DER UNTERRICHT AN BAUGEWERKSCHULEN

BAND 47

A SCHAU

II. FESTIGKEITSLEHRE

VERLAd'Rö.TEUBNER'LEIPZKLUND BERLIN

WSrS-

Der Unterricht an Baugewerkschulen

Rechnen

Die Grundlagen des gewerblichen Rechnens. Von Baugewerkschullehrer Fr. Mensing.

3. Auflage. (Bd. 19.) M.4.60. Antwortenheft nur für Lehrer M.2.80.

Die bürgerlichen Rechnungsarten und deren Anwendung auf baugewerbliche Aufgaben (technisches, geschäftliches und volkswirtschaftliches Rechnen). Von Baugewerkschullehrer Fr. Men sing. 2. Auflage. (Bd. 29.) M. 3.40. Antwortenheft für Lehrer M. 1.60. Technisches, geschäftliches und volkswirtschaftliches Rechnen. (Kalkulationen.) Von Bau-gewerkscbullehrer Fr. Mensing. Mit 5 Tafeln. (Bd. 30.) M. 4.—. Antwortenheft M. 1.50.

Geschäftskunde

Bautechn. Aufsätze. V on Baugewerkschull. P. N i e h u s u.K.B o d e. 2. A. M it 39 Fig. (Bd.3.) M.2.40. Schriftverkehr und Geschäftskunde für Baugewerken. Mit 1 Anhang zur deutschen Sprachlehre. Von Oberlehrer E. Petzold. (Bd. 4.) M. 4.80.

Einfache Buchführung und Wechsellehre. Von Baugewerkschullehrern P. Niehus und Fr. Mensing. 2. Auflage. (Bd. 5.) M. 2.80.

Doppelte Buchführung. Von Baugewerkschullehrer P. Niehus. (Bd. 6.) M. 3.60.

Das Veranschlagen von Hochbauten. Von Architekt Oberlehrer O. Blume. 4. Auflage. Mit 5 Tafeln und 8 Abbildungen im Text. (Bd. 26.) M. 3.60.

Das Veranschlagen von Tiefbauten. Von Architekt Oberlehrer G. Blume und Oberlehrer Dr. V. Hortig. Mit 13 Tafeln und 7 Figuren. (Bd. 52.) M. 4.—

Mathematik

Leitfaden d.bautechnischen Algebra. V.Prof.M. Gi rndt. 4.Aufl. M.29Fig. u.2 Tal, (Bd.25.)M. 1.50. Sammlung bautechnisch-algebraischer Aufgaben nebst kurzem Abrisse der Theorie. Von Professor M. Girndt. 2. Auflage. (Bd. 28.) M. 3.60.

Raumlehre für Baugewerkschulen und verwandte bautechnische Lehranstalten. In 2 Teilen. Von Professor M. Girndt (Bd. 20/21.) Teil 1: Lehre von den ebenen Figuren. 5. Auflage. Mit 253 Fig. i. Text u. 209 Aufgaben. M. 3.60. Teil II: Dreiecksberechnung und Körperlehre. 5. neubearb. Aufl. Mit 105 Fig. im Text u. zahlr. Aufgaben a. d. Baupraxis. M.2.80. Feldmessen und Nivellieren. Von Dir.Prof.G.Volquardts. 4.verb.Aufl. Mit56 Abb.im Text. (Bd. 13.) M. 1.60.

Das Feldmessen des Tiefbautechnikers. Von Dipl.-Ing. Prof. H. Friedrichs. In 2 Teilen. (Bd. 14 u. 22.) Teil I: Horizontalmessungen. 3. Aufl. bearbeitet von Prof. G. Reinecke. Mit 209 Textabbildungen und 2 Tafeln. M. 9.60. Teil II: Flächen- u. Höhenaufnahmen. 2. Aufl. bearbeitet von Prof. G. Reinecke. Mit 92 Textabbildungen und 3 Tafeln. M. 5.—

Physik und Chemie

Bautechnische Physik. Von Prof.P.Himmel. 3. Aufl. v.Prof.K.Strohmeyer. Mit344Fig. (Bd. 23.) M. 6.80.

Leitfaden d. bautechnischen Chemie. Von Prof.M.Girndt 3.Aufl. Mit31Fig. (Bd.2.) M.2.40.

Mechanik

Statik. Von Gewerbeschulrat Reg.-Baumeister Direktor A. Sch au. ln3Teilen. (Bd.46—48.) Teil 1: Grundgesetze, Anwendungen der statischen Gesetze auf Trägerordnungen, einfache Stabkonstruktionen und ebene Fachwerkträger. 3. Aufl. Mit 185 Abb. M. 7.20. Teil II: Festigkeitslehre. Zug- und Druckfestigkeit, Schubfestigkeit, Biegungsfestigkeit und Knickfestigkeit. 3. Aufl. Mit Abbild, im Text Teil lila: Für die Hochbauabteilungen. Mit 238 Abb. i.T. M. 6.80. IVa: Die Statik der Eisenbetonbauten. Mit 113 Abb. i. Text. M. 8.80. lllb u. IVb: Für die Tiefbauabteilungen. [In Vorbereitung 1921.1

Tabellen und Tafeln

Logarithmen- und Kurventabellen für den Gebrauch an Tiefbauschulen. Von Professor M. Girndt und Oberlehrer Liebmann. Mit 4 Figuren. (Bd. 45.) M.2.40. Mathematische und technische Tafeln. Von Prof. M. Girndt, Oberl. A. Liebmann und Oberl. Dr. Nitzsche. 2., neu bearbeitete Aufl. Mit 90 Abbildungen. (Bd. 27.) M. 4.— Kontinuierliche Träger auf drei oder vier Stützen. Einfachere Hilfsmittel für deren genaue Berechnung bei beliebigen Stützweiten und beliebiger Belastung. Für Schule und Praxis bearbeitet von Oberlehrer Dr.-Insr. H. Nitzsche. Mit 19 Figuren. (Bd. 27a.) M. 1.60.

Auf sämtliche Preise Tc

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

' ’ -’ing Vorbehalten

£ und Berlin

Verlag von B. G.

STATIK

LEITFADEN

FÜR DEN UNTERRICHT AN BAUGEWERKSCHULEN UND VERWANDTEN TECHNISCHEN LEHRANSTALTEN

35\

VON

SCHAU

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QEWERBESCHULRAT UND REGIERUNGSBAUMEISTER DIREKTOR DER STAATL. BAUGEWERKSCHULE ESSEN

II. TEIL

FESTIGKEITSLEHRE • ZUG- UND DRUCKFESTIGKEIT, SCHUBFESTIGKEIT, BIEGUNGSFESTIGKEIT UND KNICKFESTIGKEIT

DRITTE AUFLAGE

MIT 209 ABBILDUNGEN IM TEXT

VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER • LEIPZIG • BERLIN 1921

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ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES OBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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Vorwort zur ersten Auflage.

Der vorliegende zweite Teil des Leitfadens der Statik enthält denjenigen Lehrstoff, welcher nach dem Normallehrplan für die preußischen Baugewerkschulen in Kl. III zu besprechen sein dürfte. In der Regel wird der Durchnahme des eigentlichen Stoffgebiets eine mehrwöchentliche eingehende Wiederholung des Stoffes der Kl. IV vorangehen müssen, wobei die im Leitfaden Teil I angegebenen grundlegenden Gesetze, insbesondere aber der Träger auf zwei Endstützen eine durchgreifende Besprechung nötig machen wird, da einesteils dieses Gebiet für den Leitfaden außerordentlich wichtig ist, andererseits aber die Grundgesetze hierbei eine besonders lehrreiche Anwendung finden können. Die Wiederholungen werden so erleichtert und können für den Schüler interessanter gestaltet werden. Erfahrungsgemäß lassen sich die Forderungen des Normallehrplans in dem Fache Statik, Kl. III hinsichtlich der Bewältigung des Stoffes ohne Schwierigkeit erfüllen, und es findet sich genügend Zeit, um eine große Anzahl angewandter Aufgaben mit den Schülern lösen zu können.

Es ist vom Verfasser versucht worden, den Aufbau des Leitfadens so zu gestalten, daß es dem Schüler leicht möglich ist, zu Hause die gleichen Schlüsse machen zu können, wie sie ihm im Unterricht von dem betreffenden Fachlehrer gezogen wurden. Durch möglichst klare Ausdrucksweise im Text sollte dabei eine leichtere Herbeiführung des erforderlichen Verständnisses erzielt werden.

Die entwickelten Gesetze der Festigkeitslehre wurden durch eine große Zahl praktischer Aufgaben in ihrer Anwendung gezeigt; eine Reihe von Aufgaben wurden beigefügt, die der Schüler unter Leitung des Lehrers möglichst selbständig lösen kann. Außerdem wird empfohlen, ähnliche Aufgaben, wie sie im Leitfaden durchgerechnet wurden, mit etwas abgeänderten Zahlenwerten zu stellen. Das Verständnis des Schülers wird dadurch, daß er die so gewonnenen neuen Endergebnisse mit denen der Aufgaben des Leitfadens vergleicht, erheblich gefördert werden; er wird so mit der Zeit ein gewisses statisches Gefühl für die Beurteilung der verschiedenen Einflüsse für die Bestimmung der Abmessungen erhalten.

Dem betreffenden Fachlehrer muß es überlassen bleiben, durch weitere Aufgaben die Selbständigkeit der Schüler zu fördern, wobei jedoch zweckmäßig stets darauf Bedacht zu nehmen ist, daß die sämtlichen Belastungsgrundlagen vom Schüler zu entwickeln sind. Im übrigen sei auf das Vorwort zum Teil I dieses Leitfadens verwiesen.

In einem Anhänge sind noch Aufgaben gelöst, die in der Regel außerhalb des Rahmens des eigentlichen Baugewerkschulunterrichts fallen dürften. Sie wurden jedoch der Vollständigkeit halber mitgeteilt, besonders auch um älteren Bautechnikern Gelegenheit zur Beurteilung dieses daselbst behandelten Gebietes zu geben.

Fernerhin sind noch Tabellen über Belastungen und Festigkeitswerte aufgestellt, welche im Unterricht nutzbringend Verwendung finden sollen.

Essen, im Mai 1912.

Schau.

Vorwort zur dritten Auflage.

Die gute Aufnahme und günstige Beurteilung, die dem Leitfaden seit seinem Erscheinen zuteil geworden sind, dürften ein Beweis dafür sein, daß der richtige Weg hinsichtlich Aufbau, Auswahl des Stoffes und Umfang des Leitfadens beschritten wurde. Aus diesem Grunde konnte von größeren Änderungen bei der Neuauflage abgesehen werden; kleinere Ergänzungen sind dagegen dort vorgenommen worden, wo es zur Klarheit und Anschaulichkeit der Darstellung angebracht schien. Die neuesten Bestimmungen über die bei Hochbauten anzunehmenden Belastungen und über die zulässigen Beanspruchungen der Baustoffe (Erlaß des Ministers für Volkswohlfahrt vom 24. Dezember 1919) wurden an den in Frage kommenden Abschnitten zugrunde gelegt. Den von seiten der Herren Fachgenossen gegebenen wertvollen Anregungen ist durchweg Rechnung getragen worden, wie auch fernerhin Verbesserungsvorschläge erbeten und dankbar begrüßt werden.

Essen, im April 1921.

Schau.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Seite

1. Einleitung

A.    Allgemeines..........

B.    Die Festigkeitsarten......

1.    Zugfestigkeit........

2.    Druckfestigkeit.......

3.    Schub- oder Scherfestigkeit .

4.    Biegungsfestigkeit......

5.    Knickfestigkeit.......

6.    Drehungsfestigkeit. . . . .

7.    Zusammengesetzte Festigkeit.

IV. Berechnung von größeren Bauteilen.....

40

V. Biegungsfestigkeit ...    51

II. Zug- und Druckfestigkeit .

A.    Allgemeines..........

B.    Zugfestigkeit........

1.    Rechnungsgang.......

2.    Anwendungen........

C.    Druckfestigkeit.......

1.    Rechnungsgang .......

2.    Anwendungen........

3.    Auflagerung von Bauteilen . .

a)    Allgemeines .......

b)    Anwendungen......

III. Schub- und Scherfestigkeit .

A.    Allgemeines.........

B.    Anwendungen.........

C.    Die Berechnung der Niet- und Schraubenverbindungen . . . .

1.    Allgemeines........

2.    Die einschnittigen Nietverbindungen........ . . .

3.    Die zweischnittigen Nietverbindungen...........

4.    Berechnung des Nietabstandes a vom senkrecht zur Kraftrichtung liegenden Blechrande CB

5.    Sonstige Angaben über Vernietungen ..........

6.    Verschraubungen......

7.    Anwendungen........

UaBsch47: S c h a u, Statik II. 3. Aufl. v

10

10

11

14

14

16

21

21

22

A.    Allgemeines

B.    BestimmungderTrägheitsmomente 59

1.    Trägheitsmoment für rechtek-

kigen Querschnitt......

2.    Bestimmung des Trägheitsmomentes einer Fläche in bezug auf eine zur Schwerachse gleichlaufende Achse .

3.    Hauptträgheitsmomente ...    63

4.    Tabelle der Trägheits-u. Widerstandsmomente der gebräuchlichsten Querschnittsformen 65

5.    Anwendungen........

C.    Berechnung der auf Biegung beanspruchten Bauteile.

1.    Allgemeines . . .

2.    Anwendungen. . . a) Träger auf zwei Endstützen

mit Einzellasten......

51

59

. .. 62

66

74

74

. .    76

76

24

24

25

29

29

30

32

33

34

35

35

b)    Träger auf zwei Endstützen

mit gleichmäßig verteilter Last...........

c)    Berechnung von Kappenträgern ...........

d)    Wellblechberechnung ...    92

e)    Frei-,Konsol-oderKragträger 93

1. Der eingemauerte Freiträger .    .......

A.    Auf den Träger wirke

eine Einzellast am freien Trägerende .....

B.    Auf den Träger wirken

mehrere Einzellasten .    94

C.    Auf den Träger wirkt eine gleichmäßig verteilte Last

D.    Auf den Freiträger wirken eine Einzellast und

a**

87

91

93

93

. 94

94

95

101

111

112

115

119

128

130

130

. . 133

133

137

141

141

147

148

148

149

151

Seile

eine gleichmäßig verteilte Last......

II.    Der eingespannte Träger mit zwei Auflagerpunkten 94

III.    Anwendungen ...

f)    Träger auf zwei Endstützen mit Streckenbelastungen . .

g)    Vermischte Aufgaben . . .

h)    Bolzenberechnungen ....

VI. Knickfestigkeit ... 115

A.    Allgemeines..........

B.    Anwendungen.........

C.    Gleiche Sicherheit gegen Druck

und Knicken.........

VII. Anhang .

A.    BestimmungderTrägheitsmomente auf zeichnerischem Wege . . .

B.    Berechnung auf Knicken beanspruchter Stäbe nach dem Tet-majerschen Verfahren

Seite

1.    Allgemeines

2.    Anwendungen

C. Belastungsangaben und Festigkeitswerte ..........

1.    Eigengewichte der gebräuch

lichen Baustoffe und Baukörper sowie einiger Füll- und Lagerstoffe ...........

2.    Eigengewichte von Bauteilen 143

3.    Belastungen

a)    Nutzlasten........

b)    Schneelast........

c)    Winddruck........

4.    Mittelwerte der Festigkeitszahlen der Baustoffe.....

5.    Druckfestigkeit der gebräuchlichsten natürlichen Bausteine 150

6.    Zulässige Beanspruchung der Baustoffe

I. Einleitung.

A. Allgemeines.

Bei jedem Bauwerke hat man zwischen den äußeren und inneren Kräften zu unterscheiden (Ausführlicheres Statik I. 3. Aufl. S. 1 u. 2).

Die äußeren Kräfte sind entweder Belastungen oder rühren von anderen äußeren Einwirkungen wie Erddruck, Wind, Schneelast, Wasserdruck her. Die in den Unterstützungspunkten des Baukörpers entstehenden Auflagerwiderstände sind hierbei mit zu den äußeren Kräften zu zählen. Die äußeren Kräfte müssen sich bei einem Bauwerke nach den im Teil I erfolgten Herleitungen für sich im Gleichgewicht befinden.

Die inneren Kräfte werden durch die äußeren Kräfte infolge der Zusammenhangskraft der einzelnen Massenteilchen hervorgerufen.

Bei jedem sich im Gleichgewicht befindlichen Baukörper müssen sich die äußeren Kräfte mit den inneren Kräften ebenfalls im Gleichgewicht befinden.

Um das erforderliche Maß des inneren Widerstandes zur Herbeiführung des Gleichgewichtszustandes leisten zu können, muß ein aus einem gewählten Baustoffe bestehender Körper bestimmte Abmessungen und meist auch eine entsprechende zweckmäßige Form besitzen.

Es ist-nun Aufgabe der Festigkeitslehre, die Größe und die Art der Kraftwirkungen auf die Körper zu untersuchen, durch die Gleichgewichtsbedingungen die gegenseitigen Beziehungen zwischen den äußeren und inneren Kräften festzulegen und dadurch die richtige und zweckentsprechende Bestimmung der Abmessungen «nd vielfach auch der Form der Baukörper herbeizuführen.

Hierbei ist zu beachten, daß eine Zerstörung der betreffenden Baukörper nicht eintreten darf und auch eine Formänderung über ein gewisses Maß hinaus verhindert werden muß.

Die an einem Körper angreifenden äußeren Kräfte bewirken eine Verschiebung der einzelnen Massenteilchen. Es entsteht eine Formänderung, welche je nach Art und Lage der Kräfte und je nach dem Baustoffe verschieden ausfallen wird. Sofern die Wirkung der äußeren Kräfte aufhört, zeigt jeder Körper in mehr oder minder hohem Maße das Bestreben, seine ursprüngliche Gestalt wieder anzunehmen. Diese Eigenschaft heißt Elastizität (vgl. Naturlehre); sie ist den einzelnenBaustoffen in sehr verschiedenem Maße eigen.

Ein vollkommenes Zurückkehren der Teilchen in die ursprüngliche Lage findet jedoch nicht statt, ebenso wie auch ein vollständiges Verbleiben in der neuen Lage nicht eintritt. Es gibt daher weder vollkommen elastische noch vollkommen unelastische Körper.

Nach Aufhören der Kraftwirkung verschwindet stets nur ein Teil der ein-

UaBsch47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

getretenen Formänderung (die elastische Formänderung), ein anderer, sehr kleiner Teil (die bleibende Formänderung) bleibt weiter bestehen.

Es ist bei der Wahl der Abmessungen dafür zu sorgen, daß die bleibenden Formänderungen stets so gering ausfallen, daß sie praktisch vernachlässigbar sind. Wachsen die äußeren Kräfte mehr und mehr an und erreichen sie ein solches Maß, daß bei ihrer weiteren Verstärkung eine merkbare bleibende Formänderung eintreten würde, so sagt man, der Körper ist bis zur Elastizitätsgrenze beansprucht.

Wird die Beanspruchung des Körpers über die Elastizitätsgrenze hinaus gesteigert, so nimmt die Formänderung des Körpers rasch zu und schließlich wird der Zusammenhang der einzelnen Körperteilchen vollständig gelöst, der Körper wird zerstört.

Die auf die Flächeneinheit bezogene innere Kraft (Spannung, Teil I

S. 2), welche im Körper bei der Zerstörung auftritt, heißt die Festigkeit. (Bruchfestigkeit, Bruchmodul.) Je nach der Art der Einwirkung der Kräfte und der daraus entstehenden Verschiebung der Körperteilchen gegeneinander unterscheidet man verschiedene Arten der Festigkeit (s. u.).

Zur Herbeiführung möglichst klarer Begriffe sollen im folgenden immer stabförmige Körper vorausgesetzt werden, also solche, bei denen die Längenabmessung die Querschnittsabmessungen übertrifft. Die Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querschnitte bezeichnet man als Achse des Stabes; der Querschnitt ist diejenige Fläche des Stabes, welche man durch einen senkrecht zur Stabachse geführten Schnitt erhält. Im folgenden kommt in der Regel nur die Längsachse des Stabes hierbei in Betracht, seltener die Querachse.

B. Die Festigkeitsarten.

t. Zugfestigkeit.

Abb. 1.

Die äußeren Kräfte wirken in der Stabachse, also senkrecht zum [_^_ Querschnitt, und versuchen p zwei benachbarte Querschnitte -voneinander zu entfernen,

demnach den Stab zu verlän-    m    Abb. 2.

gern (Abb. 1 u. 2). Die Zerstörung des Stabes erfolgt durch Zerreißen.

2. Druckfestigkeit.

Die äußeren Kräfte wirken in der Stabachse wie bei B. 1. und versuchen zwei benachbarte Querschnitte einander zu nähern, den Stab also zu verkürzen (Abb. 3 u. 4). Hierbei ist zu beachten, daß die Stablänge im Vergleich zu der kleinsten Querschnittsabmessung gering bleiben muß; ein bestimmtes Verhältnis zwischen beiden darf nicht überschritten werden, damit ein Ausbiegen des Stabes nicht stattfindet (Knicken, s. auch unter B. 5 und unter VI S. 115). Die Zerstörung des Stabes erfolgt durch Zerdrücken (Zerquetschen, Zermalmen).

3.Schub-oderScherfestigkeit.

Die Einwirkung der äußeren Kräfte ist eine derartige, daß

P f    3E

—n--------üir-

Abb. 3.

Abb. 4.

il

y=Ri

Abb. 5 b.

V=/?r

Abb. 6b.

Abb. 6 a.

kV’R‘

,J3

Abb. 5 a.

“*r

zwei benachbarte Querschnitte in ihren Ebenen gegeneinander im entgegengesetzten Sinne verschoben werden (Abb. 5a/b und 6a/b; vgl. auch Teil I, S. 69, Abb. 131 und 132, sowie Abb. 133 und 134, S. 74. Die Zerstörung erfolgt durch Abscheren.

4. Biegungsfestigkeit.

Die äußeren Kräfte wirken senkrecht zur Stabachse; es entsteht eine Durch-

Abb. 7 a.

fr

ZA

Abb. 8 a.

\i'

Dinck

, •' Druck

v//7/.

Zug

ZA

Abb. 8b.

Abb. 7 b.

biegung des Stabes. Die Querschnitte nähern sich auf der einen Seite des Stabes (hohle oder konkave Seite) und entfernen sich auf der entgegengesetzten (erhabene oder konvexe Seite). Es entstehen daher gleichzeitig Druck- und Zugspannungen (Abb. 7a/b und 8a/b). Die Zerstörung erfolgt durch Zerbrechen.

,P

5. Knickfestigkeit.

Die äußeren Kräfte wirken in der Längsachse des Stabes wie bei B. 2., jedoch ist hierbei die Länge des Stabes im Vergleich zur kleinsten Querschnittsabmessung eine erhebliche. Es findet gleichzeitig eine Zusam-? mendrückung und eine Biegung statt (Abb. 9a/b).    ' jp

Die Zerstörung erfolgt durch Zerknicken. Die durch die äußere Kraft entstehenden Druckspannungen verteilen sich

$////////.

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9. b

bei zu beachten, daß kleine Herstellungsfehler im Baustoff vorhanden sein können, daß durch Verwitterung, Rosten, Abnutzung, unvorhergesehene Stöße usf. die Festigkeit vermindert werden kann. Deshalb wird nur ein bestimmter Teil der Bruchfestigkeit als Beanspruchung zugelassen, wobei stets auch die Belastungsart des Bauteils berücksichtigt werden muß.

Diejenige Spannung, welche der Stab mit Sicherheit aushalten kann, heißt die zulässige Spannung (auch zulässig größte Spannung) oder zulässige Beanspruchung.

Bezeichnungen: Kz = Bruchfestigkeit auf Zug,

Kd = Bruchfestigkeit auf Druck, kz = zulässige Spannung auf Zug, kd — zulässige Spannung auf Druck.

Die Größe der zulässigen Beanspruchung kann verschieden gewählt werden, je nach Verwendung des Bauteils, der vorkommenden Belastungen, der voraussichtlichen Dauer des Bauwerks. Bei ruhender Belastung, welche meist für Hochbauten in Frage kommt, und bei einstweiligen (provisorischen) Bauwerken darf die Spannung hoch genommen werden; bei Bauteilen, die starke Erschütterungen auszuhalten haben, und bei endgültigen Anordnungen muß die zulässige Beanspruchung niedriger gewählt werden.

In der Regel werden die zulässigen Spannungen auf Grund von Versuchen und der Erfahrung, durch behördliche Bestimmungen und baupolizeiliche Vorschriften festgelegt. Zusammenstellungen finden sich in den verschiedensten Tabellen (s. auch am Schluß dieses’Teiles). Die Werte sind daselbst zu entnehmen.

Zu beachten ist, daß auch keinesfalls die Elastizitätsgrenze überschritten werden darf, da durch Versuche festgestellt worden ist, daß bei oft wiederholter Belastung, durch die die Elastizitätsgrenze überschritten, aber die Bruchgrenze noch nicht erreicht worden ist, eine Zerstörung des Bauteils erfolgen '

kann. Während z. B. für Flußeisen bei Hochbauten auf Zug 1200—1400 zugelassen werden darf, werden bei Eisenbahnbauten wegen der Stoßwir-kuhgen 700—1000 kg (bei großen Brückenstützweiten bis 1250 ge-

bestimmt wurde.

kgf

qcm

Das Verhältnis der Bruchfestigkeit zur zulässigen Spannung bezeichnet man als Sicherheitsgrad oder Sicherheitsziffer = n.

stattet, während die Bruchfestigkeit zu 4000

= n; bzw.

Kd

= n.

Man sagt der Bauteil besitzt nfache Sicherheit.

Im obigen Beispiel wird für Hochbauten der Sicherheitsgrad

, bzw. n =

also n = 3% bzw. 3 fach. Man rechnet also mit 3 fâcher bis 3 % fâcher Sicherheit.

4000

1200

4000

1400 »

JL

Für Eisenbahnbauten wird der Sicherheitsgrad

4000

700

bis

4000

900 »

n also = 5V₂ bis 4% fach. Man rechnet hierbei demnach mit 4% bis 5Va- * fâcher Sicherheit.

Vielfach wird auch der Sicherheitsgrad festgesetzt, und es ergibt sich daraus die zulässige Beanspruchung dadurch, das man den Bruchmodul durch die Sicherheitsziffer teilt. So würde bei Flußeisen bei 4 fâcher Sicherheit demnach

Kz 4000 hi~ n

V = 1000 werden.

qcm

Bei Flußeisen wählt man meist n = 3—5, bei Gußeisen n = 6—8, bei Holz und Stein n = 10.

Für die Aufstellung und Unterhaltung der Bauteile sind die Formänderungen, welche bei den einzelnen Belastungszuständen eintreten, vielfach von nicht unerheblicher Bedeutung; vielfach ist, hauptsächlich bei größeren Bauwerken, der Wärmezustand von besonderem Einfluß.

Wie oben erwähnt, wird durch die Einwirkung einer äußeren Kraft P in Richtung der Längsachse eines

P    t r~ ■

Stabes eine Spannung k = F in jeder Faser hervor-

gerufen, und es entsteht entweder eine Verlängerung oder eine Verkürzung des Stabes, je nachdem eine Beanspruchung auf Zug oder Druck vorliegt. Außer dieser Verlängerung oder Verkürzung der Stablänge i tritt auch eine geringe Änderung der Querschnittsabmessungen ein. Bei einer Verlängerung wird eine Ver- , il ,li , ■■

°    o    o    r Y//////Ą/////////. ~

minderung, bei einer Verkürzung der Stablänge eine Vergrößerung der Querschnittsmaße auftreten (Abb. 14a/b u. Î5).

Die gesamte Veränderung der Stablänge sei bei Zug = + y, bei Druck =—1>. Sie verteilt sich erfahrungsgemäß gleichmäßig über die ganze Stablänge. Es ergibt sich demnach für die Längeneinheit eine Änderung = ^ •

Die Längenänderung der Längeneinheit (also des laufenden cm)

kg

eines Stabes bei einer Beanspruchung k nung (Längsdehnung) und bezeichnet sie mit e.

P\

'À

P'l

JL

d~'

\P

Abb. 14a.

Abb. 15.

Schnitt

A-B.

Abb.

14b.

qcm

nennt man die Deh-

(2)

Zu jeder Zugbeanspruchung gehört eine bestimmte Verkleinerung der Querschnittsabmessung d, welche man Zusammenziehung (Kontraktion) nennt, bei jeder Druckbeanspruchung entsteht eineVergrößerungderOuerschnittsabmessungd, welche man als Stauchung bezeichnet.

Ist die Gesamtänderung der Querabmessung = vq, so erhält man die Querdehnung

vq

Die Querdehnung ist ein bestimmter Bruchteil der Dehnung s. Man erhält als den 3 ‘/s Teil von £ (als Mittelwert)

£q~ 3'/, ~ IÖ*‘

Die Querdehnung für Druckbeanspruchung wird auf gleiche Weise bestimmt. Ist statt einer Beanspruchung von k

kg

nur eine Spannung von 1 kg vor-

qcm

handen, so beträgt die Dehnung der Längeneinheit nur noch den ftten Teil

von s, also = f

Man setzt nun:

■    •    (3)

« heißt die Dehnungsziffer, Dehnungszahl oder der Dehnungskoeffizient Die Dehnungsziffer ist demnach diejenige Zahl, welche angibt, um welche Strecke sich ein Stab von der Länge 1 cm dehnt bei einer Belastung von 1 kg für 1 qcm der Querschnittfläche.

Der Wert a ist abhängig vom Baustoffe und von der Beanspruchung. Der umgekehrte Wert von «, also —, wird = E gesetzt.

= E.

(4)

Diesen Wert E nennt man die Elastizitätsziffer oder das Elastizitätsmaß (Elastizitätsmodul).

Es war nun:

demnach:

cc

also:

(5)

Bei wachsender Spannung k nehmen die Dehnungen zu. Durch Versuche läßt sich nachweisen, daß bei einer großen Zahl von Baustoffen die Dehnungen im gleichen Maße wie die Spannungen wachsen. Verdreifachen sich die Spannungen z. B. infolge Vergrößerung der Wirkung der äußeren Kräfte,

so werden auch die Dehnungen dreifach so groß. Das Verhältnis

her gleichbleibend (konstant).

E ist für denselben Baustoff somit eine unveränderliche, bestimmbare Größe

ausgedrückt.

Die Bestimmung von E geschieht folgendermaßen.

Ein Stab von der Länge / und mit dem Querschnitt F wird mit P kg belastet, die entstehende Verlängerung (oder Verkürzung) v wird gemessen.

p

Es wird berechnet: die Spannung & =

die Dehnung s — V

und wird in

qcm

ist da-

— = E.

Spannung Dehnung

Für verschiedene Baustoffe ergeben sich natürlich auch verschiedene Größen von E z. B. für Flußeisen: E = 2150000 kg .

qcm

Auch ist vielfach das Elastizitätsmaß für Zug abweichend von dem für Druck. Nachdem für einen Baustoff die Größe E bestimmt ist, kann zu jeder Spannung k auch die zugehörige Dehnung bestimmt werden.

Es ist:

Man bildet den Quotient

E = 1000 000

und erhält so:

/? = £■£

tnl sr

(auch £

kg . qcm ’

■k).

für Gußeisen:

Diese wichtige Beziehung nennt man das Elastizitätsgesetz oder das Hookesche Gesetz. Das Gesetz lautet in Worten:

Die Dehnungen stehen im gleichen Verhältnisse zu den Spannungen.

Das Hookesche Gesetz gilt nur bis zu einer gewissen Spannungsgrenze, die man die Proportionalitätsgrenze nennt. Im allgemeinen fällt sie nicht mit der Elastizitätsgrenze zusammen. In der Regel liegt die Proportionalitätsgrenze bei einem niedrigeren Spannungszustande als die Elastizitätsgrenze.

Für die meisten Metalle, ebenso für das Holz gilt das Hookesche Gesetz. Eine Reihe von Baustoffen folgen dem Proportionalitätsgesetze nicht, z. B.die künstlichen und natürlichen Bausteine, die Bindemittel (so der Zement, der Mörtel), ferner der Beton und das Gußeisen. Diese folgen dem Gesetze

km

P (Potenzgesetz) s. Teil IVa/b; (auch e = cc ■ km).

für s den Wert ~

Setzt man in der Formel e =

ein, so erhält man:

(6)

l E

Da in der Proportion die Verlängerung v dem Werte k entspricht, so gehört der Wert / zu der Spannung E. Man kann daher das Elastizitätsmaß E auch als diejenige (gedachte) Beanspruchung bezeichnen, bei welcher eine Verlängerung oder Verkürzung des Stabes um seine ganze Länge l eintreten würde. Dabei ist aber vorausgesetzt, daß das Hookesche Gesetz unbegrenzte Geltung hat und ein Bruch bis zur Erreichung des Spannungswertes E nicht eintritt. Dies entspricht aber nicht der Wirklichkeit.

Aus Gleichung (6) erhält man:

lk

T)

FE

(7)

Die Verlängerung oder Verkürzung v läßt sich aus dieser Beziehung jederzeit berechnen.

Aufgabe 1: Auf einen Rundeisenstab aus Flußeisen, welcher 250 cm lang ist und einen Durchmesser von 30 mm besitzt, wirkt eine Zugkraft P = 16 000 kg. Wie groß ist die entstehende Verlängerung u?

Lösung: Gegeben ist:

l = 250 cm; d = 3,0 cm; P = 16000 kg •£ = 21 50000 kg .

qcm

Es wird:

„    d²«    3,0*»    _n_

F= . =    =7,07 qcm

also nach Einsetzen der Werte v —

250- 16000 7,07 -2150000 v — 0,23 cm.

B. Zugfestigkeit. 1. Rechnungsgang.

Wird ein Stab durch eine äußere Kraftwirkung auf Zugfestigkeit beansprucht, so müssen seine Abmessungen so gewählt werden, daß die für den betreffenden Baustoff zulässige Spannung nicht überschritten wird. Die äußere Kraft P verteilt sich nach dem auf S.5 Gesagten gleichmäßig über den ganzen Querschnitt.

Zwischen den äußeren und inneren Kräften muß Gleichgewicht herrschen, demnach muß werden:

(8)

P = äußere belastende Kraft in kg; F = Querschnittsfläche in qcm; kz= zulässige Beanspruchung auf Zug in kg für 1 qcm.

F bedeutet stets den nutzbaren Querschnitt, d. h. denjenigen, welcher nach Abzug aller Verschwächungen übrigbleibt (gefährdetster Querschnitt). Über die Lage dieses Querschnitts muß man sich stets klar werden, bevor man die endgültigen Abmessungen bestimmt.

Eine der in der Gleichung (8) vorkommenden drei Größen P, F und kz läßt sich stets berechnen, sofern die beiden andern gegeben sind. Meist ist P und kz bekannt und die Querschnittabmessungen des Bauteils werden gesucht. Hierzu bedarf es der Bestimmung von F, also:

• (8a)

kz

f-£

Jedoch kann es sich auch darum handeln, z. B. bei statischen Nachprüfungen eines ausgeführten Bauteils, daß P und F gegeben sind und daraus die Spannung k bestimmt wird. Es wird so festgestellt, ob die zulässige Spannung kz nicht überschritten wird, ob die Abmessungen zu stark oder zu schwach sind oder ob sie gerade genügen.

Das Eigengewicht wird bei den Berechnungen auf Zugfestigkeit meist nicht

berücksichtigt; nur dann, wenn es sich um stabförmige Körper mit lotrechter Achse von sehr großer Länge handelt, ist das Eigengewicht in die Rechnung einzuführen.    (,

Bemerkung: Eine allzu große Genauigkeit der Rechnung ist im allgemeinen für statische Untersuchungen nicht erforderlich, da die für die Baustoffe gemachten Annahmen nicht mathematisch genau stimmen. Es ist daher ohne wesentliche Bedenken, wenn durch vereinfachte Rechnungen geringe Abweichungen vom genauen Ergebnis Vorkommen, mehr als 1% darf die Ungenauigkeit jedoch keinesfalls betragen.

2. Anwendungen.

Aufgabe 2: Eine flußeiserne Zugstange mit kreisförmigem Querschnitt, welche als Gewölbeanker dient, nehme eine Kraft P = 14400 kg auf. Wie

groß ist der Durchmesser der Stange zu wählen, sofern die Befestigung nach der in der Abb. 16 a—c angedeuteten Weise erfolgt. Lösung: Der nutzbare Querschnitt der Stange

Schnitt A—B.

Üh. •

...

Abb. 16a.

Abb. 16b.

Abb. 16 c.

befindet sich am Stangenende an der Befestigungsstelle. Es sei an die Rundeisenstange ein Withworthsches Schraubengewinde angeschnitten. Der Kerndurchmesser + derselben ist somit zunächst zu bestimmen (Abb. 16 b/c).

Gegeben ist: P— 14400 kg; kz für Flußeisenanker =800 P=F.ftz.

F=b F

d\*

14400, 800 ‘

= 18,0 qcm.

k£

qcm

. Es wird:

IA.

— — 18,0; + =4,79 cm (unter Benutzung der Tabelle).

Den Bolzendurchmesser d findet man aus der Beziehung

, dl + 0,13

079

d = - 1 , — cm ;

also hier:

,    4,79 + 0,13

d =    = 5,46 cm.

0,9

Gewählt ein Bolzen Nr.18 mit einem Durchmesser 5,8 cm und +=4,91 cm nach der Withworth-Skala.

Aufgabe 3: Für die gleichen Verhältnisse wie bei Aufgabe 2 soll ein flußeiserner Anker 1. mit quadratischem Querschnitt, 2. mit rechteckigem Querschnitt und einem Seitenverhältnis a : b — 1 : 5 gewählt werden. Die Befestigung werde so ausgebildet, daß eine Schwächung des Ankerquerschnitts an keiner Stelle eintritt.

Aufgabe 4: Ein Zugstab hat eine Kraft von 12 000 kg zu übertragen. Es sollen zwei FlacheisenVerwendung finden, welche mit Nieten von 20 mm Durchmesser an ein Knotenblech angeschlossen werden (Abb. 19a/b).

Schnitt

A-B.

IJ)

J Lösung: Gegeben: P= 12000kg: k : Abb. 19b. für Flußeisen = 1200 kg.

Lösung: Zu a: Erforderlich war F = 18,0 qcm.

Ist 'x die Seite des quadratischen Querschnitts (Abb. 17), so wird F=x*; x²= 18,0 x — ]/l8,0 = 4,25 cm.

J_ Gewählt wird demnach ein Quadrateisen mit einer Seite x = 4,3 cm. Zu b: Es war ebenfalls erforderlich F= 18,0 qcm.

F—a-b; a-b = 18,0 qcm.

a : b — 1 : 5;

Abb. 17.

Aus Abb. 18 ergibt sich:

f 1 ' W::-xl

Es ist nun:

■ b = 18,0.

= 5-18,0; b = y 90 = 9,49

Gewählt b = 10 cm; man erhält a = a = 2 cm.

Zur Ausführung gelangt ein Flacheisen 10x2 mit F = 10 • 2 = 20 qcm Fläche. Die Beanspruchung beträgt nur:

,    14400

k ~ ~20    = 720 kg.

Abb. 18.

cm.

Abb. 19a.

Der gefährdete Querschnitt befindet sich an der durch ein Niet geschwächten Stelle (Abb. 20). Der nutzbare Querschnitt muß daselbst betragen:

-Hr

*1

12000

— 4-

1200

= 10 qcm.

T r

, 693 ^

F = l

4. Tabelle der Trägheits- und Widerstandsmomente der gebräuchlichsten Querschnittsformen.

5625 + 3375 = 3000 -f 4000 + 2000 9000 = 9000;

_ 6,00 • 8,00

ä-Vi: -V "

VII. Anhang.

3. Belastungen.

Die Breite des Flacheisens nehme man an, wobei zu beachten ist, daß

T r

Abb. 20. zwischen Nietstärke d und Bleckdicke 8 zweckmäßig die Beziehung besteht d = 28 (s. Eisenkonstruktion). Hier sei ^ = 1,0 cm gewählt.

Unter Beachtung der in Abb. 20 gegebenen Bezeichnungen wird:

F — (x — 2) • 1,0 • 2.

Es muß sein:

(x — 2). 1,0-2 = 10

o 10

*~²“ 2

* = 5 + 2 x — 7 cm.

Es genügen demnach zwei Flacheisen 7 • 2 cm mit 14 cm Querschnitt.

Aufgabe 5: Ein Untergurtstab eines Dachbinders erhält eine Zugkraft U = 20000 kg und soll aus zwei gleichschenkligen Winkeleisen gebildet

ud

-Ln-p

Abb. 22.

Abb. 21.

werden. Welche Abmessungen sind zu wählen, wenn der Nietdurchmesser zu 20 mm anzunehmen ist? (Abb. 21.)

Lösung: Gegeben P= U = 20000 kg; unter der Voraussetzung, daß bei der Binderberechnung die Windkräfte unter Zugrundelegung eines Winddruckes von 150 kg/qm berücksichtigt wurden und die Beanspruchung durch ständige Last allein,

cm

qcm

also ohne Winddruck den Betrag von 1200 kg nicht überschreitet, kann kz — 1400 gesetzt werden.

Es wird ein Querschnitt erforderlich:

20000

1400

— 14,3 qcm.

Als nutzbarer Querschnitt muß daher für ein Winkeleisen vorhanden sein:

F ¹⁴>³

— 2 =7,15 qcm.

Der Querschnitt eines Winkeleisens Fw muß mindestens = dem nutzbaren Querschnitt -j- Nietlochfläche werden (Abb. 22).

Unter der Annahme einer Winkeleisenstärke von 1 cm wird demnach:

Fw = 7,15 -J- 2,0 • 1,0 = 9,15 qcm.

Aus der Tabelle der Normalprofile findet man ein Winkeleisen 60 • 60 • 10 als passend mit Fw = 11,07 qcm.

Der nutzbare Querschnitt beträgt in diesem Falle F = 11,07 —2,0 • 1,0 = 9,7 qcm-Kleinere Winkeleisenprofile als wie das gewählte gelangen zweckmäßig im Dachbau nicht zur Ausführung.

Aufgabe 6: Die Hauptzange eines hölzernen Hallenbinders hat eine Zugkraft von 12000 kg aufzunehmen. Wie groß sind die Abmessungen zu wählen, falls Kiefernholz zur Verwendung gelangt und die Einzelhölzer der auszuführenden Doppelzange das Seitenverhältnis 1 : 2 haben (Abb. 23).

Lösung: Gegeben P— 12000 kg; kz — 100 ^

qcm

Es ist: F =

«rl

; unter Einsetzung der Werte erhält man: 12000

100

= 120 qcm

als erforderlichen nutzbaren Querschnitt.

Der gefährdete Querschnitt liegt an der Befestigungsstelle. Der Anschluß erfolgt durch eine Anblattung von 4 cm Stärke mittels Bolzen

Abb. 23.

Aufgabe 8: Zum Aufziehen eines kiefernen 8 m langen Holzbalkens vom Querschnitt 30/36 dient ein Hanfseil. Wie groß muß der Durchmesser des

Seils sein, wenn kz = 100 betragen darf.

Aufgabe 9: ZumZerreißen eines Probekörpers, welcher aus 1 Teil Zement und 3 Teilen Normalsand bestand, war eine Kraft von 94,8 kg nötig. Der kleinste Querschnitt war ein Rechteck mit den Abmessungen 22,2 • 22,4 mm. Wie groß war die Bruchfestigkeit, und um wieviel Prozent überstieg sie die

vorgeschriebene Mindestfestigkeit von 16

kg

qcm

C. Druckfestigkeit.

1. Rechnungsgang.

Für die auf Druck beanspruchten Bauteile gelten dieselben Überlegungen, die bei der Berechnung auf Zug (S. 10) geführt wurden.

Damit Gleichgewicht herrscht, muß sein:

V©

JP=F-kd . , .    .    ..... )

und

vO

SP

von 25 mm Durchmesser. Die Holzbreite sei x cm, die Höhe demnach nach Obigem = 2x cm.

Es ergibt sich dann nach Abb. 24 der nutzbare Querschnitt zu:

+— x—4-

4— x—*+

--;r

Es wird:

2,4-

F = (x — 4) (2x — 2,5) • 2. (x — 4) (2x — 2,5) - 2 = 180 2x* — 8x — 2,5x+ 10 = 90 2 x² — 10,5 x = 80 x² — 5,25 x = 40.

Durch probeweises Einsetzen findet man x=10 cm; es wird somit 2x = 20 cm. Demnach werden gewählt nach Tabelle zwei Hölzer 10/20 cm mit einer nutzbaren Fläche von 6-17.5 • 2 = 210 qcm.

18000

Abb. 24.

Die auftretende Spannung wird also: k =

210

86

kg . qcm

18000

^ Wurde man Hölzer 9/20 annehmen, so würde k =

Aufgabe 7: Welche Belastung ist zumZerreißen eines flußeisernen Drahtes

kg qcm

5 • 17,5 • 2

= 103

kg \

qcm /

von 5 mm Stärke erforderlich. Die Bruchfestigkeit betrage 7000 Lösung: Gegeben d = 0,5 cm; Kz = 7000

kg

Es muß werden:

qcm

P-F-Kz:

-«Çï.TOOO

4

-    1124 kg.

F« • • •........( )

P ist die Gesamtlast in kg, F die Querschnittsfläche in qcm, kd die zulässige Beanspruchung auf Druck in kg für 1 qcm.

Bei den gedrückten Stäben ist für die Bestimmung der Abmessungen ebenfalls die kleinste Querschnittsfläche maßgebend. Zu beachten ist jedoch, daß eine durch Niete verursachte Verschwächung nicht berücksichtigt wird. Es wird angenommen, daß das Nietloch durch den Nietschaft vollständig ausgefüllt wird und so auch eine gute, ununterbrochene Druckübertragung stattfindet.

Die zulässige Beanspruchung auf Druck (kd) für Flußeisen und Stahl hat den gleichen Wert wie für Zug (kz). Bei Gußeisen, Steinen, Beton usw. ist die zulässige Beanspruchung auf Druck bedeutend größer als die für Zug, bei Holz ist umgekehrt kz > kd.

Zu berücksichtigen ist ferner, daß bei allen Fällen von Druckübertragung stets die Festigkeit desjenigen Baustoffs in die Rechnung einzuführen ist, der die geringste Druckfestigkeit, also auch den kleinsten zulässigen Wert kd besitzt. Ruht z. B. ein flußeiserner Träger auf Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel, so kommt nicht die zulässige Spannung des Flußeisens, kd = 1200 kg, sondern die des Mauerwerks kd= 10 kg in Frage. Daher kann auch die große Druckfestigkeit der Steine in der Regel nicht ausgenutzt werden, da das Verbindungsmittel der Steine, der Mörtel, eine geringere Festigkeit besitzt untl dessen zulässige Beanspruchung maßgebend ist. Bei Holz ist zwischen der Druckfestigkeit gleichlaufend zur Faser und der senkrecht zur Faser zu unterscheiden. Die Druckfestigkeit gleichlaufend zur Faser ist erheblich größer als die senkrecht zur Faser. Die Angaben für die Werte der Festigkeiten sind sehr schwankend, so bewegen sich die Zahlen z. B. bei Eiche zwischen

kg

für Fichte wird für die Druckfestigkeit senkrecht zur Faser

70 kg angegeben. Als Mittelwerte kann man für Laubholz 120 kg, für Nadelholz 60 kg annehmen.¹) Nach neueren Versuchen (Eisenbau 1919, S. 150) ergaben sich folgende Werte für lufttrockenes, gesundes, nicht zu ästiges Holz bei tadellos gearbeiteten Verbindungen:

qcm ’

160 und 108

Bruch-

Zulässige Beanspruchung bei

Holzart !

Art der Beanspruchung

festig-

keit

kg

qcm

fâcher Sicherheit kg |    kg;    | kg

qcm qcm

qcm

Eiche

Kiefer

| 1. Druck parallel zur Faser 345

2. Druck senkrecht zur Faser

a)    Belastung in voller Breite

des Holzes.....

b)    Belastung in geringer Breite des Holzes . .

1.    Druck parallel zur Faser.

2.    Druck senkrecht zur Faser

a)    Belastung in voller Breite

des Holzes.....

b)    Belastung in geringer

Breite des Holzes . .    75

| c) mit kleineren Zwischenplatten ......

d) mit größeren Zwischenplatten ......

144

220

240

50

50

35

70

90

120

28

36

48

44

48

10

15

10

55

72

60

80

12

18

12

16

24

16

12

Bei auf Druckfestigkeit beanspruchten Baukörpern kommt häufig das Eigengewicht in hohem Maße für die Bestimmung der Abmessungen mit in Betracht. Bei hohen Mauern, Schornsteinen, Pfeilern von Brücken muß man daher vielfach die Abmessungen nach dem Fundamente zu anwachsen lassen. Die Querschnittsvergrößerung geschieht der einfacheren Ausführung wegen meist absatzweise.

2. Anwendungen.

Aufgabe 10: Ein 1,60 m langer Pfosten aus Eichenholz mit quadratischem Querschnitt erhält eine Belastung von 18000 kg; wie groß ist die Beanspruchung des Holzes, wenn die Querschnittseite 18 cm beträgt? Das Eigengewicht braucht wegen der geringen Größe nicht berücksichtigt zu werden.

Lösung: Gegeben P— 18000 kg; F — 18 • 18 — 324 qcm.

Es wird:

18000

324

= 55,5 kg.

Da die zulässige Spannung kd = 80 (bis 100) kg beträgt, so ist der Pfosten ausreichend stark.

Aufgabe 11: 1. Wie groß muß der Durchmesser eines eichenen Rundholzes werden, sofern es durch eine Last von 24000 kg auf Druck beansprucht wird?

2. Welche Abmessungen müssen für den gleichen Belastungsfall ausgeführt werden, sobald ein rechteckiger Querschnitt mit einem Seitenverhältnis

a : b = 3:4 zur Ausführung gelangen soll?

Aufgabe 12: Eine kurze, 1,5 m lange, kieferne Strebe eines Lehrgerüstes steht auf einer eichenen Schwelle auf und überträgt eine Last P= 10600 kg (Abb. 25a/b). Welche Abmessungen erhält die Strebe bei quadratischem Querschnitt? Die Bruchfestigkeit des Eichenholzes auf Druck senkrecht

zur Faserrichtung betrage 120

v\

Abb. 25 b.

Kiefernholz

kg

• Es soll

w///,

Eichenholz

Abb. 25 a.

qcm

mit vierfacher Sicherheit gerechnet werden.

Es ergibt sich somit die zulässige Spannung des Eichenholzes gegen Druck senk-

120

recht zur Faser zu kd = ₄ =30 kg.

105 —— ergeben. Gleichlaufend zur Faser wurde die Spannung an der Proportio-qcm    kg.

nalitätsgrenze bei Buche zu 362, bei Fichte zu 270, bei Lärche zu 458 fest

ig    4cm

gestellt; die Bruchfestigkeit ergab sich bei Lärche zu 478    bei schwedischer Kiefer

zu 600, bei Schwarzkiefer zu 527, bei deutscher Kiefer zu 431

kg

571

kg

qcm

für Lärche zu

qcm

Die zulässige Spannung des Kiefernholzes gegen Druck gleichlaufend zu den Fasern beträgt nach Tabelle kd = 60 kg, so daß also erstere Beanspruchung die ungünstigste ist.

Lösung: Gegeben P = 10600 kg; kd=30 kg.

Es wird:

1060

F = ~₃₀~ = 354 qcm.

Bezeichnet man die Seite des gesuchten quadratischen Querschnitts mit x, so wird:

x² = F x² = 354

x = Y354 — 18,8 cm.

Gewählt wird somit ein Holzpfosten 19/19 cm oder besser ein Normalholz 20/20 cm.

Aufgabe 13: Ein freistehender 5,0 m hoher Mauerpfeiler aus Bruchstein habe einen rechteckigen Querschnitt mit Seitenabmessungen 1,50 m und 1,0 m. Welche Spannung erleidet die Fundamentfuge?

Lösung: Man bestimmt zunächst das Eigengewicht des Mauerpfeilers. 1 cbm Bruchsteinmauerwerk (Kalkstein) wiegt 2500 kg.

Es wird:

G = 1,50- 1,0- 5,0- 2500 =18750 kg.

Die Grundfläche beträgt F — 150* 100£= 15000 qcm.

Gegeben: P = G= 18750 kg; F — 15000 qcm.

Die Fundamentfuge erhält einen Druck

o ft.

/? =

15000 = 1'25kg = rd-‘’3k?-

Aufgabe 14: 1. Wieviel Nutzlast kann der in Aufgabe 13 gegebene Pfeiler aufnehmen, sofern für Bruchsteinmauerwerk kd = 5 kg gewählt werden darf?

2. Welche Abmessungen erhält die Fundamentfuge, wenn der Baugrund mit £d = 2,5 kg belastet werden darf und die Verbreitung nach den beiden Seitenrichtungen um das gleiche Maß erfolgen soll?

Lösung: Zu 1. Gegeben F— 15000 qcm, kd — 5,0    G = 18750 kg.

Q = F-kd

Q = 15000.5 = 75000 kg.

Der Pfeilerquerschnitt F = 15000 qcm kann eine Gesamtlast Q aufnehmen, welche sich ergibt aus:

Die Nutzlast P^darf demnach betragen:

P= Q — G.

P= 75000 — 18750 = 56250 kg. 'Zu 2. Gegeben Q = 75000 kg; kd — 2,5 kg.

Die Auflagerfläcne des Fundaments Ft erhält man zu UaBsch 47: Schau, Statik. II. 3. Auft.

= 30000 qcm.

2,5

Abb. 26.

Die allseitige Verbreiterung betrage * cm. Es wird demnach nach Abb. 26:

Ft=(150 + 2*)(100 + 2*)

Fl = 15000 + 200* + 300* + 4*².

Ft = 500*+ 15000 500*+ 15000 = 30000 500*= 15000

wird.

Die Größe 4*² kann vorläufig wegen ihrer Kleinheit vernachlässigt werden, so daß genügend genau

Man erhält:

* = 30 cm.

Setzt man mit Rücksicht auf die Vernachlässigung * = 25 cm, so erhält man: F₁ = (150 + 2 -25) (100 + 2-25)

F₁ = 200 • 150 = 30000 qcm.

Die erforderliche Fläche ist demnach vorhanden.

Bei einer Höhe des Fundaments von 50 cm ergibt sich das Eigengewicht zu

G₁ = 2,00 - 1,50 - 0,50 • 2500 kg = 3750 kg.

Hierbei ist angenommen, daß gleichzeitig eine Tieferlegung der Sohle um 50 cm stattgefunden hat.

Es wird nun die Beanspruchung des Baugrundes

75000 + 3750 * ~    30000

Fußboden

0,40

-+-

ÆlJ\

x-

.    78750

ft = 30ÖÖ0”²’6 k«-

0J7

0,60

, Gelände

2,00

’--0,77-->-

•i

1,03

Dieser Wert soll noch als zulässig gelten. Sollte dies nicht gestattet werden können, so muß es mit der Verbreiterung um je 30 cm, wie oben gefunden, sein Bewenden haben. Man erhält dann k = 2,4 kg.

Nach den Bestimmungen über die bei Hochbauten anzunehmenden Belastungen und über die zulässigen Beanspruchungen nach dem Min.-Erl. von 24. XII. 19

bean-

kg:

1,29

1,55

1,81

T (M. B. B.) darf guter Baugrund mit 3—4 OßO sprucht werden.

—f    Aufgabe 15: Eine kurze gußeiserne Säule

0,40 mit kreisringförmigem Querschnitt überträgt ein-—| schließlich ihres Eigengewichts eine Last von 70000 kg auf einen aus Hartbrandsteinen in Kalkzementmörtel gemauer-0,40 Guter 4 ten Pfeiler. Die Fußplatte der Säule '^//////A awrund ^t unmjttelbar auf einem Auflagerstein (Abb. 27). Es sollen bestimmt werden die Abmessungen

qcm

0,40

V    ¹    •    ^

-t*--- Xj —— --4-

Abb. 27.

1.    der Säule,

2.    der Fußplatte,

3.    des Auflagersteines (Kalkstein),

4.    der untersten Fundamentfuge.

kg . qcm

Lösung: Zu 1. Säule. Gegeben P = 70000 kg, kd = 500

70000

500

= 140 qcm.

Nach Abb. 28 ist:

F~ 4

D^Tt d-Tt

4~ ’

also

D~n d*7t

4,

Nimmt man die Wandstärke der Säule â = Setzung erhält man:

o!ö E

Abb. 28.

an, so wird d —

CJ1| 4-*

D. Durch Ein-

25

Dä) =

140

o' £

n- = —

140 -4

7t

= 22,3 cm.

n = \/¹⁴?--⁴- ²⁵

t 7t • 9

Gewählt wird eine Säule mit D = 23 cm, d = 2,25 cm und d = 19,5 cm, welche eine Querschnittsfläche F =147 qcm aufweist.

Am einfachsten gestaltet sich die Bestimmung der erforderlichen Querschnittsfläche mittels der Tabelle, aus welcher man unmittelbar die erforderlichen Abmessungen entnehmen kann.

Zu 2. Fuß platte. Die Plattengröße bestimmt sich daraus, daß jeder von der Platte bedeckte qcm des Auflagersteins nicht stärker beansprucht werden darf, als wie für Kalkstein (Marmor) zulässig ist. Für die Berechnung kommt also die Druckfestigkeit des Auflagersteins in Frage.

Gegeben: P= 70000 kg; kd = 30 kg

qcm

nach Tabelle.

Es wird:

Pi

kd

Die Platte habe quadratischen Querschnitt (Abb. 29), demnach ist:

F=x²

= 2133

Abb 29.

== 1/2133 = rd. 47 cm.

nach Tabelle.

qcm

Zu 3. Auflagerstein. Das Gewicht des Auflager Steins wird auf 800 \ g geschätzt. Für die Bemessung der Größe des Auflagersteins kommt die Festigkeit des darunterliegenden Mauerwerks in Frage.

Gegeben: P, = 70000 + 800 = 70800 kg; kd = 14

Es wird:

F₁₌Pl

70800 =    14”

= 5050 qcm.

Der Auflagerstein habe eine quadratische Grundfläche (Abb. 30). Es ist demnach:

^ = V-

x,² = 5050

xx — Ÿ5200 = 71,5 cm.

Gewählt wird xl =77 cm (Mauermaß!).

Es ist zu beachten, daß die rechnungsmäßigen Maße stets nach oben auf Mauerwerksmaße abzurunden sind.

Die Höhe des Auflagersteins h wählt man zweckmäßig zu s/₄ bis % der größten Abmessung des Auflagersteinquerschnitts.

A_|-.77 = rd.60 cm/

Abb. 30.

Xj

Das Gewicht des Auflagersteins beträgt unter der Annahme, daß 1 cbm Kalkstein 2700 kg wiegt:

Gt = 0,77² • 0,60 • 2700 = 956 kg = rd. 1000 kg.

Zu 4. Fundamentfläche. Für die Berechnung der Abmessungen der Fundamentfläche bedarf es der Bestimmung des Pfeilergewichts. Dasselbe ist unter Zugrundelegung der in Abb. 27 gegebenen Abmessungen:

Gi = [0,77² - 2,00 + 0,40 (l,03² + 1,29² + 1,55² + 1,81²) • 1800 = 8180 kg = rd. 8200 kg.

Gegeben: P₂ = P + G₁ + G₂ = 70 000+ 1000+ 8200 = 79 200 kg; Äd = 2,5kg.

P₂ _ 19200 kd~ 2,5

Bezeichnet man die Seite der quadratischen Fundamentfläche mit x.₂, so wird:

jc₂² = 31 680

x.₂ — j/31680 = 178 cm.

Man findet:

= 31680 qcm.

Gewählt wurde> hierfür x₂ = 1,81 m.

Aufgabe 16: In der Scheitelfuge eines l¹/₂ Stein starken Tonnengewölbes wirkt auf 1 m Tiefe ein wagerechter Schub von 18000 kg, wie groß ist die Beanspruchung der Fläche?

Aufgabe 17. Eine 5,60 m lange, zwei Stein starke Mauer von 5,80 m Höhe soll aus Anlaß eines Umbaus durch fünf hölzerne Rundstempel abgefangen werden. Welche Abmessungen sind zu wählen und wie groß ist die für jeden Pfosten zur Unterstützung dienende Bohlenfläche, falls der Baugrund mit 3

belastet werden darf?

qcm

Aufgabe 18. Ein Pfeiler aus Klinkermauerwerk von 4,0 m Länge und quadratischem Querschnitt mit einer Seitenlange von 1,44 m nimmt eine Last von 54000 kg auf. Er soll in seinem unteren Teile auf 2,2 m Länge durch eine gußeiserne Säule ersetzt werden; welche Abmessungen sind auszuführen bei kreisringförmigem Querschnitt?

Aufgabe 19: Ein 66,0 m hoher Fabrikschornstein hat nachstehende Ab

messungen:

y////.

obere Wandstärke = 20 cm, untere Wandstärke = 90 cm, obere lichte Weite = 2,20 cm, untere lichte Weite = 4,00 m.

Wie stark ist die Pressung der unteren Fundamentfuge, wenn Rücksichten auf innere Abtreppungen nicht genommen werden sollen. (Die Bestimmung des Rauminhalts erfolge nach der Prismatoidformel.) Das Gewicht des Ziegelsteinmauerwerks beträgt 1800

kg

qcm

3. Auflagerung von Bauteilen,

a) Allgemeines.

Es ist erstrebenswert, daß bei Auflagerung von Bauteilen eine Belastung der Unterlage im Schwerpunkt derselben erfolgt.

Eine ganz besondere Sorgfalt erfordert die Auflagerung der Träger, da bei ungünstiger Anordnung infolge der Durchbiegung häufig sehr hohe Kantenpressungen auftreten können; eine möglichst genaue Lagerung und gleichmäßige Druckverteilung ist nötig. Stets ist die Vorderkante des Auflagers von der Kante des unterstützenden Bauteils abzurücken. Bei der Auflagerung j kleiner Träger auf Mauerwerk genügt es, das Lager j aus Zementmörtel herzustellen und seine Vorderkante etwa 3—5 cm von der Mauerkante entfernt zu legen, j Vielfach werden bei größeren H—| und schwer belasteten Trägern ^ Unterlagsplatten aus Gußeisen,

Flußeisen oder (seltner) aus Gußstahl nötig. Die Ausbildung geschieht dann zweckmäßig als Berührungskipplager (Abb. 31), dessen Oberfläche abgeschrägt und im Scheitel nach einem bestimmten Halbmesser gewölbt ist, damit bei Durchbiegung der Träger ein Rollen der Trägerunterfläche auf der gewölbten Lagerfläche möglich ist (vgl. dagegen Abb. 32) und der Autlagerdruck möglichst in der Plattenmitte übertragen wird. Die Auflagerplattenvorderkante erhält hier je nach der Trägergröße einen Abstand von 5 — 8 cm von der Außenkante der Unterlage. Zur Unterstützung dient vielfach auch noch ein Werkstein (Granit, Basalt u. dgl.); die alleinige Anordnung eines Werksteins ohne Unterlagsplatte ist jedoch nicht empfehlenswert. Da die Berechnung der Träger nach Maßgabe der neuen ministeriellen Bestimmungen für die statische Untersuchung von Hochbauten zu erfolgen hat und dabei gefordert wird, daß als Stützweite der Träger die Entfernung zwischen den Auflagermitten zu nehmen ist, ferner auch eine große Beanspruchung für Flußeisen zulässig ist, so werden sich große Trägerdurchbiegungen ergeben; die Gefahr starker Kantenpressungen liegt also in hohem Maße vor. Allgemeine Festsetzungen über die zulässige Größe der Durchbiegung sind daselbst nicht getroffen; die Einhaltung eines gewissen Höchstmaßes der Durchbiegung soll jedoch nach den M. B. B. in besonders gearteten Fällen verlangt werden, so z. B. bei Transmissionsträgern sowie für alle diejenigen mehr als 7 m langen Träger und Unterzüge, die die Gebäude in der Längs- und Querrichtung aussteifen und an Stelle der sonst vorhandenen Längs- und Querwände treten, für die also eine gewisse Starr-

32

5,5

35

Abb. 31.

Abb. 32.

heit nötig ist. DieDurchbiegung soll in solchen Fällen das Maß von V₅₀₀ derfreien Länge nicht überschreiten. Die Forderungen, die in obigen Erörterungen an die Auflagerung gestelltworden sind,müssennotwendigerweisedaherinZukunft erfüllt werden, um die Sicherheit der Bauwerke unbedingt zu gewährleisten.

Im folgenden sollen einige Angaben über die zu wählenden Abmessungen, die durch Rechnung nachzuprüfen sind, gemacht werden.

cS3ä

,_[Flußeisen

Gußeiserne Auflagerplatten werden mindestens 3 cm (Abb. 33), flußeiserne mindestens 2 cm stark ; .    „ . (Abb. 34) gemacht. Die seitlichen

l—jGujethen ü^ers^äncje c dürfen nicht zu breit rf:J"

gewählt werden, damit die Biegungsbeanspruchungen nicht zu groß werden; die zu wählenden Maße sind in

Abb. 33.

Abb. 33 u. 34 angegeben. (Die Be- -

Abb. 34.

rechnung der Stärke der Auflagerplatteerfolgtim Teil III.) — Auflagerstei ne sind mindestens 20cm stark anzunehmen, im allgemeinen wählt man ihre Stärke h =%—⁴/₅der größten Abmessung der Werksteinauflagerfläche. Der seitliche Überstand wird <1 % h gemacht. Es ist nicht nötig, daß der Träger auf die ganze Länge der Unterlage aufliegt, es genügt zur Erzielung einer guten Druckübertragung, wenn er mindestens s/₄ der Unterlagenlänge belastet; x ³/₄ 1 (Abb. 35a).

Die Auflagerlänge nehme man bei kleinen I-Trägern (unter N.Pr. 15) nicht unter 15 cm, bei größeren Trägern gleich der Trägerhöhe. Bei Trägern über 25 cm Höhe wählt man die Auflager etwas kürzer, jedoch stets ^ ³/₄ der Trägerhöhe.

Zur gleichzeitigen Auflagerung mehrerer Träger wird am besten eine gemeinsame Unterlagsplatte verwendet. Die unmittelbare Auflagerung von Trägern auf Mauerwerk vermeidet man; man ordnet stets eine Zementfuge von 8—12 mm Stärke an, bei größeren Lasten nehme man Walzblei von 3—5 mm Stärke. Durch einige Angaben sollen die vorstehenden Ausführungen erläutert werden.

b) Anwendungen.

Aufgabe20: Ein 1-Träger N. P. Nr. 40 überträgt eine Last P = 14000kg auf eine Mauer, welche in gewöhnlichem Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel

(Mauerziegel erster Klasse) errichtet ist. Es soll festgestellt werden, in welcher Weise die Auflagerung auszubilden ist.

Lösung: 1. Die Auflagerung erfolgt unmittelbarauf die Mauer. (Abb.

35a/b.)

Abb. 35 a.

Abb. 35b.

Gegeben: P— 14000 kg.; kd = 10 kg nach Tabelle:

Es muß werden:

*ä

F = l

14000

= 1400 qcm.

Da die Flanschbreite des gegebenen j_-Trägers b — 15,5 cm ist (Tabelle), so ergibt sich die Auflagerfläche F — 15,5 -x qcm. Es wird:

15,5 • x — 1400

15,5= 91 qcm-

1400

Diese Länge ist zu groß; zur Herabsetzung führe man unterhalb des Trägers eine Anzahl Schichten in Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel aus.

2. Auflagerung auf Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel.

Gegeben: P— 10000 kg; kd=\& kg nach Tabelle.

= 778 cm.

14000

18

Wie oben wird:

15,5 •    = 778

778

15,5

== rd. 51 cm.

Auch dieses Maß ist noch reichlich groß.

3. Zur weiteren Herabsetzung der Länge wähle man Klinkermauerwerk in Zementmörtel für die oberen sechs Schichten, i—

Gegeben: P— 14000 kg; kd = 35 kg I nach Tabelle.    !

N.P.40

n/j

kd

_ 14000 — 35

= 400 qcm.

■ '.S Es ist:

40

'S///.

15,5 • x, = 400

--9.5-

Abb. 36b.

400

= 26 cm.

Abb. 36a.

15,5

4. Es soll eine gußeiserneAuf lagerplatte auf gewöhnlichem Mauerwerk aufliegend angenommen werden. (Abb.36a/b.)

Die Breite b wird zu 30 cm gewählt (also < 15,5-f 2-3d) bei einer Stärke 6 - 3,5 cm.

Wie bei 1. wird F— 1400 qcm. Es muß daher sein:

X. • 30 = 1400

— 47 cm.

_ 1400 *s “ 30

Bei Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel ergibt sich wie bei 2:

F — 778 qcm.

Nimmt man die Plattenbreite zu 25 cm an, so wird:

25 • x. = 778

= rd. 32 cm.

778

_ 25

Die gewählte Anordnung ist aus Abb. 36a/b ersichtlich.

III. Schub- und Scherfestigkeit.

|A. Allgemeines.

Ein Bauteil wird auf Schub- oder Scherfestigkeit beansprucht, wenn die wirkenden äußeren Kräfte das Bestreben haben, zwei Nachbarquerschnitte so in Richtung ihrer Ebenen gegeneinander zu verschieben, daß ihre Entfernung dieselbe bleibt (S. 3). Die äußeren Kräfte müssen sich hierbei zu zwei Mittelkräften vereinigen lassen, welche gleiche Größe und Richtung, aber entgegengesetzten Sinn besitzen und in unmittelbar nebeneinanderliegenden Querschnitten wirken (s. Querkraft bei Balken auf 2 Stützen, Teil I, Abb. 131).

Die äußeren Kräfte wirken also in der Querschnittsfläche selbst und nicht wie bei der Zug- und Druckfestigkeit normal dazu. Da die inneren Kräfte den äußeren das Gleichgewicht halten¹ müssen, treten die widerstehenden Kräfte, die Schubspannungen oder Scherspannungen, daher auch in Richtung der Querschnittsfläche auf.

Für die hier zu untersuchenden Baukörper kann man mit hinreichender Genauigkeit annehmen, daß die abscherenden Kräfte sich gleichmäßig über den ganzen, auf Abscheren beanspruchten Querschnitt verteilen, daß also jede Flächeneinheit auch einen gleichen Widerstand, also eine gleiche Scheroder Schubspannung leistet.

Es ist daher für die Bestimmung der Abmessungen eines Bauteils zu beachten, daß der Widerstand gegen Abscheren in gleicher Weise wächst, wie die Größe des abzuscherenden Querschnitts.

Ist P die äußere wirkende Kraft in kg, F die abzuscherende Querschnittsfläche in qcm, ks die zulässige Spannung für Abscheren in kg für 1 qcm, so muß daher zur Herbeiführung des Gleichgewichtszustandes werden

• • (10)

P = F • ks. .

(10a)

Daraus ergibt sich:

F~ v • • • • ‘V

Die Größe von ks muß durch Versuche ermittelt werden.

Der Bruchmodul der Schubfestigkeit Ks ist in der Regel kleiner als der für Zug- und Druckfestigkeit. Bei manchen Baustoffen ändert er sich mit der Lage des Querschnitts, so ist z. B. bei Holz die Schubfestigkeit senkrecht zur Faser erheblich größer als in der Richtung der Fasern. Die Schubfestigkeit bei Metallen beträgt ungefähr ⁴/s der Zug- bzw. Druckfestigkeit, für Nadelholz etwa ⁴/s—Vio» bei Stein Ks =    bei Zementmörtel Ks =-^Kd.

Aus diesen Angaben läßt sich die zulässige Spannung auf Abscheren = ks durch Annahme eines entsprechenden Sicherheitsgrades bestimmen.

Die Untersuchung auf Scherfestigkeit kommt häufig im Baufache vor; besonders vielfach werden Bauteile aus Metall auf Abscheren beansprucht, so z. B. Schraubbolzen, Niete, Keile, welche zur Verbindung verschiedener Bauteile untereinander dienen.

Man beachte folgenden Grundsatz: Die Verbindungsteile müssen die gleiche Sicherheit aufweisen wie die Bauteile, zu deren Verbindung sie dienen.

Häufig kommen bei den hier maßgebenden Belastungsfällen außer dem Widerstand auf Abscheren gleichzeitig auch noch andere Festigkeitsarten in Frage, so besonders häufig die Druckfestigkeit.

B. Anwendungen.

Aufgabe 21: Ein Balken mit Abmessungen 18/24 ist beiderseits auf kieferne Traghölzer aufgelagert (Abb. 37 a) und überträgt auf jedes Auflager eine Kraft P = 4800 kg. Wie groß sind die Abmessungen der unterstützenden Hölzer zu wählen?

24

Lösung: Der Querschnitt AB wird auf Abscheren beansprucht. Die äußere Kraft P wirkt dabei senkrecht zur Faserrichtung des Holzes; es kann daher nach Ta-— belle ks — 60 kg zugelassen werden.

Gegeben: P = 4800 kg; ks = 60 kg.

(Gl. 10 a)

Es muß sein:

4800

F= b ■ h.

.L.

Abb. 37 a.

Nach Abb. 37b ist:

F = ₆₀ = 80 qcm.

Es wird also:

= 10 cm .

[ b ■ h — 80; gewählt b = 8 cm] , . 80 80 * h=b = 8

Abb. 37 b.

Es genügt also ein Holz 8/10 cm.

Aufgabe 22: Eine Last von 4500 kg wird mittels eines Flacheisens auf einen Unterzug in nebenstehender Weise übertragen (Abb. 38a/b). Welchen Durchmesser muß der zur Befestigung dienende Bolzen erhalten? Lösung: Gegeben P=45G0 kg; ks = 750 kg.

Der Bolzen wird im Querschnitt A-JB auf Abscheren beansprucht (einschnittiger Bolzen).

Abb. 38 a.

€-

P = F ■ ks-, \F=~ (Gl. 10a)

KS

4500    ,    d*7t

F=75o=6qcm; F= ₄

d²7C

-Tafiach Tabelle erhält man d = 2,8 cm (s. auch Aufgabe 26 S. 35).

Aufgabe 23: Da die einseitige Übertragung den Unterzug sehr ungünstig beeinflußt (Verdrehung!), so soll eine symmetrische Anordnung nach Abb. 39 an Stelle der in Abb. 38 gegebenen, ausgeführt werden. Wie groß ist der erforderliche Bolzendurchmesser? Lösung: Zur Aufnahme der Kraft P ist wie bei Aufgabe 20 eine Gesamtfläche

P

F =    = 6 qcm nötig.

26

(A

Es wird:

V/

P—b

P= 4500 foj

Abb. 38 b.

Abb. 39. W

Es sind hier jedoch die beiden Querschnitte AB und CD abzuscheren (zweischnittiger Bolzen), so daß also

d²n "4

d²it

= 3 wird. 4

Nach Tabelle wird d = 2,0 cm erforderlicher Bolzendurchmesser gefunden (auch

Aufg. 27 S. 35).

L__

1-+

Aufgabe 24: Welche Abmessungen erhält der Zapfen eines kiefernen Riegels (Abb. 40a/b), falls er eine Kraft P = 2000 kg zu übertragen hat? Das Abscheren erfolgt senkrecht zur Faser; dem-

Ui-20    .    ,

j ! nach ist ks = 60 kg nach der Tabelle zu wählen.

Abb. 40 a.

a) Berechnung auf Abscheren.

Gegeben: P— 2000 kg; ks = 60

kg

qcm

«tçj

rt

Abb. 40 b.

1-4-

„ 2000 ₀,

F= 60 -34qCm'

Unter Bezugnahme auf Abb. 40 wird die abzuscherende Fläche F = d ■ h. d h = 34

34

d~ 7T;

h = 20 cm.

Demnach ergibt sich:

34

= rd. 2 cm.

d==2Ö

Der Zapfen hat jedoch auch in der Ebene CB Druck zu übertragen.

b) Berechnung auf Druck.

Gegeben: P=2000 kg; es kommt Druck senkrecht zur Faser in Betracht, wo-

für als zulässig angenommen werden soll: kd = 15

kg

qcm

Es ist nötig:

2000

= 133 qcm. 15

2,0 ■/ = 133

Die gedrückte Fläche ist nach Abb. 40; F₁ = d-l. Gefunden war d = 2,0 cm. Demnach wird:

133

= 67 cm.

Da die Zapfenlänge zu groß ist, wird die Zapfenbreite auf etwa Gewählt: d— 10 cm;

b vermehrt.

dl =133

133

-Q = rd. 14 cm.

Aufgabe 25: Die Hängestrebe eines Hängewerks, welche unter 30° gegen die Wagerechte geneigt ist, überträgt auf den Hauptbalken eine Kraft

S = 8000 kg (Abb. 41a). Wie lang muß die Strecke l werden, damit ein Abscheren vermieden wird? (Abb. 42a/b.)    ^

s.

'■V

’3(r

30

Abb. 41 a.

Abb. 41b.

Lösung: Das Abscheren wird bewirkt durch die wagerechte Seitenkraft H der Strebenkraft S, welche man durch Zerlegung von S in eine lotrechte und wagerechte Seitenkraft erhält. (Von der durch die lotrechte Seitenkraft V Rei-

entstehenden bung Æ = V • f, welche einer Bewegung durch die Kraft H

20

-M-

_____i-___

3<r j

//

.1.

Widerstand leistet, wird aus Sicherheitsgründen Abstand genommen.)

Aus Abb. 41 b ergibt sich:

Abb. 42a.

Abb. 42b.

= cos 30°;

H = S ■ cos 30°

H = 8000 • 0,866 = 6924 kg. Gegeben: P — H = 6924 kg ; ks (hier || zur Faser) =* 10

H = Fks

Es ist:

kg nach Tabelle 6 S. 152. qcm

6924

Yq = 693 qcm.

1. Die Verbindung der Hölzer erfolge durch einfache Versatzung, die Strebe und der Hauptbalken haben gleiche Breite.

a) Berechnung auf Abscheren.

Mit genügender Genauigkeit kann /x = l gesetzt werden, zumal dadurch sicherer gerechnet wird. Es ist:

F = b ■ l₁;

6 •/, = 693; b — 20 cm. 20 •    = 693

693

/, =    = rd. 35 cm.

b) Berechnung auf Druck.

Es wird hierbei die Annahme gemacht, daß die Vorderfläche der Versatzung lotrecht sei.

Gegeben:

Es muß sein:

Nach Abb. 42a/b ist:

kêL.

qcm

Fi= kd‘> Fi = go = rd- ⁸⁷ 9cm-

Fi = ht • b ; b = 20 cm

/q • 20 = 87

.    87    . .

=20= 4,4 cm.

P= 7/ = 6924 kg; = 80

Ausgeführt wird: ht =4,5 cm.

II. Die Verbindung der Hölzer erfolgt durch einfache Versatzung und Zapfen,

sonst wie bei I (Abb. 43a/b).

Abzuscheren sind die wagerechten Flächen 1, 2 und 3 und die beiden lotrechten Flächen 4 und 5. Die Flächen 1, 2 und 3 haben eine Länge von rd. / cm; die Breite von I und 2 beträgt je 6,5 cm, die von 3 = 7 cm. Die beiden lotrechten, einander kongruenten Flächen 4 und 5 können als Rechtecke angesehen werden mit einer Länge / cm und einer Höhe von 4 cm.

Die abzuscherende Gesamtfläche beträgt daher:

F = (6,5 -f 7,0 -f 6,5) /    2*4-/ qcm.

⁸t

3

Abb. 43a.

*JL

4._

T

J-+

20

6,5 7 6,5

Abb. 43b.

Die erforderliche Fläche ist wie bei I: F— 693 qcm; es wird daher: 20/ -f- 8/ = 693 281 = 693

693

/ =    = rd. 25 cm.

28

III. Die Verbindung der Hölzer erfolge wie bei II durch einfache Versatzung mit

Zapfen, jedoch sei die Strebe mit dem Hauptbalken nicht mehr bündig (Abb.44a/b).

i ²t H |y]

6,5 6,5

Zu den vorigen Flächen 1 +-20— bis 5 kommt noch eine weitere lotrechte Fläche 6 hinzu, welche abgeschert werden muß.

Es wird daher:

F = (6,5 -f 7,0 + 6,5) 1 + 2-41 + 4 ■/

Abb. 44a.

+■—24- + Abb. 44b.

20/+ 8/+ 4/= 693 32/= 693

693

= 21,6 = rd. 22 cm.

<32

IV. Wird die Strebe bei breiterem Hauptbalken (b = 28 cm) in die Mittellinie des Hauptbalkens gelegt, wie es bei Brücken und wichtigeren Bauten in der Regel auszuführen ist (Abb. 45a/b), so erhält man noch eine abzuscherende Fläche 7, welche zu 6 kongruent ist.

Es wird:

F = 20/ + 8/ + 2-4/ = 36/ 36/= 693

693

= 19,2 = rd. 20 cm.

V. Wird die Vorderfläche des Zapfens lotrecht angeordnet wie in Abb. 46a/b, so erfolgt, falls die Strebe mit dem Hauptbalken wie im Fall a und b bündig liegt, eine Herabminderung von Z gegen die daselbst berechneten Längen. Es sind dann außer den wagerechten Flächen 1, 2 und 3, zwei lotrechte Flächen 4 und 5 von einer Höhe =8 cm durchzuscheren.

Es wird:

F = 20/ + 2 • 8/= 36/.

Man erhält also wie bei d:

—20—

28-À-

Abb. 45 a.

Abb. 45 b.

36/= 693

693

36

= rd. 20 cm.

VI. Unter der Voraussetzung der Wahl der Abmessungen wie bei IV, also nicht bündiger Lage von Strebe und Hauptbalken, aber Ausführung eines lotrechten Zapfens wie bei V kommt noch die bei IV vorhandene Fläche 6 und 7 in Frage. Es wird:

«--20—•

J® 20

f-'

s'

OTJ-,

-T-J

f ri+jr

24    ³

PO

Abb. 47.

Abb. 46 a.

Abb. 46 b.

F= 20/+ 2 8/ +2-4/ = 44/ 44/= 693

¹

Nach den Mitteilungen der Kgl. technischen Versuchsanstalten Berlin (Materialprüfungsamt) hat sich senkrecht zur Faser bei Buchenholz eine Bruchfestigkeit von

, ⁶⁹³ ^

44

/ = —TT- = rd. 16 cm.

Bemerkung: Eine weitere Verbesserung der Verbindung kann durch Einziehung von Bolzen geschehen.

Aufgabe 23 a: Man löse die gleiche Aufgabe unter Anwendung einer doppelten Versatzung unter Zugrundelegung der in Abb. 47 gegebenen Maße.

C. Die Berechnung der Niet- und Schraubenverbindungen.

1. Allgemeines.

Die Übertragung von Stabkräften der in Eisen errichteten Bauteile auf andere eiserne Bauteile erfolgt in der Regel durch Niete oder Schrauben (s. Eisenkonstruktion). Der durch die Zusammenziehung des Nietschaftes

beim Erkalten zwischen den einzelnen aufeinanderliegenden Bauteilen entstehende Reibungswiderstand wird bei der Berechnung nicht berücksichtigt. Die Berechnung der Niet- und Schraubenverbindungen erfolgt daher nach den gleichen Regeln.

Die Verbindungsmittel sind entweder einschnittig, zweischnittig oder mehrschnittig, je nachdem ein, zwei oder mehrere Querschnitte abzuscheren sind, um eine vollständige Trennung der zu verbindenden Bauteile zu bewirken.

Die Zerstörung kann erfolgen:

a)    durch eine zu große Beanspruchung des Nietes auf Abscheren,

7    13

3,1'    1'}

O    O !

3 TT    Wr'~2;i

b)    durch eine zu große Inanspruchnahme des Nietes auf Druck (Lochleibungsdruck),    f

Abb. 48.

c)    durch Abscheren des Stabes j in Richtung der Stabachse zwi- j sehen den Verbindungsmitteln l (Abb. 48, Trennung nach den L Ebenen 3 und 4),

d)    durch Abscheren des vor den äußersten Verbindungsmitteln in der Kraftrichtung vorhandenen Stabteils (Abb. 48, Trennung nach den Ebenen 1 und 2 für den oberen Stabteil, 1' und 2' für den unteren).

Für die Wahl der Abmessungen sind für die Punkte a und b die rechnerischen Festlegungen maßgebend, während für Punkt c und d in der Regel praktische Erwägungen den Ausschlag geben (s. auch Eisenkonstruktion).

Bei der Berechnung ist zu bestimmen die Nietschaftstärke, die Anzahl der Niete, der Abstand und die Gruppierung der Niete (bzw. Schraubbolzen).

d = 2 d.

Der Nietdurchmesser d wird in der Regel gleich der doppelten kleineren Blechstärke Ö gewählt, also:

d — 8 -f- 1,0 cm, für Bleche mit ö > 1,2 cm: d = 0,5 d + 1,6 cm

Tetmajer empfiehlt bei Vernietung vollwandiger Träger für Bleche mit ^ < 1,2 cm zu wählen:

ö = Stärke des dünneren Bleches.

Bei Fachwerkträgern richtet sich die Nietstärke nach der Größe der Stabspannkräfte.

Für den Nietdurchmesser sollen in der Regel nur die Werte d = 12, 16, 20, 23 und 26 mm Verwendung finden (Min.-Erlaß vom 1. VIII. 1910). Zur Zeit sind Verhandlungen zur Normalisierung der Niete im Gange.

Zu beachten ist ferner, daß wegen etwaiger fehlerhafter Herstellung oder Mängel des Baustoffes ein Stab nicht mit weniger als 2 Befestigungsmitteln anzuschließen ist, auch wenn die Rechnung eine geringere Zahl ergibt.

Bemerkung. Im folgenden sollen nur die Vernietungen betrachtet werden, für Verschraubungen gilt sinngemäß das gleiche.

2. Die einschnittigen Nietverbindungen,

a) Abscheren.

Zur Lösung der Nietverbindung ist ein Schnitt in der Ebene AB erforderlich (Abb. 49a-c). Die Tragkraft des Nietquerschnittes auf Abscheren sei

= Na. Der ganze Nietquerschnitt kann genügend genau als gleichmäßig belastet angesehen werden. Ist ks die zulässige Spannung des Nieteisens aut

ïuJ.

Abb. 49 a.

Abb. 49 b.

Abb. 49 c.

Na-F-ks

Abscheren, so ist die Tragkraft eines einschnittigen Nietes aut Abscheren:

Na =

■ks .

ÖD

b) Lochleibungsdruck.

Das Niet wird sich im oberen bei I, im unteren Teile bei II an das Flacheisen anlegen und die Leibung des Loches drücken (Abb. 50). Die Zerstörung wird durch Quetschen stattfinden.

Der Lochleibungsdruck verteilt sich nicht gleichmäßig über den halben Zylindermantel des Nietschattes, sondern er wird vielmehr bei E am größten und bei C und D = Null werden (Abb. 51). Mit genügender Genauigkeit

k-t

[■:

r_4

Abb. 51.

Abb. 50.

nimmt man jedoch für die praktische Anwendung an, daß sich der Druck gleichmäßig über die Projektion des Mantels auf die Ebene CD (also senkrecht zur Kraftrichtung) verteilt (Abb. 52 a—c), er demnach dieselbe Größe besitzt. Den zulässigen Lochleibungsdruck bezeichnet man mit /?,.

Nt = F ■ kr, F = d ■ d Nt= d • ö ■ kv .

Die Tragkraft eines einschnittigen Nietes auf Lochleibungsdruck ist demnach:

(12)

Meist wird kt = 2 • ks angenommen.

Nach den ministeriellen Bestimmungen über die bei Hochbauten anzunehmenden | Belastungen und die Beanspruchungen der Baustoffe vom 24. XII. 1919 ist höchstens zu wählen für Niete und gedrehte Schraubenbolzen:

Abb. 52 a.

Schnitt CD

11

Abb. 52b. Abb. 52c.

die zulässige Beanspruchung auf Abscheren ks = 1000 die zulässige Beanspruchung auf Lochleibung kt = 2000

kg

qcm ’

kg

qcm

b) Lochleibungsdruck.

Es gilt das gleiche wie bei 2 b. Das Niet wird im oberen Teile bei I, im unteren bei 111, im mittleren Teile bei II sich an die zu verbindenden Bauteile anlegen.

Nt = d ■ d • ki. .

• . (14)

kfr und

Bei gewöhnlichen Schraubbolzen darf höchstens ks = 750

kt = 1500 —

¹    qcm

Hierbei ist für Niete und kegelförmig abgedrehte Bolzen der Bohrungsdurchmesser, für Schrauben der Schaftdurchmesser in Rechnung zu stellen.

Wird die Tragkraft eines Nietes auf Abscheren kleiner als die Tragkraft des Nietes auf Lochleibung, so ist erstere für die Berechnung der Verbindung maßgebend.

Ein einschnittiges Niet ist daher auf Abscheren zu rechnen, sobald

Na < N,

d 2 rjr

< d • à ■ ks= 1000 d² %

oder:

also:

oder, sobald

also:

betragen.

kg . qcm ’

₄- • 1000 < d * d ■ 2000 d < ⁴~P

‘    7T

d < 2,55 d

k, = 2000 kg

qcm ’

d > 0,4d (genau d > 0,393 d).

qcm

Einschnittige Nietverbindungen sind auf Lochleibung zu rechnen, sobald

oder sofern

8 < 0,4 d    ist,

> 2,55 <3    wird.

3. Die zweischnittigen Nietverbindungen, a) Abscheren.

Zur Lösung der Nietverbindung sind Schnitte nötig, einer in der Ebene AB, ein anderer in der Ebene CD. Die Zerstö-

Abb. 53.

schnittigen Nietes auf Abscheren ist demnach:

rung zweier Querschnittsflächen muß erfolgen (Abb. 53).

Die Tragkraft eines zwei-

Na = 2 ■ F • ks

Na = 2-

d*7t

(13)

Die Tragkraft eines zweischnittigen Nietes auf Lochleibungsdruck wird somit wieder:

Zu beachten ist, daß der Wert d des Stabes mit einfachem Querschnitt zu vergleichen ist mit der gesamten Blechstärke 2 • dt des aus zwei Teilen zusammengesetzten Stabes.

Es wird vielfach sein d = 2dx. Trifft dies nicht zu, so ist stets der kleinere der beiden Werte d bzw. 2d\ einzuführen, d. h. also der, bei welchem sich für Nt der niedrigste Wert ergibt. Auch hier ist die Tragkraft für Abscheren Na die maßgebende, sofern Na < Nt ist.

Na<Nl

Die doppelschnittige Nietverbindung ist auf Abscheren zu rechnen, sofern

also:

Es ergibt sich:

4-<d-d*Äf. d < d • kr

oder

d < 1,25 d

d > 0,8 d (genau d > 0,785 cf),

wobei für d die kleinste der für die Übertragung der Stabkraft erforderlichen Blechstärken einzusetzen ist.

Doppelschnittige Nietverbindungen sind auf Lochleibungsdruck zu rechnen, sobald

d< 0,8 d

ist oder sofern

wird.

d > 1,25 d

Da d meist = 2d gewählt wird, so müssen in der Regel einschnittige Nietverbindungen auf Abscheren, dagegen zweischnittige auf Lochleibungsdruck berechnet werden.

Bestimmung der erforderlichen Nietzahl. Überträgt ein Stab eine Stabkraft S, so erhält man die Anzahl der Niete n aus der Beziehung:

Für N ist der kleinere der beiden Werte Na bzw. Nt einzusetzen.

Nach Bestimmung der erforderlichen Nietzahl unter Berücksichtigung entsprechender Sicherheit gegen Abscheren bzw. Lochleibungsdruck muß die Entfernung der einzelnen Niete von den Stabrändern sowie der Abstand der Niete voneinander festgelegt werden.

4. Berechnung des Nietabstandes a vom senkrecht zur Kraftrichtung liegenden Blechrande CB.

Das Stück EFHI des Stabes, welches bereits eine erhebliche Inanspruchnahme durch den Druck des Nietschaftes erfährt, wird nicht berücksichtigt, so daß lediglich die der Strecke FG und IK entsprechenden Rechtecksflächen als widerstehend angenommen werden können.

Ein Abscheren in diesen Flächen darf nicht eintreten. Es muß daher sein unter Hinweis auf die in Abb. 54 gegebenen Bezeichnungen:

2ö ■ x-ks = N

2d-ks

UaBsch 47; Schau, Statik II. 3. Aufl.

ist)

X 2d-ks d ■ 8 ■ kt 28 ■ ks ;

qcm

kt=2ks (da kt = 2000 ^ und ks = 1000 kg

_d-8-2ks X~~^ks

Man findet hier also ebenfalls:

d²jr

Dabei einschnittiger Verbindungmeistd>0,4d,so mußN=Na= Ą k&

gesetzt werden. Die Verbindung wird dann gleich sicher gegen Abscheren des Nietes und gegen Ausreißen des Nietes aus dem Stabe in der Kraftrichtung sein.

x    Unter Annahme des ungünstigsten Wertes

\    6 — 0,4d wird das Maß x mindestens

d²n ,

4 s

X 2 ■ 0,4 d ■ ks

x = rd. d.

i

Bei zweischnittiger Verbindung wird, j da in der Regel S.< 0,8 d ist, auf Lochleibung gerechnet, also wird N = Nt = d • ö • kt gesetzt. In diesem Falle wird die Verbindung d gleich sicher gegen Lochleibungsdruck und

_j“ ' gegen Ausreißen des Nietes aus dem Stabe

in der Kraftrichtung sein.

Es wird:

Abb. 54a.

Ci Co

d —4*--x-»

Hi J

>c

Abb. 54 b.

x = d.

Daraus ergibt sich "der Abstand des Nietes vom Stabrande :

i d

a = x + — a = d -f-a = 1,5 d.

Dieses Maß wird aus praktischen Gründen möglichst auf a = 2d erhöht. Das gleiche Maß wählt man auch für den Abstand von den schrägliegenden Rändern AB und CD.

5. Sonstige Angaben über Vernietungen.

Kraftniete. Die Niete sollen von den zur Kraftrichtung gleichlaufenden Stabrändern mindestens ax = 1,5d, besser aber ax = 2d entfernt bleiben.

Den Abstand der einzelnen Niete voneinander wählt man in der Regel zu e = 3d (emm = 2,5 d) und vergrößert ihn bei Kraftnietungen höchstens bis auf e = 5 d.

Bei Nietungen mit versenkten Köpfen wird eine Vergrößerung des Abstandes nötig, meist wird <?min = 3,3 d gewählt.

Heftniete sollen eine Entfernung e = 6d bis 8d bei auf Druck und e = 8d bis 10d bei auf Zug beanspruchenden Stäben erhalten.

Eine rechnerische Feststellung der Abstände erübrigt in der Regel nach vorstehendem, da meist praktische Gesichtspunkte für ihre Wahl maßgebend sind (S. 30).

Sind zwei oder drei Niete nötig, so werden sie hintereinander angeordnet. Bei mehrreihigen Vernietungen ist su beachten, daß die Niete stets symmetrisch zur Stabschwerlinie (Kraftlinie) anzunehmen sind.

Bei gezogenen Stäben beachte man, daß die Schwächung des Querschnitts durch die Nietlöcher bei der Festsetzung der Abmessungen zu berücksichtigen ist, also nur der nutzbare Querschnitt als tragend in Frage kommt (s. auch S. 10). Hierbei ordne man die Niete stets so an, daß in der ersten Nietreihe möglichst nur ein Niet, in jeder folgenden Reihe ein Niet mehr als in der vorhergehenden angebracht wird.

Bei Beachtung dieser Regel wird die auszuführende Stabbreite nur um den Nietdurchmesser d größer als die bei der Feststellung des erforderlichen nutzbaren Querschnitts sich ergebende Breite.

6. Verschraubungen.

Für die Berechnung von Verschraubungen gelten meist die gleichen Gesichtspunkte wie für die Nietverbindungen. Über die Berechnung von Gelenkbolzenverbindungen wird später das Nötigste mitgeteilt werden (S. 112 u. fgd.).

7. Anwendungen.

Aufgabe 26: Für den in Aufgabe 22 angegebenen Fall soll der Lochleibungsdruck im Bolzenloch bestimmt werden (Abb. 38a/b).

Lösung: Die Druckspannung, die im Bolzenloch auftritt, kann genügend genau dadurch bestimmt werden, daß man annimmt, die Kraft P verteilt sich gleichmäßig über ein Rechteck von der Breite d cm und der Länge b cm, s. auch S. 31.

F= b ■ d.

Es ist also

Es wird:

b -d

Gegeben ist: P = 4500 kg; 6 = 26,0 cm; d==2,5cm.

rd. 70 Ł qcm

Man erhält:

4500 k ~ 26 • 2,5

Diese Spannung ist zu hoch; ein Bolzen von d = 3cm gibt eine zulässige Spannung

von 58    ■

qcm

Aufgabe 27: Für die in Aufgabe 23 erfolgte Anordnung soll der Druck, den das Bolzenloch erleidet, bestimmt werden.

Lösung: Unter Hinweis auf Aufgabe 26'ergibt sich:

k-„Pä

Gegeben ist: P= 4500 kg; 6 = 26,0 cm; d = 2,0 cm.

_    4500

~ 26,0 • 2,0

Es wird somit:

= rd. 87 kg • qcm

Diese Beanspruchung ist zu hoch. Zur Herabminderung empfiehlt es sich (nach Äbb. 55) zu beiden Seiten des Unterzugs stützende Flacheisen einzulassen und so den Druck zu übertragen.

Sofern der ganze Druck aufgenommen werden soll, ist bei einer 3 zulässigen Beanspruchung kd — 60 kg eine Fläche nötig:

= 75 qcm.

\P 4500 ~kd~ 60

Als Druckfläche kommt für jedes Flacheisen in Frage

75

F =2= 38 qcm.

Bei 2 cm Breite genügt eine Flacheisenlänge von 19 cm. Gewählt werden zwei Flacheisen 20-2 cm. Der Druck des Bolzens wurde vernachlässigt.

Abb. 55.

Aufgabe 28: Ein Zugstab soll eine Kraft S = 24000 kg aufnehmen. Er wird als Flacheisen ausgebildet, welches gestoßen werden soll. Der Stoß soll berechnet und aufgezeichnet werden. Zur Stoßdeckung sollen zwei Laschen benutzt werden.

a) Berechnung des Stabes auf Zug.

Gegeben: P=24000 kg; kz = ¹²00^--

Der nutzbare Querschnitt des Stabes ergibt sich zu:

20 qcm.

24000

1200

Erfolgt die Ausbildung der Stoßanordnung nach den oben unter 5 S. 35 gegebenen Regeln derart, daß in der ersten Nietreihe nur ein Niet steht, so kommt nur ein Nietquerschnitt als Abzug in Frage, und man erhält nach Abb. 56. Abb. 56:

F = (b — d) â (b — d)d = 20

Es wird:

20

+ d.

20

Wird die Blechstärke — 1 cm und der Nietdurchmesser d — 20 mm gewählt, so ergibt sich:

b = y-Q -f- 2,0 = 22 cm. Es ist also ein Flacheisen 22x1,0 cm erforderlich.

b) Berechnung der Vernietung des Stoßes.

Die Vernietung des Stoßes ist eine zweischnittige (Abb. 57a-c). Die Stärke dx der Laschen beträgt aus praktischen Gründen mindestens 6 mm. Es kommt demnach für die Berechnung der zweischnittigen Nietverbindung die Stärke d des Flacheisens in Frage (da <5'<2d₁).

Für das Flacheisen ist d = 2S, also d> 1,25d'; somit muß nach S. 33 auf Lochleibungsdruck gerechnet werden.

N[ = d ■ S ■ k[ = 2 • 1,0 • 2000 = 4000 kg.

Es ist:

Die erforderliche Nietzahl ist demnach

= 6.

_    24000

n JV/ 4000

Beiderseits des Stoßes sind daher sechs doppelschnittige Niete nötig.

Die Niete werden so gruppiert, daß in der ersten Reihe ein Niet, in jeder folgen-

Abb. 57 a.

den Reihe ein Niet mehr angeordnet wird. Die Gruppierung ergibt hier

1 _j_ 2 + 3 = 6 Stück beiderseits (Abb. 57 a).

Setzt man in die I S erste Nietreihe ein Niet, so überträgt dieses # = 4000 kg in die Lasche, der Querschnitt der Reihe B hat dem—4200— nach nur noch eine Kraft = 24000 —

4000 = 20000 kg ₍_

aufzunehmen. Hier- ' zu ist eine nutzbare Fläche nötig:

Abb. 57 b.

v-v

a-a

<o

l-t

ài d d'i

-TTtt-

d=20

(.:)

G>4-4

220

<F

0.

i

Ci

(■

;)

X-4-

+> 40^—60 —60-±40*40+-60 -+-60 —40*

160

160

4.

4200—

Abb. 57 c.

SA _ 20000

kz — T2ÖÖ

Wird in der Reihe B ein Niet mehr angenommen als in der Reihe A, so ergibt sich eine vorhandene nutzbare Fläche von

Fi-

= 16,7 qcm.

(22 — 2 • d)ä = (22 — 2 • 2) • 1,0= 18 qcm, 20000

= 1111 kg.

18”

welche vollauf genügt; wird =

Der Querschnitt der dritten Reihe C hat nur noch eine Kraft S₂ = 24000 — 3 • 4000 = 12000 kg aufzunehmen. Hierzu ist eine nutzbare Fläche nötig:

„ S₂ 12000

F'=*;-T2öo”10qcm'

Vorhanden ist bei Anordnung von 3 Nieten in Reihe C eine nutzbare Fläche von (22 — 3d)d = (22 — 3 • 2) 1,0 = 16 qcm,

welche somit durchaus ausreichend ist.

fc₂ wird =    = 750 kg.

Würden die erforderlichen sechs Niete nur in zwei Reihen gesetzt, so würde die Stabbreite erheblich größer werden. Es wäre erforderlich nach a (S. 36):

(b — 3d)d = 20

20

b = 3d 20

b = yQ 4- 3 • 2 = 26 cm.

kg

Die zweite Nietreihe würde nun eine Kraft von 24000 — 3 ■ 4000 = 12000 kg aufzunehmen haben, die vorhandene nutzbare Fläche beträgt 20 qcm, so daß 12000 20

= 600

wird.

qcm

Diese letzte Anordnung hat daher den Nachteil, daß die Festigkeit des Baustoffs nicht so gut ausgenutzt wird wie bei der ersten und daß durch die größere Stabbreite mehr Baustoff nötig wird. Bei größeren Nietzahlen sind diese Nachteile in noch weit höherem Maße vorhanden.

Die Entfernungen der Niete von der Stoßstelle und vom Laschenende werden zu a = 2d = 2-20 = 40 mm gewählt. Die gleiche Entfernung wird auch von den zur Kraftrichtung gleichlaufenden Kanten beibehalten, also = 40 mm.

Die Entfernung der Niete der letzten Reihe C ergibt sich zu

70 mm,

220 — 2 • 40

also >3d. Soll dieser Abstand zwischen den Nieten beibehalten werden, so erhält man die Entfernung x der Nietreihen folgendermaßen (Abb. 57 a):

«•H-©-"¹

x = l/70² — 35" = rd. 60 mm.

c) Die Bestimmung der Abmessungen der Stoßlaschen.

Die Stoßlaschen übernehmen in der Nietreihe C bei der in Abb. 57 a getroffenen Nietanordnung die gesamte Stabkraft, ihr nutzbarer Querschnitt muß daher nach obigem = 20 qcm betragen.

-T<l

N !

«d ci!

n-D

d=20

ld

ö,ö,

Abb. 58.

I    -i    i    i i ¹    i    i    ii,.

i'40~r—ß0—'ir—60~^f—60—^*40^404*- 60—*i“—60 *i* 60 **40— Abb. 59.

Ihr nutzbarer Querschnitt ist nach Abbildung 58

F=2(6 -3d)-dt.

Man erhält demnach: 2(b — 3d) ó\ = 20; 6 = 22,0 cm; d = 2,0 cm 2(22 — 3-2)S₁ =20

si =

20

20

2(22 —3 2)    2 - 16

= 0,63 = rd. 0,7 cm.

Die Laschen erhalten daher die Abmessungen 20,0 • 0,7 cm.

ÿ

Soll die Laschenstärke jedoch = werden, so muß die Anordnung der Vernietung nach Abb. 59 erfolgen, da dann im Querschnitt D ebenso wie im Querschnitt A nur ein Nietloch in Abzug zu bringen ist; der Grund für die Verstärkung der Lasche ist hinfällig geworden.

Bemerkung: Im Hochbau wählt man die Laschenstärke nicht geringer als 5 mm, besser 3min = 6 mm; im Brückenbau wird <?min = 7 mm, besser = 8 mm angenommen.

Falls der gezogene Stab an ein Knotenblech angeschlossen werden soll, so gelten die gleichen bislang entwickelten Regeln. Da das Knotenblech reichliche Stärke besitzt, so wird es auch in der Regel durch den Abzug von mehr als einem Niet nicht überanstrengt. Wird in dem vorliegenden Falle das Flacheisen mittels Laschen an das Knotenblech angeschlossen, so ist die Anordnung nach Abb. 60 zu treffen, damit eine Überanstrengung der Lasche vermieden wird. Der Querschnitt des Knotenblechs gestattet bei CC

die Schwächung durch drei Niete. Am Laschenende braucht man somit nicht mit einem Niet abzuschließen.

sv

Man beachte stets, daß eine möglichst gleichmäßige Lastübertragung auf die einzelnen Niete erzielt werden soll, der Stab muß daher nach der Richtung hin, nach der er seine Kraft abgibt, geschwächt werden. Dies geschieht entweder durch Vergrößerung der Nietzahl in den einzelnen Reihen oder durch Änderung der Stabbreite.

r"

>    -80-80-10

)0

\80-80-10

Q.

)0

lN.P.Nr.2^

0(

)0

1N.P. Nr. 40

X)

0(

)0

-80.80.10

)0

Abb. 60.

I N.P.Nr.40 Abb. 61 a.

Abb. 61b.

Aufgabe 29: In einem Zuggliede, welches als Flacheisen ausgebildet werden soll, herrscht eine Stabkraft S = 46000 kg. Die Blechstärke beträgt 1,2 cm, der Nietdurchmesser 23 mm. Der Stoß der Flacheisen ist zu berechnen und aufzuzeichnen. Zur Stoßdeckung sollen zwei Laschen dienen.

Aufgabe 30: Ein gewalzter i-Träger N. P. Nr. 40 und ein zweiter, senkrecht zu ihm liegender Walzträger I N. P. Nr. 28 sind aneinander vermittelst Winkeleisen anzuschließen. Die an der Anschlußstelle zu übertragende Kraft betrage 12000 kg. Zur Verwendung gelangen Niete mit 20 mm Durchmesser.

Es soll die Nietzahl für den Anschluß bestimmt werden. Die Anschlußwinkel seien zu 80 • 80 • 10 gewählt.

Lösung: Der Anschluß der Winkeleisen an den Walzträger Nr. 28 ist zweischnittig (Abb. 61a/b). Die Stegstärke beträgt d' = 1,01 cm. Dieser Wert kommt daher in Betracht, da die Winkeleisenstärken — 1,0 cm sind, also zusammen 2<î₁ == 2 • 1,0 = 2,0 cm betragen.

Bei zweischnittiger Nietverbindung ist aut Lochleibung zu rechnen, wenn

(S. 33) wird.

d> 1,25 Ô

Hier ist:

2,0 > 1,25 -1,01 d. h. 2,0 >1,25.

Es muß also auf Lochleibung gerechnet werden:

Nt — d - $ kt

A, = 2,0 • 1,01 • 2000 = 4040 kg.

Die Anzahl der zweischnittigen Niete beträgt:

= rd. 3.

12000 4040

Der Anschluß der Winkeleisen an den Träger Nr. 40 sei einschnittig. Die Stegstärke beträgt 1,44 cm.

Bei einschnittiger Nietverbindung ist auf Abscheren zu rechnen, sofern

S > 0,4 d.

Hier ist:

1,44 > 0,4 • 2,0, d. h. 1,44 >0,8.

Es muß also auf Abscheren gerechnet werden.

Na=d't K

Na-

• 1000 = 3140 kg-.

Die Anzahl der einschnittigen Niete:

= rd. 4.

_P^_ 12000 U~ Na~ 3140

Auf jeder Seite des anzuschließenden Trägers werden 2 Niete erforderlich.

Zu beachten ist, daß stets zur Aussteifung des Steges und zur Herbeiführung einer möglichst gleichmäßigen Verteilung des von dem kleineren Träger auf den größeren übertragenen Auflagerdrucks ein Anschlußwinkel über die ganze Steghöhe des letzteren durchzuführen ist. Die Zahl der Anschlußniete soll mindestens 3 betragen. Die Anschlußwinkel sollen nicht größer gewählt werden, wie der Nietdurchmesser d es unbedingt fordert^ um nicht unnötig hohe Beanspruchungen der Niete durch Biegungsmomente zu erhalten, welche in den Nieten Zugspannungen hervorrufen und so die Gefahr des Absprengens der Nietköpfe bewirken.

IV. Berechnung von größeren Bauteilen.

Im folgenden sollen einige Bauteile berechnet werden, bei welchen mehrere der bisher untersuchten Festigkeitsarten zu berücksichtigen sind.

Abb. 62.

Aufgabe 31: Die Hängesäule eines einfachen Hängewerkes soll eine Kraft P= 18000 kg auf nehmen. Die Abmessungen der Hängesäule B sind zu bestimmen; außerdem hat - die rechnerische Festlegung einer sicheren Kraftübertragung von der Hängesäule auf die Streben (Abb.62 Knoten D) und vom Hängebalken auf die .Hängesäule (Knoten C) zu erfolgen.

A. Berechnung des Knotens D.

Die Hängesäule überträgt die in ihr befindliche Zugkraft V = P— 18000 kg (Abb. 63) auf die Streben; die zur Aufnahme der Kraft dienenden Flächen erhalten eine Druckbeanspruchung.

1. Berechnung auf Druck.

a) Annahme, daß lediglich ein Versatz der Streben in die Hängesäule erfolgt. (Abb. 64.)

Die Tiefe der Versatzung muß festgelegt werden, wobei vorausgesetzt ist, daß Kiefernholz zur Verwendung gelangt.

Gegeben: V — 18000 kg; kd — 60 kg.

Es wird eine Druckfläche erforderlich:

F = 4—

18000

= 300 qcm.

Abb. 63.

F— 2x ■ 24 qcm. 2 • x • 24 = 300

Bei einer Versatzungstiefe von x cm und einer Strebenbreite b von 24 cm erhält man eine Druckfläche

Es wird also:

300

•*= 4g =6,3 cm.

Ausgeführt wird x — 6,5 cm.

b) Annahme, daß die Verbindung zwischen Strebe und Hängesäule durch Versatzung mit Zapfen erfolgt (Abb. 65).

JL

DieseAusführung bildet dieRegel. Zwischen den beiden Zapfen muß mindestens noch ein ungeschwächtes Holzstück von 4 cm Stärke stehen bleiben.

Die Zapfenbreite

wird =

24

3    3

= 8 cm angenommen. Die Zapfenhöhe wählt man meist nicht größer als 8 cm. Es muß wie bei a ebenfalls die Druckfläche F =300 qcm werden.

Man erhält dann nach Abb. 66 als vorhandene Druckfläche:

Abb. 64.

Abb. 65.

' Es wird demnach:

F= 24 • x • 2 -f (8 — x) ■ 8 • 2 qcm. 24 • x • 2 -f (8 — x) • 8 • 2 = 300 48x4-128— 16 x = 300 32x= 172

172

x =    cm.

Ausgeführt wird x = 5,5 cm.

2. Berechnung auf Zug.

Der noch übrigbleibende Querschnittsteil der Hängestrebe stellt 8 den nutzbaren Querschnitt gegen Zug dar. (Abb. 66.)

-JL8L.

qcm

+8*^r8>-

8\

■24

Gegeben ist: V— 18000 kg; kz = 100 Es wird eine nutzbare Fläche nötig:

Abb. 66.

180 qcm.

Vorhanden ist die in Abb. 66 schraffierte Fläche:

F = (2 2,5 + 2/) 24 — 2 - 8 - 2,5 qcm,

wobei y = der Stärke des mittleren schwächsten Holzteils ist und 2,5 aus 8 — x = 8— 5,5 sich ergibt. Es wird daher:

(2 • 2,5 + y) • 24 — 2 • 8 • 2,5 == 180 120 + 24y —40= 180 24 y = 100 y = 4,16 cm.

Ausgeführt wird y = 4 cm.

100

Es ist eine nutzbare Fläche somit vorhanden F== (5 + 4) • 24 — 40 = 176 qcm.

18000

Man erhält eine Spannung k =

= 102,5 kg, welche noch als zulässig

angesehen werden soll. (Sollte dies nicht angängig erscheinen, so muß y = 5 cm gewählt werden.) Die Hängesäulenbreite ergibt sich zu 2 • 8 -f 4 -= 20 cm (bzw. 2-84-5 = 21 cm).

Man hätte die Aufgabe auch in folgender Weise lösen können.

Man bezeichnet die Holzbreite mit 6, die Tiefe der Versatzung mit x. (Abb. 67.) Für Druck muß werden der vorhandene Druckquerschnitt:

176

8}

2 • 24 • x -f- 8 (6 — 2 x — 4) = 300 . . . Für Zug muß sein der vorhandene Zugquerschnitt: 24(6 — 2x) — 8(6 — 2x — 4) = 180. . .

'0)

24

(«)

Ci

jxf

Abb. 67.

14-11. 2 • 24 ■ x 24(6 — 2x) = 300 -f 180 48*+ 246 — 48* = 480 246 = 480 6 = 20 cm.

>7

Setzt man den Wert 6 in I ein, so ergibt sich:

48x 4- 8 • 20 — 16 • x — 32 = 300

32 x = 300 — 160 4-32 33x= 172

Abb. 68.

172

3»--5,4 cm.

3. Berechnen auf Abscheren.

Es muß verhütet werden, daß der oberhalb des Strebenansatzes liegende Teil z der Strebe abgeschert wird. (Abb. 65.)

Gegeben: P= 18000 kg; ks = 10

qcm

Es ist erforderlich:

F=i

¹⁸⁰⁰⁰ ,onn

= 1800 qcm.

Es ist hier die gleiche Erwägung anzustellen wie bei Aufgabe 25 S. 26. Es müssen 4 Flächen 1, ferner 2 Flächen 2 und 4 Flächen 3 abgeschert werden. (Abb. 68.)

Die vorhandene widerstehende Gesamtfläche ist demnach:

F = (24z -f- 2 • 2,5z) • 2 qcm.

F — 58z qcm.

Es muß werden:

= 31 cm.

58z = 1800 1800

58

Da etwas zu ungünstig gerechnet worden ist, kann z == 30 cm ausgeführt werden.

B. Berechnung des Knotens C.

1. Ausführung nach Abb. 69a/b.

Der Hauptbalken wird durch ein Hänge--eisen mit der Hängesäule verbunden.

a) Berechnung der Bolzen.

Die Schraubbolzen werden auf Abscheren beansprucht.

Als zulässige Scherspannung kann hier mit Rücksicht auf die rohe Herstellungsart der Bolzen ks nur = 750 nommen werden.

Gegeben: P= 1800 kg ; ks = 750 ^.

kg

qcm

ange-

rr\ W

O--

'1

b, = 24

d=2,5

tdj — 1,2

-T ••

Es wird:

in in

ks

„ 18000

750 =24 (lcm-

Es werden n Bolzen angenommen, welche zweischnittig sind und -eineabzuscherende Fläche haben.

Abb. 69 a.

//

Abb. 69b.

j?    o d n

F =5 n ■ 2 ■    . .

4

Es muß daher werden:

d*7t

4 =²⁴'

Von den unbekannten Größen n und d muß eine gewählt werden ; in der Regel wird der Bolzendurchmesser d angenommen. Hier sei d = 25 mm.

Man erhält dann:

24

24

U 2 ■ 2,5² jr 9,8174

= rd. 3.

Es werden also 3 Bolzen von 25 mm Durchmesser nötig.

Gegeben: P= 18000 kg; kz= 1200

b) Berechnung des Hängebandes auf Zug. kg qcm

Es wird:

18000

1200

15 qcm.

n>| Tj

Für ein Hängeband ist daher ein Querschnitt = 7,5 qcm erforderlich. Der nutzbare Querschnitt beträgt (Abb. 70) — (b — d) ■ 8, daher wird:

(b _ d) ■ S = 7,5.

Gewählt S — 1,2 cm

(b — 2,5) • 1,2 = 7,5

* = ^ + 2,5

5 = 9 cm.

Es ist zu empfehlen diese Breite durchweg auszuführen; es muß dringend abgeraten werden, aus Sparsamkeitsrücksichten ein Flacheisen von geringerer Breite zu wählen und an der Stelle, wo die Bolzen liegen, Stauchungen bzw. Aufdornungen vorzunehmen. Das Eisen würde nur durch ein solches Verfahren überanstrengt und die hohe angenommene Spannung könnte nicht mehr zugelassen werden.

d-2/j

Abb. 70.

c) Berechnung des Hängebandes auf Abscheren.

Das Hängeband muß an der Stelle I stark genug gegen Abscheren sein.

Gegeben: P= 18000 kg, ks = 1000 kg ■

Es ist erforderlich:

qcm

„ P 18000

F=rs~ 1000 - 18 t>cm-

Die notwendige Stärke des Hängebandes für Abscheren bei I sei dx. Es muß sein: daraus erhält man:

9 • V 2 = 18, A₁ = 1 cm.

Das Flacheisen 9-1,2 cm genügt also den Ansprüchen. Es wird

18000 2 • 9 • 1,2

*s =

- - 835 kg qcm

d) Berechnung des Abstandes der Bolzen vom oberen Rande des Hängebandes.

p

Jeder Bolzen erhält eine Last ; diese Kraft verteilt sich auf die beiden Flach-

p

eisen, so daß für die betreffende Strecke nur -g- in Frage kommt. Die Flächen II dürfen nicht abgeschert werden.

Nach Abb. 69 muß sein:

2ä ■ a • kg =    •

Gegeben:

= 3000 kg; d = 1,2 cm; ks = 1000

kg .

qcm

2- 1,2- a ■ 1000 = 3000

•    3000

a ~ 2 Ï72 -1000

a = 1,25 cm.

Aus praktischen Rücksichten wird ausgeführt a — 2d = 2 • 2,5 = 5 cm.

e) Berechnung des Abstandes der Bolzen untereinander und vom unteren Hängesäulenrande.

Maßgebend ist die Erwägung, daß ein Abscheren des Holzes in den Flächen 111 nicht eintritt.

Gegeben:    = 6000 kg; ks = 10

b, = 23 cm.

qcm ’

Bezeichnet a, die Entfernung des untersten Bolzens vom unteren Hängesäulenrande, b, die Stärke der Hängesäule, so muß werden (nach Abb. 69):

2b₁ ■ a, —

2-24-0,=

600

«i = —= 12,5 cm.

In der Entfernung a, = 12,5 cm müssen auch die Bolzen voneinander angeordnet werden.

2. Ausführung nach Abb. 71a/b.

Vielfach rührt die Last, die im Knoten C aufgenommen wird, von einer Anzahl Tragbalken her, die durch einen Unterzug gestützt werden. Die Befestigung des Unterzuges mit Hängebalken und Hängesäule erfolgt dann in der in Abb. 71 angegebenen Weise durch Unterlagsplatten und Hängeeisen mittels Schraubenmuttern.

— -20—•

M. 1:20

a) Bestimmung des Hängeeisens.

Der Kerndurchmesser d, des Rundeisens, in welches das Flacheisen übergeführt werden muß, wird wie folgt bestimmt.

Nach obigem unter b) muß werden:

d²7t

¹ = 7,5.

4

Man erhält aus der Tabelle: d, = 3,10 cm.

Der Rundeisendurchmesser wird dl +0,13

dann: d =

0,9    <*• “>•

d = 3,10 + 0,13

0,9

= 3,6 cm.

Abb. 71a.

«-“---E:}—f f j.;—[ )

€ 1.....[lP

2Ï

22p

---j.

22,5

Abb. 71 b.

b) Bestimmung der Querplattenordnung.

Da in der Regel der Lochdurchmesser für den Schraubbolzen im Holze größer ist als der des Bolzens, so wird das Loch in der Hängesäule nicht genau ausgefüllt (Abb. 72); es entsteht infolgedessen eine erhebliche Beanspruchung der Holzfasern, und ein Aufquetschern in der Lochleibung kann leicht auftreten.

Man sichert daher eine bessere Druckübertragung vom Bolzen auf Hängesäule durch eiserne Querplatten, welche in ihrer ganzen Stärke in die Hängesäule eingelassen werden. Es werden hier bei 3 Bolzen 6 Querplatten nötig (Aufgabe 27 S 35). Bezeichnet man die Eingriffstiefe, welche im vorliegenden Falle mit der Platten-

stärke übereinstimmt, mit z, so muß werden, da P— 18000 kg und fed=60

islr

qcm

18000

₆₀    = 300 qcm.

Vorhanden sind 6 Druckflächen, daher wird: 6 • 20 • z = 300

Abb. 72.

300

120

= rd. 2,5 cm.

Die Breite wird zweckmäßig = 3 d = 3 • 2,5 = 7,5 cm gemacht.

Die Entfernung der Platten e ergibt sich aus der Berechnung der Abscheren.

kg .

qcm

P 18000 ,Qnn

kr vr- ¹⁸⁰⁰ icm-

Gegeben: P— 18000 kg; ks— 10

Es ist:

Da 6 Flächen abzuscheren sind, muß werden:

= 15 cm.

6 • 20 • e = 1800 1800

120

Der durch die Bolzen hervorgerufene Abscherwiderstand (s. e) S. 45) ist hierbei nicht berücksichtigt. Die Bolzenentfernung erhöht sich jetzt auf 15 -f 7,5 ==22,5 cm.

7 5

Vom unteren Hängesäulenrande genügt ein Abstand 15 -f -~- = rd. 19 cm.

Bei Anordnung von Querplatten entsteht für im Freien liegende Bauteile, z. B. für Brücken der Nachteil, daß dem Tagewasser leichter Gelegenheit geboten ist, in das Holz ein7udringen und so zu Zerstörungen Veranlassung zu geben. Alle Vertiefungen sind daher durch Karbolineumanstriche zu schützen.

c) Berechnung der Unterlagsplatte.

Gegeben: F= 18000; fcd = 25 —35 kg, im Mittel also 30 kg unter Annahme eines eichenen Unterzuges.

Man erhält:

F= P

= 600 qcm. f=₀₂.z_¹'³-⁶-.

kd

Nach Abb. 73 wird:

Die Mindestlänge l erhält man zu

Gewählt wird eine Platte 42-15; die Stärke wurde zu 2,5 cm angenommen.

Aufgabe 32: Es soll untersucht werden, wie die in Aufgabe 6 S. 13 getroffene Verbindung zwischen der Doppelzange und dem Pfosten ausgestaltet werden muß, damit sie gegen Druck und Abscheren die genügende Sicher-heit bietet.

a) Berechnung für das Hirnholz der Zange.

Gegeben: P = 18000 kg; der zulässige Druck für Beanspruchung gleich-

laufend zur Faser ist nach Tabelle 6 S. 152 : kd = 60

kg .

qcm

Es sind nach Abb. 24 zwei Druckflächen vorhanden. Die Gesamtdruck

fläche beträgt somit 2 • 4 • 20 = 160 qcm.

_ _ 18000 kd ^ 60

Die Fläche genügt daher auf Druck nicht.

• Erforderlich ist:

= 300 qcm.

b) Berechnung auf Druck für das Langholz des Pfostens.

io

Noch ungünstiger stellt sich die Berechnung auf Druck für den Pfosten. Die zulässige Beanspruchung auf Druck senkrecht zur Faser betrage bei Annahme eines Pfostens aus Eichenholz kd = 30 kg.

P

bd

Erforderlich ist dann: F = -,

¹⁸₃⁰₀⁰⁰ = 600 qcm.

24+2-

Die Breite b₂ läßt sich daher wie folgt bestimmen:

r— 24

-O

2 • 3,6 ¹?t brl--4

V 42 = 600 + 21

= 600

4-

621

Abb. 73.

&ä 42

= rd. 15 cm.

Es ist jedoch nur nach a eine Druckfläche vorhan- j_ den F= 160 qcm; es muß daher noch eine weitere Druckfläche von 600 — 160 = 440 qcm geschaffen werden.

Dies geschieht am besten durch Einsetzen eines Klotzes zwischen die beiden Zangen (Abb. 74), welcher den Druck auf den Pfosten in gewünschter Weise überträgt.

Wird die Klotzhöhe gleich der Zangenhöhe, also = 20 cm angenommen, so wird eine Druckfläche = z • 20 qcm geschaffen, wobei z das Maß für den Zangenzwischenraum bedeutet.

Es muß daher werden:

\2

TZr/

Abb. 74.

z • 20 = 440 z =

Die Pfostenbreite ergibt sich daher zu mindestens 22 + 2 • 4 = 30 cm-

Muß aus baulichen Gründen der Zangenzwischenraum z kleiner als 22 gehalten werden, so ist es erforderlich, die Klotzhöhe größer als 20 zunehmen.

Die Zangenkraft wird durch die lotrechten Ansatzflächen von der Breite e auf den Klotz übertragen, wobei aus baulichen Gründen e = 4 cm angenommen werden soll. Eine Vergrößerung von e ist zulässig, jedoch muß an der Stelle 1    / Abb. 74 noch ein genügender nutzbarer Querschnitt übrigbleiben.

Durch die Anblattung wurde übertragen 2 • 4 • 20 • 30 = 4800 kg. Es müs-

440

20    22 cm.

cm

cm an-

sen daher noch bei I — I aufgenommen werden können 18 000 — 4800 = 13200 kg.

Ist die zulässige Beanspruchung auf Zug kz = 100 kg, so wird eine nutzbare Fläche nötig:

Iw** ^

100

= 132 qcm.

Ist die nutzbare Breite = bx cm an der Stelle / — /, so wird

2bt • 20 = 132

2-20-Z⁼ rd> 3’5 cm-Demnach emax = 10 — 3,5 = 6,5 cm.

Da durch die Anblattung auf den Pfosten eine Kraft = 2 • 4 • 20 • 30 = 4800 übertragen wurde, so muß der Einsatzklotz noch 18000 — 4800 = 13200 kg aufnehmen und auf den Pfosten übermitteln.

Zur Überführung dieser Kraft werden zahnförmige Einschnitte vorgesehen (Abb. 74). Es sollen n Absätze nötig werden von e = 4 cm Tiefe.

n ■ 4 • 20 ■ 60 = 13200

¹³²°0- ₌

4-20-60 ra‘ ö

Es ist dann:

132

c) Berechnung auf Abscheren.

Um ein Abscheren des überstehenden Zangenendes zu verhüten, werden bei

kg .

qcm ’

Annahme von 3 Zahnpaaren und einer Zahnlänge von *cm und ks= 10

6 • x • 20 • 10 = 18000 J8000 6-20- 10 x = 15 cm.

== 15 cm.

Ausgeführt wird somit

Durch einige Querbolzen wird das Zwischenstück in die ausgeschnittene Zange eingepreßt.

In der Regel ist der Zangenzwischenraum geringer als 22 cm, da die Pfostenstärke von 30 cm selten vorhanden sein wird. Eine Vergrößerung der Klotzhöhe an der Anlagestelle des Klotzes an dem Pfosten ist dann erforderlich. Ist die Pfostenbreite = b und die Klotzhöhe == h, so muß werden

(b - 2 • 4) • h = 440. Beträgt z. B. die Pfostenbreite b = 24 cm, so ergibt sich die Klotzhöhe zu

^-24—~

-x >r« -r—

iO

440

Ansicht M. 1:20

²⁴ké

Abb. 75.

h = 24 - 2 • 4 “ 28 cm-so daß der Klotz auf beiden Seiten der Zange um 4 cm der Höhe nach überstehen würde, nach dem Klotzende zu läuft er auf die Höhe von 20 cm aus (Abb. 75).

Aufgabe 33: Es soll eine Verankerung einer Rundeisenstange mittels Keilbefestigung nach nebenstehender Abb. 76 a-d berechnet werden^ür den Fall, daß eine Zugkraft = 4800 kg zu übertragen ist.

a) Berechnung der Zugstange.

Der Querschnitt der Zugstange sei kreisförmig und habe einen Durchmesser cL. Die Stange wird an der Stelle, wo der

Keil eingefügt ist, am meisten ge-

Querschnitt A—B.

/I I

77[77

Vs

■i

a_>

j:

IV

-+T

■T3

Abb. 76 b.

4»—d—H-

Abb. 76 c.

Abb. 76d.

Abb. 76 a.

schwächt (Abb. 76 d). Wählt man die Keilbreite =    -, so erhält man im

Querschnitt A—B (Abb. 76 c) genügend genau eine nutzbare Fläche

, d d' 4 '

d²n

Gegeben: P = 4800 kg; kz = 800

F-P

ke⁻

für Anker nach Tabelle.

qcm

4800

Demnach wird:

F = 800 = 6 ^Cm* . d ~d"4

{% — 1) = 6

0,535 d² = 6

~4

d I 0,535 = rd. 3,4 cm.

b) Berechnung des Keils.

Der Keil wird in dem unmittelbar oberhalb der Zugstange gelegenen Querschnitte /—/ und in dem unmittelbar unterhalb von ihr vorhandenen Querschnitte II—II auf Abscheren beansprucht.

Gegeben: P = 4800 kg.

Als zulässige Beanspruchung auf Abscheren kann gewählt werden

ks = | • 800 = 640 kg.

ks = *K\

Es wird erforderlich auf Abscheren:

¹

-f 2 • 2,0 • 3,6 = rd. 42 cm.

ks

F = l

4800

640

= rd. 7,5 qcm.

UaBsch 47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

Die beiden Querschnitte / und II können genügend genau als gleich groß angesehen werden. Nach Abb. 76d wird demnach:

2 • -f■ h = 7,5 ■ ³2 ’ h = 7’⁵

Vj ai

== rd. 4,5 cm.

c) Berechnung der Stangenlange hinter dem Keil.

Es besteht das Bestreben, das Stangenende hinter dem Keil in zwei lotrechten Flächen III und IV abzuscheren. Unter der Voraussetzung einer gleichen zulässigen Spannung ks = 640 kg für das Stangeneisen wird die erforderliche Fläche wiederum = 7,5 qcm werden (s. b).

Man erhält als abzuscherende Gesamtfläche hinter dem Keil F = 2x ■ d (Abb. 76c). Es muß werden:

2x • d = 7,5

7,5

7,5

*    2 d 2-3,4

= 1,1 cm.

Gewählt werden mindestens 2 cm.

d) Berechnung der Unterlagsplatte.

Die Platte muß so groß bemessen werden, daß das Mauerwerk, auf dem sie aufliegt, nicht zerdrückt wird (Abb. 76a/b).

Da zweckmäßigerweise der Anker in gutem Ziegelsteinmauerwerk in verlängertem Zementmörtel eingemauert wird, so kann kd = 14 kg gesetzt werden.

qcm

Es muß werden:

Gegeben: P — 4800 kg; kd= 14 F-?

4800

= 344 qcm.

D*n _ d²n

Unter Benutzung der in Abb. 76a/b eingeschriebenen Abmessungen ergibt sich eine Plattendruckfläche:

Es muß werden:

D-n

₄ = 344 qcm; d = 3,4 cm

D²7t 3,4 *«

4    =344

D²7t

₄ - 9,09 = 344

= 344 -f 9,08

D-n

Aus der Tabelle ergibt sich:

₄ = 353,08. D = 18,8 cm.

Gewählt wird D — 19 cm.

Die Stärke der Ankerplatte wird später mit Hilfe der Biegungslehre berechnet werden können (s. Auflagerplatten Teil III). Genügend genau kann man sie aus der Beziehung herleiten:

5 = 0,05 1/P

à = 0,05 j/4800 = 0,05 • 69,3 = 3,465 = rd. 3,5 cm.

V. Biegungsfestigkeit.

A. Allgemeines.

Wirken auf einen unterstützten, stabförmigen Körper mit gerader Achse senkrecht zu seiner Längsachse äußere Kräfte ein, so biegt sich der Stab durch. (S. 3.)

Die Untersuchung soll hier nur für den Fall geführt werden, daß sämtliche äußere Kräfte lotrecht gerichtet sind und in ein und derselben Ebene wirken. Die Ebene, in welcher die äußeren Kräfte auftreten, heißt die Kraftebene. Die Kraftebene enthält demnach auch die Stützpunkte des Stabes.

Bauteile, welche zur Aufnahme derartiger Belastungen dienen, nennt man Träger. (Teil 1, S. 64.)

Achse

Abb. 77.

Es sollen fernerhin in diesem Teile des Leitfadens nur solche Träger betrachtet werden, bei denen jeder Querschnitt durch die Kraftebene in zwei gleichgestaltete und gleichgelegene (symmetrische) Hälften zerlegt wird. Die Neul™k Kraftebene bildet daher eine Gegenebene (Symmetrieebene) des Querschnitts. Die Durchbiegung des Stabes erfolgt in der Kraftebene, welche daher auch Biegungsebene genanntwird. Es entsteht der Fall der einfachen Biegung, welche häufig bei Bauteilen im Hochbau und im Tiefbau auftritt. (Abb. 77.)

Für die Träger werden als Baustoff meist Holz und Eisen verwendet.

Ein Träger kann nun als ein stabförmiger Körper angesehen werden (wie bereits früher angenommen, s. S. 5), der aus einem Bündel von gleichlaufend zur Stabachse liegenden Fäden besteht. Im Belastungsfalle findet eine Durchbiegung statt, die geradlinige Achse (Abb. 79) geht in eine krumme Linie über und nimmt z. B. die in Abb. 79 angegebene Form an.

!/’

i_—

,7^------ neutrale

Abb. 79.

Abb. 78.

Führt man an einem beliebigen Querschnitte an der oberen Umgrenzungsgeraden und ebenfalls an der unteren je einen wagerechten Sägeschnitt senkrecht zur Kraftebene, so wird man bei eintretender Biegung finden, daß die

Ränder des auf der hohlen (konkaven) Seite liegenden Schnittes sich nähern, die des auf der erhabenen (konvexen) Seite liegenden sich voneinander entfernen. Die Fasern der Bauteile werden daher teils verkürzt, teils verlängert. Nach früherem entstehen Verkürzungen durch Druckkräfte, Verlängerungen durch Zugkräfte; die Fasern, welche nach der hohlen Seite zu liegen, werden daher gedrückt, die nach der erhabenen Seite gezogen.

Da die Beanspruchung auf Zug und auf Druck gleichzeitig vorkommt und es infolge des festen Zusammenhangs der einzelnen Fasern unmöglich ist, daß eine sprungweise Beanspruchung der Fasern eintritt, so können die Ausdehnungen und Zusammenpressungen der einzelnen Fasern keine gleichen sein, vielmehr erfolgt eine allmähliche Abnahme der Zugspannung und ein allmählicher Übergang in die Druckspannung. Die äußersten Fasern werden am meisten verlängert bzw. am meisten verkürzt, die den Stabachsen näherliegenden weniger. Es muß daher eine Faserschicht vorhanden sein, die weder eine Zug- noch eine Druckbeanspruchung erfährt, die demnach weder verkürzt noch verlängert wird, die also ihre Länge beibehält. Diese Faserschicht nennt man die neutrale (unbeteiligte) Faserschicht. Die gekrümmte Linie, welche bei eingetretener Biegung jede neutrale Faserschicht bildet, nennt man die elastische Linie.

Die neutrale Faserschicht schneidet jeden Querschnitt in einer wagerechten Geraden, welche die neutrale Achse des Querschnitts (Nullinie) genanntwird (Abb.77). Die neutrale Faserschicht und die neutrale Achse stehen auf der Kraftebene senkrecht.

Es sei darauf hingewiesen, daß bei den Fällen von Zug, Druck und Schub sämtliche Fasern des Querschnitts in gleicher Weise und in gleicher Größe beansprucht werden. Bei der Biegungsfestigkeit ist dies nicht der Fall; nur die äußersten Fasern werden hier am meisten beansprucht, nach der neutralen Faser zu nehmen die Spannungen ab, in der neutralen Faser herrscht eine Spannung — 0. Die Ausnutzung der Festigkeit des Baustoffes kann daher nicht in allen Fasern gleichmäßig erfolgen.

Nehmen die Belastungen zu, so wird auch die Durchbiegung größer werden, die Verkürzungen und Verlängerungen der einzelnen Fasern nehmen zu, demgemäß werden auch die Spannungen wachsen; die neutrale Faser bleibt aber auf jeden Fall ohne Spannung.

Die inneren Kräfte müssen sich mit den äußeren Kräften auch hier wie bei jedem Bauteil stets im Gleichgewicht halten, und die erforderliche Sicherheit muß vorhanden sein.

Im folgenden sollen nun die Beziehungen zwischen den äußeren und inneren Kräften bestimmt werden.

b'

A'

B"

t~

-----!

}N

(jD'

Abb. 80 a.

Abb. 80b.

Die Untersuchung wird geführt unter der erfahrungsgemäß zulässigen Voraussetzung, daß zwei vor der Biegung ebene Querschnitte auch nach der erfolgten Biegung eben bleiben. In beiden Fällen stehen die IffB'c Querschnitte winkelrecht zur Längsachse des Stabes. Sie sind daher vor der Biegung bei gerader Stabachse einander gleichlaufend, nach der Biegung sind sie gegeneinander geneigt (sie konvergieren, Abb. 80 a/b). Durch Ver-

gleich der Lage eines Querschnitts vor und nach der Biegung ergibt sich die Größe der Verkürzung und Verlängerung in jeder Faserschicht.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SAB und SCD (Abb. 81) folgt:

Die Verlängerungen und Verkürzungen einer Faserschicht sind ihren Entfernungen von der neutralen Faser unmittelbar proportional.

Da sich ferner nach dem Hookeschen Gesetze die Dehnungen wie die Spannungen verhalten, so gilt auch der Satz:

Die Spannung (Zug- oder Druck- /

Spannung) der einzelnen Faser- ^

Schicht ist proportional zur Ent-fernungvon der neutralen Faser.

Alle Fasern, welche die gleiche Entfernung von der neutralen Faser haben, besitzen auch die gleiche Spannung.

Wird ein Träger belastet, so kann man die äußeren Kraftwirkungen für einen beliebig gewählten Querschnitt stets auf ein Biegungsmoment M fund eine Quer- oder Scherkraft zurückführen. (Ausführlicheres Teil I, S. 68 u. fgd.)

Denkt man sichden Träger durch einen an der zu untersuchenden Stelle geführten Schnitt in 2 Teile zerlegt und betrachtet ein abgeschnittenes Trägerstück (hier das linke), so erhält man die Querkraft V = Rt und das Biegungsmoment M = Rt- r (Abb.82); es sei darauf hingewiesen, daß es gleichgültig ist, ob das rechte oder das linke Balkenstück betrachtet wird (vgl.

Teil I, S.71).    ,

Es soll nun zunächst einiges über die Größe der inneren Kräfte fest- H gelegt werden.

Bezeichnet man die Spannung im Abstande 1 cm von der neutralen Faser mit s, so wird die Spannung kx im Abstande x ermittelt •• j durch die Beziehungen (Abb.83 a):

i 1 : xt = s : kXi daraus findet man:

kXi= s- xt.

Ebenso wird die Spannung im Abstande x₂ erhalten:

Ry

vor der Biegung

SneutndeFaser

-t-

Abb. 81.

Ul

jir

Rr

Abb. 82.

Lage des Querschnittes

B-

fr

jp

im Abstande xn wird:

K= s • *₂Î

kxn= s ■ *„•

Die Spannungsverteilung wird durch zwei Dreiecke dargestellt, durch ein Dreieck der Zugspannungen und ein Dreieck der Druckspannungen. (Abb. 83.)

Der Flächenstreifen im Abstande xt (Abb. 83 b) erhält durchweg die gleiche Spannung s • xlt demnach entsteht auf ihm eine innere Kraft = ■ s • xt ;

auf den Flächenstreifen f₂ im Abstande x₂ entsteht eine innere Kraft f₂ • s • x₂ usf., auf fn im Abstande xn eine solche fn - s- xn.

Unter der Annahme, daß die Durchbiegung des Trägers sehr gering ist, sind die Zug- und Druckspannungen, da sie nach früherem stets senkrecht zum Querschnitt gerichtet sind, als wagerechte Kräfte anzusehen. Bezeichnet man die Summe der Druckspannungen mit D und die Summe der Zugkräfte mit Z, so müssen diese Mittelkräfte in den Schwerpunkten der Spannungsdreiecke angreifen (Abb. 84).

Da die äußeren und inneren Kräfte am abgeschnittenen Trägerteil sich im Gleichgewicht befinden müssen, so nehmen die 3 Gleichgewichtsbedingungen folgende Form an (Teil I, S. 48 u. fgd.); vgl. auch Abb. 82 und 84:

Ri=F-ks; (UV=0) .

wobei F die Querschnittfläche und ks die zulässige Spannung auf Abscheren ist (Teil I, S. 46).

Da nur lotrechte Belastungen vorliegen, so müssen die inneren wagerechten Spannungen sich allein im Gleichgewicht halten, weil sie die alleinigen vorhandenen wagerechten Kräfte sind; demnach ist:

D — Z = 0; ’ (UH = 0) . .

D = Z.

I neutrale Faser f s^

Zug

Spannungen

Abb. 83 a.

es wird somit:

Dnieli

>span

nungen

=m

x₁

4Jï

iA

■4-—

Abb. 83 b.

0)

• • di)

Das Moment der äußeren Kräfte M muß sich mit dem Moment der inneren Kräfte M{ im Gleichgewicht halten:

daraus findet man: oder, da

M —    — 0 ; (UM = 0) .    .    .

M =

D = Z ist,

oder M = Z • z₀ (Abb. 84).

• • Cu)

M — D • z₀

Bei den im Baufache als Träger in Frage kommenden Holzbalken und Walzprofilen wird die Forderung der Gleichgewichtsbedingung I in der Regel erfüllt, da aus praktischen Rücksichten der Querschnitt so stark bemessen werden muß, daß der erforderliche Widerstand gegen Abscheren vorhanden ist. Die Einwirkung der Scherkraft auf die Festlegung der Abmessungen eines Trägers braucht daher ohne Bedenken nicht weiter berücksichtigt zu werden.

Die Gleichung II besagt, daß die Mittelkraft aller wagerechten Kräfte = 0 ist. Bildet man die algebraische Summe aller dieser einzelnen wagerechten inneren Zug- und Druckkräfte, so folgt:

s • fi • xi + s c f₂ • *₂ + s • fs ' *3 + $ * h ' *4 4----

S ’ fn' Xti ^ * fit +1 ' Xn +1

Nach Absonderung des gemeinschaftlichen Faktors s ergibt sich :

s(fx • *1 + h • *2 + fs • *3 + fl ■ Xi H-----fn • x„ - fn + 1 • Xn + 1 = •''• * /

Dividiert man die beiden Seiten der Gleichung durch s, so erhält

fl ■ *1 + U • *2 + fs • *3 + fi • Xi +----fn’Xn + fji+l'Xn + l------

Diese Gleichung ist aber lediglich der Ausdruck für die Summe der statischen Momente aller Flächenstreifen des Querschnitts für die neutrale Achse. Diese Summe müßte demnach = 0 werden.

Das statische Moment wird aber nur für eine Schwerachse = 0 (Teil I, S. 51 u. fgd.).

Daraus folgt, daß die neutrale Achse bei reiner ( M j-Biegungsbeanspruchung stets durch den V    j

- Schwerpunkt des Querschnitts gehen muß. ^ j

Die Erfüllung der Gleichung I und II ver- [_ hindert eine fortschreitende Bewegung des Trägerstücks. Wird auch der Gleichung III Genüge geleistet, so wird eine Drehbewegung des abgeschnittenen Stückes nicht eintreten.

Dem hier rechtsdrehenden Momente M der äußeren Kräfte, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts als Drehpunkt, muß ein linksdrehendes Moment der inneren Kräfte, bezogen auf denselben Drehpunkt, das Gleichgewicht halten. Man erhält dieses Moment, indem man die auf jeden Flächenstreifen kommende Kraft (z. B. fx ■ s ■ x,) mit dem Abstande (z. B. xx) des Schwerpunktes dieses Flächenstreifens (z. B. ff) von der neutralen Faser multipliziert und die Summe der Produkte bildet.

Die Momente der inneren Kräfte der einzelnen Flächenstreifen wirken alle in dem gleichen Drehsinn, nämlich hier linksdrehend; sie erhalten daher sämtlich das gleiche Vorzeichen.

Das Moment der äußeren Kräfte

= 0.

= 0.

zö

-----P

-D~Z

Abb. 84.

Das Moment der inneren Kräfte

M = fxsx^ x₁ + fasxi-xi + fisxi- *3 + ••• + fnsxn- Xn+fn+iSXn+1-Xn+1 + --. Nach Absonderung des gemeinschaftlichen Faktors s wird:

M—s (fx - xf² + U • x₂² + U ■ x₃² + • •• + f»-x*n + fn +1 • 4+i +/n+a • 4 + 8+■").

Der Klammerausdruck stellt die Summe der Produkte aus den einzelnen Flächenteilchen und dem Quadrate des Abstandes des jedesmaligen Schwerpunktes von der neutralen Faser dar, also

die Summe aller f- x² = ~Sf ■ x².

M = s-^f- x².

Man kann sich diese Summe aller f ■ x² dadurch bilden, daß man die Quer-

Es ist also:

schnittsfläche in eine ungemein große Anzahl sehr schmaler Flächenstreifen zerlegt, jeden derselben mit dem Quadrate seines Abstandes von der neutralen Achse multipliziert und alle so entstandenen Produkte addiert.

Die Größe • x² kommt in jeder Aufgabe über Biegungsfestigkeit vor. Man bezeichnet diese Größe daher mit einem besonderen Namen und nennt sie das Trägheitsmoment des betreffenden Querschnitts. Meist wird das Trägheitsmoment mit J bezeichnet. Es wird daher:

j=2f-x².

Die Gleichung III geht daher über in

(III a)

M— s ■ J

kd

Bestimmung von s. Im vorhergehenden wurde klargelegt, daß bei einem auf Biegungsfestigkeit beanspruchten Träger die äußersten Fasern die größten Spannungen erhalten (S. 52 u. fgd.). Es wird daher der Bruch des Trägers entweder durch Zerreißen der äußersten Faser an der erhabenen Seite oder durch Zerdrücken der äußersten Faser an der hohlen Seite eintreten. Erst nach erfolgter Zerstörung der äußeren Faser wird eine Überanstrengung der näher an der neutralen Faser liegenden Schichten entstehen und diese zerstört werden.

--Ht-

Abb. 85. %

Der Träger muß daher derartige Querschnitts-«₇ abmessungen erhalten, daß weder das angeführte Zerreißen der äußersten Querschnittsfaser auf der einen, noch ein Zerdrücken auf der anderen Seite des Querschnitts möglich ist. Es darf daher an diesen Stellen die zulässige Spannung auf Zug kz bzw. auf Druck kd nicht überschritten werden.

s : kz = 1 : a

Die Faserbeanspruchungen stehen nach obigem im geraden Verhältnis zu der Entfernung von der neutralen Achse, daher wird (Abb. 85):

Man erhält durch Einsetzen von s in die Gleichung lila:

kz

sr

■    •    15)

Diese Gleichung nennt man die Biegungsgleichung.

Es ist aber auch:

s : kd — 1 : ax

wird,

Ol

so daß:

oder:

Man erhält somit zwei Formen der Biegungsgleichung.

Sind die Werte :a“ und ^ tatsächlich verschieden, so darf nur der kleinere

kd

von beiden in die Biegungsgleichung eingeführt werden, da auf der schwächeren Seite der Bruch eintreten wird.

Zweckmäßig wird man daher bei der Wahl der Abmessungen stets so verfahren, daß

ist,

denn hierbei wird die Druckfestigkeit des Baustoffs in gleicher Weise ausgenutzt wie die Zugfestigkeit.

Abb. 87.

Abb. 86.

Bei allen Baustoffen, bei welchen die Festigkeit gegen Zug und gegen Druck nahezu gleich ist, so z. B. bei Holz, Flußeisen und Stahl, wird a = a₁ gemacht, der - Schwerpunkt liegt dann in halber Höhe, die Flächenteilchen werden gleichmäßig zur neutralen Achse verteilt (Abb. 86 u. 87).

kz

n>! a s o

Ist die Druck- und Zugfestigkeit verschieden, so muß man die Abmessungen der Querschnitte so bestimmen, daß durch die Schwerpunktslagen der Bedingung genügt wird:

Bei Gußeisen ist z. B.:

Es muß daher werden:

2a.

Der Abstand der neutralen Faser, also auch des Schwerpunktes, von der gedrückten äußeren Faserschicht muß demnach doppelt so groß sein wie der von der gezogenen äußeren Faser.

Gußeisen

Der Schwerpunkt muß daher die Querschnittshöhe teilen im Verhältnis 2:1, der Schwerpunkt liegt also im Abstand von 3 der Höhe von der gezogenen äußeren Faser entfernt (Abb. 88 a/b).

4.

Meist wird:

Abb. 88a.

Abb. 88 b.

kz = kd = kb und a = al;

kb ist dann die zulässige Spannung auf Biegung. Die Biegungsgleichung erhält dann die Form:

M-kb- -    •

Die Biegungsgleichung lautet daher in Worten:

In jedem Querschnitte darf das Moment der äußeren Kräfte M höchstens gleich sein dem Produkte aus der zulässigen Spannung in der äußersten Faser und dem Trägheitsmomente J des Querschnittes geteilt durch die Entfernung dieser äußersten Faser von der neutralen Achse.

Nach obigen Untersuchungen ist bekannt, daß die Spannungen von der neutralen Faser aus nach beiden Seiten bis zur äußersten Faser stetig wachsen. Der von der neutralen Faser am weitesten entfernt liegende Teil des Baustoffes wird am meisten ausgenutzt, der ihr zunächst liegende am wenigsten. Daraus ergibt sich für die allgemeine Querschnittsgestaltung die Regel, daß die Hauptmasse des Baustoffes in möglichst großer Entfernung von der neutralen Faser anzuordnen ist.

Die Größe J wird durch die Größe und durch die Form des Querschnittes bestimmt. Je weiter die einzelnen Flächenteilchen des Querschnittes von der neutralen Faser entfernt liegen, um so größer wird auch das Trägheitsmoment J =J£f- x², da der von den einzelnen Flächenteilchen geleistete Beitrag außer von f besonders von der Größe x², also dem Quadrate des Abstandes des Teilflächenschwerpunktes von der neutralen Faser abhängig ist. Eine Vergrößerung des Trägheitsmomentes erreicht man durch Vergrößerung der Fläche und vor allem aber durch Vergrößerung des Abstandes der Flächenteilchen von der neutralen Faser.

Für eiserne Träger wurde daher die X-Form oder die C-Form gewählt, welche mit starken Flanschen und schwachem Steg in günstiger Weise den Anforderungen genügen.

Ebenso wie J ist in der Biegungsgleichung auch die Größe — von der

Größe und Form des Querschnittes abhängig. Man hat für dieses Verhältnis ebenfalls einen besonderen Namen eingeführt und bezeichnet es als Widerstandsmoment des Querschnitts == W.

• • (17)

Es ist also:

- = W. .    .

Die Biegungsgleichung erhält somit die endgültige, am meisten Verwendung findende Form:

(18)

M = kb • W.

In Worten: In jedem Querschnitte muß das Angriffsmoment (Biegungsmoment oder Moment der äußeren Kräfte) kleiner oder höchstens gleich sein dem Produkte aus der zulässigen Beanspruchung der äußersten Faser und dem Widerstandsmomente.

Durch M gelangt die Belastung, durch kb der Baustoff und durch W die Größe und die Form des Querschnitts in der Biegungsgleichung zum Ausdruck.

Bei der Berechnung von Trägerteilen auf Biegungsfestigkeit ist in der Praxis am häufigsten die Aufgabe zu lösen, für eine gegebene Belastung unter Annahme eines bestimmten Baustoffes die Abmessungen des Bauteils zu ermitteln. Es ist daher nach früherem die Größe Af, ebenso wie die Größe kb bekannt und W zu bestimmen durch die Beziehung

Sr

Während bei der Zug-, Druck- und Schubfestigkeit es im wesentlichen darauf ankam, die Größe der erforderlichen Querschnittsfläche zu bestimmen, so ist bei der Biegungsfestigkeit auch noch die Form des Querschnitts für die Größe der inneren Kraftwirkung maßgebend.

Bisweilen ist die Aufgabe zu lösen, für eine eintretende Belastung bei gegebenem W die Spannung kb zu bestimmen oder bei gegebenem W und kb das mit Sicherheit noch aufnehmbare Biegungsmoment M, d. h. also die Größe der Belastung, festzulegen.

Um das Widerstandsmoment eines Querschnittes zu bestimmen, ist es stets erforderlich, zuvor das Trägheitsmoment desselben festzulegen. Zu jedem gegebenen oder angenommenen Querschnitt läßt sich für eine bestimmte Achse nur ein einziges Trägheitsmoment aufstellen. Jedoch kann die geforderte Größe eines Trägheitsmomentes durch beliebig viele Querschnittsformen geschaffen werden. Die Wahl der betreffenden Querschnittsgestaltung bleibt dem Entwerfenden überlassen und ist vielfach durch örtliche Verhältnisse u. dgl. bedingt.

Das Biegungsmoment ist abhängig von der Größe und Art der Belastung und von der Unterstützung des Trägers. Die Größe der Momente ist für jede Querschnittslage im allgemeinen eine andere. Es werden sich daher für jeden dieser Querschnitte auch andere Abmessungen der Bauteile ergeben. Für die meisten Fälle, welche im Hochbau Vorkommen, führt man jedoch Träger mit gleichbleibendem Querschnitt durch, da die bei wechselndem Querschnitt erreichte Ersparnis an Baustoff sehr gering ist und vielfach nur höhere Herstellungskosten an Stelle einer Verbilligung sich ergeben werden.

Die Abmessungen des Bauteils müssen in diesem Falle nach dem größten auftretenden Biegungsmomente (dem Maximalmomente) berechnet werden. Es kommt daher bei dieser Untersuchung darauf an, den gefährdetsten Querschnitt zu bestimmen, also den Querschnitt, in dem das größte Biegungsmoment auftritt.

Bei größeren Bauteilen des Hochbaus im Eisenbetonbau und bei Ausführungen des Tiefbaus, z. B. bei Brückenbauten, erfolgt die Bestimmung der Abmessungen jedoch in der Regel unter Berücksichtigung des Umstandes, das die Verschiedenheit der Größe der Momente und der dadurch bedingten einzelnen Querschnitte berücksichtigt wird.

B. Bestimmung der Trägheitsmomente.

Die Trägheitsmomente für die verschiedenen Querschnittsformen werden in der Regel mit Hilfe der höheren Mathematik festgelegt. Sielassen sich jedoch auch auf einfache Weise ableiten; diese Wege sind aber meist umständlich.

Im folgenden soll das vielfach erforderliche, wichtige Trägheitsmoment eines rechteckigen Querschnitts bestimmt werden.

1. Trägheitsmoment für rechteckigen Querschnitt.

1. Ableitung. Es sei hierbei angenommen, daß bei eintretender Biegung kd = kz = kb wird, die wagerechte Schwerpunktachse also eine Gegenachse ist (Abb. 89a/b). Die Spannung hat im Abstande x den Wert kx — s • x, wobei s die Spannung im Abstande 1 bedeutet.

SA

---;

Ä___

Ein Flächenstreifen mit dem Flächeninhalte

²hk

4-S-4

i—

kx

ZS

S₂

Abb. 89 a.

Abb. 89 b.

F f im Abstande x von ~ 2 der neutralen Faser leistet einenWiderstand

= f K

Die Druckkraft der oberen Querschnittshälfte ist gleich der Zugkraft der unteren Querschnittshälfte.

(S. 54.)

~ir

z*-2(fK) = D

kx:kz = x: a

k    ■

Rx a

fkx = f-x-

2r-

Aus dem Momentensatz ergibt sich (Teil I, S. 40 u. S. 56), daß

Es wird:

ZV

Sr*-

₇ K F

z==ä'Y‘

Sr

; F= b-h

kz b h

kz b-h²

Da nach der Biegungsgleichung (S.54) das Moment der äußeren Kräfte gleich dem Momente der inneren Kräfte sein muß, so ist:

=    (s. Abb. 87 a).

M = Z • z₀ ;

Man erhält somit:

kz b-h*    2

‘3h

kz b ■ h³

M =    • l2........

Die oben abgeleitete Biegungsgleichung lautete (S. 57, Gl. 16):

M = kb • J.......

⁰ a

(a)

(b)

Da kb = kz ist, findet man durch Vergleich der beiden Gleichungen (a) und (b), daß

b h*

cm⁴

sein muß.

Das Trägheitsmoment des rechteckigen Querschnittes von der Breite b und der Höhe h beträgt also:

• (19)

b . h³

Das Widerstandsmoment ergibt sich zu:

"2

W = —

b-hs

• • (20)

W=

Man erhält somit;

b • h- o

—-— cmA .

0

als Widerstandsmoment eines rechteckigen Querschnitts von der Höhe h und der Breite b.

2. Ableitung. Nach der Grunderklärung des Trägheitsmomentes ist J =    • x². Man zerlegt den rechteckigen Querschnitt in eine sehr große

Zahl schmaler Streifchen mit gleicher Höhe, multipliziert den Flächeninhalt eines solchen Streifens mit dem Quadrate des Abstandes des Teilschwerpunktes von der neutralen Faser und führt die Addition dieses Produktes

j.

Xj

■4>

Abb. 90a.

Abb. 90 b.

aus. Alle Streifen haben beim Rechteck die gleiche Breite, die Streifchen f sind daher sämtlich gleichwertig, die Werte x sind jedoch verschieden (Abb. 90a/b).

Man führe die Summierung für den halben Querschnitt aus und erhält:

y —■f • *1² + f • *2² + f • *3² + f • *4² 4-----

Jeden der Summanden auf der rechten Seite der Gleichung kann man als den Rauminhalt eines Prismas mit quadratischer Grundfläche und der Höhe f betrachten. Man denkt sich alle diese Körper aufeinandergestellt und erhält so einen treppenförmig abgestuften Körper. Läßt man die Faserschichtenhöhe kleiner und kleiner werden, so wird auch f immer kleiner und der Körper geht in eine Pyramide über, deren Rauminhalt gleich dem halben Trägheits-

F    ^

I2f-

; yY

momente y ist. Der Rauminhalt einer Pyramide ist V = G • ₃ ; die Grundfläche G = X!²; die Höhe H wird gleich der Summe aller f für das halbe Rechteck. Man erhält also:

Es wird:

Man erhält wie bei 1 :

N>| JS*

CM

tv

tsj •

3-

5; *

b-h³

12

1 b-h

y 2

cm⁴

und wie oben:

T _ b-h2 W • •

Da das Trägheitsmoment stets aus Produkten von Flächen und Quadraten von Abständen entsteht, so ist es stets eine Größe vierter Ordnung. Werden die Abmessungen in cm ausgedrückt, so werden die Benennungen demnach cm⁴, bei Widerstandsmomenten cm³.

2. Bestimmung des Trägheitsmomentes einer Fläche in bezug auf eine zur Schwerachse SS gleichlaufende Achse PP.

Das Trägheitsmoment Js einer Fläche für die Schwerachse SS (Abb. 91) ist:

Das Trägheitsmoment Jp für die im Abstand e liegende, zu S-S gleich-

laufende Achse P—P ist:

Jp=^-P².

Da die Flächenteilchen des Querschnitts beiderseits der Schwerachse liegen, _    wird:

Demnach ist:

+x

oS

Jp ± *y

Jp    ±2e - x + x²)

Jp=2fe?±2f- 2ex+Jïf- x2 Jp — e²y^f ± 2 ejźf • x ■ x².

ist die Gesamtfläche des Querschnitts, also 2f = F.

S—-\— -x ,

Abb. 91.

r-S

-4-------i*

• x ist das statische Moment aller Flächenteilchen für die Schwerachse;

dies ist nach früherem = 0; demnach wird ■ x = 0.

Die Größe Sf • jc² = Js.

Unter Einsetzung dieser Werte erhält man:

Jp = e² ■ F ±0 + Js Jp = Js+Fe². .

(21)

In Worten: Das Trägheitsmoment eines Querschnittes in bezug auf eine zu seiner Schwerachse gleichlaufende Achse ist gleich dem Trägheitsmomente Js für diese Schwerachse vermehrt um das Produkt aus der Querschnittsfläche F und dem Quadrate der Entfernung e der beiden Achsen.

Von diesem wichtigen Satze werden häufig Anwendungen gemacht werden (z. B. Aufgabe 34 und 37).

A »»i

3. Hauptträgheitsmomente.

Durch den Schwerpunkt lassen sich unendlich viele Gerade ziehen. Jede dieser Geraden kann als eine Schwerachse angesehen werden. Für jede der Achsen läßt sich ein Trägheitsmoment aufstellen. Von allen diesen Trägheitsmomenten sind zwei von besonderer Wichtigkeit, nämlich das größte Trägheitsmoment Jmax und das kleinste Trägheitsmoment Jmm. Diese beiden Trägheitsmomente nennt man die Hauptträgheitsmomente des Quer-J Schnittes, die dazu gehörenden Achsen x x heißen die Hauptachsen.

Die Hauptachsen stehen senkrecht zueinander. Die Hauptachse, für welche das Trägheitsmoment seinen größten Wert erreicht, heißt die erste Hauptachse; die Hauptachse, für welche das Trägheitsmoment den kleinsten Wert erhält, heißt die zweite Hauptachse. Jede Gegenachse eines Querschnittes ist eine Hauptachse. Die erste Hauptachse erhält in der Regel die Bezeichnung X—X, die zweite Y—Y. Das größte Trägheitsmoment bezeichnet man daher meist mit Jx, das kleinste mit Jy.

In Abb. 92-95 sind die Hauptachsen für einige der gebräuchlichsten Querschnitte eingezeichnet.

Aus vorstehendem ist ersichtlich, daß es für einen Querschnitt unzählig viele Trägheitsmomente gibt und daß ferner das Trägheitsmoment ein rechnerischer Ausdruck ist, der bei Annahme einer bestimmten Achse lediglich von der Gestaltung der Fläche abhängt.

Es sind nun für eine Reihe von Flächen die Trägheitsmomente bestimmt worden, einige von diesen gebräuchlichsten Größen sind in nachstehender Tabelle (S. 65) angegeben.

Y'II

iS

-f-

y'ii

Abb. 92.

\Y

Abb. 93.

Y-

Wie aus der Formel J —Sf • x° ohne weiteres folgt, lassen sich die Trägheitsmomente von einzelnen Flächenstücken, die auf dieselbe Achse bezogen sind, einfach algebraisch addieren, so daß nachstehender Satz ausgesprochen werden kann:

■l

Das Trägheitsmoment eines Quer-

xs

zusammengesetzten Schnitts für eine beliebige Achse ist gleich der algebraischen Summe der Trägheitsmomente der einzelnen Teile der Fläche bezogen auf die selbe Achse.

Abb. 94.

Abb. 95.

Man beachte dabei, daß bei hohlen oder ausgeschnittenen Querschnittsformen sich das Trägheitsmoment J für die Schwerachse vielfach am einfachsten dadurch bestimmen läßt, daß man die vorhandene Fläche zu einem vollen Querschnitt ergänzt und zunächst das Trägheitsmoment für diesen aufsucht.

Liegen die Teilschwerpunkte der zur Ergänzung nötigen Flächen auf der Schwerachse des Vollquerschnitts, so bestimme man die Trägheitsmomente der Teilflächen in bezug auf diese Schwerachse und bringe sie vom Trägheitsmoment in Abzug (Aufgabe 36).

Liegen die Schwerpunkte der Teilflächen jedoch außerhalb der Schwerachsen des Vollquerschnitts, so berechne man das Trägheitsmoment jeder Teilfläche in bezug auf die zu ersterer gleichlaufende Schwerachse des Teilquerschnitts und berechne dann das Trägheitsmoment für die Schwerachse des Vollquerschnitts unter Beachtung der Beziehung: Jp = Js + F ■ e* (Aufgabe 37).

Meist ist es in letzterem Falle vorteilhafter, den Querschnitt nicht zu ergänzen, sondern ihn zu zerlegen. Dieses Verfahren ist dann anzuwenden, wenn durch Zerlegen Teilflächen entstehen, deren Schwerpunkte auf der zugeordneten Achse des Gesamtquerschnittes liegen (Aufgabe 38). Über die zeichnerische Bestimmung der Trägheitsmomente s. Anhang S. 130 u. fgd.

Um die zeitraubenden Vorberechnungen zur Bestimmung der Abmessungen von Querschnitten und der von diesen abhängigen Trägheitsmomente und Widerstandsmomente zu umgehen, sind für eine Reihe von Querschnittsformen unter Beachtung besonderer Grundlagen Festsetzungen in den Abmessungen getroffen worden. Es sind so die Normalprofile entstanden, welche sowohl für eiserne Träger (deutsche Normalprofile) als auch für Holzbalken (Normalbalken) festgesetzt sind, ln Tabellen sind diese Profile zusammengestellt und man kann daselbst für ein durch die Rechnung bestimmtes J bzw. W sofort die Profilform nebst Abmessungen finden.

4. Tabelle der Trägheits- und Widerstandsmomente der gebräuchlichsten Querschnittsformen.

Querschnitt

Trägheitsmoment J in cm⁴

Widerstandsmoment W in cm³

\.

bh³

.2

+■—b=h

&⁴

2.

J~n

b³

b*=h

h*

oder = —

12

oder =

h³

. bh³-b₁ h\ bh³ — b₁ h\

12

J =--- Vr

3.

4.

4~

5.

-U-

-ł*—

j_b*-bi

12

W=

b*-b\

oder = ~72

h*-h*

oder =

h'-h{

£r-

•v|

+ — -s?'

— -SS

h³ _fc.fi» 12 12 b ■ (h³ - h³)

cr

W=

& • (h³-h³)

12

UaBsch47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

~r

hh////s

•i

hi

Querschnitt

+b-

-4*4

Trägheitsmoment J in cm⁴

b ■ hs . bxh\

12

J=

bh* -f bxh\

12

Widerstandsmoment W in cm³

bhs+bx hl

bh

8.

9.

i,r

r

n ■ d⁴

Tt d³

11.

-L d

64

32

W-'J-

4

____.4

■<a-

J=

7t • (Z?¹ - r⁴)

7t.(D⁴-d⁴)

64

n (Z?⁴—r⁴) 4 ■ R

7t.(D⁴-d⁴)

32 D

____0___

13.

²l3h

b h*

24

i>7i!

^-T2

5. Anwendungen.

Aufgabe 34: Es sollen für einen rechteckigen Querschnitt 12/16 cm bestimmt werden (Abb. 96).

a)    die beiden Hauptträgheitsmomente,

b)    die beiden entsprechenden Widerstandsmomente,

c)    die auf die Rechteckseiten bezogenen Trägheitsmomente.

, 12-16* 12

= 4096 cm⁴.

Das zweite Hauptträgheitsmoment

h ■ b* 12

Jy =

16 • 12" 12

= 2304 cm⁴.

2. Bestimmung der Widerstandsmomente.

Jx

Ix

h~16

Abb. 96.

W =

vv X

4096

= 512 cm³

X_

Jy

-1-

w'-b

2304

W«= 6

= 384 cm³.

Abb. 97.

3. Bestimmung der Trägheitsmomente in bezug auf die Rechteckseiten H—H und V-V (Abb. 97).

Es ist nach Gl. 20:

Jp = Js + F • e².

Für die wagerechte Achse H—H wird für den vorliegenden Fall:

Jp = JH; Js = Jx; F — b • h;

JH = Jx b • h • ^ g )

JH = 4096 + 12 • 16 • 8² = 16384 cm⁴.

Für die lotrechte Achse V— V wird:

K) er

Jp    J v î J s ~ J y î F — b ‘ h]

Jv ⁼ Jy X b ■ h • ^2^

Allgemein wird:

Jh~

Jv = 2304 + 12 • 16 • 6² = 9216 cm⁴. b ■ hs

12 +**•

b-hs

3

h ■ bs

und

12

+ bh ■

_ h • bs

Jv ~    3

Aufgabe 35: Wie groß ist Jx bei einem Balken 10/18 cm? (Abb. 98.)

Es ist:

b-hs

Jx- 12

10- 183 Jx ~ 12

= 4860 cm⁴.

Obgleich die hier vorhandene Querschnittsfläche des Balkens F = 10- 18= 180 qcm kleiner ist als die des Balkens 12/16 mit F= 12-16 = 192 qcm in Aufgabe 34, so ist Jx doch größer als wie im vorigen Fall; man sieht hieraus den erheblichen

Einfluß, den die Balkenhöhe auf das Trägheits-b--*j- moment ausübt.

\Y

-t-

yt

II

*4-

h-l-8 hi

o«-.

TT

f:_i

—I    Aufgabe 36: Es soll

U | das erste Hauptträgheitsmoment und das Widerstandsmoment eines T-b, ] förmigen Querschnitts ~F~] für die Hauptachse X—X werden

fr

-t-b •=!()-+ Abb. 98.

Abb. 99.

Abb. 100.

zu der Vollfläche eines Rechtecks von der Breite b und der Höhe h.

bestimmt (Abb. 99).

Lösung: Man ergänzt die Fläche des T-Eisens

Es wird nach Gl. 19:

b-h³

12

Zur Ergänzung sind zwei Teilrechtecke / und II nötig, deren jedes ein Trägheitsmoment besitzt:

CM

12

Man kann sich die beiden Rechtecke I und II mit der gleichen Höhe ht also auch zu einem Rechtecke mit der Breite bt und der Höhe /q zusammengeschoben denken.

Es ergibt sich somit:

J x — J '— 2 • Jj

b-h³ b₁ - hf

Jx

12

12

— j2 ^ ' hs — bi ■ hl) ;

daraus :

-ü'P'h'-bfhl)-

3*

hs - hl • M

Aufgabe 37: Es soll das zweite Hauptträgheitsmoment und das Widerstandsmoment eines I-förmigen Querschnitts für die zweite Hauptachse Y—Y bestimmt werden (Abb.100). Es soll hierbei das Verfahren mittels Ergänzung zu einem Vollquerschnitte benutzt werden.

Lösung: Der Vollquerschnitt ist ein Rechteck mit der Breite h und der Höhe b.

j ^-J)³

Es wird daher:

12

Die ergänzenden Teilquerschnitte sind Rechtecke mit der Breite h, und der Höhe , die Schwerpunkte S₁ und S₂ der Teilflächen / und II fallen nicht mit dem Schwerpunkte des Vollquerschnitts und des gegebenen T~Profils zusammen.

Es ist:

to»

und ebenfalls:

Bemerkung: Ein Aneinanderschieben der Recktecke, wie bei Aufgabe 36, ist hier nicht angängig, weil dadurch die in der dritten Potenz vorkommende Höhe vermehrt würde und falsche Ergebnisse enständen (h\ hl = 2hl; während (h, -f hx)8 = (2h,)³ =8 hl ist!).

Das Trägheitsmoment der Fläche I in bezug auf die Achse 7—7, welche gleichlaufend zu der durch Sx gehenden Achse ist, wird

JII = JS* + F2'e'i-

JSl = 4.; p. = n -    ; «.-«>-

+4) •

Es wird somft das Trägheitsmoment für die Achse 7—7

J y — t J 2 • Jj .

Es sollen nun zur Vereinfachung Zahlenwerte eingeführt werden. Es sei:

= 14 cm, h, = 42 cm.

ebenso:

Da

J*

ist, wird:

•Hi³“

b = 30 cm, t — 4 cm, h = 50 cm, d — 2 cm

⁵°T7~” ⁼ H2500 cm4 42 • 14³

Es ergibt sich: J =

= 9604 cm⁴

JSl — Js., —

⁼    \~ Fi ‘ ei

Jj = 9604 -f 42 • 14 • 8² = 9604 + 37632 = 47236 cm⁴

J y = tj 2 * tlj

Jy = 112500 — 2 • 47236 — 18028 cm4 Jy 18028

w U ~    = - j g

12

= 1202 cm³.

~2

Aufgabe 38: Es soll die für die gleichen Verhältnisse wie bei Aufgabe 37 geltende Bestimmung des zweiten Hauptträgheitsmoments erfolgen, jedoch soll die Lösung durch Zerlegen in Teilflächen geschehen (Abb. 101).

Lösung: Man zerlegt die Querschnittsfläche in drei Rechtecke /, II und III, deren Teilschwerpunkte sämtlich auf der Hauptachse 77 liegen.

Es wird:

Da

ist, so wird:

Jii — JI + JII + ’hll (S. 64).

Jl = Jjj

J y =2 Jj -\-Jjji = Jil

t • b³

Jl= 12

hx ■ d3 ₁₂

t ■ b³ h! -ds

12

ln Zahlenwerten (Aufgabe 37) erhält man:

Jy =

2 • 4 • 30³    42 • 2S

12 ^ 12

= 1202 cm⁸.

Jy = 18000 + 28 = 18058 cm4 ljr 18028 15

Das hier ausgeführte Verfahren ist bedeutend einfacher wie das der Aufgabe 37. * Aufgabe 39: Für den in Abb. 102 gegebenen _L-förmigen Eisenquerschnitt sollen die Hauptträgheitsmomente sowie die zugehörigen Wider-I    Standsmomente bestimmt werden.

!*'

r HZ

fi,

'-JUL

iii

Ii-

6,0

e₂

_JL

\Y

X,

Abb. 102.

Abb. 101.

Lösung: Es muß zunächst der Schwerpunkt der Fläche ermittelt werden. Eine der Schwerachsen ist unmittelbar durch die Gegenachse Y—Y gegeben. Um die Schwerachse X—X zu bestimmen, benutzt man den Momentensatz (s. auch Teil I S. 40).

Man zerlegt die Flächen in Teilflächen Fl und F„ und stellt den Momentensatz für die Achse H—H auf.

Es wird:

Fl = 12- 1,0= 12 qcm; F₂ = 5 • 1,0 = 5 qcm; F = Fl + F₂ = 17 qcm. x, =0,5 cm; x» =3,5 cm.

F • x = Fi • xt -f- F₂ • x₂

Man erhält somit:

nach Einsetzen der Werte ergibt sich:

17. x= 12-0,5 -j-5 -3,5

23,5 x =    ’

17

= 1,38 cm.

Es wird ferner das Trägheitsmoment für die durch St gehende wagerechte Schwerachse der Fläche Ft :

Js, —

12- 1,0³

12

= 1 cm⁴,

das Trägheitsmoment für die durch S₂ gehende wagerechte Schwerachse der Fläche Ft

1 •5³    125

—r- -    10,4 cm⁴.

12

Man erhält somit:

Jx — Fi • e\ + Js^ + F₂ • el

Jx = 1 + 12 • (1,38 — 0,5)² + 10,4 + 5 • (3,5 — 1,38)*

J*,= 1 + 9,3 + 10,4 + 22,5 = 43,2 cm⁴;

al == 4,62 cm.

a = 1,38 cm ;

Für die obere Faser bezogen erhält man:

\\r ₌</* ₌ 43,2 a,    4,32

= 9,34 cm®.

Für die untere Faser bezogen:

43,2 1,38

1.12» , 5 • ls Jy==~Ï2

**u-

= 31,2 cm",

12

= 144 -f 0,42 = 144, 4 cm⁴; 6 = 12 cm.

Wy' =

144,4    ,

ft = 24,1 Cm '

Die aus den Tabellen der Normalprofile gefundenen Werte sind etwas geringer, da im vorliegenden Falle keine Abzüge für Abrundungen usf. gemacht wurden.

Aufgabe 40: Es soll das'Trägheitsmoment eines Blechträgers, dessen Querschnittsabmessungen in Abb. 103 gegeben sind, in bezug auf die erste Hauptachse X—X bestimmt werden.

Lösung: Man ergänzt den Querschnitt zu einem vollen Rechteck und beachtet, daß die Breite desselben um zwei Nietbreiten zu vermindern ist. d = 20 mm.

Es wird dann:

I*

i ti?T

~Y777,1

Prr^SO-80-10

7~

J*”12

(17-2-2) 40*

“ 12

Jx = 69 333 — 45 727 = 2306 Jx =[21300 cm⁴

W =-* = -*• x a h'

• 2 • 5 ■ 3S* —

Î2 * ² - 1 • 243

Ę-.-LU

=]20 cm

+-

7-4

t0-8010

8— L-S—■

Abb. 103.

= 21300 * 20

Aufgabe 41: Wie groß sind die Hauptträgheitsmomente und die Widerstandsmomente des in Abb. 104 da_rgestellten, zusammengesetzten Stützenquerschnitts, bestehend aus zwei |_-Eisen N. P. Nr. 20 und zwei Blechen 10 • 400 mm.

Lösung: Aus den Tabellen der Normalprofile findet man, daß ein |“-Eisen N. P. Nr. 20 besitzt: J*==1911 cm⁴ und Jyi = 148 cm⁴, wobei F = 32,2 qcm und der Schwerpunktsabstand s = 2,01 vom äußeren Stegrande beträgt (Abb. 105).

=]1065 cm³.

22—

C N.P.Nr.20

b=40

•---\.w

SY—10-

-4-

-\-L—$h—20

*L.

10

\h

Xi

mp.

20

|IiV. P. Nr. 20

i y,

Abb. 104.

Abb. 105.

Man erhält somitals erstes Hauptträgheitsmoment des gesamten Stützenquerschnitts:

40 • 22³    40 • 20³

Jx — 2- 1911 +

12

12

40

Jx = 3822 +    (22⁸ — 20³)

Jx = 3822 + 8827 = 12649 cm4 w

x a h

h _ 22 2 ~ ~2

= 11 cm

\Y - 12649 11

Das Trägheitsmoment für die zweite Hauptachse ergibt sich zu:

Jy = 2(Jt' + F-e')+ ²-¹-°-40s

= 1149 cm³.

Jy = 2(148 + 32,2- 12,01 s)-f Jy = 4793 + 10666 = 15459 cm⁴

2- 1,0 -40³

12

Jy.

40

= 20 cm

w 15459 ~20~

= 773 cm³.

\Y

t— 6—¹*—16-+—6-~|-

frprnria

xUl

f-4~ ^-------

5,1-4 |

4.

JL

■n-

1 I

.wwwfw^

-4-

4 ls

■H-

Aufgabe 42: Auf einen Holzträger mit rechteckigem Querschnitt 18/24 cm steht ein Pfosten, welcher mittels Zapfen in den Holzbalken befestigt ist. Es soll berechnet werden, wie groß das Trägheitsmoment und das Widerstandsmoment des Balkenquerschnitts an der geschwächten Stelle, bezogen auf die wagerechte Schwerachse, ist, wobei die in Abb. 106 angegebenen Abmessungen zugrunde gelegt werden sollen.

X,r<0—4

1. Bestimmung des Schwerpunktes.

Man zerlegt die Fläche in drei Teilflächen Flt F₂ und F₂ (Abb. 106). Es wird: Fj = 16 • 18 = 288 qcm ;    |F₂ = 6 • 8 = 48 qcm = Fs.

Der Schwerpunkt liegt auf der Gegenachse Y— Y.

Nach dem Momentensatze wird, falls die untere äußere Kante des Querschnitts H-H als Drehachse angenommen wird:

F • x = F₁ • xt -f- F₂ • x₂ -j- Fs • x₃ ;    x₁ = 8 cm ; x₂ = 20 cm

384 • x = 288 • 8 + 48 • 20 + 48 • 20 384x = 4224

4224

384

= 10,98 cm = rd. 11 cm.

2. Bestimmung des Trägheitsmomentes.

Das Trägheitsmoment der Fläche Fx bezogen auf die Achse X— X ist:

JXl = Fi ' ei;

el == x — xt — 11 — 8 = 3,0 cm 18 • 16³

₁₂    +2S8-3²

JXi = 6144 + 2592 = 8736 cm⁴.

Da F₂ = Fs ist, so erhält man das Trägheitsmoment der Flächen F₂ und Fs für die

X—X-Achse wie folgt:

e₂ = 24 — x —

= 24— 11 — 4 = 9

Jx

■2

= ²(-f2! + 48'9!)

Jx = 2 (256 + 3888) = 8288 cm⁴. Das Qesamtträgheitsmoment für die Achse X—X ist demnach:

Jx = JXl + JX.x

Jx = 8736 4- 8288 = 17024 cm⁴.

Es ist:

Demnach ist:

3. Bestimmung des Widerstandsmomentes.

=-

xu a

a = x = 11 cm ;

VF. =

Jx

und

Jx

Wx= —

» al

al = 24 — x = 13 cm.

17024

xu

11

= 1548 cm³

\y

13

Ohne die Schwächung hätte der Querschnitt besessen:

18 • 24³

Jx~ 12

1310 cm³.

= 20736 cm⁴

, r Jx 20736 ¹¹'' a “    12

— 1728 cm’.

C. Berechnung der auf Biegung beanspruchten Bauteile.

1. Allgemeines.

ln erster Linie kommen bei der Biegungsberechnung die Träger in Frage. Hierbei ist der folgende allgemeine Rechnungsgang stets einzuhalten.

1.    Feststellung der Maße der Träger, insbesondere der freien Länge und der Stützweite. Bei allen Trägerberechnungen ist die Stützweite den Untersuchungen zugrunde zu legen.

2.    Ermittelung der wirkenden Lasten nach Art, Größe und Lage. Hierzu werden die Angaben in den Tabellen benutzt und so für das Eigengewicht und die Nutzlasten die erforderlichen Zahlenwerte festgelegt.

Die weitere Untersuchung kann zeichnerisch oder rechnerisch geführt werden. (Teil I S. 68 u. fgd.)

3.    Bestimmung der Auflagerwiderstände.

4.    Ermittelung des gefährdetsten Querschnitts.

5.    Aufstellen des größten Biegungsmoments.

6.    Berechnung des nötigen Widerstandsmoments unter gleichzeitiger Annahme der zulässigen Biegungsspannung kb.

7.    Bestimmung der entsprechenden Querschnittsform in der Regel unter Zuziehung von Tabellen.

Da meist die in den Tabellen berechneten Widerstandsmomente mit den rechnungsmäßig für den betreffenden vorliegenden Fall erforderlichen nicht übereinstimmen, so wird vielfach noch eine Festlegung der tatsächlich auftretenden Spannungen nötig.

Die weitere Lösung erfordert häufig noch eine Untersuchung der Auflagerung. Hierzu gehört die Ermittelung der notwendigen Auflagerfläche, gegebenenfalls der Auflagerplatten, Auflagersteine usf.

Zu berücksichtigen ist noch folgendes:

Zu 1: Um aus der Lichtweite der Öffnung oder der freien Länge des Trägers die Stützweite zu bestimmen, beachte man, daß

Stützweite = Lichtweite + Länge eines Auflagers

ist. Für die Auflagerlänge kann genügend genau V₁₀ der Lichtweite eingesetzt werden.

Bezeichnet man die Lichtweite mit lu die Stützweite mit /, so ergibt sich auch eine gute Beziehung durch die Formel

l = 1,04 k +' 0,1 (m),

wobei angenommen ist, daß der Träger auf beiden Seiten auf Mauerwerk aufliegt.

Nach den M. B. B. ist bei unmittelbarer Lagerung eines Trägers auf Mauerwerk als Stützweite die um mindestens V₂₀ vergrößerte Lichtweite einzuführen, also l 1,05 lx.

Zu 2: Bei Trägern, welche durch Mauerwerk belastet werden, nimmt man bei genügender Genauigkeit der Einfachheit wegen an, daß der Träger auf eine Länge gleich der theoretischen Stützweite durch Mauerwerk belastet wird. Die Berechnung wird so um ein geringes zu ungünstig.

Es kommt somit der durch die in den Stützpunkten errichteten Senkrechten geschnittene, oberhalb des Trägers liegende Mauerteil als belastend in Be-

C. Berechnung der auf Biegung beanspruchten Bauteile

75

tracht, einschließlich der Zwischendecken und gegebenenfalls der zugehörigen Dachbauteile. Eine etwaige, durch Fensterbogen oder dgl. bedingte, etwas anders ausfallende Verteilung wird nicht berücksichtigt. Nur bei größeren Trägern, erheblicheren Öffnungen und etwa durch die obige Annahme entstehenden offenkundigen Unrichtigkeiten ist eine den Verhältnissen besser entsprechende, andere Verteilung der Belastungen vorzunehmen.

Die Berechnung so durchzuführen, daß eine Belastung des Trägers durch Mauerwerk nur für die Strecke in Frage kommt, welche der Lichtweite entspricht, ist zwar genauer, bietet aber keine Vorteile. Die Rechnung ist umständlicher, der Unterschied in den Ergebnissen beträgt etwa nur 1 %.

10%).

Unrichtig würde es sein, die unter Beachtung der Lichtweite zu bestimmende Last gleichmäßig über eine Trägerlänge gleich der Stützweite zu verteilen, es würden dann die Träger zu schwach ausfallen (etwa um

Befindet sich unmittelbar über dem Träger eine Türöffnung, so nehme man an, daß die Hälfte der über der Türöffnung liegenden Last sich gleichmäßig über das links von der Türöffnung zunächst liegende belastete Trägerstück verteilt, die andere Hälfte der Last in gleicher Weise über den rechts von der Öffnung liegenden Trägerteil. Ebenso sind die Fensteröffnungen zu behandeln. Zu beobachten ist hierbei, daß das Brüstungsmauerwerk den Träger unmittelbar belastet.

Sind große Öffnungen vorhanden, die durch Träger abgedeckt werden müssen, so sind die Auflagerdrücke des abdeckenden Trägers zu bestimmen und diese als Einzellasten für den Hauptträger einzuführen.

Zu beachten ist ferner, daß in jedem einzelnen Falle zu prüfen ist, ob das Trägereigengewicht im Vergleich zur Nutzlast so groß ist, daß das Ergebnis der Berechnung erheblich durch das Eigengewicht beeinflußt wird und somit seine Berücksichtigung bei den Belastungsannahmen für die Untersuchung nötig wird.

Zu 3—5: Es sei hierbei auf die einzelnen Darlegungen in Teil I S. 68 u. fgd. verwiesen.

Zu 6: Bei Vs Stein starken Wänden wird in der Regel nur ein Träger verwendet; bei Wänden von mehr als % Stein Stärke werden mindestens zwei, bei starken Wänden vielfach drei Träger verlegt, die im allgemeinen gleiche Stärke erhalten. Durch geeignete Bauweise sorge man dafür, daß die Last gleichmäßig auf die sämtlichen Träger verteilt wird (Einlegung von Gußstücken usw.).

Gehen die zu unterstützenden Wände durch mehrere Stockwerke, so kann man entweder die Wände im untersten Stockwerke durch eine Trägeranordnung aufnehmen, oder es werden in jedem Stockwerke oder in jedem zweiten Stockwerke Träger angeordnet, die die Last nach unten übertragen. Die letzteren Fälle werden häufig bei balkentragenden Wänden ausgeführt und bieten den Vorteil, daß unverhältnismäßig hohe Träger, welche die lichte Höhe vielfach beschränken, sowie Auflagerquader vermieden werden. Die erstere Anordnung hat dagegen den Vorteil, daß das gesamte Eisengewicht geringer wird wie im letzteren Fall. Man versuche bei allen Trägeranordnungen mit den Normalprofilen für eiserne Träger, sowie mit Normalhölzern auszukommen. Nur in Ausnahmefällen greife man zu Blechträgern oder besonderen Holzbalkenprofilen. Die Berechnung der Blechträger wird erst im Teil III⁶ besprochen werden.

Hinsichtlich der Auflagerung wird auf das S. 21 u. fgd. Gesagte verwiesen. Die von den oberen Geschossen herrührende, in der Mauer bereits vorhandene Beanspruchung wird bei der Berechnung der Auflagerplatte nicht berücksichtigt.

t*

2. Anwendungen.

a) Träger auf zwei Endstützen mit Einzellasten.

Aufgabe 43: Ein Träger, dessen Stütz-Lß weite 1= 3,0 m beträgt, soll eine hölzerne Stüze aufnehmen, die eine Last P = 1500 kg ll überträgt. Es soll das erforderliche Wider-fr^ Standsmoment des Trägers berechnet werden, wobei als Baustoff Kiefernholz angenommen

-0 = 2,00

4 = 3,00-

Abb. 107.

werden soll (Abb. 107). Es wird für die Lösung verwiesen auf Teil I S. 77.

Lösung: Gegeben P= 1500 kg; I — 3,0 m; a = l,0m; £» = 2,0 m; kb=\00

kg

qcm

Es wird:

1. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

P-b

Pa

1500 • 200

300

= 1000 kg

1500-100

300

= 500 kg.

Probe:

A + B = P 1000 + 500 = 1500.

2. Bestimmung des gefährdetsten Querschnitts.

Die Querkraft durchschreitet unter P den Wert Null, also liegt daselbst der ge-fährdetste Querschnitt.

3. Bestimmung des größten Momentes.

Denkt man sich den Träger bei I durchgeschnitten und betrachtet das linke Balkenstück, so erhält man den Drehpunkt I

Mmax

(a)

Nach Einsetzung von A =

Pb

ergibt sich:

Afinax

Mmax =

P ab

■ • (b)

Es wird unter Berücksichtigung von Gleichung (a):

Mmax = 1000 • 100 = 100000 kg cm.

unter der Benutzung der allgemeinen Gleichung (b):

1500 • 100 • 200

Mmax —

-    100000 kg cm.

4. Bestimmung des Widerstandsmomentes. Gegeben: Mmax = 100000 kgcm; kb für Kiefernholz = 100 ^8^

Mmax

100000

100

= 1000 cm³.

Nach S. 61 Gl. (20) für den rechteckigen Querschnitt (Abb. 108)

W=

b-h²

demnach:

b-h*

£ = 1000.

6

Man wählt nun in der Regel b : h = 3 :4 oder b =

5    3

^ h. Wird hier b= eingesetzt, so ergibt sich:

= 1000

Abb. 108.

h, vielfach auch : b : h — 5 : 7 ;

ï‘-

= 8000

h = f/8000 = 20

b— h= 20 =15 cm.

cm

CD

Gewählt wird ein Normalbalken 15/20 cm.

In der Regel benutzt man nach Feststellung des erforderlichen W die Tabellen zum sofortigen Bestimmen des Balkenquerschnitts und sucht sich für die vorliegenden Verhältnisse den günstigsten und billigsten Balkenquerschnitt aus.

Aufgabe 44: Bei einem Baugerüst, das zum Versetzen schwerer Werksteine dient, wird eine kieferne Bohle 3 m freigelagert. Welche Stärke muß sie erhalten, falls ihre Breite 25 cm beträgt?

Es wird als ungünstigster Belastungsfall angenommen, daß die Bohle von einem Arbeiter betreten wird, der eine Nutzlast von höchstens 50 kg trägt. Der ungünstigste Fall tritt ein, wenn die bewegliche Belastung in der Mitte der Bohle sich befindet. Das Gewicht des Arbeiters nimmt man zu 100 kg an.(Abb. 109.)

kg

qcm

Lösung: Gegeben P— 100 -f 50 = 150 kg; l = 300 cm; kb = 100

Es wird:

= 75 kg

.Mmax = A ■ 2 =

Mmax =    (Teil I S. 78)

150-300

= 112 500 kg cm

-Mmax =

Mmax

kb

112500

*2

= 1,5

-4*

-1,5

— = 112,5 cm⁸.

-1=3,00 Abb. 109.

Für die rechteckige Bohle (Abb. 110) wird nach Gl. (20) W = b £ , also-

—-r    -<£=112,5.

-j-    Da b — 25 cm gegeben ist, so wird:

6-112,5 25 •

-4

/i² =

; /i=y27 = 5,2 cm;

Abb. 110.

dafür h = 6 cm gewählt.

Es genügt demnach eine Bohle 6/25cm.

Aufgabe 45: Ein Träger wird durch zwei Holzpfosten belastet in der in Abb.l 11 angegebenenWeise. DerlinkePfostenüberträgteineKraftP₁=2000kg, der rechte P₂ = 3000 kg.

1. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Die Auflagerwiderstände lassen sich a) ohne weiteres angeben oder b) können unter Benutzung der Momentengleichung entwickelt werden.

Px • bL + P, b, .

Zu a): Es ist:

Zu b): Die Momentgleichung für Drehpunkt B lautet:

Abb. lila.

Pt-2000kg

---fl 2 ~⁼ —

P₂ = 3000kg

b,-3,0

. n. -6*-

-TZ

A • l — Pj • bt — P₂ • b₂ = 0 A ■ l = Pl-.bl — P₂- b₂

Ą __ ^1 ‘ ^1 + P S' &2

fhw—i-

-2,5-

1=4,00-

+0,5^

^ l

Aus der, Momentengleichung für Drehpunkt A ergibt sich der Auflagerwiderstand B.

Es ist : B ■ l — Px ■ ax — P₂ ' «2 = 0 _ P\ ' “I⁻ ^*2 ' ^2

A ==

PS

Abb. 111b.

-4-

ry __ P\‘ a\ i P'2 ai

°    ^ l

Gegeben: P₁ = 2000 kg; P₂ = 3000 kg; a, = 1,0 m;    = 2,5 m; a₂ = 3,5m~

b₂= 1,5 m.

Man erhält somit: A

2000 -300 , 3000 -50

400

400

= 1875 kg.

2000 -100 , 3000 -350

400

400

= 3125 kg

Probe:

die Rechnung stimmt also.

1875 -f- 3125 = 2000 + 3000 5000 = 5000;

2. Bestimmung des gefährdetsten Querschnitts.

Die Festlegung des gefährdetsten Querschnitts kann entweder zeichnerisch oder rechnerisch geschehen.

Im ersteren Falle bestimmt man hierzu die Querkräfte am Anfang und am Ende jedes Belastungsfeldes, trägt dieselben in einem gewählten Kräftemaßstabe von einer angenommenen Nullinie an auf und verbindet die betreffenden Endpunkte der aufgetragenen Strecken (Teil I S. 73) Abb. 111b.

Im zweiten Falle zerlegt man den Träger ebenso am Anfang und Ende jedes Belastungsfeldes durch probeweise geführte Schnitte, die man von einer Seite nach der anderen wandern läßt und bestimmt jedesmal die Querkraft am abgeschnittenen Teile.

In beiden Fällen liegt der gefährdetste Querschnitt an der Stelle, wo die Senkrechte den Wert Null bezitzt bzw. den Wert Null durchschreitet. (Genaueres Teil I S. 68 u. fg. u. S. 73.)

Der gefährdetste Querschnitt liegt hier unter der Last Pi ; denn am Ende des ersten Belastungsfeldes ist die Querkraft V₁ = A= 1875 kg; am Anfang des zweiten Feldes wird V₂ = A — Pj’= 1875 — 2000 = — 125 kg. Es ist im Punkte I ein Vorzeichenwechsel eingetreten, der Wert Null also durchschritten worden.

Es wird:

3. Bestimmung des größten Biegungsmomentes. Mmax = A ■ cl (Abb. 112)

Mmax = 1875 • 100 = 187500 kg cm.

4. Bestimmung des Widerstandsmoments, a) Annahme eines Holzbalkens:

•—o j - 100

Pf

W=

W=

Mmax

h -i ’ r187 500 ⁴ 100

; kb = 1001 kgf

qcm

='1875 cm³.

Abb. 112:

Gewählt wird aus der Tabelle ein Normalbalken 20/24 cm mit Wx = 120 cm³.

kg

qcm

~ = rd. 157 cm.³

b) Annahme eines I-Trägers: kb = 1200

Es wird:

187500

1200

Gewählt aus Tabelle ein I-Träger N. P. Nr. 18 mit Wx = 161 cm ³ und G = 21,90 kg für den lfd. m.

Aufgabe 46: Es sollen die Abmessungen eines Trägers ermittelt werden,, sofern zwei Einzellasten P = 2000 kg gleichliegend zur Trägermitte einwirken (Abb. 113 a S. 80).

Dieser Belastungsfall tritt häufig im Bauwesen auf. (Ausführlicheres s. Teil I S. 78.)

Lösung: Die Auflagerwiderstände sind einander gleich. A = B = 2000 kg.

Die Querkraft wird sowohl im Querschnitt I als auch im Querschnitt 11 = 0; ebenso wird sie auf der ganzen Strecke 1 —11 = 0. (Abb. 113 b S. 80.)

Das größte Biegungsmoment tritt daher auf der ganzen Länge des Feldes I bis. 11 auf.

= A • a

Mmax = 2000 110 = 220000 kg cm.

Es wird:

Es genügt ein Normalbalken 20/26 cm mit 0^ = 2253; F = 520 qcm.

Abb. 113 a.

Das Widerstandsmoment ist:

Mmax

1. Es soll angenommen werden, daß ein |_-Eisen Verwendung finden soll; kb = 1200

kg .

qcm

220000

1200

= 184 cm³.

Gewählt wird ein |~-Eisen N. P. Nr. 20 mit Wx = 191 cm³ und G = 25,28 kg für den lfd. m.

Die Beanspruchung ergibt sich nun geringer, es wird:

kg qcm

2. Bei Annahme eines kiefernen Holzbalkens wird kb = 100

200000

220000

191

= 1152

kg

und

qcm

100

= 2200 cm³.

Abb. 114a.

A,

Pt =£000 kg

P₂=2000kg

Ä'

Pi

Mitte

Pb

<-CLr

n_

77777*, *777

4-L10—7

1,S0

UO

-l—4ß0

4 0,65

•a.=l,80

LL

1=4,00-

1,55-fr

yy. ^777777.

P,

7-

M.d.K. lern = 2000kg t

Pb

Tl 11 n 111 u 11 m im^i i?

M.d.K. 1 cm = 2000kg bę

Abb. 113b.

Abb. 114.    *

Häufig kommt es vor, besonders im Tiefbau, daß die beiden Einzellasten sich über einen Träger fortbewegen. Die ungünstigste Laststellung für den Träger

tritt dann ein, wenn die erste Last um ~ von der Trägermitte entfernt ist.

a = Abstand der beiden Einzellasten (Abb. 114a).

Aufgabe 47: Ein Fahrzeug mit Raddrücken von P = 2000 kg bewegt sich über einen Brückenträger. Wie groß sind die Abmessungen des Trägers zu wählen? Der Achstand a sei = 1,80 m.

Lösung: In Abb. 114a ist die nach vorhergehendem vorhandene ungünstigste¹) Laststellung eingezeichnet. Es wird nach früherem (s. Aufgabe 45):

^ _ Pl * ^1 _|_    ' ^2 .

1) Die ungünstigste Laststellung wird nach folgender Regel bestimmt:

Man ermittelt die Mittelkraft aller auf einem Träger Platz findenden Lasten P und stellt dann den Träger so, daß seine Mitte den Abstand der Mittelkraft von der nächst größeren Last halbiert.

also hier:

2000 155 , 2000.335

400

400

A = 775 -f 1675 = 2450 kg 2000 -65 . 2000-245

400

400

Probe:

B = 325 4- 1225 = 1550 kg.

A + B =^P 2450 + 1550 = 2000 -f 2000 4000 = 4000

Die Rechnung stimmt demnach.

Die Querkraft geht nach Abb. 114 b im Querschnitt II aus dem positiven in einen negativen Wert über.

Das größte Biegungsmoment liegt daher unter II und wird, wenn man das rechte, bei II abgeschnittene Trägerstück betrachtet (Abb. 115):

Afmax

= B ■ b.,

Almax = 1550 • 155 = 234750 kg cm.

Ein Vergleich mit dem in Aufgabe 46 berechneten größten Momente zeigt ohne weiteres, daß diese Laststellung ungünstiger ist wie die in Abb. 113a angegebene.

b^!55 cm B

II

’/pbn

Abb. 115.

Das Widerstandsmoment wird:

Almax

1. Bei Annahme von flußeisernen Trägern wird: kb = 1200

234 750 1200

= 195 cm⁸,

kg-

qcm

, also:

Gewählt F N. P. Nr. 22 mit Wx = 245 cm³ und G = 29,36 ^ oder T-Träger

N. P. Nr. 20 mit Wx = 214 cm³ und G = 26,30 ^ •

m

2. Bei Annahme von Kiefernholz mit kb — 100

234750

kg

wird:

qcm = 2347 cm³.

Gewählt nach Tabelle ein Balken 18/26 cm mit Wx = 2352 cm³ oder ein Normalbalken 22/28 mit Wx = 2875 cm³.

Wird der Achsabstand a > ^ . wie es z. B. bei a = 2,5 m der Fall ist, so verliert

die oben angegebene Regel ihre Gültigkeit. Die ungünstigste Laststellung tritt ein, falls eine Last sich über der Trägermitte befindet. Die andere Last liegt dann außerhalb der Trägerstützweite oder über der Stütze, belastet also den Träger nicht.

„ Pxl

Almax — -~ą~

-Mmax =

Bei Anwendung der oben genannten Regel ergibt sich ein kleineres Größtmoment. Es wird dann nämlich nach Abb. 116 a und nach Aufgabe 43

•~Z    +    /

UaBsch47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

Es ergibt sich dann:

100

2000 • 400

= 200000 kg cm.

also hier:

Ah

.-a,

pt

^SJ

Abb. 116 a.

-s!

ir

A _ 2000 • 387,5

2000 • 137,5

uB

400

400

= 2625 kg

px a i

P*;

-2,50-1-

——l=4,00

1,375-i-

ÿm. b =

2000 12,5

2000 • 262,5

400

400

= 1275 kg.

A + B=^P 2625 -f 1275 = 2000 + 2000 Ę ç> 4000 ==4000,

Probe:

M.d.M. 1 cm = 2000 kg

P»

Abb. 116b.

also richtig !

Das größte Biegungsmoment, Il B das unter 11 liegt, wird dem- v> nach nach Abb. 116:

rt

;rb₂-l00--

Abb. 117.

Mmax

= B - ba

Mm&x = 1375 • 137,5 = 179063 kg cm, also kleiner wie bei dem Fall einer Einzellast in der Mitte.

Aufgabe 48: Ein flußeiserner Träger von 8,0m Stützweite wird durch drei Einzellasten ^ = 3000 kg; P₂ = 4000 kg und P₃ = 2000 kg in der in Abb. 118a angegebenen Weise belastet. Es sollen die Abmessungen des Trägers bestimmt werden.

a) Zeichnerische Lösung (Teil I S. 68 f.).

Man reiht die gegebenen Kräfte zu einem Kräftezug im gewählten Kräftemaßstabe (hier 1 cm = 2000 kg) aneinander, wählt einen beliebigen Pol 0 (hier H = 5000 kg), zieht die Polstrahlen (Abb. 118a), zeichnet das Seileck nebst Schlußlinie s (Abb. 118b) und zieht zu ihr eine Gleichlaufende S, welche auf der Mittelkraft R=AE die Strecke CA = A und CE = B abschneidet und stets die Kraft (hier P₂) trifft, unter der das größte Biegungsmoment liegt. Durch Seileck und Schlußlinie ist gleichzeitig die Momentenfläche bestimmt, deren größte Ordinate ymax für die Bestimmung des größten Biegungsmomentes maßgebend ist. Hier ist i/₂ = t/max-

Durch Aufzeichnung der Querkraftfläche findet man die Lage des gefährdetsten Querschnitts an der Stelle II. Aus der Abb. 118b ergibt sich:

y₂ = i/max = 1,45 cm, also in wahrer Größe i/max = 1,45 • 150 = 218 cm.

Es wird somit:

Mmax

= H ■ y max

Mmax = 5000 • 219 = 1090000 kgcm.

b) Rechnerische Lösung (Teil 1 S. 74f.).

1. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

B auf-

Zur Berechnung von A wird die Momentgleichung für den Bezugspunkt gestellt.

Es wird :    A • / — Pt - bx — P₂ • 6, — P₃ • bx = 0.

A = Px'*i + Pf*t+'Pfb>

_ 3000 • 700 -f 4000 • 500 -f 2000 200

800

= 5625 kg.

= 3375 kg.

3000 • 100 4- 4000 • 300 -f 2000 600

800

Probe:

7

2,00

II

III

3,00

J,«0-1-

j4

s.

1-8,00-

■So

B‘

Co

So

S;

Abb. 118 b.

--11=5000 kg

Abb. 118 d.

P,

-tu

JL-

r;_

-i

Abb. 118 c.

-i—

t-4-

Hé - j£.

■!*—=300-y-

î/7

200—i-

M. 1 : 150

M. d. K. 1 cm = 2000 kg Ebenso wird B bestimmt durch Aufstellung der Momentgleichung für Bezugs-ß • f — Pt • at — P₂ ■ a₈ — P, o₂ = 0 _ P\ '    "T"    ' ^2 "7 PS ' ^3

punkt A.

•U

3-1

Abb. 119.

A ,<-

■—--ü2

V—b*---

Abb. 118a.

P, - 3000 kg P,= 4000 kg    P₃ - 2000 kg

- bt —

A + B=2p

¹

Bestimmung der Hauptträgheitsmomente. bh³

Das erste Hauptträgheitsmoment Jx = ^

5625 + 3375 = 3000 -f 4000 + 2000 9000 = 9000;

die Gleichung ist identisch, die Rechnung also richtig.

2. Die Bestimmung der Querkrätte.

Im ersten Belastungsfelde zwischen A und P₁ wird V₁ = A = 5625 kg.

Im zweiten Belastungsfelde zwischen Pl und P₂ wird V₂ = A — P, = 5625 — 3000 = 2625 kg.

Im dritten Belastungsfelde zwischen P₈ und Ps wird = A — Px — P2 = 5625 — 3000 — 4000 = — 1375 kg.

Die Querkraft durchschreitet also im Querschnitt II unter P₈ den Wert Null (Abb. 118 c). Der gefährdetste Querschnitt liegt demnach unter II.

3. Bestimmung des Moments.

Man denkt sich den Träger an der Stelle II durchgeschnitten, zeichnet das linke abgeschnittene Trägerstück heraus und stellt für den Drehpunkt II das Biegungs-moment auf (Abb. 119). Die Last P₂, welche durch den Drehpunkt geht, ist fortgelassen worden, weil ihr Hebelarm die Länge O besitzt und somit kein Drehmoment hervorgerufen werden kann.

= A • a₂ — Px (a₂ — cq)

= 5625 • 300 — 3000 • 200 = 1087500 kgcm.

Es wird:

4. Bestimmung des Widerstandsmoments.

Unter Anwendung der Biegungsgleichung ergibt sich das erforderliche Widerstandsmoment:

Abb. 120 a.

PPPPPPPP

Mitte

* kD

max

i7    77 JII /1 L \vi VII VIIM^m

Ą 0,8H),M,8±-0,8± 0,8^0,8±0,SM),8M),81+

X-1 - 7,20---4

kb ’

; kb = 1200 kg

qcm

rüßA

W,=

1087500

1200

= 906 cm⁵.

N\i

-0,8

Nv

IX

Abb. 120b.

Gewählt wird ein X- Träger N. P. Nr. 34

mit Wx = 923 cm² und G = 68,0 kg

m

oder ein Differdinger Träger Nr. 25 B

mit Wx = 965 cm³ und G = 82,5 kg-

m

Aufgabe 49: Die Balkenlage über dem Laden eines Geschäftshauses werde durch einen Unterzug von 7,20 m Stützweite in der Mitte getragen. Es sollen zwei Fälle untersucht werden:

1.    Die Balkenentfernung beträgt 0,80 m, so daß auf die Unterzugsmitte keine Einzellast fällt,

2.    dieBalkenentfernungbeträgt 0,90 m, so daß auf die Unterzugsmitte eine Einzellast fällt.

a) Der Unterzug erhält in der Mitte keine Einzellast (Abb. 120 a/b). Die Nutzlast der Balkendecke wird 500 kg

qm ’

das Eigengewicht zu 250

3 crq

fest-

kg

gelegt, die Gesamtlast beträgt daher 750 Auf einen Balken kommt die Belastung

O = 0,80 • 8,0 ■ 750 = 4800 kg.

Die Balken sind als Träger auf drei Stützen anzusehen. Der Auflagerdruck C auf die Mittelstütze, die durch den Unterzug gebildet wird, beträgt nach Teil I S. 96:

qm

10

Q-

10

Im vorliegenden Falle ist C =    4800 = 3000 kg = P.

Berechnung des Unterzugs.

Die Lastverteilung erfolgt nach Abb. 120 a.

1. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Wegen der symmetrischen Lastverteilung werden die Auflagerwiderstände A und B einander gleich.

Es wird:

UP

CM

also:

2 =4P

A — B = 4- 3000 = 12000 kg.

2. Bestimmung des gefährdetsten Querschnitts.

Der gefährdetste Querschnitt liegt im Querschnitt IV, denn es wird für diesen

Abb. 121a.

PPPPPPPP

F₅=A-P-P-P-P = 0

(Abb. 121 a). Die Querkraft behält zwischen IV und V den Wert Null bei, demgemäß hat auch das Bie-

II ;    _ I gungsmoment zwischen IV und V den

vÀmû [7    177 III IV \v VI VII VIHjdxm gleichen Wert = M

7,20

3. Bestimmung des größten Biegungsmoments.

Denkt man sich den Träger bei IV durchgeschnitten und betrachtet das linke Trägerstück, welches man sich PPPP

VU

Abb. 121 b.

I 11I

M . d. K. 1 cm = 6000 kg

Abb. 122.

zu diesem Zweck nochmals herauszeichnet, so ergibt sich für den Drehpunkt IV (Abb. 122):

max

Da A — 4P ist, so wird:

= A ■ 4 • 80 — P ■ 3 ■ 80 — P ■ 2 ■ 80 — P ■ 80.

max

= P-80(16 — 3 — 2 — 1)

max

= 3000 ■ 80 • 10 = 2400000 kgcm.

4. Bestimmung des Widerstandsmoments.

Aus der Biegungsgleichung erhält man:

max

kb

; kb = 1200 kg qcm

2400000

= 2000 cm⁸.

Gewählt wird: Ein I-Träger N. P. Nr. 45 mit Wx = 2040 cm³ und G =116 —

oder

TT

ein Differdinger Träger N. 34 B mit Wr = 2073cm³ und G =131 ^ Werden zwei Träger ausgeführt, so würde man erhalten:

Zwei I-Träger N. P. Nr. 36 mit Wx = 2 • 1088 = 2176 cm³ und (7 = 2- 76,2 = 152,4^ oder zwei Differdinger N. P. Nr. 26 B mit Wx = 2- 1104 = 2308 cm³. Abb. 123 a.

PP P P P P P

Mitte

rr-t, P 77 PI/ 1IV \V \VI \vilA~ ^ 0,9±0,9-*-0,9-+-0,9-^0,9+0,9-±-0,9M,914 4-1 - 7,20-^

b) Der Unterzug erhält in der Mitte eine Einzellast.

Beträgt die Balkenentfernung 0,90 m, so wird die Last Q, welche auf einenBalken entfällt (Abb. 123 a/b) :

Q = 0,90 ■ 8,00 • 750 = 5400 kg.

Auf den Unterzug kommt hiervon ein Auflagerdruck

10

16

Demnach wird:

xN

ix

—4,00

5400 • 10    .    _

₁₆    = 3375 kS = P-

.1

0,9--0,9-

:

k\V*

k\Vl

Berechnung des Unterzuges.

Die Lastverteilung ist aus Abb. 123 a ersichtlich.

tx

S1

4,00

Abb. 123b.

1. Bestimmung der Auflagerwiderstände. Wegen der symmetrischen Anordnung der Lasten wird A = B:

7 P

2 = 3,5 P

A = 3,5 -3375 = 11813 kg.

2. Bestimmung des gefährdetsten Querschnitts.

Im Belastungsfelde III—IV (Abb. 123a) wird:

V₄ = A — P — P — Pj !|F₄ = 3,5P-3P= + 0,5 P.

Im Belastungsfelde IV—V wird:

V₆ = A — 4 • P

V, = 3,5 P — 4P = — 0,5.

Im Querschnitt IV durchschreitet daher die Querkraft den Wert Null; der gefährdetste Querschnitt liegt also in IV.

3. Bestimmung des größten Biegungsmoments.

Denkt man sich den Träger bei IV durchgeschnitten und betrachtet das linke

Balkenstück, so wird nach Abb. 125:

= A 4 • 90 — P 3 ■ 90

— P 2-90 — P- 90. Da A = 3,5P ist, so wird:

= P 90(3,5-4 — 3 — 2— 1)

= 3375 • 90 • 8 = 2430000 kgcm.

Dieser Belastungsfall ist naturgemäß der ungünstigere.

Abb. 124a.

P P P P P P P

nB

max

ya. i II III IV V VI flly* Ą 0,9 ~D,9—0,9^0,9-y-0,9--0,9- *-0,9M),9f -

7,20

max

max

-H

ram.

M. d. K. 1 cm = 6000 kg

Abb. 12 b.

,__! 1

Ji 7    77 777“!/ v

Ą 0,9±-0,9+A),9+-0,9A-£-3,00---i

Abb. 125.

4. Bestimmung des Widerstandsmoments, kgr .

2430000 1200

Der Unterschied gegen Fall a) ist nicht erheblich, es können die gleichen Profile wie dort angegeben Verwendung finden.

Man vermeidet es in der Praxis nach Möglichkeit, die baulichen Anordnungen so zu treffen, daß Einzellasten auf die Mitte eines Trägers übertragen werden.

Es wird bei kb = 1200

qcm

= 2022 cm³.

A'i.

b) Träger auf zwei Endstützen mit gleichmäßig verteilter Last.

Es sei hierbei auf die allgemeinen Entwickelungen im Teil I S. 80 u. fgd. verwiesen und nur die Ergebnisse kurz nochmals wiederholt. (Abb. 126.)

Ist die Gesamt-,lB last, die auf den \q Träger kommt,

-j '    = Q, so wird die

Last für die Längeneinheit, d.h. für den laufenden cm:

Q-q-l

\Q

— I-

Abb. 126.

(2 Steine=0,53 m)

cm

Ferner ist:

qi

Afmax —

Ql

<7 P

rT

4

7,00

ir

Aufgabe 50: Zwei I-Träger, deren Stützweite 7,0 m beträgt, sollen eine zwei Stein starke, 8,0 m hohe Mauer, welche aus Ziegelsteinmauerwerk hergestellt ist, aufnehmen. Welches Profil ist zu verwenden? (Abb. 127.) 1 cbm Ziegelsteinmauerwerk wiege 1800 kg.

Lösung: Der Träger wird nach früherem über seine ganze Stützweite als gleichmäßig belastet angenommen (S. 82).

Q = 0,53 • 8,00 • 7,00 • 1800 = rd. 53440 kg. Der gefährdetste Querschnitt liegt in der Mitte, es wird daher:

Es wird:

Ql

max

max

53440-700

4 683 500 k‘gcm

max kb

- 3900 cm³.

4683500

1200

Auf jeden Träger kommt

x = 1950 cm³.

Gewählt werden: Zwei I-Träger N. P. Nr. 45 mit Wx = 2 • 2037 = 4074cm³

und G = 2 • 115,40 = 230,8 — • m

Oder: Zwei Differdinger Träger Nr. 34 B mit Wx = 2 • 2073 = 4146 cm³ und G = 2- 131,4 = 262,8 ^ •

Es kommt nun durch das Eigengewicht eine Belastung [ Qj = 7,0 • 262,8 = 1840 kg hinzu. Es entsteht ein Biegungsmoment:

'I M'r

¹ ■‘max

— 161000 kgcm.

1840 ■ 700

Diesem entspricht Abb. 128 a.

A, i

nB

ÏÏ

5,20

-5,50-

5£0

1-4-

1 OjS

0,8

'1

161000

■ 1200 Das erforderliche W ist demnach:

= wx + wi

W — 3900 -j- 134 cm5 W — 4034 cm³.

Beide gewählten Profile genügen somit den Anforderungen.

Aufgabe 51: Ein Raum von 5,2 m lichter Breite soll durch eine Balkenlage überdeckt werden. Die Balkenentfernung beträgt von Mitte zu Mitte 0,80 m. Welche Abmessung erhalten die Balken, sofern das Seitenverhältnis des Balkenquerschnitts 3 : 4 betragen soll? (Abb. 128 a/b.)

= 134 cm³.

Lösung.

Lastberechnung.

Für 1 qm Deckenfläche kommt in Betracht: a) Eigengewicht. Unter Annahme einer Einschubdecke und Deckenschalung mit Rohr und Putz

= 250 kg

= 450 kg/qm.

b) Nutzlast. Es kommt Menschengedränge in Frage, nach Tabelle = 200 kg Daraus ergibt sich eine Gesamtlast ....

Ein Balken erhält nach Abb. 128 a/b eine Last:

Q = 5,5 • 0,8 • 450 = 1980 kg.

Der gefährdete Querschnitt liegt in der Mitte. Es wird:

Ql

max

1980 • 550

== 136 130 kgcm.

Bei kiefernen Balken wird kb = 100

^ angenommen; daher:

qcm

max

136130

V,-

Für rechteckigen Balkenquerschnitt ist:

b:h = 3:4; 6= h

Es wird also:

ï‘

Q\ ?3“

ta

100

= 1361 cm³.

; (Abb. 129).

= 1361

h = \ 1361 • 8 = 23. 18 cm.

+■—b —4-

Abb. 129.

Gewählt h = 24 cm, b = ^ h = ^ • 24 =

Es wird also ein Normalbalken 18/24 cm ausgeführt.

Genügen würde nach Tabelle auch ein Balken 16/24 cm mit

Wx — 1536 cm³.

Aufgabe 52: Es soll die Dielenstärke für den in der vorigen Aufgabe Nr. 51 gegebenen Fall berechnet werden.

in Betracht zu ziehen.

Lösung: Obgleich die Dielenbretter über mehrere Holzbalken durchgehen und sie so einen fortlaufenden Träger bilden, soll aus Sicherheitsgründen hier eine Berechnung als Träger auf zwei Stützen erfolgen. Die Dielenbreite sei 6 = 15 cm angenommen (Abb. 130). Es ist eine Nutzlast = 200

Q = 0,8-0,15.200 = 24 kg

max

Ql

18

IS

24 • 80

21

21

= 240 kgcm

0,80-

Wegen der Abnützung wählt man h = 2,5 bis 3,5 cm.

Bemerkung: Nimmt man wie bei Aufgabe 44 eine Einzellast P=150kg an, so wird eine Stärke h von 3,5 cm nötig.

Aufgabe 53: Die in Aufgabe 51 gegebenen Verhältnisse sollen auf eine Wohnhausdecke angewendet werden, deren Balken Halbhölzer sind. Die Balkenentfernung beträgt 0,60 m. Welche Abmessungen erhalten die Balken?

Aufgabe 54: Es soll der in Aufgabe 49 gegebene Unterzug untersucht werden für den Fall, daß die Balkenlage als gleichmäßig verteilte Last wirkt.

Lösung: Die belastete Grundfläche beträgt F= 8-7,20 qm.

Die Gesamtlast demnach =8 7,20-750 = 43200 kg.

Auf den Unterzug kommt somit

10

rr

4U

Abb. 131.

*-v

2,4-6

, _    =1,0 cm.

15

max

; *6-100 kg

qcm

Wx =

240

100

= 2,4 cm³.

Es wird nach Abb. 130:

,    = 2,4; b = 15 cm

6

C= -432000 = 27000 kg = Q.

Es wird:

max

max

Ql

27000 ■ 720

= 243000 kgcm.

Man erhält also den gleichen Wert iwie im Falle 2 der Aufgabe 47. Die Annahme, die von den Balkenlagen übertragenen Lasten als gleichmäßig verteilte Last in die Rechnung einzuführen, ist also berechtigt.

Aufgabe 55: Eine 4,0 m lange Winddiagonale, für die eine Ausführung in Flacheisen angenommen wurde, habe einen Querschnitt 60 • 10 mm. Wie groß werden die Biegungsspannungen in den äußersten Fasern, hervorgerufen durch Eigengewicht? (Abb. 132.)

Lösung: Aus den Tabellenwerken findet man für Flußeisen das Gewicht für 1 lfd. m Flacheisen zu 4,680 kg. Das Gesamtgewicht Q ist demnach:

1^-6-

Abb. 132.

max

Q]='4 -4,680 = 18,720 kg Q l _ 18,720 • 400

936 kgcm

bh²    6-1

936

= 936lkg

max_

wx- 1

Aufgabe 56: Für ein Lehrgerüst eines Werksteingewölbes mit einer durchgehenden Stärke von 0,75 m bei 11,20 m Spannweite sind die Schal- und die Kranzhölzer zu berechnen. Die Entfernung der Lehrbogen beträgt 1,50 m;

qcm

die Schalholzentfernung ist zu 0,40 m anzunehmen, der Querschnitt sei quadratisch. Die Kranzhölzer werden in den Scheitelfeldern des Lehrgerüsts durch Stiele, die von Mitte zu Mitte 2,0 m voneinander entfernt sind, unterstützt.

Als Baustoff soll Kalkstein mit einem Raumgewicht von 2400 werden.

kg

cbm

verwendet

c) Berechnung von Kappenträgern.

Bei Kappenträgern ist zu beachten, daß die Gewölbekappen einen Seitenschub (Horizontalschub) ausüben. Da an jedem Träger zwei Kappen zu-

Abb. 133 a.

sammenstoßen, so hebt sich bei gleichen Kappenbreiten und gleichen Belastungen der Kappen der Horizontalschub auf, und es kommt lediglich eine senkrechte Belastung des Trägers für die Berechnung in Frage.

Treffen diese Voraussetzungen nicht zu,

so muß durch gegenseitige Verankerung der va__

Kappen der Schub aufgenommen werden, f.__

Die Widerlager müssen so stark gemacht werden, daß der Schub der Endkappen I aufgehoben wird, oder es müssen zur Aufnahme des hervorgerufenen Seitenschubs |

Anker angelegt werden. Unter der gemachten Voraussetzung kommt dann für die I-Träger nur die lotrechte Belastung in Betracht.

Aufgabe 57: Ein Kellerraum wird durch % Stein starke Gewölbekappen zwischen I-Trägern überdeckt. Es sollen die Abmessungen der Träger bestimmt werden, wenn die Trägerentfernung 2,2 m beträgt. (Abb. 133 a/b.)

6,60-

2,20—i—2,20—I

2,20-41

2,-30

Hwsi

■ kVL \ . i

'//////////////A

Abb. 133 b.

Lösung.

Berechnung der Lasten.

Das Eigengewicht für gewölbte Decken mit preußischen Kappen von Vs Pfeh aus Ziegelsteinen bei 2-2,5 m Spannweite beträgt

nach Tabelle...................

Die Nutzlast ist anzunehmen zu.............

Man erhält eine Gesamtlast .    .............

Die Stützweite kann zu 4,50 m festgelegt werden.

Die Last für einen Kappenträger ergibt sich daher nach Abb. 132 a/b zu:

Q = 4,50 • 2,20 • 870 = 8600 kg,

wobei das Eigengewicht der Träger nicht berücksichtigt ist. (Abb. 134.)

M =W

max g

= 370 kg/qm = 500 kg/qm = 870 kg/qm

Ql

A.

8600 • 450

max

— 483450 kgcm

max

4,20

; kb = 1‘zOO -kg

v*-

Gewählt wird ein J-Träger N. P Nr. 26 mit V^x = 441 cm³ und G = 41,9^*

kb

kcm

4,50

483450

Abb. 134.

1200

= 404 cm³.

Der Träger wiegt daher 41,9 • 4,50 = rd. 190 kg. Demnach wird die Gesamtlast:

495000 kgcm

Qx = 8600 + 190 = 8790 kg = rd. 8800 kg 8800 • 450

Wx =

495000

1200

= 412 cm³.

Das gewählte Profil genügt daher vollständig, besonders auch schon deshalb, weil die Belastungsannahmen sehr ungünstige sind.

0 8800

Da der Auflagerwiderstand A = B = ¹ =    = 4400 kg beträgt, so erhält man

kg

bei einer Unterlage aus Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel mit kd = 14 eine erforderliche Druckfläche:

qcm

⁴⁴⁰⁰

- 14=314 qcm.

Nach der Tabelle beträgt die Trägerflanschbreite b — 11,3 cm. Ist die erforderliche Auflagerlänge jc, so wird

x- 11,3 = 314

314

= rd. 28 cm.

*    11,3

Das angenommene Maß von 4,50 m für die Stützweite kann also als entsprechend angesehen werden.

d) Wellblechberechnung.

In besonderen Fällen kann die Abdeckung zwischen Trägern auch durch Wellblech erfolgen. In den Tabellen findet man in der Regel die Widerstandsmomente des Wellblechs auf 1 m Breite in cm³; bisweilen werden auch die Werte in mm³ angegeben, die Umrechnung in cm³ erfolgt durch Teilung des Wertes durch 10³= 1000.

Die Unterstützung des Wellblechs muß so angeordnet werden, daß die Biegungsebene gleichlaufend zur Längsachse der Welle liegt.

Sind in dem vorliegenden Falle bei Aufgabe 57 die Felder zwischen den Trägern durch Wellblech abzudecken, so würde die Wellenlängsachse senkrecht zu den Trägern stehen, die Stützweite beträgt daher 2,20 m.

Für Deckenanordnungen kann man mit einer Gesamtlast von 400 nen, so daß für 1 m Wellblechbreite

qm

rech-

Q = 2,2 • 1,0 • 400 = 880 kg 880 • 220

wird.

Mmax —

Ql

= 24200 kgcm

24200 kb ~ 1000

Gewählt nach Tabelle ein Wellblech N. P. 100-60-1 mit 144=25,6 cm3 und G = 14,16    .

W =

vv X

max

= 24,2 cm³.

e) Frei-, Konsol- oder Kragträger.

y,M = o.

(i)

Wird ein Träger nur an einem Ende unterstützt, während das andere freischwebt, so nennt man ihn einen Frei-, Konsol- oder Kragträger. Er kann am unterstützten Ende entweder eingemauert, also eingespannt sein, oder er kann zwei naheliegende Auflager (Abb. 140) erhalten. Diese Träger werden zur Unterstützung von Erkern, Baikonen oder dgl. verwendet. Für jede dieser Trägeranordnungen muß der Gleichgewichtszustand gewahrt sein. Es haben daher für die äußeren Kräfte die Gleichgewichtsbedingungen Gültigkeit (s. Teill S. 48 u. fgd.). Da wagerechte Kräfte nicht auftreten, so kommen nur folgende Gleichungen in Frage:

(io

Als äußere Kräfte wirken die Belastungen und die Auflagerwiderstände an der Unterstützungsstelle. Die Auflagerwiderstände müssen lotrecht gerichtet sein (Abb. 135).

Es wird demnach nach Gleichung (I):

a ~yp = 0

a=yp.

IQ

V>

Abb. 135.

Das Moment der äußeren Kräfte M für einen beliebigen Drehpunkt muß = 0 sein. Wählt man A als Drehpunkt, so findet man, daß das Drehmoment der gegebenen äußeren Kräfte nicht = 0 ist. Es müssen daher an der Unterstützungsstelle noch Kraftwirkungen auftreten, deren Moment dasjenige der Belastungen M aufhebt. Bezeichnet man dieses für das Gleichgewicht notwendige resultierende Moment mit Me, so wird

M — Me = 0, also M = Me.

Das Moment Me muß also einen Drehsinn haben, der demjenigen des auftretenden Moments der Belastungen entgegengesetzt ist. Das Moment Me kann auf verschiedene Weise erzeugt werden, ln der Regel wird es durch Einmauerung oder Einspannung des Trägers hervorgebracht. Man nennt es daher auch das Einspan/iungsmoment.

Das Moment wird durch das über dem eingemauerten bzw. eingespannten Trägerteil befindliche Mauergewicht geleistet. Steht ein genügendes Mauergewicht oberhalb des Trägers nicht zur Verfügung, so muß durch Verankerung das unterhalb des Trägers vorhandene Gewicht des Mauerkörpers ausgenutzt werden. Durch angemessene Bauausführung, guten Verband, Verwendung von Zementmörtel, Unterlagsplatten und dgl. muß dafür gesorgt werden, daß das nötige Moment auch tatsächlich geleistet werden kann.

I. Der eingemauerte Freiträger.

A. Auf den Träger wirke eine Einzellast am freien Trägerende. Führt man im Abstand x (Abb. 136 S. 94) von dem freien Trägerende einen Schnitt und betrachtet das rechte Balkenstück, so ist für Punkt I das Biegungsmoment

D. Auf den Freiträger wirken eine Einzellast und eine gleichmäßig verteilte Last (Abb. 139).

n Die Biegungsmomente ergeben sich als Summe _ der bei den einzelnen Belastungen eintretenden Momente. Das größte Biegungsmoment wird daher

1_______t

Abb. 139.

Je näher der Schnitt der Einspannungsstelle zugeführt wird, um so mehr wächst auch die Größe des Biegungsmoments. Das größte Moment wird daher bei A auftreten. Es wird demnach

ps

Fs

P2

"r

TZ

Afmax — P ' l.

■m-x—-j

Zu beachten ist hierbei, daß die obere Faser auf Zug, die untere auf Druck beansprucht wird, da die erhabene Seite bei der Durchbiegung an der oberen Balkenfläche auftritt.

Abb. 136.

Abb. 137.

B. Auf den Träger wirken mehrere Einzellasten.

-4

Man erhält das größte Biegungsmoment dadurch, daß man die Momente

der Einzellasten für die Einspannungsstelle bestimmt und die gefundenen Werte

addiert. (Abb. 137.) M 1*11

max

C. Auf den Träger wirkt eine gleichmäßig verteilte Last (Abb. 138).

ist die Gesamtlast = Q, so wird die Belastung für die Längeneinheit q = ^ • Im Querschnitt I im Abstand x vom freien Trägerende wird das Moment:

Mx= q ■ x •

q x²

Q-q l -

ni ii"

■ «!

—\—iL-2~1Q Z

Das größte Moment tritt an der Einspannungsstelle auf; es wird x = l

Afmax

ql²

Abb. 138.

oder

Afmax

li. Der eingespannte Träger mit zwei Auflagerpunkten (Abb. 140).

Die Auflagerpunkte werden zweckmäßig im Mauerwerk im Mittel 15 cm von den Mauerrändern entfernt gelegt. Zur Unterstützung werden gewölbte Auflagerplatten eingeführt, wodurch die Auflagerpunkte genau festliegen. R ist die Mittelkraft aus allen Lasten und daher bekannt.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich:

I. A = B + R.

Für A als Drehpunpkt:

II. R-/ = B(b - 2 • 0,15); R/ = M

Tb i.4

max.

0,15

\'R

RI

b — 0,30 b — 0,30

Abb. 140.

A-R + *^m-

Das Gewicht des über den Träger liegenden Mauerwerks muß mindestens = B kg sein, jedoch ist es erforderlich, daß eine gewisse Sicherheit vorhanden ist. Es soll deshalb das Gewicht 2 —4 mal so groß sein wie B, so daß das Einspannungsmoment ebenfalls 2 — 4 mal so groß wie das auftretende Biegungsmoment .R • Z der Lasten werden kann. Die Pressungen unter den Lagerplatten im Mauerwerk dürfen die zulässige Spannung nicht überschreiten; daher muß die Auflagerplatte die entsprechenden Abmessungen erhalten.

III. Anwendungen.

Aufgabe 58: Ein hölzerner Laufgang von 1,20 m Breite soll durch Holzfreiträger, welche in 1,40 m Abstand liegen, gebildet werden. Die Ausbildung soll auf zweierlei Weise nach Abb. 141 und nach Abb. 146 erfolgen.

A. Die Bohlen liegen unmittelbar auf den Trägern (Abb. 141). a) Berechnung der Bohlen.

Die Bohlenbreite b wird zu 12 cm angenommen. Die Bohlen werden durch eine

gleichmäßig belastet. Man erhält somit für eine Bohle bei 1,40 m

Stützweite eine gleichmäßig verteilte Belastung (Abb. 142).

Q = 0,12 • 1,40 • 400 = rd. 68 kg.

Last von 400

qcm

1,20

Q=68 kg

Y//Æ,/k    :s3777'. __

Abb. 141.

-1—1,40 m Abb. 142.

Das größte Biegungsmoment ergibt sich zu:

Ql 68-140

Mmax —

— 1190 kgcm.

l^o*

Unter der Annahme einer zulässigen Beanspruchung kb = 100    ^

wird:

Mmax 1190

”X~“1Ö0

Für die Bohle mit rechteckigem Querschnitt (Abb. 143) wird:

b/i²

i-b-12-4

Abb. 143.

r-4

Wb = bh* j₂. 6 ’

b = 12.

== 2,5 cm.

i2

Bei Annahme einer Einzellast P= 150 kg wird (S. 77):

PI

150 140    ,

-— = 5250 kgcm.

Mmax

Mx =

bk} 53-6    ⁼ 53,

5250

100

= 53 cm⁸

12 •

= 53

53-6

12

= rd. 5,15 cm.

Mit Rücksicht auf die sehr ungünstige Lastannahme soll h = 5 cm als genügend erachtet werden, so daß Bohlen von ⁸/ls cm Verwendung finden.

b) Berechnung des Freiträgers.

Ein Zwischenträger erhält eine gleichmäßig verteilte Last (Abb. 144): Ql = 1,40 • 1,20 ■ 400 = 672 kg.

Das größte Biegungsmoment wird :

Qx-k

■Mmax —

Almax —

672 • 120

0,60-

= 40320 kgcm; kb = 100 kg

qcm

40320 '

Abb. 144.

100

= 403 cm³.

Für den rechten Balken ist (Abb. 145):

w =bhl x 6

b-h³

= 403.

4-64

Abb. 145.

üewähjt wird nach Tabelle ein Normalbalken ¹⁴/₁₄ cm mit 14^=457 cm³.

B. Die Bohlen liegen quer auf den Längsträgern auf (Abb. 146).

a) Bohlenberechnung.

Der Bohlenbelag soll mit Rücksicht auf die unerheblich geringere Stützweite die gleichen Abmessungen wie bei A erhalten.

b) Berechnung der Längsträger.

Die Stützweite der Längsträger beträgt Z₄ = 1,40 m. Sie erhalten eine Last

1,20- 1,40-400

Das größte Biegungsmoment wird:

Q, ■ l _ 336^ 140

-Mmax =

= 5680 kgcm;

kb = 100

kg

qcm

Das Widerstandsmoment muß sein:

Mmax

= 57 cm³.

Für rechteckigen Trägerquerschnitt wird:

b-h' -57-6

b:h = 3:4; ö =

OJ

h = ^8 • 57 = rd. 8 cm 3

•8 = 6 cm.

Abb. 146.

S-,

I °

MM.

1,20-

Abb. 147.

Es genügen also Hölzer % cm.

c) Berechnung des Freiträgers (Abb. 147).

Auf den Freiträger wirkt eine Einzellast P= Qx am Ende. Der Hebelarm dieser Last soll mit Rücksicht darauf, daß die unmittelbar am Auflager 27 wirkende Last = Ql fortgelassen werden soll, zu 120 cm ange-" nommen werden.

Es wird:

Abb. 148 a.

fl

Y////////////JZWĄ.

Mmax = P I — 336 • 120 = 40320 kgcm

1,60-

Mm&x 40320

kb

= 403 cm³.

100

rr

(Also genau wie bei A. c.)

rT_s Gewählt wird ebenfalls ein Normalbalken ¹⁴/lt cm mit Wx = 457 cm³.

Aufgabe 59: Ein Balkon von 3,20 m Länge und <5, 1,60 m Ausladung wird durch 3 Freiträger aus I-Eisen ci unterstützt, welche an der Vorderseite durch einen Längsträger verbunden werden. Der Längsträger nimmt die Brüstungsmauer auf, welche 0,90 m hoch und 1 Stein stark ist. Die Decke ist als Massivdecke aus--}-+ gebildet, die Belastung beträgt einschließlich Eigengewicht 700

1,60--t-

Abb. 148b.

UaBsch47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

kg

qcm'

(Abb. 148 ab.)

Ai

3. Berechnung eines Mittelträgers b.

Belastung: 1. Einzellast P=700 kg wie oben durch Vorderträger.

2. Gleichmäßig verteilte Last Qs durch die Deckenlast und Nutzlast:

Q₃ = 1,47 ■ 1,47 ■ 700 = 1510 kg.

Als größtes Biegungsmoment ergibt sich (Abb. 152): Mmax^P- 175 + (?s-88,5 Mmax = 700 • 175 + 1510 • 88,5 Mmax = 122500 + 133635 = 256 135 kgcm. Das Widerstandsmoment wird:

Ą-SS,5-+

175

Abb. 153.

Wx =

Mmax 256135

1200

= 218 cml

Gewählt J_-Träger N. P. Nr. 21 mit 14^ = 244 cm⁸ und G = 28,6    •

Man wird für die 3 Freiträger die gleichen Profile Nr. 21 zur Ausführung bringen.

4. Bestimmung der Auflagerwiderstände A und B (Abb. 152). Bestimmung von B. Man stellt die Momentengleichung für A als Momentendrehpunkt auf und erhält:

B-2\ — 700 • 175 + 1510 -88,5 B- 21 =256135 256135

—2f = 12197 kS-

Bestimmung von A. Es wird die Momentengleichung für den Drehpunkt B aufgestellt. Es wird:

Probe:

die Rechnung ist also richtig.

A -21 = 700- 196 + 1510- 109,5 A- 21 =302545 302545

—21— = 14 407 kg.

A — B P 14407 — 12197 = 700 + 1510 2210 = 2210;

5. Berechnung der Auflagerplattengröße.

Es wird angenommen, daß das Mauerwerk unter den Auflagerplatten aus Mauerziegeln erster Klasse in Kalkzementmörtel besteht, es ist demnach kd =14    •

Die erforderliche Auflagerfläche ist:

qcm

f-a

F~kd

14407

14

= rd. 1030 qcm.

-•—6-26—-Abb. 154.

Bei Annahme eines rechteckigen Querschnitts wird F=b a (Abb. 154).

Es ist

1 ' "1 -T

j—*ł-

Abb. 155.

b • a = 1030.

= 40 cm.

Wählt man b = 26 cm, so ist a =

Das größte Biegungsmoment wird:

Qx l 336 • 140

Mmax =

= 5680 kgcm ;

kb = 100

kg

qcm

Das Widerstandsmoment muß sein:

•Mmax

= 57 cm³.

Für rechteckigen Trägerquerschnitt wird: bh²

6 =57;

cc

3h h2 46

= 57

h = p8 ■ 57 = rd. 8 cm

•8 = 6 cm.

/z =

Abb. 146.

WS

1,20

-1,30—

Abb. 147.

P=1Q,

Es genügen also Hölzer ⁶/s cm-

c) Berechnung des Freiträgers (Abb. 147).

Auf den Freiträger wirkt eine Einzellast P== Qx am Ende. Der Hebelarm dieser Last soll mit Rücksicht darauf, daß die unmittelbar am Auflager 27 wirkende Last=Q₁ fortgelassen werden soll, zu 120 cm ange-$3 nommen werden.

Es wird:

Abb. 148 a.

...........Ti

--1,60—4

Mmax — P I — 336 • 120 = 40320 kgcm

Mmax ₌ 40320 _ ₄₀₃ ^ kb 100

wx =

TT

(Also genau wie bei A. c.)

Gewählt wird ebenfalls ein Normalbalken ¹⁴/₁₄ cm mit Wx = 457 cm⁸.

c_

HE

1,60

Aufgabe 59: Ein Balkon von 3,20 m Länge und 1,60 m Ausladung wird durch 3 Freiträger aus I-Eisen unterstützt, welche an der Vorderseite durch einen Längsträger verbunden werden. Der Längsträger nimmt die Brüstungsmauer auf, welche 0,90 m hoch und 1 Stein stark ist. Die Decke ist als Massivdecke ausgebildet, die Belastung beträgt einschließlich Eigengewicht 700 kg

3,20

Abb. 148 b'.

UaBsch 47 : Schau, Statik II. 3. Aufl.

qcm'

(Abb. 148 a b.)

fl;

3. Berechnung eines Mittelträgers b.

Belastung: 1. Einzellast P=700 kg wie oben durch Vorderträger.

2. Gleichmäßig verteilte Last Qs durch die Deckenlast und Nutzlast:

Qs = 1,47 • 1,47 700 = 1510 kg.

Als größtes Biegungsmoment ergibt sich (Abb. 152):

Mmax = P • 175 -f- Q₃ ■ 88,5 Mmax = 700 • 175 -f 1510 • 88,5 Mmax — 122500 -(- 133635 = 256 135 kgcm.

Das Widerstandsmoment wird:

256135 kb ~ 1200

Gewählt T-Träger N. P. Nr. 21 mit Wx = 244 cm³ und G = 28,6 ^ •

Man wird für die 3 Freiträger die gleichen Profile Nr. 21 zur Ausführung bringen.

4^ -88)5—4-

Jj

175

Abb. 153.

Mmax

— 218 cm³.

4. Bestimmung der Auflagerwiderstände A und B (Abb. 152). Bestimmung von B. Man stellt die Momentengleichung für A als Momentendrehpunkt auf und erhält:

B 21 = 700 • 175 + 1510 -88,5 B- 21 =256135 256135

—g]- =12 197 kg.

Bestimmung von A. Es wird die Momentengleichung für den Drehpunkt B aufgestellt. Es wird:

A- 21 = 700 • 196 + 1510 • 109,5 A- 21 =302545 302545

Probe:

die Rechnung ist also richtig.

= 14407 kg.

a—b =

14407 — 12 197 = 700 + 1510 2210 = 2210;

21

5. Berechnung der Auflagerplattengröße.

Es wird angenommen, daß das Mauerwerk unter den Auflagerplatten aus Mauerziegeln erster Klasse in Kalkzementmörtel besteht, es ist demnach kd =14 ^ • Die erforderliche Auflagerfläche ist:

qcm

kd

14407    ,

= rd. 1030 qcm.

Abb. 154.

Bei Annahme eines rechteckigen Querschnitts wird F=b o (Abb. 154).

Es ist

*b

Abb. 155.

b • a = 1030.

Wählt man b = 26 cm, so ist a =

= 40 cm.

Beide Auflagerplatten können gleich groß gemacht werden. Da das Maß a im Vergleich zur Flanschbreite b des Trägers reichlich groß ist, so empfiehlt es sich, das Mauerwerk unter den Platten aus Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel herzustellen mit kd = 18 ^ nötig.

qcm

• Dadurch wird nur eine Auflagerfläche F =    = 804 qcm

1 O

= rd. 31 cm.

S°4    ²⁶

Die Auflagervorderkanten legt man zweckmäßig 2 cm von der Mauerwerksvorderkante entfernt (Abb. 155).

.IttÄT

f) Träger auf zwei Endstützen mit Streckenbelastungen.

3,65-

Es wird hier auf die eingehenden Entwickelungen Statik Teil I S.84 u. fgd. hingewiesen.

1,65

•-3,15

Aus 4

Aufgabe 61: Ein hölzerner Balken dient zum Tragen einer % Stein starken, 3,20 m hohen Zwischenmauer, die über einem 5,0 m breiten Raum liegt. In ihr befindet sich eine J-1,0 m breite, 2,0 m hohe Türöffnung. Die Balkenlage des Obergeschosses liegt gleichlaufend zur Mauer, sie belastet daher den Träger nicht. Wie stark muß der rechteckige Querschnitt des Trägers werden? (Abb. 156.)

(0,14)

. Cy

5,00

-k

*30

Abb. 156.

1. Berechnung der Stützweite.

Nach S. 74 erhält man die Stützweite:

Z = 1,04/j + 0,10 Z = 1,04-5,0 + 0,10 = 5,30 m.

2. Berechnungen der Belastungen.

Die Verteilung der Lasten nehme man nach dem auf S. 74 zu 2 Gesagten vor. Es wird die linksseitige Streckenlast unter der Annahme, das 1 cbm Ziegelmauer-

werk = 1800

cbm

^ wiegt:

Q! = (3,65 • 3,20 — 0,5 • 2,0) • 0,14 ■ 1800 = 2700 kg = 8,57 kg für lfd. cm.

2700

315

Die rechtsseitige Streckenlast wird:

0₂ = (1,65 • 3,20 — 0,5 • 2,00) 0,14 • 1800 = 1080 kg

1080

q-~ 115

= 9,38 kg für lfd. cm.

3. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Es ist:

Zur Bestimmung von A wird der Bezugspunkt in B gewählt (Abb. 157 a). A ■ 530 — Qx ■ 372,5 — ß, ■ 57,5 = 0.

,    <?i ■ 372,5 + Qs • 57,5

A    530

,    2700-372,5 + 1080-57,5    ,

A~    530    — = ²°lö kg.

b) Berechnung des Unterzuges.

1. Bestimmung der Belastungen.

Es wirken: 1. Die Balkenlage, welche nach obigem (Aufgabe 54) als gleichmäßig verteilte Last anzusehen und mit einer Größe in Ansatz zu bringen ist:

•840 = 20160 kg.

_ 6,00 • 8,00

yi~ 2

20160

800

= 25,2 kg für lfd. cm.

2.    Die linksseitige Streckenlast, welche sich ergibt zu (Abb. 160):

¹• 2,6o] 0,27 • 1600 = rd. 7400 kg.

= 18,5 kg für lfd cm.

3.    Die rechtsseitige Streckenlast, welche man erhält zu:

Q$ = [^2,40 + 1,|°^ 4,00 — --*!? • 2,60] • 0,27 • 1600 = rd. 4640 kg ⁴⁶³⁰

Qs = 240 = 19’2 k%'

Qi — [^4,00 +    ‘ 400 —

Q2 =

7400

400

2. Berechnung der Auflagerwiderstände.

Zur Festlegung des Auflagerdrucks A wird die Momentgleichung für .ß aufgestellt (Abb. 162). Es wird:

Abb. 162.

4,00-Q^—f-lß O+g,404,{\ B

A • 800 — Q₂ ■ 600 — Q, • 400 — Qs • 120 = 0. A ■ 800 = Q₂ • 600 -)- Qx • 400 + Qs • 120 _ 7400 • 600 + 20160 -_400 + 4640 • 120

800

7,60

8,00

= 16326 kg.

Zur Bestimmung des Auflagerwiderstands Bwird A als Bezugspunkt gewählt. Es ist dann:

B 800 — Qs • 680 — Qx • 400 — Q₂ ■ 200 = 0.

B 800 = Qs • 680 + Qx • 400 -f Q₂ ■ 200.

4640 • 680 + 20 160 • 400 + 7400 • 200

M.d. K.

1 cm — 8000 kg

800

374~

= 15874 kg

A + B=]?p

A + B = Qx + Q₂ + Qs 16326+ 15874 = 20160+ 7400 + 4640 32200 = 32 200,

Probe:

Abb. 163.    VE

die Rechnung ist daher richtig.

3. Bestimmung der Querkraft und des gefährdetsten Querschnitts.

Zeichnerische Lösung: Die Festlegung der Querkraftsfläche erfolgt in entsprechender Weise wie bei Aufgabe 61. Es sind hier ebenfalls drei Belastungsfelder vorhanden (Abb. 163).

Beide Auflagerplatten können gleich groß gemacht werden. Da das Maß a im Vergleich zur Flanschbreite b des Trägers reichlich groß ist, so empfiehlt es sich, das Mauerwerk unter den Platten aus Hartbrandziegeln in Kalkzementmörtel herzustellen mit kd — 18 nötig.

qcm

14407

• Dadurch wird nur eine Auflagerfläche F = -—g— = 804 qcm

804

26

= rd. 31 cm.

Die Auflagervorderkanten legt man zweckmäßig 2 cm von der Mauerwerksvorderkante entfernt (Abb. 155).

f) Träger auf zwei Endstützen mit Streckenbelastungen.

Es wird hier auf die eingehenden Entwickelungen Statik Teil I S84 u. fgd. hingewiesen.

3,65-

—1,65—^

3,15

Aufgabe 61: Ein hölzerner Balken dient zum Tragen einer V₂ Stein starken, 3,20 m hohen Zwischenmauer, die über einem 5,0 m breiten Raum liegt. In ihr befindet sich eine 4-1,0 m breite, 2,0 m hohe Türöffnung. Die Balkenlage des Obergeschosses liegt gleichlaufend zur Mauer, sie belastet daher den Träger nicht. Wie stark muß der rechteckige Querschnitt des Trägers werden? (Abb. 156.)

(0,14)

•1,00

-!*•

—5,00— —5.30—

Abb. 156.

1. Berechnung der Stützweite.

Nach S. 74 erhält man die Stützweite:

/= 1,04/j -j- 0,10 / = 1,04-5,0 -j- 0,10 = 5,30 m.

2. Berechnungen der Belastungen.

wiegt:

Die Verteilung der Lasten nehme man nach dem auf S. 74 zu 2 Gesagten vor. Es wird die linksseitige Streckenlast unter der Annahme, das 1 cbm Ziegelmauerwerk = 1800 ^ cbm

0, = (3,65 • 3,20 — 0,5 • 2,0) • 0,14 ■ 1800 = 2700 kg = 8,57 kg für lfd. cm.

Qi =

2700

315

Die rechtsseitige Streckenlast wird:

0₂ = (1,65 ■ 3,20 — 0,5 • 2,00) 0,14 • 1800 = 1080 kg

1080

Q- 115

= 9,38 kg für lfd. cm.

3. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Es ist:

Zur Bestimmung von A wird der Bezugspunkt in B gewählt (Abb. 157 a). A ■ 530 — Q₁ ■ 372,5 — Q, • 57,5 = 0.

,0i 372,5 + 0₂ • 57,5 530

.    2700 • 372,5 + 1080 • 57,5    .....

A~    530    — = 2016 kg.

b) Berechnung des Unterzuges.

1. Bestimmung der Belastungen.

Es wirken: 1. Die Balkenlage, welche nach obigem (Aufgabe 54) als gleichmäßig verteilte Last anzusehen und mit einer Größe in Ansatz zu bringen ist:

6,00 ^ 8,00 84Q _ 20160 kg.

2<80(T= 25,2 kg für lfd' Cm>

2. Die linksseitige Streckenlast, welche sich ergibt zu (Abb. 160):

1?|- • 2,60j 0,27 • 1600 = rd. 7400 kg.

= 18,5 kg für lfd cm.

P,-[(4,00 + M°)

•400 —

7400

400

3. Die rechtsseitige Streckenlast, welche man erhält zu:

1,60

e,=[(2,40 -t-¹-“) 4.00

2,60] • 0,27 • 1600 = rd. 4640 kg

'!

9s =

4630

240

= 19,2 kg.

2. Berechnung der Auflagerwiderstände.

A ■ 800 — Q₂ ■ 600 — Qt • 400 — Qs • 120 = 0. A • 800 = Q₂ ■ 600 + Q\ ■ 400 + Qa ■ 120 7400 • 600 + 20160 • 400 -f 4640 • 120

A~    gOÖ

Zur Festlegung des Auflagerdrucks A wird die Momentgleichung für B aufgestellt (Abb. 162). Es wird:

Abb. 162.

< -----4,00^^1,00^2,40^r\R

7,60

-8,00

-?/////,

= 16326 kg.

Zur Bestimmung des Auflagerwiderstands B wird A als Bezugspunkt gewählt. Es ist dann:

B . 800 — Q& • 680 — Qx • 400 — Q₂ • 200 = 0.

B 800 = Qs ■ 680 + Q₁ ■ 400 -f Q₂ ■ 200.

4640 ■ 680 4-20160- 400 4 7400 200

W. d. K.

1 cm — 8000 kg

800

+■

-374

Abb. 163.

=15874 kg

A 4 B =2'P

A 4 B — Qi + Qi + Qs

16326 4 15874 = 20160 4 7400 4 4640 32200 = 32 200,

Probe:

die Rechnung ist daher richtig.

3. Bestimmung der Querkraft und des gefährdetsten Querschnitts.

Zeichnerische Lösung: Die Festlegung der Querkraftsfläche erfolgt in entsprechender Weise wie bei Aufgabe 61. Es sind hier ebenfalls drei Belastungsfelder vorhanden (Abb. 163).

Rechnerische Lösung: Man findet durch probeweise in den Anfangs- und Endpunkten der Belastungsfelder gelegte Schnitte bei Berechnung der Querkraft, daß diese im ersten Belastungsfelde den Wert Null durchschreitet. Es ist nämlich am Anfänge des ersten Belastungsfeldes die Querkraft

A = 16316 kg.

Am Ende des ersten Belastungsfeldes wird:

V₁ — A — (qq -f <7₂) • 400 V₁ = 16326 — (25,2 + 18,5) • 400 = — 1154 kg.

Die Querkraft muß daher im ersten Falle den Wert Null durchschreiten.

Zur genauen Festlegung der Stelle des gefährdetsten Querschnitts führt man im Abstande x vom linken Auflager einen Schnitt. Die Querkraft für diese Stelle ist

vx = a — (<h + q*)x-

Da die Querkraft im gefährdetsten Querschnitt gleich Null sein muß, so wird; A — (<?i + q,) x = 0; ql + qa = 25,2 -f 18,5 = 43,7 kg;

16326 — 43,7 oc = 0

(Abb. 164):

An

M-

(qï+qj

— X-

Abb. 164.

■X\

16326 43,7

Der gefährdetste Querschnitt liegt daher im Abstand x = 374 cm vom linken Auflager.

= 374 cm.

4. Bestimmung des größten Biegungsmoments.

Das größte Moment ergibt sich nach Abb. 165 für den gefährdetsten Querschnitt zu

= A ■ 374 — 43,7 • 374 •

374

ii

JM

max

= 16326 ■ 374 — 43,7 •

374²

₂ kg cm

= 6105924 — 3056291 = 3049633 kgcm.

~ôh+q$)

374 ! _ 374J

4~--374-2—~

Abb. 165.

5. Bestimmung des Widerstandsmoments. Für Flußeisen wird kb = 1200

kg

qcm ’

»daher ist:

max

3049633

y-

Gewählt kann werden: ein j_-Eisen N. P. Nr. 50 mit Wx = 2750 cm³ und G= 141 kg/m oder zwei T-Eisen N.P.Nr.40 mit Wx = 2 • 1461 = 2922cm3 und G — 2 • 92,4 = 184,8 kg/m oder ein Differ-dinger Träger Nr. 38 B mit Wx = 2605 cm⁸ und G = 190 kg/m.

1200

= 2541 cm³.

-t—1,60-i—1,90—+-2,50-¥

Aufgabe 63: Bei einem Umbau soll eine 1 Stein starke Wand durch einen Träger    _1,20 -oso-q,oo- —|-2,00

aufgenommen werden. Die Wand besitzt die    ^    ą |

in Abb. 166 angegebenen Abmessungen. Das i    ~—r

Gewicht des Ziegelmauerwerks soll durch ^ Probewägung zu 1600 kg für den cbm be-stimmt sein.

■5,68

6,00-

Es wird (Teil I S. 83) das Moment an beliebiger Stelle, also im Abstand x vom linken Auflager, ^ei gleichmäßig verteilter Last:

Mx=*q±r.(l-x).

Hier ist: x = 289 cm, also:

289

Mx = 0,62 •    (600 — 289)

Mx = 0,31 • 289 • 311 = 27862 kgcm.

Dieses Biegungsmoment erfordert ein

14/ _'27862

a 1200

= 23,2 cm³.

Es würde daher nötig sein:

W = Wx -f Wg = 503 -j- 23,2 = 526,2 cm.

Das gewählte Trägerprofil genügt daher vollauf.J)

Aufgabe 64: Für die in Aufgabe 63 angegebenen Verhältnisse sollen die Trägerabmessungen bestimmt werden, sofern für Ziegelmauerwerk das

kg

vorgeschriebene Gewicht von 1800 nehmen ist.

Aufgabe65: Die Decke eines Kellers werde ^ durch preußische Kappen zwischen T-Trägern gebildet; es sollen die Träger AB und CD berechnet werden, unter Beachtung der in Abb. 170 gegebenen Abmessungen. Auf dem |y-l,80-»l,07 /| ^Träger CD stehe eine durch Balken nicht be-

" 11_₄    ^lastete Wand, welche durch drei Geschosse ,

^N\\vi    reicht (Abb. 171). Die Wand sei im untersten^

ËL    Geschosse lV₂ Stein stark, in den beiden obe

ren Geschossen 1 Stein stark.

£-2,20

Abb. 170.

cbm

anzu-

(0,27)

(0,21)

(0,40)

r.

2,0-+D Abb. 171.

a) Berechnung des Trägers AB.

Der Träger AB nimmt die Last der anliegenden Gewölbekappen auf.

Die Stützweite kann zu 5,00 m angenommen werden.

Belastungsannahmen:

= 500 kg/qm

Das Eigengewicht der Decke kann nach Tabelle angesetzt werden = 370 kg/qm Die Nutzlast

Man erhält somit eine Gesamtlast..........

Der Träger erhält eine gleichmäßig verteilte Last (Abb. 172)

2,20 • 500

== 870 kg/qm.

O" 2

• 870 = rd 4800 kg.

Der gefährdetste Querschnitt liegt nach früherem in der Mitte und es ergibt sich ein größtes Biegungsmoment:

M

max —

4,80-

l=*5,00-Abb. 172.

4-

max

4800 ■ 500

300000 kgcm.

1) Die genauere Berechnung des größten Momentes unter Berücksichtigung des gleichmäßig verteilten Eigengewichts ergibt keinen wesentlichen Unterschied für W.

Rechnerische Lösung: Man findet durch probeweise in den Anfangs- und Endpunkten der Belastungsfelder gelegte Schnitte bei Berechnung der Querkraft, daß diese im ersten Belastungsfelde den Wert Null durchschreitet. Es ist nämlich am Anfänge des ersten Belastungsfeldes die Querkraft

A = 16316 kg.

Am Ende des ersten Belastungsfeldes wird:

Vx = A — (qx q₂) • 400 Vx = 16326 —(25,2+ 18,5)-400 = — 1154 kg.

Die Querkraft muß daher im ersten Falle den Wert Null durchschreiten.

Zur genauen Festlegung der Stelle des gefährdetsten Querschnitts führt man im Abstande x vom linken Auflager einen Schnitt. Die Querkraft für diese Stelle ist

Vx = A-(<h + <h)x-

Da die Querkraft im gefährdetsten Querschnitt gleich Null sein muß, so wird: A — (qt + q«) x = 0; qx + q., = 25,2 + 18,5 = 43,7 kg;

16326 — 43,7 x = 0

(Abb. 164):

An

.....

Mi

(ql+qjx !

X-

Abb. 164.

16326 43,7

Der gefährdetste Querschnitt liegt daher im Abstand x = 374 cm vom linken Auflager.

= 374 cm.

4. Bestimmung des größten Biegungsmoments.

Das größte Moment ergibt sich nach Abb. 165 für den gefährdetsten Querschnitt zu

= A • 374 — 43,7 • 374 •

374

max

a    03

E    E

= 16326 ■ 374 — 43,7 •

374²

flt

₂ kgcm

= 6 105924 — 3056291 = 3049633 kgcm.

374

3 74

-U-374-%-—

Abb. 165.

5. Bestimmung des Widerstandsmoments.

Für Flußeisen wird kh = 1200

qcm

, daher ist:

max

3049633

1200

= 2541 cm³.

Gewählt kann werden: ein i -Eisen N. P. Nr. 50

i—1,60

1,90—+

mit Wx = 2750 cm³ und G= 141 kg/m oder zwei T-Eisen N.P.Nr.40 mit Wx = 2 • 1461 = 2922cm3 und G = 2 • 92,4 = 184,8 kg/m oder ein Differ-dinger Träger Nr. 38 B mit Wx = 2605 cm³ und G= 190 kg/m.

Aufgabe 63: Bei einem Umbau soll eine 1 Stein starke Wand durch einen Träger -7,00- Al,20 -o,so-q}oo—j-aufgenommen werden. Die Wand besitzt die    ^    ą f

in Abb. 166 angegebenen Abmessungen. Das r~

Gewicht des Ziegelmauerwerks soll durch Probewägung zu 1600 kg für den cbm be- /I stimmt sein.

(0,27)

2,50-+

■—Î

-5,68

6,00-

»?

4,00

2,00—

Es wird (Teil 1 S. 83) das Moment an beliebiger Stelle, also im Abstand x vom linken Auflager, bei gleichmäßig verteilter Last:

Hier ist: x = 289 cm, also:

mx — q ■ (J —*)•

Mx = 0,62 ■

tO' OO

(600 — 289)

Mx = 0,31 -289-311 = 27862 kgcm.

Dieses Biegungsmoment erfordert ein

27 862 1200

= 23,2 cm³.

Es würde daher nötig sein:

W = Wx+ Wg = 503 + 23,2 = 526,2 cm.

Das gewählte Trägerprofil genügt daher vollauf.x)

Aufgabe 64: Für die in Aufgabe 63 angegebenen Verhältnisse sollen die Trägerabmessungen bestimmt werden, sofern für Ziegelmauerwerk das

kg

vorgeschriebene Gewicht von 1800 nehmen ist.

^ g Aufgabe65: Die Decke eines Kellers werde ^ Y durch preußische Kappen zwischen T-Trägern } I roo gebildet; es sollen die Träger AB und CD berechnet werden, unter Beachtung der in Abb. 170 gegebenen Abmessungen. Auf dem ^Träger CD stehe eine durch Balken nicht be-

’ |J_4}4Q_^lastete Wand, welche durch drei Geschosse

^    reicht (Abb. 171). Die Wand sei im ntersten ^

M Geschosse lx/₂ Stein stark, in den be en obe-

ren Geschossen 1 Stein stark.    Abb 17L

| ~-2,20-£-2,20

Abb. 170.

cbm

anzu-

(0,27)

(0,27)

(0,40)

3,4-4—3,2

q.' e

[d

a) Berechnung des Trägers Ali.

Der Träger AB nimmt die Last der anliegenden Gewölbekappen auf.

Die Stützweite kann zu 5,00 m angenommen werden.^ Belastungsannahmen:

= 500 kg/qm

Das Eigengewicht der Decke kann nach Tabelle angesetzt werden = 370 kg/qm Die Nutzlast

Man erhält somit eine Gesamtlast..........

Der Träger erhält eine gleichmäßig verteilte Last (Abb. 172)

2,20 • 500

= 870 kg/qm.

• 870 = rd. 4800 kg.

Der gefährdetste Querschnitt liegt nach früherem in der Mitte und es ergibt sich. .ß ein größtes Biegungsmoment:

fl

M —Q'¹ max —

4,80

1=5,00-Abb. 172.

M __ 4800 • 500

mrnax — = 300000 kgcm.

kg

max

T¹

300000 1200

Gewählt wird ein T-Träger N. P. Nr. 22 mit Wx = 278 cm³ und G = 31kg/m. Der Träger AB übermittelt auf den Träger CD bei B einen Auflagerdruck.

. Erforderlich wird:

; kb = 1200

= 250 cm³.

4800

qcm

= 2400 kg.

Nach früherem ist die Stützweite

b) Berechnung des Trägers CD.

1. Bestimmung der Stützweite.

/ = 1,04^ -f 0,10 = 1,04 2,80 + 0,10 == rd. 3,00 m.

2. Bestimmung der Belastungen.

Auf den Träger wirkt die halbe Belastung der 2,10 m breiten Kappe und der vom Träger AB übertragene Auflagerdruck B. Außerdem tritt noch eine gleichmäßig verteilte Belastung Q auf durch eine Wand s. o.: 1 cbm Ziegelmauerwerk wiegt 1800 kg.

a) Belastung durch die Kappe.

Q! = 3,00 • ²’₂¹⁰.870 = 2740 kg = 9,1 kg.

<h =

2740

300

b)    Einzellast durch Auflagerdruck B nach a:P = 2400 kg.

c)    Gleichmäßig verteilte Belastung (Abb. 170).

Qi = 3,0 (3,40-0,40 + 3,40 • 0,27 -f 3,20 • 0,27) ■ 1800 = 17010 kg. 17010

<72 =

300

= 56,7 kg.

3. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Die Auflagerdrucke lassen sich hier einfach bestimmen. Es wird nach Abb. 173a:

Abb 173 a.

C_Q₁+Qi , P-iio

2 r 300

Ck

2740- 17010 , 2400- 110

300

=10755 kg

f--1,00-; ;—1.10—■ -

(oder auch durch Aufstellung der Momentengleichung für D : C • 300 — P ■ 110 —(g, +0,) - 150 = 0).

<k !

Ebenso erhält man:

-2,80-

.1

Qx+Q, . P 190

— 3,00-

300

D 2740 + 17010

2 •"

2400 190

309    — 11395 kg

<U d.K. 1 cm ~500 Kg

(oder Momentengleichung für C:

D • 300 — P • 190 — (0, + Q₂) 150 = 0).

Probe:

— -*■

C + D

10755 + 11395 = 2740,+ 17010 + 2400 22150 = 22150.

Die Rechnung ist also richtig.

als Belastung der unterstützenden Träger II und IV eingeführt werden (Abb. 178).

Aufgabe 68: Welche Ausladung darf ein Rüstholz eines Gerüstes erhalten, sofern auf dasselbe durch die Tragbohlen eine gesamte Last von 1600 kg übertragen werden soll. Der Durchmesser der zur Verfügung stehenden Rundhölzer beträgt 18 cm. Welches Maß kann gewählt werden, sofern rechteckige Hölzer 12/24 cm zur Verfügung stehen?

Aufgabe 69: Die Balkenlage eines Güterschuppens hat eine freie Länge von 5,0 m und wird aus Balken 20/26 cm gebildet. Wie groß kann die Balkenentfernung von Mitte zu Mitte gewählt werden, wenn als Belastung eine Gesamtlast (Eigengewicht + Nutzlast) von 800 kg/qm anzunehmen ist?

h) Bolzenberechnungen.

Bisweilen geschieht der Anschluß eines Stabes in Flach- oder Rundeisenform durch eine Verbolzung unter Benutzung eines angeschweißten Auges. Das Bolzenauge kann kreisförmige oder elliptische Form erhalten. Der Anschluß kann einschnittig oder zwei-schnittig erfolgen. Die zweischnittige Anordnung hat den Vorteil, daß die Stetigkeit der Kraftrichtung gewahrt bleibt,Biegungsspannungen also nach Möglichkeit vermieden werden und somit günstigere Beanspruchungen auftreten. Man beachte bei Bestimmung der Abmessungen, daß überall in dem Stabe der Baustoff so verteilt wird, daß die Ausnutzung eine gleich gute ist.

Es soll hier nur der Anschluß von zweischnittigen Bolzen betrachtet werden, wobei angenommen ist, daß von dem Rundeisen mit dem Durchmesser d die Kraft P auf zwei Flacheisenlaschen übertragen wird (Abb. 179 a—c).

Abb. 179 a.

Abb. 179 b.

~d h

d,

Abb. 179c.

1. Bestimmung des Stangendurchmessers.

Gegeben: Die in der Stange wirkende Kraft P und die zulässige Span-

• Es wird:

nung für Flußeisen kz = 1200

qcm

d²n

kz

Der Stangendurchmesser beträgt daher:

-VÏ -V "

1200 • 7t '

2. Berechnung des Bolzens.

Der Bolzen ist auf Abscheren, Lochleibungsdruck und Biegung zu berechnen.

b) Berechnung des Trägers CD.

1. Bestimmung der Stützweite.

Nach früherem ist die Stützweite

l = 1,04/j + 0,10 = 1,04 ■ 2,80 -f 0,10 = rd. 3,00 m.

2. Bestimmung der Belastungen.

Auf den Träger wirkt die halbe Belastung der 2,10 m breiten Kappe und der vom Träger AB übertragene Auflagerdruck B. Außerdem tritt noch eine gleichmäßig verteilte Belastung Q auf durch eine Wand s. o.; 1 cbm Ziegelmauerwerk wiegt 1800 kg.

a) Belastung durch die Kappe.

= 3,00 • 2,₂¹⁰.870 = 2740 kg — 9,1 kg.

2740

300

b)    Einzellast durch Auflagerdruck B nach a:P= 2400 kg.

c)    Gleichmäßig verteilte Belastung (Abb. 170).

= 56,7 kg.

kg

max

:v’

300000 1200

Gewählt wird ein T-Träger N. P. Nr. 22 mit Wx = 278 cm³ und G = 31kg/m. Der Träger AB übermittelt auf den Träger CD bei B einen Auflagerdruck.

= 2400 kg.

Erforderlich wird:

; kb =‘1200

qcm

Wx =

= 250 cm³.

= 3,0 (3,40 • 0,40 -f 3,40 • 0,27 + 3,20 0,27) • 1800 = 17010 kg. 17010

300

3. Bestimmung der Auflagerwiderstände.

Die Auflagerdrucke lassen sich hier einfach bestimmen. Es wird nach Abb. 173a: P 110

P Qi + Qa 2

2740- 17010

Abb 173 a.

300

2400- 110

•-1,00 —

-1.10—■ -

kD

300

= 10755 kg

(oder auch durch Aufstellung der Momentengleichung für D : C • 300 — P 110 — (Q₁ +0S) • 150 = 0).

iiîitliijlllW/i.iliiliïïTTl

Ebenso erhält man:

n Qi ~t~ Qt 2

U_ 2740 -j- 17010

P 190

Th

4-—

300

2400 • 190

309

= 11395 kg

2,80

3,00-

,1/ d.K 1cm -500 Kg

(oder Momentengleichung für C:

Probe:

PÎ

D • 300 — P • 190 — (Ql + Q₂) 150 = 0). C+D =^P

10755 -f- 11395 = 2740-)- 17010-{- 2400 22150 = 22150.

Die^Rechnung ist also richtig.

als Belastung der unterstützenden Träger II und IV eingeführt werden (Abb. 178).

Aufgabe 68: Welche Ausladung darf ein Rüstholz eines Gerüstes erhalten, sofern auf dasselbe durch die Tragbohlen eine gesamte Last von 1600 kg übertragen werden soll. Der Durchmesser der zur Verfügung stehenden Rundhölzer beträgt 18 cm. Welches Maß kann gewählt werden, sofern rechteckige Hölzer 12/24 cm zur Verfügung stehen?

Aufgabe 69: Die Balkenlage eines Güterschuppens hat eine freie Länge von 5,0 m und wird aus Balken 20/26 cm gebildet. Wie groß kann die Balkenentfernung von Mitte zu Mitte gewählt werden, wenn als Belastung eine Gesamtlast (Eigengewicht + Nutzlast) von 800 kg/qm anzunehmen ist?

*2.

h) Bolzenberechnungen.

Bisweilen geschieht der Anschluß eines Stabes in Flach- oder Rundeisenform durch eine Verbolzung unter Benutzung eines angeschweißten Auges. Das Bolzenauge kann kreisförmige oder elliptische Form erhalten. Der Anschluß kann einschnittig oder zwei-schnittig erfolgen. Die zweischnittige Anordnung hat den Vorteil, daß die Stetigkeit der Kraftrichtung gewahrt bleibt,Biegungsspannungen also nach Möglichkeit vermieden werden und p somit günstigere Beanspruchungen auftreten. Man beachte bei Bestimmung der Abmessungen, daß überall in dem Stabe der Baustoff so verteilt wird, daß die Ausnutzung eine gleich gute ist.

Es soll hier nur der Anschluß von zweischnittigen Bolzen betrachtet werden, wobei angenommen ist, daß von dem Rundeisen mit dem Durchmesser d die Kraft P auf zwei Flacheisenlaschen übertragen wird (Abb. 179 a—c).

Abb. 179 a.

Abb. 179 b.

Ißl

JdJ

d,

Abb. 179c.

1. Bestimmung des Stangendurchmessers.

Gegeben: Die in der Stange wirkende Kraft P und die zulässige Spannung für Flußeisen kz = 1200

• Es wird:

qcm

F-P. F d±% F~Ę' F~ 4

d*7C _ P

⁴

Der Stangendurchmesser beträgt daher:

¹

Die genauere Berechnung des größten Momentes unter Berücksichtigung des; gleichmäßig verteilten Eigengewichts ergibt keinen wesentlichen Unterschied für W.

ä-Vi: -V "

2. Berechnung des Bolzens.

Der Bolzen ist auf Abscheren, Lochleibungsdruck und Biegung zu berechnen.

a) Berechnung des Bolzens auf Abscheren.

Bezeichnet man den Durchmesser des zweischnittigen Bolzens mit d1} so wird :

2 • F = ?-2 ■ dr ² • *

dt ² • 7t

= f = 1000

kg

qcm

2P

1000 • Tt '

b) Berechnung des Bolzens auf Lochleibungsdruck.

d- • kt = P

k, = 2000

kg .

qcm

d, d

I---

—>■

d -2000

JË2

•!—

c) Berechnung des Bolzens auf Biegung.

Der Bolzen kann als Träger auf zwei Stützen angesehen werden, dessen

Stützpunkte in den Mitten der Flacheisenlaschen liegen (Abb.180). Das größte Biegungsmoment tritt dann in der Mitte auf. Es wird (Abb. 181):

= p( +d\_P_d 2 \    ' 2 )    2    4

P^t.P-d Pd 4    '    4

Afmax — -g-(2 d -)- d).

Das Widerstandsmoment beträgt: W = (Tabelle S. 66)

kb = 1200 —

“ "g (d + ²⁽0

_-f/32 • P (d + 2S)

- V 1200 • tc - Z

V 7t 300

Abb. 180.

•^max

Afmax —

Afmax

= h ■ W;

1200 •

d*n

32

qcm

p-

di

Abb. 181.

Nachdem man den größten der sich unter a-c ergebenden Werte bestimmt hat, führt man denselben aus unter Abrundung der Abmessung nach oben.

3. Berechnung des Auges.

Bei Bestimmung der Abmessungen des Stangenauges muß beachtet werden, daß

a) der Querschnitt II—II gegen Zug genügt, also ein Abreißen nicht eintritt,

UaBsch 47 : Schau, Statik II. 3. Aufl.

b) die Querschnitte III—III und IV—IV gegen Abscheren genügen, also das hinter dem Bolzen liegende Stück nicht herausgeschoben wird.

a) Berechnung gegen Zug.

Für den ersten Fall ist ein nutzbarer Querschnitt vorhanden:.

F=2x-d.

Dieser Querschnitt muß gerade so groß sein wie derjenige der Zugstange, wenn überall gleiche Sicherheit herrschen soll, also:

2 x- d = T

d²n dn

x= Ad -T —rd.0,4d.

Der Durchmesser des Bolzenauges D muß werden:

D = 2x + d, = 0,8 d + dx.

b) Berechnung auf Abscheren.

Der zweite Fall tritt dann ein, wenn der Bolzen das Augenloch vollkommen ausfüllt.

Es muß dann werden nach Abb. 182a/b:

II

Ą iii/^j7n\

%

2 g-d-kB = P;

2y ■ d • ks =

d²it

d²%

-ly' *

d°7t kz

y = 42d' ks

dzt 1200    _3_    .    ₌ j 0 5 d

8 1000 20a % rQ‘ U,0a‘

Man erhält somit: D = 2y + dt = d + dx.

In der Regel wird das Bolzenloch jedoch nicht vollständig durch den Bolzen ausgefüllt. Nimmt man im ungünstigsten Fall an, daß der Bolzen nur in der Mitte die Lochleibung berührt, so kann der zwischen dem Querschnitt III und IV liegende Teil als Träger auf zwei Stützen mit der Stützweite dl betrachtet werden, welcher an den beiden Enden eingespannt ist. Die Berechnung kann

hier nicht durchgeführt werden. Jedoch erhält ß man in letzterem Falle den ungünstigsten Wert. Für die Ausführung wählt man in Augenmitte y = 0,8d = 2x und gibt dem Auge entweder eine elliptische Form (Abb. 183) mit den Hauptachsen _i_d 2x + dl bzw. 2y 4- du also 0,8d + dj bzw. 1,6 ddu oder man nimmt kreisförmige Form an mit einem Durchmesser D = 1,6 d+ dx (Abb. 184).

Aufgabe 70: In einem Zugstabe mit kreisförmigem Querschnitte wirkt eine Kraft P= 8000 kg, welche mittels Doppellaschen und Bolzen an ein Knotenblech angeschlossen wird. Die Abmessungen des Bolzens und des Bolzenauges sind zu bestimmen (Abb. 178 a/b).

Abb. 182 a.

Abb. 182 b.

Abb. 183.-

Abb. 184.

!-t

14

VI. Knickfestigkeit.

A. Allgemeines.

Überschreitet bei einem auf Druck beanspruchten Stab die Stablänge im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen eine gewisse Größe, so kann erfahrungsgemäß ein seitliches Ausbiegen stattfinden und der Stab kann durch Knicken zerstört werden.

In der Regel wird bei jedem auf Druck beanspruchten Stabe die Neigung zu einer Ausbiegung vorhanden sein. Der Grund ist darin zu suchen, daß es Körper mit genau gerader Achse nicht gibt, daß infolge unvermeidlicher Fehler die Druckkräfte nicht genau in der Stabachse angreifen und daß ferner die Baustoffe nicht durchweg gleiches Gefüge besitzen. Solange die drückenden Kräfte klein sind, wird die entstehende Ausbiegung gering sein, es werden Spannungen (Biegungsspannungen) auftreten, welche eine weitere Biegung verhindern. Im Stab wird sich somit ein Gleichgewichtszustand herausbilden. Überschreiten jedoch die wirkenden Druckkräfte P eine bestimmte Größe, dann stellt sich ein Gleichgewichtszustand nicht mehr ein. Die Biegung vergrößert sich, der Stab verliert seine Tragfähigkeit und wird durch Zerknicken zerstört.

Diejenige Kraft, welche imstande ist, einen Stab zum Zerknicken zu bringen, heißt die Knickbelastung.

Da sich die genaue Ableitung der Knickformel nur mit Hilfe der höheren Mathematik ermöglichen läßt, so muß hier auf die Herleitung Verzicht geleistet werden.

Die Knickbelastung P ist abhängig von der Güte der Baustoffe. Je widerstandsfähiger der Baustoff ist, desto größer kann die Knickbelastung sein. Da das Elastizitätsmaß E über die Güte des Baustoffs Aufschluß erteilt, so ist also die Knickbelastung unmittelbar proportional zum Elastizitätsmaß E.

Fernerhin ist der Grad der Durchbiegung unmittelbar abhängig von dem Trägheitsmomente des Stabquerschnitts. Die Durchbiegung wird stets in Richtung des kleinsten Widerstands erfolgen, also senkrecht zur Achse, in bezug auf welche das kleinste Trägheitsmoment Jmin vorhanden ist; dieses muß daher in allen Fällen in Betracht gezogen werden.

Je größer ferner die Länge eines Stabes ist, um so größer wird die Gefahr des Ausknickens sein, um so kleiner darf die Knickbelastung werden. Erfahrungsgemäß steht die Knickbelastung im umgekehrten Verhältnis zum Quadrate der Stablänge. Es darf daher z. B. bei doppelter Länge nur eine viermal so kleine Knickbelastung zugelassen werden wie bei einfacher Länge.

Die Knickbelastung ist außerdem im wesentlichen noch abhängig von der Art, wie der auf Druck beanspruchte Stab an seinem Ende befestigt ist. Je größer die Sicherheit durch die Endbefestigung ist, um so größer kann auch die Knickbelastung sein. Dieser Einfluß der Endbefestigung wird durch die Zahl m angegeben, welche man die Einspannungsziffer oder Einspannungszahl nennt.

Schließlich kann von der so ermittelten, möglichen Knickbelastung nur ein Teil für die Dauer zugelassen werden, damit die nötige Sicherheit gewahrt bleibt. Man setzt daher einen bestimmten Sicherheitsgrad s fest. Von der

möglichen Knickbelastung wird daher stets nur zugelassen.¹)

Man erhält unter Berücksichtigung des Erwähnten die Beziehung:

7TI • E • t/min S l*

. . (22)

TTl ■ E • Jmin

Diese Formel heißt die Eulersche Knickungsformel und hatte ursprüng-

lieh die Form:

• E ■ t/min S • P

Es bedeutet: P die Tragkraft des Stabes (zulässige Knicklast) in kg.

Die Einspannungszahl m gibt die Einspannungsart an (s. u.)

Jmin ist das kleinste Trägheitsmoment des Querschnitts in bezug auf die Schwerachse.

/ ist die Länge des Stabes in cm.

s ist eine Sicherheitsziffer, welche sich hauptsächlich nach dem Baustoff richtet.

qcm (S- « «• >«)■

Die Hauptfälle der Befestigung der Stabenden sind folgende:

1. Der Stab ist an den beiden Enden nach allen Seiten hin frei drehbar und ist in Richtung der Stabachse geführt. Die Befestigung kann man sich als eine gelenkartige denken. Der gefährdetste Querschnitt liegt in der Mitte der Stablänge (Abb. 185). Diesem Falle entspricht der Wert:

E ist das Elastizitätsmaß des Baustoffs in

m = 10.

Diese Art der Einspannung kommt bei Bauwerken am häufigsten vor.

2.    Der Stab ist an dem einen Ende fest eingespannt, an dem anderen Ende frei beweglich, ohne Führung. Der gefährdetste Querschnitt liegt an der Einspannungsstelle (Abb. 186). In diesem Fall wird:

m — 2,5.

Diese Einspannungsart kommt selten vor, gegebenenfalls z. B.‘ bei eingerammten Pfählen.

3.    Der Stab ist an einem Ende fest eingespannt, das andere ist frei drehbar infolge gelenkartiger Befestigung. Der Stab ist also in Richtung seiner Achse ebenfalls geführt. Der gefährdetste Querschnitt liegt dem freien Ende näher als dem eingespannten (Abb. 187). Es wird hier:

m = 20.

4.    Der Stab ist an beiden Enden fest eingespannt. Der Stab ist in seiner

1) Statt s findet man auch vielfach die Bezeichnung n, so daß die Formel dann lautet:

m • EJmm n-P

Mit Rücksicht auf die amtlichen Bezeichnungen im Eisenbetonbau ist die Bezeichnung s gewählt.

Achse geführt. Der gefährdetste Querschnitt liegt in der Mitte (Abb. 188). Es wird:

m = 40.

Der Fall 3 und 4 kommt sehr selten vor und wird daher im folgenden nicht weiter berücksichtigt werden.

Den Sicherheitsgrad s nimmt man für gewöhnlich bei Flußeisen zu 5, für Gußeisen zu6-8 und für Holz zu 10 an.

Durch E kommt in der Eulerschen Knickformel der Baustoff, durch Jmin die Größe und die Form des Querschnitts zum Ausdruck.

Man ist nun imstande, für eine auftretende Last P die erforderlichen Abmessungen des Stabes zu bestimmen. Man erhält durch Umformung der

S-JP'l* m • E

'/////// ''

///////, '//////A

\p

711=10

m=2,5 Abb. 185. Abb. 186.

Gleichung die Beziehung:

»An in —

m=2Ö Abb. 187.

m =40 Abb. 188.

. (23)

Da die Ausbiegung stets nach der Richtung stattfihdet, in welcher der kleinste Widerstand geleistet wird, so werden zweckmäßig für auf Knicken beanspruchte Stäbe regelmäßige Querschnitte gewählt, welche mehr als zwei Gegenachsen haben, da dann die Gefahr des Ausbiegens nach allen Seiten gleich groß ist. Dies trifft zu bei allen kreisförmigen, quadratischen Querschnitten usf.

Unregelmäßig geformte Querschnitte sind ungünstig und erfordern mehr Aufwand an Baustoff. Zu beachten ist, daß, falls bei einem Querschnitt die beiden Hauptträgheitsmomente einander gleich sind, auch alle übrigen Trägheitsmomente in bezug auf eine Schwerachse einander gleich sind, so z. B. bei quadratischem Querschnitt. (Die Widerstandsmomente brauchen jedoch deshalb nicht einander gleich zu sein, sondern es bedarf einer jedesmaligen Prüfung.)

Jeder auf Knicken beanspruchte Stab muß auch auf Druckfestigkeit genügend sicher sein; es ist daher stets noch die auftretende Druckspannung nach der Formel zu bestimmen, wobei k < kd sich ergeben muß.

Je mehr sich der vorhandene Flächeninhalt F, welcher dem notwendigen

p

Trägheitsmomente Jm;n entspricht, dem durch die Beziehung p = kd gegebenen Kleinstwerte von F nähert, um so günstiger ist die Wahl der Abmessungen getroffen.

Wird k>kd, so müssen die Abmessungen auf Grund der Druckfestigkeitsuntersuchung festgelegt und F muß vermehrt werden.

Zu beachten ist, daß der berechnete Querschnitt an der gefährdetsten Stelle vorhanden sein muß.

Vielfach rechnet man in der Praxis mit folgenden abgekürzten Formeln. Man führt die Werte P in Tonnen (t) und die Länge l in Metern ein und erhält dann die nachstehenden Umformungen, um das gleiche wie bei Formel 23 zu erreichen.

a) Flußeisen: s = 5; Jmm =

s PF m E *

5 1000 • PF- 100- 100 10 -2100000

Jmin = 2,38 P ■ F (oder auch rd. 2,5 PF s.u.) (24) 8 1000 -P F ■ 100-100 10- 1000000

•Anin —

b) Gußeisen: s = 8; Jmm =

.    (25)

10- 1000 - P F - 100- 100 10-100000

Jmin = 100 PF ....    .

In den Formeln 24, 25 und 26 ist P also in Tonnen und / in Metern einzusetzen, man erhält Jmin in cm⁴.

Für Übungszwecke der Schüler empfiehlt es sich, die Rechnung mit der Grundformel 23 auszuführen, wobei nach Annahme des Baustoffes das vorhandene E zu bestimmen ist und eine Prüfung aller Größen zu erfolgen hat.

Die durch Runderlaß vom 24. Dezember 1919 für die Berechnung der Hochbauten festgesetzten Bestimmungen für auf Knicken beanspruchte Bauteile legen folgendes fest:

c) Holz: s = 10;

»Anin

. . (26)

Flußeiserne Stützen dürfen mit 1200

bei genauer Berechnung

der durch die ungünstigste Laststellung (Winddruck, Einzellasten, z. B. Kranbahnträger, exzentrischer Kraftangriff u. dgl.) eintretenden größten Kanten-

qcm ’

Pressungen mit 1400

kgf

beansprucht werden. Sie müssen ferner nach der

qcm

Eulerschen Formel mit 5 fâcher Sicherheit gegen Knicken berechnet werden. (Jmin = 2,38 PF oder auch 2,5 PF s. o.). Als Knicklänge eines Stabes ist die Systemlänge anzusehen, also z. B. seine aus dem Liniennetz eines Fachwerks zu entnehmende volle Länge, wobei etwaige Einspannung unberücksichtigt bleibt; stehen die Stützen in mehreren Geschossen übereinander und werden sie durch anschließende Deckenträger unverrückbar festgehalten, so ist die Geschoßhöhe als Knicklänge (also ohne Rücksicht auf etwaigen Stoß in Deckenhöhe) anzunehmen.

Bei der Berechnung der Knicksicherheit sind mit besonderer Sorgfalt alle in Betracht kommenden Belastungsfälle zu untersuchen. (Maßgebend ist derjenige Fall, der den größten Querschnitt ergibt.) Dabei dürfen, wenn nur zentrisch wirkende Belastung angenommen wird und die Knicksicherheit nur eben den vorgeschriebenen Mindestwert erreicht, die unteren Werte der zulässigen Spannungen nicht überschritten werden.

Über exzentrischen und quer gerichteten Kraftangriff s. T. III.

• Z² oder

CO o

Für Dächer, Fachwerkswände usf. wird verlangt, daß die nach der Euler-schen Formel zu berechnende Sicherheit der auf Druck beanspruchten Glieder im ungünstigsten Falle eine vierfache sein muß (also Jmin = rd. 2,0 P • Z²). einzusetzen.

Gußeiserne Säulen sind nach der Eulerschen Formel mit 6 —8facher Sicherheit auf Knicken zu rechnen. Jmm = 6 P ■ Z² bis 8 P ■ Z².

Hölzerne Stützen und gedrückte Bauteile müssen nach der Eulerschen

Formel mit E = 100000 besitzen.

eine 7—10fache Sicherheit gegen Knicken

kg

qcm

«/min = 70P • Z² bis 100 P ■ Z².

Die untere Grenze von J gilt aber nur für Bauten zu vorübergehenden Zwecken.

Besondere Aufmerksamkeit ist der Einzelausbildung gedrückter eiserner Bauglieder zuzuwenden. Bei Anordnung von Vergitterungen und Bindeblechen zur Verbindung der einzelnen Querschnittsteile ist dafür zu sorgen, daß an den Enden auf eine zur Aufnahme der Schwerkräfte ausreichende Länge volle Bleche eingefügt und daß die Anschlüsse an die Längsstäbe bei den Vergitterungsstäben möglichst, bei den Bindeblechen immer mit mindestens zwei Nieten hergestellt werden. Die Einzelstäbe für sich müssen auf die Teilungen zwischen den Vergitterungen oder Bindeblechen mindestens die vorgeschriebene Sicherheit gegen Knicken besitzen, und zwar unter Voraussetzung drehbarer Enden dieser Teilstücke. Für Querschnitte, deren Einzelstäbe durch Vergitterung oder Bindebleche verbunden sind, empfiehlt es sich, in wichtigeren Fällen die Einzelteile besonders zu berechnen; ausnahmsweise kann eine solche Berechnung verlangt werden (vgl. Aufgabe 77, 78).

Die Berechnung nach der Eulerschen Knickformel kommt nur für die Fälle in Betracht, bei welchen die durch die Knickbelastung entstehenden Spannungen unterhalb der Proportionalitätsgrenze bleiben. Wird diese Grenze überschritten, so kann diese Formel nicht mehr angewendet werden, sondern die Rechnung muß nach einem anderen Verfahren, z. B. dem nach Tetmajer erfolgen (Ausführlicheres s. Anhang S. 133 u. fgd.).

B. Anwendungen.

Aufgabe 71: Welche Belastung kann ein 3,00 m langer, rechteckiger Pfosten aus Eichenholz tragen, wenn seine Querschnittsabmessungen Z?= 16cm und h = 18 cm sind? Die Befestigung der Pfostenenden erfolgt wie in Abb. 188a/b angegeben.

Lösung: Gegeben b = 16 cm; h — 18 cm; s - 10;

Jcg .₌

qcm’

E = 120000

300 cm; F— 16 - 18 = 288 qcm ; m = 10.

Abb. 189a.

r------,

1. Berechnung auf Knicken.

Das kleinste Trägheitsmoment ergibt sich nach Abb. 190 in bezug auf die 7—7 Achse.

_ h^b³

Jmin —    12

Es ist:

Abb. 189 b.

_1.8 • 16³

''min—    12

= 6144 cm⁴.

Es kann somit eine Knickbelastung aufgenommen werden: m - E- J

min

s /²

JUL

10 120000 • 6144 10 - 300 -30Ö~

P = 8261 kg.

)■

Abb. 190.

2. Berechnung auf Druck. Die auftretende Druckspannung erhält man zu

8261

288

= 26,4 kg.

Die Druckbeanspruchung ist also zulässig.

Aufgabe 72: Ein 4,0 m langer Pfosten aus Eichenholz hat eine Druckbelastung P = 6000 kg in seiner Längsachse aufzunehmen. Welche Abmessungen muß er erhalten, sofern a) der Querschnitt quadratisch, b) kreisförmig und c) rechteckig ist?

; m

qcm

= 10; s= 10.

Lösung: Gegeben P = 6000 kg ; / = 400 cm ; £= 120 000

1. Berechnung auf Druck.

Es wird eine Druckfläche erforderlich:

£ =

Da kd = 80 kg

qcm

anzunehmen ist, so wird nötig:

6000

80

= 75 cm.

2. Berechnung auf Knicken. s-PF m Ë

10 • 6000 • 400 ■ 400 10^120000

^min

^min

= 8000 cm⁴.

a) Es wird ein quadratischer Querschnitt gewählt (Abb. 191).

^min ⁼ 12

Es ist:

(s. auch Tabelle S. 65).

Es wird:

12 = ⁸⁰⁰⁰

'    4___

Abb. 191-

a = ÿ8000 • 12 a = Vj/96000.

Man erhält durch zweimaliges Ziehen der Quadratwurzel unter Benutzung der Tabelle

a = rd. 18 cm.

Gewählt ein Pfosten 18/18 cm mit F =324 qcm. Dieser genügt auch auf Druck s. o. unter 1.

b) Es wird ein kreisförmiger Querschnitt gewählt (Abb. 192).

W * jr

₆₄ (Tabelle S. 66).

Es ist:

Demgemäß muß sein:

'Anin d* n

64 - ⁸⁰⁰°

d __ ym°-⁶⁴

| | •SU0“-"⁴

- rd. 20 cm.

Abb. 192.

Gewählt wird ein Rundholz mit einem Durchmesser von 20 cm und einer Querschnittsfläche F = 314 qcm ; welche ebenfalls auf Druck genügt, c) Es wird ein rechteckiger Querschnitt angenommen (Abb. 193).

•W^T2-: .

Es ist:

Entweder erfolgt die Wahl der Abmessungen nach der Tabelle oder durch Rechnung.

hbs

Es wird:

₁₂ =8000;

b:h =

3:4; h= ₀

4b ö8 3 ' 12

= 8000

b*

= 8000 , b = -[/800(n~9

b =]/ )/72000 = rd. 17 cm 4    4

h = - b = — • 17 3    3

Nach Tabelle wird gewählt ein Normalholz 16/24 cm mit Jy = 8192 cm⁴ und F= 16 • 24 =f= 384 qcm, welches demnach für Druck und Knicken genügt.

Aufgabe 73: Eine gußeiserne Säule mit kreisringförmigem Querschnitt soll eine Last von 30000 kg aufnehmen bei einer Länge von 4,50 m. Es sollen die Abmessungen bestimmt werden (Abb. 194).

Lösung: Gegeben P= 30000 kg; Z = 450 cm; £= 1000000 s = 8; kd = 5000 kg.

= 23 cm.

1. Berechnung auf Druck.

p

Es ist eine Druckfläche nötig: F--r—

-i----TS

h~

-*4-

Abb. 193.

kg .

qcm ’

m = 10 ;

„    ³⁰⁰⁰⁰ An

F-W60qcm-

4----

Abb. 194.

2. Berechnung auf Knicken.

Das erforderliche Trägheitsmoment wird:

_s-PP “in“ m.E ;

8•30000 450 • 450 10-1000000

^min

= 4860 cm⁴.

a)    Berechnung mittels Tabelle.

Mit Benutzung der Tabelle findet man einen Querschnitt mit einem äußeren Durchmesser D = 21 cm und einer Wandstärke 8 = 1,75 cm, welcher besitzt Jmin = 4943 cm4 und F =109 qcm; G = 76,9 kg/m.

b)    Berechnung ohne Tabelle.

Sofern Tabellen nicht vorliegen, kann man folgendermaßen zum Ziele gelangen.

= (D4-d4>ä-

(D⁴ — d⁴)    = 4860

4860 • 64

Es ist nach S. 66:

In diesem Falle wird:

min

Di — d⁴ =

D⁴ - d⁴ = 99057 cm⁴.

Zur Lösung dieser Gleichung mit zwei Unbekannten kann man verschiedene Wege einschlagen.’

I. Man kann D oder d annehmen, wobei etwaige bauliche Einflüsse zu beachten sind. Man wählt z. B. D— 19 cm.

Man erhält:

19⁴ —d⁴ = 99057 130321 —d⁴ = 99057 d⁴ = 31264

= 2,8 cm.

d⁴ = Y1/31264 = 13,4 cm.j| D —d_|19 — 13,4 _5,6

II. Man kann die Wandstärke annehmen und unter Benutzung von Näherungsformeln die Abmessungen festlegen.

Es ist: J

min

1---

Man führt nach Abb. 195 einen Durchmesser dj ein.

ä "'i'".

¹ 2 ’

D + d = 2d₁;

''n

Es ist:

Ä.

! D,

demnach:

Es ist ferner:

D — d = 28.

_____

Abb. 195. beider Seiten:

Angenähert kann man setzen:

D⁴ — d⁴ = (D¹ - d¹) (D¹ + d¹).

Di — d⁴ = (D — d) (D + d) (D¹ -f d¹).

Da D-fd = 2dj ist, so erhält man durch Quadrierung D¹-f 2Dd + d¹ = 4]-d₁*

Z)¹ + d¹ = 4d1¹ —2D d.

Dd = dli;

Di + d* = 4d₁* — 2d₁³

demnach wird:

D² + d² = 2d₁².

Unter Einsetzung der Werte ergibt sich:

Jmin = ^-(D~d)(D+d)

^„ = 64 25 2^-²^²

''inin —

■öd,³.

Angenähert wird also:

min

= 0,4§ • d,³ cm⁴.

Anwendung für den vorliegenden Fall. Wählt man z. B. d — 2 cm, so erhält man:

0,4 d ■ d,s == 4860 0,4-2,0-^³ = 4850

=1/

4860

0,4-2,0

Es wird:

d₁ = |/6075 - 18,3 cm = rd. 19 cm. D = d, + Ö = IQ + 2 = 21 cm d = d, — tf = 19 — 2 = 17 cm.

Man findet dann: ^min ⁼⁼ 5447 cm⁴; F= 119 qcm; G = 86,6    -•

Diese Werte sind reichlich hoch; es empfiehlt sich eine erneute Proberechnung zu machen und â geringer zu wählen, etwa â = 1,75 cm. Man erhält:

''min = °>4-1,75-^;

und entsprechend wie oben: d,

-V

4860

= ;/6943 = 19,1

Es ergibt sich: man wählt nun:

0,4 • 1775

D = d, + d= 19,1 + 1,75 = rd. 21 cm; d — D — 2d = 21 — 2 - 1,75 = 17,5 cm.

cm.

Es wird Jmin = 4943, F— 106 qcm und G = 76,8 wie bei a) S. 122.

Aufgabe 74: Für die in Aufgabe 73 gegebenen Verhältnisse soll eine gußeiserne Säule berechnet werden 1. bei hohlquadratischem Querschnitt (Abb. 196) und 2. für kreuzförmigen Querschnitt (Abb. 197).

Aufgabe 75: Für die gleichen baulichen Verhältnisse wie bei Aufgabe 73 soll eine Säule mit geschweißtem Rohr Verwendung finden.

Aufgabe 76: Welche Last kann eine flußeiserne Stütze von 5,0 m Länge tragen, sofern dazu ein I-Eisen N. P. Nr. 18 Verwendung fin- | den soll? (Abbildung 198.)

-k

Th I

-k

Abb. 196.

I

4-

•t

Abb. 197.

_x_

Abb. 198.

Lösung: Gegeben. AusTabelle findet man Jmj = Jy = 81,3 cm⁴^

kg . qcm’

es ist ferner m=10; s = 5; £=2100000 kg qcm

kd= 1200

£=27,9 qcm^

1. Berechnung auf Druck.

P== F • kd

P = 27,9 • 1200 = rd. 33500 kg. Auf Druck kann £=33500 kg aufgenommen werden.

Die Knicklast beträgt:

2. Berechnung auf Knicken.

m • £ • Jmin

s • P

„    10-2 100000-87,3    ,    ,

p= 5 500.500 — ¹⁴⁷⁰

Es kann also nur eine Last £= 1470 kg von der Stütze aufgenommen werden. Das Trägheitsmoment J

ist nach Tabelle Jx = 1446 cm⁴. Es findet demnach eine sehr ungünstige Ausnutzung des Baustoffs statt, da die beiden Hauptträgheitsmomente in ihrer Größe außerordentlich voneinander abweichen. Man verwendet daher diese Art der Stützung selten (Aufgabe 77).

max

Aufgabe 77: Es soll eine flußeiserne Stütze entworfen werden, die aus zwei I-Eisen besteht und eine Kraft P = 40000 kg aufnehmen kann. Die beiden Hauptträgheitsmomente sollen einander gleich werden. Die freie Länge der Stützen beträgt 5,0 m.

Gegeben: £= 40000 kg; / = 500 cm ; m — 10; s = 5;    £ = 2100000

kd = 1200 kg

qcm

Erforderlich wird :

1. Berechnung auf Druck.

F= ~

kd

kg . qcm ’

40000    „

F=T2Ö0 =³³’3 qcm'

2. Berechnung auf Knicken.

sP ■ P m ■ £

5 • 40000 • 500 • 500 10 • 2100000

Man geht bei der Bestimmung der Abmessungen von dem ersten Hauptträgheitsmoment J[ aus und muß dann die beiden Stützenteile so weit auseinander rücken, daß das zweite Hauptträgheitsmoment Jn= Jj wird (Abb. 199).

Für jedes der beiden J-Eisen ist mindestens ein erstes Hauptträgheitsmoment

^min _

2    ~2

nötig.

min

^min

2380

= 2380 cm⁴.

= 1190 cm* = Jx.

Aus der Tabelle findet man, daß dieser Forderung Genüge geleistet wird durch ein J-Eisen N. P. Nr. 18 mit Jx = 1446 cm⁴.

Die beiden X'Eisen besitzen daher ein Gesamtträgheitsmoment für die erste Hauptachse:

Jj = 2 . Jx = 2JX = 2 • 1446 = 2892 cm⁴.

Es muß nun noch die Entfernung e bestimmt werden (Abb. 199), um welche die gewählten Profileisen von dem Gesamtschwerpunkt S abzurücken sind, damit das zweite Hauptträgheitsmoment Jjj gleich dem ersten Hauptträgheitsmoment wird.

Unter Beachtung der auf S. 62 u. 63 entwickelten Beziehungen erhält man das Trägheitsmoment des Querschnitts des Normalprofils Nr. 18 bezogen auf die zur T-Achse gleichlaufenden Achse II—II aus der Beziehung: Jp — Js -f- F- e². Es ist hier Js = J und es werde gesetzt JP = J, so ist somit:

J = Jy -f F • <?².

Aus der Tabelle findet man Jy = 81,3 cm⁴ und F = 27,9 qcm.

J = 81,3-f 27,9

Das Trägheitsmoment der beiden, die Stütze bildenden Profile für die zweite Hauptachse, also das zweite Hauptträgheitsmoment, ist:

Jrr— 2J

Es wird daher:

Jn= 2 • (81,3 +27,9 e²).

Es war nun verlangt, das    wird, folglich muß sein:

2 • (81,3 -j- 27,9 • e²) — 2892.

♦

Es ist hieraus nun die Größe e zu bestimmen:

81,3 -f- 27,9 • e² = ????

es_ 1446 —81,3

27,9

1 /1365

V 27,9"

7,0 cm.

iz;

L-X.\2Lą8.

Abb. 199.

Der Abstand der beiden J-Eisen beträgt also von Mitte zu Mitte 2e = 2 • 7,0 — 14 cm.

Die Bestimmung der Abmessungen der Stütze ist unter der Voraussetzung erfolgt, daß der Stützenquerschnitt als .einheitliches Ganzes gegen die ausbiegende Wirkung der Knickbelastung Widerstand leistet.

Es ist nun noch zu untersuchen, ob jeder Teilquerschnitt unter der auf ihn kommenden Teilbelastung genügend Widerstand leisten kann und festzustellen, welche Maßnahmen erforderlich sind, um ein Ausknicken der einzelnen Teile des Querschnitts zu verhindern.

Im vorliegenden Falle kommt auf jedes der beiden Eisen eine Teillast

P _ 40000 2 2

500

= 20000 kg (Abb. 200).

Es ist demnach bei einer Knicklänge von 500 cm ein Trägheitsmoment erforderlich:

Jmin ⁼

5 • 20000 ■ 500 • 500

1190 cm⁴.

10 •2100000

Vorhanden ist jedoch nach Tabelle nur Jmm = Jy = 81,3 cm⁴. Die Stütze ist demnach in ihren einzelnen Teilen bei einer Länge von 500 cm nicht knickfest.

'V

Es ist daher notwendig, die freie Knicklänge der Stützenteile derart zu verringern, daß ein Ausknicken nicht erfolgen kann. Dies geschieht dadurch, daß man die beiden Stützenteile miteinander durch Querteile verbindet. Die Verbindung muß derart sein, daß das vorhandene kleinste Trägheitsmoment bei der neuen, nun eintretenden Knicklänge lx genügt, um ein Ausknicken zu verhindern. Man nimmt dabei auch eine Befestigung nach Fall I, S. 116 mit m = 10 an.

Zu beachten ist, daß eine Schwächung des Querschnitts durch Nietlöcher in der Regel bei Ermittelung der Knickfestigkeit solange nicht in Rechnung zu stellen ist, als diese Herabminderung weniger als 12% des Querschnitts beträgt (nach Förster).

Es muß werden:

«7min =

s • P-P m • E

TT

Für den vorliegenden Fall wird Jmin= Jy; P= 20000 kg; l — lv) m=10;s = 5; E = 2 100000 S ■

qcm

« 1

(Man berücksichtige, daß bei n gleichen Querschnittsteilen auf jeden Teil nur P

der Last P, also

n

Werden die angegebenen Werte eingesetzt, so erhält man:

5 • 20000 •

10 • 2100 000

fl

kommt; hier ist n = 2, die Last beträgt also

= 20000 kg.)

81,3 =

h-

⁸¹’³ = 210

lx = ]/210 • 81,3 = 131

Die Querverbindungen dürfen also nicht weiter als 131 cm von Mitte 4 zu Mitte voneinander entfernt sein. Es sind nötig:

/ _ 500 lx — 131

Ausgeführt wird somit: lx =    = 125 cm.

Bemerkung: Die Ausbildung zusammengesetzter Stützen mit I-Eisen ist nicht zu empfehlen, da die vorhandene geringe Flanschbreite dieser Profile für die Vernietungen nicht günstig ist. Es ist daher der zusammengesetzte Stützenquerschnitt zweckmäßiger aus C-Eisen oder L-Eisen zu bilden. Auch Differdinger Profile werden jetzt der besseren Baustoffausnutzung wegen häufig zu Stützen verwendet.

Aufgabe 78: Unter gleichen Annahmen wie bei Aufgabe 77 soll eine Stütze aus zwei C- Eisen gebildet werden.

Wie oben wird erforderlich «Anin = 2380 cm⁴. Der Gang der Rechnung ist dem der Aufgabe 77 entsprechend.

Für jedes der beiden Q-Eisen wird demnach nötig:

²³⁸⁰ = 1190 cm⁴ = Jx.

2 x

Abb. 201.

cm.

= rd. 4 Teilungen, also 5 Querverbindungen (Abb. 201).

«Anin

500

Gewählt wird ein Q- Eisen N. P. Nr. 18 mit Jx = 1354 cm⁴.

Der Abstand e, in welchem die beiden Eisen voneinander anzuordnen sind, ergibt sich aus der Beziehung: Jmin_2(J„ + F-e%

Es ist nach Tabelle:

</y = 114 cm⁴; F= 28 qcm.

\V

II

Demnach wird:

2380 = 2(114 -f 28 - ß²)

L_X i. A^r_ is7irr

2380

— 114

ßs

y-k-g 4 * -i '//

Abb. 202.

28e<= ₂

t/1076

* = V 28 -

I.JL

I Sl ! S2\    '

6,2 cm.

2^4 -g-4

Jf

Abb. 203.

Die Anordnung kann nach Abb. 202 und Abb. 203 erfolgen. Bei der Wahl beachte man die Möglichkeit der Herstellung einer sorgfältigen und einfachen Vernietung.

Zu beachten ist, daß J{= 2- 1354 = 2708 cm⁴ ist, während Ju nur =2380 cm4 beträgt, so daß die Ausknickungsgefahr senkrecht zur Achse II—II größer ist als die für Achse I—I. Will man dies vermeiden, so muß e auf Grund des Wertes

2708 cm⁴ bestimmt werden.

Bestimmung des Abstandes der Querverbindungen: Es wird bei Anordnung zweier Teilquerschnitte wie oben:

m ■ E

Ju =

114 =

5 • 20000 • /, 10 • 2100000

¹¹⁴ 210

/j = ]/114 • 210 = rd. 155 cm.

= 4 Teilungen, also 5 Querverbindungen nötig.

/ _500

l, ~ 155

Ausgeführt wird /,    125 cm, so daß reichliche Sicherheit vorhanden ist.

Aufgabe 79: Eine flußeiserne Stütze besitzt eine freie Knicklänge von 6,0 m und trägt in ihrer Mittellinie eine Kraft P = 48000 kg. Der Querschnitt soll aus vier Winkeleisen gebildet werden. Welche Abmessungen sind zu wählen?

Es sind daher

500

Lösung: Gegeben: P=48000kg; Z = 600 cm; m= 10; s = 5; £=2100000

kg

kg .

qcm ’

kd = 1200 —2- • a    qcm

1. Bestimmung der erforderlichen Druckfläche.

Es ist:

kd

48000

12000

= 40 qcm.

Die Fläche eines Winkeleisens ist daher zu

40

—Ę = 10 qcm zu wählen. Man nimmt für die Ausführung ein Winkeleisen 65 • 65- 9 mm mit F— 10,90 qcm.

Es wird erforderlich:

2. Berechnung auf Knicken. s-Pl2 m ■ E

5 • 48000 ■ 600 600 10 • 2100000

^min —

J min —

= 4114 cm⁴.

iJ-

S,

i-

+.

JL

[II

Abb. 204.

Um den Abstand e zu bestimmen (Abb. 204) beachte man folgendes:

Es war nach S. 63 Jp = Js + F • e²; ferner ist für ein Winkeleisen Js = Jz (Abb. 204 und vgl. die Tabelle).

Es wird also Jp = Jz + F • e².

Das Hauptträgheitsmoment für die Achse / 1—I wird:

J₇=4 Jp

J₇=4(J, + F.O-

Nach der Tabelle ist: Jz=41,3cm⁴; F =10,98 qcm; s' = 1,93 cm. Es soll werden: '⁷min===J/=J//' demnach:

4114 = 4(41,3+ 10,98 ■ e-)

4114

— 41,3= 10,98c²

e=y

1028,5 10,98

Die Anordnung kann nach Abb. 204 oder nach .Abb. 206 getroffen werden. Der Zwischenraum d in Abb. 204 ergibt sich zu

d = 2(e — s) = 2(9,67 — 1,93) = 2 • 7,74 = rd. 15,5 cm.

= 9,67 cm.

3. Bestimmung der Anzahl der Verbindungsstellen.

P 4800

Auf jeden der vier Teilquerscnitte überträgt sich eine Last ^ =

Nach der Tabelle wird Jm\n = Jp = 17,2 cm⁴. Der gesuchte Abstand der Verbindungslinie sei /lt

Es ist somit:

= 12000 kg.

«/min =

s- PF m ■ E

\n

Z\

17,2

5- 12000 /,²

10 •2100000

r-r*

^--------tfj,

r !

------Z

'.=y

2100 17,2

^    = 77,6 cm.

Man erhält somit bei 600 cm Stützenlänge:

■L------1-------—!----/_

IE-+-4J

II

600 _ 600 k ~ 77,6

Es sind daher 9 Verbindungsstücke nötig, die im Abstande =++ = 75 cm ange-

O

ordnet werden müssen.

Abb. 205.

= rd. 8 Teile.

Abb. 206.

600

C. Gleiche Sicherheit gegen Druck und Knicken.

Wird ein Stab durch eine Kraft auf Druck beansprucht, so wird bei einer bestimmten Länge des Stabes seine Tragfähigkeit für Druck und für Knicken die gleiche sein.

Die Tragfähigkeit für Druck wird: P = F ■ kd.

m • E • «/min S • P

Bei gleicher Tragfähigkeit gegen Druck und Knicken wird:

m • E • «/min

Die Tragfähigkeit für Knicken wird: P =

Fkd =

s-P

i² =

m-E• «/min

s-kd-F

m • E • «/min s • kd- E

Vielfach bildet man zur besseren Beurteilung des Falles das Ver-

--4

hältnis der kleinsten Querschnittsabmessung im gefährdetsten Quer- mpa schnitt zu der Stablänge.    ÆJi

Aufgabe 80: Bei einem hölzernen Ständer soll das Verhältnis a der Seite des quadratischen Querschnitts zur Stablänge bestimmt Abb' ²⁰⁷' werden, bei welchem eine gleiche Tragfähigkeit gegen Druck wie gegen Knicken vorhanden ist. (Abb. 207.)

Lösung: Nach Obigem wird:

Ttl ■ E ■ «/min

F-kd.

Es ist hier: F = a²; kd = 100 kg ; m = 10; s=10; £= 110000

qcm

a²- 100

kg .

qcm ’

J min =

a*

12'

10-110000 a4 10^ P 12 110000 12 • 100 l- = 91,6a2 l = ]/9l,6 • a i = 9,6 • a.

Ist />>9,6a, so ist die Stütze auf Knicken zu rechnen.

Ist /<9,6a, so ist die Stütze auf Druck zu untersuchen.

In ähnlicher Weise lassen sich für die gebräuchlichsten Querschnitte die Verhältniszahlen — entwickeln.

Es wird:

a-P —

■a⁴

UaBsch47: Schau, Statik II. 3. Aufi.

¹

ie Wandstärke erhält man zu

VII. Anhang.

Es sollen hier noch einige Angaben gemacht werden, die im allgemeinen über den Rahmen des Leitfadens hinausgehen, die aber für die Praxis von Bedeutung sind.

A. Bestimmung des Trägheitsmomentes auf zeichnerischem Wege (nach Culmann).

Dies Verfahren kommt dann hauptsächlich in Frage, wenn die Querschnitte unregelmäßige Form haben.

Man teilt den zu untersuchenden Querschnitt durch gleichlaufend zur gegebenen Achse gezogene Gerade in Streifen von geringer Breite, so daß der Schwerpunkt jedes Streifens für praktische Fälle genau genug entweder in halber Höhe als Schwerpunkt eines Rechtecks oder als Schwerpunkt eines Trapezes ermittelt werden kann. (Abb. 208 a.)

Das Trägheitsmoment hat nach S. 56 den Wert:

J=

f - x²

oder:

J = fl- V + U ■ V + U**3* + •••/■„■ *„*.

(Unter Hinweis auf Abb. 208 a wird hier genügend genau:

J — f\' xi² + f₂ • x₂“ + f₃ ■ x₃ + f± • *4".)

Man kann diesen Ausdruck auch schreiben:

J = ftxt ■ x₁ -f- f,x₂ • x.₂+ f₃x₃ • *₃ + hxL ■ H----fnxn ■ xn.

Die Größen f - x (also fx - xi und f₂- x₂ usf.) stellen das statische Moment der Teilflächen auf die Achse P—P dar. Diese Momente lassen sich zeichnerisch ermitteln. (Teil I S. 42 u. fgd.)

Setzt man ft- xt= M₁; f₂ • x₂ = M₂; f₃ • x₃ = Mä usf., so wird:

J —    • Xj T M₂ • x₂ 4“ M₃ x₃ -p • • * T Mn • xn.

Ń

Nimmt man nun diese statischen Momente M = f • x als Kräfte an, die in den betreffenden zugehörigen Teilschwerpunkten der Fläche wirken, so kann man die Größen M ■ x = fx ■ x wiederum als statische Momente dieser Kräfte M = fx ansehen und, genau so wie vorher, für diese Kräfte das statische Moment bestimmen.

Jedes dieser statischen Momente M■ x — fx- x — f- x² stellt das Trägheitsmoment des betreffenden Flächenteilchens für die angenommene Achse, also den Beitrag des Flächenteilchens zum Gesamträgheitsmoment dar.

Das Gesamtträgheitsmoment kann daher als statisches Moment aufgefaßt und auch als solches zeichnerisch bestimmt werden.

Lösung. Man trägt die zu untersuchende Fläche in einem bestimmten Maßstabe auf, Abb. 208 a (z. B. 1 : 10), und bestimmt die Größe der Teilflächen Fj, Fo, F₃ usf. (hier Fx bis F₄).

Abb. 208a.

Abb. 208d.

Abb. 208 c.

als Trapeze angesehen werden.) Man zeichne nun die Polfigur und zieht zu ihr das entsprechende Seileck. (Abb. 208 c.) Das statische Moment für die Achse erhält man nach Teill S. 42u.fgd. dadurch, daß man die äußeren Seitenstrahlen s₀ und s₄ mit der Achse zum Schnitt bringt (also mit der Gleichlaufenden zur Mittelkraft). Die Beiträge der einzelnen Teilflächen ergeben sich als die Strecken CD (Beitrag Fi • x von FJ, DE (Beitrag von F₂), EF (Beitrag von F₃), FG (Beitrag von F₄).

Das gesamte statische Moment für die Achse P—P = Hi - CG.

(CG ist im Kräftemaßstab zu messen, man erhält es also in qcm; ist im Längenmaßstab einzusetzen, man erhält demnach qcm • cm = cm³).

Die einzelnen Beiträge der Teilflächen, also die erwähnten Strecken CD, DÉ, EF und FG betrachtet man nun wieder als in den zugehörigen Schwerpunkten wirkende Kräfte. Man wählt eine neue Polweite fi₂ (z. B. H₂ = 25 cm), welche wiederum im Längenmaßstabe (hier z. B. 1 : 10) aufzutragen ist und zeichnet die Polfigur. Zu der so entstandenen neuen Polfigur mit dem Pol 02 (Abb. 208 c) zeichnet man das zugehörige Seileck (Abb. 208 d) und verlängere die Seilstrahlen bis zur Achse P—P.

Die Beiträge der von den einzelnen Teilstrecken CD, DE, EF und FG herrührenden, angenommenen Kräfte f-x ergeben sich als Strecke CD' (Beitrag von CD = Fjq; also C D'=    • xt = Ft • q²), ferner D'E' (Bei

trag von DE = F₂q; also D' E' = F₂x₂ ■ x₂ = F₂ ■ x²), dann E'F' (Beitrag von EF = F₃ • q; demnach E'F' = F₃x₃ • xä = F₃ • xz²) und F'G' (Beitrag von FG = F₄q; demnach F'G' = F₄q- q = F₄• q²). Der gesamte Beitrag ist demnach = C G' und C G ist somit ein Maß des Trägheitsmoments der Gesamtfläche in bezug auf die Achse.

4CD0₃~ I'C'D'.

Diese Flächenteilchen nimmt man als Kräfte in dem betreffenden Flächenteilschwerpunkte wirkend an, gleichlaufend zur Achse P— P, wählt einen Kräftemaßstab (z. B. 1 cm = 200 qcm) und reiht die Kräfte aneinander (Abb. 208 b). Man nimmt einen Polabstand an (z. B.

//₄ = 15 cm), welcher in dem gewählten Längenmaßstabe (z. B. 1:10) aufzutragen ist. (Die einzelnen Teilflächen können genügend genau

Abb. 208b.

Ps

Al

l t{2_4?    3\4

S?\ V Si,

*V\ \ \    / X

ui

4>o

Al

-Al

o,

Al

X.

...

q ?7

: ■

- k-X_

p r

'-ft

Ai

D’

E' F^G‘

t \

\E '

L!    / r    \r.

f\ 4 *1? TtiF

2/7

ArtP

Es ist nun:

CD • //₄ = Ft ■ Xi (Momentensatz Teil I S. 40). CD =

Es ist:

Ffx i

₌ EXl Ft- x² = CD' ■ H, • H

Daher ist:

CD' CD

xi

H,

C'D' =

CD-

*1 .

CD'

Ebenso erhält man:

Es ist demnach:

•*₂² =/)'£'• ■ x² = E'F'-    •

• x± = F'G' •    •

J = 2 f • x² = F₁- *r + F₂• *₂² + F₃ • *₃² + F₄- x₄2 J = FI₁H₂- (C'D' + D'E'+E'F'/F'G')

J = Ht- H₂- C'G'.

Das Trägheitsmoment der Fläche F für die Achse P—P ist also gleich dem durch die äußersten Seiten des Seilecks I' IF III' IV' auf den Achsen abgeschnittenen Stück C G' multipliziert mit dem Produkte der Polabstände //x und H₂.

Abb. 209 b.

34

= 10 an

xt

² /S₃

ko

Si

/p

*S3

s±

Abb. 209 a.

C Schwerachse

/PW

\    s'* \ r

//= 15 cm

Abb. 209 d.

Abb. 209 c.

Es wird H, und H.₂ im Längenmaßstab, C G' im Flächenmaßstab gemessen. Hier wird J = H/m) • 10H/m) • 10 • C'D'(cm2) • 200.

Demnach erhält man J in cm⁴.

Für Hl und H₂ wählt man zweckmäßig runde Zahlen. Im allgemeinen müssen . von den 3 Größen Hlf H₂ und C G' zwei im Längenmaßstabe und eine im Flächenmaßstabe gemessen werden.

Wird nun die bislang beliebig angenommene Achse P—P eine Schwerachse (Abb. 209 a—d), so bleibt die zeichnerische Untersuchung die gleiche. Da JEf • x für die Schwerachse nach früherem = 0 wird, so fällt C mit G

zusammen. Die Schwerachse erhält man bekanntlich dadurch, daß man die äußersten Seilstrahlen s₀ und sn (hier s₄) zum Schnitt bringt und durch den Schnittpunkt eine Gleichlaufende zur Kraftrichtung zieht.

Wird nun der zweite Pol 0₂ angenommen, so fällt nach Zeichnung der Polfigur der letzte und erste Polstrahl (also S/ und S₀') zusammen. Als zweites Seileck erhält man /', II', III', IV'. Man muß bei Zeichnung desselben genau darauf achten, daß die zu den Polstrahlen S₀', S/ usf. gleichlaufenden Seilstrahlen sQ', s/ usf. in richtiger Reihenfolge aneinander getragen werden.

Es wird J= C'G' ■ H₁- H₂.

B. Berechnung auf Knicken beanspruchter Stäbe nach dem Tetmajerschen Verfahren.

t. Allgemeines.

, das unterhalb der Proportionalitätsgrenze durch den in der Euler-

Die Eulersche Formel hat bei druckbeanspruchten Bauteilen nur so lange Gültigkeit, als die Knickspannungen innerhalb der Proportionalitätsgrenze verbleiben. Wird diese Grenze überschritten, so kann die Formel nicht mehr angewendet werden und muß durch andere ersetzt werden. Das Verhältnis Spannung Dehnung

gleichung enthaltenen Festwert E dargestellt wird, nimmt nämlich dann veränderliche Werte an.

Bei Baustoffen, für die auch bei kleineren Spannungen als der an der Propor-

tionalitätsgrenze das Verhältnis

veränderlich ist und durch einen Mittel-

Spannung Dehnung

wert ersetzt werden muß, stellt dementsprechend die Eulerformel überhaupt nur eine Näherungsgleichung dar.

heit

Bezeichnet man die durch die Knicklast Pk im Augenblick des Knickens hervorgebrachte Spannung mit Kk (Knickspannung), die bei s fâcher Sicherauftretende Spannung mit kh [== und die in diesem Falle durch die

/ PfA

Stütze aufnehmbare Last mit P 1 = — ), so wird

Außerdem ist nach Euler: P =

■

m- EJ sl*

(1)

(2)

Wird der Wert P aus der Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, so ergibt sich:

Man führe für

einen neuen Wert ein; man setze P = z'², also i= "]/    ;

die Größe z bezeichnet man als Trägheitshalbmesser für die Achse, auf welche das Trägheitsmoment J aufgestellt ist.

Die Gleichung erhält nun die folgende Form:

• i¹ 2

oder:

m ■ E / i \²

s '(TJ

Die Knickspannung wird:

Kh =

m ■ E

! l \2

(3 a)

Die Knickspannung ist somit abhängig vom Baustoff (£) und von der Gestaltung des Querschnitts^ . DieGleichung(3) kann als zweite Form der Eulergleichung bezeichnet werden.

Es wird ferner nach (3)

m-E s-kk'

Setzt man nun für die verschiedenen Baustoffe für kb die Werte an der Proportionalitätsgrenze ein, sieht man also von einer Sicherheit ab, wobei

s == 1 wird, so erhält man für jeden Baustoff den Grenzwert ., von welchem ab die Eulersche Gleichung ihre Gültigkeit behält. Es wird dann:

-Vir-

kg-

Setzt man z. B. für Flußeisen die Proportionalitätsgrenze kh =*= 2000

10-2150 000

erhält man:

* so qcm^

=1

2000

= 104.

Tetmajer fand durch Versuche, die mit Vollstäben ausgeführt waren:

= 105.

Für Gußeisen erhält man, da E= 1000000 ist und die Proportionalitäts-

kg-

grenze bei 1600 ö

qcm

liegt: l

_ i 1000000 _

: 1600 ~~

79.

Wird das Verhältnis der Knicklänge l zum Trägheitshalbmesser i des Querschnitts kleiner als die angegebenen Werte, so darf die Eulersche Formel nicht mehr angewendet werden. Es muß daher eine andere Formel benutzt werden. Die M. B. B. setzen daher fest: Überschreitet bei druckbeanspruchten Bauteilen die nach der Eulergleichung sich ergebende Knickspannung wesentlich die Proportionalitätsgrenze, so ist eine Nachprüfung der Knicksicherheit nach einem andern Verfahren zu-empfehlen und in wichtigen FqJ[len unter Umständen zu verlangen.

Tetmajer hat auf Grund vieler Versuche folgende Berechnungsweise für diese Fälle aufgestellt.

Er führt eine Vermittlungszahl (Abminderungszahl) der Knickfestigkeit ein und bezeichnet diese mit cc.

Ist Kk die Knickfestigkeit (d. i. die unter der Bruchlast PB = PK im Querschnitt der Stütze auftretende durchschnittliche Spannung) und Kd die Druckfestigkeit des Baustoffs, so wird:

Kk

a V

Bedeutet kh die zulässige Knickspannung und kd die zulässige Druckspannung, so wird bei gleichgewählter Sicherheit s:

Kd

und kd —

demnach auch:

und kk = a • kd.

In den Fällen der Praxis ist kd gegeben, ebenso s; P ist sodann entweder nach der Eulerschen Formel oder nach Tetmajer zu berechnen. Man muß durch Probieren dem Querschnitt solche Abmessungen geben, daß die zulässigen Spannungsgrenzen nicht überschritten werden.

Die Knickfestigkeit (Bruchfestigkeit gegen Knicken) ist nach Tetmajers Ver-abhängig und wird wie folgt bestimmt:

suchen vom Verhältnis

kd

Diese Tetmajerschen Formeln gelten also nur für solche Stützen, deren Zerstörung beim Bruche unter s fâcher Last infolge Zerdrückens oder Abscherung eintreten würde. Stützen, deren Bruch unter s fâcher Größe der Last durch Zerknicken erfolgen würde, sind also wie bisher nach der Eulerschen Formel zu rechnen. Hierbei geht Formel (3) S. 134 für den Bruchzustand über in:

S. 134.

s    Kh = m*E-'[y) vgl. (3a)

Der Grenzfall, für den die Gefahr des Zerknickens und Zerdrückens gleich groß ist, kann man erhalten durch Gleichsetzung der in den Gleichungen (4) und (3a) genommenen Werte Kk für denselben Baustoff. Man erhält dann die

gleichen Werte für -j- wie auf S. 134 angegeben.

Der Trägheitshalbmesser i = "j/-y ist für jeden Querschnitt eines Stabes

eine feststehende Größe. Zu jedem Querschnitt gehört daher eine ganz bestimmte Grenzlänge Z₀, z. B. bei Flußeisen Z₀ = 105/, oberhalb derer die Eulergleichung und unterhalb welcher die Tetmajergleichung für die Abmessungsbestimmung anzuwenden ist.

Für y > 105 (oder Z> /₀), also im Bereiche der Eulergleichung erhält man das erforderliche Trägheitsmoment bei einer freien Knicklänge Z, bei sfacher

aus der Gleichung (2)

Sicherheit (Pk = s ■ P) und mit E — 2100000 S. 133 mit m — n² zu:

kg

cm

s P £•«

= 0,48 • s-P-E .    •

■ (5)

wo P in t und Z in m einzusetzen ist.

Für y <105 (also Z<Z₀) wird dagegen eine Querschnittsfläche nötig, die nach Tetmajer sich ergibt zu:

(6)

2

—r cnr

F= s •

3,10 — 0,0114

wo P in t einzuführen ist.

In Gleichung (6) ist außer F noch der Trägheitshalbmesser / unbekannt.. Für benachbarte Profilnummern schwankt jedoch der Wert für i verhältnismäßig wenig. Es genügt, wenn i annähernd genau geschätzt wird, um eine zutreffende Querschnittsfläche zu erhalten. Bei einer weiteren Rechnung mit einem verbesserten / kann F mit vollkommen ausreichender Genauigkeit festgelegt werden.

Ist, wie in den meisten Fällen, die freie Knicklänge Z und die Nutzdruckkraft P gegeben, der Sicherheitsgrad 5 vorgeschrieben, so ermittelt man nach Gleichung (5) am besten einen entsprechenden Querschnitt und prüft, ob dessen Grenzlänge Z₀ kleiner oder größer als die freie Knicklänge Z ist. Für Z₀ < Z ist die nach (5) ausgeführte Rechnung zutreffend; für Z₀>Z muß der Querschnitt nach Gleichung (6) berechnet werden.

Durch die Einführung der Abminderungsziffer a =    , die für jedes Schlank

heitsverhältnis

festgelegt werden kann, ergibt sich eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung, da die Berechnung des Stabes lediglich auf Druck

p

erfolgt (Aufgabe 82 S. 138) und Gleichung (6) in die Form übergeht: F = k wobei kk = a ■ kd zu setzen ist.

/    Kh

Für verschiedene Werte von y ist die Abminderungsziffer berechnet

worden; dieErgebnisse sind auszugsweise innachstehenderTabelleangegeben. (Vgl. Tetmajer. Angewandte Elastizität und Festigkeitslehre 1905.)

Hat der zur Verwendung gelangende Baustoff eine andere Druckfestigkeit wie oben angegeben, so muß eine besondere Berechnung von a erfolgen.

Tabelle für die Vermittlungsziffer a.

Baustoff

15

20

30    40

50

60

70

80

90    100

120

Holz (Nadelholz) a =

0,94310,907 j0,839!0,77110,700j0,63210,561 !0,493J 0,421 !0,353| 0,24&

Gußeisen

Schweißeisen cc =

Flußeisen

cc —

Flußstahl

<x =

0,760 0,697 0,580 0,476 0,386 0,309 0,245 0,194 0,152 0,123 0,086

0,810 0,791 ]0,754*0,717 0,680|0,643 0,606 0,569 0,531 0,494j 0,457

____I__j_1    _I 1_\_I_I ' 1_

0,771 |o,756 0,726 0,696 0,666 0,636 0,606 0,576 0,546 0,516 0,383

I__I_I_I_1 I_I_I_|_I_I__

0,543. 0,538 0,527 0,517 0,507 0,496 0,486j0,476 0,457 0,370 0,257

Die Beziehungen sind für den Fall entwickelt, daß der Stab an seinen beiden Enden gelenkartig angeschlossen ist, also für den Einspannungsfall /; m = 10. Bei anderen Fällen ist eine Abänderung auf Grund der Befestigungsart vorzunehmen.

2. Anwendungen.

Aufgabe 81: Welche Belastung kann ein 4,00 m langer Pfosten aus Kiefernholz tragen, sofern quadratischer Querschnitt 20/20 cm angenommen und mit 5fâcher Sicherheit nach Euler gerechnet wird?

0⁴

Gegeben: J = — = 13333 cm⁴; / = 400; £= 110000;

m • E ■ Jmin S • I³

10- 110000- 13333 5 • 400 - 400

b) Nach Tetmajer: J — 13333 cm⁴; F = 20 • 20 = 400 qcm;

J _ 13333 F 40<r

CM

s = 5;

m= 10.

a) Nach Euler: Es ist P =

= 18332 kg.

= 33,4 cm*.

i = ]/ JF = V33,4 = 5,86 cm.

= rd. 58.

Z _ 400 i — 5,86

(Die Eulersche Gleichung hat also keine Gültigkeit [S. 134.1) Für diesen Wert ergibt sich aus der Tabelle:

a = 0,65; a

₌ *ft .

kg⁻

die Bruchbelastung für Nadelholz ist nach Tetmajer Kk = 280    ⁸

Bei 5fâcher Sicherheit ist die zulässige Beanspruchung auf reinen Druck daher:

qcm

angenommen.

280

₅ - = 56 kg.

kh=a kd^= 0,65 • 56 = 36,4 kg.

Die Kraft, welche übertragen werden' kann, ist somit:

p = F kk = 400-36,4= 14550 kg.

Die Eulersche Formel hat also keine Gültigkeit, sie liefert einen zu großen Wert für die Tragfähigkeit.

Nimmt man s = 10 wie dies früher auf S. 116 angegeben ist, so würde nach Euler P = 9166 kg werden, während nach Tetmajer P nur 7160 kg sein darf.

Aufgabe 82: Welche Abmessung erhält ein hölzerner Pfosten von 4,20 m Länge, sofern auf ihn eine Kraft P= 20000 kg in seiner Längsachse wirkt?

kg . qcm ’

Es wird also:

Lösung: a) Nach Tetmajer beträgt: Kd — 280

bei lOfacher Sicherheit wird demnach:

280

kd = y₀- = 28 kg.

= 45; man erhält aus der Tabelle a =0,736.

Man nimmt probeweise an Die zulässige Knickspannung kk beträgt somit:

kk = a ■ kd = 0,736 • 28 = 20,6 kg. Der erforderliche Pfostenquerschnitt wird daher:

20000 20,9

Bei quadratischem Querschnitt mit der Seite x wird:

x- = F

= 970 qcm.

x² = 970

x — ]/970 = rd. 32 cm.

Nun hat die Prüfung zu erfolgen, ob das wirkliche Schlankheitsverhältnis dem angenommenen übereinstimmt.

mit

Man erhält: J =    • 32⁴ = 87381 cm⁴; F = 32 • 32 = 1024 qcm ;

-Vt-V

= rd. 9 cm.

87381

1024

420

i--9

- 46,5.

Dieser Wert stimmt mit dem angenommenen genügend genau überein. Der Pfosten wird 32 • 32 cm stark gewählt.

s PP s m ÊT ’

b) Nach Euler ist: Jmin =

»/min

10 • 20000 ■ 420 • 420

10- 110000

32073 cm⁴.

Für quadratischen Querschnitt wird:

»/min —

a⁴

12

a⁴

= 32073

a =ÿ]/Ï2 32073 = 25 Die Berechnung nach der Eulerschen Formel gibt also zu geringe Werte:

32 073 25 ■ 25

cm.

Vi-y

— 7,17.

= 58,5.

/    420

7,17

Da = 58,5 < 100 (S. 134), so behält die Eulersche Gleichung nicht ihre Gültigkeit.

J = 2 ■ 1166= 2332 cm4 F = 2 • 25,2 = 50,4 qcm

Aufgabe 83: Es soll untersucht werden, ob die auf Seite 124 u. fgd. berechnete Stütze aus zwei J_-Eisen auch den nach Tetmajer zu stellenden Anforderungen genügt.

Lösung: Es ist vorhanden:

=Vt=V

2332

50,4

= }/46,3 = 6,8.

2__500

i ~ 6,8

Aus der Tabelle S. 137 folgt somit a = 0,591.

Es ergibt sich eine zulässige Knickbeanspruchung:

kh = 0,591- 1200 = 710 kg.

1 = 500 cm; demnach:

= 74

also

< 105).

Die Knicklast darf also nur betragen:

P = F- kh = 50,4 -710 = 35800 kg Die Stütze ist also zu schwach. Es ist erforderlich:

= 56,4 qcm.

P_ 40000

F-kh—Tier

Für ein j_- Eisen, wird also nötig

F 56,4

= 28,2 qcm.

Es werden also gewählt zwei j_- Träger N. P. Nr. 19 mit

F — 2 • 30,5 = 61 qcm.

3. Berechnung gegliederter Stäbe.

Die Entwicklung der Tetmajerschen Formel gründet sich nur auf Untersuchung vollwandiger Stäbe. Für gegliederte Stäbe gibt folgendes Verfahren günstige Ergebnisse.

< 105 in Tonnen:

Die Knicklast nach Tetmajer beträgt für Stäbe mit einem Schlankheitsverhältnis

• • (1)

Pk = f(3,l- 0,0114 ')• •    ■

Bei dieser Belastung ist der Knickwiderstand des Stabes erschöpft. Dieser Zustand wird eintreten, wenn in der meist gepreßten Faser des Stabes, bei mehrteiligem Stabquerschnitt in der eines Einzelstabes, die Quetschgrenze (hier = 3100 kg = 3,1 t) erreicht ist.

Nach obigem stellt der zweite Teil des Klammerausdrucks die Abminderung der durchschnittlichen Stabspannung infolge der seitlichen Ausbiegung der Stabachse dar. Bei gegliederten Stäben ist zu beachten, daß der Einzelstab selbst ein Knickstab an der Länge lx und mit dem kleinsten Trägheitshalbmesser ist. Daher findet für diesen schon eine Herabminderung der Stabspannung statt und zwar wird dann für ihn:

• • (2)

3,1 -0,00114 ll- •

Die Knicklast, die den Gesamtstab zum Ausknicken bringt, wird daher um — kleiner sein als wie in Gl. (1) angenommen,

(3,1 - 0,0114 4-)

3,1

Pk =

oder unter Einsetzung des Wertes

so daß also

3,1

wird

• (3,1 - 0,0114 |) (3,1 -0,0114 ')• •    •    (3)

Durch Ausmultiplizieren und Vernachlässigen des kleinen Produktwerles der zweiten Glieder der Klammerausdrücke wird

Ph “ F [s.l — 0,0114 (4 + 4-)]

Gl. (4) gibt etwas sichere Abmessungen, Gl. (3) die genaueren. Da Formel (4) den Aufbau der Tetmajerschen Formel besitzt, kann genau wie oben

p.

verfahren werden; der Klammerausdruck stellt Kk vor. F = Die Abmessungen sind zunächst zu schätzen und 4 und k- zu bestimmen. Näheres s. Eisenbau 1920, S. 398.

Pk-

(4)

C. Belastungsangaben.

Wenn nicht besondere Nachweise geführt werden, sind die folgenden Eigengewichte und Beanspruchungen maßgebend auf Grund der ministeriellen Vorschriften vom 24. Dezember 1919, sowie vom 31. Januar 1910 bzw. 1. Dezember 1912.x)

1. Eigengewichte der gebräuchlichen Baustoffe und Baukörper sowie einiger Füll- und Lagerstoffe.

Gegenstand

Gewichtsgrenzen

kg cbm

Durch

schnitts

gewicht

kg/cbm

00

a) Füllstoffe (in geschüttetem Zustand)

Erde, Sand, Lehm, naß

trocken .

11 11 11 Hieß, naß . . .

„ trocken. .

Koksasche . . .

Kesselschlacke .

Hochofenschlacke a) Stückschlacke

in der Körnung von Eisenbahnschotter ß) Granulierter Schlackensand . . . . Bimssteinsand............

1700-2500 1400-1800 1900-2100 1500-1900 600— 850 700—1000

1200—1600 500—1400 400— 900

2100

1600

2000

1700

750

1000

1400

1000

700

b) Werkstücke und Mauerwerk aus natürlichen Steinen.

O    CM CO    >0

l-H ł-H ł-H ł—<    <

Granit, Syenit, Porphyr Basalt........

Basaltlava, ziemlich dicht porig . . . .

t\3 i—¹    ‘

O sO 00

»1

Marmor

Kalkstein, dicht............

» porig...........

Sandstein (schwerere Grauwacke und

Kohlensandstein)..........

Sonstige Sandsteine..........

Tuffstein, Porphyr und dichter Kalktuff . Bimsstein, Leuzit und lockerer Kalktuff . Schiefer*................

2700-3000

2700—3300

1800—3000

1500—2000

2600—2900

1900—2700

1500—2200

2500—2800

2000-2600

1600-2200

1200—1500

2000—2800

2800

3000

2800

1800

2700

2500

2000

2700

2400

2000

1400

2700

c) Mauerwerk aus künstlichen Steinen und zwar aus:

CM

Klinkern.......

Hartbrandsteinen . . . Hintermauerungssteinen* porigen Ziegeln . . . .

Lochziegeln......

; porigen Lochziegeln . .

1800—2000 1700—1900 1500 — 1900 1000—1200 1250—1300 900-1100

1900

1800³ 4)

1800

1100

1300

1000

e) Beton aus:⁵ 6)

1800-2400

1500—2000

1200—1900

1450—1750

1800—2400

5555

Nr.

Gegenstand

Gewichtsgrenzen

kg/cbm

Durch

schnitts

gewicht

kg/cbm

27    Schwemmsteinen

28    Korksteinen . .

29    Kalksandsteinen.

30    Kunstsandsteinen

900—1100 500— 700 1700—1900 2000-2200

1000

600

1800

2100

d) Mörtel.

2000—2300

1800-2000

1650—1800

1900—2100

900-1000

2100

1900

1700

2000

1000

36    Kies, Granitschotter u. dgl. . .

37    Ziegelschotter........

38    Kohlenschlacke mit Sandzusatz .

39    Bimskies mit Sandzusatz . .

40    Hochofenschlacke.......

f) Bauhölzer, baureif.⁷)

41    |j Kiefer (Föhre) ....

42    Fichte (Rottanne) . . .

43    Tanne (Weißtanne) . .

44    Lärche.......

45    Pechkiefer (Pitchpine).

46    , Gelbkiefer (Yellowpine)

47    Eiche........

48    Buche ........

49    jj Australische Harthölzer

555

650

o o o o O' oo

900

800

1100

g) Metalle.

54    Blei ....

7250

7800

7850

55

56

57

58

59

60

Kupfer, gewalzt Bronze ... Zink, gegossen Zink, gewalzt. Zinn, gewalzt. Messing. . . .

11300—11450

8800—9000

7500-8900

6850—7000

7150—7200

7200-7500

8400—8700

7860

11400

8900

8600

6900

7200

7400

8600

h) Lagerstoffe.

61

62

63

a) Brennstoffe Braunkohle . . . Holz in Scheiten Kohle (Steinkohle)

700-800

330—420

800-950

o -J O O O»

o o o

= 80.

bei Gußeisen für

> 105,

> 90.

(4)

werte in

qcm

Nr.

Gegenstand

Gewichtsgrenzen

kg/cbm

Durch

schnitts

gewicht

kg/cbm

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

Koks

a)    Zechenkoks .....

b)    Gaskoks.......

Preßkohlen.......

(5) Feldfrüchte

Gerste.........

Gras und Klee.....

Hafer..........

HeuJ) . ........

Heu, gepreßt......

Kartoffeln........

Malz..........

Malzkeime.......

Obst..........

Roggen.........

Rüben .........

Stroh J).........

Weizen.........

y) Verschiedene Lagerstoffe

Aktengerüste und Schränke in Registraturen,Büchereien, Archiven usw.s)

Asche ..............

Hausmüll.............

380-530

360-470

750-1250

O 4^

O Ol o o o o

690

•350

550

70

280

750

530

CiOUM

ai oo cn o o oo o

45

760

500

900

660

83

84

85

Kaffee . . Mehl (lose) Papier . .

Salz

700

500

1100

86

1250

87

88

89

Torfstreu . . . Wolle .... Zement

a)    lose . . .

b)    eingerüttelt Zucker ....

230

1300

1400

2000

750

2. Eigengewichte von Bauteilen.

Nr.

Gegenstand

Gewicht

kg/qm

Bemerkungen

a) Holzbalkendecken.

Balken 24/26 cm stark, bei 1 m Entfernung

(von Mitte zu Mitte)...........

Bei einer Verminderung der Entfernung um

je 5 cm mehr je.............

Balken (Halbholzbalken) 12/26 cm stark, bei 0,80 m Entfernung (von Mitte zu Mitte) . . Bei einer Verminderung der Entfernung um

je 5 cm mehr je.............

Lagerhölzer 10/10 cm stark, bei 1 m Entfernung

(von Mitte zu Mitte)...........

Bei einer Verminderung der Entfernung um je 5 cm mehr je.............

Die Zahlen gelten für ein Holzgewicht von 650kg/cbm, entsprechend dem Durchschnittsgewicht lufttrockenen Kiefernholzes.

1) Bei einer Packhöhe bis zu etwa 3,0 m.

2) Einschließlich der Hohlräume.

Nr.

Gegenstand

Gewicht

kg/qm

Bemerkungen

Kieferner Bretterfußboden bzw. Schalung 2,0 cm stark.............

2.5    cm „    ..............

3,0 cm „    ..............

3.5    cm „    ..............

6,0 cm „    ..............

Gestreckter Windelboden aus Schleetstangen 7 cm Durchmesser (25 kg) Lehm und Stroh

dazu (160 kg)..............

Stülpdecke aus 3 cm starken Brettern mit 8 bis 11 cm starkem Lehmschlag mit Stroh . . . Halber Windelboden bei 1 m Balkenentfernung

Stakhölzer, 3 cm stark..........

Latten 4/6 cm stark...........

Lehmschlag 11 cm stark einschl. Stroh . . Ganzer Windelboden, desgl.

Stakhölzer, 4 cm stark ..........

Latten 4/6 cm stark...........

Lehmschlag (ausschl. Stakhölzer) 26 cm stark Rohrung und Putz.............

41

16

20

23

40

185

168

13

134

16

274

20

10

11

12

13

14

b) Gewölbte Decken.

(Preußische Kappen bis 2 m' Spannweite, ohne Trägergewicht).

I V* Stein stark aus Ziegeln einschl. Hintermauerung ............. . . .

1 Stein stark wie vor...........

V₈ Stein stark aus Lochziegeln...... .

% Stein stark aus Schwemmsteinen oder porigen Lochziegeln............

Decken aus Rabitz in Gewölbeform 5 cm stark (in der Grundfläche gemessen) bei Verwendung leichter Zuschlagstoffe.......

Für jedes cm Mehrstärke.........

275

540

200

Zu 15: Für Verstärkungen an den Auflagern durch Kehlen oder Schrägen ist das Gewicht mit einem Ei-gengewichtvon 2200 kg für das cbm in jedem Fallebesonders zu ermitteln.

155

100

20

15

16

17

18

19

20

c) Ebene Stein- und Betondecken (ohne Trägergewicht).

Für alle hier nicht besonders aufgeführten Deckenarten ist das Gewicht nachzuweisen.

10 cm starke Betondecke einschl. Eiseneinlagen

Ebene Steindecken ohne Eisen (Bauart Kleine und ähnliche) und zwar:

10 cm starke Decke ohne Eisen aus porigen

Lochziegeln in Zementmörtel.......

12 cm starke Decke wie vor........

12 cm starke Decke aus Vollsteinen ....

Ebene Steindecken mit Eisen (Bauart Kleine und ähnliche) und zwar:

12 cm starke Decke aus Schwemmsteinen in

Zementmörtel einschl. Eisen........

12 cm starke Decke aus vollen Hartbrandziegeln in Zementmörtel einschl. Eisen ....

240

125

150

220

125

Zu 16: Lochziegelnmit kopfseitig offenen Hohlräumen ist das Eigengewicht lOv.H. höher anzunehmen, wenn eine Gewichtsver-mehrungdurch einlaufenden Mörtel zu erwarten ist.

Beigestelzten Decken ist dasGewichtder Kiesbetonstel-zung in jedem Fallebesonders zu ermitteln.

Bei

Zu 20: Vgl. Anmerkung zu Ziffer 16.

Nr.

Gegenstand

Gewicht

kg/qm

Bemerkungen

»—< CM CO in    O h- GO

CM CM CM CM CM    CMCMCM

10 cm starke Decke aus porigen Lochziegeln

in Zementmörtel, einschl. Eisen......

Desgl. 12 cm stark............

}} >» ............

>> 18 „ „ ............

r> 20    „    ,,    ............

Stegzementdielen mit Eisen, und zwar:

5 cm starke Stegzementdielen.......

8 cm 10 cm

yy

yy

130

156

195

234

260

90

120

yy

yy

155

Nur für Dächer undunbelastete Decken zulässig

O' O *—• CM CO CM CO CO CO CO

d) Deckenfüllstoffe.

ln    1    cm Auffüllung mit    Sand........

»)    1    »    »»    »    Lehm.......

„    1    „    „    „    Koksasche .....

„    1    „    „    „    Kesselschlacke    .    .    . j

„    1    „    „    „    Kesselschlackenbeton

mit Sandzusatz, und zwar im Mischungsverhältnis 1:4:4 (1 Teil Zement, 4Teile Kesselschlacke, 4 Teile Sand)..........

16

16

10

m o h*

co co co co

CD

C/3

bD

CO CM

in o m O'' io" co~ cm

CT' CLt 4— OJ l\D c—■ O O GO

e) Estriche und Fußbodenbeläge, aus:

1 cm Zement oder Zementfliesen.....

1 „ Gips...............

1 „ Terrazzo.............

1 „ Gußasphalt............

1 „ Tonfliesen............

1 „ Korkplatten (als Unterlage).....

1 „ Steinholzfußboden (Torgament) . . .

1 „ Xylolith.............

1 mm Linoleum.............

22

21

20

14

20

18

18

1,30

oioiaiaiau^^^

f) Putz und Drahtputz. Rohrdeckenputz einschl. Rohr . . . . je 1 cm Putz in Kalkmörtel . . .

in Kalkzementmörtel in Zementmörtel . . in Traßmörtel . . . in Gipsmörtel . . .

, 1 „ Rabitz- oder Drahtputz. .

, 1 „ Monier- oder Zementdrahtputz

20

17

19

21

20

10

15

24

lO

m

g) D ä c h e r.

Einfaches Ziegeldach aus Biberschwänzen von Normalform, einschl. Lattung und Sparren

(Spließdach)...............

Dasselbe, aber böhmisch gedeckt in voller

Mörtelbettung..............

Doppeldach wie Nr. 55..........

Dasselbe, aber böhmisch gedeckt......

75

85

95

115

Zu 55: Für 1 qm geneigte Dachfläche ohne die Pfet-ten und Dachbinder, jedoch einschließlich der Sparren, die im allgemeinen in 1 m Abstand 12/16 cm stark angenommen sind.

UaBsch 47: Schau, Statik II. 3. Aufl.

10

Nr.

Gegenstand

Gewicht

kg/qm

Bemerkungen

» » Ol

►- o o

CM CO

^ Iß « b CO o\ \©    vQ v© VO VO

77

78

79

80

81

81“

81b

81c

81 d

81

81f

Kronendach wie Nr. 55..........

Dasselbe, aber böhmisch gedeckt.....

Pfannendach auf Lattung in böhmischer Dek-kung, einschl. Lattung und Sparren, bei Verwendung kleiner, sog. holländischer Pfannen Pfannendach wie vor, aber mit großen Pfannen Pfannendach wie vor, aber auf Stülpschalung einschl. Schalung, Strecklatten, Dachlatten und Sparren (verschaltes Pfannendach). . . Falzziegeldach einschl. Lattung usw. wie

Nr. 55..................

Mönch- und Nonnendach einschl. Lattung usw.

wie Nr. 55................

Dasselbe, böhmisch gedeckt........

Englisches Schieferdach auf Lattung wie Nr. 55 Englisches Schieferdach auf Schalung einschl.

Schalung und Sparren..........j

Deutsches Schieferdach auf Schalung und Pappunterlage, einschl. Pappe, Schalung und Sparren (aus Steinen von rd. 35 cm Länge

und 25 cm Breite).............!

Deutsches Schieferdach wie vor (aus kleineren Steinen von rd. 20 cm Länge und 15 cm Breite) j Zinkdach mit Leisteneindeckung, einschl. der Schalung, Sparren usw. (Zinkblech Nr. 13) . I Kupferdach, mit doppelter Falzung eingedeckt, [j einschl. wie vor (Kupferblech 0,6 mm stark) ' Wellblechdach aus verzinktem Eisenwellblech

auf Winkeleisen.............

Einfaches Teerpappdach einschl. Schalung

und Sparren...............

Doppelpappdach wie vor..........

Holzzementdach einschl. Schalung, Sparren und einer 7 cm starken Kiesschicht bei

14/18 cm Sparrenstärke.........

Leinwanddach (Weber-Falkenberg und ähnl.)

j; einschl. Lattung und Sparren ......

Schindeldach einschl. Lattung und Sparren . Rohrdach einschl. Lattung und Sparren . . . Strohdach einschl. Lattung und Sparren. . . Glasdach auf Sprosseneisen, einschl. der letzteren bei 4 mm starkem Glase......

Dasselbe bei 5 mm starkem Rohglas .... Dasselbe bei 5 mm starkem Drahtglas . . .

Dasselbe bei 6 mm Rohglas........

Dasselbe bei 6 mm Drahtglas.......

Für jedes Millimeter Mehrstärke des Glases

Mehrgewicht...............

Desgl. bei Verwendung von Drahtglas . . . Gewölbtes Dach aus Glasbausteinen (Bauweise Falconnier und ähnliche).........

105

130

00 00 Ol o

o\    o

Ol    ©

o in iß iß

O H    IO

u! Ut Ol ©    ©    © o<

Ol 00

IC

VO

¹

etmajer ermittelte:

²

Die Eulersche Gleichung behält ihre Gültigkeit für folgende Werte:

bei Holz für -4- > 100,

>80,

bei Schweißeisen für 4- > 112, bei Flußeisen für

bei mittelhartem Stahl für

³

   Angaben auf Grund der beiden letztgenannten Erlasse sind mit einem * versehen worden.

⁴

   Ist das Gewicht der Ziegelsteine normalen Formats nachweislich geringer als 3,3 kg, so kann das Gewicht des Mauerwerks entsprechend, jedoch nicht unter 1600 kg/cbm, herabgesetzt werden

⁵

   Die Baupolizei ist berechtigt, den genauen Gewichtsnachweis des Betons zu verlangen.

⁶

   Einschließlich Eisenanlagen bei Eisenbetonbauten, sofern nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird.

⁷

   Das Gewicht luftrocknen Holzes ist etwa um 50 kg/cbm geringer.

3. Belastungen.

a) Nutzlasten.

Für Werkstätten und Fabriken mit schwerem Betrieb, für stark belastete Lagerräume und dgl. ist die Nutzlast in jedem Einzelfalle zu ermitteln.

Für das Gewicht von geputzten Holzwänden, Gipsdielen- und Drahtputzwänden und ähnlichen Wandanordnungen kann statt eines genauen Nachweises der Wandgewichte ein Zuschlag zur gleichförmig^verteilten Deckennutzlast eingeführt werden. Dieser Zuschlag muß bei Wänden bis 6,5 cm Stärke mindestens 75 kg/qm, bei Wänden bis 13 cm Stärke mindestens 150 kg/qm betragen. Neben Nutzlasten, die nach Ziffer 5 zu 500 kg/qm anzunehmen sind, erübrigt sich ein solcher Zuschlag.

Im übrigen sind mindestens die nachfolgenden Belastungen zugrunde zu legen:

Nr.

Art der Nutzlast

kg/qm Bemerkungen

125 Die Gewichtsangaben unter 1 bis3 gel-200 ten,soweitdie Belastung-ausschließlich 350 ausMenschen, Möbeln, Geräten, unbeträchtlichen Warenmengen und dgl. besteht, ohne die in einzelnen Räumen etwa vorkommenden besonderen Belastungen durch Akten, Bücher, Warenvorräte, Maschinen, 500 Zwischenwände usw. Für Klein- u. Mittelhäuser gelten besondere baupolizeiliche Erleichterungen.

II

800

Für Dachbodenräume in Wohngebäuden......

Für Wohngebäude,

für Kontorhäuser und Dienstgebäude sowie für Läden mit weniger als 50 qm Grundfläche........

3.    Für Holztreppen in Klein- und Mittelhäusern, einschl.

der Podeste und der Zugänge, für Klassenzimmer in Schulen und für Hörsäle . . .

4.    Für Geschäftshäuser, Warenhäuser, Läden von mehr

als 50 qm Grundrißfläche,

Theater, Lichtspielhäuser, Versammlungsräume, Turnhallen, Tanzsäle, größere Gastwirtschaften, in Werkstätten und Fabriken mit leichterem Betrieb, in Schlächtereien, Bäckereien,

in Büchereien, Archiven und Aktenräumen (soweit nicht die Nutzlast auf Grund der Angaben unter 1. [Eigengewichte usw.] besonders nachgewiesen wird), in Kraftwagenschuppen, Großviehställen, für Fluren, die zu Unterrichts- und Versammlungs-j räumen führen, für Baikone,

p für Treppen, Treppenpodeste und Treppenzugänge jeglicher Art, mit Ausnahme der unter Ziffer 3 bezeich-neten,

für Decken unter nicht befahrbaren Höfen......

5.    Bei Berechnung der Abmessungen für Bauteile, die

die Lasten mehrerer Geschosse aufzunehmen haben (Stützen, Wandpfeiler, Grundmauern u. dgl.), ist eine Ermäßigung der in Ansatz zu bringenden Lasten in dem nachstehend angegebenen Umfange zulässig. Die Nutzlasten der Dachgeschosse und der beiden obersten den Bauteil belastenden Vollgeschosse sind mit dem vollen Betrage einzusetzen. Von der Nutzlast der folgenden Geschosse darf ein von Geschoß zu Geschoß um 20% bis zum Höchstbetrag von 80% wachsender Bruchteil in Abzug gebracht werden, so daß dafür der Reihe nach 80%, 60%, 40%, 20% der vollen Nutzlast in Rechnung zu stellen sind. — Für Speicher und Lagerräume sowie für Werkstätten und Fabriken mit schwerem Betrieb ist eine solche Ermäßigung der Belastungsannahmen nicht zulässig.

6.    Für Decken unter Durchfahrten und befahrbaren Höfen,

wenn nicht größere Einzellasten (Raddruck) zu berücksichtigen sind................

Nr.

Art der Nutzlast

kg qm Bemerkungen

7.

8.

Für Werkstätten und Fabriken mit schwerem Betrieb, sowie für Decken unter Durchfahrten und befahrbaren Höfen ist, wenn stoßweise Erschütterungen, z. B. durch Maschinen oder schwere Kraftwagen zu erwarten sind, auf Verlangen der Baupolizei die Belastungsziffer um 50 bis 100% zu erhöhen.

Für wagerechte oder bis Vso geneigte Dächer ist mit

einer Nutzlast von 250 — einschl. Wind-und Schnee-

qm

9.

druck zu rechnen, wenn zeitweiliger Aufenthalt von Menschen, z. B. zu Spiel-, Beobachtungs- und Erholungszwecken nicht ausgeschlossen ist.

Für alle Dächer ist in der Mitte der einzelnen Pfet-ten, Sparren oder Sprosseneisen, sofern die auf sie

kg-

wirkende Wind- und Schneelast weniger als 200 ö

qm

beträgt, unter Außerachtlassung dieses Schnee- und ! Winddruckes eine Nutzlast von 100 kg anzunehmen :    für Personen, die das Dach zu Reinigungs- oder

Wiederherstellungsarbeiten betreten. Ein gleiches gilt für die Dachhaut, soweit ein Betreten dieser überhaupt in Frage kommen kann.

10. Für Abschlußgeländer von Treppen und Baikonen eine in Holmhöhe nach außen wirkende Seitenkraft von j

kg

!    40 — • In Theatern, Lichtspielhäusern und Versamm

ln

lung-sräumen statt dessen eine Seitenkraft von 100 — s    m

kg.

Für Gewächshäuser, die der Aufzucht dienen und nicht zum Aufenthaltvon Menschen bestimmt sind, ist die Einführung der Schneelast u. der Einzellast von 100 kg nicht erforderlich.

b) Schneelast.

1.    Die Schneebelastung einer wagerechten Fläche ist mindestens zu 75 nehmen.

2.    Bei Dachflächen mit erheblicher Neigung kann die Schneelast, sofern nicht etwa einzelne Dachteile Schneesäcke bilden, geringer angenommen, bei einer Neigung von mehr als 45° ganz außer acht gelassen werden.

3.    Die auf 1 qm der wagerechten Projektion einer Dachfläche entfallende Schneelast S ist dabei mindestens nach Maßgabe der nachfolgenden Zusammenstellung zu bemessen, in der a den Neigungswinkel der Dachfläche gegen die Wagerechte bedeutet.

kg

qm

anzu-

a = 20° S = 75

25°    30°    35°    40°    45°    >45°

70

65

60

55

50

0k*.

qm

Zwischenwerte sind geradlinig einzuschalten.

4.    Die Möglichkeit einer Bildung von Schneesäcken ist zu prüfen und gegebenenfalls bei erheblichem Gewicht zu berücksichtigen.

5.    Die Möglichkeit einer vollen oder einer einseitigen Schneebelastung ist zu berücksichtigen.

6.    Bei Bauten im Gebirge ist die Schneelast den örtlichen Verhältnissen entsprechend höher anzunehmen.

7.    Wegen der bei Gewächshausbauten zu gewährenden Erleichterungen s. Bemerkung zu Ziffer 9 des Abschnittes 3. a.

c) Winddruck.

1.    Die Windrichtung kann im allgemeinen wagerecht angenommen werden.

2.    Bezeichnet w₀ den Winddruck auf 1 qm einer zur Windrichtung senkrechten ebenen Fläche F, so ist bei beliebigem Anfallswinkel a der auf F entfallende, senkrecht zu ihr wirkende Winddruck mit W — w₀ ■ F ■ sin² a in Rechnung zu stellen.

3.    Für w₀ gelten folgende Werte:

4.    ln Gegenden mit besonders großen Windstärken, namentlich an der Küste oder im Gebirge, sind die WinddruckzalHen um 25 bis 50% zu erhöhen.

Nr. Vom Winde getroffene Fläche

»o

kg/qm

Bemerkungen

i!

1.    Wandteile bis zu einer Höhe

von 15 m ........

2.    Wandteile in der Höhe von

15 bis 25 m und Dächer in weniger als 25 m Höhe

3.    Über 25 m hoch liegende

Wandteile und Dächer . .

4.    Eisengitterwerk, Holzgerüste

und Masten.......

5.    Für Schornsteine gelten

besondere Bestimmungen (vgl. Runderlaß vom 30. IV. 1902. Zentralblatt d. Bauverwaltung 1902, S. 297).

II

100

125

150

150

Zu 1. Bei Bauwerken in geschützter Lage kann der unter Nr. 1 angegebene Wert des Winddrucks dem dauernd vorhandenem Windschutz entsprechend ermäßigt wer-

kgf

den, iedoch nicht unter 75 — • qm

Zu 2. Bei Dachneigungen unter 25° genügt in der Regel unter Vernachlässigung der wagerechten Seitenkraft ein Zuschlag zur senkrechten Belastung.

Zu 4. Für Berechnung elektrischer Freileitungen sind die Normalien des Verbandes deutscher Elektrotechniker maßgebend. h Zu 5. Bei hohen Bauwerken mit || kleiner Grundfläche kann die sinngemäße Anwendung der unter Nr. 5 angeführten Bestimmungen verlangt werden.

5.    Gebäude, die durch Wände und Decken hinreichend ausgesteift sind, brauchen in der Regel nicht auf Winddruck untersucht zu werden.

6.    Bei offenen Hallen ist ein auf Dach und Wände von innen nach außen, bei freistehenden Dächern ein von unten nach oben wirkender Winddruck von 60 kg für 1 qm rechtwinklig getroffener Fläche zu berücksichtigen.

4. Mittelwerte der F estigkeitszahlen der Baustoffe in kg qcm (nach F ö r s t e r).

Nr. Metalle

Proportio-E = — in kg/qcm i nalitäts-a    grenze

Festigkeitsgrenze für Zug für Druck für Schub

1    Schweißeisen |

a)    i. d. Walzrichtung

b)    quer dagegen J

2    Flußeisen . .1

3    Flußstahl . .

Fließgrenze | maßgebend :j

2000000

1300-1600 3300- 4000 1800-2000!2600-3300 2800- 3500

weniger als bei a.

2150000

2200000

1800-2200

2500-5000

4    Stahlguß. . .

5    Nickelstahl.

6    Gußeisen . .

2150000

2000

3400- 4400 2000-2400 2900-3800 4500-10000    2800    4000

und mehr und mehr

2100000 1000000 ! (750 000-1050 000)

und mehr 3400

3500- 7000    2100

und mehr und mehr 5000- 7000

1200- 2400 7000-8500 1300-2600

Nr. Hölzer

cc

in kg/qcm

Propor-

tionali-

täts-

grenze

Festigkeitsgrenze gegen Druck

Zug

par- | senk-allel 1 recht-zur Faser

parallel

senkrecht

zur Faser

Biegung

Schub

parallel zur Faser

CM CO ^

Eiche 100000-108000 Buche i 128000-180000 Kiefer 90000-108000 Fichte 92000-111000

150-500

100-600

150-200

150-230

1340    60 ;    320

00    50    280

240

1) Nach Angabe des Materialprüfungsamtes.

Die Zahlen gelten für einen Feuchtigkeitsgehalt von durchschnittlich etwa 20%. Mit wachsender Feuchtigkeit nimmt die Festigkeit wesentlich ab. Die Proportionalitätsgrenze ist unsicher.

5. Druckfestigkeit der gebräuchlichsten natürlichen Bausteine.

Nach dem Ministerialerlaß vom 31. Januar 1910.

Alle angegebenen Festigkeiten gelten bei Beanspruchung annähernd rechtwinklig

zur Lagerfläche.

Nr.

Gesteinsart

Druckfestigkeit in kg/qcm

Bemerkungen

Granite.

sehr feste ( feste

1200—2000

800—1200

450— 800 800—2000 500—2000 1000—2000 300-1500

500—1800 200—1600 200— 600 600—1700

polierbare

wenig feste, wenig oder nicht polierbare . .

Syenit.......

! Porphyr ......

Basalt.......

Basaltlava.....

Kalksteine.

8    Marmor.........

9    dicht ..........

10    porig..........

11    Tonschiefer (Bruchsteine)

Zu 1—7. Höhere Druckfestigkeiten können angenommen werden, wenn sie im Einzelfalle nachgewiesen werden.

Zu 8. Bunt geaderter Marmor hat in der Nähe der Spaltrichtung keine in Betracht kommende Festigkeit.

Zu 8—17. Sofern die Steine nicht als völlig zuverlässig bekannt sind, ist reichliche Sicherheit zu wählen.

12 sehr feste

Sandsteine.

1500—2000

13 feste

1000-1500

14    mittelfeste.

15    wenig feste

600-1000 200— 600

z. B. Grauwacken, Kohlensandsteine und Keupersandsteine, z. B. wie vor, Quadersandsteine, Buntsandsteine, Molasse-und Jurasandsteine

z. B. wie vor, Hilssandsteine. z. B. wie vor.

Tuff.

16    feste . .

17    wenig feste

300—1500 200— 300

z. B. Kalktuffe.

Porphyrtuffe, Leuzittuffe, Bimssteintuffe, Kalktuffe.

Nr.

Natürliche Steine und Ziegel

Zement- und Kalk-

Druck-

Druckfestigkeit Nr. mörtel verschiedener festigkeit Mischung    in kg/qcm

in kg/qcm

CJT GJ bO

Basalt. . . .

Porphyr . .

Granit, Diorit, Syenit. .

Kalkstein .......

Kohlen- und Keupersandstein ......

Klinker........

Ziegel : a) Mittelbrand .■ .

b) Schwachbrand 150— 200

1000—3200 . . 1000—2600 800—2000 400—2000

600-1800 300— 900 200- 300

Reiner Zementmörtel (ohne Sandzusatz) . . 250—270 Portlandzementmörtel (nach 28 Tg. erhärtet)

1 Raumteil m. 1 Teil Sand 0

», 2’ „ *    !»    »! 3 ,,

10 Guter Kalkmörtel

K>

M,r.

é. Zulässige Beanspruchung der Baustoffe in kg qcm.

Nach dem Ministerialerlaß vom 24. Dezember 1919.

Gegenstand

Zu g

Druck Biegung

Abscherung ‘)

Loch-leibungs-' druck

I. iEisen. a) Flußeisen.

1 ta Trägern zu.r Unterstätzung ■von Etecken und Trepjien .

ln Stützen.........

1200 1200 1200 1000 1200 1200 1200 1000

2000

2000

InStützen bei genauer Berech- ; n,ung der durch ungünstigste Laststellung (Winddruck,Ein-zellastenz.B. Kranbahnträger, exzentrischer Kraftangriffe u. dgl.) eintretenden größten Kantenpressung......

1400 i 1400    1400    1000    2000

In Dächern, Fachwerkswänden, Trägern zur Unterstützung von Wänden, Kranbahnträgern u. dgl.

a)    wenn die Querschnittsgröße durch die ständige Last, Nutzlast und Schneedruck allein bedingt ist . . .

b)    bei gleichzeitiger ung

stigster Wirkung von st diger Last, Nutzlast, Schneedruck und Winddruck von 150 kg/qm; die Beanspruchung durch ständige Last allein, also ohne Winddruck, darf dabei den Betrag von 1200 kg/qm nicht überschreiten .........

5    Bei Dächern darf ausnahms

weise, wenn für eine den strengstenAnforderungen genügende Durchbildung, Berechnung und Ausführungso-wie gewissenhafte Abnahme des Baustoffes und sorgfältige Überwachung der Bauarbeiten volle Sicherheit gegeben ist, für den Fall der Nr. 4b, die Spannung betragen bis........

6    ln Ankern.........

1200 1200 1200

1000 2000

ün-

än-

1400    1400

1400    1000    2000

1600 1600 1600

800

1) Für Niete und gedrehte Bolzen, bei gewöhnlichen Schrauben Scherspannung höchstens 750 kg/qcm, für Lochleibungsdruck höchstens 1500 kg/qcm.

Nr.

Gegenstand

Zug Druck Biegung

Absche

rung

Loch

leibungs

druck

b) Schweißeisen.

■^1

Die in l bis 3 angegebenen Werte sind überall um 10% zu ermäßigen. Altes, wieder zur Verwendunggelangendes Eisen ist noch mehr herabzusetzen .........

c) Gußeisen.

vo OO

In Auflagern.......

In Säulen und anderen Bauteilen ...........

1000

500

250

200

d) Sonstiges. Stahlformguß . . . . Schmiedestahl . . . .

1400

1400

1200

1400

ss

Eichenholz . Kiefernholz

II. Hölzer.¹)

Abscheren

i z. Faser | j. z. Faser

100(—120) 80(-100) 100(—120) 10( 20) (80-90) 100 (—120) 60(— 80) 100 (—120) 10(—15)    (60-70)

in

Sonstige Angaben.

Fichtenholz......

Tannenholz......

90 (—100) 50(- 70) 90(-100) 8(-10)    (50-60)

80(— 90) 50(— 60) 80(- 90) 8(-10) (50-60)

Die nicht eingeklammerten Zahlen sind die im Ministerialerlaß vom 24. XII. 1919 festgesetzten.

Dauernd durchnäßtes Holz hat wesentlich geringere Widerstandsfähigkeit.

III. Mauerwerk aus natürlichen Steinen.

1.    Bei der großen Verschiedenheit der Gesteine in den einzelnen Brüchen und dort wieder in den einzelnen Schichten und Lagen, namentlich für Sandstein, lassen sich bestimmte Mittelwerte für die Druckfestigkeit nicht angeben.

Die Grenzwerte erhält man aus der Tabelle 5.

2.    Man wähle:

10 bis 15fache Sicherheit, 15 „ 20 25 „ 30

für Auflagersteine........

yy

„ Pfeiler und Gewölbe.....

yy

„ sehr schlanke Pfeiler und Säulen

Als schlank gelten Pfeiler und Säulen, deren geringste Stärke kleiner ist als

jQ der Höhe.

3.    Sofern keine Festigkeitsnachweise erbracht werden, wird empfohlen, folgende Werte nicht zu überschreiten.

Gesteinsart

Zulässige Druckspannung in kg/qm

Auflager

steine

Pfeiler

und

Gewölbe

Schlacken Pfeiler u. Säulen

Bemerkungen

vooo«'jO'm.fci.wts3

Basalt . . Granit . . Syenit . . Porphyr . Marmor . Basaltlava Sandstein Tuffstein . Bruchstein

65

60

55

40

30

20

20

45

40

40

30

20

15

15

10

5-7

30

25

25

20

15

10

10

Die unter Ziffer 1 bis 8 angegebenen Beanspruchungszahlen gelten für Quadern und bestes Quadermauerwerk bei Beanspruchung rechtwinklig zur Lagerfläche.

Zu 5. Buntgeaderter Marmor hat in der Nähe der Spaltrichtung keine in Betracht kommende Festigkeit.

Zu 7. Bei der Verwendung von Sandstein ist besondere Vorsicht geboten.

Zu 9. Je nach Beschaffenheit.

IV. Mauerwerk aus künstlichen Steinen.

Unter der Voraussetzung kunstgerechter und sorgfältiger Ausführung, sowie ausreichender Erhärtung des Mörtels sind folgende Druckbeanspruchungen des Mauerwerks zulässig.

Die Baupolizei kann den Nachweis verlangen, daß die geforderten Mindestdruckfestigkeiten tatsächlich vorhanden sind.

Nr.:

Steinsorte

Nachzuweisende Mindestdruckfestigkeit der Steine

Mörtelmischung in Raumteilen

Zulässige

Druckspannung

für Pfeiler

im

kg

qcm

Zement

Kalk

Sand

Mauer

werk

Verhältnis der gering- j sten Stärke s

zur

kg

Höhe h

kg

Bemerkungen

qcm

h ; qcm

oo

10

Schwemmsteine . . i Hochofenschwemmsteine ......

20

15

Porige Ziegel . . . Gewöhnliche Schlackensteine 5 Mauerziegel zweiter Klasse und sog. Mörtelsteine . .

3bis6

3bis6

100

bis 7

—    Zu2. NurfürFlach-

bauten (Bauten

—    vonnicht mehr als 2Vollgeschossen) und unbelastete Zwischenwände zu verwenden.*)

Je nach Beschaffenheit.

Zu 5. Zu tragenden Bauteilen nur bei untergeordneten Bauten zulässig.

1) Die unter Nr. 1 bis 4 angeführten Steinsorten dürfen zu Pfeilern nicht verwendet werden.

Nr.

Steinsorte

Nachzuweisende Mindestdruckfestigkeit der Steine

Mörtelmischung in Raumteilen

Zulässige

Druckspannung^

für Pfeiler

kg

qcm

Zement

Kalk

Sand

im Verhältnis der geringsten Stärke s

Mauer

werk

Bferaerkurageni

zur

kg

qcm

Höhe h:

kg

qcnj

2J

10

6    Mauerziegel erster

Klasse und Kalksandsteine *)

7    Desgl.......

8    Hartbrandziegel und

Kalksandhartsteine *).....

9    Desgl.......

250

250

10

14

V ZuPfeilern, deren I geringste Stärke kleiner als 0,25 h J ist, unzulässig.

18

0,30

18

0,25

14

0,20

12

0,15

10

Zwischenwerte sind geradlinig einzuschalten.

0,10

10

Klinker

350

35

<0,10

<8

11

Desgl,

350

mit Zusatz von etwas Kalkmilch

desgl.

0,30

35

Nur in besonderen Fällen zulässig.

0,25

25

0,20

20

0,15

15

Zwischenwerte sind geradlinig einzuschalten.

0,10

10

< 0,10 <10

Nur in besonderen Fällen zulässig.

Für Fundamente:

6 bis 8 kg/qcm 10 bis 12 kg/qcm

Mauerwerk aus geschüttetem Beton Mauerwerk aus gestampftem Beton

V. Baugrund.]

Guter Baugrund darf mit 3—4 kg beansprucht werden.

Die nur ausnahmsweise zulässige Wahl darüber hinausgehender Beanspruchungen ist besonders zu begründen.

Empfehlenswerte und benutzte Werke.

(S. auch Teil I.)

Heß, Baumechanik. Verleger Burok.

Hintz, Baustatik. Verlag Voigt.

Dieckmann, E., Festigkeitslehre. Verlag Bädecker-Essen.

Schmid, Statik und Festigkeitslehre. Verlag Wittwer.

Verlag Engelmann.

Mertens, Statik der Baukonstruktion. ]

Förster, Eisenkonstruktionen.    j

Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre. Deuteckes Verlag. Zillich, Statik. Verlag Ernst und Sohn.

\) Kalksandsteine und Kalksandhartsteine müssen ein leicht erkennbares Merkmal tragen, aus dem zu ersehen ist, zu welcher von diesen beiden Steinarten sie gehören.

Von Reg.-Baumeister A. Schau, Gewerbeschulrat und Direktor der staatlichen Baugewerkschule in Essen erschien ferner:

Leitfaden der Statik

Teil I: Grundgesetze. Anwend, d.stat. Gesetze a. Trägerordn. Einf.Stab-konstruktionen u. ebene Fachwerkträger. 3. Aufl. Mit 182 Abb. i.Text.

Umfaßt die Grundgesetze der Statik mit ihren Anwendungen auf Trägeranordnungen, vor allem auf Träger auf zwei Stützen, Berechnung einfacher Selbstkonstruktionen und einfacher ebener Fachwerke.

Teil lila: Für die Hochbauabteilungen. Mit 238 Abb. i.T. Kart.M.6.80

ImTeil lila für Hochbau werden die Ergänzungen desTeiles II überFestigkeitslehre vorgenommen, wobei vor allem die Biegungslehre und die zusammengesetzte Festigkeit in allen ihren Unterabteilungen in Frage kommen. Zahlreiche Anwendungsbeispiele machen das Buch besonders wertvoll für den Praktiker und den Lernenden.

Teil Illb: Für Tiefbauabteilungen. [U. d. Pr. 1921.]

Im Teil III b für Tiefbau werden die Ergänzungen über das Gebiet der Festigkeitslehre vorgenommen, wobei vor allem die Biegungsfestigkeit (Kragträger, Gerberträger und ihre Anwendungen), die zusammengesetzte Festigkeit, Erddruck, Wasserdruck, Stützmauern, Berechnung von Fachwerksbindern (Dächer) und auch die grundlegenden Gesetze für die Berechnung durchlaufender Träger besprochen werden sollen. Durch sorgfältige Auswahl von Anwendungsbeispielen wird das Verständnis für Praktiker und Lernende gefördert werden.

Teil IVa: Die Statik der Eisenbetonbauten. Mitll3Abb. Kart. M.8.80

Im Teil IV a wird die Eisenbetonstatik in ihren Anwendungen für den Hochbau eingehend behandelt, zahlreiche Beispiele zeigen den Gebrauch für die Praxis ; die amtlichen Bestimmungen, sowie die dazu gegebenen Musterbeispiele werden eingehend besprochen und ihre Benutzung für Entwurf und Prüfung gezeigt, g (g

Teil IVb: Für Tiefbauabteilungen. [U. d. Pr. 1921.]

Im Teil IVb für Tiefbau wird die Eisenbetonstatik in ihren hauptsächlichsten Anwendungen auf die Praxis des Tiefbaues behandelt, wobei auch die Zugbeanspruchung des Betons, einfacher Eisenbahn- und Straßenbrücken, Gewölbe sowie durchlaufender Träger behandelt werden sollen. Die amtlichen Musterbeispiele werden eingehend besprochen und ihre Anwendung für Entwurf und Prüfung gezeigt.

'Rrîir'lr^nKan I. Teil: Allgemeine Durchlässe und massive Brücken.

Hölzerne Brücken. Unterhaltung. Überschlägliche Kostenberechnungen. 3. Aufl. Mit 334 Abb. im Text und auf 6 Tafeln. Kart. M 13.60. II. Teil: Die eisernen Brücken. Allgemeines. Bauliche Anordnung und Ausbildung der Eisenbahnbrücken und Fußgängerbrücken. Unterhaltung. Kostenberechnung eiserner Überbauten. Mit 404 Abbildungen und 6 Tafeln. Kart M. 9.60

„Der Autor behandelt in seiner elementar gehaltenen und bei aller Knappheit dennoch sehr reichhaltigen Schrift die im Untertitel genannten Themen in mustergültiger Weise.“    (Wiener Bauindustrie-Zeitung.)

Der Eisenbahnbau. in 2 Teilen.

Teil I: Allgemeine Grundlagen. Bahngestaltung. Grundzüge für die Anlage der Bahnen. 4. verb. Aufl. Mit 182 Abb. im Text. Kart. M. 9.60 ,, II : Stationsanlagen und Sicherungswesen. 3. verb. Aufl. Mit 297 Abbildungen im Text und auf 1 Tafel. Kart.M.6.80

„Die Behandlung des Stoffes ist klar und übersichtlich. Die beigefügten Skizzen sind sauber und deutlich mit den erforderlichen Maßen wiedergegeben. Das Buch kann sowohl für Lehrzwecke als für die Praxis des Eisenbahnwesens nur warm

empfohlen werden.“

(Polytechn.)

Ferner erschien in der Samml. „Aus Natur u. Geisteswelt“ v. dems.Verf. : Statik. 2. Aufl. Mitll2Fig.i.T. (ANuGBd.828.) Kart.M.2.80,geb.M.3.50

In allgemein verständlicher Art werden die Grundsätze der Statik entwickelt und durch zahlreiche Anwendungen auf die Hauptgebiete der Technik, insbesondere für den Hoch- und Tiefbau sowie den Maschinenbau erörtert in der Weise, daß auch dem Leser die Möglichkeit zur selbständigen Lösung praktischer Aufgaben gegeben wird.

Festigkeitslehre. 2. All. Mit 119 Fig. (ANuG Bd.829.) M. 2.80, geb.M.3.50

Das Ziel des vorliegenden Bändchens ist, in möglichst kurzer und klarerWeise die verschiedenartigsten Berechnungsweisen für die Abmessungsbestimmungen von Bauteilen dem Verständnis der Leser nahezubringen. Die zahlreichen Beispiele aus dem Hoch- u.Tiefbau sind durch eine Reihe von Beispielen aus dem Gebiete des Maschinenbaues ergänzt worden, so daß das Bändchen ein abgeschlossenes Ganzes darstellt. Auf sämtl. Preise Teuerungszuschlag des Verlags 120% (Abänder. Vorbehalt.) u. teilw. d. Buchhdlg.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Preise freibleibend

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Dr. A.Witting

und

Dr. W. Uetzmann

Oberstudienr., Gymnasialpr. i.Dresden

Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

Fas. alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren, kl. 8. Kart, je M. 2.—

Hierzu Teuerungszuschlag des Verlags 120% (Abänderung vorbeh.) u.teilw.d. Buchhandl.

Die Sammlung bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen (1912/21)

Der Begriff der Zahl in seiner logischen und Theorie und Praxis des logarlthm. Rechen-historischen Entwicklung. Von H. Wie- Schiebers. VonA. Ko hrberg.2.Aufl.(Bd.23.) lcitner. 2., durchgeseh. Aufl. (Bd. 2.) Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für Ziffern und Zlffernsysteme. Von E. L ö (11 e r. Schüler mit«. Kl.) Von K. G i e b e L (Bd.16.) 2., neubearL. Aull. I: Die Zahlzeichen der Karte und Kroki. Von H. Wolff. (Bd.27.)

Mittelalter“ und'I® de^NeJzeit! (Bd 3$ D‘e    Ze,<rethnUn*- Von

sässä trséœrÂ,

WCłiS..t ttSTBfK ÄÄSSÄfSjL’iVLSi

rential-fU:DieIntegrairechnung.(Bd.9u.41.) _Vo“ Tj ” °I‘?    „ iw

Wahrscheinlichkeitsrechnung. V.O.Meiß- üer®°Wene Schnitt VonH.E.Timerding.

ner. 2. Auflage. 1: Grundlehren. (Bd.4.) „v , , '    «    .. .. .    „    .....

II: Anwendungen. (Bd.33.)    ¹ Beispiele zur Geschichte der Mathematik.Von

Vom periodischen Dezimaibruch zur Zahlen- A.Witting und M. Gebhard. (Bd. 15.) theorle Von A.Leraan. (Bd. 19.)    Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ahrens.

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Aus-    2. Aufl. (Bd. 18.)

blick auf das Fermatsche Problem. Von Die Quadratur d. Kreises. VonE. Beutel. W. l.ietzmann. 2. Aufl. (Bd. 3.)    2. Aufl. (Bd. 12.)

Darstellende Geometrie des Geländes und Wo steckt der Fehler? Von W.L letz man« verw. Anwendungen der Methode der und V. Trier. 2. Aufl. (Bd. 10.) kotierten Projektionen. Von R. Rothe. Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph. 2., verb. Aufl. (Bd.35/36.)    Maennchen. 2. Aufl. (Bd. 13.)

Ein

Methoden zur LOsung geometrischer Auf- Riesen und Zwerge im Zahlenreiche. Von gaben. VonB.Kerst. (Bd. 26.)    W. Li etzmann. 2. Aufl. (Bd.25.)

führung in die projektive Geometrie. Von Was ist Geld? Von W.Li etzmann. (Bd.30.) M. Zacharias. (Bd. 6.)    Die Fallgesetze. VonH.E.Timerding.

Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von 2. Aufl. (Bd. 5.)

P. Zühlke. (Bd. 11.)    Ionentheorie. Von P. Bräuer. (Bd. 38.)

Nichteuklidische Geometrie in der Kugel- Das Relativitfltsprlnzlp. Leichtfaßlich ent-ebene. VonW.Dieck. (Bd. 31.)    wickelt von A. Angersbach. (Bd.39.)

Einführung fn die Nomographie. Von P. Drehtslch die Erde? VonW.Brunner. (17.) Luckey. 1. Teil: Die Funktionsleiter. Theorie der Planetenbewegung. Von P. (Bd. 28.) II. Teil: Die Zeichnung als Rechen- Meth. (Bd. 8.)

maschine. (Bd. 37.)    Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instru-

AbgekürzteRechnungnebsteinerEinführ.i.d. menten. Von Fr. Rusch. 2. Aufl. (Bd.14.) Rechnungm.Funktionstaf.insb.i.d.Rechng. Mathem. Streifzüge durch die Geschichte der mit Logarithmen. Von A.Wi tting. (Bd.42.) Astronomie. VonP.Kirchberger. (Bd.40.)

ln Vorbereitung: Doehlemann, Mathem. u. Architektur. Schlps, Mathem. u. Biologie. Winkelmann, Der Kreisel. Wolff, Feldmessen u. Höhenmessen.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

(?.

Preise freibleibend

Der Unterricht an Baugewerkschulen

Baukonstruktion und Baukunde

Baukonstruktionslehre. Von Prof. O. Frick u. Dir. Prof. K. Knüll. In 2 Teilen. (Bd. 37,38.) Teil 1. 7. Aufl. Mit 275 Fig. M. 5.40. Teil 11. 6. Aufl. Mit 251 Fig. M. 6.40.

Gründung von Hochbauten. Von Studienrat Professor M. Benzei. 5. verb. Auflage. Mit 151 Abbildungen im Text, 7 Berechnungsbeispielen und 2 Tafeln. Mit Anhang: Berechnung der Baugrundbelastung durch ein freisteh, zweigeschoss. Wohnhaus. (Bd. 8.) Kart. M. 6.— Grundzüge des Eisenbaues. (Elsenkonstruktion.) Von Dipl.-Ing. Prof. A. Göbel. In 2 Teilen. (Bd. 31, 32.) Teil I. Von Studienrat Dipl.-Ing.O.Henkel. 5.Aufl. Mit 217 Abb. M. 4.60. Teil 11. 4. Aufl. Von Studienrat Dipl.-Ing. O. Henkel. Mit 310 Abb. im Text M. 4.— Die Ausführung von Eisenbetonbauten. Von Oberl. Ing. Preuß. Mit 31 Fig. (Bd. 33.) M. 1.60. D.Berechnung v. Elsenbetonbauten. V.Dir.Dr.-Ing.P.Weiske. 2.Aufl.M.74Fig. (Bd.l7.)M.2.40. Umbauten u.Wlederherstellungsarb.V.Arch.Prof.E.Gebhardt. 2. Afl. M.38Abb. (Bd.7.)M.2.-Bürgerllche Baukunde und Baupolizei. Von Architekt Qewerbeschuldirektor C. Busse.

2.    Aufl. Mit 217 Abbildungen. (Bd. 49.) M. 3.60.

Leitfaden der landwirtschaftlichen Baukunde. Von Baumeister Oberl. Prof. A. Schubert

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Die gewerbl. Baukunde. V.Prof.Arch.L.Com perl. 2.Aufl. M.189Fig.u.lTaf. (Bd.41.) M.3.20. Die Bauführung. Von Architekt Prof. M. Gebhardt 2. Aufl. Mit 8 Fig. (Bd. 9.) M. 2.40.

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Straßen- und städtischer Tiefbau, Wasserbau, Brückenbau und Eisenbahnbau Städtischer Tiefbau. Von Geh. Reg.- und Gewerbeschulrat Professor R. Gürschner und Professor M. Benzel. ln 3 Teilen. (Bd.34-36.) Teil 1: Bebauungspläne und Stadtstraßenbau. Von Prof. M. Benzei. 3., verm. Auflage. Mit 212 Abb. u. 3 mehrfarb. Plänen (ein Bebauungsplan nebst Längen- und Querprofilen und ein Fluchtlinienplan). M. 10.60. Teil II: Wasserversorgung von Ortschaften. Von Geh Reg.- u.Gewerbeschulrat Prof. R.GÜr sch ner.

4.    Aufl. Mit 81 Abb. M. 5.20. Teil III: Stadtentwässerung. Von Geh. Reg.- u. Gewerbeschulrat R. Gürschner u. Prof. M. Benzei. 4. Aufl. Mit Abb., Berechnungsbeispielen, Plänen und Zahlentabellen. M. 6.80.

Grundbau. Von Prof. M. Benzei. 3. verbess. u. verm. Aufl. Mit 233 Abb. (Bd. 18.) M. 6.80. Erd- und Straßenbau. V. Ing. Prof. H.K n a u e r. 3., umgearb.u. verm.Aufl. In 2Teilen. (Bd.l 1/12.) Teil I: Erdbau. M. 159 Abb. u. 2 Taf. M.5.40.Teil II: Straßenbau. Mit 46 Abb. u.Tafein. M.3.60. Der Wasserbau. Von Reg.-Baumeister Professor F. Fresow. In 2 Teilen. (Bd.24 u. 50.) Teil 1. 3. Aufl. Mit 166 Abb. im Text. M. 3.60. Teil II. 3. Aufl. Mit 139 Abbild, im Text. M. 4.80. Brückenbau. Von Gewerbeschulrat Reg.-Baumeister Direktor A.Schau. In 2Teilen. (Bd.39 und 40.) Teil I: Allgemeines. Durchlässe und massive Brücken. Unterhaltung. Überschlägliche Kostenberechnungen. 2. Aufl. Mit 324 Abb. M. 13.60. Teil II: Die eisernen Brücken. Allgemeines. Bauliche Anordnung u. Ausbildung d. Eisenbahnbrücken u. Fußgängerbrücken. Unterhaltung. Kostenberechnung eiserner Überbauten. Mit 404 Abb.u. 6Taf. M.9.60. Der Eisenbahnbau. Von Gewerbeschulrat Reg.-Baumeister Direktor A. Schau. In 2 Teilen. (Bd. 15 u. 16.) Teil I: Allgemeine Grundlagen. Bahngestaltung. Grundzüge für die Anlage der Bahnen. 4., verbesserte Auflage. Mit 182 Abb. M. 9.60. Teil 11: Stationsanlagen und Sicherungswesen. 4. verb. Aufl. Mit 302 Abbildungen im Text und auf 1 Tafel.

Baustofflehre, Gestaltungslehre, Zeichnen

Leitfaden der Baustoftlehre für Baugewerkschulen. Von Reg.- u. Gewerbeschulrat K. Je ssen u. Prof. Girndt. 6. umgearb. Aufl. Mit 126 Abb. im Text. (Bd. 1.) M. 6.80. Zeichenschlüssel. Von Überlehrer Dr. V. Hortig. 12 Tafeln als Anleitung zur Vorstellung von Zeichnungen der Hoch- und Tiefbauer. (Bd. 44.) Steif geh. M. 2.40. Gestaltungslehre. Von Professor O. Frick. ln 2 Teilen. (Bd. 42, 43.) Teil 1: Die Gestaltung freistehender Landhausbauten. Mit 109 Figuren. M. 3.60. Teil II: Die Gestaltung eingebauter Wohnhäuser. Raumausbildung. Mit 140 Figuren. M. 3.60.

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Anordnung wie auf seine Veranschaulich Druk. u. j. Zam, ₃₅₆. ₁₀.ooo.

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Bisher sind erschienen bzw. unter der Presse:

Analytische Geometrie. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschweig. Mit 96 Fig. [VI u. 135S.J 1915. (Bd. I.) M. 2.80. Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prüf, an der Eidgen.

Techn. Hochschule zu Zürich. Bd.I. Mltl34Fig. [IVu.84S.| 1917. (Bd. 2.) M. 4.— Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Professor an der Eidgen. Technischen Hochschule zu Zürich. Bd.II. 2., umgearb. Aufl. Mit 144 Fig. [VI u. 154 S.] 1921. (Bd. 3.) Kart. M. 8.—

Differential- und Integralrechnung. V.Dr.L.Bieberbach, o.ö.Prof.a.d. Univ. Frankfurt a.M. I. Differentialrechnung. Mit32Flg. [VI u. 130 S.J 1917. (Bd.4) Steif geh.M.2.80. II.Integralrechnung. Mit25Fig. [VI u.142S.[ 1918. (Bd.5.)Steif geh. M.3.40. Funktionenlehre. V. Dr. L. Bieberbach, Prof. a. d. Univ. Frankfurt a. M. [U.d.Pr. j Praktische Astronomie. Geograph.Orts-u.Zeitbestimmung. VonV.Theimer, Adjunkt an der Montanistischen Hochschule zu Leoben. Mit 62 Figuren. [IV u. 127 S-l 1921. (Bd. 13.) Kart. M. 8.—

Feldbuch für geodätische Praktika. Nebst Zusammenstellung der wichtigsten Methoden und Regeln sowie ausgeführten Musterbeispielen. Von Dr.-Ing. O. Israel, Prof. a. d. Techn. Hochschule in Dresden. Mit 46 Fig. im Text [IVU.160S.J 1920. (Bd. 11.) Kart M. 8.—

Erdbau, Stollen- und Tunnelbau. Von DipL-Ing. A.Birk, Prof. a. d. Techn Hochschule zu Prag. Mit 110 Abb. [V u. 117 S.j 1920. (Bd. 7.) Kart. M. 3.80. Landstraßenbau einschl.Trassieren. V.OberbauratW.Euting,Stuttgart. Mit 54 Abb. i. Text u. a. 2 Taf. [IV u. 100 S.] 1920. (Bd.9.) Kart. M. 5.60 Grundriß derHy draulik. Von Hofrat Dr. Ph. Forchheimer, Prof. a. d. Techn.

Hochschule in Wien. Mit 114. Fig. i. Text. [V u. 118 SJ 1920. (Bd. 8.) Kart. M. 8.20 Hochbau in Stein. Von Geh. Baurat H. Walbe, Prof. a. d. Techn. Hochschule zu Darmstadt Mit 302 Fig. im Text [VI u. 110 S.j 1920. (Bd. 10.) Kart. M. 6 40. Veranschlagen, Bauleitung, Baupolizei, Heimatschutzgesetze- Von Stadtbaur. Fr.Schultz, Bielefeld. Mit3Taf. [IVu.lSOS.j 1921. (Bd J2.) Kart.M.9 40. MechanischeTechnologie. V.Dr.R.Escher,Prof.a. d. Eidgen.Tet-hn. Hochsch zu Zürich. Mit 418 Abb. i.Text. 2. Aufl. [VI u. 164 S.j 1921. (Bd. 6.) Kart. M. 8.— Auf sfimtl. Preise Teuerungs/uschläge des Verlags 120% (Abänd. vorbeh.) u. teiiw. d. Buchhandl.

FÜR DIE ABTEILUNG TIEF- UND HOCHBAU

befinden sich in Vorbereitung:

Baumechanik. 2Bde. Von Dr. A. He rtwig, Prota. d. Techn. Hochschule Aachen.

Eisenbau. Von Dr. Ą. Hertwig, Professor an der Techn. Hodftchule Aachen.

Eisenbetonbau. Von H. Kayser, Prof, an der Techn. Hochschule Darmstadt.

Brückenbau. 2 Bände. Bd. I: Holz-, Stein- und Eisenbetonbrüdcen.

Geh. Hofrat Dr.M. Foerster, Prot an der Techn. Hochschule Dresden. Bd.II* Eiserne Brücken. Von Dr.-Ing. W. Gehler, Prot a.d.Techn. Hochschule Dresden.

Hydrographie. Von Dr. H. Gravelius, Prof. a. d. Techn. Hochschule Dresden.

B a u s t o f f k u n d ę. V. Geh. Hofr. Dr. M. F o e r s t e r, Prof. a. d.Tech n. Hochsch. Dresden.

Hochbau ln Holz.V.Geh.BauratH-Wa 1 be,Prof.a. d.Techn.Hochsch.zu Darmstadt

Wohnhausbau und Kleinsiedelungen. Von Geh. Hofrat Dr. G. Lübke, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig.

Der innere A usbau.Von Dr.-Ing. E. M i c h el, Prof. a.d. Techn. Hochsch. Hannover.

Heizung, Lüftung, Beleuchtung, Be- u. Entwässerung. Von Geh. Baurat Höpfner, Stadtbaurat ln Kassel.

Bau von Geschäfts- und Warenhäusern, Kontorhausern, B9rsen,Ban-ken, Krankenkassen, Markthallen. Von Architekt G. H. Grell, Hamburg.

Industriebau, Fabrikbau, Speicher, Hallen. Von Dr.-Ing. R. Müller, Professor an der Technischen Hochschule Dresden.

Lar. d wi rtsçhaftliche Bau t e n. .V. Dr. O. Sti ehl, Prot d.Techn. Hochsch. Berlin.

Dortmund, essor an

Von

der Technischen Hochschule Dresden.

Bauzeichnen. V. Geh. Hofrat I. B ß h 1 m a n n, Prof. a. cLTechn. Hochschule München. Umrisse d.Baugeschloht». v.nr.inor r Finch*or Pmf. »n der Techn. Hochsch Stuttgart Weiten

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

nen.

Verlag von B. C

ig und Berlin

100000297688

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Bei Bauten für vorübergehende Zwecke dürfen die Zahlen um 25% erhöht werden (Ausstellungshallen, Rüstungen).