WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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VORLESUNGEN

ÜBER

STATIK DER BAUKONSTRUKTIONEN UND FESTIGKEITSLEHRE

IN DREI BÄNDEN

VON

GEORG CHRISTOPH MEHRTENS

GEH. HOFRAT UND PROFESSOR DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN AN DER KÖNIGLICHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN DRESDEN

DRITTER BAND

FORMÄNDERUNGEN UND STATISCH UNBESTIMMTE TRÄGER

NEBST SACH- UND NAMENVERZEICHNIS ÜBER DAS GANZE WERK

MIT 330 ZUM TEIL FARBIGEN FIGUREN

LEIPZIG

VERLAG VON WILHELM

I9°5

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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung, werden Vorbehalten.

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KRAKÓW

Akc. Nr.

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VORWORT zum dritten Bande.

Der dritte Band — mit dessen Erscheinen ich das Versprechen einlöse, wonach meine Vorlesungen im Jahre 1905 in drei Bänden fertig vorliegen sollten — umfaßt drei Abschnitte. Sie tragen die Überschriften : Formänderungen und Formänderungsarbeit; Statisch unbestimmte Systeme; Verschiedenes.

Der erste Abschnitt beginnt mit der Betrachtung der Formänderungsarbeit als Grundlage von Elastizitätsberechnungen (§ 1), wobei an Zahlenbeispielen gezeigt wird, wie man die Arbeitsgleichungen zur Lösung wichtiger statischer und dynamischer Festigkeitsaufgaben verwendet. Es folgen (§ 2—§ 4) ausführliche Abhandlungen über die Darstellung der elastischen Linien der Vollwandträger; über Berechnung und Darstellung von Punktverschiebungen, sowie auch über Darstellung von Biegelinien und Verschiebungsplänen statisch bestimmter Fachwerke. Dabei wird gezeigt, wie mit Hilfe der aus dem Satze der gedachten Verschiebungen hergeleiteten Arbeits-gleichungen Mohrs wichtige bestimmte oder unbestimmte Aufgaben der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen in der einfachsten Weise zu lösen sind. Auch wird an Zahlenbeispielen nachgewiesen, wie Biegelinien (nach dem Verfahren von Mohr), sowohl für die Formänderungen der Gurtstäbe, als auch der Wandstäbe gleich einfach gezeichnet werden können und daß solche Linien, wenn es sich um die Erzielung großer Genauigkeit handelt, den Verschiebungsplänen unbedingt vorzuziehen sind. Bei der Darstellung der Biegelinien von Stabzügen wird das Verfahren von Land verwendet. In § 5 wird unter der Überschrift: »Formänderungen, Tragkraft und Spannungen beim Knicken gerader Stäbe« die Theorie der Knickfestigkeit gegeben. Dabei werden sowohl die Euler-Formeln, als auch ältere Knickformeln des 19. Jahrhunderts berücksichtigt und in ihrer

Anwendung mit neueren, aus den Ergebnissen von Knickversuchen hergeleiteten Formeln verglichen. Übungsaufgaben und Tabellen zur Knickfestigkeit schließen den ersten Abschnitt

Der zweite Abschnitt handelt von den statisch unbestimmten Systemen. Er beginnt (im § 6) mit der Entwicklung der allgemeinen Berechnungsarten der überzähligen Größen, und schließt mit Beispielen, die erläutern, wie in besondern Fällen das (statisch bestimmte) Hauptsystem zu bilden ist. § 7—§ 9 bringen Anwendungen der entwickelten allgemeinen Sätze und Gleichungen auf die Theorie der Bogenträger und der durchgehenden Träger. Der vollwandige und der gegliederte Bogen mit Kämpfergelenken (§ 7) sind gemeinschaftlich behandelt, unter Berücksichtigung verschiedener Formen von Parabelträgern, für welche Näherungsrechnungen angegeben werden. Auch die Theorie der Bogenträger ohne Gelenk wird für Vollwand und Fachwerk gemeinsam dargelegt. Ein Unterschied in der Behandlung beider ist nur insofern zu beachten, als für die Darstellung der Biegelinien des Hauptsystemes der Vollwandträger jede elastische Kraft aus einer Integration gewonnen werden muß, während sie für Fachwerksknoten unmittelbar gegeben ist. Die Berechnung der Vollwandträger wird vorangestellt, wobei die im zweiten Bande (unter 43) bereits abgeleiteten Grundlagen der Elastizitätstheorie den Ausgang bilden. Ausführliche Zahlenbeispiele unterstützen die allgemeinen Darlegungen. Für die Berechnung der Steingewölbe wird sowohl das Momenten-verfahren als auch das Kämpferkraftverfahren (Winkler-Landsberg) angewendet. Bei der Berechnung des gelenklosen Fachwerkbogens wird ein ausführliches Zahlenbeispiel gegeben, worin die erforderliche Ermittelung der elastischen Kräfte für Gurte und Wand getrennt gehalten sind, um danach den Einfluß der elastischen Formänderungen der Wandstäbe auf die Größe der Stabkräfte beurteilen zu können. In § 9 ist die Berechnung der durchgehenden Träger auf unverschiebbaren Stützen graphisch durchgeführt, sowohl für vereinfachte als auch für genaue Biegelinien.

Im Schußabschnitt wird Verschiedenes« behandelt. Zuerst kommen die Nebenspannungen der Fachwerke. Dann folgen ähnliche schwierige theoretische Aufgaben, wie Berechnung durchgehender Träger auf verschiebbaren und auf elastisch drehbaren Stützen, sowie auch von Konstruktionen, die auf ihrer ganzen Länge elastisch unterstützt sind¹). Die vorhandenen Lösungen dieser Aufgaben erscheinen heute noch in einer für den Praktiker zu wenig verlockenden Hülle, als daß dieser geneigt wäre, sich darin bis auf den Kern zu verbeißen. Sie werden deshalb in dem vorliegenden, praktischen Zwecken gewidmeten Buche auch nur kurz gegeben, mehr als Vorbereitung für ein tieferes Studium, nicht aber als erschöpfende Wiedergabe aller darüber veröffentlichten besondern Abhandlungen. Eine ausführlichere Behandlung behalte ich mir für meine demnächst erscheinenden »Vorlesungen über Eisenbrückenbau« vor. In § 12 folgen geschichtliche Rückblicke auf die Lehre von der Elastizität und Festigkeit und die Statik der Baukonstruktionen. Dabei unterlasse ich nicht hervorzuheben, daß die von mir mit den Rückblicken verbundene Übersicht der wichtigsten Literaturquellen keinen Anspruch auf Vollständigkeit macht. Die größte Zahl der darin aufgenommenen Werke und Schriften sind solche, deren Verfasser die Grundsteine gelegt haben, auf denen das Gebäude der bezeichneten theoretischen Gebiete heute ruht. Daneben waren nur noch einzelne Namen zu nennen, deren Träger rühmlich mit geholfen haben, das Gebäude hoch und unter Dach zu bringen.

Auf diejenigen Stellen der Rückblicke, die von dem Versuche Müller-Breslaus handeln, die Bedeutung Mohrs zugunsten von Ausländern, wie Maxwell, Castigliano und Williot herabzusetzen, weise ich hier besonders hin²).

Herr Müller-Breslau wendet sich gelegentlich auch gegen mich. Dabei bringt er seine Auslassungen immer in versteckten Anmerkungen unter, die über verschiedene Bände seiner Schriften so zerstreut liegen, daß ich manche davon erst gelesen habe, nachdem Freunde mich darauf aufmerksam gemacht hatten. Ich mache aber Herrn Müller-Breslau meine Erwiderungen zugänglicher, als er mir seine Angriffe, und gebe deshalb unten die Stellen an, wo er sie und »noch manches andere« finden kann³).

Außer der Literaturübersicht enthält der Anhang zu allen drei Bänden (§ 13) auch noch eine alphabetische Inhaltsübersicht mit Sach- und Namenverzeichnis.

Somit übergebe ich denn meine Vorlesungen der Öffentlichkeit und empfehle sie wiederholt dem Wohlwollen meiner Fachgenossen. Meinem Assistenten, Herrn Regierungsbaumeister Hasse, der diesmal bei den Korrekturen und den Nachprüfungen der vielen schwierigen Rechnungen und graphischen Darstellungen viel Zeit und Mühe hat aufwenden müssen, danke ich an dieser Stelle nochmals herzlich für seine treue Mithilfe.

Auch der Verlagsbuchhandlung von Wilhelm Engelmann in Leipzig bin ich für ihre stete liebenswürdige und einsichtsvolle Bereitwilligkeit, meinen vielen Wünschen entgegenzukommen, viel Dank schuldig. Am Schlüsse meiner Arbeit spreche ich daher der hochverehrten Firma meine aufrichtige Anerkennung aus, in der Hoffnung, noch lange mit ihr in angenehmer Verbindung zu bleiben.

Dresden, Anfang November 1905.

Mehrtens.

Seite

No.

Vorwort Inhalt .

INHALT.

. III-VI VII—XIII

Nachträgliche Berichtigungen zum II. Bande Berichtigungen zum III. Bande......

XIV

XIV

Erster Abschnitt. Formänderungen und Formänderungsarbeit.

§ i. Die Formänderungsarbeit als Grundlage von Elastizitätsberechnungen.

1.    Einleitung...........................

a.    Erklärungen und Voraussetzungen...............

b.    Der Formänderungszustand in einem Körperpunkte.......

2.    Dehnungsmaße und Gleitungsmaße..............

a.    Ihre Zuverlässigkeit für Elastizitätsberechnungen.........

b.    Kubische Dehnung und Grenzen der PoissONschen Zahl.....

3.    Die Formänderungsarbeit eines Körpers...........

a.    Allgemeiner Ausdruck für die Formänderungsarbeit........

b.    Die Formänderungsarbeit in besondern Fällen..........

c.    Der ebene Formänderungszustand bei reiner Schubbeanspruchung .

4.    Übungsaufgaben........................

a.    Normal-Biegungs- und Drehungselastizität............

b.    Temperatureinflüsse......................

c.    Dynamische Formänderungsarbeit...............

, § 2. Elastische Linien gerader und krummer Stäbe.

b.    Durchgehender Träger auf drei Stützen

c.    Beiderseits eingespannter Träger . . .

27

31

34

36

. 40 . 42

No.

7.    Beispiele der Darstellung elastischer Linien . .

a.    Durchgehender gerader Träger auf drei Stützen . . .

b.    Einfacher Blechträger mit veränderlichem Querschnitte

8.    Beispiele zur Beurteilung des Einflusses der Schubspannungen 54

a.    Die Schubverteilungszahl 7...................

b.    Durchbiegungen.......................

9.    Elastische Linien krummer Stäbe...............

a.    Berechnung der Formänderungen...............

b.    Differentialgleichung der elastischen Linie des nach einem Kreisbogen

gekrümmten Stabes.....................

44

44

• 49

54

59

60

60

62

§ 3. Die Berechnung und Darstellung von Funktverschiebungen.

10. Die gedachte (virtuelle) Formänderungsarbeit.........

a.    Ihre Anwendung nach dem Verfahren von Mohr........

b.    Die Arbeitsgleichungen Mohrs................

ix. Übungsaufgaben zu den Arbeitsgleichungen Mohrs......

a.    Gedachte Arbeit in besondem Fällen..............

b.    Statisch bestimmte Systeme..................

c.    Statisch unbestimmte Systeme.................

12.    Allgemeine Bezeichnungsweise von Verschiebungen und ihren

Ursachen............................

a.    Die Krafteinheit einer einfachen Punktverschiebung........

b.    Die Krafteinheit einer Längenänderung zwischen zwei Punkten. . .    81

c.    Die Krafteinheit von Verdrehungen einer Geraden

13.    Maxwells Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen. .    85

a.    Fassung und Beweis seines Satzes durch Maxwell selbst.....

b.    Verallgemeinerung und Herleitung des Satzes auf Grund der Arbeitsgleichungen Mohrs.....................

14.    Anwendungen des Satzes von Maxwell.............

a.    Darstellung der Einflußlinie einer elastischen Verschiebung ....    89

b.    Beispiele für statisch bestimmte Träger .

c.    Beispiele für statisch unbestimmte Träger

64

64

65

67

67

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73

80

80

82

85

88

89

90

93

§ 4. Biegelinien und Verschiebungspläne statisch bestimmter Fachwerke.

15.    Grundlagen der Darstellung von Biegelinien.........

a.    Einleitung..........................

b.    Einfluß der Längenänderungen der Gurtstäbe..........

c.    Einfluß der Längenänderungen der Wandstäbe..........

16.    Biegelinien für besondere Trägerarten............

a.    Strebenfachwerk und Ständerfachwerk.............

b.    Parallelträger........................

c.    Zusammengesetzte Fachwerke und statisch unbestimmte Träger. . . ixo

17.    Die Darstellung von Biegelinien in Beispielen

a.    Einfacher Parallelträger mit Strebenfachwerk . .

b.    Auslegeträger mit Ständerfachwerk.......

96

96

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107

109

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No.

18. Die Biegelinien eines beliebigen Stabzuges

a.    Berechnung der elastischen Kräfte w ... .

b.    Die Randwinkeländerungen........

c.    Bedeutung der Winkel zwischen der Schlußlinie und einer Seite der

Biegefläche .........................

Seite

• I23 . 123

125

129

19.    Beispiele der Biegelinien von Stabzügen........... 1

a.    Biegelinie eines Wandstabzuges................ I

b.    Biegelinien für eine beliebige, nicht lotrechte Verschiebungsrichtung 132

20.    Verschiebungspläne für einfache Fachwerke

a.    Das Formänderungsbild eines Dreieckstab Werkes

b.    Darstellung des zweiten Verschiebungsplanes .

21.    Übungsaufgaben...............

a.    Einfacher Parallelträger ...........

b.    Dachbinder auf drei Stützen.........

ro co

HH H*

• 135

135

139

141

. 141 . 143

22. Verschiebungspläne für zusammengesetzte Fachwerke .... 145

a.    Ihre Darstellung im allgemeinen

b.    Beispiel eines Auslegeträgers .

HS

149

§ 5. Formänderungen, Tragkraft und Spannungen beim Knicken gerader Stäbe.

23.    Der durch eine Achsenkraft gedrückte gerade Stab......

a.    Ursachen und Gestalt der Formänderung

b.    Die Hauptfälle der reinen Knickfestigkeit

24.    Kritik der EULER-Formeln.......

a.    Unbestimmtheit des Biegungspfeiles und der Spannungen.....162

b.    Einfluß der Schubspannungen und der elastischen Zusammendrückung

des Stabes .................

c.    Theoretische und wirkliche Knickkraft.....

25.    Gültigkeitsgrenzen der EuLER-Formeln ....

a.    Ergebnisse von Versuchen..........

b.    Grenzen zwischen Druck- und Knickfestigkeit . .

26.    Zusammengesetzte Knickfestigkeit......

a.    Der durch eine Längskraft gedrückte gerade Stab

b.    Der durch eine Achsenkraft und quer zur Achse belastete Stab . . 173

27.    Ältere Knickformeln des 19. Jahrhunderts

a.    Schwarz-Rankine...........

b.    W. Ritter-Asimont-Lang........

28.    Neuere Knickformeln...........

a.    Tetmajer...............

b.    Ostenfeld..............

29.    Übungsaufgaben.............

a.    Vorbemerkungen über die Knicklänge . .

b.    Holz und Gußeisen...........

c.    Schmiedbares Eisen..........

d.    Stein und Stein-Eisen..........

152

152

• 154

162

163

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167

167

170

171

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175

175

176

178

178

181

185

186

189

30. Tabellen zur Knickfestigkeit

a.    Tabellen zu den Knickformeln von Tetmajer und Ostenfeld . . 200

b.    Flächeninhalte, Trägheitsmomente und Trägheitshalbmesser .... 202

c.    Nennerwerte der RANKINE-Formel

200

214

Zweiter Abschnitt. Statisch unbestimmte Systeme.

§ 6. Die überzähligen Größen.

3i. Ihre Berechnung mit Hilfe der Arbeitsgleichungen

215

a.    Allgemeiner Ausdruck für die Stabkräfte eines Fachwerkes . . . . 215

b.    Die Elastizitätsgleichungen eines Fachwerkes

c.    Die überzähligen Größen der Vollwandträger

218

219

32.    Darstellung der überzähligen Größen aus den Verschiebungen

ihrer Angriffspunkte im Hauptsystem.............

a.    Die Elastizitätsgleichungen..................

b.    Die Einflußflächen der überzähligen und notwendigen Stabkraftgrößen 222

33.    Die Einflüsse von Temperaturänderungen...........

a.    Die Temperaturschwankungen................

b.    Einfluß der Luftwärme auf die überzähligen Größen.......

34.    Die Einflüsse von Zwangsspannungen und Stützpunktverschiebungen .............................

a.    Der spannungslose Anfangszustand einer Konstruktion......

b.    Stützpunktverschiebungen...................

c.    Zwangsspannungen......................

35.    Die Sätze von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit . . 233

b.    Einfache bis dreifache Unbestimmtheit.............

c.    Biegelinie eines statisch unbestimmten Trägers..........

220

220

223

223

224

228

228

229

231

ro m co co

CO CO co 10 N N N M

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§ 7. Bogenträger mit zwei Kämpfergelenken.

37.    Darstellung der Bogenkraftfläche für Fachwerk......

a.    Die Kämpferlinienkraft als überzählige Größe........

b.    Berechnung der elastischen Kräfte w............

c.    Einfluß der Temperatur..................

d.    Zusatz für den Bogen mit Zugband............

38.    Die Einflußflächen der Stabkräfte.............

a.    Darstellung mit Hilfe der Gleichung für das Bogenmoment . .

b.    Richtungslinie und Lastscheide..............

39.    Näherungsformeln für gegliederte Parabelbogen.....

a.    Der Sichelbogen.....................

b.    Parallelbogenträger....................

VO VO VO N O* N

266

268

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VO VO h N N N

CO VO VO 00

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No.

40.    Zahlenbeispiele.................

a.    Einfluß einer wandernden Einzellast......

b.    Einfluß der Temperatur............

c.    Näherungsrechnungen.............

§ 8. Bogenträger ohne Gelenk.

41.    Einleitung...................

a.    Bogenmoment und Hauptsystem........

b.    Die Elastizitätsgleichungen und ihre Vereinfachung

42.    Die Bedeutung der Summengrößen der Elastizitätsgleichungen 301

a.    Bedeutung der Zähler und seiner «/-Größen.....

b.    Bedingungen für die Lage des Koordinatenursprunges

43.    Berechnung der Summengrößen der Elastizitätsgleichungen . 304

a.    Anwendung der SiMPSON-Regel................

b.    Festlegen des Koordinatenursprunges und Nachprüfungen.....

44.    Darstellung der Einflußflächen der überzähligen Größen und

der Randspannungen......................

a.    Die überzähligen Größen...................

b.    Die Randspannungen.....................

c.    Die Einflußflächen der Kernmomente..............

45.    Zahlenbeispiel zum Momentenverfahren............

a.    Darstellung der überzähligen Größen..............

b.    Momente aus Eigengewicht und Verkehrslast..........

c.    Die Randspannungen.....................

46.    Die Kämpferkraftlinie und ihre Anwendung..........

a.    Darstellung der Kämpferkraftrichtungen.............

b.    Gerade Kämpferkraftlinie für Parabelbogenachsen........

47.    Zahlenbeispiel zum Kämpferkraftverfahren..........

a.    Stützlinie und Spannungen aus dem Eigengewicht........

b.    Stützlinie und Spannungen aus der Verkehrslast.........

48.    Zusätze für den Vollwandbogen................

a.    Der überhaupt gefährlichste Querschnitt............

b.    Stützlinien oder Mittelkraftlinien................

c.    Temperatureinflüsse......................

4g. Zusätze für den Fachwerkbogen................

a.    Unterschiede in der Behandlung des vollwandigen und gegliederten

Bogens ...........................

b.    Temperatureinflüsse und Näherungsrechnungen..........

50. Zahlenbeispiel zur Berechnung des Fachwerkbogens.....

a.    Erste Bestimmung des Koordinatenursprunges..........

b.    Erste Berechnung der Einflußflächen der überzähligen Größen . . . 345

c.    Zweite Bearbeitung der Aufgabe

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§ g. Durchgehende gerade Balkenträger auf unverschiebbaren Stützpunkten.

51. Allgemeines über eine Näherungsberechnung für unverschiebbare Stützpunkte .......................

a.    Vereinfachte Biegelinien...................

b.    Stützenmomente und Momentenflächen.............

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No.

52.    Grundlagen des Näherungsverfahrens bei Verwendung vereinfachter Biegelinien.....................

a.    Drittelslinien........................

b.    Festpunkte und Festlinien...................

c.    Kreuzlinien und ihre Verwendung zur Bestimmung der Stützenmomente 359

53.    Darstellung von Momentenflächen mitHilfe der vereinfachten

Biegelinien...........................

a.    Eine Öffnung ist gleichmäßig und vollbelastet..........

b.    Die wandernde Einzellast...................

54.    Einflußlinien..........................

a.    Momente..........................

b.    Querkräfte..........................

c.    Randspannungen und Stabkräfte................

d.    Regeln für die gefährlichsten Lastlagen.............

55.    Grundlagen der Berechnung bei Verwendung genauer Biegelinien ..............................

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CO CO

356

361

361

361

363

363

CO CO CO

368

a.    Grundgleichungen für die Berechnung der Stützenmomente . . . .368

b.    Die genauen Festlinien und ihre Festpunkte.....

c.    Darstellung des Schlußlinienzuges der Momentenfläche

d.    Schlußbemerkungen über Biegelinien und Temperatureinflüsse . . .378

373

375

Schlußabschnitt. Verschiedenes.

§ xo. Die Nebenspannungen der Fachwerke.

56.    Ihre Ursachen........................

a.    Die Ursachen im allgemeinen................

b.    Die Winkeländerungen der Stabdreiecke als Hauptursache. . . .

57.    Berechnung der Nebenspannungen..............

a.    Die elastische Linie des an seinen Enden eingespannten Stabes .

b.    Darstellung der Einspannungsmomente............

c.    Zusätze..........................

d.    Besondere Einflüsse....................

58.    Näherungsverfahren zur Berechnung der Nebenspannungen.

a.    Die Biegeflächen des Gurtstabzuges..............

b.    Einspannungsmomente und Nebenspannungen.........

380

380

382

•    385

•    385

388

co

• 397

397

402

§11. Besondere Aufgaben.

59. Durchgehende Träger auf verschiebbaren Stützen

a.    Elastisch senkbare Stützpunkte..........

b.    Wenig nachgibige elastisch senkbare Stützen . . .

403

403

410

60.    Durchgehende Träger auf elastisch drehbaren Stützen .... 4x2

a.    Die Einspannungsmomente..................

b.    Darstellung des Schlußlinienzuges der Momentenfläche......

61.    Konstruktionen, die auf ihrer ganzen Länge elastisch unterstützt sind............................

412

415

419

a.    Allgemeines...........

b.    Berechnung von Eisenbahnschwellen

419

No.

§ 12. Geschichtliche Rückblicke.

62.    Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit .

a.    Galilei-Navier...............

b.    Die Elastizitätslehre seit Navier........

63.    Die graphische Statik.............

a.    Ihre Anfänge bis auf Culmann........

b.    Culmann und seine Nachfolger........

c.    Maxwell, Mohr, Menabrea und Castigliano .

64.    Die Theorie des Fachwerkes..........

a.    Statisch bestimmte Systeme..........

b.    Formänderungen und statisch unbestimmte Systeme

65.    Besondere Theorien..............

a.    Mehrfach statisch unbestimmte Träger.....

b.    Nebenspannungen..............

c.    Einfluß bewegter Lasten...........

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45 *

§ 13. Anhang zu allen drei Bänden.

66.    Übersicht der wichtigsten geschichtlichen Literaturquellen.

a.    Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit.........

b.    Graphische Statik.....................

c.    Theorie des Fachwerks...................

d.    Besondere Theorien....................

67.    Alphabetische Inhaltsübersicht...............

a.    Sachverzeichnis......................

b.    Namenverzeichnis.....................

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148

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Nachträgliche Berichtigungen zum II. Bande.

Zeile

von oben von unten

Figur

Steht falsch

Heißt richtig

VO

VO

58 Bezeichnung der Ab- Die Abzissenlänge darf zissen x₂ und x₃    nur bis zur Stützenlot

rechten a gerechnet werden max — D

III

max D

oben links bei der roten Linie: D In der linken Seite der Formel: G Rechte Seite der Formel: le

4 Oll k-r

D'

Si

Berichtigungen zum III. Banc

In der Formel: b²

llll

L/T.

227

228

Ä²

2 und 3

Rechte Seite der

Gl. (88): — — — rz r₂

Scheibe III: zwei

Stäbe a

Scheibe VT: ein Stab b

Querschnittszahl Bogenkraftfläche Vorzeichen der Einflußflächen

Vs

I und 2

±-L

q= —

rx ^ r₂

I Stab b

2 Stäbe a Querschnittsform Biegefläche

V,

Erster Abschnitt.

Formänderungen und Formänderungsarbeit.

§ 1. Die Formänderungsarbeit als Grundlage von Elastizitätsb erechnungen.

i. Einleitung. Die Bestimmung von Formänderungen und der während ihrer Dauer von den elastischen Widerständen geleisteten Arbeit — der Formänderungsarbeit — bildet nicht allein die theoretische Grundlage aller Berechnungen statisch unbestimmter Systeme (I. 2 und

35), sie bietet für viele Konstruktionszwecke auch unmittelbar großen Nutzen. Namentlich können die beim Entwürfe bereits festgestellten Formänderungen einer Konstruktion durch einen Vergleich mit den im Laufe ihres Betriebes von Zeit zu Zeit zu messenden wirklichen Formänderungen, einen wertvollen Anhalt dafür bieten, ob und inwieweit die Konstruktion noch für ausreichend elastisch oder tragfähig gelten darf und anderseits auch, in welchen ihrer Punkte etwa die Verbindungen nicht mehr die erforderliche Sicherheit zeigen.

Bei der Berechnung der Formänderungen stehen in erster Linie die Verschiebungen von Angriffspunkten äußerer Kräfte — in Oberflächenoder Knotenpunkten — in Frage. Ihre Darstellung erfolgt entweder in elastischen Linien {Biegelinien) oder in Verschiebungsplänen (§ 2—4). Vorher sollen aber allgemein gehaltene Betrachtungen über Formänderungen angestellt werden.

a. Erklärungen und Voraussetzungen.

i. Jeder physikalisch-feste Körper, und so auch der Baustoff, ändert unter der Einwirkung von äußern Kräften mehr oder weniger seine Form (I. 2, a). In gleicher Art wirken auf den Körper dauernd die Massenkraft der Schwere, sowie vorübergehend und wechselnd auch die ihn umgebende Luftwärme (I. 8). Der Körper nimmt unter dem Einflüsse der bezeichneten Kräfte eine Formänderung an, die (je nach

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.    I dem Sinne der Kraftrichtungen) eine Verkleinerung oder Vergrößerung seines Rauminhaltes zur Folge hat.

Ist der Körper unter dem Einflüsse von äußern Kräften außen und innen zur Ruhe gekommen, so befindet er sich im sog. elastischen Gleichgewichte (I. 2, b). Dabei hat sich die (vor der Belastung vorhandene) gegenseitige, unendlich kleine Entfernung seiner Moleküle geändert, wodurch in jeder Schnittfläche des Körpers elastische Widerstände entstehen, die wir Spannungen nennen. Diese Spannungen — •Normal- und Schubspannungen (I. 3) — leisten während der Formänderung eine Arbeit, weil jede der äußern Kräfte, durch welche wir sie in der Schnittfläche ersetzt gedacht haben (I. 2, b), dabei längs eines Weges wirkt, der durch eine Dehnung oder Gleitung (I. 5) bestimmt ist. Auf solche Weise häuft sich in jedem Körperpunkte eine gewisse Energiemenge an, die, sobald die Belastung des Körpers aufhört, wieder frei wird und die in der Physik als potentielle Energie oder als das Potential der elastischen Kräfte bezeichnet wird. Dafür ist in der Technik der Name » Formänderungsarbeite gebräuchlich.

2. Wenn ein Stab innerhalb seiner Elastizitätsgrenze gespannt wird, so setzt sich die dabei aufgewendete äußere Arbeit in potentielle Energie um. Wird aber die Elastizitätsgrenze überschritten, so wandelt sich ein Teil jener äußern Arbeit in Wärme um. Deshalb muß sich z. B. ein in der Festigkeitsmaschine eingespannter Stab, etwa von der Fließ- oder Streckgrenze ab (I. 4, d), allmählich erwärmen. Im Augenblicke des Bruches fühlt er sich fast heiß an. Dagegen muß ein Stab, der während seiner Dehnung bis zur Elastizitätsgrenze von außen her keinerlei Zufuhr oder Ableitung von Wärme erfährt, sich abkühlen, wenn seine Temperaturabnahme auch nur wenige Tausendstel eines Grades beträgt. Aus gleichen Gründen muß auch die kubische (auf die Raumeinheit eines Stabes bezogene) Wärme verschieden groß sein, je nachdem der Stab sich im Spannungszustande befindet oder spannungslos ist. Solche geringe Wärmeunterschiede sind aber für die Statik der Baukonstruktionen von keiner Bedeutung (I. S. 15).

Wie im I. Bande (unter 8) näher beschrieben ist, vergrößert oder verkleinert sich der Rauminhalt eines Körpers auch unter Temperatureinflüssen. Solange die dergestalt herbeigeführten Formänderungen im Körper sich ungehindert vollziehen, solange leisten die Molekularkräfte behufs Herstellung neuer Gleichgewichtslagen nur innere Arbeit. Sobald hierbei aber ein äußeres Hindernis eintritt, müssen die Molekularkräfte auch äußere Arbeit leisten und infolge dessen entstehen Temperaturspannungen im Körper. Deren Größe berechnet sich nach dem

Elastizitätsgesetze aus den Formänderungen, die der Körper durch den Widerstand erleidet, der sich seiner Raumveränderung infolge des Temperatureinflusses entgegensetzt (I. S. 15 u. Beispiele unter 4).

Inwieweit der Einfluß der Luftwärme bei statischen Berechnungen berücksichtigt werden muß, ist im I. Bande (unter 36) dargelegt worden. Ausführlicheres darüber folgt im 2. Abschnitt unter 33.

3. Bei den folgenden Betrachtungen und Rechnungen ist — wenn nicht in Sonderfällen anders bestimmt wird — vorausgesetzt, daß alle äußern Kräfte (die an der Oberfläche eines Körpers angreifen) während der Belastung von Null ab stetig solange wachsen, bis das elastische Gleichgewicht zwischen ihnen und den innern Kräften (Spannungen) eingetreten ist. Dann muß auch jede innere Kraft stetig von Null ab bis zu einer gewissen Größe wachsen.

Auch setzen wir im allgemeinen voraus, daß die betrachteten Körper oder Konstruktionen in allen ihren Teilen und nach jeder Richtung hin, gleiche physikalische Eigenschaften besitzen, also isotrop sind. Dann ist für jede Längsrichtung das Dehnungsmaß E und für jede Querrichtung das Gleitungs- oder Schiebungsmaß G unveränderlich (I. 4, 5). Sind ferner E und G gegeben, oder aus Versuchen bestimmt worden, so ist die Aufgabe, für irgend einen Spannungszustand den zugehörigen Formänderungszustand eindeutig zu beschreiben, oder umgekehrt, theoretisch in jedem Falle zu lösen. Vom praktischen Standpunkte aus betrachtet fehlt es aber in vielen Fällen noch an zuverlässigen Zahlen für jene Erfahrungsmaße E und G, namentlich für Holz und Stein. Deshalb erscheinen die sich darauf stützenden Elastizitätsberechnungen für Holz und Stein, sowie auch für Stein-Eisenbauten, nicht immer zuverlässig. Mindestens aber sollten deren Ergebnisse mit großer Vorsicht aufgenommen werden. Das wird im einzelnen weiterhin noch näher darzulegen sein.

b. Der Formänderungszustand in einem Körperpunkte. Sobald der Spannungszustand eines Körperpunktes (I. 99, b) eindeutig beschrieben werden kann — was bekanntlich möglich ist, wenn für drei durch den Punkt gelegte, beliebige unendlich kleine Schnittflächen die Spannungen vorbestimmt worden sind — so ist damit auch der Formänderungszustand des belasteten Körpers gegeben.

Wenn man danach durch einen Körperpunkt m drei rechtwinklige Koordinatenachsen X, V, Z legt (Fig. 1) und den Punkt als Eckpunkt eines unendlich kleinen Paralielopipedes auffaßt, dessen Kanten dx, dy, dz in die betreffenden Achsenrichtungen fallen, so ist die in m wirkende Spannung ihrer Größe und Richtung nach durch neun Seitenspannungen bestimmt. Das sind

1)    die Afama/spannungen oX) ay, az nach den Richtungen X, Y, Z\

2)    die Ä/m^spannungen rxy und rxz, tyx und ryz, xzx und xzy, von denen je zwei immer in derjenigen Ebene liegen, auf welcher die zugehörige Normalspannung senkrecht steht. Zur Normalspannung ax der FZ-Ebene gehören z. B. die Schubspannungen xxy und xxz. Der erste Buchstabe x ihres Zeigers gibt an, zu welcher Normalspannung sie gehören, während der zweite Buchstabe (y oder z) ihre Richtung festlegt.

Je zwei, sich in einer der Achsen X, F, Z schneidende Schubspannungen sind einander gleich, weshalb sie als zugeordnete Schubspannungen bezeichnet werden. Deren Gleichheit folgt aus den drei

1*

T"

ta-

sT'

dx

Fig. i.

Gleichgewichts-Bedingungen gegen Drehung des Parallelopipedes um eine durch seinen Schwerpunkt verlaufende, einer Koordinatenachse parallele Achse (Fig. i). Denn die Normalspannungen ax, ayi oz und ebenso auch immer vier der Schubspannungen haben kein Moment auf eine solche Achse, weil diese von den bezeichneten Spannungsrichtungen geschnitten wird. Das Moment der übrigbleibenden beiden Schubspannungen muß deshalb Null sein. Diese haben aber gleiche Hebelarme. Daraus folgen die drei Bedingungen

Txy Xyx % x

fl)

Xyz Xzy Ty

Tzx - Xxz '■—: Xz .

Die Spannung im Punkte m ist also durch die Normalspannungen ff*, Oy, oz und die Schubspannungen rx, ry und rz der Gl. (1) bestimmt. Damit sind auch die Formänderungen des Parallelopipedes gegeben. Denn nach I. 5 und I. 120 ist, unter der gemachten Voraussetzung isotroper Elastizität, ohne weiteres anzuschreiben:

ax =

i(

ox —

Oy -j— Oz

Oy -

Ox + (7₂\

m f

(⁴)

wenn der Buchstabe a die betreffenden Dehnungen bezeichnet, sowie E das Dehnungsmaß und m die PoissONsche Zahl vorstellen (I. S. 8).

Die Gleitungen y folgen aus der Gl. (5) auf S. 9 des I. Bandes mit

yx =

Tx

%y .

yz =

(3)

wobei das Gleitungsmaß G aus dem Dehnungsmaße zu berechnen ist. Das geschieht mit Hilfe der Formel

(4)

Auch das Gleitungsmaß liegt beim Fluß eisen innerhalb enger Grenzen, wie das im I. Bande (unter 5, a) angegeben ist. Danach empfiehlt es sich für die PoissoNsche Verhältniszahl m zu setzen

bei weichem Flußeisen⁵ (von höchstens etwa 44

kg

mm

- Zugfestigkeit) : m — 3

härterem

60

kg

10

mm²

Wählt man dazu

bei weichem Flußeisen .

.    . E = 2000

cm²

härterem

. E = 2200-

cm²

so liegen die Grenzezi des Gleitimgsmaßes (I. 101. c)

2[m + 1)

für weiches Flußeisen zwischen 7=50 und 770 -—

cm²

härteres

825

-    846 — •

cm²

2. Ató^konstruktionen treten in der Neuzeit mit AAmkonstruktionen stark in Wettbewerb, besonders seit die Stein-Eisenbauten mehr und mehr in Aufnahme kommen (I. § 18). Dessenungeachtet stehen die Größen der Dehnungsmaße und Gleitungsmaße für die wichtigsten Steinsorten, so namentlich auch für die verschiedenen Betonmischungen, nicht so genau fest wie beim Eisen. Daher leiden besonders die Berechnungen von Stein-Eisenbauten immer noch an Unsicherheiten und deshalb sollte man diese hinsichtlich der Sicherheit und unter sonst gleichen Umständen verständigerweise niemals einer Eisenkonstruktion vorziehen.

Dehnungs- und Gleitungsmaße für natürliche Steine sind noch weniger genau anzugeben als für Gußeisen, das in seinem elastischen Verhalten den Steinen ähnlich ist (II. 71). Für Zementmörtel und Beton gibt es zwar zahlreiche Versuchsergebnisse, diese weichen aber für gleiche Sorten häufig stark voneinander ab, worüber die im Anhänge des

II. Bandes (unter 71) gemachten Angaben zu vergleichen sind. Die dort gegebenen wenigen Dehnungszahlen (nach Mörsch) lassen deutlich erkennen, daß weder Zementmörtel noch Beton für beliebige Spannungszustände (wie das Flußeisen) als isotrop angesehen werden darf, denn die Dehnungsmaße für Zug und für Druck sind sehr verschieden voneinander. Dazu kommt noch die sehr kleine Zugfestigkeit dieser Stein-stojfe und die Tatsache, daß ihre Spannungen nicht im gleichen Verhältnisse mit den Dehnungen wachsen (I. 122, a). Alles dies läßt erkennen, auf welchem unsicheren Boden die Elastizitätsberechnungen der Steinkonstruktionen sich heute noch bewegen und mit welcher Vorsicht ihre Ergebnisse benutzt werden sollten. Auch sollte im Hinblick darauf der Sicherheitsgrad (I. 7,12 und II. 45, b) einer Stein- oder Stein-Eisen-konstruktion immer entsprechend höher angesetzt werden, als dies bei gut ausgeführten Eisenkonstruktionen heute geschieht.

3. Was im vorigen über die Unsicherheit von Elastizitätsberechnungen der Stein- und Stein-Eisenbauten gesagt worden ist, gilt in noch höherem Maße für alle Zfo/zkonstruktionen. Das elastische Verhalten des Holzes ist viel unsicherer in Formeln zu fassen, als dasjenige der natürlichen und künstlichen Steine. Denn zufällige Umstände, wie der Einfluß des Bodens, des Standortes, der Lage des betreffenden Stückes im Baume, eingewachsene Äste u. dgl. mehr, lassen alle Elastizitätsberechnungen einer Holzkonstruktion als unzuverlässig und Versuche, deren Ergebnisse praktisch zu verwenden, als wertlos erscheinen.

Aus obigen Gründen beschränkt sich Verfasser darauf, in den Übungsaufgaben und Zahlenbeispielen des vorliegenden Bandes hauptsächlich nur Eisenbauten vorzuführen, und daneben unter besonderen Voraussetzungen nur noch einige der wichtigsten Stein- und Stein-Eisenbauten, wie Decken und Gewölbe.

b. Kubische Dehnung und Grenzen der PoissoNschen Zahl. Nach 1, a. hat die Formänderung eines Körpers eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung seines Rauminhaltes zur Folge. Je nach dem Sinne der Belastung wird das eine oder das andere eintreten. Gilt dies für Baustoffe als richtig, so kann z. B. der Rauminhalt eines Stabes durch eine positiv wirkende Achsenkraft in keinem Falle verkleinert werden, ebensowenig wie er durch eine negative Achsenkraft vergrößert werden kann. Dieser Erfahrungssatz gibt ein Mittel an die Hand, um die untere Grenze der PoissoNschen Zahl m zu berechnen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Formänderung eines unendlich kleinen Parallelopipedes, auf welches nach der A-Richtung eine Achsenkraft wirkt. Sein ursprünglicher Rauminhalt dV = dxdy dz geht über in

dV-f- z/dV — dx[i -j- ux) dy[i -f- ay) dz( 1 -j- az).

Die Produkte aus den Dehnungen a als unendlich kleine Größen höherer Ordnung verschwinden gegenüber denjenigen 1. Ordnung. Man erhält dann

dV-f- J dV — dx dy dz (i -f- dx -f- dy -j- az) dV-f JdV= dVf- dV[dx+ ay + dz),

oder

in welchem Ausdrucke der zweite Summand der rechten Seite die Änderung von dV angibt. Bezieht man diese auf die Einheit des ursprünglichen Rauminhaltes, so erhält man dadurch die sog. kubische Dehnung a*, die darnach mit

(5)

ak - dx + dy + dz

anzuschreiben ist. Die Gl. (5), auf den linearen Spannungszustand angewendet, gibt nach Gl. (2), und weil hier Gy — oz = o ist,

dx =

+ aJL. E ’

dy — dz = Zf.

oder

,0.

z- d V.

'■fj - c[l,z - Ç) + U,.

r\

X — 3,75 *•

Jl

im)

•J*.

mmmmm

25. Gültigkeitsgrenzen der Euler-Formeln.

— = 52 •

Zweiter Abschnitt.

35. Die Sätze von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit.

öL

2 S0Sjk

= 72,68 mm.

J ~~ J cos cp

was aus den obigen Gl. 1 und aus v • L = Mm abzule

50. Zahlenbeispiel zur Berechnung des Fachwerkbogens.

53. Darstellung von Momentenflächen mit Hilfe der vereinfachten Biegelinien.

56. Ihre Ursachen.

Tj

60. Durchgehende Träger auf elastisch drehbaren Stützen.

62. Die graphische Statik.

27) Culmann. Graphische Statik. 1866. 2. Aufl. 187

Wandfläche, gebrochene II. 311.

¹

Die hervorragende Abhandlung von Zimmermann, die unter dem Titel: y Der gerade Stab mit stetiger elastischer Stützung und beliebig gerichteten Einzellasten« am 9. Nov. 1905 der K. Preuß. Akademie der Wissenschaften vorgelegt worden ist, konnte dabei leider nicht mehr berücksichtigt werden.

²

Vgl. S. 435, 441, 442, 445, 446.

³

Vgl. S. 262, 438, 439, 448.

⁴

(»*+ 1)

die unter I. 101, c (S. 321) abgeleitet worden ist und weiterhin (unter 3, b) auf anderem Wege nochmals gefunden werden wird.

2. Dehnungsmaße und Gleitungsmaße,

a. Ihre Zuverlässigkeit für Elastizitätsberechnungen,

i. Unter den Konstruktionsstoffen zeigt allein das heute im Bauwesen bevorzugte Flußeisen nach allen Richtungen hin nahezu gleiche physikalische Eigenschaften. Schweißeisen besitzt niemals gleiche Festigkeitseigenschaften in der Länge und Quere seiner Walzrichtung. Gußeisen kommt als eigentlicher Konstruktionsstoff heute nicht mehr in Betracht, weil es im Vergleich zu seiner hohen Druckfestigkeit nur eine sehr kleine Zugfestigkeit besitzt.

Das Dehnungsmaß des Flußeisens ist durch zahlreiche Versuche festgestellt (II. 71, a). Wenn es auch, wie das ja selbstverständlich erscheinen muß, nicht in allen Stäben eine Konstruktion völlig gleich groß ausfallen kann, so genügt es doch für alle technischen Rechnungen ein unveränderliches E vorauszusetzen, falls die Konstruktion nicht aus verschiedenen Baustoffen zusammengesetzt ist.

⁵

Diese Flußeisensorte kommt für Eisenkonstruktionen fast allein in Betracht.

xlm — 2\

S\ m I

(6)

,0.

dt = itz —

E

wobei das obere Zeichen für eine positive, das untere für eine negative, in der A-Achse wirkende, Achsenkraft gilt.

Aus der Gl. (6) folgt für dk = o die untere Grenze der Poisson-schen Zahl mit m — 2. Für die Baustoffe ist der Erfahrung nach m größer als 2. Für Holz und Stein sind sichere Werte nicht anzugeben. Für Gußeisen sind Angaben (II. 71) mit Vorsicht zu gebrauchen. Für schmiedbares Eisen vgl. die Angaben unter I. 5, a.

Weil die Größe der Querdehnung des Eisens heute in vielen Fällen als ein Maß für dessen Zähigkeit gilt, so wird mit zunehmender Härte und abnehmender Zähigkeit des Metalls m größer zu wählen sein. Für Konstruktionsflußeisen wählt man, je nach seiner Härte, wie (unter a.) bereits angegeben, m = 3 bis ßf. Auch die Zugfestigkeit des Eisens kann bei der Wahl von m als Anhalt dienen, weil im allgemeinen Zugfestigkeit und Härte des Metalls gemeinsam wachsen, wobei die Zähigkeit abnimmt, also m größer wird.

Die obere Grenze von w, für die härtesten Stoffe, wird heute gewöhnlich zu 4 angenommen. Konstruktions^Xo^ç., bei denen derartige geringe Querdehnungen Vorkommen könnten, werden nur selten verwendet. Trotzdem kann man in Einzelfällen in die Lage kommen, von der Zahl m — 4 Gebrauch zu machen und zwar namentlich dann, wenn man mit maßgebenden Spannungen zu rechnen hat und diese der Sicherheit wegen hoch genug greifen möchte. Denn (nach I. 120, c) wächst die Spannung oma mit der PoissoNschen Zahl und wird für m — 4 am größten. Dagegen beachte man, daß Dehnungen und Gleitungen, also auch die zugehörigen Formänderungsarbeiten, mit dem Wachsen von E und G kleiner werden, daß es also unter Umständen (wenn marl Grund hat, hoch zu greifen) auch geraten sein kann, die PoissoNsche Zahl möglichst klein zu wählen.

3. Die Formänderungsarbeit eines Körpers.

a. Allgemeiner Ausdruck der Formänderungsarbeit. Wenn irgend eine äußere oder innere Kraft, wie vorausgesetzt, von Null ab bis auf eine bestimmte Größe P wächst und dabei in ihrer Richtung den beliebig großen Weg ô zurücklegt, so bildet das zugehörige Schaubild ihrer Arbeit ein Dreieck (Fig. 2), wenn in jedem Augenblicke der Formänderung Kraft und Weg einander proportional sind. Die Formänderungsarbeit 2Ï ist in solchem Falle gleich dem Inhalte des Dreiecks, d. h. es ist

(?)

In Worten: Die Formänderungsarbeit ist gleich dem « halben Produkte aus der Kraft mal dem in ihrer Richtung zurückgelegten Wege. An Stelle einer Einzelkraft P kann natürlich auch ein Kräftepaar treten. Ist dessen Moment M und der zugehörige Yerdrehungswinkel <jp, so geht Gl. (7) über in

<f-

Fig. 2.

21 == \Mcp .

(8)

Über dynamische Arbeit vgl. die Beispiele unter 4, b.

Darnach findet man die differentiale Arbeit einer Normalspannung ox in einem Körperpunkte wie folgt: Die Spannkraft in der betreffenden Parallelopipedfläche (Fig. 1) ist gleich ox • dy • dz und der von ihr zurückzulegende Weg ist gleich der Längenänderung jeder der Kanten dx. also ist

d$ax — 2 {ßx dy dz) ictx dx)

und in Verbindung mit den Gleichungen (2)

G y Gx -j- Gz Gx

d^ax =

dydz).

Die Formänderungsarbeit einer der Schubspannungen findet man in ähnlicher Weise. Die Gleitung des Punktes m in der Richtung der X-Achse wird durch die Schubkraft

tx dx dz

bewirkt. Sie ist in Winkelbogenmaß ausgedrückt gleich yxdy, worin yx die Änderung der rechten Winkel der dx dy-Flächen des Parallelo-pipeds und dy den Halbmesser der Winkelverdrehung bedeutet (I. 3, b), wobei man die untere, der dxdz-YX&cht parallele Fläche festliegend zu denken hat. Die zugeordneten Schubspannungen tx in der dy dz-Fläche stehen senkrecht zur Gleitungsebene, verrichten also keine Arbeit. Die Gesamtarbeit der beiden zugeordneten Schubkräfte beträgt demnach dtyizx — (Gr " dxdz] yxdy i also mit Bezug auf die Gleichungen (3)

[dx dy dz).

d%tx =

t%

2G

Berechnet man auf solche Weise auch noch die Arbeiten von ry, tz, oy, oz und addiert sie zu derjenigen von ox und tx, so erhält man für die Formänderungsarbeit eines Körperpunktes:

d% =

+ °y +

+    [t% + Ty + Tz) [dxdy dz).

{Oy (T x -f- oz G y -f- ax (7₂)J dxdy dz

Die gesamte Fonnänderungsarbeit des Kórpe7~s findet man durch dreifache Integration innerhalb gegebener Grenzen. Der allgemeine Ausdruck dafür lautet:

21 — TfS\}g^ ^ ⁰

+ PqJ*[Xx T*y t\) dV.

K>

[Gyüx -j- Gz(Jy -j- Gx (J₂)j

dV

(9)

Darin wurde an Stelle von dx dy dz der Inhalt dV des Paralielopipedes gesetzt. Hätte man dessen Kantenlängen von vornherein gleich der Einheit angenommen, so würde der Faktor dV in Gl. (5) verschwinden und die Gleichung dann die Formänderung für die Kubikeinheit des Körpers darstellen.

b. Die Formänderungsarbeit in besondern Fällen,

i. Hat man es nicht mit einem räumlichen, sondern nur mit einem ebenen Formänderungszustande zu tun (I. 120), so verschwindet in der Fig. i die Z-Achse, und somit verschwinden in den Gleichungen (1) und (9) auch alle Glieder, deren Zeiger das 2 enthält, d. h.

(Jz O « (J% Qy ~ O 2    0*2 ■ o

T/yZ “— T'zy T/y    O

T' zx ’— T' x z T'z O.

Die Gl. (9) geht dann über in

(io)

In praktischen Fallen, namentlich bei der Berechnung von geraden oder krummen Stäben auf Biegungs- oder Verdrehungsfestigkeit, kann — wie es schon im I. Bande (unter 116) geschehen ist — auch die Normalspannung öy als verschwindend vernachlässigt werden. Für alle solche ebene Formänderungsfälle darf man dann anschreiben

(II)

Ni -

worin o und t die bekannte Bedeutung haben (vgl. Fig. 347 des I. Bandes). In derartigen Fällen darf man sogar meist auch die Schubspannung r vernachlässigen, weil sie im Vergleich mit der Normalspannung o — wie weiterhin (unter 4, 5 und 8) nachgewiesen werden soll — zur Formänderung im allgemeinen nur einen verschwindend kleinen Beitrag liefert.

Ff

2. Beim linearen Formänderungszustande, wie er bei einem nur durch eine Achsenkraft belasteten Stabe vorkommt, ist r — o.

Gl. (11) geht also über in

a = v/l>'

(12)

Fig- 3-

Ist dabei der Querschnitt F des Stabes veränderlich (Fig. 3) und z. B. die über den kleineren Endquerschnitt Fu gleichmäßig verteilte Normalspannung gleich (7„, so muß für jeden Querschnitt

<5

(Ju Fn = a F

sein. Das gibt für einen Stab der Länge l (nach Gl. 12)

f-

Y.

21 =

oif: rl i I F²

O

ol Fl

dz

Für pyramidenförmige Stäbe (Fig. 4), deren Endflächen Fu und F₀ sind, erhält man aus Gl. (12), weil

\]i

Fig. 4.

F=F₀

/z±_*y

l l + a)

und wenn zwischen a und (/ + a) integriert wird:

olFul

2t =

y*.

V F₀

(13)

Das gibt für überall gleichen Querschniit F und die Stablänge l

o²lF

21 =

was auch unmittelbar aus der Gl. (12) folgt, wenn darin o unveränderlich gesetzt wird.

c. Der ebene Formänderungszustand bei reiner Schubbeanspruchung. Wenn in vier Flächen des in Fig. 5 dargestellten Würfels Schubspannungen auftreten, die senkrecht zur Z-Achse gerichtet sind, während die übrigen beiden (zur Z-Achse senkrechten) Würfelflächen spannungsfrei bleiben, so liegt der Fall einer reinen Schubbeanspruchung vor. Die Schubspannungen sind dann Hauptschub-spannungen t, für welche die Normalspannungen verschwinden (I. 119,

120). Sie erzeugen in den beiden zur Z-Achse parallelen Diagonalebenen (nach I. 101) Normalspannungen, die ihnen an Größe gleich sind und entgegengesetzte Vorzeichen haben.

-X

i.

.1.

Denkt man sich in Fig. 5 — wie es auch in Fig. 302, S. 319 des ersten Bandes dargestellt ist — die Formänderung dadurch herbeigeführt, daß die rechten Winkel der beiden spannungsfreien Würfelflächen sich um y ändern, so leistet allein die Schubspannung der oberen Würfelfläche eine Arbeit. Denn die untere Würfelfläche darf festliegend gedacht werden und die senkrecht zur Gleitungsrichtung wirkenden beiden Schubspannungen verrichten keine Arbeit.

Die Gleitungsarbeit ist demnach

L_

Hg- 5-

oder

I [r dxdz) y dy

Das gibt

öSt, = \rydV. = dV,

2 G

was auch (für 0=0) unmittelbar aus der Gl. (11) folgt. Die Arbeit der Schubspannungen r ist aber gleich der Arbeit der von ihnen erzeugten Normalspannungen der Diagonalebenen des Würfels. Mit andern

Worten: die beiden Summanden der Gl. (9) müssen einander gleich sein, wenn darin

Tx — r

gx ⁼⁼ -f- T und Oy — — x

gesetzt wird. Man erhält dann

x²

dV= ——dV

und daraus

E.

2 [tn + 1)

Das ist die bekannte Beziehung zwischen den Maßen der Gleitung und der Dehnung, die im I. Bande (unter 101, c) auf anderem Wege abgeleitet worden ist.

4. Übungsaufgaben.

a. Normal-Biegungs- und Drehungselastizität.

Aufgabe 1. Ein 20 cm langer, zylindrischer Eisenstab von 5 cm2 Querschnitt wird in der Festigkeitsmaschine durch eine Achsenkraft P= um    seiner Länge gedehnt. Wieviel Sekunden beträgt dabei die

größte Winkeländerung y, wenn die Poissonsche Zahl zu 3- angenommen wird?

Es handelt sich um einen linearen Belastungsfall. Die Normalspannung g berechnet sich aus

8000

mit

kg

G — 1600 - •

cm²

Diese Spannung liegt noch innerhalb der Elastizitätsgrenze des Schweißeisens (I. 7, a). Das Elastizitätsgesetz (I. 4) darf also hier als noch gültig angesehen werden. Daraus folgt:

1600

2000

1250

cm²

Nach Gl. (4) ist ferner

10

3-*(x+i)

Daraus folgt die Winkeländerung

2000 = 769

cm²

y= G

769

Die größte Schubspannung r ist aber (nach I. 100, b) gleich der Hälfte der Normalspannung o. Das gibt

800

769000    961

Der zu einer Sekunde gehörige Bogen ist gleich

-6

rc

180•60 • 60

= 4,85 • ¹⁰

woraus

i000000

oder

4,85 • 961

= 214 Sekunden

y — 3' 34" •

Wenn man also auf dem Umfange des Stabes, unter einer Neigung von 45⁰ zur Stabachse, zwei aufeinander senkrechte Linien zöge, so müßten sich in deren Schnittpunkte die rechten Winkel um die oben berechnete Größe ändern.

Aufgabe 2. Ein lotrecht gestellter Eisenstab, in Gestalt eines abgestumpften Kegels erfährt eine Achsenkraft P= 10 t. Eie Kegelhöhe beträgt 24 cm, der Inhalt seiner Endflächen berechłiet sich oben auf 20 cm², unten auf 11,25 cm2- -Das Eigengewicht des Stabes ist mit

— 7 >⁸ m3

gerufene Formänderungsarbeit

anzurechnen. Wie groß ist die durch die Belastung hervor-

wenn die Achsenkraft über die Endflächen gleichmäßig verteilt angenommen werden darf?

Die allein aus der Achse7ikraft herrührende Arbeit berechnet sich nach der Gl. (13) mit

y**.

y F.

^ oder

K

Fig. 6.

P² l ²Ë V~FFU

Das gibt 10-10-24

-- — = — cmt = 40 cmkg.

2 • 2000 V225    ²5

Um die durch das Eigengewicht hervorgebrachte Arbeit zu berechnen, ist zu bedenken, daß hier die Achsenkraft veränderlich ist. Sie nimmt von Null in der Fläche F₀ bis zur Fläche Fu stetig zu. Allgemein ist

4.

— dz .

-I:

F dz .

(is)

Die Arbeit für eine Scheibe von der Höhe dz berechnet sich (nach Gl. 14) mit

O²

d%e = —— F dz — 2 E

P2

2 FF

dz .

Daraus

Aus geometrischen Beziehungen findet man

Setzt man

so erhält man

[VFv + ^iVFo-VFjJ. VFc-Vf^c,

-fl

z²

Fu + C² -

l²

r«]

dz

oder

P = 7e\ Fu Z +

C²z-? , CVFuz²

Dies mit der Arbeitsgleichung verbunden gibt

CVF*

Ye

° (fuz

C²Z3

dz .

Unter Anwendung des Summationsverfahrens erhält man schließlich

Flh

« _ w* r fi , fi    w

'    18E [c² ^ C³F*J*    5

und für die gegebenen Zahlenwerte

-CF]j² - 2 Fu-

21* = 0,00000628 cmkg,

21 = 21^ + 21* = 40 -f- 0,00000628 = 40,00000628 cmkg.

Aufgabe 3. Ein weicher Flußeisenstab von überall gleichem rechteckigen Querschnitte F [der Breite b und Höhe h) liegt wagerecht, und an seinen Enden auf die Länge l frei gestützt. Er trägt [einschließlich seines

kg

Eigengewichtes) eine gleichmäßig verteilte Vollast von p — • Wie groß ist

seine Formänderungsarbeit'. 1) ohne, 2) mit Berücksichtigung der Schubspannungen und wie groß ist seine kubische Arbeit?

i) Hier würde die Gl. (n) maßgebend sein. Die Arbeit der Normal-spannungen ist danach

= t/S dV•

Die Spannung a in einem Punkte der Koordinaten x₇y des Querschnittes

(Fig. 7) ist nach der Gl. (97) des

I. Bandes (unter 104, a) anzuschreiben

mit

xf-

Jx

oder

..>k.

4-±

-4- •

Fig. 7-

91« =

Ÿ.

Fassen m\xd V als eine Faser von der Breite b, der Höhe dy und der Stärke dz auf, so gilt

d V — b • dy • dz .

.4.

bh 3

24 EJ,

,f

Das gibt

9t« =

M² dz

irj.

M² dz.

(16)

Es ist aber für einen beliebigen Querschnitt in der Entfernung z von einer Stütze

— ilz — z²) .

2

Dies eingesetzt gibt

9t* =

P²

8 EJx^

(,lz — z²)² dz

oder

Es sei nun

9t« =

p² 15

240 • E -b • h³

in cmkg.

(r7)

1000

/ = 8 m ,

b — 10 cm und h — 20 cm ,

E = 2000--

cm²

Das gäbe

io² • 8oos

= ⁸ 5 3f cmkg.

240 • 2000 000 • 10 • 20³

Die Rechnung gilt aber nur für den Fall, daß bei der Belastung des Stabes die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird. Um dies nachzuprüfen ist die Randspannung a zu berechnen (I. 104, c). Es ist

M 6 • p /²

6*io- 800²

W 8 • b ■/?

8 • 10 • 20²

1200 atm.

also etwa nur halb so groß als die Elastizitätsgrenze des weichen Flußeisens.

2) Die Arbeit der Schubspannungen ist nach Gl. (11)

dV

und nach Gl. (1x5) des I. Bandes (unter 114, a) ist allgemein

<2S b'J

Im vorliegenden Falle ist anzuschreiben

Q— p

(4-)

J/

und mit Bezug auf Fig. 8:

i-4-----

■h

J= — bh³. 12

Daraus berechnet sich

Fig. 8.

—(■

2 bh\

4 y²

ti*

und die Arbeit mit

9 P*

8 b²h²G

/,(¹⁻vT */o(t-*)'*•

Nach erfolgter Integration erhält man danach

in cmkg.

(18)

fß

16 b*hG

Wir wählen für das Gleitungsmaß (nach 2, a) den kleinsten Wert,

um die größte Arbeit zu erhalten, also

~    . kg

G — 750 000--

cm²

Dann erhält man

io² • 800³

und daraus

16•io²•20• 750 000

= 2,0133 cmkg

st = 21« + tl, = 853,33 + 2,ox = 855,34 cmkg.

Danach erscheint die Arbeit der Schubspannungen als sehr klein gegenüber der Arbeit der Normalspannungen. In vielen praktischen Fällen kann man deshalb den Einfluß der Schubspannungen vernachlässigen (vgl. unter 5, d und 8).

Zr

-9-

>r r*r<

VP

Fig. 9.

3. Unter der kubischen Arbeit verstehen wir (wie unter 2, b bei der kubischen Dehnung) die auf die Raumeinheit bezogene Arbeit.

Also

ff

und

2ĄoEb*hĄ

tu =

p*r

(19)

16 bfdG

Aufgabe 4. Eine in ihrer Mitte durch ein Schwungrad vom Gewichte P belastete zylindrische Stahlwelle vom Durchmesser 2 r (Fig. 9) erleidet (abgesehen von dynamischen Wirkungen) bei ihrem Antriebe eine Verdrehung infolge der Zapfenreibung in ihren Lagern. Wie groß ist

die dadurch verursachte Formänderungsarbeit, wenn der Zapfendurchmesser gleich -f des Wellendurchmessers und die Zapfenreibungszahl gleich 0,2 gesetzt werden darf?

Die Verdrehungsarbeit für sich ist nach Gl. (n) mit

kf*dr

anzuschreiben.

auf die Fig. 9 r = ir j

Darin ist (nach Gl. 92 des I. Bandes, unter 102, a) und mit Bezug wenn q den Abstand eines beliebigen Querschnittpunktes dF von der Wellenachse und xr die Randtorsionsspannung bedeutet. Das Differential der Arbeit zwischen zwei Nachbarquerschnitten im Abstande »Eins« beträgt danach

2 r²G

d% =

I” Q²dF

worin das Integral gleichbedeutend mit dem polaren Trägheitsmoment fp des Querschnittes ist. Man erhält also

rf«. = dlF

2 r² G

und ferner

2 r² G

dz =

vlfpl

2 r²G

Es ist aber

/er⁴

und

V = r²wl

woraus

(20)

und die kubische Arbeit folgt.

Nach der Gl. (93) des I. Bandes (unter 102, a) ist die Rand-T orsionsspannung

_ 2 M _ Mr

%r ~ rz7Z~~ fp

Dies in Gl. (20) eingesetzt gibt

(21)

M²l _ M²1 tvFG ~ 2JpG

Es betrage nun

r — io cm; P — 20 t; / = 160 cm; Dann ist das Reibungsmoment

— = 15 000 cmkg

und

15 000²•160 3,14 • io⁴ • 825 000

— 0,14 cmkg

also eine sehr kleine Größe.

b. Temperatureinflüsse.

Aufgabe 5. Ein an beiden Enden eingespannter gerader weicher Flußeisenstab ist bei einer Luftwärme von -f- io⁰ C. spannungslos und wird dann künstlich bis auf — 6o° C. ab gekühlt. Wie groß ist die dadurch in ihm hervor gebrachte kubische Formänderungsarbeit, wenn die Temperaturdehnung des Eisens für i°C. gleich 0,000012 angenommen wird?

Für 60 + ¹⁰ = 70° würde die Dehnung at des an einem Ende frei gemachten Stabes mit

at = 70 ■ 0,000012 = 0,00084 anzuschreiben sein. Das entspräche einer Spannung

Ot = atE = 0,00084 • 2 000 000 = 1680 atm.

Diese Spannung liegt innerhalb der Elastizitätsgrenze des Eisens, so daß die gesuchte kubische Arbeit nach der Gl. (14) berechnet werden kann. Das gibt

a²

1680²

2E

2 • 2 000 000

= 0,7056

cmkg

cm³

oder

%tk — 0,7056

kg

cm²

Aufgabe 6. Ein gerader prismatischer Stab [von der Länge l und der Höhe h) ist an seinem einen Ende lotrecht eingespamit (Fig. 10) und erfährt eine Temperaturerhöhung, die in seinem einen Rande t° und im entgegengesetzten Rande t'° beträgt. Wie groß ist die dadurch verursachte Formänderungsarbeit, wenn angenommen werden darf, daß der Stab beim Beginn des Temperatureinflusses spannungslos war und die Temperatur in jedem Stabquerschnitte von t bis auf t' in gerader Linie abnimmt r

Die Temperatur verursacht im Stabe zwischen je zwei Nachbarquerschnitten im Abstande dz einerseits eine Verlängerung J dz in der Achsenrichtung ZZ, anderseits eine Verdrehung Jdcp. Die Temperatur in der Stabachse sei tz. Sie berechnet sich

mit

Die Dehnung in der Stabachse beträgt danach

«2 - Gftz J

f-

wenn at die Temperaturdehnung für i° C. angibt.

Die mittlere Normalspannung parallel der Stabachse folgt daraus mit

oz = attzE

und die Arbeit dieser Spannungen mit alFl _ (athYEFl

1'd(p

%z =

Fig. 10.

Der durch die Temperatur verursachte Verdrehungswinkel J d cp ist aus der Fig. 10 mit

/ddcp —

attdz — <xtt' dz

2 (Xt{t — t') dz

zu entnehmen, wenn man ihn (seiner verschwindenden Kleinheit wegen) mit seiner trigonometrischen Tangente vertauscht. Er ist für alle Querschnitte derselbe, d. h. die Stabachse krümmt sich infolge des Temperatureinflusses nach einer Kreislinie, deren Halbmesser durch z/cp bestimmt ist. Man erhält

s\l

l attzdz 2 0Lttzl

±-

Ein Moment Af, das eine gleiche Krümmung herbeiführen kann, berechnet sich (nach Gl. 60 auf S. 163 des II. Bandes) aus

/d d cp M

dz

EJ

mit

z/ cp —

Mdz _ Ml

Setzt man den bereits gefundenen Wert von ziep ein und löst nach M auf, so ergibt sich

M==

2 attzEf

und endlich nach Gl. (16) in Aufgabe 3 (unter a)

Dasselbe hätte man auch aus der Gl. (8) gefunden, nämlich

oder

i [2 attzEJ\ [ 2 attzl\

M I /( h )

%n==^Ęll.

— Mzfep =

Die gesamte Arbeit der Temperatur beträgt demnach

mm

.Y......

.....

Für einen flußeisernen Stab von quadratischem Querschnitt sei z. B.

F — Ji¹ = 100 cm ;    /= 100 cm; t = 40° ;

t'— 20°;    £=2000—; cft— 0,000012 ;

cm²

dann erhielte man

ziep ==

2 • 0000012 • (40 — 20) 100

10

= 0,0048

Fig. ir.

Für At findet man

in Bogenmaß für h — 1. Das gibt in Winkelmaß ziep — 16'30".

£(0,000012

+(

2000000-100

2 • 0,00001 2 • 20

• 2o)² IOO

= 768 emkg.

b. Dynamische Formänderungsarbeit.

Aufgabe 7. Auf das freie Ende eines lotrecht hängenden, oben eingespannten prismatischen Flußeisenstabes der Länge l (Fig. 11) fällt, frei aus einer Höhe h, ein Gewicht P. Wie groß muß der Querschnitt des Stabes sein, wenn die Elastizitätsgrenze des Eisens durch die Wirkung des Fallgewichtes nicht überschritten werden soll und wenn dabei die geringfügige Masse des Stabes vernachlässigt wird?

At —

10

Die Arbeit der äußern Kräfte muß im Augenblicke des elastischen Gleichgewichtes gleich der Formänderungsarbeit des Stabes sein, die wegen des plötzlichen Angriffes von P doppelt zu nehmen ist. Die durch das Fallgewicht herbeigeführte Stabverlängerung sei d. Dann ist, unter Berücksichtigung der Gl. (14):

G²

P[h + ö) = -V=-lE. Nach dem Elastizitätsgesetze ist aber auch

Es sei nun

l — 100 cm ; h — 50 cm ; E = 2000

L-, P =

cm²

11;

G = der Elastizitätsgrenze =2,5

cm²

Dann berechnet sich

Ig ioo • g

2000

20

cm.

Ferner

oder

(⁵⁰ + ^)

g² • 100 • E

2000

P( 1000 -(- xx) 2000

P{ 1000 -f- g)

20 • G² • IOO

G²

Das gibt

E = 160,5 cm².

Wollte man d gegenüber h verschwinden lassen genähert

so erhielte man an-

kl

P-h =

oder

P-h- E

50 • 2000

o²

und

²>5²

= 16000 cm³

F = — = 160 cm².

Aufgabe 8. Ein quadratischer Flußeisenstab von a = xo cm Seite hegt auf l = 200 cm wagerecht und an seinen Enden frei gestützt. Aus welcher Höhe h muß ein Gewicht P = 0,1 t auf die Stabmitte herabfallen, um im Stabe eine größte Normalspałinung G von 2 —zu erzeugen?

Die Arbeit der Normalspannungen ist nach Gl. (16)

M² dz.

i-f

Es sei nun R dasjenige Gewicht, das in der Stabmitte, auf statischem Wege, die gleiche Wirkung hervorbringt, wie das dort dynamisch wirkende Gewicht P. Dann ist

zu setzen. Das gibt für den vorliegenden symmetrischen Belastungsfall

%l=:JLfZÄ-Z>Jz =

£/Jo 4

R²l3

96EJ

Ferner findet sich die größte Normalspannung a im Rande des mittleren Querschnittes. Daraus folgt

RI a

oder

8.(7./

• — • IO4 12 X W

20

al

10 • 200

Setzt man jetzt die Arbeit der äußern Kraft P gleich der Formänderungsarbeit der Normalspannungen, wobei vorläufig die Arbeit der Schubspannungen vernachlässigt werden soll, so erhält man

400 • 200³

-7-î-= — cmt,

9 • 96 • 2000 • yr ■ IO⁴    9

P- h =

R²fi

20

96 -EJ

20

= 22,22 cm.

9 • 0,1

2. Unter Berücksichtigung der Schubspannungen erhält man das Folgende:

Die Arbeit der Schubspannungen ist nach Gl. (11)

z⁻ d V.

Darin ist (nach Aufgabe 3, Fig. 8) für den vorliegenden Fall

QS

12 • QS

aj

woraus sich

2 a²\

4y²

a²

berechnet. Die Querkraft Q ist bei Vernachlässigung des Stabgewichtes für beide Stabhälften unveränderlich, nämlich

e-i

Dies eingesetzt gibt

51, =

g R²

16 a⁴ G

a

if

₄y²

a²

dz .

Daraus findet man nach erfolgter Integration

51, =

₃.R²l

20 a² G

(²²)

worin R, wie vorher, gleich ^ t anzurechnen ist. Die Arbeitsgleichung lautet also jetzt

Ph =

R² /3

ZR²l

96EJ

20a² G

= R²l

l²

20 a² G

Für G (wie in Aufgabe 3) den kleinsten Wert mit 750 eingesetzt, gibt

400 • 200

200 • 200 • 12

96 • 2000 • IO+

20 • IO² • 7 5o j

= 22,40 cm.

Danach ist also der Einfluß der Schuh Spannungen verschwindend.

Aufgabe 9. Ein auf die Spitze einer flußstählernen Dreiecksfeder von rechteckigem Querschnitte (Fig. 12) fallendes Gewicht P kommt dort mit einer

W////A

Al

■ i ..... >

Geschwindigkeit von 2 Sekundenmeter an.

K •    • • ->j

000

000

Wie groß muß der kubische Inhalt der Feder sein, wenn in ihr durch das Fallgewicht die Elastizitätsgrenze des Stahles nicht überschritten werden soll?

In der Entferuung z von der Spitze ist eine üfo^spannung (nach I.

<•'

Fig. 12.

104, c)

Md

Gr — T — j-² /    ² /

wenn R (wie in früheren Beispielen) eine lotrechte Kraft vorstellt, die statisch die gleiche Wirkung übt, wie P dynamisch. Ferner ist allgemein

oder

12    \12ll

M    12 RI

2 Gr

bÖ ³

Es sind danach sowohl —j-, als auch or unveränderlich, d. h. die Dreiecksfeder besitzt überall gleiche Biegungsfestigkeit.

Nach Gl. (16) ist ferner die Arbeit der Normalspannungen

Das gibt integriert

R berechnet sich aus

Dies eingesetzt gibt

■r

M²

Or

ÔE

(Rz) dz .

21 =

Or =

21 =

orRl²

2 ÔE

RI 6 IR

W bö²

orbd²

61

Grböl_OrV

12 E 6 E

Die Fallhöhe der äußeren Kraft ist gleich — , wenn g = 9,81 m die Erdbeschleunigung bedeutet. Daraus folgt

Pv² Or V

2g    6E

oder

TyPEv²

(²3)

Für F=o,it und die Elastizitätsgrenze des härteren Fußstahles =

erhält man schließlich als Rauminhalt der Feder

3 ■ 0,1 • 2000 • 200²

9Sl • 3,°²

= 27x8 cm³.

Dabei wurde die Arbeit der Schubspannungen und das Eigengewicht der Feder als verschwindend vernachlässigt. Die Stärke ô der Feder müßte aber groß genug werden, um in der Nähe der Federspitze ein Abscheren des Querschnittes ßd durch die Querkraft R mit Sicherheit zu verhüten.

Wie

Aufgabe io. Ein Schwungrad von 0,5 t dreht sich mit einer Umfangsgeschwindigkeit v = 2,8 m um eine flußeiserne Welle, groß muß der Rauminhalt V der Welle sein, damit bei?n plötzliche7i Stillstände der Drehbewegung die Schubspannungen der Wellenquerschnitte

nicht größer als 0,5 —^ werden?

Die zulässige Verdrehungsarbeit einer Welle berechnet sich nach Gl. (20) mit

tIV 4G'

worin xr die ifatf^-Torsionsspannung bedeutet.

Ist mu die auf seinen Umfang bezogene Masse des Schwungringes, so ist die kinetische Energie gleich \muv². Hierfür kann P-h gesetzt werden, wenn P = mug das Gewicht der Masse und h — — die Fallhöhe vorstellt. Dann folgt

i UrV 4 ~G~

oder

4-P-h-G

Im vorliegenden Falle ist h =

2,8²

Tr

2 • 9,81

= 0,4 m.

Setzt man (wie in Aufgabe 4)

G = 825 —-cm²

so gibt das

4 • o,5 ' 4P • 825

°>5² *

— 264000 cm³.

§ 2. Elastische Linien gerader und krummer Stäbe.

5. Der senkrecht zu seiner Achse belastete gerade Stab.

a. Einfluß der Biegemomente.

i. Die Erklärung des Begriffs einer elastischen Linie wurde bereits im I. Bande gegeben (I. 103, b). Dort wurden ebene Querschnitte und

das Vorhandensein einer Kraftebene vorausgesetzt. Denkt man deshalb die Angriffspunkte jeder äußern Kraft in deren Richtung bis in die Stabachse verschoben, wodurch im ursprünglichen Gleichgewichte nichts geändert wird, so liegen, nach erfolgter Formänderung, alle Angriffspunkte in einer krummen Linie, die man elastische Linie nennt. Sie verbleibt in der Kraftebene und jeder Stabquerschnitt steht zu ihr und der Kraftebene senkrecht, wenn man vorläufig etwaige, durch Schubspannungen erzeugte Unebenheiten der Querschnitte (Winkeländerungen , I. 3, b) als verschwindend klein vernach-

oC

lässigt.

%

.g •

Für den vorliegenden Belastungsfall ist die Achsenkraft P gleich Null; die Nulllinie verläuft deshalb durch den

z^ /

7*3?

4t

'A I

Schwerpunkt (Achsenpunkt) jedes Querschnittes (I. 104, b). Eine Biegungsspannung a berechnet sich sonach aus der Gl. (97) (I. 104, c), wobei der Querschnitt auf ETauftachsen oder (schiefwinklige) zugeordnete Achsen AT, Y zu beziehen ist. Man erhält

(²4)

My

Fig- 13-

Nach dem Elastizitätsgesetze (und mit Bezug auf Fig. 13) ist für die Dehnung az einer zwischen zwei Nachbarquerschnitten liegenden Längsfaser

az =

J dz ö

dz    E

anzuschreiben. Anderseits besteht innerhalb der Nachbarquerschnitte zwischen der Ordinate y der Längsfaser im Querschnitte und dem Krümmungshalbmesser q der elastischen Linie das Verhältnis

= y.

/t dz

dz

woraus

folgt. Dies in Gl. (24) eingesetzt, gibt

(²5)

&-H.

Bei gegebenen E,J und M würde Gl. (25) dazu dienen können, für irgend einen Punkt der elastischen Linie den Krümmungshalbmesser zu berechnen.

2. Der allgemeine Ausdruck für den Krümmungshalbmesser lautet

dzy dz²

Weil

immer die trigonometrische Tangente eines sehr kleinen

Winkels ist, so darf man für praktische Aufgaben genau genug setzen

dt i dzy dz²

Durch Überführen des letzten Ausdruckes in die Gl. (25) erhält man die sog. Differentialgleichung der elastischen Linie'.

±EJ

d²y

dz²

(26)

aus welcher für jeden besonderen Belastungsfall, durch zweimalige Integration, unter Bestimmung der vorkommenden Unveränderlichen, die Gleichung der elastischen Linie abzuleiten ist. Das gibt

und

y-dJ_ ₌

dz

Jjrrh + C-

Ar

EJ

dz —(— Czz —(—

(27)

wenn Cz und C₂ die Unveränderlichen vorstellen.

d?y

3. Das Vorzeichen von in der Gl. (26) bestimmt sich wie folgt:

Es ist:

dz

ddy

d (tg <p)

dz'²

dz

dz

wenn cp der Winkel ist, den eine im Punkte y, z der elastischen Linie angelegte Berührungsgerade mit der Z- Achse (Stabachse) ein schließt. Je nachdem also, im positiven Quadranten von KZ, mit wachsendem a

dzy

der Wert von tg cp größer oder kleiner wird, ist positiv oder negativ einzustellen.

Wendepunkte der elastischen Linie liegen überall da, wo das Moment des betreffenden Querschnittes sein Vorzeichen wechselt, also gleich Null wird. In diesen Punkten wechselt auch der Krümmungshalbmesser sein Vorzeichen, wobei er (nach Gl. 25) unendlich groß wird.

Die allgemeine Gleichung der elastischen Linie (Gl. 27) läßt sich vereinfachen, wenn man die Integration des ersten Differentialquotienten wie folgt ausführt:

dz

EJ

dz

woraus folgt

/®)

dz —

•r

—— dz —

'Mg

EJ

EJ

dz .

(28)

Für unveränderliche Werte von E und J erhält man daraus

(29)

'Mdz —f Mzdz^ ,

welcher Ausdruck dazu dienen kann, die Durchbiegung oder Senkung

irgend eines Punktes der Stabachse ZZ unmittelbar zu berechnen.

4. Für symmetrische Belastung eines Trägers auf zwei Stützen (Fig. 14) ist in der Trägermitte die Tangente an die elastische Linie der Stabachse parallel. Dort ist dy

deshalb = o. Die

dz

Durchbiegung <5 in der Trägermitte berechnet sich danach aus obigen Gleichungen mit

(<•

-*■

(f

-----Z-----V

cd

Fig. 14.

I 1 '1

iPb

-y

<r

l.b

(f

dr

cć

Fi S- i5-

k—Z-—y

Mz

EJ

dz . (30)

Ist der Stab an einem Ende eingespannt und beliebig belastet (Fig. 15) so fällt seine Durchbiegung d am freien Ende ebenso groß aus, wie

diejenige in der Mitte eines doppelt so langen, symmetrisch belasteten Stabes auf zwei Stützen (Fig. 14). Man erhält danach

-f.

Mz

— dz .

EJ

(31)

Die GL (31) gilt für jede beliebige Länge von 2, also auch für eine beliebig kleine »Längeneinheit«. Daraus folgt die Durchbiegung dy für die Längeneinheit mit

dy —

Mdz M

EJ EJ

(32)

Weiterhin wird gezeigt werden, wie man alle Werte von dy mit Hilfe eines Kraftecks in einem Seileck summieren und auf solche Weise die elastische Linie graphisch darstellen kann.

Vgl. die Beispiele unter 6 und 7.

b. Graphische Darstellung der elastischen Linie nach Mohr.

i. Im Jahre 1868 brachte Mohr die Lösung einer Aufgabe, die Culmann in seiner zwei Jahre früher erschienenen, grundlegenden »Graphischen Statik« noch für undurchführbar gehalten hatte, nämlich die graphische Darstellung der elastischen Linie¹. Culmann sagt: »Die Bestimmung der auf einen durchgehenden Balken wirkenden Stützenkräfte durch die Biegung, deren Gesetze in der Theorie der elastischen Linie ihren Ausdruck finden, entgeht gänzlich der graphischen Statik; wenigstens soweit wir ihrer bis heute mächtig sind. Es wird gewöhnlich von dem Grundsätze ausgegangen, daß die Krümmungshalbmesser des gebogenen Balkens in jedem Querschnitte dem Momente der äußern Kräfte umgekehrt proportional seien. Nun sind aber diese Biegungen so unendlich klein und die Krümmungshalbmesser so unendlich groß, daß ihre Darstellung unmöglich ist und unmöglich sein wird, bis uns die Geometrie einfache Verhältnisse zwischen den entsprechenden Krümmungshalbmessern projektivischer Figuren liefert, die bezüglich des unendlich fernen Punktes in der Lotrechten als Projektionszentrum und bezüglich der geraden Achse des ungebogenen Balkens als Spurlinie perspektivisch liegen: denn dann könnten wir die Einbiegungen des Balkens so lange projektivisch verzerren, bis die Krümmungshalbmesser meßbar würden. Da wir jedoch heute noch nicht imstande sind, dies zu tun, so müssen wir zur Rechnung greifen.«

Mohr hat gezeigt, daß es derartige geometrische Hilfsmittel nicht bedarf und die gestellte Aufgabe vielmehr in einfacher Weise mit Hilfe von Kraft- und Seilecken zu lösen ist. Zu dem Zwecke vergleicht er die elastische Linie mit einer Seillinie (I. 64 und 65).

Die Differentialgleichung einer Seillinie für parallele stetige Lasten ist mit

(33)

d²y q dP ⁼ H

anzuschreiben. Darin ist q die veränderliche stetige Last für die Einheit der Stablänge und H die unveränderliche Polweite (oder Bogenkraft) des Kraftecks, das zur Darstellung der Seillinie verwendet wurde.

Stellt man der Gl. (33) die Differentialgleichung der elastischen Linie

d²y M

dz²

EJ

gegenüber, so ist deren Übereinstimmung offenbar. Danach kann man die elastische Linie des geraden Stabes als eine Seillinie erhalten, wenn man jede

l . M    M

EJ

Längeneinheit des Stabes enhveder mit M \oder mit — , oder mit

belastet denkt und je nachdem die Polweite des Kraftecks, mit dessen Hilfe die Seillinie zu zeichnen ist, gleich Ef [oder gleich E, oder gleich der ■»Einheit«) gemacht wird.

2. Danach gestaltet sich das Verfahren der Darstellung der elastischen Linie wie folgt:

Die senkrecht zur Stabachse anzubringende Last für die Längeneinheit soll fortan mit w bezeichnet und »elastische Kraft« genannt werden. Wählt man die Polweite des Kraftecks der elastischen Kräfte gleich ■»Eins«, so ist für jedes w der Wert

Wr~ Ef

einzusetzen. Durch die Summierung aller elastischen Kräfte erhält man die Belastungsfläche am!b (Fig. 16). Eine Seillinie wird nun — wie unter

I. 64—65 ausführlich dargelegt ist — mit Hilfe eines umschriebenen SeiLo£s gezeichnet. Zu dem Zwecke teilt man die Belastungsfläche in Streifen (1,2 bis 10) von endlicher Breite, bestimmt deren Schwerpunkte und läßt dort je eine zugehörige elastische Kraft W angreifen, wobei

W = j*wdz

gleich der Summe aller den Streifen bildenden w ist (Fig. 16). Die Seillinie berührt das gezeichnete Seileck in den Teilpunkten 1', 2' bis 9', die senkrecht unter den Grenzlinien der Streifenflächen liegen (Fig. 18).

Wenn die elastische Linie in natürlicher Größe erscheinen soll, so ist die Pol weite des Kraftecks (Fig. 17) gleich »Eins« zu machen und die Trägerlänge in natürlicher Größe darzustellen. Werden aber, wie es

CL

dz

in

ni

CW

Fig. i6.

l.

,6 ::

Mimenten/Ui ch a.

,b

r< ;    \ i '5 ' '5 :    7 : '8 ; łp i to

;    Schluss linie

fi

y/

9‘

Bücjeflächt

./

â)

7.

jgl

.......J5T >

Fig. i8.

Fig. 17.

in der Regel der Fall ist, die Längen der Zeichnung um — verkleinert,

n

so muß man die Polweite um das «fache verkleinern, um die Ordinateny der elastischen Linie wieder in natürlicher Größe zu erhalten. Die Ordinaten fallen dann jedoch verschwindend klein aus. Deshalb ist es notwendig sie stark vergrößert darzustellen. Soll die Vergrößerung eine m fache sein, so ist die Polweite

Hw =

zu machen.

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

Dabei sind die elastischen Kräjte w oder W als unbenannte Zahlen (inach einem beliebigen Maßstabe) aujzutragen. Denn es ist

t • cm

cm

EJ

\cm²/

cm⁴

cm

d. h. eine »w-Einheit« besitzt die Dimension Null. Alle Strecken des Kraftecks stellen also unbenannte Zahlen vor und der Maßstab der Ordinaten y der elastischen Linie ist von dem Längenmaßstab der Zeichnung abhängig.

3. Will man die Polweite H nicht gleich »Eins«, sondern gleich E oder EJ wählen, so ändert das nichts an den Grundlagen der Darstellung.

Z. B. Man will die elastischen Kräfte

J*w dz — J Mdz

machen, bei einer Polweite gleich EJ. Ferner sei für einen Eisenstab

E — 2000

—, / überall gleich ioooocm⁴, der Maßstab der Stützern²

Soll die Vergrößerung der Ordinaten jy der elastischen

weite gleich ~₀.

Linie dann das 50 fache der natürlichen Größe betragen, so ist

Hw =

EJ

2000 • 10000

100 • 50

— 4000 tem²

100 • 50

zu machen. Die Einheit einer elastischen Kraft W ist aus

/ Mdz

ebenfalls in tem² auszudrücken.

Die Einheiten der Ordinaten y sind dann aus

M W • z tem² • cm

y=H

t • cm²

in cm abzumessen.

Weiteres ist bei den Übungsaufgaben unter 7 zu vergleichen,

c. Die Winkeländerungen der Stabachse. Aus der Differentialgleichung der elastischen Linie

d¹y_ M

dz²

folgt

EJ

d:

Mdz

EJ

— dtp

wenn cp der Winkel ist, den eine Berührungsgerade mt im Punkte m der elastischen Linie mit der Stabachse einschließt (Fig. 19):

Die Winkeländerung für die Längeneinheit ist danach gleich der Größe der zugehörigen elastischen Kraft w

(34)

w — dep .

Es ist aber (nach Gl. 32) auch die Zunahme oder Abnahme dy

für die Längeneinheit.

M

EJ

der Ordinaten y der elastischen Linie gleich Daraus folgt die wichtige Beziehung:

(35)

w = dep = dy,

aus welcher hervorgeht, daß man durch Integration aller w = dep unmittelbar die Ordinaten y erhält, was am einfachsten mit Hilfe eines

SO

'S

ni

Fig. 19.

Kraftecks der elastischen Kräfte derart erfolgt, wie es Mohr zuerst gezeigt hat. Die Darstellung Mohrs ist also unmittelbar aus der Differentialgleichung der elastischen Linie abzuleiten, ohne diese dabei vorher mit einer Seillinie zu vergleichen. Danach läßt sich der Satz aussprechen:

Man erhält die elastische Linie mit Hilfe eines Kraftecks, in welchem jede elastische Kraft W gleich der Winkeländerung f dcp des zugehörigen Laststreifens und die Polweite gleich »Eins« gemacht wird. Dabei sind alle Strecken des Kraftecks als unbenannte Zahlen nach einem beliebigen Maßstabe aufzutragen.

Auch die Biegelinien der Fachwerke lassen sich auf gleicher Grundlage mit Hilfe von Winkeländerungen darstellen, wie Verfasser (unter 15—19) zeigen wird.

d. Einfluß der Schubspannungen auf die Gestalt der elastischen Linie.

i. In den Übungsaufgaben 3, 4 und 8 (§ 1) wurde bereits gezeigt, wie die Formänderungsarbeit eines Stabes wesentlich nur von den Biegungsspannungen bewirkt wird, und wie verschwindend klein dabei der Anteil der Schubspannungen ist. Deshalb darf bei der Lösung praktischer Aufgaben der Einfluß der Schubspannungen auf die Gestalt der elastischen Linie im allgemeinen vernachlässigt werden. Im nachfolgenden soll jedoch die Größe dieses Einflusses rechnerisch und graphisch festgestellt werden, um damit in besondern Fällen rechnen zu können.

Die Schubspannungen werden von den Querkräften Q erzeugt (I. 101 und 115) und sie verteilen sich über jeden Querschnitt ungleichmäßig. Die Art der Verteilung ist für die gebräuchlichen Trägerquerschnitte — wie diese im ersten Bande in der Fig. 346 dargestellt sind — durch die Gleichungen

es

(36)

T’ = Tr

und

xx — o

gegeben. Darin bedeuten S das statische Moment des abgetrennt gedachten Teiles und J das Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche, bezogen auf die .X-Achse, b ist die Breite der innern Faser des abgetrennt gedachten Teiles, für welche xy berechnet werden soll

(I. 115).

Auf der Strecke dz zwischen zwei Nachbarquerschnitten ist die Formänderungsarbeit der Schubspannungen nach Gl. (11 ) mit

d%s =

dz

T² dF

anzuschreiben, wobei x gleich xy der Gl. (36) und die Integration über den ganzen betrachteten Querschnitt F zu erstrecken ist.

Die Formänderungsarbeit der die Schubspannungen x erzeugenden Querkraft Q ist eben so groß. Daraus folgt die Beziehung

dz

±.Q[ydz) =

(37)

J* x² dF

worin y die von der Querkraft Q bewirkte Winkeländerung, also y dz die gegenseitige Verschiebung der Nachbarquerschnitte vorstellt. Je nach der Gestalt des betrachteten Querschnittes wird hier y einen andern Wert haben, als die für gleichmäßige Verteilung von x berechnete Winkeländerung. Denn, wie die Gl. (36) angibt, werden die Schubspannungen x mit abnehmenden S von der Schwerachse XX ab bis zum Rande des Querschnitts kleiner. Bezeichnet man deshalb die durch ein mittleres x erzeugte Winkeländerung mit ym, so wird

(38)

y = *y,n

gesetzt werden dürfen, wenn x eine Verhältniszahl bedeutet, die größer als i und für jeden Querschnittsumriß besonders zu berechnen ist. Auf die Wichtigkeit dieser Zahl hat zuerst Winkler² hingewiesen (1886). Man erhält aus der Gl. (37)

Es ist aber

<2

G FG

Das gibt

x == —f x³ d F

<2

(39)

wobei das Integral über die ganze betrachtete Querschnittsfläche F zu nehmen ist. x soll fortan die Schubverteilungszahl und y = x ym die mittlere Gleitung oder Schiebung genannt werden.

2. Um die Anwendung der Gl. (39) zu zeigen, soll zuerst ein Stab von der Länge l mit rechteckigem Querschnitte behandelt werden (Fig. 20). Für einen solchen berechnet sich (nach 1.98, Gl. (76) und I. 114)

X-

V.

£X

-%-x

S = b[a³ —yj,

— 2b ■ (20)3 =-

12    3

CL

-----y

und

F = \ab

b-~ >(<- -- b---ü

(-9

Fig. 20.

Dies in die Gl. (39) eingesetzt, gibt für die Verteilungszahl

oder

-Uh if

x=źhf_ .M)

dF

dy .

Nach erfolgter Integration erhält man daraus

* = f-

Für einen rechteckigen Querschnitt ist danach die lotrechte mittlere Gleitung

y dz =

6Qdz

(41)

Summiert man nun, von einer Stütze ab, alle Gleitungen (Verschiebungen) der in einer Strecke z aufeinander folgenden Querschnitte, so erhält man dadurch die von den Schubspannungen erzeugte Durchbiegung y,s der Stabachse im Punkte y, z (Fig. 21). Das gibt

y* =

y dz —

± f

SGJ

kJ o

Qdz

Eine Einzellast P in der Stabmitte erzeugt dort die größte Verschiebung

oder Durchbiegung

</₂-.....z

X"

jk.

ys =

a'j

-X-

1/

'2

■.i

o

² P- dz

i.y

icT

. Bei überall gleichem Querschnitte F erhielte man also

Fig. 21.

y* =

io F G

3. Für nicht rechteckige, aber in Rechtecke oder rechteckige Streifen zu zerlegende Umrisse, lassen sich die obigen für Rechteckquerschnitte abgeleiteten Formeln wieder verwenden. Bei der Berechnung der Zahl x dürfen dann in praktischen Fällen, ohne Schaden für die Genauigkeit, kleine Ausrundungen von Ecken, wie sie z. B. bei den Walzeisenquerschnitten immer vorhanden sind, außer acht gelassen werden. Selbst Querschnitte, die krummlinige Umrisse haben, dürfen in Rechtecke von endlicher Höhe zerlegt werden. Näheres in den Aufgaben unter 8, a.

6. Die elastische Linie des geraden Stabes als Berechnungsgrundlage statisch unbestimmter Voll wandträger.

a. Einerseits eingespannter, anderseits freigestützter Träger.

Aufgabe 11. Ein Walzeisenträger (Fig. 22) ist mit einem Ende bei a wagerecht eingespannt, mit dem andern bei b auf eine Rollenstütze

gelagert. Wie groß ist die Stützenkraß X im Stützpunkte b, wenn der Träger eine gleichmäßig verteilte Last ql aufzunehmen hat?

Der Fall ist einfach statisch unbestimmt, weil den 3 —f- 1 = 4 Unbekannten nur drei Gleichgewichtsbedingungen gegenüber stehen. X ist die überzählige (statisch nicht bestimmbare) Größe.

Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet

-EJ

d²y

dz²

= M— X' z —

qz²

Durch zweimalige Integration erhält man

y/A

«-

-EJ

dy

Xz²

qz³

-V + c.

„ ,    Xz³    qz*

- ËJy    -

6    24

f UlZ+U₂.

X/'

ff

>!

Fig. 22.

dy

Für z — l ist — —= o, weil der Träger bei a eingespannt ist. Daraus folgt

uz — —

XL

q l³

Für z — o ist y = o, weil der Stützpunkt bei a in lotrechter Richtung als unverschiebbar angenommen wird. Daraus folgt

U₂ = o

und

/³ s\

6 / '

Aber auch für z — l ist y — o. Das gibt die Elastizitätsgleichung o = -\XT + \qb

oder

X — + f ql-

Man vergleiche die anderweite Lösung dieser Aufgabe unter 11, c.

Aufgabe 12. Für die vorige Aufgabe ist die Lage und Größe der größten Durchbiegung zu berechnen.

Aus der vorigen Aufgabe erhält man die Gleichung der elastischen Linie mit

+y =

qb / 2 2⁴    3 z³

48EJ\ /4

/3

)■

Im gesuchten Punkte der elastischen Linie ist -j~

folgt

dz

= o. Daraus

oder

qH 18 z³

48~ej\T

î£ + l) p T //

o = (8 s³ — 9 /2² -f- l³)

2 = 0,4215 l

und in die Gleichung der elastischen Linie eingesetzt

(43)

jVmax -

qA

185 EJ

b. Durchgehender Träger auf drei Stützen.

Aufgabe 13. Der Träger sei stetig gleichförmig belastet und von unveränderlichem Querschnitte. Seine Stützenkräfte sind zu berechnen (Fig- 23).

'A

<rh

Cf

ZSC

JM

<-

tSJi

Z-<

_>*r

4L'

iô

äk

■J

■z

Fig. 23.

Die Statik liefert zur Berechnung der Stützenkräfte A, B und C nur die beiden Gleichungen

A + B -f- C — q (lj + 4)

(I)

Ah —

ql\

q%

(II)

Es fehlt noch eine dritte Gleichung. Diese liefert die elastische Linie.

Für das in der Fig. 23 gezeichnete Achsenkreuz Y, Z und für die Trägerstrecke ab erhält man:

EJ

d²y

dz²

— M=

- A[h - z)

dy

EJ± =

[Hz

*(t

o\ "ä,

Für 0 = 0 wird

dy

dz

= zp tg a, wenn a den Winkel bedeutet, den

die Tangente in b mit der Z-Achse bildet. Danach ist die Unveränderliche

Ux = + EJ tg a.

Für die Strecke bc erhält man nach erfolgter einmaliger Integration unter Vertauschung von 4 durch 4 und A durch C\

¹

Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. des. Arch.- u. Ing.-V. Hannover. 1868, S. 19.

²

Winkler, Theorie der Brücken. 1. Heft. Äußere Kräfte der Balkenträger.

³

3. Aufl. 1886, S. 92.

dy [Hz 03

'■fj - c[l,z - Ç) + U,.

dy

Für 0 = 0 wird = dr tga. Danach ist die Unveränderliche dz

U₉ = ± EJ tga.

Für den Sonderfall gleicher Stützweiten (4 = 4) würde a gleich Null werden.

Es folgen die zweiten Integrationen für ab und bc".

hz³\ [kz

EJy —

[Hz²

t\4~

0⁴

24

EJy =

/4s²

*lT

0⁴

24

y) -+- ^/(tg «)² + uz » yj — EJ[tg a)z -\-Uą.

Für 0 = 0 ist in beiden Gleichungen auch y = o. Daraus U₃= U₄ = o .

Für 0 = 4 und 0 = 4 ist ebenfalls jy = o. Das gibt

f) + ^/(tga)/, F) ±Æ/(tg«)4

\ 4    24    6 /    \ 2

/4⁴ . 4⁴    4⁴\    _//?

0 = nT ⁺ ïï⁻T)-c(T

und durch Verbindung der letzten Gleichungen findet man die fehlende dritte Bedingung

(III)

q (4³ + H) ÄH + CH)

wodurch A, B und C bestimmt sind. Für 4 = 4 = / erhält man

A = C =\ql B = \rql-

c. Beiderseits eingespannter Träger.

Aufgabe 14. Für den wagerecht eingespannten Walz eis en träger, der im Schnitte bei c eine senkrecht zur Stabachse gerichtete Einzellast P aufzunehmen hat, sind die äußern Kräfte zu berechnen (Fig. 24—25).

Weil wagerechte Kräfte fehlen, so sind nur zwei Gleichgewichtsbedingungen gegeben, nämlich

P = A-f B

²)

und

Mi, — Ma -f- Aa — Bb — o .

Darin sind Ma und Mb die Einspannungsmomente und A und B die Stützenkräfte der freigemacht gedachten Trägerenden bei a und b (Fig. 24).

CL

+Y

S).

<r

WM f %

rZ

Z_i__a.

-Z    .....Z-------->

Fig. 24 u. 25.

Es empfiehlt sich die E-Achse durch c und die Z-Achse durch den Punkt c' der elastischen Linie zu legen, um die Integrationen für die Strecken a und b bequem durchführen zu können. Man erhält

für die Strecke a: EJ

d*y

dz²

— Ma -f- A[a — z)

b: EJ

d²y

dz²

Daraus

Mbz + BI

dy

— Mb + B[b — z).

7)+ u' >

bz —    U₂.

az--

Für 2 = 0 wird die Tangente im Punkte c' in den beiden Quadranten YZ Vorzeichen entgegengesetzten Sinnes haben. Das gibt

UI = ± E/tg a Ua = =p EJ tg a .

Ferner ist für z = a und z — b, wegen der vorausgesetzten wage-dy

rechten Einspannung, — = o. Das gibt dz

o = — Maa -f- A    ~ ± EJ tg a

Mb b + B (ć² - qp E/tg a

und zusammengezogen

2 (Maa -f- Mbb) = Aa² -f- Bb². Bei der zweiten Integration erhält man

3)

0²    /<2 2²

EJy=-Mm — + A\— 2    \ 2

2²    tbz¹

E/y=-Ms— + Bl — 2    \ 2

y) ±Je/(tga)3 + U3 y) =F ^/(tgc*)

2 + ^4-

Für 2 = 0 ist in diesen beiden Ausdrücken auch y = o, also auch

U₃=U₄ = o.

Bezeichnet man die Durchbiegung cc mit d, so ist für z — a und 2 = b das zugehörige y = d. Daraus folgt

±EJ{tga)a •y) + EJ[\.ga)b

worin die oben (aus der ersten Integration) erhaltenen Werte von EJtg a einzusetzen sind. Dann lassen sich die beiden letzten Ausdrücke in die Gleichung

4)

Aa³ — Bb³ = 3 Ma cf — 3 Mb b²

zusammenziehen. Somit sind, einschließlich der beiden Elastizitäts-gleichungen 3) und 4), vier Gleichungen vorhanden, um die Unbekannten

Mb,

zu berechnen.

Für den Son der fall

Ma,

A und B

wird

Aus der Gl. (3) folgt dann für das Einspannungsmoment

PI

M= —

Das Moment Mc in der Trägermitte ist in diesem Falle mit

Mc ■= M+

PI

PI

anzuschreiben.

7. Beispiele der Darstellung elastischer Linien.

a. Durchgehender Träger auf drei Stützen.

Aufgabe 15. Für den in der Aufgabe 13 berechneten, über drei Stützen durchgehctiden Walzeiscnträger soll die elastische Linie gezeichnet werden, wobei

/i = i2m; 4 = 18 m und q — 1,0 —

einschl. Eigengewicht einzuführen sind. Dabei soll der Walzeisenquerschnitt für eine zulässige Spannung von etwa 1000 atm berechnet werden.

i. Berechnung der Momente. Die in der Aufgabe 13 abgeleiteten drei Gleichungen

A + B -f- C — q (4 -f- 4) j

Ah — — — C4 + “ = o,

2 2

q{l\-fll) Aff- Cf

gehen nach erfolgter Einsetzung der Zahlenwerte über in:

A + B + C = 30,

\A C =    5 ,

16A + 36 C — 315.

Das gibt ausgerechnet

a = 3,375 t; 19,3751; C= 7,25 t.

Es fragt sich nun, wo das größte Moment liegt. Zu dem Zwecke ist zuerst das Stützenmoment Mb zu berechnen. Es ist

4    324

Mb = Cf — q — = 7,25 • 18--

2    2

oder

Mb — — 345 ton

Das Moment Ma in der Öffnung ab berechnet sich aus

qz²

Ma — Az--

Die Abszisse des Größtwertes von Ma folgt aus dMa

dz

mit

za = — = 3,375 m-

Das gibt

max. Ma — 3,37 5¹ —

3,375¹

= 5,6953 tm.

Ebenso findet sich Mc. Es ist

Mc — Cz — —

Zb —

y = 7,25 m

und

7,2 c¹

max. Mc = 7,25¹--— = 26,28125 tm.

Der Walzeisenquerschnitt muß danach ein Widerstandsmoment

Mb

3150 tcm

= 3150 cm²

cm¹

erhalten. Dazu genügt das deutsche Normalprofil eines I-Eisens Nr. 55 mit einem Widerstandsmoment von 3602, dessen Trägheitsmoment gleich 99054 cm³ beträgt, bei F = 212 cm¹ Querschnitt.

Die Nullpunkte der Momente, die mit den entsprechenden Wendepunkten der elastischen Linie zusammenfallen, berechnen sich aus

qz\

Ma = Azx--= o mit = — 6,75 m

und Mc = Cz₂ —

qzl

0₂ = 14,50 m.

werden. Zu dem Zwecke betrachtet man jede der beiden Öffnungen zunächst als durch einfache Träger überdeckt und zeichnet für diese die Momentenfläche. Man erhält somit zuerst zwei Parabelflächen auf und bn₂c, deren größte Ordinaten gleich

q%

und

qll

sind. Macht man dazu noch die Strecke bbx gleich dem Stützen-momente Mb, so verlaufen die von bz nach a und nach c gezogenen Schlußlinien durch die Nullpunkte nz und n₂. Hat man also nx und n2 vorher schon festgelegt, so müssen die beiden Schlußlinien abz und cbz eine Strecke bbT — Mb abschneiden. Legt man an jede der beiden Parabeln der Fig. 26, parallel zu ihrer Schlußlinie eine Tangente, so erhält man zwei Berührungspunkte 4 und 4, die den Ort und die Größe der Momente Ma und Mc festlegen.

In der Fig. 2 7 ist die Momentenfläche mit wagerechlei?i Schlußlinienzug (I. 62, b) dargestellt worden. Dadurch wird ersichtlich, wie die positiven Momentenflächen zu beiden Seiten der Punkte t₁ und 4 symmetrisch liegen. Danach berechnet sich der Inhalt der drei in Frage kommenden Flächen La) Fb und Fc aus

Fa + Fc - Fb =

I ■ I 2²

• 12 -f

i • i8²

• 18

3°

3i,5 *— = i57,5 tm"

und aus

Fa. = f(5,695 -6,75) = 25,6275 tm2 /v = 1(26,28125 • 14,5°) = 254,°521 tm%

woraus

Fb — 153,5 — (25,6275 + 254,052) = — 122,1796 tm²

folgt.

Die drei

3. Darstellung und Nachprüfung der elastischen Linie. Momentenflächen Fa, Fb und Fc wurden zusammen in 22 Streifen geteilt (Fig. 27) und deren Inhalte und Schwerpunkte für sich ermittelt. So wurden 22 elastische Kräfte W berechnet und in zwei Kraftecken

aufgetragen, von denen das in Fig. 28 gezeichnete für die erste, und das in Fig. 30 für die zweite Trägeröffnung gilt. Der Kraftmaßstab wurde dabei mit

i cm = 30 tm²

gewählt.

Das mit Hilfe dieser Kraftecke erhaltene Seileck der elastischen Linie ist mit roter Farbe gezeichnet. Die schwarz gezeichneten Kraftecke und Seilecke mit den Polen O", 0"₂ und 0[ sind nur dazu benutzt worden, einerseits um eine passende Vergrößerung der Durchbiegungen y zu

erhalten und anderseits, um die elastische Linie durch die Stützpunkte a', b' und c zu führen. Zuerst wurde mit dem beliebig gelegten Pole O" das Seileck für die Schlußlinie b’^c’ gezeichnet und sodann der Pol in

ir

L*12ms

Mr

l ~18m

..

I’

}b

Momente ■ 1mh=10tm,

En y

Ml

Ma

k-C

7,21 Y----?

Längen 1300

E=2180— , cm?

J 9.9054 cm"

y[

K---

'b

-- 2 = 14,50 --

<--Z = 6,75 —; *-3,375À

Fig. 26.

Flachen:!'w 50Im⁷

25,

ayÿT'' "Tl' T

b nzh

v‘. V ir V

1    2x3 U

1É 14 15 16 tj 18 19,2

Fig. 27.

'■y

,N \i'J

71

18.

--—"-if---->

a\

O/«

9F1

tMU,

■ *i\

Die Mn nat. Grossi ?

'ć

-I."

2

1cm=30tm

:22\

V\

ro

yyzocm

14

7^.

12 13

\r

Fig. 30.

j<_------^-p,824nv—F-

Fig. 29.

Tr.

lotrechter Richtung nach 0\ verschoben, entsprechend einer lotrechten Verlegung des Punktes //₂ nach V. Nunmehr erschien es zweckmäßig, die Durchbiegungen in natürlicher Größe darzustellen. Dazu wurde der endgiltige Pol 0₂ in der durch 0r₂ verlaufenden Wagerechten festgelegt.

Die Polweite H berechnete sich dabei wie folgt: Trägt man die Strecken der elastischen Kräfte und der Polweite beide in beliebigem, aber gleichem Maßstabe auf, so erscheinen für die natürliche Länge der Stützweite die Durchbiegungen in natürlicher Größe. Weil aber die Stützweite nur im Maßstabe von aufgetragen worden ist, so muß die Polweite, wenn man die y in natürlicher Größe erhalten will, noch durch 300 dividiert werden. Das gibt

= 2,4 cm.

2180•99054

300 • 30 (100 • 100)

das Trägheitsmoment

Darin ist das Dehnungsmaß E = 2180

J — 99054 cm⁴. i cm stellt 30 tm² oder 30(100 • 100) tem² dar.

Um die Genauigkeit der in der Fig. 29 dargestellten elastischen Linie nachzuprüfen, sollen Ort und Größe der größten Durchbiegung ym in der zweiten Öffnung rechnerisch ermittelt werden. Dazu dienen die (in Aufg. 13) abgeleiteten Gleichungen der elastischen Linien in beiden Öffnungen. Diese lauten

für Zi/jy =

be: EJy — q

l/;z²    2⁴    /I*³\    , //i2²

t(-+r₄-ir)-A[r

z‘⁴    4^j _ ^|4s²

% ho

/₂V

4    24

Das gibt, nach erfolgter Einsetzung der bekannten Zahlenwerte für die erste Ableitung

EJ

dy

dz

( ⁷²² +f

— 6 2²

j — A {12 z — — \ — Zs/tgor

EI

dy

dz

11 62 2 —1 --9 2² j —

iiz-~\ + Efiga.

Man erhält

Daraus ist zuerst der Wert von E/tga zu berechnen, ihn durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen mit

32² —

902 -j-

= 2 EJ tg a

woraus für die bekannten Werte

A = 3,375*

C = 7,25*

(45)

EJ tga = 0,53125 s²

erhalten wird.

Stellt man den letzterhaltenen Wert in die Abgeleitete für bc ein,

dy

und setzt EJ — — o, so gibt das

162 — 18 <7— 0,^9 — ~ — 0,53125J + y

oder die quadratische Gleichung

2», — 2 9,06 2 5 Sw = — 189

woraus

= + 14,53125 dt l/— 189 + (i4,53i25)²

oder

(46)

zm = 9,82410 m

folgt. Der Wert stimmt genau mit der graphischen Darstellung der Fig. 29.

Um ym zu erhalten braucht man nur zm in die Gleichung der elastischen Linie für bc einzuführen. Es ergibt sich dann zuerst

EJym = i5,75²« +

z⁴

24

— 1,260420^

und nach weiterer Zahlenrechnung

y ui =

1520,07 + 388,11 — 1195,1

21593,77

oder

(47)

ym — 0,03302 m.

Auch dieser Wert stimmt fast genau mit der Darstellung in Fig. 29 überein.

Wollte man mit Hilfe der Rechnung noch andere Durchbiegungen nachprüfen, z. B. auch in der ersten Öffnung ab, so würde das unter Benutzung der obigen Gleichungen zu geschehen haben.

b. Einfacher Blechträger mit veränderlichem Querschnitte (Fig. 31—34)-

Aufgabe 16. Eine Eisenbahnbrücke, die zwei durch Querkonstruktionen verbundene Hauptträger von je 12m Stützweite besitzt, trägt zwei Lokomotiven in einer Stellung, wie sie der Längsschnitt in Fig. 32 (oben)

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

angibt. Die Hauptträgerquerschnitte (Fig. 33) sind so zu gestalten, daß die von dem Lastenzuge allein hervor gerufenen Biegungsspannungen nicht

über etwa 1 —~ steigen. Sodann ist die elastische Linie für die gezeichnete Lastensiellung darzustellen.

~o

i;\

fl

4>

\5

\\\\

Y

t'f-4

fl fl

------

-fl-......1

3.5 :    Ą85

.....iS-—

jy

fl-

V

15_

8,5

n

8,5

4T

to

It

"///

12 // '

12.

'w'

/a,fi

VI

St’ochcr not. Grösse.

ÿ.r,iox

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ofr-r

U‘

X'

tJ2crn

/i8

flv’

r< —

**• /

'8.5

Fig. 31-

Fig- 33-

Fig. 34-

i. Momentenfläche und Belastungsfläche. Zwischen den Richtungen der Radlasten I bis VI wurde mit Hilfe des Kraftecks der Fig. 34 ein Seileck a!—I'—-II'—III'—IV'—V'—VI'—h’ gezeichnet. Daraus ergab sich, weil die Lastübertragung eine mittelbare ist (I. 67, b), die gesuchte Momentenfläche a c'd'b'. Diese wurde in 12 Streifen (von je i m Breite) eingeteilt, deren Inhalte aus der folgenden Tabelle zu entnehmen sind.

Inhalt der Momentenfläche.

Streifen

Formel

Inhalt

Inhalt

12

Streifen

Formel

Inhalt

Inhalt

12

Nr.

w⁴ 5 *

vi¹

Nr.

vi2.

ma

¹9ï • TS

3-i9f-is 5 •¹9j•20 T*9tts Nr. 4 -\~ Nr. 5 —

91

120

29

30

2,⁹o

4f

23

30

721 / 40

7 JJL

/ 120

0,081 0,242

0,403

0,564

0,627

0,584

O 'O 00

to

Nr. 6 — Nr. 7 yï 7 • 15r 2 0 5 ' T5|

3 •

*5 Wo

6^ ⁶4F 5—

12 0

19

32 0

4o

9i

12 0

°,558

°,5⁵3

o,443

0,316

OjIQO

0,063

Die Belastiingsfläche findet sich daraus durch Multiplikation mit der Polvveite H des Kraftecks der Fig. 34. H ist gleich 1,28 cm, also H = 1,28 • 7,5 = 9,60 t.

Die Momentenfläche Fm beträgt im ganzen

r, (77i ■ 4) , (77I+ 6of)4 , 6of • 4

t¹ vi    ~

20

20

20

oder

Fm — 55,2 m².

Die Belastiingsfläche Fj, berechnet sich mit

Fb = (55,² • 9,6°)tm⁵.

Als Maßstab für das Aufträgen der elastischen Kräfte W der Belastungsstreifen wurde

1 cm = 12 • H = 12 • 9,60 = 115,2 tm²

gewählt. Deshalb mußten die obigen Inhalte der Streifen r bis 12 noch durch 12 dividiert werden, um als elastische Kräfte gelten zu können. Um die elastische Linie zu zeichnen, fehlt es jetzt nur noch an den Trägheitsmomenten der Trägerquerschnitte.

2. Trägheitsmomente. Das größte Moment findet über dem Querträger c statt. Abgemessen ergibt sich

Mc = 7,73 • 9,⁶ = 74,2i tm.

Daraus das Widerstandsmoment

Wc =

7421 tcm

= 7421 cm³.

Gewählt wurde der inFig. 33 gezeichnete Querschnitt⁶ mit Wc— 7489 cm3 und einem Trägheitsmoment

/a = 434362 cm⁴.

Nach Fortlassung der oberen Gurtplatten ergibt sich

Jt = 348 3⁸4 cm⁴

und ohne Gurtplatten

Jo = 265383 cm⁴.

Das Dehnungsmaß E wird mit 2120    ₂ angenommen.

3. Die elastische Linie. Es handelt sich jetzt nur noch darum, einen passenden Maßstab für die Polweiten EJ des Kraftecks der elastischen Kräfte zu finden. Die Polweite H₂ = EJ₂ ist für fünffache Vergrößerung der Ordinaten y der elastischen Linie aus

2120 • 434 362

5 • 100 • 115,2 (100 ■ 100)

zu berechnen. Dann ist im Nenner sowohl der Längenmaßstab der Stützweite (--Qo) als auch der Maßstab der elastischen Kräfte (1 cm= x 15,2 tm²) berücksichtigt. Das gibt

H₂ = EJ₂ 1,600 cm.

Daraus folgen

und

Ht. = EfT — 1,282 cm H₀ — EJ₀ — 0,977 cm.

Um das Seileck der elastischen Linie auf eine wagerechte Schlußlinie ab zu beziehen, sind in dem Krafteck (Fig. 31) zuerst die schwarzpunktierten Pole O'o bis Ol angenommen worden. Damit wurde das punktierte Seileck mit der Schlußlinie ab" gezeichnet. Dessen zwischen den elastischen Kräften 6 und 7 liegende Seite ist verlängert worden, bis sie die Polachse a Y im Punkte n schneidet. Dann wurde die punktierte Gerade n7 gezogen, wobei die Höhe über der Ecke 7 der punktierten Seileckfläche gleich der Höhe über der Ecke f der rot dargestellten Seileckfläche zu machen war.

Die neue Lage der rot gezeichneten Pole 0O, Ot und 0₂ war damit festgelegt, denn der zwischen den elastischen Kräften 6 und 7 (zur nf parallele) rote Strahl muß durch den Pol 0₂ verlaufen.

4. Nachprüfung. Der Ort und die Größe der großen Durchbiegung soll auch rechnerisch gefunden werden. Dazu läßt sich die Gl. (31) benutzen. Sie lautet

Mz • dz

EJ

wenn

und gilt zwar nur für einen an einem Ende eingespannten Stab von der freien Länge l, aber sie kann, wie (unter 5, a. 3) gezeigt worden ist, auch für einen auf Stützen gelagerten Stab verwendet werden man diesen im Punkte m der größten Durchbiegung eingespannt und nach beiden Seiten hin freischwebend im Gleichgewichte befindlich denkt. Bezeichnet man dann (in der Fig. 32 oben)

und

am — 4 bm — /₂,

so gilt die vorige Gleichung für beide Stabenden von der Länge 4 und 4. In 7n möge eine Tangente tt zur Z-Achse, die mit der Schlußlinie ab der Biegefläche amb zusammenfällt, parallel laufen.

max

Am bequemsten erscheint es, wenn man in der Gleichung für y M

die Ausdrücke . für jede äußere Kraft besonders aufstellt und inte-

EJ

griert. Beachtet man dann noch die Grenzen der Veränderlichkeit von y, so erhält man (mit Bezug auf die Fig. 32 oben):

Ey = A

_r

oder

W

9 1_9L5 f H

3 Jo 3ji 3jt J* J 4L

⁸>5 ' ²,5

2- 8,5 • 1,75

z [z — 4 )dz

/■

r9

2/? . 32

3/2 Ji 3J2

Eine zweite Gleichung erhält man für die Trägerstrecke 4 mit

Ey = B^

H

3/0    3J1    3J2 J* J

19

p,5 • 0,5

2 • 8,5 • 2,25

2 ll    32

3/2 J2 3J2

Darin sind

i_ 4,8,5 • 7,25 + 8,5-o,5 + 6,5-11 _ 8,5 • 1,5 B = 14,708 t.

6,3 • 3

12

18,792 t,

Durch Gleichsetzen der beiden erhaltenen Werte von Ey erhält man die Bedingung

£9__9

3 Jo    3/,    /.

)+a k

3/-    3/.

10,625/1

32

3/.

3/2

fl

oder

73,488/? — 3293,37 64 + 16588,334 = o.

Das gibt

/i = 5>⁶5 m 4 = 6,35 m

Jfmax - 1,13 ^m 5

was mit der graphischen Ermittelung ziemlich genau übereinstimmt.

8. Beispiele zur Beurteilung des Einflusses der Schubspannungen.

a. Die Schubverteilungszahl x.

A u f g a b e 17. Es ist die Verteilungszahlfür einen I- Querschnitt zu berechnen. Unter Bezugnahme auf die im ersten Bande (115) gegebene Begründung legen wir die Schnitte, deren Schubspannungen %y betrachtet werden sollen, in den Flanschen lotrecht und im Stege wagerecht, um das in der Gl. (36) vorkommende Maß b der Schnittlänge (I. 114, Fig. 341) möglichst klein zu erhalten (Fig. 35 oben und unten). In der Gleichung

und

\Y

(48)

-4-

>r X

,ßCL

.....*

y\ *

(49)

ist im vorliegenden Falle für einen bestimmten Querschnitt allein S — das statische Moment der durch den Schnitt abgetrennten Fläche — eine Veränderliche. Die Schnittbreite bs ist in den Flanschen gleich der mittleren Stärke t zu setzen; im Stege ist bs = d. Auch für die im Flansch liegende Fläche d-t ist das b der Gl. (49) gleich der Stegdicke d gesetzt worden,

—Je *

h..........>i

Fig- 35-

um die Rechnung nicht unnötig zu erschweren. Danach erhält man für

einen der vier Flansche, innerhalb der Grenzen x —

und x — b\

S = t[b — x) {a--•

Für die wagerecht gelegten Schnitte im Stege

worin das erste Glied für das Rechteckstück des Steges und das zweite für die beiden Flanschstücke gilt. Zur Abkürzung setzen wir

und

M)

= /•

Es empfiehlt sich die Integrationen für Flanschen und Steg gesondert durchzuführen. Für die vier Stegstücke erhält man

»IR.

24

F)'

Für den Steg:

,/

fr²dF

Q²

ad — y² +

Setzt man hierin noch

Jt²dF

^7- = i: so gibt das für den Steg d /Sa⁵

Q²

Für den Gesamtquerschnitt ist demnach die Verteilungszahl x, wie folgt anzuschreiben:

'■=rQ\fV'dF

F Wdt

7²L 6

[Sb³-12b²d-d³+6bd*) + -^^ ■

da

Diese Gleichung soll jetzt für das deutsche Normalprofil Nr. 55 angewendet werden. Dessen Abmessungen und Querschnittsgrößen sind in cm:

²tf=55‘> 2b = 2o\ d= 1,9;    ^ = 3,0 ;

F= 212 ; J= 99054.

Danach berechnen sich zunächst

= 26

— 1486,1.

Ferner :

212

{2 004 200 -f- 104813 310}

99054²

wobei die beiden Klammerzahlen den Einfluß der Flansche und des Steges darstellen. Daraus folgt

x = 2,31 .

2. Wenn man die Annahme macht, daß die Schubspannung in den Flanschen sich gleichmäßig über die Breite 2b verteilt, was aber tatsächlich nicht ganz zutreffen wird, so erhält man zur Berechnung von x etwas einfachere Grundgleichungen und eine kleinere als die vorberechnete Zahl.

Man erhält dann für einen Flansch

S = b(a² — y~)

und für Steg mit Flansch

= bt [2 a — t) — {[a — t)² — jv²).

Das gäbe für zwei Flansche

j*v²dF

und für den Steg mit zwei Flanschen

a—t

dx I {(d — 2b)[t² — 2 at) -f- d[a² —J²)}² dy \.

Daraus folgt schließlich

x = — Jv^dF

- [247 000 —|— 97 702 900]

oder

x = 2,116.

3. Allgemeine Formeln für I-Querschnitte findet man bei Winkler¹, der als Erster auch Näherungsformeln für veränderliche Querschnitte

¹ Winkler, Theorie der Brücken. 1. Heft. Äußere Kräfte der Balkenträger. 3. Aufl. 1886. S. 107—108.

aufgestellt hat. Auf die allgemeine Formel von Winkler stützte sich Ingenieur Mantel-Zürich, der eine Berechnung der Verteilungszahl für I-Normalprofile Nr. 8 bis Nr. 50 gegeben hat¹. Er erhielt

für Nr. 8: x = 2,39 -    - 5o: * = 2,03.

Für genietete Vollwandträger, deren Stechblech 0,9 cm stark ist und mit Hilfe von vier Saumwinkeln an je zwei Gurtbleche von 22 cm Breite und je 0,9 cm Stärke angeschlossen ist, erhält v. Tetmajer²

für die Trägerhöhe h — 40 x = 2,96

5°

60

70 cm

2,71

²,49

²,35

RiTTER-Zürich hat eine graphische Darstellung der Verteilungszahl veröffentlicht³.

Aufgabe 18. Die Verteilungszahl der Ellipse und des Kreises zu finden (Fig. 35).

Die Halbachsen der Ellipse seien a und A Irgend eine in ihr zur XX parallel gelegte Schnittlinie nt ni schneide einen Kreis vom Halbmesser a im Punkte u.

Wenn dann der Halbmesser O u mit der XX den Winkel cp einschließt und die halbe Breite des Schnittes mm'— s gesetzt wird, so erhält man s — b cos cp und y = a sin cp

sowie daraus

<......S ->i

nif

4^-4-v-K

■<-......b.....*

,X; ■ ■

Fig. 36.

dF — 2 s ■ dy = 2 ab cos² cpdcp .

K--

S. 49.

¹    Schweizerische Bauz. 1889. Bd. XIII. S. 100.

²    v. Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre. 3. Aull. 1905.

Das statische Moment der abgeschnittenen Ellipsenfläche beträgt

danach

oder

5 = fydF = ß

(p    D (p

a sin cp) 2 s • dy

¹

Darstellung der Momentenfläche. Die berechneten Werte sind in den beiden Fig. 26 und 27 übersichtlich aufgetragen worden. Dabei wurde der durchgehende Träger, unter Beseitigung der Stütze c, aber unter Belassung der Stützenkraft C, in einen Auslegelräger verwandelt gedacht. Für einen solchen Träger können die Momente (nach I. 62) mit Hilfe des bekannten Stützenmomentes Mb ohne weiteres aufgetragen werden. Noch einfacher ist es, wenn man in der durch einen Momenten-Nullpunkt [u,, oder n₂) verlaufenden Lotrechten ein Gelenk eingelegt

²

denkt. Dadurch wird der durchgehende Träger statisch bestimmt und

³

seine Momentenfläche kann dann ebenfalls mit Hilfe von Mb gezeichnet

⁴

-

⁵

cm⁵

⁶

Nacb Zimmermann, Genietete Träger, S. 31.

Tt

r\

S = 2 a²b I sin cp cos² cp dcp — § ad b cos³ cp .

« J (p

Ferner ist einzusetzen

ba?n

F = abn.

So erhält man

ferner

ß^=(

und

<2²

Jiv²dF

<25

2S-J

cos² cp

7t

2-i6 Q²ab\ C²

H T

cos⁶ cp d cp

64

Pos6^ ⁼ (t) fe)“7

Den gleichen Wert

10

1,11

erhält man, wie die Fig. 36 veranschaulicht, auch für den Kreisquerschnitt.

4. Mitunter berücksichtigt man außer den Schubspannungen %y auch noch Quer Spannungen^. Das erscheint aber für praktische Fälle unnötig. Denn wie aus den Darlegungen des I. Bandes (114—115) und aus den Betrachtungen unter 2, a hervorgeht, beruht schon die Berechnung der Schubspannungen ry auf Annahmen, deren Genauigkeitsgrenzen durch Versuche bisher noch nicht festgestellt worden sind. Deshalb ist zu raten, eine Verteilungszahl stets abzurunden. Für gleichartige Querschnitte verschiedener Abmessungen unterscheiden sich die Zahlen nur wenig voneinander.

v. Bach, Elastizität und Festigkeit. 4. Aufl. 1904. S. 456.

b. Durchbiegungen.

Aufgabe 19. Für die zweite Öffnung des in den Fig. 26—30 untersuchten durchgehenden Trägers auf drei Stützen ist der Ort und die Größe der allein voti den Schubspannungen erzeugten größten Durchbiegung zu berechnen.

Nach Gl. (41) unter 5, d erhält man für die Durchbiegung

Js =

Qdz

und für vorliegenden Belastungsfall demnach

kl.

Qdz.

Rechnet man die 0 von der Stütze c der 2. Öffnung ab nach links (Fig. 23), so berechnet sich

Q = C — qz,

worin nach der Aufgabe 15 (unter 7, a) zu setzen ist

C = 7,25b

^ = 1,0 in ’

und

4 = 18 m.

Den Ort der größten Durchbiegung findet man aus

dys

dz

Das gibt

o = d^ Qdz = C— qz.

= 7,25 m.

Die größte Durchbiegung jy* liegt also dort, wo Q = o ist, d. h. dort, wo das Biegemoment seinen Grenzwert erreicht.

cm² ’

Für die Gleitungszahl G ergibt sich für m — 4 und E — 2180 nach Gl. (4)

E — 872 •

cm³

Daraus

max.j^i =

2,31

872-212

7,25 —

dz.

Das gibt

max.j^i = 0,033 cm.

Nach der Gl. (47), unter 7, a. 3, hatte sich die durch die Biegemomente herbeigeführte größte Durchbiegung mit

ym — 3j3°3 cm

ergeben. Danach beträgt im vorliegenden Falle der größte Einfluß der Schubspannungen nur ein Hundertstel der Normalspannungen.

Hierzu sind die Aufgaben 3, 8 unter 4, a und 5, d. 2 zu vergleichen.

9. Elastische Linien krummer Stäbe.

a. Berechnung der Formänderungen. Wir beziehen uns hier auf die (in II. 34) abgeleiteten Ausdrücke für die Dehnungen nnd Span-

IT

- —■ fj ---"O*

V

-y

\t

\JTL

\ t/ \dF

l4r-

äT<>lA

ko

Ul

nZ.

~*>C

+ V\

Fig- 37-nungen eines krummen Stabes. Dort wurde in Gl. (56) und (57) angeschrieben

Jds P

und

/Id cp

ds

ds

PP

PPQ

(SI)

PPq PJo    PPQ²

Darin bedeuteten (nach der Fig. 131—132 in II), die hier als Fig. 37 wiedergegeben ist:

ds: Abstand zweier Nachbarquerschnitte, in Bogenmaß und im Schwerpunkte 0 eines beliebigen Querschnittes gemessen,

cp: Winkel zwischen dem Krümmungshalbmesser q im Punkte o und der lotrechten Achse VV.\

P\ Die in die Richtung der Tangente ZZ in o fallende Seitenkraft der auf den betrachteten Stabteil oa wirkenden Mittelkraft R aller äußeren Kräfte.

Außerdem war

qy² dF

q -hy

s°=f

gesetzt worden (II, S. 161).

Aus den beiden Gl. (51) erhält man

und daraus

£ k s*

*-*/r

t)-

ds

(5²)

Für den Fall, der bei Bogenträgern in der Regel nur in Frage kommt, nämlich für große Werte von q im Vergleich zur Bogenhöhe,

verschwindet • Das gibt

Fd JQ

— ds.

(53)

Wenn der Krümmungshalbmesser q in irgend einem Punkte der Stabachse nach erfolgter Formänderung in q' übergegangen ist, so ist anzuschreiben:

Daraus folgt

oder

q [d cp + Zldcp) = ds + Jds — ds.

qdcp

q' q

i dcp-\-/idcp dtp ds -j- /ids ds ’

/id cp    /ids

ds

qds

Q'

/ids

ds

Angenähert darf dafür gesetzt weiden

SO

•fl«.

Setzt man hierin auf der rechten Seite den Ausdruck der Gl. (51) so erhält man

q' Q EJo

Darin ist im allgemeinen JQ — J

(54)

Qy² dF Q + L

sondern Fällen, namentlich also für die Berechnung von Bogenträgern, darf dafür (nach II. 35)

• In den bekannten be-

J= ffdF

gesetzt werden.

Bei gegebenen Krümmungshalbmesser q    kann die Gl. (54) dazu

dienen, um für einen beliebig belasteten krummen Stab die nach erfolgter Formänderung eintretende elastische Linie mit Hilfe der Berechnung verschiedener Werte von (/ darzustellen. Eine . y    Ableitung der Dififerential-

;    gleichung der elastischen

;    Linie bietet im allgemeinen

!    große Schwierigkeiten.

;    Über den Einfluß der

;    Schubspannungen auf die

!    Formänderungen bleibt

q    das darüber (in II. 35, c)

;    Gesagte bestehen.

!    b. Differentialglei-

!    chung der elastischen

;    Linie des nach einem

!    Kreisbogen gekrümm-

;    ten Stabes.

Wir nehmen an, die Bogenachse bilde im spannungslosen Zustande eine Kreislinie vom Halbmesser q (Fig. 38). Ein Stück ab dieser Linie habe nach erfolgter Formänderung die punktiert gezeichnete Gestalt ab'. Durch den beliebigen Achsenpunkt 0 ziehe man den Schnitt tc, der die a' b' in 0' trifft. Die Verschiebung 00 in der Richtung des Kreishalbmessers werde mit y bezeichnet und

— —3>’

\o'^

/ \y

\0

<7

//

Fig. 38.

gesetzt.

Der Krümmungshalbmesser im beliebigen Punkte o' sei f. Dann gibt die analytische Geometrie dafür den Ausdruck

Mên

3/2

r² -f- 2

I dr V

\dJp) ~ r

d² r

(55)

dip²

wenn ip der Winkel zwischen den Fahrstrahlen ac und oc ist.

Im vorliegenden Falle läßt sich dieser Ausdruck sehr vereinfachen. r und q unterscheiden sich nur durch die als unendlich klein anzusehende Strecke y . Somit ist anzuschreiben

dr

**(?+/) _ dy

dip    dip    dip

dr

Das Quadrat von    darf gegenüber dem Quadrate von r vernach

/ dv \ ²

\dip) Un<^ vertauscht> was ebenfalls zulässig ist, im Nenner und

lässigt werden. Streicht man also im Zähler und Nenner die Glieder mit

Zähler der Gl. (55) r mit (?, so erhält man:

Q³

dT y

oder

i _ i d² ÿ

Q Q Q² dip²

Das gibt in Verbindung mit der Gl. (54)

¹ 0,,+ -

Q² d ip²

~ E Jo ’

oder

EJo

d²J

dip²

= ± q²M .

(56)

Setzt man an Stelle von q²dip² seinen Wert ds², so folgt schließlich

d²y

EJo

ds²

= d=M,

(57)

also eine Differentialgleichung, die mit derjenigen für die elastische Linie des geraden Stabes übereinstinimt und die deshalb wie diese verwendet werden kann.

Für ein rechtwinkliges Achsenkreuz UV (Fig. 39) ist

«

\0

cos cp

-Æ;r-

y\ j¹"

dsjt?"

und

ds —

du

cosçp

Dafür erhält man demnach

: du

>r

---Y-

- -1Ś

-y-

wenn v die Projektion der bogenrecht gemessenen Verschiebung auf die V-Achse bedeutet. An Stelle von J₀ kann, wenn es sich um die Berechnung von Bogenträgern handelt, (wie unter a. erläutert) der Wert

(58)

Fig. 39-

/= fy*dF

gesetzt werden.

Die Gl. (58) läßt sich zur Darstellung der elastichen Linie von Korb-bögen (II. S. 233) verwenden.

§ 3. Die Berechnung und Darstellung von Punktverschiebungen.

10. Die gedachte (virtuelle) Formänderungsarbeit.

a. Ihre Anwendung nach dem Verfahren von Mohr. Mohr1 war der Erste, der in grundlegender Weise gezeigt hat, wie man mit Hilfe des Satzes der gedachten (virtuellen) Verschiebungen eine Reihe der wichtigsten Aufgaben aus dem Gebiete der Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre lösen kann und zwar sowohl für statisch bestimmte als auch unbestimmte Systeme. Sein bahnbrechendes Verfahren hatte in der technischen Welt bereits Eingang gefunden, als auch eine ältere Veröffentlichung Maxwells² über ähnliche Gegenstände bekannt wurde, die aber — wie weiterhin ausführlich begründet wird — nicht geeignet erscheint, die Überlegenheit des Verfahrens von Mohr, sowie auch dessen Urheberschaftsrechte irgendwie zu schmälern.

¹    Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Ver. in Hannover. 1874 und 1875.

²    J. Clerk Maxwell, Professor of Natural Philosophy in Kings College, London. On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames. Philosophical Magazine and Journal of Science. 1864. Band 27, S. 294—299.

Der dem Verfahren zugrunde liegende Satz der gedachten Verschiebungen ist aus der Mechanik bekannt. Sein Beweis wurde (unter I. 40) bereits gegeben, soll jedoch hier nochmals ausführlicher wiederholt werden.

Der Satz lautet: Bezeichnen Pa, Pb, Pc-, • • • Pm Kräfte, unter deren Einwirkung ein Molekül, ein Punkt, ein Körper oder eine Gruppe von Körpern sich im Gleichgewicht befinden; ferner va, vs, vC: ... vm unendlich kleine Verschiebungen, die bei irgend einer gedachten möglichen Lagenänderung die Angriffspunkte jener Kräfte erfahren können, so muß bei jeder Lagenänderung die Arbeitssumme der Kräfte gleich Null sein.

Mohr hat seinerzeit, in seinen Vorträgen an der technischen Hochschule in Dresden, etwa folgenden Beweis des Satzes gegeben: Ist ein materieller Punkt im Gleichgewicht, so ist für jede Achsenrichtung die Summe der Seitenkräfte aller dort wirkenden P gleich Null. Denkt man also dem Punkte eine Verschiebung v in der Richtung der Achse erteilt, so muß auch das Produkt aus v und der Seitenkraftsumme Null sein. Daraus folgt

^[P cos a) v = o

wenn a den Winkel vorstellt, den eine Kraft P mit jener Achsenrichtung einschließt. Bezeichnet man die in der Richtung von P genommene Verschiebung mit <3 und deutet durch die Schreibweise P an, daß die P (unserer Voraussetzung nach) von den <5 unabhängig sind, so erhält man den Satz in der Form

(59)

Pô — o .

Der Satz gilt für jede Gruppe von Punkten, also auch für jeden Körper und jede Körpergruppe. Auch brauchen die ö detn Elastizitätsgesetze nicht unterworfen zu sein.

b. Die Arbeitsgleichungen Mohrs.

i. Von besonderer Wichtigkeit ist die Anwendung der Gl. (59) auf einen Körper oder eine Körpergruppe, die unter der Einwirkung von äußern Kräften P und den dadurch bedingten innern Kräften S sich im Gleichgewichte befindet. Wie im I. Bande (unter 2, b) erläutert worden ist, darf man die den molekularen Zusammenhang eines Körpers sichernden elastischen oder innern Kräfte der Moleküle durch äußere Kräfte von entsprechender Größe und Richtung ersetzt denken. Die Wirkung einer, zwischen den Punkten 1 und 2 zweier Nachbarquerschnitte tätigen innern Kraft (Fig. 40) kann danach stets durch zwei gleich große und entgegengesetzt gerichtete äußere Kräfte S ersetzt gedacht

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

werden, von denen eine jede in einem der Punkte angreift. Unter den Folgen der Formänderung des Körpers vollführen nun die Angriffspunkte von -f- S und — A zweierlei Bewegungen, von denen die eine

Fig. 40.

als eine Drehung um einen augenblicklichen Pol aufgefaßt werden kann, während die andere die gegenseitige elastische Verschiebung der Angriffspunkte ist. Die von -J- S und — S bei der Drehung vollbrachte Arbeit ist Null. Denn der bei der Drehung entstehende Bogenweg ist für jede Kraft von gleicher Größe und gleichem Sinne. Es bleibt demnach nur die elastische Formänderungsarbeit zu berücksichtigen. Sind die hierbei von den Punkten i und 2, in der Richtung von S, zurückgelegten Wege gleich z1s₁ und z/s₂, so ist die Arbeitsgleichung mit

^ Pô —S[A sx -j- A sj) = o

anzuschreiben. Das Minuszeichen gilt, weil As₁ und A s? immer der Richtung der zugehörigen Spannkraft entgegengesetzt sind. Die Summe [Asx + A sj] bedeutet die Änderung As des Abstandes von zwei durch i und 2 gelegt gedachten Nachbarquerschnitten, gemessen in der Richtung von S. Obige Gleichung erhält dadurch die Form

(60)

2P-ö =2s- 4s.

In WTorten : Im Falle des elastischen Gleichgewichts ist die gedachte Arbeit der äußern Kräfte ebenso groß wie diejenige der innem Kräfte.

Unter den äußern Kräften P sind auch die durch diese hervorgerufenen Stützenkräfte (I. § 7) mit einbegriffen. Deren Arbeit verschwindet aber, wenn (wie gewöhnlich) Stützpunkte (I. § 3) vorausgesetzt werden, die in der Richtung der zugehörigen Stützenkraft unverschieblich sind. In Ausnahmefällen, wo etwa elastische Verschiebungen von Stützpunkten in Frage kämen, können diese als Längenänderungen entsprechend angeordneter Stützenstäbe in die Rechnung eingeführt werden (vgl. 11, c, Aufgabe 26).

Die P und S bilden, den Annahmen gemäß, eine gedachte, willkürlich zusammengesetzte Gleichgewichtsgruppe, die von den d und As unabhängig ist und die fortan » die gedachte Belastung« genannt werden soll. ô und As sollen »die wirklichen Verschiebungen« genannt werden. Diese sind insofern voneinander, abhängig, als beide durch eine gleiche Ursache, z. B. durch Temperaturänderungen oder durch eine beliebige Gleich-

gewichtsgruppe P, S hervorgerufen werden. Für den danach zulässigen Fall, daß die Kräftegruppen P, S und P, S identisch sind, geht die Arbeitsgleichung (60) in die Form

über.

2 PS =2 SAs

(61)

2. Wenn man mit Hilfe der Arbeitsgleichung (60) eine Verschiebung ö berechnen will, die von einer gegebenen Belastung verursacht wird, so braucht man nur alle gedachten Kräfte P, bis auf eine, verschwinden zu lassen und diese eine gleich »Eins« zu setzen. Es verbleiben dann allerdings außer der gedachten Krafteinheit auch noch die durch diese bedingten Stützenkräfte. Deren Arbeit sei aber gleich Null, unter der Voraussetzung von unbeweglichen Stützpunkten. Danach lautet die neue Arbeitsgleichung

Die Krafteinheit kann sowohl eine Einzelkraft, als auch ein Moment vorstellen. Im letzten Falle würde ó den zugehörigen Verdrehungswinkel, in Bogenmaß ausgedrückt, bedeuten (3, a). Durch Division mit »Eins« geht die Spannkraft S in die unbenannte Zahl S über. Man erhält dann

(62)

ö — 2 S As .

Die große Bedeutung der MoHRSchen Arbeitsgleichungen soll zunächst durch eine Reihe von einfachen Beispielen veranschaulicht werden. Dabei wird für die gedachte Formänderungsarbeit allgemein die Bezeichnung 51 eingeführt.

ii. Übungsaufgaben zu den Arbeitsgleichungen von Mohr.

a. Gedachte Arbeit in besonderen Fällen.

Aufgabe 20. Ein gerader Stab (oder ein solcher ebener krummer Stab, der nach II. 35 wie ein gerader berechnet werden darf ) trage außer einer Achsenkraft P noch eine beliebige lotrechte Belastung. Zu berechnen sei 51 für die Normalspannungen. Schubspannungen, die fuie die Aufgaben 3 und 8 uhter 4 nachweisen) auf die Formänderungen nur einen verschwindend kleinen Einfluß üben, sind zu vernachlässigen.

Zur Lösung der Aufgabe könnten die früher aufgestellten Ausdrücke für die wirkliche Formänderungsarbeit benutzt werden. Dazu brauchte man darin nur die »,gedachte Belastung P, S«~ von den » Verschiebungen ö, As«- zu trennen. Im vorliegenden einfachen Falle lassen sich aber die gesuchten Ausdrücke ohne weiteres anschreiben. Man erhält für irgend zwei in der Entfernung dz gelegte Nachbarquerschnitte, und für die Achsenkraft P

5*

dz E EF

oder

und

PP

2! sjs—f EF

dz

worin die Integration über die betrachtete Strecke der geraden Stabachse (oder der Bogenachse) auszuführen ist.

Ist ferner das in einem beliebigen Querschnitte durch die lotrechte Belastung erzeugte Moment gleich M und der zugehörige Verdrehungswinkel der Nachbarquerschnitte gleich ddcp, so folgt aus der Arbeitsgleichung (60) für vorliegende Aufgabe

J*S/îs — J• Jdtp .

Nach den Gleichungen (60) des II. Bandes ist aber für den geraden und krummen Stab

Jdcp_ M

Zf

dz

Das gibt

MM

Zf

dz.

Danach ist die gesuchte Arbeit mit

MM

dz

Zf

(64)

gefunden.

Aufgabe 21. Im vorigen Belastungsfalle erfahre der Stab eine Temperaturerhöhung, die in seinem obern Rande t° und im untern Rande fu C. betrage. Wie groß ist der dadurch verursachte Zuwachs der Formänderungsarbeit 31, wenn angenommen werden darf, daß die Temperatur von t₀ bis tu in gerader Linie abnimmt und wenn der Stab überall gleiche Höhe h hat?

Wie in der Aufgabe 6 (unter 4) ausführlich dargelegt worden ist, bestehen die durch die Temperatur verursachten Formänderungen in einer Verlängerung der Stabachse und in einer Verdrehung der Querschnitte. In der Stabachse herrscht (nach unserer Voraussetzung) eine Temperatur

to tu _ tz

wenn 4 den Unterschied zwischen t₀ und tn bezeichnet. Die Längenänderung der Achse zwischen zwei Nachbarquerschnitten beträgt demnach

z1dz — ctt — dz ,

wenn at die Temperaturdehnung einer Faser für i° C. bedeutet.

Der Verdrehungswinkel Ad cp (für gerade und krumme Stäbe) berechnet sich aus der Fig. 41 mit

att₀dz — attu dz

: cCqj

'Ä.....1

Z---

Ad cp

4 .

Fig. 41.

wobei der Winkel (seiner großen Kleinheit wegen) gleich seiner trigonometrischen Tangente gesetzt worden ist (vgl. Aufgabe 6 unter 4). Die elastische Formänderungsarbeit des Stabes erhöht sich danach um

(⁶5)

21, =

Das Minuszeichen tritt ein, weil der Stab (durch die Temperaturerhöhung allein) eine Verlängerung der oberen Randfaser, also eine Krümmung nach oben erfährt, während die Belastung ihn nach unten krümmt.

Aufgabe 22. Für ein ebenes oder räumliches, auf unverschiebbaren Stützpunkten ruhendes Fachwerk, in dessen Knoten beliebige äußere Kräfte P angreifen, von denen die Stabkräfte S erzeugt werden, ist die wirkliche und die gedachte Formänderungsarbeit zu berechnen, unter der Annahme von Temperaturänderungen, die im allgemeinen für jeden Stab verschieden sein können.

Hier gilt ohne weiteres die Arbeitsgleichung (60)

2Pö =2 SJs,

worin F, S eine »gedachte Belastung« und d, As die durch die Belastung F: S verursachten »wirklichen Verschiebungen« vorstellen, ô ist die Verschiebung irgend eines der Knoten des Fachwerks, genommen in der Richtung der Mittelkraft aller dort angreifenden P. As ist die elastische Längenänderung irgend eines Stabes. Bezeichnet s eine Stablänge und sind E und F die bekannten Größen, so erhält man danach

(66)

und für die wirkliche Formänderungsarbeit 21, wenn F, S mit P, S

vertauscht gedacht und (nach 3, a) beachtet wird, daß P und S von Null ab bis auf ihre Größe wachsen

%='^SEF

(⁶7)

Dazu kommt, im Falle sie zu berücksichtigen sind, für Temperaturänderungen noch hinzu

—SSJst —S S[ats).

(68)

Wie in obigen Gleichungen bereits geschehen, soll von jetzt ab für den Faktor

Stablänge

Dehnungsmaß X Querschnitt

die Bezeichnung Dehnungsvermdgen gewählt und der Buchstabe k gesetzt werden.

b. Statisch bestimmte Systeme.

(Aufgabe 23} Die Stabkraft H zwischen den Knoten 2 und 4 des in Fig. 42 dargestellten belasteten Dachbinders soll berechnet werden.

•<

[3

-5-

*N*

&<-

V'

Wo»

Fig. 42.

Man denke die Stab kraft H in bekannter Weise als äußere Kraft in den Knoten 2 und 4 angreifend. Dann erteile man der linken Binderhälfte eine Drehbewegung dcp um den Knoten 3, so daß die rechte Hälfte ruhen bleibt. Weil danach die Kräfte der rechten Hälfte (wegen dcp — o) keine Arbeit verrichten, so ist die Arbeitsgleichung mit

-f- A[wdcp) — P₁(cdcp) — P₂[ddcp) — Hhdcp = o

anzuschreiben. Daraus folgt

Aw — P₁c — Pod

Dasselbe Ergebnis erzielt man bei Anwendung des Momentenverfahrens von Ritter (I. 68).

Aufgabe 24. Im Knoten m des in der Fig. 43 dargestellten statisch bestimmt gestützten und in allen seinen Abmessungen gegebenen Fachwerks

V/

yf\m

m'-m Fig. 43-

greift eine Kraft Pm in der Richtung mm' an. Wie groß ist die Verschiebung öm des Knotens in dieser Richtung, wenn außer der Wirkung von Pm auch noch der Einfluß ehier Temperaturänderung von t Graden berücksichtigt werden muß?

Hier kommt die Arbeitsgleichung (62)

i • ô = SAs

in Anwendung, die mit Rücksicht auf die zu beachtende Temperaturänderung

i • d S[As + atts) = ^ S [Sk -j- atts)

geschrieben werden kann, at ist hier die Temperaturdehnung (I. 5) des Stabes für i° C. S stellt eine der Stabkräfte dar, die durch die gedachte Krafteinheit verursacht wird. Man findet die S nach einem der im I. Bande gegebenen Verfahren, z. B. durch Zeichnen eines Max-WELL-CREMONA-Planes (I. 70). Die Stabkräfte S sind um Pm mal größer als S, also

S = PWS

oder

(⁶9)

ö =2(kP>"S² + <*ttsS) .

Die Temperaturgrade t können im allgemeinen für jeden Stab verschieden sein.

Aufgabe 25. Ein Holzbalken auf zwei Stützen, (Fig. 44) von überall gleichem rechteckigen Querschnitte (Breite b und Höhe h) ist gleichmäßig belastet. Wie groß ist seine Durchbiegung ö in der Mitte, wenn nur die Normalspannungen berücksichtigt werden ?

Grundlage der Berechnung ist die Arbeitsgleichung

ï • <5 = S4s .

ö ist die gesuchte Durchbiegung, S eine durch die gedachte Krafteinheit hervorgerufene Normalspannkraft, 4s die Verlängerung der zu S gehörigen Faser, verursacht durch die Balkenlast, ö ist durch die Formänderung der beiden Randfasern bestimmt. Deshalb kann man sich in den Randfasern jedes Querschnittes (Fig. 44) je eine Spannkraft Â angreifend denken, die dem aus der Krafteinheit herrührenden Momente M das Gleichgewicht hält. Wir berechnen jetzt zuerst S, dann 4s.

VA

->

>äzK

SfPJ

<-

Fig. 44.

Die von der Krafteinheit verursachten Stützenkräfte sind gleich f. Das Moment M für einen Schnitt in der Entfernung z von der Balkenmitte ist

^=*(4-4

Das Moment der in den Randfasern angreifend gedachten Spannkräfte S ist gleich Sh. Daraus folgt

(-4

Die Längenänderung 4 s einer Randfaser ist im beliebigen Schnitte (nach I. 103, b und 104, c) aus den Bedingungen

dz E

und

M Mh

zu berechnen. Das Moment der gleichmäßigen Belastung ist für den Schnitt mit

oder

— 4z²)

anzuschreiben. Das alles eingesetzt gibt r/ s — —- dz —

Mh

^(/² — 40²)

2 EJ

i6EJ

Schließlich erhält man, weil die Summe hier in das Integral übergeht,

*-SJs = éjf{-7~z)

(Z² — 42²) dz

oder aufgelöst

ó ==

das gäbe für

/ = 2 m ; b ■= 20 cm ; h = 24 cm ;

5 q? . 384^/’

: E = 100

cm²

5 •

100

• 200⁴

= 0,09 cm.

384 • 100 • ~ • 20 • 243

c. Statisch unbestimmte Systeme.

Aufgabe 26. Ein Walzeisenträger (Fig. 45), von der Länge /, ist mit einem Ende wagerecht eingespannt, das andere lagert mit Hilfe eines lotrecht gestellten flußeisernen Stützenstabes in einem unverschieblichen Stützpunkte. Die Länge des Stützenstabes sei s.

Wie groß ist die StützenkraftX p~ im Punkte a, wenn der Träger ; gleichmäßig belastet ist?    ¹

Die Trägerscheibe ist durch (3 —f- ï) = 4 Stäbe an die Erde geschlossen (I. 28). Die Konstruktion ist also einfach statisch unbestimmt. Um (nach I. 35) das statisch bestimmte Hauptnetz herzustellen, denken wir uns am einfachsten den Stützenstab beseitigt und an dessen Stelle

MX

--A-

-z

>5

Th

Fig- 45-

die Stützenkraft X als äußere Kraft angreifen. Dann gilt hier die Arbeitsgleichung (62) in der Form

ï . 0=fsjs=r

o    c/ o

MM

--- z .

ZJ

Darin greife die gedachte Krafteinheit im Punkte b senkrecht zu ab an. Dann ist <5 die durch die wirkliche Belastung (q} X) zu erwartende Verkürzung des Stützenstabes. Die Bedeutung des Integrals ist (nach der Aufgabe 20) bekannt. Es ist danach anzuschreiben

M —i • z .

Das Moment M setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Der erste Teil Mg rührt von der gegebenen gleichmäßigen Belastung her und berechnet sich mit

qz²

Mq =    •

2

Der zweite Teil Mx wird durch X verursacht und ist um Afmal größer als das Moment der Krafteinheit negativ genommen, also

M,= —X[s).

Dies alles eingesetzt und EJ als unveränderlich vorausgesetzt, gibt

dz .

xwj

Nach erfolgter Auflösung des Integrales, und Division mit 1, erhält

man

s =

24 EJ

8 XI³

Es muß aber d gleich der durch die Stützenkraft bewirkten Längenänderung des Stützenstabes sein. Dadurch findet man die Bedingungsgleichung

X-s

EF

(70)

und durch Verbindung der beiden für ô erhaltenen Ausdrücke ist X in der Form

3 it F

(71)

8(3 sJ+PF)

auszuscheiden.

Wenn der Träger nicht durch einen Stützenstab mit der Erdscheibe verbunden wäre, sondern mit seiner Unterkante auf einem Gleit- oder

Rollenlager läge (I. 20), so würde das ö der Gl. (70) um so kleiner werden, je größer F wäre. In den meisten praktischen Fällen wird dann ö so klein, daß es auf die Größe von X nur von verschwindendem Einflüsse ist. Nimmt man den Stützpunkt als unbeweglich an, so wird ô — o und

(72)

X =\ql.

Es sei jetzt der Träger ein I-Eisen (Normalprofil Nr. 20, mit 214 cm3 Widerstandsmoment) und von 2,0 m Länge. Seine gleichmäßige Belastung betrage 5,0 — (einschl. Eigengewicht), der Querschnitt des 15 cm langen Stützenstabes 10 cm². Das gibt nach Gl. (71)

= 3?745 t

_rh ' ²Q°⁴ • ¹⁰

8(3 ■ 15 • 2x4 -ir + 2oo³ • 10)

und nach Gl. (72)

X — 3,75 *•

Man sieht, daß es wohl zulässig gewesen wäre, in diesem Falle d von vornherein gleich Null zu setzen, d. h. den Stützenstab als starr anzusehen (vgl. die Aufgabe 11 unter 6, a).

Aufgabe 27. Im vorigen Beispiele soll die Durchbiegung ô der Trägermitte in der Richtung der Belastung bestimmt werden (Fig. 46). Die Stützenkraft X ist be-

rechnet worden. Wir denken

^    ^    ^    Hl    y    .......................-■->

als gegebene äußere ^ miiiiHniiiii'iinimiiiüiinjiiiiiiimiiiiinmiiiiinM'iimmiiiiimiiiiüiiiüiniiüHir

sie uns

Kraft B im Stützpunkte b angebracht und machen dadurch das statisch unbestimmte System zu einem C| statisch bestimmten Hauptsystem (Hauptnetz), dessen Spannungen und Formänderungen denjenigen des unbestimmten Systems identisch sind. Um also die gesuchte Durchbiegung berechnen zu können, brauchen wir in der Trägermitte nur eine gedachte Krafteinheit (in der Belastungsrichtung) wirken zu lassen und hierfür M und M zu berechnen, wie es in der Fig. 46 unten veranschaulicht ist. Dann ist

MM

......i_. i„

-Ó b

V/

■ z-

""Ä A

Fig. 46.

I.ö=f

EJ

dz.

Darin ist zuerst M zu berechnen und zwar für zwei Schnitte, nämlich für z <P~ und z~d> Denn für jeden dieser Schnitte erhalten wir

verschiedene Werte von M. wirkenden äußern Kräfte Mc und die Stützenkraft C zu ermitteln sein. Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt:

Vorher werden die in der Einspannung

+ C — i = o, oder C = -f- i

Mc + C— = o, oder Mc = — 2

■(4)-

Danach ist anzuschreiben

: M= —

-(4)

für 0< —

2

- ²>4

M berechnet sich für jedes z mit

+ ¹    — 2) —

*(4-)

: M— —

-(4—)-

qz²

M = + B- z

Setzt man darin unter Voraussetzung eines in der Richtung von B unverschieblichen Stützpunktes b

so giebt das

X — B = ql,

co|oo

und

dz.

— ist das Moment M =

Für die Grenzen z — o und z —

entfällt das Integral für diese Trägerstrecke. Nach erfolgter Auflösung erhält man

o, deshalb

qb

oder

192 EJ

100

• 200⁴

= 0,097 cm.

192 • 2000 • 214 •

Aufgabe 28. Ein flußeiserner Vollwandbogenträger (acb der Fig. 47) ist in a mit Hilfe eines festen Gelenkes und in b durch eine Rollenstütze gelagert. Zwischen de?i Stützpunkten a und b ist ein wagerechter Stab ab eingespannt. Um wieviel verschiebt sich der Stützpunkt b in wagerechter Linie, wenn außer dem Eigengewichte des Bogens ab noch eine im Bogenscheitel c angreifende lotrechte Last P berücksichtigt werden soll?

Das System ist außen statisch bestimmt, weil es nur mit 3 Stäben an die Erdscheibe geschlossen ist (I. 22. 35). Innen ist es aber einfach statisch unbestimmt, weil die vorhandenen 2 Knoten nur 4 Bedingungsgleichungen liefern, obwohl 5 Unbekannte zu berechnen sind. Die lotrecht gerichtete Belastung erzeugt ebenso gerichtete Stützenkräfte (A und B).

Die Verschiebung d des Stützpunktes b muß ebenso groß werden, wie die elastische Längenänderung des Stabes ab. Bezeichnet H dessen vorläufig noch unbekannte und statisch nicht bestimmte Stabkraft, so ist, nach dem Elastizitätsgesetze

EFZ

anzuschreiben, worin Fz den Querschnitt des Stabes ab vorstellt. Man findet aber d auch aus der Arbeitsgleichung

ï.d=/

MM

EJ

ds

worin ds die Entfernung zweier Nachbarquerschnitte des Bogens bedeutet. Aus der Verbindung der beiden Gleichungen für d ist zuerst H auszuheben und daraus d zu berechnen.

îu.

Tün

'S

H......^.....

U-

1*

<■

'sr

<■

'S

«*

,s.

“^5

-K

Si

4r

4-

Fig- 47-

Für die gedachte Krafteinheit wird das System ins Gleichgewicht gesetzt, wenn im Stützpunkte a auch eine Krafteinheit angebracht wird, deren Richtung der in b wirkenden Einheit entgegengesetzt ist. A und B sind dabei gleich Null. Man erhält dann für irgend einen Querschnitt der Ordinaten x, y (Fig. 47) das gedachte Moment der äußern Krafteinheiten mit

M=-{- i -y:

wobei zu bedenken ist, daß die auf dem rechten Bogenteil links drehenden Momente positiv zu setzen sind (I. 66, a). Um das Moment der wirklichen Belastung zu erhalten ist die vorläufig noch unbekannte Spannkraft H des Stabes ab (in bekannter Weise) als äußere Kraft einzuführen. ZT ist die statisch nicht bestimmbare Größe (I. 35). Man erhält

M= A{w — x) — Hy

worin

P+ql

einzusetzen ist. Somit geht die Arbeitsgleichung in

[w — x)y — Hy²) ds

über, oder in

A[w — x)y ds

2 ö Fz Py²ds

~T~ J ~T'

Das gibt vorläufig

■/

A{w — x)yds

EU-f

rf’-r I

Um die Integration ausführen zu können muß die Gleichung der Bogenachse gegeben sein. Wir nehmen an, diese sei eine Parabel, oder könne genau genug als eine Parabel angesehen werden. Dann ist die Parabelgleichung für die Scheitellotrechte als K-Achse mit

— x)

f ,

y — —(zv2 y zv2 K

l

— zu setzen ist.

anzuschreiben, worin w =

Das Trägheitsmoment J soll veränderlich angenommen werden. Ist Je das Trägheitsmoment im Scheitel c, so darf — wie es schon unter

II. 49, c für einen .SVt’zVzbogen geschehen ist — für J angenähert der Wert

J=

Je

cos³ Cf)

angesetzt werden. Ferner ist

ds =

dx

cos cp

wenn cp den Winkel der Scheitellotrechten mit irgend einem Krümmungshalbmesser bezeichnet. Danach ergibt sich

2 Af

W'Jc

— x) (w² — x²) cos² (pdx

e\i -f

2 Fzf

Iw⁴ Je

^ ² — x²)² cos² cp d

Es ist aber

cos² cp

i + tg²çp

(~ï

\dx I

i4

Afx²

oder

cos² rp =

ze/⁴

w⁴ -J- 4 f² x²    4f² (p² -j- x²) wenn p den Parameter der Parabel vorstellt, der mit

w²

anzuschreiben ist (II, S. 240). Dies eingesetzt gibt

2p A

ni) /

[w — x) [w² — x²)dx

p² -f- X²

EFZ

² EJc H---

W

(w² — x²)² dx

p² -f- X²

(73)

Jedes der beiden Integrale dieses Ausdruckes löst sich mit Hilfe der Division seines Zählers durch den Nenner, wie dies im Beispiel unter II, 49, S. 241 schon einmal durchgeführt worden ist. Setzt man das obere Integral gleich Z, das untere gleich A⁷, so erhält man schließlich

N⁼⁼¹ 2 E Jc —f

und

² EJC

— ! iw² +/²) • — arctg--1---[2W²    p²) w

P P 3

12. Allgemeine Bezeichnungsweise von Verschiebungen und ihren Ursachen.

Anfängern ist zu raten, vor dem Studium der folgenden Absätze die unter 11 gegebenen Übungsaufgaben durchzuarbeiten.

a. Die Krafteinheit einer einfachen Punktverschiebung,

i. Eine Konstruktion befinde sich im Gleichgewicht und im spannungslosen Anfangszustande (34, a). Darauf werde sie durch beliebige Einzelkräfte belastet. Dann bezeichnet man die Verschiebung <5 irgend eines Punktes ;/z, falls ihre Ursache nicht näher angegeben zu werden braucht, durch Anhängen des Zeigers m, um dadurch anzudeuten, daß die Verschiebung öm vom Punkte m aus erfolgt. Ist es aber nötig, auch die Ursache der Verschiebung mit zu bezeichnen, so hängt man dem öm noch einen zweiten Buchstaben als Zeiger an, der denjenigen Punkt angibt, in welchem die Ursache zu suchen ist. Das ô erhält also einen sog. Doppelzeiger und es bedeutet z. B. allgemein

à kr

die Verschiebung des Punktes k infolge einer Ursache in r.

Die Ursachen einer Verschiebung können verschiedener Art sein. Will man deshalb obige Bezeichnungsweise für alle möglichen Ursachen beibehalten, und außerdem in der Bezeichnung den Einfluß jeder einzelnen der die Konstruktion belastenden Einzelkräfte zum Ausdruck bringen, so empfiehlt es sich für gewisse Lastgruppen eine Krafteinheit einzuführen. Wie das geschehen kann ist bereits unter 10 und 11 an verschiedenen Beispielen gezeigt worden. Es folgen weitere Beispiele.

ml

Es handle sich um die Verschiebung des Punktes m in irgend einer Richtung mm ^ verursacht durch die in n angreifende Kraft Pn (Fig. 48). Allgemein würde die gesuchte Verschiebung mit

Öm n

Fig. 48.

anzuschreiben sein. Soll jetzt ihre Ursache besonders mitbezeichnet werden, so fasse

man ö

als diejenige Verschiebung des Punktes m auf, die durch eine in der Richtung von Pn wirkende Kraft »Eins« verursacht wird. Dann ist der Einfluß von Pn um Pn mal größer anzusetzen, als derjenige der Krafteinheit. Das gibt

mn •

Öm — Pn Ô

Darin ist Pn als unbenannte Zahl anzusehen, so daß öm der ersten Dimension entspricht.

Nach obiger Bezeichnungsweise bedeutet Pr dr r : die Verschiebung des Punktes r in der Richtung von Pr durch die in r angreifende Kraft Pr.

Wollte man die unter dem Einflüsse der in den Punkten a, b, ... r angreifenden Einzelkräfte Pai Pb, ••• Pr bewirkte Verschiebung eines Punktes c angeben, so gäbe das

(74)

de = Pa dca + Pbàcb + Pc$cc + * * * + Pm^cm + * * ■ + Pr^c

daß alle ô mit dein Doppelzeiger von den

wobei zu beachten ist Kräften P unabhängig sind.

b. Die Krafteinheit einer Längenänderung zwischen zwei Punkten. Wenn unter den die Konstruktion belastenden Einzelkräften

auch zwei solche sich finden, die von gleicher Größe sind und in eine und dieselbe Richtung fallen, so ist es empfehlenswert, diese beiden Kräfte zu einer be-sondern Kraftgruppe zu vereinigen und die von der Gruppe verursachte Verschiebung in der Gl. (74) nur durch ein einziges Glied zu bezeichnen.

Es möge z. B. in den beiden Knoten nj und n₂ eines ebenen oder räumlichen Fachwerks (Fig. 49) je eine Stabkraft Sn (in der Richtung des Stabes nTn₂)ęangreifen. Die dadurch verursachte Verschiebung des Knotens m (in der Richtung mm) soll angeschrieben werden. Nach obiger Bezeichnungsweise erhält man dafür

-«3

Sn

⁷¹*

Fig. 49.

kfd__Jfp

(75)

- SnÖmni —j— SnÓmn₂ Sn iß,tt «j -1—    .

Der Klammerwert der Gl. (75) bedeutet die Verschiebung des Punktes m infolge je einer, in den Punkten nx und n₂ angreifenden Krafteinheit. Die beiden Krafteinheiten wirken zusammen genau so wie eine Achsenkraft »Eins« bei der Verlängerung des Stabes nT n₂. Bezeichnet man also die Stablänge mit n und denkt sich den Stab durch eine Achsenkraft »Eins« gedehnt, so läßt sich die Gl. (75) auch in der vereinfachten Form anschreiben, in Worten: Die Verschiebung des Punktes m, verursacht durch die Längenänderung des Stabes n. Eine derart wirkende Achsenkraft

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

»Eins« soll fortan die » Krafteinheit einer Längenänderung« oder auch » die Krafteinheit eines Punktepaares« genannt werden. Die beiden Punkte sind in diesem Falle Endpunkte des Stabes, theoretisch also die Knotenpunkte (I. 14).

Wollte man umgekehrt die Verschiebung eines Punktes m als Ursache der Längenänderung eines Stabes n betrachten und bezeichnen (Fig. 50),

so wäre dafür

!h

Jh_

Ön — P711 m

anzuschreiben, in Worten: Die Längenänderung des Stabes n, verursacht durch eine im Punkte m angreifende Einzelkraft Pm. Und handelte es sich z. B. um die Berechnung einer derartigen Stablängenänderung, so würde dafür nach der Arbeitsgleichung von Mohr (10, a) der Ausdruck

I ‘ $ nm —SnSmk

gelten. Unter dem Summenzeichen bedeuten dann

Sn: eine durch die gedachte Krafteinheit des Punktepaares n₁n2 erzeugte Stabkraft des Fachwerks,

Sm : eine durch die gegebene Einzelkraft Pm verursachte Stabkraft des Fachwerks,

k: die bekannte Unveränderliche — das Dehnungsvermögen — jedes Stabes (11, a, Aufgabe 22). c. Die Krafteinheit von Verdrehungen einer Geraden, i. Die Krafteinheit kommt besonders in Anwendung, wenn mit Hilfe der MoHRSchen Arbeitsgleichung die Verdrehung einer Geraden oder die Winkeländerung zwischen zwei sich drehenden Geraden berechnet werden sollen. Die Arbeitsgleichung lautet dann allgemein

rt

'in,

Fig- S°-

Md ep = J’sds.

Um den Verdrehungswinkel d cp berechnen zu können, führt man für M die Momenteinheit ein. Weil aber Moment gleich Kraft mal Arm ist, so ist die Kräfte inheit, bei gegebener Länge des Armes, gleich der »Einheit« dividiert durch die »Armlänge« anzunehmen. Ist die Armlänge n

so ist die Krafteinheit gleich —

n

Handelt es sich z. B. um die Verdrehung önm einer Geraden ntn2 von der Länge «, verursacht durch die Verschiebung des Punktes m

zu setzen.

infolge einer dort angreifenden Einzelkraft Pm (Fig. 51), so wäre die Arbeitsgleichung mit

anzuschreiben. Darin ist die gedachte Momenteinheit »Eins« aus den

beiden gedachten Krafteinheiten — ge-

n

bildet, die als Kräftepaar am Arme n angreifen. Ihr Moment M berechnet sich also aus

TV„

/

n/

/

rnfl

Pn.

n — »Eins«.

önm ist die gesuchte Verdrehung der Geraden nx nz, ausgedrückt (für die Halbmessereinheit) durch einen Bogenweg in nz oder n₂. Beide Bogenwege sind gleich groß und (ihrer vorausgesetzten Kleinheit wegen) algerade Strecken anzusehen. Der Verdrehungswinkel /lep findet sich aus

Fig- 51-

ànm

(76)

»Eins «

Unter dem Integralzeichen bedeuten in diesem Belastungsfalle

Sn: eine Spannkraft, erzeugt durch die gedachte Momenteinheit der Geraden

z/sm : die elastische Längenänderung einer Faser in der Richtung von S„ zwischen zwei Nachbarquerschnitten, verursacht durch die Einzelkraft Pm.

Wollte man umgekehrt die Verschie- m’j bung ô„tn des Punktes m bezeichnen, verursacht durch eine Verdrehung der Geraden n (Fig. 52) infolge eines Kräftepaares Pn) so erhielte man

Im.

rr

r„.

Fig. 52.

mn —

Sm gl sn.

Hierin bedeuten

Sm\ eine Spannkraft erzeugt durch die gedachte Krafteinheit des Punktes m,

Jsn\ die elastische Längenänderung einer Faser, in der Richtung von Sm zwischen zwei Nachbarquerschnitten, verursacht durch das Kräftepaar Pn.

6*

2. Verursacht eine Winkeländerung zwischen zwei Geraden die Verschiebung eines Punktes, oder irgend eine andere Art der Verschiebung,

sei es die Längenänderung oder Drehung einer andern Geraden oder dergl. (Fig. 53) oder umgekehrt, verursacht eine der letztgenannten Verschiebungen eine Winkeländerung zwischen zwei Geraden (Fig. 54) so lassen sich alle diese verschiedenartigen Verschiebungsfälle mit Hilfe der bereits erläuterten Einführung einer Krafteinheit oder einer Momenteinheit eindeutig beschreiben.

Z. B. gibt die in Fig. 53 gesuchte Verschiebung' d Punktes m, verursacht durch die Änderung d des Winkels cp zwischen den beiden Geraden n, nl, die Arbeitsgleichung

'V

flL

P«?

fi

' P

n.

___r

m

\n’

Fig- 53-

n,

des

ö'

Fig. 54-

mn -

^Sm Sn .

Darin bedeuten

Sm: eine Spannkraft erzeugt durch die gedachte Krafteinheit des Punktes m

z1sn\ die elastische Längenänderung einer Faser (wie oben) verursacht durch die beiden Kräftepaare Pn.

Im Hinblick auf die vorangegangenen Erläuterungen darf schließlich für den in Fig. 54 dargestellten Fall einer Winkeländerung önm zwischen den Richtungen zweier Stäbe eines ebenen Fachwerks

I ‘ Önm - I (ânz m “H d«₂ nt) —Snz Smk | Sn^ Smk

angeschrieben werden. Oder

I ■ Önm —(Ä«j I Sn2) Sm k .

Es ist dann

ziep =

d«x

d«₂ m

»Eins«

»Eins«

Für den Fall, daß nz = zz₂ = n war, folgt

x _    ⁰

<f> »Eins«

13. Maxwells Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen V erschiebungen.

a. Fassung und Beweis des Satzes durch Maxwell selbst.¹

i. Maxwell will, wie er sagt, ein allgemeines Verfahren angeben, um Fachwerke (ebene und räumliche) in möglichst einfacher Weise zu berechnen »besonders in Fällen, wo das Stabwerk nicht einfach starr, sondern überstarr ist, d. h. wo es überzählige (additional) Stücke enthält«. Indem er in aller Kürze die Starrheitsbedingungen der Fachwerke in bekannter Weise (I. § 5) feststellt, führt er die Begriffe »Elasticity« und »Extensibility« ein, d. h. »Elastizität« und •»Dehnungsvermögen«, von denen weiterhin noch gesprochen wird, um dann mit Hilfe des bekannten Ausdruckes für die elastische Formänderungsarbeit einer Kraft (Gl. 7) den in Rede stehenden Satz abzuleiten. Der Satz, den er als die Grundlage seiner Berechnungen hinstellt, lautet frei übersetzt und unter Einfügung der heute gebräuchlichen technischen Bezeichnungen:

»Die Längenänderung in einem Stabe BC, verursacht durch die Stabkrafteinheit im Stabe DE ist immer gleich der Längenänderung in DE, verursacht durch die Stabkrafteinheit in BC.«

Dieser Satz wird heute »Maxwells Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen« genannt. Maxwell benutzt den Satz zur Berechnung »einer Verschiebung irgend eines Knotens, verursacht durch in andern Knoten angreif'ende Kräfte«.

Beim Beweise des Satzes setzt er eine isotrope Konstruktion voraus und geht aus von dem Ausdrucke

K = \Fx,

worin 91 die Formänderungsarbeit einer Kraft F bedeutet, deren Weg gleich ^ ist. Eine Stablängenänderung² (extension in a piece), die von der Krafteinheit (tension-unity) verursacht wird, nennt er e. Danach kann obige Arbeitsgleichung, weil x = eF ist, auch

geschrieben werden.

*‘*■ = *7

x²

Maxwell sagt dann: »Ist der Stab unelastisch, oder e — o, so wird die ganze in ein Stabende geleitete Arbeit auf das andere Ende übergeleitet und ein Fachwerk kann so als eine Maschine betrachtet werden, deren Wirkungsgrad vollkommen ist.«

Hierauf leitet er folgenden Hilfssatz ab:

» Wenn p die Stabkraft im Stabe A ist, verursacht durch eine Krafteinheit zwischen den Knoten B und C, so erzeugt eine Längenänderungseinheit (extension-unity) in A eine gegenseitige Verschiebung der Knoten B und C von der Größe p. «

Der Hilfssatz wird wie folgt bewiesen: Es sei X die Stabkraft und x die Längenänderung von A\ V die Stabkraft und y die Längenänderung in der Linie B C. Alle Stäbe außer A denke man völlig unelastisch, so daß allein in A eine Formänderungsarbeit vollzogen wird, wobei B und C sich verschieben. Das gibt die Arbeitsgleichung

\Xx + \ Yy =

Weil aber, nach obiger Annahme,

x = py

ist, so folgt

y_ _

= -P

d. h. die gegenseitige Verschiebung von B und C für die Längenänderungseinheit von A ist gleich p, was zu beweisen war.

2. Zuerst wendet Maxwell den Hilfssatz an, um die gegenseitige Verschiebung x der Knoten D und E eines statisch bestimmten Fachwerks zu berechnen, verursacht durch die Stabkraft F zwischen den Knoten B und C, wenn dabei alle Fachwerkstäbe mit Ausnahme eines Stabes A als unelastisch angesehen werden.

Zu diesem Zwecke bestimmt er alle Stabkräfte, die von einer zwischen B und C wirkenden Krafteinheit erzeugt werden. Die Stabkraft für A sei hierbei mit p gefunden. Ferner bestimmt er alle Stabkräfte für eine zwischen D und E angreifende Krafteinheit. Die hierbei für A gefundene Stabkraft sei q.³

Dann ist die Stabkraft in A gleich Fp und die zugehörige Längenänderung gleich eFp, wenn (wie früher) e wieder das Dehnungsvermögen bedeutet. Ferner ist die gesuchte Verschiebung x zwischen D und E, nach dem Hilfssatze, mit

anzuschreiben.

x = — Fepq

Sind alle Stäbe elastisch, so findet man für jeden Stab das Produkt F epq in gleicher Weise wie für den Stab A und erhält in diesem Falle

(77)

Wie man sieht, kommen unter dem Summenzeichen die Größen p und q als Produkt vor. Es ist also gleich, ob manepq oder ^ eqp schreibt. Darin liegt der Beweis der Richtigkeit des angegebenen

MAXWELLSchen Hauptsatzes für statisch bestimmte Fachwerke.

3. Maxwell liefert den Beweis dann auch noch für statisch unbestimmte Fachwerke, wobei er die Stabkräfte der überzähligen Stäbe (I. 35) mit R: S, T usw. bezeichnet. Eine in diesen Stäben, der Reihe nach, angebrachte Krafteinheit erzeuge in A die Stabkräfte r: s, t und die zugehörigen Längenänderungen q, ö", r. Dann kann nach vorigem (ohne weiteres) angeschrieben werden:

in A —

Fp + Rr+ Ss+ Tt-\-----1----

die Stabkraft

- Längenänderung - A = e[Fp -f- Fr -j- Ss -f- Tt + ••• + •• •)

-    in R—Ro=—fSe-br—R ^er²—S ^esr— 7 'Setr----

-    - S=So=—fSebs-R^L, ers—S^b es^—T^äets---- (7&)

-    - T—Tx——F^j ebt—R^üert—S'S! est—T^,ef----,

Weil für ein gegebenes Fachwerk alle mit kleinen Buchstaben geschriebenen Größen gegeben sind, so können die Gleichungen (78) dazu dienen, um die überzähligen [oder statisch nicht bestimmbaren) Größen daraus zu berechnen.

Für die gesuchte Verschiebung x zwischen den Knotenpunkten D und E erhält man schließlich

— f2 ePq — R2

— T^etq----.    (79)

erq

Sobald also die überzähligen Größen R, S, T berechnet worden sind, ist x gefunden. Wir begnügen uns damit, die Endergebnisse für ein einfach statisch unbestimmtes Fachwerk anzugeben. Darin kommt nur R vor und man erhält

es q

R =■ — F

er² -j- q

und

epq +

2epr2

(80)

eqr

er² -f- q

In diesem Ausdrucke für die Verschiebung x zwischen D und E kommen p und q nur in ihren Produkten vor, und das wird immer der Fall sein, wenn auch das zugehörige Fachwerk mehrfach statisch unbestimmt ist. Deshalb gilt der eingangs wiedergegebene Satz von Maxwell auch für statisch unbestimmte Fachwerke.

b. Verallgemeinerung und Herleitung des Satzes auf Grund der Arbeitsgleichungen Mohrs. Aus der von Maxwell (in der genannten Quelle) gegebenen Anwendung seines Satzes erkennt man, daß es ihm besonders nur darum zu tun war, die Berechnung der Verschiebungen von Fachwerken zu erleichtern. Am Schlüsse seiner allgemeinen Darlegungen gibt er nur ein einziges Beispiel, indem er für einen gegliederten einfachen Parallelträger (II. 16) eine Verschiebung berechnet, die durch eine Einzellast verursacht wird. Mit Hilfe der Arbeitsgleichung die, wie unter 10, b nachgewiesen worden ist, für Konstruktionen beliebiger Art und für beliebige Spannungsursachen, z. B. auch für Temperatureinflüsse gilt, läßt sich der Satz von Maxwell nicht allein viel einfacher ableiten, sondern auch allgemeiner fassen, als es Maxwell getan hat.

Begreift man unter der Bezeichnung »Verschiebung« — wie es unter 12 dargelegt wurde — sowohl Punktverschiebungen, als auch Verlängerungen oder Verdrehungen von Geraden und bedeuten m und n je eine zu einer der Verschiebungen gehörige Krafteinheit, so ist nach Mohr für Fachwerke

—Sn k,

wenn Sm und S„ diejenigen Stabkräfte vorstellen, die je durch eine Krafteinheit verursacht werden, und zwar

Sm durch die Krafteinheit in m

und wenn k das gegebene Dehnungsvermogen jedes Stabes bedeutet. Ebenso ist anzuschreiben

woraus ohne weiteres folgt

(8i)

n - ànm j

in Worten: Die in der Richtung m ni erfolgende Verschiebung von m, verursacht durch die in der Richtung nn wirkende Krafteinheit in n, ist ebenso groß wie die in der Richtung nn erfolgende Verschiebung von n, verursacht durch die in der Richtung mm! wirkende Krafteinheit in m.

Die Richtung der Verschiebung oder der Krafteinheit verläuft bei Punkten beliebig. Bei Längenänderungen von Stäben oder Linien fällt sie mit deren Richtung zusammen; bei Verdrehungen von Geraden steht sie senkrecht zu diesen (vgl. die Fig. 51). Nach der obigen allgemeinen Fassung des Satzes von Maxwell kann z. B. die Gegenseitigkeit von folgenden Verschiebungen in Betracht kommen und nach Mohr berechnet werden:

Die Änderung des Winkels zwischen zwei Geraden oder Fachwerkstäben m verurscht durch die Längenänderung einer Geraden oder eines Stabes «, oder durch die Verschiebung eines Punktes n in beliebiger Richtung ;

die Verschiebung zwischen zwei Punkten (m, m'), verursacht durch die Winkeländerung zwischen zwei Geraden [n, n) usw.

Unter den bekannten Voraussetzungen, die mit der Herleitung der Arbeitsgleichungen Mohrs verknüpft sind, gilt Maxwells Satz — wie nicht mehr besonders bewiesen zu werden braucht — nicht allein für statisch bestimmte Fachwerke, sondern auch für beliebige gegliederte oder vollwandige Konstruktionen.

14. Anwendungen des Satzes von Maxwell.

a. Darstellung der Einflußlinie einer elastischen Verschiebung. Eine der wichtigsten Anwendungen des Satzes von Maxwell folgt aus der Betrachtung der Gegenseitigkeit zwischen zwei Krafteinheiten, von denen die eine eine lotrecht wirkende, wandernde Einzellast P — i ist (II. 2). Es war Mohr⁴, der aus einer derartigen Betrachtung zuerst die »Einflußlinie einer Verschiebung« erhielt. Dabei bewies Mohr, ohne Maxwells Arbeit vom Jahre 1864 zu kennen, den Satz von der Gegenseitigkeit für den Sonderfall lotrechter Verschiebungen und verwendete — als Erster —• die Gleichung

$nm - $

m n 7

in Verbindung mit der (von ihm eingeführten) graphischen Darstellung der elastischeti Linie eines Trägers (5, b), zur Berechnung statisch nicht bestimmbarer Größen.

Zur Darstellung der Einflußlinie einer elastischen Verschiebung gelangt man auf folgenden Wege: Man bringe im Punkte m einer Trägerlinie ab eine lotrecht wirkende Krafteinheit an und zeichne für diese gedachte Belastung (nach dem unter 5, b mitgeteilten Verfahren) die elastische Linie oder Biegelinie des Trägers, in welcher die lotrechte Verschiebung rj jedes Trägerpunktes als Ordinate abgegriffen werden kann. Dann ist für den beliebigen Punkt n (Fig. 55) anzuschreiben

YJk - $n

in Worten : »Die elastische Verschiebung des Punktes m, verursacht durch eine wandernde Einzellast P — 1 in n. «

Sieht man also n als den augenblicklichen Lastpunkt eitler wandernden Krafteinheit an, so ist die lotrecht unter n abzugreifende Ordinate rjn der

¹

   Vergl. die S. 64 angegebene Quelle.

²

   Nach dem Elastizitätsgesetz ist die Längenänderung

. Ss

Js = ËF=Sk-

i    1 EF

Das MAXWELLsche e bedeutet also soviel wie k, und das — soviel wie — =-•

e    ks

Maxwell bezeichnet e als die »extensibility« eines Stabes. Wir haben (unter 11, a) für k die Bezeichnung »Dehnungsvermögen« eingeführt,

³

In der Urschrift steht fälschlich y statt q.

⁴

Mohk, Beiträge zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Arch. u. Ing.-Ver. Hannover 1875, S. 24. Vgl. auch den II. Band (50, c, S. 254), wo nachgewiesen ist, daß Mohr und Winkler (1868) die Ersten waren, die überhaupt Einflußlinien benutzt haben.

Jl

Th

P'vnm

Fig- 55-elastischen Linie gleich der, durch die wandernde Einzellast P — 1 verursachten elastischen Verschiebung des Punktes m.

Daraus folgt der Satz:

Die für eine im Punkte m angreifende Krafteinheit gezeichnete elastische Linie [oder Biegelinie) ist die Einflußlinie der Verschiebung des Punktes m

für P — i.

Dieser Satz*'gilt (nach vorigem) nicht allein für eine Krafteinheit eines Punktes, sondern auch für die Krafteinheit einer Längenänderung oder Geradenverdrehung u. dgl. (12, c), so daß der Satz das Mittel an die Hand gibt, um auch die Einflußlinie einer Längenänderung, oder einer Geradenverdrehung, oder einer Winkeländerung u. dgl. darzustellen. Wie die nachfolgenden Beispiele näher erläutern, ist mit der Einflußlinie einer Verschiebung auch die Einflußlinie der im Verschiebungspunkte [Punktepaare usw.) angreifenden statisch nicht bestimmbaren Größe gegeben.

b. Anwendungsbeispiele für statisch bestimmte Träger.

Aufgabe 29. Es soll die größte lotrechte Verschiebung des Knotens m des in Fig. 56 dargestellten einfachen Fachwerkträgers für einen gegebenen Lastenzug berechnet werden, wenn der Untergurt Lastgurt (IL 1, c) ist.

Man berechne oder zeichne (nach § 4) diejenige Biegelinie des Lastgurtes, welche durch die in m angebrachte Kraft »Eins« erzeugt wird. »Eins« ruft in a und b Stützenkräfte hervor, die durch

Am —

i • (/ — rc)

und

Bm —

bestimmt sind. Wollte man die Biegelinie des Untergurtes berechnen, so würde man dies mit Hilfe der Arbeitsgleichung Mohrs ausführen können, indem man diese auf jeden Untergurtknoten anwendete. So erhielte man alle durch »\m« verursachte Knotenverschiebungen des Untergurtes und damit die Biegelinie, wie sie in Fig. 56 gezeichnet ist. Die bequemere graphische Darstellung der Biegelinie vgl. unter 15.

£1

(S. .

«...

*•

f.....-fefi

if

*•*

⁷Jt

wm

Fig. 56.

Die gefundene Biegelinie d d b' ist die Einflußlinie der Verschiebung des Punktes m. Der gegebene Lastenzug ist also über der Trägerlinie der Einflußfläche derart aufzustellen, daß die gesuchte Summeneinfluß-größe öm ihren Größtwert erreicht. Die dabei zu beachtenden Regeln sind unter II. 2 zu vergleichen. Ist die gefährlichste Lastlage gefunden, so erhält man (mit Bezug auf die Fig. 56)

dm = PIrjI + P₂rj₂ + P₃r]₃ + P₄rj₄ Pr].

Denn für irgend eine Ordinate f]* gilt (nach Maxwell und Mohr)

mn •

Cjn - ànm - à

Aufgabe 30. Für den in Fig. 57 dargestellten vollwandigen Aus-legeträger veränderlichen Querschnittes ist die im Gelenhpunkte g unter dem Einflüsse eines Lastenzuges entstehende größte Verschiebung dg zu ermitteln.

Es ist zuerst die durch eine in g angebrachte Krafteinheit erzeugte elastische Linie des Trägers (nach dem Verfahren von Mohr unter 5, b)

a.

Bf

l,

ce

>fco

1

Fig. 57-

........XX

-»ä- -

-//

i,

-EEEE

'X.

F?

■??'

Et

II

Elastische LiriE

V,

V..

p,

®

TąTą

ft

9'

11'

Fig. 58.

zu zeichnen. Zu dem Zwecke ist die zugehörige Momentenfläche M darzustellen (nach I. 62, a). Die durch » 1^« hervorgebrachten Stützenkräfte sind (mit Bezug auf die Fig. 57)

A g == 0 7

Bz

_ t (g + 4)

Danach ist die Momentenfläche M mit Hilfe eines aus den Kräften Bg) Cg und »Eins« gebildeten ersten Kraftecks gezeichnet. M sei irgend eine ihrer Ordinaten. In der Endträgerstrecke a g ist M = o. Um das zweite Krafteck und mit dessen Hilfe die elastische Linie zu erhalten, ist aus der Momentenfläche die Belastungsfläche zu bilden, für deren Ordinaten y der Ausdruck

gilt.

y EJ

Der bequemeren Rechnung wegen, und um die Biegefläche in passendem Maßstabe zu erhalten, empfiehlt es sich, die Ordinaten rj der elastischen Linie um nEJk größer darzustellen, als sie wirklich sind, also

M-nEJk

EJ

zu machen. Jk bedeutet ein beliebiges unveränderliches Trägheitsmoment und n eine ganze Zahl, die so zu wählen ist, daß der Maßstab passend wird (vgl. unter 5 und 7). Die gesuchte größte Verschiebung (Fig. 58) ist dann

2Fri ^EJk

c. Anwendungsbeispiele für statisch unbestimmte Träger. Aufgabe 31. Ein gerader Vollwandträger [oder ein Fachwerkträger mit geradem Untergurt) ruht auf drei Stützen a, b, c (Fig. 59), von denen die mittlere ein festes Gelenk, die beiden andern Rollenstützen sind. Es soll die Einflußlinie der mittlern Stützenkraft X dargestellt werden.

Das System ist außen einfach unbestimmt (I. 35). Die statisch nicht bestimmbare Stützenkraft X werde vorläufig als bekannt angesehen. Denkt man jetzt die Stütze b beseitigt und, um den bisherigen Belastungszustand zu wahren, X als äußere Kraft angebracht, so muß die Verschiebung öb unter dem gleichzeitigen Einflüsse von X und P gleich Null werden, falls der Stützpunkt b — wie wir annehmen — unveränderlich fest liegt. Aus der Bedingung

d'b = o

findet man X wie folgt.

Man denke in b in der Richtung von P eine Krafteinheit 1 b wirken

und zeichne dafür die elastische Linie des Trägers ac. Dies geschieht (wie im vorigen Beispiele) mit Hilfe einer Belastungsfläche, deren Ordinaten

EJ

sind. Ist J veränderlich, so mache man (wie vor) die Ordinaten der elastischen Linie um nEJk größer, als sie wirklich sind. Dann ist

m-

Die auf solche Weise erhaltene elastische Linie db’c' (Fig. 60—61) ist (nach 14, a) die Einflußlinie der Verschiebung öb eines einfachen Balkenträgers ac. Es ist also auch

t,=

Weil aber öb gleich Null sein soll, so folgt

------

x=p

rjb

(82)

1h

— -w

'Fj

Fig- 59-

Sr.

3_

9\

al

i,

1' 2"

3'

rn

3‘

I Y Fląche

']bA⁵

"7

'S

■9

10

'fo'

<>

9’

S’

Fig. 6o.

*

Fig. 6i.

Danach ist X für P = i allein von dem Verhältnisse zwischen rjm und rjt abhängig, wobei rjb (für den gegebenen Fall) eine Unveränderliche ist.

I

Man kann danach — als Multiplikator (II. 5, c) der Einflußlinie für X

betrachten. Auch ist es für die Berechnung von X gleichgültig, wie groß man Mb oder auch die Polweite (bei O) des zweiten Kraftecks annimmt, mit dessen Hilfe die elastische Linie gezeichnet wird.

Aufgabe 32. Für einen einfachen Fachwerk-Parallelträger (Fig. 62), der in seinem Mittelfelde einen überzähligen Stab nn enthält, und dessen Fahrbahn im Ob er gurt liegt, ist die Einflußlinie der statisch nicht bestimmbaren Stabkraft Xn anzugeben.

Das Fachwerk ist innen einfach statisch unbestimmt (I. 35). X„ werde als vorläufig unbekannte Stabkraft im Pimktepaare n angebracht (12, b). Läßt man dann in n die Krafteinheit in angreifen und berechnet alle durch diese allein erzeugten Stabkräfte Sn des Fachwerks, so kann

Bfk°

777

n2

¹,L

ń!

■7

Fig. 62.

man mit Hilfe der berechneten Js usw. (nach 15) eine Biegelinie des Lastgurtes zeichnen. Das sei das Seileck a! n\ V. Die Biegelinie ist zugleich die Einflußlinie der Verschiebung des Punktepaares (oder der Längenänderung d sn des Stabes nn). Danach ist anzuschreiben

$mn -

und, nach der Arbeitsgleichung,

ànn =S Sl k.

Die Gesamtverschiebung ön des Punktepaares n, in der Richtung nn, verursacht durch den Einfluß von Xn und P ist danach

ön — Pr\m — XhS S„k .

ön ist aber auch gleich der elastischen Längenänderung des Stabes nn, verursacht durch die Achsenkraft Xn, also ist

». = X„p=r= X.k.,

wobei kn das Dehnungsvermögen des Stabes nn bezeichnet, folgt für P — 1

Daraus

Xn =

Cjm

$nn ~}~ kn

oder

V]in

worin der unveränderliche Klammerwert als Multiplikator der für Xn zu zeichnenden Einflußlinie gelten kann.

§ 4. Biegelinien und Verschiebungspläne statisch bestimmter Fachwerke.

15. Grundlagen der Darstellung von Biegelinien.

a. Einleitung. Nach unseren Voraussetzungen (I. 14—16) drehen sich bei der Formänderung eines Fachwerkes dessen Stäbe reibungslos um ihre Knotenpunkte. Dabei ändern sie ihre Länge und bleiben gerade. Infolgedessen erleidet jeder Stab nur eine Achsenkraft und sobald diese für alle Stäbe berechnet ist, ist auch die Formänderung des Fachwerks eindeutig bestimmt.

Ist S die Stabkraft, so ist (nach II. 17, Gl. 16)

Darin bedeutet für den betrachteten Trägerteil M das statische Moment der äußern Kräfte, bezogen auf den zugeordneten Momentenpunkt. Die aus irgend einer Ursache (Belastung oder Temperatur) entstehende Stablängenänderung As berechnet sich nach dem Elastizitätsgesetze (I. 4) mit

Ss

As —    = Sk

EF

worin k das Dehnungsvermögen vorstellt (Aufgabe 22), das für jeden Stab von der Länge s und dem Querschnitte F, bei bekanntem Dehnungsmaße E, gegeben ist.

Sobald alle As berechnet sind, kann man die Verschiebung jedes Gurtknotens festlegen und somit das in seiner Form geänderte Fachwerk aufzeichnen. Für praktische Fälle wäre ein solches Verfahren aber sehr zeitraubend und es würde auch die Anwendung außerordentlich großer Maßstäbe erfordern, um die Knotenverschiebung, im richtigen Verhältnis zu den Stablängen, genau genug meßbar darzustellen. Denn die As und die daraus ermittelten Verschiebungen sind bekanntlich sehr kleine elastische Größen, die bequem und genau genug nur unter Anwendung besonderer Hilfsmittel, von denen jetzt die Rede sein wird, dargestellt werden können.

Man kann bei der Darstellung zwei verschiedene Wege einschlagen, indem man dem gesamten Formänderungsbilde entweder nur diejenigen gebrochenen Linien entnimmt, als welche sich die Gurte des Fachwerkträgers darstellen und die wir Biegelinien nennen, oder indem man sog. Verschiebungspläne zeichnet, in denen die wirklichen Knotenverschiebungen von einem Pole aus als Strahlen aufgetragen werden. Beim erstgenannten

Verfahren wird die Biegelinie, wie die elastische Linie, unmittelbar gezeichnet, mit Hilfe eines aus den elastischen Kräften der Winkeländerungen (5, c) gebildeten Kraftecks. Das Verfahren rührt von Mohr¹ her (1875).

In den Biegelinien werden gewöhnlich nur die in lotrechter Richtung erfolgenden Knotenwege — Senkungen genannt — dargestellt, obwohl es auf der Hand liegt, wie sich jeder Knoten im allgemeinen in beliebiger Richtung verschieben kann. Will man demnach mit Hilfe von Biegelinien nach erfolgter Formänderung die wirkliche Lage der Knoten bestimmen, so muß man zwei Biegelinien, jede für eine andere feste Verschiebungsrichtung, zeichnen und die daraus erhaltenen Seitenwege eines Knotens zur wirklichen Verschiebung zusammensetzen.

In den Verschiebungsplänen erhält man dagegen jeden wirklichen Knotenweg unmittelbar. Ihre Darstellung ist für zwangläufige starre Stabketten schon im I. Bande (78—81) beschrieben. Um aber die elastischen Verschiebungen der Fach werksknoten zu erhalten wird das Verfahren hier entsprechend zu ergänzen sein. Namentlich wird gezeigt werden müssen, wie dabei — nach einem (1877) von Mohr angegebenen Verfahren — die Stützenbedingungen (I. 81) zu berücksichtigen sind. Verschiebungspläne bieten die Annehmlichkeit, daß aus ihnen beliebige Biegelinien abgeleitet werden können. Sie sind aber immer weniger genau als Biegelinien. Daß man beide Arten der Darstellung auch für alle infolge von Temperatureinflüssen erzeugte Formändermigen verwenden kann, liegt auf der Hand.

Wie weiterhin näher zu begründen sein wird, ist der Einfluß der Gurte des Fachwerks bei dessen Formänderung in der Regel überwiegend im Vergleiche zum Einflüsse der Wandstäbe. In einigen praktischen Fällen ist es deshalb zulässig, die Biegelinien unter Vernachlässigung der Längenänderungen der Wandstäbe zu zeiclmen. Auch braucht in den meisten Aufgaben die Biegelinie nur für den Lastgurt (IL 1, c) dargestellt zu werden, wie dies schon aus den gegebenen Beispielen von Einflußlinien einer elastischen Verschiebung (14, a, b) hervorgeht.

Schließlich wäre noch die Frage zu beantworten, wozu man denn Biegelinien und Verschiebungspläne eigentlich braucht. Man verfolgt dabei zweierlei wesentlich voneinander verschiedene Zwecke. Entweder will man die Formänderungen eines Fachwerkträgers nur zu dem Zwecke festlegen, um zu sehen, ob sie sich innerhalb gewisser zulässiger Grenzen halten, oder man benutzt ihre Darstellungen zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme, wie dies (unter 13) bereits angedeutet worden ist.

z) Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Arch.- u. Ing.-Ver. Hannover, 1875, S. 22—31.

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

b. Einfluß der Längenänderungen der Gurtstäbe,

i. Ein Fachwerkträger sei beliebig belastet und zwar vorläufig unmittelbar. Ferner seien allein die Gurtstäbe elastisch, während die Wandstäbe starr bleiben. Sodann betrachte man zuerst nur den Einfluß der elastischen Dehnung eines der Gurtstäbe eines einfachen Trägers (Fig. 63) auf den Stützen a und b\ wobei also alle übrigen Fachwerksstäbe starr

17

y nm

rn

7V

<........Z*

Y 7V

TV

£ S,

rn

S.

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r8

7Tb

'7

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XT"'

ymrv

1 ,

yrn,

77V

\17V„

nv

fn

ZA

Fig. 63.

zu denken sind, was in der Figur durch Schraffierung der beiden Scheiben I und II angedeutet ist. Gesucht werde die lotrechte Senkung ym irgend eines Untergurtknotens in, verursacht durch die Verkürzung des ihm gegenüberliegenden Obergurtstabes ef.

Man erhält dafür (nach 10) die Arbeitsgleichung

I m ‘ ym Sm A Sm

wenn Sm die von der gedachten Krafteinheit 1m erzeugte Gurtstabkraft vorstellt und Asm die von der wirklichen Trägerlast herrührende elastische Längenänderung des Gurtstabes ef ist. Bezeichnet ferner rm den Hebelarm der Gurtstabkraft in Bezug auf den Knoten w, so ist

- Smrm

worin Mm das von der Krafteinheit erzeugte, auf deren Angriffspunkt m bezogene, statische Moment der Stützenkraft A oder B bedeutet. Es fragt sich jetzt, wie groß muß eine im Knoten m anzubringende lotrechte Kraft wm sein, damit das von ihr und der Stützenkraft A (oder B) erzeugte Moment Mwm gleich Sm Asm , also gleich i • ym wird. Die Größe einer solchen Kraft berechnet sich mit

A sm

(83)

i • Sm A sm

Wm —

Zeichnet man danach mit Hilfe eines Kraftecks (Fig. 63), in welchem die Kraftlinie gleich wm und die Polweite Hw = »Eins« gemacht wird, ein Seileck a ml b'so stellt dessen Ordinate ym die gesuchte Senkung des Knotens m dar. Denn das von der Kraft wm erzeugte Moment ist mit

M<iv m

= I ‘ ym — SmAsm

anzuschreiben.

Das für eine Last wm in m gezeichnete Seileck a m b' ist (nach 14, a) die Einflußlinie der Senkung des Knotens m für eine zwischen a! und V wandernde Einzellast wm. Aus der Momentenfläche a m b' kann man daher auch die Senkung ynm entnehmen, welche in einem beliebigen Unter- oder Obergurtknoten n entsteht, wenn Knoten m sich um y senkt.

z. B. den

2. Man lasse jetzt noch irgend einen zweiten Gurtstab dem Knoten n gegenüberliegenden Obergurtstab de: seine Länge elastisch ändern. Dann berechnet sich die allein dadurch verursachte Knotensenkung in n mit

I ' y n SnA Sn

und die in n anzubringende Kraft wn mit

A sn

rH

wn =

Das Seileck a n b' ist in diesem Falle Einflußlinie der Senkung des Knotens n für eine wandernde Kraft wn, und schneidet deshalb auf der Ordinate ym eine Strecke ymn ab, die gleich der Senkung des Knotens m, verursacht durch die Kraft wn in n ist. Ebenso ist auf der Ordinate yn eine Strecke ynm abgeschnitten worden, die gleich der durch wm verursachten Senkung des Knotens n ist. Denkt man sich in beschriebener Weise nacheinander alle Gurtstäbe elastisch werden, so erhält man ebensoviele Seilecke und auf irgend einer Ordinate z. B. auf ym findet man dann alle Strecken abgeschnitten, deren Summe die

Gesamtsenkung öm des Knotens m unter der gegebenen wirklichen Trägerbelastung dar stellt. Die Summierung dieser Teilstrecken erfolgt gemeinsam für alle Gurtknoten am einfachsten wie folgt:

Mail bringe in jedem Gurtknoten (i bis i) die zugehörige elastische Kraft (w₁ bis wj) an und zeichne zwischen den Kraftrichtungen ein Seileck, dessen Seiten den Strahlen eines Kraftecks parallel laufen, in welchem die Kraftlinie die Summe der aufeinanderfolgenden Kräfte wz bis wz- darstellt und die Polxveite gleich »Eins« ist.

- V/

*\

\\

Fig. 64.

Dies Seileck und seine Schlußlinie ab' (Fig. 64) begrenzen eine Momentenfläche, die gleichzeitig Biegefläche ist, insofern als irgend eine ihrer Ordinaten dg- die bei unmittelbarer Belastung des Fachwerks entstehende Senkung des zugehörigen Gurtknotens g angibt. Das untere Seileck ist danach die gesuchte Biegelinie. Soll diese für den Lastgurt gezeichnet werden, so ändern sich die Senkungen in den Querträger-Lotrechten nicht und zwischen zwei Querträgerknoten ist die Biegelinie eine Gerade. Das folgt unmittelbar aus den bekannten Eigenschaften der Momentenfläche (I. 67). In Fig. 64 ist die punktierte Linie a c d'e' b' die Biegelinie des Untergurtes.

Wählt man die Polweite nicht gleich »Eins« sondern gleich so gibt die Biegefläche jede gesuchte Knotensenkung in t : ^Tw>-facher Vergrößerung, wenn die Längen des Fachwerks in /-fâcher Verkleinerung aufgetragen worden sind (vgl. die Aufgaben unter 17).

3. Die elastischen Kräfte w sind ungenannte Zahlen, die aus der gegebenen Trägerbelastung zu berechnen sind. Man kann eine solche Kraft auch als die Änderung desjenigen Dreieckswinkels ye im Knoten e (Fig. 63) betrachten, dessen Spitze dem betrachteten Gurtstabe gegenüberliegt. Die Winkeländerung ist negativ für einen Untergurt- und positiv für einen Obergurtknoten und sie verursacht, wie unmittelbar aus der Bewegung der Scheiben I und II hervorgeht, für einen einfachen Träger immer eine Senkung, d. h. eine nach unten gerichtete Verschiebung. Aus bekannten Beziehungen findet man w für einen Ober-^r/knoten aus

ET

-j- zJ s =

und

S — H--

mit

zJ s

Mk

w =H--= H--r* •

(84)

Dasselbe erhält man für das w eines Untergutknotens aus

— z/s = Sh

und

Für irgend einen Gurtknoten m eines einfachen Trägers ergibt sich demnach

wm = Jym —

(85)

zl sm

'Zm

rlt

c. Einfluß der Längenänderungen der Wandstäbe,

i. Wir betrachten zuerst den alleinigen Einfluß der elastischen Dehnung eines der Wandstäbe, dessen zugeordneter Momentenpunkt außerhalb der Stützen liegt (Fig. 65). Es sei der Stab hnh. Seine Stabkraft S ändert bekanntlich ihr Vorzeichen, wenn das Schnittfeld von einer Einzellast überschritten wird. Deshalb ist es notwendig, hier die Lage der Fahrbahn gleich mit zu betrachten. Der Untergurt sei z. B. Lastgurt. Gesucht werden die Senkungen aller Untergurtknoten für eine beliebige gegebene Trägerbelastung.

Sobald man die Senkung eines der Untergurtknoten bestimmt hat, läßt sich die Einflußlinie dieser Senkung zeichnen und damit hat man alle übrigen gesuchten Senkungen gefunden. Das wird zunächst näher

/TV

\5

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a-,.

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Tl,

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c'

[7

y/⁰'

IĆ.......

Fig. 65.

darzulegen sein. Die Senkung yc eines beliebigen Knotens c (Fig. 65) berechnet man nach vorigem mit

ic-yc = S-Js,

indem man (wie bekannt) daraus eine elastische Kraft wc findet, deren Größe durch die Bedingung

As

Wc = -

bestimmt ist, wenn r der Hebelarm der Kraft S für den dem Schnittfelde zugeordneten Momentenpunkt i bedeutet und wenn die elastische Kraft wc mit den von ihr erzeugten Stützenkräften A und B für den linken oder rechten Trägerteil ein auf i zu beziehendes Moment

Mwi — S • A s

erzeugt.

Danach kann die Einflußfläche des Momentes Mw z- für eine wandernde

elastische Kraft w =

As

— gezeichnet werden (II. 5, c. Fig. 12). Das ist

in der Fig. 65 geschehen. Das berechnete

Mwi — i -yc

ist von der ab’ aus als Ordinate cd’ in c in beliebigem Maßstabe aufgetragen worden. Zieht man jetzt die Gerade a’c” und verlängert sie bis zum Punkte i' der Momentenpunkt-Lotrechten, so sind damit die beiden Grenzlinien der Einflußfläche festgelegt, a u'i' stellt den Einfluß von B und a b' i' den Einfluß von A dar. Innerhalb des Schnittfeldes ist die Einflußlinie eine Gerade.

Für jede andere Lage der elastischen Kraft muß sich natürlich die nämliche Einflußfläche ergeben. Am einfachsten erscheint es deshalb, wenn man diese Kraft in die Lastscheide l' des Schnittfeldes legt (II. 18, c). Man hat dann, um die Einflußfläche festzulegen, durch die Lastscheide nur eine beliebige Gerade zu zeichnen. Trifft diese die Querträger-Lotrechten in u und n: so müssen die von b und a durch n und u gelegten Grenzlinien sich in V schneiden. Die von einer in der Last-.    A s

scheide /' liegenden Kraft w — —- erzeugte Senkung des zugehörigen

Punktes c muß gleich Null werden, d. h. das Moment Mw₂- der Kraft (bezogen auf i) muß Null sein.

2. Mit Hilfe einer (wie beschrieben) gezeichneten Einflußfläche der Senkung eines Lastgurtknotens kann man graphisch oder rechnerisch A s

die Kraft w — — durch zwei ihr gleichwertige Kräfte ersetzen, von

denen die eine im Knoten die andere im Knoten n des Schnittfeldes angreift. Die graphische Ermittelung dieser beiden Ersatzkräfte ist ohne weiteres aus der Fig. 66 zu entnehmen, wenn man erwägt, daß man nur nötig hat zur Momentenfläche a! u n b' das zugehörige Krafteck zu zeichnen (vgl. auch die Fig. 68).

Die rechnerische Bestimmung von wu und wn (Fig. 66) läßt sich am einfachsten wie folgt ausführen:

Wie bewiesen, muß es gleich sein, für welche Lage von w man die Ersatzkräfte berechnet, in jedem Falle muß man die nämlichen Werte erhalten. Liegt w in der Lastscheide, so ist das Moment Mwi gleich Null. Also muß auch das von den Ersatzkräften verursachte Mwi gleich Null sein (II. 18, c). Das ist nur möglich, wenn ihre Mittelkraft durch den Momentenpunkt i verläuft (vgl. auch den Beweis hierfür unter 5, Fig. 68). Weil ferner die Mittelkraft von wu + wn gleich w sein muß, so folgt mit Bezug auf die Fig. 66, wenn man darin durch n eine Parallele zur Stabrichtung irni zieht:

As

wu • tin = — • ni

oder

wu —

As ni As

r un

Darin ist rz die Länge einer von u auf die Richtung des betrachteten Wandstabes gefällten Senkrechten.

Ebenso folgt

zl s

wn • un — — • ui

oder

K’n =

zl s ui

zl s mi    zl s

r un

mo

-2t-    /

eu

•r-as\Lx„'

-Ln

At,

A -rA

©b

-F \n

a'A.

■-yp

\/VL

/*

Jl

ai

O,

- - -Mir -

-X-■

TO.

lO

TO A=

AS

Fig. 66.

r₂ ist die Länge der vom Punkte o auf die Richtung des geschnittenen Wandstabes gefällte Senkrechte. Somit sind wu und wn durch die Gleichungen

Wu =

zl s

r-L

wn —

zl s

(86)

bestimmt, wodurch man bei der Darstellung der Senkungen unabhängig vom Gebrauch des Hebelarms r wird, der in vielen Fällen umständlich zu ermitteln ist.

3.    Die Vorzeichen der elastischen Ersatzkräfte wu und wn sind immer verschieden, wie das aus ihrer Berechnung, sowie auch unmittelbar aus den Momenten-Einflußflächen (Fig. 65) hervorgeht. In besondern Fällen genügt es daher festzustellen, welche der beiden Ersatzkräfte positiv ausfällt, d. h. eine Senkung des zugehörigen Lastgurtknotens herbeiführt. Die andere Ersatzkraft ist dann negativ (nach oben gerichtet) anzubringen, was einer Hebung des zugehörigen Knotens entspricht. Bei dieser Feststellung entscheidet selbstverständlich allein das Vorzeichen der von der wirklichen Belastung verursachten Längenänderung z/i', das Vorzeichen der aus der gedachten Arbeit herrührenden Stab kraft S kommt dabei nicht in Betracht.

Mohr gibt aus obigen Gründen das folgende einfache Kennzeichen für das Vorzeichen der Ersatzkräfte:

Man beschreibe alle Obergurtknoten mit dem Zeichen —, alle Untergurtknoten mit -j- und den betrachteten Schnittstab mit dem Vorzeichen seiner Längenänderung. Dann ist auf derjenigen Seite des Schnittes, wo die Vorzeichen übereinstimmen, die Ersatzkraft positiv.

Übrigens erkennt man das Vorzeichen der Ersatzkräfte auch unmittelbar aus der Bewegung der zwangläufigen Kette des Vierecks timon (Fig. 66) unter der Einwirkung von Js. Man braucht sich dabei nur die zwei Punkte des Vierecks, die dem Lastgurt gegenüberliegen, festgehalten zu denken, um sofort erkennen zu können, welcher der beiden Lastgurtknoten sich in positiver Richtung (d. h. nach unten) bewegt. Ebenso kann man sich hierüber Klarheit verschaffen, wenn man das Krafteck zeichnet, mit dessen Hilfe die Einflußfläche des Momentes MWi darzustellen ist.

4.    Um schließlich die Biegelinie des Lastgurtes für die gegebene

Trägerbelastung zu erhalten, berechnet man für jedes Schnittfeld und für alle dazu gehörigen Wandstäbe die obigen elastischen    N

\J

Fig. 67.

Ersatzkräfte, stellt dann für jeden Lastknoten die algebraische Summe der dort angreifenden Kräfte w fest und zeichnet schließlich zwischen den Kraftrichtungen (in bekannter Weise) mit Hilfe des Kraftecks aller elastischen Kräfte ein Seileck. Dieses ist die gesuchte Biegelinie, die den alleinigen Einfluß der Formänderung der Wandstäbe darstellt.

Wenn man will, kann man natürlich das Krafteck auch aus sämtlichen elastischen Kräften derart bilden, daß das zugehörige Seileck die Summe der Einflüsse von Gurt und Wand zugleich zur Erscheinung bringt.

Zu beachten bleibt, daß auf die beiden Lastknoten eines Feldes [un in Fig. 67) die Ersatzkräfte w von 4 Wandstäben entfallen. Für die Stäbe 2 und 3 auf Knoten u und für die Stäbe 4 und 5 auf Knoten n.

Vgl. hierzu die Zahlenbeispiele unter 17.

5. Die beschriebene Darstellung der Biegelinie ändert sich im Grunde nicht, wenn der Momentenpunkt i nicht außerhalb, sondern innerhalb der Stützen liegt. Die Ersatzkräfte werden dann in gleicher Weise ermittelt. Es gibt für solche Schnittfelder (nach II. 17, c) keinen Spannungswechsel, demnach besitzt die Einflußfläche der von der elastischen

t,

sif

rs-

S.

u'

.-'W

a'à- "

Fig. 68.

Dehnung ««« Stabes verursachten Knotensenkungen keine Lastscheide. Jedoch müssen, wie schon gesagt, für eine beliebige Lage der wandernden Kraft w die Ersatzkräfte wu und wn gleiche Werte erhalten. Das ist allgemein auf folgendem Wege zu beweisen (Fig. 68).

A $

Die in m angreifende Kraft w — — bildet mit den von ihr er-_ r

zeugten Stützenkräften A und B eine Gleichgewichtsgruppe; ebenso auch die Mittelkraft der gesuchten beiden Ersatzkräfte. Die Summe der statischen Momente der vier im Gleichgewicht befindlichen Kräfte A, B, wu und wn muß deshalb in Bezug auf einen beliebigen Punkt i der Ebene gleich Null werden. Das kann nur der Fall sein, wenn die Mittelkraft von wu und wn die (nach den Fig. 66 und 68) immer durch i verlaufen muß, und die Mittelkraft der von diesen beiden Kräften

erzeugten Stützenkräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Danach berechnet sich die Größe der Ersatzkräfte allgemein so, wie dies im vorigen für den Fall des außerhalb der Stützen liegenden Punktes i schon ausgeführt worden ist.

Will man wn und wu durch das Moment der gegebenen Trägerbelastung ausdrücken, so erhält man

wu —

z/ s

Mk

r^r

und

wn =

Mk

(87)

r₂r

Ferner ist

z/5 ,    z/5

Mk

Das gibt

rt

(88)

wie dies auch unmittelbar aus der Fig. 66 abzulesen ist.

16. Biegelinien für besondere Trägerarten.

a. Strebenfachwerk und Ständerfachwerk.

i. Strebenfachwerk ohne und mit Endständern. Ist kein Ständer vorhanden (Fig. 69), so läßt sich durch einen der beiden Gurtstäbe, die im Stützpunkte a endigen, kein Ritter-scher Schnitt legen, also auch ohne weiteres keine Formel zur Berechnung der zugehörigen elastischen Kraft angeben.

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, denke man an den betrachteten Stab zwei starre Stäbe a—c und i—c geschlossen. Dann ist nämlich ein Schnitt durch den Stab zu legen, für welchen dieser als Wandstab gilt. Somit erhält man noch eine w'j-Kraft für den Knoten 1, die in bekannter Weise (nach den Gl. 86) zu berechnen ist.

Sind Endständer vorhanden (Fig. 72), so fragt es sich, ob die Biegelinie für den Obergurt oder Untergurt zu zeichnen ist. Eine Last in

CT.

.K

v"*

rv

Fig. 69.

r'

Ws

den Untergurtknoten erzeugt in den Ständern und den beiden dort anstoßenden Obergurtstäben keine Spannungen, diese Stäbe sind also für die Biegelinie des Untergurts ohne Einfluß. Handelt es sich um die Biegelinie des Obergurtes, so zeichne man diese zuerst so, als ob beide Ständer starr wären. Sodann erwäge man, daß die Senkung der Obergurt-Endknoten gleich der elastischen Längenänderung der zugehörigen Endständer ist und lege danach die Schlußlinie, von welcher alle Senkungen des Obergurts gemessen werden sollen, fest.

Fig. 70.

5

7\

2. Ständerfachwerk. Bei Ständerfachwerk kommen häufig Felder vor, in denen ein RiTTERscher Schnitt nicht zu legen ist, ohne mehr als 3 Stäbe zu schneiden, wie es z. B. in Fig. 70 in den Feldern 5—6 und 6—7 der Fall ist, wenn man den Ständer 6—6 mit treffen will. Die elastischen Kräfte für diesen Ständer sind daher unmittelbar nicht anzugeben. Man kann sie aber auf folgende Weise finden: An Stelle des obern Ständerknotens denke man eine unendlich kleine Gurtstrecke ds angelegt und löse den Ständer selbst, wie Fig. 71 darstellt, in zwei gleichwertige Ersatzständer auf, die zusammen die nämliche Formänderung des Fachwerks herbeiführen, wie der einfache Stab 6—6.    Dann kann

Fig. 71.

man durch jeden der beiden Ersatzstäbe einen RiTTERschen Schnitt legen und die beiden zugehörigen elastischen Kräfte nach dem bekannten allgemeinen Verfahren berechnen.

Die Formänderungsarbeit SJs des beseitigten Ständers muß gleich derjenigen der beiden Ersatzstäbe sein. Für diese folgt daraus

to

N> |H

CO

2$S

E(\F)

= SJs

d. h. für jeden Ersatzstab gibt es eine elastische Kraft w, die durch den dem Stabe zugeordneten Momentenpunkt verläuft (Fig. 66 und 68) und

die beide im Knoten 6 zu einer Mittelkraft w₆ zusammengesetzt werden Ist das Vorzeichen von z1s z. B. positiv, so berechnet man

können.

für die Biegelinie des Ober- oder Untergurtes

w₆ —

I Js , Js\

+ [-+-?)

und r die betreffenden Hebelarme sind. Vgl. die Aufgabe 34

wenn r unter 17, b.

Handelt es sich beim Ständerfachwerk um den alleinigen Einfluß der Gurtlängenänderungen, so gilt die dafür gezeichnete Biegelinie für beide Gurte. Denn für jeden durch einen Ständer gelegten Schnitt liegen die bei den für die Berechnung der w-Kräfte maßgebenden Mo- a mentenpunkte m₀ und m mu in den Ständerlotrechten (Fig. 72), deshalb fallen die Sen-

t.

m.

Tt.

TV

'V

kungen der Knoten m₀ und mu in der Biegefläche gleich groß aus, einerlei ob der Lastgurt oben oder unten liegt.

Will man zugleich die Formänderung der Gurte und der Wand berücksichtigen, so gibt es natürlich für Obergurt und Untergurt im allgemeinen verschiedene Biegelinien. Braucht man dann beide, so beginne man mit der Biegelinie desjenigen Gurtes, der in den Stützpunkten endigt. Die Biegelinie des andern Gurtes findet man danach aus den elastischen Längenänderungen der Ständer, weil durch diese die gegenseitige Verschiebung der Ständerknoten bedingt ist.

b. Parallelträger (Fig. 73). Hier ist der Hebelarm für die Gurtstabkräfte gleich der Trägerhöhe /*, also

Fig. 72.

(89)

Für die Wandstäbe liegt der Momentenpunkt in unendlicher Ferne. Die elastischen Kräfte eines Schnittfeldes müssen daher gleich groß ausfallen. So bilden sie für jeden Wandstab ein Kräftepaar, das einer

unendlich kleinen, in unendlich großer Ferne wirkenden elastischen Kraft gleichwertig ist (I. 47, a).

Es empfiehlt sich, die elastischen Kräfte für Parallelträger nicht aus den Momente, sondern aus der Querkraft herzuleiten. Man erhält dann

S-s

E-Fr

(CW_L_\.

\EJ \ ErcosaJ

In manchen Fällen ist der Klammerwert

■V2

_ unveränderlich. Er

.V

j,

Fig- 73-

Dann wird man die Werte für w zweckmäßig um ~ mal

größer auftragen, als sie wirklich sind und dies beim Festlegen des Maßstabes der Biegefläche berücksichtigen. Vgl. die Aufgabe 33 unter 17.

c. Zusammengesetzte Fachwerke und statisch unbestimmte Träger.

i. Es ist zu übersehen, wie die Darstellung von Biegelinien nach dem Verfahren von Mohr nicht allein für einfache, sondern auch für zusammengesetzte Fachwerke gilt. Denn für eine beliebige Lage der wandernden elastischen Kraft w und ein beliebiges Schnittfeld ist auch hier die Arbeitsgleichung

i • y — S<Js

anzuschreiben. Ebenso gewinnt man in allen Fällen auch den allgemeinen Ausdruck

Deshalb ist die Einflußfläche einer Senkung y hier ebenfalls (abgesehen von ihrem Multiplikator) gleich der Einflußfläche des Momentes MWi oder (abgesehen vom Vorzeichen) gleich der Einflußfläche der betrachteten Stabkraft selbst. Die Darstellung einer Biegelinie für ein zusammengesetztes Fachwerk kann also nach den im vorstehenden für ein einfaches Fachwerk gegebenen Regeln erfolgen. Besonders zu beachten bleiben nur die Vorzeichen der elastischen Kräfte und die damit zusammenhängende Lage der Biegeflächen gegenüber dem Schlußlinienzuge (I. 62).

2.    Die den Einfluß der Gurte bestimmenden ^/-Kräfte sind für alle Felder, in denen die Einflußfläche ihres Momentes positiv ist, ebenfalls positiv und umgekehrt. Wechselt das Moment innerhalb eines Feldes sein Vorzeichen, wie es z. B. bei Auslegeträgern Vorkommen kann, so wechselt von einem Knoten des Feldes bis zum andern auch die ze/-Kraft ihr Vorzeichen, weil eine positive Obergurtkraft und eine negative Untergurtkraft beide eine Hebung des zugeordneten Knotens herbeiführen, während ein negatives O und ein positives U beide eine Senkung bewirken. Die gegebenen Regeln für das Feststellen der Vorzeichen der elastischen Kräfte von Wandstäben ändern sich nicht. In jedem Falle, bei außerhalb oder innerhalb der Stützen liegenden Momenten-punkte, haben beide w-Kräfte verschiedene Richtungen oder Vorzeichen. Im übrigen bleibt es bei der von Mohr gegebenen Regel, oder man wende irgend ein anderes der beschriebenen Kennzeichen an, um die Vorzeichen festzulegen.

3.    Für statisch unbestimmte Träger gelten die vorstehenden Darlegungen ebenfalls, sobald die überzähligen Größen für die wirkliche Belastung berechnet und als äußere Kräfte X angebracht worden sind. Weil ferner das durch Kräfte P belastete statisch unbestimmte System die gleichen Formänderungen erfährt, wie das durch die Kräfte P und X belastete statisch bestimmte Hauptnetz (I. 35), so gilt auch für das letztere die Arbeitsgleichung

i • y — S ■ Pt s.

Darin bedeutet S eine allein von einer gedachten Krafteinheit erzeugte Stabkraft des Hauptnetzes und Js ist die von der wirklichen Belastung P und den äußern Kräften X verursachte elastische Längenänderung des betrachteten Stabes. Vgl. die Aufgabe 42 unter 37.

17. Die Darstellung von Biegelinien in Beispielen.

a. Einfacher Parallelträger mit Strebenfachwerk.

Aufgabe 33. Für den in der Fig. 74 gezeichneten eisernen Träger, dessen Fahrbahn am Obergurt liegt, soll die Senkung des Knotens 6 graphisch dargestellt und rechnerisch nachgeprüft werden. Dabei ist als Belastung eine Lokomotive mit Tender in der gezeichneten Stellung zugrunde zu legen und der Finfluß von Gurten und Wand getrennt zu behandeln.

i. Einfluß der Gurte. Am einfachsten gestaltet sich die Lösung, wenn man zuerst die Einflußfläche der Senkung des Knotens 6 zeichnet und dann mit deren Hilfe die gesuchte Gesamtsenkung berechnet. Zu dem Zwecke denkt man sich den Knoten 6 durch eine lotrechte Krafteinheit belastet und ermittelt dafür die Biegelinie des Lastgurtes (13) mit Hilfe der Gl. (85)

Ms

EFr²

Sämtliche Gurtquerschnitte sind aus der Tabelle 1 zu entnehmen. Die Gurtlängen sind durchweg gleich 3 m und der Hebelarm überall

gleich 2 m. Nimmt man dazu das Dehnungsmaß E— 2100—- an, so läßt sich

im)

280000 F

oder

anschreiben.

Danach sind alle elastischen Kräfte vorläufig am bequemsten um 280000mal größer anzunehmen, als sie wirklich sind. Deren Berechnung ist in der Tabelle 1 ausgeführt.

Tabelle 1. Zur Berechnung der elastischen Kräfte w der Gurte.

Knoten- Moment Mm Querschnitt F in tcm

Mm

nummer

in cm²

12 w

Bemerkungen

60,0

120,0

180,0

240,0

3°°,°

360,0

270,0

180,0

90,0

36,0

36,0

72,0

72,0

90,0

72,0

72,0

36,0

36,0

~₀ w!o Hs “|ui Ho w|üi

20,0

40,0

30,0

40,0

40,0

60,0

45,o

60,0

3°>°

Die aus der gedachten Krafteinheit des Knotens 6 herrührenden Stützenkräfte sind

365,0

400

Anderseits ist

Die Polweite Hw des Kraftecks der elastischen Kräfte berechnet sich wie folgt: Der Maßstab der Längen ist in der Fig. 74 mit 3 cm = 4 m angegeben, das gibt also eine Verkleinerung von aber die Vergrößerung um das 280000 fache zu berücksichtigen. Für eine solche muß demnach

i zc'-Einheit = ~

gezeichnet werden. Hw wurde 15 mm groß gemacht (Fig. 75). Daraus folgte der Maß stab

i mm — 5 ^-Einheiten.

Das mit Hilfe des w-Kraftecks (Fig. 75) gezeichnete Seileck a! 6' b' gilt für unmittelbare Lastübertragung. Die gesuchte Einflußfläche wird durch das angeschriebene Seileck a—2'—4'—6'—8'—b' begrenzt. Sie gilt für den Knoten 6 des Lastgurtes ab. Ehe man aber die Einflußfläche benutzt, um daraus für den Lastenzug die d zu berechnen, ist die rechnerische Nachprüfung von de vorzunehmen.

2. Nachprüfung der Biegelinie des Lastgurtes. Aus der Arbeitsgleichung

i • $6 =^SBs

erhält man unter Einsetzung der bekannten Größen

Ml

gemacht werden. Es ist aber nur eine 336fache Vergrößerung der Senkungen gewählt, wobei (wie die Tabelle 1 angibt) die w, um runde Zahlen zu haben, außerdem noch mit 12 multipliziert worden sind. Deshalb mußte schließlich

i ^-Einheit = —

• 280000 • 12

400 • 336

= 75

de

oder

de

— v

280000

Ml

M

Aus den in der Tabelle 1 berechneten Werten von Mw und •—-

F

erhält man

X7 Ml

⁼ 6687>5

= 80,25 mm.

und daher für 336fache Vergrößerung, in Millimetern 336 ■ 6687,5 ' ¹⁰

280000

Genau ebensoviel ist aus dem Seileck der Fig. 74 für de abzumessen. In natürlicher Größe beträgt danach

= 0,2388 mm.

80,25 336

3. Die Senkung für den Lastenzug berechnet sich aus

max. dö —    [8,5 (d₂ + d₃ + d₄ + d₅ -j- dö) + 6,5 (d₉)].

Zangen :3 cm - 7,0rn,

(t    2

'r

'f

m₂

,7

2,0

2,0

w₈

7.

-3,0

3,0

----w_

—3,0 —

-Ä-

-3,0----*¥-7,5—M 7>

AT

(?) (?) (?).....(?)_(?)

<•

.Oo .

■<

qov Aa

<© «Cp

Fig. 74-

■■

V’

f\

'8'

3)

7*

Fig- 75-

a¹

1mm~ ôn^Einheiten

J

Hm - 75tp-Einheiten

K’

7mm, -2m\-Finheiten

!    j

Fm - 36iü-EmheiÇen

Fig. 76.

J)ie,ö und 3’

4'

Ul

cf

336-fadier Vetywsserung.

sV

or

'fe'

Fig. 77-

_ ⁸,5(47,25 + 60,75 + 74,5° + 77,25 + 80,25) + 6,5 • 27,25

336

Dafür findet man durch Messung im Seileck der Fig. 74 in natürlicher Größe

max. (5₆ = oder

max. ôe — 9,13 mm.

3. Einfluß der Wandstäbe.

Tabelle 2. Zur Berechnung der elastischen Kräfte w der Wand.

Stab .Q

in t

cm²

IOOO

IOOO W = IOOO

Bemerkungen

Knoten 2 Knoten 4

Knoten 6

Knoten 8

5— 6 + 0,4

6— 7 — 0,6

7— 8 — 0,6

8— 9 — 0,6

9— b — 0,6

IO

OvovovO'O    p p i-n vn

W HH W    W    N    w    M

Ws

4i -₈

r/+ y/t

+; +j +j +7 +£

Fig. 74 a.

+ 16

+ 16

+ 24 + 24

—    24

—    24

+ 15 + 15

'% Über die Fest-'b setzung der Vorzeichen der elastischen Kräfte (mit Hilfe der Fig. 74 a) vgl. unter 15, c, 3.

— 12

+ 80

— 18

In Fig. 76 ist danach das Krafteck der elastischen Kräfte gezeichnet und mit seiner Hilfe zwischen den Kraftrichtungen das Seileck der Biegelinie — unter 336 fâcher Vergrößerung der Senkungen — dargestellt worden.

Polweite und Maßstab des Kraftecks berechneten sich wie folgt:

Es ist

EFr

mi-J—')

\ FJ \Er cosa/ worin Zi=2ioo—r = 240 cm ; s— 250 cm; cosa = 0,8 einzusetzen bleibt. Das gibt

ï_(Ç).

1612,8 \ F)

In der Tabelle 2 sind die w tausendmal zu groß angegeben, außerdem ist der Längenmaßstab mit ^ zu berücksichtigen. Danach erhält man

i w-Einheit =

3 • 1612,8 • 1000

400 • 336

= 36.

Im zugehörigen Kraftecke, mit dem Pole O', wurde eine Einheit gleich 0,5 mm gemacht.

In der Fig. 77 gemessen ergibt sich die Senkung des Knotens 6 mit rund 50 mm, das macht

fl» = Hg = °}*49 mm-

Diese Senkung soll rechnerisch nachgeprüft werden mit Hilfe der Arbeitsgleichung

I • Ô6 Szls =2 S²k

oder

{_yö².

E • cos²«-^ F

Aus der Tabelle 2 erhält man

und danach

250 • 80,4 • xo

2 100* o,8² • IOOO

Die Gesamtsenkung des Knotens 6 berechnet sich mit

max. Ó6 =

77 [8,5 (<^2 + à'₃ + (54 + (5'ś + (5é) + 6,5 • (<5g)].

336

Daraus findet man durch Messung in der Fig. 77

8,5(iL5 + ²¹,5 + 31 + 40,5 + 5°) + 6>5 • 19,5

max. + =

1440

336

336

oder

max. <5é = 4,3 mm.

b. Auslegeträger mit Ständerfachwerk.

Aufgabe 34. Für den in Fig. 78 in der Ansicht dargestellten Hauptträger einer leichten Landstraßenbrücke soll die größte Senkung des Gelenkes g graphisch und rechnerisch ermittelt werden. Die Brücke ist zwischen den beiden Hauptträgern 8 m breit, und ihre Verkehrslast

kg

beträgt 400—- • In den folgenden Tabellen sind alle Längen und Querschnitte der Fachwerksstäbe angegeben. Das Eigengewicht des Hauptträgers ist unter Benutzung der Tabelle 2 (II. §11) zu berechnen.

i. Einfluß der Gurte. Um die größte Senkung dg des Gelenkes g zu finden, zeichnet man dafür eine Einflußlinie. Das ist diejenige Biegelinie des Lastgurtes, welche durch eine in g angreifende Lasteinheit erzeugt wird. Für das vorliegende Ständerfachwerk fallen die Biegelinien für beide Gurte gleich aus (16, a, 2). Wir zeichnen deshalb zuerst die Biegelinie des Untergurtes abgc. Zu dem Zwecke sind die elastischen Kräfte a/ in der Tabelle 3 berechnet und auf die Knoten verteilt.

Tabelle 3. Berechnung der elastischen Kräfte für den Einfluß

der Gurte.

Stab-

nummer

Gurt

Stab- Hebellänge arm

Querschnitt Knotennummer

Moment

Elastische Kräfte

Ms

EFr²

Knoten-

nummer

Bemerkungen

cm²

tm

190000 w Summe

a—i    U 6,000 8,000 800    0 i

I 0\

MD I O

— o,35i⁶

i—2    0    6,000 8,000    80,0 U i

6o

— 0,7032

19

— 0,3516

i—2 U 6,000 8,000    80,0    0    2

120

19

— 0,7032

2—3

0    6,000 8,000    80,0 U 2

120

— 1,4064

Die aus der Krafteinheit J g- herrührenden Stützenkräfte sind

19

— 0,7032

IO

19

2—3

U 6,000 8,000    80,0    0    3

180

19

— 1,0548

3—4

O 6,000 8,000    80,0 U 3

180

— 2,1096    3

19

19

— 1,0548

3—4    U 6,083 8,877 120,0    0 4

240

19

— 0,7718

4—5

0    6,325 9,000 120,0 U 4

240

— i,5527

19

— 0,7809

4—5

U 6,633 10,488 160,0    0    5

303,25

19

— 0,5716

5—6    O 7,675 11,000 160,0

303,25

— 1,1727

19

— 0,6011

5-6

6-7

U 8,651 13,300 200,0 U 8,651 13,300 200,0

0    6 — 20,0

— 0.4570

Die Momen-tenfläche gleicht derjenigen eines einfachen Balkens auf den Stützen a und g. Ihr Vorzeichen ist aber negativ.

— 20,0

— 0,4570

— 0,9140

6—7    0 7,675 11,000

160,0

— 12,325 —0,4641

7—8 U 6,633 10,488

160,0

— 12,325 —0,4412

— 0,9053

7—8    0 6,325 9,000

120,0

— 6,0

— 0,3522

— 0,9053

>v

1*

‘0

!>

IN

Längen: 1cm-6,0nv

Fig. 78.

Fig. 80.

Fig. 81.

II. v = 63 Vö mm

1 ir-Einheit =20 nun

-f

«S'

__________

OQ,

°5

oo

tvi

iK

tv

rv

Senkungen in 100 fâcher not. Grösse

<0.

LfC

-<S

,«>

<S

mm

vs,

vs

-A

I^W/3

<s

<>

1 nr-Einheit 10 nurty

Fig. 82.

_®S_______

____«s..!..

-—<a—

~Ś \

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Tv

Tv

-t-

X>-

lv

X>

-b-

•Ü*

«’i

T>

IX₉

Zu bemerken bleibt noch, daß die auf die Knoten a und g entfallenden elastischen Kräfte auf die Gestalt der Biegefläche des Untergurtes keinen Einfluß haben, wie eine Betrachtung des mit dem Pole Hw gezeichneten Kraftecks und des zugehörigen Seilecks (Fig. 81) ohne weiteres ergibt.

Die Polweite Hw bestimmte sich aus folgenden Erwägungen. Der Längenmaßstab der Fig. 78 ist 1 : 600. Die elastischen Kräfte wurden in 190 000fâcher Vergrößerung aufgetragen. Daraus folgt für die gewählte 100fache Vergrößerung der Senkungen

i w-Einheit =

190000_19

100

Aufgetragen wurde eine Einheit gleich 10 mm. Demnach mußte (in Fig. 79)

Hw =

19-10

—--— 3¹3 mm gemacht werden.

Nach erfolgter Darstellung der Biegelinie (Fig. 81) wurde mit 55 mm abgemessen. Das gibt in natürlicher Größe

55

IOO

= 0,55 mm.

Bei der rechnerischen Nachprüfung ist

anzusetzen. Für die Summe läßt sich aber anschreiben

s-4p=2

M²s

E Fr²

Mw.

Mit Hilfe der in der Tabelle bereits berechneten Werte von w und M erhält man in Millimetern

2Xw = (ï^)[l9<¹⁴ • °>7°3² + ⁴ • °>I55n) 4

+ 20 • 0,914 + 12,325 • 0,9053 + 6 • 0,9053j

303,25

(1,1727)

das gibt

Mw =

104 270

190 000

= 0,548 mm.

Tabelle 4. Berechnung der elastischen Kräfte für den Einfluß der Wand.

Stab-

Quer- Querschnitt kraft Q

Stabkraft S

Stab

länge

Elastische Kräfte w =

EFa

nummer

cos a

cos a \b

190000

Feldknoten

Summe w

cm²

links rechts Größe Knoten

'o

I II

•2

g)

£ I « 2|« 21 S'

vnioo o I ON I-Oloo e* ! co I w I w m i co

10,0

8,0

10,0

+ 1,302

- 1,302

+ 0,833 I

- 0,833

+ 1,302 I

— 1,302

0,000

ł- 0,833 I

o    IO

80,0--

10

19    19

8,0

+ 0,833    ²

— 0,833

2—3

00

3—3

0°

w I W w I H

vD ! O ! vo I O

io|oo O I 0\

M I CO I W I N

10,0

8,0

+ 1,302 __2

— 1,302

+ o,833    3

0,602    3

— 0,833

3—4

80,0 —

10

19

+ 0,365    10,0

+ 0,700 3

— o, 700

4—4

10

80,0--

19

— 0,292    9,0

+ 0,520 4

0,877    4

— 0,493

4—5

100,0

19

19

+ 0,082    11,0

+ 0,136    4

— 0,136

5-5

100,0

10

19

— 0,067    11,0

+ 0,117    5

0,714    5

— 0,096

5—6    120,0

10

19

— 0,205    I3,4I

— 0,202

+ 0,202

1,151    6

6—6

120,0 +1,0

— 0,137 i5,o +0,138    6

6—7    120,0 +1,0

+ 0,372 13,41

— o,5i5    ⁶

+ 0,515

7—7    100,0 +x,o

— 0,646    11,0

— 0,880    6

1,222    7

+ 1,067

7—8    100,0 +1,0

+ 0,789    11,0

- 1,303    7

+ 1,303

8—8

80,0 +1,0

— 0,889

— ^501    7

⁹’    +1,583 -

4- 0,688    8

80,0 +1,0

+ I,hi 10,0

— 2,198    8

+ 2,198

0,000

%

Die Werte — vgl. in der Tabelle 5.

Summe— 3,045

2. Einfluß der Wandglieder. Auch hier rechnen die auf die Knoten a und g entfallenden elastischen Kräfte nicht mit, die Biegelinie ist unmittelbar für den Lastgurt (Obergurt) gezeichnet. Dabei wurde der Ständer 6—6 (nach dem unter 16, a, 2 angegebenen Verfahren) in zwei Teile zerlegt gedacht, und die seinem Einfluß gleichwertigen beiden elastischen Kräfte im Knoten 6 angebracht. Die vorstehende Tabelle enthält alle für die Darstellung notwendigen Zahlenwerte. Die Wandstabkräfte S wurden (nach II. 17, b) aus den Querkräften Q berechnet, und zwar im Parallelträgerteile aus der Gleichung

cos a

und im Vieleckträgerteile aus

c-/ Q \i*\

\cosa / \ b )

Die Abstände 2 und b sind in der Tabelle 5 angegeben. Sie berechnen sich leicht aus den Trägergrundmaßen.

Tabelle 5. Zur Berechnung der Wandstabkräfte.

Stab-

Querkraft Q

nummer

cos«

3— 4

4— 4

O On

*H J w

o,8oo

1.000

+ 3°,Q

54,o

4—5

10

5—5

19

0,818

1,000

— 4,4625    34,7875

5-6

O ON

M | HH

0,820

9,22

28.78

6-7

0,820

+ 8,78

28,78

7—7

7-8

1,000

0,818

+ 22,4625    34,7875

8—8

8-5-

1,000

0,800

+ 48,0

54,o

Das Krafteck der elastischen Kräfte mit dem Pole O' (Fig. 80) ist mit der Polweite H'w — 2 Hw gezeichnet. Deshalb gilt darin eine Einheit gleich 20 mm. Die Vergrößerung der in der Fig. 82 dargestellten Biegelinie ist demnach eine 100 fache, weil die w, ebenso wie für den Einfluß der Gurte in 190 ooofacher Vergrößerung aufgetragen worden sind.

Die größte Senkung dg wurde mit 34 mm abgemessen. Das gibt in natürlicher Größe

dg — 0,34 mm.

Beim Nachprüfen dieses Wertes ist

gerechnet. Das ergab

680

2000

= °)34 mm.

Die beiden vor

3. Die Grenzwerte der Senkung des Gelenkes. erhaltenen Biegelinien sind in der Fig. 81 über einer Wagerechten zusammengetragen worden, so daß die von ihnen begrenzte Fläche die Einflußfläche der Senkung des Gelenkes darstellt. Für den Lauf einer wandernden Einzellast zwischen dem Gelenk g und der Stütze c des Endträgers sind beide Grenzlinien (g—c und g—c) der Einflußfläche Gerade.

Der positive Teil der Einflußfläche berechnet sich mit

+/i= 100

| —(0,0892) + —(0,060 + 0,0892)4

L 2    2

+ ^(0,0292)]

-—5 (0,0292 + 0,060) 2

= 298,4 cm².

Der negative Teil mit

—fi = 100

p,625

(0,0185)4

(0,0185 + 0,0282) + — (0,0282

+ 2-0,0297 + 2 • 0,0227 + 2-0,0112) = 69,6 cm².

Das Eigengewicht g des Trägers wurde für 1 m Brückenlänge (nach

II. 67) durchschnittlich auf

g=-. 0,38=1,5*-festgesetzt. Die Verkehrslast war mit

gegeben. Daraus folgt jetzt

max. + dg — g{fx — /₂) fl-pfl = + 8,25 cm min. + dg — g[fI —/₂) — //₂ = + 3,36 cm.

18. Die Biegelinie eines beliebigen Stabzuges. Von Land (f 1899), einem Schüler Mohrs, rührt eine Reihe von ausgezeichneten Aufsätzen über Formänderungen elastischer Stabwerke her, worin er u. a. zuerst eine auf kinematischem Wege begründete Darsteilung der Biegelinien gegeben hat. Verfasser ist allerdings der Ansicht, daß kein Verfahren zur Darstellung von Biegelinien einfacher, durchsichtiger und allgemeiner ist, als das im vorigen mitgeteilte Verfahren von Mohr. Jedoch kann es in Einzelfällen wohl von Nutzen sein, Biegelinien auf anderm Wege zu zeichnen. Das gilt namentlich für beliebige elastische Stabzüge.

7b?-

,dr*

fl¹

Deren Biegelinien sollen deshalb nachträglich noch allgemein dargestellt werden¹.

n\

f.

ITl'l

=3-

r*

ïmA

Lm

Fig. 83.

\ It TO-.---"

vW'

m

ri.

TTl"

Tco V

(Az

°n y

\i

An AfA

Fig. 84.

Wir betrachten Deren Längen seien sm

a. Berechnung der elastischen Kräfte w. zwei aufeinander folgende Stäbe Im und rnn. und %+I. Ferner seien (Fig. 83)

(p™, cpm+x die Neigungswinkel der Stäbe gegen eine durch ihr linkes Ende gelegte Wagerechte. Oberhalb dieser werden die Winkel positiv gerechnet, rm der untere Randwinkel des Knotens m) die Änderung dieses Randwinkels.

Wenn nun keine andere Formänderung einträte, als eine Winkel-änderung    so wäre die zur Ermittelung der Biegelinie in m

anzubringende, nach unten gerichtete elastische Kraft

w\n — + z/ x .

m ■)

und

Bestände die Formänderung aber in einer bloßen elastischen Längen-änderung der beiden Stäbe, wobei der Knoten m festgehalten gedacht würde, so wären die dadurch entstehenden lotrechten Verschiebungen <?/ und d'n der Knoten / und n (Fig. 83) bestimmt mit ö'i = -f- J sm • sin cp àn —    /ISffiĄ-i ■ sin cpmĄ.!.

Werden diese Verschiebungen von einer beliebigen Geraden gIg₉ aus in den Knoten l und n, und in entsprechender Richtung aufgetragen (Fig. 84), so erhält man die Seillinie l'mri, aus welcher die in m anzubringende elastische Kraft w’m zu entnehmen ist. Sie ist gleich der zwischen den Geraden Vm und nin eingetretenen Winke länderung. Setzt man also, wie in der Fig. 84 geschehen ist,

-4 gr m Ï — CO

g₂ m n! = co

so berechnet sich die elastische Kraft mit

'Wm —■ CO 2    CO i

oder

Jsm • sin cpm

Sm-\-i ‘ sin (pm-\-i

SmĄ-i ‘ COS CpmĄ.z

Das gibt

Sm * COS Cpm

^ SmĄ-1

tg (pmĄ-1

Sm

tg (pm .

/Ism und Jsm+1 berechnet sich

Bei gleichzeitiger Wirkung von z/r die in m anzubringende, lotrecht gerichtete elastische Kraft wm mit

wm — Wrm -f- w"n = + /jxm -f

z/ sm

(91)

tg Cpm -

Führt man für — den Gleichwert ein, so geht die Gl. (91) über in

Ewm — + E4xm + Om + 1 tg rpm+i — Om tg Cpm •

Wird mit x der obere Randwinkel, z. B. der innere Randwinkel eines Untergurtstabzuges, bezeichnet und bezeichnet man die unterhalb der Wagerechten gelegenen Neigungswinkel mit <jp, so ändern sich in der Gl. (91) die Vorzeichen von z/r und tg cp.

Die Winkeländerung 4xm bleibt näher festzustellen.

SmĄ-1

tg cpm+i

Sm

(9²)

§ 4~ Biegelinien und Verschiebungspläne statisch bestimmter Fachwerke. 125 b. Die Randwinkeländerungen.

i. Wir betrachten den allgemeinen Fall eines Z>mV£/£stabwerkes. Eins der Dreiecke sei abc in Fig. 85. sa, Sb, sc sind die den betreffenden Ecken a, b, c gegenüber liegenden Seitenlangen. Die von a auf sa gefällte Senkrechte sei ra.

d.

/Ad

i'

ra

'Xd

Fig. 85.

Denkt man den Stab sc festgehalten und nur den Stab sa seine Länge um J sa ändern, so ändern sich auch die Dreieckswinkel entsprechend um z/a, z//?, z// und der Punkt c verschiebt sich nach c\ wobei die Verschiebung ôc — ce senkrecht zur Sb steht. Also ist

öc = st Ja

und die Projektion von öc auf sa gleich Jsa.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke cc'c₁ und a cd folgt weiter

Sb 4 a z/ sa

Sb

ra

oder

z/a =

z/ sa

Ferner ist anzuschreiben

ra

(93)

— Jß =

C i C    z/ Sa

- — cotg y

Sa

und entsprechend

Sa

(94)

— z/ v = cotg ß.

Sa

Ändern nun alle drei Stäbe ihre Länge, so berechnet sich die dann eintretende Winkeländerung z/a mit

dt Sa z/ Sb

---cotg/

ra Sb

Ja —

Sc

cotg ß.

(95)

(96)

Für die graphische Ermittelung von Ja kann die Fig. 86 dienen. Darin sind ra, rb, rc drei durch a verlaufende Hilfsgerade, die der Reihe nach auf sa, Sb, sc senkrecht stehen und deren Länge durch die sa mit ihren Verlängerungen begrenzt wird. Bei Verwendung dieser Hilfsgeraden läßt sich die Gl. (96) mit

. Jsa Jsb Jsc Ja —-

anschreiben.

ra

rb

rc

(97)

ra

Jc

e#:.

b/ß

s_

dk

Fig. 86.

Drückt man die Längenänderungen durch die Stab Spannungen oa, Ob, Gc aus. so läßt sich die Gl. (97) noch weiter vereinfachen. Man erhält

dann, weil allgemein ~

EJ a —

S ci O a    $ b G b

Sc Gc

ra

rb

rc

(98)

Weitere Umformungen ergeben sich aus der Bedingung Sa — ra (cOtg/S + cotg/) .

Setzt man den daraus zu erhaltenden Wert von ra in die Gl. (98) ein, so gibt das

EJ a — Ga[coigß + cotgy) — Ob cotg/ — ac cotgß

oder

(99)

EJa = [oa — gc) cotgß — (Ga — Gb) cotgy.

2. Wir wenden zuerst die Gleichungen (93), (94) und (95) auf ein Stabviereck an (Fig. 87), dessen Wandstzb s elastisch seine Länge ändert, während seine Umfangsstäbe starr bleiben. Es soll die Änderung des inneren Randwinkels dab — xa berechnet werden.

Der Winkel dab besteht aus den beiden Winkeln aT und a₂, von denen jeder in einem andern Dreiecke liegt. Nach vorigem ist also die gesuchte Winkeländerung mit

z/ s

+ d/ta = J ax + z/a₂ =--— (cotg/?r + cotg/?₂)

anzuschreiben. Der Ausdruck läßt sich noch vereinfachen. Zieht man nämlich in der Fig. 87 durch a und zu einer der diesem Punkte gegen-

Fig. 87.

überliegenden Seiten, z. B. zur cd eine Parallele und legt durch deren Schnittpunkt e mit der andern gegenüberliegenden Seite bc eine Senkrechte r zum Wandstabe, so folgt

5 = r cotg/?! -{- r cotg/?₂

oder

r cotg/ïï + co tg ß 2

und daraus

z/5

(100)

Verfasser macht hier darauf aufmerksam, wie man mit Hilfe der

letzten Gleichung die Größen des elastischen Kräfte — und —-, die

r i    r2

bei dem Verfahren von Mohr (15, c) den Einfluß der Wandstäbe des Fachwerks auf die Knotensenkungen angeben, erklären kann.

Fig. 88 zeigt das Gelenkviereck eines Schnittfeldes. Die Strebe ac längt sich um -f- Äs. Fahrbahn liege am Untergurt. Dann sind in a und d nach Mohr die entsprechenden elastischen Kräfte

Äs

wa — -\--

rz

und

wd — —

anzubringen, wenn ae parallel zur de gezogen worden ist.

Cs

NT'*

y'

(>

fi

'Ci

•?

Fig. 88.

Man sieht, daß nach den Gl. (93) und (100)

Wa — — ÄXa

wd — -\- Ä Ï2

und

bedeuten. In Worten :

Die den Einfluß der Längenänderung eines Wandstabes darstellenden beiden elastischen Kräfte des Schnittfeldes entsprechen ihrer Größe nach den Änderungen der Randwinkel derjenigen Knoten des Gelenkviereckes, in denen sie (nach Mohr) angebracht werden. Ihr Vorzeichen ist dem Sinne jener Winkeländerungen entgegengesetzt.

3. Um die Anwendung der Gl. (99) für die Berechnung der Randwinkeländerungen eines einfachen Fachwerkes (Fig. 89) zu zeigen, wird es genügen den analytischen Ausdruck für Edxm anzuschreiben. Dreieckswinkel und die berechneten Stabspannungen a sind in beliebiger Reihenfolge in der Figur angeschrieben. Wird der innere Randwinkel des Knotens m mit xm bezeichnet, so erhält man

E [da₂ -j- da 4 + da^) == Edxm={ox — ff₃) cotg cr₃ — (ffj — o₂) cotg a₁

+K—as) cotg «6—K—ff₃) cotg «s (¹⁰¹ ) + (ff₇ — o₅) cotg «8 — [o₇ — o₆) cotg a₉.

Die Winkel der cotg sind immer zwischen den zugehörigen o eingeschlossen. Auf die richtige Einstellung der Vorzeichen der cotg ist zu

G-

¹

Nach Land. Beitrag zur Ermittelung der Biegungslinien ebener elastischer Stabwerke. Civilingenieur 1889, S. 375.

i-

•J¹.

6/

6/

Fig. 89.

achten. Führt man den nach Gl. (101) berechneten Wert von Edxm in Gl. (92) ein, so ist dessen Vorzeichen umzukehren. Das gibt

Ewm — Om 4. ! tg (pm 4- i Gm tg<jp»z EdXm .

ausdrücken: Bezeichnet man die durch die elastischen Kräfte verursachten Stützenkräfte mit

Aw und B

so erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke acć und Osa die Bedingung

tgcc —-= Aw.

I

Ebenso erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke bnri und Osb'

Bw

-    = -f = Bw.

Ferner ist anzuschreiben

tgy = Aw — wc — Q

tgd Buu    IV n — Qwni

WC

und

wenn Qwc und Qw„ die zugehörigen »elastischen Querkräfte« in den Schnitten zwischen c und d oder m und n bedeuten. Für praktische

Ttls

Th

ou;

TV\

70

Fig. 90.

fl

7Tb\

Wns

' ^JO <§ /f)nv h    a

OL /

i=l+

771 \

Am

> I w

- - - -ff -

JO \

VWC.

Fig. 92.

Fig. 91.

Aufgaben darf man die trigonometrischen Tangenten der Winkel (wegen ihrer großen Kleinheit) mit den Winkeln selbst vertauschen. Das gibt die Gleichungen

CC - A^ 5

7 ⁼⁼ Q.1V c j

a, -et

= Bw

= Q

Die gleichen Beziehungen zwischen Tangentenwinkeln und elastischen Kräften w bestehen für stetige Belastung (Fig. 92). Daraus folgt allgemein der Satz:

(io3)

W1I •

Der Winkel, den eine Tangente im beliebigen Punkte m einer Plastischen Linie [oder eine Seite mn einer Biegelinie] mit der Wagerechten einschließt, ist gleich der Querkraft, die von den elastischen Kräften iv im lotrechten Schnitte durch m (oder mn) erzeugt wird.

Die äußern Kräfte Aw, Bw oder Qw sollen weiterhin kurzweg als »elastische Stützenkräfte« oder »elastische Querkräfte« bezeichnet werden.

19. Beispiele der Biegelinien von Stabzügen.

a. Biegelinie eines Wandstabzuges.

i. Die gesuchte Biegelinie läßt sich erklären als diejenige Biegelinie, welche die Senkungen aller Knotenpunkte eines Fachwerkes enthält. Um sie zu finden betrachten wir zunächst eins der Stabdreiecke mit den Knoten /, m und n (Fig. 93)-

Die Längen derWand-stäbe Im und mn seien (wie unter a) gleich sm und sm+l ; der innerhalb des Fachwerks liegende Randwinkel des Wandstabzuges in m heiße (wie früher) r

ergibt sich die elastische Kraft w aus der Gl. (102) mit

Dann

uiu

2---"

vi'

\<rn

,2-..

11UL

nw

Fig- 93-

für den Untergurtknoten m (Fig. 93)

ZUmu cd Tm —)

tg 7*n + i +

Stn

Bezeichnet man jetzt die Längenänderung des dem Knoten m gegenüberliegenden Obergurtstabes ln mit Aom, so erhält man aus der Gl. (96)

—— cotgß.

Führt man außerdem für die Ergänzungen der Winkel ym und ym+x zu 90° (Fig. 93) die Werte rt und r₂ ein, so daß

tg ym = cotg tgy,«+i = cotgr₂

cd om

cd SffiĄ.

rm

SjnĄ-i

- cotg y —

9*

zu* schreiben ist, so gibt das

Om /I sm

Sm

(cotgr* + cotg/9)-f

S m4-1

(cotgr₂ + cotgy).

Zu

Der gewonnene Ausdruck läßt sich noch sehr vereinfachen, diesem Zwecke zieht Land vom Schnittpunkte m der Lotrechten durch m und des Obergurtstabes ln zwei Senkrechte: die eine rt _L Im, der andere r₂ _L nui und es ist geometrisch

Sm

= rt (cotgr, + cotg/¥), Sm+i— r₂ (cotgr₂ + cotgy).

Setzt man dies in obige Gleichung ein, so erhält man schließlich für eine elastische Kraft des Untergurtes

(i°4)

4 om

Und für eine elastische Kraft des Obergurtes erhält man nach obigem ohne weiteres

IV mo

z/ sm

<d SmĄ-i

(i°s)

Sobald danach die Stablängenänderungen gegeben sind, können die elastischen Kräfte für jeden Obergurt- und Untergurtknoten berechnet und in entsprechender Reihenfolge zum Krafteck zusammengesetzt werden. Das dazu mit der Polweite »Eins« gezeichnete Seileck gibt die Senkungen aller Fachwerksknoten an. Es ist also die Biegelinie des Wandstabzuges.

b. Biegelinien für eine beliebige, nicht lotrechte Verschiebungsrichtung.

i. Die von Mohr der Berechnung der elastischen Kräfte zugrunde gelegte Arbeitsgleichung (15)

i • y = SJs

gilt auch für eine nicht lotrechte Verschiebung y und wenn man den frühem Gang der Rechnung verfolgt, so überzeugt man sich leicht davon, wie deshalb die Größe einer elastischen Kraft w unabhängig von der gewählten Verschiebungsrichtung ist. Denn in jedem Falle erhält man die allgemeine Beziehung

worin

— eine Winkeländerung des Fachwerkes vorstellt, die allein von

der gegebenen Formänderung abhängig ist, gleichviel aus welcher Ursache diese herrührt.

Will man nun eine Biegelinie darstellen, aus welcher alle in einer bestimmten Richtung erfolgten Verschiebungen zu entnehmen sind, so kann man dabei von der für lotrechte Verschiebungen geltenden Biegelinie ausgehen. Wir wollen zeigen, wie man auf solchem Wege z. B. eine sog. wagerechte Biegelinie findet, d. h. also eine solche, aus welcher alle wagerechten Knotenverschiebungen entnommen werden können. Es wird sich dann auch zeigen, wie man eine solche Biegelinie unmittelbar darstellt.

Rechnet man wagerechte Verschiebungen nach rechts positiv, so wirken auch die positiven w nach rechts, negative nach links. Das zur wagerechten Biegelinie gehörige Krafteck ergibt sich aus dem für lotrechte w gezeichneten durch Drehung um 90⁰ nach links. Die entsprechenden Seiten der beiden Seilecke stehen demnach senkrecht aufeinander, ebenso die durch den Stützpunkt a des festen Gelenkes verlaufenden Schlußlinien beider Gebilde². Der Stützpunkt b des Fachwerks sei vorläufig (wie früher) wagerecht beweglich, so daß das Fachwerk als Balkenfachwerk anzusprechen ist.

In den Fig. 94—97 ist als Beispiel die wagerechte Biegelinie für den Obergurt eines Sichelfachwerks dargestellt. Fig. 95 stellt die lotrechte, Fig. 97 die wagerechte Biegelinie dar, Fig. 96 das für beide benutzte Krafteck der lotrecht gerichteten w. Mit roten Linien ist schließlich noch angegeben, wie man die beiden Schlußlinien der Biegelinien findet, wenn sich der Stützpunkt b auf einer schrägen Gleitbahn verschiebt.

Man hat beim Zeichnen der Seilecke wohl zu beachten, daß die Reihenfolge der elastischen Kräfte, so wie sie durch die Knotennummern angegeben wird, innegehalten wird. Ist b"₀ die wagerechte Projektion des Stützpunktes b auf die durch a verlaufende (zur Schlußlinie a! b' senkrecht stehende) Schlußlinie a"s", so ist die wagerechte Verschiebung des Stützpunktes b gleich b"₀—b", ferner die Verschiebung des Knotens 4 gleich 40—4".

Ist die Gleitbahn des Punktes b in der Geraden gg (Fig. 94) geneigt (was mit roten Linien dargestellt ist), so findet man die zugehörige wagerechte Verschiebung wie folgt: Man ziehe zur bg eine Parallele gQ durch den Punkt b" (Fig. 97); ferner durch b" eine Senkrechte zur Stützpunktlinie ab, welche die vorige Parallele im Punkte g" schneiden möge. Dann ist die lotrechte Projektion der Senkrechten b”g" gleich

der lotrechten Verschiebung öl des Stützpunktes b nach aufwärts. Macht man deshalb in der lotrechten Biegefläche (Fig. 95) b'g' = öl [abwärts),

________-

------>

V"--.

*a.

s;

'S

<ä.

TV

Fig. 97.

Fig. 96.

-a

Sa

F’g- 95-

ff

Fig. 94.

"3

>**

«s

'ö

so ist dg' ihre Schlußlinie und somit ist die Schlußlinie der wagerechten Biegefläche eine durch a zur dg' gezogene Senkrechte a g".

Liegen Stäbe des betrachteten Gurtes wagerecht, so muß in der wagerechten Biegelinie der wagerechte Abstand der Endpunkte eines solchen Stabes gleich seiner Längenänderung z/s sein. Diese Beziehung kann man auch umgekehrt zur Darstellung der wagerechten Biegelinie benutzen.

Sucht man nicht die Biegelinie für lotrechte und wagerechte Verschiebungen, sondern in beliebigen Richtungen, die den Winkel ip miteinander einschließen, so hat man auch die Kräfte w in diesen Richtungen anzunehmen. Aus entsprechenden Betrachtungen ergibt sich dann, wie auch in diesem allgemeinen Falle die beiden Schlußlinien den Winkel ip miteinander bilden müssen.

2. Wenn man die Verschiebung und dt eines Stützpunktes a oder b eines Balkenträgers in der Richtung der ab rechnerisch mit Hilfe der elastischen Kräfte w bestimmen will, so hat man die w parallel zur ab wirkend zu denken und erhält dann z. B. für dt den Ausdruck

dt = 2 wy >

wenn y den Hebelarm einer «/-Kraft in Bezug auf die ab bezeichnet. Denn die Summe der statischen Momente wy ist bekanntlich (nach

I. 60—61) gleich der von den äußern Seileckseiten der Biegelinie (Fig. 97) auf der ab abgeschnittenen Strecke, vorausgesetzt daß die Polweite des zugehörigen Kraftecks gleich »Eins« war. Ist die Polweite gleich    so ist

wy

Hw

anzuschreiben.

In ähnlicher Weise kann man auch irgend eine zur Abzisse a gehörige Ordinate r\ einer lotrechten Biegelinie rechnerisch darstellen. Man erhält

rj = Aw • a —-~V w (a — x) — —

j2 w v—x) —2 w (a

— x).

20. Verschiebungspläne für einfache Fachwerke.

a. Das Formänderungsbild eines Dreieckstabwerkes,

i. Wir betrachten zuerst ein beliebig belastetes, im Gleichgewichte befindliches Stabwerk, ohne Rücksicht auf die Art seiner Stützung. Nach erfolgter Formänderung erscheinen nach unsern Voraussetzungen (15, a) alle Dreiecke des Stabwerks wieder als Dreiecke. Das Formänderungsbild irgend eines Dreiecks ist daher durch die Lage von zwei seiner Knoten gegeben und dadurch ist auch das Bild der Formänderung des ganzen

Stabwerks bestimmt. Danach vollzieht sich die Darstellung eines Verschiebungsplanes wie folgt: Aus den gegebenen Verschiebungen der Knoten m und n irgend eines Dreiecks bestimme man die Verschiebung des Knotens 0.

Dadurch sind die Verschie-1 bungen der Knoten l und p der beiden angrenzenden Dreiecke des Stabwerks gegeben, und so fort (Fig. 98). Damit ist die Darstellung eines Verschiebungsplanes auf folgende Grundaufgabe zurückgeführt:

Gegeben zwei im Knoten 2 zusammenstoßende Stäbe 1—2 und 2—3.

Fig. 98.

Beide ändern

2'

2VJ

K.

■t

..-"Vn

V'-"-

Fig. 99.

elastisch ihre Länge und dabei schiebt sich Knoten 1 nach 1', sowie Knoten 3 nach 3'. Wohin gelangt der Knoten 2?

Die gegebenen Verschiebungen 1 — 1' und 3—3' der Knoten 1 und 3 sind in der Fig. 99 eingezeichnet. Man denke sich jetzt die Bewegung

jedes der beiden Stäbe 1—2 und 2—3 in eine fortschreitende und eine Drehbewegung zerlegt. Während der fortschreitenden Bewegung verschiebt sich jeder Stab parallel zu sich selbst. Dabei ändert er elastisch seine Länge, wie dies in der Fig. 99 durch Einträgen der Strecken Asx-₂ und As₂~₃ veranschaulicht ist. 1' und 3' sind die während der Formänderung eingenommenen endgültigen Lagen der Knoten 1 und 3. Würde man nun um diese Festpunkte, mit den Stablängen 1'— 2 und 3'—2, je einen Kreisbogen schlagen, so gäbe deren Schnittpunkt den vom Knoten 2 nach erfolgter Formänderung des Dreiecks eingenommenen Ort 2 an. Weil aber die elastischen Längenänderungen As sehr kleine (als differential geltende) Größen sind, so genügt es für praktische Aufgaben, wenn man die beiden Kreisbogen durch zwei Gerade ersetzt, die senkrecht zu den betreffenden Stabrichtungen (1—2 und 2—3) stehen. Diese Geraden tragen in der Fig. 99 beide die Bezeichnung 2—2 .

Mit Bezug auf die in der Figur mit roter Farbe ausgezeichneten notwendigen Darstellungslinien ist danach die Lösung der gestellten Grundaufgabe wie folgt zu fassen:

Von einem beliebigen Pole O aus lege man die gegebenen Verschiebungen der Knoten 1 und 3 als Strecken O—(1) und O—(3) nach Größe und Richtung fest. An die Enden (1) und (3) dieser Strecken trage man in den betreffenden Stabrichtungen die Längenänderungen A sx-₂ und As^ Man gewinnt dann zwei Punkte 2, in denen auf die Stabrichtwigen je eine Senkrechte zu fällen ist. Deren Schnittpunkt 2 gibt den gesuchten Ort der Verschiebung des Knotens 2 und der Polstrahl O—2' stellt deren Größe und Richtung dar.

Durch wiederholte Anwendung der gegebenen Lösung der Grundaufgabe läßt sich jeder Verschiebungsplan zeichnen. Das soll an einem allgemeinen Beispiel gezeigt werden.

2. Für das in der Fig. 100 dargestellte Stabwerk sind die Stabkräfte und daraus die elastischen Änderungen der Stablängen berechnet worden. Die eingeschriebenen Vorzeichen geben den Sinn der zugehörigen Stabkräfte an. Um die Verschiebungen eines der Dreiecke zeichnen zu können schreibt man am einfachsten irgend einem Knoten die Verschiebung »Null« zu und nimmt die Richtung eines der von diesem Knoten ausgehenden Stäbe während der Formänderung als unveränderlich an. Dann sind zwei Verschiebungen eines Stabes gegeben und somit liegt der ganze Verschiebungsplan des Stabwerks fest.

Wir nehmen den Knoten 3 als unverschieblich und die Stabrichtung 3—4 als unveränderlich an. Daher ist der Pol O (Fig. 101) des Planes mit »3'« zu beschreiben, damit (wie angenommen) der Pohlstrahl O — 3'

verschwindet, d. h. die Verschiebung des Knotens 3 gleich Null ausfällt. Der Punkt 4' ist unmittelbar nach erfolgtem Aufträgen der Strecke

O—4' — 4s₃-₄ gegeben, weil eine Drehung des Stabes 3—4 nicht vorausgesetzt wurde. Durch Aufträgen der Verschiebungen 3'—5 und 4'—5,

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Fig. 100.

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Fig. ioi.

von 3' und 4' aus, erhält man zwei Punkte 5. In diesen ist je eine Senkrechte zu den betreffenden Stabrichtungen (3—5 und 4—5) zu fällen. Deren Schnittpunkt gibt 5' und damit auch den Strahl O—5',

d. h. Größe und Richtung der Verschiebung des Knotens 5. Auf gleiche Art erhält man die beiden Punkte 2 und daraus 2', sowie schließlich die beiden Punkte 1 und den letzten Punkt 1' des Verschiebungsplanes. Damit ist das Formänderungsbild des Stabwerkes gegeben, wenn auch noch nicht in derjenigen Lage, in welcher es bei gegebenen Stützenbedingungen erscheinen würde. Der ohne Rücksicht auf diese Bedingungen gezeichnete Plan heißt deshalb der erste Verschiebungsplan, um anzudeuten, daß zur völligen Festlegung der wirklichen Lage eines gestützten Fachwerks noch der sog. zweite Verschiebungsplan anzugeben ist (vgl. hierüber auch I. 81 ).

b. Darstellung des zweiten Verschiebungsplanes, i. Die Darstellung beginnt mit der Feststellung des ersten Planes, ohne Rücksicht auf die Stützenbedingungen. Diese schreiben in der Regel vor, daß ein Stützpunkt' während der Formänderung in unveränderter Lage bleibt. Wenn man will, kann man eine solche Bedingung schon gleich im ersten Plane erfüllen, indem man den Pol O (Fig. 102) mit a beschreibt, wenn a der erwähnte Stützpunkt ist.

b'

b"₀

Dann ist d zugleich ein Punkt des zweiten Planes und deshalb auch noch mit a zu beschreiben.

0<2.

Fig. 102.

Fig. 103.

Hat man aber nicht a sondern einen beliebigen andern Knoten im ersten Plane festgehalten gedacht, so wird darin der Strahl O—a' als Verschiebung von a erscheinen. Die wirkliche Verschiebung von a ist aber Null. Um deshalb den Punkt d des Formänderungsbildes mit a zusammenfallen zu lassen, muß man das Bild nochmals verschoben denken. Das geschieht am einfachsten durch eine augenblickliche Drehung um einen Pol, wobei die zweite Verschiebung von a gleich groß aber entgegengesetzt der ersten Verschiebung O—d ausfallen muß, wie dies in der Fig. 102 durch die beiden Pfeile angedeutet ist. Um dies im Plane deutlich zu machen, bezeichnet man den Punkt d auch noch als d'. Somit ist zu sehen, wie sich die Verschiebungen O—a" und O—d gegenseitig zu Null aufheben. D. h. die wirkliche Verschiebung von a ist gleich dem Abstande d—a" oder gleich Null.

In der nämlichen Weise kann man, um die wirkliche Verschiebung b'—b" zu erhalten, die erste Verschiebung O—b' eines beweglichen Stützpunktes mit einer augenblicklichen Drehung des Formänderungsbildes verbinden, wobei der Punkt b' die Verschiebung O—b" ausführt (Fig. 103). b" ist hier ein Punkt des zweiten Planes. Um die übrigen Punkte dieses Planes zu erhalten wird man danach deren erste Verschiebungen O—tri je mit einer augenblicklichen Drehbewegung O—ni' zusammensetzen, um dadurch die wirkliche Verschiebung ni—ni' irgend eines Punktes m festzulegen.

Es wird nun noch zu zeigen sein, wie man in einem gegebenen Falle aus dem Fachwerksbilde den zweiten Plan erhält.

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Fig. 105.

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Fig. 104.

2. Es sei ^5 der Pol, um welchen die Fach werksscheibe (Fig. 104), den Stützenbedingungen entsprechend, gedreht werden muß. Dann sind die augenblicklichen Verschiebungen va, vz bis Vb der Fachwerksknoten den betreffenden Polhalbmessern proportional. Trägt man deshalb diese Verschiebungen, nach ihrer Richtung und Größe, als Strahlen auf, die vom Pol des ersten Verschiebungsplanes auslaufen (Fig. 105), so bilden die Punkte d', 1", 2" bis b" Knotenpunkte einer dem gegebenen Fachwerksbilde ähnlichen Figur. Das folgt aus den Proportionen

1:^-2 : • • • :    b = 0~a"\ O-i": O- 2": • • . : O—b"

und der Gleichheit der Winkel a zwischen je zwei Polhalbmessern und je zwei der zugehörigen, von O aufgetragenenen Verschiebungsstrecken. Und weil diese senkrecht zu den betreffenden Polhalbmessern stehen, so müssen auch alle Seiten der dem Fach werksbilde ähnlichen Figur senkrecht zu den betreffenden Stabrichtungen des Fachwerks stehen. Danach läßt sich das Wesentliche in der Darstellung des zweiten Verschiebungsplanes in folgende Sätze fassen:

Die vom Pole 0 des ersten Verschiebungsplanes nach ihrer Richtung und Größe auf getragen e?i zweiten Verschiebungen O—m' bilden zusammen mit der durch deren Endpunkte m festgelegten, dem Fachwerksbilde ähnlichen Verschiebungsfigur, den sog. Verschiebungsplan.

Sobald durch die Stützend edmgungen die zweiten Verschiebungen O—a O—b" fest gelegt sind, läßt sich die ähnliche Verschiebungsfigur, deren Seiten jedem senkrecht zu den betreffenden Stabrichtungen des Fachwerks stehen, zeichnen. Damit sind für alle Fachwerkspunkte die zweiten Verschiebungen gegeben und aus deren Verbindung mit den zugehörigen Verschiebungen 0—ni des ersten Planes erhält man jede gesuchte wirkliche Verschiebung m"—m. Dabei ist jede erste Verschiebung vom Pole O nach auswärts gerichtet, während jede zweite Verschiebung ihren Pfeil dem Pole zukehrt. Denn in jedem Verschiebungsdreieck richtet sich die wirkliche Verschiebung m—m dem Zuge ihrer beiden Seitenverschiebungen entgegen.

21. Übungsaufgaben.

a. Einfacher Parallelträger.

Aufgabe 35. Der Verschiebungsplan für den (unter 17, a) schon einmal betrachteten Parallelträger mit Strebenfachwerk ist zu zeichnen.

Stabkräfte (vgl. den Kräfteplan unter 22, b, Fig. 117 ) sowie Vorzeichen und Größe der Stablängenänderungen sind in der Fig. 106 eingeschrieben.

Fig. 108 gibt den ersten und zweiten Plan. Dabei wurde Knoten 6 und die Stabrichtung 6—4 festgehalten gedacht. Pol O fällt danach mit 6' und 6" zusammen. Von den beiden Punkten b des ersten Planes wurden je eine Senkrechte zu den Verschiebungen 8'—b und 9'—b gezogen. Ihr Schnittpunkt gibt den Punkt b' des ersten Planes, zugleich aber — weil b ein fester Stützpunkt ist — auch den Punkt b" des zweiten Planes. Der noch nötige zweite Punkt des zweiten Planes folgte aus der Stützenbedingung bei a, wonach a sich in einer Wagerechten verschiebt. Eine Wagerechte durch a! des ersten Planes trifft die durch b” gelegte Lotrechte in a . Durch b" und a ist der zweite Plan gegeben.

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Fig. 107.

In Fig. 107 wurde darauf die Biegefläche des Lastgurtes dargestellt. Ihre schräge Schlußlinie a"—b'" findet man durch die Schnittpunkte a'" und b"' der lotrechten und wagerechten Projektionen der Punkte o, b

Ebenso ergeben sich die Eckpunkte 2₀ bis 80 der Biegelinie aus den betreffenden lotrechten Projektionen der Knoten 2 bis 8 und den wagerechten Projektionen der Punkte 2" bis 8" des zweiten Planes. Die gesuchte Durchbiegung des Knotens 6 stellte ■b sich dabei auf 0,344 mm. / Früher (in der Aufgabe 33 unter

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17) war rechnerisch 0,388 mm gefunden worden.

Schließlich ist in der Fig. 107 die Biegelinie noch auf eine wagerechte Schlußlinie aV")—d'") bezogen worden.

b. Dachbinder auf drei Stützen.

Aufgabe 36. Für den in der Fig. 109 dargestellten, durch drei (als starr anzusehende) Stützenstäbe an die Erde geschlossenen Dachbinder soll ein Verschiebungsplan gezeichnet werden.

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und b", a .

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Fig. 108.

Die von irgend einer Be-.,j lastung verursachten Stablängenänderungen sind ihrem Sinne nach in der Fig. 109 eingeschrieben. In Fig. ixo ist der erste Plan mit schwarzer, der zweite Plan mit roter Farbe ausgezogen. Im ersten Plane ist Knoten 3 mit der Richtung 3—2 festliegend gedacht worden, Pol O und 3 ' fallen also

Die Punkte 1' bis 5' des ersten Planes fanden sich in bekannter Weise. Für die Darstellung des zweiten Planes sind folgende Bedingungen gegeben:

zusammen.

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Erster Plan schwarz Zweiter « rot

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Fig. 109.

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Fig. no.

1.    Die Punkte 3", 4 und 5" fallen je in eine Gerade, die senkrecht zur Richtung des zugehörigen Stützenstabes steht.

2.    Die Punkte 3", 4" und 5" bilden Eckpunkte eines Dreiecks 3"—4"—5", das dem Dreieck 3—4—5 des Fachwerks ähnlich, dabei aber gegen dieses um 90° verdreht ist.

Daraus folgt der zweite Plan: Die beiden Dreiecke 3t——5X und 32—4₂—5₂ sind in der erwähnten Verdrehung an beliebiger Stelle derart gezeichnet, daß ihre Eckpunkte 4^ 5j und 4₂, 5₂ in die betreffenden gegebenen Richtungen 4'—4" und 5'—5" fallen. Nach bekanntem Satze (I. 82, b) muß daher der gesuchte Punkt 3" im Schnitte der Richtungen 3x—32 und 3—3" liegen. Damit sind auch die Punkte 4 und 5" des zweiten Planes gefunden.

Wenn zufällig die Stützpunkte 3,4,5 nicht Eckpunkte eines Dreiecks gewesen wären, sondern alle drei in einer Geraden lägen, so ändert sich an der ausgeführten Lösung im allgemeinen nichts. In diesem Falle stünde die Gerade 3"—4—5" senkrecht zur Geraden 3—4—5 und beide würden proportionale Teilung zeigen.

Der Fall, daß die drei Stützenstabrichtungen sich in einem Punkte (auch wenn dieser unendlich fern liegt) schneiden, ist (nach I. 22) ausgeschlossen.

22. Verschiebungspläne für zusammengesetzte Fachwerke.

a. Ihre Darstellung im allgemeinen.

i. Zusammengesetzte Fachwerke bestehen aus mehreren Scheiben, die durch Zwischengelenke vereinigt und durch Stützenstäbe an die Erde geschlossen sind (I. 31 und II. § 4—5). Dabei müssen von jeder Scheibe mindestens drei Stäbe ausgehen. Auch kann an Stelle eines Zwischengelenkes eine einstäbige Verbindung eingelegt werden.

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Fig. in.

Man zeichnet hier für jede Scheibe einen besondern ersten Verschiebungsplan. Sodann stellt man, von der ersten und letzten Scheibe anfangend, für jede Scheibe den zweiten Verschiebungsplan fest. Liefern dabei die Stützenbedingungen der ersten Scheibe gleich zwei Punkte der dieser Scheibe ähn- , liehen Verschiebungsfigur, so ist damit ihr gesamter Plan bestimmt. Das wird immer der Fall sein, wenn die erste Scheibe schon mit drei Stäben an die Erdscheibe geschlossen ist (Fig. in). Denn dann fällt z. B. das a! des ersten mit dem a' des zweiten Planes zusammen, wenn a ein festes Gelenk ist. Außerdem ist die Bewegung

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Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

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Fig- ”3-

des dritten Stützenstabes geometrisch insofern bestimmt, als sich sein Stützpunkt b nur senkrecht zur Stabrichtung verschieben kann. Somit ist auch der zweite Punkt b" der ähnlichen Verschiebungsfigur gegeben: b" ist Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die eine durch a" verläuft

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Fig. 112.

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Fig. 114.

und senkrecht zur Geraden ab steht, während die andere von b' ausgeht und der Bahn des Stützpunktes b parallel ist.

Ist jedoch die Scheibe I, wie in Fig. 112, nur zweistäbig an die Erdscheibe geschlossen, so liefern ihre Stützenbedingungen den zweiteti

Punkt der ähnlichen Verschiebungsfigur nicht unmittelbar. In solchem Falle muß der fehlende Punkt unter Mitbetrachtung der Stützenbedingungen der Nachbarscheibe II gefunden werden, was in jedem Falle möglich ist.

Sind I und II (Fig. 112) durch ein Gelenk c zweistäbig verbunden, so muß der Punkt c" in zwei verschiedenen Geraden liegen, von denen die eine dem Plane I (Fig. 113) angehört, also senkrecht zur ~äc steht und durch a—a" verläuft, während die andere im Plane II liegt, zur bc senkrecht steht und durch b'—b" führt (Fig. 114). Außerdem muß aber die wirkliche Verschiebung c"—c für jede der beiden betrachteten Scheiben gleich ausfallen, d. h. ihre Projektion auf eine feste Richtung muß in den Plänen I und II gleich sein. Daraus ergibt sich der fehlende zweite Punkt c" der ähnlichen Verschiebungsfigur beider Pläne wie folgt: Der im Plane I gemessene senkrechte Abstand pac des Punktes c' von der zur de senkrecht stehenden, durch a geführten Geraden ist gleich der Projektion der wirklichen Verschiebung c"—c' des Planes I. Man übertrage also pac parallel zu sich selbst in den Plan II, so daß die Projektion von c"—c', auf eine zur de parallelen Richtung, auch hier gleich pac wird. Damit ist der zweite Punkt c" der ähnlichen Verschiebungsfigur des Planes II gegeben. Dies Verfahren wiederhole man, indem man in gleicher Weise den im Plane II gemessenen Abstand pbc in den Plan I überträgt. Dadurch findet man auch in diesem Plane den fehlenden zweiten Punkt c" (Fig. 113).

In den Fig. 113—114 sind die Pole Oa und Oj, der beiden Pläne I und II angegeben, ebenso mit roter Farbe die ersten und zweiten Verschiebungen der Punkte #, b, c der Scheiben. Die eingezeichneten Pfeilrichtungen veranschaulichen die Art der Zusammensetzung der Verschiebungen. Das Gelenk c verschiebt sich danach um die Strecke c—c" — c"—c . Die Kämpfergelenke a und b erfahren je zwei gleich große aber entgegengesetzt gerichtete Verschiebungen.

2. Besitzt das Fachwerk mehr als zwei Scheiben, so werden die gegebenen Stützenbedingungen immer genügen, um für jede Scheibe, wie beschrieben, zwei Punkte der ihr ähnlichen Verschiebungsfigur und damit ihren gesamten Verschiebungsplan festzulegen. Im allgemeinen werden dabei zu unterscheiden sein (Fig. 115)

zweistäbige Stützen in Verbindung mit der Erdscheibe (0), einstäbige >    »    »    »

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zweistäbige Zwischengelenke, einstäbige Scheibenverbindungen .

10*

Wir wiederholen dazu:

Zweistäbige Stützen in Verbindung mit der Erde geben unmittelbar einen Punkt a—a des zweiten Verschiebungsplanes der betreffenden Scheibe.

Einstäbige Stützen gleicher Art geben eine der Bahn ihres Stützpunktes b parallele Gerade, die durch b' des ersten Planes der zugehörigen Scheibe verläuft. Besitzt eine Scheibe drei solcher Stützen, deren Richtungen sich nicht in einem Punkte treffen, so ist ihr Gesamtverschiebungsplan unmittelbar gegeben, wie dies (unter 21, b) bereits gezeigt worden ist. Danach gibt jeder der drei Stützpunkte a₇ b₇ c eine Gerade, in welcher b", c" zu suchen sind. Das geschieht mit Hilfe der weiteren Bedingung, wonach das Dreieck a b"c" dem betreffenden Dreieck ab c des Fachwerks ähnlich sein muß. Liegen die Punkte a₇ b₇ c in einer Geraden, so muß die zu dieser senkrecht stehende Gerade a —b"—c" mit der a—b—c proportionale Teilung haben.

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   (102)

Mit Hilfe der Gl. (101) und (102) läßt sich, unter Beachtung der entsprechenden Vorzeichen für x und (p, die Biegelinie für einen Gurtstabzug (Obergurt oder Untergurt) darstellen. Dabei ist das Krafteck der elastischen Kräfte (nach 16) für die Polweite »Eins« zu zeichnen. Zeichnet man die wm um Zs mal größer als sie wirklich sind, so ist die Polweite gleich »Zs« zu machen.

c. Bedeutung der Winkel zwischen der Schlußlinie und einer Seite der Biegefläche. Fig. 90 stelle eine Biegefläche dar, die mit wagerechter Schlußlinie ab und einem Pole ELW = »Eins« gezeichnet ist (Fig. 91). Dann läßt sich die trigonometrische Tangente jedes der Winkel or, /i, y und ö durch eine zugehörige Balkenquerkraft Qw

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

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Vgl. dazu Land, Die Formänderungen ebener elastischer Gebilde usw. Zeitschr. d. Österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1888, S. 175.

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Fig. U 5.

Zweistäbige Zwischengelenke geben, wie erläutert, für jeden zweiten Plan der betrachteten Nachbarscheiben einen Punkt ihrer Verschiebungsfigur, weil die wirkliche Verschiebung c'—c des Gelenkes in beiden Plänen gleich sein muß.

Einstäbige Scheibenverbindungen geben für jeden ersten Plan der zugehörigen Scheiben eine durch den Punkt d' laufende, zur Stabrichtung senkrecht stehende Gerade.

Aus obigem folgt allgemein:

Ein ohne die Erdscheibe n Scheiben zählendes zusammengesetztes Fachwerk besitzt mindestens 3 n Stützenstäbe, so daß für jede Scheibe drei Stützenbedingungen zur Verfügung stehen. Diese genügen, um in jedem Falle in beschriebener Weise zwei Punkte der einer Scheibe ähnlichen Verschiebungsfigur des zweiten Planes und damit die Gesamtverschiebungen festzulegen.

§ 4. Biegelimen und Verschiebungspläne statisch bestimmter Fachwerke. 149 b. Beispiel eines Auslegeträgers.

Aufgabe 37. Für den (unter 17, b) schon einmal behandelten Auslegeträger soll aus einem Verse hieb ungsplane die Einflußlinie der Senkung des Gelenkes g abgeleitet werden.

Im Kräfteplane der Fig. 118 sind die Stabkräfte des Auslegeträgers (Fig. 119) dargestellt. Die Fig. 116—117 beziehen sich auf die erste Aufgabe unter 21, a.

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^29/19 Fig. 119-

Fig. 120 enthält das Trägerschema mit den eingeschriebenen Stablängenänderungen. Fig. 123—124 geben den ersten und zweiten Verschiebungsplan. Dabei wurde der erste Plan in zwei Teilen gezeichnet um Unklarheiten in der Darstellung zu vermeiden. Fig. 123 enthält die ersten Verschiebungen der Knoten links, Fig. 124 diejenigen rechts von dem festgehalten gedachten Ständer ą₀—ąu. In Fig. 121 ist die Biegelinie des Lastgurtes für den Auslegeträger dargestellt, während Fig. 122 die gesamte Biegefläche veranschaulicht, den Endträger gc einbegriffen-

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Fig. 123.

Fig. 124.

Der zweite Plan in Fig. 123 ist durch rote Farbe ausgezeichnet. Seine wagerechte Projektion auf die betreffenden Knotenlotrechten a bis g gibt die Schlußlinie a"—g" und die Eckpunkte x₀—8Ö der gesuchten Biegelinie. Die Senkung im Gelenkpunkte g fand sich danach mit

àg — 0,84 mm ,

was mit den früheren Rechnungen (unter 17, b) gut übereinstimmt.

§ 5. Formänderungen, Tragkraft und Spannungen beim Knicken gerader Stäbe.

Es kommen hier hauptsächlich jene Belastungsfälle der Festigkeitslehre in Betracht, in denen die Spannungen des Stabes nur mit Hilfe der Gleichung der elastischen Linie zu berechnen sind. Der wesentliche Unterschied in der Behandlung solcher Fälle, gegenüber den in den ersten beiden Bänden (I. § 14—18 und II. § 6) gelösten Aufgaben, besteht darin, daß bei diesen die betrachteten Stäbe als starr angesehen werden durften, was bei jenen unzulässig ist, weil hier das starre mit dem elastischen Gleichgewicht (I. 2, b) nicht mehr vertauscht werden darf.

In allen hier zu betrachtenden Fällen handelt es sich aber, wie früher (I. 99) darum, den Einfluß einer Achsenkrait, Zängskraft oder Querkraft oder von Verbindungen dieser äußern Kräfte festzustellen.

23. Der durch eine Achsenkraft gedrückte gerade Stab.

a. Ursachen und Gestalt der Formänderung. Wir betrachten einen Stab, der lotrecht aufgestellt ist, so daß auch die Massenkraft seines Eigengewichtes in der Stabachse wirkt. Wäre der Stab durchweg isotrop, vollkommen gerade und auf Druck genau im Schwerpunkte seiner Endquerschnitte belastet, so würde er während der Formänderung bis zur Grenze seiner Festigkeit (I. 3) gerade bleiben müssen. Wäre jedoch die Achsenkraft größer als jene Grenze, so träte eine Zerstörung des Stabes durch Zermalmen, Ineinanderschieben der Fasern, durch Übergang in den plastischen Zustand oder dergl. ein. Biegungen wären dabei ausgeschlossen.

In praktischen Fällen wird aber mindestens eine der gemachten Voraussetzungen (isotroper Stoff, genaue Geradheit und Achsenbelastung) nicht erfüllt. Infolgedessen können sich die Druckspannungen des Stabes nicht gleichmäßig über jeden Querschnitt verteilen. Sie geben daher zusammen ein Moment in Beziehung auf die Stabachse. Dadurch biegt sich der Stab, und war die Achsenkraft entsprechend groß, so kann diese Biegung zur Zerstörung des Stabes führen. Das ist ein , Vorgang, den man das Knicken nennt.

§ 5- Formänderungen, Tragkraft und Spannungen beim Knicken gerader Stäbe. 153

Je nach der Art oder Häufung der Zufälligkeiten, wie sie bei der Druckbelastung eines geraden Stabes durch eine Achsenkraft unvermeidlich sind, wird der Biegungsvorgang in einem und demselben betrachteten Falle wechselnd erscheinen. Das Gesetz, nach welchem der kleinste Biegungswiderstand in derjenigen Kraftebene erfolgt, die der kleinsten Kernweite entspricht (I. 112), gilt hier also durchaus nicht immer. Jedoch fällt die Knickrichtung erfahrungsmäßig wohl meistens in oder in die Nähe der Richtung des kleinsten Trägheitshalbmessers.

Wegen der Zufälligkeit der Biegungsursachen ist eine genaue statische Ermittelung der Spannungen im vorliegenden Falle unmöglich. Sie gelingt nur unter der Annahme, daß die Kraftebene durch die kleinste Kernweite des betrachteten Querschnittes verläuft.

Die beim Knicken erzeugten Spannungen werden Knickspannungen genannt. Unter der Knickkraft wird hier diejenige Größe der Achsenkraft P verstanden, bei welcher das elastische Gleichgewicht des gebogenen Stabes noch gewahrt bleibt. Wird P größer als diese Knickkraft, so wachsen die Biegungspfeile der elastischen Linie so lange, bis infolge Überschreitens der Festigkeit an den Rändern das Zerknicken des Stabes eintritt. Der Sicherheitsgrad (I. 12) gegen das Zerknicken wird gewöhnlich mit 4 bis 5 angesetzt, d. h. also die Achsenkraft darf höchstens ^ bis | so groß werden, als die berechnete Knickkraft. Näheres über diesen Punkt ist unter 24, c zu vergleichen.

Es liegt auf der Hand, daß das Knicken eines Stabes nur dann eintreten kann, wenn das Verhältnis seines Querschnittes F zur Länge l klein genug ist. Und weil die Richtung des Ausknickens mit derjenigen des kleinsten Biegungswiderstandes zusammenfällt, so wird auch das Verhältnis des Trägheitshalbmessers r zur Länge l einen Maßstab für die Möglichkeit des Knickens abgeben, wie weiterhin noch mehr ausgeführt wird.

Je nachdem als Ursache des Knickens eine Achsenkraft oder eine Längskraft (I. 106) auftritt, soll in den folgenden Berechnungen eine reine und eine zusammengesetzte Knickfestigkeit unterschieden werden. Der allgemeinere Fall ist die Druckbelastung durch eine Längskraft, die bekanntlich immer außer dem Mittel der Endquerschnitte angreift. Dieser Fall läßt sich einerseits statisch insofern schärfer fassen, als hier die Richtung des Ausknickens von vornherein durch die Kraftlinie (I. 104, b) der Endquerschnitte festgelegt ist. Anderseits kann man aus ihm den besondern Fall der reinen Knickfestigkeit ableiten, wenn man den Hebelarm der Längskraft in bezug auf den Schwerpunkt der Endquerschnitte gleich Null setzt, wodurch die Längskraft in eine Achsenkraft übergeht.

Wir ziehen es aber aus geschichtlichen Gründen vor, mit dem Falle der reinen Knickfestigkeit zu beginnen. Denn obwohl dessen erstmalige theoretische Behandlung durch Euler¹ schon weit über ein Jahrhundert hinter uns liegt, so steht Eulers Theorie heute immer noch im Vordergründe des Interesses. Auch werden die Knickformeln Eulers heute ihrer Einfachheit wegen mit Recht noch viel benutzt, obwohl an neuern Formeln kein Mangel ist (28).

b. Die Hauptfälle der reinen Knickfestigkeit, i. Freie in der Achse geführte Stabenden. Man denke sich beide Enden a und b eines prismatischen Stabes lotrecht in einer Festigkeitsmaschine eingespannt (Fig. 125). Dabei ist es natürlich unmöglich, ein gewisses Ein-spannungsmoment zu vermeiden. Wir wollen aber eine reibungslose Einspannung voraussetzen. Aus den angegebenen Gründen sei eine Anfangsbiegung eingetreten, deren elastische Linie in der FZ-Kraftebene des kleinsten Widerstandes zu liegen kommt. I sei die infolge der Achsenkraft P verkürzte Stablänge im Augenblicke des elastischen Gleichgewichtes. In praktischen Fällen, sei im voraus bemerkt, kann l auch als die ursprüngliche, ungebogene Stablänge angesehen werden. Der Biegungspfeil in einer Höhe z vom Koordinatenursprunge a sei y.

.y

+Z P

Fig. 125.

Unter Vernachlässigung der Zusammendrückung des Stabes lautet (nach § 2) die Differentialgleichung der elastischen Linie d²y

Setzt man darin die Unveränderlichen

EJ

so erhält man die Differentialgleichung

= — N²y

d²y

dz² deren Lösungen allgemein in der Form

y = A sin Nz -f- B cos Nz

erscheint. Die Unveränderlichen A und B sind aus der Art des gegebenen Falles zu bestimmen: Für z — o ist auch y — o, also

o = +B.

Daraus folgt

y = A sin Nz .

Weil der Belastungsfall zur Stabmitte symmetrisch liegt, so wird dort der größte Biegungspfeil eintreten. y wird aber am größten für sin Nz — i. Bezeichnet man max y mit ô, so folgt weiter

Somit lautet die Gleichung der elastischen Linie

²)

y — à sin Nz .

f

Das ist die Gleichung einer Wellenlinie, deren größte Biegungspfeile ô

für

H7t

Nz — —

und deren Nullpunkte für

Nz — nit

eintreten, wenn n eine ganze Zahl bedeutet. Eine Wellenlänge X enthält danach einen Berg -f- <5 und ein Tal — d, so daß für

n — 27t

und

die erste Wellenlänge mit

3)

NX = 2 7t

bestimmt ist.

Es ist aber auch für z = / die Biegung y — o, und die Gleichung der elastischen Linie gibt für diese Grenze

o = ô sin NI ;

ô kann nicht Null sein, folglich muß

sin NI = o

werden. Das heißt mit andern Worten, es ist

4)

NI — nTt.

Aus den Gleichungen 3) und 4) berechnet sich die Wellenlänge mit

5)

Das gibt für die Zahlen « = r bis 3 die nachstehend dargestellten Möglichkeiten der elastischen Linie (Fig. 126—128).

« |cO

⁵ß

1=2 l

r« ' *

S:

z-

g:

S!

.y.

Fig. 128.

Fig. 126.

Fig. 127.

Die Fälle für n = 2 und 3 können aber nur eintreten, wenn die mit m bezeichneten Zwischenpunkte des Stabes, wie in den Fig. 127—128 angedeutet, in irgend einer Art konstruktiv derart festgehalten werden, daß sie während der gesamten Formänderung in der Stabachse liegen bleiben. Für den zu behandelnden Belastungsfall ist demnach

6)

n = i

zu setzen. Somit folgt weiter

NI = 7t

und

TT²

KT = —

/²

EJ

woraus mit

(106)

die Knickformel Eulers erhalten wird.

Ist P gleich oder kleiner als der nach der Gl. (106) berechnete Wert, so ist elastisches Gleichgewicht vorhanden, es kann also kein Knicken eintreten. Ist dagegen P größer, so erfolgt Zerstörung durch Knicken. Um sich dagegen zu schützen rechnet man bei ruhender Belastung gewöhnlich mit mindestens vierfacher Sicherheit. In praktischen worin für J das kleinste Trägheitsmoment des Querschnittes einzusehen ist.

2. Ein Stabende eingespannt, das andere frei beweglich. Dieser Hauptfall ist ohne weiteres aus dem vorigen abzuleiten. Denn im Gleichgewichte des vorigen Falles ändert sich nichts, wenn man den

»1-

b. .

Fig. 130.

Fig. 129.

Stab in der Mitte bei m (Fig. 130) eingespannt denkt. Die elastische Linie für ab — l in der Fig. 129 ist die nämliche wie für die Länge ~ävi — l in der Fig. 130. Setzt man somit in die obige Hauptgleichung (106) statt / die Länge 2/ ein, so erhält man mit

(108)

Fällen setzt man genau genug tt² = 10 und erhält danach für einen Sicherheitsgrad ^

max P —

10 EJ

sP

(io7)

4/²

Eulers Knickformel für die vorliegende Belastungsart, und für s fache Sicherheit, sowie 7p — 10

max P =

²>5 FJ

(ï°₉)

3) Eingespannte, in der Achse geführte Stabenden. Dieser Hauptfall (Fig. 131) stimmt überein mit der Einspannung eines Probestabes in der Festigkeitsmaschine, wobei die Stabenden durch Reibung zwischen entsprechenden Einspannvorrichtungen gehalten werden. Wegen der Symmetrie der Belastung entstehen hier infolge der Formänderung an beiden Stabenden gleiche Momente Ma) die der Biegung entgegen wirken. Das Gesamtmoment M in einem Querschnitte der Koordinaten y, z ist demnach mit M=- Ma + Py

If- -K -.....

anzuschreiben. Setzt man

Ma = Pd o

so erhält man als Differentialgleichung der elastischen Linie

die für

und

^7777777777777,

in

EJ

d²y

dz²

-P(y-S,)

u — y — d₀

EJ

Fig- 131-

d²u

dz²

= — N²u

übergeht. Die Gl. 1) gibt wie im 1. Hauptfalle eine Lösung in der allgemeinen Form von

u = A sin Nz -f- B cos Nz

oder (umgeschrieben) von

y — d₀ -f- A sin Nz -f- B cos Nz. Daraus gewinnt man die Bedingung

dz

~ — ANcos Nz — Wsin Nz.

Die Unveränderlichen A und B erhält man durch Einsetzen der Grenzen:

Das gibt

für z — o ist y — o und

dy

dz

B = — ö0 A — o

und die Gleichung der elastischen Linie in der Form y = dQ (i — cos N z).

Aus 2) gewinnt man die Bedingung

dy

— d₀ (N sin Nz).

Es ist aber auch

dy

für 2 = / hier y — o und — = o.

dz

Dadurch erhält man die weiteren Bedingungen .    o = dQ (1 — cos Nl),

o = d₀ (TV sin iW).

Weil d₀ nicht gleich Null sein kann, folgt schließlich

cos Nl = i, sin Nl = o.

Diese Bedingungen werden erfüllt für Nl—o

2 71

47t,

81t usw.

allgemein also für

3)

NI = 2 71TC .

Für die Wellenlinie der Gl. 2) tritt der größte Biegungspfeil in der Stabmitte ein für cos Nz — — 1, so daß

2 Ma

maxjy — 2 dQ =

angeschrieben werden kann. Die' Wendepunkte der elastischen Linie berechnen sich aus

mit

M — Ma — P y = o

Ma

Die Wellenlänge l bestimmt sich danach, wie im 1. Hauptfalle, aus der Bedingung

4)

NI = 2TC.

Durch Verbindung der Gleichungen 3) und 4) erhält man schließlich die Wellenlänge l mit

5)

71

Das gibt für die Zahlen 71 — 1 und n =■ 2 die in den Fig. 132 —133 dargestellten Möglichkeiten des Verlaufs der elastischen Linie.

Der Fall für n = 2 kann nur eintreten, wenn der mit w bezeichnete Zwischenpunkt des Stabes (Fig. 133) gegen seitliche Verschiebung gesichert ist. Für den vorliegenden Fall ist demnach

'///////A/////////,

6)

zu setzen und (nach Gl. 3) NI —27t.

Somit ist hier die Formel Eulers mit

_I b i

77777777X7777777Z

'/W////}/.

anzuschreiben, oder (bei s fâcher Sicherheit)

max P —

40 EJ

sP

• (in)

Fig. 132.

Fig. 133-

4. Ein Stabende, eingespannt, das andere in der Achse frei geführt (Fig. 134). Um den Punkt a frei und reibungslos in der Achse zu führen muß auf ihn, nach der Seite der elastischen

• ■y^

Biegung hin, eine wagerechte Stützenkraft H ausgeübt werden. Im Zustande des elastischen Gleichgewichtes ist danach das Moment für einen Punkt der Koordinaten y, z mit

M — Py — Hz anzuschreiben. Setzt man

Hz = Pö o

so gibt das, wie im vorigen Falle d²y

EJ

dz²

= — P[y — io)

und

Fig- I34-

y = — z + A sin Nz + B cos Nz.

Zunächst ist hierin, um H zu bestimmen, die Grenze

dy

dz

Für

2 = 0 und y = o

folgt daraus

für

B = o,

z — l und y = o

Hl

P sin NI

Die Gleichung der elastischen Linie lautet sonach

/ sin Nz

V = -TT S —

sin Ni

Das gibt die Bedingung

dy_N j dz P (

NI cos Nz

siniW

für 2 = / ist -f- — o

einzusetzen. Das gibt

NI cos NI

P i¹

Weil H nicht Null sein kann, so folgt

Nl= tg Ni.

sin Ni

3)

Nach einem der bekannten Näherungsverfahren für transzendente Gleichungen findet man folgende Lösungen

Ni= o

NI — 4,493 (257⁰ 27'12")

Ni— 7,725 (442°37'28")

Nl= 10,904 (624°45'37") usw.

Hier kommt nur die kleinste auf Ni — o folgende Wurzel der Gl. (3) in Betracht. Für diesen Fall erhält man demnach die Formel Eulers mit

und für s-fache Sicherheit

max P —

20 EJ

sP

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

II

Vergleicht man schließlich die Tragkraft P in den 4 Hauptfällen, so findet man bei gleicher Stablänge l ihr Verhältnis zueinander wie

4 : 1:16:8.

Wenn man in den abgeleiteten EuLER-Formeln den Trägheitshalbmesser r des Querschnittes F und die Achsenspannung

os —

einführt, so erhält man für die 4 Hauptfälle (und 71² = 10) die Gleichungen

Fall i

Os

10

Er²

sl²

Er²

2,5 7r

Er²

⁴⁰ 7F

Er* 20 -—

Fig. 136.

Fig.137-

Fig. 138.

wenn dabei s den Sicherheitsgrad vorstellt.

24. Kritik der Euler-Formeln.

a. Unbestimmtheit des Biegungspfeiles und der Spannungen.

i. Die von Euler gegebene Differentialgleichung der elastischen Linie zeigt in ihrer allgemeinen Form

d²y

dz²

= N°{Ö₀ -y)

eine auffallende Eigentümlichkeit. Ist die Gleichung nämlich für eine bestimmte Gestalt der elastischen Linie erfüllt, so ist sie dies auch noch, wenn sämtliche Biegungspfeile y proportional wachsen. Die Größe der Durchbiegung ist danach unbestimmt. Deshalb ist es auch nicht möglich, die von der Knickkraft P verursachten Spannungen ohne Probieren zu bestimmen.

Lagrange hat gezeigt, wie man auch den Biegungspfeil der Knicklinie berechnen kann³. In einer Arbeit über die Gestalt der Säulen

Auch Grashof ¹ hat nachgewiesen, daß die Knickkraft P vom Biegungspfeile ô abhängig ist. Nach der von ihm aufgestellten Gleichung wächst P mit ô nur sehr unbedeutend. Wie man die Knicklinie durch einiges Probieren graphisch darstellen kann, hat zuerst Vianello⁴ 5 gezeigt.

Die EuLER-Formeln nehmen danach in der Festigkeitslehre eine Ausnahmestellung ein. Denn bei allen Festigkeitsaufgaben ist es sonst Brauch mit einer zulässigen Spannung (I. 7) zu rechnen, während Euler die Tragkraft oder Knickkraft P unmittelbar findet, ohne die dadurch verursachten Knickspannungen zu bestimmen.

Die Richtigkeit der EuLER-Formeln steht aber wohl heute fest, trotz aller im Laufe der Zeit in dieser Hinsicht wiedergekehrten Zweifel. Das hat am ausführlichsten und schärfsten Zimmermann in einer sehr lesenswerten Schrift⁶ klargelegt.

b. Einfluß der Schubspannungen und der elastischen Zusammendrückung des Stabes. Der Einfluß der Schubspannungen auf die Gestalt der elastischen Knicklinie und somit auch auf die

Knickkraft ist in der Regel verschwindend klein. Das hat Engesser⁷ ausführlich bewiesen. Am größten ist ihr Einfluß bei solchen Querschnitten, die ihre kleinsten Breiten in der Schwerachse zeigen (z. B. I-Profile u. dgl.) und er wächst mit abnehmendem Verhältnis von / : r, wenn r den Trägheitshalbmesser bedeutet.

Auch der Einfluß der von Euler vernachlässigten elastischen Zusammendrückung der Stablänge ist unerheblich für praktische Aufgaben. Um dies auf kürzestem Wege genau genug nachzuweisen, führe man bei der Ableitung der EuLER-Formeln, wie das Verfasser (unter 23, b) getan

S. 483.

(Turiner Akademie 1770 bis 1773) beleuchtet er die Formänderung einer knickenden Säule, stellt eine genaue Differentialgleichung auf und integriert mit Hilfe einer Reihe. So erhält er für den Biegungspfeil ö₁ bei frei beweglichem obern Stabende, die Gleichung

16EJ

d⁵ =

liv

EJ

']■

(”3)

hat, anstatt der ursprünglichen Längen l diejenige Länge des Stabes ein, die er im Augenblicke des elastischen Gleichgewichtes besitzt. Dann werden die Ordinaten y der elastischen Linie nicht mehr von der Zusammendrückung des Stabes beeinflußt. Sie sind dann nur noch von den durch die Momente der Achsenkraft herbeigeführten Formänderungen abhängig. Die Formeln Eulers gelten danach (genauer genommen) nur für

l—l—Jl

oder

EF

Für den ersten Hauptfall müßte demnach die Formel genauer

¹ EF

lauten. Setzt man darin die Achsenspannung

— — Os

(”4)

so gibt das

(1x5)

r[E—oy

Weil nun (E — o) in praktischen Fällen ohne Bedenken gleich E gesetzt werden kann, so wird an Stelle der nach Gleichung (115) ermittelten genaueren Knickkraft P der EuLERSche Wert gesetzt werden dürfen. Dieser Wert von P entspricht sogar der wirklichen Knickkraft Pk noch mehr, als jener genauere größere Wert. Eine bleibende Formänderung oder der Bruch des Stabes tritt nämlich erfahrungsmäßig schon etwas früher ein, als die theoretische Knickkraft P erreicht ist, denn die zum Bruche führende Knickkraft Pk ist immer kleiner als jene. Danach hat für praktische Fälle die Berücksichtigung der Zusammendrückung des Stabes keine wesentliche Bedeutung.

Kübler hat in einer lehrreichen Arbeit⁸ versucht, den Einfluß der elastischen Zusammendrückung gegenüber der durch reine Momente verursachten Formänderung als erheblich hinzustellen. Obwohl er dabei von einwandfreien statischen Voraussetzungen ausgeht, so leidet doch

seine mathematische Durchführung der Lösung an großen Ungenauigkeiten. Deshalb hat auch er (nach Verfassers Ansicht) den Beweis von der Erheblichkeit der elastischen Zusammendrückung nicht erbracht.

c. Theoretische und wirkliche Knickkraft¹. Um einen ungefähren Vergleich zwischen den beiden bezeichneten Werten der Knickkraft zu erhalten, soll zuerst ein Stab mit einer anfänglichen Krümmung betrachtet werden, deren Pfeil gegenüber den Querschnittsmaßen sehr klein ist. Der Stab bildet dann einen so flachen Bogen, daß man diesen als Sinuslinie ansehen darf. Deren Ordinaten u geben die Gleichung

(116)

worin fQ den Pfeil der Bogenmitte bedeutet (Fig. 139).

Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet nach vorigem

u — f₀ sin 7t ~ ,

dPy

EJ^ = -P(u₊y)

J?

-- -N-

4?-:

y.

oder

dPy

dz²

EJ

Daraus findet man in bekannter Weise (23) die Gleichung der elastischen Linie mit

/o sinyr- -

y-

E J

TT²— — I

PP

Dg. 139-

Z    7Jy

der größte Wert von y tritt für 7t — = —, d. h. für

ein. Danach ist

/ = max y —

/o

Pe

(117)

wenn

Pe =

eingesetzt wird.

¹ Föppl. Vorlesungen über technische Mechanik. III. Band. 2. Aufl. S. 371.

Die Gleichung (117) läßt erkennen, einerseits wie der ursprüngliche sehr kleine Biegungspfeil fQ des Stabes sich vergrößert, wenn die Achsenkraft, von Null ab wachsend, sich allmählich dem Werte Pe der Euler-schen Knickkraft nähert und anderseits, wie damit die Knickgefahr näher rückt. Die Gleichung zeigt außerdem auch, daß selbst bei verschwindend kleiner ursprünglicher Krümmung des Stabes die theoretische Knickkraft Eulers eine Grenze bedeutet, über welche hinaus der Stab, um seine Zerstörung durch Knicken zu verhüten, nicht belastet werden darf.

Die größte Randspannung wird in der Stabmitte erzeugt. Sie ist (nach I. 107) mit

r²

(1.8)

anzuschreiben, wenn e den Abstand der Randfaser von der zur Nulllinie parallelen und der Kraftlinie zugeordneten Achse XX bedeutet und wenn r der auf die XX bezogene Trägheitshalbmesser ist.

Setzt man darin den Wert von f aus Gl. (1x7) ein, so erhält man

(119)

P[ . ef₀Pe \

° F l¹ ~ r*(Pe-P))'

Für praktische Berechnungen tritt die wirkliche Knicklast Pk schon ein, wenn G die Proportionalitätsgrenze (I. 4, c) erreicht hat, denn von diesem Augenblicke an gilt das Elastizitätsgesetz nicht mehr, auf das sich die Formel für g stützt. Es besteht daher auch das elastische Gleichgewicht nicht mehr in dem Sinne, wie es eine Knickformel aus-drücken sollte, denn die Biegungspfeile wachsen vom bezeichneten Augenblicke an schneller, als in der EuLERSchen Formel vorausgesetzt worden und infolgedessen wird auch die Zerstörung des Stabes schon bei einer Belastung erfolgen, die kleiner als Pe ist.

Setzt man danach g gleich der Spannung an der Proportionalitätsgrenze und P—Pk, so erhält man aus der Gl. (119) einen ungefähren Anhalt für das Verhältnis zwischen Pe und Pk. Man findet

Pk =

oF+[c+i)Pe

VI

GF+{c+i)Pey

— G F Pe

worin

efo r²

gesetzt worden ist. Von den beiden danach zu erhaltenden Werten Pk gilt der kleinere, d. h. der Wurzelausdruck ist stets negativ zu nehmen.

Für f₀ = o, d. h. für einen ursprünglich geraden Stab, erhält man c — o und

Pk =

und daraus

o F < Pe ist.

Pk = Pe für den Fall, daß oF^> Pe ist Pk = a F

Für den Fall der reinen Achsenlast gilt also auch hier der theoretische Wert Pe der Formeln Eulers als wirkliche Knickkraft. Auch erkennt man, daß nur der einfache Fall einer Druckbelastung vorliegt, wenn die von der Achsenkraft Pe erzeugte Spannung o sich gleichmäßig über die Querschnittsfläche verteilt und dabei die ProportionalitätsgXQnzQ nicht überschreitet. Damit ist rein theoretisch bewiesen, daß in praktischen Fällen, in denen niemals eine gleichmäßige Spannungsverteilung über alle Stabquerschnitte vorausgesetzt werden darf, die theoretische Knickkraft Eulers stets etwas größer sein muß, als die wirkliche Knickkraft Pk, selbst wenn man mit einer reinen Achsenkraftbelastung rechnen wollte.

Föppl⁹ berechnet für ein gleichschenkliges Winkeleisen Nr. 7 von 9 mm Stärke, das einen anfänglichen Krümmungspfeil von 1 mm besitzt,

2,0-

’ cm²

bei E — 2110 —und o = cm²

bei / = 2 m : -    /= 3 m:

to to

\0

co to

M N

Cn w 10 00

ba ba

w*

L

o' tO

¹

Euler. De curvis elasticis. Additamentum I. des berühmten Werkes »Metho-

²

dus inveniendi lineas curvas«. 1744, Lausanne u. Genf. — Vgl. auch »Geschichtliche Rückblicke« im zweiten Abschnitte.

³

Winkler, Abriß der Geschichte der Elastizitätslehre. Technische Blätter. 1871. S. 22.— Vgl. auch die » Geschichtlichen Rückblicke« in der Abteilung II.

⁴

   Grashof, Festigkeitslehre, 1866, S. 112.

⁵

   Vianello, Graphische Untersuchung der Knickfestigkeit gerader Stäbe. Zeitschr. des Ver. deutsch. Ing. 1898, S. 1436.

⁶

   Zimmermann, Über den Sicherheitsgrad der Baukonstruktionen. Centralbl. der Bauverw. 1886. Sonderabdruck.

⁷

   Engesser, Die Knickfestigkeit gerader Stäbe. Centralbl. der Bauverw. 1891,

⁸

Kübler. Beitrag zur Knick-Elastizität und -Festigkeit. Zeitschr. für Mathematik und Physik. 1900. 45. Band, Heft 5—6.

⁹

Föppl, Festigkeitslehre. 3. Aufl. S. 372.

25. Gültigkeitsgrenzen der Euler-Formeln.

a. Ergebnisse von Versuchen. Die EuLERformel gilt nur für Spannungen innerhalb der Proportionalitätsgrenze. Deshalb lassen sich ihre Gültigkeitsgrenzen am einfachsten und schärfsten auf rein theoretischem Wege festlegen. Dessenungeachtet hat man geglaubt, diese Grenzen durch Versuche feststellen zu müssen. Schon der verstorbene Bauschinger, der Vorgänger Föppls in der Leitung der mechanischtechnischen Versuchsanstalt der technischen Hochschule in München, stellte bei seinen Knickversuchen eine gute Übereinstimmung mit den EuLER-Formeln fest. Auf gleichem Gebiete hat besonders Tetmajer gewirkt, der frühere Leiter der Versuchsanstalt des Polytechnikums in Zürich, der (1905) als Rektor der technischen Hochschule in Wien gestorben ist.

Winkler verlegte die Gültigkeitsgrenzen der EuLERformel an jene Stelle, für welche

d. h. gleich der Druckfestigkeit wird. Es liegt aber auf der Hand, daß die Grenzen viel enger zu ziehen sind, weil bei ihrer Festsetzung nicht die Druckfestigkeit sondern die Proportionalitätsgrenze zugrunde zu legen ist, was die Versuche Tetmajers bestätigt haben, oder richtiger gesagt, was sie bestätigen mußten.

Führt man in die Ausdrücke für die Knickkraft P den Trägheitshalbmesser r ein, so erhält man für den 1. Hauptfall die Gleichung

(120)

Setzt man darin die Achsenspanmengen und

so erhält man mit

die Mittelpunktsgleichung einer kubischen Hyperbel, bezogen auf rechtwinklige Koordinaten (Fig. 140). Die y bedeuten also ^Abspannungen, unter Annahme gleichmäßiger Verteilung. Die x geben verschiedene Verhältnisse zwischen Stablänge und Trägheitshalbmesser an. Für kleine Werte von x, d. h. also für solche Stäbe, deren Dicke gegenüber ihrer Länge \ groß ist, liefert die EuLER-Hyperbel sehr große Spannungen. Die theoretischen Gültigkeitsgrenzen treten danach für diejenigen Werte von x ein, deren Ordinaten y die Achsenspannung an der Proportionalitätsgrenze angeben. Dem Verfasser will es danach scheinen, als ob die Bestimmung der Gültigkeitsgrenzen durch einen Versuch, wenig praktischen Wert hätte, denn die Versuchsergebnisse müssen ja — nahezu wenigstens —

\E

\ r-

K- X’..

- -à- -

->

-v

Fig. 140.

denjenigen Zahlen entsprechen, die man (mit Hilfe der Proportionalitätszahlen) einfacher und genauer aus der EuLER-Hyperbel abgreifen kann.

Tetmajer fand bei seinen Versuchen für die Gültigkeitsgrenzen der EüLER-Formeln folgende Zahlen.

Tabelle 6.

Baustoff

Dehnungszahl E t/cm²

Grenze x

Holz.....

100

100

1000

2000

2150

2250

80

112

105

90

Weil diese Zahlen mit dem nach obigem zu ermittelnden theoretischen Gültigkeitsgrenzen sehr gut stimmen, so ist damit wieder ein neuer Beweis für die Brauchbarkeit und Richtigkeit der Eulerformel geliefert.

Leider fallen nun die in der letzten Spalte obiger Tabelle angegebenen Werte von — gerade für die gebräuchlichsten Abmessungen von

Konstruktionsstäben aus Holz und Eisen außerhalb der Gültigkeitsgrenzen. Denn Verhältnisse von l : r über 80 sind für Stützen, Säulen, Pfeiler, gedrückte Konstruktionsglieder u. dgl. äußerst selten. In vielen Fällen, namentlich für Hochbauten, schreibt ja schon die Rücksicht auf das gute Aussehen viel kleinere Werte vor.

Danach verliert die EuLERformel auf dem Gebiete der Baukonstruktionen viel von ihrer sonstigen Bedeutung und es wird notwendig, außerhalb ihrer Gültigkeitsgrenzen andere Formeln an ihre Stelle zu setzen. Deren Besprechung folgt unter 26. An dieser Stelle finde nur noch ein kurzer Hinweis auf die Formeln Tetmajers Platz.

In der Fig. 140 sei EE die erwähnte kubische Hyperbel der Gleichung

(121)

x0} yQ im Punkte G der EuLER-Hyperbel mögen für irgend einen Baustoff die Gültigkeitsgrenze angeben. Dann bedeutet GT eine Linie, deren Koordinaten x, y aus den Ergebnissen der obigen Versuche abzuleiten sind. Tetmajer findet im allgemeinen G T als eine Parabel , setzt aber an deren Stelle für Holz und schmiedbares Eisen angenähert eine Gerade. In welcher Weise er mit Hilfe der Ordinaten y' die Stabquerschnitte berechnet, wird weiterhin (unter 29) ausführlich angegeben. Dabei wird auch gezeigt werden, wie groß die Unterschiede in den berechneten Abmessungen ausfallen, wenn einerseits die EuLERformel, anderseits die Formeln von Tetmajer benutzt werden.

b. Grenzen zwischen Druck- und Knickfestigkeit.

Man kann allgemein die Frage stellen, bei welcher Grenze des Verhältnisses von / : r die Möglichkeit des Knickens aufhört und nur noch die reine Druckfestigkeit in Rechnung gestellt zu werden braucht. Es sei

m der Sicherheitsgrad gegen Druck und Knicken,

D die Druckfestigkeit (für die Einheit der unveränderlich angenommenen Querschnittsfläche F).

Dann ist für die gesuchte Grenze, und für frei geführte Stabenden anzuschreiben

mP = DF —

woraus für

die Bedingung

J — FP

(122)

₇*"V

l

folgt. Das gibt für die wichtigsten Baustoffe folgende Werte von — •

Tabelle 7. Grenzwerte zwischen der Druck- und Knickfestigkeit.

Baustoff

Eulerformel gültig für —

Dehnungszahl E . t

in —2 cm²

Druckfestigkeit D in —₂

cm

Holz .    .

100

0,28

60

100

1000

2000

2150

8,00

3,5°

4,oo

35

86

73

80

112

105

2250

6,00

61

90

¹ Festigkeitslehre, 3. Aufl. S. 399.

Die in der vorletzten Spalte der Tabelle 7 aufgeführten Zahlen haben wenig praktische Bedeutung, weil sie nicht erkennen lassen, bei welcher untern Grenze von l : r ein Stab überhaupt knicksicher ist. Oberhalb dieser Grenze würde die Berechnung nach der Geradenioxmtl Tetmajers oder einer dafür besser zu gebrauchenden Parabelïormél (28) zu erfolgen haben.

26. Zusammengesetzte Knickfestigkeit. Sobald an Stelle der Achsenkraft eine drückende    kraft tritt, oder wenn außer der

Achsenkraft noch Lasten quer zur Stabachse wirken oder Verdrehungen Vorkommen, wandelt sich die reine Knickfestigkeit in eine zusammengesetzte um.

f

4a

- - v - -*{

a. Der durch eine Längskraft gedrückte gerade Stab, i. Ein Stabende eingespannt, das andere frei (Fig. 141). Wir behalten hier die bekannten Bezeichnungen des ersten Bandes (I. § 15—16) bei. Die drückenden und biegenden äußern Kräfte bestehen aus der Achsenkraft P und dem Momente M der Längskraft.

Die Achsenkraft P erzeugt eine Achsenspannung

Os =

(I23)

- ->i - M. —

Das Moment der Längskraft ist für einen Punkt der Koordinaten z mit M== P{ö-\-v — u) anzuschreiben (Fig. 141). Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet demnach

d²u dz²

+z

Fig. 141.

Die Achsenspannung os hat auf die Gestalt der elastischen Linie keinen Einfluß, weil — wie unter 23 — ab = l die zusammengedrückte Stablänge im Zustande des elastischen Gleichgewichtes vorstellen soll. Die Richtung der Längskraft wird während der Formänderung als lotrecht bleibend angesehen. Für

EJ

N² =

erhält man dann

dV

dz²

d*u dz²

oder

d*f

dz⁷

— — N²/.

Das gibt, wie früher

f = ö v — u — A sin Nz + B cos Nz . Für 2 = 0 wird auch u — o und

Für z — o ist ferner auch — = o, woraus sich die Unveränderliche A

dz

bestimmt, mit

du

Die Gleichung der elastischen Linie lautet demnach u — [d -f- v) ( i — cos Nz).

(124)

Für 2 = l ist u — ô und

oder aufgelöst

d = [ö -j- v) (1 — cos NI)

Ô = v (—

\cos NI

■)

und

cos NI

Setzt man den Wert für N ein, so erhält man

max f — d -j- v —

cos

Wv)

(I25)

und für die Gleichung der elastischen Linie

—v-— (1 — cos Nz). cosiVV v    '

Sind die Festigkeitseigenschaften und Abmessungen eines Stabes bekannt, so kann die Gl. (125) dazu dienen, den Wert von ô -f- v für den gefährlichsten Querschnitt zu berechnen. Zu dem Zwecke verwandelt man am bequemsten cos NI in eine Reihe und erhält dann bei Berücksichtigung von ihren drei ersten Gliedern

max f = d    v =

(126)

²os

"FT H--

24

I ]"

to ?

wenn

EJ’ F

und

J=Fr*

eingesetzt wird.

2. Beide Enden in der Stabachse frei geführt (Fig. 142).

Für / = — erhält man hier aus der GL (127)

max/ = ö -f- v =

,² os

IS

(r₂8)

E 384

Über die Verwertung der Gleichungen ( 12 7—128) für praktische Aufgaben vgl. unter 29.

"4"

**■ ■

+-Ł

-V

Fig. 142.

Fig- 143-

b. Der durch eine Achsenkraft und quer zur Achse belastete Stab (Fig. 143). Wenn, wie angenommen werden soll, die quer zur Achse ab gerichtete Kraft eine in der Stabmitte angreifende Einzellast R ist, so ist das Moment für einen Schnitt z, y mit

M — P y -J--2

anzuschreiben. Aus

d*y

findet man (nach vorigem) die Gleichung der elastischen Linie mit

2 PZ'

y — A sin Nz + B cosiVz

2 PN cos

(?)

Wegen der Symmetrie des Belastungsfalles fällt die elastische Linie für beide Stabhälften gleich aus. Danach bestimmen sich die Veränderlichen A und B\ Aus 2 = 0 und y = o folgt

B = o

= o erhält man

und für 2 =

' und^

dz

Die größte Senkung f in der Stabmitte ergibt sich daraus mit

2 PN

/ (Nl\ Nl\

(I29)

Ersetzt man darin tgj^^j

durch eine Reihe, von welcher genau

genug die ersten drei Glieder zu nehmen sind, und setzt außerdem für N seinen bekannten Wert ein, so folgt

Rls

pr

43 EJ

(r3o)

io EJ

Föppl bezeichnet den vor der Klammer stehenden Faktor, weil dieser die für P— o entstehende Senkung darstellt, mit fQ und setzt io — n². Dann erhält er die Beziehung

worin

/ — fo 1¹ + j

tz*EJ

(131)

die theoretische Knickkraft nach Euler bedeutet.

Läßt man in der Gl. (131) P von Null bis Pe wachsen, so wächst

dabei der Biegungspfeil in der Stabmitte von f₀ bis 2/₀. Es ist aber wohl zu beachten, daß vor Eintritt einer solchen Senkung bereits eine Überschreitung der Proportionalitätsgrenze hat stattfinden können.

Die Randspannungen im gefährlichsten Querschnitte berechnen sich (nach I. 107) aus

Ü32)

{P/+T )}•

wenn e den Abstand der Randfaser von der zur Nulllinie parallelen und der Kraftlinie zugeordneten Schwerpunktsachse des Querschnittes bedeutet.

Vgl. die Übungsaufgaben unter 29.

27. Ältere Knickformeln des 19. Jahrhunderts.

a. Schwarz-Rankine. Diese Formel ist zu verschiedenen Zeiten

gefunden und gebraucht worden. Heute wird sie meist als die Rankine-sche bezeichnet. Sie lautet

GdF

worm / die Stablänge, öd die zulässige Druckspannung, r den kleinsten

Trägheitshalbmesser und F — den zugehörigen Querschnitt bedeutet.

y ist eine für eine Reihe von Querschnitten aus Versuchen zu ermittelnde Erfahrungszahl. Bei der Ableitung der Formel setzt man (aus den unter 23, a angegebenen Gründen) eine drückende Längskraft P voraus, also keine Achsenkraft. Deren Hebelarm v wird aller Wahrscheinlichkeit nach um so größer ausfallen, je länger der Stab und je kleiner der Abstand e der Randfaser von der Stabachse ist. Deshalb setzt man

v — y — e

Man erhält dann (nach 1.107, b) für eine Randspannung die Gleichung

Gd

woraus durch Einsetzen des Wertes für v

Gd =

oder

('+*3

GdF

(J 33)

gefunden wird.

Rankines Knickformel hat den unleugbaren Vorzug, daß darin die zulässige Knickkraft P von der zulässigen Druckspannung Oj abhängig gemacht wird. Dieser Vorzug wird aber reichlich durch die Schwierigkeit aufgehoben, welche in jedem Falle die zutreffende Festsetzung der Erfahrungszahl y macht. Wenn y für eine große Reihe von gebräuchlichen Querschnitten unveränderlich wäre, so ginge es noch an. Wie Tetmajer¹ nachgewiesen hat, ist aber das Gegenteil der Fall: y ist keineswegs eine allein von der Beschaffenheit des Baustoffes abhängige Zahl. Sie wird vielmehr auch von der Querschnittszahl und der Größe des unvermeidlichen aber unberechenbaren Hebelarmes v der Achsenkraft P beeinflußt. Wenn danach die RANKiNE-Formel sich auch nicht auf rein wissenschaftlichem Grunde aufbaut, so ist es doch zulässig und bequem, sie in allen praktischen Fällen anzuwenden, in denen die Zahl y durch Versuche genau genug ermittelt worden ist. Tetmajer selbst gibt auf Grund seiner Versuche folgende Mittelwerte von y an.

Tabelle 8. Erfahrungszahl y der Knickformel von Schwarz-Rankine x.

Baustoff

Holz

(luft

trocken)

Gußeisen (liegend gegossen)

Schweißeisen

Schmiedbares Eisen

Flußeisen

Konstruktionseisen im Mittel

für —=

20 bis 200

20 bis 150

20 bis 250

20 bis 250

20 bis 250

ist y =

0,000 23

0,000 70 ² 3

0,000 16

0,000 14

0,000 15

Man vergleiche auch den Zusammenhang der RANKiNE-Formel mit der von Ostenfeld vorgeschlagenen Knickformel (unter 28). b. W. Ritter-Asimont-Lang.

i. Soweit bekannt, gebührt dem Prof. W. Ritter⁴ in Zürich das Verdienst, die Gleichungen Naviers durch die Einführung der Kernweite vereinfacht zu haben.

Allgemein lautet (nach I. 107) die Gleichung einer Spannung

(■*3)

wobei v} y und rx folgende Bedeutungen haben:

v senkrecht gemessener Abstand des Angriffspunktes der Längskraft P von der der Kraftlinie zugeordneten Schwerachse XX des Querschnittes,

y der in gleicher Weise gemessene Abstand eines Flächenpunktes dx dy,

rx der auf die XX bezogene Trägheitshalbmesser.

Die Umrißpunkte a und 2, in denen die größten iLwzt/spannungen o a und oi auftreten, liegen in Parallelen zur zugeordneten Achse, die bekanntlich der Nnllinie parallel ist. Bedeutet nun ferner

yn den Abstand einer den Querschnitt in a oder i berührenden Parallelen zur Nullinie,

k den Abstand eines in der Kraftlinie liegenden Kernpunktes, so ist (nach I. 108)

(I34)

f x —    kyn .

Aus dieser bekannten Beziehung gewinnt man für jede der beiden Hand Spannungen die einfache Gleichung

ff max -

worin, wie früher,

a'(l -f

ö -f- v

(*35)

Os —

ha

die Achsenspannung des Stabes vorstellt, während v entweder ein zufälliger (unmeßbarer) Hebelarm von P oder der wirkliche Hebelarm der Längskraft ist. Diese Gleichung hat in neuerer Zeit für die Knickfestigkeit besondere Bedeutung gewonnen und zwar sowohl für die reinen [v = o) als auch die zusam?nengesetzten Fälle [v — v). Deshalb hielt es Verfasser für angezeigt, hier auch derjenigen Männer zu gedenken, die zuerst damit rechneten.

2.    Prof. Asimont¹ in München entwickelte ebenfalls die obige Gl. (135). Außerdem vereinfachte er die Formel von Rankine, worüber in der angegebenen Quelle nachzulesen ist².

3.    Prof. Lang³ in Hannover gibt obige Gl. (135) in der Form und erhält daraus

(x36)

Die Erfahrungszahl a bleibt aus Elastizitätsversuchen, bei denen es auf die Ermittelung von d ankommt, zu bestimmen, v ist für den Fall der reinen Knickfestigkeit unfreiwillig, zufällig und unmeßbar, darf aber ohne merklichen Fehler gleich Null gesetzt werden. k₀ ist die kleinste Kernweite, die (nach I. 112) der gefährlichsten Lage der Kraftlinie des Querschnittes entspricht.

¹    Asimont, Zeitschr. f. Baukunde 1880. S. 30.

²    Zeitschr. des bayer. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1876—77. S. 120. — Auch in Mehrtens, Mechanik fester Körper, a. o. O. S. 602.

³    Rigaer Industrie-Zeitg. 1883, Nr. 23 und 1884, Nr. 22.

12

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

28. Neuere Knickformeln.

a. Tetmajer.

i. Wie (unter 25, a) bereits ausführlich dargelegt wurde, ist es das besondere Verdienst Tetmajers, die Grenzen der Gültigkeit der Euler-Formel durch zahlreiche Knickversuche festgelegt zu haben. Innerhalb dieser Grenzen rechnet Tetmajer deshalb nach der EuLER-Formel für die außerhalb der untern Grenze liegenden kleinen Werte des Verhältnisses von l : r benutzt er aber eine Geradenioxv&çS., die er aus seinen Versuchen abgeleitet hat. Danach gestalten sich die Berechnungen Tetmajers bei reiner Knickfestigkeit wie folgt, wobei Verfasser die stellenweise etwas umständliche Bezeichnungsveeise Tetmajers nicht immer beibehalten hat.

Bezeichnet man die Knickfestigkeit mit K und die Druckfestigkeit mit Z>, so führt Tetmajer eine sog. Vermittelungszahl a ein, die das Verhältnis von K : D festlegt. Also

(137)

K_Knickfestigkeit

D Druckfestigkeit

Ist ferner (wie früher) Pk die wirkliche Knickkraft im Augenblicke des Knickens, so ist

Pk

und

Pk

a FD

Die EuLERformel läßt sich danach in der Gestalt

Pk

— it* E

k I 'Ni

— aD

anschreiben.

Wählt man den Sicherheitsgrad gegen Knicken gleich vi und sind

Ok = —

Od = —

die zulässigen Spannungen gegen Knicken und Druck, so folgt weiter

(138)

Ok — ceOd.

In einem praktischen Falle sind D und m gegeben. Pk ist entweder nach der EuLERformel oder nach der Geradenformel zu berechnen. Daraus folgen a und Ok. Durch Probieren kann man dann dem Querschnitte F solche Abmessungen geben, daß Ok die zulässigen Grenzen nicht überschreitet. Näheres unter den Übungsaufgaben (29) und in den Tabellen (30).

2. Tritt an Stelle der Achsenkraft eine Längskrait, handelt es sich also um einen Fall der znsammme?igesetzten Knickfestigkeit, so schlägt Tetmajer das folgende Rechnungsverfahren ein.

Die Grundlage des Verfahrens bilden (für den Fall eines freien und eines eingespannten Stabendes) die beiden Gl. (127) und (128). Jene lautet

à + v —f

max -

'.m*

mm

(139)

worin für praktische Aufgaben das letzte Glied des Nenners ohne Bedenken fortgelassen werden kann

und

<w = <Qi+^p)-

(140)

Es bedeuten (nach 26)

v: Hebelarm der Längskraft F1 <5: Biegungspfeil am freien Stabende,

P

as = — : Achsenspannung des Stabes,

F

k: eine der beiden Kernweiten,

ö^max • eine Randspannung im gefährlichsten Querschnitte (in der Einspannung).

v und k können in der Kraftlinie des Querschnittes oder senkrecht zu der der Kraftlinie zugeordneten Achse XX gemessen werden.

bis zur Knickgrenze gültig wäre, so

Wenn die Gleichung für a müßten die danach berechneten Randspannungen Zahlenwerte gleich der Zug- oder Druckfestigkeit [Z oder D) geben. Die Gleichung gilt aber nur bis zur Proportionalitätsgrenze. Um sie aber auch bis zur Knickgrenze brauchbar zu machen, setzt Tetmajer

(Ui)

_ X , D

ö^max — oder

je nachdem eine Zug- oder Druckspannung in Frage kommt. Er bestimmt hier also die Vermittelungszahl a für Druck aus der Bedingung

Dk

°s (/+ k)

(142)

12*

Hierin ist bekanntlich die Kernweite

Für schmiedbares Eisen kann Z = D gesetzt werden.

Wesentlich für die Rechnung sind die aus den Versuchen Tetmajers gewonnenen (unter 30 a angegebenen) Werte der Vermittelungszahlen a.

Der etwas umständliche Rechnungsgang gestaltet sich nach obigem wie folgt:

Man nimmt eine passende Achsenspannung o's an, so daß

Oj < Os i

berechnet

mP

Dann setzt

wobei der Sicherheitsgrad m — 4 bis 5 zu nehmen ist. man einen geeigneten Querschnitt des Inhaltes F zusammen, berechnet

r und —, sowie r

k = —, yn

worin yn den Abstand zwischen einer zur Nullinie (oder zur zugeordneten Achse XX) parallelen Berührungsgeraden des Querschnittumrisses und der Schwerachse XX bedeutet.

Damit hat man auch

'S

gefunden, wenn man das dritte Glied des Nenners in Gl. (139) fallen läßt. Somit ist

Oma.x -

f I , Jmax 1

MI+~) gegeben. Schließlich ist zu probieren, ob das berechnete

^max -

— oder = —

ist. Trifft dies annähernd zu, so kann der gefundene Querschnitt beibehalten werden, sonst muß dieser durch nachträgliches Probieren den obigen Bedingungen bestens angepaßt werden. Näheres in den Übungsaufgaben unter 29.

b. Ostenfeld.

i. Prof. Ostenfeld an der Technischen Hochschule in Kopenhagen hat in den Jahren 1898 und 1902 zwei sehr beachtenswerte Arbeiten über die Knickfestigkeit geliefert⁵ und dabei das Verfahren Tetmajers in manchen Punkten verbessert und vereinfacht. Zunächst handelt es sich hier um die reine Knickfestigkeit.

Tetmajer benutzt für die wichtigsten Konstruktionsstäbe und für die unterhalb der Gültigkeitsgrenzen der EuLERformel liegenden wichtigsten Verhältnisse von /: r eine Geradeniormel, nur für Gußeisen kommt er zu einer Parabelioxmel (vgl. die Tabelle unter 30, a). Ostenfeld hält mit Recht allgemein eine Parabelformel für zweckmäßiger und weist nach, wie mit der von J. B. Johnson⁶ vorgeschlagenen Parabelgleichung

(Js =

max

(⁵43)

eine mindestens ebenso große Genauigkeit erzielt wird, wie mit den Geradenformeln Tetmajers. In der JoHNSONformel ist

^max -

wie im vorigen, a entspricht der Vermittelungszahl der Tabelle 9.

Ostenfeld legt außerdem ausführlich dar, wie jene Formel auch noch besondere Vorzüge gegenüber derjenigen Tetmajers besitzt:

1) Die Parabelformel berührt die EuLERlinie EE der Fig. 140. Sie

weil y aus der Be-

enthält daher nur die eine Unveränderliche a

max j

dingung der Berührung abgeleitet werden kann. Man erhält für den Berührungspunkt

(ö"max)

4 Tt'E

und

l\²

2 7t⁶ E

ömax

(⁵44)

Dagegen sind die beiden Unveränderlichen der Geradenformel voneinander unabhängig.

2) öjnax darf mit hinreichender Genauigkeit gleich der Streck- oder Fließgrenze des Baustoffes angenommen werden. Dagegen läßt sich

Setzt man

wenn l in Metern und F, F₀ in cm eingeführt werden, für ß seinen Wert in GL (148), so erhält man

F=F₀-\- —

Nach GL (144) ist für die JoHNSON-Parabel

(7)’

kein ähnlicher Zusammenhang zwischen den beiden Unveränderlichen der Geradenformel und den Eigenschaften des Baustoffes nachweisen.

Aus i) und 2) folgt, daß man für einen Baustoff, für welchen noch keine Ergebnisse aus Knickversuchen vorliegen, sofort und genau genug die richtige Parabelformel anschreiben kann, während man in gleichem Falle von den Unveränderlichen der Geradenformel nichts weiß.

2. Für Schweißeisen und Flußeisen gibt Ostenfeld, unter Benutzung der Versuchsergebnisse Tetmajers, die Parabelformel in folgender Gestalt

(¹45)

30000

Darin ist Ok die zulässige Knickspannung bei w-facher Sicherheit, also

ok =

fe)

und

Oz - 0max •

Für Flußeisen, wenn dessen Streck- oder Fließgrenze gleich 2,7 —2 und m — 4 gesetzt wird, erhält man danach

ok = 700 i —

M-)T

30000 \ r ) J

3. Um den Rechnungsgang möglichst ohne viel Probieren durchführen zu können schlägt Ostenfeld die Einführung folgender Bezeichnungen vor

(146)

— = Fo

Gz

Das gibt

F= ßr\

Ok —

und

= gĄi

ßF

30000F

F= F₀ +

ßF

(148)

2 Ji² E

7 = I25

als Gültigkeitsgrenze. Für

= 122,5 folgt aus der Gl. (148)

(149)

Das gibt für Flußeisen, mit E — 2150—- und o

max

= 2,7

cm²

F= 2 E₀.

Damit hat Ostenfeld ein sehr einfaches (ausreichend genaues) Kennzeichen für die Gültigkeitsgrenze seiner Parabelformel gefunden. Es lautet :

Je nachdem

E^2F₀

ist die Parahel- oder ExjLER-Formel anzuwenden. Die Größe

ß⁷ =

r²

Jm. in

ist eine reine Zahl und für geometrisch ähnliche Querschnitte unveränderlich. ß wird sich demnach z. B. für die Normalwalzprofile gleicher Hauptform mit den Profilnummern nur wenig ändern. Man erkennt übrigens, wie ß ein Maß für die Sparsamkeit der Querschnittsform bedeutet: Je kleiner ß, hei gegebenem /, desto kleiner F, d. h. desto geringer die Aufwendung an Baustoff.

4.    Die von Ostenfeld gemachten Angaben über die Größe der Zahl ß für verschiedene wichtige Querschnitte vgl. in der Tabelle unter 30, a, 3.

in

max

5.    Bei der Berechnung der zusammengesetzten Knickfestigkeit rechnet Ostenfeld mit der Gl. (139) und führt das dadurch bestimmte /, die Gl. (140) ein. Er erhält dann nach verschiedenen Umformungen und Vereinfachungen, worüber die angegebene Quelle (1898) nachzulesen ist, für die Achsen^axmxmg Ot den Ausdruck

IO

Ot

worin y eine durch Versuche festzustellende Vermittelungszahl bedeutet und Gs also annähernd die gleichzeitig mit der größten Randspannung auf tretende Achsenspannung vorstellt. Die neue Formel ist zuerst von v. Emperger vorgeschlagen worden, wenn auch ohne Herleitung

aus den grundlegenden Gl. (139) und (140). Man sieht, daß sie insofern allgemein aufgebaut ist, als sie für v — o in die Formel Rankines übergeht, also in gewissem Sinne auch den Sonderfall der reine7i Knickfestigkeit in sich schließt. Daraus wäre zu schließen: Weil einerseits die Herleitung der Formel durch Ostenfeld auf einwandfreiem Wege aus den mathematischen Grundlagen der Knickfestigkeit — das sind die Gl. (139) und (140) — erfolgt ist und weil sie anderseits für v = o auch auf den Fall der reinen Knickfestigkeit anwendbar ist, so gewinnt dadurch die Bedeutung der Formel Rankines \ Um die von v. Emperger vorgeschlagene und von Ostenfeld näher begründete Formel der Gl. (150) völlig brauchbar zu machen, fehlen nur noch einwandfreie Vermittelungszahlen y für alle in Frage kommenden praktischen Fälle. Vorläufig genügen für den Gebrauch wohl die von Tetmajer für die Vermittelungszahl y der RANKiNE-Formel ermittelten Werte (Tabelle 8). Für schmiedbares Eisen wäre danach im Mittel

(IS*)

y — 0,00015

einzusetzen.

Setzt man für m-fache Sicherheit, wie früher

die zulässige Äw^spannung o

max -

am

os

mF

Knick Spannung Ok — — nt

so erhält man die obige Formel in der Gestalt

Ok =

ömax

il5²)

oder auch

r v

ömax — °k I I +    + y

(¹5 3)

Für schmiedbares Eisen kann man (nach Tetmajer) hierbei setzen.

Tabelle 9. Erfahrungswerte nach Tetmajer.

Baustoff

D oder Z t/cm² im Mittel

im Mittel

ö'max —

D a z — oder —

cc

<■

t/cm²

Schweißeisen

3,5°

0,00016

0,00014

M5

i,3°

Man vergleiche hierzu die ausführlichen Tabellen 11 und 12 (unter 30).

¹ Vgl. auch eine ähnliche Herleitung der RANKiNE-Formel in Krohn, Centralbl. d. Bauverw. 1885, S. 400.

Flußeisen

4,40

3,04

3,38

6. Durch Einführung der Zahl

r²

./min

und der Größe

Umax

F₀ =

bringt Ostenfeld die Gl. (150) in die für den praktischen Gebrauch bequeme Form

(¹5 4)

F₀

[vyn + 7^)1

Darin ist yn der Abstand der am meisten gespannten Randfaser von der der Kraftlinie des Querschnittes zugeordneten Schwerachse. Näheres in den folgenden Übungsaufgaben.

29. Übungsaufgaben.

a. Vorbemerkungen über die Knicklänge. Beim Gebrauch der EuLER-Gleichungen und anderer Knickformeln wird vorausgesetzt, daß bei der Bewegung der freien Stabenden keinerlei Reibungshindernisse oder dergl. auftreten. Sind beide Stabenden frei geführt, so denkt man sich z. B. jedes Ende mit einem reibungslosen Gelenke versehen (I. 15). In den wirklichen Konstruktionen, und selbst bei Knickversuchen in der Festigkeitsmaschine, wird diese Voraussetzung aber nie ganz erfüllt. Man wird deshalb an jedem freien Stabende das Vorhandensein eines mehr oder weniger großen Momentes zu berücksichtigen haben. Sind die Stabenden in Wirklichkeit mit Gelenken versehen, so ist es Gebrauch, diese als reibungslos wirkend anzusehen und, im Hinblick auf die durch das unvermeidliche Reibungsmoment verursachte Vergrößerung der Knickkraft, einen entsprechend niedrigen Sicherheitsgrad zu wählen. Bei Konstruktionen aus Holz (und wohl auch aus Gußeisen) wird die Lastübertragung aber am freien Stabende häufig durch stumpfen Stoß, ohne Beihilfe von Schrauben oder dergl. bewirkt, derart daß eine wirkliche Einspannung (I. 14) nicht vorhanden ist. In solchen Fällen ist die dadurch herbeigeführte Vergrößerung von P am einfachsten durch Einführung einer entsprechend kleinen Knicklänge l zu berücksichtigen.

Ist ein Stab, wie es in europäischen Eisenkonstruktionen die Regel bildet, an beiden Knotenenden (I. 14) vernietet, so müßte er eigentlich so berechnet werden, als ob er an jedem Ende eingespannt wäre. Das geschieht aber gewöhnlich nicht. Man rechnet nämlich die von den Einspannungen herrührenden Vergrößerungen oder Verkleinerungen der in bekannter Weise (unter Annahme reibungsloser Knotengelenke) ermittelten Stabkräfte [Achsenkräfte) zu den Neben Spannungen (Zweiter Abschnitt). So kommt es, daß die Einspannungen auch bei der Berechnung der Knickfestigkeit eines Konstruktionsstabes als reibungslose Gelenke angesehen werden. Ob dann der dabei gebräuchliche Sicherheitsgrad m — 4 bis 5 nicht zu hoch bemessen ist, dürfte allgemein schwer zu entscheiden sein. Berechtigt erscheint die Annahme einer so hohen Sicherheit nur im Hinblick auf den Umstand, daß in den vernieteten Stabenden die Stabkraft in der Regel keine reine Achsenkraft, sondern vielmehr eine mehr oder weniger außerhalb des Stabmittels angreifende Längskraft ist.

Nach obigen kann in besondern Fällen die rechnungsmäßige Knicklänge / der EuLER-Formeln (S. 162) gewählt werden: für stumpfen Stoß oder Flächenlagerung an beiden

Enden (bei Holz oder Gußeisen).....0,90 bis 0,85 l

-    iW?/anschlüsse der beiden Enden in Fachwerken, je nach der Lage des Falles .    .    . 0,70 bis 1,00 /

1,80 l.¹

-    einmalige vernietete Kreuzung eines Stabes der Länge l in zweiteiligen Wandgliederungen etwa

b. Holz und Gußeisen.

23,0

rpn

Aufgabe 38. Ein 4,5 m langer, im Querschnitt quadratischer Holzpfosten (Fig. 144), ist unten mit stumpfen Stoß auf einen Quader gestützt, während das obere Ende von Zangen umfaßt wird, die eine Achsenkraft von 25,0 t übertragen. Die Abmessungen des Pfostens bei $ fâcher Sicherheit gegen Knicken sind nach Tetmajer, Euler und Rankine zu berechnen.

Nach der Tabelle 7 ist die Druckfestigkeit D des Nadelholzes mit

\5 m

cm²

anzuschreiben. Das gibt eine zulässige Druckspannung

MT

0,280

Od =

Fig. 144.

Tetmajer nimmt in diesem Falle freie Führung beider Enden an, wobei wegen des untern stumpfen Stoßes

angesetzt wird.

/ = 0,85 • 4,5 = 3,825 m

Vgl. die Versuche in Tetmajer, Festigkeitslehre, 3. Aun. S. 397.

Das Verhältnis der Länge von 4,5 m zur Seitenbreite b des Quadratquerschnittes ist in der Regel innerhalb gewisser Grenzen durch praktische Rücksichten festgelegt. Nimmt man vorläufig

15

an, so berechnet sich aus

12

der Trägheitshalbmesser mit und das Verhältnis

¹

Festigkeitslehre. 3. Aufl. S. 352, 401 und 410.

²

   Vgl. Angaben über ältere Knickversuche in Mehrtens, Mechanik fester Körper. Handbuch der Baukunde. Band I. Abt. I. S. 601.

³

   Nach des Verfassers Ansicht ist diese Zahl für Gußeisen als Mittelwert zu hoch gegriffen. Denn übereinstimmend geben andere Forscher, wie Hodgkinson, Laissle und Schübler, Scharowsky, Bauschinger viel weniger an: nämlich im Mittel 0,00040. Vgl. hierzu die Übungsaufgaben (29).

⁴

   Ritter. Eine neue Festigkeitsformel. Civil-Ingenieur, 1876. Bd. 22. S. 309.

⁵

Ostenfeld. Exzentrische und zentrische Knickfestigkeit. Zeitschr. d. Ver.

⁶

deutsch. Ing. 1898, S. 1462. — Derselbe. Einige Bemerkungen über die Bestimmung der Abmessungen exzentrisch und zentrisch beanspruchter Säulen. Daselbst 1902, S. 1858.

⁷

Die Hilfsgröße ß ist zuerst (1893) von Cl. Fidler eingeführt worden in: A practica] treatise on bridge-construction. London. 3. Aufl. 1901, S. 160—167.

i)

— = 5² •

r

Diese Zahl liegt (nach Tabelle 11, 30) außerhalb der Gültigkeitsgrenze

l

der EuLER-Gleichung. Für —- = 50 ist nach der Tabelle 11 die Vermittelungszahl a — 0,7. Die zulässige Knickspannung ergibt sich danach mit

cm²

°k = 0,7 • °d = 0,7 • 0,056 = 0,039 und der Pfostenquerschnitt mit

F= —

²5>°

Ok 0,039

= 641,0 cm²

d. h.

²)

b = ² 5 ? 3 cm. Dem entspricht ein Trägheitshalbmesser

r = 7,31 cm

oder ein Verhältnis

= 5 ² ;3

was sich mit der obigen Annahme 1) befriedigend deckt.

2. Wenn man die EuLER-Gleichung benutzt, obwohl der obige Fall (nach Tetmajer) außerhalb ihrer Gültigkeitsgrenzen liegt, so erhält man, bei 5 fâcher Sicherheit, nach der Gl. (107) für den ersten Hauptfall

max P —

10 ■ EJ _io-ioo-25,3⁴

oder

5 ’ 382,5²

i² ' 5'3⁸²j5²

max P — 4 7 t.

wenn die Erfahrungszahl y aus der Tabelle 8 (24) mit 0,000 23 entnommen wird.

Man sieht, wie die RANKiNE-Formel hier zweifellos noch viel richtigere Ergebnisse liefert als die EuLER-Formel.

Aufgabe 39. Eine gußeiserne 4 m hohe, am untern Ende ein gespannte Hohlsäule, am obern Ende frei an der Achse geführt, soll bei $ fâcher Sicherheit eine Achsenlast von 50 t tragen. Welche Abmessungen muß sie (nach Euler und Tetmajer) erhalten?

Hier liegt der 4. Hauptfall vor :

20 Ef

max P —

oder

20 E

Das gibt für E — 1000

— 2000 cm⁴.

Das gäbe eine Achsenspannung

P 47000

641

= 73 atm.

Danach liefert die EuLER-Gleichung offenbar hier eine zu große Tragkraft. 3. Aus der RANKiNE-Formel

max P —

Od • F

'S N

erhält man bei gleicher Knicklänge und 5 fâcher Sicherheit

ma xP =

j • 0,28 • 641

i + 0,000 23 • 52,3²

= 22 t

5 • 400² • 50

20000

Aus den im Anhänge gegebenen Tabellen 16 —17 (30) entnimmt man die für vorliegenden Fall passenden Abmessungen. Es kämen in Frage Säulen mit

Durchmesser d

Wandstärke d

cm

cm

Querschnittsfläche F Trägheitsmoment J cm²

cm⁴

id o ■lo hT of of

70,69

87,97

98,18

2008

2199

Nimmt man die Druckfestigkeit des Gußeisens (nach Tabelle 7) mit

8 —-, so berechnet sich die Achsenspannung für die Säule 1) mit

= 707 atm.

Os = —

50000 70,69

Streng genommen soll os die zulässige Knickspannung o> nicht überschreiten. Diese bestimmt man am besten nach Tetmajer und der Tabelle 11 (30) aus

ok — a od.

Dabei braucht man das Verhältnis — Dafür erhält man nach a

= 54-

0,71 • /    0,71 • 400

V4 V

2008

70,69

Die Gültigkeitsgrenze der EuLER-Formel liegt aber für Gußeisen etwa bei 80. Die Vermittelungszahl a ist nach der Tabelle 11 unter 30

für — = 54

r

genau genug

a = 0,348.

Das gibt

= 557 atm.

8000

Ok = 0,348--—-

Die mit 707 atm vorhin berechnete Achsenspanrumg übersteigt demnach die zulässige Knickspannung. Somit müßten die gewählten Abmessungen für die Säule noch vergrößert werden,

c. Schmiedbares Eisen.

Aufgabe 40.¹ Eine flußeiserne [an beiden Enden in der Achse geführte] Säule von 7,5 m Länge trägt eine Achsenkraft von 50 t. Ihr Querschnitt besteht aus zwei W-Eisen, die soweit voneinander abstehen, daß fx — fy wird. Welche deutsche Normalprofile sind zu wählen, wenn die beiden U- Eisen durch Querverbindungen zu einem einheitlichen Querschnitte verbunden werden und der Sicherheitsgrad gleich 4 sein soll?

i. Maßgebend ist die Gl. (145)

30 000 r²

ok = 700 i —

¹ Nach Ostenfeld.

96,6¹

= °,97-

Ferner ist nach Gl. (147 und 148)

P 50000

Po =

gz

und

700

= 71 cm² 3

F=Po +

ßr

D¹ • 7>5⁴

= 93,6 cm⁵,

— = 7¹ +

3

worin ß nach der Tabelle 13 (30) von Ostenfeld vorläufig zu 1,2 angesetzt worden ist.

Weil nun F kleiner als 2F₀ ist, so gilt die Parabelformel. Zwei U-Eisen Nr. 26 geben F = 96,6 cm³ und dafür berechnet sich

,/min    9^46

Diesen Wert oben eingesetzt gibt

F= 71 + 0,97 • 18,8 = 89,3 cm⁴.

Danach kann die gewählte Nr. 26 beibehalten werden.

2. Der Trägheitshalbmesser des Querschnitts berechnet sich mit

Daraus

r = l/Z ₌ l/iM * F y 93,6

= IO,I.

I _ 75°

und

10,1

= 75

Ok — 700

= 569 atm.

Nach Tetmajer Tabelle 11 (30) ist die Vermittelungszahl a für = 70: a = 0,606 ,

= °,57⁶-

/

— = 80: «

— = 75 also r

Gk — g •

Aufgabe 41. Eine schweißeiserne [an beiden Enden frei drehbare) nnd 8,9 m lange Säule mit einem Kr eisringquer schnitt trägt eine Längskraft P von 36,0 t, die in einem Abstande v — 3,55 cm vom Kreisring-mitiel angreift. Welche Abmessungen muß sie (nach Ostenfeld und Tetmajer) erhalten, wenn 4fache Sicherheit verlangt wird?

b+V

In der von Ostenfeld für den praktischen Gebrauch hergerichteten Formel Gl. (154)

E₀

öfnax

F^=F₀

ist

Fo =

F² fmia

Ferner ist (aus der Tabelle 8) für Schweißeisen

y = 0,00016

zu entnehmen, sowie auch die zulässige Randspannung

ÖJnax -

Das gibt

4a

4    ’ ' cm²

F₀

36000

760

= 47)4 cm².

Der Wert von ß muß zuerst nach der von Ostenfeld gegebenen Tabelle 13 (30, a) geschätzt werden. Zu diesem Zwecke nehmen wir vorläufig (nach unserer Tabelle 16 (30, b) für den Kreisringquerschnitt Durchmesser 2    = 2 5 cm

2 cm

I oder d = 0,16 q.

Wandstärke

Dafür ist aus der Tabelle 13 (30, a) durch Interpolation

ß = D85

zu finden. Der Abstand der Randfaser vom Querschnittsmittel ist danach vorläufig mit

yn = 12,5 cm

einzusetzen. Daraus berechnet sich

^=47,4

[i+V

(3,55 • 12,5 + 0,00016 •

8₉o²)j

= 146,4 cm².

47)4

Die vorläufig angenommene Querschnittsfläche ist allerdings nur 144,51 cm² groß. Der Unterschied zwischen beiden Zahlen ist aber so gering, daß eine nochmalige Rechnung nicht notwendig erscheint.

Zur Nachprüfung berechnen wir nochmals die wirklich eintretende Knickspannung aus der Gl. (139)

/max —

r)E

worin f

nach erfolgter Biegung vorstellt.

— ö + v den Hebelarm der Längskraft P in der Stabmitte

Wir erhalten

v = 3,55 cm,

r-Vi-V-

9628

144,5!

= 8,16 cm

(7)’

= 11893

r² — 66,6 cm², 792100

66,6

o', =

36,0

144,5!

= 0,249

cm²

cm²

E = 2000

oder

max--

3,55

= 4,35 cm-

Daraus nach Gl. (140) die größte Randspannung

Om ax

Darin ist

I i_ /max \

r²

66,6

y»

- = 5,3²8 cm.

12,5

Die größte Randspannung ist ein Druck, und er berechnet sich mit

^max -

— 452 atm.

Die Biegungsspannung am Rande bleibt danach bedeutend unter der oben auf 760 atm festgelegten Grenze. Tetmajer, der die obige Aufgabe nach seinem Verfahren behandelt, erhält

os = 274 atm = 4,40 cm,

Om ax — 500 atm

Daraus findet man

dz

wobei er

2 Q = 25,0 cm ó =    1,8 cm

zu Grunde legt⁷,

Aufgabe 42⁸. Ein flußeiserner gerader Stab, kreisförmigen Querschnittes, der fornal länger als sein Durschmesser d und spannungslos ist, wird an beiden Enden durch Gelenke gefaßt (Fig. 145) und darauf gleichmäßig erwärmt. Bei welcher Temperatur und Spannung beginnt er sich zu biegen und wie wächst die Spannung mit zunehmender Temperatur?

i. Erwärmt man den Stab über diejenige Temperatur hinaus, bei welcher er spannungslos ist, um t Grad, so ist nach dem Elastizitätsgesetze die in ihm entstehende Temperaturspannung (nach I. 8 und 4, b)

'42Z

ft?.....*"

rny

fl fl _ f_m

ot = at tE,

wenn at die Temperaturdehnung für i° C. vorstellt. Im Augenblicke, wo die Biegung beginnt, ist die elastische Linie durch die Gl, (124)

y = d ( i — cos Nz) bestimmt, worin v — o gesetzt und

(⁷55)

Fig- H5-

N⁸ =

EJ

ist.

— = NÔ sin Nz

und daraus das Bogenelement

ds — dz

k.+gH

i-f

N⁸ô⁸ sin⁸ Nz

dz,

wenn das Quadrat des letzten Gliedes als verschwindend vernachlässigt wird.

13

Die zu einer Wellenlänge l gehörige Abszisse 2 ist (nach Gl. 3 unter 23, b)

2 7t

allgemein gleich • Deshalb ist die Bogenlänge s einer Welle mit

Nz — 2 7t

x-f

N²ö² sin² Nz

Nz — o

oder

2 7t

/ä² rNz = 27t

+ -- I sin² [Nz) Ndz.

Nz = o

Das gibt

2 7t

Die Verlängerung dz der Stabachse auf einer Strecke 2 infolge der Biegung beträgt danach

27t

2 7t

Daraus folgt der Ausdruck der Dehnung mit

N²ö²

dz dz

Diese Dehnung setzt sich zusammen aus der Temperaturdehnung für t Grad und der entgegengesetzt gerichteten Zusammendrückung infolge der von der Temperaturdehnung verursachten Achsenkraft P. Daraus folgt N²ö²

Os

= att--—

wenn os die Achsenspannung vorstellt. Das gibt ô = 4-Vati — N²r²

wenn r der Trägheitshalbmesser ist.

Im vorliegenden besondern Falle ist die Wellenlänge (nach Fig. 126) gleich 2/, also

²)

Die durch die Biegung hervorgerufene größte Spannung ist (nach

Gl. 135)

3)

Om ax

= Os

(■+ )

worin k die Kernweite bedeutet.

Die Biegung beginnt mit einer Temperaturerhöhung um tx Grad, für welche d — o sein muß. Das gibt nach 2)

(I56)

4)

7i²r²

cctr

Die Biegung beginnt demnach mit der Achsenspannung

5)

gs = attxE.

2. Die erstgestellte Frage ist damit beantwortet. Für at= 0,0000x2 und 7t² — 10 erhält man

“(S

0,000 012 • (50 d)²

= 20,9 Grad.

Die zweite Frage beantwortet sich wie folgt: Setzt man in 1) für N²

so gibt das

tx,²

seinen Wert -r=-

H—⁼ cctt

7t² Ô² . Os

4I²

oder in Verbindung mit 5)

7t² Ô²

4CC/1²

= t—U

und, in Verbindung mit 4)

ô y t — tx Ą0²

2 r.

d²

Nach 3) ist ferner

d^max

Gs

I 0-9

SÔ

Wird das Verhältnis der größten Biegungsspannung o Spannung os gleich m gesetzt, so folgt

IllU-X

zur Achsen-

6)

t—t₁ —

l6

Aus 5) berechnet sich

os = 0,000012 • 20,9 • 2000

= rund 0,1500 —— • cm²

Nimmt man die Proportionalitätsgrenze des Flußeisens mit 2,5

cm²

an, so würde, um eine solche größte Biegungsspannung in der Stabmitte zu erzeugen, noch eine Temperaturerhöhung über /, hinaus von

betragen.

eintreten. Die Gesamttemperatur würde danach

t =■ 41,8 Grad

Der dabei eintretende Biegungspfeil ô berechnet sich nach 2).

d. Stein und Stein-Eisen.

i. In der Regel wird man bei Pfeilern oder Stützen aus Stein und Stein-Eisen das Verhältnis von — klein genug halten, um eine Gefahr des Knickens auszuschließen.

² 20,9

'■-Bi-)

= 20,9 Grad 16

Nach dem vom Verbände deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine und dem deutschen Betonvereine aufgestellten Entwürfe für » Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Eisenbetonbauten« ist die Knickgefahr ausgeschlossen, wenn die Stützen folgende Abmessungen erhalten:

Tabelle 10. Kleinste Durchmesser d oder Breiten- b von Säulen, oder Stützen.

Runde Säulen min. d

Achsenspannung ffs in atm

Rechteckige Stützenquerschnitte min. b

Sb Sb Sb Sb Sb

Sb Sb Sb Sb Sb

Steinerne Stützen von obigem Längenverhältnisse brauchen auf Knickfestigkeit nicht untersucht zu werden, wenn nur eine Achsenkraft zur Wirkung gelangt. Ihre Berechnung erfolgt nach den (unter I. 124) entwickelten Gl. (135) bis (139). Ist eine am Hebelarm x angreifende Längskraft vorhanden, so kommen die dortigen Gl. (140) und (141) in Betracht.

2. Maßgebende Versuche über die Knickfestigkeit von Stein- und Steineisenstützen fehlen zur Zeit noch \ Auch liegt es nach den voraufgegangenen Betrachtungen (25—27) auf der Hand, daß für so wenig

¹ Tetmajer. Festigkeitslehre. 3- Aufl. 1903. S. 402.

elastische Stützen, wie es Steinsäulen oder dgl. in der Regel sind, die Berechnung nach der EuLER-Formel nicht am Platze ist. Hier empfiehlt sich am meisten die RANKiNE-Formel (27) oder eine der (unter 28) gegebenen Formeln. Allerdings fehlt es dabei auch an zuverlässigen Werten der Vermittelungszahl y. Jedoch wäre es wohl möglich, besonders für Betoneisenstützen, die Zahl y in der Weise zu erhalten, daß man (nach I. 124) den Betoneisenquerschnitt Fi in einen gleichwertige71 AA^vzquerschnitt Fe verwandelte und für diesen die Vermittelungszahl y aus den für Eisen vorliegenden Knickversuchen entnimmt. Denn rein theoretisch — abgesehen von dem verschiedenen, noch nicht ausreichend geklärten Verhalten zwischen Eisen und Beton während der gemeinsamen elastischen Biegung — muß in beiden Fällen, ob man mit Fe oder Fi rechnet, die Knickkraft P gleich groß ausfallen.

Denn (nach I. 124 Gl. (139)) ist anzuschreiben

(¹5 7)

<H__ Fe

Ge Pi

Bei der Biegung ist

Gi —

Mk

Ftki

und

Ge —

Mk

Feke ’

wenn Mk das Kernmoment (I. 112) und &i, he die betreffenden Kernweiten vorstellen. Daraus folgt

Gi

Feke

Ge Fiki

und in Verbindung mit Gl. (157)

ke — kb.

Die Kernweiten beider gleichwertigen Querschnitte sind also gleich, deshalb sind es auch die Trägheitshalbmesser r. Somit hat man (rein theoretisch) zwei RANKiNE-Formeln für die Berechnung zur Verfügung, nämlich

GiFi

und

Ge Fe

In beiden Gleichungen sind y, l und r gleiche Werte. Entscheidend für die Anwendung der Formeln wäre die Festsetzung des Verhältnisses der Dehnungsmaße für Beton und Eisen.⁹ Das schwankt heute noch etwa innerhalb der Grenzen

1h und Ts '

Für den vorliegenden Fall der Knickfestigkeit empfiehlt sich wohl — aus Sicherheitsgründen — den kleinsten Wert zu wählen, weil dann die zulässige Druckspannnng Ob innerhalb angemessener Grenzen bleibt. Die Vermittelungszahl y der RANKiNE-Formel müßte aus Durchbiegungsversuchen an der Proportionalitätsgrenze des Eisens bestimmt werden.

Nimmt man an, daß das Eisen im Augenblicke des Knickens höchstens an seiner Fließgrenze angelangt sein darf und setzt diese, wie früher, mit etwa

3,°

cm¹⁰

fest, so würde damit die Druckfestigkeit des Betons auf

- — =0,20-

5    cm¹⁰

begrenzt werden. Bei fünffacher Sicherheit gäbe das Ot — 40 atm ; oe — 600 atm.

Die Vermittelungszahl y wäre für den gleichwertigen Eisenquerschnitt Fe (nach Tabelle 8 unter 27) durchschnittlich mit

y = 0,00015

einzusetzen sein.

ff

i—#-----t

3. Aufgabe 43. Der in der Fig. 146 dar gest eilte Betoneisenquerschnitt einer 10 m hohen Stütze (vgl. 1.124, a) \ trägt eine Achsenlast von 30 t. Er ist 30X30 cm breit und durch 8 Rundeisen von je 20 mm Durchmesser, deren Mittel 25 mm vom Betonrande liegen, verstärkt. Wie groß ist der Sicherheitsgrad der Konstruktion?

Wir berechnen zuerst einen vollen Eisen-

iX

Fig. 146.

querschnitt Fe, der dem gegebenen Betoneisenquerschnitt gleichwertig fa\. (nach Gl. (139) unter I- S. 393)

Fe =/e + ßfö

und

oder

Fe =

8 • 2² • 7t

900 —

= 83,4 cm²

Je — 6 • 3,14 • 12,5² + 2 * 0,785

¹ [^1 — (6 . 3,14 • 12,5²)] = 7248,87 cm4.

15L¹²    J

Daraus

Je _ 7248,87

Fe

83,4

86,9 cm* •

Aus der RANKiNE-Formel erhält man danach

3000 • 83,4

I 800² \

I + ⁰’⁰MIS(w)

oder es ist der Sicherheitsgrad

— 3,97 -

i r 3°°° • 83,4

3—[1 + o,o.oI5&⁰)

Zu gleichem Ergebniß kommt man, wenn man mit Fs und Os rechnet.

Mörsch rechnet mit / = 0,0001. Das gäbe im obigen Falle

s = 4,85-

Auf die unter der folgenden Nummer gegebenen »Tabellen zur Knickfestigkeit« wird besonders aufmerksam gemacht. Sie enthalten außer den wichtigsten Erjahrungszahlen für die im vorigen entwickelten Formeln auch die Flächeninhalte, Trägheitsmomente und Trägheitshalbmesser für die in Eisenkonstruktionen gebräuchlichsten einfachen und zusammengesetzten Querschnittsformen.

i. Tabelle 11.

Baustoff

30. Tabellen zur Knickfestigkeit.

a. Tabellen zu den Knickformeln von Tetmajer und Ostenfeld.

Ergebnisse aus den Knickversuchen von Tetmajer¹.

Druck

festigkeit

D in — cm²

Pk

- für die Verhältnisse —

Grenzen

Z7 ¹¹¹ -2

F cm²

40    50

60    70

80    90

xoo

HO

•< 100

Nadelholz 0,280

0,293 — 0,00194 -

0,771 0,7000,632 0,561 0,493 0,421

Euler-Formel

o,353 o,²93

Graues ²

< 80

+o,ooo53

0,47» 0,386 0,309 0,245

Gußeisen

> 80

EULER-Formel

— 0,1940,1520,1230,102

Schweiß-

<.112

<2

co

0,717 0,680 0,643 0,606 0,569 0,531 0,494 0,457

< 105

EuLER-Formel

CO

0,696 0,666 0,636 0.606 0,576 0,546 0,516

> 105

Euler-F ormel

— 0,483

< 89

3,350 —

Flußstahl 6,00

0,0062

o,5i7 0,507 0,496 0,486 0,476

> 89

Euler-Formel

o,457 0,370

0,306

¹ Zu 25, a, S. 169. Vgl. dazu auch die Tabelle 6 und 7, in welcher die zugehörigen Werte von E angegeben sind.

² Hier tritt für

—    80 die Parabelformel ein.

r

³ Vgl. hierzu die Aufgaben 38, 39 und 40, S. 186—189.

2. Tabelle 12. Vermittlungszahlen a (28, a) nach den Versuchen von Tetmajer¹.

Baustoff

V ermittelungszahl

Bemerkungen

Nadelholz

0,70 + 0,03

Noch etwas unsicher. Weitere Versuche notwendig.

Graues

Gußeisen

, °,⁰²

°,3S + —

+- 0,0027

Hebelarm v der Längskraft P in cm

1,0

i,5

2,0

3,o

5,o

7,o

10,0

10,0

20,0

40,0

60,0

1,03

1,06

1,11

i,i7

0,82

0,85

0,91

0,96

0,72

o,75

0,80

0,86

0,62

0,64

0,70

o,75

o,53

o,5⁶

0,62

0,67

0,50

o,53

0,58

0,64

o,47

0,50

0.55

0,61

Schweiß- für volle Querschnitte :

zusammenges. Qu ersehn. : 1,10

eisen

Flußeisen

1,20

für volle Querschnitte:

- zusammenges. Querschn. : 1,20

1,40

Noch etwas unsicher. Weitere Versuche notwendig.

Tabelle 13.

Werte von ß in Ostenfelds Parabelformel (28, b).

Einfache volle Querschnitte

Normalprofile und zusammengesetzte Querschnitte

Form

Größe von ß

Form

Größe von ß

i. Ein Quadrat

12,0

Ein L

2.

Rechteck Ä ~> b

12 —

Kreis    %

Kreisring q Q d cf = 0,20 Q d'=°,I5£) cf = 0,10 Q â = 0,05 p

47T

L b: h — 2:3 L b : h — i : 2

b = 2h _L b = h

-L

o\

'b o

11,0

7,5

5,o

2,50

1,87

1,25

0,63

7,o

10,0

J L 4 Winkel mit etwa “I T i cm Zwischenraum -j j- 2 U - Eisen mit etwa i cm Zwischenraum

4,o

Vgl. hierzu die Aufgaben 40 und 41, S. 189—191.

~1    _T" 4 Z-Eisen mit

_f |__ einem Flacheisen

to

I i Quadrant-Eisen-Säulen ohne Zwischenlage

"00

Festigkeitslehre. 3. Aufl. S. 359—363.

b. Flächeninhalte, Trägheitsmomente und Trägheitshalbmesser.

i.

Tabelle 14. Rechteckquerschnitte.

* 'S

(cm²)

.^min

(cm⁴)

(cm)

(cm) (cm)

F    y min

(cm²)    (cm⁴)

(cm)

îo

00 ON O 00 On Ln

So

60

80

100

72

96

120

144

104.2 180,0 426,7

833.3 216,0 512,0

1000,0

1728,0

1,443

1,732

2,309

2,887

i,732

2,309

2,887

3,464

12

l6

24 l8 20

22

I 24

00 ■<!

98

112

HH

vo

00

to

to

to to HH M HH HH HH fO HH HH HH H* HH    *H HH HH HH HH    >H HH HH HH    HH HH HH

10 O 00 On 4* ti h o 00 On 4^ to o 00 On 4> to O vo On4 W O 00 M O

140

168

196

128

160

192

224

256

162

180

216

252

288

324

200

240

280

320

360

400

242

264

308

4* 4* U) Oa 00 4* vO Ln

400.2

597.3 1166,7 2016,0 3201,3

682,7

1333.3

2304,0

3658,7

5461.3

1093,5

1500,0

2592,0

4116,0

6144,0

8748,0

1666.7 2880,0

4573.3

6826.7 9720,0

1333.3

2440.2 3168,0

5030.7

7509.3

1069,2

1466.7 1952,1

2,021

2,309

2,887

3,464

4,042

26

HH HH HH

00 On 4* CkJ

20

22

24

2,309

2,887

3,464

4,042

4,619

2,598

2,887

3,464

4,042

4,619

5,^96

2,887

3,464

4,042

4,619

5,!96 5,774 3,*76

3,464

4,042

4,619

5,196

5,774

6,35i

26

On On Ln Ln -£*• 4*    Oo Ln Ln ^ ^ Oj W ^

*CT\ -f* ^ O 00 On 4*    00    0\ 00 O N h ON OO

VO 00 ir> 00 Th Th

8192

11664

i6ooo

21296

27648

3,464

4,042

4,619

5,196

5,774

6,35!

6,928

4760

5945

8875

12636

17333

23071

29952

38081

CO    M    ON    VO    Th    >-•

m    rh    M    On    m

h**    O    vo    co    ^

co Th Th vo 10 vo vo h'»

Ln VO O to on 00

22

616

6403    4,042

9557    4,619

5,^6 5,774 6,35i 6,928 7,5o6 8,083

t 30    900    I 67500

W sj h ON OO Ln vj vO h W 4* On VO O

00 COM ON On Ln Ln 4* 4*

.......

HH

Ln vO O tO ON 00

Fig. 147.

2.

Tabelle 15. Kreisquerschnitte von Vollsäulen.

(cm)

(cm²)

(cm⁴)

(cm)

(cm)

(cm²)

(cm⁴)

(cm)

IO

10.5

ii

”,5

12

12,5

i3

*3,5

78,54

86,59

95,03

103,87

113,10

122.72

132.73

143,14

491

597

719

859

i4

i4,5

i5

co \n vo \n ko

1018

1198

1402

1630

1886

2170

2485

2.500

2.625

2.750

2,875

3,000

3,125

3,250

3,375

3.500

3.625

3.750

24    452,39

24,5    47i,44

25    490,87

26    530,93

27    572,56

28    615,75

29    660,52

30    706,86

16286

17686

19175

22432

26087

30172

34719

39761

6,000

6,125

6.250

6.500 6,750 7,000

7.250

7.500

i5,5

i6

i6,5

17

I7,5

i8

18,5

i9

19,5

20

188,69

201,06

213,83

226,98

240.53 254,47 268,80

283.53

298,65

3H,i6

2833    3,875

3217

3638

4,000

4,125

4,250

4100

31    754,77

32    804,25

33    855,30

34    907,92

35    962,11

36    1017,88

37    1075,21

38    1134,12

39    H94,59

40    1256,64

45333

51472

58214

65597

73662

82448

91998

102354

113561

125664

7.750

8,000

8.250

8.500

8.750

9,000

9.250

9.500

9.750

10,000

20,5

21

21,5

22

22,5

23

23,5

330,06

346,36

363,05

380,13

397,6i

415,48

433,74

8669

5,125

9547    5,250

5,375 5,5oo

5,625

5,75o

10489

11499

12581

13737

14971

5,875

41    1320,25    138709

42    1385,44    152745

43    1452,20    167820

44    1520,53    183984

201289 219787

239531

260576 282979

306796

45    1590,43

46    1661,90

47    1734,94

48    1809,56

49    1885,74

50    1963,50

10.250

10.500

10,750

11,000

11.250

11.500 n,75o 12,000

12.250

12.500

TV

7t : 64 = 0,0490874; log — = 0,6909699—2

64

7t

— 0,0981748; log —

7t : 32

= °>99I9999—²

3-

Tabelle 16. Hohlsäulen mit einer Wandstärke d von 15 und 20 mm.

cT = 15 mm

â — 20 mm

(cm)

F{ cm²) I y (cm⁴)

r (cm)

f(cm²)

y (cm⁴)

r (cm)

10

*o,5

ii

i*,5

12

*2,5

*3

*3,5

*4

*4,5

*5

40,06

42,4*

44,77

47,i2

49,48

5 *,84 54,i9 56,55 58,90

61,26

63,62

373

44*

5*8

602

696

799

9*1

1034

1x67

1411

1467

Oi 4^ 'lo d ui ^ O to ui On 10

O Ul O

HM VO

M o (O Ui O ui

HM VO CS Ninw O CS Tt-VO 00

50,27

53,4i

56,55

59,69

62,83

65,97

69,11

72,26

75,40

78,54

81,68

427

509

601

703

817

942

1080

1231

1395

1573

1766

*5,5

16

*6,5

*7

*7,5

18

*8,5

*9

*9,5

20

20,5

21

21,5

22

22,5

23

23,5

24

24,5

25

26

27

28

29

30

3*

32

33

34

35

36

37

38

39

40

65,97 68,33 70,69 73,04 75,40 77,75 80,11 82,47 84,82 87,18

89,54

91,89

94,25

96,60

98,96

101,32

103,67

106,03

108,38

no,74

“5,45

120,17

124,88

129,59

*34,30

139,02

*43,73

148,44

*53,15

157,87

162,58

167,29

172,00

176,72

181,43

1635

1815

2008

22x4

2434

2668

2917

3180

3459

3754

4065

4394

4739

5102

5483

5883

6301

6739

7197

7676

8695

9778

10997

12287

*3674

15161

16780

18453

20264

22191

24235

26400

28692

3***4

33667

00 rh O vo CSOO T O VO CS 00 *n HM On t}- O VO COONioiOO N in co O CO in CO hm oo vo CO hm On vo Th CS On *>• tJ- ÇS |

ON hm CO invo^oo^ 0^CS^COintS.ON0^CS^T£V0^1>.CrN

rF in in in in invo~ vd vcT vd vdvd rC rC rC t^cc cc I od d cR cR d

ON Oo HM

HM Th O O co 00 m on

O CO 00 o

10,443

10,805 11,150 ¹1,503 11,856

hm HM HM HM HM

u> 04 jo jo jo

hmOOOOvOvOvOOOCO Ui VO ON U> o    4^ H M 42»

'hm Co 'ooIjnui    to hm o 'oc

O ON w M W VÛ UI HM *<r to

1975

2199

2440

2698

2973

3267

3580

3912

4264

4637

vo ON cT in 00 HM in CO HM w w CS CS CS CO CO CO Th

52

i44,5i

150,80

i57,o8

163,36

169,65

175,83

hm 000*0 m co hm o oo vo N iDN O covo O'* cs Th x>» csoo* rf hT co cKvo* cF oo

OOOOOnOQhhN tnto

5031

5447

5885

6346

6831

7340

7873

8432

9017

9628

10933

12354

13886

15544

17329

in O    covo O    to    N w o    m    O    m    O    m hm vo    d N ro    On    m O vo M OO Th O    vo CS    iriN    O    M    ^

hm 00 *0    CO O CO    lO    NON IO    CS    O    Is*    IO    CS O tN*    *n CS O    IO CO O 00 vO CO hm    OO VO    w VQ    d    Cm    M

ON CS    tJvO^    O»    cO VO    00^    hm    CO    10 C^OO    O CS^ rh    in    !>• CT\ hm^ cS^ rhVO^oo    On hm    ir>00    CS    io    On ;

cT co co co co co CO tF rf -r}- rF 10 10 10 in 10 invcTvfiTvcT vcT vd vd    t-^oo" oo"'od' ON On d» i

4*

42

43

44

45

46

47

48

49

50

186,14

190,85

195-56

200,28

204,99

209,70

214,41

219,13

223.84

228,56

36356

39184

42156

45276

48544

51966

55546

59288

63193

67268

*3,975

14,329

14,682

15,036

15,389

*5,742

16,095

16,449

16,802

*7,156

vO 00 00^1*^1 OnUi Ln -p* Ui QOJO    OJ vj w ui

3°i,6o

19246

21300

23495

25836

28329

30976

33784

3675⁸

39900

43216

46711

50392

54259

58320

62580

67042

7x710

76567

81709

87012

10,276

10,630

10,983

”,336 11,689 12,042 12,395 12,748 13,101 13,454

13,807

14,160

I4,5I3

14,866

15,219

15,572

15,926

16,279

16,634

16,985

4. Tabelle 17. Hohlsäulen mit einer Wandstärke d von 25 und 30 mm.

d = 25 mm

& = 30 mm

(cm)

F{ cm²)

y(cm⁴)

r (cm)

F[ cm²)

y (cm⁴)

r (cm)

10

10,5

ii

n,5

12

12,5

vn in 10 m    m m

m rn ^ rf m unvo vb"    rCoo ocT

H H H H H t-HtHMIHI-HM»-«

19

i9,5

20

20,5

21

2i,5

22

22,5

23

23,5

24

24,5

25

58,90

62,83

66,76

70,69

74,61

78,54

82,47

86,39

90,32

94,25

98,18

102,10 106,03 109,96 113,88 117,81 121,74 125,66 129,59

133,52

137,44

Hi,37

H5,3o

149,23

153,15

i57,o8

161,01

164,93

168,86

172,79

176,72

460

552

655

771

900

1043

1201

1374

1564

1770

1994

2237

2498

2780

3082

3405

3751

4119 4511 4928

5369

5836

6330

6850

7399

7977

8584

9221

9889

10589

11320

00^4 ^4 ^4 ^4 ^4 Ch 0^ os J3\ C\ J3\Oi Oa u* ^ ^    4^ 4^    to to

'O "bob'* 4* 04 vb *^4 On4 to b VO ^ 04 g O ^00    04 ^ b^Gob"'-Cg "U Xo ■<!

-2 &04    O    "cito CO 4* cf M-h S^OOOn^oJcSoj^cS

65,97

70,69

75,40

8o,ii

84,82

§9,54

94,25

98,96

103,67

108,38

113,IO

117,81

122,52

127,23

i3i,95

136,66

I4I,37

146,08

150,80

i55,5i

160,22

164,93

<£ 4    4>00" fON N N

vO r^oo co O' O'* O O

478

577

688

814

954

mi

1284

1475

1685

1914

2163

2433

2726

3042

3381

3745

4135

4551

4995

5467

5968

6499

7062

7655

8282

8942

9637

10367

HI33

11936

12778

26

27

28

29

30

184,57

192,42

200,28

208,13

215,98

12855

14588

16435

18433

20586

00*" oo d\ cn cn

VÛ NO\

10 o m h vo

Th

HH CO

216,77

226,19

235,62

245,04

254,47

14578

16540

18673

20982

23475

vovo G00000 ^-4^4^4^4*-4 0\ 0\jy\ 0^ 0\ JJsUi uitnuiuiin ^ 4* 4* 4*4^4*O4O4O4C^O4O4j0J0 'On'iO Or to 'oo'OnOx 04 'm vb ^00^4^ lo ~    ^ ^ 4> N> b "00^4 Cn 04 'tO "Ö OobhCn 04 O 00 On

OtnObiO üiMO    004 Ol 00 O 04 ^ 00 w    '-4 O <>4 Ln «^4 >-< t-n COtOOivO

UT 04 h-< i-t 0^0CnO^HMN0CO4OC\M QC on W vD M Ol 04 to w tO 4* 4* 4* **‘4 f-1 0\04

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

223,84

231,69

239,55

247,40

255,26

263,11

270,96

278,82

286,67

294,52

22901

25384

28042

30879

33902

37115

40526

44141

47963

52001

10,115

10,467

10,820

11,172

11,524

11.877

12,230

12,582

12,935

13,288

263,89    26158

273,32

282,74 292,17

301,59

311,02

320,44

329,87

339,29

348,72_

29040

32126

35426

38943

42687

46664

50883

55347

60067

9,956 10,308 10,660 11,011

11,363

n,7i5

12,068

12,420

12,772

13,124

41

42

43

44

45

46

47

48

49

So

302,38

310,23

318,09

325,94

333,79

341,65

349,5°

357,36

365,21

373,07

56264

60747

65467

70423

75624

81078

86785

92757

98995

105509

13,641

13,993

14,346

14,699

15,052

15,405 15,758 16,ii i 16,464 16,817

358,H

367,57

376,99

386,42

395,84

405,26

414,69

424,12

433,54

442,97

65047

70298

75822

81632

87728

94122

100822

107833

“5159

122814

13,477

13,829

14,182

M,534

14,887

15,240

15,593

15,945

16,298

16,651

5-

Querschnitt

Trägheitsmomente

Fläche

Trägheitshalbmesser

HfT

jm

I ! I

w/Ą%M

Fig. 148.

Für h > b ist: ymin = — [hb* — hx ć³]

12

F — bh— bxhx

'-tV-

hb* — hx b\

3 \bh — bxhx)

, ™    i 3 U

rj-----°-----p

•i

7l = “ [h[2b + c)³ — //, (2 bx + c)³ — {h hj)c³)

Ä(2^+ c)³ — Ax(23x -h r)3 — (A — Äx) r³

F = 2 {bh — bxhx}

6 (bh — bx hx)

ni

= t/

bh³ — bxh\

3 [bh — b₁ht)

Fig. 149.

ill

Fig. 150.

Jx = ±-{h[2b + e)³ — h₁{2b₁ + c)³ — [h — hx)cz]

Jn = -i- [ć(2 A + <0³ -    (2^1 + <0³ — (^ — ^x)^³]

Für Aj = bx ist:

yx = ^[h{2h + c)* — h₁{2hl 4-r)³ — {h — Ä,)f³] yn = — [A(2ä + *7)³ — hl{2h + rf)³ — (A hz) d³]

F = 4 [bh — bxhx]

F=4[h'-h\\

-W-

h{2b-\- e)* — ht[2b₁ + 6‘)³ — (h — hx)c³

6 {bh — bx hj)

ni

ni

=iV

b{2h + d)³ — b₁[2hI -\-d]² — (b — bx)d^

6{bh — bxh 1)

= tV

//(2 Ä -f- <r)³ — hx[2hx + ć)³ — {h — ht)c=

6(Ä² — hxy

-W

h{2h + d)³ — hx [2h + d)³ — (A — ht)d³

6(7?² — 7/²)

m

H4‘

y = — [(A — Äx) Ä³ -ł- A, — ^x)3] ¹    12

« i [M³ - M3]

Für Normalprofile ist ^ = ^min

-Ax)*³ + Ax(*-*,)³

F = bh —

30Ä-MO

“t/

bh³ — bxh\

3(M — Mi)

Fig. 151-

w///y/z//AzJzĄ I V'/y//,///',

ÇÇ\ ^TĄ

////A '♦

Jx-

WM/, 'i V/ZZM !

7j = -i[(Ä-ÄI){(23 + <r)³-^³} + '%i{(2^ + f-^i)³-(^x + ^³}]

yn= [bh* — l>xh\\

F — 2 [bh — bxhx)

⁼ tK

(A-Ax){(2J + *)³-f³ł + Ai{(** + '-*x)³-(*i+')³}

6 [bh — bx hx)

bh³ — bxh\

3(àb-hxbx)

r7~u/aZäZi i

Querschnitt

Trägheitsmomente

Fläche

Trägheitshalbmesser

^ ~~*r f

C' '■ ■ -i I ~~    '1 'ł

^.-1 ! I à a

>lŁt—»

ft = ±[(h-hx)(2b + c)³ + hx{2[b - bx) + c}³-hc³}

yn = -i- [(i - 3i)(2ä + d)³ + bx{2[h - hx) + d}³ - bd³}

F = \ [bh — bx hx)

“Ve

— ht)(2b -t-c)³ -\-hx{2[b —    + 4³ — he³

6{bh — bthx)

i i I..........

ji

Für hx — bx ist:

rV

[b — bx)[2h + d)³ + bx{2(h — hx) + d}³—bd³

6 (Ah — bx hx)

Fig. 153-

ft = -1[(A — At)(2Â-M³ +hx{2{h — hx)-{-c}³ — hc³] yn = ±-[{h-hx){2h + d)³ +kx{2(h-hx)+d}³-hd³]

(,h — hx)[2h-j-c)³ +At{2(A — ht) + r}³ — hc³

F — 4 (A² — h\)

6 [h² —h²)

''Il

-iV*

— hx)(2h-\-d)³+ht{2(h — hx)-\-d\³ — hd³

6 [h² — h²)

»4    ,

T'ITt

A I ! A,

4-ff r⁻-

[4~*i ;

[Aa³ + (A — hx) [b — a³) — hx[a — b ^J³]

7ii = ±[bh³-bih³\

ym = — [(A — hx) b³ + hx (b - bx)3]

b² h — 2bbxhx + b\hx 2[bh — bx hx

Für Normalprofile ist J I = 7min

F= bh — bxhx

r\\

rm

=y

h a³ -f- (h — hx) (b — a)³ — hx (a — b bx)³

3 [bh-bxhx)

-iV-

bh³ — bj h\

3(bh — bthx)

(h-ht)b³ + ht(b—b l)³

₃ (bh — bxht)

Fig. 154-

i-:

••

yr = — [(A — A,)(2A + c)³ +M* + a(* — M³ “ /if3î ¹ 12

7iIsaaTI*A3“"M?1

(A — ht){2b + r)³ + A, {c + 2 (b — bx)}³ — A;³

F= 2 (bh — bxht)

6(bh — bxhx)

'mm

⁼ tV

bh³ — bi h\

3 [bh — bxhx)

Fig. 155-

Für Normalprofile ist :

-ts

4—*

--0

fl

fl

vt-£±Ą

.ij.

Fig. 156.

yl =j[bi[h-h₁)³ + [b-bl)h³} yu = -y- [(3—bx){a³-j-[h—a)³}+bx{a³—[a-\-hx—A)³}] ym = -J-[(Ä—Ax){a|-KA— «i)³}+A,{al—(«1+^1— A)³}]

7iv = -1[äi(3-^i)³ + (ä-ä₁)P]

AA²— 2bxhhx + At A? .

2[bh — bxhx) ’ "I —

ft = ftv = j [hl [h - hi)³ + (h - hi)h³] *)

yn= ym = ±[[h-ht){a³+(h-a)³}+hx{a³-(a+hx-h)³}\

h² ±hht — h\

2 (A + hx)

7l = 7min

bh — b xhx

n =1/

(A — At)³ + (b — bi) A³

3(bh — bxhx)

— bx) {g* + [h —a)³} + b x{a³—[a+ hx—h)³}

3(bh — bxhx)

A A² — 2 bbxhi -\- b\hx

2(A A — bx hx)

Für Ar = bx

a = ax

*) Für Normalprofile ist ft — fti — 7min.

⁼v

hx(b-bx)³ +[h-hx)b³

3 [bh — b₁h₁)

h² — h\

n=Y

hjh — kj* + h³

3 [h + ht)

*'II

{h — hx){a³ + (A — a)³} + Ä, {a³ — {a + hx—h)³

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

3 (A² —Äf)

14

Querschnitt

Trägheitsmomente

Fläche

Trägheitshalbmesser

»!

--4—ł—

Fig. 157.

7j = JL[(ä — /^)(23 + f)³+ ^,{2^ — a,) + *}³ — a*³]

yn = — [(A —Ax){fl³ + (A —a)³H-Ma3-“(<I + Äl

7m=-|[A₁(A-Ax)³+(A-AI)A³]; 0 =

Für = A(,) ist:

% = — [(* — *x)(2A + c)³ + Ax{2(A — Äx) + f}³ — hc³]

12

yn = —[(A — hj){a³ + {A-a)³} + At{a³ — (fl + A,— A)³}]

7m = yi*i(* —*i)³ +(*-*«) a³]; « =

-A)³}]

AA² —2blhh₁-\-b₁h\ 2 (AA— <Mj)

-A¹ = 2 (bh — bi hi)

r — ¹    + d³ + Aj{2(A —Ax) + f}3 —Af3

I    ' 2 r    6(aa—Mx)

r = l/i* — *'^aT+ ^ — a)³> +    l*³ — fa + At — A)³}

II    r    3(*a —Mi)

_lA|A-Ji,)3 ₊ ^-^)A³

III    r 3 (**-Mf)

A³ -j- AA, — h\ 2 (A -+■ Aj)

/' = 2(Aa — A²)

r = — l/^~ *»H²* + g)³ + M²(A — Ai) + ^3 ¹    2 K    6(A³ — A²)

(A —//x){g³ -|-(A — g)³} + At {a³ — (a + Ai — A)³}

— Ać³

'll

= 1/

mi

-V

3 (A² — A²)

Ax(A —Ai)³ + A3 3 (A + h 1)

|"T'T

i4zâ^'%

c

2(A² — A²)

Fig. 158.

p—h—«—k —>j

HI R]

JJiŁ-j)

ty/S///S////£ I W'Æ'jV/SA *

*§ifvi

Ti — Tiï^-fK* — Ä,)(2A + f)l + A,{2(A — Ax) + f}³ — Ar³]

^=4(A²-A²)

r = J_ l/⁽A — Ax)(2A + f)³ + Ax{2(A — Ai) +4³ — 2 V    6 (A² — A?)

Ar³

Fig. 159.

y ₌ A[ai(A-Ai)³(A-A,)A³]

*/1    12

yn _ -1 [(A — Ax)(A— a)³ + Aa³ — Ax (0 + Ax — A)³]

i    „    AA²—2A,AAx-f-A,A²

7iii = y[A,(A —Ax)³ + ⁽A—'Ax)A ]; 0 —    ₂^A — bth₁)

Für A(X) = A(i) ist:

7min = 7l - J 7iii = ^ [*i (Ä - *i)³ +

yIT = — [(A — A,)(A — fl)³ + Aa³- Ax(a + Ax — A)³]

3

A² + hhl ~ h* - Für A = 2A und Ax = A + Ax ist:

2(A + Ai)

%    = — [Ax(A —Ax)³+ 8(A —Ax)A³]

12

7n = -1[(A —Ax)(A —a)³+2aA³ —(A + Ax)(a+Ax—A)³]

7iii = y [(A 4 Ax) (A - Ax)³ + (A — Ax) A³]

F — bh — bx hx

F — h³ — A²

= 2A² — AAx — A²

'i

'II

= t|/

Ax(A-Ai)³ + (A-Ax)A³

3 (AA — Aj Aj)

_ 1 / (A — Ax) (A —a)³ + Aa³ — At(0 + Aj — A)³

r    3(AA — Ax Ax)

''III

= 1/

Ax (A — Aj)³-HA- AX)A³

3 (A A - Aj Aj)

''min = H = Y ''111

=tV

Ax (A — Ax)²+A³

3 (A + A x )

'll

'l

'll

''III

-V

-K

[(A - Aj) (A -fl)³ + Afl³- Ax (a + At — A)³]

3(A⁹-hi)

Ax (A — Aj)³ -f- 8 (A — A,) A³

3(2A²—AAj - A²)

(A — Aj) (A — a)³ + 2aA³ — (A + A,) (« + Ax — A)³

3 (2A² — AAj — A²)

(A + Aj)(A — A,)³ + (A — Aj) A³

3 (2A² — AAx - A²)

8.

Tabelle 21. Verschiedene zu-

Querschnitt

T rägheitsmomente

Fläche

T r ägheitshalbmesser

L.......    4    i

^............|    i

L-b.-3 Y

Fig. i6i.

Jl = -g-[Ax(3 — bx)³ + (h — hx)b³)

?ll ⁼ K* — ^i)(2Ä + f)³ + <&i {2 (-4 — ht) 4- c}³ —bc³) Für h(x) = b(t) ist

Jl — -jr [hx {h — hx)³ 4- [h — hx)h³]

Jll = ~ [(^ — *«) (2h 4- C)³ 4- hx {2 (h — ht) 4- c}³ - hc3] Für b = zh und bx — h 4* hx ist:

Jl =-^[Ax(A-hx)³ + S(h-hx)h³]

Jll = JZ [^-àx)(2h+c)³+(h + hx){2(h-hx)+c}³-2kc³]

F = 2 [bh — b₁k₁)

F= z[h² — h\)

F — 2[zh² — hhx — h\)

'-tV

r\\

hrlb-bx)³ + {h — hx)b³

3 [bh — b₁hx)

-iV

«-w

r\\

(b - bx) (2h 4- c)³ -j- bx{2(h — hx) -\- c)³    b c³

6 (bh — bx hx)

hx [h — hx)² 4" h³

Z[h-\-hx)

₌ J_ I/[h - hx) (2h + c)³ 4- hx{2 (h — ht) 4- c}³

2 V    6 (h² — h²)

-hx)³ + &(h-hx)h³

3(2 h² — hhx~h\)

— hc³

rn

_ i •]/(^-^,)(gA4-^³4-(^+A,){2(^-Ał)4-g}³—2^³

2 y    6(2h²—hhx—h\)

J.

'.........F

V , h

rr^

-H

Li

Jl = - [(* - Ar) {(b 4- àx)³ + (* - *x)³} 4- 2 Ax (3 - bt)³) 24

7lI = ^[*A³-‘M?]

Für Normalprofile ist ,7min = 7IV> wenn die Achse IV Trägheitshauptachse ist.

F — bh — bxhx

-    ¹    l/(*-*i){(* + *xj³ + (* —*x)³Ï4-2*xÎJ —*t)3

¹    2 V    6 (bk — bxhx)

r\\

= iV'

bh³ — bxh\

3(M — Mx)

Fig. 162.

SS

ł!

Ji = Jn=±[b(k-b)³ + (h-b)h³]

F = h² — b²

-W

b{h — b)² + h³

3 [h b)

Fig. 163.

*“

7l =7ll [jf (<** - d\) 4- b[h³ - d³) 4- b\h - <f)J

~ (^²—<*?) 4_ 2b(h—d)

4

₃[j4-2*(*-rf)]

______Ł

9-

c. Nennerwerte der RANKiNE-Formel.

Tabelle 22. Werte von / für schmiedbares Eisen und Eisenbeton.

y = i + 0,00010

Werte für

= i +0,00015 jyj •

Die Wandstärke cT ist zu ~ h angenommen.

I.

\T

L...

Fig. 165.

Fig. 166.

Fig. 167. Fig. 168.

Fig. 169.

Fig. 170.

Y I Yr Y

10

« W o o

CTv O CTv 4^

1,06 1,09    1,05

1,15 1,08 1,24    1,10

1,03    1,04

1,08 i,ii i,i5

12

14

16

18

20

1,23

i,3i

1,41

i,53

1,64

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

55

60

65

70

75

80

90

100

0\.£ HH O 00Oven en 4^ 4^. 4^. UJ CO OO CO JO JO to JO to HH JH

"o 4s 'o jsit iï ^3 4a e ^    o°_®v ^ ^    ^

O, 0\'-n <J\ 4>- 4k 4» OJ OJ ŁfJ JO M JO ji ji jh jh j-,

~b<j\~0~a\ is i- M î- Ti ~oo'ey,w « ib ii 0,4^ ^

O O 00 Ln 4* 4^-000, »00HVJ4 OvvO N 4* wuu ti h to to to to to

4* 4o ~o 4»it tin 4*. 4o 4h b 4»ii 'b\u\ 4» 00 iSo 4o «

4* U\ OvvO Oo CM O\O0 o OOOvO'CTvOQvOi-iU'VO-H

1,21

HH

38

HH

47

1,03

1,05

1,09

i,i3

1,18

1,24

i,3i

1,39

1,48

HH HH HH HH

1,01

1,03

1,05

1,08

HH HH HH HH

Cl rt-00 HH

O O o

vo O vo co

O hh^ hh çj

H H H H

OCT CN h-T csT

20,50

co tF 10 vdvcT rCoo d

1,26

1,36

i,47

i,58

i,7i

1,10

1,14

1,19

1,24

1,29

i,i5

1,21

1,28

1,36

i,43

i,33

i,44

1,56

i,7i

1,89

i,7i

99

O Oh O'* d TT OV co Oh CO VO CON Oh 00 COVO VO co VOVO CO hh^ co VOOCJ COVCJ d^ hh^ HH^ d^ COOO^VO^ cTcTcTcdcd cd cd rf rfrf vo vcT r^oo cf* O n id

VO CO N N h Tj-OO rf CbN NO'ON^’O 'tO'w w fO h O

00 O d Tj-vo    00^ O co vooo    HH    ^ tj* hh vol vo

J-Tç^rTcTcf    d co co CO CO    tF    ^ rf 10 VOAO    t^OO    Cb    hh N    Cb

HH IM ►H HH

00 Os HH rfCO    CO Oh VO CO hh    h    to COVO O CO    CO00    CO    VOOO    O    O

vovo 00 Oh O    d co ion a    ce 10 N vo    co O    00^ vo^    tj-    O

►J' hh' hT hT oT    ci ci cT cT ci    cd    cd cd cd tF    vdvo~    vcT    rCorT    o    cd

HH H* HH H* HH

43

58

i,75

85

95

i,53

1,64

i,75

1,86

i,99

COCO cooo vo

HJ CJ rj VO tj.

d*^ d^ cT cT cT

co Cl CO CO T Cl VO COCO N co Ch N G» hh rOioN CO C"0 CO h OOO O'* cT co co co co tJ- rf vneo i>*00 CN hh

HH

VO HH 10 Ch co hh rł* O'* O'* hh Q\ CO H d Tj- vovo 00 d VO O VO HH V£J o* co

cTcTd^cTcT cd co tF vd vdvrd 00

Oo vo    en Co    hh O 00^4    Ch Oven    en    4b.    4^4^CHiU)<ji    CO    JOtO    tO JO

"h "o    N Cn    'OOCO vb *<I    U\ "h ^4    C)    d    en tO CO en to    O    4Ui    M O

Ck> o    en O    OOOOVO HH    en t-H O    O    04    en O OQ Oh OO    O    4^ O    00 00

vO 00 00-<r O* Oh en en 4h- -£>. 4*, C4 C/J tO tO to to J-H HH j-< HH j~< JM J-H

4sv4d 4». ~oo oj 4»<1*> '004» ~b 4y>4o    'a, w ~b 'bo~b,4^ wk h o

Ui-<icnUT'<tOJOM4i'«    H WM4>    A + ui M

1,03

1,05

1,08

i,ii

1,16

1,23

1,30

i,39

1,48

1,04

i,i7

*-H

34

i >45 i,58 i,7i

11,07

12,98

15,00

i7,3i

19,75

22,38

28,00

34,i9

00 00 O CCTVO woOt)-wO Ov O — -^-VO O' 00 « «00 CT, — VO l/OVO CO O' O N rnulNCh O^IOmNCi U1N OOOVO LOVO^OO^ t-T _T ,4 _T ci cT of cf of of rb rb cb ró có vrîvo'vcT rioo O' N

HH HH

HH HH HH HH

00 en to h vO 00*-I O* en en 4* 4* 4* U) OJ W OJ JO JO JO JO JO jh

il 4^    4} il bv 4^ cb 4- 4-i il 4*. 4-, 4>0un bo O GO bi bo 4o O CO

«t0«Ht0t0H00l4Hv4u,WLn<tHO,l0 Æ ,0 O - O,

¹

— = 0,588 • 0,95 = 559 atm.

²

Im Mittel für —

³

a — 0,588.

Die Druckfestigkeit D des Flußeisens ist nach derselben Tabelle gleich 3,8 daher zulässig

⁴

⁵

Man sieht daher schließlich, wie die nach der Parabelformel berechnete zulässige Knickspannung Gk im vorliegenden Falle mit den

⁶

Versuchszahlen Tetmajers sehr gut stimmt.

⁷

   Festigkeitslehre. 3. Aufl. S. 376.

⁸

   Mehrtens, Handbuch der Baukunde. I. Band. S. 604.

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

⁹

Tetmajer, Festigkeitslehre. 3. Aufl. 1905. S. 475. — Mörsch, Der Beton

¹⁰

eisenbau. 1902. S. 77.

Zweiter Abschnitt.

Statisch unbestimmte Systeme.

§ 6. Die überzähligen Größen.

31. Ihre Berechnung mit Hilfe der Arbeitsgleichungen.

a. Allgemeiner Ausdruck für die Stabkräfte eines Fachwerkes.

i. Ein ebenes oder räumliches Fachwerk sei mehrfach statisch unbestimmt und durch eine Reihe von Einzelkräften P belastet, von denen eine jede in einem beliebigen Knoten, in beliebiger Richtung, angreife. Die überzähligen Stäbe des Tragwerks, sowie auch etwaige überzählige Stützenstäbe, seien derart ausgewählt worden, daß nach erfolgter Beseitigung jener Stäbe ein statisch bestimmtes sog. Hauptnetz oder Hauptsystem Zurückbleiben würde (I. 35). Es sollen dann bedeuten Xa, X}, Xc, ... Xr\ Die Stabkräfte (Achsenkräfte) der überzähligen Stäbe des Tragwerks und der an Stelle der Stützen gedachten Stützenstäbe (I. 18—19).

Um im Laufe der Darlegungen keinen Zweifel aufkommen zu lassen, wird in folgendem unter der Bezeichnung »statisch unbestimmtes System« das vollständige Fachwerk verstanden, in welchem noch kein Stab beseitigt wurde. Dagegen wird das Fachwerk >Hauptsystem« genannt, sobald alle überzähligen Stäbe beseitigt und durch äußere Kräfte X ersetzt gedacht worden sind. Es ist dann zunächst ersichtlich, daß in dem durch die P belasteten statisch unbestimmten Systeme und dem durch die P und X belasteten Hauptsysteme einerlei Formänderungszustand herrschen muß und daß dieser durch die elastischen Längenänderungen eis der notwendigen Stäbe des Hauptsystems eindetitig bestimmt ist. Dabei beeinflussen die überzähligen Größen X die Formänderung nur insoweit, als sie die Stabkräfte der notwendigen Stäbe des Hauptsystems verändern. Bestimmt man also die elastischen Verschiebungen derjenigen Knoten

des statisch unbestimmten Systèmes, in denen die überzähligen Größen angreifen, so gewinnt man dadurch die zu deren Berechnung notwendige Zahl von Elastizitätsgleichungen (I. 35). Das kann auf zwei verschiedenen Wegen geschehen: durch Anwendung der Arbeitsgleichungen Mohrs auf das statisch unbestimmte System oder durch Berechnung der betreffenden Verschiebungen des Hauptsystemes unter Verwendung des Satzes von Maxwell. Beide Wege sollen ausführlich beschrieben werden.

Pr

T

TTb

TTC

TL

CL

Fig. I7I.

2. Man denke sich einen der überzähligen Stäbe des statisch unbestimmten Systèmes beseitigt und dafür in den betreffenden Stabknoten äußere Kräfte angebracht. Man bilde also z. B. einen Belastungszustand, wie er in der Fig. 171 veranschaulicht wird, worin Xa die vorläufig unbekannte überzählige Größe vorstellt und im übrigen noch die gegebenen Lasten P sowie auch die dadurch erzeugten Stützenkräfte tätig sind. Xa wird positiv gerechnet, wenn seine Pfeile nach dem Innern des Tragwerkes gekehrt sind. Deshalb ist die Formänderungsarbeit von Xa negativ, denn die zugehörige Längenänderung J sa des beseitigten Stabes erfolgt der Richtung von Xa entgegengesetzt.

Will man den alleinigen Einfluß von Xa auf eine beliebige Stabkraft feststellen, so empfiehlt es sich, eine Krafteinheit des Punktepaares a—a einzuführen, die in der Richtung von <dsa wirkt. Diese würde dann dem Einflüsse einer Kraft Xa — — 1 gleichwertig sein. Deshalb soll sie die Krafteinheit oder der Belastungszustand »Xa — — 1 « genannt werden. Ebenso wie für Xa kann man sich für jede andere überzählige Größe eine Krafteinheit bilden.

Es sei nun

Sa\ die allein von der Krafteinheit »Xa= — 1« verursachte Stabkraft irgend eines Stabes im statisch unbestimmten Systeme,

Sc, Sa, ... bis Sr.

St', die desgl. von der Krafteinheit »Xi — — 1« verursachte Stabkraft und so fort:

Ferner sei

S₀ : die allein von den Lasten P verursachte Stabkraft irgend eines Stabes im statisch bestimmten Systeme.

Beachtet man nun, daß der Formänderungs- und Spannungszustand im statisch unbestimmten Systeme und im Hauptsysteme ein und dasselbe Bild zeigen muß, dann ist für eine Stabkraft S des Fachwerks allgemein

S= So — SaXa — SiX₆ — SCXC-----SrXr

anzuschreiben, gleichviel ob ein notwendiger oder ein überzähliger Stab gemeint ist. Für irgend ein X erhält man deshalb auch

X = So — SaXa — SiXi — SCXC-----SrXr .

(¹5 9)

(160)

Dabei entspricht jedes Glied der Gl. (159) einer Stabkraft, die aus je einem besondem Belastungszustande herrührt, einerlei ob man das Hauptsystem oder das statisch unbestimmte System betrachtet. Die [r-\- 1) Belastungszustände heißen der Reihe nach

»X = o« ", »Xn = — i « ; »Xi = — i « ; ... »Xr =

Die Temperaturbelastung wird vorläufig ausgeschlossen. Darüber vgl. man unter 33.

Für den Belastungszustand »X = o« soll S — SQ werden, d. h. es müssen dabei (nach Gl. 159) alle X verschwinden, es verbleiben nur die Lasten P.

Für den Belastungszustand »Xa = — 1« soll S = Sa werden, also verschwinden dabei (nach Gl. 159) alle P und alle X, ausgenommen »Xa — — I « ; USW.

Will man für irgend einen der Belastungszustände »X = — 1« die dadurch in einem überzähligen Stabe erzeugte Stabkraft bestimmen, so

geschieht das mit Hilfe der Gl. (160). Für die von Xa erzeugte Stabkraft Sa erhält man danach (aus S₀ — o und Xi . . . bis Xr = o)

Sa

— Xa

I usw.

b. Die Elastizitätsgleichungen eines Fachwerkes, i. Man schreibe für jeden Belastungszustand die Arbeitsgleichung an, und zwar für die gedachte Krafteinheit und die wirklichen durch die gegebenen Lasten P verursachten Verschiebungen und Stabkräfte des statisch unbestimmten Systèmes. Für den in der Fig. 171 veranschaulichten Fall -»Xa — — 1« erhält man dann die Arbeitsgleichung

(161)

Ta • =S Sa Sk in welcher das Summenzeichen alle (notwendigen und überzähligen) Stäbe des Fachwerks umfaßt, ausgenommen den beseitigten Stab Xa.

Es ist nun nachzuweisen, daß der allgemeine Ausdruck »SaSk* für die gedachte Arbeit des Stabes Xa gleichbedeutend mit dem Werte Ta • auf der linken Seite der Gl. ( x 6 x ) ist. Denn es ist zunächst (nach dem Elastizitätsgesetze)

X a ' da - I ' Xa ’ ka

Ferner ist

wenn ka das Dehnungsvermögen des Stabes Xa vorstellt, aus der Gl. (159), wie vorhin schon erläutert wurde, die durch »Xa= — 1« im Stabe Xa selbst erzeugte Stabkraft Sa mit

Sa = — i

zu berechnen. Die gedachte Arbeit »SaSk« des Stabes Xa hat danach den Wert

i • Xa ' ka ,

sie ist also gleichwertig mit dem Ausdrucke la • da.

Schafft man jetzt in der Gl. (161) das Glied Ta • da auf die rechte Seite unter das Summenzeichen, so geht die erste Arbeitsgleichung in

(162)

^ Sa Sk — o

über.

Das Summenzeichen der Gleichung umfaßt jetzt die gedachte Arbeit des gesamten statisch unbestimmten Systèmes.

Wäre die Arbeitsgleichung nicht für einen Tragwerksstab, sondern für einen Stützenstab X„ angeschrieben worden, so würde das Summenzeichen von vornherein die gesamte gedachte Formänderungsarbeit des statisch unbestimmten Systèmes ausgedrückt haben, während ihre linke Seite

zu schreiben gewesen wäre, vorausgesetzt, daß der Stützpunkt n unbeweglich war. Über den Einfluß von Stützpunktverschiebungen vgl. man unter 34, b.

Setzt man in die Arbeitsgleichung (162) den Wert von .S aus der Gl. (159) ein, so erhält man die erste Elastizitätsgleichung

^SaSok—Xa^Slk-X^SaSbk-X^SaSck• •.-Xr^SaSrk = O. (163)

Solche Gleichungen sind auf dem beschriebenen Wege auch noch für die Belastungszustände »Xb = — i«, -»Xc = — i« bis »Afr = — i « aufzustellen. Sie können dann nach dem Vorbilde der erstabgeleiteten Gleichung ohne weiteres niedergeschrieben werden und lauten

ZS* Sok — XaZ S₆Sak — XiZ SU — XcZSbSck----XrZSiSrk = O

ZSc sak — XaZScSak — XbZScSik —XcZ ----XrZ'ScSrk = O

ZSrS₀k —XaZSrSa k — XiZ^rSi k — XcZSrSck----XrZSrk = O.

Mit Rücksicht auf die erörterte Gleichwertigkeit des mit P belasteten statisch unbestimmten Systèmes und des mit P und X belasteten Haupt-systemes stellt jedes Summenglied der obigen r Elastizitätsgleichungen das Ergebnis einer der [r -f- x) bekannten Belastungszustände dar. Alle Werte S₀, Sa, Sb bis Sr können auf statisch bestimmtem Wege für das Hauptsystem berechnet werden. Das ist einzusehen, wenn man für jeden Belastungszustand mit Hilfe der Gl. (159), — so wie es unter a. angedeutet ist — untersucht, welche der X verschwinden und wie groß jedesmal die betreffenden gedachten Stabkräfte »S₀, Sa, Sb ... bis Sr in den betreffenden überzähligen Stäben X selbst werden.

Somit ist es. möglich aus den abgeleiteten r Elastizitätsgleichungen die r überzähligen Größen eindeutig zu bestimmen. Ein Ausnahmefall (I. 34, 35) könnte nur dann vorliegen, wenn das Hauptsystem beweglich oder von unendlich kleiner Beweglichkeit gewesen wäre. Setzt man schließlich die gefundenen überzähligen Größen in die Gl. (159) ein, so findet man dadurch die noch fehlenden Stabkräfte S der notwendigen Stäbe des Hauptsystemes. Vgl. die Beispiele unter 36.

c. Die überzähligen Größen der Vollwandträger. Ihre Berechnung ist einfacher, als bei Fachwerken, weil hier überzählige innere Kräfte nicht vorhanden sein können. Es gibt nur überzählige äußere oder Stützenkrätte. Denkt man diese in bekannter Weise durch Stützenstäbe ersetzt, so gelten hier die weiterhin unter 32, a abgeleiteten

Elastizitätsgleichungen. Sobald danach die X berechnet worden sind, können für jeden beliebigen Schnitt der Vollwandträger die Spannungen ermittelt werden (I. § 14—18 und II. § 6).

32. Darstellung der überzähligen Größen aus den Verschiebungen ihrer Angriffspunkte im Hauptsysteme.

a. Die Elastizitätsgleichungen. Das Endziel praktischer Aufgaben ist die Darstellung der Einflußlinien für jede überzählige und notwendige Stabkraft. Deshalb empfiehlt es sich, anstatt (wie vorher) mit beliebigen Lasten P zu rechnen, dafür die wandernde lotrechte Einzellast P einzuführen (II. 2). Mit Hilfe der (unter 12) ausführlich erläuterten, und in vielen Beispielen (14) bereits gebrauchten Bezeichnungsweise von Verschiebungen ist es dann möglich, die Elastizitätsgleichungen zur Berechnung der überzähligen Größen eines statisch unbestimmten Systèmes ohne weiteres anzuschreiben.

Man bestimme für jeden der [r -j- 1) Belastungszustände und jeden Angriffspunkt einer überzähligen Größe die elastischen Verschiebungen

Öaa j ÖaS j • • • Öar 5 ÖSa 5 Ö,iS) • • • ^rS bis Öyaj ÖrSj . . . Örrj SOwie Ö amt Ö Sm^ • • • Örm •

Dann erhält man für die aus allen den genannten Ursachen herrührenden Gesamtverschiebungen öa, äs... bis ör die folgenden Elastizitätsgleichungen :

PÖam — XaÖaa — XsÖaS — XcÖac.....— XrÖar = Öa

PÖhm — Xa àba — Xs Öss — Xc Übe PÖcm — XaÖca — XsÖeS — XCÖCC

(164)

— XyÖby — à 6 — XrÖcr = öc

X. y Ö yy - Ö y .

PÖrm — XaÖra — XbÖrb — XcÖrc

Hierin sind (nach Maxwell) alle ö mit einem aus zwei gleichen Buchstaben gebildeten Doppelzeiger gleich groß:

Ö am — Ö

ma 5

j ÖaS Ösa j Öac Ö ca 5 Öay Öra USW.

Man kann deshalb in jeder der r Elastizitätsgleichungen die Verschiebungen ö auf ein und dieselbe Ursache zurückführen: in der ersten Gleichung auf »Xa — — i«; in der zweiten auf -»Xs = — i«, in der letzten auf »Xr = — i«. Somit kann man auch alle in je einer der Elastizitätsgleichungen vorkommenden ö aus einem einzigen Verschiebungsplane (20—22) entnehmen. Zur Bestimmung aller d braucht man also nur so viele jener Pläne, als überzählige Größen vorhanden sind.

Xyöya = öa XyöyS = ÖS

Die Elastizitätsgleichungen lauten danach PÖma — XaÖaa — Xböba — Xcöca PÖmS — Xa Öab — Xs Öss — Xc Öcs

xryjsrsak=öa

P^SoSak-Xa^Slk-Xt^StSak-Xc^ScSak • • •

P^SoSik -Xa2SaStk-XtZ;Sl k — Xc^SeSsk----Xr^SrSik = Ö₆

(165)

Die Gesamtverschiebungen <5a, öt bis ör der Punktepaare (oder Punkte) a, b bis r sind gegeben. Entweder sind es elastische Längenänderungen Js von Stäben, Verschiebungen von Stützpunkten oder Verdrehungen von Geraden. Es seien z. B. da und dr Stablängenänderungen, öt und ôf Verschiebungen von Stützpunkten. Dann wäre anzuschreiben Xa.Sa

XrSr

JSFr

sowie unter der Voraussetzung unbeweglicher Stützpunkte

<5^ = o ;

Über Stützensenkungen und dgl. vgl. unter 34.

Weil nun sämtliche ô mit dem Doppelzeiger entweder aus einem für das Hauptsystem gezeichneten Verschiebungsplane, oder einer Biegelinie, oder aus je einer Arbeitsgleichung (nach Mohr) zu gewinnen sind, so lassen sich aus obigen r Elastizitätsgleichungen die r überzähligen Größen X berechnen. Schreibt man für alle ô mit dem Doppelzeiger eine Arbeitsgleichung an, worin sowohl der gedachte als auch der wirkliche Belastungsztistand eine Krafteinheit bedeutet, so erhält man die Elastizitätsgleichungen in der Form:

öa =

EFa

— Xaka,

Ör =

Öe = O.

= Xrkr

P^SoSrk — Xa^SaSrk ~X₆^SèSrk—Xc^ScSrk----Xr^J S*rk = Ör.

Die Gesamtverschiebungen <5a, öt bis sind entweder gleich Null, wenn sie sich auf unverschiebliche Stützpunkte beziehen, oder sie sind mit

Xaka, Xtkt bis Xrkr

anzuschreiben, wenn sie die elastische Längenänderung eines überzähligen Tragwerks- oder Stützenstabes vorstellen. Bringt man also die letztgenannten ô auf die linke Seite unter das betreffende Summenzeichen, so stimmen die Elastizitätsgleichungen (164) mit den (unter 31) durch unmittelbares Anschreiben der Arbeitsgleichungen Mohrs erhaltenen Gleichungen (163) völlig überein. Jedes Summenzeichen erstreckt sich dann auch über alle Stäbe des statisch unbestimmten Systèmes, wobei aber — im Hinblick auf die Gl. (159—160) für X und S — zu beachten bleibt, daß für jeden Belastungszustand (»Xa = — 1«, oder *Xt = — 1« oder »Xr = — x«) die in dem betreffenden überzähligen Stabe selbst erzeugte Stabkraft (£*, St oder Sr) gleich — 1 ist, während alle andern überzähligen Stabkraftgrößen verschwinden.

Schließlich wäre noch zu beachten, daß [r—i) Summenglieder jeder Elastizitätsgleichung — z. B. in der ersten die Summen von SbSak, ScSak bis SrSak — in den übrigen Gleichungen, in umgestellter Form zum zweiten Male erscheinen. Das gibt also im ganzen r[r— i) Summengrößen, von denen je zwei einander gleich sind, wodurch der Satz von Maxwell (13) nochmals bewiesen wird.

b. Die Einflußflächen der überzähligen und notwendigen Stabkraftgrößen. Für jede beliebige Lage der Einzellast P können nach vorigem die X berechnet werden. Die Angriffspunkte von P sind die Knoten des Lastgurtes (IL 1, c und 16). Trägt man also auf einer Wagerechten, lotrecht unter jenen Knoten die entsprechenden Werte einer überzähligen Größe X als Ordinaten rjz, rj2} ... rjm auf, so liegen deren Endpunkte in einem Vielecke und dieses ist die Einflußlinie für das betreffende X (Fig. 172).

Vc

Fig. 172.

Die Einflußlinie für die Stabkraft S eines notwendigen Stabes erhält man mit Hilfe der Gleichung

S = S₀ — SaXa — St X₆ — SCXC-----SrXr,

indem man für jedes Glied der Gleichung eine besondere Einflußlinie zeichnet und für jeden Lastpunkt die algebraische Summe der Ordinaten rj aller Einflußlinien herstellt. Jede^rjy gibt dann eine Ordinate der gesuchten Einflußlinie für S. Die Einflußlinie für S₀ (im Hauptsysteme) kann unmittelbar nach einem der im II. Bande (unter § 3—5) gezeigten Verfahren gerechnet werden.

Im einzelnen lassen sich beim Aufträgen der Einflußlinien, um die Arbeit zu erleichtern, noch manche kleine Hilfsmittel anwenden. Es lohnt sich jedoch nicht, näher darauf einzugehen, weil alle diese nebensächlichen Dinge an den Beispielen in 36, 40, 45, 47, 49 studiert werden können, ohne daß es nötig wäre, sie hier vorher allgemein zu behandeln.

Besonders wichtig ist für die Anwendung der bekannte Satz, wonach die für eine Krafteinheit gezeichnete Biegelinie des Lastgurtes, mit einem gegebenen Multiplikator, die Einflußlinie der betreffenden überzähligen Größe X vorstellt. Für ein einfach unbestimmtes System erhält man

xa =

S₀ Sa k

2Jsik

Die für die Krafteinheit eines Punktes oder Punktepaares gezeichnete Biegelinie des Lastgurtes ist danach die Einflußfläche von Xa, wenn

deren Multiplikator gleich gewählt wird. Jede Ordinate rj der Ein-

Oaa

flußfläche ist dann gleich öma oder gleich ^ SQSak. Über die Anwendung des Satzes für ein mehrfach statisch unbestimmtes System vgl. unter § 7—9.

33. Die Einflüsse von Temperaturänderungen.

a. Die Temperaturschwankungen. Die Wärme der die Konstruktion umgebenden Luft ist stets veränderlich. Deshalb wird es notwendig, schon beim Entwürfe der Konstruktion mit einer bestimmten feststehenden Luftwärme zu rechnen, für welche die vorgesehenen Grund-maße (Stützweiten, Pfeilhöhen, Stablängen) zu gelten haben. Man wählt dabei zweckmäßig eine mittlere Gradzahl, derart, daß die voraussichtlichen Temperaturschwankungen nach beiden Seiten hin gleich groß werden. In Mitteleuropa gilt dafür etwa + io° C (I. 8). Außerdem nimmt man für i?A<?«konstruktionen an, daß die höchste Wärme eines Teiles nicht über 45⁰ steigen und seine größte Kälte nicht unter 250 sinken wird. Das gäbe also eine gleiche Schwankung nach oben und unten von -+- 3 5⁰.¹

Wenn eine Konstruktion völlig im Schatten liegt, so wird man den Grenzwert der Eisenwärme auf etwa 35⁰ ermäßigen dürfen. Liegt sie aber ganz in der Sonne, so wird nötigenfalls eine Erhöhung des Grenzwertes von 45⁰ eintreten müssen, weil bekanntlich das Eisen eine höhere Temperatur annehmen kann, als diejenige der umgebenden Sonnenluft. In einzelnen Fällen sind darüber Beobachtungen aufgezeichnet worden. So kam man in Lyon, bei der Aufstellung von Bogenbrücken², in den Jahren 1886—87 zu folgenden Ergebnissen. In acht Bohrlöchern der Konstruktion, die mit Quecksilber gefüllt waren, wurde die Temperatur, sieben Monate lang, von Stunde zu Stunde gemessen. Es kamen Temperaturen bis -f- 32⁰ im Schatten und bis +35°

¹ Vorschriften für die Berechnung eiserner Brücken. Zentralbl. d. Bauverw. 1903.

S. 3°3-

² Expériences sur l’action directe du soleil. Annal, d. ponts et chauss. 1893. II. S. 438—444.

in der Sonne vor, wie das in der Fig. 173 dargestellt ist¹. Die Abszissenlinie gibt die beobachtete Schattenwärme der Luft an. Die mit ihr sich ändernden Temperaturen der Sonnenluft und der Eisenwärme konnten genau genug durch gerade Linien dargestellt werden. Die untere Linie gibt die größte Lufttemperatur in der Sonne an, sie liegt 3—4⁰ über der Schattenwärme. Die Durchschnittswärme des Eisens stieg 15⁰ über die Lufttemperatur im Schatten. Der größte Unterschied zwischen dem

45°

4tt

35°

•h

*/-

wärmsten und kältesten Punkte des Eisens war 14⁰. Die Versuche zeigten auch, daß Eisenteile gegen unmittelbare Sonnenbestrahlung geschützt werden konnten, wenn man sie mit einem Blechkasten umgab. Auf solche Weise erniedrigte man an einer Stelle die größte Eisenwärme um 7⁰. Daß hellere Anstrichfarben im allgemeinen einen wirksameren Temperaturschutz bilden, als dunklere, liegt auf der Hand.

30*

Z£°-

A4

20°

15°}

Bei Steinbauten liegen, soweit wie bekannt, ähnliche Versuche nicht vor. Steine nehmen die Wärme langsamer an als Eisen, deshalb erscheint es wohl zulässig, im allgemeinen die Schwankungen der Temperatur über die mittlere Zahl von -)-io⁰C kleiner als ±35°C anzusetzen².

45⁹    20°    25° v 30°

Temperodier? irrt, /.Schatten,

Fig- 173-

b. Einfluß der Luftwärme auf die überzähligen Größen.

i. Schon im I. Bande (unter I. 36) ist das Verhalten der statisch bestimmten und unbestimmten Konstruktionssysteme gegenüber den Temperatureinflüssen besprochen worden. Dabei wurden nur Fachwerke betrachtet. Doch was von diesem in beregter Hinsicht zu sagen ist, gilt auch für Vollwandtragwerke.

Bei statisch bestimmten Systemen sind alle innern Kräfte allein von der Lage und Größe der Lasten und Stützenkräfte abhängig. Bei eintretenden Wärmeschwankungen werden die innern Kräfte sich also nur

¹    Ostenfeld, Technische Statik. 1904. S. 309.

²    Mehrtens, Ausführung und Unterhaltung der steinernen Brücken. Handb. d. Ing.-Wissenschaften. II. Teil. I. Band. 4. Aufl. S. 353.

insoweit ändern, als aus der gleichen Ursache auch Lage und Größe der genannten äußern Kräfte beeinflußt werden können. Das kann aber nur geschehen, wenn sich infolge der Temperatureinflüsse die Grundmaße der Konstruktion erheblich vergrößern, verkleinern oder verschieben, namentlich die Stützweiten, sowie bei Bogenträgern besonders auch die Bogenhöhe (Pfeilhöhe). Im allgemeinen werden die beregten Veränderungen der Grundmaße nicht so erheblich sein, daß es notwendig erschiene, die dadurch verursachten Temperaturspannungen der Sicherheit wegen in die Berechnung mit aufzunehmen. Ebenso vernachlässigt man im allgemeinen die Nebenspannungen, welche von den Reibungswiderständen verursacht werden, die entstehen, wenn die von der Temperatur ergriffene Konstruktion vermöge ihrer beweglichen Stützen oder Knotengelenke ihre Lage zu verändern sucht (I. 15, 16).

Wesentlich anders und erheblich ungünstiger liegt die Sache bei den statisch unbestimmten Systemen, denn bei diesen können die überzähligen Größen nur mit Hilfe von Elastizitätsgleichungen (163—164) berechnet werden. Jede Änderung der Grundmaße der Konstruktion beeinflußt daher i??i allgemeitien auch die überzähligen Größen. Ist die Konstruktion außen statisch unbestimmt, so wird jede Temperänderung auch eine Veränderung der überzähligen Stützenkräfte herbeiführen, was wiederum auf die innern Kräfte der gesamten Konstruktion zurückwirkt. Dagegen wird bei einer bloßen innern Unbestimmtheit eines Fachiverks nur das Grundeck (I. 30) von Temperatureinflüssen getroffen, gleichviel, welche seiner überzähligen Stäbe im Hauptsystem beseitigt worden sind.

Bei statisch unbestimmten Systemen ist es nach obigem aus Gründen der Sicherheit notwendig, die aus Temperatureinflüssen herrührenden Nebenspannungen aller in Frage kommenden Tragwerksstäbe, Stützenstäbe und Querschnitte genau zu berechnen. Unter Umständen birgt das Anwachsen der Temperaturspannungen eine Gefahr in sich. Deshalb sollten statisch bestimmte Konstruktionen, wenn dagegen im Einzelfalle nicht besondere Gründe sprechen, unter sonst gleichen Umständen den statisch wibestimmten im allgemeinen vor gezo gen werden. Jedoch gibt es immerhin manche Fälle, in denen statisch unbestimmte Konstruktionen wohl am Platze sind, namentlich bei Bogen- und Hängebrücken.

2. Für statisch unbestimmte Systeme ist der Temperatureinfluß wie ein Belastungszustand anzusehen, denn er erzeugt ebenso wie die wirklichen Lasten P sowohl Formänderungen als auch Spannungen. Den Einfluß der Lasten P und der Temperatur auf die überzähligen Größen

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

kann man also dadurch ausdrücken, daß man die bis jetzt betrachteten Belastungszustände »X = o«, »Xa = — 1 «, »Xi = — 1 «, • • • bis -j>Xr — — 1« noch durch die Temperaturbelastung vermehrt. Das jeder Elastizitätsgleichung danach anzuhängende Summenglied berechnet sich wie folgt:

Für irgend einen der gedachten Belastungszustände »Xa = — x « bis »Xr = —1« bleibt die allgemeine Arbeitsgleichung (162) unverändert, weil sie für jede beliebige wirkliche Belastung, eingeschlossen die Temperaturbelastung, angeschrieben werden kann. Die erste der Elastizitätsgleichungen erhält man danach aus der Arbeitsgleichung

Sa Sk = o.

Darin ist

S= S₀- SaXa — SiXi - SCXC-----SrXr + T, (166)

wenn T die in irgend einem notwendigen oder überzähligen Stabe erzeugte Temperatur-Stabkraft bedeutet. T ist positiv oder negativ. Bei Druck'.staben ist die Kälteverkürzung und bei Zugstaben die Wärmeverlängerung in Rechnung zu stellen. Nach dem Elastizitätsgesetz kann

T — atEF

gesetzt werden, wenn a die Temperaturdehnung für i° C bezeichnet, und t die Zahl der Grade angibt, um welche die Berechnungstemperatur von der mittleren Wärme (-f- 1 o° C) abweicht. Setzt man den Ausdruck für N in obige Arbeitsgleichung ein, so erhält man die erste Elastizitätsgleichung mit

SaSQk—XaZ^ak—Xi^J SaSik weil

-XS⁷ SaSrk+j£jsactts=o, (167)

T-k — atEFk =

atEFs

ET

— uts

ist.

Wie (unter 31, b) ausführlich erläutert, erstreckt sich jedes der Summenzeichen über alle notwendigen und überzähligen Stäbe. Will man die Elastizitätsgleichung, wie es unter 32, a geschehen ist, durch eine Summe von Verschiebungen ausdrücken, die je für einen Belastungszustand des Hauptsystemes gelten, so erhält man für eine wandernde Einzellast P im beliebigen Knoten m

à a = Pö

ma

- Xaàaa - Xiöia - XcÔca - • • • - XrÔra “h Ôat ,

ôr = Pô

mr

- Xaôar ~ Xbôir ~ Xcôcr-----Xrôrr + ôrt.

Darin bedeuten öat. . . bis drt die allein von der Temperatur verursachte wirkliche Verschiebung eines Punktepaares oder Punktes, in welchem die überzähligen Größen Xa, Xb ... bis Xr als äußere Kräfte angreifend gedacht werden. Zu beachten bleibt, daß beim Anschreiben der Arbeitsgleichungen

Ôttia —SaS₀k

Öaa =2 Slk, à er =2 ScSrk

jedes der Summenzeichen sich nur über die notwendigen Stäbe zu erstrecken hat. Die aus den [r + 1) Belastungszuständen herrührenden Gesamtverschiebungen ôa, àb bis ör sind in jedem Falle gegeben. Bedeuten sie die elastische Verschiebung eines Punktepaares, in welchem ein Tragzoerksstab angreift, so ist z. B. dafür, nach dem Elastizitätsgesetze,

Ôa = Xaka- öc = Xckc\ ör = Xrkr

(169)

anzuschreiben, worin ka, kc, kr das Dehnungsvermögen des betreffenden Stabes vorstellt. Beziehen diese Verschiebungen sich dagegen auf Stützpunkte, so dürfen sie in der Regel gleich Null gesetzt werden (31, b. 1). Welche der beiden gegebenen Formen der Elastizitätsgleichungen in be-sondern Fällen am bequemsten janzuwenden ist, wird der Leser beim Durcharbeiten der folgenden Übungsaufgaben leicht erkennen können.

3. Es ist immer zu empfehlen, die Temperaturspannungen besonders zu berechnen, damit man einen Vergleich darüber hat, ob und inwieweit sie gegenüber den von den Lasten P erzeugten innern Kräften ins Gewicht fallen. Das ist auch der Grund, warum (unter 31, b) die Elastizitätsgleichungen vorläufig allein für die Lasten P angeschrieben worden sind. Will man eine solche besondere Berechnung ausführen, so braucht man in den Elastizitätsgleichungen (163) oder (164) nur das erste, dem Belastungszustande -»X — o« entsprechende Glied gleich Null zu setzen und außerdem für die von der Temperatur erzeugten überzähligen Größen X die Bezeichnungen

Xat 7 Xit, Xct, • • • bis Xrt

einzuführen. Die mit Hilfe der so geänderten Elastizitätsgleichungen berechneten überzähligen Größen Xt sind — soweit sie innere Kräfte eines Fachwerks vorstellen — gleich den betreffenden Temperaturstabkräften. Diese bleiben also nur noch für die notwendigen Stäbe zu berechnen. Das geschieht auf statisch bestimmtem Wege dadurch, daß man alle Xt als äußere Kräfte, die das Hauptsystem belasten, anbringt.

Bei der Berechnung der Temperaturspannungen von Vollwandtvägevn kommen, wie schon unter 31 gesagt, nur überzählige Stützenkräfte Xt vor.

Danach lauten die für den bloßen Einfluß einer Temperaturbelastung gültigen Elastizitätgleichungen entweder

2 Sa [a ts) — Xat2 Sl k — Xit2 SaSsk-----Xrt2 SaSrk = o

• • • (170)

Sr(ccts) Xat    Sr Sa k Xif^' SrSik

Xrt^Slk = o

oder

Xft Öra

da dat Xai daa    Xbt d ba

(171)

dr — drt — Xatdar ~ Xbtdbr — • • • — Xrtdr

wobei

da -- Xatka , dfr - Xatkb 5    ' ' ' dy - Xyfky

zu setzen ist, wenn ka, Äs, ... kr, wie bekannt, das Dehnungsvermögen der überzähligen Stäbe ist. Danach ergäbe sich für ein außen einfach statisch unbestimmtes System mit unbeweglichen Stützpunkten

da '• dat    Xat daa

oder

dat

Xat - v

Ö aa

Für ein innen einfach statisch unbestimmtes Fachwerk da - dat Xat daa - Xatka

(172)

oder

wobei das Dehnungsvermögen

Xat =

dat

daa + ka ’

(¹ 73)

EFa

ka —

zu setzen ist.

34. Die Einflüsse von Zwangsspannungen und Stützpunktverschiebungen.

a. Der spannungslose Anfangszustand einer Konstruktion. Wie es bei der Berechnung von Gewölben (II. 43) ausführlich dargelegt worden ist, so pflegt man auch bei der Berechnung jeder andern Konstruktion einen sog. spannungslosen Anfangszustand vorauszusetzen. Darunter versteht man dasjenige Bild der gewichtlos und unbelastet gedachten Konstruktion, das sich mit ihrem, für eine unveränderliche mittlere Luftwärme aufgestelltem Entwürfe völlig deckt. Ein solches spannungsloses Anfangsbild der Konstruktion kann auf der Baustelle in keinem Falle hergestellt werden. Das hat verschiedene Ursachen, die an dem Beispiele einer Eisenkonstruktion besprochen werden sollen.

Schon in der Werkstatt beginnen die Schwierigkeiten. Aber selbst wenn man annehmen wollte, daß dort alle Konstruktionsteile — unter Berücksichtigung der jeweiligen Tagestemperatur — fehlerlos abgemessen und zugerichtet, sowie auch vor ihrer Versendung probeweise derart zusammengepaßt worden sind, daß die Konstruktion sich mit ihrem Entwurfsbilde deckt, so ist das gleiche Endziel auf der Baustelle doch nie vollkommen zu erreichen. Ganz besondere Schwierigkeiten entstehen bei dem notwendigen Bestreben, den spannungslosen Anfangszustand zu erhalten, bis die Herstellung beendet ist, d. h. bis zu dem Zeitpunkte, in welchem (nach erfolgter Beseitigung oder Lüftung der Gerüste) die Konstruktion beginnt, ihr Eigengewicht zu tragen. In jenem Augenblicke wird die mittlere Luftwärme meistens nicht vorhanden sein, oder deren Eintreten nicht abgewartet werden. Jedoch wird eine vorsichtige Bauleitung rechtzeitig Fürsorge treffen, damit beim Einpassen der Schlußstücke das Gesamtbild der Konstruktion genau mit der dann herrschenden, von der mittlern Temperatur abweichenden Luftwärme möglichst übereinstimmt. Das wird der Fall sein, wenn beim Wiederkehren der mittlern Temperatur die Lage aller Knotenpunkte nur insofern vom ursprünglichen Entwürfe ab weicht, als dies durch den form ändernden Einfluß des bereits in Tätigkeit getretenen Eigengewichtes bedingt ist. In manchen Fällen, wo die Konstruktion ganz ohne festunterstützte Gerüste aufgebaut wird, sind Eigengewichtsspannungen von vorneherein nicht zu vermeiden, woraus für die Bauleitung die Pflicht erwächst, deren Einfluß im voraus zu berechnen und während der Aufstellung dauernd zu beobachten.

Man wird danach wohl beurteilen können, warum es selbst der gewissenhaftesten Bauleitung unmöglich ist, gewisse sog. Anfangs- oder Zwangs Spannungen, die im Entwürfe nicht vorgesehen waren, zu vermeiden. Sie entstehen hauptsächlich durch fehlerhaftes Ablängen von Stäben und Ungenauigkeiten in der Lage der Knoten, zu denen ja auch die Stützpunkte gehören und ihr Einfluß ist selbstredend besonders schädlich bei statisch unbestimmten Systemen.

b. Stützpunktverschiebungen. Es ist notwendig, hier zweierlei verschiedene Arten von Verschiebungen zu unterscheiden:

1)    solche, die nichts weiter bedeuten, als die elastische Längenänderung eines Stützenstabes ab, dessen Stützpunkt a sich rein elastisch verschiebt, während sein Knoten b unwandelbar liegen bleibt;

2)    solche, bei denen außer der rein elastischen Verschiebung des Stützpunktes a auch noch eine durch örtliche Umstände verursachte Senkung des Knotens b zu berücksichtigen ist.

Beide Arten von Verschiebungen können auf gleiche Weise in Rechnung gestellt werden. Am einfachsten dadurch, daß man sich die betrachtete Stütze — wie es im ersten Bande (§ 3) ausführlich dargelegt worden ist — durch einen Stützenstab ersetzt denkt und dessen Dehnungsvermögen

EF

der zu erwartenden Stützenverschiebung in der Richtung der Stützenkraft anpaßt. Kommt eine durch örtliche Umstände verursachte Senkung eines Stützpunktes in Frage, so kann diese ihrer Größe nach nur abgeschätzt werden.

Hat man danach z. B. festgestellt, daß in der Konstruktion zwei Stützpunkte vorhanden sind, von denen voraussichtlich der eine a sich um in. da, der andere c um in d c in der Richtung der zugehörigen Stützenkraft verschieben wird, so lauten die Arbeitsgleichungen (Temperatureinflüsse eingeschlossen) für eine wandernde Einzellast P:

Öa = ± Ja = PÖma — XaÖaa — Xbdba----— Xrdra + dat

Öi — O — P à mb Xadab XbÖbb * * * XrÖrb + Ô bt ( I 7 4)

dc = ±dc = PÖmc — Xaöac - Xböbc-----Xrdrc + dct

usw.

usw.

Will man den alleinigen Einfluß der beiden Stützensenkungen auf die überzähligen Größen erhalten, so sind die Glieder mit P und die Glieder öat • • • bis ört gleich Null zu setzen.

Die Gesamtverschiebungen db, da ... bis dr sind Null, soweit sie sich auf Stützpunkte beziehen, die als unbeweglich in der Stützenkraft-richtung vorausgesetzt werden dürfen. In praktischen Fällen sind das Rollen- oder Stelzenlager, kurze Pendelstützen oder Pendelwalzen und dgl. (I. § 19—20). Lange Stützenstäbe oder Pfeiler können mit Hilfe der Vorausbestimmung ihres Dehnungsvermögen in den Summengliedern der Elastizitätsgleichungen mit aufgenommen werden.

"Maxwell sagt am Schlüsse seiner (unter 13, a) wiedergegebenen Arbeit über die Gegenseitigkeit von Verschiebungen: »In belasteten Konstruktionen, in welchen wir die Verschiebung jedes Knotens berechnen wollen, kann man die Stützpunkte (points of support) als die Enden von Stäben betrachten, welche die Konstruktion mit dem Mittelpunkt des Erdkörpers verbinden; und wenn die Stüzpunkte auch zur Aufnahme von wagerechten Schüben fähig sind, muß man sie untereinander durch einen Stab von gleichwertigem Dehnungsvermögen verbinden. Die Verschiebung ist dann die Verkürzung eines Stabes, der sich vom Stützpunkt bis zum Mittelpunkt der Erde erstreckt.« Damit hat Maxwell die Abhängigkeit der Verschiebungen von der Elastizität der Pfeiler oder Widerlager und namentlich des Untergrundes kennzeichnen wollen. Die große Schwierigkeit der Berechnung von Stützen Senkungen besteht aber darin, daß das zu erwartende Dehnungsvermögen der Pfeiler und des Untergrundes auch schätzungsweise wohl in keinem Falle zutreffend zu ermitteln sein wird. Wenn aber eine Bauleitung das Eintreten solcher Senkungen nach erfolgter Aufstellung und Inbetriebnahme einer Konstruktion bestimmt voraussieht oder auch nur fürchtet, so muß sie deren Einflüsse auf die überzähligen Größen schon bei den Vorberechnungen des Entwurfes berücksichtigen. In dieser Beziehung gebietet namentlich der Bau von durchgehenden Balkenträgern und von statisch unbestimmten Bogenträgern Vorsicht. Beim Bau der Bogenbrücke in der Nähe von Grünental, über den Nordostseekanal, deren Stützweite 156,5 m beträgt, rechnete man mit einer möglichen Verschiebung jedes Endpfeilers von 2 cm, bevor die Bogenkraft durch Einsetzen eines Zuggurtes aufgehoben werden konnte. Der Zuggurt jedes Bogenträgers wurde erst eingenietet, nachdem der Träger ausgerüstet war und demnach schon sein Eigengewicht zu tragen hatte. Dann rechnete man auf eine nochmalige Verschiebung jedes Endpfeilers von 0,8 cm in der Richtung der durch die Verkehrslast verursachten Bogenkraft.¹

c. Zwangsspannungen.

1.    Darunter versteht man die allein durch fehlerhafte Lage der Stützen oder falsches Ablängen von Stäben u. dgl. verursachten Stabspannungen. Das sind also Zusatz- oder iW^wspannungen (I. 16, c). Fehler in der Lage der Stützen können eine Änderung der Stützweiten des Entwurfes zur Folge haben. Ändert sich dadurch auch das Entwurfsbild eines Fachwerks, so beeinflußt das alle Werte S₀, Sa bis Sr des Hauptsystemes und dadurch auch die überzähligen Größen. Greift in dem fehlerhaft liegenden Stützpunkte eine überzählige Größe X an, so kann diese nur dann einen Einfluß äußern, wenn eine Stützenverschiebung in der Richtung von X erfolgt ist. Andernfalls liefert X keinen neuen Beitrag zur Formänderungsarbeit der Elastizitätsgleichungen. Für derartige Verschiebungen in der Richtung eines X gelten aber ohne weiteres die für Stützensenkungen aufgestellten Gl. (174).

2.    Ist ein Stab unrichtig ab gelängt, so paßt er bei der Aufstellung nicht genau zwischen sein Knotenpaar. Man muß ihn dann abkühlen

S. 742.

oder erwärmen, um ihn ohne Zwang einpassen und vernieten oder verbolzen zu können. Seine richtige Länge galt für die mittlere Luftwärme von + io° C. Müßte man den Stab nun um t Grad kühlen oder wärmen, um ihn passend zu machen, so wird er, wenn er die mittlere Temperatur wieder annimmt, Zwangsspannungen verursachen, die als Tm/m^&rspannungen (33) berechnet werden können. Nimmt man nämlich alle übrigen Stäbe als bei io° C spannungslos an und schreibt dem um dtzAs unrichtig gelängten Stabe eine diesem Werte entsprechende Temperaturändemng zu, so ist damit auch die Längenänderung jedes andern Stabes im Hauptsysteme bestimmt. Temperaturspannungen können aber selbstredend nur dann entstehen, wenn der fehlerhaft gelängte Stab ein überzähliger war. War es ein notwendiger Stab, so kann dieser zwar infolge seines Zwanges das Entwurfsbild ein wenig ändern, nach unsern Voraussetzungen aber niemals derart, daß nicht das elastische mit dem starren Gleichgewicht noch verwechselt werden dürfte. Somit kann er auch die statisch bestimmt ermittelten Werte S₀, Sa bis Sr des Haupt-systemes nicht mehr verändern.

Die allein durch fehlerhafte Länge eines überzähligen Stabes verursachte Änderung der überzähligen Größen berechnet sich danach wie folgt. Es sei dz A s a der Ab längungsfehler des Stabes Xa zwischen dem Knotenpaare a. Dann ist in Temfieraturuvckmig ausgedrückt A Sa - CCtSa - àa( «

Setzt man diesen Wert von dat in die erste der Gl. (171) ein, so sind daraus die allein infolge der Zwangsspannung entstehenden überzähligen Größen zu berechnen. Wählt man die erste der Elastizitätsgleichungen (170), so ist darin

- — Sa CC tSa

Sa a ts

zu setzen. Ist außer dem Stabe Xa kein anderer der überzähligen Stäbe falsch gelängt, so verschwinden in den übrigen Elastizitätsgleichungen alle die Temperaturbelastung betreffenden Glieder, also

öt,t . . . bis ört = o

und

ats = o.

^ Stats . . . bis ^ Sr

Sind aber mehrere überzählige Stäbe mit Zwang eingesetzt, z. B. Xc und Xr, so ist an Stelle der sonst verschwindenden Glieder zu setzen

drt = a tsr

dct = ats

oder

Sç ats — Sc a t s c,

^Sr ats — Sratsr.

¹

Fülscher, Der Bau des Kaiser-Wilhelm-Kanals. Zeitschr. f. Bauw. 1898,

35. Die Sätze von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit.

a. Die Verschiebung des Angriffspunktes einer Kraft,

i. Die Arbeitsgleichung Mohrs in der Form

i • <5 = ^ S • As

bietet das einfachste Mittel zur Berechnung irgend einer Verschiebung, die aus irgend einer Ursache entsteht. Das ist unter 10 und in den Übungsaufgaben (11) ausführlich klargelegt worden. An ihrer Stelle kann man, zu gleichem Zwecke, auch die Abgeleitete der wirklichen Formänderungsarbeit benutzen, wie dies zuerst Castigliano ¹ getan hat. Eine Vereinfachung der Lösung vorliegender Aufgabe hat Castigliano dadurch aber nicht erzielt, er macht vielmehr in seiner Rechnung einen Umweg, den man bei dem Verfahren von Mohr vermeidet, abgesehen davon, daß das letztere für alle Ursachen einer Verschiebung gleich einfach anzuwenden ist.

Die wirkliche Formänderungsarbeit einer äußern Kraft Pm ist (nach 3, a) mit

<ä = ^Pmö

anzuschreiben, wenn zwischen der Kraft Pm und deren Wege öm Proportionalität vorausgesetzt wird. Für die wirkliche Formänderungsarbeit eines ebenen oder räumlichen Fachwerks, das reibungslos auf unbeweglichen Stützpunkten ruht und sich im spannungslosen Anfangszustande befindet, erhält man dann (nach Aufgabe 22, 11, a)

2t = \2sAs,

$

oder, wenn das Dehnungsvermögen k = ——- eingeführt wird,

Er

(*75)

2t =    ?S²k.

Bei statisch unbestimmten Fachwerken kann man die Achsenkräfte X der überzähligen Stäbe als äußere Kräfte angebracht denken. Die Gleichung (175) gilt dann für das mit den äußern Kräften P und X belastete Hauptsystem (10).

Die nach irgend einer äußern Kraft Pm genommene (partielle) Abgeleitete der Arbeit berechnet sich mit

ö2t

•Ai.

(176)

ÖPm

ö s

bedeutet die Abgeleitete irgend einer Stabkraft .S eines statisch

üP,K

üPm

¹ Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications. 1879.

bestimmten oder unbestimmten Fachwerks. Für S ist der allgemeine Ausdruck

S=[StPt + SaI>a-\-----bSmPM) + {SaXa + SiXi-\-----bXrSr) (l77)

zu setzen. Darin bedeuten St bis Sm und Sa bis Sr die von einer Krafteinheit eines betrachteten Stabes {Stützenstäbe eingeschlossen) verursachte Stabkraft. Sämtliche ST bis Sr sind unabhängig von den P und X. Ebenso sind die Lasten P und X (nach 31) untereinander als Unabhängige zu betrachten. Daraus folgt die Abgeleitete

ÙS

(178)

= sm

ç ÜPm

*Pm * m *Pm und Gl. (176) geht über in

(I79)

oPm

Die Arbeitsgleichung Mohrs lautet

'    ⁼⁼⁼jj£j Sm S • k .

In beiden letzten Gleichungen erstreckt sich das Summenzeichen über alle Stäbe des Fachwerks, Stützenstäbe eingeschlossen. Also folgt

(180)

'bPm

In Worten: Der Weg öm einer Last Pm ist gleich der nach Pm genommenen Abgeleiteten der wirklichen Formänderungsarbeit des Fachwerkes.

Unter den Lasten P sind, wie oben erläutert, die überzähligen Größen X einbegriffen. Sm bedeutet also die in einem notwendigen Stabe durch eine im Punkte m (in der Richtung von Pm) angreifende Krafteinheit erzeugte Stabkraft. S stellt dagegen diejenige Stabkraft desselben Stabes vor, die infolge der Gesamtwirkung aller P und X hervorgerufen wird (31).

Man sieht: Der obige zuerst von Castigliano gegebene Satz sagt nicht mehr aus, als die Arbeitsgleichung Mohrs. Denn deren rechte Seite bedeutet, wie nachgewiesen, auch nichts anderes als die Abgeleitete der wirklichen Formänderungsarbeit. Castigliano muß diese erst berechnen, während Mohr sie unmittelbar anschreibt. Deswegen bedeutet Castiglianos Verfahren der Berechnung einer Verschiebung d eine auf unnötigem Umwege bewirkte Anwendung der Arbeitsgleichung Mohrs.

Der Satz Castiglianos läßt sich auf gleichem Wege, wie oben, auch für Vollwandträger ableiten.

b. Der Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit,

i. Man schreibe irgend eine der (unter 31) für die überzähligen

Größen X abgeleiteten Arbeitsgleichungen an, z. B. die erste Gleichung (162)

^ SaSk = o.

Darin ist nach Gl. (177)

S= S₀ + SaXa + SàX₆ + ScXe-f-----{-SrXr.

Die partielle Abgeleitete von S, genommen nach Xa, folgt mit

dS

= sa.

bXa

Die wirkliche Formänderungsarbeit ist und daraus erhält man

Das gibt schließlich

ÜXa °*

In gleicher Weise sind die Gleichungen

= ° bis 0; = °

bX₆

bXc

abzuleiten. In Worten ausgedrückt:

Die überzähligen Größen machen die wirkliche Formänderungsarbeit des Fachwerkes zu einem Minimum.

Daß kein Maximum eintreten kann, ist selbstverständlich, dieses müßte sonst unendlich groß werden. Das könnte aber nur im Falle unendlich kleiner Beweglichkeit (I. 34) eintreten, der ausgeschlossen wird.

Differentiiert man danach den Ausdruck der Arbeit eûtes statisch unbestimmten Fachwerkes, das durch die P und X belastet ist, je nach einer der r überzähligen Größen, so erhält man durch Nullsetzen jeder der r Abgeleiteten r Gleichungen zur Berechnung der überzähligen Größen.

2. Der obige Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit wurde zuerst von Menabrea gegeben¹. Aber erst durch das bereits erwähnte Werk Castiglianos wurde der Satz in weitern technischen Kreisen bekannt. Frankel² gab eine selbständige Ableitung des Satzes im Jahre 1882. Ein Jahr später dann hat Mohr, als Erster, klargestellt, wie beschränkt das Anwendungsgebiet des obigen Satzes sei, im Vergleich zu der allgemeinen Verwendbarkeit der von ihm aus dem Satze der virtuellen Verschiebungen hergeleiteten Arbeitsgleichungen. Indem sich Mohr³ dabei gegen Müller-Breslau wendet, bezeichnet er die bei der Untersuchung einer elastischen Konstruktion zu lösenden drei von einander unabhängigen Aufgaben, wörtlich etwa wie folgt:

»1. Die Bestimmung der von den Belastung hervorgerufenen innern Kräfte ;

2.    die Ermittelung der innern Kräfte T, die von der Temperatur, von der Stützenlage und von der Aufstellungsart der Konstruktion abhängig sind;

3.    die Bestimmung der mit den Kräften S und T verbundenen Formänderungen der Konstruktion.

Die Anwendung des Satzes der virtuellen Verschiebungen gestattet die Lösung dieser drei Aufgaben und zwar durch Betrachtungen von gleicher Form, während der Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit sich nur auf die erste Aufgabe bezieht. Diz Behauptung, daß die beiden Methoden dasselbe Anwendungsgebiet beherrschen, ist demnach nicht ganz zutreffend.«

Mohr bemerkt dann noch, wie die Richtigkeit des Satzes von der kleinsten Formänderungsarbeit am einfachsten mit Hilfe des Satzes der virtuellen Verschiebungen bewiesen werden könne. Das ist im vorigen auch schon so geschehen. Er selbst beweist Castiglianos Satz auf folgende einfache Weise:

Nach erfolgter Beseitigung der Belastung einer Konstruktion verschwinden deren innere Kräfte in der Regel nicht vollständig, weil, abgesehen von dem Einflüsse der Luftwärme, durch Mängel der Herstellung in der Werkstatt und auf der Baustelle (vgl. unter 34) sog. Zwangs Spannungen entstehen können. Man kann sich aber die unbelastete Konstruktion von einer Temperaturbela.sXxmg T ergriffen denken, derart, daß dadurch alle Zwangsspannungen aufgehoben werden und somit die Konstruktion in einen spannungslosen Anfangszustand versetzt wird.

Man betrachte nun das Gleichgewicht irgend eines dieser unendlich vielen möglichen Kräftesysteme T, indem man um jeden Knotenpunkt des Fachwerks einen Schnitt herumführt und an den Schnittstellen die Kräfte T als äußere Kräfte anbringt. Verschiebt man dabei die Knotenpunkte um diejenigen kleinen Wege, welche dem Kräftesystem S entsprechen, so bezeichnet das Produkt Sk für jeden Stab dessen Längenänderung und TSk die gedachte Arbeitssumme der beiden in einem Knotenpunktepaare angreifenden Stabkräfte T. Werden die Stützpunkte als unbeweglich angesehen, so sind keine äußern Kräfte vorhanden, die Arbeit verrichten. Deshalb ist nach dem Satze der gedachten Verschiebungen

(¹81)

St-s-k = o

anzuschreiben.

Die wirkliche Formänderungsarbeit des Fachwerks ist

31 =    (5+ Tfk = \2[S²+ T* + 2ST)k.

Unter Berücksichtigung der Gl. ( x 81) erhält man also 3t = 2 &k + T*k ,

das ist eine aus zwei positiven Gliedern bestehende Summe. Unter den unendlich vielen Kräftesystemen U == S + T ist danach das System U = S oder T — o

dasjenige, welches der kleinsten Formänderungsarbeit entspricht. Das ist das im spannungslosen Anfangszustande befindliche System.

36. Übungsaufgaben.

a. Vorbemerkungen über die Bildung des Hauptsystemes. Das Beseitigen der überzähligen Stäbe kann in beliebiger Weise erfolgen, wenn nur nicht das dadurch gewonnene Hauptsystem beweglich oder von unendlich kleiner Beweglichkeit wird (I. 34—35). Bei unbestimmten Vollwandträgern wird das Hauptsystem durch Beseitigung von Sützenstäben oder in besondern Fällen auch durch Einführung der äußern Kräfte eines Schnittes (Längskraft, Querkraft, Moment) als überzählige Größen zu bilden sein. Bei Fachwerken wird man am besten einfache und zusammengesetzte unterscheiden (I. 16, a).

i. Einfache Fachwerke sollte der Konstrukteur, wenn sie schon außen statisch unbestimmt sind, nicht noch unnötig auch innen unbestimmt machen, sondern die Wandgliederung als einteiliges Streben- oder Ständerfachwerk gestalten (II. 16). Im allgemeinen wird man also bei außen statisch unbestimmten Fachwerken das Hauptsystem in zweierlei Art bilden können, nämlich entweder durch Beseitigen von Stützenstäben (wobei in besondern Fällen (Aufgabe 44) auch Ersatzstützenstäbe verwendet werden) oder durch Beseitigen von Tragwerks staben derart, daß das Hauptsystem ein zusammengesetztes Fachwerk wird. Z. B. kann das Hauptsystem eines Bogens mit zwei Kämpfergelenken entweder gebildet werden: durch Beseitigen eines Stützenstabes als Balken, oder durch Beseitigen eines Gurtstabes in der Bogenmitte als Dreigelenkträger. Es kann z. B. auch ein durchgehender Träger auf n Stützen durch Beseitigung von n — 2 Gurtstäben in das Hauptsystem eines Auslege-trägers (II. 22) verwandelt werden usw.

In der Regel aber wird es sich nicht empfehlen, als Hauptsystem eines einfachen Fachwerkes ein zusammengesetztes Fachwerk zu wählen, weil dessen Biegelinien, Verschiebungspläne und Einflußflächen umständlicher darzustellen sind als für jene. So ist es z. B. nicht zu raten, als Hauptsystem eines beiderseits eingespannten, also dreifach unbestimmten Bogenträgers einen Dreigelenkbogen zu wählen. Einfacher gestaltet sich die Behandlung, wenn man — wie schon unter II. 43 (Fig. 148) gezeigt wurde — durch Beseitigung einer Einspannung das Hauptsystem als nur einerseits eingespannte Scheibe bildet. Noch einfacher verläuft aber wohl die Rechnung, wenn man auf einer Seite des Bogens zwei Stäbe und auf der andern Seite einen Stab beseitigt. In diesem Falle bildet das Hauptsystem einen dreistäbig gestützten Balken, dessen Einflußflächen und Formänderungen bequem darzustellen sind (41).

Bei zwei- und dreifach unbestimmten Systemen kann es von Vorteil sein, die überzähligen Größen X alle in einem einzigen Punkte anzubringen. Wenn dies geschieht, so lassen sich bei bestimmter Lage und Richtung der X die Elastizitätsgleichungen sehr vereinfachen, nämlich derart, daß daraus alle d mit einem aus verschiedenen Buchstaben gebildeten Zeiger verschwindenJ. Das heißt, es werden

- O )

dbc dcb — o.

Bei trafach er Unbestimmtheit lauten demnach die Elastizitätsgleichungen

(182)

öa = Pöma - Xaöa öb — Pömb — Xb Sbb, de = PÖmc - XCÔCC .

Man vgl. hierzu die Aufgaben unter b.

¹ Dies Verfahren ist (soweit bekannt) zuerst von Müller-Breslau angegeben?-worden.

Bei unbestimmten Systemen, die zu ihrer lotrechten Mittelachse symmetrisch angeordnet sind, werden je zwei der ô mit einem aus gleichen Buchstaben gebildeten Zeiger gleich groß. Z. B. erhält man bei einem auf vier Stützen durchgehenden Träger die Bedingung

$aa $ bb ,

wodurch die Berechnung von Xa und Xi sich vereinfacht. Auch erhält man dabei die Einflußflächen für

$ma Und Ömi

gleich, wenn auch ihrer Lage nach als Spiegelbilder.

Bei innen unbestimmten einfachen Fachwerken gibt es keinen andern Weg, als das Hauptsystem durch Beseitigen der überzähligen Tragwerksstäbe zu schaffen. Solche können immer nur in einem Grundecke Vorkommen (I. 30 und 35). Bei innen und außen unbestimmten einfachen Fachwerken — wie sie z. B. bei durchgehenden Trägern Vorkommen könnten (aber möglichst vermieden werden sollten) — liegt die Möglichkeit vor, das Hauptsystem als zusammengesetztes Fachwerk zu erhalten.

2. Zusam7nengesezte Fachwerke. Diese bestehen immer aus mehreren Scheiben und sollten zweckmäßig nur außen unbestimmt angeordnet werden. Die für einfache Fachwerke gegebenen Regeln genügen hier, um die Frage der besten Art der Bildung des Hauptsystems entscheiden zu können.

Es empfiehlt

sich, vor dem Studium der folgenden, allgemein gehaltenen Aufgaben, die früher bereits gegebenen Lösungen statisch unbestimmter Fälle (unter 6, 7, 11c und 14c) anzusehen. Die Stabquerschnitte der nachfolgend behandelten Träger sind als gegeben oder als vorläufig angenommen zu betrachten.

b. Einfache bis dreifache Unbestimmtheit.

Aufgabe 44. Für den in der Fig. 174 dargestellten, über drei in gleicher Höhe liegende Stützen durchgehenden Fachwerkträger sollen die Einflußflächen der Stabkräfte U? und Z9₂ gezeichnet werden.

Als überzählige Größe wählen wir die Stützenkraft Xc, die im Stützpunkte c des unbestimmten Systems durch eine im beliebigen Knoten m des Lastgurtes angreifende Einzellast P = »Eins« erzeugt wird. Wir verwandeln das unbestimmte System durch Beseitigen der szmstäbigen Stütze c und Hinzufügen eines Stabes in der Stütze b in ein statisch bestimmtes Hauptsystem. Dann berechnet sich die überzählige Größe (nach 32) mit

o*. • k Ip»

o,

'P**'

Die Verschiebungen ömc und dcc entnehmen wir aus einer Biegelinie des Hauptsystems, gezeichnet für eine Lasteinheit »Xc = — 1« (Fig. 175). Dabei berechnen sich die elastischen zo-Kräfte der Fig. 176 nach § 4.

PA 7

\t

2_V' 3

4-

ym

V/ ka

m

/c

O’

».I

y//A

Ml

r< -

Fig. 174-

c’

CL

4;.

Fig- 175-

■2'

O'

TJ

i U-FlcLcJie,

! Fig. 176.

ppt'

4r£>

Fig. 177.

~t4cts

k\"'

a,'

D₂ -Flächen =\De = tWsa

3‘

Fig. 178.

Der Maßstab der zo-Kräfte, sowie auch die Polweite Hw des zugehörigen Kraftecks (Fig. 176) kann beliebig gewählt werden, weil Xc allein von dem Verhältnis zwischen ömc und öcc abhängig ist.

Wählt man die Höhe öcc der Bogenkraftfläche als >Einheit«, so ist

Xc = ö

mc ?

d. h. die überzählige Größe kann unmittelbar aus der zugehörigen Einflußfläche abgegriffen werden.

Will man Xc unmittelbar aus den Stabkräften des Hauptsystems bestimmen, so ist dafür die Arbeitsgleichung Mohrs

Xc =

^ So Sck

maßgebend, wobei S₀ und Sc diejenigen Stabkräfte sind, die nacheinander für die Belastungszustände »AT = o« und >Xe = — 1« ermittelt worden sind. Die Stabkräfte Sc wurden bereits für die Darstellung der Biegelinie gebraucht. Die Ermittelung von S₀ und Sc für jeden Stab des Hauptsystems geschieht mit Hilfe eines Kräfteplanes, oder nach einem andern Verfahren (I. § 10).

Irgend eine Stab kraft .S des unbestimmten Systems ist durch die Gleichung

S = So - XCSC

(■83)

gegeben. Darin bedeutet S₀ irgend eine von der wandernden Einzellast im einfachen, bei a und b gestützten Parallel trag er erzeugte Stab kraft.

Um die Ebiflußfläche für A bequem auftragen zu können, benutzt man am besten einen Multiplikator nt, wie dies bereits für die Darstellung der Einflußflächen des Dreigelenkträgers (II. 28) geschehen ist. Man formt danach die Gl. (183) um in

S = Se

So

Sc

-Xc

)Hf

— Xc

(r8₄)

Für einen Gurtstab innerhalb der Stützenweite 4 bestimmt sich Sc rechnerisch aus dem Belastungszustande >XC — — 1« mit

(iss)

Darin bedeuten

x: die von a ausgemessene Abszisse des zugeordneten Momenten-punktes und

r\ der darauf bezogene Hebelarm der Stabkraft. ß berechnet sich aus dem gegebenen Verhältnisse der Stützweiten 4 und 4 des durchgehenden Trägers.

Für einen Wandstab ist Sc (nach II. 17, b) aus der Querkraft Q mit

m    o    <2

ttt = o = —--

COS Cf

16

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

zu berechnen. Das gibt innerhalb der Stützweite lz:

nt = Se =

i • 4_

cos«

(4 + /₂) cos a

Danach sind in den Fig. 177—178 die gesuchten Einflußflächen für U₂ und D₂ gezeichnet. Dabei wurden die bereits im II. Bande (§ 3 und § 4) gegebenen Grundlagen der Darstellung angewendet. Danach bedeuten UÓ, L>'₀, Vó die durch eine Stützenkraft A = »Eins« im Hauptsystem verursachten Stabkräfte, mit deren Hilfe diejenige Grenzlinie der Einflußflächen festgelegt wird, welche den Einfluß von A darstellt. Die beiden Grenzlinien jeder Einflußfläche treffen sich in einem Punkte der zugehörigen Momentenpunkt-Lotrechten.

Die Vorzeichen der Teilflächen bestimmt man am einfachsten aus dem Vorzeichen der Stabkräfte des Hauptsystems. In diesem ist z. B.

UL

U₂ positiv. Deshalb wurde die Ordinate — unterhalb der Trägerlinie

m    U₀ 2

a'b' aufgetragen, um den Unterschied zwischen den Werten -^-² und Xc unmittelbar graphisch zu erhalten. Die dabei verbleibende £7₂-Teilfläche à— ₂'—n ist also positiv zu nehmen. In gleicher Weise erhält man ein positives Vorzeichen für die Z>₂-Teilfläche n—3'—n .

Es sei

4 = 24 m; 4 = 18 m ; Feldweite a — 6 m; Trägerhöhe h = 7 m. Dann berechnet man in Tonnen

i • 12

und

nt =

Das gibt

/    4    \ *2_/iB\ 12

\4 + 4/ h ~~ U2/ 7

UL

Ebenso findet man

Dq 2

nt

3 “2f'

Macht man in Fig. 177 —178 das äcc gleich »Eins«, so sind darin die Strecken a'k = 2j aufzutragen.

Aufgabe 45. Für den in der Fig. 179 dargestellten gegliederten Sichelbogenträger mit schrägliegender Kämpf er linie ab ist x) die durch eine Temperaturänderung verursachte Bogenkraft Ht und 2) die dadurch bezvirkte lotrechte Verschiebung eines Knotens m im Lastgurte zu ermitteln.

eines Stabes im Gelenke a in das Hauptsystem über. Der Stützpunkt a sei dadurch in der Richtung der Kämpferlinie a b verschiebbar geworden und die unter dem alleinigen Einflüsse einer beliebigen Temperaturänderung erfolgende Verschiebung öat ist aus der bekannten Arbeitsgleichung Mohrs mit

i • dat =2Sa(ctiis).

(187)

zu finden, worin » x « eine der positiven Richtung von Xt entgegengesetzt wirkende gedachte Lasteinheit vorstellt. Deshalb bedeutet Sa eine durch den Belastungszustand *Xt =— 1« verursachte Stabkraft des Hauptsystems.

Die unbekannte Kämpferlinienkraft Xt bewirkt ebenfalls eine Verschiebung des Stützpunktes a. Diese ist mit

- xtöaa

anzuschreiben.

Die Gesamtverschiebung aus beiden Ursachen muß gleich Null ausfallen, weil unverschiebbare Stützpunkte vorausgesetzt

werden. Daraus folgt

I • Öat Xt àaa — O

oder

Xt =

Ï • dat

Öaa

(188)

was nach den Gl. (171) auch unmittelbar hätte angeschrieben werden können. Zähler und Nenner der Gl. (188) können sowohl graphisch als auch rechnerisch bestimmt werden.

Graphisch erhält man den Zähler aus einer wagerechten Biegelinie des betreffenden Stabzuges (19, b) oder aus einem Verschiebungsplane (20), wobei in beiden Fällen die Stablängenänderungen

J st — atts

zu berechnen sind. Rechnerisch folgt der Zählerwert unmittelbar aus der Gl. (187), wenn vorher die Sa aus einem Kräfteplane oder dgl. genommen worden sind.

Den Nenner der Gl. (188) kann man (ebenso wie den Zähler) aus einer Biegelinie oder einem Verschiebungsplane erhalten. Rechnerisch folgt er aus der Arbeitsgleichung

daa=2sik

oder nach (19, b) aus

(189)

l6*

worin jedes wa eine für die lotrechte Biegelinie berechnete elastische Kraft bedeutet, die im zugehörigen Knoten in der Richtung der Kämpferlinie anzubringen ist. yw bezeichnet deren Hebelarm in bezug auf die Kämpferlinie.

2. Die lotrechte Verschiebung eines Knotens m im Lastgurte findet man — weil z/st = atsStk — aus der Arbeitsgleichung

7 • ömt =j£js • z/st    S[atts) 4-Jj ŚStk,

worin der letzte Summand den Einfluß der Bogenkraft Ht darstellt. St bezeichnet also eine durch Ht verursachte Stabkraft. Graphisch findet man ömt aus einer lotrechten Biegelinie. Deshalb kann man (nach 19, b) auch anschreiben

Ömt =

— x)

(190)

wenn (nach der Fig. 179) x der Abstand einer elastischen Kraft Wt und a der Abstand des Punktes m von der Stütze a ist, wobei die wt aus den z/st zu berechnen sind.

*■

L.

Wt

V/

\b L

t . V.........JT--

Fig. 179.

3. Aus

Ht — Xt cos a

findet man schließlich die gesuchte Bogenkraft.

Aufgabe 46. Für einen beiderseits eingespatinten vollwandigen oder gegliederten Bogen mit einem Mittengelenk sind die überzähligen Größen zu bestimmen (Fig. 180).

Das System ist zweifach statisch unbestimmt. Die Elastizitätsgleichungen für die überzähligen Größen Xa und X3 sind daher (nach Gl. 164) wie folgt anzuschreiben:

da — Pâma ~~ XaÖaa Xbdba

Ôb = PÔmâ XaÖab XbÖbb .

Die Gleichungen lassen sich dadurch vereinfachen, daß man das zweistäbige Gelenk beseitigt und das so erhaltene Hauptsystem im Gelenkpunkte mit beiden überzähligen Größen belastet. Um dann den ursprünglichen Zusammenhang beider Bogenschenkel im Gelenke zu wahren, wird die für irgend eine Belastung des Hauptsystems erhaltene Verschiebung des Gelenkpunktes für beide Bogenschenkel gleich groß anzusetzen sein. Für ein derartiges Hauptsystem lassen sich die Richtungen von Xa und Xi so wählen, daß

nu

a[b

Xa

P Fig. 180.

c.

<a

\ö

c,

^    agœc

P Fig. 181.

■s

: aa

c,

Fig. 182.

\d

Öia Ôab O ,    77''

wird, wodurch die allgemeinen Elastizitätsgleichungen übergehen in

(I9i)

Ôa = Pâma ~ Xaöaa ös = Pàmb — Xi da .

Bezeichnet man das Gelenk mit dem Doppelbuchstaben ab, so heißt es a oder b, je nachdem es für Xa oder Xi als Angriffspunkt dient.

Für den Zustand »Xa — — i« berechne oder zeichne man jetzt die Verschiebung öax des Punktes a im Hauptsysteme (Fig. 181). Man möge dafür die Strecke öax — ddI erhalten haben. Nimmt man darauf für den Belastungszustand »Xi = — i « die Richtung von Xi senkrecht zur adj an (Fig. 180), so ist anzuschreiben

(192)

àia — o

d. h. die Verschiebung des Punktes b in der Richtung von Xb, verursacht durch Xa— — i ist gleich Null (Fig. 181). Denn diese Verschiebung ist gleich und sie steht senkrecht zur Richtung von Xi. Demnach ist ihre Projektion auf diese Richtung gleich Null.

Nach Maxwell folgt aus der Gl. (192) aber auch

d ab O 1

d. h. die Verschiebung des Punktes a in der Richtung von Xa, verursacht durch Xb — — i (Fig. 182) ist gleich Null. Weiter folgt, daß die Richtung der Verschiebung bbT senkrecht zur Xa stehen muß, denn nur in solchem Falle ist die Projektion von bb₁ auf Xa gleich Null.

mL

fa

Fig. 183.

fl

■aa

C’o-

ÄL

-0 d’

ma

aa

Fig. 184.

Die Gesamtverschiebungen öa und di im Gelenke müssen gleich groß sein. Das gibt

(I93)

Pdma Xa daa - Pdmb Xi da .

Um Xa und Xi zu berechnen, fehlt noch die Größe von

(L = dt.

Nach der ersten der Gl. (191) ist

da = Pdma - Xada worin da die Verschiebung des Punktes a im litiken Bogenschenkel ac bedeutet, verursacht durch die Belastung von P und Xa. Die überzählige Größe Xi hat keinen Einfluß auf die Größe von da, wenn sie (wie angenommen) senkrecht zur Verschiebung dax (Fig. 183) gerichtet ist.

Der Gelenkdruck Xa des linken Bogenschenkels wirkt auf den rechten Schenkel in gleicher Größe aber entgegengesetzter Richtung. Bezeichnet man nun die dadurch im Punkte a des rechten Schenkels herbeigeführte Verschiebung mit ôâa, so ist anzuschreiben

Öa = XaÖ’aa

und daraus folgt

Xa =

Pö

(⁴94)

ma,

gezeichnet ist.

Für praktische Fälle wählt man die Richtung von Xa zweckmäßig lotrecht. Dann erhält man, wie in der Fig. 184 dargestellt ist, ô ôaa und ö'aa aus zwei Biege liniert, von denen jede nur für einen Bogenschenkel und für »Xa =

Xb ist gegeben, sobald die Größen dmb und öbb in ähnlicher Weise, wie für Xaj bestimmt worden sind. Die betreffenden für X = gezeichneten Biegelinien sind bekanntlich zugleich Einflußlinien der X. Wie bei vollwandigen Bogenträgern die Biegelinien mit Hilfe der elastischen Kräfte dargestellt werden, wird unter § 8 (im Anschluß an 9, b) dargelegt.

Aufgabe 47. Die überzähligen Größen eines beiderseits eingespannten Bogenträgers (Fig. 185) sind dar zu stellen x.

Das System ist dreifach statisch unbestimmt. Das Hauptsystem soll (wie unter a, 1 angegeben) derart gestaltet werden, daß in den drei Elastizitätsgleichungen alle ô mit aus verschiedenen Buchstaben gebildetem Doppelzeiger verschwinden (Gl. 181). Zu dem Zwecke wird eine Einspannung beseitigt und das Hauptsystem des an einem Ende eingespannten Bogens in geeigneter Weise mit den überzähligen Größen Xa, Xb, Xc belastet. Xa sei ein Moment, das in beliebiger Weise am linken freien Kämpfer angreift (Fig. 186). Xb und Xc seien zwei in einem Doppelpunkte bc angreifende Einzelkräfte.

Wählt man jetzt den Punkt bc in der Trägerebene derart, daß er als Pol der durch >Xa = — 1« verursachten Verdrehung

$ aa — az aT — a₂ az

der Geraden az—a₂ erscheint, so ist anzuschreiben

$ba - O j

d ca ⁼⁼ O ,

und daraus folgt nach Maxwell

da& — o , dac — o ,

d. h. die Verschiebung des Punktes b oder c verursacht durch die Momenteinheit der Geraden az—a₂ ist gleich Null.

Eine solche Lage des Punktes bc findet man mit Hilfe von Biegelinien oder eines Verschiebungsplanes, aus welchem die Richtungen der

Fig. 185.

\6

X

¹

Menabrea. Nouveau principe sur la distribution des tensions dans les systèmes élastiques. Comptes rendus 1858. I. S. 1056.

²

   Frankel. Das Prinzip der kleinsten Arbeit der innern Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung baustatischer Aufgaben. Zeitschr. des Arch.- u. Ing.-Ver. Hannover 1882. S. 63.

³

   Mohr. Über das sogenannte Prinzip der kleinsten Deformationsarbeit. Wochenbl. f. Arch. u. Ing. 1883. S. 171.

⁴

Vgl.    Die graph. Statik der Baukonstr. Band II. 3. Aufl. S. 312.

öL

bc

i".....⁶cc'f\ !»

vV

Fig. 186.

Verschiebungen ax—a\ und <z₂—aź entnommen werden können. Denn durch die augenblickliche Bewegungsrichtung von zwei ihrer Punkte at und a₂ ist der Pol der Bewegung der Bogenscheibe gegeben: die in ax und ö₂ zu den betreffenden Richtungen von a₁—a\ und a₂—a'₂ errichteten beiden Senkrechten treffen sich im gesuchten Pole bc. Wählt man diesen, wie geschehen, als Angriffspunkt von Xi und Xc, so folgt (Aufgabe 46)

Öd = Öic — o

vorausgesetzt, daß die Richtung von Xc senkrecht zur Verschiebung da steht; d. h.

die Verschiebung des Punktes c, in der Richtung von Xc, verursacht durch »X} — — 1« ist gleich Null.

Somit lauten die Elastizitätsgleichungen zur Berechnung der überzähligen Größen für unwandelbare Kämpferfugen:

da = Pdma - Xad dt — Pdmb — Xbdbb — o dc = Pdmc - Xcdcc =

Darin sind daa, dbb und dcc zu bestimmen, d lotrechte Einzellasten P und für beliebige Punkte m aus den zugehörigen drei Biegelinien oder Verschiebungsplänen entnommen werden.

Bei der Bestimmung von S₀, Sa, Sb, Sc und den dadurch verursachten Verschiebungen

aa -

95)

dmb, d

mc

können für

dma —*^o    ^ >

dmb    S₀Sbk,

USW.

daa=2sik, dbb s$k,

kann man sich den Doppelpunkt bc (den Pol der Verdrehung der Geraden az—a₂) durch zwei gerade starre Stäbe be, bf oder ce, cf an die Bogenscheibe geschlossen denken (Fig. 186). Sobald die Stabkräfte dieser beiden gedachten Stäbe berechnet sind, ergeben sich auch die übrigen Stabkräfte der Bogenscheibe, sowie die zugehörigen Verschiebungen. Vgl. Aufgabe 61.

Aufgabe 48. Für den in der Fig. 187 darge stellten, durch einen Balken versteiften schlaffen Bogen ist die Einflußlinie einer Balkenstrebe zu zeichnen.

Hier ist zuerst die Frage zu entscheiden, welchen Stab man am besten als überzählig wählt. Weil das System zur mittlern lotrechten Achse symmetrisch liegt, so gibt es eigentlich nur zwei Möglichkeiten: Entweder beseitigt man den, dem Knoten g gegenüberliegenden Obergurtstab des Balkens, oder den Stab c—c des Bogens. Im ersten Falle würde man als Hauptsystem einen Mittengelenkbalken erhalten, der statisch nach II. 29 zu behandeln wäre. Bequemer erscheint es aber, die Bogenkraft H des Stabes c—c als überzählige Größe zu wählen, weil dann für ^>H — o«, alle Bogenstäbe (einschließlich der Ständer) spannungslos werden. Sonach wird für diesen Belastungszustand das Hauptsystem ein einfacher Balkenträger, dessen Stabkräfte und Formänderungen bequem zu bestimmen sind.

Wählt man also die Bogenkraft H als überzählige Größe, so erhält man für eine Strebenkraft D des unbestimmten Systèmes die Gleichung D = D₀ — HDh

oder

D = Dh

D₀

Dh

wenn D₀ und Dh diejenigen Spannkräfte bedeuten, die infolge der Ursachen »H = o« und »If = — 1« entstehen.

\Lx

Bä

jU

ff

V.

D -Fläche, - l)jt

... :r

Fig. 187.

mP

•r

jm

nj

e’ ‘ -

ZO

Fig. 188.

Wählt man Dh als Multiplikator m, so gibt das

m(^-4

(196)

Die Einflußlinie für H findet man aus

mc

(I97)

dec + kc ’

ömc und dec sind darin die von »H = — 1« im beliebigen Angriffspunkte m der wandernden Einzellast und im Punktepaare c—c verur-

sachten Verschiebungen. ömc erhält man aus einer Biegelinie, die zugleich die Einflußlinie der Senkung des Knotens m vorstellt. öcc ist (nach Mohr) durch die Arbeitsgleichung

i • öcc =^T S*ck

Öcc + kc

gegeben. Wählt man

als Einheit der Bogenkraftfläche oder als Polweite des Kraftecks der elastischen Kräfte w, so ist (für irgend eine Lage der Einzellast P)

(198)

mc •

H=1 • ö

a,

VA

W///////A

'e

'd

w/////

Fig. 189.

<rn

>>P7777777j^777777777777777777P^^^^^^^^^^

Fig. 190.

Die Biegelinie ist einfach darzustellen, indem man zuerst die Stabkräfte der Bogenstäbe für »H—— 1« berechnet und sodann diejenigen dieser Stabkräfte, welche in den Obergurtknoten des Balkens angreifen, dort als äußere Kräfte wirken läßt. Somit erhält man alle /ts der Balkenstäbe und daraus die elastischen Kräfte w. Weiteres nach § 4.

Die so erhaltene Einflußfläche von H ist mit der Einflußfläche von D0 des einfachen Balkens zu vereinigen. Das gibt die Einflußfläche von wie sie in Fig. 188 dargestellt ist.

Aufgabe 49. Für die beiden in den Fig. 189 und 190 dargestellten zusammengesetzten Fachwerke [Auslegebogenträger und versteifter Auslege-träger) soll das Hauptsystem gebildet werden.

i. Der Auslegebogenträger besteht aus zwei Tragscheiben. Zu seiner starren Verbindung mit der Erde werden demnach

(3 — i)3 == ⁶ Stäbe

nötig. Vorhanden sind 6 Stützenstäbe und ein zweistäbiges Gelenk c. Die Unbestimmtheit ist also zweifach. Weil der Träger zur lotrechten Mittelachse durch c symmetrisch angeordnet ist, so wird man zweckmäßig auch die überzähligen Stäbe symmetrisch liegend wählen. Man kann z. B. zwei solcher Untergi/rtstäbe in den beiden Endöffnungen beseitigen. Dann erhält man ein Hauptsystem mit 4 Tragscheiben, das mit

(5 — 1)3 = 12 Stäben

an die Erde geschlossen ist. Denn es sind vorhanden

5 Gelenke mit 10 Stäben 2 Pendelstützen 2

zusammen 12 Stäbe.

Ein solches Hauptsystem wäre statisch nach II. 32 zu behandeln. Zweckmäßiger erscheint es aber, die Stützenstäbe bei a und b der Endöffnungen zu beseitigen und dort die lotrechten überzähligen Größen

Xa, Xi anzubringen. Man erhält dann für P — 1 die Elastizitätsgleichungen

^ma    XaÖaa    XfrÖfia, O ,

àjfti    Xa Öfra da O .

worin aber, der vorausgesetzten Symmetrie wegen,

3 aa Öfri

ist. Außerdem erscheinen die Einflußlinien für öma und àmb als Spiegelbilder.

2. Der durch eine Kette versteifte Auslegeträger (Fig. 190) besitzt

3 Tragscheiben. Zu seiner starren Verbindung mit der Erde benötigt er also (nach I. 31)

(4 — 1) 3 + 2/

Stäbe, wenn f die Zahl der freien Knoten bedeutet. Das gibt 9 + 2-10 = 29 Stäbe.

Vorhanden sind aber

Stützenstäbe.

• • 13

Scheibengelenke 2X2= 4 Kettenstäbe.    .

10

Hängestäbe .    .

zusammen 32 Stäbe.

Das gibt eine dreifache Unbestimmtheit.

Man wird (um ein symmetrisches Hauptsystem zu erhalten) am besten tun, je einen Stützenstab bei a und b und im Kettengurt den mittleren

wagerechten Stab cc zu beseitigen. An Stelle der beseitigten Stäbe treten die lotrechten überzähligen Größen Xa, Xd und die wagerechte Kettenbogenkraft Zf. Dann verschwinden für »H — o« die Spannungen aller Kettenstäbe und Hängestangen. Das zu diesem Belastungszustande gehörige Hauptsystem kann also ähnlich wie dasjenige des Mittengelenkbalkens der Fig. 187 berechnet werden.

In die Elastizitätsgleichungen sind dann folgende Bedingungen, die aus der vorausgesetzten Symmetrie folgen, aufzunehmen und

oder

Ôca - $cö •

Außerdem erscheinen die Einflußflächen für dma und öms als Spiegelbilder.

c. Biegelinie eines statisch unbestimmten Trägers. Nach 16 c, 3 erfährt das durch die Kräfte P belastete unbestimmte System die gleichen Formänderungen, wie das durch die Kräfte P und X belastete Hauptsystem. Es ist aber unmöglich, dabei die Formänderungen durch einen Verschiebungsplan graphisch genau darzustellen. Ein solcher Plan könnte nur zufällig einmal diejenigen Verschiebungen, mit deren Hilfe die überzähligen Größen berechnet wurden, richtig wiedergeben. Denn die kleinen Ungenauigkeiten, die darin bestehen, daß jeder Punkt des ersten Planes im Schnittpunkte zweier Senkrechten liegt, obwohl diese streng genommen zwei Kreisbogen sein müßten, verhinderte seine Brauchbarkeit in statisch unbestimmten Fällen. Oder man müßte jede Verschiebung des ersten Planes genau berechnen und dann erst auftragen.

Biegelinien besitzen den beregten Nachteil nicht. Sie sind in jedem Falle völlig zuverlässig, wie das bereits unter 16, a hervorgehoben worden ist.

Aufgabe 50. Es ist die Biegelinie des in der Fig. 191 dargestellten zweiteiligen Strebenfachwerks zu zeichnen und zwar für die Lage einer lotrechten Einzellast »Eins« im Untergurtknoten 6.

i. Der Träger ist statisch bestimmt gestützt und innen einfach unbestimmt. Durch Beseitigen des Endständers bei a und Anbringen der überzähligen Größe X als Lasteinheit des Punktepaares a (31, a, 2) erhält man das Hauptsystem. X berechnet sich aus

SpSqk

S%k -j- ka

worin

ha -

EFa

das Dehnungsvermögen des Endständers darstellt.

ao

du.

13

17

18,

5,

h~-1,5m

V'

11

15

12

10

20

"u

Wu

T)

Fig. 191.

me

/: 150

â= 0,80 mm

20fache aal. Grösse.

Im -Einheit-2.10⁵in mm .

Fig. 192.

'<T0₂

<<■--

---Łjm

Der Träger ist gedacht als Hauptträger einer 9 m breiten Straßenbrücke , die eine Gesamtbelastung von 900kg/m² erfährt. Seine Querschnitte werden als gegeben angenommen. Die durch die Last »Eins« im Untergurtknoten 6 verursachten Stablängenänderungen /! s des

Fi g- 193.

unbestimmten Systèmes berechnen sich aus

Ss

J s — —— , EF

worin

s = S₀ - XSa

einzusetzen ist. Die danach ermittelten Js sind in der Tabelle 23 zusammengestellt.

Tabelle 23. Unterlagen zur Berechnung der Stablängenänderungen.

Stab

bezeichnung

Stab- Quer- Dehnungs-länge schnitt vermögen , IOO.T

Stabkräfte

»*AT=o«

So

»X=- i«

5« .

Stabkraft

Stablängen

änderungen

z/j

cm²

mm

Stabnummer

Bemerkungen

ÖQ—2₀

3,6

20

0,9-10-5

0,000 —1,200    —0,4758 —0,04309

¹    1) Das Deh-

Obergurt

2o 4o    3,6    30

4o—6₀    3,6    30

o,6-xo—5    —0,960    +1,200    —0,4810 —0,02882    5 nungsmaß

ist mit

o,6-io-s —0,960 —1,200    —1,4388 —0,08633    9

60—80

3,6    30

o,6-io—s —1,920 +1,200    —1,4412 —0,08647 x3

2 • io⁶ atm

8o~*o

3,'⁶

20

0,9-10-5    -j-0,48o[ -1,200    +0,0012 +o,000108 17

ciu—2»

3,6

20

0,9 • 10—5

+0,480 —1,200    +0,0012 +0,000108 4

worden.

Untergurt

3,6

35    0,514-10-5

+0,480 +1,200    +0,9588    +0,04931

4 «—6?«

3,6    35

0,514-10-5

+ 1,440 —1,200    +0,9612 +0,04943

6m—8 u

3,6    35    0,514-10-5

+0,240 +1,200    +0,7188 +0,03697

2) z/j ist aus S-k-10000

12    .

_ in mm aus-

*6 gerechnet.

8 u—bu

3,6

20

0,9-10—5

au—a₀

3,o    30    0,5-10-5

+1,200 —1,200    +0,7212 +0,06481

0,000 —1,000 —0,3990 —0,01995

20

au—i

2,343    20

0,586 • 10—5

—0,625

+ 1,562

—0,0017    —0,0001

I—2₀

2,343    20

0,586-10-5

—0,625

+ 1,562

—0,00x7 0,0001

a₀—i

2,343    20    0,586-10-5

0,000

+ 1,562

+0,6233    +0,0365

2,343    20    0,586-10-5

0,000

+ 1,562

+0,6233    +0,0365

■Zu—2

2,343    20    0,586-10-5

0,000

—1,562

—0,6233    —0,0365

2—4o

2,343    20    0,586-10-5

0,000

—1,562

—0,6233    —0,0365

2₀ 2

2,343    20    0,586-10-5

+0,625

—1,562

+0,0017    +0,0001

2—4w

2,343    20    0,586-10-5

+0,625

—1,562

+0,0017    +0,0001

4«—3

2,343    20    0,586-10-5

—0,625

+1,562

—0,0017    —0,0001

Wand

3 6₀

2,343    20    0,586-10-5

—0,625

+1,562

10

—0,0017    —0,0001

4o—3

2,343    20    0,586-10-5

0,000

+1,562

+0,6233    +0,0365

3—6«

2,343    20    0,586-10—5

0,000

+1,562

+0,6233    +0,0365

6m—4

2,343

20    0,586-10-5

+1,562

—1,562

+0,9387    +0,05498

4—8₀

2,343    20    0,586-10-5

+1,562

—1,562

+0,9387 +0,05498

14

6₀—4

2,343    20    0,586-10-5

+0,625

—1,562

+0,0017    +0,0001

4—8m

2,343    20    0,586-10-5

+0,625

—1,562

+0,0017    +0,0001

iS

8m—5

2,343    20    0,586-10-5

-0,625

+ 1,562

—0,0017    —0,0001

2,343    20    0,586-10-5

—0,625

+1,562

18

—0,0017    —0,0001

80—5

2,343    20    0,586-10-5

—1,562

+1,562

—0,9387 —0,05498

2,343    20    0,586-10-5

—1.562 +1,562

—0,9387 —0,05498

19

Die SQ und Sa wurden aus Kraftplänen entnommen und durch Rechnungen nachgeprüft. Danach ergab sich

= — °>399⁰¹ t.

^ SpSgk

S²ak -j- ka

2. Um die Darstellung der Biegelinie des gegebenen zweiteiligen unbestimmten Wandsystemes möglichst zu vereinfachen, ist dieses auf ein hinsichtlich der zu erwartenden Formänderungen gleichwertiges System zurückgeführt worden. Das geschah in folgender Weise: Es wurden zuerst die von der im Knoten 6U angreifenden Last »Eins« verursachten Änderungen der Längen a, h, c, d zwischen den Wandknoten (1 und 2; 2 und 3; 3 und 4; 4 und 5) berechnet und dann wurde die Biegelinie für das einfache Fachwerk au—1—2—3—4—5—bu gezeichnet, wie das Fig. 192 zeigt. Dabei konnten die elastischen Kräfte w in bekannter Weise aus den bereits gefundenen Stablängenänderungen zd s und den erwähnten Längenänderungen (z/a, z/Æ, z/c, Jd) ermittelt werden.

Um die Längenänderungen z/a bis zId zu finden, sind vorher erst die zwischen den betreffenden Knoten des Obergurts und Untergurts entstehenden Längenänderungen berechnet worden. Werden diese mit der betreffenden Knotennummer bezeichnet, so erhält man

4

i • ztx₂ —^ S • dt s

o

8

zfx₂ + I • zlx₄    S • z/ s

12

z/ x₄ -f- i • z/ Xe = S • zl s

(199)

16

zl xz 4- i • z/ x% =S • z/s

21

z/x8    • zls .

In diesen Arbeitsgleichungen bedeutet S: die von einer in den Punktepaaren 2, 4, 6, 8 lotrecht wirkend gedachten Lasteinheit verursachten betreffenden Stabkräfte,

Js\ die wirklichen Stablängenänderungen des unbestimmten Systems, die für die betreffenden Stäbe 1 bis 21 (Fig. 191) in der Tabelle 23 schon verzeichnet stehen.

Wenn man für die gedachte Lasteinheit die S berechnet, so erhält man die in der Tabelle 24 verzeichneten Werte. Dabei finden, wie leicht zu sehen, folgende Beziehungen statt:

(200)

Alle S können danach aus einem einzigen Kräfteplan entnommen werden, der für eine Lasteinheit des Punktepaares 2«—2₀ zu zeichnen ist. Die zur Berechnung der J x nötigen Zahlen sind in der folgenden Tabelle 24 nochmals zusammengestellt. Behufs Nachprüfung ist darin der Werth Jx₈ zweimal berechnet.

Tabelle 24. Unterlagen zur Berechnung der Werte Jx.

xd s

S-Js

Stab- Stabkraft

nummer

Wirkliche

Stablängenänderung

Längenänderungen x.1 x

10

12

— 1,0 — 1,2 + 1,562 + L562 — 1,2

—    1,2

+ 1,562 + 1,562

-    1,2

—    1,2 + 1,562 + 1,562

—    1,2

— 1,2 + 1,562 + 1,562 — 1,2

—    0,01995

—    0,0431

—2 • 0,0001 + 2 • 0,0365 +    0,00011

—    0,0288

-2-0,0365 + 2-0,0001 + 0,0490

—    0,0863

-2-0,0001

+ 2-0,0365 +    0,0494

—    0,0865

+ 2-0,0550 + 2-0,0001 + 0,0370

+ 0,01995 + 0,05172 — 0,00031 + 0,11403 —0,00031

dx^ = + 0,18526

+ 0,03456

— 0,11403    z/*₂ + z/*₄ =—0,13832

^*4 =—0,32358

+ 0,00031 — 0,05916

+ 0,10356

—    0,00031 + 0,11403

—    0,05928

z/x₄+z/x₆ = + 0,15800 4x₆ = + 0,48158

+ 0,10380

+ 0,17182    Jx₆ + Jx ₈ =+0,23153

Jx₈ = + 0,25005

+ 0,00031

— 0,04440

—    I,*

+ I,56z +1,562

—    1,2 — 1,0

Zur Nachprüfung Jx₈ = + 0,25007

+ 0,00011 — 2-0,0001 -2-0,0550

+    0,0648

+ o,oooo5

— 0,00013 — 0,00031

—    0,17182

—    0,07770

—    0,00005

17

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen.

wie folgt: In der Fig. 196 sym-

Bezeichnet 2h seine Höhe, a

TT

[A⁷!

_JL_

- /<$<? -Fig. 194.

\b‘

F-t

I-

ev

•o-

I,

2'

Roth, :    Statisch unbestimmt

Schwarz: „ „ bestimmt.

Fig. 195.

Aus den z! x berechnen sich /Ja bis Zt d ist ein von je zwei Wandknoten und zwei Gurtknoten gebildetes metrisches Gelenkviereck dargestellt.

seine Breite, so setzt sich die Längenänderung J a aus zwei Teilen zusammen, von denen der eine von dem betreffenden Jx₂ herrührt, und der andere von den bereits berechneten Stablängenänderungen J s₂₎ Js₃, Js(, und J s₁ (Tabelle 23, Spalte 7, 8) verursacht wird. Das gibt für die Fig. 196

n.°.

’K

(201)

— Aa..

--—s-

Zzlv

wenn D eine von einer gedachten Lasteinheit des Punktepaares 1—2 verursachte Stabkraft des Gelenkvierecks vorstellt. Das Summenzeichen erstreckt sich über die vier Stäbe 2, 3, 6, 7.

Ebenso erhält man

-a-

•>

Fig. 196.

II

yVx'

(202)

Darin ist für den vorliegenden Träger

a = b = c — d— 3,6 m

und für jede gedachte Stabkraft des Gelenkvierecks erhält man

i • 2,343

3,6

0,6508

3,6

= 0,8333.

D kann also vor das Summenzeichen gesetzt werden. Tabelle 24 kann man dann noch entnehmen

Aus der

und

7    ”    *9

^ Js = ^ J s    Js — o

2    6    14

15

^    = -f- 0,09148.

IO

Das gibt schließlich

Ja = — 0,8333 • dix₂ — — 0,1545 mm,

Jb = + 0,8333 • dix4 =    0,2697 mm,

Je — -j- 0,09148 — 0,8333 • JX(, = — 0,3418 mm,

Jd = + 0,8333 • Jxg = + 0,2084 mm.

3. Mit Hilfe der Werte Ja bis Jd ist es möglich, jetzt die Biegelinie zu zeichnen. Es sind dazu die elastischen Kräfte w₂ bis w% zu berechnen. Das geschieht nach der bekannten Grundgleichung wobei für die Js der vier Obergurtstäbe des gleichwertigen einfachen Trägers obige Werte Ja bis Jd zu nehmen sind. An Stelle von r tritt für die Gurtstäbe die Trägerhöhe h und für die Wandstäbe ist (nach Gl. 88) überall

fr

Daraus folgt im vorliegenden Falle

und

r' =

3,6 • 1,5 • iooo

2,343

= 2304,8 mm.

Danach sind die «/-Kräfte in der Tabelle 25 zusammengestellt.

4. Die Maßstäbe der Darstellung in den Fig. 191 —193 waren folgende :

Trägerbild in 1:150; 1 w-Krafteinheit — 2 • io¹ in mm,

Polweite Hw = -3— mm ; Senkungen der Biegelinie 2 omal nat. Größe. Aus der Biegefläche abgemessen fand sich

16

dßU = — = 0,80 mm. 20

ergab

$6« — 0,802 mm.

Tabelle 25. Zur Berechnung der elastischen Kräfte w.

Stab

bezeich

nung

Stablängen

änderung

Hebelarme

Verteilung der w-Kräüe auf die Lastgurtknoten

ds

Gurte

Wand

mm

r'

4«

6«

au—2 u

+0,000108

1500

ds

+0,04931

1500

ds

ill

ill

4 u—6«

+0,049436

1500

ds

/Is

ih

iii

6«—8«

+0,03697

1500

ds

ds

ih

ih

8«—bu

+0,06481

1500

ih

«0

1—2 —0,1545

1500

Obergurt

2—3 +0,2697

i5°°

3—4 —0,3418

1500

4—5    +0+084

1500

au—I —0,0001

2304,8

/Is

r'

1 — 2« +0,03650

2304,8

ds

r'

2«—2 —0,03650

2304,8

ds

ds

r'

r’

2—4« +0,0001

2304,8

z1s

/is

r'

r'

W and

4« — 3    —o,oooi

2304,8

3—6« +0,03650

2304,8

I    «OI

+ V ", v

6«—4    +0,05494

2304,8

/Is

dis

r’

r'

4—8 U +0,0001

2304,8

/Is

/Js

r'

r'

8 u—5 —0,0001

2304,8

/is

5—t>u —0,05498

2304,8

/Is

r’

6. In den Fig. 194—195 ist die im vorigen berechnete Biegefläche mit derjenigen eines gleich weit gestützten statisch bestimmten zweiteiligen einfachen Parallelträgers verglichen. Man sieht daraus, wie die schwarz gezeichnete Biegelinie des einfachen Trägers für die vorausgesetzte Belastung des Knotens 6 ungleichmäßiger und ungünstiger ausfällt als die rote Linie. Das verursachen die von der Formänderung der Wändstäbe herrührenden negativen elastischen Kräfte. Um diese zu vermindern, empfiehlt sich das Einlegen eines durchgehenden sog. Mittelgurtes oder von einzelnen Stäben zwischen den Wandknoten 1 bis 5. Allerdings führt ein solches Hilfsmittel mehrfache Unbestimmtheit herbei².

§ 7. Bogenträger mit zwei Kämpfergelenken.

Die überzähligen Größen sind für gegliederte und vollwandige Bogenträger gleich, wenn bei ersteren (unter sonst gleichen Umständen) innere Bestimmtheit vorhanden ist, was wir voraussetzen. Unterschiede in der Berechnung ergeben sich allein aus der verschiedenen Art der Darstellung der Biegelinien. Deshalb werden im folgenden gegliederte und vollwandige Bogenträger gemeinsam behandelt.

37. Darstellung der Bogenkraftfläche für Fachwerk.

a. Die Kämpferlinienkraft als überzählige Größe.

Jede Kämpferkraft (Ka und Kt] zerlegt sich in eine Balkenstützenkraft (A, B) und in die Kämpferlinienkraft H'. Die Bogenkraft H ist für jede Lage der wandernden Einzellast aus

H = H’ cos a

bestimmt, wenn Kämpferlinie und Wagerechte den Winkel a einschließen (Fig. 197).

Dresden, im September 1905.

Wird das Kämpfergelenk a beseitigt und an seine Stelle eine bewegliche Stütze gesetzt gedacht, die eine Verschiebung in der Richtung der Kämpferlinie ab gestattet, so ist die Gesamtverschiebung äa des Hauptsystems mit

d, = Pöam - H'ö

>'

k-

im

Ą.

IO

AS

3,

(4-

//^

bJL

Ja

H’

*--h-

"dl

ißm

a\

Ał

wß

Z’JL

i

■= -l

Fig. 197—198.

!...i

r<-

J³

‘I

>!

Fig. 199.

anzuschreiben. Die d der beiden Summanden dieses Ausdruckes bezeichnen bekanntlich die nacheinander von den Belastungszuständen »ff' = o« und »H’ = — 1« verursachten Teil Verschiebungen des Stützpunktes a. Bei starr vorausgesetzten Kämpfern ist d« = o. Daraus folgt für P = 1

IP =

(²°3)

Öa³

2 SQSak

2 sik

wenn (nach Maxwell) dam — àma eingesetzt wird.

2. Zähler und Nenner der Gl. (203) können graphisch aus Biegelinien entnommen werden. Der Nenner folgt aus einer Biegelinie, deren elastische Kräfte w parallel der Kämpferlinie wirken, so daß (nach 19, b)

(204)

Öaa    W • [y COS Cf)

angeschrieben werden kann, y ist dabei die lotrecht bis zur Kämpferlinie gemessene Ordinate irgend eines Bogenknotens. Der Zähler folgt aus der Einflußlinie der Verschiebung öma — öam, also aus einer lotrechten Biegelinie, deren elastische Kräfte w gleich denen der Gl. (204) sind.

Rechnerisch bestimmt sich ö

d. i. die zum Lastpunkte m gehörige Ordinate der (mit der Polweite Hw — »Eins« gezeichneten) Einflußfläche (nach 19, b) mit

à ma = Aw-a    w (a — x)

oder

$ma -

x)    te/(a — x).

Aus Gl. (203) folgt dann für die Bogenkraft

oder

Kr'

cos a

ma

2sik

2 So Sah

$ma

(²° 5)

in Worten: Die Bogenkraftfläche stellt eine Momentenfläche dar, gezeichnet mit Hilfe eines Kraftecks der elastischen Kräfte w, dessen Polweite gleich wy

zu machen ist (Fig. 198—199)-

b. Berechnung der elastischen Kräfte w.

i. Die Bezeichnungen dma und daa besagen, daß die Ursache der zugehörigen Verschiebungen eine Krafteinheit »— 1« im Stützpunkte a vorstellt. Deren Moment M in Bezug auf irgend einen Bogenknoten ist mit

M= -{- i • y cos a

anzuschreiben.

Das gibt (nach 15) für eine w-Kraft (die für jeden Wandstab in zwei Teilkräfte zerlegt wird) den Wert

Hs

Mk

y ■ k • cos a

Für die Darstellung der Bogenkraft H hebt sich im Zähler und Nenner der Gl. (205) das cosa. Deshalb darf hierbei jede elastische Kraft aus

(206)

y k

w = -—■

r2.

berechnet werden.

Das Dehnungsvermogen

EF

kann bei der Berechnung der Bogenkraft erstmalig angenähert eingesetzt werden. Dabei empfiehlt es sich, einen gedachten mittleren, unveränderlichen Querschnitt F₀ einzuführen und die Werte w im Nenner und Zähler der Gl. (206) mit EF₀ zu multiplizieren. Man erhält dann eine elastische Kraft mit

(207)

ys (E₀

r²

und hat es jetzt in der Hand, das Verhältnis F₀:Fj je nach der Lage des vorliegenden Rechnungsfalles, für Gurte und Wandglieder entsprechend festzusetzen und abzustufen. Für erstmalige Rechnungen genau genug setzt man das Verhältnis für die Gurte durchschnittlich etwa gleich »Eins« und für die Wand etwa gleich 2, 3, 4 oder dgl. Man darf dann also allgemein mit

w == iß)

(208)

rechnen. Dabei stellt ß die » QuerschnitteinflußzahU dar.

2. Die w-Kraft eines Wandstabes wird in die gleichwertigen Teilkräfte

z/ s

Wi —

und w

zerlegt. Daraus folgt

rrt

__ _ ys [Fd W² ^rrAF,

worin rI} r₂ die bekannten Lote im Schnittfelde sind (15, b u. c) und r den Hebelarm in Bezug auf den dem betreffenden Stabe zugeordneten Momentenpunkt bezeichnet. Bei spitzen und ungünstig liegenden Schnitten der Gurtstäbe des Feldes empfiehlt es sich, die Werte von r auszurechneri. Dabei kann auch die Gl. (88)

¹    1    ¹    —

— = dt ---h

benutzt werden¹.

¹ Vgl. die Berichtigungen zum III. Bande, wonach die Vorzeichen der Gl. (88) abzuändern sind.

c. Einfluß der Temperatur.

i. Irgend eine Stablängenänderung infolge von Temperatureinflüssen sei Jst. Dann berechnet sich die Verschiebung öat in der Kämpferrichtung (wie bekannt) mit

i • àat ==SSaJst =SSa[citts)

und die aus der Temperatur erwachsende Kämpferlinienkraft (bei unverrückbaren Stützpunkten) mit

Hl =

à at _    Sa[atts)

àaa

(209)

man

Wenn die Verschiebung öat aus einer Biegelinie gewonnen wird, deren elastische Kräfte wt parallel zur Kämpferlinie ab wirken, erhält (nach 19, b)

à at =2wt [y • cos a) .

Aus einer ähnlichen Biegelinie gewonnen, erhält man nach Gl. (204)

öaa    w [y • cosa) .

Daraus folgt die Bogenkraft Ht

Ht = Ht cos a =

cosa

wt •y

(210)

Jjj^w • y

In diesem Ausdrucke sind die elastischen Kräfte, wie bekannt, aus

z/St Wt = -

und zu berechnen, wobei die Unveränderlichen, wie durchweg gleiche Stablängen, durch die Division von Zähler und Nenner der Gl. (210) fortfallen. Auch ist wohl zu beachten, daß man hier die für Wandstäbe berechneten Wt nicht mehr (nach Mohr) zu zerlegen braucht, sondern unmittelbar in den zugeordneten Momentenpunkten angreifen lassen kann. Sonst kann man auch die für einen Stabzug (18, a) abgeleitete Gl. (92) oder die Gl. (104—105) unter 19, a zur Berechnung der wt brauchen. Will man Ht unmittelbar aus der erwähnten Temperaturbiegelinie gewinnen, so hat man die Polweite

zu

machen (Fig. 200—201).

Znr Berechnung von Ht mit Hilfe eines Kraftplanes für *H' = —1« in a benutzt man die Gl. (209) in der Gestalt

Ht =

cos a

^ Sa[atts)

2sik

(21 x)

Ist /, die Temperaturänderung in Celsiusgraden über die sog. mittlere Luftwärme (33) für alle Stäbe gleich groß, so bleibt das ursprüngliche Trägerbild dem Formänderungsbilde ähnlich. Deshalb ist in solchem

BL*

miL

p.

4-

IQ

.....mno ¹³

b’

1,

Oat

~ ZH_____

Fig. 200.

%ot

t--i

Fig. 201.

Falle die Verschiebung des Stützpunktes a gleich der Längenänderung der Kämpferlinie zu setzen. Das gibt, wenn l die wagerecht gemessene Stützweite des Bogens bezeichnet nach der Gl. (209)

à at

Cittl

Öaa

cos a

2 sik

oder

Ht —

atl

2 sik

(212)

Will man auch hierbei die Verschiebung daa mit Hilfe der w-Kräfte aus einer Biegelinie gewinnen, so hat man, bei einer Polweite Hw = 1 die w aus der Gl. (206), also aus

yk

zu = -—

r²

zu berechnen. Wählt man aber dabei, um für jeden Stab das Dehnungsvermögen zu erhalten, einen mittlern Querschnitt F₀, so hat man Nenner und Zähler des Ausdruckes für Ht mit EF₀ zu multiplizieren, woraus

(2I3)

Ht =

at łl • EF₀

^ w (jycosa)

folgt. Dabei ist jedes w aus der Gl. (207) mit

ys IF₀ r² \ F

zu berechnen. Vgl. das Zahlenbeispiel unter 40, b.

Die aus Ht zu berechnenden Temperaturstabkräfte St erhöhen die Grenzwerte -f- Sv und — Sv, die von der Vollbelastung durch Eigengewicht und Verkehr erzeugt werden, so daß für die Querschnittsberechnung die Werte

± max S = dr [Sv -f- St)

maßgebend sein müssen.

d. Zusatz für den Bogen mit Zugband. Wenn zwischen den Kämpferpunkten a und b ein Stab eingezogen und eine der beiden Stützen, z. B. b, in eine bewegliche umgewandelt wird, so entsteht der sog. »Bogen mit Zugband*-. In einem solchen Bogen überträgt sich die Bogenkraft als innere Kraft auf das Zugband, sie wird also aufgehoben, so daß als äußere Kräfte nur die Balkenstützenkräfte A und B auftreten. Die Konstruktion ist deshalb (nach IL 1, a) ein Balkenträger. Dessen Berechnung erfolgt aber, als Bogenträger, indem man das Zugband beseitigt und dafür seine inneren Kräfte H' als äußere Kräfte in a und b angreifen läßt. Man erhält dann für H' die Gleichung

H' =

wenn kz das Dehnungsvermögen des Zugbandes vom Querschnitte Fz angibt. Im übrigen erfolgt die Berechnung ganz so, wie beim Träger mit zwei Kämpfergelenken.

Obwohl

kz =

cos a • EFZ

immer nur eine sehr kleine Größe ist, so darf sie doch nicht vernachlässigt werden, weil auch ömi und du sehr klein sind und somit das Fehlen von kz im Nenner ein sehr ungenaues H' ergeben könnte. Schreibt man nach Gl. (203)    '

¹

Die Nachprüfung der größten Senkung mit Hilfe der Arbeitsgleichung

²

Man vgl. hierzu: Mehrtens, Statisch bestimmte mehrteilige Wandgliederung der Gitterträger. Zeitschr. f. Arch.- u. Ingenieurwesen. Wochenausgabe 1898, S. 329, wo ich zum ersten Male nachgewiesen habe, daß derartige Gliederungen auch statisch bestimmt angeordnet werden können. Ferner: MÜLWR-Breslau, Graph. Statik,

I. Band, 3. Auf!., S. 533 und Mehrtens, Entgegnungen in Deutsche Bauz. 1901, Nr. 80 u. 90; 1902, Nr. 12. Endlich die Angriffe des Herrn Müller-.#., Graph. Statik,

II.    Band, 3. Aufl., S. 469—473, gegen mich, wobei jener von Trägern MEHRTENSscher Bauart spricht, obwohl ich solche Träger den Fachgenossen niemals empfohlen habe und deshalb gegen ihre Verbindung mit meinem Namen Verwahrung einlege.

Der Verfasser.

³

Ą

2 S₀Sjk

H' =

2 su

so ist im Summenzeichen des Nenners, für den Zustand »Xi = — i« der Wert i • kz mit aufzunehmen (31, b und die GL 163).

Vgl. hierzu die Aufgabe 28 (S. 77).

38. Die Einflußflächen der Stabkräfte.

a. Darstellung mit Hilfe der Gleichung für das Bogenmoment.

i. Die Gleichung lautet für einen beliebigen Momentenpunkt m (nach II. 36, a) allgemein

— H'y cos a — Hy.

Dividiert man durch den, dem betrachteten Stabe zugeordneten Hebelarm rm, so erhält man

oder

am

am

(²¹4)

an 1

•Min

oder, was dasselbe ist,

(2I5)

Sm — S₀ — H Sh.

Darin ist für eine beliebige Lage der wandernden Einzellast

S₀ die Stab kraft für »H = o« .

Sa

»H = i «.

Die Gl. (215) formen wir in bekannter Weise um (II. 36, a), durch Einführen des Multiplikators nt. Das gibt

Sm - Sh I

Sm =

m(

s !o^

(216)

worin (²¹7)

unmittelbar berechnet, oder aus einem Kräfteplane für »H = 1« gewonnen werden kann.

Bei der Darstellung der Einflußflächen mit Hilfe der Gl. (216) unterscheidet man zweckmäßig, ob der Momentenpunkt innerhalb oder außerhalb der Stützen liegt (II. 18). Außerdem ist zu beachten, ob die Bogenkraft die betrachtete Stabkraft negativ oder positiv beeinflußt, oder was dasselbe ist, ob der Multiplikator negativ oder positiv ausfällt.

2. Momenlenpunkt innerhalb. In diesem Falle zeigt (nach II. 18, a) jede Einflußfläche für S₀, d. h. für den Belastungszustand »H = o«, einerlei Vorzeichen, entweder positiv oder negativ. Wir beschränken uns auf die Darstellung der Einflußfläche einer Strebenkraft D. Das dabei zu beschreibende Verfahren gilt sinngemäß auch für Gurt- und Ständerstäbe.

Bei der Betrachtung des linken Trägerteiles (Fig. 202) mit der Balkenstützenkraft A. also bei rechtsseitiger Lage von P₁ erfährt die

.. : z-'OÎ

Di

h’ :

4e.'. _

Kri

Fig. 202.

Ir

D-Flüche;^Ar

Ht

y.

1.

_.u

Dia,"'-

stt*-

Fig. 203.

Strebe D einen Zug. Um die Differenz im Klammerwerte der Gl. (216) unmittelbar zu erhalten, tragen wir auf der Stützenlotrechten für a die Strecke

D'o

negativ (nach unten) auf (Fig. 203).    D'₀ ist (nach II. 18, a) aus einem

Kräfteplane für »A = 1« gewonnen. Die Gerade kb' ist danach eine der beiden Grenzlinien der Einflußfläche von D₀ für den Belastungszustand y>H — o«.

Die zweite für »Z?= 1« geltende Grenzlinie muß die k'b' auf der Momentenpunktlotrechten i schneiden, i' sei der Schnittpunkt. Dadurch wird auf der Stützenlotrechten b eine Strecke ~b'abgeschnitten, für welche bei der Nachprüfung sich

Dl

b'k' = —

nt

ergeben muß, Dl aus einem Kräfteplane für »2? = 1« gewonnen.

Weil innerhalb des Feldes ef die Einflußlinie für D₀ eine Gerade ist und der Untergurt als Lastgurt gelten soll, so ergibt sich jene als Linienzug a! e'f b'. Zeichnet man jetzt noch — im entsprechenden Maßstabe — die Boge?ikraftfläche mn, so erhält man ohne weiteres die Differenz des Klammerwertes der Gl. (216). Die schraffierte Fläche (Fig. 203) ist danach die Einflußfläche der Stabkraft D. Ihr Multiplikator ist

i -jVi

der entweder aus den Maßen der Fig. 202 zu berechnen, oder (wie bereits erwähnt) aus einem Kraftplane für »Zf= 1« zu entnehmen ist.

Das Vorzeichen der Einflußfläche bestimmt man am einfachsten aus dem Vorzeichen von D₀. D₀ ist überall positiv, deshalb ist die Teilfläche mit der Ecke f auch positiv.

3. Momentenpunkt i außerhalb. Eine Einflußfläche für D₀ oder V0 besitzt hier (nach II. 18, a) eine Lastscheide im Felde. Es möge die Einflußfläche für V (Fig. 204) gezeichnet werden. Lastgurt sei der Untergurt.

Die Darstellung folgt im wesentlichen der vorigen. Zu beachten ist nur, das hier für »H' = 1« die Stabkraft Vh positiv wird. V₀ ist nur für rechtsseitige Belastung positiv (II. 17, c), die Strecke

VI

a!k =

ist deshalb nach oben aufzutragen. Die Verlängerung der Grenzlinie kb' schneidet die Momentenpunktlotrechte in i'. Durch i' ist also eine Gerade i'a zu ziehen. Diese schneidet auf der b-Lotrechten eine Strecke

VI'

b'k' =

V₀

ab. Die --Linie ist damit im Linienzug a!e’f b' gegeben (Fig. 205). Itt

Trägt man schließlich die Bogenkraftfläche ein und bedenkt, daß V₀ bei rechtsseitiger Belastung positiv war, so erhält man die schraffierte

Einflußfläche für V, deren positiver Teil rechts liegt. Die Lage des Nullpunktes ri ist in der Fig. 204 durch die rot gezeichneten Linien nachgeprüft worden. Das ist mit Hilfe der Kämpferdrucklinie (Richtungslinie) geschehen, wie das unter b. dieser Nummer beschrieben ist.

Wenn der Momentenpunkt i unbequem außerhalb des Brettes oder in unendlicher Ferne liegt, so wird es nötig, den Multiplikator zu berechnen oder graphisch darzustellen. Am einfachsten geschieht dies wohl mit Hilfe eines Kräfteplanes für -»H = 1«, wobei nach Gl. (217) alle

nt = Sh = -

i • yn

ri

SV

. ---8

Yo

Ka

a.

z»- '

H'.

rz

a.

ÂÏ

1*- •

- - >1

*L

--->!

Fig. 204.

a’

V-Fläche

ri

b’

*+•

n’

V* Yo•

e'--

1:'

Fig. 205.

erhalten werden. Andere rein geometrische Darstellungen von nt leiden häufig an großer Ungenauigkeit, namentlich wenn die Richtungen von Obergurt uhd Untergurt des Schnittfeldes einen sehr kleinen Winkel miteinander bilden.

Für die Berechnung eines Hebelarms n kann die Gl. (88) unter 15, c, in der Form

rx

ri

gebraucht werden. Die Ordinaten yi findet man wohl am einfachsten aus den Gleichungen der beiden Gurtlinien, durch deren Schnittpunkte die Momentenpunkt-Lotrechte verläuft.

b. Richtungslinie und Lastscheide, i. Unter einer Richtungslinie (.Kämpferkraftlinie) versteht man den geometrischen Ort der Schnittpunkte zwischen der wandernden Einzellast und den unter ihrem Einflüsse erzeugten Kämpf er kr äften.

Wie beim Dreigelenkträger (II. 27, a) benutzt man die Richtungslinie, um die Lastscheide der Einflußfläche einer Stabkraft S zu finden. Zu diesem Zwecke braucht man die Richtung einer Kämpferkraft nur

\<Ł

'' lh

a.

'fff

'P'

*i

D-Fläcket^= -Ęk

-xi

- - -y

Sft*

-H

'* ' hk!

Fig. 206 und 207.

durch den zugeordneten Momentenpunkt einer Stabkraft zu führen und bis zum Schnittpunkte cQ mit der Richtungslinie aob₀ zu verlängern (Fig. 208). Durch c₀ verläuft dann die gesuchte Lastscheide. Somit hat man einen Punkt n! der Bogenkraftlinie gefunden (Fig. 206 und 207), der gleichzeitig ein Punkt der zugehörigen Einflußlinie für S₀ ist. Ist aber von dieser ein Punkt gegeben, so ist auch ihr ganzer Linienzug eindeutig bestimmt (II. 17—21).

In den Fig. 206 und 207 wurde auf die beschriebene Weise die Einflußfläche der Strebenkraft D gezeichnet. Bei der Belastung des rechten

l8

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

Trägerteiles entsteht eine Lastscheide in n. Man erhält sie durch Aufsuchen des Schnittpunktes c₀ zwischen dem Strahle ai und der Richtungslinie a₀b₀. n liegt lotrecht unter c₀. Durch n muß die für A gezeichnete Grenzlinie der D₀-Fläche verlaufen. Das gab die Linie b'k, den Schnittpunkt i' der /-Lotrechten und den Abschnitt

D'₀

a'k =

Wird schließlich die für den Einfluß von B geltende Grenzlinie a!k' durch i' geführt, so ist die Darstellung der schraffierten Einflußfläche für D fertig.

C-

^____

v-4*"

Ço

VP

c....

- a.......>k -

_____

' ' A

'MT*

//'

NJ

<7

H'

-Y.

if

- ■>

f ■ H.....»i

...Y.

Fig. 209.

Fig. 208.

2. Die Gleichung der Richtungslinie findet man wie folgt: Mit Bezug auf die Fig. 208 und 209 ist für eine Ordinate

z — C₀C

der Richtungtlinie a₀b₀ anzuschreiben

cos cc

oder

Fab

Hl

(218)

Für Auslegebogenträger ist die Ordinate z (nach den Fig. 210 und 211) aus

- H'

cos a

mit

Fab

Hl zu berechnen, wenn die Abstände der Einzellast P von den Stützen a und b wieder mit a und b bezeichnet werden.

3. Liegt der Momentenpunkt außerhalb von ab, so kann im allgemeinen sowohl für den linken als auch für den rechten Trägerteil eine Lastscheide vorhanden sein, wobei zu beachten ist, daß die Richtungen von Ka und Ki hier auch rückwärts verlängert die Kämpferdrucklinien schneiden können. In den Fig. 204 und 205 ist für die Stabkraft V nur bei Belastung des linken Trägerteiles eine Lastscheide vorhanden, die (wie dort in roten Linien dargestellt ist) in bekannter Weise gefunden wurde. Außer den danach ermittelten Lastscheiden liegt eine solche immer noch innerhalb des betreffenden Schnittfeldes. Diese Lastscheide ist in bekannter Weise (nach II. 18, c) durch aufsuchen des Punktes l (Fig. 205) aus der Einflußlinie für D₀ oder VQ zu finden.

-/

(/

//

/>P :

A ft *

‘krj — •*- ■*

h>—

__ Jfl.A

A'

Z,

->k

CL

Uf,

.s.

ft

Fig. 21 Ï.

Fig. 210.

4. Für den Fall, daß man angenähert die Bogenkraftfläche ah eine Parabel auffaßt, erhält man für die Richtungslinie eine Gerade. Ist nämlich die Höhe der für P = 1 gezeichneten Bogenkraftparabel in in der Trägermitte gleich dca, so lautet ihre Gleichung

x[l— x)

4 $ ca

wenn die Abstände a und b mit x und l — x vertauscht werden. Daraus folgt

(2i₉)

1 ■ x(l — x) _ J_j_ Hl ~~ 4 à ca

z ist in diesem Falle also eine Unveränderliche. Wie man die Höhe öca in der Mitte einer Bogenkraft-Parabelfläche berechnet, wird weiterhin (unter 39, b) gezeigt.

18*

3g. Näherungsformeln für gegliederte Parabelbogen. Um

erstmalig die Querschnitte in den Gurten und der Wand annähernd festzustellen und um dadurch die Unterlagen für genauere Berechnungen

zu gewinnen, empfiehlt es sich, Gurtlinien und Achse der Bogenträger als Parabehl der Gleichung

(220)

4fx (/ — x)

aufzufassen, wenn / (nach den Fig. 212—216) den Bogenpfeil vorstellt. Die dabei gewonnenen Ergebnisse endgültig zu gebrauchen, scheint dem Verfasser nicht empfehlenswert. Nach erfolgter angenäherter Festlegung der Stabquerschnitte sollte man nicht unterlassen, die ganze Rechnung unter Anwendung von Biegelinien nachzuprüfen, a. Der Sichelbogen¹,

i. Es werde vorausgesetzt:

1)    die Knoten jedes Gurtes liegen in einer Parabel;

2)    die Gurtstablängen sind nahezu gleich;

3)    der Einfluß der Formänderung der Wandstäbe darf vernachlässigt werden;

4)    es sei zulässig, die Feldweiten als unendlich schmal und dem entsprechend die elastischen Kräfte w über das Bogendifferential ds der Gurtlinien stetig verteilt anzunehmen.

Mit Bezug auf Fig. 212 sei

ßu: der Winkel, den eine Tangente im beliebigen Punkte 0 des Obergurtes und ebenso ßa der Winkel, den eine Tangente in u des Untergurtes mit der Wagerechten einschließt; y u-, y01 x\ die Koordinaten der betreffenden, in einer Lotrechten liegenden Gurtschnitte u und 0.

Bezeichnet dann h = öü die veränderliche Bogenhöhe, so gilt für irgend eine elastische Kraft (Fig. 213) die Gleichung

yo

(221)

y«

h* cos²/*. Hcos²ßu Diese Gleichung ist für die Berechnung der Bogenkraft H unmittelbar zu gebrauchen, weil der vernachlässigte mittlere Festwert s —^ im Zähler

jT

und Nenner der Bogenkraftgleichung der gleiche ist, somit also durch Division fortfällt. Bei Ermittelung von Ht bleibt er aber im Zähler stehen (vgl. unter 37, c).

Sind ferner fu und f₀ die Pfeilhöhen der Gurtparabeln und bedeutet hc die Bogenhöhe in der Trägermitte, so gelten die Beziehungen

y*

fu . JVo f o .

hc

h ~~hc'

yu =

_ 4fux[l — x) .

/²

yo =

Yo

f ft

fo

■f

772

- -X- -

1/ '

_ y

___t _

Fig. 212.

raa

rwdx

!<-

Fig. 213.

Setzt man allgemein

so läßt sich zunächst

fu

h • hc

[■+(«']

fo

[■+(£)']

(222)

h • //<,

anschreiben, woraus mit Hilfe der Parabelwerte von yu und y₀ (und der daraus zu entwickelnden zweiten Differentialquotienten) die Gleichung

(223)

fu fo / /² ~i~ ¹6fufo ¹6fuf₀\

hl \ 4 x[l — x)

abzuleiten ist.

Mit Hilfe der nach Gl. (223) für eine ausreichende Zahl von lotrechten Schlitten berechneten ze/-Kräfte ist es möglich die Bogenkraft-iläche unmittelbar zu zeichnen. Dabei ist dasselbe Verfahren anzuwenden wie es bei der Berechnung vollwandiger Bogenträger gebräuchlich und (unter 15—16) ausführlich beschrieben worden ist. Damit sind dann Nenner und Zähler der Bogenkraftgleichung

i • ö

^ wy

gegeben. In der angegebenen Quelle werden Nenner und Zähler der Gleichung rechnerisch bestimmt. Das gibt aber für den Zähler einen unbequemen analytischen Ausdruck, so daß Verfasser auf dessen Ableitung hier verzichtet. Solche verwickelte Ausdrücke sollten in einem Handbuche für »Graphische Statik der Baukonstruktionen« besser fehlen. Verfasser empfiehlt an deren Stelle die angedeutete graphische Behandlung.

2. Multipliziert man die Gl. (222) im ersten Gliede mit yui im zweiten mit yoy so erhält man für den Nennerwert

dx

(224)

^wy —

und findet, nach erfolgter Integration

3^(/u+fo) + 3^fu/o

3 lh*c

Für eine unveränderliche Temperaturänderung t erhält man daraus (nach Gl. 213)

(■attl)EF₀

wy

Fo

worin das Verhältnis ß = — gleich »Eins« gesetzt ist und die Gurt-

stablängen 5 überall gleich groß angenommen worden sind. Das gibt

Ht =

(.attPh⁹e)EF₀

[3 F (/« + /ö ) + 3²fufo\

(²²5)

b. Parallelbogenträger.

i. Die bogenrecht (radial) gemessene Höhe des Trägers sei überall gleich h. Die Kämpfergelenke mögen zuerst in der Mitte der Bogenhöhe angenommen werden, unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen (und mit Bezug auf die Fig. 214 und 215) ist dann anzuschreiben

h

=y + r

Vu= y--

2

x-

nut

' Bm

h :®

Für eine elastische Kraft w erhält man danach (um H zu berechnen)

oder

W — 2jy,

F

weil für gleich »Eins«, die Unveränderlichen E, h und s ausfallen. F

Um den Zähler der Bogenkraftgleichung zu berechnen, erwäge man, daß die in irgend einem Punkte m! der (für »ZT = — 1 « gezeichneten)

2x

c-v-

Srvdx

-fr*

fĄ

y no

y mu

h*- - ■

A.

Fig. 214.

A'

ôca

fi*.

rrï

Fig. 215.

Biegelinie angelegte Berührungsgerade mit der X-Achse einen Winkel g) einschließt (Fig. 215), der (nach 18, c) mit

»Eins«

bestimmt ist. Das folgt unmittelbar aus dem Vergleich des mit der Polweite »Eins« angelegten Kraftecks der w und der damit gezeichneten Biegelinie a'm'h'. Es ist aber für diese

d Öma

tg^=

Daraus

d$ma

dx

w~fc

wdx ;

darin ist

Bw =

und

w = 2y =

1 ¹ (/

7 WV-

• x(l — x) .

•»K

x)

Das gibt nach erfolgter Integration

+ —)■ 12/

Ix²

ddma __ 8/ dx /²

Schließlich erhält man nach nochmaliger Integration

f."

2/

3^²

(x* — 2 Ix³ + /²^c) .

(226)

Ferner findet man aus

t)]

oder

dx

nach erfolgter Integration unter Benutzung der Parabelgleichung.

16/²/ h*l

2wy= I5

(227)

Durch die Verbindung mit der Gl. (226) folgt

(228)

_f[x⁴ — 2 Ix³ -f- /³x)

~ /³(i,6/²+ 0,75 ä²)

Darin bedeutet # die Abzisse für die veränderliche Lage der Einzellast P — i.

2. Die nach der Gl. (228) aufgetragene Bogenkraftlinie weicht von einer Parabel wenig ab. Will man deshalb angenähert die Bogenkraftfläche mit einer Parabelfläche gleichen Inhaltes vertauschen, so berechnet sich deren Höhe öca für die Trägermitte aus

à ca

j:

3 ma dx

2t w y

Das gibt ausgeführt

à ca —

5 J* (x⁴ — 2 Ix³ + l³x) dx

8/(/⁴+3o/0

oder

Öca =

6//

(229)

Mit dca, d und b' sind drei Punkte der Bogenkraftparabel gegeben. Die Darstellung der Bogenkraftfläche erfolgt danach am einfachsten graphisch oder mit Hilfe der Parab eigleich ung (220), worin dann

f=öca

zu setzen ist.

3. Für den in der Fig. 216 dargestellten Parabelbogen, dessen « Kämpfergelenke im Untergurt liegen, erhält man nach vorigem

y₀ — y + h, y« = y,

In

i.

i.

Fig. 216.

ma

Öca

F₀

4..^—-3

..i

und für — = 1,

F

w = 2 y    h.

Führt man die vorigen Rechnungen für diesen Sonderfall ebenfalls durch, so erhält man (Fig. 217)

Fig. 217.

3^

h

(.x⁴ — 2 Ix³ -j- l³ x) -j--[Ix — X²)

16/a/

!/*/,

(#⁴ — ²    + /³ •*) H---— (/jc — X²)

15

(²3°)

Zf’l+SfM

und bei Benutzung einer Parabel als Bogenkraftlinie erhält man für diese in der Trägermitte die Höhe

_ ¹ / \f +

/UI/+H

àCa

(²3l)

Setzt man diesen Wert von öca in die allgemeine Parabelgleichung ein, indem man deren Pfeil

/= tea

macht, so erhält man die Gleichung der Bogenkraftparabel mit

3 x (/ — 3:)

4 fl

y ist hier von der Bogenhöhe h unabhängig.

Wie (unter 38, b. 4) nachgewiesen worden ist, geht die Richtungslinie (Kämpferkraftlinie) in eine Gerade der Gleichung

(233)

4 Sca

über, wenn die für P = 1 gezeichnete Bogenkraftlinie eine Parabel ist. Für angenäherte Rechnungen empfiehlt sich daher die Einführung einer Bogenkraftparabel um so mehr, als dadurch im besondern auch die Darstellung der Einfluß flächen der Gurtstabkräfte vereinfacht wird.

40. Zahlenbeispiele.

a. Einfluß einer wandernden Einzellast.

Aufgabe 51. Für den in Fig. 218 und 223 dargestellten Bogenträger ist die Bogenkraftfläche darzustellen.

i. Die Knotenpunkte beider Gurte liegen in Kreisbogen, deren

Halbmesser für O gleich 92,50 m, für U gleich 50,0 m gewählt wurden. Bogenhöhe h in der Trägermitte = 2,4 m h₀ über den Stützen

Pfeilhöhe

Stützweite

= 7,4 m = 10,0 m = 10 • 6,0 = 60 m.

Die danach berechneten Ordinaten und Stablängen enthält die Tabelle 26.

Tabelle 26. Längen der Ordinaten, Abszissen, Stäbe und

Hebelarme.

Länge der Kno- Ordinaten

Stablängen s

Gurte

Wand

Hebelarme r

Kno-

ten

Bezeich- Länge Bezeich- 1 Länge Länge nung    -----

nung

in

f-²

ten

m²

0,0

do

0,0

7,40

6,o

3,86

do—I 0 lu—2 u

1(7

6,o

9,23

12,0

1    o—2 o

2    u—3U

6,65

10,63

8,54    3«—4«

11,62 9,64    4 u—5 u

2(7—30

-4(7

12.21

10,00

12,40

4<?—5 (7

eot^N'OOooOco^O , i ►h vo ^    O

tC vcf vo vcT vcT vcT vo vcT vcT vcf

&-CLo

do-I«

I <7-2 u

lu-2(7

2(7—3 u

3«—3<>

3o—4m

4«—4 o

4(7—5«

O    N ro CO vrioo 01 N O 1

fC vcT io vcT CO vrf to vn cT vrT of

6,22

5,15

4,91

3,87

3,84

3,07

3,04

2,53

2,59

2,40

VO Cl H 00 lh N    w VO

ih ih Ql N rj- M 00 VO tf- rf rf Ch VO VO LD CO 0* C* M HH

2. Der Einfluß der Gurtstäbe und der Wandstäbe auf die Biegelinien ist je besonders behandelt worden. Tabelle 27 gibt alle Unterlagen der hierfür durchgeführten Rechnungen. Das Verhältnis ß (37, b)

2o

ri

So

60

7o

80

rz -

'TtO

3w

Wvt,

2„T

0)3

\m

ff*

106

9o

■■201

Yi

\ 20 t

20 t

20 t

4

(07

20t

Sn.

(08

CLIf,-Ł

ÎL-.

■ 0)/

20t

91

20t

⁰⁹//\. 2¥t~BÄ

0)1

(Oz

Fig. 218.

(1)3

Cmtompfaii fürH‘ -/

igs

///

f-Su

(9*

33

___

Fig. 220.

•f

Fig. 219.

2¥

3jr££-

-/A? '    -156.8 _tOO rrn

f'    1    ■

^ J^r^^Stabkröfle aus voller ; Stabquerschnitle in    ³⁰

'iXy⁰ gleichmässig verteilter Verkehrs-last in Tonnen.

■j93-

-03.8

30\

70

JO

2V

k2>

Fig. 221.

72'

Cremoimlan ^ yyy' für ool/egleich-%sy massig oertälte / Verkehrslast

(7 ‘‘O.zsmm)

^ Maßslähe: Läjigen 7:533d 1 M-Einheit =0,

Fig. 222. 7J[-Einheit*25mm

7,

Die Werte yi und ri

wurde für die erstmalige Berechnung in den Gurten gleich -»Eins« und in der Wand gleich »Drei« angenommen, für die Wandstäbe wurden berechnet. Dabei ergab sich yals Ordinate des Schnittpunktes der verlängerten Gurtstabgeraden.

Aus der folgenden Tabelle 27 erhält man

^yw = 2 [550,820 + 3(3U7o5 + 2,918)] = 1309,378, wobei zu beachten ist, daß darin diejy in Metern eingeführt worden sind.

Gesamteinfluß

Gurte u.Wand

+ 5,8i7

+ 9,756

+ i4,i34

+ 20,568

996*01 +

|^7£/=6 1,241

Wand** ys F0 r² F

+2,370

+2,481

+0,951

+0,969

+0,546

**F₀

Tabelle 27. Berechnung der elastischen Kräfte für Gurte und Wand.

Berechnung der Syw

Einfluß der Wand

Einfluß der Gurte

Gurte * ysFo r² F

o,9i3

2,534

3,447

²,735

4,540

7,275

5,5i2

7,671

13,183

8,663

io,936

19.599

10,420

Kno-

Ständer

Streben

Ständer f

Streben

Kno-

ten

«1

3«

*S

yw

yw

Wm+i

wm 4-1

ten

Feld

y zu

,ys

w — ++-

r*

siC

Kno-

ten

+36,5171

14,248;

+2,570

»i

a—lu

3,524

o,9i3

— 8,293

19,467

— 19,821

14,639

—0,426

—i,354

«x

+ 10,103

— 5,765

+ 6,579

Z09T —

+ 4,799

+ 0,219

— 0,202

+ 0,080

19,467

+37,183

14,639

+0,5*9

+2,540

2«

nz—«1

23,389

18,188

22,002

22,002

39,337

39,337

5,622

5,622

10,0

£2jw = + 2,918

—29,568;

+34,386

-32,737

+20,013

—17,435

+ 3,167,

6oo‘Si

15,009

+0,299

—0,262

+2,291

-i,97o

nz

3«

»£—nz

48,260

47,072

15,184;

15,1841

15,082;

15,0821

+0,122

—0,036

+0,004

—0,117

+0,039

+0,004

—2,156

3«

+ i,3i8j

—1,156

+0,210

52,76

24,20

2,534

2,735

4,540

5,5i2

61,10

40,96

66,97

5i,92

4«

3«—4«

89,147

7,671

70,88

83,5h

8,663

58,13

5«

4«—5«

I33,5²9

104,200

10,936

73,38

ozVoi

60,03

**

«S

** Hier nur jwl

-[•Der Einfluß der Endständer wurde vernachlässigt.

a₀

«1

°z

3«

4«

«c

5<>

3. Die Polweite Hw des Kraftecks der elastischen Kräfte soll gleich ^yw gemacht werden. Dann erhält man die Bogenkraft aus der Gleichung

i • Hw • V

VT ........ = ¹ ■ V-

yw

Die in cm zu messenden Ordinaten rj der Bogenkraft fläche geben mit 1 t multipliziert ebensoviel Tonnen an. In der Fig. 218 ist die Einheit einer Tonne — 25 mm = 0,025 m gewählt worden. Ferner ist der Längenmaßstab des Trägerbildes = 3 : 1600 , eine «/-Einheit = 0,625 mm.

Das gibt

//,

;, = (

1309,018

0,025

Hw = 982 • 0,625 ⁼ 6r,4 mm.

= 982 «/-Einheiten

oder

Damit ist die Darstellung der Bogenkraftfläche gegeben.

Aufgabe 52. Die i?i der vorigen Aufgabe behandelten Bogenträger mögen zu einer 8 m breiten Straßenbrücke gehören, die samt ihrem Eigen-

kg

gewichte mit 1000—— belastet ist. Für Vollbelastung der Brücke sind

sämtliche Stab quer schnitte zu ermitteln und danach die Bogenkraftfläche, sowie einige Einflußflächen von Stabkräften zu zeichnen.

i. Die Knotenlast L eines Bogenträgers berechnet sich mit L — 6 • § • 1,0 = 24 t und daraus erhält man die Balkenstützenkräfte

A — B — 24 • 5 = 120 t.

Aus der Bogenkraftfläche der Fig. 218 ist abzumessen

rji — % — 0,288 t,

v* = v s = 0,5471,

Vs = v? = 0,758 t,

r]₄ — r]₆— 0,902 t,

o,954 t

Vs =

daraus

H — 24 [2 (17, + rj* + % + rjA) + rj₅] = 142,7 t.

Danach ist ein Kräfteplan gezeichnet und aus den darin gefundenen Stabkräften sind die in der Tabelle 28 angegebenen Stabquerschnitte berechnet worden (vgl. Fig. 220—222).

As

2. Jetzt werden sämtliche elastischen Kräfte w der Gurte und der Wand nach der Gl. (83) aus

berechnet, und zwar für den Zustand »H =—1«. Die Ergebnisse sind in der Tabelle 28 zusammengestellt.

Stab

a—lu

a0-I H

do—IO

lu-1 O

I«-2 u

I o—lu

⁻~2>o

2«—3«

² o—3«

3«—Z o

3«—4«

3 o~4w

3 »—4o

4«—4o

4»—5“

Stabkraft

aus

// = — i

— 0,63

+ 1,18

+ 0,83

— o,75

— 0,58

+ 1,89

+ 1,04

— 1,72

— 0,45

+ 2,80

+1,18

— 2,82

— 0,25

+ 3,85

+ 1,07

— 3,82

+ 0,07

+ 4,82

+ 0,38

— 4,17

+ 0,35

Stab

länge

7,40

7,13

6,97

6,27

5,37

6,62

6,53

6,16

3,98

6,30

6,35

6,08

3,o8

6,10

6,32

6,03

2,57

6,01

6,39

6,00

2,40

* E— 2100—

cm

Stab

querschnitt

cm²

30

200

SO

30

30

180

50

70

30

120

70

120

20

60

70

170

20

40

30

190

20

Tabelle 28. Berechnung der elastischen

«/-Kräfte und der ~yw.

Stablängenänderungen Js = Sk*

Hebelarm

Einfluß der Gurte

Einfluß der Wand

Gesamtemnuß von Gurten und Wand

mm

rm

+ 10000 w

ym

+yw

Knoten

Streben

Ständer

Streben

Ständer

wm

zvm+i

wm

Wm-\-1

Knoten

Gurte Wand

ioooor«/ iooooOT

— 0,074

+ 0,020

+ 0,092

— 0,075

— 0,049

+ 0,033

+ 0,065

— 0,072

— 0,028

+ 0,070

+ 0,051

— 0,068

— 0,018

+ 0,186

+ 0,046

— 0,065

+ 0,004

+ o,345

+ 0,039

— 0,063

+ 0,020

z/j

** 7V —-

—0,144

14,071

—0,2026

6,22

5,i5

4,91

3,87

3,84

3,07

3,04

2,53

2,59

2,40

12w = -f

0,032

0,146

0,067

0,l86

0,182

0,222

0,611

0,257

1,332

0,263

3,266

10 000

7,40

3,86

9,23

6,65

i°,6₃

8,54

11.62

9,64

12,21

10,0

0,0237

0,0564

0,0618

0,1237

0,1935

0,1896

0,7100

0,2478

1,6264

0,2630

\2yw = + 3,4959

1« +0,200

—0,067

14,248 +0,2850 19,467—0,1304

\u +0,213 +0,124

lu

—0,132

+0,123

14,639 —0,1932

7,40

+0,0910

2 « +0,177

3« +o,i75

3«

4«

4«

5«

5«

—0,041

14,639 +0,2591

22,002 —0,0902

+0,368

+0,08l

—0,137

—0,160

+0,082

15,009

—0,2056

19,467

+0,l600

—0,030

+0,047

15,009 +0,2627

15,184 —0,2427

39,337

—0,Il80

22,002

+0,1034

3«

+0,833

+0,032

+0,185

—0,166

+0,006

+0,030

15,184

15,082

+0,2809

5,622 +0,0034

—0,2504 39,337

+0,1180

4«

+1,589

+0,055

+0,172

—0,007

15,082

+0,2594

5,622

—0,0039

5«

+0,263

+0,159

+0,061 —0,067

10,0

+0,0610 —0,0670

10000 w

I o 000 w

0,3 H

0,137

IO OOO

10 OOO

yw = 0,2526

\~yW — 0,128

3,717

IO OOO

1u

OJt

a F .H

i yJu

XML

(Or

U2

(03

(Ou

_____J

■■

U1

;v

a\

il

is

is

m*---

LJL-4<*

2u

(IJ2

' -, Uu

Hi

Io

ttt

Su

6u

7u

Xu

£>u

Fig, 223.

xid

Ws

!..

,Ö

*r

4-

jL

Fig. 224.

jMaßstäbc\ Là'rufyn:i:s33 5 j 1 „u-Einheit"i,2t to*** 1„ Tj-Etflfieit’* 2ôtym

ft

—iW~

I Fig. 225.

\D=Fläche>^‘ M

—-t-

-L

-f

Fig. 226.!

OÏÏfMe,

Fig.227.

b'

fL

^^U-mche^ M

6’

...

Fig. 228.

Nach der Tabelle 28 erhält man (für die y in Millimetern)

-Sw = 6,9918 -f- 0,5052 + 0,2560 = 7,7530 und (bei Fortfall der auf die Stützen fallenden elastischen Kräfte)

_ ₂ /3,²66 -f- 0,314 + 0,137\ \    10000    /

7,434 _

10000

Danach ist die Bogenkraftfläche (Fig. 224—225) mit der Polweitt^yw gezeichnet. Der Maßstab für ihre Ordinaten rj wurde

11 = 2 5 mm

angenommen. Daraus berechnet sich für die gewählten Längenmaße

Hw =

23,259

25

1600

40000

ze/-Einh eiten.

¹

Nach einer von Müller-Breslau (Graph. Statik, II. 3. Aufl. S. 209) gegebenen

²

Anregung selbständig bearbeitet.

Eine ^-Einheit wurde gleich 125 000 mm gesetzt. Das gibt

23,259 • I25

Hw =

40

= 72,68 mm.

Für die vorher festgesetzten Knotenlasten von 24 t berechnet sich jetzt, wenn die betreffenden Werte von rj aus der Fig. 224 abgegriffen werden, H= 24(2 (0,276 + 0,525 + 0,742 + 0,898) + 0,928] = 119,5 t.

3. Es sind die Einflußflächen von Z>, O und U (Fig. 226—228) dargestellt worden. Maßgebend für die Darstellung waren die Werte oc

von

— Diese berechneten sich

für die Ö-Fläche mit —

18,0

Ö-Fläche

⁸,54

12,0

= 2,107,

Z>-Fläche

10,63

38,539

= 1,129,

= 2,567.

i5,o°9

Das Weitere ergeben die Figuren 226—228. b. Einfluß der Temperatur.

Aufgabe 53. Der vorbehandelte Bogenträger, dessen in Fig. 223 gezeichnetes Bild bei + 1 o° C als spannungslos angesehen werden darf, erleidet folgende Temperaturerhöhungen \

yi

25° C, 35° C.

im Ob er gurt . bis auf 45⁰ C, T Untergurt in der Wand

Die durch diesen lemperaturzustand verursachte Bogenkraft Ht ist zu ermitteln.

19

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

i. Ht berechnet sich (nach Gl. 209) aus

Ht =

Sa cJSt_Sa (at is)

'S SI k

2

Die Berechnung ist in der folgenden Tabelle 29 durchgeführt. Dabei ist at— 0,000012 gesetzt, t beträgt für den Obergurt 35⁰, Untergurt 15⁰ und die Wand 25°C.

Tabelle 29. Berechnung der Temperaturbogenkraft Ht.

Stab

Sa * Stablänge * für H= — i

Stab-*

querschnitt

+ Jst — ts

Sa ' ^st

S“' EF

cm'

mm

tmm

tmm

Obergurt

Untergurt

d-lu

2 u—3«

3«—4«

4«— 5«

Streben

0(7-lu

1(7—2« 2(7—3« 3(7 —4« 4(7-

+ ¹5¹8

+ 1,89

“I" 2j8o

+ 3,85

+ 4,82

+ 0,83 +1,04 +1,18 +1,07 + 0,38

N VO CO CO O COMOO*-l    N fO IO N O'

to    O' to ro to tO

\o vcT vo vo vcT vcT vcT vo vcT vcT vcT vcT vo so"

30

70

120

170

190

200

180

120

60

40

30

50

70

70

30

2,633 — i,975

2,587    — 4,450

2,554    — 7,202

2,533    — 9,676

2,520    —10,508

1,283    + i,5i3

1,192    + 2,253

¹,¹35    + 3,178

1,098    + 4,227

1,082    + 5,215

2,091    + 1,736

i,959    + 2,037

1,905    + 2,248

1,896    + 2,029

i,9i7    + 0,728

0,056

0,124

0,192

0,246

0,261

0,024

0,063

0,196

0,718

1,662

0,076

0,067

0,060

0,049

0,015

Ständer

d—do

1    u— I o

2    u—2(7

3»—3(7 4«—4 o 5«—5*

— 0,63

—    o,58

—    0,45

—    o,²5 + 0,07 + o,35

7,40

5,37

3,98

3,o8

2,57

2,40

30

30

30

20

20

20

2,220 1,611

— U399 - 0,934 1,194 — 0,537

0,924    —    0,231

0,771    +    0,054

0,720    +    0,252**

0,047

0,029

0,013

0,005

0,0003

0,007**

* Vgl. Tabelle 28.

** Nur die Hälfte.

—11,316

3,907

Daraus folgt

Ht~

— 11,316

Weil (nach 37, a)

3j9°7

= — 2,9 t.

Ssik —Syw

so müßte die doppelte Summe der letzten Spalte der Tabelle 29 gleich der in der Aufgabe 52 berechneten

= 7,75 3

sein. Das stimmt ziemlich gut. Denn es ist

2S*ak = 2 • 3,907 = 7,814.

A st

Wt — -

2. Wollte man Ht graphisch darstellen, so würde dabei ein Verschiebungsplan seiner größeren Ungenauigkeit wegen gegenüber einer wagerechten Biegelinie zurückstehen müssen. Man berechne also für die gegebenen z1st alle

und bringe sie in den zugeordneten Momentenpunkten der Gurte und auch der Wandstäbe wagerecht an. Dann erhält man (nach 37, c, wozu auch die Fig. 201 zu vergleichen ist) die Verschiebung öat• Somit erhält man

Ht =

à at

Öat

Ôat

Öaa

S Sah    Zvwt

Da die y in den vorigen Aufgaben schon berechnet worden sind, so sind (nach Mohr) die wt für alle Wandstäbe in der Höhe y über der Kämpferlinie angreifend zu denken. Eine Zerlegung der wt auf die Feldknoten braucht nicht ausgeführt zu werden.

Wenn man will, kann man die Wt auch für einen Wandstabzug berechnen (nach den Gl. 104—105 unter 19, a).

Aufgabe 54. Wie groß ist die Hebung oder Senkung d₅ des Scheitelknotens 5 u im Untergurte des behandelten Bogenträgers (Fig. 223), wenn die in der vorigen Aufgabe angegebenen Temperaturerhöhungen eingetreten sind?

Für eine im Knoten 5« wirkend gedachte lotrechte Krafteinheit ist (nach Gl. 62) anzuschreiben worin die As diejenigen Stablängenänderungen sind, die von den Einflüssen der Temperatur und der Temperaturbogenkraft verursacht werden. Danach erhält man

(²34)

$5 — S (cif ts —j— HtSa k).

Darin bedeutet

S: eine allein von der in 5« wirkend gedachten Krafteinheit verursachte Stabkraft.

Sa: eine für »Ht= 1« berechnete Stabkraft.

19*

cct ts, Sa und Ht sind aus voriger Aufgabe bekannt. Die Werte S sind noch zu berechnen. Danach ist d₅ in der Tabelle 30 berechnet worden. Es ergab sich eine Hebung

Tabelle 30. Berechnung der Scheitelsenkung des Bogenträgers.

Stab

Hst **

= nt ts

für Ht — X

Ht • Sa -=4r

EF

für »Eins« in 5«

S(ntfs-\-HtSak)

mm

mm

mm

a—I o

1    o—2 o

2    0—3 ⁰

3<7—40

4p—5 ⁰

2,633

2,587

2,554

2,533

2,520

+ o,75 + i,72 + 2,82 + 3,82 + 4,i7

—    1,401

—    3,686

—    6,997 —11,040

—    14,583

17/—2«

2 u—3«

3«—4«

4«—5«

1,283

1,192

i,I35

1,098

1,082

T“ 0,006 + 0,096 + 0,203

+ 0,539

+1,000

0,62 + ¹,58 + 2,99 + 4,7i

+ 0,799 + 2,114

+ 4,895

+ 9,806

a—lu

1(7—2»

2 o—3“ 3(7—4 u

4(7—5«

2,091

i,959

1,905

1,896

i,9i7

+ 0,267 + 0,189 + 0,148

+ 0,133 + 0,113

+ 0,65

+ 1,03 + 1,52 + *,85 + 1,64

+ i,533 + 2,212 + 3,i2i

+ 3,754 + 3,329

I U-1(7

■2(7

3«—3(7

4«

'4 o

5"—5o

2,220

1,611

i,i94

0,924

0,771

0,720

+ 0,63 + 0,58 + 0,45 + 0,25

—    0,07

—    0,35

—    0,052 -f- 0,012 + 0,058

** Nach Tabelle 29.

Die Summierung ergibt: (t₅ =

— 9,745 mm

c. Näherungsrechnungen.

Aufgabe 55. An Stelle der Kreisliniengurte des bisher behandelten Bogenträgers mögen parallele Parabelgurte treten, so daß Stützweite und Pfeilhöhe des Untergurtes sich nicht ändern. Wie groß muß dann annähernd die Höhe h des Parabelbogens gemacht werden, damit bei der in Aufgabe 52 vorgeschriebenen Vollbelastung [und fürß— 1) die gleiche Bogenkraft erzeugt wird, wie bei den Kreisbogenträgern?

Nach der Gl. (230) unter 39, b, 2 ist für eine wandernde Einzellast >P = 1« in der Entfernung x von der Stütze a die Höhe rj der Bogenkraftfläche mit

5/

l²

(.x⁴ — 2 Ix* -j- l³ x) -j- — h (iIx — x²)

4

8/²/+5/^

anzuschreiben. Das gibt für 1=6 o m und /= 10 m

X⁴ — I20.V³ +216 OOOJ + 270A (6ox — X²)

720(4800 -j- 300h)

Hieraus berechne man für x = 6, 12, 18, 24 und 30 die bekannten Werte von rj₁ = rj₉, rj₂ = rj₈ bis rj₅ als Funktionen von h.

Dann ist schließlich aus

142,7 t = 24 [2 [rjt + rj₂ + rj₃ + rjĄ) + i?₅]

das h auszuscheiden.

Wollte man auch die Bogenkraftfläche noch als Parabel betrachten, so wäre (nach der Gl. (232) unter 39, b, 3) h von den rj unabhängig, d. h. bei einer Querschnitts-Einflußzahl ß = 1 könnte h beliebig, also auch gleich Null gemacht werden, ohne daß dadurch die Bogenkraftfläche sich ändern würde.

Aufgabe 56. Wie groß würde bei der in Aufgabe 52 gegebenen Vollbelastung (und für ß = 1) die Bogenkraft aus fallen, wenn die Kämpfergelenke des Parabelbogens [nach Fig. 214) in die Mitte der Bogenhöhe h gelegt werden? Wie früher sei 1=6 o imd f = 10 m, dagegen h = 4 m.

i. Nach Gl. (228) ist für die Ordinaten rj der Bogenkraftfläche

f(x⁴ — 2 Ix³ + l³x)

anzuschreiben. Das gibt

[x⁴ — I 2 O X³ + 2 16 OOO x)

21 600(160 -j- 12)

Man berechne, wie in der vorigen Aufgabe, rj₁ bis rjs. Dann erhält man

H = 24 [2 [rj, + r]₂ + ïj₃ + rj₄) + rj₅] = 166 t.

2. Faßt man in diesem Falle einfacher die Bogenkraftfläche als Parabel auf, so erhält man (nach Gl. 229) die mittlere Höhe

= 1,046.

Vs =

6fl

Die Belastung p für ein m Stützweite beträgt p — 1,0 •    = 4 t.

H =    (1,04 • 60) 4 = 166 t.

Aufgabe 57. Wie groß ist annähernd, bei Vollbelastung von

t

p = 5 — die Bogenkraft eines flachen Parallelbogenträgers von 10 m

Pfeil und 120 m Stützweite, wenn durchweg ß = 1 angenommen wird und wenn die Kämpf er gelenke im Untergurte liegen ?

Für eine Bogenkraftparabel erhält man nach Gl. (231) die Höhe 1? in der Mitte mit

Das gibt

u |co

u>| to

3/

360

Das gibt

16/

160 = 2’²⁵‘

H — 1(2,25 ' I2°) 5>° — 9°° f*

Aufgabe 58. Bei welcher Lage der Einzellast »P = 1« entsteht in der vorigen Aufgabe annähernd die größte Kämpferkraft Ka und wie groß ist sie ?

i. Einzellast und Kämpferkräfte schneiden sich in einem Punkte c0 (Fig. 208) der Kämpferdrucklinie (Richtungslinie). Diese darf im vorliegenden Falle als eine Gerade angenommen werden, die in der Höhe 2 über der Kämpferlinie liegt (38, b. 4). Ist a der Winkel, den die Richtung einer Kämpferkraft K mit der wagerechten Kämpferlinie einschließt, so ist

cos a

— KVi -j- tg²a.

Ferner ist

tg« = -

wenn x, wie früher, den Abstand der Einzellast von der linken Stütze bedeutet. Das gibt

K = — Vx² + z².

.X

Es ist aber (nach Gl. 232) für die wandernde Einzellast

3 x [l — x)

oder

Afl

(²35)

— [(/ — x) Vx² -f- z²].

Afl

Daraus

dK

dx

³[

AflV

Ix — 2 x² — z²

Vx² + z²

Der Grenzwert von K findet sich somit aus Ix — 2 x² — z² = o.

Nach den Gl. (231) und (233) ist

und

ÖCa =

3/

16/

Das gibt

oder

4/_ 40 3    3

(237)

Ix

X²--= — z².

Dieser quadratischen Gleichung entsprechen für l— 120 m die Werte + x — 3,13 m und 56,87 m.

2. Danach ist

H— 0,23 und 2,24,

cos a

4,37

I,°3

und

cos a

0,9989

2,307

§ 8. Bogenträger ohne Gelenk.

Setzt man bei gegliederten Bogenträgern innere Bestimmtheit voraus, so gleicht ihre Berechnung in der Hauptsache derjenigen der Vollwandträger. Ein Unterschied in der Behandlung beider ist nur insofern vorhanden, als für die Darstellung der Biegelinien des Haupt-systemes der Vollwandträger jede elastische Kraft eines Querschnittes aus einer Integration innerhalb gewisser Grenzen genommen werden muß, während sie für Fachwerksknoten unmittelbar gegeben ist. Als den allgemeineren Fall stellen wir hier die Behandlung der Vollwandträger voran. Das entspricht auch dem Gange der Entwicklung der Theorie, worüber näheres in den geschichtlichen Rückblicken des zweiten Abschnittes zu finden ist. Die im 2. Bande (unter 43) bereits gegebenen Grundlagen der Elastizitätstheorie der Bogenträger bilden den Ausgang der folgenden Betrachtungen.

41. Einleitung.

a. Bogenmoment und Hauptsystem.

x. Wie man die drei überzähligen Größen unmittelbar in den einfachsten Ausdrücken erhalten kann, wurde schon unter 36, b (Aufgabe 47)

gezeigt.

Nach den ausführlichen Darlegungen im 2. Bande (unter 43, b) sind (für eine veränderliche Dehnungszahl) die drei überzähligen Größen an folgende drei Grundbedingungen gebunden:

Mm

——Xdu =

EJ

■ fM>" j ■ r

°- JEjydU = °' J

Alm j

—- du — o.

EJ

(238)

Darin bedeuten (mit Bezug auf die Fig. 229)

•*

>k

jv

H'

+x

"P

H’

a:

<.....x•---

H'

//’

o’

H'

a.

/I

I-

?------

"V

Fig. 229.

Mm\ das Bogenmoment, bezogen auf einen, in lotrecht geführtem Schnitte tt liegenden Punkt m der Bogenachse. x, y\ Koordinaten des Punktes m, bezogen auf ein Achsensystem, dessen Ursprung O beliebig zu legen ist, wobei die Y-Achse lotrecht liegt und die X-Achse mit der Wagerechten einen beliebigen Winkel ß einschließt.

J: das Trägheitsmoment eines bogenrecht (radial) geführten Querschnittes, bezogen auf eine durch m verlaufende, zur Trägerebene senkrecht stehende Schwerachse.

du\ der in der Bogenachse gemessene differentiale Abstand der Nachbarquerschnitte des Punktes m.

Dabei möge an die (unter II. 43) gemachte Voraussetzung erinnert werden, wonach bei der Entwicklung der obigen Bedingungen der Einfluß der Längskraft im Querschnitte auf die Formänderungen des Bogens vernachlässigt worden ist.

Das Bogenmoment ist für den Punkt m des lotrechten Schnittes und für eine im Schnittpunkte r der beiden Kämpferkräfte Ka und Ki, angreifende Einzellast P (nach II. 36, a) mit Mm — H ■ mn

anzuschreiben, n ist der Schnittpunkt der Kämpferkraft Kj, mit dem lotrechten Schnitte tt. Die Bogenkraft H gilt positiv, wenn sie im linken Bogenteile nach rechts, im rechten Bogenteile nach links hin zielt.

Für den linken Bogenteil ist Mm also positiv, wenn mn oberhalb von ?n liegt, und umgekehrt.

(239)

Mit Bezug auf die Fig. 229 kann man für nm anschreiben

Kb

Ka

H‘

I*----H---

Fig. 230.

Vf

-x

lB

mn = nq —pm —pq. a und b seien die Angriffspunkte von Ka und Kg, l sei die wagerechte Entfernung zwischen a und b. Ferner werde die Strecke bb', die von einer durch a gelegten Parallelen zur X-Achse auf der Stützenlotrechten B abgeschnitten wird, gleich c gesetzt und die lotrecht gemessene Entfernung Oo des Ursprunges 0 von der Kämpferlinie ab mit zQ bezeichnet. Zieht man jetzt noch o's |[ ab', so ist

- »1

qs — x —

und

pq

Das gibt

mn — nq —y — z₀ — x— •

Die im lotrechten Schnitte m liegende Strecke flq stellt (wie bereits in II. 36, a erläutert wurde) eine Ordinate der mit dem Pole H gezeichneten Momentenfläche der von der Einzellast erzeugten lotrechten äußern Kräfte vor. Das zugehörige Krafteck ist in der Fig. 230 dargestellt. Nach unserer früheren Bezeichnungsweise ist daher fl <£ • H Mam     ,

je nachdem der linke oder der rechte Bogenteil betrachtet wird. Alles zusammen genommen gibt für den linken Teil:

(240)

c

Mm Mam    TI y    Hz₀    HX -j- •

2. Die obige Gleichung für das Bogenmoment ist unmittelbar anzuschreiben, wenn man das Hauptsystem mit den äußern Kräften P und drei überzähligen Größen X, Y, Z belastet denkt (Fig. 229). Auf den linken Teil wirkt (außer der Einzellast P in r) im Punkte a die Kämpferkraft Ka- Diese zerlegt sich in A und H'. H' verschiebe man in der Kämpferlinienrichtung bis 0 und außerdem bringe man im Ursprünge O zwei gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte H' an. Dadurch ändert sich nichts im Gleichgewicht der äußern Kräfte. H' zerlege man in zwei Seitenkräfte, von denen eine (X) in die Richtung der X-Achse, die andere ( Y) in die Richtung der F-Achse fällt. Diese Zerlegung ist in den Fig. 229 und 230 ausgeführt. Danach ist

(241)

cosß ¹

Y=H[tia-tgß)=Hj-

Danach kann das Hauptsystem als ein in a und b statisch bestimmt gestützter Balkenträger betrachtet werden, auf den folgende äußere Kräfte wirken :

1)    ln r die Einzellast P: sie erzeugt die Stützenkräfte A und B

und in m das positive Moment Mam =    .

2)    Im Ursprünge O des Achsenkreuzes zwei Kräfte X und Y in den betreffenden Achsenrichtungen’, sie erzeugen die zugehörigen negativen Momente H • y und Y ■ x.

3)    Ein in der Träger ebene beliebig verschiebbares Moment Z, das aus

(242)

Z = H' (z₀cosa) = Hz₀

bestimmt ist.

Setzt man die vorerklärten Größen X, F, Z in die Gl. (240) ein, so erhält diese (für den linken Bogenteil) die Form

Das durch die Kräfte /*, X, Y, Z belastete Hauptsystem ist damit eindeutig beschrieben. Liegt die X-Achse parallel zur Kämpferlinie ab, so verschwinden c und Y. Legt man sie wagerecht, so verschwindet ß, und X geht in die Bogenkraft H über.

b. Die Elastizitätsgleichungen und ihre Vereinfachung, i. Wenn man die Grundbedingungen der Gl. (238) durch Einsetzen der Gl. (240) für das Bogenmoment umformt, so erhält man dadurch drei neue Gleichungen, aus denen die überzähligen Größen X, F, Z als Funktionen der gegebenen Größen [Mam, J₎ x, y, z₀, c und /) auszuscheiden sind. Man erhält zunächst die Nullgleichungen von der Form

Mam

du

'X'EJ

du

■hLam *

XcosßJ*xy • du -xcosßfr ■da du Xcosßly ■

EJ

yJx ■

du

EJ

ZIX'

EJ

du

EJ

EJ

Yjxy • Y(x •

du

EJ

du

EJ

'■P-

EJ

= o, (244)

EJ

du

läßt sich.

Die allen Gliedern der Gleichungen gemeinsame Größe

wie weiterhin (42) gezeigt wird, als eine elastische Kraft erklären, mit deren Hilfe die Biegelinien des Hauptsystems für die Zustände »X — — 1«, »Y= — 1« und »Z — — 1« darzustellen sind. Wir setzen

du

EJ W

und bestimmen die Lage des Achsensystems derart, daß

J*x • w

°; f

°; /

xy ■ w = o

(²45)

werden. Die ersten beiden Glieder dieser Gleichung sagen aus:

Der Ursprung O des Achsensystems muß im Schwerpunkte der d u

elastischen Kräfte w = — liegen. Denn wenn das geschieht,

läuft auch die Mittelkraft Jw durch O und deren statische Momente Jxw und fyw, bezogen auf die durch O laufenden Schwerachsen, verschwinden.

Nach der dritten der Gl. (245) soll auch das Zentrifugalmoment aller w verschwinden, d. h. die X-Achse muß der lotrecht zu führenden Y-Achse zugeordnet sein (I. 94).

Sobald obige Bedingungen über die Lage des Achsensystems erfüllt sind, gehen die Gl. (244) über in

x²w = o ,

J Mam • x • w — yJ‘.

JM‘

am

X cosßj'y^w = o ,

(246)

J Mam • w — Z J*w

Daraus folgen die Elastizitätsgleichungen in ihrer einfachsten Form :

an

•yw

cos

ßfy²w

X-■"

C—X

xw

ÿ’

f X² • w

1 (247)

J' Mam ' TM

fw

ff

-9

Fig. 231.

\y

— X’

2. In einem zur Y-Achse symmetrischen Bogen verschwindet das Zentrifugalmoment auch für ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Dann ist ß — o und cos ß = 1. Der Abstand t zwischen dem Ursprünge O und einer zur wagerechten X-Achse parallelen beliebigen Geraden gg (Fig. 231) bestimmt sich dann

aus

Fig. 232.

fyw t = -——r-

fw

(248)

Ist für einen unsymmetrischen Bogen (graphisch oder rechnerisch) O als Schwerpunkt aller w und somit auch die F-Achse festgelegt, so findet man den Winkel ß (Fig. 232) aus der Bedingung

y —/ + X • tgß.

Das gibt

f x (/ + X tg ß) w = o

oder

tg/? =

—Jxy • w

JX² ’W

(249)

42. Die Bedeutung der Summengrößen der Elastizitätsgleichungen.

a. Bedeutung der Zähler und seiner z£/-Größen. i. Wir legen die Stützenlotrechten so, daß ihr wagerechter Abstand gleich der Stützweite l der Bogenachse wird. Schreibt man der Einfachheit und bessern Übersicht wegen

yw = wx

xw = Wy

(250)

so gehen die Gl. (247) über in

J'Mam "

Wx

cos

ßfy • wx

J'Mani ' Wy

fx-Wy

(251)

J'Xfam • wz

fwz

Wie gesagt, bedeuten die Zählergrößen dieser Gleichung nichts anderes als die Verschiebungen des Angriffspunktes r der Einzellast jP, verursacht durch die betreffenden Zustände -»X = — 1«, Y— — 1, Z = — i. Um das einzusehen, braucht man für jeden Zustand nur die Arbeitsgleichung Mohrs anzuschreiben. Man erhält dann z. B. für den Zustand *X — — 1«, wobei (wie bekannt) X im Ursprünge O und in der Richtung der X-Achse angreift,

Darin ist M das von einer in r angreifenden, gedachten Lasteinheit im Punkte m erzeugte Moment. Dies Moment ist aber gleich dem von der wandernden Einzellast »P = 1« verursachten Moment M, ist /i dep die Änderung des Winkels der Nachbarquerschnitte in w, verursacht durch die wirkliche Belastung, d. i. von >X = — 1«. Wenn

am •

F erner

man nun, wie es praktisch (bei großen Krümmungshalbmessern ç) zulässig ist, die Winkeländerung (nach II. 35, a) aus der Gleichung

J dcp _ M

du

EJ

berechnet und bedenkt, daß im vorliegenden Falle

M = -f- i • y

ist, so hat man

I • ör

-r

M ydv

am *

EJ

j.

• Wx -

(252)

Man sieht, daß der Zählerwert der ersten Elastizitätsgleichung gleich i • drx gesetzt werden darf. Weiter erkennt man aber, wie das »wx«

in Wirklichkeit eine elastische Kraft w im früheren Sinne (5, c) ist. Das heißt: Man erhält die elastische Linie der ^ durch »X = — i « belasteten Bogenachse mit Hilfe eines Kraftecks, in welchem jede elastische Kraft W gleich der Winkeländerung Jz/ d<p des zugehörigen Laststreifens und die Poliveite gleich »Eins« gemacht wird. Wählt man die Polweite gleich dem Nennerwerte, so geben die Ordinaten der erhaltenen Biegefläche unmittelbar die X an. Die Biegelinie ist dann Einflußlinie der X.

WTas hier für die erste Elastizitätsgleichung nachgewiesen worden ist, gilt sinngemäß auch für die beiden andern, wenn man X mit Y oder Z und wx mit wy oder wz vertauscht.

2. Man kann die Bedeutung der Zähler und seiner w-Größen auch auf rein analytischem Wege veranschaulichen.

Mit Bezug auf Fig. 233 möge bedeuten: a und b: Abstände der in r angreifenden wandernden Einzellast P von den Stützenlotrechten;

z: Abstand eines durch m gelegten lotrechten Schnittes.

«---

•A

KL

><

VP

------J

w 1    w

imu m ui 1 u u m .uuu u uiulumumu u i

f-}-k—-1-\b'

— z--

k---

--->1

Fig- 233.

Dann ist eine der Zählergrößen J Mam • zo wie folgt auszudrücken : Für die Balkenstrecke de' ist Mam — Az — P y z ,

Mam = B[l— z) — P~ (/ — z).

b'c'

Daraus

Adam ‘ 'W —- P

(²53)

Der in der eckigen Klammer stehende Summenwert bedeutet, wie nachzuweisen ist, das Balkenmoment Mw aller Kräfte w, bezogen auf den Angriffspunkt r der wandernden Einzellast P. Denn es ist

M,

worin

2 , A w{l—Z) - und A = —L—-—-

einzusetzen ist. Das gibt

Mw —

oder

H:

wenn unter Mw das Balkenmoment aller w-Kräfte in Beziehung auf den Angriffspunkt der wandernden Einzellast verstanden wird.

Man sieht, wie danach die Einflußlinien der überzähligen Größen Momentenlinien vorstellen, die mit Hilfe je eines Kraftecks der elastischen Kräfte wx, wy, wz zu zeichnen sind, dessen Polweite gleich dem Nennerwerte der betreffenden Elastizitätsgleichung (251) gemacht wird. Vgl. dazu das gleiche Verfahren bei der Berechnung des Bogenträgers mit Kämpfergelenken unter § 7.

b. Bedingungen für die Lage des Koordinatenursprunges. Die drei Gleichungen (245)

y • wz =

°> J

x • y • wz — o

mit deren Hilfe die Lage des Ursprunges O festgelegt wird, bedeuten das Verschwinden von je einer Verschiebung des Punktes O, wenn dieser durch eine Scheibe mit dem Bogen verbunden gedacht wird (vgl. die Aufgabe 47 unter 36, b). Danach können die Gleichungen in der Form geschrieben werden:

i • àxz = o ;

I • Öyz - O ,

Ï * $xy = O ,

wenn x,y, z die Angriffspunkte von X, Y, Z bedeuten und die Doppelzeiger xz, yz, xy die bekannte Bedeutung haben (12). Denn mit Hilfe der Arbeitsgleichung Mohrs ist unmittelbar anzuschreiben

i • b>xz = J'mx -Jd(fz=j‘

§My • A dcpz = J*

J'Mx-Jdcpy — I

I -y

I • àyZ —

i • y • X'

i • du

ZJ

ywz

= o,

i • du

ZJ

-Jxws =0,    (254)

du

ZJ

x -y • w z = o .

Statisch ausgedrückt heißt das soviel als der Schwerpunkt O (xy) des Achsensystems ruht unter dem Angriffe der überzähligen Größen je für einen Zustand »X = — 1«, » Y = — 1« und »Z = — 1« des Hauptsystems. Es ist gleich, ob man dabei das Hauptsystem, wie es hier geschehen ist, als einen in a und b gestützten, oder (wie in Aufgabe 47 unter 36, b) als einen in a oder b eingespannten Balkenträger betrachtet.

Der Unterschied bei der Berechnung der genannten beiden Hauptsysteme besteht nur darin, daß bei jenem die Einflußlinien der überzähligen Größen in a und b Nullpunkte erhalten, während bei diesem dort nur ein Nullpunkt in a oder b vorhanden \    ist (vgl. die Aufgaben unter 45 und 47).

43. Berechnung der Summengrößen der Elastizitätsgleichungen.

a. Anwendung der Simpson-

XX

xy

X-/_

dx

X.

Regel.

Fig. 234.

i. Für praktische Aufgaben genügt es, wenn man die Integration des Zählers und Nenners der Elastizitätsgleichungen mit Hilfe der Simpson-Regel ausführt, von welcher nur wenige (etwa 3 bis 4 Glieder) genommen zu werden brauchen. Um dabei das du der w-Größen auszuscheiden, empfiehlt es sich den Winkel cp einzuführen, den die bogenrecht (radial) durch m geführte Querschnittlinie mit der Lotrechten einschließt. Es

ist dann in jedem Punkte m der Winkel, den die Tangente tt an die Bogenachse mit der Wagerechten einschließt, gleich cp, also

du dx cos cp ’

wenn dx die wagerechte Projektion von du vorstellt.

Dividiert man darauf Zähler und Nenner der Gl. (250) durch dx, wodurch diese ihren Wert nicht ändern, so ist anzuschreiben

wx— y

du    y dx

/cos cp

(²55)

du    x dx

Wy =

J ~~ J cos cp

du

dx

Wz =

J cos cp

Das Integrationsverfahren vollzieht sich jetzt wie folgt: Man nimmt auf der Bogenachse eine endliche Zahl von Punkten m an, legt diese aber derart, daß möglichst viele aufeinander folgende Bogenstrecken z1u (Fig. 234) von Lotrechten begrenzt werden, deren wagerechte Abstände dlx gleich groß ausfallen. In der Fig. 235 sind z. B. bis zum Bogenscheitel sechs endliche du-Strecken gezeichnet, die von sieben /«-Punkten (o, 1, 2 bis 6) begrenzt werden. Für jeden /«-Querschnitt berechne man jetzt zuerst die w-Kräfte. Wie das geschehen kann, ist in der folgenden Tabelle 31 (für einen symmetrischen Bogen) angegeben.

Zur Tabelle 31 ist folgendes zu bemerken: Die Berechnung der grundlegenden wz-Kräfte wird in den Spalten 1 bis 5 durchgeführt. d ist die Bogenstärke in einem /«-Punkte. Es ist zu raten die Winkel cp zu berechnen, entweder aus

X

sin cp — — r

wenn r = mc und c in der F-Achse liegt, oder aus andern geometrischen Beziehungen.

2. In der Spalte 6 sind die IFg-Kräfte berechnet, wozu eine gewisse Zahl von angrenzenden zf/z-Kräften in die Simpson-Regel einzustellen ist. In praktischen Fällen genügen dazu zwei wz-Kräfte, von denen eine links, die andere rechts von dem zu berechnenden

A« + 2

rz=fwz

*1 ni

20

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

ro

SO

Bemerkungen

* Für den symmetrischen Bogen ist hier in Spalte 6 nur i wz zu rechnen.

*** Das unveränderte E hebt sich durch die Division von Zähler durch Nenner.

13

ZI

Tabelle 31. Zur Berechnung der Summengrößen.

yWx — xWy =

Wxy =

y x v w?.

i Bedingungsgleichungen für die Lage von 0.

IO

Wy

Wx

Ordi- Ordinate    nate

z-\-m

*M ***

Wz

du

XWz

Wz

y cos y

*H2

Punkt Abzisse dx

cos cp

iSr

£?

-S'

kr

•V»*

-\

- JL

Fig- 235.

-f-ii

\g"^

«I

>K

8?

Wz

h| n

tu

o*

6**

** Die in die Stützenlotrechten fallenden w - Kräfte können bei der Darstellung der Einflußlinien fortfallen.

liegt. Dann erhält man im vorliegenden Falle (Fig. 235)

\wzo =

wn =

WZ3 =

fl

-[wn + w„ + ąwzq)

2 • 3

fl

— [wzo + wZ2 + 4«'«)

2 3

71

-- [wzl + w₂₃ + 4^2)

²    3

(»« + ² •    - (w,₄ + 2 • w*₃),

² * 3

"    (2^23 Ht~ 2^z5 H~ 4^24)7

71

(256)

11

— (»'25 + «'25 + 4 Z^zó).

\wz 6 = -

2

b. Festlegen des Koordinatensystems und Nachprüfungen Wenn die Rechnung bis zur Spalte 7 vorgeschritten ist, braucht man die Ordinaten y (Fig. 235), um den Ursprung O des Achsenkreuzes festzulegen. Man erhält dann aus Gl. (248) den Abstand t der X-Achse von der zu ihr parallelen Geraden gg

ß'w L

y’Wz

/>

Damit sind auch die y der Spalte 8 und die Summengrößen der Spalten 9—13 gegeben.

Die fUz-Größen bilden die Grundlage zur Berechnung der in den Spalten 9—12 aufgeführten Größen. Es ist zu beachten, daß ein Wz die Mittelkraft einer gewissen Reihe von wz vorstellt. Daher muß bei der Nachprüfung der in den Spalten 9, 10 und 11 enthaltenen Summen

x-wz

= yjx-wz

--: O

(²57j

J y wz — ^y- Wz = o

Jxy-zvz = y xy • Wz = o

gefunden werden, wobei auf die verschiedenen Vorzeichen von x, y in den Quadranten des Achsenkreuzes zu achten ist. Jedenfalls muß sich auch

s\l    Sli

O    Q

ergeben. Sonst sind die Einzelwerte von Wz entsprechend auszugleichen, ehe die Berechnung oder Darstellung der überzähligen Größen beginnen kann. Auch ist zu raten, die Integration aller wz für eine Bogenhälfte durch Einstellen sämtlicher wz der w-Punkte (von o bis 6) in die SiMPSON-Regel nachzuprüfen und danach die Einzelwerte auszugleichen.

Vgl. die Zahlenbeispiele der Aufgaben (unter 45, 47, 50).

44. Darstellung der Einflußflächen der überzähligen Größen und der Randspannungen.

a. Die überzähligen Größen. Im Hinblick auf die ausführlich dargelegte Bedeutung der w- Größen im Zähler und Nenner der Elastizitätsgleichungen schreiben wir diese (für P— 1 und Hw — 1) jetzt in der Form

i • örx

cos

ßfywx

(258)

X * Ö^y fx ■ Wy I • örz

fwz

Für eine Polweite »Eins« des zugehörigen Kraftecks der w erhält man àrx, âry, örz unmittelbar aus der betreffenden Biegefläche, die also gleichzeitig Einflußfläche der zugehörigen überzähligen Größe ist. Wir wollen aber zuerst die Einflußflächen mit einem beliebigen Pole Hw gezeichnet denken und für X, F, Z die drei Polweiten ffmx: Hwy) Hwz unterscheiden (Fig. 236—239).

In den Fig. 236—239 sind die drei Einfluß flächen für einen unsymmetrischen Bogen dargestellt. Jedoch sind nur die Seilecke gezeichnet, die maßgebenden Seillinien sind fortgelassen worden.

i. Die X-Fläche. Oberhalb und unterhalb der X-Achse haben dieywx verschiedene Vorzeichen. Es muß aber die Summe der positiven wx gleich derjenigen der negativen wx sein, weil die Gesamtsumme

Jywz = Jwx = o

ist. Danach ist das Krafteck der Fig. 237 aufgetragen. Seine Polweite Hwx ist gleich dem Nennerwert von X gemacht worden, d. h.

WX

cos ßfywx = »Eins«.

Bezeichnet man die Höhen der X-Fläche mit rjx, so ergibt sich

(259)

X = + rjx .

a’

+x I

a.

: *c

ts'

i

2f

P J"

atéh

j”

⁺#

-"T_

__i2_

......Pf--

_*___

fig.236.

•4T

3’

a-.

V 4-'

_.bT

WX3'

èôf

t,

Fig. 237.

4-’

3'

>•? 2’ 2

¹\

^ ™y=*mz \⁶* ° ---wy--H

¹ 7

15'

/I

=t

T²~J

Cm

Fig. 238.

y*-

rłr

üy

«K-    -

----)

mZ2'

”>u

P= J”

!<

3(°

C.3 •*» O* Ov

d₃/

,0t

-t

V’

2\

3\i

«5 v.

II

— /rcr—

h-------

/Y

-4M

Die Biegelinie der X-Fläche besitzt in der Nähe von und bj je einen Wendepunkt (t₂), der lotrecht unter dem Schnittpunkt der Bogenachse mit der X-Achse zu liegen kommt.

2. Die Y-Fläche. Weil die x diesseits und jenseits der F-Achse verschiedene Vorzeichen aufweisen, so zerfällt die F-Fläche in zwei Teile, von denen derjenige links positive, der andere negative rjy besitzt (Fig. 238). Wir wählen Hwy beliebig, und verlängern die in a₂ und b₂ anstoßenden äußern Seileckseiten, bis sie die Stützenlotrechten A und B in den Punkten d₂ und b₂ schneiden. Nimmt man dann die Länge der Strecke a₂a₂ = b₂b'₂ als Grundmaß der »Einheit« einer Verschiebung äry, so erhält man

Y — dz rjy

was noch zn beweisen sein wird.

Man ziehe in einem Punkte n der Biegelinie (Seillinie) der Fig. 238 je eine Parallele zu den beiden Krafteckstrahlen, die das zugehörige wy begrenzen. Die beiden Parallelen schneiden auf der F-Achse eine Strecke A ab. Dann ist anzuschreiben

Wy

Hwy

wenn x die Abzisse des Punktes n vorstellt. Daraus folgt

J xwy

H-wy

- I • ÖXy - YJy •

= »Eins« =

und

I ■ $xy ' Hwy J XWy

3. Die Z-Fläche. Die wz sind alle positiv. Um die rj aller drei Einflußflächen nach gleichem Maßstabe (mit Hilfe der Grundstrecke »Eins«) abgreifen zu können, lege man die in a₃ anstoßende Seileckseite (Fig. 239) parallel zur Seileckseite a₂b'₂ (Fig. 238) und führe die in b3 mündende Seileckseite b₃a₃ durch den Punkt c₃ der F-Achse, die bekanntlich Schwerachse aller wz ist. Man ziehe noch b₂d₂ parallel zur b₃c₃. Bezeichnet man dann den wagerechten Abstand des Punktes d2 von b₃ mit u und des Punktes d₃ mit g, ferner die Strecke b₃—b'2 mit h, so ist anzuschreiben

Ferner

oder

»Eins«

x • àkz _i •    • Hwz _ i • rjz- g

fw»

Z — urjz.

J'W:

(260)

4. Weil die Strecken ä₂<z'₂ und b₂b'₂ der Stützenlotrechten gleich »Eins« sind, so stellen die Geraden aflf und b₂a₂ Einflußlinien der Balkenstützenkräfte A und B dar. Zu beachten bleibt, daß in jeder Einflußfläche die äußersten Seileckseiten sich auf der F-Achse schneiden. Man kann also die Lage der F-Achse von vornherein auch graphisch festlegen. Eine analytische Nachprüfung ist zu raten. Auch die Lage des Ursprunges O ist graphisch zu finden, wenn man die Wz in beliebiger Richtung angreifen läßt und in bekannter Weise mit Hilfe von Kraft- und Seileck deren Schwerachse ermittelt, von welcher die F-Achse in O geschnitten wird (I. 96). Vgl. die Aufgabe 59 unter 45. b. Die Randspannungen (I. 104, c, 110 und 111). i. Sobald man die Einflußlinie irgend einer Randspannung gezeichnet hat, kann man nachprüfen, ob die vorläufig (nach II. 44, 45, 49) gewählten Stärken des Bogens ausreichende Sicherheit bieten (II. 45, b). Eine Randspannung berechnet sich (nach I. 107) mit

wenn für das Verhältnis der Randfaserordinate zum Trägheitshalbmesser des betreffenden Querschnittes die Kernweite eingeführt und mit L die Längskraft bezeichnet wird, deren Abstand von der Schwerachse gleich v ist. Im vorliegenden Falle braucht man bequemer die Beziehung

Mk

Fk

(261)

worin Mk das Kernmoment ist (1.112 und II. 40), denn eine Randspannung ist dann der Unveränderlichen Fk umgekehrt proportional. Ihre Einflußlinie ist daher gleich derjenigen des Kernmomentes, wenn der Multiplikator

nt = —

Fk W

Mk ist aus Mm abzuleiten (Fig. 240).

gesetzt wird.

2. Sind (Y) und (X) die zugeordneten Achsen eines Bogenquerschnittes, so liegt die Nulllinie parallel zur (A)-Achse und die den Querschnittumriß berührenden Parallelen zur Nulllinie geben die Berührungspunkte 0 und in denen die größten Randspannungen auftreten.

Sind Ok und Uk die in der Kraftlinie (F)(F) liegenden Kernpunkte und heißen die zugehörigen Kernweiten ka und kU) so ist

Go =

Ou =

Mko

Fk₀ ’ Mku

Fku ’

Es sind daher in jedem Querschnitte zwei Einflußlinien der Randspannungen zu beachten, von denen die eine der Mk₀-, die andere der Mku-Linie entspricht. Man kann verschiedene Wege einschlagen, um die Mk~Flächen darzustellen.

c. Die Einflußflächen der Kernmomente, i. Man kann beide Kernmomente eines Querschnittes entweder unmittelbar oder mit Hilfe des zugehörigen Momentes Mm berechnen. Wenn man die unmittelbare Bestimmung wählt, so braucht man die Mm-Momente überhaupt nicht darzustellen. Man hat dann durch jeden

Uk

(X)

,......Û.J

r

*’•

fc'

■tx

Co

’s

&>

ttksinf,( ksinfö

Fig. 240.

Fig. 241.

der beiden Kernpunkte k₀ und ku (Fig. 241) einen lorrechten Schnitt zu legen und dafür die Mk~Gleichungen anzuschreiben. An Stelle des Momentes M,

am

treten dabei die Momente

Maku und Makg,

an Stelle von y und x

yku

Xku

und yko

~ %ko •

Das gibt allgemein

Mko = Mak₀ — X cos ß (yko) — Y[xko) — Z Mku = Mak — X cos ß ijku) — Y[xku) — Z

oder mit Bezug auf die Fig. 241

Mk₀ = Mak₀ — X cos ß{y k₀ cos cp) — Y(x — k₀ sin cp) — Z Mku = Maku — X cos ß (y + ku cos cp) — Y[x + ku sin cp) — Z.

2. Will man eine Mk-Fläche mittelbar aus der Mm-Fläche ableiten, so hat man die Beziehungen

Mm = ± L • v Mk = ± L [v ^ k)

und

zu vereinigen. Daraus folgt

Die genaue Bestimmung von v ist aber etwas umständlich. Sie geschieht am besten mit Hilfe einer Mittelkraftlinie (II. 36).    5 sei der

AA

<5

.V

je

>1

’S

fr

>3

>3

îr-

X-

-i. .i.

\k

<L

.....f

>v-<2

Fig. 242.

Stützpunkt, in welchem die Querschnittsfuge des rechten Bogenteiles von der Kämpferkraft Ka getroffen wird. Dann ist (Fig. 242)

v — ms.

Die Strecke ms kann aber erst dargestellt werden, nachdem die Angriffspunkte von Ka und Kb und dazu HA und B ermittelt worden sind. Das Nähere hierüber vgl. unter 48, b.

3. Wenn man angenähert annimmt, daß die äußern Kräfte vom lotrechten Schnitte aus sich bogenrecht (radial) auf den Querschnitt übertragen, so darf man die Strecken nni und Im gleich groß setzen. Dann ist auch das Kernmoment für beide Schnitte gleichwertig und infolgedessen ist der Abstand mk im lotrechten Schnitte gleich der entsprechenden Kernweite des Querschnittes.

Für ein symmetrisches Stemgewölbe erhält man danach Mk — Mam Xyk Yx Z.

Weil nun in diesem Falle

Jyk=yd=k=y±

ist, so erhält man

Mk = Mm±X — o

je nachdem der eine oder andere der Kernpunkte in Frage kommt. Das gibt angenähert

Miko “f⁻ Miku — 2 M^jn •

(263)

Alles übrige ist aus dem folgenden Zahlenbeispiele zu entnehmen.

45. Zahlenbeispiel zum Momentenverfahren (Fig. 243).

Aufgabe 59. Das Bruchsteingewölbe einer städtischen Straßenbrücke ist nach seiner Form und Stärke mit Hilfe des im 2. Bande (unter § 8) gegebenen Näherungsverfahrens vorläufig berechnet worden. Die erhaltenen Abmessungen und die Form der Bogenachse sollen durch Elastizitätsberechnungen nachgeprüft werdenz.

Die Grundmaße des in der Fig. 243 dargestellten symmetrischen Bogens sind

Stützweite /= 18 m; Pfeilhöhe f = 2,25 m; Bogenstärken’, im Scheitel 0,80 m, im Kämpfer 1,10 m; Höhe der Straßenkrone über dem Bogenscheitel 0,60 m; Längsgefälle der Straße x : 80 ;

Straßenbahn’. Holzpflaster auf Beton; Fußwege: Granit. Gewichte für 1 cbm: Gewölbe 2,0 —

kg

cm³ ’

t

; Beton 1,8-;

cm³

Verkehrslast : 430--

m²

Der größte Druck darf im Gewölbe 30 atm nicht übersteigen;

Zug wird nicht zugelassen, a. Darstellung der überzähligen Größen.

i. Berechnung der elastischen w- Kräfte. Es sind 10 Punkte m in der Bogenachse angenommen (o bis 10). Für die ersten sechs ^-Strecken isl Hx gleich 1 m gemacht. Die übrigen vier Hx-Strecken sind alle gleich 0,8x8 m (Tabelle 32). Darauf wurden für eine Bogenhälfte die

f und y berechnet.

Werte von

cos <p

¹ Vgl. : Ermittelung der Spannungen in steinernen Brücken nach der Elastizitätstheorie. Nach den Vorträgen des Verfassers bearbeitet. 1901. S. 56. Die dort gegebenen Zahlen sind hier an einigen Stellen berichtigt worden.

Die überzähligen Größen wurden hier Xa, Xi, Xc genannt, so daß

Xa =Y =

i • r)a • H,

wa

J OCWa

I ’ V\è ' Huui

(264)

Xc =X =

i ■ r\c H

■ivc

J y • wc

Dabei ist nach Gl. (250) und (255)

Wa — XWi ; Wc = y • Wi\ Wi —

/cos (p

Die kleinen w und großen W wurden der Reihe nach so berechnet, wie es die Tabelle 32 angibt.

Wie früher gesagt (42, b), empfiehlt es sich, die 2'Wi und 2 Wi nachzuprüfen. Es ist

Swi =    (Wio +4 Wiz -j- 2 Wi₂-j- 4 Wi₃ + 2 Wi₄-j- 4 Wi₅ + Wi₅)

«    L 3

Oż^8 -f- 4 Wi₇ + 2 Wis + 4 Wi₉ + ^<5io) J

und

2! Wi — Wi₀ + Wh + •••-}- Wi₁₀.

Bei Abweichungen zwischen 2 w und 2 W von mehr als ein Hundertstel muß die Fehlerursache aufgesucht und die Reihe der w und W ausgeglichen werden.

2. Die Lage des Koordinaten-Ursprunges folgt jetzt, nach der Gl. (248), mit

2 y Wi

= 1,588 m.

Wi

Damit sind die Ordinaten y, sowie dann auch alle wc und Wc gegeben, wobei für den halben Bogen

b    b

2wc — 2 Wc — o

werden muß.

Wa-Kräfte

3,58

19,89

37,o6

52,06

64,60

95,i6

76,32

72,46

72,63

72,55

35,93

^=582,24

wa = x -tu b

0,00

2i,45

39,52

54.84 68,48

79.85 90,06 94,9i 94,98

94.26

93.27

^ =582,24

elastischen ze/-Kräfte.

Wc- Kräfte

■wc—y • wb\

y=y' — t

y'wb

+ 6,53 + 11,76 + 9,09 + 6,44 + 2,87 — 0,84

+ i3,5o

+ 11,83

+ 8,83 + 6,58

3,95

—    6,34

—    8,67

—    10,78

—    6,11

+ 2,92

—    0,85

—    4,61

—    7,94

—    10,80

86‘Si -

zY£ i —

2=0

+ 0,576 + 0,552 + 0,470

+ 0,360 + 0,170

—    0,053

—    0,306

—    o,57i

—    0,769

—    1,208

—    1,588

50,72

45,88

40,81

35,65

29,94

24,50

19,23

14,13

8,92

4,22

0,00

hD

^-Kräfte

o£‘8i 94‘6i LY iz 8£‘ii

17,09

15,98

13,64

n,3i

9,98

9A3

4,26

^=152,30

pG

<u

pq

(h soo £

\Y£z

21,45

19,76

18,28

17,12

i5,97

io'Si

13,92

12,42

11,15

10,06

wb

^=152,3°

ro

<U

-G

2,164

2,140

2,067

1,948

i,758

i,535

1,282

1,017

0,719

0,380

0,000

=20,945

ÏS "g

0,042 666 0,046 623 0,050817 0,055254 0,059 543 0,064468 0,069658 0,076056 0,086625 0,098 131 0,110917

cos cp

1,000

1,001

1,005

1,011

1,019

1,030

1,044

i,o57

1,074

91 ii £6o‘i

cm

80,0

82,4

84,8

87,2

S‘6g

91,8

94,2

97,o

101,3

io5,6

110,0

0,00

1,00

2,00

3,oo

4,oo

5,oo

6,oo

6,818

7,636

8,454

9,272

3. Die Darstellung der Einflußflächen für Xa, Xbj Xc wird im Hinblick auf die Erläuterungen zu 44a allein durch die Fig. 244—246 verständlich sein.

einer ^F-Kraft ist, um große y und passende Polweiten zu erhalten, für jede der drei Flächen verschieden angenommen worden.

Die »Einheit

Die Bogenkraft- oder Fläche ist der Raumverteilung der Figuren wegen oben angestellt. Es ist nach Gl. (264)

WC

1 ■ rjc ■ D

2y ■ m

Sie ist in der

Die 2yWc ist aus der Tabelle 32 zu entnehmen.

Fig. 243 auch graphisch ermittelt worden, wobei die F^-Kräfte wagerecht wirkten. Das gab

und

\2yWc — nc • H

WC

Xc= H =

2 nc

(²⁶5)

wobei die Polweite Hwc beliebig groß gewählt werden kann. Sie wurde gleich 60 Wc-Einheiten gemacht.

Die Xb-Fläche ergiebt sich aus

Xb =

I • Tjb • Hwb

Es wurde

gemacht. Daraus folgt

Xb — \r]b.

(266)

Die Xa-Fläche wird durch

wa

2x ' m

bestimmt.

Die Summengröße des Nenners erhält man mit

wa j

2x ' Wa = 2 na • Hrt

wenn man durch Verlängerung der im Punkte 10 anstoßenden äußern Seileckseite auf der F-Achse die Strecke na abschneidet (Fig. 245—246). Das gibt

Xa =

i • rja

2 na

(267)

ISO

a=

l\ \ \ '

ir

ÆN

■■ cq

/? 6.

Hfr7-

zm •;

"b?

<?«-

>s>

h;

2.m

■toi

Fig. 243.

9-

îo

¥f-h

- 3,272 - --------------- - -......^640-6.0------

......_..J

.7

11

•J.lr 7

Nwc-Fliuw

//

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y/

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JUk ! Bpr '

Fohytiit: eoWc Einheiten iWc-Einheit Ç 3    *

mm

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5 Meter

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'A.

Fig. 244.    """

1/2 X,o

1/2JC{

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Mit’b F lin

Wa ²

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(t-.    _____    __    _ __

I ^7 ₍ .... JWnri/el.Z/W 117/ Einheiten >    ^

Itednklion Va-

ff o

' . /    UVb Enilu it‘ //3mm

/ //Utv

4 ,.T.....-

7lM ’    ^

nV/

; Fi'g- ²45-

"'Wb/

WbO

:|

-%

Mwa-

lâche

10

9_

ï'

Wa

ÏWa

Fig. 246.

4- Die Größe einer Polweite ist aus der beliebig gewählten Einheit einer W- Kraft und der ebenfalls beliebig angenommenen Zahl der UU-Einheiten einer Polweite zu berechnen. Danach sind alle Strecken, wie die rj, sowie auch na und nc nach dem für die Stützweite gewählten Längenmaßstabe abzugreifen.

b. Momente aus Eigengewicht und Verkehrslast, i. Es werden folgende abgekürzte Bezeichnungen eingeführt:

Kernmomente : M₀ und Mu ;

Ordinaten der Einfluß flächen Ma, Mmj Mc:    im, i-

Dann erhält man aus den Gl. (265—267)

(268)

im = r\₀ —

Daraus

und

Schreibt man

i _ /    1 bl

rju = rjm + tjc —

T]o H⁻ y]u —■ 2 Tjm .

(269)

so ist darin

int = r]o — [rja tga + \r}₆ + Vje tg y]

2 na

2 nc

tga =

(270) tgy =

In den Fig. 247—248 wurden für die Fugen im Scheitel, im Kämpfer und für die t—/-Fuge, deren /«-Ordinate jy = Null ist) die Mm-, M₀- und Mu-Fläche dargestellt. Die Unterlagen für die Momente aus dem Eigengewicht gibt die Tabelle 33.

In der 1. Spalte sind die Gewichte der einzelnen Laststreifen (II. § 8) angegeben. Deren Mittelkräfte sind in den Fig. 243 und 244 eingezeichnet. Die Ordinaten der Einflußflächen von M₀, Mm und Mu sind (wie schon erwähnt) mit i, und fu bezeichnet. Sie sind aus den G1.(2Ó8 u. 269) mit Hilfe der Tangentenwinkel a und y berechnet (Fig. 244).

Der Klammerwert der Gl. (268) für i„ ist mit E bezeichnet worden. So sind in der Fig. 247 drei is-Linien je für eine der betrachteten Fugen gezeichnet worden. Die drei ^₀-Linien (für den Balken ab) sind zuerst dargestellt worden (Fig. 248). Sie sind (nach II. 5, c) bekannt. Aus

fm — rjo — E

folgten die drei Mm-Linien.

Mn

-0,638

Tabelle 33. Berechnung der Momente aus dem Eigengewicht.

4. Scheitelfuge

3. t— if-Fuge

2. Kämpferfuge

X. Lasten

Mm

Mo

nli

w-k

r]o

Mu

Mm

Mo

rju

wh

°Il

Mm j Mit

mt j mt

Mo

mt

-I- S

wh

P-Kräfte 1 rj₀

-0,426

-o,725 -i,i45 -1,462 -2,412 -0,612 -1,924 +1,862 +0,362 +1,862 +0,362 -0,612 -1,924

-2,485

-1,221

-0,532

-”,557

-0,213

-0,305

-0,512

+0,700

+3,3⁶i

+3,36i

+0,700

-0,06

Si‘o-

-o,33

-0,33

+0,07

1+0,07

l-o,33

-0,04

-0,095

-0,200

-0,105

+0,36

+0.36

-0,105

+0,106 -0,02 +2,060 -0,04

+5,702-0,07

-0,233+0,12

-3,000 +0,65

-3,878 +0,68

-3,615+0,12

+0,319

+2,442

+6,798

991U+

-1,500

-2,326

+o,532

+0,01

1+0,03

+2,823

+0,27

+0,32

+7,895

+2,5⁶5

-0,776

+0,78

1-0,04

-0,58

|-°,75

+o,93

-0,20

-o,29|

-o,45

-    6,591 +0,05 -10,682 +0,37 -10,453 +1,08

-    4,664 +0,44 + 0,207 - o

- 6,378

-10,110

-    9,138

-    2,886

:+ 2,223

-i,535

-0,763

S8$‘o-

-0,305

-o,373

-0,213

-2,784

+5,989!

-o,34

-0,21

-2,778-0,08

-2,215

-1,682

-0,816

-0,585

-o,x 6

-0,05

-0,62

-0,38

i-o,38j

-0,23

-0,10

-0,035

-1,068 -0,04

-0,687

-0,305

;-o,i4

-o,09

-0,425 -0,02

-7,129

-0,319

-0,213

-0,04

-0,03

+11,120-1,996

+ 3,309 -0,15 + 4,781 -0,14

+ 4,386 -0,08

+ 1,831-0,04

+ 0,213 -0,02

1-17,663

-6,165

-9,538

-7,822

-1,108

+4,239

+7,34i,+ 5,325 +8,279+ 6,530 +6,871 + 5,629

+3,128+ 2,480 +0,638;+ 0,425

+5,863 - 5,900!

-0,62

-1,40

-i;43

-0,80

+0,04

+0,64

+0,82

o9⁴o+

+0,24

+0,02

09‘o-

-1,325

-1,25

S6fr‘o-

+o,43

+1,03

+1,12

+0,77

+0,325

+0,04

P5 =10,63 -0,58 PĄ= 7,63 -1,25

^3 = 7,31 -1,07 P»- 5,83 -0,19

Pj = 5,17 +0,82

P'i = 5, *7 +1,42 P*= 5,83 +1,42 pï = 7,3i +o,94 P\= 7,63 +0,41 /’s =10,63 +0,06

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Fig. 247.

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Längenmassstab: /: 120 Fig. 248.

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P*

Darauf wurden die drei Linien der M\ von einer Wagerechten ab' aufgetragen. Die M₀- und Mu-Linie sind zugleich Einflußlinien für o₀ und a«, wenn ihre Ordinaten mit

M₀ und Mu (in Fig. 248)

(271)

multipliziert werden.

Die Multiplikation der rf mit den betreffenden /’-Werten des Eigengewichtes (/’ïbis/’s und /Vbis/5) ist in der Tabelle 33 ausgeführt worden.

2. Die Unterlagen für die Berechnung der Momente aus der Gesamtbelastung liefert die Tabelle 34. Darin ist zwischen Mv und Me, d. h.

zwischen Moment aus der Verkehrslast

= 450 und dem Eigen-

gewicht unterschieden. In der Spalte 2 sind zuerst die positiven und negativen Teile der Einflußflächen (Fig. 247) angegeben und daraus sind durch Multiplikation mit p — 0,45 die Grenzwerte der Momente Mv berechnet worden. Die Werte der Momente Me sind aus der Tabelle 33 zu entnehmen. In Spalte 3 sind die ungünstigsten Werte berechnet. Dazu ist zu bemerken:

Weil die für M₀ und Mu aus der Gesamtlast berechneten Momente durchweg verschiedene Vorzeichen haben, so muß die Längskraft L innerhalb des Kernes liegen. Das heißt, sämtliche Randspannungen sind Drücke. Um daher die gefährlichste Lage der Verkehrslast zu finden (II. 6) belaste man diejenigen Teile der Einflußfläche, welche den überhaupt größten Wert des Momentes aus der Gesamtbelastung (Eigengewicht -f- Verkehrslast) ergeben. Z. B. findet man dann für die Scheitelixxgt

M₀ — + 5,989+1,526=+ 7,517,

M₀ = fl- 5,989 — 0,165=— 5,824,

Mu = — 11,557 — 1,468 = — 13,025 ,

Mu = — 11,557 + 0,272 = — 11,285 .

Der für die Randspannungen in der Scheitelfuge maßgebende größte Momentenwert ist also

Mu = 13,025

und erzeugt in der untern Randfaser einen entsprechend großen Druck usw.

c. Die Randspannungen. o₀ und ou sind zuerst aus der Gleichung

Mk

6 • Mk 10 d*

in atm berechnet worden, wobei

i kg

m²

i o cm²

zu setzen war. Die Ergebnisse sind in der Tabelle 35 verzeichnet.

uv

ccm

00

bJO

o

—    2,979

—    2,303

+ 1,468

10

+ 2,120 -)- 0,880 + 0,272

Tabelle 34. Berechnung der größten Momente aus der Gesamtlast.

Moment (mt)

71:

2. Verkehrslast.

Einflußfläche (m²)

i.

Mov

il/w-Fläche

Mm- Fläche

Mo-Fläche

Fuge

—    2,448

—    1,267

—    0,668

+ 3,276

+ i,i53

+ 1,270

—    2,442

—    0,382

—    0,165

+ 4,525

+ i,59i

+ I,5²6

—    6,620

—    5,^7

—    3,262

+ 4,7io + 1,956 + 0,604

—    5,44i

—    2,816

—    1,485

+ 7,279

+ 2,563

-j- 2,822

—    5,427

—    0,848

—    0,367

+10,055 + 3,536 + 3,390

Tabelle 35. Berechnung der Spannungen und für die Proben.

a AIo-Mu

v=Tmo₊Mu

XI1^ B II «

—    6,033    — 0,128    —    8,494

—    6,981    + 0,048(4)    +    3,074

—    9,099    —0,045(4)    —    3>3J9

to

£/p

66,363

63,527

72,795

atm

Gs

6Afu i

= —---Mm-

d²    10

6 Mo I (So — —tor— • —

</² xo

—    6,023

—    6,982

— 9,o7i

mt

atm

—    10,219    —8,476

—    4,753    +3,076

—    12,173    — 3,3*9

atm

Kämpferfuge Fuge t—t Scheitelfuge

Fuge

Kämpferfuge    i,io    0,202    — 1,827

Fuge t—t    0,91    0,138    —9,211

Scheitelfuge    0,80    0,107    — 5,969

Zur Nachprüfung werden folgende Beziehungen benutzt.

Mi₀ Miu

x) In Spalte 5:

Mm =

diese Bedingung folgt für vorliegenden Fall aus der Gl. (263).

g₀ -j- Gu

2) In Spalte 6 :

Os =

worin Gs die sog. Schwerpunktspannung bedeutet.

3 (M₀ -f Äff

3) In Spalte 7 :

was aus Gs = — und den obigen Gl. 1 und 2 folgt.

L .

in atm.

4) In Spalte 8:

Gs —

5) In Spalte 9:

xo d d IM₀ Mu\ 6 \Me + Muj

was aus den obigen Gl. 1 und aus v • L = Mm abzuleiten ist.

Auf solche Weise konnte Mm (in den Spalten 5 und 10) zweimal auf verschiedenen Wegen berechnet werden. Die gefundenen Unterschiede sind unerheblich.

Zu raten ist, schließlich für einige der gefährlichsten Lastlagen auch die Stützlinien zu zeichnen, um dadurch nochmals die Randspannungen graphisch nachzuprüfen (II. 48). Jede der Stützlinien muß im vorliegenden Falle (nach II. 43, c) die Bogenachse in vier Punkten schneiden. Tut sie das nicht, so sind Fehler bei der Berechnung untergelaufen, die richtig zu stellen sind, ehe man die berechneten Randspannungen als richtig ansehen darf. Vgl. darüber unter 48, b.

46. Die Kämpferkraftlinie und ihre Anwendung.

a. Darstellung der Kämpferkraftrichtungen. Wenn man von dem Einflüsse der Längskraft auf die Formänderung des Bogens absieht, so erhält man die bekannten Grundbedingungen der Gl. (238) in der Form

= °-

Mm ,    ß Mm .    .

ET

— du = o ; I —— (xdu) — o ,

J ŁJ

Ihre Herleitung vgl. unter II. 43, b. Setzt man

du —

dx

cos cp

/ cos cp = /

als unveränderlich an, so erhält man

(272)

• xdx — o ; J Mm • y • dx — o.

die Gl. (240) für

wenn man

Aus diesen Bedingungen lassen sich Angriffspunkte und Richtungen der Kämpferdrücke unmittelbar ableiten das Bogenmoment

■Mm — Mc

— Hy — Hz₀ — Hx j

zugrunde legt. Die erste der Grundbedingungen liefert dann (für eine lotrechte Einzellast) den Ausdruck

hJ dx — Hz₀J dx

— H-j J*xdx = o.

Ist der Ursprung O des Achsensystems (wie unter 41, b) derart festgelegt, daß

• dx —

fM,

am

• dx —

Si

x • dx — o

J*y • dx = o J*x-y ■ dx — o

wird, so gibt das

J‘Mam dx = Hzojdx .

Bezeichnet h die Höhe der Momentfläche abc an der Einzellast P (Fig. 249), so ist

Daraus folgt

JM‘

im

dx

Hhl

— (Fläche abc) H — — 2

Hhl

= HzJ

oder weil

Pab

Hh = —-

ist, auch

Hz₀ =

Pab

(273)

Aus der zweiten Grundbedingung erhält man bei entsprechender Lage von O (und wenn die F-Achse Symmetrieachse ist)

.1

■M- anL

• xdx =

r

I x* dx.

(274)

W I tN»

Fig. 249.

und daraus, in Verbindung mit der Gl. (274),

(²75)

Pa b(l — 2 a)

l³

Bezeichnet man die Ordinate des Punktes c mit z, so ist anzuschreiben

(7-)7

Das Integral der linken Seite berechnet sich am einfachsten als statisches Moment der Mam-Fläche bezogen auf die F-Achse. Die

daher

Abszisse xs des Schwerpunktes der Fläche abc ist gleich J-/--aj

-I (!_.)

23 V² /

fu.

a ffi

• x • dx =

Pab[l — 2 a)

12

--->Ł JJ

/To

--1

'/

-X

XHfe;

-O-

CO

- ->

o'

⁽f

'f

- * l-

il

11

4..

Das gibt die Gleichung der Kämpf erdrucklinie mit

(276)

2Pa*b²

ZT/³

Sobald die Ordinaten z für verschiedene Lagen der wandernden Einzellast P berechnet worden sind, ist die Kämpf er drucklinie gegeben. Die Angriffspunkte a und b der Kämpferdrücke Ka und Kb sind dann nach folgendem Satze bequem darzustellen:

Verbinde den Endpunkt c einer Ordinate z mit dem Schnittpunkte aT der X-Achse und der Stützenlotrechten A. Ziehe zur caT eine Parallele durch den Ursprung O. Diese trifft dann die Stützenlotrechte A im Angriffspunkte a der Kämpferkraft Ka • Ebenso läßt sich der Angriffspunkt b der Kämpferkraft Kb finden'. Ob parallel cb₁. Bei der Nachprüfung muß die Kämpferlinie ab auf der F-Achse eine Strecke

zQ — Od =

oder

(4-)

Pab Pab HÏ ~ 2/7/

Pab[l — 2 a)

///³

Pab

2 Hl abschneiden.

b. Gerade Kämpferkraftlinie für Parabelbogenachsen. Aus der dritten Grundbedingung entnimmt man

oder

j • y dx —Mam

• ydx —

HJ*y²dx = o

J"Mam •ydx

J y² dx

(277)

Setzt man hierin y = f[x) aus der Parabelgleichung ein und verlegt dabei den Ursprung O des Achsensystems X, Y (den Gleichungen auf

S. 325 entsprechend) in den Schwerpunkt des Parabelbogens, also in eine Tiefe von ein Drittel der Pfeilhöhe f unter den Parabelscheitel, wobei nach unserer früheren Voraussetzung die F-Achse eine Symmetrieachse ist, so erhält man

(278)

15 • P • a²b²

A'ff

und daraus in Verbindung mit der Gl. (276) die Gleichung der Kämpferdrucklinie mit

Die Kämpf erdrucklinie a₀b₀ ist demnach eine zur X-Achse parallele Gerade (Fig. 250).

Für erste Annäherungen empfiehlt sich die Verwendung der obigen geraden Kämpferdrucklinie sehr. Sobald diese gelegt ist, findet man die Angriffspunkte a und b der Kämpferdrücke nach dem von Winkler¹ gegebenen (unter a. beschriebenen) einfachen graphischen Verfahren. Damit erhält man dann nach der Gl. (273)

Pab

Zo —

(280)

2 Hl

sowie auch

C = /(tga — tgß).

f\

■ -*bo

x-

ao\

h''—*.....i

öl

i- -

—'T

Mf

h___X

çL

- - "T

CV

Fig. 250.

Somit ist auch nach Gl. (240) jedes Bogenmoment darzustellen.

Anwendungen der Kämpferkraftlinie vgl. man im folgenden Zahlenbeispiele. Bei dieser Gelegenheit möge bemerkt werden, daß Landsberg² das Kämpferdruckverfahren besonders ausgebildet und dabei eine graphische Darstellung der Kämpferdruckrichtungen gegeben hat, die ein wenig von der oben mitgeteilten abweicht.

47. Zahlenbeispiel zum Kämpferkraftverfahren.

Aufgabe 60. Der in der Aufgabe 59 nach dem Momentenverfahren behandelte Steinbogen von 18 m Stützweite und 2,25 m Pfeilhöhe soll nach dem (unter 46 erläuterten) Kämpferkraftverfahren nochmals berechnet werden, wobei eine Parabelbogenachse und eine gerade Kämpferkraftlinie zugrunde zu legen ist.

a. Stützlinie und Spannungen aus dem Eigengewicht, i. Die Pfeilhöhe der Parabelbogenachse (Fig. 251) berechnet sich mit

f = 2,25 -j- 0,40 — 0,486 = 2,164 m-

Daraus

* = !/ = M4 m, z = hf= ³,³54 m, z + t = ||/ = 2,60 m.

2. Das Gewölbe wurde in 18 Streifen geteilt, deren Gewichte P betragen :

Pi = Pi

P₂ = Pu =~ (2,83 + 2,45) 2,0 P₃ = Pm =1(2,45 + 2,13)2,0 P₄ = Piv = { (2,13 + 1,89)2,0 P₅ = Pv ={(1,89+1,67)2,0 P₆ = P\ i ={(1,67 + 1,51)2,0 P₇ = P\ii = I (1,51 + i,39)²,o

Ps = Pviii = i (i,39 + 1,34)2,0 P₉ = Pix ={(1,34+1,34)2,0

= M(²>²5 + 3,27)0,544 + (3,27 + 2,83)i,o]2,o = 9,10 t

= 5,²8 t = 4,5⁸ t = 4,02 t = 3,5⁶t = 3,i8 t = 1,90 t = ²,73 t = 2,68 t

38,03 t.

3. Man bestimmt jetzt für jede der 18 Schwerachsen der Laststreifengewichte P (Fig. 251) die Angriffspunkte der Kämpferkräfte Ka und Kbd Damit sind für jeden der 18 Punkte die Richtungen der zugehörigen Kämpferkräfte gegeben. Graphisch bildet jedes P mit dem zugehörigen Ka und Kb ein Kraftdreieck (Fig. 251).

Reiht man die sämtlichen Kämpferkräfte Ka (Pa) zu einer Kraftlinie zusammen (Fig. 252), so erhält man deren Mittelkraft Kae ihrer Größe und Richtung nach. Ihre Lage findet man in bekannter Weise (I. 54—55) mit Hilfe eines zwischen die Richtungen der Ka (Ra) gelegten Seilecks. O' ist der beliebig gewählte Pol des zugehörigen Kraftecks (Fig. 252).

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Fig. 252.

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Fig. 251.

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âi* Mpr, j .

I Sff:JSfa < *ńt:m

Um dann die Mittelkraftlinie (Stützlinie) für Eigengewicht zu erhalten,

braucht man nur

noch - ^P. Kae und die dadurch festgelegte Bogenkraft He zum Krafteck zusammen zu setzen, den Pol O in dessen linke Ecke zu legen und dazu das Seileck zwischen den Kraftrichtungen P zu zeichnen, dies Seileck umhüllt die Stützlinie. In den Fig. 251—252 sind Kraft- und Seileck rot dargestellt.

4. Die Randspannungen sind für die Querschnitte im Kämpfer, Scheitel und für die Fuge 5—5 berechnet, die um 0,33 m näher am Scheitel liegt, als die Fuge t—t in der Aufgabe 59. Man erhält aus der Grundformel (S. 311)

Hi-

Tabelle 36. Randspannungen aus dem Eigengewichte.

Lotrechte Fuge 5—5

Kämpfer

Scheitel

Längskraft Hebelarm Bogenstärke Innerer Rand a —

Äußerer Rand <sa =

— 73,72 t

10 cm

110 cm

—    10,35 atm

—    3,05 atm

—    63,2 t

6 cm 80 cm

—    II ,46 atm

—    4,35 atm

—    ⁶3,2 t

I cm 91 cm

—    7,40 atm

—    6,49 atm

Dabei wurde die Längskraft Z⁴ aus dem Krafteck der Fig. 252 abgegriffen.

b. Stützlinie und Spannungen aus der Verkehrslast (Fig. 253—254)-

i. Die Verkehrslast war in der Aufgabe 59 zu 450 kg festgesetzt. Das Gewicht V eines Laststreifens beträgt danach

V = o,45 ' ⁴ = °j45 t.

Wie Landsberg dies in der angegebenen Quelle⁵ allgemein dargelegt hat, geben die für eine wandernde Einzellast V gezeichneten Kämpferkräfte über die gefährlichste Lastlage irgend einer Fuge unmittelbaren Aufschluß. Handelt es sich also, wie im vorliegenden Falle, um angenäherte Rechnungen, so kann man beim Bestimmen der Lastscheiden ohne vorherige Darstellung der Einflußflächen der überzähligen Größen auskommen. Man hat für irgend eine Fuge und einen dazugehörigen Randpunkt a oder i sowohl den Einfluß der links als auch

t=l;

•l

Ra

zlßj___1___

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Fig. 253.

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Längemtiasssiab 1-120 Kmftfrriassstabe •

Dir Zerlegung der Kräfte V:1t =2,5 ein    Nsi=2,19t

Für dm Kräflephm • ltd, 25cm.

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V-

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Fig. 254.    Usa iF

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der rechts liegenden Kämpferkräfte der einzelnen Lastpunkte (i—9 und I—IX) zu prüfen. Das geschieht dadurch, daß man den Schnittpunkt jeder Kämpferkraft mit der Fuge ermittelt und sieht, welchen Sinn die dadurch im beobachteten Randpunkte hervorgerufene Spannung hat. Auf solche Weise ist schnell und bequem zu ermitteln, welche Reihe von Kämpferkräften Spannungen gleichen Sinnes erzeugt.

Im vorliegenden Falle handelt es sich (wie auch die genaue Lösung der Aufgabe 59 erwiesen hat) nur um Zugspannungen : in der Fig. 253 sind die Richtungen und Größen der Kämpferkräfte Ka [R) für rechtsseitige Belastung in bekannter Weise festgelegt. Die Kämpferkräfte aus der linksseitigen Belastung ergeben sich aus einem Spiegelbilde der Fig. 253 — 254.

Größe und Lage einer Reihe von gefährlichsten Kämpferkräften wurden für die drei in Frage kommenden Fugen, wie es in den Fig. 253—254 mit roter Farbe dargestellt ist, je besonders ermittelt. Dazu diente das Krafteck mit dem Pole O und ein mit dessen Hilfe gezeichnetes Seileck, dessen äußere Seiten parallel zu den im Krafteck an die erste und letzte Kämpferkraft der Reihe gelegten Strahlen geführt wurden. So erhielt man für jede Reihe die Lage der Mittelkraft und damit auch deren Schnittpunkt (Stützpunkt) mit der beobachteten Fuge, also auch den Angriffspunkt der Längskraft Z (N).

Die Ergebnisse veranschaulicht die Tabelle 37.

Tabelle 37. Größte Randspannungen aus der Verkehrslast.

Rand

punkt

Kämpferfuge

Scheitelfuge

Lotrechte F«ge 5—5 ²

Bemerkungen

Gefährlichste

Belastung

Rx bis Zs

Zvii bis Ri¹

Z₇ bis Ri

R₉ bis Ri

Rl bis Zvi

Ri bis Rs

Längskraft Lk

4,56 t

2,79 t

7,06 t

5,²7 t

7,73 t

3,57 t

Hebelarm v

55 cm

19 cm

25 cm

44 cm

2 cm

36 cm

Randspannung a

— 1,66 atm

— 0,85 atm

— 2,05 atm

— 1,63 atm

— 1,11 atm

— 1,32 atm

¹    DiegenauereLf&ge der Lastscheide ist aus der Einflußfläche der überzähligen Größen zu bestimmen.

²    Hier stimmen die Lastscheiden mit der genaueren Untersuchung (Aufgabe 59) überein.

In der Tabelle 38 sind noch die im vorliegenden Falle erhaltenen größten Randspannungen mit den in der Aufgabe 59 ermittelten verglichen worden.

Tabelle 38. Vergleich der Ergebnisse der Aufgaben 59 u. 60.

Fuge und Randpunkt

Größte Randspannungen in atm

Aufgabe 60

Eigengewicht |Vollbelastung

Aufgabe 59 Vollbelastung

Bemerkungen

Kämpfer

3,05

4,68

1,83

¹ Fuge 5—5 liegt

io,35

12,01

10,22

Scheitel

4,35

5,46

5,97

in — vom Kämpfer

11,46

12,31

12,17

und ein wenig rechts von der Fuge t—t.

Fuge t—t oder 5—5 ¹

6,49

7,87

9,2i

9,54

4,75

7,40

Man sieht, wie die Unterschiede im Scheitel geringfügig, erheblicher im Kämpfer und am größten in der Fuge 5 — 5 sind. Auch beachte man, wie schon bei der hier vorliegenden kleinen Stützweite von 18 m der Einfluß des Eigengewichtes denjenigen der Verkehrslast weit überwiegt (vgl. 48, a).

Es besteht kein Zweifel darüber, daß man bei der Anwendung der genaueren Kämpferkraftlinie, nach dem von Winkler gegebenen Verfahren (46, a), schärfere Ergebnisse erzielen wird als mit Hilfe der geraden Kämpferkraftlinie. Auch ist jene Anwendung, in Verbindung mit dem Kämpferkraftverfahren, recht bequem, weil man dabei nur eine Einflußfläche, diejenige der Bogenkraft EP, gebraucht (Gl. 276).

48. Zusätze für den Vollwandbogen.

a. Der überhaupt gefährlichste Querschnitt.

i. Im Zahlenbeispiel (unter 45, b, c) wurde bereits gezeigt, wie man schon während der Rechnung mancherlei Proben auf die Richtigkeit der Ergebnisse anstellen kann. Dabei war das Endziel die Ermittelung der größten Randspannungen für einzelne ausgezeichnete Querschnitte, in Scheitel, Kämpfer und dazwischen liegenden Fugen. Damit dürfen aber im allgemeinen die Rechnungen noch nicht abgeschlossen werden. Denn es gilt immer noch den überhaupt gefäh?Pichsten Querschnitt zu finden. Wie man dessen Lage angenähert und unmittelbar angeben kann, wurde bereits im II. Bande erläutert, worüber die dortigen Absätze 41 und 48 nachzulesen sind. Die Elastizitätstheorie hat uns aber bisher im allgemeinen kein Mittel an die Hand gegeben, um die Lage der gefährlichsten Fuge unmittelbar feststellen zu können. Um sie zu finden, müßte man zuerst für eine ausreichende Zahl von Querschnitten mit Hilfe der Momenten-Einflußflächen (44) je die größten Randspannungen berechnen (45, c). Darauf könnte man die gewonnenen

Größen a₀ und ou über der Kämpferlinie als (je zu einer Fugenabszisse gehörige) Ordinaten auftragen. So erhielte man zwei krumme Linien (die eine für og, die andere für oM)f aus denen die Abszisse z für die Lage der überhaupt gefährlichsten Fuge abzugreifen wäre. Einer solchen Darstellung bedarf es aber gewöhnlich nicht, weil jede Bogenform gewisse Anhaltspunkte bietet, die zur unmittelbaren Ermittelung der gesuchten Gefahrfuge führen können.

2. Beim weitgespannten Bogen wird der Einfluß des Eigengewichtes denjenigen der Verkehrslast weit überwiegen. Die gefährlichste Fuge kann deshalb, ohne Berücksichtigung der Verkehrslast, unmittelbar gefunden werden, wenn man eine Stützlinie für das Eigengewicht zeichnet oder besser deren Lage berechnet, weil die Zeichnung zu ungenau wird. Bei symmetrischem Bogen muß diese viermal, bei Unsymmetrie mindestens dreimal die Bogenachse schneiden (II. 43, c). Außerdem gibt in diesem Falle auch der allgemeine Ausdruck für das Kernmoment Aufschluß über die Lage der gefährlichsten Fugen. Nach Gl. (44, c, i) ist nämlich anzuschreiben

Mk — Mam — [Xyk cos ß + Yx + Z), worin der Klammerwert das Einspannungsmoment darstellt, das positiv oder negativ werden kann. Mk und die Randspannungen o₀ oder öu können danach ihren größten Wert erhalten,

i) wenn X und Y positiv sind und Z negativ ist

für y/c = o, d. h. in einer Fuge, deren oberer oder unterer Kernpunkt in der X-Achse liegt,

oder für x = o, d. h. in der in die Y-Achse fallenden Fuge, das ist bei symmetrischen Gewölben die Scheitelfuge;

2) wenn X, Y und Z positiv sind

für die größte negative Kämpferordinate yj{.

Beim Bogen kleinerer Weite überwiegt der Einfluß die Verkehrslast. Die im Zahlenbeispiel (45, b) in Fig. 248 dargestellten Einflußlinien der Mk~Flächen für Scheitel, Kämpfer und eine dazwischen liegende Fuge veranschaulichen die gefährlichsten Lastlagen. Die größten Randspannungen aus der Verkehrslast entstehen danach in der Regel in der Scheitelfuge bei F<?//belastung,

in der Kämpferfuge und einer ungefähr in der Mitte zwischen Scheitel und Kämpfer liegenden Fuge bei einseitiger Belastung.

Die einseitige Belastung braucht man dabei genau genug nur bis zur Scheitellotrechten reichen zu lassen. Bei dem im II. Bande (in § 8) beschriebenen Näherungsverfahren wurde die Lastscheide bestimmt.

3. Von großem Einflüsse auf die Grenzwerte der Randspannungen in den gefährlichsten Fugen ist die Führung der Bogenachse. In wichtigen Fällen sollte man nie unterlassen, vor Beginn der Rechnungen die günstigste Bogenachse festzustellen, wie es in § 8 des II. Bandes (unter 44) ausführlich dargelegt worden ist. Als günstigste Bogenachse gilt diejenige, für welche alle Momente Mm verschwinden, die aus dem Eigengewichte und der halben [sog. mittleren), über die ganze Stützweite gleichmäßig verteilten Verkehrslast herrühren. Der heute noch viel geübte Brauch, die Bogenachse mit der allein aus dem Eigengewichte herrührenden Bogenkraft zu zeichnen, ist nicht zu empfehlen (II. 37, a).

b. Stützlinien oder Mittelkraftlinien⁶. Jede Stützlinie ist durch drei ihrer Punkte eindeutig bestimmt. Für symmetrisch belastete Bogenhälften genügen zwei Punkte. Wenn aber das zur Darstellung der Stützlinie dienende Krafteck unmittelbar festgelegt wird, so braucht man nur einen Punkt der Stützlinie, z. B. den Angriffspunkt eines der beiden Kämpferkräfte. Sind auch die übrigen beiden Durchgangspunkte, z. B. die Angriffspunkte der andern Kämpferkraft und die Bogenkraft einer Scheitelfuge bekannt, so können sie insofern zur Nachprüfung der Darstellung dienen, als die mit dem vorher festgelegten Krafteck gezeichnete Stützlinie durch sie verlaufen muß.

Wie man für beliebige Lagen einer Einzellast Angriffspunkt, Richtung und Größe der Kämpferkräfte annähernd darstellen und somit das für die Zeichnung einer beliebigen Stützlinie dienende Krafteck unmittelbar festlegen kann, wurde unter 46 beschrieben. Hier handelt es sich aber um eine möglichst scharfe Nachpńifung von bereits erhaltenen Rechnungsergebnissen durch nachträgliches Einträgen einer geeigneten Stützlinie, aus welcher man die Mm oder Mk unmittelbar abgreifen, also auch die Richtigkeit der berechneten Randspannungen nochmals nachprüfen kann. Eine solche Stützlinie wird man möglichst genau mit Hilfe der Einflußflächen der überzähligen Größen darstellen müssen. Wie dies geschehen kann, soll an einem Beispiele gezeigt werden.

Ist R die Mittelkraft aller auf den Bogen wirkenden lotrechten Lasten (einschließlich Eigengewicht), so ist das Krafteck zur Darstellung der Stützlinie im Bogen bestimmt, sobald die beiden überzähligen Größen X und Y bekannt sind. Denn deren Mittelkraft ist die Kämpferlinienkraft H' (Fig. 255), die im Trennungspunkte zwischen den (statisch bestimmbaren) Balkenstützenkräften A und B anzutragen ist, um den Pol O des Kraftecks zu erhalten. Damit erhält man zugleich Größe

und Richtung der Kämpferkräfte Ka und Kb. Zur völligen Lösung der gestellten Aufgabe bedarf man also nur noch eines Angriffspunktes einer Kämpferkraft.

-z

W-

1-7,

/'

b'

h---

x------

Wr-—

AG-

!»

/j

ffff —----- ‘ H atÆ l

//’

%,

--b

>.

Fig- ²55-

Die Lösung beginnt mit der Festlegung des Achsensystems X, Y und seines Ursprunges O (42, b). Darauf verwendet man die bekannten Gleichungen AT cos ß = H

Y = HC- (281)

Z= Hz₀,

um auch die Punkte a und b der Kämpferlinie ab festzulegen. Es sei /*, fy,f,: veränderlicher Inhalt je einer der X-, Y- und Z-Flächen in qm für eine Breite Ax g\ veränderliches Eigengewicht in t/m, p\ unveränderliche Verkehrslast in t/m.

Mehrten s, Statik der Baukonstruktionen. III.

% -f

to- -

- - As -

______i___1.

Fig. 256.

Dann ist

ĄŹ

L o

H = cos

g-fx-Vp

wenn (/ — 2) die Länge der Verkehrslast bezeichnet. Ferner folgt

und

c = -^\2g-fy+p2/j\

(²⁸3)

Zo =

(284)

Die Ausrechnung des Klammerwertes hat (genau genommen) mit Hilfe der SiMPSON-Regel zu geschehen, weil die Einflußflächen für X, Y und Z von krummen Linien begrenzt werden.

Durch Aufträgen von c und z₀ läßt sich jetzt die Kämpferlinie ab festlegen (Fig. 255). Trägt man dann noch im Trennungspunkte t von A und B

//'

cos a

parallel der ab auf, so erhält man den Pol Ok des gesuchten Kraftecks. A und B sind vorher in bekannter Weise zu berechnen. In der Fig. 256 ist das graphisch geschehen, mit Hilfe eines Kraftecks Orsu, dessen Pol Or beliebig gelegt wurde, und des danach gezeichneten Seilecks mit der Schluß linie ab': Ort parallel zur ab'. Im Schnittpunkte r dieses Hilfsseilecks greift die Mittelkraft R aller Lasten an. Es ist

Sind a und b die Abstände zwischen R und den Stützenkraft-Lotrechten so ist

Rb

Die erste Probe auf die Richtigkeit der bisherigen Rechnungen ergibt sich, wenn man durch die Angriffspunkte a und b Parallelen zu den Strahlen Ok — s und Ok — u des Kraftecks legt. Diese müssen sich auf der Richtungslinie von R in einem Punkte c treffen.

Schließlich zeichnet man von a oder b aus, zwischen den Lastrichtungen die gesuchte Mittelkraftlinie, welcher die Stützlinie einzuschieben ist (I. 64, 65 und II. 44). Verläuft diese nicht durch b,

so sind Fehler bei der Rechnung oder Darstellung unterlaufen, die verbessert werden müssen. Schneidet sie nicht mindestens dreimal die

Bogenachse, so rührt das ebenfalls von Ungenauigkeiten der Rechnungen usw. her, die zu beseitigen sind.

c. Temperatureinflüsse. Vgl. hierüber den II. Band unter 49, c.

49. Zusätze für den Fachwerkbogen.

a. Unterschiede in der Behandlung des vollwandigen und gegliederten Bogens.

1.    Der wesentlichste Unterschied in den Berechnungen beider genannten Bogenarten beruht darin, daß die Vollwand Integrationen der in unendlich nahen Querschnitten aufeinander folgenden elastischen Kräfte w (und ihrer statischen Momente) fordert, während solche beim Fachwerkbogen nicht nötig werden. Hier greifen die elastischen Kräfte in den Knoten an, weshalb einfache Summierungen der w-Kräfte ausreichen, um die Biegelinien und die daraus abzuleitenden Einflußlinien der überzähligen Größen festzulegen. Weil in den Knoten mittelbare Lastübertragung vorausgesetzt wird, so sind die Biegelinien hier Seilecke. Für die Vollwand der Steinbogen erscheinen sie als Seillinien (IL 1, c). Weiter ist folgendes zu beachten:

Als Hauptsystem kann man in beiden Vergleichsfällen entweder einen an einem Ende eingespannten (36, b, Aufgabe 47) oder einen an beiden Enden gestützten Balken (41, a) wählen. Aus den (unter 36, a) aufgeführten Gründen erscheint es aber am bequemsten, mit dem letztgenannten Hauptsystem zu rechnen. Beim Vollwandbogen, der meistens eine ausgesprochene, möglichst günstig gelegte Bogenachse besitzt, stützten wir das Hauptsystem in den durch die Endpunkte der Bogenachse verlaufenden Lotrechten. Das ist beim gelenklosen Fachwerkbogen weniger zweckmäßig. Denn ein solcher besitzt gewöhnlich keine so ausgesprochene Bogenachse, wie der Vollwandbogen, und wenn man als Hauptsystem nicht einen Aus-legeträger erhalten will, so legt man die Stützenlotrechten A und B am besten durch die äußersten Fachwerksknoten der Einspannung (Fig. 257).

2.    Für das Hauptsystem des gelenklosen Fachwerkbogens gelten

ohne weiteres die grundlegenden Gl. (239) und (240) für das Bogenmoment M,

wenn m irgend einen Knoten oder einen Momentenpunkt in einem lotrechten Schnitte tt bezeichnet. Setzt man also wie früher

cos

(285)

Y=H- , Z = Hz₀,

so erhält man auch hier die Gl. (243) in der Form

Mm = Mam — (Xcosßy + Yx — Z).

Legt man ferner den Ursprung O des Achsensystems (nach 41, b) derart, daß

^ xwz — o;

o; 2

xyu'z = o

y wz —

wird, so verschwinden in den allgemeinen Elastizitätsgleichungen (nach Aufgabe 47, 36, b) alle Verschiebungen ö mit den aus verschiedenen Buchstaben gebildeten Doppelzeigern. Man erhält dann (nach Gl. 251) und unter Beachtung des unter 42, b Gesagten:

Marn Wx

cos y wx

(286)

Y= — 1«

Main Wy

XWy

Mam. Wz

Bei Einführung des Querschnittverhältnisses (37, b)

F₀

erhält man (nacheinander) für die Zustände »Z = — 1« und »X = — 1« und für Polweiten EF₀

Wy = XW

Co

- = ß (x^)

(287)

wx = y Wz =

ß[y^)

Darin bedeuten bekanntlich s irgend eine Stablänge und r der einem Stabe zugeordnete Hebelbarm der Stab kraft.

3. Das (unter 42) über die Bedeutung der Summengrößen Gesagte gilt auch hier, so daß die Elastizitätsgleichungen in der Form der Gl. (258) (für P= i in r und Hw = 1) wie folgt angeschrieben werden können :

i • ör}

2 So Syk

Öyy

X Wy

2 Syk

(288)

I • Örz

SQSzh

öZ2

'S'W:

X=-

cos ß[öxx)

I • Örx

cos/>^ y wx

ZSoSA

cos 8 S%k

Wir wiederholen hierzu: die ö-Werte im Zähler und Nenner auf der linken Seite der Gl. (288) können mit Hilfe der Arbeitsgleichungen Mohrs (10, b) unmittelbar so angeschrieben werden, wie sie auf der rechten Seite aufgeführt worden sind. Also bedeuten

S₀, Sx, Sy, Sz: eine für die Zustände »X, Y, Z — o«, »X — —1«, » F = — x«, »Z = — 1« berechnete Stabkraft; k\ das bekannte Dehnungsvermögen (11, a).

Alle übrigen Einzelheiten der Berechnung sind im folgenden Zahlenbeispiele zu vergleichen.

b. Temperatureinflüsse und Näherungsrechnungen.

i. Wenn eine beliebige Zunahme oder Abnahme der Wärme vorausgesetzt wird, so gelten hier (nach Gl. 258) die Elastizitätsgleichungen

Xt =

öxt

cosß(öxx)

Sx/1 st cosß^ S%k

Vt =

àyt

Zt =

àzt

Sy /f St 2 S*yk

^ Sz J st

2 su ’

(289)

worin bei graphischer Darstellung der d-Werte die Polweite Hw gleich »Eins« zu nehmen ist. Daraus erhält man, weil Mam verschwindet, das von der Temperatur erzeugte Bogenmoment mit

— Mmt = Xty cos/i —(- Ytx -4- Z^.

2. Näherungsweise nimmt man wohl eine überall gleiche Temperaturänderung an. In vielen Fällen, bei bedeutenden Stützweiten, namentlich aber bei kleinen Pfeilhöhen im Vergleiche zur Stützweite, ist das unzulässig, wenn Obergurt und Untergurt verschiedene Sonnenbestrahlung erfahren (33). Setzt man trotzdem gleiche Temperaturänderungen aller Stäbe voraus, so gilt hier das, was im II. Bande (unter 48, c) gesagt ist: Von den drei Grundbedingungen (Gl. 238) verschwinden die beiden letzten, weil weder eine Verdrehung der Kämpferfuge (verursacht durch Z), noch eine lotrechte Verschiebung eines ihrer Punkte (verursacht durch Y) eintritt. Danach verschwinden in den Gl. (244) und (246) auch Z und V Man erhält demnach

(29°)

Mmt = Xty cos ß

und Xtcosß berechnet sich aus der GL (289) mit

Xtcosß =

$xt    Sx A S t

2 sik

(291)

d. h. ähnlich wie das Ht beim Zweigelenkbogen (37, c).

3. Wenn man die Formänderung der Wandstäbe vernachlässigen und im übrigen die gleichen Voraussetzungen machen will, wie unter 46, so kann man für die erste Annäherung die Kämpferkraftlinie aus der GL (276) mit

2 Pazb'²'

Hf

(292)

anschreiben und die Angriffspunkte a und b der Kämpferkräfte Ka und Kt (nach Winkler) so festlegen, wie es in Fig. 249 dargestellt ist.

Ebenso darf man unter gleichen Voraussetzungen für den Bogen mit

Farabelgurten eine gerade Kämpferkraftlinie benutzen, deren Lage durch die GL (279) mit

(293)

bestimmt ist, wenn die Lotrechten für A und B durch die Endpunkte der Bogenachse gelegt werden und wenn / deren Pfeilhöhe vorstellt.

¹

   Winkler, Lehre von der Elastizität und Festigkeit. 1867, S. 328—330.

²

   Landsberg, Beitrag zur Theorie der Gewölbe. Zeitschr. des Ver. deutscher Ing. 1901, Band 45, S. 1765.

³

Statt Ka und Kb ist in den Figuren Ra und Rb gedruckt.

⁴

   Für L ist in den Fig. 251—254 immer N gedruckt.

⁵

   Zeitschr. des Ver. deutscher Ing. 1901. Bd. 45, S. 1768.

⁶

Vgl. I. 64 und II. § 8.

50. Zahlenbeispiel zur Berechnung des Fachwerkbogens.

Aufgabe 61. Für den in der Fig. 257 dargestellten, beiderseits eingespannten [symmetrischen] Fachwerkbogen mit Kreisgurten sind die überzähligen Größen zu bestimmen und zwar zuerst [unter geeigneten Annahmen für die Stab quer schütte] angenähert, sodann genauer mit Hilfe der bei der Näherungsrechnung erhaltenen Größen. Dabei ist der Obergurt als Lastgurt, die Breite der Brücke mit 10 m und deren Belastung

aus

Verkehr und Eigengewicht mit 0,75 —- anzunehmen.

a. Erste Bestimmung des Koordinatenursprunges, i. Die Krümmungshalbmesser für U und O berechnen sich mit

Ru =

27² + 8²

i6 = 49,5625 m

R₀ = 7?*+5 m = 54,5⁶²5 m-

=0

to

~3\

*

■Cs

iS

«2

Längen* i:533'/s

t-

/I

. . .§ iii I

r-5,625 cm.

ll/J KS S-,/

TO *£($(£ Eśwr

^ JcśS * «

'to

Fig.257.

so

>4

■3v,

E5a

'N

-j

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7r

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Fig. 259.

Fig. 261.

'Si

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Fig. 258

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4-

Fig.260.

i-

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CM /

it

\ r->

A-

L_

Fig.263.

«fî

A/

_y_____à

//

roc

■ss.

Fig.262

Tabelle 39. Koordinaten x₀, y₀ in Metern.

Knoten

■^o

Knoten

xQ

CO Tf -LO

21,0 18,0

3,331 9,945

10

12,0

9,o

6,0

3,o

°,o

11,664

7,176

12,669

7,898

i3,o

Die gerechneten Koordinaten x₀, yQ der Knoten, bezogen auf eine durch Knoten i gelegte wagerechte X-Achse, sowie

die Stablängen s sind aus den folgenden Tabellen 39, 40 und 4 r zu entnehmen.

2. Die früher (Gl. 251) und (258) mit X, F, Z bezeichneten überzähligen Größen werden hier Xc, X&, Xa genannt. Die lotrechte F-Achse ist als Symmetrieachse gegeben. Die durch den Ursprung O verlaufende wagerechte X-Achse fällt mit der Richtung der Mittelkraft aller wagerecht angreifenden elastischen w-Kräfte zusammen. Diese sind zu bestimmen aus

F EF

wa — —

r

F₀

Setzt man (nach 40, a) angenähert

für die Gurte ß — _ F

Wand ß —

F₀

(ÿ ³’

so sind die wa (für den Zustand »X„ — M — — 1«) aus

zu berechnen.

Sämtliche Hebelarme r sind berechnet worden, ebenso die Koordinaten Xi und jVi der den Wandstäben zugeordneten Momentenpunkte i. Die Ergebnisse der Berechnung der wa-Kräfte geben die Tabellen 40 und 41.

Bezeichnet man die Ordinate des Ursprunges O mit yox, so ist jetzt

Wado

y ox =

oder

y ox =

18,0905 + 0,2154

= 7,343 m-

2,4929

Ohne Beachtung des Einflusses der Wand hätte man

JVox =

18,0905

erhalten.

2,4624

— 7,347 m

Tabelle 40. Elastische Kräfte wa für die Gurte.

Knoten

Stab Stablänge s Hebelarm r

w „

CI

für ß = i

Ordinate y₀ des Angriffspunktes v₀ • zva

0—2

2—4

4—6

6—8

8—10

1—3

3—5

5—7

7—9

9—9'

6,909

6,503

6,241

6,084

6,009

6,863

6,442

6,185

6,043

6,000

4,972 4,946 4,93i 4,922 4,929 5,047 5,o69 5,082 5,095 5,¹⁰²

0,2911 0,2769 0,2674 0,2616 0,2577 0,2694 0,2507

0,2395

0,2328

(i) 0,2305

± o

+ 3,331 + 5,675 + 7,176 + 7,898 + 7,438 + 9,945 + 11,664 + 12,669 + 13,000

+ 0,9224

+ 1,5^5 + 1,8772 + 2,0353 + 2,0038

+ 2,4932 + 2,7935 + 2,9493

+ 1,4983

2,4624

+18,0905

Tabelle 41. Elastische Kräfte wa für die Wand.

Stab

Stablänge s

Hebelarm r-

zv

U

für ß = 3

Ordinate y . des Angriffspunktes

Voi ' wu

3—4

5-6

7-8

9—10

2—3

4—5

6-7

8—9

8,020

7,263

6,998

6,259

5,919

5,oio

5,o86

5,219

5,398

5,636

260,289

147,847

110,417

86,755

77d32

0,0004

0,0010

0,0016

0,0025

0,0030

—    200,637

—    73,755

—    29,643

—    5,556

+    7,898

—    0,0803

—    0,0738

—    0,0474

—    0,0139 + 0,0237

44,302 5¹,347 58,585 68,978

0,0078

0,0059

0,0047

0,0036

+ 25,001 + 24,913 + 22,278

+ 17,013

+ 0,1950 + 0,1470 + 0,1047 + 0,0612

0,0305

+ 0,2154

b. Erste Berechnung der Einflußflächen der überzähligen Größen.

i. Alle x, y zur Berechnung der Wb und wc sind jetzt gegeben. Zu diesem Zwecke wurden die in den zugehörigen /-Momentenpunkten angreifenden wa~Kräfte in je zwei gleichwertige auf die Knoten entfallende Kräfte zerlegt. Vgl. deren Werte in der Tabelle 42.

Tabelle 42. Verteilung der wa und Berechnung der W6 und wc.

Elastische Wa - Kräfte

Koordinaten

Elastische Kräfte

Knoten

nummer

Stab

Verteilung in der in den Wand Gurten

Summa aller Wa

1+

-|-w6= ńzwc =

y • tv a

X • TV a

y-wc

X • 7U6

1—2    + 0,0243

+ 0,0243 30,0 —3,357

0,729

— 0,082    0,275    21,870

+ 0,2911 +0,2911 27,0 — 7,3⁶9

7,860    —2,145    15,807    212,220

1—2    +0,0299

2—3    — 0,0468

3—4    + 0,0334

+ 0,2321 24,0    + 0,069

5,570

+ 0,016    0,001

133,680

1—3

+ 0,2694

2—4

+ 0,2769 +0,2769 21,0

— 4,038

5>8i5

— 1,118    4,5*4

122,115

2—3 + 0,0546

3—4    — 0,0324

4—5 —0,0455

+ 0,2559 18,0

+ 2,576

4,606

+ 0,659

1,698

82,908

5—6 + 0,0385

3-5

+ 0,2507

4—6

+ 0,2674 +0,2674 15,0

— 1,694

4,011

— o,453    0,767

60,165

4—5    +0,0514

5—6 — 0,0369

6—7 — 0,0449

+ 0,2544 12,0

+ 4,295

3,053    + 1,093    4,694

36,636

7—8 + 0,0453

5—7

+ 0,2395

6—8

+ 0,2616

+ 0,2616    9,0 —0,193    2.354

— 0,050    0,010

21,186

6—7    + 0,0496

7—8    — 0,0428

8—9    —0,0437

+ 0,2421    6,0

+ 5,300    i,453

+ 1,283    6,800

8,718

9—10 + 0,0462

7—9

+ 0,2328

8—10

+ 0,2577

+ 0,2577    3,o

+ 0,529    0,773    +0,136

0,072

2,319

8—9    + 0,0472

10

9—xo —0,0432

+ (1)0,2346 o +5,631

—J— 0,661

3,722

9—9'

+(1)0,2305

Wa = 2,4808 *

* Soll nach Tab. 40-41 gleich 2,4929 sein!

-j- Sollte rfco geben, Fehler also gleich —0,00092!

to I H

35,495 -0,00046 f 38,360

X • 7Vb

= 701,817

2.    Die Maßstäbe der elastischen 7^-Kräfte wurden in den Fig. 258—260 wie folgt gewählt:

für die Einheit der wa : 1,25 cm,

- Wb : o, i o - ,

-    -    -    - wc\ 1,25 - .

Die in den Fig. 257—260 beliebig gewählte Strecke g — h — 11 = e

ist gleich 30 m in nat. Größe, also (bei einem Längenmaßstabe 3 :1600) gleich e— 5,625 cm zu rechnen.

3.    Die Polweiten der w-Kraftecke folgten aus

Hwa —    a

X • Wb

HWb —

e

wc.

Hwc =    2y ■

Das gibt mit 1 wa — iwc = 1,25 cm und e— 5,625 cm 100 • 1403,634 • 0,1

Hwb —

1600

= 4,68 cm

5,625.--

Hwc

100 • 76,720 • 1,25

,    1600

5,625 • —

12,75 cm.

4. Aus den Gleichungen

xa =

rh«; x*=\-

; xc = [l

~eP‘

wurden die Ordinaten der drei Einflußflächen der überzähligen Größen für die Knoten o bis 10 berechnet und in den Fig. 258—260 aufgetragen. Aus der vorgeschriebenen Vollbelastung erhält man eine Knotenlast

:<

„    ,10

P=6 ■ — ■ 0,75 = 22,5 t.

Dafür sind Xa und Xc berechnet. Xb wird wegen der Symmetrie des Bogens und seiner Vollbelastung gleich Null, denn es ist (nach Gl. 285)

Y= Xb — H C\

weil c gleich Null wird.

Es berechnen sich dann für die Knotenlasten von 22,5 t

= 9°,9 t.

Xa — Hz₀ = 22,5

Xc — H = 22,5 Das gibt z₀ = 14,27 m.

[² • Sv*-+- r/a_Toj = 1297 mt,

[2 JpV+^-10]

Die durch das Moment Xa der in O wagerecht angreifenden Einzelkraft Xc — H und der vorstehend angegebenen Knotenbelastung erzeugten Stabkräfte sind mit Hilfe eines Kräfteplanes dargestellt worden. Danach wurden sämtliche St ab quer schnitte und wirkliche Stablängenänderungen, sowie auch die durch »M — — 1« erzeugten Stabkräfte S' berechnet, wie aus den Tabellen 43 und 44 zu entnehmen ist.

Die Zerlegung der in O angreifenden überzähligen Größen

30

= 43+3 t

und

Xe = 90,9 t

erfolgte (nach dem unter 36, in der Aufgabe 47 angegebenen Verfahren) in den beiden Richtungen O—o und O—1. Darauf wurden alle in den Endknoten o und 1 angreifenden Kräfte (wozu in o auch die Balkenstützenkraft A — 101,25 t gehört) je zu einer Mittelkraft zusammengesetzt und schließlich der erwähnte Kräfteplan gezeichnet,

c. Zweite Bearbeitung der Aufgabe.

In der auf S. 344 angegebenen Gleichung für wa sind jetzt die in den Tabellen 43 und 44 berechneten Werte von F einzusetzen.'

Tabelle 43. Erneute Berechnung der elastischen «/«-Kräfte

der Gurte.

Stab

Stabkraft S aus der Vollbelastung

Stab

quer

schnitt

Stabkraft S' Stab- Stablängen- Hebellänge änderung arm As' ■ io⁶

aus

Ww io⁶

cm²

Angriffs

knoten

0—2

— 425

500

— 0,201

6,909    — 1,3226    4,972

+ 0,2660 X

2—4    —474

4-6    —516

550

600

— 0,202

6,503    — i,i374    4,946

+ 0,2300    3

— 0,203

6,241    — 1,0055    4,931

!+ 0,2039    5

6—8

— 544

620

— 0,203

6,084    — 0,9486    4,922

8—10

— 560

650

— 0,203

6,009    — 0,8940    4,929

+ 0,1927 7 + 0,1814 9

1—3

+ 343

410

+ 0,198    6,863    +1,5782    5,047

+ 0,3127    2

3-5    +391

470    +0,197    6,442 +1,2857    5,069

+ 0,2536    4

5—7

+ 426

500

+ 0,197

6,185 +1,1604 5.'⁰⁸²

+ 0,2283    6

7—9    + 448

520

+ 0,196    6,043    +1,0846    5,095

+ 0,2129    8

Stab

Tabelle 44. Erneute Berechnung und Verteilung der elastischen w~-Kräfte der Wand.

Stabkraft S Stab-aus der Vollbelastung

quer

schnitt

Stabkraft S' Stab- Stablängenlänge änderung J s'- io⁶

Hebel

aus

arme

M= — I

rln. r₂

Wa • io⁶

cm²

Angriffs

knoten

— 61

70

4-0,004    8,020    4-0,2182

4,27

+ 0,0511 o

4,35

— 0,0502    2

3—4    — 44

50

4- 0,007    7,263    4- 0,4842

4,42    4-0,1095    2

4,55

— 0,1064    4

5-6

— 21

30

4- 0,009    6,698    4- 0,9569

4,60    4- 0,2080    4

4,8o

— 0,2332    6

30

4-0,012    6,259    +1,1192

4,79    +0,2336    6

5,06    —0,2212

9 — 10    4-22

30    +0,013    5,9i9

4- 1,2214

5,01    4-0,2438

5,35

— 0,2282    10

— 34

40

5,010

2—3    + 78

90    4-0,023    5,086    4-0,6189

7,30

— 0,0848    2

6,32    + 0,0979    4

4-5

+ 71

90

4“ 0,020

5,219

+ o,55i9

O'

; S

5,90

— 0,0829 + 0,0936

6-7    +57    70

-f- 0,018

5,398    +0,6647

6,15    —o,io8i 6

5,54

4- o, 1200

8—9    +44    5°    +0,015    5,⁶36    4-0,8051

5,7o

— 0,1412

5,28    4-0,1525    10

i. Die aus den Tabellen 43—44 entnommenen Werte von wa sind in der Tabelle 45 für die Knoten o bis 10 zusammengezogen. Daraus folgt die genauere Ordinate yox des Ursprunges 0 mit

XT

yox —

Wa • To

y₀x =

16,3116 • IO

-6

2,2369 • IO

-6

= 7,292 m.

(²95)

Knoten

Tabelle 45. Zur Berechnung der Ordinate yox und der Einflußflächen x.

Wa

y —

Wa ^o-I°⁶ Wb—Wa'X yo~Vox Wc — Wa • y

Wb • X

wc • y

+0,6511-10—⁶ 4,012    +0,2050 +1,533010—6 —3,280—0,1676-10—⁶ + 45,9900-10-6 + 0,5497-10-6

+7,1820-10-6 —7,292 —i,9397'io—6 +193,0140-10-6 +14,1443-10-6

+0,2660-10—6 o

+0,2872-10-6 7,438    +2,1362 +6,8928-10-6 +0,146+0,0419-10-6+165,4272-10-6 + 0,0061-10-6

+0,2300 10—6    3,331    +0,7661    +4,8300-10-6    —3,961 —0,9110-10-6+101,4300-10—⁶ +    3,6085-10-6

+0,3702-10-6    9,945    +3,6816    +6,6636-10—⁶    +2,653 +0,9821*10-6+119,9448-10—6 +    2,6055-10-6

+0,2039-10-6    5,675    +1,1571    +3,0585-10-6    —1,617—0,3297-10-6+ 45,8775-10-6+    0,5331-10-6

+0,2142-10-611,664    +2,4984    +2,5704-10-6    +4,372+0,9365-10-6+ 30,8448-10-6+    4,0925-10-6

+0,1927-10-6 7,176    +1,3828 +1,734310-6 —0,116—0,0224-10-6+ 15,6087-10-6+0,0026-10-6

+0,2143-10-612,669    +2,7150 +1,2858-10-6+5,377+1,1523-10-6+    7,7148-10- + 6,1959-10-6

+0,1814-10-6 7,898    +1,4327 +0,5442-10-6+0,606+0,1099*10-6+    1,6326-10— +0,0666*10-6

10

+0,0259-10-613,0    +0,3367    o    +5,708+0,1478-10-6    O    +0,8436-10-6

\2wa

2,2369

\2way₀

16,3116

IO⁶

IO⁶

36,2946

IO³

\2wc

0,0001 *

jq6

j2wb • X

728,3844

IO⁶

\—wc • y

. , 32,6484

IO⁶

mm.

* Fehler gegen 0,0000 gleich + -—

2. Maßstäbe und Polweiten, e = n = g — h ist wie früher gleich 5,625 cm angenommen, i w-Einheit ist

für wa gleich 1,25 • io⁶cm, 0,075 • io⁶ cm, 2,0 • io⁶ cm.

wb

wc

Daraus die Polweiten'.

Pbwb -

Wb • X

2 • 728,3844 • io⁻⁶ • 0,075 • 10⁶

5)625 • —■

= 31642 cm,

Hwc

2 • 32,6484 • IO

-6

• 2,0 • IO⁶

5,625 • ^

= 4,353 cm.

Danach können die Einflußflächen der X dargestellt werden, wie es in der ersten Bearbeitung in den Fig. 258—263 geschehen ist. Dabei können die Maßstäbe für die Ordinaten rj der Einflußflächen beibehalten werden.

3. Für eine Darstellung von Einflußflächen der Stabkräfte gilt die Gleichung

Xm

Ï1

worin — S₀, d. h. gleich der für den Zustand »X = o« berechneten rm

Stabkraft ist. Führt man Hilfstangentenwinkel ein, so erhält man

(296)

Sm — [rjam ~ ^a) tg « — Tj₆ • tg/? — î^tg/,

wenn

tg« = — ; tg/?= „

' m    ' m

gemacht wird. Das Weitere ergibt sich aus 32, b.

xm

ym

— ; tgy = —

§ 9. Durchgehende gerade Balkenträger auf unverschiebbaren Stützpunkten.

51. Allgemeines über eine Näherungsberechnung für unverschiebliche Stützpunkte.

a. Vereinfachte Biegelinien.

1.    Gelenklose, über mehr als zwei Stützen durchgehende Träger sind statisch unbestimmt. Wird, wie bei den Bogenträgern geschehen ist, bei den gegliederten Trägern innere Bestimmtheit vorausgesetzt, so handelt es sich nur um die Berechnung der überzähligen äußern Kräfte und diese sind für Fachwerke und Voll wandträger gleich, abgesehen von den bekannten Unterschieden bei der Darstellung der Biegelinien.

Die elastische Linie der Vollwandträger und die Biegelinie des Hauptsystems der Fachwerke spielt bei der Berechnung eine Hauptrolle. Deshalb hat Verfasser bereits im § 2 (unter 6) die elastische Linie als Berechnungsgrundlage statisch unbestimmter gerader Vollwandträger betrachtet und dabei die Berechnung eines durchgehenden Trägers auf drei Stützen gegeben (6, a und 7, a). Ferner ist (unter 36, b, Aufgabe 44) die Berechnung eines über drei Stützen durchgehenden Fachwerkträgers mit Hilfe einer Biegelinie durchgeführt, die gleichzeitig Einflußlinie der überzähligen Größe ist. Es empfiehlt sich, diese beiden Aufgaben vor dem Studium des Folgenden durchzuarbeiten.

2.    Weil die Biegelinie genau nur zu zeichnen ist, wenn bei der Vollwand alle Trägheitsmomente des Trägers und beim Fachwerk dessen Grundmaße und Stabquerschnitte sämtlich gegeben sind, so werden praktische Aufgaben meist zuerst durch ein Näherungsverfahren gelöst, wie dies auch bei den Bogenträgern (50) geschehen ist. Danach werden dann Maße und Querschnitte bestimmt, mit deren Hilfe die Rechnung schließlich noch einmal nach einem genaueren Verfahren durchgeführt werden kann. Das Näherungsverfahren gründet sich auf die Annahme, daß es zulässig sei, bei der Darstellung einer Biegelinie die Momentenfläche ah Belastungsfläche zu verwenden. Nun sind aber die elastischen Kräfte (nach § 2 und § 4) aus den Gleichungen

EJ

(bei Vollwandträgern)

und

w ==

/1s Ms

Mk

EFr²

ri

(bei Fachwerken)

zu berechnen. Jene Annahme ist also ganz zutreffend nur dann, wenn (bei unveränderlicher Dehnungszahl E) in Vollwandträgern auch das

s

Trägheitmoment J und in Fachwerken auch die Größe    in jedem

Schnitte unveränderlich wäre. Das ist aber in der Regel nicht der Fall. Trotzdem wird (mit Recht) in vielen Fällen, um die überzähligen Größen endgültig zu berechnen, die Biegelinie unter der beschriebenen Annahme gezeichnet, selbst wenn J auch nicht überall gleich groß oder die Ver-

k

änderlichkeit der Größe — nicht zu erheblich ist. Bei Trägern mit

r²

stark veränderlichen Höhen, namentlich wenn es Fachwerke sind, wird der ersten angenäherten Ermittelung der Querschnitte mit Hilfe vereinfachter Biegelinien immer noch eine genauere endgültige Berechnung folgen müssen.

b. Stützenmomente und Momentenflächen. i. Die Stützpunkte des Trägers sollen unverschiebbar sein und in gleicher Höhe liegen. Der Einfluß elastischer Stützenverschiebungen und der Temperaturspannungen soll später im besondern betrachtet werden.

An den Trägerenden setzen wir einstäbige Stützung voraus. Dort ist daher das Moment gleich Null. Momente treten dann nur an den Zwischenstützen auf. Sie sind je nach der Art der Belastung negativ oder positiv und sollen Stützenmomente genannt werden.

Bei einem durchgehenden Träger auf n Stützen sind (nach obigen Voraussetzungen) immer n — 2 überzählige Größen zu berechnen. Als solche betrachten wir die Stützenmomente. Sobald deshalb diese für irgend eine Art der Belastung ermittelt worden sind, muß die gesamte Momentenfläche des durchgehenden Trägers aus den einfachen positiven Momentenflächen der einzelnen Trägeröffnungen abzuleiten sein (Fig. 264). Man braucht nur die Momente Ms, Mc, Md in den Stützen b, c, d als Ordinaten aufzutragen, um den Schlußlinienzug à—b'—c—d'—e zu erhalten (Fig. 265), der die gesamte (schraffiert dargestellte) Momentenfläche gibt. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Darstellung läßt sich

in verschiedener Weise geben. Am einfachsten wohl, wenn man das Hauptsystems eines Trägers auf n Stützen, als n aufeinander folgende einfache Träger gebildet denkt und über jeder der mittleren (n — 2) Stützen ein Stützenmoment X als überzählige Größe hinzufügt. Die Summierung des Zustandes »X = o« und aller Zustände »X« gibt dann unmittelbar die in Fig. 265 dargestellte Momentenfläche.

Ein weiterer Beweis liegt in dem (unter I. 62, a) beschriebenen Verfahren zur Darstellung der Momentenfläche eines durchgehenden Gelenk-trägers. Dabei betrachtet man (wie dies auch in der Aufgabe 15 unter 7, a geschehen ist) den durchgehenden Träger als Auslege träger,

W7Z

1/z c 1

Fig. 264.

a'{

,A/ :

■M

\cr

Th

Fig. 265.

ak

‘b '

fei

-sPp-

Fig. 266—267.

dessen n — 2 Gelenke in den Momentennullpunkten liegen: Nach erfolgter Bestimmung der n — 2 Stützenmomente sind auch die Wendepunkte der elastischen Linie gegeben. Wählt man [n — 2) davon als Gelenkpunkte, so muß der Schlußlinienzug der Momentenfläche durch diese Punkte verlaufen und dabei auf den Stützenlotrechten die Ordinaten von Mbi bis Mn-X abschneiden. Umgekehrt kann man zuerst auch die Stützenmomente auftragen, um dadurch den richtigen Schlußlinienzug für den durchgehenden Träger zu erhalten. Wie man zweckmäßig schließlich die Momentenfläche auf einen geraden Schlußlinienzug (Fig. 266) überträgt, ist bereits (unter I. 62 b) beschrieben.

2. Wir nehmen an, es sei eine vereinfachte Biegelinie mit Hilfe der Momentenfläche als Belastungsfläche gezeichnet worden (Fig. 267). Dann

23

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

kehrt die Biegelinie auf den positiven Strecken der Momentenfläche ihre Hohlseite nach oben, auf den negativen Strecken dagegen nach unten. Ihre Wendepunkte liegen, wie schon erwähnt, lotrecht unter den Momentennullpunkten. Sobald die Momentenfläche des durchgehenden Trägers mit Hilfe der überzähligen Größen der Stützenmomente dargestellt ist, sind auch die Querkräfte und Stützenkräfte gegeben und (nach I. 62, a) in bekannter Weise zu berechnen.

52. Grundlagen des Näherungsverfahren bei Verwendung vereinfachter Biegelinien.

Dies Verfahren wird in allen praktischen Fällen als ein endgültiges gebraucht werden dürfen, wenn bei Vollwandträgern die Trägheitsmomente der verschiedenen Querschnitte nicht zu erheblich voneinander abweichen und ebenso wenn dazu bei Farallelfachwerken der Einfluß der Wand auf die Gestalt der Biegelinie vernachlässigt werden darf. Bei den Darlegungen dieser und der folgenden Nummer hat Verfasser die ausführliche und ausgezeichnet klare Arbeit von W. RiTTER-Zürich¹ benutzt.

a. Drittelslinien.

i. Wir betrachten zuerst die Gestalt einer Momentenfläche, wenn nur eine einzige Öffnung des Trägers belastet ist, das sei z. B. die 2. Öffnung eines Trägers auf 5 Stützen (Fig. 268) mit den Weiten 4 bis /₄. Der Stützendruck D ist dann negativ und daher ist das Stützenmoment Md ausnahmsweise positiv.

Die Momentenfläche der zweiten Öffnung kann als die positive Momentenfläche des einfachen Balkens bc, vermindert um die Fläche des Trapezes b'bzczc aufgefaßt werden. Das Trapez zerlegen wir durch die b' cz in zwei Dreiecke.

W.3, W₆, W₇

In der dritten Öffnung ist die Momentenfläche gleich dem Unterschiede der beiden Dreiecksflächen c₁c'd' und czdzd'. In den End-öfifnungen (4 und l₄) bildet die Momentenfläche immer ein Dreieck. Denkt man sich in dem Schwerpunkte jeder der genannten Dreiecksflächen und auch der einfachen Momentenfläche der belasteten Öffnung eine entsprechend positiv oder negativ gerichtete elastische IE-Kraft wirkend, so kann man das Krafteck der W (Fig. 270) bilden und dazu das zweite, die Biegelinie darstellende Seileck zeichnen (Fig. 271). Dabei ist die Reihenfolge und der Sinn der W zu beachten, sind positiv, die übrigen W negativ gerichtet. Die Biegelinie zeigt besondere Eigenschaften, aus welchen wesentliche Berechnungsgrundlagen abzuleiten sind.

¹ Dr. W. Ritter. Anwendungen der graphischen Statik. Dritter Teil. Der kontinuierliche Balken. Zürich, 1900.

2. Alle Angriffspunkte der elastischen Kräfte (mit Ausnahme des zur einfachen Momentenfläche gehörenden) liegen in Drittelspunkten der betreffenden Öffnungen (Fig. 270). Ferner haben die Dreiecke a bib' und b₁b'cx gleiche Höhen, ihre Inhalte verhalten sich also wie ihre Grundlinien, d. h. wie 4 :/₂. Verlängert man daher die an Wx und W2 stoßenden äußeren Seiten der Biegefläche bis zu ihrem Schnittpunkte b2 — das ist der Angriffspunkt ihrer Mittelkraft — so liegt b₂ auf einer Lotrechten, die den wagerechten Abstand von Wt und W₂ in umgekehrtem Verhältnisse dieser beiden Kräfte (also wie l₂ : 4) teilt. Weil

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Fig. 269.

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Fig. 270.

Fig. 271.

der genannte Abstand gleich einem Drittel von (4 -f- /₂) ist, so muß b2 auf einer Lotrechten liegen, die man erhält, wenn man die beiden

Drittel (— und —) in den zugehörigen Stützweiten miteinander ver-\ 3    3 /

tauscht oder verschränkt. Ritter nennt diese Lotrechte die verschränkte Drittellinie.

In gleicher Weise schneiden sich die an WA und W₅ gelegten äußern Seiten der Biegefläche im Angriffspunkte c₂ ihrer Mittelkraft, also auf einer verschränkten Drittellinie der Stützweiten l₂ und /₃ (Fig. 270). Aus

23*

gleichen Gründen liegt die Mittelkraft von W$ und W₇ in einer verschränkten Drittellinie der 3. und 4. Öffnung. Danach liegen sämtliche Ecken der Biegefläche, mit Ausnahme der Ecke bei W₃, auf Drittellinien und die Mittelkräfte von WT und Wz, WA und W₅, We und W₇ fallen in verschränkte Drittellinien, ganz gleich in welcher Art die 2. Öffnung belastet ist.

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c'"

Fig. 272.

b. Festpunkte und Festlinien.

i. Die Fig. 272 stellt den linken Teil der in der Fig. 270 gezeichneten Biegefläche in größerem Maßstabe dar. Man beachte jetzt das

Dreieck 1 — 2—b₂, das von den Verlängerungen der an 1 und 2 stoßenden und der dazwischen liegenden 2. Seite der Biegefläche gebildet wird. Jeder seiner Eckpunkte liegt auf einer festen Lotrechten und zwei seiner Seiten verlaufen durch feste Punkte, d. h. Seite x—b₂ durch d' und Seite x—2 durch b”. Aus geometrischen Gründen muß daher auch die dritte Seite (1nämlich b,Ä—2) durch einen Festpunkt gehen, der mit den beiden andern festen Punkten auf ein und derselben Geraden liegt. Dieser Festpunkt ist das in der Trägerlinie liegende ix. Die gleichen Verhältnisse liegen in den beiden Endöffnungen 3 und 4 der Fig. 270 vor. Dort ist kj der Festpunkt in der Trägerlinie, durch welchen (von e" ab gerechnet) die letzte der drei Seiten der Biegelinie e—7—6—5 verlaufen muß. Ebenso verläuft die letzte Seite des Biegelinienzuges 6—5—4—3 durch einen Festpunkt k₂ der zweiten Öffnung.

2. Es bleibt jetzt noch nachzuweisen, daß die Lage der Festpunkte nur von dem Verhältnisse der betreffenden Stützweiten, nicht aber von der Art der Belastung der Öffnungen des Trägers abhängig ist.

In der Fig. 270 sind ö und dl die Punkte, in welchen die Seite 5—6 die betreffenden Stützenlotrechten schneidet. Faßt man die Strecken c" c'₂ und d"d[ als Momente der elastischen Kräfte W₅ und W₆ auf, so erkennt man, wie diese Strecken sich wie Ws : W$ verhalten müssen, weil deren Hebelarme in bezug auf die zugehörigen Stützenlotrechten gleich groß, nämlich ein Drittel von l₃ sind. Ferner ist aber in Fig. 269

c' Cj

woraus folgt, daß der Festpunkt kx lotrecht unter dem Nullpunkte nx der Momentenfläche liegen muß. Wäre nicht die zweite, sondern die erste Öffnung belastet, so wäre das Moment lotrecht über k₂ ebenfalls gleich Null.

Das Nämliche läßt sich für den Punkt it nachweisen, wenn die dritte oder vierte Öffnung belastet ist. Beachtet man noch, daß die Stützenmomente in a und e (nach unserer Voraussetzung) auch gleich Null sind, so lassen sich die vorstehenden Darlegungen in folgenden Satz fassen:

In jeder Öffnung eines durchgehenden Trägers gibt es in der Trägerlinie zwei Festpunkte i und k, die von den Verhältnissen der Stützweiten zueinander, nicht aber von der Art der Belastung der Öffnungen abhängig sind. Das Moment in einem Punkte i ist für alle Belastungen der rechts davon liegenden Öffnungen gleich Null, ebenso auch in einem Punkte k für alle Belastungen der links davon liegenden Öffnungen. Der linke Stützpunkt des Trägers wird hierbei als i-Punkt der ersten, der rechte Stützpunkt als k-Punkt der letzten Öffnung angesehen.

Aus obigen Darlegungen folgt weiter, daß in den durch bestimmte Festpunkte verlaufenden Lotrechten •— den Festlinien — die Momenten-nullpunkte und die Wendepunkte der Biegelmie liegen.

3. Die Darstellung der Festpunkte.

Hierzu diene wieder der Träger auf 5 Stützen (Fig. 273). Zuerst zeichne man in allen Öffnungen die Drittelslinien. Dann ziehe man vom Endstützpunkt a aus eine beliebige Gerade, von welcher die zweite Drittelslinie der ersten Öffnung in 1 und die verschränkte Drittelslinie der zweiten Öffnung in b₂ getroffen wird. Weiter lege

<- -l&d - - -~>k-Ÿ3l- >

Ar

AC*

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W-

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0

i'-'

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-><■

- - L------->

9-

Fig. 273.

man eine Gerade durch die Punkte 1 und b und verlängere sie bis zu ihren Schnittpunkte 2 mit der ersten Drittelslinie der zweiten Öffnung. Dann trifft die Gerade b₂—2 den ersten Festpunkt iT der zweiten Öffnung.

Vom Festpunkte it ausgehend wiederholt man das soeben erläuterte Verfahren und erhält so den zweiten Festpunkt 4 der dritten Öffnung. Schließlich wird das Verfahren von 4 aus nochmals durchgeführt, um den Festpunkt i₃ der vierten Öffnung zu erhalten. Die Festpunkte kt bis k₃ findet man ganz in gleicher WTeise, wenn man von e ausgeht (Fig. 273). Bei symmetrischer Anordnung der Stützweiten in bezug auf die Trägermitte liegen auch die Festpunkte symmetrisch.

c. Kreuzlinien und ihre Verwendung zur Bestimmung der Stützenmomente.

Die Verbindungslinien zwischen den Punkten b"₂ und c" einerseits und den Punkten c” und b'" anderseits (Fig. 272), deren Schnittpunkt auf der Schwerlinie der einfachen Momenten fläche der belasteten Öffnung liegt, heißen Kreuzlinien. Als Beispiel diene wieder der Träger auf fünf Stützen, der in der zweiten Öffnung belastet ist (Fig. 268 — 271). Die Festpunkte seien vorbestimmt und darauf die Stützenmomente Mb und Mc und die ganze Momentenfläche darzustellen. Dazu beachte man zuerst, wie die in der Fig. 272 auf den betreffenden Stützenlotrechten abgeschnittenen Strecken b'"b" und c"'c” den statischen Momenten der Kraft W₃, bezogen auf jene Lotrechten, proportional sind. W₃ entspricht aber dem Inhalte der einfachen Momentenfläche der zweiten Öffnung, ist also unabhängig von den übrigen Belastungen des durchgehenden Trägers. Die Strecken b'"b" und c"c" sind also in jedem Falle bekannt und man kann sie benutzen, um die gesamte Momentenfläche des durchgehenden Trägers darzustellen. Zu diesem Zwecke wollen wir die Polweite Hw des Kraftecks der Fig. 271 derart bestimmen, daß in der damit gezeichneten Biegefläche der Fig. 270 von den an die Kraft W₃ stoßenden Seiten die Strecken der Stützenmomente auf den Stützenlotrechten unmittelbar abgeschnitten werden. Betrachten wir dazu zuerst die Momente der Kräfte W₂ und IV₄, bezogen auf die Stützenlotrechten. Es ist

^b' bx • 4j 4

Vf •

b~bx • ff

c cx • 4²

Fr*)

Die Strecken b'bx und c cx sind aber (nach irgend einem Maßstabe abgegriffen) gleich den gesuchten Stützenmomenten. Das gibt

IV₂-

4 Mbll

Mc 4²

w*'i

Ferner gelten zwischen dem Krafteck der Fig. 271 und dem damit gezeichneten Seileck der Biegelinie die allgemeinen Beziehungen

ti’b'l • Hw = Wa ■ -c"cl • Hw

c" 4' ■ Hw

Mc • 4²

Das gibt

b"bl - Hw =

Mb • 4²

Macht man also die Polweite Hw —

O' 0's

so erhält man

(297)

Mb = b”K

und

mc = 77:.

Um die Stützenmomente zu finden, verwendet man (nach obigem) die Kreuzlinien wie folgt (Fig. 274):

-".A—

Cr

o-

.-i*

- : x>**

• -P;- *

-Or-

ot'

»i

V"

ób”’

Fig. 274.

Nachdem die Festpunkte bestimmt worden sind, berechnet man Inhalt und Schwerpunkt der einfachen Momentenfläche in der belasteten Öffnung. Inhalt multipliziert mit dem Schwerpunktsabstande von einer Stützenlotrechten und dividiert mit einem Sechstel des Quadrates der belasteten Stützweite gibt dann die Strecken b'" b" und c'"c'l der Fig. 272.

Diese Strecken sind in der Fig. 274 von b und c aus aufgetragen. Dadurch erhält man die Kreuzlinien bc" und cb'". Treffen diese die Festlinien in den Punkten 1 und k\ so schneidet die Verlängerung der

Geraden t k' auf den benachbarten Stützenlotrechten die Strecken der gesuchten Stützenmomente ab. Verbindet man dann deren Endpunkte bT und ct mit den Festpunkten der übrigen Öffnungen, so erhält man dadurch die gesamte Momentenfläche des durchgehenden Trägers. Diese ist in der Fig. 274 durch Schraffieren hervorgehoben worden.

53. Darstellung von Momentenflächen mit Hilfe der vereinfachten Biegelinien.

a. Eine Öffnung ist gleichmäßig und voll belastet. Die einfache Momentenfläche der belasteten Öffnung ist in diesem Falle eine Parabel (Fig. 275). Deren Inhalt ist gleich zwei Drittel Pfeilhöhe f mal Stützweite /. Das statische Moment der zugehörigen elastischen Kraft, bezogen auf die Stützenlotrechten, beträgt demnach ein Drittelfl². Bezeichnet man die Länge der Abschnitte der Kreuzlinien auf jenen Lotrechten mit z&, so erhält man

, _l//2

= 2/

(298)

Der Schnittpunkt s der Kreuzlinien fällt deshalb in den Scheitelpunkt der Parabel. Die Momentenfläche ist danach wie folgt zu zeichnen:

Verbinde den Scheitelpunkt s der einfachen Momentenparabel durch Gerade mit den Stützpunkten der belasteten Öffnung, dann liefern die Schnittpunkte 1 und k' diser Geraden mit den Festlinien je einen Punkt der gesuchten Mo7tientenfläche des durchgehenden Trägers.

Danach sind die Momentenflächen der beiden Fig. 275 und 276 gezeichnet, die ohne besondere Erläuterung an sich verständlich sind.

Hiernach ist leicht einzusehen, wie man für die Belastung mehrerer oder aller Öffnungen die Momentenfläche darstellen kann: Man behandelt jede belastete Öffnung, wie in den Fig. 275 und 276, für sich und summiert darauf für jeden Stützpunkt alle erhaltenen Stützenmomente, unter Berücksichtigung der Vorzeichen.

b. Die wandernde Einzellast. Die Einzellast P ruhe in der zweiten Öffnung (Fig. 277) im Punkte j, dessen Abstände von den Stützen b und c mit x und (4 — x) bezeichnet werden. Dann bildet die einfache Momentenfläche ein Dreieck bsc des Inhaltes \l₂h} wenn h seine Höhe vorstellt. Die Strecken Zk der Kreuzlinien berechnen sich danach aus

Zkb —

ON M

(4 -f- x)

und

Zkc —

14^j 12 4 —

VI

— (24 — x) •

Die Hilfsstrecken zk lassen sich mit Hilfe dieser Ausdrücke leicht darstellen: Man trage zu beiden Seiten des Lastpunktes die Strecke 4 auf. Von den dadurch erhaltenen Punkten b' und c lege man Gerade durch die Spitze s des Dreiecks bcs. Diese Geraden schneiden auf den

\\

!\

b.

■V-

C, Fig. 275-

(/q

'r    di

■<be

K-

■>

Fig. 276.

k-

V.

k-

•<

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-9l

-- \b di

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IT

i.

ko gc —for

r(k) \ciy‘

■k

>1

,r

>1

x\kb

\kc

'V

Fig. 277.

Stützenlotrechten der belasteten Öffnung die gesuchten Strecken zu ab. Denn es ist gemacht

4 —j— x

Zkb

und

%kc 24    %

§ g. Durchgehende gerade Balkenträger auf unverschiebbaren Stützpunkten. 363

wie es nach den (Gl. 299) vorgeschrieben war. Damit ist die Mamenten-fläche festgelegt.

In einer belasteten Mittelöffnung gibt es immer zwei Punkte (i) und (k), in denen das Moment verschwindet, die also Wendepunkte der Biegelinie sind. Man nennt diese Punkte zuweilen »bewegliche Wendepunkte«. Ritter weist nach, wie sich mit der Lage des Lastpunktes die Lage dieser beweglichen Wendepunkte ändert: Wandert die Einzellast von links nach rechts, so betvegen sich (i) und (k) in gleicher Richtung, bleiben dabei aber immer innerhalb der belasteten Stützweite und außerhalb der Eestlinienweite ik.

54. Einflußlinien.

Nachdem für alle in Frage kommenden Lastpunkte (nach Fig. 277) die Momentenfläche gezeichnet ist, läßt sich danach die Einflußlinie des Momentes oder der Querkraft für einen beliebigen Schnitt 7i des Trägers (II. 2) darstellen. Diese Einflußlinien sind das genaueste und bequemste Hilfsmittel zur Ermittelung der gefährlichsten Lastlagen.

a. Momente.

Aufgabe 62. Es soll die Einflußlinie des Momentes M^ für den Schnitt 2 der 2. Öffnung bc des in Fig. 278—283 dargestellten Trägers auf fünf Stützen gezeichnet werden. Die vier Öffnungen haben der Reihe nach 45 m—60 m—60 m—45 m Stützweite.

i. Wegen der vorhandenen symmetrischen Anordnung sind in der Fig. 278 nur die beiden ersten Öffnungen dargestellt. In der Fig. 278 wandert die Einzellast in der zweiten, in der Fig. 280 in der ersten Öffnung. Für jeden der Lastpunkte 1, 2, 3, 4, 3', 2' und 1' der zweiten Öffnung wurde zuerst die einfache Momentenfläche der Einzellast gezeichnet. Das gab lauter Dreiecke mit den Spitzen 1 bis 1'. Nach dem (unter 53, b) beschriebenen Verfahren konnten jetzt auf der Stützenlotrechten die untern Punkte 1, 2, 3, 4 der Kreuzlinien gefunden werden. Die dazu notwendigen Geraden sind durch rote Farbe angedeutet. So gab z. B. die Verbindung des Punktes 4 der ersten Öffnung mit der Spitze 4 der einfachen Momentenfläche für Lastpunkt 4 den Endpunkt 4 der Kreuzlinien für die Lage der Einzellast in 4. Die derart erhaltenen Kreuzlinien treffen auf der Festlinie durch i diejenigen Punkte, durch welche der Schlußlinienzug der betreffenden Momentenfläche verlaufen muß. Weil die Lastpunkte in der Stützweite gleichweit voneinander entfernt sind, so liegen die Endpunkte 1, 2, 3, 4 der Kreuzlinien in der Stützenlotrechten b denjenigen in der Stützenlotrechten c wagerecht gegenüber. Dadurch sind auch alle Schnittpunkte der Festlinie durch k mit den Kreuzlinien 1 bis 4 gegeben. Somit

fanden sich sämtliche sieben Schlußlinienstrecken der zweiten Öffnung und dadurch war der über die vier Öffnungen reichende Schlußlinienzug für jede der sieben Momentenflächen festgelegt.

,ci

'2'

..Y.

./

Fig. 278.

z2

7'

2’

3'

Einflußfläche \l'fln ab.

fl

12’

X,

JA 1

2’

4-

3'

2’

Fig. 279.

3\S

rv

V,

3'

2’A

Kj' Xb

EinfluMädte für abede

1"

PtR

bA\t\

2’

Fig. 280.

Fig. 281.

/K EmfUißfLäjcheM„in bc.

S.5

2’_1’

3’    2’ r

■4)C

Einflußfläche M₂ für abede.

OrrTITTîTrrr-i-r^    b.

Fig. 282.

4-

Fig. 283.

2. Sämtliche Ordinaten der Einflußfläche J/₂ für den Schnitt ta der zweiten Öffnung konnten jetzt in den Lastpunkten 1 bis ir aufgetragen werden, das ist in der big. 282 geschehen. Die zugehörigen Ordinaten-strecken sind im Schnitte /₂ der Fig. 278 durch schwarze Punkte

§ 9- Durchgehende gerade Balkenträger auf unverschiebbaren Stützpunkten. 365

begrenzt. Um aber die Einflußfläche von M₂ auch für den Lauf der Last in der ersten Öffnung zeichnen zu können, mußten vorerst (in der Fig. 280) die dazu nötigen Schlußlinienstrecken der zweiten Öffnung dargestellt werden. Das ist mit Hilfe der in roter Farbe hervorgehobenen Kreuzlinien in der nämlichen Weise geschehen, wie vorhin für die Fig. 278 erläutert worden ist. Hier kommen nur die Schnittpunkte der Festlinie durch k₃ in Frage und (nach 52, b) muß jeder Schlußlinienzug durch die Festpunkte k₂ und kï der zweiten und dritten Öffnung gehen. Auf solche Art sind auch hier in den vier Öffnungen alle Schlußlinienzüge festgelegt worden. Die Ordinaten der Einflußfläche Mz (Fig. 282) sind für die erste Öffnung im Schnitte t₂ der zweiten Öffnung (Fig. 278) abzugreifen.

3. Die in den Fig. 278—280 gegebenen Darstellungen genügen, um die Einfluß fläche des Momentes für einen beliebigen Schnitt in irgend einer der vier Öffnungen zu zeichnen. Fig. 279 gibt z. B. && Einflußfläche des Momentes Mz im Schnitte t₁ der ersten Öffnung für alle Lastpunkte zwischen den Stützen a bis c. Es steht nichts im Wege, diese Einflußfläche auch noch über die beiden letzten Öffnungen auszudehnen, wie dies durch die Fig. 283 veranschaulicht wird. Ebenso gibt die Fig. 281 ein Bild der über alle vier Öffnungen ausgedehnten Einfluß-flache Mz im Schnitte t₂ der zweiten Öffnung. Aus der allgemeinen Gestalt der Momenteneinflußflächen lassen sich für die gefährlichsten Lastlagen die (unter d) gegebenen Regeln ableiten.

b. Querkräfte.

i. Aus der für irgend einen Lastpunkt der wandernden Einzellast gezeichneten Momentenfläche findet man die Querkraft Q für einen beliebigen Trägerschnitt n wie folgt. In der Fig. 284 sind die Momenten-flächen für alle Lastpunkte der zweiten Öffnung des in der vorigen Aufgabe behandelten Trägers auf einen geraden Schlußlinienzug (I. 62, b) übertragen.

Dadurch erhält man die in der Fig. 284 dargestellten geschlossenen Seilecke (I. 61, b) in deren Knoten lotrechte äußere Kräfte angreifen. In jedem Knoten findet zwischen der dort wirkenden äußern Kraft und den anstoßenden Seileckkräften Gleichgewicht statt. Die Pfeilrichtungen der zugehörigen (in Fig. 285 dargestellten) Kraftecke sind durch das Gleichgewicht in den Einzelknoten bestimmt. Jedes Krafteck ist geschlossen und die gesuchten Querkraftgrößen sind aus ihm unmittelbar abzulesen. Ebenso bilden die Stützenkräfte — A, -f- B₎ -f- C, — D und fl- E mit der Einzellast eine geschlossene Kraftlinie (I. § 9). In der Fig. 285 sind danach alle Stützenkräfte für den Lastpunkt 3 und

außerdem die Querkräfte in der zweiten Öffnung für alle Lastpunkte i, 2, 3, 4, 3', 2', i' dargestellt. Die Darstellung ist an sich verständlich. H bedeutet die Polweite für alle Kraftdreiecke, die aus P und den beiden anstoßenden Seileckkräften gebildet sind. Für die Bestimmung des Vorzeichens der Stützenkräfte ist zu beachten, ob die Parallele zum wagerechten Schlußlinienzug oberhalb oder unterhalb der Parallelen zur betrachteten Seileckseite liegt. Oberhalb gibt negatives, unterhalb positives Vorzeichen. So sind A₃ und E₃ negativ. Ebenso Q₂-i und Q₂~₂. Alle übrigen Querkräfte sind positiv.

EUiflnßflüche(l₂in abcde. Cff

Bsk

cL

P-

P= 1

Fig. 287.

2 T3 J- 3t ?[

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Fig. 285.

1 i

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j³ Fig.284. I

f

EinflußfUicheQJn bc.

1    1    2    ■

3'    2’    1’

V*

Fig. 286.

Danach konnte in der Fig. 286 die Einflußfläche der Querkraft Q2 im Schnitte 2 der zweiten Öffnung für die Strecke bc gezeichnet werden. Um diese Einflußfläche über die vier Öffnungen ausdehnen zu können (Fig. 287), müssen noch die Momentenlinien für alle Lastpunkte der ersten Öffnung dargestellt und (am besten) auf einen wagerechten Schlußlinienzug übertragen werden.

Die Einflußlinien für

c. Rand Spannungen und Stabkräfte, die Randspannungen der Voll wandträger und die Stabkräfte der durchgehenden Fachwerke bezieht man am einfachsten auf die Einflußlinien

§ g. Durchgehende gerade Balkenträger auf unverschiebbaren Stützpunkten. 367

des Momentes (wie es geschehen ist in § 7 und § 8 bei den Bogenträgern). Für Parallelfach werk eignen sich für die Berechnung der WandStabkräfte sehr gut auch die Einflußlinien der Querkraft (vgl. Aufgabe 44, Fig. 178, unter 36, b).

d. Regeln für die gefährlichsten Lastlagen. Wir setzen unmittelbare Belastung voraus und betrachten zuerst diejenige Öffnung des Trägers, in welcher der Schnitt liegt, für welchen die Einflußfläche gezeichnet worden ist. Wir nennen sie die Schnittöffnung. Handelt es sich nun um die Einflußfläche eines Momentes, so ist deren allgemeine Gestalt abhängig davon, ob der Schnitt innerhalb oder außerhalb der beiden Festpunkte i und k der Schnittöffnung liegt (Fig. 274). Liegt der Schnitt innerhalb der Festpunkte (Fig. 281), so verursacht die Einzellast bei ihrer Wanderung innerhalb der Schnittöffnung in dem betrachteten Schnitte ein positives Moment. Verläßt aber die Einzellast die Schnittöffnung, so verändert sie das Vorzeichen des Momentes im Schnitte jedesmal, wenn sie eine Stütze überschreitet (Fig. 281 und 283). Die Ordinaten der Einflußfläche des Momentes wechseln also ihr Vorzeichen von einer Öffnung zur andern. Daraus folgt der Satz:

1.    Um das größte positive Moment eines Schnittes innerhalb der Festpunkte einer Öffnung zu erhalten, ist diese voll zu belasten und die übrigen Öffnungen müssen abwechselnd unbelastet und voll belastet sein. Die umgekehrte Art der Belastung erzeugt das größte negative Moment.

Anders liegt die Sache, wenn der betrachtete Schnitt t—t außerhalb der Festpunkte einer Öffnung liegt. Man kann in diesem Falle einen festen Lastpunkt l bestimmen, für welchen der bewegliche Wendepunkt (z) oder (k) mit dem betrachteten Schnitte zusammenfällt (Fig. 288). Der Punkt l ist demnach eine Lastscheide, die immer außerhalb des betrachteten Schnittes t—t fällt. Weil nun jeder bewegliche Wendepunkt sich in der Richtung der Einzellast mitbewegt, so folgt daraus der Satz :

2.    Um das größte positive Moment eines Schnittes außerhalb der Festpunkte zu erhalten, ist nur die Strecke zwischen der Lastscheide l und der benachbarten Stütze voll zu belasten, die andere Strecke der Schnittöffnung unbelastet zu lassen. Außerdem müssen die übrigen Öffnungen abwechselnd unbelastet und voll belastet sein. Die umgekehrte Art der Belastung erzeugt das größte negative Moment.

In der Schnittöffnung besitzt die Einflußfläche der Querkraft immer eine Lastscheide, die mit dem betrachteten Schnitte zusammenfällt (Fig. 287). Zwischen ihr und den Stützenlotrechten wechselt die Querkraft von Strecke zu Strecke ihr Vorzeichen. Mit andern Worten:

3. Die positive Querkraft einer Schnitte ff nun g wird am größten, wenn sie links vom Schnitte unbelastet, rechts davon voll belastet ist und wenn die übrigen Öffnungen abwechselnd voll belastet und unbelastet sind, so daß an die unbelastete Strecke der Schnittöffnung eine belastete und an ihre voll belastete Strecke eine unbelastete Öffnung schließt. Für die negative Querkraft gilt das Umgekehrte.

Bei mittelbarer Belastung ist die Einflußlinie zwischen zwei Querträgern eine Gerade. Das ändert aber an den obigen Regeln nichts.

•fS-

--K

rtt.

pt.

Fig. 288.

—--v--~

, f—^-rrrrrrrnT^TTr^/

1

2’ Ni

Fig. 289.

55. Grundlagen der Berechnung bei Verwendung genauer Biegelinien.

a. Grundgleichungen zur Berechnung der Stützenmomente. i. Im vorigen ist gezeigt worden, wie bei Belastung nur einer einzigen Öffnung (Fig. 289) der gesamte Schlußlinienzug der Momentenfläche gegeben ist, sobald die Schlußlinie in der belasteten Öffnung bekannt ist. Denn Von jeder Schlußlinie irgend einer Öffnung ist immer ein Punkt

gegeben. Das war links von der Belastung der Festpunkt i, rechts der Festpunkt k. Es wird nun zuerst zu zeigen sein, wie auch bei der Verwendung genauer Biegelinien mit Hilfe von je drei Festlinien einer Öffnung die Festpunkte k und i ermittelt werden können, die von der Belastung unabhängig liegen. Diese genauen Festlinien, wie sie von jetzt ab genannt werden sollen, weichen in ihrer Lage von derjenigen der Drittelslinien desto mehr ab, je mehr die für die genauen Biegelinien geltenden Belastungsflächen sich von der Grundgestalt der Momenten-flächen (Fig. 269) unterscheiden, d. h. je veränderlicher die Trägheitsmomente der Trägerschnitte oder die Querschnitte und Hebelarme der Fachwerkstäbe ausfallen.

Nachdem die erwähnten Festpunkte i und k mit Hilfe der genauen Festlinien ermittelt worden sind, braucht man (unter der Voraussetzung, daß das Moment über den Endstützen verschwindet) nur noch zwei Punkte der Schlußlinie der belasteten Öffnung, um den gesamten Schlußlinienzug zu zeichnen. Ritter¹ findet die beiden genannten Punkte mit Hilfe von den genauen Biegelinien angepaßten Kreuzlinien. Verfasser verwendet dazu ein Verfahren, das zuerst von Claxton Fidler² angegeben und von Ostenfeld³ erweitert worden ist. Dabei werden, als Ersatz für die genauen Kreuzlinien, wie sie Ritter anwendet, außerhalb der Trägerlinie liegende sog. »charakteristische« Festpunkte eingeführt, mit deren Hilfe die Berechnung durchgehender Träger allgemein auch für elastisch verschiebbare Stützen durchgeführt werden kann und zwar derart, daß der gesamte Schlußlinienzug der Momentenfläche unmittelbar dargestellt wird. Wir benutzen das Verfahren hier zunächst nur für unverschiebbare Stützen.

2. Wie früher betrachten wir das Hauptsystem als eine Reihe von einfachen Trägern (Fig. 290 und 291) und die negativ genommenen Stützenmomente M als überzählige Größen. Vorläufig setzen wir den Fall einer beliebigen Belastung in allen Öffnungen voraus. Dann wird die Biegelinie in irgend einer Öffnung durch die darin befindlichen P und die beiden Stützenmomente erzeugt, wobei die über jeder der Stützen an die Biegelinie gelegte Berührungsgerade sowohl links als rechts von der Stütze den gleichen Winkel mit der Trägerlinie bilden

24

muß (vgl. Fig. 270 und 271). Aus dieser Bedingung fließen bei z Stützen (z— 2) Grundgleichungen, aus welchen die [z — 2) überzähligen Größen M ausgeschieden werden können. Um dies allgemein analytisch auszudrücken, führen wir folgende Bezeichnungen ein:

i, 2, 3, ... r, ... 2: Stützpunkte,

, /₂, 4, ... A, ... 4: Stützweiten, .. M

Ma} M

ri •

.. : Stützenmomente.

3 1 •

Wir betrachten dann zwei Nachbaröffnungen [l₃, /₄) des Hauptsystemes (Fig. 290—292) mit den überzähligen Größen —d/₂, —M3} —M₄,

.3

"TR

'e

Fig. 290.

„M-r

Ti

Ä3

Ist

l2

>K-

l3

JA

Fig. 291.

.-■H

...

Fig. 292.

bezeichnen die Winkel, die von der Berührungsgeraden an die Biegelinie über den Stützpunkten mit der Trägerlinie gebildet werden, kurzweg als Tangentenwinkel. Es sei

d₂_₃: Tangentenwinkel in 2 der Öffnung 2—3,

d₃_₃ :

2—3-

Ebenso soll für die Biegelinie der anstoßenden Öffnung 3—4 gelten d₄_₃: Tangentenwinkel in 4 der Öffnung 3—4,

<5s-₃:

3 — 4-

Die erste Ziffer des dem d angehängten Zeigers bezeichnet danach den Ort und die zweite Ziffer die Richtung des zugehörigen Tangentenwinkels. Diese Winkel sollen in der Richtung — M positiv gerechnet werden. Die Grundgleichung zur Berechnung eines unbekannten Stützenmomentes M₃ bildet dann die Bedingung

ô'₅ = P-ô'ms+M<-ÔU + M₅-ô'5 Ô'' = P- d"s + M₅ ■ d"_s + M₆-d6

2. Wir betrachten jetzt wieder irgend zwei Nachbaröfifnungen des Hauptsystems, z. B. die Öffnungen l₅ und 4 mit den Stützen 4, 5, 6. 4'—5'—6' sei der zugehörige Schlußlinienzug. Jede der beiden Öffnungen trage in einem Punkte m eine Einzellast »P= 1«. Dann lauten hierfür die Gl. (302)

5—5?

weil (wie gesagt) die Tangente an die Biegelinie im Stützpunkte 3 zu beiden Seiten einen gleich großen Winkel mit der Trägerlinie bildet. Für irgend einen Stützpunkt z. B. r lautet die vorige Gleichung

Ö'r = - ö”.

Die unter der Belastung jeder Öffnung des Hauptsystems durch P — 1 und die überzähligen Größen entstehenden Tangentenwinkel sind für die Nachbaröfifnungen wie folgt anzuschreiben

(301)

Ör = P • Ö'mr -j- Äfr—I • d(r—i)r -f- Mr • Ö’r

Ô" = P • Ö'mr -j- Mr • Ö"r -j~ Äfr+i • ^(r+i)rj wenn Temperatureinflüsse vorläufig vernachlässigt werden und alle Stützpunkte unverschieblich sind.

In den Gl. (302) bedeuten

ö'mr und ö"nr\ die Senkung des Punktes m des einfachen Trägers (in der Richtung von P), links und rechts vom Stützpunkte r, verursacht durch das Stützenmoment »Mr= 1«, oder was (nach Maxwell) dasselbe ist: die Winkeldrehung an der Stütze r im Sinne des Momentes »Mr = 1, verursacht von einer Lasteinheit in m\

und b'rr\ die Winkeldrehung des einfachen Trägers [r— 1) —r an den Stützen (r — 1) und r, verursacht durch » Mr = i « ;

d"r und d(y+I)r: desgl. des einfachen Trägers r—[r-\- 1) an den Stützen r und r -j- 1 aus der nämlichen Ursache. Die Senkungen ö'mr und ö'lnr sind in bekannter Weise mit Hilfe der

d(r—i)r

ri

(302)

elastischen Kräfte w der zugehörigen Trägeröffnungen darzustellen (vgl. unter d). Bezeichnet man die von den w-Kräften erzeugten Stützenkräfte, je nachdem sie von der Öffnung links oder rechts vom Stützpunkte r erzeugt werden, mit

V und V"

so ist (nach 18, c) anzuschreiben

$(}—i)r - y[r—i)n

3(r+i)r -

Ö’rr = Kr\

à"rr = Vf.

(303)

(304)

-5 •

24*

Ferner erhält man nach Gl. (301)

(3°5)

(5'₅ + d's' =

In den Gl. (304) sind alle <5 bekannt und mit Hilfe der elastischen Kräfte w aus Biegelinien zu berechnen, unter der zulässigen Voraussetzung, daß man wegen der Kleinheit der Formänderungen ihre trigonometrische Tangente mit den Tangentenwinkeln â selbst vertauschen kann. Es ist danach

<t-5 = K-s\ Oe i'5-5 = n-e,

-5

= Ve-S\

= ⁴7-5-

(306)

M-

x-

:.5’

tk

M5

6’

-\(L......

>7

\ \.....+

6"

/7Z

y _///

W5

\ - 5-5

i Ss⁴

1715

0-5

'ö

V

25⁴0'

2? :

•5: X

S6:5

-v___y..

Fig. 294.

.....1......;k'

Fig. 293.

'^.5

Sämtliche F der Gl. (306) sind (nach 18, c) als Stützenkräfte des mit den w belasteten einfachen Trägers (/s und k) zu berechnen oder graphisch darzustellen. Die graphische Darstellung vgl. man in den Fig. 293—294. Danach ist

(<⁴4-s) + (<⁴5-s)

4

(6

(^5-5) + (^6-5) =£/

Darin sind die elastischen Kräfte für »Ms — 1 « zu berechnen.

b. Die genauen Festlinien und ihre Festpunkte, i. Es soll jetzt gezeigt werden, wie man graphisch drei Festlinien und darin je einen Festpunkt findet, mit deren Hilfe für jede beliebige Belastung der Schlußlinienzug der Momentenfläche gezeichnet werden kann.

Die drei Festlinien fallen zusammen mit den Richtungen der drei Mittelkräfte

566

(308)

2 w ;    2 w ;    2 w.

Ihre Lage ist also unabhängig von der Belastungsart, sie kann deshalb aus den gegebenen Biegelinien des Hauptsystems ermittelt werden.

In den Fig. 293 und 294 ist die graphische Ermittelung dieser drei Festlinien veranschaulicht. Dabei genügt es, allein die Tangenienwinkel aufzutragen. Die Festlinien verlaufen durch die Punkte z₄, z₅, z&. Das sind Schnittpunkte der äußern Seiten der zugehörigen Seilecke der Biegelinien.

Nach erfolgter Darstellung der zu den betrachteten beiden Nachbaröffnungen gehörigen drei genauen Festlinien, die von jetzt ab kurzweg mit (4), (5), (6) bezeichnet werden, bestimme man von der Trägerlinie ab gerechnet, wenn in beiden Öffnungen je eine Einzellast liegt,

auf (4) eine Strecke h(₄₎ =

B₄ ä'„₅

(6)

h(f>) = —6

(309)

(5)

h(s) =

Die Endpunkte der Strecken sollen von jetzt ab die Biegeflächenfestpunkte genannt werden. Sie sind in der Fig. 293 mit /₄, /₅, ft bezeichnet.

Die Festlinien (4) und (6) mögen den Schlußlinienzug in den Punkten t₄ und 4 schneiden. Dann treffen sich die Geraden t₄—4 und f₄—ft im Punkte f₅. Diese Eigenschaft der Festpunkte f₄ bis ft ermöglicht die Darstellung des gesamten Schlußlinienzuges für beliebige Belastungen. Zuerst ist aber der Beweis zu liefern, daß die Geraden f — 4 und f₄—ft durch /₅ verlaufen.

2. Die in den Festlinien (4) und (6) abzugreifenden Moraentenstrecken seien M(₄) und M(q. Dann ist mit Bezug auf die Fig. 293

My 4) = ma

M(6) = Ms

Durch den Vergleich der Fig. 293 mit dem Krafteck der w in Fig. 294 findet man daraus

44)=/-

4“5

y,w

M₄-\-

5-3

m₅ =

(4-3)4/, + (%_,) if.

Ms +

d₆-₅ ^

Me =

(ff-sW + {â₆-₅)M₆

(3¹⁰)

2w

Die auf der Festlinie (5) von der tA—abgeschnittene Strecke ist danach anzuschreiben mit

^(5) = M(À)

Das ist

5 6

44)2 w + 44)2 *

/?(5) =

Das gibt aber in Verbindung mit den Grundgleichungen (304)

h(s) =

à'ms + à ms

2Ï™

Ebenso schneidet die Gerade fA—fe auf der Festlinie eine Strecke h(S) ab, die anzuschreiben ist mit

5    6

h 4) 2 w+h$\2w

^(5) —

yjw

Setzt man hierin die beiden ersten der Gl. (309) ein, so erhält man

K 5) =

Damit ist folgender Satz bewiesen:

Die auf den Festlinien (4), (5), (6) nach der Gl. (309) abgetragenen Strecken , Ą₅), endigen in den Biegeflächenfestpunkten fA, f₅ und fl und die Gerade fl—fl verläuft durch /₅. Ebenso führt die Gerade /₄—4, die zwischen den Schnittpunkten der Festlinien (4) und (6) mit der gesuchten Momentenlinie liegt, durch den Festpunkt f₅.

Wir unterscheiden bei den drei Festpunkten von jetzt ab die beiden äußern und den mittleren. Jene kommen nur in Anwendung, wenn elastische Stützpunktverschiebungen zu berücksichtigen sind (59). Im vorliegenden Falle wird deshalb nur der mittlere Festpunkt f₅ gebraucht,

c. Darstellung des Schlußlinienzuges der Momentenfläche. i. Wie im vorigen bewiesen wurde, verläuft die Gerade tA—4 (Fig. 295) durch den Biegelinienfestpunkt/₅, während die Geraden 4'—tA und 6'—4 im festen Punkte 5' Zusammentreffen. Man lege nun ein dem Dreieck

un

5’

(6)

Ljù

t:

6’

j/"

r<?

oT

*0

3-

Fig- 295-tfl 5' entsprechendes Dreieck mit seinen Ecken derart in die beiden Festlinien (4), (6) und die Stützenlotrechte 5, daß z. B. eine seiner Seiten [t"A—5") durch einen gegebenen Punkt iA der Trägerlinie und eine zweite [t" f°) durch den Fußpunkt /₅° der Festlinie (5) verläuft. Dann muß

(aus bekannten geometrischen Gründen) auch die dritte Dreiecksseite t'e—5" durch einen festen Punkt ie verlaufen, der in der Verbindungslinie der Punkte i₄ und /s°, also in der Trägerlinie, liegt. Ferner müssen die durch z'₄ und ie geführten Lotrechten je einen Punkt t\ und fe treffen, deren Verbindungsgerade durch den Biegelinienfestpunkt /s führt. Umgekehrt: Kennt man irgend einen Punkt t\ der Schlußlinie 4'—5', so findet man einen Punkt Ą der folgenden Schlußlmie 5'—6' im Schnitte der Lotrechten ie—t'e und der verlängerten Geraden tl—-fr.

77

|7tf/    .7/7    «27

7,

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p> w p »>\ P'

(5)

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Fig. 296.

3' Fig.297. :

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-■*t

t4

«777’

Fig. 298.

2. Danach kann man, z. B. vom linken Endstützpunkt anfangend, (Fig. 296) in der zweiten Öffnung den Festpunkt it finden, und von diesem weitergehend alle folgenden /-Punkte festlegen, in ähnlicher Weise, wie es früher (Fig. 273) mit Hilfe der Drittelslinien geschehen ist. Ebenso kann man von der rechten Endstütze aus alle 7-Punkte ermitteln. Weil nun die Lotrechte jeder der beiden Endstützen eine Lage hat, die unabhängig von der Art der Belastung ist, so sind auch die mit ihrer und der unabhängigen genauen Festlinien Hilfe gewonnenen Festpunkte i und k von der Belastungsart des Trägers unabhängig. Alle Punkte i und k, sowie auch der mittlere Biegelinienfe dp unkt f₅ sind deshalb in jedem Falle von vornherein gegeben. Außerdem kann von jeder der Endstützen her in der belasteten Öffnung je ein Punkt ihrer Schlußlinie festgestellt werden. Damit ist dann der gesamte Schlußlinienzug gegeben, weil in den an die belastete Öffnung stoßenden Trägerfeldern die Momentenlinie je durch einen der Punkte i oder k verlaufen muß, wie nachzuweisen bleibt.

In der Fig. 296 ist z. B. der Schlußlinienzug für einen Träger auf sechs Stützen dargestellt, dessen dritte Öffnung im beliebigen Punkte m die Einzellast P — 1 trägt. Wie weiterhin noch näher erläutert wird, sind zuerst, für je zwei Nachbaröffnungen die drei genauen Festlinien mit Hilfe der Biegelinien für à'mr und è"mr aufgetragen worden. Dann wurden von dem festen Stützpunkte 0 ausgehend, die Punkte iz der zweiten und z₂ der Lastöffnung (nach dem durch Fig. 295 erläuterten Verfahren) eingezeichnet. Ebenso wurden vom Stützpunkte 5 aus die Punkte k! und k₂ ermittelt. Das ist in roten Linien dargestellt. Nun ist wohl zu beachten, daß in den Grundgleichungen (302) für alle unbelasteten Öffnungen das erste mit P behaftete Glied verschwinden muß, weil dort P = o wird. Deshalb wird auch die Strecke [hf] der zweiten Öffnung gleich Null, denn allgemein ist (nach Gl. 309)

h^)

Weil aber der Zähler dieser Gleichung (wegen P = o) auch verschwindet, so fällt der Biegelinienfestpunkt f° in die Trägerlinie. Weiter folgt daraus, daß die Schlußlinie der zweiten Öffnung durch den Punkt i1 verlaufen muß, weil die verlängerte Verbindungsgerade o—f° die Lotrechte durch i, im Punkte it selbst trifft.

Für die Strecke h(₂₎ erhält man (aus der Betrachtung der Nachbaröffnungen i — 2 und 2—3) allgemein den Ausdruck

h( 2) —

p* • à'm, + p₁ • öil2

Darin ist das Glied mit ö'm2 gleich Null, weil die zweite Öffnung unbelastet ist. In gleicher Weise ist, von der Stütze 5 ausgehend, die Strecke h(₃) festgelegt. Damit waren in der dritten Öffnung die Biegelinienfestpunkte /₂ und f₃ ermittelt. Es brauchten also nur noch die zwei, durch je einen dieser Festpunkte verlaufenden Geraden — ilf2 und k₁f₃ — gezeichnet und bis zum Schnitte mit den zugehörigen durch ia und k₂ gehenden Lotrechten verlängert zu werden.

Die Schnittpunkte i[ und k'₂ legen in der Lastöffnung die gesuchte Schlußlinie fest. Diese schneidet auf den Stützenlotrechten die Strecken 2—2' und 3—3' der Stützenmomente ab, die nach dem Maßstabe des einfachen Momentendreiecks 2—m—3 zu bewerten sind. Damit ist (wie bekannt) der gesamte Schlußlinienzug o—1'—2—3'—4—5 gegeben. Wie mit dessen Hilfe die Einflußlinien für Momente, Querkräfte u. dgl. gefunden wurden, ist in den Fig. 278—287 (unter 54) ausführlich erläutert worden. Danach ist in den Fig. 297—298 die Momentenfläche auf einen geraden Schlußlinienzug übertragen und das zugehörige Krafteck mit dem Pole H gezeichnet worden. Die dadurch gegebenen Stützenkräfte wurden in der Fig. 298 dargestellt.

d. Schlußbemerkungen über die Biegelinien und Temperatureinflüsse.

i. Die in den Grundgleichungen (302) vorhandenen Formänderungs

größen

A'

umr j

Kr

3(r+i)r

werden alle durch die überzählige Größe *Mr =1« verursacht. Sie sind also unabhängig von der gegebenen Belastung, und allein abhängig von den gegebenen Grundmaßen und Querschnitten des Trägers. Handelt es sich demnach nur um die Ermittelung der drei genauen Festlinien

von zwei Nachbaröffnungen [r— 1) — r und 1--(r-j- I) des Haupt-

systemes, so ist dabei allein das die Formänderungen verursachende Moment maßgebend. Wie man nun auch die beiden betrachteten Öffnungen belastet denkt, immer wird für den Gleichgewichtszustand jeder der Öffnungen die Momentenfläche ein Dreieck bilden, dessen Höhe über der Stütze gleich der •» Momenteinheit« ist, während sie über den Stützen [r— 1) und [r -j- 1) zu Null wird (Fig. 290).

Danach sind für jeden Querschnitt der Vollwandträger, oder für jeden zugeordneten Momentenpunkt eines Fach werkstab es der Nachbaröffnungen die elastischen w-Kräfte zu berechnen. Es ist allgemein (nach § 2 und § 4)

ö:

nr 1

$(r—i )r 1

Kr,

für Voll wand: w

Fach werk: w

Mk

ri

Daraus sind alle Formänderungsgrößen, in derem Zeiger nur r, r—1 und r + i Vorkommen, zu berechnen.

zusammen, sind somit mit Hilfe des Kraft- und Seilecks der gegebenen elastischen Kräfte w für je zwei Nachbaröffnungen in bekannter Weise zu finden. Will man schließlich die Glieder der Gl. (302)

P- Öi

und P • à"mr

berechnen, so dient dazu am besten die Arbeitsgleichung Mohrs ’(10, b).

(312)

Die Biegelinien für ó

und d"nr (links und rechts von der Stütze r) brauchen nur für die belastete Öffnung gezeichnet zu werden. In den übrigen Öffnungen dienen sie zum auftragen der drei Festlinien (r— 1), (r) und [r -j~ 1). Diese fallen aber mit den Richtungen der drei Mittelkräfte

mr

r+1

r+i

2. Wenn Temperatureinflüsse im besonderen berücksichtigt werden sollen (33), so gehen die Grundgleichungen (302) über in Ö'r =    ‘ à(r— T)r -j- Mrt • Ö'rr -j- Ö'rt,

Ö'r = Mrt ⁻ Ö'rr M(r+Z)t • ^(^4-!) -f- 0"t •

Darin bedeuten

M^r-i)t bis M^r+^t- die betreffenden allein von Temperaturänderungen erzeugten Stützenmomente ;

ö'rt, ö'rt : die durch die Temperaturänderungen verursachten Drehungen der Tangente an die Biegelinie im Stützpunkte r, links oder rechts davon.

Will man den Gesamteinfluß der Belastung und der Temperatur ausdrücken, so hat man jeder der Grundgleichungen (302) auf der rechten Seite nur das zugehörige Glied ö'rt oder ö"t anzuhängen. Ebenso erhält in diesem Falle der Zähler der Gl. (309) für die Festlinienstrecken h noch die betreffenden Summanden à'rt oder d"t oder (è'rt + à”t). Im übrigen ändert sich an dem Verfahren der Darstellung der Festlinien, Festpunkte und des Schlußlinienzuges nichts.

Schlufsabschnitt.

Verschiedenes.

§ 10. Die Nebenspannungen der Fachwerke.

Es gibt im Bauwesen einige schwierige theoretische Aufgaben, deren vollkommen zufriedenstellende Lösung zum Teil noch nicht gelungen ist. Dazu gehören die Berechnung der Nebenspannungen (1.16, c) einschließlich der dynamischen Einflüsse bewegter Lasten in Vollwandträgern und Fachwerken, sowie auch die Darstellung der Momente durchgehender Träger auf verschiebbaren Stützen, u. a. m. Die vorhandenen Lösungen dieser Aufgaben erscheinen bis jetzt in einer für den den Praktiker zu wenig verlockenden Hülle, als daß dieser geneigt wäre, sich darin bis auf den Kern durchzubeißen. Sie sollen deshalb in dem vorliegenden, praktischen Zwecken gewidmeten Buche auch nur kurz und von allgemeinen Gesichtspunkten aus gegeben werden, mehr als Vorbereitung für ein tieferes Studium, nicht aber als erschöpfende Wiedergabe aller darüber veröffentlichten besondern Abhandlungen. Eine ausführlichere Behandlung behält sich Verfasser für seine demnächst erscheinenden > Vorlesungen über Eisenbrückenbau« vor.

¹

   Anwendungen der graphischen Statik. 3. Teil. S. 104—119.

²

   Transactions of the Inst, of Civil. Ing. Band 74. Oktober 1883.

³

   Graphische Behandlung der kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk- und drehbaren Stützen. Zeitschr. für Architektur u. Ingenieurwesen. 1905. Heft 1.

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

⁴

rS -x—:

*j 33 -x—-x--f

56. Ihre Ursachen.

a. Die Ursachen im allgemeinen.

i. Im ersten Bande (16, b) wurden Grww^spannungen und Neben-spannungen unterschieden. Jene sind die aus den Stabkräften (Achsenkräften) unter der Annahme des starren Gleichgewichtes, und unter Vernachlässigung der elastischen Formänderungen des Systems berechneten Stabspannungen. Die Voraussetzungen, von denen man bei solcher Berechnung ausgeht — das sind namentlich reibungslose Knotenverbindungen und gerade bleibende Stäbe — werden in Wirklichkeit gar-nicht oder nur angenähert erfüllt. Somit enthalten die Rechnungen verschiedene Fehlerquellen, aus denen die sog. -/Vorspannungen oder Zwrtespannungen entspringen.

Verfasser macht zwischen Neben- und Z&sa/zspannungen noch einen Unterschied. Er bezeichnet nämlich mit Zusatzspannungen nur solche, die nicht aus unvollkommener Erfüllung obiger Voraussetzungen entstehen, sondern von jenen zufälligen Ursachen in der Werkstatt oder auf der Baustelle herrühren, auf die (unter 34) bereits hingewiesen worden ist und die hauptsächlich bei der Berechnung statisch unbestimmter Systeme von Bedeutung werden können. Zusatzspannungen entziehen sich daher der Berechnung. Sie können nur von Fall zu Fall geschätzt werden. Als Nebenspannungen gelten danach diejenigen, deren statische Berechnung möglich ist. Hauptursachen der Nebenspannungen sind:

1)    Das Vernachlässigen des Eigengewichteinflusses insofern, als das Gesamtgewicht des Fachwerkes in entsprechenden Mittelkräften in der Regel nur als in den Knoten an greif end angenommen wird, während doch auch jeder Stab selbst sein Gewicht zu tragen hat, wodurch sich seine Achse krümmt',

2)    das Fehlen reibungsloser Knoten gelenke. Entweder sind die Stäbe mit ihrem Knoten unter Verwendung entsprechender Anschlußglieder durch Vernietung verbunden, oder sie greifen je mit einem sogenannten Auge über einen Knotenbolzen (I. 14). Genietete Knoten sind wie Ein-spannungen zu betrachten, d. h. die vor der Belastung gebildeten Winkel der Stabdreiecke ändern sich im Knoten selbst während der Belastung nicht. Aber auch bei Bolzenknoten, wie sie die amerikanischen Fachwerkträger in der Regel aufweisen, tritt während der Belastung ein reibungsloses Drehen der Stäbe um ihr Bolzenmittel niemals ein. Denn jeder Bolzen wird beim Aufstellen des Trägers, unter Anwendung schwerer Schläge, gewaltsam in die Augen eingetrieben, wodurch Reibungswiderstände erzeugt werden, die erfahrungsgemäß (selbst bei stoßartiger Wirkung der Belastung) eine Drehung der Stäbe um ihren Bolzen in der Regel verhindern. Bolzenknoten (pin-connected work) haben demnach gegenüber den durchweg vernieteten Knoten (riveted work) europäischer Fachwerke nur einen Vorteil: sie gewähren jedem Stabe einen vollkommenen Knotenanschluß insofern, als die Stabachse immer sehr genau durch das Bolzenmittel geführt werden kann, so wie es bei der Berechnung der Grundspannungen vorausgesetzt wird. Viel schwieriger dagegen ist ein solch vollkommener Anschluß im Knotenmittel des Systems (I. 16) bei genieteten Knoten zu bewerkstelligen.

2. Die genannten Hauptursachen der Nebenspannungen erzeugen Momente, die in der Trägerebene wirken. Die Berechnungen der Einflüsse von Querkonstruktionen (I. 9 und 10); senkrecht oder schräg

gegen die Trägerebene gerichtet (I. 11), bleiben hier außer Betracht, obwohl sie häufig die vornehmste Quelle von Nebenspannungen der Träger bilden. Namentlich kommen in Betracht: Einspannungen von Querträgern der Fahrbahn und von solchen Queranschlüssen (Querverbänden), denen die Aufgabe zufällt, alle quer zur Trägerebene gerichteten äußern Kräfte (Wind, Seitenstöße, Fliehkraft und dgl.) aufzunehmen und über die Knoten der Hauptträger in die Stützen zu führen, ohne dadurch mehr als nötig Nebenspannungen an die Träger abzugeben. Um solche von den Querkonstruktionen in die Trägerebene übergeleitete Nebenspannungen auf ein Mindestmaß zurückzuführen, hat man in neuerer Zeit im Eisenbrückenbau mit Erfolg versucht, zwischen den beiden Hauptträgern der Brücke und den Queranschlüssen keine starren Einspannungen mehr einzulegen, sondern dort eine gewisse Beweglichkeit zu schaffen. Dadurch will man die Hauptträgerebene von den Wirkungen großer Biegungsmomente möglichst befreien, wie sie besonders durch die elastischen Formänderungen der Fahrbahnteile entstehen. Selbstverständlich müssen derartige bewegliche Anschlüsse so beschaffen sein, daß dabei die lotrechte Stellung der Hauptträger nicht gefährdet wird. Denn sonst würden die Träger keine ebenen mehr bleiben und aus diesem Grunde Biegungen quer zu ihrer Ebene erfahren. Die Beschreibung der erwähnten beweglichen Anschlüsse muß den » Vorlesungen über Eisenbrückenbau« Vorbehalten bleiben.

b. Die Winkeländerungen der Stabdreiecke als Hauptursache.

i. Vernietete Knoten oder Bolzenknoten bilden nach vorigem die Hauptursache der von den Stabkräften in der Trägerebene herbeigeführten Nebenspannungen, denn sie verhindern ein Drehen der Stäbe um ihren Knoten. Weil nun in jedem Stabdreieck eines belasteten Fachwerks (unter der Voraussetzung reibungsloser Knotengelenke) Winkeländerungen eintreten, so müssen bei starren Stabanschlüssen Momente im Knoten auftreten, die Stabverbiegungen zur Folge haben. Die Belastung^ eines Stabdreiecks derart, daß darin keine Winkeländerungen entstehen, ist ausgeschlossen. Denn dann müßte das Dreieck nach erfolgter Formänderung seiner ursprünglichen Gestalt ähnlich geblieben sein. Das könnte aber nur geschehen sein, wenn zwischen den drei Stabkräften S und den vergrößerten oder verkleinerten Stablängen (s ± z/t)pmmer Proportionalität bestände, d. h. wenn immer

Sj -j- /! S J    S 2 -}- S 2 S3 -J- /I S3

bliebe oder, was dasselbe ist:

ASX A sz

S3

sa

S3

Es müßte daher in jedem Querschnitte der drei Stäbe einerlei Dehnung oder Spannung herrschen. Das ist im Fachwerk unmöglich. Also ändern sich bei reibungslosen Knoten die Winkel des Stabdreiecks in jedem Belastungsfalle. Weil aber die Einspannung der Stabenden im Knoten eine Winkeländerung unmöglich macht, so entstehen dort Einspannungsmomente , deren Größe für die verursachten Nebenspannungen bestimmend sind.

Im belasteten Fachwerke sind danach alle Stäbe mehr oder weniger gebogen, weil in ihnen nicht mehr eine Achsenkraft tätig ist, sondern eine Stabkraft, deren Richtung im allgemeinen die Stabachse schneidet. So bilden die Stabkraftrichtungen ein Netz, das sich mit dem bei der Berechnung zugrunde gelegten Stabsystem (I. 16) nicht mehr deckt. Unter allen in einem Knoten zusammentreffenden Stabkräften herrscht zwar nach wie vor Gleichgewicht, aber die Stabkraftrichtungen schneiden sich nicht mehr im mathematischen Knotenpunkte des Systems.

2. Wir nehmen an, die Grundspannung ö eines Stabes, sowie auch die Stablängenänderungen As seien berechnet. Dann sind (nach 18, b) auch die Winkeländerungen eines Stabdreieckes (unter der Voraussetzung reibungsloser Drehung und Geradebleiben der Stäbe) gegeben. Die wichtigsten der dazu verwendbaren Gleichungen werden hier wiederholt. Es sind

Asa Asb

A a —---co tg y —

Sb

A Sc

ra

oder

Sc

cotg/i

(3 r3)

E • Aa = [oa — oc) cotg/? — (aa — oj) cotgy.

Für Aß und Ay gelten gleiche Ausdrücke.

Darin bedeuten:

(314)

a, ß, y : die Dreieckswinkel der Ecken a, b, c\

Sa, sb, die den betreffenden Winkeln gegenüber liegenden Seiten ; oa, ob, oc: die zugehörigen Stabspannungen.

Wird die erste Gl. (313) in die Form

A sa Asb Asc

Aa =

ra

rb

rc

gebracht, so kann sie (nach Land) zu einer sehr einfachen empfehlenswerten graphischen Ermittelung y oa A a dienen, wie sie in der Fig. 299

erläutert wird. Darin sind ra, r^, rc durch die Ecke a verlaufende Hilfsgeraden die der Reihe nach auf sa, sc senkrecht stehen und deren Länge durch dpą sa mit ihren Verlängerungen begrenzt wird (S. 126).

Nach erfolgter Berechnung oder Darstellung aller Winkeländerungen bilden diese die Grundlage zur Ermittelung der in jedem Knoten des belasteten Fachwerks hervorgerufenen Einspannungsmomente. Es ist nämlich die Winkeländerung zwischen zwei Knotenstäbe?i gleich derjenigen, welche das zugehörige Momejit hervorbringe7i muß, um die Einspannung wieder zu beseitigen, d. h. um den betrachteten geänderten Winkel wieder auf seine ursprüngliche Größe zurückzuführen.

ra

s.

rc

ib

e*.

b/ß

Fig. 299.

Treffen in einem Knoten n Stäbe zusammen, so gibt es dort n — 1 Winkeländerungen. Diese müssen von n Momenten beseitigt gedacht werden. Außerdem muß aber die algebraische Summe aller n Momente im Knoten, um dort das Gleichgewicht zu erhalten gleich Null sein. Das gibt zusammen n — 1 -}- 1 — n Bedingungen, aus welchen die n Unbekannten der Momente zu entnehmen sein werden. Prof. H. Manderla in München war der Erste, der gestützt auf den erläuterten Grundgedanken, die Berechnung von Nebenspannungen zeigte¹. Verfasser, der oben schon die graphische Ermittelung der Winkeländerungen empfohlen hat, bevorzugt auch im folgenden die graphische Behandlung der vorliegenden Aufgabe.

57. Berechnung der Nebenspannungen der Fachwerke.

a. Die elastische Linie des an seinen Enden eingespannten Stabes.

i. Es wird jetzt darauf ankommen, die verbogene Gestalt jedes Stabes darzustellen. Dazu braucht man aber, wie weiterhin näher begründet wird, nicht die ganze elastische Linie (§ 2), sondern nur die sog. Tangentenwinkel der Einspannung, d. h. die Winkel r und r', die

JL

Fig. 300.

kW'

AA-—

AU.

llil

M'

Fig. 301.

3“

UL

‘gg--

.....//----->4

Fig. 302.

^......... $—

Fig. 303-

von der ursprünglichen geraden Stabachse mit der Berührungsgeraden an die elastische Linie in der Einspannung beider Enden gebildet werden (Fig. 300). Man kann deshalb die für die Darstellung nötige Momentenfläche (Fig. 301) als den Unterschied zweier Dreiecke auffassen, ähnlich wie es (unter 52) für die Biegelinien von durchgehenden Trägern geschehen ist. Danach ist anzuschreiben

Fl. axbj\a\ = Fl. A axa\b\ — Fl. A Mi«.

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

M und M' seien die Einspannungsmomente in den Stabenden a und b. Ferner sei

a₁a\ = M,

MÏ = M\

Der Stabquerschnitt F darf auf der Stablänge s überall gleich groß angenommen werden. Deshalb ist eine elastische Kraft

EJ

W=

dem Momente proportional. Die beiden zur Darstellung des Seilecks der elastischen Linie zu benutzenden Kräfte Wund W (Fig. 302—303) greifen danach in den Drittelspunkten der Stablänge an und ihre Größe bestimmt sich aus den Gleichungen

(315)

W = ± \Ms, W = T±M's.

Daraus findet man das Seileck der elastischen Linie und die gesuchten Tangentenwinkel x und x'.

Um eine Beziehung zwischen den M und den x zu finden, betrachten wir die von den Seileckseiten «₂ c₂ und c₂d₂ auf der durch b2 verlaufenden Lotrechten abgeschnittenen Strecken als proportional den zugehörigen Momenten der elastischen Kräfte W und W, und erhalten

(3*6)

KK =

b₂b'₂ =

\M’ • s - js

EJ »

EJ

Vertauscht man, wie hier wegen der Kleinheit der Winkel zulässig ist, die Tangentenwinkel mit ihrer trigonometrischen Tangente, so ist in Verbindung mit Gl. (3x6) anzuschreiben

(2 M— M')s

(317)

6 EJ

und

(2 M' — M)s

6 EJ

Die Momente sollen positiv genannt werden, wenn sie das zugehörige Stabende im Sinne des Uhrzeigers nach rechts drehen. Sind beide Momente gleichen Vorzeichens, wie in Fig. 301, so nimmt die elastische Linie die doppeltgekrümmte Gestalt eines S an. Schneidet aber die Stabkraft 5 die Stabachse außerhalb des Stabes, so erleidet dieser nur eine einfache Krümmung. Das geschieht, wenn beide Momente in verschiedenem Sinne drehen.

3. W. Ritter² macht darauf aufmerksam, wie genau genommen die Tangentenwinkel t und t' nicht ohne Berücksichtigung der Hebelarme der Stabkraft S berechnet werden sollten, weil diese sich während der Biegung des Stabes verändern und selbst so kleine Größen sind, daß ihre Änderungen nicht vernachlässigt werden dürfen. Genauer würde man deshalb wie folgt rechnen müssen.

Mit Bezug auf die Fig. 300 lautet die Gleichung der elastischen

Linie

Mx

d³y

dx²

worin

EJ

-If*

Mx = Sy + M{S......^

anzuschreiben ist, wenn S eine Druckstabkraft in der Achse des gebogenen Stabes bedeutet und M, M' die Einspannungsmomente in a und b vorstellen. Dann ist Mx aus der Momentenfläche der Fig. 301 unmittelbar zu entnehmen. Nach erfolgter Integration und Bestimmung der Unveränderlichen aus x — o, x = s und y — o erhält man daraus

y = — cos

McosW + M’

S sin N

hm

(318)

wenn zur Abkürzung

Ss*

EJ

(319)

gesetzt wird. Bildet man danach die erste Abgeleitete und setzt darin x = o, so gibt das

dy_ _    _ N{McosN+ M') , M+M*

T ' S • s • sinA⁷"

dx

S-s

(320)

und bei Benutzung der Reihen für cosiU und siniU

s(2jR • MĄ-HM'\

-T=—m—’

2 N*

(321)

worin

N³

und

A' = i +

7 N*

315    1575

3iiU⁴ , i27iU⁶

(322)

60

100800

2520

bedeuten. Um % zu finden braucht man (nach Gl. 317) nur M und M' zu vertauschen.

Ist die Stabkräft S kein Druck, sondern ein Zug, so ändert sich ihr Vorzeichen, oder (was nach Gl. (319) dasselbe ist) das Vorzeichen von Nz. Die Gl. (322) gelten also auch für Zugstäbe, wenn man darin das zweite Glied negativ rechnet.

Für N — o, d. h. für J — 00, geht die Gl. (321) in die frühere Gl. (3x7) für T über. Diese gibt deshalb um so ungenauere Werte für t, je kleiner J gegenüber der Stablänge s ist, oder je schlanker die Stäbe sind. Für den gelegentlichen Gebrauch «4>eim Vergleiche der aus den Gl. (321 und 322) erhaltenen r-Werte dient die (von Ritter gegebene) Tabelle 46.

Tabelle 46. Zur Berechnung der Tangentenwinkel r und r'.

Ss²

N* = ^.

Zugstäbe

Druckstäbe

EJ

R’

R’

O    *-•    d    co    rh    vn 'O    r^oo    Ob    O    10    O    m    O

o    o    d    d    d    d d    d d    d    »T    -T    cf    cf    co

1,000

0,993

0,987

0,981

o,974

0,969

0,962

0,956

o,95i

o,945

o,939

0,912

0,888

0,865

0,844

to to

23

21

1,000

0,988

o,977

0,966

o,955

o,945

o,934

0,924

0,914

0,905

0,895

0,849

0,807

0,769

GO CO 4^.    -£*■    >-<    HM HM N4 >H H4 Hl

4*COtOCbO'000>-HO»-'^

1,000

1,007

1,013

1,021

1,028

1,035

1,042

1,050

i,o57

1,066

i,o74

1,1*7

M65

1,219

1,282

1,000

1,012

1,023

1,036

1,049

1,061

i,o74

1,088

1.102

to

43

48

54

63

i,"5 1,130 1,208 1,295 ¹,395

co    co    N    fO    Th    Tt*    co    m

HM    HM    M    H4    »H    HH    hH

CO

00

IOO

1*5

b. Darstellung der Einspannungsmomente⁴, i. In der Fig. 304 ist ein beliebig belasteter Fach werksknoten dargestellt, in welchem vier Stäbe in Einspannungen endigen, wodurch jeder Stab S-förmig verbogen worden ist. Der Knoten trägt die Nummer 5 und die Knoten der unmittelbar daran stoßenden Dreiecke seiner Stäbe sind mit 3, 4, 6, 7 numeriert. Deshalb werden die in Frage kommenden vier Tangentenwinkel mit r₃, r₄, zr₆, r₇ bezeichnet. Die im betrachteten Knoten 5 anstoßenden Dreieckswinkel sollen a heißen, aber jeder dieser drei Winkel erhält als Zeiger die Knotennummern der ihm gegenüberliegenden Seite. Die Winkeländerungen Ja sind darnach mit

-s

—41

z/a₄_₆, Jae

anzuschreiben.

Die Änderung des Winkels a₃_₄ ist nun offenbar gleich dem Unterschiede der zugehörigen Tangentenwinkel. Es ist also

^    4 - ^3    ^4 •

In Verbindung mit der Gl. (317) gibt das

h[2M3 — M3 )    -^4(2 Ma — M\)

(323)

E • J a₃

“4

6/3

6/4

(324)

worin die zu r₃ und r₄ gehörigen Stäbe und Momente die gleichen Zeiger 3 und 4 erhalten haben.

1,

''-5t

'h

LG

Fig. 304.

Gleichartige Beziehungen sind für die Winkeländerungen ^/«₄_₆, Ja6-s anzuschreiben. Dazu erhält man aus dem Gleichgewichte zwischen den Einspannungsmomenten im Knoten 5 noch die Bedingung M₃ + M₄ + M₆+ M₇ =

Setzt man zur Abkfftzung den Ausdruck

sM

(325)

6/

= K,

(326)

wobei K eine Kraft für die Flächeneinheit darstellt, die also nach gleichen Einheiten wie o und E • J a gemessen wird, so erhält man für den Knoten 5 die folgenden vier    Gleichungen:

JiKn

JeKe

J3K,3 , JaK.

Für jeden Knoten, in welchem k Stäbe angreifen, sind k solcher Gleichungen anzuschreiben. Für das gesamte belastete Fachwerk mit 11 Stäben erhält man danach 2 n Bedingungsgleichungen. Daraus lassen sich die 2 n Unbekannten der Momente M ausscheiden.

Zu beachten bleibt, daß in den genannten 2n Gleichungen jede W-Größe zweimal vorkommt. Z. B. bedeutet K₄ für den Knoten 5 ebensoviel wie K’s für den Knoten 4, weil in der Abkürzung der Gl. (324) das M stets für das Stabende im betrachteten Knoten, das M' für das Ende des nicht betrachteten Knotens gilt.

2. Unter der Voraussetzung, daß für den betrachteten Knoten 5 sowohl die Größen E- Aa als auch die K' bekannt seien, soll jetzt die graphische Ermittelung der K-Werte gezeigt werden.

5>

<-—£a a₃_- » <-

......-Eàa-------->ÿ-£ax₆:₇

->

3’

7'

3'

.7

[M

//

h------ Ą.......^

-2K₇-------H

Fig. 3°5-

Fig. 306.

Man bilde aus den gegebenen Größen J’.s im beliebigen Maßstabe eine lotrechte Kraftlinie und ein Krafteck mit beliebigem Pole Hs (Fig. 305). Die Kräfte sind (wie die r) mit 3, 4, 6, 7 numeriert und sodann (behufs Darstellung des Seilecks) in Abständen aufgetragen worden, die gleich den zugehörigen Werten E'/ta gemacht sind (Fig. 305—306). Man verschiebe darauf jede der vier Kräfte um die zugehörige Kraftstrecke K' nach links und zeichne mit Hilfe des Kraftecks zwischen den letzterhaltenen. Kraftrichtungen das Seileck 5—3'—4'—6' — 7'—5. Dann ist folgender Satz auszusprechen:

Wenn man die gegebenen Größen J‘.s der Reihe nach in Abständen von E • A a als parallele Kräfte auf trägt und darauf jede Kraft um den Abstand K’ nach links verschiebt, so läßt sich zwischen den so erhaltenen

Kr aftrichtungen mit Hilfe eines Kraftecks ein Seileck zeichnen, worin die Abstände der Kräfte von ihrer Mittelkraft gleich den doppelten Werten von K sind.

Die Richtigkeit dieses Satzes folgt unmittelbar aus den Gl. (327). Denn wenn eine um K' verschobene Kraft um 2 K von der Mittelkraft absteht, so ist der nämliche Abstand in ihrer unverschobenen Lage gleich 2 K — K'. Weil aber in dieser Lage jede Kraft von der nächsten um E • A a absteht, so hat man z. B. den Abstand

E ■    = (*K₃- K'J-(2 K,- K\)

anzuschreiben. Das bedeutet die Erfüllung der ersten drei der Gl. (327). Die vierte Gleichung ist ebenfalls erfüllt. Denn im Seileck der Fig. 306 ist, auf die Mittelkraftrichtung bezogen, die Summe der statischen T • K

Momente —- gleich Null.

5

Knoten b

Knoten 5

ah

G'f

7"

5V

YKs^Vs">

r--

Fig. 307.

-2K--^

Fig. 308.

3. Die Anwendung der erläuterten graphischen Darstellung zur Bestimmung der Momente M für jeden Knoten bereitet aber in jedem Falle insofern noch Schwierigkeiten, als von vornherein weder die K noch die K' bekannt sind. Diese Schwierigkeiten kann man dadurch überwinden, daß man zuerst für jeden Knoten ein Seileck für die unverschobenen Kräfte f : s zeichnet und darin die Mittelkraftrichtung festlegt. Das mögen für Knoten 4 und 5 die beiden in den Fig. 307—308 nur durch ihre äußersten Seiten dargestellten Seilecke sein. Man erwäge jetzt, wie die Mittelkräfte in jedem Seileck sich bei der Verschiebung der Einzelkräfte nicht sehr viel mitverschieben, weil die Einzelverschiebungen K' ira allgemeinen verschiedene Größe haben. Deshalb kann man für die erstmalige Bestimmung der Verschiebungen K’ die Mittelkraftrichtung als unveränderlich ansehen. Dann erhält man dafür in jedem Seileck eine einfache Beziehung: Bezeichnet man nämlich die Abstände der unverschobenen Kräfte von ihrer Mittelkraft mit V, so erhält man bei jeder Verschiebung K' (Fig. 307—308)

2K — K' Ą- V.

Das gibt für die Seilecke 4 und 5

(328)

(329)

2 K< = K[+V<, 2K₅ = K'₅+ V₅.

Nun ist aber (nach vorigem)

K'₅ = K

Das gibt

K\ =

Wäre also die Mittelkraftrichtung bekannt, so erhielte man in den Gl. (329) ein Hilfsmittel zur unmittelbaren Berechnung der K' und infolgedessen auch der K. Für eine erstmalige Annäherung darf man aber die Größen K' aus der unverschobenen Mittelkraftrichtung berechnen. Das ist in den Fig. 307—308 geschehen. Dadurch bestimmten sich erstmalig die Werte KĄ und Ks. Es ist nun (Fig. 304)

für Knoten 5 :

K₃ = K[ für Knoten 3 ,

K, = K‘

Ke = K;

usw.

Ebenso ist für Knoten 4:

für Knoten 2

k₂ = k;

K₃ = K\ Ks = K[

usw.

Man kann daher ein erstmalig gewonnenes K eines Knotens als K' in das Seileck eines betreffenden andern Knotens übertragen. Alle

Seilecke müssen aber wiederholt gezeichnet werden und zwar solange, bis bei der Übertragung der A>Werte von einem Seileck in ein anderes, merkliche Abänderungen der gewonnenen Werte nicht mehr Vorkommen.

4. Sobald alle Größen K und K' ermittelt worden sind, folgen für irgend einen Stab aus

K' =

(7)

CN

M,

(é)

M'

die unbekannten Einspannungsmomente. Damit ist (nach Fig. 301—303) auch das Moment Mx irgend eines Stabquerschnittes gegeben, woraus, nach bekannten Sätzen der Festigkeitslehre (I. 4. Abschnitt), auch die zugehörigen Nebenspannungen zu berechnen sind.

c. Zusätze.

i. Die Abweichung der Stabkraftrichtung von der ursprünglichen geraden Systemachse ist in den Stabenden (im Systemknotenpunkt) gleich Moment dividiert durch Stabkraft. Bezeichnet man die Hebelsarme mit c und c', so erhält man

(33°)

M    6 J-K

s-S

und

M' __ 6 J ■ K'

s-S

2. Die Vorzeichen der Größen E- Ja und K' (in den Darstellungen der Fig. 306) sind wohl zu beachten. Man rechne die Reihenfolge der Stäbe in jedem Knoten im Sinne der Bewegung des Uhrzeigers, nehme positive z1a nach rechts, negative nach links hin weisend. Links von

der Mittelkraft der — liegende K sind als K' auch nach links, rechts

davon liegende nach rechts aufz 11 tragen, wobei links liegende K als positiv, rechts liegende als negativ anzusehen sind.

Hat man die Winkelwerte der x mit Hilfe der Gl. (321) genau berechnet, so muß man die Größen R und R' der Gl. (322) einführen und deshalb in den Fig. 307—308 die parallelen Kräfte

bewerten, und als deren Verschiebungen dann nicht K und K', sondern RK und R'K auftragen.

Rs

anstatt mit — mit —

worin y den Abstand einer Querschnittsfaser von der X-Achse bedeutet. Die Nebenspannungen sind danach in erster Linie von der Höhe oder Breite 2y der Stäbe abhängig. Man wird deshalb versuchen müssen, diese in die Trägerebene fallenden Abmessungen möglichst zu beschränken, namentlich in der Wand. Denn dort sind so wie so eher Verschiebungen der Achsenkräfte außerhalb der Knotenmittel zu erwarten als in den Gurten, weil zur Stabachse symmetrische Nietanschlüsse zwischen Wandstäben und Gurten im allgemeinen schwieriger anzuordnen sind, als bei der Vernietung der Gurtstäbe unter sich.

d. Besondere Einflüsse.

i. Wenn ein Stab außer dem, Knotenmiitel angreift, so wird dadurch nicht allein eine besondere Nebenspannung erzeugt, sondern es ändern sich infolgedessen auch die im vorigen bereits berechneten Nebenspannungen. Bezeichnet c und c' den ursprünglich vorhandenen Hebelarm einer Stabkraft S in bezug auf das Mittel seiner Endknoten, so findet man den durch die Momente verursachten Ablenkungswinkel xc der Stabachse (nach Gl. 317) mit

(332)

3. In guten Konstruktionen wird man allen Stäben Querschnitte zu geben suchen, die zur lotrechten Y- und wagerechten X-Achse symmetrisch sind. Ihre Neben Spannungen Gn folgen dann (nach I. 104, a) aus der Gleichung

My

Gn —

(?)

(331)

s[₂M— M') __ sS[2C — c')

Tc ~~    6Æ/    ~ 6EJ

Infolge der Außermittelbefestigung des Stabes ändern sich auch die Winkel a der betreffenden Stabdreiecke und zwar wird dadurch in der Fig. 306 eine Änderung der Werte E-Aa derart herbeigeführt, daß darin eine Verschiebung der betreffenden Kraft — (vgl. c, 2) stattfindet.

Unter Berücksichtigung von Außermittelbefestigungen hat man danach wie folgt zu verfahren: Wie früher trägt man die Kräfte -y- in Abständen E ■ 4a auf. Dann verschiebt man alle Kräfte, die den außer Mittel befestigten Stäben angehören, um die zugehörigen Werte E-rc nach rechts, bei negativem rc nach links.

Schließlich hat man die aus dem unmittelbaren Einflüsse der Momente S • c und S • c' entstehenden Stabspannungen oc den Nebenspannungen o„ hinzuzufügen. Dabei werden die beiden zusammen zu zählenden Spannungsgrößen meistens verschiedene Vorzeichen haben, so daß die durch die Außermittelbefestigung verursachte Spannung infolge des Einflusses der starren Knotenverbindung teilweise wieder aufgehoben wird.

2.    Will man den Einfluß berechnen, den eine gebogene Gestalt eines Stabes ausübt, so braucht man nur die Winkel rc und t'c zu berechnen, um welche die Stabenden durch die in der Stabsehne wirkende Stabkraft S verdreht werden. Die Werte E-tc und E'XC führt man dann in gleicher Weise (wie eben erläutert) in die Darstellung der Fig. 306 ein. Schließlich ist wieder die von der gebogenen Stabgestalt unmittelbar verursachte Spannung oc zu der berechneten Nebenspannung an zu addieren.

Auch den Einfluß des Eigengewichtes kann man auf solche Weise berechnen: Man bestimme (für jeden Stab besonders) diejenige Spannung ge, welche das gleichmäßig verteilte eigene Gewicht^⁻ erzeugt und die dadurch verursachten Drehungswinkel re und x’e der Stabenden. Die Größen E • re und E • r'e führt man dann (in der Art wie bei der Außermittelbefestigung gezeigt) in die Darstellungen ein und sucht dazu die Größen K. Damit erhält man auch die Nebenspannungen ane und kann sie zu den oe addieren.

3.    Der Einfluß unrichtiger Stabablängung oder der Temperatur auf die Grundspannungen der statisch unbestimmten Systeme wurde bereits (unter 33—34) besprochen. Die aus den gleichen Einflüssen bei Fachwerken mit starren Knoten entstehenden Nebenspannungen sind wie folgt zu ermitteln: Man nimmt (wie bei den unbestimmten Systemen) an, die durch unrichtiges Ablängen oder durch die Temperatur bewirkte Längenänderung Js sei durch eine gleichwertige Spannung g hervorgerufen worden. Dann wäre

z/5

oder

g — E-att

zu setzen. Hieraus berechnen sich die E • /la und die W, wie bekannt.

4. Einflüsse von Bolzengelenken, die nicht reibungslos arbeiten, berechnen sich leichter, als diejenigen der starren Knoten. Die Stabkraft S verschiebt sich in diesem Falle um eine solche Strecke c außer dem Bolzenmittel, daß das Moment S • c der am Bolzenumfange auftretenden Reibungsmomente das Gleichgewicht halten kann (Fig. 309).

Ist die Reibung gleich Null, so ist auch c gleich Null, d. h. die Stabkraft bleibt Achsenkraft. Findet bei einer Drehung des Stabes um den Bolzen Reibung statt, und ist R der am Bolzenumfange wirkende

.-■^ficosv

Reibungswiderstand, so ist R • r = S • c ,

'^/Ssing

IL :

SN

wenn 2 r der Bolzendurchmesser ist. Kennt man den Reibungswinkel <jp, so folgt weiter

S cos cp • tg cp • r — S • c.

Das gibt

!*r-    -/■- -Ą

(333)

c = r • sin cp.

c ist demnach unabhängig von der Größe der Stabkraft. Ist der Hebel-

arm von S kleiner als c, so kann keine Drehung des Bolzens eintreten. Für die Berechnung der Nebenspannungen wird anfangs der Grenzwert von c einzusetzen sein. Man erhält (nach Gl. 330)

6J-K

Fig. 309.

(334)

und für den Grenzwert von K

S • s • r sin cp

6/

(335)

Jetzt trage man (nach den Fig. 305 — 306) alle A"-Strecken über dem betreffenden mit den Kräften J\ s gezeichneten Seilecke auf, zeichne

diese wie früher, sorge aber dafür, daß sich die einzelnen Kräfte —

s

von ihrer Mittelkraft um nicht mehr als um ihre, nach der Gl. (335) zu berechnenden Grenzwerte entfernen. D. h. man versetze alle genannten Kräfte, die in größerem Abstande von der Mittelkraft zu liegen kommen, auf den betreffenden Grenzwert zurück. Im übrigen bleibt das Verfahren zur Berechnung der Nebenspannungen das gleiche.

Die Grenzwerte der Nebenspannungen, über welche diese nicht wachsen können, weil sonst Drehung des betreffenden Stabes um seinen Bolzen eintritt, berechnen sich aus

S • r sin cp

wenn W das Widerstandsmoment des Stabquerschnittes ist.

Über die Größe des Reibungswinkels (p sind sichere Werte zur Zeit noch nicht anzugeben. Man wird gut tun, nicht zu kleine Werte anzunehmen, etwa tg cp = j bis |.

58. Näherungsverfahren zur Berechnung von Nebenspannungen \ Wie aus den vorstehenden Darlegungen (57) hervorgeht, ist die Aufstellung der grundlegenden Gleichungen zur Berechnung der Nebenspannungen eine ziemlich einfache und durchsichtige. Deren Auflösung ist aber, namentlich bei großer Knotenzahl, eine recht umständliche. Das ist der Grund, warum die meisten Konstrukteure, wenn sie sich nicht mit einer reinen Abschätzung der Spannungen begnügen, ein Näherungsverfahren anwenden. Schon der berühmte Konstrukteur Schwedler (I. 44) besaß ein eigenes sehr einfaches Verfahren dieser Art, das er leider niemals veröffentlicht hat. Danach berechnete er im Jahre 1887 (innerhalb 6 Wochen) die Nebenspannungen der Hauptträger der neuen Weichselbrücke bei Dirschau und übergab dem Verfasser die Ergebnisse zur Benutzung für den Entwurf der Brücke. Ein einfaches, recht übersichtliches und für praktische Aufgaben ausreichend genaues Verfahren ist auch dasjenige von Landsberg (1885). Es beruht auf der Annahme, daß die Trägheitsmomente der Wandglieder gegenüber denjenigen der Gurte als verschwindend klein vernachlässigt werden können und wird nachfolgend in seinen Grundzügen wiedergegeben.

a. Die Biegeflächen des Gurtstabzuges.

i. Wenn die Formänderungen der Wand vernachlässigt werden, so müssen offenbar die Einspannungsmomente für je zwei in einem Knoten zusammenstoßenden Gurtstäbe gleich groß, aber entgegengesetzten Sinnes sein. Es kommt nun darauf an, alle diese Momente M mit Hilfe der gegebenen Größen J, s und z/a darzustellen, z1a ist (wie unter 57) diejenige Änderung des von je zwei Gurtstäben eingeschlossenen Winkels a, welche im belasteten Fachwerke bei reibungslosem Zusammenstöße der Gurtstabenden entstehen würde. Wie früher (unter 18, b) bezeichnen wir die a als Randwinkel. Die Änderung eines Randwinkels kann mit Hilfe der Gl. (101) nach Fig. 89 aus den Grundspannungen und Dreieckswinkeln des Fachwerksystems berechnet werden und dabei sind die Wandstäbe mit zu berücksichtigen. Es wird danach im wesentlichen darauf ankommen, für eine Reihe von zusammenhängenden Stäben die Momente M derart zu bestimmen, daß deren aus den einfachen Momentenfläehen der Stabstrecken abgeleitete Biegelinien unter gegebenen Winkeln z/ a Zusammenstößen.

¹ Landsberg, Beitrag zur Theorie des Fachwerkes. Zeitschr. des Arch.- u. Ing.-Ver. in Hannover. 1885 und 1886. — Ritter, Anwendungen der graphischen Statik. Zürich 1890. II. S. 195—202.

°j ¹j ² ? 31 • •

Fig. 310 stellt eine Reihe von Gurtstäben dar, die in den Knoten . zusammenstoßen und dort die erwähnten Momente

M₀, Mi, M₂, M₃, ... erfahren, weil in Wirklichkeit die bezeichneten Winkeländerungen z/orQ,    z/«₂, da₃, ... sich nicht vollziehen

können. Die einfachen Momentenflächen dieser Gurtstäbe bilden Trapeze,

M₂

¹

Vgl. Manderlas Lösung der Preisaufgabe: »Welche Spannungen entstehen in den Stäben eines Fachwerkträgers dadurch, daß die Winkel der Fachwerkdreiecke durch die Belastung eine Änderung erleiden?« Jahresbericht der Münchener Techn. Hochschule. 1878—79. S. 18. — Manderla. Die Berechnung der Sekundärspannungen im einfachen Fachwerk infolge von starren Knotenverbindungen. Allg. Bauz. 1880.

²

Anwendungen der graphischen Statik. II. Das Fachwerk. S. 181.

³

25*

⁴

Nach W. Ritter a. a. O.

Tj

CF

Fig. 310.

t-

Ù-

U>-

(OS

'8^

Fig. 311. ;

o\

,3

r.7

L aa₍

! v*

'Wi

ai •mr. \ei

c;

ej,-

W1

-4    ......«

Fig. 312.

die Biegelinien zu zeichnen, in Dreiecke zerlegt denken

die wir, um

(vgl. Fig. 271—274 unter 52). Jede elastische a/-Kraft ist aus

EJ

zu berechnen. Wir wählen die Polweite des Kraftecks der W gleich einer beliebigen Strecke Hw. Werden dann die TF-Kräfte allgemein aus

Ms ²/

berechnet, so erscheinen die Ordinaten der Biegeflächen in E\ Zf-facher Vergrößerung.

Wenn man, wie zulässig ist, die geometrische Tangente mit dem Tangentenwinkel selbst vertauscht, so ist (mit Bezug auf die Fig. 312)

z/ «, == x₁ —J-    ; J a₂ = x₂ -f- t2 5 z/ a₃ = r₃ -f- ^3 usw.

Man ziehe nun im Abstande Hw von 1 eine Lotrechte, die von den beiden im Knoten 1 zusammentreffenden Seileckseiten in den Punkten g und h geschnitten wird, dann ist die Strecke

gh — Hw [t₁ + t'j) — H4 aT.

Wären aber die Winkel x in natürlicher Größe dargestellt worden, so würde man

gh = Hw • z/ax • —— = E-J

TU

erhalten. Damit ist der wirkliche Wert E-Eta^ gefunden. Umgekehrt: Ist er von vornherein gegeben, so kann man ihn benutzen, um auch die M zu bestimmen.

2. Man geht jetzt auf die bekannte Theorie der durchgehenden Träger mit unverschiebbaren Stützen und unveränderlichem Trägheitsmomente der einzelnen Öffnungen zurück (§ 9). Die Stablängen stf s₂, s₃, bedeuten hier die Stützweiten. An Stelle der Stützen treten die Knoten.

wenn man

Man kann dann (wie früher unter 52, a) die beiden Drittelslinien zeichnen und zwischen ihnen noch eine mittlere Festlinie auftragen

die Entfernung zwischen den erstgenannten Festlinien im Verhältnisse

— : — teilt. Die beiden Drittelslinien und die auf solche Weise erhal-S i ^2

tenen mittlern Festlinien der ersten beiden Nachbaröffnungen sind mit (o), (1) und (2) bezeichnet. ‘

Wenn man nun in den beiden ersten Öffnungen einerseits die an W{ und anderseits die an W\\ stoßenden Seileckseiten der Biegeflächen bis zur mittleren Festlinie (1) verlängert, so werden dadurch auf dieser zwei gleich lange Strecken dIeI und d₂e₂ abgeschnitten (Fig. 312). Denn jede der Strecken entspricht dem Momente der zugehörigen W-Kraft, bezogen auf die mittlere Festlinie (1). Es ist also

JJ, = w{. A ₌ Mih.. h ₌ E

(337)

Es soll jetzt zuerst das Folgende bewiesen werden:

Wenn ein Punkt i[ in der Richtung der zweiten Seileckseite der ersten Öffnung bekannt wäre, so läßt sich mit Hilfe der durch die GL (337) ausgedrückten Bedingung auch ein Punkt i₂ ermitteln, der in der Richtung der zweiten Seileckseite der zweiten Öffnung liegt.

Es lassen sich (wie unter 55, c) Dreiecke zeichnen, deren Ecken in den drei Festlinien (o), (1) und (2) liegen und in welchen immer zwei Seiten durch je einen Festpunkt verlaufen. Ein solches Dreieck ist in der Fig. 3x3 dargestellt. Seine Ecken a₂, ez und b' liegen in den Festlinien, seine Seite a₂ex verläuft durch einen vorläufig angenommenen

(o)

*-------Ew-----fig

(1)

b’

I //    (2)

E. A CL,

'(O)

*—

jk

'K

UN>

».....

<r;

N;

\w

! (2)

Ml

Fig- 313-

Punkt i[ und die Seite a₂b' durch den Knotenpunkt 1. Deshalb muß die dritte Seite b' ex einen Festpunkt i₂ enthalten, der in die Richtung der Geraden i[ — 1 fällt. Die gleichen Dienste, wie die Festpunkte i[ und if leisten die durch diese geführten Lotrechten. Wenn man also an Stelle von i[ den in der Lotrechten liegenden Achsenpunkt iz wählt, so braucht man, um einen Festpunkt i₂ der zweiten Öffnung zu erhalten, durch ix nur eine beliebige Gerade zu legen. Diese schneide die Festlinien (o) und (1) in den Punkten a₂ und e'₂ und die Gerade d₂—1 schneide die (2) im Punkte b". Dann trifft die Gerade b"e\ die Achse 1 — 2 im Festpunkte ia. Außerdem müssen i₂ und i"₂ in eine Lotrechte fallen.

3. Man denke sich jetzt den von den beiden Gurtungen samt den Endständern (wenn solche vorhanden sind) gebildeten geschlossenen Ring in einem beliebigen Knoten durchgeschnitten und zu einem einzigen, langen Stabe ausgestreckt, wobei man in dem Knoten reibungslose Drehung voraussetzt. Darm kann man in der im vorigen und durch die Fig. 312—313 erläuterten Weise zuerst für jede Stablänge 5 die Größen E-/da (nach den Gl. 314) berechnen. Sodann sind die Drittelslinien und die mittleren Festlinien ((1), (2), (3) usw.) aufzutragen, sowie die davon allein abhängigen Lotrechten der Festpunkte i, vorausgesetzt, daß die Lage des Punktes iz der ersten Öffnung vorläufig angenommen worden ist. Sobald dies alles geschehen ist, ist der gesamte Zug der Seilecke der Biegeflächen gegeben und daraus findet man schließlich die noch fehlenden jV-Größen der Gl. (327).

Mit Hilfe der drei Festlinien und des angenommenen Punktes i[ der ersten Öffnung ist der Seilzug aller Öffnungen bestimmt: denn sobald die z₂-Lotrechte eingezeichnet und auf einer im Abstande Hw aufgetragenen Lotrechten die bekannte Strecke (Fig. 313)

gh — E -ff ax

abgemessen worden ist, liegt die erste Seite x—bx des Seilecks der zweiten Öffnung fest. Trägt man dann auf der Festlinie (1) noch die M omentenstrecke

d₂e₂ — dxe j

ab, so ist dadurch auch die zweite Seileckseite bxb₂ der zweiten Öffnung gegeben und in dieser und der 4-Lotrechten liegt der Festpunkt z₂, der (genau so wie i[ und ix) benutzt werden kann, um den Seilzug der folgenden dritten Öffnung aufzuzeichnen. Wie man sieht, kann so nach und nach der gesamte Seileckzug dargestellt werden.

Ist dies geschehen und wird der letzte Knoten mit n bezeichnet, so haben sich die Fehler, die bei der vorläufigen Annahme des ersten Punktes ix gemacht worden sind, bis zur Festlegung des Punktes i'n der »ten Öffnung, von Öffnung zu Öffnung vermindert. Man fängt deshalb das gleiche Verfahren noch einmal von vorne an, indem man mit Hilfe des Punktes i'n der nten Öffnung die Lage des Punktes i'x der [im Ringe) daran stoßenden ersten Öffnung richtig stellt. So wird man es bald erreichen, daß alle Punkte i des Ringes ihre Lage nicht mehr ändern.

Die ganze Arbeit wird schließlich noch einmal durchgeführt, indem man (vom Knoten n rückwärts gehend) lauter ^-Lotrechte aufzeichnet und diese ebenso, wie vorher die /-Lotrechten, in ihrer Lage ausreichend verbessert. So erhält man für die mittlere Seileckseite aller Öffnungen zwei Punkte i und k, und dadurch ist der gesamte Seilzug festgelegt.

2Ö

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

b. Einspannungsmomente und Nebenspannungen, i. Nach erfolgter Darstellung des Seilzuges findet man die gesuchten Momente wie folgt: Man ziehe z. B. in der ersten Öffnung im Abstande \HW von der Drittelslinie eine Lotrechte, durch welche zwischen der dritten und der Richtung der zweiten Seileckseite eine Strecke mm (Fig. 312) abgeschnitten wird. Dann ist

Hw • min = W{ ■

oder

Mx =

6/1

• mm'.

2/1    3

Die Strecken mm' sind danach in jeder Öffnung gleich den Größen K (57, b). Sämtliche Momente und die zugehörigen Nebenspannungen sind daher mit ihrer Hilfe zu finden. Sind sämtliche Stäbe gleich lang, so macht man am besten

Hw '— s

und hat die A^-Größen dann auf den Knotenlotrechten abzugreifen.

2. Die Nebenspannungen der Fachwerke sind jetzt durch die Größen K

und die Winkeländerungen z/a ₆ zwischen Gurten und Wandstäben gegeben. Es seien z. B. 4, 5, 6 und 7,8,9 Knoten von Ober- und Untergurtstäben (Fig. 314) und 5—8 der zu betrachtende Wandstab. Dieser schließe

JUL

S-

7<

mit den Gurtstäben 4—5 und 8—9 die Winkel a₈-4 und a₅_₉ ein. dann die zugehörigen Winkeländerungen berechnet (nach 57, b), so sind (unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungsweise) nach Maßgabe der Gl. (327) die beiden Bedingungen EJaS-, = (2^8 — Kl) — (2 K, — K[),

EJa₅_₉ = (2 K₅ - K') - (2 K₉ - K’₉) anzuschreiben. Darin ist aber (57, b. 1)

für Knoten 5 : K& = K's für Knoten 8,

8: K$ = Kl

6 Kt

Fig- 3*4-

Hat man

(338)

5*

Die Größen AT₄, Kf sowie K₉₎ K₉ sind nach vorigem bekannt,

Daraus folgen die

ebenso die Winkeländerungen z/a₈_₄ und z/as K% und K'?, sowie (nach Gl. 326) die zugehörigen Momente Ms, Ml mit den Nebenspannungen des Wandstabes.

-₉.

§ 11. Besondere Aufgaben.

59. Durchgehende Träger auf verschiebbaren Stützen.

a. Elastisch senkbare Stützpunkte¹.

i. Ein Nachgeben der Stützpunkte bewirkt eine Verschiebung der Biegeflächenfestpunkte (55, b) in den unveränderlichen Festlinien (Schwerlinien). Ist Ar die Senkung eines Stützpunktes r (positiv nach unten), so ist für zwei Nachbaröffnungen anzuschreiben

A y—j    A r

Ö'rs =

Ir

A r+1

~Ar

(339)

4+1

Darin bedeutet (nach vorigem)

örs' die von einer Senkung der Stützpunkte verursachte Drehung der Tangente in r links von diesem Stützpunkte;

örs : desgl. rechts von r.

Aus den Gl. (339) erkennt man, wie die Biegeflächenfestpunkte sich abwärts oder aufwärts bewegen müssen, je nachdem die rte Stütze unter oder über der Verbindungsgeraden zwischen ihren Nachbarstützen zu liegen kommt. Denn sobald elastisch senkbare Stützen zu berücksichtigen sind, müssen die Grundgleichungen (302) noch durch die Glieder örrs und âÿs vervollständigt werden. Sie lauten dann Ö'r = P • Lr + Mr-i • d{r-l)r + Mr • Ö'rr + d'„,

Öy = P ’ àmr + Mr • Örr + A4+I • <V+i)r +    •

Die örs sind hier keine gegebenen Größen, sie sind von den Stützenkräften A abhängig, also auch von den dadurch bedingten Stützenmomenten M. Um diese Abhängigkeit analytisch ausdrücken zu können, möge bezeichnen:

kr, kr+T : die von der »Einheit« einer Stützenkraft A

verursachte elastische Senkung der betreffenden Stütze. Etwaige unelastische durch besondere Ursachen (Nachgeben von Pfeilern und Gründungen oder dgl.) herbeigeführte Senkungen bleiben vorläufig außer Betracht. Dann ist für die betrachteten beiden Nachbaröffnungen anzuschreiben Ay—i — kr—t • A

(340)

kr.

r— i j

Ar ; ArĄ-1

(341)

hlr+i — krĄ-i ‘ ArĄ-i .

¹ Ostenfeld. Graphische Behandlung der kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk- und drehbaren Stützen. Zeitschr. für Arch. u. Ingenieurwesen. 1905. Heft 1.

Bezeichnet ferner A₀(r-i) usw. die Stützenkraft im Stützpunkte (r— 1) usw. des Hauptsystems, so gilt die Gleichung

- ,^1

Mr + J— (Mr+1) .    (342)

tr+i

Daraus findet man in Verbindung mit den Gl. (339—341)

Örs - — [k1—, • A(r—i) kr Ar]

Ir

Ir

und in weiterer Verbindung mit Gl. (342)

Ô'rs

i [ir-

• A₀(r—1)    kr • A₀r ~J~

ky—

k,—i I kr

lr

- (Mr—% + Mr— i) (Mr-, - Mr) + (Mr - Mr+1] j .

Für ô'rs erhält man einen ähnlichen Ausdruck. Zur Abkürzung setzen wir jetzt

Mr-, — Mr

= tg (pr ;

Mr — Mr+,

= tg (fr+1 USW.

4+1

Darin bedeuten cpr, cpr+i usw. die von den Schlußlinienstrecken mit der Wagerechten eingeschlossenen Winkel (Fig. 315). Werden die Ausdrücke für die örs in die beiden Grundgleichungen (340) eingeführt, so erhält man diese zunächst in der Gestalt

Ôr — I • Ömr-+ |j- {4— i ' Ao(r- ,)~ kr-A or] J —    {tg Cp

{tgcpr tg <jfV+i}J “f“ \Mf—, • d(r—i)r ”4 Mràrr\ ,

kr+x * ZÎo(r+i)}J    {tg Cpr tg ÇCV+i}

{tg CprĄ-1    tg (^+2}^ “|~ \Mr • drr ~(~ A4+I ’ $(r+i)r] •

r— i

— tg^r}

kr

+ ~h

<*"=! .^r-\^j-{krAor

kr+i

4+1

Setzt man schließlich in die vorstehenden Ausdrücke für die beiden mittleren Klammerwerte, in welchen die Stützenmomente M nicht unmittelbar erscheinen, der Reihe nach die Buchstaben Kr, L'r und Kr, Er, so erhält man

Ôr= I ' Ô'mr + K + L'r + Mr-, * Ô(r-,)r + Mr • Ö'rr,

àr ⁼ I • àmr + Kr -f~ Lr + Mr • Örr H~ -Æ4+I * $(r+i)r •

Dazu kommt die Grundgleichung (305 unter 55, a. 3) mit

d; + Ôr = o.

(343)

Die letzten drei Gleichungen lassen sich, ähnlich wie bei unverschiebbaren Stützpunkten bereits erläutert (55), geometrisch deuten wie nachfolgend für besondere Fälle ausgeführt wird.

2. Die drei Festlinien fallen hier (genau so wie bei un verschiebbaren Stützen) mit den Richtungen der drei Mittelkräfte

r    r+i

r+1

2™\    2m-,

zusammen. Denn ihre Lage ist von der JBelastungsart, den Stützweiten und Stützensenkungen unabhängig. Wäre das zweite Glied der Gl. (343) nun nicht abhängig von den Größen M, wie es in der Tat ist, so könnten auch die zur Bestimmung der drei Festpunkte    f(r) und

f(r+j) erforderlichen Strecken h von vornherein, in gleicher Weise wie früher, aus Gl. (309), gefunden werden. Man brauchte nur

j h(r+1) -

P-SlnrĄ- Kï+L'r,

r—i

h(r) -

P ’ à'ntr -f- [Kl + Dr) + [K + Z") + P ' Cr

(345)

r+1

Weil aber die Größen L’r und Dy mittelbar von den M abhängig sind, so empfiehlt es sich, jede der Strecken h aus den Gl. (345) in zwei Teilen zu bestimmen, von denen der eine h’ für L'r und Z" gleich Null, der andere H' für K'r und K" gleich Null zu ermitteln ist. Man erhält dann

zu machen.

P'&r + Kl'

h{r—i) —

L’r

r—i

2m

h(r+i) -

r+i

h(r+1) =

z"

r+i

;    (346)

h\r) =

P-drmr+K; + K;f-+-P-dZr.

r+i

h"r) -

L'r + Z"

r+i

r— i

r—i

Die Endpunkte der Strecken ÏÏ seien f und die Endpunkte der Strecken [ti ± h") seien / (Fig. 315). Dann besitzen, wie leicht zu sehen, die Festpunkte f alle Eigenschaften der frühem Festpunkte f.

Das heißt, die Gerade f(r-x)—f(r+x) verläuft durch /(r). Ebenso führt die Gerade t(r-i) — Ąr+i)} die zwischen den Schnittpunkten der Festlinien [fr-1) und [fr+x) mit den gesuchten Schlußlinien liegt, durch den Festpunkt f(r).

3. Nach obigem wird es hier darauf ankommen, mit Hilfe der betreffenden beiden äußern Strecken h' und H' die drei Festpunkte f(r-x), f (r) und /(r+i) zu ermitteln. Wie das geschieht ist jetzt darzulegen.

Wir nehmen einmal an, der gesuchte gebrochene Schlußlinienzug

sei bekannt, z. B. gleich o----(r—i')—(/)—(r-f- x')----(Fig. 315).

Nach früherem ist dann anzuschreiben

L'y =

kr-x

ky

Ir

(tg (py-x — tg (pr) + — (tg (py — tg Cpr+x) ,

Ir

L"y =

ky

4+1

{tg (py — tg Cpr+I} -f

ky+x

(347)

4+1

{tgCpr+x — tgfjPr+₂}

Kr-x)

L'y

z"

r+x

(348)

'S™

r—i

Zieht man nun der Reihe nach in den Abständen

kr-1

n'r =

kr

r—i

r—T

ky

ky+x

(349)

r+i

r+i

tr+i2w

fünf Lotrechte (Fig. 316) und legt zwischen diese folgende Parallelen zu den Geraden des Schlußlinienzuges:

ab' II zur Geraden (r— 2)'—(r— 1)' a'dc" II c da II d’h" II

(r — 1)'—r

r'—[r + 1)'

(r+ i)'—(r+ 2)',

dann erhält man für die mit starketi Strichen ausgezeichneten Strecken

b¹C = m’r {tg Cpr-J — tg Cpr) + «r {tg {pr ~ tg (py+x) ,

b"c" = m'r {tg (pr — tg Cpr+x} + n'r{ tg (pr+x — tg </V+ 2}

oder mit Bezug auf die Gl. (346)

M,

-7

r-i

r\fi

-    —i—\~>;

b'c =

b"c" =

J'

)/<r-v

r-i)

J/

nr-1)

r-i)\

\;.-

L'r

Z"

r+i

7r/

*0

= h(r—z) ,

(35°)

- k{r+\) ,

'"■»---A'

4m, I

■ÇR

-cp

ti.

(rtj)

Asfi ... ' rt i

r+fi

•*rZ

r±L

rti

Fig- 315-

Fig. 316.

womit die gesuchten Strecken Ji gefunden sind. Daraus ergeben sich die Festpunkte f(r-i) und f(r+i)• Ostenfeld nennt die Fig. 316 die Richtungsfigur. Aus ihr erkennt man, unter gleichzeitiger Beachtung der Vorzeichen in den Gl. (347) für tg r/>, L'r und Z", wie die Festpunkte der äußern Festlinien über oder unter den Punkten f' liegen müssen, je nachdem die Punkte b über oder unter die Punkte c fallen. Danach kann man die Strecken bc aus der Richtungsfigur unmittelbar in ihrer Lage von den Punkten f der Fig. 315 übertragen. Damit erhält man die gesuchten Festpunkte, mit deren Hilfe, wie weiter zu beschreiben sein wird, der Schlußlinienzug aufzuzeichnen ist.

4. Wir hatten den Schlußlinienzug als gegeben betrachtet und danach die Lage der drei Festpunkte bestimmt. Jetzt handelt es sich um die Lösung der umgekehrten Aufgabe, dabei setzen wir, wie früher, voraus, daß die Momente über den Endstützen gleich Null sind. Ist für diesen Fall der Schlußlinienzug festgelegt, so lassen sich, wie bekannt, auch alle Einfluß flächen darstellen (nach 54).

Der gesuchte Schlußlinienzug kann für sich als ein Seileck aufgefaßt werden, das mit beliebig großer Polweite H des Kraftecks zu zeichnen ist (Fig. 299—301 unter 55, c). Deshalb kann man im vorliegenden Falle, von der ersten oder letzten Stütze anfangend, z. B. als erste Schlußlinienseite o—i' beliebig legen. Obwohl nun die weitere Führung des Schlußlinienzuges eindeutig bestimmt ist, so ist dessen graphische Dar-stellnng doch nur durch Probieren zu ermöglichen, in ähnlicher Weise, wie es (unter 57—58) auch bei der Darstellung der Einspannungsmomente der starren Fachwerksknoten geschehen mußte. Man verfährt dabei wohl am einfachsten derart, daß man die Lage des Festpunktes iT der zweiten Öffnung vorläufig annimmt (Fig. 317). Hätte man zufällig diese Lage gleich zum ersten Male richtig getroffen, so wären damit (nach vorigem) auch alle Festpunkte der übrigen Öffnungen gegeben und der danach von o aus aufgetragene Schlußlinienzug müßte in der letzten Öffnung durch die Endstütze verlaufen. Das wird allerdings nach dem erstmaligen Einträgen des Linienzuges wohl nicht der Fall sein. So bleibt kein anderer Weg, als durch mehrfache Wiederholung des bekannten Verfahrens dahin zu gelangen, daß bei der Arbeit von links nach rechts, mit Hilfe der Festpunkte z, sowohl als auch bei der Wiederholung von rechts nach links, unter Benutzung der Festpunkte k, schließlich der gefundene Schlußlinienzug in unveränderter Lage verbleibt.

Wie man den ersten Festpunkt iz in der zweiten Öffnung vorweg analytisch bestimmen kann zeigt Ostenfeld in der S. 403 angegebenen Quelle. Zu den Fig. 317—318 ist noch das Folgende zu bemerken:

K'r

Die Art der Belastung ist ohne Einfluß auf die Lage der erwähnten Festpunkte. Deshalb verschwinden die zu ihrer Ermittelung notwendigen Strecken h' der äußeren Festlinien. Denn für den unbelasteten Zustand ist das erste Glied der Gl. (340) gleich Null, also allgemein auch in den Gl. (346)

zu setzen, weil mit P die Stützenkräfte A₀₎ also auch die K' verschwinden.

Nachdem alle Festlinien und mittleren Festpunkte aufgetragen worden sind, folgt, bei angenommener Lage der ersten beiden Seiten

o—i' und i'—2 der Fig. 317, die Lage der dritten Schlußlinienseite 2'—3' mit Hilfe der Richtungsfigur (Fig. 318). Der mittlere Festpunkt fz liegt im Schnitte der t₀—1₂ und der mittleren Festlinie. In der Richtungsfigur wird jetzt ab' wagerecht gemacht, a c" parallel zur o—1'; c—d—a parallel zur 1'—2'. Die Strecke c'b' der Richtungsfigur ist somit gleich h"₀). Wird h'(Q) in die Fig. 317 übertragen, so erhält man dadurch den Festpunkt f₀. Legt man jetzt durch f₀ eine Gerade, die

(Û

P %)

W"

4'

Vt

r?5

/o

Fig- 317-

dAc’A

>.....

cd

Fig. 318.

den mittleren Festpunkt f(z) trifft und verlängert sie bis zum Punkte f2 der Festlinie /(₂), so hat man damit h"₂) gefunden. Macht man endlich in der Richtungsfigur

c"b" = h'[₂₎,

so muß die dritte Schlußlinienseite 2—3' parallel zur ab" laufen. Das gleiche Verfahren wiederholt sich beim ermitteln je eines Festpunktes i der folgenden Seiten (Fig. 318).

Wenn außer den rein elastischen Senkungen auch noch bestimmt zu schätzende unelastische Senfomgen (sowie auch Temperatureinflüsse) in der Rechnung berücksichtigt werden sollen, so braucht man nur das erste Glied der Gl. (343) für ö'r und ô" um die auf die Stütze r entfallende Senkung dieser Art (und um ö"t) zu vergrößern. Im übrigen ändert sich an dem beschriebenen Verfahren nichts.

b. Wenig nachgibige elastisch senkbare Stützen, i. Wenn nur solche Senkungen zu berücksichtigen sind, so empfiehlt es sich, das obige Verfahren etwas abzuändern, weil sonst die Abstände m und n der Richtungsfigur (Fig. 316) zu klein werden könnten, um danach einen ausreichend zuverlässigen Schlußlinienzug zu erhalten. Man verfährt deshalb wie folgt.

Man setzt

Mr-l — M°-1 + Zr

Mr = M? + Zr,

und M° so, als ob in den Gl. (343)

und bestimmt die Werte M°-für ö'r und ö" die Glieder K'r und L'r gleich Null wären. Geschieht

dies, so haben die genannten Werte die gleiche Größe, als ob die Stützen unverschiebbar wären. Zur Bestimmung der Z-Werte erhält man damit die Grundgleichung

ö'r + ö"r = o

wobei jetzt anzuschreiben ist

(351)

Ö'r = [K'r -j- Lr -j- K'r] + [Zr—i * Ö(r—i)r + Zr • Ö'rr] ,

Ö'r = [Kr ~h Lr + Lr\ -j- [Zr • Ö"r + Zr+i • d(r+i)4 .

Darin haben Kr, K" die frühere Bedeutung. Z° und L°r sind bekannt, sobald der Schlußlinienzug für die M°-Werte festgelegt worden ist. Dann ist

o'

kr

o"

Lr =

-KN (tg    — tg Cp°r) + j. (tg (p°r — tg Cpr+z},

{tg Cp° — tg Cpr₊₁} H

kr

krĄ-i

worin

IrĄ-1

lr+i

{tg cp°+i — tg <jP°+₂},

tg (p° =

lr

(35²)

usw. zu setzen ist.

Die Größen Kr und Z" haben die Bedeutung, wie in den frühem Gl. (347), jedoch ist darin für die Winkel cp zu setzen

Zr—i — Zr

tg Cpr —

(353)

Wenn man die Momente Mr derart teilt, so erreicht man den Vorteil, daß man die Zr-Werte (im Vergleich zu den M°-Werten) in beliebigem Maße vergrößern kann. Deshalb darf man auch die Abstände m und n der Richtungsfigur in gleichem Maße vergrößern. Denn alle in den beiden ersten Klammerwerten der Gleichungen für ö'r und ö'r enthaltenen Glieder sind den genannten Abständen einfach proportional.

Führt man zur Abkürzung noch die Bezeichnungen N; = K'r+LÏ + L’r,

N"— K" + Z° + L'r ein, so ist jetzt das Verfahren zur Darstellung des Schlußlinienzuges das folgende.

(354)

(Ąr)

I (/r)

______

r+1'

r-7'

fr-r)

... M*

fyr-t) I

w,

(rtt) ----f

r+i)

r-7

Fig. 319.

r, !

£„

<s~-

f’"

•7

r-7

Fig. 320.

î;

fc-

_^r_j ** •

-f

mr

i*-Ti    —71-

Fig. 321.

lh

__i

1b'

Fig. 322.

;    2. Die M°- Momente werden (nach 55) in bekannter Weise für un

verschiebliche Stützen dargestellt (Fig. 319). Dadurch sind alle Winkel (p° gegeben. Jetzt werden die drei Festlinien zweier Nachbaröffnungen in die Fig. 320 übertragen und darauf folgt die Ermittelung der äußern Festpunkte f"r-i), f[r+i)- F)ie dazu nötigen Strecken

h,    y _ &

n\r-x) - r J r+1) - r+I

2«,

werden in v-facher Vergrößerung aufgetragen. Ihre obern Endpunkte sind (wie früher in der Fig. 316) mit f(r-i) und fi[r+i) bezeichnet. Die von den Z-Werten gelieferten Strecken ßy und ß'y' (Gl. 347) werden in der Richtungsfigur (Fig. 321), in welcher die Abstände m und n um das v-fache zu vergrößern sind, eingezeichnet. Sie sind mit starken Strichen dargestellt, wobei die punktierten Parallelen den betreffenden Schlußlinien der Fig. 319 entsprechen. Nunmehr können die Strecken ßy und ß'y' in bekannter Weise in die Fig. 320 übertragen werden. Schließlich findet man (mit Hilfe der Fig. 322) die von den Z-Werten abhängigen Strecken f[r+I)—fl'r-x) und fi(r+i)—fi("+i) und damit die gesuchten äußern Festpunkte f"r-1) und f"r+9. Das geschieht gerade so wie früher in Fig. 317—318. Die vorläufige Annahme eines Festpunktes iT und das daran sich knüpfende beschriebene Probierverfahren ist (bei der graphischen Darstellung) auch hier nicht zu vermeiden. Die in dem Schlußlinienzuge der Fig. 320 gegebenen Stützenmomente werden allein von den elastischen Senkungen verursacht, während die Momente der Fig. 319 unverschieblichen Stützen entsprechen.

60. Durchgehende Träger auf elastisch drehbaren Stützen.

a. Die Einspannungsmomente.

i. Bislang wurde freie Beweglichkeit der Träger über ihren Stützen vorausgesetzt, derart, daß dabei die Stützen keinen Widerstand leisten. Ein guter Konstrukteur wird es zwar vermeiden, ohne Not Biegungsmomente von den Trägern in die Stützen zu leiten, weil dadurch beide Teile Nebenspannungen erfahren. Es kommen aber doch Fälle vor, wo es für geraten gehalten wird, Träger und Stützen im Stützpunkte fest miteinander zu vernieten. Der Träger ist dann weder frei drehbar noch vollkommen eingespannt. Ein Beispiel dazu bieten die mit den Querträgern durchgehend vernieteten Längsträger einer Brücke (I. 10).

Wenn die Längenänderungen in der Trägerachse vernachlässigt werden (was wir als zulässig voraussetzen), so können sich die Schnittpunkte r der lotrechten Stützenachsen mit der Trägerachse wagerecht nicht verschieben (Fig. 323—324). Unter den von lotrechten Lasten herbeigeführten Formänderungen von Stützen und Trägern bilden sich im Punkte r Tangentenwinkel: einerseits ö"' am obern Stützenende und anderseits die bekannten Winkel ö'r und d" in der elastischen Linie des Trägers. Diese drei Winkel müssen gleich groß sein', daraus erhält man ausreichende Bedingungen zur Berechnung der unbekannten Stützenmomente.

Wir betrachten zwei Nachbaröffnungen mit den Stützpunkten r — 1, r, r-j- i und legen unendlich nahe jedem dieser Punkte einen lotrechten

Schnitt durch jede Trägeröffnung und einen wagerechten Schnitt durch jede Stütze (Fig. 325). Die in den Schnitten (zum Aufrechterhalten des Gleichgewichtes) anzubringenden unbekannten Momente seien

für den Träger, von links nach rechts: M"-11 M'r) M", Ml+l für die Stütze r\ A Mr.

Somit haben wir ein Hauptsystem gebildet, das einesteils aus lauter einfachen Balkenträgern gebildet ist, die außer ihrer Belastung noch die überzähligen Größen M aufnehmen , andernteils aus einer Reihe von Stützen (Säulen, Pfeilern) besteht, an deren obern Ende je ein Moment sowie auch in beliebiger Richtung eine Einzelkraft R angreifen (Fig. 325). R zerlegt sich in eine lotrechte Stützenkraft A und eine Bogenkraft H. Die Zusammendrückung der Stütze infolge der Wirkung von A wird vernachlässigt, die Stütze ist also nur elastisch drehbar, nicht senkbar.

2. Aus dem Gleichgewichte im Punkte r folgt die Bedingung M'r-M;’-JMr=o. (355) Dann soll unterschieden werden, ob der Stützen-

r-7

<m7,

r-7

tm: * ' '

«f---

Fig- 3²3-

Fig. 324.

Ml tc

Fig- 325-

Vm

oder Säulenfuß frei drehbar (Fig. 323) oder eingespannt ist (Fig. 324). Ist freie Drehbarkeit vorhanden, so liefert das Gleichgewicht die weitere Bedingung

Hrhr — AMr — o ,

worin hr die Stützenhöhe zwischen r und dem Gelenke am Stützenfuße vorstellt.

(356)

Der Tangentenwinkel d"' berechnet sich wie für einen auf einer Länge hr frei gestützten Balken, der an einem Ende mit z/Mr belastet ist. Bezeichnet man die von »z/ Mr — 1« und im Sinne von Mr bewirkte Drehung mit xr, so erhält man

Ö"'= JMr-

Diese Gleichung gilt auch für den eingespannten Stützenfuß.

xr ist in bekannter Weise (mit Hilfe der Arbeitsgleichung Mohrs oder graphisch durch Biegelinien usw.) zu bestimmen. Man erhält z. B.

für freie Drehbarkeit'. xr —

(357)

ZEJrs ’

- Einspannung'.

%r =

hr

(358)

4 EJrs

Sw-'

aM,

M,

/F’f

X.

y.

k-⁷:

----L.

VA

Fig. 328.

Fig. 326.

Fig. 327.

wenn Jrs das Trägheitsmoment der Stütze bezeichnet und hr bis zum Schnittpunkte von Träger- und Stützenachse gerechnet wird. Genau genommen sollte man anstatt hr nur die Höhe hs bis zur Untergurtlinie des Trägers rechnen (Fig. 326) und das Trägheitsmoment unendlich groß

Dann würde man

h

-— von dort bis zur Trägerachse.

auf der Strecke z. B. für die Einspannung erhalten

Tr —

//I

(359)

[₃h² + 6hhs + ₄ht)EJrs Der Tangentenwinkel % ist auch für andere Stützen- und Trägeranordnungen leicht zu berechnen. Man erhält z. B. für den Turmpfeiler in Fig. 327, oder den Gerüstpfeiler in Fig. 328

Xr

(360)

worin w eine für »z/J/ = 1 « berechnete elastische Kraft des Pfeilerstabwerks vorstellt, die aus

EFr²

zu berechnen ist.

Außer den beiden Gl. (355) und (357) hat man zur Berechnung der drei Unbekannten M'r, M” und 4Mr einer Stütze r noch die dritte Bedingung

<T = ö"r = d’r

(361)

wobei für d'r und ö" und eine Einzellast P nach Gl. (340) anzuschreiben ist

(362)

rr ,

ö'r = PÖ'mr — Mï-.à(r-i)r— M'rà\ ôr = PÓ'ńr~ M?à"rr- M^\r^)r.

Außer den Unbekannten AI sind in den Gl. (362) alle andern Größen bekannt und genau so darzustellen, wie bei bei den Trägern auf unverschieblichen Stützpunkten (55). Wie früher, so gilt auch hier die Grundgleichung

(363}

ö'r + ö; = o.

Das gibt in Verbindung mit Gl. (357 und 361)

(364)

ö'r = Xr • 4Mr == — ö'r.

Es soll nun gezeigt werden, wie man mit Hilfe der obigen Bedingungsgleichungen den Schlußlinienzug der gesuchten Momentenfläche darstellen kann.

b. Darstellung des Schlußlinienzuges der Momentenfläche. i. Die Ordinaten des Schlußlinienzuges erfahren hier über jeder Stütze eine plötzliche Verkleinerung um /IM (Fig. 329). Die drei Festlinien werden genau so aufgetragen, wie früher (55, b und 59, a. 2). Sie fallen demnach zusammen mit den Richtungen der drei Mittelkräfte

r+i

r    r+i

(365)

r—i

Die zugehörigen drei Festpunkte [fr-i, fr, fr+i) findet man (ebenfalls wie früher) mit Hilfe der Strecken

h(r-1)

p. ö'

j- Ufnr

r—i

1)

h(r) =

P- Ö'^r

r+x

P-öLr + P-Ö'L

Sind    und t(r+i) die Schnittpunkte der äußern Festlinien mit

dem gesuchten Schlußlinienzuge, so ist in der nämlichen Weise, wie es unter 55, b geschehen ist, nachzuweisen, daß die Gerade fr+i durch den mittleren Festpunkt fr verläuft, ebenso wie auch die Gerade    —tr+I.

Diese Eigenschaft der Festpunkte ist die geometrische Folgerung aus der Gl. (366).

Die auf den Festlinien [r— 1) und [r-J- 1) abzugreifenden Momenten-strecken seien M(r-i) und Af(r+I). Dann ist (nach dem Vorgänge unter 55, b und den dortigen Gl. (310) abzuleiten

• Mr-x + Ö'rr • Mr

{r—r)r

Mir-.) = -

Zw

r— i

Kr • M?+ d(r+l]r • M’+t

(367)

Zw

Aus den Gl. (366) und (367) erhält man die Strecke: h(r—i) — Afp—1) = h\r~x) =

P• à'mr - [Ô^rMÏ-t+d'rr'MÏ)

Zw

r—i

P• àlr-dlr+l)r-M£+t))

r+1

Zw

und weiter aus der Verbindung mit den Gl. (362)

Ö'r

h(r+i) -

r+1

(368)

Aus der Gl. (364) folgt dann

r+i

r

—1) •    ------- 7V r—i

oder

JMr

h\

(r-1)

JMr

Ht *

Aus der letzten Gleichung folgt eine einfache graphische Darstellung des Momentes A Mr (Fig. 329).

Man zeichne links von r eine Lotrechte (2), deren wagerechten Abstände von r und der rechtsseitigen äußeren Festlinie {fr+i) Ach verhalten wie a : y ; ebenso rechts von r eine Lotrechte [y] mit den entsprechenden Abständen im Verhältnis von ß : y. Von den Schnittpunkten z' und y' dieser Lotrechten mit dem Schlußlinienzuge ziehe man nach den zugehörigen äußern Festpunkten fr-i) und fr+i) je eine Gerade. Deren Verlängerungen schneiden dann auf der Stützenlotrechten eine Strecke ab, die gleich dem gesuchten Momente A Mr ist.

(r-i)

fr-//

—Û—

(r-i) G -

(fŁ)

"n

(Z\)

\L>

t\

\+,

I r’-r”-=AMr

> - ?

I*.....;/ ; •

(«-a.-

I    i X 1/

X—

(r+1)

'rti')

(rti)

sA

z|w?4-

k)<k

(r+1)

*z

ti

Fig. 329.

Aus den verschiedenen Vorzeichen der beiden Gl. (369) erkennt man, wie einer der äußern Festpunkte immer über, der andere unter dem Schlußlinienzuge liegen muß, und daß dessen Spitze r immer derjenigen Schlußlinienseite angehört, die unterhalb des zugehörigen äußern Festpunktes liegt.

2. Nachdem für je zwei Nachbaröffnungen die drei Festlinien mit den beiden äußern Festpunkten und dazu die {y)~ und (2)-Lotrechten aufgetragen worden sind, kann man von den Endstützen (wo M — o

27

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

vorausgesetzt wird) ausgehend alle Festpunkte i und k festlegen, wie es (unter 55, b) für Träger mit unverschieblichen Stützpunkten geschehen ist. Ist z. B. die Seite [r—i)"—r gegeben, so findet man den Schnittpunkt t(r+i) der Seite r"— (r-j- i)' und der Festlinie (fr+1) durch den Strahl — f(r) — t(r+1) ■ Ferner leitet man aus dem Schnittpunkte der Seite (r — i)" — r mit der (z)-Lotrechten den Punkt r" ab, indem man eine Gerade vom Festpunkte f(r-z) durch z' führt (Fig. 329).

Weiter findet man alle Festpunkte i und k aus folgender Überlegung: Das Viereck — z' — r"— t(r+i) liegt mit seinen Ecken auf je einer der gegebenen Lotrechten    {z), [r) und [fr+1). Seine Seite z—t(r-z)

möge durch den festen Punkt i' verlaufen (Fig. 329). Seite z —r" geht durch den Festpunkt f(r-z) und Seite t(r~x) — t(r+z) trifft den mittleren Festpunkt f(r). Also muß auch die vierte Seite durch einen Festpunkt verlaufen. Dasselbe gilt für das Viereck t^-z ■—z"—r"—Ąr+i), dessen

4—

rsj

Fig- 330.

Ecken in die nämlichen eben genannten Lotrechten fallen, wobei die entsprechenden drei Seiten durch die festen Fuß punkte dieser Lotrechten verlaufen : die Seite r — t(r+1) geht demnach durch den Festpunkt Z(r+1), der in der Richtung der übrigen drei Festpunkte liegt. Die Darstellung eines Festpunktes i(r+i) mit Hilfe des gegebenen Festpunktes der ir der vorigen Öffnung findet man danach wie folgt (rote Linien der Fig. 329).

Ziehe durch den gegebenen Punkt ir eine beliebige Gerade, von welcher die Lotrechten (fr-i) und [z) in den Punkten tyr-1) und z" geschnitten werden. Durch    und f°r), sowie auch durch z und f°r-x)

führe je eine Gerade. Diese schneiden in //+I die Festlinie [fr+1), in r"' die Stützenlotrechte. Dann geht die Verbindungsgerade tr+z — r" durch den gesuchten Festpunkt ir+I. Zieht man jetzt noch die Gerade i'fr-z und verlängert sie bis zum Schnittpunkte r"" der r-Lotrechten, so liegt der gesuchte Punkt Ü+i der Schlußlinienstrecke r" — (r-j- 1)' im Durchschnitte der Geraden r""—fr+1 und der in ir+x errichteten Lotrechten.

3. Wenn z. B. auch die Endstütze o elastisch drehbar ist, so zeichne man zuerst die äußere Festlinie (fz) und die Lotrechte (j>), suche den

Festpunkt /pj und ziehe die Gerade o —/p). Diese trifft die [y)-Lotrechte in einem Punkte y der ersten Schlußlinienseite (Fig. 330). o entspricht hier dem r' in der allgemeinen Darstellung der Fig. 329. Von yQ als Festpunkt ausgehend findet man dann die übrigen Festpunkte usw. M'o ist gleich Null, daher hat man aus Gl. (355)

(370)

M” = — 4Mq.

Besteht an einer Stütze r eine starre Einspannung, so ist

xr = o

zu setzen. In diesem Falle decken sich nach Gl. (369) eine äußere Festlinie auf einer Seite von r mit der (0)-, auf der andern Seite mit der [y)-Lotrechten und der Schlußlinienzug verläuft deshalb durch die äußern Festpunkte.

Für tr — 00 hat man ungehinderte Drehbarkeit: die (0)- und (jy)-Lotrechten rücken in die Stützenlotrechte und die Darstellung des Schlußlinienzuges erfolgt ganz wie bei unverschiebbaren Stützen.

61. Konstruktionen, die auf ihrer ganzen Länge elastisch unterstützt sind.

a. Allgemeines.

i. Hier handelt es sich hauptsächlich um Konstruktionen in der Gestalt des geraden Stabes, wie Eisenbahnschwellen, die in der Kiesbettung gelagert sind oder geschlossene Röhren und Kanäle, die völlig vom Erdreich umgeben sind und dabei veränderliche Lasten aufzunehmen haben. Ihre Berechnung kann genau nicht ohne Berücksichtigung der Formänderungen der elastischen Unterlage durchgeführt werden und dabei werden deren elastische Eigenschaften in allen Punkten der Unterstützung als völlig gleichwertig vorausgesetzt werden müssen. Bei den erwähnten Röhren und Kanälen ist es mit großen Schwierigkeiten verknüpft, die vom Erdreich auf die Konstruktion ausgeübten Drucke nach ihrer Richtung und Größe zu bestimmen. Es ist wohl nicht zweifelhaft, daß hierbei unter Umständen auch Seitendrucke in Frage kommen können. Mangels ausreichender Versuche hat man sich bisher damit begnügt, Rohr- und Kanalleitungen ohne Rücksicht auf die elastischen Eigenschaften des Untergrundes zu berechnen und dabei schätzungsweise lotrechte Belastungen einzuführen¹. Bei einem derartigen Rechnungsverfahren bildet der geschlossene Ring des Bauwerks ein dreifach unbestimmtes System. In dem Stützpunkte irgend eines Ringquerschnittes greift dann eine Längskraft P und eine Querkraft Q an, deren Größen mit Hilfe der drei Grundbedingungen der Gl. (247) unter 41 ,b zu berechnen sind.

Viel schärfere theoretische Hilfsmittel als sie bislang im Kanalbau u. dgl. angewendet worden sind, gebraucht man bei der Berechnung des Eisenbahnoberbaues. Winkler¹ war es, der hierbei bahnbrechend vorgegangen ist. Um seine Rechnungen zu vereinfachen, betrachtete er die unter ihrer Last bewirkte Senkung y einer Schwelle im Kiesbette an jeder Stelle als dem dort auftretenden Drucke proportional. Ist p die Größe des widerstehenden Druckes in der Flächeneinheit zwischen

Schwelle und Kies, so setzte er danach

P = Cy,

wenn C eine Erfahrungszahl bedeutet, die anzeigt, wie groß der Flächendruck für die Senkung i>y — 1« ist. Für kleine Formänderungen, wie sie in der Regel im Eisenbahnbetriebe Vorkommen, darf Winklers Annahme als zulässig angesehen werden, welcher Art auch das die Beziehungen zwischen Senkung und Bettungsdruck regelnde Gesetz in Wirklichkeit sein möge. Jedoch muß in Anwendungsfällen eine stetige Änderung von y eine ebensolche Änderung von p entsprechen².

2. Zimmermann² gibt im Eingänge seiner (unten angezogenen) grundlegenden Schrift die Differentialgleichung der elastischen Linie eines elastisch unterstützten Stabes, der beliebig lang und beliebig belastet ist. Wir folgen hier seinen Darlegungen.

Zwischen dem Momente M und der Querkraft Q besteht in einem beliebigen Querschnitte (nach I. 66, Gl. 42) die Beziehung

dM

wenn Q die Mittelkraft aller lotrechten Kräfte vorstellt, die auf dem betrachteten Stabteile angreifen und wenn diejenige Drehrichtung von M positiv genommen wird, die der Wirkung einer im Sinne von -j- Q gerichteten Kraft entspricht. Bestehen die äußeren Kräfte in der Nähe des betrachteten Querschnittes nur aus dem stetig über die Stabachse verteilten Flächendrucke /, und ist b die Breite der gedrückten Stabfläche, so ist ferner anzuschreiben

dQ

d, = i*

¹    Winkler, Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. 1867. S. 182. Vorträge über Eisenbahnbau. i.Heft: Der Eisenbahnoberbau. 3.Aufl. 1875. S. 265—267.

²    Dr. Ing. Zimmermann, Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues. 1888, S. 1. In der Sitzung der K. Preuß. Akademie der Wissenschaften (vom 9. Nov. 1905) legte Zimmermann eine Abhandlung vor unter dem Titel: »Der gerade Stab mit stetiger, elastischer Stützung und beliebig gerichteten Einzellasten.«

woraus auch

d²M

dz²

= bp

(371)

folgt. Q und p werden dabei in gleichem Richtungssinne positiv gerechnet. Q und p gelten daher im Sinne des widerstehenden Bettungsdruckes, d. h. nach oben hin wirkend, als positiv.

Aus der allgemeinen Gleichung der elastischen Linie (III. 5, a)

d²y

folgt danach für ein unveränderliches J

EJ

d^y

dz⁴

— — bp.

(372)

Die Senkungen y gelten darin als positiv, Hebungen negativ. Die positiven Richtungen von y und p sind daher einander entgegengesetzt. Weil in der Gl. (372) die Größen M und Q nicht erscheinen, so ist es für ihre Benutzung gleich, in welchem Sinne man diese Größen positiv rechnet.

Bei Einführung der Erfahrungszahl C, die Bettungsziffer genannt, erhält man aus der Gl. (372) die Differentialgleichung

(373)

s--«>

worin zur Abkürzung

Cb

AEJ

(374)

gesetzt wird².

Cb und E, mithin auch K und J *, sind von gleicher Dimension. Danach bedeutet K den reziproken Wert einer Länge und Kz ein Längenverhältnis.

Die Integration der Differentialgleichung ergibt die Gleichung der elastischen Linie mit

(375)

y = Ux • eKz • cos Kz -f- U₂ • eKz • sin Kz + U₃ • e~Kz • cos Kz + UA • e~Kz • sin Kz . e= 2,71828 ist die Grundzahl der natürlichen Logarithmen. Die Unveränderlichen U sind in jedem Falle mit Hilfe der gegebenen Grenzbedingungen zu ermitteln. Wie dies geschehen kann, soll an zwei Beispielen gezeigt werden.

b. Berechnung von Eisenbahnschwellen¹, i. Eine in ihrer Mitte mit P belastete Langschwelle. Wir nehmen an, daß i) die Langschwelle als unendlich lang betrachtet werden darf, und 2) eine Hebung der Schiene infolge ihres ausreichenden Eigengewichtes oder entsprechend wirkender Querverbindungen nicht eintreten kann. Zählt man dann die z vom Lastpunkte ab nach rechts hin, so

muß y für z = 00 verschwinden. Für diesen Grenzfall verschwinden auch die beiden letzten Summanden der Gl. (375) und danach folgt (für y = o)

(37⁶)

Ut = Ua = o.

Der Symmetrie wegen muß für 2 == o auch ~ gleich Null werden.

dz

Es ist aber

dy

dy

dz

= K\IL [eKz • cos Kz — eKz • sin Kz) + £7₂ [ehz • sin Kz -f- eKz • cos Kz) + U₃(— e~Kz • cos Kz — e~Kz • sin Kz)

— U₄(— e~Kz • sin Kz -f- e~Kz • cos Kz),

= o die Bedingung

was für

dy

dz

gibt.

u₃ = u₄ = u

(377)

Somit läßt sich hier die Gleichung der elastischen Linie mit y — U • e~Kz (cos Kz -f- sin Kz) anschreiben, und man erhält für den Bettungsdruck p = C • U • e~Kz (cos Kz + sin Kz).

Für z — o möge p = p₀ werden. Dann ist

p₀ = C-U

ü=*ir

Es wird also noch darauf ankommen, pQ zu ermitteln. Die gesamten Bettungsdrucke p müssen gleich P sein, d. h.

(378)

(379)

oder

(380)

Setzt man den Wert von p aus der Gl. (379) hier ein und integriert, so erhält man

•H

oder

~Ke

A==-i

~Kz • cos Kz

KP

po

d. h.

aej

¹ Vgl. Föppl, Festigkeitslehre. 3. Aufl. S. 235—244.

(381)

Damit ist der Bettungsdruck an jeder Stelle der Schiene gegeben und somit können Momente, Querkräfte und Spannungen in beliebigen Querschnitten berechnet werden. Dabei wird die Erfahrungszahl C

j im Mittel³ wie folgt einzusetzen sein:

(in für »y = 1 cm«

\ cm²

bei Kiesbettung

C= 3,

Kies auf Packlage oder Felsboden C= 8, Steinschlag auf Packlage .    .    . U= 15,4.

Bei den Versuchen auf den Reichsbahnen in Elsaß-Lothringen, woher obige Zahlen stammen, fand man außerdem, daß innerhalb der mit dem Bettungsdruck ohnehin einzuhaltenden Grenzen die (unter a vorangestellte) Annahme Winklers als zutreffend gelten darf.

2. Die belastete Querschwelle. Die Schwelle hat zwei Einzellasten P aufzunehmen, die von den Raddrucken der Lokomotive herrühren. Die Lasten P liegen um die Entfernung ^ der Schienenmittel voneinander entfernt und sie sind unter Umständen ungleich groß. Der Abstand des Schienenmittels von jedem Schwellenende sei a. Wir rechnen die z vom einen Schwellenende ab und nehmen der Einfachheit halber beide P gleich groß an, so daß die Schwelle aus Symmetriegründen nur zur Hälfte betrachtet zu werden braucht. Auch hier gilt dann die entwickelte allgemeine Differentialgleichung. Ihre Unveränderlichen U werden für zwei verschiedene Strecken der elastischen Linie je gesondert zu berechnen sein, nämlich die Strecke von o bis a und von a bis zur Schwellenmitte. Das gibt demnach acht unbekannte Größen U, zu deren Berechnung acht Grenzbedingungen gegeben sein müssen. Soviel sind auch vorhanden, nämlich:

1) u. 2) für 2 = o ist M — o und Q = o, oder was dasselbe ist,

d*y

d³y

dz

dz³

3) u. 4) Im Lastpunkte muß in beiden Strecken gefunden werden

für z = a :

dy dya und Tz=lh-

für z — a\

5) Weil auch M für beide Strecken gleich ist, so hat man d²y _ d²ya dz²    dz²

6) Weil die Querkraft im Lastpunkte plötzlich um P kleiner wird, und weil

d³y

dM

dz³

ist, so muß dort für z — a\

d³ y a    d³y[

dz³

dz³

EJ

werden

wenn die Senkungen der beiden im Lastpunkte zusammenstoßenden Strecken mit ya und ya bezeichnet werden.

7) u. 8) In der Schwellenmitte ist

dy

dz

= o und, weil dort Q verschwindet,

s    d³y

z = a H--auch —— = o .

dz³

Wenn man also die Gleichung der elastischen Linie (Gl. 375) diffe-

dy dPy d³y

rentiiert und die Ausdrücke der Differentialquotienten —,    ,

ct z    Ct Z    ctz^

bildet, so kann man der Reihe nach obige acht Grenzbedingungen darin einführen und die acht Unbekannten U aus den dadurch erhaltenen acht Bedingungsgleichungen ausscheiden. Auf die Ausführung dieser Rechnungen im einzelnen darf hier verzichtet werden, um so mehr als im vorliegenden Falle die graphische Behandlung der Aufgabe einfacher erscheint.

Wäre der Bettungsdruck p bekannt, so könnte man für den mit p und den beiden P belasteten Stab alle Momente M berechnen, (nach 5, b) eine Belastungsßäche zeichnen und mit deren Hilfe in bekannter Weise die elastische Linie darstellen. Deren Ordinaten y müßten dann der Gleichung

y = -Tr

entsprechen, wo C eine bekannte Unveränderliche ist. Weil nun die Belastungsfläche eine Funktion von p ist, so stehen ihre Ordinaten Y zu den mit ihrer Hilfe dargestellten Ordinaten y der elastischen Linie in einem besäumten Verhältnisse, oder, was dasselbe ist: Bei geeigneter Wahl der Polweite des Kraftecks der elastischen Kräfte W sind Belastungsfläche und Biegeflächen kongruente Figuren. Danach kann man die wahre Belastungsfläche und damit die Bettungsdrucke p durch Probieren finden, indem man zuerst (im beliebigem Maßstabe) eine Belastungsfläche zeichnet, die nach Gutdünken ungefähr der gesuchten

Verteilung des Druckes p entspricht. Deren Ordinaten werden an den Schwellenenden gleich Null und unter den Lastpunkten am größten anzunehmen sein. Aus der Gestalt der dazu gezeichneten elastischen Linie erkennt man leicht, welche Änderungen die erste Belastungsfläche erfahren muß, damit sich bei der zweiten Darstellung der elastischen Linie beide Gestalten möglichst einander gleich werden. Und so fort, bis die gefundene Belastungslinie und die zugehörige elastische Linie sich genau decken. Dies Verfahren bleibt auch dann noch anwendbar, wenn das Trägheitsmoment J veränderlich ist und die Lasten P ungleich sind.

§ 12. Geschichtliche Rückblicke.

Der allgemeine Gang der Entwicklung der Theorie ist bereits in § 6 des ersten Bandes geschildert worden. Im zweiten Bande kamen dazu geschichtliche Rückblicke auf die Gewölbetheorie (II. 50) und die Theorie des Erddruckes (II. § 9). Für den vorliegenden Band werden besonders die Lehren von der Elastizität und Festigkeit und die Theorie des Fachwerks zu betrachten sein. Dabei ist es dem Verfasser nicht darum zu tun, einen erschöpfenden Überblick der Entwicklung zu geben. Er beschränkt sich darauf, aus der großen Zahl von Forschern, Gelehrten und Fachmännern nur diejenigen besonders herauszuheben, deren theoretische Arbeiten auf den in Frage kommenden wissenschaftlichen Gebieten grundlegend gewesen sind. Die in den folgenden Darlegungen den Verfassernamen angehängten Ziffern beziehen sich auf die (unter 66 gegebene) Übersicht der geschichtlichen Literaturquellen. Auch diese macht keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

62. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit.

a. Galilei-Navier.

i. Im Anfänge des 17. Jahrhunderts war Galilei¹ (1564—1642) mit Versuchen über die Festigkeit der Baustoffe beschäftigt. Er stellte dabei die erste Theorie der Biegungsfestigkeit auf, indem er einen einfachen Holzbalken betrachtete, der an einem Ende eingespannt, am andern belastet war. Aber er und seine Nachfolger (I. 40) berücksichtigten bei ihien Untersuchungen die Elastizität der Baustoffe nicht. So konnte die Lehre von der Festigkeit der Baustoffe erst festeren Boden gewinnen, nachdem im Jahre 1660 der Engländer Hooke2 (¹635—1703) durch Versuche mit stählernen Federn das sog. Elastizitätsgesetz (I. 4) gefunden hatte.

Vom 17. Jahrhundert ab beginnen mit Mariotte³ (1620—1684) die Bemühungen der Gelehrten, die vielen noch dunkeln Fragen der Biegungsfestigkeit zu klären, wie dies bereits geschildert worden ist (I. 41—42). Die Einführung der Infinitesimalrechnung erleichterte dabei allmählich die analytischen Untersuchungen. Jacob Bernoulli⁴ (1667 bis 1748), Euler⁵ (1707—1783) und Lagrange⁶ (1736 —1813) untersuchten die Gestalt der Stabachse nach erfolgter Formänderung des Stabes, die sog. elastische Linie. Zuerst Bernoulli, der u. a. darlegte, wie der Krümmungshalbmesser der Biegelinie in jedem Punkte dem zugehörigen Biegungsmomente umgekehrt proportional sei. Euler ver-vollkommnete die Theorie Bernoullis und zeigte, wie die Messung der Durchbiegung eines Stabes dazu dienen könne, dessen Elastizitätseigenschaften zu ermitteln. Im besondern untersuchte Euler auch den Fall der Knickfestigkeit (III. § 5). Er stützt sich dabei auf den Satz von Bernoulli, wonach

EJ

ist und entwickelt daraus das Differential der Gleichung der elastischen Linie. Dessen Integral löste er durch Anwendung einer unendlichen Reihe. Euler behandelte als erster auch die Theorie der krummen Stäbe (9). Hier gibt er (§ 48) die Gleichung

Ef\~ ]

U* Ql

worin q und q₁ die Halbmesser der ursprünglichen und der späteren Krümmung bedeuten (II. 34 und 35). Lagrange legte dar, wie der Stab je nach der Größe der Knickkraft wellenförmig ausbiegen könne

(III. 24).

2. Die erste wohlbegründete und zusammenhängende Theorie der einfachen Festigkeitsfälle (I. § 15) gab Coulomb⁷ (1736—1806). Ihm folgte Navier⁸ (1785—1836), dem besonders die weitere Ausbildung der Lehren von der Biegungsfestigkeit zu verdanken ist. Die dabei noch offenen Fragen löste er in entscheidender Weise (I. 42). Darauf gestützt, gab er in seiner »Baiwiechanik^ zum ersten Male in umfassender Weise Berechnungen von Bauwerken aller Art (Träger von Bogen-und Hängebrücken, sowie auch Säulen und Pfeiler mit außer dem Mittel angreifenden Lasten usw.). Mit Recht nennen wir deshalb Navier den Begründer der Statik der Baukonstruktionen.

In der Vorrede der ersten Ausgabe seines berühmten Werkes8 (1826) weist Navier darauf hin, wie aus den Untersuchungen seiner

Vorgänger »bis jetzt die Mathematik mehr Nutzen gezogen, als die Architektur und das Ingenieurbauwesen«. Er sagt dann weiter: »Die meisten Konstrukteure bestimmen die Abmessungen der Teile von Bauwerken und Maschinen nach dem herrschenden Gebrauche und nach dem Muster ausgeführter Werke. Sie legen sich selten Rechenschaft ab über die auf jene Teile wirkenden Kräfte und über den Widerstand, den diese jenen entgegensetzen.«

Im letzten Abschnitte seines Buches behandelt Navier die Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Von eisernen Brückenträgern ist darin natürlich wenig die Rede. Nach seiner Meinung soll man in Konstruktionen grundsatzmäßig »die Hauptteile in der Richtung der Geraden legen, die sich von den Angriffspunkten der Belastungen nach den Stützpunkten ziehen lassen. Bei einer derartig angeordneten Konstruktion haben die Belastungen kein Bestreben, die einzelnen Teile um die an deren Enden angebrachten Verbindungen zu drehen«. Es ist hiernach zu verstehen, warum Navier wesentlich nur Sprengwerke mit oben liegender Fahrbahn behandelt. In Parallelfachwerken berechnet er nur die Gurte auf Biegung und bemerkt dazu, die Annahme, auf welcher seine Berechnung beruhe, sei nur erfüllt, »wenn die Gurtstäbe durch eine Reihe von Querstücken oder Andreaskreuzen oder durch Keile, die in Einschnitten liegen, miteinander verbunden sind. Ist aber einer der Gurtstäbe bogenförmig oder sind es beide, so genügt eine Verbindung mit einfachen Querstücken, wenn die Stäbe nur an ihren Enden so verbunden werden, daß sie nicht aufeinander gleiten können«.

Man sieht daraus, wie Navier das Wesen der Standfestigkeit gegliederter Konstruktionen noch nicht voll erkannt hat. Ebenso ging es seinen Nachfolgern bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. Die damalige Berechnung gegliederter Träger beschränkte sich auf die Gurte; die Wandgliederung wurde nur als notwendige Zugabe wegen Verschiebungen der Gurte angesehen. Auch die bedeutenden Träger der amerikanischen Holzbrücken jener Zeit, die nachweisbar als Vorbilder der europäischen eisernen Brücken gedient haben, sind in ähnlicher Weise (ohne genauere Berechnung der Wandglieder) gebaut worden.

b. Die Elastizitätslehre seit Navier.

i. Auf der von Navier gegebenen Grundlage bauten die französischen Ingenieure Poisson (1781—1840), Cauchy (1789—1857), de Saint-Venant (1797—1886) und Lamé (1793—1870) die Sätze der Biegungsfestigkeit weiter aus. Poisson⁹ behandelte das Gleichgewicht und die Bewegung elastischer Körper, worüber er mit Navier in Streit geriet.²³ Er berechnete zuerst auch das Maß der Querdehnung (I. 5).

Cauchy¹⁰ entwickelte 1827 zuerst die allgemeinen Eigenschaften der im Innern eines Körpers auf eine beliebige Fläche wirkenden Spannung. Dabei gibt er den Satz vom Formänderungsellipsoid. Lamé¹¹ bringt 1852 die Untersuchungen Cauchys in geometrische Form und führt das Spannungsellipsoid und die Hauptspannungen ein (I. § 17). De Saint-Venant¹² gibt 1853 die Sätze von der Biegefestigkeit in der allgemeinsten Gestalt, zeigt den Einfluß der von Navier vernachlässigten Schubspannungen, sowie den Zusammenhang zwischen Gleitung und Dehnung (I. 120). Er benutzt dabei die von Poinsot¹³ (1777-—1859) eingeführte Trägheitsellipse (I. 95). Bresse vervollkommnet 1854 die Theorie, indem er zum ersten Male den Kern des Querschnittes anwendet. Ausführlicheres enthält der von de Saint-Venant¹² (1863) geschriebene » Abriß der Geschichte der Elastizitätslehre«.

Durch die Bestrebungen zahlreicher Fachmänner und Gelehrten¹⁴ — wie Clebsch, Clausius, Kirchhoff, Pochhammer, Grashof, Winkler, Mohr, Zimmermann, Bauschinger, Tetmajer, Föppl, v. Bach u. a. — ist inzwischen die Elastizitätslehre nach vielen Seiten hin erweitert und vertieft worden. Mit Erfolg hat man auch versucht, die Lehren von der Elastizität und Festigkeit mehr als vordem auf die Ergebnisse von Versuchen zu begründen. Auf solchem Wege sollten aber die bewährten, einfachen Grundlagen der Elastizitätslehre nicht ohne Not zugunsten von verwickelten Formeln verschoben werden. Denn der ausführende Ingenieur wird gewisse zufällige Verschiedenheiten im Verhalten der wirklichen Baustoffe, gegenüber den der Elastizitätstheorie zugrunde liegenden isotropen [idealen] Körpern, immer nur insoweit berücksichtigen können, als er danach den Sicherheitsgrad seiner Konstruktion von Fall zu Fall abwägt (I. 12).

2. Die ersten Anwendungen des Satzes von der Arbeit auf Aufgaben der Elastizitätslehre verdanken wir Clapeyron¹⁵ (1779—1864). Dieser - benutzte dabei die von Navier aus dem Satze der gedachten Verschiebungen gefolgerte Bedingung für das Gleichgewicht zwischen den äußern und innern Kräften eines elastischen Körpers, indem er darin an Stelle der gedachten, die wirklichen elastischen Verschiebungen einführte. Unter der Voraussetzung eines spannungslosen Anfangszustandes (III. 34, a) und durchweg gleicher Temperatur des Körpers, kommt Clapeyron zu einem Satze, den er später für seine Theorie der Federn verwendet hat. Der Satz, den wir (unter III. 3, a) benutzt haben, lautet

wenn P irgend eine äußere Kraft und ô ihren Weg bedeutet. Lamé¹¹, der die Wichtigkeit des Satzes für die Statik der Baukonstruktionen hervorhebt, nannte ihn zuerst »Clapeyrons Gesetz«.

Mit Hilfe der obigen Arbeitsgleichung Clapeyrons entwickelte der italienische Ingenieur Castigliano ¹⁶ (1879) den Satz von der Abgeleiteten der For/nänderungsarbeit (III. 35) und leitete daraus den Satz von der kleinsten Forniänderungsarbeit ab. Den gleichen Satz gab (1858) bereits Menabrea¹⁷ und ohne die Arbeiten seiner Vorgänger zu kennen, auch Frankel¹⁸ (1882).

Über das Urheberrecht an obigen Sätzen über die Formänderungsarbeit entspann sich zwischen Castigliano (1847 —1884) und Menabrea ein Meinungsstreit, der nach den, dem Verfasser von Professor Guidi-Turin gemachten dankenswerten Angaben, von Cremona (1830—1884) geschlichtet worden ist. In dem von Cremona *9 dem Präsidenten der römischen Akademie der »Luchsäugigen (Lincei)« erstatteten Berichte heißt es am Schlüsse wörtlich: »Das Mitglied Cremona hält den Einspruch des Herrn Castigliano für nicht genügend begründet: Der Satz, um den es sich handelt, ist älter als die Arbeiten der beiden Verfasser und die gegebenen Beweise erscheinen nicht ganz einwandfrei. Nach semer Meinung fehlt daher ein Grund zum Streite und er schließt: Wenn Herrn Castigliano die Ehre gebührt, eine schöne Arbeit gemacht zu haben, so kann niemand Herrn Menabrea das Verdienst ab sprechen ein allgemeines Prinzip populär und dem allgemeinen Gebrauche zugänglich gemacht zu haben, einem Prinzipe, dem es sicher Vorbehalten ist, immer weitere Anwendung ztc finden.«-'⁴ Es scheint danach, als ob Cremona den Ursprung des Satzes von der kleinsten Arbeit bis auf den zuerst von Maupertuis (1698—1759) und Lagrange benutzten Satz »de la moindre action« zurückführt.

Die Ansichten über den Wert der Anwendung des Satzes von der kleinsten Formänderungsarbeit auf Aufgaben aus dem Gebiete der Statik der Baukonstruktionen sind heute mehr als je geteilt. Mit vielen Fachgenossen vertritt Verfasser die Meinung, daß in Fällen, wo jener Satz anwendbar ist, die Benutzung der Arbeitsgleichungen Mohrs, von denen weiterhin noch die Rede sein wird, rascher und bequemer zum Ziele führt. Dabei ist das Verfahren von Mohr, weil es sich nicht auf den (nur unter gewissen Voraussetzungen gültigen) CLAPEYRONschen

Satz stützt, ohne weiteres allgemein anwendbar. Wie bewiesen, ist dies der Satz von Castigliano nicht (III. 35). Mohr²⁰ war der Erste, der klarstellte, wie beschränkt das Anwendungsgebiet des obigen Satzes sei, im Vergleich mit der allgemeinen Verwendbarkeit der von ihm (schon 1874) eingeführten Arbeitsgleichungen.

3. Wie der vorstehende Rückblick erkennen läßt, erfolgte die Ausbildung der reinen Elastizitätslehre hauptsächlich in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Bis dahin waren auf dem wichtigsten Konstruktionsgebiete, das die schwierigsten Rechnungen nötig machte, im Brückenbau, mit nur vereinzelten Ausnahmen, ausschließlich Vollwand-träger verwendet worden. Das Wesen der gegliederten Träger wurde in dieser Zeit nicht voll erkannt und deren Berechnung konnte sachgemäß erst durchgeführt werden, nachdem zwei berühmte deutsche Ingenieure, das waren Culmann⁴⁰ (1821—1881) und Schwedler41 (1823—1896), ihre grundlegenden Arbeiten darüber veröffentlicht hatten (1851 —1863). Bis dahin berechnete man derartige geliederte Träger nur unvollkommen aus den Biegungsmomenten, unter Vernachlässigung der Wandgliederung, die man (wie oben schon bemerkt) als unerläßliche Beigabe gegen Verschiebungen der Gurte betrachtete. Damals war die Britanniabrücke in England eben eröffnet (1849) und die Vorarbeiten für den Bau der alten Dirschauer Brücke (6 Öffnungen von je 130 m Weite) waren im Gange. Die beiden genannten Theoretiker erhoben sofort Bedenken sowohl gegen die Zweckmäßigkeit hoher Blechwandträger als auch gegen ^«gmaschige Gitterwände, die seit 1846 aufgekommen waren. Beide befürworteten eine klare Gliederung der Trägerwände, derart daß sowohl in den Gurten als auch in der Wand jede Stabkraft genau berechnet werden konnte. Das Urteil der beiden hervorragenden Männer hat wesentlich zu dem in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erfolgten Aufschwünge in der Theorie und Praxis des Brückenbaues beigetragen. Dabei standen mehrere Jahrzehnte noch die analytischen Trägerberechnungen im Vordergründe. Diese gestalteten sich aber namentlich bei den unbestimmten Systemen der durchgehenden Träger und der Bogenträger immer verwickelter, obwohl die Einführung des Schnittverfahrens durch A. Ritter⁴² (1863) die Hilfsmittel zur Berechnung gegliederter Träger schon in außerordentlicher Weise vereinfacht hatte. Da lernte man zur rechten Zeit einen neuen Zweig der technischen Wissenschaft kennen, die graphische Statik, deren ausgezeichnete Hilfsmittel besonders geeignet waren, um über die schwierigsten theoretischen Aufgaben des Bauwesens in bequemer und zuverlässiger Art hinweg zu kommen. Wer, wie Verfasser, seine technischen Studien im 7. Jahrzehnt

des vorigen Jahrhunderts angefangen und beendet hat, wird sich wohl noch des großen Aufsehens erinnern, das die vom Polytechnikum Zürich ausgehenden ersten graphischen Berechnungen von Baukonstruktionen damals an andern technischen Lehranstalten erregten. Zürich, wo Culmann, der Begründer der graphischen Statik lehrte (I. 42—43) blieb lange Zeit die oberste Pflanzstätte der neuen Wissenschaft. Im 8. und 9. Jahrzehnt des vorigen Jahrhunderts übernahm darin Winkler (1835—1888) die Führung, als dieser in Berlin Statik der Baukonstruktionen und Brückenbau lehrte. Verfasser hat es im Vorworte des I. Bandes seiner Vorlesungen offen ausgesprochen, wie er wohl nie dazu gekommen wäre, eine so umfangreiche theoretische Arbeit, wie die vorliegende, herauszugeben, wenn er nicht das Glück gehabt hätte, in jüngern Jahren (1879—1883) Winklers Assistent geworden zu sein. Unter Winklers Augen hat mancher Fachgenosse graphische Statik gelernt, der heute auf diesem Gebiete selbst als Lehrer auftreten darf. Wie aber die »graphische Statik« angefangen, gewachsen und groß geworden ist, soll jetzt näher dargelegt werden.

¹

Frühling, Die Entwässerung der Städte. Handb. d. Ing.-Wissenschaften. III. Teil. 4. Bd. 4. Aufl.

27*

²

Die von Zimmermann mit x bezeichnete Hilfsgröße wird hier, um Verwechslungen mit der Schubverteilungszahl (III. 5, d) zu vermeiden, K genannt.

³

Nach Goering. Oberbau der Eisenbahnen. 1898. Sonderdruck aus dem von Lueger herausgegebenen »Lexikon der gesamten Technik«, S. 16.

⁴

»II socio Cremona crede che il reclamo del signor Castigliano non sia abbastanza fondato: il teorema di cui si tratta è anteriore ai lavori dei due autori, e le dimostrazioni date non sembrano esenti da ogni obbiezione. E’ percio opinione sua che manchi la materia della contesa e conclude: s’ablia il sig. Castigliano l’onore di aver fatto un bel lavoro ; nessuno potrà togliere al socio Menabrea il merito di aver reso popolare e di uto commune un principio generale, ehe è cer-tamente riserbato a ricevere applicazioni sempre più estese.«

62. Die graphische Statik.

a. Ihre Anfänge bis auf Culmann.

1.    Die Franzosen waren von jeher ausgesprochene Analytiker. Lagrange⁶ (1788) gab in seiner berühmten »analytischen Mechanik« nicht eine einzige Figur, weil er grundsatzmäßig bemüht war, jeden Fall mit möglichst wenigen Mitteln in Formeln darzustellen. Im Gegensätze dazu hat (etwa 100 Jahre früher) Newton in den » Prinzipien « seine Sätze mit Hilfe von Zeichnungen rein geometrisch entwickelt. Poinsot13 (ï777—1859) bevorzugte (1804) in seinen »Éléments de statique« entschieden das geometrische Verfahren. Lange standen sich so die Ansichten über die zweckmäßigste Behandlung mathematisch-statischer Aufgaben gegenüber, bis es den unausgesetzten Bemühungen französischer und deutscher Ingenieure gelang, die Wissenschaft der »graphischen Statik« anzubahnen, deren Erfolge im Bauwesen außerordentliche geworden sind.

2.    Die grundlegenden geometrischen Gebilde der graphischen Statik, das Krafteck und Seileck (I. 54—55), waren vor Jahrhunderten schon bekannt. Stevin²¹ (1548—1620) kannte bereits das Verfahren der Zerlegung und Zusammensetzung von Kräften, die in einem Knoten, einer sog. Seilmaschine angreifen. Er stellte in jedem Knoten die dort wirkenden drei Kräfte ihrer Größe nach in einem Dreiecke dar. Die Anfänge der graphischen Statik sind deshalb bis auf Stevin zurückzuführen (1.40). Varignon²² (1654—1722), dessen Hauptwerk »Nouvelle Mécanique« erst drei Jahre nach seinem Tode erschien, hat (ebenso wie Stevin) das Gleichgewicht eines Seilzuges studiert und ist dabei für parallele und nichtparallele Kräfte zu dem Satze gekommen, daß sich beliebige im Gleichgewicht befindliche Kräfte, wenn diese durch gerichtete Strecken dargestellt werden, zu einem geschlossenen Kraftecke zusammensetzen lassen. Auch hat Varignon schon die Lage der Mittelkraft von Kräften mit Hilfe eines Seilzuges dargestellt.²³

Lange Zeit verfloß, ehe Krafteck und Seileck wieder hervorgeholt wurden. Soweit bekannt, geschah dies zuerst von Lamé und Clapeyron23 (1826) bei Gelegenheit des Baues von Kuppelgewölben der St. Jakobskirche in Petersburg. Die beiden Ingenieure bezeichnen das Seileck als »polygone funiculaire« , das Krafteck als »polygone secondaire« und benutzen beide Gebilde zur Darstellung von Kettenlinien. In ihrem Berichte¹ heißt es darüber: »Ainsi des lignes sucessives, proportion elles et parallèles aux forces qui agissent sur les sommets d’un polygone funiculaire, formeront un polygone secondaire, fermé ou non fermé, qui jouira de cette propriété, que des lignes partant de ses extrémités et des sommets, et aboutissant en un même point ou pôle seront respectivement proportionelles et parallèles aux tractions éprouvées par les différens côtes du polygone funiculaire proposé. Ce théorème a lieu généralement, que la polygone funiculaire soit plan, ou qu’il soit gauche.« Am Schlüsse ihres Berichtes sagen die Verfasser: »La théorie sur les polygones secondaires et leur pôles, nous parait jeter un nouveau jour sur la théorie des polygons funiculaires; c’est un de ces résultats simples, dont l’énoncé contient presque toute la demonstration, et qui sont in-fininement plus fertiles en applications que beaucoup d'autres théorèmes plus difficiles a démontrer. «

Besondere Verdienste um die graphische Statik erwarb sich etwas später der Ingenieuroffizier Poncelet²⁴ (1788—1867), der 1828—1829 Vorträge an der Artillerie- und Genieschule in Metz gehalten hat. Dort benutzte er schon das Seileck für Schwerpunktsbestimmungen. Später (1835) führte er nicht allein für den Maschinenbau, sondern auch in der Theorie der Gewölbe und des Erddrucks die wichtigen Hilfsmittel von Krafteck und Seileck ein (II. 50 und 53). Brix²⁶ (1798—1870), hat Poncelets Arbeiten benutzt, um Kettenlinien geometrisch darzustellen (1849). Ebenso hat Cousinery²⁵ (1838) im »Calcul de trait« die Geometrie auf seine Standfestigkeits-Untersuchungen angewendet. Er hat aber nicht viel mehr getan, als vorher entwickelte analytische Ausdrücke (sozusagen) ins Graphische übersetzt. Den Geist jener graphischen

Statik, wie sie Culmann (1866) geschaffen hat (I. 42—44) haben beide und auch alle übrigen Vorgänger Culmanns noch nicht voll erfaßt. Culmann (1821—1881) war der Erste, der die Beziehungen zwischen Krafteck und Seileck und deren fruchtbare Verwendbarkeit für die allgemeinen Aufgaben der Statik im Grunde erkannte. Ihn nennen wir daher mit Recht den Begründer der graphischen Statik.27 Leider wendete Culmann als Beweismittel hauptsächlich »die Geometrie der Lage« an, was in weiten technischen Kreisen keinen Anklang fand. Auch Mohr²⁸ wendete sich (1875) dagegen.

b. Culmann und seine Nachfolger. Die wichtigsten Gegenstände, die hier der Reihe nach besprochen werden, sind: Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte, Seilecke und deren Verwendung für Aufgaben der Statik und Festigkeitslehre, Kräftepläne in der Ebene und im Raume, Biegelinien und Einflußlinien.

i. Culmann ist der Urheber aller derjenigen Hauptsätze über Krafteck und Seileck und deren Verwendung für die Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften, die im I. Bande dieser Vorlesungen (unter 54 bis 60 und 61, 63 bis 65) enthalten sind. So stammen auch die dort gegebenen Begriffe des geschlossenen Kraft- und Seilecks, der Mittel-kraftlinie, der Polachse (Polarachse) von Culmann. Das bereits erwähnte berühmte, heute noch unentbehrliche Schnittverfahren von Ritter42 (I. 68) wurde von Culmann durch die Schaffung seines Vierecks (I. 69) ins Graphische übersetzt.

Über mehrere, von Culmann abweichende Verfahren der Kräftezusammensetzung sind die Angaben von Henneberg³⁹ zu vergleichen: Mohr, Levy und Saviotti28—30 lösten die Aufgabe, ein Seileck für eine bestimmte Kräftegruppe durch vorgeschriebene drei Punkte zu legen. Die gleiche Aufgabe wurde später noch vielfach behandelt. Tiefere Einblicke in die Beziehungen zwischen den Seilecken, die zu der nämlichen Kräftegruppe gehören, bieten besonders die Arbeiten von Maxwell³¹ und Cremona³³ (I. 70). Sie führten auf die sog. reziproke?i Figuren und die Darstellung der Kräftepläne, wenn auch der Wert dieser Figuren für die Statik der Baukonstruktionen von mancher Seite heute noch stark überschätzt wird.

Für Kräfte, die im nämlichen Punkte 0 angreifen, bezeichnete Culmann Krafteck und Seileck als reziproke Figuren. Denn wenn man für diese ein Krafteck mit beliebigem Pole O' zeichnet und dazu zwischen die in O zusammentreffenden Kraftrichtungen ein Seileck legt, so sind Krafteck und Seileck zwei vertauschungsfähige Figuren, insofern als jenes als ein Seileck für Kräfte mit dem Anfangspunkte O' aufgefaßt

28

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

werden kann, für welche dieses das Krafteck bildet. Die von Maxwell und Cremona erweiterte Theorie der reziproken Figuren führte zum Verfahren der Darstellung von Kräfteplänen statisch bestimmter Stabwerke, wie sie im I. Bande für die Ebene und den Raum gezeichnet worden sind.

Die von Culmann gegebenen Lösungen für die Aufgaben der Schwer-/z^Abestimmung, der Ermittelung von statischen Momenten, Flächen-momenten, Biegungsmomenten belasteter Träger usw. (I. 63 und § 14) sind vielfach verbessert und erweitert worden, besonders durch Mohr, Nehls u. a. (I. 96). Die von Poinsot¹³ eingeführte Trägheitsellipse ist von Culmann vielseitig verwendet und später mit großem Erfolge von Mohr³⁴ durch den Trägheitskreis ersetzt worden. Dadurch sind die Ermittelungen der Trägheitsmomente, des Zentrifugalmomentes, sowie die Darstellungen von Hauptachsen, zugeordneten Achsen und die damit in Verbindung stehende Darstellung des Kerns und der Spannungsverteilung in einem Stabquerschnitte ungemein vereinfacht und übersichtlich gemacht worden, wie dies aus den ausführlichen Darlegungen darüber (unter I. § 14) zu entnehmen ist.

2. Kräfte im Raume, die in verschiedenen Punkten angreifen, setzt Culmann in der ersten Auflage seines Werkes zunächst in bekannter Weise dadurch zusammen, daß er alle Kräfte parallel zu ihrer Richtung nach einem Schnittpunkte O dreier Projektionsebenen verschiebt und deren Mittelkraft in einem räumlichen Kraftecke findet. Dann vereinigt er die (von Poinsot ¹³ eingeführten) Kräftepaare mit Hilfe ihrer Achsen (I. 47). Bauschinger³⁵ (1834—1893) zeichnet drei Kraft- und Seilecke für drei Projektionen. Zuchetti (1877) führt die Kräftegruppe auf zwei windschiefe Kräfte zurück (I. 50, b), von denen eine in einer vorgeschriebenen Geraden liegt³9. Mohr²⁸ gibt eine einfache graphische Darstellung von Zentralachse und Hauptkräftepaar, wobei er den Satz verwendet, daß die Projektion einer räumlichen Gleichgewichtsgruppe wieder eine solche liefert. Andere hierher gehörende Lösungen vgl. bei Henneberg ³9.

c. Maxwell, Menabrea-Castigliano und Mohr.

i. Clerk Maxwell (1830—1879), Professor der Experimentalphysik an der Universität Cambridge, hochberühmt durch seine Theorien der Wärme, der Elektrizität, des Magnetismus usw., hat auch der technischen Wissenschaft einige wenige, aber bedeutsame theoretische Arbeiten gewidmet. Sie behandeln die reziproken Figuren, einfache Kräftepläne und das Gleichgewicht und die Starrheit der Stabwerke. Darin ist auch der sog. MAXWELLsche Satz, oder der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen enthalten. Fassung und Beweis dieses Satzes durch

Maxwell selbst ist (unter III. 13. a) gegeben und dabei dargelegt worden, wie es Maxwell besonders nur darum zu tun gewesen ist, die Berechnung von Verschiebungen der Stabwerksknoten zu erleichtern. Er stellte dabei auch die Elastizitätsgleichungen für statisch unbestimmte Stabwerke auf, aber nur, um auch dafür seinen Satz zu beweisen. Wenn jetzt behauptet wird, die Verfahren von Maxwell, Menabrea-Castigliano und Mohr seien gleichwertig und leisten das Gleiche, so ist das ohne Zweifel eine irrige Ansicht. Denn zwei Fragen, die für die Berechnung statisch unbestimmter Bauwerke von großer Wichtigkeit sind: über die Einwirkungen der Temperatur und der Stützenlage, lassen sich nur durch das Verfahren von Mohr, d. h. durch Anwendung des Satzes der gedachten Verschiebungen beantworten. Die Bemühungen Mviäjzr-B res laus², um die Verfahren von Maxwell und Castigliano für die genannten Zwecke zu ergänzen, laufen auf nichts anderes hinaus, als auf eine Anwendung des Verfahren Mohrs, und der Versuch, diese Tatsache zu verschleiern, kann als gelungen nicht bezeichnet werden³. Somit sei hier festgestellt, daß die in der angegebenen Quelle (S. 336) ausgesprochene Behauptung W}\xs^-Breslaus‘. »Neben den MAXWELLSchen Sätzen bilden die Sätze von Castigliano die Grundpfeiler der gegenwärtigen Theorie der statisch unbestimmten Konstruktionen« unwahr ist. Die Behauptung ist nach vorigem um so widersinniger, als in dem mitgeteilten entscheidenden Urteile der römischen Akademie der »Luchs-äugigen« wörtlich gesagt worden ist: »Der Satz, um den es sich handelt, ist älter als die Arbeiten von Menabrea und Castigliano und die gegebenen Beweise erscheinen nicht ganz einwandfrei. sollte bedenken, daß auch an ihn künftig der Maßstab angelegt werden könnte, mit welchem er nach obigem die Bedeutung von Mohrs grundlegenden Arbeiten gemessen hat!

Müller-Breslau

Man beachte hierzu auch Mohrs Beitrag zur Theorie des Fachwerks im Zivilingenieur (1885). Darin werden die Arbeiten von Clapeyron, Maxwell und Castigliano kurz besprochen. Sodann wird nachdrücklich darauf hingewiesen, wie der Satz der gedachten Verschiebungen nicht nur geeignet sei, die Formänderungen der Fachwerke und die Stabkräfte der statisch unbestimmten Fachwerke zu bestimmen, sondern wie er außerdem alle Fragen beantwortet, die bei der Berechnung der bestimmten und unbestimmten Fachwerke Vorkommen können⁴.

Wer sich von der Bedeutung der Arbeiten Mohrs auf den Gesamtgebieten der Mechanik, Festigkeitslehre und Statik der Baukonstruktionen überzeugen will, dem sei die neueste Schrift des Meisters60 empfohlen, worin er das Wichtigste, das er in seiner Tätigkeit als Ingenieur und Hochschullehrer veröffentlichte, unter dem Titel » Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik« übersichtlich zusammengefaßt hat. Mohrs grundlegende Arbeiten über die Theorie der Fachwerke und der statisch unbestimmten Systeme werden unter der folgenden Nummer besprochen. Hier kommen nur seine Darstellung der elastischen Linie und sein Anteil an der Einführung der Einflußlinien in Betracht.

2. Culmann erklärte in der ersten Auflage seines Werkes die graphische Darstellung der elastischen Linie als undurchführbar, worüber das Nähere (unter III. 5, b) zu vergleichen ist. Zwei Jahre später brachte Mohr36 in überraschend einfacher Weise die Lösung der Aufgabe: Er verwendete dabei nur die Eigenschaften von Kraft- und Seileck, folgte also damit dem Meister Culmann auf dessen ureigenes Gebiet. Wenn Mohr der technischen Welt weiter nichts geschenkt hätte als seine Darstellung der elastischen Linie, so würde er in der Geschichte der technischen Wissenschaften unvergessen bleiben. Aber Schlag auf Schlag folgten neue ideenreiche Veröffentlichungen Mohrs.

In der nämlichen Mitteilung des Jahres 1868, die im Eingänge die erwähnte Lösung zur Darstellung der elastischen Linie enthält, hat Mohr ³⁶, um die Momente von durchgehenden Trägern darzustellen, auch bereits Einflußlinien gezeichnet. Er bezeichnet diese Linien nicht mit ihrem heutigen Namen. Denn erst Weyrauch⁶⁸ hat ihnen (1873) den Namen »Influenzlinien« beigelegt. Mohr hat aber den Nutzen dieser wichtigen Linien für die Auffindung der gefährlichsten Laststellungen und der Grenzwerte äußerer und innerer Kräfte damals schon erkannt. Das soll hier an der Hand der von ihm gegebenen Mitteilungen nachgewiesen werden. Nachdem Mohr zuerst die Stützenmomente eines durchgehenden Trägers für gegebene ruhende Lasten graphisch dargestellt hat, sagt er (S. 36) wörtlich: »Die gelöste Aufgabe kommt verhältnismäßig selten vor, denn in der Regel ist nicht nur ein bestimmter Belastungsfall, sondern es sind alle möglichen Belastungsfälle zu berücksichtigen.« Darauf gibt er (S. 42) unter der Überschrift » Graphische Bestimmung der Biegungsmomente und Querkräfte, die von einer konzentrierten Einzellast erzeugt werden« die Anleitung zur Darstellung von Linien, die wir heute Einflußlinien nennen. Er sagt: »Es ist von Interesse zu untersuchen, durch welche Lagen der Belastung in jedem beliebigen Punkte des Trägers jene Maxima erzeugt werden. Alle hierauf bezüglichen Fragen lassen sich beantworten, wenn man imstande ist, die Biegungsmomente und Querkräfte graphisch darzustellen, die hervorgerufen werden, wenn nur ein beliebiger Punkt des im übrigen unbelasteten Trägers belastet ist; denn aus Einzellasten läßt sich jede andere Belastung zusammensetzen.« Darauf zeigt Mohr im einzelnen, wie man für irgend einen Schnitt einer Trägeröffnung eine Linie zeichnet, mit deren Hilfe die Größe des Momentes oder der Querkraft im Schnitte für einen beliebigen Lastenzug berechnet werden kann. Mit andern Worten er zeichnet Einflußlinien, wie das heute bei der Berechnung von durchgehenden Trägern auch noch geschieht (vgl. unter III. 54 und die Fig. 280—288).

Damit dürfte nachgewiesen sein, daß Mohr es war, der als Erster die Einflußlinien angewendet hat. Fast gleichzeitig mit Mohr hat Winkler³⁷ solche benutzt. Das war zur Zeit als Winkler seine bahnbrechenden Untersuchungen über Bogenträger (1868) anstellte. Er nannte die Einflußlinien damals » Spannungskurven«-. Wenn also Henneberg ³? angibt, Weyrauch habe die Einflußlinien (1873) eingeführt, so ist das nicht richtig. Richtig ist nur, daß Weyrauch⁶⁸ sie zuerst » Influenzlinien« genannt. Frankel³⁸ schrieb (1876) die erste zusammenfassende Arbeit über Einflußlinien. Mohr⁴³ hat später als Erster auch die Einflußlinie einer Verschiebung und einer überzähligen Größe gegeben

(III. 14).

Erst in der 4. Aufl. seiner »Graphische Statik der Baukonstruktionen«, nennt Müller-Breslau als denjenigen, der zuerst Einflußlinien benutzt hat, Winkler. Mohr wird von ihm dabei nicht erwähnt. Aber

auch von Winkler, dessen Nachfolger im Hochschulamte Müller-Bres lau geworden ist, sagt dieser: »Die allgemeine Bedeutung dieses Verfahrens hatte Winkler aber damals noch nicht erkannt, was daraus hervor geht, daß er in der ersten Auflage seiner » Theorie der Brücken« die statisch bestimmten Träger ohne Einflußlinien behandelte.« Jedenfalls eine merkwürdige, ziemlich aus der Luft gegriffene Behauptung! Hatte denn sonst jemand zu jener Zeit (1873) schon Einflußlinien derart verwendet? Müller-Breslau selbst hat doch (wie er sagt) erst seit 1875 Einflußlinien gegeben. Um also falschen Anschauungen über Winklers Meinung von der Bedeutung der von ihm und Mohr eingeführten Einflußlinien zu begegnen, möge hier festgestellt werden, daß Winkler in seinen Berliner Vorlesungen, die Verfasser 1879—1880 selbst hörte, es öfter ausdrücklich betont hat, wie die Einflußlinien, neben Krafteck und Seileck die wichtigsten Hilfsmittel der graphischen Statik seien. Wenn Winkler seine Studien über Einflußlinien erst später herausgab, so

hat er dafür sicher berechtigte Gründe gehabt. Weitere Veröffentlichungen über diesen Gegenstand wurden ihm verwehrt, denn schon 1888, nach längerer Krankheit, setzte der Tod seinem Leben ein Ziel⁵.

64. Die Theorie des Fachwerkes.

a. Statisch bestimmte Systeme.

i. Begriff der Starrheit (Steifigkeit, statische Bestimmtheit). In der berühmten Statik von Möbius⁶ (1790—1868) findet man (1837) die ersten Untersuchungen über Beweglichkeit von Körpergebilden, wobei gezeigt wird, wie für gewisse Stablängen eine unendlich kleine Beweglichkeit (I. 34) entstehen kann. Maxwell³¹ sagt; »A stiff frame is one, in which the distance between any two points cannot be altered without altering the length of one or more of the connecting lines of the frame. — A frame of k points in a plane requires in general 2 k — 3 connecting lines to render it stiff. « Maxwells Schriften wurden, wie schon erwähnt, erst später in Deutschland bekannt. So darf man sagen, daß es Mohr war, der sich dort zuerst mit der Frage der Starrheit der Fachwerke beschäftigte. Mohr⁴³ bestimmte (1874) zuerst die Anzahl der notwendigen Stäbe (I. § 5) und sagt: » Ein einfaches ebenes Fachwerk [d. h. ein solches mit 2 k — 3 Stäben) ist steif, wenn die Längen sämtlicher Stäbe voneinander unabhängig sind. « Er machte als Erster auch auf den Ausnahmefall der unendlich kleinen Beweglichkeit aufmerksam und bezeichnet ihn als einen solchen, bei welchem die eine Stablänge als Funktion der übrigen betrachtet, ein Maximum oder Minimum ist. Auch bemerkt Mohr zuerst, daß die Stabkräfte im Ausnahmefalle im allgemeinen unendlich groß werden. Daß der Ausnahmefall eintritt, wenn die Eliminationsdeterminante einer Gleichung, aus welcher die Stabkraft zu berechnen ist, gleich Null wird, hat zuerst Föppl⁵⁶ nachgewiesen (1880). Die Bezeichnung »Grundeck« (I. 30) rührt von Lang⁵⁴ her. Für die ■ graphische Untersuchung des Ausnahmefalles verwendet (1887) Müller-

Der Verfasser.

Breslau⁵³ ein einfaches Verfahren (I. 80) unter Benutzung des Satzes der gedachten Verschiebungen und der (vor ihm bereits angewendeten) sog. senkrechten Geschwindigkeiten. Ausführlicheres über mehr mathematische Auslegungen des Begriffs der » Starrheit' der Baukonstruktionen wenig Bedeutung haben, vgl. Henneberg³⁹.

die für die Statik

2. Stabkraftbestimmurg. Das älteste Verfahren ist das allbekannte von Ritter⁴³ (I. 68). Es ist ebenso wie das Culmann-Verfahren (mit Hilfe des Kraftvierecks) hauptsächlich nur für Dreieckfachwerke (I. 26) anwendbar. Beide Verfahren gelten aber sowohl für die Ebene als auch für den Raum (I. 72).

Die Darstellung von Kraftplänen, die als reziproke Figuren gegenüber den zugehörigen Fachwerksbildern erscheinen, sind wohl — unabhängig von Maxwell und Cremona — zuerst von den englischen Ingenieuren Taylor, Jenkin und Bow angefertigt worden³².

Saviotti³⁰ gibt verschiedene Verfahren an. Besonders bekannt ist

dasjenige darunter geworden, das sich auf folgenden bekannten Satz stützt :

Wenn bei der Gestaltänderung eines n-Eckes, dessen Seiten alle eine und dieselbe Gerade in feste?! Punkten treffen, während n — i Eckpunkte Gerade beschreiben, so schreitet auch der nte Eckpunkt in einer Geraden fort« (I. 82, b). Bei diesem Verfahren nimmt man zuerst eine Stabkraft beliebig groß an und findet dann durch zweimaliges Probieren den richtigen Kräfteplan.

Die Grundidee des sog. Verfahren der Stabvertauschung (Ersatzstabverfahren) rührt von Henneberg⁴⁹ her (i886). Deshalb ist es (unter I. 74) das Henneberg-Verfahren genannt worden. Föppl hat es ebenso genannt und beharrt auch in der 2. Auflage seiner »Graphischen Statik« dabei, wenn er (S. 318) auch anerkennt, daß MviACERrBreslau sich um die Anwendung des Henneberg-Verfahrens verdient gemacht habe. Man vergleiche auch die Entgegnung Hennebergs auf die Urheberschaftsansprüche Mü lAJERrBreslaus⁷.

Die Grundidee der Stabkraftbestimmung unter Anwendung des Satzes der gedachten Verschiebungen, also des sog. kinematischen Verfahrens, hat zuerst Mohr⁴³ gegeben (1874) und später (1903) auch für die Berechnung der Raumfachwerke verwendet. Föppl⁵⁶ weist (1880) ebenfalls auf diese allgemeinere Art der Stabkraftermittelung hin. Wenn

Der Verfasser.

nachträglich Müller-Breslau'⁸ behauptet, er sei »der Erste gewesen, der die kinematische Berechnung des Fachwerks vollständig durchgeführt« habe, so widerspricht er damit der tatsächlichen geschichtlichen Entwicklung dieses Zweiges der Theorie des Fachwerks. Dagegen erleidet es keinen Zweifel, daß MxrLi&R-Breslau durch seine zahlreichen Anwendungen der von Mohr geschaffenen theoretischen Grundlagen wesentlich mit dazu beigetragen hat, die für den praktischen Gebrauch so ausgezeichnet einfachen Berechnungsweisen Mohrs in weiten technischen Kreisen bekannt zu machen.

3. Für die Berechnung der Stabkräfte von Raumfachwerken können alle vorstehend für die Ebene angegebenen Verfahren verwendet werden. Das Momentenverfahren von A. Ritter, das zu diesem Zwecke von Landsbergs8 besonders ausgebildet worden ist, das Verfahren von Henneberg und von Culmann, sowie auch das Verfahren von Mohr (I, § 13) eignen sich dazu besonders gut. Die ersten und ausführlichsten Arbeiten über das Raumfachwerk brachte Föppl (1880), der besonders auch Raumfachwerke behandelt, die er »Flechtwerke« nennt. Das sind Fachwerke, deren Knoten und Stäbe sämtlich auf einem Mantel liegen, der einen Innenraum umschließt. Solche Raumfachwerke waren schon die Kuppeln Schwedlers⁹. Föppl⁵⁶ gibt in seiner »graphischen Statik« auch lehrreiche eigene Berechnungen von Raumkuppeln, ebenso Ritter⁵⁵-Zürich. Hervorzuheben bleibt noch die ausgezeichnete Schrift über Raumfachwerke von Zimmermann⁵⁷ (1901), worin die Reichstagskuppel mit ihter neuen eigenartigen Stützung, und auch verschiedene andere neue Fachwerke beschrieben und berechnet werden.

b. Formänderungen und statisch unbestimmte Systeme. Die wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiete rühren von Mohr, Winkler und Land (1855—1899), einem Schüler Mohrs, her.

i. Punktverschiebwigen. Mohr⁴³ zeigte (1874) als Erster, wie man mit Hilfe des Satzes der gedachten Verschiebungen eine Reihe der wichtigsten Aufgaben aus dem Gebiete der Statik und Festigkeitslehre lösen könne, und zwar sowohl für bestimmte, als auch für unbestimmte Systeme. Sein bahnbrechendes Verfahren hatte in der technischen Welt bereits Eingang gefunden, als auch eine ältere Veröffentlichung Maxwells³¹ bekannt wurde, von welcher bereits (S. 85 und 434) die Rede war, und deren wesentlicher Inhalt (unter 13, a) gegeben worden ist. Die

Arbeit von Maxwell erscheint aber nicht geeignet, die große Überlegenheit des Verfahrens von Mohr, sowie auch dessen Urheberschaftsrechte irgendwie zu schmälern. Verfasser nennt daher die bekannte Grundgleichung der Fachwerkstheorie Mohrs

^Jpö    As

und die daraus abgeleitete Gleichung mit deren Hilfe jede aus irgend einer Ursache entstehende Punktverschiebung zu berechnen ist, die Arbeitsgleichungen von Mohr (III. 10, b). Auch hat es Verfasser sich besonders angelegen sein lassen, die große Bedeutung dieser Arbeitsgleichungen durch eine Reihe von Beispielen für bestimmte und unbestimmte Systeme zu veranschaulichen (III. 11).. Über einen Versuch von Müller-Breslau, die Arbeitsgleichungen Mohrs zu solchen von Maxwell umzustempeln ist (außer dem unter 63, c bereits Gesagten) noch das Folgende hinzuzufügen.

Müller-Breslau' sagt: »Die Vergleichung der von den Lasten P und den Stabkräften S geleisteten Arbeiten vollzieht Maxwell mit Hilfe des Gesetzes

i)

\ps = isjs,

indem er P und A als Kräfte auffaßte, die von Null aus allmählich anwachsen. Die auf diesem Wege abgeleitete Grundgleichung

2)

ist übrigens von derselben allgemeinen Bedeutung, wie die unmittelbar aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen gefolgerte Bedingung

3)

yjpd =2 S4s .

Denn solange es sich nur um die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen handelt, ist die Größe der Elastizitätsziffer E und Querschnittsinhalte F der Stäbe gleichgültig und man kann daher auch mit Hilfe der aus dem CLAPEYRONschen Gesetze gefolgerten Gleichung 2) leicht auf den von Maxwell nicht berücksichtigten Einfluß der Temperaturänderungen schließen, ebenso wie man beobachteten Stützenverschiebungen durch Anbringen von Auflagerstäben mit passend gewählten Querschnitten Rechnung tragen kann.«

¹ Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 3. Aufl. 1904, S. 23.

Dagegen erwidert Mohr¹: »Die vorstehenden Angaben sind falsch und irreführend. Nicht Maxwell, sondern Clapeyron¹⁵ vollzieht das, was durch die Gleichung 1) ausgedrückt wird, und deshalb trägt diese Gleichung nicht Maxwells, sondern Clapeyrons Namen. In ihr bezeichnen As und d die von den Lasten P und den zugehörigen Stabkräften S hervorgerufenen elastischen Längenänderungen der Stäbe und die entsprechenden Verschiebungen der Knoten. Nicht Maxwell, sondern Müller-Breslau vollzieht den Übergang von der CLAPEYRONschen Gleichung zum Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten, und zwar auf einem ebenso einfachen wie unzulässigen Wege, indem er nämlich beide Seiten jener Gleichung mit der Zahl 2 multipliziert. In der »auf diese?n Wege abgeleiteten Grundgleichung« bezeichnen â und As etwas ganz anderes, nämlich willkürlich gewählte Knotenverschiebungen und die zugehörigen Längenänderungen der Stäbe. Auch der angefügte Versuch einer Begründung, der übrigens nicht ohne weiteres verständlich ist, stammt nicht von Maxwell her, sondern von Müller -Breslau. Es handelt sich also hier nicht um Gedanken, die Maxwell in Wirklichkeit gehabt und geäußert hat, sondern um Gedanken, die er nach der Meinung WlviÄJER-Breslaus gehabt haben könnte und die aus diesem Grunde mit Maxwells Namen belegt werden sollen.

Derartige Bestrebungen, Ergebnisse der deutschen Wissenschaft Ausländern zuzueignen, sind in der literarischen Tätigkeit des Herrn Müller-Breslau nicht neu. In dieser Absicht wurde bei einer früheren Gelegenheit versucht, die Sätze Castiglianos mit allerlei Zutaten auszustatten, an die Castigliano selbst nicht gedacht hatte. Mein Aufsatz »Über die Elastizität der Deformationsarbeit« im Zivilingenieur 1886, S. 395, enthält hierüber die näheren Angaben. Auch die falsche Darstellung des sog. WiLLiOTschen Verfahrens gehört hierher.«

Verfasser steht in dieser Sache zu Mohr und vertraut auf das gesunde Urteil der deutschen Fachgenossenschaft, die zu entscheiden haben wird, auf welcher Seite das Recht liegt.

2. Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen. Am Schlüsse seiner erwähnten Arbeit gibt Maxwell nur eine einzige Anwendung seines Satzes, indem er für ein Parallelfachwerk eine Verschiebung berechnet, die durch eine Einzellast verursacht wird. Mohr⁴³ bewies, ohne Maxwells Vorgehen zu kennen, (1875) den obigen Satz für den Fall lotrechter Verschiebungen und leitete daraus die » Einflußlinie einer Verschiebung« ab (III. 14, a).

In der allgemeinsten Form entwickelte Betti³¹ (187 2) den Satz, sowohl für Punktverschiebungen als auch für Geradenverdrehungen usw. Mohr60 gibt einen eignen Beweis des Satzes von Betti und leitet daraus u. a. den Satz von Maxwell ab.

Ein im unbelasteten Zustande spannungsloses (bestimmies oder unbestimmtes) Fachwerk trage die nach ihrer Größe, Lage und Richtung gegebenen Lasten Px, P₂, P₃, . . ., von welchen die Stabkräfte Sp und deren Längenänderungen z/s = Sp • k erzeugt werden. Nach erfolgter Beseitigung der Lastengruppe P wird eine beliebige andere Lastengruppe Q auf das Fachwerk gebracht und erzeuge die Stabkräfte Sq mit den Längenänderungen z/s — Sq • k. Jetzt kehren wir zum ersten Belastungsfalle zurück, denken in jedem Knoten des Fachwerks aus jedem Stabe ein Stück herausgeschnitten und dann das Fachwerk durch Anbringen der Stabkräfte Sp in bekannter Weise in Gleichgewicht gesetzt. Darauf schreiben wir die Arbeitsgleichung Mohrs an für diejenigen gedachten Knotenwege, die von der Lastengruppe Q verursacht werden würden, wenn diese an Stelle der Gruppe P aufgebracht worden wäre. Das gibt die Gleichung wenn Ap die bei solchen Verschiebungen geleistete gedachte Arbeitssumme bedeutet.

Ebenso kann man jetzt mit der Lastengruppe Q verfahren, indem man jeden Fachwerkknoten denjenigen Weg durchlaufen denkt, der von der Lastengruppe P verursacht werden würde. So erhält man ebenmäßig die Gleichung

Aq —SqSp • h:

woraus

Ap = Aq

folgt.¹⁰

Das Fachwerk trage jetzt zuerst nur eine Last P, darauf nur eine Last Q. Sind dann P und Q von gleicher Größe, nur nach Richtung und Angriffspunkt verschieden und legen die beiden Angriffspunkte die

betreffenden Wege öp und öq zurück, so ist nach dem Satze von Betti anzuschreiben

oder

PÖg • COs(/*, Öq) = Q • Öq • COS((?, Öq),

Öq • cos [P, d?) =

öj, ■ cos(<2, Öq)

d. h. die Projektion des Weges öq auf die Kraft P ist ebenso groß wie die Projektion des Weges öj, auf die Kraft Q.

Sind Q und P beide Lasteinheiten und heißen ihre Angriffspunkte m und n, so bedeutet der letzte Satz, wenn die ö in der Richtung der Kräfte genommen werden,

mn •

Önm = ö

In dieser einfachsten Fassung führt der Satz von Maxwell-Mohr zu wichtigen Folgerungen bei der Berechnung der statisch unbestimmten Systeme (III. § 6). Verschiedene lehrreiche Anwendungen des Satzes von Betti vgl. bei Mohr¹.

3. Biegelinien (.Biegungslinien). Wie die elastische Linie, so wird auch die Biegelinie unmittelbar mit Hilfe eines aus den sog. elastischen Kräften w der Winkeländerungen gebildeten Kraftecks gezeichnet. Das Verfahren rührt von Mohr⁴³ her (1875). Wie (unter III. 15) ausführlich dargelegt worden ist, berechnet sich jede elastische Kraft w dabei allgemein aus der Gleichung worin s die Stablängenänderung ist und r den Hebelarm einer Stabkraft, bezogen auf den ihr zugeordneten Momentenpunkt, bedeutet, ganz gleich, ob es sich dabei um einen Gurtstab oder Wandstab handelt.

Winkler⁴⁴ war es, der die elastischen Formänderungen des Fachwerks zuerst analytisch festgelegt hat (1883). Im besondern berechnete er als Erster auch die Winkeländerungen der Stabdreiecke, um sie für seine Untersuchungen über Nebenspannungen zu verwerten. Land52 gab (1889) eine einfache graphische Darstellung der Winkeländerungen (III. 18, Fig. 86) und er war auch der Erste, der eine allgemeine, auf kinematischem Wege begründete Darstellung der Biegelinien gab. Verfasser hält das Verfahren von Mohr für einfacher und durchsichtiger, als das von Land gegebene. Doch empfiehlt er, wenn es sich um die Darstellung der Biegelinien elastischer Stabzüge handelt, die Anwendung des (unter III. 18) beschriebenen Verfahrens von Land.

Land darf als der Begründer der allgemeinen kinematischen Theorie des Fachwerkes angesehen werden. Wenn auch der von ihm dabei mit benutzte Satz von der Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen schon (1872) von Betti ausgesprochen worden ist, so hat Land⁵¹ doch, ohne Bettis Ableitung des Satzes zu kennen, in einer Reihe von Aufsätzen das ganze in Frage kommende Gebiet früher und gründlicher aufgeschlossen, als irgend ein anderer vor ihm. Schon Ende des Jahres 1882 und im Januar 1883 hat Land in Dresden, im Beisein von Frankel und Mohr, sowie 1884 in Straß bürg vor dem Architekten-und Ingenieur-Verein von Elsaß-Lothringen über seine neuen Ideen Vorträge gehalten und dabei u. a. auch die erste allgemeine kinematische Darstellung der Einflußlinien gegeben. Veröffentlichen konnte er die Grundlagen seines neueu Verfahrens erst im Anfänge des Jahres 1887.

Land ist auch der Urheber des Satzes:

Die Stabkraft wird dargestellt durch die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft P in deren Richtung,

S = P-d,

oder für »P— 1«

S = d.

Dieser Satz¹¹ bildet die Grundlage zur kinematischen Darstellung der Einflußlinie einer Stabkraft S und folgt unmittelbar aus dem Satze der gedachten Verschiebungen, den Mohr43 (1874) benutzt hat, um die kinematischen Beziehungen zwischen der Stablängenänderung und den Knotenverschiebungen zu ermitteln, wenn die Stabkraft S vorher durch statische Gesetze bestimmt worden ist. Land benutzt den Satz der gedachten Verschiebungen in umgekehrter Weise, um mit Hilfe kinematischer Sätze statische Beziehungen abzuleiten. Man wäre jedoch wohl berechtigt, auch die erste kinematische Darstellung der Einflußlinien von Stabkräften nicht Land, sondern Mohr zuzuschreiben. Denn, wie aus den ausführlichen Darlegungen (unter III. 15), namentlich auch aus den dabei benutzten Fig. 63, 65 und 66 zu erkennen ist, deckt sich Mohrs graphische Darstellung der Biegelinien eines Fachwerks, in welchem nur ein einziger Stab elastisch gedacht wird, völlig mit der Darstellung der Einflußlinie der betreffenden Stabkraft.

4. Verschiebungspläne, in denen die Knotenverschiebungen von einem Pole aus als Strahlen aufgetragen werden, sind viel weniger genau als

Biegelinien. Biegelinien aus Verschiebungsplänen abzuleiten, empfiehlt sich nicht, weil man — auch unter Berücksichtigung der Formänderungen in der Wand — Biegelinien eben so einfach darstellen kann wie jene Pläne. Vgl. die Beispiele in III. 17 und 36, c. Verschiebungspläne für statisch unbestimmte Fachwerke unmittelbar zu zeichnen, ist ihrer Ungenauigkeit wegen unmöglich, wenn man nicht jede Verschiebung vorher (nach Mohr) berechnet.

Die ersten Verschiebungspläne rühren von Williot⁴⁶ her. Sie waren aber praktisch unbrauchbar, weil darin die Stützenbedingungen des Fachwerks nicht berücksichtigt wurden. Wie dies (in einfacher Weise) mit Hilfe von Zerlegen und Zusammensetzen von Verschiebungen geschieht, hat Mohr⁵° gezeigt (III. 20, b).

Über den Versuch einer ungerechten Zueignung des Verfahrens der

Darstellung von Verschiebungsplänen an den Franzosen Williot sagt Mohr ¹ :

Unter der Überschrift » Verschiebungspläne nach dem Verfahren von Williot« beschreibt Müiaær-Breslau auf S. 60 seiner Graphischen Statik Bd. II, 1902 auch jene Zerlegungen und Zusammensetzungen, ohne seine Quelle anzugeben. Seine Leser werden hierdurch zu dem Irrtum geführt, daß alles zum Verfahren von Williot gehöre, während die von MvLLER-Breslatt z. B. in den Abb. 37—42 seiner Graphischen Statik vorgeführten Verschiebungspläne nicht nach dem Verfahren von Williot gebildet werden können, sondern zu ihrer Darstellung der von mir angegebenen Hilfsmittel bedürfen.«

5. Weil die Berechnung der statisch unbestimmten Systeme ohne vorherige Kenntnis der Formänderungen des von den überzähligen Stäben befreiten Hauptsystems nicht erfolgen kann, so ist ersichtlich, wie nach dem Bekanntwerden der grundlegenden Arbeiten Mohrs aus dem Jahre 1874—75 auf diesem schwierigen Gebiete eine völlige Umwälzung ein-treten mußte. Dazu kam der Satz von der Gegenseitigkeit der Ver-schiebungen, dessen allgemeinste Gestalt 1872 von Betti gegeben worden war, und außerdem das Verfahren zur Darstellung der gefährlichsten Lastlagen und der Grenzwerte von äußern und innnern Kräften mit Hilfe der Einflußlinien. Eine große Zahl von Fachmännern bemächtigte sich der neuen theoretischen Errungenschaften. Allen voran bemühte sich zuerst Winkler (1835 —1888), als Professor der Ingenieurwissenschaften in Prag, Wien und zuletzt in Berlin, die neuen Lehren durch Wort und Schrift in weiten technischen Kreisen zu verbreiten. Winkler, ebenso wie auch Frankel (1841—1895) Professor der Ingenieurwissen-

schäften in Dresden, waren in Deutschland die Ersten, die mit den von Mohr und andern neu geschärften geistigen Waffen die schwierigsten Aufgaben der Festigkeitslehre und Statik zu bewältigen und zu beherrschen suchten. Leider wurden diese beiden ausgezeichneten Männer zu frühe ihrem Wirkungskreise durch den Tod entrissen. Über die Schriften des Nachfolgers von Winkler — das ist Müller-Breslau — ist das Erforderliche schon im ersten Bande (I. 42) gesagt worden.

65. Besondere Theorien. Die ältesten Theorien befaßten sich mit der Berechnung von Gewölben und Stützmauern. Darüber vergleiche man die ausführlichen geschichtlichen Rückblicke und die Literatur im zweiten Bande (II. 50—56). Im 19. Jahrhundert gesellten sich dazu die Theorien über durchgehende Träger, Bogenträger u. dgl., die nachfolgend kurz besprochen werden.

a. Mehrfach statisch unbestimmte Systeme.

i. Durchgehende Träger. Über diese Trägergattung, die um die Mitte des 19. Jahrhunderts noch sehr beliebt war, gibt es zahlreiche literarische Arbeiten. Schon Eytelwein (1764—1848), der erste Direktor der Berliner Bauakademie, gab (1808) ein Verfahren zur Berechnung der Stützendrucke eines über mehr als drei Stützen durchgehenden Trägers, später (1826) auch Navier⁸. Diese Berechnungen waren aber recht verwickelt und unbequem. Das erste allgemeine, einfache und praktische Verfahren zur analytischen Behandlung durchgehender Träger stammt (1855) vom Ingenieur Bertot⁶³. Die (1857) von Clapeyron63 gegebenen Gleichungen stimmen mit denjenigen von Bertot überein. Die irrtümlich seitdem allein mit dem Namen Clapeyrons belegte » Gleichung der drei Momente« (Theoreme des trois moments) lautet in allgemeiner Form

Qn

* ln — I -j- Qn • ln + ĄMn—t • 4—i H~ 8 Mn[ln^₁ -(- l„) + 4 Mn+i • ln = O.

Darin werden zwei Nachbaröffnungen (4-i und 4) auf den Stützen n — i, n und n -j- i betrachtet. Die gesuchten Stützenmomente sind Mn-1, Mni M„₊₁. Jede der beiden Öffnungen trägt eine beliebig große, gleichmäßig stete Vollbelastung für die Längeneinheit, die in einer Öffnung auch Null sein kann. Clapeyron verwendete solche Träger beim Bau großer Eisenbahnbrücken.

In Deutschland wurde das Bertot-Clapeyron-Verfahren durch Mohr⁶⁴ veröffentlicht (i860) und auf den Fall ausgedehnt, in welchem die Stützen nicht in gleicher Höhe liegen. Mohr brachte dabei auch den ziffermäßigen Nachweis der Gefährlichkeit zufälliger Stützensenkungen für überall gleichen und (1862) für veränderlichen Trägerquerschnitt¹² 13 14. Er warnte auch vor Überschätzung der Vorteile der durchgehenden Träger und riet, statt ihrer einfache Träger zu bevorzugen. Der Erste, der den Einfluß der Höhelagen der Stützen berücksichtigte um die Momente zu verringern, war (1856) Köpcke⁶². Auch Scheffler und Grashof (1857) beschäftigten sich mit dieser Frage.

u. a.

Sehr frühe (1862) lieferte auch Winkler⁶³ Beiträge zur Theorie der durchgehenden Träger. Später noch Bresse⁶⁶ (1865), Weyrauch68 (1873), Levy (1886)

Die erste graphische Behandlung der Theorie der durchgehenden Träger findet man bei Culmann. Dessen Schüler RiTTER-Zürich⁶⁷ hat später (1871 und 1900) die umfassendsten Arbeiten über durchgehende Träger veröffentlicht. Darin werden besonders die von Culmann und Mohr eingeführten, von Winkler u. a. erweiterten graphischen Hilfsmittel in sehr anschaulicher Weise vorgeführt (III. § 9). Auf die von Ritter⁶9 gegebenen Gedanken bauend, hat es der Ingenieur Vianello 71 (1904) mit neuen Hilfsmitteln versucht, auch die über elastisch senkbaren Stützen durchgehenden Träger graphisch zu behandeln. Es scheint aber, als ob ein neues allgemeines Verfahren, bei welchem gleichmäßig sowohl unverschiebbare als auch elastisch verschiebbare Stützung in die Rechnung einbezogen werden können, Aussicht auf künftigen Erfolg hat. Dabei wird, wie es (unter III. 59, 60) beschrieben worden ist, unmittelbar der Schlußlinienzug der Momentenfläche gezeichnet. Die Anfänge des neuen Verfahrens (bei alleiniger Berücksichtigung unverschiebbarer Stützen) stammen von dem englischen Ingenieur Claxton Fidler70 (1883). Professor Ostenfeld⁷²) in Kopenhagen hat es einheitlich auch für elastisch verschiebbare Stützen erweitert. Dem neuen graphischen Verfahren haften allerdings noch einige Unbequemlichkeiten an, die aber, wie zu erwarten steht, bald beseitigt werden dürften, und die namentlich darin bestehen, daß der Schlußlinienzug in manchen Fällen graphisch nur durch Probieren gefunden werden kann. Ausführliche Literaturangaben über durchgehende Träger findet man im Handbuch der Ingenieurwissenschaften. 3. Aufl. II. Band. Brückenbau, S. 364 und bei Winkler⁶⁵.

2. Bogenträger. Der Bau von größeren Bogenbrücken aus schmiedbarem Eisen hat erst in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts

Auch die erste Anwendung von Kämpfergelenken (1858) erfolgte in Frankreich⁶¹. Unter den altern Bogenbrücken mit Kämpfergelenken ist die (1861—1864) von Hartwich erbaute Rheinbrücke der Linie Koblenz-Lahnstein besonders hervorzuheben. Sie zeigte zum ersten Male Fachwerk zwischen gekrümmten Parallelgurten. Ihre von Sternberg⁷⁵ geleitete theoretische und konstruktive Durchbildung war für die später erbauten Rheinbrücken von maßgebenden Einflüsse. Vor Sternberg — der später Professor an der technischen Hochschule in Karlsruhe war — hatte sich aber mit der analytischen Behandlung der Bogenträger schon Winkler⁷⁴ befaßt. Ihm folgten Frankel⁷⁶, Engesser⁷⁸, Mohr⁷⁹ und Weyrauch⁸¹. Alle diese theoretischen Arbeiten wurden in

angefangen. Anfangs baute man, nach dem Vorbilde der Steinbrücken, Bogen ohne Gelenke, obwohl die ersten Ideen Gelenke einzulegen, bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts zurückgehen. Die ersten theoretischen Arbeiten lieferten französische Ingenieure, besonders (1848—1854) Bresse⁷³.

hohem Maße gefördert durch die geschilderte gleichzeitige Entwicklung der Elastizitätslehre und der graphischen Statik. Die neuen allgemeinen Berechnungsarten der statisch unbestimmten Konstruktionen beseitigten die bisherigen Schwierigkeiten und Unsicherheit der Rechnungen. Man kam nebenbei auf diesem Wege — wenn auch langsam — zur bessern Wertschätzung der statisch unbestimmten Träger. Das bedeutete einen allmähligen Wandel der Anschauungen, der einerseits den Bogenträgern zugute kam, anderseits aber auch den Glauben an die Notwendigkeit von Zwischengelenken (Scheitelgelenken) erschütterten⁶¹.

Die ersten grundlegenden Arbeiten über Bogenträger rühren von Winkler⁷⁷ her. Schon im Jahre 1856 veröffentlichte er⁷⁴ eine lehrreiche Schrift über »Formänderung und Festigkeit gekrünmter Körper, insbesondere der Ringe«.    1867 folgte seine »Lehre von der Elastizität

und Festigkeit«, worin dem Voll wandbogen ohne Gelenke die gründlichste Behandlung zuteil wird. In dem nämlichen Jahre führte Frankel76 die »Kämpferkraftlinie« ein (III. 46, 47). Besonders zu nennen sind dann noch Winklers Untersuchungen über den Einfluß der Temperatur (1867) und seine Einführung der Einflußlinien (1868), von welcher bereits die Rede war.

Neben Winkler sind Mohr⁷⁹, Engesser⁷⁸ und Weyrauch⁸¹ die fruchtbarsten Forscher in der Theorie der Bogenträger gewesen. Mohr bringt in seiner ersten Arbeit (1870) die graphische Berechnung des Bogens mit zwei Kämpfergelenken unter Benutzung von Einflußlinien, und berücksichtigt dabei auch die Änderung der Stützpunktlagen und der Temperatur. Weitere Arbeiten von Mohr auf diesem Gebiete sind

29

Me hr tens, Statik der Baukonstruktionen. III.

1874 und 1881 erschienen. Zu erwähnen sind hier noch die Arbeiten von Kübler⁸⁰ (1873), RiTTER-Ziirich (1886), Guroi-Turin und Freitag⁸⁵. Eine vollständige Zusammenstellung der älteren Literatur findet man im Handbuch der Ingenieurwissenschaften. 2. Auf!., 2. Band: Der Brückenbau. 4. Abt. S. 141.

b. Nebenspannungen. Die Ursachen der Nebenspannungen sind (unter III. 56) im allgemeinen beschrieben worden. In den ersten Entwicklungsstufen der Konstruktion beachtete man Nebenspannungen überhaupt nicht. Der Not gehorchend, richtete man damals die Trägerberechnungen so einfach wie nur möglich ein und legte dabei die Gelenkbolzenknoten der älteren Trägersysteme zugrunde. Als dann diese Systeme sich nicht bewährten, ging man in Europa bald zum Bau der durchweg vernieteten Brücken über, ohne aber die einmal eingeführte bequeme Berechnung (unter Voraussetzung reibungsloser Knotengelenke) aufzugeben⁶¹. Obwohl viele Konstrukteure sich der Mängel dieser Berechnungsart wohl bewußt waren, so begegnete doch die rechnerische Untersuchung über die dabei begangenen Fehler so großen Schwierigkeiten, daß Jahrzehnte vergingen, ehe die Frage der Ermittelung von Nebenspannungen ihre erste Lösung fand. Fast zu gleicher Zeit veröffentlichten Winkler, Engesser⁸⁵, Asimont und Manderla darüber ihre ersten Arbeiten.

Professor Asimont⁸⁶ stellte bereits 1877 die Berechnung der Nebenspannungen als Preisaufgabe der Münchener Ingenieurfachschule, worauf (1879) Manderla⁸⁴ eine vorzügliche Lösung einreichte, in welcher er für die Integrationen die Hyperbelfunktionen anwendete. Die ausführlichsten Untersuchungen findet man bei Winkler⁸⁷, im 2. Teile seiner »Theorie der Brücken«, wobei sowohl Regeln für die Größenbestimmung, als auch Mittel zur Verminderung der Nebenspannungen gegeben werden. Vor Manderla hatte Engesser bereits ein einfaches Näherungsverfahren zur Ermittelung der Nebenspannungen angegeben.

Graphische Lösungen der schwierigen Aufgabe gaben Landsberg⁸⁸ (1885—1886) und Ritter⁸⁹-Zürich (1890). Darüber ist unter

III. § 10 zu vergleichen. Mohr⁹° gab (1891—1893) ein davon abweichendes Verfahren, worin er als Hilfsmittel der Berechnung außer dem Knotendrehwinkel, um welchen die in einem Knoten miteinander starr verbundenen Stab enden sich bei der Formänderung des Fachwerkes drehen, auch noch den Stab drehwinkel einführt. Das ist derjenige Winkel, um welchen eine ursprünglich gerade Stabachse während der Formänderung sich dreht.

Das Aufdecken und Aufhellen des vordem dunklen Gebietes der Nebenspannungen durch deutsche Männer war von bedeutendem Einflüsse auf die Weiterentwicklung der Konstruktionen. Seitdem die dabei gefundenen Wahrheiten im letzten Jahrzent des 19. Jahrhunderts allgemeiner bekannt geworden sind, ist man mehr und mehr bestrebt, durch geeignete Wahl der Stabquerschnitte sowie durch zweckmäßig gestaltete Knotenanschlüsse und Fahrbahnanordnungen sowohl in den Trägerebenen selbst, als auch quer dazu die Nebenspannungen zu ermäßigen. Die dabei benutzten Konstruktionseinzelheiten werden in Verfassers demnächst erscheinenden » Vorlesungen über Eisenbrückenbau« behandelt werden.

c. Der Einfluß bewegter Lasten. Im ersten Bande (I. 10) ist über die Konstruktionslasten bereits im allgemeinen gesprochen worden, ebenso, auch über die damit im ursächlichen Zusammenhänge stehende Sicherheit der Konstruktion (I. 12). Dort wird gesagt, wie es nicht gerechtfertigt erscheint, bei Konstruktionen von großer räumlicher Ausdehnung, die veränderliche oder bewegliche Lasten zu tragen haben, für alle Stäbe, ohne Unterschied ihrer Bedeutung oder ihres besondern Zweckes, den gleichen Sicherheitsgrad zu wählen. Es sollten vielmehr die Konstruktionsteile je nach der Art, wie sie die Lasten aufnehmen, in Gruppen gesondert werden, und für jede Gruppe wäre ein eigener Sicherheitsgrad zu wählen. Dann würden diejenigen Querkonstruktionen am ungünstigsten dastehen, die unmittelbar von den beweglichen Lasten berührt, also auch von deren dynamischen Wirkungen unmittelbar getroffen werden.

Abgesehen von N*?/? Wirkung en (I. 12) und besondern Einflüssen, die von der verschiedenen Bauart der Verkehrsfahrzeuge herrühren, darf man deren dynamische Wirkungen wie folgt beschreiben:

1.    Veränderung des von der bewegten Last ausgeübten Druckes infolge der in der Trägerebene eintretenden Krümmung der Bahnlinie\

2.    Auftreten von Schwingungen im Träger, verursacht durch eine mit großer Geschwindigkeit eintretende Belastung.

Die Frage, welchen Einfluß bewegliche Lasten auf die Größe der Formänderung und infolgedessen auch auf die Größe der Spannungen eines Trägers ausüben, hat schon viele Fachgenossen beschäftigt. Namentlich kam dabei auch die Geschwindigkeit, mit welcher die bewegten Massen über den Träger gleiten, in Betracht. Bisher hat man aber diesem Einflüsse, wie-schon gesagt, mehr oder weniger durch passende

29*

Abwägung des Sicherheitsgrades zu begegnen gesucht, denn seine genauere Berechnung bietet außerordentliche Schwierigkeiten. Schon der einfache Fall eines Trägers auf zwei Stützen, über den eine Einzellast rollt, macht sehr umständliche Rechnungen nötig, wenn die Bahn der bewegten Masse ermittelt werden soll.

Mit der erwähnten Aufgabe hat sich am eingehendsten (1889) zuerst der französische Ingenieur Souleyre⁹¹ befaßt. Aber auch dieser gewandte Rechner hat keine befriedigende Lösung erzielen können. Er begründet den Mißerfolg wie folgt wörtlich: »La question est donc loin d’être épuisée; mais tout effort à tenter dans la voie de l’intégration des équations différentielles nous parait d’avance condamné à la stérilité.« Der Erste, der mit Hilfe einer angenäherten Integration zu ziemlich brauchbaren und richtigen Ergebnissen gelangt ist, war (1881) der Ingenieur Glauser⁹². Nach Zimmermann⁹³ ist die Lösung Glausers aber unvollkommen, weil die angewendete Entwicklung nach einer Potenzreihe für einen Teil des Trägers versagt und dazu noch das eigentliche Bewegungsgesetz im Dunkeln läßt. Zimmermann kannte das allgemeine Integral der Differentialgleichung der Bahn der bewegten Masse bereits im Jahre 1892. Er unterließ aber dessen Veröffentlichung, um neben der rein mathematischen Lösung des Integrals zugleich auch ein praktisch brauchbares Rechnungsverfahren auszubilden, wozu ein großer Aufwand an Arbeit und Zeit erforderlich war.

Im Jahre 1896 erschien dann die außerordentlich lehrreiche, hervorragende Schrift Zimmermanns⁹⁵ über »Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last«, worin er eine seit Jahrzehnten schwebende Frage zum ersten Male grundlegend löst. Darin ist die schwierige Integration der Differentialgleichung der Bahn der bewegten Masse, sowie auch deren weitere Untersuchung mit bewundernswertem Scharfsinne durchgeführt. Einzelheiten vergleiche man in der Schrift selbst, und auch in dem Handbuche der Ingenieurwissenschaften, 3. Aufl. 2. Band: Brückenbau, 2. Abteil. S. 39. Dort haben Brik und Landsberg die Fragen der dynamischen Wirkung der Verkehrslasten ausführlich dargelegt. Dort findet man (auf S. 65) auch eine vollständige Übersicht der einschlägigen Literatur.

Näheres über die hier nur allgemein und kurz berührten Fragen der dynamischen Lastwirkungen folgt in Verfassers demnächst erscheinenden » Vorlesungen über Eisenbrückenbau«.

§ 13. Anhang zu allen drei Bänden.

66. Übersicht der wichtigsten geschichtlichen Literaturquellen. Die den einzelnen Schriften gegebenen Nummern beziehen sich auf die Darlegungen des vorstehenden geschichtlichen Rückblickes.

a. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit.

1)    Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche. Leyden 1638.

2)    Hooke. Philosophical tracts and collections. 1678. — Lectures of Springs. Philosoph. Transactions. 1679. London.

3)    Oeuvres de Mariotte. Leyden 1717. Übersetzung daraus unter dem Titel » Grundlehren der Hydrostatik und Hydraulik« von Dr. Meinig. Leipzig 1723. Darin findet man (S. 400) Untersuchungen über die Biegungsfestigkeit prismatischer Körper.

4)    Jacobi Bernoulli Opera. Darin findet sich unter '»Curvatura laminae elasticae etc.« (S. 576) die erste analytische Darstellung der Gestalt der elastischen Linie. Vgl. 23.

5)    Euler. Methodus inveniendi lineas curvas. Lausanne und Genf. 1741—1744. Additamentum: »De curvis elasticis«.

6)    Lagrange. Mécanique analytique. Paris 1788.

7)    Coulomb. Mémoires de l’Académie des Sciences. 1784. Zuerst 1776 unter dem Titel »Application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l’Architecture.

8)    Navi er. Mémoire sur la flexion des verges élastiques courbes. Am 23. Nov. 1819 der Pariser Akademie überreicht. Dort veröffentlicht VI. 1827. — Résumé des leçons données à l’école des ponts et chaussées sur l’application de la Mécanique à l’établissement des constructions et des machines. I. Aufl. 1826.

II. Aufl. 1833. III. Aufl. durch de Saint-Venant 1863. Deutsch von Westphal. I. Aufl. 1851. II. Aufl. 1879.

9)    Poisson. Mémoire de l’Academie des sciences. VIII, 1829. — Journal de l’École polytechnique. 20. Heft. 1831.

10)    Cauchy. Exercises de mathématiques. Paris 1827 bis 1828.

11)    Lamé. Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité, i. Aufl. 1852. 2. Aufl. 1866.

12)    de Saint-Venant. Mémoires des savants étrangers. XIV. 1856. — Historique abrégé des recherches sur la résistance et sur l’élasticité des corps solides. Anhang zur III. Aufl. von Naviers »Resumé des leçons etc.« Paris 1863. — Memoire sur la torsion des prismes, avec des considérations sur leur flexion aussi que sur l’équilibre intérieur des solides élastiques en général. Paris 1853.

13)    Poinsot. Éléments de statique. Paris 1804. 9. Aufl. 1848.

14)    Clebsch. Theorie der Elastizität fester Körper. Leipzig 1862. — Grashof. Festigkeitslehre. 1866. — Winkler. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Prag 1867. — Grashof. Theorie der Elastizität und Festigkeit. 1878. 2. Auflage der Festigkeitslehre von 1866.

15)    Clapeyron. Sur l’équilibre intérieur des corps solides homogènes. Mémoires des savants étrangers. IV. 1833.

16)    Castigliano. Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques. 1879. ‘— Intorno ad una proprietà dei sistemi elastici. Atti delle Scienze di Torino. 1882.

17)    Menabrea. Nouveau principe sur la distribution des tensions dans les systèmes élastiques. Comptes rendus. 1858. I.

18)    Frankel. Das Prinzip der kleinsten Arbeit der innern Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung baustatischer Aufgaben. Zeitschr. des Arch.- und Ingen.-Vereins in Hannover. 1882.

19)    Atti della r. Akademia dei Lincei. Anno CCLXXII. Serie 2a. Vol. II. 1874—1879. Roma, coi tipi del Salvincci. 1879. Pag- 59 bis 66. — Enthält zwei Schreiben von Menabrea und Castigliano an den Präsidenten der Akademie und den Bericht Cremonas.

20)    Mohr. Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes. Civilingenieur 1882. — Derselbe. Über die Verteilung der exzentrischen Druckbelastung eines Mauerwerkkörpers. Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Ver. in Hannover. 1883. — Derselbe. Über die Elastizität der Deformationsarbeit. A. a. O. 1886. — Derselbe. Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den Bruch eines Materials. Zeitschr. des Ver. deutsch. Ing. 1900.

b. Die graphische Statik.

21)    Stevin. Beghinselen der Waagkonst. 1585. — Hypomnemata mathematica. 1608.

22)    Varignon. Nouvelle mécanique ou statique. Paris 1725. I. S. 193 bis 199. — Vgl. auch Nr. 23.

23)    Rühlmann. Vorträge über Geschichte der technischen Mechanik usw. Leipzig 1885. S. 472—474.

24)    Poncelet. Cours de Mécanique industrielle. (Umdruck der Vorträge.) Professé de 1828—1826. II. Teil. Metz 1829. — Mémorial de l’officier du génie. 1835. Nr. 12 (Voûtes) und 1840. Nr. 13 (Poussée de la buttée des terres). — Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences. Band 35. 2. Nov. 1852.

25)    Cousinery. Le Calcul de trait. Paris 1838.

26)    Brix. Lehrbuch der Statik fester Körper. 1831. 2. Aufl. 1849,

S. 422.

¹

Journal des Voies de Communication. Petersburg 1826. S. 35. 1827. S. 44.

²

   In »Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. 3. Aufl. 1904.

³

   Vgl. auch unter 35, S. 236.

⁴

   Vgl. die unter 66, Nr. 60 aufgeführte Schrift, S. 431—434.

28*

⁵

   In der 4. Aufl. seiner »Statik« behauptet Herr Müller -Breslau (S. 576), ich hätte im 2. Bande meiner Vorlesungen sein Verfahren zur Darstellung der Einflußlinien statisch bestimmter Träger ohne Angabe der Quelle benutzt. Darauf erwidere ich, daß ich die von ihm (unter 11 seines Literaturverzeichnisses) angegebene Quelle bei Abfassung des 2. Bandes meiner Vorlesungen überhaupt noch nicht gekannt habe. Meine Kenntnisse über Einflußlinien verdanke ich nicht ihm, sondern Winkler. Was aber '»die kinematischen Beiträge« und -»noch manches andere«, das ich von Herrn MviAÆR-Breslau übernommen haben soll, anlangt, so erwarte ich darüber von ihm nähere Angaben.

Dresden, im Oktober 1905.

⁶

   Band 2, Kap. 4. Vgl. darüber auch in der unter 66, Nr. 60 aufgeführte Schrift Mohrs, S. 37.

⁷

Danach brauche ich auf die gegen mich gerichteten, anmaßenden Behauptungen des Herrn MüiACE&rBreslau in Sachen des Henneberg-Verfahrens hier nichts mehr zu erwidern.

Dresden, im Oktober 1905.

⁸

   Vgl. den Meinungsstreit zwischen MÜLLER-Breslau und Mohr im Zentralbl. der Bauverw. 1903. S. 642.

⁹

   Die Konstruktion der Kuppeldächer. Zeitschr. für Bauwesen 1866. S. 7.

¹⁰

Nach Betti lautet der Satz: »Se in un corpo solido elastico omogeneo, due sistemi di spostamenti fanno equilibrio a due sistemi di forze applicate alla superficie, la somma dei prodotti delle componenti delle forze del prima sistema per le componenti degli spostamenti negli stessi punti del secondo, è equale alla somma dei prodotti delle componenti delle forze del secondo sistema per le componenti degli spostamenti nei medesimi punti del primo.«

¹¹

Müller-Breslau gibt den Satz erst 1892 im II.Bande der 2. Aufl. seiner »Graph. Statik der Baukonstruktionen«. Seine Veröffentlichungen in der Schweizerischen Bauzeitung (1887) enthalten den Satz nicht.

¹²

Müller-Breslau benutzte in seiner »Graphischen Statik«, Band II, die Ab

¹³

handlung Mohrs in ausgiebigster Weise ohne irgendwo seine Quelle anzugeben

¹⁴

(vgl. S. 327 der (unter 66) Nr. 60 aufgeführten Schrift).

27)    Culmann. Graphische Statik. 1866. 2. Aufl. 1875.

28)    Mohr. Die graphische Statik und das graphische Rechnen. Civil-ingenieur. 1875. — Derselbe. Über die Zusammensetzung der Kräfte im Raume. Civilingenieur 1876. — Derselbe. Technische Mechanik. Herausgegeben vom Ing.-Ver. am Polytechnikum Stuttgart. 1877. — Derselbe. Eine Aufgabe der graphischen Statik. Civilingenieur 1886. 32. Band. S. 535.

29)    Levy. La statique graphique et ses applications aux constructions. Paris 1874. 2. Aufl. 1886—1888.

30)    Saviotti. La statica grafica. 2. Teil. 1888, S. 26.

31)    Clerk Maxwell. On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames. — On reciprocal figures and diagrams of forces. Philosoph. Magazine. Band 27. 1864. — On Bows method of drawing diagrams in graphical statics with illustrations from Peaucelliers linkage. Niven. The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Band II. 1890. S. 492. — Betti. Teoria della elasticità. Il nuovo Cimento. Serie 2a. Band VII—VIII, S. 89.

32)    Fleming Jenkin. On the practical application of reciprocal figures to the calculation of strains in framework. Trans, of the Royal Society of Edinburgh. 1869. S. 441. — Bow, Economies of construction in relation to framed structures. London 1873.

33)    Cremona. Le figure reciproche nella Statica Grafica. Milano 1872. 3. Aufl. mit einer Einführung von Jung. 1879. — Derselbe. Les figures réciproques en statique graphique, ouvrage précédé d’une introduction de G. Jung et suivi d’un appendice extrait des mémoires des Cours de statique graphique de Ch. Saviotti. Traduit par L. Bossut. Paris 1885.

34)    Mohr. Über die Bestimmung und die graphische Darstellung von Trägheitsmomenten ebener Flächen. Civilingenieur 1887. 33. Band, S. 43.

35) Bauschinger. Elemente der graphischen Statik. München 1871.

36)    Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Vereins in Hannover. 1868. S. 19 (elastische Linie). S. 36 u. f. (durchgehende Träger und Einführung der Einflußlinien).

37)    Winkler. Vortrag über die Berechnung von Bogenbrücken. Mitteilungen des Arch.- und Ing.-Vereins für Böhmen. 1868, S. 6. — 1869, S. i. — Derselbe. Theorie der Brücken. 1. Heft. Äußere Kräfte der Balkenträger. 1886. 3. Aufl. S. 28.

38)    Frankel. Über die ungünstigste Einstellung eines Systèmes von Einzellasten auf Fachwerkträgern mit Hilfe von Influenzkurven. Civilingenieur. 1876.

39)    Henneberg. Die graphische Statik der starren Körper. Sonderabdruck aus Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.

IV. i. Heft 3. 1903.

c. Theorie des Fachwerkes.

40)    Culmann. Der Bau der hölzernen Brücken in den Vereinigten Staaten von Nordamerika. Allgemeine Bauzeitung 1851. — Derselbe. Der Bau der eisernen Brücken in England und Amerika. A. a. O. 1852.

41)    Schwedler. Theorie der Brückenbalkensysteme. Zeitschr. für Bauwesen 1851. — Derselbe. Über Brückenbalkensysteme von 200 bis 400 Fuß Spannweite. A. a. O. 1863.

42)    A. Ritter. Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach-und Brückenkonstruktionen. 1863. 5. Aufl. 1894.

43)    Mohr. Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Arch.-und Ing.-Vereins in Hannover. 1870. 1874. 1875. 1877. — Civilingenieur. 1885.

44)    Winkler. Vorträge über Brückenbau. Theorie der Brücken. ï873—1884.

45)    Frankel. Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes auf die Bestimmung der Formänderung von Fachwerken usw. Civilingenieur 1875.

46)    Williot. Notions pratiques sur la statique graphique. Bibliothèque des sciences industrielles et agricoles. 2. Série: Arts et Métiers. 1877. — Auch Génie Civil. Oktober 1877.

47)    Föppl. Theorie des Fachwerks. Leipzig 1880.

48)    Müller-Breslau. Die graphische Statik der Baukonstruktionen, i. Aufl. (Elemente) 1881. 4. Aufl. des 1. Bandes 1905.

49)    Henneberg. Statik der starren Systeme. Darmstadt 1886.

50)    Mohr. Über Geschwindigkeitspläne und Beschleunigungspläne. Civilingenieur 1887.

51)    Land. Die Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen usw. Wochenblatt für Baukunde. Januar 1887, S. 14. — Derselbe. Kinematische Theorie der statisch bestimmten Träger. Schweizerische Bauzeitung. 1887. 10. Band. S. 157. — Derselbe. Kinematische Theorie der statisch bestimmten Träger. Zeitschr. des österr. Ing.-und Arch.-Vereins 1888, S. xi.

52)    Land. Beitrag zur Ermittelung der Biegungslinien ebener und elastischer Stabwerke. Civilingenieur 1889. Band 35. S. 375. Desgl. Zeitschr. d. österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1889. Heft 4.

53)    Müller-Breslau. Beitrag zur Theorie des ebenen Fachwerkes. Schweizerische Bauzeitung 1887. 9. Band. S. 121. — 10.Band. S. 126.

54)    Lang. Zur Entwicklungsgeschichte der Spannwerke des Bauwesens. Ein Anhang zu den Lehrbüchern über allgemeine Baukunde und Brückenbau. 1890.

55)    Ritter. Anwendungen der graphischen Statik. II. Teil. Das Fachwerk. 1890.

56)    Föppl. Das Fachwerk im Raume. Leipzig 1892. — Graphische Statik. 2. Aufl. 1903.

57)    Zimmermann. Über Raumfachwerke. 1901.

58)    Landsberg. Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. Zentralblatt der Bauverwaltung. 1898 und 1903.

59)    Mohr. Zur Berechnung der Raumfachwerke. Zentralbl. der Bau-verw. 1902 und 1903.

60)    Mohr. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin 1905.

61)    Mehrtens. Der deutsche Brückenbau im 19. Jahrhundert. Denkschrift, bei Gelegenheit der Weltausstellung des Jahres 1900 in Paris im Aufträge deutscher Brückenbaufirmen herausgegeben. Berlin 1900. — Derselbe. Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre. i.Band: Einführung in die Grundlagen. 1903. — 2. Band: Statisch bestimmte Träger. 1904.— 3. Band: Formänderungen und statisch unbestimmte Träger. 1905. Leipzig.

d. Besondere Theorien.1 i. Durchgehende Träger.

62)    Kopeke. Über die Dimensionen von Balkenlagen. Zeitschr. des Architekten- und Ingenieur-Ver. in Hannover. 1856.

¹ Die Theorie des Erddruckes vgl. Band II.

63)    B er tot. Comptes rendus de la Société des Ingénieurs civils.

1855. S. 278. — Clapeyron. Calcul d’une poutre élastique reposant librement sur des appuis inégalement espacés. Comptes rendus. Band 45. S. 1076.    1857.

64)    Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. des Arch.- und Ingen.-Vereins in Hannover i860 und 1862.

65)    Winkler. Beiträge zur Theorie der kontinuierlichen Brückenträger. Zivilingenieur 1862. — Derselbe. Theorie der kontinuierlichen Träger. Mitt. d. Arch.- und Ing.-Verein in Böhmen. 1872. — Derselbe. Theorie der Brücken I. 1886.

66)    Bresse.    Cours de Mécanique appliquée. 3. Teil. 1865.

67)    Ritter.    Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den

kontinuierlichen Balken. 1871. 2. Aufl. 1883.

68)    Weyrauch. Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger. Leipzig 1873.

69)    Ritter. Anwendungen der graphischen Statik (nach Culmann). 3. Teil. Der kontinuierliche Balken. 1900.

70)    Claxton-Fidler. A practical treatise on brigde - construction. London. 1. Aufl. 1887. 3. Aufl. 1901.

71)    Vianello. Der durchgehende Träger auf elastisch senkbaren Stützen. Berlin 1904.

72)    Ostenfeld. Graphische Behandlung der kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk-und drehbaren Stützen. Zeitschr. für Architektur- und Ingenieurwesen. 1905.

2. Bogenträger.'¹

73)    Bresse. Études théoriques sur la résistance des arcs etc. Annales des ponts et chauss. 1848. — Derselbe. Recherches analytiques sur la flexion et la résistance des pièces courbes. Paris 1854. — Derselbe. Cours de mécanique appliquée etc. Paris 1859. 2. Aufl. 1866.

74)    Winkler. Formänderung und Festigkeit gekrümmter Körper, insbesondere der Ringe. Civilingenieur 1856.

75)    Sternberg. Theorie der Bogen mit zwei Gelenken (1861). Zeitschr. f. Bauwesen 1864. S. 538.

76)    Frankel. Berechnung eiserner Bogenbrücken. Civilingenieur 1867. — Derselbe. Über die ungünstigste Belastung von Bogenträgern mit zwei Gelenken usw. A. o. O. 1875.

77)    Winkler. Über den Einfluß der Temperatur bei Bogenbrücken. Civilingenieur 1867. — Derselbe. Vortrag über die Berechnung der Bogenbrücken (Einführung der Einflußlinien). Vgl. Nr. 37. — Derselbe. Berechnung der eisernen Bogenbrücken. Mitt. des Arch.- u. Ing.-Ver. f. Böhmen 1869. — Derselbe. Theorie der Bogenträger usw. Zeitschr. des Österr. Arch.- u. Ing.-Ver. 1872. — Derselbe. Beitrag zur Theorie der elastischen Bogenträger. Zeitschr. des Arch.- u. Ing.-Ver. in Hannover 1879.

78)    Engesser. Bogenträger mit zwei Gelenken. Jahrbuch des polyt. Ver. Karlsruhe. 1869. — Derselbe. Theorie und Berechnung der Bogenfachwerkträger ohne Scheitelgelenk. Berlin 1880.

79)    Mohr. Beitrag zur Theorie der elastischen Bogenträger. Zeitschr.

d. Arch.- u. Ing.-Ver. in Hannover 1870. — Derselbe. Beitrag zur Theorie der Bogenfachwerksträger. A. o. O. 1874. — Derselbe. Beitrag zur Theorie des Bogenfachwerks. A. o.O. 1881.

80)    Kübler. Theorie der eisernen Bogenbrücken. Zeitschr. des Vereins deutsch. Ing. 1873.

81)    Weyrauch. Theorie der elastischen Bogenträger. Zeitschr. f. Baukunde 1878.

82)    Müller-Breslau. Theorie und Berechnung der eisernen Bogenbrücken. Teil I. Die stabförmigen Bogen. Berlin 1880. Teil II nicht erschienen.

83)    Ritter-Zürich. Der elastische Bogen berechnet mit Hilfe der graphischen Statik. 1886. — Guidi. L’arco elastico senza cerniere. Accademia reale delle scienze di Torino. 1903. — Derselbe. Una proprietà degli archi elastici. 1905. — Derselbe. Lezioni sulla scienza delle costruzioni. 4. Aufl. Teil I—III. 1904. Teil IV. 1905. — Ludwig Freitag. Gesetzmäßigkeiten in der Trägertheorie. Von der technischen Hochschule in München genehmigte Dissertation. Berlin 1904. S. 17—'45.

3. Nebenspannungen.

84) Manderlas Lösung der Preisaufgabe: »Welche Spannungen entstehen in den Stäben eines Fachwerkträgers dadurch, daß die Winkel der Fachwerkdreiecke durch die Belastung eine Änderung erleiden?« Jahresbericht der Münchener Techn. Hochschule. 1878 — 79. S. 18. — Derselbe. Die Berechnung der Sekundärspannungen im einfachen Fach werk infolge starrer Knotenverbindungen. Allg. Bauzeitung 1880.

85)    Engesser. Über die Durchbiegung von Fachwerkträgern und die hierbei auftretenden zusätzlichen Spannungen. Zeitschr. für Baukunde 1879. — Derselbe. Über die Biegungsspannungen der Fach werke. Zeitschr. des Ver. deutsch. Ing. 1888. — Derselbe. Die Zusätzkräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken. Berlin 1892 —1893.

86)    Asimont. Hauptspannung und Sekundärspannung. Zeitschr. für Baukunde 1880.

87)    Winkler. Die Sekundärspannungen in Eisenkonstruktionen. Deutsche Bauzeitung 1881.

88)    Landsberg. Beitrag zur Theorie des Fachwerkes. Zeitschr. des Arch.- u. Ing.-Ver. in Hannover 1885 und 1886. — Müller-Breslau. Theorie der Biegungsspannungen in Fachwerkträgern. A. o. O. 1886.

89)    Ritt er-Zürich. Anwendungen der graphischen Statik. II. Teil: Das Fachwerk. 1900.

90)    Mohr. Die Berechnung der Fachwerke mit starren Knotenverbindungen. Civilingenieur 1891 und 1892.

4. Einfluß bewegter Lasten.

91)    Souleyre. Action dynamique des charges roulantes. Annal, des ponts et chaussées. 1889. II.

92)    Glauser. Dynamische Wirkungen bewegter Lasten auf eiserne Brücken. Glasers Annalen für Gewerbe u. Bauw. 1891 und 1892.

93)    Zimmermann. Die Wirkungen bewegter Lasten auf Brücken. Glaser, a. o. O. 1891 und 1892.

94)    Mel an. Über die dynamische Wirkung bewegter Lasten auf eiserne Brücken. Glaser, a. o. O. 1894.

95)    Zimmermann. Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last. Berlin 1896.

B'BL'STEKA POliUCiiNICZM

KRAKÓW

Alphabetische Inhaltsübersicht.

a. Sachverzeichnis.

Ablängen, fehlerhaftes III. 229. Ablängungsfehler III. 232. Abscherung I. 332, 334, 381, 385,

387-

—    reine I. 312.

Achse I. 311.

—    eines Kräftepaares I. 92.

—    schiefwinklige I. 289.

—    zugeordnete I. 280,289,290,291, 294, 331, 343.

Achsenkraft I. 23, 24, 132, 311, 338, 405. II. 167.

—    Einfluß einer I. 313, 359.

—    Vorzeichen I. 157.

Achsenpunkt I. 23.

Achsenstrecke I. 94. Ähnlichkeitspunkt I. 234. Anfangsspannung III. 229. Anfangszustand, spannungsloser III.

80.

—    — einer Konstruktion III. 225. Angriffspunkt, Verschiebung I. 353. Annäherungsrechnungen II. 89. Arbeit, äußere III. 2.

—    gedachte III. 218.

•— innere III. 2.

— dynamische III. 9.

—    virtuelle I. 227.

Arbeitsfestigkeit I. 11. Arbeitsgleichung III. 241.

—    Mohrs III. 65, 67, 88, 89, 216.

Aufgaben, besondere III. 380, 403. Auslegebogenträger. II. ia§. .    .    '

—    Einflußzahlen der Stabkräfte II.

115.

—    Einflußzahlen der äußeren Kräfte II. 141, 142.

—    Grenzwerte der Stabkräfte II. 142.

—    Hauptsystem für einen durch ein Kette versteiften III. 252.

147.

—    Hauptsystem für einen III. 251. Auslegeträger II. 93. III. 45, 353.

—    Berechnungshilfsmittel II. 96.

—    Einflußlinien der Stabkräfte II.

I Auslegeträger, Trägerarten II. 96.

—    Verbindung eines Dreigelenkträgers mit —n II. 99.

—    Versteifung durch einen Kettengurt II. 96.

—    einarmiger II. 2, 96.

—    zweiarmiger II. 2, 96. Ausnahmefall I. 54, 66, 113, 115. Außermittelbefestigung III. 394.

Balken, Verbindung von Bogen und B. II. 99.

Balkenhöhe I. 383.

Balkenmoment II. 166. Balkenquerkraft II. 164, 166. Balkenträger II. 1.

—    Eigengewichte einfacher, eiserner II. 327.

—    einfache, unter dem Einflüsse veränderlicher Lasten II. 3.

—    durchgehende, gerade auf unverschiebbaren Stützen III. 351.

Baukonstruktionen I. 16.

—    älteste I. 72.

Baustoff I. i, 9, 86.

—    Angaben über Festigkeit und zulässige Spannungen II. 336.

—    Festigkeit I. 77.

—    Grundformen der —e I. 277. Belastung I. 23.

—    dauernde I. 10, 166.

—    gedachte III. 66.

—. mittelbare I. 163. II. 7.

—    mittlere II. 205.

—    unmittelbare I. 156, 159.

—    veränderliche I. 30.

—    der Straßenbrücken II. 330.

—    durch Pferde-, Dampf- und elektrische Straßenbahnen II. 330.

Belastungsfall, einfacher I. 311, 379.

—    statisch bestimmter I. 24.

—    zusammengesetzter I. 379. Belastungsfläche I. 153, III. 50. Belastungsgleichwerte II. 14, 331.

—    für Hauptbahnen II. 329.

Belastungshöhe I. 153. Belastungslinie I. 153. Belastungswechsel I. 9, 13. Belastungszustand I. 213, 218, 311.

III. 216, 225.

—    ebener I. 313.

Bestimmtheit, statische I. 55.

Beton I. 8, 15.

—    Elastizität und Festigkeit II. 337.

—    Haftkraft I. 392. Betoneisenbauten I. 392. Betoneisenquerschnitt I. 393. Betonmischungen, zulässige Spannungen II. 338.

Betonplatte I. 415, 416. Betonquerschnitt I. 393. Beweglichkeit, Ausnahmefall I. 46.

—    endliche I. 43, 66, 234.

—    Kennzeichen I. 68, 115.

—    unendlich kleine I. 46, 54, 66, 84, ii5, 200.

—    zwangläufige I. 44.

Bewegung, augenblickliche I. 224,

226, 231, 250.

Bewegungsfreiheit I. 34, 44. Bewegungslehre, geometrische I. 84. Biegefläche I. 100.

—    Maßstab der Ordinaten III. 33. —nfestpunkte, Verschiebung der III.

403-

—    Schlußlinie der wagerechten III.

134-

—    Winkel zwischen Schlußlinie und einer Seite der III. 129.

Biegelinie I. 79. III. 1, 100, 262.

—    Darstellung von —n in Beispielen

III. in.

—    Darstellung von Momentenflächen mit Hilfe der III. 361.

—    Darstellung der wagerechten III.

135-

—    für statisch bestimmte Fachwerke

III. 96.

—    für statisch unbestimmte Fachwerke III. 110.

—    für zusammengesetzte Fachwerke

III. HO.

—    genaue III. 368.

—    Grundlagen der Darstellung von —n III. 96.

—    des Hauptsystems III. 299.

—    Krümmungshalbmesser der I 79.

—    eines Parallelträgers III. 109.

—    von Stabzügen III. 123, 131.

—    für Ständerfachwerk Ili. 108.

—    für Strebenfachwerk III. 107

■— eines zweiteiligen Strebenfachwerks III. 253.

Biegelinie für besondere Trägerarten III. 107.

—    eines statisch unbestimmten Trägers III. 253.

—    vereinfachte III. 351, 353.

—    für eine beliebige Verschiebung..,-richtung III. 132.

—    wagerechte III. 133, 243, 291.

—    eines Wandstabzuges III. 131.

—    Wendepunkte III. 358.

Biegung I. 313, 381, 387.

—    mit Abscherung zusammengesetzt I. 387.

—    reine I. 324, 326, 334, 343.

—    mit Torsion zusammengesetzt I. 386.

Biegungsfestigkeit I. 4, 78.

—    des Holzes I. 359. Biegungsmoment I. 23, 311. Biegungspfeil der Knicklinie III. 162. Biegungsspannung I. 4, 29, 338, 339,

369, 375. 395-

—    m Steinbalken, angenäherte Berechnung I. 399.

—    in Steineisenquerschnitten I. 402. Blechträger I. 384.

—    einfacher, mit veränderlichem Querschnitt III. 49.

Boden, physikalische Natur II. 314. Bodendruck I. 422. II. 227, 314, 326.

—    Größe des II. 225.

—    in der Gründungssohle II. 225. Böschung, natürliche II. 282.

—    der Winkel der natürlichen II. 255, 256, 278.

Bogen, schlaffer II. 99.

--durch einen Balken versteift

II.    130.

—    Verbindung von Bogen und Balken II. 99.

—    mit Zugband III. 301. Bogenachse, elastische Linie der III.

301.

—    Festlegung durch Rechnung und Zeichnung II. 174.

—    günstigste Gestalt II. 170.

—    Parabelgestalt II. 175.

—    als kubische Parabel II. 179. Bogenfachwerk I. 70.

—    mit mehr als drei Gelenken II. 100. Bogenhöhe I. 71. III. 225. Bogenkraft II. 2, 118, 119, 165, 166,

213, 214, 219 221, 223. III. 266. Bogenkraftfläche II. 120. III. 264. 282.

—    Darstellung der, für Fach werk

III.    262.

Bogenkraftlinie II. 120.

Bogenquerkraft II. 164, 166.

—    moment II. 165, 166. III. 296.

—    scheibe I. 70.

—    sehnenträger JI. 53.

—    stärke II. 208.

—    Stützenkraft II. 119.

—    träger I. 60. II. 1, 95, III. 62, 282.

—    ohne Gelenk III. 295.

—    überzählige Größen eines eingespannten —s III. 244, 247.

—    mit zwei Kämpfergelenken III. 262.

—    mit Zugband II. 133.

Bogenweg, unendlich kleiner I. 250. Bolzen I. 24, 387.

Bolzenauge I. 34. Bolzendurchmesser I. 336. Bolzenstärke I. 334, 387. Bremskraft I. 18.

Bruch I. 3, 12.

Bruchfuge II. 216, 220.

Bruchgefahr I. 380.

Brücke, eiserne I. 75, 81.

—    Grundmaß e gewölbter —n 11. 3 31.

—    Yerkehrslasten der ■—n II. 328. Brückenpfeiler I. 363, 420, 422. Brückenträger I. 85.

Cremonaplan I. 177.

Dachbinder I. 74.

—    Einflußzahlen der äußeren Kräfte II. 134.

—    Fünfgelenk auf vier Stützen II. 134-

—    auf drei Stützen III. 143.

—    Grenzwerte der äußeren und inneren Kräfte II. 137.

Dachkonstruktion I. 20. Dauerversuche I. 10, 13.

Decke, KLEiNESche I. 414.

Dehnung I. 7, 379. III. 2, 5.

—    Darstellung der —en I. 400.

—    kubische III. 7, 8.

Dehnungsmaß I. 8, 13, 319, 389, 390,

415. II. 253. III. 3, 5, 169.

—    für Beton I. 400.

—    für Stein und Eisen I. 403. Dehnungsvermögen III. 82, 85, 88,

218, 230, 233, 265, 268. Drehung I. 25.

—    augenblickliche I. 68.

—    um einen Pol I. 240.

Drehsinn I. 92, 138.

Drehwinkel, unendlich kleiner I. 250. Dreiecksdach I. 73.

—    -einflußfläche II. 18, 90.

Dreiecksfeder III. 25.

—    -gliederung I. 74.

--scheibe I. 57, 205.

—    -sprengwerk I. 73.

—- -stabwerk I. 48, 74, 176, II. 55.

--Formänderungsbild III. 135.

--Stabkräfte I. 132.

Dreigelenkbogen I. 95, 129. II. 170.

—    Berechnungsbeispiel II. 191.

—    Einflußlinien II. 179.

—    gefährlichste Querschnitte und Lastlagen II. 184.

Dreigelenkträger II. 92, 97.

—    Verbindung des —s mit Auslegern II. 99.

—    Berechnungshilfsmittel II. 100.

—    mit aufgehobener Bogenkraft II. 133-

—    Einflußlinien II. 120, 125.

—    Lage der Gelenke II. 97.

—    äußere Kräfte II. 117.

—    Trägergestalt II. 97.

—    mit Zugband oder Zugbalken II. 99.

Drittelslinie III. 354, 401.

—    verschränkte III. 355.

Druck I. 4, 8, 24, 345, 352.

—    reiner I. xo.

Druckdreieck (Erddruck) II. 272, 282, 284, 285, 291, 300, 309, 322.

—    Gleitfläche und — bei gleichmäßiger Überlast II. 295.

Druckfestigkeit, Grenzen zwischen — und Knickfestigkeit III. 170. Druckkraft I. 180.

Drucklinie II. 246.

Druckspannung I. 327, 395.

—    infolge einer Achsenkraft I. 392. —en, Mittelpunkt der I. 412.

—    reine I. 312.

Druckzone I. 327, 331, 341, 397, 401.

Durchbiegung III. 30, 38.

—    Größe der (beim Knicken) III. 162.

—    Nachprüfung der III. 53.

—    Übungsaufgaben III. 59.

Eigengewicht I. 17, 22, 29. II. 70. Einflußfläche II. 4.

—    Beispiele von —n einfacher Fachwerke II. 105.

--zusammengesetzter Fachwerke

II. 108.

—    Grenzlinienzug einer, als Seileck

II. 103, 105.

—    Gurtstabfläche II. 105.

—    kinematische Darstellung II. 151.

Einflußflächen der Stabkräfte im allgemeinen' II. 151.

—    — eines Dreigelenkträgers II. 154.

—    — im Fünfgelenkdache II. 156.

—    n der überzähligen und notwendigen Stabkraftgrößen III. 222.

—    Vorzeichen II. 66, 106, 125, 154, 155. III. 242, 271.

Einflußgröße II. 4.

Einflußlinie II. 4, 83, 85, 89, 254.

—    für mittelbare Belastung II. 7.

—    allgemeines Verfahren der Darstellung II. 65.

—    Darstellung der —n III. 220.

—    kinematische Darstellung II. 100.

—    unmittelbare Darstellung für Dreigelenkträger II. 127.

—    der äußeren Kräfte II. 8.

--durchgehender Gelenkträger

II. 108.

—    der überzähligen Größen III. 223.

—    des Momentes II. 11.

—    der Querkraft II. 10.

—    im Querträgerfelde II. 8.

—    der Senkung eines Gelenkes III. 149.

—    der Stabkräfte, Aufzeichnen und Nachprüfen II. 67.

—    der Stützenkraft II. 9.

--Verwendung der II. 65.

Einspannung I. 24, 29, 40.

—    Tangentenwinkel der — III. 385. Einspannungsmoment III. 335, 384,

393> 402.

—    Darstellung des —s III. 388, Einzelkraft I. 87, 88, 93, 167.

—    Zerlegung I. 105.

Einzellast I. 18, 159, 163. II. 33.

—    Einfluß der Lage der—auf die Lage der Gleitfläche (Erddruck) II. 291.

—r unmittelbar neben der Mauerkrone II. 294.

—    Verteilung einer, über die Erdlinie II. 294.

—    wandernde II. 5. III. 89.

—    Einfluß einer wandernden III. 220, 282.

Einzelmoment, Summe der—e 1.134. Eisen I. 13, 15, 75.

—    Bezeichnungen I. 76. Eisenbahnbrücke I. 17. Eisenbahnschwelle, Berechnung III.

421.

Eiseneinlagen I. 403.

—    unsymmetrische I. 394. Eisenkonstruktionen I. 16, 24, 75,

76, 81.

—    Entwerfen von I. 15.

Eisenquerschnitt I. 414. 416.

Eisenwärme III. 223.

Elastische Kraft III. 32.

Elastische Linie I. 326, 327.

—    graphische Darstellung nach Mohr III. 31.

—    Darstellung und Nachprüfung III. 46.

—    Beispiele der Darstellung III. 44.

—    Differentialgleichung III. 29.

—    Differentialgleichung der —n des nach einem Kreisbogen gekrümmten Stabes III. 62.

—    Gleichung III. 29, 155.

—    Einfluß der Schubspannungen auf die Gestalt der —n III. 36.

—    geraderundkrummer Stäbe III.27.

—    krummer Stäbe III. 60.

—    des geraden Stabes als Berechnungsgrundlage statisch unbestimmter Vollwandträger III. 38.

—    des an seinen Enden eingespannten Stabes III. 385.

—    eines Trägers III. 90.

—    Wendepunkt III. 30.

Elastizität I. 1, 77, 86, 277, III. 85.

—    Biegungs- III. 13.

—    Drehungs- III. 13.

—    Normal- III. 13.

—    des Untergrundes III. 231.

Elastizitätsberechnungen, Zuverlässigkeit III. 5.

Elastizitätsgesetz I. 5, 77, 389, 399.

--gleichung I. 69, 72.

--grenze I. 5, 13, 21, 22.

—    -maß I. 8.

—    -zahl I. 8.

Elastizitätstheorie, Anfänge der II. 252.

—    einleitende Betrachtungen über die Grundlagen der — der Gewölbe II. 197.

Eliminationsdeterminante I. 54, 66.

Endträger II. 96.

Energie, potentielle III. 2.

Erddruck I. 80.

—    Angriffspunkt II. 257, 261, 264, 309-

—    ältere Anschauungen II. 255.

—    in einfachen Konstruktionsfällen

II. 316.

—    Coulombs Theorie II. 259—262.

—    Darstellung der Größe des —es II. 271.

—    Einführung in die Theorie des —es II. 255.

—    Größe des —es II. 257, 258, 261, 268, 277, 281, 309.

OJ tri

Erddruck, Größe des ruhenden —es II. 284.

—    größter möglicher II. 260.

—    Richtung des —es II. 257, 261, 264, 277.

—    ruhender II. 267, 274.

■— tätiger II. 260, 264, 274.

—    Theorien des 19. Jahrhunderts II. 263.

—    Theorie des —es im unbegrenzten Erdreich und ihre Anwendbarkeit II. 273. 275.

—    auf gebrochene und krumme Wandflächen II. 303.

—    Zahlenbeispiele II. 317. Erddruckmaß II. 271, 279, 282. Erddrucktheorie, Einführung in die

II.    255.

—    graphische Behandlung der Aufgaben der II. 264.

Erdkörper I. 28, 30.

Erdlinie II. 256.

—    der Böschungslinie parallel II. 284.

—    ebene Wand und beliebige II. 279.

--und gebrochene II. 285.

Erdreich, Reibung im II. 260. Erdscheibe I. 28, 59.

Erduntergrund I. 16.

—    Stützfläche im I. 21, 40. Ersatzkraft, Vorzeichen der elastischen —e III. 105.

Ersatzlinie bei Belastung von Stützmauern II. 302.

Ersatzstab I. 58, 197, 217, 231, 255-

Erwärmungsgrad I. 14. EuLER-Formel, Gültigkeitsgrenzen

III.    167.

Fachwerk I. 17, 19, 28, 73.

—    bewegliches I. 69.

—    Darstellung der Bogenkraftfläche für III. 262.

—    einfaches III. 237.

—    Elastizitätsgleichungen eines —s III. 218.

—    starres I. 26, 66.

—    statisch bestimmtes I. 54, 66.

—    statisch unbestimmtes I. 68.

—    überstarres I. 68.

—    unbewegliches I. 26.

—    unbestimmtes, Biegelinie des —s III. HO.

—    zusammengesetztes III. 239.

--ebenes I. 59.

---Beispiele II. 130.

---Biegelinie III. 110.

Fach werkbogen, gelenkloser III. 339.

—    Zahlenbeispiel zur Berechnung des — III. 342.

Fachwerkträger, über drei Stützen

III. 239.

Fahrbahn II. 3.

—    Eigengewicht II. 56. Fahrtrichtung II. 86.

Faser, spannungslose I. 327. Feldweite II. 4, 7, 56.

Festigkeit I. 3, 12, 21, 277.

—    Arten der I. 277.

—    eines Baustoffes I. 379.

—    eines Körpers I. 379.

—    Fälle der zusammengesetzten I. 312.

Festigkeitslehre, einfache Fälle I. 312. Festigkeitsmaschine I. 13.

Festlinie III. 356, 405.

—    genaue III. 369.

--und ihre Festpunkte III. 373.

—    mittlere III. 401.

Festpunkt III. 356.

—    charakteristische —e III. 369.

—    Darstellung III. 358. Fischbauchträger II. 3. Flächenberührung I. j.

—    Stützung durch I. 40. Flächenkraft, Mittelpunkt der —e I.

283.

Flächerimoment I. 277, 368.

—    Darstellung der —e ebener Querschnitte I. 277.

—    Hilfsformeln I. 301.

Fließgrenze I. 7.

Flußeisen I. 76. III. 5.

Flußmetall, basisches I. 76.

—    saures I. 76.

Flußstahl I. 76.

Formänderung I. 5. 6, 24, 368. III. B 253.

—    bleibende I. 5, 13.

—    elastische I. 24, 25, 26, 29, 239. II. 196.

—    im Erdreich II. 276.

—    des Parallelepipeds III. 5. Formänderungsarbeit I. 82. III. 1, 2.

—    Abgeleitete der III. 233.

—    allgemeiner Ausdruck der III. 9.

—    dynamische III. 22.

—    elastische III. 66.

—    gedachte (virtuelle) III. 64, 67.

—    als Grundlage von Elastizitätsberechnungen III, i.

—    in besonderen Fällen III. 10.

—    eines Körpers III. 9.

—    gerader und krummer Stäbe I. 277.

30

Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen. III.

Formänderungsarbeit, Temperatureinflüsse III. 20.

—    kleinste III. 235. Formänderungsbild eines Dreieckstabwerks III. 135.

Formänderungszustand I. 381.

—    der ebene, bei reiner Schubbeanspruchung III. 12.

—    in einem Körperpunkte III. 3. Fugendruck II. 221, 226. Fugenspannung II. 314.

—    im Gewölbe II. 225.

—    im Pfeiler II. 225.

—    im Widerlager II. 225. Futtermauer II. 256.

Gegenfach werk II. 75, 76, 78. Gegenstrebe II. 76.

Gelenk I. 24. III. 45.

—    einfaches I. 43.

—    gedachtes I. 42. II. 52.

—    mehrfaches I. 43.

—    reibungslos arbeitendes I. 26, 33-

Gelenkdruck I. 96. 141. II. 94. Gelenkträger, durchgehender II. 92, 93-

—    Bildungsweise des Fachwerks II. 93-

—    Einflußlinien der äußeren Kräfte II. 108.

Gelenkviereck I. 45. Geradenverdrehung, Einflußlinie III. 90.

Gerberträger II. 93.

Gerüstpfeiler III. 414. Gesamtnormalspannung, Verteilung der I. 339.

Geschwindigkeit, freie I. 233.

—    virtuelle I. 67, 78, 224. Geschwindigkeitseck, Pol des —s I.

233-

Geschwindigkeitsplan I. 233. Gewölbe I. 16, 20, 29, 40, 80, 75, 85. II. 158.

—    mittlere Belastung II. 205.

—    normaler Berechnungszustand II. 197.

—    Herstellung des Bogens II. 197.

—    Festlegen der günstigsten Bogenachse II. 204.

•— Bogenkraft II. 213.

--größte B. II. 214.

--kleinste B. II. 214.

--Linien der kleinsten und größten B. II. 214, 219.

--tätige und ruhende B. II. 221,

223.

Gewölbe, Bogenstärke, vorläufige Berechnung der B. II. 208.

--Näherungsformeln für die B.

II. 208.

—    Bogen weite II. 213.

—    Bruchfuge II. 216. 220.

—    Einsturz II. 214.

—    elastische Kraft II. 202.

—    Elastizitätsgleichungen II. 201.

—    Grundbedigungen des Gleichgewichts II. 199.

—    Hintermauerung II. S. 221.

—    gefährlichste Lastlage II. 208.

—    Lehrgerüst II. 197.

—    Mittelkraftlinie, Bedingungen für die Lage der M. II. 202.

--für einseitige Verkehrslast II.

206.

--Grenzlage der M. II. 213, 214.

--Grenzlage der M. beim Einsturz II. 217.

--Kennzeichen der Grenzlage

der M. II. 214.

--Wahl einer geeigneten M. für

die Verkehrslast II. 206.

--wirkliche Lage der M. II.

202.

—    Näherungsrechnungen II. 204.

—    Pfeilhöhe II. 213.

—    Randspannungen, Berechnungen II. 225.

—    Scheitelstärke der II. 334.

—    Wahl der zulässigen Spannung II. 212.

—    aus Stampfbeton II. 231.

—    statisch nicht bestimmbare Größen II. 199.

—    Stützlinie, Maximal-St. II. 215, 216, 222.

--Minimal-St. II. 2x5, 216, 222,

226.

--Verwendung der Maximal-St.

und der Minimal-St. II. 219.

—    Sturz, nach außen II. 218.

--nach innen II. 218.

—    Temperatureinflüsse II. 228.

—    Wölblinie, innere W. als Parabel II. 216.

--Veränderung der geplanten

Gestalt der inneren W. II. 198.

—    normaler Zustand II. 198.

Gewölbeschnitt I. 152.

Gleichgewicht I. 23, 26, 28, 30, 32,

51, 87, 139,

—    elastisches I. 2, 23, 26, 27, 29, 69, 87. III. 2, 66.

—    starres I. 29.

Gleichgewichtsaufgaben I. 78.

77-

Gleichgewichtsbedingungen I. 24, 53, 56, 58, 69, 78, 103, 141, 177, 312, 377-

Gleichgewichtsbedingungen, graphische I. 120.

Gleitfläche, kdes Erddrucks II. 282, 322.

—    für einen Brechpunkt der Erdlinie II. 287.

—    für den Angriffspunkt einer Einzellast II.292.

—    Gegendruck in einer II. 258.

—    wahre Gestalt der II. 264, 268.

—    Lage der II. 268, 271, 273, 277, 281, 309.

—    Darstellung der Lage einer ebenen

II.    269.

—    wirkliche Lage der II. 260.

—    bei gleichmäßiger Überlast II. 295. Gleitung I. 4, 7, 9, 317, 324, 379.

III.    2..

—    mittlere III. 37.

Gleitungsmaß I. 8, 319. III. 3, 5, 6. Gratfachwerk I. 191, 269. Grunddreieck I. 54, 57, 66, 166, 176. Grundeck I. 63, 66, 72, 166, 176, 183,

190, 201, 203, 229, 231. III. 225, 239-

—    ebenes I. 56.

—    starres I. 241.

—    Kennzeichen der Starrheit I. 233. Grundeckknoten I. 196.

Grundmaße der Konstruktion III.

225.

--Änderung der III. 225.

Grundspannungen I. 29. III. 384. Grundstellung II. 28, 44, 83, 87, 89.

—    gefährlichste II. 84.

—    Überschreitung der II. 28, 85. Gurt II. 53.

—    gebrochener II. 83.

Gurtform, Einfluß besonderer —en

II. 78.

Gurtknoten I. 48.

Gurtstäbe, Einfluß der Längenänderung der III. 98.

—    parallele II. 61.

Gurtstabkräfte II. 72.

—    Grenzwerte der II. 70.

Gußeisen I. 6, 75. III. 5.

Hängebrücke III. 225.

Haftkraft zwischen Eisen und Beton

I. 417.

Hauptachsen 1.280,287,330, 331,348, 412.

—    Bestimmung der Lage der I.

307-

Hauptachse, Darstellung der Lage der I. 284.

Hauptdehnungen I. 380.

—    maßgebende I. 381.

—    gefährlichster Wert der —n I. 381. Hauptnetz I. 69, 72. III. 215. Hauptrichtungen I. 375, 376. Hauptschubspannung I. 378, 381,

III. 12.

Hauptspannung I. 366,    375,    376,

378, 380. II. 273.

Hauptstrebe II. 76.

Hauptsystem III. 215,233,296,299.

—    Bildung des —s III. 237. Hauptträger I. 19, 21. II. 55.

—    Eigengewicht der II. 56. Hauptträgheitsmomente I. 280, 292,

342, 364-

—    Darstellung der I. 284.

Hebelarm I. 88, 326.

Hebelgesetz I. 77.

Hinterfüllung, physikalische Natur

der Erd- II. 278.

Holz I. 12, 13, 15, 24, 75, 76. Holzbrücken, gegliederte I. 82. Holzkonstruktionen I. 16, 24.

Holz Verbindungen I. 75.

Influenzlinie II. 255.

Ingenieurkunst, Grundlagen der I.

Kämpferdruck I. 96.

Kämpfergelenk I. 60. II. 97. Kämpferkraft, AngriffspunktIII. 337.

—    negative II. 126.

—    Zerlegung der II. 117.

Kämpf er kraftfläche II. 122. Kämpferkraftlinie III. 273.

—    Gleichung der III. 327.

—    und ihre Anwendungen III. 324.

—    gerade — für Parabelbogenachsen III. 327.

—    richtung, Darstellung der — III.

3²4-

—    verfahren, Zahlenbeispiel III. 329. Kämpferlinie I. 155. II. 118. Kämpferlinienkraft II. 118, 119.

—    als überzählige Größe III. 262. Kern I. 364, 365.

—    Darstellung des —s I. 345.

—    der Druckzone I. 409.

Kernlinie I. 345, 365.

Kernmoment I. 357, 359, 362. II.

168.

—    Einflußflächen der —e III. 312. Kernpunkt I. 345, 349, 355, 357, 365.

—    Bestimmung der —e I. 345.

ma

1.12.

Kernweite I. 357, 358, 359, 362, 365. II. 168.

Kette, gelenkige II. 95.

—    zwangläufige I. 227, 247, 268. Kettenbrückenlinie II. 246. Kettengurt, Knotenverbindung II.

387-

Kettenstab I. 334.

Knicken, Formänderung beim III. 152.

—    Spannung beim III. 152.

—    Tragkraft beim III. 152. Knickfestigkeit I. 79.

—    Grenzen zwischen Druckfestigkeit und III. 170.

—    reine III. 153.

—    Hauptfälle der reinen III. 154.

—    zusammengesetzte III. 154, 171.

—    Tabellen zur III. 200. Knickformeln, ältere des 19. Jahrhunderts III. 175.

—    neuere III. 178.

Knickkraft I. 79. III. 153.

—    theoretische III. 164, 165.

—    wirkliche III. 164, 165. Knicklinie, Biegungspfeil der III. 162. Knickspannung I. 338. III. 153. Knoten I. 20, 23, 74.

—    belasteter I. 194.

—    dreistäbiger I. 197.

—    ebener I. 27.

—    einfacher I. 50.

—    freier I. 59, 62.

—    mehrfacher I. 52.

—    unbelasteter I. 186, 194, 203, 205.

—    vernieteter III. 383.

—    vierstäbiger I. 194, 2x1.

—    zweifacher I. 46.

—    Mindestzahl der I. 56.

—    Raum- I. 27.

Knotenbolzen I. 334.

—    ebene I. 27, 250.

—    einlage I. 25,

—    -gelenk (reibungsloses) I. 26. III. 381.

—    -kraft I. 180.

—    Einfluß veränderlicher -lasten I. 268.

—    -punkt I. 20, 25.

—    -Verbindung I. 20, 24.

—    -verrückung (willkürliche) I. 256.

—    -Verschiebung I. 29, 257.

•— — Grundaufgabe I. 224, 248. --im Raume I. 247.

—    -weite II. 56.

Körper I. 28, 62.

—    vollkommen elastischer I. 5.

—    gegliederter I. 28.

Körper, isotroper I. 3, 6, 381. III. 3,

—    starrer I. 5, 30.

Konstrukteur I. 83, 86, 218, 223. Konstruktion I. 26, 73, 223, 239.

—    Berechnung einer I. 85.

—    Betrieb der I. 13.

—    gegliederte I. 81, 82.

—    günstigste Gestalt der I. 85.

—    Herstellung der I. 13, 85.

—    Masse der I. 22.

—    Sicherheit der I. xi, 15, 20.

—    statisch bestimmte III. 225.

—    statisch unbestimmte III. 225.

—    starre I. 30.

—    Wesen der I. 1.

Konstruktionen, auf ihrer ganzen

Länge elastisch unterstützt III. 419.

—    zusammengesetzte I. 21. Konstruktionsaufgaben, heutige I.' 84. Konstruktionsgewicht I. 22.

—    -last I. 17, 23.

--ständige I. 17.

--veränderliche I. 17.

—    -stab, der belastete I. 23.

--Widerstandsfähigkeit des —es

bei Spannungswechsel II. 76.

--Stoff I. 75.

--Festigkeitszahlen der

--teil I. 16, 21.

--system I. 16.

Kraft, Verschiebung des Angriffspunktes einer III. 233.

—    Einzel- I. 23.

—    Seiten- I. 29.

--dreieck I. 89, 115, 195.

--ebene I. 19, 24,156,311, 349. II. 1.

--eck I. 97, 101, 115, 116, 413.

--geschlossenes I. 117, 120, 178.

--Schlußlinie des —s I. 117.

--windschiefes I. 117, 312.

—    einheit I. 248. III. 88.

--gedachte III. 218.

—    — wirkliche III. 218.

--linie I. 137, 147, 331, 354, 357,

368, 371, 412.

—    -linienrichtung I. 342.

—    linie, der — zugeordnete Achse I. 344-

—    richtung I. 89, 121, 178.

—    -Viereck I. 115, 133, 172, 176.

II. 74-

- - CULMANNS I. 98. II. 67.

Kräfte, äußere I. 1, 87, 159.

—    äußere und innere, statisch bestimmter Träger II. 1.

--zusammengesetzter Fach werke

II. 92.

Kräfte, Beziehungen zwischen den äußeren und inneren, bei ständiger Belastung II. 57.

—    Einflußlinien der äußeren II. 8.

—    elastische, Berechnung der III. 264.

—    Grenzwerte der äußeren — einfacher Balkenträger II. 32.

—    — in besonderen Belastungsfällen II. 48.

—    elastische I. 2, 6.

—    innere I. 2, 166.

—    parallele I. 90, 91.

—    Mittelpunkt paralleler I. 144.

—    im Raume I. 95.

—    windschiefe I. 91, 103, 190.

—    gruppe, gleichwertige —n I. 87.

—    —n im Raume I. 101.

—    -paar I. 88. 93.

--e, Eigenschaften der I. 92.

--e, gleichwertige I. 92, 93.

—    Zerlegung eines —es I. 93.

—    -plan 176. I. 180, 202, 247.

—    -Viereck, räumliches I. 109.

—    Berechnung der elastischen — III. 314.

—    -Zerlegung I. 186.

--zug I. 89, 117.

--Richtungssinn eines —es I.

173-

Kreuzlinien III. 359, 360, 369. Kugelgelenk I. 25, 35, 305.

Kuppel I. 75.

Längenänderung, Einflußlinie einer

III. 90.

—    eines Stabes II. 101.

—    Krafteinheit der, zwischen zwei Punkten III. 81.

Längenänderungseinheit III. 86. Längsdehnung I. 4, 7, 320, 380, 381. Längskraft I. 326, 337, 348, 404. II. 167.

—    Angriffspunkt der I. 339, 341, 343, 344-

—    Einfluß einer I. 337.

—    Größe der I. 342.

—    Lage der I. 355.

—    Richtung der I. 345.

—    unendlich kleine I. 341. Längsschnitt I. 315, 318, 372. Längsträger I. 18.

Lager I. 30.

—    Gleit- I. 32, 36.

Last, gleichmäßig, stetige I. 160, 164. II. 32.

—    ständige I. 17.

—    stetig verteilte II. 6.

Last, veränderliche I. 17.

—    zufällige I. 17, II. 3. Lasteinheit I. 353, 354, 355.

—    Maß der II. 68.

Lastenverteilung, gleichmäßige I.147.

—    ungleichmäßige I. 147.

Lastenzug II. 71.

—    für Hauptbahnen II. 328.

—    für Nebenbahnen II. 329.

—    und wandernde Einzellast II. 4. Lastknoten I. 197, 201.

Lastlage, gefährlichste II. 5, 17, 19,

42, 71, 83, 184, 188, 208. III. 33L 367-

--allgemeine Kennzeichen der

—n II. 15.

--in Sonderfällen II. 18.

--gurt II. 3, 55. III. 97, 222.

—    Biegelinie des —es III. 222.

--punkt II. 4.

—    augenblicklicher, einer wandernden Lasteinheit III. 90.

—    -scheide II. 7, 10, 15, 45, 63, 66, 67, 89, 91, 101, 107, 114, 132. III. 273-

—    Lage der- im Schnittfelde II. 69. --stab I. 197, 211, 255.

—    -Übertragung I. 164.

--mittelbare I. 18, 165.

Linksfahrt II. 21, 22, 34.

Linie, neutrale I. 80.

Linsenträger II. 53.

Luftwärme I. 2, 70.

Massenkraft I. 18.

—    -Wirkung I. 76. Mauerquerschnitte, vergleichendeBe-

trachtung verschiedener II. 315. Menschengedränge II. 330. Methoden, graphische I. 83. Mittelgurt III. 262.

Mittelkraft I. 31, 89, 91, 93, 95, 115,

137, 157-

—    Größe und Richtung der I. 115, 136.

—    Lage der I. 117.

—    der Spannungen I. 23.

—    unendlich kleine I. 92. Mittelkraftlinie I. 97, 128, 148. II.

202, 206, 213, 214, 217, 246, 254.

HI- 313.

Mittelpfeiler, Kanten des —s II. 223. Mittelträger II. 96.

Mittengelenk I. 60. Mittengelenkbalken II. 99, 130. III. 249.

Mörtel I. 12, 24.

—    Haftkraft I. 392.

in Fach werk-

Molekular kraft I. 14.

Molekül I. 2, 14.

Moment I. 156, 157, 311. II. 49.

—    Differentialquotient des —es I. 158.

—    Einspannungs- I.29.

—    Grenzwert des —es I. 158, 325.

—    der Mittelkraft I. 135, 136.

—    bei mittelbarer Belastung II. 39.

—    bei unmittelbarer Belastung II.32.

—    statisches I. 23, 81, 88, 92, 134,

137,    277, 283, 357, 368.

--Berechnung des st. —es I.

138,    305-

--graphische Darstellung des

st. —s I. 295.

—    Vorzeichen des —es I. 157. Momentenfläche I. 140, 160, 165. II.

52. HI. 50.

—    Darstellung der III. 45.

—    eines durchgehenden Gelenkträgers I. 141.

—    Höhe der I. 141, 143, 160.

—    eines geschlossenen Seilecks 1.139. Momentengleichung I. 113. Momentengrenzwert, größter II. 36. Momentenlinie II. 33, 39, 41, 42. Momentenpol I. 287. Momentenpunkt I. 167, 170.

—    außerhalb der Stützen II. 12.

—    zwischen den Stützen II. 11. Momentenverfahren, das allgemeine

graphische II. 71.

—    von Zimmermann II. 73. Multiplikator II. 65, 123, 133, 144,

169, 181. III. 223, 241, 250, 269. III. 311.

Nachbarquerschnitt I. 3. Nachwirkung, elastische I. 5, 6. Nebenspannung I. 29, 30, 34, 39, 71, 321, II. 54. III. 186, 225, 231, 380, 393, 402. Nebenspannungen, Berechnung der — der Fachwerke III. 385.

—    Einflüsse von Bolzengelenken auf die — III. 395.

—    besondere Einflüsse bei — III. 394-

—    Ursachen der — trägem III. 380.

Niet, senkrechter I. 385.

—    wagerechter I. 384.

—    -durchmesser I. 385.

--Verbindung, einschnittige I. 386.

--zweischnittige I. 385.

Normalenzug II. 18. Normalfestigkeit I. 4, 7.

Normalprofil I. 360.

--Spannung I. 4, 8, 29, 314, 316,

—    319, 328, 338, 345, 357, 362, 369,

—    372, 375, 399, 402. III. 4---bei der Biegung I. 337.

—    — unter Anwendung des Potenzgesetzes I. 396.

--bei reiner Biegung I. 328.

—    — infolge einer Längskraft I. 405. --Darstellung der Verteilung I.

352.

--en in elastisch ungleich widerstehenden Querschnitten I. 389.

—    en in einfachen Festigkeitsfällen

I. 392.

--en in Schrägschnitten I. 373.

--Verteilung der —en I. 336,

350-

Nulllime I. 79, 80, 326, 328, 331, 332, 339, 341, 343, 345, 348, 355, 359, 365, 368, 412, 417.

—    Darstellung der I. 410.

—    Gleichung der I. 342, 344.

—    Lage der I. 330, 339, 352, 396, 403, 407.

—    in Querschnitten mit fehlender Zugzone I. 408.

Nulllinienrichtung I. 342.

--Schicht I. 383, 404, 419.

Oberflächenkraft I. 18.

Parabelträger II. 53, 78, 85.

—    Näherungsformeln für gegliederte III. 276.

Parallelbogenträger III. 278. Parallelenzug I. 176, 177, 179, 180, 181, II. 19.

Parallelkräfte I. 95, 137, 138, 139.

--träger II. 53, 76, 93.

--Biegelinie eines —s III. 110.

Pendelstütze I. 36, 95, 141. II. 96. III. 230.

—    -walze I. 36, 38, 123. II. 96. III. 230.

Pfeiler I. 30. II. 219.

—    fuß, größte Randspannung im

II. 224.

--Versteifung II. 147.

Pfeilhöhe II. 98, 120, 213. Plattenbalken I. 417, 419.

—    als Brückensteg I. 419.-PoissoNsche Zahl III. 5, 6, 89.

--Grenzen der —n III. 7.

Pol I. 42, 68, 127, 343.

—    der augenblicklichen Bewegung einer Scheibe II. 101.

Polabstand I. 141. II. 71, 72, 73.

80.

Polarachse I. 125, 127, 144. Polhalbmesser I. 226.

—    -richtung I. 231.

—    -strahl I. 119.

—    -Verschiebung I. 125, 241.

—    -weite I. 137, 153. III. 285, 289. Potential der elastischen Kräfte III. 2. Potenzgesetz I. 392, 399.

—    für Druckspannungen I. 390. Proportionalitätsgrenze I. 6, 7, 379. Punktepaar, Krafteinheit eines —es

III. 82.

Punktverschiebung, Berechnung und Darstellung einer III. 64.

—    Krafteinheit einer einfachen III.

Querdehnung I. 7, 3x5, 320, 380,

III. 8.

Querkonstruktion I. 19, 21. II. 7. Querkraft I. 23, 24, 80, 156, 157, 311. 326, 334, 368, II. 77, 83.

—    Einfluß einer I. 324.

—    Einfluß einer, bei reiner Abscherung I. 317.

—    elastische III. 130, 131.

—    Grenzwerte der, bei Einzellasten

II. 43-

--bei gleichmäßig stetigen Lasten II. 44.

—    Lage der II. 60.

Querschnitt I. 315, 317.

—    Ebenbleiben der —e I. 315.

—    ebener I. 313, 389.

—    gefährlichste—eil. 170, 184, 186, 190, 191.

—    Kern des —s I. 345.

—    ovale —e I. 324.

—    rechteckige —e I. 324. Quereinflußzahl III. 265.

—    -schnittsfläche I. 7, 359.

—    -umriß I. 345.

Querschwelle, Berechnung der belasteten III. 423.

Querspannung III. 58.

Querträger I. 19, 164.

—    lastübertragende I. 163.

—    Stützenkraftlinie II. 29.

--feld II. 7.

—    -punkte I. 164. Querverschiebung I. 62. Quetschgrenze I. 7.

Randfaser I. 386.

Randpunkt I. 324, 332, 355, 359. Randspannung I. 331, 362, 363, 399.

II. 168. III. 311, 322.

— en in Betonbalken I. 401.

Randspannungen der Druckzone I. 418.

—    Einflußlinie der I. 355, 409.

—    Grenzwert der I. 359.

—    Größe der —en I. 396, 403. Randwinkeländerung III. 125. Raumfachwerk I. 20, 61, 63, 190, 205,

213, 247.

--Berechnung eines —s I. 83.

—    -knoten I. 27.

--vierstäbiger I. 200.

—    -stabwerk, geschlossenes I. 62. --system I. 35.

—    -tragwerk I. 20.

Rechtsfahrt II. 21, 22, 35.

Reibung I. 26, 31.

—    gleitende I. 32, 39.

—    rollende I. 39.

—    zwischen Wand und Erde II. 257, 261, 264.

Reibungsmoment I. 34.

--winkel II. 263, 279.

--zwischen Wand und Erde'II.

266.

--zwischen Erde und Erde II.

274.

--zahl II. 275.

--ziffer zwischen Erde und Erde

II. 263.

Richtungsfigur III. 407. Richtungslinie II. 117, 118, 132. III-273-

Roheisen I. 76.

Rolle I. 36, 38.

Rollenlager III. 230.

Rollenstütze II. 96.

Säule I. 20.

Säulenfestigkeit I. 79.

Scheibe I. 3, 19, 28,

—    gegliederte I. 28.

—    starre I. 30.

Scheibendreieck I. 43.

--gelenk I. 58, 141.

--kette I. 43.

--offene I. 49.

--zwangläufige I. 44.

---als Mittel zur Darstellung

von Einflußlinien der Fachwerke II. 100.

—    -knoten I. 59.

--mehrfache I. 46.

—    -Verbindung I. 42, 57. Scheitelgelenk I. 60, 239. II. 97.

--kraft I. 149, 153. II. 119.

Scheitelknoten, Hebung eines —s III.

291.

—    Senkung eines —s III. 291.

Schiebung I. 4, 317. III. 37. Schiebungsmaß I. 319. III. 3. Schlußlinie I. 123, 127, 155, 164. II. 39, 40, 50.

—    spannungslose I. 128. Schlußlinienzug, wagerechter I. 144.

III. 46.

Schnittverfahren I. 171, 190, 193. Schrägschnitt I. 315, 316, 317, 318, 319-

—    Spannungen in —en I. 315. Schub I. 24.

Schubfestigkeit I. 4, 24.

Schubkraft I. 368, 373. Schubspannung I. 4, 9, 24, 80, 316,

317, 318, 319, 366, 367, 369, 372, 374, 383, 401, 402, 419. III. 4.

—    en bei der Biegung I. 382.

—    Einfluß der —en beim Knicken III. 163.

--auf die Formänderungen III.

62.

—    Beispiele zur Beurteilung des Einflusses der —en III. 54.

—    Grenzwerte der —en I. 323, 378.

—    größte —en I. 373.

—en in Längsschnitten I. 366.

—en infolge einer Querkraft I. 396. —en in elastisch ungleich widerstehenden Querschnitten I. 389.

—    reine —en I. 317, 381.

—en in Schrägschnitten I. 373.

—en in Stein I. 404.

—en zwischen Stein und Eisen I. 404.

—    en bei Verdrehung I. 321. Schubverteilungszahl III. 37.

—    Übungsaufgaben III. 54. Schwedlerträger II. 78, 81. Schweißeisen I. 22, 76. III. 5. Schweißstahl I. 76.

Schwerachse I. 278, 280, 329, 331,

349» 368.

Schwerkraft I. 2.

Schwerpunkt I. 23, 39, 144, 147. Schwerpunktsmoment II. 168. Schwingungsfestigkeit I. 11. Seilbrücke I. 73.

Seileck I. 77, 117, 118, 126, 183,412.

—    geschlossenes I. 120, 128.

—    Gleichgewichtslage der —e I. 119.

—e als Mittelkraftlinien I. 127.

—    Pol des —s I. 119.

—    Schlußlinie des —s I. 121.

—    äußere -seiten I. 120, 136.

—    linie I. 147.

—    Differentialgleichung der I. 152.

Seilliniê , Gleichung der I. 149, 150.

—    als Kreislinie I. 154.

—    als Parabel I. 155.

—    -maschine I. 77. Seitengeschwindigkeit I. 233. Seitenverschiebung I. 227, 248. Senkung III. 30, 97.

—    Einflußlinie einer III. 99. Senkungen, unelastische von Stüzen

III. 409.

Sichelbogen III. 276. Sichelbogenträger, Bogenkraft und Verschiebung eines Knotens durch Temperaturänderung III. 242. Sicherheit I. 72.

—    der Konstruktion I. 11, 15, 20, 379-

Sicherheitsgrad I. 21, 373, 399. II. 198. III. 7, 153.

--maß I. ii, 12.

Spannkraft I. 2.

Spannung I. 2, 5, 24, 354, 379. III. 2.

—    Einflußlinie der I. 353, 355.

—    Gegenseitigkeit der —en I. 353.

—    maßgebende I. 4, 12, 366, 373, 379, 381, 382. III. 8.

—    mittlere I. 350, 352.

—    reine I. 312.

—    zulässige I. 11, 21, 373, 379. II. 70.

—    in geraden Stäben I. 277. Spannungsbild I. 390.

—    -ebene I. 326, 328, 339.

--ellipse I. 375, 376. II. 273.

--ellipsoid I. 376, 380.

--grenze I. 379.

—    -kurve II. 254.

--linie I. 350, 355, 390, 409, 411.

--gekrümmte I. 399.

—    -unterschied I. 9, 10.

--Verteilung I. 353, 409.

—    — Annahmen bei der I. 391. --in Querschnitten mit fehlender

Zugzone I. 408.

—    Wechsel I. 9, 13, 345, II. 63, 75, 86.

—    -zustand I. 4, 312. III. 3.

--allgemeiner I. 376.

--ebener I. 313, 381. II. 273.

--linearer I. 313. 380.

Spannweite I. 73.

Stab I. i.

—    durchgehender I. 25, 27.

—    einfacher I. 25, 26, 27.

—    eingespannter I. 78.

—    gerader I. 27.

—    gewichtslos gedachter I. 27.

—    krummer I. 17, 79, 277.

III.

Stab, Dehnungen und Spannungen in kr. Stäben II. 158. 162.

—    spannungsloser I. 71.

—    wellenförmiger I. 79.

—    überzähliger I. 48, 68, 72.

—    notwendige Zahl der —e I. 46, 55.

—    Drehung eines —es I. 26.

—    Durchbiegung eines —es I. 79. Stabachse I. 1.

—    angeschlossene —n I. 24.

—    -dreieck I. 43.

—    -ende I. 59.

—    -gliederung I. 66.

—    -kette , offene I. 49.

—    — zwangläufige I. 44, 224.

--kräfte I. 53, 56, 58, 133.

—    — allgemeiner Ausdruck für die — eines Fachwerks III. 215.

--Berechnung der — I. 58.

--Einflußflächen der —

269.

—    — Bestimmung der I. 224.

—    — Ermittelung der I. 241.

—    — Grenzwert der, aus Vollast II. 75-

—    -kräfte der einfachen Balkenfachwerke II. 52.

—    — Beziehungen der, zum Moment II. 57.

—    — graphische Darstellung der II. 57-

—    — Beziehungen der, zur Quer-kraft II. 60.

—    -kreuzung I. 48, 50, 57. II. 54.

—    — einfache I. 50.

—    querschnitt I. 9, 23, 318, 319.

—    -richtung, geschnittene I. 170.

—    -Verbindung I. 20, 27.

—    -Vertauschung I. 58, 191, 211. Stabwerk I. 17, 19.

—    bewegliches I. 48, 54.

—    einfaches I. 27, 28, 42.

—    statisch bestimmtes I. 53.

—    geschlossenes I. 47, 56.

—    Grundmaße des —s I. 71.

—    starres I. 46, 62, 166.

—    überstarres I. 47, 48, 52.

—    zusammengesetztes I. 27, 28. Stabwerksystem I. 27.

Stabzahl I. 66.

—    gerade I. 56.

—    ungerade I. 56.

Ständerfachwerk II. 55.

—    Biegelinie für III. 108. Ständerstabkraft II. 85.

Stahl, Bezeichnungen des —s I. 76.

—    zulässige Schubspannungen für I.

Starrheit I. 25, 26, 43, 47, 55, 58, 84. Starrheitsbedingung I. 44. Stauchdruck I. 334, 336, 385.

Stein I. 6, 8, 12, 13, 15, 75, 76. Steineisenkonstruktion I. 392.

--querschnitt I. 396, 405.

Steinkonstruktion I. 16, 24.

—    -gewölbe I. 73. II. 169.

—    -querschnitt I. 392, 405.

--Spannungen und Dehnungen

in —en I. 389.

—    -verband I. 75.

Stehblech I. 361.

Stellungslinie, beim Erddruck II. 279, 282.

Stelzen I. 36, 39.

Stelzenlager III. 230.

Stichhöhe II. 98, 120. Strebenfachwerk II. 55.

--Biegelinie eines —s III. 107.

—    -stabkraft aus dem Lastenzuge II. 87,

--aus gleichmäßiger Verkehrslast II. 85.

Streckgrenze I. 7.

Stütze I. 16, 29.

—    bewegliche I. 31, 36.

—    feste I. 31.

—    Gleit- I. 32, 36.

—    lastübertragende I. 30.

—    Mindestzahl der —n I. 30.

—    wenig nachgiebige, elastisch senkbare III. 410.

Stützenbedingung I. 35, 36, 37, 38, 41, 239.

--druck I. 39. II. 50.

--negativer I. 139.

--positiver I. 139.

--gelenk, festes I. 34, 106.

--kraft I. 30, 87, 113, 121, 156.

II.    62. III. 66.

--elastische III. 131.

--negative I. 32, 34.

--senkrechte I. 257.

--wagerechte I. 257.

Stützenkraftlinie II. 25, 43.

—    Anwendung der, für die Bestimmung von Querkräften II. 28.

—    -moment III. 44.

--Senkung III. 221.

—    -stab I. 35, 141, III. 66.

--im Raume I. 113.

--Verschiebung, elastische III. 352.

--widerstand I. 23.

Stützfläche I. 16, 21, 31, 40.

auf elastisch

Stützlinie I. 147, 150. II. 215, 216, 219, 222, 226, 246.

—    — Theorie der II. 246.

—    -mauer I. 17, 20, 40, 85, 392. II. 158, 256.

--Abmessungen der —n II. 334.

--Standfestigkeit der —n II.277.

--graphische Berechnung der

—n II. 277.

—    -punkt I. 30, 31, 40, 150. III. 66.

—    elastisch senkbarer III. 403.

--unbeweglicher III. 67.

--Verschiebungen III. 219, 228,,

299.

Stützung bei bloßer Berührung I. 31.

—    durch Flächenberührung I. 40. Stützweite I. 22, 30. III. 225.

--Änderung der I. 30, 71.

Summeneinfluß große II. 5.

—    Hilfsmittel beim Berechnen einer II. 30.

Summeneinflußlinie II. 15, 16.

—    einer Stützenkraft II. 25. System, Beweglichkeit eines I. 31. —■ ebenes I. 19, 24, 30, 34, 54, 150,

3I3-

—    räumliches I. 19, 23, 30.

—    statisch bestimmtes I. 71.

--unbestimmtes I. 72, 247. III.

215.

—    innen statisch unbestimmtes III. 228.

—    außen statisch unbestimmtes III. 228.

Tauschstab I. 211, 229, 243, 255.

—    Längenänderung des —es I. 24.

—    mehrere —e I. 241. Tauschstabknoten I. 255. Teilbelastung II. 83.

—    Ersatz einer, beim Erddruck II. 295. 298.

Teilerddrücke, Angriffspunkte der — II. 309.

Temperatur I. 14.

—    mittlere I. 71.

--Gradzahl III. 223.

--änderung I. 72. III. 66.

--Einflüsse von —en III. 223,

409.

--belastung III. 217, 226, 228.

—    -dehnung I. 392. III. 226.

—    -einfluß I. 14, 30, 72. III. 266, 289, 379-

--Formänderungsarbeit III. 20.

—    -kraft I. 18.

—    -längenänderung II. 95.

--Schwankung I. 15. III. 223.

Temperaturspannung I. 18, 72, III. 2, 225, 232.

--stabkräfte III. 268.

—    -Wechsel I. 15.

Theorie des Fachwerks, Anfänge der

I.    74» 77-

Tonnengewölbe, beiderseits eingespanntes II. 196.

--als Dreigelenkträger II. 196.

--geschichtlicher Rückblick II.

242.

--Zahlenbeispiele II. 231.

—    gelenklose II. 179.

Torsion I. 312, 381, 387, Torsionsspannung I. 4, 14.

Träger I. 19, 20.

—    einfache und zusammengesetzte

II.    2.

—    Benennung der Fachwerks—nach ihrem Scheibenumriß II. 53.

—    durchgehende drehbaren Stützen III. 412.

--auf verschiebbareu Stützen

III.    403.

—    ebener II. 1.

—    einerseits eingespannter, anderseits frei gestützter III. 38.

—    durchgehender, auf drei Stützen

HI. 39-

—    beiderseits eingespannter III. 40.

—    statisch bestimmter, äußere und innere Kräfte II. 1.

—    Tragfähigkeit von hölzernen und eisernen —n I. 359.

—    -gestalt II. 64.

--Einfluß der, auf den Spannungswechsel der Wandstäbe II. 75-

--symmetrische II. 89.

--höhe II. 64.

--lasten, Übertragung der, auf die

--knoten II. 2.

--netz II. 71.

--scheibe I. 19.

—    -schnitt, gefährlichster II. 37. Trägheitsellipse I. 292, 293, 294. --zugeordnete Durchmesser der

I. 295.

—    -halbmesser I. 292, 294, 344, 348.

--kreis I. 281, 284, 285, 352.

--momente I. 81, 277,294,297, 329,

368. III. 51.

--Berechnung der — I. 305.

--graphische Darstellung der

— I. 295.

--Grenzwerte der — I. 279.

--polares I. 279, 283.

—    -Schwerpunkt I. 281, 283, 285.

Tragfestigkeit I. n.

—    -körper I. 28.

--scheibe I. 19, 28.

—    werk I. 16, 29.

—    — starres I. 25.

--vollwandiges I. 16.

Trapezsprengwerk I. 73.

Turmpfeiler III. 414.

—    eiserner I. 261.

Überbestimmtheit, geometrische I. 68.

Überlast II. 288, 309.

-— Berücksichtigung beim Erddruck

II.    291, 292, 307.

-— gerade Erdlinie ohne II. 303. Überlastung des Untergrundes I. 16. Uberstarrheit I. 68, 166.

Ufermauer II. 335.

—    mit Überlast von Einzelkräften II. 321.

Umfangsknoten I. 48, 177.

—    -stab I. 177.

Unbestimmtheit, äußere I. 69.

—    innere I. 69.

Untergrund, physikalische Natur des —es II. 278.

Ursprungsfestigkeit I. 11.

Verankerung I. 75. II. 146. Verbindung, bewegliche I. 25.

—    starre I. 36, 41.

Verbindungsstab I. 43, 46. Verdrehung I. 30, 89, 321, 386.

—    Krafteinheit der, einer Geraden

III.    82.

Verdrehungsfestigkeit I. 4.

—    -moment I. 23, 311.

--Spannung I. 4.

—    -winkel I. 322. III. 67. Verkehrslast I. 17, 22. II. 3, 70.

—    mittelbare Übertragung der II. 3. Vermittlungszahl III. 178. Verschiebung I. 25, 30, 67, 89, 224.

III. i, 65, 88, 226.

•— elastische I. 69, 72. III. 66, 90.

—    Einflußlinie einer III. 90.

—    erste I. 241.

—    freie I. 45.

—    Gegenseitigkeit der elastischen

—en III. 85.

—    gegenseitige, der Nachbarquerschnitte III. 36.

—    gegenseitiges Verhältnis der —en I. 233.

—    zwischen zwei Punkten III. 89.

—    unendlich kleine I. 78.

—    virtuelle —en I. 78, 191, 248.

Verschiebung,Vorzeichen einer 1.227, 231, 242.

—    wirkliche I. 251, 268, 66, 139. —en, allgemeine Bezeichnungsweise

III. 80.

Verschiebungsdreieck I. 241.

---eck I. 231, 233.

--ähnliches I. 235.

--Eckpunkte des —s I. 242.

--erstes I. 240.

--geschlossenes I. 233, 235.

--zweites I. 239.

--plan I. 224, 225, 229, 247, 254.

III. i, 96, 141, 143, 149, 220, 243, 253, 291.

--für einfache Fachwerke III.

135-

--Darstellung des —es III. 136.

---des zweiten —es III. 139.

--für einen Parallelträger mit

Strebenfachwerk III. 141.

--für statisch bestimmte Fachwerke III. 96.

--für zusammengesetzte Fachwerke III. 145.

Verschraubung I. 24. Versteifungsbalken II. 99. Vieleckträger II. 87.

—    als Berechnungsgrundlage II. 55. Viereckseinfluß fläche II. 22. Vollbelastung II. 82, 301.

—    mittlere II. 173. Vollwandbogenträger II. 158. III. 334.

—    — Beziehungen zwischen den äußeren Kräften eines —s II. 164.

—    — Berechnungen der Randspannungen eines —s aus den Momenten II. 168.

Voll wand träger III. 228, 234.

--flußeiserner I. 361.

--krummer II. 158.

--statisch unbestimmter III.273.

¹

Theorie und Berechnung der Gewölbe vgl. Band II.

Wandfläche, gebrochene II. 311.

--glied II. 53.

--gliederung I. 82.

--einteilige II. 54.

--mehrteilige II. 54.

—    -knoten I. 49, 50.

--belasteter I. 181.

—    -linie (beim Erddruck) II. 256. --stab I. 48.

—    fallender und steigender II. 61. Wandstabkräfte, Grenzwert der —

II. 82.

—    Größe der II. 74.

Wendepunkte, bewegliche III. 363. Widerlager II. 219.

Widerlager, Bodendruck in der Sohle des —s II. 221.

—    Kanten des —s II. 221.

—    Sicherheit des —s II. 227.

—    Stand- II. 19.

—    verlorenes II. 219.

Widerstand, elastischer I. 391.

—    Satz vom kleinsten II. 249. Widerstandslinie II. 248.

--moment I. 331, 332, 359.

Wind I. 17.

--kraft I. 18, 29.

—    -verband I. 21.

Winkeländerung I. 4, 29. II. 104, 105,

III. 36, 84, 97, 124, 384, 402.

—    der Stabdreiecke III. 383.

—    zwischen zwei Geraden III. 89,384.

—    Einflußlinie einer III. 90.

—    für die Längeneinheit III. 35.

—    an der Stabachse III. 34. Wölblinie, Gestalt der inneren II. 198

Zement I. 8.

—    -mortel I. 414. III. 6.

--Elastizität und Festigkeit von

—n IL 337■

--Festigkeit von reinem II. 339.

Zentralachse I. 103.

--ellipse I. 292, 349.

—    — zugeordnete Durchmesser der I. 344-

Zentrifugalmoment I. 277, 280, 287, 289, 292, 294, 295, 329.

Zentrifugalmoment, graphische Darstellung des —s I. 298.

—    des Trapezes I. 300.

Zerknicken III. 153.

Zerstörung I. 383.

Zonenkraft I. 399.

Zug I. 4, 8, 332, 345.

—    reiner I. 10.

—    -balken II. 99.

—    -band II. 99.

—    -festigkeit I. 24.

—    -kraft I. 180.

—    -Spannung I. 327.

--reine I. 312.

--zone I.327, 331,341,401,415,416.

--Querschnitte mit fehlender

oder versagender I. 406.

--Spannungsverteilung in der I.

391-

--in Steinquerschnitten und ihre

Verstärkung durch Eiseneinlagen I. 391.

Zusammendrückung, elastische, eines Stabes beim Knicken III. 163. Zusatzspannung III. 231. 380. Zwangsspannung III. 229, 231.

—    Einfluß von —en III. 228. Zwischengelenk I. 44, 50, 72. II. 2,

92, 94.

—    konstruktive Ausbildung eines —s II. 95.

Zylinderbolzen I. 25, 34.

--gelenk I. 34, 42.

b. Namenverzeichnis.

Archimedes I. 77.

Asimont III. 176, 177, 450.

Audoy IL 244, 246, 264.

Bach, von I. 6, 390. III. 58, 428. Bauschinger I. 6, 10, 392. II. 253, 336. III. 167, 176, 428.

Beck I. 75.

Belidor II. 243, 259.

Bernoulli I. 78, 79. III. 426. Bertot III. 447.

Bessemer I. 76.

Betti III. 443, 444, 446.

Blondel I. 77.

Böhm und John II. 194, 259. Boistard II. 243, 244.

Boussinesq II. 276.

Bow I. 176. III. 439.

Bresse III. 428, 448, 449.

Brik III. 452.

Brix II. 246. III. 432.

Büsing II. 339.

Bullet II. 257.

Carvallo II. 253.

Castigliano I. 82. III. 233, 234, 236, 429, 434, 442.

Cauchy I. 7. III. 427. Cismone-Brücke I. 74.

Clapeyron I. 7, 84. II. 244, 245. III.

428, 435, 442, 447.

Clausius III. 428.

Claxton Fidler III. 369.

Clebsch III. 428.

447-

Coalbrookdale-Eisenwerke I. 75. Considère II. 276.

Coulomb I. 79, 80, 379. II. 242, 245 —247, 255, 259—262, 264—266. III. 426.

Couplet II. 243, 259.

Cousinery I. 84. III. 432.

Cremona I. 82, 176. II. 100, 116, 128. III. 429, 433.

Culmann I 80, 82—84, 98, 133, 171, 296. II. 67, 69, 88, 96, 100, 116, 128, 130,252,265. III. 430, 431, 432, 448.

Danisy II. 243. Dircksen II. 327. Durand-Claye II. 253.

Eddystone, Leuchtturm I. 75. Emperger, von III. 183.

Engels II. 279.

Engesser II. 328. III. 163, 449, 450. Euler I. 79. III. 154, 197, 426. Eytelwein I. 80. II. 243, 264. III.

Fabri I. 77.

Fidler, Claxton III. 183, 448. Foeppl I. 84. II. 253, 275. III. 165, 167, 174, 421, 428, 438, 439, 440. Foerster, Max II. 97, 137, 336. Frankel I. 82. III. 236, 429, 437, 446, 449.

Français II. 264.

Frühling III. 419.

Fülscher III. 231.

Galilei I. 74, 77, 78. III. 425. Garidel II. 244, 246.

Gauthey II. 244.

Gerber I. ir, 22. II. 93.

Gerstner, der Ältere I. 80. II. 242, 246.

— Anton von II. 246.

Gilly II. 264.

Goering III. 423.

Glauser III. 452.

Grandi I. 77.

Grashof I. 380. III. 163, 428, 448. ’s Gravesande I. 6.

Grübler I. 84.

Guidi III. 429.

Haeseler II. 316, 317, 334.

Hagen I. 80. II. 247, 250, 251, 253. Hartwich III. 449.

Heinzerling II. 334.

Henneberg I. 58, 197, 199, 201, 211, 215, 246, 248, 255, 268. II. 96, 100. III. 433, 437, 439, 440. Hire, de la II. 243.

Hodgkinson III. 176.

Holzhey II. 287.

Hooke I. 6, 77, 328. III. 425. Housselle II. 334.

Huygens I. 6.

Jenkin III. 439.

Johnson II. 15. III. 181.

Keck I. 409.

Kirchhoff I. 8, III. 428.

Kleine I. 414.

Koch II. 336.

Koenen I. 399.

Koepcke II. 254. III. 448.

Koetter II. 257, 259, 262, 263, 268 269, 276.

Krohn III. 184.

Kübler III. 164, 450.

Lagrange I. 78, 79, 249. III. 162, 426, 431.

Laissle III. 176.

Lamé I. 7, 84. II. 245. III. 427. Land I. 84. III. 123, 132, 133, 383, 440, 444.

Landsberg II. 99, 137. III. 328, 331.

397, 450, 452.

Lang III. 176, 177, 439.

Langer II. 99.

Launhardt I. 11.

Leibniz I. 79.

Levy II. 276. III. 433, 448. Lohmeyer II. 243, 245, 264.

Lueger III. 423.

Magens IL 338.

Manderla III. 384, 450.

Mantel III. 57.

Marchetti I. 77.

Mariotte III. 426.

Masson I. 6.

Maupertuis II. 249. III. 000 Maxwell I. 82, 84, 176. II. 100, 116, 128. III. 64, 85, 88, 89, 216, 221, 230, 231, 246, 248, 263, 372, 433, 438, 440, 441, 442, 443-Mayniel II. 256—259.

Mehrtens I. 10, 77, 301. II. 15, 54, 78. III. 176, 177, 193, 224, 262. Menabrea I. 82. III. 235, 429, 434. Moebius I. 84. III. 438.

Moersch I. 392. II. 337. III. 6.

Mohr I. 80, 82,‘ 84, 239, 248, 255, 268, 278, 281, 284, 292, 296, 310, 352, 380, 410. II. 234, 268, 276. III. 3i? 64, 65, 67, 88, 89, 97, 123, 127, 132, 216, 221, 233, 234, 236, 241, 231, 266, 428, 433, 434, 436, 438, 439, 440, 441, 443, 447, 448, 449.

Mosely II. 247, 249, 250, 251, 253. Müller-Breslau I. 84. II. 101. III. 236, 238, 247, 262, 276, 435, 437, 439, 441, 442.

Navier I. 7, 78, 80, 81, 82. II. 54, 243—245, 247, 253, 264. III. 176, 425, 427, 447.

Nehls I. 259. III. 434.

Newton III. 431.

Oratow I. 8.

Ostenfeld III. 176, 201, 224, 369, 403, 407, 408, 448.

Palladio I. 74. II. 54.

Parent I. 79.

Perrodil, de II. 254.

Perronet II. 334.

Persy I. 81.

Petit II. 244, 246.

Philadelphia, Weltausstellung I. 76. Picheroni di Mirandola I. 74. Pochhammer III. 428.

Podhaisky II. 15.

Poinsot ill. 428, 431, 434.

Poisson I. 7, 321. III. 427. Poncelet I. 84, 380. II. 242, 245— 247, 253, 255, 263—266, 268, 287. HI. 432.

Prony, de II. 264, 316.

Rankine II. 275, 334. III. 175, 198. Rebhann I. 80. il. 263, 265, 269, 280.

Ritter-Hannover I. 84, 166, 191. II. 57, 96, 100, 113. III. 57, 176, 355, 3⁶4, 370, 387, 388, 397, 430, 433, 439-

Ritter-Zürich III. 448, 450.

Rondelet II. 257.

Rühlmann II. 247, 249. III. 000

Saint-Guilhelm, de II. 287. Saint-Venant I. 380. III. 427, 428.

Sarrazin II. 250.

Savart I. 6.

Saviotti III. 433, 439.

Schaffer I. 11.

Scharowsky III. 176.

Scheffler I. 80. II. 247, 250, 251, 275, III. 448.

Schneebeli I. 8.

Schübler III. 176.

Schumann II. 339.

Schwarz III. 175, 176.

Schwedler I. 80, 82, 86. II. 78, 247, 251, 252. III. 397, 430, 440. Simpson III. 305.

Smeaton I. 75.

Souleyre III. 452.

Soyka II. 278.

Stahl I. 8.

Sternberg III. 449.

Stevin I. 74, 77, 78, 84. III. 431.

Taylor III. 439.

Tellkampf II. 253.

Tetmajer I. 6. III. 57, 167, 201,

428.

Thomas I. 76.

Tolkmitt II. 185, 206, 225, 252, 255,

331-

Tredgold I. 80. II. 253.

Varignon I. 84. III. 431. Vianello III. 163, 448.

Weale II. 247, 249.

Weber I. 6.

Wertheim I. 68.

Weyrauch I. 11, 80. II. 254. III. 428,

436, 437, 448, 449-Williot III. 442, 446.

Winkler I. 11, 77, 80. II. 17, 198, 254, 263, 264, 268, 269, 276, 287, 290, 331. III. 37, 56, 162, 328, 420, 428, 431, 437, 440, 444, 446, 448, 449, 450-Wöhler I. 10.

Woltmann II. 263.

Young II. 253.

Zimmermann II. 73, 75, 82. III. 163, 420, 421, 440, 452.

Zuchetti III. 434.

Druck von Breitkopf & Härtel in Leipzig

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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