WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Zur Methodik der Elementar-Mathematik.

Zur Geometrie.

Donie, Prof. Dr. W., Grundriß der Experimentalphysik für

Zur Methodik der Elementar-Mathematik.

Winke für Lehramtskandidaten und jüngere Lehrer von

F. Schneider,

Gymnasialprofessor.

Mit 30 in den Text gedruckten Figuren.

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STUTTGART UND BERLIN FR. GRUB VERLAG 1908

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KRAKOW

Druck von Carl Grüninger, K. Hofbuchdruckerei Zu Gutenberg (Klett & Hartmann), Stuttgart,

Äke. Nr. _

Waldenburg

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Vorwort.

Was ich hier Kandidaten und jüngeren Kollegen für den Unterricht in der Elementarmathematik anbiete, soll keine Methodik sein, wohl aber eine Ergänzung der meisten Lehrbücher nach der Richtung der Methodik, wo das scheinbar Selbstverständliche doch nicht für alle auf der Straße liegt. Daß ich dabei nicht ausschließlich an die Kandidaten bloß denke, sondern auch an Kollegen, die das Probejahr hinter sich haben, werden mir diese, nachdem sie die Schrift gelesen haben, sicher nicht verübeln. Vielleicht ist manches, was ich vorbringe, in gewissem Grad Geschmackssache, vielleicht aber doch weniger, als es auf den ersten Blick scheinen kann. Manches mag man wertlose Pedanterie nennen; aber jeder ältere Schulmann weiß, daß die Schule auf gewisse Pedanterien nur zu ihrem eigenen Schaden verzichten kann.

Es kann nämlich so wenig als bei anderen Unterrichtsfächern gleichgültig sein, auf welche Weise im einzelnen man der Jugend in unseren Schulen die Mathematik beibringt. Ein großer Teil unserer Schüler in den Mittelschulen studiert später nicht Mathematik ; aber bei allen, auch bei denjenigen, die sich der Technik oder dem mathematischen Spezialstudium zuwenden, kann die Methode hemmend oder fördernd wirken, ja auf die ganze Geistesentwicklung von günstigem oder ungünstigem Einfluß sein. Am meisten wird sich dies geltend machen bei denjenigen unserer jungen Leute, die mit dem Übertritt zur Hochschule die Mathematik für immer hinter sich lassen. In beiden Fällen aber wird man nicht nur wünschen, sondern verlangen müssen, daß den Schülern aus dem mathematischen Unterricht möglichst viel Nutzen für Zucht und Übung von Geist, Auge und Hand erwachse. Es darf also

IV keine Zeit verloren gehen, der Lehrer muß das Ziel klar vor Augen haben und unverrückt festhalten, er muß die wesentlichen Dinge, die wichtigen Rücksichten, die Klippen und Hauptschwierigkeiten in jedem Teil des Lehrstoffs genau kennen und wissen, wie er ihnen gerecht werden, beziehungsweise sie überwinden will.

Um zwei Dinge handelt es sich im wesentlichen: Erstens um die mündliche Anweisung, den Vortrag des Lehrers, also um die von ihm zu verwendenden Worte, Bezeichnungen, Definitionen, seine mündliche und schriftliche Darstellung eines arithmetischen, algebraischen, geometrischen Satzes, einer Lösung, einer Beweisführung, Determination usw. ; zweitens um die Reproduktion und selbsttätige Nachahmung des vom Lehrer gegebenen Beispiels durch den Schüler, bezw. den Zwang, den die Schule ausübt, indem sie einen Gedankengang, eine Beweisführung, eine schriftliche Darstellung wiederholen, auf verwandte und auf neue Fälle anwenden läßt. Dieser Zwang bezieht sich zum Teil auf schriftliche und zeichnerische Arbeiten, auch auf die Schrift an sich, auf die spezielle Anordnung schriftlicher Lösungen, auf die Führung der Hefte, auf die genaue, prüfende Betrachtung graphischer Darstellungen usw.

Wäre an einer Schulanstalt nur immer ein Lehrer für ein bestimmtes Fach aufgestellt, der die Schüler von ihrem Eintritt an durch alle Klassen hindurch uuterrichtete, so wären die Mißstände, welche sich durch irgendwelche Eigentümlichkeiten seiner Methode ergeben, geringer, insofern sie durch die Konsequenz derselben während einer Reihe von Jahren kompensiert würden, vorausgesetzt, daß er eine brauchbare Methode überhaupt befolgte. Im anderen Fall ist der Wechsel des Lehrers ein Glück. Bekommen aber verschiedene Lehrer nach einander im selben Fach die Jungen in die Hand, so stört es sehr, wenn sie verschiedenen Methoden huldigen, gewissermaßen eine verschiedene Sprache reden, und der eine mit gelindem Spott vielleicht manches niederreißt, was der andere mit Mühe und Strenge eingeführt hat.

Die hier kurz dargelegten, zum Teil formellen Rücksichten scheinen mir bedeutsam genug zu sein, um die paar Blätter dieser Schrift jedem Fachmann in die Hand zu drücken, damit er wenigstens veranlaßt werde, Stellung zu den darin vertretenen Ansichten und Praktiken zu nehmen. So könnte endlich auch erreicht werden, daß auf dem Gebiet des elementar-mathematischen Unterrichts nicht nur in den verschiedenen Klassen, sondern auch an den verschiedenen Lehranstalten, welche oft genug ihre Schüler unter einander aus-tauschen, der unangenehmen, häufig direkt hinderlichen Verschiedenheit der technischen Ausdrücke, der Methode im einzelnen und der schriftlichen Darstellung ein Ende gemacht würde.

Den Hinweis auf eine langjährige Erfahrung will ich unterlassen — er ist nicht zwingend im Sinn der Annahme meiner Vorschläge. Auch der Schlendrian kann auf Langjährigkeit hin-weisen. Wenn ich später sagen könnte, fruchtbringende Anregung gegeben zu haben, so wäre ich zufrieden; denn ich kenne die erstaunliche Zähigkeit, mit der die Mathematiker an den von ihren Lehrern überkommenen und in Lehrbüchern, besonders Schulbüchern, niedergelegten methodischen und anderen Spezialitäten hängen.

El Iwan gen, Ostern 1908.

F. Schneider.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

1—22

23—36

36— 37

37— 40 41—59 60-61 62-64

Zur Arithmetik.............

Zur Geometrie..............

Zur Stereometrie.............

Zur Trigonometrie............

Anhang. Geometrische Beispiele . .

Trigonometrische Beispiele Algebraische Beispiele . .

Verzeichnis der behandelten Beispiele.

Zur Geometrie.

CO    CO CO O Cg g    CO CO O yH rH ^ Cg ^ ^

1.    Satz von den Diagonalen des Rechtecks..............

2.    Satz von konzentrischen Parallelogrammen.............

3.    Satz vom Quadrat der Höhe im rechtwinkligen Dreieck.......

4.    Satz vom Quadrat über der Differenz zweier Strecken........

5.    Aufgabe.    Ein Parallelogramm zu    zeichnen    aus    2 s, ß,    e.......

6.    Aufgabe.    Einem gegebenen Kreis    einen Rhombus von    gegebenem Inhalt

zu umschreiben.....................

7.    Aufgabe. A aus a, hb, (>.....................

8.    Aufgabe. Gleichschenkliges A aus hb, q..............

9.    Aufgabe. A aus b — c = d, hb : ta = m : n, «..........

10.    Aufgabe. A aus a, ta, tb....................

11.    Aufgabe.    A aus tb, tc, «....................

12.    Aufgabe.    A aus 2 s, p, «....................

13.    Aufgabe.    Einem gleichschenkligen Dreieck    ein    Parallelogramm    vom In

halt q² einzubeschreiben.................

14.    Geometrische Berechnung.....................

Zur Trigonometrie.

15.    Aufgabe. A aus a, ß, y.....................

16.    Aufgabe. A aus a, b, y.....................

17.    Bestimmung einer Entfernung mit Hilfe der wirklichen und scheinbaren

Größe .........................

Zur Algebra.

18.    Bewegungsaufgabe........................

19.    Exponentialgleichung.......................

20.    Anwendung der arithmetischen Reihe................

21.    Beispiel einer einfachen Rentenrechnung ..............

Zur Arithmetik.

Übung macht den Meister. Das Rechnen ist einerseits ein Mechanismus, anderseits eine Anwendung der Logik auf rein formelle, dann namentlich auf praktische, in einem Text niedergelegte, oft auch versteckte Beispiele, und selbst als elementare Arithmetik nicht immer jedem Schüler leicht.

Das mechanische Rechnen bis zu einem gewissen Grad von Gewandtheit zu lernen, sollte keinem normalen Schüler erspart bleiben. Der Lehrer darf aber, um jenen Grad von Übung zu erzielen, anfangs nur sehr langsam Vorgehen und muß sich — wie in allen anderen Fächern — stets vergegenwärtigen, daß die Talente der Schüler sehr verschieden sind. Ganz allmählich rechnet man etwas schneller und sieht darauf, daß alle Schüler mitkommen. Der Lehrer sollte selbstverständlich der beste Rechner in der Klasse sein und dazu gehört Übung und zwar auch Übung in größeren Zahlen. Ich sage dies mit Rücksicht auf die höheren Klassen mit älteren, reiferen Schülern. Nie darf der Lehrer ein Zahlenbeispiel, das er mit seinen Schülern begonnen hat, stecken lassen mit dem Seufzer, daß die Zahlen zu groß seien. Im Gegenteil, die Schüler müssen nach und nach eine Freude daran bekommen, mit großen Zahlen zu operieren. Für alles spätere Umgehen mit Zahlen, Logarithmen, trigonometrischen Funktionen usw. ist das flotte Rechnen fast unerläßlich. In allen Fällen spart es viel Zeit und Verdruß. ¹

Viele Schüler haben vor den Zahlen Angst, es sind diejenigen, deren Gedächtnis für Zahlenbilder untreu oder fast unempfänglich ist, und die daher, wie man sich ausdrückt, kein Talent zum Rechnen und namentlich keines zum Schnellrechnen haben. Nicht selten bleiben sie deshalb zurück, weil sie beim Kopfrechnen nie fertig werden, sich daher bald in diesem Fach schwach fühlen, befangen sind und nun aus doppeltem Grund nichts mehr merken können. Die Konzentration auf Zahlen und Zahlenaufgaben ist vielleicht die größte geistige Anstrengung, die man jungen Schülern zuzumuten hat, für viele von ihnen bleibt auch später diese ganze Art von Abstraktion eine dermaßen unangenehme Arbeit, daß sie es nie zu einer Selbständigkeit gegenüber von arithmetischen und algebraischen Aufgaben von nicht ganz elementarer Beschaffenheit bringen. Wenn aber ein sonst normaler Schüler nicht einmal zum sicheren Besitz des kleinen Einmaleins und einer ziemlichen Fertigkeit in den ersten vier Spezies gelangt, so möchte man versucht sein, es der mangelnden Konsequenz seines Rechenlehrers zuzuschreiben.

Für alles Zifferrechnen ist die sogenannte Neunerprobe eine außerordentlich wertvolle Kontrolle, die man daher auch ganz jungen Rechnern beibringen sollte. Es ist gar nicht erforderlich, daß sie dieselbe gleich anfangs verstehen — sie lernen genug Dinge mechanisch auswendig, ohne sie zu begreifen, so ja u. a. auch das heute gebräuchliche Multiplikations- und Divisions-Schema mit mehrstelligen Zahlen. Später in der elementaren Algebra hat es keine Schwierigkeit, diese Probe jedem klar zu machen.²

Man habe beispielsweise durch Multiplikation gefunden:

348.4657 = 1620636.

Zum Zweck der Probe hat man den Rest nach 9 für 348 und für 4657 zu ermitteln, diese beiden Reste miteinander zu multiplizieren, von dem erhaltenen Produkt wieder den Rest nach 9 zu bestimmen und endlich diesen mit dem Rest nach 9 bei 1620 636 zu vergleichen bezw. deren Gleichheit festzustellen. Dieser Rest einer dekadischen Zahl ist aber stets auch der Rest ihrer Quersumme, und wenn diese Quersumme eine zweizifferige Zahl ist, so hat man auch von dieser wieder bloß die Quersumme zu nehmen u. s. f., bis man eine einstellige Zahl erhält; die Ziffer oder die Summe 9 wird dabei einfach weggelassen.

Man läßt also für das vorliegende Beispiel den Schüler sprechen :

(für 348)

CO H

„ , 7, 15 Rest 6“,

( „ 4657) „4, 10, , 6, 13    „    4“,

„Produkt 6.4 = 24, Rest 6“;

„1, 7, 0, 6,    „    6“.

Die ganze Probe wird auf den Rand des Blattes gesetzt und beansprucht nur einen minimalen Platz. Der Schüler schreibt nur: a) 6.4 = 24, R = 6

( „ das Resultat 1620636)

b)

R = 6.

Stimmen Rest a) und Rest b) überein, so ist die Probe fertig, das Resultat richtig. Stimmen sie nicht überein, so ist (die Operationen in der Probe selbst als richtig vorausgesetzt) das Resultat (vorhin die Zahl 1620636) sicher unrichtig. Allerdings kann bekanntlich die Neunerprobe auch stimmen, wenn eine der Quersummen um 9 oder ein Vielfaches von 9 zu groß oder zu klein ist. Der Fall, daß diese Abweichung eintritt, ist aber erfahrungsgemäß viel seltener als die Tatsache, daß ein Schüler beim wiederholten Multiplizieren oder Dividieren an derselben Stelle denselben Fehler macht.

vorigen Beispiel: 20 hat die Quersumme 2. Somit ist der Rest der Zahl 2477 nach 9 eben die Zahl 2.

Hat man nun z. B. zwei Zahlen N und N, zu multiplizieren, die nach obigem die Form 9 Z -f- r und 9 Z, + r, haben, so findet man (9 Z -f- r) (9 Z, 4- r,) = 81 ZZ, + 9 Zr, -|- 9 Z,r -|- rr, =    rr,, d. h. das Produkt jener Zahlen besteht

aus einer Neunerzahl samt dem Produkt ihrer Reste nach 9. Der Rest des Produktes N. N, nach 9 ist derselbe wie der des Produktes rr, nach 9. Die Neunerprobe besteht nun eben darin, daß der Rest nach 9 bei dem durch wirkliches Multiplizieren gefundenen Produkt jener beiden Zahlen mit dem Rest des Produktes rr. übereinstimmen muß.

Zur Prüfung der Richtigkeit einer Division ist die Neunerprobe ebenso einfach. Hat man gerechnet 4891237 I 329 1601 1316

14866, so läßt man den Schüler sprechen:

to to

QO ©

lO CO

to to

2203

1974

Der Dividend ergibt: 4, 12, 3, 4, 6, Rest 7 Der Divisor    ,,

Der Quotient    „

Der Rest

1-H co

Rest 5 I Produkt 35 , , 13, 4,1, Rest 7 j Rest 8 Rest 8

2297

323

Schließlich 8 —f- 8 = 16, Rest 7 wie oben.

Für Potenzen liegt die nötige Abänderung auf der Hand. Es sei beispielsweise zu rechnen 758⁴ als (758²)².

064

298

256

CO CO

34

473

84

287

282

(758² =) 5741564

CN © I>*

298

219

282

256

48

330123 790 096

Man benützt die Probe natürlich schon für 758².

tO tO

Also Rest der Basis..........

.2 = A I

„ des Quadrats.........

„ Resultats 574 564 .....

„ Biquadrats (4.4 — 16) . . .

„ Resultats (3301 Die vorige Ausrechnung des Produkts 330 ... 96 erinnert den Praktiker an die üble Gewohnheit der Schüler, die Teilprodukte schief nach links untereinander zu setzen, und beim Addieren den entgegengesetzten Fehler zu machen, indem sie die Einerziffer viel zu weit rechts setzen, eine Quelle zahlloser Verstöße, abgesehen von dem Mangel an Ordnung und Geschmack. Es empfiehlt sich deshalb wie oben, je nach 3 Ziffern einen dünnen Strich parallel dem linken oder rechten Rand des Blattes ziehen zu lassen.

Bezüglich des Anschreibens der Brüche und Gleichheitszeichen mag hier eine Bemerkung Platz finden, die nicht ganz unwichtig

ist. Der Übersichtlichkeit und Konsequenz halber dürfen die Bruchstriche nie anders als horizontal (d. h. hier parallel den Zeilen der übrigen Schrift) geschrieben werden, mögen auch Kaufleute oder sonstige Rechner die schiefen Bruchstriche lieben. Der Bruchstrich ist stets zuerst zu schreiben, nachher erst Zähler und Nenner. In Gleichungen müssen die Bruchstriche erster Ordnung, die Plus- und Minuszeichen mit dem Gleichheitszeichen genau in derselben Zeile stehen, die Gleichheitszeichen der verschiedenen Formen einer Gleichung bei der sukzessiven Auflösung alle streng unter einander in einer zu den sonstigen Zeilen senkrechten Kolumne. Alle diese Äußerlichkeiten müssen den Schülern von Anfang an eingeschärft werden, so daß sie bald Gewohnheitssache sind — sie schützen vor zahlreichen Rechenfehlern, erleichtern die Übersicht und Durchsicht arithmetischer und algebraischer Aufgaben ungemein, und gewöhnen Auge und Hand an Eleganz schriftlicher Darstellungen. Es braucht nicht betont zu werden, daß der Lehrer beim Schreiben an der Wandtafel zuallererst sich streng an diese Regeln zu halten hat.

Nicht selten mag es sein, daß ein Schüler beim Bruchrechnen auf die Meinung kommt, es gebe eigentlich nur eine richtige Art, Brüche gleichnamig zu machen, weil es nur einen Hauptnenner gebe. Er hat gesehen, daß man „den“ Hauptnenner sucht, und wenn er etwas denkt, so muß er daraus schließen, daß es nur einen solchen gibt. Der Lehrer wird gut tun, darauf hinzuweisen, daß es unendlich viele Hauptnenner für irgend eine Gruppe von Brüchen gibt, und es empfiehlt sich, mehrere Beispiele unter Anwendung verschiedener Hauptnenner zu rechnen. Man sollte daher streng genommen stets vom kleinsten Hauptnenner als vom kleinsten gemeinschaftlichen Dividendus der Partialnenner sprechen.

Das Aufsuchen des „Hauptnenners“ im letzteren Sinn geschieht am besten so: Man zerlegt die Partialnenner in ihre kleinsten Faktoren, schreibt jeden vorkommenden Faktor dort heraus, wo er am öftesten stellt, und bildet das Produkt dieser (ausgewählten) Faktoren. Es ist überflüssig, derartige Übungen anders als an kleinen und mittelgroßen Nennern vornehmen zu lassen; Brüche mit großen Nennern verwandelt man bequemer in Dezimalbrüche.

Wichtig ist es, den Schülern immer wieder klar zu machen, daß der Wert eines Bruches oder Quotienten durch Erweitern oder Abkürzen (Vereinfachen) nicht geändert wird; ebenso daß

für den Fall zwar a gegen a sich hebt, wie man sich auszudrücken pflegt, daß aber damit nicht der Wert des Bruches Null wird, sondern eben 1 bleibt. Dabei ist Gelegenheit gegeben, über den Summand 1 und den Faktor 1 das Nähere zu sagen.

Zu den Brüchen noch die Bemerkung, daß der Lehrer erfahrungsgemäß Mühe hat, den Schülern abzugewöhnen, vom Multiplizieren und Dividieren eines Quotienten statt vom Erweitern und Vereinfachen zu sprechen. Das Vereinfachen von Formen wie

A + l

^j— sollte besonders geübt werden, und

oder

3^5

der Schüler muß die Regel kennen, daß man hier den Hauptbruch mit dem kleinsten Dividendus der Nenner der Nebenbrüche zu erweitern hat. Für solche Fälle, oder auch wenn aus einer Gleichung, welche Brüche als Glieder enthält, die Nenner der letzteren entfernt werden sollen, ist es gut, rasch den Erweiterungsfaktor ablesen zu können: er ist das Produkt derjenigen Faktoren des

Hauptnenners, die nicht im Nenner des betreffenden Bruches stehen. Man spricht hier eventuell von einem zweiten, dritten Faktor 2, oder a

usw.

Für den Anfänger ist es geraten, den gefundenen Hauptnenner nebenan etwa auf den freien Blattrand zu setzen, hinter einen senkrechten Strich, der die Nebenrechnungen abgrenzt.

An die Lehre von der Zusammenfassung von Brüchen mit Hilfe eines Hauptnenners kann der Unterricht bei vorgerückteren Schülern die Betrachtung über die Veränderung eines Quotienten anknüpfen, in welchem man zum Zweck der Abrundung eine un-

Sb

richtige Operation vorgenommen hat, wie wenn statt der Quo-a ± m

tient

oder

b ± n

Zahlenbeispiel, (d. h. -?-) statt ^

gesetzt wird, oder an einem konkreten

39’

36    6

42 (d- h- y) statt

356

417

usw.

Im zweiten obigen Beispiel beträgt er nur

Der Fehler ist proportional der Differenz zwischen Zähler und Nenner des betreffenden Bruches und proportional der addierten oder subtrahierten Zahl für den Fall, daß gleiche Größen zum Zähler und Nenner addiert oder von ihnen subtrahiert wurden.

356    6 _ 10

417    7 — 2919

Auch der Schüler erkennt

3

= 0,0031, also nicht viel über -Jqqq-

leicht, daß je größer Zähler und Nenner, je geringer ihre Differenz, und je kleiner relativ die addierten oder subtrahierten Zahlen sind, um so mehr der abgerundete Wert sich dem wirklichen nähert. Zahllose Angaben im praktischen Leben sind genau genug als abgerundete Werte oder können nur als solche, als Näherungswerte, gewonnen werden.

Auf einer gewissen Stufe lieben es die Schüler sehr, Brüche, mit denen sie zu tun haben, in Dezimalbrüche zu verwandeln, auch wenn kein Grund dazu vorliegt. Sie müssen daher schon frühzeitig auf die Unvollkommenheiten der Dezimalbrüche und der Dezimalteilung überhaupt, neben deren Vorzügen, hingewiesen werden. Sie verstehen bald, daß es manchmal viel umständlicher, unpraktisch, ja zuweilen geradezu verkehrt ist, mit Dezimalen statt mit gemeinen Brüchen zu rechnen, und es ist gerade nicht übermäßig schwierig, sie darin zu selbständigem Urteil zu führen.

Die einfacheren endlichen Dezimalbrüche, welche den Brüchen mit den Nennern 5, 25, 125, 2, 4, 8 entsprechen, sollte jeder Schüler auswendig merken, ebenso die Dezimalbrüche 0,33 . . .,

CD! 03

0,444 . . ., welche gleich

4

, — usw. sind. Die Regel über das Ab-

runden eines Dezimalbruchs sagt ihm, daß man den periodischen Bruch 0,999 . . . überhaupt nicht verwendet ; bei den übrigen solchen unendlichen Dezimalbrüchen wird je nach dem Grad der angestrebten Genauigkeit 0,556, 0,6667 usw. gesetzt.

Dies führt auf eine Seltsamkeit im Ablesen der Dezimalbrüche, die nicht übergangen werden darf. Manche Lehrer lassen den Schüler beispielsweise den zweistelligen Bruch 0,27 als „Null, Komma, sieben und zwanzig“ lesen, vielleicht auch noch 0,278 als „Null, Komma, zweihundert und acht und siebzig“, weil sie die

Dezimalbrüche an dem Beispiel von Mark und Pfennig, bezw. von Meter, Dezimeter, Zentimeter, Millimeter erklärt haben. Abgesehen davon, daß manchem Schüler auf diese Weise die Meinung erwachsen kann, als ob Dezimalbrüche von rechtswegen nur zwei oder drei Stellen haben dürfen, ist es unpraktisch und inkonsequent, so zu lesen. So wenig es jemand einfällt, beispielsweise den Bruch 23759 41896

mit schiefgestelltem Bruchstrich zu schreiben, so wenig liest

man den Bruch 0,48193 als Hunderttausendstel. In derselben Konsequenz schreibt man alle Brüche mit quer gestelltem Bruchstrich und liest alle Dezimalbrüche einfach als Ziffernreihe hinter dem Komma.

Zu dem, was jeder junge Rechner auswendig zu merken hat, gehören auch die kleinen Kunstgriffe, wenn man will, um eine Zahl rasch mit 5 oder mit 25, 125 usw. zu multiplizieren, eine zweiziffrige Zahl mit 11 zu multiplizieren, und die Regeln, nach welchen eine Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ohne Rest teilbar ist. Nur wenn man diese Rechenvorteile frühzeitig übt, gereichen sie dem Schüler wirklich zum Nutzen. So auch erlaube man von einer gewissen Stufe an nicht mehr, daß der Schüler zwei Zahlen, die er mit einander multiplizieren soll, immer fein säuberlich unter einander setze, oder bei der Berechnung des Quadrats einer Zahl diese doppelt anschreibe und was dergleichen für Anfänger nötige Umständlichkeiten mehr sind.

Nicht immer ist es das Zweckmäßigste, eine Multiplikation in der gewöhnlichen Weise auszuführen. Statt eine Zahl mit 19 zu multiplizieren, schreibt man ihren zwanzigfachen Betrag unter die Zahl und subtrahiert die obere von der unteren; statt eine Zahl mit 72 zu multiplizieren, schreibt man ihr Neunfaches irgendwo (auf den Platz für Nebenrechnungen) an, und nimmt davon den achtfachen Betrag usw. Dadurch erspart man sich manche unnötige Schreiberei, und es ist sehr zu empfehlen, den Schüler zur möglichsten Einschränkung auch der Nebenrechnungen anzuhalten. Bei logarithmischen Rechnungen zu Zinseszins- und Rentenaufgaben insbesondere lohnen sich diese Vereinfachungen sehr; soll hier z. B. ein mit 47 multiplizierter Logarithmus addiert werden, so braucht man nicht in einer Nebenrechnung 47mal jenen log. zu nehmen, man setzt in das Hauptscliema 40 log. und darunter 7 log., ohne sie für sich zu addieren. Weiteres über logarithmisches Rechnen s. unten.

Eine Vereinfachung anderer Art in der rechnerischen Arbeit erzielt man dadurch, daß man die Schüler so früh als möglich den Schluß vom Vielfachen auf das Vielfache als einen einzigen ansehen und ausführen lehrt. Also z. B. wenn 17 Kilo eine Summe

25    10

kosten, so kosten 25 Kilo — mal so viel, 10 Kilo — mal so viel. Ebenso den Schluß von der gebrochenen Einheit auf die Ein-

7

heit; z. B. in — Jahren verdient jemand eine gewisse Summe, also

JL u

12

in 1 Jahr —mal so viel (Multipl. mit dem reziproken Wert). Hierher gehört auch die Teilung einer Größe a in dem gegebenen

m

Verhältnis m : n, wo der Schüler ohne weiteres die Teile-;--a

m-pn

und

m ^ rc • a angibt ; bei der geometrischen Teilung einer Strecke

für den äußeren Teilpunkt —¹¹¹— • a, und —---a, was zugleich

x    ja_n    m — ii

ein Anlaß ist, auf den Zusammenhang zwischen entgegengesetzten Vorzeichen und entgegengesetzten Richtungen hinzuweisen.

Es versteht sich von selbst, daß man die Schüler, welche in die Algebra eingeführt werden, sobald sie mit den Formen (a ± b)², (a -J- b) (a — b) usw. vertraut sind, bei arithmetischen Auswertungen dazu anhält, jene Formen zu benützen, wenn sie eine kürzere Rechenarbeit erlauben. Auch wird man bei der Auflösung von Proportionen nicht zuerst das Produkt der inneren Glieder gleich dem der äußeren setzen, sondern sofort das eine unbekannte Glied bezw. die Unbekannte selbst anschreiben lassen (gleich dem Produkt der nicht zugehörigen Glieder dividiert durch das zugehörige samt dem bei x stehenden Faktor). Ebensoleicht lernt der Schüler eine Proportion auflösen ohne sie anzuschreiben, wenn sie mit dem unbekannten Glied beginnt. Statt z. B. zu schreiben x : m = p : q, spricht man die Proportion und schreibt sofort

Über diese Abkürzung besonders bei der Verwendung

des Sinussatzes später mehr.

Hierher gehört der bekannte Satz über Proportionen, den man in seiner Anwendung als das Verfahren der korrespondierenden

a — x

a -J- x 12 ’ 12 -

Addition und Subtraktion bezeichnet. Hat man z. B.

so schließt man direkt — = —, indem man =

2 a

19

12 + 7

1 sofort

in der einfachsten Form ansetzt; oder wenn

7

schließt man, da 7 = —

3x + h

2x —

= 7, so

5x

1 ’ x + 2h

00 CD

woraus

5x + 10h    15’

5x

usw. Ob dieses Verfahren in irgend einem speziellen

10 h

Fall eine Abkürzung ermöglicht, wird eine kurze Überlegung entscheiden.

Die Prozentrechnung verdient ganz besondere Aufmerksamkeit, weil bei allen gebildeten Nationen unserer Zeit — entgegen der Gepflogenheit des Altertums — längst Gebrauch geworden ist, alle möglichen Zahlenwerte prozentisch zu vergleichen, abgesehen von dem für den gemeinen Mann besonders hervortretenden Fall der Angabe des Zinsfußes. Und man sollte dieses Kapitel nicht verlassen, ehe nicht jeder Schüler bis zu absoluter Sicherheit folgende Aufgaben beherrscht: Wieviel Prozent von a ist b, wieviel Prozent von b ist a, um wieviel Prozent ist b ^ a, und a +; b.

Sehr einfach macht sich diese Vergleichung, wenn die Werte auch durch logarithmische Rechnung ermittelt wurden. Die Numeri brauchen nicht bekannt zu sein. Subtrahiert man log b von log a und findet den Quotienten 1,782, so ist a um 73,2 $ größer als b, subtrahiert man log a von log b und findet 0,821, so ist b um 17,9# kleiner als a, weil 82,1 # von a.

Ob man leicht eine Einigkeit in der methodischen Behandlung der Ansatzbrliehe bei Schlußrechnungen unter den Rechenmeistern erzielen wird, kann zweifelhaft erscheinen. Mir scheint rentabler, den Ansatzbruch in verschiedenen aufeinander folgenden

Zeilen entstehen zu lassen, als ihn an einem ersten und einzigen Bruchstrich aufzustellen.

Z. B. 100 di bringen in 12 Mon. 3| di Zins,

764 „ 764 „

di Zins.

„ 12 „ 7,64.3di Zins, „ 5 „ 5.7,64.3|

12

Mag man dies für empfehlenswert halten oder nicht, in allen Fällen ist es wichtig, die Benennung des Resultats gleich von Anfang an ins Auge zu fassen und den Schüler stets zu zwingen, die Benennung beizufügen. Bei der Ausrechnung eines solchen Ansatzbruches ist aber entschieden zu raten, mehrere Bruchstriche zu verwenden, und alles Durchstreichen zu vermeiden. Mag der vorangeschrittene Schüler oder der gereifte Mann rechnen wie er will, für den jüngeren noch unsicheren Schüler, und für den korrigierenden Lehrer ist die sukzessive Ausgestaltung des Ansatzbruches an mehreren Bruchstrichen weit vorzuziehen. Man habe beispielsweise gefunden, ein gesuchtes Gewicht betrage

kg, so schreibt man unter Be-

175_. 43,44.161 . 1500

37,3 . 525 . 9f

nützung der durch das Unterstreichen gegebenen Weisung

kg

7 . 43,44.33 . 7 . 1500

37,3 . 21 . 2 . 66

10,86 . 7 . 1500 kg

Nebenrechnung :

37,3 . 3^ 3,62 . 10500

362

1810

37,3

kg

380100 I 373

710

= 1019,04 kg

3370

3357

130

Die Arithmetik wird, das wird man zugeben können, in den höheren Schulen, wo intensiver Mathematik-Unterricht im Hintergrund steht, bald nach Überwindung der Anfangsstufe etwas anders zu behandeln sein als in der Volksschule. Der gemeine Mann bekommt im praktischen Leben keine verwickelten Beispiele mit großen Zahlen unter die Hände. Wer aber später als Mathematiker, Techniker, Physiker, Chemiker viel zu rechnen hat, muß notwendig auch mit den Rechenvorteilen bekannt sein, er muß wissen, welche bedeutende Vereinfachung oft darin besteht, daß man keine Zwischenresultate berechnet, außer es sei unumgänglich notwendig, er muß insbesondere das Zerlegen der Zahlen in Faktoren und in bequeme Summanden gründlich verstehen.

Aber es sollte von dieser

Daß in den Lehrbüchern und Aufgabensammlungen für Schulen die Rechenbeispiele meist „aufgehen“, d. h. recht einfache Resultate in ganzen Zahlen oder einfachen Brüchen ergeben, ist ziemlich allgemein Mode geworden.

„wunderbaren“ Eigenschaft der Aufgaben in den Büchern für vorgeschrittene Klassen etwas weniger häufig Gebrauch gemacht werden. Der Schüler darf bald erfahren, daß in der Praxis die Rechenexempel keine so märchenhaft abgerundeten Resultate liefern ; er wird dann auch sich abgewöhnen, die Richtigkeit seiner Rechnung nach dem Umstand zu beurteilen, ob das Resultat aufgeht oder nicht.

Auf speziell Methodisches soll hier nicht näher eingegangen werden; dagegen mögen noch einige Bemerkungen bezüglich der arithmetischen Sprache Platz finden, selbst auf die Gefahr hin, daß sie manchen als Haarspaltereien erscheinen.

Gewisse Lehrer und Lehrbücher sagen z. B. bei der Multiplikationsformel 6 mal 8 sind 48, 12 . 17 sind 204, sie nehmen also (wie Franzosen und Engländer) den Plural zu Hilfe, indem sie sich vielleicht darauf berufen, daß das Wort „Einheiten“ zu ergänzen sei. Der Mathematiker sagt 6 mal 8 ist 48, 7² ist 49,

m⁷

wie er sagt (a -f- b)² ist (gleich) a² 4- 2 ab -f- b², —j ist m⁵. Eine

beliebte Ausdrucksweise ist, bei der Vergleichung zweier gleichartigen Größen zu sagen A ist dreimal größer als B, nmal größer, 4mal kleiner, nmal kleiner als B. Man wird besser sagen A ist (oder kostet, oder erfordert usw.) dreimal so groß (so viel) als B, 3    1

„-mal so viel, -—-mal so viel. Ähnlich bei der Definition des 7    4

spezifischen Gewichts. Das spezifische Gewicht eines Körpers ist diejenige Zahl, welche angibt, wievielmal so schwer derselbe ist als ein gleichgroßes Volumen Wasser. So ist die Fassung für alle Fälle brauchbar, nicht aber, wenn man sagt ... wie vielmal „schwerer“ usw.

Es läßt sich noch viel weniger entschuldigen, wenn man derKürze zulieb Abkürzungen einführt, die nicht nur anfechtbar, sondern direkt widersinnig sind. Man darf z. B. nie dem Schüler gestatten, oder gar ihn dazu anleiten, in einer Zinsrechnung etwa zu schreiben: 100 Ji Kapital = 4 J& Zins, statt 100 J& Kap. bringen 4 Ji Zins; oder 6 Arbeiter = 14 Tag, statt 6 Arbeiter brauchen 14 Tag; 2 Flaschen = 56 statt kosten 56 und dergleichen mehr. Ein passend abgekürzter Text ist mit wenigen Buchstaben gegeben, und wenn der Lehrer nie selbst einen anderen benützt, so kommt der Schüler wohl gar nicht auf solche haarsträubende Gleichungen. Die absolute Richtigkeit der in der elementaren Mathematik benützten Sprache ist eines der wichtigen Mittel, durch die der Lehrer neben anderem den wissenschaftlichen Sinn im Schüler zu wecken und zu entwickeln versuchen kann, und das er nicht unbenützt lassen darf.

Ebensowenig darf ein ernsthafter Unterricht sich die unschätzbare Gelegenheit zur Anleitung zu peinlicher Ordnung und Sauberkeit, eleganter und übersichtlicher Darstellung schriftlicher Ausarbeitungen entgehen lassen, welche im richtig geleiteten Rechenunterricht liegt. Dafür muß der Lehrer selbst das oberste Beispiel geben und vor allem an der Wandtafel sich der größten planmäßigen Ordnung und Eleganz befleißigen.

Auch empfiehlt es sich sehr, den Schülern für jedes einzelne neue Rechenverfahren ein paar Musterbeispiele zu zeigen, die der Lehrer selbst geschrieben und in ein besonderes Heft eingetragen hat, oder auch auf einzelnen Quartblättern in besonderem Rahmen an der Wand zur Ansicht für jeden Schüler aushängt.

Darin muß auch die Anordnung der Nebenrechnungen sorgfältig berücksichtigt sein, damit die Schüler alsbald von der Meinung abkommen, als sei es gestattet, die ganze Ausrechnung eines Beispiels auf dem Blatt sozusagen herumzustreuen. Es muß alles so geordnet sein, daß die Kontrolle der Arbeit von seiten des Schülers wie des Lehrers möglichst leicht und schnell geschehen kann. Die Hauptschritte der Lösung, die Hauptschlüsse, müssen deutlich erkennbar sein, die Nebenrechnungen auf dem Rand des Blattes ausgeführt und gekennzeichnet werden, nie darf eine Ausrechnung, Multiplikation, Division, Wurzelausziehung die Darstellung der Lösung unterbrechen; endlich muß das Resultat, wie oben bereits gesagt, mit der nötigen Benennung versehen und durch doppeltes Unterstreichen oder sonstwie weithin gekennzeichnet sein.

Zur Algebra.

In der elementaren Algebra, wo die arithmetischen Sätze in allgemeiner Form wiederkehren und daneben drei neue „Spezies“ auftreten, wo dem Einmaleins analog eine Menge neuer Sätze in Form von analytischen Gleichungen gefunden werden, die gleich Scheidemünzen fortwährend Verwendung finden, hat der Lehrer den Mißverständnissen und falschen Auffassungen, die sich in den Köpfen der Schüler einnisten, von Anfang an entgegenzutreten, indem er immer und immer wieder nach den Definitionen und den Gründen fragt und besonders Zahlenbeispiele oder sonstige greifbare Mittel zur Erklärung beizieht.

Frühzeitig wird man deshalb die Schüler darauf hinweisen, daß die Umformungsgleichungen (analytische Gl., Formeln) nicht Kechenvorschriften, sondern eine Art von Erlaubnisscheinen vorstellen, die man verwenden kann, wenn man will, d. h. wenn es für das jeweils vorliegende Rechenbeispiel von Wert oder als notwendig erscheint. Ebenso, daß jede solche Gleichung von beiden Seiten her gelesen und dementsprechend benützt werden kann. Also z. B. daß man das einemal a² ± 2 ab + b² statt (a ± b)² setzt, ein anderesmal m²±2mn-f n² in die knappe Form (m ± n)² zusammenzieht; oder daß man statt Va . \/b . \/c die Form Yabc, ein anderesmal statt Vmnp die breitere Form Vm . \/n . \/p wählt. Die schiefe Ansicht des Schülers, daß mir die eine Umwandlung richtig oder erlaubt sei, rührt vielleicht von der anfechtbaren Form her, in welcher man die betreffende Regel in Worte gefaßt hat. Es muß für einen geweckten Jungen zweierlei sein, ob man sagt „statt des Produktes gleichnamiger Wurzeln kann man dieselbe Wurzel aus dem Produkt ihrer Radikanden setzen“, oder „zwei Wurzeln werden miteinander multipliziert, indem man ihre Radikanden multipliziert“ — abgesehen davon, daß die letztere Passung unvollständig ist.

Gerade so, wie man den Anfänger wiederholt darauf hinweisen

4 _ 4_ 4 _ 4    _ 4 _ 4 _ 4 _ 4 _

wird, daß Va .yb . j/c == Vabvc und ebensogut Vpqr = Vp . Vq • yr, wird man ihn auch bald gewöhnen, eine Gleichung von beiden Seiten aus ins Auge zu fassen. Er darf nicht auf den Gedanken kommen, beim Lösen einer Gleichung sei es wesentlich, die Unbekannte möglichst rasch auf die linke Seite zu bekommen. Die Gleichung 7a — 4 b -f- 3 c = mx wird also nicht zuerst umgestellt, oder gar als — mx = — 7 a -f- 4 b — 3c geschrieben und nachher mit (— 1) multipliziert, sondern wenn das Glied mit x isoliert

ist, wird hier unmittelbar abgelesen x =

. Das

7a — 4b + 3c

Isolieren des Gliedes mit x bezw. die Zusammenfassung der Glieder, welche die Unbekannte enthalten, wird häufig mit weniger Mühe auf der rechten als auf der linken Seite stattfinden können, und die Umstellung der Gleichung erfolgt dann gar nicht, außer für x selbst.

D*er Schüler muß möglichst früh lernen, ohne irgendwelche Umstellung die elementaren Gleichungen m = c-j-x, m = c — x

c = mx oder mx = c

oder c — x = m, m =

oder —

absolut sicher aufzulösen.

Häufig genug haben die Anfänger die dunkle Meinung, die arithmetischen Operationen seien erst dann wirklich ernst gefaßt und regelrecht gültig, wenn sich ein Zahlenresultat angeben lasse. Sie betrachten 4.7 nicht als Zahl, mit der weiter operiert werden

kann, sondern ihnen genügt erst 28; y27 paßt ihnen nicht, sie beruhigen sich erst mit dem Wert 3, und so wird es ihnen auch

___    3 _

anfangs schwer, y/17, y/b usw. als Zahl wie jede andere anzusehen.

Zu diesen Engherzigkeiten der Anfänger gehört auch die Meinung, die Unbekannten der Gleichung müßten notwendig mit x, y, z usw. bezeichnet sein. Man kann schon früh beginnen, diese unwissenschaftlichen Grillen zu vertreiben, indem man einfache

Formeln (beispielsweise die Zinsformel z =

) nach den ver-

Kpn

100

schiedenen darin vorkommenden Buchstaben auflösen läßt. Die Physik bietet solche Beispiele in Menge. Die zehn Doppelaufgaben bei den arithmetischen und bei den geometrischen Reihen enthalten hier ein sich von selbst darbietendes treffliches Übungsmaterial.

Ob man den Schüler die arithmetischen und algebraischen Regeln soll in Worte fassen oder bloß in Buchstaben soll im Gedächtnis behalten lassen? Mir scheint es wertvoller zu sein, die Regel auch in einen knappen Text, der natürlich unanfechtbar sein muß, fassen zu lassen, als davon zu abstrahieren. Denn der Text hilft dem Schüler, die Formel oder Regel objektiver anzuschauen, und kann das Auswendiglernen wesentlich unterstützen, abgesehen von der sprachlichen Schulung. Lasse ich z. B. lernen „das Quadrat der Summe oder Differenz zweier Zahlen liefert einen dreigliedrigen Ausdruck, bestehend aus .. . .“, so kann ich hoffen, daß die Schüler (die vom allgemeinen binom. Satz erst viel später erfahren) das doppelte Produkt eher im Kopf behalten als ohne dieses Hilfsmittel. Damit ist nicht gesagt, daß man es auf jeder Stufe ebenso machen müsse. Die Befreiung von diesen Krücken kommt nach und nach von selbst.

Von den Verstößen der Anfänger gegen die Rechenregeln mögen einige Erwähnung finden, denen der Lehrer besondere Beachtung schenken sollte.

Ein solcher liegt in der Unsicherheit über die Bedeutung des Faktors eins und des Summanden eins. Man muß den Schüler wiederholt darauf hinführen, daß der Faktor „eins“ neben jede Zahl oder jeden Ausdruck gesetzt werden darf, bezw. gesetzt oder gedacht werden muß, der Summand aber, oft in der Bedeutung von a°, nicht beliebig gesetzt oder ignoriert werden kann.

Ein anderer Fehler besteht in der unrichtigen Behandlung der Multiplikation eines Produkts mit einem Faktor, besonders wenn der eine Faktor des Produkts ein Ausdruck in einer Klammer ist. Der Schüler ist geneigt, die Multiplikation an mehreren Faktoren statt nur an einem auszufüliren. Der theoretische Nachweis des richtigen Verfahrens ist nicht jedem Anfänger verständlich. Daher tut der Lehrer gut, in diesem Fall — und in zahlreichen andern — die Regel an einfachen Zahlenbeispielen aus der Arithmetik zu veranschaulichen.

Schneider, Methodik d. Elementar-Mathematik.

In Subtraktionen empfiehlt es sich für den Anfänger, bei zusammengesetztem Subtrahend die Glieder des zu subtrahierenden Aggregats unter den Minuend zu setzen, und unter das anfängliche Vorzeichen nachher das geänderte, nicht aber das erste zu ändern oder durchzustreichen. Man schreibt also

3a³ — 4a²b

(Min.) 6m+ 7n — 8q 12a⁴ —7a³b +16a²b²... | 4a + 3b (Subtr.) ±4m + 12n±lOq ±12a⁴±9a³b (Diffz.) + 2m + 19n —18q    /    — 16a³b-|-16a²b²

+ 16a³b + 12a²b2 _+28a”⁸tT²

Ya⁴ — 4a³b + 6a²b²... = a² — 2ab ±a⁴

(2a²)    / — 4a³b

+ 4a³b±4a²b²

/    +2a²b²...

Der Schüler lernt leicht, daß bei der Auflösung einer Klammer die darin enthaltenen Glieder ihre Zeichen wechseln, wenn die Klammer das Minuszeichen hatte, aber er vergißt ebenso leicht, daß bei einem Bruch mit negativem Vorzeichen der Zähler ganz so zu behandeln ist, als wenn er in einer Klammer stünde.

Immer wieder begegnet man Schülern, die nicht verstehen, wie sie Zahlen mit den Ziffern x, y, z usw. anschreiben sollen, daß sie weder xyz noch x-J-y-j-z setzen dürfen. Das beweist, daß sie immer noch ohne Verständnis rein mechanisch ihre mehrstelligen Zahlen des dekadischen Systems anschreiben. Man wird gut tun, solche Anlässe wiederholt zu benützen und auf die orientalische Abstammung unserer Zahlenschreibung sowie auf die Inkonsequenz hinzuweisen, welche wir beim Schreiben allgemeiner Zahlzeichen a, b, c, x, y . . . und spezieller Ziffern 4, 5, 6 . . . aufrecht zu halten gezwungen sind. Älteren Schülern gegenüber nimmt man zum Vergleich noch die römische Ziff'ernschreibung und eines oder das andere Zahlensystem mit anderer Basis als 10 zu Hilfe.*

*) Eine Unrichtigkeit, die man nicht in Schülerarbeiten, sondern in einem bekannten Lehrbuch findet, soll hier nebenbei gerügt werden. Dort steht für

die bekannte Schlußwertformel eines Kapitals k„ = k (l -f- “Ä , daß der Faktor

Der nicht seltene Fall, daß ein Schüler das Resultat einer Rechnung, einer Gleichung, irgend einer Zahlenoperation richtig findet, während trotzdem mindestens ein paar Fehler gemacht sind, ist jedem Mathematiklehrer bekannt. Es ist daher wohl überflüssig, zu bemerken, daß bei der Korrektur arithmetischer oder algebraischer Schülerarbeiten notwendig ist, die ganze Rechnung zu kontrollieren; denn der Korrektor muß ein Urteil über die logische und die rein mechanische Seite der Arbeit erlangen, und muß die etwa vorhandenen Verstöße darnach bewerten. Und auch die Schüler sollen einsehen lernen, wie es möglich ist, daß eine unrichtige Lösung ein richtiges Resultat hervorbringen kann. Ein bekannter Fehler, den die jüngeren Schüler, nachdem sie in die Lösung der Gleichungen eingeführt sind, mit einer gewissen Vorliebe begehen, ist der, daß sie in einer Addition von Brüchen schließlich den Nenner verlieren, weil er bei der Gleichung stets weggeschafft wird.

Für die konsequente Behandlung der Gleichungen noch ein paar Bemerkungen. Die Umwandlung der beiden Seiten der Gleichung geschieht nach den bekannten Regeln. Gleiche Glieder auf beiden Seiten mit demselben Vorzeichen fallen weg — man unterstreicht sie, aber man durchstreicht sie nicht; vor jeder Weiterrechnung ist nachzusehen, ob gleichartige Glieder da sind, die sich also zusammenfassen lassen. Dieses Suchen nach ber knappsten Form verhütet zahllose Verstöße und kann nicht genug eingeschärft werden. Ebenso, daß die Multiplikation oder Division der Glieder mit einem gewissen Faktor auf beiden Seiten zu geschehen hat.

Der Übersichtlichkeit wegen dürfen die Gleichheitszeichen nie anders als in einer und derselben Reihe untereinander stehen (parallel dem rechten oder dem linken Rand des Blattes), im Notfall schreibt man lieber in einer zweiten Zeile die Glieder der Gleichung weiter an. Umständliche Ausrechnungen werden als Nebenrechnungen behandelt, niemals wird eine Wurzelausziehung oder derartiges, oder eine logarithmische Rechnung zwischen

in der Klammer 1,0 p sei, was zunächst ganz unrichtig ist, da dieser Ausdruck 1,0 mal p bedeutet, aber auch bei mehr populärer Bezeichnung nur dann richtig bleibt, wenn p nicht über 9 steigt.

hineingesetzt. Bei Multiplikationen, die im Kontext geschrieben werden können, müssen die endlosen Querreihen umgangen werden; man faßt gleichartige Glieder (Partialprodukte) auch hier sofort zusammen. Z. B. man habe die Gleichung

7    ,    12

x—3

10

x -j- 6

x + 4 •

Statt mit dem Hauptnenner die Gleichung zu multiplizieren, setzt man je zwei Glieder auf eine Seite und faßt diese zusammen:

10

12

x — 5 x — 3 x —(— 4    x —6

— 3x -f- 6 (x — 5) (x — 3) (x + 4) (x -f ö)

(3x4-5) (x²4- 10x + 24) = (— 3x4-6)(x² — 8x+ 15) 3x³4-30x²4-72x

4- 5x² +50x4- 120 I ~ I

3x4-5

I — 3x³ 4- 24 x² — 45 x

4- 6x² — 48x4-90

oder

3x³4- 30x² —93x-f90

3x³-f- 35x² 4- 122x4- 120 = -

usw.

Ab und zu findet man noch die Gepflogenheit, den Schüler beim Auflösen einer quadratischen Gleichung jedesmal aufs neue das vollständige Quadrat des Binoms auf der linken Seite hersteilen zu lassen. Diese Mühe ist überflüssig.

Hat man Ax² 4- Bx —(“ C = 0, so wird gezeigt, daß ein- für allemal

— B± Vßa — 4AC

ist; wenn dabei B eine gerade Zahl ist, so lernt der Schüler ebenso

to w

— AC

und ist zudem A = 1, so wird nocli einfacher

toi a

-c,

wobei die Bruchform verschwindet.

Die Lösung der Gleichungen, die allgemein, d. h. in Buchstaben, oder in Zahlen, aufgestellt sind, ist schließlich ein Mechanismus, der zur Handhabung zwar desto mehr Geschick und auch Urteil erfordert, je mehr Unbekannte und in je höherer Potenz diese auftreten, den man aber für die verhältnismäßig elementaren Fälle der Gleichungen ersten und zweiten Grades auch dem Gros der Schüler ohne übergroße Mühe beibringt. Anders ist es mit den in einen Text gefaßten Aufgaben. Gewisse Gruppen allerdings — von den allereinfachsten sehe ich ab — gibt es aucli hier, die von allen bewältigt werden können, wie etwa die einfachen Gewinn- und Verlustrechnungen, die Anwendungen des (speziellen oder des allgemeinen) pythagor. Satzes, oder solche, die einfach durch eine Formel gelöst werden. Als einführende Aufgaben leisten sie gute Dienste, weil auch der schwächere Schüler hier noch die Freude erlebt, selbständig etwas herauszubringen. Die übrigen Aufgaben aber, deren Lösung eine gewisse Vorbereitung erfordert, die nicht mit dem billigen Zauberwort einer Formel zu lösen sind, deren Größen in weniger durchsichtiger Beziehung zu einander stehen, wie zahlreiche Geschäftsrechnungen, viele Bewegungsaufgaben, Aufgaben aus manchen Kapiteln der Physik, auch kompliziertere Zinseszins- und Rentenrechnungen sind nicht allen Schülern zugänglich. So wenig es allgemein richtig ist, wie man das schon behauptet hat, daß man den Schüler das Lösen von Textaufgaben nicht eigentlich lehren könne, so wenig ist es wahr, daß man jeden Schüler, wenn er auch nicht der letzte der Klasse ist, zur selbständigen Lösung einer ihm neuen etwas schwierigeren Aufgabe bringen kann. Hier scheiden sich die Wege ganzer Wissenschaftsgebiete an dem Grenzstein persönlicher Veranlagung, und es ist nicht bloß außerordentlich interessant, dieser psychologischen Scheidung nachzugehen, sondern es wäre für unser ganzes Schulwesen von außerordentlichem Wert, ihr mehr Bedeutung zuzugestehen, als dies bisher der Fall ist. Die Anwendung der gemeinen Logik auf abstrakte oder angewandte mathematische Beispiele ist keineswegs etwas für jeden Kopf Selbstverständliches, und vollends der Aufbau einer Reihe von Schlüssen aus einer vorliegenden Textaufgabe erscheint einzelnen Schülern, auch sonst begabten, einfach unmöglich. Das Einpauken einer Anzahl von typischen Beispielen mag vielleicht einen Schein von Verständnis erzielen, ist aber für den geistigen Fortschritt von sehr geringem Wert.

In allen Fällen lehrt man den Schüler, daß zunächst die Unbekannte aufzustellen ist und daß man eine Art Protokoll über die zur Gleichung führenden Wahrheiten und Schlüsse (in der sogenannten Synthese) verfaßt. Es wird also auch bei den einfachen Aufgaben stets angeschrieben : Die Anzahl der Gegenstände sei x, oder die anfängliche Geschwindigkeit sei y m und ähnliches mehr, weil nicht jedesmal die in der Textaufgabe ausdrücklich gesuchte Größe die bequemste Unbekannte oder die überhaupt zu ermittelnde ist und besonders oft nicht die einzige, die zur Lösung führt. Der Lehrer wird gut tun, viele hierher gehörige Aufgaben unter Benützung verschiedener Unbekannten lösen zu lassen. Auf die wichtige Frage, wie soll man den Schüler anleiten, eine Gleichung aus einer Textaufgabe aufzubauen, gibt es nur eine ganz allgemein gehaltene Antwort. Der Praktiker wird mit Recht antworten, daß man dem Schüler den Weg an möglichst vielen Beispielen von allen möglichen Sorten eben zeigen müsse. Aber auch der Praktiker wird nicht ganz davon abstrahieren können, dem Schüler zu sagen, daß es eben darauf hinauskomme, für dieselbe Größe zwei verschiedene Ausdrücke zu finden, die dann einander gleichgestellt werden. In dem einen derselben mindestens muß die Unbekannte Vorkommen, sie kann aber auch in beiden stehen. Eine besondere Erweiterung des geistigen Horizonts erwächst dem Schüler aus der Erkenntnis, daß die Unbekannten ganz wie bekannte Größen behandelt werden, daß man mit ihnen operiert wie mit sonstigen Zahlen, unbekümmert um das, was „herauskommt“, und daß dann der im Lauf der Jahrhunderte ausgebildete, mehr und mehr auf seine einfachste Form gebrachte Mechanismus der algebraischen und arithmetischen Operationen es übernimmt, jene Unbekannte auf sicherem Weg aus ihrer Verkettung mit den gegebenen Größen loszulösen, d. h. den Wert der Unbekannten zu finden.

Zur Geometrie.

Noch wichtiger scheint mir eine Verständigung über den Geometrie-Unterricht zu sein. Gewiß, aller Theorie zum Trotz gibt in der Schule die Person des Lehrers den Ausschlag, und man muß seiner Eigenart einen gewissen Spielraum zur Entfaltung lassen; es gibt berechtigte Eigentümlichkeiten, aber es gibt auch unberechtigte und schädliche Schrullen und Nachlässigkeiten.

Über die elementaren Bezeichnungen kann ich mich kurz fassen. Man spricht von einem Punkt, einer Linie (die gerade oder krumm sein kann), einer Geraden; von einer Strecke, einer Richtung, einem Strahl, einem Halbstrahl ; von Konvergenten, von Parallelen, einem Strahlenbüschel usw. Den Punkt sucht man darzustellen als Schnittpunkt, d. h. gemeinsamen Punkt zweier kurzer Linien ; man wird aber den Schülern sofort sagen, daß diese Linien aus Rücksichten der Bequemlichkeit so kurz gezeichnet werden, und daß auch die Bleistift- oder Kreidestriche keine Linien im mathematischen Sinne sind, wie auch, daß ein Punkt durch zwei sich schneidende Linien am sichersten bezeichnet wird, wenn man dieselben sich senkrecht schneiden läßt. Man sagt „Linie“, wenn nicht entschieden sein soll, ob die Punktreihe eine Gerade oder eine Kurve bildet, man sagt aber nicht Linie, wenn man eine Gerade meint. Eine Gerade AB bezeichnet zwei Richtungen, nämlich A B und B A ; es ist daher nicht nötig zu sagen, verlängere AB über A oder über B hinaus, sondern man sagt kurz und unzweideutig, verlängere BA oder verlängere AB. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, und es ist ein besonderer Fortschritt, wenn der Anfänger zum erstenmal erkennt, daß die Gerade schon da ist, sobald jene Punkte gegeben sind, nicht erst wenn der Strich zwischen beiden gezeichnet worden ist. Der kurze Ausdruck „ziehe

AB“ bedeutet gemäß allgemeiner Konvention soviel als „ziehe die durch A und B bestimmte Gerade zwischen A und B, d. h. die Strecke AB“ (sc. als Strich in der Zeichnung oder in Gedanken).* Man errichtet in einem bestimmten Punkt einer Geraden auf

ihr die Senkrechte; man fällt von einem bestimmten Punkt (nach einer Ger. oder) auf eine Gerade die Senkrechte — nicht etwa eine; weil es nämlich nur eine gibt, so ist es immer die Senkrechte. Statt der Bezeichnung „Senkrechte“ wählen manche den Ausdruck Lot oder Lotrechte, was man gelten lassen kann; dagegen wird man die Bezeichnungen Perpendikel und perpendikulär als veraltet besser fallen lassen. Der Begriff „vertikal“ gehört der

Physik an.

Über die Benennung der Winkel, welche an zwei Geraden

entstehen, wenn sie von einer dritten Geraden geschnitten werden, haben sich unsere Lehrbücher seltsamerweise immer noch nicht geeinigt. Und doch liegen passende Bezeichnungen und zwar deutsche auf der Hand. Sind die Geraden AB und CD von EP geschnitten

in G und H, so nennt man die Winkel EGB und GHD gleichliegende Winkel, weil siebeide rechts von der schneidenden Ge-

raden und beide oberhalb der geschnittenen, also gleich liegen. Manche Autoren nennen sie korrespondierende Winkel, andere wieder anders. Man nennt die Winkel A G H und G H D We c h s e 1-winkel

-J)

eine wohl allgemein angenommene Bezeichnung; den Unterschied zwischen inneren und äußeren Wechsel winkeln aufzustellen, ist nicht nötig, da er keine Rolle spielt. Die Winkel BGH und DHG heißen Gegenwinkel, was jedem Schüler sofort einleuchtet; den Begriff der äußeren Gegenwinkel, wie manche wollen (z. B. für die W. EGB und D H F), einzuführen,

* Ab und zu findet man aus naheliegenden Gründen bei den Schülern die Neigung, eine Strecke als Neutrum zu behandeln, wie etwa „ziehe AB und verlängere es bis C um sich selbst“ u. dergl.

halte ich ebenfalls für überflüssig und dabei sprachlich-logisch für anfechtbar.

Wie man „die“ Senkrechte (nicht „eine“ S.) in einem bestimmten Punkt auf einer Geraden errichtet, so zieht man durch einen gegebenen Punkt die Parallele zu einer Geraden; ganz ebenso beschreibt man aus einem gegebenen Punkt mit gegebenem Halbmesser „den“ Kreis.

Man kann von dem „freien“ Endpunkt einer Strecke reden, wenn am anderen Endpunkt schon irgend eine Konstruktion ausgeführt worden ist; ebenso von dem „freien“ Schenkel eines Winkels, und bei einer Drehungsberechnung, welche einen Winkel erzeugt, von dem Anfangs- und Endschenkel.

Bei einem beliebigen Dreieck haben alle Seiten dieselbe Bedeutung, man kann also nicht von einer Grundlinie ohne weiteres sprechen; jede Seite kann als Grundlinie gelten. Nur im gleichschenkligen Dreieck gibt es eine Grundlinie und eine Höhe schlechthin; man spricht hier auch von Basis und Basishöhe, von Schenkel und Schenkelhöhe, wiewohl diese Höhenbezeichnungen nicht gerade glücklich gewählt sind.

Unter einer Transversalen versteht man irgend eine durch das Dreieck gezogene (im weiteren Sinne eine in der Ebene des Dreiecks liegende, auf die Seiten und Ecken bezogene) Gerade ; geht sie durch eine Ecke, so heißt sie Ecktransversale (oder auch Ecklinie), und wenn sie die Gegenseite halbiert, erhält sie den Namen Schwerlinie; halbiert sie den Winkel, durch den sie geht, so kann man sie statt Mittellinie oder Winkelhalbierende auch Mediane nennen wenn man will; es geht aber nicht an, die Schwerlinie einfach Transversale zu nennen.

Beim gleichseitigen Dreieck spricht man bekanntlich von „der“ Seite und „der“ Höhe, nämlich der bestimmenden einen Seite und der den beiden anderen gleichen Höhe. Jedes Dreieck und Rechteck hat einen durch die Ecken gehenden Kreis, den Umkreis; jedes Dreieck und jeder Rhombus hat einen die Seiten berührenden Kreis, den Innenkreis. Innkreis kann man ihn selbstverständlich nicht nennen, denn dies bezeichnet einen geographischen Begriff. Man spricht von einem Kreisbogen, der über einer gegebenen Strecke als Sehne einen bestimmten Peripheriewinkel faßt. Da nicht der ganze Kreis, sondern der Bogen³ den Winkel faßt, so kann man unmöglich von einem Faßkreis oder Fassungskreis sprechen, ganz abgesehen davon, daß diese Wortbildungen unstatthaft sind. Man vergleiche Faßbinder, Faßreifen usw., und wieder Fassungskraft.

Man . sagt wohl, ziehe durch einen Punkt die Parallele zu einer gegebenen Richtung; man kann aber nicht relativisch anknüpfen „die Gerade, wozu man die Parallele gezogen hat“, so wenig als man fragen kann, „wozu wächst ein Kapital k in n Jahren an“, denn es handelt sich nicht um einen Zweck, einen Beweggrund.

Man kann sagen, verbinde A und B mit P, nicht aber verbinde A und B wenn dies bedeuten soll, daß die Gerade oder Strecke AB gezeichnet werde. In der Schilderung einer Konstruktion sagen die Schüler gerne „lege AB =m an“, wobei sie versäumen, zu sagen, an was AB etwa angelegt werden sollte. Man wählt besser die einfache Wendung „mache eine Strecke AB = m. Es ist auch unlogisch zu sagen, lege m = AB auf die Gerade L, wenn nämlich L und m gegeben sind. Denn m kann nicht gleich AB, d. h. gleich einer nicht vorhandenen Strecke gemacht werden, aus doppeltem Grunde. Man benützt richtig und kurz die Wendung „mache auf L eine Strecke AB = m“. Ebenso ist nicht angängig, zu sagen, fälle das Lot auf AC == BD, statt fälle das Lot BD auf AC; oder fälle vom Kreismittelpunkt das Mittellot auf die Sehne, u. dergl. mehr.

Die Bemerkung „nach der Konstruktion“, oder nach ehrwürdigem Vorgang „ex construction ■', ist nur berechtigt für die Fälle, wo eine direkte Konstruktion vorliegt, oder eine hundertmal sich wiederholende Konstruktion elementarer Art, die man als direkte gelten läßt. Direkt konstruieren bezw. zeichnen kann man nur die Gerade (mit Hilfe des Lineals), eine Strecke gleich einer anderen, und einen Kreis oder Kreisbogen (mit Hilfe des Zirkels); als einfache Konstruktionen könnte man noch gelten lassen das Anlegen und Halbieren eines Winkels, das Errichten und Fällen von Senkrechten, das Errichten des Mittellots. Dagegen scheint es mir unlogisch, zu sagen, daß ein Peripheriewinkel über der Sehne a gleich a sei „nach der Konstruktion“, wenn der Bogen in der bekannten Weise gefunden worden ist. Ich möchte Vorschlägen, hier zu sagen: . . . der Peripheriewinkel ... ist gleich a „wegen des Bogens a über a“, indem ich den Kreisbogen, der über der Sehne a stehend den Winkel a faßt, ganz kurz den Kreisbogen a über a nenne, was zu keiner Verwechslung führen kann.

Man wird nicht versäumen, den Schülern auch zu empfehlen, sich in ihren schriftlichen mathematischen Darstellungen möglichster Kürze zu befleißen. Beispielsweise statt zu sagen „beschreibe aus P mit dem Halbmesser r den Kreis, der die Gerade MN in X und X, schneidet“, faßt man sich kürzer und spricht oder schreibt : „durchschneide MN aus P mit r in X und Xr

Doch genug hiervon. Das Kapitel über den Mangel an Logik und Schärfe der Darstellung und Mangel an ästhetischen Rücksichten wäre lang. Eine Darstellung kann richtig und unanfechtbar und dabei doch schlecht in der Form und unschön in der Sprache sein, und es scheint mir richtig, auch in der Mathematik den Schüler sobald als möglich auf diese Dinge hinzuweisen. Je bälder ihm auch hier die Erkenntnis, die Selbstkritik, kommt, um so besser. Und der richtige Unterricht besorgt dies durch das Vorbild des Lehrers nebenher, ohne daß der Schüler viel davon merkt.

, J_ usw. haben ihre

GO'

Zunächst als Proben einige mehr äußerliche Dinge, die man unter dem Titel Geschmacklosigkeiten zusammenstellen könnte. Die mathematischen Zeichen 4k, =, spezielle Bedeutung zwischen zwei konkreten Angaben von Größen in Buchstaben oder Zahlen, wie x = a, x — a = 0, AABC ^AhEF, Sektor AMB ^ Sektor AjMB, usw. und stellen häufig eine doppelte Abkürzung vor, insofern der Kasus nicht ausgedrückt erscheint. Diese Zeichen vertreten aber nicht für sieli allein ein Substantiv oder ein Adjektiv oder Adverb; man kann also niemals schreiben „diese Größen sind =“, oder diese Figuren sind !^2 und derartiges, so wenig als man ohne Komik schreiben könnte „es gilt mir =“. Eine konsequent durchgeführte Abkürzung der immer wiederkehrenden Bezeichnungen und Beziehungen mit Hilfe von ein paar charakteristischen Konsonanten nimmt kaum

mehr Zeit in Anspruch und ist in geometrischen Texten das einzig Richtige. Man wird einen Schüler auch nicht ungerügt so schlecht klingende Sätze schreiben lassen wie etwa „Trage von C bis K a ab“; oder Schwerfälligkeiten wie folgende Beispiele: Lege AB in den Kreis, dies gibt EF — verlängere BC bis zum Schnitt mit AD, E — fällt man die Höhe auf AC, BE — die Projektion von CA auf AB, AD; statt „lege eine Sehne EP = AB in den Kreis, — verlängere BC bis E auf AD, — fällt man die Höhe BE auf AC, — die Projektion AD von AC auf AB.“ Die Schüler sind auch geneigt, grammatisch unrichtige Sätze zu schreiben, wie etwa „so sind AABC ^ ADEP“. Aber auch Lehrbücher erlauben sich solche Schnitzer und schreiben beispielsweise „man erhält für a = "y/a²“, wenn es lauten sollte: man erhält a für Va², oder "\/a² für a⁴.

Hier noch ein kurzes Wort über die Bezeichnungen der Seiten und Winkel, der Schwerlinien usw., in denen sich doch nacli und nach dank dem konsequenten Vorgehen namentlich Reidts eine gewisse allgemeine Übereinstimmung anzubahnen scheint. Man bezeichnet das Dreieck mit ABC, wo A, B, C die links herum aufeinander folgenden großen Buchstaben an den Ecken sind; die dort liegenden Winkel werden mit a, ß, y, Teile derselben mit oq, or₂, ß₂ usw., ihre Gegenseiten mit a, b, c bezeichnet. Die Höhen nach diesen Seiten sind ha, hb, hc; die Schwerlinien nach denselben ta, tb, tc (oder ma, mb, mc); die Winkelhalbierenden mH, 1%, mr oder w«, w^, w}> (nicht aber ma oder wa usw.); der Umkreishalbmesser heißt r, die Berührungskreise der Seiten haben die Radien (>, ça, pb, qc; der Inhalt des Dreiecks ist f oder F.

Für die unteren Stufen des mathematischen, speziell des geometrischen Unterrichts ist es angezeigt, den Schüler an eine wenn auch noch so kurze sprachliche Verknüpfung der einzelnen Schritte der Beweisgänge und Herleitungen zu gewöhnen. In der Prima wird man ja ganz selbstverständlich anders unterrichten und Texte anders abfassen als in Tertia und Quarta. Aber es entspricht nicht den Regeln der Didaktik, in der untersten Stufe schon die bekannte, nur mit abrupt hingestellten Gleichungen und Satzandeutungen operierende Methode zu benützen. Man braucht sich also nicht zu genieren, verbindende Zwischensätzchen zu notieren, den Zusammenhang stützende oder auf klärende Konjunktionen usw. einzuführen, wie etwa: man weiß, es ist bekannt, aber gegeben, außerdem, und auch, daher, und derartiges. Damit verliert die mathematische Darstellung für den Jungen ihr hieroglyphisches Gepräge, und er wird viel bälder dazu kommen, selbständig solche logische Gebäude aufzuführen.

Ehe aber die kritische Untersuchung der Gebilde der ebenen Geometrie beginnt, muß der Unterricht schon darauf ausgehen, den Schüler die Figuren sehen und die angeschriebenen Buchstaben rasch überblicken zu lehren. Man versäume daher nicht, gleich anfangs nebeneinander liegende verschieden große Strecken und Winkel ablesen, Summen und Differenzen in mannigfacher Art bilden und anschreiben zu lassen. Bei den Winkeln zuerst an Figuren, die nur aus einem Strahlenbüschel bestehen, nachher an komplizierteren, wo am selben Winkelschenkel mehrere Buchstaben angeschrieben sind. Zum Beginn ist es nicht ratsam, griechische Buchstaben in die Winkel zu setzen, aber auch später noch empfiehlt es sich wegen der vortrefflichen Schulung der Anschauung, möglichst mit großen Buchstaben (an den Ecken) zu operieren. Ganz unstatthaft bleibt aber, wo man griechische Buchstaben nicht verwenden kann oder mag, arabische Ziffern in die Winkel (oder auch in gewisse Flächenstücke) einzuschreiben, so daß eventuell Gleichungen wie 2 = 4 oder 1 —)— 3 = 2 + 4 herauskommen.

Man wird auch die Buchstaben einer Figur nicht beliebig wie im Traum an den betreffenden Punkten herumstreuen; man setzt sie der alphabetischen Reihe nach entsprechend dem voranschreitenden Aufbau der Figur an ihre Stelle. Es schadet nichts, wenn

dabei noch ein paar Freiheiten übrig bleiben. Und um zu verhindern, daß ein Schüler sein Buch oder Heft samt Figur blind auswendig lernt, schreibt man für Repetitionen die ersten Buchstaben beliebig vor und läßt die andern von hier aus setzen.

An diese letztere Bemerkung knüpft sich die selbstverständliche an, daß man besonders im ersten Jahr des geometrischen Unterrichts nicht versäumen darf, alle vorkommenden Figuren in verschiedener Stellung zu zeichnen und zeichnen zu lassen. Man kann auch bald versuchen, einfache Sätze und Konstruktionen ohne Figur zu behandeln, indem man sich bloß an die Vorstellungskraft der Schüler wendet. Jeder Lehrer weiß, welchen Nutzen solche Übungen insbesondere für den späteren Unterricht in Stereometrie und mathematischer Geographie bringen können.

Gleich von Anfang an muß auf Pünktlichkeit und Sauberkeit der Zeichnungen gedrungen werden, und der Lehrer darf es sich nicht verdrießen lassen, den Anfängern zu zeigen, wie man den Bleistift spitzt, für den Handstift sowohl als für den Zirkelstift, wie nahe man das Lineal an die Punkte zu bringen hat, durch welche man eine Gerade ziehen will, wie viel Aufmerksamkeit dazu gehört, mehrere Gerade genau durch denselben Punkt zu ziehen und derartiges ; oder wie man es angeht, ein Lineal (für Gerade) zu kontrollieren, eine angebliche Gerade mit Hilfe von gleichschenkligen Dreiecken auf derselben Basis zu kontrollieren usw.

Man wähle für die Figur niemals einen speziellen Fall, außer wenn es sich wirklich um einen solchen handeln soll; man wähle auch die Figur nicht so, daß der Schüler einen speziellen Fall vermuten könnte. Die Lehrbücher sind von Verstößen in dieser Richtung nicht immer frei, wie z. B. die Figur im Spieker beim Satz vom Tangentensehnenwinkel beweist. Diese Figur enthält eine Sehne parallel zur Tangente, und der Schüler hält auch ganz kindisch-konsequent diese parallele Sehne für ein Hauptrequisit. Die in Büchern benützten Klischees bieten oft geradezu unrichtige Zeichnungen, man denke nur an die Mißhandlungen der Ellipse.

Die Figur muß dem Leser in allen ihren Teilen und Besonderheiten, mit allen Bezeichnungen vorgestellt werden ! Sie fällt nicht aus der Luft. Auf vorgeschrittener Stufe kann man oft kürzer sein und auf „nebenstehende Figur“ verweisen; der Schüler, insbesondere der Anfänger, lernt zunächst, daß kein Buchstabe benützt werden darf, dessen Bedeutung nicht im Text klargestellt ist. Es schadet nichts, wenn es in manchen Fällen etwas umständlich sein mag, dieser Forderung zu genügen.

Wie soll es mit dem Zeichnen der Figuren gehalten werden? In welcher Weise sind sie auszuführen? Darin lasse ich dem Geschmack des Lehrers und des Schülers seine Freiheit; ob mit Bleistift oder mit chinesischer Tusche oder mit dieser und noch mit verschiedenfarbiger Tinte, ist schließlich ziemlich Nebensache, aber hübsch, sauber, möglichst elegant sollen die Zeichnungen sein. Auch hier ist es das beste, wenn der Lehrer zu jeder Figur ein Vorbild auf einem Quartblatt (in der Größe etwa wie sie der Schüler in seinem Heft anwendet) in mustergültiger Weise mit den angeschriebenen Buchstaben fertigt und den Schülern zeigt, oder besser in einem Rahmen unter Glas an einem Platz aushängt, wo beim Weggehen jeder Schüler einen Augenblick verweilen kann, um sich das Vorbild anzusehen. Wer nie gute geometrische Zeichnungen selbst angefertigt hat, wird stets in der Betrachtung und Beurteilung und weiterhin im Genuß einer ihm vorliegenden graphischen Arbeit hinter dem Zurückbleiben, der jene Übungen durchgemacht hat, auch dann, wenn dieser es gar nicht zur Meisterschaft darin gebracht hat.

Etwas vielleicht ferner Liegendes mag hier Platz finden. In der neuen Methode des Freihandzeichnens wird auf das Erfassen des darzustellenden Gegenstandes im ganzen ein größeres Gewicht gelegt als bisher; das Stricheln, die feinere Ausführung, die Ausarbeitung wird mehr als seither zurückgestellt, als Nebensache bezw. als etwas direkt Schädliches behandelt. Für die großen Talente kann dies gut sein; die anderen, also die Mehrzahl, werden im stillen diesen modernen Freibrief zum „ein bisschen Schmieren“ mit Befriedigung begrüßen. Da ist nun die geometrische Zeichnung eine glückliche Kompensation. (In der Klasse aber läßt man, wo immer möglich, die Zeichnungen mit Bleistift und mit der freien Hand rasch entwerfen, zu Hause sorgfältig ins Reinheft übertragen.)

Es ist wohl überflüssig, zu bemerken, daß der Lehrer nicht etwa, im Anschluß an ein Lehrbuch nach Euklidischem Muster, die Lehrsätze den Schülern mitteilt und nachher den Beweis für die

aus den Wolken gefallenen Wahrheiten vorführt, sondern daß er heuristisch verfahren muß. Der Text des Satzes ist das Ende, nicht der Anfang. Der Lehrer, der das Ziel und den Weg kennt, läßt den Schüler unter seiner Leitung sozusagen die geometrischen Sätze finden. Dem entspricht auch, daß in irgend einem Beweisgang, wo zwei kongruente oder ähnliche Dreiecke benützt werden, nicht damit begonnen wird, daß man schreibt APQR AMNO, denn . .., sondern man weist den Schüler (oder den Leser) auf diese Dreiecke hin, welche die Stücke enthalten, auf welche sich die Untersuchung beziehen soll und schreibt demgemäß (beispielsweise) :

In den A A P Q R und M N 0 ist

(Grund),

( „ ),

und

also

PQ - MN QR = NO ^PQR = ^MNO( „    ),

APQR^AMNO, und daher auch

Bei solchen Aufzählungen dreier Stücke beginnt man stets mit den bekannten Seiten, nicht Winkeln; und es ist allein logisch, die drei Stücke in derselben Reihenfolge aufzuzählen wie die Dreiecke. Im vorigen Beispiel also beginnt man immer wieder mit dem Dreieck PQR.

Die Dreiteilung der Darlegung eines Lehrsatzes in Voraussetzung, Behauptung, Beweis und die Vierteilung einer Konstruktionsaufgabe in Analysis, Konstruktion, Beweis, Determination ist in den unteren Klassen wohl nicht zu umgehen. In den höheren Klassen empfiehlt es sich, eine freiere Methode zu verfolgen ; man kann bei einem Lehrsatz die Voraussetzung in den ersten Satz der ganzen Darlegung einbeziehen und von dem Aufstellen der Behauptung ganz Umgang nehmen. Es ist bereits gesagt, daß der Lehrer bei der ersten Darlegung eines „Satzes“ natürlich nicht von einer Behauptung spricht; hier handelt es sich um eine Untersuchung der Eigenschaften einer Figur, mit den Schülern angestellt, deren Resultat die Entdeckung einer Eigenschaft bildet, die dann in Form eines Lehrsatzes verkündigt wird. Die Aufstellung der Voraussetzung ist in allen Fällen unumgänglich, die der Behauptung auf der Anfangsstufe schon deshalb, weil in einer Figur öfters eine

Reihe besonderer Eigenschaften auftritt und je nach der Behauptung der Beweisgang sich selbstverständlich ändert.

Der praktische Schulmann versäumt nie, für irgendwelche neue Sätze Anknüpfungspunkte in früheren Kapiteln zu suchen und auf diese Weise das Neue zu erklären und auch dem Gedächtnis rascher und gründlicher einzuprägen. Beispielsweise hier die Einleitung zum allgemeinen pythagoreischen Satz:

4-AL-.4

Ist A ABC bei C rechtwinklig, so ist bekanntlich

AB² = BC² + AC².

Dreht man CA um C nach innen, so daß ^CBCA abnimmt, oder nach außen, so daß er zunimmt, so wird nach einem bekannten Satz auch AB kleiner bezw. größer. Es muß also zu der rechten Seite der obigen Gleichung, die man kurz c² = a² -f- b² schreibt, eine Korrektur, ein negatives bezw. positives Glied hinzutreten, und dieses ist nun zu ermitteln. Usw.

Alles was in der Figur gegeben sein soll, muß womöglich mit Zirkel und Lineal eingezeichnet werden (es gibt einige Fälle, wo dies Schwierigkeiten hat), und man darf namentlich bei jüngeren Schülern nicht bloß mit freier Hand nach dem Augenmaß die Figur entwerfen, und dazu bemerken, es sei dies so und so. Z. B. handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck, so wird ein solches mit dem Zirkel konstruiert, das eine Mal mit kürzerer Basis und längeren Schenkeln, das andere Mal umgekehrt ; oder soll der Ähnlichkeitssatz bewiesen werden für zwei Dreiecke’, die zwei Seiten proportioniert und den eingeschlossenen Winkel gleich haben, so konstruiert man mit dem Zirkel die gleichen Winkel, sucht in einer Nebenfigur vier in Proportion stehende Strecken mittels zweier Konvergenten und zweier Parallelen und trägt diese in entsprechender Weise auf den Schenkeln vom Scheitel aus ab usw.

Manche Geometrielehrbücher machen den Fehler, daß sie die Eigenschaften gewisser Figuren, z. B. des gleichschenkligen Dreiecks und Trapezes, des Parallelogramms, des Tangentenpaars am

Schneider, Methodik d. Elementar-Mathematik.

Kreis usw. nicht genügend zu Gruppen zusammenfassen bezw. zu sehr als selbständig auftretende Eigenschaften erscheinen lassen. Allein es ist nicht zu schwierig, früh schon dem Schüler einen gewissen Überblick auf solche Gruppen zu eröffnen. Z. B. : Im gleichschenkligen Dreieck sind irgend zwei Strecken, die mit Rücksicht auf die Basis oder die Basiswinkel, oder die Schenkel in derselben Weise bestimmt sind, gleich groß, und wie das ganze Dreieck symmetrisch zur Höhe; für das Parallelogramm findet man den Kollektivsatz: Die Gegenseiten und Gegenwinkel sind paarweise gleich, die Diagonalen halbieren sich gegenseitig, jede Strecke durch den Diagonalenschnittpunkt zwischen zwei Gegenseiten wird in diesem Punkt halbiert, oder kürzer: das Parallelogramm hat einen Umfangsmittelpunkt, jede durch denselben gezogene Gerade (die Diagonalen eingeschlossen) halbiert die Fläche des Parallelogramms; die von einem Punkt an einen Kreis gelegten Tangenten sind bis zum Berührungspunkt gleich lang, die Zentrale halbiert ihren Winkel und den Winkel der Berührungsradien, sie ist Mittellot der Berührungssehne, welche selbst wieder mit Tangenten und Halbmessern paarweise gleiche Winkel bildet u. s. f. Um noch ein Beispiel aus einem anderen Kapitel zu bringen, verweise ich auf den Satz von der Potenz eines Punktes mit Bezug auf einen Kreis. Statt diesen Satz wie gewöhnlich in drei Sätze auseinander zu reißen, ist es für den Fortschritt der Schüler viel vorteilhafter und gewährt den Jungen freudige Befriedigung, die Spezialfälle in der allgemeinen Fassung wieder zu finden, daß ein Kreis auf jedem Strahl eines Büschels, den er trifft, zwei Abschnitte (vom Scheitel des Büschels aus gemessen) bestimmt, deren Rechteck für jede bestimmte Lage des Kreises auf jedem Strahl denselben Wert hat.

Unter den Konstruktionsaufgaben gibt es bekanntlich solche, die nur eine Methode der Lösung gestatten, und andere, die gewisse kleine Abweichungen zulassen, die an sich zwar unbedeutend sind, aber doch von einem gewissen Punkt ab eine anders verlaufende Beweisführung verlangen. Solcher Art sind insbesondere viele Dreieckskonstruktionen, in denen mit Schwerlinien operiert wird und die jeder Lehrer als solche kennt. Sie bilden in der elementaren Geometrie eines der einfachsten Kriterien für den Grad der Selbständigkeit der Schüler, und wo immer man in einer

Klasse Zeit hat, derartige Übungen zu treiben, sollte man sie nicht unbenutzt lassen. Sie sind mehr wert als Dutzende anderer auch in späteren Kapiteln (und in anderen Disziplinen) vorkommender Aufgaben, wo mehr Mechanismus und viel weniger Selbsttätigkeit auch zum Ziel führen. Der Schüler ist nämlich stets geneigt, das als erwiesen anzusehen, was einmal in einem ähnlichen Fall erwiesen war. Es geniert ihn auch vielfach gar nicht, einen Punkt oder eine Dreiecksecke doppelt zu bestimmen, oder ohne weiteres anzunehmen, daß drei unabhängig voneinander auftretende Punkte in einer Geraden liegen (was erst nachgewiesen werden müßte) und im Beweis kühl über diese schwachen Stellen wegzugleiten.

Für die Beweisführungen wird man als allgemeine Kicht-schnur aufstellen können, daß sie am besten sich genau an den in der Analysis befolgten Weg anschließen.

Über die Entbehrlichkeit eines Beweises für die eben vollendete Konstruktion, sofern Analysis und Konstruktion fehlerlos ausgeführt worden ist, bedarf es keiner Erörterungen, und man könnte sich auch nach Art der indischen Mathematiker mit einem „siehe da“ begnügen. Allein die vorzügliche Geistesgymnastik, die sehr oft in der Zusammenfügung eines gut geführten Beweises liegt und die eben darin zu suchen ist, daß beim Beweis der entgegengesetzte Standpunkt als wie in der Analysis eingenommen wird, diese wollen wir uns so wenig, wie einst die griechischen Geometer, entgehen lassen. Und wenn die Aufgabe nicht ganz elementar ist, so erlauben wir unseren Schülern nicht, so gern sie es auch immer wieder tun möchten und wirklich tun, am Schluß ihrer Arbeit zu bemerken „der Beweis folgt aus der Analysis“. Leider steht unseren Schulen meist nicht Zeit genug zur Verfügung, um diese großen Schätze logischer Schulung und Hinführung zu geistiger Ausdauer zu heben, die in der erschöpfenden Behandlung geometrischer Aufgaben in genügender Zahl niedergelegt sind. Die Lösung einer geometrischen Aufgabe (oder einer algebraischen) selbständig zu finden, ist für jeden einigermaßen geweckten Schüler ein Vergnügen ganz besonderer Art. Auch dann, wenn er nicht aus eigener Kraft, sondern durch Fragen des Lehrers langsam auf den springenden Punkt gekommen ist, wird er diese Befriedigung noch ziemlich ungeschmälert empfinden. Ihn dazu anzuleiten, solche

Entdeckungen selbst zu machen, ist nicht gerade einfach und besonders mit Rücksicht auf den Erfolg unsicher. Was der Unterricht tun kann, ist, an zahlreichen stufenmäßig geordneten Beispielen die Sache vorzumachen. Schließlich muß der Schüler selbsttätig beginnen, der Lehrer kommt nachher noch als Rezensent. Ist ein Aufsatz oder eine Übersetzung zu liefern, so wird auch der schwächere Schüler eine Arbeit zustande bringen, der Aufsatz wird schlechter oder besser ausfallen, ebenso die Übersetzung, bei welcher der Schüler den enormen Vorteil hat, die Gedanken nicht erst zusammenzutragen und richtig ordnen zu müssen. Liegt eine mathematische Arbeit vor, so wird unter Umständen nichts herauskommen,, wir stehen an der Grenze, welche zu überschreiten nicht mehr Sache des Fleißes und der Übung allein ist. Diese Schwierigkeiten sind es, die manchen Mathematiklehrer bewegen, sich auf Reproduktionen von seiten der Schüler zu beschränken und das Unterrichtsziel wesentlich zurückzustecken. Man läßt sich dann genügen an den „Hauptsätzen“ des sogenannten Systems und, einer Zahl von Anwendungen, die jeder Schüler auswendig lernen kann.

Weniger entmutigend steht es mit dem letzten Stück der Lösung einer geometrischen Aufgabe, der sogenannten Determination, d. h. der Untersuchung der Bedingungen für die Möglichkeit der Lösung, die eventuelle Mehrheit von Lösungen und spezielle Fälle derselben. Die Determination bietet den Vorteil, daß sie oft bei ganz einfachen Aufgaben interessant und mannigfaltig wird, und doch für die Mehrzahl der Schüler nicht zu schwierig ist. Man kann daher nicht genug empfehlen, bei allen Konstruktionsaufgaben die Determination in erschöpfender Weise (soweit dies mit elementaren Mitteln möglich ist) aufzustellen. Die hierbei geforderte Selbsttätigkeit der Schüler liegt viel mehr in ihrer Gewalt als das Auffinden der Lösung selbst, und bildet trotzdem eine vorzügliche Schulung für Auge und Urteil. Gerade dieses Ziel, die kritische Betrachtung einer Zeichnung, und das Auffinden und Abschätzen der Möglichkeiten unter gegebenen Voraussetzungen scheint mir die Bedeutung auch des elementargeometrischen Unterrichts weit über die Sphäre der eigentlichen Geometrie hinauszuheben.

Über die Behandlung der Stereometrie kann ich mich kurz fassen. Der Lehrer, der für die Planimetrie richtige Grund-

CO

-i

Sätze befolgt, wird sich in der räumlichen Geometrie leicht zurecht finden. Die Gefahr des Anfangsunterrichts ist hier mehr als in der ebenen Geometrie die Langeweile wegen der Notwendigkeit größerer Umständlichkeit und auch wegen der zahlreichen indirekten Beweise. Ein Mittel gegen die Langeweile ist gleich von Anfang an, daß man die Schüler die Figuren zum ganzen vorgetragenen Stoff in der Klasse mit freier Hand in ein Heft nachzeichnen läßt, die dann zu Hause mit dem Lineal und der Tuschfeder sorgfältig ausgeführt werden. Das Figurenzeichnen gehört mit zu der Hauptforderung, die wir an den stereometrischen Unterricht stellen, daß er anschaulich sei. Wenn dieser Unterricht nichts weiter bezweckte, als daß er die räumliche Anschauung auf geometrischer Grundlage, nicht nur gefühlsmäßig, entwickelt und bis zu einer gewissen Fertigkeit großzieht, so verdiente er gerade für den späteren Nichtmathematiker die größte Beachtung. Der Lehrer wird zweckmäßig für gewisse schwierigere Figuren sich vor der Lektion eine gutgewählte möglichst durchsichtige Lage der Linien suchen. Die gewöhnlichen Lehrbücher sind darin keineswegs mustergültig ausgestattet und kleben oft an ungeschickten, unbegründet vereinfachten oder zu speziell angenommenen Figuren.

Es ist nicht uninteressant, wenn auch zum voraus zu erwarten, daß häufig ein Schüler stereometrische Aufgaben nur schwer oder gar nicht bewältigt, wohl aber sehr hübsche Figuren mit gutem Gefühl für Raum und Perspektive zu entwerfen versteht — wieder eine Stelle, wo die spezifische Begabung sich geltend macht, und man könnte sich wohl fragen, ob nicht bei der Reifeprüfung eine der mathematischen Aufgaben ganz einfach in einer stereometrischen nach dem Gefühl oder nach Regeln der Parallel-Per-spektive entworfenen Zeichnung bestehen sollte. Damit wäre ein Talent bewertet, das sonst nirgends zum Ausdruck kommt und das in der Mathematiknote untergebracht das Zeugnis gerechter machen würde ; manchem Schüler auch müßte diese Möglichkeit das ganze Mathematikstudium in der Mittelschule interessanter erscheinen lassen.

Auch zur Trigonometrie genügen wenige Bemerkungen. Denn hier hat sich schon seit geraumer Zeit eine verhältnismäßig weitgehende Übereinstimmung der Methode ergeben. Allerdings

CO

ist der Gegenstand selbst verhältnismäßig einfach, ziemlich eng begrenzt (ich meine nur die elementare ebene Trigon.), so daß fast nur die praktische Rechenführung zu besprechen ist.

Nachdem die paar Grundbegriffe sinus, cosinus, tangens, cotangens als Quotienten von Strecken nach allen Seiten klargelegt, auch mit geometrischen Hilfsmitteln ihre Werte für die Winkel von 45°, 30°, 60°, eventuell noch für 18° und 72° ermittelt worden sind, empfiehlt es sich, zur Einübung derselben die Figur eines Dreiecks mit den drei Höhen zu benützen und unter Voraussetzung der drei Winkel a, /?, y und einer der 18 Strecken, der Seiten, Höhen, Seiten- und Höhenabschnitte, alle übrigen Stücke anzuschreiben. Vorher ist ein für allemal für jede der vier Gleichungen

c    b

-, ter/» = —, ctg/? =

dritte Form einzuüben und in Worten auszusprechen, also b = a sin/?,

usw. Der einigermaßen befähigte Schüler lernt diese

Umkehrungen ohne Schwierigkeit auswendig, die ganze Disziplin aber gewinnt an Beweglichkeit und Übersicht, und man erspart viel Zeit. Um möglichst bald die Verwendbarkeit schon der elementarsten trigonometrischen Kenntnisse zu zeigen, wird man

die paar Sätze über Komplementswinkel, wobei namentlich cos ^

. a . a ß = sin—, sin —~ r —

sin

sind, und die Relation tg =    , sin² ~\~ cos2 — 1 alsbald vornehmen,

die logarithmischen Tafeln erklären und praktische Beispiele über das rechtwinklige Dreieck rechnen. Nachher werden die Sätze über die Funktionen supplementärer Winkel, über die Funktionen stumpfer Winkel überhaupt, und auf geometrischer Grundlage nächst nur der Sinussatz, der Kosinussatz, die Mollweide’schen Gleichungen und die Tangentenformel, jedesmal mit besonderem Hinweis auf die Verwendbarkeit, hergeleitet, gelingt es, verhältnismäßig früh das schiefwinklige Dreieck berechnen, und was die Hauptsache zunächst ist, das Interesse für den Stoff wach zu erhalten, eine beschränkte Zahl Formeln rasch

b

sin ß = ■—, cos/? = a

cn o

die zweite und

y

= cos ■— usw. (für das Dreieck) zu betonen

zu-

Auf diese Weise

zu

zum Eigentum der Schüler zu machen, so daß die nun hinzukommenden Formeln für sin (a ± ß) und cos (a ± ß) samt den nötigen wichtigsten abgeleiteten Beziehungen leicht und frohen Mutes hinzugelernt werden. Nun kann man auch darangehen, die früheren Sätze über das schiefwinklige Dreieck ohne Figur herzuleiten, Umwandlungsrechnungen an Formeln vorzunehmen, unlogarithmische Ausdrücke in logarithmische umzuwandeln, eventuell auch die Anwendung von Hilfswinkeln zu zeigen.

Die praktische Durchführung eines Zahlenbeispiels mit loga-rithmischer Rechnung wird in verschiedenen Lehranstalten noch verschieden behandelt, und zwar bezieht sich dies nicht bloß auf trigonometrische Aufgaben. Ganz überflüssig ist es, ehe man an die Rechnung herantritt, das gefundene Resultat, die Schlußgleichung zuerst in logarithmische Form zu kleiden ; also wenn beispielsweise

4659 . 7,843 371,69

gefunden ist, noch eigens anzuschreiben

log x = log 4659 -j- log 7,843 — log 371,69.

Diese elementarsten Beziehungen müssen geläufig sein, und es hieße die Zeit vergeuden, jedesmal wieder die alten Gleichungen anzuschreiben. Man hüte sich überhaupt vor jeder unnützen Zahlenschreiberei; vielstellige Zahlen kann man hierbei durch die paar ersten Stellen links andeuten ; wo es sich um Zahlenwerte bekannter Größen, um Kapitalien, Prozente, Strecken, Funktionen etc. handelt, schreibt man stets bloß die allgemeine Bezeichnung, also insbesondere niemals log sin 12° 44' 13" oder tg 102° 31' 40" oder Ähnliches. In allen Fällen gilt als Regel, man operiere möglichst früh nur mit kurzen allgemeinen Bezeichnungen und führe für zusammengesetzte Zahlenausdrücke sofort wieder Buchstaben ein. Bei trigonometrischen Berechnungen ist zu empfehlen, die allgemeine Lösung der Aufgabe auf der linken Seite des Blattes zu führen, die Zahlenrechnung rechts; ein Strich von oben nach unten scheidet die numeri von den Logarithmen; links oben an dem Strich stellt man die in der Aufgabe vorhandenen Data auf und trennt sie durch einen Querstrich von den weiter daraus abzuleitenden Werten sowie von den Resultaten; rechts von dem ersten Strich werden nur Logarithmen angeschrieben. Die Überschrift über den beiden Kolumnen ist überflüssig. Die Reihenfolge der Logarithmen ist natürlich nicht gleichgültig ; man wird darauf sehen, möglichst wenig Logarithmen zu schreiben, d. h. insbesondere, wenn ein Logarithmus öfter vorkommt, ihn so zu stellen, daß er ohne Schwierigkeit mit anderen kombiniert werden kann. Um ganz konsequent zu verfahren und Verstöße möglichst zu vermeiden, benützen die Rechner vom Fach für die im Nenner stehenden Größen auch dann die dekadische Ergänzung des Logarithmus, wenn einmal Zähler und Nenner nur eine einzige Zahl enthalten. Das genaue Untereinandersetzen der Ziffern bei Logarithmenrechnungen ist absolut zu verlangen; man läßt daher die Schüler zuerst die Dezimalpunkte hinsetzen. Nebenrechnungen werden auf dem freien Rand des Blattes an besonderem Platz ausgeführt, ebenfalls der Ordnung nach, wegen einer etwa nötigen Kontrolle. Die gefundenen Resultate sind durch Unterstreichen oder sonstwie energisch zu kennzeichnen.

Die im Anhang folgenden einfachen Beispiele werden manches von dem Gesagten noch näher verdeutlichen.

Anhang.

¹

Es ist mir nicht unbekannt, daß manchmal von Mathematikern und Physikern von Ruf erzählt wird, sie hätten keine Sicherheit im Zifferrechnen. Allein solche Fälle beweisen nichts; auch ein Genie wird sich einen derartigen Mangel nicht als Vorzug anrechnen.

Schneider, Methodik d. Elementar-Mathematik.

²

Zum Überfluß hier die kurze Theorie : Wie z. B. die beliebige Zahl 2477 = 2.1000 + 4.100 + 7.10 + 7

= 2 (999 + 1) + 4 (99 + 1) + 7 (9 + 1) + 7 = 2.999 -f 4.99 + 7.9 + (2 + 4 + 7 + 7)

= 9 (222 -f- 44 4- 7) -f- 20, d. h. gleich einer Neunerzahl plus der Quersumme (2-f-4-f-7 -j-7) ist, so jede andere Zahl des dekadischen Systems.

Sucht man also den Rest einer Zahl bei der Division durch 9, kurz den „Rest nach 9“, so braucht man bloß die Quersumme darnach zu untersuchen, und nach derselben Regel wiederum die Quersumme dieser Quersumme. Also im

³

Bekanntlich besteht dieser geometrische Ort aus zwei zu der Sehne symmetrischen Kreisbogen. Der Schüler kann also hier „einen“ Bogen beschreiben.

⁴

Wie sehr es manchmal auch in den nicht mathematischen Werken an der Richtigkeit des Ausdrucks fehlt, sobald mathematische Begriffe ins Spiel kommen, davon nur ein paar Beispiele. Ein bekannter Schriftsteller schildert irgendwo die Wohnungen des baskischen Volksstammes und bemerkt dabei, daß die Fenster ihrer Häuser „fast viereckig“ seien, was wohl heißen sollte, daß sie annähernd quadratisch sind. Ein anderer ebenso bekannter Autor macht darauf aufmerksam, daß der Meerbusen von Bengalen pyramidenförmig ist ; er wollte sagen, daß er mit seiner Küste in Dreiecksform in das Land einschneide. Die Physiklehrbücher aber sprechen fast durchweg von den Fallräumen (in der Lehre vom freien Fall), während niemand an einen Raum, sondern jeder an eine Strecke, einen Weg denkt.

, f.

Zur Geometrie.

1. Satz von den Diagonalen des Rechtecks.

Gegeben: Das Rechteck AB CD.

Behauptung: AC = BD.

Beweis: (Vorbetrachtung : Da es sich um die Diagonalen handelt, so hat man zwei Dreiecke zu suchen, in welchen die ganzen Diagonalen als Seiten und die rechten Winkel enthalten sind, die das Wesen des Rechtecks ausmachen.)

ist

In den Dreiecken ABD und ABC AB = AB

DAB = ABC (= R gegeb.)

somit und also

D. h. die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang.

Zusatz als weitere Folgerung : Bezeichnet man den Schnittpunkt der Diagonalen mit M, so ist nach Früherem

AD = BC (Gegens. im Pllgmm.); ,A ABD ss A ABC (I. K.-S.)

BD = AC.

AM = CM = |AC BM = DM = £BD,

also da auch

AC = BD, wie oben gezeigt,

A M = B M, und daher AM = BM = CM = DM, d. h. M ist der Mp. eines aus M beschriebenen durch die Ecken gehenden Kreises: das Rechteck hat einen Umkreis.

Man sieht zugleich: die Diagonalen teilen das Rechteck in zwei Paare kongruenter gleichschenkliger Dreiecke.

Beschließende Frage: Was läßt sich über die Winkel zwischen den Diagonalen und Seiten aufstellen? Was ergibt sich über die acht rechtwinkligen Dreiecke, in welche die Figur durch die Parallelen zu den Seiten durch M gezogen zerfällt, und was folgt über die Fläche jener 4 gleichschenkligen Dreiecke?

2. Satz von konzentrischen Parallelogrammen, wovon eines dem anderen einbeschrieben ist.

Wenn ein Parallelogramm einem anderen Pllgmm. einbeschrieben ist, so fallen ihre Diagonalenschnittpunkte zusammen.

G e g. : Das Pllgmm. A B C D, dessen Diagonalen sich in M schneiden, und dem das zweite Pllgmm. EFGH einbeschrieben ist.

Beh.: EG und FH schneiden sich gegenseitig in M.

Ek

Bew.: (Vorbemerkung: Die Schüler sind geneigt, die Diagonalen des zweiten Pllgmms. sogleich einzuzeichnen, und zwar so, daß sie durch M gehen. Man hat ihnen daher klar zu machen, daß hier umgekehrt zu verfahren ist: man beweist, daß die von M nach F und H [oder nach E und G] gehenden Geraden in dieselbe Richtung fallen.)

Man hat in den A A B F E und D H G

EF = GH (Gegens. im Pllgmm.)

<^BFE = ^DHG (pll. Schenkel im selb. Sinn) •$:BEF = ADGH (ebenso)

A BFE së A DHG (1 S. 2 gleichliegende W. gleich) BF = DH.

daraus

und

Zieht man nun die Strahlen MF und MH, so ist in den

also

daraus

daß

A A M B F und M D H

M B = M D (halbe Diag.)

B F = DH (eben bewiesen) <£MBF = MDH (Ww. an Pll.) AMBF^AMDH (2 S. eing. W. gl.) <^BMF = <^DMH, woraus folgt,

F MH eine Gerade ist.

Außerdem folgt MF — MH, d. h. M ist die Mitte der Diagonale FH und somit der Schnittpunkt von FH und EG, also der gemeinsame Umfangsmittelpunkt der beiden Pllgmme.

3. Der Satz vom Quadrat der Hćrhe des rechtwinkligen Dreiecks. Wenn A ABC bei A rechtw. ist undAD_LBC gezogen, außerdem über A C und C D die Quadrate A C E F und C D Gr H errichtet sind, so hat man nach dem pythag. Satz für das Quadrat der Höhe

AD² = ACEF - CD GH.

Um die rechte Seite dieser Gleichung in andere Form zu bringen, verlängere CH bis J, so daß CJ = BC, ziehe JK // CB bis zu der verlängerten AG, dann ist CDKJ ein Rechteck aus CJ und C D, oder aus der Hypotenuse und der Projektion der Kathete A C auf diese, also (nach dem Satz vom Quadrat der Kathete) = ACEF.

Demnachkann manschreiben AD* = CDKJ — CDGH = GKJH.

Dieses Rechteck aber hat als Seiten G H = C D und H J =

CJ — CH = BC — CD = BD, d. h. seine Seiten sind gleich den Abschnitten der Hypotenuse. Man hat also den Satz gefunden: Das Quadrat der Höhe ist gleich dem Rechteck aus den Abschnitten der Hypotenuse, den man kurz so anschreibt : A D² = B D . C D.

4. Satz vom Quadrat über der Differenz zweierStrecken. Es seien AB und AC zwei auf derselben Geraden übereinander liegende Strecken, so daß BC ihren Unterschied vorstellt, und CBDE sei ein Quadrat über BC.

Verlängert man BD und EC um die kürzere Strecke AC bis F bezw. J, zieht durch F und J zur ersten Geraden die Parallelen und durch A zu BF oder C E die Parallele bis zu den Schnittpunkten G und H mit den vorigen, so ist

Aus der Figur ersieht man nun unmittelbar, daß

riBDEC = nABFG + nAHJC — 2\ "ÏHJEK,

oder anders dargestellt

BC² = AB² + AC² — 2AB. AC.

In Worten also welcher Satz?

(Vergl. den entsprechenden Satz über die zweite Potenz eines Binoms.)

5. Aufgabe: Ein Parallelogramm zu zeichnen aus dem Umfang 2 s, einem Winkel ß und der ihm gegenüberliegenden Diagonale e.

_______

e bestimmen ein

AB FG 1 und AH J C

> je ein Rechteck, und

zwar, weil

BD = BC,

DF = AC, und also BF = AB,

A B F G ein Quadrat über A B, ebenso A H J C ein solches über A C, neben dem vorigen liegend. Verlängert man nun D E (welche || B A ist) bis K auf AG, so ist DFGK ein Rechteck, und ebenso HJEK, und zwar ist

KD = AB (Gegens.)

D F = A C (Konstr.)

EJ = EC + CJ = BC +AC EJ = AB und HJ = AC, d. h. es sind DFGK und HJEK zwei Rechtecke, deren Seiten gleich A B und AC, sie sind also kongruent, und damit, was hier allein wichtig ist, gleich groß.

(«) -J

und ebenso

oder

Analysis: Die Seite EC = s, <^E = und AC = Hilfsdreieck; usw.

Konstruktion: Mache die Strecke EC = s, lege daran in E den

an, und durchschneide den freien Schenkel von C aus mit e

in A. Das Mittellot von A E schneidet EC in B, die Parallelen durch C zu B A bezw. durch A zu B C schneiden sich in der vierten Ecke des gesuchten Parallelogramms AB C D.

Winkel FEC =

Am

Iß

ir~t

B,

Beweis. AB CD ein Pllgmm. nach der Konstr. AB = BE (wegen des Mittellots), also

AB + BC = EB-f BC = EC

— s,

2 (A B -f- B C) = 2 s, oder AB-J-BC + CD + AD = 2s.

somit

A B C = 2 E (gleichsch. A), •3C A B C — ß.

also

Determination: Zunächst muß e<Cs sein. Außerdem e>CF, wo

diese die Senkr. von C nach FE vorstellt. Also s>e^ssin-^-. Für das obere

Zeichen erhält man zwei Schnittp. A und A, auf EF, und damit zwei Pllgmme. AB CD und A, B, CD,. Man findet aber, wenn man die beiden Basisw. CAA, und C A, A mit e bezeichnet, in den

aber

also

A A A B C und A, B, C AC = A,C (— e)

2. <3CABC = AA₁B,C (= ß)

\ <3CBAC = 2R — e — BAE (A, A E ein gestreckter W.) \ «3; B, CA, = 2 R — f—-E (imAA.EC)

3CBAE =^:E = somit

3 ^BAC = ^B,CA₁

A A B C që A A, B, C, und damit auch Pllgmm. A B CD ^ Pllgmm. A, Bj C D,.

1.

Man erhält also in diesem Falle zwei kongruente Figuren symmetrisch gelegen zu der Senkrechten CF.

Für das untere Zeichen fallen diese beiden in eine Figur zusammen, den Rhombus mit der Diagonale CF.

umschreiben.

6. Aufgabe: Einem geg. Kreis einen Rhombus von gegebenem Inhalt zu

Analysis: Die Höhe des gesuchten Rhombus ist gleich dem Durchmesser des geg. Kreises. Also ist die Aufgabe anders gefaßt zunächst diese: eine gegebene Figur in ein Parallelogramm von gegebener Höhe zu verwandeln. Die sich ergebende Grundlinie stellt die Rhombusseite vor und muß als Tangente des Kreises zwischen zwei parallele Tangenten desselben gelegt werden.

TT

nA.

/    ' "/k

Konstruktion: Ist der Inhalt des Rhombus als Rechteck gegeben, so ziehe man einen Durchmesser AB des gegebenen Kreises, in A und B die Tangenten, und lege das Rechteck mit einer Ecke in den Winkel B, wo es mit CB DE bezeichnet sei. Ziehe AD und zu ihr durch C die Parallele bis F auf BD, durchschneide die durch A gehende Tangente aus B mit BF in H, ziehe den zu B H senkrechten Durchmesser J K und in J und K die Tangenten XY und ZT zwischen jenen ersten, so ist XYZT der ges. Rhombus.

B e w. : a) [Daß XYZT ein Rhombus ist.] Fälle X L J_ Y Z und Z N _l_ X Y je bis zur Gegenseite, dann ist

in den A A XYL und NYZ

XL = NZ (= AB = JK = 2r) <£L = <£N (= R)

<£Y^Y

AXYL sANYZ ( welcher Kongr. S. ?)

XY = XZ, und

da auch XY//ZT, weil J_JK und YZ//XT, weil J_AB, so ist XYZT ein Pllgmm. und zwar ein Rhombus.

also

woraus

b) [Daß XYZT = C B D E.] Bezeichnet Gr den Schnittpunkt der Parallelen zu BA durch F mit der Tang, in A, so hat man

ZT = BH (Pli. zw. Pli.)

B F = B H (Konstr.)

also und somit CD zieht

Basis Z T = Basis B F Höhe J K = Höhe AB (= 2r)

Eh. XYZT =■ [

jABFG, oder wenn man A F und

= 2 A ABF

= 2 (ACBF + ACFA) = 2 (ACBF+ACFD) = 2 ACBD = 1 1CBDE.

Det. : Die Möglichkeit der Lösung hängt ab von dem Auftreten des Punktes H auf AG. Es muß also sein

BF ^ AB, oder wenn man den geg. Inhalt mit J bezeichnet

— A 2 r 2r —

J ^(2r)²

J ^ d², d. h. der geg. Inhalt des Khombus darf nicht kleiner

oder

sein als das Quadrat des Durchmessers des geg. Kreises. Wenn J = d², so berührt der Bogen aus B die Tang. AG, und der Rhombus wird zum umschrieb. Quadrat.

7. Aufgabe: A aus a, hb, q.

Analysis: Der Winkel y ist bestimmt durch ein rechtw. A aus a u. hb

Konstr.: Mache eine Strecke B C = a, beschreibe über ihr als Durchmesser den Kreis ; durchschneide diesen von B aus mit hb in D; ziehe CD und halbiere den W. BCD, ziehe zu BC im Abstand q (auf der Seite a von BCD) die Pli., welche durch die Mittellinie von BCD in 0 geschnitten wird.

Fälle von 0 die Senkr. O E nach BC, beschreibe aus 0 mit OE den Kreis, und ziehe an diesen von B aus die (zweite) Tangente, welche C D in A schneidet, so ist ABC das gesuchte Dreieck.

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■ -■»!

1J

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ry

Det. : Die Höhe hb läßt sich im allgemeinen in den oberhalb und den unterhalb BC liegenden Halbkreis eintragen und danach erhält man zwei A A A B C und A' B C, welche der Aufgabe genügen, ohne kongruent zu sein. Es ist aber<^A/CB = 2R-AACB. Für hb = a wird C = R, die beiden Dreiecke fallen zusammen. Für hb )> a wird die Lösung unmöglich. Sie hängt aber noch von p ab, insofern 2p<hb sein muß, wenn die Tangenten BA und CA sich auf der Seite des Innenkreises 0 schneiden sollen.

Be w.: BC = a, BD = hb konstr. und _|_CA wegen des Halbkreises über B C. Punkt 0 ist auf der M.-Linie C O gelegen, daher berührt der Kreis O mit OE auch AC, und OE ist = p (Pli. zw. Pli.). BA ist als Tang, konstr., somit hat A ABC den Innenkreisradius p.

Anmerkung. Die doppelte Lage von hb oberhalb und unterhalb von BC mit dem £fcy und 2R— y bietet eine erwünschte Analogie zum doppelten Wert

eines Winkels, der durch seinen Sinus bestimmt wird, hier den Quotienten —•

8. Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck zu zeichnen aus der Höhe zum Schenkel und dem Innenkreishlbmss. (hb und p).

Analysis: Ist ABC das verlangte Dreieck, M dessen Innenkreismp., BE die Höhe zum Schenkel AC, AD die Höhe zur Basis, so ziehe den Berührungsradius MF und die Senkr. DG, welche //BE sind, und noch die Pli. MH zu AC bis H auf DG, dann ist D H = D G — HG

MF

= -BE-= J V- Q

und W. H = R. Somit ist A M D H konstruierbar, durch D ist die Basis BC als Tangente an den Kreis um M und durch D G die Richtung des Hlbmss. MF bestimmt und damit CA und CB.

Konstr: Zeichne beliebig um einen P. M den Kreis mit dem Halbmss. p, ziehe einen Radius MD, über ihm als Durchmss. einen Halbkreis und durch-

M'

1)

^~hb — pj in H. Ziehe den Halbmss. MF//DH,

schneide diesen von D aus mit

in D und F die Tangenten an den Kreis M, die sich in C schneiden, während DM von CF in A getroffen wird; endlich von A die zweite Tangente, welche C D in B trifft ; dann ist ABC das gesuchte Dreieck.

Bew. : AD als Zentrale halbiert den W. BAC und ist J_BC (konstr.), also ist AABC gleichschenklig und D die Mitte der Basis. Zieht man die Höhe BE und verlängert DH bis G auf AC, so ist

D G _L A C (weil II M F, welche J_ A C) also DG I/ BE und

B E = 2 D G. Außerdem auch

DG i. MH (Hlbks.) also MH II AC, und MHGF ein Pllgmm. Daher HG = MF (= q)

DG = DH + MF

-4k

\jjL/

= — hb somit BE = hb

Daß A ABC den Innenkreishlbmss. p hat, ist ohne weiteres klar.

D e t. : Zunächst muß

oder

so schreiben läßt

oder

hb > 2 p, und ferner

-g-hb—p<p (vergl. d. Hlbkrs.)

hb < 4 p sein, was sich übersichtlich 4 g > hb > 2 q.

Anmerkung: Dieses Ergebnis läßt sich auch auf andere Weise finden. Es ist stets oder

BE = 2DG

hb =2 (GH + DH)

= 2 (t + DH)

₍, + DH = ihb

DH < q (MD)

2(-> A»

⁴ Q > hb.

Ferner, wenn hb = 2 q wäre, so würde die Basis B C als Tangente an den Innenkreis parallel zu AC werden, d. h. der Schnittp. C könnte nicht mehr existieren; damit B D und A C gegen C konvergieren, muß hb > 2 q sein.

also

da aber

so ist

9. Aufgabe: A aus b — c = d, hb : ta = m : n, A «.

(Vorbemerkung: In vielen Fällen, wo zuerst ein dem gesuchten ähnliches Dreieck gefunden werden kann, behandelt man die gegebenen Verhältnisgrößen

als die durch sie vertretenen Strecken, hier also löst man die Aufgabe, ein A aus hb, ta, a zu konstruieren, und nachher vergrößert oder verkleinert man die Figur unter Benützung der noch nicht verwendeten gegebenen Strecke, hier also von d.)

Konstr,: Man zieht zwei Pli. L und Lt im Abstand m voneinander und durchschneidet von dem bel. P. A der L die zweite L, mit 2n in E, legt in A an L den W. A — «, dessen zweiter Schenkel L, in B trifft und zieht BM durch die Mitte M von AE bis C auf L. Nun durchschneidet man AC aus A mit AB in F, und wenn nun B der Ähnlichkeitsp.* der A A ABC und XBY (des gesuchten) sein soll, so zieht man BF, macht CG auf CA gleich d, GH // BC bis H auf dem Strahl BF, endlich XY//AC durch H bis X auf BA und Y auf BC, dann ist XBY das ges. Dreieck.

H'

IW

;. '• /

;Sa

■J

AT

'■■4 \

* Je nach der Wahl des Ähnlichkeitspunktes erhält das gesuchte Dreieck eine andere Lage gegenüber dem zuerst gefundenen ähnlichen Dreieck.

Bew. : Es ist demselben Grund

1.

■^X = <^BAC = a (XY//AC). Ferner aus ĄXBH ~ A ABF, somit glchschkg., daher XY — XB = XY — XH = HY

2. X Y — X B = d.

= C G, d. h.

Verlängert man die Höhe BD bis J auf XY, so ist B.T_J_XY, und zieht man XZ//AM his Z auf BY, so verhält sich

BZ:BM = BX:BA BY:BC = BX:BA BZ : BY = BM : BC;

BM = — BC, weil AM= EM und AC//BE,

BZ:BY = 1:2, d. h.

XZ ist Schwerlinie.

B J : BD = B X : B A XZ:AM = BX:BA

und

also

aber

daher

3.

Nun hat man noch

j (M )

} (PH.)

BJ:XZ = BD:AM, oder B J : X Z = m:n.

Det.: Es muß sein 2n^m. In allen Fällen außerdem ^«><^CAE, damit AE, d.h.

folglich

dessen sin

4.

die Richtung A M der Schwerlinie, innerhalb von « zu liegen kommt. Da der Bogen aus A mit 2n

für den Fall, daß 2n>m, zwei Schnittpunkte E und E, auf L, bestimmt, so kann die Konstr. zwei brauchbare nicht kongr. Dreiecke ABC und ABC, liefern, wenn «^«^«^CAE und auch C^CAE, ist.

jfcC-

''h

.C

Wenn dabei

3:bae<3:bea

oder<^C BAE < C AE

d. h.

« — 3;CAE<3:CAE oder C A E >

'■'-x

so wird BE<AB oder

AC <AB, d.h. die Differenz (b — c) kehrt sich um in (c — b), oder die Figur erscheint in umgeklappter Lage.

Dies ist stets der Fall, wenn 2 n = m jedenfalls « > R sein muß.

wo

10. Aufgabe: A aus a, ta, tb .

(Die Analysis ist einfach und soll hier nicht ausgeführt werden. Um was sich hier handelt, ist, die verschiedene Konstruktion und daraus nötig werdende verschiedene Beweisführung in derselben Aufgabe zur Anschauung zu bringen.)

Zweite Lösung.

Man macht BC = a, beschreibt aus

3 tc zwei

sich in S schneidende Kreisbogen, verlängert B S um ihre Hälfte bis M, und C M um sich selbst bis A, und zieht AB, so ist ABC das ges. Dreieck.

es

Erste Lösung.

Man macht BG = a, beschreibt aus

B mit

2    2

— tb und aus C mit —1₀ je einen o    o

B und C mit

T*-

bezw.

Kreisbogen, welche beiden sich in S schneiden, verlängert BSj und CS je um ihre Hälfte bis D bezw. E, und zieht CD und BE bis zu ihrem Schnittp. X, dann ist XBC das ges. Dreieck.

Ei

\I)

V;

-k

Bew.: B D ist = tb und C E = tc gemacht [also ist nur zu zeigen, daß sie Schwerlinien sind].

Weil B S : S D = 2 :1 )

CS :SE =2:1 / so folgt BS : SD = CS : SE, also

Konstr.,

Bew.: [Hier ist zu zeigen, daß CS in ihrer Verlängerung AB halbiert und

die Verlängerung = -|-CS wird.]

Ziehe MD il AB bis D auf CS, und verlängere CS bis X auf AB. Dann ist

AX : MD = CA: CM = 2 :1 (mzwischen

Konverg.)

(dto.)

BX:MD=SB:SM = 2:1

DE || BC (nach der Umkehrung des Prop.-Satzes), und nun DE : BC = SD : SB

Also AX= BX,

d. h.

und daher

also

d. h. oder

= 1:2. Aber auch DE : BC = XD : XC XD : XC = 1 :2 D ist Mitte von CX BD eine Schwerlinie.

Ganz ebenso

XE : XB = DE : BC,

CX ist Schwerlinie, MX II BC,

SX : SC = SM : SB

und damit

oder

= 1:2 SX = ~ SC

also auch

CE eine Schwerlinie.

und

= -g-^ CX = tc.

D e t. : Es muß, damit die Lösung möglich wird, der Schnittp. S auftreten, es muß also sein

4*»±4‘c^

tb ± *c ^ y a-

oder

Anmerkung: Die Schüler müssen im zweiten Fall die Figur mit dem Auftreten des Punktes A als vollendet erkennen. Alles andere folgt nachher. Der Anfänger wird einen Beweis am ehesten richtig aufstellen, wenn er sich stets an die werdende, nicht an die fertige Figur hält ; man muß ihn ganz besonders auf die überbestimmten Punkte oder Geraden und auf die Schnittpunkte von Kreisen mit Geraden hinweisen, wo häufig zwischen verschiedener Lage und Bedeutung zu unterscheiden ist.

11. Aufgabe: A aus «, tb, tc.

Analysis: Ist ABC das gesuchte Dreieck, mit den Schwerlinien BM und C N, die sich in S schneiden, so verlängere B M um sich selbst bis D, dann ist A BCD ein Pllgmm.

Also 3: ACD = B AC = «, und sein Scheitel auf dem K.-Bogen «

2

N/

über M D, und zwar um S C = -g- tc

von S entfernt. Daraus die

'C

K o n s t r.: Mache eine Strecke BM = tb, und ihre Verlängerung ß MD = BM; teile sie in S so, daß

Ny

y~Fx

"t\

'«s

yBM, beschreibe über MD den Bogen für «

(s. o. S. 27), und durch-

MS =

2

schneide denselben von S aus mit tc in C. Verlängere C M um sich selbst bis A und ziehe AB, so ist ABC das gesuchte Dreieck.

5.

D e t. : Die Lösung ist nur möglich, wenn Punkt C auftntt. Bezeichnet man die Schnittpunkte der von S durch den Mp. des Hilfsbogens über MD gehenden Sekante mit diesem Bogen mit F und FT (den entfernteren), so muß

2 _ _ _

für den Fall, daß « < R ist, — tc ^ S F und S Fx sein, ist aber « R, so

ist die

Bew.: Weil AM = CM,BM = DH, so ist A B C D ein Pllgmm., und 3:BAC = 3:ACD (Ww. an Pil.).

1. <3^BAC = «. Ferner weil AM = CM, so ist

somit

Also

2. BM eine Scliwerlinie, und zwar = tb.

Verlängert man CS Ms N auf AB, und zieht durch M die Pli. zu AB bis E auf CN, so hat man (wie S. 52)

also

somit

AN = 2ME (Scheitel C) BN = 2ME (Scheitel S) AN = BN

4. CN eine Schwerlinie. Dann aber ist auch

aber

also

MN II BC NS : SC = MN : BC MN:BC = AM:AC = 1:2 NS: SC = 1 :

N C : S C = 3 :

CO to

NC=ä

Jsc

Cd ico

2

Bedingung — tc > SM und < SD.

12. Aufgabe: A aus a + b c = 2 s, p, a.

Analysis: Die Strecke s bestimmt auf den Schenkeln von a die Berührungspunkte des Ankreises der Gegenseite von a. Eine innere Tangente zwischen diesem Kreis und dem Innenkreis bestimmt die dritte Seite.

Konstr.: Mache eine Strecke AD = s und ziehe zu ihr in D die Senkrechte ; lege in A an A D den W. A = « an und halbiere denselben ; ziehe zu AD im Abstand p die Pli. (auf der Seite des W. A), welche die Mittellinie in 0 trifft, während diese das Lot in D in 0, schneidet. Beschreibe aus 0 mit p und aus Oj mit 0,D je den Kreis und ziehe zu beiden eine innere Tangente, so bestimmt diese mit dem W. A das ges. A ABC.

Bew.: W. A =    « (konstr.) Die Senkrechte 0E nach AB ist = p (Pli.

zw. Pli.) und weil 0 auf der Mittellinie von BAC liegt, so berührt der Kreis um 0 auch AC. Berührt der Kreis 0, die Seite AC in F, BC in G, so ist

o5

ab + bc + ac = ab + bg + cg + ac

=' AB + BD-j-CF + AC = AD-j-AF, oder da A D = A F = 2 AD = 2 s.

<?

PCs ' '

,4

-,

af;

Det. : Die beiden Kreise dürfen sich nicht schneiden. Es muß also sein ° Ö, < ? + ° D,

— < Q + s tg j

d. h.

cos

roi a

sin

tel a

1 cos

1 — sin

toi a

cos

toi a

<?•

sin

« !<M

« ¹ + sln2

ctg " ctg* (§-0

13. Aufgabe: Einem geg. gleichschenkligen Dreieck ein Parallelogramm vom Inhalt q² einzuzeichnen, welches mit ihm den Winkel an der Spitze gemein hat und dessen vierte Ecke auf der Basis des Dreiecks liegt.

wc

Analysis (algebr.-geometr.): Es seiAXYZ das gesuchte Pllgmm., dem glchsch. A A B C einbeschrieben und Y liege auf B C. Bezeichnet man die Seite X Y mit x, also Y Z (= Z C) mit b — x, so hat man, weil Pllgmm. AXYZ = 2AAXZ und

= q², wo (o den Inhalt von ABC vorstellt.

AAXZ:AABC = x(b — x) : b², wobei b der Schenkel des Dreiecks, 2 x (b — x)

b²

-- . CO

q²

2 b x — 2 x² = b* —, oder wenn

bq

V co

r gesetzt wird

2 x² — 2 b x + r² = 0

b + Vb² — 2r²

x_

* = Y (b± Vb² — 2r²)

Konstr. : Man verwandle zuerst A ABC in ein Quadrat, dessen Seite

(V«) mit m bezeichnet sein soll, und konstruiere dann r = —— aus m : b = q : r,

m

und dann auf bekannte Weise den Ausdruck für x.

Mache daher auf B C eine Strecke C D — ha, beschreibe über B C den

Hlbkrs. nach unten und ziehe in D die Senkrechte zu B C, die jenen in E schneidet; nun auf CE die Strecke CF = q, EG//EA bis G auf AC, dann den Hlbkrs. über AC, in G die Senkr. GH zu AC gleich GC; durchschneide mit CH aus C den Hlbkrs. in J, aus A mit AJ den Schenkel AC in K, halbiere CK in Z, so bestimmt die Pli. ZY zu AB den P. Y auf BC, die Pli. YX zu CA den P. X auf AB, so daß AXYZ das gesuchte Pllgmm. ist.

ff

•c

■K

ff,

f\

1-

Bew.: Es ist AZ

AC + AK 2

b + AJ

(weil Z Mitte von CK)

b + Vb² —2r²

(«)

AX (= YZ = CZ)

b-V

(weil CZ = KZ)

(ß)

A AXZ

AX’AZ

b²

• A ABC

2AX AZ b²

Pllgmm. A X Y Z =

2(b + V ) (b-V )

4 • b²

. ra² (s. oben «, /?)

₂(b._bi + a(M)⁸)

4 • b²

b²q² , b²m²

Pllgmm. A XYZ = q².

D e t. : Es muß sein

oder

2r²<b² (damit yb² — 2r² nicht imaginär wird) r VÎT    b

J?

q \2    m

G,

w.

q^^~V2

. m²

q²^~2“>

d. h. das Pllgmm. kann nicht größer als A A B C werden, was übrigens direkt

aus geometr. Gründen klar ist. Wenn nämlich Punkt D (in voriger Figur) zuerst in der Mitte M von B C liegt, nachher aber etwa links nach P rückt, so wächst (in nebenstehd. Fig.) A^CD um P M D F, A E B M nimmt ab um E G P M. Subtrahiert man von beiden das A P M H (ME soll P F in H schneiden), so ist Pllgmm. MDFH> Pllgmm. G P H E,

weil zwar aber

MH = PH,

M D > P G.

Also in allen Fällen AEMD das größtmögliche Pllgmm.

Wird x als ~ (b — Vb‘² — 2r²) konstruiert, so ist CZ die von A aus

auf AC abzutragende Strecke und gleich YZ oder AX, d. h. man erhält die zweite Lage desselben Pllgmms. AXYZ in dem W. BAC, symmetrisch zur ersten bezüglich der Höhe AM.

14. Geometrische Berechnung.

Der Inhalt eines Kreissektors vom Zentriwinkel « sei = q² gegeben. Wie groß der Radius eines Kreises, der mit ihm gleichen Umfang hat?

ar²

Auflösung :

q²

180

wo q der bekannte Wert -—

71

daraus

2?q²

und r

-«V¥

der Bogen der Umfang u = 2r-j-a 2 7T x = 2r

d. h.

r w

- (x der ges. Radius)

x = —— ^1 + ji somit unter Benützung des Wertes von r (oben) x

O¹ R

x=W<2p + “>Vï

Zahlenbeispiel.

q² = 58081 « = 41° 25' 16"

0.44193

41

25    16

60 3600

« = 41,4211°

2 q = 114,59156 2 q + « = 156,0127

2 q 2.05915 @« 8.38278 — 10

41,41667

0,00444

«°

x = 173,71

q 2.38202 @360 7:44370 (2 e + «) 2.19314 0.22096,

V-

x 2.23982.

Ohne Benützung der Hilfsgröße y :

i,=àlô’'rït

r, 860 <!’

Der Bogen

der Umfang

r=,V

360

u cc

360 2nV

U = 2r + 3ëô ' 2nV

2n\ — 2 r

('+m)

360 7i a

241

= 41° 25' 16"

1 + 360 = 1,86147

n 0.49715 « 1 . 61722 ©360 7 . 44370 — 10

X = 173,72

7T ft

~ 9 . 55807 — 10

360

360

- 0 . 44193

71 Ci

y 0 . 220965 q 2 . 38202 ©Ti 9 . 50285 — 10 ( ) 0 . 13401 2 . 23984.

Trigonometrische Beispiele.

15. Von einem Dreieck seien gegeben eine Seite i bestimme die übrigen Seiten, den Inhalt und die Höhen. Wenn a, ß, y die geg. Größen sind, so hat man

a = 725,4 ß = 51° 40' 30" y = 62°50'20"

zwei Winkel; man

a sin ß * sin «

a sin y

sin «

b c sin «

« = 65.29.10

sinß 9.89460— 10 a 2.86058 © sin « 0.04102 sin y 9.94925₃

a = b sin y b = c sin « li = b sin «

er er

b = 625,46 c = 893,01 J = 254102. ha = 556,48 hb = 812,52 hc = 569,09

b 2.79620 c 2.950853 sin« 9.95898 — 10 @2 9.69897 — 10

J 5.40500g ha 2:74545g hb 2.90983s h 2.75518

* Statt zu schreiben

a : b = sin « : sin ß,

und diese Proportion nach b aufzulösen, denkt man sie umgesetzt, mit dem gesuchten Glied b beginnend,

ÇL

b : a = sin ß : sin a,

und schreibt in derselben Reihenfolge das erste (gesuchte) Glied links, die beiden folgenden in den Zähler, das letzte in den

a sin ß

Nenner eines Bruchs, d. h. man schreibt die Gleichung b die Proportion spricht.

sin «

indem man

16. Von einem Dreieck seien geg. zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.

Zu berechnen die übrigen Stücke und den Inhalt.

Wenn a, b, y gegeben sind, so hat man

a = 609,2 b = 817,5 y = 104° 19'45"

ß + a b — a = 208,3

b —a 2.31869    ⁰

©(b + a) 6.84567 — 10 . ß + «

9.89023 — 10

ß — « b —a

'^¥+ätg_2~ b + a = 1426,7 (b — a) cos ~r

-j

« = 75.40.15

tg ß — 9.05459

. ß — « sm—2“

2^ = 37.50.07,

ß = 6.28.10

© sin

b c sin «

9.78774

ß 0.94817, 2

cos

ß = 44.18.17, 31.21.57, c = 1134,0 .T = 241258.

c 3.05460, b 2.91249 sin« 9.71642 — 10 © 2 9.69897 — 10

J 5.38248,

17. Beispiel der Einführung eines Hilfswinkeis.

In dem Punkt 0 mißt man mit Hilfe eines zur Verfügung stehenden Sextanten den W. «, unter welchem die Höhe h des Turmes AB erscheint. Wie groß die horizontale Entfernung von 0 bis Aß, wenn 0 um h₂ über B liegt.

\7i

Der W. « werde durch die Horizontale O C in die beiden Teile «j und «^ geteilt, dann ist

ctg «, =

* ja

x

, ctg «₂ = -T—, wo hj -f- b₂ = h

x²

ctg («, + «₂) =

h. ^ h₂

d. h.

ctg a

x² — h ctg « . x — h hj = 0

x² —h b₂

= -—--

xh

x = yCtga + ^/Q- ctg«

Setze nun

30

11

h

= yctg

V\ h2 =

h * y ct% “

tg if, so wird

h .

x = y ctg«

/    h *

/    y etga

— COS if

2 cos² -Ę-

COS if

Vh, iy

tc er

9° 45'

9 . 24.12

Zahlenbeispiel.

tg ip 9 . 219085 h, h₂ 2.32015 Vh, h₂ 1 . 16007ft

1 . 17609

ctg « 0 . 76490

4 . 42 . 06

h .

y ctg«

175,78

cos

1 . 94099 0 . 30103 9 . 99708 (99854)

© COS if

0 . 00587

2 . 24497

Algebraische Beispiele.

18. Zwei Fußgänger gehen zu gleicher Zeit von A nach B ab. Ihre Schritte verhalten sich der Größe nach wie 5 : 6, der Zahl nach, in gleicher Zeit, wie 7 : 6. Als der zweite Fußgänger das Ziel erreichte, war der erste 200 Schritte davon entfernt. Wie viel Schritte macht jeder von A bis B?

Auflösung: Hat ein Schritt des ersten die Länge m, so einer des zweiten Fußgängers die Länge m, also die gleichzeitig zurückgelegte Strecke

CD It"*

m. Die Wege in gleichen Zeiten verhalten sich also = 1 :

*5’

bei diesem y • d. h. = 35 : 36.

Wenn nun der Erste x Schritte von A nach B macht, so hat man für die Strecken (x — 200) und x Schritte die Proportion

(x — 200) : x = 35 : 36 x : 200 = 36 :1 x = 7200

5

d. h. der erste macht 7200. der andere also -g- • 7200, d. h. 6000 Schritte.

19. Exponentialgleichung.

x +1 _

7 +2 = 6,70375 x + 4

_ x + 3

x -f- 4

(x² + 5 x + 4) 1,0227 = x²4-5x+ 6 '0,0227 x² + 5.0,0227 x | _ Q —1,9092 j

• 0,84510

• 0,82631₅

x² -+ 5 x — 84,104 = 0

—    2,⁵ ± V6,25 + 84,104

—    2,5 + V90,354

—    2,5 + 9,50...

0,84... 0 . 92691 — 1 0,82... 0.91715 — 1 0.00976“

19.. . 4 . 28085

22.. . 2 . 35603

•I-

1 . 92482

HT IIP

= —12

.1 . 95595 '0.97797

ver-

20. Ein Schiff mit 175 Passagieren hatte genügend Wasser für die Reise. Nach 30 Tagen starben infolge des Skorbuts täglich 3 Mann. Ein Sturm .zögerte die Fahrt um drei Wochen und das Schiff erreichte nun den Hafen als das Wasser gerade ausgegangen war. Wie lange dauerte die Fahrt?

Auflösung: Die Reise habe x Tage nach dem 30. Tag noch, also im ganzen (30 -f- x) Tage gedauert. Das Wasser mußte daher für x, statt noch für (x — 21) Tage reichen.

Bezeichnet man die für jeden Reisenden nötige tägliche Wassermenge mit q,

so hat man

(x — 21) 175 q = 172 q -f 169 q -f 166 q + ....

(x — 21) 175 = 172 + 169 -j- 166 + .... (x Glieder, Diffz. — 3)

= |(2.172-(x-l)3)

350 (x — 21) = x (347 — 3 x)

1400

3x² + 3x — 350.21 = 0 x* + x — 350.7 = 0

_ — 1 + VI+ 9800 x _ _

_ 1 + 99

/Xj=49

(x₂ = — 50 unbr.)

Die Reise dauerte also 79, statt 58 Tage.

21. (Rentenrechnung.) Jemand hat sein Kapital von 30 000 JL zu 4-j-£ angelegt, braucht aber jährlich 4680 JL Mach wieviel Jahren wird sein Kapital aufgezehrt sein?

Auflösung:

Aus

Z = K (1 +- z)n — R •

(l + z)n-l)

folgt für den vorliegenden

Fall

0 = Kz (1 + z)n - R (1 + z)n + R

(1 + z)n (R — Kz) = R

(l + zf =K

(1 + if = -

— Kz

Kz

Kz 3.10551 R 3.67025

1275.00

rT

0.43526 — 1

l,0425n =

1—0,27243

4.14029 3.25720

0.88309

0,72757 0,13813 n ~ 0+1808 / n = 7,(64)

Nach 7 Jahren ist der Schlußwert

+ = K(1 +z)⁷ — R •

(1 + z)⁷-

= (k-|)(1 + z)' +

= —80118. ( )⁷ +110118 = — 107217 + 110118 = 2901

Nebenrechnung. R 3.67025 z 0.62839 — 2

5.04186 (110118)

80118

Diese Summe reicht noch 2901

( )⁷

4.90373 0.12653 . .

5.03026

ni =

4680

Jahre

12.2901

967

4680

Monate

130

2901

57

390

50

= 7,44 Monate.

Also ist das Kapital aufgezehrt nach 7 Jahr 7,44 Monaten. Der oben gefundene Dezimalbruch, der mit Rücksicht auf die hier vorausgesetzte jährliche Zahlung keinen Sinn hat, ist also etwa um 7 Tage zu groß.

.

,

.

:•

Alphabetisches Sachregister.

Seite

Seite

Abkürzen der Brüche .

Abrunden eines Bruches Addition, korrespondierende ... 10

Algebra ............

Analogien , Anknüpfung an Bekanntes ...........

Ansatzbrüche .... ..... Anschreiben einer dekad. Zahl . •. 18

Arithmetik........

Ausdruck „nmal mehr“ . . Ausrechnungen in Gleichungen . . 20

15

33

10

. 12

Benennung des Resultats . . . . Bestimmtheit geometrischer Bezeichnungen ...........

Beweis.............

Bezeichnung des Dreiecks . . . .

Bogen a über a ........

Brüche ............

Bruchstriche..........

Buchstaben an der Figur . . . .

—    Übung im Ablesen......

—    unerlaubte Bezeichnung . . .

rH    CO »O QO CO

•*-H    CM CO Ol (N

CP

ro io to CO CO CO

Darstellung der Kongruenz ... 32 Determination, Wert derselben . . 36 Dezimalbrüche (Anwendung, Ablesen)

Dreiteilung der Lehrsätze .... 32

Erweitern der Brüche . .

Faktor . Figuren

1.17

30

Figuren konstruieren, nicht annehmen ...........

Form der Gleichungen.....

Formeln, keine Zahlenwerte ... 39

33

19

23

Geometrie .

Gerade, Linie Geschmacklosigkeiten im Ausdruck 27 Gleichheitszeichen .... Gleichliegende Winkel .

Gleichungen als Formeln

—    anschreiben.....

—    Auflösung der ....

—    fundamentale ....

—    vorwärts und rückwärts

Hauptnenner.....

— Aufsuchen desselben

23

4. 19

24

co co io

t-H tH r-H

19

Knappste Form der Gleichung Konstruktion, „nach der“ . .

— verschiedene derselben Aufgabe 35 Kontrolle des Gangs der Rechnung und des Resultats

26

19

23

Linie, Gerade Logarithmische Rechnung .... 39

Methode des geometrischen Unterrichts ............

Multiplikation, sukzessive . . .

Nebenrechnung Neunerprobe .

31

13. 19

2. 4.

Seite I

Perspektivische Figuren

Proportionen.....

Prozentrechnung . . .

Seite

37 Überblick über geometr. Figuren . 29 9 Übung im Ablesen der Buchstaben 29 10 Unbekannte in Formeln, jede darin enthaltene Größe

16

Quadratische Gleichung.....

— allgem. Wert der Unbekannten

20

Rechnen, mechanisches — mit großen Zahlen Resultat, Benennung —, Kennzeichnung .

Richtungen, zwei auf einer Geraden 23

Vergleichung zweier Zahlen ... 12 Verknüpfung der Gleichungen in der

Geometrie..........

1 Vierteilung der Konstruktionsauf-

. 11 gaben ............

. 14 Vorzeichnen, Anschreiben ....

— der Subtraktion.......

29

32

18

Schluß vom Vielfachen auf das Einfache ...........

— auf das Vielfache......

Subtraktion, korrespondierende . . 10 Summand .

Stereometrie

Wertung des Zeichen talents (Raumsinns) , , , , ........

37

1. 17

36

Teilbarkeit der Zahlen Teilung in bestimmtem Verhältnis 9 Text bei arithmetischen Lösungen 13

Trigonometrie.........

Trigonometrische Grundgleichungen

in verschiedener Form .... 38 Zwischenresultate

Zahlen, dekadische.......

Zahlenwert der angedeuteten Operation , ...........

Zahlenwerte nicht in Formeln zu setzen ............

Zeichnungen .... Zerlegen in Faktoren 37 Zifferrechnen ....

18

16

39

30. 31 . 12

Zusammenfassung zu Gruppen . . 34

12

BIBLiOTcK A

LITE 68 KICZU

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Man schreibt, weil ti ein bestimmter Zahlenwert ist, richtiger 2 n r, n r2 statt den Faktor ti an den Schluß zu stellen.

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höhere Lehranstalten. Dritte, verbesserte Auflage. 1908. VIII und 287 S. 8°. Mit 294 Textabbildungen, einer Spektraltafel und 293 Übungsaufgaben. Preis elegant in Leinen gebunden Mk. 3.—.

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Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

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