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Grundzüge und Aufgaben der

Differential- und Integralrechnung

nebst den Resultaten von

Dr. H. Dölp,

weiland Professor am Polytechnikum zu Darmstadt

neu bearbeitet von

Dr. Eugen Netto,

Professor der Mathematik an der Universität zu Giessen

12. Auflage

Alfred Töpelmann

(vormals J. Ricker’sche Verlagsbuchhandlung)

Giessen 1909

1. Auflage:

1869

2.

1874

8.

1878

4.

1885

5.

1891

6.

1895

7.

1898

8.

55

1900

9.

55

1901

10.

55

1903

11. Doppelauflage: 1905

12.

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1909

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Vorwort zur elften Auflage.

Dem Texte nach unverändert, dem Titel nach verändert erscheint die neue, elfte Auflage des Dölp’schen Werkes. Beides hat seine guten Gründe. Die für das Erste sind technischer Natur; es erübrigt, auf sie einzugehen. Die für das Zweite liegen in der Verschiedenheit des Charakters der früheren und der letzten Auflagen; eine Verschiedenheit, die sich allmählich herausgebildet hat und nun endlich, ihren Einfluss auszuüben, für geboten hält. Die „zur Lösung der Aufgaben nötigen theoretischen Erläuterungen“, wie es bisher hiess, haben sich zu „Grundzügen der Differential- und Integral-Rechnung“ ausgewachsen; diese beanspruchen eine selbständigere Stellung und gedenken sie in Zukunft noch weiter zu befestigen. Hierdurch ist zugleich der Kreis für die Verwendbarkeit des Buches stark erweitert worden, zumal der Verleger in eine bedeutende Herabsetzung des Preises eingewilligt hat. Somit erscheint die Hoffnung berechtigt, dass das Werk auch in Zukunft bei dem ' Studium der Infinitesimal-Rechnung Nutzen und Hilfe gewährt.

Giessen, im November 1905.

E. Netto.

V

Das INHALTSVERZEICHNIS befindet sich am Schlüsse des Buches

<

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

§ 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen.

y = a xn

dy

— = nax

n—1

dx

y = — = a x~n J xn

„ , 1 = — naar xn+x

-n—1

n

aj/æ — axn

n

„ =-\/x^ n

—-1

= — axn

n

a ]/xp = axn

„ = ~a

n

\/xP~n

p P_ 1

= ±-axn

j?

2 j/ x

y = ex y = ax

y = \%x

y — sin x y — cos x

55    '

„ — COS X

„ = — sin x

y = tga;

JJ

COS¹ 2 X

sin² a;

|/l — &²

y = are cos x

dy

dx

|/l —æ²

1 -\-x

! + **•

y = arc tg x

y = arc cotg x

§ 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen.

Erklärung und Entwicklung des Differentialquotienten.

Eine Gleichung, in welcher eine einzige unbestimmte Grösse x mit einer beliebigen Anzahl von gegebenen und unverändert beibehaltenen (konstanten) Grössen a, b, c, ... durch irgend welche ßechnungsoperationen verbunden auftritt, ist entweder eine identische Gleichung oder eine Bestimmungs-Gleichung. Eine identische Gleichung ist eine solche, die für jeden Wert der Grösse x gilt, wie z. B.

(x -f- a)² = x* -\- 2 a x -f- a².

Eine Bestimmungs-Gleichung ist eine solche, die nicht flir jeden Wert von x gültig bleibt; ein Beispiel hierfür bietet x² — 2 a x -\-b = 0.

Bei einer Bestimmungs-Gleichung entsteht daher die Aufgabe, denjenigen Wert, oder diejenigen Werte von x zu finden, welche die Gleichung erfüllen. Die Grösse x heisst deshalb die Unbekannte. Ihre Bestimmung ist Aufgabe der Theorie der Gleichungen.

Eine Gleichung, in welcher ausser den gegebenen Konstanten zwei unbestimmte Grössen x und y auftreten, kann ebenfalls eine identische Gleichung sein, wie z. B.

(x + y)(x — y) = x‘i — yi.

Ist jedoch die Gleichung keine identische, dann kann sie zu einer Bestimmungs-Gleichung für die eine der beiden Grössen y (oder x) dadurch gemacht werden, dass man der anderen x (oder y) irgend einen bestimmten Wert beilegt. Dieser Wert kann beliebig gewählt werden; von ihm ist die andere Grösse

abhängig. Die beliebig gewählte Grösse x (oder y) heisst deshalb die unabhängige Variabele; die andere durch sie bestimmte y (oder x) heisst die abhängige Variabele; sie wird auch als Funktion der unabhängigen Variabelen bezeichnet.

1. Beispiel: (a) A x -f- B y -j- G = 0,

folglich (b) y

Ax-\-C

By + c

oder auch (c) x —

2. Beispiel: (a) ^ + p —1

(b) y = +~|/Ö® — #², oder auch (c) x = + ~]/b² —

folglich

2/²-

In beiden Beispielen ist der Zusammenhang der Variabelen durch jede der Gleichungen (a), (b), (c) ausgedriickt. In (b) ist die Variabele y als analytischer Ausdruck dargestellt, der ausser den konstanten Grössen nur die unabhängige Variabele x enthält; man sagt hierbei: y ist explicite als Funktion von x gegeben, oder, was dasselbe bedeutet: y ist eine entwickelte Funktion von x. Ebenso liefert (c) die Variabele x als entwickelte Funktion von y. Die Darstellungen (a) geben dagegen die eine der beiden Variabelen durch die andere in impliciter oder unentwickelter Form. Symbole wie die folgenden: dienen zur allgemeinen Bezeichnung expliciter Funktionen von x\ die mit x verbundenen Konstanten sind hier nicht besonders hervorgehoben. In gleicher Weise kann man

f(x,y) = 0, g{x,y) = 0, h{x,y) = 0, ... als Symbole für das implicite Abhäugigkeitsverhältnis ansehen, welches zwischen den Variabelen x und y besteht.

Es ist eine Eigentümlichkeit vieler Funktionen, dass jedem beliebigen Werte von x auch nur ein einziger Wert von y entspricht, wie in y = æ², y = xs₁ y = sin x; doch giebt es auch solche, die zu jedem Werte von x mehr als einen Wert von y liefern, wie y = \/ x, y = \/x, y — arc sin x. Hiernach werden ein- und mehrwertige Funktionen unterschieden; die mehrwertigen können zwei-, drei-, ... wertige, ja auch wie y — arc sin x unendlich viel wertige sein.

Substituiert man in einer entwickelten Funktion y = f(x) an Stelle der unabhängigen Variabelen x die beiden verschiedenen Werte x und xx, so ergeben sich die entsprechenden Funktionswerte y=- f{x) und yx=f(xx), und man kann aus beiden Wertpaaren den folgenden Differenzenquotienten zusammensetzen:

xx— x

Wir bezeichnen die Differenzen

(1)

xx —x

xx—x=Jx,yx—y = f(xx) — f(x)=Jy= Jf(x), so dass (1) auch geschrieben werden kann:

4y _ 4f{x) _ f(x-\- Jx) — f(x)

(la)

J X Jx

Der Wert des Differenzenquotienten liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen.

Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y — f{x) durch eine Kurve in der XF-Ebene. Die Abscisse OQ eines Kurvenpunktes P giebt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f{x) an. Je nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abscisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abscisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P — (x, y). Ebenso sei

Px = yx) == (x-\-J x, y-\-/ly). Dann ist PR = QQX = xx — x = Jx und PxR = yx — y = Jy, und wir erhalten

tang ß.

Jx

/Ix

Wir können tang ß in einfacher und verständlicher Art das Steigungsmass der Geraden SPP₁ nennen. Dann sieht man:

Fig. 1.

'-f

Q,

Der Differenzenquotient (1) oder (la) giebt das Steigungsmass der Sekante PPX an, welche zu den Kurvenpunkten P = (x, y) und Px = (xJx, y-\-Jy) gehört.

Da wir die Funktion f als gegeben voraussetzen, so kann in jedem einzelnen Falle dieser Quotient auch ausgerechnet werden.

1. Beispiel: y = ax², yx=ax\\

^y"_yi—y

Jx

xx — x 2. Beispiel: y = \/x

Jy

xx —

Vi

?/■ — y_i/xx—\/x _

x®

— = «(*!+*)•

Jx xx-X

Xx -X

\Zxx-J-\/x

Wir wollen nun in der Figur den Punkt Ą auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sieb nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozess zu gewinnen, müssen wir einige neue Begrilfe einführen.

Sieht man bei einer reellen Grösse a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem absoluten Betrage; beispielsweise haben -f-1 und —1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch \a\ bezeichnet.

Ändert sich eine Grösse derart, dass ihr absoluter Betrag kleiner wird und im weiteren Verlaufe der Änderung kleiner bleibt, als jede beliebig gegebene noch so kleine absolute Grösse, so nennt man die veränderliche Grösse unendlich klein. Eine unendlich kleine Grösse hat also keinen konstanten Wert; es ist eine Variabele, die sich unbegrenzt der Null nähert.

Ist die Differenz a — a zwischen einer veränderlichen Grösse a und einer festen Grösse a unendlich klein, d. h. nähern sich die Werte, welche die Differenz a — a durchläuft, unbegrenzt der Null, dann heisst a die Grenze der Variabelen «. Man schreibt dies

lim (a — a) = 0 oder lim a = a wobei „lim“ das Wort „limes“, „Grenze“ bezeichnet. Durchläuft etwa a eine der Reihen

i , , , i *

’ *’ 31 T’ ' • • n »+1’ ‘ ' ⁻

i r>

22 n—1 22 n +¹ -j- 1

fl 'S’> TT? " •

22» ’    22w + i ’ * * *

so ist im ersten Falle lim« = 0, im zweiten lim« = l. Das Zeichen „lim“ wendet man in uneigentlichem Sinne auch für den Fall an, dass die Grösse a über alle Grenzen hinaus wächst; man schreibt dann lima = oo, trotzdem ja von einer Grenze keine Rede sein kann.

Ist lim a = a und lim ß = 6, so folgt daraus lim(a±ß) = a±b, lim (aß) = a b,

weil mit a — a und ß — b zugleich auch

(a±ß) — (a + b) und

(a — a)(ß-\-b)-\-{a-\-a){ß — b) = 2(aß — ab)

unendlich klein werden. Ferner ist unter der Voraussetzung, dass b von Null verschieden sei,

lim-? =    :

denn mit a — a und ß — b wird dann zugleich auch (a — a)b — (ß — b)a_ab — ß a _

ßb

ßb

unendlich klein.

Wir wollen nun in (la) die Differenz 4 x bei festem x unendlich klein werden lassen. Wird dann auch Jy unendlich klein, so heisst y für den betrachteten Wert von x stetig variabel. Ist y für alle Werte #, die zwischen xt und x2 liegen, stetig variabel, so sagt man, y sei für das Intervall von xx bis x₂ eine stetige Funktion von x. Ob für unendlich kleine J x der Quotient (la) sich einer Grenze nähert, ist fraglich. Geschieht es, so nennen wir sie den Differentialquotienten von y für x und schreiben

'S

— y' = f' (x) = lim = lim 9    1 w    Jx

f(cc -f- J x) — f(x)

Jx

, (2)

dy

wobei die Bezeichnungen    y', f'{x) für einander eintreten

können und vollkommen gleichbedeutend sind. Dass der Differentialquotient, der ja die Grenze des Quotienten zweier unendlich kleiner Grössen ist, doch einen bestimmten endlichen Wert haben kann, zeigen schon unsere obigen Beispiele. Für

— y' = lim a(xxJ x) = 2 a x,

y = ax* wird

upd für

2]/x’

y — |fx wird — y' = lim

dy

Bei der Schreibweise ist streng daran festzuhalten,

dass Zähler und Nenner nicht für sich einzeln definiert worden sind, und dass dx, dy nicht die Bedeutung von limz/x, lim J y haben. Trotzdem dürfen wir uns erlauben, in unseren

Beispielen dy = 2 ax dx oder dy —

dx und allgemein

2j/x

dy = y' dx =/' (x) dx — f(x -(- dx) — f(x) zu schreiben, sofern wir darunter eben weiter nichts verstehen, als die Beziehungen (2). Irrtümer können dadurch nicht hervorgerufen werden.

Wie der Differenzenquotient, so lässt auch der Differential-quotient eine einfache geometrische Deutung zu. Wir lassen in der Figur 1 die Punkte P und Q fest und nähern den Punkt Qx unbegrenzt dem Punkte Q. Dabei rückt der Punkt P₁ der Kurve unbegrenzt an den Punkt P heran und die Tangente TP wird Grenzlage der Sekante SP. Der Differentialquotient stellt das Steigungsmass der Tangente im Punkte P=(x, y) dar:

tanga = lim^|=|| = /=.m

Nach diesen vorbereitenden Erörterungen ist es uns möglich geworden, die Formeln zu entwickeln, nach welchen aus den einzelnen Funktionsformen der zugehörige Differentialquotient abgeleitet werden kann. Wir beginnen mit y = f (x) = a x™ (n ganz und positiv).

Den Werten x und xx entsprechen die Funktionswerte y — axn und yx = axni und daraus entsteht:

= lim a

= lim a

/x? — xn\ V Xj — x /

n-2

(3)

Wird nun xx = x, so erhält man

Ru Ru

— naxn

(4)

Wird n = 0, so ist y = et, d. h. eine Konstante, und daher auch yx = a. Die Differenz Jy ist mithin gleich Null, und ebenso ist der Differenzenquotient Jy:Jx = 0. Geht man zur Grenze über, so folgt für

y = a = Konstante,    ^ = 0.

⁹    ’    dx

Die Richtigkeit dieser Formel lässt sich auch an der Funktionskurye nachweisen. Sie geht für y = a in eine zur X-Axe parallele gerade Linie über, deren Tangente in jedem Punkte mit ihr zusammenfällt. Deshalb ist a = 0, tang a — 0.

Wir zeigen zunächst, dass (4) auch für negative ganze Zahlen n gilt. Wir setzen:

y —    = ax~n (n ganz und positiv)

und finden ähnlich wie oben 1 1

dy

A = lim a

xxn

xn

dx

lim

— a . xin — xn xxnxn

xx-X

= lim -

xx — x

(Xxn~l -j- xxn~² 0? —|— ... —j— xn 1).

Wird nun xx=x, so erhält man, einem negativen n in (4) entsprechend:

= — nax~n~x.

Um den Gültigkeitsbereich von (4) noch zu erweitern, führen wir den Begriff der umgekehrten Funktion ein. Zu jeder Funktion y = f{x) ist eine andere denkbar x = <p (y), die so beschaffen ist, dass jedes Wertepaar (x, «/), welches die eine Gleichung befriedigt, auch der andern genüge leistet. f{x) und <p(y) stehen zu einander in dem Verhältnisse, wie die Funktionen (b) und (c) in den beiden Beispielen auf Seite 3. Man erkennt leicht, wie man aus der, die Funktion y = f(x) darstellenden Kurve zu der y — (p(x) darstellenden gelangen kann. Dazu ist es nur nötig, die ganze erste Figur um die Halbierungslinie des Winkels zwischen den beiden positiven Halbaxen umzuklappen.

Sind (x, y) und (x-\-Jx, y-\-Jy) zwei Wertepaare welche y = f(x) und x = (p{y) befriedigen, so ist identisch:

= 1.

Jy J x aix 4y

Da die Grenze eines Produkts gleich dem Produkte der Grenzen ist, so folgt hieraus:

(5)

lf'£=f(a:)-^(!/)=ÿ/-y==1

d. h. ist eine Funktion die Umkehrung einer anderen, so ist das Produkt aus ihren beiden Differentialquotienten gleich der Einheit.

Auch die Funktionskurve lässt die Richtigkeit von (5) leicht erkennen, da bei dem Umklappen die Winkel ß und a

71    7C

durch y?₁= — — ß und al==— — a zu ersetzen sind; des-

u    Li

halb wird:

dy dx

di'Ty^tang “■‘“S“.-¹-

Mit Hülfe von (5) kann jetzt nachgewiesen werden, dass die Funktion:

y = a ^/x = a xn (n ganz)

ebenfalls nach (4) differentiiert werden kann. Der umgekehrten

Funktion x = yn entspricht nämlich der Differentialquotient a

= — n yn an J

und daraus geht nach (5), übereinstimmend mit (4), hervor:

, i i~i

dy

—¹ = - n x    ,

— ax

dj/₌ 1 dx n

Ist speciell y = |/#, so wird

dy

dx

2 j/aT

Funktion einer Funktion. Wenn y eine Funktion von z ist, etwa y — f(z\ und z selbst wieder eine Funktion von x, etwa z = g(x), so folgt aus y = f[g{x)J, dass y auch eine Funktion von x ist. Zu den Werten x, xx mögen gemäss der Funktionsheziehungen die Werte y, yt und #, zt gehören. Wir setzen:

xx—x = d x, yx—y=dy₁ zx—z = zlz, dann ist identisch:

dy dy dz

dx dz dx und nach dem Satze von der Grenze eines Produktes:

(6)

dy dy dz dx dz dx*

Ist y eine Funktion von 0, und 0 selbst eine Funktion von x, so ist der Differentialquotient von y nach x gleich dem Produkte aus dem Differentialquotienten von y nach 0 in den Differentialquotienten von 0 nach x.

Beispiel: y = (aa;)² = z², wenn z = ax gesetzt wird;

dy

di-*⁰'

dz

dx

Aus y = a² x² erhält man denselben Wert.

Die Formel (6) erweitert sich dadurch, dass wir annehmen,

es sei:

y = f{u), u = (f{z), 0 = q(x),

indem man alsdann hat:

dy dy du dy du dz

dx    du dx du dz dx*

Jetzt ist es endlich möglich geworden, die Anwendbarkeit der Formel (4) auch für den Fall nachzuweisen, dass der Exponent ein Bruch, und die Funktion also von der Form ist:

y = a yjxP = axn.

Setzt man nämlich z = xP, so wird

y = azn,z = xP; j--

pxP~l

dy ^ ,,,n    d*

-    ' dx

dij

1-1

*-l

— a (x^)n n

V

• pxP~l =. — a x n

Hiermit ist die Gültigkeit der Formel (4) für alle rationalen Werte des Exponenten nachgewiesen, und wir können sagen:

Eine Potenz der Variabelen mit rationalem Exponenten wird differentiirt, indem man ihren Koeffizienten mit dem Exponenten multipliziert und diesen selbst um die Einheit vermindert.

dx

f'(x) = 12 x². fix) == — Qx~ii. f (x) = 6    .

f'(x) = -X “.

1.    Beispiel. f(x) = Axs

2.    Beispiel. f(x) = 2x

3.    Beispiel. f(pc) = 4a:²,

4.    Beispiel. f{x) = 2x

Die zusammengesetzten Funktionen. Werden mehrere Funktionen durch irgend welche Rechnungsoperationen mit einander verbunden, so heisst eine solche Verbindung eine zusammengesetzte Funktion. Sind zwei derartige Funktionen wie u = <p(x), v = ifj{x) zur Summe oder Differenz y = u±v verbunden, so ist Jy=Ju±Jv und daraus folgt durch Division mit Jx und Grenzübergang: dy __du dv dx dx+dx

Zur Erweiterung setzen wir v + w statt v und finden sofort:

y du dv dw

—--1---1----

x dx~ dx~ dx

Der Differentialquotient einer Summe von Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Summe aus den Differentialquotienten der einzelnen Funktionen. Der Differentialquotient aus einer Differenz zweier Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Differenz aus den Differentialquotienten von Minuendus und Subtrahendus.

Für das Produkt y = u.v ergeben sich folgende Beziehungen:

—8

-i

oder (u±v)' = u' + v'.

oder (tt + v + w) ' = îi' ± v' ± w'.

(7)

y -f- A y = (w -f- A u) (y -J- A v)

Ay = uAv-\-vAu-\f- Au Av, Au . Au Av J x ' A x J x

Jy

Ax

Jx    Uji + V

wlim

Au.. Av.. f- lim —— lim —— lim A x:

Ax Ax

da das letzte Glied der letzten Gleichung verschwindet, so hat man

lim

Ay

Ax

f- v lim

Au

dy

= u ^ -f- v ^ oder (u. vY = u v' 4- v u\    (8)

dx dx ¹ ax    '    '    w

Ein Produkt aus zwei Funktionen der nämlichen Yariabelen wird differentiiert, indem man den Differentialquotienten des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und den Differentialquotienten des zweiten Faktors mit dem ersten Faktor multipliziert und beide Produkte addiert.

1.    Beispiel: y = oćt. x**^= u . v\ u'— 3a;², v'=4a:⁸, y' = x⁴.3x² -j- x³.4x³ = 7a:⁶, ein Wert, welcher auch aus der direkten Form y = x¹ hervorgeht.

2.    Beispiel: y = {a-\-bx²)(c-\-cxz) = u. v; u'= 2bx, v' = 3 ea?²; y' = 2 b x (c -J- e x³) -j- 3 ex² {a -\- b x²) = 2 b cx -|- 3 aex²-\- 5 b ex*. Das gleiche Resultat wird erhalten, wenn man zuerst die Multiplikation ausführt und dann differentiiert.

Geht v in vw über, dann verwandelt sich v' in v'w-\-w'v und wir erhalten statt (8):

y' = (uvwY = VW.u' Ą- UW . v' —J— UV . w'.

Tritt an die Stelle des veränderlichen Faktors v die Konstante a, so ist v' = 0 und daher wird für y — au jetzt y — a u!’ oder (a u)' = a u'.

Der Differentialquotient eines Produkts aus einer Konstanten mit einer Funktion von x ist gleich dem Produkt aus dieser Konstanten und dem Differentialquotienten der Funktion.

ti/

Für den Quotienten V = — folgt:

y-\-Jy =

Jy =

Jy

lim

Jy

M —I- Ju v + Jv'

u-\-Ju u vJu—uJv

v-\- Jv V

Ju    Jv

v--u-

Jx    Jx

v(v-\- J v) ’

,. Ju v lim

v (y -j- Jv) ¹

Jv

nlim—-

Jx

Jx

dy

v (v -j- lim J v)    ’

v. u' — uv'

dx

v²

(9)

Der Differentialquotient eines Bruches ist gleich dem Differentialquotienten des Zählers multipliziert mit dem Nenner, weniger (hem Differentialquotienten des Nenners multipliziert mit dem Zähler, das Ganze geteilt durch das Quadrat des Nenners.

—; u' = 2 x. v' = v

-p •    . , x² — a²

Beispiel: y =-

cc et

, 2x(x — a) — 1. (x² — a²)

⁻----

Aus der reduzierten Form y = x-\-a entsteht derselbe Wert.

Einfacher kann der Differentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich

1,

= 1.

tl

y = -, so ist u = y.v, u = vyf —j— y v' ^

, u' — uv' u'- v

y = --— =-

V    V

Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun übergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung eingeführt worden ist.

±.v'

u' V — uv

V²

Bedeutet f (u, v) eine Funktion zweier Variabelen u, v, so kann die Differentiation entweder nach u vor sich gehen, wobei v als konstant angesehen wird, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Solche Differentiation nach einer der beiden Variabelen heisst partielle Differentiation, und ihr Resultat ist der partieller Differentialquotient nach u oder nach v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden 3 von dem totalen Differentiieren und schreibt dfiiiiv)

3 u

3 f{u, v)

— = lim

lim

f{u-\~ J w, v) — f(u, V)

~JÜ ’

Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y —    und hierbei u und v Funktionen von x, etwa

bestimmt werden. Zu

u = <p (#) und v = (p (x). Es soll

den Werten x und xx möge m, v, y und ux, vx, yx gehören. Dann ist Vi— V ₌ fiuyvj — ffav) xx-X

f(ux, vx) — f(u, t?t) 4- f(u, vx) — f(u, v)

Xj — X

xx — X

₌    — vi) nx—u

xx — X

f(u, vx) — f(u, V) vx — v

ux — u

vx —V

Lässt man xx zur Grenze x und damit uxl vx1 yx zu den Grenzen u, v, y gehen, dann wird

xx — x

lim

u j — u du dx'

xx — x

lim

vx—v dv ..

i lini

xt — x a x f(u,vx) — f(u,v) _ 3f(u,v) '

lim

Vi y_dy

xx — x

dx'

vx — v

dagegen ist die Grenze des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Nun erkennt man aber, dass

f(ux,vx) — f(u, vx) _ f(uvy) — f(ui V)

ux — u

ux — u

mit dx sich gleichzeitig der Null nähert. Die Grenze dieser Differenz ist also Null, und somit

ux — u

du

ux — u Daher erhalten wir

dy df(u,v) df(u,v)du.df(u,v)dv dy du .dy dv

dv dx dudx'dvdx'

Diesen Ausdruck nennen wir den totalen Differentialquotienten von y nach x. Wir sehen: Sind u und v Funktionen von x, und ist y eine Funktion von u und v, so differentiiert man diese total nach der vorstehenden Formel durch Verwendung der partiellen Differentialquotienten der Funktion nach u und v.

1. Beispiel: Sind u und v zu einer Summe oder Differenz verbunden, so ist y =f(u, v) = u±v.

dx dx

du dx

(10)

5Ï-¹’ U=±1 un(i

9f

~ =v

2. Beispiel. Ist y — f(u,v) — u.v. so wird

T,-* ÜS—ïi+Hlï (Vgl “ ⁸'>

= f{u,    so wird || =

df

du

3.    Beispiel. Ist y

u dy 1 du    u dv    vu'—uv'

v dx    v^dx

4.    Beispiel. Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem die andere Variabele v ganz fehlt, dann fällt in (10) dei

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist XL gleichbedeutend

df

dv v²’ dx

. (Vgl. Formel 9.)

mit XL oder

dy

du

du '

Für y = f(u)₁ u = <p(x) finden wir dann:

dy dy du dx du'dx'

(Vgl. Formel 6.)

Es erübrigt uns jetzt noch, zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aus den drei Funktionen von x, nämlich u = cp (x), v = ÿ (a?), w — q (x) setzen wir die Funktion y = f (u, v, w) zusammen, legen der unabhängigen Variabelen x die Werte x und xx bei, bilden die entsprechenden Funktionswerte :

u = (p{x\ v = (f)(x\ w = q{ a?), y = f(u,v₁w) ux=ip («J, vx=<p (xx), wx = q (aq), yx = f(u„ v„ wx) und daraus den Differenzenquotienten:

— V _ f(un vn wi) —f(u, v, w)

Xy - X    Xy - X    ’

den wir, um ihn zum Übergang zur Grenze geeignet zu machen folgendermassen umgestalten :

Vl — V _ f{UxyVXyWx) — f{Uy V yy W y) Uy U

Xy - X

QM, Vy, Wy)— f (U, V,Wy)Vy—V

Uy - U

Xy - X

f(Uy Vy Wy) - f (tty Vy IV) Wy ~W

Vy - V

Xy—X

Wy - W

Xy- X

Geht jetzt xx in x über, so verschwinden zugleich die Differenzen (yx — y), (ux — u), (vx — v), (wx — w) und die drei aus Differenzen der Funktionswerte bestehenden Zähler, und die Betrachtungen, welche oben zur Formel (10) führten, ergeben hier

(10*)

dy    df du^df dv.df dw

dx    du dx' dv'dx'dw'dx’

Algebraische und transcendente Funktionen. Unter den algebraischen Operationen versteht man die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und das Potenzieren mit rationalen, konstanten Exponenten. Wenn die unabhängige Variabele mit den konstanten Grössen nur durch eine endliche Anzahl solcher algebraischer Operationen verbunden ist, so nennt man die Funktion eine algebraische Funktion. Dabei ist es aber wohl möglich, dass eine algebraische Funktion auch durch eine unendliche Anzahl von algebraischen Operationen hervorgerufen wird. So ist ja z. B.

Dölp, Aufgaben.

l-\-x-\-x’i-\-...-\-xn-\- xn+¹ -]-...= lim S xk

»=oo k=0

eine algebraische Funktion. Funktionen, welche nicht algebraisch sind, heissen transoendente Funktionen. Insbesondere gehören hierher die Exponentialfunktionen e? und ax nebst ihren Umkehrungen lg x und Lga:; ferner die trigonometrischen Funktionen sin x, cos a?,... und als deren Umkehrungen die cyklometrischen Funktionen arc sin x, arc cos x,...

§ 3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen.

dx

7)    y--

8)    y = a-j-2Ja:-f-ca:

⁹)    y = - = ax

10) y= ®

-i

2)    y = ax

3)    y = ax-\- b

4)    y = a x

5)    y — 2 xs

6)    y = 4aa:5 5 a:³

„ =a „ = a „ =2 ax „ = 6x2 „ = 20 a æ4 —15 x²

„ = 2 ô -j- 2 ca: — a

a:²

Xh

2 \/ x _2 J.

' \ZxP~n

11) y — \/~x — x^

12)    y = ^/x² = a#

13)    y = ^/7p

14) y = ~: = x

y x

Hw

l/x³

15)    y=^4-

16)    y = xs[fx

f) x³

Su,l

H l'ä

toi -o

20

•|/æ®

17) y

x³[/x

toi -3

l/x⁹

18) y =

[/ X

x²^/ x

11 1 6

19) y = x^/x\fa

■Vx‘

(/tvi

ni

Die nächstfolgenden Beispiele werden durch Einführung einer Zwischenvariabelen e nach der unter (6) angeführten Formel differenziert:

21)    y = f{z), z = <p{x)

22)    y = (a-\-bx)² = z²

23)    y = (a — bx)³

24)    y= (a-\-bx²)²

25)    y = (a — bx³)*

26)    j/ = (a + æ²)s

27)    *,=

(«- )

dy dy dz

dx    dz dx

„ = 2 ft (a -f- ft x)

„ = — 3 ft (a— bx)2 „ = 4 6 x (a -\-b x²)

„ = — lbbx²(a — bx³) „ =6x(a-{-x²y 3 (ax— l)²

28)    i/ =—= (« —{— & a; —{— c x²)n

29)    y

—

ci-\-bx

-l

„ ==w(a-|-Ja:-|-ca;²)n—1.(^-{-2ca;) — b

(a -j- b x)‘

30)    y =

31)    (/ =

32)    y = p

{a — bx²)³

(1 — x)³

6b x

{a — bx²) pnxP~l

(1-#

33) y = [/a -f- b x = ^

dy

dx 2 [/a -f- b x

34) y = [/2px

|/ 2 p x

35) y = |/7^

/»

36) y =

\/ a —~~& x 37) y — [/a — bx²

2 |/ (a — b x) — b x

38)    y = |/2 « a; —{— x

39)    y = \/ 1 — x*

[/a — 5a?²

|/2 a x -|- Xe1 -2x⁸

” ~ |/T=^

lj/g —X—j/fl-fx [/a² — a;²

41) y

[/2 ax — x²

42) y =

>7(2 —a;⁸)

\/(2 ax — x²) 4 a;²

⁼ y(2-x*y

43) y

\J {x—d)

44) y =

ï/(a + bx)r

4 >y(a; —a)7 P

n —

n \Z{a-\-bx)P+n‘

Bei den folgenden Beispielen kommen ausser der angeführten Substitutionsformel auch die zwei folgenden zur Anwendung:

45) y = U.V

dy du . dv dx V dx'U dx

du

dv

46)

47)    y = (a² -f- x<î) («² — æ⁹)

v²

« = — 4ar

48)    y = (a -j- b x) (g — b x)

49)    y = { 1 — 2 a;) (1 + 3 a;)

50)    y = a:⁴ (g — 2 xs)²

51)    y = (g + x) y a— x

dy

dx

= — 2 b²x

52)    y = a; |/l —f- a?

53)    y = x¹ j/g — a;

54)    y = x\/l —a;²

55)    y — ~|/g² + a;²

56)    y

„ =1 — 12 x

„ =4irs(a — 2xz)(a — 5 a;³) a — 3 a;

2 j/a — a?

2+3 a;

2|/l —1— a?

4 g a;— 5 x²

2 j/g— a;

_ 1 —2 a;²

|/i — a;²

— g⁸

æ² + 2 a; -f-1

a;⁸ — 1

x²\/a²-\-x²

a;⁴+ 4a;³—{—3cc²—|— 2a+2

1—a;

⁵⁷^ = ï+^

— 2x²

(a;⁸    1)

58) ÿ = -

(1+*)'

— 6 x

2 —a;²

V59)    =

60) y

x² — 2 x -(-3 x² 2 x — 3 (g -f x²y

(2 — x²)2 Ax(oc — 3)

⁼ (x² + 2 a; — 3)2 __ 6 x (a -f- x²)² (b -f- a x)

61) */ =

(J —a:³)

1+|/®

(b — a;⁸)⁸

1 — \Tx \/a-\-bx

j/x (1 — (/a?)

62)    y =

63)    y= . X

i/ï+^

g + &a; — ô a;

64) y =

65) y

2a-\-bx

a;

2 a:² l/g^f-ô a; 2 + a;

•    2(/(l+4

(g — b x)

a -f- b x

2g + 3a;

xy a-\-x

2x²[/(a-\-x)

|/Z*_

K x² —a²

ar-f- a*

67) î/ = (x + |/l + æ)²

2 j/a; (a;²— a²)3 __ 2 -J- 3a;-|- (2a;-f-1) [/l-j-x

§ 4. Die Differentialquotienten der trigonometrisc

217) f =

Weitere unbestimmte Formen. Die Funktion y — nv, w

BD = x, BE=y, BA = c, BC—a;

hl (Xl -x) + fJMÀ=Î^È (ÿi _ y),

(x — p—qi) (x —p-\- qi)

Die Gleichung: xnĄ-1 = 0, oder æ = — 1 wird wieder

g _ 2j/c(æ— a)(#—~ß)   2|/a-f- 2 5ic —|— c.-r2

r dx

2/ = 0; Tg.: r2 = o.

Fig. 16.

¹

= cotg X

²

y — arc sin x

Dölp, Aufgaben.

§ 4. Die Differentialquotienten der trigonometrischen und eyklometrisehen Funktionen.

Um die Funktion y = sin x differenzieren zu können, erinnern wir an zwei einfache geometrische Sätze:

Fig. 2.

Ist ABO in Fig. 2 ein Kreisquadrant, so wird CD <^GB <^GEB für jeden Punkt G zwischen A und B, dagegen GD = GB=CEB, wenn G mit B zusammenfällt. Daher ist sin a a für kleine Winkel GOB = a.

D B Fig. y.

Ist MUVS in Fig. 3 ein beliebiger stets konvexer Bogen und sind MN, NP, PQ, Q R, RS Tangenten an ihm, so wird

MNĄ-NP+ PQ + QR + RS<MT-f TS und zwar bleibt diese Beziehung richtig, wie viele Zwischentangenten auch zwischen M T und S T gezogen sein mögen. Lässt man die Anzahl der Zwischentangenten ins Unendliche wachsen und die Berührungspunkte aufeinander folgender Tangenten näher und näher an einander rücken, so folgt, dass MUVS<MT+ TS wird. Fällt M mit S zusammen, so wird M U VS = MT4- TS.

Bedeuten daher CG und GB in Fig. 2 Tangenten in C und J5, so ist C E B < C G +G B < F G-\-G B = F B, d. h. a ^ tanga, wobei sich das Gleichzeichen auf den Winkel a = 0 bezieht.

Man hat daher

sin a a, a cos a sin a,

a cos a ^ sin a < a,

__sin a _ .

cos a    1.

Lässt man a zur Grenze 0 gehen, so wird in diesem Ausdrucke die linke Seite = 1, und demnach:

lim

1.

sin a

a = 0    «

yx = sin xt,

Nach diesen Vorbereitungen setzen wir: y = sin x

yx — y _ sin xx — sin x_2 cos \ (x₁ -f- x) sin ± (xx — x)

X₁ -X

xx-X

Xj -X

sin (xx — x)

ł(*i— x)

= cos \ (xx -J- x)

Geht man zur Grenze xx = x über, so wird der letzte Bruch nach dem soeben Dargelegten gleich 1 werden. Man bekommt deshalb:

dy    d sin x

dx dx

— = COS X.

(U)

Der Differentialquotient von sinx ist cosx.

Auf die nämliche Weise wird auch der Differentialquotient des Cosinus hergeleitet. y = cos x

Vi — y

Xj -X

yx = cos Xj,

_ cos Xj — cos x_— 2 sin \ (xt -(- x) sin \ {xx — x)

Xj -X

= — sin ^ (Xj -j- x)

sin ^ (Xj — x) _

X₁ — X

ł(Xi -x)

dy_daosx

dx dx

Der Differentialquotient von cosx ist — siux.

— — sin x.

Übrigens kann diese Formel auch aus der vorhergehenden abgeleitet werden, da y — cos« = sin

7ü

wenn z — — — « gesetzt wird. Da nun . .    . , dy

ist, so wird -zr- = — cos z — — sin«. a x

dy

(H

= sin 2 ist

dz

dz

= cos z. -=— = — 1 dx

Die Differentialquotienten von tang« und cotg« ergeben sich aus den vorhergehenden auf die einfachste Weise: sin« . dy cos²«-f-sin²« cos²«

y = tg«

V= ctg «

cos«' dx cos« dy —sin²« — cos²« sin« ’ dx

sin²«

Aufgaben:

cos²«’

sin²« ’

(13)

(14)

68)    y — sin (ax) = sin z

69)    y — cos (ax)

70)    y = sin —

a

X

71)    y = a cos —

a

72)    y = sin («n) = sin z

73)    y = cos \/ax

dy

— = a cos (ax)

„ = — a sin (a«)

- • cos —

„ — nxn~¹ cos (xn) a sin |/a «

2 \/ax

74) y = a sin —

a²

7)

75) y = a cos —

-2 • cos-«“

a . 1

—s- • sin -

X¹ X

76) ?/ = sin

VI

n = -7= • COS

2 j/«⁸

VI

77) y = tg(a«)

cos²(a «)

TM

O»

atëa

dx

cos²

79) y =

, a

atg-

x

86) y

sin (a-\-bx) = sin£ cos (a — bx~) sin² x = z*-cos² (ax)

2 sinM (ax) a

cosw —

X

¹ - = sr-1 sina;

°lL ¹

x² „a cos² — x

„ = b cos (a -\-bx)

„ = 2bx sin (a— bx²)

„ = sin (2 a?)

„ = — a sin (2 ax)

„ — nasinn~²(ax) sin (2 ax)

„ T a . a • cosn —1 — smar x

a;²

cotga?

sina;

87) y =

(—)"

\COS X J

n sina; cosM+¹ x

89) y =

1 .    ,    . x

— sm x -f- sin —

U    i

~ cos 3 x — \

3 a;

„ = cos —cos — 4    4

12

— cos a?

— — • cos 2 a? sina;

} 90) y =

91)    y =

92)    ÿ =

tg a? — cotg x 3 sina? — 4 sin³a?

2 sin²a?    4 sin⁴ a?

” sin² (2 a?) „ = 3 cos3a? cos³ a; sin⁵ a?

2 sin²

1. 93) y —

f tga?

cosx sina? cosa?

fl

cos² a;

H Ica

(1 — cos 2 a?)2 2 cos²(a?-|-a)—cos2a?    „

(x tgx) 3sina?cos²a?4- sin³a?

= cos 2a?

== 16 sin³a?cosa?

== — 4cos(a-|-2a?)sina sin 2x-\-2x

= xtgx

cos²æ

= 3 cos x cos 2x

99) ?/ = (4sinx—8sin⁸x)cosx ^~ = 4cos4x

„ = 6cos2x— a sina; „ = sin(a — 2a;)

2ab sina;

”    (a-f- b cosx)²

— 1

”    cos²(45°-f-x)

_ sin⁸x— cos⁸a;

” sin²xcos²x

100)    y — (a -f- b sinx) cosx

101)    ?/ = sinxsin(a— x)

102)    ?/ = -

— & COS X

*103) y

a-\-b cos x sinx-j- cosx

sinx — cosx

sinx -J- cosx

104)    y

105)    ?/ = sinx— xcosx Die cyklometrischen Funktionen sind die Umkehrungen der trigonometrischen; deshalb lassen sich auch ihre Differentialquotienten aus denjenigen der trigonometrischen Funktionen durch Umkehrung ableiten.

sinx cosx

„ = x sin x.

1.    ?/ = arcsinx

ist die Umkehrung von x = sinj?. Nun ist:

^ = cos?/ = \/l — sin²?/ = |/T — x

dy

und daraus entsteht:

dy

dx j/l — x²'

2. y — arc cos x gehört zu x = cos y. Da nun:

~ = — sin?/ =—j/l — cos²?/ = —|/l — x

(15)

ist, so folgt:

dy

|/'l — x²

Kürzer ist die folgende Ableitung:

dx

(16)

dy

n

|/l — x² '

Es ist x = tgy,

dx

dy

durch Umkehrung:

dy

dx 1-f-Æ²*

4. y = arc cotg#.

7T

Aus y = — — arctgæ erhält man leicht:

U

(17)

dy

1-fz²*

Die Ableitung wäre auch so möglich: y — arc cotg x

dx

(18)

= arctg—= arctg#, wenn z = —. x    x

— i und

dz

Nuai8tff=r+?’ 3i 1 — 1 dx~~T+ài‘1iïr

dy

Aufgaben.

X²

1 + *²'

106) î/

= arc sin (ax)

dy

dx

a²x²

107) y

= arc cos (a — x)

108) y

— arc sin

a² — x²

l/l — (a — x)2 — 2a

a² -\-x

”    a²-j- a:²

109) y

= arc sin —

x\/x² — 1

110) y

/ni) y

= arc sin j/l — x²

6 -f- a cosæ a -\-b cos x

= arc cos

”    i/r=^

_ /a² — b2 ”    a 4- 6 cosæ

112) y

88

30

j/2 ax — a²

113) y

ga

OC

l»C> I Ö

l/a — & x²

\ 114) y = arc sin ^

’ *    j/l+œ²

dy

dx l-f-3?²

115) y = arctg^/aa;

2 (1 —j-ax) \/ax

116)    y = arc tg —

U/ Jj

117)    y = arctg—^

118) y — arc tg J^/

1 — x ï -j-a?

119) y — arc cotg (/2 — x

*    2 |/l — ²

2(3 — æ)j/2— æ

120) y = arc cotg

|/1 —a:²

/ï+^-1

” |/r=*

121) y = arc cotg * 122) y — arc (cos = sin æ) 123) y = arc (tg = m tg a;)

a?

m² -j- (1 — m²) cos² x

124) y = arc cotg -^=r [/a;

t 125) y = arc ( tg = a tg ^

2 (a? —}— l)j/îë

ła

^ 126) y = a. arcsin

|/2 a« — æ²

—---j/2

«a; — a;

dy

dx

127) y = |/ax — x² — a.arctg

V-/

j/2aæ— a;²

dy

dx

128) y = (x—-|-arctga;).arctga; „ =

x-j-x² arc tg x

1 —j— a?²

§ 5. Exponential- und logarithmische Funktionen.

In der für positive ganze n gültigen Binomialentwickelung:

nn—ix² . nn— ln — 2a;³ .

2    n*' 1    2

3~»‘ ⁺ -

schreiben wir die rechte Seite:

xn

1.2.3 ...n

Wir haben die Absicht, n ins Unendliche wachsen zu lassen.

Also

P,n-

Da aber der Satz, dass die Grenze einer Summe gleich der Summe der Grenzen der Summanden ist (S. 6, letzte Zeile), nur für eine endliche Gliederzahl gilt, während hier mit wachsendem n die Anzahl der Glieder ins Unendliche wächst, so können wir den Übergang nicht direkt vornehmen. Es sei p eine positive ganze Zahl < w, und der absolute Betrag \x\ kleiner als p. Wir brechen die Reihe hinter dem Gliede mit xp ab und bezeichnen den Rest mit R

(i + |f

+K)£+H)(‘-!)ö, (-3(-3-(

= i+?

xp

1.2.3...

~~\~ Rp,n- (A)

liegt zwischen der Summe aller folgenden negativ genommenen und aller folgenden positiv genommenen Glieder. Für seinen absoluten Wert gilt demnach \x\p+¹

Der Rest R

P, n

\Rp, »I ^

| x\p + ²

f-+

1 x\p + '

1.2...0+1)

1.2...(p+2)

['+(Æ)+(Æ)'+-]

1.2 ...n

Die Summe in der letzten Klammer kann beliebig weit fortgesetzt werden. Da \x\ < p ist, so folgt hieraus durch Summation der Reihe als Wert des letzten Ausdruckes

Wir haben demnach

\x\p +¹

(B)

1.2.3...(p +1) t_

I4-+¹

2> + l

0 < |Rp, n| "'C

P~\~ 1

Aus dieser Form erkennt man, dass (B) zwei für jedes n>p gültige Grenzen von \RPi n| giebt. Denn die linke wie die rechte Seite der doppelten Ungleichung ist von n unabhängig. Insbesondere gilt (B) auch noch für beliebig grosse n. Lässt man also die Zahl n in (A) über alle Grenzen hinaus wachsen, und bezeichnet den Grenzwert lim Rp>n

n=oo

so kann man jetzt bei einer Summe von p Gliedern die Grenze der Summe durch die Summe der Grenzen der Summanden ersetzen und bekommt

=¹+f+o+dh+---+

o < IĄ.I <

XP

1.2 ...p

+ 22*, (C)

\x'f +¹

\x\

(D)

p-\-¹

In (C) wollen wir nun auch, nachdem die rechte Seite von n frei gemacht ist, den Wert von p über alle Grenzen wachsen lassen. Hierbei geht für jedes endliche x der letzte Bruch in (D) in den Wert 1 über, und den zurückbleibenden Teil der rechten Seite von (D) können wir, wenn Tc^\x\<Ck-\-l ist, in der Form

(J±)

U+i/

Mk

p-fc+i

1.2 ...Je,

1.2 ...Je

P = oo

schreiben. Der erste Faktor rechts ist endlich; der zweite wird sich mit wachsendem p als Potenz eines echten Bruches dem Grenzwerte 0 nähern. Folglich ist lim Rp — 0, und wir haben die Entwickelung

nL“(¹⁺n)-1 +

« ji-l

a:²

1.2.3

(E)

1.2

ftlr jedes reelle, positive oder negative x in Form einer konvergenten unendlichen Reihe.

Den Zahlenwert dieser Reihe für x — 1 bezeichnen wir mit e und setzen

„hjn«(¹⁺s) ⁼¹+¹⁺r2⁺r^⁺"'

Weil nun die rechte Seite > 2 und

< ¹ + ¹ + T,22+2* "f⁻‘ ■ < ³

ist, so muss der Wert von e zwischen 2 und 3 liegen. Wir finden

e = 2, 718281 828459...

In (E) ist n als ganze Zahl zu denken. Bedeutet x eine ganze, positive Zahl, dann kann man in dieser Formel n durch nx ersetzen, und hat:

lim

(¹ -Hü)* - lim t¹    Hm (:¹+s)

nx

M-drf

= ex,

wo der Übergang zur letzten Grenze möglich ist, da die Grenze eines Produkts der endlichen Faktorenzahl x gleich dem Produkte der Grenzen ist. Für ganze, positive x gilt sonach

= lim ( 1 —[—    )

n=oo V    /

Z⁸

_i₊£₊-£Lj T 1t1.2 '

Ist ferner y eine ganze, positive Zahl, so kann man n hierin durch ny ersetzen, und hat:

« 1 ss

1.2.3

f- (F)

e* = lim

(■+:)-« +1)?

/    * \ n

ey = lim I 1-4--M .

n=oo V    n )

(F) gilt daher für jedes rationale, positive x.

Schliesst man endlich die positive, irrationale Zahl x zwischen zwei rationale Brüche ein so wird

»-<44+-

Al

Al Ï5H

+■ ■•<¹+r+r₂

1.2

und daraus folgt, wenn man die Brüche von beiden Seiten her der Grösse x immer näher kommen lässt, die Gültigkeit von (F) für jedes positive x.

In derselben Art kann man für positive oder negative x behandeln. Man übersieht sofort, dass, wenn in (B) — an die

Stelle von n tritt, der Rest \RPi n\ für jedes p bei wachsendem n zu Null wird, so dass beim Grenztibergange von (Ä) zu (O) nur das erste Glied 1 übrig bleibt. Es wird daher für alle positiven und negativen x:

„L” i¹⁺i) ⁼¹-

Daraus folgt, wenn man für x einsetzt —x²:

lim + lim (l — -Y = lim (l —

n= oo \    n / n=oc\    n / n=cc \ n /

d. h.

oder

e* lim (l —-V

n — cc \    n )

„¹L“(¹+^r)n

= e~x

Die Formel (F) gilt daher für alle reellen Zahlen x. Soll jetzt die Funktion y = e* differentiiert werden, so gehen wir von

y -j- dy = ex~^^x, y — dy — ePÇc^x—1),

Ax

(^)

aus. Setzt man e^x — 1 =

, dx —

so wird:

dy

eâx— 1

dx

n\g

Lässt man nun dx zur Grenze 0 gehen, so wird n über

alle Grenzen wachsen, und lg Man hat daher

(■+)'

tH I §

wird zu lg e=1 werden.

dy

dex

(19)

dx dx

Wenn man auf der rechten Seite von (F) jedes einzelne Glied der unendlichen Reihe differentiiert, so kommt dieselbe konvergente Reihe wieder heraus. Es wäre also in diesem Falle erlaubt gewesen, die Differentiation der unendlichen Reihe gliedweise vorzunehmen.

Die Logarithmen für die Basis e, welche wir durch lg bezeichnen (vgl. S. 18) sollen aus Gründen, die erst später dargelegt werden können, die natürlichen Logarithmen heissen (vgl. Aufgabe 424).

Um die allgemeinere Exponentialfunktion ax zu differenzieren, setzen wir a — em und haben alsdann m — lg a, d. h. es ist m der natürliche Logarithmus von a. Da nun y = emx=ez1 wenn mx — z gesetzt wird, so findet man

= m und

dy

dz

dz

dy

dx

dx

— me² — memx — ax\ga. (19a)

Die Differentialquotienten der beiden logarithmischen Funktionen gehen wieder durch Umkehrung aus den vorhergehenden hervor. Ist:

y = \gx,

dx

0,

dx ey

so ist x = ćy

Ebenso gehört zu der Funktion:

V = Lga; cl 00

die Umkehrung x — aV, und = a^lga, woraus dann:

dy

(20)

dy

dx a^.lga lg a Aufgaben.

(20 a)

129)    y = eax — ez

130)    y — e

X

131)    y — aea

132)    y = exx

133)    y = e²^ax

134)    y — e

135)    y = eain'x

136)    y = e&TGtsx

137)    y = x²ex

138)    y = ex(x—1)

139)    y = exxn

140)    y — {x² — 2 x -f- 2) ex

/ X    _    2

*Vl41) y — a\ea -\-e °/

142)    y — G08xesinx

143)    y = e2xsin²x

fX

144)    y = —

— ax

COS X

Xn

dy

-=- = ae dx

ax

= — ae

—ax

V = ea „ = 2xexx

ae2\/äx

„ = — sin a: ecos *

„ = sin 2xesin2x

g arc tg x

” ⁼ï+^

„ = a; e® (2 -}- x)

11 ⁼ % G⁰⁰

„ — {xn) ex xn~l „ =x²ex

/ 2x _2x\

„ = 2 ' e a — e a /

„ = (cos² # — sin a;) e „ = e2;c (2 sin² x -f- sin 2 x) ex (x — n)

sin x

145) y

ex— 1

2ex

146) y =

e*-f-l (a: — n)

(«“’+l)

e* [a; -f- (a; — n)²]

xn

xn + ¹

147)    y = [/ë^x

148)    y = ÿ'x{ex-\-l)

S «g

toi a

j/e«®

149) y = aVXir+¹

2 |/æ (e®-f-l)

Æ aX/axr+l a

|A²-fl

150)    y = atex

151)    y = (amx-\-b)P

152)    y = ax.xP

153)    y = \g(a— x)

atga;lga

cos² a;

» = 2? (amæ-[-5)^—¹amx m\ga n = axxa~¹(a-\-x\gà)

154)    y = lg (xn) = n. Ig x

155)    2/ = lg^=— \gx

156)    y = \g(ax) = \g -\-\gx

« 11-¹

157) y — (lg x)n = zn

n( lgæ)M_1

158) y = \g

\a-\-xJ

a-f-x

159) y — lg x -J- \gx² — 3 lgx

« i OJ

160), y = lg (1 — x²) = 1 g z

2x

T)

161) y = lg

(■+)

x (a-\-x)

162)    î/ = lg(a — |/ô)

163)    y = \g{emx-\-e~mx)

164)    y = lg {x -f- j/ï~4- a:²)

2 (x — a /x) m (e

mx

— mx

emx^re

—mx

j/l -j- a;²

3*

165) y = x— 2 {/~x -f- 2 lg (1 -}- j/a;) a-\- [/a² — x²

Bi

166) î/ = lg

167)    y = lg (a -f- 6 e³³)

168)    y=lsj7fe⁼~

169)    y = 1g|/2 ax— a;2 17°) y=, Igi±|

171) ÿ =

a: J/a² — a;2 Je³⁷

” — a -f & ex

llg(l + r*³)

l+a;²

2 a#—a;²

1 — a;²

*n

a-\-x

— a:

a² — a;²

m) Vr=i*

173)    2/ = — lg'

00

174)    » = lgj

175)    ÿ = 3;(/a²+a;² + lg(æ + (/œ² + *²)

— aV*

dy

x(l— x²) 1— lg«

aV^lga

|/æ

\1—a2V 33 /

dy 2 a;² -{- a² -f-1

|/a² -f- a;²

176)    y = lg(a -f-a;-f-j/2aa;-J-a;²)

177)    ÿ=2lg(^-a²)+-lg^    ■

179) y = i¹gjî^Y + iIgf^J + iaT«tS*

178) y

$a;

\/'2ax-\-x'²‘ mx-\-n x² — a²

„ == a; lg (1 —j— a;²)

dy_x² — 3 a;

dx

a;⁴ — 1

180) y = lg (a? — 1) -J- 3 lg (x + 1) + lg (a;²-f 1) -f 5 arc tg x

dy 6 xz -[-3 x²-\- 2 x—7

181) y

1    \/a-\-bx—\/~ä dy

j/a    bx-\-\/ra dx

x |/a —J— ô x

¹⁸²⁾

183)    y-1

184)    y =

185)    y = lgsina;

186)    y — lg cos &

187)    y = lgtga?

2 a:²

a;⁴    14-«

» (1 — a²)

1+rr²

x²

a;2 Sl—x

x* 4-1, 14- x —S— Ig T-¹— *0 1 -

1 — x-\-\ g X

(1-s)²

„ = cotg X » = — tg«

sin2 x

188) y = \g cotg#=lg tg

189) y = lgsin

= lg sin#

[ V

I cos I

toi «

190)    y = lg

191)    y = lg sin j/a-J-& a;

sin 2 x a

» = ^2 cotg * x

” “-*«2

(^-a)

2\/a-\-bx

cotg \/a-\-bx

192) y — lg cos

v\

193) y = \g

/ a + &tga;\ \a — b tgxj

2 ab

a² — (a² -|- b²) sin² a;

dy

194) y = lg tg x -j- lg cos x = lg sin x — ==cotga;

f (*)

f(*)’

195) y — \gf (x) = \g z

Der Differentialquotient des natürlichen Logarithmus einer Funktion ist gleich einem Bruch, dessen Nenner die Funktion und dessen Zähler der Differentialquotient der Funktion ist.

Funktionen von der Form y = f(u, v) = uv, worin u und v Funktionen von x sind, werden nach Formel (10) differentiiert.

dv

dx

du

«9 f

Es ist dann —L = vuv~

¹    ^ = uv lg w, und

dx

1. Beispiel: y = (ax)mx-, u = ax, v — mx\

du

dv

dx

a’Tx = m'

dy

dx

m (a x)m x (1 -j- lg x -J- lg a).

2. Beispiel: i/ = (sin;z)

COS X‘

du

dv

dy

3- = ^)

COS X — 1

^ = cos x, ^ = — sin x\ (cos² x — sin² x lg sin x).

Derartige Funktionen können etwas bequemer behandelt werden, wenn man beiderseits den Logarithmus nimmt und sich erinnert, dass eine Funktion von y₁ wenn y selbst eine Funktion von x ist, in der Weise nach x differentiiert werden kann, dass man dieselbe zuerst nach y differentiiert und diesen Differentialquotienten noch mit demjenigen von y nach x multipliciert.

l + lg^;

3. Beispiel: y    \gy = x\gx]    =

<^ = (l + lgx)y = xx{l-\-\gx).

4. Beispiel: y —

; \gy = x(\ga — lgx);

dy

dx

(Iga — Iga — 1).

t¹?)

5. Beispiel: y =

dz

dx

1 dy x²’ dz

6. Beispiel: y

X/-Z.

7. Beispiel: y — J/

1 dy

x’ dx

(fC^)

8. Beispiel: y ==(a-{-bx)x]-^~

->dy_(q+&a?)a?

9. Beispiel: y —

10. Beispiel: y = (arc tgx)x;

^ = (arc tg x)x ^lg arc tg x

(l/l)'!

___i_y

arctga: l-\-x²/

§ 6. Unentwickelte Funktionen.

Die Entwickelung der Differentialquotienten war seither an die Voraussetzung geknüpft, dass die Funktion explicite in der Form y = f(x) gegeben sei. Sind dagegen die beiden Variabelen in der Weise mit einander verbunden, dass eine Funktion von beiden gleich Null gesetzt wird:

f(x, y) = 0,

so ist (vgl. S. 3) y eine unentwickelte oder implicite Funktion von deren explicite Form y = <p(x) zwar durch f(x,y) = 0 bestimmt ist, im allgemeinen aber nicht angegeben werden kann, weil uns die Mittel fehlen, f(x,y) = 0 nach y aufzulösen. Aus diesem Grunde muss das Verfahren, den Differentialquotienten zu bilden, in solchem Falle wesentlich modifiziert werden.

Die Formel (10), S. 16, lautete:

dy dy du , dy dv dx du dx

y = f{u, v);

wobei u und v Funktionen von x waren. Setzt man insbesondere y = 0, so heisst dies nur, dass die Funktionen u, v die

/7 y

Gleichung f(u,v) = 0 stets erfüllen sollen. Dann wird ^ = 0 und man erhält:

dv dx’

dfdu .dfdv ’ d u d x' d v d x Nimmt man ferner u — x und setzt statt v als neue Bezeioh-

du

nung y ein, so hat man, da — = 1 wird:

f(x* v)⁼ 0;

Sf

dy

dx

dx

Sf

(22)

dy

1. Beispiel: f—x²-\-y²— r² = 0. Man findet direkt: (L u

2x-\-2y-^ — 0, und daraus — —

oder nach (22): || = 2*, f£ = 2y, %

Aus der hier darstellbaren entwickelten Form: y = j/r² — x² entsteht:

dy

dy

2. Beispiel: f=ÿn—x? = 0; wy⁷*

dy_px?~

d x nyn

|/r²— x2 da:    =

„ «— i

dy

•⁴

n~¹ n

Nach der Formel (22) giebt es:

d f

PxP~\ Jj = nyn~

ôf

pxP~l

i dy_

’ dx

Will man die bei Funktionen in der entwickelten Form Yorkommenden Nenner, Wurzelzeichen und dergl. vermeiden.

dx

nyn~l

usw.

dy

so geht man zu den unentwickelten Formen über. Statt ^ wird gewöhnlich y' gesetzt.

3. Beispiel: y = -07=7, f= y?,x² —1 = 0; 3y²y'x²-\-2y³x = 0. v x~

2

V =-Z~x' oder:

--ö-;=r, wie auch durch direkte Ab-

3^⁵’

leitung aus der entwickelten Form.

■vi

4. Beispiel: y =

a-j- bx y²_a-\-bx

— bx’ x²    a — bx’

f= bxy² -|- 6a;³ — ay² -f- aa;² = 0; öt/²-f-2&a;yy'-{- 3Ja:² — 2ayy -\-2ax — 0,

,_by² -\-3bx- -\-2ax

y    2ay — 2bxy

5. Beispiel: y = Vx-\-l/l-j-x², oder f=yK— 2y²x—1=0; 4 y Y — 4 yxy’ — 2y² = 0, ' y'

Vx -j- j/l    x

2{y² — x)

2 |/ï -j- x²

Aufgaben.

dy

6²a;

dx

a-y

al/a² — a;² ’

198) y

(* + <*)*.

(x — a) -

|| = y’-3(* + «)

f=y²(x — a) — (x -j- a)³ = 0:

. df

<?y

= 2y(x — a)

<5-| Ö

dy _ 3(a;-|- a)² — y

da; 2y(a;— a)

199) f=ax-y — xy =

0- *£ ’ dx

apc y lg a — yxy~¹,

df

dy

— — ax~y lg a — xy lga;

- 200) f— sina; — cos y = 0,    ^

dy _x\ga — y dx x\ g(ax) cosx

sin y

— 1.

Qj, cv>

. 201) f — e^+y — ax = 0;    =* eP+v — axlga,

dæ=_1+ls“-

202) f= eax+by — c = 0;    ~^ = aeax+by,

. Aus der einfacheren Form: ax-\-by = \g c folgt das gleiche Resultat.

y> 203) f=(<?-l)(e»_1)_1_0, |/ = «*(a»-l),

204) f = ay — g\A—» = 0;

A== e*+y,

'U

dy

dy

dx

df

<??/

ev — \ e? eP° —T ' &

e\/b — x

df

dy

= beax+by

ex

df

dy

2\fb—x> dy

— a,

dx 2[/b — x 205) f=cosx — #cosy = 0; ^ =— sin# — cos?/,

df

—- = xsiny,

dy_sin x-\-cosy

æ siny

206) f— y {x-\- sin x) = 0; man erkennt leicht, dass die so gestellte Aufgabe uns lediglich auf dx = 0 oder dy = 0 führen kann. Denn das f verschwindet nur, wenn entweder y — 0 oder x -j- sin x — 0 ist.

df

207) f—xsin(&—y)—(ic—(—y)=0;

^=sin(a;—yH-æcosO»—y)—1,

—«cos(®—y)—1, dx

dy sin(a:—y)-j-a;cos(a;—y)—1

x cos (x — y) -f-1

In den folgenden Aufgaben sollen die partiellen Differentialquotienten nicht getrennt entwickelt, sondern es soll unmittelbar nach der Formel differentiiert weiden:

f{x, y) = 0,

H+|/î—

209) /• =

208) /*= y² — 2px = 0;

2yy'-2p = 0, y' = f.

1/

&y

y' = —

210) /■= arcsin — — lg# = 0; y

ay — yj/y²—a²

a*

j/y²— æ² yj/y²—x

—=0,

y' =

211)    f= y² -\-x² — (aa?-}-6)² = 0;y y'-f-#— a (a#-}-&) = 0.

212)    /'=(a;_«)24_(2/_/9)2_|_2Aa;y = 0;

{x — a -f- A y) + (y — /? +1 x) y' = 0.

213)    f=y²(x² — 1) — aæ² = 0; y(æ² — l)y'-\-x(y²—a) = 0.

214)    /■=(aæ-[-&y-|-c)(a^-}⁻^y"V?/) — m^² — ny² = 0;

(a -f ô y) (a a -f- /9 y -f- y) -j- (a -f ß y') (a x -}- b y -f- c)

—    2 mx — 2 ny y' = 0.

215)    f= {x²-\-y² — 1) (ax-\- b y) — mx² — ny² — 0;

2(a + yy') {ax-\-ly)-\-{a-\-by'){x²-\-y² — 1)

—    2 m æ — 2 n y y' = 0.

216)    /*= (1 — ax)(x²-{-y²) — 4 = 0;

— a {x² -f y²)-J- 2 {x + y y') (l — ax) = Q.

x²

217) f =

= 0.

218)    f= (x²-\-y² — ax)² — a² (x² -}- y²) = 0;

(æ² + y'² — a x) (2 x + 2 y y' — a) — a² (x -f- y y') = 0.

219)    f=x²y² — (a² — x²)(y-\-b)² = 0‘

£y²-f-«²yy' + z(y + &)² — (y-f-&) y' (a² — x²) = o.

220)    f=ax—ex-y= 0; oFlga—e*-3/-j-e*-2y=0, y'=l—lga. Einfacher so: #lga = a:— y; y' = 1—lga.

221)    f=y² — 2yex-\-2x\gy = 0;

y y' — (y -f- y') + 1g y -f- « y-¹ y' = 0.

222)    f— sin x — sin (2y — x) — 0;

cos x -f- cos (2 y — x) — 2 y' cos (2 y — x) — 0.

223)    f= y sin xx² y*a cos yb = 0;

y cos x -J- y' sin x -f- 2 x y {y -f- x y') — a y' sin y — 0.

224)    f=excosy— e^sina; = 0;

e³⁷ cos y — ey cos x — (e³⁷ sin y -J- sin x) y' = 0.

y'=

225)    f — sin x sin y -f- sin (x-j--y) = 0; cos x -j- cos (x -f- y) cos y -f- cos (x-\-y)’

§ 7. Funktionen von der Form:

x = <p{t), y = <P{t)-

Oft ist es zweckmässig, y in der Weise von x abhängig zu machen, dass man beide als Funktionen einer dritten Variahelen darstellt, indem man setzt:

« = ?(*)» y =

Kann t daraus eliminiert werden, so erhält man die entsprechende direkte Beziehung zwischen x und y wieder. So geht z. B. x — r cos tf, i/ = rsin£ leicht in f=x²-\-y² — r2 == 0 über.

Da t in diesen Formen die eigentliche unabhängige Yariahele ist, so legen wir ihr die besonderen Werte t und tx bei und erhalten die entsprechenden Funktionswerte:

x₁=<p(ti)

Vr=<P (ßi),

die wir zu folgender Identität zusammensetzen:

x = <p (t)

y = <P(t)

Vi —y

Vi — y

(A)

tx —t

xt—x xx—x

tx — t

Da nun der Übergang von tx in t auch diejenigen von xx in x und von yx in y zur Folge hat, so gehen alle Differenzen-

dx

2. Beispiel: x = t cos a, y = t sin «-(-6; — == cosa,

dy

quotienten in (A) gleichzeitig in Differentialquotienten über, und wir erhalten:

dy

dy

dt

dx dx

(23)

dt

Unter der Gestalt: || = ||||, oder: || = |f    (²³)

nur eine Wiederholung von Formel (6), S. 11.

dx

1. Beispiel: x = acostf, y — b sin    = —asintf,

0/ V

dy

v = b cos t: ^r- = d    dx

2 2

die Gleichung:    — 1 =

— cotg t. Wird t eliminiert, so erhält man a

0, oder: y— j/a² — æ²,

a I a-

und daraus für den Differentialquotienten die beiden Formen: b²x

dy

dy

’ oder dx 1) cc

Da nun cotg t— — und auch

dx

a?y

a|/a² — x²

ist, so lassen die 3

j/a² — x¹

Formen des Differentialquotienten sich auf einander zurückführen.

ay

= sin a; = tg a. Wird £ eliminiert, so entsteht:

Ci X

y = xtg a-{-b und daraus: ^ = tga.

Aufgaben.

226)    y — at

x = a (1 — t)

²²⁷⁾    y-irrt

dy

da;

a (6 — t)

b(a — ty

1-f f

äy _ _ ₁

*“1 + *

dx

t²

229) y =2

a- = ||/2l»

■-H

230) y = (eat — 1) x = (eat— 1) 4 (a — 0

a²t²

33

_ 4 (a — £)² (2 a -f-1)

3 a²1

232)    y — sin² £ æ = sin 21

233)    y — b sin²1 x = a cos²1

234)    y — 1 — cos t x = t — sin t

7    ,

235)    y = a cos² -=-

x===bt%-2 i 236) y = tgt

= łtg21

09

toi

— % sin b t cos²

a; =

» =4-cotgż

cos²£

237)    ?/ = sin£— £cos£ æ = cos -)- £ sin t

238)    ?/= £ sin £-]-sin

, t x = \ cos t -f- cos 2

239)    y — t — cos t x = t — sin t

« = tg*

= — COtgfŹ

cc

CD

5—<•

toi

toi

240) y =

«sin t

1 -f- b cos t

_ c cos t

X    1 —|— & cos t

241) y = sin t (cos 2 t)* x = cos t (cos 21)% sin³1

dy

dx

csint

= — cotg 3t

242) y =

(cos 2 cos st (cos 2 t)k

243) y = 2 sin t — sin2 t x = 2 cos t — cos 2 t

244) y — (a -}- r) sin t — a sin

p)⁽

x = {a-\-r) cos t — acos

M'

dy *~2a + r

dx ë 2 a

245) y = arc sin

j/ï+ï¹

» =i.

x — arc cos

l/T-FT*

§ 8. Differentialquotienten höherer Ordnung.

Entwickelte Funktionen. Der Differentialquotient yon y = f(x) ist wieder eine Funktion von x und kann deshalb den nämlichen Operationen unterworfen werden, durch welche er selbst aus der gegebenen Funktion hervorgegangen ist. Wir können also setzen:

df(x)

dx

— lim

f'(x + Ax) — f(x)

Ax

m ¹ m® + ² Ax) — f(x-\-Ax)    f(x-\-Ax) — f{x)

Äx[

Ax

Ax

— lim

fix -j- 2 Ax) — 2 f(x -j- A x) -}- f (x) m

den Zähler des letzten Ausdruckes schreiben wir    =

= A (Ay) = A* y und erhalten:

à fix)

dx

— lim

Wir gebrauchen hierfür die Bezeichnung f"(x) oder y", so dass:

d*f dx*'

y" = f"(x)=-

dx - dx

Ebenso setzen wir

\dx)

V" = f" (x) = —g—

df'jx) _ d

dx

(d2Ł\ = ^(źl\

\dx*J dx*\dx)

d*f

dxs

u. s. f. Diese Ausdrücke

V'\ ST, Sf"",... y{n) «der: f" (a;), f'"{x\ f'"(x\... fW {z) heissen der zweite, der dritte, . . . der wte Differentialquotient und generell: Differentialquotienten höherer Ordnungen.

df*=p(V~

1. Beispiel: y = XP\ ^ = pxP~

= p(p — 1) (jp —2) xv~³

dll

dxs

■jJ = P O — 1) • • • (P — n + 1) xP~n.

2.    Beispiel: y--=&inx', y' — cosx, y" — — sina;, y"' = — cos a;, y"" — sina;, u. s. w.

3.    Beispiel: f{x) — ex\ fix) = e®, f" (x) = ex, usw.

Aufgaben.

246)    ?/ = a;³

247)    y — {a — b xf

248)    y = x* — 2a;³-f 5a;²-f-2 „ = 12a;² — 12« + 10

249)    y = ^/x*

dx²

„ = 12 5² (« — b xf

250)    y =]/a* — x²

251)    y = |/2^a;

a²

|/ (a² — a;²)

JP²

|/ (2p xf

252) y =

a-\-b x 253) y = x-f-\/Jx—-a)

d'y

dx~

4 b²

9 ^/J^ybxy

10

254)    y = x(a — x)

255)    y

a;³

256)    y

257)    y = e

258)    y — a

259)    y = e<*’W

260)    y = e

261)    y = lg(l+a:²)

4a-j-2x

(a — a;)²

m a;

(a — a:)⁴

m a?

—a?²

(m lg a)2 „ =e<PW[(<p'(x)y+<p"(x)\ „ = 2 (2 x² — 1) e~xt 2 (1 — x²)

(i+O

262)    y = x lg a;

263)    y — x² lga:

264) ,-fc!

265)    y — sin (a — 2 a:)

a;

„ = 3 -f- 2 lg a; 2 lga; — 3

a?³

= — 4 sin (a — 2x)

' 266) y = -

— cos a;

te: a

sina:

2 cos²-^

LJ

267)    y — arc cos x

268)    y — xesinx

269)    y =

270)    y = arc sin

271)    y = arcsin ^

|/(1— x²)

©'

„ = e8inaî(2cosa: + a;cos²a;—a: sin x)

i/i+*s "

— a:²

1 —J— a?

! i-¹

2x

(i+^)

4a:

(1 -j-a:²)²

H”(i

dx²

272)    ?/ = arctg —

273)    y = x«

274)

275)    y — \fx

2 ax

(x² + aY

y'" = 6.5.4 a:⁸

1.2.3

xK

1.3

276)    î/ = lg(>-f &a;)

277)    y = mn(nx)

Ist y = f{z) und z = <p(x\ so ist

2b⁸

(a-J- bx)

= — w⁸cos(wæ).

dy_dy dz

dx dz dx’

Wird auf

beiden Seiten nochmals differentiiert, so entsteht nach (6), S. 11:

d²y_d² y

dx² dz²

(de Y \dx)

d² z dy dx² dz'

Eine weitere Differentiation ergiebt: dsy dsy dx⁸    dz³

\dx)

\₉dz d²z d²y.dsz dy.d²y dz d² z dx dx² dz²'dx% dz ' dz² dx dx²

d⁸ y_d* y

. r,d²y dz d²z . dy dsz ^~ôJz²'Jx‘dx²^Jzdxii'

Beispiel: y — (a-f-bx²)³ = £³, z=a-\-bx²,

dsz _ A dz2 20’ <to⁸ °’

dx³

37 = ³*’- S=⁶*’

= 2Ą:b²x (3a-{-bbx²).

dy

dz

⁶’

Unentwickelte Funktionen. Implicite ist y eine Funktion von x, wenn eine Gleichung f(x, y) = 0 den Zusammenhang zwischen x und y ausspricht. Wir leiten den Differential-

• df I df Ąl = 0 ab. Wird

/7 fij

‘dx Sy dx

quotienten ~~ aus der Gleichung

CL 00

df

nochmals partiell nach

nun der partielle Differentialquotient

x differentiiert, so erhält man den zweiten partiellen Differentialquotienten der Funktion genommen nach x und be-

S²f d x² '

Differentialquotient bezeichnet, welcher entsteht, wenn man f zweimal partiell nach y differentiiert. In ganz analoger Weise

zeichnet ihn durch

Ebenso wird durch t derjenige

dy

haben wir unter

ê*f

d. h.

dy

denjenigen Differential

dy dx

quotienten zu verstehen, der dadurch gewonnen wird, dass man f zuerst partiell nach x und dann partiell nach y differentiiert. Von ihm unterscheidet sich der andere Differential-

quotient

'M

oder

d²f

dadurch, dass bei seiner Ab

dx dy

leitung die Funktion fix, y) zuerst nach y und dann nach x partiell differentiiert wird.

Beispiel: f— x³-j-3x²y— y³ — 0;

*f

— 3x²    6 xy

df

~~ = 3x² — 3y²

dy

d²f

6x-\-6y

d²f

d x2 d²f dxdy

In diesem Beispiele ist

= 3x

d²f

dy²

d²f

dy dx

d²f

6x.

Es soll nun nachge-

dxdy dydx'

wiesen werden, dass diese zwei Differentialquotienten, soweit sie mit x und y sich stetig ändern, einander identisch gleich

sind. Setzt man in:

U- lim

X± —X

an die Stelle von y die besonderen Werte y und yx1 bildet den Differenzenquotienten und geht zur Grenze über, so erhält man:

x₁-X

xt —X

9f

wobei durch lim der gleichzeitige Übergang von xx zu x und von yx zu y angezeigt ist. Ebenso entsteht aus:

= lim

dy

Vi—y

durch Substitution der besonderen Werte x und xx und durch analoge Differenz- und Quotientenbildung der Ausdruck:

f(xi,yx)—fi?i,y) ffayj—ffay)

yi — y

yi—y

xx — X

in dem sich das Zeichen lim wiederum auf den gleichzeitigen Übergang von xx zu x und von yx zu y bezieht. Da jeder der beiden unter dem Zeichen lim stehenden Ausdrücke sich auf die Form bringen lässt:

fOi, Vi) — f 0 i, y) — f{x, yù + ffa y)

(xx — x) (yx — y)

so müssen die angezeigten gleichzeitigen Grenzübergänge auch zu gleichen Resultaten führen, d. h. es muss sein:

AÉ

dy

oder:

ê*f d²f

dydx dxdy'

Doch ist zu bemerken, dass die ganze Beweisführung nur für ein solches Werthegebiet von x und y gilt, in welchem für beliebige Annäherung des xx an x und des yx an y der Grenzwert

lim

{xx—x){yx—y)

endlich und stetig variabel ist.

Soll nun auf beiden Seiten der Gleichung    =0

nochmals und zwar total nach x differentiiert werden, so muss man sich erinnern, dass und die beiden Yariabelen x

dx dy

und y enthalten, und dass daher die Regel Anwendung findet: Wenn F(x,y) = 0 ist, so wird:

dF(x,y) _d F . d F dy dx ~~dx'dy dx’

Hiernach erhält man:

8*f I 3*f dy dx*'dxdy dx'

( d*f i d*f.dj\dy i d*y df — n

\dxây'ây² dx) dx' dx* dy ’

<9f <9/ d x’ dy

dy

und daraus gewinnt man durch die Substitution

und die geeigneten Eeduktionen schliesslich die Formel: d*f d X*

d*y dx²

M-!

dxdy d x d y' d y

:(*£\

Ma*/

• (24)

Da die bisherigen Erläuterungen ausreichen, um auch die noch höheren Differentialquotienten einer unentwickelten Funktion herzuleiten, so unterlassen wir es, die bezüglichen allgemeinen Formeln hier besonders aufzustellen

1.    Beispiel: f=y*-\-bx*— 2ay-\-ax—& = 0;

|| = 2 hx + a

S-«

_₀

(9 a; <9?/

d*y _ dx*

2.    Beispiel: f=eax~hy— c = 0;

— = aefxx~iy

<s£ l'-S

q =2y-2a

⁵V_o

n „,2    "

dy

d*f

dy dx ^

4& (y — a)²-[-(2öa:-j-a)

4(|/ —a)³

Cb

dy

— — ])eax — by

d*f

da2 = <9V

Qpgax —

d“ f

dy²

dx dy

= — abeax~by

<9y

dy dx

= — abeax~hv

Die Form ax — by = lg c ermöglicht einfacher das gleiche Resultat.

Aufgaben:

Statt der vollständigen Lösungen geben wir hier nur die Teile, aus welchen jene nach (24), S. 53, zusammengesetzt werden.

278) f=xs— x*y-\-yö = 0

df

r- — by* — x

dy

df

d*f

dy

= 20 t/⁸

d*f

sl? = 6x-2y

279) f={x*+y*)*-a*(x*-y*)=0

d*f

df

= — 2 x.

^ = 2t/(2a;² + 2t/²-f-«²)

dy

df

= 2x(2x² -f- 2t/² — a²)

d*f

fp = 12t/²-f 4a;²-f-2a²

«?²/-

dx*

12 x² -{- 4t/² — 2 a²

<9²/'

d xd y

— = 8 xy.

280) f=eainx — xeai1iy = 0

df

dy

= — #esin2/cost/

df

dx

— esin x cos x — esin y

d*f

dy¹

= x esin y (sin y — cos² y)

d*_f

dx*

= esina;(cos²a;—sina;)

d*f

= — eainy cost/.

281) f=y-\-ye~x — x = 0

df

3x ⁼ -ye~X~1 e*f

_L 7/ p— X

dx* ^⁶

282) /‘=sina;+sint/+sin(a;-t/)=0 “ = cos x -j- cos (x — y) = — sina;—sin(a;—y)

d y d x

t£— i _i_e—* dy- ¹⁺⁶

Ü/_₀

= — e~x.

d*f

dx*

df

jr- — cos y — cos (x — y) d*f

TĄ = — smy — sin (x — y)

Funktionen von der Form: x = <p (t), y = <p (t). Der erste Differentialquotient ist unter (23), S. 45, entwickelt:

dy_dy dx

dx dt'dt'

Wird auf beiden Seiten nach x differentiiert, so entsteht:

7 dx\

\dt)

d*y dt dx d*x dt dy d*y dt* dx dt dt² dx dt dx²

dx

Unter Berücksichtigung der Relation ^ = 1 : ^ geht diese

Formel über in

d*y dx    d*x dy

d*y dt² dt    dt² dt

ftll

dx²    / \³

Aufgaben.

d*y

283)    y = b sin t x — a cos t

284)    y = a (1 — cos t) x = a (t — sin t)

^285) y = sin²t x = cos 21 286) y = eat x = e~ a t

Der zweite Differentialquotient kann aus dem ersten auch auf folgende Weise abgeleitet werden:

■l

Beispiel: y = —-

dx²

» =0

a² sin³t

4 a sin⁴ —

u

„ =2e3at.

-s

<Fy_____

dx² dt

x = lg

dy

'(S)

d²y £²-l-£

^2 = (T=T)³’

§ 9. Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der Werte unbestimmter Formen.

Die Formen ! und—. Es kann sein, dass die beiden 0 oo

Funktionen <p (x) und (Jj (x) für den nämlichen Wert x — a verschwinden. Ein Bruch von der Form f(x)

<p{x)

<p(x)

hat dann

a den unbestimmten Wert f(a)=-jj.

dieser Unbestimmtheit der Wert ein bestimmter sein kann, soll zunächst an Beispielen erläutert werden.

1. Beispiel: f(x) =*    ~

für x —

Dass aber trotz

Werden aber

vor der Substitution x = a Zähler und Nenner durch (x—a)

x² -|- a x -(- a²

dividiert, so wird f(x) = gefunden wird. ¹

2. Beispiel: f(x) = G ~¹, /'(0) = ^.

der Reihe für ex ab, dividiert den Rest durch x und setzt dann x = 0, so findet man f(0) — 1.

— cos#

x-\-a

, woraus dann f(a) = £ a

Zieht man 1 von

3. Beispiel: f(x) = -

sin²#

; f (0) =    . Die reducierte

Form: f(x)

2 sin²!

u

. . „ x „X 4 sin² —cos² —

u    u

——;giebt: m = 2 cos²—

4. Beispiel: fix) — X _* a X ;

yax — a

; m = l-

= (*+|/«*+«)^, = 3o.

Als Ursache der Unbestimmtheit zeigen uns die Beispiele den Umstand an, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen, der für x — a verschwindet und so zugleich

Zähler und Nenner auf Null bringt. Statt nun, wie geschehen, diesen Faktor aufzusuchen und vor der Substitution durch Division zu entfernen, bedienen wir uns mit Vorteil der Methode des Differentiierens. Ist

n ) p (x) Un(1 ' a <p(a)    0’

[>(* + ff)l yp{xjrs)\x-a

so ist f{a d) =

nicht mehr unbestimmt und

geht in f{a) über, wenn d die Grenze 0 erreicht. Da weiter (p (a) = 0 und <p(a) = 0 sind, so kann man auch setzen:

Jas = a

(a;—f-d)—x

<P (x + à) — <p (x) <p{x-\-ö) — <p(x)

<p{x + Ô)— (p{x)

Lassen wir d in Null übergehen, so wird gleichzeitig:

lim f(a-fd)=f(a),

lim

= W {X)]x = a = <p' (à),

(p{x-\-ö) — <p Q)~l (z-j-d) — X \x = a

lim

<f> (x-\-ö) — p (æ) |

x J x = a

{x -fd) —

— \<P (x)]x— a — (p (a),

/■(«)

<p' («)

PW

(25)

1. Beispiel; f(x) =

x² — bx-\-6 p(x) xs — 2 x¹ — x-\-2

<p{x)

<p'(x) = 2x — 5, <p'{x) = 3x¹ — 4x— 1, f(2) = |t|| = —

ist. Das angezeigte Verfahren der Wertermittelung muss dann bei der neuen Form unverändert wiederholt werden.

4. Beispiel: f(x) = -

³—ax²—a²x-{-a8 2a;³— 3ax²-^-as ’

f(fl) = daher

/*(«) =

3x²—2aa;—a²

6a;² — 6 aa:

= 5. un(i f(a) = T ⁶___²_®1 ₌

Jx=a 0    ^ ^    |_12a;—§a\x==a

5. Beispiel: /'(a:)

sin2a:— 2 sina: #

— 2a: —2’ '^ ⁼

2e*:-^2

o Io

. Die

Unbestimmtheit verschwindet erst nach dreimaliger Differentiation von Zähler und Nenner, und man findet:

2 cosa:— 8 cos2a:

m=

(V^Ml r

\f"{x) U„

2ex

1    =    3.

jx=0

Will man von der Voraussetzung ausgehen, dass <p{x) und (p (x) nur darum ftir x — a gleichzeitig verschwinden, weil sie den gemeinsamen Faktor (x — a) besitzen, so kann (25) etwas kürzer auf folgende Weise entwickelt werden:

f (x)_(x — a) q (x)

<p (x)    (x — a) 7r(x)

<p (x) = q (x) (x — a) q' (a:), p' (x) = n(x)-{-(x — d) n {x).

f(x) —

?(<*).

*(«)’

Für a; = a, aber auch nur ftir diesen Wert von x, wird

Q{a) = <p' (a), n (a) = p' (a) und f(d) =    .

Auch eine geometrische Ableitung der Formel (25) ist möglich. Wenn AB die Funktionskurve des Zählers u = <p(x), AC diejenige des Nenners v = p(x) und ^(a) = 0, p(d) = 0 ist, so müssen sich die beiden Kurven in dem Punkt A schneiden, da ihm die Werte a; = a, u = 0, «7 = 0 entsprechen. Nun sollen dem beliebigen Werte x = OP die Funktionswerte u = <p (x) — BP und v = p(x) = CP zugehören. Es ist dann

m=a-

_ (x — a) tg a_tg a

(x — a) tg ß    tg ß‘

Geht a: in a Uber, so werden die Sekanten AB und AC zu Tangenten der entsprechenden Kurven im Punkt A, und damit

Fig. 4.

('

AA

n^r

geht zugleich tg a in    tg ß in (a) über. Für % = a

ist mithin

Wird f(a) =

f(a) —

?»

a ^»*

[ll!Lr5’80ist«a)=

x=

o io

<p(x)

x=a

und damit ist diese Form auf die vorhergehende zurtick-geführt. Wir finden so:

/» =

— ?»

[?0*01

x=a

/?(*)yi

[_? 0*0    0*0 J \x=a

(26)

Hat ein Bruch für x = a die unbestimmte Form

so findet man seinen Wert, indem man

O    oo

— oder —

0    oo

/ cosæ\ \~ )z = 0

m=- , ?'(0) = lga,

3. Beispiel: f(x) =

Aufgaben.

287) /■(*)

6 a;²— 5 a; —J— 1

8 a;² — 2x — 1

288) „

xn — 1

289)    „

x³ — 2 a;² — a;+ 2

xs — 7 x-j- 6

290)    „

291)    „

a;³ + 4 a;² — 2a; — 8 a;⁴ —8 a;²+ 12 x— (« + l)a;w + ¹ + nxn+‘¹

f(i)-g

f( 1) = n

a 1)-|, A2) = !

~* + ^2

f(±V 2) =

n (n +1)

292)    „

2—l/x — 3

(1 —a;)²

a;² — 49

fw=-L

293)    „

294)    „

|/3a; — |/l2 — x 2x — 3 j/l9 — 5a; a — ^/2xh — ah

^=69

295)    „

a;³ — a⁸

|/2 a³ a; — a;⁴ — a y/a² a; a — ^/a a;³

16

296)    „

a;

297)    „

1 — a; — lg (e — a;)

cos a;

298)    „

299)    „

1 — sin a; — cos x

ßX_gsin a;

300)    „

x — sin a; ax— 1

f(a) = ~ÿa

«°)-ê

«°)=î+

m=-c

n o)=i

/■(0) = lga

301)    „

lga;

302)    „

j/a;² — 1

aig*_a.

n i)=o

lga;

/•(I) = lg a — 1

303) f(x) =

304)    „

lg (x² — 3) «²-{-3 x—10 lg (a -j- x) — lg a

f(2) - ?

lg

x-j-l/x² — a²

305)    „

IA² —a²

306)    „

sin (w x)

/•(O) = 71

307)    „

sinic

308). „

309)    „

sin 2x sin (a x) sin (b x)

2 sin x — 1

f(?)

tel i-¹

310)    „

cos 3 x

iCCOSiC

05 i

311) „

x — sin x x cos x — sin x

tH |0

x*

n o)=o

312)    „

sin 2 x — 2 sin x

2 ex — 2 — 2 x

f(0) = 0

313)    „

2 tg² x — cotg x — 1

T—

314)    „

315)    „

2sin²Æ—cos²#— \ tg² a: — 2 tg x — 3 tg² x — 4 tg x -{- 3 arc sin (2 — x)

f(arc tg 3) = 2

|/#² —3#-J-2

\Za*

n 2)=o

arc sin

316)    „

317)    „

|/a² — x2 _ arc cos (1 — x) l/2x — x²

lg COS X

f(a) = -

w a

n o)=i

319) f{x)

sin x — cos x

320) n

1 — tg X

lg(l+e»)

—V\

321) „

a-\-b x 1 g 0 + ^)

322)    „

ex

f(po) = 0

/■(oo) = 0

323)    „

tg X

324)    „

tg 3 a; cotg 2 a;

cotg a;

TC

325)    „

a;

7T²

X TC

eotg-2-

Die Form oo — oo. Wenn in f(x) =

(f (x)    71 {X)

<P (x)    Q 0*0

nur

<p (a) und q (a) gleich Null werden, so ist f(a) = oo — oo. Man setzt dann vor der Substitution x = a statt der Differenz den

Quotienten [cp (x) q(x) — tc (x) p (x)] :<p (x)q (a;), welcher für x — a die unbestimmte Form ^ annimmt.

326) f(x) = i

sin x — x⁸

sina;

xs sin x

f{ 0) = ⁰⁰

327)    „

cotg X COS X

toi

328)    „

X—1 lg#

/*(!)

co! t—¹

329)    „

sina;

lg (1 — x)

«°>- + 2

Die Form O.oo entsteht, wenn in f(x) = <p (x). <p (x)

für x = a der eine Faktor verschwindet, während der zweite

unendlich gross wird. Man giebt dann der Funktion die Form:

<p{x)

f{a) =

0 ,    oo

- oder = —,

0    oo

. <p{x) _

x—a

je nachdem <p (a) = 0, p (a) = oo ist, oder umgekehrt.

331) />) =

ex -

f (0) = lg ß

332)    „

('+)

« i Hi

f{°°) = 1

= x.\g

= (1 —*)tg|®

334)    „ = arcsin----cotg(x— a) f(a) = —

a    et

335)    „    = (1 — sin x). tg x

333)    „

(!)-»•

¹

Beispiel: f(x) =    ; f{0) =

00

ax — xax

f (0) = (a* + xaX lga)*=o = 1, f{0) = Iga.

Es kommt vor, dass ein Bruchwert auch in der neuen Form noch unbestimmt bleibt, indem a>'(a) = 0 und p'(a) — 0

Weitere unbestimmte Formen. Die Funktion y — nv, worin u und v Funktionen von x sind, lässt sich auch so schreiben y = evl%u, weil \gy — v\gu. Wird nun für x — a

1)    u = 0    und    v = 0,    so    ist    y — 0°,

2)    m = oo    „    v = 0,    „    n    y = OO⁰,

v — co.

» y = \/o,

0 = OO.

6)    m = oo „ v = co.

In diesen Fällen wird der Exponent von e gleich O.oo.

336) f(x) = a?

338) f{x) = (sina;)

(i)-

COS X

fö

= 1.

339)    „ = (sin x)fcg *

Anmerkung. Wenn, wie es yorkommt, die unbestimmte Form irgend eines Ausdrucks durch Differentation nicht beseitigt werden kann, so nimmt man in der Regel dazu die Reihenentwicklung zu Hilfe.

§ 10. Maxima und Minima der Funktionen.

Entwickelte Funktionen. Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) von x = x₀ bis x = x₀-\-h endlich und stetig variabel sei (S. 7). Man kann für die Stellen x dieses Gebietes die Formel (2), S. 7, so schreiben:

f{x-f-Ax) — f{x) = Ax[f{x) -f e]

wobei e eine veränderliche Grösse bedeutet, welche mit Ax gleichzeitig unendlich klein ist. Nun nehmen wir an, f'{x) sei von Null verschieden. Dann kann man A x so klein wählen, dass |s| < \f'(x)\ wird (vgl. S. 6); dadurch erhält die eckige Klammer auf der rechten Seite der letzten Gleichung das Vorzeichen von f'(x). Da die linke Seite den Zuwachs der Funktion f(x) darstellt, so können wir sagen:

Ist der Differentialquotient f (x) von Null verschieden, dann kann man um x ein kleines Gebiet derart abgrenzen, dass in ihm bei positivem f (x) die Zunahmen der Variabelen und der Funktion dasselbe Zeichen haben, während sie bei negativem f (x) entgegengesetzte Zeichen besitzen. Mit anderen Worten: Bei positivem f'(x) wächst die Funktion gleichzeitig mit der Variabelen und nimmt gleichzeitig mit ihr ab. Bei negativem f'(x) wächst die Funktion, wenn die Variabele abnimmt und umgekehrt.

Zur Ergänzung dieser Sätze nehmen wir jetzt an, f'(x) sei für eine beliebig kleine aber endliche Strecke gleich Null,

etwa zwischen a und 6, wobei b > a sein mag. Dann setzen wir mit Benutzung einer willkürlichen reellen Konstanten x $(x) = f{x) — x²#,    <p(x) = f{x)-J-x²#

und finden durch Differentiation

4>'(x) — f'{x) — x² = — x²,    <p'{x) = f'{x) -j- x² == -f- xa.

Nach dem oben abgeleiteten Satze wächst also <p{x) beständig auf der Strecke von a bis 6, während &(x) auf ihr beständig abnimmt. Demnach ist <£(&)<<£(«) und ^(ô)>ç?(a), d. h.

f(b)— f(a) < x² (6 — a) und f(b)— f(a) > — x²(5— a). Wäre nun f(b) von f(a) verschieden, so würde hieraus ein Widerspruch folgen, da man x² so klein wählen könnte, dass

wäre. Es muss demnach /’(&) = /’(«) sein; und da die gleichen Schlüsse für jeden zwischen a und b gelegenen Punkt gelten, so haben wir bewiesen: Ist für eine endliche Strecke der Differentialquotient f'{cc) = 0, so ist für diese Strecke die Funktion f(x) konstant.

Die abgeleiten Sätze lassen sich umkehren: Wächst die Funktion f(x), so ist der Differentialquotient f'(x) positiv oder auch für einzelne Punkte Null; nimmt die Funktion f(x) ab, so ist der Differentialquotient negativ oder auch für einzelne Punkte Null. Ist die Funktion f(x) konstant, dann hat der Differentialquotient f{x) den Wert Null und umgekehrt.

Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten einer ebenen Kurve ansieht. Dann

dy

ist ^-=f'(x) die trigonometrische Tangente des Winkels,

den die im Punkte (#, y) angelegte Berührungslinie der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschliesst (§ 2, S. 5), und zwar soll die Berührungslinie immer in der Richtung vom Punkte (&, y) nach dem Punkte (a? —)-dx, y-\-dy) genommen werden. Ist nun die Funktion y — f(x) für das wachsende x im Zu ne hm en begriffen, so steigt die Kurve, wenn man sie

Dölp, Aufgaben.

im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der Stelle M,, Fig. 6 a an der Stelle M„, Fig. 7 a an den Stellen M, und M„) Die Berührungslinie schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv

dx

und der Sinus

\/dx²-\-dy

. (Es ist dies der positive spitze Winkel a, in

sind, nämlich der Kosinus =

dy

[/dx² -{- dy²

Fig. 5a, der positive spitze Winkel a„ in Fig. 6a, und in Fig. 7 a sind es resp. die positiven spitzen Winkel a, und a„.) Ist dagegen die Funktion y = f(x) für wachsende x im Ab-nehmen begriffen, so fällt die Kurve, wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Hier ist dx positiv und dy negativ. (Fig. 5 a an der Stelle M„, Fig. 6 a an der Stelle Mt, Fig. 8a an den Stellen Mf und M„.) Die Berührungslinie in der oben angegebenen Richtung schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus positiv, dessen Sinus negativ ist. (Es ist dies der negative spitze Nebenwinkel von a„ in Fig. 5a, von a, in Fig. 6a, von a, und von a„ in Fig. 8 a.) Diese Winkel liegen unterhalb der Abseissenaxe und werden hergestellt, indem man die Berührungslinie über ihren Schnittpunkt mit der Abseissenaxe hinaus verlängert.

Hiernach kann man die oben entwickelten Sätze auch so aussprechen:

Wenn die Kurve steigt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte {x, y) nach dem Punkte (x -j- dx, y-\~dy) mit der Richtung der wachsenden x einen positiven spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

Wenn die Kurve fällt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte {x-\-dx, y~\~dy) mit der Richtung der wachsenden x einen negativen spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

Fig. 5 a.

Fig. 6 a.

MyT

'AT

"ait:

Ml

y,

y\

v„

çÇA

OC // N

a, a

a,

a„

Fig. 5 b.

Fig. 6 b.

irt,

y"

ys

CL

'A\

vr

m,

Fig. 7 a.

Fig. S a.

M,

M,

Ml

'4,

cC

ct/i__

«L

\ y,

Fig. 7 b.

Fig. 8 b.

mn

m,

m,,

Nach dieser Vorbereitung betrachten wir eine Funktion y = f (&), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x= a — d bis # = a -j- d. Wir setzen voraus, dass f'(a) = 0 sei. Dann ist an der Stelle x = a die Funktion f(x) weder im Zu- noch im Abnehmen begriffen. Oder bei der graphischen Darstellung darf man sagen: die Funktionskurve ist an der Stelle x = a weder im Steigen noch im Fallen begriffen. Man darf diese Stelle bildlich als ein momentanes Niveau bezeichnen. Hier sind vier Fälle zu unterscheiden:

Erstens. Der Differentialquotient f'{x) geht von positiven Werten durch Null zu negativen Werten über, wenn die unabhängige Variabele x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion y=f(x) bis an die Stelle x = a im Zunehmen und nach Überschreitung derselben im Abnehmen begriffen. Der Funktionswert f(a) ist demnach grösser als f(a — d) und grösser als /"(a-f-ff)? wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle nennt man den Funktionswert f(a) ein Maximum. Graphisch findet sich der Verlauf der Funktion in Fig. 5 a dargestellt, wenn man darin x als Abscisse, f(x) als Ordinate ansieht. Den Verlauf des Differentialquotienten f(x) veranschaulicht Fig. 5b, in welcher x als Abscisse, fix) als Ordinate aufgetragen ist.

Zweitens. Der Differentialquotient f'{x) geht von negativen Werten durch Null zu positiven Werten über, wenn x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion f(x) bis an die Stelle x = a im Abnehmen und nach Überschreitung derselben im Zunehmen begriffen. Der Funktionswert f{a) ist demnach kleiner als f{a— d) und kleiner als /‘(a-|-d), wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle wird der Funktionswert fia) ein Minimum genannt. Graphisch ist der Verlauf der Funktion f{x) durch die Ordinaten in Fig. 6a, der Verlauf des Differentialquotienten f(x) durch die Ordinaten in

Fig. 6 b veranschaulicht. Die unabhängige Variabele x ist in beiden Figuren als Abscisse genommen.

Drittens. Der Differentialquotient f'(x) ist positiv für x = a — d, erreicht stetig abnehmend den Wert Null für x=a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig zu, so dass er für æ = a-]-^ wieder positiv ist, wie klein auch d genommen werden möge. Dann ist die Funktion f{x) vor und nach der Stelle x = a im Zunehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Die Funktion f(x) wird durch die Ordinaten in Fig. 7a, ihr Differentialquotient f'(x) durch die Ordinaten in Fig. 7 b dargestellt.

Viertens. Der Differentialquotient f'(x) ist negativ für x = a — d, erreicht stetig wachsend den Wert Null für x = a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig ab, so dass er für # = «-)-d wieder negativ ist, wie klein auch d genommen werden möge. Dann ist die Funktion f(x) vor und nach der Stelle x = a im Abnehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Ihr Verlauf wird durch die Ordinaten in Fig. 8 a, der Verlauf des Differentialquotienten f'(x) durch die Ordinaten in Fig. 8 b vor Augen geführt.

[Wenn eine ebene Kurve in einem gewissen Punkte von einer geraden Linie zugleich berührt und geschnitten wird, so nennt man diesen Punkt einen Wendepunkt. In dem dritten und vierten der eben unterschiedenen Fälle hat die Funktionskurve einen Wendepunkt, und ihre Tangente in diesem Punkte liegt hier speciell parallel zur Abscissenachse.J

Man kann die gewonnenen Resultate auch so zusammenfassen:

I. Eine Funktion y=f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x = a — d bis x = a-\-d, besitzt an der Stelle x = a ein Maximum (Minimum), wenn der Differentialquotient f'(x) an dieser Stelle durch Null

hindurchgehend sein Vorzeichen ändert. Ein Maximum findet statt, wenn f'(a — d) > 0 und f {a -j- ö) < 0 ; ein Minimum dagegen, wenn f'{a — d) < 0 und f'{a-\-ö) > 0 sind.

II. Wenn aber der Differentialquotient f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a stetig variabel durch Null hindurchgeht, ohne sein Vorzeichen zu ändern, so hat die Funktion f(x) an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Wir setzen jetzt voraus, dass die Funktion y = f(x) und ihre aufeinander folgenden Differentialquotienten f'(x), /“"(#), f" (x\ ... bis zu dem von der wten Ordnung : fn (x) von x = a — ö bis x = a-\-ö endlich und stetig variabel verlaufen. Es soll ferner fn (x) der Differentialquotient von der niedrigsten Ordnung sein, welcher für x = a einen von Null verschiedenen Wert hat. Alle vorhergehenden Differentialquotienten sollen für x = a zu Null werden: f\a) = f'(a)===...==fn~l(a)=== 0. Dann lässt sich ö positiv und so klein wählen, dass von x = a — ô bis x = a-\- ô der Differentialquotient fn (x) sein Vorzeichen nicht ändert. Infolgedessen geht fn~l(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von positiven zu negativen Werten über oder umgekehrt von negativen zu positiven Werten, je nachdem fn(ä) negativ oder positiv ist. Im erstgenannten Falle ist fn~²(a) ein Maximum, im zweiten Falle dagegen ein Minimum, wie aus dem Satze I. ohne weiteres hervorgeht. Jedenfalls sieht man, dass fn~²(x) zwischen a — ö und a-}-d sein Vorzeichen nicht ändert, und dass dies Vorzeichen dasselbe ist wie bei fn(x). Danach erhält man bei fn~³(x) dieselbe Vorzeichen-Änderung wie bei fn~¹(x)1 und es wiederholen sich periodisch dieselben Erscheinungen, wenn man schrittweise zu Differentialquotienten von geringerer Ordnung übergeht.

Ist nun n eine gerade Zahl und fn(a) negativ, so gelangt man zu der Einsicht, dass f"(cc) negativ ist. Folglich geht f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von posi-

f{x)

A*)

Fig. 9.

f(x)

f(x)

/■'(*)

f (*)

f'\x)

r(®)

/■"(*)

f" {x)

f" (*)

f'" (X)

f" (®)

f"(x)

tiven zu negativen Werten über, und es ist f(d) ein Maximum. (Fig. 9 A.)

Ist n eine gerade Zahl und fn(a) positiv, so findet sich, dass f"(x) positiv ist. Folglich geht f'(x) mit wachsenden x an der Stelle x = a von negativen zu positiven Werten über, und es ist f(a) ein Minimum. (Fig. 9 B.)

Ist n ungerade, so hat f\x) positive oder negative Werte, je nachdem fn(a) positiv oder negativ ist. Folglich hat f(x) weder Maximum noch Minimum an der Stelle x = a. sondern nur ein momentanes Niveau, weil f'(a) = 0 ist. (Fig. 9, C und D.)

Die Figuren 9 hat man sich nach unten periodisch fortgesetzt zu denken bis zu einer Funktion fn(x). Diese ist von f'{x) an gerechnet die erste, für welche an der Stelle x = a die Kurve mit der Abscissenachse nicht zusammentrifft. Und zwar verläuft fn(x) ganz auf dem Gebiete der negativen Ordinaten in A und D, dagegen ganz auf dem Gebiete der positiven Ordinaten in B und C. Für A und B ist n eine gerade Zahl, für C und T> eine ungerade Zahl. Sind die Figuren 9 in der eben angegebenen Weise vervollständigt, so hat man sie von unten nach oben schrittweise zu durchlaufen, um die oben durchgeftihrte Argumentation zur Anschauung zu bringen.

Handelt es sich darum, von einer gegebenen Funktion y = f(x), die nebst ihren eisten Differentialquotienten endlich und stetig verläuft von x = x₀ bis x = xQ -j- h, die Maxima und Minima aufzusuchen, so haben wir dafür die folgende Regel:

Man setze f'(x) = 0 und suche die Werte von x auf, welche dieser Gleichung Genüge leisten und zwischen x₀ und x₀-\-h liegen. Ist x = a ein solcher Wert, so ist f(a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f"(a) negativ oder positiv ist.

Findet sich ausser f'{ä) = 0 auch f"(a) = 0, so suche man den Differentialquotienten der niedrigsten Ordnung auf, der für x = a nicht den Wert Null hat. Ist dieser von ungerader Ordnung, so findet weder Maximum noch Minimum statt. Ist er von gerader Ordnung, so ist f(a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem jener Differentialquotient für x = a einen negativen oder einen positiven Wert hat.

1. Beispiel: Für welche Werte von x wird f{x) = x-j- —

einMax. oder Min.? f'(x) = \ —

= 0 giebt x = + 1 ; f" (x) =

Da nun 1) = 2, d. h. positiv ist, so muss f( 1) = 2 ein Min. sein, sowie f(—1) =— 2 ein Max. ist, weil f" (—1) =— 2 negativ ist.

2. Beispiel: (ic) = sin a? —{— eos a? ; f'(x) = cosx— sina; = 0,

[/~2 ist ein

und ^ ; f" (x) = — sin x — cos x ; f

Max., weil f

l/2 ist ein Min., weil

r(¥)

> 0. Periodische Wiederholung.

3. Beispiel: Für welchen Wert von x wird f(x) = ein Max. oder Min.?

x    CL

I (lg a — lg x — 1) = 0, oder lg x — lg —

r w - - i r w+r w. dg « - ig * -1) ; r( )=

d. h. negativ, mithin ist f

4. Beispiel: Für welche Werte von x wird f(x) — sina:sin(a — x) ein Max. oder Min.? f'(x) = sin (a—2æ)==0, woraus a—2æ = 0, oder = 7r, oder = 2?r;

a -fr—i oder = ^—jt; f”(x) = —2cos(a — 2x).

Z    Z

= sin²-^ ein Max., z

= — cos²^ ein Min. Der z

/»=

‘ ee

a?=^, oder =

Nun ist f"

to! R

= ee ein Max.

— 2, also f

toi »

r(v)

= 2, mithin f

K-1

dritte Wert ist dem ersten gleich. Periodische Wiederholung.

sin#

5. Beispiel: Für welche Werte von x wird f(x) ein Max. oder Min.?

cos x — sin x tg²#

1-j-tga:

5 7t

Wenn f' (x) = ^ ist, so ist f" (x)

v .u—u.v'

v²

Da nun für den in Betracht kommenden Wert von x der

Zähler des Bruches

— verschwindet, so reduziert sich die letzte v

u'

Gleichung auf f"(x) = — .

v

In unserem Beispiele wird f

ein Min., weil f" Wiederholung.

negativ und f" ^5^

= ein Max., f{^

positiv ist. Periodische

Aufgaben.

Zu den nachfolgenden Aufgaben sind als Lösungen nur die Werte von x angegeben, für welche die Funktion ihre Maximal- und Minimalwerte annimmt; diese selbst können

durch Substitution leicht gebildet werden.

340)    f(x) = xs— 2ax²-\-a²x Mx.ftira?=-^, Mn.für£c = a

o

341)    „ =a;³-f 6x² — lbx x² (1 — x)

342)    „

343) „ = x²(a— x)

344)    „

345)    „

z²+l , a²

Mx. „ x =— 5, Mn.für£c=l 2

Mx. „ x = —, Mn.füra? = 0 o

Mx. „ æ = ||, Mn. „ x

Mn. „ x = 0

Mx. „ o? = 1, Mn. „ x= — 1

Mx. „ x— — a, Mn.füra? = a

346) „

(l-*)²

347) „

a    ~

x=^+~v a>0

Mx. „ x=2 Mn. r x — — 2

Mn. „

x = \/

ax²— bx-\-c

Mn. „

V\

³⁴⁹⁾

±|/2

351)    „ = |/2ao:²(2a— x)

352)    „ =x-\- j/l — x

353)    „ =x\/2 — x²

354)    „ —x \/ax — a?²

355)    „ = (aĄ-x)\/a² — x²

X

356)    „    =e“-\-e~“

o

357)    „    =

350) „

ax —

Mx. für x = — [/ 2 Mn. „ a?==j/‘2 Mx. „ x = a

Mx. „

x== —

Mn. für x = a

Mn. „ x = 0

Mx. „ x= —

4

Mx. „ x=l, Mn.füro: =—1 Mx. „

Mx. „ x = —

358)    „ =

h\% %\«

Mn. „ a? = 0 Mx. „ x = 2

Mn. für x = 0

Mn. „ x

\ga

; «>1

OS OS

lO CO

S~ o

„ =xex „ = e2æ —e*

361) „ =

Mn. „ x = l Mn. „ a? = lg£

Mn, „

362)    „ =xx

363)    „ = *

\gx

364)    „ = x¹~¹sx

365)    „ = 2 sino: -|- sin 2x

Mx. „ x = e Mn. „ x = e Mx. „ « = j/e Mx. „

366) „ = sin 2a:+2 sin (a —x)    Mx. „

cos²a: . sin²a;

367)    „

a²

x = ^f Mn.füra; = o

, Mn. „ x = 0

368)    „ == cos x -|- cos (a — x)‘, a < tz

Mx.für a: — ^

369) f(x) = sin x. sin (a -f- x) Mx.für x

TZ — a

Mn. für x = tt — —

370) „ — sin x. cos (a — x)

a . TZ

Mx. „ «=2+4»

Mn. für x =

Mx. „ cc =

371)    „ = er.cosæ

«    371

2 ' 4

, Mn.füra: = ^ 4    4

372) „

é*

5 TZ

sina;

Bisher haben wir nur solche Maxima und Minima behandelt, bei denen der Differentialquotient der Funktion endlich ist und sich stetig ändert. Es kann aber auch der Fall Vorkommen, dass die Funktion y—f(x) von x = a— ô bis x = a-\-ö endlich und stetig verläuft, der Differentialquotient f'(x) dagegen an der Stelle x = a eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet. Hier haben wir lim/"(a— ä) zu unterscheiden von lim f'(a-\- ä) bei unendlich kleinem ö. Wir können diese Ausdrücke ohne Missverständnisse zu befürchten kürzer durch f'(a — 0) und    bezeichnen. Wir ver

stehen also unter f'(a — 0) den Grenzwert, welchem sich f'(x) unaufhörlich annähert, wenn man x von kleineren Werten aus stetig wachsend an die Stelle x = a heranrücken lässt. Dagegen ist f'(a-j-0) der Grenzwert der Funktion f'(x) für den Fall, dass man x von grösseren Werten aus stetig abnehmend an die Stelle x = a bringt. Haben nun f'(a— 0) und    0) verschiedene Vorzeichen, so ist f(a)

ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f'(a — 0) positiv oder negativ ist.

Beispiel: Es sei x = a(t — sinź), y = a{ 1 — cos£), also

d*y

^ = cotg££ und

4a (sin \t)A *

dx²

Die Funktion y hat

dy

ein Maximum y = 2a mit stetiger Änderung von an der

a oo

Stelle t—ir, x = an, dagegen ein Minimum y = 0 mit un-

dy

stetiger Änderung von ^ an der Stelle ź = 0, x = 0. Hier ist'*³'

dy

cg für x = — 0 und ~ = -j- oo für x =    0.

Ct 00    Cl 00

Periodische Wiederholung mit der Periode t = 2n.

Unentwickelte Funktionen. Soll aus einer Gleichung f(x, y) = 0 ein Maximal- oder ein Minimalwert für y hervorgehen, so muss die unabhängige Variabele x so gewählt

werden, dass die Bedingung befriedigt ist ^ = 0. dy___df:df

dx dx’dy

= 0. Im allgemeinen werden in dieser Gleichung die beiden

Variabelen enthalten sein. In Verbindung mit f(x, y) = 0 giebt

sie die gesuchten Werte von x und die zugehörigen Werte

von y. Wenn für ein solches zusammengehöriges Wertpaar

d f    d f

x und y nicht nur ~=0, sondern zugleich auch «—= 0 wird,

dy    9X    3y

so ist ^ nicht mehr gleich Null, sondern unbestimmt, ein Fall, der später eingehend behandelt werden wird. Hier setzen wir voraus, dass -J- nicht verschwinde. Unter den angeführten

Da nun

so geht diese in die andere Bedingung über

df

dx

dy

Umständen reduziert sich der zweite Differentialquotient auf

d*f df dx² * dx

den Ausdruck

d*y

nach Formel (24), S. 53.

dx²

Beispiel: f=yi-\-2x*y-\-4:x— 3 = 0;

— 2y>-\-2x*.

- = Axy —J— 4 = 0

Die beiden ersten Gleichungen ergeben x = 1, y = — 1

n

wird, so ist y weder Maximum noch Minimum. Dagegen wird

in

für das zweite Wertpaar =

Maximum.

16

—, mithin ist y = 2 ein

Aufgaben.

X* 11

373)    ^ä + p— 1=0;

Für x — 0 wird y — b ein Max., y = — b ein Min.

374)    f=(x* + yy — a*(x* — y*) = 0.

Für#=0 wird y=0 weder Max. nochMin., für#==+|jj/^

wird y = ^ |/ 2 ein Max. und y — —    j/2 ein Min.

375)    f=x³ — 3a²;r + ?y³==0;

x = a giebt y — a^/2 als Max. und # = — « giebt y = — a ^2 als Min.

376)    f=Ax* — 20z — 8y-j-41 =0;

5

— macht y — 2 zu einem Min.

2 ⁹

377)    f=(y —*)« + * + 6 = 0i

x— — 6

x — — 6 -f

1 2

zu einem Max.

macht y — —

zu einem Min.

3 j/3

378) f=y² — ay — sina; = 0; a> 2;

macht y — £ a -[- ^ |/a² -(- 4 zu einem Max. und y = 4-a — 4-|/a²-|-4 zu einem Min.

Was findet sich für x = —

Relative Maxima und Minima. Gegeben ist die Funktion z = f(x, y) und weiter zwischen x und y die Gleichung <p (x, y) — 0. Es sollen nun x und y so bestimmt werden,

dass sie der Gleichung y (x, y) = 0 genügen und zugleich z zu einem Maximum oder einem Minimum machen.

Beispiel: In den Kreis <p (æ, y) — x²-|-y² — r² = 0 das an Fläche grösste Rechteck zu zeichnen, dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel laufen. Sind æ, y die Koordinaten des Eckpunktes im ersten Quadranten und also beide positiv, so ist z — 4xy der Wert, welcher ein Max. werden soll, und zugleich müssen x und y die Bedingung befriedigen: <p (X) y) — x²~\-y²— r²== 0, weil der Punkt zur Kreislinie gehört. Hier kann leicht y = j/V²— x² aus der Gleichung <p — 0 genommen und in z — Axy substituiert werden;

man findet dann, dass z = Ax\/r² — x² für x — r    ein

Maximum wird.

In vielen Fällen ist jedoch eine solche Substitution äusserst schwierig, wenn nicht ganz unmöglich, so dass die Aufgabe auf andere Weise gelöst werden muss. Da y durch die Gleichung <p = 0 von x abhängt, so muss x als die einzige unabhängige Variabele angesehen werden, und es müssen die Werte von x, welche z zu einem Maximum oder einem Minimum

d z

machen, der Bedingung — =0 genügen, d. h. es muss sein

(A)

dl — d£\d_L.dy — ₀'

dx dx ¹ dy dx

Aus der Gleichung <p — 0 ergiebt sich:

(B)

d_fP_ \ö_±.^l — o

dx' dy dx ’

Ci 77

und durch Elimination von aus (A) und (B) entsteht:

dx

df d<p    df d<p

dx

d <p

dz dx dy    dy dx ^

oder:

dy

df dtp df dx dy dy

= 0.

• (CD

d'² z d df df dy dx' dy dx

dx² dx

0 = -—

dx \_dx'd y dx J '

d \B (f -f-h<p) . d (f-\- kcp) ' dy\ dx L dx    dy 'dxJ

Aus (C) und <p = 0 findet man jetzt die Werte für x und y, durch welche z ein Maximum oder ein Minimum wird, und die weitere Frage, oh Maximum oder Minimum, wird

(Pz dx²

entschieden, welcher

wieder durch das Vorzeichen von Ausdruck unten noch gebildet wird.

Dieses Verfahren lässt übrigens folgende Abänderung zu. Die Bedingung (C) kann auch durch die folgenden Gleichungen

(D)

ausgedrückt werden, wenn l eine willkürliche Konstante bedeutet, durch deren Elimination (D) wieder in (C) übergeht. Tritt aber die weitere Gleichung <p — 0 noch hinzu, so haben wir 3 Gleichungen zwischen den 3 Unbekannten x, y und l. Da nun weiter

df i ^ <p __d(f-\-l<p) dt dx' dx    dx

ist, so dienen zur Bestimmung von x, y und À die folgenden 3 Gleichungen:

dy 1 ¹ dy

dp d(f-\-Xp)

dy

d(f-h h<p)    d(f -|- X<p)

dx    ⁷ dy

= 0, <p(x,y) = 0.

(27)

entsteht:

Es bleibt noch übrig,

<Pz dx²

abzuleiten. Aus (A) und (B)

Wird die letzte Gleichung mit l multipliziert und zur vorhergehenden addiert, so erhält man: d²z

dx²

Führt man rechts die Differentiation durch, so erscheint

mit dem Faktor

dx²

dy

multipliziert. Bei den hier in

Betracht kommenden Werten verschwindet dieser nach (27), so dass wir für unsern Fall schreiben können:

d²z _ d² (f -\- l<p) d²(f-\-X<p) ' dy dx² dx² ' dydx dx

Wird endlich ~

dx

d²(f-\-l<p)

d²z

dx²

Mi!

dx²

d²(f+i<p) , d*{f+i₉)'dĄ

dx J

dx 8y

8y²

TS !TS

gesetzt, so geht daraus hervor:

dn-{fJrl(p) d(p 8<p . d²(f-\-X<p)\ 8x8y dx dy ' dy² \

Qi Oj

Da der Nenner dieses Wertes ohne Einfluss auf das Vorzeichen ist, so wird z ein Maximum, wenn der Zähler negativ, ein Minimum, wenn der Zähler positiv ist.

Handelt es sich also darum, z = f(x, y) zu einem Max. oder Min. zu machen, während <p(x,y) = 0 ist, dann gilt folgende Regel:

Man bestimme die drei Unbekannten X, x₇ y so, dass die Gleichungen (27) erfüllt werden. Wenn die erhaltenen Werte d² z

den Ausdruck positiv (negativ) machen, haben wir ein Minimum (Maximum).

1. Beispiel: Für welche Werte von x und y wird z — xy ein Max. oder Min., wenn die Bedingungsgleichung gegeben ist:

/*+ l(p = xy + X(x* + yz — axv) ; . d(f-\-X(p)

y-\-X(3x²—ay) —■ 0

x-\-X(3y²— ax)=0.

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt x — y₇ und dann aus <p — 0 weiter:

dx

dy

s ! to

a²

d²(f-\- l<p)

dx²

Dölp, Aufgaben.

x = y = —, und endlich X = —

».

6 Ix = —

’ #=T

-6

2. Beispiel: Aus einer Seite a und dem gegenüber liegenden Winkel a soll das an Fläche grösste Dreieck gezeichnet

und t/, so ist F

. Da nun ein aus konstanten

werden. Nennen wir die an der Seite a liegenden Winkel x a² sin x sin y

2 sin a

und variabelen Faktoren zusammengesetztes Produkt seinen grössten oder kleinsten Wert annimmt, wenn das Produkt der yariabelen Faktoren am grössten oder kleinsten wird, so dürfen wir a² und 2 sin a unterdrücken und z — f{x, y) = sin x sin y als diejenige Funktion anseh en, welche durch passende Wahl von x und y zu einem Max. wird. Zugleich besteht die Relation <p = xy Ą- a — 7r = 0, so dass l <p — sin x sin y

d (f

dx

d <p

d²(f -f~ ^<p)

a*

dxdy

a²

-- = 3y² — ax — —

dy

—4- À a = 3 ; / = 3x² —

<?#

18 , folglich 0 = ein Max.

d²z

a²

4 ⁷ dx²

— cos x sin y -f- l — 0

9y

sin x cos y -|-1 — 0 ist, woraus leicht sin (# — y) = 0,

oder auch x — y — 0 erhalten wird, weil die andere Relation x — y = Tz hier nicht zulässig ist. Für y = x wird dann weiter

(f±M

dxdy

= cos²#, und da — 1, ^=1 ist, so wird für y — x dxdy

z

der Wert ^ negativ und die Fläche ein Max. Unter allen

möglichen Dreiecken mit gegebener Basis und gegebenem Winkel an der Spitze besitzt das gleichschenkelige die grösste Fläche.

dx²

sin²#

dy²

sin²#

Eine andere Aufgabe, nämlich die: In einen gegebenen Kreisabschnitt das grösste Dreieck zu zeichnen, fällt mit dieser genau zusammen.

Aufgaben.

379)    Wie gross muss der Winkel an der Basis eines gleich-schenkeligen Dreiecks in gegebenem Kreise gewählt werden, wenn die Fläche des Dreiecks ein Max. werden soll?

Wenn r der Halbmesser des Kreises und x der gesuchte Winkel ist, so ist F= 4r²sin³#cos# und wird Max. fiir cos x = %, oder x = 60°. Im Kreise hat das gleichseitige Dreieck die grösste Fläche.

380)    In einem Dreieck ist die Basis = a und der Winkel an der Spitze = a gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn sein Umfang ein Max. werden soll?

Sind x und y die beiden anderen Seiten, so ist:

f=x-\-y-\-a

<p = Æ² -j- y² — 2 xy cos a — ar = 0.

Man findet f als Max. für x — y.

381) Eine Strecke a ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt aus den Längen der Abschnitte ein Max. wird.

z — xy i <p

= x-\-y — a = 0 ; z wird Max. für y — x = ^

382)    Die Summe der beiden Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks ist konstant, nämlich x-\-y = 2 s. Wie sind die Katheten zu wählen, wenn die Hypotenuse z ein Min. werden soll?

z = Min. für x — y.

383)    Zwischen den Schenkeln eines Winkels «, dessen Scheitel A ist, liegt ein Punkt M. Man soll durch M eine Gerade ziehen, welche die Schenkel in B und C schneidet und zwar so, dass das Dreieck ABC ein Min. wird.

Wir ziehen durch M zu AC eine Parallele, welche AB in D schneidet. Gegeben: AB — a, MB = b ; gesetzt: AB = x, AC=y. F=^xysma, oder

« i ^

x~ y

z — xy] <p = oder MB = MC.

384) In der Basis AB eines Dreiecks ABC ist ein Punkt M gegeben; eine Parallele zu AB soll AC in B und CB

— 1 = 0. F = Min. für x = 2 a,

in E schneiden. In welcher Entfernung von der Basis muss DE gezogen werden, wenn das Dreieck DEM ein Max. sein soll?

Wir setzen Basis AB = c, Höhe des Dreiecks ABC = h, Basis DE—y, Höhe des Dreiecks DME= x und haben: F=^xy₁ <p = cx-\-hy — c/& = 0; ,F=Max.füi'x — \h.

385)    Die Grundlinie b und die Höhe h eines Dreiecks sind gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn die Summe der beiden anderen Seiten ein Min. werden soll?

Çu

Sin    x und y die Winkel an der Basis, so ist

z — ~--\--r— die Seitensumme, bh = 2F=    ^

sin x sin y    sin [x -j- y)

Für x — y wird z

oder <p — cotg x -J- cotg y — -^ = 0. ein Min..

386)    Auf den Seiten AB und BC eines Dreiecks sollen die Punkte D und E so gefunden werden, dass ihre Verbindungslinie DE das Dreieck halbiert und ein Min. wird.

BD = x, BE=y, BA = c, BC—a;

n n

DE² = x² -\-y²— 2xycosB, <p = xy--— = 0. Man fin

det z = x² -j- y² — ac cos B = Min., wenn x —y = ^.

Die Aufgabe, „von einem Dreieck DBE ist der Inhalt und der Winkel an der Spitze gegeben, die Grundlinie soll ein Min. werden“, fällt mit der vorstehenden zusammen.

387) Eine Gerade DE und 2 auf der nämlichen Seite gelegene Punkte A und B sind gegeben, man soll in DE einen Punkt C so finden, dass ACĄ-CB ein Min. wird.

Man ziehe AB und BQ senkrecht auf DE; setze AB=P, BQ = q, PQ = c]    ACP = x, <£BCQ = y,

so ist z=zAC-\-BC— V

sin# sin y' q cotg y—c — 0; z wird Min. für x — y.

<p — p cotg x -j-

Ist A CB der Weg eines Lichtstrahls, so liefert die Lösung dieser Aufgabe das Gesetz der Reflexion durch die Forderung, dass der Weg ein Min. sein solle.

388)    Ein Winkel B und eine Strecke DE=b sind gegeben. Es soll b so in den Winkel eingetragen werden, dass die Endpunkte D und E auf die Schenkel des Winkels fallen und das Dreieck DBE ein Max. wird.

Es sei BD = x, BE = y\ F=^xy sin B, <p — x2 -]- y²— 2 Æi/cos 2?—b² — 0.    2?=Max. für x = y.

Man vergleiche den Zusatz zu 386). — Die Aufgabe bietet eine andere Fassung und andere Lösung von Beispiel 2.

389)    Gegeben ist ein rechter Winkel mit dem Scheitel A und auf dem einen Schenkel die Punkte B und C. Man soll

auf dem andern Schenkel einen Punkt D so finden, dass Winkel BDC=v möglichst gross wird.

AB = b

AC=c

AI) = x, <QABD = ß

(c — b)x

, x

tgy=-i tgv =

wird mit v selbst Max. für x — F\/bc.

390) Welches von allen Vierecken, die aus den 4 gegebenen Seiten a, &, c, d konstruiert werden können, hat die grösste Fläche?

<AOD=r,

bc-\-x²

Ist x der von a und &, y der von c und d eingeschlossene Winkel, so ist 2 F= ab sin x-\-cd$my. Durch die Diagonale wird die Relation vermittelt:

<p = 2 ab cos x — 2 cdaosy — a² — b²-\-c²-\- d² = 0. Man findet, dass für sin (x -f- y) = 0, d. h. x-\-y = 7i F ein Max. wird. Das Viereck ist also ein Kreisviereck.

391) In eine Ellipse soll das grösste Rechteck gezeichnet werden, dessen Seiten den Achsen der Ellipse parallel laufen.

Gl. der El.: x — acost, y = bsint]

oder:

F= Axy = 2 ab sin 2 t — Max. für t — 45° x = a\/^, y = b .

392)    Wie ist der Halbmesser eines Kreises zu wählen, wenn ein Sektor von gegebenem Umfang = 2 a die grösste Fläche besitzen soll?

Ist der Halbmesser =x und der Bogen =2 y, so ist

Ci

x-\-y — a und F=xy ein Max. für x = — .

393)    Ein Parabelsegment wird durch eine zur Achse senkrechte Sehne BG begrenzt, deren Abstand vom Scheitel A gleich a ist. Eine zweite Sehne MN soll parallel der ersten innerhalb des Segmentes so gezogen werden, dass das Rechteck, dessen eine Seite MN ist, und dessen Gegenseite in BG liegt, die grösste Fläche besitzt.

Sind a?, y die Koordinaten des gesuchten Punktes M,

so ist F=y{a— x) und y*=2px] F— Max. fürx — ^.

ö

394)    Die vorhergehenden Angaben; jetzt soll der Umfang des Rechtecks ein Min. werden.

%U=y -\-a — x] y‘² = 2px. Man findet U = Min. für y=p, x = \p.

395)    Zwei Tangenten eines Kreises bilden einen Winkel =2 a. Wie ist eine dritte Tangente zu legen, wenn das dem Kreise umschriebene Tangentendreieck ein Min. werden soll?

Die Winkel, welche die dritte Tangente mit den gegebenen bildet, mögen 2x und 2 y sein; dann ist:

JF=r²(cotga:-j-cotgi/-|-cotga) und <p — x y -\- a — 90° = 0. F wird Min. für x = y.

396)    In einem Kreise ist eine Sehne AB gegeben, und es soll im kleineren Abschnitt zu ihr parallel eine zweite Sehne CD so gezogen werden, dass das Paralleltrapez ABCD ein Max. wird.

Es sei M der Mittelpunkt, MH der zu AB senkrechte Halbmesser, <?£AMH—a, CMH= x, so ist 2 F= r² (sinaj-f- sin a) (cos x — cosa) und wird Max. für

x =    , wie aus der Bestimmungsgleiehung cos 2 x

O

= cos (x — a) folgt.

397)    Es soll bewiesen werden, dass der Kreis als das reguläre Vieleck angesehen werden kann, welches bei konstantem Umfange die grösste Fläche besitzt.

Ist x die Seitenzahl und P der Umfang des Vielecks,

P²    n

dann wird seine Fläche F = j~ cotg — ein Max., wenn

4Æ/    X

. 2 7T 2 TC sin — - —

d. h. x — co ist.

X X '

398)    Ein gerader Kreiskegel, dessen Spitze A heisst und dessen Basisdurchmesser BC=2r und dessen Seitenkante AB = s ist, soll durch eine zu AC parallele Ebene so geschnitten werden, dass der Inhalt der entstehenden Parabelfläche ein Max. ist.

Es sei S der auf AB gelegene Scheitel, SD die zu AG parallele Achse der Parabel, mithin D ein Punkt von BG. Es sei ferner SD = x und die zu x gehörige Ordinate =t/, so ist F=fxy und y* = BD. DG

= D G(2 r — DG). Daraus ergiebt sich y = — y sx — x²

und F wird Max. für x = £s oder AS = \ AB.

399)    Um ein Rechteck soll die an Fläche kleinste Ellipse beschrieben werden.

a und b die halben Rechteckseiten, x und y die Halb-

= 0. Es wird

achsen. F= xyn und <p = — ~j—^ — 1

x“ y

P=Min. für x = a\/2, y = b\/2. — Vgl. 391).

400)    Um ein gleichschenkliges Dreieck soll die an Fläche kleinste Ellipse gezeichnet werden, deren kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks läuft.

Spitze des Dreiecks A, Basis BC=2n, Höhe =h. Sind u und v die Halbachsen, so heisst die Scheitelgleichung der Ellipse: m²y* — v² (2ux — x²) und so besteht die Relation: u² n² = v² (2 uh— h²). Die Fläche F = uv7t wird ein Min. für u = %h.

401) In ein gleichschenkliges Dreieck soll eine Ellipse so gezeichnet werden, dass sie die Seiten des Dreiecks berühre, dass ihre kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks laufe und dass ihre Fläche ein Max. sei.

AB = 2n die Basis, C Spitze, DC = h Höhe und zugleich X-Achse, AB F-Achse, u und v Halbachsen. Nun ist u²y² = v² (2ux— x²) die Scheitelgleichung der Ellipse

Yl

und y = — ^ x-\-n die Gleichung von AC. Suchen wir

die Abscissen der Schnittpunkte zwischen der Ellipse und AC und setzen den Wurzelteil gleich Null, so ist dies die Bedingung dafür, dass die Gerade die Kurve be-

— n² — 0 : F = uvjt wird

rührt. Sie heisst: v² Ą--=—

h

Max. für u — —.

402) In ein gleichschenkeliges Dreieck soll eine Parabel so gezeichnet werden, dass ihre Achse auf der Mitte der Grundlinie rechtwinkelig stehe, dass sie die beiden gleichen Seiten berühre und das von der Basis begrenzte Parabelsegment ein Max. sei.

Es sei A die Spitze, Ji die Höhe, BC =2 n die Basis des Dreiecks, A der Anfangspunkt der Koordinaten, S der Parabelscheitel, AS = u. Die Achse der x geht durch die Mitte der Grundlinie des Dreiecks. Die Parabelgleichung heisst: y² = 2p(x— w), die Gleichung von

AB: y = —x = kx. Als Bedingung dafür, dass AB die

Kurve berühre, wird gefunden: p — 2k²u — 0, worin auch p noch unbekannt ist. Die Fläche F = f[/2p(Ji— u;)⁸

wird ein Max. für u = ~.

403)    Ein Kreis ist durch eine Gleichung y² = 2rx— x² bestimmt. Anfangspunkt und X-Achse des Systems sind zugleich Scheitel und Achse einer Parabel, welche den Kreis in den Punkten B und C schneidet. Wie muss der Parameter p der Parabel gewählt werden, wenn das von BC begrenzte Segment derselben ein Max. werden soll?

Die Koordinaten von B mögen x und y sein, dann ist F=%xy, y² = 2px und y² = 2rx— x², woraus

4*

folgt, dass F—f [/p (r—p)³ ein Max. wird für p =

404)    Welcher von allen geraden Kreiscylindern, deren Oberfläche = a² ist, besitzt das grösste Volumen?

x = Basishalbmesser, y — Höhe, V — x² y n,

<p = 2nx (x -j- y) — a²; V wird ein Max. für y = 2 x.

405)    Ein gerader Kreiskegel soll parallel zur Basis so geschnitten werden, dass der zwischen der Schnittfläche und der Kegelbasis gelegene Kreiscylinder an Volumen ein Max. ist.

r = Basishalbmesser, h — Höhe des Kegels; x = Basishalbmesser, y = Höhe des Cylinders. V = x² y n ;

2 T

<p = hx -}- r y — Ji r — 0 . F wird Max. für x — — ,

ö

406)    Welcher von allen geraden Kreiskegeln von gleicher Seitenlange = s hat den grössten Kubikinhalt?

Das Volumen wird ein Max., wenn der Basishalbmesser = s\/1 ist.

407)    Aus einem Kreise, dessen Halbmesser r ist, soll ein Sektor so geschnitten werden, dass der übrig bleibende Teil der Kreisfläche, als Kegelmantel verbraucht, einen Kegel bestimmt, dessen Volumen ein Max. ist.

Ist x der Halbmesser der Kegelbasis, so wird V ein Max. für x = r [/f.

408)    Eine Pyramide soll parallel zur Basis durchschnitten und die Schnittfläche als Endfläche eines Prismas benutzt werden, dessen kongruente Grundfläche in der Basis der

Pyramide liegt Wo ist der Schnitt zu führen, wenn das Volumen des Prismas ein Max. werden soll?

B Grundfläche, h Höhe der Pyramide; y Grundfläche, x Höhe des Prismas. Es ist y:B = (Ji — x)²:h² und

V = xy Max. für x = — , —-(Vgl. die Aufgabe mit 405).

409)    Dieselben Angaben, nur soll statt des Prismas eine zweite Pyramide konstruiert werden, deren Grundfläche die Schnittfläche ist und deren Spitze in der Basis der gegebenen Pyramide liegt.

410)    Dieselben Angaben, nur sollen statt der beiden Pyramiden 2 Kegel gesetzt werden.

411)    In der Achse einer Parabel ist ein Punkt B gegeben und man soll senkrecht zur Achse zwischen B und dem

Scheitel A eine Sehne CD so ziehen, dass der Kegel, welchen das Dreieck BGB bei seiner Drehung um die Parabelachse erzeugt, möglichst grosses Volumen habe.

Schneidet CD die Achse in P und ist AB = a, AP= x,

ein

CP=y, so ist y²— 2px = 0 und V— Max. für x — % .

412) Eine regelmässige Pyramide mit quadratischer Basis soll so in eine Kugel gezeichnet werden, dass ihre Ecken in der Kugeloberfläche liegen und ihrVölumen ein Max. sei.

Ist x der Abstand der Grundfläche von dem Kugelmittelpunkt und y die halbe Seite dieser quadratischen Grundfläche, so ist V = \ y² (rx) und x²-\-2 y² — r² = 0.

Y

Für x = — wird V ein Max.

O

413) Für welchen Punkt eines Ellipsenquadranten schliessen Durchmesser und Normale den grössten Winkel ein? Ellipsengleichung b²x²-\-a²y² — a²b²; gesuchter Punkt

x,y] gesuchter Winkel = <p] t g^ = ein Max. für x — a, y = b\/\-

xy wird mit xy

a² — b2 a² b²

414)    Nachzuweisen, dass die Tangente durch den in der vorhergehenden Aufgabe gefundenen Punkt mit den Achsen ein Minimaldreieck einschliesst.

415)    Zwei Kugeln liegen ganz auseinander. In welchem Punkte ihrer Centrallinie kann das Max. der Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

416)    Uber der Centrallinie zweier Kugeln als Durchmesser ist in irgend einer der hindurchgehenden Ebenen ein Kreis beschrieben. Von welchem Punkte dieses Kreises aus kann die grösste Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

§11. Die Reihen von Taylor und Maelaurin.

Mittelwertsatz. Wenn die Funktion f(x) und ihr Differentialquotient f{x) zwischen x = a und x = b überall stetig ist, und M das Max., m das Min. von f'(x) in diesem Intervalle bedeutet, so setzen wir

0 (x) = f{x) — f(a) — M(x — a) <p (x) = f(x) — f(a) — m (x — o).

Dann ist in diesem Intervall

0' (x) — f{%) — M < 0,    <p'(x) = f'(x) — m >> 0,

also wächst in ihm <p(x) ununterbrochen, während <P(x) ah-niinrnt (vgl. S. 64). Da nun für x = a die Funktionen <P und (p verschwinden, so ist &(b) negativ und <p(b) positiv, d. h.

f(b) — f(a) — M(b — a) < 0, f(b) — f(a) — m(b — a) > 0.

Lässt man also die Variabele t in das Intervall von a bis b durchlaufen, so wird <p für f'—M negativ und für f'=m positiv werden. Folglich giebt es ein t zwischen a und ö, für welches <p(t) = 0 wird. Bezeichnen wir dies t mit a-\- 0(b — a), wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet, so folgt

f(b)-f(a) = (b — a)f\a+0(b-a)) (O^0^1). (28)

Dieser Satz heisst der Mittelwertsatz. Wir können ihn geometrisch leicht repräsentieren: Wenn eine Kurve

Fi g. 10.

zwischen A und B stetig verläuft und das Steigungsmass ihrer Tangenten für die gleiche Strecke B stetig sich ändert, dann giebt es zwischen A und B mindestens eine Tangente Aj B₁, welche der ß, Sehne AB parallel läuft.

Aus dem Satze folgt: Wenn f(a) = 0 und f(b) = 0 ist, dann _ giebt es für f'(x) = 0 eine Lösung, die zwischen x = a und x — b liegt.

Taylorsche Reihe. Es sei f(x) eine Funktion, die nebst ihren ersten n Ableitungen auf der Strecke von a bis b einwertig, endlich und stetig sein soll. Wir betrachten die Funktion

4> (x) = f(b) — f(x) — b~Y^f'(x)

(b — xy

1.2

jb-xy-'

1.2 ... (n — 1)

Yn~»{x)

(b — x)PK

in welcher p und K von x unabhängige Grössen sein sollen. Wir wollen K durch eine lineare Gleichung so bestimmt denken, dass ^(a) = 0 wird. Die Form von ÿ zeigt, dass auch </>(jb) = 0 wird, wenn p positiv ist. Nach dem Zusatze zum Mittelwertsatze giebt es daher einen Wert x = $ zwischen a und b für den

(b — x)n~¹

fW(x) + (b — x)P~lK

verschwindet; d. h. es giebt einen Mittelwert f, für den

f(n)( c)

(6 — $)n~P

wird. Setzt man dies in ^ (a) ein, so wird, da <p (o) = 0

(b-ay 1.2

to

(b — ay {b — £)n~P p.l. .. (n — 1)

Statt a und 6 schreiben wir æ und    statt £ wieder

a -f- (b — a) 0 = x -{- h 0 ; dann entsteht

7&²

1.2

7in(l — 0)»-*

jp. 1.2 .. (n — 1)

/■(w) (a; -)- 6 /<).

‘ 1.2 .. (w — 1)

Das letzte Glied nennt man den Rest der Reihe und schreibt dafür R. Setzt man in ihm p = 1, dann hat man die La-grangesche Restform

-l

ft»(i — e)n

fW(x-j-0A),

und für p — n entsteht die Cauchysche Rcstform

Ri =

1.2 ... (» — 1)

i?n

7in

1.2..

(29) ist die Taylorsche Reihe. Sie ist abgeleitet unter der Voraussetzung, dass die Funktion f(x-\-h) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur wten Ordnung einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle h = 0 in sich enthält.

Maclaurinsche Reihe. Wird in (29) statt x geschrieben 0 und x statt h. so folgt die Reihe (30) fix) = fioy+ f f (0) + ^ r(0) +.. .

xn~l

(1 — 0)n~Pxn

p. 1 .2 .. (». — 1 )

1.2... (n — 1)

f(n) x)

und insbesondere

m>=

(1 —0)n-lxn F. 2.. (n — 1)

fW(Ox), Bfÿ

xn

— fw(@x).

Sie ist gültig, wenn die Funktion f(x) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur wten Ordnung-einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle x — 0 in sich enthält.

Natürlich fordert die Berechnung von    f"{0)..., dass

zuerst f (x), f"(x)... gebildet und darin x = 0 gesetzt wird.

Ist in (29) lim R = 0 für n = co und die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt für die Funktion und ihre sämmt-lichen Differentialquotienten, so darf man die unendliche Reihe ansetzen:

1.2..

ï^r/(a) + ... (31)

Ebenso darf man in (31) die unendliche Reihe nehmen, wenn lim Rl =0 für n = oo und wenn die oben ausgesprochene Bedingung für die Funktion und ihre sämmtlichen Differentialquotienten erfüllt ist. Dann hat man:

A «+*)=/»+f /» +    («) 4

rt*W(o)+ff(0)+^r(OH

i~r(°)+...

Die Bedingung: lim R — 0, resp. lim R⁽⁰⁾ =0 für n — oo fordert mehr als die blosse Konvergenz der entstehenden unendlichen Reihen; denn bei blosser Konvergenz kann R sieli auch einer von 0 verschiedenen Grenze nähern.

(32)

Aufgaben.

Zu f{x) = xn gehören die Werte f (a) = n an~l

417) Das Binomium. f{a) = an,

f" (o) = n(n — 1) (w — 2) an~³, usw. von Taylor erhält man f(x-\-d) oder:

—1t4~ n(n— 1) a7l~²v~ii

1    1. Z

f" (a) — n{n — 1 ) an~ ², Nach der Reihe

(a -f- x)n = a¹¹ -J- n an

+ n 0 — 1) 0 — ²) an~³

x:i

1.2.3

418)    Die Reihe für (1 x)~n zu finden. f(x) — x~n, f( 1) = 1.

r(i)=-«,r(i)“»(»+i),r,(i)”-»(»+i)(»+2)

usw.

2    3

(1+a;)-n= 1 -n J+w(n+1 ) ^2 -w(w+1 )(w+2)    + •..

419)    Man entwickele den Ausdruck [/l-\-x in eine Reihe.

f(x) =    , f (x) = £aT*, f"(x) = — ¹ x~t

daher /(l) — 1, f( 1) = |, f\ 1) =-

l^-l+'l

1.3 æ³

4 ¹ 2.4 6

usw.;

usw.

420)    Man leite die Reihe her:

rH

421)    Wenn /'(ic) = #³ — 3 x~ -f- 4 x — 5 ist, soll f(x-\-2) entwickelt werden. Es ist /(2) = — 1, f'{2) = 4, f"(2) = 6,

f'"(2) — 6; /*(a? + 2) = — 1+ 4 a;-f 3ä;² + ^³.

422)    Nach der Formel von Maclaurin soll abgeleitet werden:

a-\-x ___a b -\-x b

423)    Die Reihe für ax. f{x) — aæ, f(0) = 1, f'(0) = ]g a, f"(0) = (lg a)², /"'(0) = (lga)³, usw.

= l + flga + ï^(lga)² + I^₇3(lga)³ + ...

Daraus geht die Reihe für ex hervor, wenn man e statt a setzt, wodurch lg a zu lg e = 1 wird.

424)    Die Reihe für lg (1 -f- x). f{x) = lg x, f{ 1) = 0,

ra)=i, ra)=-1, nx)=2, r'a)=-1.2.3,

y(y) (l) = l. 2.3.4, usw.

_ = 2 I-4- — 4- — 4-a; \ 1 ^ 3 ^ 5 r

1.3

irs*²

1-3.6 .

2.4.6

ax

6²

&    I (X    1)    ft I ^

+-

lg (1 — x) = — x — —

ig¹⁺"

-xz-\-. . .

Durch Substitution von x

geht die vorstehende

2 z -j- 1

in folgende ftir die Berechnung bequeme Formel über:

[    ¹ i .

|_22-|-1Tî (2*+l)

Aus ax = y folgt Lgy = x (für die Basis a); andrerseits ergiebt exlga = y die Beziehung \gy = x\g a, und daraus

\g(z+\) = \gz-\-2

(2*+l)

—ky, Lg(i + s) = jA-ig(i-f-s)-

Lg y

Will man also Lg(l-J-æ) in eine Reihe entwickeln, so kommt man auf die für lg (l-j-æ) zurück, nur dividiert durch lga. Die einfachste und natürlichste Entwicklung wird also für a = e stattfinden. Deshalb heissen die zur Basis e gehörigen Logarithmen die natürlichen.

425)    Nachzuweisen, dass:

(l + «*)» = 8 + 12^ + 24₁^ + 54i^>3 , ...

426)    Die Reihe für sin (a: —«). f{x) = sin#, /‘(a) = sin«, f'(a) = cos a, f"(a) = — sin a, usw.

lg a

OC    00^

sin(;r-}-flO = sina-}-cosa---sina-—-

1    1 . Lu

— cos a

xs

1.2.3

Für a — 0 wird: sin x — x

xh

1.2.3

1.2.3.4.5

427) Die Reihe für cos (æ-f-a). f{x) — cosæ, f(a) = cosa, f'(a) = — sin a, /"(a) = — cos a, f"'(a) — sin a, usw.

x² .    . x

n2+s,nar2.3 ■ -

cos(a-f-#) = cosa—sina'^

— cos a

Für a — 0 erhält man:

cos X = \ — -

xi

1.2

1.2.3.4

428) Auf ähnliche Weise entwickelt man:

- .    1 x , 2tga x² , 2(l + 3tgV) x

tg(a + x) *gaJr COs²a 1 ⁺ öos²a 1.2⁺ cos’a 1.2.3 ¹ *"

Das Gesetz der Koefficienten ist hier nicht übersichtlich.

429) Nach der Formel von Maclaurin soll f(x) — cos²# entwickelt werden.

cos²# = 1

2-4-8_—

1.2^1.2.3.4

32

#⁶

1.2....6

430) Mittelst der Reihe von Maclaurin ist die Formel von Moivre albzuleiten. Gegeben ist f(x) = (cos # —|— ^ sin x)n.    Man

findet: f (#) = n (cos # -j- i sin #)n~¹ (— sin # -}-i cos #) = = ni(cos#-|-isinx)n — ni.f(x), und daraus folgt, dass f" (x) — ni. f (#) = (n i)² f(x) ist usw. Nun ist f(0) — ly f'(0) = n *, f” (0) = — n²₁ f'" (0) — — n\ usw., und

n² x²

(cos # -j- i sin x)n = 1

n⁴#⁴

1.2

1.2.3.4

i -(nù

nsx³

1.2.3

oder nach den für sin # und cos # entwickelten Reihen:

(cos # i sin x)n — cos (n x) -}- i sin (n #).

431) Die Funktion f(x) = arc sin# soll in eine Reihe entwickelt werden. Weil die höheren Differentialquotienten wenig einfache Formen annehmen, benutzen wir die sogenannte Methode der unbestimmten Koefficienten, die stets mit Sicherheit angewendet werden darf, sobald die Möglichkeit der Entwickelung fest steht. Wir setzen:

arc sin # = A-\~Bx-\-Gx² D xzEx*

und finden sofort A = 0 für # = 0. Wird auf beiden Seiten differentiiert, so entsteht:

—== = B r 2 Cx 4- 3 D x² + 4 Ex* -f...

1/ _L 00

Für die linke Seite liefert Aufgabe 420) die Reihe:

1.3.5

2.4.6

(1 —#²)~ł== l + -|#²-f^?#⁴ +

Dölp, Aufgaben.

arc sin x = a: -f- —

lxs . 1.3 a:⁵ . 1.3.5a:⁷

2 3 '2.45 ¹ 2.4.6 7

71

Für x = 1 wird arc sina; == —.

u

432) Die Reihe für arctga:. Setzt man:

arc tga: = A~\-Bx-\- Cx* -j- Dx3JrExi -j-.. so ist A = 0 für x = 0. Die Differentation giebt

1 Ą-X

Da nun weiter, wie bekannt

und so erhält man durch Vergleichung: B= 1. C= 0, 1)

2.3

E = 0, usw.,

B-\-2Gx~\-3Dx‘²-\-AEx³~{-...

1 -j-cc²

so findet man durch Vergleichung, dass:

I?=l, (7=0, D =—    E=0, usw.

rp    rp 3    /yi5

.    «a/    «X/    »    «4/

arc *^ = 1-3 + 5

7T

Für a: = 1 ist arc tg a: = -, und man hat:

— = 1 —jl-4-4- — J-4-JL —

Ą x 3 I 5 IT 9

Werden die Glieder paarweise vereinigt, so entsteht die zur Berechnung von n praktischere Form:

1.3 ' 5.7 ¹ 9.11 Setzt man tga = £ und tgß = ±, so ist tg(a-|-/9) = l

und daher (a-\-ß) = Man darf mithin setzen:

ï ⁼ (l+?)‘4(5⁵ + p)+l(^+è)

ln allen vorstehenden Aufgaben ist jedesmal die Restform der Maclaurinsohen Reihe zu untersuchen.

Zum Schlüsse dieses Kapitels stellen wir noch einige später notwendige Formeln auf. Wird in der Reihe für ex an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix gesetzt, so entsteht:

eix = 1

xa

1.2

1.2.3.4

1.2....6

+'(r

1.2.3

1.2.3.4.5

oder es ist eix = cosx-\-isina:, und allgemein:

einx _ C08    _[_ i sjn çnxy

Da nun auch ei1lx = (cos æ-f-^ sin #)n ist, so erhalten wir leicht durch Vergleichung die Formel von Moivre wieder. Aus

(33)

folgt leicht:

eix= cos æ-f-^ sin # und e~‘ix — eosx — «sin#

cos# ==

ßix _J_ ß—ix

sinÆ =

eix__e-ix

2i

(34)

worin auch nx statt x gesetzt werden darf.

Tritt ebenso in Aufgabe No. 424) an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix, so erhält man:

¹+ix -o,-

1 — ix

lg

(f

x³ L #5 3~~ ~h

woraus dann unter Berücksichtigung der Reihe für are tg x folgt:

arc tg x « — lg -j

1 -j- ix

— ix'

(35)

Funktionen von zwei unabhängigen Variabelen.

§ 12. Entwickelung¹ der Differentialquotienten.

Sind in der gegebenen Funktion z = f(x, y) die beiden Variabelen x und y unabhängig von einander, so können die Werte, welche z nach einander annimmt, wenn man den Variabelen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden:

In der gewöhnlichen Koordinatenebene benutzt man in bekannter Weise das gewählte x und y zur Festlegung eines

Fig. 11.

‘M

Punktes JD (Fig. 8), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Raume. Bei mehrwertigen Funktionen findet man mehr als einen Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M vermöge der Gleichung z = f (x, y) annehmen kann, ist eine Oberfläche.

Eine Änderung des Funktionswertes z — f(x,y) kann nun auf dreierlei Weise veranlasst werden, und zwar:

1)    dadurch, dass bei festem y nur x übergeht in xtl

2)    dadurch, dass bei festem x nur y übergeht in yi,

3)    dadurch, dass gleichzeitig x und y übergehen in xx und yv Demgemäss müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich:

1) f{xi,y) — f{x,y)\ 2) f(n,yx) — f{x,y)] 3) f^yj — ffry).

Dass man die Werte:

f{^y)—f(^y) ₅ ?f_ = lim

dy

dJ- = lim

yx — y

aq — a:

die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde Pg. 15 und 17 erörtert, wo sich auch der Modus ihrer Ableitung angegeben findet. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung dz zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfährt, dass sich die beiden Variabelen x und y gleichzeitig um die verschwindend kleinen Werte dx und dy ändern. Wenn den beliebig, aber doch ganz bestimmt gewählten Werten aq y und aq, yx die Funktionswerte z und zv zugehören, so ist [zt—z) = f(x₁,y₁)—    oder:

hl (Xl -x) + fJMÀ=Î^È (ÿi _ y),

Durch den Übergang zu den Grenzen wird dieser Ausdruck in den folgenden übergeführt:

dz =

df

df

(36)

■ftdx+jjdt.

Wird diese Formel nach ihrer eigenen Anleitung nochmals differentiiert und dabei berücksichtigt, dass dx und dy konstante Werte sind, so entsteht:

df

d²z —

Dxdx +

df

dy

dy

dx

ax-\

- dy

d²z =

d-f

dx²

da;²+ 2

d²f

dxdy

d*f

dxdy -}- --^dy².

dy

Aufgaben.

433)    z— 3 x² -Ą- xy- y*

434)    z —

xy

x+y

435) z — \fx²—y²

436) z = (2x — 5 z/²)³

dz — (6x+y²)dx+(2xy \ 4y*)dy x² dy -\- y²dx

” ~    (*+yY

xdx — y dy j/x² — y²

„ = 3{2x-by²)²(2dx-10ydy

437)    = t/ sin a? —J— cos (a? — y)

438) z = (sin 3 x -(-cos y)²

dz — [y cos x — sin {x — y)] dx -j- [sin x -f- sin (x — y'j] dy

dz — 2 (sin 3x-{- cos y) (3 cos 3 xdx — sin y dy) 439) z — x*—axy-\-y~ d²z = 2(dx~ — adxdy -f- dy²)

d²z = eF (y² dx²-\- Aydxdy-\-2dy²).

440) z — y²(F

§ 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen.

Wenn auf der eingangs des vorhergehenden Paragraphen erwähnten Funktionsoberfläche der Punkt M von der XF-Ebene einen Abstand z hat, der algebraisch grösser ist als für alle Punkte seiner unmittelbarsten Umgebung, so nennt man ihn einen Maximalpunkt; ist er dagegen kleiner, so heisst er ein Minimalpunkt. Der zugehörige Funktionswert z wird dann ein Maximum, beziehungsweise ein Minimum genannt. Werden durch einen solchen Punkt M nach beliebigen Richtungen Ebenen senkrecht zur XF-Ebene gelegt, so entstehen auf der Oberfläche Schnittkurven, und es müssen alle Tangenten, welche durch M an diese Kurven gelegt werden können, parallel zur XF-Ebene sein. Legen wir in der XF-Ebene beliebige Kurven durch denPunktD,so entsprechen diesen ebenfallsbeliebige Gleichungen zwischen den Variabelen x und y. Jedem Punkte einer solchen Kurve entspricht ein bestimmtes Wertpaar x und und diesem wieder ein ganz bestimmtes $, woraus dann folgt, dass jeder Kurve in der XF-Ebene eine gauz bestimmte Kurve auf der Funktionsoberfläche entsprechen muss. Kann nun ein Wert z so gefunden werden, dass er für alle diese Funktionskurven ein Maximum oder ein Minimum vorstellt, so ist er auch ein Maximum oder ein Minimum der Funktion. In § 10 haben wir Werte für x und y ermittelt, für welche z — f(x, y) ebenfalls ein Maximal- oder ein Minimalwert wurde, doch mussten die gefundenen Werte noch weiter der Bedingung genügen: <p (x, y) = 0. Daher unterscheidet sich unsere jetzige Aufgabe von der damaligen nur durch den Umstand, dass die erwähnte Bedingung ganz fehlt, d. h. die Abhängigkeit zwischen x und y beliebig gewählt werden darf. Fügen wir deshalb der gegebenen Funktion z = f(x,y) noch die willkürliche Bedingung <p(x,y) = 0, oder statt ihrer noch die beiden willkürlichen Bedingungen x = % (t), y = (p (t) hinzu, so ist diese Aufgabe auf die frühere zurückgeführt. Hierdurch ist z in eine Funktion der einzigen Varia-belen t umgewandelt, und es muss für den Fall eines Maximums oder Minimums:

dl _l ül.dy ₌ q

dx dt ' dy dt

dx

dy

sein. Bei der Willkürlichkeit von — =x' und = t/' kann

dt    dt J

diese Bedingung nur erfüllt werden, wenn:

£f-o.

Sf

dx

0 und

dy

(37)

Aus diesen Gleichungen gehen diejenigen Werte von x und y hervor, welche z zu einem Maximum oder Minimum machen. Diese selbst werden, wie gewöhnlich, durch das Vorzeichen des zweiten Differentialquotienten von einander unterschieden. Es ist: (Pz_ dt² dx

d²f

dy

dx²

dxdy

d²f

Gemäss der Relationen (37) wird:

dxdy

B'f , , JPf ,₂

dxdyX V +dy*y •

X' + W,y)'

Die zweiten Differentialquotienten sind hier konstante Grössen, weil sie mit den aus (37) hervorgehenden Werten von x und y zu bilden sind. Wir nennen sie a, b und c und haben:

d²z

{ax' -\-by'Y-\-{a c — b²) y'²

dt²

= a xf 2 -{- 2 b x' y' -j~ c y"¹ =

Der letzte Ausdruck bleibt für alle Werte von x' und y' positiv, wenn (a c — b²) > 0 und zugleich a > 0 ist. Die Funktion hat dann ein Minimum. Ist dagegen (ac—b²) > 0 und a < 0, so

muss der Ausdruck stets negativ werden, wie man x' und y' auch wählen mag. Die Funktion hat ein Maximum. Ist endlich (ac — &²)<0, so kann der Wert durch geeignete Wahl von x' und y' nach Belieben positiv oder negativ gemacht werden. Hiernach ist es für Maximal- oder Minimalwerte ein

8~f 8-f

gemeinsames Erfordernis, dass ^2 ' ^ ÿ

und es ist dann

-    / <9 y y

\8x8yJ

> 0 ist,

z ein Maximum, wenn

3*f

8x~

<0,

z ein Minimum, wenn

8_*f_ 8 x²

>0.

Aufgaben.

441)    z — x--\-y--\-xy—6aj—4«/—J—5 Min. fürx — -f, y — |

442)    z = x² — 6xy-\-y³ -\-3x-\-6y    „    „ x—y,y = 5

443)    z = Axy + i + i

444)    £ = (a? + */)² — (a? + 5 y + xy)

y ⁼ y \J 2

»    » x = — 1, y — 3

445)    z — xy-{a — x — y)³

446)    0 = sin x -f- sin y -j- sin (x -f- y)

447)    z = sin x sin y sin (a — x — y)

Max. für x = y = ^

»    » x = y = 60°

448) z — x³ — 3axy-\-y³

„ x = y — a.

449) DasVolumeneines rechtwinkeligenParallelopipedesist == a³. Wie gross müssen die Kanten sein, wenn die Oberfläche ein Min. werden soll?

Der Körper ist ein Würfel, dessen Kanten = a sind.

450) Eine Zahl a soll in 3 solche Teile zerlegt werden, dass deren Produkt ein Max. wird.

z — xy(a — x — y) wird Max., wenn jeder Teil = —ist.

451) In einen Kreis soll das au Fläche grösste Dreieck gezeichnet werden.

Die zu den Seiten gehörenden Centriwinkel mögen x, y und (2 7i — x — y) heissen, so wird F=^r‘² [sin x -j- sin y -f-sin(27r — x — y)] ein Max., wenn die 3 Centriwinkel gleich, mithin auch die Dreieckseiten gleich sind.

452)    Die Summe der 3 Seiten eines Dreiecks ist = 2 s. Wie muss man die einzelnen Seiten wählen, wenn die Fläche ein Max. sein soll?

F = j/s (s — x) (s — y) (x -f- y — s) wird ein Max., wenn die 3 Seiten gleich sind.

453)    Aus einer Kugel soll das an Volumen grösste rechtwinkelige Parellelopiped geschnitten werden.

Kugelhalbmesser = r, die halben Kanten x, y, w, so besteht die Relation: x*-\-y²-{-u² = r². Das Volumen z = 8xyu wird Max. für x = y = u = rj/j-.

§ 14. Homogene Funktionen.

Wir sagen, der Ausdruck ax^y* sei von der fünften Dimension, weil die Exponentensumme der beiden Yariabelen 5

beträgt, und nennen

einen Ausdruck dritter Di-

a(x* -J- y² x²) xĄ-y

mension, weil die Differenz aus der Exponentensumme des Zählers und des Nenners gleich 3 ist. Dass die Dimension eines Ausdrucks auch eine negative oder gebrochene Zahl sein kann, ist selbstverständlich. Sind die einzelnen Teile einer Funktion von gleich hoher Dimension, so heisst die Funktion homogen. Zur sicheren Beurteilung, ob eine Funktion die erwähnte Eigenschaft besitze, dient das folgende Kriterium: Ersetzt man die Yariabelen x, y, z, usw. durch die Werte tx, ty, tz, usw., wobei t einen beliebigen Faktor vorstellt, so muss man für eine Funktion von nt6r Dimension die Relation finden:

f(tx, ty, tz,..) = tnf(x, y,    (3 )

2. Beispiel: f(x,y,z) =

x⁸ ,02 — yix2 -J- y! z²

X* ÿk z t⁸ x³ ^ ^2 — £⁴ î/⁴ ^ arà -{-    i/! z²

x,ty,tz) =

12    4- £ ,0

Euler’s Lehrsatz über homogene Funktionen. Wir setzen in (38) tx = u, ty — v, tz = w, und differenzieren die beiden Seiten nach £:

K4:+?.i;+Ä'S—•

# ist,

oder, weil g-fgi-*.

• y+• « = » *”_1    y> 4

Lässt man hierin die willkürliche Grösse Mn 1 übergehen, so

und man erhält:

<9/\ <?/■ <9/-.

<7V dy dw

df ,    <4    «

••5ï+»-Sÿ+'-sï

Diese Formel stellt den Satz von Euler dar.

verwandelt sich -x-

in

df

Cb Cb

= n .f(x,y, z). ■

(39)

1. Beispiel: f=~-\-y~ — z²; 2cc . 2y

a^X + Wy

2.    Beispiel: f=x³-\-2ax²y— ay⁸ = 0;

(3 a:² -j- 4 a x y) x -}- (2 a x² — 3 a y²) y = 3 (x³-\-2ax² y— ay³).

3.    Beispiel: f— [/xs — y²z = R\

df 3x² df —2 yz df

dz

<9a?    2 R: dy 2 R

3 a?³ — 2 y² z — y² z

4. Beispiel: f =

= ł (    =1^³ —2/²^-

x»± + y»± =

dx^y Oy

ytx + x'y

(x³-\-y³)

xy

xs4-y

id

fcd

CO

CD

«Im

MH

§ 15. Die Reihen von Taylor und Maelaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen.

Ersetzen wir in f(x, y) die Variabele x durch x-\-Ç und y dureli y -J-so kann die Funktion in eine Reihe nach Potenzen und Produkten von £ und rj entwickelt werden. Um diese Entwickelung auf § 11 zurttckzuftihren, setzen wir Ç — rt, rj = st und f(x-\-rt, y -j- s t) = F(t), indem wir uns unter x, y, r, s bestimmt gewählte Werte und unter t eine Variabele vorstellen. Nach dem Maclaurin’schen Satze ist jetzt:

F(t) = jF(0) -f ^'(0) t + F"{ 0)

1.2

F”\0)

1.2.3 ¹

Bei der Bildung der Funktionen F', F'\ usw. ist es zweckmässig, x-\-rt = w, y-\-st = v zu setzen, wodurch F(t) in

du

dv

f(u,v) umgewandelt wird. Zugleich ist =r, j- = s, und

Q/T    Q/T

die höheren Differentialquotienten verschwinden. So ist:

F(t) = /*(«, v)

F' (t) —

df du . df dv du dt ^ dv dt

d*f /duY²

\dt)

d*f /du\

du⁸ (dt)

F" (0 =

d-f dudv . d²f fdv\ dudv dt dt' d v^ydtj dzf du² dv

/du\²

ldt )

I CS

d⁸f du /dv\* [dt

«9 Y

dv⁸

(dvY

W

: usw.

Setzt man £ = 0, so geht f (m, v) in f(#, y) über und ebenso verwandeln sich die partiellen Differentialquotienten von f nach u und v in die Differentialquotienten nach x und y. So entstehen die Werte F{0), F'(0), F" (0) usw. und es giebt:

âxdy 1.2' dy² 1.2

<9Y £³

ä?1.2.3

F(t)=f(x,y)+

[sr+ï*] H

^₊,ffrs+ęfĄ

dxdy oyi

i²

dx²

1.2

âsf Jx⁵

r5+³d^r2s+³d^rs2+ddf*s!l]

ts

1.2.3*"

Werden nun für F(t), r£, die Werte wieder gesetzt, die sie vertreten, so ergiebt sich:

\*f

Id x

df

e+5T.

d²f £2 dx²1.2

(9Y    £²i?

<9 Y £*?²

dx²dy1.2.3

d*f_ f d~y* 17273

k-

• (40)

dxdy²1.2.3

Wird darin æ = 0 und y = 0 gesetzt, so erhält man die Reihe für /(£, rj), welche in die Reihe für f{x, y) übergeht, wenn £ mit x und rj mit y vertauscht wird.

Aufgaben.

454)    Wenn f(x, y) = xz-\-xy² ist, so soll f(x-\-$,y-{-rj) allgemein entwickelt und dann £ = 1, rj — 2 gesetzt werden. f(x+1, y+2) = [x³ + y² x] + [3 x² + y² -f 4 x y] + ['7 x + 4 y ] + 5.

455)    Gegeben ist f(x,y) = 8\nxcosy. Es soll f(x-\-ö, y-\-ö) in eine Reihe entwickelt werden.

ł

f(x-\~ö^y-\- ö) = sin x cos y -f- cos (x-\-y) —

d³

ö²

1.2.3

— 2 sin (x + y) ^ — ⁴ cos (x -f- y)

456)    Es soll die Funktion ax lg (1 -j- y) in eine Reihe entwickelt werden.

Man lässt x in (x-{-£), y in (y-\-rj) übergehen, entwickelt die Funktionen nach Potenzen und Produkten von £ und rj, setzt dann in den als Koefficienten auftretenden Differentialquotienten x = 0 und y — 0 und vertauscht hierauf £ mit x und rj mit y. So erhält man:

xy

ax lg(l + y) = y+xy lg a—£ y² +-^- (lg a)²

Integralrechnung.

Unbestimmte Integrale.

§ 1. Die einfachen Integralformen.

Die Integralrechnung hat zunächst die Aufgabe zu lösen, zu einem gegebenen Differentialquotienten die ursprüngliche Funktion wieder herzustellen, oder allgemeiner, zu einer gegebenen Funktion f(x) diejenige Funktion F(x) zu finden, deren Differentialquotient f(x) ist. Wir nennen dann F das Integral von f und sagen, es sei

J' f(x) dx

d[F(x) ]

dx

= F(x), wenn

ist; f{x) heisse der Integrand. Da nun der Differentialquotient von F{x) unverändert bleibt, wenn zu F{x) eine beliebige Konstante C zugefügt wird, so sind zu einem vorgelegten Integranden unzählig viele Integrale möglich. Doch können ihre Werte nur um eine additive Konstante verschieden sein. Denn wären F und G zwei Integrale von f, so wäre

f_dF₌dG. d(F—G)

' dx dx’ dx

und also nach S. 65 F—G eine Konstante.

Aus unseren Definitionen geht hervor, dass

^dx = x-{-C,    ^d[f(x)] = f{x) -{- G.

Eine Anzahl einfacher Integralformen wird erhalten, wenn man die in § 1 zusammengestellten Differentialformen kurzweg umkehrt und schreibt:

1) ^adx — ax-\-G

²⁾J

ax¹¹ dx

axn+x

\-c

3)    J — dx = \gx-\-C

4)    Xé* dx = ex-\-C

qX

0) j*sina:d!Æ =— cosa?-|-C 7) ^cosxdx — sinar-f- C dx = tgx-\-C

⁹⁾    Jü?ïd:!:=-cot«*+c

10)    J -j~qi~^2 dx = are tg x -j- C = — arc cotg x -f- Ć7,

dx = arc sin x -}- C — — arc cos x-\-Cx.

d (u -f- v)

,»r

ax dx =

^ J* COS² X

U)

Sind u und v Funktionen von x₁ so ist und daher ist umgekehrt:

$ (u' -f- v') dx — u -f- v — ^ u’ dx -f- $ v' dx ; das zeigt: Eine Summe aus einer endlichen Zahl von Summanden integriert man, indem man jeden Teil integriert.

Ist a konstant, so ist d (a. u) — a. u' und darum auch :

$ a. u' dx — a. u = a $ u' dx.

Ein konstanter Faktor unter dem Integralzeichen darf vor dasselbe gestellt werden.

Aufgaben.

Die beliebige Konstante ist den Lösungen nicht zugefügt.

12) j*7æ⁴dæ = ^-

¹³⁾ J

—-? dx =

3xf>

14) J j/âda? = f \/xs

]hdx=<iV~x

15)

16) ]bf/x*dx = 3^xh

17)

iVv-

V\

dx — 4 a

r    h

18) 1 (a-\-bx)dx = ax-\——

(a-J-bx)

, oder =

beide Werte nur durch eine Konstante unterscheiden.

^ ₇    -, indem sich

2 o

19)

Uax*-6x+3-|+J₂)

dx =

) oc*

---3cc²+3æ—2 \gx—

20)

J(^² —1)

3x⁴

21) j(3 + 2,y*>

22) f

da: = 27 x -| ^ x—2^Jx¹ -|- 4^/öx

2₃₎ r

3 + 5 y/z²

6^/x

dx —

dx =

3x²    .

“2--lgX

'^xi-j-24x^-l-~xi ^xi— a$ + ^ v/l25 x¹¹

^= + 30^.

\/xs

Die Methode der Substitution. Sieht man, dass die Funktion unter dem Integralzeichen ein sogenanntes vollständiges Differential, d. h. der Differentialquotient einer einfachen und bekannten Funktion multipliziert mit dx ist, so kann das Integral sofort hingeschrieben werden. Gewöhnlich muss aber diese Form, wenn sie überhaupt möglich ist, erst durch Transformation herbeigeführt werden, indem man x = (p{z)

setzt und den gegebenen Differentialquotienten nach x in den Differentialquotienten der nämlichen Funktion, aber genommen nach umwandelt. Es muss dies auf folgende Weise ge-

schehen: Bei dem Integral y = \f(pc) dx ist ~ — f(x). Wird

nun x — (p{z) gesetzt, so dass y als Funktion von z erscheint, dann ist ^ =

dz

TS TS

dx

Hieraus folgt:

(1)

y = J f(x) dx = JVfo> (z)] . <p'{z) dz .

Man muss nun versuchen, <p so zu wählen, dass der Integrand des letzten Integrals möglichst einfach wird.

1. Beispiel: y =

f dx

J ec-\-e~x

; ex = z oder x — lg z ;

y=JV-F^

dz r dz

'T^lâ^-FT’ ^ = arc tg* = arc tge*.

2. Beispiel: y =

Ji/

xdx

; \Zx-Ą-a‘ = z od. x=[/z²—a²

dz =

J z l/z² — a*

3. Beispiel: y =

arc tg²x

1 -\-x

dx\ arctgx = z oder x — tgz

r z²

y=Jï+ti

j*£² dz = i zs = i arc tg³ x.

dz

² z cos² z

Allgemeine Kegeln über die Anwendung dieser Methode der Substitution giebt es nicht. Die Anwendung der Formel (1) kann an den folgenden Aufgaben geübt werden.

24) y=[{a-\-bx)

dz

ndx; a-\-bx = z dx

1 zn+¹ _(a-\-bx)n+l

b n-\-1 (n -}- 1) b

25) „-J

y = ~ï

a-\-bx — dz =

irl

b) Z

26) y = J*j/« —j— bxdx

j,=!jVd*=|.

27) y=\

dx\ a-\-bx = z\ j\gz = ^\g{a-\-bx) ; a-\-bx — z*,

dx _ 1 dz m¹

wl

dx 2 z dz b ¹

łf

w J

ez

y = :.7 ²⁸⁾ ^Ja²-}-z²

dx

dx; x = az. Statt nun zu setzen:    — a,

ist es gebräuchlich zu schreiben: dx = adz;

1 1

dz = — arc tg $ =— arc t£—

d ° (x ö d

sin axdx: ax — z. dx — — dz\

a

sin z dz — — — cos z = — — cos ax

’-'Jrh

29) y= j

30)

#² -j- 4 z -f- 5

dx =

J* (ajH⁻2)² -f-1

dx ;

y~J*s+i

= arc tgz = arc tg (x -f- 2).

Die Integration nach Teilen. Sind u und v Funków. v)

v.u'-\-u.vund daraus folgt sofort: ^v.u' dx-\-^u.v'dx=u.v, wofür man auch setzen kann:

tionen von x. so ist —₇— dx

u .v' dx — u. v —

v .u' dx.

(2)

Diese Formel hat folgenden Sinn: Soll ein Produkt u.v', dessen zweiter Faktor v' ein vollständiger Differentialquotient ist, integriert werden, so integriert man zunächst nur diesen Faktor v' und bildet aus dem Integral v und dem unveränderten

Dölp, Aufgaben.

ersten Faktor u das Produkt u.v\ dann wird u differentiiert, das Produkt u\v gebildet und $v.u'dx von u.v abgezogen. Durch dieses Verfahren wird nur ein Teil des ganzen Integrales fertig erhalten, während der andere Teil sich noch unter dem Integralzeichen befindet. Ist dieses übrig gebliebene Integral $v.u'dx aber einfacher als das gegebene, so ist die Methode zweckmässig; besonders ist sie dies dann, wenn durch wiederholte Anwendung das zurückbleibende Integral immer einfacher und schliesslich auch in ausführbarer Form erhalten wird. Da ein gegebener Integrand sich auf ganz verschiedene Arten in ein Produkt u.v' zerlegen lässt, so ist die vorteilhafteste Wahl der Faktoren eine Sache der Geschicklichkeit.

31) ,-f

Wir lassen zunächst zu (2) einige Beispiele folgen. xsexdx; u — x³, v'— ér;

$ x³#³dx=x³ex— 3 ^x²efcdx ; ^x^e?dx—x^eF — 2 $xex dx\ $ xé°dx = xe? — dx = xe?c — e⁰⁰. Stellen wir nun noch das Ganze zusammen und addieren

x³ e? —

3 J x² eF dx — Sx²eF-\- 2.3 $a; eF dx 2.3a: e³⁷—1.2.3$    e³³ dx

$ x³ eF dx =

— 3 $ x² (F dx =

2.3 $ x é³⁰ dx —

— 1.2.3$ exdx = —1.2.3. (F

$ x⁸eFdx = eF(x³ — 3a:² -j- 2.3a: — 1.2.3).

/•y» b

|(i+*)³-

^(i+æ)²—| J*⁶ (*+«)<**;

I Xl-

7 ‘ 8 ’

T<¹+”)

32) Ja;⁴ (1-j-xfdx Ja:⁶ (1 -[- x)

Ja:⁶ (1 -\-x) dx Ja:⁴ (1 +a?)

dx =

³dx = %

iS'

3a:°

5.6

(1 +x)²dx]

(1+«)*4

3.2

5.6

(¥+S)-

33) j

x. cos x dx — x sin x —

Jsin x dx — x sin x -|- cos x.

34) f cos² x dx — J*cos x. cos xdx = cos x sin x -f- J sin⁸ x dx

= sin x cos x -{- J (1 — cos² x) dx ;

2 J cos² xdx = sin x cos x -f- J1 • dx ;

J*cos² x dx =~ sin x cos x -|- ~

35) j*sin²xdx = ^

sin x cos x

r x²

J [/1 —X

— x *

—===dx

\/l — x²    _

— x\Zl — x² + \\/l — x²dx\

dx =

2y — — x\/l — x² -\- arc sin x,

dx = — ^[/1 — x² — arc sin x

Là    U

³⁷) j^xdx = (lgx)² —    f ¹Agxdx = ~(\gx)²

36) y =

dx = —

J*

— x² dx =

r i-x²

J \/ l — X²

SFrb

dx — y;

r x* J\/l—x²

ro

ce

CP3

«h*

CT?

1—1 I

crq

^1 t-*-

39) J*x² cos x dx = x² sin x — 2 $ x sin x dx ;

x sin x dx = — x cos x -f- $ cos x dx ; x² cos xdx = (x² — 2) sin x -f- 2x cos x

40) sin x dx = e? sin x — J eP° cos x dx ;

5 (F cos x dx = eF cos x -f- $ cF sin x dx. Durch Subtraktion und Addition entsteht:

r    ge

1 e® sin x dx =— (sin x — cos x) bezw.

4!) J,

er

«I

é* cos xdx = — (sin x -f- oos x)

Li

1. arc sin xdx = x arc sin x —

\- X—..dx )\/l — x²

= x arc sin x -f- j/ï — x².

(3)

ist nur die Umkehrung von Aufgabe 195 Diff. R. und heisst in Worten: Ist der Zähler eines Bruches der Differentialquotient des Nenners, so ist das Integral des Bruches der natürliche Logarithmus des Nenners.

dx —

cx

cx

| lg {b -f cx)

xn~¹

bxn)

⁴⁵) ⁼ +

46)    dx = lg sina;

⁴⁴⁾J

a-\-bxn

47) f

sina;

a-\-b cosa;

dx= —

lg (a -j- b cos x).

§ 2. Integration rationaler algebraischer Brüche.

<f{x)

dx.

axĄ-b

Nachdem durch Division mit dem Nenner in den Zähler

der Bruch in einen ganzen Quotienten und einen Restbruch, dessen Zählen die Variabele nicht mehr enthält, zerlegt ist, werden die einzelnen Teile integriert.

Aufgaben.

48)

10a;⁴—17a;⁸—24a;²+16a;—14

2x — 5

dx=

5a;⁴ , 4a;⁸

j* ^5a;⁸+4a;²-2aH-3-|-^-^^da:

a;²-f 3a;-f--ilg (2a; —5)

49)

-6a;⁸-j-13a;²—10a:-f-3

50)

2a:⁸ -j- Ix² -]- 4a; -j- 2

2a:+ 3

dx =

₇    a;⁴ 4a;⁸ . 5a;² . ₀₁ .

dx=-—|____|_3lg(a;_2)

j + x* — a;-f|lg(2a;-f-3)

51} j

xĄ-b

dx = x -|- (a — b) lg (x -f- 6)

12—28cc-f 17a?²—10a?⁸    2a;³ 3a:² , K 7. ^ R x

52) J

1 — 5 a:

-dx=—---+ ⁵ a:— - lg (1 - 5a:).

Steht die Yariabele unter einem Wurzelzeichen, so ist der Ausdruck zuerst durch Substitution rational zu machen.

54)

\/~x

l-f-[/a:

dx —

‘I

Z²

z-j- 1

dz, wenn # = j/x;

²(l_ ^æ + ¹^(¹+^)

j*    ⁼    — 20 lg (2 -j- ]fx)

55) J

x²\/x

1 -f- [/ x

liv+ï-lv?

-\-x — 2 j/a: -f- 2 lg (1 -[- j/#).

?(x)

dx.

-j-2 ax-\-b

Wenn der Zähler von höherem Grade ist als der Nenner, so scheiden wir durch Division einen Quotienten ab und integrieren denselben Glied für Glied., Das Integral des noch übrigen Restbruches hat im allgemeinen folgende Form:

mx-\-n

-f- 2ax-\-b

dx.

Zunächst lösen wir die Gleichung: x² -]-2ax-\- b = 0, nennen die Wurzeln a und /?, setzen x² -\-2ax-\-b = (x— a) (x — ß) und unterscheiden 3 Fälle.

1) Die Wurzeln a und ß sind reell und verschieden. Der Bruch wird dann in Partialbrtiche zerlegt wie folgt:

mx-\-n

mx-\- n

x² -\-2ax-\-b {x—a) {x — ß) x — a^x — ß‘

Die Zähler A und B sind nun so zu bestimmen, dass die Gleichung identisch richtig ist, d. h. dass die beiden Seiten für jeden beliebigen Wert von x gleich sind. Wir setzen:

B(x — a)

-ß

wählen x — a und finden

m a -f- n

a-ß

A. Auf entsprechende

Weise findet man auch B\ doch kann B auch aus A dadurch

abgeleitet werden, dass man a mit ß vertauscht. B

mß-\-n a — ß

mx-\-n

ma-\-n mß-\-n a — ß a — ß (x — a) (x — ß) x — a x — ß ’

(ma-\-n) lg (z—a)—(mß-\-n)\g (x—ß)

mx-\~n

x² -j- 2 ax -f- b

dx =

a-ß

• (4)

⁵⁶⁾ h

x-\- 13

Aufgaben.

-    dx = 3 lg (x — 5) — 2 lg (z -j- 1) o

⁵⁷) §2x* + ïx +1 dx ^ 5 lg ^ — ⁴ lg (g + 1)

-    dx = 2 lg (z — 3) -f 4 lg (z — ±)

⁵⁸⁾ Js?

6a;—13

— ł* + ł

59) f_

J*² + 3z — 18

3z⁸+5z²-29z-25

dx = -I- lg (z + 6) — | lg (z — 3)

60)

— dx =

Qr2

-^-+2z+21g(z-3)+31g(z+4)

x² —x — 12

«i) [^pä±ldx ⁶*ł

J    1

— 2zi-f- 6z^ — 6z^ -j- 3 lg (xü — 1) —{— 9 lg (x^ -}- 1).

6z£

g-+³**

Man setze = z.

⁶²>

dx =

⁶³⁾ J

z²-f-2z—1

r_L___dx = * i

)(x+iy-2aX 2^gz+l + |^

— ai

-f ¹

J*² —(ai)

2<^    2 a«' ^ z

Es ist aber auch bereits gefunden:

dx =■= — arc tg —, a a

Jz²+a²

und da wir wissen, dass zwei Integral werte der nämlichen Funktion nur um eine Konstante differieren können, so ist es

, ,    ,    x    1 , x

gestattet zu setzen: ^ lg —;-

2 % x-\-ai

Formel zur Verwandlung von Integralwerten benutzt, so kann die Konstante G in die willkürliche Konstante des Integrals aufgenommen werden. Setzen wir nun noch x—p für x und q für a, so entsteht die Formel:

—    p — qi

—    p + qi

die bald Verwendung finden wird (vgl. S. 99).

2) Die beiden Wurzeln « und ß sind reell und gleich. Dann nimmt die Formel (4) die Form § an und erhält ihren wahren Wert, wenn man Zähler und Nenner nach ß differentiiert und dann ß = a setzt. So wird gefunden:

1 . x 2ïlëx

mx-\-n

dx= —

— ai

= arc tg ~ -j- C. Wird diese

aro tg ~~~ 4" c,

m lg (x — ß)

mß-^-n

(ß)

= m lg (x — a)

— 1 ma-\-n

(6)

Will man diese Formel direkt ableiten, so setzt man: mx -j- n

(x—a)

[x— a)

oder mx n = A -)- B (x — a) und findet B = m und A — ma-\- n. Die beiden Teile sind dann leicht zu integrieren. Man könnte auch so verfahren:

Çmx -j- n

dx = —

2 (x — a)

2 J (x-a)

*dx+(

ma+ndX

(x— «)²

t ,    %    ma u

= m\g(x — a)--——

X — a

65) J'J=^^ = 2I»(*-⁵) + ^5 dx = 3lg(x + 2) + ~^.

3^+1

3) Die beiden Wurzeln a und ß der Gleichung x*2ax-\-b — 0 sind complex und von der Form:

+ ß —p — qi-

Es ist dann p =— <z, q — \/b— u², und Formel (4) gestaltet sich unter Verwendung von (5) wie folgt:

mx-\-n

dx —

dx

mx-\-n

x‘i-\-2ax-{-b

(x — p—qi) (x —p-\- qi)

= \m(p-{-qi)-\-n} lg (x—p — qi) — (m (p—qi)-\-n}\g(x — p-\- q i)

2qi

= + {x_p + ąi)] W

= 2-lg (x*Ą-2axĄ-b)-\

mp-\-n    x—p

-—arc tg——C.

q    <1

Übrigens kann diese Formel auch direkt entwickelt werden: 2x 2a 2 J x<L-\-2ax-\-b

mx-\- n

x*-\-2ax-\-b

dx= —

dx-j-J*

n — am

æ²-J-2 ax-\-b

(?)

dx

r^\g(x* + 2ax + 6) + J

n — am

dx.

Da nach der Voraussetzung |/b — a² reell ist, so ist die Substitution (a-\-x) — z^b— a² möglich, und wir erhalten:

Ç n — an

J {x-\-ay~\-(b

-a²)

So findet man schliesslich:

Ç mx-\- n

J x² -\-2ax-\-b

,    n — am f 1

^■\g(x²+2 ax+b)-\~

dz

n—am

\/b— a*

arc tg z.

s + a

\/b—a²

Diese Formel stimmt bis auf die Intégrations-Konstante mit (7) tiberein, weil dort p — — a, q = \/b—a² gesetzt ist.

dx=

— am

|/b—a²

arctg

Aufgaben.

⁶⁷⁾ J..+ ₂~ + i₀ d« ~ 'g »* '+ 2m+ 1Q) ~ ⁴ tg ^ G8) Ig-gï+ÜB dn = lS~8U + 2B)-4arC*g“T ⁴

69)

I.-

3^ + 4

—j— 4 u —|— 8

du — f lg (m² -|- Au -J- 8) — arc tg U

u

70)

-/3

71)

f <* “ = i'g (M² — 3) +/³ -

J« — 3    u

du = y lg (m² -J— 3) -|— 21/3 arc tg -^L

m —[— [/3

l/3

w² + 3

Jsqrs+rs Æ M “ 3 lg (,‘²+4M +¹³⁾ - 4 arc ^ ^

73)    jV—47+20 du==bl%— 4m4-20) — 6arc tg

_ 2

74)    J 5^²-f-12^M ==    arc ^ul/QÇ

qu Jpjô du — 21g (m²— 6u —}—10) —j— 7 arc tg {u—3)

72)

⁷⁵⁾ J?

™ r w ?6) J 3m²+ 2

du

9m⁵

2w⁸ + 4w — p=arctgî*J/|

⁷⁷> te«

%du =

%=r arc tg u I /li |/ab    V a

, wenn ab 0 ist.

Integration eines Bruches von der Form:

m—1

<p (x) a₀ xm -\-axx

+ a2x

m—

² H⁻ • • «H⁻

f(x)

xn "j~ %n~l -j- b₂ xn—²-j-... -f- bn Es wird vorausgesetzt, dass m < n ist. Sollte diese Bedingung bei einem gegebenen Bruche noch nicht erfüllt sein, so kann man die Division, so lange es geht, ausführen. Der gegebene Bruch wird dann gleich einer ganzen Funktion nebst einem

<f{x) ₎

angehängten Bruch von der Form

Yor allem anderen muss nun der Nenner in Binomialfaktoren zerlegt und darum die Gleichung aufgelöst werden:

f(x) — xn-\-b^ xn~¹ -\-b₂ xn~² —{—... —{—    = 0

Wir haben bei einer Wurzel a zwei Fälle zu unterscheiden.

1) Eine der Wurzeln a von f(x) = 0 ist von den übrigen verschieden, oder mit anderen Worten, f(oc) ist durch (x — a) teilbar aber nicht durch (x — a)², so dass wir

f(x)

in welchem m < n ist.

setzen können f[x) = (x — a)g{x), wo dann #(a?) = 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

Daraus folgt

<p(x) __<p(%)___

f{x) (x — a)g(x) x — a^gix)

A .(fix)

<p ix) = A g ix) -f- (f ix) (x — a)

und für x = a findet man A — cp ia): g (a). Nun ist aber

f 0*0 = (x — a) g ix) 4- g ix) also f («) = g (a)

und

/»

(8)

<p(x) ___ <p(a)    ¹ i <P(X)

f(x) f'{a) x a' g {x)

Einen solchen Bruch wie den ersten rechts nennt man dann

einen Partialbruch. Das Problem der Integration ist hierdurch auf ein einfacheres zurückgeführt, da g(x) nur vom Grade (n—1) ist. Wenn f{x) = 0 überhaupt nur von einander verschiedene Wurzeln* «1?a₂,...an enthält, ist es überhaupt erledigt. In diesem allgemeinen Falle wird und für f(oc) — (x — a₁)(x — a₂)...(x — an) erhält man, da jetzt der gegebene Bruch vollständig in Partialbrüche zerlegt werden kann,

dx

m f'M

ig (%—ai) -t

f M

f'M

•\ ig «₂) -J- • • •

i 9>(an)

/>»)

lg (x — un\

lx²-\-lx —176    _

fix) x% — 9x²6x-\-b6 ’ a₁ = — 2, a₂ = 4, a₈ = 7; f (x) = 3x² — 18#-|- 6

0*0 __    ^1 i -^2 I -^8

f{x) x-^-Z'x — 4'x    7

_ <p(- 2) _ o , _ ^Ü) _ o

“/•'(_ 2) “    ²“f(4)“

Beispiel:

. ?0*0

_K0

f(7)

?0*0

/■(*)

78) r

7ar+7æ—176 xs— 9ic²+6x+56

cfo =— 31g(Æ+2)4-21g(:»-4)-f81g(#-7).

Aufgaben.

⁷⁹) lJ-lJ+nu-ZdU = ^lg(«-l)-181g(«-2)+y*S(«-3)

sm f «²+5m+41

; J (m+3)(«

81) f , ¹ ,

du =

|lg(M+3)+^lg(M-l)-251g^M- ^

du =

to i—i

82) J-

10m³ -f- 40m² -f- 40m -f- 6

m⁴ —(— 6m³ —J— 11m²-j- 6m

*> j(ÿ-—”

8i,Jü

— 1) (m² — 4)

d M = lg M —j— 2 lg (m —j— 1)

—J— 3 lg (m —|— 2) —|— 4 lg (m -j- 3)

du =-|lg (m — 1) — | lg (m + 1)

4m³-f 9m² — 270m-f 653

10

11

— 3) (m — 4) (m — 7) (m + 5)

+ -3 lg(M — 2) — -glg (m + 2) d m = lg (m² — 7 m -j- 12)

⁸⁵⁾ s*

m²—3m+3

—4m²-7m+10

⁸⁶⁾ I?

5m²—7aM -f- 11«

— 6aM²-|-ll«²M—6a³

-f 41g (m — 7) — 21g (m -f 5) ^lg(M+2)+^lg(M-5)--^lg(w-l)

|lg(M—a) — 171g(M—2a) Z    35

+ — lg(M —3a)

⁴    —2a

m—j⁻2 a

£?M =

q„n f2M³-j-12aM²—8a²M—12a³    ₂    ₂. .    . m

⁸⁷> J (M*_a>)(M*-4«*)-^=lg(«S-«S)+31g-

2m²-}- 5m

,    2m³

du = T

+ lg(M —2) + 21g(M—1).

Wenn die Koefficienten in /‘(a;) reell sind, aber unter den Wurzeln ax, a₂...an sich auch complexe Werte befinden, so müssen diese paarweise konjugiert Vorkommen und die Form haben: a= p-\-qi, ß=p— qi. Die Zerlegung in Partialbrüche lässt sich mit folgenden Modifikationen auch hier nach der besprochenen Methode durchführen.

ss) r

2 m⁴—10m³-j-21m² —20m+ 5

M² — 3m —j— 2

Man hat

<pix) ₌ <p(p + qi)_ ______

f(x) fip + qÿx — p — qi^fip—qÿx — p + qi

und wenn wir setzen,

<p(p—qi)

+ •••

^Gp+ff*> | ti und ^ho9>(p — s*) „

r(p+rf    +    r<p-eQ~⁸

^j^dx=*(s-\-ti)\g(x—p—ąi) + (s—

= «lg [(* — P)* + 2l + ^¹g~

*Aj

CK?

—P+2*)+—

— p — qi —p+qi

wo rechts eine beliebige Integrationskonstante addiert werden kann. Benutzt man nun die auf S. 119 bei Formel (5) gemachte Bemerkung, dann folgt — P — qi

—p~\~ qi

til4

= —2 t.

1 . x

2ilgx

—P—qi

-p-\-qi

— — 21 arc tg -—-

q

So gelangen wir von dem oben gegebenen komplexen zu dem reellen Ausdrucke

f(7.

f-Mdx

= slg |> — P)²+V]~2« arctg^—-- + ...

jL

Wir wollen dies an den folgenden Beispielen durchführen.

<P fr)    2a;    __2^_ ./ö

/(a;)    (a?²—j— 1) (a?²—j— 3)    (x—i)(x-\-i)(x—ri){x-\-ri)'¹    *

*P (X) _ A | _jA

f(z)

A.

<p{i)

“l -C' t

f(i)

f{x) x — i x -J— i x — ri ' x-\-ri

A-

to I-¹

A-

r(-*>

__ <pj—ri) f\-ri)

tO| 1-*

y A.

tO| I—¹

_ <p (r i) _

<p{%) _ _i

J f(x)

/"(a:) x — i

~ [1 g (x—i)+lg {x+*)]—\ [lg (* ■—r i)+1 g (* ■+ r *)]

= -|lg(a;²-f 1) — -ilg(a;² — rH*)

89)

\(x° + l)(x* + 3)dX~ lg

<P (%)

x² + l x² + 3*

10a?³ + 110a;-j- 400 (a;² — 4a?-f-29) (x²— 2a?-f-5)

toi t-¹

y>(s)

x— 2 — 5« x — 2 —|— 5 « x—1—2 « x — 1 —j— 2 «

A==f(2-5l)⁼²+³^

<p( 1+2*) o

f'( 1 + 2«)

2 — 3«

-4«, + =

2 + 3«

(p (1 — 2«)

ra-20

3 — 4«

= 3 + 4«;

3 + 4«

f (x) x — 2 — 5« 'a? — 2 + 5« ~ x — 1 — 2« ' x — 1 + 2«

J2l| dx - (2 — 3») lg (* — 2 — 5.) + (2 + 3*) lg(* — 2+5»)

+ (3 — 4») lg (x— 1 — 2i) + (3 + 4«) lg(* — 1+2i) = 21g[(x—2—5«)(x—24-5«)]+31g[(x-l-2«')(x-l+2«)]

-W14

— 2 — 5«

— 2 + 5«

4«lg-

x

— 1 — 2«

— 1 + 2«

Multipliziert man die Faktoren aus und wendet auf die beiden letzten Teile Formel (5), S. 119, an, so giebt es:

10a?³ + 110a; + 400

⁹°)fc

d x = 2 lg (x² — 4x + 29) + 3 lg (x² — 2x + 5) + 6 arc tgX ■ ² + 8 arc tg    — •

O    u

— 4x + 29) (x² — 2x+ 5)

Die besprochene Methode kommt im Grunde darauf hin-

mx + w x² + 2ax + &

wenn b > a² ist. Das kann auch direkt so geschehen. mx+n

aus, einen Bruch von der Form

zu integrieren,

x²+2ax+&

dx —

dx

(x+a)²+(&-a²)

= lg(x² + 2ax + b) -)

wenn \/b — a+ = x + a ist. Also erhält man mx + w

w — ma Ç dz

pjhR’

\/b~

x²+2ax+fr

dx=-|mlg(x+2ax+&)-|-

n—ma

\/b— a

arc tg —

x-\~a

ÿb

-T (9)

a²

8 a;² — 29a; + 61

<p 0) _____ _

f(x)    (x — 1) (a;²— 6a? —|— 13) x — l"¹”#² — 6æ-j-13

5. Dieser Wert wird sofort benutzt:

mx-\-n

, ₌ fÇL) r( i)

8a;² — 29a? —61    _5(a;²— 6a;-fl3)-{-(ma;-f n) (a;—1)

(a;—1) (a;² — 6a?+ 13)

(x — 1) (x²—6a;-{-13)

Nach dem Satze von den unbestimmten Koefficienten ergeben sich aus den Zählern die Relationen: 8 = 5 -j-m, 61 = 65 — w,

oder m = 3, n = 4.

91)

(a;)    5

f(x) x — 1 8a;²—29 a;-j-61 (x—1) (x²—6 a?—|—13)

a:² — 6 a? —{— 13 * dx = 51g(a?—l)-{-|lg(a;²— 6a?-{-13) , 13 x — 3

+ -2aro‘S — '

<p(%)

mx-\-n

rx-\-t

f{x)    a?⁴ —[— a?² —}-1    a?²—|— a? —J— 1 ‘ a?² — a? —(— 1

Nachdem die rechte Seite gleichnamig gemacht ist, werden die Zähler gleichgesetzt.

1 = (mx -|- n) (a;² — a? —{— 1) —j— (rx —|— (a?² —a? —f— 1);

— 0, n — m-\-r= m — w-j-r-|-£ = 0, w -j-tf=1;

c 1    , ,, %~-\-x-\-l . 1    2a? —1

92)

+ 1T7\ arc ^

JęSJSśaj*-⁸¹*⁽—¹)+⁶¹*^+⁴*+»>

+Tarots6

ilg(z-2)+^Ig(z» + 3)

93)

⁹⁴> Jï

3a:² — 5a;-{-2

—2a;²-|-3a;—6

r dx —

7/3

2 a;—1

V*

x

arc tg —p

V*

⁹⁵⁾ JJ ⁺⁶*

Ç 2x³-\-28x²—257rc—|— 531 ⁹⁶' J (x²—16x+69)(x²— 63+16) i 43    ,3

⁺ i/5    g“l/5

-3)(*²+4)

dx = 5 lg(æ—3) —|— lg (a?² -f- 4) -f— 6 arc tg-^

u

|lg(3²—163+69)

u

2 x

7?arcts17f

dx= |lg(3²— 63+16)

— 3.

2. Eine der Wurzeln a von f(x) = 0 kommt in der Multiplicität r vor, oder mit anderen Worten fix) ist durch (x — a)r aber nicht mehr durch (3— a)r+¹ teilbar, so dass wir setzen können fix) — g (x) {x — a)r, wo dann g (x) = 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

<p{x)_    <p(x)

Ar |    (®)

fix) ix—a)rgix)    ix—a)r'(x— a)r~l

und suchen die Zähler A±, A₂, ... Ar der ersten Partialbrüche zu bestimmen. Es ist nicht praktisch, allgemeine Formeln aufzustellen und nach diesen zu rechnen; vorzuziehen ist der folgende Weg. Wir setzen x — a—y und bilden

x—a~ g ix)

y>(y+a)

giy+a)

A~\~ Av    A yr 1 -f

9 [y -f «)

yr\

dann dividieren wir auf gewöhnliche Art, nach aufsteigenden Potenzen von y geordnet <p{yĄ-a) durch g(y-\-a) bis zur (r — l)ten Potenz von y\ die erhaltenen Partial - Quotienten geben nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Grössen A.

1. Beispiel.

X*-\-X'

A i A

X³ ‘ X²

<Pix)

X ' x-\-l

. Hier ist

die Einführung von y überflüssig. Dividiert man 2-\-x

= 2 — 3 + 3² — x³ +...

so findet sich

X* -{- X³ X³ X²

i-i | «

Für <p ix) ergeben nämlich die Wert — 1.

3 +1 ’

früheren Methoden den

2. Beispiel.

#²-f-2 + 1

y2Jr§y + 7

(#—2)¹ (ic—j— 1)    (x—2)

l(y + 2)

A___I A | $ (,X)

2/ + 3

2/ + 3

a;—2 ' æ-j-1 y% ftir x = y-{- 2.

Die Division

7 + 53/4-3/

3 + 3/

t + 1'3/ + 4t3/²+ •••

liefert

(x — 2)²(a? —J— 1)    3 (x — 2)2_r 9 (x — 2) “90 +1)’

die früheren Methoden ergeben nämlich <p (x) =-£-.

Hat man diese Zerfällung in Partialbrüche gemacht, so kann jeder einzelne integriert werden.

5 m³—11 w²-|-5«t-}-4

(u — i)⁴

(u—l)⁵ ‘ (u—ï)² ' (u—l)⁶ ' U — 1 unsere Methode giebt hier sehr bequem für u — 1 =y

(u—l)⁵    (u—l)8 1 («—l)2 1 u— 1

97)

5 m³-llw²-f-5w4-4

(W-l)⁴

du

98)

M³— 4 w²-f-1

(w —2)

2 m² — w⁴ -f- 4 w² — 5 m + 1

(w —3)

(W—1)

dM=^-41g(«-2) + ^

29

<2 w = 2 lg (w — 3)--

flA>

(W—1)

+ 5 lg (tt — 1)

84

490

721

427

(m — 3)²    3 (w— 3)¹    4(m — 3)⁴    5 (w — 3)²

100)

101)

3m²— 17w + 21 (m — 2)8 6m³-}- 89m²+438m+719

du =

2 (m — 2)²

(m+5)⁴

du =

3(m+5)³ r(« + 5)!

•^ + ⁶¹«(“ + ⁵)-

Wenn der Zähler ein einfacher Wert ist, kann auch die

Integration nach Teilen Anwendung finden.

Mn(M—a)-v+l    n C «

—---+—— I un~\u

P-1 P- lj

m²(m — a)~³

102)

J* un (u—a)—pdu=— J*m²(m — a)“⁴ du =

a)—P+ldu

m (m — d)~'³ du —

m (m — a.) ~²

— a)~² du

J (u — a)~² du = — (m — a)~l

103)

U²

104)

(m — a) m³+m²m-m3 (m—a)³

ir

3 [(m — a )

M²

du — (u—a)

(m —a)2 4a²

L1

M —«J

2(m—a)²

—h 3 a lg (m—a) ct

105)

Ç____w²

J (a+6

du =

M²

106)

(a+&M)

f    m²

J(m²+1)(m² + 4)

2&(m+ôm)²    6²(m+&m) '“ô8 g(a + 6w)

i _1 C 3m²

3J(M²+l)(M²-f 4)

1 r4 (m² -j- 1) — (m² -[- 4)

3j (m²+1)(m²4-4T

du =

9æ⁴-3z³-23æ²+30æ-1

IW

du = -\ —s j 7 £^M 3Jm²+4

^ arc tg m o

2    M

3aretg2

(x-iy(x+3)

¹⁰⁷> |

9xl-3x:i—23x²-{-30x—l

{x—l)⁴(^-f3)

(®-l)⁴ («-1)® (æ-l)’² ic-fr«+3 -dx =

(x — l)³ (x—l)2 _A_ + 7lg(a:_l) ₊ 21g(* + 3)

Dölp, Aufgaben.

¹⁰⁸⁾ J

x⁴—7o;⁸-f 3 a;²—llÆ-j-13

x*(xĄ-\) (o;²-f o;-fl)

dx

13 , 37

2x²

10

¹⁰⁹⁾ jl

— 35 lg (x -f1) — 8 lg (o;² -f x -f 1)--y= arc tg

V ³

dx — —

2(x — 1)

-lg(x— 1)

f 2 lg(x + 1)

« r-

— 22a;²—{—57a;—[— 32

(a;-f l)²(o; — 3)²

(Za;

2(a + l)

i^î+5ig(*+i)-i^₅

— 4 lg (a: — 3)

111)

7a;³ — 32a;²-f 50a; — 28 (a; — l)³ (x — 4)

dx =

¹¹²⁾ J?

x3Jr¹ j

-3a:³-f3a;²-a;

3 a;² -f x — 2

2 (a: — l)2 + 3 lg (x — 1) + 4 lg (x — 4)

^ + 21g(a;-¹)—!ga:

(a;—1)

-1)³(^²+1)

rdx =

m) r

X³ (X— l)² (x -J- 1)

2 (a;—l)²    2 (a; — 1)

— f lg (x — 1) -f- f lg (a;² -fl) — arc tg x

i + 21ga;

dx

2a;²

f (*+l)

llg(œ —1).

2 (a; — 1)

Die bisher entwickelte Zerlegung in Partialbrüche ist auch noch ausführbar, wenn die gleichen Wurzeln komplex sind. 2a; —{— 1

(a;²-f l)² ~ (äf—t)²(a:-ft)²

^__L _A__|___L _?1

(x—t)² ' x—t ‘ (a;-f t)² ' x-\-i 2 t-|-1    2i— 1

____⁴__I__ś__.

a; —(a;— t)² * (a; —j— i)²

2t— 1    2 t-fl

^1 H-i

¹¹⁶⁾ Im

(Za; = —

1    a;

t t lg -

4    x

x -f t a; -f t    a; — t

= iarctg* + ^

|co

16

16

(;x² -j-1)³    {x -j- i)³ (x -f- i)² ‘ x -j-i

oo I

16

16

(x — i)

x -j— i

,16) iwTT)

dx = —

1 X³ — X

8 {x- -f1)

f- — arc tg x.

Reduktionsformeln sind Formeln, durch welche eine Aufgabe auf eine andere leichtere von ähnlicher Gestalt reduziert wird. Sie können nicht selten dazu dienen, durch wiederholte Anwendung derartige Integrale entweder ganz auszuführen, oder doch so weit zu vereinfachen, dass ihre weitere Ausführung nach den bisherigen Methoden sehr erleichtert ist.

Die Richtigkeit der nachfolgenden Reduktionsformel erkennt man leicht, indem man beide Seiten differentiiert. Man sieht dabei zugleich ein, dass die Zahlen m, w, p beliebig sein können; nur darf (w-j-1) nicht Null werden.

xn-\-l

117) JV(a-f bxm)

118) j*æ⁴ (a-{- bx²)³dx

(a-\-bxm)P — xm~^n (a~\~bxm)p~l dx (a-f- bx²)³— j x⁶ (a-\-b x²)² dx.

w-j-1

In dieser Gestalt kann die Formel dazu dienen, ein positives p nach und nach so weit zu reduzieren, dass der Exponent kleiner als 1 wird. Soll dagegen ein negatives p dem absoluten Werte nach verkleinert werden, so muss man die Formel 117) umkehren. Wird dann noch p statt p — 1 und n statt n-\-m gesetzt, so heisst sie:

Xpt-m+l

119) jxn (a-j- bxmy dx

mb (p-j- 1) n — m-f-1

(a-\-bxm)P+¹

mb(p-1-1)

Die Formel wird unbrauchbar für p == — 1.

JV~m (a 4- bxm)P+¹ dx.

120)

r x*

J(i+<

x*y

dx =

xŁ

4(1+#²)²    2(1 —[—ic²)

Die nämliche Aufgabe kann auch so behandelt werden:

X* (1 + x²) xs

xb

*³

(1 + z²)³

xä

(i + x²y

xjl-i-x²)— X

(1-j-Æ²)²    (1 —{— a?²)

(1 -j- X²)²

X'

(i-fx²f

(1 -j- X²')²

x(l-\-x²) — x

1+Æ²    (1 + Æ²)²

(1 —j— £C²)²    (l + tf²)³

2x

*²+l •

+ +*’ + !)•

Die Formeln 117) und 119) sind insofern nicht praktisch, als in der ersten bei gleichem Vorzeichen von m und n, in der zweiten bei verschiedenen Vorzeichen der Integrand des Integrals rechts nicht direkt vereinfacht ist. Wir verweisen deshalb auf die Formeln 139)—142), bei welchen dieser Übelstand vermieden ist.

(1-J-5C²)⁸

feg

x²y

(1 -j- x²):i

(1 + *²)

dx =

4(1+ x²)²

<p(x)

- dx.

Nach der Formel von Moivre (Diff. R. Aufgabe 430) ist

xn —

\/cos w + i sin a> = cos — + i sin —. r    T    n    n

Soll die Gleichung xn—1=0 gelöst, oder x = ^/l nach dieser Formel gefunden werden, so setzt man l = cos2&;r + isin2Ä7r, indem man Je eine beliebige ganze Zahl bedeuten lässt. Es ist dann:

</l =

cos

2Jen . . . 2Jen

--]- «sin-,

n    n

und für jeden beliebigen Wert von Je geht aus der Formel einer der verschiedenen Werte von y/1 hervor:

Jc = 0;

w₀ = cos 0 + i sin 0 = 1

2n

2 7T

w, = cos--f- « sin —

n    n

Atz

A 7t

w₂

cos--i sin —

Je = n — 1 ;

wn_ i = cos

U—-2 7r-j-«'sin--2tz .

n    n

Wird mit der Wahl der ganzen Zahl k in dieser Weise fortgefahren, so wiederholen sich nur die bereits gefundenen Wurzelwerte. So findet man z. B. für k = n:

2mt . . . 2mt    _    , . . _

ivn = cos--f-1 sin-= cos 2 tz —j-1 sin 2 n

Yb    Yb

— cos 0 -j- i sin 0 = io0%

Weiter ist nach dem Satze von Moivre:

2 7t . . . 2 7t\²

cos--h i sin — I

n    n )

2*V

iv². =

w² =

2 TZ

= cos

4 7t

Art

--j- i sin — = iv₉

n    n

cos--\-i sin —

n    n

Hiernach ist: w₀ = 1* w₂ = w\ ;

&7Z

6/T

--1— i sin —

n    n

w₃ — wj,... wn-1 = ionx~l.

— Je

= cos

= w₃, usw.

/    2ktt\

beiden Wurzeln tv* und    konjugiert komplex. Ist n ge

rade, so ist wn sich selbst konjugiert und also reell, so dass

Es ist auch cos -2^4-isin —

n

2 ktt

= cos-

die beiden reellen Wurzeln + 1 existieren. So finden wir z. B. dass wx = cos -f- i sin

für w =

¹ t—<

bn

und ivb = cos —

;;

5 7t

(_f)+isin

- f i sin — = cos

ö

wb konjugiert zu ivx ist.

1. Beispiel: x = ^/i\    = cos

j/3; t#₂ = cos -J— —|— f si n -J- =—

O    O'

iv = cos 2 7t -{- i sin 2 7t = cos 0 -f- * sin 0 = w₀ = 1.

7t • • 7t 1

== cos — — i sin —, also 3    3

2 7t

2 7t

•<s> (M

r+isinT =

to!

2.    Beispiel: x —    1 ; w₀ = 1 ; wx—i]

= w\ = — i.

3.    Beispiel: x = ^/l] w₀ — 1 ; j/3. Konjugiert ist ic₆ mit tv

w₂ — wz₁= — 1 ;

tv₁ =

W₂ =

tC

'S».

toi

|/3;

to

wi mit iv₂ und ivs

wh = 2

mit sieh selbst.

Der grösseren Einfachheit wegen wollen wir wx setzen und können dann die übrigen Werte von ^/T durch e², s⁸, £⁴, . . . £n_1, £n = 1 bezeichnen.

Es ist dann:

<PiX)

Aq

a₁

Xn — 1 . X — 1

und nach Formel (8), S. 112: Ak =

I    i__An — 1

£* ......x— en~¹

r <p(x) i ₌ \x<p ooi

\nxn~l\x=ik    L nxn \x

= tk

_ £k <p (ek)

<p(x)

xn— 1

[i

<p(l)    . £<p(e) .

— Î "I“ X — £ '

£V(g²)

¹²²)

}■

en-\ y (e»-l) Jn — 1

iL(l)lg(a;—l) + £^(£) \g(x — e)

£n—1 tp (en~x) lg (x— en

x— £²

Die Glieder dieser Formel können paarweise zu reellen Ausdrücken vereinigt werden. Da nämlich die Wurzel werte sk und en~k konjugiert sind, so müssen es auch die Zähler Ak = ek <p(sk) und An_k = en~k (p (en~k) sein, oder es muss An„k — A—Bi sein, wenn Ak = AA^Bi ist. Mithin können wir, da (x—ek)

O 7, _

(x—En~k) = x² — 2æcos—-—1 ist, nach (9), S. 125, setzen:

ek <p (£Ä) lg (x— ek) £n~k <p (en~k)\g(x — en~k) —

21c n X — cos -

21c n

A lg (x² — 2x cos ——1) — 2 B arc tg

. 21c TC

sin--

123)

j/Zi

- <**=! [w-ih (ĄĄ^) ig (*+1-4^3)

ig (a:+^+^i/^)

2x-\-\

j^lg (a? — 1) — ilg(Æ²-f Æ-f-l) — j/3arc tg

i+ lg^fi+larotga:-

Man setze in der folgenden Aufgabe |/3 =» r.

t-H CO

i/3 J

i0.v f^² — 3x    3. Æ²-fl

¹²⁴)    4lg^

hM l-k

¹²⁵)

lg(a;-l) + -¹^r*lg ^

+ 1g(a; + l) + ~-¹*r*lg

=    lg(a² — 1) — -1 lg (æ⁴-j--f-1) — |/3aretg

+ j/3 are tg

1+r«

^ig/^₊lz^A1

2 ⁸ P⁺ 2

1— W

1+ri

1+ri. /

—2-lgr-^

csi

2#— 1

1/3

2æ+l

i/3

Die Ausrechnung solcher Integrale ist oft leichter, wenn man die als konjugiert bezeichneten Glieder schon bei der Zerlegung paarweise zusammen fasst. So ist z. B.:

mx-\- n

a x² -(- b x -J- c

x*—l

a _ <p0) _ a-\-b-\-c

f(i)

x* + x-\-l

Wird der Wert flir A substituiert, die

rechte Seite gleichnamig gemacht und dann die Zähler gleich gesetzt, so ergiebt sich daraus nach dem Satze von den unbe-

a-\-b — 2c

stimmten Koefficienten: m =

a x* -j- b x -f- c x^ —— j

2a — b — c

dx “1 £(a-|-& + e)lg(«-- !)

+ \ (2« — b — c) lg {x* + x -f 1) -f (b — c) j/3 arc tg^i-îj

!26) r

m) J

ax*-\- b æ⁷ -f-c x-\- d

dx =

^-CJg(^+¹)

b — d

—— arc t g x.

u

¹

— 2 y -f- 4 y² + 5 y* = A₁ 4- A₂ y + A₈ 3/² + A y*,

²

A = 3, A₂ = — 2, As = 4, A₄ = 5;

³

w-1)⁴

⁴

weil g{x) nicht vorhanden ist. Aus dieser Gleichung können wir sofort die Zahlen-Werte der vier Koeffizienten A ent

⁵

nehmen. Das ergiebt

⁶

5w³—11 w²-{-5 w-|-4_    3

⁷

n—1    . . . 2 n—1

-tt ~b ^ sm--Tz = wn_i.

n    n

Die Gleichung: xnĄ-1 = 0, oder æ =    — 1 wird wieder

mit Hilfe der Moivre’schen Formel gelöst, indem man setzt: — 1 = cos (1 -J- 2 Je) 7t -f- i sin (1 -f- 2 Je) tz, wenn Je irgend eine ganze Zahl bedeutet. Dann ist:

n /-t    1 -j⁻ 2 Je ... 1 -j- 2 Je

<7 — 1 = cos —¹-tz 4- î sin — -Tz

u    n

Jc = 0;

= cos

TZ ... TZ

--b i sin —

n    n

Je = 1 :

3 TT

3 TZ

Je = 2:

w₂

= cos--b « sin —

n    n

5 7T . . . 5 TZ

--b * sin —-

n    n

= cos

Wn _ 1 = cos

TZ .

Je — n — 1 :

2n — 1    . . . 2 n — 1

-Tz —b î sin-

n    n

Es kann leicht naebgewiesen werden, dass jede andere ganze Zahl Je einen Wurzelwert w heryorhringt, welcher mit einem der vorhergehenden zusammenfallt, so dass im Ganzen nur n unter sich verschiedene Werte möglich sind. Nach dem öfter angeführten Satze von Moivre ist

3 TZ

3 TZ

---b i sin — = w,

n    n    ¹

5 TZ I . • v ..

= cos--\-i sin —

n    n

= cos

5 TZ

= IV

Auch diese Wurzelwerte sind paarweise konjugiert complex, denn es ist

— COS ^2 71

= COS

2n — 2k— 1    . . .

-7i % sin

n

2Ä + 1    . . 2& + 1

---TT — Î sin---71

2 n — 2 Je — 1

2 TT

TZ

ein Wert, welcher zu Wk konjugiert ist.

1. Beispiel: x = // — 1 ; w₀ =    -[- |/sT, wt = — 1,

tH 03

tel <s>-

IV ₂ =

toi H*

to!

\/3.

2. Beispiel: x — // — 1 ; w₀ =    i\/

IV y = -

Es ist w₀ zu wä und wx zu w₂ konjugiert.

V\Jri|/î»    = — i/i — *Vł> w8=/ł — i\f\'

Um das vorgelegte Integral auszuführen, setzen wir

wQ = e und

<p(x)

x¹¹ -\-l x — e'x — e³

■3

An

Ak =

UM.]

|_W35n_1 \x

_£2fc—1

u_m]

L nxn J

___I    _]___n

g 5 I    1 qq ^2 ix — 1

1 e2k-\

X-

e2 k~l n

<f (£² fc_1) .

<P(X) _

Xn-\- 1

§ ! t-¹

|£

\_X

£2n — 1 (p(ß?n — 1)

128)

?(?)

da;

f>(£2w_1)lg(a;-£2n~¹)j

£ <p (s) lg (x- e)+£:5^(£³)lg(a;-£³)+... £2w_1

Ist sk y (sk) = A -f- B i, so ist ' der konjugierte Wert g%n—k ^ ^n—k') ₌ ^ — jç i} und die entsprechenden Glieder des Integrales lassen sich wiederum zu reellen Werten vereinigen.

{A -f - Si) lg yx

+ (il — B i) lg ^

— cos

2 le 4-1    . . 2Ä4-1 \

-!-K — % gm —-—!--jz I

n    n J

2Ä + 1

— cos

, -    ... 24 + 1

—— 7i -\-i sin-

n    n

*)

— -41g ^a;²— 2a; cos

2*4-1 -!-7T

129) r

2 a;² — a; 4~ 3

x³ 4-1

¹³⁰⁾ J?Ti

dx —

131)

Ta;!'4-^²4_ 4

J a;⁸ 4-1

.    X— COS

²Üi 7r-j-1 I — 2 B arc tg-

w    /    sin

2

= 21g(® + l)+-?=arc tg

VJl [y + s/2 + 1

4 L.2    a:²— a;|/2-[-1

tg (a; |/2 — 1) — arc tg (x j/2 4~ 1)

^=i[lg(,e+l)-2/3.gg=^!±|

00

-4 6 arc tg -

2*4-1

-¹-7T

2a;— 1

l/3

— arc

2 a;² —

a a;² -f- bx-\-c

dx — ^ £(a

— Z>4-c) lg (a; 4~ 1)

-f -i (2a 4- b — c) lg (a;² — x 4-1) 4- (b -f c) |/3 arc tg

i33>    ÿ?én-*—ÿ^ï-**

j/3 arc tg-^--|/ 3 arc tg

a;a4-l

2a; —

l/3

!]

051 M-

a^-1    1    a:²—a;+l

ô+T+2 ga;²+a;+l

2a;—1

1/3

l/3

134) r—¹

J,a;⁴-4

. .a;⁴ 4- 1

cZa; =

1    a;² -|-a;j/2 4~ 1 ,

—_lg-!—l—.----- arc tg

4|/2 x² — a: |/2 4~ 1    21/2    1

dx= ^lg(a;³4- 1)4

3 (x* -f-1) *

a:j/2

a;²

§ 3. Reduktionsformeln.

Verwickelte Integrale können oft durch Reduktionsformeln (vgl. S. 131) auf einfachere Formen gebracht werden, und wir wollen einige dazu dienliche Formeln jetzt aufstellen.

ndx-

Reduktionsformeln für:

Setzt man a-\-bx -\-cx² = t, so ist:

2 c n(b -j-2 ex)²

dx

tn

tn+l

Da (Jb-\-2cx)² durch 4 ct— (4 ac— b²) ersetzt werden kann, so ist auch:

d lb-1- 2 c#\ d x \ tn /

(4 ac— b²)n    2 c (2 n — 1)

__

Wird diese Gleichung Glied für Glied integriert, und n — 1 statt n gesetzt, so kann ihr folgende Form gegeben werden: b -j- 2 cx

(n—\)(Aac—b²)tn~l 1 (n—l)(4ac—

Für ö = 0 und c = 1 entsteht die speciellere Formel:

136)

jjidx=

tn

(2 n—3) 2c

- r

iM <»-

dx.

2 (n — 1 )a (x² -f- a) ,    2 n —

n—1

____j_f j_

2 (n — 1)«J (x² -f- a)

n—1

dx.

Behält t seine Bedeutung, so ist:

m—2

rpnv—

= (m — 1) ——

\    ' in

nx™—¹

(b -j-2 cx)

tn+¹

(m — 1) xm~‘z t — nxm~l (b -J- 2cx)

tn+¹

m—2

m—1

(2 n—m+l)c^pj.

Wird wieder Glied für Glied integriert, so kann die Gleichung in folgende Form gebracht werden:

f    i\ x

= (m — 1 )a -

tn+¹

tn+i

/• rpTfi

>38) Jjjp«**-

(2 n — m-\-l)c tn (n — m -{- 1) b rxm~l    (m — 1 )a rxm~²

(2n — m-j-l)cj ćn+l X' (2n— m^|-l)c) £n+l

dx.

Wie wirsehen, zerlegt diese Formel das vorgelegte Integral in einen fertig gestellten Teil und zwei noch auszuführende Integrale, bei welchen der Nenner tnJrl unverändert geblieben, der Exponent des Zählers aber um 1 und 2 kleiner geworden ist. Die Formel kommt in Anwendung, wenn m positiv ist. Sie lässt sich aber auch leicht so umsetzen, dass das letzte Integral rechts zur Aufgabe wird. Nach dieser Umformung ist sie brauchbar für ein negatives m. Gewöhnlich wird aber in

diesem Falle durch die Substitution x = ^ das Integral transformiert, oder vor der Integration die Zerlegung in Partialbrüche ausgeführt.

^xn (a -f- b xm)P dx.

^ [xn (a-\-b xm)P]=n xn~l (a-|- b xm) p~\-mbp (a-\-b xm) p~l xm+n~¹.

Die Reduktionsformeln für

xn~l (a-\- b xm) v = a xn~l (a-\-b xm)P~x -f- b xni~^n~l (a-\-b xm)p~l ist eine identische Gleichung, durch deren Vermittelung man erhält:

-l

[xn (a -|- b xm)P] — na xn~x (a -f b xm)P

-f- b (m p -j- n) xm+n~¹ (a -|- b xm)P~l. Das Integral dieser Gleichung kommt in 2 verschiedenen Formen zur Anwendung:

139) |x

n—1

(a -f- bxm)P~l dx —

xn (a -j- bxm)P

na

b (mp n)

na

J xm+n~¹(a -f- bxm)P~l dx

140) fæm+n_1 (a -j- bxm)P~x dx

xn (a -j- bxm)P

b (mp -f- n)

na Ç b (mp -f- n)j X

(a -f- bxm)P~l dx.

Je nach der Absicht, den Exponenten von x um m Einheiten zu vergrössern oder zu verkleinern, muss die eine oder die andere Formel Anwendung finden. Die Potenz des Binoms bleibt unverändert.

~ [xn (a -f- bxm)P\ = nxn~l (a -f- bxm)P

-j--bmpxm+n~¹ (a -}- bxm)P~l.

n—1.

^    b xm+n~¹ = Æ⁷¹⁻¹ («-}-& æto) — ax

w— \xn (a -{- bxm)P] — (mp -f- n) xn~l (a -j- bxm)P ( X    — a mp xn~¹ {a -j- b xm) p~\

Aus den Integralwerten dieser Gleichung lassen sich die folgenden Formeln zusammensetzen:

141) {xn~l{a-\-bxm)Pdx =

xn (a -{- bxm)P

mp -j- n

amp

n—1

142)

71—1

(a-\- bxm)P~l dx =

mp-\-n

xn (a bxm')P

(a -}- bxm)P~¹ dx

amp

mp -f- n Ç amp J

Während die zweite Formel dazu dient, den Exponenten p um 1 zu vergrössern, wird derselbe durch die erste um 1 verkleinert.

n—1

(a -j- bxm)P dx.

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen.

$ f(xi Va-\-bx) dx.

Ein solches Integral wird rational durch die Substitution:

^/a + bx = z,

Zn —

nzn~l

dz.

Beispiel: S = Jxf/a -f- bxdx\ dx = ^-dz, /S=pj\z*

a-\-bx = z², x =

— az²) dz =

2 lzh az*\ P\P 3~J ’

143) j*x\/aĄ-bxdx

e !co

Das Integral kann auch mittelst der Integration nach Teilen ausgeführt werden:

^x(a-\-bx)% dx

2 (a 4- bx)z x

2 (a -j- 6 x)% x

~ j* (a -f- bx)% dx 2 2 (o + Jæ)4_

144) ^x{a + bx)^dx = -^\/{a-\-bxy[bx-- yj

UB) f ~WT* <** -⁸ J⁽** - y *<** -³ (f - T⁵+y)

-3^r+^^(i+*)»-

2 /-

146)

.fj/a —[—

dx =

147)

dx

(a-\-bx)P (n — p)b y/(a-\-bx)P~n dx = ^\/{aJrbx)‘²

149)    jx\/a-{- bxdx = -^^{kbx — Sa) \/(a -f- bx)*

150)    Ja:² a -f- bx dx = p    yy- y(a-|-6a;)²

~t~"4 (aJr^x) j\/

dx = 2jj2(Sbz — 4a)’t/(a-\-bx)8 ~ (a:²— x — 12) ÿy x — 4

⁹'^)v/FT2?

dx=êi{j--ix+fyb+sx

2,/5+isfer

1. y~x~~\—~Qi

148)

151)

J*a-\- bx

a -f- bx

[,~L

J va + bx

152)    Ja:</^

¹⁵³⁾

¹⁵⁴⁾    Svért

¹⁵⁵)    jéî

— 4 dx =

dx —

156)

f

J xya-j-x

|/o

dx = —=L lg .- /—

y a y x a -j-y a

¹⁵⁷⁾ fl/=

Jx y x — a

dx =

-7=arotg [/-—_

ya Va

X58) J

:da: —

1    |/l — a: —1/2

|/2    |/l — a: + |/2

159) f--*

J xy a-\-b x

1 -j-\/x — \Zx²

dx

¹⁶°) I

l+\/z

1 . [/a~-]-bx— j/ä |/a ^ [/a -j- b x -j-]/a

— x% ~ x% x

-j-2xt — 6a; i -j- 6 arc tg ^/x

|(^+l)ł — |(^+l)ł

§(*+

dx —

⁶ * — tfo

~r

dx — —

Man setze x -f- 1 = z⁶.

162) j^—^-dx = 2 \/l lg

163)

f- .....-¹-......—

J [/x — a — [/ x — b

dx

\Zx-j- 1    1

—J ^X — a~ß~V x — b)dx

(x — a)% -\-{x —

2_r

3 (b — a)

J)ij

164) f_

J y X —J— 61 —}— J/ X

1 + l/x

,65) f-

1 — [/ x

dx = —

4j/x-f-41g(l — (/*)!

166)    f—i-₇=d*=21g(l+/*)

Jæ-f |/æ

167)    Ji/r+î7S^=4(/r+75 (i±₅^)--i±q

”> Wï

169) f-

J a

cto = 2 l/l + x — 3 \/l + (B

+6^/r+^-6ig(i4-^/r+^)

dx — ^5}/ a-j-^—^^lg(a-f-/9l/a-|- bx)

&/9

.7°) f

dx =

²J

dz.

ab — a/9 -f- ßz*

Bei derartigen Aufgaben kann man zweckmässig vor der Substitution die Integration nach Teilen vornehmen, um dadurch etwas hohe Werte von n zu erniedrigen. Die folgenden Beispiele dienen zur Anleitung.

171)    ^xn\/a-j- bxdx =

172)    J*a:n ^/ä-\-bxdx

;>+»-)!*•- ff

3(a-\-bx)% xn

Ab

j* xn~l (a -}- bxfi dx

3 n r    4

I xn~l(a-f-bxf dx

3 r

j \xn-l(a-\-bx) dx.

3 {a-\-bx)% xn

¹⁷3)    -

J y/a-\~bx

An %n “h An—1 xn~¹ -j-    A₁ x -j- A₀

dx =

CH SS

Wjt>S

dx.

|/d —J— 2 bx —[- cx2 Mit Hilfe des Satzes von den unbestimmten Koeffizienten

m) f

kann ein solches Integral in einen fertigen Teil und in ein noch auszuführendes Integral zerlegt werden. Wie dies geschieht, wollen wir an einem Beispiele zeigen. Wir setzen: 30#⁵ -f 30a⁴ -f 12 a;³ -f- 21a² — 15s — 1 fJr

|/4 + 2a: + 3a:²    _____

= ( OL± X⁴ —j— ftg 3J'⁵ —(— ft₂ ² ~a? “l⁻ ftg) j/4 —[— 2 iC —|— 3 X²

dx

+ fff .__¹

Jl/44-2æ + 3æ2 worin die a und K noch unbestimmte Koeffizienten sind. Zu dieser identischen Gleichung werden wir durch die Thatsache berechtigt, dass auf beiden Seiten der Form nach völlig gleiche Ausdrücke entstehen, wenn wir wieder differentiieren. Man erhält dann:

30æ⁵-f-30#⁴-f- 12æ³-[-21æ² — 15#— 1 j/4 + 2a: + 3a:²

= (4«₄æ³ —j— 3asx² -f- 2ft₂a: -j- «i)j/ 4 -f- 2x-\-3x²

(1 —|— 3x) (ft₄a;⁴ —j— ft₃a;³ —J— ft₂ X/² —|— 6tj x -j— ft(,) —[— K. |/4-f 2a;-f 3a:2 30a:⁵ + 30a:⁴ + 12a:⁸ -f 21a:² — 15a: — 1 = (4ft₄a:⁸ -}- 3ft₃a:² -j- 2a₂a;-f- ai) (3a:²-j- 2a: -[- 4)

~f* (1 -4- 3a:) (a₄a;⁴ -j- «₃a:³    a^X' —[— ftxa: -}- ft₀) -4- K.

Der Satz von den unbestimmten Koeffizienten führt zu den Werten der a. Es ist 30=15a₄, et₄ = 2; 30 = 12ct₃ -f-9ct₄, ct₃ = I512 = 9ct₂ —j— 7ot₃ —(— 16ct₄, ct₂ ⁼⁼⁼ — 3j 21 = 6ctj —{— 5ct₂ —(— 12ct₃, ctx = 4; —15 = 3ct₀-j-3ct₁+-8ct₂, ct₀ =— 1; —1 — K-\-£ax-\-a₀, K— — 16.

175)

30ar⁵-f 30a:⁴-+ 12arj-f 21a;²— 15;c — 1 ^ |/4 -f 2a: -f 3a:²

=(2a;⁴+a;³—3a;²+4a;—

l)|/4+2a;+3a;²—16 f -, - —--=

Jj/4+2a;+3a;²

da;.

Bevor wir uns mit der weiteren Ausführung des übrig gebliebenen Integrales beschäftigen, sollen zur Berechnung des anderen Teiles allgemein gültige Formeln aufgestellt werden, und wir wählen dazu als Zähler eine Funktion von ganz beliebigem Grade. Nur der einfacheren Darstellung wegen nennen wir diesen Grad nicht n, sondern wir wählen dafür eine beliebige Zahl, z. B. n = 9.

176)

dx

j/a +- 2bx -f- cx2 = (ct₈ xs -J- a₇ x⁷    .... -f- a₄ x -J- a₀) j/(* + 2 &x -f- ex²

Jf

dx.

a -f- 2 bx +- ca;²

Wird diese Gleichung differentiiert und der Nenner durch

Multiplikation beseitigt, so erhält man;

A₉x⁹ -\- A%x* x'⁷    Axx Aq

= (8a₈a;⁷ -f- 7 ct₇a;⁶ -j-.. . -j- a₄) (a -j- 2bx -f- cx²)

-J- (ct₈ a;⁸ -|- ct₇a;⁷ +- ct₀ a;⁶ -f- .. . —|— ct₄ a; —|— ct₀) (6 +- ca;) -|— TC und durch Vergleich der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x die folgenden Relationen:

A₉ = 9cag Ag = 8 c ct₇ —(— 176 ct8 A₇ = 7 C CCß —J— 156 Ct₇ —J- 8 a Ctg A₆ — 6ca- +-13&«₆ -f- 7act7 A₅ = 5ca₄ -j- 116ct₅ -f- 6aae A₄ = 4 c ctg —j— 9 & ct₄-|-6 et a₅

Dölp. Aufgaben.

A.^ — 3ca₀ —j⁻ 7bcl.£ —]— 4 ci cc ^

-4-2 ⁼⁼ 2 c ötj -j— 5 ô ctg "I⁻ 6 <z ctg = 1 ca₀ -f- 3 bax-\- 2 aa2 ⁼⁼

Aus diesen sehr übersichtlichen Gleichungen werden die Koeffizienten a und K berechnet. Selbstverständlich kann unter den A eine Anzahl den Wert Null besitzen.

Die Ermittelung des übrig gebliebenen Integrales ist eine ganz verschiedene, je nachdem c positiv oder negativ ist. Wir untersuchen zuerst:

1 b Öq —J— 1 CLOLx —j— K •

a -f- 2bx-\- ex2 j/a-f- 2bx-\-cx² :

dx, wenn c > 0, und setzen z² — a

X[/c-\-Z,

\/cz² -\-2bz— aj/c 2(6— \Tcz)²

|/a -f- 26a; -f- cx² ==

dx = —

X=--7=-r,

2(6 — [/ cz) z-j-xf/c

b — \/cz — \/ cz²-\-2b z— a\/~c _ 2 (6 —]/cz)

dz,

177) f

y a-\-2bx-\-cx²

dx =

J" 6—z\/ c

7= lg (p — z\/ c) lg(6 —|— cx — \^[/a -f- 2bx-\-cx²)

—dz

]/c

V~*

—Trrr lg (6 -J- C X -|- [Ac \/U -|- 2 6 Æ -j- CX²)

oder

je nachdem j/c mit dem -f- oder — Vorzeichen genommen wird. Dass die beiden Werte, wie es sein muss, nur um eine

^=lg(6² — ac) differieren, ist leicht

[/c

Konstante, nämlich um nachzuweisen.

Für c < 0 treten in dieser Formel imaginäre Werte auf. Statt sie umzuwandeln ist es bequemer, diesen Fall beson* ders zu behandeln. Wir schreiben hier:

|/c

a -f- 2bx — cx²

dx, wenn c > 0.

₌ c dx J l/aĄ-~2bx

— ex

yc dx

Man setzt g =

b — ex

--f_L

⁵ J l/(ô²-f ac)

Ô— *|/ô* +

— (b — ex)²

ac

dx = —

tH I «

[A^+ac1 |/b²-\-acdg, [/a-\-2bx—

ex

■-r±

ac

a-**).

178)

If

a-|-2ôx —ex²

1 f_____de

i/d |/r

— *²

--7t= arc sin £

|/ë

ex

Ve

\/b² -j- ac

Die in diesem zweiten Falle benutzte Transformation wird unmöglich, falls b²-\-ac = 0 ist. Das kann nur für ein negatives a eintreten, da c positiv sein sollte. Dann geht aber für a = — a der Radikand —a-\-2bx— ex² in

- [(ex — by — (6² -ac)\ = — - (ex — 6)2 c    c

über, so dass \/a-\-2bx — cx

² = J/——(ex — b) wird, die

Irrationalität also verschwindet und das Integral unter Verwendung imaginärer Grössen nach früheren Vorschriften behandelt werden kann.

In den Resultaten der nachfolgenden Aufgaben ist der in der Aufgabe vorkommende Wurzelwert häufig kurzweg durch B bezeichnet.

¹⁷⁹⁾ f

x³-f- 5x² — 3x-}- 4

j/x² —j— X —j— 1

dx=

*₊2B

lx_

V³

163

x²—{—x-f-1

¹⁸⁰⁾ J

4x⁴-(-15x⁸— 9x²-f-l^-t“46

j/x² —(— 6x —j— 5

181)

f 5x² — 2x-j- 10

J/3X²

12X    24

op;    i    _

dx=*(xs—2x²-f-3x-|-7) B -f“ 10 lg (3 x -f- B)

— 5x-|- 8

dx —

( X+^)R

tO |«o

55

x² dx =

jVî

in a f ma;²-fwa;-|-p    /

¹⁸⁴⁾

mx , 2 en—3 bm

2c²

\ |/a—(—2bxĄ^cx~

2beu— 3b²m acm

2c²

)h

a -f- 26a; -j-

d:l

185)    26 a:-}-

ca;² dx =

f-

V

ca;² -j- 2&a; —(— a

a-\-2bx-\- ex²

dx

¹⁸²⁾J

dx = —

¹⁸³⁾ J

xz -\-Ax²— 6 a:-}- 3

l/b-[-6a: — a;'

— 45a:³ -f 20a:² -f 65a: + 54

|/ 7 —j— 8a? — 5a:²

(ï+t+t)*

— 139 arc sin ^

|/14

da: = (3a;² -}- 4a: -f- 5) R

6    . 4 — bx

---= arc sin —=r

|A [/bl

da;

Es wird also z. B.

x l/T+tf² -f ^ lg (a: -f l/T+â)²) — a:²da: = -^a:[/l — a;² -}- -^ arc sin a;.

Li    u

186)    |j/3a;²+10a:+9 da:+ j

187)    j*j/ll-|-12a;—8a;² dx =

188)    [x\/8-\-x

— x*dx =

to! b

-R+

H)*

toi &

lg(3a:+5+|/3 J?)

31    . 3—4a;

—arc sin —7^=— 81/ 2    j/31

|/27

J j/8-j-a:— a;²

_ ⁷\

\3    12    4 J

to 05

D 33    . 1

it — arc sin -

— 2a:

16

j/33

a-\-2bx -|- ex²

1 /--—

dx = — y a-\-2bx-\-

ca;²

« 1 sy

f?

a -f- 26a: -f-ca;²

dx

¹⁹⁰⁾ J

a;²

dx —

(--- ) \2c    2 J

3&²—ac

2c²

ßdx

/a:²

y3c

5bx , 5&² 2a ' 2c*~3c2 3aô 5&³

,m) Jp

192)    f-J^L J |/3 —(— 2r

193)    f-==£

J |/1 -\-2x-\- Sx*

194)    Jx[/a-j-^2bx -J-

(x* . bx . a b²\    . / 6³    a&\ r

= (3+6Ï + 3Ï-2?)B + (2?-2l)j

195)    J|/(R»«"[ ^ |^)3    J25^+40^+4toH-24x+9

/5^.3^.79,. 63\_.    363

a-\-2bx-\- ex*

x-\-x

dx =

<7 a; =

/æ³

l⁴

dx =

/ a;⁴

l¹⁵

car da; =

CD

Ci>

1«

2c²    2 c³

)UJ'

7æ²

12

+ | + |) «

|ig(i+* + iO

20 ^ 108 ^405    810J

h^l'g(1+3x+l/3Ii)

cx³-j-2bx*-j-ax

rca

J (7

a-j-26a:-(-ca:²

da;

/5a

v*

iH

196) J*(2a; — 5) |/2 —J— 3a?

— x- dx =

ßx*    1\    17

('3--3æ+6)B+4

197) \(x*— 3a? —(— 5)|/3a;² — 2a? —J— 6dx J(x³ 37a;² , 625    503\ „ , “

1"4    36 ^216X—2Ï6 ) ^

200/5

(2a;-5) (2+ 3^-^)^

|/2 —J— 3a? — x²

. 3 arc sm -

— 2a;

/17

2227

198) f-T.=

J j/a-f~bx

dx —

216/3

+ “7=lg (& a; + |/è/a-}~ ^²)

l/ft

lg(3a;—l-f|/3 JR)

199)

f ¹

J /a — bx²

da;

~ arc sin a

|/|

2oo) W*

X -f- CX²

lg (b -f- ex -\- \Të \/2 bx-\- ex²)

201)

j*|/2bx -

— ex²

dx

1 .b — ex 7= are sin—T

' n    O

Ve

202)    bx²dx = ^]/a-\-bx²-\--^

203)    jVa — dx = ~\/a-bx²-]

204)    ^\/2ax-\-

205)    JV

206)    JV/2

^bx-|- \/b\/a-\-bx

a

-7- arc sin x

O-i

V\

x² dx

2 ax — x² dx

ax — x²dx =

a±lR-^lg(a + x+R)

x — a ri ci² . et — %

— R — — arc sin-

2    2    a

ba²x

/xi

U

ax

5 a³

12    24

5 a⁴

. a arc sin —

²⁰⁷⁾ J>

Die Relationen (10), S. 145, führen zu den folgenden Formeln: = dx = («„_ 1 xn~l -f an- 2 Æ”⁻²

xn

a -j- b x

+«₀)i/rF6»*+*f₇=A_i

dx.

an— 1 — ^ 5    «ti—2 — 01    «n—3 —

ra —2‘ 6 "w-i;

«71—5

ß ’ T an—b USW. W—6    0

iT= — flaj, so dass für ungerade n stets K = 0 ist.

208)    f—5=^

J |/a -J- bx²

209)    [-=£--

J [/a-j-ö#²

210)

J Va~\~

211) C*-dx = J l/4-j-bx²

dx = \ f !*x dx = \VaJr^x<i

& J j/o -f-6«8    J

dx=^jVa+hx‘i —

dx =

\3 b 3b²)y

120 j

CC lio

2 b]/b

lg(bx-±-\/b R)

a-\-bx

B+Wt^x+Vlli)

■i

212) f-j

J yS-\-2x

, 3

1 io 5 ' 5

Das Integral 207) kann auch mittelst einer Reduktionsformel ausgeführt werden.

dx =

r_

J \/a-\-bx²

dx =

is-

n—1

bx

dx

n—1

J*a;n—!2|/a -f- bx*dx=-- aJ*p

213) f-₇=£=

J /ö^|-&a;²

dx = ~^r

j/a -)- fta:² — U- ^ ^j/a-{-ôa;²

= d*4-&|-=^= r xn~²

nb J/Ö+&P*

cZa:

dx.

—Txn~1 nb

a-\~bx \/a-\-bx²-

(n—1 )a

214) f-^J

J |/3^-5a;²

dx = —

/ X

\30

a;³ . 9x

40 ¹ 400

— 5a:²

27

5x

arc sin -=. 400/5 yïb

Wenn n eine gerade Zahl, so ist:

²¹⁵⁾ I

xn

dx — —

+-E-

In—x*

1 n — 1 n — 3 „ . — 2 n— 4

1 „ . . 1 n— 1

— xn~l -1----- x

n    n n — 2

+ - + Ü'»-2"

n—3

. x^yl

CO |(N CO

dx = —

lxl

i»

1 n — 1 n —

' n n — 2 n — 4*' 5 a:³ . 5a:

24 ¹ 16

— a:2 3

. — arc sin x &

1—a;²+-^arc sin x. lb

Wenn n eine ungerade Zahl, so ist:

ln —

217) f—

J j/l— a:²

dx — —

(-

\n

— xn~¹ -1---

n    n n —

_L_.

n n — 2 n —

2^3 I xn~b -j-...

j l/l—x

218) [-jS- ..

J |/1 — a:²

dx = —

£>

6a;⁴ . 8a:²

35 ¹ 35

+Ü)*/T

-x\

(x— a) |/a    2bx-\- ex*

dx

Durch die Substitution x — a == — verwandelt sich /S in folgendes Integral:

dz.

S = —

c —2 (5 —ca) ^    (« —{— 25a -f- c«²)

Je nachdem der Koeffizient von z² positiv, Null oder negativ wird, ist der Wert dieses Integrales verschieden.

1) a2baca? > 0 und =m gesetzt:

²¹⁹⁾ J

dx

(x — a) j/a -\~2bx-\-

_l_l₀.a-|-5a-f-(5-l-ca) x + \/m\/a-j- 2bx-\- cx<i

cx

\/m

x — a

2)    a-|~ 25a -f-ca² < 0 und = m:

220) f- 1—-    ₌dx

J (x— a) y a -f 2bx    cx²

|/— m

arc sin

(x — a))/ 5² —

ac

Ist endlich

so ist a eine Wurzel von a-j-25ic-f-ca:² = 0. Nennen wir die andere Wurzel ß, so ist c(x— a){x — ß) = cx*-\-2bx-\- a. Wird endlich (x — a) = z² gesetzt, so ist (x — ß) — (z* -[- a — ß) und

-dz.

-ß

— geht S über in: u

Durch die weitere Substitution z =

S= —

2 r_m

|/cj|/(a — /?)w² + l

(Zw =

2 Y\a~ ß)'u*+¹

j/c

a — /9

und daraus durch die umgekehrten Substitutionen:

g __2j/c(æ— a)(#—~ß) __2|/a-f- 2 5ic —|— c.-r²

c (a — /?) (# — a)

c (a — /2) (# — a)

Da ferner a-\-ß = —— ist, so kann a—3 = 2 Ga .    c    r    c

ge

setzt werden. So wird schliesslich:

²²¹⁾ J

{x — a)\/a-{-2bx-{- cx²

dx

\/a-\-2bx-\- cx²

(b    ca) {x — a)

222) J

(x — l)\/x² -\-2x-\-3

ax--L ig ^+1+1^

[/ 6    a:— 1

223) |

(x — 2)[/x²—    —|— 1

²²⁴^ J(a: + l)j/r^

da; ==

1= arc sin

/7

(a: — 2)[/8

dx = —

|A=f

K i+«

Wenn a > 0 ist, so ist:

225) f    ^

J x\/a-\-2bx-\-cx²

da; =

1 a-j-foc-f-j/a ]/a-\-2bx-\-cx²

Wenn a < 0 ist, so ist:

226) f-

J x

dx

227)

\/a-\-2bx -j- cx²

da; = —

= arc sin

a-\-bx

|/^ö

a;j/&²—

ac

.L|/2

aa; — x²

J/2aa; — a;'

ax

228) f-

J a;

l/T+ï

1 — j/l-j-a;²

a;

229) J

,    . x

dx = arc sin -

230) J

a; |/ a;²-f-a; — 1

—--dx = — arc sin -.

a;|/a;²— 1

x \/b

r_ ¹

J (x — a)n ]/'a -f- 26a; -|—

dx.

cx

Durch die Substitution x — a =

erhält man:

zn-l

ca) s -1— (a -j— 2ba-\- ca²) 8²

dzr.

23i) j

(x—l)³ y 3 — 2ar

dx = -—

( ¹

^2(æ— l)²

j 7 ]g 3    2 x    \/3    2 a;²

x— 1

3—2a;²

232) |

(x —2)⁴ j/l — 4x-[-x²

cfce =

²³³⁾

]/a-{-2bx-\- ex²

da; =

/_¹

^9(x— 2)s 1 21 (x — 2) [/ a-j-2ôa;-|-ca;²

ax

a I o-

234) f-

J x

dx =

ea;

[=1

\2ax²

' \2«²    2a) J x

\/a-\-2bxĄ- ex

³⁶ 1 R

1

2cra;

dx

²³⁵⁾ h

j/l — 4 a; -J- a;2 dx —

²³⁶⁾

\/a -\~2bx-\- ex²

lR+2\g¹-²*-R

\/l+X²    1 . 1 — |/1 -f- £C²

dx = —

2æa

ô>g

a;

dx

237) f-J a;

⁴1/ 3 — 2a;-j-a;

dx = —

L\ R

9x³ 1 54a;2 1 54a;y

2    3 — a;— |/3 -R

27 [/3 g «

238)

a-|-2&a;-f-ca;²

da; =

j?

a-\-2bx-\- ex

dx

+ <\f l/« + 2S* + a.*<tB + &JV

a-}-2èa;-j-ca;²

da;.

f(x) \/a    2bx

cx

- dx.

<p(x)

in Partialbrüehe und damit das ganze Integral in eine Summe integrierbarer Teile.

Man zerlegt

/■(*)

f239> U

3x-j- 1

— x—6 j/3x²-f4x —7

²⁴¹⁾ J

1    . 4x4- 11

-7= arc sm , Q<-|/3    5(x + 2)

5    .    5 — 4x

|/Î3 (x + 3)[/l0

dx =

1 Ils—l — |/32 ii

j/l g ^3

3x — 5

(x — l)² j/x² —(— 4

dx

dx = — • 5

2    [/x²-j-4

x — 1

17

5 j/ô

lg

x -j- 4 — j/5 [/x² -}- 4

²⁴²^ I(x² —9)|/5 + 6x

— 7x²

dx

x— 1

1    .    7 —9x

■ —7= are sin-7

6 j/40

—4= arc sin 6J/76

(x—3) [/il 12x — 2

(x+zWn

S=J

— dx. •2

r.r

(x — ^ — qi)\/a -f- 2ôx-f-Dieses Integral geht hervor aus 219), wenn man a=p-\-qi setzt. Dann ist auch m = a-\-2bp -j-c(p²—q*)-\-2q(bcp)i. Setzen wir m = q (cos t -f- i sin t), oder ç cos t = a -|- 2 -\-c{pi — g²), (> sin t = 2q (b -j- cp), so sind q und t hierdurch bestimmt. Zugleich ist:

|/m    [/ q

cos^ + ^in-

Q/

^C08    — i sin 4) .

-\^a-\-bp-\-{b-\-cp)x— j/^cos|b

—p—qi).

S= —pz { cos ^ — i sin 4

M ²

+ {(& + cx) <1—Vq sin| -ß} i J —^cos| — t sin4

Wenn nun das vorstehende Integral bei der Zerlegung von in Partialbrüche entstanden ist, so muss noch ein zweites

fi*)

existieren, welches sich von diesem nur durch das Vorzeichen von i unterscheidet. In abgekürzter Bezeichnung mögen beide heissen:

8 = (Ä + Bi) lg (P+ Qi) - (A -f Bi) lg (* - p - qi) S^iA- Bi) lg (P - Qi) - (A - Bi) lg (x - p + qi)

S+S₁=A\g(P* + Q*) + 2BnT<itgQ-A\g[{x-py + q*]

-{-21? arc tgX~-P •

Setzt man a;² = z, so ist:

²⁴³⁾|

(1    x²) [/1 — x⁴

dX 2^1 —f-    |/1 — z2.

dz

Hg- H

t—i (N

— a;²

1-f a:²

244)

/Hg

dx =

Jpîfe'"⁺/iÆ~î

= — [/a² — a;² 4- a. arc sin —. r    1    a

dx

Setzt man xz = z*, so ist:

245)

|/X

/a*— a;

Man setze x* = z in:

2 Ç dz

3j|/a⁸

— *²

2    . I /ar

3arC81 “V a*'

246)

dx ==

ćPc

£² — *²

(M)^

— a:⁴ 4- are sin ar 4

247)

JO+/l+*²)

n dx= ^ J* (zn -|- z⁷¹^²) dz für z—x-f-1/1 —J— a:2 ar)^¹    (a: -f- j/l -j- a:²)

r»+^+

L »+1

n—1

§ 5. Exponential- und logarithmische Funktionen.

j'fié*) dx.

248) J

Diese Funktionen werden vereinfacht durch z= ex.

ßtnx

emx dx =-

249) j*(e³³⁷ -J- lAï*) dx

Ç+2|^

~rrdz = 2 lg (ex -|- 1) — X

251)

dx = arc tg e³⁷

252)

J* l/a-J-Je³⁷

dx =

1    \/a-\-bex—j/a.

|/ä    èe³⁷-)- [/a’

z = \/a-\-bex

e³⁷

254) J^j/l+e³⁷^^ ^(l+e³⁷)³

256)    J(e* +

²⁵⁷)    J'^r^dx = 1s(eX+a)

A 35.

^ = 36^

-1)

2 dx =

ex — 1

e2œ — e-2a;

f- 2#

258) J

4ea7 —{— 6e—37

9 e³⁷ — 4e-³⁷

r*- )-¥

²⁵⁹)    Jiï^^ = ¹s(¹+e‘c)

²⁶⁰⁾    Iw

dx —

e®

{n — 1) (e* -j- a)n_1 * JY(a;, e³⁷) dx.

Neben der Substitution wird bei diesen Funktionen auch das Integrieren nach Teilen oft mit Vorteil angewendet.

d¹ x¹ dx = ex x¹ — 4 x⁸ dx

²⁶¹⁾ J

262) J

e^x³ dx = exx⁸ — 3 Jexx² dx

usw.

263) (Vx⁴ dx = ex(xi — 4x⁸ -f- 12x² — 24x -f- 24)

264)

xn dx — ex (xn — nxn~l -\-n[n — 1] xn~²

265) j¹

cmx xn flx —

emx xn

n emxdx=

tyï i

— 1 emx xn~l dx

mj

emx(a-\-bx)n nb

J¹ emx (a-\- bx)n~l dx.

Diese Reduktionsformel ist für positive und negative m gleich-massig anwendbar. Man kann sie auch umkehren und —p für n — 1 setzen.

267) j¹(<%-\-bx)

-p emxdx —

emx {a-\-hx) —P+l

(P- 1)6

Jemx(a-\-bx)

dx.

. dx

268)

269) J¹x⁴ e2x dx — e2x

-~+ )

270)    J

²⁷¹⁾    fv

x⁸ e~x dx — — e~x {x⁸ -J- 3 a;² -j- 6a? —(— 6)

6x²

È)+ ji1¹’

r-i |CO

272)

(x — a)

- dx

in

=ea\%dz

wenn z = x — ą,

Exponentialfunktionen mit der Basis a werden in solche mit der Basis e umgewandelt, indem man a = em setzt.

m = lg a

273) ^ahxf(x) dx —

mix

₂₇4) f

x⁹’ ax dx =

( x ax ( -

\n

f(x) dx ; 3æ² , 6x

m² ~ mn

mij

²⁷⁵)    dx = — ax

6#² Qx

)+ Saidx

276)    JY(æ) dx — Je* f(ez) dz

277)    j*(lgrr)M dx = j*

wenn z = lg x ist.

ez zn dz = ez (zn — nzn~l -{-...)

= x [(lg x)n — n (lg x)n~l -j-n(n — 1) (lg x)n~2 Dieses Integral lässt sich auch sehr leicht mittelst der Integration nach Teilen ausführen.

278) j(lgs)

n dx — x (lg x)n —

n( (lg x)n~l dx

279) [\gxdx — x(\.gx— 1)

280)    J (lg x)² dx = x ([lg xy — 2 lg x -f- 2)

281)    ^xn\gxdx =

282)    ^x-*¹ \g xdx

283)    Jæ³1gxdx

₂₈4)    J!|Zäz =

285)    (~lgxdx = ^Qgxy

286)    j*(a-f bx)n\gxdx

y+sxy^dx

.(Cn+¹

w+1

1 gx

US

„ , xn+l

xn dx —--

n-fl

(n — 1 ) xn~~l

^lgrr— j

r-i 1^

~L^X+ )

T—ł CO

v*‘+ï=ï)

('afb*)n+ldx

on + l)b]gX (w-fl)ftj

^^^-^x—^lgx—lbx—bx^—x*

288)    j*lg(a-f- bx) dx = a X (1g \a-\-bx\ — 1)

289)    J*xnlg(abxm)dx=X~—lg(a-f -bxm) —

290)    j*lg (a -f- bx²) dx = x lg (a -j- bx²) — 2a; -f- 2aj* —

291)    j*a;lg(l -f x²)dx = ¹ lg(l-fs⁸)—~

292)    Ja;³lg(a;²+3)ć?a;=^-lg(a;²--|-3)—

²⁰3)    lg x dx = |/a⁸-|- a:². lg a; —    ^ dx

= ()gx— 1) Va~-\- x² — a\g —

a-\-bx

-dx

m

ôdx

|/a²-\-x².

§ 6. Trigonometrische und eyklometrisehe Funktionen.

Die Grundformeln zur Integration dieser Funktionsarten werden durch Umkehrung der entsprechenden Differentialformeln gewonnen.

cos x dx = sin x

294) j*

295) |

sin xdx = — cos x

296) j*cos na: da; == ^ sin na;

297) J

sin nxdx —--cos nx

²⁹⁸) Jak

dx = — cotga:

²⁹⁹>

dx — tgx

300) j*tgxdx = — J

— sin x

COSÆ

dx = — lg cos x

301) Jcotg x dx — J

cosa;

sin x

dx — lg sina;

302) j*tgnxdx

--Ig cos nx

n

=- lgsin nx n

sin x cos x dx = sin² x-\-G =

U

303) j*cotgnxdx

³⁰⁴⁾ J

-^cos²â-|- C'i

u

sin 2 xdx = —

-^cos 2x-\-C₂.

Je 2 dieser 3 Werte differieren nur um eine Konstante

1 c    1

sin² xdx = -^ I (1 — cos 2x) dx = — x

r    11

l (1 — sin²a:) dx = -x-f-—sin 2a;.

305)    J

306)    J Aus 300) und 301) folgt:

307)    J*(tg x -j- cotg x) dx = lg sin x — lg cos x

cos² xdx =

³⁰⁸>

dx = \gtg'x, oder:

4 rin 2* 4

= lgtga;, oder

310) f— J COS

dx =

*^sin

( -*)

dx = —

té

de =

= — lg tg

(H

= lg tg

(i+i)

= lg cotg

Höhere Potenzen von sina; und cosa; können mit Hilfe von Reduktionsformeln integriert werden. Sei:

Sn=\ sin⁷¹ x dx.

$ sinn xdx= $ sin⁷¹⁻¹ x sin x dx

= — cos x sin⁷¹“¹ x -\-(n — 1) Î sinn—2x cos²x dx Sn= — cos x sin⁷¹⁻¹ x -j- (n — 1) $ sinw~² a? (1 — sin² x) dx Sn = — cosa; sinn—1 x-\-{n — 1) £n_ 2 — (« — 1) S„ nSn = — cosa; sin⁷⁷⁻¹ x-\-(n — 1) $M_₂

/* ^ ^ /* 311) |sinna;cZa; =--cos x sin"“¹ x -I--l

J    n    n J

sin"⁻² x dx.

Dölp, Aufgaben.

11

Wird die Formel umgekehrt und n — 2 durch —p ersetzt, so entsteht:

312) f(sin x)

-P dx — —

———— cos # (sin x)-v+l

v    ,p-H,■ ^

+^3rîJ(sin*)

~p+² dx.

Die beiden Formeln dienen dazu, den Exponenten von sin# auf 2 oder auf 1 zu erniedrigen und so das Integral auf eine nach früheren Formeln ausführbare Form zu bringen.

3!3) f

sin³ xdx = —

i^sin²#-|-2j

cos#

³¹⁴⁾ J

3!5) f

sin⁴ xdx = — ^ sin⁸ # -j- | sin #^ cos # -j-

(ï^ + À^ + îl)

+ |lgtg|

sin⁵#^# = —

cos#

316) (-Ą-dx ' Jsm⁸#

cos#

2 sin²#

/—1—i—~—\

^3 sin³# '3 sin xj

Die Reduktionsformeln für cos*# werden auf dieselbe Weise

dx = —

cos#.

direkt gewonnen wie diejenigen für sin*#; sie können aber auch aus 311) und 312) dadurch abgeleitet werden, dass man

= sin # setzt.

cos x = sin

cosn xdx — J* sin*    — #^ dx — —J*sin* zdz.

Wird das Integral entwickelt und darin wieder sin# durch cos# und cos# durch sin# ersetzt, so erhält man:

\    _2 r

— cos*⁻¹ # sin # —I--I cos*'⁻² # dx

n    ¹ n 1

p-2

³¹⁸⁾ J

³¹⁹⁾ J

cos* xdx =

320)

——— sin # (cos#)⁻¹ [■

p—1

³²¹⁾ J

322) J

J*(cos#)⁻^d# = cos⁴ # dx = cos³ # -f- ^ cos #^ sin # -f-    #

(hosix+éeos*x+L)

cos⁵ # dx —

P—1

J* (cos#)

~P+²dx

sin#

323) f—\-dx ' J gob⁶x

sina;

³²⁴> Jsk

dx —

2 cos² x sina;

3 sina;

4 cos⁴ x ~ 8 cos² x Mit Hilfe der beiden Formeln:

sin nx

gtixi_ g—nxi

, coswa;

col &

tC &

gnxi _|_ g—nxi

lassen sich sinna; und coswa: in Funktionen der Vielfachen

des Bogens umwandeln; wir wollen an einem Beispiel zeigen, wie dies geschieht.

gix_g—ix\ 5

sin⁵a; =

g5ix—dc3ix+10eix— 10e~ix+be~3ix—e~bix

32 i

gbix_g—bix

^3 ix g—3 ix

gix g—ix

16

325) j*

+ [sin 5a; — 5 sin 3a; -J- 10 sina;].

cos 5 a: . 5 cos 3 a;

sin⁵a: dx = ~ I

w i

—10 cosa;

326) J

cos ⁹ xdx =

sin 6a; . 3 sin 4a; , 15 sin 2a: . 5a;

192

64

64

16

327) j*

sin⁶ xdx = —

1 rsin 6a;    3 sin 4a: , 15 sin 2a:

L⁵

32

328) J

cosn xdx — —

1 ["sin7a: . 7sin 5a:

L¹

64

329) J

cos⁸ x dx =

JLf

128 [

sin 8a: , 4sin 6a:

I . 5*

' ² J

{— 7 sin 3 a; —{— 35 sin x j

f- 7 sin 4a;

-f- 28 sin 2a: J -|

+ 16

35a:

128*

Wird sin x=y gesetzt, bez. cosx—y, so erhält man leicht: sinw xdx =

JvT

yn

dy,

cosM xdx — —

c yn

)\^~y

I dy.

330) J

sin sxdx =

j*(l — cos² x) sin x dx — —j*(l

— y*) dy

COS³ X

cos#

11*

33!) r

cosh xdx —

j*(l — sin² #)² cos x dx = j*(1 — ?/²)² dy

sin⁵# 2 sin³#

-j-sin#

“> Xife-fr

sin# dx

— cos²#

dy

-r

Ilgizil 2 Sl + y

sin⁴ —

-lg 2 ë

o x COS" —

= lg tg

« |CM

333) f dX

f dx

334)

sin⁶#

5 sin⁵# lösin³# lösin#

COS#

33ö) J

sin⁷# 6sin⁶# ' 24sin⁴# ' 16sin²#jC0S;Z;_^~

dx _ sin# .    4 sin# . 8

cos⁶# öcos⁵# ' löcos³#"' lö °X'

Setzt man sin# = — oder cos# =

ö # - Igtg«

so wird man finden:

sinn#

c yn~l j r dx

cosn #

336)

r dx r_i

J cos⁷# I 6cos⁶# ' 24cos⁴# ¹ 16cos²#

sin#+—Igtg

337)

16

338) j*

rdx \ ¹

J cos⁸#    17cos⁷# ¹ 3öcos⁵# ¹ 3öcos³# ¹ 3öcos#

sin^d⁻¹ # n —j— 1 COS^d"¹ #

sinw # cos xdx

339) J*cosw # sin xdx =

.♦)

sin#

n-\- 1 J sinOT#cosw xdx.

Gewöhnlich wird dieses Integral durch Integration nach

Teilen auf ein einfacheres Integral derselben Art reduziert: sinm_1#cosn+i#

sinm#cosn#d#=

u^Zif

h«+lJ

sinm~²# cosM+²#d#.

n -f-1

₈jnm-2 x costt+2 x _ sinm-2 x cog» x ^ — sin² ^ __ sinwi- 2 x cosn x

— sinTO#cosn#.

Wird hiernach das letzte Integral zerlegt und dann reduziert, so erhält man:

340) J

sinm x cosw xdx =

sinm~¹ x cos’H-¹ x

m-\-n , m— 1 ' m-j-n

sinm—2 x cosw x dx.

Setzt man m = p~j— 2, so wird:

sin x cos^H-¹ x p-|-l p-\-n-\-2    p+n+2

sin^H-¹ x cos^¹ x

smP+²xcosnxdx

sin^xcos^efcc.

³⁴¹⁾ J

sin-P x cosw x dx

P-fl

. p-\- n -f- 2

sin^+2 x cosw xdx.

p-\-l

Während 340) dazu dient, ein positives m zu verkleinern, wird durch 341) ein negatives p vergrössert; in beiden Fällen

bleibt n ungeändert. Wird wieder    —x| statt x, —dx

statt dx gesetzt, so entstehen aus den beiden letzten Formeln die folgenden:

³⁴²⁾ J

cosm x sinM x dx

cosm_1 x sin^H-¹ x

m -J- n

³⁴³⁾ J

sinw x cosp xdx = —

if

n mj sin,l+i x cos^¹ x

cosm_2a: sinnxdx

P-fl pĄ-n-\- 2

³⁴⁴⁾ r

sin⁴# cos²# dx —

P~h 1

"sin⁵# sin³# sina:

sinwx cos^+2xdx

345) J

24 xej^+ïl sin⁴ o: 4sin²# 8~|cos#

J-7--

sin⁵#cos²#ćZ# = sin⁶#

Aufgaben dieser Art können auch so behandelt werden:

15    15

346) f sin² x cos² xdx=(sin² x (1 — sin² #) dx *    ^    fsin³#

rsiir

I ¹

sina:

i x COS X -j- -ö

³⁴⁷⁾ J

sin³#cos³#<?#=J*sin³#(l—sin²#) cos#d#=^-^— ^

₀.0N C • «    «    7 cos⁹# cos⁷#

348) I sin³ # cos⁶ # c2# =—^----

349) J

sin⁴ x cos⁵ x dx =

( sin⁴ # (1 — sin² #)² cos x dx J    sin⁵# 2 sin⁷#

sin⁹#

sinra# , --dx

COS#

eosn#

dx.

sin#

Wird im ersten Integral sin x = y, im zweiten cos x = y gesetzt, so wandeln sich dieselben um in:

f yn

dy und

JV^-

Die Division wird ausgeftihrt, der Quotient integriert, in dem ßestbruch aber vor der Integration die umgekehrte Substitution vollzogen, weil so ein leicht ausführbares Integral entsteht. sin⁸#

350) J

dx

sin²#

*“> f

cos#

sin⁶#

dx =

lg cos #

u

sin⁵# sin³#

352) |

353) J

cos#

cos⁴# ,

—-dx

sin#

cos⁵#

tot &

354)

sin#

sin#

dx

cos³# .    . , , #

—g— -f cos# + lgtg-

cos⁴# , cos²# , .    .

— + lg sin#

355) J

cos⁷¹ # cos#

dx

(n — 1) cosn_1 #

dx =

(n — 1) sin⁷*⁻¹ # *

Statt mittelst der Formeln 341) und 343) negative Exponenten zu reduzieren, können derartige Aufgaben auch so behandelt werden:

sin⁷¹#

356)

sin⁵#

cos⁴#

dx =

sin#(l—cos²#)²^#

cos⁴#

3 cos³# cos#

cos#

357) r

cos³ x

sin²#

dx —

1 -J- sin²#

sin#

358) J

cos⁶#

sin⁵#

dx — j^cos⁴#

25 cos²#

# . 151

-+T

151 cos# . 15 8 Isïn⁴#"^

1S tg

toi &

359) J

sin⁴#

cos³#

dx —

— sin³#-f

3 sin#

jcos

«Ig tg

to «

360) j*

sin⁷#

cos⁴#

dx =

sin⁶#

2 sin⁴ # -j- 8 sin² # — ~ j

sin # cos #

= lg tg #

sin²# cos²#

sin³# cos#

2 cotg 2#

2 sin²# ¹

1- lg tg #

sin²# cos⁴# 3sin#cos³#

- cotg 2 #

Durch teilweise Integration erhält man:

365) jtg

nxdx=\smnx cos⁻” x dx

tgw~¹ #    r

—--I tffu

n-1    J g

~² x dx

366) j* cotg«

xdx

cotg«-¹#

j*cotgn_2 # dx

367) JV

n — 1

x dx = tg⁴ # —^ tg² # — lg cos #

368) jtg

sx dx =

369) Jcotg⁶#^#

Itg’x — 1tg5 * + 'StgS x —tg * + x

cotg⁵ # . cotg³ #

370) j*cotg⁷

xdx

cotg # — #

cotg⁶ # , cotg⁴ # cotg² #

lg sin#.

eaccsin bxdx

eflx cos bx

a-! a

eax uosbxdx

cflx cos bx dx =

eaxsm bx

cni a

eax sin bxdx.

³⁷¹⁾ J

Wird je eines der beiden Integrale eliminiert, so erhält man: eax

[a sin bx — b cos bx]

e^sin bx dx

a² + 6

372) j*

eaa?cos bxdx =

ßüX

2 [a cos bx -f- b sin bx].

a² -\-b

Setzt man in beiden Formeln — x statt x, so gehen daraus die folgenden hervor:

ß—ax

j ia 8^n bx-\-b cos bx\

ß—ax

^2 | ^2 [« cos bx— b sin bx] eax g{n mx cos nx dx == -1J*sin (m -(- n) x dx

-j- 2 J*eair sin (m — n) a; dx 376) j*ea:r sin⁴ bxdx=    (cos 4bx — 4 cos 26#-f- 3) dx

eax cos⁸ 6a; da; = - feaa;(co8 36a:-|-3 cos 6 a:) dx

373) J

374)

³⁷⁵⁾ f

377) |

378) j*

379) J*

380) |

ß—ax gin bx dx =

e~ax<so& bxdx —

xn sin xdx — — xn cos x

+„j

xn~x cos x dx

xn cos x dx = xn sin x ■— n j*xn~x sin x dx

sina:

xn

dx =

sin x

cosa: 7 —— dx =

xn

0 — 1) xn~l 1 n — 1J a;n_1

1 Tsin x (w — 1) xn~l n — 1J xn~l

cosa:

cos x

dx

dx.

_ «2    x

Wird cosa: = - . ^ gesetzt, so ist y = tg — und

¹ "T y    *

ssą r dx

2_C dy

d 4- cos x a — l) „.a+l

J y+-

arc tg y

[/a² — 1

v\

« -j- 1

Q> ~f" 1 \ A

, wenn ——- > 0,

(X 1

383)

— 1g

a -f- cos x f/i—a2 Für a — 1 ist

Ç dx Ç

J 1-f COSÆ J

dx

l/î+a

V 1 — a

» + |/gl

, wenn -a

a -f- 1

toi

2 COS² ~^r

Li

w²— 1

Ebenso findet man für sinÆ = p~j-p dass y = tg

und

³⁸⁴⁾ J

dx

—~— f—

aJr ..2

dy

a -f-1

[/a² — 1

arc tg y

vi

a -f- 1

wenn

7>0,

+i

y—[/

1 — a 1 -J- a

|/l — a²

y+[/

wenn

ïït<o.

a1

Für a — 1 wird

1 —j— a

*“> WŁi-f

2 sin²

toi H

= — cotg

toi &

386) |

COSÆ

387) J

a -|- cos x sin a;

a - j- sin x

dx —

(Yi--A-la*-*-. f-Jî-

Jl a-j-cos#/    Ja-J-cosa;

dx = x —

r dx a J a -]- sin x

³⁸8) f—p—. dx -= 8

' J a -f- o sin a; -f- c cos x

dx

dx

=m

ma -[- vnb sin x-\- me cos x wenn mb — sin À, me = cos l₁ also m —

ma-[~⁸^n^ sin x-j- cos l cos x ’ gesetzt wird.

Weiter ist l

f/b² —1~ c²

¹

Cp —i)6

Für p = 1 ist diese Formel nicht mehr brauchbar, das Integral muss dann durch Reihenentwickelung weiter geführt werden.

X²

1.2.3

«lg¹ + ¹+£ + g + ...

r dx

S=m

J am-\- cos (x—X) ‘

Hiermit ist das gegebene Integral auf 382) zurückgeführt.

389)    ~ J sm x -f-

390)    r

cosx

jÄ,stg(i+ )

1    . TZ

' m = /2’ X=4-

Ist ma—1 = 0, oder a = |/P~-}-c², so ist:

c sin x — b cos x a a -j- b sin x -f- c cos x '

dx

a -f- b sin x -f- c cos x

Bestimmte Integrale.

In die Integrale, wie sie bisher betrachtet wurden, ging stets eine willkürliche, unbestimmte Konstante ein; deswegen nennt man sie unbestimmte Integrale. Ist für die Konstante einmal ein Wert gewählt worden, so darf im Verlaufe der Rechnung nicht ohne weiteres eine Änderung dieses Wertes vorgenommen werden: dann ist das Integral nur eine Funktion der Veränderlichen x. In dem Ausdrucke

j'f(x)dx = F{x) + C

ist es ja nun ohne Bedenken, dem x auf der rechten Seite einen festen Wert, etwa &, beizulegen und F{b)-\-C zu schreiben. Das geht aber links nicht an, da das Symbol dx nicht in db übergehen kann, weil für eine konstante Grösse b der Zuwachs Ab stets Null ist. Man müsste also anders schreiben, etwa

lf'

oder bequemer

x— b

Man hat daher

j* f{x)dx.

Ç f(x)dx = F(b) + C.

Ebenso ist für eine andere Konstante a

Jaf(x)dx = F(a) + G;

und also innerhalb derselben Rechnung

j%bfix) dx —f(x) dz

— F(b) — F(d).

Die linke Seite kann man bequemer schreiben

f>) dx = F(b) - F(a) = [F(b) + C] - [F(a) + C]. (11)

Dieser Ausdruck heisst: Das bestimmte Integral. Er ist von der Wahl der unbestimmten Integrationskonstanten unabhängig geworden und daher stets gleich der Differenz aus den Werten des unbestimmten Integrals für die obere und für die untere Grenze unter Annahme der gleichen Integrationskonstante für beide.

Aus (11) folgen die Formeln:

f>) dx + f' f(x) dx = [F(b) - F(o)] + [F(e) - F (4)] = F[c) — F (a) = (c f{x) dx.

fC f(x) dx — P f(x)dx = fC f(x) dx.

Ja    Ja    Jb

j*C f(x) dx —f(x) dx ⁼ ^ f ix) dz. j*& f(x) dx = —j*a f{x) dx.

(12)

(12a)

(12b)

(13)

Nehmen wir als obere Grenze eine Veränderliche m, so wird

j'uf(x)dx = F(u) — F{d)

eine Funktion allein von w, nicht mehr von x. Nach der Definition des Integrals gilt die Formel

(14)

Der Differentialquotient des bestimmten Integrals nach seiner oberen Grenze ist gleich dem Integranden

Aus (13) folgt, wenn wir die untere Grenze veränderlich machen

dv

(14»)

Schreibt man (14) in der Form

d^U f(x) dx = f (u) du,

(14b)

so erkennt man, dass der Zuwachs des bestimmten Integrals bei veränderlicher oberer Grenze gleichzeitig mit dem Zuwachse dieser Grenze unendlich klein wird, falls f(u) endlich bleibt.

Es ist folglich das bestimmte Integral eine stetige Funktion seiner oberen Grenze. Dabei kann der Inte-grand unstetig werden, d. h. es darf (vgl. S. 76, Z. 16 ff.) /(;c-|-0) von f(x — 0) verschieden sein. Geschieht dies z. B. an der zwischen a und b gelegenen Stelle c, so müssen wir jetzt definieren

j* fix) dx =

fC °f(x)dx-j-fÔ f(x)dx

Ja    j c+0

= F(b) — F(c -f 0) -f F(c — 0) — F(a).

Bedenkt man die Bedeutung eines Differentials, so kann man (14b) in der Form

f“,.. _ ru+äu f(x)dx — | f(x)dx=\

Ja    Ja    J u

fix) dx = f(u) Au

schreiben, wenn man unter Ju einen beliebig kleinen Zuwachs versteht. Dadurch erhält man der Reihe nach

«-(-Am

fix) dx — Auf {a)

a -f-2A w

f(x) dx — Auf(a -{-Au),

a -f Am

a-|-3 Au

fix)dx — Auf(a-\-2Au),

und durch Summierung von n solchen Gleichungen

a+nAtt

f(x) dx — Au\f (a)    Au)-\-f{a-\-2Au)

4“ • • •+f (a 4* (n — i) du)] .

Wenn man hierin nAu — b— a setzt und dabei zugleich n ins Unendliche gehen und also Au zu Null werden lässt, dann entsteht

(15)

fÖ f(x) dx = lim d. [f(a) -f- f{a —j— d) —|— f(a -f- 2 d)

da    *⁼⁰

Diese Formel giebt eine Definition des bestimmten Integrals ohne Vermittelung des unbestimmten und ermöglicht dadurch auch eine direkte Berechnung. Wir wollen ein Beispiel dafür geben :

j:

e? dx — lim d. â=0

= lim de® (1 -\- e⁶ -f- e2ä -J- ... -J- é-n~D ä) = lim d. e® - A —;—

ts — 1

—- (eb — e®) — eb —

= lim

da die Grenze des Quotienten sich nach den Regeln der Differentialrechnung als 1 ergiebt.

Es kann Vorkommen, dass der Integrand f(x) für einen Wert c zwischen a und b unendlich gross wird, und dass man trotzdem dem Integral einen Sinn geben kann. Wir setzen nämlich als Definition in diesem Falle

J*⁰ f (x) dx

äf{x) dx -(- lim (b f(x)dx J a    i—OJ c-f *

= lim

unter der Voraussetzung, dass jedes der beiden Integrale rechts einen bestimmten endlichen, von d und bezw. von e unabhängigen Wert auch für den Grenzübergang besitze. So ist z. B.

T9 dx

Jo,³

î-â

dx

V^-l)²

= lim *=0J 0

= lim â =0

= — 3 — lim 3 dT

d=0

</(*-!)

. n dx

\- lim |    -0-,......—

«=oJ i+* \/(x — 1)

j^3 (x — 1)^ j

x=l—â

x=0

■lirnTs^ —1)T1^

« = 0    J 07=1—1

lim 3    4~ 6 = 3

während

j:

dx

r

* =oJ o

lim

î—â dx

= -f- lim (*

⁴ .=cj

dx

V£=ï?'

keinen Sinn hat.

Eine ähnliche Erweiterung des Integralbegriffes ist auch in dem Falle möglich, dass eine oder dass beide Grenzen ins Unendliche gehen. Hier setzt man als Definition

dx

[ °⁰/’(æ) dx = lim

J a

unter der Voraussetzung, dass das Integral rechts einen bestimmten endlichen, von d unabhängigen Wert auch für den GrenzUbergang besitze. So ist z. B.

ä=0

(d positiv)

e~x dx = lim

<r=oJ o

M?

= 1 — lim e d = 1 ; d=o

/*oo

während l ex dx keinen Sinn hat. Ähnlich ist aufzufassen

J°    _i

f ⁶f{x) dx -j- lim f f(x) dx.

J 0    *=oJ

e~x dx — lim ä=o

ä=0

— oo

39i) r

b mxn dx

n-\- 1

Aufgaben.

— aM_bi)

392) j*⁺²

64

x*dx = — 5

393) j*& (a -J- Ix) dx

_ 2ab-\-bs — 2 a² — a^b

394)    j*³ (2x-\-3x*)dx

395)    f°

= 36

(et-

i i 3aJ A

^T“* j

13

dx = —

48

396) r»îl-³-

— 4a

dx — a²

(t-⁸¹*²)

. 39?)

J 2

TC

o £c² —|— a² 4a

z² + l

2 «²+2#— 3

dx =

ilg6 + |lS2

f|A?

J*a

402)    j*⁷ dx j/æ + 2 = —■

403)    j'adx\/a² — æ²

404)    fa j/^c² —}— 4 a² dx — a³ (5^/5— 8)

« fW*

»> Ilprâ

401)

a²;r

TC

4°₇₎ j;

a?

|/2 + 4a;

408) j*“

«²

dx = ^r j/2

La

ZcPtc

|/aæ— a;

dx =

409)    j*2&c?a; j/2ôa?

⁴¹⁰⁾    il

%2n

|/l — x

— X¹ =

dx —

&²7T

1.3.5....(2n — 1) 2.4.6..........2 n

⁴¹¹⁾ c

412)

"> f.

1 #2n_r1 |/1 — Z2 ¹ eFdx — e — 1

¹ xe? dx = 1

dx =

2.4.6..........2 n

3.5.7... (2m -f-1)

414) J*² eax dx

e²® — 1

“> r

e~ax dx = -

41₆₎ r;

ax dx

a² — 1

alga

⁴¹⁷⁾I

2 _ — =lg2

418) j*e a;² lg a; (2# =

1-f 2e³

419) f ⁴ sin a: dx = 1—|/Ô,5

J o

420) j* 2a sin — c2æ = 4a

421)

O K 35

J>

422)

i:

cos æ — 1) dx = 0,6848.... == [/3 1 — cos m~

sin mx dx

⁴²³⁾ II

cos mxdx =

sin nur

ni

424)

i:

sin 2 a a; (2æ = 0, wenn a ganzzahlig ist.

toj S

425) j*o

sin² 2 xdx = Ę

f.

sin2nxdx —

K i<N

I.

cos²” xdx =

1.3.... (2n —1)

toi a

sin2n+i xdx —

J.

£ ]<n

cos²^¹ a; dx =

2.4

3.5... (2»+l)

7t

428) f ² (cos⁴ a; — cos⁶x)dx = ~ J o    32

TC

429) J²

3?r

cZa; — —

32'

Man setzt x — sin³ <p, und <p x = 1 als Grenze.

0 für aj — 0, <f —

für

7C

43i) i:

e2iKsin²a: (Za:

3^ — 1

% r⁺Y    4

432) (    cos ³xdx = —

J n    3

~2 n

433)

j*^tg a: (Za: — Ig 2

to| ï)

434)

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

§ 1. Tangente und Normale ebener Kurven.

Wird an die Kurve y = f{x) durch den Punkt (x, y) eine

UjII

Tangente gelegt, so ist deren Steigungsmass = ~- (S. 8), und ihre Gleichung:

(1)

wenn X, Y die variabelen Koordinaten eines auf der Tangente beweglichen Punktes und x, y die Koordinaten des Berührungspunktes bedeuten. Erscheint die Kurvengleichung in der

Form: f(x,y) = 0, so muss für

substituiert werden; man erhält dann als Gleichung der Tangente:

dx

dy der Wert

ox oy

(2)

(r-y)Ę+(X-*)£ = 0.

Diese Form der Gleichung der Tangente kann sehr leicht aus der homogenen Form der Kurvengleichung abgeleitet werden. Bezeichnen wir durch fix, y, z) = 0 eine homogene Funktion vom wten Grad, so ist nach Euler:

Um (2) aus der gegebenen Kurvengleichung zu gewinnen,

macht man sie also homogen, bestimmt die D.-Q. —-

Bf Bf Bf

Bx’ By¹ Bz

und setzt dieselben in (4) ein. Wird dann z= 1 gesetzt, so gebt (4) über in (2).

Beispiel:    —1 = 0 ist die gewöhnliche, ^ -j- ~—z² = 0 die homogene Form der Ellipsengleichung, ^ = —3, By ⁼

= —2z. Homogene Form der Tangentengleichung:

a’-

Wird in (2) für — stituiert, so entsteht:

Bf

BxXJr

(4+’g) Y+f,-

*\ P

der Wert z-J- sub-

dz

Bf

Sy

= 0.

(4)

* = 1 giebt ~ +    1 = 0 als ge

wöhnliche Form der Gleichung der Tangente.

Wird der Lauf einer Kurve durch die beiden Gleichungen

dy dy dx dx dt 'dt

bestimmt: x — <p(t) die Gleichung der Tangente:

so ist

und

f-0.

Ist endlich r = f(t) die Gleichung einer Kurve auf Polarkoordinaten bezogen, so ist: cc = rcos£; y = rmn.t; dx dr    dydr

dt⁼Jteost-r*mt’ dt’=dtsmt+rlsost■

Die Normale. Unter der Normale verstehen wir die gerade Linie, welche senkrecht zur Tangente durch deren Berührungspunkt gelegt ist. Ihr Steigungsmass ist daher

Den verschiedenen Formen der Kurvengleichung

(5)

dy'

dx

entsprechen die nachfolgenden Formen der Normalengleichung

Für die nachfolgenden Kurven soll die Gleichung der Tangente aufgestellt werden:

xX yY a² b2    1

= 0.

= 0; Tg:

V = f(x)

dy

(Y-y)'g + ix-x) = o

®-=p(9, y■= •/>{() (r-y)gf+(2-*)^ = o.

(6)

/■(»J 20 = 0

(7)

(8)

1)    Hyperbel: ^ — |j — 1

2)    Parabel: i/ — 2px=0-₁ Tg: y F—p (X    æ) = 0.

3)    Neilsche Parabel: x³—py~ = 0;

Tg: 3x²X — 2pyY — py² = 0.

4)    Cissoide: y²(2r— x) — a;⁸ = 0;

Tg: 2y(> — 2r) F-f-(3æ² + y²) X — 2r?/² = 0.

5)    Descartessches Blatt: a;³— 3axy -J- y³ = 0 ;

Tg: (a:²—ay)X-|-(y²— ax)Y—axy = 0.

6)    Die Lemniskate erhält man in folgender Weise: Zwei Punkte A und B sind durch ihre Entfernung AB = 2e

Fig. 12.

gegeben; man soll den geometrischen Ort aller Punkte M finden, die so liegen, dass das Produkt der beiden Leitstrahlen MA und MB konstant ist. Für MA — r MB=rx muss rxr₁=a² sein. CA — CB = e; CP= x MP—y\ [y*(ex)²][y* + (e — z)²] = a⁴;    (j/² + 0² = 2e² (x² — y²) a⁴ — e⁴. entspricht die Gleichung:

Dem besonderen Fall a = e

(,x² -j- y²)² — 2 a² (x² — y²) = Q.

Durch die Substitution: x = rcost, y = rsmt erhält man als Polargleichung : r — a j/2 cos 21 = b [/cos 21

Wird in einem Kreis senkrecht zu einem Durchmesser eine Sehne =2 a gezogen, so zerlegt dieselbe den Durchmesser in 2 Teile, deren Produkt = a² ist, und die deshalb als Leitstrahlen zur Konstruktion eines Kurvenpunktes benutzt werden können.

Als Gleichung der Tangente findet man:

(x² + y²-a²)xX-f (.x² -f */² -f a²)y F-f- a²Q/²—x²) =■■ 0

7) Logarithmische Linie: y = ax;

Tangente : Y — y — (X — æ) a³⁷ lg a.

Tangente: F — ?/ =

ll -

2\e e

(*-*)•

dy

1 / -

— I

2\

[/y ² — m²

Da 'ga = dx

findet man den Richtungswinkel a einer Tangente, indem man aus der Ordinate des Berührungspunktes als Hypotenuse und m als Kathete ein rechtwinkeliges Dreieck konstruiert.

ist, so

9) Die Cykloide. Wenn ein Kreis (Fig. 13) eine Gerade AB in A berührt und dann auf der Geraden hinrollt, so beschreibt der anfängliche Berührungspunkt A eine Cykloide. Jeder vollständigen Umdrehung entspricht ein Kurvenzweig. Es sei AP—x, MP—y, MC=a. Der Winkel zwischen CM und dem Radius CB zum neuen Berührungspunkte sei so ist arcMB = at. Da AB= arcMB, so ist x — AP — AB — AID = a (t — sin t) ; y = MP=CB — CB — a (1 — cos t). Beide Gleichungen bestimmen zusammen den Lauf der Cykloide. Wird t eliminiert, so erhält man: x = a arc cos

Fi g. 13.

Jf

/AP

Gleichung der Tangente: Y — y = (X — x) cotg ~

»    « Normale: Y — y = — (X — x) tg|.

Um zu beweisen, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, zeigen wir, dass X= at, Y— 0, die Koordinaten von 1?, in Verbindung mit x = a(t — sinć) y = a{ 1—cosź), den Koordinaten von M, der Gleichung der Normale genügen. ?0) Die Epicykloide. Rollt der Kreis, dessen Mittelpunkt C ist (Fig. 14), mit seiner konvexen Seite auf der konvexen Fig. 14.

-\AT

</t]\

Seite des festen Kreises mit dem Mittelpunkt A hin, so beschreibt Punkt M bei einer Umwälzung des rollenden Kreises den ersten Zweig einer Epicykloide. Der rollende Kreis und der Bahnkreis berühren sich von aussen.

Es sei AB = r, CB — a, AP=x, MP=y, Die Winkel EAB und MCB werden mit t und tx bezeichnet; folglich hat man arcBE = rt, arcBM = at

rt

d. h. L = —

a

: x= AH

arc BE = arc BM, oder rt = at

-\-DM; AH= (a~\-r) cos t] DM= a sin

aĄ-r

— — a cos (t -j- G) = — « cos

t\ y = CH—CD]

CH = (a -f- r) sin t ; CD = a cos

= a sin

= a sin (£-}** G) t. So erhält man als Gleichungen der

Epicykloide:

x = (a -f- r) cos t — a cos

y — (a -j- r) sin t — a sin

/ a r\

\aJ

t.

Gleichung der Tangente: Y — y — (X — æ) tg

r-\-2a

r -j- 2 a

t.

2a

„    „ Normale: Y—y=—(X—x)cotgi

Soll wieder bewiesen werden, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, so muss man zeigen, dass X = r cos t, Y = r sin t, die Koordinaten von T?, in Verbindung mit den Werten für x und y die Gleichung der Normale befriedigen.

Wird das

11) Die Cardioide ist ein besonderer Fall der Epicykloide; er entspricht der Bedingung a = r. Ihre Gleichungen sind daher: x — 2 a cos t — a cos 21 = a (2 cos t -f-1 — 2 cos²1) ; y — 2 a sin t — a sin 21 — 2 a sin t (1 — cos t).

System in der Weise transformiert, dass man a — x statt x

y x²-j-y

setzt, so erhält man: x = 2a cos#(cos£—1); — = -—tgź;

00

|. x²-\-y² — 4a²(1 — cos£)²; (x²-y²)

cos t

— 4ax(x² -\-y²)— 4a²y² = 0. Setzt man: æ = rcos^ f/ = rsin^, so gewinnt man die Polargleichung:

r = 2a (1 -j- cos y) = 4a cos²^.

u

12) Lässt man in den Gleichungen der Epicycloide — a an die Stelle von -\-a treten, so erhält man die Hypo-cykloide, wenn r>a, dagegen die Pericykloide, wenn r < a ist. Bei der Entstehung der Hypocykloide wird der rollende Kreis von dem berührenden Bahnkreise umschlossen. Bei der Entstehung der Pericykloide um-schliesst der rollende Kreis den berührenden Bahnkreis.

13)    Die archimedische Spirale: r = at, oder x — atcost, y— at&mt.

Tg.: ( Y—y) (cost—tsint)— (X—a:)(sinź-[-£cos£) = 0.

14)    Die logarithmische Spirale: r — a*.

Tg- Y~~y ^¹gasin^ + cos^

X—x lg a cos £— sintf

&(=Steigungsmass d.Tg.) Das Steigungsmass kx des Leitstrahls ist gleich tgf.

d. h. dass

^_h

Man kann beweisen, dass tg v =

der Winkel v, welchen die Tangente mit dem Leitstrahl bildet, bei dieser Kurve konstant ist.

§ 2. Doppelpunkte, Rüekkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte.

Wenn in Formel (2) durch die Koordinaten des Berührungspunktes = 0 und ~ = 0 wird, so nimmt ^ die unbestimmte ax    öy    dx

Form

an, und damit erscheint für diesen Punkt, (den wir als im Endlichen gelegen annehmen), auch die Richtung der

Tangente in unbestimmter Form. Als wahren Wert dieses unbestimmten Ausdrucks finden wir:

dy

dx

a*:f , B'f dy dx²' dxdy dx

dx

3'f , Pfdy’

dydx ' dy* dx

dx

und daraus folgt:

d*f

« l<sS

dx dy —

d*f d²f dx² dy²

d*f

(9)

dy

Vorausgesetzt, dass dieser Ausdruck nicht gleichfalls unbestimmt wird, giebt er uns für ^ im allgemeinen zwei verschiedene Werte, und daraus folgern wir, dass die Kurve in diesem Punkt zwei verschiedene Tangenten besitzt, was nur dadurch möglich wird, dass sich 2 Kurvenäste in diesem Punkt durchschneiden. Ein solcher Punkt wird Doppelpunkt genannt. Damit aber die beiden Werte reell und verschieden ausfallen,

2 d*fd~f

dx² dy²’

so fallen die beiden Tangenten in Eine zusammen, die Kurven-schleife verschwindet alsdann, und der Doppelpunkt wird zu

2    £2 f

<Jtf'ôÿ*’ so

wird ^ imaginär. Der Punkt gehört dann der Kurve an, lässt

aber keine Tangente zu, weil er mit den übrigen Teilen der Kurve nicht in Verbindung steht. Wir nennen ihn einen isolierten oder konjugierten Punkt. Doppelpunkte, Rückkehrpunkte und isolierte Punkte haben hiernach die gemeinsame Eigenschaft, dass ihre Koordinaten den Gleichungen:

muss

Istdagegen(S)

einem Rückkehrpunkt. Wird endlich

dy

(J1L\

\dxdyj

/■(«» y) = o

2 = o. 2 = 0

(10)

dij

( ⁹ f V

\dxdyj

d*f d-f > <9cc² dy~

dx

genügen müssen. Aber man bat:

Einen Doppelpunkt, wenn

„ Rückkehrpunkt, „

dy

„ isolierten Punkt, „

in (1) substituiert, so entsteht die für die Variabelen X und Y quadratische Gleichung:

dx

Wird aus (9) der Wert für

Sx²

= 0, (11)

<r-i)*g+a(V-»)(x-^+(*-*)

deren geometrischer Ort aus den beiden Tangenten des Doppelpunktes besteht. Für den Rückkehrpunkt bildet die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Quadrat.

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen: x = <p(t), y = (t> (t) gegeben, so wird für den Doppelpunkt die Gleichung (5) der Tangente nicht unbestimmt, und das Kriterium des Doppelpunktes wird ein ganz anderes, als bisher. Der Doppelpunkt hat dann die Eigentümlichkeit, dass zwei ganz verschiedene Werte von t gleiche Werte für x und gleiche Werte für y erzeugen müssen. Wir drücken diese Bedingung so aus:

(12)

2 = ^) = ^); y = <p(t) = <p (^).

Die Lösungen beider Gleichungen sind die Parameter der Doppelpunkte. Werden die zusammengehörigen Werte t und tx nach einander in (5) substituiert, so erhält man die beiden Tangenten des Doppelpunktes.

Rücken die Werte t und , welche einem Doppelpunkt entsprechen, einander immer näher, so wird die Kurvenschleife immer kleiner und verschwindet zuletzt ganz, wenn t mit t1 zusammenfällt. Der Punkt wird dadurch ein Rückkehrpunkt; für ihn muss nicht nur <p{t) = (p (tt), <p(t) = <p (tr) sein, sondern auch t₁ mit t zusammenfallen. Nun sind für den Doppelpunkt die Gleichungen erfüllt:

i {Jtzl ft) n

t — t,    ’

<p{t)— <p (ti) Q

t — t.

j

wie eng auch die Kurvenschleife gemacht werde. Diese Gleichungen bleiben also auch für den Grenzfall bestehen, d. h. wir haben für den Rückkehrpunkt:

lirngW-fW-Q, lim ŻMllZŹM _ o

t    tJ    t

*» = 0.

oder

dx

dt °’

dt

(13)

Der Richtungskoefficient    = %f: 37 erscheint jetzt in der

0    dx dt dt    d-y d*x

unbestimmten Form -- und hat den wahren Wert

Die Gleichung der zusammenfallenden Tangenten eines Rückkehrpunktes ist dann:

(14)

Es wird nicht überflüssig sein, den Rückkehrpunkt noch aus einem andern Gesichtspunkt zu betrachten.

Wir nehmen auf einer stetig verlaufenden Kurve drei unendlich nahe liegende Punkte, die in der Anordnung 1, 2, 3 auf einander folgen, wenn man die Kurve von einem beliebig gewählten Anfangspunkte bis zu einem beliebigen Endpunkte durchläuft. Wir ziehen im Punkte 1 und im Punkte 2 die einseitigen Tangenten im Sinne des wachsenden Kurvenbogens, d. h. die geraden Verbindungslinien, welche von 1 über 2 hinaus resp. von 2 über 3 hinaus einseitig verlaufen. Die Kurve heisst im Punkte 2 stetig gekrümmt, wenn diese einseitig gezogenen Tangenten einen unmessbar kleinen Winkel mit einander einschliessen. Dagegen findet in der Stetigkeit der Krümmung eine Unterbrechung statt, wenn die beiden Tangenten einen endlichen Winkel einschliessen. In diesem Falle wird der Punkt 2 eine Spitze genannt. Ein Rückkehr punkt ist eine Spitze, in welcher die Tangenten 1, 2 und 2, 3 einen Winkel von 180° mit einander bilden. Um sich davon zu überzeugen, braucht man nur den Rückkehrpunkt aus dem Doppelpunkte entstehen zu lassen. Nimmt man zuerst die Punkte 1, 2, 3 in endlicher Entfernung, so hat man jetzt die Punkte 1 und 3 in den Doppelpunkt zu legen und den Punkt 2 an irgend eine Stelle der Kurvenschleife. Die Sehnen 1, 2 und 2, 3 fallen dann in dieselbe gerade Linie, aber ihre Lichtungen sind entgegengesetzt. Sie schliessen einen Winkel von 180° Grad ein. Dies bleibt gültig, wie eng man auch die Schleife machen möge. Es gilt auch noch für den Grenzfall einer unendlich engen Schleife, d. h. für den Rückkehrpunkt. In diesem Falle ist die Sehne 1, 2 in die letzte Tangente vor dem Rückkehrpunkte übergegangen, die Sehne 2, 3 in die erste Tangente nach dem Rückkehrpunkte. Beide Tangenten hat man einseitig im Sinne des wachsenden Bogens zu ziehen. Bei dieser Auffassung erhält man aus (14) die Gleichungen der beiden Tangenten einzeln genommen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung (14) die Quadratwurzel auszieht, und der ausgezogenen Wurzel links einmal das Zeichen -j-, das andere Mal das Zeichen — vorsetzt.

15)    Die Lemniskate: (x²-\-y²)²— 2 a²(x²■—y²) — 0 hat in x = 0, y — 0 einen D.-P., dessen beide Tangenten: F= + X unter Winkeln von 45° und 135° die X-Achse durchschneiden, also zu einander senkrecht sind.

16)    Cissoide: y²(2r— x) — x³ = 0; Rückkehrpunkt: x = 0,

2/ = 0; Tg.: r² = o.

17)    Neilsche Parabel: xs — py² = 0; Rückkehrpunkt: x = 0, y = 0; Tg.: Y* = 0.

18)    / = æ⁴ + aV-ay = 0; D.-P.: x = 0, y = 0; Tg.: Y=±X.

19)    f=xs-\-xy²—2x²— 2^/—f-2 = 0; Rückkehrpunkt: a:=l,

y — 1; Tg.: (F+x-2)² = o.

20)    f=y²—x* — x² = 0; D.-P.: x = y = 0; Tg.: Y=±X.

21)    f=xi + yi — 2a²y² — 2b²x² + b± = 0‘₁ D.-P.:x=*±b,

2/ = 0; Tg.:    ±^(/2 (X+&); 7-± ^(X-S)

j/l(x

22) f = x^ — 2ay³ — 3a²y² — 2a‘²x~-\- a⁴ = 0; D.-P.: x₁ = a, 2/1 = 0; 3 = — a, 2/s ⁼⁼ 0; x₈ — 0, ys = — a] Tg.:

l/|(X2+a);r₈-±l/|x₃-«.

23)    f=(y■—&)²— (x — ay = 0; Rtickkehrpunkt: x = a,

y = Tg.: (Y— &)² = 0.

24)    f= 5y²-f- 10«/ — a;³-}-2æ²-f-5 — 0. Der Punkt x = 0, y — — 1 ist ein konjugierter Punkt.

25)    f={y — #)² — #³ = 0; Rtickkehrpunkt: a: = 0, ÿ = 0; Tg.: F=X.

26)    f=ay²— xs-\-bx² = 0] x = 0, y = 0 ein konjugierter Punkt.

27)    /“= y²— (2 — x)²( 1 — a?) = 0; æ = 2, y = 0 ein konjugierter Punkt.

28)    Fusspunktlinie der Ellipse: ax*-\-by²— (æ²-}-«/²)² = 0; a? = 0, y = 0 ein konjugierter Punkt.

29)    y = ax-\-by&mx— 1 stellt ein System isolierter Punkte

han

Vi ⁼ ~2 î ~    ¹ y² = ~2~

alle auf der Geraden y = ax liegen.

30)    Die Cykloide: x — a(t — sin#), y = a( 1 — cos#); <p'(t)

— a (1 — cos #) = 0,    <p' (#) = a sin # = 0 Da beiden

Gleichungen die Lösungen # = 0, 2n, An, usw. genügen, so sind x₁—0, yx— 0 ; x₂ — 2 an, y₂ — 0 ; xs = Aan,

= 0, usw. Rückkehrpunkte. Die Tangenten sind senkrecht zur Achse.

31)    Die Evolute der Ellipse:

a

dar: xt =

to! a

an

usw., die

/j2_ 7,2

sin³#

b

hat 4 Rückkehrpunkte, welche den Parametern 0,    ,

3n

n, entsprechen.

§ 3. Krümmungskreis und Evolute.

Wählt man auf einer Kurve drei einander nahe gelegene Punkte 1, 2, 3, zieht die Sehnen 1, 2 und 2, 3, und errichtet in der Mitte beider je eine Senkrechte, so ist der Schnittpunkt dieser Senkrechten der Mittelpunkt eines Kreises, welcher durch die drei Punkte geht. Indem diese einander

immer näher rücken, werden die Sehnen immer kürzer und im Grenzfalle za Kurvenelementen, welche zugleich auch dem Kreis angehören. Die beiden Senkrechten werden dabei zu zwei unendlich nahe gelegenen Normalen, und der Kreis selbst wird zum Krümmungskreis. Die Stärke der Krümmung einer Kurve in einem bestimmten Punkt wird gemessen durch die Grösse der Krümmung des dem betreffenden Punkt zugehörigen Krümmungskreises, und da diese mit wachsendem Halbmesser = q abnimmt, so gilt der reciproke Wert dieses Halbmessers,

nämlich —, als Ausdruck für das Mass der Krümmung. Wir Q

beginnen mit der Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes für die Gleichungsform: x — <p (£), y = <p (£), legen durch zwei vorerst noch endlich entfernte Punkte a?, y und x₁₁ yi zwei Normalen und bestimmen ihren Schnittpunkt. Die Gleichungen dieser Normalen sind":

<x-*)|+<r-*>§=⁰

(15)

dtx

dt₁

(16)

Die Koordinaten X und Y ihres Schnittpunktes genügen beiden Gleichungen. Die Gleichung (15) wird allgemein befriedigt, wenn man unter Benutzung eines noch unbestimmten Koefficienten m ansetzt:

dx

(17)

Diese Ausdrücke für X und Y sind in (16) einzuführen; so erhält man eine Gleichung für m: *

¹+(²'+

(*—«i)^ + (y—Vi)

SV &

— Vi

dyi

S&-0

dtl

dti

dt₁

dy dxx dx dy₁

(18)

dt dt,    dt dt,

Wird dieses m in (17) substituiert, so gewinnen wir den Schnittpunkt zweier endlich entfernten Normalen. Da aber jener Schnittpunkt unter der Voraussetzung gefunden werden soll, dass die Normalen unendlich wenig von einander entfernt sind, so ist in (18) ein Grenzübergang auszuführen und dieser Ausdruck zunächst entsprechend umzuformen.

i \y-y^äyx

J X - Xy |

[t-tj

dXy

dt y

dt y

dy dj/y

dx dXy

(19)

dt

d ty    d x

dt

dt

t — ty

t—ty

Geht man jetzt zur Grenze über, so wird:

dt y dy

dt

(dxY IdyV \dt) ¹ \dt) m dx d²y    dy d²x '

dt dt²    dt dt²

Nun werden die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gefunden, wenn man dieses m in (17) substituiert:

(20)

- [(S)'+(3)'b

dxd²y dyd²x dt dt² dt dt²

dy

Y=y +

f/dx\² Ic?w\²l dx

[U)+U) \Tt

(21)

dxd²y dyd²x dt dt² dt dt2 Die Entfernung der beiden Punkte X, Y und x, y d. h. der Krümmungshalbmesser, wird nach folgenden Formeln berechnet:

Hls)'+fë)î

dxd²y dyd²x dt dt² dt dt²

Geht in dieser Entwickelung t über in x, so wird y = (p(x)

= 0, und daher:

oder =f(x)

dy dy dx

dt    dx' dt    ’

■+te'

m =--——.

d*y

(23)

dx²

r+te) Ij,

dy

d²*/

,    Y=y-{

■+(£)'

da;²

*

dx²

(24)

(25)

d*y

VhMl

dx²

Ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben und von der Form: r = f(f), so ist o; = r cos £, y = r sin ć. Die Formeln (21) und (22) gehen dann in folgende über:

-Hs)-'

[(£)+'•] [Ï

SU

dV

(26)

dt*

cos t — r sin t

»-²4-2

Aj

(27)

Ufe)

₂ , „/irV <i²

^ + 8U)-r3F

(28)

Wenn endlich die Kurvengleichung in der Form f(x,y) — 0 vorliegt, so werden nach (7) zwei zunächst wieder endlich

von einander entfernte Normalen der Punkte xx y und xv yx durch folgende Gleichungen ausgedrückt:

(X—x)

df

dy

df

(29)

(30)

Zur Bestimmung der Schnittpunktskoordinaten X, Y setzt man aus (29), ähnlich wie oben bei (17):

X— x

Y-y

df

dx

df

dy

substituiert dann:

X = x-\- mx

Cb Cb

df

Y = y + mx -jf-

in (30) und erhält: — xx -f- mx

dy

(31)

iX

Cb! Cb

sf

dyx

('

Qj Cb

'«S I—K»

ef

dXy ⁰

(xx — x)

df

— (yx — y)

Q_>

mx =

df

dJdf__djfd_L

dxdyx dydxx

dyx

(Vr-y\

[xy — xj

df

dx j

<?/•    <9/-

(32)

dyx dy

dxx

df

dx L — x

Blicken beide Normalen unendlich nahe zusammen, so wird ihr Schnittpunkt zum Krümmungsmittelpunkt. Hierbei sind in dem Wert von mx folgende Grenzübergänge auszuführen:

Vi — ydy.

xx — x

xx — x J dy

U- wird -dxx

d£_d_f'

dyx dy

lim

dx

df

lim

dyx

'aS ~"k

d*f

xx —x

Dölp, Aufgaben.

dx dy dx' dy

13

Cb

"(c)

QjI Qj

Cbj

d*f ■    9*f dy

dx² ' dx dy dx *

diese Werte in (32) eingeführt und —für gesetzt,

so erhält man denjenigen Wert von mx, welcher in (31) substituiert, uns I und 7 als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes giebt. Man erhält:

lim

J*

xx — X

dx

dy

Werden

rnx =

d*f

M)

dx²

Cb Cb

d‘żf dfdf d²f dx dy dx dy dy

f(df\

S \dx)

; (33)

kW+(g)'

(34)

<9 Y

<9#²

(S9+-

dx dy dx dy dy

f/yv

⁵\a*/

Man kann zu der Formel (34) auch dadurch gelangen, dass man von (23) und (25) ausgeht und dort einsetzt:

_3f.d_f

dx ' dy

d²f dfdf d*f/dfy dxdydxdy dyn“\dxj

d*f

d²y

dx²

dy

dx

dx²

Cb Cb

df

Hier ist leicht zu erkennen, dass m = mx -r- ist. Es ist

dy

also in (34) das positive oder das negative Vorzeichen zu

wählen, je nachdem positiv oder negativ ist. Dann stimmen

die Werte von q aus (25) und (34) vollständig überein.

Wir bezeichnen mit v den Winkel, den der Krümmungshalbmesser in der Richtung von der Kurve nach dem Krüm-

mungsmittelpunkte hin mit der Richtung der wachsenden x einschliesst. Dann ist:

X — x

COS V —

sin v =

Y-y

ÿ(X-z)'+(Y-y)>

Durch diese Gleichungen ist eindeutig entschieden, in welcher Richtung vom Kurvenpunkte (x, y) aus man den Krümmungshalbmesser auf der Normale abzutragen hat. Man darf deshalb bei der Berechnung des Krümmungshalbmessers sich auf den absoluten Zahlwert beschränken.

Wir unterscheiden die konkave und die konvexe Seite der Kurve. An der Stelle, wo dieselbe drei unendlich nahe gelegene Punkte mit ihrem Krümmungskreise gemein hat, kehrt sie dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkte ihre konkave Seite zu. Die konvexe Seite ist die abgekehrte.

Jedem Punkt der gegebenen Kurve entspricht ein bestimmter Krümmungsmittelpunkt. Der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte wird Evolute genannt. Die beiden Gleichungen für X und Y bestimmen zusammen mit der Gleichung der gegebenen Kurve die Gleichung dieser Evolute.

Die Elemente des Krümmungskreises für die folgenden Kurven zu bestimmen:

32) Der Kreis: x²-\-y²— r²=0; m₁ = —    X=0, Y= 0;

Q = + r. Der K.-K. fällt ganz mit dem gegebenen Kreis zusammen.

33) Die Ellipse: x = acost₁ y = bsint]

_a²—(a²—b²)cos²t m    ab    ;

—f—sin⁸£. b

-———-cos⁸tj Y a

Wird aus beiden Gleichungen die Variabele t eliminiert, so erhält man als Gleichung der Evolute:    b²Y²

-f ^/a^X² =    (a² — bÿ.

Ferner ist X

a² — b²

i⁴

{a² — (a² — b²) cos² M y ' *= -äb~--L

a² — b² , o1 x •

34) Die Hyperbel: ^

z=

«t + ^g.

a⁴ * ’

r=

q²-f-&²

Q = ±a²b²

(S+6)¹

y²+p².

35) Die Parabel: y²—2pa; = 0; w*!

V\ *-*“

~p’ *—r

gleichung substituiert, giebt als Evolute: K²

r=

X= 3 x —|—

—, V* —    in die Parabel-

(■x-P)⁸-

2p²

27 p

Man sieht, dass diese Evolute die Neilsche Parabel ist.

(S. 180). Weiter ist q = + ~2 j/(P²⁻f~2/²)³ •

36) Die Cissoide: a;³— y²(2r— æ) = 0; mt =

_— ra;(12r—5a:)

3 (2 r — x)²

8r j/a;

3]/(2r—x)

6a:(2 r—æ) r j/a;(8r—3a:)s 3(2r — a;)²

37) Die Kettenlinie: y — —

/ æ _as_\

|p+r«j

rn = y;

/ 2a;

_2aA

ę aJ

{)

= 2y;

“) = a-

at — .

Das Stück der Normale zwischen der Kurve und der Abscissenachse wird bei jeder Kurve nach der Formel

. Da man hiernach bei

berechnet: N—

»r+W

y²

— findet, so erkennt man, dass die a

der Kettenlinie N=

Normale dem Krümmungshalbmesser gleich ist. Sie liegen von der Kurve aus einander entgegengesetzt.

38) DieCykloide: x = a(t—smi), y = a(l — cosf); m = — 2; X= a (t -|- sin t), Y= — a( 1 — cos t) — — y. Beide Gleichungen repräsentieren zusammen die Evolute der Cykloide. Setzt man t±-\-n statt £, so wird X—an=a(tl—sin^), F-j-2a = a(l— costfj; wird jetzt X—an durch X±, Y-\-2a durch Yx ersetzt, was einer Verschiebung des Anfangspunktes um an und —2 a entspricht, so erhält man als Gleichungen der Evolute:

Xx = a(tx — sint₁)₎ Y₁ = a( 1 — costj, und daraus folgt, dass die Evolute eine kongruente Cykloide ist, die sich nur hinsichtlich der Lage dadurch von der gegebenen unterscheidet, dass ihr Anfangspunkt um

und —2 a verschoben ist. Wir finden q = — 4 a sin und da die Normale = 2asin — gefunden wird, so ist

Là

der Krümmungshalbmesser der doppelten Normale gleich. Sie liegen von der Kurve aus nach derselben Seite. Um den Krümmungsmittelpunkt zu konstruieren, hat man die Normale nur um sich selbst zu verlängern.

39) Die Epicykloide: x = (a -f- r) cos t — a cos

r-\-2a

y = {a -j- r) sin t — a sin

rJr2a r

r-j-2a 4 a (r -j- a) . r ^    r -j- 2 a Sln 2 a

(a -j- r) cos t -j- a cos

t.

(“)■

Der Kr.-Mittelpunkt wird auf folgende Weise konstruiert: Man zieht (Fig. 14) den Durchmesser MG, verbindet G mit A und verlängert die Normale MB] der Schnittpunkt K ist der gesuchte Kr.-Mittelpunkt und

punktes aus, so gewinnt man mit Hilfe der beiden Relationen: cos²ż-f-sin²ć = l und cos²£—sin²£ = cos2£ die Gleichung der Evolute: 3 (Xf -f- Y%) (X% — Y %)$ = 2 a .

Wird

KM der Kr.-Halbmesser. Da GN parallel und gleich KM ist, so haben wir

KB = —A- GN =    BM

r-j-2a

2a r

2(a + r)₀    . 4a(a + r) rf

” 2a+T2aBm2”"2i'+r 8m2^“^ 40) Die Lemniskate: r = aj/cos2£. Es ist m = \\

2    a sin³ £ _

3    j/ cos 2 £ ’ ^    3 j/cos 2tf 3r

»* + 2a

und

(¹+r_|_2a)

2 a cos³£

a²

3 j/cos21

Da # = rcos£, y — r$mt, so ist x2Jry² — a²cos2£

*² + y

oder cos 2 —

a²

Drückt man

3 |A²-|-y³

sin²£ und cos²£ durch die Koordinaten des Kr.-Mittel-

41) Die logarithmische Spirale: r = at. Hier ist m = 1; X— — af lg a sin t, Y = a* lg a cos t\ q = ał |/l -f- (lg a)². Um die Polargleichung der Evolute zu erhalten, setze man den Leitstrahl R — |/w²-j- Y² = a* lg a. lgfl = a* gesetzt, so ist R = at+I, d. h. die Evolute dieser Spirale ist eine gleiche Spirale, welche nur um den Winkel e gedreht ist.

§ 4. Die Wende- oder Inflexionspunkte.

Liegen drei unendlich nahe Punkte einer Kurve in einer geraden Linie, so wird der Krümmungshalbmesser an dieser Stelle unendlich gross. Es seien x und y die Koordinaten dieser Stelle. Dann werden hier auch X — x und Y — y unendlich gross. Ändern diese Differenzen dabei gleichzeitig ihr Vorzeichen, wenn man, die Kurve stetig durchlaufend, durch den Punkt (æ, y) hindurchgeht, so ändert die Kurve an dieser

Stelle die Art ihrer Krümmung. Ihre konkave Seite geht in die konvexe über und umgekehrt. Ein solcher Punkt (x, y) wird ein Wendepunkt oder Inflexionspunkt genannt.

Wir verbinden die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Krümmungshalbmessers mit der Gleichung der Kurve und erhalten als Lösungen beider Gleichungen die Koordinaten aller Punkte, die Wendepunkte sein können. Sie sind wirklich Wendepunkte, wenn in ihnen der Vorzeichenwechsel der Differenzen X—x und Y—y eintritt.

Ist f(pc₁y) = 0 die gegebene Gleichung, so wird nach (34) q unendlich, wenn:

3'f Sf df _ a'f (SfV_ „ dxdydxdy dy²\dxj

dx²

sy (dj\

W

Die linke Seite dieser Gleichung lässt sich in Form einer Determinante schreiben. Alsdann lautet die Bedingungsgleichung:

(35)

= 0.

Wird die dritte Vertikalreihe mit (n — 1) multipliziert, die ganze Determinante durch (n — 1) dividiert, und 0 durch nf ersetzt, so erhält man:

d*f ô*f dx² dx dy

dy dy

dx dy dy2 df cif d x dy

df

àf

(W_l)

nf

dy

= 0.

(36)

In der Determinante darf man die mit x multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Vertikalreihe von denen der dritten Reihe subtra-

hieren. Dadurch ergiebt sich für (n—1 )A die Determinantenform

lv

Cij Qjj >« &

d*f

df

rO

dxdy

d²f

<^->1 Oj 5^ä

<V

df

dy

{n^fxfL

d*f _ d²f X dx2 y dx dii

Sy

dH

y 3779

nf

dxdy ' dy2 df df

- xTx ~ yry

• (37)

Wird jetzt die gegebene Funktion f(x,y) = 0 in die homogene Funktion f{x, y, z) = 0 umgewandelt, so kann der

r) f    f) f f) f

Lehrsatz von Euler: x -f- y ^ -f- z = nf, wobei n den

Grad der Funktion anzeigt, zur Anwendung kommen. Da ferner

df df df

y wieder homogene Funktionen sein werden, und

dx’ dy’ dz

zwar vom (n — l)ten Grad, so ist nach demselben Satz:

â*f d Y dx du' Z dx dz

I d*f _i_

+y

(n —

Cb

dy

= (fi-

d²f

dz dx

dz dy

dy dz

T? =(n~

I cx> C5j»[ ex, Oj!

I-**»    i"*» H

Cd

PO

Mittelst dieser Relationen bringt man (37) auf die Form: d²f jy

dx² dxdy

d²f dy n — 1 dy dx dy2 df d£ dx dx

Wird in dieser Determinante wieder z = l gesetzt, so bildet sie die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Kr.-Halbmessers. Sie geht leicht in folgende über:

d²f

dx dz

d²f

dy dz

= 0.

(39)

df

Z dz

<97

d^dy

d²f

d²f

na

dy*

dy dz

dy dx

(.-l)jL («-1 )j£

Subtrahiert man von den Elementen der dritten Horizontal-reihe die mit a; multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Reihe, substituiert dann für die Elemente der dritten Reihe die Werte aus (38) und setzt dabei z — 1, so erhält man :

<9y    <97    <97

da;² da: dy dx dz d%f    d²f    d²f

dy dx dy² dy dz

d'2f d2f

dz dx dz dy dz²

Die Schnittpunkte der beiden Kurven f = 0 und A = 0 oder A₁=0 geben die Wendepunkte der Kurve. Ist f= 0 vom nten Grad, so muss die Inflexions-Determinante vom 3 (w — 2)ten Grad sein. Beide Gleichungen lassen daher im allgemeinen 3 n(n — 2) Lösungen zu, und die Kurve hat eben so viele Wendepunkte. Kurven des zweiten Grades haben demnach keine Wendepunkte, vgl. Aufgabe 48).

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen gegeben: x — ? (01 V — $ (0 > ⁸⁰ wird der Krümmungshalbmesser nach (22) unendlich, wenn:

df

df

df

Ai==(n — 1)²A =

= 0.

(40)

dx d²y    dy d²x _

dt dt²    dt dt²    ’

(41)

und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Parameter der Wendepunkte.

Für die Form y =f(x) wird nach (23) der Krümmungshalbmesser unendlich, wenn:

£?_o.

dx²

(42)

Die reellen, im Endlichen gelegenen Wendepunkte folgender Kurven zu finden:

42) f= x*-\- ysQaxy 1 = 0.

Homogene Form: x*-\-yz-\- 6axyz-\-zs = 0.

Ą = 6³

jp A\ = xy e (1 -}- 2 as) — a²{xz-f ysĄ-zs) = 0 ; 1 -f- 2 a³

x az ay az y ax ay ax z

z³H-y⁸ + i

z= 1 gieht: xy = 0. Aus dieser Gleichung

und f = 0 finden wir: x = 0, y = — 1; x = — 1, y = 0 als Koordinaten der Wendepunkte.

43) f=xs — 3ax² c²y = 0.

Homogene Form: xs — 3ax²z-\- c²yz² = 0.

Q(x—az) 0    —Qax

0    2 c²z ;

— §ax    2c²z    2 c²y

— Ax —    24    (x — a) c⁴ = 0.    Aus J,    = 0 und    f —    0    findet

c²

man x = a,    y = —*- als Koordinaten eines Wendepunktes.

44) f=x²y— x-}-y==0i oder x²y— xz² -j- yz² = 0.

Bedingung: x³ — æ²i/— 2# — î/ = 0. Wendepunkte:

x = 0, y == 0; a: = +j/3, y = +    •

45)    f — (a — #)B—y = 0. Bedingung: (a—#)⁸ = 0. Wendepunkt: x = a, y = 0.

5a

46)    f=xA—a²x²-\-asy = 0. Wendepunkte: x=Jr-~^=,y = —.

47)    f=y — #³ = 0. Wendepunkt: ;c = 0, y = 0.

48)    Die Wendepunkte eines Kegelschnitts sollen aus der allgemeinen Gleichung:

Ay²-\- 2Bxy + Cx² Ą- 2By Ą-2Ex-\-F=Q gefunden werden.

2 C 2 B 2 E 2B 2A 2 D .

2 JE 2D 2 F Die Determinante A ist von x und y unabhängig. Ist sie von Null verschieden, so hat der Kegelschnitt keine Wendepunkte. Ist aber diese Verbindung von Konstanten identisch = 0, so hat der Kegelschnitt an jeder Stelle die Krümmung Null und besteht dann aus einem System von zwei geraden Linien.

49) Die Wendepunkte der Kurve y = sina; zu finden.

X = 0 , + 7T, +27T, +37T, usw., y = 0 .

§ 5. Der Flächeninhalt begrenzter Figuren.

Um das von dem Kurvenstück AB, den Ordinaten AC und BD und dem Abschnitte CD der Absoissen-Achse eingeschlossene Flächenstttck zu finden (Fig. 15). teilen wir

Fig. 15.

fx)

Q_

cf

CD = (b — a) in n gleiche Teile, deren Grösse <5 sein mag, und errichten in allen Teilpunkten Ordinaten. Dadurch wird die Fläche in n Streifchen zerlegt, wie MNQP, deren Inhalt bei hinlänglich kleinem d gleich dem Produkte aus d und der zugehörigen Ordinate gesetzt werden kann. Ist also y — f{z) die Gleichung der Kurve, dann entsteht für die Fläche nach (15), S. 173, der Wert

Um ferner das von der Kurve AMBNA (Fig. 16) ein-geschlossene Fläehenstlick zu finden, ziehen wir die beiden

Fig. 16.

Al

~Ö\

É?

P P1

vertikalen Tangenten AH und BG, zwischen denen die gesamte Kurve liegt. Ist MP = F{x) = Y, NP=f(x) = y, OU — ct, OG = b, so wird nach dem eben Bewiesenen

⁶ Fete

HA MB G =

Il AN B G =

und daher

Fl. AMBNA =

(Vw

F(x)dz=j

— f(x)\dx=^b (Y— y)dx. (43)

e- a

Vertauscht man die .X-Achse mit der Y-Achse und setzt (Fig. 17) OL — a, OD—ß] BN= <I(y) = X, BM=<p{y) = x so erhält man

Fl. AMGNA =

Ja    Ja

— æ) dy.

Ist endlich die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten

OK =rx,

Wkl. Jf OA = t, Wkl. My OA = t

gegeben, so zerlege man die Fläche in elementare Streifen von der Form MMxNtN und setze OM—R. ON=r OMx = 22.,

Mi

Fig. 17.

----------hr

Wkl. DO A = y, Wkl. BOA = ô.

Setzung der Winkel    — t unmessbar klein ist, und

deshalb die Bögen MM₁ und NN± als gerade Linien anzusehen sind, so ist:

Fl. NMMX Nx — lim

Da nach der Voraus-

— rrx) sin (tx — t)

Fig. 18.

jö

ylM

NY

Fl. BNDMB=lira

I[RRX—rr j ) sin (tx — t)

S .R²—r²

2 dt, (47)

weil für die Grenze RX = R, rx==r, sin(G—t) = arc {tx —-t) = dt wird. Soll hiernach die Fläche OBMDO berechnet werden, so ist r — 0 zu setzen, wodurch entsteht :

Ydt.

50) Man soll das Flächenstück berechnen, welches zwischen einem Parabelbogen, der Ordinate y und der X-Achse liegt; y² = 2px.

Fl. OBMDO =

(48)

Fl. = [X y dx = (X l/2pxdx = ^xy.

Jo Jo    o

Der Parabelbogen, vom Anfangspunkt gerechnet, teilt das aus Abscisse und Ordinate des Endpunktes konstruierte Rechteck so, dass zwei Dritteile desselben die Parabelfläche bilden.

51) Die Fläche eines Kreises zu finden ; x — r cos t, y — r sin t.

TC

dx =—r mit dt] für x = 0 ist t = —, für x = r ist t = 0.    ²

TC

Fl. =

4j*r y dx = —4r²sin²1dt= Ar²^ ² sin²1 dt = r²Tc.

52) Die Fläche einer Ellipse zu finden; æ = «cos£, y = bs\nt. Fl. = 4j'a y dx=—4^*° ab sin²1 dt = A ab^ sin²1dt = ab n.

toj s

53) Man soll das Flächenstück berechnen, welches zwischen einem Hyperbelbogen und einer zur X-Achse senkrechten

Sehne liegt; -

= 1.

a² b²

— 2J* y dx = 2b Zum Zweck der Transformation setzen wir x =

Fl.

(>yf.

ct 4- e a2

; dies geht an, weil dadurch die Kurven-

e~l

gleichung befriedigt wird. Da x = a für t = 0 wird, é — e~l

und da dx = a

dt ist, so ist:

-n, ab rt    ab(e2t—e~~2t

CC tł

Ferner ist —h 4 = a b

oder t = lg

xy—abt.

Fl. = xy — ab lg

( + )•

( + )■

54) Man zeichne eine Hyperbel nebst ihren beiden Asymptoten.

Kurvengleichung: xy ——-±-— = m². Es sei A der

Anfangspunkt des Systems, S der Scheitel, SB die Ordinate und AB = p die Abscisse des Scheitels; MD die Ordinate und AD = x die Abscisse des beliebigen Punktes ilf, a der Asymptotenwinkel. Die Fläche SBDM soll berechnet werden.

Weil das System schiefwinkelig ist, so ist das Differential der Fläche = y sin a dx, und:

Fl. =sinal —dx = m²(\gx— lgp)sina.

J p x

55)    Die Fläche zwischen einem Cykloidenzweig und der

Z-Achse zu finden; x = a{t — sin ^), y — a (1 — cos t).

Fl. =

(1 — cos Ï)² dt = 3a²7r.

r2an    r2n

I ydx = a²\

Jo    Jo

56)    Eine Kurve hat von t — 0 bis t == n die Gleichungen: x = a( 1 — cos£), y = at; man soll die Fläche zwischen der Kurve, der Ordinate für t = n und der Z-Achse finden.

Fl. = a²

rn

Jo

tsin tdt — a²?r.

bl)

Die Fläche zu berechnen, welche von einem Epicykloiden« zweige und den nach seinen Endpunkten gezogenen Halb* messern des Grundkreises eingeschlossen wird;

x = (a -f- r) cos t — a cos

(^)-

(Mr)

t.

y = (a -f- r) sin t — a sin

Denken wir uns (Fig. 14, S. 182) die angefangene Kurve EM so weit gezeichnet, bis sie in einem Punkte Q den Grundkreis wieder trifft, so soll die Fläche AEMQA berechnet werden. Man ziehe Leitstrahl AM—R und setze Wkl. MAE = <p, so ist:

Fl. AEMA = ^( R² d<p.

Da aber R- = x² + y², tg <p = |, cos² tp — ^rvry

2, wenn

a?, y die Koordinaten von M sind, so ist:

,, d'J djgi₌^ odei. dt ’

dy

1 d<p X dt y dt

dx

dt

cos² cp dt

x²

dx

d<p

dt y dt

(a-f-r) (2a-|-r)    — cos^t j

dt

R²

R²

tOl H-»

— COS-Ż I dt.

a J

Für die Fläche AEMQA hat der Erzeugungskreis eine ganze Umdrehung vollendet, so dass rt = 2an, oder .    2 an

t =- sein muss.

Fl.

2an

Fl. AEMQA =

(q-f r)(2a-f r)

J7 I¹-⁰⁰⁸^]^

(a r) (2 a r) an

Wird davon der Kreisausschnitt AEQA = am abgezogen, so bleibt die Fläche EMQBE zurück.

58)

59)

Die Kardioidenfläche erhält man aus der vorhergehenden Formel, indem man r — a setzt. Fl. = 6a²7z.

Die Fläche der Lemniskate: R² = a² cos2£ zu finden.

Fl. =2a²

cos 2 tdt = a².

60)

Die Fläche der archimedischen Spirale: R = at soll finden ersten Umlauf des Leitstrahls gefunden werden.

4rt²7T8 3

Fl. =

er Ç2n

2Jo

t² dt —

§ 6. Rektifikation ebener Kurven.

Sind M und Mx zwei beliebige Kurvenpunkte; x, y und xx, yx ihre Koordinaten, so ist die Sehne:

MMx=s=\/{y—yx )² -\-{x-— a?t )² = (*—*,)

Beim Grenzübergang erhält man als Differential des Bogens: ds — dx

|A+(S5)‘

Sind a und a die Abscissen der Grenzpunkte A und I?, so ist:

S = arc AB =

(49)

Soll aber arc AB aus den Ordinaten der Endpunkte berechnet werden, so setze man:

« = kV— xiT -Hy — ViY = (y—Vi)

!/■+(£)'

woraus beim Grenzübergang entsteht: ds — dy und, wenn ß und b die Ordinaten der Endpunkte A, B sind:

S - arc A B =

M/■+(£)'

(50)

Für die Gleichungsform: f(x, y) = 0 wird aus (49):

² Bf

' dy

(51)

äf

und daraus wieder, weil dx = —

dx

Qj

dy ist,

Ist endlich die Kurve durch die beiden Gleichungen: x=(f{t), y = <p(t) gegeben, und ist weiter a — <p{y), a = <p(c\ so geht (49) über in:

(53)

61) Die Peripherie eines Kreises zu berechnen; x = rcost y = r sin t.

= 2r7v.

S = j*    dt |/(sin²1 -}- cos²1) r²

62) Die Länge eines Parahelbogens vom Scheitel bis zum Punkt x, y zu finden; y² = 2px.

a=joayV¹⁺p-ty

63) Den Bogen einer Neilschen Parabel zu finden, vom Anfangspunkt bis zum Punkt x: y- y" = axz.

27 a

64) Der Bogen einer Kettenlinie vom tiefsten Punkte bis zum

-\

m I _

/ x

fft I —

Punkt #, y soll berechnet werden; y = ~^\em

— m².

Der Bogen einer Kettenlinie, genommen vom -tiefsten Punkte bis zum Punkt x, y, ist gleich der zweiten Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen eine Kathete ==m die Ordinate des tiefsten Punktes, und dessen Hypotenuse die Ordinate des Endpunktes ist.

65) Es soll die Bogenlänge der Cykloide gefunden werden; x = a(t — sin t), y = a (1 — cos t) .

r 27t    ___

1 dty 2 (1

r2n t

I sin — dt = 8a. Jo 2

— cos t) — 2a

G6) Die Bogenlänge einer Epicykloide zu berechnen.

= 4(a + r)²sin²^*.

/dx\² (dy\

W+W

2ait

S = 2(o + r)f

Y    T

sin zr-tdt

8 a {a -f- r)

Setzt man a = r, so erhält man 16 a als Länge der Kardioide.

67)    Die Länge des Bogens der archimedischen Spirale zu finden; r = at.

⁼ 2 + ^ + + + '

68)    Den Umfang einer Ellipse zu berechnen; x — a cos t y = b sin t.

Ein Quadrant ist gleich:

7t

7t

5=J*o (^j/a²sin²£-|-&²cos²£ = a f dt^/1

a²—h'²

cos ²t

7t

— e²cos²^, wenn

a² — b²

— = e² ist.

S=a

-^£²cos²^ — 4e⁴cos⁴1—^t£⁶ cos⁶1 — . 2 8 16

5 £⁶ —.

§ 7. Die Oberfläche von Rotationskörpern.

so ist das Differential der Ober-

= y,

Wird eine Kurve um ihre X-Achse gedreht, so erzeugt sie eine krumme Oberfläche. Ist die Ordinate eines sich drehenden Kurvenelements fläche gleich der Oberfläche eines kleinen Cylindermantels, dessen Umfang =2yn. und dessen Seite = ds, d. h. gleich

dem Differential des Bogens ist. Hiernach ist das Differential der Oberfläche dO = 2yzds, und wenn a und b die Anfangsund die Endabscisse des Oberflächenstückes sind,

J>|A + (£)‘

69) Die Oberfläche einer Kugelhaube zu finden, wenn

y = [/2rx — x*

die Scheitelgleichung des Erzeugungskreises, und h die Höhe der Haube ist.

0 = 2z

dx.

(54)

0 = 2-

rx —

(r — xy

2 rx — x²

= 2r~h.

70) Die Mantelfläche eines Kegels zu berechnen.

Ist y = Jcx die Gleichung der Geraden, die durch Umdrehung den Kegelmantel erzeugt, und h die Höhe des Kegels, so ist:

]/1 -f h-    a: dx = Je tt Tr |/l -f- Ä⁸.

0 = 2 Je Tr

Da Jc = tga, wenn a der Richtungswinkel der erzeugenden Geraden, so ist Jih = r = Basishalbmesser, und h [/1 -f- Ti² = s = Länge der Erzeugungslinie. Durch Substitution dieser Werte erhält man: 0 = r7ts.

71) Es soll die Oberfläche des Körpers gefunden werden, der entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre X-Achse dreht. x= a(t — sin t), y = a (1 — cos t).

0 = 2 a¹-

(1—cos()j/2(l—cos t) dt

= 8a²7r

/*2?r    „ t

( sin³ - dt = Jo ^

64 a¹7i 3    ‘

72) Die Oberfläche eines Rotations-Paraboloides zu berechnen. Parabelgleichung: y'l = 2px.

0= 2 z

|/pj₀ dx\/p-\-2x

73) Man soll die Oberfläche eines Ellipsoides berechnen, das entsteht, wenn sich eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht

Erstens: Drehung um die grosse Achse.

V-

Ist y- —    (a² — x-) die Gleichung der Kurve, so ist

to: t—

a²

j*o dx |/ a⁴

— (a² —6²) a?².

Wir setzen a² — b‘-— e~ und erhalten:

■è°-

Zweitens: Drehung um die kleine Achse.

J*q dx\/a⁴ — e²a?²

})7l

ä²

!    .___ eafl®

Ixya⁴— e²«²-)- arcsin “2

arbn

[/a² — b-

arc sin

|/q² —- Jr

l° = ^§₀dy\/biJre²yo-

j^2/    e² y² + ^- lg (e²2/-f e

a + ÿâ? ZT&«

2° 62 -0 = a² 77--{-

J/V-f-e²*/²)!

ab'Tz

lg

\far — b²

Was wird aus beiden Resultaten für b — al

§ 8. Der Kubikinhalt von Rotationskörpern.

Wird ein Körper dadurch erzeugt, dass sich die zwischen einer Kurve und der X-Achse gelegene Fläche um diese X-Achse dreht, so ist das Differential des Volumens dV — y²n dx, und das Volumen zwischen den Abscissen a und a selbst

7z^a y²dx.

74) Den Kubikinhalt einer Kugel zu berechnen.

7=2-

— x~) dx =

75) Den Kubikinhalt eines Rotationsellipsoides zu finden, das entsteht, wenn sich eine Ellipse um ihre grosse Achse dreht.

£ab²7t

— x²) dx

76) Der Inhalt eines parabolischen Zonenkörpers soll berechnet werden.

Sind xx und x₂ die Abscissen der Endpunkte des Parabelbogens, welcher die erzeugende Fläche begrenzt so ist:

— xx).

2pn^X*xdx = 2 pn    | (x₂

77) Man soll den Inhalt des Körpers finden, der entsteht, wenn sich die Cykloidenfläche um die X-Achse (Gerade, auf welcher der erzeugende Kreis rollt) dreht.

7=a³/r

sin⁶ — dt = ba" t:² .

u

7 8) Ein Kreisabschnitt, dessen Sehne = 2 s, und dessen Halbmesser = r ist, dreht sich um einen zur Sehne parallelen Durchmesser. Wie gross ist der Kubikinhalt des entstandenen Körpers?

i'-s:

([r² — x²) dx — Sk (r² — s²) ;

v=

ß! 13! PTC * PnI

UlbL'ij ł .. i\ i\ f b i : i L Ü ;» «j ; nfl

-4r^A-K-C W

INHALT.

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

§    1 Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen

Funktionen............... ......

§    2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen.

Erklärung und Entwickelung des Differentialquotienten . §    3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen .

§ 4. Die Differentialquotienten der trigonometrischen und cyklo-

metrischen Funktionen................

§    5. Exponential- und logarithmische Funktionen......

§    6. Unentwickelte Funktionen...............

§    7. Funktionen von der Form: x — cp (i), y = xjj (t).....

§    8. Differentialquotienten höherer Ordnung.........

§    9. Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der

Werte unbestimmter Formen .............

§ 10. Maxima und Minima der Funktionen..........

§ 11. Die Reihen von Taylor und Maclaurin.........

Funktionen von zwei unabhängigen Variabelen.

§ 12. Entwickelung der Differentialquotienten........

§ 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..................

§ 14. Homogene Funktionen.................

§ 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..........

Seite

18

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39

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47

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64

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100

102

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107

Integralrechnung.

Unbestimmte Integrale.

§    1. Die einfachen Integralformen......

§    2. Integration rationaler algebraischer Brüche

109

Seite

139

§ 3. Reduktionsformein........... .

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen ....

§ 5. Exponential- und logarithmische Funktionen § 6. Trigonometrische und cyklometrische Funktionen .... 160

141

157

Bestimmte Integrale

170

C/73 C00

tO i—‘

t an zoo cöo cos voo 00 <1 <35 p* 03

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

Tangente und Normale ebener Kurven.........

Doppelpunkte, Rückkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte....................

Krümmungskreis und Evolute..............

Die Wende- oder Inflexionspunkte...........

Der Flächeninhalt begrenzter Figuren..........

Rektifikation ebener Kurven..............

Die Oberfläche von Rotationskörpern ... .......

Der Kubikinhalt von Rotationskörpern.........

178

184

189

198

203

209

211

213

'

'

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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