — a durchläuft, unbegrenzt der Null, dann heisst a die Grenze der Variabelen a. Man schreibt dies

lim (a — a) — 0 oder lim a = a wobei „lim“ das Wort „limes“, „Grenze“ bezeichnet. Durchläuft etwa a eine der Reihen

liii

U "21 T? T> •

lh ¥' tt? • • •

22n — 1 22 w +¹ -j- 1

so ist im ersten Falle lim« = 0, im zweiten lim a = 1. Das Zeichen „lim“ wendet man in uneigentlichem Sinne auch finden Fall an, dass die Grösse a über alle Grenzen hinaus wächst; man schreibt dann lim a = oo, trotzdem ja von einer Grenze keine Rede sein kann.

Ist lim a = a und lim ß = b, so folgt daraus lim (a ± ß) — a + &, lim (a ß) — a b,

weil mit « — a und ß — b zugleich auch (a ± ß) — (a + b) und

à) (ß -j- b) -|- (« -j- a) (ß — b) = 2 (a ß — a b)

unendlich klein werden. Ferner ist unter der Voraussetzung, dass b von Null verschieden sei,

(«

lim

tï> R

denn mit « — a und ß — b wird dann zugleich auch

(a — d)b — (ß — b)a ab — ß a a a

ßb

unendlich klein.

Wir wollen nun in (la) die Differenz Ax hei festem x unendlich klein werden lassen. Wird dann auch A y unendlich klein, so heisst y für den betrachteten Wert von x stetig variabel. Ist y für alle Werte x, die zwischen x₁ und x2 liegen, stetig variabel, so sagt man, y sei für das Intervall von x± bis x₂ eine stetige Funktion von x. Ob für unendlich kleine A x der Quotient (la) sich einer Grenze nähert, ist fraglich. Geschieht es, so nennen wir sie den Differentialquotienten von y für x und schreiben

ff = y' = f' (x) = lim

Ay

Ax

= lim

f{x-\-Ax) — f(x)

(2)

wobei die Bezeichnungen

dy

y'i f' ix) ft*¹’ einander eintreten

dx’

können und vollkommen gleichbedeutend sind. Dass der Differentialquotient, der ja die Grenze des Quotienten zweier unendlich kleiner Grössen ist, doch einen bestimmten endlichen Wert haben kann, zeigen schon unsere obigen Beispiele. Für

y = a x² wird

= y = lim a [x -|- x -j- A x) = 2 a x,

und für

Bei der Schreibweise

dy

ist streng daran festzuhalten,

dass Zähler und Nenner nicht für sieh einzeln definiert worden

sind, und dass dx, dy nicht die Bedeutung von

lim J y haben. Trotzdem dürfen wir uns erlauben, in unseren

dx

Beispielen dy = 2 ax dx oder dy = dx imc^ allgemein

dy — y' dx — f' (oc) dx - - f(x -j- dx) —f(x)

zu schreiben, sofern wir darunter eben weiter nichts verstehen, als die Beziehungen (2). Irrttimer können dadurch nicht hervorgerufen werden.

Wie der Dilferenzenquotient, so lässt auch der Differentialquotient eine einfache geometrische Deutung zu. Wir lassen in der Figur 1 die Punkte P und Q fest und nähern den Punkt Qt unbegrenzt dem Punkte Q. Dabei rückt der Punkt Pj der Kurve unbegrenzt an den Punkt P heran und die Tangente TP wird Grenzlage der Secante SP. Der Differentialquotient stellt das Steigungsmass der Tangente im Punkte P—(x, y) dar:

(3)

tang« = Hm ^=11 = «,'= /'(*).

Nach diesen vorbereitenden Erörterungen ist es uns möglich geworden, die Formeln zu entwickeln, nach welchen aus den einzelnen Funktionsformen der zugehörige Differentialquotient abgeleitet werden kann. Wir beginnen mit y = f (x) = d x™ (n ganz und positiv).

Den Werten x und x₁ entsprechen die Funktionswerte xj = axn und yx = ax™ und daraus entsteht:

dy

dx

= lim a

(x™ —

\xx — x )

= lim a (xxn

Wird nun xx = x, so erhält man = n a xn~~¹

dy

dx

Wird n = 0, so ist y = «, d. h. eine Konstante, und daher auch y₁=a. Die Differenz Jy ist mithin gleich Null, und ebenso ist der Differenzenquotient ^ y : J x = 0. Geht man zur Grenze über, so folgt für

dy

dx

= 0.

y — a = Konstante,

Die Richtigkeit dieser Formel lässt sich auch an der Funktionskurve nachweisen. Sie geht für y — a in eine zur X-Axe parallele gerade Linie über, deren Tangente in jedem Punkte mit ihr zusammenfallt. Deshalb ist a = 0, tang a = 0.

Wir zeigen zunächst, dass (4) auch für negative ganze Zahlen n gilt. Wir setzen:

y =°-n = a x~n (n ganz und positiv)

und finden ähnlich wie oben 1 1

^ 7i Qçn

= lim a

lim

— a oc ^ xn

= lim

_ ( ry* 7b — 1    ! yyt 7b — 2 nn I    I    rWtb — 1 ^

n n V^l    ^ I * * *    ,A/    )'

sgri QQ'" '    1    1    '

Sind (x, y) und (x-\-Jx, y-\-Jy) zwei Wertepaare, welche y = fix) und x = <p(y) befriedigen, so ist identisch:

1.

Jy J x dx dy

Da die Grenze eines Produkts gleich dem Produkte der Grenzen ist, so folgt hieraus:

(5)

d. h. ist eine Funktion die Umkehrung einer anderen, so ist das Produkt aus ihren beiden Differentialquotienten gleich der Einheit,

Auch die Funktionskurve lässt die Dichtigkeit von (5) leicht erkennen, da bei dem Umklappen die Winkel ß und «

durch ßx = halb wird:

ß und aJL=^ — a zu ersetzen sind; des-

u

= tang a . tang ax — 1,

dy dx dx dy

Mit Hülfe von (5) kann jetzt nachgewiesen werden, dass die Funktion:

y = a x — axn (n ganz)

ebenfalls nach (4) differenziert werden kann. Der umgekehrten Funktion x = ~yn entspricht nämlich der Differentialquotient

Qj

Si,

M-

dy

=    m/n~¹ = — nx

J    a

und daraus geht nach (5), übereinstimmend mit (4), hervor:

i-i

= — ■ ax

Ist speciell y = \/x, so wird

dy

dx

2 ]/x

Funktion einer Funktion, Wenn y eine Funktion von 3 ist, etwa y = f(0), und 3 selbst wieder eine Funktion

yon #, etwa z = g{x), so folgt aus y = f[g (a?)], class y aueli eine Funktion von x ist. Zu den Werten x, x₁ mögen gemäss der Funktionsbeziehungen die Werte y, yx und z₁ zx gehören. Wrir setzen:

xx — x = dx, yx—y = dy, zx—z=Jz,

dann ist identisch:

(6)

so ist der Differentialquotient von y nach x

Ist y eine Funktion von z₁ und z selbst eine Funktion von x

von z

gleich dem Produkte aus dem Differentialquotienten von y nach z in den Differentialquotienten nach x.

Beispiel: y = {axß = z², wenn z = ax gesetzt wird;

TS TS

ist

dz

Clß=2z-a = 2a²x.

dx

Aus y = a² x² erhält man denselben Wert.

Die Formel (6) erweitert sich dadurch, dass wir annehmen,

es sei:

(piß), 2=q(x),

- y = f(u), u

indem man alsdann hat:

dy du dz

TS

dy dy

dx du dx du dz dx'

Jetzt ist es endlich möglich geworden, die Anwendbarkeit der Formel (4) auch für den Fall nachzuweisen, dass der Exponent ein Bruch, und die Funktion also von der Form ist:

n /    n

y = Cl y/ xp — ax .

Setzt man nämlich z =    , so wird

dz

dz

= pxV~l

ponenten wird differentiirt, indem man ihren Koeffizienten mit dem Exponenten multipliziert und diesen selbst um die Einheit vermindert.

1.    Beispiel. f(x) = 4x³,

2.    Beispiel. f(x) = 2x~s

3.    Beispiel. f(x)=4:X²,

__ i

4. Beispiel. f(x) = 2x Die zusammengesetzten Funktionen. Werden mehrere Funktionen durch irgend welche Bechnungsoperationen mit einander verbunden, so heisst eine solche Verbindung eine zusammengesetzte Funktion. Sind zwei derartige Funktionen wie u—(p{x), v = (p{x) zur Summe oder Differenz y — u + v verbunden, so ist dy=Ju+dv und daraus folgt durch Division mit dx und Grenzübergang:

oder (u± v)' = u'± v'.

(7)

y du dv x dx~dx

oder (u + v + w) ' = u' + v' ± to'.

dij

*-l

V

■ pxP-¹ — L—ax n

Hiermit ist die Gültigkeit der Formel (4) für alle rationalen Werte des Exponenten nachgewiesen, und wir können sagen: Eine Potenz der Variahelen mit rationalem Ex-

dx

= — a (x$)n n

Zur Erweiterung setzen wir v±w statt v und finden sofort: du dv dx~ dx~

Der Differentialquotient einer Summe von Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Summe aus den Differentialquotienten der einzelnen Funktionen. Der Differentialquotient aus einer Differenz zweier Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Differenz aus den Differentialquotienten von Minuendus und Subtrahendus.

Für das Produkt y = u.v ergeben sich folgende Beziehungen:

oder (u. v)' — u v' -f- v u'.

(S)

dy dv , du dx Udx'Vdx

Ein Produkt aus zwei Funktionen der nämlichen Variabelen wird differentiiert, indem man den Differentialquotienten des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und den Differentialquotienten des zweiten Faktors mit dem ersten Faktor multipliziert und beide Produkte addiert.

1.    Beispiel: y — xs. x* = u . v] u'■= 3a?², i/=4cc³, y' = x^. 3æ² -j- x³.4a?³ — 7cc⁶, ein Wert, welcher auch aus der direkten Form y — a?⁷ hervorgeht.

u' = 2bx

y -{- J y — (w •-{- J u) (y -{- J v)

Jy = uJv-\-vJuĄ- Ju Jv J U , J U JV

Jy

lim

Jy

uji+vj^-i

[- v lim

wlim

Ju

■f- lim

Ju

lim

lim J x :

J X J X

da das letzte Glied der letzten Gleichung verschwindet, so hat man

2.    Beispiel: y = (a -\- bx-) (c -|- ex?J) = v' = 3 e x²; y = 2 b x (c -j- e xs) -j- 3 e x¹ (a -}- b x²) — 2bcx

, -)- 3 aex²-\- 5 b ex*. Das gleiche Kesultat wird erhalten, wenn man zuerst die Multiplikation ausführt und dann differentiiert.

Gellt v in vw über, dann verwandelt sich v' in v'w-\-w'v und wir erhalten statt (8):

y' — (uvwj = vw. u' -|- uw. v' -J- uv. w'.

Tritt an die Stelle des veränderlichen Faktors v die Konstante a, so ist v' — 0 und daher wird für y — au jetzt y' = au' oder (a u)' = a u'.

Der Differentialquotient eines Produkts aus einer Konstanten mit einer Funktion von x ist gleich dem Produkt aus dieser Konstanten und dem Differentialquotienten der Funktion.

u —J- zl u V -j- Jv ’

yJrJy ₌

Jy

Für den Quotienten y

'S §

folgt :

u-\-zlu u vzlu—Uzlv

zl u

zl V

zJy

zl X

v zlx U zlx v (v -j- J v)

lim

zly

v lim

zl u

zl X

u lim

zJv

zlx

zlx

dy v. u' — u v'

v (y -f- lim zl v)

dx

(9)

Der Differentialquotient eines Bruches ist gleich

dem Differentialquotienten des Zählers multipliziert mit dem Nenner, weniger dem Differentialquotienten des Nenners multipliziert mit dem Zähler, das Ganze geteilt durch das Quadrat des Nenners.

x- — a~

— : u' = 2x, v' — v

«3 ₌ j.

Aus der reduzierten Form y = x-\-a entsteht derselbe Wert.

Einfacher kann der Ditferentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich

Beispiel: y =

,    2 x {x — a) — 1. (x²

(x— à)²

y = so ist u = y.v₎ u' — v y' -f- y v'

. u' — y v'

y=-—

J    v

Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun übergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung ein geführt worden ist.

u' V — U V

V²

Bedeutet f (w, v) eine Funktion zweier Variabelen w, v, so kann die Differentiation entweder nach u vor sich gehen, wobei v als konstant angesehen wird, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Solche Differentiation nach einer der beiden Variabelen heisst partielle Differentiation, und ihr Resultat ist der partieller Differentialquotient nach u oder nach v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden 6 von dem totalen Differentiieren und schreibt ef(u, v)

- lim

Au

df(u,v)

lim

/‘(w, v -f- A v) — f(u, V)

Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y = f(u, v) und hierbei u und v Funktionen von a?, etwa

bestimmt werden. Zu

u = <p (x) und v = </> (x). Es soll

den Werten x und xx möge m, v, y und w1? vi: yx gehören. Dann ist

Pi—y = f(unvi) — f(uiv)

>+f

y = <!>(?)

§ 10. Maxima und Minima der Funktionen.

IM

*={Xi _x)+mjhtzïiM (ÿi _ y).

Die Division

kann ein solches Integral in einen fertigen Teil u

dx

.. G-+(i)T

Ö£6 — ...J

Pi—y ₌ f(unvi) — f(uiv)

ffay vt) —f(u, Vj) + f(u, vx) — f{u, V)

Lässt man x₁ zur Grenze x und damit w₁₇ vxl y₁ zu den Grenzen ^f, v, y gehen, dann wird

ux — u

ux — u du

v₁ — V

f(u, v₁) — f(u, v) _ df(u,v) m S v

dagegen ist die Grenze des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Nun

lim

dx

lim

lim

lim

vx — v

erkennt man aber, dass

f(Ui,Vi) — f(u, Vj) _ ffyvv) — f(u>v)

u, — u

ux — u

Wird nun xx = x, so erhält man, einem negativen n in (4) entsprechend:

mit dx sich gleichzeitig der Null nähert. Die Grenze dieser Differenz ist also Null, und somit

fK^i)—ffavi)

u₁ — u

Daher erhalten wir

dy df(u,v) df(u,v)du ] df(u,v)dv dy du .dy dv

8v dx dudx' dvdx

Diesen Ausdruck nennen wir den totalen Differentialquotienten von y nach x. Wir sehen: Sind u und v Funktionen von x, und ist y eine Funktion von u und v, so differentiiert man diese total nach der vorstehenden Formel durch Verwendung der partiellen Differentialquotienten der Funktion nach u und v.

1. Beispiel: Sind u und v zu einer Summe oder Differenz verbunden, so ist y = f (u, v) = u± v,

lim

= lim

Uy -- U

dx dx

du dx

• (10)

df df du ’ dv

+1 und

d_y₌du ₊ dv    Formel 7.)

dx dx~dx

df

2.    Beispiel.    Ist    y— f(u,    v) = u.v.    so    wird

vdu    dV'    Forme! 8.)

dx    dx

3.    Beispiel.    Ist y = f(u, v) = —,    so    wird

du u dv    v u'— u v'

■y²’ dx dx v²dx

dy

dv Ul dx

<b Cb

§ I--K

. (Vgl. Formel 9.)

4. Beispiel. Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem die andere Variabele v ganz fehlt, dann fällt in (10) der

gleichbedeutend

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist

df

du

mit

df

du

oder -T

r!

. Für y

/■(«), u

(p (x) finden wir dann:

dy dy du dx du"dx’

(Vgl. Formel 6.)

Es erübrigt uns jetzt noch, zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aus den drei Funktionen von x, nämlich u = cp (x), v = <p (x), w = q (x) setzen wir die Funktion y — f(u, v, w) zusammen, legen der unabhängigen Variabelen x die Werte x und xx bei, bilden die entsprechenden Funktionswerte: u = (p (x),

V = </> (»),

tv — q (x),

i ⁼

y = f(u, v, w)

Q (xi)i Vi = f(un Vy, Wy)

Uy — p (Xy), Vy = <P (Xy), IV

und daraus den Differenzenquotienten:

Vi—y _____ f(un v» Wy)—f{u, v,w),

den wir, um ihn zum Übergang zur Grenze geeignet zu machen, folgendermassen umgestalten :

Vl—y f{Uy, Vy, Wy) —f(U, Vy, Wy) Uy — U

Uy

f(U, Vy, Wy) f(U, V, Wy) Vy V

f(u, V, Wy) — f(u, v, w) Wy

Vy - V

Wy —— W

Geht jetzt xx in x Uber, so verschwinden zugleich die Differenzen (yx — y), (iiy — u), (vx — v), (w± — w) und die drei aus Differenzen der Funktionswerte bestehenden Zähler, und

die Betrachtungen, welche oben zur Formel (10) führten, ergeben hier

6 f div d w ' dx‘

Algebraische und transcendente Funktionen. Unter den algebraischen Operationen versteht man die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und das Potenzieren mit rationalen, konstanten Exponenten. Wenn die unabhängige Variabele mit den konstanten Grössen nur durch eine endliche Anzahl solcher algebraischer Operationen verbunden ist, so nennt man die Funktion eine algebraische Funktion. Dabei ist es aber wohl möglich, dass eine algebraische Funktion auch durch eine unendliche Anzahl von algebraischen Operationen hervorgerufen wird. So ist ja z. B.

Cb Cb

du

Cb Cb

Äj

(10a)

1 x Ą-x-xnxn+l -]-...= lim S xk =

n=ao. k=0

eine algebraische Funktion. Funktionen, welche nicht algebraisch sind, heissen transcendente Funktionen. Insbesondere gehören hierher die Exponentialfunktionen ex und ax nebst ihren Umkehrungen lg x und L g x- ferner die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x,... und als deren Umkehrungen die cyklometrischen Funktionen arc sin x, arc cos x,...

§ 3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen.

dx

3) y

5 xs

2) y — ax

ax-\-b

4)    y = ax²

5)    y = 2 xs

6)    y = 4ax⁶

7) y =

11 — a

„ =a „ = 2 ax „ = 6 x2 „ =2 Oax4 — 15 x²

8) y

a-\-2bx-\-cx²

„ = 2 b -j-2 ex

n\ a y) y — — = ax

11) y — \/x — x²

-1

xb

2l/x

12)    y = ^/x² = xw

13)    y = \/xP

14)    y =

*>f>

03 |00    S

?7xP~n

-7= = x

y x

IC —

rH !CN

M-

\\

20) y

15) y

5 y/x* 16) 2/ = a?³|/^

'TS l'tS

H l<«£

» =1^

A ¹

20*^

17) y

x²[/x

toi -a

[/ xd

18) 2/

JA

/y»2 3/

^ y/ x

11 1

6    y/a?¹⁷

19) y

» -f

f/x'ÿx

y m

Die nächstfolgenden Beispiele werden durch Einführung einer Zwischenvariabelen s nach der unter (6) angeführten Formel differentiiert:

(a- )S

& ! i-¹

29) y

a?⁴

21)    y = f(z), * = <p (x)

22)    y = (a-\-bce)² = z2 v 23) y = (a — & a?)³

24)    y = (a-j-b x²)²

25)    y = (a — 5 a?³)⁵

26)    — (a -j-. a?²)³

27)    y =

28)    ?/ = (a —|— ^ ^ —f- %~)n

—rjr = z~¹

a-\-b x

dy    dy dz

dx    dz dx

„ = 2b (a-\-b x)

„ = —3&(a— ha?)2 „ = 4 ô æ (a -|- 6 ce²)

„ =— 15 bx²(a— b cc³)4 „ = 6 a? (a-f-ce²)2 3 (a a? — l)² „ =n{aĄ-bx-\-cx²)n~l.(b-\rclcx)

(a-\-b x)²

30)    y

31)    y

32)    ÿ = Jj

(a — 6 a;²)³

(a

bx²Y pnxP~l

(6 — ce^)w

(J -— a?-P)w+¹

(1 — x)³

a?³

(1 — a:)⁴

33) y = ÿa-{-bx = 8^

dy

dx

34) y = \/2px

35) y = ÿf{x)

|/ 2 p x

„ = -t-iÛ=

2|/f(pc)

36) y

IC —

j/a — bx 37) y = I/a — bx-

2\/(a — bxY — b x |/a — b -

38) y — l/2ax-j-x'²

39) y = |/l—V

— 2 a?³

[/l — xi

40) y = ^a~\~ x~\~Va

1 [/a — x

J/V² — x¹

\/a-f-a?

41) y

j/2 ax — x²

42) y

|/(2 a a? —a?²) 4 a?²

</(2 — a;³)⁴

” ^(2-^)

43) y

v/ô»—a)³

4    (a? — a)⁷

y/(a -j- b x)p

n \/ia~\~ b x)P+n

Bei den folgenden Beispielen kommen ausser der angeführten Substitutionsformel auch die zwei folgenden zur Anwendung:

45) y z=u.V

dy

du

dx d x

■j— Xi *

dv

dx

du

dv

§ I s>

46)    y =

47)    y = (a²-\-x²) (a² — a?²)

V' dx U’dx

b aa)

48)    y = [a -j- & aa) (a

49)    y = (1 — 2 as) (1 —|— 3 a?)

50)    y = as⁴ (a — 2 as³)²

(a -f- aa) J/a — aa

51) y

52)    y — x j/l -J-aa

53)    ^/ = aa²|/a — aa

54)    2/ = aa|/l~—aa²

⁵⁵)    y ⁼ ~\^a'2Jrx‘²

56)    y = -

aa² -f- 2 aa -f- 1 aa³ — 1

58)    </=±2

/y> -

59)    2/ = |ô

— aa²

2aa-j- 3

dy

— — 2 b~x „ = 1 — 12 a?

„ = A xs (a — 2 xs) (ia — 5 a?³) a — 3 x 2 [/a — x 2-f 3x 2 j/l -f- x A ax — 5 x²

dx

2[/

to a

a?²

— a³

as²j/a²-]-aa²

xé-j- Ax³—J— 3aa²-J— 2aa—J—2

(^³-l)²

(1-j-aa)2 — 6 as

60) y

aa²-f- 2 aa -— 3 (a —|— aa -) ³

(2 — as²)2 4 aa (aa — 3)

(as² -)- 2 aa — 3)2 6 aa (a -f- as²)² (& -f- a x)

61) 2/

(b — aa³) 1 }/aa

(b — as³)³

62) y

1 — |/x j/a-f- b x

|/as(l — (/as)²

2 a ^ ³³

63) y =

2aa²j/a4-^>;:t;

2-j-³⁷

2[/(l-|-^)³

(a — bx)

■H

— b x a A-b x

65) y

2 a -f- 3 as

xl/a + x

0y“[//5nhi

dy

dx

67) y = (ar-f j/l -\-x)²

2[/x(x²— a²)

2 —}—    —]— (2^c —(— 1 ) |/1 —f— a?

|/l -(- x

§ 4. Die Differentialquotienten der trigonometrischen und eyklometrisehen Funktionen.

Um die Funktion y = sin x differenzieren zu können, erinnern wir an zwei einfache geometrische Sätze:

Fig. 2.

Ist ABO in Fig. 2 ein Kreisquadrant, so wird CD <iCB <^CEB für jeden Punkt C zwischen A und B, dagegen CD = CB = CEB, wenn C mit B zusammenfällt. Daher ist sin a ^ a G für kleine Winkel COB= a.

Ist MUTS in Fig. 3 ein beliebiger stets konvexer Bogen und sind MN, NP, PQ, Q B, BS Tangenten an ihm, so wird

Fig. 3.

'R

MNĄ-NP-\-PQĄ-QB + FS< MT+TS und zwar bleibt diese Beziehung richtig, wie viele Zwischentangenten auch zwischen M T und S T gezogen sein mögen. Lässt man die Anzahl der Zwischentangenten ins Unendliche wachsen und die Berührungspunkte aufeinander folgender Tangenten näher und näher an einander rücken, so folgt, dass M TJVS<MT+TS wird. Fällt M mit S zusammen, so wird MTJVS = MT-\- TS.

Bedeuten daher C G und GB in Fig. 2 Tangenten in C und B, so ist GEB < 0 G-Ą- G B < FG + GB = FB, d. h.

tanga, wobei sich das Gleichzeichen auf den Winkel a = 0 bezieht.

Man hat daher

sin a « cos a sin a, sin a sin a

a cos a

a,

1.

Lässt man a zur Grenze 0 gehen, so wird in diesem Ausdrucke die linke Seite = 1, und demnach:

sin a

lim

= 1.

a— 0 a

Nach diesen Vorbereitungen setzen wir:

y = sin x,    — ⁸^n xi

y₁ — y sin xx — sin x 2 cos \ (xx -f- x) sin ^ (xx

x)

xx-X

x)

sin ^ (a?, i (xi x)

Geht man zur Grenze xx = x über, so wird der letzte Bruch nach dem soeben Dargelegten gleich 1 werden. Man bekommt deshalb:

= cos (xx -|- x) ■

äy d sina; dx dx

Der Differentialquotient von sina? ist cosa?.

Auf die nämliche Weise wird auch der Differentialquotient des Cosinus hergeleitet.

y = cos x, yx = cos xx

yx — y cos xx — cos a? — 2 sin £ {xx -j- a?) sin -Ł (xx — x)

— COS X.

(H)

. . ,    ,    . sin {xx — a?)

=. — sm^(a?₁-f    —y-

= — sin x.

Der Differentialquotient von cosa? ist —sina?.

dy d cosa?

dx

Übrigens kann diese Formel audi aus der vorhergehenden abgeleitet werden, da y = cos a? = sin

wenn z = ~ — x gesetzt wird. Da nun

Li

= — cos z = — sin x.

ist. so wird

dy

sin 3 ist,

dy

f-i

= cos z

as las

«si I B

Die Differentialquotienten von tanga? und cotga? ergeben sich aus den vorhergehenden auf die einfachste Weise:

sin a? . dy    cos²a?-j- sin²a?-

cosa?’ dx

cosa?    dy    —sin²a? —cos²a?

sina? ’ dx

y = tg a? =

y= ctg a?

smz

cos²a?

sin² x

Aufgaben:

dy

cos²a?‘

sin²a? '

(13)

(14)

g- §

— a cos {ax')

„ =—a sin (a a?)

dx

• cos

52.    8

g. a ! b

sin^

= — sin

cos y ax

„ = nxn~l cos (x¹¹) a sin j/a x

2 \/ax

•rH

CQ

a~

75) y

a

— —s- • sin

x-

« i h*.

76) 2/ =

02

»—i.

« ! Hl

2 \/xä

• cos

B ! t-*i

77) y =

78) y = atg

dy

dx

cos²

79) y = atg

a-

80)    2/ = sin (a -j- bx) =

81)    y = cos (a — bx-) , 82) y = sin² a? = z-

83)    y = cos² (ax)

84)    y = 2 sin” (ax)

85)    y = cos”

sin z

« «

COS'

a;

,. = b cos (a -j- & a?)

„ = 2ôa? sin (a—&a?²)

„ = sin (2 a?)

„ = — a sin (2 «a?)

„ = w a sin” ~ ² (a a?) sin (2 a x)

a . a — sin —

o

X-

■ cos”~¹

86)    y =

87)    y =

88)    y = ~sina?-|- sin ~

89)    y = ~ cos 3 x — ^ cos x

90)    y = tg a? — cotg x

91)    y — 3 sin a? — 4sin³a?

92)    y===2 sin²«

cotg X

sina?

sin x

( ¹ )"

\COS X )

4 sin⁴a?

—¹---[- tg a?

cos a? ¹

94)    y = sina? cos a?

95)    y — ( 1 — cos2a?)²

<tj96) y = 2 cos²(a?-|-a)—cos2a?

97) y = {x tga?)2 /j98) y — 3sina? cos²a? -f- sin³a?

(93) y

n sina?

cos” +¹ a?

3 a?

a?

, = cos — cos -4    4

tH ; Ol

• cos 2a? sina?

”    sin²(2a?)

„ = 3 cos3a? cos³ a? sin⁵ a?

2 sin²

cos² a?

„ = cos 2a?

„ = 16 sin³a? cos a?

„ = — 4 cos (a -{- 2a?) sina sin 2a? -|~ 2a? cos²a?

„ = a?tga?

dy

99) ?/ = (4sina?—8sin³a?)cosa? -^- = 4cos4a?

dx

100)    y = (a -J- b sina?) cosa?

101)    y — sina? sin (a — a?) a — b cos a?

102) y

103) y

a-\-b cos a? sina? -f- cos a?

sina? — cos a?

sina? -j- cos a?

„ =b cos2a?— a sina? „ = sin(a — 2a?)

2ab sina?

”    (a -|- b cos a?)²

— 1

”    cos²(45°^jL,a?)

sin⁸a? — cos³a? sin²a?cos²a?

104)    y

105)    y = sina? — a?cosa?

Die eyklometrischen Funktionen sind die Umkehrungen der trigonometrischen; deshalb lassen sich auch ihre Differentialquotienten aus denjenigen der trigonometrischen Funktionen durch Umkehrung ableiten.

1. y = arc sin a?

ist die Umkehrung von a? = siny. Nun ist:

= cos?/ = |/l — sin²?/ = j/l — a?²

sina? cos a?

„ = x sin x.

dx

dy

und daraus entsteht:

dy

dx

/l — x²'

(15)

2. y = arc cos a?

gehört zu a? = cos y. Da nun :

dx

dy

= — sin y

\/l — cos²?/ - — [/l — a?²

ist, so folgt:

dy

|/l — Æ²

Kürzer ist die folgende Ableitung:

dx

(16)

dy

y = arc cosa? = ^ — arc sina? ;

Li

3. y = arc tg a?

dx

\/î — a?²

Es ist a; = tgÿ

dx

dy

cos² y

1-j-tg²?/ = 1 —f— a?², und daraus

durch Umkehrung:

dy

dx 14-«²’

(17)

Aus y =

4. y = arc cotg«. arc tg« erhält man leicht:

dy

dx

1-J-«²'

Die Ableitung wäre auch so möglich:

y = arc cotg « = arc tg — = arc tg z, wenn z

00

und

dy

Nun ist —

dz 1 z²

SJ

x²

1I-*

00

dy

dx    1-4- z² x²

1 -4- «² '

Aufgaben.

106) y

= arc sin (ax)

dy

clx

j/1-

107) y

= arc cos (a — x)

h-¹ S ta

108) y

= arc sin

a² — x²

a² -\-x²

|/l — (a — x)2 — 2 a

109) y

— arc sin —

x\/x² — 1

110) y

= arc sin J/l — x²

ni) y

= arc cos

b -\-a cos«

[/l — «2 \/~aF—b²

a-\-b cos«

a-\-b cos«

112) y

= arc cos

{a — x\

\ x /

«j/2 ax — a²

113) y

/b

f arc sina;!/

[/a — b x²

114) y — arc sin

\/1 -f- x -

dy ■    1

d OG    1 —I— oc ~

115) y = arctg\/ax

2 (1 -\- ax)[/ax

116)    y = are tg ——-

Lv Jv

117)    y = arotg—

(a — x)- 4- a?²

118)    y= arctgl/L^

r i -}-#

119)    = arc cotg |/‘2 — x

2 j/l — a?²

2 (3 — a?) |/2 —a;

CO

120) y = arc cotg

1/ 1 00 j/l -{-a;²— 1

^123) y = arc (tg =

121)    «/= arc cotg

122)    y = arc (cos = sin x) m tg x)

r [/r=^

2 (1 -j- ar) = — 1

m² -j- (1 — m-) cos² x

124) y = arc cotg

tH

j/a;

2 (ar -J- 1) [/a?

125)    = arc

|"tg = atg|j

1 -j- (a¹² — 1) sin²

to «

126) î/ = n.arcsin

Vï

ax — x²    /—

a

ax — x²

dy

127) y = |/aar— a;² — a. arc tg

a.

I /a — x

V x

128) y = {x—£aretga:).arctga; „ =

x-\-x- arc tg x

1-j-x²

§ 5. Exponential- und logarithmisehe Funktionen.

In der für positive ganze n gültigen Binomialentwickelung:

■+ r

nn — ln — 2x³ .

3    n³^'"

nn — 1 x~

2 n²

schreiben wir die rechte Seite:

T-i j g

Cl ! §

$ I CC

xn

1.2.3 ...n

Wir haben die Absicht, n ins Unendliche wachsen zu lassen. Da aber der Satz, dass die Grenze einer Summe gleich der Summe der Grenzen der Summanden ist (S. 6, letzte Zeile), nur für eine endliche Gliederzahl gilt, während hier mit wachsendem n die Anzahl der Glieder ins Unendliche wächst, so können

Also

p, n•

wir den Übergang nicht direkt vornehmen. Es sei p eine positive ganze Zahl < n, und der absolute Betrag \x\ kleiner als p. Wir brechen die Reihe hinter dem Gliede mit xp ab und bezeichnen den Rest mit B

>+f

Der Rest B

p, n

TH i §

§ ! ic

xP

■j— Rp, n • (A)

1.2.3 ...p

liegt zwischen der Summe aller folgenden

negativ genommenen und aller folgenden positiv genommenen Glieder. Für seinen absoluten Wert gilt demnach

\x\P+¹

\x\P + ²

1.2...(p+2)

f...+

\x\n

.2 ...n

'xP + l

1.2 ...(p—1~1)

Die Summe in der letzten Klammer kann beliebig weit fortgesetzt werden. Da \x\ < p ist, so folgt hieraus durch Summation der Reihe als Wert des letzten Ausdruckes

P~M

In (C) wollen wir nun auch, nachdem die rechte Seite von n frei gemacht ist, den Wert von p über alle Grenzen wachsen lassen. Hierbei geht für jedes endliche x der letzte Bruch in (D) in den Wert 1 über, und den zurückbleibenden Teil der rechten Seite von (D) können wir, wenn k^=£\xist, in der Form

\xk

\x\k ( \x\ W \x\ \    / \x\ \

p=co

0 ■'C \Bp, n\ <

Ix'P + i

1.2.3...(p + l) ₁

\x\

(B)

p -}-1

Aus dieser Form erkennt man, dass (B) zwei für jedes n^>p gültige Grenzen von \BP: n\ giebt. Denn die linke wie die rechte Seite der doppelten Ungleichung ist von n unabhängig. Insbesondere gilt (B) auch noch für beliebig grosse n. Lässt man also die Zahl n in (Ä) über alle Grenzen hinaus wachsen, und bezeichnet den Grenzwert lim B

n=cc

so kann man jetzt bei einer Summe von p Gliedern die Grenze der Summe durch die Summe der Grenzen der Summanden ersetzen und bekommt

p, n

lim ( 1+ J

n = oo\ J

=l+l-

o < |Ą,| <

1.2

to

XP

f BPi (C)

(D)

\x\p + ¹

\x\

Wir haben demnach

schreiben. Der erste Faktor rechts ist endlich; der zweite wird sich mit wachsendem p als Potenz eines echten Bruches dem Grenzwerte 0 nähern. Folglich ist lim Bp — 0, und wir haben die Entwickelung

i    /y» \ 71    /y»

lim 1+-) =l + |-4

n=cc\    n/    1

a;²

th

(E)

1.2

für jedes reelle, positive oder negative x in Form einer konvergenten unendlichen Reihe.

Den Zahlenwert dieser Reihe für x =1 bezeichnen wir mit e und setzen

Weil nun die rechte Seite >> 2 und

<¹ + l + 2~^2²~^2* + • • •< 3

ist, so muss der Wert von e zwischen 2 und 3 liegen. Wir finden

e — 2, 718 281 828 459 ...

In (E) ist n als ganze Zahl zu denken. Bedeutet x eine ganze, positive Zahl, dann kann man in dieser Formel n durch nx ersetzen, und hat:

lim

=M'+0T

= ex

nx

wo der Übergang zur letzten Grenze möglich ist, da die Grenze eines Produkts der .endlichen Faktorenzahl x gleich dem Produkte der Grenzen ist. Für ganze, positive x gilt sonach

I    \n    /V»

--“SLF+'H+t+Ö

1.2.3

...    (F)

Ist ferner y eine ganze, positive Zahl, so kann man n hierin durch ny ersetzen, und hat:

ex = lim

(i+:)‘—(■+ś)''-[“-(■+!)']■

/    \n

ey = lim I 1 —I— I .

n = cc \    /

§ Ms

(F) gilt daher für jedes rationale, positive x.

Schliesst man endlich die positive, irrationale Zahl x zwischen zwei rationale Brüche ein p s

so wird

ą<x<l

Ol

Co

+-.0+H

1 + T

und daraus folgt, wenn man die Brüche von beiden Seiten her der Grösse x immer näher kommen lässt, die Gültigkeit von (F) für jedes positive x.

In derselben Art kann man für positive oder negative x

1.2

1.2

1.2

behandeln. Man übersieht sofort, dass, wenn in (B) an die

Stelle von n tritt, der Rest \RPt n\ für jedes p bei wachsendem n zu Null wird so dass beim Grenzübergange von (Ä) zu (C) nur das erste Glied 1 übrig bleibt. Es wird daher für alle positiven und negativen x:

= 1.

(!+>7)"

Daraus folgt, wenn man für x einsetzt —x²:

lim

n =

d. h.

oder

ex lim (l —

n — co \    J

iim (x+-An

- e~x

Die Formel (F) gilt daher für alle reellen Zahlen x. Soll jetzt die Funktion y = (F differentiiert werden, so gehen wir von

y Ay =

Ay

ex

/ eâx — 1 \

\ hx /

y = Ć*, Ay = & (eAx — 1),

aus. Setzt man e^x—1 = — d. h. e^x=l-\~ —, Ax =

n    n

so wird:

4+i)

Ay

Ax

= e* —

eńx— 1

Ax

n lg

e*

ex

Lässt man nun Ax zur Grenze 0 gehen, so wird, n über

wird zu lg e = 1 werden.

alle Grenzen wachsen, und lg Man hat daher

(‘+ir

dy

de*

dx dx

e*.

(19)

Wenn man auf der rechten Seite yon (F) jedes einzelne Glied der unendlichen Reihe differentiiert, so kommt dieselbe konvergente Reihe wieder heraus. Es wäre also in diesem Falle erlaubt gewesen, die Differentiation der unendlichen Reihe gliedweise vorzunehmen.

Die Logarithmen für die Basis e, welche wir durch lg bezeichnen (vgl. S. 18) sollen aus Gründen, die erst später dargelegt werden können, die natürlichen Logarithmen heissen (vgl. Aufgabe 424).

Um die allgemeinere Exponentialfunktion ax zu differen-tiieren, setzen wir a = em und haben alsdann m — lg a, d. h. es ist m der natürliche Logarithmus von a. Da nun y=emx=ez, wenn mx = z gesetzt wird, so findet man

dz ’

dz

dx

und

dy

dx

= mez = memx = axlga. (19a)

Die Differentialquotienten der beiden logarithmischen Funktionen gehen wieder durch Umkehrung aus den vorhergehenden hervor. Ist:

y = lg#,

so ist x = ey

Säj

dy 1 dx ev

(20)

Ebenso gehört zu der Funktion:

y = Lgx

die Umkehrung # = und

= ay\ga, woraus dann:

dy

« i i-i

dx ay Aga \ga

Aufgaben.

(20 a)

129)    y = eax = ez

130)    y = e

131)    y = aea

132)    y = exx

133)    y = e^

— ax

COS X

134)    y — e

135)    y = e*in*x

136)    y = e^tgx

137)    y=^x‘îex

138)    y = ex{x—1)

139)    y = exxn

140)    y = {pcA— 2x-\-2)ex

141)    y

142)    y — cos^e

143)    y — e2x sin² g:

144)    y =

— a\ea 4-e

xy

ex

xn

sin x

dy

dx

ax

= — ae

— ax

\/ax

„ — — sin xeC03X ,, == sin 2 xesin2x

ß arc tg x

,, =xex(2-\- x)

... ßX

„ = (#-|- wj

55    '    ^3?

/ 2^    _ 2a? \

„ = 2    —e a /

„ = (cos ² æ — sin #) e „ = <?2:r (2 sin²Æ-j- sin 2 #) ex (x — n)

sin x

Xn 1

145) y

146) y

ex— 1 ex-j- 1 ex (x — n)

2ex

ex\x-\-(x — w)²]

xn

xnA-1

147) y = \/eax .148) y = \/x (ex + 1)

=-]/7™

ex(x-\-l)Jrl

149) y — xxJrl

x    xx+¹ lg a

\/x² -f-1

150)    y — atgx

151)    y = [amx Ą-by

152)    y — ax.xa

153)    y = \g(a— x)

atsx\ga

cos² a?

ij

= p {amx -j- by -¹ amx m lg a = axxa~¹ (a-\-xlg a)

154)    y = lg(xn) = n.lgx

155)    v = lg i =

a?

156)    y — \g(ax) — \ga-\-\gx

lgx

157) y = (lg

n{\gx)n~¹

158) y = lg

iî

159) ?/ = lgÆ-j-lgÆ² = 31ga?

CO I a

160) y

Ig (1 — x²) = lg z

161) y = lg

0)

x (a-\-x)

162)    y = \g(a — ]/x)

163)    y = \g(e

164)    y = ]g(x~y |/l y-x²)

— mx

iS

2 (x — a \/ x) m (e

emx_ye

165) y = x — 2|A-J-21g(l + |A) [/a²— x²

dy

dx

166) y = lg —

x²

167)    y = lg {a -j- b ex)

168)    y--lëyê^=

169)    y = lg 1/2 ax — x²

170)    ÿ = lgf±|

171)    y = lg

« -f- b ex

a;

1 -f-^²

2ax — x²

1 — x²

I /a -j- x

V a — x

a² — x²

172) y = Ig

\gx

173)    y

174)    y = lgî

175)    ?/— a7j/a²-|-a;

x{l— x²)

1 -lg X

x²

a^x

a\/ x\<y a (    1    \

a? \1—    x)

lg (x-J-f/a²x²)

dy

2x²-j~a²-j-l

dx

|/a² + a;²

176) y = \g(aJrxJr\/2ax-^rx²)

& i«s£

¹⁷⁷)    2/=f¹g(«² — O

178)    y

n . x—a

-jrr----------

2 a a;-{-a

¹-tï-ig(i+^)-ÿ

179) y=    +

j/2 a a; -J- 372 ma; -|- w a;²— a²

„ = a? lg (1 ~\-x²)

«+1

I "2

arc tg x

dy x² — 3 a;

a;⁴ — 1

180) y = lg (a; — 1) -j- 3 lg (a? —{— 1) —f— lg (æ²+ 1) + 5 arc tg x.

dy 6 x³ -(- 3 x²-\- 2 a;—7

181) y

1 ^\Za-\-bx—I/a dy

j/ O    j/ o —j— b X~|— j/ 61

dx

a; \/ a -f- b x

¹⁸²⁾

Æ⁴ 1

â-teï

X -

r^x

185)    y = lg sin x

186)    y = lg cos«

187)    y = lgtg*

184) y

188) 1/ = lg cotg«

189) y = lg sin

rH

¹ i

x* 1 — X

\-\-x²    a?⁴ -J-1 , _ 1 -f- X

X⁸    ® 1 — X

” x(l — x-)

Æ²

1 — x'Ą-1 gx

(i — xy

„ = cotg X

» =—tgx

sin 2 *

—Igtg^ —x^    „

(x--a\ \ x )

sin 2 x

lg sin ^ „ =~cotg

OG

h — a\

{ x J

( V

I cos I

LO

190)    y = lg

191)    y = lg sin j/a -f- b x

LOI

2 [/a -j- & *

cotg

192) y = lg cos

193) y = lg

/a -(- b tg \a — b tg x)

’ 2*|/

=‘s[/

X *

2 ab

a² — (a² -\- b²) sin²;r

194) y = lg tg x lg cos * = lg sin *

dy

dx

= cotg *

195) y-=lgf(x) = lgs

f{x)

f(x)‘

Der Differentialquotient des natürlichen Logarithmus einer Funktion ist gleich einem Bruch, dessen Nenner die Funktion und dessen Zähler der Diffe

rentialquotient der Funktion ist.

Funktionen von der Form y = f(u, v) — uv, worin u und v Funktionen von * sind, werden nach Formel (10) differentiiert

Es ist dann

Cbi Oj

= V uv ~

d %i

= vuv~

i S1 ⁷ 8 v

x du

uv lg M, und

dx

dx

-|-uvlgu •

dv

dx'

1. Beispiel: y = {ax)

mx-

du

dv

dy

dx

u = ax, v = mx‘. -=— = a, -=~ — m\ dx dx

= m(a x)m x (1 -)- lg x -j- lg d).

2. Beispiel: y = ($mx)

COS X-

du

dx

= COS X,

» ! SS

= — sin X]

dy

¹ (cos² x — sin² x lg sin x).

Derartige Funktionen können etwas bequemer behandelt werden, wenn man beiderseits den Logarithmus nimmt und sich erinnert, dass eine Funktion von wenn y selbst eine Funktion von x ist, in der Weise nach x differentiiert werden kann, dass man dieselbe zuerst nach y differentiiert und diesen Differentialquotienten noch mit demjenigen von y nach x multipliciert.

3. Beispiel: y = xx] \gy = x\gx]

dx

= (sin x)

COS X —

1 -j- lg x\

dy

dx

4. Beispiel: y =

= (1 + lg x) y = xP° (1 -f- lg x).

; \gy = xQga — \gx\-,

(f

dy

dx

(f

(lg a

\gx—l).

5. Beispiel: y =

= & (1 +¹8 *)

«l

00 00 ^ ^

6. Beispiel: y = \/x\

p-(l—lg«).

X/

7. Beispiel: y = J/

i. d_y_ ₌

x¹ dx

( lWlgs —l\

W \ a?² ;

i

8.Beispiel:2/ = (a-(-&a:)

- dy (a-\-bx)x

dx

Æ²

(4s~lg(a+N)-

9. Beispiel: y= \y J ; 10. Beispiel: y = (arc tgx)x',

= (arc tg x)x / lg arc tg x

___L_V

are tgx 1 -f- x^J

§ 6. Unentwickelte Funktionen.

Die Entwickelung der Differentialquotienten war seither an die Voraussetzung geknüpft, dass die Funktion explicite in der Form y = f{x) gegeben sei. Sind dagegen die beiden Variabelen in der Weise mit einander verbunden, dass eine Funktion von beiden gleich Null gesetzt wird:

f(x, y) = 0

so ist (vgl. S. 3) y eine unentwickelte oder implicite Funktion von x, deren explicite Form y = <p(x) zwar durch f(x,y) = 0 bestimmt ist, im allgemeinen aber nicht angegeben werden kann, weil uns die Mittel fehlen, f(x, y) = 0 nach y aufzulösen. Aus diesem Grunde muss das Verfahren, den Differentialquotienten zu bilden, in solchem Falle wesentlich modifiziert werden.

Die Formel (10), S. 16, lautete:

dy dy du 8 y dv du dx'dv dx’

■ y = f(u, v);

wobei u und v Funktionen von x waren. Setzt man insbe

sondere y = 0, so heisst dies nur, dass die Funktionen u, v die

dJL = 0

Gleichung f(u,v) = 0 stets erfüllen sollen. Dann wird und man erhält:

dx

/./    \ _df du . df dv

Nimmt man ferner u — x und setzt statt v als neue Bezeichnung y ein, so hat man, da

du

dx

= 1 wird:

f{x, y) = 0;

if i if ày ₌ n

dy dx

dx

df

dy

dx

dx

Bf

(22)

dy

1. Beispiel: f

2x-\-2 y

— r² = 0. Man findet direkt:

= 0, und daraus = dx

dy

df

= 2 y,

Aus der hier darstellbaren entwickelten Form: y = \/r- — x² entsteht:

oder nach (22):

dx

= 2x,

dy

dx

dy

2. Beispiel: f=yn—xp = 0; nyn

dy pxp~x

dx mjn~l

§ I¹«

xp-¹

Nach der Formel (22) giebt es:

(*•)

[fr² — x²

— pxP—¹ = 0,

p -1 p-x“    .

dy

₁ dy pxP — 1 ’ dx

Will man die bei Funktionen in der entwickelten Form Yorkommenden Nenner, Wurzelzeichen und dergl. vermeiden,

Cb

= —pxp

df

= nyn~

dy

nyn — l

usw.

so geht man zu den unentwickelten Formen über. Statt wird gewöhnlich y' gesetzt.

W’f=yV

3. Beispiel: y

dy

dx

—1=0; 3y²y' x²-\-2y³x = 0,

CO ! tO

Sft «

oder: y'

3^’

leitung aus der entwickelteu Form.

wie auch durch direkte Ab

4. Beispiel: y

■vi

aĄ-bx y² a-\-bx — bx¹ x² a — bx’’ f— bxy² -j- bxs — ay~ -(- ax² == 0; by² Ą-2bxyy' -\-3bx² — 2ayy' -\-2ax = 0 b y² -f- 3 b x² -{- 2 ax 2ay — 2bxy

y' =

5. Beispiel: y = Vx-{— |/l -j-«², oder/'= y⁴ — 2?/²æ—1 =0;

|/# —j— |/l -\- x²

2i/r+^²

4yY — ±yxy' — 2y²--=0, /

2 [y² — æ)

Aufgaben.

df

196)    /,= aa? + öy + c = 0; -^ = a,

¹⁹⁷⁾

b²x

dy

a-y

<?/•

= b,

dy

dx b ’

ó’/’ 2æ df U; = dy^ b²¹

Oj

a[/a²— Æ²*

198) 2/ =

(x — d)

= y² — 3(x -j- d)²

/■= y²(x— a) — (x-f-a)s = 0;

= 2y (x-—a),

dy 3{x-\-a)²— y²

, dx    2y (x — a)

₃| A+2

² r a; — a

•Hsf

199) f= ax~y — xy =

dy

- —    2/ lg a — xy \gx

200) f—&inx — cosi/ = 0

= aa;~2/lga — yxy 1,

dy    x\ g a — y

dx    x\ g(ax)

cosx sin y

= —1.

201)    f=e?+y — ax= 0;    = (F+y — ax Iga

1 + lga*

202)    f= eax+hy — c = 0;

Sf

dy

8ij

= ex+y,

dx

= a&'X+'by

*f

= JjfMX + Ly

dy

dy

. Aus der einfacheren Form: aa?-J-&?/ = lgc folgt das gleiche Resultat.

203) f= — 1) (e* — 1) — 1

cv,

= ey (e* — 1)

TS TS

204) f = ay

p\/b — x — f).    ^ f

e    ~ü< 8x

e*-l

g\/ Ö —3?

(ey — l)².

8f

dy

21/b=x Sy

2 j/ö —a:

205) f=cosx— a:cos?/ = 0; ^ = — sina:—cos?/,

ć2a:

df

dy

= zcsin?/

dy sina: -}- cos?/

¹ Sj

x sin y

206) f — y (x -j- sin x) = .0 ; man erkennt leicht, dass die so gestellte Aufgabe uns lediglich auf dx — 0 oder dy = 0 führen kann. Denn das f verschwindet nur, wenn entweder y = 0 oder x -j- sin x = 0 ist.

df

207) f=xsin(a:—y)—(x-\-y)=0\ ™=sin(a:—y)-\-xcos(x—y)—1,

Tj| Oj

= —a:cos(a:— y)

dy sin(a:—y)-\-xcos(x—y)—1

’ d x    x cos (x — y) -J- 1

In den folgenden Aufgaben sollen die partiellen Differentialquotienten nicht getrennt entwickelt, sondern es soll unmittelbar nach der Formel differentiiert werden:

f{x, y) = 0

208) f=y²

2px = 0;

2 yyf

2 JP = 0, if = -

209) f

= 0.

l/-ÿ.

r x

210) /”=arcsm

« I $sj

lg^ = 0;

2/'

ay

yf/y*

[/V²-—Æ²    «/[/V²—æ

- = 0.

a;²

211)    f = y² -j- a;² — (a « -}- &)² = 0; yyf -\-x — a {ax -f- b) — 0.

212)    f = (x — a)²-j- (y — ßYJr2lxy = 0;

(a    a —(— A a/) —]— (?/    /9 -j- Xx)y' = 0.

213)    f=y‘²(x²—1) — ax² = 0; y(x²—1) y' -J- % (y~

214)    f=(ax-\-byLrc)(ax-\-ßy-\-y)— mx2 (a -j- b y ) (a & -j- /? ^ -|- y) -j- (a -J- ß y ) (a x -j- b y -j- c)

— 2m x — 2 n y y' = 0.

ny² = 0;

a) = 0.

215)    f=(x*-\-y*

2 (x-{-yy')(ax-]-by)-\-(a-{-b if) (x² -|— y² — 1)

— 2m x — 2n y y' = 0.

216)    f — (1 — ax) (x² -}- y²) — 4 = 0;

— a (x² -f y²) -j- 2 (x -f y y') (1

1) (ax-Lb y) — m x² — n y² = 0;

ax) = 0.

y(i+y+y-°;

(¹“p)(¹ + |, + i) ⁺ (¹,'_i?)(¹⁺*⁺»)"a

217) f=( 1 + X + -

218)    f=(x²Ą-y2 (x² -j- y² -

219)    f=x²y²

ax)² — a² (x²-\-y²) = 0; a x) (2 x -{- 2 y y' — a) — a² (x -j- y y') = 0.

(a² — ^²) (2/ + &)² = 0; xy²Ą-x²yy' Lrx(y^rb)² — (y^rb) y' (a² — x²) = 0.

220)    f=ax—ex~y= 0; axlga—ex~y-{-ex~yy'=Q, y'=l—\ga. Einfacher so: x lg a — x — y ; y' — 1 — lg a.

221)    f=y* — 2y ex -\-2 x\gy = 0;

yy' — ex(yJry')Jr^y-{-xy-¹y' = o.

222)    /'=sina; — sin(2y— æ) = 0;

cos x-\- cos (2y — x) — 2 y' cos(2y — x) = 0.

223)    f = y sina;-j-#²y²-f- acosy-j-£ — 0;

y cos æ -f- y' sin x -{- 2 x y {y -}- x y') — a y' sin y — 0.

224)    f— ex cos y — ev sin x = 0;

eæ cos y — éu cos x — {ex sin y -f- sin x) y' = 0.

225)    f — sin x sin y -j- sin (x-\-y) = 0; cos x -\- cos (x -(- y) cos y -j- cos (x-\-y)'

§ 7. Funktionen von dep Fopm:

% = <p (t), y = <P(f).

Oft ist es zweckmässig, y in der Weise von x abhängig zu machen, dass man beide als Funktionen einer dritten Variabelen darstellt, indem man setzt:

x = <p(t), y = (p (t).

Kann t daraus eliminiert werden, so erhält man die entsprechende direkte Beziehung zwischen x und y wieder. So geht z. B. £ = rcosć, y = rsin£ leicht in f=x*-\-y²— r2 = 0 über.

Da t in diesen Formen die eigentliche unabhängige Variabele ist, so legen wir ihr die besonderen Werte t und tx bei und erhalten die entsprechenden Funktionswerte:

*p (ü)

Vi = <P (ü)>

die wir zu folgender Identität zusammensetzen:

x = <p(t)

y = <!>(?)

(A)

Vi — y

Vi—y

tx—t

tx — t

Da nun der Übergang von tx in t auch diejenigen von xx in x und von yx in y zur Folge hat, so gehen alle Differenzen-

quotienten in (A) gleichzeitig in Differentiaiquotienten liber, und wir erhalten:

dy

dy dt dx dx

(23)

dy dy dx ,

'dt-SïTt’ odei':

SS ISS

Unter der Gestalt : nur eine Wiederholung von Formel (6), S. 11.

Su Su

f+. Ka£

SU! Su

ist (23)

1. Beispiel: x = a cos t, y = b sin t;

SU SU

•K»

= — a sin t,

us

SjI Sj

S i S-

= 6 cost; d

die Gleichung: f = ^    ~ — 1

cotg t. Wird t eliminiert, so erhält man

= 0, oder: y =

— 1/«■ — x²,

a

und daraus für den Differentialquotienten die beiden Formen: b-x

or y

Da nun cotg t=— und auch

dy

dx

oder

dy

dx

a |/V² — x²

ist, so lassen die 3

|/a³ — x²

Formen des Differentialquotienten sich auf einander zurückführen.

ay

dx

2. Beispiel: x = t cos a, y = t$ma-\-b)    = cos«,

= sin a ;

Sui

H ISS

= tg a. Wird t eliminiert, so entsteht:

y = x tg a -J- ö

und daraus:

— tg a.

Aufgaben.

226) y — at

x = a (1 — t)

Äj I

& I«s»

T—i

227) y

T)

a (b — ty b (a — ty

228) y

dy

229) y

f²

= fl/2 t*

toi «M-l

230) y

231) y

= (ea t — l)3 = {eat— l)2 4 (a — £)

a²1*

4 (a — £)² (2 a -j- tf)

3 a²1

232) y

233) y

234) y

235) y

236) y

~ ~ § fl ^

e - N ^    «    °    * e,æ ^ ^

fl •§ s I I S if ?.H

55 CO p*C» ÇS r-H -to

to

„ =cotg

CH

LC

CH

<2H

te

cotg t

238) y

a> 2 a> i OQ    O    g-    O

►2.    co    ^    co

P    ^    ^    LC

i    I    Of. I

m    xn 0>

*-»•    ł—'• Ä

« =tgt

11

— cot g 11

239) y

= cos -|-cos 2

= £ — cos t = t — sin t

U1

i—• •

OQ

t—••

Cl

to!

toi

240) y =

«sin t

1 -J- & COS £ c cos t

1    & COS Ć

241) y = sin t (cos 2 t)i x = cos t (cos 2 $)£ sin³1 (cos 2 t)i cos ³1 (cos 2 #)i

243) y = 2 sin t —- sin21 x = 2 cos t — cos 2 t

dy

a b a cos t

242) y =

244) y = (a -J- r) sin t

a sin

x = (a -j- r) cos £ — a cos

dx

csin t

„ = — cotg 31

„ = — tg3t

m¹

(‘4-1 ■

SS

2 a-'-

i/î+ï¹

x - arc cos

|/r+?

§ 8. Differentialquotienten höherer Ordnung.

Entwickelte Funktionen. Der Differentialquotient von y=f(x) ist wieder eine Funktion von x und kann deshalb den nämlichen Operationen unterworfen werden, durch welche er selbst aus der gegebenen Funktion hervorgegangen ist. Wir können also setzen:

lim

df'(x)

dx

= lim

Ax

1 \f(x-\-2Ax)— f(x-\-Ax)    f{x-\-Ax)— f(x)

Ax

Ax

= lim

f{cc-j- 2 Ax) — 2 f{cc -[- Ax) -f- f (x) _

den Zähler des letzten Ansdruckes schreiben wir A(Af) = A²f = A (A y) — A- y und erhalten:

df'jx)

dx

— lim

J’-f = luap₂.

A %¹

Ax²

Wir gebrauchen hierfür die Bezeichnung f"{x) oder y'\ so dass:

drf dx² ’

y" = n?)

d f (x)

dx

Ebenso setzen wir

d (df\ dx \dx)

df"(x)

dx

d    d² ldf\

dx\dx²) dx²\dx)

d³f

dx³

u. s. f. Diese Ausdrücke

y"? y'", y

heissen der zweite, der dritte, . . . der nte Differentialquotient und generell: Differentialquotienten höherer Ordnungen.

rrrr

1.    Beispiel: y = xv; <~- = 'px‘P

CLOO

dsy

dx³

dn y dxn

2.    Beispiel: y--= sina:; y'= cos a:, y" = — sin«, y'" = — cos«, y"" = sin«, u. s. w.

3.    Beispiel: f(x) = ex, f'(x) = f" (x) = ex, usw.

= p{jp— 1) (p—2) xP~³

dx²

= p(p—1) xv~²,

= p (p —-1)... (p — n -j-1) x'P~n.

A u f g a Ire n.

246) y = x³

d-y

dx²

247) y = (a — I «)⁴

„ = 12 b*(a — bx)* 248) y = xi — 2«³ + 5«² + 2 „ = 12«²—12«+10

249) y = ^/x-

9+^⁴

250)    y = ]/cL- — «²

251)    y = \/2 px

a²

|/(a² — «²)

^²

[/ (2 px)³

252) y

d²y

4 b-

a y~b~x 253) y — x -\-\Z(x — a)

dx²

10

254) y = x(a — x) 256) y = x + \

9-^/x — a

H»! to

256)    y

257)    y = e

258)    y — a

259)    y = e<PW

260)    y — e

261)    «/ = lg* (1 H- ^r²)

4 a-(- 2 a;

(a — x)²

(a — xy

„ = amx (m\g a)2 n =e<PW[{<p'(x))²+ <p"(x) I „ =2(2r-l)e-^!

2 (1 — a;²)

(1 -j- a;³)³

262)    y = a; lg x

263)    y = a;²lga;

264) ^!??

265)    i/ = sin (a— 2 x)

266)    y

» = 3 -}- 2 lg a; 2 lg a; — 3

1 -A cos a;

sin a;

= — 4 sin (a — 2 x)

x

*2

2 cos*|

Li

267)    y

268)    y = xeainx

269)    y =

arccosa;

\/(l — a;²):

= esin;r(2cosa; + «cos³a;—a;sin^)

+(i+ig*)=)

270)    y = arc sin

271)    y — arc sin \

2a;

/l + a:²

— X

1 -\-x²

(1 -j-^²)²

4 a;

(1-fa;²)²

Dölp, Aufgaben.

272)    y = are tg

273)    y = x³

274)    y = \

275)    y

jA

à* y

2ax

(^_|_a2)2

y"" = 6.5.4a;³

1.2.3

dx²

a:⁴

1.3

8|Ar

276)    y = \g(a-\-bx)

277)    f/ = sin(wæ)

1st y = f (g) und g = <p (x), so ist

2ô³

” (a + bx)3 „ =—n³ oos(nx). dy ■ dy dg dx dg dx'

beiden Seiten nochmals differentiiert, so entsteht nach (6), S. 11:

Wird auf

d² y d²y

dx² dz²

(dgy

\dx)

d² z dy dx² dg'

Fine weitere Differentiation ergiebt:

d³y_d³y

dx³    dz³

³ dg d²z d²y , d³z dy^d²y dz d²z ' dx dx² dz²^rdx³ dz ¹ dz² dx dx²’

d³ y d³y

dx³ d z³

(dz\³ , ₀d²y \dx) 1 ⁶ dz²

dy d³z

dz d²z dx dx² 1 dz dx³'

dy

Beispiel: y — (a -J- bx²)³ — z³, z = a-\-bx²‘,

d² z dx²

d³y

d-y

d³z

dx³ -

dz

= 2>z².

= 6 z,

⁶- Ji-2bx'

= 0;

dz³

24&²æ (da -j- hbx²).

Unentwickelte Funktionen. Implicite ist y eine Funktion von x, wenn eine Gleichung f(x,ij) = 0 den Zusammenhang zwischen x und y ausspricht. Wir leiten den Differential-

der Gleichung: f- +

o x d y dx

d f

nun der partielle Differentialquotient nochmals partiell nach

O 00

x differentiiert, so erhält man den zweiten partiellen Differentialquotienten der Funktion genommen nach x und be-

dz

dz²

d³ y

dx³

quotienten

dy

dx

aus

= 0 ab. Wird

s-f

d x² ’

Differentialquotient bezeichnet, welcher entsteht, wenn man f zweimal partiell nach y differentiiert. In ganz analoger Weise

zeichnet ihn durch

Ebenso wird durch

d²f

dy

2 derjenige

haben wir unter

S²f

d. h.

ö(H)

denjenigen Differential

dy 8%

quotienten zu verstehen, der dadurch gewonnen wird, dass man f zuerst partiell nach x und dann partiell nach y differentiiert. Von ihm unterscheidet sich der andere Differential-

quotient

•fö)

oder

e*f

dadurch, dass bei seiner Ab

dx dy

leitung die Funktion f{x,y) zuerst nach y und dann nach x partiell differentiiert wird.

Beispiel: f— x³-\- 3x²y— y³ = 0;

Bf

3x² 6xy

'«S I"—S

d²f

6x-\- 6y

d²f

= 3x² — 3y2 — 6 y

Sy“

d²f

$*f

dx dy

In diesem Beispiele ist

dy dx

6x.

d²f

d²f

Es soll nun nachge-

dxdy dydx'

wiesen werden, dass diese zwei Differentialquotienten, soweit sie mit x und y sich stetig ändern, einander identisch gleich

sind. Setzt man in:

--- -- lim

y)

d    x₁ — x

an die Stelle von y die besonderen Werte y und bildet den Differenzenquotienten und geht zur Grenze über, so erhält man:

dy

lim

xx — X

x₁ — x

Vi — y

wobei durch lim der gleichzeitige Übergang von xx zu x und von yx zu y angezeigt ist. Ebenso entsteht aus:

ffa Vx) — ffa y)

= lim

y    yx — y

durch Substitution der besonderen Werte x und xx und durch analoge Differenz- und Quotientenbildung der Ausdruck: .

fi^yi) — f(^y) _ ffayj) — ffay)

yx — y

y^ — y

in dem sich das Zeichen lim wiederum auf den gleichzeitigen Übergang von xx zu x und von yx zu y bezieht. Da jeder der beiden unter dem Zeichen lim stehenden Ausdrücke sich auf die Form bringen lässt:

f&xi yx)—f\xxiy)—f fa yx)+ffa y)

(xx — x) (yx —y)

so müssen die angezeigten gleichzeitigen Grenzübergänge auch zu gleichen Resultaten führen, d. h. es muss sein:

oder:

8²f _ 8²f 8ydx ~8x8y‘

Doch ist zu bemerken, dass die ganze Beweisführung nur für ein solches Werthegebiet von x und y gilt, in welchem für beliebige Annäherung des xx an x und des yx an y der Grenzwert

lim

f(xx,yi)—f{xi,y)    yx)+f 0, y)

— x) (:Vx — y)

endlich und stetig variabel ist.

Soll nun auf beiden Seiten der Gleichung    ^ = 0

o x 8 y 8 x

nochmals und zwar total nach x differentiiert werden, so muss man sich erinnern, dass V- und die beiden Yariabelen x

8 x 8 y

und y enthalten, und dass daher die Regel Anwendung findet: Wenn F(x,y) = 0 ist, so wird:

dx

dF{x,y) d F^d F dy

d x ¹ d y dx'

Hiernach erhält man:

³² f i    dy __L / d-f ^ (Pf dy\ dy L dFy_ df_ ₌

/*A²    d²f d_f df , <9y id A²

y <9?//    dxdy dx dy ¹ <9?/² yó¹#/

Cb Oj

• (24)

Da die bisherigen Erläuterungen ausreichen, um auch die noch höheren Differentialquotienten einer unentwickelten Funktion herzuleiten, so unterlassen wir es, die bezüglichen allgemeinen Formeln hier besonders aufzustellen.

1. Beispiel: f=y‘*-\-bx² — 2ay-\-ax — b — 0;

- — 2bx-\~ a

2b

■q = 2 y — 2 a

££-2

dy²

<9^²'

J1L₌0

dx dy

flPy ₌

d Æ²

2. Beispiel: f=eax—ł>y— c = 0;

d*f

4 (y — a)

- =aefix-hv

d*f ~d x2 d*f dx dy

= a-eax-hv

— cibeax~hy

dy

d*f

dy²

d²f

dy dx

_JjßCix — by

= —abeax~hy

Die Form ax Kesultat.

by = ]gc ermöglicht einfacher das gleiche

Aufgaben:

Statt der vollständigen Lösungen geben wir hier nur die Teile, aus welchen jene nach (24), S. 53, zusammengesetzt werden.

278) f=x³

x² y “h yb — o

8f

8y

= 5 y^ — x²

~ = 3x² — 2 xy

toi —K

= 20 y*

8²f

8 x²

= 6x — 2 y

8-f

2 x.

279) f=(x²+iy²)²-a²(x²-y²h =0

= 2 y (2 x² -}- 2 y² -j- a²)

= 2x(2x² -}- 2y² — a²)

= 12 z/² —j— 4 i??² —j— 2 a²

8²f

ôx²

= 12^*- —f— 4 y² — 2a²

8²f

8xô y

Sx y.

280) f — esin x —-x esin y = 0

8f

8y

x esin y cos y

8%

= esin x cos x — esin y

8²f

3,/

= x esin y (sin y — cos² y)

8²f

ÔX²

esinæ(cos²^ — sina:)

8²f

8 y 3 x

= 1 -fis-*

*f-o

eam y cos y.

Ôf

8²f

y e~x

8 x²

282) /‘=sina?+sin2/+sin(a;-2/)=0

= cos y — cos (oc — y)

CV>I Qj

cos x -j- cos (x — y)

Ô²f

8 y²

sin y — sin (x — y)

ôx²

sina: —sin (a:—y)

8²f

= sin (x — y).

Funktionen von der Form: x = y (t), y = (p (t). Der erste Differentialquotient ist unter (23), S. 45, entwickelt:

dy dy dx dx dt'dt '

Wird auf beiden Seiten nach x differentiiert, so entsteht:

d²y dt dx d²x dt dy d²y dt² dx dt dt² dx dt dx²

dx

Unter Berücksichtigung der Relation — = 1 : -=— geht diese

Ci 00    Ct V

Formel über in

d²y

d² y dt2 dx²

SŁj

d²x

d t²

"Ki

Aufgaben.

d²y

283)    y = bsmt x = a cos t

284)    y = a (1 — cos t) x — a(t — sin t)

285)    y = sin²t x = cos 2t

286)    y = eat x = e

Der zweite Differentialquotient kann aus dem ersten auch

auf folgende Weise abgeleitet werden:

dx²

n =0

a² sin³ t

4 a sin⁴

— at

d²y

4H)

dx²

æ = lg#;

Beispiel: y = ^^

dy

1 -f-t dt

d#

(1 — t)²’ dt

(1-0

^r- = t

dx

d²y t²-\-t dx²    (1—t)³'

§ 9. Anwendung¹ der Differentialrechnung zur Ermittelung der Werte unbestimmter Formen.

Die Formen und^. Es kann sein, dass die beiden 0 oo

<p{x)

hat dann

<p{x)

Dass aber trotz

Funktionen <p{x) und <p{x) für den nämlichen Wert x = a verschwinden. Ein Bruch von der Form f(x)

für x = a den unbestimmten Wert f(a) = -jj.

dieser Unbestimmtheit der Wert ein bestimmter sein kann, soll zunächst an Beispielen erläutert werden.

Werden aber

.1* Beispiel: fix) =

vor der Substitution x = a Zähler und Nenner durch (x — a)

x² -j- a x -j- a²

dividiert, so wird f{x) = gefunden wird.

2. Beispiel: f(x) = —, f(0) = ^.

x -J— o

woraus dann f(a) = fa

Zieht man 1 von

der Reihe für ex ab, dividiert den Rest durch x und setzt dann x = 0, so findet man f(0) = 1.

; f(0) — ^. Die reducierte

3. Beispiel: f(x) = -

— cos«

sin²«

2 sin²

Form: f(x)

toi &

4 sin²cos²

u

4. Beispiel: f(x) = !f-

to I &

——-giebt: f(0) = ~|-2 cos²-

u

|/a³«<

\/ax — a

f{a) =

ol o

/[fx |/«³ — |/o®\

\|/ a ]/x — ]/ a }x = a

(æ-hl/ax-j-a)æ = a = 3a.

Als Ursache der Unbestimmtheit zeigen uns die Beispiele den Umstand an, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen, der für x = a verschwindet und so zugleich

f(a) =

Zähler und Nenner auf Null bringt. Statt nun, wie geschehen, diesen Faktor aufzusuchen und vor der Substitution durch Division zu entfernen, bedienen wir uns mit Vorteil der Methode des Differentiierens. Ist

<pix)

0{x)

und fia) =

(a.

Ol O

I ^ [X i    nicht mehr unbestimmt und

I_$(Xr\-0)}x = a

so ist f(a -j- d) =

geht in f(a) über, wenn d die Grenze 0 erreicht. Da weiter (p{a) = 0 und <p{a) — 0 sind, so kann man auch setzen:

f (ct ô)

W> (x-\- d) — <fr (x)\x==a

cp[x-j-d)— <p(x)

(£C—1— d) — X

(p{xĄ-S) — ifjx)

Lassen wir d in Null übergehen, so wird gleichzeitig: lim fia -j- d) = f{a),

lim

0»+«*)

<p{xJrö) — cp(x) 1

x J x = a

— \fP {X)]x — a — <P (a)}

lim

(25)

l (s + ô) — </> o*ol

(x-\-S) — X J x = a

f{a) =

— Vf (%j]x — a — <f (a)i

'{a)

'(a) ’

x² — 5 x -J- 6

(p{x)    x³-— 2 x² — x-\-2

<p (x) = 2 x — 5, <p' (x) = 3 x² — 4 x — 1, f{2) =

sina;

1. Beispiel; fix)

vO)

f(2) =

^(2),

f' (2)

o I© t-H ICO

2. Beispiel: /*(#)

/ cosæ\

\"T"/* = 0

= 1.

o Io

<p' (0) = lg a,

f,x _

3. Beispiel: fix) =-—

w a;«³⁷

<p' (0) =    + XOjX lg«)a;=*o = 1, AO) = lga.

Es kommt vor, dass ein Bruchwert auch in der neuen Form noch unbestimmt bleibt, indem <p'(a) = 0 und <p'(a) = 0

ist. Das angezeigte Verfahren der Wertermittelung muss dann bei der neuen Form unverändert wiederholt werden.

f{d)

4. Beispiel: f{x) =    /"(«) = dalier

= ^ und /■(«) -

= a

3 a:²—2 ax—«-

6x² — 6 aa:

6 a: — 2 a 12 x — 6a

a?=a

031 CC

5. Beispiel: f(x)

sin 2 a: — 2 sina:

2ex — x²— 2a: —

. Die

Unbestimmtheit verschwindet erst nach dreimaliger Differentiation von Zähler und Nenner, und man findet:

W"W\

Y<p"'(x)\x=^o [

/■( 0) =

2 coso: — 8 cos2o:

2ex

Will man von der Voraussetzung ausgehen, dass <p(x) und p (x) nur darum für x = a gleichzeitig verschwinden, weil sie den gemeinsamen Faktor (x — a) besitzen, so kann (25) etwas kürzer auf folgende Weise entwickelt werden:

g(«).

<p (x)    (x-— a) q (x)

p(x) (x — a) 7i (x) ip' (x) = q (x) -|- (x —• a) (/ (x),    p' (x) = tz{x)-\~{x — d) tz {x).

f{a)

TZ (d) ’

Für x — a, aber auch nur für diesen Wert von x, wird

q (a) = <p' (a), Tz (a) = p' (a) und f(a)

<p' (d)

P\aY

Auch eine geometrische Ableitung der Formel (25) ist möglich. Wenn AB die Funktionskurve des Zählers u = <p(x), AC diejenige des Nenners v = p(x) und <p(d) = 0, p (d) = 0 ist, so müssen sich die beiden Kurven in dem Punkt A schneiden, da ihm die Werte x = a, u — 0, v — 0 entsprechen. Nun sollen dem beliebigen Werte x = OP die Funktionswerte u — <p (x) — BP und v~p{x) = CP zugehören. Es ist dann

m=-

w V

{x — d) tg a_tg a

(x — a) tg ß tg ß’

Geht x in a über, so werden die Sekanten AB und AC zu Tangenten der entsprechenden Kurven im Punkt A, und damit

Fig. 4.

JB,"

C.

geht zugleich tg a in f'(a), tg/9 in <p' [a) über. Für x = a ist mithin

Wird f (a) —

f(d)

x=

F»

a p(a)’

[ - I = —, so ist f(a) =

[ \x=a oo

Sb

<P (?)

(fix)

x~a

und damit ist diese Form auf die vorhergehende zurück

geführt. Wir finden so:

' — f(x)

f(a) =

W’(xW

— <p'{x)

f(fl) =

[<p(x)Y

f(fl)

x=a

\jP (x)    (x)/

<p'{a)

/■(«) =

9 (fl)

(26)

Hat ein Bruch für x = a die unbestimmte Form

so findet man seinen Wert, indem man

0    , CO

— oder —

0    oo

Zähler und Nienner differentiiert und dann erst x = a setzt.

Aufgaben.

287) f{x)

6x²— bx-\-l

8x²— 2x— 1

m)=

T-l CD

288)

xn — 1

289)    „

x⁵ — 2x²— x-\-2

#³ — 7 x -f- 6

f(l)

toi M-

290) „

291)    „

#³ -f- 4 Æ² — 2x — 8 x* ■— 8a?²-|- 12 x— (n-f- l)xn+¹ -Ą-nxn+²

f(+V 2j

«²>=!

~4 + >/2

(i —xY

fix)

292)    „

293)    „

294)    „

2 — \/x — 3 x² — 49

j/3ä — |/Ï2 — x 2x— 3 j/l9— bx a — ^/2xb — ab

f(0

56

69

295)    „

Æ³ — a³

[/2^³ $ — æ⁴ — a a² x

/(«) = o

16

a — a xz

' CD

297)    „

1 — æ —lg (e — x)

298)    „

xe

COS X

299)    „

1 — sin x — cos x

ßX_gsin x

300)    „

x — sin x ax — 1

f(«) = -9«

«°)-J

m = -e m=i

f(0) = \ga

301)    „

\gx

302)

\/x²— 1

algx — x

n i) = o

lg (-£ — 3)

304)    „

a;²-j-3a; — 10 lg (a + x) — lg a

f(2)=₇

«0) = 1

lg

x-j-j/x² — a²

305)    „

306)    „

sin (w x)

[/x² — a²

^(0) == »

307)    „

sina;

308)    „

309)    „

sin 2 a; sin (a x) sin (b x)

2 sin a; — 1

rH JC^I

"S

cos 3 x

"h

-h

oo

310)    „

x cos a;

311) „

x — sin x x cos x — sin a;

a:²

w>-ö

f(0) = 0

312)    „

sin 2 a; — 2 sin x

2^—2 — 2 x

f(0) = 0

313)    „

2 tg² x — cotg x — 1

314)    „

2 sin² a;—cos²a; — \ tg² x — 2tgx — 3

/•

11

10

315)    „

tg² x —■ 4 tg x -{- 3 arc sin (2 — x)

/■(arc tg 3) = 2

(/a;² —3a; + 2

/Y2) = 0

arc sin

[/a²

316)    „

317)    „

[/a² — x2 arc cos (1 — x)

i-i I e

j/ 2 x — x²

/* (0) = 1

318)    „

lg cos x

/*(0) = 0

319) f(x)

sin x — cos x

320)    „

1 — tga? Ig(l-f^)

321)    „

a-\~b x lg (a + x)

f(co) =

rH ji*C>

/(oo) = 0

322)    „

ex

f(p°) = ⁰

323)    „

tgx

324)    „

tg 3 a? cotg 2 a;

toi a

cotg X

w)-s

TC

325)    „

a;

TC²

. X TC

cotg —

Die Form oo— oo. Wenn in fix')

<p (x) 7c (a;)

<f> ix) Q (x)

nur

</>ia) und çia) gleich Null werden, so ist fia) = oo— oo. Man setzt dann vor der Substitution x — a statt der Differenz den

Quotienten [<p ix) q ix) — tc ix) <p ix)] : f ix) q (.«), welcher für x = a die unbestimmte Form ^ annimmt.

326) f(x) = )

sin x — x³

Xs sin x

xs sin x

327)    „

toi 7)

T“t

co tgx cos a;

328)    „

X — 1 lg X

tO M-

329)    „

330)    „

sin « ¹ lg (1 — x)

= [zx-T=^Tx

Die Form O.oo entsteht, wenn in f(x) — y> (x). <p (x) für x = a der eine Faktor verschwindet, während der zweite unendlich gross wird. Man giebt dann der Funktion die Form:

oder == °°,

f(a) =

¥>(%)

o 1©

00

(p (x) _ x

je nachdem <p (a) = 0, </> (a)

——— • lg ax ex — 1    ⁰

331) f{x)

332)    „

(¹⁺ )

= 00

ist, oder umgekehrt.

/•(0) = lg a

= X . lg

= (l — x)tg^x

-r _ ft

= arc sin--cotg (x — a) f(a) =

ct

335)    „    =(1 — 8inÆ).tgÆ

333)

334)    „

Weitere unbestimmte Formen. Die Funktion y = uv, worin u und v Funktionen von x sind, lässt sich auch so schreiben y=-evl%u₁ weil \gy = v\gu. Wird nun für x = a

1)    u =    0    und    v = 0,    so    ist y = 0°,

2)    u =    oo    „    v = 0,

3)    u =    l    „    v = co

Wenn endlich    y    — u ist,    so    ist

1 .

— lg u

= OO⁰.

= 1 ⁰⁰

lg w, oder y

4)    u = 1 und v = 0, so ist y = ^/T,

5)    u = 0    „

6)    u = co „

In diesen Fällen wird der Exponent von e gleich O.oo.

lg y

= ev

V = 00.

. Wird dann für x = a

„ <j = Vo,

OO/⁻’

» y = v⁰⁰ •

336) f{x)=afD

/■(O)HH

337)    „

= Xx

338) /'(&) = (sin æ)

cos a;

(§)-

(l)

(sin x) x

Anmerkung. Wenn, wie es vorkommt, die unbestimmte Form irgend eines Ausdrucks durch Differentation nicht beseitigt werden kann, so nimmt man in der Regel dazu die Reihenentwicklung zu Hilfe.

339)    „

1.

¹

45) y = arc sin

§ 10. Maxima und Minima der Funktionen.

Entwickelte Funktionen. Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) von x = xQ bis x = x₀~\-h endlich und stetig variabel sei (S. 7). Man kann für die Stellen x dieses Gebietes die Formel (2), S. 7, so schreiben:

fix -j-Ax) — f(x) = Ax [f (x) -j- e]

wobei s eine veränderliche Grösse bedeutet, welche mit Ax gleichzeitig unendlich klein ist. Nun nehmen wir an, f'{x) sei von Null verschieden. Dann kann man Ax so klein wählen, dass |e| < \f'(x)\ wird (vgl. S. 6); dadurch erhält die eckige Klammer auf der rechten Seite der letzten Gleichung das Vorzeichen von f'(pc). Da die linke Seite den Zuwachs der Funktion f(x) darstellt, so können wir sagen:

Ist der Differentialquotient fix) von Null verschieden, dann kann man um x ein kleines Gebiet derart abgrenzen, dass in ihm bei positivem f'{x) die Zunahmen der Variabelen und der Funktion dasselbe Zeichen haben, während sie bei negativem f (x) entgegengesetzte Zeichen besitzen. Mit anderen Worten:

Bei positivem f {x) wächst die Funktion gleichzeitig mit der Variabelen und nimmt gleichzeitig mit ihr ab.

Bei negativem f (x) wächst die Funktion, wenn die < Variabele abnimmt und umgekehrt.

Zur Ergänzung dieser Sätze nehmen wir jetzt an, f (x) sei für eine beliebig kleine aber endliche Strecke gleich Null, etwa zwischen a und &, wobei b > a sein mag. Dann setzen wir mit Benutzung einer willkürlichen reellen Konstanten x

@(x)=f(x)-X²#, <p (x) =f(x) -j- X² &

und finden durch Differentiation

<p'(x) =f(x) -j- X² = X² .

& (x) —f'(x) — x² = — x2 Nach dem oben abgeleiteten Satze wächst also <p (x) beständig auf der Strecke von a bis 6, während $(x) auf ihr beständig abnimmt. Demnach ist 0 (b) < 0 (a) und <p (&)>- <p (a), d. h.

f(b) — /’(«)< x² (b — a) und f(b) — f(a) > — x² (b — a). Wäre nun f(b) von f(a) verschieden, so würde hieraus ein Widerspruch folgen, da man x² so klein wählen könnte, dass

!/■(&) — f(a)\ > Ib — a\^

wäre. Es muss demnach f(b) — f(a) sein; und da die gleichen Schlüsse für jeden zwischen a und b gelegenen Punkt gelten, so haben wir bewiesen: Ist für eine endliche Strecke

der Differentialquotient f'(x) = 0, so ist für diese Strecke die Funktion f(x) konstant.

Die abgeleiten Sätze lassen sich umkehren: Wächst die Funktion f(x), so ist der Differentialquotient f'(x) positiv oder auch für einzelne Punkte Null; nimmt die Funktion f(x) ab, so ist der Differentialquotient negativ oder auch für einzelne Punkte Null. Ist die Funktion f(x) konstant, dann hat der Differentialquotient f(x) den Wert Null und umgekehrt.

Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten einer ebenen Kurve ansieht. Dann

ist

f'{x) die trigonometrische Tangente des Winkels,

den die im Punkte (&, y) angelegte Berührungslinie der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschliesst (§ 2, S. 5), und zwar soll die Berührungslinie immer in der Richtung vom Punkte (#, y) nach dem Punkte (æ-j-Ææ, y-\-dy) genommen werden. Ist nun die Funktion y=f(x) für das wachsende x im Zunehmen begriffen, so steigt die Kurve, wenn man sie

Dölp, Aufgaben.

im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der Stelle Mn Fig. 6 a an der Stelle Min Fig. 7a an den Stellen M, und M„.) Die Berührungslinie schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv

sind, nämlich der Kosinus =■

dx

und der Sinus

dy

[/dx²-\-dy

. (Es ist dies der positive spitze Winkel a, in

\Zdxnu-\- dy*

Fig. 5a, der positive spitze Winkel a„ in Fig. 6a, und in Fig. 7 a sind es resp. die positiven spitzen Winkel a, und a„.)

fix) für wachsende x im Ab-

Ist dagegen die Funktion y nehmen begriffen, so fällt die Kurve, wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Hier ist dx positiv und dy negativ. (Fig. 5 a an der Stelle M„, Fig. 6 a an der Stelle

Mn Fig. 8a an den Stellen Mr und M„.) Die Berührungslinie in der oben angegebenen Richtung schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus positiv, dessen Sinus negativ ist. (Es ist dies der negative spitze Nebenwinkel von a„ in Fig. 5a, von a, in Fig. 6a, von a, und von a„ in Fig. 8 a.) Diese Winkel liegen unterhalb der Abscissenaxe und werden hergestellt, indem man die Berührungslinie über ihren Schnittpunkt mit der Abscissenaxe hinaus verlängert.

Hiernach kann man die oben entwickelten Sätze auch so aussprechen:

Wenn die Kurve steigt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte {x₁ y) nach dem Punkte {x-\-dx, y-f-dy) mit der Richtung der wachsenden x einen positiven spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

Wenn die Kurve fällt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte {x-\-dx, y~\~dy) mit der Richtung der wachsenden x einen negativen spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

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7

Fig. 5 a.

Fig. 6 a.

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Fig. 5 b.

Fig. 6 b.

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Fig. 7 a.

Fig. 8 a.

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M

>4

/*•/>.

a

cv

Fig. 7 b.

Fig. 8 b.

m

a

m

m,

\

mf/

Nach dieser Vorbereitung betrachten wir eine Funktion y=f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x = a — d bis æ = a -f- d. Wir setzen voraus, dass f (a) = 0 sei. Dann ist an der Stelle x = a die Funktion f(x) weder im Zu- noch im Abnehmen begriffen. Oder bei der graphischen Darstellung darf man sagen: die Funktionskurve ist an der Stelle x = a weder im Steigen noch im Fallen begriffen. Man darf diese Stelle bildlich als ein momentanes Niveau bezeichnen. Hier sind vier Fälle zu unterscheiden:

Erstens. Der Differentialquotient f'(x) geht von positiven Werten durch Null zu negativen Werten über, wenn die unabhängige Variabele x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion y==f(x) bis an die Stelle x = a im Zunehmen und nach Überschreitung derselben im Abnehmen begriffen. Der Funktionswert f{a) ist demnach grösser als f(a — d) und grösser als /“(a-j-d), wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle nennt man den Funktionswert f(a) ein Maximum. Graphisch findet sich der Verlauf der Funktion in Fig. 5 a dargestellt, wenn man darin x als Abscisse, f(x) als Ordinate ansieht. Den Verlauf des Differentialquotienten fix) veranschaulicht Fig. 5b, in welcher x als Abscisse, f{x) als Ordinate aufgetragen ist.

Zweitens. Der Differentialquotient f'(x) geht von negativen Werten durch Null zu positiven Werten über, wenn x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion f(x) bis an die Stelle x = a im Ab nehmen und nach Überschreitung derselben im Zunehmen begriffen. Der Funktionswert f(a) ist demnach kleiner als f(a — d) und kleiner als /’(a-f-d), wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle wird der Funktionswert f(a) ein Minimum genannt. Graphisch ist der Verlauf der Funktion f{x) durch die Ordinaten in Fig. 6 a, der Verlauf des Differentialquotienten f{x) durch die Ordinaten in

Fig. 6 b veranschaulicht. Die unabhängige Variabele x ist in beiden Figuren als Abscisse genommen.

Drittens. Der Differentialquotient f'(x) ist positiv für x = a— <5, erreicht stetig abnehmend den Wert Null für x=a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig zu, so dass er für x = a-\-ö wieder positiv ist, wie klein auch d genommen werden möge. Dann ist die Funktion f(x) vor und nach der Stelle x = a im Zunehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Die Funktion f(x) wird durch die Ordinaten in Fig. 7 a, ihr Differentialquotient f'(x) durch die Ordinaten in Fig. 7 b dargestellt.

Viertens. Der Differentialquotient f'(x) ist negativ für x = a — d, erreicht stetig wachsend den Wert Null für x = a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig ab, so dass er für x = a-|-d wieder negativ ist, wie klein auch d genommen werden möge. Dann ist die Funktion f(x) vor und nach der Stelle * = « im Abnehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Ihr Verlauf wird durch die Ordinaten in Fig. 8 a, der Verlauf des Differentialquotienten f'(x) durch die Ordinaten in Fig. 8 b vor Augen geführt.

[Wenn eine ebene Kurve in einem gewissen Punkte von einer geraden Linie zugleich berührt und geschnitten wird, so nennt man diesen Punkt einen Wendepunkt. In dem dritten und vierten der eben unterschiedenen Fälle hat die Funktionskurve einen Wendepunkt, und ihre Tangente in diesem Punkte liegt hier speciell parallel zur Abscissenachse.]

Man kann die gewonnenen Resultate auch so zusammenfassen :

I. Eine Funktion y=f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x = a — d bis x = a-j-d, besitzt an der Stelle x = a ein Maximum (Minimum), wenn der Differentialquotient f'(x) an dieser Stelle durch Null

hindurchgehend sein Vorzeichen ändert. Ein Maximum findet statt, wenn f'(a ein Minimum dagegen, wenn f'(a-f- d) > 0 sind.

d) > 0 und f (a -f- d) < 0 ; f\a — d) < 0 und

II. Wenn aber der Differentialquotient f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a stetig variabel durch Null hindurchgeht, ohne sein Vorzeichen zu ändern, so hat die Funktion f(x) an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Wir setzen jetzt voraus, dass die Funktion y=f(x) und ihre aufeinander folgenden Differentialquotienten f (x), f"(x), f"'(x\ ... bis zu dem von der wten Ordnung: fn{x) von x = a — d bis x — a -f- d endlich und stetig variabel verlaufen. Es soll ferner fn (x) der Differentialquotient von der niedrigsten Ordnung sein, welcher für x = a einen von Null verschiedenen Wert hat. Alle vorhergehenden Differentialquotienten sollen für x — a zu Null werden: f (a) = f"(a) = ... =    (a) = 0.

Dann lässt sich d positiv und so klein wählen, dass von x = a — d bis x = a-j- d der Differentialquotient fn (x) sein Vorzeichen nicht ändert. Infolgedessen geht fn~¹(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von positiven zu negativen Werten über oder umgekehrt von negativen zu positiven Werten, je nachdem fn(a) negativ oder positiv ist. Im erstgenannten Falle ist fn~²(a) ein Maximum, im zweiten Falle dagegen ein Minimum, wie aus dem Satze I. ohne weiteres hervorgeht. Jedenfalls sieht man, dass fn~² (x) zwischen a—d und    sein Vorzeichen nicht ändert, und dass dies

Vorzeichen dasselbe ist wie bei fn(x). Danach erhält man bei fn~‘d(x) dieselbe Vorzeichen-Änderung wie bei fn~l{x), und es wiederholen sich periodisch dieselben Erscheinungen, wenn man schrittweise zu Differentialquotienten von geringerer Ordnung übergeht.

Ist nun n eine gerade Zahl und fn(a) negativ, so gelangt man zu der Einsicht, dass f"(x) negativ ist. Folglich geht f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von posi-

fix)

fix)

Fig. 9.

f ix)

f (X)

f ix)

f (x)

f" (x)

f ix)

r (x)

f" (X)

r ix)

r ix)

f" ix)

r ix)

f"ix)

f"ix)

f" ix)

f" ix)

tiven zu negativen Werten über, und es ist fia) ein Maximum. (Fig. 9 A.)

Ist n eine gerade Zahl und fn(a) positiv, so findet sich., dass f'\x) positiv ist. Folglich geht fix) mit wachsenden x an der Stelle x = a von negativen zu positiven Werten über, und es ist f{a) ein Minimum. (Fig. 9 B.)

Ist n ungerade, so hat fix) positive oder negative Werte, je nachdem fn (a) positiv oder negativ ist. Folglich hat fix) weder Maximum noch Minimum an der Stelle æ = a, sondern nur ein momentanes Niveau, weil f'(a) = 0 ist. (Fig. 9, C und D.)

Die Figuren 9 hat man sich nach unten periodisch fortgesetzt zu denken bis zu einer Funktion fn(x). Diese ist von fix) an gerechnet die erste, für welche an der Stelle x = a die Kurve mit der Abscissenachse nicht zusammentrifft. Und zwar verläuft fn (x) ganz auf dem Gebiete der negativen Ordinaten in A und D, dagegen ganz auf dem Gebiete der positiven Ordinaten in B und C. Für A und B ist n eine gerade Zahl, für G und D eine ungerade Zahl. Sind die Figuren 9 in der eben angegebenen Weise vervollständigt, so hat man sie von unten nach oben schrittweise zu durchlaufen, um die oben durchgeführte Argumentation zur Ansehauung zu bringen.

Handelt es sich darum, von einer gegebenen Funktion y = f(x), die nebst ihren ersten Differentialquotienten endlich und stetig verläuft von x = x₀ bis x = x₀-\-h, die Maxima und Minima aufzusuchen, so haben wir dafür die folgende Regel:

Man setze f'(x) = 0 und suche die Werte von x auf, welche dieser Gleichung Genüge leisten und zwischen x₀ und x₀-\-h liegen. Ist x = a ein solcher Wert, so ist f(a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f"(a) negativ oder positiv ist.

Findet sich ausser f'(a) = 0 auch f"(a) = 0, so suche man den Differentialquotienten der niedrigsten Ordnung auf, der für x = a nicht den Wert Null hat. Ist dieser von ungerader Ordnung, so findet weder Maximum noch Minimum statt. Ist er von gerader Ordnung, so ist fia) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem jener Differentialquotient für x = a einen negativen oder einen positiven Wert hat.

T-i 1 «

1. Beispiel: Für welche Werte von x wird f{x) = x-j-

*11 »*>

einMax. oder Min.? f'(x) = 1 —

= 0 giebt x = + 1 ; f"(x) =

Da nun f'{ 1) sein, sowie f{— 1) negativ ist.

2, d. h. positiv ist, so muss f(l) = 2 ein Min. 2 ein Max. ist, weil f" (— 1) = —2

2.Beispiel: f(x) = sina?-j-cosa;; f'(%) = cosa; — sina? = 0,

^ und ~ ; f" (x) = — sin x — cos a? ; f

(/2 ist ein

Max., weil f

(4) <⁰ j Kt)

j/2 ist ein Min., weil

r(V')

> 0. Periodische Wiederholung.

3. Beispiel: Für welchen Wert von x wird f(x) ein Max. oder Min.?

a? = —

’ ee

(lg « — Igx — 1) = 0, oder lg x — lg f'\x) = — ^-f{x)Ą-f'(x)(\ga — \gx— 1); f" ^    =

= ee ein Max.

d. h. negativ, mithin ist f

4. Beispiel: Für welche Werte von x wird fix) = sin x sin (a — x) ein Max. oder Min.? f'(x) = sin (a — 2a?)=0, woraus a — 2x = 0, oder = 7r, oder = 2tc,

a? = -^, oder = —, oder = ^—7r; f"(x) = —2cos(« — 2x).

u    u    u

Nun ist f"

tOl R

— 2, also f

toi a

= sin²^ ein Max.. 2

'■(vH

, mithin f

— cos² ~ ein Min. Der

Ui

dritte Wert ist dem ersten gleich. Periodische Wiederholung.

sina;

5. Beispiel: Für welche Werte von x wird fix) ein Max. oder Min.?

l+tgx

f'(x) =

cos a; — sina;tg²a;

(1 + tga?)²

0, oder tg³ x = 1, x = und x —

5 7T

Wenn f'(x)=™ ist, so ist f"(x)

V . u'— U . V

v²

Da nun für den in Betracht kommenden Wert von x der Zähler des Bruches — verschwindet, so reduziert sich die letzte

u'

Gleichung auf f"(x) = — .

In unserem Beispiele wird f

ein Min., weil f" Wiederholung.

negativ und f"

= ein Max.,

positiv ist. Periodische

Aufgaben.

Zu den nachfolgenden Aufgaben sind als Lösungen nur die Werte von x angegeben, für welche die Funktion ihre Maximal- und Minimalwerte annimmt; diese selbst können durch Substitution leicht gebildet werden.

340) f(x)=xs— 2ax²-\-a²x Mx.ftira?=-^, Mn. für x = a

3

Mx. „ x== — 5, Mn.füra;=l 2

Mx. „ x = —, Mn.fürcc = 0 3

341)    „ =x³-l-6X²—15x

342)    „ =x² (1 — x)

343)    „ = x²(a— x)²

344) „

x²-\- 1

Mx. „ # = -, Mn. „

Mn. „

Mx. „ x = 1, Mn. „ x= — 1

345)    „

a²

= xA—• x

Mx. „ x = — a, Mn.füro: = a

346) „

a;²

(l-*)²

a

x===. - a>0

ci —j— 1⁷

347) „

Mn. „

Mx. „ x=2 Mn. „ x = — 2

Mx. „

ax² — bx -j- c

Mn. „

Vk

349) /■(£»)

354)    „

a;²

4a

₃ , Mn. „ æ = 0

a;² — 3a?-|- 2 £C² —j— 3 ic —J— 2

350)    „ = + [/2ax— x²

351)    „ = [/2ax² (2a— x)

352)    „    =x-j-{/ï

353)    „    =x\/2 — x²

x \/ax — x²

355)    „ =(a-|-Æ)|/a² — a;²

356)    „    =ea -J-e a

357)    „

Mx. für x — — y 2 Mn. „ a? = j/ 2

Mx. „ x = a, Mn. für a? = a Mx. „

Mx. „

Mx. „ x = 1, Mn. für a? = — 1

nr    3 a

Mx. „ a? = —-

Mx. „

Mn. „ cc = 0

Mx. „ a? = 2, Mn. für x = 0

358)    „ =

ax

a?

Mn. „ a?

lga

; «> 1

co co

„ =xex „ =e2æ —

361)    „ = 3^

362)    „ =xx

363)    „

Mn. „ x = 1 Mn. „ a? = lg-i-

Mn, „ a? = —

1 gx

364)    „ =x¹~¹sx

365)    „ =2sina;-}-sm2a;

Mx. „ ac = e Mn. „ x = e Mx. „

Mx. „

V*

71

366) „

sin2a?+2sin(a —x) Mx. „ x = ^, Mn.füra; =

O

cos²a? , sin²a?

TC nr

x = — , Mn. „

j a>& Mx.

367)    „

368)    „ = cos x -j- cos (a — x) ; a < tt

Mx.für a? =

a²

a? = 0

to a

369) fix) = sin x. sin (a -j- x)

Mx.für x

tv — a

Mn. für x = tv — —

370) „

sin x. cos (a — x)

3 TV

371) „ ^e^.cosx

Mx. „

Mn. fur % =    .

2    4

Mn. f\lrx =

5 TV

4’

372) „ =

sina?

Mn. „ x =

TV

4’

Mx. „ x = -

5 TV

Bisher halben wir nur solche Maxima und Minima behandelt, bei denen der Differentialquotient der Funktion endlich ist und sich stetig* ändert. Es kann aber auch der Fall Vorkommen, dass die Funktion y=f(%) von x = a — d bis x = a-\-ö endlich und stetig verläuft, der Differentialquotient fix) dagegen an der Stelle x=^a eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet. Hier haben wir lim f(a— d) zu unterscheiden von lim f (a -f- d) bei unendlich kleinem d. Wir können diese Ausdrücke ohne Missverständnisse zu befürchten kürzer durch f'(a — 0) und f' (a -(- 0) bezeichnen. Wir verstehen also unter f'(a — 0) den Grenzwert, welchem sich fix) unaufhörlich annähert, wenn man x von kleineren Werten aus stetig wachsend an die Stelle x = a heranrücken lässt. Dagegen ist f'{a-j-0) der Grenzwert der Funktion fix) für den Fall, dass man x von grösseren Werten aus stetig abnehmend an die Stelle x = a bringt. Haben nun f{a — 0) und f'(a-j-0) verschiedene Vorzeichen, so ist f(a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f'{a — 0) positiv oder negativ ist.

Beispiel: Es sei x

= cotg -g-1 und

dy

d²y

dx²

a(t — sin0? y = a{ 1 — cost), also Die Funktion y hat

4 a (sin l tf '

ein Maximum y = 2a mit stetiger Änderung von Stelle t == 7T, x = a,7T, dagegen ein Minimum y = stetiger Änderung von

ist

dy

dx

its

an der

0 mit un-

an der Stelle t — 0, x = Q. Hier

dx

oo für x = — 0 und

dy

dx

-)- oo für x = -f- 0.

Periodische Wiederholung mit der Periode t = 2tt.

Unentwickelte Funktionen. Soll aus einer Gleichung 0 ein Maximal- oder ein Minimalwert für y hervorgehen, so muss die unabhängige Variabele x so gewählt

äy_₀

so geht diese in die andere Bedingung über

ffri y)

werden, dass die Bedingung befriedigt ist d f df dx ' dy

0. Im allgemeinen werden in dieser Gleichung die beiden

dy

dx

Da nun

Variabelen enthalten sein. In Verbindung mit f(x, y) = 0 giebt sie die gesuchten Werte von x und die zugehörigen Werte von y. Wenn für ein solches zusammengehöriges Wertpaar

0, sondern zugleich auch

so ist nicht mehr gleich Null, sondern unbestimmt, ein Fall, (t oc

der später eingehend behandelt werden wird. Hier setzen wir nicht verschwinde. Unter den angeführten

x und y nicht nur

df

dy

Bi

= 0 wird

voraus, dass

df

dy

Umständen reduziert sich der zweite Dilferentialquotient auf den Ausdruck

d²y

d²f df

dx² ’ dx

dx²

Beispiel: f— y² -|- 2x²y -j- 4x — 3

nach Formel (24), S. 53.

0;

««s I s

2y -\-2x².

Die beiden ersten Gleichungen ergeben x

— 4xy-\-4 = 0

und x =

i, y =—¹

À -F

— y = 2- Da für das erste Wertpaar auch ^-=0

wird, so ist y weder Maximum noch Minimum. Dagegen wird

dh—

dx²

für das zweite Wertpaar Maximum.

16

—, mithin ist y — 2 ein

Aufgaben.

rp -    -0/2

373)    f——^~J-j2 — 1=0;

Für a? = 0 wird y — b ein Max., y = — b ein Min.

374)    f=(x² + yy — a²(x² — y²) = 0.

Für x—0 wird y = 0 weder Max. nochMin., für cc=+^|///^

wird y = ~ |/2 ein Max. und y = — ^ [/ 2 ein Min.

375)    f=x³ — 3a²x-\-ys = 0]

x = a giebt y = a^/2 als Max. und x = — a giebt y = — a 2 als Min.

376)    f=Ax²— 20#— 8y-f-41 = 0;

5

x = — macht y = 2 zu einem Min.

2 J

377) /*= (2/ — ^)³    -}- 6 = 0 ;

1 2 —= macht y — — 6 -j--

6--

3/3

zu einem Max.

- --= macht y =

3/3

3|/3 2

6--7= zu einem Min.

31/3

# =— 6-f

378) f=y² — ay — sinÆ = 0; a>2;

a^ = ~ macht ?/ = ^a-|-|-[/a²-[-4 zu einem Max. und

u

y — ^a, — -i[/a²-J-4 zu einem Min.

Was findet sich für x — — ~ ?

u

Relative Maxima und Minima. Gegeben ist die Funktion z — f{x, y) und weiter zwischen x und y die Gleichung <p (x, y) — 0. Es sollen nun x und y so bestimmt werden,

dass sie der Gleichung <p (x, y) = 0 genügen und zugleich z zu einem Maximum oder einem Minimum machen.

weil der Punkt zur Kreis

Beispiel: In den Kreis <p{x, y) — x²-\-y²— r² — 0 das an Fläche grösste Rechteck zu zeichnen, dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel laufen. Sind x, y die Koordinaten des Eckpunktes im ersten Quadranten und also beide positiv, so ist z = Axy der Wert, welcher ein Max. werden soll, und zugleich müssen x und y die Bedingung befriedigen: ip (X) y) = x² -f- y² — r² = 0 linie gehört. Hier kann leicht y = \/r²— x² aus der Gleichung <p = 0 genommen und in z = Axy substituiert werden;

man findet dann, dass z = Ax\/r² — x² für x = rein Maximum wird.

In vielen Fällen ist jedoch eine solche Substitution äusserst schwierig, wenn nicht ganz unmöglich, so dass die Aufgabe auf andere Weise gelöst werden muss. Da y durch die Gleichung <p — 0 von x abhängt, so muss x als die einzige unabhängige Yariabele angesehen werden, und es müssen die Werte von æ, welche z zu einem Maximum oder einem Minimum

machen, der Bedingung

= 0 genügen, d. h. es muss sein

dl₌df\dL.dl₌₌o

dx'dy dx

Aus der Gleichung <p = 0 ergiebt sich:

d <p . 8 <p

8 x' 8 y

dx

(A)

äj

(B)

& l<s£

und durch Elimination von

aus (A) und (B) entsteht:

8f 8 <p    8f 8 <p

re

dx 8 y    8y 8x ^

oder:

Cb

C5j

(C)

Aus (C) und <p — 0 findet man jetzt die Werte für x und «/, durch welche z ein Maximum oder ein Minimum wird, und die weitere Frage, ob Maximum oder Minimum, wird

d²j dx²

entschieden, welcher

wieder durch das Vorzeichen von Ausdruck unten noch gebildet wird.

Dieses Verfahren lässt übrigens folgende Abänderung zu. Die Bedingung (C) kann auch durch die folgenden Gleichungen

df

dx

6 cp

(D)

ausgedrückt werden, wenn X eine willkürliche Konstante bedeutet, durch deren Elimination (D) wieder in (C) übergeht. Tritt aber die weitere Gleichung (p = 0 noch hinzu, so haben ‘ wir 3 Gleichungen zwischen den 3 Unbekannten £c, y und X. Da nun weiter

_difĄ-lp) df

dx ' dx

dyd y

ist, so dienen zur Bestimmung von x, y und X die folgenden 3 Gleichungen:

dx

dy

dif-\-X<p) __    d(f-\-X<p)

dx    ’ dy

0, (p{x,y) = 0.

(27)

Es bleibt noch übrig,

entsteht:

d² z dx²

abzuleiten. Aus (A) und (B)

d²z d

df

dx²

dx

dx

Oj Cb

dy

dx

d d <p ,d<p dx dx' dy

dx

Wird die letzte Gleichung mit X multipliziert und zur vorhergehenden addiert, so erhält man:

d² z_ d \d(f+X₉) , d (f-\- X<p) dy

dx² dx [

Führt man rechts die Differentiation durch, so erscheint

multipliziert. Bei den hier in

dx

dy dx I '

cl^ y

--4 mit dem Faktor

dx²

d(fJrX<p)

dy

Betracht kommenden Werten verschwindet dieser nach (27), so dass wir für unsern Fall schreiben können:

d² z_d-(f-\- Xcp) ^ (9² (f-\- X(p) dy

dydx dx

dx-

dx²

d\f+X<p) . <?²(/‘+^) dy

dx dy

dy²

dx

d <p d <p dx dx d y

I² d²(f-\-Xp) d<p d<p d*(f-\-X<p) dxdy dx dy' dy²

Wird endlich ~ —

gesetzt, so geht daraus hervor:

dx²

Cb Cb

<=£ re

TO

IM

Da der Nenner dieses Wertes ohne Einfluss auf das Vorzeichen ist, so wird z ein Maximum, wenn der Zähler negativ, ein Minimum, wenn der Zähler positiv ist.

Handelt es sich also darum, z = f(x, y) zu einem Max. oder Min. zu machen, während <p{x, y) = 0 ist, dann gilt

folgende Regel:

positiv (negativ) machen, haben wir ein

den Ausdruck

Man bestimme die drei Unbekannten l, x, y so, dass die Gleichungen (27) erfüllt werden. Wenn die erhaltenen Werte d-z

dx²

Minimum (Maximum).

1. Beispiel: Für welche Werte von x und y wird z = xy ein Max. oder Min., wenn die Bedingungsgleichung gegeben ist:

f-\-l(p = xy-j- l{x⁸ + y³ — axy) ;

• d(f+x<P)

cp = xs -|- ys — axy 0. S(fĄ-hp)

x-\-l(3y²—ax)=0.

y-\-X(3x²—ay)=0

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt x — y, und dann aus <p = 0 weiter:

dx

dy

a²

dx²

Dölp, Aufgaben.

x — y = ^, und endlich X = —

6, £!(^M = 6*« = -6

— Qlx= —

'=4’

2. Beispiel: Aus einer Seite a und dem gegenüber liegenden Winkel a soll das an Fläche grösste Dreieck gezeichnet werden. Nennen wir die an der Seite a liegenden Winkel x a² sina: sin?/

und y, so ist F

. Da nun ein aus konstanten

2 sin a

und variabelen Faktoren zusammengesetztes Produkt seinen grössten oder kleinsten Wert annimmt, wenn das Produkt der yariabelen Faktoren am grössten oder kleinsten wird, so dürfen wir a² und 2sin« unterdrücken und z = f(x: y) = $mxsmy als diejenige Funktion anseh en, welche durch passende Wahl von x und y zu einem Max. wird. Zugleich besteht die Relation <p = x-\-y -Ą- a— jt = 0, so dass f-\-Xy> = sina:sin«/

dx

00

d*(f ~|-X<p)

dx dy

1 — Xa =

CO

co

«as

Cbl Cb

= 3 y²— ax= —■

a² d² z

dx²

h⁸» il

'S

= cos x sin y -f- X = 0

dy

sin x cos y -(- X = 0 ist, woraus leicht sin (x — y) = 0,

oder auch x — y = 0 erhalten wird, weil die andere Relation x — y — 7i hier nicht zulässig ist. Für y — x wird dann weiter

dx²

sin²a:

Qj Cb Oj

sin²a;

*!(:f±M

dx dy

= cos²a;, und da ^=1

d^z

dx²

möglichen Dreiecken mit gegebener Basis und gegebenem Winkel an der Spitze besitzt das gleichschenkelige die grösste Fläche.

— 1 ist, so wird für y = x

der Wert

negativ und die Fläche ein Max. Unter allen

Eine andere Aufgabe, nämlich die: In einen gegebenen Kreisabschnitt das grösste Dreieck zu zeichnen, fällt mit dieser genau zusammen.

Aufgaben.

379) Wie gross muss der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks in gegebenem Kreise gewählt werden, wenn die Fläche des Dreiecks ein Max. werden soll?

Wenn r der Halbmesser des Kreises und x der gesuchte Winkel ist, so ist F= 4r²sin³ÆcosÆ und wird Max. für cos x = %, oder x = 60°. Im Kreise hat das

gleichseitige Dreieck die grösste Fläche.

380) In einem Dreieck ist die Basis = a und der Winkel an der Spitze = a gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn sein Umfang ein Max. werden soll?

Sind x und y die beiden anderen Seiten, so ist:

<p — x¹ -|- y* — 2 xy cos a — a¹ — 0.

f = x-\-ya Man findet f als Max. für x = y.

381) Eine Strecke a ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt aus den Längen der Abschnitte ein Max. wird.

z = xy, <p

= x-\-y — a = 0 ; z wird Max. für y = x = ~

382)    Die Summe der beiden Katheten eines recht winkeligen Dreiecks ist konstant, nämlich x-\-y = 2 s. Wie sind die Katheten zu wählen, wenn die Hypotenuse z ein Min. werden soll?

z = Min. für x — y.

383)    Zwischen den Schenkeln eines Winkels «, dessen Scheitel A ist, liegt ein Punkt M. Man soll durch M eine Gerade ziehen, welche die Schenkel in B und C schneidet und zwar so, dass das Dreieck ABC ein Min. wird.

Wir ziehen durch M zu AC eine Parallele, welche

AB in D schneidet. Gegeben: AB = a gesetzt: AB = x, AC = y. F=^xysina

MD = b ; oder

z = xy ; <p =

oder MB = MC.

384) In der Basis AB eines Dreiecks ABC ist ein Punkt M gegeben; eine Parallele zu AB soll AC in B und CB

— 1 = 0. F = Min. für x = 2a.

in E schneiden. In welcher Entfernung- yon der Basis muss DE gezogen werden, wenn das Dreieck DEM ein Max. sein soll?

Wir setzen Basis AB = c, Höhe des Dreiecks ABC = ä, Basis DE=y, Höhe des Dreiecks DME = x und haben: F=\xy, <p — cx-\-hy — ch = 0; F='M.^xA\\xx = ^li.

385) Die Grundlinie 5 und die Höhe h eines Dreiecks sind gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn die Summe der beiden anderen Seiten ein Min. werden soll?

Sind x und y die Winkel an der Basis, so ist

s =    die Seitensumme, bh = 2F

sin# sin ^

&‘²sin#sm?/

sin (x -|- y)

oder y — cotg x -j- cotg y —    = 0. Für x — y wird 8

ein Min..

386) Auf den Seiten AB und BC eines Dreiecks sollen die Punkte D und E so gefunden werden, dass ihre Verbindungslinie DE das Dreieck halbiert und ein Min. wird.

BD = x, BE—y,BA = c, BC=a-

DE-= x²-\-y²— 2 xy cos B, y = xy — <~ = Q. Man findet 8 = #²-j-y² — cic cos B = Min., wenn x — y =    •

Die Aufgabe, „von einem Dreieck DBE ist der Inhalt und der Winkel an der Spitze gegeben, die Grundlinie soll ein Min. werden“, fällt mit der vorstehenden zusammen.

387) Eine Gerade DE und 2 auf der nämlichen Seite gelegene Punkte A und B sind gegeben, man soll in DE einen Punkt C so finden, dass ACĄ-CB ein Min. wird.

Man ziehe AB und BQ senkrecht auf DE; setze AP=p, BQ = q, PQ = c-, <£ACP=x, <£BCQ = y,

so ist 8 =■ ACBC— ^

Q.

sin x ' sin y ’ ą cotg y — c = 0 ; 8 wird Min. für x = y.

(p~p cotg X -{-

Ist A CB der Weg eines Lichtstrahls, so liefert die Lösung dieser Aufgabe das Gesetz der Reflexion durch die Forderung, dass der Weg ein Min. sein solle.

388)    Ein Winkel B und eine Strecke DF—b sind gegeben. Es soll b so in den Winkel eingetragen werden, dass die Endpunkte B und JE auf die Schenkel des Winkels fallen und das Dreieck JDBE ein Max. wird.

Es sei BD — x, BE = y, F— \xy sin B, <p — x2 -j-y²— 2xyc,osB—b² = 0.    2^=: Max. für x — y.

Man vergleiche den Zusatz zu 386). — Die Aufgabe bietet eine andere Fassung und andere Lösung von Beispiel 2.

389)    Gegeben ist ein rechter Winkel mit dem Scheitel A und auf dem einen Schenkel die Punkte B und C. Man soll auf dem andern Schenkel einen Punkt D so finden, dass Winkel BBC—v möglichst gross wird.

AB=b, AC=c, AD = x, <QABD = ß,

(c — b)x bc-\-x²

^ACJD = y, tgß =

00

t gy = -;    tgv =

wird mit v selbst Max. für x = + [/bc.

390) Welches von allen Vierecken, die aus den 4 gegebenen Seiten a, b, c, d konstruiert werden können, hat die grösste Fläche?

Ist x der von a und ô, y der von c und d eingeschlossene Winkel, so ist 2 F= a b sin x -|- c d sin y. Durch die Diagonale wird die Belation vermittelt:

<p = 2ab cos# — 2 cd cos y — a² — b² -f- c²-j- d² = 0. Man findet, dass für sin (x -j- y) = 0, d. b. x-\-y = 7c F ein Max. wird. Das Viereck ist also ein Kreisviereck.

391) In eine Ellipse soll das grösste Rechteck gezeichnet werden, dessen Seiten den Achsen der Ellipse parallel laufen.

Gl. der El. : x — a cos t, y = b sin t ;

F— 4xy = 2 ab sin 2 t == Max. für £ = 45°, oder:

aVł? y — -k•

392)    Wie ist der Halbmesser eines Kreises zn wählen, wenn ein Sektor yon gegebenem Umfang =2 a die grösste Fläche besitzen soll?

Ist der Halbmesser —x und der Bogen =2 y, so ist x-\-y — a und F=xy ein Max. für x = ^.

393)    Ein Parabelsegment wird durch eine zur Achse senkrechte Sehne BC begrenzt, deren Abstand vom Scheitel A gleich a ist. Eine zweite Sehne MN soll parallel der ersten innerhalb des Segmentes so gezogen werden, dass das Rechteck, dessen eine Seite MN ist, und dessen Gegenseite in SG liegt, die grösste Fläche besitzt.

Sind a?, y die Koordinaten des gesuchten Punktes M:

so ist F=y(a— x) und yi=2px\ ,F=Max. füra? =    .

394)    Die vorhergehenden Angaben; jetzt soll der Umfang des Rechtecks ein Min. werden.

^TJ—y-\-a — x; y² = 2px. Man findet Z7=Min. für y — p, x = ^p.

395)    Zwei Tangenten eines Kreises bilden einen Winkel —2 a. Wie ist eine dritte Tangente zu legen, wenn das dem Kreise umschriebene Tangentendreieck ein Min. werden soll?

Die Winkel, welche die dritte Tangente mit den gegebenen bildet, mögen 2 a? und 2 y sein; dann ist:

F=r² (cotg x -j- cotg y -}- cotg a) und <p — x-\-y-\-a — 90° = 0. F wird Min. für x = y.

396)    In einem Kreise ist eine Sehne AB gegeben, und es soll im kleineren Abschnitt zu ihr parallel eine zweite Sehne CD so gezogen werden, dass das Paralleltrapez ABCD ein Max. wird.

Es sei M der Mittelpunkt, MH der zu AB senkrechte Halbmesser, <£AMH=a, <^CMH= x, so ist 2 F= r* (sina; 4- sin«) (cos x — cos«) und wird Max. für

x = wie aus der Bestimmungsgleichung cos 2 x

Ö

= cos (x — a) folgt.

397)    Es soll bewiesen werden, dass der Kreis als das reguläre Vieleck angesehen werden kann, welches bei konstantem Umfange die grösste Fläche besitzt.

Ist x die Seitenzahl und P der Umfang des Vielecks,

P²    7T

dann wird seine Fläche F=-r- cotg— ein Max., wenn

Ax    x

2 Ti 2tc

sin

^    ^ i d. h. x = co ist.

398)    Ein gerader Kreiskegel, dessen Spitze A heisst und dessen Basisdurchmesser BC=2r und dessen Seitenkante AB = s ist, soll durch eine zu AG parallele Ebene so geschnitten werden, dass der Inhalt der entstehenden Parabelfläche ein Max. ist.

Es sei S der auf AB gelegene Scheitel, SD die zu AC parallele Achse der Parabel, mithin D ein Punkt von BG. Es sei ferner SD = x und die zu x gehörige Ordinate =y, so ist F=%xy und y² — BD. DG

= DG(2r — DG). Daraus ergiebt sich y — — y sx — x²

und F wird Max. für x = %s oder AS = ^ AB.

399)    Um ein Kechteck soll die an Fläche kleinste Ellipse beschrieben werden.

a und b die halben Rechteckseiten, x und y die Halb-

Es wird

a² fr²

achsen. F= xyrc und <p —    -f—^ — 1 = 0.

x~ y

P=Min. für x — a\/2, y = b[/2. — Vgl. 391).

400)    Um ein gleichschenkeliges Dreieck soll die an Fläche kleinste Ellipse gezeichnet werden, deren kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks läuft.

Spitze des Dreiecks M, Basis BC=2n, Höhe =h. Sind u und v die Halbachsen, so heisst die Scheitelgleichung der Ellipse: u²y² = v²(2ux — x²) und so besteht die Relation: u²n² = v²^2uh — h²). Die Fläche F—UV7T wird ein Min. für u = \h.

401) In ein gleichschenkeliges Dreieck soll eine Ellipse so gezeichnet werden, dass sie die Seiten des Dreiecks berühre, dass ihre kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks laufe und dass ihre Fläche ein Max. sei.

AB=2n die Basis, C Spitze, DO = h Höhe und zugleich X-Achse, AB F-Achse, u und v Halbachsen. Nun ist u²y² = v²(2ux — x²) die Scheitelgleichung der Ellipse

und y = —^ x-\-n die Gleichung von AG. Suchen wir

die Abscissen der Schnittpunkte zwischen der Ellipse und AC und setzen den Wurzelteil gleich Null, so ist dies die Bedingung dafür, dass die Gerade die Kurve be-

rührt. Sie heisst: v²-\--=--w'² = 0: F=uvtt wird

h

3'

Max. für u = \.

402) In ein gleichschenkeliges Dreieck soll eine Parabel so gezeichnet werden, dass ihre Achse auf der Mitte der Grundlinie rechtwinkelig stehe, dass sie die beiden gleichen Seiten berühre und das von der Basis begrenzte Parabelsegment ein Max. sei.

Es sei A die Spitze, h die Höhe, BC=2n die Basis des Dreiecks, A der Anfangspunkt der Koordinaten, S der Parabelscheitel, AS = u. Die Achse der x geht durch die Mitte der Grundlinie des Dreiecks. Die Parabelgleichung heisst: y² = 2p(oc— u), die Gleichung von

'Yl

AB: y = j^x — Jcx. Als Bedingung dafür, dass AB die

Kurve berühre, wird gefunden: p — 2h²u = 0, worin auch p noch unbekannt ist. Die Fläche F=f\/2p(h — u)

ll

4'

wird ein Max. für u = —.

403)    Ein Kreis ist durch eine Gleichung y‘* = 2rx— x² bestimmt. Anfangspunkt und X-Achse des Systems sind zugleich Scheitel und Achse einer Parabel, welche den Kreis in den Punkten B und C schneidet. Wie muss der Parameter p der Parabel gewählt werden, wenn das von BC begrenzte Segment derselben ein Max. werden soll?

Die Koordinaten von B mögen x und y sein, dann ist F=fxy, y* = 2px und y‘¹ = 2rx— a?², woraus

folgt, dass F=f\/p(r—p)³ ein Max. wird für p= .

404)    Welcher von allen geraden Kreiscylindern, deren Oberfläche = a ² ist, besitzt das grösste Volumen?

x = Basishalbmesser, y = Höhe, V = x¹ y tt ,

<p — 2r,x (x -f- y) — «²; V wird ein Max. für y = 2 x.

405)    Ein gerader Kreiskegel soll parallel zur Basis so geschnitten werden, dass der zwischen der Schnittfläche und der Kegelbasis gelegene Kreiscylinder an Volumen ein Max. ist.

r = Basishalbmesser, h = Höhe des Kegels; x = Basishalbmesser, y = Höhe des Cylinders. V = x*ytz\

2t

<p = hx-\-ry — hr — 0. V wird Max. für x = —.

406)    Welcher von allen geraden Kreiskegeln von gleicher Seitenlange — s hat den grössten Kubikinhalt?

Das Volumen wird ein Max., wenn der Basishalbmesser = s[/f ist.

407)    Aus einem Kreise, dessen Halbmesser r ist, soll ein Sektor so geschnitten werden, dass der übrig bleibende Teil der Kreisfläche, als Kegelmantel verbraucht, einen Kegel bestimmt, dessen Volumen ein Max. ist.

Ist x der Halbmesser der Kegelbasis, so wird V ein Max. für x = r j/f-.

408)    Eine Pyramide soll parallel zur Basis durchschnitten und die Schnittfläche als Endfläche eines Prismas benutzt werden, dessen kongruente Grundfläche in der Basis der

Pyramide liegt. Wo ist der Schnitt zu führen, wenn das Volumen des Prismas ein Max. werden soll?

B Grundfläche, h Höhe der Pyramide; y Grundfläche, x Höhe des Prismas. Es ist y:B=(h— x)²:h² und

V=xy Max. für x= . — Vgl. die Aufgabe mit 405).

409)    Dieselben Angaben, nur soll statt des Prismas eine zweite Pyramide konstruiert werden, deren Grundfläche die Schnittfläche ist und deren Spitze in der Basis der gegebenen Pyramide liegt.

410)    Dieselben Angaben, nur sollen statt der beiden Pyramiden 2 Kegel gesetzt werden.

411)    In der Achse einer Parabel ist ein Punkt B gegeben und man soll senkrecht zur Achse zwischen B und dem

Scheitel A eine Sehne CD so ziehen, dass der Kegel, welchen das Dreieck BCD bei seiner Drehung um die Parabelachse erzeugt, möglichst grosses Volumen habe.

Schneidet CD die Achse in P und ist AB — a, AP= x,

*'*<■—4 ein

CB=y, so ist y² — 2px = 0 und V Max. für x= .

412) Eine regelmässige Pyramide mit quadratischer Basis soll so in eine Kugel gezeichnet werden, dass ihre Ecken in der Kugeloberfläche liegen und ihr Volumen ein Max. sei.

Ist x der Abstand der Grundfläche von dem Kugelmittelpunkt und y die halbe Seite dieser quadratischen Grundfläche, so ist V = f-y² (r -f- x) und x²-\-2 y² — r² = 0.

V

Für x = — wird V ein Max.

3

413) Für welchen Punkt eines Ellipsenquadranten schliessen Durchmesser und Normale den grössten Winkel ein? Ellipsengleichung b²x²-\- a²y² = a²b²] gesuchter Punkt

x,yj gesuchter Winkel =    tg</>

ein Max. für x — al/-i-, y = b\,\.

xy wird mit^y

a² — b2 2&2

414)    Nachzuweisen, dass die Tangente durch den in der vorhergehenden Aufgabe gefundenen Punkt mit den Achsen ein Minimaldreieck einschliesst.

415)    Zwei Kugeln liegen ganz auseinander. In welchem Punkte ihrer Centrallinie kann das Max. der Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

416)    Uber der Centrallinie zweier Kugeln als Durchmesser ist in irgend einer der hindurchgehenden Ebenen ein Kreis beschrieben. Von welchem Punkte dieses Kreises aus kann die grösste Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

§ 11. Die Reihen von Taylor und Maelaurin.

Mittelwertsatz. Wenn die Funktion f(x) und ihr Differentialquotient fix) zwischen x = a und x = b überall stetig ist, und M das Max., m das Min. von fix) in diesem Intervalle bedeutet, so setzen wir

0 (x) =f(x) — f{a) — M{x — a) <p («) = fix) — f{d) — m ix — a) .

Dann ist in diesem Intervall

0\x) = fix) — M < 0, fix) = fix) — m > 0,

also wächst in ihm <pix) ununterbrochen, während &ix) abnimmt (vgl. S. 64). Da nun für x = a die Funktionen <D und y verschwinden, so ist 0 (b) negativ und <p (b) positiv, d. h.

fib) — fia) — Mfb — a) < 0, f{b) — fia) — m (ft — a) > 0.

Lässt man also die Yariabele t in

m-fia)-ib-a)fit) = <f>it)

das Intervall von a bis b durchlaufen, so wird ÿ für f'=M negativ und für f —m positiv werden. Folglich giebt es ein t zwischen a und £, für welches <p(t) = 0 wird. Bezeichnen wir dies t mit a -f- 0 (b — a), wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet, so folgt

fib) — fia) = ib — a)f(a Ą-0 (6 — a)) (0^<9^1). (28)

Dieser Satz lieisst der Mittelwertsatz.    Wir können

ihn geometrisch leicht repräsentieren: Wenn eine Kurve

Fig. 10.

B,

zwischen A und B stetig verläuft und das Steigungsmass ihrer Tangenten für die gleiche Strecke •stetig sich ändert, dann giebt es zwischen A und B mindestens eine Tangente A₃ Bx, welche der Sehne AB parallel läuft.

A.

Aus dem Satze folgt: Wenn /■(«) = 0 und f(b) = 0 ist, dann giebt es für f(x) = 0 eine Lösung, die zwischen x = a und x = b liegt.

Taylorsche Reihe. Es sei f(x) eine Funktion, die nebst ihren ersten n Ableitungen auf der Strecke von a bis b einwertig, endlich und stetig sein soll. Wir betrachten die Funktion

^0*0 = f(P)~ fix)

b—x

^—f 0)

(b — xy

1.2

r w-...

(b — x)

n—1

(b — x)PK

in welcher p und K von x unabhängige Grössen sein sohen. Wir wollen K durch eine lineare Gleichung so bestimmt denken, dass ^(a) —0 wird. Die Form von ÿ zeigt, dass auch (p{b) = 0 wird, wenn p positiv ist. Nach dem Zusatze zum Mittelwertsatze giebt es daher einen Wert x = ç zwischen a und b für den

(x) -}- (b — x)p—¹K

(b —x)n~¹

1.21)

verschwindet; d. h. es giebt einen Mittelwert £, für den

(b — $)n~P

1.2... (n — 1)

f{n)(?)

wird. Setzt man dies in <p (a) ein, so wird, da <p(a) = 0

m=*m+b-T^r(a)-i

(b — af

1.2

/•(”>(£)•

p. 1.2 .. (n — 1)

f»-i) (a)-f

Statt a und b schreiben wir x und x-\-h₁ statt $ wieder a -j- (b — o) 0 = x -j- h 0 ; dann entsteht

b    b²

(29)    /(* + h) = f(x) + j f\x) + f\x) +...

bn-\

hn (1 — 0)n~P

fyn) (x-\- 0 h) .

^1.2 .. (n — 1)

Das letzte Glied nennt man den Rest der Reihe und schreibt dafür B. Setzt man in ihm p — 1, dann hat man die Lagrange sehe Restform

p. 1.2.. (n — 1)

-l

hn (1 — &Y

i . 2 ... (n — 1) und für p = n entsteht die Cauchysche Restform

Bi =

(x 0 h)

- /■(«(*+Sh).

Bu

hn

1.2..

(29) ist die Taylor sehe Reihe. Sie ist abgeleitet unter der Voraussetzung, dass die Funktion f(x-\-h) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur wten Ordnung einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle h = 0 in sich enthält.

Maelaurinsche Reihe. Wird in (29) statt x geschrieben 0 und x statt h. so folgt die Reihe

(30) f{x) = f{ 0) + f f ( 0) + O r (0) + * • ’

xn~¹

(1 — 0)n~Pxn p. 1.2.. [n— 1)

1.2 ... (n — 1)

(0 x)

und insbesondere

(1 — 0)n

—1 Tn

t-fw^ex), 22g =

xn

— fC») (0 x) .

.n

Sie ist gültig, wenn die Funktion f(x) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur wteu Ordnung einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle x = 0 in sich enthält.

1.2.. 0 — 1)

1.2..

Natürlich fordert die Berechnung von /“'(O), f"(0)..., dass zuerst f(x\ f"(x)... gebildet und darin x = 0 gesetzt wird.

Ist in (29) lim B — 0 für n — co und die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt für die Funktion und ihre sämmt-lichen Differentialquotienten, so darf man die unendliche Reihe ansetzen:

x)=f(a) -f jf (à) + 572 f » "t

1X3 r («) + ••• (3D

Ebenso darf man in (31) die unendliche Reihe nehmen, wenn lim Bi = 0 für n = co und wenn die oben ausgesprochene Bedingung für die Funktion und ihre sämmtlichen Differentialquotienten erfüllt ist. Dann hat man:

A*)=ft0)+ff(0)+~r(0H

~.3

iX3 rm+...

Die Bedingung: lim B — 0, resp. lim B⁽°) = 0 für n — co fordert mehr als die blosse Konvergenz der entstehenden unendlichen Reihen; denn bei blosser Konvergenz kann B sich auch einer von 0 verschiedenen Grenze nähern.

(32)

Aufgaben.

f" (a) = n(n — 1) an ~ ², Nach der Reihe

417) Das Binomium. Zu f(x) = xn gehören die Werte /(«) = «w, f (a) — n an~¹, f" (a) = n(n — 1) (n — 2) an~³, usw. von Taylor erhält man f(x-\-a) oder:

(a -f- x)n — an -\-nan

X³

1.2.3

418) Die Reihe für (1-j-æ)-

zu finden. f(x) = x~n, /( 1) = 1,

/'(!) = -»,/"(!) = » (»+1)> r (1) = -» (n+l) («+2)

usw.

2

— ro I +w(w+l) ~ — w(w+l)(w+2)

_    1.2.3 ¹ ■"

419) Man entwickele den Ausdruck j/l-f-æ in eine Reihe.

f(x) = x*,    f'(x) = -|æT², f"(x) = — £x~^,

daher/■(!) = !, f'( 1) = |, f'(l) —

usw.;

usw.

rr+ï=i+|

tö Hi

Æ² . 1.3 x³

4    274 ‘ 6”

420) Man leite die Reihe her:

1.3

2¥**

1.3.5

2.4.6

x³...

y l-\-x

421)    Wenn f(x) = xs— 3 33²-|-4æ— 5 ist, soll fix-J-2) entwickelt werden. Es ist f{2) = — 1, f'{2) = 4, f"{2) = 6, r'(2) = 6; /*(* + 2) = — 1+ 4a:-j-3^²-f ^³.

422)    Nach der Formel von Maclaurin soll abgeleitet werden:

a , a — b „ . b è2-*+-TF-*+-

a-\-x a

-;r³+...

6⁴

6 —j— 33    &

423) Die Reihe für ax. f(x) = ax, f(0) = 1, /'/(0) = lga, r(0) = (lgo)², f"(0) = (lga)

/y>    /y^2

^l+|-lga + ^(lga)²-f

a²⁷

&³

usw.

Æ³

(lg a)³ +...

1.2.3

Daraus geht die Reihe für ex hervor, wenn man e statt a setzt, wodurch lg a zu lg e — 1 wird.

424) Die Reihe für lg (1 4- x). fix) = lg x. f(l) = 0,

ra)=i, r(i)=-1* r (i) - 2, r"a)—1.2.3,

/*(V) (1) = 1.2.3.4, usw.

/vi2    aï

Wird darin — x statt x gesetzt, so entsteht:

rp 2    /y>3    /v>4    rp &

i /j    \    *4/    «4/    «4/    »4/

ig (i—*)=_*__

'~¹+ï=₂(

X \

3?⁴ , 3?5 ^ + -5 — • •

lgT

« tH

/Vł3 /V»^

+3+5+-

2₀_j_j geht die vorstehende in folgende für die Berechnung bequeme Formel über:

Durch Substitution von x

¹g^ + ²[₂^^_l"r3 (2*-{- I)»

Aus ax = y folgt Lgy = x (für die Basis «); andrerseits ergiebt exlga = y die Beziehung \gy = x\ga, und daraus

lg(*+l) =

Lg y

— l&y, Lg(14-x)

\ga

\ga

lg(l-f-x).

Will man also Lg(l-j-^) in eine Reihe entwickeln, so kommt man auf die für lg (1 —J— a?) zurück, nur dividiert durch lg«. Die einfachste und natürlichste Entwicklung wird also für a — e stattfinden. Deshalb heissen die zur Basis e gehörigen Logarithmen die natürlichen.

425)    Nachzuweisen, dass:

/y>    /v’2    /v» 3

(l+e-)³= 84-12^ + 24 ^2 + 54 r|-3 4-...

426)    Die Reihe für sin (x 4-«)- f(x) = sina;, fia) — sin « f'(a) = cos «, f"(a;) = — sin a, usw.

/y>2

•    «A/

smar72

sin (x-\-a) = sin « 4~ cos « Für a = 0 wird: sin x = x

cos«

xs

1.2.3

xh

1.2.3 ¹ 1.2.3.4.5 427) Die Reihe für cos(a:-]-«)• f{%) = cosa:, /'(«) = cos«, f'{a) = — sin a, f"{a) = — cos «, f"'{a) = sin «, usw.

CC^    cc^

ïT2+sinar^3+--

cos(«-j-#) = cos«—sin«^—cos«

Für « = 0 erhält man:

cosa: = 1

x²

a:⁴

1.2.3.4

428) Auf ähnliche Weise entwickelt man:

%(a + *Mga+c44 +

Das Gesetz der Koefficienten ist hier nicht übersichtlich.

1.2

2tg« x² 2(l + 3tg²«) x cos²« 1.2 cos²« 1.2.3 ¹

429) Nach der Formel von Maclaurin soll f(x) = cos²# entwickelt werden.

cos²# =1 —

2—1

1.2

1.2.3.4

32

#⁶

1.2....6

430) Mittelst der Reihe von Maclaurin ist die Formel von Moivre abzuleiten. Gegeben ist f(x) = (cos x-j-i sin x)n. Man findet: f (#) = n (cos # -j-i sin x)n~l (— sin x-j-i cos #) = = n i (cos x-j-i sin x)n = ni. /*(#), und daraus folgt, dass f" (#) — ni.f(x) = (■n if fix) ist usw. Nun ist f{ 0) = 1 f'{Q>) — ni, /‘"(O) = — w², f"'(0) = — n\ usw., und

w⁴#⁴

(cos # —J— ^ sin x)n = 1

w² #²

1.2

1.2.3.4

i -lnc

+’W

w³#³

1.2.3

oder nach den für sin # und cos # entwickelten Reihen:

(cos # -|- i sin #)w = cos (n #) -j- i sin (n #).

431) Die Funktion f{x) = arc sin# soll in eine Reihe entwickelt werden. Weil die höheren Differentialquotienten wenig einfache Formen annehmen, benutzen wir die sogenannte Methode der unbestimmten Koefficienten, die stets mit Sicherheit angewendet werden darf, sobald die Möglichkeit der Entwickelung fest steht. Wir setzen:

arc sin # — A -j- B # -j- C #² -f- JD #³ -f- E #⁴ -j-...

und finden sofort A = 0 für # = 0. Wird auf beiden Seiten differentiiert, so entsteht:

B -f 2 Gx -f 3 D #² -f 4 Ex* -f...

[/l — #²

Für die linke Seite liefert Aufgabe 420) die Reihe:

(i—#²y * = i + i#²

1.3

2.4

#⁴ -j

1.3.5

2.4.6

#⁶ -f-...

lx³ , 1.3a;⁵ . 1.3.5 a;⁷ 2 3 '2.45 '2.4.67

71

Für x = 1 wird arc sin x = —.

u

432) Die Reihe für arc tgx. Setzt man:

arc tga? = A-\- Bx -j- Cx* Dx³ Ex* ..., so ist A = 0 für x = 0. Die Ditferentation giebt

1 ~j~ x

Da nun weiter, wie bekannt

und so erhält man durch Vergleichung: B= 1. (7=0, D

2.3

E=0, usw.,

BJr2Cx + 3Dx²-\-4:Ex³-Jr...

1 -j-x²

so findet man durch Vergleichung, dass:

= —    E=0, usw.

B= 1. (7=0

in. «

a;⁷ .

T '

/y>5

__

3 "t” 5

Für a: = 1 ist arc tg x = und man hat: ?=i

arc tga; = ^

i_Li 14-1 _L__|_ .

315    )T 9    IT T • '

Werden die Glieder paarweise vereinigt, so entsteht die zur Berechnung von n praktischere Form:

-=2 ( 1 4    \1.3

V+

5.7 ¹ 9.11

Setzt man tga = |- und tg/9 = 4-, so ist tg (a -j- ß) = 1 und daher (a-j-/9) =    . Man darf mithin setzen:

ï⁼(l+l)-5-(§5+r*)+i(è+rt)

In allen vorstehenden Aufgaben ist jedesmal die Restform der Maclaurinschen Reihe zu untersuchen.

oder es ist cix = cos^-(-«sin^, und allgemein:

(33)

Zum Schlüsse dieses Kapitels stellen wir noch einige später notwendige Formeln auf. Wird in der Reihe für ex an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix gesetzt, so entstellt

eix = 1

1.2

1.2.3.4

1.2.... 6

+{i

1.2.3

xb

1.2.3.4.5

einx __ cog (^nx) j gin (fix).

Da nun auch cinx = (cos æ-f-« sin ist, so erhalten wir leicht durch Vergleichung die Formel von Moivre wieder. Aus

i sin x

folgt leicht:

eix = cosx-\-isina: und = cosæ

COSÆ

SUIÆ

ßix_q— ix

(34)

worin auch nx statt x gesetzt werden darf.

Tritt ebenso in Aufgabe No. 424) an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix, so erhält man:

/y>5

‘ 5

ig|+iî=2 i

1 — %x

woraus dann unter Berücksichtigung der Keihe für arc tg x folgt:

(35)

.    1 . 1 4-ix

avctgæ = -.lg —T

Funktionen yon zwei unabhängigen Variabelen.

§ 12. Entwickelung der Differentialquotienten.

Sind in der gegebenen Funktion z = fix, y) die beiden Variabelen x und y unabhängig von einander, so können die Werte, welche z nach einander annimmt, wenn man den Variabelen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden:

In der gewöhnlichen Koordinatenebene benutzt man in bekannter Weise das gewählte x und y zur Festlegung eines

Fig. 11.

a\ » a

Punktes D (Fig. 8), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Paume. Bei mehrwertigen Punktionen findet man mehr als einen Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M vermöge der Gleichung z = f (x, y) annehmen kann, ist eine Oberfläche.

Eine Änderung des Funktionswertes z = f(x,y) kann nun auf dreierlei Weise veranlasst werden, und zwar:

1)    dadurch, dass bei festem y nur x übergeht in æ1?

2)    dadurch, dass bei festem x nur y übergeht in yx,

3)    dadurch, dass gleichzeitig x und?/ übergehen in x₁ und yx. Demgemäss müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich:

i)    2) f{x,yx)—f(x,y)-, 3) f{x₁,y₁)—f{x,y).

Dass man die Werte:

f(pyy) — ffa y) ⁸f

dy

— lim

= lim

Vi—y

die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde Pg. 15 und 17 erörtert, wo sich auch der Modus ihrer Ableitung-angegeben findet. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung dz zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfährt, dass sich die beiden Variabelen x und y gleichzeitig um die verschwindend kleinen Werte dx und dy ändern. Wenn den beliebig, aber doch ganz bestimmt gewählten Werten x₎ y und aq, y₁ die Funktionswerte z und z±, zugehören, so ist (z₁ — z) = f(x±, yt)— ffay), oder:

*={Xi _x)+mjhtzïiM (ÿi _ y).

Durch den Übergang zu den Grenzen wird dieser Ausdruck in den folgenden übergeführt:

Oj

8f

(36)

dz = '-dx-\- -jj-ydy.

Wird diese Formel nach ihrer eigenen Anleitung nochmals differentiiert und dabei berücksichtigt, dass dx und dy konstante Werte sind, so entsteht:

d²z

Sb; Cb

Sf

dx-\- ~~ dy

dy

dx

dy

d²z =

S^dx'+² wkk dxd,J+t~f*dy*'

Aufgaben.

433)    z — 3 x²x y²y^

434)    z

xy

x-\-y 435) z — l/x²— y²

436) z = (2x— 5 y²)s

dz = (ßx+y²)dx+{2xy+Ays)dy x² d y -f- y² d x

” (*+*/)²' xdx — y dy

[/x² — y²

„ = 3(2x-hy²)²(2dx-10ydy)

437) z — y sin x-f- cos (x— y) dz = [y cos«—sin(Æ—y)\dx

[sin x -j- sin (x — y)\dy

438) £ = (sin 3æ-|-cosy)²

439)    z = x² —

440)    z = y²ex

dz = 2 (sin 3x -}- cos y) (3 cos 3xdx — sin y dy) axy-\-y²    d²z=2{dx²— adxdy-\-dy²)

d²s = ex{y² dx²-\-kydx dy-\-2dy²).

§ 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Vapiabelen.

Wenn auf der eingangs des vorhergehenden Paragraphen erwähnten Funktionsoberfläche der Punkt M von der XF- Ebene einen Abstand z hat, der algebraisch grösser ist als für alle Punkte seiner unmittelbarsten Umgebung, so nennt man ihn einen Maximalpunkt; ist er dagegen kleiner, so heisst er ein Minimalpunkt. Der zugehörige Funktionswert z wird dann ein Maximum, beziehungsweise ein Minimum genannt. Werden durch einen solchen Punkt M nach beliebigen Eichtungen Ebenen senkrecht zur XF-Ebene gelegt, so entstehen auf der Oberfläche Schnittkurven, und es müssen alle Tangenten, welche durch M an diese Kurven gelegt werden können, parallel zur XF-Ebene sein. Legen wir in der XF-Ebene beliebige Kurven durch denPunktD, so entsprechen diesen ebenfalls beliebige Gleichungen zwischen den Variabelen x und y. Jedem Punkte einer solchen Kurve entspricht ein bestimmtes Wertpaar x und y₇ und diesem wieder ein ganz bestimmtes z₇ woraus dann folgt, dass jeder Kurve in der XF-Ebene eine ganz bestimmte Kurve auf der Funktionsoberfläche entsprechen muss. Kann nun ein Wert z so gefunden werden, dass er für alle diese Funktionskurven ein Maximum oder ein Minimum vorstellt, so ist er auch ein Maximum oder ein Minimum der Funktion. In § 10 haben wir Werte für x und y ermittelt, für welche z = f(x,y) ebenfalls ein Maximal- oder ein Minimalwert wurde, doch mussten die gefundenen Werte noch weiter der Bedingung genügen <p{x,y) = 0. Daher unterscheidet sich unsere jetzige Aufgabe von der damaligen nur durch den Umstand, dass die erwähnte Bedingung ganz fehlt, d. h. die Abhängigkeit zwischen x und y beliebig gewählt werden darf. Fügen wir deshalb der gegebenen Funktion z = f(x, y) noch die willkürliche Bedingung <p (x, «/) == 0, oder statt ihrer noch die beiden willkürlichen Bedingungen x = / (t), y = <p (t) hinzu, so ist diese Aufgabe auf die frühere zurückgeführt. Hierdurch ist z in eine Funktion der einzigen Yaria-belen t umgewandelt, und es muss für den Fall eines Maximums oder Minimums:

I SO

8f dx . df dy ~dx dt ' dy dt

sein. Bei der Willkürliclikeit von

dy

= x' und —-,=y' kann

Ci t

diese Bedingung nur erfüllt werden, wenn:

Y = 0 und

dx

Qj! <v>

= 0.

(37)

Aus diesen Gleichungen gehen diejenigen Werte von x und y hervor, welche z zu einem Maximum oder Minimum machen. Diese selbst werden, wie gewöhnlich, durch das Vorzeichen des zweiten Differentialquotienten von einander unterschieden. Es ist:

d²z

dt²

°£X"

dx

Cb

d-f

dx²

d²f

dx dy

y)

+y\

d²f

dx dy

Gemäss der Relationen (37) wird:

d² z_d²f

dt² dx²

x'² + 2

d²f

dxd y

x' y' Ą

S2ly'\

S,fJ

Die zweiten Differentialquotienten sind hier konstante Grössen, weil sie mit den aus (37) hervorgehenden Werten von x und y zu bilden sind. Wir nennen sie a, b und c und haben:

d²z

(a x' -}- b y')² -f- (a c — b²) y'²

a x'² -|- 2 b x' y' -j- c y'²

Der letzte Ausdruck bleibt für alle Werte von x' und y' positiv, wenn iac — b²) > 0 und zugleich a )> 0 ist. Die Funktion hat d:,nn ein Minimum. Ist dagegen (ac — b²)^> 0 und a < 0, so

d t²

muss der Ausdruck stets negativ werden, wie man x' und y' auch wählen mag. Die Funktion hat ein Maximum. Ist endlich (ac — 5²)<0, so kann der Wert durch geeignete Wahl von x' und y' nach Belieben positiv oder negativ gemacht werden. Hiernach ist es für Maximal- oder Minimalwerte ein

S²f S²f Sx² Sy

gemeinsames Erfordernis, dass und es ist dann

c _ / S²f \²

\SxSyJ

> 0 ist,

z ein Maximum, wenn

S²f S x²

<0

z ein Minimum, wenn

S²f S x²

>0.

Aufgaben.

441)    z = x²-\-y²-\-xy—6x—4y-\-b Min. fürx —

442)    z = x²—Qxy -\-y⁸ -\- 3a; —f— Qy    „

443)    z = 4xy-j-^-j-~

444)    z = (x-\-y)²

445)    z = xy- (a — x — y)s

446)    z = sin x -j- sin y -f- sin (x -f- y)

447)    z = sin x sin y sin (a — x — y) .

448)    z = x³—3 axy-\-ys

449)    DasYolumeneines recktwinkeligenParallelopipedesist = a³. Wie gross müssen die Kanten sein, wenn die Oberfläche ein Min. werden soll?

Der Körper ist ein Würfel, dessen Kanten = a sind.

450)    Eine Zahl a soll in 3 solche Teile zerlegt werden, dass deren Produkt ein Max. wird.

z = xy(a — x — y) wird Max., wenn jeder Teil = ^ ist.

451)    In einen Kreis soll das an Fläche grösste Dreieck gezeichnet werden.

(x + by-\-xy)

V = T

y = &

2

„    „ x — — 1, y== 3

Max. für x = a

>]0D

to

„ x — y = 60° a

= ,J=3

„ x — y = a.

Die zu den Seiten gehörenden Centriwinkel mögen x, y und (2Tz —x — y) heissen, so wird F =^r² [sin x -j- sin?/ -f-sin (27i — x — y)] ein Max., wenn die 3 Centriwinkel gleich, mithin auch die Dreieckseiten gleich sind.

452)    Die Summe der 3 Seiten eines Dreiecks ist = 2 s. Wie muss man die einzelnen Seiten wählen, wenn die Fläche ein Max. sein soll?

wenn

F—\/s(s — x)(s — y){x~\~y — s) wird ein Max., die 3 Seiten gleich sind.

453)    Aus einer Kugel soll das an Volumen grösste rechtwinkelige Parellelopiped geschnitten werden.

Kugelhalbmesser = r, die halben Kanten x, y, u, so besteht die Relation: x²-\-y²-\-u² — r². Das Volumen z — 8 x y u wird Max. für x — y = u — r \/\.

§ 14. Homogene Funktionen.

beträgt, und nennen

einen Ausdruck dritter Di-

Wir sagen, der Ausdruck ax²ys sei von der fünften Dimension, weil die Exponentensumme der beiden Variabelen 5 a (æ⁴ -j— y² x²) x-\-y

mension, weil die Differenz aus der Exponentensumme des Zählers und des Nenners gleich 3 ist. Dass die Dimension eines Ausdrucks auch eine negative oder gebrochene Zahl sein kann, ist selbstverständlich. Sind die einzelnen Teile einer Funktion von gleich hoher Dimension, so heisst die Funktion homogen. Zur sicheren Beurteilung, ob eine Funktion die erwähnte Eigenschaft besitze, dient das folgende Kriterium: Ersetzt man die Variabelen x, y, 8, usw. durch die Werte tx, ty, tz, usw., wobei t einen beliebigen Faktor vorstellt, so muss man für eine Funktion von ntev Dimension die Relation finden:

(38)

f(tx, ty, tz,..) = tnf(x, y,

1. Beispiel: f(oc,y) = bx² — 2xy-\-7y²]

f(tx,ty) = 5 t² x² — 2 tx ty -f- 7 t²y² = t²f(x, y).

Xs 02 — ajł -j_    £²

a?£ y 2 -]- ^

t³ Xs $ 00 — R yL f 2 X2 -[- th y\ t² 0²

àx2 àyz-\~t0

Euler’s Lehrsatz über homogene Funktionen. Wir setzen in (38) tx = u, ty — v, tz = w, und differenzieren die beiden Seiten nach t:

2. Beispiel: f(x,y,z) =

f(t x,ty,tz) =

$f(pc,y,0).

<h>j Cb

pp

CD

IrtJ

g s^l Öa

OK

Ss.1 Sb

JS;

Cbl Cb

su] ss,

« Sb| Sb <st> I 'S

Cb

Cb

ssj! ^

ÎSI

x

• rH

ST

Lässt man hierin die willkürliche Grösse £ in

verwandelt sien

Cbl Cb

Cbl Cb « l'"S

.2

Cbl Cb

.2

Cbl Cb ^ l'-S

1 übergehen, so und man erhält:

Cb

+r

Cb Cb

~\~⁸'

8f

= n.f(x, y,z).

(39)

Diese Formel stellt den Satz von Euler dar.

a>

a I H

toi to

*4

to

2 a:

a²

Ë+Ê-4

2.    Beispiel: f — x³ -f- 2 ax² y — ays = 0;

(3x² -\-A a xy)x-\-(2 a x² — 3 ay²) y = 3 (a:³-|-2ax²y—ay³).

3.    Beispiel: f= \/x³

8    3 a:²

H I''**

Cbl Cb

'SS

² 0 = R]

— 2 yz 8f •—•y2 = 2R ’    ⁼

3 a:³ — 2 y² z — y² 0

— fl/x³ — y² 0.

cd

Ph

cd

xy

xs

df

yix-\-xiy

xy

dy

(a:³4-?/³)

5. Beispiel:

— iar-î

-i-

all

tc]>—»

VJ

CM

5ss *4

§ 15. Die Reihen von Taylop und Maelaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Vapiabelen.

Ersetzen wir in f(x,y) die Variabele x durch x-\-Ç und y durch    so kann die Funktion in eine Beihe nach Potenzen

und Produkten von $ und rj entwickelt werden. Um diese Entwickelung auf § 11 zurückzuführen, setzen wir $ = rt, rj = s t und f(x-\-rt, y -f- s t) = F(t), indem wir uns unter a?, y, r, s bestimmt gewählte Werte und unter t eine Variabele vorstellen. Nach dem Maclaurin’schen Satze ist jetzt:

F(t) = F(0) -f F' (0) - + F" (0)

t²

1.2

f F"'(0)

ts

1.2.3 ¹ ■"

Bei der Bildung der Funktionen F', F", usw. ist es zweckmässig, x-\-rt = u, y-\-st = v zu setzen, wodurch F(t) in

du

f{u,v) umgewandelt wird. Zugleich ist

& 0

■vr = r

= s, und

die höheren Differentialquotienten verschwinden. So ist:

F(t) = f(u, v)

F'{t) =

8f du . df dv du dt ' dv dt

F" (t)

d²f

OO g

(du\²

)

■ d²f dudv ! d²f ^ du dv dt dt

I *+£>

F'"(t) =

(£)'+»

d³f

du² dv

ldu\²

\d7/

ns ns

Oł* I C*

dsf du dudv²dt

d³f

; usw.

‘ dv³

Setzt man t — 0, so geht f(u,v) in f{x,y) über und ebenso verwandeln sich die partiellen Differentialquotienten von/‘nach u und v in die Differentialquotienten nach x und y. So entstehen die Werte F{0), F'(0), F" (0), usw. und es giebt:

F(t)=f(x,y)+

df

dx

r+

■H

d²f , ₀ d²f d²f ' r²+2-=—Frs+

dxdy dy

dx²

w]

t²

1.2

(9 Y

«»*]

Ć³

dsf

<?Y

d³f

r² s -j- 3

r³+ 3

1.2.3"’

dx² dy

Werden nun für F{t\ rt, st die Werte wieder gesetzt, die sie vertreten, so ergiebt sieh:

dx³

dxdy

dy

d²f f2 dx² 1.2

-\-2

d²f £ rj . d²f rf d x dy1.2' dy² 1.2

d³f $³

dx³ Ï.2.3

d³f £²rj

d³f $rj²

d³f rj3 dy³1.2.3

• (40)

dxdy²1.2.3

Wird darin x = 0 und y = 0 gesetzt, so erhält man die Reihe für / (c, rj), welche in die Reihe für f(x, y) übergeht, wenn ç mit x und rj mit y vertauscht wird.

dx²dy1.2.3

Aufgab en.

454)    Wenn f(x, y) — x³ Y xy² ist, so soll f(x -\- ç,y -{-t}) allgemein entwickelt und dann $ = 1, rj = 2 gesetzt werden. f(x+l,y+2) = [x³ + y²x\ + [3 a?² +y²+£xy] + [7a? + 4y] + 5.

455)    Gegeben ist f(x, y) = sina? cosy. Es soll f(x-\-ô, y Y d) in eine Reihe entwickelt werden.

f(x Y d, y Y d) = sin a? cos y Y cos (x Y V)

— 2 sin (a? Y y)

ö²

ö³

— 4 cos (a? Y y)

1.2.3"'

456) Es soll die Funktion ax lg (1 Y y) iü eine Reite entwickelt werden.

1.2

Man lässt a? in (a?Y£)> lJ in (y v) übergehen, entwickelt die Funktionen nach Potenzen und Produkten von $ und rj, setzt dann in den als Koefficienten auftretenden Dilferentialquotienten x — 0 und y — 0 und vertauscht hierauf $ mit a? und rj mit y. So erhält man:

ox\g(l+îj) = y+xy\ga—^y²+X^-(lgay — X^-lga+^y³+...

Integralrechnung,

Unbestimmte Integrale.

§ 1. Die einfachen Integralformen.

Die Integralrechnung hat zunächst die Aufgabe zu lösen, zu einem gegebenen Differentialquotienten die ursprüngliche Funktion wieder herzustellen, oder allgemeiner, zu einer gegebenen Funktion f(x) diejenige Funktion F(x) zu finden, deren Differentialquotient f(x) ist. Wir nennen dann F das Integral von f und sagen, es sei

dx = F(x)

wenn

d[F(x)}

= f(x)

ist; fix) heisse der Integrand. Da nun der Differentialquotient von F(x) unverändert bleibt, wenn zu F{x) eine beliebige Konstante C zugefügt wird, so sind zu einem Yorgelegten Integranden unzählig viele Integrale möglich. Doch können ihre Werte nur um eine additive Konstante verschieden sein. Denn wären F und G zwei Integrale von f so wäre dF dGm d(F—G)_0 dx dx¹ dx    ’

und also nach S. 65 F— G eine Konstante.

Aus unseren Definitionen geht hervor, dass $ dx = x -j- G, J ^ [f(x)] ⁼

Eine Anzahl einfacher Integralformen wird erhalten, wenn man die in § 1 zusammengestellten Differentialformen kurzweg umkehrt und schreibt:

■>

²⁾J

axn dx

axn+l

n-\-1

3)    Jlrfa -lg^j+C

4)    =

ax

iga + <7

6)    J*sin xd% = — cos » -J- C¹

7)    j*cos«d« = sina;-]- C dx — tg x -(- G

⁹⁾ JiiFÏ^ = -cot?æ + C!

10)    Ii'^_'x2 dx = are tg x -f- C = — arc cotg x-]-C₁

11)    J-^===dx = arc sin x -|~ C — — arc cos x -j- G₁.

d(u-\-v)

»J

ax dx —

Sind u und v Funktionen von x, so ist und daher ist umgekehrt:

J (u' -j- v') dx = u -f- v = ^ u' dx -f- J v' dx ; das zeigt: Eine Summe aus einer endlichen Zahl von Summanden integriert man, indem man jeden Teil integriert.

Ist a konstant, so ist d(a.u) = a.u' und darum auch :

Ja .u' dx = a .u = a^u' dx.

Ein konstanter Faktor unter dem Integralzeichen darf vor dasselbe gestellt werden.

dx

w' + v',

Aufgaben.

¹²⁾J

Die beliebige Konstante ist den Lösungen nicht zugefügt.

7 x⁵

¹³⁾ 1

Ix^dx

5

2-.dx- 1 ■ix”a

6æ⁴

14) J \/x dx = f[/x³

Shdx=2/5

16)    J5 x¹ dx = 3 v/as⁵

¹⁷⁾

/•    J) OC^

18) I (a-J- 5a?) dx = aæ-[——

15)

dx — 4a

! 8 liO

oder

(a + &æ)²

2ö

indem sich

19)

beide Werte nur durch eine Konstante unterscheiden.

'y* ^

---3x* -\-3x—2lgx--

Ó    OCr

₂ khl

j"(B*S-⁶*+3-|+^j

f(cc²— l)³ ₇ æ⁶ 3æ⁴ , 3æ2 1 v — dx

dx

²⁰⁾

21) J(3 + 2 ^/x)s dx = 21 xx*-\- 24+ ^ #* |/ ic — 2 ^/^²-|-4’^/5^³

22) f

i^+ri^¹²⁵*¹⁷

dx = —

^+3osyx.

Die Methode der Substitution. Sieht man, dass die Funktion unter dem Integralzeichen ein sogenanntes vollständiges Differential, d. h. der Differentialquotient einer einfachen und bekannten Funktion multipliziert mit dx ist, so kann das Integral sofort hingeschrieben werden. Gewöhnlich muss aber diese Form, wenn sie überhaupt möglich ist, erst durch Transformation herbeigeführt werden, indem man x = <p{ß)

23) r

3 + 5 y/«²

]/x³

dx = —

}/ x

setzt und den gegebenen Differentialquotienten nach x in den Differentialquotienten der nämlichen Funktion, aber genommen nach #, um wandelt. Es muss dies auf folgende Weise geschehen: Bei dem Integral y = \f(x) dx ist

dy

dx

nun x = p(z) gesetzt, so dass y als Funktion von z erscheint, dann ist    = fVp (*)] • <p\*) • Hieraus folgt:

(1)

y = J fix) dx =^f[<P 0)] •    dz •

Man muss nun versuchen, <p so zu wählen, dass der Integrand des letzten Integrals möglichst einfach wird.

1. Beispiel: y =

Ç dx

J

; ex — z oder a? = lg Z]

Ç dz

j*² + 1

; y — arc tg z = arc tg ex.

2. Beispiel: y — [/J² — a²

Ç xdx

J \/x²-\-a²

; \/x²-\-a² = z od. x = \/z²—a²

]/z² — CL²

dz

=J* dz = z = [/x² -f- a².

3. Beispiel: y

arc tg²x

1 -\-x²

dx\ arc t gx = z oder x = tg z

ç z²

y~ J ï+t?

dz

z² dz = z³ = -g- are tg³ x.

z COS²£

Allgemeine Regeln liber die Anwendung dieser Methode der Substitution giebt es nicht. Die Anwendung der Formel (1) kann an den folgenden Aufgaben geübt werden.

a -f- bx = z

24) y == Ç{a-\-bx)n dx\

clx

dz

t-i

Zn d Z =

1 zn+¹ {a-\-bx)n+l

25) s=j

a-\-bx

¹ f 1

b)s

dz = — 26) y = J*|A* ~b

z²dz —

dx] a-\-bx = z‘,

=    + bx)

;    a-\-b% = z'²

~\/(a + lxy

au sa,

2#

2 #³_ 13“

27) y=j

emx dx\ mx = z

sai sa

ez dz =

ez

ginx

²8)

ist es gebräuchlich zu schreiben: dx = adz;

T,dx\ x — az.

Statt nun zu setzen:

SŁa SA,

= a,

29) y=J

¹1 ¹

aj 1 -j-z²

sin axdx: ax = z. dx =

dz

k—A

arc tg z =— arc tg

O

r—I ¹ 'S

sin# dz =--cos # =---cos a;r

J(* + 2)*

30) y=J

y =    ¹|--y f?# = arc tg # = arc tg (# -}- 2).

x²-j-4x-j-ö

dx ;

Die Integration nach Teilen. Sind m und v Funket (w. v)

tionen von x, so ist

v. w' -{- m . v', und daraus folgt sofort: Çv.w'cfoc-J-Çw.v'dx=u.v, wofür man auch setzen kann:

dx

u.v'dx = n. v —

v.u' dx.

(2)

Diese Formel hat folgenden Sinn: Soll ein Produkt u.v', dessen zweiter Faktor v' ein vollständiger Differentialquotient ist, integriert werden, so integriert man zunächst nur diesen Faktor v' und bildet aus dem Integral .v und dem unveränderten Dölp, Aufgaben.

ersten Faktor u das Produkt u.v, dann wird u differenziert, das Produkt u\v gebildet und $v.u'dx von u.v abgezogen. Durch dieses Verfahren wird nur ein Teil des ganzen Integrales fertig erhalten, während der andere Teil sich noch unter dem Integralzeichen befindet. Ist dieses übrig gebliebene Integral Jv.u'dx aber einfacher als das gegebene, so ist die Methode zweckmässig; besonders ist sie dies dann, wenn durch wiederholte Anwendung das zurückbleibende Integral immer einfacher und schliesslich auch in ausführbarer Form erhalten wird. Da ein gegebener Integrand sich auf ganz verschiedene Arten in ein Produkt u.v' zerlegen lässt, so ist die vorteilhafteste Wahl der Faktoren eine Sache der Geschicklichkeit.

31) y = \

v' = €x.

Wir lassen zunächst zu (2) einige Beispiele folgen. xs ex dx: u = xs

J x*exäx—xze?— 3 Ja?²«?³⁷dx] Ja?²e?dx=x²(F — 2^xex dx] J x cP dx — xex — J ex dx — xd⁰ — ex.

noch das Ganze zusammen und addieren

xs eF —

Stellen wir nun

3 J x“ e? dx — 3 a?²    -f-    2.3 J a? e? dx

2.3a? cF — 1.2.3 ^ exdx

J xs ex dx — 3 J x~ dx 2.3 J x (F dx

1.2.3 ^ e?cdx = — 1.2.3. e*

J xs ex dx = eP (x³ — 3 a?² -j- 2.3 a? — 1.2.3).

ry» 5

|-(l-j-a?)³ —

dx = °^(l -|-a?)² —    J*a?⁶(l -j-x)dx;

ryt 7    /y» 8

_J_ — *

7 ' 8 ’

/yi5

|a+*)³

32) j*a?⁴(l -j-a?)3 J*a?⁵ (1 -\-x)2 J*a?⁶ (1 -x) dx J*a?⁴ (1 -\-x)z dx

dx =

^ J'a?⁵ (1 -J-x)²dx;

3 a?⁶

3.2

33)

(1-fa?)²

a?. cos xdx — x sin x —f sin a? dx = x sin x -j- cos x.

5.6

5.6

î⁺ï

³⁴⁾J

cos.² xdx =

J*cos x. cos xdx = cos x sin x -f- J sin² x dx

= sin£ cos^-f~ J(1 — cos² x) dx :

2 $ cos² xdx = sin x cos x -(- $ 1. dx ; cos² x dx sin x cos x -j-

to! &

i-*-

dx = —

f 1—x²

)\/l~X-

dx =

— x¹ dx —

2y — — # f/l — x~ Ą- arc sinx, dx — —

\\/1 —X²

dx — y;

r

J j/l —X²

³⁷)    j^lgxdx = (lgx)²— J

38)    j*#³lg#ci#

| f/l — #² -j- ^ arc sin x --lgxdxj

tA/

Xs dx =

C i    i

-lg#d# = -(lg#)²

if

39) J x² cos # of# = #² sin # — 2 § x sin x dx ;

x sin x dx — — x cos x -j- J cos x dx ;

#² cos xdx = (x² — 2) sin x -f- 2# cos #

40) sin # ćZ# = ex sin x — $ ex cos x dx ;

J e* cos xdx = ex cos x -j- J e³³ sin x dx. Durch Subtraktion und Addition entsteht:

C    ex

I e? sin x dx =— (sin x — cos x) bezw.

⁴¹⁾J

er-

⁴²)J

e³³ cos xdx= (sin x -j- cos x)

u

1. arc sin xdx = x arc sin x —

Ç x

J f/l — x²

dx

— x arc sin x -J- f/l — x².

dx = lg / (a;) -(- C-

f 0*0

(3)

ist nur die Umkehrung von Aufgabe 195 Diff. R. und heisst in Worten: Ist der Zähler eines Bruches der Differentialquotient des Nenners, so ist das Integral des Bruches der natürliche Logarithmus des Nenners.

a Ç c

*Jä +

|lg (b-j-cx)

dx =

dx =

l ]S {a + bxn)

⁴⁵) dx = l%(eX-±a)

⁴⁴⁾J

⁴⁶⁾ J

cx

cx

a-\-bxn

dx —

COS X

sin x

dx = lg sin x

47) f—p-"---—dx — — y lg (a ^ cos x). Ja-|- £ cos a;    o v 1    '

§ 2. Integration rationaler algebraischer Brüche.

<pM

dx.

ax-\-b

Nachdem durch Division mit dem Nenner in den Zähler der Bruch in einen ganzen Quotienten und einen Restbruch, dessen Zählen die Variabele nicht mehr enthält, zerlegt ist, werden die einzelnen Teile integriert.

Aufgaben.

48)

1 Ox⁴—1 lx³—24a; ²+l 6x— 14

2x — 5

dx=

5af:-j-4a;²- 2an-3+

dx

49)

5°) f

2a;-5

₄    , g x²3 x— lg (2 x — 5)

x*—6x³-)-13x²- 10x-\-3 xi 4x³ . 5a;² . ₀₁ .

dx=—---=—j—2~+31g(a;-2)

-x-j--pg(2x-i-3)

5x⁴ , 4a;³

2a;³ —|— 7 a;² —j— 4^ —J— 2

2x^3

dx —

j+

62) J

12 -28a:-j-17æ²—10a:³

2a:³    3a:²    1

—h ôar——lg(l — 5a?).

Steht die Variabele unter einem Wurzelzeichen, so ist der Ausdruck zuerst durch Substitution rational zu machen.

1 — 5 a?

dx

63) J

\/ x

— dx —

²h

; TH

dz, wenn z — |/a?;

-( -V

H <M

* +1» (1

54)    p—ż=<?a? = 10j/a; — 20 lg (2 -j-|/a?)

dx = — — ]/x°    — — - |/a?³

2 j/a? -f- 2 lg (1    l/a?).

55)' J

a?² j/ as

1 -f- |/a?

a?

dx.

—J— 2 na? —j— ö

Wenn der Zähler you höherem Grade ist als der Nenner, so scheiden wir durch Division einen Quotienten ab und integrieren denselben Glied für Glied. Das Integral des noch übrigen Restbruches hat im allgemeinen folgende Form:

mx-\-n

dx.

Zunächst lösen wir die Gleichung: a?²-J- 2ax-j- b = 0, nennen die Wurzeln a und ß, setzen a?²-j-2aa?-j-& = (a?— d) (a?— ß) und unterscheiden 3 Fälle.

1) Die Wurzeln a und ß sind reell und verschieden. Der Bruch wird dann in Partialbrüche zerlegt wie folgt:

mx-\-n    A ! B

a?²-j-2aa?-j-ö    (a? — d) (a? — ß) x — a ¹ x — ß ’

Die Zähler A und B sind nun so zu bestimmen, dass die Gleichung identisch richtig ist, d. h. dass die beiden Seiten für jeden beliebigen Wert von a? gleich sind. Wir setzen:

B (a? x — ß

mx-\-n

a? — ß

= A 4-

«)

wählen x = a und finden

= A. Auf entsprechende

Weise findet man auch B] doch kann B auch aus A dadurch

abgeleitet werden, dass man « mit ß vertauscht. B

m/9 -f- n a — ß

Ç mx-\-n

J x¹ -\-2ax-\-b

(x — a) (x — ß) X — a x — ß

(maJrn)]g (x—a) — (mß-\-n) lg (x—ß)

dx =

o. — ß

• (4)

Aufgaben.

~dx = 3 lg (x — 5) — 2 lg (x -f- 1)

⁵⁷) JVaZ-ftx-fl dx = 5 Ig ^ ~ 4 lg (x + ^

- dx = 2 lg (# — 3) -]— 4 lg (#

B6) fr

æ-f 13

58)

Ç 6x— 13

J

Ix —16

ł)

⁵⁹^ jx* + 3x— 18

3x³+bx‘²—29x—2b

60)

61)

62)

dx = |lg (x + 6) — I lg (x — 3)

fr +2x+2 lg (x-3)+3 lg(a?+4)

— 2xz -j- 6 x* — 6fr    3 lg (fr — 1) —j— 9 lg (fr -j- 1).

Man setze fr =

dx =

æ²-|-æ— 12 fr⁷æ² — frr-j- 1

\/x—\.

dx =

3æ²

3fr 6fr

f_JL_

lo    o

J X“ — CI“

^ J*^²-|-2a;—1

**> J

.■2

dx =

1    ff-f-1—fr 2

2|/2 ga:-f-l + fr2

— a«

Æ²-f a

Es ist aber auch bereits gefunden:

— (ai)

1

2 a« ° x-\-ai '

—s—,—o dx = — arc tg x“-\-a²    a

und da wir wissen, dass zwei Integral werte der nämlichen Funktion nur um eine Konstante differieren können, so ist es

= arc tg — -4- C. Wird diese a

gestattet zu setzen:

— ai

x-\-ai

Formel zur Verwandlung von Integralwerten benutzt, so kann die Konstante G in die willkürliche Konstante des Integrals aufgenommen werden. Setzen wir nun noch x—p für x und q für üj so entsteht die Formel:

1 . x 2Ïlgx

— P —

die bald Verwendung finden wird (vgl. S. 99).

(&)

2) Die beiden Wurzeln a und ß sind reell und gleich. Dann nimmt die Formel (4) die Form -g an und erhält ihren wahren Wert, wenn man Zähler und Nenner nach ß differentiiert und dann ß — a setzt. So wird gefunden:

mx-\-n

m lg (x — ß)

mß-\-n

{x — a)

2 dx =

(6)

... N ma -f- n = m\g(x—a)--

Will man diese Formel direkt ahleiten, so setzt man: mx -f- n (x—a)² {x—(if^x—

oder nix n = A -f- B (x — a) und findet JB — m und A — ma -j- n. Die beiden Teile sind dann leicht zu integrieren. Man könnte auch so verfahren:

mx-\-n

(x—u.)

ödx = -

2(x — a)

2 j (x — a)

fdx + j

m a -j- n

~    1X2

[x — d)

dx

— m lg ix

ma~\- n

65)    +

]ÿÿfdx-^ + 2) + ~.

3) Die beiden Wurzeln a und ß der Gleichung x² -j- 2ax-\- b = 0 sind complex und von der Form: a=p~\-qi, ß=p — qi.

Es ist dann p =— a, q = y/b— a², und Formel (4) gestaltet sich unter Verwendung von (5) wie folgt: mx -j- n

x²-\-2ax-\-b

dx =

mx-\-n

(x — p — qi) (x — p -j- qi)

dx

\m{p -j- qi) -f - w} lg (x—p — qi) — |m (p — qi) -f-%Jlgto — P~\~q i)

2qi

mp-\-n 1 . x

“^2fSx

= 2“lg {x²-\-2ax-\-b) -j

— p — qi) {x — p + qi)]

mp-\-n . x — p , ..

——— arctg-- + G.

q    q

(7)

Übrigens kann diese Formel auch direkt entwickelt werden: mx-\-n

x²-{-2ax-\-b

dx

m C 2x-\-2a

2 J x²-f-2ax-j-b

dx~\~jx 2_j_2 ax-\-b n — am

— am

dx

(x -j- a) ² (b — a²)

dx.

Da nach der Voraussetzung \/b — a² reell ist, so ist die Substitution (a -J- x) = z \/b — a- möglich, und wir erhalten:

/_ f A- r dz

[/b—a²J ^'+1

dx = ~lg (æ²-|-2 ax-\-b) -f-^;

r n — an

J 0-j-a)²-j- (6

— a²)

dx =

n — am

n — am

[/b—a²

arc tg z.

So findet man schliesslich:

r mx-\-n )x²-{-2

x-\-a 17b—a²

Diese Formel stimmt bis auf die Integrations-Konstante mit (7) tiberein, weil dort p = — a, q = \/b — a² gesetzt ist.

axĄ-b

— am

\/b—a

~ arc tg

67)

Aufgaben.

Jüq^TÏÔ <*« = te («² + 2« + 10) - 4 aro tg

ii — 4

du == 1g (w² — 8 u —f- 25) — 4 arc tg ——

O

2 u — 20

u²— 8 u-\- 25

⁶⁹⁾ Iu^+tü~-p~8du = *lg+ Au + ⁸) — arcte~ 2 ²

\du = % 1 g (m²— 3) + |/3 lg-

O    /j/

<7m = ^ lg (m² -j- 3) + 21/3 arc tg

70)

71)

r u-\- 6

w + |/3

CO

⁷²) J^ _j_4^_j_i3 ^u = 3 lg (m² + 4m + 13) — 4 arc tg ~t²

nt _ O

4m + 20) — 6 arc tg ——

⁷³⁾ +

10m — 44

4m+ 20

ć?m = 51g(w²

/• ^2 _ _

⁷⁴) j 5+2 + 12 du=su — is V60 arc tg u/fi

⁷⁵) +

6m ^ F0du = 2^'    — ^u~\~ 10) + 7 arc tg (m—3)

4m —

r 27m°

⁷⁶^ J 3 m² + 2

d u = —--2m³ + 4m —

j/6

arc tg m

14

arc tg m|/4 |/mô K «

Integration eines Bruches von der Form:

________+ Mp xm~² +... + ffi

a?w +öj a:re—1 + &₂ a?w—2 +... + &n Es wird vorausgesetzt, dass m <w ist. Sollte diese Bedingung bei einem gegebenen Bruche noch nicht erfüllt sein, so kann man die Division, so lange es geht, ausführen. Der gegebene Bruch wird dann gleich einer ganzen Funktion nebst einem

du —

wenn a b > 0 ist.

<p{x) a₀ + ax x

f(x)

TO —1

<p{%)

angehängten Bruch von der Form

Vor allem anderen muss nun der Nenner in Binomialfaktoren zerlegt und darum die Gleichung aufgelöst werden:

f(x) = xn-{-b₁xn-l-\-\xn-*Ą-...-\rbn = 0 Wir haben bei einer Wurzel a zwei Fälle zu unterscheiden.

1) Eine der Wurzeln a von f(x) = 0 ist von den übrigen verschieden, oder mit anderen Worten, f(x) ist durch (x — (j) teilbar aber nicht durch {% — «)², so dass wir

f{x)

in welchem m<^n ist.

122

'4

hr-

mM

Ai

setzen können f(x) = (x — a)g(oc), wo dann g(x) — 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

<pix)

${x)

(x — d) g (x) x — a g (x)

(p (x) — A g (x) -j- <p (x) (x — a) und für x — a findet man A = <p (a) : g (a). Nun ist aber f O) = (x — a) g' (;x) -f g [x) also f (a) = g (a)

Daraus folgt

und

(8)

<pix) ₌ $?(«)    ¹ j_ <HX)

f(x) f' (a) x a

Einen solchen Bruch wie den ersten rechts nennt man dann einen Partialbruch. Das Problem der Integration ist hierdurch auf ein einfacheres zurückgeführt, da g(x) nur vom Grade (n—1) ist. Wenn f{x) = 0 überhaupt nur von einander verschiedene Wurzeln    ,.an enthält, ist es über

haupt erledigt. In diesem allgemeinen Falle wird

lg (x —

9(P)

CiM

J m

dx =

<f («)

/'(«)

dx

und für f{x) = {x— af) (x— af)...(x— an) erhält man, da jetzt der gegebene Bruch vollständig in Partialbrüche zerlegt werden kann,

<pM

C<p(x)

J /■(*)

dx

f'M

lg (x — «J -f

f'M

lg (x — a₂) + ...

f'M

1 x²-\-lx — 176    _

f{x)    x³ — 9x²-\- 6 ic —J— 56 ’

a₁ — — 2, a₂—4, «₃ = 7; f (x) — 3#² — 18# -j- 6

Ÿ M __    I -^2 I -^3

f{x) x-\-2'x — 4'x— 7

Beispiel:

fSx)

(p ( 2)

^    f (— 2)    ’

fÜ)

⁷⁸⁾ J

lx²+7x-176 x³~ 9a:²+6x+56

dx — — 31g(a:+2)+21g(a?—4)+81g(#—7).

79)

Aufgaben.

c 5m²-7m+13    _    11. .    ..    ... .    ₀. 37. ,    ₀,

J ^eu*+U«-6du= ^lg(*-l)-191g(«-2)+Tlg(«-3)

du=^lg(u+S)+~lg(u-l)-2àlg(u- j -?lg“

d u = lg u -|- 2 lg (m -f- 1)

+ 3 lg (u + 2) + 4 lg (m -f 3)

|lg(w — 1) — |lg(w+l)

oftN r m²+5m+41

J («+3)(«

81)

f—*.

Jm³ — a²u

2a²

lg (m² — a²)

, f 10m³ -f 40m³ -]- 40^ -j- 6 J m⁴ -j- 6m³ -J- 11m² -|- Qu

⁸⁴⁾fc

— 1)(m² — 4)

du =■

10

11

4m³ -f 9m² — 270m -f- 653

— 3) (m — 4) (m — 7) (u -\- 5)

^ /w³—4m²— 7m+10

—3î<+3

tO] i-¹

+ 3 lg (m — 2) — 3 lg' (m -f 2) d u — lg (m² — 7m-|- 12)

⁸⁶⁾ I

5m²— 7au-j- 11a²

u³—6aM²-f-lla²M—6 a³

⁸⁷⁾ f

+ ⁴¹g (u — 7) — 21g (m -f 5) du=    (w+2)+~lg (m—5) -~₂-lg^-l)

9

-lg (m—a) —17 lg(M—2 a) 35

+ lg(w — 3a) — 2a M—|— 2 a

du =

2u³-\-12au²— 8 a²M—12 a3 (m²—a²) (m²—4a²)

2m⁴— 10m³-f-21m² — 20m-(-5

cZm = lg («t²—a²)-j-31g-

₇    2 m³

du = —-o

-f- lg (w — 2) -j- 2 lg (m — l).

Wenn die Koefficienten in f(x) reell sind, aber unter den Wurzeln a₁₅ a₂...a?l sich auch complexe Werte befinden, so müssen diese paarweise konjugiert Vorkommen und die Form haben: a= p-\- qi, ß=p— qi. Die Zerlegung in Partialbrüche lässt sich mit folgenden Modifikationen auch hier nach der besprochenen Methode durchführen.

⁸⁸⁾J

2 m² -j- 5 m

Man hat

ç(x) ^ç(p-\-q i)___________

fix) f {p -f - qi) x — p — q i ~ f ip — qi) x — p'-\-qi

(p(p-{-qi)    un(j aisof^-~ = ä

f iv-ha*)    f (p —a*)

(fip—qi)

und wenn wir setzen,

— fi

dx =

— ti)\%{x—pĄ-ąi)-\-... x — p —a i i x —p ~hd*''

wo rechts eine beliebige Integrationskonstante addiert werden kann. Benutzt man nun die auf S. 119 hei Formel (5) gemachte Bemerkung, dann folgt

— p — qi ■ x — p -f- q i

ti lg?

Co Co

—P —

= lg [{x —    ²

= — 2 t.

1 . X

2ilgx

09

—p — a* p~h a*

— 2 t arc tg -—- -\-C. q

So gelangen wir von dem oben gegebenen komplexen zu dem reellen Ausdrucke

(fix)

dx = 5 lg [{x — p)² -f- q¹) — 2 t arc tg —-- -}-..

a

Wir wollen dies an den folgenden Beispielen durchführen.

<p(x) _

fix)    ix²-}-l)ix²-\-3)

fix)

2x

2x

<p(x)

fix) x — i

IO I—*•

ix— i) ix-f- i) (x—r i) ix-\~ri)

x- ] -i ¹ x — ri ¹ x-\-ri

(fi~i)_l _<firi)_ fi—i) 2’    ³

(f (— r i) fi— ri)

f'iri)

r = j/s

(fix)

■2

((fix) J fix)

dx —

X_

fix) x — i ¹ x-j-i x — ri x-\-ri * [lg (x—i)+lg ix -f i)\— : [lg ix—r i)+lg ix -J- r i)]

= 7>]S (x~ +1) — \ !g (x~

tH CM

r²i~)

89)

2a?

jV+ !)(** +3)

<P 0*0

fix)

1    a?²+l

2    lgä*+3*

10a?³ —j— 1 lOcc —{— 400_

(a?² — 4a?-j- 29) (a?² — 2a? + 5)

dx =

+a?)

x — 2 — bi

£(2 + 50 i

f (2 -f- 5 i)

y⁽¹ + ²0_3 lt-

ra+2.)

2 — 3 *

x —• 2 + 5 * ' a? — 1 — 2i ' x — 1 —j— 2* (pi 2 — bi)

⁼⁼/’,(2 — bi)

<p (1 — 2 *’)

⁼ f'il-2i)

3 — 4 *

2 + 3*

3 + 4*;

2 + 3*

3 + 4*

/’ (a?) a? — 2 — 5* ' a? — 2 + 5* ‘ a? — 1 — 2* ' a? — 1 + 2*

[fix)

J fix)

dx = (2

3*) lg (a? — 2 — 5*) + (2 + 3*) lg(a? — 2 + 5*)

+ (3 — 4*) lg (a? — 1 — 2*') + (3 + 4*) lg(a? — 1+2*) = 2 lg [(a?—2—bi)(a?—2+5*)]+3 lg [(a?— 1—2*')(a?-1 +2*)]

— 3*lg -

3?

— 2 — 5*

— 1 — 2*

4*lg —

a?

— 1 + 2*

Multipliziert man die Faktoren aus und wendet auf die beiden letzten Teile Formel (5), S. 119, an, so giebt es:

10a?³ + 110a? + 400

2 + 5*

⁹⁰⁾ k*

d x = 2 lg (a?² — 4a? + 29)

— 4a? + 29) (a?² — 2a?+ 5)

/y> _ O    /v> _ 1

+ 3 lg (a?² — 2a? + 5) + 6 arc tg —-----(- 8 arc tg —---

O    u

Die besprochene Methode kommt im Grunde darauf hinzu integrieren,

aus, einen Bruch von der Form

mx + v*

a?² + 2aa? + 6

wenn b > a² ist. Das kann auch direkt so geschehen.

J a?²+2aa?+5

ma? + **

dx —

cZa?

,    Ç(2x-\-2a)dx , ,    . f

*MJ^2ii+ł + ("~Wa)J

. i / o , ^    , 7N , f* — ma C dz

= łm lg <+ + 2 ^ + 6) + p== J f+^2

(a?+a)²+(^—a²)

wenn

— a² 0 = a? + a ist. Also erhält man mx-f n

J*a?²-f-2aa?+&

dx

fl

-|-mlg(a?²+2aa?-!-&)-l—

—ma

ÿb-a²

arc tg

x-fa \/ b— a²

.(9)

8#²— 29#-}- 61

mxĄ-n

___ __

f(x) (x—1) (#²— 6#-(-13) x — l"¹”#²—6x -(- 13

fOO

fiX)

5. Dieser Wert wird sofort benutzt :

8#² — 29#-f 61

5(x²—6#-f-13)-j-(m#-|-w) (x—1)

(x—1) (x²— 6#-}-13)

(x—1) (#²—6ic —{— 13)

Nach dem Satze von den unbestimmten Koefficienten ergeben sich aus den Zählern die Eelationen: 8 = 5 -f-m, 61 = 65 — n, oder m = 3, n — 4.

<p(x)

3#-f- 4

91)

f(x) x—1    #² — 6 ic —(— 13 "

8#²—29#-f 61 {x—1) (x²—6#-j-13)

dx = 51g(#—1)-|-—lg(#²—6#-j-13)

u

, 13    , # —3

+ -2arct» —•

<p(A)

mx-\-n

rx-\-t

f{x) #⁴-f-#²-f-l    x²-j-x-j- 1 ‘ X² — #-j-l*

Nachdem die rechte Seite gleichnamig gemacht ist, werden die Zähler gleichgesetzt.

1 = (mx -}- n) {x² — x -(- 1) -(- (rx -f-1) (x² -f- x -|-1) ; m —j— -r=0, n — m-\-r-\-t== 0,    n-\-t = \\

m = -i-, n = •£, t = r =

92)

#⁴-f-#²-J- 1

J#⁴-j-#²-fl

dx =

x²-\-x-\-l x² — x-\-l 1 i x~-\-x-\-1 .    1

4 b X²-X-Ç\    21/3

arc tg

2#-(-l

J/3

arc tg

2#— 1

93)

u

)(x

15#²-f 66#-(-21

1) (#²+4#+29)

2j/3

dx = 31g(#—l)-J-61g(#²-[-4#-[-29)

. 42 x -j- 2 .f — arctg-i-

l/3

94)

3x² — 5#-j-2

— 2#²-j-3#—6

s"

dx=~ lg (x—2) + ^ lg O² + 3)

1    , x

--7= arc tg

7^/3

- ^ ^ ^ *

3*C?V

Vf

95)

Ç7x²^-6x—16

)¥~

3)(^²+4)

Ç 2z³+28a:² —257^+531 ^ J (z²—16a+69)+-+D+Î6)

43    , x

z- arc tg—₇₌r

|/5    |/5

dx = 5 lg (x—3) + lg (ic² —)— 4) —J— 6 arc tg ^ lg (x²— 16æ+69)

u

2    , x

^arc tg-

toi &

dx = ^lg(x²—6æ+16)

1/7

-i

2. Eine der Wurzeln a von fix) — 0 kommt in der Multiplicität r vor, oder mit anderen Worten f(x) ist durch (x — a)r aber nicht mehr durch (x — a)r+¹ teilbar, so dass wir setzen können f(x) — g (x) (x — a)r, wo dann g(x) = 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

Ar , (pjx)

fix)    (x—a)rg(x)    {x—a)r'(x—af~l

und suchen die Zähler A₁₁ A₂, ... Ar der ersten Partialbrüche zu bestimmen. Es ist nicht praktisch, allgemeine Formeln aufzustellen und nach diesen zu rechnen; vorzuziehen ist der folgende Weg. Wir setzen x — a—y und bilden

x— a'g(x)

y(y+g)

$% + «)

9 {y -\ra)

dann dividieren wir auf gewöhnliche Art, nach aufsteigenden Potenzen von y geordnet p(y-\-a) durch g(y-\~a) bis zur (r—l)ten Potenz von y\ die erhaltenen Partial - Quotienten geben nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Grössen A.

9 (y A °)

A A A 9 A •-A A yr 1 +

1. Beispiel.

x-\- 2

A i A i +

/y» O I /y. 2 I ryt •AS    lÄS    tAS

<p{x)

. Hier ist

die Einführung von y überflüssig. Dividiert man 2 -\-x

so findet sich

1 -\-x

2 — x-j-x² — x³ + ...

1-1 +

Für (p (x) ergeben nämlich die Wert — 1.

x-\-1 ’ früheren Methoden den

2. Beispiel.

A ! <!> 0*0

y⁹ + 5y + 7

2/ + 3

x² -j- x -j- 1 (x—2)² (x-j-1)    (x—2)²~rx—2~rx-\-l

A + A y~\

<%+2)

2/², für a; = 2/-f- 2 .

Die Division

⁷ + 5y + y²

3 Av

y+f yH-Tr y²H- • • •

liefert

x² —j— x — J— 1

(x — 2)²(xA 1)    3(x— 2)²~9(x — 2) ¹ 9(æ+l)

die früheren Methoden ergehen nämlich <p (x) =j-.

Hat man diese Zerfällung in Partialbrüche gemacht, so kann jeder einzelne integriert werden.

5 m³—11 u²-j-5 w-j-4

A,

(u — l)⁴

(u—l)⁴ ‘ (u—l)³ ' (u—1 )²' u — 1 unsere Methode giebt hier sehr bequem für u — 1 —y

3 — 2 y —f- 4 y² -f- 5 y* = At -J- Aa_ y -j- As y² -f Ai y% weil g(x) nicht vorhanden ist. Aus dieser Gleichung können wir sofort die Zahlen-Werte der vier Koeffizienten A entnehmen. Das ergiebt

A] — 3, A₂ —    2, A₃ 4, Aa 5 ;

5 u³—ll «<²-|-5 u-j-4

(«— l)⁴

(U — l)⁴ {U—lŸ'iU — l)2 1 M —¹ 1

97)

5 w³—11 m'²-J-5 te—(— 4

(** — l)⁴

— du — —

98)

us — 4 u²-\- 1

(u — 2)²

du =

99)

2 w⁶ — «⁴    4 ?r — 5 w -j- 1

(W — 3)⁶

(w—1)

,V-41g(«-2)+₍^2 du = 2 lg (u —

(W—l)²    M—1

+ 5 lg (w — 1)

29

84

490

721

427

(w — 3)²    3 (w-— 3)³    4 (w —- 3)⁴    5(m — 3)⁵

100)

101)

3m²— 17m+ 21 ,

-₇-xrA-du

(u— 2)³

6w³-f 89M²-f-438w-f 719

2 (w — 2)²

(m + 5)⁴

du =

3 (m+5)³ ~ (u -j- 5)²

+ S^5 + 61g(“+⁶⁾-

Wenn der Zähler ein einfacher Wert ist, kann auch die

Integration nach Teilen Anwendung finden.

un (u—■a)—PJ~¹

102)

103)

j u¹¹ (u—a)—p du=—

J*m²(m — a)“⁴ du —

J*u (u — a)~³ du = j* (u — «)—2 du = — (u — «)~1 1 du = —

u (u — a) ~²

Yb C

— I un~l(u ay v+xäu -j- J*u (u—o)~⁶ du

W H 031 tO

(u — a)~² du

u²

ir

104)

(u — a) u³+ahi-a³

{u— a)³

du — (u—a)

¹ r

3 I (u — a)³ (u — d) " a³    4«²

2 (u—a)²

■]

105)

r u¹

J (« + &

M²

2 &(a+öw)²    b²(a-\-bu) b³

106)

(a-\-bu)

r u²    1 r 3 w²

J (m²—|— 1) (U- -j- 4) U 3 J (M²-f 1) (U- -f- 4) 1 f 4 (w² -]- 1) — (w² —|— 4)

du

—j- 3 a lg (u—a) ct

^ölg (a + bu)

du

du

9xi—3x³—23x2jr30x—1

(x—1 )⁴ (4+3)

107)

2 w 3arCtg2

- r—-—

3 M² 4-1

J S i ² i ⁵ i ⁷ ,_

(x—l)⁴ (x—l)3 r(x—1)- %— i ¹    3

du =

tH CO

arc tg u

9æ⁴— 3a;³— 23^²+ 30^—1

{X—l)⁴ (,r-j-3)

dx — —

tH

(x— l)³ (x—l)2 ^rry + 71g(a; —l) + 21g(s + 3)

130

108) p

— lx³Ą-3x²—llx-\-13

13 . 37 .    ,

+ “ + ⁵¹¹^^

— 35 lg- (x -f-1) — 8 lg (x² -f- x -f-1)--- arc tg “ xJ{~ ^

{x²Ą-xĄ-l)

dx

2x²

j/3

l/3

(x— l)²(x-\-l)²

dx — —

2{x — 1)

lg {x — 1)

f 2 Iff (as -J- 1)

110)

J“

— 22^²-f57^-f-32

{x-\- l)² (x — 3)²

dx

2 (x -f 1)

iAî + 51g(æ + l)-ï4_ — 4 lg (# — 3)

111)

lx³— 32a:²+ 50« — 28

(x — l)³ (x — 4)

dx =

/•    /JÇ& _|_ ^

J x⁴—3rr³-j-3^²—x 113) f ^x²-\-x    2 ^ _

lld Jo—1)³4²4-1)

dx

2 (#— l)² æ— 1 -f 3 lg (x — 1) 4- 4 lg (x — 4)

4~ 2 lg (x— 1)— lg x

(x—1)² x—i

2 (æ—l)²    2 (x—1)

— f lg (x — 1)    f lg (x² -j- 1) — arc tg x

“4-21 gx

tL/

dx = — j\g(x-{-l)

2x²

2 (x—1)

Die bisher entwickelte Zerlegung in Partialbrüche ist auch noch ausführbar, wenn die gleichen Wurzeln komplex sind.

2x-\-l

(a;²-j-l)² (x—i)²(x-)-i)²    (x—i)² 1 x—i ¹ (x-j-i)² 1 x-j-i

2t 4-1    2i— 1

2x 4-1

;-2

■_>

tH

a?4-^    (■x — i)²^ (x-j-i)²'

2i — 1    2t'4-l

¹¹⁵⁾ JV+o³

dx — —

1    x

7*lg-

4    x

x -j- i

x-\-i ~ x — i

4e‘^+4+0

GO

16

16

(æ² + l)³ {xĄ-if {x + iy

x-j-i

16

16

(x— iy    (ix—iy    x-\-i

1 xs — x

ii6) JV+i)

-idx =

f- — arc tg«.

O

Reduktionsformeln sind Formeln, durch welche eine Aufgabe auf eine andere leichtere von ähnlicher Gestalt reduziert wird. Sie können nicht selten dazu dienen, durch wiederholte Anwendung derartige Integrale entweder ganz auszuführen, oder doch so weit zu vereinfachen, dass ihre weitere Ausführung nach den bisherigen Methoden sehr erleichtert ist.

Die Richtigkeit der nachfolgenden Reduktionsformel erkennt man leicht, indem man beide Seiten differentiiert. Man

sieht dabei zugleich ein, dass die Zahlen m, n, p beliebig sein können; nur darf (n-{-1) nicht Null werden.

xn+^

117) ÿxn (a -j- bxm)v dx

118) J*æ⁴ (a-f- bx-y

(«%-\-bxmY

—    (aJrh

dx = ’^-(a-f-&Æ²)³— -™J*«⁶(a-|-b^²)²^.

n-\- 1

xmy~ldx

In dieser Gestalt kann die Formel dazu dienen, ein positives p nach und nach so weit zu reduzieren, dass der Exponent kleiner als 1 wird. Soll dagegen ein negatives p dem absoluten Werte nach verkleinert werden, so muss man

die Formel 117) umkehren. Wird dann noch p statt p — 1 und n statt n-\-m gesetzt, so heisst sie:

%n—m-f-1

119) J*xn (a -f- b xmy dx

mb

n — m-f-1

(a-\-bxm)P+¹

mb(p-f-1)

Die Formel wird unbrauchbar für p = — 1 .

f-

)xn

<p(x)

- dx.

Nach der Formel von Moivre (Diff E. Aufgabe 430) ist

^/cos ip -j- i sin ą = cos ™ -f- i sin ^.

Soll die Gleichung xn — 1=0 gelöst, oder x =    1 nach

dieser Formel gefunden werden, so setzt man 1 = cos 2kn -J- i sin 2kn, indem man k eine beliebige ganze Zahl bedeuten lässt. Es ist dann:

2kn , . . 21m

= cos--h i sin-,

n    n

und für jeden beliebigen Wert von k geht aus der Formel einer der verschiedenen Werte von ^/l hervor:

w₀ = cos 0 -j- i sin 0 = 1

2n

dx

xé

x²

4(1-f-Æ²)²

2(ia-^ + 2lg(1+*)-

Die nämliche Aufgabe kann auch so behandelt werden:

Xs (1 -f- X²) — X³

xb

X³

X³

(l+x²)

X³

(1 -\-x²)³

X (1    X²) — X

(l-\-x²)²    (l-\-X²)

(1 + X²)²

x³

(1-f £²)2 x(l-\-x²)— x

l-\-x²    (l-\-x²)²

(l+*y

X⁶

(1-I-Æ²)²    (l-f.£²)³

2x

(1 —[— ^c²)² ~'    #²-|-l

-T^+l'sC^+i).

Die Formeln 117) und 119) sind insofern nicht praktisch, als in der ersten bei gleichem Vorzeichen von m und n, in der zweiten bei verschiedenen Vorzeichen der Integrand des Integrals rechts nicht direkt vereinfacht ist. Wir verweisen deshalb auf die Formeln 139)—142), bei welchen dieser Übelstand vermieden ist.

(1 + x) ■”» Jrf

x²)³

(1+ x²)³

dx — —

4(1 -f x²)²

w. — cos--1- i sin

n    n

k = 2:

4 er

— cos---L i sin

4tt

n— 1    , . . n— 1

-2 7T 4-1 sm-

n    n

2 7T .

Wird mit der Wahl der ganzen Zahl k in dieser Weise fortgefahren, so wiederholen sich nur die bereits gefundenen Wurzel werte. So findet man z. B. für k — n:

....    ,    . .    2WJT

--f-1 sm-

n    n

wn = cos

= cos 2 Tr-M sin 2/T

= cos 0 -j— i sin 0 = w₀ .

Weiter ist nach dem Satze von Moivre:

2^²

w²

2 71

cos —

--1-i sin —

n    n

= cos

4 7T

4 TT

--r i sin —

n    n

= Wo

w\ =

2 7T

CM

6tt

6 TT

= cos--b i sin — = Wo, usw.

w— 1

cos--j- i sin -

n    n

Hiernach ist: w₀ = 1 ; iv₂ — w\ ; wz — w\,... wn—\ —

Es ist auch cos --- 2tt -f- i sin -— ^

w    n

2 kn

10* §

2 TT = COS ^2 71--

beiden Wurzeln iv]c und wn-k konjugiert komplex. Ist n gerade, so ist wn sich selbst konjugiert und also reell, so dass

= cos

— ^sin

2 kn

oder es sind die

2~

die beiden reellen Wurzeln + 1 existieren. So finden wir z. B. für w =    1, dass

w₁ = cos ~ -f- i sin

O    ö

und w₆ — cos —

-}- i sin — == cos 3

Wr₀ konjugiert zu wx ist.

1. Beispiel: x = ^/T ;

K CO

= cos b — i sin ^, also 3    o

il -rr    4 TT

w₂ = cos — -f- i sin — = — w., = cos 2 n -j- i sin 2 n = cos 0 -j- i sin 0

+|f3;

Wy = cos —- -j- i sin — = o    o

(/3 = iv\ ;

toi

w₀ = 1 .

rH Ol

2.    Beispiel: x = yj1 ; w₀ = l] iv₁ = i;

w₂ —    = — 1 ;    w.₅=w\ = — i.

3.    Beispiel: æ —    1 ; w₀ = 1 ;

-f 2^³ 5 w

^ — ^[/3 . Konjugiert ist

ui    ui

w% = —

te: f—¹

w₄ = —

te; !->■

)/3;

w₅ mit w₄, w₄ mit m?₂ und %

W5 ⁼ 2

mit sich selbst.

Der grösseren Einfachheit wegen wollen wir iv₁ = s setzen und können dann die übrigen Werte von y/l durch s², £s, s⁴, . . . £n~\ £n = 1 bezeichnen.

Es ist dann:

fM

■A-o

An — 1

Xn — 1 X- 1 ¹ X-£‘x-£²

und nach Formel (8), S. 112:

X-£n 1

Au =

r 9® i

[nxn~¹]x

|_ nxn \x

£,C if (£k)

£n-l y (en-l) j

Mi) i 4- £V (g2) i

|_# — l'x — s ' x — £² '

¹²²) fä»—i dx=h    l) + ep(e)\g(x — e)

¹ -f. ..-f sn-¹^(en~¹)lg(x — £n

<p{x)

xn — l

t-h j §

X — £n

Die Glieder dieser Formel können paarweise zu reellen Ausdrücken vereinigt werden. Da nämlich die Wurzelwerte £k und £n kkonjugiert sind, so müssen es auch die Zähler Ak = £k p(£k) und An~ic = £n k (p (£n~k) sein, oder es muss An—u = A—Bi sein, wenn Alc =A-\-Bi ist. Mithin können wir, da (x—£k).

Ol- —

(x — £n~k) = x² — 2# cos —-—f-1 ist, nach (9), S. 125, setzen: £k <p (ßk) lg (x — £k) -j- £n~k <p (sn~k) lg (x — £n — k) —

2 hn

2h Tt

X — cos

A lg (x² — 2x cos--(- 1) — 2 Barc tg

Yl

sin

2 h 7i

123)

j*⁸-l

ix=\ [igOc-lH    Ig

+ ("■ l — \ ^1? (Æ+1+\fś)

rH ICO

2a?+l~

-) ß

j^lg (æ — 1) — Ig (x² -f- æ 1) — |/ 3 arc tg

(-— arc tg a;.

— 3^.,    3. x² —j— 1 i 1₁ 3/

r^=ijg^T+Iig-

Æ-f-1    2

Man setze in der folgenden Aufgabe j/3 = r.

¹²⁵⁾ ß

dx

|/3

1-1 CO

lg(^~l)+.....^r*lg

+ lg(a? + l) + ^~-*lg

?"(•+¥)

rH CO

1+ri

l+riA / -y-lgj*-

lg (x~ —1) — 1 lg (x* -f- x¹ -J-1) —1/3 arc tg

Li

to

-ri\

n

2x— 1

f/3

-j- ]/ 3 arc tg

2x-j-l

1/3 I'

Die Ausrechnung solcher Integrale ist oft leichter, wenn man die als konjugiert bezeichne ten Glieder schon bei der Zerlegung paarweise zusammen fasst. So ist z. B.: a x² -j- b x -f- c

m x —f- n

xs — 1

(p (1) a —j— b —j— c

n i)

Wird der Wert für A substituiert, die

rechte Seite gleichnamig gemacht und dann die Zähler gleich gesetzt, so ergiebt sich daraus nach dem Satze von den unbe-

ct —|— b — 2 c

stimmten Koefficienten: m

126) f*' + b‘±!

2a — b — c

dx = ~ J^(a -\- b -j- c) lg {x — 1) -f- ^ (2a — b — c) lg (x² -j- x -J- 1) -f- (b — c) {/3 arc tg

u

2xßl

|/3

127) J

x⁴ — 1

a+c

lg(x¹— 1) -j- ^lg (æ¹+1 )

. b (7₁ x — 1 . b — d + 4 ,gï+ï+-2-aI0tSX-

dx =

dx.

<p(x)

xn-j- 1

Die Gleichung: xn-\- 1 = 0, oder x — ^/ — 1 wird wieder mit Hilfe der Moivre’schen Formel gelöst, indem man setzt: — 1 = cos(l —j— 2 Æ) 77- —J— z sin (1 —{— 2 Æ) tt , wenn Je irgend eine ganze Zahl bedeutet. Dann ist:

1 + 2 k ,..1+2 Je

= COS -—¹-7t -i— 1 Sin--¹---7t

n    n

Je = 0 :

w₀

= cos — + i sin n

Je = 1 ;

3 7t

3 7Î

wx

Je = 2:

iu.₂

= cos--1- i sin —

5 7t

Je = n — 1 :

wn _ i = cos

2 n — 1    . . . 2 n — 1

-7t +1 sin-

n    n

— 7t .

Es kann leicht nachgewiesen werden, dass jede andere ganze Zahl Je einen Wurzelwert w hervorbringt, welcher mit einem der vorhergehenden zusammenfällt, so dass im Ganzen nur n unter sich verschiedene Werte möglich sind. Nach dem öfter angeführten Satze von Moivre ist

3 7t i . . 3 Tt

— cos ---b i sin — = w,

n    n

5 7t . . . 5 7t

= cos--b i sin — =

u    u    z

w2n-l— COg

~7t — Wn- 1 •

Auch diese Wurzel werte sind paarweise konjugiert complex, denn” es ist

wn-i_fc = cos

2 n — 2 Je — 1

7t -[-«sin

2 n — 2 Je — 1

7t

COS ^2 7t

²^ir)+isin(

2 7t

M+¹ À

n )

= cos

2Ä+1    . . 2Ä4-1

--¹— tt — «sm-¹—- 7t

ein Wert, welcher zu W;c konjugiert ist. 1. Beispiel: x =    — 1 ;

Wo =

IO I-*.

toi t—¹

tot

|/3-

2. Beispiel: x = ^/ — 1 ; w

i/1+y

iv₂ — —

j/ł-y

«;₁ = —

Es ist w₀ zu iv., und iv₁ zu to₂ konjugiert.

w3=i/ł—*y •

u]-j

Um das yorgelegte Integral auszuführen, setzen wir w₀ = s und

-j- 1 a? — s

a; — £³

f“ + •••• + r

tAy    Ó    »a/

An

£2 « — 1

\ÆA

\_nxn~l j

x-t

27c -1

r x<p(x) i

L nxn J

X—

s2fc“l

-£2ä-i

<p (£2fe T) .

£

\x

ep(e) i eV(e ) i

£ X-£³    '

J2n — l y n X — e2 n — 1

128)

<P@)

xn+l

dx

§ I M.

j^£ (p {£) lg (X g) + £ Y(£³)lg(Æ-£³)+... £

2n—l

(p (£2 n“¹)l g(.-r—£2    x) J.

Ist ek ip (ek) = A -j- B i, so ist der konjugierte Wert £2n—kfp 7cj _ ^ — jß{, und die entsprechenden Glieder des Integrales lassen sich wiederum zu reellen Werten vereinigen.

(AĄ-Bi)\g \x

-}-(A — Bi)\g ^ce

— cos

2fc+l . . 2Æ —|— 1 \ w    n J

2Ä+1

— cos

i . . . 2 7c -|— 1

—J— 7T -4- sin-

n    n

*)

— Â]g (x² — 2xcos

2i±4₊₁)

w    /

X— COS

2 7c 4-1

-i-ii

— 2 B arc tg ~

¹²⁹⁾J

2ce² — ce -}- 3

ce³-}- 1

2

dx — 2 lg (ce -f- 1) -j- j^= arc tg

. 2Æ+1    *

sin —-—-— 7i n

2x— 1

|/3

c7ce —

j/² f¹! fta + a|/² + ¹

4 l_2    a;²

131)

ce⁵-}-ce²-{-4

ce⁶ -f-1

— ce j/2 -f- 1

arc tg (ce j/2 — 1) — arc tg (ce j/2 —j— 1)J dx — £lg (ce⁶-f-1) — 21/ 3 lg

(2ce—j/^-j-l

(2 ce —|—j/3_)²-j-1

/y* 3 Q /v>

+ 6arctg|p:£-aî

ÎJ

¹³²⁾ J

a ce²-}- bx -}- c

<7 ce = 4 I (a

³L

b —}— c) lg (ce —}— 1)

ce³-}- 1

-f- — (2 a -f- b — c) lg (ce² — ce -}- 1) -f- (b -j- c) [/3 arc tg

Ui

dx — 4 |/ 3 arc tg

1 . ce²-f-cej/2 -j-1 .

4^/2 ^ce² — ce|/2 -j- 1 ' 2|/2

¹³⁵) Jp 4- ijsdx = I 'te (*⁸ + iH

iss) j-4-ï^=ÿ_ïrii

rH CD

j^lg

ce—1 i 1 ln>ce²—ce-f-1 ce+l~^2 °ce²+ce+l

134) f—-

J Jx*+ 1

dx

¹ f_i

2j^³ + l 2ce41

T c7ce

|/3

2 ce —

(/3

j]

]/3arc tg

2 ce—1

|/3

cej/2

— ce²

3 (ce³ + 1) '

§ 3. Reduktionsformeln.

Verwickelte Integrale können oft durch Reduktionsformeln (ygl. S. 131) auf einfachere Formen gebracht werden, und wir wollen einige dazu dienliche Formeln jetzt aufstellen.

Reduktionsformeln für:

Setzt man a-\-bx -j-cx² = t, so ist:

r_i___

J (a -f- b x -f- c x‘²)n

dx.

d lb -f- 2 cx\ 2 c Jxy P¹ j-pî

n(b-f-2 ex)²

tn+¹

Da {b-\-2cxY durch 4 ct— (4 ac— 6²) ersetzt werden kann, so ist auch:

d /6 —2 cx\ dx\ tn )

(4 ac— b~)n    2c(2n—1)

tn+l

pi

Wird diese Gleichung Glied für Glied integriert, und n — 1 statt n gesetzt, so kann ihr folgende Form gegeben werden: b -J- 2 cx

(n— 1) (4oc—b²) P¹"¹ 1 (n— l)(4ac—

Für b — 0 und c = 1 entsteht die speciellere Formel:

136)

jr«dx

(2n—3) 2c

—xdx.

¹³^ jV+«)n

dx

2 (n — 1) a (æ² a) 2 n —

w—1

g-f ¹

2 (n — 1) aj (#²-f- a)

71—1

dx.

Behält t seine Bedeutung, so ist:

to—2

d (xm~¹\ dxy Pl J

= [m — 1) -

nx

TO— 1

(b-f-2 cx)

pi

tn+l

(:m — 1) xm~-²1 — nxm~l (b-{~2cx)

tn+l

= (m — 1 )aX-

TO—2

Pl+l

(n — m -j- 1) ô -

TO—1

tn+¹

(2w—m+l)c^p.

Wird wieder Glied für Glied integriert, so kann die Gleichung in folgende Form gebracht werden:

138)

xm

dx

(2 n — m -f- 1) c Pl (n — m-(- 1) b Cxm-X (2 n — m -)- 1) cj tn+l

pi+i

dx-j-

(m — 1 )a rxm~2 m —j— 1 ) cj P*+¹

(2 n—

dx.

Wie wir sehen, zerlegt diese Formel das vorgelegte Integral in einen fertig gestellten Teil und zwei noch auszuffthrende Integrale, hei welchen der Nenner tn+l unverändert geblieben, der Exponent des Zählers aber um 1 und 2 kleiner geworden ist. Die Formel kommt in Anwendung, wenn m positiv ist. Sie lässt sich aber auch leicht so umsetzen, dass das letzte Integral rechts zur Aufgabe wird. Nach dieser Umformung ist sie brauchbar für ein negatives in. Gewöhnlich wird aber in

diesem Falle durch die Substitution x = ^ das Integral transformiert, oder vor der Integration die Zerlegung in Partial-briiche ausgeführt.

Jxn (a -f- bxmY dx.

Die Reduktionsformeln für

\xn (a-\-b xm)P]—

V.r

n—1

(a-f- b xm)P-\- m bp (a-\-b xm)⁷⁾~¹ xni+n~¹.

xn~¹ (a-f- b xm) P — a xn~l (a-\-b x™)^¹ -f- & xm+n~l (a-\-b xm)p~l

ist eine identische Gleichung, durch deren Vermittelung man erhält:

^[xn(a-\-bxmy\ =

(a-\-b xm)p~l

-(-b(mp -\-n) xm+n~¹ (a -j- b xm)P~l. Das Integral dieser Gleichung kommt in 2 verschiedenen Formen zur Anwendung:

nax

139) jx

n—1

(a -j- bxm)P~l dx

xn (a -f- bxm)P

na

b (mp-{-n)

na

J xmJrn~l (a -f- bxm)P~l dx

140) J*xm+n~¹ (a -j- b xm)P~l dx

xn (a + bxm)P

b (mp -j- n)

n—l

(a -f- bxm)P~x dx.

Je nach der Absicht, den Exponenten von x um m Einheiten zu vergrössern oder zu verkleinern, muss die eine oder die andere Formel Anwendung finden. Die Potenz des Binoms bleibt unverändert.

~ [xn ((a -{- bxm)P] — nxn~~l (a -{- bxm)P

-f- bmpxm+n~¹ (a -f- bxm)P~l. ^    b xmJrn~¹ = xn~~x (a-\-b xm) — a xn~~l ;

dx ^    ^xm)p] — {mP 4“ n) X>1~¹ (a + bxm)P

(a -j~ bx™)?-¹.

Aus den Integralwerten dieser Gleichung lassen sich die folgenden Formeln zusammensetzen:

— ampx

n—1

141)

xn (a -|- bxm)P

amp

J xn~x (a -j- bxm)P

142) jx

n—1

(a-J- bxm)P~¹ dx

mp -f- n

xn (a -{- bxm)P

amp mp 4-n Ç r

I X

amp J

Während die zweite Formel dazu dient, den Exponenten um 1 zu vergrössern, wird derselbe durch die erste um 1 verkleinert.

n—l

(a -|-bxm)P dx.

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen.

§ A4, \/a-\-bx) dx .

Ein solches Integral wird rational durch die Substitution:

nzn~l ₇

—; dZ.

b

— Z. X

zn — a

dx =

Beispiel: S =

jV“

_ gt 2 _ Qj

bxdx; a-\-bx — z², x = —^—

dx =

20

■=- dz; b

143) ^%\/a-\-bxdx

J«-

az~) dz —

2 /z'° az*\ 5~    3~) '

e Ico

Das Integral kann auch mittelst der Integration nach Teilen ausgeführt werden:

jx (a-\-bx)? dx

2 (a 4~ bxfi x

2 (a-\-bx)i x

3b

~J*(a 4- bx)% dx

.^<a+bx)i.

co oi

144) (x(a -f- bx)%dx —    ~f- 6 a;)³ (bx— ^

“> fafe

dx =

to

146)

fan

dx =

a -\-bx

¹⁴⁷⁾ JW+ ÏW*

(Î-T+Ï)

3^/(l+^^(l + *)²-|(l + *)+ )

2 /-—

T Va “H

to i i-k

dx

(n — p)t>iy(a --f- bx)P~n

2l V//(a + M²

149)    Ja; ^/a -)- bx dx = ₉^-j (4:6a;— 3a)^/

150)    Ja;² ~+bx dx = ~t~M

148)

JV

a-\-bx

dx =

l0l) J^/5 + lx 152) jxfä

1K> feS+2

dx=-

— 4 dx =

dx -

-(a-\-bxy

₂rp (36a; — 4«) ^/(o + 6 a;)³

10

a -j- 6a;

154) fv=

J 1/3 a; -

cZa; =

|/æ

156)

f —L_

J \/a-\-x

dx

^ (a;²— a? — 12) x — 4

2^(?f-4æ+fjl/® + 5ï

]/ X— 1

|/ a; —f— 1 |/«    + a -f \/ a

/a;²

l⁸

157)

«s) J

f_i—

J a: [/a; — a

dx =

4=ai-ctg| Azif! [/a r a

(a: -f- l)|/l — a;

^a;

1 . |/l —-a; —1/2

[/ 2 l/l—a; + |/2

1 ^ |/a-j-&a?— j/a.

ci j/ci —j— b x —j~ cï

34,67,    65

+    + — -as*

-f- 2xi — 6x^ -j- 6 are tg ^/x

— fo + 1)¹ — f 0 + ¹)¹

— 0 +1) — 10 +1)* — I 0» + !)ł — I 0» + i)¹

Man setze æ + 1 = #⁶.

dx — 2 |/l -|- x + lg

159) f ₇—

J a; [/ a -j~ b x

160) J

162)

eZa; =

1 + \/x

cZæ = —

(Z# =

nÆ+i

J «

|/ß -f- 1 — 1

l/x-\- 1 + 1

—-— f (|/æ— a + j/æ— b)dx b — a J

3(+5)[(*-“)l + (æ-J)i]

z=.dx = ^    + a)'2 — *f]

f æ + 4 [/+ + 4 lg (1 — |/ ćZ# = 2 lg (1 + l/x)

J*|/ l+[/a;^a? = 4l//l+|/a;

¹⁶⁸⁾ Sÿï+ï+ÿïTï

cïx —

163)

f ......¹

Jyx — a —

[/ x— b

dx

164) r ¹

J y x + a + y x

1+|A

165) f

1 — ]/ x

dx — —

166) f——=

Jx±yx

167)

²    1 + [/xl

3 J

169) f-

J a

+■ ß j/ ci —j— b x

dx = 2 y'î + x — 3 \/1 + æ

+ 6    1 + X- 6 lg (1 + y/1 + x)

O__O f/    _

=-r[/ « + ôæ—ß\/a-\-bx)

bß

bß

"°» j

(a+/9æ) [/a + bx

dx =

if

ab — aß-\- ßz²

Die weitere Ausführung hängt von dem besonderen Werte von ß(ab — aß) ab. Hier ist z² — a-\-bx.

Bei derartigen Aufgaben kann man zweckmässig vor der Substitution die Integration nach Teilen vornehmen, um dadurch etwas hohe Werte von n zu erniedrigen. Die folgenden Beispiele dienen zur Anleitung.

171)    Jxn\/a -j- bxdx =

172)    ^xn ^/a-\~bx dx

~{a-\-bx)^ xn 3(a-\-bx)% xn

3b

{a-\-bx)$dx (a -|- bx) ^xn~l(a-\-bx)%

3 n f

U)*

n—1

Äj

3(a-\-bx)$ xn

173) fasA-j-

J y/a-[-bx

A-n xn -f-    i xn~¹ -|- .... -f- A₁ x -)- A₀

dx =

2b

dx.

\/a-\~2bx-\- cx2 Mit Hilfe des Satzes von den unbestimmten Koeffizienten

¹

n — 1    . . . 2 n — 1

-7t-hi- sm------

n    n

kann ein solches Integral in einen fertigen Teil und in ein noch auszuführendes Integral zerlegt- werden. Wie dies geschieht, wollen wir an einem Beispiele zeigen. Wir setzen: 30ff⁵-[-30ff⁴'-|- 12 a;³ —{— 21 a;²— iöx— 1 ^ j/4 -f- 2x -f- 3x²

=    X⁴ 4- ög X'J —|— 6C₂ X " —|— O.^ X —|— 6£q) j/4 —|— 2 X —j— 3 X ”

dx

+ wf-=i

Jj/4-f 2a:-f-3a;²

worin die a und K noch unbestimmte Koeffizienten sind. Zu dieser identischen Gleichung werden wir durch die Thatsache berechtigt, dass auf beiden Seiten der Form nach völlig gleiche Ausdrücke entstehen, wenn wir wieder differenzieren. Man erhält dann:

30a:⁵ -f- 30a:⁴ -j- 12a:³-j-21a:² — 15a: — 1

j/44 2x -f- 3a:²__

= (4 «₄ x:i -f- 3 «₃ x² -j- 2 «₂ x -j- a₁ ) j/ 4 -j- 2 x -j- 3 x²

(1 —f— 3 x) x⁴ —|— ctg X" —f— «₂ a:“ “I⁻ x -J— 6Cq) —|— K-I/44 2a:-j- 3a?2 30a:⁵-f- 30a:⁴ —)— 12a:³-\-21x² — 15a: — 1 = (4«₄a:³ -j- 3 a.äx² -(- 2a₂a;-j- ai) (3 a;² —|— 2x -j- 4)

—j— (1 —}— 3a:) (a.^a:⁴ —J— «gx° —j— ol^x* —|— 0,x -j—1£₀) —j— K.

Der Satz von den unbestimmten Koeffizienten führt zu den Werten der a. Es ist 30=15«₄, «₄ = 2; 30 = 12«₃ -f-9«₄, «3 = 1; 12 = 9a₂ + 7a₃ -f-16«₄, a.₂ = — 3 ; 21 =    -j- 12ag)

«₄ = 4 ; —15 = 3a₀ -f⁻ 3«₄ -f⁻ 8a₂, «₀ = — 1 ; — 1 = K-(- 4a₄ -f- a₀, K= — 16.

™) j

30a?⁵ + 30a?⁴ + 12a?³ + 21a?² — 15a? — 1

|/4 —|— 2 a? —j— 3 a?

^a?

=(2a?⁴+a?³—3a?²+4a?

c?a?.

Bevor wir uns mit der weiteren Ausführung des übrig gebliebenen Integrales beschäftigen, sollen zur Berechnung des anderen Teiles allgemein gültige Formeln aufgestellt werden, und wir wählen dazu als Zähler eine Funktion von ganz beliebigem Grade. Nur der einfacheren Darstellung wegen nennen wir diesen Grad nicht n, sondern wir wählen dafür eine beliebige Zahl, z₄ B. n = 9.

A(J x ⁹ -I⁻ -4g x³ —[—.... —j— -4₄ x —j— -4q

dx

.r

]/a -J- 26a? -f- ca?2 == («₈ x⁸ —«₇ a? ⁷ —j—.... —«₄ x —j— «₀) j/ci —[— 26 a? —j— cx~

+ik

dx.

a-\-2bx-\- ca?²

Wird diese Gleichung differentiiert und der Nenner durch Multiplikation beseitigt, so erhält man:

.4,, a?⁹ —(— A₈ a?s —J— A₇ a?⁷ —|— .... —j— A₄ a? —j— A₉

= (8asa?⁷ -j- 7a₇a?⁶-|-....-f- «J (<x —26a? -j- ca?²)

—j— («g a?s —|— «₇ a?⁷ —|— «g a?⁰ —(—.... —J— «₄ a? —)— «₉) (6 —ca?) —j— K. und durch Vergleich der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von a? die folgenden Relationen:

A₉ = 9 c «₈

Ag = 8 c a₇ -(- 17 6 «₈

A₇ = 7 c «g —(— 15 6 «₇ —[— 8 n «₈

Ag = 6 c «- -j— 186 «g —j— i Qi (J..J

A- =; 5 c «₄ —j— 116 «- ~)~ B ® «g

A₄ = 4c«₃-j- 96—f— (5««ä

Dölp, Aufgaben.

10

-4g = 3 G CLcy —7 b 6Cg -J⁻ 4 CL O.£

A₀ = 2 C O.-y —J— 5 & GCtj “J⁻ 3 ß 6tg Ay = 1 c 6Cq -j— 3 b cq —|— 2 a a₂

1 b ćZq —j— 1 ci oq -j— AT.

~ '

Aus diesen sehr übersichtlichen Gleichungen werden die Koeffizienten a und K berechnet. Selbstverständlich kann unter den A eine Anzahl den Wert Null besitzen.

Die Ermittelung des übrig gebliebenen Integrales ist eine ganz verschiedene, je nachdem c positiv oder negativ ist. Wir untersuchen zuerst:

a -f- 2bx -j- ex¹ 2 \/a -\-2bx-\- ex² — x\/ e-\-z

dx, wenn c > 0, und setzen

z² — a

2 (b — J/ cz)

dx

[/c z* -f- 2 bz

2 (b—]/C0)²

j/ a -f- 2 bx -f-ex² =

— \/c z² -\-2bz

2 (b — [/cz)

Z-\-X[/c ,

—-—j=- dz

b — y cz

— a\/c _

¹⁷⁷⁾ J

l/a-{-2&Æ-f-ca:²

t=1 g (P — *)/ c)

J £— z\/c — lg(&-J-c^ — [/c \/a -f- 2bx -j- ex²)

—dz= —

j/c

\/c

oder

l/c

^ 1 g (Z> —(— c a; —J— l/c [/a -J- 2 && -f- c«²)

je nachdem l/c mit dem -J- oder — Vorzeichen genommen wird. Dass die beiden Werte, wie es sein muss, nur um eine

lg(&²— ac) differieren, ist leicht

[/c

y a -f- 2bx — ex²

dx, wenn c > 0.

[{cx — b)² — {b² — ac)) = —^{cx — b)²

über, so dass \Za-\- 2bx — cxu =

’J=f

dx

Man setzt z

y/a-\-2bx b — ex

— cx

C    I/ cdx

Ę~~J[/(b^fac) b — z\/W~f

— (b — cx)²

ac

|/V+

ac

dx = —

/b²-\-acdz, \/a-\-2bx

— cx²

ac

¹⁷⁸⁾ I

dx

y a-\-2bx —cx²

_JL f___d*

\/ c) |/l

— arc sin z

v~°

1    . b

-7= arc sin ,

— cx

\Zb² -|- ac

Die in diesem zweiten Falle benutzte Transformation wird unmöglich, falls b² + ac — 0 ist. Das kann nur für ein negatives a eintreten, da c positiv sein sollte. Dann geht aber für a = — a der Radikand — a~\~2bx — ex¹ in

\/c

² = |///—^-{cx — b) wird, die

Irrationalität also verschwindet und das Integral unter Verwendung imaginärer Grössen nach früheren Vorschriften behandelt werden kann.

In den Resultaten der nachfolgenden Aufgaben ist der in der Aufgabe vorkommende Wurzel wert häufig kurzweg durch R bezeichnet.

¹⁷⁹⁾J

xs + 5 x² — 3 x + 4

\/x²-\-x-\- 1

dx=

l°y

V

¹⁸⁰⁾ J

4æ⁴+15æ³— 9a;²+14^+46

181)

Ç hx² — 2x + 10

J [/3x²

^ j/ar-j-Æ-j-l

OK    -|    _________________

+ ₁6¹g(^+2 + ^² + ;r+¹)

dx~{x³—2x²-\~3x-)rl) R + 10 lg (3 + ® + R)

Cm tH

163

24

— öx-\- 8

dx —

Ol I O'

55

8 (/3

lg'

¹⁸²⁾J

x* -\-Ax- — 6x-\-3

[/h -f- 6x — x²

dx — —

/x'

\*

x- . 9x .

J + 2

ï)*

¹⁸³⁾J

— 45x³ -f- 20a;² -f- 65a; -f- 54

|/ 7 —(— 8a; — 5a;²

Q _ or

— 139 arc sin

y 14

dx = (3x²    4x-\-h) R

6    . 4 — 5x

---= arc sin —-==

|/5    j/51

1Q/Is Ç mx² -\-nx-\-p    (

m JiÄT^+^    U

mx . 2cn—3bm

2c²

x-j-cx²

2bcn— 3b²m -|- acm

2 c²

)h

a -\-2bx-\- cx²

dx

cx²dx—

f-

W

cx² -\-2bx-\- a

a-\-2bx-\-cx²

dx

(f+èr+(f -h)Sÿ.

a-\-2bx~\- cx²

dx

Es wird also z. B.

J1/T+

\ x |/l + ² + \ lg 0 + |/l + a)

— a;² tZa; = -^ a; j/l — a;²-f-~ arc sinx.

—    W

a;²^a; = —

LJ

m + )

187)    J|/ll-f-12æ

188)    J*a;[/8-(-a;

— 8a;²    =

— x² dx —

to! &

to &

»O KO

Llg(3a?+5+^/3 E)

(/27

31    .3 — 4a;

—t= arc sin —7-=— 8 j/ 2    |/31

a;³-(-a;²-}- 8 a;

dx

7\

y 3    12    4/

to I 05

R — — arc sin

1 — 2a;

16

j/33

¹⁸⁹⁾ J>

a-\-2bxJr cx²

dx

= -^l/a-j-2bx-j-

cx²

If

a-\~2bx-\-cx²

dx

m> k

m> k

192)    f ....

Jj/3-f 2a

/•    /y» 5

193)    f-7=

J 1 —(— 2ir —{— 3 ic²

a-\-2bx-\- cx²

dx =

a;³

dx =

X-j-X-

dx =

/ x 3 \

\2c~~ 2 J

*4

3 b²—acr 1

2 c-

-^.dx

/a;³

l⁷

dx =

a:²

5bx . 5Ô² 2a

3c 6c2 1 2c³    3c²

3a&    bb³

2c² 2c

7æa

+-+-U

12 ^3^2)

)B

)Ji"

-llg(l+x + jB)

'r^të{l+'ix+'/?>R)

cxz -\-2bx² ax

Çca

W

194)    Jx\/a-j~2bx

_    VL\ 7? i /_&!    f

\3~t'6c'r3c    2 c²)    ~r\2c² 2 c) J R

195)    J*(/(5«²-|-4^-|-3)³ dx=^

3x² . 79a: . 63

cx² dx =

a-\-2bx-\-cx²

dx

dx

/5a:³

l¹“

25a:⁴-|-40a;³-|-46a;²-t-24a;+9 ^ j/öa:² —)— 4^c —3

\g(2-\-bx-\-[/ bR)

363

196) J(2o? — 5) 1/2 +3a;

— x² dx =

2001/5 (2a: — 5) (2 —{— 3a;—a:²)

I/2-f-3 x — x²

17    . 3

— arc sin -4

dx

-\jr~3x+l)B +

197) J (a:² —3a;-f 5)j/3a;² —2a;-f 6^a:

_/a;³ 37 a;² 625    503 \    22

A 4    36 ' 216^ 2Ï6 j ^^216^/3

t?a; = 7J7 —= lg (bx-^r [/b |/a -f- ôa;²)

— 2a;

|/17

lg(3a;— l-f|/322)

198) f—i J |/a-)-ôa;²

199)

r_ł

J j/ć4- ôa?²

dx

-= arc sin x

*c> i «

²⁰⁰⁾ Jj/If

dx

x-j-cx²

201)

r ₌ i

J [/2bx -

— cx²

dx

y lg (b -{- cx-\-\/c \/2.bx-\- CX-)

1    . b — cx

=--7= arc sin —₇—

]/c

V~0

202)    ^[/a-\-bx²dx =~)/a-\-bx²-]-^

203)    Jl/a — bx² dx = a — bx²-\

204)    JV2ax-j-

205)    JV

206)    Jx²[/2

x² dx

a -j- x

*°i

2ax — x²dx

ax — x² dx =

Cr⁴

lg

I'bx-\-\/b V a-^-bx²^

a

—7= arc sin x 2[/b

lg O -f X + B)

VI

x — a _    . a

-— 2t — arc sm -2    a

ax² ba²x 5a³

(x»

l⁷

12    24

bai

. a arc sin —

²⁰⁷⁾ Ji7

Die Relationen (10), S, 145, führen zu den folgenden Formeln: dx = (aM_i x1l~l -]-    2 xn~²

—j⁻ . • • -j⁻ (J.-y X

xn

a -f- bx²

+ a₀)^a + ^ + Kf~=

dx.

? Än—2 — 0 J an—3 —

&71—5

_4 5 an—3 j an—6— 0 ; an—7

• -=- «?l_₅ usw. w—6 b

K= — a«₁₅ so dass für ungerade n stets K=0 ist.

= ^Va-\~bx²

a-\-bx²

B+^s{bx+VlB)

208) [-=£== J j/a -J- &Æ²

209)

J bx²

C    /y» 3

210)    f .*

J j/a-J- bx²

j 1 C bx

dx = -=■ I —7

w

a-\-bx2 dx —    / a-\-bx²

dx =

dx

/ü!_ülw

13i 3S²n

²¹¹⁾ Svmdx=( - )

co un

(*    /v>5

212) —JL

Jj/ 3 + 2«

Das Integral 207) kann auch mittelst einer Reduktionsformel ausgeführt' werden.

-dx = 2

(x^

v¹⁰

dx —

bx

\/a -f- &Æ²

dx

[/a-j-ÔÆ² — — -y-'^J*.^w-~~² |/a -{- bx² dx

xn—2

r Vo+^3fo=aJp

213) f-~X -dx — -;-xn~l[/a-\-bx2 jya+bx* nb

a-]-bx

(n—1 )a

nb

xn

a-j- bx¹

dx.

r xn~l

J I/a-\-bx²

dx

214) f—=_

J \/3 — 5x²

dx= —

/ x⁵

\30

/y>3    Q /y*

«A/ i «7 «A/

40 ¹ 400

Ws

— 5#²

27

bx

arc sin . 400 |/ö    j/15

Wenn n eine gerade Zahl, so ist:

²¹⁵⁾ I

xn

n—1

yi — x2 1 n — 1 n —

T“~'

3    1

_ rn-b    l ± .

4*^    ^ w 2'*

_i_ 1. W—1 _ n —3 ' n n — 2 w — 4"

²¹⁶⁾ Jj7!=?,b—( 6 + 24+ f¹

Wenn w eine ungerade Zahl, so ist:

1 n— 1

^2*

■ly¹

lO ! T—(

05; &

— x2 3

. — arc sm x

u

—«²4-^rarc sin x.

lb

to

Ç xn

J j/l — x

-dx = ,2

( — xn~~l

\n

+ f-

n—3

²¹⁸⁾ JjTlfe

= dx = 2

in — in — 3    ,

__• _ rpTX-5

— 2 n — 4 , 6xé . 8x² , 16

V'

/v

l⁷

35 ¹ 35 ¹ 35

1 - Æ² .

(.x — a) [/a -j- 2bx -j- ex²

dx.

Durch die Substitution x — a — folgendes Integral:

— verwandelt sich S in

S= —

Ji/

dz.

cJ\-2{b-\-ca)z-\-{a-\-2bo,-\- ca²)z²

Je nachdem der Koeffizient von z² positiv, Null oder negativ wird, ist der Wert dieses Integrales verschieden.

1) a-\-2baca²    0 und =m gesetzt:

²¹⁹⁾f

dx

a)\/a -f- 2bx -f- cx²

— iga-f*^«-h(^ + c«) x + y'ml/a    2bx -j- cx²

x — a

2)    a-\-2ba -j-ca² < 0 und — m:

(x

220) J

(x— a) \/a -f- 2 hx -j- cx²

dx

arc sin

ci -j- h (j. —|— ( h —[— c ß) ic

(x — a)\/b²

— ac

Ist endlich

so ist a eine Wurzel von a-\-2bx-\- cx² = 0. Nennen wir die andere Wurzel /?, so ist c(x — a) (x — ß) = cx²-\- 2bx-\- a. Wird endlich (x — à) — z² gesetzt, so ist (x — ß) = {z² -|- « — ß) und

dz.

s ² r ¹

[/ c J z² \/z² -f- a

— geht S über in:

u

Durch die weitere Substitution z —

s= —

2 Ç    u

\/c) [/(a — ß)u² -\-l

du =

2 \/(a — ß)u²+ 1

\/c

und daraus durch die umgekehrten Substitutionen:

_2 \/c{x — a){x — ß) 2l/a-j- 2bx-\-cx²

c ( a — ß) (x — a )

c (a — ß) (x — «)

Da ferner «4-/2 = — — ist, so kann « — ß = 2 ^ ge-

c    c

setzt werden. So wird schliesslich:

to

22I) J

(x — «) |/a -j- 25a; -J- ca;²

da; =

j/a -j- 2bx -j- ca;²

222) J

(x — l) [/x² -f- 2 x -f- 3

dx =

l_lg2s + 4 + l/6ü x — 1

\/6

223) J

(x — 2) J/a:² — 6 a; —|— 1

224) f--- _

J (a: + 1) |/l — x²

dx

4z arc sin

x-\- 5

(a; —2) j/8

da; = —

l/—•

r l+a;

Wenn a ß> 0 ist, so ist:

225)    f ^

J a;[/a-f-2Ja;4-ca;²

226)    j*

dx

Wenn a < 0 ist, so ist:

1 ₁ a-\-bx-\-\/ a\/ a-\~2bx-\-cx²

\TaS    ^

227)

x[/a-\-2bx -f- cx2 dx =

f__¹

J a;|/2

aa; — x²

dx

4=r arc sin

a -J- bx

|/— a

x\/b² — ac

y2ax — a:²

aa;

228) f-

J a;

j/l -j- ~x

a;

229) j*

230) J

a;[/ a:²-f-a;— 1 dx —

, • ^ dx = arc sin -

a; [/ 5

x y x² — 1

— arc sin —.

Durch die Substitution x — « =

(x — a)n y a -f- 2 bx -f-

— erkält man:

cx

= dx. 2

S= —

zn~l

dz.

²³¹⁾ f

{x— l)³ y 3 — 2a;²

dx ——

CO

3—2ar

2(x—l)²    x—1

? lg 3 — 2 a; — j/3 — 2a?2 x — 1

232) J

(x— 2)⁴ y l — 4x-j-x²

= dx —

233) f-

J x-

[/a -J- 2 ôa; -j- ca;²

dx =

9 (x— 2)3 \/a-\-2bx-\- cx²

27 (x — 2)

aa;

⁴f-

«Ja;

[/a-\-2bx-\~ cx²

dx

²³⁴⁾ fc

|/a -j- 2bx -j- ca;²

dx —

— 1    3 b

2ax² ' 2a²x

m²_ c \ r

y2a² 2«y J

²³⁶⁾ h

j/l — 4 a; -j- x2 dx —

xy a -\-2bx~\- cx2 -R-{-2\g¹~2x~R

X    X

j/l -f X²    1. 1 — |/1 + a;²

dx — —

|/l -J-a;²

237) f-    ¹__

J a;⁴ j/3 — 2a;-j-a;²

2 a;²

2lg

a;

dx — —

/J-

y9a;³

54a;²    54a;

2    3

27 |/3 g

b)B

dx

a; — |/ 3 _R

a;

238)

a -j- 2&a; -j- ca;²

^dx =

If

& -j- ca;

+ «f-

J a;

|/a -f- 2&a;-f- ca;²

a-\-2bx-\- cx²

&+\f

dx

/X«0 [/a -f- 26a; -f-

J/a -j~ 2&a;-|-ca:2 — dx.

cZa:.

cx

in Partialbrüclie und damit das ganze Integral in eine Summe integrierbarer Teile.

Man zerlegt

239) J

3 a;-fl

x*—x — 6 |/3aj²-f4^—7

1 lia:—1—[/32-R ~~ f 8 ⁸' x — 3

77T dX —

J(

«—3 ra;-f2

1    . 4 a? —J— 11

[/ 3    5 (æ -f 2)

4a;-f 17

240) Hi

6 |/5 — 2a;²

(2 a:

5    .    5 — 4x

-t= arc sin —--=

I/3    (a? — 2) |/10

1    .    6a; + 5

--T— arc sin--- ¹ ■

f 13 (x -j- 3) j/lO

²⁴¹⁾ J

3a; — 5

(a: — l)² fa;² -j- 4

Æ*=5'

² ^² + ⁴

a: — 1

17

a;-f4— f 5(/a;²-f 4

5 i/Ö

a; — 1

242) J

(a?² — 9) |/5 -f 6 x — lx

- dx = 2

1    .    7 —9a;

—-= arc sin--—-7=

6 y 40 (x — 3) y 11

12a; —2

-4= arc sin--—.

6 f76    (a? + 3)|/ll

(7a;.

(a; — p — qi)\/a ~ÿ 2bxex*

Dieses Integral geht hervor aus 219), wenn man a=pJrqi setzt. Dann ist auch m — a-\-2bp -f c(p²—2²) -f 2q(b -f cp) i. Setzen wir m = q (cos t-\-i sin t), oder q cos t — a -f 2 bp -f c (p² — q¹), ç sin t = 2q {b -f cp), so sind q und t hierdurch bestimmt. Zugleich ist:

[/ m    [/ q

¹ / *

i^r’s

— i sin

to <?+.

cos -f i sin —

u    u

i sin

|j-lg|« + &JP + (b-\-cp)x— |/ ç

-f {(ö -fca;)q—fosin ^-ß}*J—p= ^cos ^ — isin ^lg(a;

cos

to; <f+.

to:

cos — R

u

—p—qi).

f{x)

existieren, welches sich von diesem nur durch das Vorzeichen von i unterscheidet. In abgekürzter Bezeichnung mögen beide heissen:

S = (4 + Si) lg (P + Qi) — (A -f Bi) 1 g(x — p — qi) S₁ = (A — Bi) lg (P— Qi) — (A — Bi) lg (x — p -f qi)

£ + &i = A\g (P² + $²) -J- 2Parc tg ^ — A lg [(x — pYĄ- <f]

-J-2 Paro tg——-

Setzt man x*² = z, so ist:

²⁴³⁾J

a:

(1+*•)!/!

— a;

⁴^    2 J* (1 —Æf) |/1 — z*

to 1-k

— a;²

1 -j- a:²

244)

ri/q-f a; Jr q — a;

tZa: =

dx

= — |/q²

-    CC

² 4- q. arc sin —.

q

Setzt man xs = £², so ist:

245)

dx =

[/q³— a?3 Man setze a;² — z in:

— ^²

^ arc sin

o

246)

/*    /y”    /•    /y» 5

JVct^+JVct

dx

1 r * 2J |/l —

(i+îK¹

— P²

a;⁴ 4- ~ arc sin x2 4

247) J*(a:-f-|/l-|-a:²)

ndx=

co ; M.

f(^ +j/l +

L

^J(zn-j-zn~²)dz imz^^x-^-^l-^-x12 x²)n+l    (a: -f- j/l + x²)

n—1

§ 5. Exponential- und logarithmisehe Funktionen.

Diese Funktionen werden vereinfacht durch s— ex.

248) J*

emx dx

qTTIX

249) J* (e3x -f~[/ex) dx

250)

p3x    ._

—- -J- 2 \/ex ■ A r dZ =

ft

2 lg' (ex + 1)

2f>1) j'ÿ?ip=iÆ*=arot«e*

²⁵²⁾ )vé^

dx =

z — j/a -j- bex

253) dx =

ex

254) Je* [/l -f dx = 11/(1 + e*)'⁸

iw'

256)    J(e*+

²⁵⁷)    fźĄ—dx = lg(e* + a)

-1)

2 (Za:

e~x)² dx

ex — 1

e2a;_

{- 2#

258) J

4e* + 6e~x

9    — 4 e~

-dx =

X

35

(e2x- )~T

2B9) J'*q^;*I, = fed+*’’)-

/*    «a?

²⁶°) J(e«4-a)n

dx =

c:v

(n — 1) (cx -j- a)n~¹ ’ Jf{x, ex)dx.

Neben der Substitution wird bei diesen Funktionen auch das Integrieren nach Teilen oft mit Vorteil angewendet.

26!) f

262) J

exx° dx = e^a:³ — 3 J*exa:³ da:

usw.

24a;+ 24)

263) Çexxi dx = ex(xi — 4a:⁸ + 12a:²

264) J é* xn dx — ex (xn

— nx

n—1

265) J

emxxndx —

ßWlX QßU

fl c

~r^-ldx

2661

) J*(a+ôa:)

nemxdx

emx(a + &a;)w

emx{a-\-bx)n~~l dx.

Diese Reduktionsformel ist für positive und negative m gleich-massig anwendbar. Man kann sie auch umkehren und —p für n — 1 setzen.

cmxdx—

emx (a-j-l/x) —P+¹

(P — 1)h

(.P —

cmx (a -f- bx)-^¹ dx .

Für jp = l ist diese Formel nicht mehr brauchbar, das Integral muss dann durch Reihenentwickelung weiter geführt werden.

sa*âx-i(ï+i+r*

269) Jx* e2x dx = e2x

268)

...

dx

1.2.3

/Vi2    /y»3

= 1 gtf + * + ^+^ + ...

3x . \

v+ )

co

270) J*

x³ e~x dx = — (ar³ —f—    —[— 6a? —j— 6)

272) J

{pc — c+

dx =

(3V* + 6? + 4)+ J

y&f d*

rH ÇO

wenn z — x — a.

Exponentialfunktionen mit der Basis a werden in solche mit der Basis e umgewandelt, indem man a = em setzt.

m = lg a

273) ^alxf{x)dx=^emhxf(x)dx]

274)1

xs ax dx =

/ xs ax I —

\m

m² ' m³

⁶i

m* J

275) dx = — ax

\?,XĄ

6x²

276) (f(x)dx=(ezf(ez)dz.

m²

Gx

) +    dx

wenn z — lg x ist.

277) J (lg x)n dx — jV zn dz — ez (zn — nz⁷¹—¹ -J- . . .)

= x [(lg x)n — n (lg x)n~l ~\~n(n — 1) (lg x)n~² —...].

Dieses Integral lässt sich auch sehr leicht mittelst der Integration nach Teilen ausführen.

n dx

278)    J(1 gx)

279)    j*lg x dx — x (lg x—1)

= x (lg x)n — nJ*(lg x)n~l dx

280)    J*(lga;)²^a: = a;([lga;]²— 2 lg x-\-2)

281)

xn+l

n-j-1

1 gx

xndx

XnA^

n~h 1

dl)

282)    J*x~~n lg x dx

283) J,3lg„_ (*’-)

(n — l) xn~l

V‘’+ié

►M

rlgx

hT

dx —

285)    ^\gxdx = |(lg^)²

286)    J\a-\-bx)n\gxdx--

287)    ^(A^-SxyXgxdx

co:

(a-\-bx)nJrl

Qß

{n-\~l)b

(4 + 3*)³.,

--

(w+l)öj

(a-\-bx)n+l

dx

64

^-lg#—16a; — Qx²— x³

288)    g{a-\-bx) dx =    (\g[a-\-bx\— 1)

289)    \xnlg(a-\-bxm)dx

xnĄA

Xm+n

lg(a-j~bxm) —

290)    fig (« + **■) ** = **(« + bx²)— 2#-|-2af——^

J    J a -f- bx

291)    jx lg (1 x²) dx =    lg (1 -\-x²) — ~

292)    J*#³lg(#²-f 3 )dx=°^ lg(x2jr3')—~

²⁹³⁾    j{/^7lgxdx=[/^+VK'sx~i^'X

w+1

aĄ-bx

dx

j(|-3^²+91?(^s+3))

dx

= (1 gx— l)l/a²-j-x² — a\g —

\/a²-j-x²

§ 6. Trigonometrische und eyklometrisehe Funktionen.

Die Grundformeln zur Integration dieser Funktionsarten werden durch Umkehrung der entsprechenden Differential-formeln gewonnen.

cos xdx — sin#

294) j*

295) J

sin xdx — — cos x

296) J

cos nxdx —

1 sin nx

297) J

sin nx dx—--cos nx

298) J*dx — — cotg x

²")

dx = tg x

300)    J*tg x dx — — J*

301)    j*cotgxdx= (

— sin x

cos#

cos#

sin#

dx =

lg cos x

dx = lg sin #

-    — Iff cos nx n

—    Iff sin nx n

302)    ^ignxdx =

303)    J*cotgnxdx

304)    j*sin^cos^ dx = ^ sin² —{— C =

-^cos²#-]- Ct

u

-if

sin 2 xdx = —

^cos 2x-\-G₂.

Je 2 dieser 3 Werte differieren nur um eine Konstante.

cos 2x) dx — —x — sin 2x

cos-xdx = j*(l — sin ²x)dx= æ-J-— sin 2x.

Aus 300) und 301) folgt:

307) J*(tg x -J- cotg x) dx —

r 2

³⁰⁸^ \$\R2xdx = ls^X’ oder:

305) J

306) J

sin² xdx —

fr

tC M-

lg sin x — lg cos x — lg tg x, oder :

CO I &

310) f— J cos

dx =

sin

= — lg tg

/ 7T    X\

l⁴ V

(H

dx — —

=tgcotg

Js

dz = — lg tg

to! *4

Höhere Potenzen von sin# und cosa? können mit Hilfe von Keduktionsformeln integriert werden. Sei:

Sn = ^ sin” x dx.

^ sin” x dx = $ sin”⁻¹ x sin x dx

= — cos x sin”⁻¹ x -\-(n — 1) jj sin”⁻² x cos² xdx Sn = — cos x sin”⁻¹ x-j-(n — 1) $ sin*¹⁻² x (1 — sin² x) dx Sn = — cos x sin”⁻¹ x-\-{n — 1) Sn-2 — (n — 1) Sn nSn = — cos x sin”⁻¹ x-\- (w — 1) Sn-2

311) J sin” xdx =

- cos x sin”⁻¹ x 4- W—- f n    n J

sin”⁻² x dx.

Dölp, Aufgaben.

11

Wird die Formel umgekehrt und n — 2 durch —p ersetzt, so entsteht:

312) J*(sin#)

-p dx —

—cos # (sin x)~p+1 P — ¹    'o r

+i=ifoM

~p+²dx.

Die beiden Formeln dienen dazu, den Exponenten von sin# auf 2 oder auf 1 zu erniedrigen und so das Integral auf eine nach früheren Formeln ausführbare Form zu bringen.

³¹³⁾ J

sin ^ xdx — —

^ ^sin²#-f- 2^

cos#

³¹⁴⁾ J

³¹⁵⁾ J

sin⁴ xdx = — sin³ # -|- ^ sin #^ cos # -j-+ 2lgtg

sin⁵# dx = —

316) f . ö- dx = ' J sm³ x

cos#

2 sin²#

to I &

3#

cos#

³¹⁷)

dx = —

—)

3 sin # /

cos#.

3 sin³#

Die Reduktionsformeln für cosn# werden auf dieselbe Weise direkt gewonnen wie diejenigen für sinw#; sie können aber auch aus 311) und 312) dadurch abgeleitet werden, dass man

cos # = sin i ^

= sin z setzt.

318) J*cosM # dx = sinw ^ — #| dx = —J

sinn z dz.

Wird das Integral entwickelt und darin wieder sin# durch cos# und cos# durch sin# ersetzt, so erhält man:

cos⁷⁷'⁻²# dx

³¹⁹⁾J

cosw xdx = — cos⁷¹⁻¹ # sin # 4- --- f

n    n J

320) f(cos#)~^#

1    p—2 r

-—jsin#(cos#)'^+,-[-^—^ J (cos#)

—p+² dx

³²¹⁾ J

cos⁴ # dx = cos³ # cos #^ sin # -f- ~

323) J

cos³«

dx

sin«

³²⁴) look

dx =

2 cos²«~ 2 sin «    .3 sin x

to &

4 cos⁴«~ 8 cos²«

Mit Hilfe der beiden Formeln:

tc «

sin nx

ßnxi_ g—nxi

cos nx

g«xi _J_ ß—nxi

lassen sich sinw« und cosw« in Funktionen der Vielfachen

des Bogens umwandeln; wir wollen an einem Beispiel zeigen, wie dies geschieht.

ßix _ ß—ix \ 5 g5ix_Fjß3ix_]_ ^ 0(^x_10e~^x-\-    _ß—^ix

sin⁵« =

32*

ß5 ix

—bix

g3 i x ß— 3 ix

ßi X _ ß-i X

16

^ [sin 5« — 5 sin 3« -J- 10 sin«].

325) J

sin⁵« dx = ~ I

16 1

cos 5« , 5 cos 3«

—10 cos«

326) j*

cos e xdx =

sin 6« , 3 sin 4« . 15 sin 2« , 5«

192

64

64

16

327) J

sin⁰ xdx — —

1 Tsinö« 3 sin 4« . 15 sin 2«

32

lO P¹⁻¹

Oil «

328) J

cos⁷« dx =

1 Tsin 7« . 7sin 5«

L⁷

64

j— 7 sin 3 « —j— 35 sin «jj

329) J

cos⁸« dx —

128 |_

sin 8« . 4sin6«

f- 7 sin 4«

-j- 28 sin 2«J -f

35«

128'

Wird sin« = «/ gesetzt, bez. cosx=y, so erhält man leicht:

i *y-

sinw « dx =

jä*" s

cosw xdx — —

330) J

sin% xdx

= f (1 — cos² «) sin « dx = —J*(1

r yn

J v^-y

— if) dy cos³ «

³³¹⁾ J

cos⁵« dx =

^(1 — sin² «)² cos « dx = f (1 — y-y dy

sin⁵« 2 sin⁵«

-J- sin «

QQO'l ( dX f

’ Jsin« Jl

sin x dx

— COS²«

dy

-y²

to! i-i

2 Sl + y

• 2

61n 2

ig

cos²

IO »

ig tg

toi SS

333) J

dx

sin⁶«

³³⁴⁾ I

dx

I ¹

15 sin⁵« ¹ 15 sin³« ¹ 15 sin«

cos«

335) J

[6sin⁶«⁺24sin⁴«⁺16sin²«]COS^”^ 16lgtg sin« ,    4 sin« 8

cos⁶« 5 cos⁵«"¹” 15 cos³«⁻*⁻15 x '

col &

Setzt man sin« = — oder cos« = —, so wird man finden:

y    y

= dy.

Ç dx    Ç yn~l

J sin”«- _J j/J*

fr, j

dx

cos” «

(■</“

•W

336)

Jcos⁷« [6cos⁶«⁺24cos⁴«⁺16cos²«JSill'r+16lgtg + )

to! &

r dx r l

Jcos⁸« |^7cos⁷« ¹ 35cos⁵« ¹ 35cos³« ¹ 35cos«

sin”+i x

w + 1

cos^H-i x n-\- 1

J sinm « cos” « c?«.

Gewöhnlich wird dieses Integral durch Integration nach 'Teilen auf ein einfacheres Integral derselben Art reduziert:

sinm—:1«cosM+¹« n 1

gjnm-2 x cogH-2 x = sin”¹—²« cos” « (1 — sin² «) = sinm_2 « cos” «

— sinm « cos” «.

337)

16

sin «

338) J

sin” « cos « eZ« =

*m>

sinm«cos”«d«=—

sinm—2« cos”+²«d«.

Wird hiernach das letzte Integral zerlegt und dann reduziert, so erhält man:

340) J

sinOT x cosn xdx =

sinOT_1 « cos^H-¹ x

m-\-n , m —

m-\-n

łf

>o

sinm—2 x cos'”- x dx.

Setzt man m = p -J- 2, so wird :

sin P+¹ x cos”+i x    p -(- 1

p-j-n-j-2    p+n+2

sin^+i x cos’H-¹ x

sin^+²«cos nxdx

sin^xcos ¹¹ xdx.

34i) f

sin^xcos”«ć£« =

P-j-1

i PJrnJr2

sin^H-2 x cosn x dx.

p-\-l

Während 340) dazu dient, ein positives m zu verkleinern, wird durch 341) ein negatives p vergrössert; in beiden Fällen

bleibt n ungeändert. Wird wieder ^—«^ statt x. —dx

statt dx gesetzt, so entstehen aus den beiden letzten Formeln die folgenden:

³⁴²⁾ J

cosm«sin¹¹ xdx =

cosm_1 x sin”+i x

343) J

sin” x cos^ xdx — —

m — 1 Ç

sin^¹ x COS-P+¹ x

cosm~²x sin¹¹ xdx

p-{-1 p-\~n -|- 2

344) f

sin⁴ « cos² « dx =

P~f~ 1 sin⁵« sin³« sin«

sin” x cos-^+2 x dx

345) J

l₆]co^ + j| sin⁴« 4 sin²« 81 cos«

I ⁷ '

24

sin⁵« cos² «c£« = sin⁶«

Aufgaben dieser Art können auch so behandelt werden:

15

15

346) I sin² « cos² xdx= j sin² « (1 — sin² «) dx ^    ^    fsin³«

r sin

I ⁴

sin«

GO ! &

³⁴⁷⁾ J

sin³ «cos³ «df«

J*sin³«(l

sin²«) cos xdx—

sin⁴« sin⁶«

348) j*sin³«cos⁶«£Z«

cos⁹« cos⁷«

349) J

sin⁴ x cos⁵ x dx =

j*sin⁴«(l

— sin²«)² cos« d«

sin⁵« 2sin⁷« . sin⁹«

sin” «

cos”«

dx.

— dx

sin«

Wird im ersten Integral sin«==^/, im zweiten cos x = y gesetzt, so wandeln sich dieselben um in:

cos«

dy und

Die Division wird ausgeführt, der Quotient integriert, in dem Kestbruch aber vor der Integration die umgekehrte Substitution vollzogen, weil so ein leicht ausführbares Integral entsteht.

sin²«

350) J

sin³«

cos«

dx

»Df

sin⁶« „

dx —

lg cos «

U

sin⁵« sin³«

352) J

cos«

cos⁴«

sin « -(- lg tg

to

353) J

sin«

cos⁵«

dx

354)

sin«

sin«

dx

cos³« ,    , , .

₃    + COS « -f lg tg

cos⁴« . cos²«

to! &

------1-1 g sin«

cos” «

dx

(n — 1) cos”⁻¹ «

355) J

cos«

dx =

(n — 1) sin”⁻¹ « '

Statt mittelst der Formeln 341) und 343) negative Exponenten zu reduzieren, können derartige Aufgaben auch so behandelt werden:

sin” «

356) J

sin⁵«

cos⁴«

dx —

sin «(1—cos ²«)²c?«

cos⁴«

3 cos³« cos«

cos«

³⁵⁷⁾ f

COS X

sin² x

dx =

1 -f sin² «

sina?

3B8) ft*?*,4 ' J sin⁵ «

cos⁴«

359) J

sin⁴ a;

25 cos² « , 151 cos x 8 J sin⁴ x

+^gtgf

cos³«

dx =

360) J

sin⁷«

cos⁴«

dx =

sin³ x -f sin⁶«

3 sin«"] 1 2 Jcos²«

2 sin⁴ « -j- 8 sin² « —

to &

l_ł

3 I cos³«

16

³⁶¹⁾ J

(?«

sin « cos «

lg tg«

362) J

£?«

sin²« cos²«

— 2eotg2«

363) J

dx

sin³ «cos«

2 sin²«

fig tg«

364) J

dx

sin²« cos⁴« 3 sin «cos³«

QO ICO

cotg 2 «.

Durch teilweise Integration erhält man:

tgn—! x

365) jtg

nxdx =

sin” « cos⁻” xdx

366) ^cotg

n xdx

cotg”⁻¹ «

J cotgn~:2xdx

367) jV

« dx —

368) jtg

« dx =

369) J*cotg

« dx =

n — 1

1,

-tg⁴« —

-ytg⁷« —|tg⁶«-f-|tg³« —tg«-f« cotg⁵ « . cotg³ «

tg²« — lg cos«

370) j*cotg⁷

« dx =

cotg « — «

cotg⁶ « . cotg⁴ « cotg² «

lg sin «.

ea:r sin lx dx

eaa;cos lx

<3- ©

eax coslxdx

eax cos lxdx =

eax$m lx

eÆa;sin Ixdx.

Wird je eines der beiden Integrale eliminiert, so erhält man:

ßCLX

à² -J- b~

(MX

Setzt man in beiden Formeln —x statt x, so geben daraus die folgenden hervor:

e~~axsm bxdx =

³⁷¹⁾ f

372) J

373) J

374)

³⁷⁵⁾ J

376) J

377) J

378) j*

379) J

eaxsm bxdx =

eax cos bxdx =

ß—ax cos bxdx =

I a sin bx — b cos bx]

[a cos bx -j- b sin bx].

ß—ax

a^-Ą-b

e—ax

2 [a sin bx -|- b cos bx\

2 [a cos bx — b sin bx]

a^Ą-b

eax sin mx cos nx dx — ~^eaxsm (m-\-n)x dx

-f- g J*Gax sin {vn — n) x dx gJ*eax (cos 4 bx — 4 cos 2 b x -J- 3) dx —^eax(cos 3bx -j- 3 cos bx) dx xn~l cos x dx

eax sin⁴ bxdx —

eax cos* bxdx =

xn sin xdx — — x¹¹ cos x

+n

xn cos x dx — xn sin x — njxn~ l sin x dx

380)

— dx — n

sin x

381)    =

(n — 1) xn~l ' n — cos#

rcos x

lj X

n—1

dx

1 f sin x

(n— l)xn~l n—ljx"-¹

dx.

Wird cos x =

- y ^    oß

1 _j_ y2 gesetzt, so ist y = tg ₉ und

382) J dx

dy

2 C

a 4- cos x a — 1 I ₀ . a 4-1

» +5=ï

j/ a

^==avctgy[/

a — 1 a -f- ï

a “f“ 1 \ (\

wenn ——- > 0, a — 1

dx

-— lg

a + cos x —a-

I / I ~f" a

y~~V ï~~a

y+V^a

, wenn -

a

I«¹'

Für a = 1 ist

383)

Ç dx f

J l+eosz⁻ J

2 cos²-|

Li

tg

tO &

Ebenso findet man für sin#=

y²— 1

p+ï

dass y = tg

tc

und

³⁸⁴⁾ J

a -f- sin*

- f-

a-b U „,2

dy

O I (%

r-f-

a-f- 1

\/a² — 1

arc tg y

a -f- 1 a —-1

|/l — a²

lg

>-V'm

y+\/

Für a — 1 wird

1 — a t-\-a

« — 1 A wenn —- > 0, a-j- 1

“^<0.

a -j- 1

wenn

»>

dx

= — cotg

2 sin²

toi «

386) J

cos*

387) J

a -j- cos x sin*

a -f- sin x

(7* =

[Il--~-)

M a-\-cosxl

dx = x —

dx

dx =

dx

x—a 1 —:-

J a coax

a\a "h s*11 x

³⁸⁸) f—, ,, •dx, —=s

J « —j— » Sin ic —c cos x

C    dx    ^ f    dx

J ma -J- mb sin x-\- me cos x    J ma -f- sin l sin x-j- cos A cos x

S=m

wenn mô = sinX, mc — cos A, also m = Weiter ist l

J/V-fc²

gesetzt wird.

¹

onstante, nämlich um nachzuweisen.

²

Für c < 0 treten in dieser Formel imaginäre Werte auf. Statt sie umzuwandeln ist es bequemer, diesen Fall besonders zu behandeln. Wir schreiben hier:

dx

am-J- cos(æ— l) '

Hiermit ist das gegebene Integral auf 382) zurtickgeftthrt.

-7=5 l = l/2

389) (V-“ J sin x -J-

390) f

Ist ma — 1 = 0, oder a = j/ö²-|-c², so ist:

c sin x — b cos x a a -j- b sin x -j- c cos x ‘

dx

a -f- b sin x -j- c cos x

Bestimmte Integrale.

In die Integrale, wie sie bisher betrachtet wurden, ging stets eine willkürliche, unbestimmte Konstante ein; deswegen nennt man sie unbestimmte Integrale. Ist für die Konstante einmal ein Wert gewählt worden, so darf im Verlaufe der Rechnung nicht ohne weiteres eine Änderung dieses Wertes vorgenommen werden: dann ist das Integral nur eine Funktion der Veränderlichen x. In dem Ausdrucke

J* f(x) dx — F(x) -j- C

ist es ja nun ohne Bedenken, dem x auf der rechten Seite einen festen Wert, etwa 6, beizulegen und F(b)-\-C zu schreiben. Das geht aber links nicht an, da das Symbol dx nicht in db übergehen kann, weil für eine konstante Grösse b der Zuwachs Ab stets Null ist. Man müsste also anders schreiben, etwa

J* f(x) dx.

oder bequemer

I f(x) dx\

J b

Man hat daher

Çf(x)dx = F(b)-\-G.

Ebenso ist für eine andere Konstante a

^af{x)dx = F(d) + C-,

und also innerhalb derselben Rechnung

fix) dx —^ fix) dx

= F(b) — F(a).

Die linke Seite kann man bequemer schreiben

JVO) dx = Fib) — F (à) = [F{b) + C] — [F (a) -f C\. (11)

Dieser Ausdruck heisst: Das bestimmte Integral. Er ist von der Wahl der unbestimmten Integrationskonstanten unabhängig geworden und daher stets gleich der Differenz aus den Werten des unbestimmten Integrals für die obere und für die untere Grenze unter Annahme der gleichen Integrationskonstante für beide.

Aus (11) folgen die Formeln:

J⁶ fix) dx -f P fix) dx = [F{b) — F{a)] -J- [F{c) — F (&)]

= Fic) — F (a) = J* ° f{x) dx.

f f(x)dx—f f{x)dx=(Cf(x)dx.

Ja    Ja    J b

I f{x) dx — b fix) dx = I f[x) dx.

Ja    J b    Ja

1 fix)dx — — ( afix)dx.

Ja    J b

(12)

(12a)

(12b)

(13)

Nehmen wir als obere Grenze eine Veränderliche u, so wird

^uf(x)dx = F(u) — Fia)

eine Funktion allein von w, nicht mehr von x. Nach der Definition des Integrals gilt die Formel

luÿj(x)dx = £uF{u) = f{u).

(14)

Aus (13) folgt, wenn wir die untere Grenze veränderlich machen

dv

I fix) dx

J v

(14a)

Schreibt man (14) in der Form

(14b)

d\ f(x) dx = f(u) du

J a

so erkennt man, dass der Zuwachs des bestimmten Integrals bei veränderlicher oberer Grenze gleichzeitig mit dem Zuwachse dieser Grenze unendlich klein wird, falls f(u) endlich bleibt.

Es ist folglich das bestimmte Integral eine stetige Funktion seiner oberen Grenze. Dabei kann der Integrand unstetig werden, d. h. es darf (vgl. S. 76, Z. 16 ff.) fix-j-0) von f{% — 0) verschieden sein. Geschieht dies z. B. an der zwischen a und b gelegenen Stelle c, so müssen wir jetzt definieren

f f(x) dx — fC °f (x) dx -j- P f(x) dx Ja    Ja    J c+0

= F(b) — F{c -f 0) -f F(c — 0) — F(a).

Bedenkt man die Bedeutung eines Differentials, so kann man (14b) in der Form

ru-\-Au    ru    ru-\-Au

f(cc) dx — f(u) Au

f{x) dx — f{x) dx =    '

Ja    Ja    Ju schreiben, wenn man unter Au einen beliebig kleinen Zuwachs versteht. Dadurch erhält man der Reihe nach

f(x) dx — Ati fia)

a-\-2Au

ci —|— A zc

f\x) dx = Auf(a -j- Au)

a+3Aw

f{x) dx = Auf(a -J- 2 Au)

«4-2 Au

und durch Summierung von n solchen Gleichungen

Ça J a

a-\-n\u

f(x)dx = Au[f(a)    f (a    Au)    f (a -\- 2 Au)

in — 1) ^u)] •

Wenn man hierin nAu = b — a setzt und dabei zugleich n ins Unendliche gehen und also Au zu Null werden lässt, dann entsteht

(15)

P f{x) dx = lim d. [/’(«) -J- f(a -j- d) -|- fifl -j- 2 d)

Ja    ä=0    +...+/■(& —d)].

Diese Formel giebt eine Definition des bestimmten Integrals ohne Vermittelung des unbestimmten und ermöglicht dadurch auch eine direkte Berechnung. Wir wollen ein Beispiel dafür geben :

j:

b exdx — lim d. ä=0

= lim de® (1 -f- é -{- e2ä —{—... —)— e⁽~n~â) enô — 1 ed —T

= lim d. e®

1

gtfUTÏ (e& — ßa) =    —

da die Grenze des Quotienten sich nach den Regeln der Differentialrechnung als 1 ergiebt.

Es kann Vorkommen, dass der Integrand f(x) für einen Wert c zwischen a und b unendlich gross wird, und dass man trotzdem dem Integral einen Sinn geben kann. Wir setzen nämlich als Definition in diesem Falle

= lim

ea

f f(x) dx

J a

= lim fC

ä=0 Ja

ôf (x) dx -(- lim P f(x) dx

8—0 J C—(“ 8

unter der Voraussetzung, dass jedes der beiden Integrale rechts einen bestimmten endlichen, von d und bezw. von e unabhängigen Wert auch für den Grenzübergang besitze. So ist z. B.

dx

ri-â

<?=oJ o J*

lim

dx

dx

— lim

<?=o

während

X=l—â

x~0

3 — lim 3    — lim 3 e¹⁵ 4- 6 = 3

cJ=0

■lim [3 (x —1)^1^ s=0|^    Ja?=l-{

.2

dx

\/(x—l)⁴

= lim f

*=oJ

l-â

dx

dx

= —f- lim T⁹ -3,_

⁴ *=oJ i+s^/(x—iy

keinen Sinn hat.

Eine ähnliche Erweiterung des Integralbegriffes ist auch in dem Falle möglich, dass eine oder dass beide Grenzen ins Unendliche gehen. Hier setzt man als Definition

dx = lim f7(*) dx J a    ô=QJ a

(ô positiv)

unter der Voraussetzung, dass das Integral rechts einen bestimmten endlichen, von ö unabhängigen Wert auch für den Grenzübergang besitze. So ist z. B.

M.

( œe~x dx = lim

J 0    d=0j 0

während ( °°ex dx keinen Sinn hat. Ähnlich ist aufzufassen

Jo    1

fâfix) dx -|- lim f ° f(x) dx.

Jo    *=oJ ,

e~x dx — lim

œf(x) dx = lim

0=0

— 1-lim G 0=1;

rf=0

— 00

Aufgaben.

391) r

J a

b mxn dx —

n-j- 1

^«+1 — (*«+!)

³⁹²⁾ jl

64

dx = —¹

5

393) f (a-\-bx) dx

J a

2ab-\- b³ — 2 a² — a²b

394)    (2x-\- 3a:²) dx

■»«) £(■+¥-*•)

Væ² — 3 ax

= 36

dx —

rH ! Tfl

CO 00

396) (V*l Jo X

dx = a²

(|-81g₂)

on_N Ç5    «    ,    1. 21

³⁹⁷⁾ Jaï^4^⁼2lg-6

398) P.....“*

o*²-f»² 4a

³⁹⁹⁾ jo *'

toi Cl

jlg6 + |lg2

i<>(>> j₂x²-\-2x — 3

401)    j*a    =-||/a³

/•rr    _ 0 Q

402)    I dx\/x-\-2 = —

403)    dxtfa* — x² = —|-

404)    fa 3a;|/a?² —J— Aa² dx = a³(5j/5— 8)

⁴⁰⁵⁾ Jo“

j/a² — Æ²

to Cl

406) f¹-^

J o j/l — æ²

⁴°7) f*-Î

i j/2 -f- 4ic

a a;²

dx=l

dx = H |/2 3a²7r

j/aîc

- dx

2

409)    |/2ôa?

— 0)² =

oo

m) r

o l/l — x²

dx =

1.3.5.... (2»— 1) 2.4.6..........2» ’

col M

4U) So

1 Xźn+l

dx

2.4.6..........2 n

412)

f.

j/l —

ex dx = e — 1

3.5.7.... (2m-j- 1)

4i3) i;

xe? dx = 1

414)

*“> jr

e²« — 1

e~ax dx =

⁴¹⁶⁾ 1-!

ax dx

a² — 1

alg a

⁴¹⁷⁾f

4i8) f;

= lg-2 e x² lg x dx

1 -J-2e³

42°)

2a sin ^ dx — 4a

421) J^(2

cos x — 1 )dx — 0,6848

|/3

R ICO

an

422)

sin mx dx =

1 — cos mn

4₂₃) Jo

cosmæ dx —

sinm7T

424)

rn

Jo

sin 2 ax dx = 0, wenn a ganzzahlig ist.

425) J

sin² 2x dx —

426) f

sin2w x dx =

j.

cos 2nxdx

1.3 .... (2 n — 1) re

te S

sin² '^¹ x dx =

j.

» il

cos2ro+¹a;fîa; =

2.4

2n

3.5 .... (2 w + 1)

TC

T2"    ;z

428) ( (cos⁴ æ — cos⁶ x) dx = — Jo    32

429)

f:

sin:! x dx =

Ci eu

tO I—¹1

430)

j>-^)

dx =

CO CO

Man setzt x = sin³ <p, und <p = 0 für & = 0 x = 1 als Grenze.

toi U

71

⁴³¹⁾ lo

e²* sin'²* =

3 e*—1

%

= 1.

7t

434) j*

2 dx

o î -j- COS X

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

§ 1. Tangente und Normale ebener Kurven.

Wird an die Kurve y = f(x) durch den Punkt (x, y) eine

Tangente gelegt, so ist deren Steigungsmass = ihre Gleichung:

dy

dx

(S. 8), und

Y-y =

(X — x)

(1)

wenn X, Y die variabelen Koordinaten eines auf der Tangente beweglichen Punktes und x, y die Koordinaten des Berührungspunktes bedeuten. Erscheint die Kurvengleichung in der

der Wert

Form: f(x,y) = 0, so muss für

Bf df dx ' dy

substituiert werden; man erhält dann als Gleichung der Tangente:

(2)

lT-t)Ę+(X-x)g-0.

Diese Form der Gleichung der Tangente kann sehr leicht aus der homogenen Form der Kurvengleichung abgeleitet werden. Bezeichnen wir durch f(x, y, z) = 0 eine homogene Funktion vom wten Grad, so ist nach Euler:

(3)

df i df

xrx+yry+z

Wird in (2) für stituiert, so entsteht:

dx

Cb

der Wert z

Cb

sub-

%oX+%YJr%S

Um (2) aus der gegebenen Kurvengleichimg zu gewinnen,

df df df Bx’ By’ dz

und setzt dieselben in (4) ein. Wird dann z = 1 gesetzt, so geht (4) über in (2).

Beispiel: ^-j-

= 0.

(4)

macht man sie also homogen, bestimmt die D.-Q.

?7²

1 = 0 ist die gewöhnliche, ^—z² = 0

Bf 2x df 2 y dx a² ’ dy 6² ’ ~ß~ = — 2#. Homogene Form der Tangentengleichung:

ccZ . yY

die homogene Form der Ellipsengleichung,

df

a²

— z² = 0.

z = 1 giebt -j-    — 1 = 0 als ge-

wohnliche Form der Gleichung der Tangente.

Wird der Lauf einer Kurve durch die beiden Gleichungen

dy dy dx dx dt dt ⁵

und

bestimmt: x — <p(t) die Gleichung der Tangente:

Ist endlich r = f(t) die Gleichung einer Kurve auf Polarkoordinaten bezogen, so ist: a? = rcos£; ?/ = rsin£;

= ^ sin t -f- r cos t.

Die Normale. Unter der Normale verstehen wir die gerade Linie, welche senkrecht zur Tangente durch deren Berührungspunkt gelegt ist. Ihr Steigungsmass ist daher

Den verschiedenen Formen der Kurvengleichung

dx dr

= -vT cos t — r sin t ;

dt

dt

dy'

dx

y = <!> if)

so ist

dx

(5)

entsprechen die nachfolgenden Formen der Normalengleichung

y = f(x)

dy

(6)

(Y-yyf-\-{X-x) = 0

(r-»).5i-(i—)?“°

* = ?(<), » = (*« (r-ÿ)||+(x-*)|| = o.

Für die nachfolgenden Kurven soll die Gleichung der Tangente aufgestellt werden:

/v>2

1)    Hyperhel: ^ — p

2)    Parabel: y²— 2^«=0; Tg: yY—p(X-\-x) — 0.

3)    Neilsche Parabel: x³—= 0 ;

Tg: 3æ²X—2pyY—py² = 0.

4)    Cissoide: y²(2r — x) — x³ = 0 ;

Tg: 2y(x — 2r) Y(3x²-\-y²) X—2ry² = 0.

5)    Descartessches Blatt: x³ — 3axy -\-y³ = 0 ;

Tg: (x²

6)    Die Lemniskate erhält man in folgender Weise: Zwei Punkte A und B sind durch ihre Entfernung AB=2e

Fig. 12.

fix, y) = 0

(?)

(8)

2/²

— 1 = 0; Tg :

xX_y_X_, _n

a² b²

ay) X-J-(?/² — ax) Y—axy = 0.

gegeben; man soll den geometrischen Ort aller Punkte M finden, die so liegen, dass das Produkt der beiden Leitstrahlen MA und MB konstant ist. Für MA = r, MB=rx muss rxrx = er sein. GA = OB = e; CP=x, MP=y, [y2Jr(e + x)²][y² + (e — «)²] = a⁴;    {y2JrX²)²

= 2 <s - (ar — y²) -[-a⁴ — e⁴.

Dem besonderen Fall a = e

entspricht die Gleichung-:

(%²-\-y²)²— 2 a² (a;² — y²) = 0.

Durch die Substitution: x = ruost₁ y—rsint erhält man als Polargleichung: r = a|/2 cos 2t — b j/cos 2t.

Wird in einem Kreis senkrecht zu einem Durchmesser eine Sehne =2 a gezogen, so zerlegt dieselbe den Durchmesser in 2 Teile, deren Produkt = a² ist, und die deshalb als Leitstrahlen zur Konstruktion eines Kurvenpunktes benutzt werden können.

Als Gleichung der Tangente findet man:

(æ²-|-y²—a²)xX-\~ (x²    y² a²) yYa² (y²—x²) = 0

7) Logarithmische Linie: y = ax\

Tangente : Y — y = (X — x) ax lg a.

8) Kettenlinie : y —

§ l<M

( BL —BL\

[e™+e 1

(X—x).

Tangente: Y — y —

dy

1 / —

_ I pm_

n

Da tga = dx

findet man den Richtungswinkel a einer Tangente, indem man aus der Ordinate des Berührungspunktes als Hypotenuse und m als Kathete ein rechtwinkeliges Dreieck konstruiert.

so

9) Die Cykloide. Wenn ein Kreis (Fig. 13) eine Gerade AB in A berührt und dann auf der Geraden hinrollt, so beschreibt der anfängliche Berührungspunkt A eine Cykloide. Jeder vollständigen Umdrehung entspricht ein Kurvenzweig. Es sei AP=x, MP=y, MC=a. Der Winkel zwischen CM und dem Radius CB zum neuen Berührungspunkte sei t, so ist arc MB= at. Da AB = are MB, so ist x = AP= AB— MB = a{t — sin*); y = MP = CB — CD = ai 1 — cos t). Beide Gleichungen bestimmen zusammen den Lauf der Cykloide, Wird t eliminiert, so

erhält man: x — a arc cos

tv

Fig. 13.

Mj

/AP

Gleichung der Tangente: Y — y — (X — x) cotg^

„ Normale:

Y — y = — {X—x) tg|.

Um zu beweisen, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, zeigen wir, dass X=at, Y— 0, die Koordinaten yon B, in Verbindung mit x = a(t— sin£), y = a(l—cos£), den Koordinaten von M, der Gleichung der Normale genügen.

10) Die Epicykloide. Rollt der Kreis, dessen Mittelpunkt C ist (Fig. 14), mit seiner konvexen Seite auf der konvexen Fig. 14.

v-

ll

ESP

Seite des festen Kreises mit dem Mittelpunkt A hin, so beschreibt Punkt M bei einer Umwälzung des rollenden Kreises den ersten Zweig einer Epicykloide. Der rollende Kreis und der Bahnkreis berühren sich von aussen.

Es sei AB — r, CB = a, AP=x, MP=y. Die Winkel JE AB und MCB werden mit t und t₁ bezeichnet; folglich hat man arc B E = rt, arc BM= at

rt

: x=AH

d. li. Ł — —

a

-\-DJ\ï; A H = {a -J- r) cos t] DJM= a sin

arc B JE — arc BM, oder rt —at

a cos (t -f- O = — a cos

t] y = CH— CD]

= a sin

CH= (a -j- r) sin t ; CD — acos^-j-^—= a sin (£-]-£,) t. So erhält man als Gleichungen der

Epicykloide:

x = {a -f - r) cos t — a cos

(—)■

y = (a-\-r) sin t — a sin

(v)

t.

Gleichung der Tangente: Y — y — {X — x) tg

r-\-2a

r-\-2a

t.

2a

„    „ Normale: Y—y==—{X—x)c,otg\

Soll wieder bewiesen werden, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, so muss man zeigen, dass X=rcos£, F=rsin£, die Koordinaten von B, in Verbindung mit den Werten für x und y die Gleichung der Normale befriedigen.

11) Die Cardioide ist ein besonderer Fall der Epicykloide; er entspricht der Bedingung a = r. Ihre Gleichungen sind daher: x = 2a cos t — a cos 21 — a (2 cos t 1 — 2 cos²1) ; y = 2 a sin t — a sin 21 = 2 a sin t (1 — cos t). Wird das System in der Weise transformiert, dass man a — x statt x

setzt, so erhält man: x = Za cost (cos t — 1);    = — tg t ;

; x^ß-iß — 4a² (1 — cosf)²; (^²-f-^/²)²

— 4aa: (:r²-f-y²) — 4a²y² = 0. Setzt man: x — rcosy, y = r§m<pi so gewinnt man die Polargleichung:

r = Za (1 -f- cos <p) = 4a cos²^.

u

12)    Lässt man in den Gleichungen der Epicycloide — a an die Stelle von -j-a treten, so erhält man die Hypo-cykloide, wenn r>a, dagegen die Pericykloide, wenn r < a ist. Bei der Entstehung der Hypocykloide wird der rollende Kreis von dem berührenden Bahnkreise umschlossen. Bei der Entstehung der Pericykloide um-schliesst der rollende Kreis den berührenden Bahnkreis.

13)    Die archimedische Spirale: r — at, oder x = at cost, y — at sin t.

Tg.: (Y—y) (cost—fsinf)— (X—x) (sint~l~tcost) = 0.

14)    Die logarithmische Spirale: r = aK To- • Y~J- ₌ lg a sin t + cos t

b" X—x    Igacosż — sin if

Das Steigungsmass kx des Leitstrahls ist gleich tgt.

k — kx 1 lĄ-kkx

der Winkel v, welchen die Tangente mit dem Leitstrahl bildet, bei dieser Kurve konstant ist.

cos t

l/x²-j-y²’

k (=Steigungsmass d.Tg.)

Man kann beweisen, dass tgv

lg a

d. h. dass

§ 2. Doppelpunkte, Rüekkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte.

Wenn in Formel (2) durch die Koordinaten des Berührungs-

$ f    Öj Xj

— 0 und ~ = 0 wird, so nimmt -ß die unbestimmte

punktes

dy

dx

Oi O

an, und damit erscheint für diesen Punkt, (den wir als im Endlichen gelegen annehmen), auch die Richtung der

Form

Tangente in unbestimmter Form, unbestimmten Ausdrucks finden wir:

Als wahren Wert dieses

dx

Oj

**f , a*f äy ~8x²'8xdy dx ■ 3*fdy dydx'dy² dx

dx

und daraus folgt:

8²f

dx Sy

v(ay

3²f 8²f dx² Sy²

8²f

(9)

Sy*

Vorausgesetzt, dass dieser Ausdruck nicht gleichfalls un-

(a 77

bestimmt wird, giebt er uns für im allgemeinen zwei verschiedene Werte, und daraus folgern wir, dass die Kurve in diesem Punkt zwei verschiedene Tangenten besitzt, was nur dadurch möglich wird, dass sich 2 Kurvenäste in diesem Punkt durchschneiden. Ein solcher Punkt wird Doppelpunkt genannt. Damit aber die beiden Werte reell und verschieden ausfallen,

:    d² f 8²f

dx² dy²⁷

so fallen die beiden Tangenten in Eine zusammen, die Kurvenschleife verschwindet alsdann, und der Doppelpunkt wird zu

/ 8²f \²    8²f 8²f

ydxdyj ^ dx² dy²⁷

wird ^ imaginär. Der Punkt gehört dann der Kurve an, lässt

CI oc

aber keine Tangente zu, weil er mit den übrigen Teilen der Kurve nicht in Verbindung steht. Wir nennen ihn einen isolierten oder konjugierten Punkt. Doppelpunkte, Rückkehr-punkte und isolierte Punkte haben hiernach die gemeinsame Eigenschaft, dass ihre Koordinaten den Gleichungen:

muss

/ 8²f \2 dyj

Istda^'en

einem Rückkehrpunkt. Wird endlich

/ m

ydxdyJ

so

f(x, y) = 0

genügen müssen. Aber man hat:

ÿ=o. Sf

dx

dy °

(10)

/ ô²f y yôxdyJ

d²f d²f ^ dx² dy²

Einen Doppelpunkt, wenn

„ Rückkehrpunkt, „

„ isolierten Punkt, „

Wird aus (9) der Wert für steht die für die Variabelen X und Y quadratische Gleichung:

Ri

in (1) substituiert, so ent-

^°~f

dx²

deren geometrischer Ort aus den beiden Tangenten des Doppelpunktes besteht. Für den Rückkehrpunkt bildet die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Quadrat.

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen: x — <p(t), y = (p{t) gegeben, so wird für den Doppelpunkt die Gleichung (5) der Tangente nicht unbestimmt, und das Kriterium des Doppelpunktes wird ein ganz anderes, als bisher. Der Doppelpunkt hat dann die Eigentümlichkeit, dass zwei ganz verschiedene Werte von t gleiche Werte für x und gleiche Werte für y erzeugen müssen. Wir drücken diese Bedingung so aus: x = <p{t) = (p (G) ; y = <p(t) = (f> (G).

Die Lösungen beider Gleichungen sind die Parameter der Doppelpunkte. Werden die zusammengehörigen Werte' t und tx nach einander in (5) substituiert, so erhält man die beiden Tangenten des Doppelpunktes.

Rücken die Werte t und welche einem Doppelpunkt entsprechen, einander immer näher, so wird die Kurvenschleife immer kleiner und verschwindet zuletzt ganz, wenn t mit tx zusammenfällt. Der Punkt wird dadurch ein Rückkehrpunkt; für ihn muss nicht nur cp (t) = <p (£J, <J>(t) — <p (^) sein, sondern auch tx mit t zusammenfallen. Nun sind für den Doppelpunkt die Gleichungen erfüllt:

<p(t)— <p (tx) _ t—L

(*-y)

dy²

+2 (Y-y)(X-x)

d²f

dxdy

+ (*-*)

= 0, (11)

(12)

t ^

wie eng auch die Kurvenschleife gemacht werde. Diese Gleichungen bleiben also auch für den Grenzfall bestehen, d. h. wir haben für den Rückkehrpunkt:

Umf(<)-yfe) = 0

V —

dx

oder

(13)

dt

Der Richtungskoefficient

erscheint jetzt in der d²y d²x dt²’'dt²'

Die Gleichung der zusammenfallenden Tangenten eines Rückkehrpunktes ist dann:

£-»• dy dy dx dx dt ' dt

unbestimmten Form — und hat den wahren Wert

(14)

(    d²x .    \d²y\² A

{(r—y^dW~~^X~x^w) ~°

Es wird nicht überflüssig sein, den Rückkehrpunkt noch aus einem andern Gesichtspunkt zu betrachten.

Wir nehmen auf einer stetig verlaufenden Kurve drei unendlich nahe liegende Punkte, die in der Anordnung 1, 2, 3 auf einander folgen, wenn man die Kurve von einem beliebig gewählten Anfangspunkte bis zu einem beliebigen Endpunkte durchläuft. Wir ziehen im Punkte 1 und im Punkte 2 die einseitigen Tangenten im Sinne des wachsenden Kurvenbogens, d. h. die geraden Verbindungslinien, welche von 1 über 2 hinaus resp. von 2 über 3 hinaus einseitig verlaufen. Die Kurve heisst im Punkte 2 stetig gekrümmt, wenn diese einseitig gezogenen Tangenten einen unmessbar kleinen Winkel mit einander einschliessen. Dagegen findet in der Stetigkeit der Krümmung eine Unterbrechung statt, wenn die beiden Tangenten einen endlichen Winkel einschliessen. In diesem Falle wird der Punkt 2 eine Spitze genannt. Ein Rückkehrpunkt ist eine Spitze, in welcher die Tangenten 1, 2 und 2, 3 einen Winkel von 180° mit einander bilden. Um sich davon zu überzeugen, braucht man nur den Rückkehrpunkt aus dem Doppelpunkte entstehen zu lassen. Nimmt man zuerst die Punkte 1, 2, 3 in endlicher Entfernung, so hat man jetzt die Punkte 1 und 3 in den Doppelpunkt zu legen und den Punkt 2 an irgend eine Stelle der Kurvenschleife. Die Sehnen 1, 2 und 2, 3 fallen dann in dieselbe gerade Linie, aber ihre Richtungen sind entgegengesetzt. Sie schliessen einen Winkel von 180° Grad ein. Dies bleibt gültig, wie eng man auch die Schleife machen möge. Es gilt auch noch für den Grenzfall einer unendlich engen Schleife, d.h. für den Rückkehrpunkt. In diesem Falle ist die Sehne 1, 2 in die letzte Tangente vor dem Rückkehrpunkte übergegangen, die Sehne 2, 3 in die erste Tangente nach dem Rückkehrpunkte. Beide Tangenten hat man einseitig im Sinne des wachsenden Bogens zu ziehen. Bei dieser Auffassung erhält man aus (14) die Gleichungen der beiden Tangenten einzeln genommen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung (14) die Quadratwurzel auszieht, und der ausgezogenen Wurzel links einmal das Zeichen -j-, das andere Mal das Zeichen — vorsetzt.

15)    Die Lemniskate: (sc²-J-y²)²— 2a²(x²— ?/²) = 0 hat in æ = 0, y — 0 einen D.-P., dessen beide Tangenten: Y= + X unter Winkeln von 45° und 135° die X-Achse durchschneiden, also zu einander senkrecht sind.

16)    Cissoide: y²(2r— x) — xs = 0 ; Rückkehrpunkt: x = 0, y = 0 ; Tg. : Y² = 0.

17)    Neilsche Parabel: xs — vy² — 0; Rückkehrpunkt: x = 0, y = 0; Tg.: r* = 0.

18)    f = xi-\-a²x²— a²ij² = 0] D.-P.: x — 0, y = 0 ,• Tg.: Y= + X.

19)    f=xs-\-xy²—2x²—2y-\-2 = 0] Rtiekkehrpunkt: x= 1,

y = i; Tg..- (r+x-2)² = o.

20)    f=y²—x³ — x² = 0; D.-P.: x=y = 0; Tg.: Y=±X.

21)    f=xi + y* — 2a²y² — 2b²x²-}- 6⁴ = 0; D.-P \:x = ±b,

6|/2

y-O; Tg.: F=±V2(X+i); Y

Qj

22)    f=x⁴ — 2ays — 3a²y² — 2a²x²-\- a⁴ = 0; D.-Pxx=a, Vi ~ 0 J Xy = a,, y% = 0 ] x₃ = 0, ys = cl j Tg. :

X₃-a.

l\-±\/I«-«); r₂=±[/-|(2,+a)i rs-± (/■I

Rttckkehrpunkt : x = a,

23)    f={y-b)²-{x-af = 0; y = b- Tg.: (F—6)² = 0.

24)    /* = 5 2/² —j— 10«/ — —j— 2^² —j— 5 = 0. Der Punkt x — 0, y = — 1 ist ein konjugierter Punkt.

25)    f— (y — x)² — x⁸ = 0\ Rückkehrpunkt: a? —0, y = 0; Tg.: Y=X.

26)    f=ay²— x*-\-bx² = 0; a? = 0, y — 0 ein konjugierter Punkt.

27)    f=y² — (2 — x)²(l—x) = 0‘, x = 2, y = 0 ein konjugierter Punkt.

28)    Fusspunktlinie der Ellipse: ax² -f-by² — (x² -f- y²)² = 0 ; x = 0, y — 0 ein konjugierter Punkt.

29)    y — ax-\-b |/sin#— 1 stellt ein System isolierter Punkte

ban

~2~i usw.

dar:

ü 71

5tt

die

2 ’ y i 2 ’ Xci 2 ’ ^2 alle auf der Geraden y = ax liegen.

30) Die Cykloide: x = a(t— sintf), y — a{ 1 — costf);

= a (1 — cos f) = 0,    (p' (t) = a sin £ = 0. Da beiden

Gleichungen die Lösungen £ = 0, 27r, 47t, usw. genügen, so sind xx = 0, yx = 0 ; x₂ — 2 an, y₂ = 0 ; a?₃ = 4«7t , y₃ = 0, usw. Rückkehrpunkte. Die Tangenten sind senkrecht zur Achse.

31) Die Evolute der Ellipse:

a²— b²

a²— b²

sin³1

cos ³£, y

ct

hat 4 Rückkehrpunkte, welche den Parametern 0, 7r, ^ entsprechen.

§ 3. Krümmungskreis und Evolute.

Wählt man auf einer Kurve drei einander nahe gelegene Punkte 1, 2, 3, zieht die Sehnen 1, 2 und 2, 3, und errichtet in der Mitte beider je eine Senkrechte, so ist der Schnittpunkt dieser Senkrechten der Mittelpunkt eines Kreises, welcher durch die drei Punkte geht. Indem diese einander

immer näher rücken, werden die Sehnen immer kürzer und im Grenzfalle zu Kurvenelementen, welche zugleich auch dem Kreis angehören. Die beiden Senkrechten werden dabei zu zwei unendlich nahe gelegenen Normalen, und der Kreis selbst wird zum Krümmungskreis. Die Stärke der Krümmung einer Kurve in einem bestimmten Punkt wird gemessen durch die Grösse der Krümmung des dem betreffenden Punkt zugehörigen Krümmungskreises, und da diese mit wachsendem Halbmesser = q abnimmt, so gilt der reciproke Wert dieses Halbmessers,

nämlich —, als Ausdruck für das Mass der Krümmung. Wir

beginnen mit der Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes für die Gleichungsform: x = <p(t), y — <p(t\ legen durch zwei vorerst noch endlich entfernte Punkte x, y und xx, yx zwei Normalen und bestimmen ihren Schnittpunkt. Die Gleichungen dieser Normalen sind:

(15)

(X— x)^+(Y—    =0

(X T    (XT

(16)

°-

Die Koordinaten X und Y ihres Schnittpunktes genügen beiden Gleichungen. Die Gleichung (15) wird allgemein befriedigt, wenn man unter Benutzung eines noch unbestimmten Koefficienten m ansetzt:

!>

so

Diese Ausdrücke für X und Y sind in (16) einzuführen; erhält man eine Gleichung für m:

dy

“mdt~X1

)$+('+

— Vi

(x — xx)

dxx

dtx

+ {y—y i)

dy%

\ Vi

) *1

dtx

dy dxx dx dyx dt dtx dt dtx

(18)

Wird dieses m in (17) substituiert, so gewinnen wir den Schnittpunkt zweier endlich entfernten Normalen. Da aber jener Schnittpunkt unter der Voraussetzung gefunden werden soll, dass die Normalen unendlich wenig von einander entfernt sind, so ist in (18) ein Grenztibergang auszuführen und dieser Ausdruck zunächst entsprechend umzuformen.

wi

I st? — x,\dx, , I y—y, I

dyx

dtx

dy dyx

dx dxx

(19)

dt dtx

dx

dt

dtx

dt

t — tx

t — tx

Geht man jetzt zur Grenze über, so wird:

ni

/dx\² . /dy\²

U)+kl

(20)

dxd²y dyd²x' dt dt²    dt dt²

Nun werden die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gefunden, wenn man dieses m in (17) substituiert:

dxd²y dyd²x dt dt² dt dt²

Y=yĄ

\(dx\ (dyV~\

\\dt) ^\dt) J dt

dx

(21)

dxd²y dyd²x dt dt² di dt2 Die Entfernung der beiden Punkte X, Y und x, y d. h. der Krümmungshalbmesser, wird nach folgenden Formeln berechnet:

e=)/(x-xy+(?-»)* =

|/f) ■+(£)'

dxd²y dyd²x dt dt² dt dt²

Geht in dieser Entwickelung t über in x, so wird y — (p(x)

d²x

dy

& l«sä

dx

dt

-= 1

dt²

— 0 5 und daher:

(23)

d-y dx²

d²y

, Y=y-f

dx²

d²y dx²

(24)

(25)

.. G-+(i)T

?    d’y

Ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben und von der Form: r = f{t)₁ so ist Æ^rcôstf, y = rsmt. Die Formeln (21) und (22) gehen dann in folgende über:

[(£)'+n [ ldnt+reo,<]

i ■+£>

r² -j- 2

'S

d²r r dt²

(26)

Y=y^

IteMf

cos t — r sin t

r²-j-2

_ d\ r dt²

(27)

(dT\-r

\dt J

drr

dt²

(28)

Wenn endlich die Kurvengleichung in der Form f(x, y) = 0 vorliegt, so werden nach (7) zwei zunächst wieder endlich

von einander entfernte Normalen der Punkte æ, y und æ1? yx durch folgende Gleichungen ausgedrückt:

df

8y

(29)

{X-xf)

df

df

(30)

Zur Bestimmung der Schnittpunktskoordinaten X, Y setzt man aus (29), ähnlich wie oben hei (17):

X— x

₌ Y--j df

substituiert dann:

dy

X=x-j-mx

Y=y-\-m₁

in (30) und erhält:

^ l--b

(31)

5^ l'-'K

df

dVi

y—y i + %

(xx — X)

df

^Ai£₌₀

dyJ dx₁

(Vi — y)

df

mx =

dxx

df

df df df df dxdyx dydxx

mx =

sy±

(vi-y)

l xx — xj

df

dxx

df df

df

Cb! Cb

dxx

Cb Cb

(32)

/y* /y> /y»

lA/ tA/-J    W

Kücken beide Normalen unendlich nahe zusammen, so wird ihr Schnittpunkt zum Krümmungsmittelpunkt. Hierbei sind in dem Wert von mx folgende Grenzübergänge auszuführen:

Vi — y__dy.

xx — X

xx —x

df

df df _df'

dx¹ dyx dy

lim

dx

df df

lim

dyi 3y

xx — x

I)ölp, Aufgaben.

dx

dy ,^fdy_, dy dx' dy²dx⁷

13

df df

lim

dx₁ dx

dx

diese Werte in (32) eingeführt und —

, ê'f dy dx² ' dx dy dx ' df df dy

'*7. fur -fx ^esetzt’

Werden

dx ’ dy

so erhält man denjenigen Wert yon welcher in (31) substituiert, uns X und Y als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes giebt. Man erhält:

m₁

(i£V+2-

dx¹ ydyJ ' d

(sjy (dfy

\dx) ' \dyj

d-f dfdf d-f xdydxdy dy'²

Cb Qj

; (33)

(34)

d²f dfdf d²f/dfy dx dydxdy dy²\dx)

_d²_f dx²

Man kann zu der Formel (34) auch dadurch gelangen, dass man von (23) und (25) ausgeht und dort einsetzt: dy₌^_ df' df dx ’ dy

l'-V

dx

d²y

d²f

dx²

dx²

(dfY , ₂ S²f df df _ d²J (df\ \dy) ' dxdy dx dy dy²\dxj

CSjI Cb

Hier ist leicht zu erkennen, dass m = m₁

also in (34) das positive oder das negative Vorzeichen zu

positiv oder negativ ist. Dann stimmen

die Werte von q aus (25) und (34) vollständig überein.

Wir bezeichnen mit v den Winkel, den der Krümmungshalbmesser in der Richtung von der Kurve nach dem Krüm-

wählen, je nachdem

ist. Es ist

mungsmittelpunkte hin mit der Richtung der wachsenden x einschliesst. Dann ist:

X — x

cos v —

I/(x-xy + (Y-yy

sin v —

Y-y

v'{x-xy+(Y-yy

Durch diese G-leichungen ist eindeutig entschieden, in welcher Richtung vom Kuryenpunkte (x, y) aus man den Krümmungshalbmesser auf der Normale abzutragen hat. Man darf deshalb bei der Berechnung des Krümmungshalbmessers sich auf den absoluten Zahlwert beschränken.

Wir unterscheiden die konkave und die konvexe Seite der Kurve. An der Stelle, wo dieselbe drei unendlich nahe gelegene Punkte mit ihrem Krümmungskreise gemein hat, kehrt sie dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkte ihre konkave Seite zu. Die konvexe Seite ist die abgekehrte.

Jedem Punkt der gegebenen Kurve entspricht ein bestimmter Krümmungsmittelpunkt. Der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte wird Evolute genannt. Die beiden G-leichungen für X und Y bestimmen zusammen mit der Gleichung der gegebenen Kurve die Gleichung dieser Evolute.

Die Elemente des Krümmungskreises für die folgenden Kurven zu bestimmen:

32)    Der Kreis: x²-\-y²— r² = 0; m₁ = —    X=0, Y== 0;

ç = + Der K.-K. fällt ganz mit dem gegebenen Kreis zusammen.

33)    Die Ellipse: x = aco$t a²—(a²— &²)cos²^

y = b sin t ; a²—b²

b^—a² . 3 -,—snr£. b

Wird aus beiden Gleichungen die Variabele t eliminiert, so erhält man als Gleichung der Evolute: \/b² Y²

+ ^/a^X² = ^/{a^-bÿ.

a² — b²

Y= —

ab

cos³t. Y

Ferner ist X

a² — b² „ a*

*/³;

{a² — (a² — b²) cos²

--âb--'

X-

y-

34) Die Hyperbel: — p = 1 ;

mx =

/æ²    y²\ a²b²

\y ⁺ P/~2~⁵

a2+±?xs

a⁴    ’

a² + b² ₃

q = + a²b²

y²+P².

35) Die Parabel: y²—2£>æ = 0; ma

ys

~~~~ —2 I »

P²⁷

gleiehung substituiert, giebt als Evolute: F2 Man sieht, dass diese Evolute die Neilsche Parabel ist,

X— 3 x —}—p ,

-, y² = \/ piY² in die Parabel-

{X-pf.

2^>

27 p

(S. 180). Weiter ist q = + \\/{p²-\-y²Y ■

P

36)    Die Cissoide: x⁸ — y²(2r— #) = 0; m₁ =

— rx(12r—bx)

3(2r — xÿ~

37)    Die Kettenlinie: y =

X=

8r |/

3[/(2r-^)’ '

8 r — 3x 6x(2 r—x)' r [/x(8r—3a:)3 “3(2 r — x)² '

K>‘, $

/ 2a;

dl -

X = #— — I ea

_2a?\ e œ 1

/ X _f»\

r+e “)

m = y;

toi a

⁵)

=2y;

a / — .    — —\² y²

? = aj =-•

Das Stück der Normale zwischen der Kurve und der Abscissenachse wird bei jeder Kurve nach der Formel

berechnet: N=

>V •+(£)'

. Da man hiernach bei

y²

der Kettenlinie N—~ findet, so erkennt man, dass die ct

Normale dem Krümmungshalbmesser gleich ist. Sie liegen von der Kurve aus einander entgegengesetzt.

38) Die Cykloide: x — a (t—sin if), y = a(l—costf); m = — 2; X= a (t -j- sin if), Y= — a (1 — cos t) — — y. Beide Gleichungen repräsentieren zusammen die Evolute der Cykloide. Setzt man tx-\-n statt £, so wird X—an =a(tl—sinG), K-}- 2 a = a (1 — cos tx) ; wird jetzt X — an durch Xx, Y-\-2a durch Yx ersetzt, was einer Verschiebung des Anfangspunktes um an und —2a entspricht, so erhält man als Gleichungen der Evolute:

Xx = a (G — sin G), Yx = a (1 — cos tj, und daraus folgt, dass die Evolute eine kongruente Cykloide ist, die sich nur hinsichtlich der Lage dadurch von der gegebenen unterscheidet, dass ihr Anfangspunkt um an

und

2 a verschoben ist. Wir finden q = — 4 a sin

und da die Normale =2«sin— gefunden wird, so ist

Ui

der Krümmungshalbmesser der doppelten Normale gleich. Sie liegen von der Kurve aus nach derselben Seite. Um den Krümmungsmittelpunkt zu konstruieren, hat man die Normale nur um sich selbst zu verlängern.

39) Die Epicykloide : x = (a -|- r) cos t — a cos

(4-')

y — {a -j- r) sin t — a sin

(4-')

t: m —

2a

r-\-2a

(a -f- r) cos t -j- a cos

Y=

r -j- 2 a r

r-j-2a 4 a(rA-a) . r ,

⁶ = ~r+2iT SW2at'

Der Kr. - Mittelpunkt wird auf folgende Weise konstruiert: Man zieht (Fig. 14) den Durchmesser MG, verbindet G mit A und verlängert die Normale MB; der Schnittpunkt K ist der gesuchte Kr.-Mittelpunkt und

KM der Kr.-Halbmesser. Da GN parallel und gleich BM ist, so haben wir

KB =

r-j-2a

GN =

KM—

BM=

r-j-2a 2 (a -f- r)

BM

und

2a-j-r

BM

2 a sin =

u

4 «(« + »■).

2 a + r    2a

rt

2a-j-r

40) Die Lemniskate: r = a\/cos2t. Es ist m = j~; 2 a cos³1

= Q-

Y=

2a sin³1 %    _

3j/cös<2t' ^    3]/cos 21

3 j/cos 21

Da x = rcost, y = rsint, so ist x² -j-y² = a²cos2t

oder cos 21 =

a²

Drückt man

Q 3 \/x²-\-y2 sin²£ und cos²£ durch die Koordinaten des Kr.-Mittel-punktes aus, so gewinnt man mit Hilfe der beiden Relationen: cos²£-f-sin²£=l und cos²£—sin²£=cos2£ die Gleichung der Evolute: 3 (X% -f- Y%) (X% —    = 2 a.

a²

41) Die logarithmische Spirale: r == a*. Hier ist m=l;

X = — aMg a sin £, Y— af\g a cos t ; q — alj/l -f- (lg a)². Um die Polargleichung der Evolute zu erhalten, setze man den Leitstrahl B = j/x² -J- Y² = af lg a. Wird lg a = as gesetzt, so ist B, = at+S, d. h. die Evolute dieser Spirale ist eine gleiche Spirale, welche nur um den Winkel e gedreht ist.

§ 4. Die Wende- oder Inflexionspunkte.

Liegen drei unendlich nahe Punkte einer Kurve in einer geraden Linie, so wird der Krümmungshalbmesser an dieser Stelle unendlich gross. Es seien x und y die Koordinaten dieser Stelle. Dann werden hier auch X—x und Y—y unendlich gross. Andern diese Differenzen dabei gleichzeitig ihr Vorzeichen, wenn man, die Kurve stetig durchlaufend, durch den Punkt (x, y) hindurchgeht, so ändert die Kurve an dieser

Stelle die Art ihrer Krümmung. Ihre konkave Seite geht in die konvexe über und umgekehrt. Ein solcher Punkt (x, y) wird ein Wendepunkt oder Inflexionspunkt genannt.

Wir verbinden die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Krümmungshalbmessers mit der Gleichung der Kurve und erhalten als Lösungen beider Gleichungen die Koordinaten aller Punkte, die Wendepunkte sein können. Sie sind wirklich Wendepunkte, wenn in ihnen der Vorzeichenwechsel der Differenzen X—x und Y—y eintritt.

Ist f(x,y) — 0 die gegebene Gleichung, so wird nach (34) q unendlich, wenn:

a*f Sf Sf    S°-f

dx dy Sx dy    Sy²

CO <o

= 0.

S²f (3f\²

Sx²

W

Die linke Seite dieser Gleichung lässt sich in Form einer Determinante schreiben. Alsdann lautet die Bedingungsgleichung:

S²f S²f df Sx² Sx Sy Sx S²f S²f Sf Sx Sy Sy² Sy

sf sf ₀

= 0.

(35)

Sx

Sy

Wird die dritte Vertikalreihe mit (n — 1) multipliziert, die ganze Determinante durch (n — 1) dividiert, und 0 durch nf ersetzt, so erhält man:

S²f 8²f Sx² Sx Sy S²f S²f Sx Sy Sy2 Sf Sf

Sf

Sf

(■n — 1) 37.

Sy

= 0.

(36)

Sx

Sy

nf

In der Determinante darf man die mit x multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Vertikalreihe von denen der dritten Reihe subtra-

hieren. Dadurch ergiebt sich für (n — 1 )A die Determinantenform

B-f

BxBy

8²f

BxBy

By²

Bf

Bf

Bx

By

n ^ Bx XBx2 Bf 8²f dy X BxBy Bf

- X^r- -

(w—1)

nf

Bx

'sS

's*

'SS

• (37)

Wird jetzt die gegebene Funktion f(x, y) — 0 in die homogene Funktion f(x, y, z) — O umgewandelt, so kann der

- nf, wobei n den

Grad der Funktion anzeigt, zur Anwendung kommen. Da ferner

wieder homogene Funktionen sein werden, und

Lehrsatz von Euler: x

Bf Bf

ec,

Bf

Bz

’ Bz

zwar vom (n—l)ten Grad, so ist nach demselben Satz:

Bx

Cb Cb

+y

B-f

f*

B-f

Bf

Bx By i d*f i

1- y—2

Bx Bz

S*f

By Bz 8²f

Z~s

⁼⁽-n-¹>rx

= (n—l)

= 0 —])

Sf

Bf

(38)

X BzBx ^ ^ 8 z By~^~ "Bz²

Mittelst dieser Relationen bringt man (37) auf die Form:

8²f    8²f B²f

Z Bx Bz

rJ!L

* By Bz

Bf

z ~

Bx² BxBy 8²f    8²f

By Bx By²

Bf

Bx

Bz

Bz '

= 0.

(39)

Wird in dieser Determinante wieder z= 1 gesetzt, so bildet sie die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Kr.-Halbmessers. Sie geht leicht in folgende über:

(n — l)²

<y> Cb Cb

d-f

d*f

Sx Sy

Sx S z

S²f

%²

Sy Sx

{n~¹ % (w~1}

S²f

= 0.

Sy dz

(»-Dit

Subtrahiert man von den Elementen der dritten Horizontal-reihe die mit x multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Reihe, substituiert dann für die Elemente der dritten Reihe die Werte aus (38) und setzt dabei z — 1. so erhält man :

Sf

Cbl Cb

Sf

Ą = (ń — l)² A =

Sz Sx Sz Sy Sz*

= 0.

(40)

Die Schnittpunkte der beiden Kurven f= 0 und A = 0 oder A₁— 0 geben die Wendepunkte der Kurve. Ist f= 0 vom wten Grad, so muss die Inflexions-Determinante vom 3 (n — 2)ten Grad sein. Beide Gleichungen lassen daher im allgemeinen 3n(n—2) Lösungen zu, und die Kurve hat eben so viele Wendepunkte. Kurven des zweiten Grades haben demnach keine Wendepunkte, vgl. Aufgabe 48).

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen gegeben: x = <p{t), y = (pit), so wird der Krümmungshalbmesser nach (22) unendlich, wenn:

(41)

dx d²y dy d²x dt dt² dt dt²

und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Parameter der Wendepunkte.

Für die Form y — f(x) wird nach (23) der Krümmungshalbmesser unendlich, wenn:

Die reellen, im Endlichen gelegenen Wendepunkte folgender Kurven zu finden:

42) f— x³-\-y³-{- 6axy-\- 1 = 0.

Homogene Form: x³ -\-y³ -{-Qaxyz z³ = 0.

ax z

x az ay A₁ — 6³ az y ax ay

xy — 0. Aus dieser Gleichung

~J₁ = xyz(l-j-2as) — a²(x³-[-y³-j-z³) = 0; z— 1 giebt: b    1-f 2a³

a²

und f— 0 finden wir: « = 0, y — — 1; x— — 1, y = 0 als Koordinaten der Wendepunkte.

43) f—x³— 3ax²-\-c²y = 0.

Homogene Form: x³ — 3ax²z-\-c²yz² = 0.

6(x — as)

— 6ax

2 c²z

als Koordinaten eines Wendepunktes.

44) f—x²y— #-]-«/ = 0, oder x²y— xz² -\-yz² = 0.

Bedingung: x³ — x²y— 2x — y = 0. Wendepunkte:

— Ą — 24(x — a)c⁴ = 0. Aus J₁ = 0 und f— 0 findet 2a³

man x — a, y — —^~

x = 0, y = 0; x = ±\/3, y = +

ba

45)    f={a— «)⁵—y = 0. Bedingung: (a—x)³ = 0. Wendepunkt: x = a, y — 0.

\/%'V    36'

46)    f=x⁴—a²x²-\-a³y=0. Wendepunkte:«

47)    f = y — x³ = 0. Wendepunkt: a? = 0, y = 0.

48)    Die Wendepunkte eines Kegelschnitts sollen aus der allgemeinen Gleichung:

Ay² Ą- 2BxyĄ- Cx² -j- 2Dy -\-2Ex-\- F = 0 gefunden werden.

2 JE 2D .

to to to

to to to

2 F

Die Determinante A ist yon x und y unabhängig. Ist sie von Null verschieden, so hat der Kegelschnitt keine Wendepunkte. Ist aber diese Verbindung von Konstanten identisch =0, so hat der Kegelschnitt an jeder Stelle die Krümmung Null und besteht dann aus einem System von zwei geraden Linien.

49) Die Wendepunkte der Kurve y = smx zu finden.

X = 0 ₁ + 7T,    + 3 TT, usw., y — 0.

§ 5. Der Flächeninhalt begrenzter Figuren.

Um das von dem Kurvenstück AB, den Ordinaten AG und BD und dem Abschnitte CD der Abscissen-Achse eingeschlossene Flächenstück zu finden (Fig. 15), teilen wir

Fig. 15.

B/

fix) p_

CD = (b— a) in n gleiche Teile, deren Grösse d sein mag, und errichten in allen Teilpunkten Ordinaten. Dadurch wird die Fläche in n Streifchen zerlegt, wie MNQP. deren Inhalt bei hinlänglich kleinem (5 gleich dem Produkte aus ô und der zugehörigen Ordinate gesetzt werden kann. Ist also y = f{ß) die Gleichung der Kurve, dann entsteht für die Fläche nach (15), S. 173, der Wert

Fl. ABDC= lim ö [f(a) -f f(a-f <5') -f.. -f f{b — d)J = P f(x) dx.

J a

Um ferner das von der Kurve AMBNA (Fig. 16) eingeschlossene Flächenstück zu finden, ziehen wir die beiden

Fig. 16.

■ M,

J£

P Pt

vertikalen Tangenten AH und BG, zwischen denen die gesamte Kurve liegt. Ist MB=F{x)=Y, NB=f{x) = y, OH=a, OG = b, so wird nach dem eben Bewiesenen

HAMBG =

F .

HANBG=

und daher

f f(x) dx==( ydx

Ja    Ja

[F(x) — f(x)] dx=(b (Y — ij) dx. (43)

Ja    Ja

Vertauscht man die Z-Achse mit der F-Achse und setzt (Fig. 17) OL = a, OD=ß; BN=$(y)=X, BM=<p(y)=x, so erhält man

Fl. AMCNA =

Fl. AMBNA =

r [<**W-p(y)]<*y=P(^

Ja    Ja

— x)dy.

Ist endlich die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so zerlege man die Fläche in elementare Streifen von der Form MM,N,N und setze OM=R, ON=r OM, = R„ ON, =r,, Wkl. MO A = f, Wkl. M. OA = t

Fig. 17.

is

Wkl. DOA = y, Wkl. JBOA = ö. Da nach der Voraussetzung der Winkel MxOM=t± — t unmessbar klein ist, und deshalb die Bögen MM₁ und NN± als gerade Linien anzusehen sind, so ist:

Fl. NMM₁ Nx — lim

(BR₁ — rrt) sin (tx — t)

Fig. 18.

Ji

FL BNDMB^Mm

A ( U Rx—rrx ) sin (tL — t)

f⁸ R-—r²

J y-2-dt’

weil für die Grenze RX=R, rx—r, sin(^—£) = are(£₁—t) = dt wird. Soll hiernach die Fläche OBMDO berechnet werden, so

ist r = 0 zu setzen, wodurch entsteht :

⁸R²

FI. OBMDO =

TT'"'

(48)

50) Man soll das Flächenstück berechnen, welches zwischen einem Parabelbogen, der Ordinate y und der X-Achse liegt; y² — 2px.

Fl.

( y dx = \ l^2px dx

Jo Jo

xy.

Der Parabelbogen, vom Anfangspunkt gerechnet, teilt das aus Abscisse und Ordinate des Endpunktes konstruierte Rechteck so, dass zwei Dritteile desselben die Parabelfläche bilden.

51) Die Fläche eines Kreises zu finden; x — rcost, y = rsmt.

dx= — rsmtdt; für x = 0 ist t — — , für x = r ist t = 0.

7t

Fl. =

4j*r y dx = —4J*

r² sin² tdt=Ar²

S'

sin ‘¹tdt = r'²7i.

52) Die Fläche einer Ellipse zu finden; x=acost, y = bsint.

F1.=

4 fa ydx——4J⁰ absin²tdt=Aab^² sin²1 dt—ahn.

!<n

53) Man soll das Flächenstiiek berechnen, welches zwischen einem Hyperbelbogen und einer zur X-Achse senkrechten

Sehne liegt; —₂ —|*

2J* ydx = 2b

Zum Zweck der Transformation setzen wir x

= 1.

Fl.

j>i/?

é 4- e~ł = a    2~

-—^—; dies geht an, weil dadurch die Kurven-

Li

gleichung befriedigt wird. Da x = a für t — 0 wird,

et — e~*

und da dx = a

dt ist, so ist:

abl clt—e~‘2t 2| ~2

ab rt

— e~tydt =

X y

Ferner ist — -j-    = e*, oder t = lg

Fl. = xy— ab lg j    |.

Fl. =

2t I =xy—abt.

( ⁺ )'

54)    Man zeichne eine Hyperbel nebst ihren beiden Asymptoten.

m². Es sei i der

a2 J

Kurvengleichung: xy = ———

Anfangspunkt des Systems, S der Scheitel, SB die Ordinate und AB = p die Abscisse des Scheitels; MB die Ordinate und AD = x die Abscisse des beliebigen Punktes Af, a der Asymptoten winkel. Die Fläche SB DM soll berechnet werden.

Weil das System schiefwinkelig ist, so ist das Differential der Fläche = y sin a dx, und:

poc

Fl. = sin a 1 — dx = m² (lg x — 1 gp) sin a .

Jp x

55)    Die Fläche zwischen einem Cykloidenzweig und der X-Achse zu finden; x = a(t — sin 0, y = a (1 — cos t).

(1 — cos ty dt = 3 a^rc.

r2 an    r2n

Fl. =

I ydx — ar I

Jo    Jo

56)    Eine Kurve hat von t = 0 bis t = 7i die Gleichungen: x — a (1 — cos t), y = at) man soll die Fläche zwischen der Kurve, der Ordinate für t = n und der X-Achse finden.

Fl. = a²

rn

Jo

t$mtdt = a²rc.

57) Die Fläche zu berechnen, welche von einem Epicykloiden-zweige und den nach seinen Endpunkten gezogenen Halbmessern des Grundkreises eingeschlossen wird;

x = (a -j- r) cos t — a cos

t.

y — (o -j- r) sin t — a sin

Denken wir uns (Fig. 14, S. 182) die angefangene Kurve EM so weit gezeichnet, bis sie in einem Punkte Q den Grundkreis wieder trifft, so soll die Fläche AEMQA berechnet werden. Man ziehe Leitstrahl AM=R und setze Wkl. MAE—<p, so ist:

Fl. AEMA = \[<PR²d<p.

Ł J o

Da aber R² = x² -J- y², tg p = —, cos² <p — x, y die Koordinaten v#n M sind, so ist:

J4-

^²+y

2, wenn

dtgtp_ d

dx

dt

dt- oder

1 dp

dt

,Jdi

dy x -A

dx

cos²^ dt

dp _ dt y dt

(a -j- r) (2 a -f- r) £l — cos t

dt

R²

FI. =4 f‘ B^dt=^+r)(2a+r) r, f 2jo dt    2 Jo 1¹

f I

— oos—£ I dt.

a J

Für die Fläche AEMQA hat der Erzeugungskreis eine

ganze Umdrehung vollendet, so dass rt = 2an, oder , 2a>r

t =- sein muss.

2 an

Fl. AEMQA

JV f¹-“>% *]dt

_{a> + r) (2 a -f- r) an

Wird davon der Kreisausschnitt AEQA = arx abgezogen, so bleibt die Fläche EMQRE zurück.

58)    Die Kardioidenfläche erhält man aus der vorhergehenden Formel, indem man r — a setzt. Fl. = 6a²7r.

59)    Die Fläche der Lemniskate: iü² = a²cos2£ zu finden.

7t

Fl. = 2a²

j:

cos 2 tdt = a².

60) Die Fläche der archimedischen Spirale: E = at soll finden ersten Umlauf des Leitstrahls gefunden werden.

Fl. =

a'C27lJ‘> i,    4a²7T³

2j„ t-dt = “3

§ 6. Rektifikation ebener Kurven.

Sind M und M₁ zwei beliebige Kurvenpunkte; æ, y und yx ihre Koordinaten, so ist die Sehne:

MM₁ =s=\/'{y——a?t)² ={x—%])

Beim Grenzübergang erhält man als Differential des Bogens:

ds = dx

V'+iSi

Sind a und a die Abscissen der Grenzpunkte A und _£?, so ist:

S - arc AB -----

SadXV¹⁺(si)

(49)

Soll aber arc AB aus den Ordinaten der Endpunkte berechnet werden, so setze man:

5 = [/(x — xj² -f- (y — yj² = (y — yt)

woraus beim Grenzübergang entsteht: ds = dy und, wenn ß und b die Ordinaten der Endpunkte A, B sind:

S = arc AB =

W‘+(£)'

(50)

Für die Gleichungsform: f(x,y) = 0 wird aus (49):

Dölp, Aufgaben.

-.f>rW+(g)

². ⁸f

'Sy

(51)

14

und daraus wieder, weil

dx — —

ôf

8y

dy ist,

Cb! cy,

& !"-b

Ist endlich die Kurve durch die beiden Gleichungen: x=<p(t), y = (p(t) gegeben, und ist weiter a = <p{y), a = <p{c), so geht (49) über in:    2 z 5    /

(53)

61) Die Peripherie eines Kreises zu berechnen; x = rcost y — r sin t.

/• 2 yj;    _

5 = 1 dt[/(sm²t-]-cos²t)r²

— 2r7T.

62) Die Länge eines Parabelbogens vom Scheitel bis zum Punkt x, y zu finden; y² = 2px.

63) Den Bogen einer Neilschen Parabel zu finden, vom Anfangspunkt bis zum Punkt x₁ y, y² = ax³.

27a

64) Der Bogen einer Kettenlinie vom tiefsten Punkte bis zum Punkt x, y soll berechnet werden; y =

to §

\emĄ-e m).

Cx ■/    / x    £c\2    / x    a?\

%)odxV 4 —J— I e™— emJ =~le™—e~™J = l/y¥

— m~.

Der Bogen einer Kettenlinie, genommen vom tiefsten Punkte bis zum Punkt x, y₎ ist gleich der zweiten Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen eine Kathete = m die Ordinate des tiefsten Punktes, und dessen Hypotenuse die Ordinate des Endpunktes ist.

65) Es soll die Bogenlänge der Cykloide gefunden werden; x = a(t — sin t), y = a (1 — cos t).

r 27t    _

S=aJ dt |/2(1

/•27t f

I sin -- dt = Jo 2

cos t) = 2a

66) Die Bogenlänge einer Epicykloide zu berechnen.

= 4(ö4-r)² sin² ^ t.

2 a

8«.

/dx\²    (dy\²

(ä ) + \Tt)

2an

r >    ^

sin t dt

8 a (a -f- r)

Setzt man a = r, so erhält man 16 a als Länge der Kardioide.

67) Die Länge des Bogens der archimedischen Spirale zu finden: r = at.

S— aj*o j/l-j-t² dt—— J^l-f-ż²-flg(ż-f|/l-|-ż²)j

68) Den Umfang einer Ellipse zu berechnen; x = acost y == b sin t.

Ein Quadrant ist gleich:

7t

yS=j*o dt\/a²m\²t -\-b

²COS ²t =

“Jo dtVl

a²-b²

a²

cos ²t

71

= aJ'Q dt[/1

8=a

— s²cos²^, wenn -£²COS²£ — a£⁴COS⁴Ź—

tO ! t-¹

&²

= £² ist.

16

s=

Ö£⁶ — ...J

§ 7. Die Oberfläche von Rotationskörpern.

Wird eine Kurve um ihre X-Achse gedreht, so erzeugt sie eine krumme Oberfläche. Ist die Ordinate eines sich drehenden Kurvenelements = y, so ist das Differential der Oberfläche gleich der Oberfläche eines kleinen Cylindermantels, dessen Umfang = 2yn. und dessen Seite = ds, d. h. gleich

dem Differential des Bogens ist. Hiernach ist das Differential der Oberfläche dO = 2ynds₁ und wenn a und b die Anfangsund die Endabscisse des Oberflächenstückes sind,

0 = 2)7

^ayVX+i^x)

dx.

(54)

69) Die Oberfläche einer Kugelhaube zu finden, wenn

y —1/2 rx — x²

die Scheitelgleichung des Erzeugungskreises, und h die Höhe der Haube ist.

0 = 2t:

fh

I ₍ dxy 2

rx —

x²\/1-1

(r — xy

2 rx — x²

= 2 rnJi.

70) Die Mantelfläche eines Kegels zu berechnen.

Ist y = Jcx die Gleichung der Geraden, die durch Umdrehung den Kegelmantel erzeugt, und h die Höhe des Kegels, so ist:

\/1 -f pj*^ xdx = JcTth² |/l -f Je².

0 — 21c Ti

Da & = tg«, wenn a der Richtungswinkel der erzeugenden Geraden, so ist Tili = r = Basishalbmesser, und h\/1 -j- P = s = Länge der Erzeugungslinie. Durch Substitution dieser Werte erhält man: 0 = r7zs.

71) Es soll die Oberfläche des Körpers gefunden werden, der entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre Z-Achse dreht, x — a(t — sin t), y = a (1 — cos t).

r2n    _____

I (1 — cosź)j/2(l — cost) dt

0 — 2 a²::

64a² 7T

= 8a²n

(•27t    t

I sin³— dt Jo    &

72) Die Oberfläche eines Rotations-Paraboloides zu berechnen. Parabelgleichung: y² = 2px.

0= 2Tr    dx\/p ~j~2x =    [(p -}- 2x)§ —p%\.

73) Man soll die Oberfläche eines Ellipsoides berechnen, das entsteht, wenn sich eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht.

Erstens: Drehung um die grosse Achse.

Ist y‘-² =

(a²— x²) die Gleichung der Kurve, so ist

21)71

a²

dx |/ «⁴

— (a² — b²) x².

Wir setzen a²— b² = e² und erhalten: 2 brc

2° =

\0 = b',H

a²

a²

dx j/ct⁴

— e² x²

f    —__    eafl«

Ixf/a⁴ — e²#²-}- — arc sin ^21

Cl²b7l

arc sin

\/a² — b²

[/a² — b²

Zweitens: Drehung um die kleine Achse.

2 ⁰ = J₀ d,J ^bi +

b⁴

Jre²y²-\- — \g {e²y-^e

|/6‘"+?y)]o⁴

|0-a»»r4

ab²7z

, o-fl/o⁸“—6®

's-~b~

^/a² — 6²

Was wird aus beiden Resultaten für b — a?

§ 8. Der Kubikinhalt von Rotationskörpern.

Wird ein Körper dadurch erzeugt, dass sich die zwischen einer Kurve und der X-Achse gelegene Fläche um diese X-Achse dreht, so ist das Differential des Volumens dV = y²n dx, und das Volumen zwischen den Abscissen a und a selbst

V=7t(ay²dx.

J OL

74) Den Kubikinhalt einer Kugel zu berechnen.

— x²) dx =

V =2 Ti

-rs7u.

3

75) Den Kubikinhalt eines Rotationsellipsoides zu finden, das entsteht, wenn sich eine Ellipse um ihre grosse Achse dreht.

o. ,    4ab^rr

— xz)dx =—-— . .

ö

76) Der Inhalt eines parabolischen Zonenkörpers' soll berechnet werden.

Sind xx und x₂ die Abscissen der Endpunkte des Parabelbogens, welcher die erzeugende Fläche begrenzt, so ist:

2 rrb²

Jo⁽°

V = 2 prr^xdx = 2pn ^ ^^

(x₂ — Xj) .

77) Man soll den Inhalt des Körpers finden, der entsteht, wenn sich die Cykloidenfläche um die X-Achse (Gerade, auf welcher der erzeugende Kreis rollt) dreht.

V=a:i7T

r 2?t    „    „ /*27r

I (1—cos t)³dt = 8a³7T I

sin⁶— dt—bti’Ti¹.

Li

78) Ein Kreisabschnitt, dessen Sehne = 2 s, und dessen Halbmesser = r ist, dreht sich um einen zur Sehne parallelen Durchmesser. Wie gross ist der Kubikinhalt des ent- ' standenen Körpers?

(r³ — x²) dx — S7T {r~ — s²) ;

V=

s³tt .

r r

ICK-

ZT)

cCn.

§ 2.

coo cOo cOo c0n <UK

§ 10. § 11.

INHALT.

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen

Funktionen .......................

Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwickelung des Differentialquotienten . Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen . Die Differentialquotienten der trigonometrischen und cyklo-

metrischen Funktionen................

Exponential- und logarithmische Funktionen......

Unentwickelte Funktionen...............

Funktionen von der Form : x = <p (t), y — \p (t).....

Differentialquotienten höherer Ordnung.........

Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der

Werte unbestimmter Formen .............

Maxima und Minima der Funktionen ..........

Die Reihen von Taylor und Maclaurin.........

Funktionen von zwei unabhängigen Variabelen.

§12. Entwickelung der Differentialquotienten ........

§13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..................

§ 14. Homogene Funktionen.................

§ 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..........

cOn cOn

Integralrechnung.

Unbestimmte Integrale.

Die einfachen Integralformen......

Integration rationaler algebraischer Brüche

Seite

18

22

29

39

44

47

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64

91

100

r—*

o o Ol to

107

109

Seite

. 139

§ 3. Reduktionsformeln............

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen ....

§ 5. Exponential- und logarithmische Funktionen § 6. Trigonometrische und cyklometrische Funktionen .... 160

141

157

Bestimmte Integrale .

170

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

§ 1. Tangente und Normale ebener Kurven .........

§ 2. Doppelpunkte, Rückkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte...........

§ 3. Krümmungskreis und Evolute ....

§ 4. Die Wende- oder Inflexionspunkte § 5. Der Flächeninhalt begrenzter Figuren § 6. Rektifikation ebener Kurven ....

§ 7. Die Oberfläche von Rotationskörpern § 8. Der Kubikinhalt von Rotationskörpern

178

. 184

189

. 198

203

209

211

213

v

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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