WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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VERMISCHTE

MATHEMATISCHE SCHRIFTEN,

ENTHALTEND

1.

Z U S A T Z E

ZUR THEORIE DER OLEK'HUNDEN.

2.

DIE QUADRATISCHE ZERFALLEND DER ZAHLEN.

3.

DIE PHÖNIXZAHLEN.

fr-

J'S

VON

Königl. Gymnaafumą

DR HERMANN SCHEFFLER.

BRAUNSCHWEIG.

FRIEDRICH WAGNER’⁸ HOFBUCHHANDLUNG.

1897.

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BIBLIOTEKA P !"

K RAKÓW

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Akc. Nr.

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Druckfehler.

S. 15 Z. 7 von oben im ersten Gliede statt M₀ Xa³ lies N₀

Zur Theorie der Gleichungen.

1. Wenn die algebraische Gleichung tf-ten Grades

xn —f- ((n—\Xn ^ —f- (in 2*^” “ -)— . . . -(— (i\Xx —)— a₀ = 0

nachweislich eine reelle Wurzel hat, kann man durch verschiedene Methoden Näherungswerte derselben mit zunehmender Genauigkeit darstellen.

2.    Eine dieser Methoden ist die von Horner (s. meine Schrift über die Auflösung der Gleichungen vom Jahre 1859). Dieselbe setzt voraus, dass die gesuchte Wurzel bereits zwischen zwei nahe gelegene Grenzwerte eingeschlossen, insbesondere ihre dekadische Anfangsziffer gefunden sei, eine Voraussetzung, welche unter gewissen Umständen leicht, unter anderen Umständen aber schwer zu erfüllen ist.

3.    Eine zweite Methode bietet die in 8 der eben gedachten Schrift vorgeführte Anwendung der Kegul a falsi dar. Dieselbe setzt voraus, dass zwei Werte von X bekannt seien, wodurch

F(x) = y — xn -j- an-.xXn-x -f- ... -)- axxx -f a₀

Dieses

zwei Werte mit entgegengesetzten Zeichen annehmen, dass also, wenn Xx und x₂ diese Werte von x sind, F(xx) = yx und F(x%) — y/2 entgegengesetzte Zeichen haben. (Wäre einer dieser beiden Werte, z. B. F(xi) = 0 : so würde xx eine gesuchte Wurzel sein). Verfahren beruhet darauf, als ersten Näherangswerth von X den zwischen

xx und .r₂ liegenden Werth -i = xx -f-

anzunehmen ( welcher

(a?₂ — xx)yx

y i — Ifr

bei geometrischer Darstellung der Werte von y als rechtwinklige Ordinaten auf der Abszissenaxe der x den Durchgang der die Endpunkte von yx und y₂ verbindenden geraden Linien durch die Abszissenaxe auf

X-a — X\

Hi

— — bezeichnet, worin unter Xo immer

Grund der Formel

x₂ — x-s

der nach der positiven Seite über xx hinaus liegende Werth verstanden werden soll, sonst aber Xx und ./'₂ positiv oder negativ sein mag). Jenachdem nun die Substitution von x₃ für x einen Werth Fi.r₃) = ergiebt, welcher entweder das entgegengesetzte Zeichen von yx, oder das entgegengesetzte Zeichen von y<i hat, ist im ersten Falle mit xx und x₃, im zweiten Falle aber mit xa und xa wie vorher mit xx und x-2 zu ver-

fahren, also ein Werth zu erzielen, welcher entweder das entgegengesetzte Zeichen des links, oder des rechts belegenen Nacbbarwerthes bat.

Auf diese Weise nähert man sich dem Werthe von x sehr rasch oder auf dem kürzesten Wege, jedoch mit der Unbequemlichkeit, dass für x₃, Xi, Xö . . . wegen der für y₂, y3, )ji . . . sich ergebenden Werthe, formell irrationale Grössen (d. h. Werthe von ungeschlossener dekadischer Form) zu substituiren sind.

4. Dieser letzteren Unbequemlichkeit geht man aus dem Wege, wenn man als neuen Werth von x immer den Mittelwerth zwischen

den beiden Nachbarwertlien von x, für welche y entgegengesetzte Zeichen

X\ -f- #2

haben, annimmt, also zunächst x₃ = X\ -|~

X-2 — X\

, so-

dann je nach dem Zeichen von x:i entweder xt = X\ 3 (#2 — xi)

x₂ — Xi

-, oder

x₅ = xiĄ

#2 — xl

, sodann, je nach dem Zeichen von Xi entweder

5 (#2 — Xi)

3 (x₂ — Xi)

, oder = X\ -j-

oder = X\ -j-

setzt.

sind

Diese Substitutionen rationaler Werthe von x₃, Xi, X5 bequemer, besonders wenn für X\ und ganze Zahlen gesetzt werden können (was in der Hegel möglich ist), sie verlängern aber den zum Ziele führenden Weg.

5. Wenn die beiden Werthe von if\ und y% zwischen welchen nachweislich eine reelle Wurzel liegt, gleiche Zeichen haben, wenn also zwischen Xi und x₂ zwei reelle Wurzeln liegen, sodass X\ und x2 äusserste Grenz werthe dieser beiden Wurzeln sind, so würde man. wenn die Regula falsi nach Nr. 3 zu Gründe gelegt werden soll, zunächst für X-z den Punkt annehmen müssen, in welchem die vom Kopfe des y 1 nach dem Kopfe von führende gebrochene Linie die Abszissen-

x₃ — Xj _ yi

x₂ — x₃

axe unter gleichen Winkeln berührt, für welchen also

und mithin x₃ — X\ -j-

(x₂ — X^IJi

!)i + V2

ist.

Hat nun y3 das entgegen-

gesetzte Zeichen von y 1 und y₂: so liegt eine reelle Wurzel zwischen X\ und X₃ und eine andere reelle Wurzel zwischen x₃ und x₂: in diesem

Falle kann also das Verfahren Nr. 3 sowohl zur Ermittlung der einen, wie auch der anderen Wurzel fortgesetzt werden. Hat aber y₃ dasselbe Zeichen wie y\ und y₂\ so kann eine oder auch zwei reelle Wurzeln ebensowohl zwischen X\ und x₃, als auch zwischen x₃ und x₂ liegen: es genügt daher nicht die Herstellung eines der beiden Werthe ;//* oder für die zwischen X\ und x₃ und zwischen ,r₃ und x₂ liegenden Werthe von Xi und x-,. sondern sie müssen beide hergestellt werden. Hat dann entweder y* oder y5 das entgegengesetzte Zeichen der

früheren y: so ist man in der Lage, die gesuchte reelle Wurzel nach Nr. 3 zu ermitteln. Hat aber sowohl y±, als auch y₅ dasselbe Zeichen wie die früheren y\ so müssen aus demselben Grunde wie vorstehend die vier Werthe y<s, v/7. t/g, >jw hergestellt werden, für welche Xg, Xi, Xg, x<j bezw. zwischen X\ und X4. zwischen X4 und Xg, zwischen Xg und x-, und zwischen x₅ und x% liegt. Dieses Verfahren ist so lange fortzusetzen, bis sich ein y mit entgegengesetzten Zeichen ergiebt. Da alsdann eine reelle Wurzel zwischen dem zu y gehörigen Werthe von x und dem links, sowie auch rechts liegenden nächsten Nachbarwerthe existirt; so kann zur Ermittlung einer jeden dieser beiden Wurzeln von diesen »Stellen an nach Nr. 3 verfahren werden.

6. Weit einfacher gestaltet sich im vorstehenden Falle das Verfahren nach Nr. 4, indem dann nach und nach eine, zwei, vier, acht, u. s. w. Werthe von y für alle in Nr. 4 genannten einfachen Werthe von X herzustellen sind, bis sich unter den Werthen von y einer findet, welcher das entgegengesetzte Zeichen hat. Von dieser Stelle aus kann das Verfahren Nr. 4 (welches für jedes neue y immer nur eine einzige Substitution für x erfordert) zur Ermittlung jeder der beiden in Frage kommenden Wurzeln angewandt werden.

Bei diesem Verfahren müssen sich nothwendig einmal entweder schon vor der Erreichung der eben bezeichneten »Stelle oder später bei der Fortsetzung des einfachen Verfahrens Nr. 4 zwei benachbarte Werthe von x ergeben, welche gleiche Anfangsziffern haben. Von diesem Stadium an kann man. wenn man will, die Horn ersehe Methode zur Ermittlung einer Wurzel in Anwendung bringen. Hieraus geht hervor, dass die Voraussetzung für das Hornersche Verfahren mit Hülfe der Regula falsi stets erfüllt werden kann, insofern es gewiss ist, dass die Gleichung überhaupt reelle Wurzeln hat, und äusserste Grenzwerthe, welche diese Wurzeln bezw. in positiver oder in negativer Richtung nicht zu überschreiten vermögen, angegeben werden können.

Eben das Nämliche gilt für die Anwendung des Verfahrens Nr. 5.

Hätte die gegebene Gleichung zwei oder mehr gleiche positiv oder negativ reelle Wurzeln; so müssen sich zwei benachbarte Werthe von y dem Nullwerthe nähern, was durch jedes der vorstehenden Verfahren zur Erkenntniss kömmt.

In Erwägung, dass eine etwaige negative reelle Wurzel der Gleichung xn -j- a„—\ xn~l -j- . . . — 0 die positive Wurzel der Gleichung (— x)n + dn-1(— #)"_1    = Xn — a„-₁XH~¹ -f an-2X"~² — . . .

= 0 ist, dass man also nur positive reelle Wurzeln aufzusuchen braucht, ferner, dass der grösste negative Koeffizient einer Gleichung durch den um 1 vermehrten positiven Werth eine obere Grenze I' bezeichnet, welche die positive Wurzel nicht überschreiten kann, kommen bei dem

in

2r

Verfahren nach Nr. 4 für x nur Werthe von der Form x =

Betracht, worin r möglicherweise die ganzen Werthe 1, 2, 3 . . .

durchlaufen kann und .s ein unpaarer ganzer Werth aus der Reihe 1, 3, 5, 7, . . . 2r — 1 ist. Multiplizirt man nun die Gleichung

+ dn-iX"-¹ + . . .

nachdem darin x =

2r

substituirt ist, mit dem Faktor 2nr: so ergiebt sich

0 = kn sn + a„-₁kn-¹2rsn~¹ + an_2 /<*"~² 22r sn“² 3 + . . . + a₀ 2nr = 0

Hierin hat s stets einen unpaaren ganzen Werth, wenn also die Koeffizienten kr, a„—\kn~¹ 2r,    ² 22/' . . . hergestellt sind, handelt

es sich nur um die Substitution ganzer Werthe für s, und zwar hat für eine Gleichung unpaaren Grades die Grösse s für das betreffende r stets nur einen einzigen, leicht erkennbaren Werth, während für eine Gleichung paaren Grades für s unter Umständen die Reihe 1, 3, 5, ... 2r — 1 substituirt werden muss, bis ein Gegensatz zwischen den Werthen von 2 gefunden ist, der die Existenz von zwei reellen Wurzeln anzeigt (indem die Werthe von £, welche den paaren Zwischenzahlen 2, -t, 6, ... 2r — 2 entsprechen, schon bei den niedrigeren Werthen von r gebildet sind).

Ich bemerke, dass es nicht unbedingt nothwendig ist, zur Ermittelung einer zwischen x,\ und a?₂ liegenden Wurzel x% immer den genauen Xx -f- #2

Mittelwerth

anzunehmen: man kann vielmehr für x-j jeden beliebigen zwischen X\ und x$ liegenden Werth setzen, also eine dem Mittelwerthe ziemlich nahe liegende, möglichst einfache Zahl wählen. Beispielsweise braucht man, wenn X\ — 13 und x% — 28 wäre, nicht nothwendig #3 = 20,5 zu nehmen, sondern kann xA — 20, auch = 21 setzen. Liegt dann x zwischen 13 und 20; so nimmt man nicht X‘A = 10,5, sondern = 16 auch = 17 u. s. f. Läge x zwischen 0 und 0,05; so braucht man nicht xa = 0,025 zu nehmen, sondern kann x:l — 0,02 oder auch = 0.03 setzen. Läge a? zwischen 3,013 und 3,040: so kann man statt X3 = 3,0265 auch 3,026 nehmen. Es leuchtet ein. dass hierdurch die Operationen bedeutend abgekürzt werden können, indem für x möglichst einfache Zahlen (ohne die Nenner 2r) zu sub-stituiren sind.

sei die deka Zahl («i -f

Ferner, ist die untere Grenze von x die dekadische Zahl X\ — b\ b.₂ . . . b„ oder auch 0 0 /_ub-x ... b„; so liegt x auch über der Zahl {b\ — 1)0 ... 0,

Qj

bezw. über 0 0 {b\ -- 1) 0 ... 0. Wäre z. B. X\ > 356 ; so ist auch X\ > 200. und wäre    X\>    0.0,0356; so    ist auch    X\ > 0,002. Im ersten Falle, wo

X\ > 200    und x% < 800 ist,    ergeben    die Substitutionen von x — 200.

irgend

an

300, 400, 500, 600. 700, 800 in die gegebene Gleichung einer Stelle einen Zeichenwechsel des Werthes von y, z. B. zwischen 400 und    500,    mithin die    Zahl 4    als dekadische Anfangsziffer der

Wurzel x.    Im    zweiten Falle, wo X\    > 0,002 und X% < 800 ist, würden,

da nun auch X\ > 0 ist, die Substitutionen x — 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 die Anfangsziffer ergeben, welche auf der dritten Stelle links vom Dezimalkomma steht. Fiele der Zeichenwechsel zwischen 0 und 100, nämlich zwischen 0 . 100 und 1 . 100; so wäre 0 die Anfangsziffer auf dritter Dezimalstelle, d. h. man würde x = 0 ci\

= «itt-2 haben; man gelangt aber zu einer späteren Anfangsziffer (t\. wenn man die Substitutionen 0, 10, 20, ... 90 bildet. Zeigte schon die erste Substitution von 0 und 10 den Zeichenwechsel : so könnten die Substitutionen von 20, 30, ... 90 unterbleiben ; man hätte aber 0, 1, 2, ... 9 zu substituiren. Ergäbe wiederum die erste Substitution 0, 1 den Zeichen Wechsel ; so wären die Substitutionen 0, 0,1, 0,2, . . . 0,9 zu bilden, und immer nur dann, wenn die ersten beiden Substitutionen den Zeichen Wechsel herbeiführten, wären die von 0 bis zum nächsten Werthe sich erstreckenden Substitutionen zu bilden, bis man zu der Beihe 0, 0,001, 0,002, 0,003, . . . 0,009 gelangt, welche, da X\ > 0,002 ist, nothwendig den Zeichenwechsel zwischen den Substitutionen 0,002, 0.003, . . . 0,009 zeigen muss, was eine Anfangsziffer > 0 ergiebt.

Zur Auffindung der Anfangsziffer der Wurzel einer Gleichung paaren Grades kann dasselbe Verfahren angewandt werden. Wenn jedoch eine Substitutionsreihe lauter Werthe von gleichem Zeichen ergiebt, beschränkt sich die Fortsetzung nicht auf die Bildung einer einzigen neuen Substitutionsreihe ; es müssen vielmehr, wenn man die baldige Erkenntniss der Anfangsziffer erwartet, nach und nach zwischen allen benachbarten Gliedern der vorhergehenden Beihe neue Reihen gebildet werden, bis sich ein Zeichenwechsel ergiebt.

sein, worin

In allen Fällen gelangt man durch die Koeffizienten der gegebenen Gleichung zu einer Anfangsziffer u von x, welche die W-te Stelle links oder rechts vom Dezimalkomma einnimmt, welche also den Werth u . 10'" anzeigt, worin m positiv, oder null, oder negativ sein kann. Setzt man jetzt x — n . 10"’ -j- Z\ so muss z — v. 10"

V, also auch die Anfangsziffer U\ von v zwischen 0 und 10 liegt, mithin die zweite Ziffer Mj.lO'"⁻¹ von X durch die Substitutionen v — 0, 1, 2, ... 9 bestimmt werden kann. Zu dem Ende ist aus der gegebenen Gleichung

CIH X*¹ -j~ (ln—1 Xn ^    . . . —<l\ X —Clo - 0

durch die Substitution X = tt . 10"' z die Gleichung bnzn -j-    iz"~] -f- ... -J- b\Z -j- bo — 0

zu bilden.

Diese Umwandlung kann durch verschiedene bekannte Methoden erleichtert werden ts, meine Schrift über die Auflösung der

Gleichungen 5 und 0), ich bemerke hierzu, dass wenn 23,. den r-ten Binomialkoeffizienten vom S-ten Grade bezeichnet, die Koeffizienten der umgewandelten Gleichung folgende Werthe haben.

Cln

bn-i - "23l (ln II 10'" -f- «n-1

2 = ”232«* w²10²'” -j- w_123i a„-i u 10m -j- a„-2 bn-3 = ”233«» W³ IO³'" +    m² IO²'” + ”-²iöi an-2 U 10'” + a„_₃

G)

«„ n”“¹ lOm(”_1> + ”⁻¹23„-2«*-i wn~² 10m(*-2) + . . .

-f- ²23i «a i/ 10'" -j- «i

= a„i^lO’"w + a„_iwn_1    -f . . . -f w 10"‘ + «o

= ”23

In der neuen Gleichung muss 2 zwischen 0.IO"'⁻¹, 1. IO'“⁻¹, 2. 10,w_1, . . . 10 . IO'"⁻¹ liegen. Der Werth der Gleichung für 2 = 0. IO'"“¹ = 0 ist = b₀ und der für 2 = 10.10”'⁻¹ = 10'”, welcher x = u. 10'” -f- 10'“ = (u -j- 1)10"' voraussetzt, ist bereits bei der Ermittelung der ersten Anfangsziffer u bekannt geworden, braucht also nicht nochmals hergestellt zu werden. Substituirt man also zuerst 5 . IO’“⁻¹, alsdann je nach dem Zeiehenwechsel 2 . 10’“ oder 6 . IO'"⁻¹ oder 9 . 10'”⁻¹, hierauf, wenn es erforderlich ist, 4 . IO*“-1 oder 7 . IO'”⁻¹; so muss eine dieser vier Substitutionen die Kenntniss der zweiten Ziffer U\ herbeiführen.

Setzt man jetzt z = -w-ilO'”⁻¹ -j- z^ ; so muss Z\ = V\. IO'"-2 sein. Die dritte Ziffer u2. 10’"⁻² findet sich durch das vorstehende Verfahren, indem man die Gleichung b„ 2" -|- &M_i2n_1 -f" • • • “h ^0 = 0 durch die Substitution 2h = U\. 10w_1 Zi in die Gleichung

CnZi C„-iZi -j- • • • H- c\Zl "I⁻ Co = 0

umwandelt, und aus den Werthen Z\ = 0.10'"“², 1.10”'⁻², 2. IO"'“², . . . 10 . IO”'“² die dritte Ziffer u . 10"'“² bestimmt.

Auf diese Weise ergeben sich alle Ziffern von x. Eine jede kann höchstens vier Substitutionen in die betreffende Gleichung erfordern. Hat man aber Grund zu der Annahme, dass eine Ziffer einer gewissen bestimmbaren Grösse nahe liegt, so lässt sich die Menge der Substitutionen vermindern. In der That liegt im Allgemeinen der Werth der Gleichung b„zn -)- ... b\Z -j- b₀ dem Werthe der beiden letzten Glieder ziemlich nahe, indem die vorhergehenden Glieder niedrige Werthe gegen bi z und 60 haben. Setzt man also nach diesem Grundgedanken Horners

b\Z -j- bo = 0; so wird z — —

-1

oder 8 . 10m *, darauf 1 . 10'" ¹ oder 8.10'" ¹

bo

61

ein Näherungswerth von 2 sein,

die Anfangsziffer dieses Werthes wird mithin der gesuchten zweiten Ziffer von x ziemlich nahe liegen. Tst v diese Anfangsziffer; so wird man zuerst v. 10"'⁻¹ und dann je nach der Zeichenfolge entweder (v — 1) 10"'

(v — 2) IO"'“¹ oder (v + 2) 10’"

-1

oder (v -j- 1)10”* ¹, darauf, wenn es nöthig ist, entweder u. s. w. substituiren, um möglichst

bald zu der zweiten Ziffer U\ zu gelangen. In ähnlicher Weise findet sich

die dritte Ziffer aus CiZ\ -f- c₀ = 0, also Z\ ==-----, und jede folgende

C\

Ziffer, indem bei genügendem Herabsinken dieser Ziffern eine mehrmalige Substitution, welche in der Horner sch en Methode die Kontrole bildet, nicht mehr erforderlich ist.

Es sei noch bemerkt, dass, wenn z =

einen negativen Werth

ergiebt, wenn also bo und bi gleiche Zeichen haben, oder wenn bi = 0 ist, die zweite Anfangsziffer v nur durch die Kontrole, also durch* Substitution in die vollständige Gleichung bestimmt werden kann. Dasselbe

Co

gilt eventuell für Z\ = — — u. s. w.

-1

Geht man nicht auf die Anwendung der Horner sehen Methode aus; so wird man, nachdem die Anfangsziffer u 10"' von x bestimmt ist, in die gegebene Gleichung, ohne Umwandlung derselben, u 10"' rlO" substituiren, indem man für v erst 5, sodann 2 oder 8, darauf 1 oder 3 oder 6 oder 9 und zuletzt, wenn nöthig, 4 oder 7 setzt. Hierdurch ergiebt sich die zweite Ziffer U\, und man hat nun in die gegebene Gleichung u 10'" -|- u110”,_1 -f- t‘i 10"'^² zu substituiren, worin für V\ die eben genannten Werthe von v zu setzen sind, um die di’itte Ziffer ii<2 zu finden. Auf diese Weise ergiebt sich x — u 10’" -f- Mi 10’"

-|- M2IO'”“² -J- . . . oder in dekadischer Form U U\ u<2 . . . mit dem Dezimalkomma hinter der Stelle ?/„,10'"⁻'" = um, also in der Form u U\ u<2 . . . um, um ,-iUmĄ-2 ... So kann man z. B., wenn u = 300 die Anfangsziffer ist, also x zwischen 300 und 400 liegt, in die Lage kommen, die folgenden Ziffern U\ — 60, 1I2 — 4, u3 = 0,2, «4 = 0,05 der Zahl x = 364,25 aus den Substitutionen von 360 und 370, ferner von 364 und 365, ferner von 364,2 und 364,3, ferner von 364,25 und 364,26 zu erkennen.

7. Die Hornersche Methode, sowie auch das auf die Regula falsi gestützte Verfahren geht darauf aus, die Wurzel einer Gleichung in dekadischer Form, also mittelst einer Summe oder Reihe von Zahlen zu bestimmen. Es hat ein wissenschaftliches Interesse, den Weg zu erörtern, auf welchem die Wurzel in der Form eines Produktes, also durch sukzessive Substitution von Faktoren anstatt von Summen in die Glieder der gegebenen Gleichung dargestellt werden kann. Zu diesem Ende ziehen wir als Faktoren, mit welchen bereits gebildete Produkte zu multipliziren sind, die Grössen

Ca r-i

c® ca

I CO

welche sämmt.lich > 1 sind, aber sich unausgesetzt dem Werth 1 nähern, in Betracht, d. h. wir substituiren. nachdem eine untere Grenze v und

zu erkennen, ob x zwischen den ersteren oder den letzteren beiden Sub-stitutionswerthen liegt.

Die Herstellung eines Werthes wie f(

aus F(v)

an vn -j- a„-iVM~l . . . -j- ü\ v -(- a₀, also die Herstellung von

F\ v

eine obere Grenze w von x in nachstehender Weise ermittelt und danach aus der gegebenen Gleichung

Fix) = a„ xn Ą- aH-\ xn~x -j- ... Ą- axx «₀

die Werthe von F(v) und F(w) gebildet sind, zunächst für v einen

, um im ersten Falle

Y r + 1

dem Zeichenwechsel zwischen F(v) und FI v-1 oder zwischen

r+l\ .    V r )

und    (iv) und im zweiten Falle an dem Zeichenwechsel

und F (w)

Werth v

an

r+1

oder für ic einen Werth iv

zwischen F(v) und F^W——■ - \

oder zwischen _F( iv

r+1

= «n Vn

r + IV

-1

V"

-1

-i

+ • • • axv

>•+1

—f⁻    r/ o

erleichtert sich durch die Multiplikation der ganzen Gleichung mit dem Faktor rn, was für das Zeichen des gesuchten Werthes gleichgültig ist. Danach hat man

— a„vn(r-(- 1>" -j-    (r -(- l)"_1r -(- «n_₂rw_2(r -f- 1)H 2r² -f- ...

eine Formel, welche sich durch Multiplikation der Glieder der vorhergehenden Formel mit ganzen Faktoren leicht berechnen lässt, übrigens im Nachstehenden eine wesentliche Vereinfachung finden wird. Die hierauf

/ v | 1    | J

zu berechnende Formel wird die allgemeine Form F Fr -•

haben, welche aus einer vorhergehenden Formel durch ähnliche Multi-

rx + 1\M-1 fri -f lx”-²

plikationen mit

n + l\H

r\

ri

. . . oder mit

rlf (rx -f- l)"“² ?*!² . . . entsteht.

Es kömmt jetzt darauf an, die Werthe von v, r, rx ... in angemessener und einfacher Weise zu bestimmen. Da sich aus den Koeffizienten der gegebenen Gleichung eine untere und eine obere Grenze von x ergiebt; so nehmen wir für unsere Rechnung als untere Grenze von x die zunächst unter jener unteren Grenze liegende Potenz von 2, also den Werth 2”' an, worin rn positiv und auch negativ sein kann.

0-1 + r, (r 1 + 1)

n—1

indem 2 m = — ist. Als obere Grenze für unsere Rechnung nehmen

wir die zunächst über jener oberen Grenze Hegende Potenz von 2 an, welche 2W+“ = 2"2"' sei, worin u eine positive ganze Zahl oder auch — 0 sein wird. Substituirt man nun statt 2"' nach und nach 2m+1, 2m+², 2m+³ . . .; so ergiebt sieh als untere Grenze von x irgend eine dieser Potenzen und als obere Grenze die nächst höhere Potenz, d. h. x liegt zwischen 2'" und 2m rl = 2 . 2”*. Setzen wir also 2'" = V; so liegt X zwischen v und 2 v — w. Hierdurch sind die vorhin mit v und w bezeichneten Grenzwerthe, wovon der obere das Zweifache des

2

unteren (oder w — 2 r = v • —) ist, bestimmt, und es handelt sich jetzt

r + 1 ri + 1

um die Werthe von

. . . für die Zwischenwerthe.

r\

v + 1    3

Der erste Werth - ist = — zu setzen; denn offenbar ist der-

r    2    ₃

selbe > 1 und < 2 , liegt also zwischen 1 und 2. sodass x¹ — v ■ —

zwischen v und 2 v oder v. 2 liegt. Das Zeichen von F^v

f[v - und F(v) oder zwischen f{v j

scheidet, ob x zwischen

"T TI

ent

und

F(v2) liegt. Im ersteren Falle bilden wir /*'^r zweiten Falle dagegen 2^0 diesen beiden Werthen thatsächlich der erste < F\ v — I und > 1. der

T / 8\    . V

zweite dagegen > r y v — ) und < 2 ist.

2² + 1

2²

im

j = F\v - - • — |, indem von

4

Das Zeichen des durch die betreffende neue Substitution r — oder 3    ,    3

bedingten Werthes der Funktion /* lehrt nun ferner, ol) X

kleiner oder grösser als der zugehörige Substitutionswerth ist oder ob es links oder rechts von diesem Werthe liegt, ohne doch den nächst

folgenden aller gebildeten Werthe von x zu erreichen. Für die Lage

5    3    5

v—, für die Lage links von v— • — ist 4    2    4

—• ist

4    4 +- 1

- zu setzen: für die Lage rechts von v

4    10 t    ,    35.

v • — • —, für die Lage rechts von v — • — ist 3    9    2    4

v— ■

•_>

4²

to ¹ CO

17

• —— zu setzen.

16

Hieraus ist das sehr einfache Gesetz zu erkennen, nach welchem der für jede folgende Rechnung neu hinzuzufügende Faktor zu bilden ist. Hat nämlich das zuletzt substituirte Produkt die Form v -j- 1

von der Form

worin A ein beliebiges Produkt verschiedener Quotienten m -|- 1

ist; so bedingt die Lage nach links die

Substitution v • A •

r -j- 1

und die Lage nach rechts die Substituion

r -f 1 r² -f 1

, sodass bei der Lage nach links der auf v • A

folgende Endfaktor -

r

r + 2 in — r -f- 1

umzuwandeln oder damit zu

vertauschen, bei der Lage nach rechts dagegen dem Faktor r-f 1

der Faktor

r² -f- 1

hinzuzufügen ist. Die im ersten

r -j- 1 .

Falle erforderliche Umwandlung oder Vertauschung von v • A • —-— m

r²

ist aber ebenfalls eine Hinzufügung des neuen Faktors

r -j- 2

r+ 1

, wohl aber zu

, allerdings nicht zu dem Produkte v • A ■

dem Produkte v.A, welches einer vorhergehenden, also bereits ausgeführten Rechnung von F (v.A) angehört.

r+l’ ¹

Ich betone, dass diese Neubildung von Produkten immer von den im vorhergehenden Prozesse neu oder zuletzt gebildeten Produkten, nicht von den übrigen in jenem Prozesse erzeugten Produkten ausgehen muss, und dass jedes auf diese Weise erzeugte neue Produkt die Hinzufügung eines neuen Faktors zu einem bereits gebildeten Produkte ist. Auf diese Weise entstehen durch die fortschreitenden Prozesse folgende Reihen von Produkten, wovon ich die je neuen durch Unterstreichung markirt habe.

1)

2)

TS

TS

CO |

'S

1 er

CO OJ    CO

tc <co

CO

rH

05

tc ce

-c Ol

CT ' 05-

IC oo

tc CO

t-T

05 ;

u. s. f. Von jeder dieser Reihen ist in einem gegebenen Falle immer nur ein einziges der neuen Produkte zu bilden, wie es der Zeichenwechsel zwischen zwei benachbarten Werthen von F{x) verlangt. Der Beweis für die Richtigkeit der so gebildeten neuen Produkte ergiebt sich, wenn man einen solchen Faktor aus der Bedingung ableitet, dass das neue Produkt zwischen den beiden alten benachbarten unterstrichenen

CO i

10

• —— neue Produkte

5)

r»

; ca

17

16

i⁵ • -

4 il

¥ ' To

4 10 3 9

4    10 82

3    9 ‘ 81

CC I CM

IC CO

tC I 05

c> ; Oi

* r cm

CM CM

CO [ CM

18

3    5    17

17

2    4    16

17 257 16 256

Produkten liegen muss, dass z. B., wenn aus V •

11

4

gebildet werden sollen, das eine, nämlich v • — •

o

und v ■ — • —, das andere aber, nämlich v • -    ■

3    9    9

10 ’

zwischen v ■

10 y- +

z wischen

-H l CO

10

und v ■

liegen muss.

2

Es handelt sich nun um die Herstellung der neuen Werthe von Fix). Immer geht einem solchen neuen Werthe entweder der bereits gebildete

und auch der von F (v. A) voran und

= p2e2aie2a'i' -j- 2p qé*'W*' q2e2ßie2?'il — \p2cos2 « -j- 2p qcos(« -j~ ß) “h q2cos2ß\

Nullwerth px~ —p\n{1 = 0 folgen, wenn X — rt\ j, — = fix(c-(-y), also gleich dem n\~ fach en von [/—- = r -I- y genommen wird. Das

Yl\ n

Die Pliönixzahlen.

(10.61 + x) 2 ( 10 +2 + x) 4

ns ns ni

¹

enn in die gegebene Gleichung x = — gesetzt und die entstehende

V

²

Gleichung für v geordnet wird, ist die obere Grenze von v die untere Grenze von x, unter welche also x nicht herabsinken kann. Man kann hiernach immer eine untere und eine obere Grenze angeben, zwischen welchen x liegen muss. Die Bekanntschaft dieser beiden Grenzen ermöglicht für eine Gleichung unpaaren Grades stets die rasche Auffindung der Anfangsziffer von x, also die Anwendung der Horn ersehen Methode. Denn, angenommen, die obere Grenze von x

³

Zahl a?2 = Ui . . . a„ ; so liegt x auch unter der . . . 0. Wäre z. B. x% < 735; so ist auch x% < 800.

r+1

Werth von t \ v • A •

und auch der von F (v. A) voran und

es ist der neue Werth F\r • A •

r+1

zu bilden. oder es geht ihm

der bereits gebildete Werth f[v-A'

r+1

voran und es ist der

neue Werth F \v • A •

r +1 r² + 1

zu bilden. In dem einen wie

in dem anderen Falle muss man aus dem bereits berechneten Werthe F(ir), worin w entweder = v . A oder = v • A •

r+1

ist, den Werth

von

br

bilden, worin

entweder

oder

ist.

r* + 1 .

r²

Nach der gegebenen Gleichung ist

F(W) = (in W” + Un-1 U'” ~¹ + . . . + «1 W + <U

also wegen

•s + i _ 2 i L a    's

m -f 1

= <>n Wn I 1

IV

+ «n-\Wn~X

(l + j + ...    + |j + «0

Cc !

Je grösser s wird, desto mehr nähert sich die Potenz

0+!)"

fehlende Werth ist ein

dem Werth 1 -j- r • —, d. h. der an 1 4- r • — s    s

Setzt man also bei

immer mehr abnehmender Theil dieser Potenz, hinreichender Grösse der immer mehr wachsenden Zahl m für die

Potenzen von 1 -)—— ihre Näherungswerthe : so ergiebt sich

F U •

—    | Cln Wn H⁻ fin — I®"”¹ G⁻ C(n—ïWn~‘¹    -|- (l\W -j- (fui

7 S n an wn + (» — 1) ein-1 ivn~l + (n — 2) a„-2 w”~² + • • • + «i w\ s

Die erste dieser beiden Reihen ist = F Uv), und die zweite ergiebt sieh aus der ersten durch Multiplikation des ersten, zweiten, dritten, . . . n- ten Gliedes mit il , n — 1, n — 2, ... 1 und Division des Ganzen durch s, also durch ein sehr einfaches Verfahren. Dasselbe kann von dem Augenblicke angewandt werden, wo sich zeigt, dass der abgekürzte

Werth von

dasselbe Zeichen hat, als der vollständige

Werth dieser Funktion. Von diesem im Allgemeinen bald erreichten

Augenblicke wird die Hinzufügung immer neuer Werthe von

s + 1

eine sehr leichte Operation, welche zur Kenntniss von immer genauer werdenden Näherungswerthen der Wurzel x in der Form

ffi\ -4— 1    )n% —|— 1 M'a G⁻ 1

V • -¹— • —-¹- • -¹- . . .

fff 1

m-2

III3

III2

»l 3

führt, worin m eine positive oder negative ganze Zahl oder ein Nullwerth sein kann, ini, in2, in3 . . . aber stets positive ganze Zahlen sind, welche fortgesetzt wachsen, also fortgesetzt kleiner werdende, immer mehr der Einheit sich nähernde Faktoren in Form von Quotienten darstellen. Die Zahlen m, ni\, m•> . . . sind keinem Belieben unterworfen, sondern bilden eine ganz bestimmte Reihenfolge.

von

ä-*4-’)

Es ist bemerkenswert!!, dass die nach einer gev

Operationen zulässige Beschränkung des Werthes von

(■4)'

auf den durch die beiden Anfan gs werthe der Potenz ausgedrückten Näherungswerth hier dieselbe Rolle spielt, wie bei der

Hornerscheii Methode die Beschränkung auf die beiden Endvverthe der als Reihe dargestellten Funktion F(z).

vi-[-1

Wenn man auf die der Einheit immer näher rückende Form

der neuen Faktoren und auf die mit dieser Form verbundene Näherungsrech nung verzichten will, kann man auch die Regula falsi in Anwendung bringen. Denn wenn x zwischen X\ und x<i liegt : so kann man statt

für X zu substituiren, auch X\-

X\ —{— X*i

2 X-2

also dem Faktor X\ den neuen Faktor

nach Nr. 4 x₃

X\ -f- X<x

an die Stelle von X\ (oder x% • -

2 X\

an die Stelle von x%) setzen,

X\ —(- x%

zu fügen.

2 X\

Auf diese Weise nähert man sich im Allgemeinen dem wahren Werthe

von x rascher, jedoch mit weniger einfachen Operationen.

8. Ob eine Gleichung reelle Wurzeln hat, ergiebt sich aus dem Lehrsätze von Sturm (s. S. 2 Nr. 12 bis 14 der obigen Schrift). Aus den Zeichen der Koeffizienten der gegebenen Gleichung Fix) — 0 und aus denen der Gleichung /' (— x) = 0 ergeben sich nach bekannten Sätzen die äussersten positiven und negativen Grenzwerthe der reellen Wurzeln der Gleichung F(x) — 0 (s.    8 der obigen Schrift). Für

diese Grenzwerthe können stets ganze positive oder negative Zahlen angenommen werden, welche zunächst ausserhalb der etwa in unganzer Form auftretenden Grenzwerthe liegen. Hiernach kann, wenn die Gleichung überhaupt reelle Wurzeln hat, irgend eine dieser Wurzeln durch das Verfahren Nr. 6 und, wenn man will, von einer gewissen Stelle an durch die Horn ersehe Methode berechnet werden.

Da jede Gleichung unpaaren Grades mindestens eine und jede Gleichung paaren Grades mit negativem bekanntem Gliede a₀ mindestens zwei reelle Wurzeln hat : so wird man nur für eine Gleichung paaren Grades mit positivem bekanntem Gliede a₀ zu dem Sturm sehen Lehrsätze seine Zuflucht nehmen. Schliesslich kömmt es aber, wenn dieser Lehrsatz die Existenz nur von komplexen Wurzeln ergiebt, auf die Berechnung derselben an. Der Hauptzweck des vorliegenden Aufsatzes besteht nun eben in der Berechnung zweier reellen oder komplexen Wurzeln einer Gleichung paaren Grades ohne besondere Theoreme.

9. Zu diesem Ende sei für einen paaren Exponenten v die gegebene Gleichung in allgemeinster Form

-f ... + ciiX¹ -f a₀ = 0

F(x) = afi xn -f- °n-\ x

Besitzt dieselbe zwei reelle Wurzeln X\ und .r.j ; so haben dieselben die

Xi -j- X-2

Form X\ — r -j- s und Xo = r — s, worin r Xi — .r₂

— und s —

offenbar reelle Werthe haben.

Besitzt die Gleichung zwei komplexe Wurzeln; so haben dieselben die Form Xi -- r -j- s i und

r — si, also dieselbe Form wie zwei reelle Wurzeln unter der Bedingung, dass in den letzteren das reelle s durch das imaginäre si ersetzt oder dass in der ersteren Form ein imaginärer Werth von S zugelassen werde.

Den Fall, wo s = 0 ist, wo also zwei gleiche Wurzeln in Frage kommen, schliessen wir aus, da derselbe nach Nr. 6 untersucht und erledigt werden kann. Den Fall, wo r = 0 ist, schliessen wir jedoch nicht aus, lassen also für r jeden möglichen reellen Werth, auch den Nullwerth zu.

Substituiren wir in die gegebene Gleichung X\ = s -j- r, worin s reell oder imaginär sein möge ; so kömmt

(1 )    1- (j^i) — Ansn -}- An—i s" ¹ -j- An—2 s" ² -j- ... -|- A\ s¹ -j- Ao — 0 worin alle A Funktionen von r in Form algebraischer Potenzenreihen sind. Substituiren wir r₂ = — s -}- r ; so kömmt

(2) h (x₂) = A„ sn — A„—i sM 1 -j- An—2 sn 2 — ... — A i s¹ -j- Ao = 0

worin die A dieselben Werthe wie in F(xi) haben. Die Addition dieser beiden Gleichungen ergiebt nach Division mit 2

(8) An sn -j- An—2 S”~² -j- An — i sn~⁴ -j- . . 4~ A$ s² -(- Ao = 0

Die Subtraktion jener beiden Gleichungen liefert nach Division mit 2 s (was zulässig ist, da s nicht = 0 sein kann)

(4) An-1 sn~ ² 4- An-3 Sn~⁴ + An-₅ s"~⁶ + . . . + A3 s² + A1 = 0

Hierdurch haben wir zwei Gleichungen (3) und (4) erhalten, in denen s nur auf paaren Graden erscheint, die zweite aber um 2 Grad tiefer liegt als die erste. Multipliziren wir die Gleichung (3) mit A und die Gleichung (4) mit A„ s² : so ergiebt die Subtraktion der beiden entstehenden Gleichungen

(5)

Bn-,s" ² -j⁻ B„ -i sH 4 -j- . . . -j⁻ B₂ s² -f* Bo — 0

Multipliziren wir jetzt die Gleichung (4) mit Bn—2 und die Gleichung (5) mit An 1 : so ergiebt die Subtraktion Beider

(6)

( » — 4 s" ⁴ -j- Cn—6 s"    C₂ s² -j- Co = 0

Hierdurch sind zwei Gleichungen mit den paaren Graden n — 2 und n — 4 von s gewonnen, welche um 2 Grad tiefer liegen als die Gleichungen (3) und (4). Durch die Fortsetzung dieser Operationen, also durch Anwendung der ersten Operation mit (3) und (4) auf (5) und (6) ergiebt sich

(7)

Dn—4    ⁴ + Bn—o sn f>    -j- Di s²    Do — 0

und dann durch Anwendung der zweiten Operation mit (4) und (5) auf (6) und (7) ergiebt sich

(8)

E„—o sn'~r' -J- h„—s sn 8 -{-.••• 4" B-2 s² 4- Eq ⁼ 0

also wiederum zwei Gleichungen unpaaren Grades n — 4 und n — 6, welche um 2 Grad tiefer liegen, als die Gleichungen (5) und (6).

Auf diese Weise gelangt man zuletzt zu zwei Gleichungen Mi s⁴ + Mo s² + Mo = 0 N,s² + iYo = 0

Aus der letzteren folgt

(11)

No

N,

Mo No² - M₂ No No + Mo NJ = 0

und sodann aus der ersteren die Endgleichung

(12)

worin alle M und N Potenzenreihen von r darstellen.

Da    die Gleichung (12)    unbedingt reelle Wurzeln    r enthält,

während    s reell oder imaginär    sein    kann ; so ist mindestens    eine dieser

Wurzeln durch Näherungsrechnung bestimmbar. Wird der Werth dieser Wurzel ermittelt und nun in die Funktionen No und Ao der Gleichung (11) substituirt: so liefern die daraus    sich ergebenden Werthe    von s mit

dem für    r gefundenen Werthe    zwei    reelle Wurzeln X\ =    r -p s und

No

Xo = r — s der gegebenen Gleichung, wenn--r^- einen positiven

Werth annimmt, und sie liefern zwei komplexe Wurzeln xx = r 4- s i

No

AT2

und x<> — r — si, wenn--— einen negativen Werth annimmt.

10.    Ich bemerke nebenbei, dass mittelst des vorstehenden Verfahrens eine Grösse s aus zwei algebraischen Gleichungen

off n

s"+" + A,„ !    + ... + Ao =

... + ß„ =

eliminirt werden kann, indem man zunächst aus der zweiten durch Multiplikation mit sm die Gleichung

Bn .?”*+* 4- ßllX sw*+"-¹ 4- • • • + Bo s‘" = 0 herstellt, welche dann mit Hülfe der ersten Gleichung leicht zu einer Gleichung vom Grade m -|- n — 1 und hierauf zu immer tiefer liegenden Gleichungen führt.

11.    Als Beispiel zu der in' Nr. 9 vorgeführten Rechnung diene die Gleichung vierten Grades

x⁴ — 8 a*³ 4“ 22 x² — 40 x -(- 25 = 0 Dieselbe ist aus den vier Wurzeln

x-a

Xi

konstruirt, welche sich durch die obige Rechnung folgendermoassen ergeben. Für die Gleichung vierten Grades von der Form

xi 4- x'A + (,,ix- 4- «i x 4- oo = o

werden die beiden Gleichungen (9) und (10)

s⁴ (He² 4" •> "D' 4- <ii)s² 4- (r⁴ 4~ ⁽h 4- ihr- 4- <h>' ~\- <<■») = 0 (4 r 4- a-i) s² 4- (4 r³ 4“ 3«₃ri² -J- 2 «₂'r 4“ #i) = 0 Aus der letzten folgt statt Gleichung (11)

H¹ =

4 r³ 4- 3 a₃ r² ~\~ 2 a₂ r 4~ «i 4 r 4- «3

und durch Substitution von s‘² in die erste Gleichung statt Gleichung (12) 64 r⁶ 4- 96 a₃r⁵ 4- (32a,₂ 4- 48 aa²) r⁴

4~ (32«2ö8 4“ 8«3³)r³ 4- (4«2² 4" 4«i«3 -j- Hn->a-² — 16a₀)^²

4" (2 C<1 «3² 4- 2 a-2² «3 — 8 (fo «3.) >' + («1 «2 «3 — (>1² — «o «3²) = 0 Für die gegebenen Koeffizienten a₃ = — 8, «•> = 22, öi — — 40, Uo — 25 wird die letzte Gleichung

r⁽¹ - 12 r⁵ 4- 59r⁴ - 152 r³ -f 220 r- — 176 r 4- fiO = 0

Eine reelle Wurzel dieser Gleichung ist r — 1, eine andere ist r — 3. Der Werth r = 1 liefert s² =

4, also    S — -f- 21,    mithin die

beiden    komplexen    Wurzeln x₃ =    \ -\- 2 i und X\ — 1 —    2 i der gegebenen Gleichung. Der    Werth r    =    3 liefert    s² = 4, also    s — -(- 2,

mithin    die beiden    reellen    Wurzeln    X\    = 3 4“    2 = 5 und x-i = 3 — 2

= 1 der gegebenen Gleichung.

Da jeder reelle Werth von r, welcher die Endgleichung be-

12.

ss

gleichung durch mehr als

werden kann : ihre übrigen Wurzeln müssen also diesen Werthen von r gleich, oder komplex, oder imaginär sein, sodass sie für die Bestimmung der Werthe von s nicht weiter in Betracht kommen.

friedigt, einen reellen oder einen imaginären Werth s lieferet, die gegebene Gleichung vom paaren n - ten Grade aber nicht mehr als n (reelle oder komplexe) Wurzeln haben kann : so ist es nicht möglich, dass die Endverschiedene reelle Werthe von r befriedigt

13.    Aus der vorstehenden Rechnung in Nr. 9 ergiebt sich der Schluss, dass jede Gleichung paaren Grades mindestens zwei reelle oder komplexe Wurzeln hat und, da eine Gleichung durch Ausscheidung einer Wurzel um einen Grad tiefer" sinkt; so folgt ferner, dass jede Gleichung irgend eines paaren oder unpaaren Grades n genau n Wurzeln hat, welche theils reell, theils komplex sein können. (Für die triplexen und polyplexen Wurzeln hat die obige Rechnung keine Gültigkeit; ich habe in den „Zusätzen zur Zahlentheorie“ und in dem „Wesen der Mathematik“ gezeigt, dass eine jede Gleichung eine unbegrenzte Menge von polyplexen Wurzeln hat).

14.    Für die verkürzte Gleichung vierten Grades, nämlich für <<ą — 0, nimmt die Endgleichung die einfache Form

von 2 r² mit negativem Diese Gleichung wird unbedingt

an.

(2 r²)s + 2 (2 r²)² -f (a,² — 4o₀)(2r²)¹ — a{² = 0 also die Form einer Gleichung dritten Grades konstantem Koeffizienten — d\2 durch einen positiven reellen Werth 2r² befriedigt, hat also bestimmt

zwei reelle Wurzeln r mit entgegengesetzten Zeichen, welche vier reelle oder komplexe Werthe von S, also alle vier Wurzeln x der gegebenen Gleichung bedingen.

15. Die verkürzte Gleichung dritten Grades x³ —|— ci\X (io ⁼⁼⁼ 0

ergiebt für xx = s -j- r und a?₂ = — $ -j- r die beiden Gleichungen s³ -|- 3rs² -|- (3 r² -f- ax)s -f- (r³ -)- axr -(- a₀) — 0 — .s-³    3 rs² — (3r² -)- (i\) s -}- (r³ ax r -|- a₀) = 0

Die Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen liefert

2 rs² -f- (r³ -f" a\r -f- a₀) — 0 .s² + (3#’a + «i) = 0

also

•s² = —(3 r² -|- «i) = —

r³ -j- «î»* + °o

mithin für r die Gleichung

(2 r)³ + ai (2 r) — a0 und sodann für irgend einen hieraus sich ergebenden reellen Werth von /• s = + V— (3?'a -f- ai)

man

Die Endgleichung für r ist zwar ebenfalls eine verkürzte Gleichung dritten Grades, wie die gegebene Gleichung; diese beiden Gleichungen unterscheiden sich aber folgen denn aassen. Wenn eine reelle Wurzel x der gegebenen Gleichung bekannt geworden ist: so lässt die Ausscheidung dieser Wurzel eine Gleichung zweiten Grades zurück, welche noch aufgelöst werden muss. Wenn dagegen eine reelle Wurzel r der Endgleichung gefunden ist; so bestimmt dieselbe mittelst der zugehörigen beiden Wert he von S sofort zwei Wurzeln xx und x-> der gegebenen Gleichung und nach Ausscheidung dieser beiden Wurzeln auch die dritte. So hat z. B. für die Gleichung

x³ -)- 1 . x -j- 10 = (2r)³ -f- ax (2 r) — 10 =

«s² = — (3r² -f- 1)

Da r = 1 eine Wurzel der Endgleichung und *² = — (3.1² —)— 1) =    4 für s die beiden Werthe s = 2 i ergiebt ; so sind X\ = 1 -j- 2 /

und Xo = 1—2 i zwei Wurzeln der gegebenen Gleichung, nach deren Ausscheidung die Gleichung x -j⁻ 2 = 0 zurückbleibt, welche die dritte Wurzel Xu = — 2 liefert.

16. Da die verkürzte Gleichung vierten Grades auf eine Endgleichung dritten Grades zurückführt und diese in eine verkürzte Gleichung dritten Grades umgewandelt werden kann; so hat eine bequeme Berechnung einer reellen Wurzel einer verkürzten Gleichung dritten Grades für

Gleich nagen dritten und vierten Grades gleiches Interesse. Eine reelle Wurzel der Gleichung

x⁸ -j- p X -f- <i — 0 ergiebt sich stets aus der Cardanischen Formel

PL

►H*!

rr+i-Hum

2 ⁺

worin zugleich die oberen oder die unteren Zeichen gelten.

P ³

j) positiv oder auch negativ = — p\, jedoch

diese Formel nur Quadratwurzeln aus einer positiven reellen Grösse und sodann Kubikwurzeln aus positiven oder negativen reellen Grössen, welche durch Rechnung leicht darzustellen oder aus Potenzen tafeln zu ent-

Ist jedoch p negativ = — p\ und

n³\"ä

+ ¹ '

nehmen sind.

27

27

Pi

27

Denn ist

q²

: so

fordert

Px r.

27

: so hat man 4 '

2\ '

Hierdurch wird der erste Theil von x, wenn wir denselben mit AY ‘ bezeichnen und in beiden Theilen die unteren Zeichen gelten lassen,

>i³

Xi =

I-+

2\"ä

27

27

JL.+

3\ 3

(Sf f)

3\ ¹ 'ä

27

und wenn wir die reelle Grösse

'$7

COS u

setzen (da sie quantitativ < 1 ist),

(cos « -|- sin « • i) =

27

en

mithin

•W-. = (f)

V« “i

Pl

(cos

a cc-

15 ! R

Für den zweiten Theil von x ergiebt sich

A77 =

(!) ’(c<w f

also für X\"' -j- XX' die bekannte Formel

ros —

worin «1er Werth von a aus trigonometrischen Tafeln zu bestimmen ist, einen aus solchen Tafeln sich ergebenden, folglich x

also auch

einen leicht darstellbaren reellen Werth hat.

17.

In Nr. 13 habe ich der polyplexen Wurzeln einer Gleichung erwähnt und bemerke dazu Folgendes. Eine reelle Wurzel stellt in räumlicher Anschauung eine in der Grundaxe O X liegende gerade Linie dar; eine komplexe Wurzel stellt eine in der Grundebene X Y liegende, also eine deklinirte oder gedrehete, schräge gerade Linie dar, welche auch als die zweigliedrige Summe einer in der primären Richtung 0 X und einer in der sekundären Richtung 0 Y liegenden Linie aufgefasst werden kann; eine triplexe Wurzel stellt eine im Grundraume XYZ liegende, also eine inklinirte (um die Grundaxe O X gewälzte) schräge Linie dar, welche auch als die dreigliedrige Summe einer in der primären Richtung OX, einer in der sekundären Richtung O Y und einer in der tertiären Richtung 0Z liegenden Linie aufgefasst werden kann. Hieraus geht hervor, dass die triplexen Wurzeln einer Gleichung dieselbe Wichtigkeit beanspruchen wie die reellen und die komplexen Wurzeln, da sie wie diese vollkommen anschauliche Grössen sind. Ich beschränke mich hier jedoch auf einige einfache Fälle.

Eine triplexe Grösse hat die Form

x eff* e,u " = x cos cp -\- x sin cp cos y> . i -{- x sin cp sin xp . i G Die linke Seite stellt die Grösse als ein Produkt von x. eff * und e^*' dar und sagt, dass die reelle Linie x um den Winkel cp deklinirt und darauf um den Winkel yD inklinirt sei. Die rechte Seite stellt die triplexe Grösse in ternärer Form, nämlich als die Summe oder Reihe eines reellen, eines imaginären und eines überimaginären Gliedes dar. Jenes Produkt und diese Summe sind einander gleich, aber nicht identisch (indem Identität und Gleichheit zwei verschiedene A po basen sind). Wegen dieser Nichtidentität können die beiden einander gleichen Grössen nicht nach den gewöhnlichen, für Identitäten gültigen Regeln behandelt werden: im Allgemeinen darf mit Produkten nur nach Multiplikationsgesetzen und mit Reihen nur nach Additionsgesetzen operirt werden. Demgemäss können, wenn die vorstehende Gleichung mit a ea * e& *' — a cos u -J- a sin « cos ß. i a sin u sin ß . i i\ multiplizirt werden soll, nur die triplexen Glieder miteinander multiplizirt werden, was zu dem Resultate

a ea * eß " . x eff *    — a x e,a+'P '    *«

= axcos(a-\-cp)-\- a x sin (a-f-99) cos(ß-\-xp). i-\- a x sin (u-\-cp) sin (ß-\- \p) .ii\ führt: es können aber nicht die ternären Reihen miteinander multiplizirt werden, was ein unverständliches und unrichtiges Resultat ergeben würde. Ternäre Reihen können nur addirt werden, indem die reellen, die imaginären und die überimaginären Glieder für sich addirt werden. Zwei triplexe Grössen können nur in der Weise addirt werden, dass sie in ternäre Reihen aufgelös t und diese addirt werden, was

a ett tePil -(- x ¹ clb u

= (a cos u-\-x cos cp) -\- (asin u cos ß-j-x sin (p cos y>) i-\-(o sin a sin ß-\-xsin (psin y> ergiebt. Soll diese Summe als eine triplexe Grösse erscheinen : so muss dies mit Hülfe der allgemeinen Formel geschehen, dass a-\-bi ci'i\ — xfl'e'Ui' = x cos (p x sin (p cos xp.i -j- x sin (p sin y>. i G ist, wenn man

cos (p —

cos ip —

V ff² + 6² + r-¹

\V -f Ir -I- r²

sin (p =

\b² -f o²

\ a¹ -j- b² -j- c²

sin y'

\b² = c²

\ a² + b* + c²

hat, was natürlich zur Bestimmung der Werthe von (p und y} die Zu-hülfenahme trigonometrischer Tafeln erfordert.

18. Betrachten wir hiernach zunächst die Gleichung ersten Grades mit reellem konstanten Gliecle x -f- a — 0. Für triplexe Werthe p e'f ' elb 11 der Wurzel x, also für p e'P¹ Cr’u -j- a = 0 ergiebt sich, wenn für das triplexe Glied seine ternäre Summe gesetzt wird.

ip cos cp -f- a) -)- p sin cp cos ip . i -Ą- p sin cp sin ip . i i\ = 0 und demnach

p cos (p -(- a = 0 p sin cp cos ip = 0 p sin cp sin y> = 0

Die zweite und dritte Gleichung wird durch <p = 0 und auch durch cp = jt erfüllt. Für (p — 0 ergiebt die erste Gleichung p = — ((. für (p = TT ergiebt sie p) = <(. Dabei bleibt ip ganz willkürlich ; die gegebene Gleichung hat also die Wurzel

— a e° ' e''’ *' oder auch

= a eu ' e¹'¹ ’■

Hiernach

worin für ip jeder beliebige Werth gesetzt werden kann, würde die Gleichung ersten Grades x -j- n = 0 unendlich viel ^ urzeln haben : allein, wennauch die triplexen Formen dieser Wurzeln verschieden sind : so sind doch die ternären Formen derselben sämmtlich einander

gleich, nämlich für cp = 0 — n e° * e'-' ’¹ = — a cos 0

a sin 0 . cos y>. i — a sin 0 . sin y>. i i\ =

und für cp — ir ebenfalls

a en ' c>!/ u — o cos jt -J- o sin jt . cos xp . i -|- a sin jt . sin y>. i i\

Unter dem Gesichtspunkte der Gleichheit hat also die Gleichung ersten Gradés x -f- a = 0 nur die eine Wurzel x — — a.

1!*. Die verkürzte Gleichung zweiten Grades x² -f- b — 0 ergiebt durch Substitution der triplexen Wurzel x — pe^'e'¹"' die drei Gleichungen

p ² cos 2 cp -f- b — 0 jr sin 2 cp cos 2 y> = 0 pr sin 2 cp sin 2< ip = 0

Der Werth <p = 0 liefert

1 >ie zweite und dritte Gleichung fordert sw 2 (p = 0, wird also durch <p — 0 und auch durch (p =

erfüllt.

nach der ersten Gleichung p = + \ b, und danach ist eine triplexe Wurzel der gegebenen Gleichung

x == -f- \ b e° ' e"' '■

worin ip ganz willkürlich bleibt. Ebenso stellt für w =

+ Yb e

eine Wurzel dar. Diese Wurzeln, welche unendlich viel verschiedene triplexe Formen haben, reduziren sich aber doch unter dem Gesichtspunkte der Gleichheit auf zwei verschiedene Werthe x = -j- \b und — yb, welche reell sind, wenn h positiv ist. dagegen imaginär, wenn b negativ ist.

20. Für die vollständige Gleichung z w eiten Grades x² -j- ax -)- h = 0 ergiebt die Substitution X = p e<f> ’    ’■ die drei Gleichungen

(wovon wir die zweite und dritte durch den gemeinschaftlichen Faktorj> dividirt haben)

p² cos 2 (p -f- ap cos (p -f- b — 0 p sin 2 (p cos 2 ip -j- a sin <p cos y) = 0 p sin 2 (p sin 2 y> -f- a sin (p sin ip = 0

Die zweite und dritte kann durch (p — 0 erfüllt werden, wodurch die erste Gleichung p² -(- ap b — 0 wird und die gewöhnlichen reellen oder komplexen Werthe von p ergiebt, denen alle in der triplexen Form x —pe⁰¹ e^,u mit willkürlichem y> enthaltenen Wurzeln gleich sind.

Die zweite und dritte Gleichung kann aber auch durch

sin 2 tp cos 2 y>

also sowohl durch ip = 0, als auch durch ip =

sm ip

COS !p

oder tany 2 p = tany y>

und auch durch

wonach

erfüllt werden. Nehmen wir einmal ip =

so wird nach der

sin 2 y> = sin ip und cos 2 ip — — cos ip ist: zweiten Gleichung

cos ip

cos 2 yi

sin 2 cp s in (p

und wenn man sin 2 (p — 2 sm cp cos ip setzt,

cos (/> —

also cos 2 y =

a²

2 p²

Hierdurch wird die erste Gleichung

mithin

p² = a² -j- b und p — \a² -|- b

cos (p =

2 "V a 2 b

Durch diese Werthe von p, (p und xp ist eine triplexe Wurzel

\ a ² -j- b e

der gegebenen Gleichung gefunden, welche an zeigt, dass eine in der Grundaxe liegende Linie \ a² -|- b

dann um den Winkel ip

um

den Winkel ip gedrehet und

7T

- gewälzt werden soll. Als ternäre

Summe setzt sich diese Wurzel aus einem in der Grundaxe liegenden Theile \ er + b

Y a ² -f- b . sin (p

. cos (fj, einem in der Seitenaxe liegenden Theile

JT

cos — und einem in der Höhenaxe liegenden Theile o

\ u² b sin cp sin

Da man für p die beiden Werthe -|- \a²    b und für <p die

beiden Werthe -f r⁻ setzen kann ; so folgt aus Vorstehendem, dass die

3

Gl eichung zweiten Grades vier triplexe Wurzeln hat. Verwirklichung dieser Wurzeln durch die vorstehende Rechnung setzt voraus, dass a² -f- b einen positiven Werth habe, damit p reell sein

quantitativ Vl 1 sei, damit cos cp reell.

könne, und dass

05 i a

zusammen.

Die

2 Yft 2 ~ł~ b

also auch cp einen reellen Werth habe. Wären diese Bedingungen nicht erfüllt : so würde cos einen imaginären und cp einen komplexen Werth annehmen, also weitere Erörterungen erfordern.

21. Was die Gleichungen höherer Grade betrifft: so ergiebt jede solche Gleichung wie

x" -f- aXn~l -j- . . . = 0

durch die Substitution x = p <ß ‘ el!l '■ in Folge der Umwandlung der triplexen Grössen in ternäre Summen eine aus reellen, imaginären und überimaginären Gliedern bestehende Reihe, und diese zerfällt in drei Gleichungen mit den drei reellen Unbekannten p. cp, xp. Eliminirt man aus je zwei dieser Gleichungen die Grösse p : so bleiben zwei Gleichungen mit p und cp zurück. Eliminirt man aus diesen die Grösse cp ; so ergiebt sich eine Endgleichung, welche nur p enthält. Durch Auflösung dieser Gleichung erhält man alle möglichen Werthe von p. Die Substitution dieser Werthe in eine der Gleichungen, welche nur p und cp

enthalten, ergiebt eine Gleichung, deren Auflösung alle möglichen Werthe voii cp liefert. Werden dann die zusammengehörigen Werthe von p aand (p in eine Gleichung, welche p, (p und (p enthält, eingesetzt: so führt die Auflösung dieser Gleichung für </’ zur Kenntnis« der möglichen Werthe von (p. Auf diese Weise finden sich durch ein zwar umständliches, aber ausführbares Verfahren die Wurzeln

x — p pf ' é'¹¹ = p cos cp -j- p sin cp cos ip . i -)- p sin cp sin tp . ii\ der gegebenen Gleichung als triplexes Prodiakt und als ternäre Summe.

22. Es ist schon erwähnt, dass ein aus einem primären, sekundären und tertiären Faktor bestehendes tertiäres Produkt pca> nach den gewöhnlichen Regeln der Multiplikation nur mit einem ähnlichen Produkte multiplizirt werden kann, ferner dass eine aus einem reellen, imaginären und überimaginären Gliede bestehende ternäre Summe a -j- bi -f- ciii nur zu einer ähnlichen Summe addirt werden kann, dass mithin, wenn die Addition zweier tertiären Produkte verlangt wird, diese Produkte zuvor in ternäre Summen aufgelös't werden müssen, und dass, wenn die Multiplikation zweier ternären Summen gefordert wird, diese Summen erst in tertiäre Pi-odukte umzugestalten sind (s. Nr. 16). Die Nichterfüllung dieser Bedingungen liefert unrichtige Resultate.

Hieraus folgt zunächst, dass der Binomische Lehrsatz für triplexe Glieder seine Gültigkeit verliert. Denn dieser Lehrsatz würde für die zweite Potenz die Gleichungen (peö ¹ ca‘"    qfß%e*'u)²

= p²e2aie2a'i' -j- 2p qé*'W*' q²e²ßie²?'il — \p²cos2 « -j- 2p qcos(« -j~ ß) “h q²cos2ß\

-|-1 p² sin 2 « cos 2 « i -(- 2 p q si n (« -(- ß) cos f«i—(— ß\)ß q² sin 2 ß cos 2 ß\ ] i -\-[p²sin 2 « sin 2 u₁-\-2pqsin(a-\-ß)sin(u₁-\-ß₁)-ir<j²sin2ßsin 2ßi\iix liefern. Da nun auch

pea> ea,i, _j_ qeß<eßP i = (p cos « -f- qcosß) -f (psi/iucos«! -|- qsifi ßcosßi)i

-j- (psin a sin ui -)- qsin ßsin ßi)i ii

ist; so hat man, wenn man die letztere Reihe = xpt*e'!’u — x cos cp -f- xsin (p cos ip . i xsin (psin ip . i ii setzt,

x cos (p --- p cos u -J- qcosß xsin cp cos xp — psin « cos «i -f- qsin ßcosß\ xsincp sin ip — psin « sin oi -ß qsin ßsin ß\

mithin

x² = (p cos a 4" qcosß)² 4- ip sin a cos «i 4“ qsin ß cos ßß²

4- (psin a sin u₁ -J- qsin ßsin ßß²

Die zweite Potenz der gegebenen zweigliedrigen Gleichung ist aber

zugleich

(x e'f * e¹’¹ ‘')² = x² e2<f¹ c2ll>u

= x² cos 2 cp 4- x² sin 2 cp cos 2 y>, i 4~ x<i sin 2 cp> sin 2 yp . i i\

Wäre nun dieser Werth von (xeß¹ c¹'”')² dem vorhergehenden Werthe von (pea’ cP' 1' -j- qeß¹ eß'ty² gleich; so müsste man nach gewöhnlichen Regeln haben

x² cos 2 cp = p² cos 2 a -f- 2p> q cos (a 4- ß) -f- q² cos 2 ß x²sin 2 cp cos 2 ip = p² sin 2 « cos 2 «i -j- 2 p q sin (u ß) cos (ux -j- ßx)

-f- q² sin 2 ß cos 2 ß\

x² sin 2 cp sin 2 ip = p² sin 2 « sin 2 «i -f- 2 p q sin 1« -f~ ß)sin(ax -f- ß\)

-(- q² sin 2 ßsin 2 ß\

Hieraus folgt nach gewöhnlichen Regeln = (p² cos 2 « -f- 2p q cos (« -j- /?) -f- q² cos 2 ß)²

-f-(qj² sin 2a cos2ax '2pq sin ('« -j- /?) cos (ax -f- /?i) -f- q² sin2 ßcos2 -f- (y>² sm 2 a sin 2 «i -j- 2p q sin (u -[- ß) sin (ax -f- ßx) -j- q² sin 2 ßsin 2

Nach dem obigen Werthe von x² ist aber auch nach strengen Gesetzen = (pcosu -f- cqcosß)⁴ -f- (psina cos ux -(- qsinßcosßi)⁴

-j-(p) sinusin «i~f-q sin ßsin ßx)⁴-\-2 (p cos u-{-q cos ß)²(p> sina cos ux-\-q sin ßcoi 2 (p cos a -|- q cos ß)² (psin a sina x -|- q sin ßsin ßi)2 -j- 2{psinucosux -f- q sin ß cos ßi)² (p sin u sin ux -f- q sin ß sin ßi)²

nur in gewissen speziellen Nehmen wir z. B. p) = 1,

sodass 2 a — re.

Diese beiden Ausdrücke für x* haben Fällen, keineswegs allgemein, gleiche Werthe.

JT

* ß - * — 2’

«i = 0, ß =

-, also sin u = 1, cos a = 0,

2 p — JT, a -\- ß — JT, U] —}- ßi — -

sin «i = 0, cos «i = cos ß\ — 0 , sin 2 a =

= — 1 , sin (u -j- ß) =    , cos (« -j- ß) — — 1, sin (ux -)-

cos («i -f- ß\) = 0 ist : so ergiebt die erste Formel x⁴ =    ², also

"V4 = 2, die zweite Formel dagegen x⁴ = 4, also a? = y 2. Diese beiden Werthe von x sind entschieden ungleich, der letztere, auf strenge Gesetze gegründete, ist der richtige, und der erstere, dem gewöhnlichen Verfahren entsprechende, ist der unrichtige : denn nach den angenommenen Werthen ist

I    ß ’ ß' à    Y > ⁰ à |

pce qe e = e~ e -f- e-

— cos a -f- sin a cos ax . i sin a s in ax . i ix

cos ß -f- sin ß cos ß\ . i -|- sin ß sin ßi . i i\

= i -f- i ii = x e'f * cß’u

und die geometrische Anschauung lehrt sofort, dass i * h eine zwischen der sekundären Axe OY und der tertiären Axe OZ liegende Linie von der Länge \ 1² —(— 1² = \ 2 ist, sodass x = V 2 , nicht aber = 2 ist.

sin ß = 1, cos ß = 0 , sin ßi

cos 2 u = — 1, sin 2 ß = 0 cos 2 ß

= 1,

1,

a i ai ii

24

■Cfc-

Em spezieller Fall, in welchem die beiden Werthe von x überein-

stimmen, ergiebt sich durch p — 1, q = 1, a = —, ax == 0, ß=—f

2 2

ßi = 0, 2 a = jt, 2ß = 7r, u + ß — 7T. ax -f- ß\ = 0, also sm « ,=*=, 1, cos a = 0,    s/w «! = 0. cos «i — 1,    s/w ß — 1. cos ß — 0,    sin ß\ — 0,

cos ßi — 1,    sin 2 a — 0. cos 2 a =    — 1, s/w 2 ß —    0,    cos    2 ß — — 1.

sin (a -j- ß)    = 0, cos (a -)- /?) = —    1, sin (ax -f- ßx)    —    0,    cos (ax.-f- />\)

t,

Jetzt giebt. die erste Formel    x* — 4¹ 2, also    x    =    2, und die

zweite Formel ergiebt x³ — 2³. also ebenfalls x — 2. Dieser Fall entspricht der Gleichheit der beiden Glieder, sowie auch dem Mangel an tertiären Faktoren in dem Ausdruck c^c"¹’¹ -f- eß* c^"' = / -)- i — 2 i — xef"e'’,u, also x — 2, ein Fall, der nach Nr. 32 des „Wesens der Mathematik“ als ein solcher bezeichnet ist, auf welchen die gewöhnlichen Rechnungsregeln anwendbar sind.

23. Die Unzulänglichkeit des Binomischen Lehrsatzes für triplexe Grössen hat eine wichtige Folge für die Behandlung der Gleichungen mit triplexen Wurzeln. Die Verkürzung einer Gleichung vom n - teil Grade durch Elimination des Gliedes vom {n — l)-ten Grade beruhet

für x, indem die Potenzen

jenes Werthes nach dem Binomischen Lehrsätze berechnet werden. Ist nun dieser Lehrsatz für Gleichungen mit triplexen Wurzeln unzulänglich : so ist es auch das letztere Verfahren, und daraus folgt, dass eine gegebene Gleichung, wenn ihre triplexen Wurzeln betrachtet werden sollen, auf gewöhnlichem Wege nicht verkürzt werden kann. Diess erklärt denn auch die in Nr. 18 und 19 nachgewiesene Thatsache, dass eine vollständige Gleichung zweiten Grades mehr verschiedene Wurzeln hat, als eine verkürzte Gleichung zweiten Grades, was unmöglich sein würde, wenn die vollständige Gleichung durch die Sub-

auf der Substitution eines Werthes x->

— verkürzt werden könnte, da Diess ohne Einfluss 2

zur Kenntniss irgend einer reellen Wurzel der Endgleichung führt, auch zur Kenntniss aller möglichen reellen Wurzeln leitet.

Di ifv) f*i

25. Das in Nr. 20 ff. beschriebene Verfahren zur Ermittelung triplexer Wurzeln setzt voraus, dass alle Koeffizienten der gegebenen Gleichung reelle Werthe haben. Wenn ein Koeffizient nicht reell wäre, würde es ganz unzulässig sein, denselben als binären Faktor m -f- ni oder als ternären Faktor m 4" ni -)- rii\ in Rechnung zu stellen, derselbe muss nothwendig in tertiärer Form aea'eß " gegeben oder auf diese Form gebracht sein, um darauf mit dem zugehörigen Faktor p>n gintfi ęiniiJi, zu einer triplexen Grösse von der Form ap‘H v)¹ pß vereinigt zu werden. Erst diese Grössen können in ternäre Summen apmcos{a -)- mcp) -f- apmsin(a -f- mcp)cos(ß -(- mxp)i

4- apmsin {a -f m cp) sin (ß -{- mip)iii zerlegt werden. Eine Addition der reellen, der imaginären und der überimaginären Glieder führt dann zu einer ternären Summe, welche in drei Gleichungen mit den drei unbekannten reellen Grössen p, cp, tp, zerfällt.

26.

In Nr. -32 des „Wesens der Mathematik“ habe ich gezeigt und durch die vorstehenden Resultate bestätigt, dass zwei Reihen von triplexen Gliedern nur addirt werden können, wenn sie vorher in dreigliedrige Reihen von reellen, imaginären und überimaginären Gliedern aufgelöst und alsdann die gleichnamigen Glieder addirt werden, ferner, dass im Allgemeinen zwei Reihen von triplexen Gliedern oder von reellen, komplexen und triplexen Gliedern oder von reellen, imaginären und überimaginären Gliedern nur multiplizirt und auch nur potenzirt werden können, wenn sie vorher in Diplexe Produkte umgewandelt sind und alsdann an ihnen die Multiplikation, bezw. Potenzirung vollzogen wird. Es lassen sich daher im Allgemeinen nur dreigliedrige Reihen mit reellen, imaginären und überimaginären Gliedern addiren und nur Diplexe Produkte multipliziren und potenziren.

Spezielle Ausnahmefälle, wo das gewöhnliche Verfahren ausreicht, sind in der genannten Nummer bezeichnet.

Die    dreigliedrige Summe a -|-    bi -(- cii\ stellt mit voller    Anschaulichkeit eine Raumgrösse mit einer    in der primären Axe O X    liegenden

Linie von der Länge a, einer in der sekundären oder Seitenaxe OY liegenden Linie von der Länge b und einer in der tertiären oder Höhen-axe    OZ    liegenden Linie von der    Länge c und zugleich ein    tertiäres

Produkt xe'f 'e'¹"', nämlich eine um den Winkel (p deklinirte (gedrehete) und    um    den Winkel xp inklinirte    (gewälzte) Linie von der    Länge x

mit ebenso grosser Deutlichkeit dar. Diese Anschaulichkeit geht in der Form der Quaternion a -f- a-\i\ -f- bi -f- cii\ ganz verloren; denn der Faktor i\ bezeichnet weder eine Längen-, noch eine Breiten-, noch eine Höhenrichtung, sondern die Wälzung einer in der Grundaxe liegenden Linie um sich selbst, und dennoch stellt a -f- (i\ i\ nicht eine durch Anreihung zweier reeller Linien gebildete Linie von der Länge a -f-dar. Die Quaternion ist daher eine absolut unverständliche, der

Anschauung und demzufolge der mathematischen Deutlichkeit widersprechende Formel, mit welcher auch nicht nach gewöhnlichen Regeln gerechnet werden kann. Eine rationelle Berücksichtigung der mit Fortschritt und Drehung in Verbindung zu setzenden Wälzung, welche eine Verallgemeinerung der in der Ebene sich vollziehenden primären und sekundären Prozesse ist, erfordert nothwendig die Einführung zweier neuer Zeichen -.A (coplus) und    (cominus),

Mit diesen Zeichen muss aber nach b e -

wonach i\ — \ -7- 1 ist. sonderen, in Nr. 27 des „Wesens der Mathematik“ vorgeführten Regeln operirt werden. In allen Fällen erfordern die triple xen Grössen ein von der Behandlung der reellen und der komplexen Grössen durchaus verschiedenes Verfahren.

Aus allem Diesen geht aber hervor, dass nicht nur die Theorie der Gleichungen, sondern jeder Zweig der Mathematik, welcher bisher nur für reelle und komplexe Grössen ausgebildet ist, z. B. die Determinantentheorie, die Substitutionstheorie, die Gruppentheorie, die Funktionsrechnung, für triplexe und polyplexe Grössen unzulänglich sind und eine Umgestaltung nach den vorerwähnten Prinzipien erfordern. Ohne diese Umgestaltung liefert die Einsetzung triplexer Wert-he in die Glieder der diesen Theorien ungehörigen Reihen und Funktionen und die Entwicklung nach gewöhnlichen Regeln fa 1 s c h e R e s u 11 a t e.

Die quadratische ZerMlmig der Zahlen durch Differenzreihen.

i.

Der nachstehende Aufsatz betrifft weder die von Gauss in

den Disquisitiones arithmeticae ermittelten allgemeinen Merkmale der linearen Formen pn m und der quadratischen Formen ax² — 2 bxy — ey~ einer Primzahl q, noch die von Gauss in der Theoria residuorum quadraticorum vom Jahre 1828 durch die Zerfällung der Primzahlen <] = 8 n -(- 1 und 8n -(- 5 in die Form A² -)- B² inaugurirte und von Eisenstein im Cr eil eschen Journale vom Jahre 1848 auf eine rationelle Theorie gebrachte Zerfällung der Primzahlen <j — 8n -f- 3, 7 n -f- 2 und 7 n -f- 4 in die Form A¹ -f- pB² mittelst Binomialkoeffizienten, auch nicht die von mir in der Schrift „quadratische Zerfällung der Primzahlen“ vom Jahre 1892 vervollständigte und für alle Primzahlen von der Form q — pn -j- m verallgemeinerte Theorie der Zerfällung mittelst Binominalkoeffizienten, sondern die faktische Herstellung aller Formen von der Gestalt <( A ² -f- bB² -j- cAB, in welche sich eine beliebige ganze Zahl q zerlegen lässt, wenn entweder a, b. c. oder wenn A, B beliebige gegebene positive oder negative ganze Werthe haben.

Für die Auflösung der unbestimmten Gleichung zweiten Grades aA² -(- b B² -j- cAB — q in ganzen Zahlen habe ich bereits im fünften Abschnitte meiner „Unbestimmten Analytik“ §. 100 bis 124 und für die Auflösung der Allgemeinen Gleichung aA² -)- bB² -f- cAB -j- dA -f- eB — q in A 125 Dis 134 ausreichende Methoden mit Hülfe der Kettenbrüche entwickelt; der vorliegende Aufsatz hat jedoch den Zweck, diese Auflösungen lediglich mit Hülfe von Additionen aus Differenzreihen herzustellen und zugleich alle Auflösungen zu finden, für welche q kleiner als eine gegebene Zahl ist.

Offenbar brauchen für <j nur positive Werthe betrachtet zu werden, da für ein negatives q die Umkehrung der Zeichen auf beiden Seiten der Gleichung q — <tA² -j- b B² -f- cAB eine Gleichung mit positivem q ergiebt.

Hiernach würde q alle diejenigen Werthe annehmen können, welche sicii ergeben, wenn man jede der Zahlen A, B bezw. a, b, c die positive und negative unendliche Zahlenreihe ... —3 —2 —1 01 23...

durchlaufen lässt. Diese Operation ist jedoch wegen ihrer allseitigen Unbegrenztheit unausführbar, und es kömmt darauf an, dieselbe in diejenigen Grenzen einzuschliessen, innerhalb welcher der Werth von y nothwendig liegen muss.

2.

Wenn c — 0 ist und in der Gleichung y = a A² -j- h B2 die Faktoren a, b gegeben, die Quadratzahlen A². B² aber gesucht sind, drehet es sich um die Wirkung der fortgesetzten Variation der Wurzeln von Quadraten um eine positive Einheit, also darum, dass die Grössen A und B durch die positive Zahlenreihe 0, 1, 2, 3 ... geführt werden, (indem negative Werthe von A oder B für die Quadrate A² oder B2 dieselbe Bedeutung haben wie positive Werthe). Wenngleich die Berechnung solcher Effekte keine Schwierigkeit, hat; so wird die Potenzirung doch bei grossen Werthen der Wurzeln A, B, C . . . und der Faktoren a, b, c . . . mühsam. Diese Erschwerung beseitigt sich durch die Erwägung, dass die Grössen p O², p 1², p2 ², p 3², p 4² ... um die Werthe p, 3p, 5p, 7p ... wachsen und dass diese Werthe um die konstante Differenz 2j> variiren. Ausgehend von der Differenzreihe

2p

2p . . .

ergiebt sich also aus dem Anfangsgliede p durch einfache Addition die zweite Differenzreihe

zp

bp

‘P

dp . . .

und hieraus mittelst des Anfangsgliedes pd² — 0 durch einfache Addition als dritte Differenzreihe die Reihe der Grössen

P l²

y>3²    y>4²

/> 5²    . . .

p O²

Hierdurch ist die Po teil/innig auf Addition gegebener Grösse n z u r ü c k g e f'ü h r t. genug ist und ohne Mühe niedergeschrieben werden kann, indem ihre Glieder fortgesetzt um 2p wachsen: so ist die erste Differenzreihe mit den konstanten Gliedern 2 j> entbehrlich ; man kann also die Reihe der p - fachen Quadrate sofort durch Addition aus der zweiten Differenzreihe hersteilen. Indem man die Glieder der ersten Reihe mit 1. 2. 3 . . . und die der zweiten Reihe mit 0, 1, 2, 3 ... numerirt, hat man

Da die zweite Differenzreihe einfach

■'P

~P

si O

o²

ii

CO

Hat die erste Reihe n Glieder, ist also ihr letztes Glied (2 n — 1 )p und das darauf folgende Glied (2// -j- 1 )p: so ist das letzte Glied der zweiten Reihe, welches um n Glieder vom ersten absteht, = p n². Die Nummer n eines Gliedes bezeichnet sofort die Funktion pn², welche dem durch Addition berechneten Werthe dieses Gliedes gleich ist.

So hat man s. B. für p = 7, also 2p = 14, als Reihenanfang (wie er auch bei den späteren abgebrochenen Reihen zu verstehen ist, indem sich dieselben, auch wenn die Punkte . . . weggelassen sind, un-beschränkt fortsetzen)

(I

21

85

49

68

28

68

112

175

252

worin die zweite Reihe die Werthe von

7.3²

Will man die untere Reihe mit 7.8² = 448 beginnen; so muss man die obere Reihe mit (2n-\-\)p = (2.8    1)7 = 17.7

= 119 anfangen lassen, was dann

7,0²

7.2²

7.4²

7.5²

darstellt.

10

11

12

119

188

147

161

448

7.8²

567 7.9 ²

700

847

7 . IO²

1008 7 . 12 ²

10

11

12

ergiebt. Soll die untere Reihe mit irgend einem Werthe k beginnen, die obere Reihe aber die Werthe a A² für A — 0, 1, 2. 3 ... durchlaufen: so bleibt die obere Reihe p, 3p. 5p, 7p ... bestehen. So hat man z. B. für p = 7. k = 9

16

21

35

49

63

37

72

121

184

indem die zweite Reihe die Werthe von 7 n² -j- k für n = 0,1, 2, 8 ... darstellt.

Für ein negatives p kehren die Glieder der ersten Reihe und für ein negatives k der Werth von k ihr Zeichen um : im Übrigen bleibt es bei den Additionsprozessen. So hat man für p = — 7, k = 9

— 21

— 35

- 49

— 7 n² -f 9 =    9

— 19

- 54

— 103

und für p = 7 , k = — 9

21

85

49

19

54

103

Lässt man jetzt das Anfangsglied k der Reihe pn'²-\-k variiren, indem man dasselbe = p\H\~ setzt, worin ją konstant ist und ją die Zahlenreihe 0, 1. 2, 3 ... durchläuft: so ergiebt sich dadurch, dass man nachundnach jedes Glied der Reihe pn~-\-l' zum Anfangsgliede einer Reihe nimmt, für welche die Vorderreihe die Werthe ją, 3ją, 5ją, 7ją ... durchläuft, aus der in einer horizontalen Linie sich erstreckenden, eindimensionalen Reihe pri² eine in einer Eb sich ausbreitende zweidimensionale Reihe /»w² -j- px Wi², deren vertikale Glieder wir für die positiven Variationen von ją nach unten kehren. Dieses zweidimensionale System hat die sich horizontal und vertikal fortsetzende Form

IC

ją ją- pn- =

pi O²

pi 2²

jPi 3²

p 0²

1,V1

3p

P 3"

P,

deren horizontale Reihen sich durch die Addition der Werthe von 3p, 5p . . . und deren vertikale Reihen sich durch die Addition der Werthe von ją, 3p\, 5ją . . . ergeben. So erhält man für 7 /3»² —(— 9 ni2 oder für p — 7 , p\ = 9

Wl

P\Yl\² /IW² =    0

r*

16

21

3r>

28

2S

37

63

63

72

27

36

36

43

64

99

45

81

St

88

109

144

Hierin lehren z. B. die der Zahl 37 zugehörigen Werthe n = 2. nx = 1. dass 37 = 7 . 2² -j- 9.1² ist.

Ist p oder p\ negativ : so kehren die Glieder der horizontalen, bezw. der vertikalen Reihe ihr Zeichen um: man hat also für 7 n² — 9/?i oder für p = 7, p\ — — 9

I)

21

85

pn² =    0

28

(18

28

68

19

54

- 27

— 36

— 36

29

27

— 45

— 81

— 81

Für — 7 n² -f- 9 iti oder p = —

— 74

— 53

— 18

(/ = 9 hat man

— 21

— 35

p\ ni¹

p rr

- 28

— 63

_ rj

— 28

- 63

!>

— 19

- 54

27

86

86

29

— 27

45

81

81

74

53

18

Die Werthe von — p tB -f- p\ n{² sind die mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Werthe von p n² — p\ ni¹.

Für —p n~ —p\U\ ergeben sich die negativen Werthe von

p n¹ -f- pi ni\

Nach Vorstehendem wissen wir die Horizontalreihe für + pn¹, die Vertikalreihe für + jmiW-i², sowie die zweidimensionale Reihe für q — -f- pn² -p pi ni¹ durch Addition zu bilden und schreiben demgemäss im Nachfolgenden diese Reihen ohne die Differenzen lediglich mit den Nummern n und n\ ihrer Glieder nieder. In der Formel y = a A - -(- b B² tritt bezw. a, A, n, B an die Stelle von + p, n, + pi, nî, worin A — n und B — V\ die Gliedernummern 0, 1, 2, 3 . . . der horizontalen, bezw. vertikalen Reihe bedeuten.

Da sich diese Reihen ins Unendliche fortsetzen ; so kömmt es für die praktische Rechnung darauf an. diese Reihen auf diejenigen Glieder zu beschränken, in welchen ein gegebener Werth von q nothwendig liegen muss, wenn die Gleichung q = a A¹ -j- b B~ überhaupt möglich ist.

3. Wenn a und b positiv (auch = 0) sind; so kann q — a A² -j- b B2 nur positive Werthe haben und da a A² — q — b B~ ist; so muss

9 und

B =|/|" sein- Hieraus folgt, dass, sobald in horizontaler oder vertikaler

Richtung der zweidimensionalen Reihe ein Werth > q erreicht wird, die Rechnung in dieser Richtung nicht weiter fortgesetzt zu werden braucht, und dass sie überhaupt in keiner horizontaler Richtung über einen Werth

von A oder n, welcher >

ö-tl Ö

ist, und in keiner vertikalen Richtung über

ist, hinaus fortgesetzt

einen Werth von B oder rix, welcher >

werden braucht. Demgemäss muss ein gegebener Werth von q noth-wendig in einem endlich begrenzten Reihengebiete liegen, alle möglichen Werthe von q können daher und eventuell die Unmöglichkeit der gegebenen Gleichung nachgewiesen werden, welcher letztere Fall vorliegt, wenn der gegebene Werth von q nicht in dem abgegrenzten Gebiete erscheint. Zugleich geht aus dieser Gruppe hervor, welche Werthe q¹, die kleiner oder gleich dem gegebenen q sind, die Gleichung ql = aA² -f- b B² für gegebene Werthe von a und b zu erfüllen vermögen, da alle diese und keine anderen Zahlen < q in die Form a A² -}- b B² zerfällt werden können.

Wäre z. B. die Gleichung 64 = 7 A² $ B² zu erfüllen: so

j/^- A 3 und B '    j/-~- — 2 sein, und alle Werthe von

7 A² -(- 9 B² sind auszuschliessen, welche den Werth 64 übersteigen. Die lediglich in Betracht kommenden Werthe sind also

muss

IC

cc

zu

O rH

tc

Oi

cs cc ©

Ci CO IC

Da unter diesen Werthen die Zahl 64 und nur einmal für n = A = 2

zwar man,

und fi\ = B — 2 vorkömmt; so ist die Gleichung möglich und in der einzigen Form 64 = 7.2² -(- 9.2². Zugleich ersieht dass die Gleichung q — 7 A² -f- 9 B² überhaupt 10 verschiedene Auflösungen ^ 64 hat, welche den Werthen q = 0, 7, 9, 16, 28, 86, 87, 48, 68, 64 entsprechen, dass also diese Gleichung für die 55 da-

4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 18,

= 1, 2

14, 15, 17,

u. s. w. unmöglich

C/l

• CO

Für die Gleichung 81 = 1 A² -f 5 B² ist A S

|j — = 4, mithin

IO

05

A-

X A- to

o

(M -h X

Th 05 Th 05 Th Th X

05    05 Th er.

T—< (M »O X

05 05 IO l—i 05 ł—‘    05

^ CC 15

o<

Die Gleichung kann also in 3-fächer Weise durch 81 = 1 . 1 “ -j- 5.4 , durch 81 = 1 . 6³ —j— 5.8² und durch 81 = 1.9² -f- 5.0² erfüllt werden, und die Gruppe zeigt alle Werthe, welche ^81 sind, an, die sich in die Form 1 A ² -f- 5 B² zerfallen lassen.

Dass man in den vorstehenden und den nachfolgenden Formeln immer voraussetzen kann, dass a und b kein g e m e in s c h aftliches M a a s s haben, leuchtet ein, da ein solches Maass auch ein Faktor von q sein müsste, also aus der gegebenen Gleichung ausgeschieden werden könnte.

4. Wenn von den beiden Faktoren a und b einer negativ ist, wenn also q — a A² — b B² sein soll; so gestalten sich die Sachen wesentlich anders. Es giebt nun für Ä und B kein Maximum, sondern nur ein

Minimum : denn diese Gleichung fordert, dass A    jj - und dass auch

A^B

Ÿ:>a oder B<A Ÿl

sei. Die Werthe von A und B können

also ins Unendliche wachsen und für die höchsten Beträge Auflösungen der gegebenen Gleichung herbeiführen. In der zweidimensionalen Zahlenreihe

n-\ n

a 0- — b 0- a l² — b O² a 2² — b O² a 3² — b 02 a 0² — bl² a l² — b l² a 2² — bl² a 3²

b l²

a 0² — b 2² a l² — b 2² a 2² — b 2² a 3² — b 2 b 3² a 1² —b 3² a 2² - b 3² a 3² — b 3²

a 0²

beginnt also jede Horizontalreihe mit einem negativen Werthe, welcher allmählich in positive Werthe übergeht, wogegen jede Vertikalreihe mit einem positiven Werthe beginnt, welcher nachundnach in negative Werthe übergeht. Alle negativen Werthe und alle positiven Werthe, welche > q sind, kommen nicht in Betracht, und sobald sie eintreten, kann die Rechnung in der betreffenden Richtung geschlossen werden. So hat

läufig q unbestimmt lassen.

man z.

B. für q — 3 A² — 7 B'¹. worin b > a ist, wenn wir vor-

ni

12

27

48

20

41

28

25

16

20

68

60

51

36

15

—    112 — 109 — 100

—    175 — 172 — 163 — 148 — 127

85

64

io h tC œ -1

-1 tC -1 OC Ci»

45

14

84

35

67 — 28

Ol

und wenn wir die negativen Werthe aussćhliessen fh n — 0

CO

Ol 00

yo r-i o

^ C'l

io oc o*

108

147

101    140

80

45

119

84

35

Für ÿ=7 A² — 3 B², worin b < a ist, würde sich die Horizontalreihe in eine Vertikalreihe und /lie Vertikalreihe in eine Horizontalreihe mit entgegengesetzten Zeichen verwandeln : man würde erhalten

wi

28

25

— 12

16

27

20

—    48    —41    —20

—    75    — 68    — 47

und bei Unterdrückung der negativen Glieder

K* CC O» Ol M ö œ H o oo

112

175

109    172

100    163

85

148

64    127

37    100

c» .+- ic rc i-» O

Ol Ol T—1

cc c» oc

CO O H SC o ZO ÎO lO W h

112

109

100

85

69

37

175

172

163

148

127

100

man

B‘² betrachten. Dieselbe ergiebt

Für b = a muss q = a A² — a B² durch a theilbar sein ; kann also dafür die Form q — A²

—    16    — 15    — 12

•-C Itä Ol 1- o ~

IC CC IC O CÜ i—¹    C‘<

—    25    — 24    — 21    — 16

und bei Unterdrückung der negativen Glieder

>/

CH« 05

t-H O

r-H

t-H

te iC CM N O

c>

IC IC

l—‘ IC

Oi ®

S ist z. B. 9 sowohl = 3“ — 0², als auch = 5² — 4² und z. B. 1 sowohl = 4² — 0², als auch = 5² — 3². Wenn in der Gleichung q —■ aA² — b B² das positive Glied vorangestellt wird, folgen in horizontaler Richtung die positiven auf die negativen Glieder und in vertikaler Richtung die negativen auf die positiven Glieder. Stellt man das negative Glied voran ; so behalten die Glieder von q = — aA¹ -j- bß2 die Werthe von q — aA¹ — bß², jedoch mit entgegengesetzten Zeichen, was auch die Umkehrung der Folge der positiven und negativen Glieder nach sich zieht. Wir werden den nachstehenden Untersuchungen die Form ([ = aA² — b ß² zu Grunde legen.

Für q — a A² — b B² durchschreitet jede Horizontalreihe, indem sie mit einem negativen Werthe beginnt, ein positives Minimum. Ist in irgend einer dieser Reihen für bestimmte Werthe von A und ß das erste positive, also das Minimalglied = r, also a A² — bß² = r ; so wird das nächstfolgende Glied unzweifelhaft grösser sein als q, wenn in a(A -j- l)² — bß² = aA² — bß² -f- a(2A -f-1) = r-j- a(2A -f- 1)

das Glied a(2A -f- 1) > q oder A > ~—

2 et-

— also zuverlässig auch

q    —    ^

dann, wenn A > —— ist. Hieraus geht hervor, dass, sobald A den

q

Werth von überschritten hat, lediglich das erste positive u Cf

Z CI

Glied in Betracht kömmt, welches möglicherweise <, = und > q sein kann, dass jedoch das nächstfolgende Glied unfehlbar > q ist, dass

q

also die Rechnung in den späteren Reihen, für welche A = n > ——

ist, auf die Ermittlung des ersten positiven Gliedes beschränkt werden kann.    •

Soll z. B. 3 A² — 7 B'² = 20 sein; so kommen in allen Reihen,

nur die ersten positiven Glieder in

Betracht, indem alle folgenden Glieder > 20 sein werden, rechnende Gruppe ist also

sobald A >

20 10

— > 3 ist,

Die zu be

ri

12

20

20

12

35

(Der vorstehende Satz gilt auch dann noch, wenn aÂ¹—b B² = 0 ist, weil jedenfalls a (A -f- l)² — bB'² = a(2 A -)- 1) > a > q -\- a > q ist).

{2 a

Es kömmt jetzt in Frage, welches Gesetz die Abstände der Minimal-werthe von q in horizontaler und vertikaler Richtung befolgen. Dasselbe ergiebt sich folgendermaassen. Wenn für bestimmte Wertlie von A und B— 1 q — a A- — b(B — l)² ein solches Minimum ist, also q positiv und a A² — bB² = — qi negativ ist, und wir schreiten nun in der horizontalen Reihe, in welcher — q\ liegt, vorwärts ; so sei a{A -f- ni)² — l)B~ = q-i das erste sich einstellende positive Glied, mithin das vorhergehende Glied a (A -j- m — l)² — b B¹ — negativ: so wird, falls b > a ist, das auf q-i folgende vertikale Glied a(A -f- m)² — b(B -j- l)² negativ = — qi sein; mithin wird q-i das in dem Abstande von m horizontalen Gliedern und einem vertikalen Gliede auf q folgende Minimalglied sein. Denn wegen des negativen — q₃ ist

|f — > 1 ist, auch m < B

in <

UÎ+'

— A, also da

q-i

t+t-*

oder < (B -(- 1) V---A. Wegen des positiven q-i aber ist m> B

' ^    #    lb

und die Negativität von —r/₄, welche m < (B -j- 1) J/--A verlangt,

ist bereits soeben nachgewiesen. Demnach ist q-> ein Minimalglied, sobald

wegen der Werthe von q> und — q$

ist. Wenn sieb dieses Verhältniss von Positivität und Negativität der Grössen q> und m um ein Glied weiter erstreckt, wenn also

, m -f I > B ŸÏ, — A und < B f- — A + 1 ist; so ist a(A -f- ui -(- l)⁻² — b B¹ das nächst erste Minimalglied.

Fassen wir für die Gleichung q = p A~ — pxB’² — pri¹ — pxih1 die zweite Horizontalreihe ins Auge, für welche B — n.\ konstant = 1

1 / /) 1

J/— eine ganze Zahl c ist, wenn A

ist; so wird für den Fall, wo

die Werthe 0, 1, 2, 8, . . . x durchläuft, welche zunächst eine Reihe negativer Werthe für q erzeugt, der Übergang von den negativen zu den positiven Werthen mittelst eines Nullgliedes erfolgen; denn man

hat pxl — p\ l'² = 0 für x — j/

/Pi

= c. Im

Allgemeinen ist j

keine ganze Zahl, sondern — c y worin c eine ganze Zahl und '/ einen Bruch < 1 bedeutet, es kann also (ausser für n — 0 und rt\ = 0) kein Nullglied erscheinen, der erste und zugleich kleinste positive Minimalwerth von q in der zweiten Horizontalreihe, welcher p x¹ —p\ 1 - > 0,

Ÿ-

r ?

also x >

erfordert, wird mithin für x = c -j- 1 erreicht.

In jeder Horizontalreihe könnte ein Nullglied erscheinen, wenn man für n nicht nur ganze, sondern auch gebrochene Werthe zu Hesse. In der fl\ - ten Horizontalreihe, also für einen beliebigen ganzen Werth von nx, würde dann auf das durch pn'¹ — p\ np bestimmte Glied ein

¹

titution x = X\ —

²

auf die Anzahl der Wurzeln Beider sein würde.

Wenn man auf die Verkürzung Werth legt, muss sie auf die Endgleichung verschoben werden, da nur die reellen Wurzeln dieser Gleichung in Betracht kommen.

24. Eine zweite wichtige Folge der Unzulänglichkeit des gewöhnlichen Verfahrens bei der Multiplikation von Summen triplexer Glieder besteht darin, dass man eine solche Summe, also auch eine aus triplexen Gliedern bestehende Gleichung mit einem Faktor wie x — aea' ea,u in gewöhnlicher Weise weder multipliziren. noch dividiren kann, dass man also aus einer solchen Gleichung eine gefundene triplexe Wurzel nicht nach gewöhnlichem Verfahren ausscheiden und dadurch die Gleichung auf einen tieferen Grad reduziren kann.

³

Legt man auf diese Reduktion Werth: so muss sie auf die Endgleichung mit ihren reellen Wurzeln beschränkt werden. Übrigens ist dieselbe auch hierfür keine Nothwendigkeit, da derselbe Weg, welcher

Nullwerth px~ —p\n{¹ = 0 folgen, wenn X — rt\ j, — = fix(c-(-y), also gleich dem n\~ fach en von [/—- = r -I- y genommen wird. Das

' V

auf dieses Nullglied zunächst folgende ganze positive Glied, welches einen Minimalwerth von q in der Reihe für fix darstellt, erfordert dann für x den zunächst über fi\ (c -j- y) liegenden ganzen Werth. In den aufeinander folgenden Reihen oder für n,\ = 0, 1, 2, 8 ... haben also die Minimalwerthe von q die Stellen, welche den ganzen Werthen n = 0(c +v)-f//o, l(c+;G + yi, 2(c-j-y)-j-t/-,, 3(c+/) + ^ u. s. w. entsprechen, worin v/₀- >Ji, y-i, \)a ■ • • Hie Ergänzungen zu der nächst höheren ganzen Zahl anzeigen (der erste Minimalwerth von q in der ersten Horizontalreihe ist die auf das erste Nullglied folgende Zahl). Die Grösse y ist entweder rational, oder irrational. Ist sie irrational,

pp _

= 1,527 .... den

hat sie z. B. für p — 3, px = 7, da j/

Werth y — 0,527 ..., worin c — 1 ist; so ergeben sich folgende Werthe, welche auch für jeden beliebigen ganzen Werth von c, also für

= c ~\~ 0,527 . . . gültig sind.

0 (c + /) = 0 1 (c + /) = c -f- 0,527 . . . 2(c + /) = 2c + 1.054 . . . 3 (c -j- /) = 3 c + 1,581 . . . 4(c-j- y) — 4 c 4" 2,108 ...

c4- i

2    c —(— 2

3    c 4~ 2 4c 4- 3

c 4-1

Für das Beispiel <] = 3 Ar — 7 B¹, also für c = 1. sind diese VVerthe von n — 1, 2, 4, 5, 7 ... ganz dem obigen Systeme aller möglichen Werthe von q. nämlich den Minimalwerthen <j — 3, 5, 20, 12, 35 . . . entsprechend.

Ist y rational; so stellen sieh in den betreffenden Horizontalreihen Nullglieder ein. So erhält man z. B. für q = 4 A~ — 9 Ji-. also

'V i

1,5

ü

«l

(I

<>

0'

I)

— 20

19

— 45    —17

-44

mithin

Ui

0 (c + y) = 0

1    (c + y) = c 4-0,5

2    (c 4 7') = 2 c + 1

3    (c 4 /) = 3 c 4 1,5

4    (c 4- y) = 4 c 4- -

Allgemein, geht aus Vorstehendem hervor, dass, während die Grösse n\ = B nach un dnach um eine Einheit wächst die Grösse n — A bald um den Betrag c, bald um den Betrag C 1. aber um keinen anderen zunimmt. Aus dem

c+ 1

2 c 4“ 1

4 c 4" 2

> e+l

} '•

o>

'S '

ä.-

o' &

'S

’3S

s. I

reihe die Grösse n um c, oder ob sie um c 4“ 1 wächst. Übrigens wechseln, wenn y irrational ist, die Abstände c und c 4" 1 im Allgemeinen in unregelmässiger Weise.

p\(n\ 4- l)² der in der (n,\ 4~ l)ten Horizontal-

Die Minimalwerthe von q ergeben sich hiernach auf folgende Weise. Ist pn~ — p\ np irgend ein solcher Werth in der H\ - ten Horizontalreihe , also p ri²

reihe darunter stehende negative Werth; so bestimmt man zunächst in der letzteren Reihe den Wertli von p (n -j~ c)~ — pi ip\ 4“ 1 )'■ Ist derselbe positiv oder gleich null ; so stellt er den nächsten Minimalwerth von q dar. Ist derselbe aber negativ; so ist p (n 4“ c 4“ l)² —pi (ni 4“ l)2 der nächste Minimalwerth von q. Auf dieselbe Weise ergiebt sich der dritte, vierte und jeder spätere Minimalwerth von q.

Wollte man die Berechnung der beiden aufeinander folgenden Werthe. von welchen nur einer der Minimalwerth sein kann, durch Zn-

npjh

hülfenahme der Formel

— d -(- ö, welche für rt\ = 0, 1, 2, 3 .. .

0.#

■ 1>

= dz 4~~ ^3 n. s. w. ergiebt, indem man

— Wi(c -j⁻ /) hat, worin alle Grössen ôl5 ö₂, . . würde Diess für q — 3 A~ — 7 B² die Werthe

die Werthe j/

0j>i

= d, + <5,.

2²j>i

— <V₂ -f“

^ = d,„ + Ô..

àni < 1 sind; so

0.7

1 =    4~ 1

1,52 . . .

2 — d\ —(- 1

r.

3².7 ~3~

4².7

2².7

3, . . .

4, ...

6, . . .

4 — di “J⁻ 1

5 — dÿ 1

6 = di + 1

c?a — d‘i

d,

d’i

u. s. w. ergeben, welche mit den obigen übereinstimmen, aber nur der Berechnung je eines Werthes von q bedürfen, indem der horizontale Fortschritt von einem Minimalwerthe zu dem nächsten stets durch die Differenz f4,+i — d„, gemessen wird, worin die Grössen dn, und dni+i in einer bestimmbaren Weise variiren.

keinen gemeinschaftlichen Faktor haben werden, für p = f¹ und p\ — <j-möglich ist, muss an dieser Stelle d„, statt d,,,    1 gesetzt werden.

y-

\ p

Wenn

¹ eine ganze Zahl </ ist, was p = 1 und p\ — </-

voraussetzt; so ist fortwährend dni statt dtu 1 zu setzen.

Von besonderer Wichtigkeit ist es, dass mit Hülfe der Grössen d der Werth des einem beliebigen Werthe zugehörigen n durch n — dni -j- 1 fest bestimmt ist, indem man für das entsprechende Minimum von q

PinY

(für einen Nullwerth aber 0 == p d,h ² —pitii² — p

q — p{dn, IV

nYpi

Wenn

tu ?

also    = 0 wird, was jedoch nur für

rationale Werthe von

P} _ //

;, also für

Pi

(/ - •

= '-^2 oder, da p und p\

— p*n i²)

hat. So ergiebt, sich für das letzte Beispiel, wo d{) = 0, dx — 1,

1, 2. 4, 5, 7

ist, die obige Reihe der Minimalwerthe von q durch die Formeln

. 2² — 7 . I² = 5    3 . 4² — 7 . 2² = 20,

. 72 _ 7 . 6² =

d% = 3, dÿ — 4, d^ = 6, also n bezw.

3 . I²

3 . 5² — 7 . 3² = 12,

7 . 0² = 3

CT

- CT

man

100².7

j/^⁰⁰

Für )1\ = 100 würde

= 152, . . ., also (/„, = 152, d„, -f- 1

= 153, mithin q = 3 (153)² - 7 . 100² = 227 und für m = 10000

/10000² . 7

würde man

= 15275, ...,    d„, = 15275, d,h + 1

= 15276, mithin q = 3(15276)² — 7 (10000)² = 68528 erhalten.

Durch dieses, wie durch das vorher bezeichnete Verfahren können alle möglichen Werthe, welche q annehmen kann, und es können daher alle möglichen Auflösungen der Gleichung q = p A² —px B¹, worin q einen gegebenen Werth hat, sowie alle dieser Gleichung genügenden Werthe von q, welche kleiner, als ein gegebener Werth von q sind, bis zu jedem beliebig hohen Werthe von B und A h i n a u f gefunden werden.

Die aufeinander folgenden Minimalwerthe von q können bald steigen, bald fallen : beachtenswerth sind jedoch folgende Fälle.

Wenn

= 1 q² u. s. w., allgemein, 1 {ix -j- \)q)² — q²x² = (2 r -j- 1 )q². Die Minimalwerthe steigen fortgesetzt, überschreiten also jeden gegebenen

'Vertu von q. Ein solcher gegebener Werth von q liegt mithin in einer endlichen Reihe von Minimalwerthen, und daraus folgt , dass die Gleichung q — A'¹— g-B² nur eine endliche Menge von Auflösungen hat, welche durch das vorstehende Verfahren sämmtlich gefunden werden können.

Wenn

]h

Bruch

— ein rationaler Bruch mit dem Nenner 2, also ein

j.

mit dem unpaaren Zähler u, folglich 2² = 4 und p\ = u ²

= V -f- 0,5 = t\5

ist; so hat man, wenn man

schreibt, indem u = 2 v ,-j- 1 ist, für die Gleichung q — 2 ²A² — ii~ B². da nun r,5 ⁼⁼ d\ —f⁻2(r,o) ⁼ (2v—|— 1) ⁼ d-2- 3(r,5) ==: (3r—1) 5 = fh ö₃, 4(t>,5) = (4v -j- 2) = di u. s. w. ist, die Minimalwerthe

v + iy² — u².2²,

v -j- 3)² — u² . 5², 4(6^ -f- 3)² — u².6²,    4 (7 V -f~ 4)² -—    u².7² u.    s. w.    So erhält man

y,. B. für p — 4, pi =    9, u — 3, v =    1, also für    q —    4Ä² — 9 B². die

Minimalwerthe 4.1² - 9.0² = 4, 4.2² — 9.1² = 7, 4.3² — '9.2²

9.5² = 31,

9.7² = 43 u. s. w. In den letzteren Minimen folgen unausgesetzt Nullwerthe auf grössere Werthe. Die Gleichung 0 = 4 A² — 9 B² hat also unendlich viel Auflösungen (wenn 0 = 4 Mi² — 9 B\² eine Auflösung ist, ist auch 0 = 4 (xAi)2 9 (x Bi)² für jedes x eine solche). Abgesehen von den Nullwerthen, welche q haben kann,    so wachsen die    Minimalwerthe    von q über jede

Grenze hinaus, indem    von den Werthen    7, 19, 31,    43 ... jeder folgende

um 12 grösser ist, als der vorhergehende. Hieraus folgt, dass die Gleichung q — 4M² — 9 B². wenn q> 0 ist, nur eine endliche Menge von Auflösungen hat, welche nach dem obigen Verfahren sämmtlich darzustellen sind. Das Nämliche ergiebt sich für jeden anderen unpaaren

Werth von u, z. B. für u = 5, also p\ = 5² = 25, und j/

= 2,5 indem zwischen den aufsteigenden Minimen 11, 31, 51, 71 . . . die Nullwerthe 4.5² — 2 5.2² = 0,    4.10² — 25.4² = 0,    4.15²

— 25.6² = 0 u. s. w. liegen.

4 . I² — u² . 0² = 4, 4 (3 v 4- 2)²

4 (v l)² — u² . I², u².3², 4 (4 v -j- 2)²

u².4².

== 0, 4.5² — 9.3² = 19, 4.6² — 9.4² = 0, 4.82 4.9² — 9.6² = 0, 4. II²

Pi

also

Allgemein, hat, wenn rational

p = f ². pi = ( f v -j- g)¹ ist, die Gleichung 0 = f²A² — (fv -j- g)² B2 un endlich viel Auflösungen, für welche A = x (f r -f- //) und B = xf ist, während für q > 0 die Gleichung q = f²A² — (fv -f- ff)¹ B² nur endlich viel, nach dem obigen Verfahren darstellbare Auflösungen hat.

/'

Wenn

V— irrational =

) p

und q = p (dnt + 1

pi np ist; so entsteht die Frage, ob von einer gewissen Höhe der Zahl iii an alle Werthe von p(d>u -f- l)² — p\.n\²

einen gegebenen Werth von <j übersteigen, oder ob einzelne dieser Werthe > <j und andere <[ sein können. Da rt\ |

!pi

ö„,

-f- x 4- 1 sein

= tl\ (di —(— ôi) = tl \ (1\ -j— tl\à\ ist: so wird, da öi > 0 und < 1, also H \ öi > 0 und < r\\ ist, dni = n\d\ -f~ x und d„x -f~ 1 = n\d\ worin x die in «i ö₂ enthaltene ganze Zahl bedeutet, welche jedenfalls < ti\ ist. Hiernach wird nun p(dn, -j- 1 )~ — pinß > q

sein, wenn (d„,    1)²> —ni* -j——, also wenn

'/

(ßid\ -j⁻ x -j- l)² > (di -j- öi)² ni" -f~

von

ist. worin x -f- 1 höchstens den Werth n\, also n\d\ -|- x -f- 1 höchstens den Werth )i\d\ -j- >h — (rfi + l)^i erreichen, jedoch nicht dauernd behaupten, sondern auch wieder auf kleinere Werthe herabsinken kann. Dieser Bedingung kann nun bei den aufsteigenden Werthen von n\ wegen der Veränderlichkeit von x bald genügt werden, bald nicht, man kann also ohne eingehendere Untersuchung weder behaupten, dass einem gewissen hohen Werthe von n\ an alle Werthe von pA² — p\B“ einen gegebenen Werth von q überschreiten, noch dass sie diesen Werth unterschreiten, der Werth von pA² —PiB² wird sich also stellenweise heben und senken, und demzufolge scheint es, dass die Gleichung p A² —piB² = <j je nach den besonderen Werthen von p und pi endlich viel, auch unendlich viel, auch keine Auflösung haben könne. Zur Unterstützung dieser Meinung dienen Fälle, wie der, wonach

Ff = V'

die Funktion 1 A² — 7 B², für welche

= 2,645751 . .

also di — 2, öx = 0,645751 . . . ist, für Yii = 46, di8 -j- ö₄₈ = 48 \ 7 = (96 -j- 30) -j- ö₁₈, mithin diS = 96 -f- 30 — 126, dA₈ -f- 1 == 127 trotz der grossen Werthe von A und B den sehr kleinen Minimalwerth 12 7² — 7.48² = 1 annimmt. Eine genauere Untersuchung ergiebt folgendes Resultat.

Da x die in «i öi enthaltene ganze Zahl, also, wenn in Dezimalform Th öl = x -j- 0, mi ßiyi ... und y = 0, v-\ßiyi . .. ist, x = n\ öj — y gesetzt werden kann, worin y < 1 ist : so wird die vorstehende Bedingung

Bh di -f- ni öi -j- 1    y)²

und wenn die Quadrate entwickelt werden

+ ö,)² > TL

2 /hdi («i öx -j- 1 — y) + («i öi + 1 — y)² — 2ni²d₁öi — ih²öp> —

2 n\di(\ — y) -f- («iöi -(- 1 — y)² — iii²öi²>-^-

und da die beiden letzten Glieder auf der linken Seite = (2 rn ö] 4- 1 — y ) (1 — y)

sind,

(1 - y) [2 n\ (di + öi) + (1 - y)\ > -L

, es muss also

Hierin hat dx -j- ()x den konstanten Werth von

Hl >

2(1

IC

öi)

sein. Gegen das mit nx fortwährend wachsende Glied 2 n \ {dx wird das Glied 1 — y, welches stets < 1 ist, endlich verschwinden, sodass für genügend grosse Werthe von nx nahezu

(1 — y) 2 n i J/

oder

ni>

<1

2(i — y)\ppi

sein wird. Je grösser y = 0 ,axßxyx ... ist. desto kleiner ist 1 — y und desto grösser -——

T y

öl = 0,aßy . . ., nx6x = x + 0,«i ßxyx ...

offenbar die Grösse 0, ax ßx yx ... = y ein Maxi in u m irgend einem Werthe von nx angehört, also für keinen noch so grossen Werth von nx überschritten werden kann, und welches stets < 1 bleibt. Substituiren wir dieses Maximum von y in die letztere Bedingung,

einen bestimmten Maximalwerth annimmt; so

Nun hat für

welches

wodurch auch

1 — V

leuchtet ein, dass diese Bedingung für wachsende nx von einem bestimmten Werthe

an

dauernd erfüllt wird. (Könnte das Maximum

q kann also nur eine

von y = 1 werden, was jedoch nicht möglich ist; so würde die Bedingung nx > oo lauten). Für Werthe von nx, welche den eben gedachten Werth überschreiten, ist mithin p A² — pxB² grösser als der gegebene Werth von q, die Gleichung p A² — pxB~ endliche Menge von Auflösungen haben. Allerdings kann die Anzahl dieser Auflösungen unter Umständen, nämlich in den Fällen, wo das Maximum von y — 0, ux ßx yx ... sich dem Einheitswerthe nähert, sich der unendlichen Anzahl nähern, ohne doch die absolute Unendlichkeit zu erreichen.

Obgleich dem Maximum y ein bestimmter endlicher Werth zu-geschrieben werden muss; so ist es dennoch nicht bestimmbar, weil

’P 1

= nx (d -f- öx)

es nach der Formel y == 0, «i ßx yx . . ., welche aus nx = nx <l\ -j- nx ö]

n iöj = nx .0,ußy ... = x -j- 0, ux ßx yx ... entspringt, aus unendlichen Reihe O.aßy . . . oder 0. «j ßx yx . . . bestimmt werden

nxdx -|- nidx -(- nx . 0,aßy... und demnach aus

einer

müsste, was unmöglich ist, weil diese Reihe oder der vollständige

ijh

Reihenwerth von

nicht darstellbar ist. Man muss also sch Hessen,

dass die gegebene Gleichung unter Umständen unzählige Auflösungen haben kann und dass ein solcher Fall vorliegt, wenn das Maximum y gegen den Einheitswerth konvergirt.

Dass für endliche Reihen 0,ußy . . . O), welche rationalen Werthen

von

zukommen, das Maximum y stets bestimmbar ist, leuchtet ein.

Denn wenn diese Reihe aus r Gliedern besteht; so erzeugt ri\ = IO'⁻für y einen Nullwerth, indem man 10''. 0, « ß}’ . .. O) = ußy ... co -(- 0 hat. Für rti — 10r -f- 1, 10r -j- 2, 10r -j- 3 u. s. w. wiederholen sich für y dieselben Werthe wie für n\ — 1. 2, 3 u. s. w. Das Maximum von y entspricht mithin einem zwischen 1 und 10'" liegenden Werthe von n\.

Ich bemerke noch, dass wenn für einen hohen Werth von n i die Gleichung p A\² —pi Bß — q erfüllt ist ; so wird für einen grösseren Werth rti -)- m die Gleichung p A>² — px B₂² — (j erfüllt, also p Ao²—piB-² — p Aß — piBi² sein, wenn die den Werthen nx und -\- m angehörigen Werthe yx und y-> in der Näherungsbeziehung

(1 — rOOi + m) = (l — yx)ni

stehen, wenn man also angenähert

(1    — l/i)

rti + m

oder

!h ==

m -f yini

m -f hi

pA²+Pi B²

hat. Im Wesentlichen muss man sich bei der Auflösung der Gleichung pA² —pi B² — q mit der Bestimmung derjenigen Werthe von A und B begnügen, welche unterhalb gegebener beliebig hoher Grenzen liegen. Diese Werthe, sowie alle Werthe von A und Ji für die Gleichung q sind nach dem Vorstehenden darstellbar und aus der Gesammtzahl der durch das obige Verfahren sich ergebenden Werthe zu entnehmen. Wenngleich dieses Verfahren die gesuchten Werthe von A und B nicht durch direkte Operationen herstellt, sondern eine Auslese von Werthen, worunter sich die gesuchten befinden, liefert; so hat dasselbe den grossen Vorzug, dass diese Auslese alle Auflösungen enthält, für welche q kleiner ist, als der dafür angenommene Werth.

5. Betrachten wir jetzt die Gleichung q = aA² bB² --f- c-AB; so sind zwei Voraussetzungen zu erwägen : erstens, dass A und B gleiche Zeichen haben, also das Produkt AB positiv ist. zweitens, dass A und B ungleiche Zeichen haben, also AB negativ ist. Beide Fälle sind durch die Formel q — a A² -f~ & B² -f c AB dargestellt, wenn man unter A und B ihre absoluten Werthe versteht. Alle möglichen Werthe von

q ergeben sich dann durch die Variation von A und B längs der Zahlenreihe 0, 1, 2, 3 ... Bezeichnen wir. wie vorhin, das allgemeine Glied dieser Reihe für A mit n und für B mit 7l\, setzen also allgemein A — n und B = rii, schreiben auch p, p\, p > für a, b, -f- c- so erhält man alle Werthe von q — pn ² -j- p\H\² -j- p^nny für ein konstantes B = )ii mittelst Addition auf Grund der Differenzreihen

>-\-p\n2JrP2nn\

p-\-piri2Jr2hn m

&p-\-p*nn i

p 2 2Jr,pi u 2Jcp-2 2 n n

bp^rp^nni

2 p

Allgemein, ist die Differenz der Glieder einer horizontalen Reihe oder das allgemeine Glied der ersten Differenzreihe p{2 n -}- 1 ) -j- p¹ nïl\, worin n variabel und H\ konstant ist. Lässt man jetzt H\ variiren und hält H konstant; so bildet sich unter jedem Gliede der anfänglichen Horizontalreihe eine Vertikalreihe, deren Glieder die Differenz p\ (2 Wi-j- 1) -\-p-2>ini haben, worin ri\ variabel und n konstant ist. Die in horizontaler und vertikaler Richtung sich erstreckende Gesammtheit aller möglichen Werftu* • von q, welche durch Addition herzustellen ist, beginnt also in folgender Weise.

^ ^ ^ h-*    t-j    —-

CI <M

CO

p 2 ²

p 1 ~Ą~p-i 1²-f"iJ21.1 p 2² 4-^11²-+2>2 2.1 p 3 ² +JPi 1 "“hi^ p 1²+^ 2 ²+^, 1.2 p 2 2Jrpi 2 ²+i>2 2.2 p 3 ²+i>i 2 ²+i>2 jo 1²—}-*>! 3 ²-j-«>21 • 3    î)2²+pi3²+jo₂2.3 p3²-f^i3²+p₂

7>1²

Wenn p positiv ist; so nehmen offenbar die Glieder jeder Horizontalreihe mit konstantem B = >i\ endlich positive wachsende Werthe an. Wehn p negativ ist. werden diese Werthe wachsend negativ, sodass die möglichen positiven Werthe sämmtlich in den Anfangsgliedern liegen. W'enn von p und pi der eine Faktor positiv und der andere negativ ist, kann das positive Glied pn² oder p\ nA stets vorangestellt werden, wenn man lauter Horizontalreihen mit wachsenden positiven Endgliedern haben will. Wenn p und pi beide negativ (also p% positiv) ist; so werden die Endglieder jeder Horizontalreihe wachsend negativ, die positiven Glieder liegen vorn, eine solche Reihe kann aber unter Umständen mit fallenden negativen Gliedern beginnen, welche in steigende positive Glieder übergehen, die ein Maximum erreichen, um alsdann zu fallen und in wachsende negative Glieder überzugehen.

Wenn p\ positiv ist, werden die Glieder jeder Vertikalreihe mit konstantem A = n endlich wachsend positiv, und wennp\ negativ ist, werden sie wachsend negativ. Wenn also p und p\ beide positiv sind, werden alle Horizontal- und Vertikalreihen endlich wachsend positiv, gleichviel, welches Zeichen p« hat, während, wenn p und jh beide negativ sind, beide Reihen endlich wachsend negativ werden.

Die negativen Glieder sind, da q positiv sein soll, ohne Bedeutung; man hat sich auf die positiven Glieder zu beschränken und nach einem möglichst einfachen Verfahren zu streben, welches alle Glieder ergiebt, die ^ q sind. Aus Vorstehendem ist ersichtlich, dass hierbei der Werth von po und überhaupt der von p^nn\ nur eine untergeordnete Bolle spielt.

Wenn p und p\ positiv sind: so stellen sich die Werthe von pn² p\V\² + p2'nn\ für jedes q, welches einen gegebenen endlichen Werth nicht überschreitet, in einer endlichen Gruppe von Gliedern dar. So hat man z. B. für q — 1 A² -f- 5 B² -f- 3 AB, wenn q den Werth 81 nicht überschreiten soll.

IO

CC

4-

CC

CC

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O 05 05

m m m

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cc

-1 4-

Ot CC

4-

CC

36

Keine anderen, als die vorstehenden Werthe von q können die Gleichung ij — 1 A² -j- 5 B² -f- SAB erfüllen, und die Gruppe liefert für alle Werthe von q, welche A 81 sind, die Auflösungen. So hat man für beiden Auflösungen 36 = 1.6² —f- 5.0² -|- 3.6.0 und

.2² -J- 5 . ² + 3.2.2

Kür q — 1 A~ -)- 5B² — 3 AB ergiebt sich die Gruppe mit anfangs lallenden und später steigenden Gliedern

CI

cc

4-

CC

•X!

03 CC ^ x.C

o in © m co m x

05    05

—    - I O« 00

CC CO

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CO

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Jj ww

ÇO ■<! &

cc

Hiernach hat man auch für q = 36 die beiden Aufl ungen 36 = 0.6² + 5.0² — 3.6.0 und 36 = 1 . 8² -f 5.2² —    . 8.2,

sodass, wenn man für A und B positive und negative Werthe zulässt, die Gleichung 36 =    1 A² 5 B² -f- 3 AB folgende acht Auf

lösungen hat : 1 . 6² -f- 5.0“ -j- 3 . 6.0, 1 . 2² —j— 5.2² —}— 3,2.2, 1 f- 6)² + 5 (- 0)² + 3 (- 6) (- 0), 1 (- 2)² + 5 (- 2)² + (- 2) (- 2). 1 ß2 _j_ ₅ (_ o)² 4- 3 . 6 (— 0). 1 (— 6)² + 5 . 0² -f 3(— 6) . 0, 1,8² 4- 5 ( — 2)‘² + 3.8 ( — 2), 1(- 8)² + 5.2² + 3(- 8). 2.

Wenn übrigens in der Formel pÄ¹ -j- p\B² — ją AB das Quadrat des Faktors p den Werth von 4pp, übersteigt, so lehrt die Auflösung der Gleichung p A² -j- p\ A B² —p^AB = — r für A, welche

El b+ A.y

ergiebt, dass, wenn p-A> App\ ist, die Grösse A für jedes B, also in jeder Horizontalreihe Werthe annimmt, welche negative Werthe von q erzeugen, die sich zwischen die fallenden vorderen und die steigenden hinteren Werthe von q lagern. So erhält man z. B. für 1 A² -f- 5 B² — GH B, worin 6² > 4 . 1 . 5, nämlich 36 > 20 ist,

12    3    4

7    8    9    10    11    12

ii i n = (I

CO CO

(M r-H r—I r-H

CC O 0 l'* CO    T-H CM

O (M »C (M

t-h i—i CO

CO H-* tO i ' os m 4^

r-l CM L— CO GO CO CO

co tt»- o CT* O Crt o

r-ł O Ci CM Cvl CD CO

In diesem Falle können also in jeder der unendlich vielen Horizontalreihen positive Werthe Vorkommen, welche < q sind; hei hinreichend grossem B kommen jedoch nur die unmittelbar vor dem ersten, bezw. letzten negativen Minimalwerthe stehenden positiven Werthe von q, welche die Minimalwerthe von q in der betreffenden Horizontalreihe darstellen, in Betracht, weil die nächst vorangehenden, bezw. nächst folgenden positiven Werthe > q sein werden. Diess geschieht, wenn

ist, da dann A >

<1

Pi

VW — 4 pp,

B -j- ist, indem alsdann

der Werth von p A- -|- px B~ — p^ A B = r den Werth p (A -j- 1 )--j- p\ B² — p-2 (A -j- 1) B> <j bedingt. Die negativen Zwischenglieder brauchen nicht hergestellt zu werden, und bei hinreichend grossem B brauchen nur in jeder Horizontalreihe die beiden positiven Minimalglieder berechnet zu werden. Die Gleichung q = p A'² -j- pi B1 kann aber hiernach unendlich viel Auflösungen haben.

p-î A B

Wenn pA — 4pp\ ist, stellen sich keine negativen Glieder ein und die Werthe von q = p A² -f- p\ B- —p-> A B bilden eine geschlossene endliche Gruppe; die voi'stehende Gleichung kann mithin nur eine darstellbare endliche Menge von Auflösungen haben.

Wenn p und p\ negativ, also p-> jedenfalls positiv ist; so hat

—    p A- — p\ BA -j- p.₂ AB — — (p Ä¹ -)- p\ B² — p-i A B) die negativen Werthe der vorstehend betrachteten Formel. Wäre dann pA ^ 4pph wie in — 1A² — 5 B² -}- 3 A B, so kann die Formel (ausser dem Werthe 0) nur negative Werthe, die Gleichung also ausser der Auflösung A = 0, B = 0 keine Auflösung haben. Wäre indessen pA > Appx : so ergeben sich die Auflösungen durch Umkehrung der Zeichen der negativen Glieder der vorhergehenden Formel. z. B. für

—    1 A¹ — 5 B¹ + 6 A B

Eine solche Gleichung kann unendlich viel Auflösungen haben. Die Maximalwerthe von q, welche endlich jeden Werth übersteigen, sind die Mittelglieder jeder positiven Horizontalreihe, die Auflösungen für ein gegebenes q liegen daher an den Enden dieser Reihen.

Wenn von den beiden Faktoren p\ und p₂ einer positiv und einer negativ ist, kann die Gleichung q = p A² — p\ B² q- p₂ A B oder = — p A² -f- piB² -f p<i AB unendlich viel Auflösungen haben: immer bildet jedoch jede Horizontalreihe eine Reihe mit anwachsenden und fallenden positiven oder negativen oder positiven und negativen Gliedern, welche endliche Maximen und Minimen durchschreiten und zuletzt in' positiven oder negativen Werthen unausgesetzt wachsen, also für Werthe von q, welche einen gegebenen Betrag nicht überschreiten sollen, immer nur eine endliche bestimmbare Menge von Gliedern enthalten. Da jedoch die Anzahl dieser Horizontalreihen unbeschränkt ist; so kann eine solche Gleichung immerhin unendlich viel Auflösungen haben.

Ich mache darauf aufmerksam, dass jede Horizontalreihe und jede Vertikalreihe eines Ausdruckes von der Form p Ä² -\~pi B² -f- qh AB, welche positive oder negative Werthe die Faktoren p, px p.₂ auch haben mögen, leicht dargestellt werden kann, indem in einer Horizontalreihe, welche im Vertikalabstande B = n\ liegt, die Glieder um die Werthe von p Ą- ni p₂, 3p + nip-i, hp -f nxp₂, 7 p -f nxp₂ . . . und in einer Vertikalreihe, welche in dem Horizontalabstande A = n liegt, um die Werthe

pi + npî , 3^i + np-2 , hpi + np₂ , 7pi + np-i • • •

au

Hl

n = 0128    4

8789    10    11    12

wachsen. Diese Variation findet vom ersten Gliede jeder Reihe statt, kann aber, wie man leicht ersieht, von jedem beliebigen hergestellten Gliede aus ohne die vorhergehenden Glieder seitwärts und abwärts ausgeführt werden.

6.    Dass man auf dem vorstehenden Wege auch die Auflösungen der allgemeineren Gleichung a A² Ą- bB² ~\- c AB -\- d A eB = q finden kann, indem man für jede Horizontalreihe B konstant erhält und A in dem Ausdrucke a A² -f- (c B -f- d) A -f- b B² -j- e B die Werthe 0, 1, 2, 3 ... durchlaufen lässt, für jede Vertikalreihe aber A konstant erhält und B in dem Ausdrucke h B² -f- (cA -j- e) B -)- a A² -f- ^ A durch die Werthe 0, 1, 2, 3 ... variiren lässt, leuchtet ein.

7.    Wären in .der Formel n Ä² -j- b B² = q die Werthe für A, B und q gegeben und die von a und b gesucht; so hätte man es mit einer unbestimmten Gleichung ersten Grades zu thun, welche nach irgend einer der fünf Methoden, welche ich in der „Unbestimmten Analytik“ vorgeführt habe, aufgelös't werden kann. Die in §.28 enthaltene ist die von Euler, die in §. 30 vorgetragene ist die von Bach et auf die Ketten -brüche gestützte, die in §.114 beschriebene ist die von mir aus der Auflösung quadratischer Gleichungen abstrahirte, die in §. 137 vorgeführte ist die von mir auf die Reste der Vielfachen einer Zahl gegründete, und die in §. 141 entwickelte ist die von Cauchy aus den Eigenschaften der Reste der Potenzen einer Zahl abgeleitete. Diese Auflösungen ergeben für a und b alle möglichen positiven und negativen Werthe.

Mit Hülfe der Differenzreihen durch Addition ergeben sich nach dem Obigen die möglichen Werthe von q, jenachdem a oder b positiv oder negativ sein soll, sehr leicht. So erhält man für a 2² -j~ b 32 = a 4 -j- b9, wenn man für a und b positive Werthe verlangt,

Yl\ n

O H IM CC

to

o O) oo a

u a p

H to CO

03 T-I o CO

1—I 03 CO CO

^ co ro a —3 00 CO o

or 4- co ro ^ to co

in h— CO IO W 05 '1 X

4.2² + 1 . 3² = 25.

also z. B. für q = 25

Wenn man dagegen für a einen positiven und für b einen negativen Werth verlangt, würde sich für a 2² — b 3² = a 4 — b 9 in positiven Werthen von a und b folgende Anfangsgruppe von Werthen für q ergeben, aus welcher die negativen Werthe fortgelassen sind.

12

16

20

24

28

11

15

19

10

7 . 2 ² — 2.3² = 10.

also z. B. fiu- q = 10

Für positive Werthe von a und b kann die Gleichung a A² -j- bB² = q nur eine endliche, für einen negativen Werth von a oder b kann sie iedoeh unendlich viel Auflösungen haben.

25

Wenn man nicht die Absicht hat, die Auflösungen der Gleichung a A² -J- bB² — q für .alle unter einem gegebenen Werthe liegenden Werthe von q, sondern nur für einen einzigen gegebenen Werth von q darzustellen; so empfiehlt sich immer die Auflösung nach einem der erstgenannten für unbestimmte Gleichungen gültigen Verfahren. Wäre z. B. a . 4 -[- b . 9 = 25 gegeben, für welche man 4x -(- Î zu schreiben pflegt; so ergiebt das Eulers che Verfahren x — und y = 1 -f- 4 w, worin der Willkürlichen w jeder beliebige positive oder negative ganze Werth gegeben werden kann. Hiernach ist für iv = 0, 1, 2, — 1, — 2

und man erkennt leicht, dass, wenn a und b positiv sein sollen, die Gleichung 4# -f- 9y = 25 nur eine endliche Menge, wenn aber n oder b negativ sein soll, die Gleichung Gleichung 4x— 9 y = 25 unendlich viel leicht darstellbare Auflösungen hat.

4x + 9 y = 25 und die

tr

— 14

13

22

I In—F 4"

IC CD TO CC TC

CT. TT

8. Die Gleichung a A~ -J- bB² -)- c AB = q ist für gegebene A und B und gesuchte a, b, c wie eine unbestimmte Gleichung mit drei Unbekannten zu behandeln. Setzt man für einen der drei Koeffizienten a, b, c, z. B. für c, einen beliebigen ganzen Werth; so ist die Gleichung a A<l -|- bB² = q — cAB — q‘ eine nach Vorstehendem zu lösende unbestimmte Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten a und h. Dass A und B keinen gemeinschaftlichen Faktor haben dürfen, welcher nicht zugleich in q enthalten ist und demnach ausgeschieden werden kann, ist selbstverständlich. Ebenso leuchtet ein, dass jeder andere Werth von c neue Auflösungen herbeiführt.

In der Gleichung (i A² —}— bB² —|— cAB —j— dA —j— ftB = q würden sogar für drei Koeffizienten, z. B. für c, d, e, beliebige Werthe gesetzt werden können, um eine unbestimmte Gleichung u A² -f- b B~ = q‘ mit zwei Unbekannten herbeizuführen.

9. Wenn man nicht beabsichtigt, alle möglichen unter einer bestimmten Grenze liegenden Werthe von q zu ermitteln, für welche q die Form m -\- pn und zugleich die Form Ä¹ -(- p B'¹ mit gegebenem j) hat, sondern nur die Ermittlung von A und B für gegebene Werthe von q und q), also die Auflösung der in Nr. 1 erwähnten viel behandelten Aufgabe anstrebt: so gestatten die obigen Operationen eine erhebliche Abkürzung.

Die Auflösung der Gleichung q — m -j- pn = A¹ p B² erfordert

À —

zwei Bedingungen : erstens, dass

dass m -\- pr = A² ein Quadrat sei, zweitens, dass A² — m

m .

— eine ganze Zahl r oder

A² — m

n — B²

oder dass n —■

n — r — B² ein Quadrat sei.

Hinsichtlich der ersten Bedingung, so sind alle Zahlen A₀, für welche m -f- pro = Ao² und r₀ < p ist, sehr leicht zu finden, indem man durch sukzessive Addition von p> die Werthe m, m -f- p, m -)- 2p. Di -f- dp, ... Di -f~ {p — 1 )p bildet. Nachdem alle diese Werthe von Aq hergestellt sind, werden für jeden derselben die Grössen Ao + p, A{) -f 2 p, A₀ +_ 3p u. s. w. lauter mögliche Werthe von A darstellen, also eine

; so bildet die Differenz

nach der positiven und nach der negativen Seite sich erstreckende erste Differenzreihe bilden. Berechnet man also den nächsten, nach der positiven

Seite liegenden Werth von

(A₀ -j- pf — m Ao¹ — m

(Ao + p)¹ — m

= 2 Ao -j- p das Anfangsglied der zweiten

Differenzreihe und 2p das konstante Glied der dritten Differenzreihe. Die Ermittlung des Werthes von Ao genügt also, um die erste Differenzreihe durch einfache Additionen zu erzeugen. Bezeichnet man die Glieder dieser Reihe mit

. . . C - 2 C-1 Co C\ Ci . . .

Ao¹ —

(indem Co den Werth von

))l

—. ferner Gj den Werth von

(Ao -\-pf — m

u. s. w. darstellt), und subtrahirt dieselben von n, bildet

also die Reihe

-2

-1

n — Co n — C\

(welche auf die positiven Werthe beschränkt werden kann); so liefert dasjenige Glied dieser Reihe, welches ein Quadrat bildet, den Werth von B¹, während der Werth von A¹ oder A (der positiv oder negativ sein kann) aus dem zugehörigen Werthe von C hervorgeht. Da quantitativ

V—

r p

A < \ q und B <

ist ; so hat die Berechnung dieser Reihen

ihre natürliche Grenze. Kömmt unter den Werthen von n — C kein Quadrat vor; so ist die gesuchte Zerlegung von q unmöglich; kommen aber mehrere Quadrate darin vor; so sind mehrere Zerlegungen von q möglich.

Um B. für p = 7 die Zerlegung von 79 = 2 —f— 7.11 zu finden, worin m — 2, n = 11 ist; so kann Ao sowohl den Werth 3, als auch den Werth 4 annehmen, indem man sowohl 2 —)— 1 . 7 = 9 = 3¹, als auch 2 + 2.7 = 16 = 4 ¹ hat. Trotz der Verschiedenheit dieser beiden Werthe von A₀ findet man, dass sie Glieder einundderselben Reihe von C bilden, man hat nämlich für A₀ = 4,

15

Ao¹ 2    ₀ (Ao~\-7)¹ — 2 i n (Aq-\-7)¹ — 2 Ao¹—2

2,    z — — 1/

-3

C-,

-1

Cq

Cs

. . . 41

14    •    1

— 27    —13

17

46

89 . . .

15

29

43

. . . 14

14

14

14

14

14

und demnach für die Werthe von n — C — 11 — C nur die zwei positiven Werthe 10 und 9 aus der Reihe — 78 ...

. . — 30    — 3    10    9    — 6

— 35

wovon nur die beiden positiven Glieder 10 und 9 in Betracht kommen. Hieraus folgt B² = 9, also B — 3 und A = 4. In der That ist 79 = 4² 4- 7 . 3².

Der andere Werth A₀ = 3 liefert dieselbe Reihe der C in umgekehrter Reihenfolge, nämlich als

... C

Co

Ci

C,

17

14

41

— 15

13

27

41

14

14

14

14

und ni — 1, also q = 1 -f- 5 n ergeben sich eben-: von A₀, nämlich A₀ = 1 und A₀ = 4, welche ebenfalls Glieder derselben Reihe, nämlich der Reihe

. . . (

Für p —

falls zwei

Co

Cn

Ci

Ca . . .

16

24

51

27

— 13

10

10

10

10

für

sind, sodass man z. B. für n — 12, also 61 = 1 -f- 5 . 12 n — C = 12 — C die drei positiven Werthe

12

hat, woraus B~ — 9 oder B — 3 und A = 4, mithin 61 = 4 ² -j- 5.32 folgt.

Für q — 81 = 1 —j— 5.16 hat man für C die vorstehende Reihe, also für n — C — 16 — C die vier positiven Werthe 0, 12, 16, 9. Da hiervon drei Zahlen Quadrate darstellen, indem 0 = 0², 16 = 4², 9 = 3² ist; so lässt sich 81 in die drei Formen 9² -f- 5.0². I"² —J— 5.4² und 6² —(— 5.3² zerlegen.

10. Da in der Formel q — in -f- pn für m stets ein Werth genommen werden kann, welcher < p ist; so kommen die Werthe von Ao, welche <p sind, stets paarweise vor: denn wenn Ao ein möglicher Werth ist; so ist auch p—Ao ein solcher. Hieraus folgt, dass man nur die möglichen Werthe von A₀ aufzusuchen braucht, welche

p

< “ sind. Ausserdem aber erkennt man leicht, dass die beiden Werthe

Ao und p — Ao stets derselben Reihe der C angehören, dass es also für diese beiden Werthe der Berechnung nur einer Reihe bedarf.

11. Wenn p und q Primzahlen sind; so muss bekanntlich mein

V — 1

quadratischer Rest nach j> sein. Dem Model p entsprechen -—-—

U

quadratische Reste, welche z. B. für p — 3 den Werth 1, für p — 5 die Werthe 1 und 4, für p = 7 die Werthe 1, 2, 4, für p = 11

die Werthe 1, 3, 4. 5. 9 haben. (Diese quadratischen Reste « von p werden

p-1

bekanntlich durch die Bedingung ermittelt, dass a ²    =1 mod p sei).

'    p — 1

Wenn alsdann A₀ ein möglicher Werth = ——

, also

A₀² — m

eine ganze Zahl ist; so fragt es sich, ob es noch einen oder mehrere

Ange-

Werthe von A₀ geben könne, welche ebenfalls

nommen, Ao D sei ein solcher Werth, also (Ao + B)² — m

A₀² -

P— ¹

sind.

B (2 Ao + B)

eine ganze Zahl; so müsste, da das erste Glied eine solche Zahl ist, eine ganze Zahl sein. Wenn aber Ao    ^ nach

p- 1    n — 1

der Voraussetzung ^ —-— ist; so ist B ^ —-

V -—-—. Demzufolge kann B nicht durch p theilbar sein, es müsste vielmehr 2 Ao B durch p theilbar, also ^ p sein. Alsdann wäre ferner A₀ + —

U

niss der Voraussetzung A₀ -f- B

auch

B{2 Ao -j- B)

— A₀, mithin

~~ und noch mehr Ao A~ B = —. Da dieses Ergeh-

£ —

^    ^ widerspricht; so kann es keinen

P— ¹

zweiten Werth von Ao geben, welcher werthe von p und q nur einen Werth von Ao, welcher

ist; man hat also für Prim-

P

ist,

zu

ermitteln und mit einer einzigen Reihe der C zu operiren.

= t entsprechen müssen, der erste = r ist und dass die

Diese Operation vereinfacht sich, wenn man das Quadrat, welches dem quadratischen Reste m für den Model p äquivalent ist, mit r~ bezeichnet, sodass m = r² modp oder = r²-\-p)S ist, worin r eine ganze Zahl < q) und s eine positive oder negative ganze Zahl ist. Alsdann hat man auch q = r² ps = A² -)- pB². Man findet leicht, dass von den möglichen Werthen von A, welche nun auch der Bedingung A² - r²

folgenden abwechselnd um p— 2r und 2 r wachsen, dass also die für A möglicherweise in Betracht kommenden Werthe die folgenden sind

r p — r p-\-r 2p — r    2p-\-r    3p — r    3p-\-r ...

Hieraus folgt für die obige Reihe der C

A² — r²

= 0 p—2r p-\-2r 4p — 4r 4p-\-4r 'dp — 6r 9p-\- 6r ...

wenn deren erstes

Oberhaupt hat man für zwei benachbarte Glieder,

A — xp — r ist,

Â² — r²

Allgemein, hat man C =

= x²p — 2 xr

Ä² — r²

xp -f- r x²p -f- 2 xr

= pX² -f 2 rx, worin x jeden positiven

ganzen Werth annehmen kann, oder auch = pX² -f- 2 rx, worin x positiv und negativ zu nehmen ist.

Wenn man diese Reihe der C in zwei Reihen zerlegt, von welchen die erste das 1 ste, 3 te, 5te, 7 te . . . Glied der Reihe der C enthält; während die zweite das 2 te, 4 te, 6 te ... Glied der Reihe der C enthält ; so ist das Anfangsglied der ersten Reihe = 0 und ihre Glieder wachsen sukzessiv um die Beträge p -(- 2 r, ‘6 p -f- 2 r, 5p -j- 2 r, 7p -f- 2r . . ., während das Anfangsglied der zweiten Reihe = p — 2r ist und ihre Glieder sukzessiv 7p — 2r ... wachsen. Wenn man die Reihe der A ebenso zerlegt; so ist das Anfangsglied der ersten Reihe = r und das Anfangsglied der zweiten Reihe = p die Glieder sukzessiv um den konstanten Betrag p. Hiernach sind sowohl die Werthe von C, als auch die von A mit grosser Leichtigkeit herzustellen.

um

die Beträge 3 p — 2 r, 5 p — 2 r,

r und in jeder dieser beiden Reihen wachsen

(Die Fortsetzung der Reihe von A nach der negativen Seite erzeugt die negativen Werthe der positiven Seite; die Reihe der C reproduzirt also in der negativen Richtung die positive Seite, kömmt also nicht weiter in Betracht).

Für B ergiebt sich die Bedingung

_ q — A² _ q — r² — (A² — r²)

q — r²

A² - r²

A² -

Subtrahirt man also die vorstehenden Werthe von C —

Ä² — r²

von s ;

so liefert derjenige Werth, welcher ein Quadrat darstellt, einen Werth für B², während A dem zugehörigen Werthe xp -f r entspricht.

Beispielsweise ist für p =11 der quadratische Rest 3 = 5² — 11.2, also r = 5. Die Reihe der C wird danach A² — r²

21

24

64

Für q — 47 = 5² —f— 11.2 ist mithin s = 2 und daher

B² =    2

— 19    ...

11 —5 = 6 ist; so hat

Da in dieser Reihe nur das eine positive Quadrat 1 vorkömmt; so ist B² = 1 und, da hierfür A = p — r man 47 = G² —f— 11 . I².

Anstatt nachzusehen, oh die Reihe von $ — C ein Quadrat B2 enthält, kann man auch nachsehen, ob die Reihe s — B², nämlich die Reihe 8 — 0

welche mit dem Werthe s — 0 = s beginnt und aus der Differenzreihe

— 3

mit grösster Leichtigkeit in der Form s — 1

— 5

zu bilden ist, einen positiven Werth enthält, welcher mit dem Werthe eines C überein stimmt Im vorstehenden Beispiele enthält die Reihe

den Werth 1, welcher mit dem Werthe C — 1 übereinstimmt.

12. Das vorstehende Verfahren ergiebt die Zerfällung einer Primzahl von der Form q — m -j- pn = r² -j- ps in die Form A² -f- pB², wenn diese Zerfällung überhaupt möglich ist, und sie lässt zugleich die etwaige Unzerfällbarkeit erkennen: denn nicht jede Primzahl ist in diese Form zerlegbar. So ist z. B. für p — 11 die Primzahl q = 23 = 1 —J— 11.2 nicht in die Form A² -|- 11 B², auch für p — 5 die⁻P)'im>,add-"iy

auch die Primzahl q = 19 = 4 -f- 5.3 nicht in die Form A² -j- 5 B2 zerlegbar.*) Ist aber eine Primzahl q — m -j- pn in die Form A² -j- p B² zerfällbar ist, so kann sie bekanntlich nur in einziger Weise diese Form annehmen (s. meine „Unbestimmte Analytik“ 154), während manche zusammengesetzte Zahl in mehrfacher Weise, z. B. q = 261 sowohl in 1 -f- 5.32, als auch in 4² -f- 5 . 7², als auch in 9² -(- 5.6², als auch in 16² —j— 5 . I² zerlegt werden kann.

Für gewisse quadratische Formen, insbesondere für die Zerfällung in die Differenz zweier Quadrate A² — Br, ergiebt sich die Einzigkeit für eine Primzahl und die Mehrfachheit für zusammengesetzte Zahlen aus dem Satze : wenn die beiden Faktoren a und b beide paar oder beide unpaar sind, ist stets

q = ab =

So oft also das Produkt q in zwei paare oder zwei unpaare Faktoren zerlegt werden kann, in so viel verschiedenen Formen A² — B² erscheint die Zahl q. Ist q eine unpaare Primzahl ; so ist sie nur in einziger Weise das Produkt ab = q. 1, mithin Differenz der beiden Quadrate

s — B¹ = 2

-18

ł—j—5.44—nicht—m

die Form—A?

a + bV

a — bV

nur

= A² - B²

in einziger Weise die

*) Dm-rh—die Fv kennt im* ,—dann¹ 'die Primmihl 1 i 5 i fl aujUi-ui. <Ua. Form .< ~ 4- 5 /P tiopfällbm¹ iat,—hwehtigc ioh eine in der Sührift

-Die i|midt'iiitinelio /jcrfnlinng ■doy-Pidwimiihlen“ im ................ auf S».- 136 ont-

halten» Boinerlnnig,—indom—nicht die—.Pi'iimnihlw von——Form—ł—I—‘^0 *•. sondern di» von doi¹ fowied—| 40n iir-jene-Form r.erfnllbai¹—bit nem colioinoii.

•_>

Dieser Satz involvirt zugleich den Satz : wenn q das Vierfache eines Produktes zweier beliebigen ganzen Zahlen a und b, also = 4ab ist; so hat man stets

q = 4ab = (a + b)² - (a — bf = A¹ — B²

und zwar nimmt diese Zerlegung ebenso viel verschiedene Formen an.

als die Grösse

— sich in zwei Faktoren a und b zerlegen lässt. 4:

Ebenso steht fest, dass, wenn die Zahl q das Produkt (a Abi)(a    bi)

b i ist,

zweier komplexen Faktoren von der Form a -f- bi und a sie die Summe a² -[- b² zweier Quadrate darstellt, ferner dass die Glieder dieser Summe so viel verschiedene Werthe annehmen können, als die Faktoren von q von vorstehender Form, endlich, dass jede Primzahl q von der Form 4x -j- 1, wie z. B. 5, 13, 17, 29 u. s. w., welche man eine unvollkommene Primzahl nennen kann, ein Produkt der vorstehenden Art in einziger Weise bildet, also stets als Summe zweier Quadrate, und zwar in einziger Weise, dargestellt werden kann, dass aber eine vollkommene Primzahl von der Form 4% -j- 3 nicht die Summe zweier Quadrate sein kann. Wenn die Zahl b eine Primzahl p als Faktor enthält, also = p c ist; so hat man für eine unvollkommene Primzahl    stets    in einziger    Weise q —    a² -f- p² c².    So ist    z. B.    für

p = 5    die    Primzahl    q    =    1 —(— 5 .    8 = 41 =    4‘² —f— 5². 1²,    die

Primzahl    q =    1 —{— 5.36    =    181 =    9² -f- 5².2².    Für p    — 7    ist

die Primzahl q    = 1 +    7 .    28    = 197    = l² -f 7². 2².

In die Form A¹ -(- p B¹ kann manche vollkommene und manche unvollkommene Primzahl von der Form q = m -j- pn, jedoch nur in einziger Weise zerlegt werden. Diese Einzigkeit kann, wie schon erwähnt, nachgewiesen werden. Die von Eisenstein für die Primzahlen von der Form q — m -|- 7 n inaugurirte und von mir in der Schrift über die quadratische Zerfällung der Primzahlen verallgemeinerte Theorie gelangt zu diesem Resultate, indem sie den Werth von A, wenn die Primzahl q = m -j- p n überhaupt in die Form A² -j- p B² zer-fällbar ist, als eine bestimmte Funktion von Binomialkoeffizienten darstellt, was keine mehrfachen Werthe von A zulässt. Durch diese Bestimmtheit der Auflösung unterscheidet sich die letztere Theorie wesentlich von der unbestimmten Analytik und Kongruenztheorie, welche vorzugsweise allgemeine Gesetze aufstellen, ohne die Endwerthe für gegebene Fälle zu entwickeln. Insofern es sich nicht um eine Primzahl q handelt, erfordert die Mehrfachheit der Werthe von A und B, also der Bestand der Gleichungen q — A² -f- pB² = vli² -j- p B{², die Gleichung

r²

A²

AA — A²

B² - B,² =

A{² — r²

oder auch die Gleichung

p (B + B\) (B — Bi) — (Ai -\- A) (Ai — A)

welche unter Umständen durch verschiedene Werthe von A und Ah also auch von B und B\ erfüllt werden kann.

13. Schliesslich bemerke ich. dass sich durch angemessene Variation des Werthes von s in der Form q — r² -]- p 8 für ein gegebenes r und p alle Zahlen q — m A P n — r'²    bestimmen lassen, welche in

die Form A² A P B ² zerfällbar sind, sowie diejenigen, welche es nicht sind. Zu diesem Ende braucht man nur die obige Reihe von C als

u. s. w. zu bilden. Alle hieraus sich ergebenden Zahlen sind mögliche Werthe von s, welche eine in die Form A² A P B ² zerfallbare Zahl q = r A Ps ergeben, während jeder nicht erscheinende Werth von s eine Zahl q bedingt, welche nicht in diese Form zerfällbar ist. Ausserdem lehren diese Reihen, wenn darin ein Werth von s mehrmals vorkömmt, dass die betreffende Zahl q ebenso vielmal in verschiedener Weise in die Form A¹ -j- p B² zerfällt    werden    kann.    So    erhält man z.    13. für

= 1 und p = 5, also für die Zahlen q = 1 —j— 5 s, die Reihen

7    16    24    39    51    . . .

17

25

40

52

55

11    20    28    43

12

16

25

33

48

60

16

19

25

28

23

32

32

41

40

49

55

64

67

76

36

39

43

52

60

75

87

49

52

56

65

73    88    100

9, 11, 12 u. s. w.

in einziger Weise einziger Weise als in zweifacher Weise als

Diese Reihen lehren, dass « nicht die Werthe 2, 5, 6, 10, 13, 14, 15 u. s. w., sondern nur die Werthe 0, 1, 4, 7 annehmen kann, ferner, dass 1 —f- 5.3 = 16 als 4² A 5 • 0² , ebenso 1 —|— 5 . 8 = 41 ur 6² -j- 5 . I² , dass dagegen 1 —J— 5.7 =

6²„-j- 5.0² und als 4² -f- 5 . 2², ferner 1 —f- 5.16 = 81 in dreifacher Weise als * 9² + 5.0² ,    6² -f 5 . 3² und l² + 5.4² in die Form

A² -j^ 5 B² zerlegt werden kann. Die Primzahlen von der Gestalt

1 -j- 5 . 8 . n scheinen sämmtlich in die Form Â¹ -f- 5 B'² zerfallbar zu sein; die zusammengesetzten Zahlen von dieser Gestalt, wie z. B. 1 —|— 5.8. 12 = 481 und 1 —(— 5.8. 14 = 561, sind jedoch nicht sämmtlich in die fragliche Form zerfällbar. Auch sind, wie schon in Nr. 12 erwähnt, nicht alle Primzahlen von der Gestalt 1 -j- 5.4. n, z. B. nicht die Primzahl 1-f- 5.4.11 = 221, in die Form Ä¹ -j- 5B~ zerfällbar (der Werth s = 4.11 = 44 fehlt in der Gruppe der C). Allgemein, hat man

s = y~ - j~ p x¹ -)- 2 r x

worin man für x und y jeden beliebigen positiven oder negativen Werth setzen kann.

Nachtrag zur Theorie der Gleichungen.

Nach Nr. 27 der Schrift ,Das Wesen der Mathematik“ ist das Produkt a ea ' cß '' mit der Summe a cos a -)- a sin « cos ß. i -f- a sin « sin ß. i i\ nicht identisch, sondern ihr nur insofern gleich, als der dem ersten Gliede a cos « noch zukommende Faktor (cos ß vj*- sin ß. i\), welcher eine Wälzung der in der Grundaxe liegenden Linie a cos « um diese Grundaxe anzeigt, also für die Raumanschauung der gegebenen Grösse keine wesentliche Bedeutung hat, weggelassen ist. Bei gewissen Operationen kann dieser Faktor jedoch bedeutsam werden, und ich habe bereits hervorgehoben, dass eine Addition der durch aeat e^" und aien"cß'" dargestellten Grössen nur in ihrer Summenform, also nach Umwandlung der Produkte in Summen der gedachten Art, und dass eine Multiplikation oder Potenzirung solcher Grössen nur in ihrer Form als Produkte, also, wenn sie in Summenform gegeben wären, nach Umwandlung dieser Summen in Produkte geschehen kann.

Ich bemerke nun noch, dass wenn auf die Wälzung der in der Grundaxe liegenden Längeneinheit 1 um diese Grundaxe kein Werth gelegt wird, immerhin 1 . i\ = 1 gesetzt werden kann, dass man also für diese Voraussetzung, indem wir den Faktor e° = 1 ganz bei Seite

A ti 0 i ßi,    o « - A

ei = e e²    = c e

o«

0i,

1 hat. Kömmt

lassen, e

jedoch die Wälzung der Einheit um sich selbst in Betracht; so kann man nur setzen

0/

Oi'i

oi

e eß

o ; -A₍-, — ec ²

dagegen

Für die Werthe von i und i i\ hat man immer

—i

e-

-< f*.

el — e

e-

= iii

Für die negativen Werthe ist

71

e'¹

-ü.< -

e ² e

iii

Die Grösse i zeigt die Drehung von 90 Grad einer in der Grund-axe OX liegenden ungewälzten Einheit 1 um die Höhenaxe OZ wodurch sie in die Richtung der Seitenaxe 0 Y versetzt wird. Die Grösse i\ zeigt die Wälzung von 90 Grad der in der Seitenaxe OY liegenden Einheit i um die Grundaxe OX an, wodurch das Produkt ?7i eine in der Höhenaxe OZ liegende Einheit darstellt. Wird eine in der Grundaxe OX liegende Einheit 1 um 90 Grad gewälzt, so bezeichnet 1 . 2*i = ii eine in der Grundaxe liegende gewälzte Linie, welche durch die Multiplikation mit i in der Ebene OXZ bis in die Höhenaxe OX fortschreitet, sodass das Produkt i\ i dem Produkte i i\ gleich ist.

Auf Grund geometrischer oder räumlicher Anschauung kann man aus den einfachen Grössen 1. i, ii mannichfache Produkte und Potenzen

an,

bilden, unter Anderem die folgenden. Die zweite Potenz von i oder von iy führt immer einen Gegensatz zu

dem Ausgangswerthe herbei, indem — 1 . — 1 = (— l)² = 1, 1 . P = — 1, ï . G² = H- 1 = 1 ist. Die vierte Potenz von i oder von ii hebt diesen Gegensatz wieder auf, führt also zu dem Ausgangswerthe zurück, indem man 1. ?"⁴ = 1 (— 1 )² = 1. I . i\ = (-j- l)² = t^I = 1 hat. Die Bestätigung aller dieser und ähnlicher Sätze ergiebt sich durch Substitution der Potenzwerthe von 1, i, ii. So hat man thatsächlich ( — 1 )² = (en ' )² = <r 71 1 = COS 2 TT -j- sin 2 TT. /

71 . 2

(eV ") _ « ₌

= 1, ferner Ï² — cos tc .f- sin TT.ii = -4- 1

71 . 2

(c² ') = e

71 i

=    - 1, *i

1 u. s. w.

Diese Beziehungen lassen nun sofort erkennen, dass die Gleichung vierten Grades x* — 1 =0 oder xi — 1 ausser den bekannten zwei reellen, in der Grundaxe liegenden Wurzeln 1 und — 1 und den zwei imaginären, in der Seitenaxe liegenden Wurzeln i und — i auch noch die zwei in der Höhenaxe liegenden tertiären Wurzeln i ii und — i i\, sowie die zwei in der Grundaxe liegenden gewälzten tertiären Wurzeln 1 . i\ und — 1 . ?’i oder i\ und — ii, im Ganzen also acht verschiedene Wurzeln hat, wenn man die gewälzten Einheiten ?\ und —i\ als von 1 und — 1 verschiedene Grössen ansieht, sonst aber doch immer sechs verschiedene Wurzeln 1, — 1, i, — i, ii\ , —ii\ und zwei mit 1 und — 1 in der Länge, jedoch nicht in der Wälzung zusammenfallende Wurzeln hat.

Die Bestätigung dieser acht Wurzeln, sowie auch ihre Verschiedenheit als Potenzen von e findet sich, wenn man dafür die vorher genannten Potenzen von e einsetzt. Die zwei reellen Wurzeln 1 und — 1 sind

dann e°* und ent, die    zwei    komplexen Wurzeln i und    — i    sind

— — i

e² und e ² , die vier triplexen Wurzeln i i\ , — i i\ , i\ und — i\ sind

n .

— fl

² , und es ergiebt sich leicht, dass

und e

— i

e² e'² , e² e

die vierte Potenz jeder    dieser    acht verschiedenen Wurzeln    = 1    ist,

dass sie also thatsächlich acht    verschiedene Wurzeln einer    Gleichung

vierten Grades darstellen und dass die vier triplexen Wurzeln ebenso anschauliche Grössen im    Raume, wie die reellen Wurzeln    es in    der

Grundlinie und die komplexen Wurzeln es in der Grundebene sind.

Auf demselben Wege kann man darthun, dass dieselbe Gleichung vierten Grades ausser diesen vier reellen und komplexen Wurzeln und den vier triplexen Wurzeln noch acht quadruplexe, im Ganzen also sechzehn, überhaupt bei der Zulassung fortwährend steigender Werthe von 1, i, ii , i2 , iÿ . . . unendlich viel verschiedene Wurzeln besitzt, deren über die Triplexität hinausgehende Werthe keine geometrische Anschaulichkeit, wohl aber eine bestimmte mathematische Bedeutung haben.

Wenn X\ eine reelle Wurzel einer gegebenen Gleichung n - ten

71 .

Y¹¹

Grades ist ; so ist auch stets die triplexe Grösse X\ e

= Xi ii als

eine Wurzel derselben Gleichung anzusehen, da jede Potenz von e'¹

n n ,

wie e ²

n Tr

,    . n Tr

cos — -.f- sin -—

2 2

Wälzung der in der Grundaxe OX liegenden Längeneinheit um sich seihst hat, die Längen der einzelnen reellen Glieder der gegebenen

• ii immer nur die Bedeutung einer

71 .

...    — ll

Gleichung also durch die Substitution von Xi e²

für X\ nicht geändert werden, mithin auch ihre Summe den früheren Quantitätswerth behält. Jede Gleichung hat also jedenfalls noch ebenso viel triplexe Wurzeln, als sie reelle hat.

Anders ist es, wenn Xi — Xi cos (p    -f-    Xi sin cp    . i eine kom

plexe Wurzel der gegebenen Gleichung xn -)- a\ xn_1 -f- u-2 xn~'² -j- . . . = 0 ist, wras die Erfüllung der beiden Gleichungen

xnx cos n cp -f- «i xnx~x cos in — 1 ) (p -j- a₀ x\~²    cos    (n — 2)    ip    -j-    ...    =    0

x" sin n cp -J- ax x”-¹ sin in — 1) cp -f- a₀ x" ~²    sin    (n — 2)    cp    -f-    ...    =    0

voraussetzt. Jetzt wird eine triplexe Wurzel im Allgemeinen die Form jji e^lil = iji coscpi-\-iji sincpi cosipi .i-\-yi sincpi sinyh. ih haben, worin Xi in iji und (p i in (pi i übergegangen und der neue Exponent tyh ?i hinzugetreten ist. Es giebt jedoch Gleichungen von gewissen speziellen Formen, für welche eine komplexe Wurzel Xi ' sofort die triplexe Wurzel

(fi

X] e e

JT

= Xi cos cp -}- Xi sin cp cos — • i -f- xx sin cp sin

es |

— Xi cos cp Ą- xi sin cp . i ix

bedingt: es sind die Gleichungen, in welchen der Exponent von x von seiner untersten Stufe immer um vier Einheiten aufsteigt oder von seiner obersten Stufe immer um vier Einheiten absteigt, wovon übrigens auch beliebige Glieder fehlen können. Solche Gleichungen wären z. 13.

x⁹ + «i X⁵ + «2 x¹ + a-i x¹⁰ + «i x⁶ -f a.₂ x¹ + «₃

^11 |~    Jß'* —1_    ßß& - |- .

x¹³ -j- ai xÿ -f- a-i x⁵ -f- «₃ x¹ -f- di — 0

Denn die Gleichung n - ten Grades zerfällt für x = X\ cf ' e'¹' '■ in die drei Gleichungen

x“ cos n cp -}- al x"~l cos {n — 1) cp -f- a.₂ x”~² cos (n — 2) 99 —(—    ... =    0

xn. sin n (p cos n y> -f- a₁ xn~x sin in — l) cp cos in — 1) y>

xsin (n — 2) (p cos (n — 2) y> -f-,... = 0

xn. sin n cp sin n xp -f- a l a¹''“¹ sin (n ■— 1 ) cp sin in — 1) ip

-)- ff., x"~² sin {n — 2) cp sin in — 2) yx -f- ... = 0

und wenn die Exponenten von X\ immer um vier Einheiten abnehmen, werden diese Gleichungen

a?" cos n cp -(- ff₄ x,‘~i cos in — 4) cp -f- ...

x" sin n cp cos n xp -f- «₄ x”~l sin in — 4) cp cos in — 4) xp -(-    ...    =    ()

x" sin n cp sin nxp -\-ai x"~i sin in-^-4) cp sin in — 4) xp +    ...    =    0

Die erste dieser drei Gleichungen ist von xp unabhängig und bleibt

JT

der früheren ersten gleich. Ist nun y> = — ; so werden in der zweiten Gleichung die Kosinus einander gleich, d. h. man hat

in — 4) je

cos —

cos

cos

in — 8 )jt

etc.

und in der dritten Gleichung ist . n Jr

sm- = sin

in — 4) JT

sin

in — 8) je

etc.

Werden aber diese gleichen Faktoren aus der zweiten und dritten Gleichung ausgeschieden ; so werden beide Gleichungen identisch und der früheren zweiten gleich, sie gehen mithin beide durch den Werth von X\ und cp, welcher die komplexe Wurzel Xi eV¹ bedingt, in Erfüllung. . n .

(f 1    — /1

Die Gi’össe X\ e e'~

ist mithin eine triplexe Wurzel der gegebenen Gleichung. Gleichung hat also ebenso viel triplexe Wurzeln von der Form Xi cos cp -\- X\ sin cp . iix , als sie komplexe Wurzeln von der Form X\ cos cp -f- X\ sin cp . i hat, deren wesentliche Verschiedenheit als Kaumgrössen auf der Hand liegt.

erfüllt daher die letzteren drei Gleichungen,

Diese

Für die allgemeine Gleichung stehen die komplexen und die tri-plexen Wurzeln nicht in der eben gedachten Beziehung: die Werthe der drei Unbekannten X\ , (p, %p für eine triplexe Wurzel sind alsdann aus den drei zuerst genannten Gleichungen abzuleiten, und alle drei Unbekannten werden bestimmte Werthe annehmen, wenn für die beiden Unbekannten X\ , cp die vorher genannten zwei Gleichungen erfüllt werden können, wenn es also eine komplexe Wurzel giebt.

Beachtenswerth ist noch, dass die triplexen Wurzeln ebenso wie die komplexen paarweise Vorkommen, indem, wenn Xi ' e^u eine triplexe Wurzel ist, auch Xi e?¹ e~eine solche sein wird, da die Werthe Xi , cp, — ip die drei in Bede stehenden Gleichungen ebenso gut erfüllen, wie die Werthe X\ , cp, ip.

¹

p = 14, mithin folgende Differenzrechnung

Die Pliönixzahlen.

1. Die „ Braunschweigischen Anzeigen“ vom 22. Juni 1896 besprechen nach der „Romanwelt“ (Heft 84. dritter Jahrgang) unter dem Titel „Eine merkwürdige Zahl“ eine angeblich aus einem verschollenen englischen Büchlein: „Short cuts in arithmetic and curious calculations“ entnommene Zahl, welche eine Phönixzahl genannt wird, weil sie wie der wunderbare Vogel Phönix aus der Asche immer wieder ersteht, aus allen Multiplikationsoperationen, die man mit ihr vornimmt, immer wieder zum Vorschein kömmt. Als solche Phönixzahl wird die 18-zifferige Zahl

526 315 789 473 684 210

auf geführt und es wird bemerkt, dass sich durch Multiplikation mit 2 die Zahl

1 052 631 578 947 368 420

durch Multiplikation mit 3 die Zahl

1 578 947 368 421 052 630

durch Multiplikation mit 5 oder 7 ebenfalls eine aus denselben Ziffern und Gruppen gebildete Zahl einstelle.

Für Multiplikationen mit einziffrigen Faktoren 1. 2, 3, ... 9 findet allerdings die behauptete Wiederkehr statt, für zwei- und mehr-ziffrige Faktoren findet sie jedoch im Allgemeinen nicht statt: denn wie . der Artikel in dem genannten Blatte selbst anführt, ergiebt die Multiplikation mit 24 die Zahl

12 631 578 947 368 421 040

welche durchaus nicht aus den Ziffern der gegebenen Zahl besteht, welcher vielmehr eine Ziffer 5 fehlt, während sie die drei Ziffern 1, 0. 4 zuviel besitzt. Diese Abweichung von der als merkwürdig angekündigten Eigenschaft wird damit beschönigt, dass die fehlenden Ziffern dieselbe Summe bilden wie die überflüssigen Ziffern, indem man 5 = 1 —|— 0 —4-hat. Das Nämliche soll sich bei der Multiplikation mit zusammengesetzteren Faktoren ereignen, würde aber, wenn es sich bewahrheitete, die behauptete Merkwürdigkeit vollständig aufheben und die Phönixnatur der gegebenen Zahl in die Eigenschaft verwandeln, dass die Summe der Ziffern eines aus dieser Zahl gebildeten Produktes einen konstanten

Werth hat, während die Ziffern selbst verschiedentlich varnren können. Das hier in Betracht kommende mathematische Gesetz ergiebt sich folgendermaassen.

2. Die gewöhnliche Multiplikation einer dem Dezimalsysteme angehörigen Zahl wie edc,ba mit einem einziffrigen Faktor x beginnt an dev am weitesten rechts stehenden Anfangsziffer a und schreitet von rechts nach links in der Weise vor, dass man die erste Ziffer a des Multiplikands mit x multiplizirt,    das Ergebniss    a . x    in die    Form

n . 10 —(— bringt, worin (ix einen    der 10 Werthe    0, 1,    2, ...    9 und

n einen der 9 Werthe 0, 1, 2, ... 8 hat (indem der grösstmögliche Werth von ax — 9.9 = 81 = 8 . 10 —(— 1 ist, also den Betrag 9 . 10 -j- «1 nicht erreichen kann), dass man dann a\ als Anfangsglied des gesuchten Produktes niederschreibt und die Zahl n zu der weiter folgenden Multiplikation der zweiten Ziffer h mit X, also zu h . x, addirt, was die Grösse b . x -f- n in der Form n\ .    10 -j- bx liefert,    welche hx als    zweite

Ziffer des gesuchten Produktes und    nx als den der dritten    Multiplikation

c . X hinzuzufügenden Werth ergiebt. Die Fortsetzung dieser Operation schliesst mit einer endlichen Ziffernreihe ab. Erzeugt, die letzte Ziffer e des Multiplikands mit ihrem Addend eine einziffrige Zahl ex, ist also in der Summe e . x -j- n% —    . 10 -f- ex die Grösse ri\ — 0: so ist ex

die Endziffer des gesuchten Produktes: ist jedoch W4 grösser als 0; so schliesst nicht ex, sondern ex das Produkt, Will man die Addenden n, nx, z?2 . . . aus besonderen Gründen überblicken; so kann man die Operation edc,ba X x in die Form

n₂

tu

n± e\ d\ Ci bx «1

stellen, worin w 4 und auch manche andere der Grössen n, rix , n-i . . . gleich Null sein kann. Beispielsweise hat man

"M O

4 1 4,7 2

und

CI IC

6 2 8 3 2

3. Die gewöhnliche Division einer als Dividend gegebenen Zahl ab,cde durch einen ein zittrigen Divisor x beginnt im links liegenden Endpunkte a des Dividends und schreitet von links nach rechts folgen der-maassen vor. Man dividirt die erste Ziffer a durch x und stellt sie in die Form a = cix . x -(- n, worin a\ . x das grösste in a enthaltene Vielfache von x und daher n < 10 ist, nimmt alsdann U\ zur ersten Ziffer des gesuchten Quotienten, bildet darauf aus n und dem zweiten Gliede b des Dividends die Grösse n. 10 -4- b oder in Dezimalform nb,

dividirt dieselbe durch x und stellt sie in die Form nh = !>i . x -f- n-₂, worin h\ . x das grösste in n h enthaltene Vielfache von x ist. Hierdurch ergiebt sich die zweite Ziffer hi des gesuchten Quotienten und für die fernere Operation die Grösse und n-₂ . 10 -j- c. Die Fortsetzung dieser Operation wird entweder mit einer endlichen Ziffernreihe ab-schliessen, oder sie wird eine unendliche periodische Ziffernreihe bilden, welche sich aus dem gegebenen Dividend dadurch bildet, dass demselben unausgesetzt Nullglieder zufügt, also ab,cde00Q0 ... schreibt. Wenn die Grössen n, n-\ , n-> . . . zu gewissen Reflexionen dienen sollen, kann man die Operation ah,cde : x in die Form

man

OS

S *S-

St

K O

* o

s O s «i

(( i 1)

Ci dx e-i f\ Qi Ih . . .

stellen. Beispielsweise hat man für den Divisor x = 3 die aufgehende Division

4, 7 2

168,24

und die nicht aufgehende Division

CI to

tc

1.0

to

1 6 8,2 3 6 6 6...

sondern statt dessen

4. Neben der in Nr. 2 und 3 erörterten gewöhnlichen Multiplikation und Division ziehen wir jetzt unter dem Namen der erzeugenden Multiplikation und Division zwei Operationen in Betracht, hei welchen zwar ein bestimmter Multiplikator oder Divisor x, aber kein geschlossener Multiplikand oder Dividend eine einziffrige Zahl a mit der Bedingung gegeben ist, dass a als die erste Ziffer der zu bildenden B ei he gelte und dass mit der Grösse x zunächst auf a, alsdann aber immer auf die Anfangsziffer des unmittelbar vorher erzeugten Produktes oder Quotienten nach den Kegeln der gewöhnlichen Multiplikation oder Division unter gehöriger Berücksichtigung der sich einstellenden Addenden eingewirkt werde. Es leuchtet ein, dass hierdurch stets eine unendliche periodische Zahlenreihe entstehen muss, welche wir nachstehend näher untersuchen werden. Von dieser Untersuchung schliessen wir die Fälle aus, wo x — 0 oder = 1 ist, weil x — 0 nur eine aus lauter Nullen bestehende Reihe und x — \ nur eine aus lauter dem a gleichen Ziffern bestehende Reihe ergeben würde. Wir ziehen also nur die Werthe x = 2. 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9 in Betracht. Ebenso ist der Fall auszuschliessen, wo die Anfangsziffer a — 0 sein soll, weil hieraus nur eine Reihe von lauter Nullziffern entstehen würde.

5*

5. Im erzeugenden Multiplikationsprozesse liefert der Faktor X — 2, wenn <t = 1 genommen wird, die unendliche Reihe

liii

...42 1

05 2 6 3 1578 9 47368421

nach 18 Gliedern wiederholt sich das erste Glied 1 und damit alle 18 Glieder: die unendliche Reihe ist also periodisch und ihre Periode ist 18-gliedrig. Man erkennt in dieser Periode, die wir in zwei vertikale Striche eingeschlossen haben, die obige P h ö n i x z ah 1, bei welcher jedoch die 0 nicht das Anfangs-, sondern das Endglied bildet. (Die mit dem Anfangsgliede 0 geschriebene Zahl ist eine unrichtige Phönixzahl, welche den wahren Zahlengesetzen nicht entspricht. Aus °0 kann keine Periode entspringen, da x . °0 stets = °0 ist, also die entstehende Periode nur . . . 0000 sein kann. Will man einen Nullwerth zum Anfangsgliede; so muss dieses Glied nicht = °0, sondern = L0 gesetzt werden, wodurch stets das zweite Glied x. 0 -j- 1 = 1 wird). Die 18 Ziffern dieser Zahl siud, wenn man den vor jeder Ziffer verzeichneten Addend, der entweder = 0, oder = 1 ist, mit berücksichtigt, folgende 9 einfachen (dem Addend 0 entsprechenden) Zahlen

1 2 3 4 5 6 7 8 9

17

"T CO

und folgende 9 mit dem Addend 1 behaftete Zahlen *0    *1    ]2

17

14

= 10    11    12

ln der ersten Gruppe fehlt die Zahl 0 = °0, weil dieselbe durch den Faktor 2 aus keiner der vorhergehenden Zahlen erzeugt werden kann, da 2.5

10 = ¹0, nicht aber — °0 ist, also eine einfache 0, welche 2.0 = 0 = °0 ergeben könnte, nicht Vorkommen kann, vielmehr aus der Anfangsziffer 0 nur die Reihe . . . 0000 erzeugen könnte. In der zweiten Gruppe fehlt die Zahl x9 = 19, weil dieselbe nur aus einer vorhergehenden gleichen Zahl x9 entstehen und nur eine gleiche nachfolgende gleiche Zahl H) erzeugen könnte, mithin nicht aus der Anfangsziffer 9, sondern nur aus ¹9 entspringen und nur die Reihe . . . x9 J9 x9 ¹9 erzeugen würde. Da hiernach nur die einfachen Ziffern 1, 2, ... 9 und nur die mit dem Addend 1 verbundenen Ziffern x0, 4, ... x8 möglich sind; so muss in dem durch den Faktor 2 erzeugten Multiplikationsprozesse die Anfangsziffer sich nothwendig wiederholen, die entstehende Zahl m u s s daher eine periodische sein, also einen bestimmten Abschnitt einer unendlichen periodischen Reihe bilden. Die Summe der 18 = 2.9 Glieder dieses periodischen Abschnittes

ist (1 + 2 + 3+,... +9)-f (0 + 1 + 2+ ... +8) = 45 + 36 = 81

oder == 9.9.

Beginnt man den Multiplikationsprozess des Faktors 2 nicht wie vorstehend mit der Ziffer 1, sondern mit irgend einer anderen der eben beschriebenen 18 Zahlen; so reproduzirt sich offenbar genau dieselbe Phönixzahl von einem anderen Anfangspunkte aus. Beginnt man z. B. statt mit der einfachen 1 = °1 mit der zusammengesetzten Zahl ¹1 : so ergiebt sich oder beginnt man mit der einfachen Zahl 3 = °3 ; so kömmt

i i i

... 2 6 3

157894736842105 2 631

Hiernach ist es gleichgültig, welche der bezeichneten 18 Zahlen man zum Anfangsgliede für die erzeugende Multiplikation mit 2 nimmt; es ergiebt sich stets dieselbe unendliche Reihe, worin die erzeugte 18 - stellige Reihe eine Periode bildet, die der zuerst gebildeten Phönixzahl entspricht, wenn man dieselbe an derjenigen Stelle beginnt, wo das angenommene Anfangsglied liegt, und bei Erreichung der Endziffer jener Phönixzahl deren Anfangsziffern folgen lässt.

6. Wenn man die mit der Ziffer 1 beginnende, durch den Faktor 2 erzeugte Phönixzahl mit irgend einer der darin enthaltenen einfachen Zahlen 1, 2, 8, ... 9 oder mit irgend einer der darin enthaltenen zusammengesetzten Zahlen = 10, ¹1 = 11, *2 = 12, *3 = 13, *4 = 14, x5 = 15, x6 = 16, x7 = 17, *8 = 18, jedoch nicht mit einer nicht darin enthaltenen Zahl wie ¹9 = 19, ²4 = 24, ³¹7 = 317

beginnende Reihe ... 1 5 7 8 9 4 7, das vollständige

u. s. w. nach den Regeln der gewöhnlichen Multiplikation multiplizirt; so bildet das Produkt stets eine 18-stellige Periode der in Rede stehenden unendlichen periodischen Zahl, enthält also alle Ziffern der Phönixzahl in gleicher Reihenfolge von einer bestimmten Stelle aus. Diese Stelle der Phönixzahl ist diejenige, wo der gewählte Faktor x als °a oder la liegt. Multipliziren wir z. B. mit x — 7 ; so ergiebt sich die mit

Produkt ist also

Multipliziren wir dagegen mit x7 = 17 ; so ergiebt sich die mit '7 beginnende Reihe

89473684 2 105 2 6 3 1 5 7 |

oc

cc

GC

IsL,

io

to

cc

CO

Den (4rund dieser Reproduktion der ursprünglichen Phönixzahl werden wir in Nr. 15 näher betrachten.

7. Wenn der Faktor x keine der in der Phönixzahl enthaltenen Ziffern, sondern eine nicht darin enthaltene Zahl, z. B. 24 ist, so entsteht, wie schon in Nr. 1 erwähnt ist, nicht wieder die Phönixzahl, sondern eine davon verschiedene Zahl mit mehr als 18 Ziffern. In dieser Zahl erscheinen zum Theil Gruppen der Phönixzahl, zum Theil aber auch Gruppen, welche in der Phönixzahl nicht enthalten sind. Die Summe dieser neuen Ziffern ist im vorstehenden Falle der Summe der fehlenden Ziffern gleich: Die Multiplikation mit einer zusammengesetzten Zahl wie z. B. 2753 kann auf die Addition des 3-fachen, des 5-fachen, des 7-fachen und des 2-fachen der Phönixzahl unter Vorrückung des 5-fachen um eine Stelle, des 7-fachen um zwei Stellen, des 2-fachen um drei Stellen zurückgeführt werden, und diese Operation lässt deutlich die Formungleichheit des Produktes neben der Gleichheit der Ziffern

summe erkennen.

Als einfaches Beispiel stellen wir nachstehend das

1001-fache der Phönixzahl dar: dasselbe ist

OT

IC

Ol o

CO

d i-i

OT Ol

t-H CO

iO Ol>

l>-

oi he

4— CC

ro o:

X)

INC

5 2 6 8 4 2 1 0 5 2 631 5 789421

Diese Zahl hat 20 Stellen, sie hat auch die der Phönixzahl angehönge Gruppe 68 ... 94, sie hat aber ausserdem die Ziffern 1 2 2 5, während ihr die Gruppe 78 fehlt. Da 1 —f- 2 —j— 2 —|— 5 == 7 —3 = 10 ist: so hat auch in diesem Falle die neue Zahl die Ziffernsumme 81 der Phönixzahl.

Da jedes Produkt der Phönixzahl mit einer einstelligen Zahl dieselbe Periode darstellt, wie die Phönixzahl selbst; so erscheint jedes Produkt der Phönixzahl mit einer zusammengesetzten Zahl als eine Summe von vorgeschobenen gleichen Perioden, welche sich nur durch die Anfangszittern unterscheiden. So ist z. B. das 24-fache der Phönixzahl die nachstehende Summe

(M O

IO o

Ol

OO I C

h-¹ Ol

OC

oi i-

CO A-

OC CO

A- O.

1263157894736842104 mit der konstanten Ziffernsumme 81.

Dass die Ziffernsumme jedes Produktes der Phönixzahl mit einer jeden zusammengesetzten Zahl konstant = 81 ist, ergiebt sich daraus, dass, wenn ... cba und . . . C\b\d\ die von irgend einer Stelle a und von irgend einer anderen Stelle ü\ auf einander folgenden Ziffern der Phönixzahl sind, die Summen a + ah b + b\, c + C\ u. s. w. unter Berücksichtigung der erscheinenden und auf die nächste Summe zu übertragenden Addenden eine Ziffernreihe ergeben, welche mit der Phönixzahl von der der Summe a + d\ entsprechenden Stelle aus identisch ist. Nimmt man z. B. a = 1 und d\ = 7 ; so erhält man folgende Summen

3, 8 + 8 + 1 = 4, 7 + 6 + 1

| 7 —j— 1 = 8, 4 + 2 =    6, 9 —f- 4

7 + 1 = 8 etc.

3 + 0 + 1 = 4,

Die hierdurch erzeugte Ziffernreihe

| 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 | entspricht genau der Phönixzahl, hat also die Ziffernsumme 81. Nun stellt die mit 7 beginnende Periode das 7 - fache der mit 1 beginnenden Periode dar; das 7 - fache der Phönixzahl hat also dieselbe Ziffernsumme, wie das 1 - fache, überhaupt bilden, wenn x und y zwei einfache Ziffern sind, das X - fache und das //-fache gleiche Gruppen mit gleichen Zitternsummen, wie schon aus Nr. 6 hervorgeht.

Bei einer Multiplikation mit einer mehrziffrigen, in der Phönixzahl nicht enthaltenen Zahl, wie vorstehend mit 24 = 20 -f- 4 kömmt nun das 4 - fache und das um eine Stelle vorgeschobene 2 - fache der Phönixzahl in Betracht. Hierdurch stellen sich die beiden Ziffern 8 und 2 übereinander, bedingen also, wenn die neben der 8 rechts stehende Ziffer 4 vorläufig ausser Acht gelassen wird, durch die Addition der folgenden übereinander stehenden Ziffern die Summirung des 8-fachen und des 2 - fachen der Phönixzahl, was nach der letzten Erörterung eine der Phönixzahl gleiche Ziffernreihe ergeben würde, falls jede der beiden Reihen ihre vollzähligen 18 Ziffern besässe. Der obersten Reihe fehlt jedoch die 4 und der unteren Reihe die 1, indem nur die Theile

2 1

0 5

der vollständigen Reihen der letzteren Bedingung entsprechen. Die Ziffernsumme dieses Theiles ist daher etwas kleiner als 81, und zwar um den Betrag der beiden unberücksichtigt gebliebenen Ziffern 4 und 1. Indem diese beiden Ziffern am Anfänge und Ende der Gesammtsumme hinzutreten, decken sie die fehlende Ziffer 5 = 1 —(— 4 der Phönixzahl, machen aber das Produkt um eine Ziffer länger als die Phönixzahl und dieser ungleich.

Nur wenn der zusammengesetzte Faktor der Phönixreihe angehört, wie z. B. *7 = 17, bleibt Periodizität und Ziffernsumme ungeändert, indem die Endziffer 0 der Phönixreihe die Verlängerung der Reihe verhütet.

8. Der Faktor x — 8 liefert im erzeugenden Multiplikationsprozess aus dem Anfangsgliede a = 1 eine ganz andere Phönixzahl, als der Faktor 2, nämlich folgende 28-zittrige Zahl:

12 2

1 | 1 1 2 2 12 1

...93110344827586206896551724137931

Dieselbe enthält die Ziffern

9 . 14.

Auch    diese    Zahl, welche    eine 28-gliedrige    Strecke einer unend

lichen periodischen Zahl darstellt, liefert durch gewöhnliche Multiplikation mit einer der darin enthaltenen Zahlen x, d. h. mit einer der Zahlen 1, 2, 3, . . . 9 oder 10, 11, 12, ... 19 oder 20, 21, 22, . . . 28 dieselbe Reihe von demjenigen Anfangspunkte aus, welcher = x ist. So ergiebt z. B. der Faktor x = 7 die Reihe

...8965517

welche die mit °7 beginnende 28-ziffrige obige Phönixzahl ist.

gruppe.

Die Multiplikation mit einer nicht in der Phönixzahl enthaltenen Zahl liefert auch hier eine der Phönixzahl nicht ganz gleiche Ziffern-aber eine Reihe von konstanter Ziffer 11 summe 126.

9. Der Faktor x — 4 liefert durch den erzeugenden Multiplikationsprozess keine Phönixzahl, sondern die 6-zittrige Zahl

tc IC

. . . 4 10

mit der Ziffernsumme 18. Diese Zahl enthält nur die Ziffern

1    4

O

l-i Ol

⁴6

²5 ist also unvollständig. Nur das 1-fache und das 4-fache dieser Zahl zeigt dieselbe Gruppe, jedes andere Vielfache weicht davon ab, und die Ziffernsummen variiren zwischen den Werthen 18, 27, 36.

10. Der I aktor x — 5 erzeugt ebenfalls keine Phönixzahl, sondern eine 42-zittrige unvollständige Zahl

IC

OC' OC

co XI

■^1 tc

IO

t-H

, ⁴2 fehlen, was zur Folge hat, , 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 9-faches, aber

189

welcher die Glieder 7, *4, "1, “8, dass sich jene Zahl zwar durch ihr nicht durch ihr 7-taches reproduzirt, das Letztere vielmehr die 6 - ziffrige Zahl 142 857 hervorbringt, sodass 7 solcher 6-zift'rigen Perioden die Länge der ersten 42 - zittrigen Zahl ergeben. Ebensowenig ergiebt das 14-, 21-, 28-, 35- und 42-fache die Phönixzahl. Es ist jedoch bemerkens-werth, dass die Ziffernsumme der 7 Perioden des 7-fachen konstant 3.9.7 bleibt.

11. Der Faktor 6 erzeugt wiederum eine vollständige 58-ziffrige Phönixzahl, welche aus folgenden beiden Strecken besteht.

CO CO

OC

tc

cc

Ci rf-

tc

t-H

h-¹ oo

tc

oc

Ci

Oi

3132124154

. . . 6 6 1 | O 1 6 9 4915254237288135593 2 203 Dieselbe enthält die Ziffern

©*    ** W tO H-*

O O O O O

H rH t-H r-H t-H t-H h ^    05 ^ 15

4 CC w M

ic tc tc rc tc tc

CO CO CO co co cc h <rq co -h io

I>- I>- [>•    t^»

»H    CO    *■+    iO

ÎO    0    C    C

ł-1    d    co    ^    »c

O    O    O    IO

r-t    oi    co    ^    »o

X OO OO X CO X co ^ ic

9 . 29.

mit der Ziffernsumme 9 -f- 10 -j- 10 -f- 10 -j- 10 -j- 9 = 261 Jedes Produkt dieser Zahl mit einer Zahl x, welche = 1, 2, 3, . . . 9, 10, 11, 12, ... 19, 20, 21, ... 29, 30, 31, ... 39, 40, 41,

49, 50, 51, ... 58 ist, liefert dieselbe 58-ziffrige Periode. Das Produkt mit jeder beliebigen Zahl zeigt aber die konstante Ziffernsumme 261.

12.    Die Faktoren 7, 8, 9 erzeugen keine Phönixzahl.

13.    Ausser den einzittrigen Faktoren 2, 3, 6 erzeugen aber manche mehrziffrigen Faktoren vollständige Phönixzahlen. Der Faktor 10 ergiebt

die Reihe ... 010101. also keine Phönixzahl. A ohl aber erzeugt der Faktor 11 eine solche Zahl von folgenden 108 Ziffern

•M —T

»o GO

4— os

CT. **

3    1    1

5 3 2 1 1!

2 1 1 ...3211

Ox

10 184312 10 276

00917431192660550458

Die Faktoren 12, 13, 14 erzeugen keine vollständigen Phönixzahlen, wohl aber liefert der Faktor 15 die nachstehende 148-ziffrige Phönixzahl

14    6

9 1

...51

8    5    10    13    1    4    11    7    2 10

9    8 65771812080 5 3691275

7    10 14 11 14 12

16107382550335570469

10    10 1

00671 140939597 3 15436 2 4

9    8    11 10    2    12    1    3    1    12

1    1    11    5    12    3    8    7

5    5    8    8    10

261    14    5    14    8    14    10    4286593629

Aus den Faktoren 16, 17 entspringen keine vollständigen Phönixzahlen , wohl aber aus dem Faktor 18 die nachstehende 17 8 - ziffrige Phönixzahl.

15

zr *■

oc g

- i-i

*■

5 8 1 I

4 11 4 10 12 17 U 5 4 7    4 4 0 8 11 6 12 15 12 2 9 1

07262569832 402 2 846 3 6871

9    9

19    3

5 14 16 5 5 17

6    15    9

8 9 3

oc *

15

îo O

cc

C'l —H

3    2    4    5 16

78212290502793

2    2    3    13 5    3 15 7    6 10 13 9    7    3 16

2    5 15 8 16 2 11 3

631284916201117318435754

3    12 13 10 17 13 13 11 9    6 11 5

OC CO

O oo

16    4    13    6    13    7    5

4692737430167597765 3

7 16    1    1    11    2    8    9    4    9    2    7    17 11 11 8 14

1 12 12

720670391061452513966

10 10 15 11 10 16 3    3 14 15 13 12 1 17 8 17 12 3

0055865921787 70949

14. Aus Vorstehendem folgt, dass es nicht eine, sondern unendlich viel vollständige Phönixzahlen giebt. Eine solche, aus dem beliebigen einziffrigen oder mehrziffrigen Faktor x erzeugte Zahl muss folgende

den daneben bemerkten Ziffernzahlen und Ziffernsunnnen

Glieder nut enthalten :

Ziöerii-

zahl

Ziffern-

summe

c:

°3    . .

°9

45

x2

x3 . . .

x9

10

45

io

10

45

-²o

-²1

¹0

-X1

x — 2 • > x-l₂

.»•

■8

*~²9

*-*8

O Ci

»o o

CO

9 (6.x — 1)

10 — 2

So hat z. 13. die aus dem Faktor 11 gebildete Phönixzahl die Ziffernzahl 10.11 — 2 = 108 und die Ziffernsumme 9(5 . 11 — 1) = 486; die aus dem Faktor 15 gebildete Phönixzahl hat die Ziffernzahl 10.15 — 2 = 148 und die Ziffernsumme 9(5 . 15 — 1) = 666; die aus dem Faktor 18 gebildete Phönixzahl hat die Ziffernzahl 10.18 — 2 = 178 und die Ziffernsumme 9(5. 18 — 1) = 801.

Dass die durch den Bildungsprozess der Phönixzahl entstehenden Addenden nur die Werthe 0, 1, 2, . . . x — 1 annehmen können, leuchtet ein.

Wir behaupten nun, dass die gewöhnliche Multiplikation einer jeden (aus der Einheit 1 mittelst irgend eines Faktors durch erzeugende Multiplikation gebildeten) vollständigen oder unvollständigen Phönixzahl mit einer in der Phönixzahl vorkommenden Zahl, welche die Form °a — a, oder la — 10 -f- a, oder ² a = 20 —}-a, oder allgemein, na — 10.W -f- a haben wird, die gegebene Phönixzahl oder vielmehr die Periode, welcher die Phönixzahl angehört, von der Stelle na wiedererzeugt, und dass eine vollständige Phönixzahl durch die gewöhnliche Multiplikation mit jeder beliebigen Zahl die ursprüngliche Ziffern-s u m m e behält. Den Beweis dieser beiden Sätze erbringe ich in den nachstehenden Nummern, hebe jedoch nachdrücklich hervor, dass, weil die Zahl x~¹⁽.) kein Glied der Phönixzahl ist, das \ (x — 1)10 -j- 9 ]-fache der Phönixzahl und jedes Vielfache davon nicht die Periode der Phönixzahl, sondern stets die Periode ... 9 9 9 9 9, welche mit gewissen Ziffern schliesst, und wenn die Schlussziffern sämmtlich = 9 sind, die Ziffernsumme x.9(6x— 1) hat, welche das x - fache der Ziffernsumme der Phönixzahl ausmacht. So ist für die aus dem Faktor x — 2 entspringende Phönixzahl das x9 = 19-fache und jedes Auel-fache davon, also auch das 38-fache, das 57-fache u. s. w., für die aus dem Faktor x = 3 entspringende Phönixzahl das ²9 = 29-fache, das 58-fache u. s. w., für die aus dem Faktor x = 6 entspringende Phönixzahl das ⁵9 = 59-fache, das 118-fache u. s. w. von dem vorstehenden Gesetze ausgeschlossen.

15. Zum Beweise der Konstanz der Periodizität einer Phönixzahl bei der gewöhnlichen Multiplikation mit einer in ihr enthaltenen Zahl vergegenwärtige man sich zuvörderst, dass die Ziffern einer in Dezimalform geschriebenen Zahl nach ihrem Abstande vom Anfangsgliede das 1-fache, das 10-fache, das 100-fache u. s. w. ihres Werthes darstellen, und dass diese Werthe bei der Erzeugung einer Phönixzahl aus der Einheit 1 mittelst des Faktors a das 1 - fache von 1, das 10 - fache von a, das 100-fache von a², das 1000-fache von a³ u. s. w. bedeuten, dass also eine solche Zahl, wenn man 1 = 10°, bezw. = a° setzt, die Summen . . . -|- a³ . 10³ -j- a². 10² —}— «¹. 10¹ —f- a° . 10°

Entwickelt man also die Potenzen von a in Dezimalform,

darstellt.

... «3 (h ci\ hat, . .    et² — ... 0₃ b-2 bi, a³ —    . c₃c₂ch

schreibt also, wenn a die allgemeine Form a — nx 1 = 1, a

«⁴ = . . . d₃ d<i dy u. s. w. ; so ergiebt sich die Phönixzahl, indem man diese Potenzen unter einander setzt, aber jede folgende um eine Stelle nach links verrückt, als die Summe

«4    (ls    d‘2 d\

n\

«a >12

. . . Ws W<2 ttli Gi

So findet sich z. B. die durch den Faktor a — 2 aus der Einheit gebildete und in Nr. 5 vorgeführte Phönixzahl durch die Potenzen von 2 durch folgende Summirung.

IC

CT cc

rH Ol »O

SO CO

© © CC OC'

CI © © -4 -

tc © ©

OC tc CT

tc CT h-*-

© IC

oc ©

cc

tc

INS

4-

i-

110 5 2 6 8 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 7 Betrachten wir diese Summe von irgend einer Stelle, z. B. von der Stelle 4 -4— 3 = 7 = °7 aus; so entstehen die folgenden Glieder offen-

bar durch das 2 - fache der sukzessiven Glieder 7, 4, 9. 8, 7, 5, 1 u. s. w., nämlich aus den Werthen 2.7 = 14, 2.4 = 8, 2.9 = 18, 2.7 = 14, 2.5 = 10, 2.1 = 2 u. s. w. durch folgende Summirung

oc

H 00

4-

713 6 8 4 2 1 0526 3 15 7 8947!

Diese 2-fachen der von 7 ausgehenden Glieder ergeben sich aber zugleich aus den 7-fachen der von 1 ausgehenden Glieder der aus der Ziffer 2 entsprungenen Phönixzahl, nämlich aus den Werthen 1 . 7 = 7, 2.7 = 14, 4.7 = 28, 8.7 = 56, 6.7 = 42, 3.7 = 21, 7.7 = 49 u. s. w.

und entsprechen der Summirung

liii

368421052631578947

Statt der aus der Phönixzahl genommenen Ziffern 1, 2, 4, 8, 6, 8, 7 etc. kann man aber auch die Potenzen von 2 setzen, aus welchen jene Ziffern entstanden sind, d. h. man kann die 7-fachen von 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 etc. in folgender Form summiren

CO

oo os

-f 05 CM

00 t o

u. s. w.

2 111

CO

tH 00

Nennen wir zwei Dezimalzahlen, welche gleiche Anfangsglieder haben, einander äquivalent und bezeichnen wir diese Äquivalenz durch das Symbol E=, setzen also z. B. 58 EEE 18 in den vorstehenden drei Operationen die Summen der oben stehenden Glieder (mit Einschluss der bei der Summirung entstehenden Addenden) sämmtlich den darunter stehenden Ziffern ... 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7 und daher unter einander äquivalent. So hat man z. B. von der sechsten Ziffer 5 an

8 ; so erscheinen

5+2 + 8 O —I⁻ 4 -j— 6 —(— 1

1    + O + 9 + 2 +- 1

2    —|— O +- 9 +- 4 —)— 1

u. s. w. Diese Äquivalenz der Summen und in Folge dessen die Gleichheit ihrer Anfangsziffern und demnach die Identität der von dem beliebigen erstgenommenen Gliede 5 an beginnenden Periode beruhet offenbar a f der Gleichheit der Produkte 1.7 = 7.1, 2.7 = 7.2, 2³.7 = 7.2³ u. s. w., ist also von dem speziellen Werthe der Grösse 7 oder des gewählten Anfangsgliedes, sowie auch von dem speziellen Werthe der Grösse 2 oder des erzeugenden Faktors der Phönixzahl unabhängig. Für jeden Werth mX = 10 m + x statt 7, insofern er nur ein Glied der (mit ihren Addenden geschriebenen) Phönixzahl darstellt, und für jeden Werth ny = 10 n + y statt 2 als erzeugenden Faktor bestehen die Gleichungen 1 . mx — mx. 1. ny.mx — mx."y, (”y)².mx = mx.(ny)², (ny)⁸. mx = mx(ny)⁸ u. s. w., allgemein (ny)z. mX — mx. ("y)z und demgemäss die erwähnten Äquivalenzen und die fragliche konstante Periodizität. Danach stellt jede durch erzeugende Multiplikation aus der Einheit 1 gebildete vollständige Phönixzahl, wenn die Addenden notirt und demnach

• 2²,

1+4 = 4 + 1 1 + 0 1 + 2 = 4 + 8 + 1 6 = 2 + 8 + 1

1+4 1+2+8 2+4+6+1 4 —)— 9 +- 2 —(— 1

05    00 Ol

die in ihr enthaltenen Zahlen in der Form "x (worin x = 0 und > 0 sein kann) erkennbar sind, von der Anfangsziffer x einer jeden solchen Zahl eine Periode dar, welche dem Produkte entspricht, das sich durch gewöhnliche Multiplikation dieser Phönixza'hl mit d e m Faktor nX e r g i e b t. Hiervon sind nach Nr. 14 für die aus dem Faktor 2 entspringende Phönixzahl die Multiplikationen mit 19 und einem Vielfachen von 19 ausgeschlossen, weil die Zahl 19

*9 kein Glied dieser Phönixzahl ist.

Im Vorstehenden haben wir diese Wirkung für die aus dem Faktor 2 erzeugte Phönixzahl von der Stelle 7 aus vorgeführt und bemerken ausdrücklich, dass hierunter nur die siebente Stelle, welche = °7 ist, nicht die elfte Stelle, welche = ¹7 = 17 ist, verstanden werden darf. Ginge man von dieser letzteren Stelle mittelst des einfachen Faktors 7 aus; so beginge man die vorstehende Operation, welche die Reihe . . . 8 9 4 7, nicht aber die von *7 beginnende Reihe ...3157 erzeugen und diese Reihe nicht als das 7 - fache der Phönixzahl wiedergeben würde.

Will man mit der elften Stelle x7 = 17 beginnen; so ergiebt sich

1 7

y.

u. s. w. i

. .5 2 6 3 1 5 7

die wirklich vom elften Gliede aus beginnende Reihe, welche zugleich das 17-fache der Phönixzahl nach der Formel

CO <M

r. er.

CO X

u. s. w.

...5 2 6 3 1 5 7

ist. Man kann hiernach eine vollständige Phönixzahl ausser mit den darin enthaltenen einziffrigen Faktoren, auch mit jedem darin nach der Form mx enthaltenen mehrziffrigen Faktor multipliziren und wird immer eine konstante Periode finden. Ein Produkt der Phönixzahl mit einer nicht in ihr enthaltenen Zahl liefert nicht die vollständige Periode der Phönixzahl, wohl aber einen Th eil davon, an welchen sich rechts und links fremde Ziffern anschliessen. In gewissen Fällen ist die Ziffernsumme dieser fremden Ziffern der Ziffernsumme der fehlenden Ziffern der Phönixzahl gleich und alsdann die Zittern summe der neuen Reihe der Zitternsumme der Phönixzahl gleich, wie es sich in Nr. 7 für das 1001 -fache und das 24-faehe der dortigen Phönixzahl ereignet hat. Diese Konstanz der Zittern summe ist jedoch keine allgemein bestehende Eigenschaft jedes Produktes der Phönixzahl. Für mx = Hl = 19 bildet, wie schon erwähnt, das 19-fache der aus dem Faktor 2 entspringenden Phönixzahl eine aus den Ziffern 9 bestehende und unter Umständen mit einigen anderen Ziffern beginnende Reihe.

Tm Vorstehenden ist der Satz, dass die gewöhnliche Multiplikation einer mit der Einheit 1 beginnenden Phönixzahl mit irgend einem in ihr enthaltenen Faktor x stets die Periode der Phönixzahl von der Stelle der Ziffer x an hervorbringt, mehr durch Spezialitäten und be-merkenswerthe Prozesse bestätigt, als streng und allgemein bewiesen : der letztere Zweck wird durch folgende Betrachtung erfüllt.

Ist also z eine noch nicht mit einem Addend behaftete Ziffer

Die Erzeugung einer Phönixzahl aus dem Faktor a durch erzeugende Multiplikation, sowie die gewöhnliche Multiplikation einer gegebenen Phönixzahl mit einem Faktor x erfordert die Herstellung der sukzessiven einfachen Ziffern einer in Dezimalform dargestellten Zahlenreihe. Diese Ziffern bilden sich im ersten Falle durch die fortgesetzte Multiplikation einer vorher erzeugten Ziffer mit dem Faktor a unter Hinzufügung eines durch die vorhergehende Zahl bedingten A d d e n d s und im zweiten Falle durch die fortgesetzte Multiplikation einer in der Phönixzahl bereits gegebenen Ziffer mit dem Faktor x gleichfalls unter Hinzufügung eines vorher festgestellten Addends. Diese Operation mit einfachen Ziffern kann, da es sich immer nur um die Bildung von Ziffern handelt, auch auf eine Operation mit äquivalenten Zahlen zurückgeführt werden, deren Anfangsziffer der gegebenen Ziffer gleich ist, da man für jede solche Ziffer z immer a .z = a. (m . 10 -j- z) und allgemein x.z = x.{m. 10 -f- z) hat. So bildet z. B. die erzeugende Multiplikation die Ziffern der Phönixzahl 052631578947368421 durch Multiplikation der sich ergebenden einfachen Ziffern mit dem Faktor 2 unter Hinzufügung eines aus der vorhergehenden Zahl stammenden Addends.

der Phönixzahl; so bestimmt sich die nächste Ziffer Z\ der Phönixzahl aus dem Produkte 2 z = fl . 10 -)- z₁ durch Zerlegung des Werthes von 2 z in das grösstmögliche Zehnfache fl. 10 und die überschiessende einfache Ziffer Z\. Hat z einen der Werthe 0, 1, 2, 3, 4; so ist offenbar n — 0 und 2 z = 0.10 -\- Z\ oder 2z — Z\: hat dagegen z einen der Werthe 5, 6, 7, 8, 9: so ist n — 1 und 2 z = 1 . 10 -(- Z\. Die Grösse n, welche hiernach für die aus dem Faktor 2 entspringende Phönixzahl nur = 0, oder = 1 sein kann, ist der Addend für die auf Zi folgende Ziffer, der aus z entspringende A cl d e n d macht sich also als solcher i m m er in der dritten Stelle geltend, und es ist für die Bestimmung der Ziffern z und der Addenden n offenbar irrelevant, ob zu diesen Resultaten noch Werthe gefügt werden, welche beliebige Z e h n f a e h e darstellen, da diese die Äquivalenz der Resultate nicht beeinflussen. Setzt man nämlich, wenn r . 10 ein beliebiges Zehnfaches bedeutet, in erster Stelle

A = r . 10 -f- z =    so ist für die zweite Stelle Ai = 2 A = 2 z

= 2 . fi. 10 —[- 2 Z\ —[- n

Hiernach ergehen sich die Ziffern und Addenden der in Rede stehenden Phönixzahl von der Einheit 1 an für r — 0 in der Reihenfolge

22.

Z\ und für die dritte Stelle A■> — 2 Ai -j- n 2 Z\ -j- u = b . 10 -f- z<i

= 0.10+1 - 0 . 10^ + 2 = 0 . 10 + 4 = 0.10 + 8 = 8 = 1 . 10 + 6 = 6

Ao — 1

A 2 = 2.2 As = 2,4 Ai = 2 . 8 A₅ = 2.6 + 1 = 1.10 + 3 = 3

Ag = 2 . 3 + 1 = 0 . 10 + 7 = 7 A 7 = 2.7 + 0 = 1.10 + 4 A₈ = 2 . 4 + 1 =0.10 + 9

sind, also z. B.

u. s. w., und wenn man statt des emziffngen Faktors von 2 in den Werthen der A mehrziffrige Zahlen setzt, welche diesem Faktor äquivalent Â5 = 2 . 6 —{— 1 den Werth 2 . 16 + 1 = 2 . 10 —I⁻ 2 . 6 —(~    einführt, sodass jedes folgende A im ersten

Gliede das 2-fache des vorhergehenden A und im zweiten Gliede den ihm zukommenden Addenden darstellt :

A₀

4 = 4 8 = 8 16 = 6 33 = 3

67

131 = 4 269 = 9 538 = 8

1077 = 7

A-2 = 2 A\ + 0 — A3 = 2 A-2 “I⁻ 0 =

A4 — 2 A3 + 0 —

As = 2 A4 + 1 =

A₆ — 2 A5 -j- 1 —

Ai = 2 Afi -)- 0 = A's = 2 A7 —)— 1 = A 9 = 2 As + 0

A io — 2 A₉ -f 1 —

Bei dieser wie bei der vorhergehenden Darstellung sind die Addenden stets durch die Schlussziffer des dritten vorhergehenden Gliedes fest bestimmt. So gehen die Ziffern 1, 2, 4 der ersten drei

Glieder Ao, A A 2 den

A3

von

von A 5 .Addend 1 für A₈ u. s. w.

4 gehen

den Addend 0 für Ai, die Ziffer 7 von A3 giebt, den Alle Addenden bestimmen sich also ohne

end 0 für A-2, A3. A4, die Ziffern 8, ß Addend 1 für A5 und Ao, die Ziffer 3

besondere Rechnungen aus den Schlussziffern der um zwei Stellen vorhergehenden Glieder und die Bestimmung der Schlussziffern, welche die Anfangsziffern der Werthe von A oder deren Äquivalente sind, erfordert nur die Herstellung des betreffenden A in Dezimalform.

Dass man auf diese Weise die Periode der Phönixzahl nicht nur vom Einheitsgliede, sondern von jedem Gliede an hersteilen kann, leuchtet ein: es kömmt nur darauf an, festzustellen, ob dieses Glied den Addend 0, oder 1 hat, was natürlich den Rückblick auf die Schlussziffer des dritten vorhergehenden Gliedes erfordert. Ohne diesen Rückblick, also auch ohne Kenntniss der vorhergehenden Schlussziffern, ergiebt sich die Periode der Phönixzahl aus jeder einfachen Ziffer, z. B. aus 7, wenn man Aq = 7 setzt, folgendermaassen

A₀

A\ — 2 Aq

14 = 4 29 = 9

58 = 8

A3 — 2 A‘2 -j- 0 —

u. s. w., worin das erste Glied = A₀, das zweite Glied A\ = 2 Ao ist und die Addenden für die folgenden Glieder Aj, A3 etc. lediglich durch die dritte der vorhergehenden Schlussziffern bestimmt sind. Man erkennt in den Schlussziffern die Periode der Phönixzahl vom siebenten Gliede an.

Ist das Glied, womit man beginnen will, nicht einziffrig, sondern wie 17 zweiziffrig; so muss dasselbe als mit dem Addend 1 behaftet erscheinen, man bat also

zu setzen, wonach 8 = Gliedes ist. Diess giebt

Ai — 17 — 2 Ao -j⁻ 1 — 2 . 8 —j— 1

17 — 1

die Schlussziffer des vorhergehenden

O t-l    CO    «ß

^ ^ ^ ^ ^ ^

(M « « (M N (M

ZU    CO to M o

_l I l_ -l—I—p-

17

O O 1—¹ H-¹ h-¹

25

51 = 1

103 = 8

206

412 = 2

u. s. w. vom elften Gliede an.

Man erkennt in den Schlussziffern die Periode der Phönixzahl

Jetzt beachte man, dass dieselbe Ziffernreihe, welche durch wiederholte Multiplikation der Ziffer 7 mit dem Faktor 2 unter Hinzufügung bestimmter, aus dem unmittelbar vorhergehenden Gliede stammenden Addenden Resultate ergeben muss, welche der Multiplikation der Ziffer 2 mit dem Faktor 7 unter Hinzufügung derselben Addenden äquivalent sind : denn, da es sich immer nur um die Herstellung von Anfangsziffern handelt und diese Ziffern durch den Multiplikator und die Anfangsziffer des Multiplikands (nicht durch die folgenden Ziffern des Multiplikands), sowie durch den Addend bestimmt sind; so hat man für jede beliebige Ziffer x nicht nur

1 . x = x .1 2.x = x .2 4 . x = x . 4 8 . x = x. 8

u. s. w., sondern auch, wenn a₀, Cl\, «2 • • • sowie bn, b\, b., . . . beliebige ein- oder mehrziffrige Zahlen sind,

1    (10 . r/₀ + x) = (10 . b₀ + x) 1

2    (10 . «i + x)

4 (10. a₂ = x)

(10.61 + x) 2 ( 10 +2 + x) 4

u. s. w. und daher, wenn w₀, Wi, n% n% ... Addenden sind,

(lO.-fto + x) 1 + w0 (10 . bx + x) 2 + Wi

(10+2 + + 4 + Yl 2

1    (10 . «o + &) + Wo

2    (10 . ci\ +- x) —(— ti\

3(10. ü<x +- x) +- n 2

Die Addenden Wo, Wi, ... ergeben sich hiernach für die

u. s. w.

linke und rechte Seite dieser Äquivalenzen aus den vorhergehenden Gliedern auf dieselbe Weise, sie sind aber jetzt nicht mehr auf die Werthe 0 und 1 beschränkt: man hat also, wenn man in den vorstehenden Formeln, welche die sukzessiven Glieder der Phönixzahl erzeugen, vom Gliede x == 7 an statt der aus der Phönixreihe hervorgehenden Multiplikanden, welche Vielfache von 2 oder deren Anfangsglieder sind, die sukzessiven Zweifachen von 7 und statt der dortigen Addenden die aus den nächsten Vorgliedern stammenden Addenden setzt.

14

10 + 4 == 2.7

CO to to to to

co

-r

Ins (-1

W H Ol IO

O"} GO    *-0 rH

cvi lO rH CO [>.

rH    ■*+

4 IS H CI « H Ol IS

00000

H OI 'I 00 (O

CI d CI CI CI

IS 05 GC if

HNO

Sri 01 00 CO

CO

u. s. w. Hierdurch sind die Phönixzahlen vom siebenten Gliede 7 an dargestellt. Geht man jetzt von den sukzessiven Siebenfachen von 2 aus ; so ergiebt sich

10 + 4 = 2.7

14

7 . 1 7.2

Ol    Ol OJ Ol

OO 4n

Ci OS 4^ CO o

OJ »0

ISO

CO

OS OO O 1—I

CO I -T-H <M

20 + 9 50 -f 8 110 + 7 230 + 5 470 + 1

tO CO CO CO CO

H I--1--1--jr

T—1 <N O

CO

u. s. w. Diese Operation ist mit der vorhergehenden identisch, da man 1 . 7

2.7 2.4

2.8 2.6 2.2 2.4

u. s. w. hat. Tn der letzteren Form erscheinen aber die Ziffern der Phönixzahl von der Stelle 7 an als Resultate der gewöhnlichen Multiplikation der Phönixziffern von der Einheit an, und hieraus folgt, dass das Produkt der mit der Einheit 1 beginnenden durch den F a k t o r 2 erzeugten Phönixzahl mit irgend einer e i n-ziffrigen Zahl x oder auch mit irgend einer zweiziffrigen Zahl von der Form 10 -)- x (jedoch mit Ausschluss der in dieser Phönixzahl nicht vorkommenden Zahl 10 —{— 9) die Periode der Phönixzahl von der der Zahl x, b e z w. 10 -f- x kommenden Stelle hervorbringt.

Hinsichtlich der Addenden bemerke ich noch, dass dieselben nach der letzten Formulirung ein fortwährendes Wachsthum zeigen, ferner dass sie sich, als Zusätze zu den Werthen von 2 A, nach der vorhergehenden Formulirung auf die Werthe 0 und 1 beschränken, indem man

14 = 4

7.2 7.4

14 = 4 28 EEE 8

16

56

12

7.6 = 42

7.2

14 = 4

7.4 = 28

¹x z u-

— Ai{

2.7

7. 2

-t OO CC Ol IO

to

CO I—I■

to Ci 00 ^

TP ® 00 t' IO (M. H CO i—l CM

to to to to tu. ÈU tu. tu tu.

o 00

r.

O i—¹ o

u. s. w. hat und dass sie, wenn als Faktoren von x die einfachen Ziffern der Phönixzahl genommen werden, alle diejenigen Werthe n anzunehmen vermögen, welche die Grössen 0.x, 1 . x, 2.x, ... 9.x darbieten, sobald man diese Grössen in die Form n. 10 -)- a stellt. Demnach kann n für x — 7 die Werthe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 annehmen. In der That erhält man nach gewöhnlicher Multiplikation der Ziffern der Phönixzahl mit 7

7.2

14

tO +* CT tO

Or tO ^ OT tO OT -1    00 iO

i» ^ œ oc i -

h-¹ Ot

!—*• Cr *v3 GO

Ci

tH0500i>^HC0O(N o o

+++++++++++

33

30 + 3 = 3

60 -f 6 = 6 60 + 2 = 2 50 + 5 = 5 40 + 0 = 0 10 + 1 20 —j- 2 = 2

40 + 4 10 + 8 = 8 30 + 6 3 — 0.10 + 3 = 3

66

62

55

40

11

22

44

18 =

36

7.1 + 0 =

7 =0.10 + 7

Die vorstehende Ausführung gilt nicht nur für die aus dem Faktor 2 erzeugte, sondern für jede aus dem Faktor b entspringende Phönixzahl, indem man b an die Stelle von 2 setzt und beachtet, dass nun statt

der beiden Addenden 0 und 1 diejenigen Addenden n in Betracht kommen, welche den Werthen von 0 . b, 1 . b, 2 . b, ... 9 . b entsprechen, wenn man dieselben in die Form n. 10 + a setzt. So hat man für die in Nr. 8 betrachtete, aus dem Faktor 3 erzeugte Phönixzahl

3 = 0, 1 .

. cc

o tc

CO O

1    + 5, 6.3

9.3 = 2.10

+ Il T

welcher wegen

3.3

0.10

4-

. 10

1 . 10 + 8, 7.3 =    .

7 die drei Werthe 0, 1,

• O Ol

ro

+ 1, 8.3 = 2.10 entsprechen.

H~cc +

3°

Ao

3¹

27

83

25

A\ — 3+ + 0 A-2 = 3+ + 0 As = 3 A-2 + 0 Ai = 3 As + 2 A$ = 3 Ai + 2

20 + 7 = 7 80 + 3 250 + 1 750 + 4

251

754

2262

Ae, — 3 Az, + 1

3⁷    +

3⁸    + 226 =    6787

3« + 678 = 20361 = 20360 + 1 3¹⁰ + 2036 = 61085 = 61080 + 5

75

780 + 7

Ai = 3.+ + 0

As — 3+ + 1

As = 3 As + 0 A io = 3    + 2

Ganz in derselben Weise wie für die erste Phönixzahl ist dann

u. s. w.

durch das vorstehende Verfahren auch für jede andere Phönixzahl die Thatsache leicht zu beweisen, dass die gewöhnliche Multiplikation jeder mit 1 beginnenden Phönixzahl mit irgend einem darin enthaltenen Faktor, insbesondere mit jedem einziffrigen Faktor, die Periode dieser4 Phönixzahl erzeugt.

16. Der Beginn einer Phönixzahl mit einem darin enthaltenen Gliede x ist gleichbedeutend mit der Erzeugung einer Phönixzahl aus

diesem Gliede '% als Anfangsglied; man kann also nach Vorstehendem sagen : das Produkt der mit der Einheit 1 beginnenden Phönixzahl mit dem Faktor x ist gleich dieser vom Gliede x an genommenen Phönixzahl. Die letztere Gleichheit findet offenbar auch dann noch statt, wenn x eine ganz beliebige, in der Phönixzahl nicht enthaltene Grösse (jedoch keine der nach Obigem ausgeschlossenen Grössen, welche die Periode . . . 9999 . . . erzeugen) ist, in welchem Falle nur nicht von der Entstehung einer vollkommenen Phönixzahl, sondern von einer davon abweichenden Zahl die Rede sein kann. Die so entstehende Zahl hat aber mit der vollkommenen Phönixzahl eine Gliedergruppe gemein, wie aus Nachstehendem hervorgeht.

Wenn bei der erzeugenden Multiplikation durch den Faktor 2 ein beliebiger Werth für die Anfangszahl x, z. B. der Werth 24. angenommen wird, welcher grösser ist als irgend eine in der Phönixzahl enthaltene Zahl; so nimmt die Operation mittelst der Werthe . . . (2³.24), (2².24), (2.24), (1 . 24) folgenden Verlauf

1-0

I - CO

Ci 05 cc

OC 00

-T+t

tSJ 30

U. S. W. 1    1    1

. .6 8 4 2 1 0 4

Diese Periode stimmt nicht mit der der Phönixzahl überein : es ist jedoch leicht zu übersehen, dass die Addenden bei fortschreitender Addition, wenn sie nicht schon von vornherein die Höhe des grössten Addends 1 der Phönixreihe erreicht oder unterschritten haben, allmählich auf diese Höhe herabsinken, also mit den ihnen zugehörigen einziffrigen Gliedern der neuen Reihe nothwendig früher oder später eine in der Phönixreihe enthaltene Zahl na bilden müssen, dass also von dieser Stelle an sich die Periode einstellt, welche die Phönixzahl von der entsprechenden Stelle aus besitzt. Vor dieser Stelle hat die neue Reihe eine Ziffern folge, welche der Phönixzahl nicht entspricht. Im vorstehenden Beispiele beginnt die Periode der Phönixzahl an der zweiten Stelle mit 1, und dieser Stelle geht die Gruppe 0 4 voran, welche der Phönixzahl nicht angehört.

Wird die Operation ins Unendliche fortgesetzt ; so reproduzirt sich von der gedachten Stelle aus unausgesetzt die ganze Periode der Phönixzahl. Wird die Operation aber mit einer endlichen Anzahl von Operationen. insbesondere mit der der Gliederzahl der Phönixzahl entsprechenden Anzahl von 18 Operationen abgebrochen; so erlischt die angebahnte Periode der Phönixzahl schon vor der Vollziehung der letzten Operation und es folgen darauf als Endglieder Ziffern, welche ebenfalls der Phönixzahl nicht angehören. Im vorliegenden Falle schliesst näm-lich (wie schon in Nr. 7 gezeigt ist) d(e neue Reihe mit den Ziffern 1 2 6 3 . . ., wovon die Ziffern 2 6 3 ... der Phönixzahl angehören, die Ziffer 1 aber ausserhalb liegt. Statt der vorderen und hinteren Ziffern 1, 0, 4 hat die Phönixzahl die Ziffern 0, 5, deren Summe der Summe der ersteren Ziffern gleich ist, sodass das 24-fache der Phönixzahl dieselbe Ziffernsumme hat wie die Phönixzahl selbst. Die Meinung nun, dass diese Konstanz der Ziffernsumme allgemein, für jeden Multiplikator stattfinde, ist durchaus irrig. Es liegt ja schon auf der Hand, dass, wenn der Multiplikator mehr Stellen hat, als die Phönixzahl P, wie es z. B. bei den Potenzen P², P³, P", tn. P” der Fall ist, bei genügender Höhe von n und m Resultate von ungeheuerer Länge enstehen müssen, welche unmöglich die Ziffernsumme von P haben können. Es besteht jedoch zwischen den neu auftretenden fremden Ziffern und den verschwindenden Ziffern der Phönixzahl eine eigenthümliche Beziehung, welche wir nachstehend erörtern wollen.

Bei dem Abbruche der eben erwähnten Operation können die Endziffern der neuen Reihe nicht mehr durch diese Operation festgestellt werden. Am leichtesten wird das Produkt einer Phönixzahl mit einem zusammengesetzten Faktor x = . . . a-i a\ a = ... 100 «o -\- 10 ci\ -j- a durch Addition der um je ein Glied vorgeschobenen Werthe des «-fachen, des «i-fachen, des «2-fachen u. s. w. ausgeführt : die vorstehende Betrachtung hat aber den Werth, die Thatsache zur Erkenntniss zu bringen, dass, wenn der Multiplikator nicht grösser ist, als die Phönixzahl, in der Gesammtsumme nothwendig eine Strecke der Phönixzahl liegen muss, an welche sich vorn und hinten eine Anzahl fremder Ziffern anschliesst. Bilden wir hiernach das 724-faclie der obigen Phönixzahl; so ergiebt sich aus dem 4-fachen, dem 2-fachen und dem 7-fachen der Phönixzahl die Summe

- QO © IC

IC IC ©

>.o •*

tC Cu CC

er.    i—‘

x co .4-

*-* 4-- OO Oi

3810526 3 157894736804

Der Phönixzahl gehört die Reihe 0 5 ... 6 8 an, die Ziffern 3, 8, 1 und 0, 4 gehören ihr nicht an ; sie bilden die Summe 16, wogegen die fehlenden Ziffern der Phönixzahl, nämlich 4, 2, 1, die Summe 7 bilden. Diese beiden Summen sind durchaus nicht gleich, die erstere ist vielmehr um 9 Einheiten grösser als die letztere, und in der That ist die Ziffernsumme des 724-fachen der Phönixzahl gleich 90, während die der Phönixzahl selbst gleich 81 ist.

Zur Erkenntniss des Wesens der neu entstehenden Ziffern heben wir zunächst hervor, dass, wenn von der unendlichen Periode, welcher die Phönixzahl angehört, irgend zwei gleich lange Strecken vertikal unter einander gesetzt und dann addirt werden, sich nothwendig eine Reihe ergeben muss, welche mit Ausnahme der Anfangs- und der Endziffer jener Periode angehört. So hat. man z. B.

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CT CD

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co KO

1473684210526315788

Mit Ausnahme der Anfangsziffer 8 und der Endziffer x4 = 14 stellen die 16 Ziffern 7 3 ... 7 8 nach dem Obigen eine Strecke der Periode der Phönixzahl dar, während die überschüssigen Ziffern 1, 4, 8 die Summe 13 bilden, welche auch die in der 18-gliedrigen Phönixzahl fehlenden Ziffern 9, 4 darstellen, wodurch die Ziffernsumme der neuen Zahl gleich der der Phönixzahl bleibt.

Setzen wir unter die vorstehenden zwei Reihen oder, was Dasselbe sagt, unter deren Summe eine dritte gleich lange Strecke der Phönixzahl ; so muss sich mit Ausschluss von zwei Anfangs- und zwei Endziffern eine 14-stellige Reihe aus der Periode der Phönixzahl, z. B. die folgende einstellen 1    7

CO vH

O TT.

X i.O

Oi I T

TT i—¹

~ CO GT

cc r.

er. zr.

CO cc

18947 3 68421052631 5 6

Die zwischen der Anfangs- und Endziffer liegende Reihe 8 ... 5 gehört der Phönixzahl an und die überschüssigen Zittern 1 und 6 bilden die Summe 7 wie die fehlende Phönixzitter 7. Aber auch, wenn man rechts und links zwei Ziffern, nämlich rechts 6 und 5 und links 9 und *8 = 18, also die Summe 6 —(— 5 —j— 9 —|— 1 —|— 8 = 29 abschneidet, bilden dieselbe die Summe der fehlenden Ziffern 5 —(— 7 —8 —(— 9 = 29. während die zwischenliegende Periode 4 ... 1 14-stellig ist, nämlich 2 Stellen weniger als die vorhergehende und überhaupt 4 Stellen weniger als die Phönixzahl hat. Auf diese Weise wird erkannt, dass eine aus n Gruppen der 18-stelligen Periode gebildete Summe gewiss eine Strecke der Phönixzahl von 18 — (n — 1) Stellen, unter Umständen jedoch eine noch etwas längere Strecke enthalten wird und dass die überschiessenden Anfangs- und Endziffern zu den fehlenden Phönixzittern in einer bestimmten Beziehung stehen werden, welche dadurch nicht geändert wird, dass man von der wirklich periodischen Stellenzahl Glieder abschneidet und den Aussengliedern zuzählt, da diese die Summe der Aussenglieder und die Summe der fehlenden Phönixglieder in gleicher Weise verändern.

Die eben erwähnte Beziehung der Aussenglieder zu den fehlenden Phönixgliedern besteht nicht, wie schon an dem 724-fachen der Phönixzahl gezeigt ist, in der unbedingten Gleichheit der Summen der horizontal neben einander gestellten und so addirten Glieder, sondern in einer anderen Gleichheit. Gehen wir nämlich von der soeben betrachteten Addition gleich langer und an derselben Stelle beginnender Perioden zu der Addition gleich langer, aber sukzessiv um eine Stelle nach links vorrückender Perioden über, welche die Multiplikation der Phönixzahl mit einer 1-, 2-, 3-, 4- . . . «-zittrigen Zahl bedeuten; so wird sich von rechts her bezw. nach der 1-ten, 2-ten, 3-ten, 4-ten, . . . M-ten Stelle eine Strecke der Periode der Phönixzahl einstellen. Dieselbe wird in einer gewissen, immer kürzer werdenden Entfernung erlöschen und links eine Anzahl von Zittern übrig lassen, welche ebensowenig wie die gedachten Anfangsziffern der Periode angehören. Diese fremden Anfangsund Endziffern bilden nun stets eine den fehlenden Phönixziffern gleiche Summe, wenn die rechts überschiessenden Ziffern in jeder Reihe links vor das Ende der Reihe gesetzt und nun alle diese Ziffern in ihrer vertikalen Stellung nach dem Additio ns-gesetze addirt werden, während die fehlenden Phönixziffern in horizontaler Anreihung zu addiren sind: denn in dieser Übereinanderstellung der Anfangs- und Endglieder liegt deutlich erkennbar ihre Ergänzung zu periodischen Gliedern, d. h. die vorher mit einer bestimmten periodischen Ziffer abschliessende Reihe setzt sich vermöge dieser Addition der Anfangs- und Endglieder nothwendig in der Periode der Phönixzahl fort, da die an das Ende gesetzten Anfangsglieder ja nichts Anderes sind, als die auf die Endglieder folgenden periodischen Glieder, mithin der Vorgang, welcher das letzte periodische Endglied erzeugte, durch die neuen Endglieder nur seinen gesetzlichen Fortgang findet, indem er durch die Addition der übereinander gestellten Anfangs- und Endglieder eben dieselben Periodenziffern erzeugt, welche der vorher gebildeten Periode fehlen. Die überschüssigen Zahlen liefern also in dieser Stellung nicht nur eine den fehlenden Periodenziffern gleiche Summe, sondern sind mit diesen Ziffern identisch und vervollständigen die Phönixperiode.

Dieses Resultat ist allgemein folgendermaassen zu symbolisiren : Angenommen, es handele sich um die Multiplikation der Phönixzahl mit einer vierziffrigen Zahl d c b a. Da a, b, c, d einfache Ziffern sind ; so hat jede der vier zu addirenden Reihen so viel Stellen als die Phönixzahl, man hat also, wenn die Zahl der Ziffern der Phönixzahl mit r bezeichnet wird, eine Summe von der Form

Ci

br

ar

br.

Çr-1    Cr-2

dy    (l}— ]_    dr — o dr — ₃

a 5 Cli «3    «2 Ul

Uf-1

bj—o    .... bi hg bi b\

C₂

rfl

Cl

1) C B

Pr-i p,- 5 .... Pl

zu bilden. Die Reihe p,—i . . . p\ dieser Summe gehört der Periode an (ist ein Stück davon), die Reihe G F F und IJ C B A jedoch nicht. Setzt man nun die ausserhalb dieser Grenze stehenden Ziffern der vier Reihen vor die Endziffer jeder Reihe und beachtet, dass jede Reihe eine vollständige Phönixperiode, mithin «i a₃ U\ = arxi <7r-j-3 u,-j_2 ff,-+1-ebenso b₃ b-> bi = /;,.₊₃ br+i b,.+1, ferner r-, c,\ —    ₂ cr.|_i und endlich

d\ = dr.u i ist ; so errichtet sich links von p, -i die Summenformel

((>•-\-i drĄ- 3 (Ir-\-2    (( r-fl

W+3 W+2 W+1 br

Cr-]

dr -1    d, — 2

Cr

Cf+2 Çr-\-l

dr+1 dr

Pr

Pr-1 Pr-2 Pr—3 deren resultireiide Glieder pr, p,—i, pr-% P>-s die Fortsetzung der Periode p,—i . . . pi bis zum Schlüsse darstellen, sodass also die über-schiessenden Anfangs- und Endglieder in dieser Stellung die Summe der in der Periode pr-i . . . pi fehlenden Glieder bilden.

Die übereinander gestellten Glieder, welche die Summe Prpr-iPr-ip>-3 hervorbringen, entsprechen nach ihrer Summe genau der Summe der übereinander gestellten Anfangs- und Endglieder des gebildeten Produktes, d. h. man hat

I)

Pr Pr-1 Pr-2 pr-3

Hiernach ergeben die übereinander gestellten überschüssigen Anfangs- und Endglieder des gebildeten Produktes durch Summirung die fehlenden Ziffern der Phönixzahl unmittelbar.

Zur Erläuterung wollen wir sukzessiv die Werthe des 4-fachen, des 24-facben, des 724-fachen, des 1724-fachen, des 71724-fachen und des 571724-fachen der Phönixzahl hersteilen und betrachten. Diese Werthe ergeben sich folgendermaassen

0 5 26315789478 6 8 4 21

Phönixzahl ==

4-fâches = 2-faches =

o to

OT h-k

“MO

Ci OT

oc to

Ci

OT oc

H <1 H h- OC OT

M (Û CI

CC 00 ^

to cc

2 4-fâches = 7-fâches =

oc

M Ci ¹ ¹

I- CC to ►U c: to co

I—k

I- o OT M Or Vl

>- to 00

Ci cc

oc ►u

L» T-H

rH !>•

<M ^

724-faches = 1-fâches =

H ot oc

CC Cd

tH CO

OC o

I—¹ Ot k- OT to

VI Oi 00 oc

CC ł—‘

H if. 0<

vi vi

“ OC OC Oi CD

H 00

►U VI

to oc I-¹ Ci

oc

kf-

1724-faches = 7-fâches =

OC'

O T+1 Ci cc o «o

to V] k—k oc o oc o< cc

DO kU

OS to

OC H-k

k-k o

Ot Ot -3 DO OC Ci

cc oc

- ku

VJ OT

00

71724-faches 5-faches

er. cc

Oj

oc u

CC -H

Ci X

IM X

IC o

IM O

liii

liii

571724-faches = 30090|7368421052631|2 78 04

Die Theile dieser Vielfachen, welche der Periode der Phönixzahl

Danach fehlt dem

angehören, sind zwischen Vertikalstriche gesetzt.

4-fachen keine Ziffer; dasselbe hat auch keine überschüssigen Ziffern.

Dem 24-fachen fehlt die Ziffer 5; die Anfangs- und Endziffern liefern

t—l

die Summe

—, welche ebenfalls = 5 ist. Dem 724-fachen fehlen die 5

Ziffern 4, 2 ; die Anfangs- und Endziffern ergeben die Summe welche ebenfalls die Ziffern 4, 2 darstellt.

05 O

4 2 ’

Dem 1724-fachen fehlen die

Dem 71724-fachen fehlen

Ziffern 9, 4 ; man hat aber auch

die Ziffern 3, 1, 5, 7, 8; man hat aber auch

I — 70

-1 O

31578'

Dem 571724-

fachen fehlen die Ziffern 5, 7, 8, 9, 4; man hat aber auch

71 77

O OC

5 7 8 9 4'

17. Das vorstehende Gesetz der Konstanz der Ziffern summe oder vielmehr der Un Veränderlichkeit der ganzen Periode d er Phönix z a h 1 in dem Produkte der Phönixzahl mit einer mehr-ziffrigen Zabi unter der Voraussetzung, dass die überschüssigen Anfangsund Endziffern des Produktes übereinander gestellt und summirt werden, behält für alle mehrziffrigen Faktoren, selbst für solche, welche mehr Stellen haben, als die Phönixzahl selbst, Gültigkeit. Man hat in diesem Falle, wo das Produkt keine Strecke der Phönixperiode, sondern nur fremde Ziffern enthält und wo Reihen von der Form

ar .

Cr .

zu addiren sind, welche sämmtlich die Länge der Phönixzahl haben, deren Anfangsglieder aber über die Endglieder der ersten Reihe nach links hinausragen, nur zu beachten, dass, wenn man den abschliessenden Vertikalstrich hinter das Anfangsglied h\ der untersten Reihe setzt, die rechts von h\ in den oberen Reihen abgeschlossenen Glieder bei der Anreihung an die links stehenden Glieder eine Folge bilden müssen, welche dem unausgesetzten Fortschritte der Phönixperiode entspricht. Danach ist die oberste, die zweite, die dritte Reihe u. s. f. in der Form

Cl Cr .

Cl Cr .

Cl

u. s. w. so lange fortzusetzen, bis ein Glied davon sieh über hi erhebt, und von hier aus sind so viel Glieder anzureihen, bis das letzte Glied über hr liegt.

Übrigens kann es sich bei so langen Reihen ereignen, dass in dem Endpunkte rechts und links über die Phönixperiode Glieder überschiessen, welche dieser Periode nicht angehören und nochmals übereinander gesetzt und addirt werden müssen, um die Periode zu ergänzen. Das einfachste hierher gehörige Beispiel ist die Bildung der zweiten Potenz der aus der Zahl 2 entsprungenen Phönixzahl. Zu diesem Ende hat man das 1-fache, das 2-fache, das 4-fache, das 8-faehe, das 6-fache u. s. w. der Phönixzahl unter Yorschiebung um je ein Glied zu addiren. Es erleichtert die Rechnung, wenn man beachtet, dass diese Vielfachen nicht berechnet zu werden brauchen, dass vielmehr von dem x-fachen der Phönixzahl, wenn x eine einfache Ziffer und 2 x = na ist, die beiden Ziffern ax den Anfang einer in der Phönixzahl liegenden Periode bilden, dass also das fragliche Vielfache ohne Weiteres aus der Phönixzahl entnommen werden kann. Wenn man als letztes der zu addirenden Adel-fachen das 5-faehe nimmt, also das 0-fache unberücksichtigt lässt : so kömmt

05 2 6315789473684; 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4;

2105263157894 421052631578 9 473 6 8

3 6 8 4

3 6 8 4 2 1 36842 1 0 5 26 3 315789473684 21 0526

a

H-

3157894736842105 2 6 368421 0 5263 3 6842105 2 6 31578947 210526 3 1578947 3 684 473684210526 3 15789 4210526315789473 6 8 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 2 6 3 1 5 7894736 8 421 0 5 05263157894 1 5 7 8 9 4

cc

r—i

öl OC

IO

ce C5

00

OC

00

to

CO

4-

•<1

05

05

05

'rH

CO

CO

IC

Die entstehende 35-ziffnge Zahl ist keine Phönixzahl und zeigt auch in ihrer Ziffernsumme 117 nicht die Ziffernsumme der Phönixzahl. Wenn man aber die rechts überschiessenden Ziffern über die links liegenden Ziffern in folgender Reihenfolge setzt ; so ergiebt sich

6947368421052631572

Das Resultat ist eine 19-ziffrige Zahl, welche von dem zweiten Gliede 7 bis zu dem vorletzten Gliede 9 in die Periode der Phönixzahl fällt, und wenn man die erste Ziffer 2 und die letzte Ziffer 6 nochmals übereinandersetzt und addirt (oder den vorn überschiessenden Addend 6 der Anfangsreihe zusetzt, wie in Nr. 18 näher erläutert werden wird), die fehlende Ziffer 8 der Phönixzahl, also die ganze 18-ziffrige Phönixzahl mit der Ziffernsumme 81 hervorbringt.

Die Hinzufügung der ausgeschlossenen 18ten Reihe, welche lauter Nullglieder enthält, ändert an dem vorstehenden Resultate weiter nichts, als dass die Gesammtsumme noch den Zusatz einer 0 als Endglied erhält, wodurch sie 36 Ziffern lang wird, ohne dass sich die der 0 vorangehenden Ziffern ändern. Lässt man die Phönixzahl mit 0 beginnen und mit 5 endigen ; so ei'giebt sich dasselbe Resultat.

Statt die rechts überschiessenden Ziffern über die links überschiessenden zu setzen, kann man auch die links überschiessenden unter die rechts überschiessenden setzen. Diess giebt die Summe

ID ID

05 05

TP TP

cs

4- Or CC IO -1 ID DO 4- ID ID IO IO

® tO IN» , tO tD OO

4— ID -1 CO 05 OC' 05 05    05 05 05 05

« 05 I—¹ 05 05'

05 05 5>0>H0 35MC5ił!OM CO'O) 05 H 05 t-XOOOOOO(MOOOCOOOOOCOCO(MOOOOCOOOS I - I> N l> -+ H 1> DC L' to N (N »O 1^ L- CO l~ 3 io « io LoooisiooiOMioooiSinoiiog

t-h h iO i-i cc

CO CO CO CO CO 00 CO Ci CO tH X¹ H (M CO co O CO o

-41 -41

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OOOOOO-cHOi-lOOCOcO

OC l_L Ol Ol Ol -41 W cn Ol Ol Ol

CC

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CT.-

to co to to

O O oo O 35

iO io Id

3 15 7 3 1 5

OC •

ID •

Ol •

ID

<05 •

cc

• t-H

Ol

—41 •

OC •

• 05

• DO

c: •

4789473684210526311 Auch in dieser Summe liegt zwischen dem ersten und letzten Gliede die Phönixzahl mit Ausnahme der Ziffer 5, welche der Summe der beiden überschiessenden Ziffern 4 —(— 1 = 5 gleich ist.

18. Pie Konstanz der Ziffernsumme in jedem Produkte der Phönixzahl ist in Nr. 16 und 17 durch spezielle Operationen veranschaulicht

und bestätigt.

Ein strenger und allgemeiner Beweis ergiebt sieh

folgendermaassen. Die mit der Einheit 1 beginnende und mit dem Nullgliede 0 schliessende Phönixzahl habe die Zitternzahl z und der Faktor, womit dieselbe multiplizirt werden soll, sei eine beliebige mehrzittrige Zahl x. Dieser Faktor hat immer den Werth x — ar . 10y' —f- . . . -f- «2 • 100 -f- «i . 10 -)- a₀, worin e/o, «i, g% . . . ar einzittrige Zahlen sind. Da das Pi'odukt der Phönixzahl mit einer einzittrigen Zahl wie Go, «i, a% . . . a,■ nach Nr. 15 unbedingt die Phönixzahl von einer gewissen Stelle an darstellt; so ist das p-fache der Phönixzahl die Summe von r -j- 1 immer um eine Stelle vorgeschobenen 2-gliedrigen Reihen, von welchen eine jede die Periode der Phönixzahl mit dem einer jeden Reihe zukommenden Anfangsgliede darstellt.

Denken wir uns jetzt eine jede dieser Reihen sowohl nach der linken wie nach der rechten Seite durch fortgesetzte Wiederholung ihrer 2-gliedrigen Periode ins Unendliche verlängert; so stehen r -(- 1 unendliche Reihen untereinander, welche gleiche Periodizität haben, jedoch in jeder vertikalen Linie verschiedene Ziffern darbieten können. In allen Fällen wiederholen sich offenbar in zwei vertikalen Linien, welche um z Glieder voneinander abstehen, dieselben Ziffern, lind wenn man diese unendlichen Reihen ad dir t, liefern alle um z Glieder voneinander abstehenden vertikalen Linien auch denselben Addend für die nächstfolgende Linie. Hieraus folgt, dass die Summe der r -j- 1 unendlichen Reihen eine unendliche periodische Reihe darstellt, deren Periode die Gliederzahl z der Phönixzahl ist. Ausserdem ist diese Periode nicht nur nach ihrer Gliederzahl, sondern auch nach ihrer Ziffern folge der Phönixzahl gleich, wie aus Folgendem hervorgeht.

Betrachten wir zunächst die aus dem Faktor z = 2 entspringende Phönixperiode.

Die im Anfänge von Nr. 15 aus den sukzessiven Potenzen ... 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2° abgeleiteten Zittern der aus dem Faktor 2 entspringenden Phönixzahl sind die Anfangsziffern, welche sich aus der Summirung gewisser Zahlen ergeben. Wenn man diese Zahlen und ihre Summen in ihrer Ganzheit stehen lässt, erhält man Werthe, welche den Phönixziffern nicht gleich, aber äquivalent sind, indem ihre Anfangsglieder die Phönixziffern bilden. Diese Darstellung zeichnet sich durch Anschaulichkeit aus ; man erhält nämlich, wenn man für die sukzessiven Potenzen von 2 ihre Werthe in Dezimalform setzt, wodurch die den Phönixziffern äquivalenten Zahlen in der Form 2r -j- A a = 2r -f- A . 10 -j- a = Bn = B .10-\-a erscheinen, indem man die nächstfolgende Zahl nach der Formel 2r+¹ -j- B bildet, was der Vorschiebung der nächsten Phönixziffer in der Dezimalreihe der Phönixzahl unter Zurücklassung der Ziffer a in der vorhergehenden Stelle entspricht, folgende von rechts nach links zu lesende Reihe B.

128    64    32    16    8    4    2    1

1    0    0    0    0    0

862

275941

. . . 551882

Die Anfangszitfern dieser Zahlen

. . . 2 1 | 0 5 H 6 3 A !5 ll x8 9 H 7 x3 ł6 8 4 2 1 |. ..

sind die aufeinander folgenden Ziffern der Phönixzahl, welche nach den ihnen in der Form na zukommenden Addenden n wohl zu unterscheiden sind, indem z. B. der Werth 2155 = ¹5, dagegen der Werth 68985 = °5 ist. Dass die Anfangsziffern der vorstehenden Zahlen den Phönixziffern nothwendig äquivalent sein müssen, ergiebt sich aus der Bildung jener Zahlen, welche dem Gesetze der erzeugenden Multiplikation vollkommen entspricht. Ein Hauptmerkmal der Phönixzahl besteht aber darin, dass sie sich nach diesem Gesetze ins Unendliche fortsetzt oder re-p roduzirt.

Diese Darstellung von Grössen, welche den Phönixziffern äquivalent sind, führt sofort zu einer Darstellung von Grössen, welche den Summen zweier Phönixzahlen a und b, sowie von Grössen a -j- b -j- r = c, welche den Ziffern zweier übereinander gestellter Phönixzahlen .. . a-s a-2 Oi und . . . b₃ bo bi äquivalent sind. Setzt man nämlich, um die Summe ... c-s Co Ci

. . . a-i a-i «i

b-s b-2 hi

)‘2 r,    r«

... ^3 C 2 Cl

Du Ist

8192    4096

431    215

IC-

h-¹ o o s-

- I GC

1024

53

tw 1-^

er. i r

to

_ CO

lO tH

zu bilden, für <<\ und bx die vorstehenden äquivalenten Werthe A\ und B\ ; so muss die Summe ax -j- bx = yG Bx nothwendig ein der Phönixzahl angehöriges Glied (also für die aus dem Faktor 2 entspringende Phönixzahl ein Glied °d oder ¹d) sein, weil die Phönixzahl alle möglichen in Betracht kommenden Glieder enthält. Ist nun «i -j- bi = M>d\ ; so ist damit eine Stelle der Phönixzahl genau gegeben, welche einem ganz bestimmten der vorstehenden Werthe aus der Reihe B äquivalent ist. Dieser Werth sei Dx, also Ax -(- B\

Di > Ai -f- Bi ; so hat man A\ -j- Bx -j- yx — Di (worin iji jedenfalls eine mit 0 beginnende Zahl, also = 0 ist), mithin iji = D\ — (Ax -f- Bi) : ist Di < Al -j- Bi ; so hat man Ai -f- Bx — yi = Di, also yi = {Ai -j- Bi) — Di, folglich in beiden Fällen Ai -f- Bx + yx = Di, worin für yi das positive oder das negative Zeichen gilt, jenaclidem Di

oder der Werth von n'dx in der Phönixreihe über den von ax -j- bx hinaus oder vor demselben liegt. Die Grösse Dx ist der Addend r₀ = 0 ist, auch = r'c 1, wenn aber der Addend r₀ = 1 ist, hat man Ax -(- B\ + 1 = Dx = n'd\ = r'C\.

n'di, und wenn

A-2 + ß-2 = D-2

Gehen wir jetzt zur nächsten Summe a-2 + bi über; so hat man auch jetzt A-2 -j- B-i -p y-> = Di = >lldi und zugleich r-Ci entweder = n-d.<2 oder = nidi + 1, jenachdem der Addend rx den Werth 0 oder 1 hat, d. h. jenachdem ax -j- bx -f- Vq < 10 oder 10 ist.

Da nicht nur ax = A\ und b\ = B\, sondern auch, wenn Si und G zwei mit 0 beginnende Zahlen sind, ax = A\ -(- sx und bx = Bx -j- tx ist; so hat man zugleich cix —(- bx EE Ax —Bx + Si —}- fx = Ax —)— Bx -(- yx, worin .Si + tx = -p yx gesetzt ist. Wenn mx und nx die durch die erzeugende Multiplikation bedingten Addenden sind, so ist ferner a-2 — 2 ax -j- mx und b-₂ = 2 bx -j- nx, aber auch A-2 = 2 Ax + îWi und Bi

1 sowohl

i + nX (so ist z. B. für ax = 3, r als auch, da dann Ax = 33 ist, 67 — 2 . 33 -(- 1). Hiernach hat man a-2 + b-2 = 2ax -j- 2 bx -j- mx -f- nx, also wegen der Werthe von ax und bx

a-2

to to

.3 + 1

A-2 — 61

((•2 + b-2

2 Ax + 2 .§x    + 2 Bx + 2 tx    + mx    + nx

und nun wegen der    Werthe von    2 Ax + mx und 2 Bx    + nx und    weil

Si + tx = +    yx    ist, üi + b-2 — A-2 + B-2 +    2 . yx.    Hieraus    geht

hervor, dass y2    —    2    . yx oder dass    A-2 + B-i + 1/2    = A-2 + Bo -f    2 . yx

und sodann À3 + B3 -f */3 — A3 + B,5 -f 2 . y-2 = A$ + B$ -\- 2¹. yx, A4 + Bx -j⁻ yx = Hj. + Bx -j⁻ 2. ^3 = H4 + 7^4 -p 2³. jyo u. s. w. ist. Ausserdem ist klar, dass, wenn irgend einer dieser Ausdrücke a + b = A + B -f y genau = D ist, a + b keinen aus der Summirung der beiden Reihen entspringenden Addenden r hat, d. h. dass r = 0 ist, dass dagegen, wenn A -\- B y -\- \ — D ist, a + b den Addenden 1 hat.

Das erste y oder + yx hat nach der Formel ax + bx = Ax + 7?i + yx

(A1 + Bx), welcher sich dadurch be-

(ax + bx)

den Werth -|- yx

stimmt, dass man für + und Bx ihre äquivalenten Werthe aus der obigen Reihe R und für «1 + bx den ebenfalls schon bezeichneten äquivalenten Werth, welchen ax + bx in der Phönixzahl einnimmt, sub-stituirt. Dieser Werth von -p yx bedingt dann alle folgenden Werthe von -p y-2 — -p 2 . yx, + y-s — -p 2'¹ . yx u. s. w. und lässt die Ziffern c der Summe der beiden Reihen A und B, jenachdem bei dem Addenden r = 0 die Grösse a + b oder bei dem Addenden r — 1 die Grösse a + b + 1 der betreffenden Stelle der obigen Reihe R entspricht, also == c ist, als Ziffern der Phönixzahl erscheinen. Das Wachsthum der Werthe von yx, 2 . yx, 2² . yx u. s. w. ist ausserdem von der Art, dass jedes folgende Ci nur der zunächst auf c folgenden Ziffer entsprechen (nicht über dieselbe hinausschiessen) kann. Hierdurch ist der strenge Beweis erbracht, dass die Ziffern c der Summe der beiden Rei hen A und B nothwendi g die sukzessiven Ziffern der Phönixzahl, d. h. die Phönixperiode ergeben müssen.

Bilden wir beispielsweise die Summe der beiden Reihen

iii

... 6 8 1 5789473

i i

o OC’

...57894736

liiiiiiii

... 2 1 0,5.2 6 3 1 5|7

so hat man nach den obigen Äquivalenzwerthen der Reihe It

Ci

l- OC

7 + 8 = 75 + «,

2155 (nicht = °5, also nicht = 68985), 5 = Ci, und wegen 75 + ij\ — 2155 die Grösse ;fi

und da 7 + 8 = x5 also 7 +_8

den auf 8

184 dem ]4 entspricht) und wegen des der Zahl 7 + anhaftenden Addends r — 1, indem man für die auf

= 2080 ist: so hat man für die folgenden Summen (indem man für 4 den in der Reihe l\ auf 7 — 67 folgenden Werth 184 und für 6 8 folgenden Werth 16 setzt, sodass 67 dem °7, dagegen

R>

OC I -

= 15

und 8 in der

ersten und zweiten Reihe folgenden Ziffern 4 und 6 die auf 67 und 8 folgenden Äquivalenzwerthe einführt,

CC T—!

151

4 + 6+1 y-i = 2 . łji = 4160

o-

r>~.

4 + 6+1

4611 = 1

C-2

'Ob

Qj

►4-

⁵⁰ Ci 00 1-1

IO I—'■

Ci CO r-H O 0?

803

y.\ — 2 i/o = 8320

8623 = 3

c.

p

3

=■

■JQ

OC

OC

OC

OC.

M <1 (»

or îC

x l'

606

Sodann wegen 4 ~f- 3 = °7

O CS SD

269

17246

17515

ES

C0

CIO.

00

16 = Mi

----hl r-l

1077

134

1212

y/5 = 2 y ₄ = 33280

34492 EE 2

u. s. f. Diese Summen können nach dem Werthe der Grössen yj, i/o. 2/s ... offenbar die Äquivalenzwert.he der in der Phönixperiode folgenden Ziffern nicht überschreiten, die nächste Summe muss also, da sie jedenfalls einer Phönixziffer äquivalent ist. nothwendig der nächsten Ziffer entsprechen. Demgemäss sind die Anfangsziffern ... 2 6 3 1 5 dieser Summen oder die Ziffern ... c₅ c₃ c₃ C\ die aufeinander folgenden Ziffern der Phönixzahl.

Als zweites Beispiel wollen wir die Summirung

iii

...6315789473

iii

...4210526315

iii

...052631 5 7 8 | 9

wählen. Hier ist

°7 =    67

D = 4311

7 +t 1 = 4378 = 8

und da 7 —1 = °8 = 538 < 4378 ist; so hat man — ij\ — 3840 und ferner wegen 7 -f- 1 = 8 = °8

co o

134

8623

+ 11 +

3 H- O =

- 2 j/i =

3 4-0 =

-1 00 CS “O 00 OT. ©

1077

<h

9 + 6 =

—    = — 2 î/2 = — 15360

Ed

CD

'S

58

OQ

CO

cif

34492

o³

3Q

00

to

35031

30720

00

to

4311

Ci

00

to

11

1077

68985

. 7 “h 5 4" 1

- y-o = - 2y₄ . 7 + 5 + 1

70063

61440

8623

65

u. s. f. Die Anfangsziffern ... 3 1 5 7 8 oder ... c₅ c₄ C3 C\ ergeben stets die Ziffern der Phönixzahl in richtiger Reihenfolge.

Diese Beispiele bestätigen den Satz, dass die Summirung zweier unendlichen Reihen, welche Wiederholungen der Phönixperiode von zwei beliebigen Stellen aus darstellen, wiederum eine sich unendlich wiederholende Periode derselben Phönixzahl erzeugt. Dieses Gesetz gilt allgemein für jede Phönixzahl : man hat dabei nur zu beachten, dass für eine Phönixzahl, welche aus dem Faktor x entspringt,' die sukzessiven Potenzen von x an die Stelle der vorstehenden sukzessiven Potenzen von 2 treten, dass also die Werthe der y um das x-fachę wachsen, dass jedoch die durch Summirung zweier Reihen entstehenden Addenden r nur die Werthe 0 oder 1 haben können, sodass man immer nur nachzusehen hat, ob in der Gleichung A + B + r = I), worin D einen ganz bestimmten Werth hat, r — 0 oder = 1 ist. So beginnt z. B. für die in Nr. 8 betrachtete, aus dem Faktor 3 entspringende Phönixzahl die Reihe 7? mit folgenden Gliedern.

6561    2187    729    243

226

75

25

IC 1-1

. . . 6787    2262

754

251 ■ 83 - 27    9

cc o cc

Wenn nun eine unendliche Reihe A mit der Reihe B eine Summe C von gleicher Periodizität ergiebt ; so ergiebt auch die Reihe C mit einer ferneren Reihe D eine Reihe E von gleicher Periodizität, <3. hi. die Summe der drei Reihen A + B + C — 1), sowie jede Summe A + B + C + . . . vou . unendlichen Reihen, welche die Periodizität der Phönixzahl haben, hat dieselbe Periodizität. Hieraus folgt aber, dass jedes Produkt -einer unendlichen Phönixzahl mit jeder beliebigen ein- o der niehrz i ffr igen Zahl, welche doch immer nach ihrer Form . . . a-i . 100 + ci\ . 10 + </„ die Summe von verschobenen Phün ixreiben bildet, eine unendliche Phönixreihe darstellt, insofern der Faktor des Produktes nicht die mehr erwähnte Ausnahme bildet, welche eine Nullreihe erzeugt.

Diese Konstanz der Periodizität der vervielfachten Phönixzahl findet natürlich nicht in dem auf £ Glieder beschränkten Produkte p P der endlichen Phönixzahl P statt. Das Gesetz der Ziffernsumme des Vielfachen der endlichen Phönixzahl, insbesondere die Konstanz dieser Summe bei geeigneter Aufstellung, soll in der nächsten Nummer bewiesen werden.

19. Wenn der Satz, dass das Produkt einer unendlich wiederholten Periode einer Phönixzahl mit einer in dieser Phönixzahl enthaltenen Zahl dieselbe unendliche Periode erzeugt, als bewiesen gilt: so ergiebt sich der Satz, dass auch das Produkt mit jedem beliebigen Vielfachen einer solchen Zahl, abgesehen von den vorhin gedachten Ausnahmen, dieselbe unendliche Periode hervorruft, und ferner der Satz, dass die Summe zweier solchen unendlichen Perioden wiederum dieselbe Periodizität zeigt, durch folgende einfache Betrachtung.

9999

, in welche

Die eben erwähnten Ausnahmen betreffen für die aus dem Faktor 2 entstandene Phönixperiode das Produkt mit der nicht in dieser Periode vorkommenden Zahl *9 = 19 und mit Vielfachen von 19. Das Produkt der unendlichen Phönixperiode mit 19 oder einem Vielfachen von 19 ist die unendliche Reihe sich weder rechts noch links eine andere Ziffer als 9 einmischt (nur die Produkte endlicher Phönixzahlen können andere Ziffern als 9 aufnehmen). Da eine in unendlicher Entfernung auf der rechten Seite gedachte Einheit 1 nur einen verschwindenden Werth hat, mithin dieser Reihe zugesetzt werden kann, ohne deren Werth zu ändern ; so ist der Werth der unendlichen Reihe . . . 9999 . . . auch gleich der aus lauter Nullen bestehenden und nach der linken Seite hin auf eine in unendlicher Entfernung liegende Einheit hinstrebenden unendlichen Reihe 1000 ... 0000 .. welche für die Operationen mit allen von einem gegebenen Anfangspunkte nach rechts und links * sich erstreckenden Reihen den äquivalenten Werth . . . 0000 . . . hat, worin der unendlich weit nach links liegende Endwerth 1 unterdrückt ist.

Hiernach haben alle Produkte der unendlichen Phönixperiode mit einer der Zahlen 1, 2, 3, ... 9, 10, 11, 12, ... 18 die Phönixperiode, während das Produkt mit 19 die Periode . . . 0000 . . . hat. Handelt es sich nun um das Produkt der unendlichen Periode mit irgend einer Zahl «, welche > 19, aber kein Vielfaches von 19 ist; so kann stets « = 19 .a -f- b gesetzt werden, worin o einen beliebigen und b einen Werth < 19 hat. Da aber die Periode des 19-facheu eine Nullreihe ist; so ist es auch die des (19 . «)-fachen : diese Periode verschwindet also und es bleibt für das «-fache nur die Periode von b übrig, welche die der Phönixzahl ist, weil b <L 19 ist. Für b — 0 würde auch das «-fache, nämlich das (19 . ffj'fache, eine Nullreihe werden.

Hiermit ist also der Satz erwiesen, dass das Produkt der unendlichen Phönixperiode mit jedem beliebigen Faktor, welcher kein Vielfaches von 19 ist, wiederum eine unendliche Phönixperiode ist, während der Faktor 19 . a eine unendliche Nullreihe ergiebt.

Das Produkt der vorstehenden endlichen Phönixzahl mit dem Faktor 19 oder 19 . a bildet die endliche Periode 999 . . . 999.

W as nun die S u m m i r u n g zweier unendliche n Phönixperioden betrifft; so stellt jede solche Periode, welche an einer bestimmten Stelle der Phönixzahl beginnt, das 1- oder 2- oder 3- . . . oder 9- oder 10-oder 11- oder 12- . . . oder 18-fache der unendlichen Phönixperiode dar, kann also, wenn man diese Periode mit Q bezeichnet, = V\ . Q gesetzt werden, worin V\ einen der Werth e 1, 2, 3, ... 18 hat. Der Werth einer zweiten Periode ist =    . Q, worin v<i ebenfalls einen

wenn w ein Vielfaches

. . . 0000 ..

Werth aus der letzteren Reihe hat. Setzen wir nun V\ -j- v% = iv ; so ist die Summe jener beiden Perioden t’i . Q -j- #2 • Q = W • Q, und aus dem Vorhergehenden folgt, dass diese Summe eine unendliche Phönix période ist, wenn w kein Vielfaches von 19 ist, dagegen eine Reihe ... 9999 . . . von 19 ist. Nimmt man beispielsweise V\ — 12 und — 7. wodurch V\ -j- r-2 — w = 19 wird; so hat man in der That

19 . Q

CO o.

oc

00 H—

50 O

H*»- OT

[C

50 CO

Oj co

05 O

O 50

O 50

O 50

05 O

O 50

05 O

O '50

O 50

O 50

wie vorherzusehen war.

Für die nicht aus dem Faktor 2, sondern aus 3, (3 oder einem anderen Faktor x entspringende Phönixperiode tritt nach Nr. 14 an die Stelle von 19 — x9 der Werth 29 = ^9, 59 = °9 und allgemein

*-19 = {x — 1). 10 + 9.

Hiermit ist auch der zweite Satz erwiesen, dass die Summe zweier unendlichen Phönixperioden wiederum eine unendliche Phönixperiode gieht, wofern nicht i\ -}- v% = w =v ³’_19 ist, in welchem Falle die Summe stets eine Nullreihe wird.

Summe V\ 4~ *'■> ist, sodass iv . Q

So ist für w

Was für die aus zwei Reihen V\ . Q und V2 . Q bestehende Summe gilt, hat für jede aus beliebig viel Reihen bestehende Summe V\ . Q -)- V2 . Q -j- Vs . Q . . . = iv . Q Gültigkeit, da -j- t'3 -j- ... — iv stets = 19 . a -j- b ist, worin b < die Periode von b, also die Phönixperiode hat.

12-4- 5 4-2 = 19

t* c to

'O'O-C

50 CO 05

00 50 -rh

OO

»MO

(MON

50 Ol H

O 05 'CO

19 .Q

O 50

05 O

05 O

O 50

O 50

05 O

O 50

05 O

05 O

o 50

Die Konstanz der Ziffernsumme eines Vielfachen der endlichen Phönixzahl P. insofern der Faktor dieses Vielfachen nicht ein Vielfaches von x~¹9 ist, ergiebt sich aus diesen Gesetzen der unendlichen Phönixperiode nach Nr. 17 und 18, am einfachsten jedoch folgendermaassen.

Jedes Vielfache w . P der Phönixzahl P kann als die Summe von w übereinander gestellten, mit 1 beginnenden Phönixzahlen angesehen werden ; so ist z. B. 3 P die Summe der 3 gleichen Phönixzahlen

>-00 o

10 o o

000

CO CO CO

T““l 1-H

tc «<] ^4 <1

** 00 OO oc

“ 03 M 05

00 OO 00

1 5 7894736842105263

Solange w <19 ist, stellt w . P genau die Periode der Phönixzahl P dar, für Werthe von //', welche > 19 sind, jedoch nicht (für W — a . 19 ist W . P EE ... 000 . . .). Setzen wir allgemein die vollständige Reihe jeder Phönixzahl = ps . . . p₃ p<i p\ ; so ist ihr //'-fâches die Summe der w gleichen Reihen

"s

ns ns ni

n* cs ... c₃ c₂ p i

Die

man hat also W . P — n* cs . . . c₃ (*2 Ci, worin Wi, «2, «3, • • . w« die bei der Addition dieser Reihe sich ergehenden Addenden sind, ersten Glieder p\ ... p\ haben den Addend 0, und der letzte Addend ns kann eine mehrziffrige Zahl. z. B. eine dreiziftrige Zahl, sein, welche wir mit ns = V\ r₀ bezeichnen wollen, sodass also in einfachen Ziffern

w . P = r% n r₀ cs ... c₃ C‘2 C\

Andererseits findet der links überschiessende Addend

ist. Offenbar kann dieser Werth von ic . P nicht die Phönixreihe sein, da ja den ersten Gliedern p\ ... p\ der Addend fehlt, welchen eine nach rechts fortgesetzte unendliche Phönixperiode Q erzeugen würde und welcher zur Herstellung einer genauen Phönixreihe durchaus noth-wendig ist.

Hg = r₂ r 1 r₀ nicht die in der unendlichen Periode über ihm entstehenden Glieder ps+3 Ps+2 jö«+i, derselbe kann also ebenfalls nicht der Phönixperiode angehören. Nun sind aber die in den unendlichen Perioden nach der rechten Seite über p\ hinaus sich fortsetzenden Ziffern den nach der linken Seite über p„ hinaus sich fortsetzenden Ziffern absolut gleich, und daraus folgt, dass der im Anfänge über (\ fehlende Addend dem links überschiessenden Addenden ns = >'2 V\ >'0 gleich ist. Wird also dieser Addend zu den ersten Gliedern c₃ 0% 6*i gefügt, d. h. wird die Summe

>2 r 1

Co Ci C₃ C-2 Cj po Pi p3 p-2 p\

nach algebraischen Regeln gebildet, was möglicherweise eine Wirkung um ein oder um zwei Glieder über 6*3 hinaus (jedoch in keinem Falle weiter) hervorbringen kann, sodass c₅ ... C\ in p₅ . . . p\ verwandelt wird ; so müssen diese Glieder nothwendig der Phönix-période angehören. Ausserdem müssen die auffolgenden Glieder von Cu bis c.s- die periodischen Glieder pa bis pa sein, die Glieder

cs .. . Ce pö pt p3 p2 p\ — pu ■ ■ ■ pi

Diese

müssen also genau die P h ö n i x p e r i 0 d e darstellen.

Periode und ihre Zitternsumme ergiebt sich hiernach aus den Gliedern Cs . - . Ce, welche der Phönixzahl angehören, und aus der Übereinanderstellung und Summirung der links übersehiessenden Reihe r₂ V\ r₀ und der rechts ausserhalb der Periode liegenden oder übersehiessenden Ziffernreihe c₅ Ci C₃ C‘2 C\.

Ob man das Produkt w . P als eine aus ic gleichen Phönixzahlen bestehende Summe oder nach den gewöhnlichen Multiplikationsregeln, wenn w den Dezimalwerth . . . w3 IV2 W\ hat, als die Summe der immer um eine Stelle vorgeschobenen Produkte . . . P, w-2 P, W\P, also in der Form

r-2

r\

r₀ c₆

C3 C-2

. . Ci

darstellt, ist in der Hinsicht gleichgültig, dass das entstehende Resultat genau der vorhin betrachteten Reihe gleich sein, also am Anfänge und Ende überschiessende Ziffern haben muss, welche sich durch Übereinanderstellung zu den fehlenden Ziffern der Phönixzahl zusammensetzen. Wenn wir aber nun in jeder vorstehenden Reihe die rechts stehenden Ziffern, welche ausserhalb der ersten Stelle der untersten Reihe liegen, nach links übertragen und dadurch lauter gleich lange und an derselben Stelle beginnende Reihen von der Form

Cs

Cs— 1 Cs—2 Cs—3 • • • C]

bilden; so setzen wir damit über die links übersehiessenden Ziffern r-2 V\ ro diejenigen Ziffern, welche in den unendlichen Perioden Q mit den darunter stehenden Ziffern fortschreitende Phönixziffern bilden, und wir entziehen den rechts übersehiessenden Ziffern c₃ c₂ C\ alle Summanden, sodass sich nun vom Anfänge bis zum Ende eine vollständige Phönix zahl, welche nur bei sehr grossen Werthen von w, die in dem Resultate kein Stück der Phönixperiode aufkommen lassen, eine u n -vollständige Phönixzahl von der Art bilden muss, dass die rechts und links über sch ressenden Ziffern nach dem vorher erörterten Satze durch Übereinanderstellung eine den fehlenden Phönixziffern gleiche Summe darstellen, wie es an den Beispielen in Nr. 16 und 17 gezeigt ist.

Nach den vorstehenden Beweisführungen erscheinen die in Nr. 15 bis 18 ausgeführten Operationen zwar für den Zweck dieser Beweise als entbehrlich ; sie sind jedoch von Wichtigkeit für die Erkenntniss des Wesens und der Gesetze der Phönixzahlen, wovon wir ein interessantes Beispiel am Schlüsse der Nr. 22 im Satze 16 geben werden.

1 die

2 aus a

20. Die vorstehenden Gesetze der gewöhnlichen und der erzeugenden Multiplikation gelten auch für gewöhnliche und erzeugende Division. Während die Multiplikation im Sinne der Dezimalrechnung von rechts nach links fortschreitet, schreitet die Division von links nach rechts vor. Demzufolge setzt sich der Prozess, welcher aus dem Anföngs-gliede a mittelst des Faktors x die Periode einer Phönixzahl von rechts nach links bildet, dnrch erzeugende Division von links nach rechts reproduzirend fort. So haben wir für x Phönixzahl

4 2 1 [O 5 2 6 ... 6 8 4 2 1 |

erhalten, deren Werth durch ein Dezimalkomma bestimmt ist, welches unmittelbar dem Anfangsgliede 1 voranzustellen ist. Die erzeugende Division mit dem Divisor a besteht nun darin, dass, wenn eine Anfangs-

x . x

Ziffer x gegeben ist, zuerst — die in — enthaltene grösste Zahl b ge-

welche x grösser ist als a . b, also die

bildet, die Zahl n aber,

Zahl x — a. b — n links hoch neben b gesetzt oder der Werth von = 10 w -j- b hergestellt und durch a in derselben Weise wie vor-

10 ri\ -j- bi

um

her x dividirt wird, sodass

10 n -f- b

*'b

>hb>

wird. Hierdurch wird als Quotient die Reihe b b\ b% . . . hergestellt. Für a = 2 und x = 1 erhält man auf diese Weise folgende Zahlen. 10 ^

—    giebt x0 = 10, — giebt 5, — giebt x2 = 12,    giebt 6,

—    giebt 3, ~ giebt X1 = 11, giebt x5 = 15, giebt x7 = 17,

— giebt 9, — giebt x4 —- 14, giebt 7,

16 j    8

- giebt 8, y ëiebt

17

— giebt x8 = 18, ~ giebt x3 = 13,

— giebt x6 = 16, —

l,

12

4    . .    2

Y s'iebt 2> Y

— giebt x0 = 10 u. s. w.

giebt 1

Der gesuchte Quotient ist

|0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 j 0 . also genau die durch erzeugende Multiplikation mit 2 aus 1 entstehende Phönixzahl.

also die in Nr. 8 vorgeführte Ziffernreihe der Phönixzahl

u. s. w..

0 3 4 4 8 2 ...

Auf dieselbe Weise erhält man durch erzeugende Division aus dem Divisor 3 die Werthe

Y giebt 1(3 = 10, IT

1 a    oi    v

—giebt ²4 = 24, —— giebt °8 = 8, —- giebt ²2 = 22 o    3    3

13

giebt *3 = 13, — o

giebt *4 = 14,

Der Divisor 11 liefert die Werthe

—— giebt b) = 10,

10

ü giebt lü0 = 100, "Yj- giebt ⁸1 — 81, giebt ⁴ 7 = 47,

100

11

11

giebt L9 = 19,

47

11

n giebt ³4 = 34

u. s. w., also die in Nr. 13 erwähnte Ziffernreihe der Phönixzahl 0 0 9 1 7 4 ...

2-, 3-, . . . /«-fache der Phönixzahl, mithin eine ihr gleiche Periode oder, wenn n gross genug ist, eine Reihe von gleicher Ziffernsumme (mit der in Nr. 16 erörterten Bedeutung) wieder hervorbringt, ist selbstverständlich.

Dass das Æ-fache, sowie das 2 x-, das 3 x-, ... das n x-fache einer Phönixzahl durch x theilbar ist, also durch gewöhnliche Division mit x das 1

So ergiebt    die Division mit 3    in    die Zahl

1578 . . .    263,    welche das 3-fache    der Phönixzahl 052    . . .    421 ist,

wiederum    diese    Phönixzahl, aber    die Division mit 3    in    die Zahl

368 . . . 947, welche das 7-fache der Phönixzahl ist, liefert nicht wieder die Phönixzahl, wohl aber eine mit 18 Gliedern abschliessende Zahl, weil die Phönixzahl, welche die Ziffernsumme 81 hat, durch 3 theilbar ist, und der sich ergebende Quotient

0,12280701754 3 85 9 649

hat wiederum die Zitfernsumme 81.

Auf diese Weise ergeben sich für die gewöhnliche Division der Phönixperiode durch verschiedene Divisoren noch manche Besonderheiten ; dieselben nehmen jedoch nur geringes Interesse in Anspruch, da sie auf Spezialitäten beruhen und keine Allgemeinheit haben.

21. Bemerkenswerth ist, dass, während nach Nr. 15 die Periode einer Phönixzahl, welche aus der Einheit 1 mittelst des Faktors a entspringt, durch die unendliche Summe

. . . + a³. 10:i + a². 10² + a¹. 10¹ + a° . 10°

dargestellt werden kann, Diess auch mittelst des Divisors (i durch die unendliche Summe

a°. 10° a~l . 10⁻¹ -f a~² . 10⁻² -|- a~‘à . 10~³ -(-... oder durch die immer um eine Stelle vorrückenden Werthe von a°, a⁻¹,

a~‘², a~'d

. . . oder von ——

1111

. . geschehen kann, dass also

a ’ a¹' as

die nach links und rechts ins Unendliche sich ausstreckende Summe

«° ’

. . . a². 10² -f a¹. IO¹ + a°. 10° + a~l. 10_1 -f a~². IO“².. .

die Periode der Phönixzahl reproduzirt, insofern nur a einen dazu geeigneten Werth hat.

a ' an

Indem wir die auf einander folgenden Potenzen von a durch Division der vorhergehenden Potenz durch a also — -—y durch bilden, erhalten wir z. B. für a = 2 aus den Werthen von . . . 2² 2¹ 2° 2⁻¹ 2~² 2—3 . . .

oder vielmehr aus den Werthen

. . . 100.2², 10.2\ 1 .2°,

10.2’ 100.2²

1000.2³ “■

folgende Summe

© to

iß i—i o

ca o o

iß LO O O

ca co o o

OT

O o h-i

O O O 05 Ot

CI OO CO o o o

Lßi—1051—IOOO-H

O © IO OO o o

(M CO N O«

'iß i—l CO OO Ca <N

!N >C QO h

IO 'O Cl H

ca OO H H

(L

Ln

...421052631578947368408263125 welche die Periode der durch erzeugende Multiplikation mit 2 nach Nr. 5 entstehenden Phönixzahl deutlich erkennen lässt.

Da bei der Summirung der durch Division entstehenden, nach rechts vorrückenden Zahlen die Werthe der einzelnen Summen von den Addenden abhängen, welche die weiter rechts stehenden Zahlen liefern ; so werden, wenn man die Operation abbricht, die letzten Ziffern der Summe, da sie von unbekannten Perioden abhängen, unrichtig, also aus-zuschliessen sein : es fragt sich daher, bis zu welcher Stelle die erzeugte Summe richtige Ziffern enthält. Diese Frage entscheidet sich am einfachsten dadurch, dass man die Operation so lange fortsetzt, bis in den Vordergliedern eine wiederkehrende Periode deutlich hervortritt. Im vorstehenden Beispiele ist Diess, wenn man mit 2² = 4 beginnt, die Periode 42 ... 68, wenn man mit 2¹ = 2 beginnt, die Periode 21 ... 84. Wenn man jedoch mit 2° = 1 beginnt, würde 10 ... 42 die Periode sein, welche bei vorstehender Operation noch nicht hervorgetreten ist, sondern erst bei der Fortsetzung hervortritt.

Der Faktor a — 2 liefert für alle Potenzen von —- endliche

2

aus

Werthe. Der Faktor a = 3, welcher nach Nr. 8 ebenfalls eine Phönixzahl erzeugt, liefert dagegen lauter unendliche periodische Werthe. Diess hindert jedoch nicht das vorstehende Gesetz, indem man z. B. 3⁸, 3⁷, 3y, 3⁵, 3⁴, 8³, 3², 3¹, 3°, 3“¹, 3~², 3~³, 3~⁴ . . . folgende

10.3 ’    100.3² ’

Summe erhält, hei welcher wir die Werthe von

1000.3³

etc. voll unter einander gesetzt haben.

05

CT I C

CI Ol I-

CO

CO CO

cc

CO

CO o o o o o

O O O O i—¹ CO

CO T—! CO o o o

CO T—I I>- T—I O O

CO T-( O 03 o o

O CO CO i—¹ cc

. . . .72413793103448275.... worin man die Periode der 28-ziffrigen Phönixzahl erkennt.

22. Nach allem Vorhergehenden lässt sich das Wesen der Phönixzahlen durch folgende Sätze charakterisiren, wenn mit p eine Ziffer der Phönixzahl, mit P die ganze Phönixzahl von endlicher Länge oder ihre Periode und mit Q die nach links und rechts ins Unendliche wiederholte Periode P bezeichnet wird.

1.    Die Phönixzahl P entspringt aus der Anfangsziffer 1 durch erzeugende Multiplikation mit einem bestimmten Faktor x, welcher unter Andei'em den Werth 2, 3, 6, 11, 15, 18, sowie manchen höheren Werth haben kann. Die Endziffer der Phönixzahl ist 0.

2.    Die Anzahl der Ziffern einer Phönixzahl ist = 10 . x — 2 und ihre Ziffernsumme = 9 (5 . X— 1).

3.    Die Phönixzahl enthält alle Ziffern 1, 2, 3, ... 9, ⁴0, ¹1, ¹2, ... ⁴9 u. s. w. bis *_10; x~¹1, x~¹2, . . . *_18, jedoch nicht °0 und nicht x~¹9, und zwar jede dieser Zahlen nur einmal.

4.    Die Periode der Phönixzahl lässt sich durch erzeugende Multiplikation und Division nach links und rechts ins Unendliche fortsetzen oder reproduziren und bildet dann die unendliche Periode Q.

5.    Die gewöhnliche Multiplikation der Phönixzahl P mit einer darin enthaltenen Zahl na ergiebt wiederum eine Phönixperiode, welche nur an einer anderen Stelle beginnt.

6.    Die Multiplikation mit einer nicht in der Phönixzahl P enthaltenen Zahl na ergiebt im Allgemeinen eine Reibe, deren Ziffern nach Werth und Anzahl von denen der Phönixzahl abweichen, welche jedoch, wenn der Multiplikator den Werth der Phönixzahl nicht übersteigt, eine Strecke der Phönixzahl und ausserdem überschiessende Ziffern enthält. Die Ziffernsumme dieses Produktes bleibt konstant gleich der Ziffernsumme der Phönixzahl, wenn die nach links überschiessenden Ziffern über die nach rechts überschiessenden gesetzt und so addirt werden.

7.    Wenn der Multiplikator = x~l9 oder ein Vielfaches davon ist, ergiebt sich stets das Produkt 999 ... 999. Der Multiplikator 0 = x~-¹9 . 0 ergiebt das Produkt 000 . . . 000.

8.    Die unendliche Periode Q wird durch die Multiplikation oder Division mit irgend einer einfachen oder zusammengesetzten Zahl nicht geändert, insofern diese Zahl nicht = v~*9 . a ist, in welchem Falle das Produkt stets die unendliche Reihe . . . 9999 . .. = 1000 . . . 0000 . . . = .. . 0000 .. . bildet. (Die Werthe x-19 = x-19 . I und 0 = *⁻¹9.0 sind als Vielfache von x_19 zu betrachten).

9.    Die Summe von zwei oder mehr unendlichen Perioden Q ergiebt wiederum dieselbe unendliche Periode Q, insofern nicht die Faktoren, deren Produkte die zu summirenden Perioden bilden, die Summe x9 . a haben, in welchem Falle die Summe stets = . . . 0000 . . . ist.

Q-2 — R ist, muss Qi R — Qi sein, auch R = Qi die Periode Q darstellt.

da aus

10.    Das Nämliche gilt von der Differenz zweier unendlichen Perioden Q. Denn wenn Q\ -

V)

19,

was nur möglich ist, wenn Beispielsweise ist für x — 2, also ³⁷⁻¹9

P = . . . 6 8 4 2 1 J 0 5 .... der Werth 20 . P = . . . 3 6 8 4 2 1 | 0 5 . . . = 1 . P folgt,

= 20.

cc cc

■ID CO

-X OC

IC IC

Qi — Qz = 19. p = . . . 0 0 0 0 0 01 0 0 ...

11.    Da die Multiplikation mit a und die Division mit b die Periode Q nicht ändert ; so lässt auch die Multiplikation mit dem

a

rationalen Faktor —j- diese Periode ungeändert.

12.    Ebenso folgt, dass jede ganze Potenz Q" und jede ganze

Wurzel Qb, sowie dass jede rationale Potenz Qh die unendliche Periode Q besitzt.

13.    Die unendliche Periode Q ist daher, abgesehen von den be-zeichneten Ausnahmen, welche die Periode . . . 0000 . . . ergeben, weder durch Addition oder Subtraktion gleicher Perioden, noch durch Multiplikation oder Division mit beliebigen Zahlen, noch durch Potenzirung oder Wurzelausziehung zu verändern.

14.    Diese Eigenthümlichkeit kömmt nur den Phönixzahlen P, bezw. ihren Perioden Q, keiner anderen Zahlenreihe zu.

15.    Die Werthe des Faktors x, welche ausserhalb der im Satze 1 angeführten Zahlen liegen, also die Werthe 0, 1, 4, 5 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, .17 und andere liefern keine vollständige, aber eine unvollständige Phönixzahl P, welcher ebenfalls eine unendliche Periode Q entspricht. Die vollständigen und die unvollständigen Phönixzahlen haben die Sätze 5, 7, 8, 9, 10, 11 mit einander gemein, wenn die im Satze 7, 8, 11 erwähnte gewöhnliche Multiplikation oder Division mit Zahlen ausgeführt wird, welche in der unvollständigen Phönixzahl enthalten sind und wenn die im Satze 9 und 10 erwähnte Addition oder Subtraktion auf Produkte aus solchen Zahlen zurückführt.

16. Die Frage, welche Faktoren x vollständige und welche unvollständige Phönixzahlen ergeben, findet ihre Beantwortung durch die Herstellung aller avfachen der Einheit 1 durch erzeugende Multiplikation : ein anderes interessantes Bildungsgesetz ergiebt sich jedoch folgender-maassen. Nach Nr. 15 kann die durch den Faktor x erzeugte Phönixzahl P als die aus 10. x — 2 Ziffern bestehende Anfangsstrecke der Summe unausgesetzt vorgeschobener Potenzen der Zahl x von der Potenz x° bis zur Potenz p⁰*⁻²-¹ = x10x~³ dargestellt werden, indem die darüber liinausschiessenden Ziffern für die Phönixzahl nur die Bedeutung haben, dass sie mit den höheren Potenzen von x die Fortsetzung oder vielmehr die Reproduktion der Phönixperiode erzeugen. Bezeichnen wir die Summe dieser ausgeschlossenen Ziffern mit A und die ganze Summe einschliesslich der Ziffern A mit S : sodass also S — A -j- P ist ; so hat man

.. . + (x. 10)² + (x. 10)¹ + (x. 10)°

S = (x. 10)

4- (x . 10)

10 x—i

10«—3

Multiplizirt man S mit (x . 10)¹ und subtrahirt von dem Produkte (x . 10) S den Werth von S; so ergiebt sich

— (x. 10)°

(x . 10 — 1) S = (x . 10)

10« —2

also

(x. IO)¹⁰*“² — 1

Hieraus folgt, dass der Zähler von S durch den Nenner x. 10 — 1 theilbar sein muss, welchen ganzen Zahlwerth die Grösse x auch haben möge, und dass die ersten \0 x — 2 Ziffern dieses Quotienten S die Ziffernreihe der Pliönixzahl P darstellen. Beginnt diese Reihe mit 1 und schliesst sie mit 0 und bildet sie eine einzige Periode ; so ist P eine vollständige Phönixzahl ; beginnt sie aber nicht mit 1 oder schliesst sie nicht mit 0 oder bildet sie eine Reihe gleicher Perioden ; so ist P eine unvollständige Phönixzahl.

Zur Erläuterung diene der Fall x = 2, also die durch den Faktor 2 entspringende Phönixzahl mit der Ziffernanzahl 10 x — 2 = 18. Man hat hierfür

(2 . 10)¹⁸ — 1

19

Da 2¹⁸ = ((2²)³)³ = 262 144 ist; so ist

(2 . 10)¹⁸ = 2¹⁸ . 10¹⁸ = 262 144 000 000 000 000 000 000 (2 . 10)¹⁸ — 1 = 262 148 999 999 999 999 999 999

Dividirt man diese Reihe durch 19; so kömmt

S = 13797052631578947368421 Diese Reihe beginnt mit 1, schliesst in den ersten 18 Gliedern mit 0 und bildet eine einzige Periode, stellt also eine vollständige Phönixzahl P = 052631578947368421

dar.

Nähme man einmal x = 1, also 10 x — 2 = 8 und 10. x—1 = 9;

so wäre

(1 . 10)⁸ — 1

100000000 — 1

99999999

Diese Reihe beginnt zwar mit 1, schliesst aber in den ersten 8 Gliedern nicht mit 0 und bildet auch keine einzige Periode, sondern das 8-fache der Periode 1, ist mithin keine vollständige, sondern eine unvollständige Phönixzahl vom Werthe 1.

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Von dem Verfasser sind folgende Werke erschienen:

Die mechanischen Prinzipien der Ingenieiirkunst und Architektur. 2. Bde. Auf Grundlage des englischen Werkes von Moseley.

Die Prinzipien der Hydrostatik und Hydraulik. 2 Bde., enthaltend die Statik und Mechanik der flüssigen und gasförmigen Körper.

Die Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken.

Die Theorie der Festigkeit gegen das Zerknicken.

Die Elastizitätsverhältnisse der Röhren, welche einem hydrostatischen Drucke ausgesetzt sind.

Über Gitter- und Bogenträger.

Über die Festigkeit der Gefässwände, insbesondere über die Haltbarkeit der Dampfkessel.

Imaginäre Arbeit, eine Wirkung der Zentrifugal- und Gyralkraft, mit Anwendungen auf die Theorie des Kreisels, des rollenden Rades, des Polytropes, des rotirenden Geschosses und des Tischrückens.

Die Ursache der Dampfkesselexplosionen und das Dampfkesselthermometer als Sicherheitsapparat.

Über das Yerliältniss der Arithmetik zur Geometrie, insbesondere über die geometrische Bedeutung der imaginären Zahlen.

Der Situationskalkul, eine arithmetische Darstellung der Geometrie auf Grund abstrakter Auffassung der räumlichen Grössen.

Die unbestimmte Analytik, enthaltend die diophantischen Gleichungen des ersten und zweiten Grades, die endlichen und die periodischen Kettenbrüche, die Theorie der Ungleichheiten, die Kongruenz der Zahlen, die Zahlentheorie u. s. w. in reellen und komplexen Zahlen.

Die Auflösung der algebraischen und transzendenten Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten in ideellen und komplexen Zahlen.

Methodus nova aequationem indeterminatam secundi gradus duas in-

cognitas implicantem per numéros integros solvendi.

inauguralis.

Dissertatio

Die Umbildung der deutschen Rechtschreibung mit Bemerkungen über die Umgestaltung der deutschen Maassordnungen.

Körper und Geist. Betrachtungen über den menschlichen Organismus und sein Verhältniss zur Welt.

Die physiologische Optik. Füne Darstellung der Gesetze des Auges. 2 Bde. Die Gesetze des räumlichen Sehens. Supplement der physiologischen Optik.

Die Theorie der Augenfehler und der Brille.

Sterblichkeit und Versicherungswesen.

Betheiligung am Gewinne und Nationalversorgung.

Die Regelung der Steuer-, Einkommen- und Geldverhältnisse.

Vorschläge für die Alters- und Invalidenversicherung.

Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen.

Die magischen Figuren.

Die Naturgesetze. 4 iheile und 3 Supplemente:

1. Thfiil : Die Theorie der Anschauung oder die mathematischen Gesetze. Die Theorie der Pirscheinung oder die physischen Gesetze.

Die Theorie der Erkenntniss oder die logischen Gesetze.

„ Die Theorie des Bewusstseins oder die philosophischen Gesetze, 1. Supplement: Wärme und Elastizität.

Elektrizität, Galvanismus und Magnetismus.

Die Theorie des Lichtes.

Die Welt nach menschlicher Auffassung.

Die Grundlagen der Wissenschaft.

Die Hydraulik auf neuen Grundlagen.

Die Vorbildung für das Staatsbaufach und die Schulreform.

Beiträge zur Theorie der Gleichungen.

Beiträge zur Zalilentheorie.

Die quadratische Zerfallung der Primzahlen.

Beweis eines Satzes aus Legendre’s Zahlentheorie.

Die Äquivalenz der Naturkräfte und das Energiegesetz als Weltgesetz. Das Wesen der Mathematik und der Aufbau der Welterkenntniss auf mathematischer Grundlage.

Die Grundfesten der Welt, als Anhang: Selbstkritik.

2.

3.

4.

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3.

BIBLIO T

KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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