WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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VORLESUNGEN ÜBER

TECHNISCHE MECHANIK

von

Dr. Phil., Sr.sSng. AUGUST FÖPPL

PROFESSOR AN D. TECHNISCH. HOCHSCHULE IN MÜNCHEN

IN SECHS BÄNDEN

VIERTER BAND

DYNAMIK

MIT 86 FIGUREN IM TEXT

VIERTE AUFLAGE

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B.G.TEUBNER

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KRAKÓW

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COPYRIGHT 1914 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Akc. Nr.

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Aus dem Vorworte zur dritten Auflage.

Im Jahre 1899 ist die erste Auflage dieses Bandes er-schienenmnd im Jahre 1901 die zweite. Mit den anderen Bänden des ganzen Werkes, die eine größere Verbreitung fanden, hat der Absatz dieses Bandes nicht ganz gleichen Schritt zu halten vermocht. Ich habe geglaubt, daraus den Schluß ziehen zu müssen, daß der Inhalt dieses Bandes in seiner früheren Gestalt seinem Zwecke weniger gut entsprochen hat, als bei den anderen Bänden. Deshalb habe ich mich für die Neuauflage zu einer vollständigen Umarbeitung entschlossen.

Kaum die Hälfte von dem Inhalte der zweiten Auflage ist mit geringen Änderungen auch wieder in die Neuauflage übernommen worden. Dagegen ist anderenteils vieles neu zugefügt worden, was mir zur besseren Ausgestaltung des behandelten Lehrstoffes notwendig erschien. Immerhin überwiegen aber dem Umfange nach die Streichungen; die Seitenzahl hat sich daher gegen früher erheblich vermindert. Auch die Vorreden zu den beiden ersten Auflagen lasse ich, um an Raum zu sparen, nicht wieder abdrucken.

Der erste Abschnitt hat sich gegen früher am wenigsten verändert. In ihm hat die Lehre von den Schwingungen starke Erweiterungen erfahren, während die Planetenbewegung gestrichen wurde. Den früheren zweiten Abschnitt habe ich jetzt in drei Abschnitte zerlegt mit vielen Erweiterungen und Zusätzen. Die dahin gehörige Dynamik des starren Körpers und insbesondere die Kreiseltheorie habe ich vollständig umgearbeitet. Auch der frühere dritte Abschnitt hat viele Änderungen erfahren; zur besseren Erläuterung der vorgetragenen Lehren habe ich ihm auch einige Aufgaben neu zugefügt. Der ehemalige vierte Abschnitt ist bis auf die an anderer Stelle untergebrachte Lehre von der mechanischen Ähnlichkeit ganz weggefallen und der fünfte Abschnitt, der die Hydrodynamik behandelte, wurde auf einen viel engeren Raum zusammengedrängt, wobei jedoch auch hier auf eine bessere Hervorhebung der grundlegenden Betrachtungen Bedacht genommen wurde.

Aus dieser gedrängten Übersicht erkennt man schon, daß diese Neuauflage zum großen Teile ein ganz neues Buch darstellt, das die frühere Auflage nicht vollständig zu ersetzen vermag. Denn viele Dinge, die früher eine ausführliche Besprechung gefunden hatten, sind jetzt ohne jeden Ersatz weggefallen, während der Rest allerdings, der beibehalten wurde, beträchtlich erweitert und, wie ich annehmen darf, auch verbessert wurde. Wer sich daran gewöhnt hat, bei schwierigen Fragen Rat in meinem Lehrbuch zu suchen, wird nun freilich zuweilen genötigt sein, auch ferner noch auf die ältere Auflage zurückzugreifen. Erst wenn der in Vorbereitung befindliche sechste Band des ganzen Werkes erschienen ist, wird dies nicht mehr nötig sein, da in ihm die jetzt fortgefallenen Gegenstände eine ausführliche Darstellung finden sollen.

München, im August 1908.

A. Föppl.

Vorwort zur vierten Auflage.

Für die dritte Auflage war das Buch vollständig umgearbeitet worden. Die Hoffnung, in der dies geschah, ein den berechtigten Anforderungen der Technik besser als bisher entsprechendes Lehrbuch daraus zu machen, scheint sich erfüllt zu haben. Dies glaube ich nämlich daraus schließen zu dürfen, daß der Absatz eine erhebliche Steigerung erfuhr, so daß er gegen den der anderen Bände kaum noch zurückstand.

Für die vierte Auflage sah ich hiernach keine Veranlassung zu einschneidenden Änderungen. Indessen sind neun neue Aufgaben mit vollständigen, zum Teil ziemlich umfangreichen Lösungen dazugekommen und ebenso am Schlüsse des Bandes zwei neue Paragraphen, in denen die Anwendung der Lehre von der mechanischen Ähnlichkeit auf die Flüssigkeitsströmungen ausführlich auseinandergesetzt wird, wichtige Verbesserung erblicken zu dürfen, die wohl zahlreichen Benutzern des Buches willkommen sein dürfte.

Hierin hoffe ich eine

Daß sonst noch an vielen Stellen, in der Absicht zu verbessern, kleinere Änderungen vorgenommen wurden, bedarf kaum der Erwähnung. Wo es angängig erschien, wurden auch Kürzungen vorgenommen, um nach Möglichkeit eine Vergrößerung des Umfangs zu vermeiden.

Der sechste Band, auf den im vorhergehenden Vorworte verwiesen wurde, ist nun schon seit vier Jahren auf dem Büchermärkte. Er ist auch weiterhin als eine Fortsetzung und Ergänzung des hier vorliegenden vierten Bandes zu betrachten. Ein für theoretische Studien begabter Ingenieur, der mit den Lehren des vierten Bandes bereits hinlänglich vertraut ist, wird aus dem sechsten Baude immernoch vieles lernen und praktischen Nutzen daraus für die Ausübung seines Berufs ziehen können. München, im November 1913.

A. Föppl.

Inhaltsübersicht.

Erster Abschnitt. Dynamik des materiellen Punktes .

§ 1. Einleitung...................

§ 2. Der Flächensatz................

Drall.....................

Zentralbewegung...............

Sektorengeschwindigkeit............

§ 3. Das Potential............. . . .

Wirbelfreie und Wirbelfelder..........

Perpetuum mobile............. . .

Potentialunterschied..............

Potentialgefäll.................

Niveaufläche ..................

1 —127

tH CO Ci tH <N

^1 TP t- O H H H H (M (M

21

Kraftlinien............

Geoid.........• . . . .

§ 4, Die einfache harmonische Schwingung

Schwingungsdauer........

Elliptische Schwingung . '.....

§ 5. Drehschwingungen........

§ 6. Gedämpfte Schwingungen.....

Aperiodische Bewegung ......

Schwingungsdauer der gedämpften Schwingungen ....    40

Logarithmisches Dekrement.....

§ 7. Dämpfung durch gewöhnliche Reibung

Dem Quadrate der Geschwindigkeit proportionale Dämpfung 48

§ 8. Erzwungene Schwingungen..............

Phasenunterschied..................

Resonanz......................

§ 9. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung für die er-

ziuungenen Schwingungen.............

Schwebungen................. .

§ 10. Kritische Geschwindigkeiten.............

Fouriersche Reihen.................

§11. Gekoppelte Schwingungen..............

Drei gekoppelte Massen...............

Biegungsschwingung eines Stabs mit einer Masse . . .

23

24

29

29

32

35

39

42

44

50

55

56

57

. 61

62

65

67

70

§ 12. Näherungstheorie für das einfache Pendel.......

75

79

§ 13. Genauere Theorie der ebenen Pendelschwingungen ....

80

Elliptische Integrale.................

85

Genauere Näherungsformel.............

85

§ 14. Schwingungen auf der Zykloide............

88

Brachistochrone...................

96

Rücklauf bei Kegelbahn...............

97

§ 15. Anwendung des Seilpolygons auf die Dynamik des materiellen Punktes .

100

Beispiel......

104—127

Aufgaben zum 1. Abschnitt

110

Vial (4. Aufg.) . .

Dämpfung durch konstante und zugleich durch der Geschwindigkeit proportionale Reibung (9 Aufg.) ...    114

118

Fadenspannung vom Pendel (11. Aufg.)

Drehschwingungen eines gefederten Wagens (12. Aufg.). 119 Gekoppelte Schwingungen von zwei Eisenbahnwagen . .    121

Zweiter Abschnitt. Dynamik des Punkthaufens .... 128—168

128

§ 16. Das Prinzip von d’Alembert.........

131

Trägheitskräfte...............

. .    135

§ 17. Festigkeitsberechnungen für beivegte Körper . . .

Bedingung für die Möglichkeit der Zurückführung auf den

136

ruhenden Körper .................

137

Pleuelstange.....................

140

§ 18. Das zusammengesetzte Pendel.............

143

Reduzierte Pendellänge...............

§ 19. Schwerpunkts- und Flächensätze für den Punkthaufen . .    145

Drall eines Punkthaufens, dessen Schwerpunkt ruht . .    149

150

Unveränderliche Ebene.........

153

153

§ 20. Einfache Anwendungen des Flächensatzes Umdrehung einer Katze beim Fallen . .

157

Luftballon..............

§ 21. Massenausgleich bei Schiffsmaschinen nach Schlick . . .    159

160

Die beiden allgemeinen Forderungen für den Massenausgleich .........

. 162

Massenausgleich zweiter Ordnung § 22. Anwendung des Flächensatzes auf die Turbinentheorie. .    166

Dritter Abschnitt. Dynamik des starren Körpers . . . 169—255

169

§ 23. Stellung der Aufgabe.........

170

§ 24. Lebendige Kraft und Trägheitsellipsoid

175

§ 25. Drall und Drallellipsoid.......

Graphische Ermittelung des Dralls . .

Seit©

§ 26. § 27.

§ 28.

§ 29. § 30. § 31. § 32.

§ 33.

§ 34.

§ 35.

Stabförmiger Körper . .

Zusammenhang zwischen Trägheits- nnd Drall-Ellipsoid 184 Die freien Achsen Wirkung eines Kräftepaares auf einen freien starren Körper 190

Drehstoß......................

Impulsvektor....................

Bewegung eines starren Körpers um einen festen Funkt

ohne äußere Kräfte................

Polodie und Herpolodie...............

Die stabilen Drehachsen...............

Die Eulerschen Gleichungen..............

Ein einfaches Beispiel................

Stöße am starren Körper........... ...

Gegenseitigkeit der Stoßgeschwindigkeiten.......

Satz von Carnot über clen Verlust von lebendiger Kraft

beim Stoße starrer Körper.............

Die Kreiselbewegung.................

Änderung der lebendigen Kraft und des Dralls.....

Die pseudoreguläre Präzession............

Hauptvorgang....................

Umlaufzeit.....................

181

185

193

193

194

197

198

200

204

207

209

210 -

218

220

221

223

226

CO CO cen çjon

§ 38.

§ 39.

Einwirkung eines Stoßes auf den schnell rotierenden Kreisel 228 Die strenge Lösung des Kreiselproblems für den symmetrischen schiceren Kreisel.............

Hauptgleichung des Kreiselproblems.........

Die reguläre Prozession..............

Langsame und schnelle Präzession.........

Die Verwendung der Kreiseltheorie in der Praxis. . .

Drehung von Schwungradebene...........

Bumerang......................

Seitenablenkung von Geschossen..........

Rollendes Rad

Billardball...................

231

234

234

237

238

239

244

245

246

.    251

§ 40. Ebene Bewegung des starren Körpers

251

Vierter Abschnitt. Schwingungen elastischer Körper . 256—345 § 41. Biegungsschwingungen von Stäben mit gleichförmig verteilter Masse..............

Grundschwingung und Oberschwingungen . .

§ 42. Allgemeinere Lösung der Schwingungsgleichung

§ 43. Biegungsschwingungen von Schiffen.....

§ 44. Torsionsschwingungen von langen Wellen . . üngleichförmigkeitsgrad von Maschinen . . .

256

260

261

265

269

Seite

§ 45. Biegungsschicingungen von schnell umlaufenden Wellen .

Formel für die kritische Geschwindigkeit.......

§ 46. Mechanische Ähnlichkeit; Theorie der Modelle.....

Modelle von Tragkonstruktionen...........

Modelle von Maschinen...............

Modellregel von Froude für Schiffe .........

277

291

295

298

300

302

Aufgaben zum 2., 3. und 4. Abschnitte . .

Stöße an Stäben (15. u. 16. Aufg.) .

Trägheitskräfte an Stange (19. Aufg.)

Reversionspendel (22. Aufg.) ....

Festigkeitsberechnung von Glockenstuhl (23. Aufg.) . . .    319

Biegungsheanspruchung von Pendel (24. u. 25. Aufg.) . .    320

Trägheitsmomente von Kegel (28. Aufg.) . .

Schief aufgekeilter Schwungring (32. Aufg.)

Drehstoß an Ring (33. Aufg.) ......

Gyroskop (36. Aufg.)...........

Bifilare Aufhängung (38. Aufg.)......

Rollbewegung von Schiffen (39. Aufg.) . .

Rollpendel (42. Aufg.)..........

306—345

306

312

318

325

329

331

335

337

339

343

Fünfter Abschnitt. Die Relativbewegung

346—365

§ 47. Vorbemerkungen............

§ 48. Der Satz von Coriolis.........

§ 49. Die Zusatzkräfte bei der Belativbewegung

Zusammenhang der ersten Zusatzkraft mit der Trägheitskraft 353 Fallender Stein

346

348

352

353

Südliche Ablenkung......

Seitenablenkung von Geschossen

357

358

Aufgaben zum 5. Abschnitte

Harmonische Schwingungen relativ zu einer rotierenden

Scheibe (44. und 45. Aufg.).......

Sechster Abschnitt. Hydrodynamik.......

§ 50. Die Ansätze der Hydrodynamik.......

Mischbewegung..............

Zähigkeit.................

§ 61. Die Darstellungsmittel der Hydrodynamik . .

§ 52. Die hydrodynamischen Gleichungen von Euler

KontinuitätsbediDgung...........

Divergenz oder Quelle .    .........

§ 53. Wirbelbewegung und wirbelfreie Bewegung . .

Satz von Lagrange.............

Geschwindigkeitspotential.........

Maß für den Wirbel...........

Föppl: Dynamik. 4. Aufl.

a**

360—365

361

366—408

366

367

368

370

373

373

376

381

383

386

§ 54. Allgemeine Integration der Bewegungsgleichungen für die

wirbelfreie Bewegung...............

§ 55. Bewegung einer Kugel in einer vollkommenen Flüssigkeit

Energiebetrachtung; unterseeisches Boot........

Widerstand von Schiff, Oberflächenwellen.......

§ 56. Strömung in Böhren; Zähigkeit ...........

Kritische Geschwindigkeit; Reynolds.........

Poiseuillesches Gesetz................

389

392

400

401

402

404

408

Einfacher Ansatz für die Berücksichtigung der Misch

bewegung

409

§ 57. Die mechanische Ähnlichkeit von Flüssigkeitsströmungen

409

Turbulente oder „wilde“ Strömungen

Strömung in Röhren........

Druck auf Wandfläche.......

412

§ 58. Die mechanische Ähnlichkeit für zähe Flüssigkeiten . . .

Formel für die kritische Geschwindigkeit.......

Vergleich von zwei Strömungen in verschiedenen Flüssigkeiten ......................

Formel von Blasius für die Strömung in Röhren . . . .

421

422

Zusammenstellung der wichtigsten Formeln Sachverzeichnis..............

424

—433

434

—436

Erster Abschnitt. Dynamik des materiellen Punktes.

§ 1. Einleitung.

Die einfachsten Lehren der Dynamik habe ich schon im ersten Bande dieses Werkes zugleich mit denen der Statik besprochen. An sie muß ich hier anknüpfen und sie soweit ergänzen, als es zur Lösung der in der Technik häufiger vorkommenden Aufgaben der Dynamik nötig erscheint.

Die Rücksicht auf den zulässigen Umfang dieses Bandes verbietet es freilich von vornherein, in ihm einen annähernd vollständigen Abriß der ganzen Wissenschaft der Dynamik geben zu wollen. Wer sich höhere Ziele stecken will, wird sich daher auch mit dem, was hier geboten werden kann, noch nicht zufrieden geben dürfen. Zu weiterer Ergänzung habe ich daher im sechsten Bande des ganzen Werkes eine noch erheblich darüber hinausführende Darstellung der Dynamik gegeben, durch die erst dieser Teil der Mechanik in dem ganzen für den Ingenieur überhaupt in Betracht kommenden Umfange zum Abschlüsse gebracht werden konnte.

Indessen wird man auch mit dem Stoffe, der in diesem Bande behandelt ist, schon ziemlich weit reichen und über die meisten zur Dynamik gehörigen Fragen, die in der Technik eine wichtige Rolle spielen, ausreichende Belehrung darin finden können. Überhaupt möchte ich hervorheben, daß gerade die einfacheren Lehren der Dynamik zugleich auch als die für die praktische Anwendung besonders wichtigen anzusehen sind.

Das gilt auch schon von den im ersten Bande behandelten grundlegenden Sätzen, mit denen man sich daher vor allem möglichst gut vertraut gemacht haben muß, ehe man mit Aussicht

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

auf Erfolg an das Studium der liier vorzutragenden Lehren herantreten kann. Wegen dieser Vorbedingung wird es gut sein, wenn ich hier zunächst noch einmal eine kuze Zusammenstellung der von früher her bekannten Sätze gebe, auf die ich mich in diesem Abschnitte hauptsächlich stützen muß. Wenn der Leser finden sollte, daß ihm von diesen Sätzen irgendetwas noch nicht ganz klar geworden ist, kann ich ihm nur dringend raten, die betreffenden Ausführungen des ersten Bandes nachzusehen. Dort ist alles ausführlich genug besprochen, um jeden Zweifel heben zu können.

Tn erster Linie steht hier das Trägheitsgesetz, das in der

Form

» so

= 0 für y = O

angeschrieben werden kann, wenn ö die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes, die etwa an ihm angreifende äußere Kraft bedeutet. Hieran schließt sich unmittelbar die dynamische Grundgleichung in einer der Formen.

dH

dt

dt*

wobei m die Masse, 8 die gerichtete Entfernung des materiellen Punktes von einem festen Anfangspunkte, 6 die Beschleunigung ist. Bei Zerlegung in Komponenten wird daraus

-ü- d*x X = m —tt»

dH

dt*’

dt*’

Z=mW

Dann kommt das Parallelogrammgesetz in der Form

9l = 2np,

wenn 91 die Resultierende der $ ist, das sich ebenfalls wieder in Komponentengleichungen zerlegen läßt. Ferner sind zu erwähnen die wichtigen Begriffe der Arbeit A und des statischen Momentes 9R einer Kraft von denen A als das innere Produkt des Weges 8 mit der Kraft ^ und 9J1 als das äußere Produkt aus Kraft und Hebelarm v bezeichnet wurde. Die eigentliche Bedeutung dieser Begriffe für

§ 1. Einleitung

die Mechanik liegt in der Gültigkeit der geometrischen Multiplikationssätze

818 = 2^3 und V»lr = 2;V^r unter der Voraussetzung 91 = 2?^.

Wenn die und 91 Kräfte sind und § einen virtuellen Weg bedeutet, spricht die erste Gleichung das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten für den einzelnen materiellen Punkt und die zweite den Momentensatz in bezug auf einen beliebig gewählten Momentenpunkt aus. Die in diesem vorkommenden Momente sind gerichtete Größen und das Summenzeichen schreibt eine geometrische Summierung vor. Nur wenn die Kräfte alle in einer Ebene liegen und auch der Momentenpunkt in dieser Ebene gewählt wird, vereinfacht sich die geometrische Summierung zu einer algebraischen.

Projiziert man alle Glieder der Momentengleichung auf eine durch den Momentenpunkt gehende, beliebig gerichtete Achse, so erhält man die Momente der Kräfte in bezug auf diese Achse, und die Gleichung geht über in die Momentengleichung für diese Achse als Momentenachse. Auch in diesem Falle vereinfacht sich die geometrische Summierung zu einer algebraischen. Wie man die statischen Momente von Kräften in bezug auf eine Achse am einfachsten bilden kann, ist früher ausführlich besprochen worden.

Schließlich erinnere ich noch an den Satz vom Antriebe und an den Satz von der lebendigen Kraft. Der erste folgte aus der dynamischen Grundgleichung durch .eine Integration nach der Zeit in der Form

I tydt = mt) — mü₀

und der andere wird durch eine Verbindung der dynamischen Grundgleichung mit der Gleichung

di = t) dt

gewonnen.

Durch Multiplikation beider Gleichungen miteinander erhält man zuerst

= mWdW

und für das innere Produkt aus U und dW kann man auch

= vdv

setzen, wenn v den Absolutwert von 0 bedeutet. Hiermit geht die vorhergehende Gleichung über in woraus man durch Integration erhält. — Fürs erste genügt es, diese Sätze in die Erinnerung zurückzurufen. In den folgenden Abschnitten treten dann noch besonders die Lehre von der Bewegung des starren Körpers und der Kräftezusammensetzung an ihm und die Lehre vom Schwerpunkte hinzu.

§ 2. Der Flächensatz.

An allgemeiner Bedeutung und vielfacher Verwendbarkeit steht den vorher von neuem angeführten Sätzen der Flächensatz> zu dessen Ableitung ich jetzt übergehen will, kaum nach. Er ist auch an sich einfach und leichtverständlich genug, so daß er recht wohl mit unter die ersten Elemente hätte aufgenommen werden können. Das ist aber nicht üblich und ich habe es ebenfalls nicht getan, weil dieser Satz nur von beschränktem Nutzen für die Dynamik eines einzelnen materiellen Punktes ist und seine volle Bedeutung erst bei der Dynamik der starren Körper und der Punkthaufen hervortritt, also bei Untersuchungen, die erst in diesem Bande ausführlicher dargestellt werden können. Dagegen muß ich den Satz jetzt schon in diesem Abschnitte, in dem er noch wenig Verwendung finden wird, zur Sprache bringen, um damit die späteren Untersuchungen hierüber auf eine feste Grundlage zu stellen.

Auch der Flächensatz geht aus einer einfachen Umformung der dynamischen Grundgleichung hervor und er reiht sich damit

§ 2. Der Flächeneatz

eng an die beiden vorher erwähnten Sätze vom Antriebe und von der lebendigen Kraft an. Man denke sich nämlich einen festen Anfangspunkt gewählt, von dem aus ein Radiusvektor x nach dem bewegten materiellen Punkte gezogen wird. Dann ist r mit der Zeit veränderlich und man hat für die Geschwindigkeit b

dt

Erfolgt nun die Bewegung des materiellen Punktes unter dem Einflüsse der Kraft so ist nach der dynamischen Grundgleichung

m    d b

y = m7t'

Beide Seiten dieser Gleichung seien mit dem Radiusvektor r; den wir in diesem Zusammenhänge auch als einen Hebelarm bezeichnen können, auf äußere Art multipliziert. Wir erhalten dann

(i)

Es bedarf jetzt nur noch einer kleinen Umformung der rechten Seite dieser Gleichung, um zum Flächensatze zu gelangen. Bildet man nämlich außerdem das äußere Produkt, aus mü und v also mit anderen Worten das statische Moment der Bewegungsgröße und bestimmt dessen Änderung in der Zeit, dilferentiiert es also nach t, so findet man nach der gewöhnlichen Differen-tiationsregel für ein Produkt

•r+Vm“4r

aj.

Für das letzte Glied auf der rechten Seite kann man aber wegen Ü == auch

dt

Vmt) • U

schreiben, und dies wird zu Null, weil beide Faktoren des äußeren Produkts gleich gerichtet sind, also keine äußeren Komponenten zueinander besitzen. Die vorausgehende Gleichung vereinfacht sich daher zu

dt)    vrdb

dt V~mV dtX’

indem der richtungslose Faktor m auch vor das Zeichen V

gestellt werden darf. Hiermit sind wir aber genau zn dem Ausdrucke gelangt, der auf der rechten Seite von Gl. (1) stand. Es ist damit bewiesen, daß man diese Gleichung auch durch die mit ihr identische

(^)

V=^V wb • r

ersetzen kann, und diese Gleichung spricht bereits den Flächensatz für den einzelnen materiellen Punkt in seiner allgemeinsten Form aus. Es ist auch leicht, die Formel in Worten wiederzugeben, denn die in der Gleichung vorkommenden Ausdrücke haben schon früher bestimmte Bezeichnungen erhalten. Links steht das statische Moment der Kraft ^5, die die Änderung der Geschwindigkeit oder der Bewegungsgröße mb hervorbringt, und rechts steht die zeitliche Änderung des statischen Moments dieser Bewegungsgröße, bezogen auf denselben Momentenpunkt. Während also nach der dynamischen Grundgleichung einfach die Kraft der zeitlichen Änderung der Bewegungsgröße gleich gesetzt wird, spricht der Flächensatz aus, daß eine solche Gleichung auch zwischen den statischen Momenten von beiden erfüllt ist. Man

kann daher sagen, daß der Flächensatz aus der Verbindung der dynamischen Grundgleichung mit dem Momentenbegriffe hervorgeht.

Die ausführliche Bezeichnung „statisches Moment der Bewegungsgröße“ für das äußere Produkt aus mb und r, mit dem wir uns in der Folge noch sehr häufig zu befassen haben werden, ist etwas schwerfällig. Um zu einer kürzeren Fassung zu gelangen, die sich an manchen Stellen als sehr erwünscht heraus-stellen wird, werde ich dafür gewöhnlich das Wort „Drall“ gebrauchen. Wem das Wort nicht gefällt, möge es sich überall durch die' daneben auch noch bei behaltene umständlichere Be

zeichnung „statisches Moment der Bewegungsgröße“ ersetzt denken.

Als ein statisches Moment kann der Drall entweder auf einen bestimmten Momentenpunkt oder auf eine Momentenachse bezogen werden. Im ersten Falle, mit dem wir es gewöhnlich zu tun haben, ist der Drall eine gerichtete Größe, die hier stets

mit dem Buchstaben © bezeichnet werden soll. Dann läßt sich Gl. (2) auch in der Form

d33

dt

■Vit

(3)

wiedergeben und in Worten dahin aussprechen, daß für jeden Momentenpunkt die Änderungsgeschwindigkeit des Dralls gleich dem statischen Momente der Kraft ist.

Man weiß schon von früher her, daß jede Gleichung zwischen Momentenvektoren auch durch Komponentengleichungen ersetzt werden kann, die sich auf bestimmte Achsenrichtungen, also etwa auf die Richtungen der Koordinatenachsen beziehen. Die Komponenten der Momentenvektoren erhält man durch rechtwinklige Projektion auf diese Achsenrichtungen, und nennt sie die auf die Achsen bezogenen Momente. So entsteht auch der Drall für eine Momentenachse, die in beliebiger Richtung durch den ursprünglich gewählten Momentenpunkt gezogen sein kann, durch Projektion von 33 auf diese Achse. Schreiben wir dafür JR und für das Moment der Kraft ^ in bezug auf dieselbe Achse M'} so geht aus Gleichung (3) die Komponentengleichung

(4)

hervor, die selbst wieder als eine Momentengleichung für die gewählte Momentenachse zu bezeichnen ist. In Worten heißt dies: Das statische Moment der Kraft ^ für irgendeine Achse ist gleich der Änderungsgeschwindigkeit des auf die gleiche Achse bezogenen Dralls.

* Man kann übrigens Gleichung (4) auch selbständig ableiten, ohne dabei von Gl. (3) auszugehen und ohne von den Hilfsmitteln der Vektorrechnung Gebrauch zu machen. In der Anmerkung am Schlüsse dieses Paragraphen werde ich darauf noch zurückkommen.

Die Bezeichnung „Flächensatz“ stammt von einer besonderen Anwendung, die man von dem Satze machen kann. Sie bezieht sich auf den Fall, daß das statische Moment der Kraft ^3 zu Null wird, sei es nun, weil ^ selbst verschwindet, sei es, weil die

Richtungslinie der Kraft Iß fortwährend durch den Momenten-punkt geht. Unter dieser Voraussetzung folgt aus

Gl. (2).

(5)

V?wli • r = (E,

worin 6- eine konstante gerichtete Größe, nämlich den anfänglichen Wert des Dralls bedeutet. Gl. (5) spricht zunächst aus, daß die Bewegung im vorliegenden Falle in einer Ebene erfolgt, nämlich in jener Ebene, die rechtwinklig zu (E durch den Momentenpunkt gezogen ist, wie aus der Definition des statischen Momentes von ü oder ml) hervorgeht. Ferner hat das statische Moment von ti (auf den konstanten Faktor m in Gl. (5) kommt es hier nicht weiter an) nach dieser Gleichung auch stets denselben Absolutwert. Früher habe ich aber auseinandergesetzt, daß der Absolutwert eines statischen Moments durch die Fläche eines Momen-tendreiecks zur Darstellung gebracht werden kann. Denken wir uns also an verschiedenen Stellen der Bahn die an diesen eintretenden Geschwindigkeiten b in irgendeinem Maßstabe nach Größe und Richtung aufgetragen, so sind die Dreiecke, die diese Strecken als Grundlinien und den Momentenpunkt zur Spitze haben, alle inhaltsgleich. Einfacher wird diese Betrachtung noch, wenn man Gl. (5) nach Weglassung des Faktors m mit dt multipliziert, so daß

(6)

V bdt • r = — dt

m

ver-

entsteht. Unter dt möge dabei eine sehr kleine Zeitdauer standen werden, die ein für allemal während der ganzen Betrachtung denselben bestimmt gewählten Wert behält. Dann ist todt der Weg d%, der während dt zurückgelegt wird, und das statische Moment dieses Weges ist ohne weiteres gleich dem doppelten Inhalte des Dreiecks, dessen Grundlinie «!§ und dessen Spitze der

di

>/

(fi)

Momentenpunkt ist. Die Gleichung sagt hiernach aus, daß zu gleichen dt während des ganzen Bewegungsvorgangs gleiche Dreiecksflächen gehören.

dz

ÖO

Abb. X

Der größeren Deutlichkeit wegen möge dies auch noch in einer Zeichnung zum Ausdrucke gebracht werden, wobei freilich die unendlich kleinen

Wege di durch endliche Strecken angedeutet werden müssen. In Abb. 1 ist vorausgesetzt, daß ^ = o ist. In diesem Falle bewegt sich der materielle Punkt in einer geraden Linie mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Alle di, die zu gleichen dt an verschiedenen Stellen der Bahn gehören, sind einander gleich, und daraus folgt auch schon aus einfachen planime-trischen Sätzen die Gleichheit der durch Schraffierung hervorgehobenen Dreiecke. Die Wahl des Momentenpunktes ist hierbei gleichgültig. — In Abb. 2 ist dagegen angenommen, daß die Kraft nicht verschwindet, daß vielmehr der materielle Punkt eine gekrümmte Bahn durchläuft, daß sfber die Kraft Iß, wie es die besondere Voraussetzung verlangt, von der wir bei diesen Betrachtungen ausgingen, stets durch den Momenten -punkt 0 geht. In diesem Falle sind die zu gleichen Zeiten dt gehörigen Wege di an verschiedenen Stellen der Bahn verschieden groß. Dagegen sind auch hier nach Gl. (6) alle Dreiecke, die man von 0 aus über den verschiedenen di errichten kann, von gleichem Flächeninhalte.

d%

r/s, V

Abb 2.

Der durch Abb. 1 erläuterte Fall hat kein weiteres Interesse; der Flächensatz wird bei ihm, wie man sagt, trivial. Anders ist es aber mit dem durch Abb. 2 dargestellten Falle, der für viele Betrachtungen von besonderer Bedeutung ist. Eine Bewegung von der hier in Frage kommenden Art wird als eine Zentralbewegung bezeichnet. Dabei wird der zum Momentenpunkte gewählte Punkt 0 in diesem Falle auch das Zentrum der Bewegung genannt, weil die am bewegten Punkte wirkende Kraft nach Voraussetzung stets durch 0 geht und daher auch als von 0 ausgehend angesehen werden kann.

Besonders hervorzubeben ist übrigens in diesem Zusammenhänge, daß alle zu den verschiedenen di gehörigen Dreiecksflächen auch umgekehrt nur dann unter sich gleich sein können, wenn das Moment von Iß verschwindet, wie aus der allgemeineren Gl. (2) oder (3) sofort geschlossen werden kann. Wenn also die Bewegung eines materiellen Punktes (z. B. eines Himmelskörpers) betrachtet wird, und es zeigt sich, daß sie erstens in einer Ebene erfolgt, und daß zweitens die zu gleichen Zeitteilchen dt gehörigen und von irgendeinem Punkte 0 aus gezogenen Dreiecke gleiche Flächen haben, so folgt daraus mit Notwendigkeit, daß an dem bewegten materiellen Punkte eine Kraft angreift, die stets durch 0 hindurchgeht, und von der wir daher auch sagen können, daß sie von 0 ausgeht. In der Tat kann nur auf Grund solcher Anwendungen des Flächensatzes z. B. behauptet werden, daß die Erde bei ihrer Planetenbewegung von der Sonne angezogen wird, denn wir besitzen kein anderes Mittel, die physikalische Existenz dieser Kraft zu erkennen, als die Beobachtung der tatsächlich im Sonnensystem vor sich gehenden Bewegungen.

Für die in den Abb. 1 und 2 schraffierten Dreiecke kann man übrigens noch eine andere sehr treffende Bezeichnung einführen. Die Flächen dieser Dreiecke werden nämlich von dem Radiusvektor, der vom Momentenpunkte 0 aus nach dem bewegten Punkte gezogen ist, während der Bewegung vollständig bestrichen. Man kann daher den Satz auch in der Form aus

sprechen:

Bei der Zentralbewegung beschreibt der vom Anziehungszentrum nach dem bewegten materiellen Punkte gezogene Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Umgekehrt kannjede ebene Bewegung als eine Zentralbewegung aufgefaßt werden, wenn man in der Bewegungsebene einen Punkt so anzugeben vermag, daß die von ihm gezogenen Radien Vektoren in gleichen Zeiten gleiche Flächen beschreiben. Jener Punkt ist dann das Anziehungs- (oder Abstoßungs-) Zentrum.

Bei der Aussage dieser Sätze ist nur von gleichen Zeiten die Rede, ohne daß wie vorher die Beschränkung hinzugefügt wurde, daß diese Zeiten unendlich kleïh sein sollten. Man sieht nämlich leicht ein, daß die Übertragung auf endliche Zeiten ohne weiteres möglich ist. Versteht man unter n eine sehr große Zahl, so daß das Produkt ndt einen endlichen Wert erlangt, so werden n Elementardreiecke, die alle von gleicher Größe sind, während dieser Zeit ndt beschrieben. Alle diese Dreiecke bilden zusammen genommen einen Sektor mit dem Zentrum 0, der zu dem vom bewegten Punkte inzwischen durchlaufenen Bogen gehört. Daraus folgt, daß auch irgend zwei Sektoren denselben Inhalt haben, falls sie nur gleich viel Elementardreiecke enthalten, d. h. falls sie zu gleichen Zeiten ndt gehören. Umgekehrt vermag man bei einer Zentralbewegung, die etwa die in Abb. 3 angegebene Bahn AB CD durchläuft, sofort zu sagen, daß die zum Durchlaufen von AB erforderliche Zeit ebenso groß ist, als die zu CD gehörige, wenn man weiß, daß die Sektoren AOB und C OD gleichen Inhalt haben. Es folgt daraus z. B. sofort, daß sich die Erde in ihrer Planetenbewegung um die Sonne am langsamsten bewegt, wenn sie den größten Abstand von der Sonne hat, im sogenannten Aphel, und am schnellsten im Perihel, d. h., wenn sie der Sonne am nächsten steht.

7M

Abb. 3.

Man kann schließlich noch einen anderen, sehr bezeichnenden Ausdruck für diese Gesetzmäßigkeiten wählen, indem man den Begriff der Sektorengeschwindigkeit einführt. Man versteht darunter die Fläche des Sektors, den der vom Bewegungszentrum 0 gezogene Radiusvektor während der Zeiteinheit überstreicht. Die Aussage des Flächensatzes lautet dann in unserem Falle einfach: Die Sektorengeschwindigkeit ist bei der Zentralbewegung konstant.

In allen jetzt besprochenen Fällen ist die Bezeichnung „Flächensatz“ offenbar sehr gut gewählt; ich bemerke aber ausdrücklich, daß in der Folge auch der allgemeinere Satz unter dieser Bezeichnung verstanden werden soll, der angibt, wie sich das statische Moment der Bewegungsgröße oder mit anderen Worten, wie sich die Sektorengeschwindigkeit oder die in der Zeiteinheit überstrichene Fläche ändert, wenn das statische Moment der äußeren Kraft für den gewählten Momentenpunkt von Null verschieden ist.

Anmerkung. Um den durch Gl. (4) für eine beliebige Momenten-achse ausgesprochenen Flächensatz unmittelbar nach der Koordinatenmethode abzuleiten, geht man von der in ihre Komponenten zerlegten dynamischen Grundgleichung, also von den Gleichungen

cPz

X-m— Y-m7 —

A m dt%J Y m dt„ Z

aus. Als Momentenpunkt wird der Koordinatenursprung gewählt. Für das statische Moment der äußeren Kraft mit den Komponten XYZ in bezug auf die X-Achse hat man nach Band I, Gl. (54) S. 91 der 4. Aufl.

M₁ = Yz — Zy.

Setzt man für Y und Z ihre Werte aus der dynamischen Grundgleichung ein, so erhält man

Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber, wie die Ausführung der Differentiation lehrt, gleichbedeutend mit d / dy    dz \

dt\mTtz~m~dtV

Yz-

d*z

dp

y).

und hiernach wird

(7)

Yz—Zy=^(mviz

wenn v₂ und v₃ die betreffenden Komponenten von Ü sind. Der Klammerwert auf der rechten Seite stellt das statische Moment der Bewegungsgröße mH in bezug auf die X-Achse dar. Für diese besondere Achse stimmt daher Gl. (7) mit der vorher auf anderem Wege abgeleiteten Gleichung (4) überein. Beachtet man, daß der Koordinatenursprung und die Richtung der X-Achse beliebig gewählt sein konnten, so folgt, daß Gl. (7) auf jede Achse angewendet werden darf und daher vollständig mit der Aussage in Gl. (4) überein stimmt, die hiermit aufs neue bewiesen ist.

§ 3. Das Potential.

Der Begriff des Potentials, zu dessen Erläuterung ich jetzt übergehe, ist zuerst in der Mechanik der Himmelskörper eingeführt worden, um die Untersuchungen über gravitierende Massen zu erleichtern. Später wurde dieser Begriff auch auf andere Gebiete, namentlich auf die Lehre von der Elektrizität und dem Magnetismus übertragen. Gerade hier hat er sich so nützlich erwiesen, daß er aus den höheren Theorien, in denen er ursprünglich allein vorkam, allmählich bis in die elementarsten Dar-

Stellungen übergegangen ist. Über einen aus der Mechanik her-yorgegangenen Begriff, der sich auf ein so weit umfassendes Anwendungsgebiet zu erstrecken vermochte, kann ein Lehrbuch der Mechanik nicht allzu flüchtig hinweggehen, wenn auch die unmittelbaren Anwendungen, die hier davon gemacht werden sollen, nicht gerade sehr zahlreich sind.

Das Potential wird zur Untersuchung von Kraftfeldern verwendet. Man stelle sich etwa vor, daß irgendwelche Massen in beliebiger Verteilung über den Raum gegeben seien, von denen Kräfte nach irgendeinem bekannten und der Zeit nach konstanten Gesetze auf einen sich in diesem Raume bewegenden materiellen Punkt übertragen werden. Das einfachste Beispiel ist, wie schon erwähnt, das Gravitationsproblem, bei dem diese Massen den bewegten Punkt nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. Das ganze Gebiet, innerhalb dessen sich die Wirkung dieser Massen noch bemerklich macht, wird das Kraftfeld genannt. In dem genannten Beispiele kann die Kraft in jedem Punkte des Feldes als die Resultierende von Elementarkräften angesehen werden, die von den einzelnen Massenelementen ausgehen und dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional sind. Solche Kräfte, die im einzelnen von festen Anziehungs- oder Abstoßungszentren ausgehen und als Funktionen des Abstandes gegeben sind, bezeichnet man in diesem Zusammenhänge ganz allgemein als Zentralkräfte.

Das Gravitationsproblem sollte übrigens hier nur als ein besonderes Beispiel angeführt werden, während wir es jetzt weiterhin ganz dahingestellt sein lassen wollen, auf welche Weise das Kraftfeld, dessen allgemeine Eigenschaften wir zu untersuchen beabsichtigen, zustande kommt. Vor allem sei nun darauf hingewiesen, daß der Potentialbegriff nicht bei allen beliebig gegebenen Kraftfeldern verwendbar ist, oder daß, wie man sich ausdrückt, nicht alle Kraftfelder ein Potential zulassen, oder nach einer anderen Ausdrucksweise, daß nicht alle aus einem Potentiale abgeleitet werden können. Dieser Umstand gibt den wichtigsten Einteilungsgrund für die verschiedenen Kraftfelder ab, mit denen man sich in der theoretischen Physik zu befassen hat. Jene, die ein Potential zulassen, werden hiernach als wirbelfreie von den übrigen unterschieden, die man im Gegensätze dazu als Wirbelfelder bezeichnet.

Das allgemeine Kennzeichen dafür, daß ein Kraftfeld innerhalb eines gewissen Bezirks wirbelfrei ist, besteht darin, daß für jede geschlossene Kurve, die man innerhalb dieses Bezirks ziehen mag, das über sie erstreckte Linienintegral der Kraft des Feldes gleich Null ist, oder in Zeichen

(8)

fydè = 0.

Diese Gleichung ist so zu verstehen, daß man sich einen beweglichen Punkt längs der ganzen Kurve herumgeführt denkt, und für jedes Wegeelement d%, das er hierbei beschreibt, das innere Produkt aus diesem Wege und der dort auftretenden Kraft f des Feldes berechnet, worauf die Summierung über alle Linienelemente der ganzen Kurve zu erstrecken ist. Nun ist aber

nichts anderes als die von der Kraft des Feldes bei der gedachten Bewegung geleistete Arbeit. Gl. (8) läßt sich daher auch dahin aussprechen, daß für das wirbelfreie Kraftfeld die algebraische Summe der an dem bewegten Punkte geleisteten Arbeiten für jede geschlossene Kurve zu Null wird.

Wenn j tyd% von Null verschieden und etwa positiv wäre,

könnte man dadurch, daß man die betreffende Bahn wiederholt von dem bewegten Punkte in dem konstanten Kraftfelde durchlaufen ließe, beliebig große Arbeitsmengen gewinnen, d. h. man

wäre im Besitze eines Perpetuum mobile. Wäre Jtydê

negativ, so brauchte man nur den Umlaufssinn entgegengesetzt zu wählen, womit sich die Vorzeichen aller Arbeiten umkehrten, und man hätte dann ebenfalls ein Perpetuum mobile vor sich.

Nach dem Gesetze von der Erhaltung der Energie könnte es hiernach scheinen, als wenn solche Kraftfelder überhaupt physikalisch unmöglich wären. In der Tat hat man diesen Schluß früher zuweilen gezogen; er wird aber hinfällig, wenn man bedenkt, daß die an dem bewegten Punkte gewonnene Arbeit recht wohl durch eine Energiezufuhr von anderer, nicht mechanischer

Form aufgewogen werden kann. Das schlagendste Beispiel dafür ist ein gewöhnlicher elektrodynamischer Motor. Wir sehen, wie sich der Anker einer als Motor betriebenen Dynamomaschine fortwährend umdreht und dabei Arbeit nach außen abgibt, während das Kraftfeld, in dem er rotiert, konstant bleibt. Wenn man sich hier ausschließlich auf den Boden der Mechanik stellen und die elektromagnetischen Energieströme, die daneben herlaufen, außer acht lassen wollte, hätte man in der Tat ein Perpetuum mobile mit allen mechanischen Eigenschaften vor sich, wie sie die alten Erfinder von einem solchen erwarteten. Wir wissen nun zwar, daß das Gesetz von der Erhaltung der Energie oder von der Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile im neueren Sinne hierdurch nicht umgestoßen wird; aber wir müssen doch diesem Beispiele die Lehre entnehmen, daß in der Tat Kraftfelder Vorkommen, für die ) tyd% nicht gleich Null ist, die also nicht als

wirbelfreie zu bezeichnen sind.

Dagegen läßt sich zeigen, daß alle Kraftfelder, die auf Zentralkräfte zurückgeführt werden können, im ganzen Raume wirbelfrei sind. Um dies zu beweisen, nehme man zunächst an, daß nur ein einziges Anziehungszentrum vorhanden sei. Wir denken uns um dieses Zentrum eine Kugelfläche von beliebigem Halbmesser beschrieben. Solange sich der angezogene Punkt nur auf der Oberfläche dieser Kugel bewegt, ist die von der Kraft ^ des Feldes gelnistete Arbeit stets gleich Null, denn ^ fällt in jedem Augenblicke in die Richtung des Radius und steht daher * senkrecht zu jedem Wege, den der bewegte Punkt auf der Kugelfläche beschreiben mag. Läßt man dagegen den Punkt auf eine konzentrische Kugelfläche übertreten, deren Halbmesser etwa um dr größer ist, so ist die von geleistete Arbeit gleich — Pdr, wie auch der Übergang gewählt werden möge, denn von dem beschriebenen Wege kommt immer nur die Projektion dr auf die Richtung des Radius in Betracht. Daraus folgt, daß auch immer dieselbe Arbeit geleistet wird, wenn man den bewegten Punkt von dem Abstande rx zum Abstande r₂ vom Anziehungszentrum überführt ohne Rücksicht auf den Weg, der hierbei im übrigen eingeschlagen wird. Für einen Weg, der wieder zum Ausgangspunkte zurückführt, hebt sich hiernach die Summe aller hinweg. — Dies gilt zunächst für ein einzelnes Anziehungszentrum. Hat man beliebig viele Kraftzentren, so beachte man, daß sich als die Resultierende aller von diesen ausgehenden Elementarkräfte auffassen läßt, und daß die Arbeit der Resultierenden bei jeder beliebigen Bewegung gleich der algebraischen

Summe aller Einzelarbeiten ist. Hiernach zerfällt jtydê in eben-

soviele Glieder, als Kraftzentren vorhanden sind, und jedes dieser Glieder ist nach dem vorhergehenden Beweise für sich gleich Null. Wir können hiernach in der Tat allgemein behaupten, daß alle Kraftfelder wirbelfrei sind, die aus Zentralkräften zusammengesetzt sind, und daß es ein ganz vergebliches, früher freilich oft versuchtes Bemühen ist, solche nicht wirbelfreie Kraftfelder, wie das, in dem z. B. der Anker einer Djmamomaschine rotiert, auf Zentralkräfte zurückzuführen.

Gl. (8), daß die

ir

Abb. 4.

Weiterhin möge nun angenommen werden, daß das Kraftfeld in der Tat wenigstens innerhalb eines gewissen Bezirks wirbelfrei ist, während es außerhalb dieses Bezirks immer noch A ein Wirbelfeld sein könnte. Ganz allgemein folgt dann aus Arbeit, die von der Kraft des Feldes geleistet wird, wenn der bewegliche Punkt von einem Punkte 0 nach einem Punkte A des Bezirks verschoben wird, unabhängig von dem dabei durchlaufenen Wege ist, (falls dieser nur ganz innerhalb des Bezirkes selbst liegt). Denkt man sich nämlich etwa den Weg I in Ahb. 4 im Sinne von 0 nach A und hierauf den Weg II im umgekehrten Sinne durchlaufen, so entsteht eine geschlossene Kurve, für die nach Gl. (8)

A T 0 n

jtydè -h'fydt = 0

O    A

ist. Die Umkehrung des Bewegungssinnes hat einen Wechsel im Vorzeichen der Arbeitsbeträge zur Folge; hiernach ist

und wenn man dies in die vorige Gleichung einsetzt, folgt in der Tat

(9)

K*)*

T — 2%yan

t=Vj\^ + msiar~r)'

an = a'n + 6 und an +1 = »,

¥ & (^r) = (cos ^ ~ cos ’

Oi C* Cs

ą — @2

© = u@,

Solange die Geschwindigkeiten nicht allzu groß wra

-yx,

i-i

V'f

v* = <Ps(%, y, 0

zu setzen. Bezeichnet man ferner die Geschwindigke

. t- o-281 VW*

(9)

was zu beweisen war. Es ist hiernach entbehrlich, den Integrationsweg durch ein besonderes Kennzeichen hervorzuheben, wie es in diesen Formeln geschehen war; im wirbelfreien Kraftfelde hat vielmehr schon der unbestimmter gelassene Ausdruck einen eindeutigen Wert. Der durch ihn angegebene Arbe its-betrag heißt der Potentialunterschied zwischen den Punkten 0 und A. Hiermit ist auch das Potential im Punkte A, das mit V\ bezeichnet werden soll, bis auf eine unbestimmt bleibende Konstante definiert. Man hat dafür

(10)

r, = r

Dem Potentiale im Anfangspunkte 0 kann man einen beliebigen Wert erteilen. Bis auf die Konstante Vo, die willkürlich bleibt, ist durch Gleichung (10) jedem Punkte A des Bezirks ein eindeutig bestimmter Wert, den man das Potential nennt, zugeordnet. Manchmal wird übrigens anstatt des vor dem Linienintegrale stehenden Minuszeichens ein Pluszeichen gesetzt und damit eine von der vorigen abweichende Größe definiert, die ebenfalls als Potential oder Potentialfunktion oder auch als Kräftefunktion bezeichnet wird. Diese Definition ist an sich willkürlich, immerhin hat aber die Vorzeichenwahl, der ich mich angeschlossen habe, einen nicht unerheblichen Vorzug vor der entgegengesetzten. Die Größe

A

-Jyd g

o

gibt nämlich den Arbeitsbetrag an, der von außen her (durch eine der Feldkraft entgegengesetzte Kraft — '$) aufgewendet werden muß, um den beweglichen materiellen Punkt entgegen der Kraft des Feldes von 0 nach A zu verschieben oder auch, wenn das Yorzeichen des Ausdruckes nach der vollständigen Ausrechnung negativ bleibt, den Arbeitsbetrag, der nach außen hin während der Bewegung abgegeben werden kann. Hiernach wird VA kleiner als V₀, wenn bei der Lagenänderung Energie nach außen hin abgegeben, die Energie des Feldes selbst also — falls Energieströme von nicht mechanischer Art ausgeschlossen sind — vermindert wird. Nach unserer Wahl des Vorzeichens kann hiernach unter der Voraussetzung, daß die Konstante F₀ den Einzelbedingungen des besonderen Falles entsprechend gewählt wird, die Größe VA selbst geradezu als das Maß der potentiellen Energie des Feldes angesehen werden, die dadurch bedingt wird, daß sich der bewegte materielle Punkt gerade im Punkte A des Feldes befindet. Die Bezeichnung Potential stellt sich hiernach als eine Abkürzung für die Bezeichnung potentielle Energie heraus.

Durch Umkehrung der Integrationsgrenzen läßt sich übrigens ohne Änderung der hiermit getroffenen Vereinbarung auch ein positives Vorzeichen in Gl. (10) einführen, denn die Gleichung

VA = V

ist offenbar mit der früheren gleichbedeutend.

Der Vorteil, den man mit der Einführung des Potentials in die Untersuchung der Kraftfelder erzielt, besteht darin, daß das Potential als ein Energiebetrag eine Größe ohne Richtung ist. Mit diesen richtungslosen Größen läßt sich leichter rechnen als mit den Kräften des Feldes selbst. Dabei geht diese Vereinfachung der Rechnung keineswegs auf Kosten der Vollständigkeit der Resultate, die man ableiten will, denn sobald das Potential überall im Felde bekannt ist, kennt man damit zu-

gleich auch die Kraft an jeder Stelle des Feldes nach Größe und Richtung, wie ich sofort zeigen werde.

Abb. 5.

Man denke sich nämlich den beweglichen Punkt von der Stelle A aus, in der er sich vorher befand, nach irgendeinem Nachbar- , punkte B (Abb. 5) verschoben. Dann ist das do Potential VB im Punkte B nach der vorher dafür gegebenen Definition

A    B

T„ - V₀-[f    +/'?<*»] -

O    A

VA —ty di

denn für das Linienintegral längs des Weges AB kann, da dieser sehr klein sein sollte, einfach das Element 5p^g gesetzt werden, wenn hierbei unter di die Strecke AB selbst verstanden wird. Bezeichnet man ferner die Änderung, die das Potential V erfährt, wenn man von A nach B übergeht, mit d V, so kann die vorige Gleichung auch in der Form

dV= - 5pdi

angeschrieben werden. Für das innere Produkt aus 5p und di kann man auch P' ds setzen, wenn man unter P' die in der Richtung von di gehende Komponente der Feldkraft 5p und unter ds die Länge des Weges di versteht. Man hat daher

d V = — P'ds und hiermit P' = —

dV

ds *

(11)

Hiermit allein ist nun zwar 5p noch nicht bestimmt; man beachte aber, daß diese Beziehungen für jede beliebige Verschiebungsrichtung AB gültig bleiben, und daß man daher die Projektion der gesuchten Kraft 5p auf jede beliebige Richtungslinie anzugeben vermag, womit auch 5p selbst gefunden werden kann. Am einfachsten ist es, die Projektionen von 5p auf drei rechtwinklig zueinander stehende Koordinatenachsen der xyz nach Gl. (11) zu berechnen. Man erhält dann für die drei Komponenten * von 5p

(12)

dz

und ^ selbst wird als geometrische Summe dieser Komponenten, also mit Benutzung der Richtungsfaktoren ijf in der Form

(13)

gefunden. Hiermit ist die Aufgabe gelöst, ^ anzugeben, wenn V überall bekannt ist und man sieht, daß hierzu nur eine Ausführung yon Differentiationen erforderlich ist, die keine besonderen Schwierigkeiten verursachen kann.

' Der mit dem negativen Vorzeichen versehene Differential-

quotient

-7^- gibt an, um wieviel V in der Richtung der X-Achse

auf die Längeneinheit des Weges bezogen an der betreffenden Stelle des Feldes abnimmt. Man bezeichnet diese Größe kürzer als das Potentialgefäll und faßt dann die Gl. (11) und (12) in der Aussage zusammen:

Die Komponente der Kraftin irgendeiner gegebenen Richtung ist gleich dem Potentialgefälle in dieser Richtung.

Auch die Richtung der Kraft ^ selbst läßt sich mit Hilfe dieser Bezeichnung in einfacher Weise angeben. Offenbar wird nämlich die Komponente von am größten für eine Richtung, die mit zusammenfällt. Hieraus folgt in Verbindung mit der vorigen Aussage:

Die Kraft des Feldes geht in der Richtung des größten Potentialgefälles und ihr Absolutbetrag ist gleich diesem Gefälle.

Schließlich erwähne ich noch, daß man Gl. (13) zweckmäßig in die abgekürzte Schreibweise

(14)

? = -v y

zusammenfassen kann, in der ein „räumlicher Differentialoperator“ ist, nämlich an die Stelle von tritt und hiermit jene Operation durch ein einziges Symbol kennzeichnet, durch die das Gefall der Größe Vgefunden wird. Als zweckmäßig ist übrigens diese Bezeichnung nicht etwa bloß deshalb anzusehen, weil Gl. (14) mit weniger Schriftzeichen geschrieben wird als Gl. (13)

oder der damit gleichwertige Verein der Gl. (12), sondern weil es die Einheit der Vorstellung fördert, wenn einem an sich einfachen Begriffe, der selbst sprachlich durch ein einziges Wort („Potentialgefäll“ oder vielmehr noch kürzer „Gefall“ überhaupt) wiedergegeben werden kann, auch in der Rechnung durch ein einfaches und nicht weiter zusammengesetztes Zeichen Ausdruck gegeben wird.

Zur besseren Veranschaulichung der vorausgehenden Betrachtungen dient eine sehr bekannte geometrische Konstruktion. Von einem Punkte des Kraftfeldes ausgehend, sucht man nämlich alle Nachbarpunkte auf, in denen das Potential den gleichen Wert besitzt. Alle diese Punkte liegen auf einem Flächenelemente, das senkrecht zur Feldkraft gestellt ist, denn nur für eine Verschiebung d$ senkrecht zu wird das zugehörige und hiermit dV zu Null. Geht man hierauf in derselben Weise nach allen Seiten hin weiter fort, so erhält man eine Fläche, die jene Punkte des Feldes miteinander verbindet, für die das Potential denselben Wert V besitzt. Eine solche Fläche wird als eine Äquipotentialfläche oder auch als eine Niveaufläche bezeichnet.

Wir wollen annehmen, daß eine ganze Schar von solchen Niveauflächen im Felde konstruiert sei, und zwar derart, daß sich das Potential von je zwei aufeinanderfolgenden Flächen immer um den gleichen Betrag unterscheidet. Man kann dann jede dieser Niveauflächen als eine Stufenfläche und die Schar aller Stufenflächen als eine Potentialtreppe bezeichnen. Je steiler diese Treppe ist, d. h. je dichter die Stufenflächen aufeinander folgen, um so größer ist an der betreffenden Stelle die Kraft des Feldes, die ja, wie wir aus Gl. (14) wissen, gleich dem Potentialgefälle ist. Hiernach kann man aus einer Zeichnung der Potentialtreppe alle Eigenschaften des Kraftfeldes ableiten. Der Abstand aufeinanderfolgender Stufenflächen gibt ein der unmittelbaren Abschätzung bequem zugängliches Maß für die Größe der Kraft, und die Richtung der Kraft wird durch die Normale zur Stufenfläche angegeben.

Häufig gibt man, um die Richtung der Kraft des Feldes besser hervortreten zu lassen, an Stelle der Potentialtreppe oder auch neben dieser die Kraftlinien an. Das sind Linien, die von irgendeinem Punkte des Feldes ausgehend, weiterhin überall der Richtung von folgen. Die Richtung der Kraft an irgendeiner Stelle wird hiernach durch die Tangente an die Kraftlinie angegeben. Die Kraftlinien schneiden alle Niveauflächen rechtwinklig.

Aus dem Begriffe der Kraftlinie geht auch der Begriff der Kraftröhre hervor. Man versteht darunter den röhrenförmigen Raum, der von allen unmittelbar aufeinanderfolgenden Kraftlinien abgegrenzt wird, die man durch sämtliche Punkte des Umfangs irgendeines auf einer Niveaufläche enthaltenen Flächenstücks legen kann. Dieses Flächenstück bildet hiernach einen Querschnitt der Kraftröhre. Der Querschnitt bleibt im .allgemeinen nicht konstant, sondern zu jeder folgenden Niveaufläche gehört ein anderer Querschnitt. Unter den gewöhnlich vorliegenden Umständen (nämlich dann, wenn keine „Quellen des Kraftflusses“ in der Kraftröhre enthalten sind) ist die Kraft des Feldes an jeder Stelle dem Querschnitte der Kraftröhre umgekehrt proportional. In solchen Fällen kann man die Größe der Feldkraft auch danach abschätzen, wie dicht die Kraftlinien an der betreffenden Stelle zusammenrücken. Der Beweis der letzteren Behauptungen würde mich weiter führen, als es hier meine Absicht sein kann-, ich erlaube mir daher, den Leser, der sich mit diesen knappen Andeutungen nicht begnügen möchte, auf die im Jahre 1897 von mir veröffentlichte kleine Schrift „Die Geometrie der Wirbelfelder“ zu verweisen.

Das Kraftfeld, mit dem man es in der Mechanik gewöhnlich zu tun hat, ist das Schwerefeld der Erde. Innerhalb eines kleinen Raumes, etwa innerhalb eines Zimmers, kann die Schwerkraft nach Größe und Richtung gewöhnlich als konstant angesehen werden, obwohl ich nicht unerwähnt lassen möchte, daß man besondere Beobachtungsmethoden ausgesonnen hat, die selbst die Änderungen des Feldes innerhalb so kleiner Räume erkennen lassen. Sehen wir aber davon ab, oder betrachten wir, wie man auch sagt, das Feld als homogen, so sind die Kraftlinien unter sich parallel; ihre Richtung ist die der Lotlinie. Die Niveauflächen sind horizontale Ebenen und jeder kommt ein Potential zu, das um so größer ist, je höher sie liegt. Die Potential treppe ist hier überall gleich steil, da die einzelnen Stufenflächen in gleichen Abständen übereinander liegen.

In einem größeren Bezirke macht sich aber die Krümmung der Niveauflächen bemerkbar. Streng wissenschaftlich gesprochen

versteht man unter der Gestalt der Erde nichts anderes als die Gestalt jener Fläche gleichen Potentials, die über dem Meere unter normalen Umständen mit der Wasseroberfläche zusammenfällt. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung der Niveauflächen. Jene praktisch besonders wichtige Niveaufläche wird auch als das Geoid bezeichnet. — Hier möge von diesen Dingen nur noch erwähnt werden, daß der Begriff des Höhenunterschiedes zweier Punkte der Erdoberfläche (z. B. die Höhe einer Bergspitze über dem Meere) in der gewöhnlichen Fassung einer strengeren Kritik nicht standhält. Eindeutig bestimmbar ist vielmehr nur der Potentialunterschied beider Punkte. In der Tat wird auch der Höhenunterschied der Punkte, wenn er in gewöhnlicher Weise durch ein genaues Nivellement bestimmt wird, etwas verschieden gefunden (auch abgesehen von den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern), je nach dem Wege, längs dessen das Nivellement erfolgte. Man macht sich am einfachsten auf folgende Weise klar, daß dies gar nicht anders erwartet werden kann. Man denke sich durch beide Punkte, etwa A und B, Abb. 6, deren Höhenunterschied ermittelt werden soll, je eine Niveaufläche gelegt. Ein , denkbarer Weg für die Ausführung des Nivellements würde dann darin bestehen, daß man zuerst von B

Ji’

Abb. 6.

B und B\

senkrecht in die Höhe steigt, bis B die Erhebung BB' mißt und dann stets horizontal von 1Ï nach A fortschreitet. Der Höhenunterschied von A und B würde dann gleich BB' gefunden. Man sieht aber nun sofort, daß man anstatt dessen auch von B längs der Niveaufläche bis Ä fortschreiten und dann erst von hier nach A hinaufsteigen könnte. Im letzten Falle würde der Höhenunterschied gleich AÄ gefunden. Im allgemeinen sind aber AÄ und BB' keineswegs gleich miteinander; wenn die Fallbeschleunigung zwischen A und Ä kleiner ist als zwischen muß, weil ftyclè für beide Strecken gleich ist, die Höhe AÄ im selben Verhältnis größer sein als die bei B gefundene Höhe BB'. — Die weitere Ausführung dieser Betrachtungen gehört der höheren Geodäsie an.

Die Kraftlinien dürfen übrigens, wie ich hier noch besonders betonen möchte, nicht mit den Bahnen verwechselt werden, die ein im Kraftfelde frei beweglicher materieller Punkt einzuschlagen vermag. Wenn der Punkt ohne Anfangsgeschwindigkeit in das Feld gebracht wird, fängt er zwar im ersten Augenblicke seine Bewegung in der Richtung der Kraftlinie an. Aber nur dann, wenn die Kraftlinie gerade ist (wie es genau genug bei der gewöhnlichen Fallbewegung zutrilft), vermag der Punkt ihr dauernd zu folgen ; im anderen Falle biegt er aus leicht verständlichen Gründen alsbald von ihr ab.

Durch Verbindung der Gleichung der lebendigen Kraft mit der Definitionsgleichung für das Potential gelangt man schließlich noch für den im Felde frei beweglichen Punkt zu einem einfachen Ergebnisse. Für die Bewegung von einer Stelle 1 des Feldes nach irgendeiner anderen Stelle 2 hat man beim frei beweglichen Punkte nach dem Satze von der lebendigen Kraft

wobei zur Abkürzung die lebendige Kraft mit L bezeichnet wurde. Andererseits ist aber nach Gl. (10)

rt - vx -

-ßäi,

1

(15)

und aus der Verbindung beider Gleichungen miteinander folgt U₂ + L₂ = Vt -j- Lx, d. h. die Summe aus potentieller und kinetischer Energie bleibt während der Bewegung konstant.

§ 4. Die einfache harmonische Schwingung.

Ein materieller Punkt sei einer Zentralkraft unterworfen, die der Entfernung vom Anziehungszentrum direkt proportional ist. Solange er mit dem Anziehungszentrum selbst zusammenfällt, fehlt jeder Anlaß zu einer Bewegung. Sobald er aber durch irgendeine äußere Ursache aus dieser Gleichgewichtslage entfernt und hierauf sich selbst überlassen wird, führt er Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus, die man als einfache harmo-

nische oder auch als Sinusschwingungen bezeichnet und deren Gesetze hier näher untersucht werden sollen.

Vorher möge indessen noch darauf hingewiesen werden, daß die Bedingungen für das Eintreten solcher Bewegungen sehr häufig gegeben sind. Vor allem sind es elastische Kräfte, unter deren Einfluß harmonische Schwingungen zustande kommen. Denkt man sich etwa einen Körper, der als materieller Punkt aufgefaßt werden kann, durch elastische Bänder an einer bestimmten Stelle festgehalten, so vermag man ihn immer noch ein wenig aus dieser Ruhelage zu entfernen. Dabei werden die elastischen Bänder, durch die er festgehalten war, etwas angespannt und diesen Formänderungen entsprechen elastische Kräfte, die unter Voraussetzung des Hookeschen Gesetzes der Verschiebung des materiellen Punktes proportional und nach dem Anfangspunkte hin gerichtet sind. Hiermit ist also in der Tat das Auftreten einer der Entfernung direkt proportionalen Zentral-kraft physikalisch verwirklicht.

Gewöhnlich kann man freilich einen Körper, von dem man sagt, daß er harmonische Schwingungen ausführe, nicht ohne weiteres als materiellen Punkt ansehen. Vielmehr treten unter den verschiedensten Umständen Schwingungen auf, die ihren Wirkungsgesetzen nach vollständig mit den harmonischen Schwingungen eines einzelnen materiellen Punktes zusammenfallen und die man daher auch selbst als harmonische bezeichnet. Sogar Vorgänge, die ganz außerhalb des Bereichs der Mechanik liegen, bezeichnet man als harmonische Schwingungen, weil sie den gleichen zeitlichen Verlauf nehmen, so daß die in der Dynamik des materiellen Punktes dafür abgeleiteten Formeln bei entsprechender Deutung der darin vorkommenden Buchstabengrößen ohne weiteres auf jene Fälle angewendet werden können. Dies trifft namentlich bei gewissen elektrischen Schwingungen zu. So kommt es, daß die harmonischen Schwingungen eines einzelnen materiellen Punktes nur das einfachste Beispiel für eine Reihe verschiedener Schwingungsvorgänge bilden, bei deren Untersuchung von den hier durchzuführenden Betrachtungen mit geringen Änderungen immer wieder Gebrauch gemacht wird.

Nach diesen Bemerkungen, die mir erforderlich schienen, um die große Tragweite hervorzuheben, die diesen Betrachtungen zukommt, wende ich mich jetzt zur Behandlung des einfachen Falles, um den es sich hier handelt. Dabei möge zunächst außerdem noch angenommen werden, daß die Schwingungen geradlinig erfolgen. Dies wird sicher geschehen, wenn der materielle Punkt etwas aus der Gleichgewichtslage verrückt und hierauf ohne Anfangsgeschwindigkeit sich selbst überlassen wurde, denn Kraft und Geschwindigkeit sind dann während der ganzen Bewegung stets längs derselben Geraden gerichtet, auf der die Bewegung erfolgt.

Es wird nützlich sein, über das Kraftfeld, in dem sich die Schwingung vollzieht, einige Erörterungen vorauszuschicken, die mit den im vorigen Paragraphen eingeführten Begriffen Zusammenhängen. Die Kraftlinien sind hier sämtlich geradlinig und nach dem Anfangspunkte gerichtet. Die Niveauflächen sind konzentrische Kugelflächen. Die Stufenflächen der Potentialtreppe liegen um so enger zusammen, je weiter man sich vom Anfangspunkte entfernt. Wählt man die Konstante V₀ in Gl. (10), wenn 0 den Anfangspunkt bedeutet, gleich Null, so wird das Potential VA im Abstande a nach jener Gleichung

cx ■ dx = c

Hierbei ist nämlich die Kraftlinie als Integrationsweg gewählt; c ist ein Proportionalitätsfaktor, durch dessen Multiplikation mit x die Kraft im Abstande x gefunden wird, also mit anderen Worten die Stärke des Feldes im Abstande 1 vom Anfangspunkte. Das in Gl. (10) vor dem Integrale stehende Minuszeichen fällt hier weg, denn in unserem Falle ist ^ nach dem Anfangspunkte gerichtet und di ist, weil wir von 0 nach A hin integrieren, entgegengesetzt gerichtet. Für erhält man daher hier — cx • dx.

Der Ausdruck für das Potential V gibt zugleich die elastische Formänderungsarbeit jener Bänder oder Teile an, die den materiellen Punkt in die Ruhelage zurückzuführen suchen. In der Tat ist im vorliegenden Falle das Potential nur eine andere

Bezeichnung für die in der Festigkeitslehre unter dem Namen Formänderungsarbeit so häufig benutzte Größe.

Je weiter wir uns vom Anfangspunkte entfernen, desto größer wird V. Im Verlaufe der Bewegung eines sich selbst überlassenen Punktes bleibt aber nach Gl. (15) die gesamte Energie V -f L konstant. Daraus folgt, daß der Punkt immer innerhalb jener kugelförmigen Niveaufläche bleiben muß, deren Potential gerade gleich dieser Gesamtenergie ist. Schon hieraus folgt, daß die Bewegung jedenfalls in einer Schwingung bestehen muß.

Die dynamische Grundgleichung liefert sofort die Differentialgleichung der Bewegung. Ich wähle die Gerade, längs der die Schwingung erfolgt, zur X-Achse, bezeichne die Masse des materiellen Punktes mit m, den Proportionalitätsfaktor, der die Stärke des Feldes beschreibt und der als gegeben zu betrachten ist, wie vorher schon mit c; dann lautet die Gleichung

(16)

= — cx.

d²x

dt²

Durch das Minuszeichen ist ausgesprochen, daß die Kraft nach dem Ursprünge geht, während die Abszisse x nach außen hin wächst. — Von Gl. (16) kennt man die allgemeinste, also mit zwei Konstanten versehene Lösung; sie lautet

(17)

x = A sin at + B cos at,

worin A und B die willkürlichen Integrationskonstanten bedeuten, a aber eine Konstante ist, die aus Gl. (16) gefunden wird. Differentiiert man nämlich x zweimal nach t, so erhält man

d²x

dt²

= — a²(A sin at -f- B cos at),

also vom Minuszeichen abgesehen, das a²-fache von x. Nach d ^ cc    c    •

Gl. (16) soll dagegen das —— -fache von x sein. Daraus folgt, daß jedenfalls

(18)

a=V±

V m

gesetzt werden muß. Wenn dies geschieht, befriedigt aber Gl. (17) die Differentialgleichung (16) identisch.

Es bleibt jetzt nur noch übrig, die Integrationskonstanten A und B aus den Grenzbedingungen zu ermitteln. Zu diesem Zwecke möge festgesetzt werden, daß die Zeit t von einem Augenblicke an gerechnet werden soll, in dem x gleich Null war. Dazu muß nach Gl. (17) das den Kosinus der Zeit enthaltende Glied verschwinden, also B = 0 sein. Es bleibt hiernach

(19)

X = A sin« t

und die hier noch vorkommende Integrationskonstante A hat eine einfache und leicht ersichtliche Bedeutung. Sie stellt nämlich den größten Wert dar, den x im Verlaufe der Zeit periodisch immer wieder annimmt, wenn der Sinus gleich der Einheit wird. Hiernach ist A der größte Schwingungsausschlag oder die Amplitude der Schwingung. Diese kann entweder direkt gegeben sein, oder sie wird sich aus den Anfangsbedingungen, die bekannt sein müssen, wenn man imstande sein soll, den weiteren Verlauf der Bewegung vorauszusagen, berechnen lassen. Wäre z. B. die Geschwindigkeit v₀ bekannt, mit der der Punkt zu Anfang der Zeit durch den Gleichgewichtspunkt ging, so hätte man

Gl. (19)

aus

dx a i ^ idx\    .

dt

= ccjlcosccty cilso ^J — ccA

und hieraus folgte

A = — und schließlich

R o-

sin at.

Der Wert x in Gl. (19) nimmt öfters wieder die früheren Werte an. Dies geschieht jedenfalls immer dann wieder, wenn der Winkel, von dem der Sinus genommen werden soll, um eine volle Umdrehung oder um 2it gewachsen ist. Auch in der Zwischenzeit nimmt der Sinus noch einmal den anfänglichen Wert an. Je nach der Lage, von der man hierbei ausgeht, dauert es aber bis dahin verschieden lang. Man achtet daher nicht auf diese erste Wiederkehr des Punktes in die vorige Lage, sondern erst auf die folgende, die stets nach Zuwachs des Winkels at um 2 n erfolgt und von der ab sich nachher beim weiteren Verlaufe der Zeit der Bewegungsvorgang genau wieder in derselben Weise wiederholt. Man nennt die Zeit, die währenddessen verstreicht,

also jene Zeit, die einem Anwachsen von at um 2n entsprich t? die Dauer einer vollen Schwingung. Wählt man dafür den Buchstaben T, so hat man

(20)

7 = ^ = 2*1/“.

a    Y c

Besonders zu beachten ist hierbei, daß T ganz unabhängig von A, also von der Amplitude der Schwingung ist. Die Schwingungsdauer hängt vielmehr nur von der Masse des schwingenden Punktes und von der durch den Faktor c ausgedrückten Stärke der elastischen Kraft ab, die ihn nach der Gleichgewichtslage hinzieht. Man nennt solche Schwingungen, deren Dauer unabhängig von der Größe des Schwingungsaus-schlags ist, isoch ron, und die hiermit ausgedrückte Eigenschaft ist als die wichtigste der harmonischen Schwingungen zu betrachten.

1 bis + 1

Zuweilen zieht man es vor, die Schwingung nur während der Zeit zu betrachten, in der die ganze Schwingungsbahn einmal in einem bestimmten Sinne durchlaufen wird, also die Rückkehr des Punktes gar nicht abzuwarten und als Schwingungsdauer nur jene Zeit zu rechnen, in der smat von wächst. Dabei nimmt der Winkel at um tc zu und diese einfache Schwingungsdauer, wie man sie zum Unterschiede von der vorigen nennt, ist genau die Hälfte von T.

dO

Abb. 7.

Bisher war nur von der geradlinigen harmonischen Schwingung die Rede. Der allgemeinere Fall, zu dem ich jetzt übergehe, läßt sich aber in ganz ähnlicher Weise erledigen. Er liegt immer dann vor, wenn der bewegliche Punkt zu irgendeiner Zeit einmal eine Geschwindigkeit hatte, deren Richtungslinie nicht durch den Anfangspunkt ging, und weiterhin ohne äußere Einwirkung den Kräften des Feldes überlassen wurde.

In Abb. 7 bedeutet 0 das Kraftzentrum (oder die Gleichgewichtslage des beweglichen Punktes), A die Lage, die der Punkt zur Zeit t einnimmt und ü die Geschwindigkeit. Die elastische Kraft kann hier nach Größe und Richtung durch den Ausdruck

— er

dargestellt werden, wenn c dieselbe Bedeutung bat wie vorher. Durch das Minuszeichen wird ausgedrückt, daß die Kraft dem Radiusvektor r entgegengesetzt gerichtet ist. Die dynamische Grundgleichung lautet jetzt

dH

wi —jtu ⁼⁼ — c r

dt

und deren allgemeine Lösung ist

X = 5t sin at -f- $ cos at,

wenn wiederum 51 und © die Integrationskonstanten bedeuten, die aber jetzt als gerichtete Größen aufzufassen sind, während a dieselbe Bedeutung wie vorher hat, also gleich dem durch Gl. (18) angegebenen Werte zu setzen ist. In der Tat überzeugt man sich durch Einsetzen des angegebenen Ausdrucks in die Differentialgleichung leicht, daß diese durch ihn für jede beliebige Wahl von 5t und © erfüllt ist. — Zu Anfang der Zeit t möge r gleich (l und die Geschwindigkeit U gleich b₀ gewesen sein. Hierdurch bestimmen sich die Integrationskonstanten zu

© = a und 5t = —,

a ⁷

so daß nach Einsetzen des Wertes von a die vollständig bestimmte Lösung lautet

V--

r m

r = t»₀ ]/-“•siü t}'

(21)

Ci

-f a cos t

Auch diese Bewegung ist eine periodische, denn sobald der Winkel

ü/-

r m

neuem.

— um 2 % gewachsen ist, wiederholen sich in derselben Reihenfolge wieder alle Werte des Radiusvektors r von Der bewegliche Punkt durchläuft demnach in steter Reihenfolge unbegrenzt oft eine in sich geschlossene Kurve. Die Zeit, die er zu einem vollen Umlaufe braucht, nennen wir wieder die Dauer einer vollen Schwingung und bezeichnen sie wiederum mit T. Dabei wird T aus der Bedingung

T]/-^ = 2jr, also T=2jt]/-^

gefunden. Dieser Wert stimmt aber genau mit dem in Gl. (20) für die geradlinige Schwingung gefundenen überein. Wir erkennen hieraus, daß die Schwingungen auch noch im allgemeinsten Falle isochron sind, d.h.,daß dieSchwing-ungsdauer nicht nur von der Größe des Ausschlags, sondern auch von der besonderen Gestalt der Bahn unabhängig ist.

Es fragt sich jetzt noch, welche Form die Bahn besitzt. Auch diese Frage kann mit Hilfe von Gl. (21) sofort beantwortet werden. Diese Gleichung bildet nämlich in der Sprache der Vektorenrechnung schon von selbst die Gleichung der Bahn, und zwar stellt sie die Gleichung einer Ellipse dar, deren Mittelpunkt mit dem Kraftzentrum 0 zusammenfällt. Da aber die analytische Geometrie an Stelle der Vektoren gewöhnlich mit deren Komponenten oder Koordinaten rechnet, bleibt mir noch übrig, Gl. (21) in zwei Komponenten zu zerlegen, um damit auf die übliche Darstellungsform zu kommen. Um diesen Übergang auf möglichst einfache Art bewirken zu können, nehme ich an, daß als Anfangspunkt der Zeitrechnung, auf den sich auch die zusammengehörigen Werte von a und b₀ beziehen, ein Augenblick gewählt worden sei, in dem sich der bewegliche Punkt gerade im größten oder auch im kleinsten Abstande vom Kraftzentrum befand. Dann steht in diesem Augenblicke die Bewegungsrichtung rechtwinklig zum Radiusvektor, d. h. es ist ü₀ _L a. Hiermit entsprechen die beiden Glieder auf der rechten Seite von Gl. (21) schon von selbst den beiden rechtwinkligen Komponenten vont*. Wenn wir dann noch die Richtung von a zur Richtung der X-Achse wählen und die Y-Achse in die Richtung von ti₀ legen, erhalten wir aus Gl. (21) für die Komponenten x und y von r, d. h. für die Koordinaten des beweglichen Punktes die Gleichungen

x = a cos t\/ — :

V m ⁷

Aus diesen beiden Gleichungen eliminieren wir den veränderlichen Winkel mit Hilfe einer sehr bekannten Umformung, indem wir

setzen. Damit sind wir aber in der Tat zu der gewöhnlichen Form der Mittelpunktsgleichung einer Ellipse gelangt, deren

Halbachsen gleich a und gleich Vq]/sind. Diese Ellipse bildet

die gesuchte Bahn des beweglichen Punktes.

Nebenbei sei darauf hingewiesen, daß auch bei der harmonischen Schwingung der vom Kraftzentrum gezogene Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht, da diese Eigenschaft, wie früher bewiesen wurde, allen Zentralbewegungen zukommt.

§ 5. Drehschwingungen.

Abb. 8.

Die Lehre von der harmonischen Schwingung eines einzelnen materiellen Punktes kann mit geringen Änderungen auch auf die Behandlung von vielen anderen Fällen übertragen werden, bei denen ebenfalls harmonische Schwingungen auftreten. Dazu gehört als ein besonders wichtiger Fall die Drehschwingung, die ein starrer Körper unter dem Einflüsse der Torsionselastizität eines Stabes auszuführen vermag, durch den er fest-gehalten ist. Unter Hinweis auf die Umstände, unter denen diese Schwingungsbewegung erfolgt, bezeichnet man sie auch als eine Torsionsschwingung. Abb. 8 zeigt ein Beispiel dafür. Eine kreisförmige Scheibe A, die in Aufriß und Grundriß gezeichnet ist, sei am un-\A teren Ende C eines senkrecht herabhängenden I Stabes (einer Welle oder eines Drahtes) BC befestigt, dessen oberes Ende bei B einge-v ! klemmt ist. Läßt man an der Scheibe in ihrer Al horizontalen Ebene ein-Kräftepaar angreifen, \ so wird der die Scheibe tragende Stab BC auf ^ / Verdrehen beansprucht. Dadurch entsteht eine / elastische Formänderung, durch die die Scheibe um den Verdrehungwinkel cp des Stabes aus ihrer Gleichgewichtslage gedreht wird. Ent-

fernt man hierauf das Kräftepaar wieder, so schwingt die Scheibe nach der Gleichgewichtslage zurück, geht dann, wegen der lebendigen Kraft, die sie inzwischen erlangt hat, über die Gleichgewichtslage hinaus und führt darauf harmonische Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus, die ohne Hinzutreten einer Dämpfung unbegrenzt lange fortdauern würden.

wor-

Mit den Schwingungen des materiellen Punktes stehen die Torsionsschwingungen in einem besonders einfachen Zusammenhang. Dieser rührt davon her, daß für die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse eine Gleichung gilt, die sich an die dynamische Grundgleichung für die geradlinige Bewegung eines materiellen Punktes aufs engste anschließt. Schon in Band I (S. 194, Gl. (81) d. 4. Aufl.) ist diese Gleichung abgeleitet den und sie lautet

du

&Tt-PP’

worin Pp das Moment des die Beschleunigung ~ der Drehbewegung hervorbringenden Kräftepaares und & das auf die Drehachse bezogene Trägheitsmoment des starren Körpers bedeutet.

Während der Körper die Schwingung ausführt, wirkt auf ihn nur das durch die Verdrehungselastizität des Stabes hervorgerufene Kräftepaar ein, dessen Moment dem augenblicklichen Werte des Verdrehungswinkeis cp proportional ist und vorläufig gleich ccp gesetzt werden kann, wenn unter c eine Konstante verstandenwird, deren Wert später noch ermittelt werden soll. Für die Winkelbeschleunigung^ kann man auch schreiben, und die Differentialgleichung der Bewegung geht hiermit über in

(22)

— Ccp.

dtî

&d'i=

Das negative Vorzeichen auf der rechten Seite rührt davon her, daß das Torsionsmoment den Körper stets in die Gleichgewichtslage zurückzubringen sucht, also bei einem positiven Wert des Winkels cp eine negative und bei einem negativen Werte von cp eine positive Winkelbeschleunigung hervorbringt.

Gl. (22) stimmt der Form nach genau mit der Differentialgleichung (16) der geradlinigen Schwingung des materiellen

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

Punktes überein. An Stelle des Weges x ist hier nur der Winkelweg cp und an Stelle der Masse m das Trägheitsmoment © getreten. Auch die aus Gl. (16) hervorgegangenen Folgerungen, nämlich die Gleichungen (17) bis (20) können daher hierher sofort übernommen werden, indem man dieselben Buchstabenvertauschungen damit vornimmt. Insbesondere erhält man für die Dauer einer vollen Schwingung nach Gl. (20)

(23)

Den Wert der Konstanten c endlich kann man aus den Formeln der Festigkeitslehre entnehmen, insbesondere für den Fall, daß der Stab Bö einen kreisförmigen Querschnitt vom Halbmesser a hat, aus Gl. (225) von Bd. III (S. 302 d. 4. Aufl.)

A cp —

2 Ml na4, G

Beachtet man, daß an Stelle von A cp hier kürzer cp geschrieben wurde, so ist dies gleichbedeutend mit

na* G

-JT'V’

und da wir das Verdrehungsmoment M vorher gleich ccp gesetzt hatten, folgt daraus für c

na⁴ G

c= "er

setzen wir diesen Wert in Gl. (23) ein, so erhalten wir die Schwingungsdauer in der weiter ausgerechneten Form

(24)

T 2 i/2nl& ¹    ~G~‘

In dieser Form gilt die Gleichung nicht nur für eine scheibenförmige Gestalt des schwingenden Körpers, sondern für irgendeinen Umdrehungskörper. Für die zahlenmäßige Ausrechnung von T muß zuvor das Trägheitsmoment 0 ermittelt werden. Dieses läßt sich auf jeden Fall auch in der Form

(h) =9-1*'

9

darstellen, wenn unter Q das Gewicht des schwingenden Körpers,

unter ^ dessen Masse und unter i sein Trägheitshalbmesser verstanden wird. Hiermit geht Gl. (24) über in

(25)

T =

a*V gG

Für eine Scheibe, also für eine zylindrische Gestalt des schwingenden Körpers ist

‘-TVS',

wenn der Halbmesser mit r bezeichnet wird, wie schon aus der Lösung von Aufg. 21 des 1. Bandes (S. 198 d. 4. Aufl.) hervorgeht. Für diesen besonderen Fall geht daher Gl. (25) über in

(26)

Unter l ist in diesen Formeln die Länge des Stabes und unter G der Schubelastizitätsmodul zu verstehen.

§ 6. Gedämpfte Schwingungen.

Die bisher untersuchten Schwingungsbewegungen müßten, wenn sie einmal angeregt wären und dann vor allen äußeren Störungen geschützt werden könnten, unbegrenzt lange andauern, ohne jemals zu erlöschen oder sich auch nur irgendwie zu verändern. In Wirklichkeit beobachten wir aber stets, daß eine einmal angeregte Schwingung allmählich „abklingt“, d. h. daß die Schwingungsausschläge allmählich immer kleiner werden, bis sie sich zuletzt jeder Wahrnehmung entziehen. Der Grund dafür ist in verschiedenen Bewegungswiderständen, wie Reibung, Luftwiderstand, unvollkommene Elastizität usw. zu suchen, die bisher vernachlässigt wurden. Um uns dem wirklichen Vorgänge mehr zu nähern, wollen wir jetzt annehmen, daß außer der elastischen Kraft des Feldes auf den bewegten Punkt auch noch ein „dämpfender Widerstand“ von irgendeiner Art einwirke, der in jedem Augenblicke der Bewegung des Punktes entgegengesetzt gerichtet ist. Zugleich müssen wir aber, um die Aufgabe zu einer bestimmten zu machen, noch eine nähere Voraussetzung über das Wirkungsgesetz dieses Widerstandes einführen. Es steht nun

a*

zwar frei, die Rechnung unter verschiedenen Annahmen dieser Art durchzuführen und sich im gegebenen Falle dann für jenes Widerstandsgesetz zu entscheiden, hei dessen Wahl die Rechnungsergehnisse am besten mit der Beobachtung übereinstimmen. Man begnügt sich aber gewöhnlich mit der einfachsten Annahme, die sich machen läßt, nämlich, daß der Widerstand in jedem Augenblicke der Geschwindigkeit der Bewegung proportional sei. Wenn der dämpfende Widerstand in der Hauptsache im Luftwiderstände besteht und die Geschwindigkeiten der Schwingungsbewegung nicht sehr erheblich sind, trifft diese Annahme, wie aus der Übereinstimmung der daraus abgeleiteten Formeln mit den Beobachtungen zu schließen ist, in der Tat ziemlich genau zu. Noch besser ist die Voraussetzung erfüllt, wenn die Dämpfung etwa dadurch erfolgt, daß ein Magnet in der Nähe einer Kupfermasse schwingt, wobei die elektrischen Ströme, die durch die Bewegung in dem Kupferkörper induziert werden, einen sehr kräftigen dämpfenden Widerstand auf die Schwingungsbewegung ausüben. Dieser Fall liegt bei vielen physikalischen Meßinstrumenten vor.

dx

(27)

dt'

Sie unterscheidet sich von der früheren nur dadurch, daß das Glied h — auf der rechten Seite neu hinzugetreten ist. Dieses

Glied entspricht aber seinem Baue nach der Annahme, die wir für den dämpfenden Widerstand machten, denn es stellt das Produkt aus einem konstanten Faktor h, der die Größe der Dämpfung im gegebenen Falle mißt und der Geschwindigkeit dar. Wenn man li = 0 setzt, geht die Gleichung wieder in jene für die ungedämpfte harmonische Schwingung über.

Die Dämpfung ist eine Kraft, die sich der Bewegung widersetzt und daher stets entgegengesetzt der Geschwindigkeit gerichtet ist. Das Vorzeichen der Kraft ist daher entgegengesetzt

Setzen wir jetzt voraus, daß diese Annahme genau genug zutreffe und beschränken wir uns außerdem der Einfachheit wegen zunächst auf die Untersuchung einer geradlinigen Schwingung, so nimmt die dynamische Grundgleichung hier die Gestalt an d*x

dt*

m -T7TT = — cx

dem des Differentialquotienten zu nehmen, durch den die Geschwindigkeit dargestellt wird. Hiermit erklärt sich das negative Vorzeichen des letzten Gliedes auf der rechten Seite von Gl. (27) Um diese Gleichung zu integrieren, setze man x = Aeat -f- Beß¹.

Führt man diesen Wert in die Gleichung ein, so geht sie über in m{a² Aeat -f- ß²Beß*) -j- c(Aeat -f Beß*) -f- h(Acceat -f- Bßeß‘) = 0. Da die Gleichung für beliebige Werte von A und B identisch erfüllt sein soll, zerfällt sie in die beiden Gleichungen Aeat(ma² -f- c -f- Jeu) = 0,

Beßl(mß² -f c + hß) = 0,

die für jeden Wert von t und für beliebige Werte von A und B erfüllt sein müssen. Hiernach müssen, wenn der für x angegebene Ausdruck die richtige Lösung der Gl. (27) bilden soll, a und ß so bestimmt werden, daß die beiden Klammerwerte zu

Null werden, d. h. a und ß sind die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung

mz² -f c + 1c z = 0. Die Auflösung der Gleichung liefert

A _£_

2 m — V 4m² m ’ also, wenn wir den hierin vorkommenden Wurzel wert zur Abkürzung mit y bezeichnen,

91 m Y '

-Ł+r,

Die Werte von a und ß könnten zwar auch miteinander vertauscht werden, womit aber an der allgemeinen Form des Ausdruckes von x nichts geändert würde, da auch A und B vorläufig nur zwei ebenfalls miteinander vertauschbare Symbole für ganz beliebig zu wählende Werte sind. — Die allgemeine Lösung von Gl. (27) ist demnach von der Form

x = Ae

Be

2 m*

(28)

Fälle zu unterscheiden, je nachdem der mit y bezeichnete Wurzelwert reell oder imaginär ist. Im ersten Falle, den wir zunächst voraussetzen wollen, kann die Lösung in der Form von Gl. (28) unmittelbar beibehalten werden. Diese Lösung stellt aber überhaupt keine Schwingung mehr dar, weil x als eine nichtperiodische Funktion der Zeit gefunden ist. Nehmen wir, um die fernere Untersuchung zu vereinfachen, an, daß zu Anfang der Zeit t der Punkt mit der Geschwindigkeit v₀ durch den Ursprung gegangen sei, so erhalten wir für die Konstanten A und B die beiden Grenzbedingungen

0 = Ä + B und „„ - A i-± + r) + B(-é>

r),

woraus man durch Auflösen nach A und B findet

h.

und B = —

Durch Einsetzen der hiermit bestimmten Werte in Gl. (28) geht diese über in

v₀

k t

am (e^- e yt),

(29)

x = ~ e 2 y

wofür auch, unter Benutzung des schon in Band II bei der Untersuchung der Kettenlinie eingeführten Begriffes des hyperbolischen Sinus kürzer

(30)

x =—e s»»*sinhytf

geschrieben werden kann.

Dieser Ausdruck kann sein Vorzeichen bei wachsendem t nicht ändern, denn e~yt ist für ein positives t immer ein echter Bruch, während eyt stets größer als Eins bleibt. Der Punkt bleibt also, wenn er diese Bewegung ausführt, vom Augenblicke t = 0 an stets auf derselben Seite der Koordinatenachse. Für t = oo liefert Gl. (29) wieder x = 0, denn aus der Definition von y folgt, Je

daß— jedenfalls größer ist als y. Der größte Ausschlag, den

der Punkt erreicht, und die Zeit, zu der dies geschieht, kann nach der gewöhnlichen Theorie der Maxima und Minima aus Gl. (29) ermittelt werden, womit ich mich aber jetzt nicht aufhalten will. Durch die bisherigen Auseinandersetzungen ist der allgemeine

Verlauf der Bewegung bereits hinreichend gekennzeichnet. Eine solche Bewegung heißt eine aperiodische; sie ist dann zu erwarten, wenn die Dämpfung sehr stark ist (z. B. beim sogenannten ballistischen Galvanometer). Jedenfalls muß der Dämpfungsfaktor k mindestens den Wert

k = 2]/mc

erhalten. Sobald k kleiner ist, wird der mit y bezeichnete Wurzelwert imaginär und dann treten wieder Schwingungen ein, die wir jetzt weiter untersuchen wollen.

In diesem Falle ist die Wurzel

, -i/c    Je*

y    V m    4m*

ein reeller Wert und für y können wir in den vorausgehenden Entwicklungen

y = iy

setzen. Hiermit geht Gl. (29) über in

-, e 7

Nach einer bekannten Formel der Analysis ist aber für den hier als letzter Faktor auf der rechten Seite auftretenden Ausdruck kürzer siny'tf zu setzen. Wir erhalten so für die gedämpften Schwingungen die fertige Lösung

k

(31)

x = V\e 2m sin yt.

Übrigens steht es auch frei, wenn man diesen Übergang von den imaginären zu den reellen Werten vermeiden will, die Richtigkeit von Gl. (31) unmittelbar durch Einsetzen in die Differentialgleichung (27) und Vergleich mit den vorgeschriebenen Grenzbedingungen nachzuweisen.

Der Hauptunterschied zwischen Gl. (31) und der die ungedämpften harmonischen Schwingungen darstellenden Gl. (19)

x = A sin at

k

besteht in dem Hinzutreten der Exponentialfunktion e 2m als

Faktor. Solange noch wenig Zeit von Beginn der Bewegung an verstrichen ist, unterscheidet sich dieser Faktor nur wenig von der Einheit; die Bewegung erfolgt bis dahin fast ebenso wie eine ungedämpfte. Wenn die Dämpfung 1c sehr klein ist, kann schon eine ganze Anzahl von Schwingungen verstreichen, bevor sich eine Änderung des Schwingungsausschlags bemerklich macht. Sobald aber t einmal so groß geworden ist, daß der Exponential-faktor erheblich von 1 verschieden ist, nimmt dann innerhalb Zeiten, die mit dieser vergleichbar sind, der Schwingungsausschlag sehr schnell ab. War z. B. für eine gewisse Zeit tx der Ex-

also in den meisten

ponentialfaktor gleich so ist er nach 2tx gleich —, nach 3^ 1 ^ . 1 4 gleich — und nach 10^ schon gleich ——,

Fällen schon ganz unmerklich geworden. Dieses schnelle Erlöschen ist ja überhaupt die hervorstechendste Eigenschaft der mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschriebenen physikalischen Gesetzmäßigkeiten.

Die Definition einer vollen Schwingung muß hier anders gefaßt werden als bei der ungedämpften Bewegung. Wir verstehen darunter eine Bewegung aus der Gleichgewichtslage nach der einen Seite, die Rückkehr von da, dann den Ausschlag nach der anderen Seite, bis schließlich der Punkt abermals in der Gleichgewichtslage angelangt ist. Es ist nun sehr bemerkenswert, daß auch die gedämpfte Schwingung isochron ist. In die Gleichgewichtslage ist nämlich der Punkt immer dann wieder zurückgekehrt, wenn sinj/£ zu Null wird. Dies trifft zu, wenn der Winkel yt wieder um % oder ein Vielfaches davon gewachsen ist. Zur Dauer T einer vollen Schwingung gehört demnach ein Zuwachs des Winkels um 2 7t und daraus folgt

(32)

4 um

|/4mc — k²

Dieser Ausdruck ist in der Tat ganz unabhängig von der Zeit, die seit Beginn der Bewegung verstrichen ist oder von dem Werte, auf den sich der Schwingungsausschlag seitdem vermindert hat. Wenn die Schwingungsausschläge kleiner werden, nehmen auch die Geschwindigkeiten entsprechend ab, so daß zum Durchlaufen der kleineren Wege immer noch ebensoviel Zeit gebraucht wird als bei den größeren.

man

Dagegen ist die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung größer als die der ungedämpften. — Wenn Ti = 0 setzt, geht Gl. (32) wieder in Gl. (20) über.

Die Geschwindigkeit v des bewegten Punktes folgt aus Gl. (31) durch Differentiation nach der Zeit

dx _ b> ~2m --

ai y

Die Geschwindigkeit wird jedesmal zu Null bei einer Umkehr aus einer Bewegungsrichtung in die andere. Für die Umkehrzeiten hat man daher die Bedingung

y cos y't — sin y t = 0

(y' cos y't

Łsin r*) ■

oder

tg y't =

2 my    y^mc — k⁸

~k~ ⁼ ~ k

Diesen Wert nimmt die Tangente von y't immer von neuem wieder an, wenn der Winkel y't um n, 2n, 3tc usf. gewachsen ist. Daraus folgt aber, daß die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Umkehrpunkten immer gleich groß und, wie aus Gl. (32) hervorgeht, gleich der Hälfte einer vollen Schwingungsdauer ist-Aus der tg y't berechnen wir zunächst sin y't nach der gonio-metrischen Formel

sin a ==

tg«

V i + tg²«⁷

also in unserem Falle nach Einsetzen des für tg y't gefundenen Wertes

sin y t

-V

imc — k* 4 mc

(33)

Wir brauchen nur diesen Wert in Gl. (81) einzusetzen, um danach die Größe des Schwingungsausschlags oder a;max zu berechnen. Diese Schwingungsamplitude sei mit a bezeichnet und ferner, um sie mit den vorausgegangenen oder den folgenden vergleichen zu können, mit an, wobei n angeben soll, der wievielte Schwin-

gungsausschlag seit Beginn der Zeit t gerade vorliegt. Wir erhalten dann

an

4 mc — Je²

Łmc

oder, wenn man hier außerdem noch den Wert von y einführt,

an

(34)

Den genaueren Wert von t muß man sich aus Gl. (33) berechnet und in den Exponentialfaktor eingesetzt denken. Beim nächsten Schwingungsausschlage, der nach der entgegengesetzten Seite hin erfolgt, wird ebenso

H / m

««+i=»o|/y «

gefunden, denn die Bedingung (33) für die Zeiten der Bewegungsumkehr gilt für alle Schwingungsausschläge in derselben Weise. Geändert hat sich daher in an + 1 gegenüber an nur der Exponentialfaktor, indem an Stelle von t die Zeit f getreten ist. Nun ist aber, wie vorher schon bemerkt wurde,

t-t + ~=t +

2%m

|/4 mc — k² ’

hiernach kann an + 1 auf einfache Weise aus an abgeleitet werden, indem man

kT'

nk

(35)

an+i = <Ve im =an-e V4».c-P

setzt. Das Verhältnis an + J:a„ ist hiernach konstant, d. h. die aufeinanderfolgenden Schwingungsamplituden bilden eine geometrische Reihe. Geht man zu den natürlichen Logarithmen über, so erhält man aus (35)

!g an-\g an

Ttle

kT

(36)

]/4 m c — k² ^ m

Die Logarithmen aufeinanderfolgender Schwingungsausschläge unterscheiden sich demnach immer um den gleichen Wert, den man als das logarithmische Dekrement der Schwingung bezeichnet. Es kann gewöhnlich leicht durch unmittelbare Be-

obachtung der Bewegung ermittelt werden und Gl. (36) dient dann dazu, den Dämpfungsfaktor Je zu berechnen.

Beobachtet man nur Ausschläge, die nach derselben Seite gehen, so ist das logarithmisehe Dekrement, wie aus Gl. (36) sofort folgt, doppelt so groß als dort angegeben. Ferner kann man anstatt der Ausschläge auch die Längen der aufeinanderfolgenden ganzen Schwingungsbahnen miteinander vergleichen. Für ein solches Verhältnis hat man nach der Bedeutung von a den Ausdruck

anJran +1

an + 2 + an + 3

Bezeichnet man nun vorübergehend zur Abkürzung das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ausschlägen mit /r, so wird an + i⁼⁼lian ugf-> uud für den vorausgehenden Bruch erhält man

¹ 4~ P _ ¹

P²+f*S (i* ’

d. h. das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Schwingungsbahnen ist ebenso groß als das Verhältnis von zwei nach derselben Seite hin gehenden Ausschlägen und das logarithmische Dekrement ist hierfür doppelt so groß als der in Gl. (36) dafür angegebene Wert.

Der Vergleich dieses Gesetzes der Abnahme der Schwingungsweiten mit der Beobachtung bietet ein einfaches Mittel, um die über den dämpfenden Widerstand gemachte Annahme auf ihre Richtigkeit oder ihre Genauigkeit in einem gegebenen Falle zu prüfen.

Anmerkung. Schließlich sei noch bemerkt, daß man auch die krummlinige gedämpfte Schwingung in ganz ähnlicher Weise behandeln kann, indem man an Stelle von Gl. (27) allgemeiner

-TcdV “dt

d²t

— er

dt*

setzt. Das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet wiederum .r = 2le“* + ®-e^,

wobei für a und ß dieselben Werte wie im früheren Falle einzusetzen sind. Auch sonst lassen sich die früheren Betrachtungen sinngemäß wiederholen, was als nützliche Übung hier empfohlen werden möge.

§ 7. Dämpfung durch gewöhnliche Reibung.

Während vorher angenommen war, daß die Dämpfung proportional der Geschwindigkeit gesetzt werden könne, wollen wir jetzt den Fall betrachten, daß sie von der Geschwindigkeit unabhängig sei. Wenn die Dämpfung von einer gewöhnlichen Reibung zwischen festen Körpern herrührt, kommt man nämlich

mit dieser Annahme dem wirklichenVerhalten des schwingenden Körpers näher als mit der anderen, obschon ja aus der Besprechung der Reihung in Band I schon bekannt ist, daß auch bei der Reibung zwischen festen Körpern die Geschwindigkeit nicht ganz ohne Einfluß ist. Davon wollen wir aber hier absehen.

In Abb. 9 sei 0 das Anziehungszentrum und die dadurch gezogene horizontale Gerade die Schwingungsbahn des materiellen Punktes von der Masse m, dessen augenblickliche Lage durch die in dieser Richtung positiv gezählte Abszisse x angegeben

werden soll. Wir wollen ferner zunächst annehmen, daß ^

positiv sei. Die Reibung von dem konstanten Betrage F wirkt der Bewegung entgegen, also hier in negativer Richtung. An Stelle von Gl. (27) des vorigen Paragraphen tritt dann die Bewegungsgleichung

o,

TFTo"

<£>—

.x;

°v

»1

Abb. 9.

d*x

= — cx — F.

(37)

In dieser Form gilt die Gleichung aber nur für den zunächst angenommenen Fall, daß sich m in positiver Richtung bewegt. Dagegen ist es gleichgültig, ob x selbst positiv oder negativ ist, d. h.die Gleichung gilt für das einmalige Durchlaufen der Schwingungsbahn von dem Ausschlage ax auf der linken Seite (in der Zeichnung) bis zur Erreichung des Ausschlages a₂ auf der rechten Seite.

Bei der darauffolgenden Bewegung im umgekehrten Sinne

hat dagegen die Reibung das Vorzeichen gewechselt, da sie jederzeit der Geschwindigkeit entgegengesetzt gerichtet ist, und die vorige Gleichung ist daher zu ersetzen durch

(38)

— cx + F.

cPx _ dt* ~

Hierdurch wird ein wesentlicher Unterschied gegenüber dem früheren Falle herbeigeführt, hei dem die Reibung als proportional mit der Geschwindigkeit vorausgesetzt wurde. In Gl. (27) wechselte nämlich das die Reibung darstellende Glied k ^ mit ^ von selbst das Vorzeichen, so daß die Gl. (27) zu jeder Zeit unverändert in derselben analytischen Form beibehalten werden konnte, während wir hier dem Vorzeichenwechsel der Reibung in anderer Weise Rechnung tragen müssen. Es mag noch erwähnt werden, daß man in derselben Weise zu verfahren hätte, wenn man eine Dämpfung in Betracht ziehen wollte, die mit dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional wäre. Denn in diesem Falle würde

•    •    •    / d x\ ^

die Dämpfung durch ein Glied von der Form k U U

in der Bewegungsgleichung darzustellen sein, das ebenfalls von selbst keinen Vorzeichen Wechsel erfährt, wenn man die Bewegungsrichtung umkehrt. Man würde daher gleichfalls zwei Bewegungsgleichungen anzuschreiben haben, die abwechselnd für die Bewegungen in entgegengesetzten Richtungen gültig sind.

Bleiben wir bei der Untersuchung von Gl. (37) stehen, so können wir diese dadurch vereinfachen, daß wir an Stelle von F eine Strecke e einführen, die sich aus

(39)

berechnen läßt. Gl. (37) lautet hiermit

d*x    ,    '

mdT*⁼~ C(X + e) •

Da e konstant ist, kann dafür auch

= — c(x -f- e)

d*(x -(- e)

Ft*

geschrieben werden. Das ist aber genau übereinstimmend mit der Differentialgleichung einer ungedämpften Schwingung, die unter dem Einflüsse eines Anziehungszentrums 0' erfolgt, das von 0 aus um die Strecke e nach links hin liegt. Die Lösung lautet genau entsprechend Gl. (17)

(40)

x + e = A sin at -f B cos at,

wobei a und hiermit die Schwingungsdauer denselben Wert behalten wie früher. Hiernach fällt 0' auch genau in die Mitte der ganzen Schwingungsbahn, die wir jetzt betrachten. Dagegen ist 0 um e aus der Mitte verschoben, d. h. wir haben

(41)

a2 = ai ~

Nun können wir zur Untersuchung der Bewegung in der entgegengesetzten Richtung schreiten, wobei wir genau in derselben Weise verfahren können. Gl. (38) läßt sich in der Form

= — c(x — e)

d*(x — e) m

schreiben, deren Lösung sich zu

x — e = Ä sin at -j- B' cos at

ergibt. Auch diese Bewegung erfolgt wieder genau so, als wenn gar keine Reibung vorhanden, dafür aber das Anziehungszentrum von 0 um den Betrag e nach rechts, also nach 0" verschoben wäre. Der nächstfolgende Ausschlag a₃ nach links hin folgt daher aus a₂ wiederum durch Subtraktion von 2e, d. h.

(42)

«3 = a₂ — 2e.

Übrigens wäre es gar nicht einmal nötig gewesen, dieses Ergebnis von neuem aus Gl. (38) abzuleiten, denn Gl. (37) gilt auch sofort für die Bewegung in jeder Richtung, wenn man sich nur vorbehält, jedesmal die Richtung der positiven x mit der Bewegungsrichtung umzukehren. Gl. (42) ist dann schon eine notwendige Folge von Gl. (41). Allgemein hat man daher für zwei aufeinanderfolgende Schwingungsausschläge

(43)

«n + l = ^-2e-

Die Ausschläge bilden daher hier eine arithmetische Reihe, während sie in dem häufiger vorkommenden Falle, der im vorigen Paragraphen behandelt wurde, eine geometrische Reihe bildeten. Ferner erlöschen hier die Schwingungen nicht dadurch, daß sie schließlich unbegrenzt klein werden, sondern sie brechen plötzlich ab. Wenn nämlich ein Schwingungsausschlag kleiner geworden ist als 2e, so hört weiterhin die Gültigkeit von Gl. (43), in der die a nur positive Größen bedeuten können, auf. Ist dieser Wert von a zugleich kleiner als e, so ist damit die Bewegung überhaupt beendet, da die elastische Kraft die Reibung nicht mehr überwinden kann; der schwingende Körper bleibt einfach auf der Strecke zwischen O' und 0" liegen. Wenn dagegen der letzte nach Gl. (43) berechnete Wert a größer als e und kleiner als 2e ist, so erfolgt noch ein letzter Schwingungsweg, der aber den Punkt nicht mehr über die Gleichgewichtslage 0 hinauszuführen vermag. Der Punkt bleibt dann in einem Abstande am von 0 liegen, der sich aus

-i

am = 2e~am

berechnet, wobei am_x den letzten nach Gl. (43) berechneten Ausschlag a bedeutet.

Besonders hervorzuheben ist noch, daß auch die durch eine konstante Reibung gedämpften Schwingungen isochron sind. Dabei ist aber die Schwingungsdauer nicht wie in dem früheren Falle durch die Dämpfung vergrößert, sondern sie bleibt genau so groß, als wenn die Schwingungen ganz ungedämpft wären.

Erste Anmerkung. Die krummlinige Schwingung, die durch eine konstante Reibung gedämpft wird, ist hier bedeutend schwieriger zu behandeln als in dem entsprechendem Falle des vorigen Paragraphen. Dazu wären die folgenden simultanen Differentialgleichungen zu lösen

+ t),

\J tdJf = 0 und e² = e²,

worin e dieselbe Bedeutung hat wie vorher, also eine Konstante angibt, während die Richtung von C veränderlich ist, und zwar so, daß sie, wie die zweite Gleichung ausspricht, mit der Geschwindigkeit jederzeit in dieselbe Gerade fällt. Hätte man die allgemeine Lösung der Gleichungen gefunden, so wäre nachträglich noch bei der Be-

Stimmung der Integrationskonstanten Rücksicht darauf zu nehmen, daß e der Geschwindigkeit entgegengesetzt gerichtet ist.

Daß eine Lösung der Gleichungen möglich sein muß, folgt aus der physikalischen Bedeutung, die ihnen zukommt. Sie wird aber nicht leicht zu finden sein und ich glaube nicht, daß sie bereits gelungen wäre. Praktisch hätte die Lösung übrigens ohnehin keinen großen Wert.

+ cx ~ °-

Zweite Anmerkung. Endlich mag hier noch die geradlinige Schwingung besprochen werden, die gegen eine mit dem Quadrate der Geschwindigkeit proportionale Dämpfung erfolgt. Auch in diesem Falle gelangt man zur Lösung, indem man für jede Bewegungsrichtung eine besondere Gleichung aufstellt. Für die Bewegung im Sinne der positiven x lautet die Differentialgleichung d²x

dt*

m -TT7.

Gegenüber Gl. (27) im vorigen Paragraphen ist nur das Quadrat der Geschwindigkeit an Stelle der ersten Potenz getreten; dem entsprechend hat hier auch Je eine etwas andere Bedeutung. Für die Bewegung im entgegengesetzten Sinne ist das Vorzeichen des Gliedes

umzukehren.

K*)*

dx

Betrachtet man als die unbekannte Veränderliche, so läßt dt    ’

sich die Gleichung für diese integrieren, und zwar findet man dx i / cm i 2 Je

~di ⁼ V 2FV¹

Dabei ist C die willkürliche Integrationskonstante. Von der Richtigkeit der Lösung überzeugt man sich leicht durch Einsetzen des Wertes in die Differentialgleichung.

Zu Anfang des betrachteten Schwingungsweges war die Geschwindigkeit dt gleich Null und x = —a₀, wenn a₀ den zugehörigen

Schwingungsausschlag bezeichnet, der jedenfalls nach der negativen Richtung hin erfolgte. Aus dieser Grenzbedingung erhält man

(‘ + ÎS).

womit die vorige Gleichung übergeht in

'2 k

TS TS

cm

--(x + a₀)

m

2 le

ni

(X + ¥ao)}'

Am Ende des Schwingungsweges wird wieder zu Null und

dx

x = cq, wenn der jetzt in der positiven Richtung gehende Ausschlag mit ay bezeichnet wird. Man erhält daher ay aus der Lösung der transzendenten Gleichung

21c

— a,

m ¹

die sich im allgemeinen Falle nur durch Probieren auflösen läßt. Wenn dagegen 1c ziemlich klein ist, genügt es, die Exponentialfunktion durch eine auf wenige Glieder erstreckte Reihenentwicklung zu ersetzen und dadurch eine brauchbare Näherungsformel abzuleiten.

2 h

Schreibt man vorübergehend an Stelle von — aQ zur Abkürzung usf., so lautet die Gleichung

Läßt man alle Glieder weg, die eine höhere Potenz von 0Q oder zy als die dritte enthalten, so kommt man auf eine quadratische Gleichung für z₁, nämlich

z\~h (3 + *₀) = ²*o“ ³V

Löst man diese auf, entwickelt die Wurzel und läßt die höheren Potenzen von z₀ weg, so erhält man für zy den Näherungswert

o*¹

tH

W| bS

oder wenn man wieder zur früheren Bezeichnung zurückkehrt,

«o)‘

/    4 h

«i - a₀( 1

Dieselbe Formel kann natürlich auch dazu verwendet werden, um den nächstfolgenden Ausschlag a₂ aus ax zu berechnen usf. Aus der Formel folgt, daß die Abnahme des Ausschlags während einer einfachen Schwingung einen um so kleineren Bruchteil des Ausschlags ausmacht, je kleiner der Ausschlag selbst wird.

Für die Schwingungsdauer erhält man

+ «o

Hy

dx

cm i 2    ( 2h \

Im allgemeinen Falle ist man auf eine mechanische Auswertung des Integrals angewiesen. Für ein kleines Je kann indessen auch hier in derselben Weise wie vorher eine Näherungsformel abgeleitet werden. Die Schwingungen sind nicht isochron.

§ 8. Erzwungene Schwingungen.

Bisher war zuerst angenommen worden, daß die elastische Kraft oder die „Kraft des Feldes“ allein auf den beweglichen Punkt ein wirke und dann, daß neben ihr noch ein dämpfender Widerstand zu berücksichtigen sei. Jetzt wollen wir unsere Betrachtung auf den allgemeineren Fall ausdehnen, daß außerdem zugleich noch eine andere, unmittelbar gegebene Kraft an dem materiellen Punkte angreife. Die in diesem Falle zustande kommenden Schwingungen werden als „erzwungene“ bezeichnet, im Gegensätze zu den „freien“ oder, wie man gewöhnlich sagt, zu den „Eigenschwingungen“ des Punktes.

Die Lehre von den erzwungenen Schwingungen ist, wie ich zuvor bemerken möchte, nach verschiedenen Richtungen hin von großer Bedeutung für die Erklärung physikalischer Vorgänge. Dabei handelt es sich freilich auch hier wieder meist um Fälle, bei denen das einfache Bild des materiellen Punktes zur vollständigen Beschreibung des Vorgangs nicht genügt. Das hindert aber nicht, daß sich der zeitliche Verlauf der Schwingungen in allen wesentlichen Punkten mit jenem deckt, der bei einem einzelnen materiellen Punkte zu erwarten wäre. Um mit dem Gegenstände vertraut zu werden, tut man daher am besten, diese Schwingungserscheinungen unter Voraussetzung möglichst einfacher Verhältnisse, also am einzelnen materiellen Punkte zu studieren. Man kann sich dabei immerhin Vorbehalten, das Anwendungsgebiet dieser Betrachtungen unter entsprechender Berücksichtigung der Besonderheiten des einzelnen Falles später weiter auszudehnen. So ist es auch zu verstehen, wenn ich jetzt zur Erläuterung der physikalischen Bedeutung der uns hier beschäftigenden Untersuchung einige Fälle erzwungener Schwingungen als Beispiele anführe.

Wenn man zwei Stimmgabeln von ungefähr gleicher Ton-

höhe auf einem Tische aufstellt und die eine anschlägt, gerät auch die andere ins Tönen. In diesem Falle sind es die von der ersten Stimmgabel ausgehenden Schallwellen, die beim Auftreffen auf die zweite Stimmgabel an dieser periodisch wechselnde Kräfte ausüben, die zu den elastischen Kräften dieser Stimmgabel selbst und zu ihrem dämpfenden Widerstande hinzutreten und eine Schwingungsbewegung zuerst einleiten und deren weiteren Verlauf regeln. In solchen Fällen nennt man die Bewe-wegung der zweiten Stimmgabel auch oft ein „Mitschwingen“ und die ganze Erscheinung führt den Namen „Resonanz“. In anderen Fällen wird der erste Körper, von dem der Anstoß ausgeht, als der „Erreger“, der andere als der „Empfänger“ bezeichnet. So kommt bei den bekannten Hertz sehen Versuchen mit elektrischen Schwingungen und bei der daraus hervorgegangenen drahtlosen Telegraphie ein Erreger oder „Oszillator“ vor, von dem die elektrischen Wellen ausgesendet werden, und ein Resonator oder Empfänger, in dem erzwungene Schwingungen entstehen, die durch die an ihnen beobachteten Erscheinungen einen Rückschluß auf die Wellenzüge im Lufträume zulassen.

Als ferneres Beispiel führe ich die Schwingungen eines Schiffes an. Wenn dieses im ruhigen Wasser aus der Gleichgewichtslage gebracht und dann sich selbst überlassen wird, führt es pendelnde Bewegungen aus, die im großen ganzen den für die gedämpften Schwingungen abgeleiteten Gesetzen folgen. Sobald nun das Wasser selbst in Wellenbewegungen begriffen ist, kommen hierzu äußere Anstöße, die zu erzwungenen Schwingungen führen. Diese können sehr gefährlich werden, wenn die Schwingungsdauer der Wasserwellen zufällig ziemlich genau mit der Schwingungsdauer der Eigenschwingungen des Schiffes zusammenfällt. In diesem Falle spricht man wieder von einer Resonanz der Schwingungen, womit hiernach ein besonderer Fall der erzwungenen Schwingungen gekennzeichnet wird. — Auch im ruhigen Wasser kann übrigens das Schiff in erzwungene Schwingungen versetzt werden, wenn eine Maschine in ihm umläuft, deren Massen nicht so ausgeglichen sind, daß periodisch wechselnde Anstöße auf den Schiffskörper vermieden werden. Hierher gehören ferner auch die durch taktmäßiges Marschieren einer Menschenmasse über eine Brücke hervorgerufenen erzwungenen Schwingungen¹) und noch manche andere Erscheinungen von verwandter Art.

Um die erzwungenen Schwingungen näher untersuchen zu können, muß man zuvor wissen, welchem Gesetze die äußere Kraft folgt, die diese Schwingungen hervorbringt. Wie aus den zuvor angeführten Beispielen hervorgeht, handelt es sich dabei um periodisch der Richtung nach wechselnde Kräfte. Das einfachste Gesetz eines solchen periodischen Wechsels wird durch eine Sinus- (oder, was im wesentlichen auf dasselbe hinauskommt, durch eine Kosinus-) Funktion der Zeit ausgesprochen. Ich werde daher jetzt annehmen, daß auf den beweglichen materiellen Punkt außer der elastischen Kraft und dem dämpfenden Widerstande noch eine Kraft P von außen her einwirkt, die

P = ATsin^

ist, worin K, d. h. der größte Absolutbetrag dieser Kraft, ebenso wie die Konstante rj, von der die Schwingungsdauer der Erregungsschwingung abhängt, beliebig gegeben sein mögen.

An Stelle von Gl. (27) ist mit Berücksichtigung des neu hinzutretenden Gliedes jetzt zu schreiben

(44)

m + cx + k -j-t = K sin q t,

und alle Eigenschaften der erzwungenen Schwingungen sind aus dem Integrale dieser Differentialgleichung abzuleiten.

Die allgemeine Lösung der Gl. (44) ist bekannt: sie setzt sich aus drei Gliedern zusammen, von denen die beiden ersten mit den willkürlichen Integrationskonstanten behaftet, aber von K und 7] unabhängig sind. Diese beiden Glieder bleiben übrig, wenn man K gleich Null setzt, d. h. sie entsprechen für sich genommen, den Eigenschwingungen des Punktes. Dazu kommt dann noch ein drittes Glied, das K und r\, aber keine willkürliche Integrationskonstante enthält. Dieses Glied bleibt übrig, wenn die Integrationskonstanten infolge der Anfangsbedingungen gleich Null sind, d. b. es bildet ein partikuläres Integral der Gl. (44).

wenn

(45)

Es erleichtert die Übersicht über die Rechnungen, man dieses dritte Glied, das hiernach für sich genommen, die Gleichung schon befriedigen muß, für sich betrachtet. Es möge mit x₂ bezeichnet werden; dann läßt sich setzen x₂ — C sin (yt — cp),

worin aber nun die beiden neu eingeführten Konstanten C und cp nicht willkürlich sind, sondern durch Einsetzen von x₂ in die Gl. (44) so bestimmt werden müssen, daß diese Gleichung erfüllt wird. Man hat aus (45)

= Gn cos(rjt-cp). d£ł = - Cysin (yt- cp),

und Gl. (44) liefert daher beim Einsetzen dieser Werte — mGnf sin (rjt — cp) + cCsin (rjt — cp)

-f- IcCrj cos (Tjt — cp) = Ksinrjt.

Diese Gleichung soll für beliebige Werte der Veränderlichen t erfüllt sein. Das ist aber nur möglich, wenn zwischen den Konstanten gewisse Beziehungen bestehen, zu deren Ableitung wir den Sinus und den Kosinus der Winkelsumme nach bekannten goniometrischen Formeln entwickeln. Bei passender Zusammenfassung der Glieder nimmt dann die Gleichung die Form an sin^{— mCrj² cos cp -f- cC cos cp -f- JcCrj sin cp — K\

-f cos rjt { + mCrj* sin cp — cCsin cp -f- kCrj cos cp } =0.

Damit diese Gleichung für jeden Wert von t bestehe, muß jeder der beiden in den geschweiften Klammern stehenden Ausdrücke, die nur konstante Größen enthalten, für sich gleich Null sein.

Damit haben wir die beiden Bedingungsgleichungen gewonnen, aus denen die Konstanten C und cp berechnet werden können. Setzt man zunächst die zweite Klammer gleich Null, so folgt (da C nicht gleich Null sein kann, wenn K von Null verschieden ist) zunächst für cp

(46)

kr]

— mr\

Hiermit ist cp als bekannt anzusehen. Aus der Bedingung, daß auch die erste Klammer verschwinden muß, folgt für C

<7 =

(47)

cos qp (c — m rj²) -j- k 7] sin qp ’

worin der Winkel cp auf Grund der vorhergegangenen Bestimmung als gegeben zu betrachten ist, und zwar so, daß er aus Gl. (46) stets als ein positiver spitzer oder stumpfer Winkel zu entnehmen ist. Schreibt man Gl. (47) zunächst in der Form

6r'=

K COS qp

(c — mrf) ! cos²<p + -

kr\

sin cp cos cp

— mrj²

und beachtet hierauf Gl. (46), so wird der Wert in der geschweiften Klammer gleich Eins und die Gleichung vereinfacht sich zu

K cos qp c — mr\²

(48)

Wenn (c — mrf) positiv ist, wird cp aus Gl. (46) als ein spitzer Winkel gefunden, da 1c und rj auf jeden Fall positiv sind. Dann ist auch cos qp positiv. Ist dagegen (c — mrf) negativ, so erhält man aus Gl. (46) einen stumpfen Winkel cp und cosqp wird ebenfalls negativ. Daraus folgt, daß C nach Gl. (48) stets einen positiven Wert erhält.

Mit diesen Werten von C und cp stellt Gl. (45) eine mögliche Form der erzwungenen Schwingungen dar, die auch zur wirklichen wird, wenn die Anfangsbedingungen passend gewählt werden. Da außerdem die beiden anderen Glieder, die in der allgemeinen Lösung noch hinzutreten, für sich dem Falle P = 0 entsprechen, also als Eigenschwingungen gedeutet werden können, die sich den durch Gl. (45) angegebenen hinzufügen, so bean-

spracht gerade diese partikuläre Lösung unsere Aufmerksamkeit und sie soll daher zunächst weiter erörtert werden.

Gl. (45) stellt eine einfache ungedämpfte harmonische Schwingung dar. Ihre Schwingungsdauer ist nur von rj abhängig, also unabhängig von der Schwingungsdauer der Eigenschwingungen und auch unabhängig von der Masse des beweglichen Punktes, von der Größe der elastischen Kraft und der Größe des dämpfenden Widerstandes. Der größte Ausschlag tritt aber nicht zur selben Zeit ein, in der die erregende Kraft ihren größten Wert K annimmt, sondern erst etwas später, denn x hängt nach Gl. (45) von sin(?^— cp) anstatt von sini^ ab. Im übrigen durchläuft aber sin (rjt — cp) dieselbe Wertereihe wie sin rjt, wobei zu gleichen

Werten immer derselbe Zeitunterschied von der Größe - gehört.

Man drückt dies dahin aus, daß zwischen der erzwungenen und der sie erregenden Schwingung des Wertes von P ein Phasenunterschied besteht. Der zugehörige Winkel cp, der aus Gl. (46) zu ermitteln ist, wird der Phasenverschiebungswinkel genannt.

Wie cp von rj abhängt, ist aus Gl. (46) leicht zu entnehmen. Ein kleiner Wert von rj, der einer großen Schwingungsdauer der erregenden Ursache, also langsamen Schwingungen entspricht, hat einen positiven und ebenfalls kleinen Wert von tg<p zur Folge. Bei sehr langsamen Schwingungen ist daher der Phasenverschiebungswinkel sehr klein. Läßt man jetzt rj zunehmen, geht also zu immer schnelleren Schwingungen über, so bleibt vorläufig tg<p immer noch klein, falls k sehr klein ist, wie es bei den Schwingungen mit geringer Dämpfung zutrifft, die man gewöhnlich vor sich hat. In diesem Falle vermag tg<p nach Gl. (46) erst dann größere Werte anzunehmen, wenn mrj^ nahezu so groß wie c, der Nenner des Bruchs daher nahezu gleich Null geworden ist. Erreicht mrj² den Wert c, so wird tg cp — oo und der Phasenverschiebungswinkel zu einem rechten. Wenn rj hierauf noch weiter wächst, die Schwingungen also immer schneller werden, so wird tg cp negativ und sinkt bald wieder auf ldeine Werte herab, nachdem rj nur wenig zugenommen hat. Der

Phasenverschiebungswinkel ist dann nahezu gleich zwei Rechten geworden und er nähert sich dieser Grenze um so mehr, je schneller die Schwingungen werden.

Besonders hervorzuheben ist noch, daß der Phasenverschiebungswinkel dann zu einem rechten wird, wenn

s*

ist. Vergleicht man diesen Ausdruck mit Gl. (18) in § 4, so erkennt man, daß ij in diesem Falle gleich der dort mit a bezeichnten Größe wird, d. h. daß die erregende Schwingung gleiche Schwingungsdauer mit der Eigenschwingung des beweglichen Punktes ohne Dämpfung hat.

Schon aus dieser Betrachtung erkennt man die große Bedeutung des besonderen Falles, daß r\ gleich oder nahezu gleich mit a wird. Sie tritt aber noch mehr hervor, wenn wir uns jetzt zur Besprechung der Konstanten G wenden, die nach Gl. (45) die Amplitude der erzwungenen Schwingung darstellt. Zunächst lehrt Gl. (47), daß unter sonst gleichen Umständen G proportional mit K, der Schwingungsausschlag also proportional der erregenden Kraft wächst. Außerdem hängt aber C auch Von der Größe des Nenners und hiermit ganz wesentlich von rj, also von der Schwingungsdauer der erregenden Kraft ab.

Für rj = a wird der Winkel cp, wie wir gesehen haben, zu einem rechten, sin cp also gleich der Einheit und cos cp gleich « Null. Für G erhält man daher nach Gl. (47)

(49)

/ r _ -K -K-, rm

% = “ kr] k y

Dies wird aber für den Fall eines hinreichend kleinen Dämpfungsfaktors Ti ein sehr großer Wert und wir sind damit zur Erklärung der bekannten Erfahrungstatsache gelangt, daß sehr große Schwingungen namentlich dann erzwungen werden, wenn die erregende Ursache genau oder nahezu in denselben Intervallen periodisch auftritt, wie sie den Eigenschwingungen des erregten Körpers entsprechen. Man sagt dann, daß beide Schwingungen miteinander in Resonanz stehen. Auch dann, wenn rj nicht genau gleich a ist, wird C noch verhältnismäßig groß sein. Bei einem größeren Unterschiede zwischen rj und a wird aber C bald sehr viel kleiner; auf diese weitere Diskussion der Formeln kann ich jedoch verzichten.

Es mag nur bemerkt werden, daß C ein Maximum wird für

Je²

Sr

also nicht genau für r\ — a oder für den Fall der Resonanz. Bei einem kleinen Werte yon Je, den wir yoraussetzen müssen, um überhaupt sehr große Werte der Amplitude C zu ermöglichen, ist aber der Unterschied gegenüber rj = cc nur unbedeutend, so daß man gewöhnlich davon absehen kann. In der Tat wird auch mit dem vorstehenden Werte von rj

Umax —

Je² ’

(50)

also etwas, aber bei kleinem Je nur wenig größer als Ctl = a nach Gl. (49) gefunden. Diese Formeln erhält man leicht, indem man in Gl. (48) cos (p in tg cp ausdrückt, hierfür den Wert aus Gl. (46) einsetzt, dann nach łjdifferentiiert und denDifferentialquotienten gleich Null setzt.

§ 9. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung für die erzwungenen Schwingungen.

Ich komme jetzt zur vollständigen Lösung der Differentialgleichung (44), also zum allgemeinsten Falle der erzwungenen geradlinigen Schwingungen. Jene Glieder, die zur partikulären Lösung x% in Gl. (45) hinzutreten, um die allgemeine Lösung für die geradlinige Schwingung herzustellen, seien zu xx zusammengefaßt, so daß also

x — x₁ -j- x₂

zu setzen ist. Um zu erkennen, welche Bedingungen von x1 erfüllt werden müssen, setze ich xx + x₂ an Stelle von x in die Differentialgleichung (44) ein. Diese geht dann über in

[m + cx, + k $] + [»T? + cx* + h Ti - K sin nt\ - 0-

Da aber x% die Differentialgleichung schon selbst erfüllte, fallen die in der zweiten Klammer zusammengefaßten Glieder gegeneinander fort und man behält

+ cxt+kd£ = 0.

d*x j

Diese Gleichung stimmt aber mit der Differentialgleichung (27) für die gedämpften Eigenschwingungen vollständig überein und es ist damit die schon vorher aufgestellte Behauptung bewiesen, daß der Bewegungsanteil, der durch xx dargestellt wird, aus Eigenschwingungen besteht.

Die allgemeine Lösung von Gl. (27) wurde in Gl. (28) in Exponentialform angegeben. Da aber der Exponent y in unserem Falle als imaginär zu betrachten ist, führt man die Exponentialfunktionen besser sofort auf trigonometrische Funktionen zurück. Mit Hilfe der Formeln

eix = cos x -f i sina; und e~ix = cosx— isin# erhält man aus Gl. (28)

{A (cos y't + i sin y t) + J5(cos y t—i sin y't)}

{(A + B) cos y't + (A — B) i sin y t}.

2 in

= e

Damit dieser Ausdruck reell wird, muß man sich unter den willkürlichen Konstanten A und B jetzt zwei komplexe Werte denken, deren reelle Bestandteile gleich und deren imaginäre Bestandteile von gleicher Größe aber entgegengesetztem Vorzeichen sind. An Stelle der Summe und der mit i multiplizierten Differenz von beiden führt man dann besser zwei neue Bezeichnungen Aj und Bt ein, die zwei neue ganz willkürliche reelle Konstanten bedeuten. Für xx hat man dann

(51)

xx = e

{Ax sin y't + Bx cos y't),

und hiermit wird auch die vollständige Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingungen bekannt, nämlich

{Ax sin y't -j- Bx cos y't) -\- (7sin (yt — q)). (52)

Daß diese Lösung vollständig ist, geht daraus hervor, daß sie die beiden willkürlichen Integrationskonstanten At und Bx enthält, womit man die Bewegung jedem beliebig gegebenen Anfangszustande anzupassen vermag.

Aus Gl. (52) ist nun sofort ein wichtiger Schluß zu ziehen. Man denke sich den Anfangszustand beliebig gegeben und be stimme hiernach A₁ und B₁. Dann wird beim weiteren Fortschreiten der Zeit der Einfluß des ersten Gliedes wegen des

k

--------t

Faktors e 3m , mit dem es behaftet ist, immer kleiner, während die Beiträge, die das letzte Glied zu den Ausschlägen liefert, konstant bleiben, da sich C nicht ändert, so lange die erregende Ursache unverändert bestehen bleibt. Man erkennt hieraus, daß wegen der Dämpfung die Eigenschwingungen allmählich ab-klingen, und daß der Punkt, nachdem er dem Einflüsse der erregenden Ursache hinreichend lange überlassen war, schließlich nur noch die durch das partikuläre Integral x₂ angegebene Bewegung ausführt.

Wir wollen ferner noch den Fall ins Auge fassen, daß der Punkt zur Zeit t = 0 in Ruhe war und erst von da an durch die erregende Ursache zum Schwingen gebracht wurde. Die Integrationskonstanten At und Bl sind dann aus den Bedingungen

gleich Null

zu

dt

zu bestimmen, daß für t = 0, sowohl x als ^X setzen sind. Die erste Bedingung liefert die Gleichung 0 = Bx — C sin cp.

dx

Für j— hat man ferner dt

dx

dt

‘ {sil1 r't (A Ai + / Bi) +⁰⁰⁸r'*(A Ą - r'A) j

Ą-Cri cos (rjt— (p),

und für t = 0 hat man daher die Bedingung

0 = — łm ⁺ V A + GV cos cp.

Die Auflösung nach den beiden Unbekannten liefert

Ai-/(^aia,P-V^<p)

Bi = C sin cp.

zu

Nach Einsetzen dieser Werte in Gl. (52) kann man aus dieser sämtliche Erscheinungen des SchwingungsVerlaufs ableiten. Um nicht zu weitläufig zu werden, möchte ich dies jetzt nur unter der Voraussetzung tun, daß die Dämpfung sehr gering ist, so daß sie für den ersten Anfang vernachlässigt werden kann. Mit k = 0 vereinfacht sich dann Gl. (52) nach Einsetzen von Ax und Bt aus Gl. (53)

x= C [ —^ cos cp sin y't + sinqp cos y t + sin (rjt — cp) | •

Zugleich ist aber für den Fall k = 0 unter der Voraussetzung daß wir uns nicht allzu nahe bei dem Falle der Resonanz befinden, aus den Gleichungen (46) und (47) zu entnehmen

c — mi]²

tg cp = 0 oder cp — 0 und C

Setzt man auch diese Werte ein, so wird

(54)

Beachtet man noch, daß für k — 0

r'-Vi

gesetzt werden kann und führt man für diesen Wert wieder die frühere Bezeichnung cc ein, so erhält man

“ sin«*}-

m(a

Die Bewegung setzt sich hiernach aus zwei einfachen harmonischen Schwingungen zusammen, von denen die eine in der Schwingungsdauer mit den Eigenschwingungen, die andere mit den erregenden Schwingungen übereinstimmt. Die beiden einfachen Schwingungen interferieren, wie man sich ausdrückt, miteinander.

Wenn sich rj und a nicht viel voneinander unterscheiden, so jedoch, daß wir von dem genauen Zusammenfallen beider immer noch weit genug entfernt sind, erhalten die beiden Glieder in der geschweiften Klammer in längeren Zeiträumen abwechselnd gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen und ungefähr gleiche Absolutwerte. Je nachdem tritt ein Anschwellen oder eine Verminderung der Schwingungsausschläge ein. In der Akustik werden diese Schwankungen in der Tonstärke der erzwungenen Schwingungen als „Schwebungen“ bezeichnet.

Für den Fall der Resonanz dagegen hat man

ta a

cp =

kr\

und C = ^

zu setzen, womit die Gl. (53) übergehen in A K

¹    2 mr\y

Aus Gl. (52) findet man dann

(55)

S y't\ K    ,

Das gilt zunächst für einen beliebigen Wert von Ł Wenn aber k sehr klein ist, kann man für nicht zu große Werte von t näherungsweise dafür auch schreiben (indem man rj == a setzt)

K

(cos yt — cos a t).

Wollte man hierin auch y == a setzen, so erhielte man x = 0, d. h. es wird längere Zeit dauern, bis überhaupt ein merklicher Ausschlag zustande kommt. Man muß daher auf den geringen Unterschied zwischen y und a Rücksicht nehmen, wobei man

8 mïa

setzen kann. Für x erhält man damit bei nicht zu großem t den Näherungswert

x =■=

^— Kt sin at.

8mc

Die Ausschläge wachsen daher anfänglich mit der Zeit immer mehr an. Sobald aber t so groß geworden ist, daß es einen

merklichen Bruchteil des Wertes ™ bildet, muß man auf die

k    ⁷

genauere Formel (55) zurückgehen.

Anmerkung. Auch für den Fall der erzwungenen Schwingungen kann man (ebenso wie am Schlüsse von § 6 bei den gedämpften Schwingungen) von der geradlinigen Schwingung, die hier vorläufig überall vorausgesetzt wurde, ohne weiteres zu den Schwingungen in krummlinigen Bahnen übergehen. Die Differentialgleichung der Schwingung geht dann in eine Vektorgleichung über, ohne daß sich sonst etwas Wesentliches änderte. An Stelle von Gl. (44) hat man hier

+

zu schreiben und die partikuläre Lösung xs in GL (45) geht über in

= 6- sin (rjt— <p),

wobei für cp ebenfalls der Wert in Gl. (46) einzusetzen, (£ dagegen als gerichtete Größe aufzufassen ist, die parallel zu $ geht und deren absoluter Wert mit dem früheren G in Gl. (47) übereinstimmt.

Ebenso tritt an Stelle von xx hier , und zwar in Übereinstimmung mit der Lösung für die krummlinige gedämpfte Schwingung

rL == 3lea/ -f- © e?

wobei 31 und © die als gerichtete Größen auftretenden Integrationskonstanten bedeuten. Natürlich kann man bei kleiner Dämpfung, die zu imaginären Werten von a und ß führt, wieder von den Exponentialfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen übergehen. Ferner erkennt man aus der allgemeinen Lösung

* = + *₂,

daß die Bahn der krummlinigen erzwungenen Schwingung im allgemeinen eine Kurve von doppelter Krümmung bildet. Nur wenn 31, ©, $ zufällig in eine Ebene fallen, ist die Bahn eine ebene Kurve. Nach Erlöschen der Eigenschwingungen geht aber die erzwungene Schwingung auch in diesem allgemeineren Falle in eine geradlinige über.

§ 10. Kritische Geschwindigkeiten.

Die Lehre von den erzwungenen Schwingungen ist für die Technik hauptsächlich wegen der Gefahren von Wichtigkeit, die durch große Schwingungen für die davon betroffenen Baukonstruktionen, Maschinenteile usw. herbeigeführt werden, oder auch wegen der Belästigungen, die damit häufig verbunden sind. Das Hauptbestreben gebt bei der Anwendung dieser Lehre darauf hinaus, unzulässig große Schwingungen durch passende Anordnung der Massen, geeignete Wahl der Geschwindigkeiten usw. zu verm^den. Um dies zu erreichen, muß man wissen, unter welchen Umständen große Schwingungsausschläge zu erwarten sind.

zu

Für den einfachsten Fall ist diese Frage durch die vorhergehenden Betrachtungen bereits entschieden. Unveränderlich wirkende Kräfte können keine Schwingungen hervorrufen, sondern nur periodisch wechselnde. In dieser Hinsicht besteht aber der einfachste Fall darin, daß die äußere Kraft eine Sinusfunktion der Zeit ist. In anderer Hinsicht besteht er darin, daß sich der Körper, dessen Schwingungen untersucht werden sollen, als ein materieller Punkt anseh en läßt. Wir fanden, daß in diesem Falle besonders große Schwingungen nur dann zu erwarten sind, wenn erstens die Dämpfung klein ist, was in den meisten Fällen, mit denen man sich in der Praxis zu beschäftigen hat, von vornherein zutrifft, und wenn sich zweitens zugleich die Schwingungsdauer der erregenden Ursache nur wenig von der Schwingungsdauer der Eigenschwingungen unterscheidet. Man braucht daher, um größere Schwingungsausschläge zu vermeiden, nur durch geeignete Wahl der vorkommenden Geschwindigkeiten jener Körper, durch die Schwingungen erregt werden können, dafür zu sorgen, daß jene ungefähre Übereinstimmung zwischen den Schwingungsdauern nicht Vorkommen kann, d. h. man muß vermeiden, daß nahezu eine Resonanz eintritt. Jene Geschwindigkeit, die hauptsächlich gefährlich ist und der man sich auch nicht zu sehr nähern darf, bezeichnet man gewöhnlich als eine kritische Geschwindigkeit. Im einfachsten Falle hat man es daher nur mit einer einzigen kritischen Geschwindigkeit tun und es steht frei, die Geschwindigkeit der bewegten Körper im übrigen nach Belieben größer oder kleiner zu wählen, wenn sie nur der kritischen nicht zu nahe kommt.

Bei den Anwendungen hat man es aber häufig mit erheblich verwickelteren Fällen zu tun. Zunächst läßt sich häufig die periodisch wechselnde Kraft, die die Schwingungen hervorruft, nicht als eine einfache Sinusfunktion der Zeit genau genug darstellen, sondern sie befolgt ein verwickelteres Gesetz. Außerdem aber läßt sich der die Schwingungen ausführende Körper öfters auch nicht als ein einzelner materieller Punkt anseKen, sei es nun, daß er nicht nur Translationsbewegungen, sondern zugleich auch Drehbewegungen ausführt, oder sei es, daß bei den Schwingungen elastische Formänderungen auftreten, so daß sich die einzelnen Teile des Körpers dabei in ganz verschiedener Weise bewegen. Mit solchen Fällen werden wir uns in den folgenden Abschnitten noch näher zu beschäftigen haben.

Hier läßt sich zunächst ein sehr häufig vorkommender Fall leicht auf den vorher besprochenen zurück führen, nämlich der Fall der einfachen Torsionsschwingungen. In § 5 wurde schon gezeigt, daß die Differentialgleichung der Torsionsschwingungen aus der für die geradlinigen Schwingungen eines materiellen Punktes durch bloße Buchstabenvertauschungen hervorgeht, indem man nämlich den Ausschlag x durch den Drehungswinkel <jd, die Masse m durch das Trägheitsmoment & ersetzt und der Feldstärke c die ihr in diesem Falle zukommende Bedeutung beilegt. Das bleibt auch noch gültig, wenn es sich um gedämpfte oder

um erzwungene Schwingungen handelt. Unter k und unter P

sind dann nicht mehr Kräfte, sondern statische Momente von Kräftepaaren zu verstehen, die in einem Falle dämpfend, im anderen Falle erregend auf die Drehbewegung einwirken. Sofern es sich nur um die Drehschwingungen eines einzigen Körpers, etwa eines Schwungrades, handelt, lassen sich daher die Formeln der beiden vorhergehenden Paragraphen mit dieser Deutung der darin vorkommenden Buchstaben, sonst ohne jede Änderung darauf an wenden. Diese Bemerkung ist deshalb von Wichtigkeit, weil gerade die Torsionsschwingungen im Maschinenbetriebe häufig Vorkommen und leicht gefährlich oder wenigstens unbequem werden können.

Ferner kann hier auch sofort der Fall erledigt werden, daß sich die schwingungserregende Ursache nicht als eine einfache

§ 10. Kritische Geschwindigkeiten

65

Sinusfunktion der Zeit ansehen läßt. Man nehme z. B. an, daß sie sich in der Form

P = Kx sin rjxt -f- K₂ sin % t

darstellen lasse, also aus zwei sich übereinander lagernden, einem einfachen Sinusgesetze folgenden Teilen bestehe. An Stelle von Gl. (44) tritt dann

(56)

m W* + CX + Ä If ⁼ ^isin Vit + K* sin

und deren Lösung ergibt sich aus der früheren, indem man

X = Xx    X% "f" *^3

setzt und unter xx und x.₂ die früher damit bezeichneten Werte, unter x₃ aber den in Anlehnung an x₂ gebildeten Ausdruck xz = 0₂ sin (rj₂t — <p₂)

versteht. Hiermit wird

X = Xx -f Ct sin {rjxt — <px) -f C₂ sin (rj₉J — cp₂)

gefunden. Daß die Lösung richtig ist, ergibt sich durch Einsetzen in Gl. (56). Dabei gelten für die beiden C und die beiden cp ohne weiteres die früher dafür aufgestellten Gleichungen (46) und (47), wenn man darin zu rj und P die Zeiger 1 oder 2 beifügt. Hier hat man 'daher auch zwei Fälle der Resonanz oder der kritischen Geschwindigkeit zu unterscheiden, die dann ein-treten, wenn entweder oder rj₂ gleich a wird. Entsprechendes gilt auch, wenn sich die schwingungserregende Ursache in drei oder noch mehr Sinusglieder zerlegen läßt.

In der Theorie der Fourierschen Reihen, die einen der praktisch wichtigsten Teile der höheren Mathematik bildet, wird aber gelehrt, daß man jede beliebige periodische Funktion durch eine Reihe darstellen kann, die nach den Sinus und Kosinus der Vielfachen der unabhängigen Veränderlichen, also hier der Zeit t fortschreitet. Im allgemeinsten Falle muß diese Reihe bis ins Unendliche fortgesetzt werden ; in den praktisch vorkommenden Fällen genügt aber gewöhnlich schon eine Darstellung durch wenige- Glieder, da die später folgenden gering werden und daher nicht mehr viel ändern.

ITöppl, Dynamik. 4. Aufl.

Bei einer mehrzylindrigen Dampfmaschine hat man es z. B. mit einem auf die Welle übertragenen Drehmomente zu tun, das eine periodische Punktion der Zeit bildet, so nämlich, daß sich nach jeder rollen Umdrehung der Maschine dieselbe Wertreihe von neuem wiederholt, während innerhalb einer Umdrehung Schwankungen in dem Drehmomente auf treten, die von der besonderen Anordnung der Zylinder und der Steuerungen ab-hängen. Wie diese Schwankungen beschaffen sind, kann man etwa aus der Abnahme von Indikatordiagrammen an den einzelnen Zylindern schließen und den Befund graphisch darstellen. Wie das so gewonnene Diagramm aber auch ausseh en möge, jedenfalls läßt es sich analytisch durch eine Reihe von der Form P₀ + Px sin tjt + P₂ sin 2rjt -j- P₃ sin Srjt -f- • • •

-f Ql cos rtt -f- Q₂ cos 2rjt + Q₃ cos 3i]t + • • •

darstellen, wenn

2 jr

V

ist und unter T die Zeit eines vollen Umlaufs der Maschine verstanden wird. Die Koeffizienten P und Q sind nach den in der Theorie der Fourierschen Reihen aufgestellten Formeln oder nach einem der darauf begründeten graphischen Verfahren zu ermitteln. Man bezeichnet diese Zerlegung als die harmonische Analyse des periodisch wechselnden Vorgangs.

Wirkt nun das veränderliche Drehmoment auf einen schwingungsfähigen Körper, z. B. auf ein Schwungrad ein, das auf der Welle sitzt, so entstehen erzwungene Schwingungen, die sich aus einer entsprechenden Zahl von Gliedern von der Form Cnsm(nrjt — (pn)

zusammensetzen. Sobald nun die Maschine mit solcher Geschwindigkeit umläuft, daß für irgendein ganzzahliges n

nrj — a

ist, wobei a die frühere Bedeutung hat, sich also auf die Eigenschwingungen bezieht, so tritt eine Resonanz ein, die zu einem großen Werte von Cn führen kann. Ob dies wirklich zutrifift, hängt freilich auch noch davon ab, oh die Koeffizienten Pn und

Qn, die bei der harmonischen Analyse des Drehmoments gefunden werden, nicht gerade sehr klein ausfallen. Mit diesem Vorbehalte kann man daher sagen, daß z. B. bei einer Umdrehungszahl der Maschine von 100 in der Minute große Schwingungen dann zu befürchten sind, wenn die Schwingungsdauer der Eigenschwingungen des in Schwingung versetzten Körpers nahezu 100 oder 200 oder allgemein n • 100 vollen Schwingungen in der Minute entspricht. Für ein großes n werden übrigens die Koeffizienten Pn und Qn in den praktisch vorkommenden Fällen so klein, daß das zugehörige Cn auch im Falle der Resonanz nicht mehr von Bedeutung ist.

Umgekehrt gehört zu jeder gegebenen Eigenschwingungsdauer eine Anzahl von Umlaufsgeschwindigkeiten der Maschine, bei denen eine Resonanz zu befürchten ist. Diese Geschwindigkeitenwerden dann als die kritischen Geschwindigkeiten bezeichnet.

§ 11. Gekoppelte Schwingungen.

Die vorhergehenden Lehren haben sich auf die Schwingungen eines einzigen Körpers bezogen, der entweder als ein materieller Punkt aufgefaßt werden konnte oder der, wie in § 5, als ein starrer Körper zu betrachten war, dessen Drehschwingungen um eine festliegende Achse untersucht werden sollten. Jetzt dehnen wir die Betrachtung auf den allgemeineren Fall aus, daß gleichzeitig zwei oder noch mehr Körper Schwingungen von verschiedener Art ausführen, die irgendwie in gegenseitiger Abhängigkeit voneinander stehen. Man sagt dann, daß die Schwingungen miteinander gekoppelt seien. Die Verbindung, die man als eine Koppelung bezeichnet, kann im übrigen noch von sehr verschiedener Art sein; wesentlich ist dabei nur, daß jeder von den Körpern, sobald er durch einen äußeren Anstoß in Schwingungen versetzt wird, auf die mit ihm verbundenen anderen Körper Kräfte ausübt, durch die diese ebenfalls zu Schwingungen angeregt werden.

Bei den in § 8 behandelten erzwungenen Schwingungen kann unter Umständen auch, wenigstens in einem allgemeineren Sinne, eine Koppelung vorliegen. Diese ist aber dann von be-

5*

sonders einfacher Art, so nämlich, daß sie uns gestattet, die auf den betrachteten materiellen Punkt ausgeübte schwingungserregende Kraft als eine von vornherein gegebene periodische Funktion der Zeit anzusehen. Unter solchen Umständen genügt es, die Betrachtung auf die Bewegung eines einzigen schwingenden Punktes zu beschränken, ohne daß wir genötigt wären, auf die Möglichkeit einer Rückwirkung zu achten, die dieser bewegte materielle Punkt etwa auf andere Körper ausüben könnte, mit denen er im Zusammenhänge steht und durch die er vielleicht

7T\

a?₇—*

selbst erst in Schwingungen versetzt wurde. Diese einfache Annahme lassen wir

Abb. 10.

jetzt fallen. Wir behandeln also den allgemeinen Fall,

daß jeder der schwingenden Punkte zugleich auf die mit ihm gekoppelten zurückwirkt, so daß jede Schwingung gleichzeitig unter dem Einflüsse aller übrigen steht.

gungen

Rechnungen länger werden. Ferner soll zur Erläuterung ein bestimmtes Beispiel genommen werden, für das die Rechnung vollständig durchgeführt wird. Hierzu dient Abb. 10. Ein Stab beiden Enden unterstützt und trage an den Stellen xx

Um mich leichter verständlich ausdrücken zu können, werde ich mich aber darauf beschränken, das Verfahren für zwei miteinander gekoppelte Schwingungen auseinanderzusetzen. Das genügt um so mehr, als sich an dem Verfahren bei mehr Schwin-nichts Wesentliches ändert, abgesehen davon, daß die

sei an

und zwei Massen vnx und m₂, die sich genau genug als materielle Punkte ansehen lassen, von den Gewichten Qx und Q₂. Diesen Massen gegenüber soll die Masse des Stabs als so klein vorausgesetzt werden, daß sie vernachlässigt werden kann.

ver-

Wenn eine der beiden Massen einen Anstoß erfährt, der senkrecht zur Stabachse gerichtet ist, wird der Stab gebogen, und da sich die Biegung über die ganze Stablänge erstreckt, wird auch die andere Masse aus ihrer Gleichgewichtslage schoben. Hierin besteht die Koppelung der beiden schwingenden Massen. Wir wollen uns darauf beschränken, solche ebene

Schwingungen des Stabs zu untersuchen, die in einer durch eine Hauptträgheitsachse des Stabquerschnitts gelegten Ebene enthalten sind, obschon auch der allgemeinere Fall in ganz ähnlicher Weise behandelt werden könnte. Die beiden punktförmigen Massen m₁ und m₂ beschreiben dann gerade und parallele Bahnen, die wir uns lotrecht gerichtet denken wollen.

Die Lasten Q₁ und Q₂ in Abb. 10 bringen schon im Ruhezustände eine gewisse Durchbiegung des Stabs hervor, die man als die statische Biegung bezeichnet. Die ihr entsprechende Gestalt des Stabs bildet die Gleichgewichtslage, um die die Schwingungen erfolgen. Als Schwingungswege der beiden Massen zu irgendeiner Zeit t sind daher die Verschiebungen yx und y₂ zu bezeichnen, um die sich die Ordinaten der elastischen Linie über den Betrag der statischen Biegung hinaus vermehrt haben.

Vom Biegungszustande des Stabs hängen die Kräfte ab, die der Stab auf die Massen m₁ und m₂ ausübt. Im Gleichgewichtszustände sind diese Kräfte gleich den Gewichten Qx und Q₂ und nach oben gerichtet. Werden die Durchbiegungen um positive Beträge yx und y₂ vermehrt, so wachsen auch die elastischen Kräfte entsprechend an, die der Stab auf die Massen überträgt. Diese Überschüsse über die den Gewichten Qx und Q₂ Gleichgewicht haltenden elastischen Kräfte seien mit Px und P₂ bezeichnet. Die Kräfte Px und P₂ bringen dann für sich genommen die Durchbiegungen yx und y₂ hervor. Der Zusammenhang zwischen den Kräften und den Durchbiegungen ist aus der Festigkeitslehre bekannt und zwar kann man mit Benutzung der Einflußzahlen a nach Gl. (102) von Band III, 4. Aufl., S. 174 setzen

V\ = au "F ai2 5 V2 ~ a22 -^2 fl" a2\ ^*1 1 wobei nach dem Maxwellschen Satze von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen

al2 a21

ist. Löst man die vorstehenden Gleichungen nach P₁ und P2 auf, so erhält man

rVi-

“i*

«Î2

«11 «22 — «12

«n cc2i — ajj

«11 «22 «12

zu verstehen ist. Die dynamische Grundgleichung, auf jede der beiden schwingenden Massen angewendet, liefert jetzt sofort die Bewegungsgleichungen, nämlich

mX = - («22*/l - «12.%) ß

(57)

^2 =

«11

«12

«11 «22 «12

Vx-

«11 «22 — «X

Zur Abkürzung sei dafür geschrieben

Px = cc^ßiix ~~ «i2ßy-2 5 ^2= außy-2 außyi) so daß also unter der Bezeichnung ß der Ausdruck

⁼ —'(«11^2 - «12%) ß

Dabei ist zu beachten, daß positive Werte von P₁ und P2 Kräfte bedeuten, die am Stabe als Lasten nach abwärts, an den Massen m aber als Reaktionen der Lasten nach oben gerichtet sind,

während positive Werte von    oder von ^ ^ Beschleunigungen

angeben, die nach abwärts gerichtet sind. Aus diesem Grunde mußte auf der rechten Seite das Minus-Zeichen vor die Klammer gesetzt werden.

Hätte man drei miteinander gekoppelte schwingende Massen, so bekäme man drei simultane Gleichungen, die im übrigen ganz nach dem Muster der Gleichungen (57) gebildet werden könnten. Auf jeden Fall muß man dann durch Elimination der übrigen Unbekannten eine Gleichung herstellen, die nur noch eine davon enthält. Wir lösen die erste der Gleichungen (57) nach y₂ auf und setzen den Wert in die zweite Gleichung ein. Diese geht dann über in

m\    ~d§ir "H ß (mi «u +    «22) ~dt*¹ + 0²(«ii« 22“ «w )y = 0 (58)

wobei noch zu beachten ist, daß sich das letzte Glied auf der linken Seite zu ßy vereinfachen läßt.

Man überzeugt sich leicht, daß dieselbe Differentialgleichung (58) auch von y₂ erfüllt werden muß. Man braucht dazu nur

yj aus den Gleichungen (57) zu eliminieren. — Hatte man ursprünglich drei simultane Gleichungen, so entsteht durch die Elimination eine Differentialgleichung sechster Ordnung, der jede der drei unbekannten Variabein y genügen muß.

Die allgemeine Lösung von Gl. (58) läßt sich in der Form yx = Ax sin Xxt + Bx cos lxt -f- Ct sin l₂t -f Dx cos l₂t (59)

anschreiben, in der A₁B₁C₁D₁ die vier willkürlichen Integrationskonstanten sind, während die Konstanten und A₂ die Wurzeln der sogenannten „charakteristischen“ Gleichung sind, nämlich der Gleichung, die sich ergibt, wenn man eins der vier Glieder, aus denen sich yx zusammensetzt, in die Differentialgleichung einsetzt. Diese Gleichung lautet

(60)

mxm₂A⁴ — ß(mxccn -f m₂a₂₂)A²-f ß = 0.

Sie liefert, wie die Ausrechnung lehrt, vier reelle Wurzeln, von denen zwei positiv sind und zwei negativ von dem gleichen Absolutbeträge wie die positiven. Es kommt aber hier nur auf die beiden positiven Wurzeln an, die mit den gesuchten Konstanten Xx und Ä₂ übereinstimmen. Die Auflösung nach A² von Gl. (60) liefert, nachdem man den Ausdruck für ß eingesetzt und die Formel vereinfacht hat

• (61)

;_2 ₌ m₁ cctl + m₂ cci2 + «n — m₂ cc₂₂)² + 4m, mt aj 2 m₂ (o£₁₁ or₂₂ — a|s)

An Stelle der Einflußzahlen a kann man auch die statischen Durchbiegungen f einführen, die von den Lasten Qx und Q₂ an den beiden Querschnitten xx und x₂ hervorgerufen werden, wenn die eine oder andere dieser Lasten allein angebracht wird. Dann ist z. B.

Ai

= j“ u = ÿ

zu setzen usf. Man muß nur beachten, daß fn und fn bei verschiedener Größe der Lasten Qx und Q₂ nicht mehr gleich miteinander sind, wie dies von den zugehörigen Einflußzahlen zutraf. Gl. (61) geht damit über in

A² =

/n + A2 dzV(fii — As)² "L■

⁹~    ’ a(Tu/i,-/i,^r

⁴/is Al

Je nachdem man das obere oder untere Wurzelzeichen nimmt, erhält man das Quadrat von Ax oder l₂. Daraus findet man dann auch die Schwingungsdauer TL und T₂ der beiden einfachen harmonischen Schwingungen, aus denen sich der ganze Verschiebungsweg yx nach Gl. (59) zusammensetzt. Die beiden ersten Glieder des Ausdrucks auf der rechten Seite dieser Gleichung durchlaufen nämlich dieselbe Wertreihe immer wieder von neuem, wenn der Winkel Xxt um 2tc angewachsen ist, woraus die entsprechende Zeitdauer Tx

2 Tt

2

und ebenso 1\ =

"2

folgt. Man erkennt hieraus, daß die beiden Schwingungsdauern nur von den statischen Durchbiegungen fn usf. abhängig sind, die von den Lasten hervorgehracht werden, daß sie dagegen ganz unabhängig sind von der Art des Anstoßes, also auch unabhängig von den Schwingungsweiten jeder der beiden Einzelschwingungen.

Die Formeln umfassen auch den einfacheren Fall, daß der Stab nur eine Masse trägt. Um auf diesen Fall zu kommen, braucht man nur überall Q₂ und m₂ gleich Null zu setzen. Hiermit werden auch f₁₂ und f₂₂ zu Null, während fn f2x von Null verschieden bleiben. Nach den für Â² aufgestellten Formeln erhält man in diesem Falle Xx = oo, während A₂ in der

Form — gefunden wird. Der erste Wert hat keine Bedeutung,

da er einer Schwingungsdauer vom Werte Null entspricht. Der andere kann dagegen nach den gewöhnlichen Regeln der Differentialrechnung ermittelt werden, indem man Zähler und Nenner des Bruches in Gl. (61) nach m₂ differentiiert und hierauf erst m₂ gleich Null setzt. Führt man dies aus, so erhält man für die Schwingungsdauer nach einfacher Umrechnung

¹

Diese Aufgabe ist von Prof. H. Reißner ausführlich behandelt worden; zuerst auf Grund einer ungenaueren Annahme, durch die die Schwingungen von Brückenträgern auf erzwungenen Schwingungen eines einzelnen materiellen Punktes zurückgeführt wurden in der Abhandlung „Zur Dynamik des Fachwerks“, Zeitschr. f. Bauwesen 1899, S. 478 und hierauf strenger in einer zweiten Abhandlung „Schwingungsaufgaben aus der Theorie des Fachwerks“ in derselben Zeitschrift 1903, S. 137. Die strengere Lösung erfordert freilich sehr umständliche Rechnungen.

T — 2%yan

wofür man unter Einführung des Biegungspfeils fn auch

(62)

T =* 2n\/—

y 9

schreiben kann. Natürlich ist aber der Umweg über den mit zwei gekoppelten Massen behafteten Stab nicht nötig, um diese einfache Formel abzuleiten. Man erhält sie unmittelbar auch schon aus Gl. (20), S. 29

=2

wenn man darin für den Proportionalitätsfaktor c

c = — =

Qi mi9

setzt. Die Ableitung aus Gl. (61) bat nur den Zweck, daß sie eine Prüfung dieser Gleichung durch den Vergleich mit einer von früher her bekannten einfachen Formel gestattet.

Die in Gl. (59) vorkommenden Integrationskonstanten A₁BlC₁D₁ sind aus den Grenzbedingungen zu ermitteln. Diese können und werden in der Regel darin bestehen, daß für den Anfangszustand, also für t = 0, von beiden Massen sowohl die Lage als die Geschwindigkeit, demnach die Anfangswerte von

y₁, y₂, und ^ gegeben sind. Um die Konstanten aus diesen

Bedingungen zu ermitteln, muß man beachten, daß die Konstanten A₂B₂C₂D₂ in der Lösung für y₂ durch die Werte von schon mit bestimmt sind. Setzt man nämlich^ aus Gl. (59) in die erste der Differentialgleichungen (57) ein, so erhält man für y₂

= ———_.”h h    gin t -f Ą cos Xi t)

tt12 P

sin 1₂<+A cos l₂1).

Bezeichnet man die Anfangswerte durch Anhängen des Zeigers 0, so hat man demnach zur Ermittelung der Integrationskonstanten die vier Gleichungen

ai2§

AI

ccnß — mili

(2/2)0

die man leicht nach den Unbekannten auf lösen kann, wenn es sich um ein Zahlenbeispiel handelt. War z. B. der Stab bis zur Zeit t = 0 in Rübe, worauf die Masse m₂ einen Stoß erhalten haben möge, der ihr die Anfangsgeschwindigkeit v₀ erteilte, während mx zur gleichen Zeit noch keine Geschwindigkeit erlangt hatte, so erhält man durch Auflösen der Gleichungen für die Integrationskonstanten

, Gi = — v₀

x₂ (w₂1\ — Xf) ’

_«12 P

K (ro* — m₁ Xf) ’

womit die weitere Bewegung völlig bestimmt ist.

Um nicht zu lange Formeln anschreiben zu müssen, führe ich die weitere Ausrechnung nur noch für den Fall durch, daß Qx und Q₂ eine symmetrische Belastung des Balkens bilden. Dazu gehört, daß Qx = Q₂ und zugleich xx -f- x₂ gleich der Spannweite l des Balkens ist. Dann vereinfachen sich alle vorhergehenden Formeln wesentlich, da zugleich an == a₂₂ wird. Gl. (61) geht damit über in

Xs

“aß—

«12 0

\A₁ -b

«12 ß

A₂ Cx

-U)

o’

«ix ± «i

Für Xx und X₂ erhält man daher

-VS

— «12)

und X₂ ="|//

w(«n +«12)

Die Bestimmungsgleichungen für die Integrationskonstanten vereinfachen sich zu

AxXx

At Xx

Durch deren Auflösung erhält man

Bt = |(^i)o - Mo)

Ol ⁼ 2l₂0/)o+(^)o)

A = 2 ((2/l)o + (2/2)0) •

Führt man noch an Stelle der Einflußzahlen die Ordinaten der elastischen Linie im Gleichgewichtszustände fn und fl2 ein, so erhält man für die Schwingungsdauern der beiden sich übereinander lagernden einfachen harmonischen Schwingungen

Tx = 2 7t]/f 11    fli

und T₂ = 2 7t]/f 11

(63)

Die Durchsenkungen fn und fl2 können nach den Lehren von Band III als Ordinaten der elastischen Linie für die hier vorkommenden einfachen Belastungsfälle sofort berechnet werden. Damit ist dann der ganze Schwingungsvorgang durch die vorstehenden Formeln vollständig beschrieben.

§ 12. Näherungstheorie für das einfache Pendel.

Wir betrachten ein Pendel, das aus einem dünnen Faden und einer daran befestigten Bleikugel bestehen möge. Der Durchmesser der Bleikugel soll gegenüber der Länge des Aufhängefadens so klein sein, daß es genügend erscheint, sie als einen materiellen Punkt zu betrachten. Ferner soll der Faden als unausdehnbar angesehen werden und seine Masse soll im Verhältnisse zur Bleikugel so gering sein, daß sie vernachlässigt werden darf. Ein Pendel, für das diese Voraussetzungen hinreichend genau zutreffen, wird als ein einfaches Pendel oder auch als ein Fadenpendel bezeichnet.

Verlangt wird, die Bewegung anzugeben, die dieses Pendel ausführt, wenn es aus seiner Gleichgewichtslage gebracht und nach Erteilung einer mit den Bedingungen der Aufhängung erträglichen, sonst aber beliebigen Geschwindigkeit sich selbst überlassen wird. Dabei soll nur auf den Einfluß der Schwere geachtet, der Luftwiderstand und etwaige andere Umstände, die auf die Bewegung von Einfluß sein könnten, dagegen vernachlässigt werden.

Auch das durch die aufgezählten Voraussetzungen vereinfachte Problem der Pendelbewegung macht noch erhebliche Schwierigkeiten. Diese verringern sich aber bedeutend, wenn man sich ferner noch auf die Untersuchung unendlich kleiner Pendelschwingungen beschränkt. Unendlich kleine Schwingungen im strengen Sinne des Wortes können nun freilich keinen Gegenstand der Beobachtung bilden und überhaupt keinen Anspruch auf physikalische Bedeutung machen. Sehr häufig sind aber die Schwingungsbahnen so klein gegenüber der Länge des Aufhängefadens, daß man sie, um zu einer angenäherten Lösung der Aufgabe zu gelangen, als unendlich klein betrachten kann. Die Lösung, zu der man dabei gelangt, trifft jedenfalls um so besser zu, je kleiner jenes Verhältnis in Wirklichkeit ist. Deshalb sollen die Schwingungen hier unter der Voraussetzung untersucht werden, daß sie als unendlich klein angesehen werden könnten.

Schließlich soll zunächst außerdem noch angenommen werden, daß die Pendelschwingungen in einer durch den Aufhängepunkt gelegten lotrechten Ebene erfolgen. Daß eine solche Bewegung überhaupt möglich ist, sieht man sofort ein; sie muß immer dann zustande kommen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit des materiellen Punktes in der durch den Faden gelegten lotrechten Ebene enthalten ist.

Die Bahn des Punktes ist ein unendlich kleiner Kreisbogen, der durch die tiefste Lage gebt, die der Punkt überhaupt einnehmen kann, und sie wird unter dem Einflüsse von zwei Kräften, nämlich dem Gewichte des Punktes und der Fadenspannung, beschrieben. Der Punkt erfährt beim Durchlaufen der Bahn neben Horizontalverschiebungen auch Hebungen und Senkungen, die aber von höherer Ordnung unendlich klein sind. Man kann daher von der Vertikalbewegung des Punktes absehen, falls man sich überall nur mit der Untersuchung der von der ersten Ordnung unendlich kleinen Größen begnügt. Freilich darf man dann z. B. den Satz von der lebendigen Kraft nicht heranziehen, denn da auch die Geschwindigkeit in jedem Augenblicke unendlich klein bleibt, ist die lebendige Kraft, die von dem Qnadrate der Geschwindigkeit abhängt, ebenfalls unendlich klein von der zweiten Ordnung.

Zunächst schließen wir, daß die Resultierende aus Gewicht und Fadenspannung keine Vertikalkomponente von endlicher Größe haben kann. Die Horizontalkomponente ist gleich F sin cp (Abb. 11) und daher mit cp unendlich klein von der ersten Ordnung. Die Fadenspannung F kann von dem Gewichte Q nur unendlich wenig verschieden sein, so daß wir an Stelle von F sin cp auch Q sin cp schreiben können, oder mit Rücksicht auf die Bedeutung von <p auch

wenn

Abb. 11.

jetzt beschäftigenden Fall

l die Fadenlänge bedeutet. Die Horizontalbewegung des Punktes erfolgt unter dem Einflüsse dieser Horizontalkomponenten der Resultierenden aus F und Q. Wir sehen, daß die Kraft proportional mit q dem Ausschlage x und nach der Gleichgewichtslage hin gerichtet ist. Aus § 4 wissen wir aber, daß eine Kraft, die dieses Gesetz befolgt, zu einer einfachen harmonischen Schwingung führt. Wir können daher die Lehren jenes Paragraphen ohne weiteres auf den uns Übertragern Dabei ist nur an Stelle der dort mit c bezeichneten Konstanten hier

c =

zu setzen und die Masse m im Gewichte Q auszudrücken. 1 ür die Dauer einer vollen Schwingung erhält man daher nach Gl. (20)

(64)

?-**Vt■

Freilich wird gerade bei Pendelschwingungen sehr häufig nach einfachen Schwingungen oder „Pendelschlägen“ gerechnet. So versteht man unter einem Sekundenpendel ein Pendel, das die ganze Schwingungsbahn einmal in einer Sekunde zurücklegt, ohne die zum Durchlaufen der Schwingungshahn auf dem Rückweg erforderliche Zeit mitzurechnen. Unter der Dauer eines Pendelschlages ist daher die Hälfte des in Gl. (64) angegebenen Wertes zu verstehen.

Die Pendelschwingungen sind hiernach, solange sie überhaupt nur als sehr klein angesehen werden können, isochron, also unabhängig von dem besonderen Werte desunendlich kleinen Ausschlags. Auch die früheren Betrachtungen über gedämpfte und erzwungene Schwingungen lassen sich sofort auf die unendlich kleinen Pendelschwingungen übertragen.

9j

Abb. 12.

Ich komme jetzt zu den räumlichen Schwingungen eines Fadenpendels. Diese können in derselben Weise behandelt werden wie die ebenen Schwingungen, solange die Schwingungsausschläge als unendlich klein betrachtet werden dürfen. Abb. 12 zeigt in axono-metrischer Darstellung ein Fadenpendel in seiner augenblicklichen Lage. Der bewegte materielle Punkt muß auf einer Kugelfläche bleiben, deren Mittelpunkt der Aufhängepunkt und deren Halbmesser die Fadenlänge l ist.

Bei kleineren Schwingungen bewegt sich der Punkt nur auf dem untersten Teile dieser Kugelfläche und er erhebt sich über die durch den tiefsten Punkt gelegte horizontale Berührungsebene nur um Beträge, die von der zweiten Ordnung unendlich klein sind. Die Resultierende aus der Fadenspannung g und dem Gewichte ö, die in Abb. 12 mit 91 bezeichnet ist, kann daher keine merkliche vertikale Komponente besitzen. Sie ist also horizontal gerichtet. Außerdem ist sie in der durch die beiden Kräfte D und $ gelegten Lotebene enthalten. Hierdurch ist die Richtung von 91 bestimmt; sie geht nach der Gleichgewichtslage des Pendels. Außerdem folgt ebenso wie vorher im Falle der ebenen Schwingungen, daß die Resultierende 91 proportional der Entfernung aus der Gleichgewichtslage ist. Man hat daher

91 = — er,

wobei c dieselbe Bedeutung bat, wie vorher. Unter dem Einflüsse einer Kraft, die diesem Gesetze folgt, führt aber der materielle Punkt eine harmonische Schwingung aus.

Die Horizontalprojektion der Bahn des beweglichen Punkten beschreibt demnach, wie wir aus § 4 wissen, eine Ellipse, deren Mittelpunkt mit der Gleichgewichtslage zusammenfällt, und die Schwingungsdauer ist ebenso groß wie im Falle der ebenen Schwingungen.

§ 13. Genauere Theorie der ebenen Pendelschwingungen.

Abb. 13.

Die vorigen Betrachtungen reichen zwar gewöhnlich für die Anwendungen aus. Bei großen Ausschlägen werden sie aber unzuverlässig und es ist daher eine Ergänzung nötig, die aber hier nur für den einfacheren und prak- d tisch besonders wichtigen Fall der ebenen Schwingungen gegeben werden soll. Der allgemeinere Fall des „Raumpendels“ ist übrigens in Band VI ebenfalls ausführlich besprochen.

Wir müssen vor allem auf die Wege achten, die der materielle Punkt in lotrechter Richtung zurücklegt. In Abb. 13 sei a der Ausschlag des Pendels, cp gebe die augenblickliche Stellung an. Der Höhenunterschied beider Lagen ist in der Abbildung mit z bezeichnet. Er ist gleich dem Unterschiede zwischen den Vertikalprojektionen der Fadenlänge l in beiden Lagen und daher

z = l (cos cp — cos a)

Wir wenden jetzt den Satz von der lebendigen Kraft an. Die Fadenspannung F leistet keine Arbeit, da sie in jedem Augenblicke senkrecht zur Bewegungsrichtung steht und die Arbeit von Q ist für eine Bewegung aus der Lage a in die Lage cp (oder umgekehrt) gleich Qz (oder — Qz). In der Lage a ist die Ge-sch windigkeit un d mit ihr dieleben di ge Kraft gleich Null. Wenn also von Bewegungswiderständen abgesehen wird, muß die lebendige Kraft in der Lage cp gleich Qz sein. Wir haben also

— v* = Qz

(65)

und berechnen daraus die Geschwindigkeit v in der Lage cp zu v =|/2gz =]/2gl(cos cp — cos cc).

Der Weg ira Zeitelemente dt ist vdt. Wir können dafür auch Id cp schreiben, so daß also dcp die zur Zeit dt gehörige Richtungsänderung des Fadens bedeutet. Hiermit erhalten wir

Idcp = dt]/2gl(o,08 cp — cos «).

Diese Gleichung lösen wir nach dt auf, da es uns vor allem darauf ankommen muß, die Zeit zu berechnen, die während der Bewegung aus einer Lage in die andere verstreicht. Wir finden

dcp

(66)

dt _[/?■,__

'    y cos cp — cos cc

Die ganze Zeit, die der Punkt braucht, um etwa aus der Lage cp in die Lage a zu gelangen, folgt hieraus durch eine Integration zwischen den Grenzen cp und a. Namentlich will man aber wissen, wie lange die Zeit ist, die zum Durchlaufen des halben Schwingungsbogens von cp = 0 bis cp = a erforderlich ist. Wir bezeichnen diese Zeit mit t', sie ist der vierte Teil der Dauer einer vollen Schwingung. Denn es ist klar, daß bei der Bewegung in umgekehrter Richtung (von cp = a bis cp = 0) ebensoviel Zeit vergeht als auf dem Hinwege, da die Geschwindigkeit in jeder Stellung nur von z abhängt und daher in beiden Fällen gleich groß ist. Das gleiche gilt auch für die Bewegung auf der anderen Seite der Gleichgewichtslage. Für t haben wir

_l/± f

' ² 0 l^cos<3p — COS0f

dcp

(67)

Die einzige Schwierigkeit der genaueren Theorie der Pendelbewegung besteht nun darin, daß dieses Integral nicht auf die gewöhnlichen einfachen Funktionen zurückgeführt werden kann, sondern ein elliptisches ist. Da jedoch Tafeln der elliptischen Integrale berechnet und in vielen Formelbüchern abgedruckt sind, stört dieser Umstand nicht viel. Es wird sich nur darum handeln, das Integral so umzuformen, daß sein Zahlenwert in •einem gegebenen Falle ohne weiteres in den Tabellen aufgeschlagen werden kann.

Zum Zwecke der vorzunehmenden Umformung mache ich zunächst von der goniometrischen Formel

cos cp = 1 — 2 sin²

Gebrauch. Mit ihrer Hilfe geht Gl. (67) über in

d qp

sin² — — sin²

tO ;s8

(68)

An Stelle der Veränderlichen cp wird jetzt eine neue Veränderliche tp eingeführt mit Hilfe der Substitution

(69)

sin sin ~ sin tp.

2 2

Hiermit wird qp zu cc, wenn tp ein rechter Winkel ist. Um dcp in dtp ausdrücken zu können, differentiieren wir die Gleichung und erhalten

* dcp cos ^ = dtp sin ~ cos tp

und hieraus, wenn wir cos in sin j ausdrücken und GL (69) berücksichtigen,

d(p

2 sin y cos ip

~j/ 1 — sin² ^ sin² tp

d'il* ■

Durch Einsetzen dieser Werte in Gl. (68) geht diese über in

- Vi

to,

CC

2 sin — cos tp

dtp.

— sin² ~ sin² ip'j sin² ^ (1 — sin* tp)

Hier hebt sich aber cos^ im Zähler gegen den gleichwertigen Faktor im Nenner weg usf. und man behält

Föppl, Dynamik, i. Aufi.

Damit ist die verlangte Umformung vollzogen, denn das hier noch vorkommende Integral kann bei gegebenem a ohne weiteres in den Tafeln aufgeschlagen werden. Es wird nach Legendre, von dem auch die erste Berechnung der Tafeln herrührt, die Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung genannt und mit dem Buchstaben F bezeichnet, wobei man den Wert von sin ^ und die obere Grenze —, die andeutet, daß das Integral ein vollständiges ist, in Klammem beifügt. An Stelle von Gl. (70) kann daher auch

(71)

K |on

I'-* I

'S

H*

s.

to\ R

• rH

00

■P-

ï)

geschrieben werden, wobei noch zu bemerken ist, daß in manchen Tafeln an Stelle von sin a- kürzer ein einziger Buchstabe, gewöhnlich £ geschrieben ist. Es wird gut sein, wenn ich hier auszugsweise wenigstens ein paar Werte der Funktion F anführe. Man hat für

0°

5°

10°

20°

2,5°

.F (sin ,    )= 1,5708    1,5715    1,5738    1,5828    1,6200

= 30°

= 1,6858    1,8541    2,1565    2,7681

Man erkennt hieraus, daß die Pendelbewegung bei größeren Ausschlägen nicht mehr isochron ist. Wenn der Ausschlag a nur 5° beträgt (also ^ = 2,5®), ist zwar F nur etwa um des Wertes, den es für a = 0° annimmt, vergrößert; nachher wächst aber F viel rascher und mit ihm die Schwingungsdauer.

Die Dauer einer vollen Schwingung ist übrigens, wie schon vorher bemerkt wurde, das Vierfache von t, also

a i (N

45°

60°

75°

90°.

oo

toj r*

r=⁴l/y4in ’ )'

annehmen, und wenn z. B. der Ausschlag a selbst 30° beträgt, so ist doch sin²y nur etwa 0,067, also jedenfalls gering gegenüber dem anderen Gliede 1 unter dem Wurzelzeichen. In solchen Fällen kann man mit geringem Fehler die Wurzel durch einen einfacheren Wert ersetzen. Ist nämlich m eine Größe, die klein ist von der ersten Ordnung, so ist bis auf Größen von der zweiten Ordnung genau

Für unendlich kleine Schwingungen stimmt dies mit Gl. (64) des vorigen Paragraphen zusammen, denn F geht in diesem Falle, wie auch aus der kleinen Tabelle entnommen werden kann,

m — über.

Für solche Fälle schließlich, bei denen a zwar noch ziemlich klein ist (vielleicht zwischen 5° und 30°), bei denen man sich aber mit der Genauigkeit der Annäherungsformel (64) nicht begnügen kann, benutzt man häufig eine andere Formel, die eine viel größere Annäherung gewährt und die Benutzung einer Tabelle über die Funktion F entbehrlich macht. Diese soll jetzt auch noch abgeleitet werden. Hierzu knüpfe ich an Gl. (70) an und mache darauf aufmerksam, daß der unter dem Wurzelzeichen im Nenner stehende Ausdruck sin²“ sin² ip stets ein ziemlich kleiner echter Bruch bleibt. Höchstens kann nämlich dieser Bruch den Wert sin²

]/l — m = 1    oder ¹    ■ — 1 -f- - -,

¹    y 1 — vi

wovon man sich am einfachsten durch Ausquadrieren überzeugt. Sonst kann man aber auch sagen, daß es sich hierbei nur um eine Reihenentwicklung nach dem binomischen Lehrsätze für gebrochene und negative Exponenten handelt, die wegen des an und für sich schon kleinen Wertes von m sehr schnell konvergiert, so daß man schon mit dem zweiten Gliede abbrechen kann. Zugleich erkennt man hieraus auch, daß sich die Reihe ohne weiteres fortsetzen ließe, wenn etwa noch eine höhere Genauigkeit, als wir sie jetzt anstreben, verlangt werden sollte.

Machen wir von dieser Näherungsformel Gebrauch, so erhalten wir an Stelle von Gl. (70)

Y sin² 2 sin² t/A dÿ.

Diese Integration kann aber sofort ausgeführt werden; dabei ist xu beachten, daß

I sin²iÿdifj

ist, eine Formel, die auch sonst so häufig (namentlich in der Elektrotechnik, bei der Lehre von den Wechselströmen) gebraucht wird, daß man gut tut, sie sich besonders zu merken. Sie sagt aus, daß der durchschnittliche Wert von Sinusquadrat für alle

Winkel von Null bis zu einem rechten gleich * ist, und daß dies

so sein muß, erkennt man sofort, wenn man beachtet, daß der Kosinus in diesem Intervalle, wenn auch in umgekehrter Reihenfolge, doch dieselbe Wertreihe durchläuft, wie der Sinus, und daß daher der durchschnittliche Wert von Kosinusquadrat ebenso groß sein muß als der von Sinusquadrat. Da nun die Summe aus Kosinusquadrat und Sinusquadrat stets 1 liefert, folgt, daß jeder von beiden Mittelwerten gleich -■ sein muß. Um das obenstehende Integral zu erhalten, braucht man nun bloß den Mittelwert 4 mit dem ganzen Bogen , nach dem integriert wird, zu

u

7t

multiplizieren, um das Resultat ₄ zu finden. Mit dieser Begründung, die ohne Rechnung angestellt werden kann, merkt man sich die Formel am besten, denn wenn man auch vergessen haben sollte, wie viel das Integral ausmacht, kann man dies nach kurzem Besinnen auf Grund der vorausgehenden Überlegung sofort wieder

an geben.

Führen wir nun die Integration aus, so erhalten wir

Wenn a nicht zu groß, hiermit erst recht nicht groß ist, kann

man an Stelle des Sinus, wenn man will, auch den Bogen setzen. Nimmt man außerdem noch das Vierfache, so erhält man für die Dauer einer vollen Schwingung

■ CO

Das letzte Glied in der Klammer bildet das Korrektionsglied der mehr angenäherten Formel gegenüber der gewöhnlich gebrauchten einfachen Formel (64).

§ 14. Schwingungen auf der Zykloide.

Beim Pendel ist der bewegliche Punkt genötigt, auf einem Kreise zu bleiben. Man gelangt zu Bewegungen, die den Pendelschwingungen ganz nahe verwandt sind, wenn man den Kreisbogen durch irgendeine andere Kurve ersetzt. Wegen ihrer besonderen Eigenschaften ist namentlich die Schwingung auf einer Zykloide von Bedeutung.

JCr

Man untersucht diese genau nach derselben Methode wie die Pendelbewegung. Zunächst sei eine Gleichung der Zykloide abgeleitet, wobei von der bekannten Erzeugungsweise der Zykloide durch Rollen eines Kreises auf einer Geraden ausgegangen werden soll. Der Winkel <p, den die Tangente mit der X-Achse bildet (siehe Abb. 14), ist gleich dem _

Jv

.V

Abb. 14.

Winkel, den die Sehne vom Berührungspunkte des Erzengungs-kreises nach dem Zykloiden- ?>■ punkte mit der X-Achse bildet, denn diese Sehne geht durch den J augenblicklichen Drehpunkt des Erzeugungskreises und steht daher senkrecht auf dem Wege des erzeugenden Punktes, also senkrecht auf der Tangente. Hieraus folgt

■dy

wobei die dem Winkel cp gegenüberliegende Kathete einstweilen mit u bezeichnet ist. Für u selbst findet man nach dem Satze über die Proportionen der Abschnitte von Kreissehnen, die sich schneiden

u =Vy{2r - y)

und hiermit erhält man als Differentialgleichung der Zykloide

dy

dx

(74)

mit deren Integration wir uns hier nicht aufzuhalten brauchen.

Ich nehme jetzt an, daß ein materieller Punkt (und zwar ohne Reibung!) von einem Punkte in der Höhe h herabrolle oder auch — was für die Vorstellung gewöhnlich bequemer ist, weil dann die Koordinaten mit der Zeit wachsen —, daß der Punkt auf der Zykloide hinaufrolle, und daß h die größte Höhe sei, die er hierbei erreicht. Dann kann nach dem Satze von der lebendigen Kraft die Geschwindigkeit v in der Höhe y genau wie beim Pendel

v =\/2g(li — y)

gesetzt werden und die Zeit dt, die beim Durchlaufen eines Bogens ds verstreicht, ist

%g(h — y) ’

dt - ^    _ dy

v Y 2g(h — y)

oder wenn man den reziproken Wert von setzt

aus

Gl. (74) ein-

dt

g y (h — y)'

Die Zeit, die der Punkt braucht, um die halbe Schwingungsbahn von y = 0 bis y = h einmal zurückzulegen, sei wieder mit t bezeichnet. Dann ist

(75)

_ir* f *y__

¹ dJyÿôh-ÿ)'

Hier ist aber das Integral viel leichter auszuführen, als bei den Pendelschwingungen. Allgemein ist nämlich

= — arc sin

dy

Vhy ~y-wovon man sich durch Ausführung der Differentiation leicht überzeugt. Nimmt man nun das Integral zwischen den Grenzen 0 und h, so erhält man

to a

— arc sin (— 1) -f- arc sin (-{- 1) = ~ -j-nnd hiermit geht Gl. (75) über in

-*Y~-

Die Dauer einer vollen Schwingung auf dem Zykloidenbogen ■ist das Vierfache hiervon, wofür man schreiben kann

(76)

2*1/— •

y y

Zunächst erkennt man hieraus, daß die Schwingungsdauer auch für Ausschläge von beliebiger endlicher Größe streng isochron ist, während dies bei den Pendelschwingungen nur für kleine Schwingungen annähernd zu traf. Ferner lehrt der Vergleich mit Gl. (61), daß die Pendellänge, die bei kleinen Schwingungen zu dem gleichen Werte der Schwingungsdauer führt, wie die Schwingung auf der Zykloide, l = 4r gewählt werden muß. Es ist aber eine hier als bekannt vorauszusetzende Eigenschaft der Zykloide, daß der Krümmungshalbmesser im Scheitel gleich dem Vierfachen vom Radius des Erzeugungskreises ist. Dies zeigt uns, daß wir nur so lange auf einen Isochronismus der Pendelschwingungen rechnen können, als wir uns den Kreisbogen durch einen kleinen Zykloidenbogen vom gleichen Krümmungsradius ersetzt denken können. Je größer der Ausschlag des Pendels wird, um so mehr weichen die Zykloide und ihr Krümmungskreis voneinander ab und um so ungenauer wird es, wenn wir die eigentlich nur für die Zykloide gültige Formel für die Schwingungsdauer auch bei der Pendelbewegung als gültig betrachten.

Es sei noch erwähnt, daß man einen schweren Punkt leicht zwingen kann, auf einer Zykloide zu schwingen, wenn man ihn an einem Faden auf hängt, der sich beim Schwingen an zwei beiderseits vom Aufhängepunkte angebrachte Backen anlegt,, die nach der Evolute der Kurve begrenzt sind. Versuche mit solchen Zykloidenpendeln werden häufig in Vorlesungen über Experimentalphysik vorgeführt, um durch den Versuch nachzuweisen, daß die Schwingungsdauer unabhängig von der Größe des Ausschlags ist.

Wegen der seither besprochenen Eigenschaft wird die Zykloide auch als die Tautochrone bezeichnet. Sie hat aber zugleich noch eine andere Eigenschaft, zu deren Besprechung ich jetzt übergehen will und der sie den Namen Brachistochrone verdankt. Sie ist nämlich jene Kurve, auf der ein Punkt in kürzerer Zeit als auf jeder anderen von einer gegebenen Stelle zu einer anderen gegebenen Stelle, die tiefer liegt als die erste, hinabrollt.

Um die Aufgabe in möglichst anschaulicher Form vorzubringen, erinnere ich an den Rücklauf, den man bei Kegelbahnen anwendet, um die Kugeln den Spielern wieder zuzuführen. Man könnte diesen Rücklauf zunächst geradlinig anordnen; dabei würde es aber ziemlich lange dauern, bis die Kugel den Weg zurückgelegt hätte. Deshalb pflegt man den Rücklauf im Anfänge viel steiler anzulegen und ihn nachher flacher verlaufen zu lassen. Der Gewinn, den man hierdurch erzielt, ist ohne jede Rechnung ersichtlich. Wenn die Kugel nämlich schon zu Anfang ihrer Bahn um ein großes Stück der verfügbaren Höhe herabsinkt, so erlangt sie sehr bald eine verhältnismäßig große Geschwindigkeit, mit der sie dann die ganze weitere Bahn durcheilt, während sie bei geradlinigem Rückläufe eine so große Geschwindigkeit erst gegen Ende ihrer Bahn erlangen könnte.

Soweit es sich nur um die Kegelbahn handelt, ist damit die Sache im wesentlichen schon erledigt. Man wird gut tunr dem flacheren Teile der Rücklaufbahn ein solches Gefall zu geben, daß die Bewegungswiderstände dadurch ungefähr aufgehoben werden und den hiernach verfügbaren Rest des Gefälles am Anfänge des Rücklaufes in einer steilen Kurve, auf deren besondere Form praktisch nicht viel ankommt, zusammenzudrängen. So wird es auch in der Regel ungefähr gemacht.

Man wird sich aber auf Grund dieser Überlegungen sofort die weitere Frage stellen, welche Gestalt man der Kurve des Rücklaufs geben müßte, um bei Vernachlässigung von Bewegungswiderständen u. dgl. die allerkürzeste Zeit für die Rücklaufbewegung zu erhalten. Dabei bemerke ich noch, daß hierbei auch von der Rotation, die die Kugel in Wirklichkeit erlangt,, abgesehen werden soll, damit wir sie mit Recht als materiellen Punkt ansehen können. Wenn die Kugel niemals auf der Unterlage gleiten könnte, würde die günstigste Form der Kurve hiervon freilich nicht beeinflußt, da das Verhältnis zwischen Rotations- und Translationsenergie immer denselben Wert hätte und die Zeitdauer der Rücklaufbewegung in jedem Falle nur im ganzen in einem entsprechenden konstanten Verhältnisse vergrößert würde. Das ist aber, wie schon aus Bd. I, Aufg. 32,

S. 278 der 4. Aufl. hervorgeht, im allgemeinen keineswegs zu erwarten. Deshalb schon müssen sich zwischen der „theoretischen Lösung“ des unter den einfachsten Bedingungen behandelten Problems und den auf die Nebenumstände wenigstens schätzungsweise Rücksicht nehmenden „praktischen“ Erwägungen Unterschiede einstellen, die den Wert der theoretischen Untersuchung stark einschränken. Deshalb pflege ich auch in den Vorlesungen selbst diese Betrachtungen nicht mit vorzubringen;; ich denke aber, daß es gut sein wird, wenn ich wenigstens in dem gedruckten Buche die Aufgabe löse, da sich doch wohl der eine oder der andere dafür interessieren dürfte.

In Abb. 15 sei also A die Stelle, in der der materielle Punkt seinen Lauf ohne Anfangsgeschwindigkeit beginnt, und B sei der Punkt, nach dem er in möglichst kurzer Zeit längs der Kurve AB hinabgleiten soll. Die Geschwindigkeit im Punkte xy ist, wie wir schon wissen,

v =]/2 gy,

die Zeit, die zum Durchlaufen eines Bahnelementes ds gebraucht wird,

dt — —

ds ds

V²9V

= dx

a »,

» K

und die ganze Zeit für das Durchlaufen der Kurve AB wird

■    / I '“fö¹

i/²9.7 \ y

o

dx,

(77)

wenn a die Abszisse des Punktes B ist. Dieser Ausdruck soll nun durch eine geeignete Wahl der Kurvenform j zu einem Minimum gemacht werden. Die f-A notwendige Bedingung dafür besteht darin, daß die Variation des Wertes von t, die zu einer willkürlichen unendlich kleinen Änderung der Kurvenform gehört, zu Null wird. Wenn wir uns die Kurve AB durch irgendeine benachbarte ersetzt denken, wird sich jede Ordinate y um ein kleines Stück Sy ändern, und wir haben zunächst einen Ausdruck für die Änderung aufzustellen, die dadurch in dem Werte von t herbeigeführt wird. Zunächst ist klar, daß die Gesamtänderung des Integrals gleich der Summe der Änderungen aller seiner einzelnen Elemente ist. Wir bilden also zunächst die Variation

CL

cc

Abb. 15.

Der Ausdruck, der sich verändert, ist aber eine bekannte Funktion

von y und ~ und wir können daher die Änderung des ganzen Aus-d x

drucks nach den Regeln der Differentialrechnung in den Variationen ausdrücken. Allgemein gesagt ist

von y und

ns ins

i'«

/ dy\ dF x dF xdy ÖF[y’ dx) ~ dy 8y + Jdy\ '⁰ dx ’ \dx)

Nun ist aber nach dem Begriffe der Veränderung, um die es sich hier handelt,

ö dy ₌ d{y -f Sy) dy ^dSy dx    dx dx dx

Wir haben daher jetzt für die Variation von t vorläufig den Ausdruck

• ày

und wenn wir dies auf den vorliegenden Fall anwenden, erhalten wir

i+(!f

*>

CO <M

sis.

dy

dx

öt    -rf    2vr'V1 +df)

dy

dx

döy

yy+( irr

dx.

(78)

Um ihn weiter umzugestalten, nehmen wir am zweiten Gliede in der Klammer eine partielle Integration vor. Dies kommt darauf hinaus, daß wir nach dem Satze über die Differentiation eines Produkts setzen

dx

dy

dx

y»(i+6s’)

5»| «

'S Ins

• ày

a.

o>

: äi h ^ Ins

a.

l'sî

A d

-tv-di

a>! « TS

und nun auf beiden Seiten zwischen den Grenzen 0 und a integrieren. Wir erhalten dann

R R & «<S

M-

RI R

dx

dx

RI «

I rÖ

« (•

RI R

l>0

Mr

RI R

M-

R Ru

*4

• 8 y ■ dx.

Beim ersten Gliede auf der ersten Seite ließ sich nämlich die Integration sofort ausführen und das bestimmte Integral ist gleich der Differenz der Klammerwerte für x — 0 und x = a. Nun sind aber die Punkte A und II der Kurve fest gegeben : wie wir also auch die Gestalt der Kurve sonst ändern mögen, an diesen beiden Stellen ist jedenfalls 8y — 0.

Da nun 8y in dem Klammerwerte als Faktor vorkommt, erkennen wir, daß dieser Wert an der oberen Grenze x = a jedenfalls verschwindet. An der unteren Grenze ist dieser Schluß freilich nicht ohne weiteres zulässig, weil hier auch y im Nenner zu Null wird.

Für den unbestimmten Ausdruck von der Form ~ setzen wir daher nach bekannten Regeln

dx

Nun ist aber

[Ł d'à d2/)l=o_ fö⁶ ä, ₌

o’

2 dx

Das Verhältnis beider Werte wird daher

uVL.

dy

]/‘+0' '

y    J* = o

und dies liefert wegen des Faktors y jedenfalls Null. In der Tat fällt also das erste Glied auf der rechten Seite von Gl. (79) vollständig fort, und das auf der linken Seite stehende Integral kann ohne weiteres durch das Integral im zweiten Gliede der rechten Seite ersetzt werden. Mit Rücksicht hierauf erhalten wir daher jetzt an Stelle von Gl. (78)

öt = -

dy

dx

(80)

M'

öy • dx.

Dieser Ausdruck soll nun für die Kurve, die wir suchen, zu Null werden. Dabei ist öy sonst ganz beliebig wählbar und nur an die Bedingung gebunden, daß es an beiden Grenzen verschwindet. Das Integral kann daher nur dann für jede Wahl von öy zu Null werden, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer selbst Null ist. Denn wäre dies nicht an jeder Stelle der Kurve der Fall, so könnte man öy überall so wählen, daß es gleiches Yorzeichen mit dem Ausdrucke in der eckigen Klammer hätte und dann würde das Integral als eine Summe von lauter positiven Gliedern jedenfalls nicht zu Null. Für die durch diese Verschiebungen öy neugewonnene Nachbarkurve wäre dann öl jedenfalls negativ, d. h. die zuerst gegebene Kurve beanspruchte eine längere Fallzeit t als die neugefundene. Als notwendige Bedingung für die Brachistochrone haben wir daher

dy

dx

= 0.

Durch Ausführung der Differentiation im zweiten Gliede und nach einer Reihe elementarer algebraischer Umformungen des zunächst ziemlich weitläufig herauskommenden Ausdrucks auf der linken Seite geht die Gleichung über in

= 0.

2!/^+1 + ©

Da sie für alle Werte von X gültig sein soll, kann dies nur dadurch

geschehen, daß der Zähler überall zu Null wird. — Wir haben also für die gesuchte Kurve die Differentialgleichung

²4J+u!)+¹“⁰-

OD

rH

Um sie zu integrieren, multiplizieren wir zunächst mit ^ und

erhalten

IO

su », & Is» su SU

Si “

3» H

's •re

»,: »,

& l<ss

Die beiden ersten Glieder der linken Seite lassen sich nun zu einem einzigen DifFerentialquotienten nach x zusammenfassen, so daß die Gleichung in der Form

L{y^j ) + äl⁼⁼⁰

geschrieben werden kann. Die Integration liefert

»(!!)+2'-°-

also bei Auflösung nach dem Dilferentialquotienten

— y

dy

dx

~±V^~y

(82)

Der Vergleich mit Gl. (74), die wir früher als Differentialgleichung der Zykloide ermittelt hatten, zeigt schon, daß die gesuchte Kurve eine Zykloide ist. Man muß dabei nur auf die jetzt etwas anders gewählte Bezeichnung achten. Schreibt man an Stelle von G — y kürzer £, so geht Gl. (82) über in

», SU

B ! **

z'

und diese Gleichung für die von unten her gezählte Ordinate z stimmt nun ganz mit Gl.'(74) überein, wenn man G = 2r setzt. Die Integrationskonstante G gibt hiernach den Durchmesser des Rollkreises an, durch den man sich die Zykloide erzeugt denken kann.

Auch die endliche Gleichung der Zykloide kann aus Gl. (82) sofort durch eine einfache Quadratur gefunden werden. Man schreibt die Gleichung in der Form

dx

und erhält hieraus durch Integration

§ 14. Schwingungen auf der Zykloide x — K —YCy — y² —^ arc sin ^    ^

95h

(83)

Die neu auftretende Integrationskonstante K folgt aus der Bedingung, daß die Kurve durch den Punkt A gehen soll. Für x — 0 muß daher auch y — 0 sein, also

O :(N

0 = K-

arc sin (1)

und hieraus

Durch zwei Punkte A und B kann man unendlich viele Zykloiden-bogen mit senkrechter Achse legen. Unter diesen besitzt aber nur ein einziger die von uns verlangte Minimumseigenschaft, denn auch die andere Integrationskonstante C wird durch die Bedingung bestimmt, daß die Kurve durch den Punkt B gehen soll. Anstatt aber die Koordinaten von B in die Zykloidengleichung einzusetzen und die sich hieraus ergebende transzendente Gleichung nach C aufzulösen, bedenkt man einfacher, daß nach Gl. (82) für y — 0 jedenfalls dy

dx

oo werden muß, d. h., daß die Tangente der Kurve dort in

lotrechter Richtung geht. Der materielle Punkt beginnt daher seine Fallbewegung auf der Kurve zuerst lotrecht nach abwärts. Oder mit anderen Worten: die Horizontale durch A ist die Gerade, auf der der Erzeugungskreis vom Durchmesser C rollen muß, um die Zykloide zu beschreiben. Denkt man sich nun alle Zykloiden, die dieser Bedingung genügen, vom Punkte A aus gezogen, so sind alle ähnliche und ähnlich liegende Kurven und nur eine von ihnen geht durch den Punkt B. Man findet aber diese sofort heraus, wenn man zuerst nur irgendeine Zykloide konstruiert und dann die Verbindungsgerade AB zieht (vgl. Abb. 16), deren Schnittpunkt mit der Zykloide B' heißen möge. Wenn etwa AB' kleiner ist als AB, muß man hierauf die Zykloide im Verhältnisse AB : AB' vergrößern (vom Ähnlichkeitszentrum A aus), worauf die gesuchte Brachistochrone gefunden wird.

Wenn die horizontale Entfernung beider Punkte erheblich größer ist als die vertikale (wie bei der Kegelbahn) erlangt die Brachistochrone die in Abh. 16 angegebene Gestalt. Die Kugel sinkt zuerst viel tiefer, erlangt dadurch eine erheblich größere Geschwindigkeit und kann daher den etwas größeren Weg doch in kürzerer Zeit zurücklegen, als hei einer flacheren Form des Rücklaufs. Die Zeit, die nun mindestens nötig ist, um den Punkt auf der günstigsten Kurve bloß durch den Einfluß der eigenen Schwere von A nach B gelangen zu lassen, folgt leicht aus Gl. (75). Für die in Abb. 16 angegebenen Verhältnisse wird diese Zeit

t=Vj\^ + msiar~r)'

wobei ti direkt gegeben und r aus der vorher beschriebenen Konstruktion zu entnehmen ist.

Ein Zahlenbeispiel möge dies noch näher erläutern. Die horizontale Entfernung der Punkte A und B sei 10 m, der Höhenunterschied

h-2r

Abb. 16.

A 1 m. Dann ist die zum 7 Durchlaufen einer geradlinigen Bahn zwischen A und B erforderliche Zeit, wenn auf Bewegungswiderstände und auf die durch das Rollen der Kugel herbeigeführte langsamere Bewegung wie seither schon keine Rücksicht genommen wird, gleich 4,52 sec. Verbindet man dagegen A und B durch eine Kreisbahn, die in B eine horizontale Tangente hat, so wird die Zeit gleich 3,57 sec. Für die Brachistochrone endlich berechnet sich die Zeit auf 2,06 sec.

Will man die rollende Bewegung berücksichtigen, nimmt aber dafür an, daß in keinem Falle ein Gleiten der Kugel vorkäme, so beachte man, daß zur Geschwindigkeit v des Kugelmittelpunktes eine

V

Winkelgeschwindigkeit — gehört, wenn q den Kugelradius bedeutet. Die ganze lebendige Kraft A der Kugel ist daher

Z = -r

v’+y ©

oder, wenn man für das Trägheitsmoment 0 der Kugel seinen Wert

«insetzt (vgl. Bd. I, S. 278, 4. Auf!.), so folgt

0,7 $-v².

9

Die lebendige Kraft ist gleich der von der Schwere geleisteten Arbeit, also ebenso groß als die lebendige Kraft des materiellen Punktes sein würde, wenn er nur gleitete und nicht rollte. Daher wird v jetzt überall gegenüber dem früher vorausgesetzten Falle im Verhältnisse

verkleinert und die Zeit zum Durchlaufen der Bahn in allen

i/~ — 1,183 vergrößert.

vorher betrachteten Fällen im Verhältnisse

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß die Zykloide ihre Eigenschaft als Brachistochrone auch zwischen irgend zwei beliebig auf ihr ausgewählten Punkten behält, wie schon daraus hervorgeht, daß es sonst möglich sein müßte, auch bei der ganzen vorher betrachteten Bahn durch eine Abänderung der Kurve zwischen diesen beiden Punkten eine kürzere Fallzeit herbeizuführen. Man muß nur beachten, daß in diesem Falle der materielle Punkt, wenn er in den Anfangspunkt des betrachteten Kurvenstücks gelangt, schon eine gewisse Geschwindigkeit besaß, während seither immer vorausgesetzt wurde, daß die Bewegung vom oberen Punkt A aus mit der Anfangsgeschwindigkeit Null beginnen sollte.

Wird also die Aufgabe gestellt, eine Brachistochrone zwischen zwei Punkten A und B anzugeben, unter der Voraussetzung, daß der bewegliche Punkt mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit v₀ in A auf die Bahn gebracht wird, so berechne man zunächst

Diese Größe h" gibt an, um wieviel die Abszissenachse oder mit anderen Worten die Gerade, auf der der Erzeugungskreis der Zykloide rollt, über dem Punkte A liegt. Dann hat man eine hierzu gehörige Zykloide durch die Punkte A und B zu legen; diese ist die verlangte Brachistochrone. Die Aufgabe ist durch die genannten Angaben eindeutig bestimmt und kann auf konstruktivem Wege mit Berücksichtigung des Umstandes, daß alle Zykloiden einander ähnlich sind, leicht gelöst werden.

§ 15. Anwendung des Seilpolygons auf die Dynamik des materiellen Punktes.

Ein materieller Punkt sei genötigt, sich auf irgendeiner gegebenen Bahn zu bewegen, wie das schon bei den in den vorigen Paragraphen besprochenen Fällen zutraf. Dabei mag von außen her eine beliebig veränderliche Kraft P auf ihn einwirken. Die gesamte Beschleunigung, die er erfährt, läßt sich in eine zur Bahn normale und in eine tangentiale Komponente zerlegen. Bezeichnet man die Bogenlänge der Bahn von irgendeinem An-

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

fangspunkte bis zur augenblicklichen Lage des bewegten Punktes

•    •    •    .    ,    •    (1/^ s

mit s, so ist die Tangentialbeschleunigung gleich ^ zu setzen,

und wenn man mit P' die Projektion von P auf die Richtung der Tangente bezeichnet, besteht, wie man schon aus Band I, § 14, S. 66 der 4. Aufl. weiß, zwischen beiden die Gleichung

(84)

PS yy

dp

m = P .

Andererseits lautet die Differentialgleichung einer Seilkurve nach Bd. II, Gl. (2), S. 71 d. 3. Aufl.

(85)

- ⁽h

Hä'-y -dx*

wobei H der konstante Horizontalzug des Seils, x die Abszisse, y die nach abwärts positiv gezählte Ordinate der Kurve und q die Belastungsintensität ist, die eine beliebig gegebene Funktion von x sein kann und sich durch Zeichnen einer Belastungsfläche graphisch darstellen läßt. Zugleich ist aus Bd. II bekannt, wie man die Seilkurve, die zu dieser Belastungsfläche gehört, auf graphischem Wege konstruieren kann.

Die beiden Gl. (84) und (85) sind von ganz ähnlicher Form, so daß sie sich durch eine passende Bestimmung der in Gl. (85) vorkommenden Größen in vollständige Übereinstimmung miteinander bringen lassen. Wenn dies geschehen ist, vermag man die Integration der Bewegungsgleichung (84) dadurch zu bewirken, daß man die der Differentialgleichung (85) entsprechende Seilkurve auf graphischem Wege ermittelt. Hierdurch werden dynamische Aufgaben der bezeichneten Art graphisch lösbar, was dann von Vorteil sein kann, wenn P' eine solche Funktion von t oder von s ist, daß die Integration der Bewegungsgleichung (84) auf analytischem Wege Schwierigkeiten macht. Es verhält sich damit genau so wie mit der Anwendung des Seilpolygons zur Konstruktion der elastischen Linie, von der in Bd. II die Rede war.

Zunächst unterscheiden sich freilich die beiden Gleichungen (84) und (85) voneinander durch das Vorzeichen auf der rechten Seite. Aber dieser Unterschied läßt sich sofort beseitigen, indem man die Ordinaten der Seilkurve nach oben hin positiv zählt, anstatt wie früher nach abwärts. Mit diesem Wechsel in der Bezeichnung geht Gl. (85) über in

(86)

= ?•

Bdx*

Um die Übereinstimmung mit Gl. (84) herzustellen, setze man

x = yt

y = s\

diry i d*s qy⁸ P'

’ dx*~ pdi²”’ H~

Dabei können die Konstanten y und H nach Belieben gewählt werden, während q aus der letzten Gleichung zu ermitteln ist, und zwar wird q proportional mit P' gefunden, denn die übrigen in dieser Gleichung vorkommenden Größen sind Konstanten. Hat man jedoch P' bereits graphisch als Funktion der Zeit t dargestellt, so wird man am einfachsten q — P' setzen, also das Diagramm von P' zugleich als Belastungsfläche betrachten und den Horizontalzug H aus der vorhergehenden Gleichung zu

(87)

H = J, • my²

bestimmen. Aus der Seilkurve, die mit diesem H zu der Belastungsfläche konstruiert werden kann, läßt sich dann zu jedem gegebenen t das zugehörige s entnehmen, d. h. der zeitliche Verlauf der Bewegung ist damit vollständig bekannt.

Am einfachsten gestaltet sich diese graphische Lösung der Aufgabe, wenn die Kraft P' von vornherein als Funktion der Zeit gegeben ist. Man nehme z. B. die Bewegung auf der schiefen Ebene unter dem Einflüsse des Eigengewichts. Unter P' ist dann die Projektion des Gewichts auf die Richtung der schiefen Ebene zu verstehen und diese bleibt während der ganzen Bewegung konstant. Die Belastungsfläche q ist ein Rechteck und die zugehörige Seilkurve eine Parabel. Oder man betrachte die Bewegung des Schwungrades einer Dampfmaschine unter dem Einflüsse eines wechselnden Drehmomentes, und zwar jetzt ohne Berücksichtigung der Torsionsschwingungen, die sich zu dieser Bewegung noch hinzugesellen können. In den vorhergehenden Gleichungen ist dann unter m das Trägheitsmoment, unter s der von einer beliebigen Anfangsstellung aus zurückgelegte Drehungswinkel und unter P das Moment des auf das Schwungrad wirkenden resultierenden Kräftepaares zu verstehen, das während einer Umdrehung bald positiv, bald negativ ist und dessen Veränderung mit der Zeit als genau genug gegeben angesehen werden kann, wenn man an die Untersuchung des Ungleichförmigkeitsgrades des Schwungrades herantritt. Die vorher beschriebene Konstruktion gestattet dann, diese Untersuchung ohne weiteres auf graphischem Wege durchzuführen.

In den meisten Fällen wird aber P' nicht als Funktion der Zeit, sondern als Funktion des Weges gegeben sein. Das trifft z. B. bei der Pendelbewegung oder bei der Fallbewegung auf der Zykloide oder auf irgendeiner anderen gegebenen Kurve zu. Der nächste Schritt, um die Bewegung auf graphischem Wege zu untersuchen, besteht dann darin, die ganze Schwingungsbahn in eine Anzahl von Abschnitten einzuteilen, die man genau genug als geradlinig ansehen kann, in jedem Teilpunkte die Tangente zu ziehen und das Gewicht, das in einem passenden Maßstabe aufgetragen ist, auf die Tangente zu projizieren. Dann trägt man die Abschnitte der Bahn auf einer Geraden auf und errichtet in jedem Teilpunkte eine Ordinate, die gleich der Projektion P' ist. Damit hat man aber noch nicht die Belastungsfläche der Seilkurve, da bei dieser die Abszissen den Zeiten und nicht den Wegen proportional sein müssen.

Das hindert jedoch nicht die Lösung der Aufgabe, wie am Beispiele der Pendelbewegung gezeigt werden soll. In Abb. 17 stellt a die Schwingungsbahn des Pendels dar, und zwar beschränkt auf eine Hälfte, da es ausreicht, die Bewegung vom größten Ausschlage nach links bis zum tiefsten Punkt der Bahn zu betrachten. Die Einteilung der Bahn in einzelne Elemente ist in der Zeichnung weggelassen und nur an einer Stelle ist gezeigt, wie das Gewicht P auf die Tangente der Bahn projiziert und hiermit P' gefunden wird. Der Teil b der Abbildung enthält die Darstellung von P' als Funktion von s, und zwar ist s dabei in vertikaler Richtung aufgetragen, weil nachher die Or-dinaten y der Seilkurve in dieser Richtung gehen sollen. Mit c ist das Seilpolygon, mit d die Belastungsfläche und mit e der

Kräfteplan des Seilpolygons bezeichnet. Die erste Seileckseite geht horizontal, weil zu Beginn der Bewegung die Geschwindigkeit, also ^ und hiermit auch ~ gleich Null ist. Auf dieser

Horizontalen, die man in gleicher Höhe mit der unteren Begrenzungslinie von b zieht, trägt man nun eine Anzahl gleicher Strecken ab, die unter Zugrundelegung eines passend gewählten

ct

<u

.s-

Kr

VI

V-i

V—i

iibL

ej

r S "1

! ¹ i J.! ! ! - !

t -i—i— r ........1/

ll

1-

•I

__1__

,L.

J.

___3___

____2

.1.

CJ

bj

11

Abb. 17.

Maßstabes kleine Zeiten, etwaj^ sec. o. dgl., bedeuten. Wie

man diese Zeiten wählt ist im übrigen gleichgültig, wenn man nur sicher sein kann, daß eine passende Zahl (vielleicht 6—10) dieser Zeiten gleich der gesuchten Schwingungsdauer werden wird, und zwar ist diese Beschränkung auch nur deshalb nötig, damit man zu einer gut auszuführenden Zeichnung gelangt. Hierauf zieht man über c in beliebiger Höhe die horizontale Grundlinie der Belastungsfläche d. Die erste Ordinate der Belastungsfläche ist bekannt, da für t = 0 auch s = 0 ist und das zugehörige P' bereits konstruiert ist. Man macht also diese

Ordinate gleich der Grundlinie von b. Später wird ja die Ordinate kleiner werden ; zunächst genügt es aber, sie für das erste 'Zeitelement als konstant zu betrachten. Man erhält dadurch das erste Rechteck von d. Den Inhalt dieses Rechtecks betrachtet man nun als Last des Seilpolygons und trägt ihn in irgendeinem günstig gewählten Maßstabe auf der Lastlinie des Kräfteplanes e auf. Hierauf hat man den Horizontalzug PL nach Gl. (87) zu berechnen. Das soll hier unter Zugrundelegung eines Zahlenbeispiels, wie es beim Aufträgen von Abb. 17 angenommen wurde, geschehen. Die Fadenlänge des Pendels, also der Halbmesser des Kreisbogens in a ist in Abb. 17 zu 2 cm angenommen. Das Gewicht P ist durch eine Strecke von 3 cm dargestellt und die Strecken, die q angeben, sind gleich groß mit denen gewählt, die man für P' erhielt. Hiernach besteht zwischen q und P' der Zusammenhang

m 981

cm

P' = q ■

= <1

sec¹

= qm ■ 327 ¹ » •

*    sec¹

8 cm

Ferner sind die Zeitelemente, die man auf der Grundlinie von c auf trug, gleich 0,01 sec gewählt und jedes dieser Elemente wurde durch eine Strecke von 5 mm dargestellt. Die Konstante y hat daher den Wert

3 cm

y = 50

cm

sec

Nachdem H und die erste Last im Kräfteplan eingetragen sind, kennt man die Richtung des zweiten Seilstrahls in c. Von dem Punkte, in dem dieser die Vertikale 1 trifft, zieht man eine Horizontale, die in b das dieser Stelle zugehörige P' abschneidet. Diese Strecke trägt man in d als nächste Ordinate der Belastungsfläche auf. Hierauf nimmt man an, daß P' im nächsten Zeitelemente diesen Wert unverändert beibehalte. Der nächste Streifen der Belastungsfläche wird daher als ein Rechteck von dieser Höhe betrachtet. Dessen Fläche wird auf der Lastlinie des Kräfteplans e abgetragen und das Seilpolygon rückt ebenfalls um eine Seite voran. Hierauf wird alles in derselben Weise weiter fortgesetzt, so daß Seilpolygon, Belastungsfläche und Kräfteplan miteinander entstehen. Man ist am Ende angelangt, wenn der letzte Strahl des Seilpolygons die durch den oberen Punkt von b gezogene Horizontale schneidet. Die zugehörige Abszisse stellt die Dauer t einer Viertelschwingung des Pendels dar.

Das ist freilich nur ein erster Näherungswert, der sich aber, wie ein Vergleich des Ergebnisses mit der genauen Formel lehrt, schon ziemlich eng an den wahren Wert anschließt. Es steht aber natürlich frei, die ganze Konstruktion noch einmal zu wiederholen, indem man an Stelle der ganzen Rechteckflächen, die vorher als Lasten angenommen wurden, jetzt Werte setzt, die gegenüber den Rechteckflächen in demselben Maße vermindert sind, wie sich dies bei der ersten Zeichnung herausgestellt hatte. Damit würde man dann schon eine solche Genauigkeit erlangen, wie sie (mit Rücksicht auf die unvermeidlichen Zeichenfehler selbst bei schärfster Zeichnung im großen Maßstabe) auch bei einer ganz strengen Lösung nicht besser erzielt werden könnte. In Abb. 17 ist der Deutlichkeit wegen von der besprochenen Verbesserung abgesehen worden.

Für die Ermittlung der Schwingungsdauer des Pendels hat das Verfahren natürlich keinen Zweck, da man diese einfacher nach der Formel berechnet. Das Beispiel ist hier nur gewählt, um einen bequemen Vergleich und damit ein Urteil über die Genauigkeit zu ermöglichen. Dagegen führt die Zeichnung, wie nun auch P' als Funktion von s gegeben sein möge und wie die

Bahnkurve ausseh en möge, immer in derselben Weise leicht zum Ziele, während die Rechnung versagt oder wenigstens mehr Mühe verursacht.

Aufgaben.

1.    Aufgabe. Was folgt aus dem Flächensatze, wenn man ihn auf den schiefen Wurf eines Steines im luftleeren Baume anwendet?

Lösung. Als äußere Kraft wirkt an dem Steine nur die Schwere. Wir können uns diese vom „Mittelpunkte“ der Erde ausgehend denken und sie sonach als eine Zentralkraft auffassen. Dann muß für diesen Punkt als Momentenpunkt das statische Moment der Bewegungsgröße konstant sein. Um dieses Moment für irgendeine Stelle der Wurfbahn zu berechnen, denken wir uns den Hebelarm dahin gezogen und die dazu senkrechte Komponente der Geschwindigkeit mit ihm multipliziert. Gegenüber dem Erdhalbmesser sind aber die Erhebungen der Wurfbahn nur sehr klein und wir können daher die Hebelarme für alle Stellen der Wurfbahn als gleich groß ansehen. Daher muß auch der andere Faktor des statischen Moments konstant sein, d. h. die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit wird während des Wurfs nicht geändert.

Hiermit sind wir freilich nur zu einem Resultate gelangt, das vorher schon aus einfacheren Betrachtungen bekannt war. Wie schon früher bemerkt wurde, zeigt sich aber der Nutzen des Flächensatzes erst bei Aufgaben über Punkthaufen oder über starre Körper im rechten Lichte. Bei der Dynamik des einzelnen materiellen Punktes kann er gewöhnlich leicht entbehrt werden.

Wenn die Wurfbahn als sehr hoch im Vergleiche zum Erdhalbmesser vorausgesetzt wird, ist es freilich nicht mehr zulässig, den Hebelarm überall als gleich groß anzusehen. In der Tat wird aber auch dann die ganze Bewegung geändert. Der Stein (z. B. ein Meteorstein, der in die Nähe der Erdoberfläche gelangt) bewegt sich dann im allgemeinen nicht mehr in einer Parabel, sondern längs eines elliptischen Bogens, wie bei der Planetenbewegung (oder auch längs einer Hyperbel). Die Wurfbahn darf daher immer nur so lange als Parabel aufgefaßt werden, als ihre Abmessungen als klein gegenüber dem Erdhalbmesser vernachlässigt werden können.

2.    Aufgabe. Von einem AnziehungsZentrum geht eine Kraft aus, die im Abstande a die Größe Pa hat und dem Quadrate der Entfernung umgehehrt proportional ist. Wie groß ist das Potential des Kraftfeldes im Abstande x, wenn die wilUcürlichc Konstante, die darin vorhommt, so gewählt wird, daß das Potential in unendlicher Ferne zu Null tvird?

Lös ung. Wir wählen als Integrationsweg eine vom Anziehungszentrum ausgehende Gerade und als Anfangspunkt 0 den unendlich fernen Punkt dieser Geraden. Dann ist in Gl. (10)

A

Vo-

Jfydê

o

die Konstante VQ gleich Null zu setzen. Wir haben daher

= -J}MS = ßJJdg.

Hier sind und dg entgegengesetzt gerichtet. Im Abstande z ist

p=FS

und, wenn wir für dg jetzt dz schreiben, erhalten wir

oc

7= -

■ft.? *—

-p.

Für den Fall der Abstoßung anstatt der Anziehung, wie er bei elektrostatischen Untersuchungen vorliegt, wird dagegen V positiv. Es gibt dann sofort die potentielle Energie an, die dadurch bedingt wird, daß sich der bewegliche Punkt im Abstande x von dem Abstoßungszentrum befindet. In diesem Falle wird nämlich die potentielle Energie bei unendlicher Entfernung des beweglichen Punktes zu Null, und dadurch wird die Wahl, die für die willkürliche Konstante getroffen wurde, gerechtfertigt. Für den Fall der Anziehung dagegen wird die potentielle Energie um so größer, je mehr der Abstand wächst, und das mit derselben Wahl der Konstanten berechnete V kann daher nicht mehr als Ausdruck für die potentielle Energie angesehen werden. Immerhin ist es auch in diesem Falle gebräuchlich, das Potential derart zu bestimmen, daß es in unendlicher Entfernung verschwindet.

3. Aufgabe. Man soll für beliebig verteilte gegebene Massen, die nach dem Gravitationsgesetze auf einen anderen Massenpunkt einwirken, das Potential des von ihnen erzeugten Gravitationsfeldes berechnen.

Lösung. Ein Volumenelement der Massenverteilung sei mit dt bezeichnet (Abb. 18), die Dichte der Massenverteilung an dieser Stelle mit g und ihr Abstand von dem Punkte A, für den man das Potential V berechnen soll, mit r. Dann ist nach der Lösung der vorigen Aufgabe das von der Masse gd x für sich herrührende Potential bekannt und man braucht nur die Summe aller dieser Werte für die einzelnen Massenelemente zu nehmen, um V zu erhalten. — Rechnet man ferner mit astronomischen Masseneinheiten, so wird für

GA

r.

dt

die Masse 1 im Abstande a = 1 das von ihr herrührende Pa zu 1 und man kann in der Lösung der vorigen Aufgabe die Faktoren Paa² streichen, wogegen die Masse g dz, die an Stelle der Masse 1 tritt, als neuer Faktor beizufügen ist. Man erhält daher

Abb. 18.

wobei sich die durch das Integralzeichen angedeutete Summierung über den ganzen von Massen erfüllten Raum zu erstrecken hat. — Bei elektrostatischen Aufgaben kehrt sich auch hier das Vorzeichen des Potentials um, da sich elektrische Massen gleichen Vorzeichens abstoßen.

4. Aufgabe. Brei feste Punlcte A, B, C, die mit den Massen m behaftet sind, üben auf einen in derselben Ebene liegenden beweglichen Punkt Zentralkräfte aus, die den Massen proportional, von den Entfernungen aber unabhängig sind. Man soll das Potential dieser Kräfte berechnen und ferner ermitteln, an welcher Stelle es zu einem Minimum wird.

Sh

70

!rs

lnc₃

Abb. 19.

Sh

1 m3

Lösung. Wir berechnen zunächst das Potential, das von einer einzigen Masse mx berührt. Den Anfangspunkt des Integrationswegs lassen wir mit mt zusammenfallen und integrieren von da aus längs einer geraden Linie weiter bis zum Abstande rx. In der Formel

n -r₀-faat

0

ist jetzt konstant und die Summe aller d% liefert ri. Hierbei ist nur zu beachten, daß ^ und ^8 entgegengesetzt gerichtet sind, das Produkt ip^8 daher negativ ist. Ferner ist proportional mit m Hierbei würde noch ein Proportionalitätsfaktor auf treten, den wir uns aber durch eine passende Wahl der Masseneinheit der Einfachheit

halber vermieden denken wollen. Die Anziehung, die von jedem m ausgeht, soll also unmittelbar durch den Wert von m selbst angegeben werden. Dann wird

Vi = Vo + miri-

Das Potential des von allen drei Massen herrührenden Kraftfeldes ist gleich der Summe von drei nach diesem Muster gebildeten Gliedern. Die Summe der drei willkürlichen Konstanten Vq können wir uns hierbei zu einer einzigen willkürlichen Konstanten G zusammengefaßt denken. Wir erhalten demnach

V = m₁rl -f m₂r₂ -f m₃r₃ + (7,

wobei wir der . willkürlichen Konstanten C schließlich auch zur weiteren Vereinfachung den Wert Null beilegen können.

Um schließlich zu ermitteln, wo V zu einem Minimum wird, beachten wir, daß an dieser Stelle für jede Verschiebung in irgendeiner Richtung d V = 0 sein muß. Zugleich gibt aber d V die Summe der von allen Kräften herrübrenden Arbeitsleistungen an, die zu dieser Verschiebung gehören. Nach dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten schließen wir daher, daß die von den drei Massen ausgehenden Kräfte sich an dem beweglichen Punkte an der gesuchten Stelle im Gleichgewichte halten müssen. Auf Grund dieser Betrachtung läßt sich der Ort des Potentialminimums leicht ermitteln. Die Größe der Kräfte ist nämlich gegeben und damit auch die Gestalt des Kräftedreiecks, zu dem sie sich zusammensetzen lassen müssen. Nur die Richtungen der Seiten sind einstweilen unbekannt. Wir konstruieren vorläufig das Dreieck in irgendeiner Lage. Dadurch erfahren wir, welche Winkel die Kraftrichtungen am Orte des Potentialminimums miteinander bilden müssen. Die Winkel der Verbindungslinien r₁r₂r₃ des gesuchten Punktes mit den Massenpunkten mlm₂m₃ sind die Supplemente der Dreieckswinkel. Man braucht also nur über den Verbindungslinien von je zwei Massenpunkten einen Kreisbogen zu schlagen, der den seiner Größe nach bekannten Winkel als Peripheriewinkel faßt. Dann schneiden sich alle drei Kreisbögen im Orte des Potentialminimums.

In Abb. 20 ist diese Konstruktion unter der Voraussetzung ausgeführt, daß sich m₁:m₂:m₃ wie 2:3:4 verhalten. 0 ist der Ort des Potentialminimums.

Aus der Konstruktion erkennt man zugleich, daß das Potential nur an einer Stelle zu einem Minimum werden kann. Ferner kann 0 auf dem angegebenen Wege nur dann gefunden werden, wenn jede Masse kleiner ist als die Summe der beiden anderen. Im entgegengesetzten Falle nimmt das Potential seinen kleinsten Absolutwert dort an, wo sich die größte Masse befindet.

Anmerkung. Zentralkräfte, die unabhängig von der Entfernung sind, kommen in den zur Mechanik gehörigen Anwendungen der Potentialtheorie kaum in Wirklichkeit vor. Man kann aber ein sehr treffendes Beispiel anführen, das sich den vorausgehenden Betrachtungen eng anschließt, und das schon deshalb von Nutzen ist, weil es den wichtigen Begriff des Potentials von einer neuen Seite her zeigt, die geeignet ist, ihn dem Anfänger vertrauter und verständlicher zu machen. In diesem Sinne sind die nachfolgenden Betrachtungen aufzufassen.

Unter den Massen m stelle man sich jetzt die Einwohnerzahlen von drei Dörfern vor, die die durch Abbildung 19 oder 20 gegebene

Ivc

JSO-ct

Abb. 20.

Lage zueinander haben. Das Gelände sei vollständig eben und an Stelle des beweglichen Punktes stelle man sich das Projekt für irgendein Gebäude vor, das den Bedürfnissen aller drei Ortschaften dienen soll, also etwa den Bahnhof einer neu zu erbauenden Bahn, der mit gleicher Leichtigkeit an jeder Stelle des in Frage kommenden Geländes errichtet werden könnte und um dessen genauere Lage sich die Einwohner der drei Dörfer streiten sollen. Jedes Dorf will den Bahnhof so nahe als möglich haben, und die Einwohnerschaft sucht auf die Behörde, von der die endgültige Entscheidung über den Bauplatz abhängt, zugunsten ihres Dorfes durch die in solchen Fällen gebräuchlichen Mittel einzuwirken. Die Behörde wird sich bemühen, einen billigen Ausgleich zwischen den sich widerstreitenden Interessen der verschiedenen Dörfer zu finden. — Man kann hier in der Tat in einem übertragenen Sinne von den Kräften sprechen, mit denen die Dörfer das Streitobjekt an sich heranzuziehen suchen. In Ermangelung anderer Unterlagen wird man auch die Kraft, die hierbei von jedem Dorfe ausgeht, proportional der Einwohnerzahl setzen dürfen; es würde ja andernfalls auch freistehen, besonders einflußreiche Einwohner durch eine entsprechend erhöhte Einschätzung der Einwohnerzahl in Bechnung zu stellen. Ferner ist auch, worauf es im Zusammenhange mit der vorausgehenden Aufgabe besonders ankommt, anzunehmen, daß die Kraft unabhängig von der Entfernung ist. Jeder will den Bahnhof so nahe als möglich haben, und jeder Kilometer Weg, der dabei erspart werden kann, ist gleich willkommen und wird ebenso lebhaft angestrebt, ob nun dadurch die Entfernung von 5 auf 4 oder von 3 auf 2 Kilometer herabgesetzt wird.

Für einen gerechten Ausgleich würde man in einem solchen Falle wohl den Punkt 0 in Abb. 20 empfehlen können, da sich die von den verschiedenen Dörfern auf ihn ausgeübten Kräfte an ihm im Gleichgewichte halten. Wäre freilich das eine Dorf größer als die Summe der beiden anderen, so müßte man wohl den Bahnhof bei ihm errichten; die anderen beiden würden diese Wahl kaum verhindern können.

Sehen wir nun zu, welche Bolle im vorliegenden Falle dem Potentialbegriffe zugewiesen ist. Wir fanden, daß der Ausdruck für das Potential

V = mtr₂ + m₂r₂ + m₃rs

gesetzt werden kann und hierfür läßt sich sofort eine anschauliche Deutung angeben. V ist nämlich gleich der Summe der Wege, die von den Bewohnern aller drei Dörfer gemacht werden müssen, wenn sie sich von ihren Wohnorten aus unter Einhaltung des nächst möglichen — also geradlinigen —Weges alle an dem Punkte versammeln wollen, der für die Erbauung des Bahnhofs in Aussicht genommen ist. V gibt also eine gewisse Anzahl von Personenkilometern an, d. h. es hat eine Dimension, die sich zwar nicht auf die Fundamentaleinheiten der Mechanik zurückführen läßt, die aber dem technischen Eisenbahnbeamten schon durch andere Betrachtungen sehr vertraut ist.

Wenn der Bahnhof dort errichtet wird, wo sich die von den Dörfern geltend gemachten Anziehungskräfte im Gleichgewichte halten, wird das Potential zu einem Minimum, d. h. bei dieser „günstigsten“ oder „gerechtesten“ Wahl des Platzes ist der durchschnittliche Weg jeder Person zum Bahnhofe möglichst klein; man kann ihn daher zugleich als den volkswirtschaftlich besten Platz betrachten, weil die Beförderungskosten oder die ihnen gleich zu achtenden Zeitverluste usf., die für die Erreichung des Bahnhofs aufgewendet werden müssen, möglichst klein sind.

Es steht ferner auch frei, Linien gleichen Potentials zu konstruieren, also hier solche Linien, für deren Punkte die Anzahl der Personenkilometer, die zu ihrer Erreichung aufgewendet werden müssen, gleich groß sind und die daher volkswirtschaftlich als gleichwertig angesehen werden können. — Wegen der besonderen Anwendung, die hier davon gemacht wird, kann man nach einem Vorschläge, den ich bei einer früheren Gelegenheit selbst einmal gemacht habe, das Wort Potential durch die hier treffendere Bezeichnung „Vial“ ersetzen. Der Ort des Potentialminimums heißt dann kürzer das Vialzentrum. Man sieht leicht ein, daß diese Begriffe ganz zweckmäßig zu manchen Betrachtungen benutzt werden können. So spricht man z. B. öfters vom Zentrum oder vom Verkehrsmittelpunkte einer Stadt. Damit ist nun zwar jener Ort gemeint, der tatsächlich den größten Straßenverkehr aufweist. Offenbar hängt aber dessen Lage ganz wesentlich von der Gestaltung der Stadt, also von der Verteilung der Einwohnerschaft über die Flächen des Stadtbezirks ab und es läßt sich z. B. voraussehen, daß die einseitige Erweiterung der Stadt nach einer bestimmten Richtung hin eine Verschiebung des Verkehrsmittelpunktes zur Folge haben muß. Am wahrscheinlichsten wird sich auch hier unter sonst gleichen Umständen der stärkste Verkehr an jenem Platze einstellen, der von allen Einwohnern am leichtesten erreicht werden kann. Das wäre also wiederum das Vialzentrum, wobei jetzt auch die wirklichen Wegelängen mit Rücksicht auf die vorhandenen Straßenzüge bei der Berechnung der Personenkilometer verwendet werden können (anstatt der geradlinigen Wege bei der Lösung der Aufgabe). Das Vial im Vialzentrum geteilt durch die Einwohnerzahl gibt einen mittleren Stadtradius ab, der für jede Stadt charakteristisch und beim Vergleich verschiedener Städte von Wert wäre. — Leider sind die hier angedeuteten Berechnungen recht mühsam; sonst hätte man wohl schon längst mehr Gebrauch von ihnen gemacht.

5. Aufgabe. Ein materieller Punkt, dem ein Gewicht von 981 kg zugeschrieben wird, führt eine gedämpfte harmonische Schwingung aus. Eie elastische Kraft, die ihn in die Anfangslage zurückzuführen sucht, beträgt für 1 cm Ausschlag 10 kg, der dämpfende Widerstand ist bei einer Geschwindigkeit von 1 m/sek gleich 20 kg. Ist die Bewegung periodisch oder aperiodisch ? Wie groß ist das logarithmische Dekrement? Wie groß müßte der dämpfende Widerstand sein, wenn die Bewegung an der Grenze zwischen der periodischen und aperiodischen stehen sollte?

= 1000

Lösung. Die in § 6 mit c bezeichnete Konstante ist hier 10 kg 1 cm

Setzt man diese Größen in Gl. (87) ein, so erhält man

7,645 cm¹.

• m ■ 2500

sec¹

Ebenso wird, mit Berücksichtigung der Dimensionen,

20 kg

= 20

kg sec

sec

und die Masse m ist

981 kg m

»■“s?

Hiermit läßt sich die früher mit y bezeichnete Wurzel berechnen; sie ist

-100^

r-V£

c =v

m V

400    1 _ 1000    1

40 000 sec² 100 sec*

Wir sehen, daß y imaginär und daher die Bewegung periodisch ist. Zugleich haben wir uns überzeugt, daß die beiden Glieder unter dem Wurzelzeichen homogen in den Dimensionen sind. Für y erhalten wir

/=yio

— — 3,16 • sec \ 100 sec

Bei der Berechnung des logarithmischen Dekrements wollen wir annehmen, daß die Schwingungsausschläge nach beiden Seiten hin beobachtet und miteinander verglichen werden sollen. Dann erhält man

nach Gl. (36)

lga„-lgan + i

■nh

n ■ 20

kg sec

j/4 mc — &²

kg²sec²

0,0994.

1/(400 • 1000 — 400)

Vergleicht man dagegen nur die nach derselben Seite erfolgenden Schwingungsausschläge oder auch die ganzen Schwingungsbahnen miteinander, so hat das logarithmische Dekrement den doppelten Wert.

Bei den Versuchen ist es oft bequemer (wenn nämlich gerade keine Tafel der natürlichen Logarithmen zur Verfügung steht) die Brig g sehen Logarithmen der Ausschläge zu nehmen. Um die vorige Zahl auf Briggsche Logarithmen umzurechnen, dividiere man sie durch den natürlichen Logarithmus von 10, also durch 2,3026.

Die Bewegung steht an der Grenze zwischen periodischer und aperiodischer, wenn y und y zu Null werden. Die Bedingung dafür ist

— oder ^=l/4mc. m    '

m²

ifc²

4 m*

Nach Einsetzen der Zahlenwerte geht dies über in Tc =]/4 • 100

Die Dämpfung müßte mehr als dreißigmal so stark sein als sie angegeben war, um eine aperiodische Bewegung herbeizuführen.

kg sec²

1000 kg= 632,4^--.

m    ⁷ m

6. Aufgabe. Man soll für den in der vorigen Aufgabe behandelten Fall die Schwingungsdauer berechnen.

Lösung. Nach Gl. (32) ist

Litm

j/4 mc — k - '

woraus nach Einsetzen der Zahlenwerte T = 1,99 sec folgt. Die Schwingungen stimmen hiernach nahezu mit denen eines Sekundenpendels überein.

7. Aufgabe. Per in Aufgabe 5 behandelte materielle Punkt erfährt von einer fremden Schwingung periodische Anstöße vom Größtwerte 0,5 kg. Wie groß werden die Ausschläge der erzwungenen Schivingungen (nach so langer Zeit vom Beginne der Erregung an, daß die verwickelter en Bewegungen des Anfangs zustandes als abgeklungen betrachtet tverden können), wenn die Schwingungsdauer der erregenden Schwingung a) 3 sec, b) 2,2 sec beträgt, c) ebenso groß ist als die der Eigenschwingungen?

Lösung. Die in § 8 mit P bezeichnete Größe ist hier P — 0,5 kg.

Ferner folgt die mit 17 bezeichnete Größe für den Fall a), der zuerst untersucht werden soll, aus

7] = 2,0944 sec⁻¹.

zu

7] • 3 sec = 2 7t

Den Phasenverschiebungswinkel cp der erzwungenen gegen die erregenden Schwingungen findet man aus Gl. (46)

kg sec

1er]

20

• 2,0944 sec ¹

1000 ° — 100

in

kg^ec^ -43866sec-2 m

= +0,0746.

Der Winkel cp ist hier spitz und ziemlich klein, d. h. die erzwungenen Schwingungen bleiben nur wenig hinter den erregenden in der Phase zurück, was daher kommt, daß wir im Falle a) noch ziemlich weit von der Resonanz entfernt sind. Durch Aufschlagen in einer trigonometrischen Tafel findet man cp = 4° 16'; ferner sin cp = 0,0744 und cos cp • = 0,9972. Alle diese Werte sind in Gl. (47) einzutragen. Man erhält dann

0,5 kg

0,9972 (1000 — 438,65) ^ -f 0,0744 • 20 ^6C- • 2,0944 sec ~ ¹

= 0,00089 m = 0,89 mm.

Die Schwingungsausschläge sind also im letzten Falle in der Tat etwa neunmal so groß als im Falle a), obwohl die Intensität der erregenden Schwingungen dieselbe gebliehen ist und nur die Schwingungsdauer sich geändert hat. Wenn die Dämpfung kleiner ist, als hier vorausgesetzt wurde, kann das Verhältnis noch viel größer werden.

8. Aufgabe. Auf den in den vorigen Aufgaben behandelten materiellen Punkt wirke eine periodische äußere Kraft P, die in kg gegeben ist durch den Ausdruck

P = 0,5 sin 7] t -f 0,1 sin 2 rjt.

Man soll zunächst die erzwungenen Schwingungen angeben, die durch P hervorgerufen werden, wenn rj wie im Falle a) von Aufg. 7 gleich 2,0944 sec⁻¹ ist, Bei welchen Werten von r\ sind besonders große Ausschläge zu erwarten?

Lösung. Wir brauchen nur die Zahlenwerte in die in § 10 aufgestellten Formeln einzusetzen. Mit Weglassung des die Eigenschwingungen darstellenden, hier unwesentlichen Gliedes xx hat man für den Schwingungsweg x zur Zeit t

x = Cx sin (jjt — cpx) + C₂ sin (2 rjt — <p₂).

Dabei sind die C und cp aus den Gleichungen (46) und (48) zu berechnen. Cx und cpx können wir sofort aus der Lösung der vorigen Aufgabe entnehmen, da sich hieran nichts geändert hat. Wir haben also

cpx = 4°16' und Cx = 0,89 mm.

Für tg <p₂ erhalten wir nach Gl. (46) mit 2 t] an Stelle von 7]

2-20-2,0944

tg <P₂ =

= — 0,1104.

Hiermit ist die Schwingungsamplitude gefunden. Die Wiederholung der Rechnung für 2,2 sec Schwingungsdauer liefert

7] = 2,856 sec“¹, tg<p = 0,3098, <p = 17° 12'50", sin cp = 0,2959,

Für den Fall der Resonanz endlich hat man cp = 90° und nach Gl. (49) wird die Schwingungsamplitude

0,5 kg

cos cp = 0,9552, C = 2,59 mm.

100

kg

20 —

sec

1000

sec² = 0,0079 m = 7,9 mm.

2 kr]

C — 4 Witj² ~ 1000 — 400.4,3865 Der Winkel cp₂ ist daher stumpf und zwar gleich 173⁰42'. Dann

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

erhält man noch sin cp₂ = 0,1097 und cosgo₂ = — 0,9940. Aus Gl. (48) findet

man nun

0,1 • 0,9940

400 ■ 4,3865— 1000

= 0,00013 m = 0,13 mm.

Hier haben wir zwei kritische Geschwindigkeiten, für die verhältnismäßig große Ausschläge zu erwarten sind, wenn nämlich entweder 7] oder 2 v\ mit der Konstanten cc für die ungedämpften Eigenschwingungen übereinstimmt. Im ersten Falle, der schon in der vorigen Aufgabe behandelt ist, bringt das erste Glied im Ausdrucke für P die großen Ausschläge hervor. Im anderen Falle erhält man nach Gl. (49) für C₂

C₂ =

= 0,00158 m = 1,58 mm.

04-1 /100

20 V 1000

Die Dimensionsbezeichnungen sind hier überall weggelassen, da sie mit den in der vorigen Aufgabe vorkommenden vollständig übereinstimmen.

9. Aufgabe. Ein materieller Punkt von 10 kg Geivicht führt im Felde einer elastischen Kraft von der Feldstärke c — 0,1 kg/cm eine geradlinige Schwingung aus. Die Beobachtung liefert die nachstehende Reihe aufeinanderfolgender Ausschläge in cm: 4,33; 3,73; 3,20; 2,70; 2,21; 1,73; 1,30; 0,90; 0,54. Man soll untersuchen, ob sich der beobachtete Bewegungsvorgang genügend genau durch die Annahme erklären läßt, die Dämpfung rühre von einem Zusammenwirken einer konstanten Beibung mit einer der Geschwindigkeit proportionalen Reibung her. Wie groß sind unter dieser Annahme die beiden Reibungswerte zu setzen?

Lösung. Zuvor sei bemerkt, daß die angeführte Zahlenreihe nicht willkürlich gewählt, sondern von einem wirklich ausgeführten Versuche entnommen ist. Die Reihe ist weder eine arithmetische noch eine geometrische, wie es sein müßte, wenn die Dämpfung entweder von einer konstanten oder von einer der Geschwindigkeit proportionalen Reibung allein hervorgebracht wäre. In solchen Fällen wird man öfters zu einer befriedigenden Theorie des Vorgangs gelangen, wenn man ein Zusammenwirken von zwei Reibungsursachen annimmt.

Aus § 7 weiß man, daß der Schwingungsweg von der äußersten Lage auf der einen Seite zum größten Ausschlage nach der anderen Seite unter der Einwirkung einer konstanten Reibung genau so erfolgt, als wenn die Reibung fehlte, dafür aber die Gleichgewichtslage, um die die Schwingung ausgeführt wird, um eine dort mit e bezeichnte Strecke verschoben wäre. Diese Betrachtung bleibt auch

noch anwendbar, wenn zugleich andere Kräfte (also hier außerdem noch eine der Geschwindigkeit proportionale Reihung) an dem bewegten materiellen Punkte angreifen. Die Wirkung der konstanten Reibung kann auf jeden Fall, solange die Bewegung in der gleichen Richtung erfolgt, auch durch die Verlegung des Anziehungszentrums um die Strecke e entgegengesetzt der Bewegungsrichtung hervorgebracht werden. Wenn dies geschieht, haben wir für einen Schwingungsweg außer der Verlegung des Anziehungszentrums nur noch die der Geschwindigkeit proportionale Reibung zu berücksichtigen. Bezeichnen wir die von dem verlegten Anziehungszentrum aus gemessenen Ausschläge nach beiden Richtungen, zwischen denen der betrachtete Schwingungsweg erfolgt, mit an und a

so ist nach § 6, Gl. (35)

n + l>

nk

= (1^6 V 4 m e — k²

zu setzen, wofür jetzt zur Abkürzung

<+i = Xa'n

geschrieben sei. Die vom wirklichen Anziehungszentrum aus gemessenen Ausschläge seien mit an und an + 1 bezeichnet. Sie unterscheiden sich von an und an + x um die Strecke e und zwar ist

¹

m

qm ■ 327 —

Man erhält eine Fläche, wie es sein muß, da auch der Inhalt der Belastungsfläche unmittelbar als Last des Seilpolygons betrachtet wird. Der Maßstab des Kräfteplans steht noch frei. In Abb. 17, e ist der Inhalt jedes rechteckigen Streifens der Belastungsfläche

durch * der Höhe auf der Lastlinie dargestellt, d. h. 1 cm¹ der

Fläche wird durch eine Länge von 5 mm dargestellt. Hiernach war H gleich 38,2 mm zu machen.

— e.

an = a'n + 6 und an +1 = »,

so erhält man

n+li

Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen und der vorhergegangenen a'n und a\

an +1 ⁼ ^av — (! +

als Gesetz für die Abnahme der Schwingungsausschläge beim Zusammenwirken beider Dämpfungsursachen. Um zu prüfen, ob die gegebene Zahlenreihe mit dieser Formel durch passende Wahl von X und e in genügende Übereinstimmung gebracht werden kann, bilden wir am besten zuerst die Differenzen d der aufeinanderfolgenden Ausschläge, die sich zu

0,60; 0,53; 0,50; 0,49; 0,48; 0,43; 0,40; 0,36 cm ergeben. Andererseits erhält man aus der vorhergehenden Formel

än = an ~ an +1 = (l —    + (l + *)«•

Die Differenzen dn müssen sich daher als lineare Funktionen der Ausschläge an ansehen lassen. Um dies zu prüfen, tragen wir in Abb. 21 auf einer horizontalen a-Achse die beobachteten Ausschläge und in der Richtung der Ordinatenachse der d ihre Unterschiede in einem passend gewählten Maßstabe, nämlich viermal so groß als die a auf. Die so erhaltenen Punkte müßten, wenn die Gleichung für dn erfüllt sein sollte, auf einer Geraden liegen. Man sieht, daß dies nicht genau zutrifft. Wenn man aber bedenkt, daß die Ablesungen der Ausschläge beim Versuche mit unvermeidlichen Beobachtungsfehlern behaftet waren, kann man trotzdem sagen, daß die Annahme, die wir prüfen sollen, ungefähr mit der Beobachtung übereinstimmt.

Wir ziehen eine gerade Linie nach Augenmaß, die sich möglichst gut an die Punktreihe anschließt. Eigentlich sollte man die Linie so ziehen, daß für sie das Trägheitsmoment der Punkte, die man sich alle mit gleichen Massen behaftet denkt, möglichst klein ausfällt. Man kann aber schon durch bloße Schätzung die Linie so eintragen,

Abb. 21.

daß sie dieser Forderung hinlänglich genau genügt. Der Abschnitt, den die Linie auf der d-Achse bildet, entspricht nach der vorhergehenden Gleichung dem letzten Gliede auf der rechten Seite; andererseits wird er aus der Zeichnung mit Berücksichtigung des angewendeten Maßstabs zu 0,32 cm gefunden. Man hat also

(1 + X)e = 0,32

und für die letzte Ordinate der geraden Linie erhält man aus der Zeichnung 0,58 cm mit der Abszisse 4,33, so daß man nach der Gleichung der Geraden

(1 — À) 4,33 + (1 + X)e = 0,58

findet, woraus sich

A — 0,940 und e = 0,165 cm ergibt. Für die konstante Reibung F hat man daher F = cc = o,0165 kg

und für die Reibungkonstante k erhält man nach Einsetzen des Wertes von A die Gleichung

lg ö,5Iö = lg 1,064 “ 0,062 ’

7Ck

j/4 mc —

aus der durch Auflösen nach k

k = 0,00124

kg sec

cm

folgt, womit die Aufgabe vollständig gelöst ist.

10. Aufgabe. Ein Draht von 4 mm Stärke und 150 cm freier Länge ist am oberen Ende eingespannt und hängt lotrecht herab. Unten ■ist daran eine dünne kreisförmige Scheibe von 30 cm Durchmesser und 20 kg Gewicht befestigt, wie aus Abb. 22 hervorgeht. Wie groß ist die Schwingungsdauer der Drehschwingungen um den lotrechten Durchmesser der Scheibe, wenn die Masse des Drahtes gegenüber der Scheibenmasse vernachlässigt und die überall gleich große Dicke der Scheibe als unendlich klein angesehen wird? Wie groß müßte ferner eine der Geschwindigkeit proportionale JReibung sein, die man der Drehbewegung der Scheibe entgegenzustellen hätte, um die Bewegung aperiodisch zu machen? Der Schubelastizitätsmodul des Drahtmaterials soll zu 800000 atm angenommen werden.

l’150 cm

Lösung. Gegenüber dem in § 5 behandelten Falle einer Drehschwingung besteht nur der Unterschied, daß die Scheibenebene hier nicht senkrecht zur Drehachse steht, sondern durch die Drehachse hindurchgeht. Die Masse kann als gleichmäßig über die Kreisfläche verteilt angesehen werden und der Trägheitshalbmesser der Scheibe bezogen auf die Drehachse kann daher nach Band III, § 21,

S. 104 der 4. Aufl.

i = ~, also hier i = 7,5 cm

gesetzt werden. Das Trägheitsmoment folgt daraus zu 20 kg sec2 981 cm

l.

■ 7,5²cm² = 1,147 kg cm sec².

30cm Abb. 22.

Die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingungen findet man nach Gl. (24), wenn jetzt unter a der Halbmesser des Querschnittskreises des Drahtes verstanden wird,

-bV

2 7tl&

—-V-

0,2² cm² V

2 n • 150 • 1,147 kg cm² sec²

kg

= 1,84 sec.

800000—°. cm²

Die Bewegung wird aperiodisch durch eine Dämpfung, für die der Dämpfungsfaktor k mindestens

k =j/2

ist. Diese Bedingung gilt für eine Drehschwingung ebenso wie für die geradlinige Schwingung eines materiellen Punktes, wenn nur an Stelle von m das Trägheitsmoment 0 und für c der hier zutreffende Wert

»a⁴ G

21

gesetzt wird. Setzt man die Zalilenwerte ein, so erhält man ft = 5,55 kg cm sec.

Die Benennung von ft Aveicht von der in Aufg. 5 für die geradlinige Schwingung festgestellten ab; hier muß nämlich ft mit einer Winkelgeschwindigkeit, also mit sec⁻¹ multipliziert ein statisches Moment, also kg cm liefern.

11. Aufgabe. Für irgendeine Lage des einfachen Pendels, das Schivingungen von beliebiger endlicher Größe ausführt, soll man den genaueren Wert der Fadenspannung berechnen.

Lösung. Die Geschwindigkeit in der durch den Winkel cp in Abb. 13, S. 79 bezeichneten Lage ist, wie wir früher fanden,

v —y2 gl (coscp — cosa).

Die Normalkomponente der Resultierenden aus der Fadenspannung F und dem Gewichte Q ist die Zentrifugalkraft, die wir nach der von früher her bekannten Formel berechnen können. Wir finden

= 2 Q (cos cp — COS a) .

9    ¹

Die Projektion der Resultierenden auf die augenblickliche Fadenrichtung ist gleich der algebraischen Summe der Projektionen von F und also

C = F — Q cos cp

und nach Einsetzen des Wertes von C folgt daraus F = Q(ß cos <p — 2 ces aj.

3 z -f- l cos a

Um diesen Wert anschaulicher zu deuten, formen wir ihn um in 31 (cos cp — cos a) -f-1 cos cc

wenn wir die schon in Abb. 13 mit z bezeichnete Strecke wieder einführen. Die Fadenspannung wird hiernach gleich dem Gewichte Q, wenn 3 z die Vertikalprojektion des Fadens in der äußersten Lage gerade zur ganzen Fadenlänge ergänzt, d. h. dann, wenn der bewegliche Punkt -i- seiner ganzen Fallhöhe zurückgelegt hat. Bei größerem

Ausschlage des Pendels ist F kleiner, bei kleinerem Ausschlage größer als Q.

12. Aufgabe. Ein Wagen (Äbb. 23) ist auf seinen beiden Achsen mit Federn gelagert, die eine Meine Bewegung in vertikaler Richtung gestatten. Man soll die Schwingungsdauer für die Drehschwingungen berechnen, die der Wagenkasten um die durch den Punkt 0 senkrecht zur Zeichenebene gehende Achse auszuführen vermag.

Abb. 23.

Lösung. Ein gefederter Wagen vermag außer den Drehschwingungen, um die es sich hier handelt, auch noch andere auszuführen, die sich in ähnlicher Weise behandeln lassen, die hier aber nicht besprochen werden sollen. Die be-zeichneten Drehschwingungen treten z. B. hei den Anhängewagen der Münchener Trambahn sehr deutlich auf, wenn nach einem Halt schnell angefahren wird. Die durch den Zughaken auf den Anhängewagen übertragene beschleunigende Kraft liegt ziemlich viel tiefer als der Schwerpunkt des Wagens. Man kann sie sich durch eine parallele und gleich große Kraft, die im Schwerpunkt angreift, und ein Kräftepaar ersetzt denken. Während jene die Beschleunigung in der Fahrtrichtung hervorruft, entsteht durch das Kräftepaar während des ruckweise erfolgenden Anfahrens eine Drehbeschleunigung des Wagenkastens. Hierbei wird die hintere Feder weiter zusammengedrückt und die vordere wird zum Teil entlastet, indem sich das vordere Wagenende ein wenig hebt. Nachdem die beabsichtigte Fahrgeschwindigkeit erreicht ist, führt der Wagenkasten Schwingungen um die horizontale Gleichgewichtslage aus, die allmählich erlöschen. Im folgenden soll nur die weitere Fortsetzung der Schwingungen nach Ablauf ihrer Erregung und ohne Berücksichtigung der Dämpfung besprochen werden.

Die Bewegungsgleichung läßt sich hier ebenso anschreiben, wie bei den in § 5 behandelten Torsionsschwingungen. Wie in Gl. (22) hat man auch hier

d'¹ qp

dt*    C(p-

Dabei ist ep der Drehungswinkel und 0 das auf die Drehungsachse bezogene Trägheitsmoment des Wagenkastens. In einem bestimmten Falle wird man es dadurch genau genug erhalten, daß man den Trägheitshalbmesser abschätzt, während das Gewicht und hiermit die Masse von vornherein als gegeben angesehen werden können. Die Konstante c ist dagegen aus einer Angabe über die Zusammendrückbarkeit der Federn zu berechnen. Bezeichnet man nämlich die Zusammendrückung, die eine Feder durch die Lasteinheit erfährt, mit a, so entspricht einem Drehungswinkel cp ein Kräftepaar vom Momente

l“cp

wobei zu beachten ist, daß vorn sowohl wie hinten je zwei Federn hintereinander liegen, von denen jede für einen Federhub — cp eine

lep

Kraft von der Größe

ausübt. Die Konstante c ist daher

r-

wenn

halbmesser mit i bezeichnet wird.

und für die Dauer einer vollen Schwingung hat man nach Gl. (23) noch das Gewicht des Wagenkastens mit Q und der Trägheits

T = 2tc

ri '7 •

4tt

wobei unter 5 die Zusammendrückung zu verstehen ist, die jede Feder durch das Eigengewicht des Wagens erfährt, falls alle gleich belastet sind.

13. Aufgabe. Ein Körper A in Abb. 24 von 196,2 kg Gewicht ist durch die Federn B an einem feststehenden Böhmen C aufgehängt und durch eine Stange 1) geführt, so daß er sich nur in lotrechter Bichtung verschieben kann. Einer Verschiebung von A aus der Gleichgewichtslage um 1 mm soll eine Änderung in der Spannung der Federn von 6 kg entsprechen. Wie groß ist die Schwingungsdauer, a) wenn die Beibung zwischen A und I) vernachlässigt werden kann, b) wenn zwischen beiden eine der Geschwindigkeit proportionale Beibung auf tritt, die 500 kg für eine Geschwin-

A\

Ąr-ą—fi

B D B

Abb. 24.

digkeit von 1 ^ beträgt?

Ferner soll noch die Differentialgleichung für die erzwungenen Schwingungen aufgestellt werden, die A ausführt, wenn D nicht in Buhe ist, wie bisher vorausgesetzt war, sondern selbst eine schwingende Bewegung in vertikaler Bichtung macht, die durch y — a sin i] t mit gegebenen Werten von a und t] dargestellt wird. Die Beibung zwischen A und D soll dabei der Angabe unter b) entsprechen.

Lösung. Auf 1 m als Längeneinheit bezogen ist m = 20 und c — 6000, die Schwingungsdauer der reibungsfreien Schwingung daher

0,36 sec.

r-H/f-

In denselben Einheiten ausgedrückt ist 1c = 500 und T nach Gl. (40) für die gedämpfte Schwingung

4 nm

y4 mc — k²

Wenn sich auch L bewegt, sei die Entfernung von A aus der Gleichgewichtslage mit x, die von D aus der mittleren Lage mit y bezeichnet. Dabei sind x und y nach derselben Richtung hin positiv zu rechnen, also etwa, wenn sie beide nach abwärts gehen. Die

~dt ~ lÜt Und

bedeutet ein positiver Wert dieses Ausdrucks, daß A gegen D in der positiven Richtung voreilt. Die von D auf A übertragene Reibung widersetzt sich dieser Bewegung, geht also dann in der negativen Richtung. Hiernach hat man für Körper A die Bewegungsgleichung d²x _ dt* ~~

Mit y = 0 geht diese Gleichung wieder in die der gedämpften Schwingungen über. Setzen wir den hier vorgeschriebenen Ausdruck für y ein, so erhalten wir

= 0,52 sec.

relative Geschwindigkeit zwischen A und T> ist

— cx

-»(

dx dy dt dt

dx

zwar

a*x    d oc

m -|- k -jj + cx = kai] cos rjt.

Diese Gleichung unterscheidet sich von Gl. (44) für die erzwungenen Schwingungen nur dadurch, daß cos rjt anstatt sin rjt geschrieben ist. Wenn t unbegrenzt wächst, durchläuft aber cos 7]t dieselbe Wertreihe wie sin rjt und man kann daher in der vorstehenden Gleichung bei anderer Wahl des Anfangspunktes der Zeitrechnung cos rjt auch durch sin^£ ersetzen. Hierauf kann man für die Lösung der Gleichung die in § 8 gegebenen Formeln ohne Änderung benutzen.

14. Aufgabe. Lin Eisenbahnwagen I (Abb. 25) steht an einem Prellbocke, sa daß sich die Puffer gerade berühren, während ein Wagen II mit einer Geschwindigkeit vQ auf I auffährt. Man soll die Stoßvorgänge, die sich hierbei abspielen, näher untersuchen.

Lösung. Wir betrachten zunächst den Vorgang vom Auftreffen des Wagens II an, von dem ab wir die Zeiten t rechnen, bis zu dem Augenblicke t — tt, in dem sich Wagen II wieder von Wagen I

trennt, um nach links hin züirückzurollen. Innerhalb dieser Zeit führen beide Wagen zwei miteinander gekoppelte Schwingungen aus. Allerdings wird von jeder der beiden Schwingungshewegungen nur ein Bruchteil einer vollen Schwingung innerhalb dieser Zeit vollendet. Es mag jedoch bemerkt werden, daß die Schwingungen nach demselben Gesetze längere Zeit fortbestehen würden, wenn eine Einrichtung getroffen wäre, durch die die Puffer nach ihrem Zusammenstößen (etwa durch Einhaken) miteinander verbunden würden, so daß sie sich im weiteren Verlaufe nicht mehr trennen könnten.

Zu einer Zeit f, die kleiner ist als sei die Zusammendrückung

der Puffer zwischen I und dem Prell-bocke mit */, die der Puffer zwischen I und II mit z bezeichnet. Die Be-% schleunigung von I

ist dann gleich

setzen. An Wagen II wirkt in

diesem Augenblicke eine vei’zögernde Kraft, die gleich cz und an Wagen I als Resultierende der hinten und vorn angreifenden Pufferdrücke eine beschleunigende Kraft, die gleich cz — cy zu setzen ist, wenn man unter c den Pufferdruck versteht, der einer Zusammendrückung gleich der Längeneinheit entspricht und alle Pufferfedern als gleich konstruiert voraussetzt.

Die Bewegungsgleichungen lauten daher

<Py Mt*

(d*y . d-z\ _

\dti + w) -

Löst man die erste Gleichung nach z auf und setzt den erhaltenen Ausdruck in die zweite ein, so erhält man

n.

I.

-f

wzzmMmmwÆwwmêâm,

Abb. 25.

und die von II gleich

ZU

dt²

= c{z — y),

— CZ

mim2    + (mi + 2m₂)    + c*y — 0.

Will man umgekehrt y eliminieren, so differentiiere man die erste Gleichung zweimal nach t und setze darauf den aus der zweiten

Gleichung hervorgehenden Ausdruck für ein. Man findet dann,

daß z derselben Differentialgleichung genügen muß, wie y.

Diese Differentialgleichung ist von derselben Form wie Gl. (58) für die in § 11 als Beispiel behandelten gekoppelten Schwingungen, abgesehen davon, daß die konstanten Koeffizienten hier durch andere Ausdrücke dargestellt werden. Jedenfalls kann aber die Lösung hier in derselben Weise wie damals angeschrieben werden. Man hat also

y — A sin Xxt -j- B cos t -j- Osin X₂t + B cos X₂t,

wenn unter und Ä₂ die beiden positiven Wurzeln der charakteristischen Gleichung

— (ml -+- 2m₂)cl² -f c² = 0

verstanden werden. Zur Vereinfachung der weiteren Ausrechnung möge von hier ab angenommen werden, daß beide Wagen gleiche Massen haben, daß also m₂ = m₁ ist, wofür kürzer m geschrieben werden kann. Die Auflösung der Gleichung liefert dann zunächst

^•(3 +1/5); $-£(*-/S).

Die Quadratwurzeln aus den Klammer werten lassen sich leicht auf eine einfache Form bringen, so daß man

VE+A' |/Z

2 V m

*1 =

und Ä<

V±zzli/Z

2 V m

erhält, oder auch, wenn man die Zahlenrechnung durchführt,

= 1’ei8Vi-<

Setzt man ferner den Wert von y in die erste der beiden Differentialgleichungen ein, so findet man

z = (l — ™ ^ ^(A sin Xxt -f- B cos

+ (l A>)(Csini₂« + B cos X₂1).

Die Werte der Integrationskonstanten AB OB findet man wie gewöhnlich aus den Grenzbedingungen. Zur Zeit t — 0 wird nämlich

dz

Ht=v 0-

y ~ o,, ^ = 0’ aj ⁼ °’

Hiermit erhält man vier Gleichungen, die sich nach den Unbekannten leicht auflösen lassen. Man findet

Die fertigen Lösungen lauten demnach, wenn man auf die Werte von und A₂ achtet, um die Ausdrücke zu vereinfachen,

«— - V- sinlxt-\- - V°l- sin X₉t.

Vj/ß hV⁵

Z =y=F    (sin V + sin A₂1).

Aus diesen Gleichungen läßt sich nun das Weitere entnehmen. Wagen II trennt sich von dem anderen, wenn z zum ersten Male wieder seit t = 0 zu Null wird. Die Zeit tt ergibt sich dabei aus der Gleichung

sin tx + sin 1₂ tx — 0.

Hiernach muß AL tx ein Winkel im dritten (oder vierten) Quadranten sein, der ebensoviel gi’ößer als n ist, wie A₂ tx kleiner ist als n. Man hat daher

(Aj + A₂)4 — 2 7T,

und wenn man auf die Werte von A₁ und A₂ achtet

'.-viVî

2 it

2,236

v»

Die Geschwindigkeit v₂, mit der Wagen II zurückrollt, findet man aus den Gleichungen für y und £, nämlich

/dy dz\

V'²    \dt    dt)t = t’

+ ^0 C0S A-2 •

1/5 ±1

2]/5

denn auf diese Form läßt sich der Ausdruck durch einige Vereinfachungen bringen. Nach dem, was vorher über die Winkel Xxtx und X₂tt gefunden war, ist aber

1/5 — 1 2]/5

cos Xxtx = cos X₂tx ,

und hiermit erhält man kürzer

v₂ = v₀ cos X₂ tt.

Auch dies läßt sich weiter ausrechnen. Durch Einsetzen der Zahlenwerte findet man nämlich

X₂tx =0,2764 • 27t = 99°30',

wenn man auf Gradmaß umrechnet, und durch Aufschlagen in einer trigonometrischen Tafel

cos A₂4 = — 0,165

woraus schließlich das einfache Ergebnis v₂ = — 0,165 v₀

folgt. Das negative Vorzeichen ist natürlich dadurch begründet, daß v₀ und v₂ entgegengesetzt gerichtet sind.

Die Geschwindigkeit v₂ hängt also weder von m noch von c, d. h. nicht von der Stärke der Puffer ab. Dabei ist natürlich, wie in der ganzen vorhergehenden Betrachtung stillsöhweigend vorausgesetzt, daß der Stoß nicht so heftig ist, daß die Puffer an der Hubgrenze anlangen oder höchstens bis dahin, ohne aufzustoßen. — Es mag auch noch darauf aufmerksam gemacht werden, daß andererseits die Zeit tx, wie die dafür abgeleitete Formel lehrt, nur von m und c, dagegen nicht von der Geschwindigkeit v₀ abhängt, mit der Wagen II auf I aufstieß.

Wir haben jetzt weiter die Bewegung des Wagens I nach dem Ablaufen von Wagen II zu verfolgen. Von t = tt an bis zu einer Zeit t — t.₂ besteht diese Bewegung in einer einfachen Sinusschwingung, von der freilich auch wieder nur ein Bruchteil einer vollen Schwingung zur Ausführung gelangt. An dem Wagen greift nämlich innerhalb dieser Zeit nur der Pufferdruck —cy an und ein materieller Punkt, an dem eine Kraft wirkt, die diesem Gesetze folgt, führt, so lange dies zutrifft, eine einfache Sinusschwingung aus. Wir können dafür ohne weiteres Gl. (17) in der Form

y = A sin cc (t —    -f- B cos a(t — t^)

, während die jetzt neu eingeführten Integrationskonstanten A und B, die mit den vorher ebenso bezeichneten nicht verwechselt werden dürfen, aus den Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Zur Zeit t = tx finden wir nämlich das zugehörige y, das wir yx nennen wollen, sowie auch die Geschwindigkeit vx des Wagens aus der für die Zeit von t = 0 bis t = gültigen Formel für î/, und zwar erhält man

gültig von t = lx bis t == t₂ übernehmen. Dabei bedeutet, wie früher in § 4 a den Wert^/^

y i    (;* + xä) sin = vo]/?c sin Mi = 0,986 vĄ/ , vx — V°-- (— cos Xx tx -f- cos X.₂tj) = 0.

Die Pufferfedern am Prellbocke haben also, wegen v₁ = 0, gerade die größte Zusammendrückung erfahren, wenn sich Wagen II von Wagen I trennt. Ferner muß wegen vx — 0 die Integrationskonstante A gleich

Null gesetzt werden, während B — y₁ wird, so wird

Setzt man dies ein,

y = 0,986 vĄ/‘~ cos (]/ ^ (t - tj)

gültig von t = tx bis zu einer gewissen Zeit t — t₂. Der Zeitpunkt t2 ist dann erreicht, wenn sich entweder Wagen I vom Prellbock trennt oder wenn, falls dies schon früher eintritt, Wagen I wieder auf den im Davonrollen begriffenen Wagen II aufstößt.

Um dies zu entscheiden, denken wir uns einmal vorläufig Wagen II ganz beseitigt. Dann würde sich jedenfalls die Sinusschwingung so lange fortsetzen, bis die Zusammendrückung y der Puffer am Prell-bocke wieder zu Null geworden ist. Das geschieht, wenn der Winkel, dessen Kosinus in der Formel vorkommt, ein rechter wird. Die unter dieser Voraussetzung bestimmte Zeit £₂, die wir t'₂ nennen wollen, folgt daher aus

Wagen I hätte dann in dieser Zeit einen Weg von der Länge yt nach links'hin zurückgelegt. Andererseits hätte der Wagen II in der gleichen Zeit, wenn er ungestört fortgerollt wäre, den Weg

[t’₂ - tx)v₂ = — 0,165 y ^₀]/y

beschrieben. Das ist aber, wie der Vergleich lehrt, weniger als der Weg yl des Wagens I. Wir schließen daraus, daß Wagen I schon wieder auf Wagen II stößt, ehe er sich vom Prellbocke trennen konnte. Die Zeit t₂ ist daher eine kleinere als t'₂ und sie ist aus der Bedingung zu bestimmen, daß beide Wagen in der Zeit t₂ — tx gleiche Wege nach links hin zurückgelegt haben müssen. Das liefert die Gleichung

— COS

also eine transzendente Gleichung für t₂ — t₁, die durch Probieren leicht nach der Unbekannten aufgelöst werden kann, wobei es sich natürlich nur um die kleinste auf Null folgende positive Wurzel handelt. Dazu ist freilich nötig, daß man weiterhin für c und m bestimmte Zahlenwerte einführt. Davon soll jetzt abgesehen und der weitere Gang der Rechnung nur noch kurz angedeutet werden, damit die Auseinandersetzung nicht noch länger ausfällt, als sie ohnehin schon. geworden ist. Übrigens sei wenigstens noch darauf hingewiesen, daß v₀ aus der vorstehenden Gleichung fortfällt, so daß auch t₂ ebenso wie früher schon tt unabhängig von der Heftigkeit

des Stoßes gefunden wird, falls dieser die zulässige Grenze nicht überschreitet.

Nach der Zeit t₂, die aus der vorhergehenden Gleichung zahlenmäßig bestimmt werden kann, setzen wieder bis zu einer ferneren Zeit t — is die gekoppelten Schwingungen ein, die schon in dem ersten Zeitabschnitte zwischen 0 und t₁ bestanden. Die allgemeine Gleichung für y kann dafür ohne weiteres übernommen werden; dagegen sind die Konstanten AB CB wieder von neuem zu bestimmen. Dazu stehen die Grenzbedingungen zur Verfügung, daß für t = t₂ zunächst z — 0 ist, während y und aus der Gleichung für v/, gültig von t *= ty bis t — t₂ entnommen werden können, und daß endlich

sf+sf g’eich ”»wird-

Nachdem mit Verwertung dieser Grenzbedingungen die fertige Lösung für y und z für den dritten Zeitabschnitt aufgestellt ist, hat man von neuem zu untersuchen, wie lange dieser dauert, d. h. wann wieder eine Trennung stattfindet. Diese weiteren Rechnungen spielen sich aber dann genau nach dem Muster der vorhergehenden ab.

Ich breche die Betrachtung hier ab, empfehle aber ihre weitere Fortsetzung als ein gutes Übungsbeispiel, dem für die Beurteilung von Stoßvorgängen, bei denen mehrfache Federungen mitspielen, immerhin auch eine gewisse praktische Bedeutung beigemessen werden darf.

Zweiter Abschnitt.

Dynamik des Punkthaufens.

Vorbemerkung. Schon im ersten Bande dieser Vorlesungen wurde die Mechanik beliebiger Körper dadurch an die Mechanik des materiellen Punktes angeknüpft, daß wir diese Körper als Punkthaufen auffaßten. Denselben Weg müssen wir auch hier wieder ein-schlagen. Die Beziehungen, die zwischen den Punkten des Haufens anzunehmen sind, richten sich nach den physikalischen Eigenschaften des Körpers oder des Verbandes verschiedener Körper, mit dem wir es gerade zu tun haben, sowie nach der Genauigkeit, mit der wir dem wirklichen Verhalten im besonderen Falle Rechnung tragen wollen. Halten wir es z. B. für genügend, von der Gestaltänderung, die ein fester Körper in einem bestimmten Falle erfährt, abzusehen, so gelangen wir zu dem Bilde des starren Körpers, unter dem wir uns einen Punkthaufen von unveränderlicher Gestalt zu denken haben. In diesem Abschnitte soll aber zunächst ganz allgemein von Punkthaufen die Rede sein, die beliebigen Bedingungen unterworfen sind, und von starren Körpern, die freilich das wichtigste Anwendungsgebiet der hier anzustellenden Betrachtungen ausmachen, nur nebenher und insoweit, als es sich um die Anführung von Beispielen zur Erläuterung der vorgetragenen Lehren handelt. Im folgenden Abschnitte wird erst der starre Körper ausführlich für sich behandelt werden.

§ 16. Das Prinzip von d’Alembert.

Wir betrachten einen Punkthaufen, der in beliebiger Bewegung begriffen sein soll. Auch die Gestalt des Punkthaufens kann und wird sich im allgemeinen während der Bewegung ändern. An einem einzelnen Punkte des Haufens, auf den wir unser Augenmerk richten wollen, greifen verschiedene Kräfte an, die sich in äußere und innere einteilen lassen. Das ist schon im ersten Bande näher besprochen worden und in Übereinstimmung mit den damals gebrauchten Bezeichnungen sei ^ die Resultierende der äußeren und die Resultierende der inneren Kräfte. Wenn man unter m die Masse des Punktes und unter X den von einem festen Anfangspunkte nach ihm gezogenen Radiusvektor versteht, hat man nach der dynamischen Grundgleichung

(88)

und eine Gleichung von dieser Form gilt für jeden Punkt des Haufens.

Wir wollen uns ferner den Punkthaufen in seiner augenblicklichen Gestalt und Lage und unter Aufrechterhaltung aller übrigen Bedingungen jetzt noch ein zweites Mal gegeben denken; nur mit dem Unterschiede, daß an jedem Punkte noch eine fernere äußere Kraft § willkürlich zugefügt sein soll, die nach Größe und Richtung entsprechend der Gleichung

(89)

d*x

gewählt ist, in der die Beschleunigung so einzusetzen ist, wie

sie bei der wirklichen Bewegung des ersten Punkthaufens im Augenblicke der Betrachtung gerade stattfindet.

Im zweiten Punkthaufen haben wir dann, da die Kräfte und 3 unverändert beibehalten wurden, die aus der Verbindung der beiden vorhergehenden folgende Gleichung

(90)

V + ^3 + $ - o,

d. h. alle Kräfte halten sich jetzt an dem Punkte im Gleichgewichte, und zwar gilt dies für jeden Punkt des zweiten Punkthaufens.

Endlich wollen wir uns drittens noch einen starren Körper denken, der groß genug ist, um den ganzen Punkthaufen in seiner augenblicklichen Gestalt darauf abbilden zu können. Damit ist gemeint, daß jedem Punkte des Punkthaufens ein Punkt des starren Körpers zugewiesen werden soll, so daß die zugewiesenen Punkte ein dem Punkthaufen in seiner augenblicklichen Gestalt kongruentes und parallel liegendes Gebilde ausmachen. An jedem dieser Punkte des starren Körpers denken

Pöppl, Dynamik. 4. Aufl.

wir uns hierauf alle Kräfte fß, £> und 3 angebracht, die vorher an dem entsprechenden Punkte des zweiten Punkthaufens vorkamen. Die Kräfte $ sollen dabei ebenso wie die fp und als äußere Kräfte am starren Körper angebracht werden, ohne jede Rücksicht darauf, daß sie bei dem ersten Punkthaufen sich unter den gegebenen Bedingungen von selbst als innere Kräfte in dieser Größe und Richtung einstellten.

Da sich alle Kräfte, die wir anbrachten, an jedem Angriffspunkte für sich im Gleichgewichte befinden, wird der starre Körper, wenn er vorher in Ruhe war, auch weiterhin in Ruhe bleiben. Zwischen den Kräften fp, >£j und 3 müssen ferner auch alle Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein, die wir für Kräfte am starren Körper schon im I. Bande näher besprochen haben.

Hierbei ist aber zu beachten, daß nach der allgemeinen Fassung des Wechselwirkungsgesetzes auf jeden Fall die Kräfte 3 unter sich ein Gleichgewichtssystem am starren Körper bilden müssen (vgl. § 21, Bd. I, S. 139 d. 4. Auf!.). Daher müssen auch die ip und unter sich im Gleichgewichte stehen und allen früher hierfür aufgestellten Bedingungen genügen. Insbesondere muß sein, wenn man die Summe über alle $P und § an allen Punkten des starren Körpers erstreckt. Diese Bedingung ist indessen nur eine notwendige und nicht zugleich eine hinreichende. Vielmehr muß außerdem für jeden Momentenpunkt die Summe der Momente aller fp und gleich Null sein und ebenso muß für jede virtuelle Verschiebung des starren Körpers die Summe der Arbeitsleistungen aller ip und gleich Null sein.

In der zuletzt gegebenen Form wird das d’Alembert sehe Prinzip gewöhnlich in den Lehrbüchern der analytischen Mechanik dargestellt. Denkt man sich nämlich irgendeine unendlich kleine virtuelle Verschiebung des starren Körpers vorgenommen, und bezeichnet man den Weg, den der zunächst ins Auge gefaßte Punkt dabei zurücklegt, mit ô ê, so lautet die notwendige und zugleich auch hinreichende Gleichgewichtsbedin-

gung für die Kräfte ^ und an allen Punkten des starren Körpers

+ $)*8 = 0

GL (89)

gültig für jede virtuelle Yerscliiebung. Setzt man aus ein, so gebt sie über in

d² r

mdt²

0.

(91)

Bezeichnet man die Komponenten von nach den Richtungen eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit X YZ, die Komponenten von r mit xyz, und die Komponenten von d§ mit 8x, öy, 8z, so läßt sich dafür auch schreiben

d²x — m-mr

2K*

dt²

)äx + (Y-mdJ\Sy + (z

d²z m dt²

)dz] = 0, (92)

und das ist die Formel, die gewöhnlich als die Aussage des d’Alembertschen Prinzips angegeben wird. Es entspricht aber eigentlich mehr dem ursprünglichen Sachverhalte, das d’Alembert sehe Prinzip darin zu erblicken, daß man durch die Zufügung der Kräfte ^ an dem Punkthaufen ein System von Kräften ^ und erhält, das allen Gleichgewichtsbedingungen an einem starren Körper genügt. Ob man dieses Gleichgewicht nachher mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten oder mit Hilfe des Satzes von den statischen Momenten untersucht — was oft bequemer ist —, bleibt nebensächlich.

Die Hauptleistung von d’Alembert bei der Aufstellung seines Prinzips kann freilich vielleicht darin gefunden werden, daß er erkannt hat, daß sich die inneren Kräfte, weil sie für sich im Gleichgewichte stehen, aus den Gleichgewichtsbedingungen fortheben. Aber darum zu sagen, daß hierin der Kern des d’Alembertschen Prinzips zu erblicken sei, halte ich für unzweckmäßig, weil eben die Tatsache, daß die inneren Kräfte für sich ein Gleichgewichtssystem bilden, schon, durch das Wechselwirkungsgesetz ihrem vollen Inhalte nach zum xAus-drucke kommt. Und darüber hinaus lehrt das Prinzip nur noch, daß man durch den Kunstgriff der Einführung der Kräfte ein Gleichgewichtssystem der und § hersteilen kann, wodurch es möglich wird, Aufgaben der Dynamik auf statische Aufgaben zurückzuführen.

Die Kräfte £) werden gewöhnlich als „Trägheitskräfte“ bezeichnet und ich werde mich dieser Bezeichnung ihrer Kürze wegen anschließen. Man hat freilich gegen den Gebrauch dieses Wortes öfters eingewendet, daß es zu Mißdeutungen oder falschen Vorstellungen Veranlassung geben könne, da hiermit eine Größe als Kraft bezeichnet wird, die als solche physikalisch gar nicht existiert und die nur zur Vereinfachung der Betrachtungen zu den wirklich vorhandenen Kräften willkürlich zugefügt wird. Daß die Trägheitskräfte in der Tat nur in diesem Sinne als Hilfsgrößen und nicht als an dem ersten Punkthaufen, den wir eigentlich untersuchen wollen, wirklich angreifende Kräfte aufzufassen sind, darf man freilich nicht aus den Augen verlieren. Sofern dies geschieht, wird man aber jene Bedenken fallen lassen können, und ich habe auch, gerade um nach dieser Richtung keinen Zweifel zu lassen, ausdrücklich von zwei Punkthaufen und einem starren Körper gesprochen, von denen der erste Punkthaufen den unmittelbaren Gegenstand unserer Untersuchung bildet und au dem die Kräfte fehlen, während der zweite und der starre Körper, an dem die Kräfte angreifen sollen, nur zum Vergleiche mit dem ersten gebraucht werden. Ich trage auch um so weniger Bedenken gegen die gewählte Bezeichnung, als schon die „fingierte“ Zentrifugalkraft, von der im ersten Bande die Rede war, unter den Begriff der Trägheitskräfte fällt und man schon mit Rücksicht auf den in diesem Falle fest eingewurzelten Sprachgebrauch genötigt ist, zwischen den fingierten oder von uns willkürlich zugefügten Kräften und den physikalisch nachweisbaren oder, wie wir sagen, wirklich vorhandenen sorgfältig zu unterscheiden.

Man sieht leicht ein, daß den vorgehenden Betrachtungen noch eine allgemeinere Form gegeben werden kann. Anstatt den ganzen Punkthaufen auf einen starren ^ Körper abzubilden, wie es vorher geschehen war, können wir ebenso mit einem beliebig herausgegriffenen Teil verfahren. Der starre Körper, der diesen Teil abbildet und an dem alle zugehörigen Kräfte und 3 angebracht sind, ist unter dem Einflüsse dieser Kräfte jedenfalls im Gleichgewichte. Dagegen bilden jetzt nicht mehr alle Kräfte $ ein Gleichgewichtssystem, sondern nur jene davon untereinander, die auch für den in dieser Weise herausgegriffenen Teil des Punkthaufens noch als innere zu bezeichnen sind. Rechnen wir aber die übrigen, also die von den fortgelassenen Teilen des Punkthaufens auf die beibehaltenen übertragenen Kräfte jetzt zu den äußeren, so daß sie an dem starren Körper mit unter den ^ erscheinen, so bleiben die vorhergehenden Schlüsse und Aussagen ohne Änderung auch für das Teilstück bestehen.

Davon kann man z. B. Gebrauch machen bei einer Maschine, die aus Teilen zusammengesetzt ist, von denen jeder für sich genommen genau genug als starrer Körper betrachtet werden kann, während sich die Teile gegeneinander bewegen. Man kann dann eine zweite Maschine angeben, die im übrigen vollständig mit der vorigen übereinstimmt, die aber in Ruhe ist und dauernd in Ruhe bleibt, wenn man an jedem Teile der Maschine dieselben Kräfte wie bei der ersten Maschine und außerdem noch die Trägheitskräfte anbringt. Zu den Kräften gehören dann auch die Kräfte zwischen den einzelnen Maschinenteilen, also etwa Gelenkdrücke o. dgl., die bei der ruhenden Maschine ebenso anzunehmen sind, wie bei der bewegten. Wenn man dann aus der Gleichgewichtsbetrachtung an der ruhenden Maschine die Gelenkdrücke usw. gefunden hat, kennt man sie zugleich für die bewegte Maschine.

Entsprechend läßt sich auch das Anwendungsgebiet von Gl. (91) oder (92) erweitern. Zuerst war gesagt, daß sich die Formeln nur auf eine Bewegung ohne Gestaltänderung beziehen sollten, denn darauf kam es ja hinaus, wenn wir den Punkthaufen auf einen starren Körper abbildeten.

Die Formeln gelten aber auch noch in einem allgemeineren Falle, nämlich immer dann, wenn zwar eine Gestaltänderung ein-tritt, die inneren Kräfte aber dabei trotzdem keine Arbeit leisten. Denn in der Tat bestand ja der einzige Gebrauch, den wir vorher von der Voraussetzung der unveränderlichen Gestalt gemacht hatten, nur darin, daß wir die Summe der Arbeiten der inneren Kräfte gleich Null setzen konnten. Das ist immer erfüllt bei Bewegungen ohne Gestaltänderung; es kann aber auch noch in anderen Fällen erfüllt sein. Sobald es aber zutrifft, bleibt auch die Gültigkeit der Gleichungen (91) oder (92) bestehen.

Man denke sich z. B. zwei starre Körper, die in einem Gelenke ohne Reibung drehbar miteinander verbunden sind. Das System beider Körper kann als ein Punkthaufen von veränderlicher Gestalt aufgefaßt werden. Betrachten wir nun eine virtuelle Verschiebung des Punkthaufens, bei der zwar jeder starre Körper unveränderlich bleibt, während sich aber die beiden Körper gegeneinander drehen, so ist die Summe der Arbeiten aller inneren Kräfte immer noch Null, wenigstens dann, wenn zwischen beiden Körpern nur im Gelenke eine Kraft übertragen wird. Trügen beide Körper Magnete, die Fernkräfte aufeinander ausübten, so wäre dies freilich nicht mehr richtig und die Gleichungen (91) oder (92) blieben nicht mehr anwendbar. Man könnte sich in diesem Falle jedoch dadurch helfen, daß man die magnetischen Fernkräfte nicht als innere Kräfte des Systems, sondern als unmittelbar gegebene äußere Kräfte auffaßte und sie daher in die iß mit einrechnete, wobei die Anwendbarkeit der Formeln gewahrt bliebe.

In der analytischen Mechanik denkt man bei der Anwendung von Gl. (92) gewöhnlich an solche virtuelle Verschiebungen, für die die inneren Kräfte keine Arbeit leisten, obschon Gestaltänderungen dabei nicht ausgeschlossen sein sollen. Man kann dies, weil man sich die Körper, die das System oder den Punkthaufen ausmachen, nur in solcher Weise miteinander in Verbindung gebracht denkt, daß bei den hierdurch zugelassenen Verschiebungen der Teile gegeneinander in der Tat keine inneren Arbeiten geleistet werden. Um dies zum Ausdrucke zu bringen, pflegt man zu sagen, daß unter den in Gl. (92) aufiretenden Verschiebungskomponenten nur solche zu verstehen seien, die zwar sonst willkürlich, aber dabei mit den Systembedingungen verträglich seien. Das kommt aber darauf hinaus, daß    gleich Null sein soll. Insbesondere sollen keine

elastischen Formänderungen mit der virtuellen Verschiebung verbunden sein und keine Reibungen an den Berührungsstellen der verschiedenen Körper auf treten.

§ 17. Festigkeitsberechnungen für bewegte Körper.

In der Festigkeitslehre untersucht man die Spannungen und die Formänderungen eines elastischen Körpers unter der Voraussetzung, daß die an ihm angreifenden äußeren Kräfte im Gleichgewichte miteinander stehen und der Körper in Ruhe ist. In der Technik muß man aber auch öfters Festigkeitsaufgaben für bewegte Körper lösen. Dazu dient das d’Alembertsche Prinzip, mit dessen Hilfe man diese Aufgaben auf solche an ruhenden Körpern zurückführen kann.

Bei einem beliebig bewegten Körper stehen nämlich die an einem Volumenelemente angreifenden Spannungen und die an ihm wirkenden äußeren Kräfte nicht im Gleichgewichte miteinander, sondern sie liefern eine Resultierende, durch die die Beschleunigung der in dem Volumenelemente enthaltenen Masse herbeigeführt wird. Sobald man sich aber die Trägheitskraft als fernere äußere Kraft an dem Volumenelemente angebracht denkt, herrscht wieder überall Gleichgewicht. Dadurch wird die Möglichkeit eröffnet, die inneren Kräfte, die man in diesem Zusammenhänge als Spannungen bezeichnet, am ruhenden Körper untersuchen zu können, der neben den Lasten $ auch noch die Lasten § trägt.

Um streng zu sein, muß man hierbei jedoch noch eine weitere Erwägung eintreten lassen. Man weiß nämlich aus der Festigkeitslehre, daß es nicht möglich ist, die Spannungen, die zu gegebenen Lasten gehören, ausschließlich auf Grund von Gleichgewichtsbetrachtungen zu ermitteln. Es könnte daher Vorkommen, daß in dem ruhenden Körper, der die Lasten ^ und trägt, ein anderes System von Spannungen zustande käme, wie bei dem ihm entsprechenden bewegten Körper. Zunächst wenigstens können wir nur behaupten, daß die Spannungen, die am Umfange jedes Volumenelements angreifen, in beiden Fällen statisch gleichwertig sein müssen, d. h., daß sie dieselbe Resultierende ergeben müssen. Darum brauchen sie aber noch nicht notwendig auch in den Einzelheiten miteinander übereinzustimmen. Vielmehr könnten sich beide Spannungssysteme derart voneinander unterscheiden, daß ihr Unterschied einem Systeme von Eigenspannungen entspräche, also einem Systeme von Spannungen, das auch in einem unbelasteten Körper unter gewissen Umständen auftreten kann, wie es z. B. bei den sogenannten Gußspanuungen zutrifft.

Um hierüber eine Entscheidung treffen zu können, müssen wir nochmals auf die allgemeinen Betrachtungen des vorigen Paragraphen zurückkommen.

Wir hatten neben dem ersten Punkthaufen, auf den sich die Untersuchung bezog, einen zweiten eingeführt, an dem die Trägheitskräfte § zugefügt waren, während sich sonst nichts geändert haben sollte. Jetzt wollen wir an Stelle des starren Körpers, auf den wir hierauf alle Kräfte übertrugen, einen dritten Punkthaufen annehmen, der sich von dem zweiten dadurch unterscheidet, daß seine Punkte zur gegebenen Zeit in Ruhe sein sollen. Die Kräfte und § wirken an ihm gerade so wie vorher an dem zweiten Punkthaufen. Dagegen dürfen wir jetzt nicht willkürlich annehmen, daß die Kräfte $ bei ihm genau dieselben seien, wie bei dem ersten Punkthaufen. Bei dem starren Körper konnten wir dies in den Betrachtungen des vorigen Paragraphen unbedenklich tun, da für ihn die Kräfte $ überhaupt nicht als innere aufzufassen waren, sondern gerade so wie die äußeren nach Belieben angebracht werden konnten, indem es nur darauf ankam, daß sie sich, wenn dies geschieht, nach dem Wechselwirkungsgesetze aus den Gleichgewichtsbedingungen hinwegheben. Das wird aber ganz anders, wenn wir die inneren Kräfte selbst und ihre nähere Verteilung am dritten Punkthaufen berechnen wollen, und zwar nicht auf Grund von Gleichgewichtsbetrachtungen allein, sondern auch auf Grund von anderen Erwägungen, und wenn wir sie dann später denen im ersten Punkthaufen gleich setzen wollen.

Diese anderen Erwägungen bestehen darin, daß der Spannungszustand durch die übrigen Bedingungen schon im einzelnen mitbestimmt ist. Wir haben uns also zu fragen, ob nach den besonderen physikalischen Eigenschaften der Kör-per,die durch diePunkthaufen dar gestelltwerdensollen, beim dritten Punkthaufen dieselben inneren Kräfte zu erwarten sind, wie beim ersten. Offenbar ist diese Frage nur dann zu bejahen, wenn wir es als Erfahrungstatsache an-sehen dürfen, daß die inneren Kräfte nur von jenen Bedingungen abhängen, in denen beide Punkthaufen miteinander übereinstimmen, und nicht von jenen, in denen sie sich voneinander unterscheiden. Die Punkthaufen unterscheiden sich in dem Augenblicke, auf den sich unsere Betrachtung bezieht, dadurch voneinander, daß der eine in Bewegung begriffen, der andere aber in Ruhe ist. Hat man es also mit einem Körper von solcher Beschaffenheit zu tun, daß die inneren Kräfte nicht nur von der augenblicklichen Gestalt, sondern auch von der Geschwindigkeit der Gestaltänderung abhäagen, so ist die aufgeworfene Frage zu verneinen. Insbesondere wird man sie zu verneinen haben bei allen Körpern, die deutlich ausgesprochene elastische Nachwirkungen erkennen lassen.

Gewöhnlich aber darf man bei den zu praktischen Zwecken vorzunekmenden Festigkeitsberechnungen annehmen, daß die Geschwindigkeiten ohne Einfluß auf die Ausbildung der inneren Kräfte sind. Soviel wir bis jetzt wenigstens wissen, hängen die Spannungen in den elastischen Körpern, solange die Elastizitätsgrenze nicht überschritten ist und daher merkliche elastische Nachwirkungen nicht in Frage kommen, nur von den Formänderungen selbst und nicht von deren, Anderungsgeschwindig-keiten ab.

Mit den ausgesprochenen Vorbehalten dürfen wir daher die vorher aufgeworfene Frage bejahen. Hiermit sind wir aber in der Tat berechtigt, die Festigkeitsbetrachtung am ruhenden Körper vorzunehmen und die Rechnung«-ergebnisse ohne Änderung auf den bewegten Körper anzuwenden.

Eines der bekanntesten Beispiele für die Anwendung der vorhergehenden Betrachtungen bildet die Berechnung der Biegungsbeanspruchung, der die Pleuelstange in einem schnell umlaufenden Kurbelmechanismus unterworfen ist. In Abb. 26 ist der Kurbelmechanismus einer Dampfmaschine gezeichnet. Die Abbildung stimmt im wesentlichen überein mit Abb. 59 von Band I (S. 203 d. 4. Aufl.) und bei der Aufstellung der Formeln kann auf die an jener früheren Stelle bereits durchgeführten Betrachtungen verwiesen werden.

1-1 L a---H

Wie ich damals schon auseinandersetzte, genügt es in vielen Fällen, cos näherungsweise gleich 1 zu setzen. Bei einer Festigkeitsberechnung kommt es auf große Genauigkeit ohnehin nicht an und daher genügt hierfür diese Näherung vollständig. Damit erhält man für die von der linken Totpunktlage des Kreuzkopfes aus gerechnete Abszisse x eines Längenelements dz der Stan-

Abb. 26.

ge, das die Entfernung# vom Kreuzkopfzapfen hat, wie aus der Abbildung unmittelbar entnommen werden kann,

x = z + r — rcos cp

und für die Ordinate y desselben Elements ergibt sich

z

y = y r sin cp.

Wir differentiieren beide Koordinaten zweimal nach der Zeit, um die Komponenten der Beschleunigung des ins Auge gefaßten Massenteilchens zu erhalten. Hierbei ist z als konstant zu betrachten und auch die Winkelgesch windigkeit der Kurbelwelle

d qp dt

kann als konstant angesehen werden. Damit findet man

dix «    diy z n .    ₉

^ ^5 = y*^ cos cp j ^    —y ^^ sin cp = — yii .

Die Komponenten X und Y der Trägheitskraft, die am Längenelemente dz angebracht werden muß, um die dynamische Aufgabe auf eine Gleichgewichtsaufgabe zurückzuführen, werden aus den Beschleunigungskomponenten durch Multiplikation mit der Masse gefunden, die mit m bezeichnet werden mag. Dabei ist noch ein Vorzeichen Wechsel vorzunehmen. Man findet daher

X = — mru² cos rp: Y = myu².

Hiernach ist X unabhängig von z, also für alle Teile der Stange bei gleichem Werte von m gleich groß. Dagegen wächst Y proportional mit y oder z vom Kreuzkopfende der Stange zum Kurbelzapfenende hin gleichmäßig an. Die den Vorzeichen entsprechenden Richtungen von X und Y sind für die in Abb. 26 angegebene Stellung des Mechanismus in Abb. 27, in der die Pleuelstange für sich herausgezeichnet ist, besonders einzutragen.

'"i.

"'A

nurt'

‘Y

k-

Abb. 27.

Abb. 28.

Die Biegungsbeanspruchung der Pleuelstange wird von den Lasten X und Y hervorgebracht. Da aber X nahezu mit der Richtung der Stange zusammenfällt, kommt es hauptsächlich auf die Komponenten Y an und es fragt sich, bei welchen Stellungen des Mechanismus diese Komponenten am größten werden. Das geschieht, wenn y seinen größten Wert annimmt, also für sing) = 1. Dann wird cos cp = 0 und die Lastkomponenten X verschwinden vollständig. Der Winkel, den die Richtung der Y mit der Stangenrichtung einschließt, weicht um 4’ von einem Rechten ab. Da wir es aber vorher schon als genügend ansahen, cos ^ = 1 zu setzen, also 4’ gleich Null anzunehmen, können wir mit demselben Grade der Annäherung sagen, daß die Lastkomponenten Y nahezu senkrecht zur Stangenrichtung stehen.

Wir haben jetzt die Stange als einen Balken aufzufassen, der an beiden Enden drehbar aufgelagert ist und an dem die vorher bestimmten Lasten Y augreifen. Die Belastungsfläche ist hiernach ein Dreieck, das in Abb. 28 unter Annahme einer horizontalen Richtung des der bewegten Stange gleichwertigen Balkens aufgetragen ist. Wegen des Faktors y in dem Ausdrucke für Y ist nämlich die Belastungsstärke am linken Balkenende gleich Null und sie nimmt von da gleichmäßig nach dem rechten Balkenende hin zu. Dabei ist vorausgesetzt, daß die Stange überall gleich dick ist, so daß zu gleichen Längenelementen dz an verschiedenen Stellen der Stange gleiche Massen m gehören.

Im anderen Falle wären die Ordinaten des Dreiecks in Abb. 28 erst noch mit den Verhältnissen der auf die Längeneinheit treffenden Massen zu multiplizieren.

Am rechten Balkenende gehört zum Massenteilchen m die Last mru². Das ist, wie schon aus Band I bekannt ist, die Größe der Zentrifugalkraft für das den Kurbelzapfenkreis durchlaufende Teilchen. In der Tat geht die Trägheitskraft am rechten Stabende, das eine kreisförmige Bahn mit gleicher Winkelgeschwindigkeitdurchläuft, in eine einfache Zentrifugalkraft über.

Bezeichnet man das Gewicht der Stange mit Q, so ist die auf die Längeneinheit kommende Belastung q durch die Trägheitskräfte Y an der Stelle z

Die weitere Ausrechnung des Biegungsmoments und der Biegungsspannung bildet nur eine einfache Aufgabe der Festigkeitslehre, über die hier hinweggegangen werden kann. In Aufg. 17 ist aber die Rechnung für ein Zahlenbeispiel vollständig durchgeführt.

Da die Belastungsstärke q den Faktor u² enthält, wird die Biegungsbeanspruchung der Pleuelstange um so größer, je schneller die Maschine umläuft. Wenn die Umlaufzahl verzehnfacht wird, steigt die Biegungsbeanspruchung auf das Hundertfache. Bei langsam umlaufenden Maschinen ist daher die Biegungsanstrengung der Stange ganz unerheblich, so daß gar nicht darauf geachtet zu werden braucht, während sie bei den Schnelläufern * sehr gefährlich werden kann.

§ 18. Das zusammengesetzte Pendel.

Im vorigen Abschnitte wurden die Schwingungen eines einfachen Pendels untersucht. Man dachte sich die ganze schwingende Masse in einem einzigen Punkte vereinigt, der in unveränderlicher Entfernung vom Aufhängepunkte gehalten und dadurch zur Ausführung einer kreisförmigen Bewegung genötigt sein sollte. Mit diesem Bilde reicht man aber nur in seltenen Fällen aus. Gewöhnlich sind die Massen von Körpern, die Pendel-

Schwingungen ausführen, räumlich so ausgedehnt, und namentlich in so verschiedenen Abständen von der festen Drehachse verteilt, daß es von vornherein an jedem Anhaltspunkte dafür fehlt, wo man sich etwa die ganze Masse vereinigt denken müßte, um das Pendel als ein einfaches behandeln zu können. Hier hilft nun — obschon auch andere Wege zum Ziele führen — am besten das d’Alembert sehe Prinzip zur Lösung der Aufgabe.

Ol

In Abb. 29 sei 0 der Drehpunkt, d. h. die Projektion der Drehachse auf die senkrecht dazu gedachte Zeichenebene, S der Schwerpunkt des Pendels und m irgendein Massenteilchen im Abstandes, das wir als einen der materiellen Punkte des ganzen Haufens auffassen. Wenn alle übrigen    /

Sd

0.

Abb. 29.

Massen gegenüber m vernachlässigt werden v / könnten, hätten wir ein einfaches Pendel von PO der Länge x vor uns und die Schwingungs- ^ J/wt dauer könnte aus x nach den Lehren des vorigen Abschnitts berechnet werden. Jene Massen m, die nahe beim Drehpunkte 0 liegen, suchen, für sich genommen, eine kleine, die weiter abstehenden eine größere Schwingungsdauer des Pendels herbeizuführen, und die wirkliche Schwingungsdauer wird einen gewissen Mittelwert annehmen.

Die augenblickliche Stellung des Pendels sei durch den Winkel cp beschrieben, den der vom Aufhängepunkte nach dem Schwerpunkte gezogene Radiusvektor § mit der Lotrichtung bildet. In der Gleichgewichtslage des Pendels ist hiernach cp = 0.

Die Winkelgeschwindigkeit ist ~ und die Winkelbeschleunigung

Kehren wir nun zum Massenteilchen m zurück, so kann

d‘żcp

w

dessen Geschwindigkeit gleich x und die Tangentialkomponente der Beschleunigung, die es im Augenblicke erfährt, gleich x gesetzt werden. Dazu kommt dann noch eine Normalkomponente der Beschleunigung wegen der Richtungsänderung der Geschwindigkeit. — Wir führen jetzt die Trägheitskraft

-    (Pr

ein, die wir ebenso wie die Beschleunigung in eine Tangentialkomponente und eine Normalkomponente 6- spalten können. Die letzte ist nichts anderes als die Zentrifugalkraft. Die Tangentialkomponente hat den Absolutwert

H' = mx

(P qp dp '

Sie ist, wie in Abb. 29 eingetragen, nach außen und obenhin gerichtet. Schwingt nämlich das Pendel nach außen, so ist

dtp

~ positiv und der Absolutbetrag nimmt ab; schwingt es da-

(1

gegen nach der Gleichgewichtslage hin, so ist Jt negativ und

der Absolutbetrag nimmt zu. In jedem Falle ist daher

(Pqp ~dt*

negativ und die Tangentialbeschleunigung nach innen und abwärts gerichtet. Die Trägheitskraft hat aber die entgegengesetzte Richtung wie die zu ihr gehörige Beschleunigung; sie ist also stets nach oben und außen gerichtet.

Nachdem die Trägheitskräfte £>' und (£ überall zugefügt sind, haben wir ein System von Kräften vor uns, die sich mit dem im Drehpunkt übertragenen Auflagerdruck im Gleichgewichte halten. Zur Untersuchung des Gleichgewichts betrachten wir den Körper, da er sich um eine feste Achse dreht, als einen Hebel. Wir schreiben daher die Bedingung an, daß die Summe der statischen Momente für den Drehpunkt gleich Null sein muß. In dieser Momentensumme kommen die Normalkomponenten (£ der Trägheitskräfte nicht vor, da sie alle durch den Momentenpunkt gehen. Die Tangentialkomponenten |>' haben alle gleiches Momentenvorzeichen und die Summe ihrer Momente muß daher gleich dem Momente der entgegengesetzt drehenden Kraft Q sein. Wir erhalten damit die Gleichung

— Unix²

(Pep

dt*

= Qs sin (p.

(93)

Das Minuszeichen auf der linken Seite ist beigefügt, weil wir erkannt hatten, daß

(P qp

dt²

an sich negativ ist. Der Faktor

d ² qp

dt-

ist allen Gliedern gemeinsam und kann daher auch vor das Summenzeichen gestellt werden. Die dann noch zurückbleibende Summe 2Jmx² stellt das Trägheitsmoment für die Drehachse dar und soll, wie früher, mit & bezeichnet werden. Hiermit geht die vorige Gleichung über in

(94)

—    = Qssincp.

Aus dieser Differentialgleichung läßt sich cp als Funktion von t ermitteln, womit die Pendelbewegung bekannt ist. Anstatt dessen verfährt man aber einfacher und umgeht ausführliche Rechnungen, die jetzt von neuem anzustellen wären, wenn man die Theorie des physischen Pendels auf jene des einfachen Pendels zurückführt. Man gibt nämlich ein einfaches Pendel an, das mit dem gegebenen genau gleich schwingt, so daß es zur Berechnung der Schwingungsdauer usw. an die Stelle des zusammengesetzten Pendels gesetzt werden kann. Die Länge des gleichwertigen einfachen Pendels wird die reduzierte Pendellänge des zusammengesetzten Pendels genannt. Trägt man die reduzierte Pendellänge l vom Drehpunkte 0 aus auf dem durch den Schwerpunkt gehenden Radiusvektor § ab, so wird der Endpunkt dieser Strecke der Schwingungsmittelpunkt des Pendels genannt. Denkt man sich nämlich alle übrigen Massen des Pendels verschwindend klein gegenüber einer in diesem Punkte vereinigten Masse m, so geht das Pendel in ein einfaches über, das gleiche Schwingungen wie das gegebene ausführt. Man kann also sagen, daß die an dieser Stelle befindliche Masse von den übrigen nicht beeinflußt wird, sondern daß sie gerade so schwingt, als wenn die anderen nicht vorhanden wären.

Um nun das gleichwertige einfache Pendel wirklich zu finden, wenden wir Gl. (94) auf den Fall an, daß nur eine Masse m auf dem Radiusvektor § im Abstande l vom Drehpunkte vorhanden sei. Auch auf den Fall dieses einfachen Pendels läßt sich Gl. (94) anwenden, da sie nach ihrer Ableitung für jede beliebige Massenverteilung gültig bleibt. Tn diesem Falle ist & = ml? und s = l, also geht Gl. (94) über in

— mP = mgl sin cp

oder kürzer

dF

g sin cp.

Von dieser Gleichung kennen wir aber die Lösung bereits, da t schon in § 13 als Funktion von cp dargestellt wurde.

Soll nun das zusammengesetzte Pendel genau gleich mit dem einfachen schwingen, d. h. so, daß zu gleichen Zeiten stets auch gleiche Ausschläge gehören, so genügt es, daß die Anfangsbedingungen bei beiden gleich waren, und daß ferner die Gleichungen (94) und (95) in den konstanten Koeffizienten miteinander übereinstimmen. Freilich ist dazu nicht nötig, daß die Koeffizienten jeder Seite einzeln gleich sind; es genügt vielmehr die Gleichheit der Verhältnisse zwischen den Koeffizienten auf beiden Seiten. Man überblickt dies am besten, wenn man beide Gleichungen in der Form

d²cp Qs . ------= @ smqp

und

smgp

anschreibt. Beide Gleichungen werden miteinander identisch, wenn man

Qs _ 9

0 l

setzt, und hieraus folgt für die reduzierte Pendellänge l

g0

Qs

(96)

Führt man an Stelle des Trägheitsmomentes den Trägheitsradius i ein, so geht Gl. (96) über in

(97)

Wie schon vorher bemerkt wurde, kann man das Problem des physischen Pendels auch ohne Benutzung des d’Alembertschen Prinzips nach mehreren anderen Methoden lösen. Namentlich der Satz von der lebendigen Kraft führt in allen Fällen, bei denen es sich, wie hier, um Bewegungen eines Körpers oder eines Systems von Körpern handelt, die nur einen Freiheitsgrad besitzen oder die, wie man sagt, zwangläufig erfolgen, schnell zum Ziele. Es sei daher noch gezeigt, wie sich die Lösung auf diesem Wege gestaltet. Bezeichnet man den größten Ausschlag mit a, so liefert die Gleichsetzung der von dem Gewichte Q geleisteten Arbeit mit der lebendigen Kraft, gerade so wie früher beim einfachen Pendel, die Gleichung

(98)

¥ & (^r) ⁼ (cos ^ ~ cos ’

die hierauf entweder unmittelbar weiter integriert oder so wie vorhin mit der entsprechenden Gleichung für das gleichschwingende einfache Pendel verglichen werden kann. Gl. (98) ist, wie man sich leicht überzeugt, ein erstes Integral von Gl. (94), wobei die auftretende Integrationskonstante schon der Grenzbedingung, daß der größte Ausschlag cc sein soll, angepaßt ist.

Dieser Weg ist vielleicht noch kürzer und einfacher als der vorher eingeschlagene. Wenn aber z. B. zugleich verlangt würde, die Biegungsheanspruchung zu berechnen, die das Pendel erfährt, müßte man doch wieder zur Benutzung des d’Alembertschen Prinzips zurückgreifen und schon aus diesem Grunde ist es nützlich, die Aufgabe von vornherein mit dem d’Alembertschen Prinzip zu behandeln; ganz abgesehen davon, daß hier auch an einem möglichst einfachen Beispiele der Gebrauch dieses Prinzips erläutert werden sollte.

§19. Schwerpunkts- und Flächensätze für den Punkthaufen.

Die Schwerpunktssätze sind schon im ersten Bande behandelt; des Zusammenhangs wegen werde ich aber das Wichtigste davon hier noch einmal kurz wiederholen. Zunächst erinnere ich daran, daß die Lage des Schwerpunkts, der dabei als Massenmittelpunkt aufzufassen ist, durch die Gleichung

(99)

= Unix

definiert wird, in der X der Radiusvektor für irgendeinen materiellen Punkt m des Haufens, M die Gesamtmasse des Haufens und g den Radiusvektor des Schwerpunkts bedeuten. Diese Gleichung gilt für beliebige Punkthaufen in jedem Augenblicke, auch dann, wenn sie während der Bewegung ihre Gestalt verändern. Durch Differentiation nach der Zeit folgt

dt ’

-nr dg ^ dx

MTt~Sm

oder mit Einführang der Geschwindigkeit U und der Schwerpunktsgeschwindigkeit b₀

(100)

JfcfH₀ = 2Jmb

d. h. die Bewegungsgröße des ganzen Haufens ist ebenso groß, als wenn die ganze Masse im Schwerpunkte vereinigt wäre und sich mit dessen Geschwindigkeit bewegte. Eine nochmalige Differentiation nach der Zeit liefert

(101)

M i£f - 2m § =    + 2$) - 2f,

und diese Gleichung sagt aus, daß sich der Schwerpunkt stets so bewegt, als wenn die ganze Masse in ihm vereinigt und alle äußeren Kräfte parallel nach ihm verlegt wären.

Nach diesen Vorbemerkungen wende ich mich zur Übertragung des im vorigen Abschnitte für einen einzelnen materiellen Punkt bewiesenen Plächensatzes auf einen beliebigen Punkthaufen. Für jeden Punkt des Haufens besteht nach Gl. (2) oder (3), § 2 die Beziehung

• t - V(ip + -S3) t = V?t +V-S3*-

Gegenüber der früheren Formel war hier nur nötig, alle Kräfte, die an dem Punkte angreifen, in äußere und in innere Kräfte des Haufens einzuteilen, jene zu und diese zu zusammenzufassen und daher die Resultierende ^ + 273 an die Stelle der in § 2 mit ^ bezeichneten Kraft, die allein an dem materiellen Punkte angreifen sollte, treten zu lassen. Die vorstehende Gleichung gilt für jeden beliebigen Momentenpunkt und für jeden Punkt des Haufens. Wir wollen sie uns für alle Punkte des Haufens unter Zugrundelegung desselben Momentenpunktes angeschrieben denken und alle so erhaltenen Gleichungen addieren. Wir finden dann

-flt uVmti ■ x = 2?V^r + ZAJVSr.

Nach dem Wechselwirkungsgesetze verschwindet aber das letzte Glied auf der rechten Seite und wir behalten daher

(102)

• r = zVqjr,

§ 19. Schwerpunkts- und Flächensätze für den Funkthaufen 147 oder auch in kürzerer Schreibweise

(103)

£-sVł.._

Der Ausdruck 2l\[ mü ■ v oder S3 stellt die geometrische Summe der statischen Momente der Bewegungsgrößen aller Punkte des Haufens dar; wir wollen diese Summe als das statische Moment der Bewegungsgröße des ganzen Haufens oder als dessen Drall bezeichnen. Dabei ist indessen wohl zu beachten, daß man sich, um dieses statische Moment zu bilden, nicht etwa zuvor die Bewegungsgröße nach Gl. (100) im Schwerpunkte vereinigt denken darf, um dann von ihr das Moment zu nehmen. Das ist deshalb nicht zulässig, weil der Faktor r nicht für alle Glieder der Summe konstant ist, sondern für jeden materiellen Punkt einen anderen Wert annimmt. In der „Theorie des Kreisels“ von Klein und Sommerfeld, in der auf die Anwendung des Flächensatzes ein besonderes Gewicht gelegt ist, wird die Größe aVmb • t als der „Impulsvektor“ bezeichnet. Ich glaube aber die Bezeichnung „Drall“ vorziehen zu sollen.

Der durch Gl. (102) ausgedrückte Flächensatz läßt sich in Worten wie folgt aussprechen:

Für jeden beliebigen Momentenpunkt ist die Ande-rungsgeschwindigkeit des Dralls irgendeines Punkthaufensgleich der geometrischen Summe der statischen Momente aller äußeren Kräfte.

In dieser allgemeinsten Form wird indessen seltener von dem Flächensatze Gebrauch gemacht als von den einfacheren Formen, in die er übergeht, wenn besondere Bedingungen vorliegen. Namentlich durch eine geeignete Wahl des Momenten-punktes läßt er sich häufig erheblich vereinfachen, obschon damit freilich andererseits die allgemeine Gültigkeit eingeschränkt wird. Ich werde die häufigst vorkommenden Fälle dieser Art hier einzeln durchsprechen.

a) Punkthaufen, der m Anfang ruhte und auf den keine äußeren Kräfte wirken.

Durch die inneren Kräfte können in diesem Falle Bewegungen hervorgerufen werden, die zu Gestaltänderungen des

io*

Haufens führen. Wir schließen zunächst nach dem Schwerpunktsatze Gl. (101), daß der Schwerpunkt jedenfalls stets in Ruhe bleibt. Ferner folgt aus dem Flächensatze, daß © konstant und daher stets gleich Null bleiben muß, da es zu Anfang Null war. Auch die Projektion von $ auf irgendeine Ebene oder irgendeine Achse muß daher zu jeder Zeit gleich Null sein. — Hie Projektion eines statischen Moments auf eine Achse kann nach den Lehren des ersten Bandes stets als das statische Moment der Projektion auf eine zur Achse senkrecht stehende Ebene aufgefaßt werden. Projiziert man also alle Punkte des Haufens auf eine beliebige Ebene, so ist auch für jeden Punkt dieser Ebene als Anfangspunkt die Summe der mit den Massen m multiplizierten Flächenräume oder Sektorengeschwindigkeiten stets gleich Null. Man kann dies einfach so ausdrücken, daß ein Teil der materiellen Punkte den beliebig gewählten Punkt im Sinne des Uhrzeigers, ein anderer Teil ihn im entgegengesetzten Sinne umkreisen myß, und zwar so, daß die statischen Momente der Bewegungsgrößen für beide Umkreisungsrichtungen gleich groß sind.

b) PunJcthaufen mit sonst beliebiger Anfangsbewegung, dessen Schwerpunkt aber zu Anfang ruhte und auf den keine äußeren "Kräfte wirken.

Der Schwerpunkt muß hier wie im vorigen Falle dauernd in Ruhe und das statische Moment der Bewegungsgröße muß konstant bleiben. Dieses ist aber jetzt nicht gleich Null, sondern gleich dem durch den Anfangszustand gegebenen Werte. Bezeichnen wir diesen mit (J, so ist

HY mt) • r = i oder SB = (£.

Von Wichtigkeit ist die Bemerkung, daß im vorliegenden Falle die Konstante (£ unabhängig von der Wahl des Momenten-punktes ist. Um dies zu beweisen, wähle man einen zweiten Momentenpunkt, von dem die Hebelarme r' gerechnet werden Dann ist für diesen

zVmü • r' = G'.

§ 19. Schwerpunkts- und Flächensätze für den Punkthaufen 149

Für r' können wir aber schreiben

r' = r + a,

wenn mit a der Radiusvektor vom zweiten zum ersten Momenten-punkte bezeichnet wird. Damit erhalten wir

(T = ŻSfmü • (r -f- a) = üMmü • r + uYmti • a.

In der letzten Summe ist a konstant und man hat daher

2j\fmd • a =V • a = 0

nach Gl. (100) und der Voraussetzung, daß der Schwerpunkt ruhen sollte. In der Tat wird also

<$/ = zNmW x = ©.

Der Drall eines Punkthaufens, dessen Schwerpunkt ruht, ist daher eine von der Wahl des Momentenpunktes unabhängige und überdies, wenn keine äußeren Kräfte wirken, der Zeit nach konstante Größe. Die Bedeutung dieses Satzes möge noch an einer seiner bekanntesten und wichtigsten Anwendungen näher erläutert werden.

Wir wählen das Sonnensystem, also die Sonne samt ihren Planeten und deren Trabanten u. dgl. als den Punkthaufen, auf den wir den Satz anwenden wollen. Zugleich setzen wir voraus, daß der Schwerpunkt dieses Haufens gegenüber einem festen Raume, für den das Trägheitsgesetz gilt (vgl. Bd. I, S. 20) zu Anfang in Ruhe war, und daß die äußeren Kräfte, die von den fernen Weltkörpern des Fixsternhimmels ausgehen, so gering sind, daß sie vernachlässigt werden dürfen. — Zugleich sei übrigens bemerkt, daß man diese Voraussetzungen zum Teile auch fallen lassen kann; man würde dann auf Grun.d der unter

c) und e) folgenden Betrachtungen zu ganz ähnlichen Schlüssen gelangen. Hier beschränke ich mich aber auf die Besprechung des einfachsten Falles.

Die Wahl des Momentenpunktes ist, wie bewiesen, gleichgültig und wir können dazu etwa den Sonnenmittelpunkt nehmen. Um diesen bewegen sich die Planeten alle in demselben Sinne und auch die Sonne besitzt eine Drehung in der gleichen Richtung. Jedenfalls wird also der Drall des Sonnensystems nicht

gleich Null sein. Dagegen muß er nach Größe und Richtung konstant sein. Hierdurch ist eine, trotz aller Lagenänderungen, die Vorkommen mögen, konstante Richtung gegeben. Wenn die Planetenbahnen alle in einer Ebene enthalten wären und auch die Drehbewegungen usf. alle parallel zu dieser Ebene erfolgten, wäre der Drall, als ein statisches Moment, senkrecht zu dieser Ebene gerichtet. Diese Voraussetzung ist zwar nicht erfüllt, aber die meisten Planetenbahnen usf. treten doch auch nicht sehr erheblich aus einer gewissen mittleren Ebene heraus. Hiernach liegt es nahe, nach einer solchen mittleren Ebene zu suchen, die unbeweglich im Raume festliegt, trotz aller Abweichungen und Schwankungen, die bei den einzelnen Bestandteilen der Bewegungsgröße des Haufens Vorkommen mögen. Diese Ebene wird durch den Flächensatz gegeben; es ist jene, die senkrecht zu der unveränderlichen Richtung von d steht. Sie heißt nach Laplace^ von dem diese Betrachtung herrührt, die unveränderliche Ebene des Sonnensystems. Natürlich kommt es, wenn man von ihr redet, nur auf ihre Stellung, nicht auf ihre besondere Lage an. Am einfachsten ist es zwar, sie sich durch den Schwerpunkt des ganzen Haufens gezogen zu denken; aber auch jede zu dieser parallele Ebene kann als unveränderliche Ebene im Sinne unseres Satzes angesehen werden.

c) Punkthaufen mit beliebiger Anfang sbeivegung ohne Wirkung äußerer Kräfte.

Der Schwerpunkt beschreibt eine geradlinige Bahn mit konstanter Geschwindigkeit. Der Drall bleibt für jeden Momenten-punkt der Zeit nach konstant, für verschiedene Momentenpunkte ist er*aber verschieden. Zwischen & und (5/ besteht die Beziehung (vgl. die Ableitung unter b)

r = <£ + VilfHo-a.

Das letzte Glied auf der rechten Seite ist stets senkrecht zur Schwerpunktsgeschwindigkeit ö₀, also auch senkrecht zur Schwerpunktsbahn gerichtet. Daraus folgt, daß alle © gleiche Projektionen auf die Schwerpunktsbahn haben. Ferner ist 6 für alle Momentenpunkte gleich, die auf einer Parallelen zur Schwer-

§ 19. Schwerpunkts- und Flächensätze für den Punkthaufen 151

punktsbahn liegen, denn für zwei solche Momentenpunkte ist der Abstand a parallel zu b₀ und dis äußere Produkt aus beiden wird daher zu Null.

Zum Begriffe der unveränderlichen Ebene gelangen wir hier, wenn wir von jedem Punkte des Haufens nur die Relativgeschwindigkeit zum Schwerpunkte betrachten, also den Ausdruck

$ = 2?Vm(b - b₀) • v

bilden. Dieser ist für alle Momentenpunkte gleich; denn für einen zweiten Momentenpunkt hat man

&' = 2?Vm (b — b₀) (r + o)

= ŹVm (b — b₀) r +V-Smb • a — Viüf b₀a = $,

da sich die beiden letzten Glieder nach Gl. (100) gegeneinander fortheben. Die unveränderliche Ebene steht senkrecht zur Richtung von

Wenn $ zu Anfang Null war, muß es auch Null bleiben. Man kann dies dahin ausdrücken, daß ein unveränderlicher Körper, der zu Anfang keine Rotation ausführte, sich nicht von selbst (durch innere Kräfte) umdrehen kann. Ein veränderlicher Körper kann es aber, wenn auch für ihn immer nochal gleich Null bleiben muß; auf diesen interessanten und auch praktisch recht wichtigen Fall werde ich nachher ausführlicher eingehen.

d) Punkthaufen, auf den äußere Kräfte einwirken, die alle von einem festen Punkte ausgehen.

ln diesem Falle bezieht man den Flächensatz gewöhnlich nur auf den festen Punkt als Momentenpunkt. Da für ihn das Moment der äußeren Kräfte immer noch gleich Null ist, bleibt auch der auf ihn bezogene Drall konstant. Als unveränderliche Ebene wird auch hier oft jene bezeichnet, die senkrecht zu diesem statischen Momente steht. — Hierher gehört namentlich die Bewegung eines starren Körpers, von dem ein Punkt festgehalten ist (Kreisel), solange man die Wirkung der Schwere vernachlässigen kann. Als einzige äußere Kraft kommt dann der Auflagerdruck an dem festgehaltenen Punkte in Betracht.

e) Punkthaufen, auf den parallele äußere Kräfte wirken.

Zu einer einfachen Aussage gelangt man in diesem Falle dadurch, daß man den Punkthaufen auf eine Ebene projiziert, die senkrecht zur Richtung der äußeren Kräfte steht und nun die Bewegung in dieser Projektionsebene verfolgt. Die Projektion von ö sei ü' und x sei ein von einem beliebigen Momenten-punkte in der Projektionsebene nach der Projektion von m gezogener Hebelarm. Dann istVwü'-r' zugleich das statische Moment von wtJ in bezug auf eine durch den gewählten Momenten-punkt senkrecht zur Projektionsebene gezogene Achse. Ebenso istV^JV zugleich das Moment der Kraft ^ für diese Achse. Nun gilt für jeden Momentenpunkt im Raume der Flächensatz in der Form

dt zNm\i • r = zYtyv.

Aus jeder Gleichung zwischen gerichteten Größen läßt sich aber sofort eine Gleichung zwischen den Projektionen auf irgendeine Achse ableiten. Projizieren wir also auf eine Achse, so gilt auch

ddt MW-r'= zVy'x'.

Dies gilt zunächst für jede beliebig gerichtete Achse. Für die parallel zu den Kräften ^ gewählte Achse wird dagegen das statische Moment der Kräfte zu Null, da die Projektion auf die zur Achse senkrecht stehende Projektionsebene verschwindet. Hiernach geht die Gleichung über in

A’Vmö' • r' = (£.

Wählt man einen anderen Momentenpunkt in der Projektionsebene, setzt also an Stelle von r' etwa r' + a, so kommt ein neues Glied in den Ausdruck für (£ hinein, das gleich

uYmb' • a =V(27mb') • a =V.MVo- a

gefunden wird. War die Schwerpunktsgeschwindigkeit von vornherein entweder Null oder parallel zur Richtung der Kräfte so bleibt UÓ stets gleich Null und der in der Projektionsebene genommene Drall ($> hat für jeden Momentenpunkt denselben Wert. Natürlich kommt es dabei nicht auf die Richtung von

an, die selbstverständlich ist (nämlich rechtwinklig zur Projektionsebene), sondern nur auf die Größe von (L

§ 20. Einfache Anwendungen des Flächensatzes.

Die einfachste und eine der wichtigsten Anwendungen des Flächensatzes besteht in der Entscheidung der Frage, ob und unter welchen näheren Umständen ein sich selbst überlassener Punkthaufen, zwischen dessen einzelnen Teilen beliebige innere Kräfte auf treten, sich selbst im Raume umzudrehen vermag. Fast immer wird hierbei der Flächensatz in Verbindung mit dem Schwerpunktssatze gebraucht. Nach diesem vermag sich der Punkthaufen durch innere Kräfte nicht selbst fortzubewegen, da trotz aller relativen Bewegungen zwischen den einzelnen Punkten des Haufens der Schwerpunkt stets in Ruhe bleiben muß. Früher hat man öfters in Anlehnung hieran den Flächensatz dahin ausgesprochen, daß sich ein Punkthaufen ohne fremde Beihilfe, d. h. ohne Auftreten äußerer Kräfte an ihm, auch nicht selbst umzudrehen vermöge. Dies war aber eine irrige Deutung des Flächensatzes, die freilich lange Zeit fast allgemein verbreitet war und als Irrtum erst erkannt wurde, nachdem ein Widerspruch zwischen ihr und den Erfahrungstatsachen festgestellt war. An der Aussage des Satzes selbst, an den Formeln, Ableitungen und Beweisen dafür brauchte übrigens nicht das geringste geändert zu werden; nur bei der Anwendung auf den konkreten Fall muß, wie sich hierbei herausstellte, mit größerer Vorsicht verfahren werden als früher.

Diese Frage wurde erst im Jahre 1894 in der Pariser Akademie der Wissenschaften angeregt und entschieden. Es handelte sich darum, eine mechanische Erklärung dafür zu finden, wie es eine Katze fertig bringt, beim Fallen aus größerer Höhe stets mit den Füßen voran auf den Boden zu kommen. Von den Vertretern der Mechanik wurde auf Grund der üblichen älteren Deutung des Flächensatzes zunächst die Ansicht ausgesprochen, daß die Drehung nur die Folge eines Abstoßes sei, der im Augenblicke des Herabfallens, so lange also die Katze noch mit anderen Körpern in Berührung war, erteilt wurde. Man schloß auf Grund des Flächensatzes ungefähr so: Wenn der Körper während des Herabfallens zunächst keine Drehbewegung hätte, so könnte etwa die Katze den Vorderkörper nach einer ihr genehmen Richtung umdrehen. Hierbei müßte aber dem Flächensatze zufolge gleichzeitig auch eine Drehung des Hinterkörpers in entgegengesetzter Richtung zustande kommen. Wenn nun etwa vorher alle vier Beine der Katze nach oben gestanden hätten, so müßte sie, um nachher alle vier nach unten zu bringen, Vorder- und Hinterkörper nach Art eines Schraubenumlaufs gegeneinander verdreht haben.

Diese Betrachtung war an sich nicht unrichtig; es wurde dabei nur übersehen, daß noch andere Möglichkeiten einer relativen Drehbewegung der Körperteile gegeneinander bestehen, als die hier allein in Aussicht genommene zwischen Vorder- und Hinterkörper. Daß solche noch möglich sein mußten, ergab sich alsbald durch einwandfreie Versuche, indem man Katzen mit den Beinen nach oben an Schnüren aufhing und diese vorsichtig durchschnitt, so daß die Katze außer Berührung mit anderen Körpern kam, bevor sie sich noch durch einen Abstoß eine Rotationsgeschwindigkeit zu erteilen vermochte. Sie fiel dann in einen dunklen Raum hinab, dessen Fallhöhe sie nicht vorherzusehen vermochte und kam trotzdem bei sehr verschiedenen (nicht zu kleinen) Fallhöhen stets mit den Füßen zuerst auf dem Boden an. Außerdem hat man auch die Körperbewegungen, die sie während des Fallens ausführte, noch durch eine Reihe schnell aufeinanderfolgender Momentphotographien ermittelt.

Nachdem erst die Tatsache des Umdrehens einwandfrei festgestellt war, kam man auch bald auf die mechanische Erklärung dafür. Es hätte natürlich keinen Zweck, wenn ich diese gerade an dem historischen Beispiele geben wollte; ich werde vielmehr, um das Wesen der Sache zu erklären, ein einfacheres wählen. — Der Fehler, den man früher begangen hatte, bestand vor allem darin, daß man nicht beachtet hatte, daß sich Teile eines Körpers gegen den Rest beliebig oft im gleichen Sinne zu drehen vermögen, ohne daß sich nach jedem Umlaufe die Gestalt des Körpers irgendwie verändert hätte. Faßt man z. B. mit der rechten

Hand eine Stange, einen Säbel oder dgl., streckt hierauf den Arm senkrecht nach oben ans und führt mit der Stange in horizontaler Richtung eine kreisförmige Bewegung um das Handgelenk herum aus, so vermag man diese Bewegung beliebig oft im gleichen Sinne zu wiederholen. Ein Mensch, der allen äußeren Kräften entzogen frei im Raume schwebte und vorher in Ruhe wäre, müßte, wenn er die beschriebene Bewegung ausführte, sich selbst im entgegengesetzten Sinne umdrehen als die Stange, die er über seinem Kopfe rotieren läßt. Denkt man sich ihn etwa auf eine Ebene projiziert, die senkrecht zu seiner Längsachse oder senkrecht zur Rotationsachse des Stabes steht, so bestimmt sich die Winkelgeschwindigkeit der Drehung, die er selbst ausführt, sehr einfach aus der Bedingung, daß für jeden Momenten-punkt, also etwa für die Projektion der Längsachse, das Produkt aus den Sektorengeschwindigkeiten und den Massen seines Körpers ebenso groß ist, als das gleiche für die Massen des Stabes gebildete Produkt. So lange der Stab weiter herumgeschwungen wird, dreht sich auch der Mensch im entgegengesetzten Sinne; sobald aber der Stab angehalten wird, hört auch der Mensch auf, sich weiter zu drehen. Er kommt dann wieder ganz zur Ruhe, sieht aber jetzt nach einer ganz anderen Richtung als zu Anfang. Durch das angegebene Mittel ist es ihm also möglich, sich nach Wunsch jede beliebige Stellung im Raume zu geben.

die Längsachse des Körpers herumgedreht werden

um

Setzt man etwa an die Stelle des Stabes im vorigen Beispiele bei der herabfallenden Katze den Schwanz, der ebenfalls beliebig oft

kann, so hat man schon eine Möglichkeit für die Wendung des Körpers nach abwärts. Es ist aber nicht einmal die einzige, wie aus den folgenden Betrachtungen leicht hervorgehen wird.

Man nehme jetzt nämlich an, daß ein seiner Gestalt nach veränderlicher Körper auf irgendeine Art schon eine gewisse Rotationsgeschwindigkeit erlangt hat. Außere Kräfte sollen entweder ganz fehlen oder wie bei einem herabfallenden Körper parallel und den Massen proportional sein. Auf die Umdrehung des Körpers können sie dann keinen Einfluß haben und wir können daher, wenn es sich nur um die Drehbewegungen handelt, von ihnen abseh en. Wenn keine äußeren Kräfte wirken, muß das Moment der Bewegungsgrößen konstant bleiben. Stellen wir uns jetzt vor, daß sich der Körper zusammenzieht, so nehmen die etwa von der Projektion des Schwerpunkts gezogenen Hebelarme ab, und da das Produkt aus ihnen und den Bewegungsgrößen konstant bleibt, muß die Winkelgeschwindigkeit der Drehung zunehmen. Wir können z. B. daraus sofort schließen, daß ein Himmelskörper, der um seine Achse rotiert, seine Winkelgeschwindigkeit vergrößert, sobald er sich zusammenzieht. Würde sich etwa unser Erdball infolge von Abkühlungen zusammenziehen, so müßte die Dauer eines Tages dadurch verkürzt werden.¹)

Man betrachte ferner einen Gymnastiker, der sich bei einem Sprunge in der Luft überschlägt (sog. Salto mortale). Der Schwerpunkt beschreibt in der Luft eine Parabel. Schon beim Absprunge hat der Springer seinem Körper eine gewisse Winkelgeschwindigkeit um eine durch den Schwerpunkt gehende horizontale Rotationsachse gegeben. Diese würde jedoch nicht ausreichen, den Körper während des Fluges durch die Luft so weit umzudrehen, daß er wieder mit den Beinen auf den Boden käme. Der Gymnastiker hat aber durch die Erfahrung herausgefunden, daß er die Winkelgeschwindigkeit seiner Drehbewegung beträchtlich zu steigern vermag, indem er seinen Körper während des Sprunges stark zusammenzieht (durch Anziehen der Arme und Beine usf.). Hierdurch gelingt es ihm, während der für das Durchlaufen der Wurfparabel gegebenen Zeit eine hinreichende Drehung des Körpers herbeizuführen, die ihn wieder mit den Beinen den Boden erreichen läßt.

Betrachtet man ferner einen vorher ruhenden Körper, der aus zwei ungefähr gleichen Teilen besteht, die sich nicht vollständig, sondern nur um einen gewissen Winkel gegeneinander zu drehen vermögen, so kann eine Umdrehung des ganzen Körpers, an deren Schluß die Anfangsgestalt wieder erreicht wird, auch auf folgende Art bewirkt werden. Man drehe zuerst den Hauptteil I in dem gewünschten Sinne, wobei freilich der Hauptteil II eine entgegengesetzte Drehung ausführt. Während dieser ersten Periode soll aber durch passende Anordnung (bei einem lebenden Wesen etwa durch Ausstrecken oder Anziehen der Arme und Beine) der Hauptteil I möglichst zusammengezogen, der Hauptteil II möglichst auseinandergespreizt sein. Dann wird I eine viel größere Winkelgeschwindigkeit erlangt haben als II. Nach einiger Zeit wird die relative Drehung beider Körperteile gegeneinander eingestellt. Sofort hört damit die weitere Drehbewe gung auf. Der Hauptteil I hat aber jetzt schon einen großen Winkel in dem gewünschten, der Hauptteil II nur einen kleinen Winkel im unerwünschten Sinne durchlaufen. Hierauf werde umgekehrt der Hauptteil I möglichst ausgespreizt und der Hauptteil II möglichst zusammengezogen. Wenn jetzt eine Drehung beider Teile gegeneinander vorgenommen wird, die Hauptteil II im erwünschten Sinne dreht, so wird dieser eine große und Hauptteil I eine kleine Winkelgeschwindigkeit im entgegengesetzten Sinne annehmen. Wenn diese Drehung so weit vorgeschritten ist, daß beide Teile wieder in ihrer richtigen Lage zueinander sind, wird sich der ganze Körper bereits um die Differenz des im erwünschten Sinne zurückgelegten großen und des im unerwünschten Sinne zurückgelegten kleinen Winkels gedreht haben. Man sieht nun ein, daß durch genügend häufige Wiederholung beider aufeinanderfolgender Relativbewegungen jede beliebige Wendung des Körpers herbeigeführt werden kann.

Die Zahl der Beispiele, bei denen man auf ähnliche Art, also bloß auf Grund der einfachsten Überlegungen ohne jede Rechnung wenigstens zu einem qualitativen Resultate kommt, ist sehr groß. Einige davon sollen noch zur weiteren Erläuterung angeführt werden.

Man nehme an, daß die Insassen eines Luftballons den Wunsch haben, ihr Fahrzeug so zu drehen, daß etwa eine andere Seite des Ballons oder der Gondel die Richtung nach der Sonne hin einnehme. Sie können dies ausführen, indem sie etwa selbst im entgegengesetzten Sinne im Korbe herumlaufen oder sich auch nur um ihre Achse drehen oder, wenn ihnen dies zu unbequem ist, indem sie einen Stab über dem Kopfe so herumschwingen, wie dies früher beschrieben wurde. Wenn dies oft genug geschehen ist, wird die gewünschte Wendung des Fahrzeugs ausgeführt sein, und sobald mit der Drehbewegung aufgehört wird, verharrt auch der Ballon in seiner neuen Stellung zur Sonne.

Ein Schilf, das ruhig auf dem Wasser liegt, kann auf einfachere Weise gewendet werden, da es leicht möglich ist, mit Hilfe von Rudern oder von Stangen, die bis auf den Grund reichen, äußere Kräfte von hinreichendem Betrage darauf wirken zu lassen, um es bald in die gewünschte Richtung zu bringen. Aber auch wenn solche Mittel nicht vorhanden oder nicht zugänglich wären, ließe sich die Wendung auf dieselbe Art bewirken, wie beim Luftballon. Hätte man etwa ein Bad, das auf dem Schiffe um eine vertikale Achse drehbar angebracht wäre, so brauchte ein Passagier dieses Bad nur hinreichend oft in einem gewissen Sinne umzudrehen, um eine Wendung des Schiffes nach der entgegengesetzten Richtung herbeizuführen. Wenn das Rad etwa in der Kajüte ohne jede Verbindung nach außen hin angebracht wäre, brauchte man diesen Raum gar nicht zu verlassen, um die gewünschte Richtungsänderung des Schiffes zu bewirken. Man könnte sogar, um einen extremen Fall zu nennen, behaupten, daß schon die genügend oft im gleichen Sinne wiederholte Drehung eines Fingerrings um den in lotrechter Richtung gehaltenen Finger mit der Zeit eine Wendung des Schiffes herbeiführen müßte, wenn die Wirkung nicht so gering wäre, daß sie neben den niemals ganz zu vermeidenden zufälligen äußeren Einflüssen verschwindet und daher durch die Beobachtung nicht bestätigt werden kann.

Wenn alle Eisenbahnzüge der Erde und alle Schiffe, die sich auf der Fahrt befinden, die Erde stets parallel zum Äquator, etwa in der Richtung von Westen nach Osten, also im gleichen Sinne mit der Rotationsbewegung der Erde umkreisten und keine im entgegengesetzten Sinne, so müßte dadurch die Winkelgeschwindigkeit der Erde etwas herabgesetzt werden, d. h. die Dauer eines Tages müßte sich vergrößern. Sobald die Schiffe und die Züge zur Ruhe gebracht würden, müßte auch der Tag seine frühere Länge wieder annehmen. Der Einfluß wäre freilich gering; er könnte aber für genaue astronomische Messungen merklich werden, wenn es sich um die bewegten Massen von Meeresströmungen oder von Winden handelte, die eine stetige Umkreisung der Erde im gleichen Sinne ohne Kompensation durch andere damit zusammenhängende Strömungen in der entgegengesetzten Richtung ausführten.

Auch wenn ein Knabe eine Schaukel, auf der er vorher in Ruhe saß, ohne äußeren Anstoß in Bewegung setzen will, beginnt er damit, durch Anfassen der Aufhängeschnüre mit den Händen, Ausstrecken der Beine in horizontaler Richtung und Überneigen des Oberkörpers nach hinten sich selbst eine Drehbewegung zu erteilen. Betrachtet man den Aufhängepunkt der Schnüre als Momentenpunkt, so muß für ihn das Moment der Bewegungsgröße vorläufig noch Null bleiben, da die Schnurspannung durch den Momentenpunkt geht und die einzige andere äußere Kraft an der Schaukel, das Eigengewicht, zunächst ebenfalls noch. Der einen Drehung muß daher eine entgegengesetzte entsprechen und diese besteht in einer Drehung des ganzen Punkthaufens um den Aufbängepunkt, womit die gewünschte Pendelbewegung zunächst einmal eingeleitet ist. mit diesen Andeutungen, möchte aber die Bewegungen, die zum Ingangsetzen der Schaukel führen, einem genaueren Nachdenken empfehlen, da das Beispiel nach manchen Richtungen hin lehrreich ist. Man mache sich namentlich auch darüber klar, daß die Schaukel überhaupt nicht ohne äußeren Anstoß in regelmäßige Pendelbewegungen gebracht werden könnte, wenn die Aufhängeschnüre unendlich lang wären. Anstatt dessen kann man, um bei praktisch zu verwirklichenden Verhältnissen zu bleiben, auch sagen, daß es nur sehr schwer und nach sehr lange fortgesetzten zweckmäßigen Bewegungen möglich wäre, Pendelschwingungen von größerem Ausschlage herbeizuführen, wenn die Schnüre sehr lang wären, wie etwa die Seile in einem Glockenturme bei festgehaltener Glocke.

Ich begnüge mich hier

§ 21. Massenausgleich bei Schiffsmaschinen nach dem Verfahren von Schlick.

In einem Kahne, der von mehreren Personen besetzt ist, kann man sehr deutlich wahrnehmen, wie jede Bewegung eines Insassen zu einer Bewegung des Fahrzeuges führt, die auf Grund der Schwerpunkts- und Flächensätze mit Berücksichtigung der besonderen Bedingungen, denen der hier als äußere Kraft auftretende Auftrieb des Wassers unterworfen ist, leicht vorausgesehen werden kann. Man weiß auch, daß selbst unmerkliche Bewegungen, die nur in gleichen Zwischenräumen wiederholt werden, mit der Zeit zu einem starken Schaukeln des Bootes führen können. Das Boot führt dann erzwungene Schwingungen aus, die im Falle der Resonanz sehr groß werden können.

Auf einem großen Dampfschiffe macht es nichts aus, wenn einer oder mehrere Fahrgäste darin auf und ab gehen. Einerseits sind hier die bewegten Massen zu klein im Vergleiche zur Masse des ganzen Schiffes und andererseits dauert es auch zu lange, bis die herumgehenden Personen etwa von einer Schiffsseite zur anderen gelangen. Sie müßten schon sehr schnell laufen, um im gleichen Takte mit den Eigenschwingungen des Schiffes herüber und wieder hinüber gelangen zu können, um es so zu kräftigeren erzwungenen Schwingungen anzuregen.

Anders ist es aber mit den großen Dampfmaschinen, die zur Fortbewegung des Schiffes dienen. Die bewegten Teile sind hier einerseits sehr schwer, so daß sie selbst gegenüber den Massen des ganzen Schiffes nicht vernachlässigt werden können, und andererseits bewegen sie sich auch mit großen Geschwindigkeiten. Es läßt sich daher leicht voraussehen, daß die Schiffe durch die Massenverschiebungen, die sich in regelmäßigem Wechsel in ihnen wiederholen, zu Schwingungen veranlaßt werden, die sich oft sehr unangenehm bemerkbar gemacht haben. Man hat daher auf Abhilfe gesonnen und diese ist in praktisch befriedigender Weise durch das von Schlick angegebene Massenausgleichsverfahren gefunden worden.

Die Forderungen, die erfüllt sein müssen, damit die bewegten Massen ganz ohne Einfluß auf die Bewegungen des Schiffes bleiben, lassen sich auf sehr einfache Weise in folgenden beiden Sätzen aussprechen:

•1. Der Schwerpunkt der beweglichen Massen muß stets in relativer Ruhe zum Schiffe bleiben.

2. Der Drall der beweglichen Mass en muß für jeden auf dem Schiffe liegenden Momentenpunkt in jedem Augenblicke gleich Null sein.

Denkt man sich nämlich ein Schiff zuerst in Ruhe auf ruhigem Wasser und hierauf die Maschinen im Leerlaufe (mit abgekuppelten Schaufelrädern oder Schrauben) in Bewegung gesetzt, so muß nach dem Schwerpunktssatze der Gesamtschwerpunkt des ganzen Punkthaufens nach wie vor in Ruhe bleiben. Wenn nun dafür gesorgt ist, daß sich auch der Schwerpunkt der beweglichen Teile für sich genommen nicht verschiebt, so folgt, daß sich auch der Schwerpunkt des Schiffskörpers nicht

verschieben kann. — Ferner muß nach dem Flächensatze der Drall des ganzen Punkthaufens für jeden Momentenpunkt gleich Null bleiben, da sich die äußeren Kräfte (Gewicht und Auftrieb) gegenseitig aufheben. Wird diese Bedingung aber schon von den beweglichen Massen für sich genommen erfüllt, so muß auch has Moment der Bewegungsgröße des Schiffskörpers dauernd gleich Null bleiben. Das ist aber für den als starren Körper aufzufassenden Schiffskörper nur möglich, wenn er keine Rotationsbewegung um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse annimmt.

Hiermit ist bewiesen, daß der Schiffskörper, der vorher in Ruhe war, auch dauernd in Ruhe bleibt, wenn die Maschinen zu laufen beginnen. Eine Massenausgleichung, die die vorher aufgestellten beiden Forderungen erfüllt, ist demnach eine vollkommene. Das Schlick sehe Verfahren entspricht diesen Forderungen nicht streng, sondern nur annähernd. Es läßt sich ferner (von gewissen Ausnahmefällen abgesehen) nur an Maschinen zur Anwendung bringen, die mindestens vier Zylinder haben. Solche kommen bei den großen Dampfern, die Maschinen mit dreistufiger Expansion besitzen, ohnehin gewöhnlich vor, da an Stelle eines einzigen Niederdruckzylinders, der zu groß aus-fallen würde, besser zwei genommen werden. Bei den großen Schnelldampfern hat man auch Maschinen mit sechs Zylindern ausgeführt. In diesem Falle kann man sich dem vollkommenen Massenausgleiche noch mehr nähern als bei vier Zylindern. Hier genügt es aber, wenn ich das Verfahren für den einfachsten Fall der vierzylindrigen Maschinen bespreche.

Abb. 30 gibt eine schematische Darstellung der Maschine in zwei Ansichten, mit den Zylindern I bis IV. Geachtet wird nur auf die Bewegungskomponenten der Kolben, Kolbenstangen, Pleuelstangen und Kurbeln in der Richtung der Zylinderachsen. Die dazu senkrechten Bewegungskomponenten führen gegenüber den anderen nur zu kleinen Bewegungsgrößen, die ebenso wie die Bewegungsgrößen der Steuerungsteile, Pumpen usw. vernachlässigt werden sollen, da es sich nur um die Gewinnung einer angenäherten Lösung handelt.

Föp'pl, Dynamik. 4. Aufl.

Der Kolbenweg xx des ersten Kolbens, von der Totpunktlage aus gerechnet, kann wie früher im I. Bande, S. 204 der 4. Auflage in erster Annäherung

xx = ri — r\ cos 9h gesetzt werden, wenn r und cp die aus der Abbildung ersichtliche Bedeutung haben. Will man sich mit dieser Annäherung nicht begnügen, so kann man, wie hier eingeschaltet werden

mag, nach den in § 32 des ersten Bandes angestellten Entwicklungen in zweiter Annäherung

xx — rx (l — coscpx +

^(i—fcos ²<?))

setzen, wenn die Länge der Pleuelstange mit l bezeichnet wird. Man spricht von einem Massenausgleiche „zweiter Ordnung“, wenn bei der Berechnung von dieser genaueren Formel ausgegangen wird. Bei der vierzylindrigen Maschine, auf deren Betrachtung wir uns hier beschränken, kann aber nur der Ausgleich „erster Ordnung“ durchgeführt werden, der sich auf die vorhergehende einfachere Formel für x stützt.

Aus dieser Formel für x folgt für die Geschwindigkeit vt der mit Mx bezeichneten Masse des ersten Kolbens und seiner Zubehörteile

»    I ^3

<5^—1

r    ;

(104)

(105)

!/

ir\

m\

w\

Abb. 30.

dx,    . dcp,

vi~~dt~riBmVX~dt'

Alle Kurbeln sind auf derselben Welle aufgekeilt und daher ist

rfqp,    d(pi    dcps    d(fi

dt dt    dt    dt    U’

wenn die Winkelgeschwindigkeit der Schiffswelle mit u bezeichnet wird.

Für die Bewegungsgröße der Masse Mx hat man

Mi vx = Mxur₁ sin (px.

Die Richtung ist hier nicht besonders hervorgehoben ; sie ist in jedem Falle als lotrecht anzusehen und geht nach oben oder unten, je nachdem sin (p positiv oder negativ ist. — Für die Bewegungsgröße der zum Zylinder II gehörigen verschieblichen Massen erhält man ebenso

M₂v₂ = M₂ur₂ sin qp₂

oder, wenn man den konstanten Winkelunterschied <jp₂ —mit «₂ bezeichnet,

M₂v₂ — Jf₂Mr₂(sin cpx cosa₂ -f- cos cpx sin«₂) und ebenso für die Massen M₃ und M±.

Die Bedingung, daß der Schwerpunkt der verschieblichen Massen in Ruhe bleiben soll, kommt darauf hinaus, daß die geometrische Summe der Bewegungsgrößen fortwährend gleich Null sein muß. Da hier vorausgesetzt wird, daß die Zylinderachsen alle parallel zueinander sind und daher nur nach oben oder unten gerichtete Geschwindigkeiten v Vorkommen, geht die geometrische Summe der Bewegungsgrößen in eine algebraische Summe über. Dabei sind die Vorzeichen, die den einzelnen Gliedern zukommen, in den vorhergehenden Ausdrücken schon mit enthalten. Die Schwerpunktsbedingung wird daher durch die Gleichung ausgesprochen.

Mturx sin cp₁ -f- M₂ur₂ (sin    cos a₂ + cos <px sin a₂) -f-

+ M₃ ur₃ (sin cpx cos a₃ -f- cos cpx sin a₃) -f-+    (sin    cpx cos a₄ + cos cpx sin a₄) = 0.

Ordnen wir nach sin cpx und cos (px und streichen den gemeinsamen Faktor u, so geht die Gleichung über in

sin <pt {Mx rt    -f- M₂r₂    cos a₂ + M₃r₃ cos a₃ -f- ilf₄r₄ cos o₄} -f-

+ cos qp₄{    0    + M₂r₂    sin «₂ + M₃r₃ sin cc₃ -f Jf₄r₄ sin a₄} = 0.

Diese Gleichung muß für jede Kurbelstellung, also für jeden Wert des Winkels cpx erfüllt sein, damit der Schwerpunkt jederzeit in Ruhe bleibe. Dazu gehört, daß die beiden Klammerwerte einzeln verschwinden. Wir gelangen damit zu zwei Bedingungsgleichungen zwischen den Konstanten der Maschine, die sich kürzer in der Form

ZMr cos u — 0 und ZMr sin a = 0

Stelle von (104)

anschreiben lassen. Die Summierung erstreckt sieb hierbei jedesmal auf alle vier Massen und Winkel, cq ist gleich Null zu setzen, indem unter an nach den vorausgehenden Festsetzungen immer der Winkel zu verstehen ist, den die wte Kurbel mit der ersten bildet (diese Winkel im Sinne der Umlaufrichtung der Maschine gezählt). — Selbstverständlich bleiben übrigens die Bedingungsgleichungen (106) auch für Maschinen mit beliebig vielen Zylindern bestehen, von denen verlangt wird, daß keine Schwerpunktsverschiebungen Vorkommen, solange mannur einen Massenausgleich erster Ordnung herbeiführen will. Für einen Ausgleich zweiter Ordnung wären dagegen die vorhergehenden ;Betrach-tungen unter Zugrundelegung von Gl. (105) an in derselben Weise zu wiederholen und die Gleichungen (106) durch vier Gleichungen zu ersetzen, in die die Bedingungsgleichung für den Schwerpunkt zerfällt, wenn sie wiederum für jeden Wert des Winkels cpl erfüllt sein soll.

Wir bilden jetzt die statischen Momente der Bewegungsgrößen. Die Wahl des Momentenpunktes ist hierbei gleichgültig, denn wenn der Schwerpunkt ruht, ist, wie wir früher fanden, das Moment für jeden Momentenpunkt gleich groß. — Wir wählen den in Abb. 30 mit 0 bezeichnten Punkt oder überhaupt irgendeinen Punkt auf der Achse des Zylinders I. Das statische Moment der Bewegungsgröße der Massen I verschwindet für diesen Momentenpunkt. Das Moment für II ist

M₂v₂a₂ = M₂ur₂a₂ (sin cp₁ cos cc₂ -f cos cpt sin a₂),

wobei mit a₂, wie aus Abb. 30 ersichtlich, der Abstand der Zylinderachse II von der Zylinderachse I bezeichnet ist. Die Richtung des Moments ist nicht besonders ersichtlich gemacht; sie steht in jedem Falle senkrecht zu der Ebene, in der alle vier Zylinderachsen enthalten sind und zwischen der Richtung nach vorn oder hinten wird durch das Vorzeichen des vorausgehenden Ausdrucks schon unterschieden. — Wenn die Summe der Momente der Bewegungsgrößen für den Momentenpunkt 0 und hiermit auch für jeden beliebigen Momentenpunkt verschwinden soll, muß auch die algebraische Summe der Dach dem vorigen Muster gebildeten Ausdrücke für alle Massen gleich Null sein. Ordnen wir wieder wie vorher nach sinç^ und cos 9^, so lautet die Gleichung

sin qpj {0 -f M₂r₂a₂ cos cc₂ -f M₃r₃ a₃ cos cc₃ -f Miriai cos a₄} -f-+ cos <jp₄ {0 + M₂r₂a₂ sin a₂ + M₃r₃a₃ sin cc₃ -f ilf₄r₄n₄ sin a₄} = 0 und da diese für jedes tp₁ erfüllt sein soll, zerfällt sie in die beiden Bedingungsgleichungen

IJMra cos ct = 0 und 2J Mr a sin a = 0.

(107)

Auch hier muß man sich die Summierung wieder auf alle vier Zylinder erstreckt denken; für die erste Zylinderachse ist nämlich sowohl ax als gleich Null und hiermit fallen die zugehörigen Ausdrücke, wie aus der vorigen Schreibweise zu ersehen, von selbst fort.

den Gl. (107)

allein ermittelt werden können. Einer von den Winkeln a kann also willkürlich (oder auf Grund anderer Anforderungen) gewählt werden. Dann folgen die beiden anderen aus hierauf die Abstandsverhältnisse aus den Gl. (107). Man wird natürlich die Wahl des ersten Winkels a so einrichten müssen, daß die sich aus Gl. (107) ergebenden Abstandsverhältnisse auch.

wirklich ausgeführt werden können. Wenn nämlich etwa^⁴ sehr

groß aus der Rechnung gefunden würde, so ließe sich dies nicht ausführen, weil für a₂ ein gewisses Mindestmaß wegen der Abmessungen der Maschinen und für a₄ ein gewisses Höchstmaß wegen der Dimensionen des Schiffes vorgeschrieben ist.

a₃

«₂

Das Schli cksche Verfahren beruht nun darauf, die Winkel cc₂a₃cc± und die Abstände a₂n₃«₄, die dadurch freilich noch nicht völlig bestimmt sind, jedenfalls so zu wählen, daß die Gleichungen (106) und (107) erfüllt werden. Die Massen M und die Kurbelhalbmesser r sind bei der Vornahme des Massenausgleichs durch andere Rücksichten bereits als vorgeschrieben zu betrachten. Die drei Winkel a sind dagegen zunächst ganz zur Verfügung des Konstrukteurs und von den drei Abständen a wenigstens die Verhältnisse — und —-, die ja auch in . der Tat aus

den Gl. (106) und

Die sogenannten Schlingerbewegungen, d. h. die pendelnden Bewegungen des Schiffes werden dann zustande kommen, wenn die vorher unter 2. angeführte Bedingung, also näherungsweise wenn die Gl. (107) nicht erfüllt sind. Man erkennt hieraus, daß gerade auf diese Gleichungen viel Wert zu legen ist. Den Schwerpunkt unveränderlich festzuhalten, hat man sich auch früher schon öfters bemüht; die große Bedeutung der Gl. (107) für einen praktisch befriedigenden Massenausgleich hat aber erst Schlick erkannt und damit einen wichtigen Fortschritt im Baue der großen Ozeandampfer herbeigeführt. — Zugleich erkennt übrigens leicht aus den Gl. (106) und (107), daß eine Maschine mindestens vier Zylinder haben muß, wenn der Ausgleich erster Ordnung allgemein möglich sein soll.

man

Besondere Hervorhebung verdient noch der Umstand, daß die Winkelgeschwindigkeit u der Schiffswelle aus den Bedingungsgleichungen (106) und (107) vollständig herausgefallen ist. Für den Massenausgleich ist es daher ganz gleichgültig, ob die Maschine schnell oder langsam läuft. Daran ändert sich selbst dann nichts, wenn die Winkelgeschwindigkeit u stark veränderlich sein sollte.

Anmerkung. Bei den vorhergehenden Betrachtungen ist vorausgesetzt, daß die ganze Maschine ein Gestell hat, das hinreichend widerstandsfähig ist, um die zwischen den einzelnen Teilen auftretenden inneren Kräfte ohne merkliche Formänderung übertragen zu können. Anderenfalls würden auch bei einem vollkommenen Massenausgleiche Schwingungen entstehen können, die nicht in Bewegungen des Schiffes als starrer Körper, sondern in Formändenmgsbewegungen des Schiffskörpers bestehen würden.

§ 22. Anwendung des Flächensatzes auf die Theorie der

Turbinen.

Während des gleichförmigen Ganges einer Turbine besitzt der aus dem Laufrade samt Welle und Wasserinhalt bestehende Punkthaufen stets dieselbe Bewegung. Daher behält auch der auf die Umdrehungsachse bezogene Drall B dieses Punkthaufens immer denselben Wert, falls man in jedem Augenblicke immer jene Wasserteilchen in Betracht zieht, die sich gerade im Laufrade befinden. Bei der Anwendung des Flächensatzes kommt es aber nicht auf den in dieser Weise berechneten Drall an, sondern auf jenen, der stets auf dieselben materiellen Punkte bezogen wird. Dieser erfährt wegen des Weiterströmens der Wassermasse durch die Turbine eine Änderung, die für ein Zeitelement dt berechnet werden soll.

Bezeichnet man mit M die Masse des die Turbine in der Zeiteinheit durchströmenden Wassers, so tritt während dt eine Wassermasse Mdt mit irgendeiner absoluten Geschwindigkeit vx in das Laufrad ein und eine ebenso große Masse verläßt das Rad mit einer Geschwindigkeit v₂. Die Änderung dB des auf dieselben Massen wie zu Anfang von dt bezogenen Dralls ist dann, da sich im übrigen nichts geändert hat, gleich dem Unterschiede zwischen den statischen Momenten der Bewegungsgrößen für die austretende und für die eintretende Wassermasse Mdt.

Am einfachsten ermittelt man diese Momente, indem man die Geschwindigkeiten v₁ und v₂ auf die Richtungen der zugehörigen Umfangsgeschwindigkeiten des Laufrads projiziert-Bezeichnet man diese Projektionen mit vl coso^ und ü₂cosce2 (wobei also unter und a₂ die Winkel zwischen den Richtungen der v und der Bewegungsrichtung des Laufrads an der gleichen Stelle zu verstehen sind) und die Abstände von der Umdrehungsachse mit rx und r₂, so hat man

dB = Mdt(y₂cos a₂r₂ vx cos

Nach dem Flächensatze ist dann das ebenfalls auf diese Umdrehungsachse bezogene statische Moment K der äußeren Kräfte, die (etwa durch Vermittlung einer aufgekeilten Riemenscheibe) auf die Laufradwelle übertragen werden müssen, um diese in gleichförmigem Gange zu unterhalten,

(108)

K = M(v₂ cos a₂r₂ — vx cos axr^).

Aus K folgt die Arbeit A, die von der Turbine in der Zeiteinheit nach außen hin abgegeben wird, durch Multiplikation mit der Winkelgeschwindigkeit u, also

A — Mu (va cos a₂r₂ — vt cos a₁ ra).

Durch einfache Umrechnungen, auf die hier nicht weiter eingegangen zu werden braucht, kann man die absoluten Geschwindigkeiten vx und v₂ auch in den Relativgeschwindigkeiten gegen das Laufrad in Verbindung mit den Umfangsgeschwindigkeiten urx und ur₂ des Laufrads ausdrücken. Die in dieser Weise umgeformte Gleichung wird von Zeuner als die erste Hauptgleichung der Turbinentheorie bezeichnet. Eine zweite Hauptgleichung, die zur vorigen hinzutreten muß, um alle in der Aufgabe vorkommenden Größen berechnen zu können, erhält man nach Zeuner, indem man für A noch einen zweiten Ausdruck auf Grund des Satzes von der lebendigen Kraft aufstellt und ihn dem vorigen gleichsetzt. Aus der so erhaltenen zweiten Hauptgleichung berechnet man die Geschwindigkeiten, mit denen das Wasser das Rad durchströmt und hierauf nach der ersten Hauptgleichung die Leistung A der Turbine, auf deren Ermittlung es namentlich ankommt.

Die weitere Durchführung der Rechnung würde über den Rahmen dieses Buches hinausgehen; es handelt sich hier nur darum, zu zeigen, auf wie einfache Art man mit Hilfe des Flächensatzes zur ersten Hauptgleichung gelangen kann, die sonst auf viel umständlicherem Wege abgeleitet wird.

Die Aufgaben

zu diesem Abschnitte sind mit denen der beiden folgenden vereinigt und am Schlüsse des vierten Abschnitts abgedruckt.

Dritter Abschnitt.

Dynamik des starren Körpers.

§ 23. Stellung der Aufgabe.

Die Dynamik des starren Körpers beschäftigt sich mit der Aufgabe, die Bewegung vorauszusagen, die ein starrer Körper ausführen muß, wenn beliebig gegebene Kräfte an ihm angreifen. Dabei kann der Anfangszustand der Bewegung irgendwie vorgeschrieben sein. Eine teilweise Beantwortung der gestellten Frage liefert stets sofort der Schwerpunktsatz. Wir wissen, daß sich der Schwerpunkt des Körpers so bewegt, als wenn die ganze Masse in ihm vereinigt wäre und alle Kräfte an ihm angriffen. Wir finden daher aus der Integration der Bewegungsgleichung, wie diese Bewegung erfolgt, genau so als wenn es sich überhaupt nur um die Untersuchung der Bewegung eines einzigen materiellen Punktes handelte.

Eine nähere Untersuchung ist hiernach nur noch für den anderen Bewegungsanteil erforderlich: nämlich für die Drehbewegung, die der Körper um Achsen ausführt, die durch den Schwerpunkt hindurchgehen. Die Theorie der Rotationsbewegungen bildet daher den Hauptgegenstand der in diesem Abschnitte durchzuführenden Überlegungen.

Die wichtigsten Hilfsmittel für diese Untersuchung sind der Satz von der lebendigen Kraft und der Flächensatz. Beide Sätze sind uns zwar schon von früher her bekannt. Um sie aber möglichst bequem und wirksam auf die Fragen anwenden zu können, mit denen wir uns hier zu beschäftigen haben, muß man sich zuerst mit den analytischen Ausdrücken bekannt machen, die man für die lebendige Kraft und für den Drall eines rotierenden starren Körpers aufstellen kann und mit den Veranschaulichungsmitteln für die in diesen Ausdrücken enthaltenen Beziehungen.

Mit dieser vorbereitenden Untersuchung, die sich insbesondere auf die beiden Ellipsoide zu erstrecken hat, die mit der lebendigen Kraft und dem Drall des rotierenden Körpers Zusammenhängen, beschäftigen sich die beiden nächsten Paragraphen.

Erst von § 26 an kann hierauf in die Behandlung bestimmter Fragen aus der Dynamik des starren Körpers eingetreten werden.

§ 24. Lebendige Kraft und Trägheitsellipsoid.

Schon früher haben wir wiederholt gesehen, daß für die Drehbewegungen eines starren Körpers das auf die Drehachse bezogene Trägheitsmoment eine ähnliche Bedeutung hat, wie die Masse für die Bewegung eines materiellen Punktes. Hierbei besteht jedoch der wesentliche Unterschied, daß die Masse für alle Bewegungsrichtungen denselben unveränderlichen Wert behält, während das Trägheitsmoment für verschiedene Richtungen der durch den Schwerpunkt gezogenen Drehachsen ganz verschiedene Werte annimmt. Diese Abhängigkeit zu untersuchen, soll unsere nächste Aufgabe bilden. Für die Trägkeitsmomente von Querschnittsflächen in bezug auf alle Achsen, die in der Ebene des Querschnitts enthalten sind, ist diese Aufgabe schon im dritten Bande (§ 19, S. 85 d. 4. Aufl.) gelöst worden. Damit allein kommen wir aber in der Dynamik des starren Körpers nicht aus und wir müssen daher jene früheren Betrachtungen entsprechend ergänzen.

Wir wählen irgendeinen Punkt 0 auf dem starren Körper aus und nehmen an, daß der Körper in einem bestimmten Augenblicke eine Drehbewegung um irgendeine durch den Punkt 0 gehende Achse ausführe. Die Winkelgeschwindigkeit sei, als gerichtete Größe aufgefaßt, mit u bezeichnet. Die Richtung von U gibt die Richtung der Drechachse und der Pfeil von u den Umdrehungssinn an, wie es schon im ersten Bande (§ 20) ausführlich auseinandergesetzt wurde. Bei den wichtigsten Anwendungen, die von den nachfolgenden Entwicklungen gemacht werden sollen, fällt der Punkt 0 mit dem Schwerpunkte S zusammen. Auf diesen Fall bezieht sich auch die nachstehende Abb. 31, in der u in der besprochenen Weise von S aus abgetragen ist. Indessen könnte an Stelle von S auch irgendein anderer Punkt 0 des Körpers treten, ohne daß dadurch an der Gültigkeit der nachstehenden Betrachtungen etwas geändert würde.

to

Der Radiusvektor, den man von 0 aus nach irgendeinem Massenteilchen m des starren Körpers ziehen kann, sei mit r und die augenblickliche Geschwindigkeit von m mit b bezeichnet. Dann ist nach Bd. I, Gl. (58)

b — — V u r,

wobei nur zu beachten ist, daß der damals mit r' bezeichnete Vektor jetzt r geschrieben ist.

Abb. 31.

Wir berechnen die lebendige Kraft L des Körpers bei dem vorausgesetzten Bewegungszustande. Allgemein hat man

und durch Einsetzen des Wertes von b geht dies über in

L- -|2VV»r)s-

Dieser Ausdruck kann noch auf verschiedene Art weiter umgestaltet werden. Bezeichnet man die zu u senkrecht stehende Komponente von x, also den rechtwinkligen Abstand der Masse m von der Drehachse mit p, so erhält man für das Quadrat des äußeren Produkts aus u und r einfach u²p², wobei u den Absolutwert von u bedeutet. Hiermit findet man

(110)

L = * u~ ^ mp² = u² ©,

wenn das Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf die gegebene Drehachse mit & bezeichnet wird.

Andererseits denken wir uns ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem XYZ mit dem Ursprünge in 0 gezogen. Zerlegen wir die Vektoren in ihre Komponenten nach diesem Koordinatensystem, so erhalten wir durch Anwendung der in Gl. (53), Bd. I gegebenen Rechenvorschrift i j f

b = — Vur = — utusug = i(usy — u₂z) 4-    — u₃x) +

x y s

+ t(u,₂x — uty),

wobei die Koeffizienten yon t j ! die Komponenten von ü bilden. Daraus ergibt sich für das Quadrat der Geschwindigkeit der Ausdruck

b² = 03*4- u2+ (ute - u₃x)² + (u₂x — uxy)\ und wenn man dies in L einsetzt, ausquadriert und die Summe in ihre einzelnen Glieder zerlegt, erhält man

L ^=[~u\{Zmz² + ZJmy²) —    1² + Zmx²)-|-

+ ~ul(2Jmy² -f Unix²) — uxi(₂£mxy —- uxu₃Zmxz —

— u^u₃Hmyz.

(111)

Nun ist aber nach dem pythagoreischen Lehrsätze y² -f- z² gleich dem Quadrate des senkrechten Abstandes der Masse m von der X-Achse. Bezeichnen wir also das Trägheitsmoment des starren Körpers für die X-Achse mit &x, so wird ®x = 2Jmy² + Umz².

Außerdem setzen wir, wie früher schon in der Festigkeitslehre,

®xy = 2Jmxy

und nennen das Zentrifugalmoment des Körpers für die X-und Y-Achse. Hiermit geht der Ausdruck für L über in

L = ®x + ®y +1 w| ©, - ulU% &xy - uxu₃ ®xz -

(112)

- «8 *<3

I(îtidrti n f n die W iukel, die u mit den Koordinateracbsen bildet, mit ußy,(so kann man hierin auch

ux = ucobcc, u₂ = u cos/3, w₃ = u cos y setzen. Führt man dies aus und vergleicht hierauf die Formel mit Gl. (HO), so erhält man eine Gleichung, aus der sich das zu irgendeiner Achse gehörige Trägheitsmomentberechnen läßt, wenn dieauf die Koordinatenachsen bezogenen Momente & und Q gegeben sind. Bequemer ist es aber, den Zusammenhang zwischen den Größen durch eine einfache geometrische Darstellung zum Ausdrucke zu bringen.

Zu diesem Zwecke wollen wir uns eine große Zahl von Strahlen durch den Punkt 0 gelegt und für jeden dieser Strahlen

ermittelt denken, mit welcher Winkelgeschwindigkeit der starre Körper um diesen Strahl als Achse rotieren müßte, wenn die zugehörige lebendige Kraft einen bestimmt vorgeschriebenen Wert L₀ annehmen sollte. Auf jedem Strahle sei die aus dieser Bedingung ermittelte Winkelgeschwindigkeit u, so wie es in Abb. 31 für einen von ihnen geschehen war, als Yektor abgetragen. Die Endpunkte aller dieser u liegen auf einer Fläche, die den Punkt 0 von allen Seiten her umgibt. Die Koordinaten eines Punktes dieser Fläche im Koordinatensysteme XYZ sind UyU.₂u.A und Gl. (112) stellt daher, wenn wir uns für L den beliebig gewählten, aber unveränderlichen Wert L₀ eingesetzt denken, die Gleichung der Fläche dar. Sie ist für die w₁w₂m₃ vom zweiten Grade. Die Fläche muß daher, da wir außerdem wissen, daß sie sich nach keiner Richtung hin ins Unendliche erstrecken kann, ein Ellipsoid sein. Der Punkt 0 ist der Mittelpunkt des Ellipsoids, weil die Gleichung immer noch erfüllt ist, wenn man darin durch — tq, — w₂, — u₃ ersetzt, j Führen wir ferner in Gl. (HO) an Stelle des Trägheitsmoments & den Trägheitshalbmesser i ein, indem wir

©= Mi²

setzen, also unter M die Masse des ganzen Körpers verstehen, so erhalten wir

rH

uH²M.

(113)

Hiernach ist 'jeder Halbmesser u des Ellipsoids, für das L den konstanten Wert L₀ hat, dem auf die gleiche Achse bezogenen Trägheitshalbmesser i umgekehrt proportional. Wegen dieses Zusammenhangs mit den Trägheitsmomenten wird das Ellipsoid als das Trägheitsellipsoid bezeichnet.

Im allgemeinen ist das Ellipsoid dreiachsig und seine drei Hauptachsen heißen zugleich die drei Hauptträgheitsachsen des Körpers für den Punkt 0. Das Ellipsoid kann aber auch ein Umdrehungsellipsoid sein, und dann wird jede in der Äquator-ebene liegende Achse als eine Hauptträgheitsachse bezeichnet. Geht das Ellipsoid endlich in eine Kugel über, so kann jede Achse als eine Hauptachse angesehen werden.

In allen Fällen gilt für eine Hauptachse die Beziehung Ó© = 0

wenn man unter d@ die Änderung versteht, die das Trägheitsmoment beim Übergänge von einer Achse zu einer ihr unendlich nahe benachbarten erfährt. Gl. (114) gibt nämlich die Bedingung dafür an, daß das Trägheitsmoment für die betreffende Achse ein Maximum oder Minimum oder im Falle der Kugel, daß & konstant ist.

Bisher verstanden wir unter XYZ ein beliebig orientiertes Koordinatensystem. Nachdem wir aber erkannt haben, daß man stets mindestens auf eine Art drei zu einer senkrecht stehende Hauptachsen angeben kann, ist es für die weitere Untersuchung von Vorteil, die drei Koordinatenrichtungen mit diesen Hauptachsen zusammenfallen zu lassen. Dann vereinfacht sich auch Gl. (112). Um dies zu erkennen, wollen wir von irgendeinem Punkte des Trägheitsellipsoids zu einem Nachbarpunkt übergehen, der ebenfalls auf dem Ellipsoid liegt, und die Änderungen, die die Koordinaten u,u₂u₃ bei diesem Übergange erfahren, mit du,du₃du₃ bezeichnen. Mit L = L₀ ist Gl. (112) für jeden Punkt der Fläche erfüllt und zwischen den du muß daher die Beziehung bestehen, die aus Gl. (112) durch Bildung der Differentialien hervorgeht, nämlich

u₁àul&x + w₂dw₂© y -F u₃du₃ &z — u, d u₂ $xy — u₂ ô u, Qxy —

— uxdu₃Oxz - u₃dux Oxz — u₂du₃&yz - u₃du₂ &yz = 0.

Das gilt für jede Stelle des Ellipsoids und für jeden Übergang zu einer Nachbarstelle. Wenden wir dagegen die Gleichung für einen der auf der X-Achse liegenden Punkte des Ellipsoids an, so ist w₂ = u₃ — 0 zu setzen und die Gleichung vereinfacht sich zu

ui d u, &x- uxdu₂ ®xy -uxdu₃ Qxz = 0.

Da wir uns aber dafür entschieden hatten, die X-Achse mit einer Hauptachse zusammenfallen zu lassen, haben wir an dieser Stelle außerdem auch noch

du, = 0

zu setzen, womit die Gleichung übergeht in

öu₂0X!/ + du₃0xt = 0.

Das muß gelten für jede Richtung, in der wir vom Scheitelpunkt zu einem Nachbarpunkt übergehen, also für jedes Verhältnis yon du₂ zu duz. Daraus folgt, daß zugleich

Qxy = 0 und &xl = 0

sein muß. Hiermit ist bewiesen, daß die Zentrifugalmomente für die Hauptachsen gleich Null sind, denn derselbe Schluß wie für die X-Achse würde sich auch für die anderen Hauptachsen wiederholen lassen.

zu-

Wenn die Koordinatenachsen mit Hauptträgheitsachsen sammenfallen, vereinfacht sich daher Gl. (112) zu

(115)

L=^u\®x +\u\@y +

Bezeichnet man die Winkel, die irgendeine Achse mit den drei Hauptachsen bildet, mit aßy, so folgt für das dieser Achse zugehörige © aus dem Vergleiche der Gleichungen (110) und (115)

(116)

© — 6^ cos² a -f ©y cos² ß -f ©zcos²y.

Hiermit ist die Aufgabe, die wir uns zunächst gestellt haben, vollständig gelöst.

§ 25. Drall und Drall-Ellipsoid.

So wie vorher für die lebendige Kraft bilden wir jetzt auch den Ausdruck für den Drall © des mit der Winkelgeschwindigkeit u um den beliebigen Punkt 0 rotierenden starren Körpers, und zwar für den Punkt 0 selbst als Momentenpunkt. Hierbei mag jedoch gleich bemerkt werden, daß, wenn 0 mit dem Schwerpunkt S zusammenfällt, die Wahl des Momentenpunktes gleichgültig ist, da, wie wir in § 19 unter b) fanden, der Drall für jeden Momentenpunkt denselben Wert annimmt, wenn der Schwerpunkt ruht.

Allgemein war nach der Definition des Dralls

© = xVwö • r,

und wena man für t) den hier zutreffenden Wert einsetzt, geht dies über in

58 = — ^V(mVur) • r

oder nach Vertauschung der Faktoren in dem einen der äußeren Produkte

© — 2mV rVur.

(117)

Man muß also zunächst das äußere Produkt aus u und x bilden, dann dieses selbst wieder als zweiten Faktor eines äußeren Produkts ansehen, dessen erster Faktor r ist, um hierauf nach Multiplikation mit m und Summierung über alle Teile m des Körpers 58 zu erhalten. Das ist eine sehr umständliche Rechenvorschrift, die sich aber durch eine weit einfachere ersetzen läßt. Nach einer der bekanntesten Formeln der Vektoralgebra kann nämlich, wenn $1586 beliebige Vektoren bedeuten, stets

V$lV®6 = 58 $16-6 $1®

(118)

gesetzt werden. Die rechte Seite dieser Gleichung besteht aus zwei Gliedern, von denen das erste den Vektor 58 als Faktor enthält und daher mit ihm gleichgerichtet ist; denn der andere Faktor $16- ist ein inneres Produkt aus $1 und 6 und als solches eine Größe ohne Richtung. Ebenso ist das zweite Glied mit — 6 gleichgerichtet.

Bisher ist die Formel (118) in diesem Buche nicht vorgekommen. Ich werde daher nicht unterlassen dürfen, hier einen Beweis dafür einzuschieben. Erfreulicherweise hat ja allerdings das Rechnen mit Vektoren in den letzten Jahren sehr zugenommen, und im Zusammenhänge damit hat man auch damit begonnen, die einfachsten Rechengesetze für Vektoren in den mathematischen Vorlesungen an einzelnen Hochschulen zu behandeln. Wenn das schon allgemein eingeführt wäre, könnte ich von einem Beweise für Formel (118), der an sich von rein mathematischer Art ist und mit der Dynamik sachlich so wenig zu tun hat, wie irgendeine andere mathematische Formel, absehen. So wie die Dinge heute liegen, muß ich mich aber doch zur Wiedergabe des Beweises entschließen.

Nach Gl. (53), Bd. I, S. 91 der 4. Aufl. ist

t j Ï

V*86 =    =

¹

Diese Aussage setzt natürlich voraus, daß eine Zeiteinheit angegeben werden kann, die als unveränderlich betrachtet werden darf. Um die Veränderlichkeit der Tagesdauer während eines längeren Zeitraumes anzugeben, denke man sich etwa die Anzahl der Lichtschwingungen für Licht von einer genau definierten Farbe oder Wellenlänge abgezählt, die in die Dauer eines Tages hineinfallen.

Oi C* Cs

- i 0^2c₃ - B₃c₂) + j(ĄCŁ - b₁c₃) + fcącf - b,cx)

und hiernach auch

A,

(Ą ^3 - Ą Ct) (Ą Cx - Bx C₃) (.Bx C₂—B₂ cx)

Entwickelt man die Determinante, so erhält man zunächst für die i-Komponente

i (^2 -®1 ^2    -^2 -®2^1    -^3-®8    “ł"

oder wenn man Aj J5X (7 einmal als positives und einmal als negatives Glied zufügt,

i|BMxC, + A,0, + AaC„) - Ol(AlBI + ASBS + AaB„)),

d. h. wenn man sich der Bedeutung der in den runden Klammern stehenden Summen erinnert

i{B-9Ug,-Cx-9l8}.

Genau ebenso findet man für die j-Komponente und entsprechend auch die letzte Komponente. Faßt man aber alle drei Komponenten wieder zusammen, so erhält man nach Herausheben der drei gemeinsamen Faktoren

9K5. • (Üf, + jüä + tJBs) - 91« ■ (iO, + j C₂ + fĄ)

d. h. genau den in Gl. (118) angegebenen Wert. Hiermit ist der verlangte Beweis erbracht.

Gl. (117)

Kehren wir nach dieser Unterbrechung wieder zu zurück, so geht sie durch Anwendung der in Gl. (118) ausgesprochenen Rechenvorschrift über in

$ = 2Jm(u r² — r • ur),

(119)

Diese Gleichung ist sehr wichtig und wir müssen sie daher noch näher im einzelnen besprechen.

Der Drall fö stellt sich hiernach als eine geometrische Summe aus zwei Gliedern dar. Hiervon ist das erste Glied gleichgerichtet mit u und auch proportional mit der absoluten Größe der Winkelgeschwindigkeit. Der andere Faktor des ersten Gliedes

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

oder nach Spaltung des Ausdrucks in zwei Glieder in

© = u • Amt² — Umr • ur.

12

ist richtungslos und stets positiv; er stellt das polare Trägheitsmoment des Körpers für den Punkt 0 dar. Setzt man

r² = x² +    + £²

und beachtet die durch Gl. (111) ausgesprochenen Beziehungen, so erhält man

(120)

Zmx² = I {®x + &y + &₂).

Wenn man z. B. imstande ist, die Trägheitsmomente des Körpers für die drei durch den Punkt 0 gehenden Hauptachsen anzugeben, kennt man hiernach das erste Glied in dem Ausdrucke für £8 vollständig. — Das zweite Glied macht etwas mehr Schwierigkeiten; insbesondere läßt sich nicht unmittelbar erkennen, in welcher Richtung es geht. Man kann es indessen auch leicht auf die schon in dem Ausdrucke für die lebendige Kraft vorkommenden Summenausdrücke zurückführen. Für ur hat man nämlich in der Koordinatendarstellung ur = uxx + u₂y + us z

und die X-Komponente von 2Jm r • ur geht daher über in 2Jmx(uxx + u₂ y + w₃ z).

Wenn die Koordinatenachsen mit den Trägheitshauptachsen zusammenfallen, heben sich die Zentrifugalmomente fort und man behält

u₁ Unix²

und entsprechend bei den anderen Komponenten.

Zerlegt man auch den Drall $ selbst in seine Komponenten nach den Hauptträgheitsachsen, so erhält man aus Gl. (119) zunächst für die t-Komponente, die wir mit JBX bezeichnen Bx = uxZmx² — uxHmx² = uxZm(x² — x²) =

X’

= ux2m(y² + z²) = ux &

Im ganzen läßt sich daher $ auch in der folgenden Weise darstellen :

(121)

® = i u₁®x + j u₂@y + tu₃®₂

gültig für das mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallende Koordinatensystem.

Diese Formel ist sehr nützlich. In vielen Fällen wird es aber vorzuziehen sein, an ihrer Stelle die ursprüngliche Gl. (119) zu verwenden, wenn es möglich ist, den Wert Unix ■ ur auf einfache Art zu ermitteln. Wie dies bei beliebig gegebener Körpergestalt mit hinlänglicher Genauigkeit sofort geschehen kann, möge in Anlehnung an Abb. 32 besprochen werden. Man teile den Körper durch Schnitte, die senkrecht zu u gezogen sind, in eine Anzahl von Scheiben ein, so daß sich die Scheibendicke näherungsweise als unendlich klein betrachten läßt. Eigentlich hätte man dazu unendlich viele Schnitte zu führen; aber der Fehler, der daraus entsteht, daß man nur eine geringe Zahl annimmt, macht nicht viel aus, wenn man die Schnitte nur sonst passend wählt. Eine der Scheiben, die in Abb. 32 schraffiert ist, möge die Ordnungsnummer n tragen. Für alle Massen m, die zu ihr gehören, hat ur denselben Wert, nämlich uan, wenn mit an der senkrechte Abstand der Scheibe von 0 bezeichnet wird. Zu der Summe UmV • Ut, die wir berechnen wollen, liefert daher die Scheibe n den Beitrag uanUnmx = uanMjn,

Abb. 32.

wenn mit %n der nach dem Schwerpunkt der Scheibe gezogene Radiusvektor und mit Mn die Masse der Scheibe bezeichnet wird. Für jede Scheibe wird man also den Schwerpunkt aufzusuchen und hierauf den vorstehenden Ausdruck zu bilden haben. Man braucht nachher nur die geometrische Summe durch graphische Aneinanderreihung aller dieser Werte unter Zugrundelegung eines geeigneten Maßstabes zu bilden, um sofort Umr • ur nach Richtung und Größe zu erhalten. Hierbei ist übrigens zu beachten, daß jene Abstände a, die im Sinne von u hin liegen, positiv, jene aber, die nach der entgegengesetzten Richtung zählen, negativ einzusetzen sind.

12*

Das Verfahren gestattet namentlich eine sehr schnelle ungefähre Schätzung der Richtung des Gliedes UmX • ur vom Dralle. Man sieht z. B. sofort, daß bei einer länglichen Gestalt des Körpers, wie in Abb. 32, für einen nicht weit von der Achse liegenden Punkt 0 die Richtung von Umv • ur jedenfalls nicht viel von der Figurenachse ab weichen kann, während das erste Glied von 33 in die Richtung von u fällt. Hieraus läßt sich auch erkennen, in welchem Sinne die Richtung von 33 von der Richtung von u abweichen wird. Man darf dabei natürlich nicht vergessen, daß wegen des Minuszeichens vor 2Jmr • ur in Gl. (119) der Pfeil zuvor umzukehren ist. Ferner ist zu beachten, daß der Absolutwert von 2Jmr • ur jedenfalls kleiner ist als der des anderen Gliedes uUmv². Auf Grund dieser Erwägungen vermag man z.B. leicht einzuschätzen, daß hei der in Abb. 33 angedeuteten Körpergestalt zu der dort angegebenen Richtung von u ungefähr die ebenfalls eingetragene Richtung von 33 gehören wird. Diese Bemerkungen sind deshalb von Wichtigkeit, weil bei den Anwendungen der Theorie eine ungefähre Abschätzung oft schon vollständig genügt.

93

⁶S

Abb. 33.

Übrigens kann der Winkel, den die Richtungen von 33 und U untereinander einschließen, unter allen Umständen nur ein spitzer, niemals ein stumpfer oder rechter sein. Man erkennt dies, wenn man das innere Produkt aus 33 und u bildet. Dafür erhält man nach Gl. (119)

u83 = n²2Jm r² — A’w(ur)²

oder auch, wenn man u = uul setzt, also unter u den Absolutwert der Winkelgeschwindigkeit und unter Ux einen in der Richtung der Drehachse gezogenen Einheitsvektor versteht, u33 = u²(Umx² — UmiÜ! r)²) = u²Hm{ r² — (i^r)²) =

(122)

= u-Zmp² = ti~& = 2 1,

wenn p und L in derselben Bedeutung wie im vorigen Paragraphen gebraucht werden. Da die lebendige Kraft L jeden-

falls positiv und von Null verschieden ist, kann der Winkel zwischen 33 und u nur ein spitzer sein.

Dagegen kann dieser Winkel einem rechten unter Umständen sehr nahe kommen, und zwar trifft dies zu bei einem stabförmigen Körper. Wenn u nahezu mit der Stabachse zusammenfällt (Abb. 34), die in deren Richtung gehende Komponente U\ also erheblich größer ist als die senkrecht zur Stabachse stehende Komponente m₂, kann trotzdem das zweite Glied in Gl. (121)

i!\

S3

Abb. 34.

33 = twj ®x + \u₂®y (mit n₃ = 0) das erste weitaus überwiegen, weil ®tj viel größer ist als das auf die Stabachse bezogene Trägheitsmoment ®x. Denkt man sich die Dicke des Stabes unendlich klein gegen die Stablänge, so ist ®y sogar von der zweiten Ordnungunendlich groß gegen ®x und die Richtung von 33 weicht nur entsprechend wenig von der zur Stabachse senkrechten Richtung j ab, auch wenn u der Stabachse ziemlich nahe kommt. Man sieht daher, daß im Grenzfalle der Winkel zwischen u und 33 einem rechten beliebig nahe kommen kann. Bei jeder anderen Körpergestalt wird aber der Winkel kleiner.

Die Projektion von 33 auf die Drehachse sei mit B' bezeichnet. Dann ist B' zugleich der Drall bezogen auf die Drehachse als Momentenachse, wie aus der Lehre von den auf Achsen bezogenen statischen Momenten bekannt ist (vgl. § 17, Bd. I). Das innere Produkt aus u und 33 wird gleich uB' und die Gl. (122) geht nach Wegheben des Faktors u über in

(123)

B' = u®.

Umständen 33 und u auf dieselbe Ricktungslinie fallen. Das können wir wieder am einfachsten auf Grund von Gl. (121) entscheiden. 1st z. B. u₂ = u₃ = 0, so folgt aus dieser Gleichung * = iu,&, - n&x,

d. h. Drall und Winkelgeschwindigkeit sind immer dann gleich gerichtet, wenn sich der Körper um eine Hauptträgheitsachse dreht. Allgemein lautet die Bedingung für gleiche Richtung von 33 und u nach Gl. (121)

Ui ®x : u₂ ©y : u₃ = Ui:u₂:u₃,

und diese kann für einen Körper mit dreiachsigem Trägheits-ellipsoid nur dann erfüllt sein, wenn zwei der drei Winkelgeschwindigkeitskomponenten Ui Mg u₃ gleich Null sind, d. h. nur für eine Drehung um eine der drei Hauptachsen. Ist das Träg-heitsellipsoid eine Kugel, also ®x — ®y = ®₂, so sind 33 und u stets gleich gerichtet, aber dann kann auch jede Achse als Hauptachse angesehen werden. Ist dagegen nur 0 = das Träg-heitsellipsoid daher ein Umdreliungsellipsoid, so ist die Bedingung erfüllt, wenn entweder u% = u₃ = 0, oder auch wenn Ui = 0 ist, während in diesem Falle u₂ und u₃ beliebige Werte haben können, d. h. also sowohl für die Umdrehungsachse des Ellipsoids als auch für jede in der Aquatorebene liegende Achse. Aber auch diese Achsen sind zugleich Hauptträgheitsachsen. Wir können daher den vorhin ausgesprochenen Satz dahin erweitern, daß Drall und Winkelgeschwindigkeit immer dann, aber auch nur dann gleich gerichtet sind, wenn sich der Körper um eine Hauptträgheitsachse dreht.

Im vorigen Paragraphen hatten wir alle möglichen Drehbewegungen um die durch 0 gehenden Achsen besprochen, die sämtlich zu demselben Werte L₀ für die lebendige Kraft führten. Jetzt wollen wir zu jeder dieser Bewegungen mit konstanter lebendiger Kraft auch den zugehörigen Drall ermitteln und alle diese Vektoren 33 nach Richtung und Größe vom Punkte 0 aus abtragen. Die Endpunkte aller dieser Strecken liegen auf einer Fläche, von der sich leicht zeigen läßt, daß sie ebenfalls ein Ellipsoid ist, das wir das Drall-Ellipsoid nennen wollen.

Zum Beweise dieser Behauptung mache ich zunächst darauf aufmerksam' daß S3 nach den Gl. (119) oder (121) linear von U abhängig ist. Zerlegt man nämlich U in irgend zwei Teile U = U -f- u" und berechnet die zu U und u" gehörigen Drallwerte 33' und SB”, so ist auch der ganze zu U gehörige Drall 83 = 83' -f- 83", wie aus den Gleichungen unmittelbar hervorgeht. Hiernach entsprechen allen Strahlen U, deren Endpunkte auf einer beliebigen Geraden liegen, zugeordnete Strahlen 83, deren Endpunkte ebenfalls auf einer anderen Geraden enthalten sind. Hiernach wird durch die Gleichungen (119) oder (121) jedem Punkte des Baumes (als Endpunkt von U betrachtet) ein anderer Punkt des Baumes (als Endpunkt von zugeordnet in der Weise, daß eine kollineare Abbildung des Baumes entsteht. Nun lagen die Endpunkte jener U, die alle zu demselben Werte L₀ für die lebendige Kraft führten, auf dem Trägheitsellipsoid und die Endpunkte aller © liegen daher auf einer-Fläche, die als die kollineare Abbildung des Trägheitsellipsoids angesehen werden kann. Die kollineare Abbildung des Ellipsoids kann aber nur wieder ein Ellipsoid mit denselben Bichtungen der Hauptachsen sein.

»)

Anstatt sich auf diese Eigenschaften der kollinearen Abbildung zu stützen, kann man aber den Beweis auch unmittelbar auf Grund der Gl. (119) oder (121) führen. Aus Gl. (121) erhält man für die Komponenten von 83

B1 = U1 B-2 = % &y) B₃ = «3

und zwischen den Koordinaten u₁u₂u₃ des Trägheitsellipsoids besteht die Gleichung

ul + +

wenn mit uxuyut die Halbachsen des Trägheitsellipsoids bezeichnet werden. Drückt man die m₁m₂m₃ in den BlB₂B₃ aus und setzt sie in die vorstehende Gleichung ein, so erhält man

B\

u°ÿ©l

Ul Ql '

und das ist die Gleichung des Drallellipsoids, dessen Koordinaten B₁B₂Bz sind. Man kann sie noch etwas einfacher schreiben, indem man bedenkt, daß ux&x = Bx, d. h. gleich dem Drall für eine Bewegung um die X-Achse ist, womit die Gleichung übergeht in

Bl

B\ B\ BI+BÎ +Bl

Um den Zusammenhang zwischen beiden Ellipsoiden noch weiter zu erforschen, bilden wir die Änderung 433, die 33 erfährt, wenn man U irgendeinen unendlich kleinen Zuwachs du erteilt. Aus Gl. (119) findet man

433 = 4u • 2Jmx² — Umx ■ 4ur, und wenn man dies mit u auf innere Art multipliziert u433 = u4u • Umr² — Urnnx • 4ur

= 4u{u • Umx* — Umnx • r} = 334u.

Wir haben also die bemerkenswerte Beziehung

(124)

gefunden, und zwar gültig für beliebige Zuwüchse 4u. Betrachten wir aber weiterhin nur solche Zuwüchse 4u, die einen Halbmesser u des Trägheitsellipsoids in einen benachbarten Halbmesser u + 4tt überführen, oder die mit anderen Worten unendlich kleine Bögen auf dem Trägheitsellipsoid bilden, so folgt ferner aus Gl. (122), nämlich

u433 = 334u

u33 = 2 L₀

durch Differentiation auch

u 433 + 334« = 0.

Da aber beide Glieder auf der linken Seite schon als gleich erkannt sind, folgt, daß jedes von ihnen gleich Null sein muß. Man hat also

u433 = 334u = 0.

(125)

Diese Gleichungen haben eine einfache geometrische Bedeutung. Alle unendlich kleinen Bögen 4u, die man von einem Punkte des Ellipsoids aus in verschiedenen Richtungen ziehen kann, sind nämlich in der durch diesen Punkt gehenden Tangentialebene des Ellipsoids enthalten. Die Gleichung 33 4u = 0 sagt daher aus, daß die Richtung von 33 senkrecht auf dieser Tangentialebene steht. Ebenso folgt aus der Gleichung u433 = 0, daß jedes u senkrecht steht zu der Tangentialebene, die man im Endpunkte des zugehörigen 33 an das Drall-Ellipsoid legen kann. Hierdurch sind wir in den Besitz eines einfachen Verfahrens gebracht, um die Richtung des zu einem gegebenen u gehörigen © oder umgekehrt auf geometrischem Wege zu finden.

rm

iß

In Abb. 35 sind die beiden Ellipsoide für den Fall eines Umdrehungskörpers mit der Symmetrieachse mm dargestellt und zwei zusammengehörige Vektoren u und nebst den Spuren ihrer Tangentialebenen eingetragen. Durch passende Wahl der Maßstäbe, in denen man U und © aufträgt, kann man es erreichen, daß die beiden Meridiankurven kongruente Ellipsen bilden, die nur um 90° gegeneinander gedreht sind. Aus Gl.

(122) folgt nämlich

= UyBy =

TTl

Abb. 35.

uzBz = 2 L₀, d. h. die Hauptachsen der beiden Ellipsen sind miteinander umgekehrt proportional.

Je kleiner die Winkelgeschwindigkeit ist, die ein gegebenes L₀ hervorbringt, desto größer ist der zugehörige Drall, wenn man nur die Hauptachsen miteinander vergleicht.

§ 26. Die freien Achsen.

Ein starrer Körper möge anfänglich eine beliebige Bewegung besitzen und hierauf ohne Einwirkung äußerer Kräfte sich selbst überlassen werden. Wir schließen nach Schwerpunktsund Flächensatz von neuem, daß sowohl die Bewegungsgröße des ganzen Körpers als auch der Drall konstant bleiben müssen. In jedem Augenblicke kann man sich die Bewegung in eine Translation zerlegt denken mit jener Geschwindigkeit, die dem

Schwerpunkte zukommt, und in eine Rotation um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse. Die Translation geht nach dem Schwerpunktssatze gleichförmig vor sich und interessiert uns kaum. Viel wichtiger ist jetzt für uns die Frage nach der Rotationsbewegung. Wir wollen daher von der Translation ganz absehen, also annehmen, daß der Schwerpunkt des starren Körpers schon von Anfang an ruhte; heim Fehlen aller äußeren Kräfte wird er dann auch dauernd in Ruhe bleiben, so daß wir es in der Tat nur noch mit den Rotationen zu tun haben. Im übrigen muß aber betont werden, daß auch im allgemeineren Falle das, was jetzt von den Rotationsbewegungen für sich ausgesagt werden soll, unverändert gültig bleibt, und daß dann nur noch die von den Rotationen unabhängige und hier gleichgültige konstante Translationsbewegung hinzutritt.

Wir werden das wichtige Problem, die Bewegung eines sich selbst überlassenen starren Körpers anzugeben, nur schrittweise in Angriff nehmen. Hier beschränken wir uns auf die Beantwortung der Frage, ob die Rotationsachse ihre Richtung im Raume und im Körper dauernd beibehält oder nicht.

Wer sich diese Frage zum ersten Male vorlegt, ohne vorher davon gehört zu haben, wird leicht geneigt sein, die Unveränderlichkeit der Rotationsachse für alle Fälle von vornherein anzunehmen. Häufig wird nämlich das Trägheitsgesetz fälschlich so aufgefaßt, als ob ein Körper beim Fehlen äußerer Kräfte seine Bewegung unverändert beibehalten müsse. Aber das ist nicht richtig; das Trägheitsgesetz gilt seiner ursprünglichen Aussage nach nur für einen materiellen Punkt und, wie daraus folgt, auch für die Schwerpunktsbewegung eines sich selbst überlassenen Körpers, aber nicht für die Drehbewegung. Im allgemeinen verändert sich vielmehr die Lage der Rotationsachse ' mit der Zeit sowohl relativ zum Körper als zum absoluten Raume. Sie kann freilich auch konstant bleiben und jede im Körper durch den Schwerpunkt gelegte Achse, um die sich der Körper ohne Zwang dauernd zu drehen vermag, heißt eine freie Achse (oder auch permanente Drehachse).

Auf Grund des Trägheitsgesetzes vermag man nur zu behaupten, daß ein einzelner materieller Punkt die Bewegung, die er hatte, ohne Einwirkung äußerer Kräfte beibehält oder daß das gleiche auch von der Schwerpunktsbewegung eines beliebigen Punkthaufens gilt. Die Rotationsbewegung wird aber von der Aussage des Trägheitsgesetzes nicht unmittelbar berührt und mittelbar nur insofern, als aus dem Trägheitsgesetze in der Dynamik des materiellen Punktes eine Reihe von Folgerungen gezogen wurde, die sich später auf die Dynamik des Punkthaufens übertragen ließen, und die daher jetzt an Stelle des Trägheitsgesetzes zur Untersuchung der Rotationserscheinungen verwendet werden können.

Man wird aber nicht leicht die Forderung fallen lassen, daß sich irgendeine mit der Rotationsbewegung zusammenhängende Größe beim Fehlen äußerer Kräfte als konstant erweisen müsse, schon deshalb, weil man stets gewohnt ist, die Kräfte als Ursachen von Veränderungen anzusehen. In der Tat kann man zwei sehr wichtige Größen angeben, die nur durch das Eingreifen äußerer Kräfte geändert werden können. Die erste ist die lebendige Kraft des starren Körpers, von der dies schon im ersten Bande dieses Werkes gezeigt wurde, und die andere ist der Drall, der nach dem Flächensatze (vgl. § 19 unter b) der Zeit nach konstant und hier überdies noch für jeden Momenten-punkt gleich groß ist. Die zweite Bedingung sagt übrigens mehr aus als die erste, denn die lebendige Kraft ist eine Größe ohne Richtung und die Bedingung, daß sie konstant sei, wird daher durch eine einzige Beziehung zwischen Zahlengrößen ausgesprochen. Der Drall ist dagegen eine gerichtete Größe und die Bedingung, daß er sich nicht ändere, schließt neben der Konstanz des Absolutwertes auch die Konstanz der Richtung ein. Die Vektorgleichung, die dies ausspricht, läßt sich in drei voneinander unabhängige Komponentengleichungen zerlegen, enthält also drei Zahlenbeziehungen. In der Tat ist daher auch das Moment der Bewegungsgröße von noch größerer Bedeutung für die Beurteilung der Rotationserscheinungen als selbst die lebendige Kraft.

Aus der Bedingung, daß sich der Drall nicht ändern kann, ergibt sich nun leicht, welche Drehungsachsen des starren Körpers freie Achsen sind. Es sind jene, für die 83 gleichgerichtet mit u ist, d. h. die Hauptträgheitsachsen und nur diese sind freie Achsen. Im anderen Falle nämlich, wie er etwa durch Abb. 33, S. 180 angegeben ist, kann man zwar den Körper auch dazu zwingen, daß er sich dauernd um die durch u angegebene Achse dreht, indem man ihn z. B. mit Hilfe von Zapfen in einem Gestell lagert. Aber in diesem Falle bleibt der Drall 83 nicht konstant, sondern der Vektor 83 beschreibt eine Kegelfläche um u als Achse. Das folgt daraus, daß sich alle Radienvektoren nach den einzelnen Massenteilchen um diese Achse und um denselben Winkel gedreht haben, während u konstant blieb. Solange dies zutrifft, bleibt auch 83 relativ zum Körper genommen konstant und dreht sich daher mit dem Körper zusammen gegen den festen Raum. Nach dem Flächensatze müssen aber äußere Kräfte einwirken, um irgendeine Änderung von © gegen den festen Raum hervorzubringen, auch wenn sich diese Änderung nur auf die Richtung und nicht auf die Größe des Dralls bezieht. Daraus folgt, daß u in Abb. 33 unmöglich eine freie Achse sein kann; vielmehr muß von den Lagern her ein Zwang auf den Körper übertragen werden, der sich auf ein Kräftepaar zurückführen läßt. Das Moment dieses Kräftepaares kann auch nach der Gleichung des Flächensatzes

berechnet werden, wenn « und 83 gegeben sind. An einer späteren Stelle werden wir diese Berechnung vornehmen.

Rotiert dagegen der Körper um eine Hauptträgheitsachse, so bleibt das in die Richtung von u fallende © konstant und mit wird auch 2?V^f zu Null, d. h. der Körper dreht sich dauernd um dieselbe Achse weiter, ohne daß ein Zwang dazu aufgewendet zu werden braucht. Damit ist die vorher aufgestellte Behauptung bewiesen.

Auch in diesem Falle kann übrigens an Stelle des Flächensatzes das d’Alembertsche Prinzip verwendet werden. Man kommt dann zu denselben Schlüssen, wie hier noch gezeigt werden soll. Wenn nämlich ein Körper gezwungen ist, stets um dieselbe Achse U zu rotieren, bestehen die Trägheitskräfte, die man nach diesem Satze anbringen muß, um die dynamische Aufgabe auf eine statische zurückzuführen, in Zentrifugalkräften. Bezeichnet man die in Abb. 36 von der Drehachse U rechtwinklig nach dem Massenteilchen m gezogene Strecke mit so ist die Zentrifugalkraft 6- nach Bd. I, § 26

6- = m«²|)

zu setzen, wofür auch

& = mu²(y — UL • uxr)

Abb. 36.

geschrieben werden kann, wenn man beachtet, daß Ji als geometrische Summe der beiden anderen in Abb. 36 vorkommenden Dreieckseiten dargestellt werden kann. Aus der angeführten Stelle des ersten Bandes ist schon bekannt, daß die geometrische Summe aller 6/ gleich Null ist, wenn der Körper um den Schwerpunkt rotiert. Die äußeren Kräfte, die an dem Körper angreifen, müssen nun nach dem d’Alembertschen Prinzip mit den Trägheitskräften (S- im Gleichgewicht stehen, und wenn keine äußeren Kräfte nötig sein sollen, um die Bewegung aufrecht zu erhalten, müssen daher die 6- selbst ein Gleichgewichtssystem bilden. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür besteht, da die geometrische Summe der (ü jedenfalls Null ist, darin, daß für irgendeinen Momenten-punkt die geometrische Summe der statischen Momente verschwindet. Wählen wir S als Momentenpunkt, so lautet demnach die Bedingungsgleichung für die freie Achse

2mY(r — itj • Uj r) r = 0.

Da das äußere Produkt aus t mit sich selbst verschwindet, vereinfacht sich die Gleichung zu

A’wUitVi^r — 0.

Da it: konstant ist, läßt sich dafür auch schreiben Vt^ 2 mUjt • r = 0.

Das äußere Produkt kann aber, da beide Faktoren von Null verschieden sind, nur dadurch zu Null werden, daß beide Faktoren gleich gerichtet sind. Die Bedingung für die freie Achse läßt sich daher auch dahin aussprechen, daß

ZmX • tqt Ui

sein muß, oder schließlich auch, wenn man mit u multipliziert

Zmx • ur u.

Wenn dies zutrifft, ist aber nach Gl. (119) S. 177 auch © parallel mit U und hiermit ist von neuem bewiesen, daß die Hauptträgheitsachsen und nur diese freie Achsen sind.

§ 27. Wirkung eines Kräftepaares auf einen freien starren

Körper.

Ein starrer Körper sei frei, d. h. allen übrigen äußeren Kräften entzogen und vorher in Ruhe. Dann soll irgendein Kräftepaar auf ihn einwirken; es fragt sich, welche Bewegung der Körper annimmt.

Wir wissen schon, daß sich der Schwerpunkt nicht verschieben kann; die Bewegung muß also in einer Drehung um eine Schwerpunktsachse bestehen. Es fragt sich zunächst, um welche Achse er beginnen wird, sich zu bewegen, und welche Winkelbeschleunigung ihm von dem Kräftepaare um diese Achse erteilt werden wird.

Hiusichtlich des Kräftepaares muß zunächst daran erinnert werden, daß alle Kräftepaare am starren Körper, die in derselben Ebene oder in parallelen Ebenen liegen, äquivalent sind, wenn sie dasselbe statische Moment haben (Band II, § 22). Um das Kräftepaar für unsere Zwecke eindeutig zu beschreiben, genügt es daher, den Momentenvektor $ des Kräftepaares nach Größe und Richtung anzugeben. Da dieser ein völlig freier Vektor ist, d. h. auch parallel zu sich selbst willkürlich verschoben werden darf, ist es gleichgültig, von welchem Punkte aus wir ihn uns gezogen denken wollen. Am einfachsten ist es, wenn wir ihn uns vom Schwerpunkt aus abgetragen denken.

Auch hier muß wieder vor voreilig gefaßten Meinungen gewarnt werden. Es könnte nämlich bei flüchtiger Betrachtung scheinen, daß die Drehung U, die von $ hervorgebracht wird, mit $ gleich gerichtet sein müsse. Zu dieser Meinung kann namentlich der Vergleich des Kräftepaares mit einer Einzelkraft leicht verleiten. Wir haben schon im ersten Bande gesehen, daß sich beide in der Tat in vieler Hinsicht gleichen. Die Einzelkraft bringt am materiellen Punkte eine Verschiebung in ihrer Richtung hervor. Das Kräftepaar bringt eine Drehung um eine Schwerpunktsachse hervor. Aber hier besteht nun der erhebliche Unterschied, daß die Richtung der Drehachse im allgemeinen keineswegs mit der Richtung von $ zusammenfällt. Unter besonderen Umständen trifft dies freilich zu und wir wollen hier vor allen Dingen untersuchen, unter welchen Umständen.

Mit Hilfe des Flächensatzes wird sich dies leicht entscheiden lassen. Beachten wir, daß an Stelle von A'V^r jetzt kürzer ® geschrieben werden kann, so wird der Flächensatz hier durch die einfache Gleichung

(126)

dt

ausgesprochen. Hat das Kräftepaar Ä einige Zeit hindurch auf den Körper eingewirkt, so folgt hieraus auch durch Integration

(127)

= j&dt.

Wenn $ während der ganzen Zeit konstant war, ist hiernach gleich gerichtet mit Ä, und zwar gilt dies für jede beliebige Gestalt des Körpers und für jede beliebige Richtung von Im allgemeinen fällt aber, wie wir aus § 25 wissen, die Richtung von u keineswegs mit der Richtung von © zusammen, und daher ist auch u anders gerichtet als $. Nur dann, wenn zufällig 51 U, ist auch $ u. Diese Bedingung ist aber nur für die freien Achsen erfüllt und wir erkennen damit, daß die Achse der Drehung, die durch ein Kräftepaar hervorgerufen wird, nur dann senkrecht auf der Ebene des Kräftepaares steht, wenn diese Senkrechte eine freie Achse des Körpers ist.

In diesem Falle läßt sich Gl. (126) in weiter ausgerechneter Form darstellen. Auf die Richtungen, die miteinander zusammenfallen, brauchen wir dann, da sie selbstverständlich sind, nicht mehr ausdrücklich zu achten, und für die Größe von © können wir den in Gl. (123) ausgerechneten Wert von B' einsetzen. Wir haben dann

d(u (-))

dt

oder, da & der Zeit nach konstant ist,

0    = K.

dt

(128)

Wir sind damit nur zu einem einfachen Resultate zurückgelangt, das schon im ersten Bande (S. 194, Gl. (81) der 4. Aufl.) gefunden wurde. Die frühere Ableitung bezog sich zwar auf einen zwangläufig drehbaren Körper und sie gilt für diesen allgemein. Aber auch der freie Körper, den wir hier untersuchen, kann bei seiner Drehung um eine freie Achse als drehbar gelagert angesehen werden, da gar keine Kräfte von dem Gestelle auf ihn übertragen werden, um die Beibehaltung der freien Drehachse zu erzwingen.

Gehen wir jetzt zu dem allgemeineren Falle über, daß der Momentenvektor Ä nicht in die Richtung einer Hauptträgheitsachse fällt, so läßt sich die Richtung der Umdrehungsachse der durch $ hervorgebrachten Drehbewegung nach den Lehren von § 25 ermitteln. Denn dort ist gezeigt, wie man die Richtung von u findet, die zu einer gegebenen Richtung von 33 gehört, falls das Trägheitsellipsoid des Körpers bekannt ist.

Um ferner auch die Größe der Winkelgeschwindigkeit u zu ermitteln, zerlegen wir Ä in drei Komponenten KlK^K^ nach den Richtungen der Hauptträgheitsachsen. Für die erste Komponente folgt dann, da sie mit einer freien Achse zusammenfällt nach Gl. (128) und entsprechend für die übrigen. Die wirkliche Winkelbeschleunigung erhalten wir daraus nach dem Satze über die Zusammensetzung unendlich kleiner Drehungen durch geometrische Summierung der drei Komponenten. Versteht man also unter i j f drei Einheitsvektoren, die in den Richtungen der drei Hauptachsen gezogen sind und unter 0₂ ®₃ die zugehörigen Trägheitsmomente, so hat man

du 1*;

(129)

dt ¹    * 0₂'    ©3 ’

und hieraus durch Integration nach der Zeit auch u selbst.

Anstatt dessen kann man auch von Gl. (121) ausgehen,

aus der

% -    ; «2 - e; ; % -

mit den hier gebrauchten Bezeichnungen folgt, woraus sich u zusammensetzen läßt zu

. B,    . .B*    ₄ Bs

W = t Tr + Î TT + * /T- •

©,

©3

©3

(130)

Da© und daher auch seine Komponenten schon aus Gl. (127) bekannt sind, ist hiermit die Aufgabe gelöst.

Schließlich möge noch ein Gebrauch von Gl. (127) erwähnt werden, der zur Erzielung einer einfacheren Ausdrucksweise zuweilen gemacht wird. Gl. (127) hat nämlich die Form des Satzes vom Antriebe. An Stelle des Impulses einer Einzelkraft steht bei ihr das ebenso gebildete Zeitintegral des Kräftepaares, das daher auch als der Impuls des Kräftepaares bezeichnet werden kann. Ebenso tritt an die Stelle der Bewegungsgröße hier das statische Moment der Bewegungsgröße. '-Man kann daher Gl. (127) in Worten auch dahin aussprechen, daß der Impuls des Kräftepaares gleich dem von ihm erzeugten Dralle ist. Dabei könnte Ä sehr groß und die Zeit, während der es ein wirkte, sehr klein sein, so daß wir es mit einem „Drehstoße“ zu tun hätten. Wenn ferner die Drehbewegung des Körpers in einem bestimmten Augenblicke ganz willkürlich gegeben ist, so kann man sich stets das zugehörige © ermittelt und hiermit nach Gl. (127) auch das ihm gleiche J $ dt berechnet denken. Man kann daher die augenblickliche Bewegung auch dadurch beschreiben, daß man sagt, sie sei ebenso, als wenn sie aus der Ruhe durch den Impuls eines Drehstoßes hervorgegangen wäre.

Sobald

dieser Impuls J$ di angegeben wird, ist auch die augenblickliche Bewegung dadurch gekennzeichnet. Manche Schriftsteller ziehen diese Art der Darstellung vor und gebrauchen dann die Bezeichnung „Impulsvektor“ als gleichbedeutend mit „Moment der Bewegungsgröße“ oder „Drall“. Natürlich ist dies im Grunde genommen gegenüber der von mir gewählten Ausdrucksweise nur ein Unterschied im Wortlaute, der das Wesen der Sache ganz unberührt läßt.

13

F ö p p 1, Dynamik. 4. Aufl.

§ 28. Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne äußere Kräfte.

Wir machen nach allen diesen Vorbereitungen jetzt den letzten und wichtigsten Schritt zur Untersuchung der Bewegungen, die ein vollständig sich selbst überlassener Körper mit gegebener Anfangsbewegung weiterhin ausführt. Hierin besteht wenigstens das Hauptziel, das wir uns in diesem Paragraphen stecken, wenn auch die Überschrift etwas anderes anzukündigen scheint. Um diese zu erklären, erinnere ich zunächst daran, daß wir bei dieser Untersuchung von einer etwaigen Translationsbewegung ganz absahen, uns den Schwerpunkt also von Anfang an und daher, beim Fehlen äußerer Kräfte, auch dauernd in Ruhe denken wollten. Damit ist der Schwerpunkt schon von selbst ein „fester Punkt“ des Körpers. Es kann auch nichts ausmachen, wenn wir uns diesen ohnehin schon am Orte bleibenden Punkt überdies noch mit einem festen Gestelle verbunden denken, falls nur dem Körper dabei durch Anordnung eines Kugelgelenkes die Möglichkeit erhalten bleibt, sich nach allen Richtungen hin ohne Widerstand zu drehen.

Dies allein würde allerdings noch nicht genügen, um die Einführung einer neuen Bezeichnung zu rechtfertigen, die ausdrücklich darauf hinweist, daß der Schwerpunkt in Ruhe bleibt. Es kommt aber hinzu, daß es für die Durchführung der Untersuchung fast ganz gleichgültig ist, ob der Körper im Schwerpunkte oder in irgendeinem anderen Punkte festgehalten ist, um den er sich frei zu drehen vermag. Auch dieser Fall ist für viele Anwendungen der Mechanik von großer Bedeutung und er muß daher ebenfalls behandelt werden. Da nun der Fall des frei beweglichen Körpers in ihm schon als Sonderfall mit enthalten ist, so tut man, um unnötige Wiederholungen zu vermeiden, am besten, sogleich den allgemeineren Fall in Angriff zu nehmen. Es bleibt aber jedem, der sich für diesen etwa nicht interessiert, unbenommen, sich unter dem festen Punkte, von dem weiterhin die Rede ist, überall den Schwerpunkt vorzustellen und hiernach von einer Lagerung in einem Gestelle ganz abzusehen.

Im allgemeineren Falle wird ein Zwang von dem Gestelle auf den bewegten Körper übertragen werden müssen, durch den der feste Punkt auch wirklich an seinem Orte festgehalten wird. Von Reibungen u. dgl. soll abgesehen werden und der Zwang kann daher nur in einer Auflagerkraft bestehen, die sich im festen Punkte überträgt. Diese Kraft soll die einzige äußere Kraft sein, die am bewegten Körper angreift. Sie kann keine Arbeit leisten, da ihr Angriffspunkt in Ruhe bleibt und wir schließen daraus zunächst, daß die lebendige Kraft des Körpers konstant sein muß. Außerdem ist auch das statische Moment des Auflagerdrucks stets gleich Null, wenn wir den festen Punkt zum Momentenpunkte wählen. Hiernach folgt aus dem Flächensatze, daß auch der Drall S3 — diesmal freilich nur für diese besondere Wahl des Momentenpunktes — nach Größe und Richtung unverändert bleiben muß.

Auf Grund dieser beiden Bedingungen läßt sich die auf einen gegebenen Anfangszustand folgende weitere Bewegung des Körpers leicht voraussehen, falls das Trägheits-Ellipsoid und das Drall-Ellipsoid des Körpers bekannt sind. Trägt man zunächst in die Zeichnung des in der Anfangslage gegebenen Körpers den zur Anfangsbewegung gehörigen Drall © ein und legt durch den Endpunkt von © eine Kugelfläche, deren Mittelpunkt mit dem festen Punkte zusammenfällt, so schneidet die Kugel das Drall-Ellipsoid nach einer Raumkurve. Nun sind das Trägheits- und das Drall-Ellipsoid im Körper festgeheftet und bewegen sich mit ihm zusammen. Da © vom festen Raume her betrachtet konstant bleibt, muß demnach die Bewegung von der Art sein, daß die soeben konstruierte Raumkurve, zu der alle Halbmesser des Drall-Ellipsoids von der anfänglich gegebenen Größe von © gehören, stets durch die im festen Raume konstante Richtung von © hindurchgeht.

Durch diese Bemerkung allein ist die Bewegung freilich noch nicht völlig bestimmt. Wir greifen daher auf Gl. (122), nämlich

u© = 2i

zurück, in der die lebendige Kraft L, wie wir soeben sahen, eine

13*

Konstante bedeutet. Um das innere Produkt u38 zu bilden, wollen wir uns jetzt u auf die Richtung von $ projiziert denken. Bezeichnen wir die Projektion mit u und die Größe von © mit B, so hat man

u3B = u B = 2 L,

und daraus erhält man

,    2 L

U~~B

Da aber L und B konstant sind, folgt aus dieser Gleichung, daß auch die Projektion a' von u auf die unveränderliche Richtung von 38 konstant bleiben muß.

S3

(131)

Abb. 37.

Diese Bemerkung gestattet uns schon, einen besseren Überblick über die fernere Bewegung des Körpers bei gegebenem Anfangszustande zu gewinnen. Man trage in die Zeichnung der Anfangslage zunächst das Trägheits-Ellipsoid sowie die Anfangsgeschwindigkeit u₀ ein, die einen Halbmesser des Ellipsoids bildet. Im Endpunkte von u₀ konstruiere man die Tangentialebene a an das Ellipsoid und ziehe zu dieser eine Senkrechte vom festen Punkte 0 aus (vgl. Abb. 37). Aus den Lehren von § 25 wissen wir schon, daß diese Senkrechte die unveränderliche Richtung von 38 angibt. Auf 38 schneidet die Ebene a eine Strecke ab, die u darstellt. Denkt man sich hierauf dieselbe Konstruktion für eine spätere Stellung des Körpers wiederholt, so wird sich in der Zeichnung die Lage des Ellipsoids und die Richtung von u in ihm geändert haben. Dagegen müssen wir nach dem, was bewiesen wurde, immer wieder auf dasselbe 38 und dasselbe u geführt werden. Durch die Richtung von 38 und die Größe von u ist aber auch die Ebene a festgelegt, die man daher als die unveränderliche Ebene des Problems bezeichnet. Die Bewegung des Körpers muß nun in solcher Art erfolgen, daß das Ellipsoid jederzeit die unveränderliche Ebene a berührt. Dabei gleitet das Ellipsoid niemals auf dieser Ebene, da ja in jedem Augenblicke die Drehachse durch den Berührungs-

punkt hindurchgeht. Die Bewegung des Ellipsoids besteht daher in einem Rollen auf der unveränderlichen Ebene.

Man denke sich ferner das ganze Ellipsoid durch ein Bündel von Tangentialebenen eingehüllt. Unter allen diesen Tangentialebenen suche man jene auf, deren Abstand vom festen Punkte gleich ti ist. Die zugehörigen Berührungspunkte werden einen oder auch zwei getrennte, in sich geschlossene Kurvenzüge bilden. Alle Punkte dieser Kurven können durch geeignete Drehung des Ellipsoids in die Ebene a übergeführt werden, so daß sie die Berührungspunkte zwischen a und dem Ellipsoide bilden.

Hiermit ist nun auch entschieden, welche durch 0 gehenden Strahlen nach und nach als Drehachsen dienen werden: es sind die Verbindungslinien von 0 nach den Punkten der vorher konstruierten Kurve. Poinsot, von dem die hier auseinandergesetzte geometrische Lösung des Problems herrührt, hat die Kurve als die Polo die (oder den Polweg) bezeichnet. Er hat ferner noch eine zweite Kurve zur Beschreibung des ganzen Vorgangs benützt. Auch in der Ebene a wird nämlich der Berührungspunkt mit dem Ellipsoid, der in jedem Augenblicke als der Pol der Bewegung bezeichnet werden kann, nach und nach andere Lagen einnehmen. Der Berührungspunkt beschreibt dabei eine Kurve, die als die Herpolodie bezeichnet wird. Die Bewegung des Ellipsoids kann nun als ein Rollen der Polodie auf der Herpolodie aufgefaßt werden.

Diese einfache geometrische Beschreibung der im übrigen so schwierig zu behandelnden Bewegung genügt meist, um sich ohne Rechnung einen schnellen Überblick über die Erscheinungen zu verschaffen, die man zu erwarten hat. Von der Gestalt des Trägheits-Ellipsoids des Körpers wird man sich im gegebenen Falle meist sehr schnell eine ziemlich genau zutreffende Vorstellung machen können, ohne vorher viel rechnen zu müssen. Wie die Polodie aussieht, läßt sich dann auf Grund ihrer geometrischen Eigenschaften ebenfalls schnell genug erkennen. Die Herpolodie ist nicht so leicht anzugeben; aber man braucht sie auch kaum, um sich eine deutliche Vorstellung von dem Rollen des Ellipsoids auf der unveränderlichen Ebene zu machen. —

Der Hauptmangel der vorausgehenden Betrachtungen besteht nur noch darin, daß die Zeit, die während der Bewegung des Körpers aus der Anfangslage in irgendeine andere verstreicht, daraus nicht unmittelbar entnommen werden kann. — Darauf werde ich in § 30 zurückkommen.

§ 29. Die stabilen Drehachsen.

Wir können sofort eine wichtige Anwendung der vorhergehenden Lehren machen. Früher fanden wir nämlich, daß jeder Körper mindestens drei freie Achsen hat, die mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen. Sie sind aber, wie sich jetzt zeigen wird, nicht alle „stabile“ Drehachsen.

Man denke sich, daß ein Körper nicht genau, sondern nur nahezu um eine freie Achse rotiere. Würde er genau um die freie Achse rotieren, so könnte sich die Drehachse niemals ändern und der Körper würde nach jeder Umdrehung immer wieder in die Anfangslage zurückkehren. Völlig genau läßt sich dieser Zustand aber niemals erreichen und es fragt sich, welche Folgen eine geringe Abweichung davon nach sich zieht. Wenn der Körper sich dauernd nahezu so verhält, als rotierte er um die stets in nächster Nachbarschaft bleibende freie Achse, so heißt diese freie Achse eine stabile Drehachse. Bringt dagegen eine noch so geringe anfängliche Abweichung von der freien Achse eine mit der Zeit immer weiter fortschreitende Ablenkung der Bewegung von der zur freien Achse gehörigen hervor, so nennt man die Rotation um eine solche freie Achse eine labile Bewegung, weil schon der geringste Anstoß genügt, um die Art der Bewegung allmählich vollständig zu ändern.

Von den drei freien Achsen, die im allgemeinen bei einem Körper Vorkommen, sind bloß zwei, nämlich jene, die zum allergrößten und zum allerkleinsten Trägheitsmomente gehören, stabile Drehachsen; die Bewegung um die dritte freie Achse ist labil.

Man erkennt dies ohne jede Schwierigkeit an der Hand einer Figur. In Abb. 88 sei 0 A die größte Halbachse des Träg-heits-Ellipsoids, also zugleich die Achse des kleinsten Trägheits-moments. Weicht die Drehachse im Anfangszustande nur wenig von der Richtung OA ab, so erlangt die Polodie die durch die kreuzpunktierte Linie angedeutete Gestalt. Nur in nächster Nachbarschaft von A lassen sich nämlich Punkte ausfindig machen, deren Tangentialebenen einen senkrechten Abstand von 0 haben, der nur wenig kleiner ist als OA selbst. Die Polodie umgibt demnach als geschlossene Kurve den Punkt A. Diametral gegenüber, um A' läßt sich zwar ebenfalls eine Kurve angeben, die der gleichen Bedingung genügt. Da sie mit der ersten nicht zusammenhängt, ist aber kein stetiger Übergang aus der einen in die andere möglich. Hiernach durchläuft der Endpunkt von u in der Tat stets die sehr kleine Kurve um A und die auf der unveränderlichen Ebene beschriebene Herpolodie kann sich ebenfalls nur auf eine kleine Fläche erstrecken, so daß auch gegenüber dem festen Raume keine erheblichen Richtungsveränderungen von OA zu erwarten sind.

Ci

Abb. 38.

Ganz ähnlich gestaltet sich die Figur und die Betrachtung für den Fall, daß die anfängliche Drehachse nahezu mit dem

**/\

Vi

.«•

B'

Abb. 39.

Abb. 40.

kleinsten Halbmesser des Ellipsoids OC (oder mit der Achse des größten Trägheitsmoments) zusammenfiel (Abb. 39). Auch hier kann die Polodie nur in einer den Punkt C eng umschließenden Kurve bestehen, und zwar deshalb, weil nur an dieser Stelle des Ellipsoids Tangentialebenen möglich sind, die so nahe an den Mittelpunkt des Ellipsoids heranrücken. Die Achse OG ist demnach nicht nur eine freie, sondern zugleich auch eine stabile Drehachse.

Anders ist es aber mit der dritten freien Achse OB. Wie man aus Abb. 40 sofort erkennt, ist keine Polodie möglich, die den Punkt B in kleinem Abstande umkreist, sondern die Polodie umfaßt das ganze Ellipsoid. Auch auf dem Meridiane AC gibt es Punkte, deren Tangentialebenen denselben Abstand vom Mittelpunkte 0 haben, als die in der Nachbarschaft von B gezogenen und ebenso auf allen übrigen durch A gelegten Meridianen. Die freie Achse OB ist hiernach eine labile Drehachse.

§ 30. Die Euler sehen Gleichungen.

Die in § 28 nach Poinsot vorgetragene Theorie der Bewegung des starren Körpers um einen festen Punkt gibt nur über die Lagen Aufschluß, die der Körper der Reihe nach einnimmt. Wieviel Zeit währenddessen verstreicht, ist daraus nicht zu entnehmen. Um auch dies zu erreichen, muß man die rein geometrische Darstellung verlassen und sich wieder mehr der analytischen zuwenden. Der zeitliche Verlauf ergibt sich nämlich aus der Integration der Differentialgleichungen des Problems, die schon von Euler aufgestellt wurden und die ich jetzt ableiten will.

Die Absicht bei Aufstellung der E ul ersehen Gleichungen kommt darauf hinaus, die Winkelgeschwindigkeit U als Funktion der Zeit t darzustellen. Am besten rechnet man hierbei, wie ich von vornherein bemerken möchte, mit den rechtwinkligen Komponenten von N. Auf diese beziehen sich die E ul ersehen Gleichungen.

Bei der Untersuchung der Veränderlichkeit von U kann man zwei ganz verschiedene Wege einschlagen, je nachdem man nämlich die Lagen angibt, die U der Reihe nach gegen den starren Körper oder gegen den festen Raum durchläuft. Alle U im ersten Falle bilden den Polodie-, alle u im zweiten Falle den Herpolodiekegel. Wir müssen uns also für eine bestimmte Aufstellung des Beobachters, der die Veränderlichkeit von U nach Richtung und Größe konstatiert, entscheiden, oder wir müssen mit anderen Worten das Koordinatensystem, auf das sich die Projektionen    beziehen, entweder im

festen Raum ruhen lassen oder es an dem bewegten Körper festheften. Euler hat sich für den letzten Fall entschieden. Stellt man sich etwa vor, unsere Erde sei der Einwirkung aller anderen Weltkörper entzogen und drehe sich nicht genau um eine freie Achse, so wird man sich in erster Linie dafür interessieren, welche Linien der Erde im Laufe der Zeit als Drehachsen dienen, d. h. wie sich etwa der Nordpol der Erde im Laufe der Zeit auf der Erde selbst verschiebt. Wir beziehen dann die Winkelgeschwindigkeit U auf ein mit der Erde fest verbundenes Koordinatensystem, folgen also der Eulerschen Darstellung.

Bei diesem Probleme erfolgt die Zerlegung der gerichteten Größe U in drei rechtwinklige Komponenten übrigens nicht bloß willkürlich oder aus Verlegenheit, weil man etwa keine bessere Methode zur Behandlung gerichteter Größen kennt, sondern sie ist im Wesen der Sache selbst begründet. In jedem Körper haben wir nämlich drei aufeinander senkrecht stehende ausgezeichnete Richtungen, die Richtungen der Hauptträgheitsachsen, für die sich die Rotationserscheinungen besonders einfach gestalten. Durch eine Zerlegung nach diesen Richtungen vereinfacht sich daher auch in anderen Fällen die Untersuchung der Rotationen und wir sind so von vornherein auf die Benutzung eines nach diesen drei Hauptrichtungen orientierten Koordinatensystems hingewiesen.

Davon ist auch schon bei der Ableitung von Gl. (130)

, .B, . . B2 t Bs

©i

u = t TP- + i TT -H 7T

Gebrauch gemacht worden, in der U als geometrische Summe seiner drei Koordinaten

(132)

u3 —

©, ’

dargestellt ist. Die Einheitsvektoren t, j, f sind in den Richtungen der Hauptträgheitsachsen gezogen und 0₁ gehört zur Achse i usf.

Die Eulerschen Gleichungen entstehen aus der Gleichung für U, wenn man diese nach der Zeit differentiiert. Um dies ausführen zu können, muß man zuächst feststellen, wie sich der Drall $ relativ zum starren Körper mit der Zeit ändert. Gegen den festen Raum ist, wie wir wissen, 33 nach dem Flächensatze konstant. Relativ zum bewegten Körper muß 33 daher veränderlich sein, zwar nicht der absoluten Größe, aber der Richtung nach.

Zur gegebenen Zeit ist die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers u. Für einen Beobachter, der sich auf dem starren Körper befindet, dreht sich der ganze äußere Raum um den starren Körper mit der Winkelgeschwindigkeit — U. Auch die Bewegung des im äußeren Raume feststehenden Vektors 33 relativ zum starren Körper besteht in einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit — U. Der

Endpunkt von 33 beschreibt hierbei seinen Weg mit einer Geschwindigkeit, die nach Größe und Richtung durch

V«33

dargestellt wird (Bd. I, Gl. (57) S. 118 d. 4. Aufl.). Der Weg im Zeitelemente dt ist daher

d tVu 33,

und das ist jene Strecke, die zum ursprünglichen 33 geometrisch summiert werden muß, um das nach Ablauf von dt entstehende neue 33 zu erhalten (immer relativ zum starren Körper genommen). Hiernach wird

dt

oder, wenn man in Komponenten zerlegt, dBl

dt

— Mg 5g Mg 5g j

dB*,

dt

“ U3Bl -

dB,

dt U1B2 W2B\ '

Die Differentiation der Gleichung für U nach der Zeit ergibt mit Benutzung dieser Werte

^2 «8 B2

d\x _ ,

dt

©1

. usB₁ — uy Bs

Uy B,, - Ui By

©3

oder, nachdem man noch die Komponenten von 33 mit Hilfe der Gleichungen (132) in den Komponenten von U ausgedrückt hat,

f Wh &1-^-0S +    ~ @1 • (133)

Anstatt die Komponenten mit Hilfe der t, j, f aneinander zu reihen, kann man sie natürlich auch einzeln anschreiben. Man erhält dann

©S ©2

du

dt ~ Xu*u*

©3 - ©2

©1

dUy

dt    -0—

©1 —©3

duî

(134)

dt ~U3U1 du„

Tt=u'u*

und das sind die Euler sehen Gleichungen in der ihnen gewöhnlich gegebenen Form. Sie sind gewöhnliche simultane Differentialgleichungen für die drei von der Zeit abhängigen Funktionen uxu₂us. Die Integration ist freilich im allgemeinen Falle insofern nicht ganz einfach, als sie auf elliptische Funktionen führt. Im übrigen macht sie aber keine Schwierigkeiten.

©2

©2 — ©1

©3

Hier beschränke ich mich auf die Durchführung der Rechnung für den einfachen Fall, daß das Trägheits - Ellipsoid ein Rotations-Ellipsoid ist (was z. B. bei der Anwendung auf die „Nutation“ der Erdachse angenommen werden kann). Es sei also

~

und zur Abkürzung möge fei’ner

_ ®i — ®₃

gesetzt werden. Dann gehen die Eulerschen Gleichungen über in

dui _ n dt ’

Die erste Gleichung lehrt, daß ux konstant ist. Multipliziert man die zweite Gleichung mit u₂ und die dritte mit u₃ und addiert, so folgt

du,    du, ₌

² dt + ³ dt U’

ät “ yuius'

du»

-=-yUlUr

(135)

u\ -f- «f = C,

also durch Integration

man

du»

~dt ’

und wenn man den Differentialquotienten von u₃ aus der dritten Gleichung einführt, wird daraus

7U i

worin C eine durch die Anfangsbedingungen bestimmte Konstante ist. Da auch u\ Konstant ist, so folgt dies auch für u\ +u\ -f m|, d. h. der absolute Wert der Winkelgeschwindigkeit ist konstant und ebenso ihre Projektion auf die i-Achse. Der Vektor U beschreibt demnach einen Kreiskegel um die i- Achse. Bis dahin sind wir nur zu einem Resultate gelangt, das uns aus der Poinsotschen Lehre von der Polodie bereits bekannt war. — Durch Differentiation der zweiten der Gleichungen (135) nach t erhält d²u₂

(136)

Ebenso wird, wenn man bei diesem Eliminations verfahren die dritte der Gleichungen (135) mit der zweiten vertauscht d²us

= - 0%)V

Diese Differentialgleichungen sind uns ihrer Form nach bereits aus der Lehre von den harmonischen Schwingungen bekannt. Ihre allgemeine Lösung ist

dt-

(137)

w₂ = A sin yuxt -f- B cos yuxt,

und diese Lösung gilt bei passender Wahl der unbestimmten Integrationskonstanten ebenso auch für u₃. Die Umlaufszeit T der Momentanachse um die Achse der Figur ergibt sich aus der Bedingung, daß der Winkel yuxt währenddessen um 27t angewachsen sein muß; also

2 jr

7ui

(139)

oder nach Einsetzen des Wertes von y

(140)

«*t( 0X — 0₂) '

Die Umlaufszeit der Nutationsbewegung wird demnach um so größer, je weniger sich die Hauptträgheitsmomente voneinander unterscheiden. Sie hängt außerdem von der Projektion der Winkelgeschwindigkeit auf die Figurenachse, im übrigen aber nicht von dem Winkel ab, den U mit der Figurenachse bildet.

§ 31. Ein einfaches Beispiel.

Ein Ring, dessen Reif erheblich mehr Masse hat, als die radial geführten Arme, die den Reif mit einer in der Mitte gelegenen Nabe verbinden, soll im Schwerpunkte auf einer Spitze gelagert sein. Zu Anfang möge die Ringebene horizontal liegen und der Ring möge eine Winkelgeschwindigkeit u₀ um irgendeine Achse besitzen, die aber jetzt nicht mit der Figurenachse zusammenfallen soll.

Um die fernere Bewegung des Ringes angeben zu können, konstruieren wir das Trägheits-Ellipsoid des Ringes. Hierbei brauchen wir nur auf die Masse des Reifs zu achten, die wir uns überdies in der kreisförmigen Mittellinie vereinigt denken können. Wenn der Radius dieser Mittellinie mit r und die Masse des

Reifs mit M bezeichnet werden, ist das Trägheitsmoment ®x für die Figurenachse

®x = Mr²

und die anderen Hauptträgheitsmomente sind

^    „ ą Jfr*

■j

@2 = @3 = y = -

wie sich aus Gl. (120) oder auch nach Bd. III, Gl. (61), S. 92 d. 4. Aufl. sofort schließen läßt. Auf welche zur Figurenachse senkrechte Achsen inan ©₂ und ©₃ beziehen will, ist übrigens bei einem Rotationskörper gleichgültig, da jede derartige Achse eine Hauptträgheitsachse ist.

Die Trägheitsradien verhalten sich hiernach wie ]/2 : 1 und die Hauptachsen des Trägheits-Ellipsoids wie 1 : ]/2. Hiernach kann das Zentral-Ellipsoid in einem willkürlichen Maßstabe aufgetragen werden. In Abb. 41 ist dies geschehen. Der Schnitt durch den Reif ist durch zwei kleine schraffierte Kreise angedeutet; die Figurenachse ist OA.

Abb. 41.

Wir tragen ferner die Richtung der Anfangswinkelgeschwindigkeit u₀ ein; dabei wollen wir uns die Projektionsebene von vornherein so gewählt denken, daß sie durch die Richtung von u0 geht. Im Schnittpunkte von u₀ mit der Ellipse, deren Achsen sich wie 1 : ]/2 verhalten, konstruieren wir eine Tangente. Diese ist die Spur der auf der Projektionsebene senkrecht stehenden unveränderlichen Ebene a. Rechtwinklig dazu steht die in der Projektionsebene enthaltene Richtungslinie des Dralls $.

Von der Voraussetzung, die wir seither stets machten, daß äußere Kräfte auf den starren Körper, abgesehen vom Auflagerdrucke am festen Punkte, nicht ein wirken sollten, sind wir übrigens im vorliegenden Falle bis zu einem gewissen Grade frei. Wir können uns nämlich, da der Unterstützungspunkt mit dem Schwerpunkte zusammenfällt, zugleich die Schwerkraft am Körper wirkend denken. Das Gewicht wird hier einfach vom Auflagerpunkte aufgenommen, hat aber keinen Einfluß auf die Bewegung. Es leistet nämlich weder Arbeit, noch hat es ein von Null verschiedenes statisches Moment für den festen Punkt; daher muß ganz wie früher sowohl die lebendige Kraft als der Drall © konstant sein und hierauf beruhten ja in der Tat alle Folgerungen der vorausgehenden Untersuchungen.

Die Polodie wird hier ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Figurenachse liegt und dessen Ebene senkrecht auf ihr steht. Er hat die Projektion PQ in Abb. 41. Auch die Herpolodie wird ein Kreis, dessen Mittelpunkt mit dem Schnittpunkte von © mit der unveränderlichen Ebene a zusammenfällt und der sich in Abb. 41 als Strecke PP projiziert. Die fernere Bewegung des Rings wird nun in sehr einfacher Weise durch das Rollen des Kreiskegels OP Q um den ihn von innen berührenden festen Kreiskegel OPP beschrieben.

Um auch die Umlaufszeit T für ein bestimmtes Zahlenbeispiel berechnen zu können, nehme ich an, daß U₀ einen Winkel von 45° mit der Figurenachse bildete und gleich 20 Touren pro Sekunde war. Die Projektion ul auf die Figurenachse wird hieraus durch Division mit 1/2 gefunden. Außerdem rechnen wir 20 Touren pro Sekunde auf Bogenmaß um und erhalten

ux =

40 n

1/2

sec

-1

Ferner haben wir hier

ą — @₂

und, wenn wir diese Werte in 61. (139) einsetzen, erhalten wir

T = 0,0707 sec.

Nach Ablauf dieser Zeit hat die Momentanachse wieder dieselbe Lage gegen den Ring. Sie hat aber nicht dieselbe Lage im Raume. Wenn die Durchmesser PQ und PR der Polodie und der Herpolodie nicht kommensurabel miteinander sind, kann der Anfangszustand sowohl der Lage des Ringes als dem Geschwindigkeitszustande nach überhaupt niemals wieder erreicht werden. Die Zeit, die vergeht, bis U den Herpolodiekegel einmal im festen Raume durchlaufen hat, verhält sich übrigens (da beide Kegel aufeinander rollen) zu T wie PR zu PQ.

Man kann noch nach der Bewegung fragen, die die Figurenachse OA ausführt. Um diese zu finden, denke man sich durch den Punkt 0 eine Einheitskugel gelegt. Diese Kugel schneidet die beiden aufeinander rollenden Kegel nach Kreisen und OA im sphärischen Mittelpunkte des einen Kreises. Dieser Punkt beschreibt demnach ebenfalls einen Kreis um die unveränderliche Richtung $. In jedem Augenblicke liegen die Momentanachse U, das unveränderliche Moment SB und die Figurenachse in einer Ebene und der Winkel zwischen SB und der Figurenachse ist konstant. Hiernach macht die Figurenachse in der gleichen Zeit einen Umlauf, in der auch der Herpolodie-kegel einmal von U durchlaufen wird. In Abb. 42, die dies näher erläutern soll, deutet der Kreis P den Schnitt der Einheitskugel mit dem Polodiekegel, H den Schnitt mit dem Herpolodiekegel an, ferner ist SB die Spur von SB auf der Einheitskugel, A die Spur der Figurenachse und der durch A gelegte punktierte Kreis gibt die Bahn an, die A auf der Einheitskugel durchläuft.

§ 32. Stöße am starren Körper.

Abb. 42.

Auf einen völlig freien starren Körper, der vorher in Ruhe war, möge ein Stoß einwirken, d. h. es soll während einer sehr kurzen Zeit an irgendeinem Angriffspunkte eine Kraft Sß an greifen, derart daß das

Zeitintegral der Kraft f dt über die ganze Stoßzeit erstreckt von

gegebener Richtung und Größe ist. Außer SJJ sollen während des Stoßvorgangs keine äußeren Kräfte an dem Körper angreifen. Es handelt sich zunächst darum, die Bewegung anzugeben, die der Körper durch den Stoß erlangt.

Hierbei ist daran zu erinnern, daß das Bild des starren Körpers keineswegs ausreicht, um alle Fragen zu beantworten, die sich auf den Stoß beziehen. Je kleiner wir uns die Stoßzeit vorstellen, desto größer muß während ihr der durchschnittliche Wert des Stoßdruckes

angenommen werden, damit der Antrieb J $ dt die vorgeschriebene Größe erlange. Allzu groß darf aber ^ nicht werden, ohne Formänderungen von merklicher Größe oder einen Bruch des Körpers herbeizuführen. Im ersten Bande wurde dies schon ausführlich besprochen. Hier soll aber einstweilen vorausgesetzt werden, daß die Stoßzeit, wenn auch klein, so doch nicht so kurz bemessen sei, daß es nötig würde, auf die durch den Stoß bewirkten Formänderungen einzugehen. Unter dieser ausdrücklichen Voraussetzung können wir an dem Bilde des starren Körpers bei der Lösung der aufgeworfenen Frage festhalten.

Die Geschwindigkeit Ö₀, die der Schwerpunkt S des gestoßenen Körpers erlangt, läßt sich nach dem Satze von der Bewegung des Schwerpunktes sofort angeben. Wenn die Masse des Körpers mit M bezeichnet wird, ist in jedem Augenblicke während des Stoßes

MdK

dt

= ?,

und durch Integration nach der Zeit folgt daraus

_ßdt_

ö° M    M ’

3t

wenn für den Antrieb

des Stoßes außerdem noch zur Ab

kürzung der Buchstabe 3t gebraucht wird.

Zur Schwerpunktsbewegung b₀ tritt noch eine Rotation um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse, deren Winkelgeschwindigkeit nach Richtung und Größe mit U bezeichnet werden soll. Wir finden sie, indem wir zunächst den auf den Schwerpunkt bezogenen Drall 33 des rotierenden Körpers berechnen. Nach dem Flächensatze ist in jedem Augenblicke

Ml

dt

wenn £ den vom Schwerpunkte nach dem Angriffspunkte des Stoßes gezogenen Radiusvektor bedeutet. Durch Integration nach der Zeit folgt daraus

(142)

Um von 33 auf U überzugehen, zei'legen wir 33 in seine drei rechtwinkligen Komponenten Bl B₂B₃ nach den Richtungen der drei Hauptträgheitsachsen des starren Körpers. Werden in diesen Richtungen drei Einheitsvektoren oder Richtungsfaktoren tjf angegeben, so ist nach Gl. (130) S. 193

“ = ią⁺jf + tą'

Die Komponenten von 33 finden sich durch Entwicklung des äußeren Produkts V3l|J

zu

-®2 -A-zPl    -^-1P31

und wenn man diese einsetzt, erhält man

■^■iPs APî

Bi = AP» — APi

7

j, -^sPi -A-iPs 1 J APs -AiPi _    (143)

Nachdem b₀ und H berechnet sind, kennt man die durch den Stoß hervorgerufene Bewegung bereits vollständig. Um auch noch die Geschwindigkeit b zu berechnen, die ein beliebiger Punkt des starren Körpers erlangt hat, ziehen wir nach diesem Punkte vom Schwerpunkte aus einen Radiusvektor r und setzen

b = b₀ + Vru.

Durch Entwicklung des äußeren Produkts und Einsetzen der für D0 und U gefundenen Werte geht dies über in

Ap% — Api

Ü “ ¹ ('JA ⁺

+ i [là + r3

+ f {m + *

©3

~ri

-“8 Pl

■ APt'j

Ap» APi

A Pt — Apx

Aa — APs

APs — A p

©i

*)• (i«)

Hiermit sind wir auch in den Stand gesetzt, den Satz von der Gegenseitigkeit der Stoßgeschwindigkeiten zu beweisen. Man denke sich nämlich am starren Körper zwei Punkte, die jetzt mit I und II bezeichnet werden mögen, beliebig ausgewählt und außerdem an jedem von ihnen eine beliebig gewählte Richtung a und ß angegeben, ganz so wie es bei dem Maxwellschen Satze von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen in der Festigkeitslehre geschieht. Dann läßt sich behaupten, daß ein Stoß am Punkte I in der Richtung u dem Punkte II eine Geschwindigkeit verleiht, deren Komponente in der Richtung, ß ebenso groß ist, als die Geschwindigkeitskomponente in der Richtung cc, die ein Stoß am Punkte II von gleich großem Antriebe am Punkte I hervorbringt.

Zum Beweise der Behauptung beachte man, daß der für ö aufgestellte Ausdruck sofort auch zur Berechnung der Geschwindigkeit b' benutzt werden kann, die der Punkt vom Radiusvektor erlangt, wenn ein Stoß von irgendeinem Impulse $ am Punkte vom Radiusvektor r angebracht wird. Man braucht nur die Bezeichnungen entsprechend zu vertauschen und erhält dann

Ag — Ag

-P»

A g — Ag

©₈

Pl

Ag — Ag

©3

■)

)•

-Pi

Um auf die Komponenten von t) und in den Richtungen von zu kommen, bilden wir die inneren Produkte 0$ und Ü

3 und %

und subtrahieren sie des Vergleiches wegen voneinander. Dabei beachte man, daß z. B.

A Pt — APi

©3

— r3

APi —

©3

(145)

zu setzen ist. Nachdem auch Ö'9l in derselben Weise entwickelt ist, heben sich beim Subtrahieren alle Glieder gegeneinander fort und man erhält daher

Da aber 91 und 3 nach Voraussetzung den gleichen absoluten Wert haben sollten, folgt hieraus, daß auch die Projektion von Ü auf die Richtung von $ ebenso groß sein muß, wie die Projektion von ü' auf die Richtung von 9t, womit der Satz bewiesen ist.

Ein anderer Beweis des Satzes, der sich dem in der Festigkeitslehre gegebenen Beweise des ihm ähnlichen Satzes von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen auch der Form nach aufs engste anschließt, ergibt sich aus dem Zusammenhänge zwischen der vom Stoßdrucke geleisteten Arbeit und der lebendigen Kraft, die der Körper durch den Stoß erlangt. In den früheren Auflagen dieses Bandes hatte ich diesen Beweis ebenfalls ausführlich gegeben; jetzt habe ich ihn über der Platzersparnis wegen gestrichen.

§ 33. Der Satz von Carnot über den Verlust an lebendiger Kraft beim Stoße starrer Körper.

Unter einem starren Körper soll jetzt der Grenzfall eines weichen oder plastischen, d. h. eines Körpers vom Elastizitätsgrade Null verstanden werden, der aus einem solchen dadurch hervorgeht, daß man sich die Zusammendrückbarkeit des Körpers unter stetiger Festhaltung der genannten Eigenschaft bis auf Null vermindert denkt. Eine solche nähere Bestimmung ist nötig, um den Aufgaben über den Stoß starrer Körper gegeneinander eine physikalisch zulässige Bedeutung zu geben.

Wenn zwei weiche Körper aufeinander stoßen, endigt der Stoß mit der ersten Stoßperiode, d. h. mit dem Augenblicke, in dem die Körper an der Berührungsstelle gleiche Geschwindigkeiten erlangt haben. Die durch die Zusammendrückung der Körper hervorgerufene Annäherung hat dann zugleich ihren größten Wert erreicht. Auch für den Stoß starrer Körper in dem hier definierten Sinne ist daher die Bedingung festzuhalten, daß die Körper an der Stoßstelle gleiche Geschwindigkeiten durch den Stoß erlangen. Dabei ist zunächst an den geraden Stoß gedacht. Für den allgemeinen Fall des Stoßes zweier starrer Körper gegeneinander soll die Aussage dahin ergänzt werden,

daß die Stoßstellen gleiche Geschwindigkeits-Komponenten in der Richtung der Stoßnormalen erlangen, und daß ferner einem Gleiten der Oberflächen übereinander während des Stoßes keine Reibung entgegenstehe. Die letzte Voraussetzung ist freilich abermals vollkommen willkürlich eingeführt und sie entspricht, wie wir wissen, dem wahren Verhalten der festen Körper keineswegs. Als nähere Definition des idealen starren Körpers ist sie aber zulässig, und da der Satz von Carnot, der sich auf starre Körper von den hier vorausgesetzten Eigenschaften bezieht, in manchen Teilen der technischen Mechanik früher wenigstens eine nicht unerhebliche Rolle gespielt hat, mag sie an dieser Stelle gelten.

Der Verlust an lebendiger Kraft beim geraden zentralen Stoße weicher (und hiermit auch der „starren“) Körper ist schon im ersten Bande ermittelt worden. Bezeichnet man die Massen beider Körper mit mx und m₂ und die Geschwindigkeiten vor dem Stoße mit vx und va, wobei v₂ > vx sein möge, so ist die gemeinsame Geschwindigkeit am Ende der ersten Stoßperiode, die hier vorübergehend mit w bezeichnet werden mag,

vx -f »t,

mx + »is !

und der Verlust an lebendiger Kraft stellt sich zunächst in der Form

dar. Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Art umgeformt werden, und zwar, um auf den Carnotschen Satz zu kommen, auch in folgender Weise

Verl

= I (mxv\ + m₂v\ + (mx + m₂) w²

2 (mx + ma)

oder, wenn man in dem letzten mit tv² behafteten Gliede für den einen Faktor w den vorher dafür festgestellten Wert einsetzt,

Verl

= ^(rnxv\ -f mav\ + mxw² + m₂w² — 2w (mxvx + m₂v^j = \mx(w- vx)² + ~

M,

K — w)².

(146)

Die beiden Glieder dieses Ausdrucks haben eine einfache Bedeutung. Die Differenzen w — vx und v₂ — w geben nämlich

die Geschwindigkeitsänderungen an, die beide Körper durch den Stoß erfahren. Faßt man daher diese Geschwindigkeitsänderungen als selbständige Bewegungszustände auf, so ist die Summe der zu ihnen gehörigen lebendigen Kräfte ebenso groß als der in Wirklichkeit eintretende Verlust an lebendiger Kraft, den wir berechnen wollten. Diese Aussage spricht den Carnotschen Satz aus, der indessen, wie sich sofort zeigen wird, nicht nur für den geraden zentralen Stoß, sondern auch noch in viel allgemeineren Fällen seine Gültigkeit behält.

Zunächst gilt der Satz auch für den beliebigen — schiefen und exzentrischen — Stoß von zwei freien starren Körpern gegeneinander. Um dies zu beweisen, bezeichne ich die Geschwindigkeit der vom Stoße getroffenen Stelle des ersten Körpers in irgendeinem Augenblicke während der Stoßzeit mit die Geschwindigkeit der Stoßstelle des zweiten Körpers mit to₂. Da sich die Körper an der Stoßstelle während der ganzen Stoßdauer berühren — obschon die Oberflächen im allgemeinen zugleich übereinander gleiten —, müssen die in der Richtung der Stoßnormalen genommenen Komponenten von ttij und to₂ gleich groß sein. Der ebenfalls in die Richtung der Stoßnormalen fallende Stoßdruck am ersten Körper sei mit das bis zu dem betrachteten Augenblicke genommene Zeitintegral von mit 91 und das über die ganze Stoßdauer erstreckte Zeitintegral mit 91' bezeichnet. Am zweiten Körper kehren sich die Richtungen von ^ und 9t dem Wechselwirkungsgesetze zufolge um und man hat daher für ihn — bzw. — 91 und — 91' zu setzen. Die Arbeit von ^ am ersten Körper während eines Zeitelementes dt ist gleich

vxdt,

und die Arbeit des Stoßdrucks am zweiten Körper gleich

— $lu₂d£.

Nach dem, was vorher über tt)₁ und lt)₂ bemerkt wurde, sind beide Arbeiten von gleicher Größe und entgegengesetzten Vorzeichen, also

(147)

*POi - ö»s) = 0.

Die Geschwindigkeiten ItJj und tt)₂ der Stoßstellen sind aber nicht jene, die diesen zukämen, wenn sie sich so bewegten, wie es dem starren Zusammenhänge mit den fern von der Stoßstelle gelegenen Körpermassen entspräche. So klein auch die Formänderungen sein mögen, und wenn wir sie beim Grenzübergange vom weichen zum starren Körper schließlich selbst ganz verschwinden lassen: während der dann ebenfalls gegen Null hin konvergierenden Stoßdauer müssen wir jedenfalls darauf Rücksicht nehmen, daß sich die Stoßstelle der Formänderung wegen mit anderer Geschwindigkeit zu bewegen vermag, als es dem starren Zusammenhänge mit der Hauptmasse des gestoßenen Körpers entsprechen würde. Jene Geschwindigkeiten der Stoßstellen, die den Bewegungszuständen der beiden Körper im ge-gebenen Augenblicke mit Vernachlässigung der Formänderung an der Stoßstelle zugehörten, seien zum Unterschiede von lu₁ und tt)₂ mit und ö₂ bezeichnet.

Die Änderung, die die lebendige Kraft des ersten Körpers während dt erfährt, ist gleich jener Arbeit des Stoßdrucks die zum Wege M^dt gehört, denn wir wissen schon aus den Untersuchungen des vorhergehenden Paragraphen, daß die Arbeit eines Impulses tydt gleich der von ihr verursachten Änderung der lebendigen Kraft ist, falls während dt keine Formänderung eintritt. Der Rest, also

(toi — Öj) dt

wird auf die Formänderungsarbeit am ersten Körper verwendet. Hierbei ist übrigens wohl zu beachten, daß auch beim starren Körper eine endliche Formänderungsarbeit möglich ist, denn wenn auch der Weg der Zusammendrückung gegen Null konvergiert, so konvergiert gleichzeitig die Größe des Stoßdrucks gegen Unendlich und das Produkt 0 • oo behält bei der hier zugrunde gelegten Definition des starren Körpers einen endlichen Wert.

Ebenso wird während des Zeitelementes dt die Arbeit

- $0₂ - Ö₂) dt

auf die Formänderung des zweiten Körpers verwendet. Die

Summe beider Formänderungsarbeiten ist gleich dem Verluste an lebendiger Kraft während dt, also d Verl == ^ (to₁ — ti: -und daher mit Berücksichtigung von

^2) dt,

Gl. (147) auch

dVev\ = $(b₂ — Ü i)dt.

Der gesamte Verlust an lebendiger Kraft während der ganzen Stoßdauer folgt daraus zu

(148)

Verl = /(b₂ — bx) tydt.

Um die Integration nach der Zeit auszuführen, bezeichne ich die Geschwindigkeit b1; die dem Anfänge des Stoßes entspricht, mit b° und die am Ende des Stoßes mit b'. Die Änderung b' — b" entspricht dem ganzen Stoßimpulse W, die Änderung bx — bj bis zu dem betrachteten Augenblicke dem bis dahin bereits verstrichenen Impulse 51 und die beiden Änderungen verhalten sich zueinander wie die absoluten Werte A und Ä dieser Impulse, da die Richtung des Stoßdrucks fortwährend mit der Stoßnormalen zusammenfällt und sich daher nicht ändert. Man hat daher

Di =■ K + j' (tii — *>i) und ebenso Ö₂ = ö2 + ^(ö2 — ö2 ) ' Setzt man dies in die vorige Gleichung ein, so erhält man Verl - (»«-»Ulf dt + ((.;-«»-#; + »:)/y fdt Nun ist aber tydt = d%, und daher

Verl - 0° -#«)«' + 0; -1.“ -#; + »;) 4

Beachtet man ferner noch, daß am Ende des Stoßes die Projektionen von bx und b₂ auf die Stoßnormale gleich groß geworden sind, so vereinfacht sich dies zu

(149)

Verl -i (#?-»«)*'.

Hiermit ist ein Ausdruck für den Verlust an lebendiger Kraft gefunden, von dem nur noch gezeigt zu werden braucht, daß er mit dem nach dem Carnotschen Satze berechneten übereinstimmt. Zu diesem Zweck sei nun irgendein fern

von der Stoßstelle liegender materieller Punkt des ersten Körpers ins Auge gefaßt, dessen Geschwindigkeit vor dem Stoße mit b° und nach dem Stoße mit b' (also unter Weglassung des unteren Zeigers gegenüber den vorher gebrauchten Bezeichnungen) bezeichnet werden soll. Wir können dann sagen, daß der spätere Bewegungszustand des ersten Körpers aus dem früheren dadurch hervorgeht, daß sich ihm ein Bewegungszustand b' — b° zugesellt. Betrachtet man, wie es bei der Aussage des Carnotschen Satzes geschieht, den Bewegungszustand b' — b° für sich, so gehörte ihm, wenn er allein vorkäme, eine gewisse lebendige Kraft zu, die mit Lx bezeichnet werden mag. Nach dem Satze von der Superposition der Bewegungen ließe sich der Bewegungszustand b' — b° jedenfalls dadurch getrennt für sich hervorbringen, daß man an dem ruhend gedachten ersten Körper den Stoß vom Impulse 51' wirken ließe. Unter der Voraussetzung, daß sich dieser Stoß ohne Formänderung abspielte, wäre dann die lebendige Kraft L₁, die durch den Stoß hervorgebracht würde, gleich der Arbeit des Impulses zu setzen. Dabei müßte die Geschwin- ^ digkeit der Stoßstelle während des Stoßes von Null bis zu dem Endwerte b( — b^ wachsen. Die Arbeit des Impulses und hiermit die lebendige Kraft berechnet sich demnach zu

toi Hl

4-

(bï-bî)r,

und ebenso findet man für den zweiten Körper

wobei nur zu beachten ist, daß bei ihm — 51 an Stelle von 5t' tritt. Die Summe liefert

Da nun, wie vorher schon bemerkt war, am Ende des plastischen Stoßes die Projektion von b( auf die Stoßnormale oder auf die Richtung von 51' ebenso groß ist wie die Projektion von b'₂, stimmt dies genau mit dem Werte in Gl. (149) überein und man findet

(150)

Verl =    + Z₂,

womit der Carnotsche Satz auch für den allgemeinsten Fall des Stoßes von zwei „plastisch-starren“ Körpern gegeneinander bewiesen ist.

Auch auf den Fall, daß die stoßenden Körper nicht völlig frei, sondern bestimmten Bedingungen unterworfen sind, läßt sich der Satz unter Beibehaltung der früheren Schlußweise übertragen, falls dabei nur immer vorausgesetzt wird, daß alle Körper, durch die diese Bedingungen verwirklicht sind, auch wenn sie in der Grenze als starr angesehen werden, selbst im Grenzfalle noch den Elastizitätsgrad Null haben, und daß ferner kein weiterer Verlust an lebendiger Kraft durch Reibungen herbeigeführt wird. Ich begnüge mich damit, dies hier noch an einem einfachen Falle dieser Art zu zeigen.

Ein starrer Körper möge zunächst völlig frei sein und eine beliebigeAnfangsbewegun g besitzen. Dann so 11 irgendein Punkt von ihm durch eine geeignete Vorrichtung plötz.-lich festgehalten werden, so daß sich der Körper von da ab nur noch um diesen festen Punkt weiter zu drehen vermag. Man soll angeben, wie er sich weiterhin bewegt und wie groß der Verlust an lebendiger Kraft ist, den er durch den Stoß erleidet.

wenn man

Die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes vor dem Stoße sei wieder mit b°, die nach dem Stoße mit K bezeichnet, die Geschwindigkeiten der Stoßstelle insbesondere, sofern von der Formänderung abgesehen wird, mit b^ und b(, wobei freilich zu beachten ist, daß auch hier wieder während der Stoßzeit die wahre Geschwindigkeit tb₁ des Punktes, den man festzuhalten im Begriffe ist, der unvermeidlichen Formänderung wegen, von bx verschieden ist. Die Endgeschwindigkeit b( ist übrigens nach der im vorliegenden Falle vorgeschriebenen Bedingung gleich Null zu setzen. — Durch den Stoß wird der Bewegungszustand um b" — b° abgeändert und wir können uns einen selbständigen Bewegungszustand denken, der sich dem vorhergehenden überlagert und bei dem jeder Punkt die Geschwindigkeit b'— b°, die Stoßstelle also die Geschwindigkeit — bj besitzt. Der Stoßimpuls, von dem zunächst nur der Angriffspunkt gegeben ist, muß jedenfalls so gerichtet und von solcher Größe sein, daß er für sich den Bewegungszustand b^ — b₀ hervorruft, insbesondere also seinem Angriffspunkte die gegebene Geschwindigkeit — b^ erteilt. Dadurch ist aber, wie aus § 32 hervorgeht, der Stoßimpuls schon vollständig bestimmt. Nach Gl. (144) folgt nämlich, darin die Komponenten von X durch die von ersetzt, die zu einem gegebenen Stoßimpulse 51 gehörige Geschwindigkeit b des Angriffspunktes von 51. Zerlegt man diese Gleichung in drei Komponenten

gbeichungen nach den Richtungen der i, j, f, so lassen sich diese drei Gleichungen auch nach den Komponenten Ax A%A₃ von 51 auf lösen, indem sie für diese Unbekannten vom ersten Grade sind. Nachdem dies geschehen ist, kennt man den Stoßimpuls 51 nach Richtung und Größe, der auf den festzuhaltenden Punkt vom Gestelle aus übertragen werden muß. Hiermit ist auch der Bewegungszustand nach dem Stoße als bekannt zu betrachten.

Pür den Verlust an lebendiger Kraft können wir ohne weiteres den Ausdruck in Gl. (149) in Anspruch nehmen, wenn wir unter dem zweiten Körper, auf den sich b° bezieht, das Gestell verstehen, also die Vorrichtung, durch die der betreffende Punkt genötigt wird, nach Ablauf des Stoßes in Ruhe zu bleiben. Die Geschwindigkeit DÜ selbst ist daher gleich Null zu setzen und man hat

Verl = —

ersten Körper bedeutet, der die Geschwindig-

am

Das hier auftretende Minuszeichen erklärt sich leicht damit, daß 51' den Stoßimpuls keit öj vernichtet, also ungefähr — wenn auch keineswegs genau — entgegengesetzt gerichtet mit b° sein muß. Das innere Produkt 0^51' hat daher an sich einen negativen, der Verlust an lebendiger Kraft dagegen, des Minuszeichens wegen, einen positiven Wert.

Nun beachte man, daß der Stoßimpuls 51' am ruhend gedachten Körper den Bewegungszustand b' — b° hervorbrächte. Die diesem zugehörige lebendige Kraft sei wieder mit Lx bezeichnet. Dann ist Lx ebenso groß wie die Arbeit des Stoßimpulses 5t', wenn dieser den Bewegungszustand b' — b° aus dem Ruhestande heraus hervorbringt. Dabei steigt aber die Geschwindigkeit des Angriffspunktes von 51' von Null an bis auf — Üx an und für die Arbeit von 51' und hiermit zugleich für Lx erhält man daher

Mit dem vorher für Verl gefundenen Werte stimmt dies genau überein und wir finden daher auch hier den Carnotschen Satz durch die Gleichung

Verl = Lx

bestätigt.

Man sieht nun auch leicht ein, daß sich derselbe Beweisgang auch auf andere Arten von Zwangsbedingungen übertragen läßt, solange es sich um einen rein plastischen Stoß handelt, für den die zu Gl. (149) führende Betrachtung stets ohne Änderung übernommen werden kann.

Dagegen wird der Carnotsche Satz stets ungültig, sobald der Stoß entweder nicht ganz unelastisch ist oder sobald (etwa beim schiefen Stoße) Reibungen Vorkommen, die sich dem Übereinanderweggleiten der Stoßstellen widersetzen.

§ 34. Die Kreiselbewegung,

Wir nehmen jetzt die schon in § 28 behandelte Bewegung eines starren Körpers, der sich um einen festen Punkt reibungsfrei zu drehen vermag, von neuem wieder auf, jedoch mit dem Unterschiede, daß außer dem Auflagerdrucke am festen Punkte jetzt auch noch das Eigengewicht des Körpers als weitere äußere Kraft zur Geltung kommen soll. Ein Körper, der diesen Bedingungen unterworfen ist, wird gewöhnlich als ein Kreisel bezeichnet, wenigstens dann, wenn ihm von vornherein eine große Winkelgeschwindigkeit erteilt wurde. Die sich hieran unter den angegebenen Bedingungen anschließende Bewegung heißt die Kreiselbewegung. Indessen bezeichnet man zuweilen auch schon den in § 28 behandelten Körper, der um einen festen Punkt rotierte, ohne daß andere Kräfte als der Auflagerdruck im festen Punkt an ihm angriffen, als einen „kräftefreien Kreisel“ und im Gegensätze den jetzt zu untersuchenden Körper, an dem außerdem noch das Eigengewicht angreift, als einen „schweren“ Kreisel.

Die Theorie des schweren Kreisels ist erheblich schwieriger als die des kräftefreien Kreisels und für den allgemeinsten Fall eines Kreisels mit dreiachsigem Trägheits-Ellipsoid hat die Aufgabe, die weitere Bewegung bei beliebig gegebenen Anfangsbedingungen vorauszusagen, bisher überhaupt noch keine strenge Lösung gefunden. Nur für einzelne Fälle und insbesondere für den praktisch sehr wichtigen Fall des „symmetrischen“ Kreisels ist die Lösung der Aufgabe gelungen. Symmetrisch wird der Kreisel genannt, wenn er die Gestalt eines Umdrehungskörpers hat und der Unterstützungspunkt auf der Umdrehungsachse liegt. Die Umdrehungsachse wird auch als „Figurenachse“ oder „Kreiselachse“ bezeichnet. Bei den meisten Anwendungen der Kreiseltheorie liegt dieser Fall vor. Indessen kommt es eigentlich auf die besondere Gestalt des Kreiselkörpers gar nicht an. Wesentlich ist nur, daß das auf den festen Punkt bezogene Trägheits-Ellipsoid des Körpers ein Umdrehungs-Ellipsoid ist und der Schwerpunkt des Kreisels auf der Umdrehungsachse des Ellipsoids enthalten ist. Man kann daher jeden Kreisel, von dem dies gilt, als einen „symmetrischen“ Kreisel im Sinne der Kreiseltheorie betrachten.

Ein besonderer Fall des symmetrischen Kreisels, für den sich die Theorie noch etwas einfacher gestaltet, ist der des „Kugelkreisels“. Man versteht darunter einen Kreisel, dessen Trägheits-Ellipsoid, bezogen auf den festen Punkt, eine Kugel bildet, gleichgültig, wie nun der Kreisel im übrigen gestaltet sein möge.

Die allgemeine Kreiselbewegung umfaßt auch die Pendelbewegung als einen besonderen Fall. Setzt man nämlich die Anfangsrotation gleich Null, so führt der Körper unter dem Einflüsse des Eigengewichtes ebene Pendelbewegungen aus. Ebenso kommt bei passend gewählten Anfangsbedingungen eine Bewegung zustande, bei der der Körper als Zentrifugalpendel schwingt. An diese Grenzfälle denkt man aber nicht, wenn man von der Kreiselbewegung im engeren Sinne des Wortes redet; man meint vielmehr jene Bewegungen, die der Körper ausführt, wenn ihm eine besonders große Anfangsrotation, und zwar meist um eine Achse, die nicht viel von der Figurenachse ab weicht, erteilt wurde. Man kommt dadurch auf einen anderen Grenzfall, der zumal für die praktischen Anwendungen von besonderer Wichtigkeit ist.

Um diesen Grenzfall näher zu kennzeichnen, mache ich zunächst darauf aufmerksam, daß bei der allgemeinen Kreiselbewegung die lebendige Kraft nicht konstant bleibt. Der Auflagerdruck leistet zwar, wie schon beim kräftefreien Kreisel, auch hier keine Arbeit; wohl aber das Eigengewicht. Wenn sich der Schwerpunkt bei der Bewegung senkt, wächst die lebendige Kraft um den Betrag der Arbeit an, die hierbei von dem Gewichte geleistet wird. Bezeichnet man das Kreiselgewicht mit Q und den Abstand des Schwerpunktes mit s, so vermag sich die lebendige Kraft im Verlaufe der Kreiselbewegung höchstens um den Betrag 2 Qs zu ändern, und um so viel auch nur dann, wenn dabei der Schwerpunkt aus der höchsten in die tiefste Lage oder umgekehrt übergegangen sein sollte. Hatte man aber dem Kreisel eine sehr große Anfangsrotation erteilt, so ist die ihr entsprechende lebendige Kraft weit größer als 2 Qs. Unter diesen Umständen vermag sich die lebendige Kraft während der Kreiselbewegung im Verhältnisse zu ihrem Anfangswerte und zu allen späteren Werten überhaupt nur um geringfügige Beträge zu ändern.

Der Grenzfall, von dem ich vorher sprach, liegt dann vor, wenn die lebendige Kraft L₀ der Anfangsrotation so groß ist, daß sie genau genug als unendlich groß gegenüber 2 Qs betrachtet werden kann. Mit demselben Grade der Annäherung kann man dann L als konstant betrachten*, geradeso wie beim kräftefreien Kreisel, bei dem ja auch L nur deshalb als konstant angesehen werden konnte, weil man die niemals ganz zu vermeidenden Bewegungswiderstände vernachlässigte. Durch diese Bemerkung wird die Theorie für den Grenzfall bedeutend vereinfacht und die Ergebnisse, zu denen man auf Grund dieser Voraussetzung gelangt, können für die meisten praktischen Anwendungen als vollkommen hinreichende Annäherungen gelten.

Beim kräftefreien Kreisel war außer L auch noch der Drall 31 konstant. Dagegen dürfen wir beim schweren Kreisel, selbst in unserem Grenzfalle, 33 nicht als näherungsweise konstant betrachten. Zwar wird mit L auch 33 unendlich groß. Aber die Änderungen, die 33 im Laufe der Zeit zu erfahren vermag, sind nicht, wie bei der lebendigen Kraft, in bestimmte endliche Grenzen eingeschlossen, sondern sie vermögen nach Ablauf einer hinlänglichen Zeit über jede Grenze hinaus zu wachsen. Nach dem Flächensatze ist nämlich, wenn man jetzt unter $ das statische Moment des Gewichtes in bezug auf den festen Punkt versteht,

d33

= $ und hieraus 33 = 33₀ -+ /

‘o

Wie groß man nun auch 83 bei einem bestimmt gegebenen $ annehmen möge, so wird doch nach Verstreichen einer entsprechenden Zeit t das Zeitintegral von $ mit 83 ₀ von gleicher Größenordnung werden können.

Nur dies ist von vornherein klar, daß es jedenfalls um so längerer Zeiten bedürfen wird, bis sich 83 merklich von 830 unterscheidet, je größer die Anfangsrotation war, die wir dem Kreisel erteilten. Um so langsamer ändert sich dann der Drall. Für eine kürzere Zeit, die immerhin noch eine Anzahl von Umdrehungen des Kreisels um eine Drehachse umfassen kann, ist dann freilich die Änderung von © geringfügig im Vergleiche zum Anfangswerte 83₀ und für einen solchen kurzen Zeitabschnitt kann daher auch 83 annähernd als konstant angesehen werden.

Wir erkennen hieraus, daß sich der Kreisel in unserem Grenzfalle während eines verhältnismäßig kürzeren Zeitabschnitts nahezu ebenso bewegt wie ein kräftefreier Kreisel, daß aber daneben langsame (sogenannte „säkulare“) Änderungen einherlaufen, die sich mit der Zeit derart anhäufen, daß der Bewegungszustand späterhin vollständig von dem verschieden ist, der beim kräftefreien Kreisel nach Ablauf der gleichen Zeit zu erwarten wäre

§ 35. Die pseudoreguläre Präzession.

Wir beschränken uns jetzt auf die Betrachtung des symmetrischen Kreisels, dem eine so schnelle Anfangsrotation erteilt wurde, daß man den vorher besprochenen Grenzfall als genau genug zutreffend erachten kann. Außerdem wollen wir noch annehmen, daß die Achse der Anfangsrotation nicht viel von der Figurenachse abweicht, so daß man den Richtungsunterschied zwischen beiden nahezu als unendlich klein betrachten kann. Die Bewegung, die der Kreisel unter dem Einflüsse des Eigengewichts bei diesen Anfangsbedingungen ausführt, wird als eine pseudoreguläre Präzession bezeichnet.

Um diese Bezeichnung zu erklären, weise ich darauf hin, daß auch die ganze Erde neben ihrer Planetenbewegung, die sie um die Sonne beschreibt, zugleich eine Kreiselbewegung ausführt. Sie rotiert dabei zwar nicht um einen festen Punkt, sondern um ihren Schwerpunkt. Dieser Unterschied ist aber, wie es schon beim kräftefreien Kreisel besprochen wurde, unwesentlich. Wesentlich ist dagegen, daß die von der Sonne auf die einzelnen Massenteilchen der Erde ausgeübten Anziehungskräfte wegen der etwas verschiedenen Abstände, die sie in einem gegebenen Augenblicke vom Sonnenmittelpunkte haben, nicht einfach den Massen proportional sind, und daß sie sich daher auch nicht zu einer einzigen, durch den Erdmittelpunkt gehenden Resultierenden zusammensetzen lassen. Wegen der abgeplatteten Gestalt der Erde tritt vielmehr noch ein Kräftepaar von freilich nur sehr geringfügigem Betrage auf. Die am Schwerpunkt angebrachte geometrische Summe aller Anziehungskräfte bringt die Bewegung des Schwerpunktes längs der planetarischen Bahn der Erde hervor. Das Kräftepaar dagegen beeinflußt die Rotationsbewegung, die die Erde außerdem noch um Schwerpunkts-Achsen ausführt und so gering es auch ist, bringt es doch in längeren Zeiträumen sehr erhebliche Wirkungen hervor. Die Rotationsachse der Erde beschreibt infolge davon im Laufe von etwa 21000 Jahren einen Kegel gegen den Fixsternhimmel und diese Bewegung macht sich schon innerhalb kürzerer Zeiträume durch ein Fortschreiten des Frühlingspunktes oder, wie man dafür auch sagt, durch die Präzession der Tag- und Nachtgleichen bemerklich. Diese wurde schon von dem griechischen Astronomen Hipparch durch die Beobachtung festgestellt und später von Newton auf die angegebene Ursache zurückgeführt.

An diesem Beispiele hat sich die Kreiseltheorie überhaupt zuerst entwickelt und man hat daher in Anlehnung daran später jede Kreiselbewegung, bei der die Figurenachse einen Kreiskegel beschreibt, als eine Präzessionsbewegung bezeichnet. Ist der Kegel genau ein Kreiskegel, so spricht man von einer regulären Präzession. Bei dem schnell rotierenden schweren Kreisel, mit dem wir uns hier vor allem beschäftigen wollen, erfolgt dagegen die Bewegung nur näherungsweise nach einem Kreiskegel, dessen Achse in die Richtung der Lotlinie fällt und die Bewegung wird, weil sie von einer regulären nicht viel abweicht, als eine pseudoreguläre Präzession bezeichnet.

Die Theorie der pseudoregulären Präzession ist sehr einfach, solange man sich nur auf die Untersuchung des durch den Grenzfall bezeichneten Hauptvorganges einläßt und auf die geringen Abweichungen nicht achtet, die durch die unvollkommene Erfüllung der sich darauf beziehenden Voraussetzungen bedingt sind. Wir erkannten schon, daß für einen kurzen Zeitabschnitt, der nur wenige Umdrehungen des Kreisels umfaßt, die Bewegung nicht viel von der eines kräftefreien Kreisels ab weichen kann. Innerhalb dieser Zeit kann ÜB als konstant angesehen werden und die Figurenachse sowohl als die Drehachse (d. h. die Richtung u) beschreiben, genau so wie wir es schon in § 31 an einem Beispiele näher besprochen haben, Kreiskegel von sehr kleinem Offnungswinkel um die Richtung von ÜB als Achse. Während eines solchen Umlaufs hat der auf der Figurenachse liegende Radiusvektor § des Schwerpunkts, der zugleich den Hebelarm des Gewichts bildet, etwas verschiedene Richtungen; im Mittel für den ganzen Umlauf fällt aber die Richtung von § mit der von ÜB zusammen. Bezeichnen wir also einen in der augenblicklichen Richtung von ÜB gezogenen Einheitsvektor mit 6, so kann als Durchschnittswert des Momentes $ für einen Umlauf der Ausdruck

(151)

angeschrieben werden, wenn 0 das Kreiselgewicht nach Größe und Richtung angibt. Die sehr kleine Änderung c?ÜB, die ÜB während der sehr kurzen Zeit dt erfährt, in der der Kreisel nur wenige Umläufe machen konnte, ist daher

(152)

In Abb. 43 ist der Kreiselkörper von kegelförmiger Gestalt angenommen und durch die starken Umrißlinien in achsono-metrischer Zeichnung dargestellt; 0 bedeutet den fbstgehaltenen Punkt des Kreisels, OA die Figurenachse und S den auf dieser liegenden Schwerpunkt. Dann sind noch die augenblicklichen

Richtungen von u und 33 eingetragen, die mit OA in einer Ebene enthalten sind. Der Kreis, den S bei einem Umlaufe um 33 beschreibt, ist durch eine punktierte Linie angegeben. Der Mittelpunkt dieses Kreises kann als durchschnittliche Lage des Schwerpunktes S für eine Umdrehung angesehen werden. An ihm greift die Kraft O' an, die die durchschnittliche Lage des Gewichts

G vO

Abb. 43.

O für einen Umlauf bezeichnet. Im Punkte 0 ist der Momentenvektor Ä angetragen, der rechtwinklig zu dem durch 0 und O' gelegten Momentendreiecke steht. Parallel zu Ä ist am Endpunkte von 33 die Änderung d® angesetzt, die zum Zeitelemente dt gehört. Diese Strecke hat man sich sehr klein zu denken. Die Verbindungslinie yon 0 nach dem Endpunkt von ć233 gibt den neuen Drall 33' an, in den © nach dt übergegangen ist.

Der Zuwachs <233 steht senkrecht zu b, d. h. zu 33 selbst. Hiernach kann 33 nur eine Richtungsänderung, aber keine Änderung der absoluten Größe erfahren. Ferner steht «!33 auch senkrecht zu O', d. h. zur Lotlinie. Demnach ist ^33 horizontal und senkrecht zu der durch D' gelegten Lotebene gerichtet. Die Vektoren 33 und 33' liegen daher so zueinander wie zwei aufeinander folgende Erzeugende eines geraden Kreiskegels, dessen Achse in die Richtung der Lotlinie fällt. Das gilt für jeden folgenden Zeitabschnitt dt ebenso, und hiermit ist bewiesen, daß 33 in der Tat im Laufe der Zeit den genannten Kreiskegel vollständig und später immer wieder von neuem durchlaufen muß.

Daß die Präzession indessen nur eine pseudoreguläre und keine reguläre ist, ergibt sich daraus, daß innerhalb eines jeden

Kreisumlaufs wegen der etwas verschiedenen Richtungen von § kleine Schwankungen von © um den mittleren Wert herum stattfinden müssen, die bei den vorhergehenden Betrachtungen außer acht gelassen wurden, da wir nur nach den Mittelwerten aller Größen für eine Umdrehung fragten. Im Grenzfalle des unendlich schnell rotierenden Kreisels werden diese Schwankungen unendlich klein.

Wir kennen jetzt die langsam erfolgende Änderung von © gegen den festen Raum. Es fragt sich aber noch, wie sich © relativ zum Kreiselkörper verschiebt. Auch darauf läßt sich sofort eine Antwort erteilen, indem man sich darauf stützt, daß die lebendige Kraft L als konstant angesehen werden kann, und zwar hier um so mehr, als sich der Schwerpunkt, wie wir schon sahen, abgesehen von den kleinen Schwankungen innerhalb eines Umlaufs nur in horizontaler Richtung verschiebt. Alle mit dem Werte von L verträglichen © liegen nach § 25 auf dem zugehörigen Drall-Ellipsoide. Da sich aber ©, wie schon bewiesen ist, der Größe nach nicht ändert, so können nur jene Radienvektoren des Drall-Ellipsoids in Frage kommen, die unter sich von gleicher Größe sind und diese bilden, da das Drall-Ellipsoid hier ein Umdrehungs-Ellipsoid ist, einen Kreiskegel, dessen Achse mit der Figurenachse, d. h. der Hauptträgheitsachse zusammenfällt. Hiermit ist bewiesen, daß von kleinen Schwankungen abgesehen, der Drall © auch relativ zum Körper, nämlich um die Figurenachse herum einen Kreiskegel beschreibt. Da außerdem noch vorausgesetzt war, daß © in der Anfangsrichtung nur wenig von der Figurenachse abweichen sollte, so hat dieser Kreiskegel nur einen sehr kleinen Offnungswinkel, d. h. die Kreiselachse muß stets in der nächsten Nachbarschaft von © bleiben. Mit der Bewegung von © gegen den festen Raum ist daher auch die Bewegung der Figurenachse gegen den festen Raum hinlänglich genau bekannt.

Es muß übrigens noch bemerkt werden, daß die zuletzt an-gestellte Beweisführung versagt, wenn es sich um einen Kugelkreisel handelt, da dann alle Radienvektoren des in eine Kugel übergehenden Drall-Ellipsoids gleich groß sind. Aber auch in diesem Falle kann

15

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

sich die Richtung von $ oder der mit © zusammenfallenden Drehachse U nicht merklich von der Kreiselachse, die durch den Schwerpunkt des Körpers gelegt ist, entfernen. Schreibt man nämlich $ in der Form an

«R =V 08, womit

dt

=Vc§

wird, so folgt daraus durch innere Multiplikation mit §

d®

a- °-

Da ferner

di

die augenblickliche Geschwindigkeit des Schwerpunktes

angibt und daher auf der Drehachse U und hiernach auch auf © senkrecht steht, so ist auch

93

di

dt

= 0.

Im ganzen wird,, wie man aus beiden Gleichungen erkennt, also auch

dt

= 0 oder © § = konstant.

Demnach kann sich beim Kugelkreisel die Projektion von © auf 8 nicht ändern. Bei der pseudoregulären Präzession ändert sich aber auch die Größe von 93 nicht merklich und daher muß auch der Winkel zwischen 93 und 8 nahezu konstant sein. Wenn er von Anfang an sehr klein war, bleibt er daher auch dauernd klein.

Es bleibt noch übrig, die Umlaufzeit T der Präzession oder auch an deren Stelle die Winkelgeschwindigkeit to zu ermitteln, mit der sich die Richtung von 93 und hiermit die Kreiselachse um die durch den festen Punkt gelegte Lotlinie drehen.

Dies kann durch eine einfache geometrische Betrachtung mit Hilfe von Abb. 44 geschehen. In diese sind von Abb. 43 nur die Strecken 93, ^93 und 93' übernommen. Außerdem ist der Kreiskegel angegeben, den der Yektor SB bei seiner Drehung um die durch den festen Punkt 0 gehende lotrechte Achse gegen den feststehenden Raum beschreibt. 93 und 93' sind zwei aufeinanderfolgende Ergänzende dieses Kreiskegels und ć?93 ist ein Element des Basiskreises. Bedeutet (ć?93) die Größe des Vektors ^93, so ist nach dem Flächensatze

(ö!93) = Kdt = Qs sin adt.

Andererseits bildet (t?93) ein Bogenelement in einem Kreise, dessen Radius gleich B sin a gesetzt werden kann und das zu einem Zentriwinkel dÿ gehört. Man hat daher auch

(di8) = B sin a dÿ

und aus dem Vergleiche mit dem früheren Ausdrucke folgt für die Winkelgeschwindigkeit w der Präzession

(153)

_ drp    Qs _ Qs

dt    B u©

A»

Man kann übrigens to auch rein analytisch ableiten. Jedenfalls muß nämlich der Vektor to der Bedingung

w--v»8

genügen, und da andererseits schon in Gl. (152)

"-Vci

'\èh

ö;

gefunden war, so muß, damit beide Gleichungen miteinander übereinstimmen, to entgegengesetzt mit O gerichtet sein, also nach obenhin gehen. Außerdem muß

WB = sQ oder w =    = A|

Abb. 44.

sein, wie in Gl. (153) schon gefunden war. Hierbei ist zu beachten, daß wegen des nahen Zusammenfallens von 93 mit der Kreiselachse B = u® gesetzt werden konnte. Für die Umlaufzeit T der Kreiselachse um die Lotlinie erhält man

(154)

T = — = 2*

If

Wir finden hiermit bestätigt, daß die Umlaufzeit um so größer ist, die Präzession daher um so langsamer erfolgt, je schneller der Kreisel rotiert.

15*

§ 36. Einwirkung eines Stoßes auf den schnell rotierenden

Kreisel.

Die Zeitdauer eines Stoßes wird stets als sehr klein betrachtet. Da aber hei dem schnell rotierenden Kreisel auch die Zeitdauer einer Umdrehung sehr klein ist, so daß sie bei den yorausgehenden Untersuchungen sogar als unendlich klein angesehen werden konnte, wird hier zur Beurteilung der Wirkung eines Stoßes eine nähere Festsetzung darüber erforderlich, wie sich die beiden sehr kleinen Zeiten der Größenordnung nach zueinander verhalten sollen. Wir begnügen uns hier damit, nur die beiden Grenzfälle zu besprechen, daß die Stoßzeit entweder als sehr klein oder als sehr groß gegenüber der Zeitdauer einer Kreiselumdrehung angesehen werden kann. Es wird sich zeigen, daß sich der Kreisel in beiden Fällen gegen die Wirkung eines Stoßes von gegebener Größe (diese gemessen durch den Antrieb, also das Zeitintegral der Stoßkraft) sehr verschieden verhält.

Im ersten Falle, wenn sich also der Kreisel während der Stoßzeit nur sehr wenig weiter bewegt hat, kann man die durch den Stoß hervorgebrachte Änderung des Dralls genau so berechnen, als wenn der Kreisel in der augenblicklichen Lage in Ruhe gewesen wäre, also etwa nach den in § 32 gegebenen Anleitungen. Anstatt darauf zurückzugreifen, kann man aber auch unmittelbar setzen, wenn 93 den Drall vor, 93' den nach dem Stoße und p den vom festen Punkte gerechneten Hebelarm der Stoßkraft ^3 bezeichnet. Da sich der Kreisel inzwischen nur wenig weiter bewegt hat, ist die Richtungsänderung des Dralls relativ zum Kreiselkörper als ebenso groß anzusehen wie die gegenüber dem festen Raum. Wenn also der Kreisel vorher um eine nahezu mit der Kreiselachse zusammenfallende Drehachse rotierte, trifft dies nach dem Stoße nicht mehr zu. Die Kreiselbewegung wird daher durch einen solchen kurzdauernden Stoß auch der Art nach vollständig geändert.

Ganz anders ist es, wenn sich beim gleichen Wert des Antriebs die Stoßdauer so in die Länge zieht, daß der Kreisel inzwischen eine größere Anzahl von Umdrehungen ausführen konnte. Über die Art, wie der Stoß vor sich gehen soll, werde vorausgesetzt, daß die Stoßkraft während der ganzen Stoßdauer die gleiche Richtung beibehält und sich der Größe nach stetig (im Verlaufe einer Umdrehung daher nur wenig) ändert, sowie daß sie stets an demselben Angriffspunkte des Kreiselkörpers wirkt. Man denke sich also etwa einen Stab oder eine andere Hervorragung an dem Kreiselkörper angebracht, an deren Ende die Stoßkraft angreift.

Da ftydt einen endlichen gegebenen Wert haben soll, muß unter diesen Voraussetzungen jener Teil des Antriebs, der auf eine einzelne Umdrehung entfällt, klein sein. Daher ändert sich auch © während einer Umdrehung nur wenig; es wird also genügen, wenn wir diese Änderung als ein Differential ansehen. Der Hebelarm der Stoßkraft beschreibt während einer Umdrehung eine Kegelfläche und die mittlere Richtung von J) fällt aus denselben Gründen wie im vorigen Paragraphen mit der Richtung von © zusammen. Bezeichnen wir also die Dauer einer Umdrehung mit dt, so finden wir für das zugehörige ^©

<?© = dtp'Vtyb,

wobei p die Projektion von auf die Richtung von © oder 6 bedeutet. Jedenfalls steht hiernach 6?© senkrecht zu 6 oder zu © selbst und daher erfährt © nur eine Richtungsänderung und keine Änderung der absoluten Größe. Auch die lebendige Kraft erfährt für den ganzen Umlauf keine Größenänderung, da der Angriffspunkt von eine geschlossene Bahn durchläuft, das Linienintegral oder die Arbeit der Kraft weil während dieser Zeit als konstant betrachtet werden kann, daher zu Null wird. Hieraus folgt durch dieselbe Schlußweise wie im vorigen Paragraphen, daß sich die Richtung von © relativ zum Kreiselkörper im Falle des langsam verlaufenden Stoßes nicht merklich zu verschieben vermag. Die pseudoreguläre Präzession 'bleibt daher als solche bestehen. Der ganze Erfolg des

Stoßes besteht darin, daß sich die Richtung von 8, mit ihr aber zugleich auch die Kreiselachse um einen endlichen Winkel gegen den festen Raum gedreht hat.

£'t

y-sp

Abb. 45.

Von Wichtigkeit ist es noch, auf die Richtung zu achten, nach der der Kreisel unter dem Einflüsse eines langsam verlaufenden Stoßes ausweicht. Abb. 45 zeigt dies an einem Beispiele, bei dem der Einfachheit halber vorausgesetzt ist, daß es sich um einen Kugelkreisel handle. Vor dem Stoße soll der Kreisel, der in kegelförmiger Gestalt gezeichnet ist, in aufrechter Lage um eine mit der Kreiselachse zusammenfallende Achse mit der Winkelgeschwindigkeit u0 rotiert haben. Die Stoßkraft ^ ist in horizontaler Richtung angenommen. Der Momentenvektor $ von ist ebenfalls horizontal und senkrecht zu gerichtet. In der Stoßdauer t, während der ^ konstant sein mag, ändert sich der Drall um und die Winkelgeschwindigkeit daher

um -gp Dadurch geht u₀ über in u, wie aus der Abbildung zu

entnehmen ist. Mit u hat sich aber auch die Kreiselachse (ungefähr wenigstens) in der gleichen Richtung verschoben; obschon beide nachher nicht mehr genau zusammenfallen. Der Kreisel führt dann nach dem Stoße unter dem Einflüsse des Eigengewichts eine pseudoreguläre Präzession von der uns bereits bekannten Art aus.

Die Kreiselachse verschiebt sich also im Mittel bei einem langsam verlaufenden Stoß rechtwinklig zur Richtung der Stoßkraft und hierin besteht eine der bemerkenswertesten Eigenschaften des schnell rotierenden Kreisels.

Ferner erkennt man, was ja auch schon aus der Erfahrung hinlänglich bekannt ist, daß die Bewegung des Kreisels um die aufrechte Achse stabil ist. Durch den Stoß wird die Bewegung in eine pseudoreguläre Präzession umgewandelt, die der vorhergehenden Bewegung nahe benachbart ist, wenn der Antrieb des

Stoßes nicht zu groß war. Der Kreisel wird durch einen solchen Stoß nicht „umgeworfen“, wie es sein müßte, wenn er gar nicht oder nur langsam rotierte. Je schneller er sich umdreht, um so geringer ist die Ablenkung, die er durch einen Stoß von gegebenem Antrieb aus der anfänglichen Bewegung erfährt.

§ 37. Die strenge Lösung des Kreiselproblems für den symmetrischen schweren Kreisel.

In den meisten Fällen der praktischen Anwendung wird man mit den vorhergehenden Betrachtungen vollständig aus-kommen. Für den symmetrischen Kreisel, an dem nur das Eigengewicht angreift, kann man aber die weitere Bewegung, die auf einen beliebig gegebenen Anfangszustand folgt, auch in aller Strenge angeben. „Streng“ ist die Theorie freilich auch hier nur im mathematischen Sinn und nicht im physikalischen, da die Bewegungswiderstände, die sich niemals ganz beseitigen lassen, dabei vernachlässigt werden müssen.

Immerhin hat aber die mathematisch strenge Kreiseltheorie auch einen gewissen praktischen Wert und ich werde daher hier einen kurzen Abriß davon geben, wobei ich mir Vorbehalte, im 6. Bande dieses Werkes später nochmals ausführlich hierauf und auf die Kreiseltheorie überhaupt zurückzukommen.

Wenn das Trägheits-Ellipsoid ein Rotations-Ellipsoid ist, kann man für den Drall © des rotierenden Körpers einen für die weitere Behandlung besonders geeigneten Ausdruck aufstellen, den ich zunächst ableiten werde. Man denke sich die Winkelgeschwindigkeit U in zwei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt, von denen die eine in die Richtung der Figurenachse, die andere in die Äquator-ebene des Trägheits-Ellipsoids fällt. Bezeichnet man die Größen dieser beiden Komponenten mit ux und w₂, ferner einen in der Richtung der Figurenachse gezogenen Einheitsvektor mit und einen in die Richtung der Projektion von u auf die Äquatorebene fallenden Einheitsvektor mit tq, so wird die besprochene Zerlegung durch die Gleichung

(155)

U = U₁è₁ + ll₂ ox

zum Ausdruck gebracht. Da die beiden Komponenten von U mit Hauptträgheitsachsen des Körpers zusammenfallen, findet man das zu tt gehörige S3 in derselben Weise wie schon in Gl. (121) S. 178, indem man jede der beiden Komponenten mit den zugehörigen Hauptträgheitsmomenten multipliziert. Bezeichnet man diese mit und @₂, so folgt zunächst

© =u₁ ©j 8X -f u₂ @₂ 0X.

Daraus entsteht durch eine einfache Umformung

© = 0₂(w₁§i + M₂° l) + Wl⁸l(⁰l — ⁰₂) wofür man nach Gl. (155) kürzer

(156)

© = ©₂U + ^(©j — ©₂)§!

schreiben kann. Das ist der Ausdruck, den ich ableiten wollte und von dem weiterhin ausgegangen werden soll.

Nach dem Flächensatze gilt in jedem Augenblicke streng die

Gleichung

dt

= sVOS

(157)

die hier an die Stelle der nur näherungsweise gültigen Gleichung (152) S. 223 tritt, die wir zum Ausgangspunkt der Theorie der pseudoregulären Präzession gemacht hatten. Unter s ist wie früher der Schwerpunktsabstand, vom festen Punkt aus gerechnet, zu verstehen.

Außerdem gilt noch die schon mehrfach benutzte, aus Band I, § 20 übernommene Beziehung

dg.

dt

“-Vil«!,

(158)

in der auf der linken Seite die augenblickliche Geschwindigkeit des auf der Kreiselachse im Abstande Eins vom festen Punkte liegenden Punktes steht.

Aus den drei zuletzt angeschriebenen Gleichungen kann man die Yariabeln © und U eliminieren, womit man auf eine Differentialgleichung kommt, die nur noch die Unbekannte §, enthält, von der also die Bewegung der Kreiselachse gegen den festen Raum unmittelbar abhängt.

Zu diesem Zwecke überzeuge man sich zunächst, daß d(»g,)

dt

- — 89

dg

'1

dt

dS

¹ dt

(159)

der Form 5lV5l© zu 51 steht.

von

wird. Man findet dies nämlich bestätigt, wenn man © aus Gl. (156) und die Differentialquotienten von © und aus den Gleichungen (157) und (158) einsetzt und sich dabei erinnert, daß jeder Ausdruck zu Null werden muß, weil V5t© senkrecht

Das innere Produkt 93 ist aber nichts anderes als die Projektion JBX von © auf die Kreiselachse und aus Gl. (159) geht hervor, daß diese Projektion konstant ist. Andererseits kann aber diese Komponente Bx von 93, wie schon aus den auf Gl. (155) folgenden Bemerkungen hervorgeht, auch

Bx = ux 0t

gesetzt werden und hieraus folgt, daß auch die in die Richtung der Kreiselachse fallende Komponente ux der Winkelgeschwindigkeit während der ganzen Bewegung konstant bleibt.

Der besondere Umstand, daß ut eine Konstante ist, ermöglicht uns die Auflösung von Gl. (158) nach U in eindeutiger Weise, während sie sonst bei einer solchen Yektorgleichung nicht möglich wäre. Multipliziert man nämlich Gl. (158) auf äußere Art mit § so erhält man zunächst mit Anwendung des durch Gl. (118) S. 176 ausgesprochenen Rechengesetzes

V»! d*-t = -WVu§x = - u (8X)² -f èx ■ u§:.

Nur war aber %x ein Einheitsvektor, das Quadrat davon ist daher gleich Eins und u£f₁ ist gleich ux ; daher läßt sich die Gleichung schreiben in der ut eine durch den Anfangszustand der Bewegung gegebene Konstante bedeutet. Die Auflösung nach U liefert daher

(160)

“ — Mi —V*i

Hierauf läßt sich auch 93 durch Einsetzen dieses Ausdrucks in Gl. (156) vollständig in ausdrücken. Führt man dies aus, so erhält man nach Streichen von zwei sich gegeneinander weghebenden Gliedern

(161)

93 = ux — @₂V8j ^ •

Wir brauchen jetzt nur noch diesen Ausdruck in die Gleichung des Flächensatzes, also in Gl. (157) einzusetzen, um zur Differentialgleichung für zu gelangen. Dabei ist zu beachten, daß

Av g dh ₌    <™a I Vg Ak ₌ Vg

dt**¹ dt V dt dt + Vöi dt

ist, indem das äußere Produkt einer Größe mit sich selbst zu Null wird. Man erhält daher dH, _

dt*

»i@i dal + s VO8,-0.

e,V»,

Damit haben wir die Hauptgleiclumg des KreiselproMeiiis für den schweren symmetrischen Kreisel aufgestellt. Alle übrigen außer in ihr vorkommenden Größen sind gegebene Konstanten. Wenn wir das allgemeine Integral der Gl. (162) finden, haben wir damit zugleich die Lösung des Problems, die auch alle besonderen Fälle, wie die Pendelbewegung usf. umfaßt. Denn nachdem als Funktion der Zeit dargestellt ist und die in der Lösung auftretenden beiden Integrationskonstanten aus den Bedingungen er-

di

mittelt sind, daß zur Zeit t = 0 sowohl als gegeben sind, kennt

man nach den Gleichungen (160) und (161) auch U und © vollständig und damit auch den weiteren Verlauf der Bewegung in allen Einzelheiten.

Auch die Bewegung des kräftefreien Kreisels wird durch diese Theorie mit umfaßt. Man braucht hierzu nur in Gl. (162) O = 0 zu setzen. Die in dieser Weise vereinfachte Gleichung läßt sich viel leichter integrieren als die vollständige Gl. (162). Ich gehe aber darauf jetzt nicht näher ein, weil die Lösung für den kräftefreien Kreisel vorher schon in anderer Weise abgeleitet wurde.

Die Integration von Gl. (162) wird durch zwei Umstände erschwert, zunächst dadurch, daß sie eine Vektorgleichung ist, die sich schwieriger behandeln läßt als eine Gleichung für eine richtungslose Größe und dann noch besonders dadurch, daß sie nicht linear ist. Man kann sie aber trotzdem lösen, wobei jedoch im allgemeinen Falle elliptische Funktionen auftreten. Im sechsten Bande werde ich darauf näher eingehen;'hier begnüge ich mich damit, die partikuläre Lösung abzuleiten, die sich auf die reguläre Präzession des Kreisels bezieht.

§ 38. Die reguäre Präzession.

Jene Lösung der Hauptgleichung, Gl. (162), die der regulären Präzession entspricht, erhält man, indem man

(163)

§i = «i i + a₂ cos cp j -f- a₂ sin cp f

setzt. Dabei bedeuten i j f Einheitsvektoren in den Richtungen eines im festen Raume ruhenden rechtwinkligen Koordinatensystems, dessen t-Achse in lotrechter Richtung nach obenhin gezogen ist. Der Winkel cp ist eine von der Zeit t abhängige neue Variable, die wir nachträglich so zu bestimmen haben, daß

Ol. (163) eine Lösung der Hauptgleicliung bildet. Unter ax und ■a.₂ sind Konstanten zu verstehen, die aber nicht unabhängig voneinander sind, sondern zwischen denen die Bedingung besteht

(164)

a\ +«2 = 1,

weil ô₁ nur unter dieser Bedingung einen Einheitsvektor dar-:stellt. Man erkennt dies, indem man bildet.

Legt man dem Winkel <p in Gl. (163) verschiedene Werte bei, so liegen die Endpunkte aller zugehörigen auf einem horizontalen Kreise. Zunächst nämlich müssen diese Endpunkte alle auf der Kugelfläche vom Halbmesser Eins enthalten sein, weil = 1 ist für jeden Winkel cp. Außerdem liegen sie aber wegen des konstanten Gliedes atx auch alle auf einer horizontalen Ebene, die vom festen Punkte den Abstand at hat. Man kann daher sagen, daß Gl. (163) die G leichung des Kreises bildet nach dem diese horizontale Ebene von der Einheitskugel geschnitten wird.

Durch Differentiation nach der Zeit erhält man aus Gl. (163) ffî- = «2 ++ (— sin <jp • j + cos cp ■ Î)

und durch nochmalige Differentiation

ddt*~ (— sin cp ■ l + cos cp • f) — «₂ (^y)² (cos cp ■ \ + sin cp • !).

Diese Werte setzen wir jetzt in Gl. (162) ein, um uns zu überzeugen, oh die Gleichung durch eine passende Wahl von cp befriedigt werden kann. An Stelle von O schreiben wir dabei, mit Rücksicht auf die inzwischen für i getroffene Wahl verstehen also unter Q den Absolutwert des Gewichtes Q. Die in Gl. (162) vorkommenden Vektorprodukte können leicht nach der gewöhnlichen Vorschrift (siehe Band I, Gl. (53), S. 91 d. 4. Aufl.) gebildet werden. Führt man die Rechnung durch, so erhält man zunächst

Faßt man die Glieder in anderer Weise zusammen, so läßt sich die Gleichung schreiben

0₂    (*a2 — cos <p — !ax sin <p) -f-

d (p

¹ dt

+ s Q^j (j sin cp — f cos cp) — 0.

Die linke Seite ist damit in eine geometrische Summe aus zwei Gliedern von verschiedener Richtung zerlegt. Das zweite Glied ist wegen Fehlens von i horizontal gerichtet, das erste dagegen nicht. Damit die geometrische Summe zu Null wird, muß daher jedes Glied für sich jederzeit gleich Null sein. Die Gleichung zerfällt daher in die beiden folgenden

d²cp

«1 »! Qj) + “l »

dcp

¹ dt

+ sQ — 0.

(165)

Aus der ersten Gleichung folgt

dcp

dt “

wenn wir die Integrationskonstante mit w bezeichnen. Die Bedeutung von w folgt aus dem Ansätze in Gl. (163); es gibt die Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich die horizontale Komponente von dreht, also die Winkelgeschwindigkeit der Präzession. Wir erkennen daraus, daß die Lösung in Gl. (163) eine konstante Winkelgeschwindigkeit der Präzession verlangt.

Die zweite der Gleichungen (165) geht hiermit über in

(166)

at&₂w² -f- u± 0xtv + sQ = 0.

Wenn wir w so wählen, daß diese Gleichung befriedigt ist, erfüllt auch Gl. (.163) die Hauptgleichung, und wir sind damit zu einer möglichen Art der Kreiselbewegung gelangt, die auch tatsächlich eintritt, wenn die Anfangsbewegung damit übereinstimmte. Die Auflösung nach w liefert

ut 0,

2«! 0₂

l/(-—■—‘T__f

V \2 ax &J

sQ

©2

(167)

Man erhält immer zwei reelle Wurzeln, wenn ax negativ ist, d. h. wenn der Schwerpunkt bei der durch Gl. (163) dargestellten Bewegung unterhalb des festen Punktes liegt. Gewöhnlich denkt man aber bei der Kreiselbewegung an den Fall, daß der Schwerpunkt höher liegt als der Unterstützungspunkt. In diesem Falle muß

/ % 6*1 Y > sQ

\2 at ©J — ax ©t

sein, damit die betrachtete Bewegung möglich ist. In anderer Form läßt sich die Bedingung schreiben

4«, Qs©₂

(188)

®î

u\ ^

Der Kreisel muß also mindestens so schnell rotieren, daß die Winkel ge schwindigkeits-Komponente ux dieser Bedingung genügt; anderenfalls ist die Bewegung in dieser Form nicht möglich.

Wenn die Winkelgeschwindigkeit sehr groß ist, hat man nach Gl. (167) zwei verschiedene Werte von w, von denen der eine, der dem positiven Wurzelvorzeichen entspricht, sehr klein gegenüber dem andei’en ist. Es sind dann bei gegebenen ax zwei verschiedene Arten der regulären Präzession möglich, die man als „langsame“ und „schnelle“ Präzession bezeichnet. Wodurch sich beide Fälle im übrigen voneinander unterscheiden, erkennt man durch Bildung der Winkelgeschwindigkeit U, indem man aus Gl. (163) in Gl. (160) einsetzt. Man findet dann

U = ux (i ax -(- j • a₂ cos <p fi- f a₂ sin <p) -f + a₂iv (— ia₂ -f- \ax cos cp -f tcix sin cp).

Mit Rücksicht auf Gl. (164) läßt sich das aber auch in die Form

(169)

u = (ux -f- axw) — i iv

bringen. Bei der langsamen Präzession des schnell rotierenden Kreisels ist tv klein gegen ux und daher fällt die Richtung von U nahezu mit der Richtung von ê₁₅ d. h. mit dar Kreiselachse zusammen. Bei der schnellen Präzession ist dagegen, wie aus Gl. (167) hervorgeht, w von gleicher Größenordnung mit ux (wenigstens wenn sich 0X und @₂ nicht zu viel voneinander unterscheiden) oder auch noch größer, und die Richtung von U weicht dann erheblich von der Richtung der Kreiselachse ab. Für den Fall des Kugelkreisels, also für Qx == @₂, wird nach Gl. (167) bei der schnellen Präzession axw nahezu gleich — ux und daher muß, damit diese Bewegung erfolgen kann, U nach Gl. (169) nahezu in die Lotrichtung fallen.

Schließlich mag noch bemerkt werden, daß man auch die allgemeine Lösung des Kreiselproblems aus dem Ansätze in Gl. (163) erhalten kann, wenn man die Konstante ax durch eine von t abhängige Variable x ersetzt. Es zeigt sich dann, daß x einer Differentialgleichung genügen muß, die man mit Hilfe von elliptischen Funktionen integrieren kann. Im sechsten Bande werde ich das näher besprechen.

§ 39. Die Verwendung der Kreiseltheorie in der Praxis.

Für die praktische Technik hatte die Theorie des Kreisels lange Zeit hindurch nur eine sehr geringe Bedeutung. Das hing mit den verhältnismäßig geringen Winkelgeschwindigkeiten zusammen, die in den älteren, langsam laufenden Maschinen allein vorkamen. Als erst durch die Elektrotechnik und später noch mehr durch die Entwicklung der Dampfturbine viel schneller laufende Maschinen zur Anwendung kamen, gewann aber die Kreiseltheorie, oder allgemeiner gesagt, die Dynamik sehr schnell rotierender Körper immer mehr an Bedeutung.

Und zwar nach zwei Richtungen hin. Einerseits nämlich war es möglich, als man sehr schnell umlaufende Schwungräder herzustellen und in Gang zu halten verstand, die besonderen Eigenschaften der Kreiselbewegung unmittelbar praktisch nutzbar zu machen. Das bekannteste Beispiel dafür ist der Schlicksche Schiffskreisel, dessen Theorie im sechsten Bande ausführlich dargestellt ist. Andererseits aber traten, auch ohne daß man es beabsichtigt hatte, an den schnell umlaufenden Maschinen Erscheinungen auf, die man in kurzer Zusammenfassung als Kreiselwirkungen bezeichnen kann. Man wurde dadurch genötigt, sich mit der Kreiseltheorie zu beschäftigen, um sich über diese Erscheinungen Rechenschaft geben und schädliche Folgen davon vermeiden zu können.

Nun sind freilich die Bedingungen, unter denen diese Kreiselwirkungen auftreten, von sehr verschiedener Art, so daß man nur selten die Entwicklungen der vorhergehenden Paragraphen ohne jede Änderung zu ihrer Erklärung verwenden kann. Aber trotz aller Unterschiede im einzelnen bleibt doch das Verfahren, das dabei eingeschlagen wurde, auch in allen anderen Fällen anwendbar, um wenigstens eine ungefähr zutreffende Schätzung daraus abzuleiten, wenn die Durchführung der genaueren Rechnung zu schwierig sein sollte.

Zur Kreiseltheorie im weiteren Sinne gehört zunächst eine sehr einfache Betrachtung, die sich auf die Drehung eines Schwungrades aus seiner Ebene heraus bezieht und von der man öfters mit Nutzen Gebrauch machen kann. Ich werde sie daher zuerst besprechen. Ein Ring sitze auf einer schnell rotierenden Welle und das Gestell, in dem die Welle gelagert ist, möge vergleichsweise langsam irgendeine vorgeschriebene Bewegung ausführen. Man denke etwa an einen solchen Schwungring, der auf einer Lokomotive angebracht sein mag. Wenn die Lokomotive eine Kurve durchfährt, wird die Ebene des Schwungrings langsam gedreht. Die daneben stattfindende Translation ist hierbei gleichgültig und der Einfachheit halber wollen wir deshalb ganz von ihr absehen.

In Abb. 46 ist der Schwungring in seiner Anfangslage durch ausgezogene Striche angegeben. Die horizontale Welle, auf der er sitzt, möge durch eine Bewegung des Fahrzeugs genötigt werden, in einer gewissen Zeit t in die durch punktierte Linien angegebene neue Lage einzurücken. Um diese Bewegung zu erzwingen, müssen Kräfte von dem Fahrzeuge auf die Welle und durch deren Vermittlung auf das Schwungrad übertragen werden. Unter Umständen können diese sehr groß werden, so daß sie bei ungenügender Festigkeit zu einer Zerstörung der Welle oder zu einem Herausschleudern der Welle aus den Lagern zu führen vermöchten; jedenfalls wird man sich daher Rechenschaft darüber zu geben haben, von welcher Art diese Kräfte sind und wie groß sie sind.

Von dem Schwungrad nehme ich an, daß es richtig ausgeglichen und genau auf der Welle aufgekeilt sei, so daß bei stillstehendem Fahrzeuge nur eine Bewegung um eine freie Achse in Frage kommt. Die Lager der Welle haben dann nur das Gewicht und etwaige sonstige Belastungen aufzunehmen, genau so, als wenn der Schwungring ebenfalls in Ruhe wäre. Diese Auflagerkräfte werden auch später noch neben den anderen, die wir suchen, weiter bestehen; sie sind aber verhältnismäßig gering, und es soll deshalb weiterhin nicht ausdrücklich von ihnen die Rede sein, vielmehr soll das Schwungrad so behandelt werden, als wenn es gewichtslos (aber nicht masselos) wäre.

Um die angegebene Drehung um die lotrechte Achse auszuführen, wird man zunächst einmal ein Kräftepaar anbringen müssen, das diese Drehung auch bei dem ruhenden Schwungringe zustande brächte. Um den Schwungring in die neue Lage überzuführen, müssen wir ihn um die lotrechte Achse drehen, ihm

Abb. 46.

also eine vertikale Winkelgeschwindigkeit erteilen. Dies kann etwa durch das in Abb. 46 mit A₁ A₂ bezeichnete Kräftepaar geschehen. Wenn der Schwungring während der Drehung des Fahrzeuges nicht rotierte, wäre von den Lagern nur einfach dieses Kräftepaar auf die Welle zu übertragen. Sobald aber der Schwungring schnell umläuft, tritt dazu ein anderes von weit größerem Betrage. Der Winkelgeschwindigkeit U entspricht nämlich ein Drall ©

© = u@,

und um diesen um einen Winkel cp zu drehen, muß nach dem Flächensatze ein Drehimpuls aufgewendet werden, der nach den früher gegebenen Anleitungen leicht zu

Kt - (pu©

berechnet werden kann. Wenn man also die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Wenden des Fahrzeuges erfolgt, mit w bezeichnet, erhält man

(170)

K = u©w

und bei großem u und © kann dies selbst für kleine Werte von w schon sehr beträchtlich werden. Die Richtung des jetzt der Größe nach berechneten Moments $ folgt ebenfalls daraus, daß © durch geometrische Summierung von in den neuen Wert übergeht. In die Abbildung ist der Pfeil von $ eingetragen. Dieses Moment $ kann von den Lagern nur in Form eines Kräftepaars übertragen werden, so daß jedes der beiden Lager eine Kraft des Paares überträgt. Auch diese mit Px P₂ bezeich-neten Auflagerkräfte sind in Abb. 46 eingetragen worden; die Pfeile ergeben sich aus den früheren Festsetzungen über den Zusammenhang des Drehsinnes eines Kräftepaares mit dem Pfeile des dazu gehörigen Momentenvektors. Daß die beiden Auflagerkräfte P₁P₂ wirklich von gleicher Größe sein müssen, folgt übrigens einfach daraus, daß sich der Schwerpunkt des ganzen Systems nicht in vertikaler Richtung verschiebt. Wenn man die Länge der Welle mit l bezeichnet, hat man für jede dieser Kräfte

u&w

Wir sprachen bisher von den Kräften, die vom Gestelle auf die Welle und den Schwungring übertragen werden. Am Fahrzeuge selbst kommen die Reaktionen dieser Kräfte in Betracht; wenn wir die Beanspruchung des Fahrzeugs durch diese Auflagerkräfte untersuchen wollen, müssen wir daher die Pfeile umkehren. Wir sehen daraus, daß das Fahrzeug am linken Lager der Welle (in der Abbildung) gehoben, am anderen niedergedrückt wird. Unter Umständen kann es dadurch vollständig um geworfen werden.

Natürlich kann man von dieser Betrachtung auch unmittelbar Gebrauch machen, um die Abänderung in der senkrechten Komponente des Raddrucks zu berechnen, die infolge der Umdrehung der Räder beim Fahren eines Eisenbahnfahrzeugs in einer Kurve zustande kommt, denn daß hier zwei Räder auf einer Achse sitzen, während bisher nur von einem Schwungringe die Rede war, macht offenbar nichts aus. Man bezeichne den Halbmesser des Radumfangs mit r, die Fahrgeschwindigkeit des Eisenbahnzugs mit v, den Krümmungshalbmesser des Geleises mit B, so wird

v -,    v

u — — und w = -v-,

also

v²©

Rrl

P = P X 1 x 2

Unter 0 ist jetzt das Doppelte vom Trägheitsmomente eines einzelnen Rades zu verstehen, unter l die Spurweite. Betrachtet man zum Zwecke einer Abschätzung ein Rad nur als einfachen Reifen vom Radius r und vom Gewichte Q, so kann näherungsweise (aber sicher etwas zu groß) & = 2 ^ r² gesetzt werden,

und die vorige Gleichung geht damit über in

P, = p₂ = Q •

2 v*r

gRl

Wenn v so groß wird, daß der als Faktor von Q auftretende Bruch gleich Eins wird, sinkt der Raddruck auf der nach innen hin gelegenen Schiene um das ganze Gewicht eines Rades. Eine allein auf dem Geleise dahinrollende, mit zwei aufgekeilten Rädern versehene Achse müßte bei Überschreitung der angegebenen Geschwindigkeit entgleisen.

Setzt man etwa r — 1 m (Lokomotivräder sind zuweilen so hoch), B = 200 m (scharfe Kurve, wie sie aber bei Weichen usf. vorkommt) und l = 1,435 m (Normalspur der Haupteisenbahnen), so erhält man für die fragliche Geschwindigkeit

v — 37,5 m sec⁻¹.

Ein Rad, das ganz besonders schnell umläuft, ist das Laufrad einer Lavalschen Dampfturbine. Man denke sich eine solche auf einem Schiffe montiert, und das Schiff möge die schaukelnden Bewegungen ausführen, die bei einem heftigen Sturme eintreten können. Wenn die Welle der Lavalschen Turbine steif konstruiert wäre, müßte sie nach Gl. (170) ein sehr erhebliches Kräftepaar K übertragen, um das Rad aus seiner Rotationsebene abzulenken, denn hier ist nicht nur u ungewöhnlich groß, sondern auch w, die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Schiff seine pendelnde Bewegung ausführt, ist nicht allzu klein. Um ein Zahlenbeispiel anzuführen, setze man etwa u = 2000 sec⁻¹ (entsprechend etwa 19000 Touren in der Minute), w — 0,2 sec⁻¹, das Gewicht des Laufrads gleich 100 kg und den

Trägheitsradius gleich 0,2 m. Dann wird der Drall des Laufrads gleich 815 mkg sec und nach Gl. (HO)

K = 163 mkg.

Das Kräftepaar wirkt verbiegend auf die Welle. Die Welle ist aber so dünn konstruiert, daß sie sich schon bei kleinen Biegungsmomenten ziemlich stark verbiegt. Deshalb folgt die Rotationsebene des Rades nur zum Teile den Schwingungen des Schiffskörpers. Wenn die Welle ganz biegsam wäre, würde sich die Rotationsebene des Rades überhaupt nicht verrücken; sie würde im Raume feststehen und die durch die Schwingungen des Schiffes hervorgerufenen relativen Bewegungen würden in den Verbiegungen der Welle allein zum Ausdrucke kommen. Auch über die der pseudoregulären Präzession des Kreisels verwandten Bewegungserscheinungen, die das Laufrad zeigt, wenn der Schiffskörper etwa einfache Sinusschwingungen ausführt, vermag man sich leicht ungefähre Rechenschaft zu geben, falls man aus hinreichenden Angaben über die Stärke der Welle, den Elastizitätsmodul und die Entfernungen des Rades von den Lagern die elastische Verbiegung der Welle für ein Biegungsmoment K = 1 mkg nach den Sätzen der Festigkeitslehre zuvor berechnet hat.

Bei dem eben besprochenen Beispiele konnte die Masse des Laufrades als so gering gegenüber dem schwingenden Schiffskörper angesehen werden, daß man auf die Rückwirkung, die es auf diesen ausübt, nicht zu achten brauchte. Unter anderen Umständen kann dies aber nötig werden; man muß sich dann erinnern, daß das von dem rotierenden Rade auf das Fahrzeug ausgeübte Kräftepaar dieses nicht im Sinne der Hauptdrehung, die das Rad ausführt, sondern um eine rechtwinklig dazu stehende Achse zu drehen sucht. Es wird nicht nötig sein, dies noch weiter auszuführen, da schon bei dem Beispiele des Schwungrings auf der Lokomotive darauf eingegangen wurde. Dagegen mag wenigstens erwähnt werden, daß man durch eine pendelnde Aufhängung des Schwungrads, wie sie beim Schlickschen Schiffskreisel vorkommt, eine Rückwirkung des Schwung-rades auf das Schiff herbeizuführen vermag, die hemmend auf die Schiffsschwingungen einwirkt.

Ein ferneres Beispiel für Betrachtungen dieser Art bildet der Bumerang. Auf dessen Beschreibung selbst will ich hier zwar nicht eingehen, sondern ihn durch ein einfacheres Beispiel ersetzen, bei dem der Bewegungsvorgang im wesentlichen der gleiche ist. Man denke sich eine Scheibe (den Diskus der Alten) fortgeworfen, indem man ihr zugleich eine schnelle Drehung um die auf der Scheibenebene senkrechte Figurenachse erteilt. Wenn der Wurf durch den luftleeren Raum erfolgte, würde der Schwerpunkt der Scheibe einfach eine Parabel beschreiben und die Rotationsachse, die eine freie Achse ist, behielte unverändert ihre Richtung im Raume; die Scheibenebene würde also stets der Anfangslage parallel bleiben. Im lufterfüllten Raume kann aber die Bewegung nicht in dieser Weise erfolgen. Der Luftwiderstand wird sehr groß, sobald die Scheibenebene nicht mehr parallel zur Bewegungsrichtung ist. Wie sich der Luftwiderstand im vorliegenden Falle im einzelnen verteilt, ist freilich schwer zu sagen; wir wollen es aber, um nicht in eine Erörterung darüber eintreten zu müssen, als ausgemacht ansehen, daß er sich jedenfalls in solcher Weise geltend macht, daß ein merkliches Heraustreten der Scheibenebene aus der Bewegungsrichtung durch ihn verhütet wird. Außerdem wird eine merkliche Änderung des Dralls $ der sehr schnell rotierenden Scheibe sobald nicht zu erwarten sein. Dann kann sich die Scheibe nahezu nur innerhalb der Ebene bewegen, die durch die Anfangslage der Scheibe gegeben ist. Der Bewegungsvorgang ist demnach ungefähr derselbe, als wenn die unterhalb an die Scheibenfläche angrenzende Luft sich wie eine starre schiefe Ebene verhielte, die sich jeder Bewegung rechtwinklig zu ihr widersetzte. An Stelle der in einer lotrechten Ebene liegenden gewöhnlichen Wurfparabel muß jetzt der Schwerpunkt der Scheibe eine in der ursprünglichen Scheibenebene liegende Bahn beschreiben. Wenn er sich anfänglich senkrecht zur Horizontalspur der Scheibenebene nach oben hin bewegte, wird er sich in dieser schief nach aufwärts gehenden geraden Linie bis zu einem höchsten Punkte hin bewegen und, nachdem er diesen erreicht hat, dieselbe Bahn in umgekehrter Richtung zurück durchlaufen und so zum Ausgangspunkte zurückkehren. Wirft man die Scheibe in horizontaler Richtung, so wird sie nahezu in gerader horizontaler Richtung weiterfliegen, und wenn die vorausgehenden Betrachtungen streng anwendbar wären, müßte sie, allen Fallgesetzen zum Trotze, beliebig weit fortfliegen können, ohne zu sinken. Das ist natürlich nicht genau richtig; man wird sich aber erinnern, daß geschickte Taschenspieler in ihren Vorstellungen gelegentlich Spielkarten mit großer Kunst- Ą. fertigkeit so hinausschleudern, daß sie in der Tat weite Strecken durcheilen, ohne in gewohnter Weise aus der Wurfrichtung abgelenkt zu werden und das, was ich vorher auseinandersetzte, gibt wenigstens eine ungefähre Erklärung des Vorganges, der dem beim Werfen des Bumerangs gleicht.

Abb. 47.

Auch die bekannte seitliche Ablenkung der aus gezogenen Geschützen abgeschossenen Wurfgeschosse gehört hierher. Der Luftwiderstand spielt hier nur eine andere Rolle. Wir wollen uns davon summarisch in folgender W^eise Rechenschaft geben. In Abb. 47 sei AB ein Teil der Bahn des Schwerpunktes S. Wenn kein Luftwiderstand wirkte, hätte die Rotationsachse ihre ursprüngliche Richtung beibehalten und die Granate würde etwa die in Abb. 47 gezeichnete Stellung einnehmen. Der Luftwiderstand, dem sie in dieser Lage begegnet, sei etwa durch 26 angegeben. Es kommt dann wesentlich darauf an, wie der Schwerpunkt S gegen die Richtungslinie von 26 liegt. Liegt er oberhalb, wie in der Figur, so gehört zu 26 ein statisches Moment $, das eine Drehung der Granate in die Richtung der Flugbahn herbeizuführen sucht. Diese Drehung setzt sich aber mit jener zusammen, die die Granate schon um ihre Längsachse ausführte. Der Erfolg wird, wie in den früheren Fällen, zunächst darin bestehen, daß sich © und mit ihm u und die Figurenachse aus der Ebene der Flugbahn etwas herausdrehen. Auch der Sinn dieser Ablenkung ist leicht

festzustellen. Wenn das Geschütz mit Linksdrall versehen ist haben wir u vom Schwerpunkte aus nach oben hin abzutragen und © ist mit ihm gleichgerichtet. Das Moment von Sß dreht in der Abbildung im Sinne des Uhrzeigers, und der Momenten-vektor $ geht daher vom Zeichenblatte aus nach dem Beschauer hin. Vereinigen wir nun Sü mit $ t, so erhalten wir eine Richtung, die nach vorn hin (d. h. nach dem Beschauer hin) etwas geneigt ist. Das vordere Ende der Granate zeigt daher auch nach dieser Richtung. Sobald das Geschoß im Grundrisse ein wenig schräg gestellt ist, erfährt es auf der vorausgehenden Seite einen größeren Luftwiderstand, als auf der ein wenig nach hinten zu gedrehten. Es wird dadurch seitlich abgelenkt, und zwar vom Geschütz aus gesehen nach rechts hin (bei Rechtsdrall nach links hin). Gerade die nun im Grundrisse etwas exzentrische Angriffslinie des Winddrucks bringt dann ein statisches Moment hervor, das die Geschoßachse in die Richtung der Flugbahn dreht. — Natürlich soll diese Betrachtung nur eine ungefähre Vorstellung geben; im einzelnen sind die pendelnden Bewegungen des Geschosses sehr verwickelt. Außerdem ist auch darauf zu achten, daß die Seitenablenkung nach der entgegengesetzten Seite hin erfolgt, wenn der Schwerpunkt S in Abb. 47 unterhalb von äß liegt. Bei den gewöhnlich verwendeten Geschoßformen scheint dies übrigens in der Regel der Fall zu sein.

Eng verwandt mit der Kreiselbewegung ist auch die Bewegung eines rollenden Rades. Die strenge Theorie dieser Bewegung ist freilich noch erheblich schwieriger, als wenigstens die Theorie des symmetrischen Kreisels, und zwar namentlich deshalb, weil das auf einen Umfangspunkt des Rades bezogene Trägheits-Ellipsoid ein dreiachsiges ist. Das hindert aber nicht, den Bewegungsvorgang wenigstens schätzungsweise mit Hilfe einfacher Betrachtungen so weit zu verfolgen, als es für eine erste Übersicht wünschenswert erscheint. Dabei soll sich das Rad nur unter dem Einflüsse seines Gewichtes bewegen und auf dem horizontalen Fußboden nur rollen und nicht gleiten.

Den Umfang des Radreifs denke ich mir etwas gewölbt, so daß das Rad — abgesehen von der elastischen Abplattung, die dabei entsteht — den Boden immer in einem Punkte berührt. Der Punkt, mit dem es im gegebenen Augenblicke auf dem Boden aufsitzt, möge als der Auflagerpunkt bezeichnet werden. Damit das Rad rollt, ohne zu gleiten, muß der Auflagerpunkt in augenblicklicher Ruhe sein, d. h. die Bewegung des Rades aus .einer Lage in die folgende kann immer nur in einer Drehung um eine durch den Auflagerpunkt gezogene Achse bestehen. Die Richtung dieser Achse kann beliebig sein. In Abb. 48, die das Rad in irgendeiner seiner Stellungen angibt, ist die Richtung der Drehachse und die Größe derWinkelgeschwindigkeit durch den Yektor u angegeben.

Ai

Nss

L-.-

't\

'V;

'f

Abb. 48.

Geschwindigkeiten kann man zerlegen wie Kräfte. Man tut hier am besten daran, u nach drei zueinander rechtwinkligen Richtungen zu zerlegen, die in Abb. 48 durch die Richtungsfaktoren ij! kenntlich gemacht sind. Die i-Richtung steht senkrecht zum Fußboden, die j-Richtung fällt mit der Horizontalspur der Radebene zusammen und die f-Richtung ist schon durch die beiden vorigen mit bestimmt.

Die augenblickliche Bewegung des Rades kann man sich stets aus einem Zusammenwirken von Drehungen um die genannten Hauptrichtungen bestehend denken. Es wird daher nützlich sein, wenn man zunächst nur die Drehungen um jede der drei Hauptrichtungen für sich betrachtet. Zunächst möge das Rad nur eine Drehung um die i-Achse besitzen. Der Auflagerpunkt bleibt dann dauernd an seiner Stelle und das Rad kann einfach als ein dreiachsiger Kreisel aufgefaßt werden, der eine Präzessionsbewegung ausführt. Auch eine reguläre Präzession ist unter diesen Umständen möglich, und zwar so, daß jedem Neigungswinkel der Radebene gegen den Fußboden eine ganz bestimmte Winkelgeschwindigkeit um die t-Achse entspricht, die zu einer regulären Präzession führt. Ich erinnere nur an das bekannte Experiment, bei dem man einen Taler auf einem Tische in dieser Weise rotieren läßt. Wenn die Winkelgeschwindigkeit abnimmt, neigt sich der Taler immer mehr. Auch rechnerisch läßt sich der Zusammenhang zwischen Neigungswinkel und Winkelgeschwindigkeit um die i-Achse leicht verfolgen; ich sehe aber hier davon ab.

Drehungen um die j-Achse sind als Pendelbewegungen aufzufassen; volle Pendelschwingungen können hier freilich nicht zustande kommen, die Bewegung endet vielmehr mit dem Umfallen des Rades auf den Fußboden. Überdies ist auch zu beachten, daß schon vor dem vollständigen Umfallen ein Gleiten des Rades auf dem Boden zu erwarten ist. Auch darüber kann man sich ohne Schwierigkeit Rechenschaft geben; am einfachsten wendet man dazu das d’Alembert sehe Prinzip an. Man betrachtet" das fallende Rad in irgendeiner seiner Stellungen, führt die Trägheitskräfte ein und ermittelt nach der Lehre vom Gleichgewichte eines starren Körpers den im Auflagerpunkte übertragenen Druck. Solange die Richtung des Auflagerdrucks noch innerhalb des Reibungskegels liegt, tritt kein Abgleiten ein; die Bewegung setzt sich vielmehr einstweilen noch so wie eine Pendelschwingung fort. Gegen das Ende der Bewegung hin wird man aber die Bedingung nicht mehr erfüllt finden und dann gleitet der Auflagerpunkt über den Fußboden.

Die beiden bis jetzt betrachteten Drehungen führen überhaupt nicht zu einem Rollen des Rades; dieses wird nur durch die Drehung um die f-Achse bewirkt. Freilich kann von einer dauernden Drehung um eine festliegende f-Achse hier nicht die Rede sein; die Drehung führt sofort zu einem Wechsel des Auflagerpunktes und die f-Achse kann daher nur als Momentanachse in Betracht kommen. Wir können uns aber eine Bewegung vorstellen, bei der in jeder neuen Lage des Rades die nach der gegebenen Vorschrift stets von neuem konstruierte Richtung der f-Achse die augenblickliche Drehungsachse angibt. Eine solche Bewegung mag als eine rein rollende bezeichnet wer den; im Gegensätze zu ihr kann die Drehung um die i-Achse als eine Wendung und die Drehung um die j-Achse als eine Fallbewegung des Rades bezeichnet werden, wobei im letzten Falle nicht ausgeschlossen ist, daß sie im gegebenen Augenblicke auch nach oben hin erfolgt.

Im allgemeinen Falle bestehen alle drei Bewegungskomponenten zugleich und sie beeinflussen sich gegenseitig. Ein besonderes Interesse kann aber die rein rollende Bewegung, die sich leicht theoretisch behandeln läßt, immerhin beanspruchen. Um sie zu untersuchen, denke man sich eine Senkrechte zur Radebene vom Radmittelpunkte aus gezogen. Sie trifft den Fußboden auf der !-Achse. Vom Schnittpunkte aus als Spitze denke man sich einen Kegel konstruiert, dessen Grundlinie der Radumfang ist und der mit dem Rade fest verbunden sein mag. Dann muß die Kegelspitze während der rollenden Bewegung des Rades dauernd in Ruhe bleiben, da sie in jedem Augenblicke auf der f-Achse, also auf der Momentanachse enthalten ist. Wir können daher die Bewegung geradezu durch das Rollen des Kegels auf der Bodenfläche beschreiben, d. h. der Kegel bildet in Anlehnung an die früher eingeführten Bezeichnungen den Polodiekegel für die Bewegung um die als festen Punkt anzusehende Kegelspitze. Der Herpolodiekegel ist hier in eine ebene Fläche, nämlich in die Oberfläche des Bodens ausgeartet.

Von äußeren Kräften wirken auf das Rad das Gewicht und der Auflagerdruck. Die senkrechte Komponente des Auflagerdrucks muß dem Gewichte gleich sein, da der Schwerpunkt des Rades Geschwindigkeitskomponenten in senkrechter Richtung weder besitzt noch erlangt. Daneben muß freilich zugleich eine Horizontalkomponente des Auflagerdrucks auftreten, die die Zentripetalkraft für die vom Schwerpunkte ausgeführte kreisförmige Bewegung abgibt. Die Horizontalkomponente geht hiernach in jedem Augenblicke durch die Kegelspitze, und wenn wir den Flächensatz für die Kegelspitze als Momentenpunkt anwenden, ist ihr Moment stets gleich Null.

Man sieht jetzt leicht, wie die Rechnung durchzuführen ist. Wenn das Rad im Anfangszustande gegeben ist, kennt man sofort die Kegelspitze, die von ihm bei der rein rollenden Bewegung umkreist wird. Man konstruiere nun das Trägheits-Ellipsoid für die Kegelspitze als festen Punkt. Mit dessen Hilfe findet man in schon oft benutzter Weise die Richtung des Dralls $3, bezogen auf den festen Punkt. Das Moment $ der äußeren Kräfte ist ebenfalls bekannt; es ist das statische Moment des aus dem Gewichte und der senkrechten Komponente des Auflagerdrucks bestehenden Kräftepaares. Beim Weiterrollen des Rades dreht sich mit ihm sowohl S3 als $, die stets rechtwinklig zueinander bleiben. Die Größe von £ ist nur von der Neigung der Radebene gegen den Fußboden, die absolute Größe von © aber zugleich von der Anfangsgeschwindigkeit abhängig. Wie aber diese Anfangsgeschwindigkeit sein muß, damit bei der gegebenen Neigung des Rades eine rein rollende Bewegung zustande kommen kann, folgt aus der Gleichung des Flächensatzes

= £.

Auf die wirkliche Durchführung der Rechnung, die nach dem angegebenen Plane leicht erfolgen kann, gehe ich nicht ein. Dagegen mache ich noch ausdrücklich darauf aufmerksam, daß die rein rollende Bewegung nur bei einer ganz bestimmten Beziehung zwischen der Schiefstellung des Rades gegen die Vertikale und der Geschwindigkeit der Rollbewegung möglich ist. Wenn das Rad im Anfangszustande eine rein rollende Bewegung hatte und die genannte Bedingung nicht erfüllt war, kann sie sich nicht in dieser Weise fortsetzen; es tritt vielmehr alsbald noch eine „Fallbewegung“ (nach unten oder auch nach oben hin) dazu. Dadurch wird die Neigung der Radebene gegen den Fußboden geändert, und zwar in solchem Sinne, daß eine Annäherung an jene Radstellung stattfindet, für die bei der gegebenen Fahrgeschwindigkeit die Bedingung des reinen Rollens erfüllt ist.

Schließlich möge noch bemerkt werden, daß man zu einer allgemeineren Theorie der Radbewegung dadurch gelangen kann, daß man zwar immer noch die „Wendebewegung“ um die i-Achse ausschließt, dagegen das Auftreten von Drehungen um die j- und die f-Achse zugleich zuläßt. Diese würde sich dem allgemeinen Verhalten des Rades beim Rollen ziemlich genau anschließen, da die als Wendebewegung bezeichnete Drehung um die i-Achse auf eine „bohrende Reibung“ stößt und daher, wenn sie nicht schon anfänglich mit hinreichender Winkelgeschwindigkeit gegeben, also absichtlich herbeigeführt war, späterhin schnell erlischt und auch nicht von selbst wieder entstehen kann.

Sehr eng verwandt mit der vorigen ist auch die Bewegung einer Kugel auf einer rauhen horizontalen Ebene (Billardball) bei beliebigen Anfangsbedingungen. Man hat diese Bewegung schon sehr ausführlich behandelt; sie ist aber praktisch von nur geringer Wichtigkeit und eigentlich nur für den Billardspieler, der zu einem theoretischen Verständnis der empirisch erworbenen Kunstfertigkeit gelangen möchte, von einigem Interesse. Die Bemerkung mag daher genügen, daß sich die Bewegung der rein rollenden Kugel (abgesehen von der rollenden Reibung) auf der rauhen Ebene genau so fortsetzt, als wenn die Ebene absolut glatt wäre. Wenn die Kugel durch einen Stoß in Bewegung gesetzt wird, tritt aber im allgemeinen (und namentlich wenn der Stoß ziemlich tief erfolgt) zugleich ein Gleiten ein, so lange bis durch die dabei auftretende gleitende Reibung der Bewegungszustand so weit abgeändert ist, daß die Kugel nachher nur noch rollt. So lange das Gleiten anhält, beschreibt der Schwerpunkt der Kugel im allgemeinen eine gekrümmte Bahn (unter gewissen Umständen eine Parabel), an die sich nach Aufhören des Gleitens eine gerade Bahn schließt.

§ 40. Ebene Bewegungen des starren Körpers.

Bisher war in diesem Abschnitte nur von der Bewegung eines starren Körpers im dreifach ausgedehnten Raum die Rede. Davon wird die ebene Bewegung, bei der alle Punkte Bahnen beschreiben, die zu einer gegebenen Ebene parallel sind, zwar schon als Sonderfall mit umfaßt. Dieser Sonderfall verdient aber doch auch noch eine besondere Besprechung, zunächst weil er sehr häufig vorkommt und dann weil sich die allgemeinen Betrachtungen bei ihm sehr vereinfachen und erleichtern lassen.

Diese Vereinfachung tritt namentlich dann ein, wenn der Körper entweder eine Symmetrieebene oder wenigstens eine zum

Trägheits-Ellipsoid für den Schwerpunkt gehörige Hauptträgheitsebene hat, die zur Bewegungsebene parallel ist. Die Rotationsbewegung des Körpers erfolgt dann um eine freie Achse und der zugehörige Drall fällt in dieselbe Richtung. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drall brauchen dann nicht mehr durch Vektoren dargestellt zu werden, sondern es genügt dazu schon eine mit einem Vorzeichen versehene Zahlenangabe. Ebenso kommt von den Trägheitsmomenten des Körpers nur das eine in Betracht, das sich auf die senkrecht zur Bewegungsebene stehende Achse bezieht. Kräfte, die in der Symmetrieebene oder in der an ihre Stelle tretenden Hauptträgheitsebene angreifen, lassen sich auf eine am Schwerpunkt angreifende Resultierende und ein Kräftepaar zurückführen, die in dieser Ebene liegen, und beide können nur den Erfolg haben, daß sich die Bewegung weiter als eine ebene fortsetzt, wenn sie als solche begonnen hatte.

Es genügt daher, wenn man sich zur Untersuchung der ebenen Bewegung den starren Körper durch eine starre Scheibe ersetzt denkt. Aber auch dieses Bild läßt sich noch weiter vereinfachen, indem man etwa dafür zwei starr miteinander verbundene materielle Punkte setzt, deren Massen und Lagen passend gewählt sind.

Zunächst ist die aufgestellte Behauptung zu beweisen. Dazu dient die Bemerkung, daß sich die Bewegung eines Körpers unter dem Einflüsse gegebener Kräfte vollständig auf Grund des Satzes von der Bewegung des Schwerpunkts in Verbindung mit dem Flächensatze Voraussagen läßt. In den Gleichungen, die diese Sätze zum Ausdruck bringen, kommt es aber auf die besondere Gestalt und Massenverteilung überhaupt nicht an, sondern nur auf die gesamte Masse, die Lage des Schwerpunkts und auf die Gestalt des Trägheits-Ellipsoids. Körper, die in diesen übereinstimmen, müssen daher bei gleichem Kraftangriff auch übereinstimmende Bewegungen ausführen. Bei der ebenen Bewegung kommt es überdies, wie wir schon sahen, nur auf das Trägheitsmoment für die zur Bewegungsebene senkrechte Achse an. Es steht uns daher frei, eine beliebig gegebene Massenverteilung durch eine andere von einfacherer Art zu ersetzen, die mit der gegebenen nur in den vorher bezeichneten Stücken übereinzustimmen braucht. Wenn dann an dieser äußere Kräfte in solcher Größe und Verteilung angebracht werden, daß die am Schwerpunkt angreifende Resultierende und das zugehörige Kräftepaar mit den am ursprünglich gegebenen Körper wirkenden übereinstimmen, müssen beide Massensysteme übereinstimmende Bewegungen ausführen.

w.*

Abb. 49.

Den gestellten Forderungen vermag man aber schon durch zwei materielle Punkte zu genügen, von denen der eine überdies noch in beliebiger Lage in der Scheibenebene angenommen werden kann, nur mit der Ausnahme, daß er nicht auf den Schwerpunkt fallen darf. Wählt man nämlich in Abb. 49, die einen Umriß der Scheibe angibt, den materiellen Punkt m₁ beliebig aus, so muß der andere auf der durch den Schwerpunkt S gezogenen Geraden zunächst so gewählt werden, daß der Schwerpunkt der Massen m₁ und m₂ mit S zusammenfällt. Zwischen den Abständen ax und a₂ (vgl. Abb. 49) und den Massen muß daher die Bedingung erfüllt sein

m₁a₁ = m₂a₂

und außerdem, damit die Gesamtmasse in beiden Fällen dieselbe ist,

m₁ + m₂ = M,

wenn M die Scheibenmasse bedeutet. Bezeichnen wir ferner den Trägheitshalbmesser der Scheibe (bezogen auf die durch S senkrecht zur Scheibenebene gezogene Achse) mit i, so muß? damit die Trägheitsmomente übereinstimmen,

Mi~ = mxa\ + m₂a\

sein. Die drei Gleichungen lassen sich nach den Unbekannten ml, m₂ und a₂ (da ax beliebig gewählt war) sofort auflösen und man erhält

Mi* al + i*

m₂ -

Mal «! + G‘

(171)

Das einfachste Beispiel für die Anwendung des besprochenen Verfahrens bildet das physische Pendel, das schon in § 18 als Beispiel für die Anwendung des Prinzips von d’Alembert besprochen worden ist. Denkt man sich in Abb. 29, S. 141 eine Massenreduktion in der Art vorgenommen, daß die Masse m1 mit dem Auf hängepunkt 0 zusammenf ällt, während die Masse m2 und ihr Abstand vom Schwerpunkt nach den Gleichungen (171) zu bestimmen sind, so bilden die beiden starr miteinander verbundenen Massen ein System, das dieselbe Bewegung ausführen muß, wie das physische Pendel selbst, wenn man die entsprechenden Kräfte daran wirken läßt. Von dem Eigengewicht wird dies erreicht, wenn man annimmt, daß auch den ml und m₂ Gewichte zukommen, die diesen Massen entsprechen. Aber auch der Auflagerdruck muß unter diesen Umständen in beiden Fällen gleich groß und gleich gerichtet sein. Ist er es nämlich, so führen beide Systeme übereinstimmende Bewegungen aus und der mit 0 zusammenfallende Systempunkt bleibt in beiden Fällen in Ruhe. Wollte man dagegen annehmen, daß der an m₁ als äußere Kraft angreifende Auflagerdruck in dem System der Massen m1 und m₂ von dem vorigen verschieden wäre, so müßte dieses System auch eine andere Bewegung ausführen, und zwar so, daß sich dabei der Angriffspunkt ml der abgeänderten Kraft anders bewegte als zuvor, d. h. nicht in Ruhe bliebe. Wenn wir also festsetzen, daß auch in dem Systeme m₂ der mit 0 zusammenfallende materielle Punkt mx festgehalten sein soll, so ist dadurch schon mit bestimmt, daß auch die Auflagerkraft in diesem Systeme ebenso groß ausfallen muß, wie vorher bei dem physischen Pendel.

Man erkennt nun sofort, welchen Vorteil diese Art der Massenreduktion gewährt. Das Gewicht von m₁ wird unmittelbar vom Auflager aufgenommen und kommt nur darin zur Geltung, daß der Auflagerdruck dadurch mit bestimmt wird. Das System der m₁ und m₂ muß sich daher genau so wie ein einfaches Fadenpendel mit der Masse m₂ im Abstande ax -f- a2 vom Aufhängepunkt bewegen, d. h. die reduzierte Pendellänge des physischen Pendels ist

P i2 ! s2 4ed = «₁ + «2=S -p — =-s-

Das stimmt mit Gl. (97), S. 144 überein, wenn man nur beachtet daß dort der Trägheitshalbmesser i auf die Aufhängeachse, hier aber auf die Schwerpunktsachse des Körpers bezogen wurde, und daß zwischen beiden die schon aus den Untersuchungen des 3. Bandes bekannte einfache Beziehung besteht.

Diese Massenreduktion und ihre Anwendung auf das physische Pendel rührt schon von Poinsot her. Später haben sie H. Lorenz und Skutsch von neuem wieder aufgegriffen. Auf ein Beispiel, das Herr Skutsch dazu in seiner Abhandlung (Sitzungsberichte d. Berliner math. Ges. v. 26. April 1905) gegeben hat, möge hier noch mit wenigen Worten eingegangen werden. Die Aufgabe lautet: „Zwei inderseiben Ebene bewegte Scheiben werden plötzlich fest miteinander verbunden; man soll die Bewegung nach der Koppelung ermitteln.“

Man löst die Aufgabe, indem man jede Scheibe durch zwei Massenpunkte derart ersetzt, daß beide Punktpaare in dem Augenblicke, in dem die Verbindung der Scheiben erfolgt, miteinander zusammenfallen. Zu diesem Zwecke zieht man die Verbindungslinie beider Schwerpunkte. Auf ihren Verlängerungen nach beiden Seiten hin kann man dann leicht zwei Punkte ermitteln, deren Abstände alt a₂ und bx, b₂ von den Schwerpunkten den Bedingungen a₁a₂ = und btb₂ = i\ entsprechen, wenn i1? i₂ die Trägheitshalbmesser der Scheiben sind. Nach diesen Punkten lassen sich dann entsprechend den Gleichungen (171) die Massen beider Scheiben verteilen und ebenso auch die gesamte Masse nach erfolgter Koppelung. Bei der Koppelung entsteht ein Stoß, durch den aber weder die Bewegungsgröße noch der Drall des ganzen Systems geändert werden können, da keine äußeren Kräfte mitwirken. Diese Bedingungen genügen, um daraus sofort die Geschwindigkeiten beider Reduktionspunkte zu berechnen, was aber jetzt nicht weiter ausgeführt werden soll.

In manchen Fällen sieht man sich genötigt, einen starren Körper durch mehr als zwei materielle Punkte zu ersetzen. Besonders trifft dies bei der Pleuelstange eines Kurbelmechanismus zu. Als Produktionspunkte sind hier von vornherein diebeiden Stangenenden vorgeschrieben, deren Abstände a^a₂ vom Schwerpunkte mit der ersten der Gl. (171) im allgemeinen nicht übereinstimmen. Man braucht dann noch eine dritte Masse m₃, die man im Schwerpunkte der Stange annimmt, um allen Bedingungen zu genügen.

Vierter Abschnitt.

Schwingungen elastischer Körper.

§ 41. Biegungsschwingungen von Stäben mit gleichförmig verteilter Masse.

Von den Schwingungen elastischer Körper hat besonders das Problem der schwingenden Saiten, also etwa der Violin-saiten, eine wichtige Rolle in der Physik gespielt. F ourier hat es zuerst gelöst und daran hat sich zugleich einer der wichtigsten Fortschritte der Mathematik, nämlich die Entwicklung einer beliebig gegebenen Funktion in eine F ourier sehe Reihe geknüpft. Für die Technik ist dieses Problem jedoch nur von geringer Bedeutung. Ich werde deshalb hier nicht darauf eingehen, sondern an Stelle davon das Problem des schwingenden Stabs behandeln, das mit jenem sehr verwandt, dabei aber von größerem Interesse für den Techniker ist, weil es Aufschluß über die Schwingungen gibt, die z. B. ein Brückenbalken oder überhaupt ein belasteter Träger auszuführen vermag.

Darum, wie die Schwingungen des Trägers, die wir untersuchen wollen, ursprünglich angeregt wurden, werde ich mich hier nicht kümmern; wir fragen nur danach, wie sie sich, nachdem sie einmal bestanden haben, weiterhin fortsetzen. Gegenüber dem Probleme der schwingenden Saiten besteht der Unterschied, daß bei den Saiten der Biegungswiderstand vernachlässigt werden kann, so daß nur die Längsspannungen in Frage kommen, während bei den Stäben der Biegungswiderstand die ausschlaggebende Rolle spielt, von dem Hinzutreten einer Längszugspannung dagegen abgesehen werden kann.

Unter der Last, die dem Träger aufgebürdet ist, und die die Schwingungen mit ihm zusammen ausführt, erfährt der Träger

schon im Ruhezustände eine geringe elastische Durchbiegung, die als Funktion der Querschnittsabszisse aus der Gleichung der elastischen Linie nach bekannten Entwicklungen der Festigkeitslehre berechnet werden kann. Diese „statische“ Durchbiegung ys kümmert uns hier wenig. Wenn der Träger schwingt, wird die gesamte Durchbiegung in einem bestimmten Augenblicke von ys im allgemeinen verschieden sein. Der Unterschied möge mit y und die totale Durchbiegung mit yd oder als „dynamische“ Durchbiegung bezeichnet werden. Man hat also

yd = y» + y-

und in Abb. 50 ist dieser Zusammenhang noch näher nachgewiesen. Die eine Linie soll die elastische Linie für den Ruhezustand, die andere die Mittellinie des Stabs in irgendeinem Augenblicke während der Schwingung andeuten.

Um die Aufgabe nach den Methoden der Festigkeitslehre behandeln zu können, machen . wir von dem d’Alembert- i*—— sehen Prinzip Gebrauch. Wir können voraussetzen, daß im wesentlichen nur Verschiebungen senkrecht zur Stabachse in Frage kommen und wollen uns auch von vornherein nur auf Verschiebungen in der Vertikalebene beschränken. Indessen lassen sich die erlangten Resultate auch auf Horizontalschwingungen ohne weiteres übertragen. Dann ist die Beschleunigung im gegebenen Augenblicke für die im Abstande x vom linken Auflager liegenden Massenteilchen ebenfalls nach abwärts (oder bei negativem Vorzeichen nach aufwärts) gerichtet und gleich

d*y

.r

■£>

~É .y

Abb. 50.

dt-

zu setzen. Wenn die auf die Längeneinheit kommende Masse der Belastung (samt Eigengewicht des Stabs) mit a bezeichnet wird, erhalten wir für die Trägheitskraft, die wir an dem Längenelement dx anbringen müssen, um die Aufgabe auf ein Gleichgewichtsproblem zurückzuführen,

Pöppl, Dynamik. 4. Aufl.

17

— (.idx

Vy .

Es möge noch bemerkt werden, daß man in diesem Ausdrucke y auch durch yd ersetzen könnte, da ys der Zeit nach konstant ist. Es ist aber bequemer, sofort überall mit y zu rechnen.

Die Trägheitskräfte, als Lasten an dem Stabe angebracht, führen am ruhenden Stabe im Vereine mit den wirklich vor

handenen Lasten zu der elastischen Durchsenkung yd. Anstatt dessen können wir auch sagen, daß die Trägheitskräfte für sich genommen, als Lasten am ruhenden Stabe eine elastische Linie hervorrufen würden, deren Ordinaten y wären. Natürlich ist dabei vorausgesetzt, daß das Material des Stabes dem Hookeschen Gesetze gehorcht, daß also die Proportionalitätsgrenze im Verlaufe der Schwingung niemals überschritten wird. Dann setzen sich aber in der Tat, wie aus den Untersuchungen der Festigkeitslehre bekannt ist, die von zusammengesetzten Lastensystemen erzeugten Durchbiegungen durch algebraische Summierung aus jenen zusammen, die den einzelnen Lasten für sich entsprechen.

Die Gleichung der elastischen Linie für die Durchbiegungen

y lautet

d*y dx*

Das Biegungsmoment M ist aber hier nicht unmittelbar gegeben y wir haben nur einen Ausdruck für die Belastung irgendeines Stabelements dx. Wir befinden uns also genau in derselben Lage wie bei den in der „Festigkeitslehre“ untersuchten Stäben auf nachgiebiger Unterlage; wir müssen daher auch genau so verfahren wie dort. Wir differentiieren also die Gleichung der elastischen Linie zweimal nach x und erhalten

d*M _

dx⁴    dx²    dx

Für das Differential cV der Scherkraft, das zum Differential dx der Abszisse gehört, haben wir

E&

d⁴y

— M.

dV

d²y

cV — -j- y dx -rÿç

~>LW

denn die Trägheitskräfte sind nach aufwärts gekehrte Lasten, wenn sie negativ sind, und sie führen in diesem Falle zu einer Vergrößerung der Scherkraft, die nach oben hin positiv gerechnet wird. Die vorhergehende Gleichung geht hiermit über in

d*y

(172)

Das ist die gesuchte Schwingungsgleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung, in deren allgemeine Lösung daher willkürliche Funktionen eintreten müssen. Die Schwingungen des Stabes können daher von sehr mannigfaltiger Art sein. Das kann auch nicht überraschen, wenn wir bedenken, daß die Gestalt des Stabes zu Anfang ganz willkürlich gegeben sein kann, und daß auch die anfänglichen Geschwindigkeiten ganz beliebige stetige Funktionen der Querschnittsabszisse x sein können. Jedem anderen Anfangszustande müssen aber in der Folge auch andere Schwingungen entsprechen.

Unter diesen Umständen sucht man zunächst partikuläre Lösungen der Gleichung von möglichst einfacher Form. Man gelangt dadurch zur Kenntnis besonderer möglicher Schwingungen und aus einer Kombination der einzeln als möglich erkannten Schwingungen sucht man die allgemeine Lösung oder die zu gegebenen Anfangsbedingungen gehörige Lösung zusammenzusetzen. Das Zusammensetzen der einzelnen Lösungen wird mathematisch gesprochen dadurch ermöglicht, daß die Differentialgleichung linear ist, oder physikalisch gesprochen dadurch, daß sich die Schwingungen zu superponieren vermögen, so daß eine die andere nicht stört.

Die einfachste Lösung von Gl. (172) ist von der Form

(173)

y = A sin ax sin ßt.

Von den hierbei vorkommenden Konstanten ist indessen nur A willkürlich; es gibt den größten Ausschlag an, der an irgendeiner Stelle und zu irgendeiner Zeit vorkommt. Zwischen den anderen Konstanten a und ß muß zunächst eine Bedingungsgleichung erfüllt sein, damit Gl. (173) wirklich eine Lösung von Gl. (172) darstelle. Setzt man nämlich den für y vorgeschlagenen

17

Wert in Gl. (172) ein, so geht sie nach Wegheben gleicher Faktoren auf beiden Seiten über in

(174)

E&U⁴ = [iß².

Außerdem muß u auch so gewählt werden, daß die Grenzbedingungen an den Enden erfüllt werden. Für x = 0 ist y nach Gl. (173) schon von selbst gleich Null; außerdem muß aber y auch für x = l zu jeder Zeit gleich Null bleiben. Hiernach muß der Winkel ul entweder gleich tc oder 2jr oder überhaupt gleich irgendeinem ganzen Vielfachen von tc sein. Je nachdem man sich für die eine oder die andere Annahme entscheidet, erhält man verschiedene Schwingungsbewegungen des

Stabes. Jene, die zum Werte a = y gehört, wird die Grund-

dann nach Gl. (174)

Schwingung des Stabes genannt. Es ist jene, die dem tiefsten Tone der von dem schwingenden Stabe ausgesendeten Schallwellen entspricht. Für ß hat man

>-W"

und Gl. (173) nimmt für die Grundschwingung die bestimmtere Form an

(175)

Während der Dauer einer vollen Schwingung wächst der Winkel ßt um 2tc an; für die Schwingungsdauer T hat man daher

(176)

2 7t 2l--i / fi

⁼ ' % V E& '

Wählt man u gleich einem Vielfachen von-^-, so treten nach

Gl. (173) Schwingungsknoten auf, d. h. es gibt Punkte, die die ganze Stablänge in gleiche Abschnitte einteilen und die während der Schwingungsbewegung fortwährend in Ruhe bleiben. Die dazwischen liegenden Abschnitte deformieren sich, so wie im vorigen Falle der ganze Stab, nach dem Gesetze einer Sinuskurve: sie bilden die zwischen den Knoten liegenden „Schwingungsbäuche“. Setzt man z. B. u = 2 so hat man einen Schwin-güngsknoten in der Mitte, denn für x = - ■ wird ax rL\x tc und

der Sinus zu Null. Die Stabmittellinie zerfällt beim Schwingen in zwei Schwingungsbäuche. Wenn cc auf das Doppelte wächst, steigt ß nach Gl. (174) auf das Vierfache. Die Schwingungsdauer beträgt daher bei dieser Schwingung nur den vierten Teil von der Schwingungsdauer der Grundschwingung. Je mehr Bäuche der Stab bei den einfachen Sinusschwingungen bildet, desto kleiner ist die Schwingungsdauer und um so höher ist daher der Ton der von dem Stabe ausgesendeten Schallwellen. Man nennt diese Töne die „Obertöne“ des schwingenden Stabs im Gegensätze zu dem von der Grundschwingung ausgehenden „Grundtone“.

In je mehr Abschnitte die ganze Stablänge durch die Schwingungsknoten zerlegt ist, um so kleinere Schwingungsamplituden A sind noch mit einem gewissen Krümmungsradius von gegebener Größe oder auch mit einer gegebenen Formänderungsarbeit des Stabes verträglich. Die Grundschwingung vermag daher schon zu großen Ausschlägen zu führen, ohne daß etwa die Proportionalitätsgrenze schon bald erreicht wäre, oder ohne daß eine besonders große Arbeit äußerer Kräfte zur Herstellung der Schwingungen und der dazu gehörigen Formänderungen aufgewendet werden müßte. Je höher dagegen die Schwingungszahlen der Oberschwingungen liegen, um so kleiner müssen notwendig die Schwingungen schon deshalb bleiben, weil sonst die Proportionalitätsgrenze überschritten und damit die Schwingungen sofort gedämpft würden und zugleich auch weil eine viel größere Arbeit zu ihrer Erregung bei gleicher Amplitude aufgewendet werden müßte. Außerdem werden die Schwingungen auch an sich schon um so stärker gedämpft, je schneller sie erfolgen, da der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit wächst. Von der Schwingungsamplitude hängt aber die Schallstärke der von dem schwingenden Stab auf die Luft übergehenden Schallwellen ab und man erkennt daher, daß sich der Grundton bei beliebiger Erregung der Schwingungen im allgemeinen am stärksten bemerkbar machen wird und jeder Oberton um so weniger, je höher er liegt.

§ 42. Allgemeinere Lösung der Scłiwingungsgleicłiung. Für den auf zwei Stützen ruhenden Stab genügt die vorhergehende Betrachtung; dagegen versagt sie bereits bei der Untersuchung der Biegungsschwingungen eines Stabs, der an

einem Ende eingeklemmt ist, während das andere frei ist, also z. B. eines Kragträgers oder eines Pfeilers oder auch des Zinkens einer Stimmgabel. Um eine allgemeinere Lösung der Differential-zu erbalten, setzen wir daher jetzt y = z sin ß t,

gleichung (172)

(177)

worin z eine Funktion von x allein bedeutet. Setzen wir diesen Wert in die Differentialgleichung ein, so gebt sie nach Wegheben des gemeinschaftlichen Faktors sin/3£ über in

(178)

^

und die Schwingungsgleichung ist daher in der Tat erfüllt, wenn man z so bestimmt, daß Gl. (178) befriedigt wird. Diese Gleichung ist aber eine gewöhnliche Differentialgleichung, deren allgemeine Lösung sofort angegeben werden kann. Bezeichnet man nämlich mit a denselben Wert wie im vorigen Paragraphen, nämlich in Übereinstimmung mit Gl. (174)

a~Vm

so lautet die allgemeine Lösung von Gl. (178)

(179)

z = Cx sin ax -j- C₂ cos ax -j- Cseax + Càe~a:c,

wovon man sich durch Einsetzen in Gl. (178) leicht überzeugt. Die C sind die vier willkürlichen Integrationskonstanten, die in der allgemeinen Lösung Vorkommen müssen. Setzt man die drei letzten gleich Null und beschränkt sich auf das mit Cx behaftete Glied, so gelangt man wieder auf die im vorigen Paragraphen betrachtete, weniger allgemeine Lösung zurück. Im allgemeineren Falle sind aber alle vier beizubehalten und den vorgeschriebenen Grenzbedingungen gemäß zu ermitteln. Soll insbesondere für x = 0 jederzeit auch y = 0 werden, so folgt zunächst

üj + 63 -j- 64 = 0.

Wenn der Stab an dieser Stelle überdies eingespannt sein soll,

dz

wie wir es jetzt voraussetzen, muß für x = 0 auch ^ = 0 werden, woraus

folgt. Die weitere Berechnung mag sich auf den eingangs genannten Fall beziehen, daß der Stab von der Lange l am anderen Ende frei ist, wie ein Kragträger oder ein Pfeiler. Dann muß für den Querschnitt x = l sowohl das Biegungsmoment M, als die Scherkraft V jederzeit gleich Null sein. Dazu gehört, daß

d³z

verschwinden. Wir haben also die weiteren

dx³

dort und Bedingungsgleichungen

— sin al — C₂ cos al + C₃eal -j- C±e~al = 0 — G\ cos al + C₂ sin al -f Czeal — C±e~ttl = 0.

Wollte man aber die vier Bedingungsgleichungen dazu benutzen, um bei beliebig angenommenen a (oder ß) die C daraus zu berechnen, so würde man sie alle vier gleich Null finden. Damit überhaupt eine Schwingung von der besprochenen Art möglich ist, müssen wir daher eine der Konstanten C beliebig annehmen, dann die drei anderen aus drei der Bedingungsgleichungen ermitteln und hierauf die vierte Bedingungsgleichung dazu verwenden, um daraus a zu berechnen. Mit a ist dann auch ß und hiermit die Schwingungsdauer bekannt. Drückt man aus den ersten beiden Gleichungen Ct und C₂ in C₃ und C± aus und setzt dies in die beiden letzten ein, die sich hierauf

C

beide nach dem Verhältnis auflösen lassen, so erhält man durch Gleichsetzen der beiden Werte, zu denen man hierdurch gelangt, eine Gleichung für a, die sich nach Ausrechnung vereinfacht zu

cos al •

(180)

ecci e~al

wofür man auch unter Benutzung der hyperbolischen Funktionen kürzer

(181)

cos al • cosh al = — 1 schreiben kann. Die Gleichung hat unendlich viele reelle positive Wurzeln, die sich genau genug angeben lassen. Am wichtigsten ist die kleinste unter ihnen. Man erkennt sofort, daß für sie der Winkel al ein stumpfer sein muß. Schreibt man daher

so läßt sich Gleichung (181) auch in der etwas bequemeren Form sin (px cosh + cp^ = 1

schreiben und durch Vergleichen einer Sinustafel mit einer Tafel der hyperbolischen Funktionen läßt sich gq ziemlich schnell durch Probieren ermitteln. Nimmt man gq = 18° oder in Bogenmaß (p₁ = 0,3142, so erhält man

2 + cp, = 1,8850; lg sin 18° = 9,4900; lg cosh 1,8850 = 0,5275 lg sin 18° -f lg cosh 1,8850 = 0,0175,

während Null herauskommen sollte. Der Winkel cpl muß daher ein wenig kleiner sein, als 18°. Die Wiederholung der Rechnung für 17° 30' liefert für die Summe der beiden Logarithmen 0,0019. Hiernach kann gq genau genug gleich 17° 26' gesetzt werden oder in Bogenmaß gq = 0,304 und hiermit schließlich

al= 1,875.

Für ß folgt daraus nach Gl. (174)

0,3516

T iE®

V g

ß -VT

und hiermit wird die Schwingungsdauer der Grundschwingung gefunden zu

(182)

Die nächste Wurzel der Gl. (181) gehört zu einem Winkel im dritten Quadranten. Um diesen zu finden, setze man

3 7t

womit Gl. (l 81 ) übergeht in

sin g>₂ cosh {■— — g>₂

3 7t

Nun ist cosh — schon größer als 55, daher kann g>₂ nur ein kleiner

Winkel sein, dessen sin ungefähr ausmacfit, d. fi. ein Winkel von

ungefähr 1°, dessen genauerer Wert sich so wie vorher feststellen ließe. Ebenso läßt sich die dritte Wurzel der Gl. (181) in der Form

5 7t

darstellen und die folgenden entsprechend. Dabei sind aber cp₃ und mehr noch die späteren cp so klein, daß man sie ohne weiteres vernachlässigen kann. Man hat also genau genug

bit    Tn

⁼ Yl ’    — 27 Usi

Aus diesen Werten von a findet man wiederum die zugehörigen ß nach Gl. (174) und hieraus die Schwingungsdauern der betreffenden Oberschwingungen.

§ 43. Biegungsscłiwingungen von Schliffen.

Ein Schiff vermag als elastischer Körper mancherlei Schwingungen auszuführen. Von Wichtigkeit ist es, die Schwingungsdauern dieser Schwingungen ungefähr zu kennen, weil hei einer Resonanz mit einer schwingungserregenden Ursache leicht große Ausschläge entstehen, die sich sehr lästig bemerkbar machen können. Als schwingungserregende Ursache kommt dabei namentlich die Maschine, außerdem aber auch die Schiffsschraube in Betracht. Geringe Abweichungen in den Steigungsverhältnissen der einzelnen Schraubenflügel bewirken nämlich schon erhebliche Unterschiede des durch diese Flügel hervorgebrachten Schubs, und wenn der Flügel, der einen größeren Wasserwiderstand findet, nach oben hin liegt, hat auch die Resultierende der von der ganzen Schraube auf das Schiff übertragenen Kräfte eine höhere Lage als nach einer halben Umdrehung, nach der dieser stärker beanspruchte Flügel unten ist. Wenn die Umlaufzeit der Schraube mit der Dauer einer vollen Biegungs-Schwingung des Schiffes übereinstimmt, hat man eine Resonanz zu erwarten, die zu großen Schwingungsausschlägen führen kann. Experimentelle Untersuchungen, die Herr Schlick über die elastischen Schwingungen großer Dampfer angestellt hat, bestätigten diese Überlegung. Ein Schiffbau-Ingenieur hat daher alle Ursache, die mit elastischen Formänderungen verbundenen Schwingungen der Schiffskörper näher zu untersuchen.

Auf theoretischem Wege läßt sich freilich die Schwingungsdauer der Biegungsschwingungen, um die es sich hier zunächst handelt, nicht genau voraus berechnen. Einen ungefähren Anhaltspunkt erhält man aber doch, wenn man das Schiff als einen Stab betrachtet, dessen Massenverteilung der im belasteten Schiffe zu erwartenden angenähert entspricht und bei dem auch das Trägheitsmoment der Querschnitte, von dem der Biegungswiderstand abhängt, hinlänglich mit dem des Schiffes übereinstimmt.

Hier wird es genügen, wenn die Betrachtung unter der Voraussetzung durchgeführt wird, daß die Massenyerteilung der ganzen Länge des Stabes nach als gleichförmig, und daß auch das Trägheitsmoment des Stab quer Schnitts als konstant angenommen werden kann. Zum mindesten wird damit das Verfahren klar gelegt, nach dem man die Betrachtung auch für passend gewählte andere Annahmen durchzuführen vermag, die sich dem einzelnen Falle besser anschließen, dabei aber ebenfalls noch zu verhältnismäßig einfachen Rechnungen führen.

Wenn die Längsachse des Schiffes eine Verbiegung in der vertikalen Ebene erfährt, werden einzelne Teile etwas tiefer, andere etwas weniger in das Wasser eintauchen als vorher. Daher wird auch die Verteilung des Auftriebs ein wenig geändert werden. Da aber die Biegungspfeile jedenfalls nur sehr gering sein werden, wird diese Änderung sehr geringfügig aus-fallen, so daß man von ihr ganz absehen kann. Der Stab, den wir uns an die Stelle des Schiffskörpers gesetzt denken, wird sich bei der Schwingung dann so wie ein völlig freier Stab verhalten, an dem von außen her gar keine Kräfte angreifen.

Man sieht jetzt schon, daß die Lösung der gestellten Aufgabe unmittelbar aus den Entwicklungen des vorigen Paragraphen entnommen werden kann. Wir haben die Gleichungen (177) bis (179) ohne Änderung zu übernehmen und nur die Bedingungsgleichungen zwischen den Integrationskonstanten C den jetzt geltenden Grenzbedingungen gemäß aufzustellen.

In Abb. 51 sei die Gestalt der deformierten Stabmittellinie zur Zeit t dargestellt. Wegen der Symmetrie dieser Biegungslinie, die wir von vornherein voraussetzen dürfen, empfiehlt es sich, die Y-Achse mit der Symmetrieachse zusammenfallen zu lassen. Dann muß y und daher auch z eine grade Funktion von x sein. Daraus folgt C± = 0 und Cz = (7₄, womit sich Gl. (179) vereinfacht zu

(183)

z = C₂ cos a# -j- Cs (eax + e~ax)-

Da die Schwingung ohne Mitwirkung äußerer Kräfte erfolgt, muß der Schwerpunkt dabei in Ruhe bleiben und dazu gehört bei gleichförmiger Massen Verteilung, daß

I zdx = 0

Abb. 51.

wird. Führt man die Integration aus, so erhält man als Bedingungsgleichung zwischen den Integrationskonstanten C

C₂ sin ab -j- C₅ (eab — e~ab) = 0.

Die beiden Stabenden sind frei; für x = b muß daher das Biegungsmoment M und die Scherkraft V zu Null werden. Daraus folgt, wie schon im vorigen Paragraphen, daß an dieser

Stelle und

dsz

dx⁹

verschwinden müssen. Dadurch erhalten wir

die Gleichungen

— C₂ cos ab + C₃(eab -f e~ab) = ,

0₂ sin ab -f C₃ (eab — e~ab) = .

Die letzte Gleichung stimmt aber mit der vorher aus dem Schwerpunktsatze abgeleiteten Bedingungsgleichung überein, so daß nur zwei Gleichungen zu befriedigen sind, was auch von vornherein zu erwarten war.

Löst man beide Gleichungen nach dem Verhältnisse

auf und setzt die beiden Lösungen einander gleich, so gelangt man auf die Gleichung, aus der a zu berechnen ist, nämlich

ab    „ — ab

e — e

sin ab

e«b + e-ab cos ab

Auch hier gelangt man zu einer kürzeren Fassung durch die

Einführung der Hyperbel-Funktionen. Mit ihnen läßt sich die Gleichung schreiben

(184)

tg ab = — tgh ab.

Da tgha& stets ein positiver echter Bruch ist für ein positives ab, muß tgab negativ und daher ab jedenfalls größer

als

sein. Mit Hilfe einer Tabelle der Hyperbelfunktionen

findet man leicht, wie schon im vorigen Paragraphen die kleinste Wurzel der Gl. (184) durch Probieren, und zwar genau genug

ab = 2,365.

(185)

Von den übrigen Wurzeln ist jede folgende nahezu um it größer als die vorhergehende; die wichtigste Wurzel ist aber die kleinste, da sie zu den Grundschwingungen gehört, mit denen eine Resonanz am meisten zu fürchten ist. Berechnet man a aus Gl. (185) und hierauf ß nach Gl. (174), so erhält man für die Schwingungsdauer der Grund Schwingung

Setzt man noch b = ^l, so daß unter l die ganze Stablänge zu

verstehen ist, und bezeichnet man das Gewicht des Stabs mit Q, womit

wird, so geht die vorhergehende Gleichung über in

T= 0,281]/

(186)

Ql*

g E ©

Die kritische Umdrehungszahl der Maschine oder der Schiffsschraube, bei der eine Schwingungsresonanz zu erwarten ist, und zwar auf die Minute bezogen, wird hiermit

(187)

= 213]/^.

Von Wichtigkeit ist noch die Lage x = a (Abb. 51) des Schwingungsknotens, für den 2 zu Null wird. Mit dem Werte

ab aus Gl. (185) erhält man aus den Bedingungsgleichungen

G,

cos 2,365

C₂ 2 cosh 2,365

0,0664.

Für die Grundschwingungen schreibt sich daher Gl. (183) in der Form

z = C₂ (cos ax — 0,0664.2 cosh ax), so daß für die Abszisse des Schwingungsknotens die Gleichung cos aa = 0,1328 cosh aa

besteht. Die Auflösung durch Probieren liefert für die kleinste Wurzel, die allein in Betracht kommt,

aa = 1,305.

Vergleicht man hiermit Gl. (185), so folgt

(188)

a = 0,552 b,

womit die Aufgabe vollständig gelöst ist.

Schließlich mag noch bemerkt werden, daß die Lösung auch dann noch gültig bleibt, wenn g und 0 zwar nicht

mehr konstant sind, aber ihr Verhältnis ^unabhängig

von x ist. Reicht man damit nicht aus, so wird man für dieses Verhältnis eine sich dem tatsächlichen Verlaufe genau genug anschließende einfache Funktion von x annehmen, die so gewählt ist, daß sich Gl. (178) nachher auch noch leicht integrieren läßt. Durch Probieren wird man leicht einen passenden Ansatz ausfindig machen können. Die weitere Berechnung kann dann genau nach dem Muster der vorhergehenden durchgeführt werden.

§ 44. Torsionsschwingungen von langen Wellen.

Wir betrachten hier zuerst eine Welle, an deren Enden zwei Schwungräder aufgekeilt sind. Abh. 52 gibt davon eine Vorderansicht; die zur Unterstützung der Wellen dienenden Lager sind aus der Zeichnung weggelassen. Die Trägheitsmomente der beiden Schwungräder sind mit 0₁ und 0₂ bezeichnet.

Solange die Welle keine merkliche elastische Formänderung erfährt, kann man den ganzen in Abb. 52 gezeichneten Verband als starren Körper betrachten, der als solcher z. B. eine Drehbewegung um die Mittellinie der Welle als Drehachse ausführen kann. Wenn die Welle ziemlich lang ist, vermag sie aber ohne Überschreitung der Proportionalitätsgrenze des Materials einen merklichen Torsionswinkel verdreht zu werden und die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Schwungräder brauchen dann in einem gegebenen Augenblicke nicht mehr genau gleich

um

<9,

h-4-

Abb. 52.

zu sein. Der Unterschied der beiden Winkelgeschwindigkeiten ist vielmehr gleich der Geschwindigkeit, mit der sich der Torsionswinkel in diesem Augenblicke ändert. Erfährt nun der Torsionswinkel periodische Änderungen, so werden dadurch Drehschwingungen der beiden Schwungräder gegeneinander bedingt, die wir hier näher untersuchen wollen. Neben diesen durch die Elastizität der Welle ermöglichten Formänderungsschwingungen kann der ganze Verband zugleich noch eine gemeinschaftliche Bewegung, und zwar hier eine Umdrehung um die Wellenachse mit beliebiger Winkelgeschwindigkeit ausführen. Dieser Fall liegt sogar bei den im praktischen Maschinenbetriebe vorkommenden Erscheinungen, um deren Erklärung es sich hier vor allem handelt, stets vor. Die Formänderungsschwingungen entziehen sich dann, selbst wenn sie verhältnismäßig groß sind, vollständig der unmittelbaren Wahrnehmung, da sie durch die viel größeren Drehbewegungen, die der ganze Verband gemeinschaftlich ausführt, verdeckt werden. Sie sind daher lange Zeit auch unter Umständen, bei denen sie von großer Wichtigkeit waren, ganz unbemerkt und unbeachtet geblieben. Durch besondere Meßvorrichtungen können sie aber natürlich nachgewiesen werden. Es war ein erhebliches Verdienst des Hamburger Ingenieurs Frahm, daß er diese Schwingungen an den langen Wellen-

leitungen von Dampfschiffen einerseits durch Messungen festgestellt, andererseits die theoretische Erklärung dafür gegeben und die Gefahren aufgedeckt hat, die durch diese Schwingungen für die Sicherheit der Wellen beim Auftreten von Resonanzen hervorgerufen werden.

Die Winkelgeschwindigkeit der gemeinschaftlichen Bewegung des ganzen Verbandes braucht übrigens auch nicht konstant zu sein. Wenn an einer Stelle der Welle ein periodisch wechselndes Drehmoment auftritt, das von der Antriebsmaschine her-riihrt, während an einer anderen Stelle die zugeführte Arbeit wieder nach außen abgegeben wird, erfährt vielmehr die Winkelgeschwindigkeit der gemeinschaftlichen Bewegung abwechselnd Verzögerungen und Beschleunigungen. Der ganze Bewegungsvorgang kann dann in drei Bestandteile zerlegt werden: in die Drehbewegung mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit, die gleich der durchschnittlichen Geschwindigkeit ist, in die Schwingungen, die das ganze System, als starrer Körper betrachtet, um diesen mittleren Bewegungszustand herum ausführt und endlich in die Formänderungsschwingungen, die zu den anderen noch hinzukommen. Ist der letzte Anteil so klein, daß er vernachlässigt werden kann, so hängt die Gleichförmigkeit des Ganges der Maschine nur von dem Verhältnisse ab, in dem der zweite Anteil zu dem ersten steht. Anders wird es aber, wenn die Formänderungsschwingungen der Größe nach vergleichbar mit den gemeinschaftlichen Schwingungen des ganzen Verbandes sind. Dann kann von einem Ungleichförmigkeitsgrade der Maschine nur mit einer näheren Angabe der einzelnen Stelle der Welle gesprochen werden, auf die er sich beziehen soll, da verschiedenen Stellen auch verschiedene Ungleichförmigkeitsgrade zukommen.

Um die hiermit wenigstens kurz angedeuteten Fragen, die besonders von Herrn Prof. Sommerfeld näher behandelt worden sind, zu beantworten, wird man sich vor allem mit den Formänderungsschwingungen oder, wie wir dafür auch sagen können, mit den Eigenschwingungen des Verbandes beschäftigen müssen. Das geschieht am besten, wenn wir vorläufig von den übrigen

Anteilen der ganzen Bewegung, die noch dazu kommen können, ganz absehen und die Eigenschwingungen für sich betrachten.

Ihre Theorie wird sehr einfach, wenn man das Trägheitsmoment der Welle, bezogen auf die Umdrehungsachse gegenüber den Trägheitsmomenten der Schwungräder vernachlässigen kann. Irgendein Querschnitt der Welle, von dem wir die Abszissen x in Abb. 52 rechnen, wird dann dauernd in Ruhe bleiben, während sich das eine Schwungrad in einem bestimmten Augenblicke im einen, das andere im entgegengesetzten Sinne dreht. Die Lage dieses Querschnitts folgt aus der Bedingung, daß der Drall des ganzen Systems dauernd gleich Null bleiben muß, da äußere Kräfte auf die Schwingung nicht einwirken und andere Bewegungen außer den Eigenschwingungen nicht Vorkommen sollen. Diese Bedingung führt zu der Gleichung

(189)

h

aus der sich die Lage des ruhenden Querschnitts ergibt. Wenn die Trägheit der Wellenmasse vernachlässigt wird, braucht man nämlich auch keine Trägheitskräfte an ihr anzubringen, um ihren Formänderungszustand im gegebenen Augenblicke so zu untersuchen, als wenn die Welle in dieser Gestalt dauernd in Ruhe bliebe. Die Trägheitskräfte rühren dann nur von den Schwungrädern her und setzen sich an jedem Ende der Welle zu einem Kräftepaar zusammen. Beide Kräftepaare müssen gleich groß sein und jedes Wellenstück von der Einheit der Länge wird durch sie um denselben Torsionswinkel verdreht. Danach verhalten sich die Winkelwege und daher auch die Winkelgeschwindigkeiten beider Wellenenden in jedem Augenblicke wie die Abstände l± und l₂ von dem ruhenden Querschnitte. Da sich die Schwungräder um freie Achsen drehen, ist der Drall der Bewegung der Winkelgeschwindigkeit und hiernach auch den Abständen lx und l₂ in jedem Augenblicke proportional, woraus die Gleichung folgt.

Jedes Schwungrad schwingt demnach so, als wenn der in Ruhe bleibende Querschnitt festgeklemmt wäre. Damit ist der Fall auf den schon in § 5 behandelten der einfachen harmonischen Drehschwingungen zurückgeführt und die Schwingungsdauer kann nach der dort abgeleiteten Gl. (23) S. 34 sofort berechnet werden.

Wir wollen aber dabei jetzt nicht stehenbleiben, sondern die Aufgabe auch noch für den allgemeineren Fall lösen, daß die Trägheit der Wellenmasse nicht vernachlässigt werden darf, da dies in der Tat z. B. bei den langen und sehr starken Wellen der Schraubendampfer, an deren Enden keine besonders großen Schwungmassen sitzen, keineswegs zulässig ist. Auch hier rechnen wir die Abszissen x in Abb. 52 von dem bei den Eigenschwingungen in Ruhe bleibenden Querschnitte, dessen Lage aus der Untersuchung selbst erst hervorgehen wird. Der Querschnitt x sei zur Zeit t um den Winkel qp gegen den ruhenden gedreht. Die in diesem Querschnitt übertragenen Torsionsspannungen lassen sich zu einem Kräftepaare zusammenfassen, dessen Moment mit M bezeichnet werden soll. Dieses Moment hängt von der Formänderung an der Stelle x allein ab, d. h. von dem Zuwachse, den qp erfährt, wenn wir um ein unendlich kleines Stück dx weiter gehen. Der Zusammenhang zwischen beiden wird durch Gl. 225, S. 302 der 4. Aufl. von Band III angegeben, wenn wir in dieser Formel an Stelle von z/qp hier dcp und dx an Stelle von l schreiben. Hiernach ist

(190)

-.J- icaiGdcp dcp 2 dx    C dx

zu setzen, wenn a den Halbmesser des Wellenquerschnitts und G den Schubelastizitätsmodul bedeuten und c zur Abkürzung für den vorhergehenden Ausdruck eingeführt wird.

Hierauf vergleichen wir die in den beiden Querschnitten x und x -+- dx auftretenden Momente M miteinander. Sie unterscheiden sich um einen Betrag dM, weil der Formänderungszustand nicht überall derselbe ist, sondern sich beim Fortschreiten um dx selbst ein wenig ändert. Wir finden dM aus Gl. (190) durch eine Differentiation nach x zu

.    dM = c dx.

Die beiden Momente M und M -f dM halten sich an dem

18

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

zwischen ihnen liegenden Wellenelemente nicht im Gleichgewichte miteinander, sondern sie liefern das eben berechnete resultierende Moment clM, das die Winkelbeschleunigung des Wellenelements hervorbringt. Wir haben daher die Gleichung

d@ •—? = c** dx,

wenn mit d® vorläufig das Trägheitsmoment der zu dx gehörigen Wellenmasse bezeichnet wird. Da cp jetzt als Funktion von x und t auftritt, wurden runde d zur Bezeichnung der Dilferentialquotienten verwendet. Beide Seiten der Gleichung müssen hier dasselbe Vorzeichen erhalten, da ein in positivem Sinne zählendes dM auch eine im gleichen Sinne gehende und daher positiv zu rechnende Winkelbeschleunigung hervorbringt. Um d® zu berechnen, bezeichnen wir die auf die Raumeinheit bezogene Masse, also das spezifische Gewicht des Stahls geteilt durch die Beschleunigung g, mit g- dann wird, da der Querschnitt der Welle kreisförmig sein soll, wie schon in § 5 besprochen wurde,

d® = gna?dx • i² = lUUL dx.

Setzt man auch noch für c seinen Wert ein (nach Gl. (190)), so geht die vorhergehende Gleichung über in

(191)

d*<p Gd*cp

und das ist die Differentialgleichung der Schwingungsbewegung, von deren Integration die Lösung der Aufgabe abhängt.

Sie stimmt inhaltlich mit der in Band III, Gl. (293), S. 365 d. 4. Aufl. aufgestellten „Wellengleichung“ überein. Die Geschwindigkeit, mit der sich ein am einen Ende der Welle ausgeübter Drehstoß längs der Welle hin fortpflanzt, läßt sich daher, wie schon in Gl. (294) von Band III gefunden war, berechnen zu

Dies folgt auch aus der allgemeinen Lösung, die sich für Gl. (191) leicht angeben läßt, nämlich

<P = fi (« + V 0 + fi 0» -

in der /j und f% zwei beliebige Funktionen bedeuten.

Um eine partikuläre Lösung zu erhalten, kann man auch wie in § 42

cp = z sin ß t

setzen. Dann muß z der gewöhnlichen Differentialgleichung

d*z

PV

ä*

dx²

genügen, deren allgemeine Lösung in der Form z = A sin ax -\- JB cos ax

angeschrieben werden kann. Die Konstante a folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung zu

Yon den Integrations-Konstanten A und JB kann sofort JB = 0 ermittelt werden, weil für x = 0 bei der Wahl, die wir für den Koordinatenanfang getroffen haben, jederzeit cp und daher auch z = 0 sein muß. Hiermit geht cp über in

(192)

cp = A sin (ji    sin ßt.

Die Konstante ß ergibt sich aus den Grenzbedingungen an den Wellenenden. Wäre das Wellenende frei, also kein

= 0 sein für x = lv Wegen

Schwungrad aufgekeilt, so müßte

des Schwungrads muß aber die Welle auch an ihrem Ende verdreht sein, und zwar so, daß das dieser Formänderung entsprechende Moment M die Winkelbeschleunigung des Schwungrads hervorbringt. Für x = \ hat man daher die Bedingung

71V    /» ds<P

M = - feh jtt- •

Das Minuszeichen erklärt sich daraus, daß unter M das auf das Wellenende wirkende Verdrehungsmoment zu verstehen ist,

18*

das die Reaktion des am Schwungrad angreifenden Moments — M bildet. Setzt man M aus Gl. (190) ein, so lautet die Bedingungsgleichung für x = l₁

8²cp

¹ dt² ’

dcp    r,

G = — ©

ÖX

woraus durch Einsetzen von <p aus Gl. (192) hervorgeht. Eine Gleichung von derselben Form muß auch für das andere Wellenende gelten, und zwar erhält man sie aus der vorhergehenden, indem man lx und durch l₂ und @₂ ersetzt. Führt man zur Vereinfachung der Schreibweise wieder die vorher schon benutzte Hilfsgröße a an Stelle von ß ein und ersetzt € durch seinen Wert aus Gl. (190), so lauten die Bedingungsgleichungen für die Wellenenden

a tg a =

(193)

7ta*iL 2 >

atgal₂ =

3ta⁴g 2©₂ '

Aus ihnen erhält man eine Gleichung, die nur noch die Unbekannte a enthält, indem man l₂ == l — lx setzt, in der letzten Gleichung tg (al — alß) entwickelt und hierauf tga^ aus der ersten Gleichung einsetzt. Dadurch erhält man

(194)

ccigal- " tg al ■ Cx C₂ = Gx + C₂,

wenn zur Abkürzung die bekannten Größen auf den rechten Seiten der Gleichungen (193) mit Cx und C₂ bezeichnet werden. Gleichung (194) hat unendlich viele Wurzeln, von denen aber die kleinste wieder die wichtigste ist, weil dem kleinsten Werte von a und hiermit von ß die größte Schwingungsdauer, also die Grundschwingung entspricht. Wenn Ox und C₂ zahlenmäßig gegeben sind, läßt sich die kleinste Wurzel von Gl. (194) wieder leicht durch Probieren finden und ebenso auch die folgenden Wurzeln, die den Oberschwingungen entsprechen. Nachdem a gefunden ist, erhält man auch lt und hiermit die Lage des in

Ruhe bleibenden Querschnitts (oder des Sehwingungsknotens) aus der ersten der Gleichungen (193). Hierbei ist nur zu beachten, daß al₁ jedenfalls ein kleinerer Winkel als der aus der Auflösung von Gl. (194) bereits bekannte Winkel al sein muß.

Beachtenswert ist übrigens, daß die Lage der Schwingungsknoten bei der Grundschwingung und den verschiedenen Oberschwingungen keineswegs immer dieselbe ist. Wenn alle Schwingungsanteile Zusammenwirken, bleibt daher im allgemeinen kein Querschnitt ganz in Ruhe.

§ 45. Biegungsschwingungen von schnell umlaufenden schwanken Wellen. (Lavalsche Turbinenwelle.)

Solange die Mittellinie einer Welle eine freie Achse der auf ihr sitzenden Räder u. dgl. bleibt, liegt kein Grund zur Befürchtung vor, daß die Welle eine schädliche Beanspruchung durch eine hohe Umlaufsgeschwindigkeit erfahren könne. Nun ist es aber zunächst sehr schwer, die genannte Bedingung genau genug zu erfüllen*, auch bei größter Sorgfalt in der Herstellung kann man nicht vollständig erreichen, daß die Umdrehungsachse wirklich durch die Schwerpunkte der rotierenden Körper geht, wenn sich die Abweichung vielleicht auch nur auf kleine Bruchteile eines Millimeters beschränkt. Noch schwerer ist es häufig, die Umdrehungsachse in die Richtung der Hauptträgheitsachse zu legen. Außerdem ist man aber, selbst wenn die beiden Bedingungen anfänglich vollständig erfüllt wären, im Zweifel darüber, ob sie auch während des Ganges der Maschine, bei der sich zufällige Erschütterungen nicht vermeiden lassen, dauernd erfüllt bleiben werden.

Solange die Geschwindigkeiten nicht allzu groß wraren, genügte es, durch genauen Zusammenbau die freie Achse so gut als möglich mit der Wellenmittellinie zusammenfallen zu lassen. Die Welle wurde hierbei steif genug konstruiert, um ihr die Übertragung der zur Aufrechterhaltung der Umdrehungsachse wegen der unvermeidlichen Abweichung von der Hauptträgheitsachse erforderlichen Zwangskräfte unbesorgt zumuten zu können.

Dieses Verfahren mußte aber versagen, sobald die Umlaufs-geschwindigkeiten über ein gewisses Maß hinaus wuchsen; denn die Zwangskräfte wachsen mit dem Quadrate der Geschwindigkeit, und beim Übergange zur zehnfachen Geschwindigkeit hatte man daher schon mit einem 100-fachen Biegungsmomente der Zwangskräfte zu rechnen, das von der Welle übertragen werden mußte. In der Tat hat man früher öfters Rechnungen darüber angestellt, welche Geschwindigkeiten höchstens erreicht werden könnten; man setzte dabei genaueste Zentrierung voraus, beachtete aber, daß eine kleine Erschütterung schon genügt, den Schwerpunkt ein wenig aus der Mittellinie der Welle zu entfernen. Die hiermit hervorgerufene Zentrifugalkraft sucht dann die zufällig entstandene kleine Ausbiegung noch weiter zu vergrößern, und je mehr diese wächst, wächst auch die Zentrifugalkraft. Es war hiermit genau wie bei der Knickfestigkeit, und die Rechnung schloß, wie bei dieser, damit ab, daß bei gegebener Länge, bei gegebener Last und gegebenem Querschnitte eine gewisse Geschwindigkeit (der Euler sehen Knicklast entsprechend) nicht erreicht werden dürfe, um trotz anfänglich genauester Zentrierung ein Ausweichen und hiermit eine Zerstörung der Welle zu vermeiden.

Betrachtungen dieser Art führten zu verhältnismäßig niedrigen gefährlichen Umlaufszahlen, die heute tatsächlich nicht nur erreicht, sondern noch weit überschritten sind. Diese Betrachtungen waren in einem sehr wesentlichen Punkte ungenau und führten daher zu ganz falschen Schlüssen: man hatte nämlich nicht auf die Schwingungen geachtet, die sofort entstehen müssen, wenn sich die schnell rotierende Welle etwas ausbiegt. Der schwedische Ingenieur de Laval war der erste, der durch praktische Versuche nachwies, daß man eine Welle viel schneller laufen lassen kann, als man es früher für möglich hielt. Anstatt die Welle so stark zu machen, daß sie die Umdrehung um ihre Mittellinie trotz nicht völlig genauer Zentrierung erzwingen konnte, machte er sie viel schwächer; er verzichtete damit auf die vollständige Beherrschung des rotierenden Körpers durch die Welle, ließ ihm vielmehr die Möglichkeit, sich leicht ein wenig in der Richtung quer zur Welle zu verschieben oder sich auch ein wenig dagegen zu drehen.

Als die Lavalschen Versuchsergebnisse bekannt wurden, stießen sie anfänglich überall auf Unglauben. Nachdem aber der experimentelle Nachweis ihrer Richtigkeit auch die hartnäckigsten Zweifler überzeugt hatte, begann man mit Erklärungsversuchen, die oft ganz verfehlt waren. Man sprach von der „Selbsteinstellung“ eines rotierenden Körpers in die freie Achse und tat dabei so, als wenn jeder sich selbst überlassene Körper mit der Zeit seine Rotationsachse in die benachbarte freie Achse verlege. Diese viel nachgesprochene Phrase bewies nur, daß ihre Urheber und ihre Verbreiter eine ganz falsche Vorstellung von der Dynamik des sich selbst überlassenen Körpers hatten.

Wie die Theorie des Vorganges zu fassen ist, um einerseits in Übereinstimmung mit den allgemein gültigen Sätzen der Mechanik zu bleiben und andererseits durch passende Vereinfachung zu bequem anwendbaren Formeln und Regeln zu gelangen, die sich in hinreichender Übereinstimmung mit den tatsächlichen Beobachtungen befinden, habe ich selbst gezeigt, und ich werde diese Theorie hier wiederholen. Daß sich meine Lösung mit dem wirklich beobachteten Vorgänge so weit deckt, als die Genauigkeit der Beobachtung überhaupt zu reichen vermag, ist durch eine besondere Experimentaluntersuchung bewiesen worden, die Herr Professor Ludw. Klein in Hannover, der damals Assistent unserer Hochschule war, in meinem Laboratorium ausführte.

Zunächst mache ich darauf aufmerksam, daß ein geringer Richtungsunterschied zwischen der Rotationsachse und der Hauptträgheitsachse des rotierenden Körpers nicht viel Bedeutung hat, wenn die Welle sehr biegsam ist. Man kann sich davon sowohl auf Grund des Flächensatzes wie mit Hilfe des d’Al ember t-schen Prinzips überzeugen. Ich wähle den letzten Weg. In Abb. 53 sei AB die zunächst geradlinig gedachte Mittellinie der Welle und DE die davon ein wenig abweichende Hauptträgheitsachse des rotierenden Körpers. Wenn der Körper mit konstanter Geschwindigkeit um AB rotiert, reduzieren sich die

Trägheitskräfte auf Zentrifugalkräfte, die mit C bezeichnet und in Abb. 53 eingetragen sind. Wir können jetzt den Körper und die Welle im Ruhezustände betrachten und finden, daß die Zentrifugalkräfte C ein Kräftepaar bilden, das eine Verbiegung der Welle herbeiführt. Diese Verbiegung erfolgt aber in solchem Sinne, daß sich die Hauptachse DE der Verbindungslinie AB der Zapfenmittelpunkte der die Welle stützenden Lager nähert. Die ursprünglich vorhandene Abweichung zwischen DE und AB gleicht sich demnach zum Teile von selbst aus, und zwar

C‘1

to

---------Æ

il

ip

Abb. 54.

Abb. 53.

um so mehr, je biegsamer die Welle ist und zugleich je mehr die Umdrehungsgeschwindigkeit wächst, denn mit dieser wächst auch das Moment des Kräftepaars der Zentrifugalkräfte. Allerdings kann DE hierdurch nicht vollständig zum Zusammenfallen mit AB gebracht werden, da immer noch ein Moment der Zentrifugalkräfte Zurückbleiben muß, das die erforderliche Verbiegung der Welle aufrechterhält. Die Folge davon wird eine Kreiselbewegung des rotierenden Körpers von der Art der pseudoregulären Präzession sein. Wenn man schon beim Auf keilen des rotierenden Körpers darauf achtete, den anfänglichen Richtungsunterschied zwischen DE und AB so gering zu machen, daß die Welle sich leicht um so viel verbiegen kann, als er ausmacht, so kann diese Präzessionsbewegung niemals für sich zu großen Wellenverbiegungen und zu einer Gefahr des Bruches führen. Ich kann daher weiterhin von dieser Erscheinung ganz absehen und die Aufgabe so behandeln, als wenn überhaupt kein Richtungsunterschied zwischen DE und AD yorkäme.

Ganz anders gestaltet sich die Betrachtung, wenn wir annehmen, die Wellenmittellinie AB gehe nicht genau durch den Schwerpunkt des rotierenden Körpers. Auch hier denken wir uns den Körper unter Einführung der Trägheitskräfte zur Ruhe gebracht. In Abb. 54 gebe S die augenblickliche Lage des Schwerpunktes an. Die Zentrifugalkräfte geben dann eine Resultierende, die S von AB zu entfernen sucht. Hierdurch entsteht eine Biegung der Welle, durch die die Exzentrizität e vergrößert wird. Gerade auf Grund dieser Überlegung schloß man früher, daß eine gewisse größte Winkelgeschwindigkeit überhaupt nicht überschritten werden könnte, ohne eine dauernde Verbiegung oder den Bruch der Welle und ein Herausschleudern des rotierenden Körpers herbeizuführen.

Die Erfahrung lehrt indessen, daß bei wachsender Geschwindigkeit ein absichtlich etwas exzentrisch aufgekeiltes Rad zunächst allerdings in Übereinstimmung mit der vorausgehenden Betrachtung zu immer stärkeren Biegungen der Welle führt und daher immer stärker schleudert. Das gilt aber nur bis zu einer gewissen Grenze. An dieser wird das Schleudern so stark, daß die Welle, wie man es früher schon vorausgesehen hatte, ganz verbogen oder zerbrochen werden müßte, wenn sie nicht durch eine Führung, die sie umgibt, an stärkeren Formänderungen verhindert würde. Die Welle stößt nun bei der fraglichen Geschwindigkeit, die als ihre kritische Geschwindigkeit bezeichnet werden soll, gegen die Führungen, hat einen stark unregelmäßigen Gang, verbraucht wegen der Reibung und der Stöße gegen die sie ringartig umgehende Führung viel Arbeit und versetzt den ganzen Apparat in starke Erschütterungen. Bei der kritischen Geschwindigkeit ließe sich in der Tat trotz des Auskunftsmittels der „Führung“, das schließlich auf eine zeitweilige Herabsetzung der freien Länge der Welle hinauskommt, kein geordneter Maschinenbetrieb aufrechterhalten. Sowie man aber nun die Geschwindigkeit der Welle noch weiter steigert, bemerkt man, daß die Welle anfängt, wieder ruhiger zu laufen, und wenn die Geschwindigkeit groß genug geworden ist, läuft sie ruhiger als jemals vorher. Man kann die Führung jetzt vollständig entfernen und bemerkt, daß seihst äußere Stöße zu keinen großen Ausschlägen der Welle mehr führen. Schaltet man hierauf den Antrieb aus und überläßt den rotierenden

Körper sich selbst, so läuft die Welle anfänglich ruhig weiter; sobald sich aber infolge der Reibungen usf. die Geschwindigkeit so weit vermindert hat, daß sie sich wieder der kritischen nähert, treten wieder stärkere Schwingungen ein und es wird Zeit, daß

man von neuem eine Führung oder überhaupt irgendeine Sicherung gegen zu große Ausschläge der Welle anbringt, um ein Herausschleudern zu verhüten. Die als Führung be-zeichnete Schutzvorkehrung ist daher immer nur für das Überschreiten der kritischen Geschwindigkeit, sei es im einen oder im anderen Sinne erforderlich. Vorher und nachher läuft die

Welle ganz frei und sicher.

Außerdem zeigt auch die Erfahrung, daß man die Welle selbst ohne Benutzung einer Schutzvorkehrung der genannten Art zu regelmäßigen Umläufen ohne große Schwingungen bringen kann, wenn man sie nur schnell genug in sehr große Umdrehungsgeschwindigkeit versetzt. Dazu muß man nach Art eines „Drehstoßes“ ein sehr großes Kräftepaar auf sie einwirken lassen, das ihr schon nach ganz kurzer Zeit die erforderliche Umdrehungsgeschwindigkeit zu erteilen vermag.

Ich beginne zunächst mit der Erklärung der zuletzt beschriebenen Erscheinung. In Abb. 55 sei durch den äußeren Kreis der Umriß des auf der biegsamen Welle sitzenden Rades in der Anfangslage angegeben. Die Zeichenebene steht senkrecht auf der Mittellinie der Welle in der Ruhelage, oder wie wir sagen wollen, senkrecht auf der Verbindungslinie der Zapfenmittelpunkte der Welle, die sich in 0projizieren möge. DerWellen-querscbnitt ist in der Zeichnung nicht angegeben. Der Schwerpunkt des rotierenden Körpers soll anfänglich in S liegen. Die Strecke OS gibt also die Exzentrizität e an; sie ist der Deutlichkeit wegen in der Zeichnung viel größer angegeben, als sie in Wirklichkeit zu erwarten sein wird.

Nun möge die Welle und mit ihr das Rad in schnelle Umdrehung versetzt werden. Das Kräftepaar, das wir hierzu am Rade angreifen lassen müssen, wird durch die auf Torsion beanspruchte Welle auf das Rad übertragen. Nun wissen wir aber, daß ein Kräftepaar stets nur eine Drehung um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse, aber keine Verschiebung des Schwerpunkts herbeizuführen vermag. Das Rad wird also, sobald wir durch Torsion der Welle drehend auf es einzuwirken beginnen, nicht eine Drehung um 0, sondern eine Drehung um S auszuführen suchen. Da die Welle hinreichend biegsam sein sollte, wird es daran auch nicht merklich gehindert. Wenn die Welle gar keine Biegungssteifigkeit hätte, könnte sogar dauernd überhaupt nur eine Drehung um Serfolgen. Der Befestigungspunkt der Welle, der ursprünglich mit 0 zusammenfiel, müßte dann einen Kreis um S beschreiben, der in die Abbildung punktiert eingetragen ist. Ganz ohne Biegungswiderstand dürfen wir die Welle freilich nicht voraussetzen. Denken wir uns also den Befestigungspunkt des Rades auf der Welle in seiner kreisförmigen Bahn um den Schwerpunkt S etwa nach A gelangt, so ist 0A der Biegungspfeil der Welle, und wegen der Biegung wird die Welle außer dem Kräftepaare, das die Umdrehung herbeiführt, auch noch eine Kraft auf das Rad übertragen, die A nach 0 zurückzuführen sucht. Erst diese Kraft wird nun auch eine Bewegung des Schwerpunktes S veranlassen. Wir mußten uns aber ohnehin vorstellen, daß das Rad sehr schnell in Umdrehung versetzt werden sollte und können daher annehmen, daß das diese Umdrehung bewirkende Kräftepaar so groß ist, daß es das Rad schon mehrmals umgedreht hat, bevor die durch die Biegungselastizität hervorgerufene Kraft den Schwerpunkt merklich von seiner Stelle rücken konnte. Wie groß das Kräftepaar hierzu sein müßte, ließe sich leicht ausrechnen; wir können aber darauf verzichten, da es sich jetzt nur um eine qualitative Untersuchung handelt und man sich das Kräftepaar jedenfalls immer

Abb. 55.

groß genug vorstellen kann, um die gestellte Bedingung zu erfüllen.

A*

Abb. 56.

Nach dem Satze vom Antriebe ist die Bewegungsgröße, die das Rad wegen der Schwerpunktsbewegung während eines Umlaufs erlangt, gleich dem Zeitintegrale der Biegungskraft. Außerdem kann dieses Zeitintegral gleich der Dauer eines Umlaufs multipliziert mit dem graphischen Mittelwerte der Biegungskraft während eines Umlaufs gesetzt werden. Wir wollen uns daher überlegen, welche Richtung diesem Mittelwerte zukommt. In Abb. 56 ist der Kreis, den A in Abb. 55 beschrieb, vergrößert herausgezeichnet. A fällt der Reihe nach mit 0, Alf A₂ usf. zusammen, um dann wieder nach 0 zu gelangen. In jedem Augenblicke ist die von der gebogenen Welle auf das Rad übertragene „Biegungskraft“ von A aus nach 0 zu gerichtet; außerdem ist die Größe der Kraft der Sehne A0} d. h. dem Biegungspfeile, proportional. Jedem Punkte At auf der oberen Hälfte des Kreises entspricht ein zum Durchmesser durch 0 symmetrisch liegender Punkt A₅ auf der unteren Hälfte. Die durch die Sehnen A₁ 0 und A₅ 0 dargestellten Biegungskräfte haben gleiche und gleichgerichtete horizontale, aber entgegengesetzt gerichtete Vertikalkomponenten. Solange der Punkt A die obere Hälfte des Kreises durchläuft, wird der Schwerpunkt nach links und zugleich nach abwärts beschleunigt* durchläuft A die untere Kreishälfte, so wird S immer noch nach links, aber jetzt zugleich nach aufwärts beschleunigt. Nun durchlauf ch A den Kreis nicht gleichförmig, sondern beschleunigt. Wir wollen aber, um nicht zu weitläufig zu werden, von diesem Umstande jetzt absehen. Dann können wir sagen, daß der Mittelwert der Biegungskraft für einen ganzen Umlauf im allgemeinen nach links hin gerichtet ist. Jedenfalls erkennen wir daraus, daß sich im Mittel S nach 0 hin verschieben muß und nicht nach außen hin. Das ist es aber, worauf es ankommt.

Nehmen wir nun an, S sei nach einigen Umläufen so nahe

§45. Biegungsschwingungenv.schnell umlaufenden schwankenWellen 285

an 0 hin gerückt, daß es als mit 0 zusammenfallend betrachtet werden kann, so wird nachher A einen Kreis um 0 beschreiben, dessen Halbmesser gleich der Exzentrizität e oder gleich der Strecke OS in der Anfangslage ist. Die Biegungskraft wirkt dann während eines Umlaufs der Reihe nach von allen möglichen Richtungen her mit stets gleicher Stärke auf das Rad ein und l^ßdt für einen Umlauf wird zu Null. Der Schwerpunkt vermag also späterhin dauernd in der Nähe von 0 zu bleiben. Die anfängliche Exzentrizität ist durch die geringe Ausbiegung der Welle ausgeglichen und das Rad hat sich, wenn man so will, von selbst so eingestellt, daß es um eine freie Achse rotiert.

Bei dieser Betrachtung wird man freilich einen Nachweis dafür vermissen, daß diese Bewegung nun auch eine stabile Bewegung ist, d. h. man sieht wohl leicht ein, daß die Bewegung so wie beschrieben weiter gehen kann; aber es bleibt zweifelhaft, ob nicht etwa durch einen zufälligen Stoß von außen her, der den Schwerpunkt S etwas aus der Nähe von 0 verrückt, die Bewegung vollständig geändert und das Rad schließlich doch noch abgeschleudert werden könnte. Um uns hierüber Gewißheit zu verschaffen, müssen wir nun noch in eine genauere quantitative Untersuchung der Bewegung eintreten.

Hierbei nehme ich an, daß der Anfangszustand des bereits in schneller Rotation begriffenen Rades beliebig gegeben sei, und daß es hierauf ohne äußere Einwirkung sich selbst überlassen werde. Ich nehme also mit anderen Worten an, daß von der Welle nur noch ein Torsionsmoment von solcher Größe und solchem Sinne auf das Rad übertragen werde, um die Rotation auf gleicher Höhe zu erhalten, also um entweder die Bewegungswiderstände aufzuheben oder um (bei einem Turbinenrade) die fernere Beschleunigung durch die daran angreifenden äußeren Kräfte zu verhindern. Außerdem soll auch das Gewicht des Rades nicht in Berücksichtigung gezogen werden. Man kann sich dessen Einfluß etwa dadurch beseitigt denken, daß die Welle, um die das Rad rotiert, lotrecht steht; im übrigen ist aber das Eigengewicht des Rades auch so gering gegenüber den gewaltigen Zentrifugalkräften, die bei merklichen Exzentrizitäten und bei

den großen Geschwindigkeiten, um die es sich hier handelt, Vorkommen, daß es ohnehin keine große Rolle spielt. Außerdem soll schließlich noch vorausgesetzt werden, daß die Exzentrizität auf jeden Fall gering gegenüber dem Trägheitshalbmesser des Rades ist, so daß sie genau genug diesem gegenüber als unendlich klein betrachtet werden darf.

⁽ł

slAL

!/

Abb. 57.

In Abb. 57 bedeutet wie vorher 0 die Projektion der Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Zapfen, mit denen die Welle im Gestelle gelagert ist. S ist der Ort des Schwerpunktes und A der Ort des Befestigungspunktes zur Zeit t, OA demnach der Biegungspfeil. Alle Strecken sind in die Abbildung stark vergrößert eingetragen. Außerdem sind zwei Koordinatenachsen gezogen und der Winkel, den M/S mit der X-Achse bildet, ist mit cp bezeichnet. Die X-Achse möge man sich in solcher Richtung gezogen denken, daß der Winkel cp zur Zeit t = 0, also im Anfänge der Betrachtung, gleich Null war. Die Rotation des Rades mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit u möge in solcher Richtung erfolgen, daß der Winkel cp mit der Zeit wächst: Dann kann der Winkel cp zur Zeit t

cp = ut

gesetzt werden. Die Biegungskraft ^ ist gleichgerichtet mit A 0 und hat die Größe c • AO, wenn c einen von der Biegungssteifigkeit der Welle abhängigen konstanten Faktor bedeutet, der nach bekannten Sätzen der Festigkeitslehre aus der Spannweite, dem Querschnitte der Welle und dem Elastizitätsmodul stets leicht berechnet werden kann. Die Biegungskraft $ geht zwar nicht durch den Schwerpunkt S] wenn wir sie uns parallel nach S verlegt denken, tritt vielmehr noch ein Kräftepaar auf. Der Hebelarm dieses Kräftepaares kann aber nach einer schon vorher ausgesprochenen Voraussetzung als unendlich klein angesehen werden, so daß der Einfluß des Kräftepaars auf die

Änderung der Winkelgeschwindigkeit außer Betracht bleiben, u also in der Tat als konstant angesehen werden kann.

Horizontal- und Vertikalprojektion der Exzentrizität e oder /SH sind in der Abbildung mit den Buchstaben p und q bezeichnet; man hat dafür

p = e cos ut; q = e sin ut.

Die dynamische Grundgleichung soll ebenfalls für jede Achsenrichtung gesondert angeschrieben werden. Wenn die Masse des Rades mit m bezeichnet wird, ist

d²x    , v

St “ -    +i>)

- c (y + 2),

dt

denn x P ist die Horizontalprojektion des Biegungspfeiles OA, daher c(x + p) die Horizontalprojektion der Biegungskraft und das Minuszeichen drückt aus, daß und daher auch die Horizontalprojektion von ^ nach dem Ursprünge 0 hin, der positiven Seite der X-Achse also entgegengesetzt gerichtet ist. Durch Einführung der für p und q aufgestellten Werte, gehen die vorigen Gleichungen über in

m d²x c dt²

Tg i'«

si«

(195)

Cb

OT

Hiermit haben wir die Differentialgleichungen des Problems gefunden. Die allgemeinen Lösungen dieser Gleichungen können auch sofort angegeben werden; sie lauten

x == A sin ut -+- B cos ut -j- e -y

y — GsincH -)- D cos ut -f- e

Hierin ist u eine Konstante, die so ermittelt werden muß, daß die Lösungen richtig sind; dagegen sind A, B, C, D willkürliche Integrationskonstanten, durch deren geeignete Wahl man sich jedem beliebig gegebenen Anfangszustande anzupassen vermag.,

u²

— a²

cos ut

sinwć

(196)

Hieraus folgt, daß wir in der Tat die allgemeinste Lösung gefunden haben, falls nur überhaupt die angegebenen Werte die Gleichungen (195) befriedigen. Man überzeugt sich davon leicht; ich will die kleine Zwischenrechnung, die dazu erforderlich ist, wenigstens für die sich auf die X-Richtung beziehende Gleichung durchführen.

Durch Differentiation nach t folgt aus Gl. (196)

cl oc    cc ²

= Aa cos at — Ba sin at — e ui_~2 u sin ut,

d*x    •    a²

-jrï = — A«² sin at — Ba² cos at —    cos u^'

betzt man nun x und seinen zweiten Differentialquotienten in die erste der Gleichungen (195) ein, so erhält man

— a?^A sin at -f- J?cos at -j-    sî cosufj -f A sin at

K²

-j- B cos at -j- e    cos ut -f- e cos ut = 0.

Die zwei letzten Glieder auf der linken Seite vereinigen sich aber zu

e -,-s cos ut

u* —a*

und die ganze Gleichung läßt sich daher schreiben a^j (A sin at -B cos at -j- e

us

cos uij = 0.

si«

u-

Diese Gleichung ist nun in der Tat identisch, d. h. für jeden Wert der Veränderlichen t und zugleich für beliebige Werte der Konstanten A und B erfüllt, wenn der in der ersten Klammer stehende Faktor durch eine passende Wahl von a zum Verschwinden gebracht wird. Man muß also

(197)

a-yi

setzen. — Für die sich auf die Y-Richtung beziehende Gleichung läßt sich die Rechnung genau in derselben Form wiederholen; man findet dabei für a denselben Wert.

Fassen wir nun die durch die Gleichungen (196) beschriebene Bewegung näher ins Auge, so bemerken wir sofort, daß nur die ersten beiden Glieder des dreigliedrigen Ausdrucks für x oder y yon den Integrationskonstanten, also vom Anfangszustande ab-hängen; das dritte Glied ist im übrigen unabhängig vom Anfangszustande, wohl aber abhängig von dem konstanten Werte der Winkelgeschwindigkeit u, die ihrerseits wieder in den ersten Gliedern nicht vorkommt. Hiernach können wir uns die Gesamtbewegung des Schwerpunkts in zwei Teile zerlegt denken, also etwa

x = x₁ 4- x₂ ;

xt = A sin at -f- JBcos at- x₂ = e ä cos nt

setzen und ähnlich für y. Die Integrationskonstanten bestimmen sich aus der anfänglichen Lage des Schwerpunkts zur Zeit t = 0 und aus der Geschwindigkeit, die er zu dieser Zeit hatte. Dagegen kommt u in x₁ nicht vor, d. h. der durch x₁ und yt beschriebene Bewegungsanteil erfolgt genau so, als wenn das Rad überhaupt nicht rotierte. In diesem Falle hätten wir es aber mit einer gewöhnlichen harmonischen Schwingung zu tun und wir wissen schon, daß der Schwerpunkt hierbei eine Ellipse beschreibt, die auch (bei passenden Anfangsbedingungen) in einen Kreis oder in eine Gerade übergehen kann. Jedenfalls kann dieser Bewegungsanteil, auch wenn etwa zu Anfang durch einen Stoß eine größere Entfernung des Schwerpunkts von 0 herbeigeführt wurde, niemals zu dauernd wachsenden Ausschlägen führen. Wir werden vielmehr zu erwarten haben, daß wegen der in der Rechnung nicht berücksichtigten Dämpfung diese harmonischen Schwingungen in Wirklichkeit nach einem etwa erfolgten Stoße mit der Zeit ebenso abklingen, wie wir dies früher bei der Untersuchung der gedämpften Schwingungen gefunden haben.

Ganz anders ist es aber mit dem durch x₂ und y₂ dargestellten zweiten Bewegungsanteile, der nur von u und sonst gar nicht von den Anfangsbedingungen abhängt. Wäre etwa (nach dem Abklingen der ursprünglich vorhandenen harmonischen Schwingung und bei Fernhalten jedes späteren Stoßes von außen her) xt und yx zu Null geworden, so müßte der durch x₂ und y₂

19

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

dargestellte Bewegungsanteil jedenfalls immer noch fortdauern. Die Bewegung xly₁ (wie wir der Kürze halber sagen wollen) gibt demnach eine von zufälligen Umständen abhängige Bewegung an, die der rotierende Körper genau so ausführt, als wenn er nicht rotierte, und die daher nicht als ein wesentlicher Bewegungsanteil aufgefaßt werden kann. Jene Bewegung, die gerade der rotierenden Welle eigentümlich ist und die für alle Erscheinungen bestimmend auftritt, die wir hier untersuchen wollen, ist vielmehr die Bewegung x₂y₂. Setzen wir also, um diese für sich zu untersuchen, vorläufig den unwesentlichen Bewegungsanteil x₁y₁ gleich Null, so bleibt nur noch die Bewegung

a²

sin ut

x₂ = e    cos ut^

übrig. Man erkennt sofort, daß diese in einer kreisförmigen Bewegung des Schwerpunkts besteht, die mit der Winkelgeschwindigkeit u beschrieben wird. Der Halbmesser des Kreises r ist

y* eu²—u*

(198)

cc²

r = e

Kommt dagegen die Bewegung x₂y₂ zur harmonischen Schwingung x₁y₁ hinzu, so legt der Schwerpunkt eine epizykloidische Bahn zurück; er durchläuft nämlich einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Ellipse der harmonischen Schwingung fortschreitet.

Die Stärke der Ausschläge, die man zu erwarten hat, hängt nun vor allem von der Größe des Halbmessers r ab. Für kleine Werte von u wird r negativ; das Vorzeichen ist indessen hier unwesentlich. Jedenfalls ist dem Absolutwerte nach r etwas größer als die Exzentrizität e. Sobald sich nun u dem Werte von a nähert, fängt r stark zu wachsen an und für u = a liefert Gl. (198) sogar r = oo. Wir sehen hiermit, daß bei dieser Geschwindigkeit oder in ihrer Nähe unter allen Umständen sehr starke Ausschläge zu erwarten sind, d. h. u = a ist die schon aus denVersuchen bekannte kritische Geschwindigkeit. Bezeichnen wir diese mit uk, so erhalten wir nach Einsetzen des Wertes von a aus Gleichung (197)

fällt. Damit kommen wir auf jene Bewegung zurück, die wir schon vorher bei der bloß qualitativen Untersuchung als möglich erkannt hatten. Wir wissen aber jetzt auch, daß diese Bewegung eine stabile ist, d. h. daß durch einen äußeren Stoß nur eine harmonische Schwingung von derselben Art wie beim nichtrotierenden Körper hervorgerufen wird, die allmählich abklingt, so daß der Schwerpunkt wieder nach 0 zurückgeführt wird. Ein Herausschleudern des Rades ist also bei Geschwindigkeiten, die weit über der kritischen liegen, auf keinen Fall zu befürchten.

Wenn u größer wird als uk, nimmt der Absolutwert von r wieder ab und für eine sehr große Geschwindigkeit u wird r fast zu Null. In diesem Falle beschreibt (nahezu wenigstens) der Schwerpunkt nur noch die Ellipse der harmonischen Schwingung oder er bleibt, wenn diese abgeklungen ist und äußere Störungen ferngehalten werden, in Ruhe, indem er dauernd mit 0 zusammen

Aj

sff.

uk

=i/u

V m

(199)

Man gewinnt noch eine anschaulichere Vorstellung von der schwingenden Bewegung des Rads durch die folgende Konstruktion. Man trage auf der Geraden SA in Abb. 58, die im übrigen vollständig mit Abb. 57 übereinstimmt, eine Strecke SP ab, so daß

„V

jr

Abb. 58.

(200)

SP =

a~

— e -s-

u*— cc

ist. Für Werte von u, die unter dem kritischen Werte uk liegen, wird dieser Ausdruck positiv und dann soll SP in jener Richtung abgetragen werden, wie es in der Abbildung geschehen ist. Ein negativer Wert von SP wäre dagegen in der entgegengesetzten Richtung, also von S aus in der Verlängerung von AS abzutragen. Man beachte, daß P hiernach niemals zwischen S und A liegen kann. Bei kleinen Werten von u liegt P in der Nähe von A, aber außerhalb der Strecke AN; wenn u wächst, rückt P von A ab und für u = uk rückt es ins Unendliche. Wenn u noch größer wird, rückt P aus dem Unendlichen von der anderen Seite der Geraden her auf S

19*

zu; für sehr große Werte von u liegt P ganz in der Nähe von S und für u = oo fällt P mit S zusammen,

Der in dieser Weise für ein bestimmtes u konstruierte Punkt P möge auf dem Rade markiert werden, und wir wollen Zusehen, welche Bewegung dieser Punkt ausführt. Die Koordinaten dieses Punktes seien mit £77 bezeichnet. Dann ist mit Rücksicht auf Gl. (200)

cc^

£ = x — e g ₂ cos ut,

cc²

also, wenn man die Werte von x und y aus den Gleichungen (196) einführt,

£ = A sin at -f- B cos at,

77 = Csin at -f- D cos at.

Wir erkennen hieraus, daß im allgemeinsten Falle nicht der Schwerpunkt, sondern der Punkt P eine einfache harmonische Schwingung ausführt; der Schwerpunkt, wie schon vorher gefunden, nur dann, wenn P mit S zusammenfällt, d. h. für u = 00. Die ganze Bewegung kann nun in eine Translation zerlegt werden, die den Punkt P auf seiner elliptischen Bahn herumführt und in eine Rotation mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit u um den Punkt P. Bei dieser Darstellung überblickt man vielleicht noch deutlicher als vorher, daß große Bewegungen des Schwerpunktes, also ein starkes Schaukeln des Rades, von der Lage des Punktes P und hiermit von dem Werte der Winkelgeschwindigkeit u bedingt werden.

Schließlich möge noch der in Gl. (199) für die kritische Geschwindigkeit aufgestellte Wert in eine Form gebracht werden, die für die unmittelbare Anwendung in der Praxis möglichst bequem ist. Hierzu führe ich eine Kraft P ein, die als Biegungslast an der ruhenden Welle angebracht einen Biegungspfeil von 1 cm herbeiführen würde. Wenn die Abmessungen der Welle usf. gegeben sind, wird man P nach den Formeln der Festigkeitslehre immer leicht berechnen können. An einer fertigen Maschine kann man P auch durch einen unmittelbaren Belastungsversuch sofort experimentell feststellen. Wenn die Welle zu steif ist, um eine Durchbiegung um 1 cm ohne dauernde Verbiegungen zu ertragen, ist unter P das Zehnfache der Biegungslast zu verstehen, die einen Biegungspfeil von 1 mm hervorruft oder überhaupt das w-fache der zum Biegungspfeile ^ cm

gehörigen Last. Nach der Bedeutung der Konstanten c, die in den vorausgehenden Rechnungen vorkam, hat man dann

P

l cm

P = c • 1 cm oder c =

Das Gewicht des Rades sei mit Q bezeichnet; an Stelle der Masse m tritt daher jetzt

sec².

981 cm

Ferner soll noch an Stelle der auf Bogenmaß bezogenen Winkelgeschwindigkeit u die Zahl der in der Minute ausgeführten Umdrehungen N eingeführt werden, wie es in der Praxis gebräuchlich ist. Unter Nk ist also die kritische Tourenzahl zu verstehen. Dann ist

60 sec •

2 Tt

Nk =

und Gl. (199) geht nach Einführung dieser Werte über in

»l§

rH

oder zur Abrundung und genau genug für die praktische Anwendung

^ = 300]/|.

(201)

Die Tourenzahl Nk muß jedenfalls vermieden werden. Wenn die Welle mindestens iy₂ bis 2 mal soviel Touren macht, kann bereits auf einen ruhigen Gang der Welle gerechnet werden. Besser ist es aber, wenn man die Welle bei gegebener Tourenzahl so schwank konstruiert, also P so klein macht, daß das nach Gl. (201) berechnete Nk möglichst weit unter der beabsichtigten Umlaufsgeschwindigkeit liegt. Diese Bemerkung bezieht sich aber natürlich nur auf sehr schnell umlaufende Wellen; bei langsamer umlaufenden konstruiert man umgekehrt die Welle so steif, daß das nach Gl. (201) berechnete Nk weit über der beabsichtigten Geschwindigkeit liegt.

Endlich ist noch auf eine Deutung der Formel für die kritische Geschwindigkeit einzugehen, die sie in Beziehung setzt zur Lehre von den erzwungenen Schwingungen. Man geht dabei von der Erwägung aus, daß die nichtrotierende Welle einfache harmonische Schwingungen auszuführen vermag, deren Schwingungsdauer von dem in Gl. (18) S. 27 berechneten Werte a abhängt, der mit dem Werte a in Gl. (197) genau übereinstimmt. Man weiß ferner, daß die durch eine periodisch wechselnde Kraft erzwungenen Schwingungen eines schwingungsfähigen Systems im Falle der Resonanz besonders groß ausfallen, also dann, wenn die Schwingungsdauer der erregenden Ursache mit der Schwingungsdauer der Eigenschwingungen übereinstimmt. Nun kann man bei der schnell rotierenden Welle sagen, daß sich der Einfluß der Rotation auf die Schwingungen, die sie ausführt, in ähnlicher Weise geltend machen wird, wie eine periodisch wechselnde äußere Kraft, deren Schwingungsdauer einer vollen Umdrehung der Welle entspricht. Daraus ist dann zu schließen, daß die kritische Geschwindigkeit erreicht wird, wenn u = a wird, womit man unmittelbar zu Gl. (199), nämlich geführt wird. Diese Abkürzung ist weit kürzer als die vorher gegebene; aber sie ist auch viel weniger streng. Namentlich würde man, wenn nur diese Herleitung vorläge, nicht mit Bestimmtheit zu sagen vermögen, ob die Bewegung stabil ist, wenn u den Wert uk übersteigt. Die Vermutung liegt freilich nahe; aber zu einer Gewißheit könnte sie nur durch den näheren Nachweis gesteigert werden, daß sich in der Tat der Einfluß der Rotation unter allen Umständen so äußert wie eine periodisch wechselnde Kraft. Das würde aber zum mindesten ebensoviel Umstände machen als die vorhergehende Ableitung.

Damit soll indessen der Wert dieser Betrachtung nicht bestritten werden. Er ist aber nicht darin zu suchen, daß eine genauere Untersuchung durch sie entbehrlich gemacht werden könnte, sondern darin, daß man durch eine sehr einfache Überlegung darauf aufmerksam gemacht wird, was man voraussichtlieh zu erwarten hat. Das zeigt sich am deutlichsten, wenn man nach der Erledigung des einfachsten Falles, in dem die Welle nur eine Schwungmasse trug, zur Behandlung von verwickelteren Fällen übergeht, bei denen die Welle mehrere Schwungmassen trägt, oder wenn es nötig erscheint, auf die mit der Verbiegung der Welle verbundene Drehung der Radebene, z. B. bei einem „fliegend“ angeordneten Schwungrade zu achten. In solchen, mit dem vorher eingehend untersuchten ganz verwandten Fällen kann es zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeiten als ausreichend angesehen werden, die Sch wing un g s dauern derverschiedenenEigenschwin-gungen, die das System auszuführen vermag, zu berechnen und daraus die zugehörigen kritischen Geschwindigkeiten in derselben Weise abzuleiten, wie vorher uk. Für den Fall, daß eine Welle zwei Schwungräder trägt, kann z. B. die in § 11 im Anschlüsse an Abb. 10 S. 68 durchgeführte Berechnung der Schwingungsdauern Tx und T2 ohne weiteres benutzt werden.

§ 46. Mechanische Ähnlichkeit; Theorie der Modelle.

An dieser Stelle soll eine Betrachtung eingeschaltet werden, die mit dem übrigen Inhalte dieses Abschnitts zwar nur in einem losen Zusammenhau ge steht, die sich aber auch an einer anderen Stelle nicht mit mehr Recht einreihen ließe, dabei aber wegen der praktischen Bedeutung, die ihr zukommt, nicht ohne Beachtung bleiben darf.

Der Begriff der mechanischen Ähnlichkeit ist aus dem der geometrischen Ähnlichkeit hervorgegangen. Mechanische Ähnlichkeit zweier Systeme schließt die geometrische Ähnlichkeit zum mindesten in allen wesentlichen Bestimmungsstücken ein, wird aber dadurch nicht erschöpft. Man kann z. B. zwei Maschinen nach denselben Plänen und Werkzeichnungen bauen, indem man etwa die eingeschriebenen Maße einmal als englische Zolle, ein anderes Mal als Zentimeter deutet. Die Maschinen sind dann geometrisch ähnlich und, solange sie Stillstehen, besteht gar keine Veranlassung; ihre Ähnlichkeit zu bezweifeln. Sobald sie aber in Betrieb kommen, werden sie sich im allgemeinen ganz verschieden verhalten. Während die eine von beiden vielleicht vollständig befriedigend arbeitet und sich als tüchtig durchkonstruiert bewährt, wird die andere bald eine große Zahl von Fehlern aufweisen, wenn sie sich nicht schon von vornherein als ganz untauglich erweist.

Der Grund für das abweichende Verhalten ist leicht einzusehen. Die den Flächen proportionalen äußeren Kräfte wachsen mit den Flächen, also im Verhältnisse n², wenn n das lineare Vergrößerungsverhältnis bedeutet. Das Verhältnis n² würde z. B. bei dem treibenden Dampfdrücke zutreffen, wenn beide Maschinen Dampfmaschinen wären und von demselben Kessel aus betrieben werden sollen. Die Gewichte der Teile wachsen mit dem Volumen, also im Verhältnisse nz. Wollte man verlangen, daß die Maschinen entsprechende Wege in gleichen Zeiten zurücklegen, so müßten die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen im Verhältnissen zueinander stehen. Zwischen den nach dem d’Alembert sehen Prinzip einzuführenden Trägheitskräften hätte man dann das Verhältnis n³ • n oder n⁴. Da die miteinander in Vergleich zu bringenden Kräfte in so verschiedenen V erhältnissen wie n², n³, n⁴ an wachs en, müßte das Verhalten beider Maschinen natürlich ein ganz verschiedenes sein, d. h. trotz der geometrischen Ähnlichkeit sind die Maschinen mechanisch einander durchaus nicht ähnlich.

Man kann sich aber die Aufgabe stellen, zwei geometrisch ähnliche Maschinen so zu konstruieren, daß sie sich auch mechanisch ähnlich verhalten. Durch die vorhergehenden Erwägungen wird dies nicht ausgeschlossen. Es steht uns nämlich, um bei dem gewählten Beispiele zu bleiben, frei, beide Dampfmaschinen mit verschiedenem Dampfdrücke zu betreiben und zugleich auch die Umlaufsgeschwindigkeit verschieden zu wählen. Außerdem könnte man sich auch bei beiden Material von verschiedenem spezifischen Gewichte angewendet denken, also etwa Eisen im einen, Aluminium im anderen Falle. In dieser Hinsicht ist man freilich praktisch an enge Grenzen gebunden. Jedenfalls kann man es aber durch solche Mittel dahin bringen, daß die Oberflächenkräfte, die Gewichte und die Trägheitskräfte bei beiden Maschinen in gleichen Verhältnissen zueinander stehen, so daß sich die Maschinen auch mechanisch ähnlich verhalten, d. h. so, daß die Bewegungsvorgänge im einen Falle ein getreues Abbild von jenen im anderen Falle darstellen, bei dem nur Längen, Zeiten und Kräfte in festen Verhältnissen vergrößert oder verkleinert erscheinen.

Von praktischer Bedeutung sind diese Betrachtungen namentlich immer dann, wenn man von dem Verhalten eines, der Kostenersparnis wegen zunächst in kleinerem Maßstabe ausgeführten Modells auf die Eigenschaften einer nach diesem Modell zu erbauen den g roßen Mas chine schließen will. Von diesem Mittel wird sehr häufig Gebrauch gemacht; so wird z. B. vor dem Baue eines großen Schilfes, das in wesentlichen Punkten von früheren Ausführungen ab weichen soll, gewöhnlich zunächst ein Modell desselben hergestellt, mit dem man Versuche über den Schiffswiderstand bei verschiedenen Geschwindigkeiten an stellt, um danach beurteilen zu können, wie groß die Maschinenstärke des Schiffes sein muß, um diesem eine gewisse Geschwindigkeit zu erteilen usf.

Strenge mechanische Ähnlichkeit läßt sich in solchen Fällen meist entweder gar nicht oder wenigstens nur mit einem unverhältnismäßigen Aufwand von Mitteln erreichen. Es genügt aber, wenn nur in den wesentlichen Punkten, die man gerade untersuchen will, eine Übereinstimmung erzielt wird, während man sonst Abweichungen, die zur Bequemlichkeit oder zur Ermöglichung der Ausführung geboten sind, unbedenklich zulassen kann. Natürlich erfordert die richtige Abwägung darüber, wie weit man in dieser Hinsicht gehen darf, im einzelnen Falle ein eingehendes Studium aller Nebenumstände, die etwa auf den Erfolg von Einfluß sein könnten.

Am einfachsten gestaltet sich die Betrachtung, wenn nur das statische Verhalten in Frage kommt. Eine Tragkonstruktion, etwa ein Brückenträger oder ein Dachverband, möge im Modell ausgefübrt sein und man fragt, wie man aus den am Modell beobachteten Erscheinungen auf das Verhalten der in A-faclier Größe ausgeführten Konstruktion schließen kann. Wenn das Modell der Konstruktion geometrisch ähnlich aus demselben Material nachgebildet ist, müssen die Lasten, die man am Modell aufhängt, im Verhältnisse 1 : A² zu den an der Konstruktion auftretenden Lasten bemessen sein. Die Spannungen der einzelnen Stäbe erscheinen dann ebenfalls im Verhältnisse 1 : A², d. h. im selben Verhältnisse wie die Querschnitte, so daß die bezogenen Spannungen und hiermit die Beanspruchung des Materials in beiden Fällen dieselbe bleibt. Auch die Sicherheit gegen Ausknicken ist in beiden Fällen die gleiche, denn die Knicklast eines Stabes ist nach der Euler sehen Formel — etwa bei frei drehbaren Enden —

P = 7t¹

E@ l* ’

und da E konstant ist, & im Verhältnisse 1 : A⁴ und l im Verhältnisse 1 : A steht, folgt, daß auch die Knicklasten das Verhältnis 1 : A² haben, also dasselbe Verhältnis wie die von den Stäben aufzunehmenden Kräfte.

Hierbei ist zunächst vorausgesetzt, daß das Eigengewicht der Konstruktion in beiden Fällen keine wesentliche Rolle spielt. Kommt dieses aber mit in Betracht, so ist zu beachten, daß es im Verhältnisse 1 : A³ steht, daß also die große Konstruktion davon stärker beansprucht wird als das Modell. Um die Bedingung der mechanischen Ähnlichkeit in diesem Falle, wenigstens in der Idee, streng aufrechtzuerhalten, müßte man schon voraussetzen, daß das spezifische Gewicht des Materials, aus dem das Modell besteht, A mal so groß sei, als bei der großen Konstruktion, während der Elastizitätsmodul und die zulässige Beanspruchung beider Materialien immer noch die gleichen sein müßten. Dies läßt sich natürlich nicht verwirklichen; man kann sich aber praktisch ganz gut dadurch helfen, daß man das Modell noch mit Zusatzgewichten belastet, die passend, etwa auf die Knotenpunkte, verteilt sind, so daß der Unterschied in der Beanspruchung durch das Eigengewicht hierdurch ausgeglichen wird. Wenn man in der hier geschilderten Weise verfahrt, kann man aus den elastischen Deformationen und den sonstigen Festigkeitseigenschaften des Modells zuverlässige Schlüsse auf das statische Verhalten der großen Konstruktion ziehen. Auch das Verhalten unter dem Einflüsse gleicher Temperaturänderungen wird in beiden Fällen das gleiche sein. Voraussetzung ist natürlich, daß auch sonst in der Tat alle Bedingungen übereinstimmen, daß also die Kräfte in beiden Fällen in der gleichen Weise angreifen, daß das Material in den kleinen Stücken von derselben Beschaffenheit ist wie in den großen usf. Dies ist ja freilich eigentlich selbstverständlich; es sollte aber noch besonders betont werden, weil in dieser Hinsicht große Vorsicht geboten ist, damit nicht irgendein für den Erfolg sehr wesentlicher Nebenumstand, der eine Abweichung von den Anforderungen der mechanischen Ähnlichkeit in sich schließt, bei flüchtiger Betrachtung übersehen wird.

Dies alles bezieht sich indessen nur auf das statische Verhalten. Schon wenn man im vorhergehenden Falle Schlüsse über die Schwingungen, die die Konstruktion unter dem Einflüsse bewegter Laster ausführt, aus Versuchen am Modell ziehen will, reichen die vorigen Betrachtungen nicht mehr aus. Wir fassen daher jetzt die Frage von einem allgemeineren Standpunkte her an, der zugleich die dynamischen Verhältnisse zu berücksichtigen

gestattet.

Das Verhältnis der maßgebenden Längen (wobei unwesentliche Abweichungen im einzelnen ebenso wie in den folgenden Fällen immerhin gestattet werden können) sei abermals 1. Das Verhältnis der von außenher übertragenen Kräfte mit Ausschluß der Eigengewichte sei dagegen jetzt allgemein mit % bezeichnet; ferner sei das Verhältnis der Massen g und das Verhältnis der Zeiten r. Wenn beide Systeme mechanisch ähnlich sein sollen, müssen sie in entsprechenden Zeiten t und xt in gleichen Stellungen sein und in gleicher Art von Kräften P und jtP beansprucht werden. Mit anderen Worten heißt dies, daß alle Größen, die die Bewegung und den Zustand beider Systeme be-

schreiben, identisch miteinander werden, wenn man sie in beiden Fällen auf verschiedene Einheiten bezieht. Dann gelten auch alle Gleichungen der Mechanik, die man für das eine der beiden Systeme anschreibt, ohne jede Änderung für das andere. Aus diesen Gleichungen läßt sich die spätere Bewegung des Systems voraussehen, wenn der Anfangszustand und alle übrigen Bedingungen hinreichend gekennzeichnet sind. Da die Gleichungen mit allen Nebenbedingungen in beiden Fällen identisch sein sollten, beziehen sich auch die Schlüsse, die man aus ihnen ziehen kann, in gleicher Weise auf beide Systeme und daraus folgt, daß in der Tat bei gleichen Anfangsbedingungen auch der spätere Verlauf in beiden Fällen übereinstimmen muß.

Die Verhältniszahlen l, it, g, t sind aber nicht unabhängig voneinander. In der Mechanik kommen nur drei Fundamentaleinheiten vor, die man beliebig wählen kann, während jede andere Einheit dadurch mit bestimmt ist. Daher können auch nur drei von den vorhergehenden Verhältniszahlen beliebig gewählt werden. Nach dem dynamischen Grundgesetze ist die Kraft gleich der Masse mal der Beschleunigung. Sind in einem Maßstabe alle diese drei Größen in einem bestimmten Falle gleich der Einheit, so muß die Beziehung auch noch gültig bleiben, wenn man dieselben Größen nach dem anderen Maßsysteme ausmißt, d. h. man hat

(202)

7t = a ~ oder jtt² =

und diese Gleichung spricht die Hauptbedingung aus, die hei der Konstruktion der Modelle von Maschinen im Auge behalten werden muß.

Zu dieser Hauptbedingung treten noch Nebenbedingungen, je nach den Anforderungen, die man an den Grad stellt, in dem die mechanische Ähnlichkeit beider Systeme verwirklicht sein soll. Wenn die Eigengewichte der Körper, die den Massen proportional sind, neben den anderen Kräften nicht vernachlässigt werden dürfen, hat man

jt = und hiermit t² = A zu setzen. Man hat dann nur noch zwei Verhältniszahlen zur beliebigen Wahl frei. Verlangt man außerdem, wie in dem vorausgehenden statischen Beispiele, daß die Beanspruchung des Materials und das elastische Verhalten in beiden Fällen übereinstimmen, so muß, wie wir uns schon vorher überzeugten,

(203)

(204)

7t — [L = A² = T⁴

sein. Wir haben dann nur noch eine Verhältniszahl zur Verfügung und sind, um strenge mechanische Ähnlichkeit herzustellen, genötigt, in beiden Systemen Stoffe mit verschiedenen spezifischen Gewichten vorauszusetzen, die sich aber sonst in allen Eigenschaften gleichen.

Da das zuletzt erhobene Verlangen praktisch nicht erfüllbar ist, verzichtet man entweder auf die Berücksichtigung des Spannungszustandes und hiermit der elastischen und der Festigkeitseigenschaften beider Systeme oder man vernachlässigt (je nach der Lage des einzelnen Falles) das Eigengewicht neben den übrigen äußeren Kräften, nimmt dagegen, um gleiches Material bei beiden Systemen voraussetzen zu können,

(205)

= A³,

eine Gleichung, die sich mit den Bedingungen (204) nicht vereinigen läßt.

An einigen Beispielen wird man am besten erkennen, wie diese Bedingungen zu verwerten sind. Zunächst sind zwei geometrisch ähnliche Pendel auch mechanisch ähnliche Systeme. Da bei ihnen das Eigengewicht in Frage kommt, muß man 7t = u und daher wie in Gl. (203) r² = A setzen. Nach der Beanspruchung des Pendelmaterials und nach den elastischen Formänderungen, die das Pendel während der Schwingungen erfährt, fragt man in diesem Falle nicht. Wir sind daher nicht an die Erfüllung der Bedingungen (204) gebunden, ebensowenig an die Bedingung (205), können vielmehr ganz beliebig wählen, d. h. es macht keinen Unterschied, wie groß das spezifische Gewicht des Pendelmaterials in beiden Fällen gewählt wird. Wesentlich bleibt nur die Bedingung

T² = X, die uns aussagt, daß sich die Schwingungsdauern wie die Quadratwurzeln aus den Pendellängen verhalten.

Als zweites Beispiel betrachten wir das Modell eines Schiffes, mit dessen Hilfe der Schiffswiderstand ermittelt werden soll. Das mechanische System, das ähnlich nachgebildet werden soll, besteht hier nicht nur aus dem Schiffe, sondern sehr wesentlich auch aus dem sich um das Schiff bewegenden Wasser. Hier ist daher an Gl. (205) festzuhalten, durch die ausgedrückt wird, daß es sich in beiden Fällen um dieselbe Flüssigkeit handelt. Außerdem müssen auch die Gleichungen

(203)    erfüllt sein, da das Eigengewicht des Systems nicht vernachlässigt werden darf, sondern im Gegenteile eine wichtige Rolle spielt. Auf die durch die Gleichungen (204) ausgedrückte Bedingung, daß die spezifischen Spannungen richtig nachgebildet werden, müssen wir dagegen verzichten, weil sich die Gleichungen

(204)    mit den anderen Bedingungen, auf die hier das Hauptgewicht zu legen ist, nicht vereinigen lassen.

Durch Verbindung der Gleichungen (203) und (205) er-

hält man

n = g = A⁸ = T⁶.

Macht man etwa X = 9 (das Modell in — der Schilfsgröße), so

wird r = 3. Die Geschwindigkeit des Modells muß, um den Vorgang mechanisch ähnlich zu gestalten, demnach so bemessen werden, daß es entsprechende Wege im dritten Teile der Zeit zurücklegt, als das Schiff. Das Geschwindigkeitsverhältnis sei y; dann folgt aus den Dimensionen der Geschwindigkeit

-yx,

also hier y = 3. Soll also das Schiff etwa 12 m in der Sekunde zurücklegen, so muß die Geschwindigkeit des Modells 4 m sec ~1 betragen. Mißt man nun die Kraft, die man aufwenden muß, um das Modell mit der konstanten Geschwindigkeit von 4 m sec“1 vorwärtszubewegen und bezeichnet sie mit B, so ist der Schiffswiderstand bei der entsprechenden Geschwindigkeit gleich 7t B, also gleich BP oder in unserem Falle gleich 729 B. — Diese

Methode, den Schiffswiderstand unter den Bedingungen der mechanischen Ähnlichkeit am Modell zu untersuchen, rührt von Froude her.

Dieselben Beziehungen bleiben auch für Luftschiffe oder Flugzeuge gültig. Wie die Erfahrung lehrt, wächst der Luftwiderstand eines in ruhender Luft translatorisch bewegten starren Körpers proportional mit dem Quadrate der Geschwindigkeit und bei ähnlichen Körpern verhalten sich bei der gleichen Geschwindigkeit die Luftwiderstände zueinander wie die Querschnittsflächen oder wie die Quadrate der Längen. Daraus folgt,, daß sich die Geschwindigkeiten von Modell und Luftschiff wie 1 : Y l verhalten müssen, damit der Luftwiderstand in beiden Fällen den gleichen Bruchteil des Eigengewichts ausmacht, also im Verhältnisse 1 : A³ wächst.

Hierbei wird vorausgesetzt, daß die Oberflächenreibung zwischen Schiff und Flüssigkeit vernachlässigt werden darf, was in der Regel zulässig ist. Vorgänge, bei denen die Flüssigkeitsreibung eine entscheidende Rolle spielt, folgen dagegen einer anderen Ähnlichkeitsregel, auf die ich später noch Qn § 57) zurückkommen werde.

Schließlich wähle ich noch ein Beispiel zur näheren Besprechung aus, das ich dem Werte von Routh, Dynamik der Systeme starrer Körper, deutsch von Sch epp, Bd. I, S. 300 entnehme. Dort heißt es:

„Man soll die Durchbiegung einer Brücke von 15 m Länge und 100 t Gewicht, wenn eine Maschine, die 20 t wiegt, mit der Geschwindigkeit von 64 km in der Stunde über sie fährt, durch Experimente feststellen, die an einem Modell der Brücke gemacht werden, das 1,5 m lang ist und 2,8 kg wiegt. Man finde das Gewicht des Modells der Maschine und nehme an, das Modell der Brücke sei so steif, daß die statische Durchbiegung in der Mitte unter dem Modell der Maschine ein Zehntel derjenigen der Brücke unter der Maschine selbst beträgt, und zeige, daß dann die Geschwindigkeit des Modells der Maschine etwa 5,6 m in der Sekunde betragen muß.‘l

Das Beispiel ist insofern bemerkenswert, als die Fassung der Aufgabe leicht zu einem Zweifel darüber Veranlassung geben kann, ob die Bedingungen der mechanischen Ähnlichkeit hier überhaupt noch genügend gewahrt sind. Strenge mechanische Ähnlichkeit besteht offenbar nicht, und überdies gehen auch die Abweichungen davon weiter, als es die praktischen Rücksichten erfordern. Weder die speziellen Bedingungen (204) noch die damit nicht vereinbare Bedingung (205) sind hier erfüllt. Wäre das Modell der Brücke geometrisch ähnlich und aus dem gleichen Material hergestellt, so müßte das Modell ein Gewicht von 100 kg haben, da l hier gleich 10 ist. Um dagegen genaue Übereinstimmung hinsichtlich des elastischen Verhaltens und der Beanspruchung des Materials herzustellen, müßte die Bedingung (204) erfüllt sein, d. h. das spezifische Gewicht des Materials müßte am Modell das Zehnfache von dem an der Brücke betragen oder es müßte wenigstens in der früher besprochenen Weise durch eine Zusatzlast das Eigengewicht des Modells entsprechend erhöht werden, während es in dem Beispiele umgekehrt niedriger angenommen ist, als es bei bloßer geometrischer Nachbildung in dem gleichen Materiale ausfiele. Auf eine Übereinstimmung des Verhaltens in jeder Hinsicht ist daher in der Aufgabe stillschweigend von vornherein verzichtet.

Das hindert jedoch nicht, daß man auch bei dieser unvollkommenen Annäherung an die strengen Bedingungen der mechanischen Ähnlichkeit aus dem Versuche am Modell erfahren kann, was man zu wissen wünscht, falls nur vorausgesetzt werden darf, d.aß das Material weder an der Brücke noch am Modell über die Proportionalitätsgrenze hinaus beansprucht wird, was von vornherein freilich keineswegs feststeht.

, i = 10, T=yio.

Da das Eigengewicht hier eine wesentliche Rolle spielt, muß auf jeden Fall die Bedingung (203) erfüllt sein. Mit Rücksicht auf die Zahlenangaben der Aufgabe hat man daher 100000

^ ⁼ ^ ⁼ 2,8

Hieraus folgt zunächst, daß das Gewicht des Modells der Maschine gleich

²⁰⁰⁰⁰ ■ däM = °’⁶⁶

sein muß. Für das Geschwindigkeitsverhältnis y hat man wie im vorigem Beispiele

= ŸX = Y10 = 3,16.

oder rund 5,6 m sec⁻¹

Das Modell muß daher mit der Geschwindigkeit 64000 m

3,16 • 3600 sec

über das Brückenmodell geführt werden, wie in der Aufgabe schon angegeben ist. — Bei Erfüllung der angegebenen Bedingungen hat man aber in der Tat für jede Stellung der Maschine und des Modells geometrisch ähnliche Durchbiegungslinien zu erwarten. Man tut gut, sich davon besonders zu überzeugen, indem man auf die Differentialgleichung (172) zurückgeht, die von einem schwingenden Stabe erfüllt sein muß. Diese Gleichung lautete

dx*

wobei zu beachten ist, daß y, darin eine andere Bedeutung hatte als die ihm vorhin zugeschriebene. In dieser Form möge sich die Gleichung auf die Brücke beziehen; für das Modell gilt eine von der gleichen Form, nämlich

d'Vx

dx\

Zum Vergleiche zwischen E& und Ei&₁ dient die Bemerkung der Aufgabe, daß der statische Biegungspfeil bei der Stellung der Last in der Brückenmitte oder Modellmitte im Längenverhältnisse X gefunden wird. Nach Gl. (82) von Band III ist der Biegungspfeil f

und hiernach

f-

PP

48 E0

und /j =

PA

48 Et &x >

f    ₁ kV

fx    ⁴    E&:Ex@l

Ferner ist das Verhältnis der auf die Längeneinheit entfallenden Massen

oder

E0

jtls.

wobei g wieder in derselben Bedeutung wie in der Differentialgleichung gebraucht ist. Außerdem ist y = Xylf x = lx₁ und t = xt^ zu setzen. Multipliziert man die für das Modell geltende Differentialgleichung auf beiden Seiten mit der Konstanten

% A² •

-,    7t A

oder ,    -, was wegen der hier erfüllten Beziehung r² = X auf dasselbe hinauskommt, so geht die Differentialgleichung in die für die Brücke geltende über. Durch die Differentialgleichung wird aber im Zusammenhänge mit den Grenz- und Anfangsbedingungen der zeitliche und örtliche Verlauf der Stabschwingung vollständig beschrieben, und da auch diese Bedingungen im Modell, so weit als erforderlich, genau nachgebildet sind, hat man in beiden Fällen, abgesehen von den verschiedenen Maßstäben, in denen die Zeit- und Längengrößen auszumessen sind, genau den gleichen Schwingungsvorgang zu erwarten.

Auch in anderen Fällen, bei denen Abweichungen von den strengen Bedingungen der geometrischen Ähnlichkeit unvermeidlich oder durch die Festsetzungen der Aufgabe vorgeschrieben sind, wird man stets am besten tun, sich durch unmittelbares Zurückgehen auf die Differentialgleichung des ganzen Vorgangs am einzelnen Objekt oder überhaupt auf die spezielle mechanische Theorie dieses Vorgangs davon zu überzeugen, ob und inwiefern jene Abweichungen zulässig sind, ohne den Vergleich unmöglich zu machen. Auf diese Art kann man aus Differentialgleichungen eines mechanischen Problems auch dann noch leicht Nutzen ziehen, wenn die unmittelbare Lösung der durch die Differentialgleichung umschriebenen Aufgabe nicht möglich ist.

Aufgaben zum 2., 3. und 4. Abschnitt.

15. Aufgabe. Ein Stab, auf den sonst keine äußeren Kräfte wirken und der vorher in Kühe war, erhält plötzlich einen Stoß von gegebenem Impulse an seinem einen Ende rechtwinklig zur Längsrichtung ; man soll die zustande kommende Bewegung angeben.

Lösung. Man kann die Aufgabe entweder mit Hilfe des Flächensatzes oder mit Hülfe des d’Alembertschen Prinzips lösen; wir entscheiden uns hier für das d’Alembert sehe Prinzip, weil man dieses ohnehin anwenden muß, wenn etwa daneben noch nach der Biegungsbeanspruchung gefragt werden sollte, die der Stab bei dem Stoße erfährt.

Es wird sich vor allen Dingen darum handeln, den Bewegungszustand des Stabs unmittelbar nach dem Stoße zu erfahren. Die Bewegung ist jedenfalls eine ebene; der Stab bewegt sich nämlich in jener Ebene, die durch die Stabmittellinie und durch die Richtung der Stoßkraft gelegt werden kann. Eine ebene Bewegung kann in jedem Augenblicke als eine Drehung um eine zur Bewegungsebene senkrechte Achse oder, wie man einfacher sagen kann, als eine Drehung um einen in dieser Ebene enthaltenen Punkt aufgefaßt werden. Wir wollen die Lage dieses Momentanzentrums aufsuchen. Da sich der Schwerpunkt in der Richtung der Stoßkraft P, also rechtwinklig zur Stabachse bewegt, folgt zunächst, daß das Momentanzentrum jedenfalls auf der Stabachse liegen muß. Wir brauchen also nur noch die genaue Lage dieses Punktes auf der Stabachse zu ermitteln.

—i’

⁰ ‘~*4 r

Abb. 59.

'i

'W

Dazu bringen wir an jedem Massen element des Stabes in einem bestimmten Augenblicke während des Stoßes eine Trägheitskraft an. In Abb. 59 sei AB die Stabmittellinie; die Stoßkraft P wirke am Ende B. Wenn die Masse des Stabs mit m und seine Länge mit l bezeichnet wird, kommt auf ein Längen element da; im Abstande x

mdx

• Wenn die Winkelgeschwin-

vom Momentanzentrum 0 die Masse digkeit

die Geschwindigkeit v dieses Massenelementes gleich ux und man hat

zur

Zeit t (während des Stoßes) mit u bezeichnet wird, ist

dv

du

di~~xdt'

Dieser Beschleunigung entspricht eine Trägheitskraft von der Größe

mdx du

~lTXdt ’

die also mit x proportional ist. Denkt man sich die Trägheitskräfte überall abgetragen, so liegen die Endpunkte auf einer durch 0 gehenden geraden Linie, die in der Abbildung mit CB bezeichnet ist. Die Trägheitskräfte müssen nun in jedem Augenblicke während des Stoßes

mit der Stoßkraft P im Gleichgewichte stehen. Wir schreiben eine Momentengleichung für 0 als Momentenpunkt an und erhalten

m du Idt

^ x² dx -f- J*x\ dxt I

Mit x± sind hier die Abstände der nach links hin von 0 liegenden Stabteile bezeichnet. Die Ausführung der Integrationen liefert

Pz =

mdu z³ -f- zl Idt' 3

Zugleich muß aber die algebraische Summe aller Kräfte gleich Null sein. Wir haben daher noch die weitere Gleichung (die auch schon aus dem Satze über die Bewegung des Schwerpunkts hervorgeht)

m du l dt

^j*vdx — J *xidx^j

m duz² — z\ l dt 2

Der Vergleich beider Gleichungen liefert z³-\-z\_z³ — zz\

oder z³ = 2 z\ -f- 3 zz\.

O 7

z)³ -f- Sz(l — z)² und hieraus z = —

Setzt man nun noch zx = l — z ein, so geht dies über in z³ = 2(1

Die vorausgehende Gleichung für P geht damit über in

m du P l dt 6 ’

und hiernach ist die Winkelgeschwindigkeit, die der Stab nach Ablauf des Stoßes erlangt hat,

Pdt.

Wenn von einem Stoße gesprochen wird, setzt man dabei stillschweigend voraus, daß die Zeit, während deren er ausgeübt wird, so klein ist, daß sich der Körper inzwischen nicht merklich aus der Anfangslage verschieben kann. Wir kennen daher jetzt den Bewegungszustand des Stabes unmittelbar nach dem Stoße vollständig. Weiterhin wirken keine äußeren Kräfte mehr auf ihn ein, und er bewegt sich daher nach den Lehren über die Bewegung eines sich selbst überlassenen Körpers. Der Schwerpunkt beschreibt also eine geradlinige

\Aj 1

Bahn mit der Geschwindigkeit —, die er beim Stoße erlangt hat. Zugleich dreht sich der Körper mit der Geschwindigkeit u stetig weiter,

denn die zugehörige Drehachse ist offenbar eine freie Achse. Alle übrigen Punkte außer dem Schwerpunkte beschreiben daher zykloidische Bahnen. — Sieht man P und die Trägheitskräfte als Lasten an dem ruhenden Stabe an, so kann auch die Biegungsbeanspruchung, die er erfährt, berechnet werden; man muß aber hierzu nicht nur wissen,

wie groß der Stoßimpuls f Pdt im ganzen ist, sondern auch, wie

groß die Kraft P zu irgendeiner Zeit selbst ist. Je schneller der Stoß bei gegebenem Impuls sich abspielt, um so größer wird die Biegungsbeanspruchung, und bei sehr großen Werten von P wird es auch nötig, die elastische Formänderung des Stabes während des Stoßes zu verfolgen, wovon bei der vorausgegangenen Rechnung abgesehen werden konnte.

Anmerkung. Auf andere Art läßt sich die Aufgabe auch lösen, indem man von der in § 40 besprochenen Massenreduktion Gebrauch macht. Die Masse des Stabes ist hierzu durch eine Masse ml zu ersetzen, die mit dem Angriffspunkte der Stoßkraft zusammenfällt, und durch eine zweite Masse mi: deren Lage sich aus den Gl. (l 71) ergibt. Dann erfährt mx eine Beschleunigung durch P, während m₂ zunächst in Ruhe bleibt. Die Lage von m₂ fällt daher mit dem Momentanzentrum zusammen. — Falls nach der Biegungsbeanspruchung des Stabes gefragt wird, kann aber von diesem Verfahren kein Gebrauch gemacht werden.

16. Aufgabe. Eine 80 cm lange Stange, deren Masse vernachlässigt werden soll, trägt an beiden Enden Kugeln K (Abb. 60) von je 30 kg G-ewicht. Die Kugeln sollen als materielle Punkte angesehen werden. An einer Stelle A, die vom linken Stangenende um 20 cm entfernt ist, erfährt die Stange einen Stoß rechtwinklig zu ihrer Längsrichtung. Die Stoßkraft P sei gleich 500 kg und wirke ohne Änderung ihrer Größe 0,01 sec lang. Welche Geschwindigkeit v hat der Schwerpunkt nach Ablauf des Stoßes erlangt? Um welches Momentanzentrum dreht sich die Stange während des Stoßes ? Wie groß ist das Biegungsmoment _M, das die Stange aufzunehmen hat?

Lösung. Die erste Frage wird beantwortet auf Grund des Satzes von der Bewegung des Schwerpunkts in Verbindung mit dem Satze vom Antrieb. Danach ist

fPdt =

oder nach Einsetzen der Zahlenwerte

5 kg sec =    sec² • v,

⁶    9,81 m    ’

woraus v = 0,8175 msec⁻¹ oder rund v = 0,82 m sec⁻¹ folgt.

M — 375 kg • 20 cm = 75 mkg.

17. Aufgabe. Die Pleuelstange einer Dampfmaschine hat 50 cm Länge und bei gleichbleibender Dicke einen kreisförmigen Querschnitt von 4 cm Durchmesser. Der Kurbelhalbmesser beträgt 10 cm. Wieviel Umdrehungen darf die Kurbel in der Minute machen, ohne daß die Biegungsbeanspruchung der Stange 500 kg cm~² überschreitet?

Lösung. Wie in § 17, S. 140 gefunden wurde, ist die im Abstande z vom Kreuzkopfende auf die Längeneinheit der Stange kommende Belastung ą

gi

wenn Q das Gewicht, l die Länge der Stange, r den Kurbelhalbmesser und u die Winkelgeschwindigkeit bedeuten. Die Summe aller Trägheitskräfte folgt daraus zu

2 gl

Die an den beiden materiellen Punkten K anzubringenden Trägheitskräfte müssen mit der Kraft P im Gleichgewicht stehen. Wie aus der Zerlegung von P nach den beiden Richtungslinien folgt, haben beide Trägheitskräfte jedenfalls gleiche Pfeile, die dem Pfeile von P entgegengesetzt sind, und sie verhalten sich zueinander wie 20 : 60 oder wie 1: 3. Beide Kugeln K werden daher in der gleichen Richtung beschleunigt, und das Momentanzentrum liegt in der Verlängerung der Stange nach rechts hin. Die Abstände von beiden Kugeln zum Momentanzentrum müssen sich ebenfalls wie 1: 3 ver-

/C halten; das Momentanzentrum liegt daher in einem Abstande von 40 cm j vom rechten Stangenende.

Aus der Gleichgewichtsbedingung zwischen P = 500 kg und den beiden Trägheitskräften folgt ferner, daß die Trägheitskraft an der linken Kugel 375 kg und an der rechten Kugel 125 kg beträgt. Um die Biegungsbeanspruchung der Stange zu finden, haben wir uns die Stange unter dem Einflüsse dieser Lasten in Ruhe zu denken. Die Momentenfläche ist ein Dreieck, und • das größte Biegungsmoment M tritt an der Angriffsstelle der Last P auf. Man hat daher

\*~2Ö

Ue-

l\

80

Abb. 60.

ru² • l.

Da die Belastungsfläche ein Dreieck bildet (s. Abb. 28, S. 139), wird der Auflagerdruck am linken Ende gleich — der ganzen Last und daher gleich

4 QruK

Das Biegungsmoment im Abstande z vom linken Ende ist daher

z z

T* 2 ; *

Differentiiert man M nach z, setzt den Differentialquotienten gleich Null und löst nach z auf, so erhält man

ru² z —

ru²

z =

y 3

und nach Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung für M findet man

-^=‘Qru²l.

9J/3    9

Wenn der Halbmesser des Querschnittskreises mit a bezeichnet wird, hat man für das Widerstandsmoment

W =

4

Mmax

und daher für die Biegungsbeanspruchung der Stange

ru²l.

⁰ 9ŸS * *^9

Bezeichnet man das Gewicht der Raumeinheit Stahl mit y, so hat man

Q = na²ly,

und damit geht a über in

4 y ru*l*

G = -— • - • ” TT-

9]/3    9

Wählt man als Grundeinheiten cm, kg, sec, so läßt sich dafür mit y = 0,0078

kg

cm³

c = 2,04 • 10“ ⁶ ■ — a

schreiben. Diese Formel gilt noch für beliebige Werte von r, n, l und a. Setzt man jetzt

g = 500

kg

cm² ’

l — 50 cm, r — 10 cm, er = 2 cm

und löst die Gleichung nach der Unbekannten u auf, so findet man

u = 140 • — •

Die Zahl der Umdrehungen n in der Minute findet man daraus durch Multiplikation mit 60 und Division mit 2 n, oder rund

n = 1340.

18.    Aufgabe. Man soll die Biegungsbeanspruchung einer Kuppelungsstange AB zwischen zwei Treibrädern einer Lokomotive berechnen (vgl. Abb. 61).

Lösung. Die Aufgabe kann ganz ähnlich wie die vorhergehende

Abb. 61.

behandelt werden; sie ist aber insofern einfacher, als sich die Bewegung der Kuppelungsstange in zwei Anteile zerlegen läßt, von denen der eine die gleichförmige geradlinige Translationsbewegung darstellt, die die Stange mit dem Fahrzeuge zusammen ausführt, wahrend der andere Anteil in der Relativbewegung gegen das Fahrzeug besteht. Der erste Anteil kann zu keinen Trägheitskräften führen; man braucht sich also nur um den zweiten zu kümmern. Dieser besteht ebenfalls in einer Translation sbewegung, bei der alle Punkte Kreise vom Halbmesser r zurücklegen. Die Trägheitskräfte sind daher Zentrifugalkräfte von der Größe mu²r und gleichmäßig über die ganze Stangenlange verteilt. Die Biegung wird am größten, wenn die Zentrifugalkräfte senkrecht zur Stange stehen, also in der tiefsten oder in der höchsten Lage der Stange; bei der tiefsten addiert sich noch die Biegung durch das Eigengewicht, das freilich gegenüber den Trägheitswirkungen bei einer schnellaufenden Lokomotive nur gering ist.

19.    Aufgabe. Eine Stange AB (Abb. 62) von 160 cm Länge und von geringer Masse, die vernachlässigt werden soll, trägt in der Mitte einen materiellen Punkt m, dem ein Gewicht von 200 kg zugeschrieben wird. Bas Stangenende A ist auf der Geraden CB, das Ende B auf der zu CB senkrechten Geraden EF geführt. Bas Stangenende B beschreibt harmonische Schwingungen zwischen den äußersten Lagen E und F, und zwar führt es in der Minute 200 volle Schwingungen aus. Bie den Endlagen E und F entsprechenden äußersten Lagen der Stange sind punktiert in die Abbildung eingetragen; sie sollen Winkel von 45° mit den beiden Führungsgeraden einschließen. Zuerst soll man für die Lage BE der Stange die an m anzubringende Trägheitskraft nach Größe und Bichtung ermitteln.

Ferner wird gefragt, wie groß das durch die Trägheitskraft hervorgerufene größte Biegungsmoment ist, das die Stange während ihrer Bewegung aufzunehmen hat, und hei welcher Stellung der Stange es eintritt.

Lösung. Die Koordinaten x und y des in der Stangenmitte gelegenen Massenpunktes m lassen sich setzen

x = lcoscp: y = lsmcp,

wenn man die halbe Stangenlange mit l und den Winkel, den die Stange zur Zeit t mit der X-Achse einschließt, mit cp bezeichnet. Daraus folgt weiter

x¹ + y* - l\

woraus hervorgeht, daß sich m auf einem Kreisbogen vom Halbmesser l bewegt, dessen Mittelpunkt auf dem Ursprünge 0 des Koordinatensystems liegt.

Differentiiert man die vorhergehende Gleichung nach t, so erhält man

N, y

CA

zy

fr—

"l

' 45°

/ i\y

■ ¹ x <j>

äx

dij

x dt ^ y dt

und durch nochmalige Differentiation findet man

dzx

xSt'--

M«\*_ (dy\* \dt) \dt ) '

Durch diese beiden Gleichungen kann man die X- Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung von m berechnen, wenn die Y-Komponenten bereits bekannt sind. Andererseits hat man aber nach der Bedingung, daß B eine harmonische Schwingung ausführen soll, für y, also für die Hälfte des Abstandes OB, die Gleichung

Abb. 62.

y = a sin a t,

= a²1 m sin cp.

Zuerst sollte die Trägheitskraft für die äußerste Stellung DE der Stange angegeben werden. Für diese ist cp = 45° und daher

sin cp — cos cp =    • Damit liefern die vorhergehenden Ausdrücke

= + a²lm^/Ę-

worin a die Hälfte des Schwingungsausschlags OE ist. Da DE um 45° gegen die Koordinatenachsen geneigt sein sollte, besteht für a die Beziehung

a2== 2’

Unter a ist eine Konstante zu verstehen, deren Zahlenwert sich nach den Angaben der Aufgabe zu

ln

200    20 n 1

60

sec

berechnet. Aus der Gleichung für y erhält man durch Differentiieren

j = a a cos at = a ayl ^

= — a a² sin at = — a² y = — a²l sin cp.

Die X-Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung erhält man durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die vorher schon dafür aufgestellten Gleichungen, und zwar findet man zunächst

d²x X dP

und hieraus schließlich, indem man x und y in cp ausdrückt,

- aï"j/y — sin²qp

² x² -\-y*

= a²y² - a²{a² — y²) • -,

d²x

dP

_ł

\cos <p

— 2 sin³ qp

2 cos³ cp

Für die beiden Komponenten der d’Alembert sehen Trägheitskraft X und Y hat man hiernach die Ausdrücke

d²x

X — — m

dP

— a²Im

— 2 sin³ qp

2 cos⁸ qp

sin³ qp\ cos qp /

= -a²lmÿ\; Y

Da X in der Richtung der negativen X-Achse, Y dagegen in der Richtung der positiven Y-Achse geht und beide von gleicher

Größe sind, ergeben sie eine Resultierende, die unter 45° gegen beide Achsen geneigt ist und mit der Richtung der Stange in der Lage DE zusammenfällt. In dieser Lage erfährt daher die Stange keine Biegungsbeanspruchung durch die Trägheitskraft. Für die Größe H der Trägheitskraft erhält man

11= a²lm.

Setzt man cp = 0, entsprechend der mittleren Lage CO der Stange, so erhält man

r = o.

* a²Zm;

Auch in diesem Falle wird die Stange nicht auf Biegung beansprucht, da die Trägheitskraft nur noch die Komponente X hat, die mit der Stangenrichtung C 0 zusammenfällt. Die größte Biegungsbeanspruchung ist daher jedenfalls bei irgendeiner Zwischenlage zwischen cp — 0 und cp — 45° zu erwarten.

Die Biegungsbeanspruchung hängt von der Normalkomponenten N der Trägheitskraft ab. Um N zu finden, projizieren wir X und Y auf die Normale zur Stange und erhalten

N = X sin cp -j- Y cos cp.

Für X und Y setzen wir die vorher aufgestellten Ausdrücke ein und differentiieren nach cp. Wir erhalten

dN 2?f

d^ = ma l{

cos cp — 6 sin² qp cos cp

3 sin cp (sin cp — 2 sin ⁸qp)

2cos⁸qp

2 cos* cp

3 sin² cp

~ sin!M

und setzen diesen Ausdruck gleich Null. Dadurch erhalten wir eine Gleichung, die sich mit Benutzung der Abkürzungen

cos² cp = u\ sin² cp = 1 — u

nach einfachen Umformungen schreiben läßt

8 w³ — 4m²-)-2w — 3 = 0.

Um sie aufzulösen, setzen wir zunächst zur Beseitigung des quadratischen Glieds womit sie übergeht in

8v³ +|v = ^ = 2,74074.

Man überzeugt sich sofort, daß diese Gleichung keine negative Wurzel und nur eine positive reelle Wurzel haben kann, auf die es daher allein ankommt. Man findet diese Wurzel entweder nach der Cardanisehen Formel oder einfacher durch Probieren unter Benutzung der Newt on sehen Näherungsmethode zu

v — 0,6207 und hiermit u = 0,7874.

Für die gesuchte Lage der Stange, in der die Biegungsbeanspruchung den größten Wert annimmt, hat man daher

cos²cp = 0,7874; cos cp = 0,8873; sin cp = 0,4611 -, cp = 27°27'.

Es bleibt nur noch übrig, diese Werte von sin cp und cos cp in den Ausdruck für N einzusetzen, um damit jVmax zu erhalten. Nach Ausführung der Zahlenrechnung erhält man zunächst

-Vmax = muH • 0,4883 ,

und wenn man überdies

200 kg sec2 9781 m ’    “ ⁼    3

einsetzt, geht dies über in

20 7C

sec ’

0,8 m

JVmax = 3490 kg.

Das zugehörige maximale Biegungsmoment ist

-ITmax —

= 1396 mkg.

20. Aufgabe. Die Mittellinie eines Stabes hat die in Abb. 63 angegebene Z-förmige Gestalt. Der Stab rotiert um den in der Mitte liegenden Punlct 0; man soll die Biegungsbeanspruchung und die elastische Formänderung berechnen, die der Stab erfährt.

Lösung. Der eigentlich dynamische Teil der Aufgabe ist hier sehr einfach. Man braucht nur überall die Zentrifugalkräfte anzubringen, um die Aufgabe auf eine der Festigkeitslehre zurückzuführen. Die Zentrifugalkräfte am mittleren Teile tragen zur Biegung nichts bei, sondern nur die an den Seitenfortsätzen. Für einen Querschnitt mm berechnet man die Summe der statischen Momente der links von mm liegenden Zentrifugalkräfte C. Da C = mu^r ist, hat man für die Vertikalkomponente C' von C den Wert mu²a, d. h. die Lasten C' sind über den Seitenfortsatz gleichmäßig verteilt. Das größte Biegungsmoment tritt im Punkte A auf, und es ist

t>S> Cr⁴

-d/max ⁼ ~ ^ ü ,

wenn mit Q das Gewicht des seitlichen Armes bezeichnet wird. Auch der mittlere Stabteil wird verbogen und das Biegungsmoment kann für jeden Querschnitt nn ebenfalls sofort angegeben werden. Es ist

31= u*a~ —    u*\ (a — z) = —w²— z.

2    2 v    ' g 2

Für z = 0 wird 31 zu Null. — Nachdem die Biegungsmomente bekannt sind, kann man die auftretenden Verbiegungen so wie bei einem Bogenträger (Band III, § 38) berechnen.

21. Aufgabe. In welchem Abstande vom Schwerpunkte muß ein physisches Pendel aufgehängt werden, wenn die ,r— Schtvingungsdauer möglichst Idein werden soll?

Lösung. Die Schwingungsdauer hängt von der reduzierten Pendellänge l ab, und diese ist nach den Gleichungen (96) und (97)

g@ _ ?²

<^in

L4-

'T

\ Irrt

Qs

Das Trägheitsmoment 0 für eine Achse, die den Abstand s vom Schwerpunkte hat, folgt aus dem Trägheitsmomente 0O für die dazu parallele Schwerpunktsachse nach der Formel (vgl. Band III, Gl. 51)

0= 0O +

s²

Abb. 63.

oder, wenn man mit den Trägheitsradien i und i₀ rechnet,

- ą + ss.

Für l erhält man daher

Dieser Ausdruck soll durch geeignete Wahl von s zu einem Minimum gemacht werden. Durch Dilferentiieren findet man

dl . i% _ .    ,

d~s~ ¹ ~s³~° 0der

Da ferner

d*l

d?

Ss ’

also positiv ist, hat man für s = i₀ in der Tat ein Minimum, und zwar ?min =2i₀. Man erkennt zugleich, daß die Schwingungsdauer für alle untereinander parallelen Achsen, die denselben Abstand vom

Schwerpunkte haben, gleich groß ist. Der Kreis vom Halbmesser i0 um den Schwerpunkt enthält alle Auf hängepunkte, um die der Körper seine schnellsten Schwingungen ausführen kann. Je weiter sich der Aufhängepunkt nach außen oder nach innen von diesem Kreisumfange entfernt, um so langsamer werden die Schwingungen. Wenn der Aufhängepunkt unendlich nahe dem Schwerpunkte liegt, dauern die Schwingungen unendlich lange und dasselbe gilt auch, wenn der Aufhängepunkt in einen Abstand vom Schwerpunkte rückt, der als unendlich groß angesehen werden kann.

22. Aufgabe. Man soll beweisen, daß der Aufhängepunkt und der Schwingungsmittelpunkt eines physischen Pendels miteinander vertauscht werden können.

W-

Jr.

Lösung. In Abb. 64 sei A der Aufhängepunkt, S der Schwerpunkt und M der Schwingungsmittelpunkt. Dann ist nach der Definition des Schwingungsmittelpunktes AM =1 und daher nach den schon in der vorhergehenden Aufgabe benutzten Formeln

Abb. 64.

il

l — S -j---,

s ’

woraus, wenn man den Abstand SM mit s' bezeichnet, folgt

s's = i\.

Macht man nun M zum Aufhängepunkte, so tritt s an Stelle von s und daher nach der vorausgehenden Gleichung, die auch im neuen Falle wieder erfüllt sein muß, zugleich s an Stelle von /, d. h. A ist nun in der Tat der Schwingungsmittelpunkt.

Ein Pendel, das zwei Schneiden bei A und M besitzt, so daß die in der Aufgabe vorkommende Vertauschung von Aufhängepunkt und Schwingungsmittelpunkt sofort praktisch ausgeführt werden kann, heißt ein Reversionspendel. Man benutzt es zur Ausführung absoluter Schweremessungen, d. h. zur Messung der Fallbeschleunigung g. Zu diesem Zwecke werden die Schneiden mit Hilfe von Stellschrauben so eingestellt, daß die Schwingungsdauer für beide Schneiden gleich groß wird. Dies läßt sich leicht sehr genau erreichen, da man nicht bloß eine, sondern eine große Zahl aufeinanderfolgender Schwingungen zum Vergleiche benutzen kann. Dann muß der Schneidenabstand möglichst genau gemessen werden: er gibt die reduzierte Pendellänge an. Da die Schwingungsdauer, die dieser entspricht, ebenfalls aus der Beobachtung gegeben ist, kann hiernach die

Fallbeschleunigung g nach den Gleichungen (72) oder (73) berechnet werden.

23. Aufgabe. Für die Festigkeitsberechnung eines Glockenstuhls, der eine große Glocke stützt, muß man die Auflagerkräfte nach Größe und Richtung kennen, die von der Glocke bei ihren Schwingungen auf den Glockenstuhl übertragen iverden. Man soll die Auflagerkraft für verschiedene Stellungen der Glocke auf ihrem Schwingungstvege ermitteln.

Erste Lösung. Die Glocke bildet ein physisches Pendel von so großer Masse, daß im Vergleiche zu ihr der Klöppel vernachlässigt werden kann. Die Schwingungsweite der Glocke ist bei der Berechnung der Auflagerkraft so groß anzunehmen, als sie beim Läuten der Glocken überhaupt zu werden vermag. Jedenfalls sind also die Schwingungsausschläge nicht als klein zu betrachten.

Verwendet man die in Ahb. 29, S. 141 eingeschriebenen und in § 18 sonst noch gebrauchten Bezeichnungen, so hat man nach dem Satze von der lebendigen Kraft für die Winkelgeschwindigkeit u oder

~ die Gleichung

2 Qs (cos cp — cos cc)

~ 0u² = Qs(cos cp — cos«); also u —"j/

Daraus folgt durch Differentiieren oder auch unmittelbar durch Anwendung des Flächensatzes

du

&    = — Qs sin cp.

Hiermit ist die Bewegung des Schwerpunktes genügend bekannt,, und nach dem Satze von der Bewegung des Schwerpunktes folgt daraus auch die geometrische Summe aller äußeren Kräfte an dem schwingenden Körper. Zerlegen wir diese geometrische Summe in eine radiale Komponente C und eine tangentiale Komponente T, so ist, wie schon aus Band I, § 14 bekannt ist,

C = ® u²s =    2 (cos cp —

cos

a)

_Q du __ gS dt

9Q

sin cp.

Das Minuszeichen bei T weist darauf hin, daß T entgegengesetzt der Kichtung geht, in der cp wächst, daß es also nach der Mittellage zu gerichtet ist; C ist die Zentripetalkraft, also vom Schwerpunkte nach dem Auflagerpunkte hin gerichtet.

Die geometrische Summe aller Kräfte, die wir durch die Komponenten C und T dargestellt haben, besteht aus dem Auflagerdrucke und dem Gewichte Q. Um die Auflagerkraft zu finden, brauchen wir daher von C und T nur die in den gleichen Eichtungen genommenen Komponenten von Q zu subtrahieren, natürlich unter Beachtung der Vorzeichen. Man findet daher für die Komponenten C' und T' der Auflagerkraft

Q²s²

2 (cos cp — cos ce) Q cos cp

g®

C' = C + Q cos cp =

T' - T + Qsmy - (-^ + <}) sinçp.

Die Pfeile von C' und T' folgen in derselben Weise wie bei C und T, also C' mit dem Pfeile nach obenhin, während T' bei positivem Vorzeichen im Sinne des wachsenden Winkels cp gehen würde, tatsächlich aber, da T' negativ herauskommt, im entgegengesetzten Sinne geht.

Auf Grund dieser Formeln kann man für eine Reihe von Stellungen der Glocke die Auflagerkraft nach Größe und Richtung sofort angeben, indem man die geometrische Summe aus C' und T' bildet. Das Ergebnis wird man in geeigneter Weise graphisch darstellen, womit die Unterlage für die Festigkeitsberechnung des Stabverbandes, aus dem der Glockenstuhl etwa hergestellt werden soll, gewonnen ist.

Zweite Lösung. Schneller kann man die Aufgabe mit Hilfe der in § 40 besprochenen Massenreduktion lösen. Eigentlich ist nämlich die Lösung in den auf Gl. (171), S. 253 folgenden Bemerkungen schon enthalten. Der ganze Auflagerdruck läßt sich danach aus zwei Teilen zusammensetzen, die von den dort mit mt und m₂ bezeichnten Massen herrühren. Hiervon bringt mt einen in jeder Lage der Glocke gleichen und nach obenhin gerichteten Auflagerdruck hervor, der gleich dem Gewichte mlg ist, während m₂ einen mit cp veränderlichen Auflagerdruck zur Folge hat, der mit dem eines Fadenpendels vom Gewichte m₂g und der Pendellänge at -f-a2 (nach den Bezeichnungen in § 40) übereinstimmt. Dieser kann aber aus der Lösung der 11. Aufgabe, S. 188 unmittelbar entnommen werden. Hierauf bleibt nur noch übrig, die geometrische Summe aus den von mv und m₂ herrührenden Teilen zu bilden.

Es mag noch bemerkt werden, daß sich auch die beiden vorhergehenden Aufgaben auf Grund von §40 in sehr einfacher Weise lösen lassen.

24. Aufgabe. Lin Pendel (Abb. 65), das im Punkte A drehbar aufgehängt ist, besteht aus einer Stange, deren Masse und Gewicht zu vernachlässigen ist, und zwei auf ihr befestigten Kugeln von je 100 kg Gewicht, die als materielle Punkte angesehen werden sollen. Wie groß ist die reduzierte Pendellänge bei den in der Abbildung angegebenen Maßen? Wie groß ist das Biegungsmoment, das von der Stange auf genommen werden muß, wenn das Pendel Schwingungen mit Ausschlägen von a — 30⁰ macht, und an welcher Stelle der Stange tritt das größte Biegungsmoment ein?

Lösung. Das auf die Aufhängeachse bezogene Trägheitsmoment 0 des Pendels ist

pA

das ganze Gewicht Q = 200 kg und der Abstand s des Schwerpunktes vom Aufhängepunkte gleich 1,5 m. Setzt man diese Werte in Gl. (9 7) ein, so erhält man für die reduzierte Pendellänge

» m-

i-i

WO kg. ■

100 kg.

Abb. 65.

Die Biegungsbeanspruchung der Stange wird yon den in § 18 mit H' bezeichneten tangentialen Komponenten der Trägheitskräfte in Verbindung mit den ebenfalls in tangentialer Richtung genommenen Komponenten der Gewichte hervorgerufen. Aus der Betrachtung in § 18 entnehmen wir, daß die H' proportional mit den Abständen ^ von der Aufhängeachse sind. Wird also in irgendeiner Stellung des Pendels das an der oberen Masse anzubringende H' mit X bezeichnet, so ist das zur gleichen Zeit an der unteren Masse anzubringende H' gleich 2 X Die Größe von X folgt hierauf aus der Bedingung, daß die Trägheitskräfte mit den äußeren Kräften im Gleichgewichte stehen. Eine Momentgleichung in bezug auf A als Momentenpunkt liefert uns daher

I-lm-f 2I-2m = (100 kg • 1 m -f- 100 kg • 2 m) sin a, woraus

X = 60 kg • sin a

folgt. Daraus läßt sich schon erkennen, daß die Biegungsbeanspruchung am größten wird, wenn a seinen größten Wert annimmt, also am

Ende des Ausschlags. Für a = 30° wird sin« = -jmnd X= 30kg.

u

Zerlegen wir ferner jedes Gewicht Q in eine radiale und eine tangentiale Komponente, so folgt für die tangentiale Komponente, die für die Biegung der Stange allein in Betracht kommt, 100 kg sin a oder 50 kg. Vereinigt man nun an jedem Angriffspunkte die senkrecht zur Stange gerichteten Kräfte zu einer Resultierenden, so

21

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

und der Trägheitshalbmesserist daher gleich

(X^

///

Q-100 kg Abb. 67.

kommt man auf den in Abb. 66 dargestellten Belastungsfall. Bei der unteren Masse überwiegt nämlich die Kraft H' von 60 kg gegenüber der Gewichtskomponente von 50 kg, während bei der Masse in der Stangenmitte die Gewichtskomponente die Komponente H' der Trägheitskraft um 20 kg übertrifft. Die Komponente des Auflagerdrucks bei A, ebenfalls in der Richtung senkrecht zur Stange genommen, folgt aus der Gleichgewichtsbedingung zwischen den Kräften sofort zu 10 kg, wie in der Abbildung angegeben.

Die Festigkeitsberechnung kann hierauf am ruhenden Stabe weitergeführt werden. Die Momentenfläche der Biegungsmomente bildet offenbar ein Dreieck, und für das in der ! Stabmitte auftretende Biegungsmoment erhält man SA M

10 kg}

max

= 10 mkg.

25. Aufgabe. Mne überall gleich dicke Stange von 2 m Länge und 100 kg Gewicht ist im Punkte \ A ihrer Längsachse (Abb. 67), der vom oberen Stangenende um 40 cm entfernt ist, drehbar aufgehängt, so daß sie ebene Pendelschwingungen auszuführen vermag. Wie groß sind die reduzierte Pendellänge und die Schwingungsdauer für kleine i Ausschläge? Welche Größe und Lichtung hat der J im Punkte A übertragene Auflagerdruck, wenn das j Pendel Schwingungen mit Ausschlägen cc — 45° macht, und zwar bei der in Abb. 67 gezeidmeten I äußersten Stellung des Pendels?

Lösung. Eine Strecke von der Länge a hat für eine senkrecht zur Strecke durch einen Endpunkt gezogene Achse das Trägheitsmoment

•3(F\

20 kg.

Abb. 66.

'A

v/y

J x%dx — 0

w,

— • Ebenso groß ist auch der Trägheitshalbmesser für eine Stange, deren Mittellinie mit der Strecke zusammenfällt. Das Trägheitsmoment der in Abb. 67 gezeichneten Stange für die durch Punkt A senkrecht zur Zeichenebene gezogene Achse setzt sich aus zwei nach dieser Vorschrift zu bildenden Teilen zusammen und ist daher

^    160    100 kg-sec² 160*    ₂ , ⁴⁰    100 kg sec² 40²

cm

@-200'9ëïJW^-—'em+200'981--^Cm

= 707 cm kg sec².

Für das Quadrat des zugehörigen Trägheitshalbmessers hat man

160s-f 408 3 • 200

Der Schwerpunktsabstand s ist 60 cm und nach Gl. (97) ergibt sich die reduzierte Pendellänge zu

;² =

= 6933 cm

oder i — 83,3 cm.

Z =    115,6 cm.

ÖU

Nach Gl. (64) findet man hierauf die Schwingungsdauer für kleine Ausschläge

Ai

T = 2,16 sec.

Pa

3'

tv

Po

'Q

Abb. 68.

Abb. 69.

Bei der äußersten Stellung des Pendels ist die Geschwindigkeit und hiermit die Zentrifugalkraft für alle Punkte gleich Null. Die Trägheitskraft besteht daher an jedem Punkte ausschließlich aus einer tangential, also zur Stange senkrecht gerichteten Kraft, die proportional mit den Abständen vom Drehpunkte A anwächst. In Abb. 68 ist die Verteilung der Trägheitskräfte über die Stangenlange graphisch dargestellt. Dabei ist die auf die Längeneinheit im Abstande x entfallende Trägheitskraft mit p, die an den Enden mit pa und pb bezeichnet. Man hat dann

so daß p überall angegeben werden kann, wenn pa bekannt ist. Zur Ermittelung von pa dient die Bedingung, daß die Trägheitskräfte mit

21*

dem Gewicht Q und dem Auflagerdruck bei A Gleichgewicht her-stellen müssen. Die Momentengleichung für Punkt A lautet

a    b

Qs sin a,

J*pdxx + J*pdx₁xl =

o    o

woraus

Pa

3aQs sin a

kg

as -f- b³

= 0,490 — ’ cm

folgt. Die Trägheitskräfte am unteren Teile der Stange lassen sich jetzt zu einer Resultierenden zusammenfassen, die gleich ^Pa ' a ^ und durch den Schwerpunkt des Dreiecks geht, also den Abstand

2 ct

₃ von A hat. Entsprechendes gilt von den Trägheitskräften am

oberen Ende der Stange. In Abb. 69 sind diese Resultierenden eingetragen und mit Ba und Bb bezeichnet; außerdem ist noch die Gesamtresultierende B der Trägheitskräfte gebildet. Man hat

JA = 39,2 kg, Bb — 2,45 kg, B = 36,75 kg.

Der Abstand r der Resultierenden B vom Drehpunkte A berechnet sich aus

Br — B •

2

a -j- Bb • — b zu r = 115,6 cm.

Nachdem iü in Abb. 69 eingetragen ist, findet man den durch A gehenden Auflagerdruck der Richtung nach aus der Bedingung, daß sich die Richtungslinien von drei im Gleichgewichte stehenden Kräften in einem Punkte schneiden müssen. Der Auflagerdruck geht daher durch den Schnittpunkt der Richtungslinien von B und Q. Auch die Größe von A ergibt sich hierauf durch Zeichnen des in Abb. 69 ersichtlichen Kräftedreiecks. Wenn man will, kann man A auch noch rechnerisch ermitteln. Nach dem Cosinussatze wird

A =Yb² + Q- - 2 BQ cos 45° = 78,4 kg

gefunden und der Winkel, den A mit der Lotrechten einschließt, läßt sich nach dem auf das Kräftedreieck angewendeten Sinussatze berechnen zu rund 19° 20'.

26. Aufgabe. An den beiden Enden eines Seils, das über eine Bolle läuft, hängen zwei gleich schwere Personen, die vorher ruhten. Eine Tdettert an dem Seile in die Höhe; was geschieht, wenn Beibung, Seilsteifigkeit usw. außer acht gelassen werden?

Lösung. Am einfachsten behandelt man die Aufgabe mit Hilfe des Flächensatzes. Den Momentenpunkt lege man auf den Rollenmittelpunkt. Dann verschwinden die Momente aller Kräfte, die von außen her auf den aus der Rolle, dem Seile und den beiden Personen gebildeten Punkthaufen einwirken. Der Auflagerdruck geht nämlich durch den Momentenpunkt und die Gewichte der beiden Personen haben Momente von gleicher Größe, aber entgegengesetzter Richtung. Nach dem Flächensatze muß dann auch das Moment der Bewegungsgrößen konstant, und zwar, da es von Anfang an Null war, auch ferner gleich Null bleiben. Vernachlässigt man die Massen der Rolle und des Seils gegenüber jenen der beiden Personen, so müssen die Bewegungsgrößen, die diese erlangen, von gleicher Größe sein, da auch die Hebelarme (gleich dem Rollenhalbmesser) gleich groß sind. Das entgegengesetzte Vorzeichen des Moments verlangt, daß die Geschwindigkeiten beider Personen nach obenhin gerichtet sind. Wenn also der eine hinauf klettert, senkt sich zugleich das Seil unter ihm, so daß er in Wirklichkeit nur halb so hoch hinauf kommt, als er an dem Seile in die Höhe kletterte. Der andere dagegen, der sich gar nicht rührt, wird hierbei ebenfalls mit in die Höhe genommen, und zwar so, daß beide stets gleich hoch bleiben. — Natürlich ändern sich diese Ergebnisse etwas ab, wenn man die Massen der Rolle und des Seils oder auch Reibung und Seilsteifigkeit mit in Berücksichtigung zieht.

27. Aufgabe. Ein homogener Zylinder rotiert mit gegebener Winkelgeschwindigkeit u um seine Achse; man soll den Drall für diese Achse berechnen,

Lösung. Die Achse ist eine Hauptträgheitsachse, der Drall für einen auf dieser Achse gelegenen Momentenpunkt fällt daher in die Richtung der Achse. Nach Gl. (123) ist

B' = u0.

Das Trägheitsmoment des Zylinders für diese Achse ist gleich dem polaren Trägheitsmomente eines Querschnittskreises, über den die ganze Masse des Zylinders gleichmäßig ausgebreitet gedacht wird. Der Trägheitsradius kann daher nach Band III, S. 104 d. 4. Aufl.

gleich a_f]/2 gesetzt werden, wenn der Zylinderhalbmesser mit a bezeichnet wird. Wenn das Gewicht des Zylinders gleich Q ist, hat man daher

uQas

B' =

28. Aufgabe. Für einen homogenen Kreiskegel von der Höhe

\| worin für die Gesamtmasse des Kegels M ge-setzt ist. Der zugehörige Trägheitshalbmesser ist /    a]/0,3 = 0,548 a.

Der Schwerpunkt des Kegels liegt in der Höhe — • Für eine senkrecht zur Kegelachse durch

Abb. 70.

h und dem Basishalbmesser a sollen die Trägheitsmomente für die Schwerpunktshauptachsen berechnet werden. Ferner soll angegeben werden, bei welchem Verhältnisse zwischen h und a das auf die Kegel-spitze bezogene Trägheitsellipsoid in eine Kugel übergeht.

Lösung. Am einfachsten läßt sich das Trägheitsmoment für die Kegelachse berechnen. Man denke sich den Kegel durch Querschnitte in Schichten von der unendlich kleinen Höhe dx geteilt.

Jede Schicht kann als eine kreisförmige Scheibe vom Halbmesser a angesehen werden. Das Volumen der Schicht ist 7ta²ïjdx und ihr Beitrag zu daher

O    7    1    a x³

na    indx . -g- a“

wenn g die spezifische Masse bedeutet. Im ganzen wird daher

(lv.

h* ’

(I -

h

ij*vidx o

a*h -r3 a* = nti~ = M-₁₀,

ihn gelegte Achse sei das Trägheitsmoment mit ©2 bezeichnet. Der Beitrag, den die Scheibe zu ©₂ liefert, ist gleich dem Trägheitsmomente der Scheibe für eine durch deren Schwerpunkt parallel zu jener gelegte Achse, vermehrt um das Produkt aus der

3 h

Masse der Scheibe und dem Quadrate des Abstandes 7 — x zwischen

4

Kegelschwerpunkt und Scheibenschwerpunkt. Dies folgt nämlich aus dem in Band III, Gl. (51) bewiesenen Satze, der sich auf den vorliegenden Fall ohne weiteres übertragen läßt. Hiernach ist der Beitrag der Scheibe zu ©₂ gleich

na* fi pdx(j a2^ + (x

und im ganzen erhält man

aVi³

\2

xj dx

a*h

3M( ₂ . h*\ “2Ö“ (a 4 )

Der zugehörige Trägheitsradius ist daher

-i /via*    3/«²

V 80

Für die Kegelspitze seien die Trägheitsmomente mit und ©2 bezeichnet Dann ist &'± = und

/ ₂ . hs\ , „,9 li*

Wenn nun ©^ = 0’₂ werden soll, so muß sein „,3 a²    3 M

^Tö-lö-

und hieraus folgt a = 2 h. Die Höhe des Kegels darf also nur

vom Durchmesser des Basiskreises betragen. — Ein Spielkreisel von dieser Form wäre hiernach ein Kugelkreisel. Gewöhnlich sind die Spielkreisel freilich höher; das zur Spitze gehörige Trägheitsellipsoid ist dann ein verlängertes Rotationsellipsoid.

29. Aufgabe. In Abb. 71 ist ein Körper im Aufriß und Grundriß gezeichnet, der aus einem Hinge R von lm Durchmesser und 100 hg Geivicht und einer Meinen Kugel K von 20 hg Gewicht besteht, die durch vier Stäbe miteinander verbunden sind, deren Masse vernachlässigt werden soll. Wie groß muß der Abstand x des Kugelmittel-punhtes von der Ringebene sein, wenn jede Schwerpunhtsachse des zusammengesetzten Körpers eine freie Achse bilden soll? Die Masse des Rings ist auf dessen hreisförmiger Mittellinie, die Masse der Kugel in deren Mittel- -punht vereinigt zu denhen.

Lösung. Der Abstand s des Schwerpunktes S von der Ringebene folgt aus der x Gleichung

100 kg • s = 20 kg (x — s)

Das Trägheitsmoment für die Symmetrieachse sei mit bezeichnet. Die Kugelmasse trägt zu nichts bei, da sie im Mittelpunkt vereinigt gedacht werden sollte und dieser auf der Symmetrieachse liegt. Man hat daher 100 kg 981 cm

Für das Trägheitsmoment @₂ in bezug auf eine zur vorigen senkrechte Schwerpunkts-

zu s —

csj «

------<>-—

—GE

LmJ

sec² • 50²cm².

4Ć-

Abb. 71.

achse erhält man auf Grund der gleichen Überlegungen wie bei der vorigen Aufgabe

⁻^!sec!ü502 + sS)cm2 +

20 kg

981 cm

cm².

Setzt man &₂ — &₁ und löst nach x auf, so erhält man

x — 86,6 cm,

womit die Frage beantwortet ist.

30. Aufgabe. Auf zwei Wellen, deren Mittellinien in dieselbe Grade fallen, sitzen zwei Umdrehungskörper von den Trägheitsmomenten G)₁ und 0)₂. Die eine Welle rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit u±, während die andere ruht. Dann wird durch eine einrückbare Kuppelung die zweite Welle mit der ersten verbunden; man soll die Winkelgeschwindigkeit u berechnen, mit der beide Wellen zusammen weiter rotieren, wenn keine äußeren Kräfte einwirken.

Lösung. Nach dem Flächensatze bleibt der Drall konstant. Man hat daher

T‘“

ZOcnu

----*

20 cm,.

Q’

w₁0₁ = u\&₁-\-&₂) und hieraus u = ux

©i + ©2

Anmerkung. Bei dieser Aufgabe ist wohl darauf zu achten, daß die lebendige Kraft nicht konstant bleibt, sondern kleiner wird. Der Verlust an mechanischer Energie wird durch die beim Stoß oder von den Reibungen (wenn es sich um eine Reibungskuppelung handelt) entwickelte Wärme aufgewogen.

Für einen veränderlichen Punkthaufen, an dem keine äußeren Kräfte angreifen, ist überhaupt die lebendige Kraft im allgemeinen nicht konstant, der Drall dagegen immer.

Abb. 72.

31. Aufgabe. Eine gewichtslose Stange SS (Abb. 72) trägt zwei gleich schwere Körper Q und (/ und rotiert um die Achse AA. Plötzlich v) er den (durch Auslösen einer Feder o. dgl.) die G-etvichte auseinandergezogen, so daß ihr Abstand von 40 auf 60 cm wächst. Wieviel Touren macht die Stange nachher, wenn sie vorher 60 in der Minute machte?

Lösung. Auch hier muß der Drall konstant bleiben. Wenn die beiden Gewichte wie materielle Punkte behandelt werden können, die sich im Abstande r von der Achse befinden, so ist das Trägheitsmoment

B =— r²u.

Dieser muß vorher und nachher gleich sein; also wenn man die Werte von r und u nachher mit rx und ux bezeichnet

Setzt man die Zahlenwerte ein, so erhält man für die Tourenzahl Nx

Nx = 60

Abb. 73.

und der Drall

Aufgaben

<9 = ^r²

Anmerkung. Erscheinungen dieser Art (also Änderung der Winkelgeschwindigkeit infolge von Änderung des Abstandes von der Drehachse) kommen öfters vor. Wenn man z.B. Wasser durch einen Trichter ausströmen läßt und man hat das Wasser oben im Trichter (etwa durch eine seitlich gerichtete Einflußgeschwindigkeit) in eine geringe Rotation versetzt, so steigert sich diese im Ausströmungsrohr des Trichters erheblich, so daß starke Wirbel entstehen, die den Ausfluß beträchtlich verzögern können.

32. Aufgabe. Der Schwungring eines Schwungrads wiegt 3000 kg und hat 2 m Durchmesser. Die Ebene des Schivungrings sei wegen ungenauen Aufkeilens um einen Winkel von 1° gegen die zur Wellenmittellinie senkrechte Ebene geneigt. Wie groß ist das Moment des von den Lagern aufzunehmenden Kräftepaares, wenn die Welle 120 Touren macht?

Erste Lösung. Man kann die Aufgabe entweder mit Hilfe des Flächensatzes oder mit Hilfe des d’Alembert sehen Prinzips behandeln. Einfacher und daher gewöhnlich gebraucht ist hier das Verfahren nach d’Alembert, weil die Trägheitskräfte aus bloßen Zentrifugalkräften bestehen.

In Abb. 73 ist der Schwungring in zwei Projektionen gezeichnet. Der im Zahlenbeispiele zu 1° angegebene Winkel ist in der Abbildung mit a bezeichnet. Da er jedenfalls klein sein wird (kleiner als dort gezeichnet), kann die andere Projektion des Schwungrings genau genug als kreisförmig angesehen werden. Man fasse ein Element des

Schwungrings ins Auge, das zum Zentriwinkel dcp gehört. Wenn Q das Gewicht des ganzen Schwungrings ist, gehört zu dcp das Gewicht

Qdcp 2 7t

Für die mit y und z bezeichneten Abstände erhält man 2/ = rsin<p und z = y a — rcc sin <p,

wobei an Stelle von tg a der Bogen a gesetzt werden durfte.

Die Zentrifugalkraft C an dem zu dtp gehörigen Teilchen ist Qdcp u*r

2 7t

Die Horizontalkomponenten aller G stehen im Gleichgewichte miteinander. Dagegen bilden die Vertikalkomponenten G' ein Kräftepaar, dessen Moment mit K bezeichnet sei. Man hat

C = Csinç)

Der Hebelarm von G' in bezug auf die Radmitte ist z, und daher wird

Qu*r

2ng

sin cp dg).

Qu^r^cc.

Qu'r’-u 2 7t g

2 n

J*sin² cp dcp — o

Wenn man die lebendige Kraft des Schwungrings, die man ohnehin schon berechnet haben wird, ehe man an eine solche Untersuchung herantritt, mit L bezeichnet, hat man kürzer

K = La.

120

180

Im Zahlenbeispiele ist Q = 3000 kg, u = —Q • 2 7r = 4îr sec⁻¹, r = 1 m und à — und nach Einsetzen und Ausrechnen erhält man

K= 421 mkg.

Dieses Moment muß von den Lagern aufgenommen werden; die Division mit dem Abstande der Lager voneinander liefert die Einzelkraft für jedes Lager. Zu beachten ist, daß die Richtung des Moments und der Einzelkräfte ebenfalls stetig mit dem Schwungrade herumrotiert; hierdurch kommt das „Rütteln“ in den Lagern zustande. Zugleich gibt K das Biegungsmoment an, daß von der Welle aufgenommen werden muß; in bezug auf die Welle ändert sich übrigens die Richtung von K nicht. Wenn die Welle hinreichend biegsam ist, richtet sich das Schwungrad von selbst auf, so daß der Winkel a und hiermit auch K selbst kleiner werden.

Zweite Lösung. Um die Aufgabe auch noch nach dem Flächensatze zu lösen, schicke ich eine geometrische Betrachtung über eine Eigenschaft der Ellipse voraus. Der Winkel zwischen einem Halbmesser O A der Ellipse (Abb. 74) und der Y-Achse sei cc, der Winkel, den das Perpendikel OP auf die im Punkte A konstruierte Tangente TT mit der gleichen Achse bildet, sei ß. Dann ist

dt

und

oq

•Oö

SJ A

a

«s a

a I o*

t«| tc

t» I«

-o I e

dt

wofür auch, wenn cc und ß klein genug sind, kürzer geschrieben werden kann.

In diesem Falle kann ferner B = u@ gesetzt werden. Der Winkel a — ß gibt den Richtungsunterschied zwischen 33 und U an. Unter der Ellipse in Abb. 74 ist hierbei der Meridian des Trägheits-ellipsoids des Schwungrings zu verstehen. Der Drall 33 beschreibt bei der Drehung des Schwungrads eine Kegelfläche mit dem ange-

d 33

gebenen Öffnungswinkel. Um den absoluten Betrag von zu berechnen, beachte man, daß das zu dt gehörige ^33 ein Bogenelement vom Basiskreise jenes Kegels ausmacht und daher (bei kleinem a — ß) gleich B (cc — ß)udt gesetzt werden kann. Für das statische Moment der Zwangskräfte erhält man daher

K — B(a — ß)u = u² G (cc — ß) = u²Gcc ——j—-

Diese Formel gilt noch allgemein für irgendeinen Rotationskörper. Für den Schwungring ist aber überdies a² = 2 b² und daher, wie vorher

-Na

=

33. Aufgabe. An einem Binge von 300 hg Gewicht und 120 cm Durchmesser, der in Ahb. 75 in Aufriß und Grundriß dargesteilt ist und der vorher in Buhe war, ivirkt

K==

La.

sec

T"";

Abb. 74.

je

*\

Z-x

lang das Kräftepaar Pt P₂, von dem jede Kraft gleich 1000 hg ist. Man soll ermitteln, um iveiche Achse der Bing in Drehung versetzt wird und wie groß die Winkelgeschwindigkeit ist, die er nach Ablauf der genannten Zeit erlangt hat, wenn der Winkel, den die Ebene des Kräftepaares mit der Bingebene bildet, gleich 45⁰ ist. Der Bing ist vollständig frei und andere Kräfte als 1\ und P₂ wirken nicht auf ihn ein.

-Q

Erste Lösung. Man zerlege den Momentenvektor des Kräftepaars in zwei Komponenten Kx und K₂ in der Richtung der Figurenachse und in der Ringebene. Die Komponenten fallen in die Richtungen von freien Achsen und bringen um diese Drehungen hervor, deren Winkelgeschwindigkeiten ut und u₂ nach Ablauf des Drehstoßes

120Cm-

Kt

K.t ui = -@7

sind, wenn t die Stoßdauer und 0X 0₂ die zu den betreffenden Achsen gehörigen Trägheitsmomente bedeuten. Für diese hat man, wenn m die Ringmasse und r den Halbmesser bezeichnen

0, = rar²; 0₂ =    mr²

und u₂ =

und für die Komponenten Kx K₂ findet man 2 Pr

Kt = K₂ =

Der Winkel a, den die resultierende Winkelgeschwindigkeit U mit der Figurenachse einschließt, folgt aus

tg a = — — 2

°    uj

Die Größe u von U folgt nach dem pythagoreischen Lehrsätze zu

Abb. 75.

jLY

zu

a = 63°25'.

u =1/u\ + u\ =    2 + 8

1000 kg*-4-ë 100

sec • 9,81

sec*.

|/l0=- 1,71 sec

-i

300 kg • 0,6m

Zweite Lösung. Der Drall 33 ist mit dem Momentenvektor $ gleich gerichtet, bildet also einen Winkel von 45° mit der Figurenachse. Daraus kann mit Hilfe des Trägheitsellipsoids in derselben

Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe die Richtung von tt entweder durch Zeichnung oder durch Rechnung ermittelt werden. Wählt man die Zeichnung, so folgt weiter die Größe B von $ zu 1000 kg • 1,2 m • 0,01 sec == 12 mkg sec. Die Projektion B' von 33 auf U ist B' = 12 mkg sec cos(63°25' — 45°) und hieraus

B’

Dabei ist 0 das auf die Drehachse U bezogene Trägheitsmoment, das

c²

gesetzt werden kann, wenn unter a und c die aus der Zeichnung zu entnehmenden Halbmesser des Trägheitsellipsoids verstanden werden, die zur Figurenachse und zu der vorher schon ermittelten Richtung von U gehören. Die Ausrechnung liefert u\ erheblich kürzer ist aber liier, wie man sieht, die zuerst angegebene Lösung.

34.    Aufgabe. Zwei gleich schwere Kugeln sind durch eine Stange verbunden; man soll die freien Achsen des dadurch gebildeten Körpers angeben.

Lösung. Das Trägbeitsellipsoid für den Schwerpunkt ist ein verlängertes Umdrehungsellipsoid, dessen große Achse mit der Stangenachse zusammenfällt. Die Stangenachse und jede senkrecht zu ihr durch den Schwerpunkt gezogene Achse ist eine freie Achse des Körpers. Eine stabile Drehachse ist aber nur die Stangenachse, da nur für sie das Trägheitsmoment zu einem absoluten Minimum (oder Maximum) wird.

35.    Aufgabe. Eine homogene Stange von der Länge 2r ist an den Enden mit Rollen versehen, mit denen sie auf einer glatten senkrechten Wand und einem glatten Fußboden ruht. Außerdem soll durch eine geeignete Vorrichtung auch dafür gesorgt sein, daß sich die Rollen von der Wand oder dem Fußboden nicht abheben können. Vorher tear die Stange in der durch Abb. 76 angegebenen Lage AB festgehalten. Dann wird sie ohne Stoß freigelassen, und man soll berechnen, wie lange es dauert, bis sie unten liegt.

Lösung. Die Entfernung von 0 bis zum Stangenschwerpunkt S ist nach einer bekannten Eigenschaft des rechtwinkligen Dreiecks gleich r, daher beschreibt S während des Herabfallens einen Kreis um 0 vom Halbmesser r. Irgendeine spätere Lage der Stange sei durch den Winkel cp gekennzeichnet, den die Stange mit der Wand oder den auch die Linie OS' mit der Wand bildet. Die Stange hat sich währenddessen um den Winkel cp — a gedreht. Die Winkelgeschwindigkeit, mit der sie sich im gegebenen Augenblicke dreht, ist und die Geschwindigkeit des Schwerpunkts hat den Absolutbetrag

dcp

dt

r •

Die lebendige Kraft der Stange, deren Masse mit m bezeichnet sei, ist daher

Für das Trägheitsmoment 0 findet man leicht

& = m

1L

» Ti

und daher wird

JT

ul/

________

AS"

Abb. 7G.

Der lebendigen Kraft L muß die Arbeit der äußeren Kräfte gleich sein. Die Auflagerkräfte leisten aber keine Arbeit, da Reibungen ausgeschlossen sein sollen und die Arbeit des Gewichts ist gleich mg mal der Senkung des Schwerpunkts, die gleich r (cos a — cos cp) gesetzt werden kann. Wir haben daher

J r )2 = Kcos “ _ cos <p)-

Hieraus findet man

=-[/—■

V 3 g cos cc — cos cp

und durch Integration nach cp folgt die Zeit, die zum Durchlaufen des Weges gebraucht wird. Ist t die Zeit, die bis zum Ende der

Bewegung, d. h. bis cp = —■ verstreicht, so hat man

dt

dcp

7t

=l/- f- —

’ ^Qjl/coscc

a

dcp

— cos cp

Das Integral ist ein elliptisches, das ganz ähnlich wie das bei der

Pendelbewegung in Gl. (67) vorkommende weiter behandelt werden kann. Man setze, um auf die frühere Form zu kommen, zunächst it — cp — 2% und % — a — 2 ß, dann wird

cos cp = — cos 2^ = 2 sin²^ — 1 ; cos cc — 2 sin² ß — 1; dcp = — 2 dy\

_ fi

=\/'^f_

'    j/2(sin²ß— sin*#)

7t

Der einzige wesentliche Unterschied gegenüber dem früheren Falle

anstatt Null ist.

7t

besteht nur darin, daß die untere Grenze hier —

Man kann aber das Integral als die Differenz von zwei bestimmten Integralen auffassen, von denen das eine von 0 bis ß und das andere

7t

von 0 bis ^ reicht und auf jedes von beiden die frühere Umformung anwenden. Dadurch erhält man

F (sin ß, y) [,

= ²l/87{4in'?’f')

wobei y durch die Bedingung bestimmt wird

Da ß > —, läßt sich y stets angeben.

S3

93

36. Aufgabe. Ein Gyroskop besteht aus einem Schivungringe von 20 cm Durchmesser und 10 hg Gewicht und einem Böhmen (dessen Masse gegen die Schwungringmasse vernachlässigt werden soll), in dem der Schwungring mit 100 Umdrehungen in der Sekunde rotiert. Der Böhmen hat einen Arm (Abb. 77) von 20 cm Länge und ivird bei B drehbar auf eine Spitze des Gestells BC aufgesetzt. In welchem Sinne und mit welcher Geschwindigkeit dreht sich das Gyroskop um das Gestell BC, nachdem der Beharrungszustand eingetreten ist?

Lösung. Wir haben es hier mit einem Falle der pseudoregulären Präzession zutun. Wenn der Rahmen zuerst bei horizontaler Stellung des Armes AB ruhte und hierauf losgelassen wird, tritt infolge des Gewichts

ft

¹⁰ hg-

Abb. 77

zunächst eine kleine Senkung des Schwungrings ein. Diese muß wegen der Auflagerbedingung bei B in einer Drehung um B bestehen. Dabei ändert sich die Richtung des Dralls 85. Um diese Änderung zu erzwingen, muß ein statisches Moment äußerer Kräfte von senkrecht nach oben gerichtetem Momentenvektor in bezug auf den Schwerpunkt des Schwungrings vorhanden sein. Es muß daher eine horizontale Auflagerkomponente bei B entstehen, die dieses Moment liefert. Die Kraft § bewirkt nach dem Satze von der Bewegung des Schwerpunkts eine Drehung des Gyroskops um das Gestell, und zwar bei dem in der Abbildung angegebenen Umdrehungssinne des Schwungrings von oben gesehen entgegengesetzt der Uhrzeigerbewegung.

Um das Übergangsstadium wollen wir uns jetzt nicht weiter kümmern. Nachdem das Gyroskop eine Winkelgeschwindigkeit w um die lotrechte Achse des Gestells angenommen hat, ändert sich die Richtung von 85 abermals, und zwar um horizontal gerichtete Zuwüchse. Wir haben daher jetzt ein statisches Moment von horizontal, und zwar nach vorn gerichtetem Momentenvektor $, der in die Abbildung eingetragen ist. Diesem entspricht eine senkrecht nach oben gerichtete Auflagerkraft 85 bei B. Wenn 85 gleich dem Gewichte von 10 kg ist, bilden beide ein Kräftepaar miteinander, und es besteht dann kein Anlaß mehr zu einer Senkung des Schwerpunkts. Der einzige Erfolg des Kräftepaars besteht vielmehr darin, den Drall 85 um die lotrechte Achse herum rotieren zu lassen. Außerdem muß

dann auch ein in der Richtung BA gehender Auflagerdruck (Zentripetalkraft) auftreten, um den Schwerpunkt zu seiner kreisförmigen Bewegung um die Gestellachse zu zwingen. Dagegen verschwindet nachher £>, sobald eine (von kleinen Schwankungen abgesehen) gleichförmige Drehung des Gyroskops um die Gestellachse hergestellt ist.

Streng genommen führt das Rad jetzt zwei Drehungen zugleich aus, eine im Rahmen mit der Winkelgeschwindigkeit u und die zweite mit dem Rahmen um die Gestellachse mit der Winkelgeschwindigkeit w. Beide lassen sich zu einer resultierenden Winkelgeschwindigkeit zusammensetzen. Da aber w nur sehr klein gegen u ist, wollen wir nur auf diese Komponente achten. Der Drall hat den Absolutwert

r\

B = u0 = u

wenn Q das Gewicht des Schwungrings und r der Halbmesser ist. Der senkrecht zum Arme stehende Zuwachs von i?, der sich geometrisch im Zeitelemente dt dazu summiert, hat den Absolutwert

Bwdt oder uw — r²dt

Dieser ist nach dem Flächensatze gleich Kdt, und da das Moment K gleich Ql ist, wenn l die Länge des Armes AB bezeichnet, erhalten wir die Gleichung

Ql = uw — r'²,

also w — ^

Mit u = 100 • 2 n sec⁻¹, g = 9,81 m sec⁻², Z = 0,2 m, r = 0,1 m wird

w = 0,31 sec⁻¹,

d. h. die Dauer eines Umlaufs beträgt oder rund 20 Sekunden.

Der Umlaufssinn war schon vorher festgestellt. Wenn das Rad infolge von Reihungen usf. nachher langsamer rotiert, läuft das Gyroskop später im selben Verhältnisse schneller um. Auf das Gewicht Q kommt es übrigens, wie man sieht, gar nicht an; eine Zahlenangabe darüber wäre daher entbehrlich gewesen.

37. Aufgabe. Man soll die reduzierte Pendellänge berechnen, für die die Schwingungsdauer ebenso groß aus fällt, als für die Schwingungen eines Stabes, der beiderseits unterstützt ist und in der Mitte eine konzentrierte Last trägt, gegen die die Masse des Stabes vernachlässigt werden kann.

Lösung. Die Schwingungen sind harmonische, und nach Gl. (20) hat man

Der statische Biegungspfeil unter der Last Q — mg sei mit f bezeichnet. Dann ist nach der Bedeutung der Konstanten c

cf = Q, also c =    •

Setzt man dies ein, so .wird

Dies stimmt nach Gl. (64) mit der Schwingungsdauer eines Pendels überein, wenn f = l gesetzt wird. Der statische Biegungspfeil f gibt daher ohne weiteres die reduzierte Pendellänge an. Da f gewöhnlich nur klein ist, erfolgen die Schwingungen verhältnismäßig schnell.

38. Aufgabe. Die Schwingungsdauer eines biftlar (d. h. mit Hilfe von zwei Fäden) und symmetrisch zur Mitte aufgehängten homogenen Stabes soll für kleine Ausschläge berechnet werden. Dabei ist nur auf die Drehschwingungen zu achten, die der Stab um den Schwer-

Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

punkt aus fuhrt; gegeben sind die Stablänge l, die Entfernung e der Aufhängepunkte von der Stabmitte und die Fadenlänge a.

Lösung. Abb. 78 gibt Aufriß, Grundriß und Seitenansicht an; dabei ist die Lage, die der Stab zur Zeit t bei einem Ausschlage cp einnimmt, durch punktierte Striche angegeben. Die Fäden stehen dann ein wenig schräg und die Horizontal projektion der Fadenlänge ist mit z bezeichnet. Wenn z klein von der ersten Ordnung ist, unterscheidet sich die Vertikalprojektion der Fadenlänge im Aufrisse nur um eine von der zweiten Ordnung kleine Größe von a. Es

findet daher keine merkliche Hebung des Stabes statt; dieser schwingt vielmehr nahezu in einer horizontalen Ebene. Der Schwerpunkt bleibt also in Ruhe und die Vertikalkomponenten der Fadenspannungen müssen jederzeit zusammen gleich dem Gewichte Q des Stabes sein.    Für    die    Horizontalkomponente    H    einer    Fadenspannung

erhält man daher

Q e sin cp

TT_ Q_    _£___A

2    a    ~ 2

Abb. 78.

Beide Horizontalkomponenten bilden ein Kräftepaar, das die Winkelbeschleunigung hervorbringt. Das Moment K des Kräftepaares ist

e* sin cp

Da die Schwingungen um eine freie Achse erfolgen, hat man (mit Berücksichtigung des Vorzeichens)

$e*sin qp

dt*

Wir schreiben diese Gleichung in der Form

d~cp Qe*

dt*    a&

• sin cp

und vergleichen sie mit der Differentialgleichung (95), S. 144, des Fadenpendels

d\ ₌__g _

dt*

sin cp.

Beide stimmen vollständig miteinander überein, wenn man

setzt. Da der Trägheitshalbmesser i einer Stange i — man dafür auch

ist, kann

j/l2

al%

12 ei

ai²

oder Zred = —r

e²

Zred —

schreiben.

Wenn die Stange so aufgehängt wird, daß e — i wird, erhält man lied — d. h. die Schwingungsdauer ist dann dieselbe, als wenn die Stange gewöhnliche Pendelschwingungen um die durch die beiden Aufhängepunkte gehende Achse ausführte.

Diese Betrachtung gilt indessen nur für den Fall kleiner Schwingungsausschläge. Um die Differentialgleichung der Bewegung für größere Schwingungen aufzustellen, muß man darauf achten, daß sich die Stange bei ihrer Drehung um den Winkel cp ein wenig aus ihrer untersten Lage hebt. Ihr Abstand von der durch die Auf-hängepunkte gelegten horizontalen Ebene zur Zeit t sei mit x bezeichnet. Dann erhält man nach dem pjthagoräischen Lehrsätze

x = ya² -f- £² + (e —

Nach dem Satze von der lebendigen Kraft ist

e cos

<p)² ="j/a² — 4 e² sin² ~ •

wenn mit x₀ der Wert von x bezeichnet wird, der der höchsten Lage der Stange oder dem größten Werte des Winkels cp entspricht. Setzt

man hier x ein, so erhält man eine Gleichung, die sich nach ^ auf-

lösen läßt. Entnimmt man daraus dt, so erhält man die Schwingungsdauer ausgedrückt durch ein bestimmtes Integral nach cp. Die Gleichung vereinfacht sich erheblich und läßt sich so wie die des Pendels für große Ausschläge behandeln, wenn man annimmt, daß e klein ist gegenüber der Fadenlänge a. Von der weiteren Ausrechnung soll aber hier abgesehen werden.

39. Aufgabe. Man soll die Schwingungsdauer der „schlingernden“ oder „rollenden“ Bewegungen eines Schiffes um die Längsachse für Meine Ausschläge berechnen.

Lösung. Hier ist an die Betrachtungen über das Metazentrum in Band I, § 66 anzuknüpfen. Die Höhe des Metazentrums über dem Schiffsschwerpunkte sei mit s bezeichnet. Dann bilden beim Ausschlage cp das Gewicht Q und der Auftrieb ein Kräftepaar vom

Momente singe, und wenn das Trägheitsmoment des Schiffes für die parallel zur Kielrichtung durch den Schwerpunkt gehende Achse mit 0 bezeichnet wird, hat man

0j^ ⁼ ~ Qs sin cp.

WZ

Dies stimmt genau mit der Differentialgleichung (94) für die Pendelschwingungen überein. Hiernach kann die reduzierte Pendellänge und aus dieser die Schwingungsdauer ebenso wie dort berechnet werden. Da hier die Drehung um den Schwerpunkt stattfindet, bezieht sich jedoch 0 auf die Schwerpunktsachse, während sich beim Pendel 0 auf die Aufhängeachse bezog, worauf beim Ver-1 gleiche zu achten ist.

nt

Abb. 79.

Auf den Widerstand, den das Wasser den Schwingungen entgegensetzt, ist bei dieser Betrachtung nicht geachtet. Jedenfalls wird dadurch eine Dämpfung hervorgerufen. Aber auch sonst wird der Verlauf der Bewegung dadurch etwas geändert werden ; man kann namentlich nicht erwarten, daß der Schwerpunkt genau in Ruhe bleibe.

40. Aufgab'e. Wenn auf einen seitlich aus einer Mauer hervorragenden Steinbalken (etwa eine Treppenstufe) ein Gewicht Q herabfällt (Abb. 79), kommt es vor, daß er jenseits der Aufschlagstelle (etwa bei mm) abbricht. Man soll in allgemeinen Zügen angeben, ■wie dieses Problem zu behandeln ist.

Lösung. Man denke sich in irgendeinem Augenblicke während des Stoßes die Trägheitskräfte eingeführt. Diese sind an jenen Teilen des Balkens, die nach abwärts beschleunigt werden, nach obenhin gerichtet. Auch rechts vom Schnitt mm treten diese Trägheitskräfte auf, und sie bewirken ein Biegungsmoment in mm, das zu Zugspannungen in den unteren und zu Druckspannungen in den oberen Fasern führt. Es kann nun sein, daß die Aufschlagstelle und ihre Nachbarschaft schon keine Beschleunigung nach abwärts mehr erfährt, oder schon eine in der entgegengesetzten Richtung, während am freien Ende noch eine starke Beschleunigung nach abwärts besteht. Namentlich wenn am Ende noch größere Massen befestigt sind, kann die zugehörige Trägheitskraft zu einem Biegungsmomente führen, das an irgendeinem Querschnitte mm den Bruch hervorbringt.

Zur rechnerischen Verfolgung des Vorgangs muß man von der Differentialgleichung (172) ausgehen, die auch für den vorliegenden Fall ohne Änderung gültig bleibt. Sie ist für jeden der beiden Teile, in die der Stab durch die Aufschlagstelle von Q zerlegt wird, ge-

41. Aufgabe. Eine Stange von 1 m Länge und Jereisförmigem Querschnitt von 4 cm Durchmesser (Äbb. 80) trägt an beiden Enden Gewichte von je 100 hg. In der Mitte bei A ist die Stange an einem Maschinenteile befestigt, der eine zwischen B und C geradlinig hin und her gehende Bewegung nach Art einer harmonischen Schwingung aus führt. Wieviel Schwingungen darf der Maschinenteil in der Minute machen, ohne daß die durch die TrägheitsJcräfte hervorgerufene Biegungsbeanspruchung der Stange 1000 übersteigt? Der Schwin-

gungsiveg BC beträgt 60 cm. Bei welcher SchwingungszaJd in der Minute wäre eine Besonanz mit den Eigenschivingungen zu befürchten, die die Gewichte infolge der elastischen Verbiegung der Stange ausführen können, wenn der Elastizitätsmodul gleich 2-10⁶ gesetzt wird?

Lösung. Die erste Frage läßt sich leicht nach dem Prinzip von d'Alembert beantworten. Die Entfernung x der Stange von der Mittellage zur Zeit t ist

T’

sondert mit Berücksichtigung der Grenzbedingungen zu integrieren. In der französischen Übersetzung des Buches von Clebsch über die Theorie der Elastizität hat de Saint-Venant das Problem ausführlich behandelt.

Die bekannte Erfahrung, daß man eine Flintenkugel durch eine Fensterscheibe schießen kann, ohne diese in einiger Entfernung von dem Schußloche zu beschädigen, erklärt sich übrigens auf ganz ähnliche Art. In der Umgebung der Aufschlagstelle der Kugel treten sehr große Trägheitskräfte auf, die sich zunächst nur über einen engen Bezirk verteilen und mit dem Drucke zwischen Kugel und Scheibe vorerst im Gleichgewichte stehen. Die diesem Belastungsfalle entsprechende Beanspruchung des Glases steigert sich dann so, daß der Bruch erfolgt, der sich aber nur über diesen engen Bezirk erstrecken kann, weil überall außerhalb des Bezirks nur geringe Trägheitskräfte und Spannungen auftreten.

Q-IOO 7rg.

wiï"-

-Bi—"i

Q = tOO kg.

A,

₆>L—*

Abb. 80

x = a sin 2 %

wenn mit a der Schwingungsausschlag AB und mit T die Dauer einer vollen Schwingung bezeichnet wird. Daraus folgt die Beschleunigung

Die Beschleunigung und hiermit die Trägheitskraft und die Biegungsbeanspruchung der Stange ist am größten an den Hubenden für X — + a. In dieser Stellung hat die Trägheitskraft den Wert

Das Biegungsmoment für die Stangenmitte folgt daraus durch Multiplikation mit der halben Stangenlange, die mit l bezeichnet werden soll und für die Biegungsspannung findet man daher

Ct)-it —

Im Nenner steht das Widerstandsmoment des kreisförmigen Querschnitts vom Halbmesser r. In dieser Gleichung sind alle Größen gegeben bis auf die Schwingungsdauer T. Löst man die Gleichung nach T auf und setzt die Zahlen werte ein, so erhält man

T = 0,98 sec

entsprechend rund 61 vollen Schwingungen in der Minute.

Für die Schwingungsdauer der elastischen Schwingungen findet man ebenso wie bei der Lösung von Aufgabe 37

T=2m

V'f

wenn mit fder Biegungspfeil bezeichnet wird, den eine Last Q = 100 kg am Stangenende hervorruft. Dafür hat man nach einer Formel der Festigkeitslehre (Band III, S. 156 d. 4. Aufl.)

4 Qls

Qls

S n Er*

d²x

d£⁸

/2tt\2 .    t    /2«\2

= — a sin 2 n-T = — (-yj • ».

3 E@

Führt man die Zahlenrechnung aus, so erhält man

T = 0,081 sec.

Eine Resonanz ist daher überhaupt nicht möglich, da die Maschine hierzu 740 Schwingungen in der Minute ausführen müßte, während schon viel früher eine Verbiegung oder ein Bruch der Stange ein-treten würde.

Etwas anderes ist es aber, wenn der Maschinenteil nicht genau, sondern nur angenähert harmonische Schwingungen ausführt, wie z. B. der Kreuzkopf eines Kurbelmechanismus. Dann ist x nach einer

Fourier sch en Reihe zu entwickeln und mit den höheren Gliedern dieser Reihe, die für sich genommen schnelleren Schwingungen entsprechen, ist eine Resonanz für bestimmte Umlaufsgeschwindigkeiten der Maschine möglich.

42. Auf g aie. Ein starrer Körper K (Abb. 81), der nach untenhin durch eine hr eiszylindrische Wölbung begrenzt ist, ruht auf einer horizontalen Ebene EE. In der Gleichgewichtslage, die durch starke Striche hervorgehoben ist, nimmt der Schwerpunkt die Lage S₀ ein, die senkrecht über dem Au flag er punkte A₀ liegt; 0 ist der Krümmungsmittelpunkt der Wölbung.

,0

T'

t<p\

Abb. 81.

Wenn der Körper K ein wenig aus der Gleichgewichtslage fortgerollt ist, kommt der Auflagerpunkt von A₀ nach At, der Schwerpunkt von S₀ nach Sl, der Krümmungsmittelpunkt von 0 nach M und der ursprünglich mit A0 zusammenfallende Funkt der Wölbung nach B, so daß A₁B = A₁A₀ist. Man soll die Schwingungsdauer der Bollschwingungen berechnen, die K um die Gleichgewichtslage herum ausführen kann.

Lösung. Die augenblickliche Lage des rollenden Körpers kann entweder durch die Strecke w = A₀ A₁ = OM oder durch den Winkel cp angegeben werden, um den sich die Symmetrieachse des Körpers aus der Anfangslage OA in die Lage BM gedreht hat. Zwischen w und cp besteht die Beziehung

w — r cp,

wenn r den Halbmesser des Wölbungskreises bedeutet. Für die rechtwinkligen Koordinaten x, y des Schwerpunktes S± in der Lage cp erhält man, wie aus der Figur sofort zu entnehmen ist,

x = rep — s sin <p; y = s cos cp.

Dabei bedeutet s den Abstand des Schwerpunktes vom Krümmungsmittelpunkte, also eine unveränderliche Größe.

Die Schwingungsweite der Rollschwingungen sei durch den Winkel a gekennzeichnet, zu dem cp in der äußersten Lage anwächst.

In der Lage cp liegt der Schwerpunkt tiefer als in der Lage « und die Senkung wird durch den Unterschied der beiden Ordinaten y angegeben. Beim Übergang aus der äußersten Lage « in die Lage cp leistet das Gewicht Q des Körpers K eine Arbeit, die hiernach gleich

Qs(cosg) — cos«)

gesetzt werden kann. Die lebendige Kraft oder Wucht des rollenden Körpers in der Lage cp besteht aus zwei Teilen, von denen der eine die „Drehwucht“ oder Translationsenergie, der andere die „Fort-schreitungswucht“ darstellt. Bezeichnet man das Trägheitsmoment für die durch den Schwerpunkt senkrecht zur Zeichenebene gezogene Achse mit 0, so ist die Drehwucht gleich und die Forts ehr eitungs wucht unter Zerlegung der Schwerpunktsgeschwindigkeit in zwei rechtwinklige Komponenten gleich

Setzt man hier x und y aus den vorher festgestellten Gleichungen ein, so erhält man nach dem Satze von der lebendigen Kraft

(r² + s² — 2 rscoscp)(~^j    = Qs (cos cp — cos«),

wofür man unter Einführung des Trägheitshalbmessers i an Stelle des Trägheitsmoments 0 auch

(r² -f s² — 2 rs cos cp + i²)    ^ == 2 gs(cos cp — cos «)

schreiben kann. Unter der Voraussetzung, daß die Schwingungsweite ziemlich klein ist, genügt es, in der Klammer auf der linken Seite cos cp = 1 zu setzen, während auf der rechten Seite davon abgesehen werden muß, da es dort gerade auf den, wenn auch noch so kleinen Unterschied von cos cp und cos « ankommt. Die Gleichung geht dann über in

((r — s)² + i²)    ⁼ 2^s(cos cp — cos a).

Diese Gleichung stimmt aber mit der für ein Pendel überein. Gl. (98), S. 145, für die Schwingungen des physischen Pendels läßt sich nämlich, wenn man darin ebenfalls das dort vorkommende Trägheitsmoment durch einen Trägheitshalbmesser ersetzt, auch

i\ ⁼ 2 gs (cos cp — cos«)

schreiben. Die Schwingungen des physischen Pendels stimmen demnach mit den hier zu untersuchenden Rollschwingungen überein, wenn man nur it passend wählt und dafür sorgt, daß die in beiden Fällen mit s bezeichneten Strecken gleich groß sind. Nun war die reduzierte Pendellänge l für das physische Pendel nach Gl. (97)

il

und daher erhalten wir hier für das mit dem rollenden Körper gleichschwingende Fadenpendel die Fadenlänge

(r — s)! -f- is

Die Dauer einer vollen Schwingung folgt daraus zu

1/

(r — s)² -f- i

sg

Nebenbei bemerkt, stellt der Zähler im Ausdrucke für l das Quadrat des Trägheitshalbmessers für die durch den Auflagerpunkt A gehende augenblickliche Drehachse des rollenden Körpers dar.

Fünfter Abschnitt.

Die Relativbewegung.

§ 47. Vorbemerkungen.

Vom Begriffe der Relativbewegung ist schon im ersten Bande wiederholt Gebrauch gemacht worden, und ich kann hier als bekannt voraussetzen, was damals hierüber ermittelt wurde. Bei jenen früheren Gelegenheiten erstreckte sich indessen die Untersuchung immer nur auf den Fall, daß das Fahrzeug, von dem aus die Bewegung des materiellen Punktes oder des Körpers beobachtet werden sollte, nur eine Translationsbewegung und keine Drehung ausführte. Es macht sich daher jetzt noch eine Ergänzung erforderlich für den Fall, daß sich das Fahrzeug in ganz beliebiger Weise bewegt.

Zuvor sei aber noch auseinandergesetzt, zu welchem Zwecke und für welchen Gebrauch die hier vorzunehmenden Untersuchungen bestimmt sind. Bei den meisten Aufgaben der Dynamik hat man gar keine Veranlassung, Relativbewegungen ins Auge zu fassen; man löst sie am einfachsten, wenn man sich den Beobachter im festen Raume aufgestellt denkt: also in einem Raume, für den das Trägheitsgesetz erfüllt ist. Bei den vorausgehenden Untersuchungen dieses Bandes ist dies auch stets geschehen. In manchen Fällen vermag man aber entweder überhaupt nicht gut die Untersuchung der Bewegung von einem Fahrzeuge aus zu vermeiden oder man würde wenigstens, wenn die Vermeidung auch möglich wäre, auf erhebliche Vereinfachungen verzichten müssen, die durch die Hereinziehung der Relativbewegungen erzielt werden können.

Kaum zu vermeiden ist die Betrachtung der Relativbewegung bei solchen irdischen Bewegungsvorgängen, die von der Eigenbewegung des Erdballs gegen den festen Raum merklieh beeinflußt sind. Diese Fälle sind freilich selten; gewöhnlich braucht man auf die Eigenbewegung der Erde nicht zu achten, kann vielmehr das Trägheitsgesetz, wie es auch bisher stillschweigend schon immer geschehen ist, als gültig in bezug auf den von der Erde her ausgemessenen Raum betrachten. Dadurch wird man aber der Verpflichtung natürlich nicht enthoben, eine genauere Untersuchung anzustellen, um sich zu überzeugen, inwieweit die Vernachlässigung zulässig ist und um für jene Fälle, in denen sie nicht mehr zulässig ist, eine andere geeignete Untersuchungsmethode ausfindig zu machen.

So erwähnte ich z. B. schon früher einmal, daß ein Stein nicht genau in der lotrechten geraden Linie zur Erde fällt, sondern daß sich wegen der Drehung der Erde gegen den festen Raum, in dem das Trägheitsgesetz gilt, eine Seitenablenkung einstellt, die freilich sehr gering und nur durch genaue Versuche nachweisbar ist. Freilich steht nichts im Wege, selbst in solchen Fällen den Beobachtungsposten im festen Raume zu wählen, von hier aus die absolute Bahn des fallenden Steins zu ermitteln und dann erst nachträglich unter Berücksichtigung der Eigenbewegung der Erde den „relativen“ oder „scheinbaren“ Weg des Steins gegen die Erde, für den wir uns interessieren, und der allein unmittelbar beobachtet werden kann, daraus abzuleiten. Ein solches Verfahren wäre aber sehr umständlich. Außerdem sind wir auch in der Mechanik der irdischen Bewegungsvorgänge so sehr darauf angewiesen, die Erde selbst als Aufstellungsort des Beobachters zu wählen, daß man auch in solchen Ausnahmefällen nicht darauf verzichten möchte. Die nachfolgenden Betrachtungen werden uns zeigen, wie man die früheren Untersuchungen nötigenfalls zu ergänzen hat, um den irdischen Standpunkt unter allen Umständen festhalten zu können.

Bei anderen Untersuchungen liegt zwar keine so dringende Nötigung vor, auf die Relativbewegungen einzugehen; man erleichtert die Betrachtung aber auch bei ihnen oft sehr erheblich, wenn man davon Gebrauch macht. Hierher gehören z. B. die Flüssigkeitsbewegungen, die im Innern einer Zentrifugentrommel oder im Laufrade einer Turbine vor sich gehen. Die Eigenbewegung der Erde kommt hierbei übrigens nicht in Frage; man kann vielmehr ohne Bedenken die von der festen Erde her gesehenen Bewegungen dabei als absolute auffassen. Betrachtet man aber die Flüssigkeitsströmungen in der rotierenden Trommel als Relativbewegungen gegen das Gefäß, so führt man die Aufgabe auf Wasserbewegungen in ruhenden Gefäßen zurück, also auf einfachere Betrachtungen, die schon früher erledigt wurden. Auch hierüber, wie dies möglich ist, soll unsere Untersuchung Aufschluß geben.

Um die aufgezählten Aufgaben lösen zu können, müssen wir die Wege, die Geschwindigkeiten, die Beschleunigungen und die Kräfte im bewegten Raume mit jenen vergleichen, die vom absoluten Raume her festgestellt werden. Die Massen der bewegten Körper sind als Eigenschaften dieser Körper und daher in beiden Fällen als gleich anzusehen. Von den Kräften gilt dies aber nicht; wir müssen vielmehr von vornherein erwarten, daß an dem Körper, dessen Bewegung untersucht werden soll, noch andere Kräfte angebracht werden müssen, wenn die Bewegung auf ein bewegtes Fahrzeug, als wenn sie auf den festen Raum bezogen werden soll, für den das Trägheitsgesetz gilt. — Außer den schon aufgezählten werden auch noch andere dynamische Größen, wie Arbeiten, statische Momente, Antriebe, lebendige Kräfte usf. in Betracht zu ziehen sein; wir können aber von diesen einstweilen absehen, da sie aus den zuerst angeführten später leicht abgeleitet werden können.

§ 48. Der Satz von Coriolis.

Wir wollen uns zunächst überlegen, wie man die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Bewegung eines materiellen Punktes in möglichst einfacher Weise geometrisch darstellen kann. Man betrachte zwei aufeinander folgende Zeitteilchen von der gleichen Dauer r. Zu Anfang hatte der Punkt, dessen absolute Bewegung betrachtet werden soll, den Abstand g₀ von einem festen Anfangspunkte. In den beiden Zeitteilchen r ändert sich der Abstand g um die Wege dè₁ und d%₂. Da g als eine Funktion der Zeit t zu betrachten ist, hat man nach der Taylor sehen Entwicklung

»r-

^ + ^ = ^Qo+^(^)o+...

zu setzen. Die Differenz der Wege ddx und dè₂ ist daher

dh~dh = t2(1*)₀+' ⁻

Die Glieder höherer Ordnung können weggelassen werden und für die Beschleunigung zur Zeit t — 0 erhält man daher dèç — dil (d&t-|-d8s)— 2dil

(a

T⁸

(206)

Diese Formel ist übrigens nur als eine Erläuterung für den Begriff des zweiten Differentialquotienten von 8 nach t anzusehen.

Nun sei BBXB₂ in Abb. 82 der absolute Weg eines beweglichen Punktes B und BCXC₂ der absolute Weg jenes Punktes des Fahrzeugs, mit dem B anfänglich zusammenfiel. Da die Strecken BBX usf. in der Grenze unendlich klein zu denken sind, schreiben wir dafür

BBX = d8X; B₁B₂ = d%₂] BCX = d\q; Cxü₂ = d\i₂.

Die Strecken CXBX und C₂B₂ geben die relativen Wege von B gegen das Fahrzeug an, so wie sie vom festen Raume aus gesehen erscheinen. Man hat dafür

CXBX - dix — dpx'x C₂B₂ = dèx -f d%₂ — d\q — dp₂.

Die Geschwindigkeiten hängen von dem Wege im ersten Zeitteilchen allein ab. Bezeichnen wir CXBX mit dtx, so folgt aus der ersten dieser Gleichungen durch Division mit r oder dt

d dil

dt    dt    dt ’

wofür auch allgemein

(207)

di _ dt , dp dt dt 'dt

geschrieben werden kann, da es gleichgültig ist, von welchem Zeitpunkte ab wir die Wege d% usf. verfolgen. In Worten heißt dies:

Die absolute Geschwindigkeit des bewegt en Punkt es ist in jedem Augenblicke gleich der geometrischen Summe aus der Fahrzeuggeschwindigkeit und der Re-latiygeschwindigkeit gegen das Fahrzeug.

Die Relativbeschleunigung yon B ist dagegen aus dem Vergleiche der Wege GXBX und C₂B.₂ nach der durch Gl. (206) gegebenen Anleitung zu berechnen. Dabei müssen wir aber beachten, daß der Beobachter, der diese Wege miteinander vergleicht, im Fahrzeuge selbst aufgestellt sein muß. Markiert dieser Beobachter

it

\A

fB,

B, MutL

fl

xb:\

Id V

i \

c,

*Ct

Abb. 82.

Abb. 83.

die Punkte Cx und B₁ nach dem ersten Zeitteilchen im Fahrzeuge, so führt die Strecke CXBX des Fahrzeugs während des zweiten Zeitteilchens selbst noch eine Bewegung aus. Der Anfangspunkt Cx gelangt dabei nach C₂ und zugleich führt die Strecke C₁B₁ noch eine Drehung um den Winkel ur aus, wenn mit u die Winkelgeschwindigkeit des Fahrzeugs während dieser Zeit bezeichnet wird. Da nun C₂B₂ in Abb. 82 so gezeichnet ist, wie es der Lage nach Ablauf des zweiten Zeitteilchens entspricht, so müssen wir, um beide Strecken auch für den innen stehenden Beobachter, der sich nach dieser zweiten Lage orientiert, vergleichbar miteinander zu machen, an Stelle von Cx Bx die Strecke

d%x —    + x V(d%x — d\jju

setzen. Das letzte Glied in diesem Ausdrucke gibt den Weg an, den der Endpunkt Bx von C₁B₁ bei der Drehung beschreibt. Er ist aus Abb. 83 ersichtlich, in der er mit BXB[ bezeichnet

ist. In diese Abbildung ist die Drehachse u eingetragen, um die sich das Fahrzeug und mit ihm G₁Bi während des zweiten Zeitteilchens dreht. ĄD ist das yon Bx auf u gefällte Perpendikel; Bx1)B'x ist der Winkel, um den es sich dreht, und Bx die neue Lage, in die B₁ übergeht, wenn man nur die Fahrzeugdrehung allein berücksichtigt. Wenn noch die Translationsbewegung dazu kommt, gelangt C₁B₁ in die Lage C₂BX und diese Strecke ist zur Ermittelung der Relativbeschleunigung mit C₂B₂ zu ver-

d²v

gleichen. Für die Relativbeschleunigung schreiben wir und erhalten dafür nach Vorschrift von Gl. (206)

dpi—dpi — 2{Æ8j — dlfl + zY(dS₁ — <?(!,)«)

\dt²Jo

dSt — d%x    d\J₂ — dtyx

X²

₂y(^_^)u_.

(208)

dt

wobei im letzten Gliede die Relativgeschwindigkeit an Stelle

man

der ihr gleichen Differenz ^ —~ eingeführt ist. Läßt

nachträglich die Zeiger o weg, die nur darauf hinweisen, daß sich alle Größen auf den Anfangspunkt der Zeit t — 0 beziehen sollen, der aber ganz nach Belieben gewählt werden kann, so läßt sich Gl. (208) auch in die anschaulichere Form

(209)

d²i    d²\i . d²r . oU(Jr

d?⁼W + W + 2Vdt"

bringen. Diese Gleichung spricht den Satz von Coriolis aus, der sich auch in die Worte fassen läßt:

Dieabsolute Beschleunigung des bewegten Punktes ist gleich der geometrischen Summe aus der Fahrzeugbeschleunigung, aus der Relativbeschleunigung gegen das Fahrzeug und aus dem doppelten äußeren Produkte aus der Relativgeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit des Fahrzeugs.

Unter „Fahrzeugbeschleunigung“ ist dabei, wie aus dem

Zusammenhänge hervorgeht, die Beschleunigung jenes Fahrzeugpunktes zu verstehen, mit dem der bewegte Punkt gerade zusammenfällt.

§ 49. Die Zusatzkräfte bei der Relativbewegung.

Das Trägheitsgesetz und die dynamische Grundgleichung sind für den im Fahrzeug aufgestellten Beobachter nicht erfüllt, wenn er nur die tatsächlich an dem bewegten Punkte angreifenden Kräfte ins Auge faßt. Als „tatsächlich angreifende“ oder „physikalisch existierende“ Kräfte sind hierbei jene bezeichnet, die auch für den im festen Raume aufgestellten Beobachter nachweisbar sind. Mit der dynamischen Grundgleichung würden aber auch alle anderen Folgerungen der Dynamik hinfällig werden Um die Lehren der Dynamik auch für den im Fahrzeuge aufgestellten Beobachter anwendbar zu machen, kann man aber den Kunstgriff benutzen, an dem bewegten Punkte B Zusatzkräfte von der Art anzubringen, daß nachher die dynamische Grundgleichung auch für den bewegten Raum gültig bleibt. Dies ist leicht zu erreichen. Man multipliziere Gl. (208) mit der Masse m des bewegten Punktes. Dann wird

dsi> n T jdt

w~2mVöü"-

<?+■ ! U>

(210)

= m

Das erste Glied auf der rechten Seite stellt nach dem dynamischen Grundgesetze die „physikalisch existierende“ Kraft ^ an dem materiellen Punkte (oder die Resultierende, wenn mehrere Vorkommen) dar. Die beiden anderen Glieder müssen, wenn wir die dynamische Grundgleichung auch für die Relativbewegung aufrechterhalten wollen, ebenfalls als Kräfte gedeutet werden. Diese Kräfte sollen als „erste“ und „zweite“ Zusatzkraft bezeichnet werden.

Die erste Zusatzkraft ist jene, die schon beim d’Alembert-schen Prinzip vorkam. In der Tat hängt ja der Fall der Relativbewegung in sehr einfacher Weise mit dem d’Alembertschen Prinzip zusammen. Wenn sich ein starrer Körper bewegt, sind alle seine materiellen Punkte im Gleichgewichte (und in Ruhe) relativ zu einem auf dem starren Körper selbst aufgestellten Be-

obachter. Für diesen Beobachter müssen daher, wenn er die Lehren der Mechanik auf seinen Raum bezieht, alle an dem starren Körper angreifenden Kräfte ein Gleichgewichtssystem miteinander bilden. Er muß aber dann, wie wir schon früher auf anderem Wege und jetzt von neuem fanden, außer den ' physikalisch existierenden Kräften auch die „Trägheitskräfte“ nämlich

d*p

dt²

anbringen. Bei dieser Anwendung von Gl. (210) fallen nämlich, da keine Relativbewegungen Vorkommen, die Differential-quotienten von r fort. Behalten wir die frühere Bezeichnung für die „Trägheitskräfte“ auch in dem allgemeineren Falle bei so geht Gl. (210) über in

(211)

~-V + §-2mV<aU,

wobei noch der Kürze halber die Relativgeschwindigkeit des bewegten Punktes mit U bezeichnet ist.

Die Anwendung von Gl. (211) soll zunächst an dem Beispiele des fallenden Steines gezeigt werden. An einem materiellen Punkte, den wir von der Erde aus beobachten, wirken zunächst von physikalisch existierenden Kräften die Anziehung der Erde, der Sonne und aller anderen Weltkörper, die wir uns zu einer Resultierenden zusammengefaßt denken. Ferner können noch andere physikalisch existierende Kräfte, wie Luftwiderstand, Widerstand einer Bahn, überhaupt Druck von seiten eines anderen Körpers, elektrische Anziehung o. dgl. daran angreifen, deren Resultierende ^ sei, so daß ^    Wenn der Punkt

an seinem Orte auf der Erde unter der Einwirkung aller dieser Kräfte festgehalten werden soll, muß nach Gl. (211)

sein. Hieraus wird die Bedeutung von    klar, denn wir

wissen, daß wir an einem materiellen Punkte, an dem andere physikalisch existierende Kräfte nicht angreifen, eine dem Gewichte des Punktes entgegengesetzt gleiche Kraft ^ anbringen

23

.Föppl, Dynamik. 4. Aufl.

müssen, um ihn an seiner Stelle auf der Erde festzuhalten. Die Summe -j- £> ist daher selbst das Gewicht des Körpers, das mit © bezeichnet werden soll. Hiermit geht Gl. (211) über in

d't

= © +    — 2 mV ö u.

(212)

Wenn die von der Erde her gesehenen Bewegungen in Übereinstimmung mit den auf den festen Raum bezogenen Lehren der Mechanik stehen sollen, müssen wir uns daher außer dem Gewichte © und anderen etwa noch daran angreifenden Kräften noch die „zweiten Zusatzkräfte“ — 2 mVÖ U daran angebracht denken. Die zweite Zusatzkraft ist aber hier unter gewöhnlichen Umständen sehr gering wegen der kleinen Winkelgeschwindigkeit u der Drehung der Erde gegen den festen Raum, und hiervon allein kommt es, daß man in der Mehrzahl der Fälle von der Eigenbewegung der Erde ganz absehen, die Bewegungen relativ zur Erde also ohne weiteres als Absolutbewegungen betrachten kann. Ein Zahlenbeispiel möge dies noch zeigen. Die Erde dreht sich in einem Sterntage einmal um ihre Achse und voraussichtlich ist diese Winkelgeschwindigkeit als jene gegen den absoluten Raum aufzufassen. Ein Sterntag unterscheidet sich aber nicht viel von einem Sonnentage, und man pflegt daher bei solchen Rechnungen die Winkelgeschwindigkeit der Einfachheit wegen auf den Sonnentag zu beziehen. Dann ist

"SeC“1 = ï3-f6ÖSeC_1-

Wenn die Relativgeschwindigkeit ü etwa 10 m sec~¹ beträgt, und senkrecht zur Erdachse steht (also bei jener Richtung, in der das äußere Produkt seinen größten Wert annimmt), erhält man für die zweite Zusatzkraft den Wert

oder m • ~

2 7t

U = --

86400

20 m sec ¹

13760

• sec⁻¹

688

m sec

-2

Das Gewicht von m ist m • 9,81 m sec⁻²: die zweite Zusatzkraft

beträgt daher rund des Gewichtes, ist also unter gewöhn

lichen Umständen unmerklich.

Lassen wir bei dem fallenden Steine den Luftwiderstand außer Berücksichtigung, so ist ^ = 0 zu setzen und die Differentialgleichung der Fallbewegung lautet

tf'r_ @ -2mVtm

oder, wenn wir an Stelle des Gewichtes das Produkt aus Masse und Fallbeschleunigung g einführen,

(213)

JF-i-aV»«.

Gewöhnlich vernachlässigt man das zweite Glied der rechten Seite gegenüber g. Dann wird ti = g£, wenn man die Zeit t von Beginn der Fallbewegung an rechnet. Es wird daher, um eine bessere Annäherung zu erhalten, genügen, wenn man im Korrektions-gliede ö = gtf setzt. Der damit begangene Fehler ist jedenfalls erst von höherer Ordnung klein, als die Abweichung von dem Falle in lotrechter Richtung; es ist daher für unsere Zwecke zunächst nicht nötig, die Differentialgleichung (213) streng zu integrieren. Wir können sie vielmehr genau genug ersetzen durch und durch Integration erhält man daraus, wenn die Radienvektoren X von der Ausgangsstelle der Fallbewegung aus gerechnet werden,

to, «

v»«.

(214)

Das letzte Glied ist das Korrektionsglied. Das äußere Produkt aus g und u ist gleich ug cos cp, wenn cp die geographische Breite des Ortes der Erde ist, an dem der Versuch angestellt wird. Die Richtung von Vgu steht senkrecht zu g und u, ist also horizontal und nach Westen hin gekehrt. Wegen des negativen Vorzeichens stellt daher das Korrektionsglied eine östliche Abweichung des fallenden Steins aus der Lotrichtung dar. Am größten wird die Abweichung am Äquator, weil dort g und u senkrecht zueinander stehen und daher cos cp = 1 ist. Aber auch dort ist sie nur gering. Selbst bei t = 10 sec Fallzeit erreicht das Korrektionsglied erst die Größe

23*

1000 sec³

•9.81 m

, • sec ¹ = 0,238 m,

sec² 13760

während der in dieser Zeit in lotrechter Richtung zurückgelegte Weg hei Außerachtlassung des Luftwiderstandes gegen 500 m beträgt.

Es mag übrigens noch bemerkt werden, daß sich Gl. (213) auch streng integrieren läßt. Schreibt man sie in der Form

so lautet das erste Integral

ü = g£

2 ut — sin 2 u t

2ms

(ung-g-u²), (215)

wobei noch eine willkürliche Integrationskonstante b₀ beigefügt werden könnte, die die Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t = 0 angeben würde, die aber wegen der hier vorliegenden Anfangsbedingung gleich Null zu setzen ist und daher weggelassen wurde. Durch Einsetzen des Wertes in die Differentialgleichung überzeugt man sich leicht, daß sie davon befriedigt wird.

Eine Integration nach t liefert nun auch sofort X als Funktion der Zeit. Beachtet man auch hier die Anfangsbedingung t = 0 für t = 0, so erhält man

2 ut— sin2Mf

(216)

4 us

2w*i² -f- cos 2ut —

»BU

- (u • UJ — g • u²).

Bei einer Fallzeit von einigen Sekunden dreht sich die Erde nur um einen sehr kleinen Winkel ut weiter; daher können sin 2 ut und cos 2 ut in sehr schnell konvergierende Reihen entwickelt werden. Behält man dabei nur die Glieder bis zur Größenordnung (ut)³ bei, so kommt man wieder auf die Näherungsformel (214). Man kann aber auch noch kleinere Glieder mitnehmen und erhält z. B. mit Berücksichtigung der Glieder bis zur Ordnung (ut)L

i®

wj

Î»

SS

SS

SS

ts»

SS

Der Ausdruck (u • Ug — g • U²) bedeutet, wie die geometrische Betrachtung lehrt, einen im Meridian liegenden, senkrecht zur Erdachse nach außen hin gehenden Vektor von der Größe u^g cos cp. Er läßt

sich zerlegen in eine lotrechte Komponente, die aber gegenüber dem at²

Gliede yon verschwindender Größe ist und in eine horizontale 2

Komponente, die für einen auf der nördlichen Halbkugel gelegenen Punkt nach Süden hin geht, von der Größe u²g cos cp sin cp.

Hiernach liefert die bis auf Glieder von der Ordnung (W)⁴ genaue Integration der Fallgleichung außer einer östlichen Abweichung, die vorher schon besprochen war, auch noch eine südliche Ablenkung des fallenden Körpers von der Größe

- u²g sin cp cos cp.

Setzt man die geographische Breite cp — 45° und t = 10 sec, so geht dies über in

0,000043 m,

d. h. die südliche Ablenkung beträgt hiernach selbst bei einer Fallzeit von 10 sec nur einige Hundertstel Millimeter, ist also durch Messung überhaupt nicht nachweisbar.

Wenn man eine Genauigkeit der Bechnung bis auf so kleine Glieder anstreht, muß man übrigens auch noch einen anderen Umstand beachten. Wir haben nämlich ß als eine Konstante betrachtet, während in Wirklichkeit g an jedem Orte der Bahn etwas (wenn auch nur sehr wenig) verschieden ist. Hierbei ist namentlich zu bedenken, daß das Gewicht © den Summanden enthält, der in verschiedenen Höhen, d. h. in verschiedenen Abständen von der Erdachse verschiedene Größen hat. Zieht man eine Kraftlinie, deren Richtung überall mit der von © oder g zusammenfällt, so hat diese daher selbst schon eine geringe Krümmung in der Meridianebene, vorausgesetzt, daß man sich weder am Pole noch am Äquator befindet. Auch hierdurch wird eine geringe Ablenkung des fallenden Steins von der Lotlinie in der Nord-Südrichtung hervorgerufen, die der Größe nach mit der vorher berechneten vergleichbar, hiermit aber ebenfalls so klein ist, daß sie unmöglich durch einen Fallversuch nachgewiesen werden kann.

Die genauere Theorie der Fallbewegung lehrt daher, daß ein fallender Körper nur eine östliche Ablenkung von merklichem Betrage erfahren könne. Merkwürdigerweise haben aber die meisten Beobachter, die solche Versuche anstellten, außer der östlichen Abweichung auch noch eine südliche wahrgenommen oder wenigstens wahrzunehmen geglaubt. Diese viel umstrittene südliche Ablenkung ist nach den besten Beobachtungen jedenfalls viel kleiner, als die durch Messung leicht nachzuweisende östliche Ablenkung, aber immerhin nach den Angaben der Beobachter weit größer, als sie nach der vorgetrageneq. Theorie erwartet werden dürfte. Man nimmt daher gewöhnlich an, daß die Beobachtungen ungenau gewesen seien, und manche Gelehrten stellen es sogar als gewiß hin, daß dies so sein müsse, weil die südliche Ablenkung mit der Theorie nicht übereinstimmt. Ich betrachte dies aber als unzulässig. Aus bekannten Gründen läßt sich die südliche Ablenkung freilich nicht erklären; aber dies beweist noch keineswegs, daß die Beobachter unrecht haben müßten. Es wäre ja sehr wohl möglich, daß die Theorie noch unvollständig wäre. Wenn das genauere Gesetz der etwa doch noch tatsächlich bestehenden südlichen Ablenkung später einmal durch verfeinerte Beobachtungen festgestellt werden sollte, würde man daraus die wichtigsten Schlüsse auf die Verbesserungen ziehen können, die an der Theorie anzubringen wären. Daraus erklärt sich die große Bedeutung solcher Versuche.

Eng verwandt mit der Seitenablenkung des fallenden Steins ist auch die eines Geschosses. Wenn ein Geschütz z. B. in der Richtung nach Norden hin abgefeuert wird, tritt wegen der Erddrehung eine seitliche Ablenkung des Ge-schossses nach Osten hin ein. Schießt man nach Süden, so ist die Seitenablenkung westlich, d. h. in beiden Fällen nach rechts vom Schützen aus gesehen. Vorausgesetzt wird dabei, daß man sich auf der nördlichen Halbkugel befinde; am Äquator ist die Ablenkung Null und auf der südlichen Halbkugel entgegengesetzt. Auch wenn man nach Osten oder Westen hin schießt, hat man stets eine Ablenkung nach rechts hin vom Geschütze aus gesehen. Auch der Betrag dieser Ablenkung kann unter Voraussetzung einer flachen Flugbahn leicht berechnet werden. Wenn sich das Geschoß z. B. nach Norden mit einer Geschwindigkeit von 350 m sec⁻¹ ungefähr in horizontaler Richtung bewegt, ist in der geographischen Breite cp die zweite Zusatzkraft von der Größe

m • 700 •

13760 Sin?

anzubringen, wofür rund ^ sin cp gesetzt werden kann, wenn Q das Geschoßgewicht ist. Eine konstante Kraft von dieser Größe bringt z. B. während einer Flugzeit von 20 sec nach den Formeln für die gleichförmig beschleunigte Bewegung einen in ihre Richtung fallenden Weg von rund

10 m • sin cp oder von 7,7 m

zustande, wenn cp = 50° gesetzt wird. Wenn es verlangt wird, kann man die Rechnung natürlich auch noch genauer durchführen; es sollte sich jetzt nur um eine Abschätzung handeln.

Beträchtlich wird die Zusatzkraft, wenn man die Bahn eines zur Erde fallenden Meteorsteines betrachtet, weil es sich in diesem Falle um sehr große Geschwindigkeiten handelt. Zugleich wird aber dann auch der Luftwiderstand so groß, daß die vorher für die Fallbewegung ohne Luftwiderstand abgeleiteten Formeln keine Anwendung finden können.

Auch an einem schnell umlaufenden Schwungrade Avirkt wegen der Erddrehung ein freilich bei den praktisch vorkommendenGeschwindigkeiten nur sehr geringfügiges Kräftepaar der „zweiten Zusatzkräfte“, das leicht berechnet werden kann. Es kann übrigens auch nach den in § 39 gegebenen Anleitungen sofort ermittelt werden, denn das Schwungrad wird von der Erde bei ihrer Bewegung im absoluten Raume genau ebenso mitgenommen wie der dort betrachtete Schwungring, der auf einer Lokomotive gelagert sein sollte.

Aus der dynamischen Grundgleichung sind alle übrigen Sätze der Mechanik, soweit sie nicht an und für sich für jeden Aufstellungsort des Beobachters gültig sind, abgeleitet worden. Sobald Avir daher durch Einführung der Zusatzkräfte Sorge dafür tragen, daß die dynamische Grundgleichung auch für die Bewegungen relativ zur Erde erfüllt bleibt, können wir auch alle daraus abgeleiteten Folgerungen ohne weiteren Beweis anwenden, d. h. die Gültigkeit der zunächst auf den absoluten Raum bezogenen Lehren der Mechanik wird damit auch für den auf der Erde fußenden Beobachter gerettet.

Schließlich bemerke ich noch, daß die Relativbewegung im 6. Bande dieses Werkes eine weitere ausführliche Besprechung findet.

Aufgaben.

43. Aufgabe. Eine Scheibe rotiert um eine zur Scheibenebene senkrechte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit uv Relativ zur Scheibe beschreibt ein materieller Punkt eine kreisförmige Rahn, deren Ebene gleichfalls senkrecht zur Vmdrehungsachse der Scheibe steht und deren Mittelpunkt auf dieser Umdrehungsachse liegt. Die Winkelgeschwindigkeit der Relativbewegung sei mit u₂ bezeichnet. Man soll die Er-gänzungs- oder Zusatzkräfte der Relativbewegung angeben.

Lösung. Immer wenn die Fahrzeugbewegung in einer gleichförmigen Drehung besteht, ist die erste Zusatzkraft die Zentrifugalkraft. Sie ist radial nach außen gekehrt und hat die Größe mu\a, wenn m die Masse des bewegten Punktes und a den Kreishalbmesser bedeutet. Die zweite Zusatzkraft hat die Richtung von —VÖU1; geht also ebenfalls in radialer Richtung, und zwar nach außenhin, wenn die Relativgeschwindigkeit t) denselben Umlaufssinn hat, wie die Fahrzeugbewegung. Im entgegengesetzten Falle ist sie auf den Mittelpunkt zu gerichtet. Die Größe ist in jedem Falle gleich 2mvu^ oder, da v — u₂a gesetzt werden kann, gleich 2mu₁u₂a. Wenn die beiden Winkelgeschwindigkeiten ux und u₂ im gleichen Umdrehungssinne gehen, wollen wir u₂ positiv, im entgegengesetzten Falle negativ rechnen. Dann kann für beide Fälle die Resultierende aus beiden

Zusatzkräften gleich einer radial nach außen gehenden Kraft vom Betrage

ma{u\ -f- 2 ux w₂)

gesetzt werden, wobei ein etwa herauskommendes negatives Vorzeichen eine entgegengesetzte Richtung der Resultierenden bedeutet.

Außer den beiden Zusatzkräften greift an dem bewegten Punkt noch eine tatsächlich vorhandene Kraft an, die etwa durch einen Faden oder durch eine Federspannung darauf übertragen wird. Die Resultierende aus dieser und den Zusatzkräften gibt die gesamte Kraft an, die man sich an dem Punkte angebracht denken muß, um die Relativbewegung so behandeln zu können, als wenn sie eine absolute Bewegung wäre, die durch diese Kraft hervorgebracht würde Da die Relativbewegung eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit u₂ ist, entspricht ihr eine resultierende Kraft, die nach innen-hin gekehrt ist, nämlich die Zentripetalkraft vom Betrage mau\. Hieraus läßt sich auch erkennen, wie groß die an dem bewegten Punkt wirklich vorhandene (durch den Faden u. dgl. übertragene Kraft) sein muß. Sie muß radial nach innen gehen, zunächst die nach außen gehende Resultierende der beiden Zusatzkräfte ausgleichen

ma (w|-f- 2 ux u₂ -f u\).

und darüber hinaus noch einen nach dem Mittelpunkte hin gerichteten Überschuß von dem berechneten Betrage mau\ liefern. Sie hat daher die Größe

Das ist aber nichts anderes als der Wert, den man unmittelbar erhaltenhätte, wenn man die absolute Bewegung des materiellen Punktes mit der Winkelgeschwindigkeit ux -j- u₂ betrachtet hätte, zu der eine Zentripetalkraft von der Größe ma(ux -j- w₂)² gehören muß.

cH

rQ n

'r*

In diesem Beispiele führt daher die Betrachtung der Belativ-bewegung zu einem Umwege; immerhin ist es nützlich, ihn einmal einzuschlagen, um den Zusammenhang der allgemeinen Lehren mit den hier vorliegenden Verhältnissen zu überblicken.

at

Abb. 84.

44. Aufgabe. Auf einer Scheibe S (Abb. 84), die sich mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit u um die durch den Scheibenmittelpunkt 0 senkrecht zur Scheibenebene gehende Achse dreht, ist eine Führungsstange AB befestigt, längs deren sich ein als materieller Punkt vom Gewichte Q aufzufassender Körper reihungsfrei zu verschieben vermag. Der Körper Q ist an einer Feder befestigt, die ihn bei einem Ausschlage x mit einer elastischen Kraft von der Größe cx nach der Stangenmitte C zurückzieht. Wenn der Körper durch einen Anstoß aus der Gleichgewichtslage C gekommen ist, führt er Schwingungen relativ zur rotierenden Scheibe aus. Man soll die Zusatzkräfte der Belativbcwegung angeben, die Differentialgleichung der Schivingungsbewegung aufstellen und die Schwingungsdauer berechnen. Unter welcher Größe muß die Winkelgeschwindigkeit u liegen, wenn solche Schivingungen überhaupt möglich sein sollen?

Lösung. Die erste Ergänzungskraft ist wieder eine Zentrifugalkraft von der Größe

— u²r,

9

wenn mit r = ]/ a² -f- x² der augenblickliche Abstand des Körpers

Q von 0 bezeichnet wird. ‘Die zweite Zusatzkraft steht senkrecht zur Führungsstange AB, hat die Größe

g dt

dx

und hat bei einem positiven einen nach außen gekehrten Pfeil,

falls sich die Scheibe, wie in Abb. 84 angenommen ist, im Uhrzeigersinne dreht.

Bei Körpern, die sich längs Führungen reibungsfrei bewegen, hat die zweite Ergänzungskraft keinen Einfluß auf den Bewegungsvorgang, da sie stets senkrecht zur Geschwindigkeit und daher zur Führung steht und von der Führungsstange aufgenommen wird. Das gilt wenigstens so lange, als die Rückwirkung des Führungsdrucks auf die Fahrzeugbewegung vernachlässigt werden kann, jedenfalls also hier, wo ausdrücklich vorausgesetzt wurde, daß sich die Scheibe mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewege.

Aus demselben Grunde kommt auch von der ersten Zusatzkraft nur die in die Richtung der Führungsstange fallende Komponente zur Geltung. Diese hat die Größe

G»[ ös

fcö

und ist mit x gleich gerichtet. Die Schwingungsbewegung erfolgt nun unter dem Einflüsse dieser Kraft und der tatsächlich vorhandenen Kraft, nämlich dem Federzuge ex, der entgegengesetzt gerichtet ist. Überwiegt der Federzug, so lassen sich beide Kräfte zu einer Resultierenden zusammensetzen, die auf die Gleichgewichtslage C hingerichtet ist. Die Differentialgleichung der Schwingungsbewegung lautet daher, wenn die Masse von Q mit m bezeichnet wird,

d²x ,    9N

jjj = — (c — mvr) x.

Sie unterscheidet sich von der Differentialgleichung (16) für die einfache harmonische Schwingung nur dadurch, daß an die Stelle des die Feldstärke der elastischen Kraft bezeichnenden Faktors c jetzt der in der Klammer enthaltene Ausdruck getreten ist. Hiernach kann die Schwingungsdauer sofort nach Gl. (20) angegeben werden, nämlich

— mul

“²*Vc

Für c = mu² wird T unendlich groß und für größere Werte von u imaginär. Das weist darauf hin, daß nur bis zu dieser Grenze hin Schwingungen möglich sind. Wenn die Scheibe schneller rotiert, geht Q bis zum Ende der Führungsstange und bleibt dort stehen. Die Gleichgewichtslage in C entspricht dann einem labilen Gleichgewichte.

Bei diesem Beispiele ist, im Gegensätze zu dem in der vorigen Aufgabe behandelten die Lehre von der Relativbewegung von großem Nutzen für die Lösung der Aufgabe und durch eine andere Betrachtung in der Tat nur in sehr schwerfälliger Weise zu ersetzen.

45. Aufgabe. Wie gestaltet sich die Lösung der vorigen Aufgabe, wenn die Beivcgung längs der Führungsstange nicht reibungsfrei, sondern einer Leibung unterworfen ist, die dem Normaldrücke zwischen Q und der Führungsstange proportional gesetzt iverden kann?

Lösung. Wir betrachten die Bewegung zunächst während der Zeit, in der —jj positiv ist, also vom linken Umkehrpunkte bis zum

rechten hin. Der Normaldruck zwischen Q und der Führungsstange ist dann gleich der Summe aus der Normalkomponente der Zentrifugalkraft und der Corioliskraft, wie man die zweite Zusatzkraft zur Abkürzung oft nennt. Er ist also gleich

mu²a -j- 2mu-^r •

Bezeichnet man den Reibungskoeffizienten mit f und beachtet man, daß die Reibung in jedem Falle der Bewegung entgegengesetzt gerichtet ist, hier also eine Beschleunigung im Sinne der negativen x hervorbringt, so erhält man als Differentialgleichung für diesen Teil des Schwingungsvorgangs

(c — mu²) x — fmu {ua -f- 2

d²x _ dt² ~

Diese Gleichung stimmt der Form nach mit der Differentialgleichung einer auf den absoluten Raum bezogenen Schwingung überein, an der zugleich eine der Geschwindigkeit -^-proportionaleDämpfung und außerdem noch eine Dämpfung durch gewöhnliche Reibung auftrift. Ihre Lösung ergibt sich daher aus der Verbindung der in § 6 und § 7 gesondert betrachteten Lösungen. Insbesondere folgt daraus, daß die Schwingungsdauer der einfachen Schwingung, während

deren

dt

^X positiv ist, unabhängig von dem konstanten Gliede auf der

rechten Seite der Differentialgleichung ist. Diese Schwingungszeit 1\ kann daher aus Gl. (32) S. 40 unmittelbar entnommen werden, indem man die Hälfte davon nimmt, da es sich jetzt nur um eine einfache Schwingung handelt, und außerdem c durch c — mu² und k durch 2 m fti ersetzt. Hiermit findet man

T,=

2 um

j/4 m (c — m!) — 4 vi*pu*

Bei der Bewegung im entgegengesetzten Sinne, also bei negativem yr-, sind die Normalkomponenten der Zentrifugalkraft und die

Corioliskraft von einander entgegengesetzter Richtung. Ihre Resultierende wird aber auch dann noch durch den Ausdrack

mu²a -j- 2mu

dx

dt ’

hei dem nun das zweite Glied einen negativen Wert erlangt, richtig angegeben. Dabei sind aber zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Geschwindigkeit während des Verlaufs des Schwingungsvorgangs immer so klein bleibt, daß der vorstehende Ausdruck stets positiv bleibt, oder ob er einen Vorzeichen Wechsel erfährt. Im letzten Falle muß man den ganzen Schwingungsweg in drei Teile zerlegen, so daß für den mittleren Teil eine andere Differentialgleichung gilt als für die beiden äußeren.

kleiner bleibt

Wir wollen uns jetzt damit begnügen, die Betrachtung für den Fall weiter zu führen, daß der Absolutbetrag von -yy

als . Dann lautet die Differentialgleichung für den ganzen Schwingungsweg

m ^y = —(c — mu²') x -f- fmu (ua + 2 ^yj ,

da die Reibung stets im Sinne der positiven x gerichtet ist. Auch die Lösung dieser Gleichung kann in derselben Weise gefunden werden wie die der vorigen. Dabei zeigt sich, daß die Schwingungszeit T₂ für das einmalige Durchlaufen der ganzen Schwingungsbahn ebenso groß wird wie vorher Tx bei der Bewegung im positiven

Sinne. Der Grund dafür liegt darin, daß in der Formel (32) für die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung der Dämpfungsfaktor 1c nur im Quadrat vorkommt, und daß es daher für das Schlußergebnis nichts ausmacht, wenn der Faktor von in der Differentialgleichung einen Yorzeichenwechsel erfährt. Für die Dauer T einer vollen Schwingung findet man damit

T = 2 1\

2 Tt

l/^--«’a+n

In bezug auf die Dämpfung unterscheiden sich dagegen die beiden Halbschwingungen, die im positiven oder negativen Sinne erfolgen, erheblich voneinander. Aus den Lösungen der Differentialgleichungen für beide Fälle läßt sich dies erkennen; von der vollständigen Durchrechnung soll aber hier abgesehen werden.

Sechster Abschnitt.

Hydrodynamik.

§ 50. Die Ansätze der Hydrodynamik.

Bei den Naturvorgängen spielen viele Umstände mit, von denen einige von großem, andere von weit geringerem Einflüsse sind. Um zu einer einfachen und doch hinreichend genauen Theorie zu gelangen, muß man sich daher ein Urteil darüber verschaffen, welche von jenen Umständen im gegebenen Falle die wichtigsten sind, und welche anderen man ohne Schaden außer acht lassen darf. Die Antwort auf diese Frage wird nicht immer dieselbe sein. Was in einem Falle außer Ansatz bleiben durfte, wird vielleicht in einem anderen Falle so viel mehr hervortreten, daß man unbedingt darauf achten muß, um die Theorie in hinreichende Übereinstimmung mit der Erfahrung zu bringen.

Das gilt schon in der Mechanik der festen Körper. Häufig genügt es, einen festen Körper als starr zu betrachten; ein andermal muß man auf die Formänderungen achten, die er erfährt, es genügt aber noch, diese als vollkommen elastische zu betrachten und das Hookesche Elastizitätsgesetz darauf anzuwenden, während man in einem dritten Falle genötigt sein kann, auf bleibende Formänderungen, auf Abweichungen vom Hooke-schen Gesetze, auf Eigenspannungen u. dgl. einzugehen. Ebenso paßt auch in der Hydrodynamik nicht jeder Ansatz auf alle Fälle.

Im ersten Bande dieser Vorlesungen habe ich schon einmal die üblichen Annahmen besprochen, die man der theoretischen Behandlung der Flüssigkeitsbewegungen gewöhnlich zugrunde legt. Insbesondere erinnere ich daran, daß man auf zwei physikalische Eigenschaften der tropfbaren Flüssigkeiten gewöhnlich nicht zu achten braucht, nämlich auf die Volumenänderungen elastischer und thermischer Art, die durch Anderungen des Flüssigkeitsdruckes oder der Temperatur hervorgerufen werden. Von¹ wenigen besonderen Fällen abgesehen, die eine darauf eingehende Betrachtung erforderlich machen können, sind wir daher berechtigt, die tropfbaren Flüssigkeiten und insbesondere das Wasser unter dem zwar nicht mehr ganz, aber doch hinlänglich genauen, vereinfachten Bilde einer raumbeständigen Flüssigkeit in unseren theoretischen Ansatz ein-gehen zu lassen.

Die Meeres-

Mittelbar freilich tragen die durch Temperaturunterschiede herbeigeführten Unterschiede in der Dichte sehr wesentlich zu einer Erscheinung bei, die man nicht immer mit dem gleichen Rechte vernachlässigen darf. Betrachtet man nämlich ein mit Wasser gefülltes Glas, das ruhig auf einem Tische steht, so wird man ZAvar in erster Annäherung sagen können, daß sich die Wassermasse im Gleichgewichte und in Ruhe befinde. Bei genauerem Zusehen bemerkt man aber an kleinen Teilchen, die darin herumschwimmen, daß die Wasser masse dauernd in langsamen Strömungen begriffen ist. Der Grund dafür ist in geringen Temperaturunterschieden zu erblicken, die sich unter gewöhnlichen Umständen nicht leicht vermeiden lassen und die entsprechend geringe Dichteunterschiede und hiermit eine Störung des Gleichgewichts hervorbringen.

Strömungen, wie z. B. der Golfstrom, geben uns ein Beispiel von sehr mächtigen Wirkungen, die von dieser Ursache herrühren. Bei den meisten Anwendungen der Hydrostatik sind aber diese Wirkungen so unmerklich, daß man mit Recht ganz von ihnen absehen darf. Immerhin müssen wir jedoch aus dieser Betrachtung den wesentlichen Unterschied eines flüssigen Körpers gegenüber einem festen entnehmen, daß bei ihm schon durch die geringfügigsten Ursachen ein fortwährender langsamer Platzwechsel und Austausch der einzelnen Teilchen innerhalb der ganzen Masse hervorgerufen wird, der beim festen Körper fehlt.

Der Kürze halber wollen wir die durch zufällige Umstände hervorgerufenen langsamen Strömungen der bezeichneten Art als „Mischbewegungen“ bezeichnen. Durch den Gebrauch dieses Wortes soll zugleich angedeutet werden, daß es sich um einen an sich unerheblichen Vorgang handelt, der einer Beachtung nur insoweit bedarf, als er zu einer Durcheinandermischung benachbarter Teile der Flüssigkeit führt.

Auch in einer strömenden Wassermasse fehlt die Mischbewegung nicht. Die Beobachtung der Wasserbewegung in einem Flusse läßt erkennen, daß „Mischbewegungen“ dabei Vorkommen. Man bemerkt auch, daß diese weit größer sind als in einer ruhenden Masse unter sonst gleichen Umständen, also größer etwa als in einem langhin gestreckten Teiche von der gleichen Breite und Tiefe. Die Mischbewegung lagert sich über die Hauptbewegung, die das Wasser flußabwärts führt und wird von ihr beeinflußt. Sie ist zwar verhältnismäßig geringfügig gegenüber der Hauptbewegung. Aber vernachlässigt darf sie darum doch nicht werden, und zwar deshalb nicht, weil sie auch selbst wieder d ie Hauptbewegung sehr wesentlich beeinflussen kann.

Der Einfluß, den die Mischbewegung auf den Hauptvorgang auszuüben vermag, wird um so geringer, je weniger sich innerhalb eines gegebenen Bezirks die durch den Hauptvorgang bedingten Geschwindigkeiten der einzelnen Massenteilchen voneinander unterscheiden. Denn eine wesentliche Änderung des Hauptvorgangs kann nur dadurch hervorgerufen werden, daß die zum Austausche gegeneinander gelangenden Teilchen merklich verschiedene Bewegungszustände mit sich bringen.

Geltung, und man wird,

zur

Wenn die Geschwindigkeitsunterschiede zwischen benachbarten Teilchen nur sehr gering sind, wird man also von einer Beachtung der Mischbewegung überhaupt absehen dürfen. In diesem Falle kommt aber überdies auch die Eigenschaft der Zähigkeit der Flüssigkeit nicht wenigstens innerhalb des betreffenden Bezirks, die Flüssigkeit mit genügender Genauigkeit unter dem Bilde einer reibungsfreien oder „vollkommenen“ Flüssigkeit in den theoretischen Ansatz eintreten lassen können.

Zwischen der Zähigkeit und dem Einflüsse, den die Mischbewegung ausübt, ist aber im übrigen wohl zu unterscheiden. Schon Newton hatte erkannt, daß man in der Hydrodynamik auf die physikalische Eigenschaft der Zähigkeit in vielen Fällen

Rücksicht nehmen muß, und von ihm rührt der erste Ansatz her, durch den sie in die Rechnung eingeführt wird. Bei den zähen Flüssigkeiten treten, wie schon in Band I besprochen wurde, während der Bewegung Schubspannungen oder „innere Reibungen“ auf, die man, und zwar wie es scheint mit genügender Genauigkeit, als linear abhängig von den Differential-quotienten der Geschwindigkeit nach den Koordinatenrichtungen betrachten kann. Darauf wird später noch näher einzugehen sein.

Aber je zäher eine Flüssigkeit ist, um so geringer fällt bei ihr unter sonst gleichen Umständen die Mischbewegung und hiermit auch deren Einfluß auf den Hauptvorgang aus. Es ist daher nicht möglich, beide Umstände zusammenzuwerfen und sie etwa beide durch einen einheitlichen Ansatz zum Ausdruck zu bringen. Sie müssen vielmehr getrennt behandelt werden.

Die übliche Hydrodynamik der zähen Flüssigkeit sieht in der Regel von der Mischbewegung vollständig ab und in zahlreichen Fällen mit vollem Rechte. Man muß indessen beachten, daß eine theoretische Lösung, die auf diesem Wege gewonnen wurde, für ein dickes Ol noch sehr genau richtig sein kann unter Umständen, bei denen dieselbe Lösung für eine weniger zähe Flüssigkeit, etwa für Wasser, schon vollständig versagt. Und zwar auch dann, wenn man in die gleiche Formel die sehr verschiedenen Werte des Zähigkeits-Koeffizienten für beide Flüssigkeiten einsetzt. Der Grund dafür liegt darin, daß im ersten Falle die Vernachlässigung des Einflusses der Mischbewegung berechtigt, im anderen Falle aber unzulässig war.

Meiner Meinung nach geht aus diesen Bemerkungen hervor, daß außer den üblichen Ansätzen für die vollkommene und die zähe Flüssigkeit noch ein Ansatz fehlt, der unter gewissen Umständen an deren Stelle zu treten hätte und bei dem der Einfluß der Mischbewegung in geeigneter Weise zum Ausdruck käme. Oder genauer gesprochen: ich würde es als einen großen Fortschritt der Hydrodynamik betrachten, wenn es gelingen sollte, schon für den ersten Ansatz, also für die Differentialgleichungen der Bewegung eine Form zu finden, die den Einfluß der Mischbewegung mit einer für die überwiegende Mehrzahl aller Fälle genügenden Genauigkeit derart zum Ausdruck bringt, daß man sich, nachdem dies geschehen ist, weiter-

24

IFöppl, Dynamik. 4. Aufl.

hin nicht mehr um sie zu kümmern braucht. In einzelnen Fällen lassen sich solche Ansätze zwar verhältnismäßig leicht ausfindig machen. Das Ziel, einen brauchbaren allgemein gültigen Ansatz zu finden, wird freilich nicht leicht zu erreichen sein. Als der erste Schritt dazu darf es aber immerhin gelten, wenn dieses Ziel zunächst einmal aufgerichtet ist.

§ 51. Die Darstellungsmittel der Hydrodynamik.

Abgesehen von der Berücksichtigung oder Vernachlässigung der einzelnen physikalischen Eigenschaften wird die Fassung der Theorie der Flüssigkeitsbewegungen auch noch von der Wahl der Darstellungsmittel beeinflußt, die man zur Untersuchung anwenden will. Am einfachsten fällt die Betrachtung aus, wenn man sich mit der Untersuchung der durchschnittlichen Bewegung einer größeren, in bestimmter Weise abgegrenzten Wassermasse begnügt. Dabei muß man freilich auf die Besprechung der feineren Einzelheiten und auf wichtige Erkenntnisse, die sich darauf stützen, verzichten. Immerhin sind aber die Ergebnisse, zu denen man auf diesem Wege gelangt, von großer Bedeutung, und in bezug auf ihre praktische Nutzbarkeit stellen sie überhaupt den wertvollsten Schatz dar, den wir zurzeit auf dem Gebiete der Mechanik der flüssigen Körper besitzen. Was auf diesem Wege gefunden werden kann, ist aber schon im ersten Bande hinreichend besprochen worden.

Hier werde ich daher zur Ergänzung der früheren Betrachtungen den anderen Weg einschlagen, der von der Untersuchung der Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten, den Beschleunigungen und den Kräften an einem unendlich kleinen Flüssigkeitselemente ausgeht. Man führt dadurch die verwickelten Erscheinungen in endlichen Raumgebieten auf ein Zusammenwirken der einfachsten gesetzmäßigen Vorgänge zwischen benachbarten Teilen zurück.

Ihren Ausdruck finden die Elementargesetze, auf die man in solcher Weise das gesamte Verhalten der Flüssigkeit zurückzuführen sucht, durch partielle Differentialgleichungen. Diese werden natürlich verschieden ausfallen müssen, je nachdem man

die Flüssigkeit als „vollkommen“ oder als „zäh“ betrachtet oder auch je nachdem man den Einfluß der Mischbewegung vernachlässigen oder ihn in passender Weise von vornherein berücksichtigen will.

Als letztes Ziel gilt freilich auch hier die Erkenntnis der Bewegung endlicher Wassermassen in ihren wichtigsten Einzelheiten. Von den Differentialgleichungen aus kann dieses Ziel nur durch eine Integration unter Berücksichtigung der im einzelnen Falle näher vorgeschriebenen Bedingungen erreicht werden. Der ganze Untersuchungsplan schließt sich sehr eng an jenen an, der den Lesern des dritten Bandes schon von der mathematischen Elastizitätstheorie her bekannt ist. Er hat den Vorzug , daß er wenigstens den Grundzügen nach alle Flüssigkeitsbewegungen zu umfassen gestattet und auf Sätze von sehr allgemeiner Gültigkeit zu führen vermag. Freilich werden die Integrationen, die zur Ableitung brauchbarer Ergebnisse aus den Differentialgleichungen erforderlich sind, immer nur in einer beschränkten Anzahl einfacherer Fälle wirklich ausführbar bleiben. Ganz wird daher die sich auf die Differentialgleichungen stützende „höhere“ Theorie die im ersten Bande wiedergegebenen elementaren Betrachtungen niemals entbehrlich machen können, selbst wenn es in der Folge gelingen sollte, das Gebiet, in dem sie zu wirklich richtigen (d. h. zu physikalisch genauen) Lösungen führt, erheblich zu erweitern.

Der Bewegungszustand in einer Flüssigkeit kann auf zwei verschiedene Arten analytisch dargestellt werden. Wir können zunächst unser Augenmerk auf eine bestimmte Stelle des Raumes richten, in dem die Flüssigkeitsströmung erfolgt. Der augenblickliche Zustand der Strömung an dieser Stelle wird vollständig durch die Geschwindigkeit D beschrieben, mit der die Bewegung hier gerade nach Richtung und Größe vor sich geht. Bezeichnen wir den von einem festen Anfangspunkte nach dieser Stelle gezogenen Radiusvektor mit r und die Zeit mit t, so wird durch eine Funktion

(217)

0 — q>(t,t)

die Geschwindigkeit für jede Stelle des von der Flüssigkeit ein-

24*

genommenen Raumes und für jeden Augenblick angegeben werden können. Will man in Koordinaten rechnen, so kann man dafür auch

(218)

«i = y, t) v₂ = cp₂(x, y, 0, t)

v* = <Ps(%, y, 0

schreiben, und das ganze Problem wird nun darauf hinauskommen, die Vektorfunktion <p oder ihre Komponentenfunktionen cpv (p₂, <p3 zu ermitteln, denn damit wird zugleich die Bewegung in allen Einzelheiten und für den ganzen Verlauf des Vorgangs bekannt.

Der durch diese Betrachtung angewiesene Weg zur Untersuchung des ganzen Vorgangs ist zuerst von Euler beschritten worden. Die Gleichungen, zu denen man auf diesem Wege geführt wird, bezeichnet man daher als die Euler sehen hydrodynamischen Gleichungen. Gewöhnlich ist diese Untersuchungsmethode die bequemste. Zuweilen führt aber auch eine zweite, die von Lagrange weiter ausgearbeitet wurde, besser zum Ziele, und die Gleichungen, die sich auf diese beziehen, bezeichnet man als die hydrodynamischen Gleichungen von Lagrange, obwohl auch Euler selbst, der um ein Menschenalter früher lebte, mit diesem zweiten Wege ebenfalls schon ganz gut bekannt war.

Das zweite Verfahren besteht nämlich darin, daß man das Augenmerk nicht auf eine bestimmte Stelle des Raumes richtet und zusieht, wie sich die Geschwindigkeit hier im Laufe der Zeit ändert, sondern indem man die Schicksale eines bestimmten Flüssigkeitsteilchens im Laufe des Bewegungsvorgangs verfolgt. Um anzugeben, was für ein Teilchen man meint, zieht man einen Radiusvektor r₀ von einem festen Anfangspunkte nach jener Stelle, die das Teilchen zu einer gewissen Zeit, die zum Ausgange der Untersuchung gewählt wird, inne hatte. Nach Verlauf einer Zeit t wird es sich an einer anderen Stelle befinden, deren Radiusvektor r sei Die Gleichung

(219)

* = <K*o> 0

gibt dann bei konstantem r₀ die Bahnkurve des Teilchens an. Wenn die Funktion 4> für alle möglichen Werte von r₀ bekannt ist, liât man ebenfalls eine erschöpfende Beschreibung des ganzen Bewegungsvorgangs. Auch hei der Untersuchungsmethode von Lagrange handelt es sich daher im wesentlichen um die Bestimmung einer Funktion ÿ. Natürlich kann auch Gl. (219) durch drei Komponentengleichungen ersetzt werden.

§ 52. Die hydrodynamischen Gleichungen von Euler.

Bis jetzt ist das Untersuchungsverfahren, das hier einzuhalten ist, nur im allgemeinen geschildert worden, ohne jede Rücksicht auf die Gesetze, denen eine z Flüssigkeitsbewegung unterworfen ist.

Wenn die Flüssigkeit als unzusammen-drückbar anzusehen ist, muß die Strö- ^ mung jedenfalls immer in solcher Weise erfolgen, daß aus einem gegebenen Teile dz des festen Raumes, der ganz im Innern der Flüssigkeit liegt, jederzeit ebenso viel ausströmt, als durch andere Teile der Grenzfläche einströmt. Diese Bedingung ist eine rein geometrische; sie wird als dieKontinuitäts bedingungbezeichnet, und die Gleichung, die ihr Ausdruck gibt, spielt bei hydrodynamischen Untersuchungen stets die Hauptrolle. Hierzu kommt noch, daß die Bewegung des Wassers den allgemeinen Sätzen der Mechanik, also namentlich der dynamischen Grundgleichung, unterworfen ist. Daß die Gleichungen, die dies aussprechen, erst in zweiter Linie, nämlich nach der Kontinuitätsgleichung, in Betracht kommen, rührt davon her, daß die an den Wasserteilchen wirkenden Kräfte auch erst nachträglich so gewählt werden können, daß irgendeine an sich (d. h. geometrisch) mögliche Bewegung zustande kommt, während eine Bewegung, die der Kontinuitätsbedingung nicht von vornherein genügt, überhaupt nicht verwirklicht werden kann.

Zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung in der Euler sehen Form betrachte man das in Abb. 85 gezeichnete Raumelement mit den Kantenlängen dx, dy, dz. Wir fragen uns zunächst,

T.

'i

d'v.

Abb. 85.

wieviel Wasser, auf die Zeiteinheit bezogen, im Augenblicke durch das in der YZ-Ebene liegende Rechteck einströmt. Die Geschwindigkeit ü sei ebenfalls in ihre rechtwinkligen Komponenten v1} v₂, v₃ zerlegt. Die Komponenten v₂ und v₃ tragen hier zur Einströmung nichts bei; es kommt bei dem fraglichen Rechtecke nur auf die Normalkomponente vx an. Wenn diese positiv ist, also im Sinne der positiven X-Achse geht, findet eine Einströmung statt, die während der Zeiteinheit dem Parallelepi-pede das Wasservolumen vx dy dz zuführt. Gleichzeitig strömt durch die gegenüberliegende Seitenfläche eine Wassermenge aus, die ebenso groß wäre als die zugeführte, wenn sich vx mit x nicht änderte. Im allgemeinen wächst aber vx um das Differential

$ V

dx, wenn man um dx weiter geht. Wenn man beide Flächen

zusammenfaßt, hat man daher einen Uberschuß der Ausströmung über die Einströmung vom Betrage

dx • dy dz.

In gleicher Weise kann man auch eine Zusammenfassung für die beiden zur X-Achse senkrecht stehenden Seitenflächen vornehmen und erhält dann als Überschuß der Ausströmung über die Einströmung

dv₂

dy

dy • dx dz

und ebenso für die beiden zur X-Achse senkrechten Seitenflächen. Im ganzen strömt daher auf die Zeiteinheit bezogen aus dem Parallelepiped das Flüssigkeitsvolumen

a L?

sTj

SLj

mehr aus als ein. Wenn die Flüssigkeit als unzusammendrückbar (und unausdehnbar) angesehen wird, kann jedoch nur ebensoviel ausströmen als einströmen, und man erkennt daraus, daß U in diesem Falle keine ganz willkürliche Funktion von x sein kann, sondern nur eine solche, die den vorhergehenden Ausdruck zu Null macht. Es macht aber hier gar keine Schwierigkeit, die Betrachtung gleich noch etwas allgemeiner zu fassen, und

Setzen wir dagegen weiterhin die Flüssigkeit wieder als unzusammendrückbar voraus, so ist y konstant und die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zu

dv,

wir wollen daher die Voraussetzung der Unzusammendrückbar-keit für den Augenblick fallen lassen. Dann kann während eines Zeitelenientes dt in der Tat mehr Flüssigkeit aus dem Raumelemente ausströmen, als einströmt, und zwar geschieht dies auf Kosten des darin enthaltenen Vorrats an Flüssigkeit, die sich dabei ausdehnt. Zur näheren Verfolgung dieses Zusammenhangs führe ich den Begriff der bezogenen Masse g ein, als jener Masse, die bei überall gleicher Dichte auf die Raumeinheit käme. Für die zusammendrückbare Flüssigkeit ist g nicht konstant, sondern nach der Eulerschen Darstellung eine Funktion von r und t.

Die durch eine Seitenfläche des Raumelementes strömende Flüssigkeitsmasse wird aus deren Volumen durch Multiplikation mit g gefunden. Hiernach erhält man für die im ganzen während des Zeitelementes dt aus dem Raumelemente mehr aus- als einströmende Flüssigkeitsmasse den Wert

d(f»«i)    d({LV₂)    d((ivs)

j dx dy dz • dt.

Andererseits kann die Änderung, die der Flüssigkeitsvorrat ydxdydz in dem Raumelemente während der Zeit dt erfuhr, auch durch

dx

dy

dz

d u.

öjdt ■ dxdy dz

ausgedrückt werden. Dieser Ausdruck würde indessen bei positivem Vorzeichen eine Zunahme, der andere eine Abnahme des Flüssigkeitsinhalts angeben; beide sind daher von gleichem Werte, aber entgegengesetztem Vorzeichen. Hiermit erhält man sofort die Kontinuitätsgleichung in der Form

0 ft

da?

di

(220)

dvj

Bei der Ableitung dieser Gleichung wurden alle Größen auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen. Man erkennt aber, daß die Summe der drei Differentialquotienten auf der linken Seite von der speziellen Wahl, die man für dieses Koordinatensystem getroffen hat, ganz unabhängig ist, oder daß sie, wie man sich ausdrückt, eine invariante Größe ist. Dies folgt aus der physikalischen Bedeutung, die dieser Summe zukommt: wir sahen nämlich, daß das Produkt der Summe mit dem Volumen des Raumelementes die während der Zeiteinheit ausströmende Flüssigkeitsmenge angibt. Daß dies auch für jedes anders gestaltete Raumelement noch zutrifft, folgt daraus, daß sich ein solches aus Elementen höherer Ordnung von parallelepipedischer Gestalt zusammensetzen läßt. Die Summe der drei Differentialquotienten gibt demnach an, wieviel Flüssigkeit, auf die Raumeinheit und auf die Zeiteinheit bezogen, aus irgendeinem Volumenelemente an der betreffenden Stelle und zur gegebenen Zeit ausströmt.

Es ist wünschenswert, diese Größe, die an sich mit einem Koordinatensysteme gar nichts zu schaffen hat, wenn sie auch auf ein solches bezogen werden kann, in einfacherer Weise zu bezeichnen. Man hat dafür die Bezeichnungen Divergenz oder Quelle eingeführt. In der Tat divergiert ja die Flüssigkeit — indem sie sich ausdehnt — an der betreffenden Stelle, wenn die Summe der drei Differentialquotienten positiv ist, und man kann auch sagen, daß die Strömung nach außenhin so ist, als wenn sie durch eine im Inneren gelegene Quelle hervorgerufen wäre. In den Formeln schreibt man Divergenz abgekürzt div, setzt also

(222)

diT « _    + ih + £?>

womit der Begriff der Divergenz seine nähere Feststellung erhält. Mit Benutzung dieser Bezeichnung kann die Eu 1er sehe Kontinuitätsgleichung für die unzusammendrückbare Flüssigkeit auch in der einfachen Form angeschrieben werden.

gibt vielmehr nur

Die Flüssigkeitsbewegung muß ferner auch dem dynamischen Grundgesetze unterworfen sein. Um dies in einer Gleichung aussprechen zu können, müssen wir zunächst einen Ausdruck für die Beschleunigung und einen für die Resultierende der an einem Massenteilchen der Flüssigkeit wirkenden Kräfte aufstellen. Die Beschleunigung wird hier nicht dadurch gefunden, daß man die durch die Gl. (217)

Ö = <P (*, 0

als Funktion der Zeit t dargestellte Geschwindigkeit ü nach t differentiiert. Der Differentialquotient

dt

an, wie sich die Geschwindigkeit an dem gerade ins Auge gefaßten Orte im Laufe der Zeit ändert, während die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung eines bestimmten Massenteilchens darstellt. Man bedenke, daß sich ein zur Flüssigkeit gehöriger materieller Punkt im Laufe der Zeit dt um Wdt verschoben hat. Wenn nun, wie in der Eulerschen Untersuchungsmethode, ü als Funktion der Zeit und des Ortes dargestellt ist, setzt sich die Änderung der Geschwindigkeit t) des bestimmten Massenteilchens zusammen aus der Änderung wegen der Verschiebung 0dt nach einem anderen Orte und aus der Änderung, die D auch ohne diese Verschiebung während der Zeit dt schon am gleichen Orte erfährt. Wir wollen dies in der Form

au

<7ü = dt -j- (bdt • Vö)

anschreiben, zu deren Erklärung die Bemerkung genügt, daß das Zeichen V einen Differentialoperator vorstellt, der nach Hinzutritt des Faktors t) dt die durch die Verschiebung um tidt hervorgebrachte Änderung von ö angibt. Die Beschleunigung mag im Gegensätze zu dem vorher schon eingeführten partiellen Differentialquotienten als totaler Differentialquotient von ü nach t angeschrieben werden. Man findet dann aus der vorhergehenden Gleichung nach Division mit dt

dt) at) /'uV7\ u dt = dt +    ■ "•

Ich habe diese Beziehung zunächst in Gestalt einer Vektorgleichung angeschrieben, weil sie so am anschaulichsten her-yortritt. Da aber die vollständige Durchführung der Rechnung mit Vektoren den damit weniger vertrauten Lesern Schwierigkeiten bereiten würde, ziehe ich es vor, weiterhin die gewohnte Kartesische Darstellungsweise zu benützen.

Ich spalte also Gl. (224) in drei Gleichungen, von denen

die erste den Wert von ^ , also die Beschleunigungskomponente in der Richtung der X-Achse anzugeben hat. Man erhält dafür

(225)

dt dt + 1 dx + 2 dy + 3 dz

Dieses Resultat kann entweder unmittelbar aus Gl. (224) abgelesen werden, indem man sich des zuvor angegebenen Sinnes der Operation (t) V) erinnert, oder man kann auch auf Grund derselben Überlegung, die schon zu Gl. (224) führte, unmittelbar zu Gl. (225) gelangen. Auch die Änderung der Geschwindigkeitskomponente vx während eines Zeitelementes dt für einen bestimmten materiellen Punkt setzt sich zusammen aus der Änderung, die vt unabhängig von der Verschiebung während dt erleidet, und aus der Änderung, die mit dem Ortswechsel verbunden ist. Da sich der materielle Punkt in den Richtungen der Achsen während dt um die Strecken vxdt, v₂dt, v₃dt verschiebt, setzt sich auch die mit dem Ortswechsel verbundene Änderung von i\ aus drei Gliedern zusammen, die durch Multiplikation dieser Wege mit den Differentialquotienten von vx nach den drei Achsenrichtungen erhalten werden. Dividiert man die auf solche Art erhaltene Gleichung mit dt, so erhält man Gl. (225). Dieser lassen sich natürlich noch zwei andere für v2 und v₃ anreihen, und im ganzen wird daher Gl. (224) durch den Verein der folgenden drei Gleichungen ersetzt

dv.

dv,

dt

“ = dl\ + % Yx + 1,2 Jy + Ü3 Tz

dv₃ dv₂ dv₂ dv₂ dvs dt ⁼ dt + To + V* dy + W

dv

dva

Wir kommen jetzt zu den Kräften, die diese Beschleunigungen hervorbringen. Yon außenher wirkt auf die im Innern liegenden Teile der Flüssigkeit in der Regel nur das Gewicht ein; allgemein mögen aber die drei Komponenten der auf die Volumeneinheit bezogenen äußeren Kraft nach den Koordinatenachsen mit X, Y,Z bezeichnet werden. Außerdem wirkt an jedem Massenteilchen noch der Druck der ringsum angrenzenden Flüssigkeit. Man denke sich wieder ein Parallelepiped wie in Abb. 85 aus der Flüssigkeit abgegrenzt. Wenn wir uns zunächst auf die Betrachtung einer reibungsfreien Flüssigkeit beschränken, steht der Druck auf jede Seitenfläche senkrecht zur Seitenfläche und geht durch deren Schwerpunkt, also auch durch den Mittelpunkt des Parallelepipeds. Die Druckkräfte auf allen Seitenflächen lassen sich daher zu einer Resultierenden zusammensetzen, die ebenfalls durch den Mittelpunkt des Parallelepipeds geht. Auch die äußere Kraft, also in den gewöhnlich vorliegenden Fällen das Gewicht, geht durch diesen Mittelpunkt. Hieraus erkennt man schon, daß die Kräfte an dem in der angegebenen Weise abgegrenzten Wasserkörper keine Drehung, sondern nur eine Translation hervorzubringen suchen; auf diesen Punkt wird in der Folge noch zurückzukommen sein.

Wir wollen jetzt die in der Richtung der X-Achse gehende Komponente der Resultierenden aller an dem betrachteten Wasserkörper angreifenden Kräfte berechnen. Sie setzt sich zusammen aus der Komponente Xdxdydz der äußeren Kraft und aus dem Unterschiede des Flüssigkeitsdruckes auf den beiden zur X-Achse senkrecht stehenden Seitenflächen. Der auf die Flächeneinheit bezogene Flüssigkeitsdruck seij); fällst wächst, wenn man in der X-Richtung weitergeht, über wiegt der Druck auf jener Seite, deren äußere Normale in die positive X-Richtung fällt und auf der der Druck daher dieser positiven Richtung entgegengesetzt ist. Demnach erhält man für die X-Komponente der Resultierenden

dp

Xdxdydz — ^ dx ■ dydz.

Diese Komponente bringt die Beschleunigungskomponente

^ der Masse p dxclydz hervor. Nach der dynamischen Grundgleichung hat man daher bei Weglassung des gemeinsamen Faktors dxdydz die Beziehung

dvx    _ dp

dx ’

(227)

St

und für die beiden anderen Koordinatenrichtungen gilt eine entsprechende Gleichung. Setzt man noch die Werte der Beschleunigungskomponenten aus den Gl. (226) ein, so erhält man die Eulerschen Gleichungen in der Form •W ßu + ddx ⁺ ^ Jy +

CD

= X-

(228)

— Z-

Die letzte Form, die den rechten Seiten dieser Gleichungen gegeben wurde, bezieht sich auf den Fall, daß die äußere Massenkraft mit den Komponenten X,Y,Z von einem Potentiale V abgeleitet werden kann. Das trifft stets zu, wenn diese Kraft wie gewöhnlich nur aus dem Gewichte der Flüssigkeit besteht. Ferner ist die Flüssigkeit als unzusammendrückhar vorausgesetzt. Man erkennt übrigens leicht, wie die vorausgehende Entwicklung auch für den Fall einer elastischen Flüssigkeit benutzt werden kann. — Durch die Kontinuitätsgleichung in Verbindung mit den Gl. (228) und auch in Verbindung mit den Grenz- und Anfangsbedingungen ist die Bewegung der unzusammendrückbaren Flüssigkeit dynamisch vollständig gekennzeichnet; bei den elastischen Flüssigkeiten muß noch eine aus der Erfahrung zu entnehmende Beziehung zwischen y und p hinzutreten, um das Problem eindeutig zu umgrenzen.

Schließlich möge noch bemerkt werden, daß sich die Gl. (228) auch in eine einzige Gleichung zwischen gerichteten Größen zusammenfassen lassen, nämlich in die Gleichung

(229)

/•(ff + (»V)u) = f - Vi> - - V(F+i>)

in der ^ die Resultierende der X, Y, Z bedeutet.

§ 53. Wirbelbewegung und wirbelfreie Bewegung.

Die in der Überschrift angedeutete Einteilung der Flüssigkeitsbewegungen in zwei wesentlich voneinander verschiedene Klassen ist von größter Bedeutung für die Hydrodynamik. Man betrachte den augenblicklichen Bewegungszustand der Flüssigkeit zu irgendeiner Zeit. Jedem Punkte des von der Flüssigkeit erfüllten Raumes ist dann eine bestimmte augenblickliche Geschwindigkeit t) zugeordnet (die auch gleich Null sein kann). Man grenze ferner in der Flüssigkeit noch einen einfach zusammenhängenden Raum von im übrigen beliebiger Gestalt ab und ziehe innerhalb dieses Raumes eine zum Anfangspunkt zurücklaufende, sonst aber beliebige Linie. Ein Element dieser Linie sei mit di, die Geschwindigkeit an der betreffenden Stelle mit ü bezeichnet. Aus ü und di soll das innere Produkt genommen und dann soll die Summe dieser Produkte für alle Linienelemente der geschlossenen Linie gebildet werden. Diese Summe heißt das Linienintegral von ü längs des durch die beliebig gewählte geschlossene Linie dargestellten Integrationsweges. Wenn das Linien integral stets gleich Null wird, wie man auch den Integrations weg innerhalb des Bezirks, den wir zu diesem Zwecke willkürlich abgegrenzt hatten, wählen möge, wird die Bewegung innerhalb des Bezirks als wirbelfrei bezeichnet. Trifft dasselbe Kennzeichen auch noch zu für jeden Bezirk, den man abgrenzen mag, und auch für den ganzen von der Flüssigkeit eingenommenen Raum, so ist die Bewegung überall wirbelfrei. In Form der Gleichung

o

o

die sich auf einen beliebigen, vom Anfangspunkte 0 ausgehenden und nach diesem wieder zurückführenden Integrationsweg bezieht, läßt sich demnach die Bedingung, der die wirbelfreie Bewegung genügen muß, in einfachster Weise aussprechen.

Warum man diese besondere Art der Wasserbewegung als eine „wirbelfreie“ bezeichnet, ergibt sich aus einer einfachen Betrachtung. In der Umgangssprache bezeichnet man als „Wasserwirbel“ eine Bewegungsform, bei der die einzelnen Wasserteilchen in sich zurücklaufende Bahnen beschreiben. Allgemein bekannt ist die Erscheinung aus der Beobachtung der Strömung in Flußläufen, bei der sich namentlich in der Nähe von Bewegungshindernissen, etwa von Brückenpfeilern, leicht Wirbel ausbilden, die sich an den Bewegungen kleiner Körper, die von dem Wasser mitgeführt werden, leicht erkennen lassen. Es macht dabei auch nichts aus, wenn zu dieser wirbelnden Bewegung noch andere Bewegungskomponenten hinzutreten, die etwa den Wirbel flußabwärts führen. Beschränkt sich die Wasserbewegung auf die Bewegung längs geschlossener Bahnen und wählt man eine dieser Bahnen als den Integrations weg für die Bildung des Linienintegrals von to, so ist dieses jedenfalls positiv, da ö mit dè überall gleichgerichtet ist. Die in Gl. (230) als Kennzeichen für die wirbelfreie Bewegung aufgestellte Bedingung ist daher im vorliegenden einfachsten Falle schon in bester Übereinstimmung mit dem gewöhnlichen Sprachgebrauche. Wir bemerkten aber schon, daß zu der wirbelnden Bewegung auch noch andere Bewegungskomponenten hinzutreten können, die zu den Wirbeln selbst nichts beitragen. Diesem Umstande trägt die vorher aufgestellte Definition Rechnung. Sie weist uns an, jeden geschlossenen Integrationsweg gewissermaßen als wirbel-verdächtig zu betrachten. Zu einer in sich längs einer solchen Bahn zurücklaufenden Bewegung tragen nur jene Geschwindigkeitskomponenten etwas bei, die überall in die Bahnrichtung fallen, und nur diese sind es, die in dem inneren Produkte \tdè zur Geltung kommen. Hat also das Linienintegral von to einen von Null verschiedenen Wert, so zeigt dies wenigstens einen Überschuß der tangentialen Bewegungskomponenten in einem

Umlaufssinne über die im entgegengesetzten Sinne an, und man kann sagen, daß im ganzen genommen die Wasserbewegung mit einem bestimmten Umlaufssinne längs des Integrationsweges übereinstimmt. — Freilich ist das durch Gl. (230) angegebene Kennzeichen mit dem Begriffe der Wirbelbewegung in der Umgangssprache, der keine strenge Abgrenzung besitzt, nicht geradezu identisch-, es widerspricht ihm aber nirgends und kann als eine Verfeinerung oder als eine schärfere Fassung“ dieses Begriffes betrachtet werden. Bei der wissenschaftlichen Untersuchung einer allgemein bekannten und vom Volksmunde nach seiner Art schon beschriebenen Erscheinung ist man nur selten in der glücklichen Lage, wie hier, ohne weiteres an den gewöhnlichen Sprachgebrauch anknüpfen zu können.

Zur Vermeidung von Mißverständnissen betrachte ich noch die Bewegung einer Flüssigkeit längs eines ringförmig in sich geschlossenen Rohres. Die Bewegung kann in diesem Falle so erfolgen, daß etwa für jeden kugelförmigen Bezirk, den man im Innern der Flüssigkeit abgrenzen mag, Gl. (230) erfüllt ist. Für einen Integrationsweg, der dem Rohre folgt und sich in dieser Weise schließt, ist sie aber natürlich nicht erfüllt. Der Grund für den scheinbaren Widerspruch liegt darin, daß der Sitz des Wirbels in diesem Falle an den Flüssigkeitsgrenzen liegt. Im ganzen genommen ist die Bewegung jedenfalls nicht wirbelfrei, wenn sie auch für jeden einfach zusammenhängenden Bezirk im Innern der Flüssigkeit wirbelfrei sein kann.

Die allgemeinste Bewegung einer Flüssigkeit ist eine solche, mit der Wirbel verbunden sind; die wirbelfreie Bewegung stellt nur einen besonders einfachen Ausnahmefall dar. Ganz streng ist die Bedingung der Wirbelfreiheit bei einer wirklichen Wasserbewegung überhaupt niemals erfüllt. Die Bewegung kann sich aber der wirbelfreien unter gewissen Umständen sehr nähern, und es ist daher von Interesse, die Gesetze dieser einfachsten Bewegungsart kennen zu lernen. In der Tat beziehen sich auch ihrem Umfange nach die meisten Untersuchungen der heutigen Hydrodynamik auf die wirbelfreie Bewegung. Daß eine solche Abgrenzung des Untersuchungsgebietes möglich und in sich einwandfrei ist, beruht auf dem folgenden von Lagrange aufgestellten Satze.

In einem bestimmten Augenblicke sei in der Wassermasse eine beliebige geschlossene Linie gezogen und für diese das in Gl. (230) Yorkommende Linienintegral von t) berechnet. Die Bewegung braucht jetzt nicht wirbelfrei zu sein, und das Linienintegral wird daher im allgemeinen irgendeinen von Null verschiedenen Wert A

A=J

annehmen. Nach Ablauf eines Zeitelementes dt haben sich die einzelnen Wasserteilchen um Strecken tidt verschoben und jene, die vorher auf dem gewählten Integrationswege lagen, werden, wenn keine diskontinuierlichen Bewegungen Vorkommen, abermals auf einer stetigen geschlossenen Linie liegen. Für diese und für den jetzt herrschenden Bewegungszustand soll das Linienintegral von t) ebenfalls berechnet sein. Der Unterschied gegenüber dem früheren Werte sei mit dA bezeichnet. Dann ist

(231)

dH =fôbdè +J bddè,

wobei zunächst

dü = -tt dt dt

d ti

gesetzt werden kann. Die Beschleunigung folgt aus dem

dynamischen Grundgesetze, und zwar, wenn wir zur Abkürzung die im vorigen Paragraphen erklärten Bezeichnungen benutzen, zu

db

OP -Vi>)--iv(F + p).

dt

Hierbei ist vorausgesetzt, daß die äußere Kraft von einem Potentiale V abgeleitet werden kann.

Um ddè zu berechnen, beachten wir, daß sich der Vektor d% durch eine Parallel Verschiebung nicht ändert, und daß daher êd% nur von dem Unterschiede der Verschiebungen der Endpunkte von dè, dieser aber von dem Geschwindigkeitsunterschiede abhängt. Wir können daher setzen

dd$ = (d%X/)bdt,

wenn wir das Operationszeichen (e?8V) in dem durch den Zu-

sammenhang selbst schon genügend erklärten Sinne verwenden. Ferner , wird aber, wenn wir beachten, daß es sich dabei um eine Differentiation nach einer bestimmt vorgeschriebenen Richtung handelt,

üdrfS =ü • (dè\7)üdt = (ÆêV) \dt und im ganzen erhält man daher für dA

SÄ =-

'S:    -

dt

'■f\diV)(V + p)+dtf(diV)y-

Die Summe der Änderungen einer stetigen und eindeutigen Funktion längs der Linienelemente einer Kurve ist aber gleich dem Unterschiede der Funktionswerte im Endpunkte und Anfangspunkte des Kurvenstücks und daher für eine geschlossene Kurve gleich Null. Wir erhalten daher unter den gemachten Voraussetzungen, von denen noch besonders hervorzuheben ist, daß g konstant, die Flüssigkeit reibungsfrei und das Kraftfeld der äußeren Kräfte wirbelfrei sein sollte,

Ö A = 0.

(232)

Das gilt auch noch von einer Wirbelbewegung unter den angenommenen Voraussetzungen. War aber A anfänglich für jeden geschlossenen Integrationsweg gleich Null, so bleibt es auch dauernd gleich Null.

einem Potentiale ableiten lass en, zu irgend-

von

Wenn die Bewegung einer raumbeständigen und reibungsfreien Flüssigkeit, auf die von außenher nur solche Massenkräfte einwirken, die sich (wie das Gewicht)

einer Zeit wirbelfrei war, so bleibt sie auch weiterhin wirbelfrei. Insbesondere ist die Bewegung wirbelfrei, wenn sie unter dem Einflüsse von Kräften der bezeichneten Art aus dem Ruhestande hervorgegangen ist.

Das ist der Satz von Lagrange, für den sein Urheber freilich keinen stichhaltigen Beweis gegeben hatte. Der hier wiedergegebene Beweis rührt (den Grundzügen nach) von Lord Kelvin her.

Erst durch diesen Satz erlangen die Untersuchungen über

25

Föppl, Dynamik, 4. Aufl.

die wirbelfreie Bewegung die ihnen in der Hydrodynamik mit Recht eingeräumte Bedeutung. Es ist nur zu billigen, daß man sich zunächst Rechenschaft darüber zu geben sucht, was geschehen müßte, wenn weder die Zähigkeit noch die durch Dichteunterschiede hervorgerufene Mischbewegung in Betracht käme. Freilich darf man dabei nicht vergessen, daß keine genaue Übereinstimmung zwischen diesem einfachsten Falle und dem wirklichen Bewegungsvorgange erwartet werden kann.

Um zu zeigen, welche Vereinfachungen der theoretischen Behandlung entstehen, wenn man sich auf die Untersuchung wirbelfreier Strömungen beschränkt, erinnere ich an die Betrachtungen des ersten Abschnittes über die Kraftfelder. An die Stelle des Linienintegrals der Kraft ist hier nur das Linienintegral der Geschwindigkeit getreten, während sich sonst nichts geändert hat. Es ist daher nicht nötig, die in § 3 durchgeführten Betrachtungen über das Potential hier nochmals zu wiederholen; wir können vielmehr die Schlüsse, zu denen wir damals gelangten, auf den jetzt vorliegenden Fall ohne weiteres übertragen. Von diesen ist für uns namentlich von Wichtigkeit, daß sich im wirbelfreien Felde der Vektor des Feldes durch Differentiation aus einer richtungslosen Größe ableiten läßt, die früher als das Potential des Kraftfeldes bezeichnet wurde. Auch bei der wirbelfreien Wasserbewegung muß sich aus denselben Gründen wie damals zu jedem Punkte des Raumes in einem gegebenen Augenblicke eine Größe ohne Richtung angeben lassen, aus der die Geschwindigkeitskomponente nach irgendeiner Richtung durch Differentiation nach dieser Richtung abgeleitet werden kann. Man bezeichnet diese Größe, um die enge Verwandtschaft mit den früheren Betrachtungen über die Kraftfelder ausdrücklich hervorzuheben, als das Geschwindigkeitspotential, obschon die sprachliche Herkunft des Wortes Potential mit der Verwendung, die das Wort hier findet, nichts zu tun hat. Das Geschwindigkeitspotential sei in der Folge mit O bezeichnet; ich setze dann

»& : «

Hier findet freilich eine Abweichung im Vorzeichen von den früheren Festsetzungen über das Potential der Kraftfelder (vgl. Gl. (12), S. 19) statt. Damals war es von Wichtigkeit, an dem negativen Vorzeichen des Differentialquotienten des Potentials festzuhalten, weil das Potential des Kraftfeldes nur bei dieser Vorzeichenfestsetzung mit der potentiellen Energie des Feldes gleichbedeutend werden kann. Beim Geschwindigkeitspotential fällt aber ein solcher bestimmender Grund weg, und wir können uns daher das Vorzeichen von 0 von vornherein so gewählt denken, daß die Differentialquotienten, ohne daß ein Vorzeichenwechsel vorauszugehen brauchte, unmittelbar die Geschwindigkeitskomponenten angeben. In der Tat ist es allgemeiner Brauch, das Geschwindigkeitspotential mit der durch die Gl. (233) bereits Zeichenfestsetzung zu benutzen.

Ausdrucke gebrachten Vor-

zum

Differentiiert man die erste der Gl. (233) nach y und die zweite nach x und subtrahiert, so erhält man

dv₁ _ d v₃ 0 dy dx ’

und dazu treten noch zwei andere Gleichungen, die in derselben Weise gewonnen werden können. Diese Gleichungen geben die Bedingung an, der die Geschwindigkeitskomponenten genügen müssen, wenn ein Geschwindigkeitspotential bestehen soll. Damit werden wir in den Stand gesetzt, die Bedingung für die wirbelfreie Bewegung noch in anderer Form auszusprechen, als dies schon mit Hilfe des Linienintegrals in Gl. (230) geschehen war. Man bilde nämlich eine gerichtete Größe tu, deren Komponenten nach den Achsenrichtungen gleich den Differenzen von Differentialquotienten sind, die in dem vorausgehenden Ausdrucke Vorkommen, nämlich

Die Größe ttJ wird nur dann zu Null, wenn alle drei Komponenten für sich verschwinden. Wenn ein Geschwindigkeitspotential bestehen soll, also wenn die Bewegung wirbelfrei sein soll, müssen aber diese Komponenten, wie aus dem Vergleiche mit

25*

den Gl. (233) hervorgeht, sämtlich zn Null werden. Als Bedingung für die wirbelfreie Wasserbewegung kann man daher auch die Gleichung

(235)

lu = 0

an Stelle von Gl. (230) aufstellen. Jedenfalls ist diese Bedingung eine notwendige; daß sie auch hinreichend ist, läßt sich aus den vorhergehenden Betrachtungen noch nicht erkennen. Da dieser Nachweis für die Folge nicht nötig ist, werde ich davon absehen, ihn hier ebenfalls zu führen; näheres darüber findet man in meiner „Geometrie der Wirbelfelder“. Nur dies möchte ich erwähnen, daß man mit Hilfe eines von Stokes aufgestellten Satzes den unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Gl. (230) und (235) in einfachster Weise erkennen kann.

Wenn das Feld nicht wirbelfrei ist, entsteht das Bedürfnis nach einem Maße für den Wirbel, also nach einem Maße dafür, in welchem Grade und in welcher Art die Bewegung von der wirbelfreien ahweicht. Hierzu kann die durch Gl. (234) definierte gerichtete Größe lu ohne weiteres benützt werden, da ihr Verschwinden die Bedingung für das Nichtvorhandensein von Wirbeln innerhalb eines Bezirks bildet, der der gerade betrachteten Stelle eng benachbart ist. An Stelle der Größe lu seihst kann auch irgendein Vielfaches davon als Maß des Wirbels benutzt werden. Helmholtz, dem man die ersten Untersuchungen über die Wirbelbewegungen verdankt, hat dazu die Hälfte von lu gewählt, und zwar auf Grund eines Vergleichs der Wasserbewegung in einem engen Bezirke mit der Bewegung eines starren Körpers. Die Hälfte von lu entspricht dann der Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers.

Die große Bedeutung des Wirbelbegriffes beschränkt sich übrigens nicht auf die Hydrodynamik, sondern sie tritt in der Elektrizitätslehre fast noch mehr hervor. Es hat sich daher die Notwendigkeit herausgestellt, eine einfache Bezeichnung für den analytischen Zusammenhang zwischen dem Wirbel lu und der Geschwindigkeit U einzuführen. (Gl. 234) gestattet zunächst, lu unter Zugrundelegung eines Koordinatensystems zu berechnen, wenn U überall gegeben ist. Aus der physikalischen Bedeutung des Vektors tu folgt aber schon, daß to von der besonderen Wahl des Koordinatensystems unabhängig sein muß. Es ist daher zweckmäßiger, bei der Angabe des Zusammenhangs zwischen to und 0 die Bezugnahme auf ein Koordinatensystem zu vermeiden.

Man nennt to den Quirl von 0, und setzt mit Benutzung der ursprünglichen englischen (von Maxwell eingeführten) Bezeichnung

(236)

to = curl 0

(curl = Quirl). Bei der wirklichen Ausrechnung von to ist man freilich sehr oft genötigt, auf die mit Gl. (236) gleichbedeutende Gl. (234) wieder zurückzugehen.

§ o4. Allgemeine Integration der Béwegungsgleichnngen für die wirbelfreie Bewegung.

Die Eulerschen hydrodynamischen Gleichungen werden finden Fall der wirbelfreien Bewegung am besten so umgeformt, daß alle Geschwindigkeitskomponenten im Geschwindigkeitspotentiale 0 mit Hilfe der Gl. (233) ausgedrückt werden. Sie vereinfachen sich dann erheblich. Die Kontinuitätsgleichung (221) nimmt dann die Form

(237)

d*$    d*$ d₀

0a>*^ dy* ^dz* ~ U

an, wofür man mit Benutzung des schon von früher her bekannten Laplaceschen Operators V² kürzer

(238)

v²# = o

schreiben kann. Ferner findet man für den in Gl. (225) angegebenen Ausdruck für die Beschleunigungskomponente in der X-Achse, nämlich

CVt

dvx    dv,    dv, , dv, .

~    Ti + ®» W +    dz ’

dt

nach Einsetzen von

d$

Vl dx ’

jetzt

dvt d*$    d® d*$    d

dt dxdt dx dx* ' dy dxdy ' dz dxdz

Die drei letzten Glieder in diesem Ausdrucke bilden den partiellen Differentialquotienten nach x von

rH

[(£)’+ (£)'+ W

oder von

A u³

2 >

wenn b wieder die Gesamtgeschwindigkeit an der betreffenden Stelle nach Größe und Richtung bedeutet, wobei man beachten möge, daß das Quadrat (oder das innere Produkt mit sich selbst) einer gerichteten Größe eine Größe ohne Richtung angibt. Setzt man dies ein, so erhält man die erste der drei folgenden Gleichungen

₊ ib²!'

dt dx \ dt ' 2 J

(239)

^ ₌ JL(^ + Ab³l >•

dt dy \ dt ' 2 J ₌ JL/AA i ¹ h21

dt dz { dt ' 2 J •

Die in Gl. (228) zusammengestellten Eulerschen Gleichungen gehen nun — immer unter der Voraussetzung, daß die äußere Massenkraft von einem Potentiale V abgeleitet werden kann, — über in

liv + v)

l (V+P)-

l(v + v).

^+i>sh

(240)

dy

Da nun y für die raumbeständige Flüssigkeit, um die es sich bei diesen Betrachtungen allein handelt, konstant ist, lassen sich die Gl. (240) zu einer einzigen Integralgleichung zusammenfassen. Sie sprechen ja in der Tat nur aus, daß sich die Größen, deren Differentialquotienten nach x, y und z miteinander übereinstimmen, nur um eine Größe voneinander unterscheiden können, die von diesen Veränderlichen unabhängig ist, während sie von t abhängig sein kann. Bezeichnen wir diese Größe mit f(f), so liefert die Integration der Gl. (240)

Besonders einfach gestaltet sich diese Beziehung bei der stationären Flüssigkeitsströmung, also bei einer Bewegung, die sich dauernd in der gleichen Weise fortsetzt. Dann sind ö, 3>, p zwar immer noch mit dem Orte veränderlich, an jedem Punkte des festen Baumes bleiben sie aber der Zeit nach konstant. Der DifFerentialquotient von verschwindet dann in der vorausgehenden Gleichung, und auch f(t) muß der Zeit nach konstant, also überhaupt eine Konstante sein, weil alle übrigen in der Gleichung vorkommenden Größen von t unabhängig sind. Für die stationäre wirbelfreie Strömung hat man daher die einfache Beziehung

(242)

r+p-c

oder in Worten: die Summe aus der kinetischen Energie, dem Potentiale der äußeren Kräfte (d. h. der potentiellen Energie) und dem Flüssigkeitsdrucke hat zu jeder Zeit und für alle Stellen des Raumes denselben Wert, wenn man diese Größen auf die Raumeinheit bzw. auf die Flächeneinheit bezieht. Dieses Resultat stimmt nahezu überein mit einem, das schon im ersten Bande § 58 auf viel einfacherem Wege gefunden und durch Gl. (139) ausgedrückt wurde. In einer Hinsicht besteht indessen zwischen beiden Resultaten doch ein sehr wesentlicher Unterschied. Das frühere Resultat galt nur für die Veränderlichkeit des Druckes in dem gleichen Stromfaden, und es bleibt in diesem begrenzten Umfange, wie aus der Ableitung hervorgeht, auch dann noch gültig^ wenn die Bewegung nicht wirbelfrei ist, falls dabei nur von der Flüssigkeitsreibung abgesehen werden kann. Gl. (242) ist insofern viel allgemeiner gültig, als sie die Veränderlichkeit des Druckes auch dann noch angibt, wenn man von einem Punkte eines Stromfadens zu einem Punkte irgendeines anderen Stromfadens übergeht. Andererseits ist dagegen die Gültigkeit dieser erweiterten Beziehung an die Bedingung geknüpft, daß die Bewegung wirbelfrei ist. Ich bitte auf diesen wesentlichen Unterschied sorgfältig zu achten, da der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie, potentieller Energie und Flüssigkeitsdruck bei der Theorie der hydraulischen Motoren in der theoretischen Maschinenlehre sehr häufig zum Ausgangspunkte der ganzen Entwicklung gemacht wird.

§ 55. Bewegung einer Kugel in einer vollkommenen Flüssigkeit.

Ein fester kugelförmiger Körper möge sich in einer Flüssigkeit geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Es fragt sich, was für eine Kraft von außenher an ihm wirken muß, um diese Bewegung aufrechtzuerhalten. Dabei soll angenommen werden, daß sich der Körper hinlänglich weit von den Grenzflächen der Flüssigkeit entfernt befindet, um den Einfluß benachbarter Wände usf. vernachlässigen zu können. Wir drücken diese Voraussetzung am einfachsten dahin aus, daß wir die Flüssigkeit nach allen Seiten hin als unbegrenzt ansehen. In größerer Entfernung von der sich bewegenden Kugel soll die Flüssigkeit ruhen; in der Nachbarschaft der Kugel treten natürlich Strömungen auf, da die Flüssigkeit der Kugel während ihres Fortschreiten s vorn aus weichen muß, während sie sich hinter ihr wieder zusammenschließt.

Wenn die Kugel in Ruhe wäre, würde die Flüssigkeit einen hydrostatischen Auftrieb an ihr ausüben und es müßte daher, um sie in Ruhe zu erhalten, eine lotrechte Kraft an ihr angebracht werden, die mit dem Gewichte der Kugel und dem hydrostatischen Auftriebe Gleichgewicht herstellte. Denken wir uns nachher die Kugel in horizontaler Richtung durch die Flüssigkeit bewegt, so wird immer noch, um ein Verschieben in der lotrechten Richtung zu verhüten, durch eine äußere Kraft Gleichgewicht zwischen dem Auftriebe und dem Kugelgewichte her-gestellt werden müssen. Diese Kraft ist einfach zu ermitteln, und sie kümmert uns hier weiter nicht; von Bedeutung ist für uns nur die Kraft, die man in der Bewegungsrichtung aufwenden muß, um den Widerstand der Flüssigkeit gegen die Bewegung zu überwinden. Wir wollen uns deshalb die Kugel von vornherein von gleichem spezifischem Gewichte mit dem Wasser vorstellen, so daß sie im Ruhestände darin von selbst schwimmt. Wir können dann von der Einwirkung der Schwerkraft auf die Kugel und die Flüssigkeit ganz abgesehen; der Vorgang erfolgt so, als wenn die Schwere überhaupt nicht vorhanden wäre.

Wenn die Aufgabe in dieser Weise gestellt wird, haben wir es nicht mit einer stationären Strömung zu tun, da die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in einem bestimmten Punkte des festen Raumes wechselt, wenn die Kugel auf ihrer Bahn fortschreitet. Relativ zu einem Raume, der sich mit der Kugel ohne Drehung gleichförmig weiter bewegt, wird die Bewegung dagegen, nachdem sie schon längere Zeit angedauert hat, stationär sein. Man vereinfacht daher die Aufgabe, wenn man die Bewegung von einem solchen Raume aus beobachtet; Zusatzkräfte der Relativbewegung brauchen dabei nicht angebracht zu werden, da sich der Raum weder dreht, noch eine Translationsbeschleunigung besitzt. Einfacher läßt sich dies auch dahin ausdrücken, daß man sich die Kugel von vornherein an ihrer Stelle festgehalten denkt, während die Flüssigkeit an ihr vorüberströmt. Man kann sich die Kugel etwa in das Wasser eines Flusses versenkt denken, so daß sie hinreichend weit von dem Umfange des Flußbettes und der Wasseroberfläche entfernt bleibt. Bewegte sich das Wasser an dieser Stelle vor dem Einsenken der Kugel gleichförmig, so nämlich, daß die Geschwindigkeit U sowohl dem Orte als der Zeit nach in diesem Bezirke konstant war, so wird dieselbe Kraft an der Kugel angebracht werden müssen, um sie vor dem Fortreißen mit der Strömung zu schützen, als wenn das Wasser ruhte und die Kugel sich im entgegengesetzten Sinne mit konstanter Geschwindigkeit bewegte. In dieser Form läßt sich die Aufgabe am einfachsten weiter behandeln.

Wir betrachten die Flüssigkeit als reibungsfrei und nehmen hiermit zugleich an, daß die Bewegung wirbelfrei sei Die Wasserströmung ist dann vollständig bekannt, wenn man das von der Zeit unabhängige Geschwindigkeitspotential <P anzugeben vermag. Da das Problem durch die auferlegten Bedingungen physikalisch vollständig bestimmt ist, muß auch cP bis auf eine willkürliche Konstante, die man ihm nach Belieben zufügen darf, ohne an den daraus abgeleiteten Geschwindigkeitskomponenten etwas zu ändern, vollständig bestimmt sein. Falls man daher einen Ausdruck von 0 kennt, der allen Bedingungen genügt, ist dieser — abgesehen von jener willkürlichen Konstanten — der richtige. Wenn man will, kann man dies auch noch strenger beweisen, indem man zuerst annimmt, es wären zwei Werte von 0 möglich, die allen Bedingungen genügen, dann ihre Differenz bildet und zeigt, daß diese notwendig eine Konstante sein muß.

Dirichlet hat den Ausdruck von 0, der den Bedingungen unserer Aufgabe genügt, gefunden, nämlich

0 — az

+ ¹)'

(243)

Dabei ist angenommen, daß die positive Z-Achse in jene Richtung gelegt ist, in der die ungestörte Strömung der Flüssigkeit erfolgt; a ist die Geschwindigkeit dieser Strömung, q der Radius der festgehaltenen Kugel und r die Entfernung jenes Punktes in der Flüssigkeit, für den 0 durch Gl. (243) angegeben wird, vom Kugelmittelpunkte, der als Koordinatenursprung dient. Auf die Orientierung der X- und der K-Achse kommt offenbar nichts an, da rings um die Z-Achse alles symmetrisch ist. Für r hat man übrigens nach dem pythagoreischen Lehrsätze die Gleichung

(244)

r² = x² + y² + z²,

mit deren Hilfe sofort die partiellen Differentialquotienten

'S

(245)

gebildet werden können. Um zu beweisen, daß der für 0 angegebene Ausdruck in der Tat die Lösung unseres Problems bildet, ermitteln wir zunächst die Geschwindigkeitskomponenten, die sich daraus ergeben. Wir erhalten mit Rücksicht auf die Gleichungen (245)

Die Summe dieser drei Differentialquotienten oder X/2<£> muß Null ergeben. In der Tat findet man aber beim Zusammenzählen

5),

_₂ -    3p⁸ /5a;* 4- 5«² 4- Ö2²

r²

d&

3p³ dr

d$

d$ ( p³ . ₁\

V3⁼=ä7 = «(2^⁺¹)

xz

— az

3p³ dr    3p³

2? ‘ dy ⁼ 7 a2?y*

3p³ dr 2 r⁴ dz

• (246)

— az

ps

2 r³

a3çS z*

Diese Geschwindigkeitskomponenten müssen vor allem der Kontinuitätsbedingung genügen. Um dies zu prüfen, stellen wir die Differentialquotienten nach x, y, z auf, nämlich

15p⁸ dr 2 r⁶ dx

dv₁

dx

« o Q/

• me = az —₆

3ps /5a;²

\1

dv^ _

dy

3qs /btf 2 r⁵ \ r²

dvs

dz

ln »

15 p3 2r⁷

V² ® = ae~ (-^    —

und dies wird mit Rücksicht auf Gl. (244) identisch zu Null. Damit ist zunächst gezeigt, daß die durch & angegebene Flüssigkeitsbewegung in einer unzusammendrückbaren Flüssigkeit geometrisch möglich ist.

Hierzu kommen noch die Grenzbedingungen. An der Kugeloberfläche muß die Flüssigkeit der Kugel ausweichen, d. h. die Geschwindigkeit der Flüssigkeit kann dort überall nur tangential gerichtet sein. Um dies zu untersuchen, denke man sich an irgendeiner Stelle der Kugeloberfläche eine Normale n nach außenhin gezogen. Die Geschwindigkeitskomponente in der Richtung dieser Normalen wird erhalten, wenn man <D in der Richtung der Normalen differentiiert, und wenn die Lösung richtig sein soll, muß dieser Wert überall gleich Null sein. Wir bilden den Differentialquotienten

3ps dr 2 r*dn

d$ (qs . «\dz = ⁺¹)

— az

dn

dn

Wenn man in der Richtung der Normalen um cn von der Kugelfläche weiter geht, wächst r um dn, und man hat daher

' =1. n

Projiziert man ferner cn auf die Z-Achse, so erhält man das zugehörige dz, und da dn mit dem zur betreffenden Stelle gezogenen Radius r, dessen Projektion z ist, gleiche Richtung hat, besteht die Proportion

Setzt man diese Werte ein, so wird

dn

— az

^ = ₂"(<-s + 2^-3ps),

und an der Kugeloberfläche wird dies in der Tat überall zu Null, weil dort r — q ist.

Schließlich muß noch in größerer (oder streng genommen in unendlicher) Entfernung von der Kugel die Flüssigkeit überall parallel zur Z-Achse mit der Geschwindigkeit a strömen. In der Tat wird aber, wie man aus den Gleichungen (246) erkennt, für r = oo

v₁ = 0;    = 0, v₃ = a.

Die Flüssigkeit strömt demnach überall so, wie es den geometrischen Bedingungen der Aufgabe entspricht. Es bleibt jetzt nur noch übrig, auf die Erfüllung der aus der dynamischen Grundgleichung hervorgegangenen E ul ersehen Gleichungen zu achten. Für den Fall der stationären Strömung sind diese bereits in der Gl. (242) zusammengefaßt. Da wir auf die Veränderlichkeit des Druckes mit der Höhe jetzt nicht zu achten brauchen, weil der Vorgang, wie bereits bemerkt, im übrigen so erfolgt, als wenn die Flüssigkeit und die Kugel der Schwere überhaupt nicht unterworfen wären, können wir diese Gleichung hier noch dadurch vereinfachen, daß wir das Potential konstant setzen und es in die Konstante G mit einrechnen. Wir haben dann

In unendlicher Entfernung von der Kugel wird ü² = a², und wir erkennen daraus, daß dort auch überall derselbe Druck herrscht, so als wenn die Kugel nicht vorhanden wäre. Bezeichnen wir diesen Druck an den fernen Grenzen mit p₀, so findet man damit auch die Konstante C, nämlich

0= ~pa² +p

(247)

und der Druck an irgendeiner anderen Stelle ist P = Po + i** (a2 “ *j2)-

Hiermit ergibt sich auch der Druck, den die Flüssigkeit auf irgendeine Stelle der Kugeloberfläche ausübt, indem man

b² = v\ -f v\ v\

.O    z\

»? =-4-l¹ “Vf

bildet und die Werte aus den Gleichungen (246) einführt, wobei noch darauf zu achten ist, daß an der Kugeloberfläche r = q zu setzen ist und x, y, z Koordinaten eines Punktes der Kugelfläche bedeuten. Führt man dies aus und bezeichnet man die Geschwindigkeit irgendwo in nächster Nähe der Kugelfläche mit t)(J, so wird

(248)

Dort, wo die Z-Achse die Kugeloberfläche schneidet, wird z — q und daher tJ? gleich Null, was schon von vornherein zu erwarten war. Am größten wird die Geschwindigkeit am Äquator der Kugel, der in die X K-Ebene fällt und für den z = 0 ist.

09

Die Flüssigkeit strömt dort mit der Geschwindigkeit ® an der Kugel vorüber. Der Druck^ an der Kugelfläche ist nach Gl. (247)

(249)

P₉ =JPo +

fia*

an,

max

In den Endpunkten des in der Richtung der Strömung gezogenen Durchmessers nimmt p seinen größten Wert p nämlich

fia²

JPmax. P₀ 4"    2

und zwar wird der Druck, worauf wohl zu achten ist, an der der Strömung abgekehrten Seite ebenso groß als an der der Strömung zugekehrten. Der kleinste Druck pmin herrscht am Äquator der Kugel, nämlich

.Pmin — Pq

Wir setzen dabei voraus, daß p₀ groß genug ist, damit ihnin positiv bleibt, weil sonst die Ausbildung eines Hohlraumes zu erwarten wäre.

Im übrigen ist pQ eine gerade Funktion von z. Es ist daher für p^ gleichgültig, ob das Vorzeichen von z positiv oder negativ ist, d. h. der Druck ist an entsprechenden Stellen der der Strömung ahgewendeten Halbkugel genau ebenso groß als auf der ihr zugewendeten Halbkugel. Daraus folgt ohne weiteres, daß sich alle von der Flüssigkeit auf die Kugel übertragenen Druckkräfte im Gleichgewichte miteinander halten. Wir kommen daher zu dem unerwarteten Resultate, daß man überhaupt keine Kraft an der Kugel anzubringen braucht^ um sie bei der wirbelfreien Strömung in der vollkommenen Flüssigkeit an ihrer Stelle festzuhalten; sie bleibt vielmehr von selbst stehen und läßt die Flüssigkeit um sich herumfließen, ohne sich von der Stelle zu rühren.

Zugleich folgt daraus auch, daß sich der geradlinig gleichförmigen Bewegung einer Kugel durch eine vollkommene Flüssigkeit kein Widerstand entgegensetzt. Wenn das Wasser eine vollkommene Flüssigkeit wäre, in der auch keine Mischbewegungen vorkämen, brauchte man keine Arbeit aufzuwenden, um darauf zu fahren; nur zu Beginn der Fahrt wäre ein Anstoß erforderlich, um die Anfangsgeschwindigkeit herzustellen.

Das wirkliche Verhalten des Wassers ist freilich ganz anders. Wir sind mit dem Widerstande, den das Wasser der Fortbewegung eines in ihm schwimmenden Körpers entgegensetzt, so bekannt, daß wir unwillkürlich geneigt sind, diesen Widerstand mit der Eigenschaft des Flüssigseins in Verbindung zu bringen und ihn daher auch bei einer vollkommenen Flüssigkeit vorauszusetzen. Unsere Untersuchung lehrt uns aber, daß diese Meinung irrig ist. Der Widerstand, den das Wasser schwimmenden Körpern entgegensetzt, läßt sich nicht darauf zurückführen, daß das Wasser an sich ein flüssiger Körper ist, sondern einerseits darauf, daß es nicht vollkommen flüssig ist, namentlich aber auf die Mischbewegungen, die dabei auftreten und auf die wir bei unserem Ansätze nicht geachtet haben. Uber solche Fragen kann daher ein mit der Erfahrung übereinstimmendes Resultat nur aus Betrachtungen gewonnen werden; die auf diese Umstände Rücksicht nehmen. Ich möchte hier nur erwähnen, daß man die Aufgabe der sich durch das Wasser bewegenden Kugel auch mit Berücksichtigung der Zähigkeit gelöst und hierbei gefunden hat, daß das Wasser der Bewegung einen Widerstand entgegensetze, der der Geschwindigkeit (bei gleichförmiger Bewegung) proportional sei. Das gilt aber nur für geringe Geschwindigkeiten oder für sehr zähe Flüssigkeiten, d. h. unter Umständen, bei denen sich die Mischbewegungen weniger bemerklich machen können. Bei größeren Geschwindigkeiten kann der Widerstand, wie die Erfahrung lehrt, proportional mit dem Quadrate der Geschwindigkeit angenommen werden.

Daß die vollkommene Flüssigkeit der gleichförmigen Bewegung eines in ihr schwimmenden Körpers beim Fehlen von Mischbewegungen kein Hindernis zu bereiten vermag, läßt sich übrigens auch auf Grund einer ganz einfachen Betrachtung erkennen. Wäre ein solcher Widerstand zu überwinden, so müßte an dem Körper, um ihn in seiner Bewegung zu erhalten, eine Arbeit von außenher geleistet werden. Wohin sollte aber diese Energie gelangen“? Bei der zähen Flüssigkeit wird Energie zur Überwindung der inneren Reibungen verbraucht und in Wärme verwandelt. Dasselbe gilt von dem Stoßverluste, der durch die Mischbewegung hervorgerufen wird. Bei der vollkommenen Flüssigkeit ist aber in unserem Falle kein solcher Energieaufwand möglich; sie vermagüberhaupt keine mechanische Energie aufzuzehren, außer wenn eine Mischung von Wasserteilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten stattfindet, bei der ebenso wie beim Stoße plastischer Körper mechanische Energie vernichtet werden kann. Auch die lebendige Kraft des ganzen Systems behält fortwährend denselben Wert, und ins Unendliche vermag sich ebenfalls die Energie nicht zu zerstreuen. Da kein Energiebedarf vorliegt, um die Bewegung zu unterhalten, braucht dem bewegten Körper auch keine Energie zugeführt zu werden, d. h. der Widerstand der Flüssigkeit ist gleich Null. Diese Überlegung hat zugleich den Vorteil, daß sie sich nicht auf den kugelförmigen Körper beschränkt, sondern auch auf Körper von beliebiger Gestalt anwendbar ist.

Vor allem interessiert natürlich den Techniker bei diesen Betrachtungen der Widerstand, den ein Schiff auf seiner Fahrt findet. Für ein unterseeisches Boot, das nicht zu nahe an der Oberfläche schwimmt, könnten für die Bewegung in der vollkommenen Flüssigkeit ohne Mischbewegung die vorausgehenden Schlüsse ohne weiteres angewendet werden. Bei einem gewöhnlichen Schiffe, das nur zum Teile im Wasser schwimmt und sich im übrigen im Lufträume fortbewegt, muß aber noch eine wichtige Ergänzung hinzutreten. Der Luftwiderstand mag dabei übrigens gegenüber dem viel größeren Widerstande des Wassers vernachlässigt werden. Wir gehen wieder auf die Bewegung der Kugel in einer vollkommenen Flüssigkeit zurück. Die Kugel mag sich in horizontaler Richtung bewegen; durch die Z-Achse, die mit der Bewegungsrichtung zusammenfiel, sei eine horizontale Ebene, etwa die VZ-Ebene, gelegt. Diese teilt die Kugel und die Flüssigkeit in zwei symmetrisch zueinander liegende und sich in jeder Hinsicht genau gleich verhaltende Hälften. Es strömt auch niemals während des Bewegungsvorgangs Flüssigkeit aus der einen Hälfte in die andere über. Es ändert daher nichts, wenn wir uns die eine, und zwar die obere Hälfte ganz beseitigt denken. Wir behalten dann eine Halbkugel, die sich auf der Oberfläche der Flüssigkeit, mit der sie gerade abschneidet, fortbewegt. Man kann sich diese Halbkugel etwa als ein Schiffsgefäß denken, das sich auch noch über die Wasseroberfläche erheben darf, wenn der Luftwiderstand, den der emporragende Teil findet, vernachlässigt werden kann. Es scheint zunächst, als wenn für den Bewegungswiderstand des an der Oberfläche schwimmenden Schiffes dasselbe gelten müßte wie für den Widerstand an der vollständig eingetauchten Kugel.

Man muß aber bedenken, daß der Druck in der YZ-Ebene veränderlich ist, wie aus Gl. (247) hervorgeht. Solange die Flüssigkeit zusammenhing, war dies gleichgültig, da der Druck auf beiden Seiten der YZ-Ebene um gleich viel abnahm. Wenn sich aber nur auf der einen Seite Wasser und auf der anderen Luft befindet, deren Druck auf die Wasseroberfläche überall fast genau denselben Wert hat, kann der Druckunterschied in der YZ-Ebene nicht so weiter bestehen, wie er vorher berechnet war. An den Stellen, wo p nach der früheren Rechnung seinen größten Wert annahm, also an den Endpunkten des in der Bewegungsrichtung gezogenen Durchmessers, muß die Wasseroberfläche nach obenhin ausweichen, da ihr dort kein genügender Gegendruck widersteht, und an den Endpunkten der E-Achse, wo der Druck nach Gl. (249) am kleinsten wird, senkt sich der Wasserspiegel. Der Bewegungsvorgang bei einem an der Wasseroberfläche schwimmenden Schiffe ist aus diesem Grunde recht erheblich von dem bei einem unterseeischen Boote oder bei einem Fische verschieden. Wenn das Schiff weiterrückt, müssen sich die Hebungen und Senkungen, die der Wasserspiegel erfuhr, wieder ausgleichen, und hierbei entsteht eine weitere Bewegung, die sich in Form einer Welle über die Wasseroberfläche ausbreitet. Ein an der Wasseroberfläche schwimmendes Schiff müßte hiernach auch in einer vollkommenen Flüssigkeit selbst ohne das Hinzutreten von Mischbewegungen einen Bewegungswiderstand finden; es müßte ihm nämlich fortwährend Energie zur Neubildung der Oberflächenwellen während der Fahrt zugeführt werden. Die Oberflächenwellen würden bei der seitlich unbegrenzten vollkommenen Flüssigkeit die Energie stetig ins Unendliche hinaus fortführen.

Die zuletzt gezogenen Schlüsse stimmen nun auch in der Tat wieder ganz gut mit den Beobachtungen am Wasser überein. Jedermann kennt die Oberflächen wehen, die ein in der

F ö ppl, Dynamik. 4. Aufl.

Fahrt befindliches Schiff hervorruft, und man weiß auch, daß die Kraft der Maschine bei größeren Geschwindigkeiten zum größten Teile zur Erzeugung dieser Wellen verbraucht wird. Im übrigen aber müssen wir aus dem Ergebnisse der hier durchgeführten Untersuchung schließen, daß eine physikalisch genaue Lösung der gestellten Aufgabe, den Widerstand eines im Wasser bewegten Körpers zu finden, von vornherein einen anderen Ansatz erfordert, als er bis jetzt in der Hydrodynamik üblich ist. Dieser Ansatz wird so gestaltet werden müssen, daß darin auf den Einfluß der Mischbewegungen in geeigneterWeise Rücksicht genommen wird.

§ 56. Strömung in Röhren; Zähigkeit.

Bei der Strömung des Wassers in Rohrleitungen erfolgt die Bewegung jedenfalls der Hauptsache nach in geraden Linien parallel zur Rohrachse. Daneben kann und wird freilich auch eine „Mischbewegung“ einhergehen, die ihrerseits auch den Hauptvorgang zu beeinflussen vermag. Zunächst wollen wir aber eine Strömung betrachten, bei der die Mischbewegung vernachlässigt werden darf. Wie die Erfahrung lehrt, trifft dies zu, wenn die Geschwindigkeit der Hauptbewegung nicht zu groß wird, und zwar um so mehr, je kleiner der Rohrdurchmesser ist.

Aus den Beobachtungen geht ferner hervor, daß die Flüssigkeit an der Rohrwand niemals entlang gleitet, sondern daß die die Wand benetzende Flüssigkeit an dieser haftet. Das hängt, wie man alsbald sehen wird, von den besonderen Gesetzen der Flüssigkeitsreibung ab. Wenn nun von der Reibung ein so wesentlich bestimmender Einfluß ausgeübt wird, folgt daraus, daß man bei der Theorie der Strömung in Röhren von vornherein auf die Zähigkeit der Flüssigkeiten Rücksicht nehmen muß.

Die Zähigkeit ist eine Eigenschaft, die allen physikalischen Flüssigkeiten in mehr oder minder hohem Maße zukommt. Sie äußert sich darin, daß in der strömenden Flüssigkeit Schubspannungen auftreten, die man in diesem Falle auch als innere Reibungen bezeichnet. Uber die Gesetze der inneren Rei-

bungen hat man sich auf Grund der darüber vorliegenden Erfahrungen die folgenden Vorstellungen gebildet. Man nimmt an, daß sie — im Gegensätze zur Reibung zwischen festen Körpern — unabhängig vom Drucke sind, daß sie dagegen von den Geschwindigkeitsunterschieden zwischen verschiedenen Stellen abhängen und proportional mit ihnen wachsen. Außerdem hängen sie von der Art der Flüssigkeit und auch von ihrer Temperatur ab. Der von den physikalischen Eigenschaften der Flüssigkeit herrührende Einfluß wird durch eine Konstante Je, den Zähigkeitskoeffizienten, ausgedrückt, dessen Wert für jede Flüssigkeit bei jeder Temperatur durch Versuche zu ermitteln ist. Wenn nun die Strömung innerhalb eines kleinen Bezirks überall in der Richtung der Z-Achse mit einer Geschwindigkeit v erfolgt, die sich der Größe nach ändert, wenn man von einem Stromfaden zu einem benachbarten übergeht, so wird in einem Flächenelemente, das senkrecht zur X-Achse gelegt ist, eine auf die Flächeneinheit bezogene Schubspannung oder innere Reibung x übertragen, die man

dv

x = Je , -

dx

(250)

setzt. Auf jener Seite der Schnittfläche, nach der hin v kleiner ist, geht die Schubspannung in gleicher Richtung mit v, auf der anderen Seite daher in der entgegengesetzten Richtung. Sie wirkt also, wie man sagen kann, in solchem Sinne, daß sie die bestehenden Geschwindigkeitsunterschiede auszugleichen sucht.

Dieser Ansatz rührt von Newton her. Er schließt die Vorstellung in sich, daß in den Grenzflächen zwischen zwei benachbarten Stromfäden kein Gleiten Vorkommen kann, indem

sonst

und hiermit auch die Schubspannung unendlich groß

würde. Derselbe Ansatz wie für die innere Reibung wird aber auch für die Berechnung der äußeren Reihung, d. h. für die Berechnung der Schubspannung an der Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und einem rauhen Körper (also etwa der Rohrwand) benutzt. Daraus folgt dann, daß auch an dieser Grenzfläche kein

Gleiten stattfinden kann, was schon vorher als ein Ergebnis der Erfahrung angeführt wurde.

Die Folgerungen, die man aus der auf dieser Grundlage aufgebauten Theorie der zähen Flüssigkeit gezogen hat, stimmen recht gut mit der Erfahrung überein, solange der Einfluß der Mischbewegungen mit Recht vernachlässigt werden darf. Bei der Strömung in Röhren ist dies nach Versuchen von 0. Reynolds zulässig, solange die Geschwindigkeit v der Flauptbewegung einen gewissen kritischen Wert vk nicht überschreitet, der

kK

(251)

gesetzt werden kann, wenn man den Rohrdurchmesser mit d und die auf die Raumeinheit bezogene Masse der Flüssigkeit mit g bezeichnet. K ist die „Reynoldssche Konstante“. Aus den Dimensionen der übrigen in Gl. (251) auftretenden Größen geht hervor, daß K eine absolute Zahl ist. Der Zähigkeitskoeffizient k hat nämlich nach Gl. (250) die Dimension m⁻²kg sec im technischen Maßsysteme und ja die Dimension m“⁴ kg sec², woraus durch Einsetzen in Gl. (251) die Behauptung folgt. Nach den Versuchen von Reynolds kann K gleich 1900 bis 2000 gesetzt werden, und zwar, da die physikalischen Eigenschaften der Flüssigkeit schon durch k und p ausgedrückt sind, für alle Flüssigkeiten. Dagegen ist die Gültigkeit der Formel nur auf den besonderen Fall der Strömung in einem geraden zylindrischen Rohre beschränkt.

Anstatt die beiden Materialkonstanten k und g in Gl. (251) beizubehalten, kann man sie auch durch eine einzige ersetzen, indem man

3,

(252)

bildet, womit Gl. (251) übergeht, in

(253)

Die Konstante v hat die Dimension m²sec_1 und wird häufig als der kinematische Reibungskoeffizient der Flüssigkeit bezeichnet.

und

Für Wasser von 15° C kann k ungefähr gleich 140 • 10⁻⁶ sec 1000 kg sec²

cm²

gesetzt werden, womit v zu 0,0137 —- folgen

9,81

würde. Nach anderen Angaben, die sich auf neuere Versuche

stützen, soll für 10°C v = 0,0131 — und für20°Cr= 0,0101 — 7    7 sec    ⁷ sec

gelten.

Mit v = 0,013 und K = 2000 erhält man für die kritische Geschwindigkeit vk nach Gl. (253)

vk- 26

cm²

sec

also z. B. vk = 26

cm

cm

für <7=1 cm oder vk = 0,26

Man erkennt daraus, daß die kritische Geschwindigkeit bei engen Röhren verhältnismäßig groß, bei großen Wasserleitungsröhren aber so klein ist, daß die ohne Berücksichtigung der Mischbewegungen aufgestellte Theorie für sie ganz ohne Bedeutung ist. Anders ist es aber freilich bei der Strömung von zäheren Flüssigkeiten, wie 01, Masut u. dgl.

Für den Fall, daß die Mischbewegung vernachlässigt werden kann, läßt sich nun die folgende einfache Theorie der Strömung in einem Rohre aufstellen.

Der Querschnitt des Rohres wird als kreisförmig vorausgesetzt, so daß der Symmetrie wegen die Geschwindigkeit nur von dem Abstande von der Rohrachse abhängig ist. In Abb. 86 stelle der äußere Kreis den inneren Umfang des Rohres im Querschnitte dar. Wir betrachten die Bewegung des Wassers innerhalb des durch Schraffierung hervorgehobenen Kreises von dem beliebigen Halbmesser x. Die Geschwindigkeit am Umfange dieses Kreises sei gleich v. Wenn x um dx wächst, ändert sich v um dv. Diesem Geschwindigkeitsgefälle ist die Reibung an dem Umfange des schraffierten Kreises zwischen den innerhalb und den außerhalb liegenden Stromfäden proportional zu setzen. Am Rohrumfange wird das Wasser durch die Reibung an der Rohrwand festgehalten; daher wird die Geschwindigkeit von der Mitte aus mit wachsendem x ab-

sec

sec

für <7=1 m.

Abb. 86.

nehmen, d. h. dv ist als negativ zu erwarten. Für die innerhalb des schraffierten Kreises liegenden Stromfäden ist die Reibung daher eine verzögernde Kraft.

Die Wasserbewegung erfolgt nach Voraussetzung geradlinig und daher der Kontinuitätsbedingung wegen auch mit konstanter Geschwindigkeit. Demnach müssen sich alle von außen-her auf ein beliebig abgegrenztes Volumenelement übertragenen Kräfte im Gleichgewichte miteinander halten. Der Kreis vom Halbmesser x bilde den Querschnitt eines Wasserzylinders, dessen Länge dz sei. Parallel zur Z-Achse, die mit der Rohrachse zusammenfällt, wirken auf diesen Wasserzylinder die Reibungen am Umfange verzögernd ein. Ihre Summe ist gleich

IO

» Si

Damit Gleichgewicht bestehe, muß zwischen beiden Zylindergrundflächen ein Druckunterschied von derselben Größe auftreten. Da ferner v unabhängig von z ist, folgt, daß auch der Druckunterschied proportional mit dz ist. Daher ist

A, Ri *»

Ci

wenn p₀ der Druck im Anfänge und pt der Druck am Ende der Rohrlänge l ist und die Druckabnahme auf die Längeneinheit zur Abkürzung mit c bezeichnet wird. Für das Gleichgewicht der Kraftkomponenten im Sinne der Z-Achse erhalten wir hiernach die Bedingungsgleichung

Ci>

SS

M>

s» « "ö :^s

oder kürzer

dx 2 Je

x.

(254)

Durch Integration folgt daraus

(255)

Die Integrationskonstante C ist aus der Grenzbedingung am

Rohrumfange zu ermitteln, nach der v = 0 wird für x = r. Damit folgt und hiermit

(256)

in jedem Punkte eines Durchmessers die

man

Trägt

zugehörige Geschwindigkeit v in einem passenden Maßstabe rechtwinklig ab, so erhält man als Geschwindigkeitsverteilungsdiagramm einen Parabelbogen.

Die durch jeden Querschnitt der Röhre in der Zeiteinheit fließende Wassermenge sei mit Q bezeichnet. Man findet Q, indem man jedes Flächenelement des Querschnitts mit der zugehörigen Geschwindigkeit multipliziert und hierauf über den ganzen Querschnitt integriert. Man hat daher

v2nxdx=

I (r²x — xs) dx =    r⁴.    (257)

Unter der mittleren Geschwindigkeit vm der Strömung versteht man jene Geschwindigkeit, die allen Stromfäden zukommen müßte, wenn sie bei allen gleich groß sein und dieselbe Flüssigkeitsmenge Q durch den Querschnitt führen sollte. Man hat daher

(258)

V‘n 7t r²    8 k

Die Geschwindigkeit in der Mitte ist daher doppelt so groß als die mittlere Geschwindigkeit.

Man verwendet diese Formeln entweder, um bei gegebenem 1c den Druckhöhenverlust c für die Längeneinheit zu berechnen, der erforderlich ist, um eine verlangte Flüssigkeitsmenge Q durch die Röhre zu treiben, oder um ~k aus den übrigen Werten, die bei einem Versuche direkt beobachtet sind, zu ermitteln. Durch Auflösen nach c findet man aus Gl. (258)

8kvn

C~ l ~ r*

d. h. das Druckgefäll wird hiernach proportional der ersten Potenz der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional der zweiten Potenz der Rohrweite gefunden.

Bei den zuerst von Poiseuille angestellten und später sehr oft wiederholten Versuchen über die Strömung von Flüssigkeiten in engen Röhren treffen diese Folgerungen sehr gut zu. Hierin ist die wichtigste Bestätigung für die Zulässigkeit des gewählten Ansatzes zu erblicken. Oberhalb der kritischen Geschwindigkeit erfolgt aber die Bewegung nach ganz anderen Gesetzen. Die Erfahrung lehrt nämlich, daß in diesem Falle das Druckgefäll c ungefähr proportional der zweiten Potenz der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional der ersten Potenz des Rohrdurchmessers gesetzt werden kann. Der Zähigkeitskoeffizient 7c scheint nur insofern von Bedeutung zu sein, als der Wert der kritischen Geschwindigkeit von ihm abhängt, während er, falls diese einmal überschritten ist, keinen wesentlich bestimmenden Einfluß auf den Bewegungsvorgang mehr zu haben scheint. Bei Wasserleitungen ist der Druckhöhen Verlust für eine Röhrenlänge, die etwa das 40- bis 50-fache des Rohrdurchmessers beträgt, so groß wie der Druck, der erforderlich ist, um dem Wasser beim Ausströmen aus dem Gefäße in die freie Luft die Geschwindigkeit vm zu erteilen. Die Beobachtungen lehren ferner, daß die Geschwindigkeit v im mittleren Teile des Rohres nahezu konstant ist und erst in der Nähe der Wand einen starken Abfall bis auf den Wert Null an der Rohrwand erfährt.

Eine befriedigende Theorie dieses Strömungsvorgangs besitzt man bis jetzt nicht. Nur so viel ist klar, daß man, um zu ihr zu gelangen, jedenfalls auf die Mischbewegungen Rücksicht nehmen muß. Diese bewirken, daß der Flüssigkeitszylinder, dessen Gleichgewicht wir vorher betrachteten, außer durch die Reibung auch noch durch den Austausch mit den außerhalb liegenden und langsamer fließenden Wassermassen eine Verzögerung erfährt. Die Schwierigkeit besteht nur darin, einen geeigneten Ansatz für diese verzögernde Kraft ausfindig zu machen. Jedenfalls wird darin das Geschwindigkeitsgefäll ^¹

dx

und die Masse g der Flüssigkeit als Faktor Vorkommen müssen, außerdem aber auch noch die Geschwindigkeit, mit der sich der Austausch der Wassermassen vollzieht. Für diese fehlt es aber zunächst an jedem Anhalte. Wenn es sich ausschließlich um die Erklärung dieses besonderen Vorgangs der Strömung in Röhren handelte, könnte man z. B. an Stelle von Gl. (254)

(260)

₇ dv . ç. dv    c

setzen, worin der durch die Mischbewegungen hervorgebrachten Verzögerung durch das zweite Glied der linken Seite Rechnung getragen werden soll.

Die Integration der Gleichung mit Berücksichtigung der Grenzbedingungen liefert nach Auflösung für das Druckgefäll c

+ 25 V⁵-

(261)

_ 4Jcvü r²

wenn die Geschwindigkeit in der Rohrmitte mit bezeichnet wird. Die Konstante £ hat die Dimension einer absoluten Zahl, die für verschiedene Flüssigkeiten verschieden sein kann. Bei kleinem v₀ und kleinem r überwiegt das erste Glied der Gleichung, das dem Poiseuilleschen Strömungsgesetze entspricht, während es im entgegengesetzten Falle auf das zweite Glied ankommt, das mit den Beobachtungen an weiten Wasserleitungsröhren in Übereinstimmung steht.

Dieser einfache Ansatz kann aber noch nicht als eine Lösung der Frage betrachtet werden. Erst wenn er sich auf alle anderen Fälle der Wasserbewegung sinngemäß übertragen ließe und dort ebenfalls zu einer Übereinstimmung mit der Erfahrung führte, könnte ein Ansatz von dieser Art als eine befriedigende Lösung bezeichnet werden.

§57. Die mechanische Ähnlichkeit von Flüssigkeitsströmungen.

Die Lehre von der mechanischen Ähnlichkeit wurde schon in § 46 auseinandergesetzt. Unter den Beispielen, die damals zur Erläuterung dienten, war auch schon ein hydrodynamisches, nämlich die vonFroude anfgestellte Modellregel zur Ermittelung des Schiffswiderstandes. Diese Betrachtungen wollen wir jetzt weiter führen, indem wir uns überlegen, welche Schlüsse sich aus der Gestalt der hydrodynamischen Gleichungen fiir die mechanische Ähnlichkeit von zwei Flüssigkeitsströmungen ableiten lassen.

Wann werden sich überhaupt zwei Flüssigkeitsströmungen als mechanisch ähnlich bezeichnen lassen? Jedenfalls gehört dazu die geometrische Ähnlichkeit: jeder Bahn, die ein materieller Punkt in der ersten Flüssigkeit zurücklegt, muß eine geometrisch ähnliche Bahn in der zweiten Flüssigkeit entsprechen, und jeder Gestalt und Geschwindigkeitsverteilung der ersten Flüssigkeit zu einer gegebenen Zeit muß in einer dieser entsprechenden Zeit eine geometrisch ähnliche Gestalt und Geschwindigkeitsverteilung der zweiten Flüssigkeit zugeordnet sein. Die eine Flüssigkeitsströmung wird dann durch die andere geometrisch ähnlich abgebildet.

Es ist aber nicht nötig, daß entsprechende Stellungen in beiden Flüssigkeiten gleichzeitig durchlaufen werden; vielmehr kann der eine Bewegungsvorgang schneller oder langsamer erfolgen als der andere. Nötig ist nur, daß die Zeit zwischen zwei Stellungen in der einen Flüssigkeit zur Zeit zwischen den entsprechenden Stellungen in der anderen Flüssigkeit in einem festen Verhältnisse steht, wie man nun auch die Stellungen auswählen möge. In die Abbildung der einen Flüssigkeitsbewegung durch die andere geht daher nicht nur ein beliebig zu wählender Längenmaßstab ein, sondern auch noch ein gleichfalls beliebig zu wählender Zeitmaßstab, der für den ganzen Vorgang unverändert festgehalten werden muß.

Bezeichnen wir, wie in § 46, das Verhältnis der Längen mit A, der Zeiten mit r, der Geschwindigkeiten mit y und der spezifischen Massen mit y,, so ist zunächst wieder nach dem Begriffe der Geschwindigkeit

zu setzen. Bezeichnet man ferner die Geschwindigkeitskomponenten in einem Punkte xy z des von der Flüssigkeit durchströmten Raumes mit    und versieht die entsprechenden

(262)

Größen bei der zweiten Flüssigkeit mit Strichen, so hat man x = Ix; v\ = yvx usf. Uie Kontinuitätsgleichung für die unzusammendrückbare Flüssigkeit (Gl. 221)

8v,    dv₂ . dva = q

dx ' dy ' dz

geht durch Multiplikation mit der Konstanten ^ über in und daraus folgt, daß die Kontinuitätsbedingung von selbst auch im zweiten Falle überall erfüllt ist, wenn dies im ersten Falle zutrifft. Ebenso hat auch Gl. (230)

Jbdi = 0

o

eine entsprechende Gleichung im zweiten Raume zur Folge, und wenn die eine Strömung wirbelfrei ist, muß es daher auch die andere sein. Endlich werden bei einer Wirbelbewegung auch die Wirbel Vektoren tu, wie aus Gl. (234) zu schließen ist, ähnlich abgebildet, und zwar so, daß überall

(263)

u>' = ⁷ tt> = ¹ ui

1    X

ist. In allen wesentlichen geometrisch-kinematischen Eigenschaften gleichen sich daher zwei mechanisch-ähnliche Flüssig-keitsströmungen von vornherein vollständig.

Zur strengen Erfüllung der Ahnlichkeitsbedingungen müssen die Flüssigkeitsbewegungen nicht nur in den Hauptzügen, sondern auch in den kleinsten Einzelheiten miteinander übereinstimmen. Daher muß auch die „Mischbewegung“ ebenfalls genau nachgebildet sein. Von dieser Forderung darf in der Regel auch nichts nachgelassen werden; die wichtigsten Schlüsse, zu denen die Ähnlichkeitsbetrachtungen führen, beziehen sich nämlich gerade auf Flüssigkeitsströmungen, die mit Mischbewegungen verbunden sind. Man nennt diese gewöhnlich „turbulente“ Strömungen; ich halte diese Bezeichnung aber nicht für gut gewählt und möchte sie lieber „wilde“ Strömungen nennen.

Es fragt sich nun, unter welchen Umständen zwei mechanischähnliche Strömungen wirklich zustande kommen. Bestimmend für den Strömungsvorgang sind erstens die geometrischen Bedingungen an den Grenzen und zweitens die Kräfte, die auf die Flüssigkeit wirken. Die Gleichheit der geometrischen Bedingungen dürfen wir hier von vornherein als erfüllt voraussetzen; es bleibt daher noch übrig, daß auch die Kräfte in beiden Fällen genau entsprechend gewählt werden, damit wir sicher sind, daß die Flüssigkeitsströmungen in allen Einzelheiten miteinander übereinstimmen. Mit anderen Worten heißt dies, daß alle hydrodynamischen Gleichungen für beide Fälle in derselben Form gültig bleiben müssen, wenn man nur die darin vorkommenden Größen in verschiedenen Maßstäben ansmißt.

Wir setzen zunächst voraus, daß die Flüssigkeit in beiden Fällen als reibungsfrei betrachtet werden darf. Dann gelten die Euler sehen Gleichungen in der Form (228), und die erste von ihnen lautet

dp

dx>

wenn zur Vermeidung einer Verwechselung die früher mit dem Buchstaben g bezeichnete Masse der Raumeinheit jetzt durch den Buchstaben m ausgedrückt wird. Für die zweite Flüssigkeit gilt ebenso überall die Gleichung

m Q+v,

dv[

dp'

¹ dx

dx'

Die linke Seite der ersten Gleichung geht aber in die linke Seite der zweiten Gleichung über, wenn man sie mit der Konstanten ¹¹ J multipliziert. Damit nun beide Gleichungen überall vollständig gleichbedeutend miteinander werden, setzen wir

(264)

X' =

1=

(265)

Wenn inan noch beachtet, daß x = Ix gesetzt Averden kann, läßt sich die letzte Gleichung auch durch die Bedingung ersetzen, daß überall

(266)

P = M*P

sein soll. — Mit X war die Komponente der auf die Raumeinheit kommenden äußeren Massenkraft bezeichnet. Unter gewöhnlichen Umständen ist die einzige Massenkraft, auf die man zu achten braucht, die Schwere. Diese ist aber proportional der Masse, und man hat daher auch womit Gl. (264) übergeht in

y² = X.

Das war die Bedingung, die bei der Froudeschen Modellregel für den Schiffswiderstand zu erfüllen war.

Bei anderen Vorgängen, die wir jetzt näher ins Auge fassen wollen, kommt es aber auf das Gewicht der Flüssigkeit überhaupt nicht an, sondern die Strömung erfolgt ganz unabhängig vom Einflüsse der Schwere. Das gilt namentlich von der Strömung in Röhren oder überhaupt in ringsum geschlossenen Gefäßen oder auch bei der Strömung der Flüssigkeit um ein eingetauchtes Hindernis herum, also bei Vorgängen, die gerade für die technischen Anwendungen besonders Avichtig sind. Wenn die Flüssigkeit den ganzen durchströmten Raum lückenlos einnimmt, hat die Schwere nur zur Folge, daß sich der Druck nach abwärtshin erhöht; im übrigen aber erfolgt der Vorgang genau * so, als Avenn die Schwere überhaupt nicht wirkte.

Wir wollen daher jetzt weiterhin annehmen, daß der Einfluß der Massenkraft zu vernachlässigen sei, und setzen X = 0 und X' = 0, womit Gl. (264) auf jeden Fall erfüllt ist. Es kommt dann nur noch auf Gl. (265) oder (266) an, wenn darin unter p der Druck verstanden Avird, der sich ergibt, wenn

oder auch, wenn das Druckgefäll, wie im vorigen Paragraphen, mit dem Buchstaben c bezeichnet wird,

(267)

c = y²c.

Die beiden hier miteinander verglichenen mechanisch-ähnlichen Strömungen unterscheiden sich aber nur noch dadurch voneinander, daß bei der zweiten die Geschwindigkeit überall y-mal so groß ist als in der ersten. Gl. (267) spricht daher aus, daß bei der reibungsfreien Flüssigkeit das Druckgefäll unter sonst gleichen Umständen proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit ist.

Setzt man 2 = 1 und y = 1, während p von Eins verschieden ist, so folgt aus Gl. (265)

(268)

c = pc

d. h. das Druckgefäll ist proportional der spezifischen Masse der Flüssigkeit. Endlich erhält man für p = 1 und y = 1, während 2 nicht gleich Eins ist, aus Gl. (266)

(269)

man von der hydrostatischen Drucksteigerung absieht, die nach untenhin unter dem Einflüsse des Gewichtes eintritt.

Setzt man 2 = 1 und p = 1, während y und hiermit t von Eins verschieden sind, so geht Gl. (265) über in

= r²

dp

dp

dx

dx

P = P,

d. h. der Druck ist an entsprechenden Stellen in beiden Flüssigkeiten gleich groß. Auf eine Strecke, die etwa dem Rohrdurchmesser gleich sein mag, sinkt daher der Druck bei gleicher Geschwindigkeit in einem weiten Rohre um ebensoviel als in einem engen. Auf Strecken dagegen, die sich nicht entsprechen, sondern die im gleichen Maßstabe gemessen einander gleich sind, beträgt hiernach der Druckabfall im engen Rohre mehr als im weiten, und zwar ist er der ersten Potenz des Rohrdurchmessers umgekehrt proportional.

Fassen wir alles zusammen, so ist bewiesen, daß der auf eine feste Längeneinheit, etwa auf 1 in bezogene Druckabfall c in einem Rohre (270)

mu®

die Bewegungen geometrisch

nur

gesetzt werden kann, wenn mit v die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in einem Rohre vom Durchmesser d bezeichnet wird. Die Konstante £ bedeutet den Druckabfall in einem Rohre, für das in beliebigen Maßstäben v = 1, d = 1 und zugleich m = 1 wird. Die Konstante £ ist, wie sich aus dem Einsetzen der Dimensionen der übrigen Größen in Gl. (270) ergibt, eine absolute Zahl. Sie kann durch einen einzigen Versuch mit einem Rohre von beliebigem Durchmesser mit einer beliebigen Geschwindigkeit und für eine beliebige reibungsfreie und unzu-sammendrückbare Flüssigkeit ermittelt werden. Nachdem dies geschehen ist, kann man sicher sein, daß Gl. (270) für alle Strömungen in anderen Rohren mit demselben Werte des Koeffizienten £ gütig bleibt, falls ähnliche sind.

Durch Versuchsreihen zur Prüfung der Gültigkeit der Formel (270) läßt sich feststellen, ob und bis zu welchem Grade die zuletzt ausgesprochene Voraussetzung erfüllt ist. Eine Abweichung ist z. B. zu erwarten, wenn die Rohrwände rauh sind und die Unebenheiten, die die Rauhigkeit bedingen, nicht ebenfalls im Maßstabverhältnisse l zueinander stehen.

Im allgemeinen steht aber Gl. (270) in guter Übereinstimmung mit der Erfahrung, über die im vorigen Paragraphen S. 408 bereits berichtet wurde. Bei „wilden“ Strömungen in Röhren, also bei solchen, die über der kritischen Geschwindigkeit liegen, treten daher in der Tat bis in die Einzelheiten hinein ähnliche Strömungen auf, sobald die durch Gl. (266) ausgesprochene Ahnlichkeitsbedingung erfüllt ist.

Der Druckabfall, den eine reibungsfreie Flüssigkeit beim Strömen in einem überall gleich weiten Rohre erfährt, ist überhaupt nur auf die Mischbewegungen zurückzuführen. Bei der „zahmen“ oder „geordneten“ Strömung einer reibungsfreien Flüssigkeit kann kein Druckgefäll entstehen, da keine mechanische Energie verloren geht, wie schon in § 55, S. 399, näher besprochen wurde.

Zu ähnlichen Folgerungen gelangt man auch für den Druck, den eine Flüssigkeit auf eine Wand oder auf einen festgehaltenen Körper ausübt, den sie umströmt. Wenn man zwei mechanischähnliche Bewegungen dieser Art miteinander vergleicht und den Druck auf eine Wandfläche (oder ein Stück Wandfläche) im ersten Falle mit P und den Druck auf die entsprechende Fläche in der zweiten Flüssigkeit mit P' bezeichnet, erhält man aus Gl. (266), nachdem man mit A² multipliziert hat, um von p auf P zu kommen

P' = py²PP.

(271)

Hieraus folgt weiter, daß man den gesuchten Druck P auch in der Form

(272)

P == Imv^F

anschreiben kann, in der £ wiederum einen Zahlenkoeffizienten bedeutet, der aus einem einzigen Versuche für alle Fälle der gleichen Art ermittelt werden kann, wahrend mit m die Masse der Raumeinheit, mit v die Geschwindigkeit an einer bestimmten Stelle oder anstatt dessen auch eine Durchschnittsgeschwindigkeit und mit F die getroffene Fläche bezeichnet wird. Man kann sicher sein, daß alle Versuche, die man unter verschiedenen Umständen zur Ermittelung der Zahl £ anstellt, stets zu demselben Werte führen müssen, wenn bei der Versuchsausführung keinerlei Abweichungen von den Bedingungen der mechanischen Ähnlichkeit Vorkommen.    *

§ 58. Die mechanische Ähnlichkeit für zähe Flüssigkeiten.

Die vorher gezogenen Schlußfolgerungen stützten sich auf die Euler sehen Gleichungen für die reibungsfreie Flüssigkeit und gelten daher nur für diese. Für die zähe Flüssigkeit läßt sich jedoch die Betrachtung nach denselben Grundsätzen durchführen. Jeder Schubspannung r, die nach Gl. (250)

dv

dx

T = 1c

gesetzt werden kann, steht eine Schubspannung r in der zweiten Flüssigkeit gegenüber, für die man ebenso

hat. Nun greifen die Schubspannungen zusammen mit den Druckkräften p oder p an jedem Flüssigkeitselemente an und bestimmen dessen Beschleunigung. Die mechanische Ähnlichkeit beider Flüssigkeitsbewegungen erfordert daher jedenfalls, daß die entsprechenden Schubspannungen x und x in demselben Verhältnisse zueinander stehen, wie die Druckkräfte j? und p. Was vorher für die Druckkräfte abgeleitet und in Gl. (266) ausgesprochen war, muß daher ebenso auch für die Schubspannungen gelten. Zu

p' = py²p

muß daher noch die Aveitere Gleichung

x — py²x

hinzutreten. Setzt man aus den vorhergehenden Gleichungen r und x ein und drückt v und x in v und x aus, so erhält man daraus als Bedingung für die mechanische Ähnlichkeit

(273)

Ti = pylh.

An Stelle davon kann man auch schreiben

(274)

ÄH

a.

x = pyA,

wenn man unter x das Verhältnis der beiden Zähigkeitskoeffizienten versteht.

Diese Bedingungsgleichung läßt sich dazu benutzen, um für die Bewegung in einem Rohre (und auch noch für allgemeinere Fälle) eine Formel für die kritische Geschwindigkeit vk aufzustellen, bei deren Überschreitung die Flüssigkeitsbewegung in eine „wilde“ Strömung übergeht. Jedenfalls muß nämlich von zAvei mechanisch-ähnlichen Flüssigkeitsbewegungen auch die zweite an der durch die kritische Geschwindigkeit bezeichneten Grenze stehen, wenn dies von der ersten gilt; man hat daher

vk = y vk

und durch Elimination von y aus dieser Gleichung und der vorhergehenden findet man

,    X

IL 1

** = 77:

Wenn vk in einem Falle experimentell ermittelt ist, kann man nach dieser Gleichung die kritische Geschwindigkeit v'k für jeden anderen Fall berechnen, falls nur die geometrischen Bedingungen in beiden Fällen die gleichen sind. Bleibt man bei der Strömung in Röhren, so denke man sich vk beobachtet für ein Rohr vom Durchmesser d = 1 und für eine Flüssigkeit mit den Konstanten m — 1 und h = 1 in beliebig gewählten Maßstäben. Dann ist in diesen Maßstäben für das zweite Rohr d! = X, m = /a und 1Ć = und wenn der aus den Versuchen abgeleitete Wert von vk mit K bezeichnet wird, geht die Gleichung über in

Die Striche, die allen Größen außer dem Erfahrungskoeffizienten K in dieser Gleichung beigesetzt sind, haben jetzt keine Bedeutung mehr, und man kann daher auch

K-k

(275)

md

vk =

dafür schreiben. In dieser Form stimmt aber die Gleichung mit der Reynolds sehen Gleichung (251) überein, abgesehen davon, daß zur Vermeidung einer Verwechselung der damals für die spezifische Masse gebrauchte Buchstabe p. jetzt durch m ersetzt ist. Die Konstante K ist, wie damals schon auseinandergesetzt war, eine unbenannte Zahl.

Falls nun aus Versuchsreihen bekannt wird, daß Gl. (275) mit der Beobachtung übereinstimmt, ist daraus zu schließen, daß die Voraussetzung der mechanischen Ähnlichkeit auch bis in die feineren Einzelheiten hinein für die untersuchten Vorgänge tatsächlich erfüllt ist.

Sollen zwei Flüssigkeitsbewegungen mechanisch - ähnlich sein, die beide in einer zähen Flüssigkeit von derselben Art, also z. B. beide in Wasser von der gleichen Temperatur

erfolgen, so ist in Gl. (274) % — 1 und g = 1 zu setzen, womit sie übergeht in

(276)

yl = 1,

d. h. je größer die Längen sind, desto kleiner müssen die Geschwindigkeiten sein. Neben dieser Gleichung bleibt aber außerdem noch die frühere Gl. (266) in der Form

(277)

/    9

p = yp

bestehen, die ebenfalls erfüllt sein muß, damit mechanisch-ähnliche Flüssigkeitsbewegungen zustande kommen.

Daraus geht hervor, daß man bei der zähen Flüssigkeit in der Auswahl ähnlicher Strömungen viel enger beschränkt ist als bei der reibungsfreien Flüssigkeit. Für die reibungsfreie Flüssigkeit genügte es, den Druckhöhenverlust in einem Leitungsrohre für einen einzigen Fall zu messen, um ihn daraus für andere Rohrdurchmesser und für andere Geschwindigkeiten theoretisch ableiten zu können, da man y und ŻL noch beliebig und unabhängig voneinander wählen konnte, ohne gegen die Ahnlichkeitsbedingungen zu verstoßen. Jetzt geht dies nicht mehr, weil zu den früheren Bedingungen noch Gl. (276) hinzugetreten ist.

Um aus den Ahnlichkeitsbetrachtungen Schlüsse auf andere Fälle ziehen zu können, muß man bei der zähen Flüssigkeit schon über eine ganze Versuchsreihe verfügen. Hat man z. B. bei der Strömung in Röhren den Druckhöhenverlust an einem Rohre für eine große Zahl von sehr verschiedenen Geschwindigkeiten gemessen, so kann man daraus den Druckhöhen Verlust auch für andere Durchmesser und verschiedene Geschwindigkeiten ableiten.

Die Ergebnisse der Versuchsreihe mit dem ersten Rohre wird man entweder tabellarisch wiedergeben oder man wird versuchen, sie in einer empirischen Formel zusammenzufassen. Man weiß z. B. schon von vornherein, daß bei größeren Rohrdurchmessern und den gewöhnlich vorkommenden Geschwindigkeiten wenigstens bei Wasser nur eine wilde Strömung zu erwarten ist, und daß hierbei die Zähigkeit nicht viel mitspricht

27*

sondern daß der Strömungs Vorgang ungefähr so erfolgt, als ob das Wasser eine reibungsfreie Flüssigkeit wäre. Immerhin wird sich aber bei genaueren Versuchen ein Unterschied gegenüber der Strömung einer reibungsfreien Flüssigkeit, also ein Einfluß der Zähigkeit heraussteilen, und wir wollen jetzt annehmen, die Versuchsreihe mit dem ersten Rohre hätte den Zweck, diesen Einfluß möglichst genau zu ermitteln. Dann wird es sich empfehlen, die Versuchsergebnisse vorläufig etwa in der Formel

c = uv²

anzuschreiben, so daß sich in der Veränderlichkeit des Faktors a, der für die reibungsfreie Flüssigkeit konstant ausfallen müßte, der Einfluß der Zähigkeit bemerklich machen kann. In dieser Form eignet sich aber die Gleichung noch nicht zur Übertragung auf mechanisch-ähnliche Vorgänge, weil a keine absolute, sondern eine benannte Zahl und daher selbst von den gewählten Maßstäben abhängig ist. Um diesem Übelstande abzuhelfen, können wir die Gleichung auf die Form

mvi

(278)

c==£‘ 2d

bringen, in der m und d die frühere Bedeutung haben und £ ein Zahlenkoeffizient ist. In der Tat stimmt diese Formel mit der für das Druckgefäll bei der reibungsfreien Flüssigkeit in Gl. (270) fast vollständig überein. Daß hier im Nenner noch der Faktor 2 beigesetzt ist, ist gleichgültig und willkürlich und nur zum Zwecke eines weiterhin anzustellenden Vergleichs geschehen. An die Stelle des konstanten Koeffizienten £in Gl. (270) ist für die zähe Flüssigkeit in Gl. (278) ein veränderlicher Koeffizient -* £ getreten. Die Werte von £ denke man sich für ein bestimmtes Rohr und für die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten tabellarisch zusammengestellt.

Nun kann man dazu übergehen, die Versuchsergebnisse auf mechanisch-ähnliche Bewegungen, also auf die Strömungen in Röhren von anderen Durchmessern zu übertragen. Hierzu bedenke man, daß

P-2 — Pl

geschrieben werden kann, wenn und pl die Druckkräfte in zwei um die Strecke l auseinander liegenden Querschnitten sind. Für das zweite Rohr gilt ebenso

c' ₌j>»— Px

und daher nach Gl. (277) zunächst

j _ 7*. Pi — Pi r

oder nach Einsetzen von c aus Gl. (278)

mv ²

(279)

2 d'

s 7; - ?

Da es sich in beiden Fällen um dieselbe Flüssigkeit handeln sollte, so daß rri = m ist, stimmt die Gl. (279) für den zweiten Fall mit der für den ersten Fall geltenden Gl. (278) der Form nach vollständig überein; es sind nur die ungestrichenen Buchstaben durch die mit Strichen versehenen ersetzt, abgesehen von £, das in beiden Formeln dieselbe absolute Zahl bedeutet. Die mit einem Rohre erhaltenen Versuchs werte und die daraus abgeleiteten Koeffizienten £ können also ohne Änderung von £ auf Rohre von anderen Durchmessern übertragen werden. Und zwar ist von den für das erste Rohr tabellarisch zusammengestellten Werten von £ jeder Wert auf die entsprechende Geschwindigkeit im zweiten Rohre anzuwenden, also nach Gl. (276) so, daß zu gleichen Produkten von Durchmesser d und Geschwindigkeit v gleiche Koeffizienten gehören. Man kann hiernach £ als eine Funktion des Produktes vd bezeichnen, vorausgesetzt natürlich, daß es sich, wie hier angenommen war, stets um dieselbe Flüssigkeit handelt.

Dabei braucht man aber nicht stehenzubleiben. Es kann auch nützlich sein, zwei Strömungen in verschiedenen Flüssigkeiten, etwa in Wasser und in Luft miteinander zu vergleichen und sie auf ihre mechanische Ähnlichkeit zu untersuchen. In den meisten Fällen befolgen die Strömungen in Wasser und in Luft nahezu dieselben Gesetze, nämlich wenn es sich bei den Luftströmungen nur um so kleine Druckunterschiede handelt, dali man von der Zusammendrückbarkeit der Luft ebenso wie von der des Wassers absehen kann.

Bei verschiedenen Flüssigkeiten ist an Stelle von Gl. (276) auf die ursprüngliche Gl. (274) zurückzugreifen, die man jetzt besser in der Form

(280)

tyl _ 1 oder 1X _ 1

auschreibt, wenn unter v der schon in Gl. (252), S. 404 eingeführte kinematische Reibungskoeffizient verstanden wird. Ebenso ist Gl. (277) durch die ursprüngliche Gl. (266)

p' = iiy*p

zu ersetzen. Im übrigen läßt sich die Betrachtung ebenso durchführen wie vorher, und an Stelle von Gl. (279) erhält man dann

(281)

r c mV2 C = & 2 ci

Man muß nur beachten, daß £ jetzt denselben Wert behält, wenn sich ~ nicht ändert oder daß, wie man auch sagen kann, £ eine Funktion von ^ ist.

In der Zeitschr. d. Vereins D. Ing. 1912, S. 639 hat Herr H. Blasius dieselben Schlüsse auf andere Weise abgeleitet und daran einen Vergleich mit den Ergebnissen von Versuchen geknüpft, die teils früher schon von anderen, teils neuerdings von ihm selbst über den Druckabfall in Röhren angestellt worden sind. Es zeigte sich, daß die Beobachtungen mit den aus der Ähnlichkeitsbetrachtung abgeleiteten Schlußfolgerungen recht gut übereinstimmen. Blasius findet, daß man nach den Versuchsergebnissen für die „wilde“ oder, wie man sonst sagt, für die „turbulente“ Strömung in glatten Röhren in den hier gebrauchten Bezeichnungen

(282)

?- 0,3164 Ÿrd

setzen kann. Die besondere Form dieser Funktion, also die vierte Wurzel, ist so gewählt, daß die Versuchszahlen dadurch möglichst

gut wiedergegeben werden. Daß aber £ eine Funktion von ^ ist, war

theoretisch abgeleitet, und die Versuche dienten nur dazu, diesen Schluß als richtig zu bestätigen.

Schließlich sei noch bemerkt, daß sich dieselben Betrachtungen auch auf den Widerstand von Platten, Drähten o. dgl. anwenden lassen, die sich in einer zähen Flüssigkeit bewegen. Auch hier ist der Koeffizient, der sich aus Versuchen ahleiten

vd

läßt, als eine Funktion von v~- oder, was dasselbe ist, von

/    V    7    7

zu betrachten. Hierbei muß übrigens, wie schon überall vorher, stets vorausgesetzt werden, daß sich der Einfluß der äußeren Massenkraft vernachlässigen läßt, daß also X und X' in Gl. (264) gleich Null gesetzt werden dürfen. Wenn dies nicht gestattet ist, vermag man wenigstens für eine einzige zähe Flüssigkeit überhaupt keine mechanisch-ähnlichen Strömungen anzugeben, da sich die verschiedenen Ähnlichkeitsbedingungen alsdann nicht miteinander vereinigen lassen.

Zusammenstellung der wichtigsten Formeln.

Erster Abschnitt.

Seite

Dynamik des materiellen Punktes.

(2) «

allgemeinste Aussage des Flächensatzes für den materiellen Punkt; m = Masse, t) = Geschwindigkeit, ^ = äußere Kraft

r der von einem festen, aber beliebig gewählten

an m

Momentenpunkt gezogene Radiusvektor oder Hebelarm, das statische Moment von m t) die Bewegungsgröße des Punktes, Vmö • r deren statisches Moment oder der Drall.

(7) 12

Yz- Zy = {mv₂z - mvsy),

Flächensatz für die X-Achse als Momentenachse; XYZ die Komponenten von xyz die von r.

fodi = 0.

Bedingung dafür, daß ein Kraftfeld wirbelfrei ist; die Integration ist über eine geschlossene Kurve zu erstrecken.

A

(10)    17

rA = T₀ -f ydt

0

Definitionsgleichung für das Potential VA im Punkte A-0 Anfangspunkt, V₀ bleibt willkürlich.

_iZ.

dx ’

Pi =

; p₃ = -

P₂ = -

m    /.dV . . d

^    (' dx ⁺ ) a

ł —VF,

Ableitung der Kraft des Feldes aus dem Potentiale V.

dz

(12) U)

(13)    20

Zusammenstellung der wichtigsten Formeln

425

Seite

(15) 24

Y₂ + L₂ = Yx + L1} die Summe aus der potentiellen Energie V und der kinetischen Energie L bleibt während der Bewegung im Kraftfelde konstant.

d²x dt2 =

— cx

(16) 27

Differentialgleichung der geradlinigen harmonischen Schwingung, c ein die Intensität des Feldes beschreibender Proportionalitätsfaktor.

x = A sin at + B cos at,

a =]/    ,

(17)    27

(18)    27

Lösung der Gleichung (16), A und B Integrationskonstanten, die yon den Anfangsbedingungen abhängen.

V~-’

(20) 21)

Formel für die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung.

& dy. _

— C(p

(22) 33

Differentialgleichung für die Torsionsschwingungen, cp Drehungswinkel, 8 Trägheitsmoment der schwingenden Masse;

T= 2ti

Vr

(23) 34

Formel für die Schwingungsdauer der Drehschwingungen.

d³x ~dt* ⁼

dx

(27) 3G

^ dt

Differentialgleichung für die gedämpfte geradlinige Schwingung, lt der Dämpfungsfaktor.

— cx

(29) 38

x = ~ e 2w (eyt — e yt)

Lösung der Differentialgleichung für den Fall der aperiodischen Bewegung, y zur Abkürzung für den konstanten Wert

jfc*

Zusammenstellung der wichtigsten Formeln

426

Seite

Die Bewegung- wird periodisch, wenn y = iy imaginär wird: Gl. (29) geht dann über in

x = %e 2w siny'tf. T = —■ =

y'

4 7t rn

(31) 39

(32) 40

]/4wc — &² ’

Formel für die Schwingungsdauer der gedämpften harmonischen Schwingung.

lg an ~ lg an

nk

kT im ’

(36) 42

V4wc — A;²

Formel für das logarithmische Dekrement zweier aufeinander folgenden Ausschläge an und an

+ i-

(43) 46

Formel für die Abnahme der Schwingungsausschläge bei einer Dämpfung durch gewöhnliche Reibung, e eine Konstante.

(44) 52

m 7^ +cx +    =

Differentialgleichung für die erzwungenen Schwingungen, K der größte Betrag der die Schwingungen anregenden periodisch veränderlichen Kraft, rj ein Faktor, der von deren Periode abhängt.

tg<p = c

kr\

— mrj

cp Phasenverschiebungswinkel.

„2 )

(46) 54

(47) 54

cos

cp (c — wir]²) -j- kr] sin qp

C die Amplitude der erzwungenen Schwingungen im Beharrungszustande.

(64) 77

Näherungsformel für die volle Schwingungsdauer eines einfachen Pendels von der Länge l

T-iY F(sin ,    ),

l-o i öl

tO, Î5

(72) 82

genaue Formel für das einfache Pendel, a Schwingungsamplitude, F das Funktionszeichen für das elliptische Integral erster Gattung.

(Eine abgekürzte Tabelle für die Werte von F findet sich auf S. 82.)

(73) 85

genauere Näherungsformel für das einfache Pendel.

(76) 87

t“²*V7’

T Dauer der Schwingungen auf der Zykloide.

Zweiter Abschnitt.

Dynamik des Punkthaufens.

.    <Pr

p = — m •

$ Trägheitskraft, die an jedem materiellen Punkte anzubringen ist

zustellen (d’Alembert).

(89) 129

um

ein Gleichgewichtssystem von Kräften her

M- i-t

(91) 181

Aussage des d’Alembertschen Prinzips in Verbindung mit dem Prinzipe der virtuellen Geschwindigkeiten, 48 virtuelle V erschi ebungen.

—    = Qs sin«jp,

(94) 143

Differentialgleichung für die Schwingungen des physischen Pendels, ® Trägheitsmoment für die Schwingungsachse, cp Ausschlag, Q Gewicht, s Schwerpunktsabstand von der Schwingungsachse.

(96) 144

l reduzierte Pendellänge.

(106)    164

(107)    165

2Mr cos a — 0 und 2Mr sin a = 0, 2 Mr a cos a = 0 und 2 Mr a sin a = 0,

B' = u®.

(123) 181

B' Drall für die Drehachse selbst.

ud© = ©du = 0

Bedingungsgleichungen für den Sch lick sehen Massenausgleich erster Ordnung bei Schiffsmaschinen, M die hin und her gehenden Massen, r die Kurbelhalbmesser, a die Winkel zwischen den folgenden Kurbeln und der ersten und a die Abstände der Kurbelmechanismen von dem ersten.

Soito

Dritter Abschnitt.

Dynamik des starren Körpers.

L = IU* ®x + l u\ ®y + "2 «I ®t.

(115) 175

L lebendige Kraft des um eine Schwerpuuktsachse rotierenden starren Körpers, uxu₂u₃ die Winkelgeschwindigkeitskomponenten für die Trägheitshauptachsen, die & die zugehörigen Trägheitsmomente.

® = ®x cos² a + ®y cos² ß -j- ®z cos² y.

® Trägheitsmoment für eine Achse, die mit den Hauptachsen die Winkel ccß y einschließt.

(116) 175

V9tV»<5= © • »© — G - «t®

(118) 176

Rechengesetz der Vektoralgebra, $l©& beliebige Vektoren.

© = u Unit² — Zmx • ur Formel für den Drall 18 eines mit der Winkelgeschwindigkeit n rotierenden Körpers.

(119) 177

8 = K ®x + \ lh ®J + tu3 ®z

(121) 178

andere Formel für den Drall.

(125) 184

gibt den Zusammenhang zwischen © und u in Form einer Differentialbeziehung an.

cW

(126) 191

Aussage des Flächensatzes für den starren Körper, an dem das Kräftepaar vom Momente $ angreift.

⁹ u

du

(128) 192

folgt ans dem Vorigen für den Fall, daß $ in die Richtung einer freien Achse fällt.

du₁ _

dt

Mg Mg

@s — 0,

©1 — ®₃

du₉

dt * ^ du„

dJ = U^

Gleichungen von Euler; gelten für einen freien starren Körper und geben die Veränderlichkeit von u mit der Zeit relativ zum Körper selbst an.

m₂ = AsinyM^ -f Bo,osyuxt

0₂

0₂ - ©!

0S

(134) 202

(138) 204

Lösung der Eulerschen Gleichungen für den Fall = ©₃; A und B Integrationskonstanten, y zur Abkürzung eingeführt für

©1    —    ©₂    ©j — ©₃

0.

T =__'

«i(®i

— 0₈)

(140) 204

T Umlaufszeit der Nutationsbewegung.

(154) 227

T Umlaufzeit der Achse eines schweren Kreisels um die Lotlinie bei der pseudoregulären Präzession, Q Gewicht, s Schwerpunktsabstand vom festen Punkte, u Winkelgeschwindigkeit, & Trägheitsmoment.

(170) 240

K = u&iv.

K Drehmoment, das bei der Drehung eines mit der Winkelgeschwindigkeit M rotierenden Schwungrads aus der Schwungradebene mit der Winkelgeschwindigkeit w auftritt.

MP «H- '•*

Mal a? + P ’

Formeln für den Ersatz eines starren Körpers durch zwei Punkte Seite von den Massen mx und m₂ und den Schwerpunktsabständen ax und a₂ hei der ebenen Bewegung5 M Masse des starren Körpers, i sein Trägheitshalbmesser.

Vierter Abschnitt.

Schwingungen elastischer Körper.

(172) 259

Differentialgleichung für die Biegungsschwingungen eines Stabes mit gleichförmig verteilter Masse, ^ Masse für die Längeneinheit, y Durchsenkung an der Stelle x zur Zeit t, P Elastizitätsmodul, & Trägheitsmoment des Querschnitts.

TC X

.    7t²"| /E'&

emtvV >-•

(175) 2GO

y = A sin

Lösung der vorigen Gleichung für den Fall der Grundschwingungen, l die Länge des Stabs.

2 7t

-VT

E&>

(176) 2GO

T Dauer einer vollen Grundschwingung des auf zwei Stützen ruhenden Stabs.

(182) 2G4

T- 1,787

tritt an die Stelle der .vorigen Formel, wenn der Stab am einen Ende eingespannt, am anderen Ende frei ist.

(186) 2G8

. t- o-²⁸¹ VW*

dasselbe für die Biegungsschwingungen von Schiffen.

N,

-³⁰⁰ Pf

(201) 293

Nk kritische Tourenzahl einer schnell umlaufenden schwanken Welle, Q das Gewicht des Bades, P die Kraft, die erforderlich ist, um die Welle um 1 cm durchzubiegen.

(202) 300

;rra = /lg,

Hauptbedingung für die Konstruktion der Modelle von Ma- Seite schinen; % Verhältnis der Kräfte, x der Zeiten, A der Längen und der Massen.

Fünfter Abschnitt.

Die Relativbewegung.

(209) 351

dH o dH ₂y<it dt² dt² ^ dt² ^    \ dt

m ~    — 2mVüu,

Satz von Coriolis; § der Radiusvektor des beweglichen Punktes von einem festen Anfangspunkte im absoluten Raume, Ji der Radiusvektor nach dem Punkte des Fahrzeugs, mit dem der bewegliche Punkt gerade zusammenfällt, vom gleichen Anfangspunkte aus gerechnet, r der Radiusvektor des beweglichen Punktes von einem Anfangspunkte, der mit dem Fahrzeug fest verbunden ist, und u die Winkelgeschwindigkeit des Fahrzeugs.

(211) 853

£> die „erste Zusatzkraft“ der Relativbewegung, das folgende Glied gibt die „zweite Zusatzkraft“ an; darin ist 1) die Relativgeschwindigkeit des bewegten Punktes gegen das Fahrzeug.

d² x

dt²

= fl -2Vt)U,

(213) 355

Differentialgleichung für die Fallbewegung mit Berücksichtigung der Erddrehung, fl Beschleunigung der Schwere, als gerichtete Größe aufgefaßt.

(214) 355

t* t*\T

fl 2 - 3 Vfl«,

näherungsweise gültiges Integral der vorigen Gleichung.

Sechster Abschnitt.

Hydrodynamik.

(221) 375

4- dv± = 0

r de ’

Kontinuitätsbedingung für die unzusammendrückbare

Flüssigkeit, v₁ v₂ v₃ Geschwindigkeitskomponenten nach den Seite Achsenrichtnngen.

(224) 377

zeigt, wie sich die Beschleunigung aus der Veränderung am gleichen Orte und aus der durch die Verschiebung selbst bedingten Änderung von ü zusammensetzt.

‘U {jt + Jx + Jy + v3 jj)

= X-

(228) 380

0^“ + hydrodynamische Gleichung von Euler für die X-Richtung, H bezogene Masse, p Druck, X YZ Komponenten der äußeren Massenkraft, die zum Potentiale V gehört.

dp

(230) 381

Bedingung für die wirbelfreie Bewegung; das Integral erstreckt sich auf eine beliebige geschlossene Kurve. d®

Vl dx ’ V* dy ’ Vs dz ’

Geschwindigkeitspotential, nur für wirbelfreie Bewegung verwendbar.

dv 3 dv2 dy dz

U) der Wirbelvektor.

tu = i (

d<t>

(233) 380

) + i(^-L*) + '(fe-|')’ (²³⁴)

(236) 380

387

to = curl U

abgekürzte Wiedergabe der vorigen Gleichung.

d²$

dx* ' dy*

Kontinuitätsbedingung für die wirbelfreie Bewegung.

i.u»²+ r+p-c,

allgemeines Integral der Eulersclien Gleichungen für die stationäre wirbelfreie Bewegung, C eine Konstante, die sowohl von der Zeit als vom Orte unabhängig ist.

d*<I>

(237) 389

(242) 391

+ x)>

(243) 394

Geschwindigkeitspotential für die Strömung um eine Kugel, q der Kugelhalbmesser, r die Entfernung vom Kugelmittelpunkt, a Geschwindigkeit der Strömung in großer Entfernung von der Kugel (parallel zur Z-Achse).

kK

(251) 404

Formel von Reynolds für die kritische Geschwindigkeit vk der Strömung in Röhi'en, li Zähigkeitskoeffizient, K eine Konstante, die zu 1900 bis 2000 ermittelt ist, g bezogene Masse, d Rohrdurchmesser.

.    p„-p,    g*».

Î ~ r* '

Poise u ill esches Gesetz für die Strömung in Röhren unterhalb der kritischen Geschwindigkeit, c Druckabfall für die Längeneinheit, vm mittlere Geschwindigkeit der Strömung, r Rohrhalbmesser.

(259) 407

dv

(260) 409

kdï+^rvd --- *>

einfacher Ansatz zur Berücksichtigung der Mischbewegung bei der Strömung in Röhren, £ ein Zahlenkoeffizient.

X' = g

(264) 413

=

= aLdJP =

‘T dx V'Xdx

Bedingungen für die mechanische Ähnlichkeit von reibungsfreien Flüssigkeitsbewegungen, g Maßstab Verhältnis der Massen, y der Geschwindigkeiten, t der Zeiten, X der Längen. y — fiyX

weitere Bedingungsgleichung für die mechanische Ähnlichkeit der Flüssigkeitsströmungen mit Berücksichtigung der Zähigkeit, y Yerhältnis der beiden Zähigkeitskoeffizienten.

dp'

dx

(265) 413

(274) 417

ßJSLIQIEKÄ PöUTEGHUIGZBi

KtAKÓW

£ ach Verzeichnis.

Seite

Ablenkung, fallender Stein ,    353

von Geschossen 245,358

Eulersche Gleichungen, hydrodynamische

.    372

185

Achsen, freie Ähnlichkeit, mechanische 295, 409 d’Alembertsches Prinzip . .    128

Amplitude von Schwingungen Antrieb einer Kraft ....

28

75

Aperiodische Bewegung. . . Äquipotentialflächen . . . .

C5

CO (M

Bifuare Aufhängung ....    337

Billardball.......

Blasius, Formel für Strömung

in Röhren........

Brachistochrone......

Bumerang.........

Carnotscher Satz......

Coriolis eher Satz......

1 adenpendel........

Fallbewegung .......

Festigkeitsberechnung für bewegte Körper......

Flächensatz .......

Fouriersche Reihen.....

Freie Achsen......

Froude, Schiffsmodelle . 302, 413

353

.    135

4, 145

»O O © GO

251

422

88

244

210

348

Gegenseitigkeit d. Stoßgeschw.

Geoid...........

Geschwindigkeitspotential. .

j Glockenstuhl........

. Grundschwingung.....

Gyroskop.........

go to ©

05 W CD

to

© © »o

GO tH © CO CO CO <M CO

Dämpfung. . . Dekrement . . Divergenz . . .

Drall.....

Drall-Ellipsoid . Drehschwingung Drehstoß . . .

35, 44

42

376

6, 147, 175

175

32, 269

Hydrodynamik

197

366

193

Ebene Bewegung......

Einfache Schwingungsdauer . Elastische Körper, Schwingungen .........

Elliptische Schwingung. . . Elliptische Integrale . . . . Eulersche Gleichungen, Krei-

251

29

256

29

80

; Impuls........

Interferenz........

Isochrone Schwingungen .

147. 193

© © © Ol

sei

200

Katze beim Fallen . . .

Kegel, Trägheitsmomente . .■    325

Kegelbahn.........

Kinematischer Reibungskoeffizient ..........

Kontinuitätsbedingung . . .

153

96

404

373

67

13

21 i

218

231

keit

219 i

42 '

159

263

367

295

21

23

203

260

401 !

11

11

11

11

11

11

51

14

55

137

197

197

. 12, 104

O tH

CM <M

17

11

128

376

389

Radbewegung .

346

51, 56

318

343

159

243

11

339

61

145

24

29

67, 121 72, 256 35, 44

50

Seite !

Koppelung Kräftepaar am starren Körper 190 Kraftfeld Kraftlinien Kreisel, kräftefreier ....    194

schwerer.....

Kreiselproblem, strenge Lö-

sung..........

Kritische Geschwindigkeiten. 62, 281, 404, 417

Kugel, Bewegung in Flüssig392

Kugelkreisel

Lagrange, hydrodynam. Satz 385 Laplace, unveränderl. Ebene .    150

Laval, Turbinenwelle ....    277

Lebendige Kraft.....3, 170

Logarithmisches Dekrement .

Massen au sgleich......

Massenreduktion......

Mechanische Ähnlichkeit 295, 409 Mischbewegungen Modelle.....

Niveauflächen Nivellement . Nutation. . .

Oberschwingungen Oberflächenwellen

Pendel, einfaches .... 75, 79 ,,    , mit Seilpolygon ....    100

„ Fadenspannung 118 physisches 140, 254, 317 reduzierte Länge . .    143

Reversionspendel . .    318

Biegungsbeanspruchung 320

Seite

Perpetuum mobile Phasenunterschied Pleuelstange . . . Poinsotbewegung.

Poiseuillesches Gesetz . . .    408

Polodie........

Potential.......

Potentialgef all. .

Potentialtreppe .... Potentialunterschied . .

Präzession, pseudoreguläre .    221

reguläre ....    234

„ langsame u. schnelle 237 Punkthaufen

Quelle Quirl .

246

Rollpendel Röhre, Wasserströmung402,408,422

Schiffsschwingungen . . 265, 839 Schiffswiderstand. . . . 302, 401 Schlick, Massenausgleich Schiffskreisel . Schlingerbewegungen. .

Schwebungen.....

Schwerpunktssätze . . . Schwingung, einfache. .

„    elliptische.

„ Dreh- . 32, 119, 269 „    gekoppelte

„    Biegungs- .

„    gedämpfte.

„    erzwungene

„    auf Zykloide. .    85

Ił

239

25

198

228

11

88

170

Seite

Schwingung von elast. Körpern 256 von Schiffen 265, 339 von Wellen . 269, 277 Schwingungsknoten ....    260

Schwingungsmittelpunkt 143, 318 Schwungrad, Drehung aus Ebene

Stöße am starren Körper 207, 306, 332

Kreisel

Strömung in Röhren 402, 414, 422

Tautochrone Torsionsschwingungen . . 32, 269 Trägheitsellipsoid

Trägheitskräfte Turbine. . . . Turbulenz . . .

Ungleichförmigkeitsgrad . .

Unterseeboot........

Unveränderliche Ebene . . .

Verlust an leb. Kraft. . . Vial..........

Wasserdruck auf Wand. . .

Wilde Strömung......

Wirbelbewegung......

Wirbelfelder.......

Wirbel vektor.......

Zähigkeit Zähigkeitskoeffizient . . .

Zentralbewegung.....

Zentralkräfte......

Zentrifugalmoment . . .

Zusatzkräfte.......

Zykloidenpendel.....

131

166

412

271

400

150

210

110

416

412

381

14

388

416

403

15

172

(M OO O OO CO

368, 402,

AUG. FÖPPL:

VORLESUNGEN ÜBER

TECHNISCHE MECHANIK

gr. 8. In Leinwand gebunden.

Außer dem vorliegenden IV. Bande sind erschienen:

I.    Band:

Einführung in die Mechanik. 4. Auflage. Mit 104 Figuren [XV u. 426 S.] 1911. . . . Ji 10.—

II.    Band:

Ji 8.—

Graphische Statik. 3. Auflage. Mit 209 Fig. [XII u. 419 S.] 1912.

III. Band:

Festigkeitslehre.

[XVI u. 426 S.] 1909..

4. Auflage. Mit 86 Figuren.

...........10.—

V. Band:

Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitätslehre. Mit 44 Fig. [XU u. 391 s.]

1907

Ji 10.—

VI. Band:

Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik. Mit 30 Fig. [xiiu.490S.] 1910. je 12.—

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Die elementare Mechanik.

Ein Lehrbuch, enthaltend: Eine Begründung der allgemeinen Mechanik; die Mechanik der Systeme starrer Körper; die synthetischen und die Elemente der analytischen Methoden sowie eine Einfühlung in die Prinzipien der Mechanik deformierbarer Systeme. Yon G. Hamei, Prof, an der Deutschen Techn. Hochschule zu Brünn. Mit 265 Figuren. [XVlIIu. 634 S.] 1912.Geh. Jt 16.—, in Leinw. geb. Jt 18.—

„...Was besonders angenehm berührt und das vorliegende Werk vor anderen entschiedener Beachtung wert macht, ist die ungezwungene Einfügung von zahlreichen angewandten Aufgaben, die in einem Anhänge ihre Lösung oder wenigstens den Weg zu ihr finden. Wie das Buch allenthalben die technische Verwertbarkeit der Probleme in den Vordergrund stellt, so daß man es fast ,Technische Mechanik' betiteln möchte, so schöpfen auch die zahlreichen und gut gewählten Aufgaben aus dem weiten Gebiete der Technik. Studierende, angehende Techniker usw. werden in erster Linie den Leserkreis dieses Buches bilden; ihnen sei es bestens empfohlen.“ (Neue Wissenschaftliche Rundschau.)

Theoretische Mechanik. Yon Dr. R. Marcolongo, Professor an der Universität Neapel. Autorisierte deutsche Bearbeitung von H. E. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. In 2 Bänden, gr. 8. Geh. je Jt 10.—, in Leinwand geb. je Jt 11.—

I. Band: Kinematik und Statik. Mit 110 Figuren. [VIII u. 346 S.] 1911.

II. Band: Dynamik und Mechanik der deformierbaren Körper. MitSSFig. [VIIu. 344 S.] 1912.

(Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.)

„...Dem Werke kommt sehr zustatten, daß der Verfasser von vornherein darauf verzichtet hat, den Stoff erschöpfend zu behandeln. Er bringt nur eine Auswahl der interessantesten Gebiete. Als besonderer Vorzug muß weiter hervorgehoben werden, das jedem Kapitel eine reichliche Anzahl von Ühnngsbeispielen mit Auflösungen heigefügt ist, an Hand derer sich der Leser vergewissern kann, ob er den Inhalt des Kapitals wirklich ganz erfaßt hat. Das Buch wird sich sicher in den Kreisen der Ingenieure viel Freunde erwerben. Es ist so abgefaßt, daß auch der Ingenieur, soweit er für die Theorie Interesse hat, vieles Nützliche darin findet. Die theoretische Mechanik vom Marcolongo-Timerding kann deshalb bestens empfohlen werden.“

Angewandte Mechanik. Yon John Perry, F. R. S. Ein Lehrbuch für

Studierende, die Versuche anstellen u. numerische u. graphische Beispiele durcharlfeiten wollen. Berechtigte deutsche Übersetzung von Ing. Rudolf Schick in Köln. Mit37lFig. [VIII u. 666 S.] gr. 8. In Leinw. geb. n. Jt 18.—

Prof. John Perrys „Angewandte Mechanik“ gehört in den Ländern des englischen Sprachgebietes zu den bekanntesten Lehrbüchern. Obwohl zunächst für den Gebrauch von Studierenden bestimmt, wird dieses Lehrbuch gewiß auch den in der Praxis tätigen Ingenieuren gute Dienste leisten, weil es einen ungewöhnlich reichhaltigen Stoff in einer Weise behandelt, die den praktischen Bedürfnissen weit entgegen kommt, ohne den wissenschaftlichen Charakter der Darstellung leiden zu lassen.

au

„Zusammenfassend kann man sagen, daß das Buch den Leser auf vortreffliche, wenn ch eigenartige Weise mit den Gesetzen der Mechanik bekannt macht, sofern sie einer Anwendung fähig sind, daß cs ihm ausreichende Unterlagen — sowohl theoretische als Erfahrungswerte — liefert, um allgemein mechanische Berechnungen und Entwürfe mit derjenigen Sicherheit und Zuverlässigkeit auszuführen, die einem guten Konstrukteur eigen sein soll. Jeder Studierende dürfte eine Fülle von Anregungen aus dem Werke schöpfen.“    (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.)

Deutsche

Lehrbuch der Hydrodynamik, von Horace Lamb.

autorisierte Ausgabe (nach der 3. englischen Auflage) besorgt von Dr. Johannes Friedei. Mit 79 Figuren. [XIV u. 788 S.] gr. 8.    1907.

In Leinwand geb. Jt 20.—

„Die Hydrodynamik Lambs ist charakterisiert durch Klarheit und Eleganz; sie vereinigt in hervorragender Weise mathematische Präzision und physikalische Denkrichtung, so daß sie als Muster einer theoretisch-physikalischen Darstellung bezeichnet werden kann. So hervorragend die Leistungen deutscher Forscher auf dem Gebiete der Hydrodynamik sind, so besitzt doch die deutsche Literatur kein zusammenfassendes Buch, welches dem Lambschen an die Seite gestellt werden könnte. Durch diesen Umstand ist die deutsche Ausgabe begründet und man muß dem Übersetzer Datik wissen, daß er sich dieser Aufgabe unterzogen hat.“ (Vierteljahrschrift des Wiener Vereins zur Förderung des physikalischen u. chemischen Unterrichts.)

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Aerodynamik. Ein Gesamtwerk über das Fliegen von F. W. Lanchester in Birmingham (England). Aus dem Englischen übersetzt von C. und A. Runge in Göttingen. 2 Bände, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Band: Mit Anhängen über die Geschwindigkeit und den Impuls von Schallwellen, über die Theorie des Segelliuges usw. Mit 162 Fig. und 1 Tafel. [XIV u. 360 S.] 1909. M 12.— II. Band: Aerodynamik. Mit Anhängen über die Theorie u. Anwendung des Gyroskops, über den Flug der Geschosse usw. Mit 208 Fig. u. einem Titelbild. [XIV u. 327 S.] 1911. M 12.—

„Als im Jahre 1908 das vorliegende Werk in englischer Sprache erschien, erregte es auch in Deutschland bei allen, die sich mit Aerodynamik befassen, lebhaftes Interesse. Gar manchen haben aber die vielen in der englischen Sprache selten vorkommenden Ausdrücke, die Lanchester bei seinen Erklärungen nötig hatte, davon abgeschreckt, sich eingehender mit dom Buch zu beschäftigen. Überdies ist die Ausdrucksweise Lanchesters mit den langen Perioden oft wenig übersichtlich. Doppelt erfreulich ist es deshalb, daß ein Mann wie Bunge die Übersetzung übernommen hat. Das Ansehen Kunges bürgt dafür, daß der Inhalt des Lanchesterschen Werkes richtig wiedergegeben ist. Außerdem hat Bunge öfters den Stil durch Kürzen der Sätze übersichtlich gestaltet und durch kleine Änderungen im Text das Verständnis erläutert... . Das Werk enthält viele neue und brauchbare Ideen, die in keinem anderen Buche zu finden sind. Lanchesters ,Aerodynamik¹ kann deshalb jedem wärmstens empfohlen werden, der für dieses Gebiet Interesse hat.“    (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.)

Vorlesungen über Molekulardynamik und die Theorie

des Lichts. Von Lord Kelvin. Deutscli herausgegeben von B. Weinstein. Mit 132 Figuren. [XVIfl u. 590 S.] gr. 8. 1909. In Leinwand geb. Jft 18.—

Fast zwanzig Jahre hindurch hat der große englische Physiker an diesem Werke gearbeitet, so daß die Vorlesungen über Molekulardynamik und die Theorie des Lichtes, die berühmten Baltimore Lectures, zugleich ein klares Bild der Entwicklung der Physik in den beiden letzten Jahrzehnten bieten.

uns

das kostbare Werk so allen deutschen Gelehrten leicht zu-

(Literarisches Zentralblatt.)

„Bewundernswert ist vor allem, wie er auch bei den schwierigsten Problemen, die dieses grundlegende Kapitel der Physik bietet, mit großer Klarheit die Vorgänge darzustellen vermag, bewundernswert auch die Leichtigkeit, mit der er die schwere mathematische Büstung zu handhaben versteht. . . . Aber auch dem Übersetzer gebührt Dank für sein mühevolles Unternehmen. Das ist keine gewöhnliche Übersetzerarbeit, sondern ein liebevolles Eingehen auf die Gedanken des Verfassers, und so ist es gelungen, trotz der Kürze des Ausdrucks ein verständliches Gegenbild des Originals zu liefern. Es war ein lohnendes Beginnen, gänglich gemacht zu haben.“

The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic and

Fluid Bodies, beingLectures onMathematical Physics. By A. G. Webster. 2. Auflage. [XII u. 588 S.] gr. 8.    1912 In Leinwand geb. M 14.—

Der Zweck des vorliegenden Buches ist, in möglicht gedrängter Form eine solche Darstellung der Mechanik der starren, flüssigen und festen Körper zu geben, wie sie jedem Studierenden der Mathematik und Physik geläufig sein sollte. Dabei ist das Hauptinteresse darauf gerichtet, alles das zu geben, was für das Verständnis der physikalischen Erscheinungen wesentlich ist, während rein mechanische Darlegungen vermieden sind: das Energieprinzip, das Prinzip der kleinsten Wirkung, die Lagrangeschen Gleichungen nehmen im ersten Teil eine zentrale Stellung ein, weil sie die Mittel liefern, um tatsächliche Probleme erfolgreich anzugreifen. Ebenso sind die kleinen Schwingungen, die Eigenschaften der cyklischen und verborgenen Bewegung ausführlich behandelt, weil sie in der modernen Physik eine immer steigende Bedeutung gewinnen. Als instruktives Beispiel zur Mechanik des starren Körpers ist die Theorie des Kreises eingehend erörtert. Die Mechanik der Continua wird eingeleitet durch eine Potentialtheorie, in der das für die Physiker für diese Theorie Wesentliche mitgeteilt wird. Die folgenden Kapitel bringen die einfacheren Probleme der Elastizitätslehre einschließlich des St. Venantschen Problems Die Hydrodynamik behandelt die Fragen der Wellen- und Wirbelbewegung. Es dürfte kaum ein Lehrbuch geben, das auf einem so engen Kaum eine solche Menge Stoff in leichtverständlicher Darstellung behandelt.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Sammlung

mathematisch-physikalischer Schriften

Herausgegeben von E. Jahnke

Die Sammlung setzt sich zum Ziel, kurze Darstellungen zu bieten, welche für ein engbegrenztes Gebiet die mathematischen Methoden einfach und leichtfaßlich ableilen und deren Verwendbarkeit in den einzelnen Teilen von Physik und Technik aufdecken. Dabei ist Vollständigkeit der Beweisführung nicht erstrebt, vielmehr wird besonderer Wert darauf gelegt, Dinge, die für die Anwendungen Wichtigkeit sind, nicht zugunsten wissenschaftlicher Strenge zurücktreten zu lassen. Die Darstellung der einzelnen Gebiete ist so gehalten, daß jede ein abgeschlossenes Ganzes für sich bildet.

Bisher erschienene Bände:

I. Einführung in die Theorie des Magnetismus. Von Dr. R. Gans, Professor an der Univeisität La Plata. Mit 40 Fig. (VI u. 110S.] 1908. Steif geh. M. 2.40, in Leinw. geb. M. 2.80.

II.    Elektromagnetische Ausgleichsvorgä nge in Freileitungen und Kabeln. Von K. W. Wagner, Kaiserl. Telegr.-Ingenieur in Charlottenburg. Mit 23 Figuren. [IV u. 109 S.[ 1908. Steif geh. M. 2.40, in Leinwand geb. M. 2.80.

III.    Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetismus. Von Dr. Cl. Schaefer, a. o. Professor an der Universität Breslau. Mit Bildnis J. C. Maxwells und 32 Figuren. [VIII u. 174 S.[ 1908. Steif geh. M. 3.40, in Leinwand geb. M. 3.80.

IV.    Die Theorie der Besselschen Funktionen. Von Dr. P. Schafheitlin, Professor am Sophien-Realgymnasium zu Berlin. Mit 1 Figurentafel. [V u. 129 S.[ 1908. Steif geh. M. 2.80, in Leinwand geb. M. 3.20.

V. F unk ti onen taf e ln mit Formeln und Kurven. Von Dr. E. Jahnke, Professor an der Kgl. Bergakademie zu Berlin, und F. Emde, Prof. a. d. Bergakademie in Klausthal i. H. Mit 53 Figuren. [XII u. 176 S.[ gr. 8. 1909. In Leinwand geb. M. 6.—

VI.    1 u. 2. Die Vektoranaly sis und ihre Anwendung in der theoretischen Physik. Von Dr. W. v. Ignatowsky, Privatdoz. a. d. Univ. Berlin. In 2 Teilen.

II.

I. Teil. Die Vektoranalysis. Mit 27 Figuren. [VIII u. 112 S.[ 1909. Steif geh. M. 2.60, in Leinwand geb. M. 3.—

Anwendung der Vektoranalysis in der theoretischen Physik. Mit 14 Figuren. [IV u. 123 S.[ 1910. Steif geh. M. 2.60, in Leinwand geb. M. 3.—

VII.    Theorie der Kräftepläne. Von Dr. H. E. Timerding, Professor an der Technischen

Hochschule zu Braunschweig. Mit 46 Figuren. [VI u. 99 S.[    1910. Steif geh. M. 2.60,

in Leinwand geb. M. 3.—

VIII. Mathematische Theorie der astronomischen Finsternisse. Von Dr. P.Sch wahn, Direktor der Gesellschaft und Sternwarte „Urania“ in Berlin. Mit 20 Fig. [VI u. 128 S.[ 8. 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60.

IX.    Die Determinanten. Von Geh. Hofrat Dr. E. Netto, Professor an der Universität Gießen. [VI u. 130 S.) 8. 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60.

X.    1. Einführung in die kinetische Theorieder Gase. Von Dr. A. By k, Professor an der Universität und der Technischen Hochschule zu Berlin. 2 Teile.

I. Teil: Die idealen Gase. Mit 14 Figuren. [V u. 102 S.[ 1910. Steif geh. M. 2.80, in Leinwand geb. M. 3.20. — II. Teil in Vorbereitung.

XL 1. Grundzüge der m at h,em a ti s c h - p h y si kali sch e n A ku stik. Von Dr. A. Kalähne, Professor an der Technischen Hochschule zu Danzig. 2 Teile. I. Teil : [VII u. 144 S.) 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60. — II. Teil: Mit 57 Figuren im Text. [X u. 225 S.| 1913. Steif geh. M. 5.40, in Leinwand geb. M. 6.—

elliptischen Funktionen. Von Dr. Martin Krause unter Mitwirkung

„..... Naetsch, Professoren an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit

25 Figuren. [VII u. 186 S.[ 1912. Steif geh. M. 3.60, in Leinwand geb. M. 4.—

XIV.    Konforme Abbildung. Von weil. Oberlehrer Leo Lewent. Herausg. von Prof. Eugen Jahnke. Mit einem Beitrag von Dr. Wilh. Blasch ke, Privatdozent an der Universität Greifswald. Mit 40 Abbildungen. [VI u. 118 S.J 1912. Steif geh. M. 2.80, in Leinw. geb. M. 3.20.

XV.    Die mathematischen Instrumente. Von Professor Dr. A. Galle in Potsdam. Mit 86 Abbildungen. [VI u. 187 S.[ 1912. Steif geh. M. 4.40, in Leinw. geb. M. 4.80.

XVI.    Dispersion und Absorption des Lichtes in ruhenden isotropen Körpern. Theorie und ihre Folgerungen. Von Dr. D. A. G old hammer, Professor an der Universität Kasan. Mit 28 Figuren. [VI u. 144 S.J gr. 8. 1912. Steif geh. M. 3.60, in Leinw. geb. M. 4.—

XVII. Elemente der technischen Hydromechanik. Von Dr. R. v. Mises, Professor an der Universität Straßburg i. E. 2 Teile. I. Teil: Mit 72 Figuren. [VIII u. 212 S.J 8.    1914.

Steif geh. M. 5.40, in Leinwand geb. M. 6.—. II. Teil in Vorbereitung.

Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

XU. Die Theorie der Wechselströme Von Professor Dr. E. Orlich, Mitglied der physikalisch-technischen Reichsanstalt zu Charlottenburg. Mit 37 Figuren. [IV u. 94 S.[ 1912. Steif geh. M. 2.40, in Leinwand geb. M. 2.80.

XIII. Theorie der ...... "

von Dr. Emil Naetsch

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