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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000294346

Grundzüge und Aufgaben der

Differential- und Integralrechnung

nebst den Resultaten von

Dr. H. Dölp,

weiland Professor am Polytechnikum zu Darmstadt

neu bearbeitet von

Dr. Eugen Netto,

Professor der Mathematik an der Universität zu Giessen

11. Auflage

Alfred Töpelmann

(vormals J. Ricker’sche Verlagsbuchhandlung)

Giessen 1905

1. Auflage: 1869

2.

1874

3.

1878

4.

1885

5.

1891

6.

1895

7.

1898

8.

1900

9.

1901

10.

1903

11.

1905

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Alle Rechte Vorbehalten

Akc. Nr.

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Vorwort zur elften Auflage.

Dem Texte nach unverändert, dem Titel nach verändert erscheint die neue, elfte Auflage des Dölp’schen Werkes. Beides hat seine guten Gründe. Die für das Erste sind technischer Natur; es erübrigt, auf sie einzugehen. Die für das Zweite liegen in der Verschiedenheit des Charakters der früheren und der letzten Auflagen; eine Verschiedenheit, die sich allmählich herausgebildet hat und nun endlich, ihren Einfluss auszuüben, für geboten hält. Die „zur Lösung der Aufgaben nötigen theoretischen Erläuterungen“, wie es bisher hiess, haben sich zu „Grundzügen der Differential- und Integral-Rechnung“ ausgewachsen ; diese beanspruchen eine selbständigere Stellung und gedenken sie in Zukunft noch weiter zu befestigen. Hierdurch ist zugleich der Kreis für die Verwendbarkeit des Buches stark erweitert worden, zumal der Verleger in eine bedeutende Herabsetzung des Preises eingewilligt hat. Somit erscheint die Hoffnung berechtigt, dass das Werk auch in Zukunft bei dem Studium der Infinitesimal-Rechnung Nutzen und Hilfe gewährt.

Giessen,-im November 1905.

E. Netto.

Das INHALTSVERZEICHNIS befindet sieb am Schlüsse des Buches

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

§ 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen.

y = axn

dy

dx

— na xn~¹

y = — = a x~n y xn

V)

na.r

—n— 1

»

\/ x = axn

—-1

= — axn

yxP = ax

s l'a

n

|/xi

P

~n = — ax

Z-l

n

2 \/ x

ax lg a

y = \/x

y = cx y — ax

«s vsa

= sina; = cos a;

„ = cos a;

„ = — sin x

y = tgx

” COS² X

y = cotg x

sin²a;

y — arc sin x

” i/T

1 -|-æ²

1 -)-æ² ’

y = are cos x

dy

dx

|/1 — x

y — arc tg x

y = arc cotg æ

§ 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen.

Erklärung und Entwicklung des Differentialquotienten.

Eine Gleichung, in welcher eine einzige unbestimmte Grösse x mit einer beliebigen Anzahl von gegebenen und unverändert beibehaltenen (konstanten) Grössen a, b, c, . . . durch irgend welche Bechnungsoperationen verbunden auftritt, ist entweder eine identische Gleichung oder eine Bestimmungs-Gleichung. Eine identische Gleichung ist eine solche, die für jeden Wert der Grösse x gilt, wie z. B.

(x -|- a)² = x² -J- 2 a x -j- a².

Eine Bestimmungs-Gleichung ist eine solche, die nicht für jeden Wert von x gültig bleibt; ein Beispiel hierfür bietet x² — 2 ax-\- b ‘0.

Bei einer Bestimmungs-Gleichung entsteht daher die Aufgabe, denjenigen Wert, oder diejenigen Werte von x zu finden, welche die Gleichung erfüllen. Die Grösse x heisst deshalb die Unbekannte. Ihre Bestimmung ist Aufgabe der Theorie der Gleichungen.

Eine Gleichung, in welcher ausser den gegebenen Konstanten zwei unbestimmte Grössen x und y auftreten, kann ebenfalls eine identische Gleichung sein, wie z. B.

{x-\- y)(x — y) = x* — y*.

Ist jedoch die Gleichung keine identische, dann kann sie zu einer Bestimmungs-Gleichung für die eine der beiden Grössen y (oder x) dadurch gemacht werden, dass man der anderen x (oder y) irgend einen bestimmten Wert beilegt. Dieser Wert kann beliebig gewählt werden; von ihm ist die andere Grösse abhängig. Die beliebig gewählte Grösse x (oder y) heisst deshalb die unabhängige Variabele; die andere durch sie bestimmte y (oder x) heisst die abhängige Variabele; sie wird auch als Funktion der unabhängigen Variabelen bezeichnet.

1. Beispiel: (a) Ax-\-By-\-C=Q,

folglich (b) y =

Ax-\- G

By-\-G

oder auch (c) x =

2. Beispiel: (a) ^ + p —1

(b) y = + ~|/V² — x²,

oder auch (c) x = + ~\/b'² — iß.

folglich

= 0,

In beiden Beispielen ist der Zusammenhang der Variabelen durch jede der Gleichungen (a), (b), (c) ausgedrückt. In (b) ist die Variabele y als analytischer Ausdruck dargestellt, der ausser den konstanten Grössen nur die unabhängige Variabele x enthält; man sagt hierbei: y ist explicite als Funktion von x gegeben, oder, was dasselbe bedeutet: y ist eine entwickelte Funktion von x. Ebenso liefert (c) die Variabele x als entwickelte Funktion von y. Die Darstellungen (a) geben dagegen die eine der beiden Variabelen durch die andere in implieiter oder unentwickelter Form. Symbole wie die folgenden:

y = f(x\ y = <p(x\ y = F{x\ ...

dienen zur allgemeinen Bezeichnung expliciter Funktionen von X] die mit x verbundenen Konstanten sind hier nicht besonders hervorgehoben. In gleicher Weise kann man

f{x,y) = 0, g(x,y) = 0, h{x,y) = 0, ... als Symbole für das implicite Abhängigkeitsverhältnis ansehen, welches zwischen den Variabelen x und y besteht.

l*

Es ist eine Eigentümlichkeit vieler Funktionen, dass jedem beliebigen Werte von x auch nur ein einziger Wert von y entspricht, wie in y — æ², y = xs₁ y = sin doch giebt es auch solche, die zu jedem Werte von x mehr als einen Wert von y liefern, wie y — ]/ x, y = x, y = arc sin x. nach werden ein- und mehrwertige Funktionen unterschieden; die mehrwertigen können zwei-, drei-, ... wertige, ja auch wie £/ = arc sin x unendlich viel wertige sein.

Hier-

Substituiert man in einer entwickelten Funktion y = f(x) an Stelle der unabhängigen Variabelen x die beiden verschiedenen Werte x und xv so ergeben sich die entsprechenden Funktionswerte y = f (x) und ?/₁=/’(«₁), und man kann aus beiden Wertpaaren den folgenden Differenzenquotienten zusammensetzen.

x₁ — x

xx — X

Wir bezeichnen die Differenzen

(i)

x₁. — x=Jx, y₁—y^= f(xx) — f(x) = Jy = Jflx), so dass (1) auch geschrieben werden kann:

(la)

Jy __ Jf(x) _    — f(x)

J X dx

Der Wert des Differenzenquotienten liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen.

Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y = f{x) durch eine Kurve in der XY-Ebene. Die Abscisse OQ eines Kurvenpunktes P giebt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f{x) an. Je nachdem f{x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abscisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abscisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P = (x, y). Ebenso sei

Pi = (&i, ?/,) — (x -J- A x, y-\-Ay). Dann ist PB = QQi = xx—x=Ax und P₁P = y₁—y = Ay, und wir erhalten

zIx

= tang ß.

Wir können tang ß in einfacher und verständlicher Art das Steigungsmass der Geraden SPP₁ nennen. Daun sieht man:

Fig. 1.

ko.

Der Differenzenquotient (1) oder (la) gieht das Steigungsmass der Sekante PP, an, welche zu den Kurvenpunkten P — (x, y) und P₁=(x-\-Jx, y -j- A y) gehört.

Da wir die Funktion f als gegeben voraussetzen, so kann in jedem einzelnen Falle dieser Quotient auch ausgerechnet werden.

1.    Beispiel: y = ax², yx =ax\-,

Jy _y₁—y

Xj -X

2.    Beispiel: y = \/x, yx = \/x₁ ; 4y _ y, — y _ j/xt —\/x _

x₁-X

Ax

— a~

X². —

x₁ —

^- = a(xt+x).

x₁ — x

Wir wollen nun in der Figur den Punkt P₁ auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sich nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozess zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen.

Sieht man bei einer reellen Grösse a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem absoluten Betrage; beispielsweise haben -f-1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch |«| bezeichnet.

Ändert sich eine Grösse derart, dass ihr absoluter Betrag kleiner wird und im weiteren Verlaufe der Änderung kleiner bleibt, als jede beliebig gegebene noch so kleine absolute Grösse, so nennt man die veränderliche Grösse unendlich klein. Eine unendlich kleine Grösse hat also keinen konstanten Wert; es ist eine Variabele, die sich unbegrenzt der Null nähert.

Ist die Differenz a — a zwischen einer veränderlichen Grösse a und einer festen Grösse a unendlich klein, d. h. nähern sich die Werte, welche die Differenz a— a durchläuft, unbegrenzt der Null, dann heisst a die Grenze der Variabelen a. Man schreibt dies

lim (a — a) — 0 oder lim a = a wobei „lim“ das Wort „limes“, „Grenze“ bezeichnet. Durchläuft etwa a eine der Reihen

1 1

n n-\-1’

22w—1 22w + ¹-f 1 '    22n ’    22 n 4-¹

Hi -il Hi T6) • *

so ist im ersten Falle lima = 0, im zweiten lima = l. Das Zeichen „lim“ wendet man in uneigentlichem Sinne auch finden Fall an, dass die Grösse a über alle Grenzen hinaus wächst; man schreibt dann lim a — oo, trotzdem ja von einer Grenze keine Rede sein kann.

Ist lim a — a und lim ß == b, so folgt daraus lim (a±ß) = a± b, lim («/?) = a b,

weil mit a — a und ß — b zugleich auch

(a + ß) — (a + &) und

(« — a){ß~\- b) -J- (« -j- a) (ß — b) = 2 (a ß — a b)

unendlich klein werden. Ferner ist unter der Voraussetzung, dass b von Null verschieden sei,

lim-? =

denn mit a — a und ß — b wird dann zugleich auch

{a — d) b — (ß — b) a ab — ß a a a

~ß~b

ßb

ßb

unendlich klein.

Wir wollen nun in (la) die Differenz Jx bei festem x unendlich klein werden lassen. Wird dann auch zly unendlich klein, so heisst y für den betrachteten Wert von x stetig variabel. Ist y für alle Werte #, die zwischen xx und x2 liegen, stetig variabel, so sagt man, y sei für das Intervall von xx bis x₂ eine stetige Funktion von x. Ob für unendlich kleine 4x der Quotient (la) sich einer Grenze nähert, ist fraglich. Geschieht es, so nennen wir sie den Differentialquotienten von y für x und schreiben

= lim

f{x-\-Jx) — fjx)

zi x

(2)

dy

wobei die Bezeichnungen y', f'{x) für einander eintreten

können und vollkommen gleichbedeutend sind. Dass der Diflfe-rentialquotient, der ja die Grenze des Quotienten zweier unendlich kleiner Grössen ist, doch einen bestimmten endlichen Wert haben kann, zeigen schon unsere obigen Beispiele. Für

= y' — lim a (x -j- x -f- J x) — 2 a x,

y = a x² wird

und für

y = \Tx wird = y = lim

dy

Bei der Schreibweise ist streng daran festzuhalten,

Ct 00

dass Zähler und Nenner nicht für sich einzeln definiert worden sind, und dass dx, dy nicht die Bedeutung von lim A x, lim A y haben. Trotzdem dürfen wir uns erlauben, in unseren

Beispielen dy = 2 ax dx oder dy =

dx und allgemein

2\/ x

dy = y' dx = f (x) dx — f(oc -|- dx) — f{x) zu schreiben, sofern wir darunter eben weiter nichts verstehen, als die Beziehungen (2). Irrtümer können dadurch nicht hervorgerufen werden.

Wie der Dilferenzenquotient, so lässt auch der Differentialquotient eine einfache geometrische Deutung zu. Wir lassen in der Figur 1 die Punkte P und Q fest und nähern den Punkt Qx unbegrenzt dem Punkte Q. Dabei rückt der Punkt P, der Kurve unbegrenzt an den Punkt P heran und die Tangente TP wird Grenzlage der Sekante SP. Der Differentialquotient stellt das Steigungsmass der Tangente im Punkte P=(x, y) dar:

(3)

tang a = lim    = — = y' — f (x).

&    Ax dx *

Nach diesen vorbereitenden Erörterungen ist es uns möglich geworden, die Formeln zu entwickeln, nach welchen aus den einzelnen Funktionsformen der zugehörige Differentialquotient abgeleitet werden kann. Wir beginnen mit y = f(x) = axnx (n ganz und positiv).

Den Werten x und xx entsprechen die Funktionswerte y = axn und yx=ax» und daraus entsteht:

dy ..

-/ = lima

dx

lxnx —

\x₁ — x)

= lim a (xxn

-l

Wird nun xx = x, so erhält man

dy

dx

= na xn

-l

(4)

Wird n = 0, so ist y =? a, d. h. eine Konstante, und daher auch y₁=a. Die Differenz 4y ist mithin gleich Null, und ebenso ist der Differenzenquotient Jy:4x = 0. Geht man zur Grenze Uber, so folgt für

y = a = Konstante, = 0.

Die Richtigkeit dieser Formel lässt sich auch an der Funktionskurve nachweisen. Sie geht für y — a in eine zur X-Axe parallele gerade Linie über, deren Tangente in jedem Punkte mit ihr zusammenfällt. Deshalb ist a = 0, tang a — 0.

Wir zeigen zunächst, dass (4) auch für negative ganze Zahlen n gilt. Wir setzen:

y=~ = ax~n (n ganz und positiv)

und finden ähnlich wie oben J_ 1 xxn

dy

dx

= lim a

xn

xx — x

lim

= lim (xx

Jrxi

— a xxn — xn oc ^ oc^ oc _oc

X _|_ >    _|_ jpW —1)<

n-2

Wird nun xx=x, so erhält man, einem negativen n in (4) entsprechend:

dy

dx

= — n a x~n~l.

Um den Gültigkeitsbereich von (4) noch zu erweitern, führen wir den Begriff der umgekehrten Funktion ein. Zu jeder Funktion y = f(%) ist eine andere denkbar x = <p(y), die so beschaffen ist, dass jedes Wertepaar (x, y), welches die eine Gleichung befriedigt, auch der andern genüge leistet. f(x) und (p{y) stehen zu einander in dem Verhältnisse, wie die Funktionen (b) und (c) in den beiden Beispielen auf Seite 3. Man erkennt leicht, wie man aus der, die Funktion y = f(x) darstellenden Kurve zu der y = y>(x) darstellenden gelangen kann. Dazu ist es nur nötig, die ganze erste Figur um die Halbierungslinie des Winkels zwischen den beiden positiven Halbaxen umzuklappen.

Sind (x, y) und (x-\-Jx,.y-\-Jy) zwei Wertepaare welche y = f(x) und x = <p (y) befriedigen, so ist identisch:

/ly J x Jx /ly

Da die Grenze eines Produkts gleich dem Produkte der Grenzen ist, so folgt hieraus:

1.

(5)

d. h. ist eine Funktion die Umkehrung einer anderen, so ist das Produkt aus ihren beiden Differentialquotienten gleich der Einheit.

Auch die Funktionskurve lässt die Richtigkeit von (5) leicht erkennen, da bei dem Umklappen die Winkel ß und a

durch ß₁=⁷^- — ß und    — a zu ersetzen sind; des-

Li    >Li

halb wird:    .

dy dx dx dy

Mit Hülfe von (5) kann jetzt nachgewiesen werden, dass die Funktion:

= tang a . tang a₁ = 1.

y = a 1/x — a xn (n ganz)

ebenfalls nach (4) differentiiert werden kann. Der umgekehrten

^yn entspricht nämlich der Differentialquotient

dx 1    ■*    1

— nyn~l — — nx an "    a

und daraus geht nach (5), übereinstimmend mit (4), hervor: dy 1

Funktion x =

dy

s 11-*

dx n

— ■ax

Ist spe cieli y = |/îr, so wird

dy

2 j/æ

Funktion einer Funktion. Wenn y eine Funktion von z ist, etwa y = f(2), und z selbst wieder eine Funktion

dx

von a?, etwa z = g(x), so folgt aus y = f[g(x)], dass y auch eine Funktion von x ist. Zu den Werten x₁ xx mögen gemäss der Funktionsbeziehungen die Werte y, yx und #, zx gehören. Wir setzen:

xx—x=dx, yx—y=dy, zx—z — Jz^ dann ist identisch:

dy

dx

4y dz dz dx'

und nach dem Satze von der Grenze eines Produktes:

dy

dz

dx

dx’

(6)

von z

Ist y eine Funktion von #, und z selbst eine Funktion von x, so ist der Differentialquotient von y nach x gleich dem Produkte aus dem Differentialquotienten von y nach z in den Differentialquotienten nach x.

Beispiel: */= (a#)² = £², wenn z = ax gesetzt wird;

— 2 z ■ a = 2 a² x.

dy

dz

dz ² dx Aus y — a² x* erhält man denselben Wert.

Die Formel (6) erweitert sich dadurch, dass wir an nehmen,

dx

es sei:

y = f(u), u = <p(z), 0 = q(x)

indem man alsdann hat:

dy dy du dy du dz

dx    du dx    du dz dx’

Jetzt ist es endlich möglich geworden, die Anwendbarkeit der Formel (4) auch für den Fall nachzuweisen, dass der Exponent ein Bruch, und die Funktion also von der Form ist:

y — a xP = ax¹¹.

Setzt man nämlich z — xP, so wird

dy __ 1    i_1 dz

— — uz

y — az

z = xP;

dz

’ S“**'”¹’

dy

*-l

— a (xP)n n

-i P

¹ = — ax

• pxP

Hiermit ist die Gültigkeit der Formel (4) für alle rationalen Werte des Exponenten nachgewiesen, und wir können sagen:

Eine Potenz der Variabelen mit rationalem Exponenten wird differentiirt, indem man ihren Koeffizienten mit dem Exponenten multipliziert und diesen selbst um die Einheit vermindert.

1.    Beispiel. f(x) = 4a;³,

2.    Beispiel. f(x) = 2x~s

3.    Beispiel. x)=Ax ,

4.    Beispiel. f{x) — 2x

Die zusammengesetzten Funktionen. Werden mehrere Funktionen durch irgend welche Kechnungsoperationen. mit einander verbunden, so heisst eine solche Verbindung eine zusammengesetzte Funktion. Sind zwei derartige Funktionen wie u — <p(x), v — <p{x) zur Summe oder Differenz y = u±v verbunden, so ist Jy = Ju±Jv und daraus folgt durch Division mit Jx und Grenzübergang:

dx

f{x) = 12 a?². f'(x) — — 6af~⁴. f (x) = 6 x¹. f'(x) — — x K

re

dv

± — oder (u ± v)' = u' + v'.

(?)

Zur Erweiterung setzen wir v±w statt v und finden sofort:

dy du dv dw ,    .    .,    .    ,    ,

n = -, +——p^r— oder (u+v + w) — u+v+w. dx dx~dx~dx    ~    —

Der Differentialquotient einer Summe von Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Summe aus den Differentialquotienten der einzelnen Funktionen. Der Differentialquotient aus einer Differenz zweier Funktionen der nämlichen Variabelen ist gleich der Differenz aus den Differentialquotienten von Minuendus und Subtrahendus.

Für das Produkt y = u.v ergeben sich folgende Beziehungen:

oder (u. vj — uv'-\-v u'.    (8)

y -f- J y = (u -f zlu) (v -f zlv),

zly = u zlv Ą-v zluzlu zlv

zl y    zl v

—;— *11 —:—

J II . Zl U zl V

Zl X

zlx

zl X Zl X Zl X

zl x,

lim - --- = u lim

zlv

zlu.. zlv Z~xluaj~x

zlu

■f- v lim

f lim

lim zl x\

da das letzte Glied der letzten Gleichung verschwindet, so hat man

zl x

zl x

zl x

dy dv . du

dx U dx'V dx

Ein Produkt aus zwei Funktionen der nämlichen Yariabelen wird differentiiert, indem man den Differentialquotienten des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und den Differentialquotienten des zweiten Faktors mit dem ersten Faktor multipliziert und beide Produkte addiert.

1.    Beispiel: y = x³. x* — u . v\ u'= 3a?'², v' = 4 a?³, y' = a?⁴. 3a?² -j-a?³ . 4a?³ = 7a;⁶, ein Wert, welcher auch aus der direkten Form y = a?⁷ hervorgeht.

2.    Beispiel: y = (a -{-&a?²) (c-\- ea?³) = u. v ; u' = 2&a?, v = 3 c a?²; yf — 2 b x (e -|- e a?³) -|- 3 e a?² (a -}- b a?²) = 2 b c x -(- 3 a e x² -j- 5 b e a?⁴. Das gleiche Resultat wird erhalten, wenn man zuerst die Multiplikation ausführt und dann differentiiert.

Geht v in vw über, dann verwandelt sich v' in v'w-\-w'v und wir erhalten statt (8):

y' = (uvw)' = VW . il' —f— UW . v' -(- UV . w'.

Tritt an die Stelle des veränderlichen Faktors v die Konstante a, so ist v' = 0 und daher wird für y — au jetzt y'— au' oder (au)'=au'.

Der Differentialquotient eines Produkts aus einer Konstanten mit einer Funktion von x ist gleich dem Produkt aus dieser Konstanten und dem Differentialquotienten der Funktion.

li/

Für den Quotienten V ~~ folgt:

y+^y=uAJu

Jy

V -)- Av ’

u-\-Au u vAu—uAv v~\- Av V

v(v-\-Av) ’

Au

Av

Ay

VAx uAx

A x v (v -j- A v) ¹

.. Au    Av

v lim —:--u lim —

lim -y-

Ax

v{v-\- lim A v) dy v. u' — uv'

Ax

dx

(9)

Der Differentialquotient eines Bruches ist gleich dem Differentialquotienten des Zählers multipliziert mit dem Nenner, weniger dem Differentialquotienten des Nenners multipliziert mit dem Zähler, das Ganze geteilt durch das Quadrat des Nenners.

/Y»2 /Tf 2    nt

Beispiel: y=--— = u'= 2x,v'=l,

OC Ct    V

, 2x(x — a) — 1. (;x² — a²)

(x— a)~

y = —-------

Aus der reduzierten Form y = x-\-a entsteht derselbe Wert.

Einfacher kann der Differentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich

y — so ist u = y. v, u' = vy'-\-y v\

u' v — u v'

v²

J    V

Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun tibergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung eingeführt worden ist.

Bedeutet f (w, v) eiue Funktion zweier Variabelen w, v, so kann die Differentiation entweder nach w vor sich gehen, wobei v als konstant angesehen wird, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Solche Differentiation nach einer der beiden Variabelen heisst partielle Differentiation, und ihr Resultat ist der partieller Differentialquotient nach u oder nach v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden d von dem totalen Differentiieren und schreibt

f(u —|— zl w, v) — f(u, V)

— = lim

df(u, v)

lim

f(u,v+4v)—f(u,v)

Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y = f(u, v) und hierbei u und v Funktionen von æ, etwa

SV

bestimmt werden. Zu

u = <p (x) und v = (p (x). Es soll

den Werten x und x₁ möge u, v, y und ux, vx, yx gehören. Dann ist

Vi — V ₌    v)

xx — X

xx — x

/>!, Vl) — f    «i) + f (*b «l) — f(Ul V)

xx-X

f(,niivl) — f(ui vi) U1 — u J_ ffa vi)~~f(ui v) vt — v '

xx —x'

Lässt man xx zur Grenze x und damit uXJ vx, yx zu den Grenzen w, v, y gehen, dann wird ux — u du xx — x

ux — u

xx — x

vx — v

lim

dx

lim —

dv

dx

xx-X

dy

lim

xx — x

f(u, Vt) — f(u, v) __ df(u, V) _

vx — V

dagegen ist die Grenze des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Nun erkennt man aber, dass

f{ux,vx) — f(u, vx)    — v)

ux — u

ux — u

mit dx sich gleichzeitig der Null nähert. Die Grenze dieser Differenz ist also Null, und somit

f(uhv) — f(u, V) _ df(u, v)

u₁ — u

ux — u Daher erhalten wir

dy df(u,v)    v)du , df(u,v) d v dydu.dydv

dv dx dudx'dvdx

Diesen Ausdruck nennen wir den totalen Differentialquotienten von y nach x. Wir sehen: Sind u und v Funktionen von x, und ist y eine Funktion von u und ■v, so differentiiert man diese total nach der vorstehenden Formel durch Verwendung der partiellen Differentialquotienten der Funktion nach u und v.

1. Beispiel: Sind u und v zu einer Summe oder Differenz

verbunden, so ist y = f («,v) = u±v,

dx dx

du dx

• (io)

Qi

df

dv

= +1 und

2. Beispiel. Ist y = f(u, v) = u.v. so wird d y du .

= U. ~ = V -=--\-U

dx dx ¹

= v,

SLj Äi

(Vgl. Formel 8.)

3.    Beispiel. Ist y = f(u, v) — —, so wird ~

u dy 1 du u dv    vu'— uv'

v dx v²dx

4.    Beispiel. Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem die andere Variabele v ganz fehlt, dann fällt in (10) der

df

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist ^ gleichbedeutend

df

» dv v²’ dx

mit U oder *X. du du

dy dy du dx du dx‘

I-I I

. (Vgl. Formel 9.)

Für y = f (m), u = <p (x) finden wir dann:

(Vgl. Formel 6.)

Es erübrigt uns jetzt noch, zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aus den drei Funktionen von xx nämlich u — w (x)x v = <p (x), w = q{x) setzen wir die Funktion y = f(u, v, w) zusammen, legen der unabhängigen Variabelen x die Werte x und xx bei, bilden die entsprechenden Funktionswerte:

u — <p (x), v — (p (x), w = q (x), y = f(u, 0, w) ux = <p {xx\ vx=<p (xx), wx = Q (xx)j yx = /■(%, vx, wx) und daraus den Dififerenzenquotienten:

■Vi — V _ f(Ux,Vi,Wx)—f(y>,v,w)

X, X    ’

den wir, um ihn zum Übergang zur Grenze geeignet zu machen folgendermassen umgestalten :

y, — y_ f(un vn wi) — fiui wt) ui — u

Xx -X

f(u, vlx wx)— f(u, v, wx) vx— V

ux — U

xx-X

f (il, V, wx) — f(u, v, w) ivx — IV

vx-V

xx —x

wx — w

xx— x'

Geht jetzt xx in x Uber, so verschwinden zugleich die Differenzen (;yx — y), (ux — u)₁ (vx — v), (wx — w) und die drei aus Differenzen der Funktionswerte bestehenden Zähler, und die Betrachtungen, welche oben zur Formel (10) führten, ergeben hier

Cb

(10a)

y    f du.df dv.df dw

x    u dx'dv’dx'dwdx’

Algebraische und transcendente Funktionen. Unter den algebraischen Operationen versteht man die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und das Potenzieren mit rationalen, konstanten Exponenten. Wenn die unabhängige Variabele mit den konstanten Grössen nur durch eine endliche Anzahl solcher algebraischer Operationen verbunden ist, so nennt man die Funktion eine algebraische Funktion. Dabei ist es aber wohl möglich, dass eine algebraische Funktion auch durch eine unendliche Anzahl von algebraischen Operationen hervorgerufen wird. - So ist ja z. B.

1 -j- x -j- x² -{-... -f- x?l -(- xn+! -]-...= lim Sxfc = -

n=oo k=0

eine algebraische Funktion. Funktionen, welche nicht algebraisch sind, heissen transcendente Funktionen. Insbesondere gehören hierher die Exponentialfunktionen e⁰⁰ und ax nebst ihren Umkehrungen lg x und Lgx; ferner die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x,... und als deren Umkehrungen die cyklometrischen Funktionen arc sin x, arc cos x,...

§ 3. Aufgaben zup Differentiation algebraischer Funktionen.

dx

dJL = o

2)    y — ax

3)    y = a x -j- b

4)    y = a x²

5)    «/ = 2 cc³

6)    ÿ = 4aæ5 5 x³

„ — a n =a „ — 2 a a?

„ = 6 x2 „ = 20 a x4 —15 x²

' 7) y

⁸) y

\9)y=i

¹⁰>^

11) y = |/x

a-{-2&x-|-cx²

a    .

- = ax~¹

„ = 2 5 -j- 2 ex — a

x²

X“

12)    y^=^/x~-

13)    y==-y/^H

x*

2[/x

² A_

■ y/xP~n

14)

[/ x

x“²

r—ł 1<M

l/x*

17) y

xsl/x

toi -a

l/x⁹

18) y

\/x

x²^/x

19) y — x    .x \/~x

11 1

" 6 ^/xp

■</x*

20) 9 =

[/xYà

v ' m

,/I.

V m²

15) y

bf/x*

Y16) y = xs[fx

dy    3 1

dx    20

■[/x^

Die nächstfolgenden Beispiele werden durch Einführung einer Zwischenvariahelen z nach der unter (6) angeführten Formel differentiiert:

M)

a?⁴

„ =w(a-|-Jx-|-ca;²)n_1.(6-|-2cic) — b

21)    y = f (z), z = <p(x)

22)    y = (a-\-bx)² = z²

23)    y = (a — bx)

24)    y = (a -j- b x²)

25)    y — {a — b x³)

26)    y = (a-\-x²)³

\

271 y =

28) y (a-\-bx-\-cx²)n

²⁹> y—aqbi='"‘

dy^dy dz dx dz dx „ = 2 b (a -f- b x)

„ =— 3 b(a—b x)2 „ — 4 b x {a -f- b x²)

„ = — \bbx²(a— bx'³y „ = 6 x{a~\~x²)2 3 (a x — 1)

(a -f- b x)

wobei u und v Funktionen von x waren. Setzt man in

Vx) — fi^y) — Vi) + y)

369) f{x) = sin x. sin (a -j- x) Mx.für x

fQ))—f{a) — (& — «) f\t) = (}> it)

(*3+r!)2

J /ftd * = (5 + * *)lg ~~ <7+ (5—^') lg(*-p + ?»)+—

na

243) J

i=0 +... + /Ï& — ô)].

(X—x)Tt+(F~

75) Den Kubikinhalt eines Rotationsellipsoides zu

¹

= \gx

(a -f- b x)

30) y si) y 32) y = f,

(a—bx²f

(è — æ*)w

(1 — æ)³

6b x

(a — b x²y pnxP⁻¹

*    (6 — æP)M+¹

xs

(i-xy

33)    y — j/a -}- b x

34)    y = f/2px

i

z-

dy

dx

2 f/a -]-5x

= ^ f/2 p x

₌ f 0*0

¹    -i

7--= z ²

J/a — & x

-37)    - j/a — bx²

3G) y =

2 j/(a — 6 a;)8 — bx

38) y = j/2aa:-f-^²

f/a — & a?²

a + *

j/2 a x -(- a?²

39) y = j/l — æ⁴

-2x³

^0) y — [/a —\-~x —(— f/ci — x

A¹) y

• j/r=^ï

1 j/a — x

f/ CL —|— X

f/a² — x²

tH

f/2 ax — x²

f/(2 a x — x²)

V42)ÿ“^(2=?j

,-43) ÿ

4x²

J/(x—a)³

4 \// (x — à)¹

44) y

§ I"«

(a -f- b x)P+n

Bei den folgenden Beispielen kommen ausser der angeführten Substitutionsformel auch die zwei folgenden zur Anwendung:

45) y = u.v

dy

du

dx

=v-di+u-

du

dv

Wy = *

47) ?/ = (a² -f- x²) (a² — ar)

V ' dx U ' dx

v²

= — 4x³

^48) i/ = (a -j- b cc) (a — 5 cc)

49)    y = (1 —2 cc) (1 + 3 oj)

50)    y = cc⁴ (a — 2 j?³)²

Jjl) y — (a -|~ cc) |/a — cc

= —2 b*x

52) y = cc |/l -j- cc

'53) y ’= cc² |/a — cc ^4) y = cc|/l — x²

⁵⁵) y⁼⁼?Ka8+aj*

„ = 1 — 12 cc

„ =4 cc³ (a — 2 cc³) (a — 5 cc³) a — 3 cc 2 |/a — x 2 —{— 3 cc 2 j/l -j- cc 4 a cc — 5 cc²

2 j/a — cc .    1 — 2 cc²

”    |/T=^

— a³

.    x² -f- 2 X -j- 1

+56) y =--^

cc²^/a²-|-cc

cc⁴-J- 4cc³-]-3cc²-[- 2cc-f-2

57) j,

/8) y-+ +59) y 60) y

1 — cc

1 —cc — 2 cc²

(1 -(-cc) — 6 cc

— cc²

cc² — 2 cc —|— 3 cc² + 2 x— 3 (a + *²)³

(cc³—l)²

”    (2 —x²)²

4 cc (cc — 3)

” ⁼ (x² + 2 cc —3)²

6 cc (a cc²)² (6 -|- a cc)

+®¹) y

' (b — x³)

(6 — cc³)

î/

i — j/ê [/ 'a-\-b cc

■62) y =

a + & cc — & cc

cc

j/ćc (1 — |/cc) 2a-f~ècc

2cc²}/a-j-6cc 2 -j- x

' ⁼2|/(T+ïj

{a — b cc)

•H

65) y

x[/a-\-x

2 a -j- 3 cc 2cc²j/(a+cr)³

dy

dx

> 66) y [/^7Zaa

^67) y = (x-\- |/ l -f*)²

æ²-faa 2 [/a? (a?² — a²)

_ 2—[—3oî—f- (2a?—{— 1) |/l —J—ac

\/î+x

§ 4. Die Differentialquotienten der trigonometrischen und eyklometrisehen Funktionen.

Um die Funktion «/ = sina; differenzieren zu können, erinnern wir an zwei einfache geometrische Sätze:

Fig. 2.

Ist ABO in Fig. 2 ein Kreisquadrant, so wird CD <CB <C EB für jeden Punkt 0 zwischen A und B, dagegen CD = CB = CEB, wenn C mit B zusammenfällt. Daher ist sinawa G für kleine Winkel COB = a.

D B Fig. 3.

Ist MUVS in Fig. 3 ein beliebiger stets konvexer Bogen und sind M N, NP\ PQi QB, ES Tangenten an ihm, so wird

rR

MN+NP+PQ + QB + RS<MT+TS, und zwar bleibt diese Beziehung richtig, wie viele Zwischentangenten auch, zwischen M T und S T gezogen sein mögen. Lässt man die Anzahl der Zwischentangenten ins Unendliche wachsen und die Berührungspunkte aufeinander folgender Tangenten näher und näher an einander rücken, so folgt, dass M UVS<MT+TS wird. Fällt M mit S zusammen, so wird MU7S = MT+TS.

Bedeuten daher C G und G B in Fig. 2 Tangenten in C und B, so ist C E B < C G+G B < F GG B = F B, d. h. a ^ tanga, wobei sich das Gleichzeichen auf den Winkel a = 0 bezieht.

Man hat daher

sin a a, a cos a rfr sin a,

a cos a sin a zf? a,

_ sina cos a ^-

^ 1.

Lässt man a zur Grenze 0 gehen, so wird in diesem Ausdrucke die linke Seite = 1, und demnach:

lim

1.

sina

Nach diesen Vorbereitungen setzen wir: y = sin x

Vi —y

Vi = sin x₁, sin x₁ — sin x_2 cos (xt -f- x) sin £ (xt — x)

Geht man zur Grenze x₁=x über, so wird der letzte Bruch nach dem soeben Dargelegten gleich 1 werden. Man bekommt deshalb:

xx — x

Xj —x

dy

dsinx

dx dx

= COS X.

(H)

Der Differentialquotient von sina? ist cosa;.

Vl = cos xx,

cos xx — cos x — 2 sin ^ (xx -f- x) sin \ (oc₁ — x)

xx — x

Auf die nämliche Weise wird auch der Differentialquotient des Cosinus hergeleitet. y — cos x

Vx — y

Xy - X

Xy - X

sin (Xy — x)m ilXy-X) ’ — sin x.

= — sin £ (xx -}- x)

dy

d cosx dx dx

Der Differentialquotient von cosa; ist — sina;.

Übrigens kann diese Formel auch aus der vorhergehenden abgeleitet werden, da y — cos ce = sin

71

wenn z = — — cc gesetzt wird. Da nun

La

ist, so wird = — cos £ = — sin cc. dx

Die Differentialquotienten von tangcc und cotgcc ergeben sich aus den vorhergehenden auf die einfachste Weise: sincc dy cos²cc-}-sin²cc cos ce ’ dx cos ce dy sincc ’ dx

y = tgx

y= ctg cc

68)    ?/ = sin (ace) = sm z

69)    y = cos (ace)

70)    y = sin —

a

00

71)    y = acos —

a

72)    y = sin (ccw) = sin 0

73)    y = cos j/a ce

/'

74) y = a sin —

75)    = acos —

ce

: ⁷'ü" si"l 1

77) y = tg(a»)

C0S²CC

—sin²cc— cos² ce

sin² ce

Aufgaben:

dy

IO I

= sin# ist,

= C0S^^ = -¹

COS²CC*

sin²cc ’

, — a cos (ax) äx

„ = — a sin (ax)

— ■ cos —

» = —sin-

¹ cos (ccn) a sin |/acc

2 |/aæ

a²

—s⁻ • cos —

ce²

ce

(13)

(14)

ce²

ce

î>

10

— • cos

cos² (a ce)

78) y =

«tg-

a

dy

dx

cos²-

79) ÿ =

, a atg-x

sin (a -f- bx) — sin s cos (a — bx¹) sin² x = z-cos² (ax)

2 sin” (ax) a

cos” —

a² 1

x²    ₉ a

cos² — x

„ = b co8(a-\-bx)

„ = 2bxsin(a — bx-)

„ = sin (2 a;)

„ = — a sin (2 a a:)

„ = na sin” ~ ² (a x) sin (2 a x)

„    , a . a

•cos”-x —sin —

T)

J3

a;²

y86) y =

ßV y —

sin x

= s⁻¹

55

cotga;

sina;

(-)'

\cos X )

wsina;

55

cos”+¹a;

88) y =

89) y =

3a;

„ — cos — cos —

-■

12

— cosa;

— — • cos 2 a; sina;

*90) y =

91)    y =

92)    y =

tg x — cotg X 3 sina; — 4 sin³a;

2sin²a; 4sin⁴a;

” sin² (2 x)

„ =ßjäO&3x-----

cos³ a: sin⁵ x

55

^ /93) y =

\M) y =

- 95) ?/ =

--j-tgæ

cos a? ¹

sina? cosa;

(1 — cos 2 a;)²

2 cos²(a;-|-«)— cos2a;

(x tga;)²

3sina; cos²a; -f- sin³ a;

2 sin-

cos²a;

tO| H

„ = cos 2x „ = 16 sin³a; cosa;

„ = — 4cos(a-[-2«)sina sin <‘lx-\-2x

» =xtgx „ = 3 cosa:cos2a:

cos²#

dy

99) */ = (4sin#—8sin³#)cos# -=-^ = 4cos4#

dx

100)    y = {a -j- b sin #). cos# „    = b cos 2# ;■*— q sin #

101)    y = sin# sifi(a -^x).....: * '"■.#'=* sin (a — 2#)

— 5 cos#    2a6sin#

”    {a-\-b cos#)²

___— 1

”    cos²(45°-|-#)

sin³# — cos³# sin²# cos²#

102) y *= - . ..

. . - a cos #

sin#:-]- cos#

103) y

sin# — cos#

sin#-j- cos#

104)    y

105)    y = sin# — # cos#

Die cyklometrischen Funktionen sind die Umkehrungen der trigonometrischen; deshalb lassen sich auch ihre Differentialquotienten aus denjenigen der trigonometrischen Funktionen durch Umkehrung ableiten.

1. y = arc sin #

ist die Umkehrung von # = siny. Nun ist:

^ = cos y = [/l — sin²«/ = |/1 — #²

sin# cos#

„ = # sin #.

und daraus entsteht:

dy

dx

|/l — #² *

(15)

2. y = arc cos #

gehört zu # = cos y. Da nun:

dx

dy

= — sin«/ = — j/l — cos²«/ = — j/l — #²

ist, so folgt:

dy

|/"l — #²

Kürzer ist die folgende Ableitung:

dx

(16)

y = arc cos# =

Es ist # = tg«/,

7i    .    dy

— arc sm#;

LJ

3. y = arc tg#

-3— = —=14- tg²«/ = 14- #², und daraus dy cos²«/ ¹

dx

j/l — #²

dx

durch Umkehrung:

dy

dx 1-f-«²’

(17)

4. y = arc cotg«.

Aus y — ^ — arc tg« erhält man leicht:

u

1

1-f«²’

Die Ableitung wäre auch so möglich:

y = arc cotg « = arc tg — = arc tg z₁ wenn z

--\ und

«²

Nun ist

106) y =

Ym V

108) y =

109) y =

112) y =

113) 2/

dy

dx

dz

dz 1-J- z²’ dx 1 —1 dx 1-^-z²    «²

dy

1 + «²*

(18)

Aufgaben.

arc sin (ax)

arc cos (a — «)

. a² — «2 arc sin    ^

a²-f «²

arc sin —

arc sin [/1 — «²

b -\-a cos« a-\-b cos«

arc cos

arc cos

(”)

= ■ arc sin x | /

b V

dy

dx i/i — a²x²

” j/l — (a — «)²

— 2a

”    a²-j-#

«j/«² — 1

|/l — «2 [/a²—-b²

a -\-b cos«

«|/2 ax — a²

j/a— 6«²

h-*

= arc sin

cl y

rH

OT

iH

t-l

CO

rH

h-i

H¹

00

j/1 -j-æ2 = arc tg j/a x x

= arc tg-

a — a;

= avctg-^

= arc tg

2 (1 -|-ax)\/ax

(a — xf + x* — 1

l-j-(x — 2)²

rH

rH

co

's»

1 —}—

arc cotg \/2 — x

(M

2 (3 — x) \/2 —x

h-*

= arc cotg

1-1    i-*

CO CO CO

CO

ec

l/l — x²

l/l -\-X- — 1

|/l — a?²

= arc cotg = arc (cos = sin x) - - arc (tg = m tg x)

2 (1 —J— x²) = — 1

m²-f-(l —»O cos²æ

IC

= arc cotg —T.

|/a;

2 {x -j-1) |/a?

125) y

= arc

(tg = atg|)

y¹²⁶) y

= a. arc sin

|/2 aæ — a;²

1 -f- (a²— 1) sin2 \/2ax — a:²

co! H

\/2ax — a:²

127) y

\/ax — x² — a. arc tg

V-,‘

& '«S

1/^='

128) y

= (x—-^arctga:).arctga; „ —

ï -j-ar

§ 5. Exponential- und logarithmisehe Funktionen.

In der für positive ganze n gültigen Binomialentwickelung:

nn — 1 x¹ . nn — ln — 2x³ .

3    w³"^"'

(■+ -‘+Î+Ï

2    n²^ 1    2

schreiben wir die rechte Seite:

TH | §

1+1

••• +

xn

1.2.3...W

Wir haben die Absicht, n ins Unendliche wachsen zu lassen.

Also

p, n •

Da aber der Satz, dass die Grenze einer Summe gleich der Summe der Grenzen der Summanden ist (S. 6, letzte Zeile), nur für eine endliche Gliederzahl gilt, während hier mit wachsendem n die Anzahl der Glieder ins Unendliche wächst, so können wir den Übergang nicht direkt vornehmen. Es sei p eine positive ganze Zahl < n, und der absolute Betrag \x\ kleiner als p. Wir brechen die Reihe hinter dem Gliede mit x* ab und bezeichnen den Rest mit E

■+:'

-I+T+(¹-;)ri+(‘-;)(‘-;)ó^

K)(-D    ”

1.2.3...

p + Rp,n- (A)

liegt zwischen der Summe aller folgenden negativ genommenen und aller folgenden positiv genommenen Glieder. Für seinen absoluten Wert gilt demnach

\x\p +²

Der Rest E

P, n

| Up, »I

\x'f +

1.2...(p+l)

f...+

|a?|g + i

1.2...(p+2)

[•+(Æ)+(A)'+■ ]

1.2. ..n

Die Summe in der letzten Klammer kann beliebig weit fortgesetzt werden. Da \x\ < p ist, so folgt hieraus durch Summation der Reihe als Wert des letzten Ausdruckes

\x\P + ¹

\x\

P-fl

Wir haben demnach

0<|B

Pt n

\x\p +¹

1.2.3,.

(B)

p-\-l

Pt n

Aus dieser Form erkennt man, dass (B) zwei für jedes n>p gültige Grenzen von \Bp<n\ giebt. Denn die linke wie die rechte Seite der doppelten Ungleichung ist von n unabhängig. Insbesondere gilt (B) auch noch für beliebig grosse n. Lässt man also die Zahl n in (Ä) über alle Grenzen hinaus wachsen, und bezeichnet den Grenzwert lim B

n=oc

so kann man jetzt bei einer Summe von p Gliedern die Grenze der Summe durch die Summe der Grenzen der Summanden ersetzen und bekommt

/    rp /V»2    /y»3

Km(l+|J =l+f+^2 + I^3+- +

0 < \BP\ <

xP

1.2 ...p

“l-Bp, (C)

\x\p + ¹

1.2...0 + 1)__\x\_ *

P + 1

(D)

In (C) wollen wir nun auch, nachdem die rechte Seite von n frei gemacht ist, den Wert von p über alle Grenzen wachsen lassen. Hierbei geht für jedes endliche x der letzte Bruch in (D) in den Wert 1 über, und den zurückbleibenden Teil der rechten Seite von (D) können wir, wenn krS\x\ <+ +1 ist, in der Form

1.2...k

1.2 ...Je.

L+i)

p — Je -f- 1

schreiben. Der erste Faktor rechts ist endlich; der zweite wird sich mit wachsendem p als Potenz eines echten Bruches dem Grenzwerte 0 nähern. Folglich ist lim Bp = 0, und

wir haben die Entwickelung

p = 00

lim ( 1 +-)

«=<*\ nJ

X'

= !+£ + -?

‘ 1 ‘ 1.2

für jedes reelle, positive oder negative x in Form einer konvergenten unendlichen Reihe.

Den Zahlenwert dieser Reihe für x = 1 bezeichnen wir

1.2.3

CE)

mit e und setzen

(¹⁺l) ⁻¹⁺¹⁺o+^:o‘+■'•

Weil nun die rechte Seite > 2 und

ist, so muss der Wert von e zwischen 2 und 3 liegen. Wir finden

e = 2, 718 281 828 459...

In (E) ist n als ganze Zahl zu denken. Bedeutet x eine ganze, positive Zahl, dann kann man in dieser Formel n durch nx ersetzen, und hat:

lim

(¹ +5)" -lim i¹ +^f*=,im (¹ +3

-H¹+£)T

= e®.

nx

wo der Übergang zur letzten Grenze möglich ist, da die Grenze eines Produkts der endlichen Faktorenzahl x gleich dem Produkte der Grenzen ist. Für ganze, positive x gilt sonach

= lim ( 1 —{— j

n = oo \    /

r 1^1.2

Ist ferner y eine ganze, positive Zahl, so kann man * hierin durch ny ersetzen, und hat:

:s

1.2.3

f- (F)

ex — lim

[“■(■+!)']'

x    /    * \ n

e'J = Hm (l+■£.).

n = cc \    n J

(F) gilt daher für jedes rationale, positive x.

Schliesst man endlich die positive, irrationale Zahl x zwischen zwei rationale Brüche ein

P .    . 5

so wird

a<x<l'

«■+•1 Co

1.2

1.2

und daraus folgt, wenn man die Brüche von beiden Seiten her der Grösse x immer näher kommen lässt, die Gültigkeit von (F) für jedes positive x.

In derselben Art kann man für positive oder negative x

an die

CO

behandeln. Man übersieht sofort, dass, wenn in (JB) —

Stelle von n tritt, der Rest \RPt n\ für jedes p bei wachsendem n zu Null wird, so dass beim Grenzübergange von (Ä) zu (C) nur das erste Glied 1 übrig bleibt. Es wird daher für alle positiven und negativen x:

= 1.

Daraus folgt, wenn man für x einsetzt —x²:

r /i i x\n v L XY r    X*Y

lim I 1 H--I • lim I 1--I = lim ( 1--₉ I

n=oo \    n J n=cc\    n /    n = cc \ n J

d. h.

oder

e* lim (l — -Y

n=cc\ n)

lim (l-f—'Y

n = 00 \    n )

= e~x

Die Formel (F) gilt daher für alle reellen Zahlen x. Soll jetzt die Funktion y = eF differentiiert werden, so gehen wir von

yĄ-Jy —

y = cx\

Jy = é* (edx — 1),

Jy

~~~ = ex

Jx

\ Jx )

aus. Setzt man edx— 1 =

-d. h.edx = 14- — n    n

, Jx =

so wird:

lg(l+ )

tH ! $

J y

— = (J

cdx— 1

CX

e*

z/a;

z/æ

n 1g

O+ÿ is(i+s)“

Lässt man nun Jx zur Grenze 0 gellen, so wird n über

wird zu lg e — 1 werden.

alle Grenzen wachsen, und lg Man hat daher

(■+)"

cly dcJ

dx dx

(19)

Wenn man auf der rechten Seite von (F) jedes einzelne Glied der unendlichen Reihe differentiiert, so kommt dieselbe konvergente Reihe wieder heraus. Es wäre also in diesem Falle erlaubt gewesen, die Differentiation der unendlichen Reihe gliedweise vorzunehmen.

Die Logarithmen für die Basis e, welche wir durch lg bezeichnen (vgl. S. 18) sollen aus Gründen, die erst später dargelegt werden können, die natürlichen Logarithmen heissen (vgl. Aufgabe 424).

Um die allgemeinere Exponentialfunktion ax zu differen-tiieren, setzen wir a — em und haben alsdann m = lg a, d. h. es ist m der natürliche Logarithmus von a. Da nun y = emx==czJ wenn mx = z gesetzt wird, so findet man

m und

dy

~=ez

dz

'tä

dz

dx

dx

= mez — nicmx — ax\ga. (19a)

Die Differentialquotienten der beiden logarithmischen Funktionen gehen wieder durch Umkehrung aus den vorhergehenden hervor. Ist’.

y = \gx,

Doli), Aufgaben.

dx

so ist x = ćy

Ebenso gehört zu der Funktion:

y = L gx

dy

ey,

dy 1 dx ey

rH I »

(20)

die Umkehrung £ = a^, und

dx

dy

dx

-Tr— = ay lg a, woraus dann:

dy    \t 1 .

* »

1’^« (20 a)

_ 1 1

ay. lg a lg a x '

Aufgaben.

Im i

129)    y = eax = ez

130)    y — e

X

131)    y = aea

132)    y = exx

133)    y = e2X/«^

134)    y = e

135)    y = esi*‘x

136)    y = earc x

— ax

COS X

137)    y^x²ex

138)    y = ex{x—1) = exxn

139) y

j 140) y = (æ² — 2x-\-2)ex

( — __^\²

141)    y = a\ea -j- e aJ

142)    y = eosxesinx

143)    y — e2x sin²#

pX

1⁴⁴)    V = -n

145) y

ex— 1

e*+ï

g³⁷ (a; — n)

Xn

dy

, = ae dx

ax

= — ae

— ax

— p a •n ' p

„ = 2xexx .

q1\/ a x

\Aäx „ = — sin x ecos x = sin 2 xesin2x

q arc tg x

” l^rX*

„ =xex (2 -f- x) ,, = xex

• Qß “

/ 2x

n = 2    — e « /

„ = (cos² x — sin x) e „ =e2a:(2sin²^-{-sin2æ) ex (x — n)

sin x

2ex

dy

dx

toi a

148) y == |/'a? (c® -f-1) 5. 149) y — a\'xx+¹

= yêâ* _cx(x-\- 1) + 1

2\/x(ex-{-l)

a;    lg a

150)    î/ = atg*

151)    y=:(a,»* + 6)^

152)    y = ax.xa

/ 153) y = \g(a — x)

qtg:rlga cos² a;

„ =p(amx-\-by~lamx m\*a „ = axxa~¹ (a -j- x lg a)

i> 154) y = lg (xn) = n. lg x

155)    y = lg — == — lg ä

CO

156)    y = \g(ax) = lg -f-Iga;

157) y = Qg x)n = zn

w (lg x)n

158) y = lg

\a-\-x)

* 159) y = lg x -f Iga;² = 3 Iga;

160) y = lg (1—#²) = lg£

to

< 161) y = lg

x (a -J- x)

162)    y = ]g(a — ]/x)

163)    y = \g(emx-}-e

164)    y = lg {x + |/l + x<2)

— mx

T)

2 (x — a [/ x) ni (e

— mx

Î7

ßinx

165) y = x— 2 \Tx -j- 2 lg (1 -j- \/x) a-\-[/a² — æ²

&i! SX,

x-\-\Tx

166) y = \g

167)    y — lg (a -f- b ex)

¹⁶⁸⁾    '-"Tk*—

169)    y = lg[/2 ax—x²

170)    y = lgi±|

171)    ÿ =

a;j/a² — x'-bc?

^lg(l+«²) «

a-f- & e³⁷

a;

1 + a;²

2 a®—x²

1 — a;²

'■H

a-J-a;

a² — x²

¹⁷²⁾ ^lgj7T=?

173)    y = —\gx

00

174)    y = lgj

175)    y = xl/a²-\-x² -f-lg (x-\-\^a²    x²)

«(1 — æ²)

1 — 1 g X

l4-a>/*

-»V*

dy

dx

. — l-T\ m, , „    , w , a;—a

177) y=-lg(^-«^)₊_lg_    »

l+**i ,1 | 2N

lg(l+a;²) — -

æ²-f- 1

178) y

179) y = llg-.

i . x

ï + *'ëï

a^x\ga

j/â

(l—a2 v*)

dy 2 æ² -}- a² -j-1

dx

j/a² -j- a:'

j/2 « a; —J— ü?2 mx -(- n x- — a²

» =^lg’(l+^²) - -j- i arc tg x

dy_a:² — 3 Æ

a?⁴ — 1

180) y = \g(x — 1) —J— 3 lg (a: —J— 1) —(— lg (a;²-|- 1) H- 5 arc tg x

dy 6 a;³ -f~ 3 a?²-j- 2 a; — 7

181) y

\aVa~\~bx—|/~a dy \/a " j/a -j- bx-\-\/ a 1, _ 1 -f - x — x

x⁴. 14-a;

“'sî4i

dx

x\/a-\-bx

2 a;

a; (1 — a:²) _l+a;²

“~4;2_

_11

a:2 b 1— x

a^-f-l, l-4-a>

-J—    “

x

--lga;

1 — x

185)    y = lg sin x

186)    y = lg cos a;

187)    y = lg tg x

184) y =

1 — a; Ig a;

(1 — a;)²

„ = cotg X » = — tgæ

sin 2 a;

188) y = lgcotg#=lgtg^ 2 —^

189) a/ = lg sin

(x — a\

i. i

= lgsin£

^cos ^

190)    y = lg

191)    y = lgsinj/a-j-ôa;

sin 2 a; a

»    — “2C0tO

, x

• “-*2 >)--

2^/a-f-~& ic

cotgj/a-|-fta;

192) y = lg cos

i/

193) y = lg

/ a ô tg a;\ \a — b tg x)

2 a; j/

2 ab

a² — (a² -}- 6²) sin² a;

dy

194) î/ = lg tg x -}- lg cos x = lg sin x — cotg x

fi*)

f\x)'

195) y = \gf(x) = \g0

Der Differentialquotient des natürlichen Logarithmus einer Funktion ist gleich einem Bruch, dessen Nenner die Funktion und dessen Zähler der Differentialquotient der Funktion ist.

Funktionen von der Form y = f(u₁ v) = uv, worin u und v Funktionen von x sind, werden nach Formel (10) differentiiert.

Es ist dann *U-== vuv~

du

d y

-JL=;VUv-

dv

dx

dx

1. Beispiel: y = (ax)

m x-

du

u — ax, v = rn #; —— d x

dv

“• dx=m'

dy

dx

m (a x)m x (1 -j- lg x -j- lg a).

du

2. Beispiel: y = (sinx)cosa;; — = cos#,

SŁjI Su

= — sin#;

dy

dx

(sin x)

COS X —

¹ (cos² x — sin² x lg sin x).

Derartige Funktionen können etwas bequemer behandelt werden, wenn man beiderseits den Logarithmus nimmt und sich erinnert, dass eine Funktion von wenn y selbst eine Funktion von x ist, in der Weise nach x differentiiert werden kann, dass man dieselbe zuerst nach y differentiiert und diesen Differentialquotienten noch mit demjenigen von y nach x multipliciert.

a 3. Beispiel: y — xx] \gy = x\gx\ —    =

y ci co

dy

dx

= (1 + lg X) y = Xx (1 -j- lg x).

4. Beispiel: y =

; \gy = x(}ga — lg#);

dy

dx

(lg a — lg # — 1).

5. Beispiel: y =

= zz\

sui a.

î» :<ss

SU! SU

1 dl-#²’ dzf

6. Beispiel: y =

§ 6. Unentwickelte Funktionen.

Die Entwickelung der Differentialquotienten war seither an die Voraussetzung geknüpft, dass die Funktion explicite in der Form y = f{x) gegeben sei. Sind dagegen die beiden Variabelen in der Weise mit einander verbunden, dass eine Funktion von beiden gleich Null gesetzt wird:

f(x, y)'= 0,

so ist (vgl. S. 3) y eine unentwickelte oder implicite Funktion von x, deren explicite Form y = <p(x) zwar durch f(x,y) = 0 bestimmt ist, im allgemeinen aber nicht angegeben werden kann, weil uns die Mittel fehlen, f(x,y) = 0 nach y aufzulösen. Aus diesem Grunde muss das Verfahren, den Differentialquotienten zu bilden, in solchem Falle wesentlich modifiziert werden.

Die Formel (10), S. 16, lautete:

dy dy du .dy dv dx du dx' d v dx'¹

V — f(uJ «0;

wobei u und v Funktionen von x waren. Setzt man insbesondere y = 0, so heisst dies nur, dass die Funktionen w, v die

/7 y

Gleichung f(u,v) = 0 stets erfüllen sollen. Dann wird ^ = 0

8. Beispiel: y = (a-|-foe)

tfo;

a;²

(4L“lg<a+M)-

(I/!)'

9. Beispiel: y =

10. Beispiel: y = (arctga:)³⁷;

dx

dy

dx

= (arc tg x)x Ug arc tg x

___1_V

arctg# 1 —J— ic²/

*/i. dy_ ₌

æ¹ dx

7. Beispiel: y = J/

(ÿ(^)

und man erhält:

d f du d f dv

f(«’”î = ⁰’ sm+-Tvdi = Ù-

Nimmt man ferner u — x und setzt statt v als neue Bezeichnung y ein, so hat man, da ^=1 wird:

^)-0; || + g^ = 0

Sf

dy

dx

dx

df

(22)

dy

1. Beispiel: f=x²-\-y²— r² — 0. Man findet direkt:

2x4- 2 y 4^ = 0, und daraus ^ —

¹ dx    dx

Bf

oder nach (22): J^ = 2æ, -^ = 2?/,

dy

By

dx

Aus der hier darstellbaren entwickelten Form: y = yr²— x² entsteht:

dy

dx

2. Beispiel: f=yn—xP = 0; nyn~

|/r² — x²

\dy

§ I'«

dy pxP~l d x nyn

xP~l

71—1 n

Nach der Formel (22) gieht es:

i df

*, w = nyn~ dy

Will man die hei Funktionen in der entwickelten Form vorkommenden Nenner, Wurzelzeichen und dergl. vermeiden,

(1 OJ

so geht man zu den unentwickelten Formen über. Statt —

CL CC

wird gewöhnlich y gesetzt.

3. Beispiel: y

= —pxP~

₁ dy_pxP — ¹

’ dx

nyn~

Y usw.

~=,f=y*x² —1 = 0; 3y²y'x²-\-2yzx = 0,

3^4*’

leitung' aus der entwickelten Form.

wie auch durch direkte Ah-

*n

a-\-bx y² a-\-bx

— bx’ a;²    a—Ja;’

f= bxy² -f- Ja;³ — ay²-\-ax² = 0; by² -\-2bxyy' -\-3bx² — 2ayy' -\-2ax = 0,

J*/²-f- 3 Ja;²-)- 2aa;

2ay — 2bxy

5. Beispiel: y — ]/x-\-]/l -\-x², oder f— y*— 2y²x—1=0;

|/ï+j/ï+ x<i

2 ]/l -j- x²

4. Beispiel: y =

Ay³y'— 4yxy' — 2?/² = 0, y'

2{y² — x)

Aufgaben.

196)    f— ax-\- by-\-c = 0;    — a,

inp    i V* i _o-    df

197) /--₂ + p-l-0,    dj^b*

df

dy

t ^

’ da;

dy

b²x

dx

a²y

a[/a² — x² "

198) y =

(x -j- a)² _

(x — a)2 ^t = y²—3(x + a)²

; f=y²(x — a) — (x-\-a)z = 0:

Cb

— 2y (x — a)

dy_3 (x-\-a)²— y²

dx

2 y {x — a)

•31 /:^ + a 11 //£±^\ ²r a; — a ² K \a; — a)

»i u-

fr — — ax~y lg a — xy lga; o

200) f= sina; — cos y = 0,    ~~ --

Cl X

199) f=ax~y — xy =

ax—y\ga — yxy—x,

dy x\ga — y

dx    x\ g(ax)

cosx

sin y

201)    f=(F+y — ax =

dx ⁼ ~¹+lSÜ-

202)    f=eax+l)y — c = 0; |^ = aeœæ+⁶^,

dy

dy

axIga,

df

_L=e*+y

ôy

—— = ]j ßdoc-\-by

dy

. Aus der einfacheren Form: aæ-f-&f/ = lgc folgt das gleiche Resultat.

203) f=((F — 1) (ey — 1) — 1 = 0

dx

df

= eæ (ev — 1)

dy

_ 1),

204) f=ay —    = 0;

?Za:

ey — 1 e* e³⁷—T '

eV/ b—x

df

dy

2|/& — a:’ dy

= '■*»

2|/6 —a:

205) f=coBx — a;cos?/ = 0;

cZa:

<9a:

= — sina: — cos?/,

-x-¹- == xsmy

^?/_sina:-)- cos?/

dy

dx

x sin y

206) f=y (a;-}- sin x) = 0; man erkennt leicht, dass die so gestellte Aufgabe uns lediglich auf dx = 0 oder dy = 0 führen kann. Denn das f verschwindet nur, wenn entweder y — 0 oder x -j- sin x — 0 ist.

207) f=xsin(a:—y)—(x-\-y)=0;

df

dx

=sin(a:—?/)-}-a:cos(a:—y)—1

df

dy

= —a:cos(a;—y) — 1,

dy sin(a:—y)-\- x cos (x—y)—1

dx

x cos (x — y) -f-1

In den folgenden Aufgaben sollen die partiellen Differentialquotienten nicht getrennt entwickelt, sondern es soll unmittelbar nach der Formel differentiiert werden:

f (s, y) = 0

4~

Qj cv,

^ i"t»

y' = o.

209) f=

208) f —y² — 2px = 0]

n+|/| 2yif — 2p = 0, y'y'

-y' = 0

{/-■

V ax

y = —

210) Z’ = arcsin — — lgæ = 0;

y

xy — y\/y²—x²

y\Zy²—x

y'

211)    /*= î/²-|-a;² — (ax-\- b)² = 0; yy'-\-x — a(ax-\-b) = 0.

212)    f=(x-a)² + (y-ß)² + 2lxy = 0-,

(x — a -f1 y) -j- (y — ß + ^ x) y' = 0.

213)    f=y²(x²—1) — a#² = 0; î/(æ²— 1) y' -f- x (y²—a) = 0.

214)    f = {a x -(- b y -f- c) {a x ~\- ß y -f- y) — mx² — ny² = 0;

(a -f b y) (a x -f- ß y -f y) -j- (a + ß v') (a x + h V + c)

—    2 mx — 2 ny y' = 0.

215)    f — (x²-\- y² — 1) (a x -j- b y) — mx² — ny² = 0;

2 {x -J- y y') (a x -j- b y) -j- (a -f- b y') (x² -f y²

—    2 mx — 2 n y y' = 0.

216)    f=( 1 — ax)(x²-\-y²) — 4 = 0;

— a (x² -\-y²) + 2{x-\-y y') (1 — a x) = 0.

(¹⁻rt(1+ÿ+3⁺(ÿ,-?)(1+a:+J)

217) f =

= 0.

218)    f=(x² + y² — ax)² — a² (z² + */²) = 0;

(x²-\-y² — ax)(2x-{-2y y' — a) — a² (x -f- y y') = 0.

219)    f=x²y² — (a² — x²)(y-\-b)² = 0 ;

® y² + y y' + « (y + &)² — {y + &) y' O² — ^²) == o.

220)    f=ax—ex-y= 0; a^lga—e*-v-|-e*-*y=0, y'=l —lga. Einfacher so: o:lga = Æ— y; y' = 1—lga.

221)    f=y² — 2    2#lg?/ = 0;

y y' — ß* (y -f- ?/') + lg y + x y ~¹ ÿ = 0.

222)    f = sin x — sin (2y — x) = 0 ;

cos a;-}- cos(2ÿ — x) — 2 y' cos (2?/ — #) = 0.

223)    f= y sm x Ą-x* y²-\- a cos y -f- b = 0;

y cos x -f- y' sin x -f- 2 x y {y -f- x y') — a y' sin y — 0.

224)    f=ex cos y — ëu sin x = 0;

ex cos y — ey cos x — (ex sin y -\-ey sin x) y' = 0.

y'=

225)    f — sin x -f- sin y -}- sin (x -j- y) = 0; cos x -j- cos (x -[- y) cos y -f- cos (x-\-y)’

§ 7. Funktionen von der Form:

x = w{t), y = <f> (t).

Oft ist es zweckmässig-, y in der Weise von x abhängig zu machen, dass man beide als Funktionen einer dritten Variabelen darstellt, indem man setzt:

x = <p(t), y — p (t).

Kann t daraus eliminiert werden, so erhält man die entsprechende direkte Beziehung zwischen # und y wieder. So geht z. B. x — rcost, y = rs\nt leicht in f — x²-\-y² — r2 = 0 über.

Da t in diesen Formen die eigentliche unabhängige Yariabele ist, so legen wir ihr die besonderen Werte t und tx bei und erhalten die entsprechenden Funktionswerte:

x = <p(t) xx = <p (tx) y = Pit) yi = P(ti),

die wir zu folgender Identität zusammensetzen:

Vi —y

(A)

Vx—y ₌ h — *

xt — x

tx — t

Da nun der Übergang von tx in t auch diejenigen von xx in x und von yx in y zur Folge hat, so gehen alle Differenzen-

quotienten in (A) gleichzeitig in Differentialquotienten über, und wir erhalten:

dy

dy_ dt

dx dx

(23)

Unter der Gestalt: 57 =    • *-r~. , oder: - =

CL t Ct 00 Ct X    00

nur eine Wiederholung von Formel (6), S. 11.

sa. a,

Ail Sa

ist (23)

1. Beispiel: x = acostf, y = b sin £;

. dy__

= b cos t

dx

die Gleichung: f =

sa sa

= — a sin t,

eotg t. Wird t eliminiert, so erhält man — 1=0, oder: y= [/a~ — x~,

und daraus für den Differentialquotienten die beiden Formen:

oder

dy

b*x

dy

dx a² y 1) 00

Da nun cotg t = — und aueh

dx

a j/a² — x²

ist, so lassen die 3

I/a² — x²

Formen des Differentialquotienten sich auf einander zurückfuhren.

ay

dx

Su

2. Beispiel: x — t cos a, y = t sin a -J- b] — = cosa, Wird t eliminiert, so entsteht:

. dy

= sin a

y = x tg a -j- b und daraus: ^ = t g a.

n = tsa-

Aufgaben.

226) y = at

x = a (1 — t)

dy

dx

a [b — ty

b (a — t)²

228) y =

1 “M

ł—t

¹ “M

229)

a;==||/27*

■-H

230) y = (eat—l) x — (ea t— l)2 4 (g — t)

» 1)

a² £²

x =

232)    y = sin²£

« = sin 2 t

233)    y = b sin² £ x = a cos² £

234)    y = 1 — cos t x=t — sin t

235)    y = a cos² ~

3 a²t

„ =[tg2t

C!

'S

Qß

— ~ sin b t cos² —

x = b tg — 236) y = tgt

cos² £

237)    2/ = sin t — t cost x — cos t —j— t sin t

238)    y = ^ sin t -f- sin

» =£oot gt

» =tgt

tO|

= — COtg f t

X — -g- cos t —j— cos

239) y = t — cos t x = t — sin t

sin-

toi

sin² —

240) y =

a sin t

1 -f- ô cos t

_ c cos t

X 1 -f- b cos t 241) ?/ = sin ^ (cos 2 t)* t (cos 2t)% sin³1

dy

dx

csint

X = cos

= — cotg 31

= — tg3t

(cos 2    -

cos ³ t

X = -r

(cos 21)2

243) y = 2 sin t — sin2 t x = 2 cos t — cos 2 t

244) y = (a -j- r) sin t — a sin

Pr

dy

2 a-\-r

-t

x = {a -f- r) cos t — a cos

245) y = arc sin

yT+7-

». -i.

x = arc cos

(/!+?

§ 8. Differentialquotienten höherer Ordnung.

Entwickelte Funktionen. Der Differentialquotient von y = f (x) ist wieder eine Funktion von x und kann deshalb den nämlichen Operationen unterworfen werden, durch welche er selbst aus der gegebenen Funktion hervorgegangen ist. Wir können also setzen:

df'(x)

dx

lim

f'{x + Ax) — f'(x)

Ax

Ax

m ¹ \f{xĄ-2Ax) — f(xĄ-Ax) f{x-\-Ax) — f(x) Ax I

= lim

f(x2 Ax) — 2 f(x-(- Ax) -[- f (x)

den Zähler des letzten Ausdruckes schreiben wir A(Af) = A²f — A (A y) = A² y und erhalten:

df{x)

dx

= lim = lim

A x²

Ax‘

Wir gebrauchen hierfür die Bezeichnung f"(x) oder «/", so dass;

<P£

dx² ’

y" — f" (x) ~

dx

Ebenso setzen wir

d_(df\ dx\dx)

y'" = f'"(x)

df"(x)

dx

d (d*f\_ d2 ldf\

dx\dx²) dx²\dx)

d³f

dxs

u. s. f. Diese Ausdrücke

.. yW oder: f" (x), f"'(x),    fW(x)

heissen der zweite, der dritte, . . . der nte Differentialquotient und generell: Differentialquotienten höherer Ordnungen.

1.    Beispiel: y = xP;

dsy dx3 dn y dxn

2.    Beispiel: î/ = sina:; y'= cosæ, y" = — sin#, y'" =— cos#, y”” — sin#, u. s. w.

3.    Beispiel: f{x) — ex] f (#) = ex, f" (x) = ex, usw.

y", yy

////

1 d~l ’ d#²

— p(p— 1) xp~²,

= p(p — 1) (p —2) xp~³

p (p — 1)... (p — n-f-1) xP~n.

Aufgaben.

d-y

= 6#

246)    y — x⁶

247)    y = {a — b x)⁴

248) y = xi — 2 x³ -j- 5 #² -j- 2 „ = 12#²— 12#-j-10

249)    y = ^/x²

250)    y = \/a² — x²

d r²

„ =12 b²(ci — bx)²

a²

|/ (ar — #²)³

251) y = |/2^ #

^²

j/(2p#)³

252) y

d*y

4 b²

y/o-\-b x 253) y = ®4-v/'(a: — a)⁵

dx¹

9 \Z ia H⁻ & x)⁷

10

254)    y = x(a — x)

255)    y = x + ^

9^/x— a = — 2

a:³

256)    y

257)    y = e

258)    y = a

259)    y = e<P&>

260)    y — e

261)    y = lg(l+a;²)

4 a-j- 2a;

(a — a;)

(a — x)é

(m lg a)²

—x*

» = «

„ =e<PM[(<p'(x)y+<p"(x) J „ =2 (2 a;² — l)e-*2 2 (1 — a;²)

(1+a;²)²

262)    y = x\gx

263)    y = x²\gx 264

265) y = sin (a — 2 a;)

a;

» = 3 -]- 2 lg a; 2 lg a; — 3

a:³

T)

= — 4 sin (a — 2 a;)

266) ÿ = 1

— cos a;

tg

toi «

sin a;

2 cos²-^

Z

267)    ?/ = arc cosa:

268)    y = xesiD-x

269)    y =

|/(i — o

*5

= esîna;(2 Cosa; # cos²a;—a; sin x)

270)    y — arc sin

271)    y — arc sin \

j/l + a;2 — a;²

1+a;²

2a;

(1+*²)

4a;

(1 -\-x²)²

272)    y = arctg^-

273)    y = xß

274)

275)    y = )/x

d²y

2 ax

(x²-\-a²)²

dx²

y'" = 6.5.4 a;³

1.23

1.3

8\/x~b

276)    y = lg (« + &»)

277)    ^ = sin(wæ)

Ist y = f(z) und s — ^(æ), so ist

2Z>³

(a-j- ôæ)

— — w³cos(w&).

6? y_dy dz

dx dz dx'

Wird auf

beiden Seiten nochmals differentiiert, so entsteht nach (6), S. 11:

d²y _d²y dx² dz²

IdzV

\dx)

d² z dy dx² dz'

Eine weitere Differentiation ergiebt:

dsy dsy dx³ dzs

TO

,₀dz d²z d²y.dsz dy.d²y dz d²z ' dx dx² dz²'dx% dz ' dz² dx dx²

dsy d³ y

dx³

dz%

IdĄ

\dx)

,nd²y dz d²z.dy

dz² dx dx²' dz dxz'

dy

dz

Beispiel: y — {a -)- bx²Y — zz, z — a-\-bx²;

^-6, ^2b,

= 3z²

d²y

dz²

6 z,

d² z

dx²

d* z

2Ö’ 55* “0;

dzs

= 24b²x (3abbx²).

Unentwickelte Funktionen. Implicite ist y eine Funktion von x, wenn eine Gleichung f(x,y) = 0 den Zusammenhang zwischen x und y ausspricht. Wir leiten den Differential-

, aus der Gleichung: -f-I-^ = 0 ab. Wird dx    dx ¹ dy dx

nochmals partiell nach

d³y

dx³

quotienten

dy

nun der partielle Differentialquotient

x differentiiert, so erhält man den zweiten partiellen Differentialquotienten der Funktion genommen nach x und be-

d²f

Ebenso wird durch -~-₂ derjenige

Differentialquotient bezeichnet, welcher entsteht, wenn man f zweimal partiell nach y differentiiert. In ganz analoger Weise

zeichnet ihn durch

Qj! Cb

■2 •

haben wir unter

d*f

d. h.

denjenigen Differential

dy dx

quotienten zu verstehen, der dadurch gewonnen wird, dass man f zuerst partiell nach x und dann partiell nach y differentiiert. Von ihm unterscheidet sich der andere Differential-

dy

quotient

'fö)

oder

d²f

dadurch, dass bei seiner Ab

dx dy

leitung die Funktion f(x, y) zuerst nach y und dann nach x

partiell differentiiert wird.

Beispiel: f= x³-\- 3x²y — y³ = 0;

Cb Cb

= 3a:² -j- Qxy

df

_^₌=3a;2_3!/2

dy

Qx-\- 6y

d-f

dx²

dy

dxdy

In diesem Beispiele ist

= 6X

d²f

d²f

dy dx

— 6y

= 6x.

d²f

Es soll nun nachge-

dxdy dydx'

wiesen werden, dass diese zwei Differentialquotienten, soweit sie mit x und y sich stetig ändern, einander identisch gleich sind. Setzt man in:

xx — X

an die Stelle von y die besonderen Werte y und yi: bildet den Differenzenquotienten und geht zur Grenze über hält man:

so er-

Cb Cb

— Vi) f(xi,y) — f(x,y)

/y>    _ /y*

*A/1    IV

Xi — X

dy

Vi — y

wobei durch lim der gleichzeitige Übergang von xx zu x und von yx zu y angezeigt ist. Ebenso entsteht aus:

= lim

fO, yù — ffay)

dy

Vi — y

durch Substitution der besonderen Werte x und xx und durch analoge Differenz- und Quotientenbildung der Ausdruck:

ffayJ—ffay)

Kg

— lim

Vi — y

Vi — y

xx — x

in dem sich das Zeichen lim wiederum auf den gleichzeitigen Übergang von xx zu x und von y₁ zu y bezieht. Da jeder der beiden unter dem Zeichen lim stehenden Ausdrücke sich auf die Form bringen lässt:

Vx) — fi^y) — Vi) + y)

■ {xx—x){yx—y)

so müssen die angezeigten gleichzeitigen Grenzübergänge auch zu gleichen Resultaten führen, d. h. es muss sein:

oder:

d²f 8²f dydx 8x8y"

Doch ist zu bemerken, dass die ganze Beweisführung nur für ein solches Werthegebiet von x und y gilt, in welchem für beliebige Annäherung des xx an x und des yx an y der Grenzwert

lim

f(%i,yi)—f(.xx,y)—f(xiyx)+f(x,y)

(xx — x) (yx — y)

endlich .und stetig variabel ist.

Soll nun auf beiden Seiten der Gleichung    = 0

nochmals und zwar total nach x differentiiert werden, so muss man sich erinnern, dass ~ und tj- die beiden Yariabelen x

8 x 8 y

und y enthalten, und dass daher die Regel Anwendung findet: Wenn F(x,y) = 0 ist, so wird:

dF(x,y) _d F .d F dy

d x ' d y dx'

dx

Hiernach erhält man:

**f , Hf dy ( 9'f S'f dy\dy d^y Sf d x² 1 dxdy dx'\dxdy'dy² dxjdx'dx² dy '

und daraus gewinnt man durch die Substitution

dy

dx

df df d x’ d y

und die geeigneten Reduktionen schliesslich die Formel: (Ff d x²

d²y

dx²

(#■-

d*f df df d²f dxdy d x d y' d y²

Cb Cb

Cb Cb

• (24)

Da die bisherigen Erläuterungen ausreichen, um auch die noch höheren Differentialquotienten einer unentwickelten Funktion herzuleiten, so unterlassen wir es, die bezüglichen allgemeinen Formeln hier besonders aufzustellen

1. Beispiel: f==y²-\-bx²— 2ay-\-ax— ö = 0;

*V_ 2

J1L₌o

dy dx

Ab (y — a)² -{- (2bx-\-a)²

df

Cb 'Cb

= 2bx-\-a

d x²

d²y = dx²

2. Beispiel: f—eax~by— c = 0;

-J- — aeax~l>y

A(y — a)s

df

dy

— beax~by

d²f

dx²~

d²f

a^eax — by

d²f

dy²

folgax — by

dx dy

— — abeax~by

d²f

dy dx

= — abeax~by

àPy dx²

Die Form ax — by = lg c ermöglicht einfacher das gleiche Resultat.

Aufgaben:

Statt der vollständigen Lösungen geben wir hier nur die Teile, aus welchen jene nach (24), S. 53, zusammengesetzt werden.

278) f'=x³ — x²y-\-yb = 0

df

~dy

= byi — x²

~ — 3 x² — 2 xy

Qj Cb

2= ²⁰ 2/³

d²f d x²

= 6x — 2 y

— 2 x.

279) f=(x²-\-?/²)²—a²(#²—£/²)=0

df

= 2 y (2 x² -f- 2 y² -j- a²)

= 2#(2#² -J- 2y²—a²)

<97

<7²

= 12 y² -j- 4 #² -j- 2 a²

e²f

dx²

<9²/-

d xd y

= 8 xy.

280) f=e8inx — xesiny = 0

df

dy

— — xesmy c,Q$y

df

dx

= esin æ cos x — esi11 y

d²f

d²f

dx²

gsm a?(COS²#— sin#)

281) f=y-\-ye~x — # = 0

Cbl Cb

= — y e~x— 1

= x esin y (sin y — cos² y) = — esin^cos y.

4- = l4-e~x

y

n = 0

dy²

d²f

Cb Cb Cb

d²f

dx²

= y e~x

282) /=sin#+sin2/+sin(#-i/)=0

df

— cos y — cos (x — y)

dy

Cb Cb

= cos x -f- cos (x — y)

2 £

—— sin#—sin(#—y)

d²f

Cb «SS

_ __ sin y sin (x — y)

= sin (x — y).

Funktionen von der Form: x — (p (£), y = (/> (£). Der erste Differentialquotient ist unter (23), S. 45, entwickelt:

SU

<*•1 &

Unter Berücksichtigung der Relation Formel über in

dt

dx

d²y dx d²x d²y dt² dt dt2 d^²~

SU

dx

1 : ^ geht diese

Aufgaben.

283) y = b sin £ x = a cos £

d²y

dx²

a² sin³ £

4 a sin⁴ —

Ù

284)    y = a (1 — cos £) x = a(t — sin £)

285)    y = sin²£ x -- cos 2 £

„ = 2 e3 a t.

286)    y = eat

— at

Der zweite Differentialquotient kann aus dem ersten auch auf folgende Weise abgeleitet werden:

'H

t££

æ = lg£;

cfo²

Beispiel: y =

dy

dx

\dx)

(1 — £)²’ d£

___ d?y _ £² + £

(1 — £)³’    ¹ dx² (1—£)³’

§ 9. Anwendung- der Differentialrechnung zur Ermittelung der Werte unbestimmter Formen.

Die Formen und—. Es kann sein, dass die beiden 0 oo

Funktionen <p (x) und ÿ (x) für den nämlichen Wert x = a verschwinden. Ein Bruch von der Form f(x)

<p{x)

(P{x)

hat dann

für x = a den unbestimmten Wert =

dieser Unbestimmtheit der Wert ein bestimmter sein kann, soll zunächst an Beispielen erläutert werden.

1. Beispiel: fix) = C^—^

Dass aber trotz

,, v 0 /■(<*)=ö-

Werden aber

vor der Substitution x = a Zähler und Nenner durch (x — a)

x* -f- a x -j- a²

dividiert, so wird f(x) = gefunden wird.

x-\-a

, woraus dann f(a) == -f a

2. Beispiel: f(x) = -    ¹, /X0) = ^.

der Reihe für ex ab, dividiert den Rest durch x und setzt dann x — 0, so findet man f(0) = 1.

— cos«

Zieht man 1 von

3. Beispiel: f(x) = -

sin²«

; /XO) = Die reducierte

2sin²f

u

-—giebt: f(0) = ~-4 sin'² ^ cos² ~    2cos²-^

4. Beispiel: f(x) = -

Form: f(x)

\/a³ x m

[/ax — a

f(a) —

/[/x j/«³ — [/V\

\[/ a [/x —[/ a Jx = a

Als Ursache der Unbestimmtheit zeigen uns die Beispiele den Umstand an, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen, der für x — a verschwindet und so zugleich

Zähler und Nenner auf Null bringt. Statt nun, wie geschehen, diesen Faktor aufzusuchen und vor der Substitution durch Division zu entfernen, bedienen wir uns mit Vorteil der Methode des Differentiierens. Ist

<p(x)

und f(a)

d)l

Y<P (%Jrà)\x = a

<p{a)

<p(x)

ol o

nicht mehr unbestimmt und

geht in f(a) über, wenn d die Grenze 0 erreicht. Da weiter <p(a) = 0 und <jj (d) — 0 sind, so kann man auch setzen:

j.r = a

<p{xĄ-d)—(p(x)

(aj-j-d)—x

p(x-l~ö)—<p(x)

(a;—|—d)—x

Lassen wir d in Null übergehen, so wird gleichzeitig:

lim f{a + d) = f(a),

<p{x-\-ö) <p (x)~\ (x-\-d) — x \x = a

p (x -f- d) — <p (a?)l

(«+d) — X \x = a

lim

lim

f(a)

<p{x)

= W (»)]« = « = <p' 0),

— [$ (X)]x = a — $ (a)i

<p' («)

</>' (a) '

(25)

x² — 5 x-j- 6

m)=l

1. Beispiel; f(x) =

<p' (x) = 2x — 5, <p' (x) = 3 x² — 4x — 1, f(2) =

m-

xa*~' m= >

p\Q) = {ax Ą-xax\ga)x=o--= 1, /,(0) = lga.

Es kommt vor, dass ein Bruchwert auch Form noch unbestimmt bleibt, indem w (a) und </>'(a) = 0

<p(x) x³ — 2 x² — x-\-2

<P_ (2)

^(2)

3'

2. Beispiel: f{x)

3. Beispiel: f(x) =

/ COS#\ V“!⁻ / x = 0

= 1.

o Io

in der neuen

ist. Das angezeigte Verfahren der Wertermittelung muss dann bei der neuen Form unverändert wiederholt werden.

3«²—2a«—a²

6«² — 6 a«

5. Beispiel: /’(«) =

sin 2x 2 sin«

2e-x — «² — 2« —

a* «°)“

. Die

Unbestimmtheit verschwindet erst nach dreimaliger Differentiation von Zähler und Nenner, und man findet:

2 cos«— 8 cos2«

n o)=

\<rm r L^w(*)>=o I

2e^

= —3.

x=0

Will man von der Voraussetzung ausgehen, dass <p(x) und p («) nur darum für « = a gleichzeitig verschwinden, weil sie den gemeinsamen Faktor (« — a) besitzen, so kann (25) etwas kürzer auf folgende Weise entwickelt werden:

(f («)_(« — a) q («)

7 fip)

Q-(a).

tt (a)

p{x) (« — a)7r(«)

<p' («) = ?(«) + (« — a) Q' (x)i V (x) = n(x)-\-{x — a) Tz («). Für « = a, aber auch nur für diesen Wert von «, wird

^'0)‘

(> (a) == tp' (a), 7T (a) = p' (a) und /”(a)

Auch eine geometrische Ableitung der Formel (25) ist möglich. Wenn AB die Funktionskurve des Zählers u = y(«), A C diejenige des Nenners v — p («) und <p (a) = 0, p (a) — 0 ist, so müssen sich die beiden Kurven in dem Punkt A schneiden, da ihm die Werte « = a, u = 0, v = 0 entsprechen. Nun sollen dem beliebigen Werte x = OP die Funktionswerte u — <p{x) — BP und v — p(x) = CP zugehören. Es ist dann

m=-

V

_ (« — a) tg a_tg a

_ (« — a) tg ß    tg ß'

Geht « in a über, so werden die Sekanten AB und AC zu Tangenten der entsprechenden Kurven im Punkt A, und damit

!//\ ß\

\ \

Für x = a

Fig. 4.

C,

geht zugleich tg a in $p'(a), tg ß in <pf (a) über, ist mithin

fia) =

x=

_¥(a)

a f{a)'

Wird f(a) —

r m\ =

(X)\x=a

, so ist f(a) =

<!> iX)

o !©

<p(x)

x=a

und damit ist diese Form auf die vorhergehende zurückgeführt. Wir finden so:

f[a) =

f(a) =

[<p{xW —?{x) \<p(x)]*

f(*V

x—a

\m (<p (*)Vi

\JP (x) \⁽P{X)J Jx=o

¥ («)

•[A«)]², m-ffîy

(26)

Hat ein Bruch für x = a die unbestimmte .Form

oder —, so findet man seinen Wert, indem man 0    oo

Zähler und Nenner differentiiert und dann erst x — a setzt.

Aufgaben.

287) /(*)

8 a;²— 2 a;— 1

v 288)

xn— 1

^289)

a;— 1

x³ — 2 a;² — a;-f- 2 a;³— 7 a; -j- 6

290)

291)

a;³-}-4a;² — 2a; — 8 a;⁴— 8 a;²-}-12 a;— («-}-1) a;w+¹ -f- wa;n+²

f(i)=»

f( 1) = |. A2) = |

4 + ^2

n (n +1)

292)

2 — [A — 3 a;² — 49

(1 —a;)²

KD“ 2

293)

294)

j/3~ä; — [/l2 — a; 2a: — 3 \/l9 — 5a; a — y/2 a;⁵ — a⁵

/X3) =

69

295)

z/xs — as

|/2 a³ a; — a:⁴ — a ^/ctFx

/0) = o

16

a — y/a «³

296)

a:

297)

1 — a; — lg (e — x)

> 298)

are

cos a?

y*

er.

1 — sin a; — cos x

ßX_gsin o;

300)

x — sin x ax— 1

a;

f(a) = -Qa

«°)-i

m = -e

n o)=i

/r(0) = lga

3U-i' '

* 301)

lg«

f(l) = 0

302)

lg«

/•(l) = lga—1

303) f(æ) =

304)    „

lg (a;² — 3) a;²-f-3a;—10 lg (a -f a?) — lg a

A2) = -

f{ 0) = -

lg

a;-{-l/a;² —«²

305)    „

j/a;² — a²

W=a

306)    „

sin (n a;)

a;

307)    „

sina;

308)    „

309)    „

sin 2 a; sin (a x) sin (b x)

2 sin x — 1

f (*) = —

f(°)=f

i-i i<M

310)    „

cos 3 x x cos.a;

(-»)

= -ł/3

311)    „

x — sin a; a; cos a; — sin x

312)    „

sin 2 a; — 2 sin x

2 ex — 2 — 2 a:

/(°) = ~ f{ 0) = 0 f (0) = o

f 313)    „

2 tg² x — cotg x — 1

314)    „

2 sin² a;—cos²a; — -§-tg²a;— 2 tga; — 3

10    ?r

315)    „

tg² a; — 4 tg a; -f- 3 arc sin (2 — x) |/a:² — 3 a;+ 2 [/a² — x²

/■(arc tg 3) = 2

/*(2) = 0

arc sin

316)    „

317)    „

j/a² — x2 _ arc cos (1 — x) [/2x — x²

_ lg COS X

/»=-

a

f(0) = l

/(0) = 0

319) f{x)

sin a; — cos x

320)    „

321)    „

1 — tg x

îgÇi-H*)

a-\-b x lg (a -f- x)

'in

f(co) = 0

322)    „

ex

f(p°) = ⁰

323)    „

tg X

324)    „

tg 3 x cotg 2 x

cotg a;

«°)-l

7r

325)    „

a;

7T²

COt^'

Die Form oo — oo. Wenn in f{x)

<p(x)

0*0

<P 0*0 Q 0*0

nur

(p (a) und ç(a) gleich Null werden, so ist f(a) = oo — oo. Man setzt dann vor der Substitution x=^a statt der Differenz den

Quotienten [ç? (a?) £ (#) — n (x) p (x)] :p(x)ç> (a;), welcher für x = a

2 annimmt.

die unbestimmte Form — ^ 326) /•(*) = !

sin a; — a;³

sin a? xs sin x

/■(O) = oo

327)    „

cotg X COS X

6)

328)    „

X — 1 lg X

fO-) —    ₂

329)    „

sin x ' lg (1 — x)

330)    „

= tgz

1 — sin x

(I)

— oo.

Die Form O.oo entsteht, wenn in f(x) — cp (x). p (x)

für x = a der eine Faktor verschwindet, während der zweite

unendlich gross wird. Man giebt dann der Funktion die Form:

0 ,    oo

- oder = —,

0    oo

f{a) =

je nachdem ^(o) = 0, p (a) = oo ist, oder umgekehrt.

331) f{x)

ex —

f (0) — lg ß

(•+)

& I t-i

332)    „    == x. lg

= (1 — x)tg~x

334)    „ == arc sin —-- • cotg (x — a) f(a) =

335)    „    == (1 — sina;).tg#

Weitere unbestimmte Formen. Die Funktion y = uvy worin u und v Funktionen von x sind, lässt sich auch so schreiben y = evlzu, weil \gy = v\gu. Wird nun für x = a

1)    u = 0    und    v = 0,    so    ist    y = 0°,

2)    w = oo    „    v = 0,    „    „    y = oo°,

3)    u = 1    „

Wenn endlich y — y/u ist, so ist

1    — lg U

lg y = — lg m, oder y = ev . Wird dann für x = a

4)    u = 1    und    v = 0,    so    ist    y = y/1,

5)    w = 0

6)    M = oo    „    v = oo,    „    „    y =    ^/^>.

In diesen Fällen wird der Exponent von e gleich O.oo.

336)    fix) = &

333)    „

f( oo) — 1

/W = |

(!)-«•

v = oo.

«0) = 1

337)    „ =

f(o°) = l

338) /* (^) = (sin

COS iE

(!)-

339)    „ = (sin x) te *

Anmerkung. Wenn, wie es yorkommt, die unbestimmte Form irgend eines Ausdrucks durch Differentation nicht beseitigt werden kann, so nimmt man in der Regel dazu die Reihenentwicklung zu Hilfe.

§ 10. Maxima und Minima der Funktionen.

Entwickelte Funktionen. Wir setzen voraus, dass die Funktion %j — f(x) von x = xQ bis x = x₀-\-h endlich und stetig variabel sei (S. 7). Man kann für die Stellen x dieses Gebietes die Formel (2), S. 7, so schreiben:

f(x-\-Ax) — f{x) = Ax [f'(x) -f e]

wobei e eine veränderliche Grösse bedeutet, welche mit Ax gleichzeitig unendlich klein ist. Nun nehmen wir an, f{x) sei von Null verschieden. Dann kann man Ax so klein wählen, dass |e| < \f'(x)\ wird (vgl. S. 6); dadurch erhält die eckige Klammer auf der rechten Seite der letzten Gleichung das Vorzeichen von f'{x). Da die linke Seite den Zuwachs der Funktion f(x) darstellt, so können wir sagen:

Ist der Differentialquotient f (x) von Null verschieden, dann kann man um x ein kleines Gebiet derart abgrenzen, dass in ihm bei positivem f'(x) die Zunahmen der Variabelen und der Funktion dasselbe Zeichen haben, während sie bei negativem f'{x) entgegengesetzte Zeichen besitzen. Mit anderen Worten: Bei positivem f (x) wächst die Funktion gleichzeitig mit der Variabelen und nimmt gleichzeitig mit ihr ab. Bei negativem f'(x) wächst die Funktion, wenn die Variabele abnimmt und umgekehrt.

Zur Ergänzung dieser Sätze nehmen wir jetzt an, f (x) sei für eine beliebig kleine aber endliche Strecke gleich Null,

etwa zwischen a und &, wobei b > a sein mag. Dann setzen wir mit Benutzung einer willkürlichen reellen Konstanten x $ (x) =f(x) — x² x, <p (x) = f(x) -f- x² x und finden durch Differentiation

<!>'(x) = f'(x) — x² — — x²,    ₍p'{x) = f{x) -j- x² = -j- x².

Nach dem oben abgeleiteten Satze wächst also <p (x) beständig auf der Strecke von a bis ft, während &(x) auf ihr beständig abnimmt. Demnach ist <Z> (fe) <    (a) und    d. h.

f(b) — f(a) < x² (b — a) und f(b) — f(a) l> — x² (b — a). Wäre nun f(b) von f{a) verschieden, so würde hieraus ein Widerspruch folgen, da man x² so klein wählen könnte, dass

wäre. Es muss demnach f(b) = f(a) sein; und da die gleichen Schlüsse für jeden zwischen a und b gelegenen Punkt gelten, so haben wir bewiesen: Ist für eine endliche Strecke der Differentialquotient f'{x) = 0, so ist für diese Strecke die Funktion f(x) konstant.

Die abgeleiten Sätze lassen sich umkehren: Wächst die Funktion f(x), so ist der Differentialquotient f'{x) positiv oder auch für einzelne Punkte Null; nimmt die Funktion f{x) ab, so ist der Differentialquotient negativ oder auch für einzelne Punkte Null. Ist die Funktion f(x) konstant, dann hat der Differentialquotient f'(x) den Wert Null und umgekehrt.

Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten einer ebenen Kurve ansieht. Dann

= f'(x) die trigonometrische Tangente des Winkels,

den die im Punkte (æ, y) angelegte Berührungslinie der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschliesst (§ 2, S. 5), und zwar soll die Bertihrungslinie immer in der Richtung vom Punkte (x₁ y) nach dem Punkte (x -|- dx, y -f- dy) genommen werden. Ist nun die Funktion y = f(x) für das wachsende x im Zunehmen begriffen, so steigt die Kurve, wenn man sie

Dölp, Aufgaben.

dx

ist

im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der Stelle Mn Fig. 6 a an der Stelle M,n Fig. 7 a an den Stellen Mf und M„) Die Be-riihrungslinie schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv

dx

und der Sinus

|/dx²-\-dy²

sind, nämlich der Kosinus =

. (Es ist dies der positive spitze Winkel a, in

dy

\Zdx² dy²

Fig. 5a, der positive spitze Winkel a„ in Fig. 6a, und in Fig. 7a sind es resp. die positiven spitzen Winkel a, und a„.) Ist dagegen die Funktion y = f(x) für wachsende x im Ab-nehmen begrilfen, so fällt die Kurve, wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Hier ist dx positiv und dy negativ. (Fig. 5 a an der Stelle Mrn Fig. 6 a an der Stelle M,, Fig. 8a an den Stellen Mr und M„.) Die Berührungslinie in der oben angegebenen Richtung schliesst mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus positiv, dessen Sinus negativ ist. (Es ist dies der negative spitze Nebenwinkel von a„ in Fig. 5a, von a, in Fig. 6a, von a, und von a„ in Fig. 8 a.) Diese Winkel liegen unterhalb der Abscissenaxe und werden hergestellt, indem man die Berührungslinie über ihren Schnittpunkt mit der Abscissenaxe hinaus verlängert.

Hiernach kann man die oben entwickelten Sätze auch so aussprechen:

Wenn die Kurve steigt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (æ, y) nach dem Punkte (x-\-dx, y~\~dy) mit der Richtung der wachsenden x einen positiven spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

Wenn die Kurve fällt, so schliesst ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte {x-\-dx, y-\-dy) mit der Richtung der wachsenden x einen negativen spitzen Winkel ein, und umgekehrt.

Fig. 5 a.

Fig. 6 a.

/M

mm

Ml

4\

y,

y,

v„

oCfN.

(7,

a a„

Fig. 5b.

Fig. 6b.

7/ty

ys \

co

nr

7/1

m,

Fig. 7 a.

Fig. 8 a.

Ul

Mj

a, \

\{f 'A

co

Fig. 7b.

Fig. 8b.

?rt'

rn

Nach dieser Vorbereitung betrachten wir eine Funktion y = f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x = a — d bis # = a -|- d. Wir setzen voraus, dass f'(a) = 0 sei. Dann ist an der Stelle x = a die Funktion f(x) weder im Zu- noch im Abnehmen begriffen. Oder bei der graphischen Darstellung darf man sagen: die Funktionskurve ist an der Stelle x = a weder im Steigen noch im Fallen begriffen. Man darf diese Stelle bildlich als ein momentanes Niveau bezeichnen. Hier sind vier Fälle zu unterscheiden:

Erstens. Der Differentialquotient f'(x) geht von positiven Werten durch Null zu negativen Werten über, wenn die unabhängige Variabele x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion y = f(%) bis an die Stelle x = a im Zunehmen und nach Überschreitung derselben im Abnehmen begriffen. Der Funktionswert f(a) ist demnach grösser als f(a — d) und grösser als /'(a-j-d), wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle nennt man den Funktionswert f(a) ein Maximum. Graphisch findet sich der Verlauf der Funktion in Fig. 5 a dargestellt, wenn man darin x als Abscisse, f(x) als Ordinate ansieht. Den Verlauf des Differentialquotienten fix) veranschaulicht Fig. 5b, in welcher x als Abscisse, f\x) als Ordinate aufgetragen ist.

Zweitens. Der Differentialquotient f'{x) geht von negativen Werten durch Null zu positiven Werten über, wenn x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion f(x) bis an die Stelle x — a im Abnehmen und nach Überschreitung derselben im Zunehmen begriffen. Der Funktionswert f(a) ist demnach kleiner als f(a — d) und kleiner als /*(« —*5), wie klein man auch die positive Zahl d nehmen möge. In diesem Falle wird der Funktionswert f(a) ein Minimum genannt. Graphisch ist der Verlauf der Funktion f(x) durch die Ordinaten in Fig. 6a, der Verlauf des Differentialquotienten fix) durch die Ordinaten in

Fig. 6 b veranschaulicht. Die unabhängige Variabele x ist in beiden Figuren als Abscisse genommen.

Drittens. Der Differentialquotient f'(x) ist positiv für x = a— d, erreicht stetig abnehmend den Wert Null für x=a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig zu, so dass er für x = a-\-ö wieder positiv ist, wie klein auch ô genommen werden möge. Dann ist die Funktion f(x) vor und nach der Stelle x==a im Zunehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Die Funktion f(x) wird durch die Ordinaten in Fig. 7 a, ihr Differentialquotient f'(x) durch die Ordinaten in Fig. 7 b dargestellt.

Viertens. Der Differentialquotient f'(x) ist negativ für x = a — d, erreicht stetig wachsend den Wert Null für x = a und nimmt nach Überschreitung dieser Stelle stetig ab, so dass er für x = a-\-ö wieder negativ ist, wie klein auch d genommen werden möge. Dann ist die Funktion f(x) vor und nach der Stelle x=a im Abnehmen begriffen. Sie hat also an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Ihr Verlauf wird durch die Ordinaten in Fig. 8 a, der Verlauf des Differentialquotienten f{x) durch die Ordinaten in Fig. 8 b vor Augen geführt.

[Wenn eine ebene Kurve in einem gewissen Punkte von einer geraden Linie zugleich berührt und geschnitten wird, so nennt man diesen Punkt einen Wendepunkt. In dem dritten und vierten der eben unterschiedenen Fälle hat die Funktionskurve einen Wendepunkt, und ihre Tangente in diesem Punkte liegt hier speciell parallel zur Abscissenachse.]

Man kann die gewonnenen Resultate auch so zusammenfassen :

I. Eine Funktion y = f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten einen endlichen und stetigen Verlauf hat von x = a — d bis # = a-{-d, besitzt an der Stelle x = a ein Maximum (Minimum), wenn der Differentialquotient f'(x) an dieser Stelle durch Null hindurchgehend sein Vorzeichen ändert. Ein Maximum findet statt, wenn f'(a — d) > 0 und f'(a-f-d)<0; ein Minimum dagegen, wenn f'{a — d) < 0 und f'{a-\-ö) > 0 sind.

II. Wenn aber der Differentialquotient f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a stetig variabel durch Null hindurchgeht, ohne sein Vorzeichen zu ändern, so hat die Funktion f(x) an dieser Stelle weder Maximum noch Minimum.

Wir setzen jetzt voraus, dass die Funktion y = f(x) und ihre aufeinander folgenden Differentialquotienten f'(x), f"(x)1 f" (x\ .., bis zu dem von der wten Ordnung: fn (x) von x — a — d bis x = a-\-ö endlich und stetig variabel verlaufen. Es soll ferner fn (x) der Differentialquotient von der niedrigsten Ordnung sein, welcher für x = a einen von Null verschiedenen Wert hat. Alle vorhergehenden Differentialquotienten sollen für x=a zu Null werden: f {a) = f"{a) = ...= fn~¹ (a) = 0. Dann lässt sich d positiv und so klein wählen, dass von x=a — ô bis x = a-\-d der Differentialquotient fn (x) sein Vorzeichen nicht ändert. Infolgedessen geht fn~¹(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von positiven zu negativen Werten über oder umgekehrt von negativen zu positiven Werten, je nachdem fn(a) negativ oder positiv ist. Im erstgenannten Falle ist fn~²(a) ein Maximum, im zweiten Falle dagegen ein Minimum, wie aus dem Satze I. ohne weiteres hervorgeht. Jedenfalls sieht man, dass fn~²(x) zwischen a—d und    se^n Vorzeichen nicht ändert, und dass dies

Vorzeichen dasselbe ist wie bei fn{x). Danach erhält man bei fn~³(x) dieselbe Vorzeichen-Änderung wie bei fn~¹(x)1 und es wiederholen sich periodisch dieselben Erscheinungen, wenn man schrittweise zu Differentialquotienten von geringerer Ordnung übergeht.

Ist nmrw eine gerade Zahl und fn(a) negativ, so gelangt man zu der Einsicht, dass f"(x) negativ ist. Folglich geht f'(x) mit wachsendem x an der Stelle x = a von posi-

Fig. 9.

■'S

f(x)

fix)

/•'(*)

f{x)

f"fà

T ~T

f" (cc)

?" 0*0

f" (cc)

f'"(cc)

f'"(cc)

f"(x)

f"' (cc)

f"" (x)

f"" (x)

f"" (x)

tiven zu negativen Werten über, und es ist f(a) ein Maximum. (Fig. 9 A.)

Ist n eine gerade Zahl und fn(a) positiv, so findet sieb, dass f"(x) positiv ist. Folglich gellt f'(x) mit wachsenden x an der Stelle x = a von negativen zu positiven Werten über, und es ist f(a) ein Minimum. (Fig. 9 B.)

Ist n ungerade, so bat f'(x) positive oder negative Werte, je nachdem fn(o) positiv oder negativ ist. Folglich hat f{x) weder Maximum noch Minimum an der Stelle æ = a, sondern nur ein momentanes Niveau, weil f'(a) = 0 ist. (Fig. 9, C und D.)

Die Figuren 9 hat man sich nach unten periodisch fortgesetzt zu denken bis zu einer Funktion fn(x). Diese ist von f'(x) an gerechnet die erste, für welche an der Stelle x = a die Kurve mit der Abscissenachse nicht zusammentrifft. Und zwar verläuft fn (x) ganz auf dem Gebiete der negativen Ordinaten in A und D, dagegen ganz auf dem Gebiete der positiven Ordinaten in B und C. Für A und B ist n eine gerade Zahl, für G und D eine ungerade Zahl. Sind die Figuren 9 in der eben angegebenen Weise vervollständigt, so hat man sie von unten nach oben schrittweise zu durchlaufen, um die oben durchgeführte Argumentation zur Anschauung zu bringen.

Handelt es sich darum, von einer gegebenen Funktion y = f (x)f die nebst ihren ersten Differentialquotienten endlich und stetig verläuft von x = x₀ bis x — x₀ -\-h, die Maxima und Minima aufzusuchen, so haben wir dafür die folgende Regel:

Man setze f'{x) = 0 und suche die Werte von x auf, welche dieser Gleichung Genüge leisten und zwischen x₀ und x₀-\-h liegen. Ist x = a ein solcher Wert, so ist f(d) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f"(a) negativ oder positiv ist.

Findet sich ausser f'(ä) = 0 auch f"(a) = 0, so suche man den Differentialquotienten der niedrigsten Ordnung auf, der für x = a nicht den Wert Null hat. Ist dieser von ungerader Ordnung, so findet weder Maximum noch Minimum statt. Ist er von gerader Ordnung, so ist f{a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem jener Differentialquotient für x = a einen negativen oder einen positiven Wert hat.

, 1

x —j--

X

1. Beispiel: Für welche Werte von x wird f(x)

ein Max. oder Min.? f'(x) = 1 —

= 0 giebt x = + 1 ; f"(x) =

nj»

Da nun f"{ 1) = 2, d. h. positiv ist, so muss f{ 1) = 2 ein Min. sein, sowie f(—1) =— 2 ein Max. ist, weil f" (—1) = — 2 negativ ist.

2.Beispiel: f{cc) = sin x~\~ cos x] f'(x) = cosx— sinrc==0,

|undx;

a? =

— sin x — cos x ; f

V' 2 ist ein

— j/2 ist ein Min., weil

r(r)

> 0. Periodische Wiederholung.

3. Beispiel: Für welchen Wert von x wird f(x) = ein Max. oder Min.?

(lg a — lg ce — 1) = 0, oder lg x = lg —,

0

f"(x) = -±f(x) + f(x)(\ila-\Sx-iy, r( ) — d. h. negativ, mithin ist f

f(*) =

-*e%

a

= ee ein Max.

4. Beispiel: Für welche Werte von x wird f(x) = sina?sin(« — x) ein Max. oder Min.?

/’,(a:) = sin (a—2x)=0₁ woraus a — 2x = 0, oder = 7r, oder = 2^-;

oder = a —, oder = ^—7r; f" (pc) =— 2cos(a — 2a:).

Lj    Li    Li

j=sin²^ ein Max.,

=— cos²^ ein Min. Der

Li

Nun ist f"

toi R

— 2, also f

tOl R

r(V)

= 2, mithin f

(")

dritte Wert ist dem ersten gleich. Periodische Wiederholung.

sina:

5. Beispiel: Für welche Werte von x wird f(x) ein Max. oder Min.?

cos x — sin x tg²x

1 -\-tgx

f(»)

(l+tga:)'

0, oder tg³ x = 1, x — ~ und x =

Wenn f (x) — — ist, so ist f"(x)

V .u — u. v'

v~

Da nun für den in Betracht kommenden Wert von x der Zähler des Bruches — verschwindet, so reduziert sich die letzte

u'

Gleichung auf f"(x) = — .

In unserem Beispiele wird f

ein Min., weil f" Wiederholung.

negativ und f"

positiv ist. Periodische

Aufgaben.

Zu den nachfolgenden Aufgaben sind als Lösungen nur die Werte von x angegeben, für welche die Funktion ihre Maximal- und Minimalwerte annimmt; diese selbst können durch Substitution leicht gebildet werden.

340)    f(x) = xs — 2 a x² -j- a² x Mx.für x

341)    „ = x^-\-Qx²—15 x X² (1 — x)

342)    „

343) „ =x² (a — x)

344)    „

^, Mn. für x = a o

Mx. ,, x — — 5 , Mn.für x = 1 2

Mx. „ a? = —, Mn. für 37 = 0

Mx. „ x = |, Mn. „

Mn. „ x =

Mx. „ x — 1, Mn. „ x= — 1

345)    „

Mx. „ x = — a, Mn. für x = a

346) „

a³

a:²

(l-^)²

347) „

a    \ A

x = —p-; a> 0

a-j- 1

Mx. „ x = 2 Mn. „ x = — 2

Mn. ,,

Mx. „

æ=|/ï

ax~ — bx-\-c

Mn. „

x² — 3# -j- 2

349)    /•(*)

350)    „

351)    „ = \/2ax² (2a— x)

æ²-|-3 æ-|-2 ; + [/2ax — x²

Mx. für x — — j/ 2 Mn. „ x = [/2 Mx. „ x = a

Mx. „

4a

£C= —

Mn. für .r = a

Mn. „ x = 0

352)    „ =x-j~l/l—x

353)    „    =# |/2 — x~

354)    „    =x [/ax — x²

355)    „ — (a-\-x) j/a²

X

356)    „ =ea -j- e a

357)    „

::

Mx. „

Mx. „ x = 1, Mn. für a; = —1 Mx. „

x= —

— a;²

Mx. „ x = —

e*

Mn. „ a: = 0 Mx. „ x = 2

Mn. für a? = 0

358)    „ =

a;

Mn. „ a;

lga

; a> 1

= xex = e2x — ex

Mn. „ a; = 1 Mn. „ x = \g|

Mn, „

a: = —

362)    „ = xx

363)    „

lg X

364)    „ ^xi-igx

365)    „ = 2sinx-|-sin2æ

Mx. „ x==e Mn. „ a;==e Mx. „ x = [/e Mx. „

7T

366)    „ =sin2x-f2sin(a—x) Mx. „ a?=ÿ, Mn.füra; =

cos²a: , sin²a;

W

367)    „

a> J Mx. „

Mn. „« = 0

368)    „ = cos x -|- cos (a — x); a < tt

Mx. für x = ~

369) f{x) = sin x. sin (a -j- x)    Mx.für x

7i — a

Mn. für x = 7i — —

370)    „ = sin x. cos (a — x)

ht    a .    71

Mx. „ x 2 H⁻ 4 ’

Mn. für x =

371) „ = ex.eosÆ

372) „

sina;

a , 3tt 2 ' 4 '

Mx. „    = ^, Mn. fur x = ^

æ = ~, Mx. „ x

Mn. „

5 7T

Bisher haben wir nur solche Maxima und Minima behandelt, bei denen der Differentialquotient der Funktion endlich ist und sich stetig ändert. Es kann aber auch der Fall Vorkommen, dass die Funktion y =f(x) von x = a — d bis x = a-\-d endlich und stetig verläuft, der Differentialquotient f'(cc) dagegen an der Stelle x = a eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet. Hier haben wir lim f'{a— d) zu unterscheiden von lim f (a -[- d) hei unendlich kleinem d. Wir können diese Ausdrücke ohne Missverständnisse zu befürchten kürzer durch f'(a — 0) und f'(a-{-0) bezeichnen. Wir verstehen also unter f'(a— 0) den Grenzwert, welchem sich f'(x) unaufhörlich annähert, wenn man x von kleineren Werten aus stetig wachsend an die Stelle x = a heranrücken lässt. Dagegen ist f'(a-j-0) der Grenzwert der Funktion f'(x) für den Fall, dass man x von grösseren Werten aus stetig abnehmend an die Stelle x = a bringt. Haben nun f'(a— 0) und f'{a-j-0) verschiedene Vorzeichen, so ist f{a) ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f'{a — 0) positiv oder negativ ist.

Beispiel: Es sei x=a{t — sin£), y==a( 1—cos£)? also ^ = cotgjrt und

dy

d*y

dx²

Die Funktion y hat

dy

ein Maximum y = 2a mit stetiger Änderung von an der

Cv X

Stelle t = 7c , x = clt:, dagegen ein Minimum y = O mit un-

♦ •    /7 /tj

stetiger Änderung von an der Stelle t — 0, x = 0. Hier

ist ~ =— oo für £c = — 0 und

dy

dx

- — 4-oo für * = -L-0. dx ‘    ¹

Periodische Wiederholung mit der Periode t = 27z.

Unentwickelte Funktionen. Soll aus einer Gleichung f{pc, v) = 0 ein Maximal- oder ein Minimal wert für y hervorgehen, so muss die unabhängige Yariabele x so gewählt

et y

werden, dass die Bedingung befriedigt ist ^4 = 0.

so geht diese in die andere Bedingung über

Da nun

dfdf dx ’ dy

= 0. Im allgemeinen werden in dieser Gleichung die beiden

Variabelen enthalten sein. In Verbindung mit f(x, y) = 0 giebt sie die gesuchten Werte von x und die zugehörigen Werte von y. Wenn für ein solches zusammengehöriges Wertpaar

r) -f

x und y nicht nur -^-=0, sondern zugleich auch so ist ^ nicht mehr gleich Null, sondern unbestimmt, ein Fall,

dy

dx

dx

*f

dy

= 0 wird

der später eingehend behandelt werden wird. Hier setzen wir f) f

voraus, dass ~ nicht verschwinde. Unter den angeführten

Umständen reduziert sich der zweite Ditferentialquotient auf d*y_ d*fmdf dx² dx¹’ dx

Beispiel: f=y<i-\-2x²y-\-Ax— 3 = 0;

2y<-\-2x\

den Ausdruck

nach Formel (24), S. 53.

df

df

Sx = ixy + 4 = 0 Die beiden ersten Gleichungen ergeben x = 1, y = — 1

dy

/»

und x = — y — 2. Da für das erste Wertpaar auch -~-=0

dy

wird, so ist y weder Maximum noch Minimum. Dagegen wird

#y ₌

dx²

für das zweite Wertpaar Maximum.

16

—, mithin ist y = 2 ein

Aufgaben.

Für x = 0 wird y — b ein Max., y — — b ein Min. 374) f =(x² -\-y*)² — a?{x² — y*) = 0.

Für x=0 wird y=0 weder Max. noch Min., für a?=+|* j/-^

wird y = ^y 2 ein Max. und y =

375)    f=xs — 3a²x-Jry³ = 0‘, x — a giebt y — ayj2 als Max. und # = — a giebt y = — a^Z2 als Min.

376)    f— 4:X² — 20# — 8z/ —J— 41 = 0 ;

— macht y = 2 zu einem Min.

2 y

377)    f=(y-x)s + x + 6 = 0; æ = — 6

j/2 ein Min.

1 2

31/ 3

zu einem Max.,

6H--~—j=.

3j/3

378) f— y² — ay — sinic = 0;    2;

^ macht y = aa²-j-4 zu einem Max. und y = ^a — -|-j/a²-(-4 zu einem Min.

Was findet sich für x — —

macht y — —

zu einem Min.

f’

Relative Maxima und Minima. Gegeben ist die Funktion z = f{x, y) und weiter zwischen x und y die Gleichung <p (x, y) — 0. Es sollen nun x und y so bestimmt werden,

dass sie der Gleichung <p (x, y) = 0 genügen und zugleich z zu einem Maximum oder einem Minimum machen.

Beispiel: In den Kreis <p (x, y) = x‘²-\-y'²— r² = 0 das an Fläche grösste Rechteck zu zeichnen, dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel laufen. Sind x, y die Koordinaten des Eckpunktes im ersten Quadranten und also beide positiv, so ist z — A: xy der Wert, welcher ein Max. werden soll, und zugleich müssen x und y die Bedingung befriedigen: <p (x, y) — x²-\-y²— r‘² = 0, weil der Punkt zur Kreislinie gehört. Hier kann leicht y = y r² — x² aus der Gleichung <p = Q genommen und in z~ Axy substituiert werden;

jnan findet dann, dass z — 4æJ/V² — x² für x =

Maximum wird.

In vielen Fällen ist jedoch eine solche Substitution äusserst schwierig, wenn nicht ganz unmöglich, so dass die Aufgabe auf andere Weise gelöst werden muss. Da y durch die Gleichung <p = 0 von x abhängt, so muss x als die einzige unabhängige Yariabele angesehen werden, und es müssen die Werte von x, welche z zu einem Maximum oder einem Minimum

Öj z

machen, der Bedingung

\ eia

dx

= 0 genügen, d. h. es muss sein

(A)

--- = dfJrdl.^l₌₌₀

dx dx' ôy dx

Aus der Gleichung p = 0 ergiebt sich:

(B)

il _J_ bJL . il — 0

dx'dydx    ’

d v

und durch Elimination von ~~ aus (A) und (B) entsteht:

a co

df dp    df dp

__dx dy    dy dx A

__    —

oder:

<3j| Oj

Cb

(C)

Aus (C) und <p = 0 findet man jetzt die Werte für x und ?/, durch welche z ein Maximum oder ein Minimum wird, und die weitere Frage, oh Maximum oder Minimum, wird

(Pz dx²

entschieden, welcher

wieder durch das Vorzeichen von Ausdruck unten noch gebildet wird.

Dieses Verfahren lässt übrigens folgende Abänderung zu. Die Bedingung (C) kann auch durch die folgenden Gleichungen

df

dx

i^ — O d_l . liV — o dy^^dy ~ ⁰

(D)

ausgedrtickt werden, wenn A eine willkürliche Konstante bedeutet, durch deren Elimination (D) wieder in (C) übergeht. Tritt aber die weitere Gleichung y — 0 noch hinzu, so haben Avir 8 Gleichungen zwischen den 3 Unbekannten x, y und l. Da nun weiter

df

d<p    +    df    d<p_

dx‘ dx    dx    ’    dy'    dy    dy

ist,    so dienen zur    Bestimmung    von x,    y und    l    die    folgenden

3 Gleichungen:

d {f-j~ Ä <p) Q    d(f -f- l<p)

dx

dy

= 0, <p (x, y) = 0.

(27)

entsteht:

Es bleibt noch übrig,

d² z dx²

abzuleiten. Aus (A) und (B)

d²z d

dx² dx

df'dj^dy

dx'dy dx

₀₌₌d_ df\d_(p dy dx d x ¹ d y dx

Wird die letzte Gleichung mit 1 multipliziert und zur vorhergehenden addiert, so erhält man:

d² z_ d_    (/" ~ł~ ^    i    d(f-\-1(p)    dy\

dx²    dx L dx    ' dy    dx |'

Führt man rechts die Differentiation durch, so erscheint

mit dem Faktor

d (f-f- h<p)

dy

multipliziert. Bei den hier in

Betracht kommenden Werten verschwindet dieser nach (27), so dass wir für unsern Fall schreiben können: d² z _ d²{f-\-X(p) ^ d'² (f -f- X(p) _ dy dydx dx

dx²

dx²

Wird endlich —

d (p d (p dxdy

\d²{f-\-X<p) . d²(f-\-X<p) dy\ L dxdy ' dy² dxJ

a, a,

gesetzt, so geht daraus hervor:

d² z

dx²

Cb Oo

₂ d²(f+X<p) Bip dtp d²(f-\- X<p) [" d<p\2 dxdy dx dy' dy²,    \_dx\

ter

Da der Nenner dieses Wertes ohne Einfluss auf das Vorzeichen ist, so wird z ein Maximum, wenn der Zähler negativ, ein Minimum, wenn der Zähler positiv ist.

Handelt es sich also darum, z — f(x, y) zu einem Max. oder Min. zu machen, während <p (x, y) = 0 ist, dann gilt folgende Regel:

positiv (negativ) machen, haben wir ein

den Ausdruck

Man bestimme die drei Unbekannten X, x, y so, dass die Gleichungen (27) erfüllt werdest. Wenn die erhaltenen Werte d^z dx²

Minimum (Maximum).

1. Beispiel: Für welche Werte von x und y wird z = xy ein Max. oder Min., wenn die Bedingungsgleichung gegeben ist:

f-\-    — xy + X(xs -J- ys — axy) ;

. d(f-{-X<p)

w = x³ -f- ys — axy — 0.

x-\-X{3 y²—ax)=0.

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt x = y, und dann aus <p — 0 weiter:

dx

y-{-X(3x²—ay)=0]

dy

a I to

x = y — ~, und endlich X — —

LJ

d²(f+X<p) ’ dy*

d² (f -p M

dx²

= GXx = —

a²

’    4 ;

= 3Xy = — 6,

dx dy

= 1 — la =

CO

"Y O °    a    d *

J    4 ’ dx²

d<p

dy

00    Qi

SS 1^

CO

st

2. Beispiel: Aus einer Seite a und dem gegenüber lie

genden Winkel a soll das an Fläche grösste Dreieck gezeichnet werden. Nennen wir die an der Seite a liegenden Winkel x a² sin# siny

und y, so ist F==

2 sin a

. Da nun ein aus konstanten

und variabelen Faktoren zusammengesetztes Produkt seinen grössten oder kleinsten Wert annimmt, wenn das Produkt der variabelen Faktoren am grössten oder kleinsten wird, so dürfen wir a² und 2 sin a unterdrücken und z = f(x, y) = smxsmy als diejenige Funktion anseben, welche durch passende Wahl von x und y zu einem Max. wird. Zugleich besteht die Relation <p = x -\- y a— 7r = 0, so dass f-\-l(p = sina: siny

Ą- l (x -\- y a — 7r), d(f -j~l(f)

-Q--= cos x sin y -f- l — 0

dy

= sin x cos y -\-l = 0 ist, woraus leicht sin (x — y) = 0,

oder auch x — y = 0 erhalten wird, weil die andere Relation x — y == 7i hier nicht zulässig ist. Für y = x wird dann weiter

d² (f -f- l<p)

dx²

sin²#

dy²

sin²#

dxdy

= cos²x, und da ^=1,    — 1 ist, so wird für y = x

der Wert negativ und die Fläche ein Max. Unter allen

möglichen Dreiecken mit gegebener Basis und gegebenem Winkel an der Spitze besitzt das gleichschenklige die grösste Fläche.

Eine andere Aufgabe, nämlich die: In einen gegebenen Kreisabschnitt das grösste Dreieck zu zeichnen, fällt mit dieser genau zusammen.

Aufgaben.

379)    Wie gross muss der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks in gegebenem Kreise gewählt werden, wenn die Fläche des Dreiecks ein Max. werden soll?

oder x — 60°. Im Kreise hat das

Wenn r der Halbmesser des Kreises und x der gesuchte Winkel ist, so ist F— 4r²sin³#cos# und wird Max. für cosæ = gleichseitige Dreieck die grösste Fläche.

380)    In einem Dreieck ist die Basis = a und der Winkel an der Spitze = a gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn sein Umfang ein Max. werden soll?

Sind x und y die beiden anderen Seiten, so ist:

.    f— x-\-y-\- a i ip = x¹-\-y‘²‘ — 2xy cos a — a¹ — 0.

Man findet f als Max. für x = y.

381)    Eine Strecke a ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt aus den Längen der Abschnitte ein Max. wird.

z — xy, (p = x-\-y — a = 0 ; z wird Max. für y — x — —

382)    Die Summe der beiden Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks ist konstant, nämlich x-\-y = 2 s. Wie sind die Katheten zu wählen, wenn die Hypotenuse z ein Min. werden soll?

z — Min. für x — y.

383)    Zwischen den Schenkeln eines Winkels a, dessen Scheitel A ist, liegt ein Punkt M. Man soll durch M eine Gerade ziehen, welche die Schenkel in B und C schneidet und zwar so, dass das Dreieck ABC ein Min. wird.

Wir ziehen durch M zu AC eine Parallele, welche

AB in D schneidet. Gegeben: AD = a gesetzt: AB = x, AC=y.

3ID = b; F= 4 x y sin a, oder

z = xy;    =

oder MB = 31C.

384) In der Basis AB eines Dreiecks ABC ist ein Punkt 31 gegeben; eine Parallele zu AB soll AC m D und CB

— 1 — 0. F= Min. für x = 2 a.

in E schneiden. In welcher Entfernung von der Basis muss DE gezogen werden, wenn das Dreieck DEM ein Max. sein soll?

Wir setzen Basis AB = c, Höhe des Dreiecks ABC = 7&, Basis DE — y, Höhe des Dreiecks DME= x und haben: E=\xy, <p = cx-\-hy — c7i = 0; F = Max.fürx = ^h.

385)    Die Grundlinie b und die Höhe h eines Dreiecks sind gegeben. Wie ist das Dreieck zu zeichnen, wenn die Summe der beiden anderen Seiten ein Min. werden soll?

Sin x und y die Winkel an der Basis, so ist

b ² sina: sin y

sin (x + y)

z = —--1-—— die Seitensumme, bh = 2F

sinæ ' sin«/

Für x — y wird z

oder <p = cotg x -f- cotg y — y = 0. ein Min..

386)    Auf den Seiten AB und BC eines Dreiecks sollen die Punkte D und E so gefunden werden, dass ihre Verbindungslinie DE das Dreieck halbiert und ein Min. wird.

BD = x, BE=y, BA = c, BG=a\

(1 c

DE²= x² -j- y²— 2 xy cos B, <p = xy — = 0. Man findet z — x² -{- y* — ac cos B — Min., wenn x = y — j/~.

Die Aufgabe, „von einem Dreieck DBE ist der Inhalt und der Winkel an der Spitze gegeben, die Grundlinie soll ein Min. werden“, fällt mit der vorstehenden zusammen.

387) Eine Gerade DE und 2 auf der nämlichen Seite gelegene Punkte A und B sind gegeben, man soll in DE einen Punkt C so finden, dass ACĄ-CB ein Min. wird.

Man ziehe AP und BQ senkrecht auf DE; setze AP=p, BQ = q, PQ — c; ACP=x, <£BCQ = y,

so ist z — AC-\-BC— ^

<1

sin x ' sin y1 q cotg y — c = 0 ; z wird Min. für x — y.

<p = p cotgæ-f-

Ist AC B der Weg eines Lichtstrahls, so liefert die Lösung dieser Aufgabe das Gesetz der Reflexion durch die Forderung, dass der Weg ein Min. sein solle.

388)    Ein Winkel B und eine Strecke DE=b sind gegeben. Es soll b so in den Winkel eingetragen werden, dass die Endpunkte D und E auf die Schenkel des Winkels fallen und das Dreieck BBE ein Max. wird.

Es sei BI) = x, BE = y, F—^xysinB, <p = x2 -f-y² — 2xycosB—Ir — 0.    2^= Max. für x = y.

Man vergleiche den Zusatz zu 386). — Die Aufgabe bietet eine andere Fassung und andere Lösung von Beispiel 2.

389)    Gegeben ist ein rechter Winkel mit dem Scheitel A und auf dem einen Schenkel die Punkte B und C. Man soll

auf dem andern Schenkel einen Punkt D so finden, dass Winkel BDC=v möglichst gross wird.

AB = b, AC—c,

AD = x, i^ABD — ß,

(c — b)x

bc-^x²

t gy = 75 tgt> =

0

wird mit v selbst Max. für x = + \/bc.

390) Welches von allen Vierecken, die aus den 4 gegebenen Seiten a, 6, c, d konstruiert werden können, hat die

grösste Fläche?

Ist x der von a und &, y der von c und d eingeschlossene Winkel, so ist 2 F= ab sin x-\-cdsmy. Durch die Diagonale wird die Relation vermittelt: f = 2 ab cos x — 2 cd cos y — a² — b² -(- c² -f- d² = 0. Man findet, dass für sin (x -f- y) = 0, d. h. x-\-y = 7i F ein Max. wird. Das Viereck ist also ein Kreisviereck.

391) In eine Ellipse soll das grösste Rechteck gezeichnet werden, dessen Seiten den Achsen der Ellipse parallel laufen.

Gl. der El.: x=acost, y = bsmt]

F— 4 xy = 2 ab sin 2 t — Max. für £ = 45°, oder:

aV~h: ) V — b V\ •

392)    Wie ist der Halbmesser eines Kreises zu wählen, wenn ein Sektor von gegebenem Umfang =2a die grösste Fläche besitzen soll?

Ist der Halbmesser =x und der Bogen =2 y, so ist

ct

x-\-y = a und F=xy ein Max. für x = —.

393)    Ein Parabelsegment wird durch eine zur Achse senkrechte Sehne BC begrenzt, deren Abstand vom Scheitel A gleich a ist. Eine zweite Sehne MN soll parallel der ersten innerhalb des Segmentes so gezogen werden, dass das Rechteck, dessen eine Seite MN ist, und dessen Gegenseite in BC liegt, die grösste Fläche besitzt.

Sind x, y die Koordinaten des gesuchten Punktes M,

so ist F=y(a — x) und y² = 2px; F = Max.fürx = .

394)    Die vorhergehenden Angaben; jetzt soll der Umfang des Rechtecks ein Min. werden.

^U=y-\-a — x\ y² = 2px. Man findet 17= Min. für y — p, x = \p.

395)    Zwei Tangenten eines Kreises bilden einen Winkel =2 a. Wie ist eine dritte Tangente zu legen, wenn das dem Kreise umschriebene Tangentendreieck ein Min. werden soll?

Die Winkel, welche die dritte Tangente mit den gegebenen bildet, mögen 2x und 2 y sein; dann ist:

F=r² (cotg x -j- cotg y -J- cotg d) und <p = x -j- y -rf- a — 90° = 0. F wird Min. für x = y.

396)    In einem Kreise ist eine Sehne AB gegeben, und es soll im kleineren Abschnitt zu ihr parallel eine zweite Sehne CB so gezogen werden, dass das Paralleltrapez ABCB ein Max. wird.

Es sei M der Mittelpunkt, MH der zu AB senkrechte Halbmesser, <^A3IH= a, <£CMH= x, so ist 2 F= r² (sin x sin a) (cos x — cos d) und wird Max. für

P²    TT

x = —, wie aus der Bestimmungsgleichung cos 2x 3

= cos (x — a) folgt.

397) Es soll bewiesen werden, dass der Kreis als das reguläre Vieleck angesehen werden kann, welches hei konstantem Umfange die grösste Fläche besitzt.

Ist x die Seitenzahl und P der Umfang des Vielecks,

dann wird seine Fläche F =

. 2 TZ 2 TT sin — =

-cotg — ein Max., wenn A.x    x

oo ist.

.<•

—, d. h. x = x

398)    Ein gerader Kreiskegel, dessen Spitze A heisst und dessen Basisdurchmesser BC=2r und dessen Seitenkante AB = s ist, soll durch eine zu AG parallele Ebene so geschnitten werden, dass der Inhalt der entstehenden Parabelfläche ein Max. ist.

Es sei S der auf AB gelegene Scheitel, SD die zu AC parallele Achse der Parabel, mithin D ein Punkt von BC. Es sei ferner SD = x und die zu x gehörige Ordinate = y, so ist F=%xy und y² = BD .DG

= DC(2r — DG). Daraus ergiebt sich y = — ysx — x²

und F wird Max. für x = \-s oder AS = ^ AB.

399)    Um ein Rechteck soll die an Fläche kleinste Ellipse beschrieben werden.

a    «² i &2 i a

= xy7t und ^ =    +    1=0.

F = Min. für x = a[/2, y — b|/2. — Vgl. 391).

400) Um ein gleichschenkeliges Dreieck soll die an Fläche kleinste Ellipse gezeichnet werden, deren kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks läuft.

Spitze des Dreiecks M, Basis P(7=2m, Höhe =7i. Sind u und v die Halbachsen, so heisst die Scheitelgleichung der Ellipse: u²y² = v² (2 ux — x²) und so be-

Es wird

a und 1) die halben Rechteckseiten, x und y die Halbachsen. F

steht die Relation: u² n² = v² (2 uh — h²). Die Fläche F = uv7t wird ein Min. für u — \ln.

401) In ein gleichschenkliges Dreieck soll eine Ellipse, so gezeichnet werden, dass sie die Seiten des Dreiecks berühre, dass ihre kleine Achse parallel zur Grundlinie des Dreiecks laufe und dass ihre Fläche ein Max. sei.

AB=2n die Basis, (7 Spitze, DC—li Höhe und zugleich X-Achse, AB Z-Achse, u und v Halbachsen. Nun ist u²y² = v²(2ux— x²) die Scheitelgleichung der Ellipse

und y = —#-j-n die Gleichung von AC. Suchen wir

die Abscissen der Schnittpunkte zwischen der Ellipse und AC und setzen den Wurzelteil gleich Null, so ist dies die Bedingung dafür, dass die Gerade die Kurve be-

— n² = 0 ; F=uv7t wird

² <?/

rührt. Sie heisst: v²-j-——

h

3'

Max. für u = —.

402) In ein gleichschenkeliges Dreieck soll eine Parabel so gezeichnet werden, dass ihre Achse auf der Mitte der Grundlinie rechtwinkelig stehe, dass sie die beiden gleichen Seiten berühre und das von der Basis begrenzte Parabelsegment ein Max. sei.

Es sei A die Spitze, h die Höhe, BC=2n die Basis des Dreiecks, A der Anfangspunkt der Koordinaten, S der Parabelscheitel, AS = u. Die Achse der x geht durch die Mitte der Grundlinie des Dreiecks. Die Parabelgleichung heisst: y² = 2p(x— «), die Gleichung von

AB: y = x = hx. Als Bedingung dafür, dass AB die

Kurve berühre, wird gefunden: p — 2 Jc²u = 0, worin auch p noch unbekannt ist. Die Fläche F=f\/2p (Â — u)³

h

wird ein Max. für u — —.

403)    Ein Kreis ist durch eine Gleichung y² = 2rx— x² bestimmt. Anfangspunkt und X-Achse des Systems sind zugleich Scheitel und Achse einer Parahel, welche den Kreis in den Punkten B und C schneidet. Wie muss der Parameter p der Parabel gewählt werden, wenn das von BC begrenzte Segment derselben ein Max. werden soll?

Die Koordinaten von B mögen x und y sein, dann ist F=fxy, y² = 2px und y² = 2rx— Æ², woraus

folgt, dass F=f\/p(r — p)s ein Max. wird für =

404)    Welcher von allen geraden Kreiscylindern, deren Oberfläche = a² ist, besitzt das grösste Volumen?

x = Basishalbmesser, y = Höhe, V = x² y n,

<p = 2tvx (x -j- y) — a²; y wird ein Max. für y = 2 x.

405)    Ein gerader Kreiskegel soll parallel zur Basis so geschnitten werden, dass der zwischen der Schnittfläche und der Kegelbasis gelegene Kreiscylinder an Volumen ein Max. ist.

r = Basishalbmesser, h = Höhe des Kegels; x = Basishalbmesser, y — Höhe des Cylinders. V = x² y tt ;

2 T

<p = hx-\-ry — hr = 0. V wird Max. für x = — .

o

406)    Welcher von allen geraden Kreiskegeln von gleicher Seitenlange = s hat den grössten Kubikinhalt?

Das Volumen wird ein Max., wenn der Basishalbmesser = s j/f ist.

407)    Aus einem Kreise, dessen Halbmesser r ist, soll ein Sektor so geschnitten werden, dass der übrig bleibende Teil der Kreisfläche, als Kegelmantel verbraucht, einen Kegel bestimmt, dessen Volumen ein Max. ist.

Ist x der Halbmesser der Kegelbasis, so wird V ein Max. für x = r [/f.

408)    Eine Pyramide soll parallel zur Basis durchschnitten und die Schnittfläche als Endfläche eines Prismas benutzt werden, dessen kongruente Grundfläche in der Basis der

Pyramide liegt. Wo ist der Schnitt zu führen, wenn das Volumen des Prismas ein Max. werden soll?

B Grundfläche, h Höhe der Pyramide; y Grundfläche, x Höhe des Prismas. Es ist y:B=(h— xY'.h² und h

V = xy Max. für x = — . —(Vgl. die Aufgabe mit 405).

O

409)    Dieselben Angaben, nur soll statt des Prismas eine zweite Pyramide konstruiert werden, deren Grundfläche die Schnittfläche ist und deren Spitze in der Basis der gegebenen Pyramide liegt.

410)    Dieselben Angaben, nur sollen statt der beiden Pyramiden 2 Kegel gesetzt werden.

411)    In der Achse einer Parabel ist ein Punkt B gegeben und man soll senkrecht zur Achse zwischen B und dem

Scheitel A eine Sehne CB so ziehen, dass der Kegel, welchen das Dreieck BCB bei seiner Drehung um die Parabelachse erzeugt, möglichst grosses Volumen habe.

Schneidet CB die Achse in P und ist AB = a, AP = x,

CP—y, so ist y¹ — 2p# = 0 und V — Max. für x — % .

^ ein

412) Eine regelmässige Pyramide mit quadratischer Basis soll so in eine Kugel gezeichnet werden, dass ihre Ecken in der Kugeloberfläche liegen und ihr Volumen ein Max. sei.

Ist x der Abstand der Grundfläche von dem Kugelmittelpunkt und y die halbe Seite dieser quadratischen Grundfläche, so ist V = f y² (r -{- x) und æ²-j-2î/² — r~ = 0.

T

Für x = — wird F ein Max.

ö

413) Für welchen Punkt eines Ellipsenquadranten schliessen Durchmesser und Normale den grössten Winkel ein? Ellipsengleichung &²a?² -J- a²«/² =’a²b²] gesuchter Punkt

x, y; gesuchter Winkel = <p] tg <p = ein Max. für x = a \T\, y — b .

xy wird mit xy

a² — b²

a*b*

414)    Nachzuweisen, dass die Tangente durch den in der vorhergehenden Aufgabe gefundenen Punkt mit den Achsen ein Minimaldreieck einschliesst.

415)    Zwei Kugeln liegen ganz auseinander. In welchem Punkte ihrer Centrallinie kann das Max. der Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

416)    Über der Centrallinie zweier Kugeln als Durchmesser ist in irgend einer der hindurchgehenden Ebenen ein Kreis beschrieben. Von welchem Punkte dieses Kreises aus kann die grösste Summe der beiden Kugelhauben übersehen werden?

§ 11. Die Reihen von Taylor und Maelaurin.

Mittelwertsatz. Wenn die Funktion f(x) und ihr Differentialquotient f'(x) zwischen x = a und x = b überall stetig ist, und M das Max., m das Min. von fix) in diesem Intervalle bedeutet, so setzen wir

0 (x) = f(x) — f{a) — Mix — a) <p (x) — f{x) — f(a) — m (x — a).

Dann ist in diesem Intervall

<P'(x) — fix) — M < 0,    <p' ix) — f'{x) — m > 0,

also wächst in ihm <p{x) ununterbrochen, während ®{x) abnimmt (vgl. S. 64). Da nun für x — a die Funktionen 0 und (p verschwinden, so ist @(b) negativ und <p(b) positiv, d. h. f(b) — fia) — Mib — a) < 0, fib) — f(a) — m (6 — a) > 0. Lässt man also die Variabele t in

fQ))—f{a) — (& — «) f\t) = (}> it)

das Intervall von a bis b durchlaufen, so wird <p für f'=M negativ und für f — m positiv werden. Folglich giebt es ein i zwischen a und &, für welches (j>it) = 0 wird. Bezeichnen wir dies t mit a -J- Gib — a), wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet, so folgt

fib) — fia) = (& — a)f (a + 0{b — a)) (O^G^l). (28)

Dieser Satz heisst der Mittelwertsatz, ihn geometrisch leicht repräsentieren: Wenn eine Kurve

Wir können

zwischen A und B stetig verläuft

Fig. 10.

Ai

und das Steigungsmass ihrer Tangenten für die gleiche Strecke ’ B stetig sich ändert, dann giebt es zwischen A und B mindestens eine Tangente AJB₁^ welche der 'Bf Sehne AB parallel läuft.

Aus dem Satze folgt: Wenn f(a) = 0 und f(b) = 0 ist, dann — giebt es für f'(x) — 0 eine Lösung, die zwischen x — a und x = b liegt.

Taylorsche Reihe. Es sei f(x) eine Funktion, die nebst ihren ersten n Ableitungen auf der Strecke von a bis b einwertig, endlich und stetig sein soll. Wir betrachten die Funktion

4 «=m -f(*) —i~T¹r (*) -

(b — xY

1.2

1.21)

(b — x)n~l

(b — x)PK

in welcher p und K von x unabhängige Grössen sein sollen. Wir wollen K durch eine lineare Gleichung so bestimmt denken, dass (p(a) = 0 wird. Die Form von ÿ zeigt, dass auch <p(b) — 0 wird, wenn p positiv ist. Nach dem Zusatze zum Mittelwertsatze giebt es daher einen Wert x == £ zwischen a und b für den

<p\x)

(b — x)n

1.2 ... (n — 1)

fW)(x) + (b — x)P-¹K

verschwindet; d. h. es giebt einen Mittelwert £, für den

1.2 ... (n — 1)

wird. Setzt man dies in (f (a) ein, so wird, da <p (a) = 0,

{b-ay

m=m 4

—f («H

1.2

rw+...

(6 —a)”-¹

(6 — a)P(b — $)n~P

f{n~l) WH-

Statt a und 6 schreiben wir æ und    statt £ wieder

a-\-(b — d) 6 = x-\-h6] dann entsteht

1.2... (n — 1)

p . 1.2 .. (n — 1)

7,    7,²

(29) f{x + h) =*f{x) + - f\x) + — rix) +...

hn~l

hn (i — ey-p

p. 1.2 .. in — 1)

/“(”) (a; Q ]i) ,

~ 1.2 .. (n — 1)

Das letzte Glied nennt man den Rest der Reihe und schreibt dafür 22. Setzt man in ihm p = 1, dann hat man die Lagrange sehe Restform

f(n) ix -j- 0 h)

hnii — e)n~¹

1.2 ... in — 1)

und für p = n entsteht die Cauchysche Restform

-/•<”> (z + <9 fc).

Bn

hn

1.2..

(29) ist die Taylorsche Reihe. Sie ist abgeleitet unter der Voraussetzung, dass die Funktion fix-\-Ji) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur nten Ordnung einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle h = 0 in sich enthält.

Maclaurinsche Reihe. Wird in (29) statt x geschrieben 0 und x statt h. so folgt die Reihe

(30) fix) = fi0) + f f (0) H- o r (0) + • • •

xn~l

(0)4-22(0)

22(°) =

(1 — 6)n~Pxn

p . 1.2 .. in — 1 )

fin) (0 x)

Natürlich fordert die Berechnung von f'(0), f"{0)..., dass zuerst f (x), f"(x)... gebildet und darin x = 0 gesetzt wird.

Ist in (29) lim R = 0 für n — co und die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt für die Funktion und ihre särnmt-lichen Dilferentialquotienten, so darf man die unendliche Reihe ansetzen:

n*+*)=m+\r («)+r^r(a) 4

w+... (3i)

Ebenso darf man in (31) die unendliche Reihe nehmen, wenn lim R\ — 0 für n — oo und wenn die oben ausgesprochene Bedingung für die Funktion und ihre sämmtlichen Differentialquotienten erfüllt ist. Dann hat man:

-.3

lJlr(0)+-Die Bedingung: limi? = 0, resp. lim R^ — 0 für n — oo fordert mehr als die blosse Konvergenz der entstehenden unendlichen Reihen; denn bei blosser Konvergenz kann R sich auch einer von 0 verschiedenen Grenze nähern.

(32)

Aufgaben.

417) Das Binomium. Zu f(x) = xn gehören die Werte f (o) = «n, f (a) = n an~¹, f" (a) = n(n — 1) an ~ ², f" (a) — n{n — 1) (n — 2) an~³, usw. Nach der Reihe von Taylor erhält man f(x-\-a) oder:

f + w (n — 1) an~²~--f n(n— l)(n — 2) an~³

und insbesondere RW

(1 — &)n

l3?yf(n)(0x),    &?} =

Xn

— f («) (Qx).

. n

Sie ist gültig, wenn die Funktion f(x) und ihre Differentialquotienten von der ersten bis zur «ten Ordnung einwertig, endlich und stetig variabel verlaufen auf einem Gebiete, welches die Stelle x = 0 in sich enthält.

1.2.. (n — 1)

1.2..

(a -(- x)n — an -J- n an

—+

1.2.3

418)    Die Reihe für (1 -\-x)-n zu finden. f(x) = x~n, f(l) = 1,

r(i)=-»,r(i)=»(»+i),r,(i)=-»(»+i)(*+2)

usw.

2    3

(!■Jr%)~n= 1 -n| +n0+1 )^ -n(n+¹ )(w+2)    + • • •

419)    Man entwickele den Ausdruck \/l-\-x in eine Reihe.

f(x) =    , f(x) = \x ², f"{x) =

daher f(l) = 1, f(l) = i, f(l) =

usw.;

Ti

usw.

|/ï+ï = i + f

tO| h*

Æ³ . 1.3 x6 4 ⁺ 274 ‘ 6“

420) Man leite die Reihe her:

toi M.

, 1.3 2 x+^äx'

1.3.5

£³-f...

l/l-j-x

421)    Wenn f(x) = xs—3Æ²-j-4Æ— 5 ist, soll f(x-f-2) entwickelt werden. Es ist f(2) = — 1, f{2) = 4, f"{2) = 6, f'"{2) = 6; /(a: + 2) = — 1 + 4« + 3a²+ Æ³.

422)    Nach der Formel von Maelaurin soll abgeleitet werden:

a4-x a . b— a

2.4.6

s^V+^v+...-

b -\-x b

423) Die Reihe für ax. f(x) = ax, /'(0) = 1, /''^^lga, (0) = (lg «)², /"'(O) = (lg a)³, usw. ^

= i+jig«H

Daraus geht die Reihe für ex hervor, wenn man e statt a setzt, wodurch lg a zu lg c = 1 wird.

424) Die Reihe für lg (1 4- x). f(x) — lg x. f( 1) = 0,

ni) = i, ra)=-i, r\D—2, r"(i)=-1.2.3,

/(V) (1) = 1.2.3.4, usw.

]g (1 + ®) = « —

/v>-    /yi3    /y>4    /v»5

w    i %AS    %AS i iv

_ + -5 — • • «

Wird darin — x statt x gesetzt, so entsteht:

X² XS    X⁴    Æ⁵

2 ~ y ~ T ~~ "5 ‘ * '

lg (1 — x) =

ig

/y.3    /y»

3    5

Durch Substitution von x

geht die vorstehende

2^+1

in folgende für die Berechnung bequeme Formel über:

lg(^+l) =

Xs°⁺ĄzT+i

Aus ax = y folgt Lgy = x (für die Basis a); andrerseits ergiebt exl%a = y die Beziehung 1 gy = x\ga, und daraus

rrlgy, Lg(i+#) = ^lg(l-f #).

5+-- • I

1    ¹ I 1_L__

³ (2^-f-l)⁸^ ⁵ (2-sf—{— 1)

lg «

Lgy

Will man also Lg(l-\-x) in eine Reihe entwickeln, ąo kommt man auf die für lg (1 —a?) zurück, nur dividiert durch lga. Die einfachste und natürlichste Entwicklung wird also für a = e stattfinden. Deshalb heissen die zur Basis e gehörigen Logarithmen die natürlichen.

425) Nachzuweisen, dass:

54

X'

1.2.3 ¹ ”■

426) Die Reihe für sin(x-f-a). /’(#) = sin#, f{a) = sina, f' (a) = cos a, f" (a) = — sin a, usw.

x²

—■⁸¹¹¹⁰172

cc

sin(#-j-a) = sina4-cosa-

cosa

#³

1.2.3

Für a = 0 wird:

sin x = x

xö

1.2.3.4.5

1.2.3

427) Die Reihe für cos(#-(-a)- f(x) — coax, /,(a) = cosa, f'{a) = — sin a, f”(a) = — cos.a, f'"(a) = sin a, usw.

/y»2    /v> 3

*4-'    i •    «A/    *

O+“⁰Ot5+-

cos (a-[-#) = cos a— sina^-

— cos a

Für a = 0 erhält man:

/y»2    /V»4:

Ï72 ‘ 1.2.3.4

428) Auf ähnliche Weise entwickelt man:

* , , N + , 1 x , 2tgu #² 2(l + 3tg²a) #3 tg (.+»)-tg «+ Ä r ■+ Ä 0 ---

Das Gesetz der Koefficienten ist hier nicht übersichtlich.

cos# == 1

cos²a

429) Nach der Formel von Maclaurin soll f{x) — cos²# entwickelt werden.

cos²# = 1 —

1.2

IO _

•“ ö 1.2.3.4

32

#⁶

1.2....6

430) Mittelst der Reihe von Maclaurin ist die Formel von Moivre abzuleiten. Gegeben ist f(x) — (cos # i sin #)n. Man findet: f'{x)= n (cos # -j-i sin x)n~¹ (— sin x-\-i cos #) = = n i (cos # -j- i sin x)n = n i.f{x), und daraus folgt, dass f"(x) = ni.f'(x) = (ni)²f(x) ist usw. Nun ist f{0) = lv f'(0) = ni, f"{0) = — w², f'"(0) = — n\ usw., und

n⁴ #⁴

(cos x-\-i sin x)n = 1

n² #²

1.2

1.2.3.4

.....)

, .(na

+‘U

nsx:i

1.2.3

oder nach den für sin # und cos # entwickelten Keihen:

(cos x-j-i sin x)n — cos (n x) -J- i sin (n #).

431) Die Funktion f{x)= arcsin# soll in eine Reihe entwickelt werden. Weil die höheren Differentialquotienten wenig einfache Formen annehmen, benutzen wir die sogenannte Methode der unbestimmten Ivoefficienten, die stets mit Sicherheit angewendet werden darf, sobald die Möglichkeit der Entwickelung fest steht. Wir setzen:

arc sin # = A -j- B x -j- C #² -f- D #³ -f- E #⁴ -j-...

und finden sofort A = 0 für # = 0. Wird auf beiden Seiten differentiiert, so entsteht:

J5+ 2 Cx -f 3 D #² -f 4 Ex% -f...

i/ï^

Für die linke Seite liefert Aufgabe 420) die Reihe:

1.3 . . 1.3.5

2.4

und so erhält man durch Vergleichung:

2?=1, C== 0, D

273,    usw.,

. la?³ . 1.3a:⁵

ar.m« = ,+j3+r45

7T

Für a: = 1 wird arc sin x — —

1 .3.5 a:⁷

2.4.6 7

4-

432) Die Reihe für arctga:. Setzt man:

arc tgæ = A-\- Bx -f- Cx² -J- Dxs -j- Ex* -f-.... so ist A = 0 für x — 0. Die Differentation giebt

1 -|- x²

Da nun weiter, wie bekannt

5 + 2(7a: + 3Da:² + 4Ea:³4-...

1 — ar-j-aA —z⁶ +

so findet man durch Vergleichung, dass:

B= 1, C = 0, D =— J-, E = 0, usw.

arc tgx = j Für x = 1 ist arctga: = ^, und man hat:

^=1 JL _L JL : i_Li — 1 _j_ ..

4 x    3 U 5    7 ^ ¥ TT T •

Werden die Glieder paarweise vereinigt, so entsteht die zur Berechnung von 7r praktischere Form:

1+a:²

OT, «

x"‘ .

7 ' ' “

*=2p-

4 \1.3

5.7 ¹ 9.11

Setzt man tga = 4r und tg/9 = -i-, so ist tg (a -f- ß) = 1 und daher {a-\-ß) =    . Man darf mithin setzen:

►H

I—a

Ï ~ (2 + 3) “ 3 (2» + 3⁸) + 5 (‘2⁵ + J»)

ln allen vorstehenden Aufgaben ist jedesmal die Restform der Maclaurinschen Reihe zu untersuchen.

oder es ist eix = cos«-f-isina;, und allgemein:

(33)

Zum Schlüsse dieses Kapitels stellea wir noch einige später notwendige Formeln auf. Wird in der Reihe für ex an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix gesetzt, so entsteht:

eix = 1 —

/yil

«X/    i    IA/

Ï7 ' 1 2 73.4

tc

1.2..

+•(:

xs

xb

1.2.3

einx = cos (nx) -(- i sin (nx).

Da nun auch einx — (cos#isinx)n ist, so erhalten wir leicht durch Vergleichung die Formel von Moivre wieder. Aus

folgt leicht:

clx = cos æ-J-* sin æ und e-ix = c,osx—isina;

COSÆ

sin x =

Gix_e-ix

(34)

worin auch nx statt x gesetzt werden darf.

Tritt ebenso in Aufgabe No. 424) an die Stelle von x die imaginäre Variabele ix, so erhält man:

ix xs . xb    \

\1 3 ' 5~ /

lg

1 -f- ix 1 — ix

woraus dann unter Berücksichtigung der Reihe für arc tg x folgt:

1    1-f-ix

arctgz-^lgj—^-.

(35)

Funktionen von zwei unabhängigen Variabelen.

§ 12. Entwiekelung der Differentialquotienten.

Sind in der gegebenen Funktion z == f(x, y) die beiden Variabelen x und y unabhängig von einander, so können die Werte, welche z nach einander annimmt, wenn man den Variabelen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden:

In der gewöhnlichen Koordinatenebene benutzt man in bekannter Weise das gewählte x und y zur Festlegung eines

Fig. ll.

'D

Punktes D (Fig. 8), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Raume. Bei mehrwertigen Funktionen findet man mehr als einen Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M Vermöge der Gleichung z = f {x₁ y) annehmen kann, ist eine Oberfläche.

Eine Änderung des Funktionswertes z = f(x,y) kann nun auf dreierlei Weise veranlasst werden, und zwar:

1)    dadurch, dass bei festem y nur x übergeht in x₁,

2)    dadurch, dass bei festem x nur y übergeht in yx,

3)    dadurch, dass gleichzeitig x und y übergehen in xx und yv Demgemäss müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich:

1) f{xi,y) — f{x,y)\V)f{x,yx) — f{Xiy)] 3)    —

Dass man die Werte:

8f

= lim

9y

— = lim

yi—y

x± — x

die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde Pg. 15 und 17 erörtert, wo sieb auch der Modus ihrer Ableitung angegeben findet. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung dz zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfährt, dass sich die beiden Variabelen x und y gleichzeitig um die verschwindend kleinen Werte dx und dy ändern. Wenn den beliebig, aber doch ganz bestimmt gewählten Werten x,y und x₁,y₁ die Funktionswerte z und zx, zugehören, so ist (z₁—^) = f{x₁,y₁) — f(x,y), oder:

,=n*» ~ g*ÿi) (æ, - x)+{yi _ y).

Durch den Übergang zu den Grenzen wird dieser Ausdruck in den folgenden übergeführt:

df

(36)

dx -j-

Wird diese Formel nach ihrer eigenen Anleitung nochmals differentiiert und dabei berücksichtigt, dass dx und dy konstante Werte sind, so entsteht:

dz =

dy

dy.

d²z =

a{?axix+rta*) d x ⁹(%idx+-Jjd')

dx    ¹    dy

dy

(Ps =

d²f

3F*3x-+²

d-f

dxdy

dxdy -j-

Aufgaben.

433)    z = 3 x²x y²-\-y⁴

434)    z==

xy

x-\-y 435) z = \/x²— y²

436) z = (2x — by²f

dz = (6x+y²)dx+(2xy+4:ys)dy x² d y-\-y² dx

” ⁼ {x+yf

_xdx — y dy \/x² — y2 „ — 'ö(2x~hy²)²(2dx -lOydy)

437) z — y sin x -|- cos (x — y)    dz = [y cos x —- sin (x — y)] dx

438) z = (sin 3a? —|— cos y) -

[sin x -j- sin (x — y)\ dy

dz = 2 (sin 3 x -j- cos y) (3 cos 3 xdx — sin y dy)

439)    z — x¹—axy -\-y² dr z = 2(dx*—adxdy -}- dy²)

440)    z==y‘²&lc    d²z = eFfy- dx²-\- £yaxdy-\-2dy‘²).

§ 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen.

Wenn auf der eingangs des vorhergehenden Paragraphen erwähnten Funktionsoberfläche der Punkt M von der XF-Ebene einen Abstand z hat, der algebraisch grösser ist als für alle Punkte seiner unmittelbarsten Umgebung, so nennt man ihn einen Maximalpunkt; ist er dagegen kleiner, so heisst er ein Minimalpunkt. Der zugehörige Funktionsweft z wird dann ein Maximum, beziehungsweise ein Minimum genannt. Werden durch einen solchen Punkt M nach beliebigen Richtungen Ebenen senkrecht zur XF-Ebene gelegt, so entstehen auf der Oberfläche Schnittkurven, und es müssen alle Tangenten, welche durch M an diese Kurven gelegt werden können, parallel zur XF-Ebene sein. Legen wir in der XF-Ebene beliebige Kurven durch denPunktD,so entsprechen diesen ebenfalls beliebige Gleichungen zwischen den Variabelen x und y. Jedem Punkte einer solchen Kurve entspricht ein bestimmtes Wertpaar x und y, und diesem wieder ein ganz bestimmtes z, woraus dann folgt, dass jeder Kurve in der XF-Ebene eine ganz bestimmte Kurve auf der Funktionsoberfläche entsprechen muss. Kann nun ein Wert z so gefunden werden, dass er für alle diese Funktionskurven ein Maximum oder ein Minimum vorstellt, so ist er auch ein Maximum oder ein Minimum der Funktion, ln § 10 haben wir Werte .für x und y ermittelt, für welche z = fix, y) ebenfalls ein Maximal- oder ein Minimalwert wurde, doch mussten die gefundenen Werte noch weiter der Bedingung genügen: cp (x, y) = 0. Daher unterscheidet sich unsere jetzige Aufgabe von der damaligen nur durch den Umstand, dass die erwähnte Bedingung

ganz fehlt, d. h. die Abhängigkeit zwischen x und y beliebig gewählt werden darf. Fügen wir deshalb der gegebenen Funktion z = f{x,y) noch die willkürliche Bedingung <p{x,y) = 0, oder statt ihrer noch die beiden willkürlichen Bedingungen x = % (t), y — (p (t) hinzu, so ist diese Aufgabe auf die frühere zurlick-geführt. Hierdurch ist z in eine Funktion der einzigen Varia-belen t umgewandelt, und es muss für den Fall eines Maximums oder Minimums:

»j

OK !

8f dx ,

8x dt's"

SU

OK KO

sein. Bei der Willkürlichkeit von

— x' und

ok

= y' kann

diese Bedingung nur erfüllt werden, wenn:

U-o.

^ = 0 und

8x

8y

(37)

Aus diesen Gleichungen gehen diejenigen Werte von x und y hervor, welche z zu einem Maximum oder Minimum machen. Diese selbst werden, wie gewöhnlich, durch das Vorzeichen des zweiten Differentialquotienten von einander unterschieden. Es ist:

Sf

ttx'

d²z = dt² dx

8²f

dx 8y

x’JrdJr*y' I*

8y

Gemäss der Eelationen (37) wird: <Pz ₌ 8*l dt²    Sx*

x/2-i-2

8*f

8x8 y

x' yf-f

8-f ,t

87y *

Die zweiten Differentialquotienten sind hier konstante Grössen, weil sie mit den aus (37) hervorgehenden Werten von x und y zu bilden sind. Wir nennen sie a, b und c und haben: d²z

(a x’ -\-b y')²-\-{ac — b²) y'²

d t²

= a x'² -}- 2 b x' y' -J- c y'² =

Der letzte Ausdruck bleibt für alle Werte von x' und y' positiv, wenn {ac — b²) > 0 und zugleich a > 0 ist. Die Funktion hat dann ein Minimum. Ist dagegen {ac— b²) > 0 und a < 0, so

muss der Ausdruck stets negativ werden, wie man x' und y auch wählen mag. Die Funktion hat ein Maximum. Ist endlich (ac — 5²) <0, so kann der Wert durch geeignete Wahl von x' und y' nach Belieben positiv oder negativ gemacht werden. Hiernach ist es für Maximal- oder Minimalwerte ein

S*f S-f Sx² Sy

gemeinsames Erfordernis, dass und es ist dann

■    / s²f y

Cb

> 0 ist,„

S-f

z ein Maximum, wenn < 0,

S²f S x²

z ein Minimum, wenn

>0.

Aufgaben.

441)    z = x²-\-y²-\-xy— 6x—4«/—|—5 Min. fürx = y — f

442)    z = x² — 6xy-{-i/-\-3x-\-6y    „    „ x=y,y = b

= y = łv/ 2

443)    * = 4œy + i- + l

444)    z = (x-\-y)² — (x-\-by + xy)

»    » a? = —1, y = 3

Max. für x = ~

445)    z = xy²(a — x — y)³

446)    z = sin x -|- sin y -f- sin (x -J- y)

447)    z = sin x sin y sin (a — x — y)

448)    z — x³—3 axy -\-y³

449)    DasVolumeneines rechtwinkeligenParallelopipedesist = a³. Wie gross müssen die Kanten sein, wenn die Oberfläche ein Min. werden soll?

Der Körper ist ein Würfel, dessen Kanten = a sind.

450)    Eine Zahl a soll in 3 solche Teile zerlegt werden, dass deren Produkt ein Max. wird.

z = xy (a — x — y) wird Max., wenn jeder Teil = ^ist.

451)    In einen Kreis soll das an Fläche grösste Dreieck gezeichnet werden.

6’ y~3

, * = y = 60°

»x=y=n

« x = y = a.

Die zu den Seiten gehörenden Centriwinkel mögen x, y und (2 7t — x — y) heissen, so wird F=^r²[sinaj-f-sin^ —}— sin (2Tr — x — y)] ein Max., wenn die 3 Centriwinkel gleich, mithin auch die Dreieckseiten gleich sind.

452)    Die Summe der 3 Seiten eines Dreiecks ist = 2 5. Wie muss man die einzelnen Seiten wählen, wenn die Fläche ein Max. sein soll?

F = y s (s — x)(s — y) (x    y — s) wird ein Max., wenn

die 3 Seiten gleich sind.

453)    Aus einer Kugel soll das an Volumen grösste rechtwinkelige Parellelopiped geschnitten werden.

Kugelhalbmesser = r₁ die halben Kanten x, y, w, so besteht die Relation: x²-\-y²-{-u² = r². Das Volumen # = 8xyu wird Max. für x = y = u = r\/\.

§ 14. Homogene Funktionen.

Wir sagen, der Ausdruck ax²y³ sei von der fünften Dimension, weil die Exponentensumme der beiden Variabelen 5

beträgt, und nennen

einen Ausdruck dritter Di-

a (x*    y² x²)

x~\~y

mension, weil die Differenz aus der Exponentensumme des Zählers und des Nenners gleich 3 ist. Dass die Dimension eines Ausdrucks auch eine negative oder gebrochene Zahl sein kann, ist selbstverständlich. Sind die einzelnen Teile einer Funktion von gleich hoher Dimension, so heisst die Funktion homogen. Zur sicheren Beurteilung, ob eine Funktion die erwähnte Eigenschaft besitze, dient das folgende Kriterium: Ersetzt man die Variabelen x, y, s, usw. durch die Werte tx, ty, tz, usw., wobei t einen beliebigen Faktor vorstellt, so muss man für eine Funktion von nter Dimension die Relation finden:

(38)

f(tx, ty, tz,..) = tnf(x, y,

1. Beispiel: f(x₁y) = bx² — 2xy-\-7y²‘,

f(tx,ty) — bt²x² — 2 tx ty -(- lt²y² = t²f(x,y).

x³ z% — y^xk -J- z2 x- y/i -|- £

2. Beispiel: f(x,y,z) =

= Üf(x, y, z).

f(t x,ty,tz) =

■ £³ ar! /i    y/⁴ fl xh -j- $ y* t² z²

tz a:l /I y/2 4- f ^

Euler’s Lehrsatz über homogene Funktionen. Wir setzen in (38) tx — u, ty — v, tz = w, und differentiieren die beiden Seiten nach tf:

Sl,du,Sf dv df    ,n-lf(    n

‘5

<?*+-

SjI

cS

dw

dt=z ist’

Cfj |cfc

§ l*>>

X —j—

Lässt man hierin die willkürliche Grösse t in

verwandelt sich

Cb Cb

Cb; Cb

Cbl Qj

Cbl Cb

•S

CbJ Cu

1 übergehen, so und man erhält:

Cb! Cb

Cb Cb

:c

CO

Diese Formel stellt den Satz von Euler dar.

n‘:

1. Beispiel:    —

2x . 2y

+ "!/-

2.    Beispiel: f= x³ -|- 2 a x² y — ay³ = 0;

(3 ic² —(— 4 axy)x-]— (2 a x² — 3 a y²)y = 3 (xs-\-2ax² y— ay³).

3.    Beispiel: f— \/xs

df _3x²

dx

2R

Cb. Cb

Cs»

² z = R:

2 ye óf

= | [/cc³ — y² z.

3x³—2y²z — y²z

CD

xy m

s+y

73 5

Cb Cb

r~+>

y* x x* y

(*³+r!)²

xy

x³ -4- y³

iO

CO

00

CD

—|w

Nr*

îst 'SS

* )'

§ 15. Die Reihen von Taylor und Maelaupin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen.

Ersetzen wir in f(x, y) die Variabele x durch x-\-£ und y durch —j- »7, so kann die Funktion in eine Reihe nach Potenzen und Produkten von £ und rj entwickelt werden. Um diese Entwickelung auf § 11 zurückzuführen, setzen wir £=r£, r] = st und f(x-\-rt, y -j- s t) — F(t), indem wir uns unter x, y, r, s bestimmt gewählte Werte und unter t eine Variabele vorstellen. Nach dem Maclaurin’sclien Satze ist jetzt:

F(t) = F(Ö) + F'{ 0) T -f F"{ 0)

t*

f F"\0)

1.2.37"'**

Bei der Bildung der Funktionen F', F", usw. ist es zweckmässig, x-\-rt = u, y -\-ys t = v zu setzen, wodurch F(t) in

1.2

f(u,v) umgewandelt wird. Zugleich ist

du

dv

dt=r'dt=s'und

die höheren Differentialquotienten verschwinden. So ist:

F(t) = f(u,v)

W(t\— df du\ df

F"(t)

d²f

(du\- i ₉ Vf dudv ■ Vf JdvX* ydtj ‘ ^ dadv dt dt ¹

F'"(t) =

du2 d*f/duy du³ \ dt)

-i- 3

d*f

du² dv

/ du\ \dtj dt

² dv

d³f du /dv\²

dt

3‘f

(ävY

W

: usw.

' dv³

Setzt man ^ = 0, so geht f(u,v) in f(x,y) über und ebenso verwandeln sich die partiellen Differentiaiquotienten von f nach u und v in die Ditferentialquotienten nach x und y. So entstehen die Werte E(0), F'(0), F" {0) usw. und es giebt:

F(t)-«**)+[j£r+g.] fl-[

+ [U +³ ipjj r2s+3 rsl+%,8]

Cd cd

r² +2

IlLrsJHA±

âxây ⁺dy* J 1.2

1.2.3"*

Werden nun für -F(ć), ri, s£ die Werte wieder gesetzt, die sie vertreten, so ergiebt sich:

[:

A® + 6 y 4- q) = /■(*, .v) 4-

_i_₂ *Y li. i 4Yj4. ' w dxdy 1.2 ' dy²1.2

d²f e²

dx² 1.2

<9Y    £⁸

(9 a:³ 1.273

4-3

(9:!/'

(9Y

dx² 1.2.3

d Y Tj:i

4?/³17273

c'a? dy² 1.2.3

Wird darin x — 0 und y — 0 gesetzt, so erhält man die Reihe für /(£, 17), welche in die Reihe für f(x, «/) tibergeht, wenn £ mit a? und n mit y vertauscht wird.

Aufgaben.

454)    Wenn /*(«, y) = x³-\~xy² ist, so soll f{x-\-Ç,y-\-rj) aü‘ gemein entwickelt und dann £ — 1, rj = 2 gesetzt werden. /'(#+1, y+2) = [a:⁸ + y² x\ + [dx² + ÿ²+4a:î/] + [7 a: 4-4?/] + 5.

455)    Gegeben ist f(x, y) — sina? cos y. Es soll f{x-\-ö, ?/ —[— ö) in eine Reihe entwickelt werden.

f(x "4 d, y —|— ö) = sin x cos y 4- cos {xĄ-y)^

ö²

— 4 cos (x -(- y)

— 2 sin (x -(- y)

Ô³

1.2

1.2.3 * * *

456) Es soll die Funktion ax lg (1 - y) in eine Reihe entwickelt werden.

Man lässt x in (a?-j-£), y in (y-\-rj) übergehen, entwickelt die Funktionen nach Potenzen und Produkten von £ und rj, setzt dann in den als Koefficienten auftretenden Differentialquotienten x = 0 und y = 0 und vertauscht hierauf £ mit x und rj mit y. So erhält man:

nx\g(l+y) = y+xy]ga—ly²+X^(\ga)² — ~^-]ga+iys+...

Integralrechnung.

TJ »bestimmte Integral e.

§ 1. Die einfachen Integralformen.

Die Integralrechnung- hat zunächst die Aufgabe zu lösen, zu einem gegebenen Differentialquotienten die ursprüngliche Funktion wieder herzustellen, oder allgemeiner, zu einer gegebenen Funktion f(oc) diejenige Funktion F{x) zu finden, deren Differentialquotient f(x) ist. Wir nennen dann F das Integral von f und sagen, es sei

J*f(x) dx

d[F(x)]

= f(*)

dx

= F(x), wenn

ist; f(pc) heisse der Integrand. Da nun der Differentialquotient von F(x) unverändert bleibt, wenn zu F(x) eine beliebige Konstante C zugefügt wird, so sind zu einem vorgelegten Integranden unzählig viele Integrale möglich. Doch können ihre Werte nur um eine additive Konstante verschieden sein. Denn wären F und G zwei Integrale von fr so wäre

dF_<LG' d(F—G)^Q dx dx’ dx

und also nach S. 65 F—G eine Konstante.

Aus unseren Definitionen geht hervor, dass

$dx = x+C, \d[f(x)] = f(x) + C.

Eine Anzahl einfacher Integralformen wird erhalten, wenn

man die in § 1 zusammengestellten Differentialformen kurzweg umkehrt und schreibt:

»J

²⁾ J

axndx = —

axn + l

n-1- 1

3)    ^¹xdx = \gx + C

4)    J'e³⁷ d x = ex -}- C

C    aX

5)    )(^dx = ^-a-\-G .

j* COS³ X

G) J*sinccćZ;£ =—cosx-|-Gł 7) ^vosxdx = sin er —j— C dx = tg x C

⁹⁾ JiiÄd*=-cot«ir+Cf

,⁰⁾H-

11)

2 dx — arc tgx-j-C= — arc cotg x Ct

I,/, _*

dx — arc sin x -f- C — — arc cos x-\-G₁.

d(u-\-v)

dx

Sind u und v Funktionen von x, so ist und daher ist umgekehrt:

$ {u -|- Ve) dx — u -(- v == J w' dx -f- J v' dx ; das zeigt: Eine Summe aus einer endlichen Zahl von Summanden integriert man, indem man jeden Teil integriert.

Ist a konstant, so ist d(a.u) — a.u' und darum auch:

$ a. u' dx = a. u — a $ u dx.

Ein konstanter Faktor unter dem Integralzeichen darf vor dasselbe gestellt werden.

Aufgaben.

¹²⁾J

Die beliebige Konstante ist den Lösungen nicht zugefügt. 7 xb

7 a;⁴ dx

14) ^[/rxdx = f[/xs

iy%dx=2V'x

16) J"5 \/x² dx = 3 xb dx = 4a 18) i (a-{-&æ) (Le == aæ-|——

15)

17)

fl

(a-|-&g)»

indem sich

, oder

beide Werte nur durch eine Konstante unterscheiden.

5    F\

~-3x*+3x-2]gx~-

\gx

19)    j|5*²-6z+3-| Jjj*e

20)

21) J*(3 -j- 2 xf dx = 27 x -f-    -|- 24 x$ -}- ~ x

|/æ — 2 ^ —f— 4    5 ³

~.Ö

4

3 a;⁴

3 x-

₂₂₎J

23) f

3 + 5 VF>

6ÿx

dx = —

dx —

\x^—\X^~\~Yl v/ 125a;¹⁷

+— -f- 30 x/^c.

jA:³

Die Methode der Substitution. Sieht man, dass die Funktion unter dem Integralzeichen ein sogenanntes vollständiges Differential, d. h. der Differentialquotient einer einfachen und bekannten Funktion multipliziert mit dx ist, so kann das Integral sofort hingeschrieben werden. Gewöhnlich muss aber diese Form, wenn sie überhaupt möglich ist, erst durch Transformation herbeigeführt werden, indem man x = a>(s}

\/ x

setzt und den gegebenen Differentialquotienten nach x in den Differentialquotienten der nämlichen Funktion, aber genommen nach #, umwandelt. Es muss dies auf folgende Weise geschehen: Bei dem Integral y = \f{x) dx ist ^ = /’(#). Wird nun x = <p(z) gesetzt, so dass y als Funktion von z erscheint, dann ist

= f[<p (#)]. <p'(z). Hieraus folgt:

dz dx dz

(1)

y=J f(x)dx=^f[<p(z)\ .<p'(z) dz.

Man muss nun versuchen, <p so zu wählen, dass der Integrand des letzten Integrals möglichst einfach wird.

= arc t g # = arc tg ex.

1. Beispiel:

r i__<iz __ r dz _

³ J—|— i’ ^

; ex = z oder x = \ gz:

2. Beispiel: y =

ÿz*~~a*

Ji/

xdx

x--\-a

~2>

[/z² — a²

dz =

; [/x²-\-a² = z od. x = [/z’²—a~ dz = z — \Zx² -|- a².

3. Beispiel: y =

arc tg²a?

2-dx\ arctgcc = # oderx=*tg#

z² dz = \zA = \ arc tg³ x.

dz

z cos²#

Allgemeine Regeln über die Anwendung dieser Methode der Substitution giebt es nicht. Die Anwendung der Formel (1) kann an den folgenden Aufgaben geübt werden.

24) y = \(a + tx)

dx

-y

z¹¹ d z = -t-

ndx] a-\-bx = z, dz b 1 zn+¹    (a-\-bx)n+¹

b n -J- 1 (n -|- 1) b

1

dz = — arc tg z =— arc tg — a    a    a

29) y = \

»—y ii#*

sinawa;; ax = z,

26) y—^]/a-\-bxdx] a-\-bx = z²

2 _____

2z

y=-hj**d*

_2 zs _

~b‘J~

27) ,/=j

em,r dx :

HW =

g mx

ni

28) ÿ-JV+*

ist es gebräuchlich zu schreiben: dx = adz\

dx: x — az.

dx

Statt nun zu setzen :    — a,

u z

t-H

dx\ a-\-bx = z\

²⁵⁾ HWr«

dz —

-i lg * = | lg (a + &æ)

dx = — dz; a

sin z dz = — — cos z = — — cos ax

30) 2/ = J*

x² -\-Ax-\- 5

dx =

f(* + 2)’ + l

dx;

z²-}- 1

Die Integration nach Teilen. Sind u und v Funk-

d (u. v)

tionen von x, so ist

v. u' -}- u. v', und daraus folgt sofort:    dx-\- ^u.v' dx=u.v, wofür man auch setzen kann:

dx

u.v' dx = u.v —

v .u' dx.

(2)

Diese Formel hat folgenden Sinn: Soll ein Produkt u.v', dessen zweiter Faktor v' ein vollständiger Differentialquotient ist, integriert werden, so integriert man zunächst nur diesen Faktor v' und bildet aus dem Integral v und dem unveränderten

Dölp, Aufgaben.

ersten Faktor u das Produkt u.v\ dann wird u differentiiert, das Produkt w' v gebildet und $ v. w' dx von u. v abgezogen. Durch dieses Verfahren wird nur ein Teil des ganzen Integrales fertig erhalten, während der andere Teil sich noch unter dem Integralzeichen befindet. Ist dieses übrig gebliebene Integral $v.u'dx aber einfacher als das gegebene, so ist die Methode zweckmässig; besonders ist sie dies dann, wenn durch wiederholte Anwendung das zurückbleibende Integral immer einfacher und schliesslich auch in ausführbarer Form erhalten wird. Da ein gegebener Integrand sich auf ganz verschiedene Arten in ein Produkt u.v' zerlegen lässt, so ist die vorteilhafteste Wahl der Faktoren eine Sache der Geschicklichkeit.

Wir lassen zunächst zu (2) einige Beispiele folgen.

31) y={

x³dcdx\ u — x³,    v'^e⁰⁰]

$ x³e*: dx=x³ex — 3 ^x-e?⁰ dx ; $ x²^ Ê?x=x²ea! — 2 $xc^ dx\ $ xcFdx — xe? .— J e? dx = xe? — e³⁷. Stellen wir nun noch das Ganze zusammen und addieren

x³ e* —

3 ^ x-e? dx — “5 x~ cP⁰2.3 $x e?° dx 2.3 x

$ x³ ex dx =

— 3 $ x² (F dx =

2.3 $ x e? dx —

-— 1.2.3$    e? dx — — 1.2.3.

$ xs e⁰⁰ dx = e? (x³ — 3x² -)- 2.3x — 1.2.3).

32) j*x⁴ (1 -j-x)³ dx = ^-(1 -}-x)³ — ^ Jx⁵ (1 -\-x)- dx\

J*x⁵ (1 -j-x)² dx = ^-(1 -j-x)² — ^ J*x⁶ (1 -f-x) dx;

J*x⁶ (1 -f-x) dx j*x⁴ (1 -f x)³

1.2.3$ eæ dx

x⁷ x⁸

⁼ Y+ 8’

x⁵

dz = %-

3x⁶

5.6

(1+*)²+

CO iiO

cni ro

(-Ï)

-4

33) J

x. cos x dx = x sin x —

f sin x dx = x sin x -j- cos x.

34) I cos² x dx = 1 cos x. cos x dx — cos x sin x -f- $ sin² x dx

2 J cos² xdx = sin x cos x -f- \ 1 • dx ;

= sin x cos x 4~ J (1 — cos² x)dx\

j*cos²a; dx ==-|-sina;cosx-j-

to «

35) j*sin²xdx = ^

-sina: cos x

36) y =

dx = —

rl-r

J |71 — x²

— x² dx =

2 y = — x [/l — a:² -f- arc sin x dx = —

— X

,......dx

|/1 — x²

— x |/l — a:² -|- J |/l — x² dx ; rdx — y\

dx =

r x* Jpl—a:²

^ j/l — x²-\-~ arc sin x

u    —

³⁷)    ^Igxdx = (\gxy— ^-Agxdx) ^ ^\g x dx = ^(\gx)²

38)    J*a:³lga; dx = ^ lg x —

a:³ tZa: = —

r M ^    4t' v⁻

39) I a?² cos a: dx — x² sin x — 2 $ a; sin a: cZa: ;

? j a; sina: (Za: = —àz cos a:cos xdx\

\ x² cos xdx — (x² — 2) sin x-\-2x cos x

f-

y% K Y    U V

40) I sin x dx = sin a:—J e® cos a: (Za; ;

J cos a; dx = e³⁷ cos a; -f- $ sin a; (Za;. Durch Subtraktion und Addition entsteht:

f    0e

I e? sin x dx = (sin x — cosa:) bezw. C    e*

41) I (F cos x dx = — (sin x -f* cos x)

42) f

1. arc sin xdx — x arc sin x —

r_j

J y i — x

-dx 2

= x arc sin x -{- |/l — x⁹.

f'(x)

f(x)

dx = lg f(x) -[- C

(3)

ist nur die Umkehrung von Aufgabe 195 Diff. R. und heisst in Worten: Ist der Zähler eines Bruches der Differential-quotient des Nenners, so ist das Integral des Bruches der natürliche Logarithmus des Nenners. .

43)

f lg (P + cx)

cüa; =

dx = —

⁴⁵) Lqp^<** = ¹8(<*+a)'

⁴⁴⁾J

46) |

⁴⁷⁾I

ca;

ex

xn~¹

COS a?    .    .

-r— aa: = 1g sin a; sin x

sina:

tt-f- & cos a:

§ 2. Integration rationaler algebraischer Brüche.

dx = —

lg (a -j- 5 cos aj).

¥>(p)

dx.

ax-\-b

Nachdem durch Division mit dem Nenner in den Zähler

der Bruch in einen ganzen Quotienten und einen Restbruch, dessen Zählepf die Variabele nicht mehr enthält, zerlegt ist, werden die einzelnen Teile integriert.

Aufgaben.

48)

10a:⁴—17a;³-24a;²+16a;-14

2x — 5

dx=

5a;⁴ , 4a;³

J(5*°₊4*s-2*+3+JL)

dx

a;² -j- 3 x-f- ^ lg (2a: — 5)

u

49)

xA — 6a;³-}- 13a;²—10a:-j-3

50)

2a;-}- 3

yl /y»3    F\/y>2

^=^-^-+5|_+3lg⁽a;-²)

dx = X—~f-a;² — a:-}-|lg(2a:-J-3)

5i) r

x -f- Oj

a;-[- 6

—r dx = a; -f- (a — ö) lg (a; -j- 6)

'52)

12 28a:+17a:²—10ar!

9 y 3 y ,y,2    7

V⁺⁵*⁻rg(l~5a°-

Steht die Variabele unter einem Wurzelzeichen, so ist der Ausdruck zuerst durch Substitution rational zu machen.

[/ x

lJrVx

- dx —

²J

z²

z-\- 1

dz, wenn z = [/x-,

54)

55)

— 2 ^2    [/x + lg (1 + V'⁰⁰)^

J*——^—^~dx — 10\/x — 20 lg (2 -{-[/x)

Vx*+\

03 liO

-i^

2 \/ x -|- 2 lg (1 -j-j/ä:).

JV*

<P (x)

dx.

-\-2ax-\-b

Wenn der Zähler von höherem Grade ist als der Nenner, so scheiden wir durch Division einen Quotienten ab und integrieren denselben Glied für Glied. Das Integral des noch übrigen Restbruches hat im allgemeinen folgende Form:

mx~\-n

-j- 2 ax-\-b

dx.

Zunächst lösen wir die Gleichung: x² -)- 2ax -(- b — 0, nennen die Wurzeln a und ß, setzen x²2ax-\- b = (x — a) (x — ß) und unterscheiden 3 Fälle.

mx-\-n

1) Die Wurzeln a und ß sind reell und verschieden. Der Bruch wird dann in Partialbrüche zerlegt wie folgt: mx -|- n

x² -J- 2ax-\- b (x — a) (x — ß) x — x — ß’

B(x — a)

-ß

Die Zähler A und B sind nun so zu bestimmen, dass die Gleichung identisch richtig ist, d. h. dass die beiden Seiten für jeden beliebigen Wert von x gleich sind. Wir setzen: mx -J- n x — ß

wählen x = a und finden

m a 4- n

-l — a.

Auf entsprechende

a — ß

Weise findet man auch B] doch kann B auch aus A dadurch

abgeleitet werden, dass man a mit ß vertauscht. B =

mx -j- n

mxĄ-n

(x — a) (x — ß) x — a

(im a-\-n)\g (x—a) — (m ß-\~n)\g (x—ß)

dx =

a-ß

• (4)

Aufgaben.

⁵⁶)    J^rzr^ITö<ta = 31g(x—5) —21g(x-f 1)

⁵⁷)    i dx = 5 Ig (g +1) — ⁴ lg (x + !)

ä dx = ² lg (x — 3) + 4 lg (x — I)

58)

J?

6x-— 13

⁵⁹⁾ f

— ł* + ł

4- x — 16

GO)

x²-f 3x — 18 3x³+5x²—29.«—25

«te = I¹? (* + ⁶) — 1 lg 0» — 3)

Q r2

+2x4-2 lg (x-3)+3 lg(x+4)

dx =

Gl)

X² _|_ /p- 12

^/?-|Æ+i ++-i

— 2x^ -j- 6x* — 6x^ -J- 3 lg (x^ — 1) —|— 9 lg (x*-j- 1). Man setze x^ = z.

dx = —

4

3x$    6 x «

7—h® 5- + 3^

62)

f —

J x² — a²

⁶³^ J**+2;is—1

dx =

J(*+f)'²

⁶⁴-> Jx² + a²

dx =

fl ..

J x² — (a«)

1 x+1—1/2 21/2 ^x-f l + j/2 x

2 a« ^ x —(— a « "

-rix =

u

2 dx =

— a«

Es ist aber auch bereits gefunden:

M

J x²—(— a²

dx =

— arc tg a

und da wir wissen, dass zwei Integralwerte der nämlichen Funktion nur um eine Konstante differieren können, so ist es

= arc tg — -|-C. Wird diese

gestattet zu setzen: -

— ai

x-\-ai

Formel zur Verwandlung von Integralwerten benutzt, so kann die Konstante C in die willkürliche Konstante des Integrals aufgenommen werden. Setzen wir nun noch x — p für x und q für a, so entsteht die Formel:

(ß)

—    p — qi

—    p + qi

die bald Verwendung finden wird (vgl. S. 99).

2) Die beiden Wurzeln a und ß sind reell und gleich. Dann nimmt die Formel (4) die Form ^ an und erhält ihren wahren Wert, wenn man Zähler und Nenner nach ß differentiiert und dann ß — a setzt. So wird gefunden:

mx-\-n

m lg (# — ß)

mß-\-n

(x — a)

dx = —

= m\g(x — a)

— 1 m a -f- n

(6)

Will man diese Formel direkt ableiten, so setzt man: mx -f- n (x— a)²

(x— a)²

oder mx n = A -\~ B (x — a) und findet B = m und A — ma -j- n. Die beiden Teile sind dann leicht zu integrieren. Man könnte auch so verfahren:

mx-\-n

2 (x — a)

(x — a)

2 j (x — a)

— a)

tldx

. .    . ma 4-n

= m Ig {x — a)--

%c

3) Die beiden Wurzeln a und ß der Gleichung xz Ą- 2ax-\-b — 0 sind complex und von der Form: a=p-\-qi, ß=p — qi-

Es ist dann p — — a, q — \/b— a², und Formel (4) gestaltet sich unter Verwendung von (5) wie folgt:

mx-\-n

mx -f- n

xz-\- 2ax-\- b

dx =

{x — p — qi) (x — p + qi)

dx

= [m(p -j- qi) -(- n} lg (x—p — qi) — {m (p — qi) -(- w} lg (x—p-\- q i)

2qi

mp-\-n 1 . x = —

w

= 2"lg (a:²4-2àæ + 6)-f

—IfJTqi ~r~2^[(x — P — 2®) (x — P~\~ 2*)]

mn4-w , æ— »

!— arc tg—-

q    q

fc.

(7)

Übrigens kann diese Formel auch direkt entwickelt werden: mx-\-n

x²-\-2ax-\-b

_... f 2x-j- 2a

2J x*+2ax+b

Y^\g(x'i-\-2axĄ-b)-]r J

— am

n — am

dx

2» dx.

Or-f-a)²-f-(& — a²)

Da nach der Voraussetzung J/b — a² reell ist, so ist die Substitution (a-\- x) — sÿb — a² möglich, und wir erhalten:

dx=™\g(x*+2ax+b)+^^

Diese Formel stimmt bis auf die Intégrations-Konstante mit (7) überein, weil dort p = — a, q = \/b—a² gesetzt ist.

r    n — an

dx=-

— a²)

So findet man schliesslich:

Ç mx-\-n

J^+2“

ax-\-b

— am \/b—a²

n — am

J/b—a

- arc tg 0.

arc tg

x-\-a |/b—az

G7)

G8)

Aufgaben.

Ijÿir+lô du “ lg (*‘² + 2« + 10) - 4 arc tg ¹

% — 4

= lg (w² — 8 u —}— 25) — 4 arc tg ——

o

2 u — 20 «²— 8u -j- 25

⁶⁹⁾ J du = ^% (u* + ⁴ « + ⁸) — arc tg ~~2~~

\du = l lg O²— 3) -f-1/3 lg -

O    1/

du — lg («'² —f— 3) —(— 2|/3 arc tg ptr

f»« ₊ ?“₊ Î3 dw - 3 lg (m8 + 4w + ¹³> ~ ⁴ arc tg^

73)    J^j+âô = ⁵¹r («* — 4m-f 20) — 6arc tg /• 2

74)    j5?t2 j    j/60 arc tg w

6tt flQ ^ U ~    (^²— 6m-|- 10) -f- 7 arc tg (u—3)

--2m³-(-4w —

70)

71)

72)

f« + 6

J «t²

M —|— 6

M² -f- 3

⁷⁵⁾ k

™) j

27 u*

9 uh

-|/3

w-j-j/3

CO

|/6

arc tg «

⁷⁷⁾J

2<7m =

-J= arc tg 1/    , wenn ab > 0 ist.

J/ « &    r a

Integration eines Bruches von der Form:

f(x)

<p{x) ₌ a₀x™-\-a₁x™-lJra₂xm-2 + ...-\-am

xn “h xU~¹ ~b ^2 xU~² H⁻ • • • -f* bn

Es wird vorausgesetzt, dass m < n ist. Sollte diese Bedingung hei einem gegebenen Bruche noch nicht erfüllt sein, so kann man die Division, so lange es geht, ausführen. Der gegebene Bruch wird dann gleich einer ganzen Funktion nebst einem

' <p(x)

in welchem m < n ist.

angehängten Bruch von der Form

Vor allem anderen muss nun der Nenner in Binomialfaktorcn zerlegt und darum die Gleichung aufgelöst werden :

f{x) = xn-\-b₁ xn~l-\-b^ ä"-² + ... + &* = 0 Wir haben bei einer Wurzel a zwei Fälle zu unterscheiden.

1) Eine der Wurzeln a von f(x) = 0 ist von den übrigen verschieden, oder mit anderen Worten, f{x) ist durch (x—d) teilbar aber nicht durch (x — «)², so dass wir

setzen können f(x) — {x — a) g (ar), wo dann g(x) = 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

Daraus folgt

<p(x) ₌____<pix) __ _

f{x) [x — a) g (x) x —arg [x)

<p (x) = A g {x) -|- (p (x) (x — a)

und für x = a findet man A = cp (a) : g (a). Nun ist aber

f ix) = {x — a) g (x) + g {x) also f («) = g (a)

und

?ia)

/»

(8)

<p(x) ₌    ¹ i ±ix).

f{x) /"(a) « — a ^ g (a;)

Einen solchen Bruch wie den ersten rechts nennt man dann einen Partialbruch. Das Problem der Integration ist hierdurch auf ein einfacheres zurückgeführt, da g(x) nur vom Grade (n—1) ist. Wenn f(x) = 0 überhaupt nur von einander verschiedene Wurzeln «j,a₂,...an enthält, ist es überhaupt erledigt. In diesem allgemeinen Falle wird

dx,

<p(x)

f(x)

dx =

<P(X)

9(x)

und für f{x) — (x — af)(x — a^)...(x—an) erhält man, da jetzt der gegebene Bruck vollständig in Partialbrüche zerlegt werden kann,

? K)

ÇiMdx

f (« i)

—«i)4

<pM

rw

1 g(x—an)

1 x“² -{-1 x— 176

J{x) ~ x^ — 9x² -j- Qx -\- 56 ’ a, — — 2, «₂=4, «„ = 7; f (x) = 3 x² — 18 x -j- 6 cp (x) __ A± » Aj - f{x) x-\-2 ~r x — 4

^)__s A -fi— 2)“ ö’

Beispiel:

^(⁴)

f(4)

^3

— 2, -4₈

f(7)

78) f

7a?²+7a:-176

xs—9x²+6x+56

dx = — 31g(&+2)+21g(cc-4)+81g(a;-7).

Aufgaben.

C 5m²-7m+13    11, . .v in1 , ON , 37.

J ^-6^11536*«--ylg(»-l)-191g(«-2)+Tlg(«-3)

o an f m²+5m+41 j J (m+3)(m

79)

—l)(w |-)

81)

Jm³ —a²M

cZm

|lg(w+3)+^lg(t«-l)-251g^tt- j ^-lg(w² — a²) — ^lgM

du =

tCI

₈₂₎J

1 Om³ -(- 40w² -f- 40«« -f- 6

m⁴ -J- 6m³ -f- 11m² -j- 6m

.3) j₍r — ²⁶

— 1)(m² —4)

cZ m = lg u 4~ 21g (m -f-1)

+ 31g(M + 2) + 41g (m + 3)

du =| lg (m — 1) — |lg (u -f 1)

10

11

84)

+ -ylg(M — 2) — — lg (tt + 2)

{, 4m;+⁹“\-270m + ⁶^m d . -1* (.. - 7« + !2)

) (m — 3)(m — 4)(m—7)(m4-5)    '

+ 41g (m — 7) — 21g (m + 5) ||lg(M+2)+^|lg(M-5)~lg(u-l)

^lg(M—d)—171g(M—2a) 3b

+ — lg(M — 3a) Ł    —2a

M-|-2a

⁸⁵^ Jm³-4m²-7m+10

—3m+3

du =

⁸⁶⁾ J«

5m²—7aM-[- 11a²

— 6aM²-f-lla²M — 6 a³

du =

q—\ f2M³-[-12aM²—8a²M—12a³    2    ₂. ,    , u

S1) J (M.-«*)(M«-4a*)-*‘ = lg(“²-“²)+3'gM

2m²-J- 5m

,    2m³

du —

+ lg (m — 2) 4- 2 lg (m — 1).

Wenn die Koefficienten in f(x) reell sind, aber unter den Wurzeln a,, «₂...aw sieb auch complexe Werte befinden, so müssen diese paarweise konjugiert Vorkommen und die Form haben: a=p-\-qi: ß = p — qi. Die Zerlegung in Partial-briiehe lässt sich mit folgenden Modifikationen auch hier nach der besprochenen Methode durchführen.

83) f

2m⁴ — 10m³ 4-21M² — 20m 4-5

M² — 3m 4“ 2

Man hat

<P O) ₌ <p ip + q i) fix) f'(p-\-qi)x — p — qi ¹ f'ip — qi)x — p~\~ qi <pip + qi)_ .    • d . <p(p~qi)

f'ip + qi)    ⁺    f'ip~qi)~

~b

vip-qi)

und wenn wir setzen,

— ti

¹

z — arc tg z — arc tg (x -j- 2).

J /ftd ¹ = (5 + ¹ ¹)lg    ~~ <7+ (⁵—^') lg(¹-p + ?»)+—

= 5lg[(a; —ff)²4-g³]-f-^‘)g|£-|-^^ + ...,

wo rechts eine beliebige Integrationskonstante addiert werden kann. Benutzt man nun die auf S. 119 bei Formel (5) gemachte Bemerkung, dann folgt

til4

—    p — qi ₌

—    p + qi

1 , x 2~ilgx

— 2 t.

— p — qi —p + qi

— — 2 t arc tg ——- 4- G.

q

So gelangen wir von dem oben gegebenen komplexen zu dem reellen Ausdrucke

<p ix)

fix)

dx

= s lg [{x — p)² -[- q²\ — 2 t arc tg —— P

Wir wollen dies an den folgenden Beispielen durchführen.

(p(x)

fix)

2¹    _Hî__r=l/3

(x²-]-l)(x²-\-3) (x — i) (x-\-i) (x—ri) (x-\-ri) ’ v

f ix) _

A.

fix)

— _ _ f'Ü) 2’

___I ^2 I__

x — i'x-\-i'x — ri ¹ x-\-ri 1    . __ <p (— i) _ 1    . <f (ri) ₌

²    / ' (— /)    2 ’ s f (r i)

_ (p (— r i)    1

⁴ f'i-ri)

jL

__2__

x-\-i x — ri

89)

2a;

(x² + 1) (a;² -f 3)

<p(p)

f{x)

s⁸ + l, a;² + 3

10a;³ + HO a; + 400 (a;² — 4 x + 29) (a;² — 2 a; -f - 5)

<p(p)

x — 2— .5* 'a; — 2 + 5a~a; — 1—    1 + 2a

y; (2 — 5*) f( 2 — 50 $g(l — 2a)

f( 1-2Ö

3 — 4a ,

j _ ^(² + 5e) ₌ 2 _ 3i ¹    f'(2 + 5 a)    ’

_ y (1+20 o

³ /•'(1 + 2*)

2 — 3 a

2 +3a

= 2 + 3 »,

= 3 + 4a‘;

3 +4a

f {x)    x — 2 — 5 a ‘ x — 2 + 5a ' x — 1 — 2a ' x —-1+2i

J ^F^x) ^x== ^ — 3a) lg (a? — 2 — 5a) + (2 + 3a) lg(a; — 2+5a)

+ (3 — 4a) lg {x— 1 — 2a) + (3 + 4a) lg(a; — 1 +2a) = 21g [(a;—2—5a) (a;—2+5a)] + 31g[(a;— 1 — 2i){x-l+2a)]

— 3a lg -x

— 2 —5a

— 4 a lg-

— 1 — 2a

— 2 + 5 a

Multipliziert man die Faktoren aus und wendet auf die beiden letzten Teile Formel (5), S. 119, an, so giebt es:

10a;³ + 110a; + 400

⁹°) +

+ 3 lg (x

x — 1 + 2a

d x = 2 lg (a;² — 4a; + 29) — 2 a; + 5) + 6 aro tg X ^ + 8 arc tg X - •

O    Li

— 4a; + 29) (x² — 2a;+ 5)

Die besprochene Methode kommt im Grunde darauf hin-

mx-\-n a;² + 2 ax-\-b

wenn b > a² ist. Das kann auch direkt so geschehen, f mx + n

J as²4-2aa;+&

aus, einen Bruch von der Form

zu integrieren,

dx =

dx

*WJ%^S⁺⁽"~l"a)J(X+ay+(b-a*) = i«lg(^ + 2a* + é) + ^^|Jr+î,

wenn [/&— a²z = x-\-a ist. Also erhält man ma; 4- n

j*a:²+2 ax-\-b

dx

Yl

l m 1 g (x²+2 a x-\-b) -)—

—ma

\/b—a

_ arc tg

x-\-a

j/ö+x²

.(9)

<p{x)_    8«²— 29«-)-61    ^ A .    m«-f-«

f(x) (x — 1) («² — 6«-f- 13)    «—1 ' «² — 6a; —j—13

A~ziy

n i)

5. Dieser Wert wird sofort benutzt:

8«² — 29« -|- 61

5(«²—6«-f-13)-(-(m«'-)-n) («—1) “(«—!) («² — 6«-fl3)

(« — 1) («²— 6«-j-13)

Nach dem Satze von den unbestimmten Koefficienten ergeben sich aus den Zählern die Relationen: 8 = 5 -j-m, 61 = 65 — n, oder m = 3, n — 4.

91)

/■(«) « - 1

8«²—29«-f 61 («—1) («²—6«-)-13)

«² — 6«+13*

■dx = 5 lg («—1) -|-1 lg («²— 6«-|-13)

, 13    . « — 3

+ 2 arC ^ 2 '

<p(&)

mx-\-n

rx-\-t

f(x)    «⁴ —{— «² —)— 1    «²-|-« -j- 1 _r«² — «-|-1*

Nachdem die rechte Seite gleichnamig gemacht ist, werden

die Zähler gleichgesetzt.

1 = (mx -|- n) («² — x -f-1) -f- (rx -)-1) («² -f- « -f-1); m-}-r = 0, m — m-|-r-]-£ = 0, m — w-j-r-f-tf —0,    =

_i

iC⁴ —|— «² —|— 1    «²-[-«-)-l    «² — «-|-1

1    rt    ,1    «“—I—«—I— 1 I

^ J «⁴—j—«²—f-1 X T g«²—«-j-1    2j/3

1    . 2«4-l

-= arc tg —7=—

t/3

2*—1

93)

J(*

15«²—}-66«—f-21

-l)(«²+4«+29)

⁹⁴> u

3«² —5«-[-2

— 2«²-|-3«—6

⁺i|7!arcts

d« = 31g(«—1) —|— 6 lg («²-j-4«-f-29)

.42    « -f- 2

+ y arc ‘8—g—

ylg(x—2)+ ~ lg (z’ + 3)

~mareteÿî

95) r_*,+⁶*—ig

J (®

-3)(*²+4)

96) r

2æs+28x²—257^+531

= 51 g(x—3)    lg (a;²-}—4)—}— 6 arc tg ^

u

|lg(z²—16:z-f69)

2    , x

j7?ai'ctg“j7T

dx =

|lg(Æ²— 6 a;-}-16)

2. Eine der Wurzeln a von f(x) = 0 kommt in der Multipli citât r vor, oder mit anderen Worten f(x) ist durch (x — d)r aber nicht mehr durch (x — a)r+l teilbar, so dass wir setzen können f{x) — g (x) (x — a)r, wo dann g(x) = 0 die Wurzel a nicht mehr besitzt. Wir setzen

(x²— 16#-}- 6 9) (#²— 6æ-|~ 16)

43    . a:

arc tg-j/ 5    |/ 5

— 3.

<p{x)_    (p(x)

x—a~rg(x)t

f(x)    {x—a)r g (x)    (x—a)r 1 (x — a)

und suchen die Zähler A₁, A₂, ... Ar der ersten Partialbrüche zu bestimmen. Es ist nicht praktisch, allgemeine Formeln aufzustellen und nach diesen zu rechnen; vorzuziehen ist der folgende Weg. Wir setzen x—a=y und bilden

<p{vAA __

0 (*/+«)

— A A y -j- • • H⁻ A yr 1 -\

$% + «)

9 (y + «)

r;

dann dividieren wir auf gewöhnliche Art, nach aufsteigenden Potenzen von y geordnet <p{y-\-a) durch g (y -J- a) bis zur (r—l)ten Potenz von y\ die erhaltenen Partial - Quotienten geben nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Grössen A.

1. Beispiel.

x-j-2

x⁴ + x³

Al i Al i A

X³ ‘ X² ‘ X

IM

£-}-l

. Bier ist

die Einführung von y überflüssig. Dividiert man

² + a o

1+X

— X -f- X¹ — X³ -f- .. .,

so findet sich

xĄ2 _

x⁴ -j- x³ x³

\ — -₂ + -

c³ x~ ¹ X

▼H

X -}- 1 *

Für tp (x) ergeben nämlich die früheren Methoden den

Wert — 1.

2. Beispiel.

y² + 5 y-f- 7

(a;—2)²(æ-|-1)    (#—2)²

i% + 2)

y-f 3

Ak____ _J_ A I $ (^)

a:—2 ' a;-(-l

y², für x = y-\- 2.

Die Division

⁷ + 5y + y²

ł+fy + aVy²+-“

liefert

æa-|-æ-fl

(a: — 2)² (x -f- 1)    3 {x — 2)² “H 9 (x — 2) ^ 9 (x + 1) ’

die früheren Methoden ergeben nämlich p (x)    .

Hat man diese Zerfällung in Partialbrüche gemacht, so kann jeder einzelne integriert werden.

5 uA—11 w²-|-5 w-j-4

0 —i)⁴

_____ _A_.

(u—iy (M-i)³T(«-i)2T« — i ’ unsere Methode giebt hier sehr bequem für u — 1 = y 3 — 2 y + 4 y² -f 5 t/³ = A, -f A₂ y -f As y² -f Aé y\ weil g(x) nicht vorhanden ist. Aus dieser Gleichung können wir sofort die Zahlen-Werte der vier Koeffizienten A entnehmen. Das ergiebt

A 3, A₂ 2, A;i 4, A₄ 5 ;

5 us—11 w²-(-5m-|-4

{u-iy~

(m—lj⁴ (u—l)³' (m—l)²'u— 1

97)

5 u'à—11 tt²-j-5 w-j-4

(u-iy

du

(u—1)³~0<—l)²    u—1

+ ⁵ lg (« — 1)

98)

— 4m²-]- 1

(m — 2)²

99)

2 it⁵ — w⁴ -f 4 M² — 5 m -f-1

(w — 3)⁶

29

d w = 2 lg (m — 3) —    ^

84

490

721

427

(u — 3)²    3 (u— 3)³    4 (u — 3)⁴    5 (m — 3)⁶

100)

101)

3m²— 17m + 21 (u— 2)³ ~ 6m⁸+89m²+438m+719

du

2 (m— 2)²

(w-j-5)⁴

dM

3(m+5)⁸~(m + 5)²

-^ + 61g(« + 5).

Wenn der Zähler ein einfacher Wert ist, kann auch die Integration nach Teilen Anwendung finden.

un(u—a)~P+¹ n r M N , , ₇

--— --1--- | mm—¹(m— a)~P+ldu

P-1 P-1J M²(M-«)-3f ju(u_a)-3du

102) j'un(u—a)-*,du=-J*m²(m— a)~⁴ du = |*m (u — a)—'³ du = j(u — a)~² du = du — —

103)

104)

r u2 J (u — a)⁴

m³+»²m—a³

(m—a)

u (m — a) ~²

¹ r ui

3 j (u —

du = (u—a)

03 !co h 03

JV

— d)~² du

a)3 1 (m — d)2 4a²

a%

-1

u — a J

105)

r u²

J (<*+&

—TTdu =

106)

(a+&M)3 r    m²

J(m*+1)(m² + 4)

—|-3alg(M—a)

CL

LL    1

⁸~F(ifM⁺Plg(a + M lr 3m2 rfM==3j(M²+l)(M² + 4)

Æ“ = |J^q_4

2 « 1 - arc tg - — - arc tg m

______.JL+-?-

(aj-l)⁴^(®-l)⁸^(s-l)* *-l    *+3

2 (m—a)²

m²

2b(a-\-bu)

dM

1 r4 (m² -J- 1) — (u² -f- 4)

3 J

9a;⁴—3a;⁸—23a;²-f30a;—1

107)

(«*■+ !)(«* + 4)

dM ==

(a;—l)⁴ (aH-3)

9 a;⁴—3a;³—23a;²-f 30a;—1 ^ ₌

Dölp, Aufgaben.

-r du

(a; — l)⁸ (x—l)2 -r^ + 71g(z-l) + 21g(z + 3)

X> X

108) J**

— 7a;⁸ + 3a;²— 11*+13

x&(x-\-\) (iC²—j—iC—j— 1)

dx

13 , 37 .    .

f — + 511?*

2a;+l

2a:²

— 35 lg [x + 1) — 8 lg {x² + x -j- 1) —

10

*»> fi

— 2a;² + 7a; + 4

(®— 1)²(« + 1)

dx = —

2 (a; — 1)

[/3

arc tg

ga

lg {x — 1)

f 2 lg (a; + 1)'

110) f£

22a;² + 57a;+32 (a; +1)² (x — 3)2 dX

2 (« +1)

— 4 1 g    — 3)

111)

7æ⁸ —32^⁸ + B0a: —28 (a; — l)⁸(a;— 4)

dx =

”2) J

a;⁸-}- 1

1,3> Js

x⁴—3a;⁸+3a;²—x 3x² x — 2

dx

2 (a; — l)2 4-³ lg (« — 1) + 4 lg (a; — 4)

^4-21g(a;-¹)-¹ga;

(x-iy

-1)⁸(^²+1)

dx =*=

2 (a?—l)²    2 (a: — 1)

— | lg (x — 1) 4- f lg (a;² 4-1) — arc tg x

¹¹⁴⁾ J

a;⁸ (x — l)² (x + 1)

dx

2a;²

+ 21 gx

— 4¹g(* + l)

^lg(a; —1).

2 (a? — 1)

Die bisher entwickelte Zerlegung in Partialbrtiche ist auch

noch ausführbar, wenn die gleichen Wurzeln komplex sind.

2a; +1_____ _ _ __

(a;²+l)²    (x—i)²{x-\-i)²    (x—i)*~r x—(x-\-i)²~r x-\-i

2a+l 2i — 1

2x-\- 1

rH I

x-\-i {x — i)²' (x-\-ï)²' 2i— 1 2t + l

¹¹⁵⁾ J(**+i)*

dx = —

i-¹

x-\-i

x-\-i ' x — i

+etga!+++I}

z²

00 i

16

16

(Æ²-j-l)³    (ic-j-*)³    (æ-f"*)²

x-\-i

00; <s>-

16

16

(x — i)s

(x—i)²    x-\-i

1 XS — X

8 (x² +1)²

Reduktionsformeln sind Formeln, durch welche eine Aufgabe auf eine andere leichtere von ähnlicher Gestalt reduziert wird. Sie können nicht selten dazu dienen, durch

3 dx*=

arc tg x.

wiederholte Anwendung derartige Integrale entweder ganz auszuführen, oder doch so weit zu vereinfachen, dass ihre weitere Ausführung nach den bisherigen Methoden sehr erleichtert ist.

Die Richtigkeit der nachfolgenden Reduktionsformel erkennt man leicht, indem man beide Seiten differentiiert. Man

sieht dabei zugleich ein, dass die Zahlen m, n, p beliebig sein können; nur darf (n-f-1) nicht Null werden.

xn+¹

117) jxn (a -f- bxm)

118) ^xi(a-\-bx²)

(a -f- bxm)P

— J*xm+n {a -j- b xm)P dx = ^{a-\-bx²Y—    Çx⁶(a-\-bx²)²dx.

p dx

n-j- 1

In dieser Gestalt kann die Formel dazu dienen, ein positives p nach und nach so weit zu reduzieren, dass der Exponent kleiner als 1 wird. Soll dagegen ein negatives p dem absoluten Werte nach verkleinert werden, so muss man

die Formel 117) umkehren. Wird dann noch p statt p — 1 und n statt w-f-m gesetzt, so heisst sie:

119) ^xn(a + bxm)P dx

xn—m+1

mb(p~|- 1) n — m-\-1

(a -f-bxm)P+¹

(et + b xm)P+¹ dx.

mb(p-(-1)

Die Formel wird unbrauchbar für p = — 1.

v+>s <p -f- i sin <p = cos — -4- i sin —.

T    T    n    n

Soll die Gleichung xn—1 = 0 gelöst, oder x = ^/l nach dieser Formel gefunden werden, so setzt man 1 = cos 2 k n Ą-isin2&7r, indem man Tc eine beliebige ganze Zahl bedeuten lässt. Es ist dann:

</T =

2&7t . . . 2Tctc

cos--h¹ sin-,

n    n

und für jeden beliebigen Wert von Tc geht aus der Formel einer der verschiedenen Werte von ^/l hervor:

7c = 0;

120)

Ç xh j

J(ï+ïÿ

a;²

^l+z²)²    2(l+*³) + 2 lg(1+^'

Die nämliche Aufgabe kann auch so behandelt weiden:

X³(l+X*) — X³ _

xh

x³

(1+*²)

x³

(1 + 0

(1 -[- X²)3 x{\-\-X<2‘) — X

(1 + z²)²    (1+x*)

X'

(1 + 0

(l+O²

+ 1 + Q X

1 + z² (1 + a;²)

xh

(1+0

(1 + æ²)²    (l + z²)³

2x

(1 + 0

wi> J+S

(1 + 0

z² + l *

(l + O²

dx =

4 (1 -f-a;²)²

Die Formeln 117) und 119) sind insofern nicht praktisch, als in der ersten bei gleichem Vorzeichen von m und n, in der zweiten bei verschiedenen Vorzeichen der Integrand des Integrals rechts nicht direkt vereinfacht ist. Wir verweisen deshalb auf die Formeln 139)—142), bei welchen dieser Übelstand vermieden ist.

a;²)⁸

<p{x)

- dx.

Nach der Formel von Moi vre (Diff. R. Aufgabe 430) ist

xn —

w₀ = cos 0 -j- i sin 0 = 1

7c = 1 ;

2 7T

2tt

w, = cos---\~ i sin —

¹    n ' n

An

Arc

= cos--1- i sin —

n    n

wn _i = cos

w — 1 o , . • » — t

-2 7T + * sm-----

n    n

2 n.

Wird mit der Wahl der ganzen Zahl k in dieser Weise fort-gefahren, so wiederholen sich nur die bereits gefundenen Wurzel werte. So findet man z. B. für k = n :

wn = cos -f- i sin = cos 2n -|- i sin Zn

Weiter ist nach dem Satze von Moi vre: w². =

= cos 0 -j⁻ i sin 0 *■* «7₀

(    2n . . . 2n\²

I cos--\- * sin — I

\ n    n J

= cos

An

An

--f- i sin — = wą

n    n *

tv³. =

Zn

cos--1— i sin —

n    n

Hiernach ist: w₀ = 1; w₂ — w\ ;

— cos

6n

6n

--1— z sin — = Wo, usw.

n    n

ws — w³v... wn-i = w

Es ist auch cos ------ 2 n -4- i sin ———

n    n

+isin(2ir_^)

(    2 kn

Zn = cos 12 n---

Zkn

= cos--i sin    oder es sind die

n    n

beiden Wurzeln w& und    konjugiert komplex. Ist n ge

rade, so ist wn sich selbst konjugiert und also reell, so dass

die beiden reellen Wurzeln +1 existieren. So finden wir z. B. für w= 1, dass w₁ = cos ~ -f~ i sin

und wb — cos —

-j- i sin — = cos

o

ivb konjugiert zu ivx ist.

1. Beispiel: x = ^/i]

= cos — i sin \, also o    o

Zn ... n

t + tSm Z~

n i . .    4 n 1 Krn ₂

i- + esm - =    |/3 = «v,

w₃ = cos 2n -j— i sin Zn — cos 0 -f- i sin 0 = w₀ = 1.

= cos

IC

w₂ = cos

2.    Beispiel: x —    1 ; w₀ = 1 ;    w^—i]

tv₂ == Wj = — 1 ; w₃ =w\= — &.

3.    Beispiel: æ =    1 ; iv₀ = 1 ;

w₂ = —

IV h =

W' ⁼ 2+2^3;

w₄=— —1|/3;

^— [/3. Konjugiert ist w₆ mit wlt w₄ mit w₂ und m'₃

te b-L

te

.--1 =

tCl

mit sich selbst.

Der grösseren Einfachheit wegen wollen wir wt = e setzen und können dann die übrigen Werte von 1 durch e², e⁸, s⁴, . . . £w—1, eM = 1 bezeichnen.

Es ist dann:

<p_M_

- —______-____-1__L

xn — 1 x — l'x — £ — x — e² '

und nach Formel (8), S. 112:

An — 1

A =

<p(x)    1 I <p (1)

xn — 1    n\x — 1

r <pix) ] _ r*r(*)i

\nxn~l\x=ek [ nxn \x

e p (s) . e²p (e²)

X-£²

ek ip (ek)

en ^ (p (sn *)

X- £n 1

122) (-p?Ldx =

J Jxn—1

i U) lg (fl! — 1) 4-£ ÇP (fi) lg (a: — e)

L +... + e”-¹ <p (e”-¹ ) lg {x — £n

Die Glieder dieser Formel können paarweise zu reellen Ausdrücken vereinigt werden. Da nämlich die Wurzelwerte ek und en~k konjugiert sind, so müssen es auch die Zähler Ak = ek<p(sk) und ALn—fc = tn~k <p (£n~k) sein, oder es muss J.n_k = A—Bi sein, wenn A^ = A-\-Bi ist. Mithin können wir, da (x—ek)

2k 7T

[x — £n—fc) = x² — 2x cos ——\- 1 ist, nach (9), S. 125, setzen :

£k <p (£k) lg (x £k) 4 £n~k (f (en~k) lg (X £n~fc) —

2 k TT

A lg (pc² — 2x cos ——[- 1) — 2 Barc tg

2k Tz x — cos-

sin

2k 7i

123)

^ <**-•§ [ig(*-i)+ (-    % (*+i4>/5)

+    l — \ ^³) lg (* +1+ 2 ^ ³)

-1

tH |CO

|V(«

— 1) — | lg (^² -j- ^ H-1) — |X3 arc tg

2«-f-l

]/3

-) ß

3x ₇    3 « «2/

—Tdx-4lgï

«² + l

1.1.«-l + 4lgF“

Man setze in der folgenden Aufgabe \/ 3 = r.

l+iarctg*.

¹²⁵)

lg(æ-l) + -i^lg

+ lg(a?+l)+-^^lg ßljß\

/ 1+rA 1+rA /    1-

[X+-2

1—ri

rH j CD

lg («² —1) — -î lg («⁴ -j- x¹ -j- 1) — j/3 arc tg

1 +rt. /

—lg (æ- -s 2«— 1

l/3

-{- j/ 3 arc tg

2«-fl

j/3

]•

Die Ausrechnung solcher Integrale ist oft leichter, wenn man die als konjugiert bezeichneten Glieder schon bei der Zerlegung paarweise zusammen fasst. So ist z. B.:

ax²-j-bx-j-c

xs — 1

mx-j-n

<p (1)    ex —|— b —|— c

f(l)

Wird der Wert für A substituiert, die

rechte Seite gleichnamig gemacht und dann die Zähler gleich gesetzt, so ergiebt sich daraus nach dem Satze von den unbe-

a-\-b — 2 c

stimmten Koefficienten: m 126) (**' + **+-!

d x =-^(a -^b -\- c)\^{x — \) -f - ^ (2 a — b — c)\g (x² x 1) -\- {b — c) \/3 arc tg

u

2« -f-1

1/3

¹²⁷⁾ J

a x³--j- b X² -f- c x-f- d

lg(^²— 1) -f ^lg(æ²+1)

. b 4-d. x + -r'8;

dx —

x-\-l

1 , b — d

—— arc tg x.

Là

xn-\-l

Die Gleichung: xn-\- 1 =0, oder x = ^/ — 1 wird wieder mit Hilfe der Moivre’schen Formel gelöst, indem man setzt: — 1 = cos (1 -J- 2 k) tz -f- i sin (1 -j- 2 k) tz, wenn k irgend eine ganze Zahl bedeutet. Dann ist:

k = 0;

k—l\

14-2k    . . . 14-2k

cos - ---tz 4-1 sin — -Tz

w₀

w₁

wn _ i = cos

2n— 1    . . . 2n— 1

TZ .

-Tz 4-i sm-

n    n

Es kann leicht nachgewiesen werden, dass jede andere ganze Zahl k einen Wurzelwert w hervorbringt, welcher mit einem der vorhergehenden zusammenfällt, so dass im Ganzen nur n unter sich verschiedene Werte möglich sind. Nach dem öfter angeführten Satze von Moivre ist

w3 H/0

3 TZ

3 TZ

--f- i sin — = w*

n    n    ¹

5 TZ . . .

= cos--h % sm —

n    n

= cos

5 TZ

wln~ i= cos —

1    ... 2 n—1

-iv 4-^ sm-

n

Auch diese Wurzelwerte sind paarweise konjugiert complex, denn es ist

wn- i_fc = cos

2 n — 2k —

— tz -f- i sin

2 n — 2k—1

TZ

— cos ^2 Tz

2 TZ

— cos

2k 4-1    . . 214-1

---TZ-l Sin-!- TZ

)t

ein Wert, welcher zu Wh konjugiert ist. 1. Beispiel: x —    — 1 ; w

i=-l

toi i-¹

to!

2. Beispiel: x =    — 1 ; w₀ —j/-|--J- «)/

wi = — |/i + W

Es ist w₀ zu w₃ und wx zu w₂ konjugiert.

Um das vorgelegte Integral auszuführen, setzen wir iv₀ = e und

9>(x) _ . Ai xn4r 1

t » W2= —

v\-*V

*+*!

4.

3— _]___ i__I____J— .... —f

x — e x — e³ x — e5 1

x — £2n-l

Ah =

\£i±]

I nxn~l J

2 fc—1

|_ nxn jx=

<P(?\

xn+l

§ 1 i-*-

f-

ep(g) I £V(g3) I I £2w~V(£2w *)

— e”' a:—£3~r‘*-_r    ^—g2n —

128)

xn-^l

dx

§ 11-¹

£<p{e)\ g(®-e)+e*jp(e ³)lg(a;-e⁸)+...e²

n—1

f(e2w_i)lg(a;—e²»—1)1

Ist <p {ek) = A -f- B i, so ist der konjugierte Wert e2n—k y ç£2n—k) ₌ ^ — 2?^ und die entsprechenden Glieder des Integrales lassen sich wiederum zu reellen Werten vereinigen.

(A -f- Bi) 1" ^x

-\-(A — B i) lg {x

— cos

2&4-1    . . 2&+1 \

n    n J

2 k -1 -1    . . . 2 k 4-1

— jc -4- * sin-

n    n

— cos —

')

= ^tlg ^a;²— 2a; cos

X— COS

2Æ4-1

----TC

— 2 B arc tg

sin

2& + 1

--L-TC

¹²⁹⁾ J

2

dx = 2 lg (x -j- 1) + arc tg V ³

2a;— 1

l/3

¹³⁰⁾ SĄ-i

dx = —

V2 [l, s»+ *1/2 + 1

4 L2 ° x*

131)

(Vy-^+4

J

x[/2 -|- 1

tg (a; j/2 — 1) — arc tg (x |/2 -j- 1) j dæ = ^ |^lg- (a;⁶ -|-1) — 21/3 lg

— arc

(2a;+j/3)²+l

-°i]

00^

-f- ö arc tg

dx = ^ j^(a — & + c)lg(æ + l)

+\ (2 a+h—c) ig o?²—x+1)+o>+c) V3 arc tg

¹³²⁾ J

ax^A- bx-\-c

*³-f 1

2a; —

l/3

¹³³⁾ J

dx = \- (*-3-

2J a:³ — 1

lys

a;³— 1 a;—1    1    a:²—a:+l

aH-1 ^ 2 na;²+a;-fl

ifi

2 J a;³ + 1

2a;+l

dx

134)

A

J x⁴ A

dx

x⁴-j-l

¹³⁵⁾ JV+o

dx — —

[/ 3 arc tg

^ . a:² -j- xl/2 -j- 1 .1    , ~

—7=lg-!—r .----7=: arc tg-

41/2 x² — a; |/ 2 —{— 1    2|/2    1

\ ig O»³ +1) 4

|/3

j/ 3 are tg

2x—l

I/³

a:[/2

—x²

3(^³H-1)*

§ 3. Reduktionsformeln.

Verwickelte Integrale können oft durch Reduktionsformeln (vgl. S. 131) auf einfachere Formen gebracht werden, und wir wollen einige dazu dienliche Formeln jetzt aufstellen.

Reduktionsformeln für:

Setzt man a-\-bx -|-cx² = t₁ so ist:

J*(a -f- ft x -f- c x²)

~dx.

n(b -j- 2 cx)

tn+l

Da (ft -f-2 cx)² durch 4 ct — (4 ac— ft²) ersetzt werden kann, so ist auch:

d /ft -j- 2 caA dx\ tn )

(4 ac— b²)n 2c(2n— 1)

tn+1

tn

Wird diese Gleichung Glied für Glied integriert, und n — 1 statt n gesetzt, so kann ihr folgende Form gegeben werden:

f¹ dx- & +

J tn    (n—1)(4ac—b²)tn

(2 n—3) 2c

Lf

i²)J

136)

Für ft = 0 und c = 1 entsteht die speciellere Formel:

-l

(n—1) (4 ac—

tn~¹

dx.

dx

2{n — 1 )a {x²-\-a)n~l .    2 n —

__*_r__L_

2{n — 1 )aj (x² Ą-a)

n—1

dx.

Behält t seine Bedeutung, so ist:

m—1

d (xm~¹\

d x y tn j

r*'7ïb—2

= (m — 1) —— v ) pi

nx

(ft -f- 2 cx)

tn+¹

tn+l

/y*7ït—2

= (»-i)«7ï+r

Wird wieder Glied für Glied integriert, so kann die Gleichung in folgende Form gebracht werden:

tn+¹

xm

(2n—m+l)cj^.

138)

Xm

xm-\

dx

(2 w — m -j- 1) c tn (n — m -j- 1) ft Cx™-1 (2 n — m -|- 1) cJ tn+^

tn+¹

dx —j—

(m — 1 )a

^m—2

(2n — m-\-\)c) tn+l

dx.

Wie wir sehen, zerlegt diese Formel das vorgelegte Integral in einen fertig gestellten Teil und zwei noch auszuführende Integrale, bei welchen der Nenner tn+x unverändert geblieben, der Exponent des Zählers aber um 1 und 2 kleiner geworden ist. Die Formel kommt in Anwendung, wenn m positiv ist. Sie lässt sich aber auch leicht so umsetzen, dass das letzte Integral rechts zur Aufgabe wird. Nach dieser Umformung ist sie brauchbar für ein negatives m. Gewöhnlich wird aber in

diesem Falle durch die Substitution x = ^ das Integral transformiert, oder vor der Integration die Zerlegung in Partialbrüche ausgeführt.

Die Reduktionsformeln für

^[xn(a+bxm)P]=

^xn(a + bxm)Pdx.

(a-f- b xm)P-\- mbp (a-f-6 xm)P~¹    .

xn~¹ (a-j- b xm) P = a xn~x (a-\-b xm)P~l -|- b    ¹ (a-\-b xm)P~l

ist eine identische Gleichung, durch deren Vermittelung man erhält:

fix

M—1

-5— \xn (a -j- b xm)P] = na xn~x (a -j- b xm)p X    -|-b{mp-\-n) xm+n~l (a -|- b xm) .

Das Integral dieser Gleichung kommt in 2 verschiedenen Formen zur Anwendung:

-1

139) J*xn~¹ (a -j- b xm)P~l dx

xn (a-j- bxm)P

na

b (mp -j- n)

¹

P jx)__j

f{x) x — i

J    dx-= ~[lg{x—i)-f :lg{x4-4] — ~ [lg (a -— r l,4-lg (aî+r¹)]

= W lg (Æ² +1) — 2 lg O² — ^² »²)

na

140) Jxm+n~x (a-j- bxm)P~x dx

xn (a -j- bxm)P

b (mp -j- n)

na r

7+n)\X

(a -f- bxm)P~l dx.

b (m

Je nach der Absicht, den Exponenten von x um m Einheiten zu vergrössern oder zu verkleinern, muss die eine oder die andere Formel Anwendung finden. Die Potenz des Binoms bleibt unverändert.

d

--[xn(a + lxm)P] =

nx

n—1

(a-\-bxm)P

^    b xmJ^n~¹ = xn~l (a-\-b xm) — et x

[xn (a -|- bxm)P] = (mp -J- n) x¹¹*¹ (a-j~bxm)P

-\-bmpxm±n~¹ (a -J- bxm)P~].

n—i.

n—1

(a -j- bxm)P'~].

— ampx

Aus den Integralwerten dieser Gleichung lassen sich die folgenden Formeln zusammensetzen:

¹⁴¹⁾ J

xn~~¹ (a -j- bxm)P dx —

x¹¹ (a -j- b xm)v

m p -j-- n

142) yx

u—i

(« -f- bxmY~x dx =

amp mp -j- n

xn (a -f- bxm)P

71—1

(a-Ą-bxm)P—] dx

amp

rnP + n f r amp J'

Während die zweite Formel dazu dient, den Exponenten p um 1 zu vergrössern, wird derselbe durch die erste um 1 verkleinert.

u—]

(a -)- bxm)P dx.

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen.

$ i\xi \/a ~\~bx) dx.

Ein solches Integral wird rational durch die Substitution:

nzn x

zn — a ,

—i—» dx , b    b

Beispiel: S= \x]/a -f- bxdx\ a-\-bx — z~, x— ^ dx = y- dz] S —    ( (,?⁴— az²)dz

)•

Das Integral kann auch mittelst der Integration nach Teilen ausgeführt werden:

143) ^x\/a-\-bxdx

yx{a-\-bx)^ dx

3b

2 (a-\-bx)ix

dz.

2 /zb az*\ b°\b 3 )'

e !co

4 j* (ci -\-bx)i dx

äs-ä (•+*•)*■

CO

144) J*a:(a-j- bx)% dx = -^[/(a Ą-bxY y>x—

'“> lyfc

dx =

3j(,»

IC

146)

f—

jy a-\-bx

dx =

— 1 Ysdz =

3 W+W ^(1 + *)³ -1 (1 + *) +

2 /-

^J/a-j-ôa;

to H-¹-

¹⁴⁷⁾    iÿ(a+bx)PdX

¹⁴⁸⁾

149)    Ja; \/a-f- &a;da;

150)    Ja;²>ya + ô;r^ = ^fcya:)

151)

J*a -}- bx

(w — p) b \/ (a + bx)P~n dx = ^\/{a-\-bxY

2^p(⁴^a; — 3a)^/ (a + &a;)⁴

y (a + ftæ)* + -J (« + &£) J\/

₂fp    — 4a) >/(a + 6 a;)³

a -j- 6 a:

dx

152) ^x^/x

15,1 Jïîl+2

— 4 (Za; =

^ (a;²— x — 12) y/x — 4

154) f -.fL-J |/3® + 5

⁹ To³*)

dx=§j(^-£-i* + T)'/* + ^

dx =

(x'

l⁸

¹⁵⁵) j*^~rï^⁼⁼²^+¹o

j/iC— 1

156)

f......*_

J a: j/« —(— rc

dx

l/â-fl 1 ]rv|A + a—

j/a |/a; + a H⁻ V~â

¹⁵⁷⁾ f

Jxyx — a

dx =

—?=■ are tg \/?-_

J/a V a

!58) J

(a;-J- l)|/l —x

«2a; —

1    |/l — a: —1/2

lg

j/2 j/1 — a; —|— j/2

159) f -y} ......

J xy a-\- bx

160)

dx— ¹ \yaJrhx — v~*.

a>> 0

+ 2a;£ — 6a+-[- 6 arc tg ^fx

fl +\/% — y/^

J 1 + y/^

da; =

¹⁸¹⁾

dx = —

Man setze x-j-l=#⁶.

162)

da; = 2j/l+a;+lg

l/fl? +1—1

|/a? —|— 1 + 1

J(|/fl? — a + j/a;— &)da; 3+Tïj [(*-“)* + (*“»)]

*Ą{x+a)i-Ą

{x + 4 |/a? + 4 lg (1 — j/a;)^ da; = 2 lg (1 + l/a?)

le?) jVi+I+P+    =4 i/r+jT^ [^ÇLzti^)² _

¹⁶⁸⁾ Jto

163)

r ¹

J l/a; — a —

l/a; — b

da;

164) f-==

J y x + a + y x

1 +|/a?

!65) J

1 —j/a;

dx = —

166) f—-

J x-j-y x

+ v^l + a?

¹⁶⁹⁾ k

-\-ß\/ a-\-bx

dx — 2\/\-\-x — 3 \/l -f- x

+6^r+ï-6ig(i+^/r+5)

2    _ 2#    _

dx = =—^l/ a+ôa;—j-^lg^+ßj/a+öa;)

bß

bß

¹⁷⁰⁾ J

(a + /3x) ]/a-\-bx

dx =

dz.

ab — aß + ß z²

Die weitere Ausführung hängt von dem besonderen Werte von ß(ab — aß) ab. Hier ist z^ — a-ß-bx,

Bei derartigen Aufgaben kann man zweckmässig vor der Substitution die Integration nach Teilen vornehmen, um dadurch etwas hohe Werte von n zu erniedrigen. Die folgenden Beispiele dienen zur Anleitung.

171) j*a;n |/a -f- b x dx = ~ (a -(- b x)%xn — ffJ*#”⁻¹ («-f-bx)% dx

fxn \/'a+bx=    --ff

3 (a-\-bx)% xn

172)

n—1

(a-\-bxy dx ^xn-l(a-\-bx)% dx.

173) WyĄ-j-J y/ a-\-bx

An xn    An_i xn~x -f- .... -f At x -f A₀

\/a-\-2bx-\- cx2 Mit Hilfe des Satzes von den unbestimmten Koeffizienten kann ein solches Integral in einen fertigen Teil und in ein noch auszuführendes Integral zerlegt werden. Wie dies geschieht, wollen wir an einem Beispiele zeigen. Wir setzen: 30a;⁵ -f 30a⁴ -f 12a;³ -f 21 x² — 15a? — 1 ^

|/4 + 2a;-f 3a;²    _

= (a₄ x⁴ -j- o.g x³ —f— ctg x² —J- d-y x —[- <Zq) 4 —(— 2 x —f— 3x²

dx

dx.

dx

+ k(-==L

J\/4:-\-2x-\-3x2 worin die a und K noch unbestimmte Koeffizienten sind. Zu dieser identischen Gleichung werden wir durch die Thatsache berechtigt, dass auf beiden Seiten der Form nach völlig gleiche Ausdrücke entstehen, wenn wir wieder difterentiieren. Man erhält dann:

30 a;⁶-|-30 a;⁴-j- 12 a;³-j-21a;² — 15a;— 1

|/4 + 2aj + 3a;*    ~_

= (4ayX³ -f- 3azx² -f- 2a₂a; -|- ay)[/4 —|— 2a? —j— 3X²

(1 -J— 3 X) (<Z₄ X⁴ —|— CL^X³ —j— d^X² —{— (ly X -J— 6t,j) —K . |/4 -j- 2a;-j- 3a;2 30a;⁶ -f 30a;⁴ + 12a;⁸ + 21a;² — 15a; — 1 = (4a₄a;⁸-J- 3a₃a;²-|- 2a₂^ + «i) (3a;²-j- 2a;    4)

4- (1 -I- 3a;) (a₄a;⁴ -(- a₃a;⁸ -f- a₂x² -j- axx -f- a₀) -|- K.

Der Satz von den unbestimmten Koeffizienten führt zu den Werten der ct. Es ist 30=15ct₄, ct₄ = 2; 30 = 12 ct₃-|-9 ct₄, ct₈ = 1; 12 = 9ct₂ -j-7ct₃ -f-16ct₄, a₂ — — 3; 21 = 6ctj -(-5ct₂ -f- 12ct₃, a₄ = 4; —15 = 3ct₀-|-3ct₁-|-8ct₂, ct₀ =— 1; —1 — ^T-f-4a₁-f-«o? K= — 16.

30a⁵ + 30ff⁴-l-12:z³ + 21;c²— 15a;— 1 ^ |/4-|-2a-|-3a²

= (2a⁴+a³—3a²+4a—

l)l/4+2a+3a²—16 f-==ł= Ji/4+2a+3a²

cZa.

Bevor wir uns mit der weiteren Ausführung des übrig gebliebenen Integrales beschäftigen, sollen zur Berechnung des anderen Teiles allgemein gültige Formeln aufgestellt werden, und wir wählen dazu als Zähler eine Funktion von ganz beliebigem Grade. Nur der einfacheren Darstellung wegen nennen wir diesen* Grad nicht n, sondern wir wählen dafür eine beliebige Zahl, z. B. n = 9.

m) J

-f - ~h • • • • H~ A\ff ~h Ao [/a -j- 2 bx-\- ca²

= (ctga⁸ —J— cirj x ‘ —(—.... —J— ct₄ a —J—    y'ci —(— 2öx —f- cx~

+Kh

dx.

a-\-2bx-\- ca²

Wird diese Gleichung differentiiert und der Nenner durch

Multiplikation beseitigt, so erhält man:

A₉ a⁹ -f- Ag a⁸ -f- A₇ a⁷ -j-.... -j- Âx a -j- A₀

= (8a⁷ —\~ 7 ct₇ a⁶ —j—.. . —J— ct₄) (ci -}- 2bx -|— ca²)

-f (ct₈ a⁸ -f ct₇ a⁷ + ct₆a⁶ -f .. . -f a₄a-f a₀) (ft + ca) -j- JC und durch Vergleich der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von a die folgenden Relationen:

A₉ = 9ca8 Ag — 8 c ct₇ -j- 17 6 ct8 A₇ == 7 c ctg -j⁻ 15 & ct₇ —|— 8 ti ctg 4ß = 6cct₅ —J— 13 &    —|— 7 act₇

A₅ = 5cct₄ -f-11 bab -f- 6act0 A₄=4ca₃-j- 9bct₄ -f- 6act₆

-4g = 3 c ß₀ —]— 7 6    —[— 4 tt cl±

A₂ = 2 c dy —J— 5 b u₂ —j— 3 a u.^

4.^ = 1 cccq —(— 3 b —1~ 2 cl ci₂

Ao =

Aus diesen sehr übersichtlichen Gleichungen werden die Koeffizienten a und K berechnet. Selbstverständlich kann unter den A eine Anzahl den Wert Null besitzen.

Die Ermittelung des übrig gebliebenen Integrales ist eine ganz verschiedene, je nachdem c positiv oder negativ ist. Wir untersuchen zuerst:

a 26a:-j- cx¹ j/a -j- 2bx-\- ex* — x\/ c-\- z

dx, wenn c> 0, und setzen z² — a

% ___

2 (6 — \/ c z)

dx = —

2(6— [/czY

a[fc

dz =='

z + xÿc,

j/a -j- 2bx -j- ca:² =

l/jz*+2bz

2 (6 — |/c,s)

b — [/cz — a\/^c '

dz,

j/a-f- 26a:-(-ca:²

dx =

—=:dz — —

7= lg (b — z[/ c)

i/<

oder

b — z |/ c

lg (6 -f- ca: — f/c j/a -j- 26a;-|- ca:²) lg(ô —J— ca: —|/c \/a-\- 2 6 a: ca:²),

|/c

Ve

je nachdem |/c mit dem -f- oder — Vorzeichen genommen wird. Dass die beiden Werte, wie es sein muss, nur um eine

lg(6² — ac) differieren, ist leicht

Konstante, nämlich um nachzuweisen.

Für c < 0 treten in dieser Formel imaginäre Werte auf. Statt sie umzuwandeln ist es bequemer, diesen Fall beson* ders zu behandeln. Wir schreiben hier:

j/c“

a -f- 26a: — cx²

dx

[/a-\-2bx b — ex

\/W^Tc'

\/b²-\-acdz, j/a-\-2bx

Man setzt z =

178)

Jp

dx

— ex

_ Ç    ycdx

² J \/^-Çac)

b —z ]/b² -f- ac

— (b — ex)'²

-5

— cx-

dz

— z²

ac

Cs

arc sin £

1    . b

--t= arc sin —^

— ex

[/b² -|- ac

Die in diesem zweiten Falle benutzte Transformation wird unmöglich, falls b² -f- ac — 0 ist. Das kann nur für ein negatives a eiutreten, da c positiv sein sollte. Dann geht aber für a = — a der Radikand —a-\-2bx— ex² in

— [{ex — b)² — {b²— ac)] — — — [ex — b)2 c    c

über, so dass [/a-\-2bx — ex

'-y=.

(ex — b) wird, die

Irrationalität also verschwindet und das Integral unter Verwendung imaginärer Grössen nach früheren Vorschriften behandelt werden kann.

In-den Resultaten der nachfolgenden Aufgabeu ist der in der Aufgabe vorkommende Wurzel wert häufig kurzweg durch Ii bezeichnet.

¹⁷⁹⁾ j

x³ -f- 5x² — 3#-|-4^_ ^x²Arx-\-1

lO (N

163

ISO)

4^c⁴—[— 15^c³— 9Æ²-f-14Æ-j-46

[/x² -j- 6x -f- 5

j/x²-\-x-\-l

+ ]g 0» + \ + l/xï+x+l)

dx = (x³—2x²-\-^x-\-l) B -j- 10 lg (3 -j- x -j- B)

24

181)

r bx²— 2x -f-10

J [/3æ²

— bx —J— 8

dx =

02; Oi

55

81/3

lg

io*

182)

a;³-|-4a:²— 6% -j- 3

]/b -j- 6a; — x-

dx = —

OC i OC i

3    2 ”

co

— 139 arc sin ^ f

yiA ,

¹⁸³⁾ J

— 45a;³ -j- 20a:² -J- 65a: -j- 54 \/l -\-3x — 5a:²

dx — (3x- -{- 4a: -f- 5) E

— 5.r

6    . 4

arc sin -

|/5

|/51

i84)

J |/ « —J— 2 ^a; —j— r?a:²    \

».a: , 2cw—3bm

2c

2c²

+(*

2ben— 3 b'²m 4- acm

^ \/~a-\-2bx-J-ex• 1

2 c-

a-\-2bxJ[- ex-

dx

185) j*\/a-\-2bx-\-

ex² da: -

f-

W

ex² -\-2bx-\- a

a-|-2ôa;-j-ca:²

da;

a -|- 2bx -f- ca;²

da;

Es wird also z. B.

a:|/ï +a:² -f | lg (æ-f |/l + x²) ,

~ a: j/l —a:² -f- ~ arc sin x.

186)    j*[/3a:²-f- lUa:—j— 9 da: = ^ -f- ^ E+ j-~=lg(3a:+5+|/3 R)

187)    J*j/ll-j-12Ïc

188)    fa:j/8+¥

a:² dx —

— a:² da; —

tH |CM

toi SS

051 O'

— 8a:² dx =

(-)s

— x~dx =

¹⁸⁹⁾ Jj7

a:

■a-j-2&a?-f-ca:²

— 4.x

31    . 3

--=arcsm- .___

8|/2    j/31

— a:³ + a:²-f-8a: ,

«a: a:²

33    . 1 —2a:

— — arc sin —-— 16    [/33

tO s*

co ao

/ a:²

y 3    12

dx = --1/a -j- 2 b x -J-

CO CM

ca;²

a -f- 26a:-f-ca:²

da:

a-\-2bx-\- cx²

dx =

xs

{ x 3 b \ \2c ~ 27- )

3 b²— ac

2 c-

fjj*

a -j- 2bx-\- ex²

dx =

^3c

bbx , bb²    2a

ZD

+1

3 c-

)R

3 ab    bbz

2c²    2c³

)jid*

r    x⁴

J f/3 -J- 2c

193)    f    f -

J [/l-\-2x-\-3x²

194)    J*a: \/a2 b

192)

-dx = 2

(x*

V⁴

7 a;²

12

+1+1) R

llg(l+a + B)

(7 a; =

/ a;⁴

l¹⁵

x-j- ex¹ dx =

x² .bx . a 3""' 6c '3c⁻

195) j*[/(5a:²-j- 4x-f-3)³ dx=j*

3a;² , 79a; . 63

a;³ . a;² . 7 a;    19

~ 20 ' IÖ8 4Ö5 8ÏÔ

Fî6i7Sls(1+3æ+,/3'K)

ca;³-)-26a:²-f-aa; ^

[/ a-|-26 a:-f-car

2 c²

Kê-SH

h*

dx

/5a;³

V⁴

2    ¹ 40 ¹ 100

196)    f (2a; — 5) ]/2 + 3a;

r =l'-

197)    I (a;² — 3a:-f- 5)[/3x²

_/x*    31 x² 625

¹⁹⁸⁾    j>

/V

l⁴

199)

25a;⁴-f 40a:³-f 46a;²+24a;+9 ^ j/ôa;² —}- 4 a; —(— 3

200/flg(2+5æ+,/5B)

(2a; —5)(2 + 3a:—^ f/2 -f- 3 a; — x²

B4

363

— x~ dx =

arc sin —

3 — 2 a;

|717

2x-\- 6 dx

2227

216^3

-dx= 1- —r- 1g (bx + ]/b j/a -f* &æ²)

36 + 216^

a -f- bx²

J' \/ a — bx²

503

to

t-H

R+

(7a; = ,-arc sin x

(/&

lg(3a?—l-j-f/3 R)

7 * + p:'i

tt -

-L-n f x. +1771 ] - / <7, -j⁻

²⁰⁰⁾

dx

x-\-cx²

201)

— ex²

dx = —

i    _    -_

/— lg (b -f- ex -f- j/c \Z%bx    ex²)

1    . b — ex

are sin —₇—

n    b

202)    bx²dx

203)    J*^/a — bx² dx = ~ j/a — fr«²~[

204)    j*j/2a«4⁻

205)    j*|/

206)    j*^²|/2

(X    .

-y— are sin a?

!/?

«² (Za:

a²

2 a« — x-dx =

ax —

«² d« =

« —    a ²    . a — x

—— it — — are sin-

2    2    a

ax²    5 a²« 5a:î

/ x'

\⁴

12    24

5 a⁴

r

. a arc sin -

Die Relationen (10), S. 145, führen zu den folgenden Formeln : dx?= {an~\ xn~x -f- «»-2 %n~²

mb

xn

a —|— b ■

+ • • • + ai x+«o ) \/a + b x-K ^-—==

dx.

an-'~ nb

an—2 — 0 J O-n—3 —

⁽J-n—1 5    4 — 0 7

an—5

n_Ą ' j ö«—3j an—6— 0; O-n—1 —

n—5 a

7v = — fl«, , so dass für ungerade n stets K=0 ist.

dx = ^\/a-\-bx²

²⁰⁸⁾ J, „ ! I,.r‘ Ç x~

J f/a-j- bx*

²¹⁰⁾ Jfto

dx =

1 f hx

w

209)

a -J- bx dx — -^y\a + 6«?

c?« =

Isi 36²IK

211)

Ç «⁴

J |/4-j-5«²

dx =

/ «³ 3«\ y20 50J

o 4- fr#²

K + 25k1S(5* + ^6fi)

212) f    * =

J|/ 3 + 2«

.2

<7 a; =

[w

x² 3 5 ‘5

ni/3+2*>

Das Integral 207) kann auch mittelst einer Reduktionsformel ausgeführt werden.

xn

a-j- 6 a;

= dx — , ^.2

is-

n—1

bx

y a -f- bx* xn~l \/a -f- bx² — -

²[/a4- 6a;²(7a; = aj*p

213)    _

J [/a-}-6a:²

214)    f-₇.....1

J\/3^-bx²

a-f- 6#

dx = ^j xn~l [/a 4-bx²-nb

(V² j/« -|- 6ar --äx + b[-j=LL=

J (/« -(- 6 a;²

(w—1 )a

nb

dx = —

/ x5 \30

a;³

9a;

40 ¹ 400

Wenn w eine gerade Zahl, so ist:

²¹⁵⁾I

xn

dx'= —

(7 a;

dx.

C xn~* .

I -/---------dx

J ^ a-\-bx²

3 — 5a;²

27

+ r-

yi—x2 1 n — 1 n — 3

—ö--Äx

— 2 n — 4

(--*

yn

. /y*W—1

400 j/ö

M W — 2

arc sin

5 a;

|/ l5 ’

n—b

1 n — 1 ii —

CO jOl CO

— arc sin x

216)

r x

J j/l—x

dx =

2

/a;⁵

l⁶

5 a;³ . 5a;

24 ¹ 16

—a;²-!-—arc sina;, lb

Wenn n eine ungerade Zahl, so ist:

. 1 n —

n-----

n n —

I    ii — 1 n —

II    ii — 2 n —

6a;⁴ . 8a;² . 35 T 35 T

xn

— a;²

dx = —

dx = —

n

l—x

\n

n—1

co

to r-^

xn-b -j- . ..

(t+

- x;.

-J

(x — a) j/a -j- 26er-j- ex*

= dx

— verwandelt sich 5 in

Durch die Substitution erfolgendes Integral:

fr

dz.

c -j- 2 (& —j— c«) ^ —j— (<x -)- 26a -(- ca²)

Je nachdem der Koeffizient von #² positiv, Null oder negativ wird, ist der Wert dieses Integrales verschieden.

1)    a-j-26a-|-ca²> 0 und = m gesetzt:

²¹⁹⁾ J

dx

(er— a)[/a -f- 26 er -j- cer2 :    a-\-ba -j- (6 -f- ca) x + J/m |/a -f- 26er -)- cer²

j/m "    er — a

2)    a-j-26a-|-ca²<0 und =

m:

220)

(er— a) j/a -f- 26er -|- cer²

dx

arc sin

a —I⁻ 6a -j- (6 —j— cd) x

(ec — a)|/6²

— ac

3) a-\-2ba-\-ca² — 0

Ist endlich

so ist a eine Wurzel von a 26er-f- ex² = 0. Nennen wir die andere Wurzel /9, so ist c(x — a) (er — j9) = cx² -j-2bx-j- a. Wird endlich (er — a) = z² gesetzt, so ist (er — ß) = (z² a — ß) und

s ² f 1 \/c J z²\/z² -f- a

~ß

dz.

Durch die weitere Substitution z = — geht S über in:

u

S= —

Ç    u

|/c J l/(a — ß)u²-j- 1

tc

du —

2 |/(a — ß)u²-\-l

l/c

und daraus durch die umgekehrten Substitutionen:

_2 j/c (er — d){x — ß) ₌ 2 |/a -j- 26er-]“ Cer²

c (a — ß)(x — a)

c (a — y?) (er — a)

Da ferner a -J- ß = — —- ist, so kann a — ß = 2 ^-^~ca ge-c    c

setzt werden. So wird schliesslich:

²²¹¹ f

(x — a)\/a-\-2bx-\- cx*

dx =

|/a -(- 2bx -f- cx²

{b -j- ca) (x — a)

222) J

dx = JLlg2a; + ⁴ + |/6^ [/ 6    x — 1

223) r

J

; {x — 2) \/x² — §x-\-l 224) f-¹_____________

J (æ -J- 1) j/l —X²

dx = —

dx = —

Wenn a > 0 ist, so ist:

225) J

x\/ a-\-2bxJr cx¹

dx =

? arc sin

a;-|- 5

l/7

1'—a;

(x — 2) |/8

1 j—|— j/ä \/a-{-2bx-\- cx* [/ a    x

226) f-

j x

Wenn a < 0 ist, so ist: 1

\/'a-\-2bx -j- cx²

dx =

= arc sin

a-\-bx

|/— «

x\/b² — ac

227)

J a:j/2

ax — x²

dx

|/2 aa; — a;²

ax

²²⁸⁾

= dx — lg 2 °

1 — ÿl + x²

229) J

,    . a;

dx = arc sm

a:|/5

230) J

x\/x²— 1

dx — — arc sin —.

Durch die Substitution x — a =

(x — a)n y a -j- 2 b x -f- cx²

— erhält man:

dx.

J |/c ~|“ 2 (ô -J-

dz.

²³¹⁾ J

(x— l)³1/3 — 2a;²

dx — —

éi)*

/_L_

\2(x—iy

j 7 jg. 3    2a?    1/3 2ar

x — 1

— 2a;²

232) J

(x—2)⁴ [/l—4x-\-x²

dx =

233) f-J a;“

dx =

9 (a;— 2)

[/a-\-2bx -|- ex²

27 (x — 2)

aa;

234) f-

J a:

\/a-\-2bx -}- ex²

(=1

y 2 ax²

m²_±\ ç

\2a²    2 a))x

|/a -f- 2 & x -f-

³⁶ )*

1

2a²x

ex

r dX 2

²³⁶⁾ h

j/l — ix-\-x dx =

[/a -f- 2bx-\-cx²

rdx = —-R + 2\g¹~2x~R 2    X    X

1 — j/l-L-a;²

dx

;2

[/l-f a;²

2 a?²

tO M.

ig

a;

237)

§ x⁴ j/ 3 — 2 a: -j- x²

(7 a; — —

/JL

^9ar⁴

¹ 54a;²    54a:

2    3

27 |/3 g

a; — ]/ S R

238)

a-\-2bx-\- ex²

dx =

b -[-ex

a-\-2bx-\- ex²

dx

dx —j— b ^

\/ a-\-2 bx -J- ex²

dx.

\/a -f- 2bx-\-cx²

<P(*)    _

f (%) ]/a —|— 26a; —f— ex²

in Partialbrüehe und damit das ganze In*

dx.

<p(x)

Man zerlegt tegral in eine Summe integrierbarer Teile.

f{x)

²³°) (4

3 a;-fl

— dx =

^ — ⁶ |/3x²-f4x—7

1 llx — 1— |/32_ß g x — 3

]/8

j(ï^3 + 5--F2) *

1    . 4x4-11

= arCsm6F+2)

— 4x

^3

r-i ł;

j/l3 (x -f 3) j/10

2,11 J;

3x — 5

(x — l)² j/x² -f 4

dx-—-

5

2    |/x²-f-4

x — 1

17

x -j- 4 — [/b |/x² f-1

51/5

242) j*

(x² — 9) 1/5 -f 6x — 7x²

dx

1    .    7 — 9x

—7= arc sin-—

6 y 40 (x — 3)|/ll

12x — 2

-—arc sin-7=.

6[/l6    (x+3)|/Ü

z dx.

(x — — g«) j/a -f 2 &x -f ex2 Dieses Integral geht hervor aus 219), wenn man a=p-\- qi setzt. Dann ist auch m = a-\-2bp-]-c(p²—q²)    2q (b -{- cp) i.

Setzen wir m = q (cos t-\-i sin t), oder q cos t = a -f 2 bp -f c(p² — g²), q sin t = 2q (b -f cp), so sind q und t hierdurch bestimmt. Zugleich ist:

Vq

COS

2 + isin2

1 / t . . A / (cos 2    ²⁸¹¹¹2) ‘

'S

cos — li

Li

—p—qi).

S= ^ ^cos ! — i sin • lg^« -f bp -f {b 4- cp) x— [/ q cx)q—[/çsin^^}*J— p=^cos-|— «sin jlg(x

f(x)

Wenn nun das vorstehende Integral bei der Zerlegung von in Partialbrüche entstanden ist, so muss noch ein zweites

existieren, welches sich von diesem nur durch das Vorzeichen von i unterscheidet. In abgekürzter Bezeichnung mögen beide heissen:

8 = {Ä-+ Bi) lg (P + Qi) - (Ä -f Bi) lg (x - p - qi) si = (Ä — Bi) lg (P— Qi) — (Ä — Bi) lg 0» — V + 9.i)

S-\-S₁ = A\g (P²-|- Q²) -j- 2arc tg^ — A\g[[x — pY~\-(Z²]

-j- 2Parc tg X-~P •.

Setzt man x² — #, so ist:

¹

x, wenn c> 0.

dx =

24³) J

244)

fl A±*

J r a — x

dx =

tH <n

|/l=f

K 1+*

— x²

1 -j- X

f . a dx-f [~TJ=dx J[/a²—#²    J^/a² — Æ²

= — l/a² — æ² -j- a. arc sin —. r    1    a

Setzt man æ³ = £², so ist:

245)

]/ x

dx =

\h

dz

[/as—xs Man setze x² — z in:

as—~z²

2    . I /xs

3arcsiT

246)

Ji/Ï

dx+$ÿT=%

dx

1

lr e

2 J |/1 — £²

-S²

2j |/1 — z²

— x*-\- \ arc sin x2 4

247) jtx+l/üfx²)

ndx=

\(x + \/l +

L »-H

für£==#-f-|/l-|-a:2 æ'²)?i+¹ . (x + |/l + #²)n—1

§ 5. Exponential- und loganithmisehe Funktionen.

' TS

Diese Funktionen werden vereinfacht durch z= ex.

mx

248)    ^emxdx = -

249)    J(e3x -j- pë®) dx = ^—[- 2 pe*

-je dz = 2 lg- (e® -j-1) — x

²⁵⁰⁾

251)

²⁵²⁾    Iot

cZa: = arc tg ex

dx

¹ ] \ZaArhepc— pa.

pa ’ pa -f- £»c®-|- |/a ’

z = [/a-\-bex

253)    —

e®

254) Je® pl + e® dx = ^ p(l -f <.®)³

256)    J(e® +

²⁵⁷)    ⁼ +

-1)

2 dx —

e~®)² rfx’

e® — 1

e2ir_g-2a;

f- 2x

258) J

4 c® -j- 6e~x

9ex— 4e~x

dx =

35

r- )-t

25i)) j^fë^ dx = 's (1 + ^) - ^

²⁶⁰⁾ iwTaf

dx =

’ (» — 1) (c® -j- a)n~l ’ ^f{x₁ ex)dx.

Neben der Substitution wird bei diesen Funktionen auch das Integrieren nach Teilen oft mit Vorteil angewendet.

exxi dx — exxl — 4 ^exx³ dx

²⁶¹⁾ J

262) J

exx³ dx — cxx³ — 3 Jevx² dx

usw.

263)    dx = ex(x⁴ — 4xs -j- 12&² — 24x -f- 24)

264)

J eF xn dx = ex (xn

— nx

71—1

-)-n[n — 1] xn~² -f-...)

265) J

emx xn dx —

gTïlX rtfl

mx

xn~l dx

266) ^(a-\-bx)

nemxdx

emx(a-'rbx)n nb

J*emx(a-{-bx)n~x dx.

Diese Reduktionsformel ist für positive und negative m gleich-massig anwendbar. Man kann sie auch umkeliren und —p für n — 1 setzen.

-p e7nx dx

267) J*(a-\-bx)

emx (a -j- b x) ~^+¹

(p—l)b

{a -j- bx)~P+l dx.

(P —

Für p — 1 ist diese Formel nicht mehr brauchbar, das Integral muss dann durch Reihenentwickelung weiter geführt werden.

268)

dx

1.2.3

/V»2    /y* h

= 1^ + -+4+18 + -

269) j%x*e2xdx

p2.X I __

l²

dx \

² ' )

270) J

x³ e~x dx = — e~x (x³ -f- 3x² -{- 3x -J- 6)

271)

dx — — ex

272)

gX

{x — a)n

dx —

( L i JL , 1\ >

\3x'³ ' 6x²'6xJ ' du

Ci KJ-

dx

wenn z = x — a.

Exponentialfunktionen mit der Basis a werden in solche mit der Basis e umgewandelt, indem man a = em setzt.

m = 1 g a

273) ^abxf(x) dx = j'e

mbx

²⁷⁴⁾ f

x?> ax dx —

( X

ax[-

\ n

fix) dx\ 3a;² . Sx

m² ' m⁸

m* J

“*(3?+

ax _

—^dx =

/vi 4

276) |Y(æ) <7« =J*e² /'(c²) dz

²⁷⁶⁾ D

m²

6 a;

\ , m³ faa ,

)+ hdx

wenn # = lg a: ist.

277) J*(lga:)n dx =J ez zndz = ez (zn

= x [(lg x)n — n (lg x)n _1 -f-n (n — 1) (lg x)n~² —...].

Dieses Integral lässt sich auch sehr leicht mittelst der Integration nach Teilen ausfilhren.

n dx

278)    [(lg*)

279)    flga:da:

= x (lg x)n —n J(lg x)1l~l dx

= x (lg x — 1)

280) J (lg x)² dx = £c ([lg a;]² — 2 lg a; —|— 2)

²⁸¹⁾ J

xn\ gxdx

n-\-1

-lga: —

xndx —

j*x~n lg x dx =

283) J>lg^ = ï-7,g*- )

282)

(« — 1 ) a:n_1

iCn+ł

n-fl

——

n —

tH \

284)

^(lga:+ )

rH CO

285)    J^lga?d®= gflgs)*

286)    J*(a-f-&a:)nlga:rfa^

287)    j*(4-[-3a:)²lga:£?a:

(aJrbx)n+l

[n -}- 1) b (4 +3a:)³

(a+bx)n+ldx

(w+l)èj*

64

lga:--— lga;— 16a:—6x²—xs

y

lga:

a~^— (lg [a + bx] — l)

288)    ^\g(a-\-bx)dx —

289)    J*xn lg (a -|- bxm) dx

290)    Jlg (a -f- bx²) dx = xi g (a -f ■ bx²) — 2x +    j—^

291)    j*«lg (1 -j- x²) dx = ^—(i _|_£²) —

292)    Jæ⁸lg(a!a+3)<fo=^lg(a;²+3)-

²⁹³)    Jx² lg X dX =    x*

= (1 gx — 1) [/a²-f- x² — a lg -

n-\-1

ig (a+bxm)—

da:

2 dx

|('^-³^²+⁹¹g(^+8))

•Igæ—-

Cya²-f- a:

J x

dx

— l/a²-j-x².

§ 6. Trigonometrische und eyklometrische Funktionen.

Die Grundformeln zur Integration dieser Funktionsarten werden durch Umkehrung der entsprechenden Differentialformeln gewonnen.

cos xdx = sin#

294) J

295) j*

sin xdx = — cos x

296)    [(sosnxdx = — sin nx

J    »

297)    J*sin nxdx

--cos nx

²⁹⁸>

dx = — cotga:

dx = tgx

300)    J

301)    j*ëotg x dx = J

— sina:

cos a?

cos X

sin x

dx = — lg COSÆ

dx = lg sina:

302) J*\gnxdx

303) j*cotgw#d#

304) J

sin#eos#cZ# =

1,

- — Ig COS W#

n

-lg sin w# n

~ sin² x-\-C= — i cos² x -}- C, sin2#df# = —

iS

cos 2x-\-C₂ .

Je 2 dieser 3 Werte differieren nur um eine Konstante. 1 r    i

sin² #<## = — I (1 — cos 2x)dx = — x—

j*(l — sin²#) dx = ^#-f--^sin 2#.

305) j*

306) J*

cos * xdx —

Aus 300) und 301) folgt:

307) J (tg x -f- cotg x) dx

dx = lgtgx, oder:

³⁰⁸)

³⁰⁹⁾ fshcdx=]st4

310) f—

J COS X

dx =

sin

-^■sin 2# 4

= lg sin x — lg cos x — lg tg x, oder:

= — lg tg

(M)

( -)

dx = —

—— dz = sin z

= lg cotg

Höhere Potenzen von sina: und cos# können mit Hilfe von Reduktionsformeln integriert werden. Sei:

Sn = J sin™ x dx.

J sin™ xdx= J sin™⁻¹ x sin x dx

'    = — cos x sin™⁻¹ x -j- (n — 1) Ç sinn—2 x cos² x dx

Sn = — cos xsin™⁻¹ x-}- (n — 1) J sin™⁻²#(l — sin²#) dx Sn = — cos # sin™⁻¹ # -|- ( w — 1) Sn-2 — (w — 1) S„ nSn = — cos # sin™⁻¹ # -f- (n — 1) Sn-2

311) fsin™ xdx = — — cos#sin™⁻¹ # + --- fsin™⁻²#^#.

J    n    n J

Dölp, Aufgaben.

11

Wird die Formel umgekehrt und n — 2 durch —p ersetzt, so entsteht:

312) J*(sin«)

———— cos « (sin «)~p+i

+|EfJW)

~^+² dx.

Die beiden Formeln dienen dazu, den Exponenten von sin« auf 2 oder auf 1 zu erniedrigen und so das Integral auf eine nach früheren Formeln ausführbare Form zu bringen.

sin³«c?« = —

i ^sin²«-[- 2^

cos«

3H) f

³¹⁶⁾ J

sin⁴xdx = — ^sin⁸«-(-sin«^ cosx-\-^X

+ 5**1

sin⁵« dx — —

cos«

316) f *

' J sm³ x

dx =

cos«

2 sin²«

³¹⁷>

²J\

3 sin xj

Die Reduktionsformeln für cosw« werden auf dieselbe Weise direkt gewonnen wie diejenigen für sinw«; sie können aber auch aus 311) und 312) dadurch abgeleitet werden, dass man

3 sin³«

cos«.

cos « = sin |    — «

= sin z setzt.

cosw x dx =J* sinn ^ ~ — x^dx — —J*sinn z dz.

Wird das Integral entwickelt und darin wieder sin# durch cos« und cos# durch sin« ersetzt, so erhält man:

cosn xdx =

ais) r

3X9) (

320)

j*(cos«)

— cosn_1 « sin « —I— -- f cosw~² « dx

n    n J

1    y) —2 Ç

-Pdx =---sin«(cos«)~-p+¹-H—t l (cos«)_^+²d«

P—1    P—1J

³²¹⁾ J

cosi xdx =

322) J

cosh xdx =

^ cos³ « -J- cos «^ sin « -J- « / cos⁴« + ^cos²« + ^

t-H ¹ lO

sin«

323) f ¹

' J COS¹

dx —

sina:

³²⁴) Jêo4

dx

2 cos² a: sina:

3 sina:

4 cos⁴ x ~ 8 cos² x Mit Hilfe der beiden Formeln:

sin nx

ßnxi_ß—nxi

tC

h o lg tg

, coswa;

ßiixi _|_ ß—nxi

lassen sieb sinwa: und eosMa: in Funktionen der Vielfachen

des Bogens umwandeln; wir wollen an einem Beispiel zeigen, wie dies geschieht.

ßix_e—ix\ 5 g5ix_&g3ix_i_iQßix_^Qß—ix^frß—Six_ß—bix

sinBa;=

32*

’ßbix_ß—bix

ß3 iX_ß—3 ix

ßix ß—ix'

16

325) j*

lg [sin 5a: — 5 sin 3a: -f-10 sina:].

cos 5 a: . 5 cos 3a:

sin⁵a: dx — — I

¹⁶ L

— 10 cosa:

326) J

cos * xdx =

sin 6a: , 3 sin 4a: . 15 sin 2a: . 5a:

192

64

64

16

327) J

sinfi xdx = —

328) j*

cos¹ xdx — —

1 ["sin 6a;    3 sin 4a: , 15 sin 2a:

32 [6

1 ["sin 7a; , 7sin 5a:

L ⁷

64

329) |

cos * xdx =

—r

128 [

sin 8a? , 4sin6a:

f- 7 sin 3 a: —|— 35 sin a;j

-f- 7 sin 4a;

ö

—{— 28 sin 2a:J -j-

35 a:

128'

Wird sina? = t/ gesetzt, bez. cosa; = y, so erhält man leicht: sinw xdx =

C yn_

i *r>

eosn xd x== —

J i/ï

yn

%dy-

330) J

sins xdx =

j*(l — cos² x) sin x dx = —J*(l

— y²) dy

M)

COS³ X

cosa;

33!) f

cos⁵ x dx --

f(l —sin²#)²cos#d# = f(l — y²)* dy

sin⁵# 2 sinice

₃ f sin x

**> iŁ-j,

sin x dx

— COS²#

dy

1, 1

— y~ 2 g 1 -f y • 2

sin“ —

to H-¹

lg

cos2I

2    . x

= lg tg«

5sinRaj 15 sin³ x ¹ 15 sini?

cos#

3³⁴) j*

dx

6sin⁶a; ¹ 24sin⁴a; ' 16sin²a;jOOS^^⁻16 ö c sin# .    4 sina: . 8

cos⁶a; 5cos⁵« ' 15cos³« ' 15 °X'

Setzt man sina; = — oder cosa; = —, so wird man finden:

y    y

iä--

sin⁷#

toi «

335) f äx

dx

sinw#

fr

•W

71—1

fr, f

dx

cosw x

336)

J^cos⁷# |^6cos⁶a:⁺24cos⁴Æ:","l6cos²Æ:j^n;r+16^^ ^    )

337)

338) j*

r dx __ rj_.    -    i ~    i

J cos⁶# I 7cos⁷« '    35cos⁵#    '    35cos³#    '    35cos#

sin”³⁻¹ x n-\-l cos^d-¹ x

sinn# cos xdx

139) J*cosn x sin x dx

16

sina:

n rj- 1

J sinm x cosn x dx.

Gewöhnlich wird dieses Integral durch Integration nach

Teilen auf ein einfacheres Integral derselben Art reduziert: sinm—1a;cosn+¹a: m—1

sinw#cos nxdx=—

sin m~²x cos n+²xdx.

n-f-1

sinm~2 x cosM+2 x — sinm~² x cosw x (1 — sin² x) — sinm~² x cosn x

— sinm#cosn#.

Wird hiernach das letzte Integral zerlegt und dann reduziert, so erhält man:

340) J

sinw x cos” xdx —

sinm_1 x cos'^¹ x

m -f- n m — ui -J- n

IS

X COSn X dx ,

Setzt man m = p~\-2, so wird:

sin P+l x cos”⁻)⁻¹ x p-\- 1 pĄ-n-\-2    p+n+2

sin^H⁻¹ x cos'H-¹^

si n p+² xcosnx dx

si n^# cos¹¹ xdx.

■m f

sin^# cosn xdx =

P-fl

. p-\-n~(-2

sin^+² x cos” x dx.

p 4“ i

Während 340) dazu dient, ein positives m zu verkleinern, wird durch 341) ein negatives p vergrössert; in beiden Fällen

bleibt n ungeändert. Wird wieder ^—x)

statt x. — dx

statt dx gesetzt, so entstehen aus den beiden letzten Formeln die folgenden:

³⁴²⁾ J

cos”¹ x sin” x dx

cos™⁻¹ x sin^+i x

343) |

sin” x cos*⁵ x dx = —

344) J

sin⁴#cos²#d# =

ni — 1 r n    m J

sin”+¹ x cos^H⁻¹ x P-fl p-\- n-\- 2

P ~h 1 'sin⁵# sin:i# sina:

cosm~²x sinnxdx

sin”x cos^+2xdx

346) r

16 J C°S

sin⁴# 4sin²# 8lcos#

I ⁷ '

24

sin⁵#cos²#ć2# = sin⁰#----

5

Aufgaben dieser Art können auch so behandelt werden:

15

15

346)

sin² x cos² x dx =

I sin² x (1 — sin² #) dx ^    fsin³#

r sin:

I⁴

sin x

cos# -f-

oc «

³⁴⁷⁾ J

sin³#cos³#<7#=

J*sin⁸#(l— sin²#) cos#d#    ^

sin⁴# sin⁶#

348)

c . o ,,    , cos⁹# cos⁷#

I sin⁶ # cos⁶ x dx — ——

349) f

sin⁴ # cos⁵# dx =

I sin⁴ # (1 — sin² #)² cos # dx ^    sin⁵# 2 sin⁷#

sin⁹ x

sin)l #

cosn# sin#

Wird im ersten Integral sin x — y, im zweiten cos # = y gesetzt, so wandeln sieli dieselben um in:

— dx

cos #

dx.

und jprn'ty-

Die Division wird ausgeführt, der Quotient integriert, in dem Restbruch aber vor der Integration die umgekehrte Substitution vollzogen, weil so ein leicht ausführbares Integral entsteht. sin³# cos# sin⁶# cos#

352)

J sin #

353)    fS£ü J sin#

sin#

350) j*

35,) f

354)

355) J*

dx

sin²#

dx = —

lg cos #

u

sin⁵# sin³# .    . , J /    .    \

3--sin # —|— lg tg I -f J

dx = CQ^ X    cos # —}— lg tg

ö

cos⁴# . cos²# , ,

2--h lg sin #

dx

cosw #

dx =

(n — 1) cosn_1 #

tc! «

cos#

dx =

(n— l)sinw_1#*

Statt mittelst der Formeln 341) und 343) negative Exponenten zu reduzieren, können derartige Aufgaben auch so behandelt werden:

sinTC#

356) J

sin⁵ # cos⁴#

dx —

sin #(1 — cos ²#)² dx

cos⁴ #

3 cos³#

cos#

--cos#

357) r

COS³ X

sin²#

dx =

sin#

358) J

cos⁶#

sin⁵#

dx = j^cos⁴ #

359) J

sin⁴#

cos³#

dx =

— sin³#-}

25>cos²# . 15~| cos#

' ~8^J sïnr

# -t- g tg 2

3 sin#

tel

360) J

sin⁷# ,

—7— dx — cos⁴#

sin⁶#

2 sin⁴ # -Ą- 8 sin² # —

3 j cos³#

16

361)

J sin # cos #

= lg tg #

362) J

dx

sin²# cos²#

= — 2 cotg 2#

363) |

dx

sin³# cos#

2 sin²#

f lg tg#

364) f

dx

sin²# cos⁴# 3 sin#cos³# 3

- cotg 2 #

365) jtg

Durch teilweise Integration erhält man:

tgn-i x

n— 1

j*cotgw-2 x dx

n x dx = f sin” x cos⁻" x dx —

x dx

366) Jcotgnxdx =

COtg,l_1#

367) ftg»

368) jtg

n — 1

x dx = ^ tg⁴ x —~ tg² x — lg cos x

^tg⁷# —-^tg⁶#-f-|tg³# —tg#-f # cotg⁵# . cotg³#

x dx =

369) j*cotg

xdx = —

370) |cotg⁷

xdx —

cotg x — x

cotg⁶# . cotg⁴# cotg²#

lg sin#,

eax sinbx dx =

eax cos bx

>-J

sH a

eax cosbxdx

eax cos bxdx — —

eax sin bx

Sr-' S

ea;rsin bxdx

Wird je eines der beiden Integrale eliminiert, so erhält man:

(MX

a²-f b*

(MX

ä* + b

Setzt man in beiden Formeln —x statt x daraus die folgenden hervor:

sin bxdx

³⁷¹⁾J

372) J

eax sin bx dx

eaa;cos bx dx

373) Je

[a sin&Æ— b cos bx]

2 [a cos bx -}- b sin bx].

so gehen

^-1* it/

a2~_|_ [a sin bx -f- b cos bx\

ß—ax    ^

a2[a cos — b sin bx\ eax sin mx cos nx dx — Jeax sin (m    n) x dx

-f- £ Jeax sin (m — n) æ dx

eaarsin⁴ bxdx== ~^eax (cos 4&æ — 4 cos 2bx -[- 3) dx 377) Jeaa7 cos sbxdx = -^Jea:c (cos 3b x -f- 3 cos bx) dx x¹¹ sin x dx = — xn cos x

374)

376)

378) J

379) J

—ax

ß—tix cog b x dx

xn~l cos xdx

xn cos x dx = xn sin x —

"j

xn-i gjn x üx

380) ^äz =

COSÆ

sin x

38I) j

xn

dx =

COS X -,

—n—xdx xn~l

rsin#

(n — 1) xn~l n — 1J xn—¹

in — 1) xn~l 1 n — COSÆ

Wird cos x =

²    X

YJ^yî gesetzt, so ist y — tg — und

382) f dx

2_f_dy

a-j-cosæ a— lj ₂ . a —f-1

r + ä

]/a

=== arc tg y J/ -

— 1

—, wenn -

« +1    a

a -f-1

T>°>

383)

i.

dx

-j- eos x j/f

Für a — 1 ist

Ç dx Ç

J 1-fcosa; J

— a;

dx

2 cos²

L4

y—

te

toi &

a -f-1 wenn — a —

y² — 1

Ebenso findet man für sin^ = p-q--, dass y = tg

toi

und

dx

a-j-sina; a-f-1

-,

dy

2/² + -

j/a² — 1

arc

a —j— 1

a — 1

wenn —> 0

a + 1

y—

j/l — a²

te

ÿ+|/ï

wenn

a-f-1

Für a = 1 wird

1 -j- a

385) J

dx

dx

1 -f- sin x

2 sin²

toi H

= — cotg

386) j

cosa;

387) j*

a -f- cos x sin x

a-f- sina;

dx —

dx =x—

“I

dx

dx — x —

dx

388) J

dx

Ja -f- sin x

a -f- b sin x -j- c cos x

==S

S=m

Ç____dx____ f___dx _

J ma -f- mb sin a;-J- me cos x    J wa-J-sin/l sina;-f-cosÀcosa; ’

,_—- gesetzt wird.

yb^Ą- c²

wenn m& = sinÀ, mc = cos A, also m

Weiter ist À = arc tg ^ und

dx

am-\- cos (x—À}’

Hiermit ist das gegebene Integral auf 382) zurückgeführt.

³⁸⁹⁾

COS X

]/2

= lg- tg

(i+ ).

K i-t

Ist ma — 1=0, oder a = |/è²c², so ist:

dx

390) J

c sin x — b cos x

a-\- b sin x-\-c cos x a a -f- b sin x -j- c cos x '

Bestimmte Intégrale.

In die Integrale, wie sie bisher betrachtet wurden, ging stets eine willkürliche, unbestimmte Konstante ein; deswegen nennt man sie unbestimmte Integrale. Ist für die Konstante einmal ein Wert gewählt worden, so darf im Verlaufe der Bechnung nicht ohne weiteres eine Änderung dieses Wertes vorgenommen werden: dann ist das Integral nur eine Funktion der Veränderlichen x. In dem Ausdrucke

(f(x) dx = F(x) + C

ist es ja nun ohne Bedenken, dem x auf der rechten Seite einen festen Wert, etwa &, beizulegen und F(b)-\-C zu schreiben. Das geht aber links nicht an, da das Symbol dx nicht in db übergehen kann, weil für eine konstante Grösse b der Zuwachs Ab stets Null ist. Man müsste also anders schreiben, etwa

J* f(x) dx.

oder bequemer

Man hat daher

J⁶ f(x)dx = F(b) + C.

Ebenso ist für eine andere Konstante a

j'af(x)dx = F(a) + C\

und also innerhalb derselben Rechnung

JYO) da — j*Y(x) dx = F{b) — F (à).

Die linke Seite kann man bequemer schreiben

JYó*0 dx = F(b) — F{a) = [F(&) + C] — [F(a) -f CJ. (11)

Dieser Ausdruck heisst: Das bestimmte Integral. Er ist von der Wahl der unbestimmten Integrationskonstanten unabhängig geworden und daher stets gleich der Differenz aus den Werten des unbestimmten Integrals für die obere und für die untere Grenze unter Annahme der gleichen Integrationskonstante für beide.

Aus (11) folgen die Formeln:

J* fix) dx +f(x) dx = [Fib) - F(a)\ + [F(c) - F (b)] = F(c) — F(a) =|C f{x) dx. j*C fix) dx —(b f(x) dx = J*C fix) dx. fC fix) dx — fC fix) dx = P fix) dx.

J a    J b    Ja

fÖ fix) dx = — (a fix) dx.

Ja    Jb

(12)

(12a)

(12b)

(13)

Nehmen wir als obere Grenze eine Veränderliche u, so wird

fix) dx =F{u) — Fia)

eine Funktion allein von w, nicht mehr von x. Nach der Definition des Integrals gilt die Formel

(14)

Der Differentialquotient des bestimmten Integrals nach seiner oberen Grenze ist gleich dem lntegranden

Aus (13) folgt, wenn wir die untere Grenze veränderlich machen

d f(x) dx = — f(v).

dv

(14*)

Schreibt man (14) in der Form

(14»)

Çu

d I f(x) dx = f(u) dît,

so erkennt man, dass der Zuwachs des bestimmten Integrals bei veränderlicher oberer Grenze gleichzeitig mit dem Zuwachse dieser Grenze unendlich klein wird, falls /“(»<) endlich bleibt.

Es ist folglich das bestimmte Integral eine stetige Funktion seiner oberen Grenze. Dabei kann der Inte-grand unstetig werden, d. h. es darf (vgl. S. 76, Z. 16 ff.) f(x-\- 0) von fix— 0) verschieden sein. Geschieht dies z. B. an der zwischen a und b gelegenen Stelle c, so müssen wir jetzt definieren

f fix) dx = fC °f(x) dx -f- P    fix) dx

ja    Ja    J c-t-0

= F{b)-F(c + 0) + F(c-0)-F(a).

Bedenkt man die Bedeutung eines Differentials, so kann man (14b) in der Form

f(x)dx = f(u)Au

fuĄ-Au    pu    pu-\-Au

f{x)dx—\ f{x)dx=\

Ja    Ja    J u schreiben, wenn man unter Au einen beliebig kleinen Zuwachs versteht. Dadurch erhält man der Reihe nach

a-yAu

f{x) dx — Au fia)

x — Auf{a -f- Au),

u-\-Au

a 4-2 Ait

— Auf(a -f-2 Au),

und durch Summierung von n solchen Gleichungen

a-\-nku

f(x) dx — Au \f(d) f (a -\- Au) -\- f (a    2 Au)

+ • ••+/*(« + (n—l)Au)\.

Wenn man hierin nAu — b— a setzt und dabei zugleich n ins Unendliche gehen und also Au zu Null werden lässt, dann entsteht (15) f f(x) dx = lim ô [f{o)-\-f{a -]- d) -f- 2 <?)

i=0    +... + /Ï& — ô)].

Diese Formel giebt eine Definition des bestimmten Integrals ohne Vermittelung des unbestimmten und ermöglicht dadurch auch eine direkte Berechnung. Wir wollen ein Beispiel dafür geben :

= lim ö. ea -

— lim

da die Grenze des Quotienten sich nach den Regeln der Differentialrechnung als 1 ergiebt.

Es kann Vorkommen, dass der Integrand f{x) für einen Wert c zwischen a und b unendlich gross wird, und dass man trotzdem dem Integral einen Sinn geben kann. Wir setzen nämlich als Definition in diesem Falle

fC àf(x) dx lim (b f(x)dx, J a    *==oJ

c-[- «

= lim <f=o

unter der Voraussetzung, dass jedes der beiden Integrale rechts einen bestimmten endlichen, von ô und bezw. von e unabhängigen Wert auch für den Grenztibergang besitze. So ist z. B.

Ç* dx    ri

dx

dx

—d

jo^^-njo ÿix^T)

keinen Sinn hat.

Eine ähnliche Erweiterung des Integralbegriffes ist auch in dem Falle möglich, dass eine oder dass beide Grenzen ins Unendliche gehen. Hier setzt man als Definition

(d positiv)

j:

dx

Ç1-6

*=oj 0 l

lim

dx

dx

— lim

â = 0

hlimP -, _

•=oJi+.^/(œ— l)²

lim ("3 (x —1)*1

e = 0    Jx—l-f*

3 — lim 3 d* — lim 3 s* -j- 6 = 3

v(x—i y

[1 - -1 'Y ‘

=9

während

<î=0

fix) dx = lim f Sf (x) dx

Ja    ó=0J a

unter der Voraussetzung, dass das Integral rechts einen bestimmten endlichen, von d unabhängigen Wert auch für den Grenzübergang besitze. So ist z. B.

e~x dx — lim <1=0

C°e~x dx = lim

<î=o J 0

= 1 — lim e à = 1 •

während

( °°ex dx keinen Sinn hat. Ähnlich ist aufzufassen

Jo    1

<1=0

[Ôf{x)dx-\- lim f f(x)dx.

Jo    t=oJ .

- 00

Aufgaben.

391)

b

mxn dx

(bn+¹ — a”^¹)

()4

³⁹²⁾ j⁺2

x⁴ dx = — -5

Cb    2a&-|-&³ — 2a² — a²5

I [a -j- bx) dx —------

Ja    &

394) J (2x-\-3x²)d% — 36 1 + ^-

395)

'0

13

dx = —

48

s r 3

39Ö)

‘Sa x~ — 3a x

a; — 4a

dru = a²

«fc-l'ST

(y-31g 2)

-3Û8)

i:

dru

7t

0 ru³ -|- a² 4a

399) r~

dx

400) J⁷

«    h-¹

2 ru ²2 ru —

₃dx= 4,S⁶ + |¹S²

401)    J druj/rû

402)    j*⁷ dx j/ru-J-2

403)    J*adru|/a² — x

404)    J*a3ru[/ru²-f- 4a² dre = a³ (5[/ô — 8)

405)    J®

dx

38

a²7r

4°6) j;

4°₇₎ j;

408) Ja

l/a² — x²

-₇JL=dx=l

yï—x²

-₇4=d» = |(/2 j/2 -j- 4 ru 2

dru =

ru²

3a²7r

|/aru — ru2 409) j*'? dru j/2 Jru

— ru²-

&²?r

4i°) j;

x2n

|/l — ru²

dru

1.3.5....(2w— 1) 2.4.6..........2w

tel ïi

⁴¹¹⁾ l

1 x‘lnJrl

dx

2.4.6..........2 w

412)

r.

l/l — z*

ex dx = e — 1

3.5.7 . .(2n

1)

⁴¹³⁾ SI

xc^dx = 1

⁴¹⁴⁾ l

2

eax dx =

e2a — 1

JT

e~ax dx =

⁴¹⁶⁾ J

+i

ax dx =

a²—1

a lg a

⁴¹⁷⁾ J

2 dx

= lg2

418)    j*e x² lg x dx

TZ

419)    f* sin x dx = 1—j/0,5

420)    J*

1 -f2e⁸

CO

2a sin — dx = 4a

421)

cc a o

j>

cosæ

422)

i:

sinmæ

_ 1) dx = 0,6848.... = |/3 — | 1 — cos mn

⁴²³ So

cos mxdx =

sin tu7i

424)

i:

sin 2 ax dx = 0, wenn a ganzzahlig ist.

toj S

sm²2xdx = ^

426) f

sin 2nxdx =

to a

I.

cos 2nxdx

1.3.... (2n — 1)

2.4.

JC

427)

J.

sin2/l+¹ xdx —

J.

cos 2n+lxdx —

<N ICO

. ... (2» + l)

428) f ² (cos⁴ a;— cos⁶x)dx = £r J 0    32

ît

429) P

sin³# c?a; =

iO

14

j‘(i

3/r

dx — —-

32'

Man setzt a; = sin³ ^, und p => 0 für a; =* 0, <p = x = 1 als Grenze.

toi a

für

7Î

⁴³¹⁾ J7

e2a:sin²a;cZa; =

3en—1

TT

434)

"2"

o ï cos a;

12

Dölp, Aufgaben.

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

§ 1. Tangente und Normale ebener Kurven.

Wird an die Kurve y = f(x) durch den Punkt (æ, y) eine

du

Tangente gelegt, so ist deren Steigungsmass — ~ (S. 8), und ihre Gleichung:

(1)

wenn X, Y die variahelen Koordinaten eines auf der Tangente beweglichen Punktes und x, y die Koordinaten des Berührungspunktes bedeuten. Erscheint die Kurvengleichung in der

TS ns

Form: f(x,y) = 0, so muss für

der Wert

df Bf dx ' dy

substituiert werden; man erhält dann als Gleichung der Tangente:

(2)

₍r-y)g+(x-x)^=°.

Diese Form der Gleichung der Tangente kann sehr leicht aus der homogenen Form der Kurvengleichung abgeleitet werden. Bezeichnen wir durch f(x, y, z) = 0 eine homogene Funktion vom wten Grad, so ist nach Euler:

(3)

* JryjyJrzyg==nf^⁸')==Ç)'

Wird in (2) für — stituiert, so entsteht:

(•

der Wert z

<X1    —k

sub-

df x-Udf V-Ud * dxX+dyY+d *

= 0.

(4)

Um (2) aus der gegebenen Kurvengleichung zu gewinnen, macht man sie also homogen, bestimmt die D.-Q.

df df

dy'¹ dz

und setzt dieselben in (4) ein. Wird dann z= 1 gesetzt, so geht (4) über in (2).

Beispiel: ^ +

1 = 0 ist die gewöhnliche, ^ -j-    —z² = 0

df 2x df 2 y

die homogene Form der Ellipsengleichung,

n

- =— 2z. Homogene Form der Tangentengleichung:

xX yT a* *'F    ⁼°-

= 1 giebt    1 = 0 als ge-

wohnliche Form der Gleichung der Tangente.

Wird der Lauf einer Kurve durch die beiden Gleichungen

dy dy dx dx dt ’dt

und

bestimmt: x = <p(t),

die Gleichung der Tangente:

Ist endlich r = fit) die Gleichung einer Kurve auf

Polarkoordinaten bezogen, so ist: x = reost\ y = rsmt;

dx dr    . dy dr .    .    ,

T7 ⁼⁼ cos t — r sin t ; ~ = -z- sin 14- r cos t dt dt    dt dt

Die Normale. Unter der Normale verstehen wir die gerade Linie, welche senkrecht zur Tangente durch deren Berührungspunkt gelegt ist. Ihr Steigungsmass ist daher

=--—. Den verschiedenen Formen der Kurvengleichung

so ist

(5)

entsprechen die nachfolgenden Formen der Normalengleichung

12*

y=fix)

dy

(6)

ffa y) = o

(Y-y)

Sf

(?)

dy

= 0. (8)

Für die nachfolgenden Kurven soll die Gleichung der Tangente aufgestellt werden:

1) Hyperbel:

a²

_y.__i=o- Ts* _— i = o

62    U’ lg* a² 6²

2)    Parabel: y² — 2jp#=0; Tg: yF—p(X-|-#) = 0.

3)    Neilsche Parabel: x³—py² = 0;

Tg: 3#²X—2pyY—py² = 0.

4)    Cissoide: y²(2r — æ)— æ³ = 0;

Tg: 2y(æ — 2r) F+(3^²+ y²) X — 2ry* = 0.

5)    Descartessches Blatt: &³— 3a#y-|-«/³ = 0;

Tg: (x²—ay)X-|-(j/²— a«) F—axy = 0.

6)    Die Lemniskate erhält man in folgender Weise: Zwei Punkte A und B sind durch ihre Entfernung AB— 2e

Fig. 12.

gegeben; man soll den geometrischen Ort aller Punkte M finden, die so liegen, dass das Produkt der beiden Leitstrahlen MA und MB konstant ist. Für MA = r, MB=r₁ muss rxr₁=a²sein. CA — CB — e; CB=x, MP=y] [y² + (e + ^)²]b² + (e —^)²] = a4i (2T + *²)² = 2 e² ([x² — y²) -|- a⁴ — e⁴. entspricht die Gleichung:

Dem besonderen Fall a = e

(ic² —j— 3/²)² — 2 a² (a:² — y²) = 0.

Durch die Substitution: x = rcost, f/ = rsin£ erhält man als Polargleichung: r = a}/2cos2£ = b\/vQs2t

Wird in einem Kreis senkrecht zu einem Durchmesser eine Sehne =2a gezogen, so zerlegt dieselbe den Durchmesser in 2 Teile, deren Produkt = a² ist, und die deshalb als Leitstrahlen zur Konstruktion eines Kurvenpunktes benutzt werden können.

Als Gleichung der Tangente findet man:

(x²-\-y²—a²)xX-\~ {x²-f-y²-f- a²)yY-{- a²{y²—x²) — 0

7) Logarithmische Linie: y = ax\

Tangente: Y—y = (X — x) ax\ga.

8) Kettenlinie: y =

(X — x).

_ |/yg — m²

Tangente: Y — y =

ist, so

rn

Da tg a =

findet man den Richtungswinkel a einer Tangente, indem man aus der Ordinate des Berührungspunktes als Hypotenuse und m als Kathete ein rechtwinkeliges Dreieck konstruiert.

9) Die Cykloide. Wenn ein Kreis (Fig. 13) eine Gerade AB in A berührt und dann auf der Geraden hinrollt, so beschreibt der anfängliche Berührungspunkt A eine Cykloide. Jeder vollständigen Umdrehung entspricht ein Kurvenzweig. Es sei AP=x, MP=y, MC=a. Der Winkel zwischen CM und dem Radius CB zum neuen Berührungspunkte sei t₁ so ist su'c3IB = at. Da AB=a,rcMB₁ so ist x — AB = AB — MB = a (t — sin t) ; y — MP — CB — CD = a (1 — cos t). Beide Gleichungen bestimmen züsammen den Lauf der Cykloide. Wird t eliminiert, so erhält man: x = a arc cos

1/2^7*.

Fig. 13.

wm

/ A P 3^

Jf

Gleichung- der Tangente: Y — y — (X — æ)cotg

„ Normale: Y — y = — (X — x) tg -.

Um zu beweisen, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, zeigen wir, dass X=at, Y= 0, die Koordinaten von B, in Verbindung mit x — a(t — sin£) y = a(l — costf), den Koordinaten von M, der Gleichung der Normale genügen.

10) Die Epicyldoide. Rollt der Kreis, dessen Mittelpunkt C ist (Eig. 14), mit seiner konvexen Seite auf der konvexen Fig. 14.

ST

,a

Seite des festen Kreises mit dem Mittelpunkt A hin, so beschreibt Punkt M bei einer Umwälzung des rollenden Kreises den ersten Zweig einer Epicykloide. Der rollende Kreis und der Bahnkreis berühren sich von aussen.

MP=y.

Es sei AB = r, CB = a, AP=x Die Winkel EAB und MCB werden mit t und tx bezeichnet; folglich hat man arcBE = rt, arcBM= at

arc BE

Y t

= arc BM, oder rt = at₁, d. h. tx = — ; x= AH

(X

t] y = CH— CD]

co

cc

A-DM\ AH= (a-j-r) cos£; DM=asin — — a cos (t -j- tx) = — a cos

CH ={a-\-r) sin t ; CD = a cos^ć-}-^ —    —a sin(^-f-^)

So erhält man als Gleichungen der

= a sin

t.

Epicykloide:

x = (a -f- r) cos t — a cos

y — (a r) sin t — a sin

/ a r\

V a /

t.

/ Y I 9 (/

Gleichung der Tangente: Y — y = (X — x) tg ( ——

—t Cl

r-j- 2 a

. w Normale: Y— y=—(X—æ)cotg|

Soll wieder bewiesen werden, dass die Normale in M durch den Berührungspunkt B des Erzeugungskreises geht, so muss man zeigen, dass X—rcost, F=rsin£, die Koordinaten von _B, in Verbindung mit den Werten für x und y die Gleichung der Normale befriedigen.

11) Die Cardioide ist ein besonderer Fall der Epicykloide; er entspricht der Bedingung a = r. Ihre Gleichungen sind daher: x = 2 a cos t — a cos 21 = a (2 cos t -J- 1 — 2 cos²1) ; y — 2 a sin t — a sin 2 t = 2 a sin t (1 — cos t).

System in der Weise transformiert, dass man a — x statt x

2a

t.

Wird das

I/x* -\-y

setzt, so erhält man: x = 2a cos t (cos t ■—1); cos t

= — tg

=; x2~\~y^ — 4a²(1 — cos£)²; (x²-\-y²)

— 4 ax(x²-\-y²)— 4a²?/² = 0. Setzt man: x = r cos^? y = rsin<p, so gewinnt man die Polargleichung:

r — 2a (1    cos <p) = 4a cos²^.

u

12)    Lässt man in den Gleichungen der Epicycloide — a an die Stelle von -]-a treten, so erhält man die Hypo-cykloide, wenn r>a, dagegen die Pericykloide, wenn r < a ist. Bei der Entstehung der Hypocykloide wird der rollende Kreis von dem berührenden Bahnkreise umschlossen. Bei der Entstehung der Pericykloide um-schliesst der rollende Kreis den berührenden Bahnkreis.

13)    Die archimedische Spirale: r = at, oder x = at cos t, y — at sin t.

Tg.: (Y—y) (cost—tsmt)— (X—a?)(sinć-f-żcosć) = 0. 14) Die logarithmische Spirale: r = at. rp„. Y—y lg a sin t -f cos t X-*“

lg a cos t— sin t

&(=Steigungsmass d.Tg.)

Das Steigungsmass hx des Leitstrahls ist gleich tg£.

d. h. dass

^^

Man kann beweisen, dass tgv = -—. . ¹ —

1 —k/cx lg a

der Winkel v, welchen die Tangente mit dem Leitstrahl bildet, bei dieser Kurve konstant ist.

ś 2. Doppelpunkte, Rüekkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte.

Wenn in Formel (2) durch die Koordinaten des Berührung^-

dy

Qj

4-

= 0 wird, so nimmt die unbestimmte ctx

punktes — 0 und

Form ^ an, und damit erscheint für diesen Punkt, (den wir als im Endlichen gelegen annehmen), auch die Richtung der

Tangente in unbestimmter Form. Als wahren Wert dieses unbestimmten Ausdrucks finden wir:

Cb Cb

dx

Cb

Pf , Pf dy

dx² ' dxdy dx

Pf , Pf dy⁷

dydx'dy² dx

dx

und daraus folgt:

d²f

dx dy

vm

d²f d*f dx² dy²

d-f

(9)

Vorausgesetzt, dass dieser Ausdruck nicht gleichfalls un-

im allgemeinen zwei ver-

bestimmt wird, giebt er uns für

schiedene Werte, und daraus folgern wir, dass die Kurve in diesem Punkt zwei verschiedene Tangenten besitzt, was nur dadurch möglich wird, dass sich 2 Kurvenäste in diesem Punkt durchschneiden. Ein solcher Punkt wird Doppelpunkt genannt. Damit aber die beiden Werte reell und verschieden ausfallen,

d² f d-f dx² dy²¹

so fallen die beiden Tangenten in Eine zusammen, die Kurven-schleife verschwindet alsdann, und der Doppelpunkt wird zu

2 d²f d²f

<dx²'dy²

wird ^ imaginär. Der Punkt gehört dann der Kurve an, lässt

ctx

aber keine Tangente zu, weil er mit den übrigen Teilen der Kurve nicht in Verbindung steht. Wir nennen ihn einen isolierten oder konjugierten Punkt. Doppelpunkte, Rückkehrpunkte und isolierte Punkte haben hiernach die gemeinsame Eigenschaft, dass ihre Koordinaten den Gleichungen:

muss

/ d²f \2 [dxdy)

d²f d²f dx² dy²

sein. Ist dagegen

( m

\dxdyj

einem Rückkehrpunkt. Wird endlich

dy

/ d²f \ \dx dy)

so

fix, y) = O, genügen müssen. Aber man hat: Einen Doppelpunkt,

u-o. y.-o

Sx

Sy

(10)'

wenn

„    Rückkehrpunkt,    „

„    isolierten Punkt, „

Wird aus (9) der Wert für

/ ô2f \ 2

y c’a: <9 J

S~f S²f Sx'² Sy²

in (1) substituiert, so entsteht die für die Variabelen X und Y quadratische Gleichung:

W-y)

2d:f

S²f

Cb

+ (X-x)²

'+2 (Y-y)(X-x)

SxSy

deren geometrischer Ort aus den beiden Tangenten des Doppelpunktes besteht. Für den Rückkehrpunkt bildet die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Quadrat.

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen: x = <p{t), y — <f>{t) gegeben, so wird für den Doppelpunkt die Gleichung (5) der Tangente nicht unbestimmt, und das Kriterium des Doppelpunktes wird ein ganz anderes, als bisher. Der Doppelpunkt hat dann die Eigentümlichkeit, dass zwei ganz verschiedene Werte von t gleiche Werte für x und gleiche Werte für y erzeugen müssen. Wir drücken diese Bedingung so aus:

x = <P (*) = <P (ßi) 5 V = </> (0 = <P (*i) •

Die Lösungen beider Gleichungen sind die Parameter der Doppelpunkte. Werden die zusammengehörigen Werte t und tt nach einander in (5) substituiert, so erhält man die beiden Tangenten des Doppelpunktes.

Rücken die Werte t und tt, welche einem Doppelpunkt entsprechen, einander immer näher, so wird die Kurvenschleife immer kleiner und verschwindet zuletzt ganz, wenn t mit t1 zusammenfällt. Der Punkt wird dadurch ein Rückkehrpunkt; für ihn muss nicht nur <p{t) = <p {tf),    (tf) sein, son

dern auch G mit t zusammenfallen. Nun sind für den Doppelpunkt die Gleichungen erfüllt:

<p (0 — <p (*i) _ ₀

t — t

J

Sy

(12)

(*(<)-(* ft) n

t — t,    '

wie eng auch die Kurvenschleife gemacht werde. Diese Gleichungen bleiben also auch für den Grenzfall bestehen, d. h. wir haben für den Rückkehrpunkt:

Umgą-rfo)-o

t — 13 dt = 0’

Der Richtungskoefficient unbestimmten Form ^

dx

lim »»W-ffeUo, z — z^

^ = 0.

oder

dt

(13)

dy    dy dx

dx    dt 'dt

und hat den wahren Wert

erscheint jetzt in der dry d~x dt² ' dt² *

Die Gleichung der zusammenfallenden Tangenten eines Rückkehrpunktes ist dann:

(14)

Es wird nicht überflüssig sein, den Rückkehrpunkt noch aus einem andern Gesichtspunkt zu betrachten.

Wir nehmen auf einer stetig verlaufenden Kurve drei unendlich nahe liegende Punkte, die in der Anordnung 1, 2, 3 auf einander folgen, wenn man die Kurve von einem beliebig gewählten Anfangspunkte bis zu einem beliebigen Endpunkte durchläuft. Wir ziehen im Punkte 1 und im Punkte 2 die einseitigen Tangenten im Sinne des wachsenden Kurvenbogens, d.h. die geraden Verbindungslinien, welche von 1 über 2 hinaus resp. von 2 über 3 hinaus einseitig verlaufen. Die Kurve heisst im Punkte 2 stetig gekrümmt, wenn diese einseitig gezogenen Tangenten einen unmessbar kleinen Winkel mit einander einschliessen. Dagegen findet in der Stetigkeit der Krümmung eine Unterbrechung statt, wenn die beiden Tangenten einen endlichen Winkel einschliessen. In diesem Falle wird der Punkt 2 eine Spitze genannt. Ein Rückkehrpunkt ist eine Spitze, in welcher die Tangenten 1, 2 und 2, 3 einen Winkel von 180° mit einander bilden. Um sich davon zu überzeugen, braucht man nur den Rückkehrpunkt aus dem Doppelpunkte entstehen zu lassen. Nimmt man zuerst die Punkte 1, 2, 3 in endlicher Entfernung, so hat man jetzt die Punkte 1 und 3 in den Doppelpunkt zu legen und den Punkt 2 an irgend eine Stelle der Kurvenschleife. Die Sehnen 1, 2 und 2, 3 fallen dann in dieselbe gerade Linie, aber ihre Richtungen sind entgegengesetzt. Sie schliessen einen Winkel von 180° Grad ein. Dies bleibt gültig, wie eng man auch die Schleife machen möge. Es gilt auch noch für den Grenzfall einer unendlich engen Schleife, d.h. für den Rückkehrpunkt. In diesem Falle ist die Sehne 1, 2 in die letzte Tangente vor dem Rückkehrpunkte übergegangen, die Sehne 2, 3 in die erste Tangente nach dem Rückkehrpunkte. Beide Tangenten hat man einseitig im Sinne des wachsenden Bogens zu ziehen. Bei dieser Auffassung erhält man aus (14) die Gleichungen der beiden Tangenten einzeln genommen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung (14) die Quadratwurzel auszieht, und der ausgezogenen Wurzel links einmal das Zeichen -j-, das andere Mal das Zeichen — vorsetzt.

15)    Die Lemniskate: (x*-\-y-y — 2a~(x²— y²) = 0 hat in æ = 0, y = 0 einen D.-P., dessen beide Tangenten: Y=-^X unter Winkeln von 45° und 135° die X-Achse durchschneiden, also zu einander senkrecht sind.

16)    Cissoide: ?/²(2r— x)— x³ = 0; Rückkehrpunkt: x = 0, y = 0; Tg.: r²=-0.

17)    Neilscke Parabel: x³—py* = 0; Rückkehrpunkt: x = 0,

y = 0; Tg.: r² = o.

18)    / = x⁴ -}- a²x²—a²?/² = 0; D.-P.: x = 0₁ y == 0; Tg.:

r= + x.

19)    f=xz-\-xy²—2x² — 2y-|-2 = 0; Rückkehrpunkt: x = l7 y = 1; Tg.: (Y+X—2)² = 0.

20)    f=y²—a?³— £c² = 0; D.-P.: x — y = 0; Tg.: Y= + X.

21)    f=xi-\-yi — 2a²y² — 2h²x² -(-ft⁴ = 0; D.-P.: x — +

y = 0; Tg.: r=±l|/2(X+&); Y=±hY^(X-V)

(l    W

22)    f = x* — 2 aiß — 3 a²y² — 2aLxi -f- a⁴ = 0; D.-Pxi=a, ÿ, =0; 3 = —a, y₂ = 0;_a?₃=0, ys = — a; Tg.:

Xz—a.

7i-±

|/    r,=±[/|(X,+a); r,=±|/f

Rückkehrpunkt : x = a,

23)    f=(y-by-(x-a)* = 0; y = b-, Tg.: (F-6)*-0.

24)    = 5^/² —}— 10i/ — a;³ —j— 2rc² —j— 5 = 0. Der Punkt x = 0, y — — 1 ist ein konjugierter Punki

25)    f= (y — x)~ — x's = 0 ; Rückkehrpunkt: x = 0, y = 0 ; Tg.: Z=X,

26)    f=ay~ — xs-\- bx² = 0 ; æ = 0, y = 0 ein konjugierter Punkt.

27)    f—y²— (2 — a:)²(l— x) — 0y x = 2, y = 0 ein konjugierter Punkt.

28)    Fusspunktlinie der Ellipse: ax² -|-by² — (x² -J- y²)² — 0 ; x — 0, y = 0 ein konjugierter Punkt.

29)    y = ax-\-b\/&mx — 1 stellt ein System isolierter Punkte

5 an

—, usw., die

u

dar: ^ =

toi a

a 7i

5 TT

i 2/i    2 ’ *^2    2 ’

alle auf der Geraden y — ax liegen.

30) Die Cykloide: x=a(t — sin£), y = a( 1 — costf); <p'(t) = a (1 — cos f) = 0,    (f) = a sin t = 0 Da beiden

Gleichungen die Lösungen t=0, 27z-, 47t, usw. genügen, so sind x₁ = 0, y± —■■■ 0 ; a?₂ = 2 «7r, y₂ = 0 ;    = 4a7r,

?/3 = 0, usw. Rückkehrpunkte. Die Tangenten sind senkrecht zur Achse.

31) Die Evolute der Ellipse: a²— b²

a²— b² .

-î-sin³1

b

hat 4 Rückkehrpunkte, welche den Parametern 0,    ,

cos³£, y

37r

71, — entsprechen.

Li

§ B. Krümmungskreis und Evolute.

Wählt man auf einer Kurve drei einander nahe gelegene Punkte 1, 2, 3, zieht die Sehnen 1, 2 und 2, 3, und errichtet in der Mitte beider je eine Senkrechte, so ist der Schnittpunkt dieser Senkrechten der Mittelpunkt eines Kreises, welcher durch die drei Punkte geht. Indem diese einander

immer näher rücken, werden die Sehnen immer kürzer und im Grenzfalle zu Kurvenelementen, welche zugleich auch dem Kreis angehören. Die beiden Senkrechten werden dabei zu zwei unendlich nahe gelegenen Normalen, und der Kreis selbst wird zum Krümmuugskreis. Die Stärke der Krümmung einer Kurve in einem bestimmten Punkt wird gemessen durch die Grösse der Krümmung des dem betreffenden Punkt zugehörigen Krümmungskreises, und da diese mit wachsendem Halbmesser = q abnimmt, so gilt der reciproke Wert dieses Halbmessers,

nämlich —, als Ausdruck für das Mass der Krümmung. Wir

beginnen mit der Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes für die Gleichungsform: x = <p{t)₁ y = <p(t\ legen durch zwei vorerst noch endlich entfernte Punkte x, y und xtl yx zwei Normalen und bestimmen ihren Schnittpunkt. Die Gleichungen dieser Normalen sind:

dx

(15)

(X—x)Tt+(F~

(16)

Die Koordinaten X und Y ihres Schnittpunktes genügen beiden Gleichungen. Die Gleichung (15) wird allgemein befriedigt, wenn man unter Benutzung eines noch unbestimmten Koefficienten m ansetzt:

dy

dx

Y=y+mTf

(17)

X=x-mdi'

Diese Ausdrücke für X und Y sind in (16) einzuführen; so erhält man eine Gleichung für m:

(x

dy

)£+(»+

TS

— 0i

dh = 0

dt₁

(x — x,) ^ + (0 —0i)

dydx₁ dx dy1 dt dt. dt dtx

dyx

TS

!_

(18)

Wird dieses m in (17) substituiert, so gewinnen wir den Schnittpunkt zweier endlich entfernten Normalen. Da aber jener Schnittpunkt unter der Voraussetzung gefunden werden soll, dass die Normalen unendlich wenig von einander entfernt sind, so ist in (18) ein Grenzübergang auszuftihren und dieser Ausdruck zunächst entsprechend umzuformen.

\x — xĄdx± . \y-yĄ yx

L*—»i L*—J k

dy dy,

äx dx₁

(19)

di

dtx dx

dt

dt,

dt

t — tx

t — tx

Geht man jetzt zur Grenze über, so wird:

/ dx\²    / dy\²

Ui±M)

(20)

dx d²y    dy d²x ’

dt dt*    dt dt²

Nun werden die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gefunden, wenn man dieses m in (17) substituiert:

J(Ë±M]

dxd²y dyd*x dt dt² dt dt²

\(dx\² IdyVAdx

LW ⁺ \dt) J dt

(21)

dxd*y    dy d'²x

dt dt²    dt dt²

Die Entfernung der beiden Punkte X, Y und x, y d. h. der Krümmungshalbmesser, wird nach folgenden Formeln berechnet:

Hfei'+tat

■rW+(sr

dx d'²y dy d*x dt dt² dt dt'²

Geht in dieser Entwickelung t über in x, so wird y = ÿ{x)

~j~ß — 0, und daher:

oder = f(x)

Sui SS

dy dx dx' dt ’

■+g)'

m—————,

d-y

(23)

dx²

d~y

dx²

TS TS

« l'sS

c^y * dx²

(24)

(25)

kV®?

dx²

Ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben und von der Form: r = f(t), so ist æ = r cos £, y = r sin t. Die Formeln (21) und (22) gehen dann in folgende über:

[(if) ⁺*'’J [ ......

-+•(!)

[(SM [s

Su Su

d²r

(26)

rdt²

cos t — r sin t

ra-f 2

<«>1 'S

(2²r

(27)

- -

dt²

d²r

(28)

Wenn endlich die Kurvengleichung in der Form f(x,y) = 0 vorliegt, so werden nach (7) zwei zunächst wieder endlich

von einander entfernte Normalen der Punkte x, y und xt, yx durch folgende Gleichungen ausgedrtickt:

v-^ër⁰-

Zur Bestimmung der Schnittpunktskoordinaten X, Y setzt man aus (29), ähnlich wie oben bei (17):

X—x_Y— y

{X-xx)

df

(29)

(30)

df

df

dx

dy

substituiert dann:

df

X=xJr m₁ ~,

df

Y= y -f mx -äf-

in (30) und erhält: — xx-\-mx

dy

(31)

(*

Cb! Cb

«-

y—y i + %

fcOÄ-»

(*!—«)

df df df 8f

df

dxdyx dydxx

mx =

dyx

(yi-y\

l xx — X J

df

dx j

df df

df df

(32)

df

dyx dy

dxx dx

df

xx—x J dy

dxY xx — x

Rücken beide Normalen unendlich nahe zusammen, so wird ihr Schnittpunkt zum Krümmungsmittelpunkt. Hierbei sind in dem Wert von mx folgende Grenzübergänge auszuführen:

yx — y dy ' xx—x dx'

Bf

dxx

dx' dyx dy

lim

df_ df dyx dy

'SS l'-K

Cb

xx —x Dölp, Aufgaben.

dx

' dTfdjL' x'dy^dx'

13

8f Bf

lim

8 xx    dx

Cb Cj

xx — x

dx

*'f , 3'f dy

Sx² 1 dxôydx' Bf 8f

W erden

dy

diese Werte in (32) eingeführt und —

so erhält man denjenigen Wert von m₁, welcher in (31) substituiert, uns X und Y als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes giebt. Man erhält:

dx ' dy

rnf: für jx gesetzt,

mx =

(djy /BfY

yoc) ' \8yJ

8²f

dx²

Cbl Cj

^ i~-+₁

B*f Bf Bf 8²f dxdydxdy dy²

(33)

v (%'+(%'

H(mt

(34)

(8fy

3²f 8 f8 f    8²f

dx 8y 8x8y    8y²

Man kann zu der Formel (34) auch dadurch gelangen, dass man von (23) und (25) ausgeht und dort einsetzt:

8f8f

dx ’ 8 y

8²f 8f 8f_8²ft \²

dx dy dx dy 8y'² (    )

8²f dx²

Cb Cb

a,

d²y

_8²f

dx²

dx²

(gfl⁺²

Oj Cb

Cb Cb

Hier ist leicht zu erkennen, dass m =    ist. Es ist

dy

also in (34) das positive oder das negative Vorzeichen zu

positiv oder negativ ist. Dann stimmen

wählen, je nachdem

die Werte von q aus (25) und (34) vollständig überein.

Wir bezeichnen mit v den Winkel, den der Krümmungshalbmesser in der Richtung von der Kurve nach dem Krtim-

mungsmittelpunkte hin mit der Richtung der wachsenden x einschliesst. Dann ist:

X — x

cosv =

\Z(x-xy+(Y-yy

sin v =

Y-y

y/{X-xf+(Y-,jY'

Durch diese Gleichungen ist eindeutig entschieden, in welcher Richtung vom Kurvenpunkte (x, y) aus man den Krümmungshalbmesser auf der Normale abzutragen hat. Man darf deshalb bei der Berechnung des Krümmungshalbmessers sich auf den absoluten Zahlwert beschränken.

Wir unterscheiden die konkave und die konvexe Seite der Kurve. An der Stelle, wo dieselbe drei unendlich nahe gelegene Punkte mit ihrem Krtimmungskreise gemein hat, kehrt sie dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkte ihre konkave Seite zu. Die konvexe Seite ist die abgekehrte.

Jedem Punkt der gegebenen Kurve entspricht ein bestimmter Krümmungsmittelpunkt. Der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte wird Evolute genannt. Die beiden Gleichungen für X und Y bestimmen zusammen mit der Gleichung der gegebenen Kurve die Gleichung dieser Evolute.

Die Elemente des Krümmungskreises für die folgenden Kurven zu bestimmen:

32) Der Kreis: x2Jry²— r²=0; ml =—X=0, Y= 0; q = + r. Der K.-K. fällt ganz mit dem gegebenen Kreis zusammen.

33) Die Ellipse: Æ = acos£, y = 6sin£;

_a²—b²

’    a

b²-a² . g —5—sin³G b

Wird aus beiden Gleichungen die Yariabele t eliminiert, so erhält man als Gleichung der Evolute: \/b² Y²

a² — b² „ o4 x ’

m=

a²—(a²—&²)cos²^

ab

ôos³£, Y

-j- ^/a²X² = v/(a² — b²)². Ferner ist X a² — b²

Y= —

13*

y²

34)    Die Hyperbel: -₂ —p m₁ =

Z=?!+1V, T

a⁴ ’ q = + a²b²

35)    Die Parabel: y²—2px = 0] mx

/x²    ?/²\ a²&²

= 1:

gł+ł*

6* y ’

(5+S)*

y2JrP².

X=3x-{-p,

X    y² — p^Y² in die Parabel-

(X-P)*-

Man sieht, dass diese Evolute die Neilsche Parabel ist, (S. 180). Weiter ist q = + ^{/(p²y²)s •

36) Die Cissoide: xz — y²(2r — x) = 0j mx =

Y=

X ==

gleichung substituiert, giebt als Evolute: F²

27^

— rx(12r—bx)

8r ]/ x

8r — 3x §x(2r—xÿ rl/x(8r~ 3x)?

3(2 r — x)² ’

3|/(2 r-x)'

3(2r — x)²

37) Die Kettenlinie: y =

toi a

_2x\ e a 1

/ ac _fc\

r+e »);

*n = y,

/ oc

(e“ + e a)

= 2 y;

Das Stück der Normale zwischen der Kurve und der Abscissenachse wird bei jeder Kurve nach der Formel

. Da man hiernach bei

— findet, so erkennt man, dass die a

berechnet: N=

der Kettenlinie N=

Normale dem Krümmungshalbmesser gleich ist. liegen von der Kurve aus einander entgegengesetzt.

Sie

38) Die Cykloide: x = a(t—sin£),y = a(l— costf); m =—2; X= a(t-f- sin £), F= — a (1 — cos t) = — y. Beide Gleichungen repräsentieren zusammen die Evolute der Cykloide. Setzt man t₁-\-n statt so wird X—a7r=a(t₁—sintfj, Y-\-2a= a{\ — eos^); wird jetzt X—an: durch Xv Y-f-2a durch Yx ersetzt, was einer Verschiebung des Anfangspunktes um an und —2a entspricht, so erhält man als Gleichungen der Evolute:

X₁ = a(t₁ — sintfj, Y₁ = a( 1 — costj, und daraus folgt, dass die Evolute eine kongruente Cykloide ist, die sich nur hinsichtlich der Lage dadurch von der gegebenen unterscheidet, dass ihr Anfangspunkt um an

und —2 a verschoben ist. Wir finden q — — 4 a sin

und da die Normale = 2asin — gefunden wird, so ist

LJ

der Krümmungshalbmesser der doppelten Normale gleich. Sie liegen von der Kurve aus nach derselben Seite. Um den Krümmungsmittelpunkt zu konstruieren, hat man die Normale nur um sich selbst zu verlängern.

39) Die Epicykloide: x = (a -j- r) cos t — a cos

(4-')

y = (a -f- r) sin t — a sin

(4-')

r-\-2a

r-\- 2a

(a -f- r) cos t -[- a cos

(-)f

r-j-2a

4 a(r-fa) . r

Q - —V~5—" sin r-j-2a 2a

(a -j- r) sin t -f- a sin ^ t i

t.

Der Kr.-Mittelpunkt wird auf folgende Weise konstruiert: Man zieht (Fig. 14) den Durchmesser MG, verbindet G mit A und verlängert die Normale MB; der Schnittpunkt K ist der gesuchte Kr.-Mittelpunkt und

41) Die logarithmische Spirale: r = al.

Hier ist m — 1 ; Z== — a* lg a sin F= a*lg a cos = al |/l -)- (lg a)². Um die Polargleichung der Evolute zu erhalten, setze

den Leitstrahl R = [/x² -(- Ÿ² — at\ga.

d. h. die Evolute

Wird

KM der Kr.-Halbmesser. Da GN parallel und gleich JBM ist, so haben wir

KB =

r-\-2a

GN =

KM--=

(■+rpa)

BM

r

.~~BM, r -{-2a

2 (a -}- r)

2 a-\-r

~BM

und

_2{a-\-r)

2 a sin -4

4 a (a -f- r)

rt

2a-j-r

40) Die Lemniskate: r = aj/cos2£. Es ist _    2 a cos³1

2 a sin³ t

sin —

2 a    Q'

a²

3 j/cos 2t ’

3 j/cos21

3 |/cos 2 * 3r Da Æ = rcos£, y = rsin^, so ist #²-f~2/² = a² cos 2£

oder cos 21 =

a²

Drückt man

^    3 |/^²-J-

sin²£ und cos²t durch die Koordinaten des Kr.-Mittel-punktes aus, so gewinnt man mit Hilfe der beiden Relationen: cos²£-f-sin²£ = l und cos²£—sin²£ = cos2£ die Gleichung der Evolute : 3 (X t -j- Y f) (X f —    = 2a.

man

lg a — a* gesetzt, so ist R = a*+ dieser Spirale ist eine gleiche Spirale, welche nur um den Winkel s gedreht ist.

§ 4. Die Wende- oder Inflexionspunkte.

Liegen drei unendlich nahe Punkte einer Kurve in einer geraden Linie, so wird der Krümmungshalbmesser an dieser Stelle unendlich gross. Es seien x und y die Koordinaten dieser Stelle. Dann werden hier auch X—x und Y—y unendlich gross. Andern diese Differenzen dabei gleichzeitig ihr Vorzeichen, wenn man, die Kurve stetig durchlaufend, durch den Punkt (æ, y) hindurchgeht, so ändert die Kurve an dieser

Stelle die Art ihrer Krümmung. Ihre konkave Seite geht in die konvexe über und umgekehrt. Ein solcher Punkt (x, y) wird ein Wendepunkt oder Inflexionspunkt genannt.

Wir verbinden die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Krümmungshalbmessers mit der Gleichung der Kurve und erhalten als Lösungen beider Gleichungen die Koordinaten aller Punkte, die Wendepunkte sein können. Sie sind wirklich Wendepunkte, wenn in ihnen der Vorzeichenwechsel der Differenzen X—x und Y—y eintritt.

Ist f{x,y) = 0 die gegebene Gleichung, so wird nach (34) q unendlich, wenn:

d*f /<9 A2 dx² ( dy )

d²f df df    d²f

dxdy dx dy    dy²

Die linke Seite dieser Gleichung lässt sich in Form einer Determinante schreiben. Alsdann lautet die Bedingungs-gleiehung:

= 0.

df

dx² dx dy dx d²f_ d*l df dx dy dy² dy

df df ₀

(35)

dx

dy

Wird die dritte Vertikalreihe mit (n — 1) multipliziert, die ganze Determinante durch (n — 1) dividiert, und 0 durch nf ersetzt, so erhält man:

d*f

dx² dx dy d² f d²f dx dy dy²

0 — l)

df

Bf

dy

= 0.

(36)

df

df

nf

d x dy

In der Determinante darf man die mit x multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Vertikalreihe von denen der dritten Reihe subtra-

hieren. Dadurch ergiebt sich für (n — 1 ) A die Determinantenform

ci ^ <f>

fû rû ^

d²f

ôxôy

d²f

dxdy

ce

df

dx

Cbl Cb «sS l-'h

f    d f

df d'f

^    ^3j~ ëxëÿ

df

- X^r-

Cb

nf

dx

<s$

<*>' ^ śsg

■ (37)

l~-s

Wird jetzt die gegebene Funktion f(x, y) = 0 in die homogene Funktion f(x, y, z) = 0 umgewandelt, so kann der

r) f    r) f    r)f

Lehrsatz von Euler: x~-\-y-J--\-e-^- = nf. wobei n den

dx    dy    dz    ' ⁷

Grad der Funktion anzeigt, zur Anwendung kommen. Da ferner

df df df

dx’ dy’ dz

~~ wieder homogene Funktionen sein werden, und

zwar vom (w — l)ten Grad, so ist nach demselben Satz:

Qj

dz dx

-\-y

d²f

dx dy

d²f

<N

dz dy

d²f

Sf

dx dz

d²f

dy dz

= (n-¹>Tx = (»-l)^    (38)

dy

d²f

ZJ7²

df

Mittelst dieser Relationen bringt man (37) auf die Form:

d²f d²f d²f dx² dx dy Z dx dz 1 d²f d²f _ d²f dy dx dy2 df df dx dx

dy dz

= 0.

(39)

Sf

z^~

Wird in dieser Determinante wieder z — 1 gesetzt, so bildet sie die Bedingungsgleichung für das Unendlichwerden des Kr.-Halbmessers. Sie geht leicht in folgende über:

d*f

d*f

d*f

dx²

dxdy dxdz

A i

(n—iy

e-f

d*f

d-f

dy²

dy dz

= 0.

dy dx

(*-1)^ (w-¹^ (M-¹⁾iï

Subtrahiert man von den Elementen der dritten Horizontalreibe die mit x multiplizierten Elemente der ersten und die mit y multiplizierten Elemente der zweiten Reibe, substituiert dann für die Elemente der dritten Reibe die Werte aus (38) und setzt dabei z—1, so erhält    man:

dz dx dz dy dz²

Die Schnittpunkte der beiden Kurven f= 0 und A = 0 oder Ax — 0 geben die Wendepunkte der Kurve. Ist f— 0 vom wten Grad, so muss die Inflexions-Determinante vom 3 (n — 2)ten Grad sein. Beide Gleichungen lassen daher im allgemeinen 3 n(n—2) Lösungen zu, und die Kurve hat eben so viele Wendepunkte. Kurven des zweiten Grades haben demnach keine Wendepunkte, vgl. Aufgabe 48).

Ist die Kurve durch die beiden Gleichungen gegeben: x = (p (£), y = if (t), so wird der Krümmungshalbmesser nach (22) unendlich, wenn:

df

df

3f

Ax = (n — 1)²A =

= 0.    (40)

dx d*y    dy d²x n

dt dt²    dt dt²    ’

und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Parameter der Wendepunkte.

Für die Form y = f(x) wird nach (23) der Krümmungshalbmesser unendlich, wenn:

(41)

Die reellen, im Endlichen gelegenen Wendepunkte folgender Kurven zu finden:

42) f— xs-\-y³ -[- Qaxy -f-1 = 0.

Homogene Form: xs -\- ys -\- Qaxys -\- ss = 0.

x as ay

A₁ = 6³

p= xys(l-j-2as)— a²(x³-\-y³-\-s³) = 0; s— 1 gieht: 1 -j-2a³

as

ax

ay ax s

ic³ —J— «/³ —j— 1

xy — 0. Aus dieser Gleichung

und f= 0 finden wir: x = 0, y =— 1; x =— 1, y = 0 als Koordinaten der Wendepunkte.

43) f—x³— 3ax²-\- c²y = 0.

Homogene Form: x³— 3ax²s-\-c²ys² — 0.

6(x — as) 0    —6ax

0    2c²s ;

— 6ax 2 c²s 2 c²y

als Koordinaten eines Wendepunktes.

44) f=x²y— x-\-y = 0, oder x²y — xs²-\-ys² = 0.

Bedingung: x³— x²y — 2x— y = 0. Wendepunkte:

® = 0, y = 0; x = ±[/3, y

— J, = 24 (x — a)c⁴ = 0. Aus J, = 0 und / = 0 findet 2a³

man x = a, y

c²

5a

45)    f=(a — x)B—y = 0. Bedingung: (a—x)s = 0. Wendepunkt: x = a, y = 0.

|/6’²'    36'

46)    f=xA— a²x²-\-a³y = 0. Wendepunkte: x

47)    f=y — x³ = 0. Wendepunkt: æ = 0, y = 0.

48)    Die Wendepunkte eines Kegelschnitts sollen aus der allgemeinen Gleichung:

Ay² -j- 2Bxy -j- Cx² -j- 2Dy -j- 2 Ex -\-F=0 gefunden werden.

2(7 2 B 2 JE A = 2 B 2 A 2 B .

2E 2D 2F

Die Determinante A ist von x und y unabhängig. Ist sie von Null verschieden, so hat der Kegelschnitt keine Wendepunkte. Ist aber diese Verbindung von Konstanten identisch =0, so hat der Kegelschnitt an jeder Stelle die Krümmung Null und besteht dann aus einem System von zwei geraden Linien.

49)

Die Wendepunkte der Kurve y — sin x zu finden.

X = 0, ±71, +2 TT, +37T, usw., y = 0.

§ 5. Der Flächeninhalt begrenzter Figuren.

Um das von dem Kurvenstück AB, den Ordinaten AG und BD und dem Abschnitte CD der Abscissen-Achse eingeschlossene Flächenstück zu finden (Fig. 15), teilen wir

Fig. 15.

B.

M±

fix)

CD = (p — a) in n gleiche Teile, deren Grösse d sein mag, und errichten in allen Teilpunkten Ordinaten. Dadurch wird die Fläche in n Streifchen zerlegt, wie MNQP, deren Inhalt bei hinlänglich kleinem d gleich dem Produkte aus d und dazugehörigen Ordinate gesetzt werden kann. Ist also y = f(±) die Gleichung der Kurve, dann entsteht für die Fläche nach (15), S. 173, der Wert

Fl. ABDC= lim d [f(a) ±f(a±ö)±.. -j-f(b — d)] = f f (x) d x.

J a

Um ferner das von der Kurve AMBNA (Fig. 16) eingeschlossene Flächenstiick zu finden, ziehen wir die beiden

Fig. 16.

JML

M,

h:

p Pi

vertikalen Tangenten AH und BG, zwischen denen die gesamte Kurve liegt. Ist MB=F{x)=Y, NP = f(x) = y, OH=a, O G = b , so wird nach dem eben Bewiesenen

f F(x) dx = fÖ Ydx,

Ja    Ja

| f(x) dx — P y dx,

Ja    Ja

[h[F(x) — f(x)\dx=C (Y— y)dx. (43)

Ja    Ja

Vertauscht man die X-Achse mit der Y-Achse und setzt (Fig. 17) OL = a, OD=ß; BN=${y) = X, BM=<p{y) = x, so erhält man

HAMB G =

HANBG =

und daher

Fl. AMBNA =

Fl. AMON A =

n<n</)-pM]<%=fv

Ja    Ja

— x)dy.

Ist endlich die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so zerlege man die Fläche in elementare Streifen von der Form MM₁N₁N und setze OM=B, ON=r, OMr = Rx, ON±=r^ Wkl. MOA = t, Wkl. M₁OA = tx,

Fig. 17.

Da nach der Yoraus-

Wkl. DOA = y, Wkl. BOA = ó.

Setzung der Winkel M₁ OM —t₁ — t unmessbar klein ist, und deshalb die Bögen MM₁ und NN± als gerade Linien anzusehen sind, so ist:

(RR₁ — rrJ sin (t± — t)

Fl. NMM₁N₁= lim

Fig. 18.

-,A

Fl. BNDMB=\im

I(RR₁

rr,)sin (tL— t)

8 I{-—r²

%—dt, (47)

weil für die Grenze i^ = R, r₁ = r, sin(t₁—tf) = arc(G—t) = dt wird. Soll hiernach die Fläche OBMBO berechnet werden, so ist r = 0 zu setzen, wodurch entsteht :

SR²,,

Ydt.

Fl. OBMBO =

(48)

50) Man soll das Flächenstück berechnen, welches zwischen einem Parahelbogen, der Ordinate y und der X-Achse liegt; y² = 2px.

Fl.

y y dx == (X \/%p

3**’

Der Parabelbogen, vom Anfangspunkt gerechnet, teilt das aus Abscisse und Ordinate des Endpunktes konstruierte Rechteck so, dass zwei Dritteile desselben die Parabelfläche bilden.

51) Die Fläche eines Kreises zu finden; a? = rcosć, y = rsin£.

7T

dx=—r sin. t dt, für x = 0 ist t = — , für x = t = 0.    ¹

Fl. =4 \ y dx =

Jo

r ist

7t

r²sin²^^=4r²j'²|

$in.²tdt = r'²7r.

52) Die Fläche einer Ellipse zu finden; cc=acos£, y = b$mt.

7t

Fl. —4y dx

=—4 J*° ab sin²1 dt — 4 ab^ ² sin²i dt =

ab Ti.

53) Man soll das Flächenstück berechnen, welches zwischen einem Hyperbelbogen und einer zur X-Achse senkrechten

= 1.

Sehne liegt; -₂ — p

Fl. ~2§jdx = 2t

Zum Zweck der Transformation setzen wir x —

; dies geht an, weil dadurch die Kurvengleichung befriedigt wird. Da x — a für t = 0 wird, und da dx = a

,—t

⁶    —dt ist, so ist:

Li

Fl. =

ab Ct

2)o(e

t,a ,, ab(c2t—e~2t * = 2

2t ) —xy—abt.

OC TJ

Ferner ist —\- — — e*. oder t = lg a b

Fl. = xy — ab lg

54) Man zeichne eine Hyperbel nebst ihren beiden Asymptoten.

a2 I ^2

Kurvengleichung: xy = —^—

Anfangspunkt des Systems, S der Scheitel, SB die Ordinate und AB = p die Abscisse des Scheitels; MB die Ordinate und AB = x die Abscisse des beliebigen Punktes Jf, a der Asymptotenwinkel. Die Fläche SBBM soll berechnet werden.

Weil das System schiefwinkelig ist, so ist das Differential der Fläche = y sma dx, und:

Fl. = sin a

m², Es sei A der

ÇX m2

L *

dx — m² (lg x — lg p) sin a .

55) Die Fläche zwischen einem Cykloidenzweig und der X-Achse zu finden; x= a(t — sin t), y — a (1 — cos t).

(1 — cos ty dt — 3a²::.

Fl. =

(•2an    o r 2n

i    y dx = a~ |

Jo    Jo

56) Eine Kurve hat von t = 0 bis t = n die Gleichungen: x — a( 1 — cos f), y — at\ man soll die Fläche zwischen der Kurve, der Ordinate für t — tz und der X-Achse finden.

Fl. = a²

rn

Jo

ćsin t dt = a ²jt.

57) Die Fläche zu berechnen, welche von einem Epicykloiden-zweige und den nach seinen Endpunkten gezogenen Halbmessern des Grundkreises eingeschlossen wird;

(=?)

x = (a-\-r) cos t — a cos

(^)

t.

y = (a -[- r) sin t — a sin

Denken wir uns (Fig. 14, S. 182) die angefangene Kurve EM so weit gezeichnet, bis sie in einem Punkte Q den Grundkreis wieder trifft, so soll die Fläche AEMQA berechnet werden. Man ziehe Leitstrahl AM=B und setze Wkl. MAE=<p, so ist:

FL AEMA^^r B*d<p.

* J o

2, wenn

Da aberR'î = x‘i-\-î/², tg p = |, cos> = -q_y

x, y die Koordinaten von M sind, so ist:

dy

1 d<p_X dt ^ dt

dtg<p d

dx

dt

dt

oder

cos² <p dt

z²

dcp

dy dx

xTt~ydi

(a + r)(2a + r) [1 — cos^]

dt

Für die Fläche AEMQA hat der Erzeugungskreis eine ganze Umdrehung vollendet, so dass rt = 2an, oder 2an

t = —— sein muss.

B^dt

fi=¹ r

2jo" dt

(a-\-r)(2a~\-r)

2ajt

Fl. AEMQA =

(a -{- r) (2 a -\- r)

)o — COS^] dt (a r) (2 a -{- r) an

Wird davon der Kreisausschnitt AEQA = am abgezogen, so bleibt die Fläche EMQBE zurück.

58)

59)

Die Kardioidenfläche erhält man aus der vorhergehenden Formel, indem man r = a setzt. Fl. =6«²7r.

Die Fläche der Lemniskate: R~ — ar cos 2 t zu finden.

Fl. = 2a²

cos 2 tdt = a².

60)

Die Fläche der archimedischen Spirale: B = at soll für den ersten Umlauf des Leitstrahls gefunden werden.

a² f 27t

2 Jo

Fl. =

t² dt =

4a²7T³

§ 6. Rektifikation ebener Kurven.

Sind M und Mx zwei beliebige Kurvenpuukte; x, y und Xj, yx ihre Koordinaten, so ist die Sehne:

M Mx = s = |/{y—yxf+ (x—xl )² = (x—xx)

Beim Grenzübergang erhält man als Differential des Bogens:

Ü‘+(a;)'

ds = dx

Sind a und a die Abscissen der Grenzpunkte A und B, so ist:

S = arc AB =

J/V'+W

(49)

Soll aber arc AB aus den Ordinaten der Endpunkte berechnet werden, so setze man:

s = \/(x — Xiy- -f (y — yxy ={y — yß)

Ü'+C-z-f:)¹.

woraus beim Grenzübergang entsteht: ds = dy und, wenn ß und b die Ordinaten der Endpunkte A, B sind:

S = arc AB =

(50)

Für die Gleichungsform: f(x,y) = 0 wird aus (49):

\ Sf 'dy

-l>rW+(g)

(51)

und daraus wieder, weil

8f

dx

- dx =

8f

8y

dy ist,

S= —

Qj! Qj

Ist endlich die Kurve durch die beiden Gleichungen: x = (p (£), y = (p{t) gegeben, und ist weiter a = <p(y), a = <p(c), so geht (49) über in:

»-i;« i/(£)+(*)■

(53)

61) Die Peripherie eines Kreises zu berechnen; x = rc,o$t y == r sin t.

/• 2    _______

S = I ć7ć[/(sin² ć-f- cos²£)r² == 2rrr.

62) Die Länge eines Parabelbogens vom Scheitel bis zum Punkt x, y zu finden; y² = 2px.

63) Den Bogen einer feilschen Parabel zu finden, vom Anfangspunkt bis zum Punkt x, y; y² = ax".

a-!'odV¹⁺²r

27a

64) Der Bogen einer Kettenlinie vom tiefsten Punkte bis zum Punkt x, y soll berechnet werden; y =

toi s

l£

I em

— m².

Der Bogen einer Kettenlinie, genommen vom tiefsten Punkte bis zum Punkt x, y, ist gleich der zweiten Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen eine Kathete = m die Ordinate des tiefsten Punktes, und dessen Hypotenuse die Ordinate des Endpunktes ist.

65) Es soll die Bogenlänge der Cykloide gefunden werden; x = a (t — sin t), y — a (1 — cos f).

r 27T    _ /»27t J

«-«jo dty2(l — cosQ = 2a| sin —Æ£ = 8a.

66) Die Bogenlänge einer Epicykloide zu berechnen.

(dx\² (dy\

W+W

= 4(a-j-r)²sin²~ t.

u Qj

2an

S == 2 (a -f- r) f ł sin~tdt Jo Aci

Setzt man a = r, so erhält man 16a als Länge der Kardioide.

67) Die Länge des Bogens der archimedischen Spirale zu finden ; r = at.

S—«J*o [/l-j-tf² dt— — ^j/l —1~ —|— lg¹ (# —f-1 —|— ^²)J

68) Den Umfang einer Ellipse zu berechnen; # = acos£, y — b sin t.

Ein Quadrant ist gleich:

7t

/S=J*o ć?/|/a²sin²£-j- ö²

K 'M

cos²£ =

“Jo '"l/¹

a²-&²

cos²£

7t

— e²cos²£, wenn

a² — 6²

a²

= e² .ist.

S=a

-Je²cos²t — -^e⁴cos⁴£—cos⁶ t — . 2 8 16

• J dt;

co

Ö£⁶ —...j

§ 7. Die Oberfläche von Rotationskörpern.

Wird eine Kurve um ihre X-Achse gedreht, so erzeugt sie eine krumme Oberfläche. Ist die Ordinate eines sich drehenden Kurvenelements = y, so ist das Differential der Oberfläche gleich der Oberfläche eines kleinen Cylindermantels, dessen Umfang =2yn. und dessen Seite = ds, d. h. gleich

14*

dem Differential des Bogens ist. Hiernach ist das Differential der Oberfläche dO = 2yxds, und wenn a und b die Anfangsund die Endabscisse des Oberflächenstückes sind,

0 = 2n

S‘.’V'+(Ę

dx.

(54)

69) Die Oberfläche einer Kugelhaube zu finden, wenn

y = \/2rx — x²

die Scheitelgleichung des Erzeugungskreises, und h die Höhe der Haube ist.

0 = 2tt

rx —

(r — x)²

2 = 2rizli.

2 rx — x

70) Die Mantelfläche eines Kegels zu berechnen.

Ist y = hx die Gleichung der Geraden, die durch Umdrehung den Kegelmantel erzeugt, und h die Höhe des Kegels, so ist:

0 — 2 Je 7t

(/1 -J- Är x dx = buh²1/1 —]- Je².

Da & = tg«, wenn a der Richtungswinkel der erzeugenden Geraden, so ist kh = r = Basishalbmesser, und h\/l-\-li² — s = Länge der Erzeugungslinie. Durch Substitution dieser Werte erhält man: 0 = ms.

71) Es soll die Oberfläche des Körpers gefunden werden, der entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre X-Achse dreht. x — a(t — sin t), y — a (1 — cos t).

t) [/2 (1 — cos#) dt

= Qa²7i

0 = 2a²7i

/»27t

Jo

cos

/» 27t    ł

( sin³ — dt =

Jo    Ł

64a²7r

3

72) Die Oberfläche eines Rotations-Paraboloides zu berechnen. Parabelgleichung: y² = 2px.

[(p    2 x)%—p%].

73) Man soll die Oberfläche eines Ellipsoides berechnen, das entsteht, wenn sich eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht.

0 = 2t:

[/P f dx[/p 2x

Erstens: Drehung um die grosse Achse.

Ist y² =

b²

—« (a~ — x-) die Gleichung der Kurve, so ist et

— («² — b²) x².

Wir setzen a²— b² = e² und erhalten:

4°=

2 brz

a~

bn

a²

exla

Jo

— e² æ² -|--arc sin ~₂

e    «

l/^zrps

a²Z>7r

arc sin

i-i ;co T-i

\/a-~ b~

Zweitens: Drehung um die kleine Achse. 2a~

toi

2° =

~0 = a*7T-}

lg {e²y-\-e

|A⁴ + *V)][

aft²7T

a_l_yas-&* ö 6

j/a² —6²

Was wird aus beiden Resultaten für b — a?

§ 8. Der Kubikinhalt von Rotationskörpern.

Wird ein Körper dadurch erzeugt, dass sich die zwischen einer Kurve und der X-Achse gelegene Fläche um diese X-Achse dreht, so ist das Differential des Volumens dV = y²rcdx₎ und das Volumen zwischen den Abscissen a und a selbst

;ry²dx.

J a

74) Den Kubikinhalt einer Kugel zu berechnen.

v‘-

V=2n

J>

— x²) dx =

75) Den Kubikinhalt eines Rotationsellipsoides zu finden,

das entsteht, wenn sich eine Ellipse um ihre Achse dreht.

;rosse

2 7ib*

a¹

J>

— x²) dx

Aab^n

76) Der Inhalt eines parabolischen Zonenkörpers soll berechnet werden.

Sind x₁ und x₂ die Abscissen der Endpunkte des Parahelbogens, welcher die erzeugende Fläche begrenzt, so ist:

(cc₂ x±) ■

V = 2prr^X*xdx = 2pn    ^

77) Man soll den Inhalt des Körpers finden, der entsteht, wenn sich die Cykloidenfläche um die X-Achse (Gerade, auf welcher der erzeugende Kreis rollt) dreht.

V=as7T

/% O nt    /» O nt

f (1 — cos t)s dt = 8as7r f

sin⁶ — dt = bas7i².

u

78) Ein Kreisabschnitt, dessen Sehne =25, und dessen Halbmesser = r ist, dreht sich um einen zur Sehne parallelen Durchmesser. Wie gross ist der Kubikinhalt des entstandenen Körpers?

A V = n (*S (r² — x²) dx — sn (r² — 5²) ;

^ Jo

-5*V    •

3

BIBLIOTEKA PCLIÎECii

KRAKÓW

§ 2.

COS COS

CO Tjî

ZJQO ‘JOTS WO ZOO GOO

id co t> oo cs

§ 10. § 11.

INHALT.

Differentialrechnung.

Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen

Funktionen.....................

Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwickelung des Differentialquotienten . Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen . Die Differentialquotienten der trigonometrischen und cyklo-

metrischen Funktionen................

Exponent]al- und logarithmische Funktionen......

Unentwickelte Funktionen...............

Funktionen von der Form: x— cp{t), y — xp (t)    .    . . .

Differentialquotienten höherer Ordnung........

Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der

Werte unbestimmter Formen .............

Maxima und Minima der Funktionen..........

Die Reihen von Taylor und Maclaurin.........

Seite

18

22

29

89

44

47

66 •

64

91

Funktionen von zwei unabhängigen Variabelen.

§ 12. Entwickelung der Differentialquotienten........

§ 18. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..................

§ 14. Homogene Funktionen.................

§ 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen..........

100

102

105

107

too zoo

Integralrechnung-.

Unbestimmte Integrale.

Die einfachen Integralformen......

Integration rationaler algebraischer Brüche

109

Seite

§ 3. Reduktionsformein............... . .

§ 4. Irrationale algebraische Funktionen.........

§ 5. Exponential- und logarithmische Funktionen.....

§ 6. Trigonometrische und cyklometrische Funktionen . .

139

141

t- o

io CO

r—i «*■“*

Bestimmte Integrale

170

cd vc cd i> od

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

Tangente und Normale ebener Kurven.........

Doppelpunkte, Rückkehrpunkte (Spitzen), konjugierte (isolierte) Punkte ....................

Krümmungskreis und Evolute..............

Die Wende- oder Inflexionspunkte...........

Der Flächeninhalt begrenzter Figuren.........

Rektifikation ebener Kurven..............

Die Oberfläche von Rotationskörpern.........

Der Kubikinhalt von Rotationskörpern .........

178

184

189

198

203

209

211

213

• ' •

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Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

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