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Mathematisch - physikalische Schriften für Ingenieure und Studierende.

Herausgegeben von Dr. E. Jahnke, '

Professor a. d. Kgl. Bergakademie zu Berlin.

Die Sammlung setzt sich zum Ziel, kurze Darstellungen zu bieten, welche für ein eng begrenztes Gebiet die mathematischen Methoden einfach und leichtfaßlich ableiten und deren Verwendbarkeit in den einzelnen Teilen von Physik und Technik aufdecken. Dabei ist Vollständigkeit der Beweisführung nicht erstrebt, vielmehr wird besonderer Wert darauf gelegt, Dinge, die für die Anwendungen von Wichtigkeit sind, nicht zugunsten wissenschaftlicher Strenge zurücktreten zu lassen. Die Darstellung der einzelnen Gebiete ist so gehalten, daß jede ein abgeschlossenes Ganzes für sich bildet.

Bisher erschienene Bändchen:

I.    Einführung in die Theorie des Magnetismus. Von Dr. R. G an s,

Professor an die Universität Tübingen. 8.    1908. Steif

geh. JC 2.40, geb. JC 2.80.

"Will man die Theorie des Magnetismus übersehen, so muß man mehr als die Maxwell-Faradayschen Grundbegriffe kennen. Die hierzu nötigen Kenntnisse zu vermitteln, ist die Aufgabe des vorliegenden Buches. Vor allen Dingen ist darauf geachtet worden, die Theorie des permanenten Magnetismus als Spezialfall der Theorie des Ferromagnetismus darzusteUen' wie der moderne Elektrotechniker es verlangt.

II.    Elektromagnet. Ansgleichsvorgänge in Freileitungen n. Kabeln! Von K.W. Wagner, Kaiserl. Telegraphen-Ingenieur in Berlin. 8. 1908. Steif geh. JC 2.40, geb. JC 2.80.

Der Gegenstand dieser Abhandlung ist die Untersuchung der für den Techniker .wichtigen nichtstationären elektromagnetischen Vorgänge in Freileitungen und Kabeln, wie sie z. B. durch Schaltmanipulätionen oder durch atmosphärische Vorgänge hervorgerufen werden.

III.    Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität u. des Magnetismus. Von Dr. CI. Schaefer, Privatdozent an der Univ. Breslau. 8. 1908. Steif geh. JC 3.40, geb. 3.80.

Der Verfasser war bemüht, mit den einfachsten Mitteln eine möglichst durchsichtige Darstellung des Faraday-Maxwell sehen Gedankenkreises zu geben ; die zum Verständnis notwendigen mathematischen Vorkennt-nisse sind auf ein Minimum reduziert.

IV.    Die Theorie der Besselschen Funktionen. Von Dr. P. Schaf-heitlin, Professor am Sophien-Realgymnasium zu Berlin. 8. 1908. Steif geh. JC 2.80, geb. JC 3.20.

Von der Besselschen Differentialgleichung ausgehend, werden die wichtigsten Eisensnbaftori s.. v—---- ' ;hre Darstellung durch

ron Dr. E. Jahuke, in, und F. Em de, vand geb. JC 6.—

er schwer zugängliche denten, wie Hyperbel-

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Tafeln

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funktionen, Sinus- und Cosinus-Integral, Integrallogarithmus, Gammafunktion, Fehlerintegral, Fresnelsche Integrale, elliptische Integrale und Funktionen, Kugelfunktionen und Besselsche Funktionen, vermehrt um eine Reihe, neuherechneter Tafeln, die sich vornehmlich auf die Bes?el-schgn Funktionen beziehen. Sämtliche Tafeln sind in Kurven umgesetzt worden. Auch die notwendigsten Formeln sind heigegehen worden.

YI. 1 u. 2. Die Vektoranalysis u. ihre Anwendungen in der theoretischen Physik. Von Dr. W. v. Ignatowsky in Berlin. 2 Teile. 1. Teil: Die Vektoranalysis. 8. 1909. — Et. Teil: Anwendung der Vektoranalysis in der theoretischen Physik. 8. 1910. Steif geh. je JC. 2.60, geh. je JC. 3.—

Der erste Teil enthält die Vektoranalysis von einem einheitlichen Standpunkte aus betrachtet, der zweite die Darstellung einiger Gebiete der theoretischen Physik mit Hilfe der Vektoranalysis. Hier finden sich Kapitel über die Mechanik diskreter Massenpunkte, starrer, elastischer und flüssiger Körper. Zum Schlüsse wird noch die Maxwell-Hertzsche Elektrodynamik und die Kristalloptik behandelt.

VII.    Die Theorie der Kräftepläne. Von Dr. H. E. Timerding,

Professor an der Technischen Hochschule in Braunschweig. 8.    1910. Steif geh. JC 2.60, in Leinwand geh. JC 3.—

Der Verfasser hat innerhalb der Methoden der elementaren Statik ein Eingehen auf alle prinzipiellen Fragen und eine möglichst vollständige Berücksichtigung der vielen einschlägigen Untersuchungen angestrebt.

VIII.    Mathematische Theorie d. astronomischen Finsternisse. Von Dr. P. Schwahn, Direktor der Gesellschaft und Sternwarte „Urania“ in Berlin. 8. 1910. Steif geh. JC 3.20, geh. JC 3.60.

Das Buch setzt die Kenntnis der sphärischen Astronomie voraus und behandelt in klarer und anschaulicher Weise die Theorie und Berechnung der Mondfinsternisse, Planetenhedeckungen, Sonnenfinsternisse und Sternbedeckungen. Insbesondere ist die Voraushestimmung der Sonnenfinsternisse und ihrer Sichtbarkeitsgrenzen nach Bessels eleganter Methode eingehend dargestellt worden. Die theoretischen Erörterungen sind stets von praktischen Rechnungen begleitet.

IX. Die Determinanten. Von Geh. Hofrat Dr. E. Netto, Prof, an der Univ. Gießen. 8. 1910. Steif geh. JC 3.20v geh. JC 3.60.

Eine allgemeinverständliche kurze Einführung an Hand einfacher Fälle.

X.    Einführung in die kinetische Theorie d. Gase. Von Dr. A. Byk, Professor an der Universität und Technischen Hochschule Berlin. In 2 Teilen. I. Teil: Die idealen Gase. gr. 8. 1910. Steif geh. JC. 2.80, geh. JC 3.20. — II. Teil. (In Vorbereitung.)

Das Buch möchte eine Mittelstellung zwischen den großen Werken über Gastheorie und den ganz kurzen Darstellungen des Gegenstandes einnehmen. Der vorliegende erste Teil behandelt die idealen einatomigen Gase und ist so weit in sich abgeschlossen.

XI.    Grundzüge der mathemat.-physikalischen Akustik. Von Prof.

Dr. A. Kalähne, Dozent der Physik an der Technischen Hochschule Danzig. In zwei Teilen. I. Teil. 8.    1910. Steif

geh. JC 3.20, geh. JC 3.60.

zu deren Studium Der erste Band

Eine kurze Darstellung der theoretischen Akustik, man sonst auf umfangreiche Werke angewiesen ist. behandelt nach einem einleitenden Kapitel über Schwingungen und Wellen die harmonische Analyse durch Fouriersche Reihen, die musikalische Gliederung des Tonhereichs und die Schwingungstheorie des einfachen Massenpunktes und der aus mehreren Massenpunkten bestehenden „gekoppelten“ Systeme.

XII.    Die Theorie der "Wechselströme. Von Prof. Dr. Ernst Orlich. Geh. JC 2.40, geh. JC 2.80.

Das Buch behandelt die verschiedenen Methoden der mathematischen Darstellung der Wechselströme und im besonderen die Grenzon, bis zu denen diese Darstellungen als genau anzusehen sind. Es enthält also gewissermaßen eine Theorie der einfach periodischen Funktionen unter dem Gesichtswinkel der praktischen Probleme der Wechselströme und mit Anwendungen auf diese.

XIII.    Theorie der elliptischen Punktionen. Von Dr. Martin Krause, Professor an der Kgl. Sachs. Techn. Hochschule zu Dresden. Unter Mitwirkung von Prof. Dr. Emil Naetsch. 8. 1912. Geh. <jlC 3.60, geh. JC 4.—

Das Werk enthält eine kurz gefaßte Theorie derjenigen Teile der elliptischen Transzendenten, die für die Anwendungen von besonderer Bedeutung sind.

XIV.    Konforme Abbildung. Von Dr. L. Le went, weil. Oberlehrer in Berlin. Herausgegeben von Dr. Eugen Jahnke, ord. Prof, an der Kgl. Bergakad. Berlin. Mit einem Beitrag von Privatdozent Dr. W. Blaschke in Greifswald. 8. 1912. Geh. JC 2.80, geh. JC 3.20.

Die Schrift soll die Kluft überbrücken helfen, die noch immer zwischen der reinen und angewandten Mathematik gähnt. Von Herrn Blaschke stammt die Darstellung der konformen Abbildung durch elliptische Funktionen.

XV.    Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. A. Galle

in Potsdam, gr. 8.    1912. Geh. u. geh.

Außer in den enzyklopädischen Darstellungen fehlte bei uns in Deutschland noch immer eine zusammenfassende Darstellung der namentlich in neuerer Zeit in großer Zahl konstruierten mathematischen Instrumente. Die vorliegende Bearbeitung ist bestimmt, diese Lücke in unserer Literatur auszufüllen.

In Vorbereitung befinden sich folgende Bände:

Technische Hydromechanik. (2 Teile.) Von v. Mises.

Aus der Berufsgeschichte des Ingenieurs an Hand seiner Werke. Von Matschoß.

Grundlagen der Zeit- und Ortsbestimmungen. Von Möller.

Die Streuung des Transformators. Von Rogowski.

Die Pourierschen Reihen. Von Rothe.

Die partiellen Differentialgleichungen. Von Rothe.

Die Theorie der Ionisation der Gase. (2T.) Von Rümelin.

Ausgewählte Spannungsprobleme des Bauingenieurs. Von Timpe.

Die Randwertaufgaben in der theoretPhysik. Von D eb y e.

Potentialtheorie. Von Gans.

Dispersion und Absorption des Lichtes. VonGoldhammer.

[Unter der Presse.]

Getriebelehre. Von Grübler.

Von

Schwingungsprobleme.

Grüneisen.

Pestigkeitsprobleme d. modernen Maschinentechnik. Von v. Karman.

Thermoelektrizität. Von Krüger.

Einführung in die Elastizitätstheorie. (2 Teile.) VonMar-colongo.

Die Sammlung wird fortgesetzt.

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE SCHRIFTEN FÜR INGENIEURE UND STUDIERENDE HERAUSGEGEBEN VON E. JAHNKE 15

MATHEMATISCHE INSTRUMENTE

VON

Prof. Dr. A. GALLE

ABTEILUNGSVORSTEHER AM KGL. GEODÄTISCHEN INSTITUT ZU POTSDAM

MIT 86 ABBILDUNGEN UND FIGUREN

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

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Rechenmaschinen.

Stetige Rechenapparate.

Schiebung der Stange in ihrer Richtung in Umdrehun

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Wesentlich einfacher ist eine andere Abänderung (F

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COPYRIGHT 1912 BY B. G. TEVBNER IN LEIPZIG

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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Vorwort.

Unter den Errungenschaften der Technik nehmen die mathematischen Instrumente insofern eine besondere Stellung ein, als sie der Geistestätigkeit des Menschen einen Teil der Arbeit abnehmen. Manche von ihnen, z.B. die Planimeter, sind für bestimmte Aufgaben unersetzbar geworden, andei-e, wie die Analysatoren, sind geeignet, gewisse Zusammenhänge klarer hervortreten zu lassen, als sie die Rechnung ohne weiteres zeigt. Der Nutzen der meisten Apparate gibt sich bei häufiger Wiederholung derselben Operation in einer beträchtlichen Zeitersparnis zu erkennen. Auch wenn die erforderliche Genauigkeit in einigen Fällen nicht durch das Instrument erreicht wird, so dient die dadurch erlangte Prüfung zur Sicherung des Ergebnisses der Rechnung.

Dem Scharfsinn, mit dem diese Hilfsmittel erdacht sind, und der Feinheit und Genauigkeit ihrer Herstellung wird man die Bewunderung nicht versagen können. Hieraus entspringt der Wunsch, die Grundlagen und Einzelheiten ihrer Konstruktion kennen zu lernen. Die Kenntnis der Zusammensetzung der Apparate wird aber dann notwendig, wenn es sich um die Prüfung ihrer Genauigkeit und Zuverlässigkeit handelt. Für einzelne Aufgaben kann eine solche Untersuchung eine Arbeitsvermehrung bedeuten, bei häufiger Anwendung des Instrumentes fällt sie aber kaum ins Gewicht.

Beschreibungen und Erklärungen sind für viele Instrumente aus Anlaß vonAusstellungen und im Aufträge von Präzisionswerkstätten in Katalogen veröffentlicht worden. Einige Enzyklopädien gehen, neben Literaturnachweisen, meist in knapper Form eine Übersicht über die vorhandenen Konstruktionen zur raschen Orientierung des Fachmannes. Es fehlt jedoch eine zusammenhängende Darstellung der Einrichtungen dieser Instrumente mit Erklärungen und Hinweisen auf ihre Anwendung, die als Einführung in diesen Zweig der Technik dienen könnte. Diese Lücke beabsichtigt das vorliegende Bändchen auszufüllen, das in denjenigen Abschnitten, die es erlauben, so allgemein verständlich wie möglich gehalten ist.

Allerdings war auch hier eine Beschränkung wegen der großen Ausdehnung des Gebietes geboten; die Auswahl des Stoffes läßt das Inhaltsverzeichnis erkennen. Insbesondere wurden die mathemati-

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sehen Zeicheninstrumente trotz darauf bezüglicher Vorarbeiten ausgeschieden, da sie den Umfang des Buches nahezu verdoppelt hätten.

Der Verfasser hat sich einer vielseitigen Unterstützung erfreut, für die er allen beteiligten Herren seinen lebhaften Dank auszusprechen sich erlaubt. Durch das freundliche Entgegenkommen der Verfertiger und Besitzer von Instrumenten war es ihm vergönnt, auch solche Konstruktionen, die er nicht durch eigene Anwendung kannte, in Augenschein zu nehmen. Im Deutschen Museum in München wurde es ihm in entgegenkommenderweise ermöglicht, auch ältere Instrumente kennen zu lernen. Leider fehlt in Deutschland eine dauernde Ausstellung, die eine Besichtigung und womöglich Erprobung der neuen Instrumente erlaubte.

Zu nicht geringem Danke ist der Verfasser den Herren Autoren, Verlegern und Konstrukteuren verpflichtet, die Abhandlungen, Abbildungen und Klischees gütigst zur Verfügung gestellt haben. Dem Vorteil gegenüber, daß vielfach Originalabbildungen wiedergegeben werden, kommt der geringe Nachteil kaum in Betracht, daß die Bezeichnungen nicht überall dem Texte angepaßt werden konnten.

Endlich gedenkt der Verfasser mit besonderem Danke derer, die ihm bei der Drucklegung mit Kat und Tat zur Seite standen, unter ihnen besonders der Herren Dr. Schweydar und Prof. Dr. Peters.

Potsdam, im Juli 1912.

A. (Halle.

Inhaltsverzeichnis.

Seite |

I. Abschnitt.

Arithmetische Apparate mit logarithmischer Skala 1-22

Seite

III. Abschnitt.

Die Meßrolle . . 48-52

1.    Logarithmischer Rechenschieber ........

2.    Bestandteile nach ihrer

geschichtlichen Entwicklung ..........

3.    Teilungen.......

4.    Stellenzahl.......

22. Einrichtung und theoretische Grundlagen .... 48 28. VerschiedeneMechanismen und Ersatz der Rolle durch Zylinder usw,

IV. Abschnitt.

50

Stetige Ilechenapparate. 53-59

. . io 24. Addition und Subtraktion 53

5. Theorie . .

0. Das Rechnen mit dem Stabe 12    25. Multiplikation und Divi-

7. Einige besondere Rechenschieber ........

sion

54

8. Instrumente von anderer Form.........

16 j 26. Quadratwurzelziehung . . 55

27.    Logarithmierung ....

28.    Trigonometrische und hyperbolische Funktionen , 56

56

21

II. Abschnitt.

Rechenmaschinen . 23-48

9. Vorzüge des Rechnens mit Rechenmaschinen . . . .23

10.    Zählwerk

11.    Zehnerübertragung ... 24

12.    Schaltwerk.......

13.    Einteilung der Rechenmaschinen .......

14.    Thomas - Burkhardtsche

Maschine........

15.    Divisionsmaschine Merce-

des-Euclid.......

16.    Odhners Arithmometer. . 33

17.    Rechenmaschine Gauß . 34

18.    Sellings Maschine .... 37

19.    Multiplikationsmaschine Millionär .

20.    Differenzenmaschinen . . 44

21.    Anforderungen an eine Rechenmaschine

V. Abschnitt.

Differentialapparate. 59-62

23

25

28

29

30

48

29.    Zweck.........

30.    Rollen- und Scheibenmechanismus .......

31.    Rollen- und Kugelmecba-

nismus.........

59

59

61

VI. Abschnitt. Kurvenmesser . . 62-66 32. Kurvenmesser

62

VII. Abschnitt. Flächenmesser. 66-131

33.    Flächentafeln . . .

34.    Harfenplanimeter und ähnliche ..........

35.    Verwandlungsplanimeter. 69

36.    Planimeter mit Integrierrolle

. . 66

66

70

Seite

Seite

37.    Theorie dieser Instrumente .........

38.    Koordinatenplanimeter .    77

39.    Linearplanimeter . . .

40.    Polarplanimeter . . .

41.    Kompensationsplanimeter 110

42.    Verschiedene andere Pla-

71

87

99

nimeter mit Integrierrolle 111

43.    Momentenplanimeter . . 118

44.    Schneidenplanimeter und Abarten

. . 122

VIII. Abschnitt. Apparate zur harmonischen Analyse. 131-154

45. Allgemeines und Verwendung des Planimeters . 131 4G. Analysatoren von Yule . 134

47.    Apparat von Le Conte . 137

48.    Analysator von \V. Thomson

138

49. Analysator von Henrici-Coradi

. 140

50.    Analysator von Sharp . 143

51.    Präzisionsinstrument von Sommerfeld und Wiechert 145

52.    Analysator von Michelson und Stratton

53. Apparat von Terada zur Analyse und Synthese von Schwingungen .....

IX. Abschnitt.

. 148

152

Integraphen . 154-178

54.    Grundlagen......

55.    Instrument von Abdank-

Abakanowicz.....

56.    Integrator von Pascal. . 161 Polarintegraph. . . . .

57.    Integratoren für Differentialgleichungen .... 172

154

157

171

I. Abschnitt.

Arithmetische Apparate mit logarithmiselier Skala.

1. Logarithmiselier Rechenschieber. (Rechenstab, règle à calcul, règle logarithmique, slide rule, regola calcolatore). Eine Logarithmentafel läßt sich auf verschiedene Arten durch eine

+2-

+1-

ys LOQ

nat %

y-log X

-1

Fig. 1.

-2

graphische Darstellung ersetzen. Betrachtet man die Zahlen als Abszissen und die Logarithmen als Ordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, so erhält man die logarithmische Kurve (curva logistica), mit deren Hilfe man die zueinander gehörenden Numeri und Logarithmen ablesen kann (Fig. 1). Auch der Übergang von gemeinen (Briggschen) zu natürlichen (Napierschen) Logarithmen kann in der Weise erreicht werden, daß man beide logarithmischen Kurven für dieselben Abszissen darstellt; die Kurve der natürlichen Logarithmen zeichnet sich vor allen auf eine andere Grundzahl bezogenen dadurch aus, daß sie die Abszissenachse unter dem Winkel r = 45° schueidet¹).

= tg T = i-, also für x — 1 {y — 0)

CO

Wenn man in der allgemeinen Gleichung der Logistik y — a lg -

in rechtwinkligen Koordinaten r und cp statt x und y schreibt, so

1

erhält man die Gleichung der logarithmischen Spirale r = aea in Polarkoordinaten. Wenn die Polarwinkel cp in arithmetischer Progression wachsen, so nehmen die zugehörigen Leitstrahlen in geometrischer Progression zu. Geht man also von einem Leitstrahl aus, der die Längeneinheit darstellt und schlägt mit ihm als Radius einen Kreis, so erhält man die Kreishogenlängen als Logarithmen der durch ihre Endpunkte gelegten Leitstrahlen der Kurve.

Ganz allgemein sind bei Zuordnung einer arithmetischen Reihe, die mit 0 anfängt, zu einer geometrischen Reihe, die mit 1 beginnt, die Glieder der ersteren die Logarithmen der Glieder der geometrischen Reihe und hierauf beruhte die Einrichtung der „Pro-greßtabuln“, der Vorläuferin een der Logarithmentafeln. In Anlehnung an diese Tafeln nach Byrgi (Byrgius 1552—1632) und Napier²) (Lord Napier of Merchiston 1550—1617) entstand der Progreßstab als erster Rechenstab.

Für gemeine Logarithmen entspricht z. B. einer arithmetischen Reihe mit der Differenz 0,1 eine geometrische mit dem Exponenten 1,259 (untere Seite der Figur 2 I). Die Strichintervalle sind die graphische Darstellung der Glieder der geometrischen Reihe (Potenzen von 10), während die den Teilstrichen beigefügten Zahlen (die Exponenten von 10) in arithmetischer Reihe wachsen. Liest man zu den Zahlen der arithmetischen Reihe (den Logarithmen) die etwa auf Millimeterpapier gezeichnete Skala ah, so erhält man durch Schätzung von Zehntelmillimetern die Numeri auf drei Stellen, und die Doppelskala, in der (oben in Figur 2 I) die runden Zahlen (Numeri) eingeschrieben sind, ersetzt eine Antilogarithmentafel.

Wenn man umgekehrt die Glieder der arithmetischen Reihe (Logarithmen) auf eine Skala aufträgt und nur die Teilung und Bezifferung der geometrischen Reihe beifügt, so kann man die Logarithmen ahgreifen und graphisch addieren oder subtrahieren. Auf diese Weise erhält man eine Skala, mit der man logarithmische Operationen ausführen kann, ohne die Logarithmen zahlenmäßig zu kennen (oben in Fig. 2 II).

Um einen Ersatz für die Logarithmentafel zu bekommen, muß

man noch die Bezifferung und Teilung der arithmetischen Reihe hinzufügen, wie sie unten in der Skala II der Figur 2 angegeben ist. Diese bei den eigentlichen Rechenschiebern als L- Skala bezeichnte Skala wird, wie wir sehen werden, verhältnismäßig selten in Anwendung kommen. In beiden Doppelskalen, I und II der Figur 2, stehen oben die Zahlen, unten die Logarithmen. Die erste (I) entspricht dem Progreßstabe, die zweite (II) dem Rechenschieber.

7,

OJ

0030.2 0.3 OA OA 0.6    07

3,

*    3.    6, Z 8. 9. UJ

O.J 0.2

04    03    06    0.7    08    0.9

Fig 2.

2. Bestandteile nach, ihrer geschichtlichen Entwicklung.

Die erste Form eines solchen Rechenstabes stammt von Gunter (1581—1626: Gunters scale oder Gunters line) und hat sich noch für besondere Zwecke als Navigation scale erhalten. Diese Skala erfordert die Verwendung eines Zirkels, dessen Spitzen in Löcher auf Messingplättchen eingesetzt werden. Man greift die Längen der Logarithmen ab und setzt sie additiv oder subtraktiv aneinander. Die so erhaltene Länge trägt man vom Anfangspunkt ab, und kommt so gemäß den Regeln log a -f log b = log (a ■ 6) und log a —

log 6 = log ^ auf die Zahl a ■ b oder welche das Produkt

zu

oder den Quotienten der zuerst abgegriffenen Zahlen darstellt. Weil man aber zuweilen über die eigentliche Skala hinwegspannen muß, so ist ein Verlängerungsbrettchen unentbehrlich. Um den Zirkel vermeiden, führte Oughtred (1574—1660)³) den Doppelstab ein, der zwei vollständig gleiche, aneinander verschiebbare Skalen besaß. Die erste größere technische Ausführung wurde auf Anregung von James Watt um 1770 in der'Metallwarenfabrik in Soho verwendet (Soho Rules). Um 1650 gab Seth Patridge dem Stabe die noch heute übliche Gestalt durch Einfügung der Zunge (des Schiebers), die in Felgen des eigentlichen Stabes gleitet,

wodurch eine sichere Führung der Skalen aneinander erreicht wird. Auf diese Weise war für vier Skalen Raum vorhanden, wobei die obere Stab-(A) und die obere Zungenteilung (J5) gleich waren, ebenso die untere Zungenteilung ((7), während die untere Teilung (D) auf dem Stabe den doppelten Maßstab besaß. Durch die Firma Tavernier⁴) in Paris wurden die je zwei aneinander liegenden Skalen (Fig. 3) genau gleich (A = B und C — D) und zwar C und JD in doppeltem Maßstab wie A und B ausgeführt⁵), so daß die Zahlen A und B die Quadrate der darunter stehenden Zahlen C und D sind, also ein bequemes Hilfsmittel zum Quadrieren und Quadratwurzel-Ausziehen bieten. Zuerst wird die HinzufüguDg einer quadratischen Skala von Lambert⁶) erwähnt.

Um nun die Übertragung zwischen nicht aneinander liegenden Skalen zu ermöglichen, oder sicherer zu gestalten, kam der von Mannheim⁷) 1851 selbständig erfundene, aber auch schon früher benutzte Läufer (courseur) hinzu, der auch zum Festhalten einer Einstellung bei Verschiebung der Zunge wichtige Dienste leistet. Er wird entweder als ein verschiebbares Metallstück mit zwei gleichen längs der Fugen zwischen A und E, bzw. C und D hinstreifenden, zugespitzten oder geschärften Zeigern ausgeführt oder in neuerer Zeit in Form eines an zwei oder allen vier Seiten eingefaßten Glasfensters konstruiert, das senkrecht zu den Skalen, also parallel den Teilstrichen einen (oder zwei) auf der Unterseite des Glases eingeritzten Strich trägt (Fig. 3). Durch Federn wird eine sichere Führung des Läufers gewährleistet. Für genauere Ablesung und für schwächere Augen werden auch Läufer mit Lupe oder Zylinderlinse⁸) gefertigt. Als nach dem deutschfranzösischen Kriege auf Anregung von Prof. Goering⁹) (1841—1906) Dennert & Pape in Altona die Verfertigung der aus Frankreich nicht mehr erhältlichen Rechenschieber unternahmen, wurde die wichtige Neuerung, die Teilungen auf Zellhorn (Zelluloid) anzubringen, eingeführt,

während sie vorher direkt auf Holz, Elfenbein oder Metall aufgetragen waren. Die Bekleidung der Ober- und Unterseite des Stabes mit Zellhorn¹⁰) dient zur Verhinderung der Krümmung durch Feuchtigkeit; zur Regulierung des Ganges der Zunge werden Stellschrauben¹¹) angewendet. Auf diese Weise ist ein nahezu einheitlicher Typus der Rechenschieber aus den ersten Fabriken Deutschlands¹²) entstanden. Die gebräuchlichste Länge beträgt 25 cm oder wenige Zentimeter mehr. Die halbe und doppelte Länge kommen ebenfalls vor, erstere bei Tascheninstrumenten¹³) von geringerer Genauigkeit, letztere an der Grenze der Handlichkeit.

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Fig. 3.

3. Teilungen. Die unteren Skalen C und D enthalten die logarithmischen Längen für die Zahlen 1 bis 10. Diese Längen¹⁴) sind von den Anfangspunkten aus abgetragen und an den Teilstrichen sind die Zahlen angeschrieben. Hur an Stelle von 10 steht wieder 1, da der dekadische Logarithmus von 1 und 10 nur durch die Kennziffer unterschieden wird. Da nun die Abstände sich verringern, so war für die Unterabteilungen maßgebend, daß die Intervalle nicht mehr als 1 mm und nicht weniger als 0,5 mm betragen sollen, um die Ablesung möglichst genau, aber die Teilung nicht zu eng zu machen. Infolgedessen konnte (bei 25 cm

2) S. Note 6 S. 4.

Länge der Skala) der Zwischenraum zwischen 1 und 2 in 100 Teile geteilt werden.¹) Von 2 bis 4 schreiten die Zahlen um 0,02, zwischen 4 und 10 um 0,05 fort. Um die Übersicht nicht zu erschweren, ist bei den Zwischenstrichen (außer bei den Zehnteln von 1 bis 2) die Bezifferung fortgelassen und sind nur längere Striche zur Unterscheidung benutzt worden. Die an einander liegenden Skalen A und B der oberen Hälfte des Stabes und der Zunge sind ganz entsprechend wie C und D konstruiert, nur bestehen sie aus zwei halb so langen (125 mm) einander fortsetzenden, unter sich gleichen Skalen. Man kann daher den Anfangsstrich als 1, den Mittelstrich als 10, den Endstrich als 100 ansehen. Jedoch sind alle drei mit 1 bezeichnet. Der Kürze der Teilungen wegen sind hier die Unterabteilungen an Zahl geringer, indem sie zwischen 1 und 2 um 0,02, zwischen 2 und 5 um 0,05, zwischen 5 und 10 um 0,1 fortschreiten. Außer diesen Zwischenstrichen sind auf den meisten Rechenschiebern noch einige Striche eingetragen, die für besondere Zwecke nützlich sind, oft auch störend empfunden werden, so für % = 3,142 (zugleich zur Verwandlung preußischer Fuß in Meter²) dienend), q" = 206 265, p'= 3438 für alte Kreisteilüng, p,,= 636620 für neue Kreisteilung u. a. Die Rückseite der Zunge trägt ebenfalls Teilungen, die entweder bei umgewendet eingeschobener Zunge an den Vorderteilungen oder bei umgewendetem Instrument an Indexstrichen in zwei Ausschnitten der Unterfläche des Stabes links und rechts abgelesen werden. Die obere dieser Teilungen auf der Rückseite der Zunge, mit S bezeichnet, gibt die Sinus in der Einheit der A-Teilung, die untere, mit T bezeichnete die Tangenten der Winkel in der Einheit der D-Teilung, während die mittlere, meist L benannte, eine um 0,5 mm gleichmäßig fortschreitende ist. Schiebt man die Zunge umgewendet ein, so daß die S- und M-Teilung an

1) Zahl.    Logarithmus x X —    Länge. Diff.

1,08

1,07

2) Genauer 1 pr. Fuß = 0,3139 m.

3438

einander liegen und Anfangs- und Endstrich gegenüberstehen, so sind die Zahlen Al bis A 100, mit 100 dividiert, die Sinus der auf der $-Skala angegebenen Winkel. Diese beginnen mit 0° 34', 4¹), für kleinere Winkel rechnet man mit dem Arcus-Verhältnis q', näm-

in Minuten. Bis zu 10° schreitet die ^-Teilung um

lieh sin cc =

5', bis 20° um 20', von 20° bis 40° um 30', von 40° bis 70° um 1° fort, diesem letzten bezifferten Striche folgen die Striche bis 80° im Abstande von 2°, dann noch 85° und 90°. Da die J3-Teilung der Zunge identisch mit der A-Teilung des Stabes ist, so entsprechen sich auch die Striche B und S auf der Vorder- und Rückseite der

Zunge und da der obere¹⁵ 16) Indexstrich im rechten Ausschnitt der Unterfläche mit dem Endstrich der Stahteilung auf der Oberseite korrespondiert, so liest man auf der nach rechts¹⁶) ausgezogenen umgewendeten Zunge die Grade der $-Skala unter dem Endstrich ab, deren Sinus auf der JS-Skala bei umgewendetem Instrument am Indexstrich der Unterseite erscheinen. Wenn man die Zunge in der Weise umgekehrt einschiebt, daß die G-Teilung gegenläufig an der A-Teiluug, ebenso B an 1) anliegt, und die Zunge nach links herauszieht, so kann man am Indexstrich des linken Ausschnittes der Unterseite die Grade¹⁷), deren Ziffern auf dem Kopfe stehen, auf der /S-Skala einstellen. Da diesem Indexstrich auf der Oberseite der Anfangsstrich der Stabteilung (A und D) entspricht, so steht hier auf der .B-Skala gegenüber dem Anfangsstrich von D der Sinus. Oder man kann, da das herausgezogene Stück der Zunge der Einrückung am rechten Ende gleich ist, ebenso gut dieselbe Zahl auf A über dem Endstrich C der Zunge ablesen, da ja A und B identische Skalen und in dieser Lage gegenläufig sind. Bei normaler Zungenstellung endlich, d. h. bei gleich gerichteten und an einanderliegenden A und B erhält man beim Ausziehen der Zunge nach rechts zu den am Index der Unterseite abgelesenen Gradzahlen S über dem Anfangsstrich von B (auf der Zunge) auf der Stabteilung A die reziproken Werte der Sinus, also die Kosekanten.¹⁸) Denn es ist jede Zahl A über dem Anfangsstrich der Zunge (D l) reziprok zu jeder Zahl B unter dem Endstrich (A 100) des Stabes¹⁹), und andererseits liegen die entsprechenden Zahlen B der Vorderseite und S der Rückseite der Zunge übereinander.

10' fort. Für Winkel kleiner als

um

Die T-Teilung entspricht den C- und D-Skalen, so daß bei umgewendeter Zunge und Anliegen von T und D beim Zusammenfallen der Endstriche die Tangenten²⁰) direkt unter den Graden stehen. Dem Anfangsstrich 5° 43',8 von T entspricht die Ablesung 0,1 auf D, dem Endstrich 45° D 1. Die T-Teilung schreitet bis 20° um 5', von 20° bis 45°

5° 43',8 wird tang durch sin ersetzt. Für Winkel größer als 45°

wird tgæ =

tg(90°—x)

denen bei der 8-Skala, so daß wir sie kurz aufstellen:

Vorderseite T an J, Rückseite Index links: Für Winkel T gegenüber D 1 ist C gegenüber Index die Tangente.

Vorderseite A, D, C, D in normaler Lage: C gegenüber D 1 ist Tangente von T am linken Index der Rückseite oder auch D gegenüber (710 Kotangente desselben Winkels.

Vorderseite A, C, B, D bei umgekehrt eingeschobener Zunge: D²¹) gegenüber B 1. Tangente von T (Ziffern auf dem Kopfe) am oberen Index rechts.

gebildet. Die Regeln sind entsprechend

Die D-Teilung trägt eine den andern Skalen entgegengesetzt laufende gleichmäßige Teilung und Bezifferung von 0 bis 10 mit 50 Unterabteilungen zwischen je 2 Zahlen. Wendet man und dreht man gleichzeitig die Zunge um, so daß L in gleicher Richtung wie A und D läuft, so kann man mit Hilfe des Läufers zu jeder Zahl D den (beim Zusammenfallen der Endstriche) darüberstehenden Logarithmus (auf dem Kopfe stehend) auf L ablesen. Bequemer liest man bei normaler Zungenlage und nach rechts herausgezogener Zunge am rechten unteren Index der Unterseite den Logarithmus der Zahl D ab, die dem Anfangsstrich ((71) der Zunge gegenübersteht.²²)

Zur Verwendung des Rechenschiebers als Zeicheninstrument dient die abgeschrägte obere Kante (neben der M-Skala) mit einer 25 cm langen Millimeterteilung, deren Endstriche mit denen der Stabteilungen zusammenfallen. Die gerade Kante des Instrumentes (an der JO-Skala) ist dagegen ihrer ganzen Länge nach (der auch die Länge der Zunge gleich ist) in Millimeter geteilt. Zieht man die Zunge heraus, so setzt sich ihre Länge an der dadurch sichtbar werdenden Bodenfläche fort, die also mit der Zungenlänge zusammen einen Maßstab von doppelter Länge des Instruments (etwa 50 cm) darstellt.

4. Stellenzahl. Für alle Rechnungen mit dem (25 cm) Rechenschieber zieht man höchstens 4 Ziffern der vorgelegten Zahlen ohne Rücksicht auf die Stellung des Kommas in Betracht. Die Stellung des Kommas im Resultat erhält man am besten durch besondere Überlegung²³).

In manchen Fällen, besonders bei einer größeren Anzahl aufeinanderfolgender Multiplikationen und Divisionen, kann es vorteilhaft sein, die Stellung des Kommas im Resultat durch eine mechanische Regel festzustellen oder zu kontrollieren. Zu diesem Zwecke denkt man sich die gegebenen Zahlen in der Form

al0w-i-510re_1-l-cl0n_2-i----1-^ 10²³ -j- ä 10°-f- ilO⁻¹-f-/clO~²⁴-” ²⁴).

Den Exponenten n bezeichnet man als führende Ordnungsziffer. Bei einem Produkt ist die führende Ordnungsziffer gleich der Summe der führenden Ordnungsziffern der Faktoren.²⁵) Reicht die Skala nicht zur Aneinandersetzung der Logarithmen aus, so ist ein Rückschlag nötig, indem man den Endstrich der Zunge statt ihres Anfangsstriches benutzen muß, was einer Division mit 10 gleichkommt. Man muß daher das Resultat mit 10 multiplizieren oder für jeden Rückschlag die Ordnungsziffer um 1 erhöhen.²⁶) Bei der Division ist die führende Ordnungsziffer des Quotienten

Logarithmen den vom Anfangspunkt des letzteren gezählten Zahlen zugehörig. Am rechten Ausschnitt der Unterseite befinden sich zwei Indizes.

gleich der Differenz der Ordnungsziffern von Dividend und Divisor, wenn man mit derselben Skala ausreicht.¹) Ist dagegen ein Vorschlag erforderlich, der eine Ablesung am Endstrich statt am Anfangsstrich, also eine Multiplikation mit 10 bedeutet, so muß man die Ordnungsziffer um 1 erniedrigen.²) Diese Regeln werden gewöhnlich in den Gebrauchsanweisungen in anderer Eorm aus-die Stellenzahl (die um 1 höher ist als

gesprochen, indem man die Ordnungsziffer) einführt.

Multiplikation :

Ergebnis in derselben Teilung rechts: Stellensumme minus 1 Ergebnis in derselben Teilung links (bei A/B auch in der folgenden Teilung rechts): Stellensumme.

Division:

Ergebnis in derselben Teilung links: Stellendifferenz plus 1 Ergebnis in derselben Teilung rechts (oder bei A/B in der vorhergehenden links): Stellendifferenz.

Zur Erinnerung an diese Regeln findet sich auf manchen Stäben linker Hand Q 1, rechter Hand P — 1 angeschrieben (Ç Quotient, P Produkt).

5. Theorie. Die Striche x einer Skale von der Länge 1 seien die Endstriche der vom Anfangsstrich x₀ abgetragenen Strecken Xcp(x). Wenn noch der Endstrich der Skala mit xn bezeichnet wird, so ist Xcp(xQ) = 0 und kcp(xn) — 1, also cp(x₀) = 0 und cp (x ) = 1.³) Die Länge einer zweiten Skala werde entsprechend mit /a, Anfangs- und Endstrich mit y₀ und yn bezeichnet und die Streckenlängen vom Anfangsstrich aus seien y%{y), dann ist ebenso %(yo) = 0 und l(Vn) = !•

Bei beliebiger Verschiebung der Skalen und gleichlaufender

Teilung seien (#, y) und (a, &) zwei Paare einander gegenüber-liegender Striche. n Ferner liege dem äußersten Strich y0 der Strich M, dem äußersten Strich der andern Skala xn der Strich B gegenüber. Wir lesen aus Figur 4 ab:

Xq

Vo

Fig. 4.

Xn

1)    6:3 = 2, 0 — 0 = 0.

2)    12:4 = (1,2 : 4) X 10 = 3, (1 — 0) —1 = 0.

3)    Für cp(x) = logx ergibt sich æ₀ = l, xn = 10; für cp(x) = log (10 tanga;) ist x₀ — 5° 43',8, xn = 45°.

8256 : 16 = 516, 3 — 1 = 2.

i[<pO) — cp 0)] = f*[x(&) — %(y)\

oder

\cp{x) — fi%(y) = ig>(a) —

xn

Lassen wir das xo Paar (x, y) wandern, so daß es einmal mit

Vo

Fig. 5.

« = ^ y=*y₀,

das zweite Mal mit

x = xn, y = B zusammenfällt, so erhalten wir (1) lq>(A) = lgo(a) — f*z(⁶) = *9>0*0 — f^G/) = ²⁷ Sind die Skalen gegenläufig (Figur 5), so ist

oder

l[cp(a) — <p(a?)] == —    — x(y)]

und

(2) lq)(A) + ii = X(p(a) +yx(P) = X(p(x) + y%(y) = 1 + f*z(-B)*

Die Ausdrücke Xcp(x) + y%(y) Laben also für eine bestimmte gegenseitige Lage der Skalen einen konstanten Wert, der durch die dem Anfangs- oder Endstrich der andern Skala gegenüberliegende Ablesung bestimmt ist. Faßt man (l) oder (2) als eine Gleichung zwischen zwei Unbekannten x und y auf, so kann man, wenn noch eine zweite Gleichung zwischen ihnen gegeben ist, (falls sie einfacher Natur ist) mit dem Rechenstab die Unbekannten finden. Ein solcher Fall ist der, daß die Summe oder Differenz x + y — k gegeben ist. Man sucht dann dasjenige Zahlenpaar bei der durch die erste Gleichung (l bzw. 2) bestimmten Skalenstellung auf, das die Summe oder Differenz k hat.²⁷)

6. Das Rechnen mit dem Stabe.

Die Gleichungen (l) und (2) enthalten die Lösung der für den Rechenschieber vorkommenden Aufgaben, wenn sie den besonderen Fällen angepaßt werden. Insbesondere wird häufig u — X sein.x)

Bei zwei identischen

Skalen (M und B oder C und B) ist nach Figur 4 und nach 5. (l) bei einer bestimmten Stellung log A -(- log b = log a also Ab = a. Hieraus ist das Verfahren bei der Multiplikation ersichtlich, wo die Reihenfolge der Faktoren willkürlich ist. Man sieht zugleich, daß bei dieser Stellung alle Zahlen x das A-fache aller Zahlen y sind, der Rechenschieber vertritt daher eine Verwandlungstabelle, die man leicht durch eine andere (wie es z. B. für Kurstafeln wünschenswert ist) ersetzen kann, indem man A einen andern Wert gibt (durch Verschiebung der Zunge). Andrerseits ist log« — log b — log A oder a/b = A, woraus sich das Verfahren für die Division ergibt. Zugleich ist für jedes Wertepaar x/y = A; wenn die Fuge zwischen den beiden Teilungen als Bruchstrich betrachtet wird, so ist der Bruch, den jedes Zahlenpaar bildet, für eine bestimmte Zungenstellung derselbe.

Hiermit ist die wichtigste Anwendung des Stabes, nämlich die für die Proportionalrechnung, gegeben. Es ist x : y = a : b. Ist x gesucht, so stellt man a über b und liest x gegenüber y ab.

Bei identischen, aber gegenläufigen Skalen ist x-y = A nach

5. (2) und Figur 5. In dem Falle x₀ = A (d. h. wenn sich xQ und yn gegenüberstehen, die Zunge ganz eingeschoben ist), sind x und y reziproke Werte (weil x₀ — l), die mit dem Läufer eingestellt werden, weil die Skalen nicht aneinander liegen.

Die Quadratbildung erfolgt entweder durch Multiplikation eingeschobener Zunge, bildet man nach (1) log (5,66) — loga?₂ = loga^ . Man hält in diesem Falle mit dem Läufer die Zahl 5,66 auf der Stabteilung fest und verschiebt die Zunge so lange, bis der ihrem Anfangsstrich entsprechende Wert (xl — A) der Stabteilung und die unter dem Läuferstrich auf der Zunge erscheinende Zahl (y = a?₂) die Summe 5,09 ergeben. — Lösung der Kepler sehen Gleichung. Astr. Nachr. 186, 357.

1) Beim gewöhnlichen Rechenschieber ist für die Skalen A und B X — [i und ebenso für C und I). Wenn man dagegen A oder B mit C oder D kombiniert, so ist l (für A und B) = 1 gesetzt, y — 2 (für C und D). In diesem Falle ist (A oder B): qp(æ) = logæ, (C oder D: 2 %(y) = 2 log y = log?/². Wenn die Anfangspunkte zusammenfallen, erhält man daher x (auf A oder B) — y* (auf C oder D) oder auch y = Vx.

oder einfacher durch Übergang yon der Skala D auf A oder von C auf B mit Hilfe des Läufers. Die Quadratwurzel wird umgekehrt durch Übertragung von A auf B oder von B auf C gefunden; man teilt die gegebene Zahl vom Komma in Gruppen von je zwei Stellen. Ist die Zahl ungeradstellig, so benutzt man die linke, ist sie geradstellig, die rechte Hälfte von A (oder B).

Den Kubus JV³ findet man, indem man den Zungenanfangsstrich über JV^D) (N auf Skala D) stellt und Nd über N(B) auf A abliest. Bei umgekehrt eingeschobener Zunge stellt man N(Ä) und -AT (0) einander gegenüber und findet JV"³ auf A gegenüber 10(1 auf Skala 0). Da nur ein Endstrich in Frage kommt, entsteht kein Zweifel. Bei der Kubikwurzelziehung teilt man die gegebene Zahl vom Komma aus in Gruppen von drei Ziffern. Je nachdem die erste Gruppe gültiger Ziffern ein-, zwei- oder dreistellig ist, benutzt man die linke Hälfte von A und den Anfangsstrich von B (für 1—10), die rechte Hälfte von A und den Anfangsstrich von B (für 10—100), oder die rechte Seite von A und den Endstrich von B (für Zahlen 100—1000).¹) Bei verkehrt eingeschobener Zunge stellt man einen Endstrich der nach links fortschreitenden Skala 0 auf die Zahl N der anliegenden Skala A und zwar stellt man, je nachdem die erste dreistellige Gruppe außer etwa voranstehenden Nullen

1    Ziffer enthält:

N auf der linken Hälfte von A: den rechten Endstrich von C

2    Ziffern enthält:

N auf der rechten Hälfte von A: den rechten Endstrich von C

3    Ziffern enthält:

Ar auf der linken Hälfte von A: den linken Endstrich von C

1) Beispiele: ]/8 = 2. Läufer auf 8A (links). Man verschiebt die Zunge, bis 1(7 über derselben Zahl D steht, die auf B (links) unter dem Läuferstrich erscheint. (Also 1(7 über 2Z), wenn 2B unter 8A).

]/27 — 3. Läufer auf 27 A (rechts). Man verschiebt die Zunge, bis auf der linken Hälfte von B dieselbe Zahl unter dem Läuferstrich steht, wie auf D unter dem Zungenanfang. (1(7 über 3D, 27 A über 3 B).

Y216 = 6. Läufer auf 216 A (rechts). Zungenverschiebung bis auf D unter dem Zungenende dieselbe Zahl steht, wie auf B (rechts) unter dem Läuferstrich (10(7 über 6 D, 216 Ar über 6 Br). Ist N die Zahl auf A und steht darunter y auf B, so steht auf A über dem N

Zungenendstrich — = x* und unter demselben Zungenende x auf D, mithin ist N = xs für y = x.

gegenüber N. Diejenige Zahl, die auf den anliegenden SkalenM und C sich selbst gegenüberstellt, ist f/lV.

Um eine beliebige Potenz oder Wurzel mit dem Rechenschieber zu bilden, muß man mit Benutzung der Formeln log (an) = n log a

und log (Ya) == ~ log a und log log (a”) = log n + log log a,

mm

loglog(]/a) = log log a — logw vom Numerus zum Logarithmus übergehen, wofür die oben (S. 9) beschriebene L-Teilung dient. Wegen des Wendens des Instruments ist dies Verfahren unbequem. Eine Erleichterung gibt Martiny¹) an, indem er die obere schräge mm-Teilung benutzt, deren Teilungsendstriche mit denen der Stabteilung zusammenfallen. Stellt man den Läufer auf den Anfangsstrich der Stabteilung ein, so reißt man auf der über der mm-Teilung gleitenden Seite des Läufers auf dem Metalle einen Strich ein (bzw. bringt man einen Zeiger an), der mit 0mm zusammenfällt. Man verwendet dann bei Verschiebung des Läufers einfach die in Millimeter abgelesenen logarithmischen Längen (vgl. S. 5 Anm. 5) statt der X-Teilung.²) Die Skalenlänge von 250 entspricht der Zahl 10, für jede Potenz von 10 ist sie um das vielfache, welches der Exponent angibt, verlängert zu denken.²⁸)

Um die Rechnung mit gebrochenen Exponenten noch mehr zu vereinfachen, hat Lanchester²⁹ 30) einen besonderen Läufer konstruiert, den er Radial Cursor nennt. In dem Läuferrahmen ist senkrecht zu den Skalen ein Schieber MNO verstellbar, der am Ende einen Knopf 0 trägt, um den sich ein durchsichtiger Zellhornstreifen dreht. Eine auf diesem eingeritzte gerade Linie OJK geht durch die Kopfmitte. Insbesondere dient diese Vorrichtung für die Gleichung der adiabatischen Kurve pvY = konst., so daß

1) Deutsche Mechaniker Zeitung, 1906, S. 143.

r±

2) Beispiel: f/l,6 = (1,5)⁴⁸ = x 1527 = 44

über 627 steht 614(7, also 44 • ³¹ = 6,14. 6,14

43

44 C über 43 D. = 1,05817, # = 1.058.

mi

im

1,09.

4) Phil. Mag. (5) 41, 52.

z. B. log p% — log px = y (log vx — log v₂) ist. Schiebt man die

Zunge verkehrt ein, so stehe auf Teilung A: X auf j)₂, M auf px,

auf Teilung B: J auf vx, N auf v% ein, dann ist auf Teilung A

die Strecke MX = log p₉ — log p,, auf Teilung B die Strecke

-KJ- -r i    !    -vr • I    MX MO    MN

A J = log Vi — logt’j. Nun ist y = j = -^q = 1 + und

MN

y —

verschiedene Werte y die Länge NO oder auch NZ, wo Z die Mitte von MN ist, berechnen und eine Skala auf M 0 anbringen.

Reicht die Skala für die gegebenen oder gesuchten Werte von y nicht aus, so nimmt man statt

NO =

Da MN die Zungenbreite ist, so kann man für

X'

J\ N

dessen — A)

y J

Boys²) fügte bei seinem Rechenschieber noch eine Skala der Logarithmen der Logarithmen hinzu.

Kg. 6.

Die Prüfung des Rechenschiebers wird sich der Hauptsache nach auf das Zusammenfallen der Anfangs- und Endstriche der Teilungen auf Ober- und Unterseite der Zunge mit denen der Stabteilungen erstrecken. Auch muß das Zusammenfallen der Striche der gleich geteilten Skalen und zugleich die zur Skalenrichtung senkrechte Lage des Läuferstrichs geprüft werden. Es kommen zuweilen auch Teilungsfehler an einer einzelnen Stelle vor, die am ehesten durch Proberechnungen entdeckt werden.

Die Genauigkeit des Rechnens ist von dem einzelnen Instrumente, insbesondere aber auch von dem Rechner abhängig. Im Mittel wird man für den Rechenschieber von 25 cm Länge

1) Ein anderes Beispiel ist lx =3. Da x offenbar ein Bruch ist, sucht man —

log 7

Man stellt den Läufer in die Mitte der Skala,

x log 3 ‘

hält den Zellhornarm so, daß die Exponentiallinie durch 7 A geht und verschiebt den Knopf 0 in der Richtung OM so lange, bis der 3{A) auf B gegenüberliegende Punkt von der Exponentiallinie getroffen wird.

Dann gibt die Skalenablesung bei Z 1,77, also ist x

2) Nature 72, 45, 1905 (s. w. unten Fürle).

1,77

0,565.

0,2 °/₀ oder —^ Fehler annehmen können, doch geben einzelne

Rechner Genauigkeiten bis zu 0,05 °/₀ an.

Endstrich 1 oder io)

7. Einige besondere Rechenschieber. Um eine größere Genauigkeit von etwa 0,03 °/₀ zu erzielen, hat man bei gleicher Länge des Instruments die Skalenlänge dadurch verdoppelt, daß die obere Stab- und Zungenteilung nur die Zahlen von 1 bis ]/l0 = 3,162, die unteren Teilungen die Fortsetzung von]/lO bis 10 enthalten.³²) Bei dem Präzisionsschieber von Nestler ist die X-Teilung auf die Vorderseite genommen und ebenfalls in zwei übereinander liegende Hälften geteilt, und dadurch auf der Rückseite der Zunge Platz gewonnen, um auch den S- und T-Tei-lungen eine doppelte Länge zu geben³³); die Hinzufügung der gewöhnlichen Teilung von 25 cm Länge und zwar zweimal mit verschiedener Bezifferung (l —10 und 10—100) macht den Stab nur wenig breiter und die Bildung der Quadrate und Wurzeln sehr bequem. Diesen Vorzügen steht ein geringer Nachteil gegenüber, der darin liegt, daß das Ergebnis bald auf der oberen, bald auf der unteren Skala erhalten wird. Jedoch ergibt sich als sehr einfache Regel, daß bei Benutzung der noch durch ein Kreuz ausgezeichneten Zwischenendstriche (]/lo) auf der Zunge, das Produkt bei der Multiplikation nicht an der anliegenden, sondern auf der gegenüberliegenden Skala abgelesen wird, und umgekehrt bei der Division, daß bei Einstellungen mit Hilfe des Läufers, also Gegenüberstellung von Zahlen der oberen und unteren Skala, die Ablesung an dem einen Zwischenstrich (]/l0, nicht am erfolgt. Diese Regel folgt daraus, daß die Zahlen der unteren Skala (der Fortsetzung der oberen) das ]/lO-fache der oberen sind. Wenn also durch Einstellung mit dem Zwischenstrich das ]/lO-fache an der anliegenden Skala erhalten würde, so muß man

noch mit ]/l0 multiplizieren oder dividieren, d. h. auf die gegenüberliegende Skala übergehen: obere Skala cp{x) = log#, untere Skala %{x) = log(a?|/l0).

Die französische Katasterverwaltung benutzt einen Stab nach diesem Prinzip, aber von doppelten Dimensionen (Skalenlänge 1 m, Stablänge 50 cm) zur Ausführung aller einschlägigen Rechnungen. Bei langen Schiebern läßt sich jedoch die Konstanz der Übereinstimmung identischer Skalen schwerer erreichen.

Rechenschieber zu besonderen Zwecken sind in großer Zahl konstruiert worden.³⁴) Ein Teil bezweckt Vereinfachung und damit Verbilligung durch Weglassung von Teilungen³⁵) oder Beschränkung der Striche.³⁶) Nur erwähnt seien Schieber für kaufmännische (Hannyngton) und für militärische Zwecke (Schrittmaß), zur Rechnung nach den tachymetrischen Formeln (Skalen mit sin cc • cos a und cos³⁵a), zur Berechnung barometrischer Höhen (Sresnewsky),³⁷) für Ingenieure usw. Hervorgehoben seien zwei besonders vielseitige Stäbe, bei denen durch eine praktische Anordnung der Skalen die Übersicht ermöglicht wird.

Der Nautisch-Astronomische Rechenstab von R. Nel-ting³⁸) gestattet das direkte Rechnen mit den Quadraten und Wurzeln der Zahlen und der trigonometrischen Funktionen und findet eine vielseitige Anwendung in der terrestrischen und astronomischen Navigation. Der 52 cm lange Stab trägt nicht allein auf der Ober- und Unterseite, sondern auch auf den langen Seitenflächen Teilungen, die durch einen den Stab rings umfassenden Läufer (Z) mit vier Glasfenstern und Einstellstrichen in Beziehung gesetzt werden. Er enthält ferner zwei Schieberzungen ( Y, Yt Fig. 7, X Hauptteil, I Stellschrauben), die übereinander liegen, aber miteinander vertauscht werden können und deren jede auf beiden Seiten Teilungen trägt, die durch Umwenden der Zungen, sowohl mit der Ober-, wie mit der Unterseite des Stabes zusammengestellt werden können. Um einen Überblick zu erhalten, möge eine Zusammenstellung der Teilungen folgen¹):

A) Obere Fläche.

J in Zeit J in Bogen

1)    logsin: 0h0m ls,4 bis 0h2m17⁸

2)    logsin: 0ll2m 18⁸    „ 6n0ra0s

3)    logsin: 0°0' 21"    „ 0°34'22"

4)    logsin: 0°34'23" „ 90°0'0"

(Raum für die Zunge.)

5)    log tang:    5°42'    45"    bis    45°0'0"

6)    log tang:    0°34'    22"    „    5°42'30"

7)    log tang:    0h22m 51s    „    3h0m0⁸

8)    log tang:    0h2ra    18³    „    0h22m50⁸

| in Bogen in Zeit

B) Vordere Seitenfläche.

9) logsin: 5°44' 30" bis 90°0'0"

10)    logsin: 0°34' 23" „ 5°44'15"

11)    logsin: 0h22m58⁸    „ 6h0m0s

12)    logsin: 0h2m 18⁸    „ 0h22m57⁸

| in Bogen in Zeit

doppelter

Maßstab

von

1) bis 4)

1) Als Beispiel diene die Berechnung der Zenitdistanz z eines Gestirns aus Polhöhe qp, Deklination 8 und Stundenwinkel t. An Stelle von cos z — sin qp sin 8 -|- cos qp cos 8 cos t setzt man (mit qp =

90° — p, 8 — 90° — b) sin*-||- # = sin* (& —p) + sinp sin b sin²-^-£ =

rn

oder mit — —

~j/sinfe sinp sin*— t

siny(&—p)

= tgæ

erhält man sin ~^~z

lung 11 oder 12 ein, addiert log sin b und log sinp nacheinander mit Teilung 21 oder 22 der Zunge I und liest m unter dem Läuferstrich auf Teilung 14 ab. Man stellt auf Teilung 23 oder 24 bzw. bei

kleinen Winkeln auf Teilung 17 oder 18 der Zunge -—(6—p) unter

den Läuferstrich und erhält x am Anfangsstrich der Zunge auf Teilung 5 oder 6 des Stabes. Man stellt x auf Teilung 23 oder 24 unter

den Läuferstrich und erhält auf Teilung 9 oder 10 des Stabes am

Anfangsstrich bzw. End strich der Zunge.

sinæ ‘

Man stellt mit dem Läufer

— t auf Tei-2

C) Untere Fläche.

Häufig vorkotnmende Zahlenwerte.

13)    log: Zahlen 1—10 zweimal nacheinander.

(Raum für die Zunge.)

14)    log: Zahlen 1—10 (doppelter Maßstab von 13).

Häufig vorkommende Zahlenwerte.

D) Hintere Seitenfläche.

15)    Mantissenteilung 0,0 bis 1,0000.

16)    Dieselbe im doppelten Maßstabe.

7-

Yi

11111 ii 11

Miln

¹¹ V

n y TI

il

Hl

il

Kg. 7.

Innere Seite:

Zunge T.

17)    log sin u. tang : 0°0'2l" bis 0° 3'26"

18)    log sin u. tang: 0°3'27" bis 0°34/22'/

19)    Teilung 6 |

Äußere Seite: 21) Teilung 4

22)

20)

11

5]

doppelter Maßstab

23)

24)

10

Zunge II.

Innere Seite:

Äußere Seite:

25)    Teilung 4

26)    Teilung 4 in Kompaß

strichen

27)    Teilung 5

28) Teilung 13

doppelter

Maßstab

29)

11

doppelter

Maßstab

Der Rechenschieber von Fürle enthält elf Skalen, welche infolge der getroffenen Anordnung auf einem Instrument von denselben Dimensionen, wie der gewöhnliche Rechenschieber hat, Platz finden. Sie sind mit den beigesetzten Buchstaben bezeichnet, während À die Längeneinheit bedeutet.

Yon den zahlreichen durch Kombination je einer Skala des Stabes und der Zunge lösbaren Aufgaben seien einige hier angeführt. Das Skalenpaar KZ dient für die Zinseszinsrechnung:

C — ^1 -f-    . Sind kQz₀ und kz je zwei untereinanderstehende

Zahlen, so ist log k₀ — log k = log log z — log log zQ also zk = z₀k° für eine Skalen Stellung konstant.

Das Skalenpaar GL' liefert die reellen Wurzeln einer kubischen Gleichung. Sind x,y³ und a,b³ untereinanderstehende Werte,

so ist IOæ+IOa=y³-\-b³ für

laufende Skalen. Man bringt

gleich entgegen

stitution z x — y entspricht.

Biquadratische Gleichungen löst das Skalenpaar N' K. Für übereinanderstehende Zahlen #, y und a, b ist x³y = a³b, also für

x = y, y4, = a³b. ~    .    x

Das Skalenpaar KQ', also die Funktionen cp(x) = — logx,

X    ^

%{y) = ₃ logt/ liefern bei umgekehrter Zunge x³y² = a³b², also

für x = 2/, x³ = a³b³. Man verschiebt die Zunge, bis dem Werte a von Q' dieselbe Zahl auf K gegenübersteht, wie auf Q' dem Wert b von K.

Die trinomische Gleichung pxia qxn — r bringt man durch

die reduzierte kubische Gleichung y³ + p z = + q durch die Sub-=    au^ die Form x³ + 10a: = 10a -jb &³, die

die Substitution x

= 1 bia 1000

100

Stabteilungen.

— logæ von x l

Yl°ëx .» Æ==1 » 100 X logæ „ x = 1 ,, 10 (Raum für die Zunge.)

— x

100

-irX*

1000 y

Zungenteilungen.

N' = W

Q'

Z ~ [log log y — log log «] 1

= ^ + y log l°g 2/

(a Anfangszabl)

= W L' = i

= ryV y -y auf die Form y m

zufügung der Bedingung y% — yl — d,

l

Zur Berechnung dienen K und Z mit den Funktionen cp(x) w= „log#,

l(y) — ® + « log log 2/. Man erhält y^* — y₂ai und unter Hin-

\ a₂

yl + d — yxai oder

fi

yi“³⁹— Vi = d-

8. Instrumente von anderer Form. Den Rechenschiebern werden von manchen Rechnern die Rechentafeln vorgezogen, weil die oft ruckweise erfolgende Bewegung der Zunge hier wegfällt. Sie bestehen aus Skalen, die in Stücke zerschnitten und parallel zu einander in einer Ebene angeordnet sind. Eine darauf zu legende durchsichtige Scheibe mit ebensolcher Anordnung vertritt die Zunge des Rechenschiebers. Da wir sie nicht zu den eigentlichen Instrumenten rechnen können, erwähnen wir hier nur die Tafeln von Billeter³⁹), Klott, Everett, Hannyngton, Scherer⁴⁰), Proell u. a.

. Der Zylinder läßt sich sowohl

10000

Werden die logarithmischen Skalen auf dem Mantel eines Zylinders angeordnet, so entstehen die sog. Rechenwalzen, wie sie Mannheim, E. Thacher⁴¹) und Billeter konstruiert haben. Hierher gehört auch das Instrument von Fuller⁴²), dessen Teilung in einer Schraubenlinie auf einem Zylindermantel aufgetragen ist und eine Länge von 12,7 m hat. Die Ablesung ist z. T. fünfstellig und die Genauigkeit etwa */. drehen als in der Richtung der Achse verschieben; die Achse wird an einem Griff gehalten, an dem ein fester Index befestigt ist. Außerdem sind zwei bewegliche Indizes vorhanden, deren Entfernung dem Abstande des Anfangs- und Endpunktes der Skala gleich ist. Bei der Multiplikation bringt man den festen Index auf einen

, bei der

Endstrich, stellt einen beweglichen Index auf den Multiplikandns, bewegt dann den Zylinder, bis der Multiplikator den festen Index trifft, und liest das Produkt am beweglichen Index ab. Bei der Division stellt man den festen Index auf den Divisor, und den beweglichen auf den Dividendus, bewegt darauf den Zylinder, bis der feste Index mit dem Anfangspunkt der Skala zusammenfällt und erhält am beweglichen Index den Quotienten.

Die Bechenscheiben enthalten die logarithmischen Skalen in Kreisform und im allgemeinen in sich zurücklaufend. Anfänglich war nur eine Skala vorhanden und an Stelle des bei einer geradlinigen Skala notwendigen Zirkels (s. S. 3) traten zwei Zeiger. Später kombinierte man zwei oder mehrere gegeneinander verschiebbare Skalen. Boucher stellte seinen cercle à calcul in Form einer Taschenuhr her und stattete ihn mit vier konzentrischen Kreisen aus, so daß die Gesamtlänge der auf sie verteilten Skala 38 cm betrug. Ein fester und ein beweglicher Zeiger diente zur Einstellung. Der Rechenknecht von G. Hermann und ähnlich Sextons Omnimeter sind ebenfalls mit zwei Nadeln versehen. Es sind bei ersterem zehn konzentrische Skalen vorhanden, welche verschiedene Funktionen enthalten.¹) Ähnlich ist auch die Rechen-scheibe von Ed. Sonne von 14 cm Durchmesser mit drehbarem Zeiger. Erwähnt seien noch die Rechenscheiben von Clouth, Hart (Proportior mit Zdiger und Mikroskop), F. A. Meyer (Taschenschnellrechner mit einfachem Kennzifferzählwerk), A. Steinhäuser (Spiralen statt Kreise), Puller, Roether, Wichmann (Haidens Calcul ex).²)

Bei den Rechen rädern ist die Teilung auf der Stirnfläche der Scheibe angebracht und zwar sind zwei oder mehrere Scheiben senkrecht nebeneinander gestellt, wie bei Beyerlen’s drehbarem Rechenschieber, bei dem ein Stück Gelatinepapier mit einer zur Achse parallelen roten Linie an einem festen Träger als Index oder Läufer angebracht ist. Ähnlich ist Webers Rechenkreis.

1)    1) a 2)«² 3) a³ 4) 2%a 5)-^-a² 6) log« 7) arcsin« 8) arcsin^ 9)arctgl0« 10)arctga.

2)    Literatur bei Lüdemann, Zeitschr. f. Yerm. 36, 241, 1907, Mehmke, Numerisches Rechnen, Leipzig, 1902. Ein andres Instrument für logarithmische Rechnung kommt im folgenden unter den Differentialapparaten zur Besprechung.

II. Abschnitt.

¹

Für y — \gx ist nämlich

r = 45°. Im allgemeinen ist tgr == Modulus, also für Briggsche Logarithmen (Mod — 0,43429) Tg = 23° 28',5.

Galle: Mathematische Instrumente.

²

Oft Neper genannt. Über den Progreßstab vgl. C. H. Müller, ferner Kewitsch, Zeitschr. f. math. n. naturw. Unterricht, 1896, S. 333.

³

Bisher wurde dies Wingate (1593 —1656) zugeschrieben, obige Angabe macht Hammer (Zeitschr. f. Vermessungsw., 40, S. 27).

⁴

   Anfangs Gravet-Lenoir, dann Tavernier-Gravet, zuletzt Tavernier-Vinay.

⁵

   Figur 3. Im übrigen empfiehlt es sich, den folgenden Erörterungen an der Hand eines Rechenschiebers zu folgen.

⁶

   Beschreibung und Gebrauch der logarithmischen Rechenstäbe. Augsburg 1761 und 1772.

⁷

   Artillerieoffizier in Metz, später Professor in Paris.

⁸

   Nestler in Lahr (Baden).

⁹

   Anleitung zum Gebrauch des Rechenstabs. Gebr. Wichmann in Berlin.

¹⁰

S. Note 5 S. 4.

¹¹

3)    Wir erwähnen noch A. W. Faber.

¹²

4)    Figur 3.

¹³

5)    Zahl. Logarithmus x l = Länge

0,00000 X 250 =    0,00 mm

¹⁴

0,30103 x 250 = 75,26 „ 0,47 712 X 250 = 119,28 „ 0,60206 x 250 = 150,52 „ 0,69897 x 250 = 174,74 „ 0,77 815 x 250 = 194,54 „ 0,84510 X 250 = 211,28 „ 0,90309 x 250 = 225,77 „ 0,95424 X 250 = 238,56 „ 1,00000 X 250 = 250,00 „

¹⁵

   sin 0° 34', 4 — 0,01, dem mittleren Stich A 10 entspricht sin 5° 44', 3 = 0,1, dem Endstrich A 100 entspricht sin 90° = 1.

¹⁶

   Links und rechts sind stets so zu verstehen, daß der Anfangspunkt der Stabteilungen (A und D) links liegt, der Endpunkt rechts. Bei umgewendetem Instrument ist dann die der Skale D entsprechende Seite die obere, die der Skale A entsprechende die untere.

¹⁷

   Z. B. SSO⁰, B 50 : 100 = 0,5.

¹⁸

   Zu $ 30 : A 2 über B 1 : cosec 30° = 2.

¹⁹

   log A -}- log 2? = log 1.

²⁰

   Hier muß man die abgelesenen Zahlen mit 10 dividieren.

²¹

   Oder auch C (auf dem Kopfe stehend) gegenüber A 100.

²²

   Denn das rechts herausgezogene Stück ist gleich dem eingeschobenen links, also sind die vom Endpunkt des ersteren gemessenen

²³

   0,000 383 x 0,00282. Der Rechenschieber gibt 383 x 282 = 108, wenn das Komma nicht beachtet wird. Es ist nun in Einheiten der 3. Dezimalstelle 0,4 x 3 zu bilden, man erhält also ungefähr eine Einheit der 6. Dezimalstelle im Resultat: 0,00000108.

²⁴

   1536,749 = 1 • 10²⁵-f 5 • 10²⁴ + 3 • 10²³-f 6 • 10°-f 7 • IO“¹ -f 4 • IO“2 -f-9-10“²⁵. Führende Ordnungsziffer 3.

²⁵

   2x3 = 6, 0 + 0 = 0.    516x 16 = 8256, 2 -f 1 = 3.

²⁶

   3x4 = (0,3 X 4) 10 = 12, (0-f 0)-f 1 = 1.

²⁷

Ein Beispiel bietet für den gewöhnlichen Rechenschieber die Auflösung einer quadratischen Gleichung, z. B. 7,15 x²⁷ -f- 36,33 x -[-40,45 = 0. Durch Division (mittels des Rechenschiebers) mit 7,15 erhält man x²⁷ -f- 6,09 a; -f- 5,66 = 0. Zwischen den beiden Wurzeln x₁ und bestehen also die Gleichungen: xx • xi = -f- 5,66 oder loga^ -f- log= log (5,66), und xt -f- x^ = — 5,09. Nach (2) schiebt man die Zunge gegenläufig ein, stellt ihren Anfangsstrich über 5,66 der Stabteilung D und. findet mit Hilfe des Läufers auf den nicht anliegenden Skalen C und D die Zahlen 1,63 und 3,46 gegenüberstehend, deren Summe 5,09 ist, also xt = — 1,63, xi = — 3,46. — Bei normal

²⁸

Beispiel: 234 = 0,0067*, also 2,34 ■ 10* = (6,7 • 10~•)*

²⁹

2,34 27 = 92,3mm, also 234 = 92,3 -f 2 • 250 = + 592,3ram

³⁰

6,7 D == 206,5, also 0,0067 == 206,5 — 3 • 250 = — 543,5mm

³¹

592,3 ~ X ~ 543,5

³²

   Bei dem Stabe von Nestler sind oben einige überschüssige Teilstriche bis 3,3, unten von 3,0 ab hinzugefügt. Der von Frank (Stuttgart) konstruierte Stab unterscheidet sich von dem oben beschriebenen von Nestler durch das Fehlen der Quadratskala und die Anbringung der X-Skala auf der Rückseite der Zunge. Eine Annehmlichkeit dieser Stäbe liegt in der Verteilung der Ziffern, die eine Verwechslung nahezu unmöglich macht.

³³

   Während der Gebrauch dieser Teilungen beim gewöhnlichen Rechenschieber sehr zurücktritt, ist hier eine 4 stellige Rechnung damit ermöglicht.

³⁴

   Favaro zählte 1879 bereits 44 Arten auf (Atti del R. Istituto Veneto di Scienze. Serie 6. T. 5, 495. Venezia 1878/79).

³⁵

   S- und T-Teilungen (Siekier).

³⁶

   Weglassung der letzten Unterabteilungen (Dennert u. Pape).

³⁷

   Hierzu kann auch der gewöhnliche Rechenschieber dienen,

vgl. Zeitschr. f. Verm. 20, 279.    1891.

³⁸

   Hamburg 1909 im Selbstverläge ist unter obigem Titel eine eingehende und mit zahlreichen Beispielen erläuterte Broschüre erschienen, auf die hier verwiesen sei. (Sie enthält aber viele Druckfehler !)

Galle: Mathematische Instrumente.

³⁹

   Bei seiner kleinen Tafel wird der Fehler zu —-

' j    j    2500

*‘°Ben    6000 WS 10 000

⁴⁰

   Diese Tafel, die bei der Generalkommission in Kassel in Gebrauch ist, gibt vier Stellen.

⁴¹

   Cylindrical Slide Rule, Abbildung bei Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. II, 135, 1897, s. a. Zeitschr. f. Instrk. 24, 213, 1904.

⁴²

   Eine ähnliche Rechenwalze, Coordinate spirale slide rule von Bernard, durch Stanley & Co. in London ausgeführt, befand sich auf der Weltausstellung zu Brüssel 1910 und zeichnet sich durch Billigkeit aus. (Österreich. Zeitschr. f. Vermessungsw. 9, 47 abgebildet.)

Rechenmaschinen.

9.    Vorzüge des Rechnens mit Rechenmaschinen. Die

im vorigen Abschnitt besprochenen Instrumente dienen für genäherte Rechnungen, reichen aber für viele Fälle aus, weil die zu Grunde gelegten Werte durch Beobachtung oder Messung ebenfalls nur mit genäherter Genauigkeit bekannt sind, also eine strenge Rechnung nur in formaler Beziehung ein genaues Resultat liefert. Die Ergebnisse, welche die Rechenmaschinen liefern, sind dagegen vollkommen genau. Allerdings ist diese Genauigkeit durch die Anzahl der Stellen, welche die Maschine liefert, ebenfalls begrenzt.¹) Die Vorteile des Maschinenrechnens vor dem Gebrauche des Rechenschiebers usw. sind wesentlich folgende: 1. beim Rechenschieber hängt die Genauigkeit von dem Zustande des Instruments ab, insofern es immer kleinen Veränderungen durch Temperatur, Feuchtigkeit usw. ausgesetzt ist, und vom Beobachter, insbesondere von der Güte seiner Augen, während bei der Maschine, sofern sie den mechanischen Anforderungen genügt, das Ergebnis unabhängig von beiden erscheint; 2. bei den Skalenablesungen können Fehler Vorkommen, bei der Maschine steht das Resultat fertig da und wird bei verschiedenen neueren Ausführungen sogleich gedruckt; 3. bei den Rechenmaschinen können Kontrollen durch die Maschine ausgeführt werden. Dem gegenüber stehen als Nachteile die größeren Anschaffungskosten und in den meisten Fällen der Praxis die überflüssige Kraftanstrengung infolge Mitführung einer mehr oder weniger großen Anzahl unnötiger Ziffern.

10.    Zählwerk. Jede Rechenmaschine enthält ein Zählwerk, das meistens aus einer Reihe horizontal²) liegender, kreisförmiger Scheiben besteht, auf deren jeder die Ziffern 0, 1, 2, ... 9 in gleichen Abständen am Rande aufgetragen sind. Jede Scheibe ist um ihre senkrechte Achse drehbar und mit einer feststehenden Platte bedeckt, die ein Schauloch oder Fenster enthält, durch das immer nur eine der Ziffern sichtbar ist. Folgen die Ziffern ein-

vertikal.

II. Rechenmaschinen.

ander im entgegengesetzten Sinne wie diejenigen des Zifferblattes einer Uhr, so werden bei Drehung der Scheibe im Sinne des Uhrzeigers nacheinander.die Zahlen, in der richtigen Reihenfolge zunehmend, in das Schauloch gelangen, während bei entgegengesetzter Drehung die in dem Schauloche erscheinenden Ziffern in abnehmender Reihe auftreten. Durch Drehung einer solchen Scheibe um eine gegebene Zahl (3) von Zifferintervallen kann man daher zu einer im Schauloch gerade sichtbaren Zahl (5) jene Zahl (3) addieren oder von ihr subtrahieren, und man erblickt im Schauloch nach der Drehung die Summe (8), falls diese nicht 9 überschreitet, oder bei entgegengesetzter Drehung die Differenz (2), sofern sie 0 oder größer als 0 ist.

11. Zehnerübertragung. Wenn man aber bei einer solchen Reihe von Scheiben, deren Schaulöcher nebeneinander liegen, z. B. in dem am weitesten rechts gelegenen Fenster die Zahl 5 erblickt und durch Drehung dieser Scheibe im Uhrzeigersinne um 9 Stellen die Ziffer 4 in diesem Schauloch erhält, so muß man, um das richtige Resultat 14 zu erhalten, die links daneben stehende Scheibe, wenn in ihrem Schauloch 0 stand, um eine Stelle drehen, so daß 1 darin erscheint. Um dies nicht mit der Hand ausführen zu müssen, ist eine Übertragungsvorrichtung nötig, die darin •= bestehen kann, daß die Achse jeder Scheibe ein Zahnrad mit zehn Zähnen trägt, die den zehn Ziffern der Scheibe entsprechen und daß der Zahn, welcher der Null entspricht, genügend lang ist, um in das Nachbarrad einzugreifen und dies dadurch um einen Zahn weiter zu drehen. Diese Vorrichtung würde für das Rad am rechten Ende, dessen Scheibe die Einer anzeigt, genügen, da es ja nur das Rad der Zehnerscheibe neben sich hat.. Bei den andern Scheiben würde aber ebenso ein Eingriff des verlängerten Zahnes in das rechts gelegene Zahnrad erfolgen, während doch nur eine -Übertragung nach links beabsichtigt ist. *-Es gibt daher, je nach der Ausführung der Maschine, verschiedene Arten³) dieser Zehnerübertragung und von der Zuverlässigkeit des Übertragungsmechanismus hängt wesentlich die Güte der Maschine ab.

10. Zählwerk. 11. Zehnerübertragung. 12. Schaltwerk.

25

Die Drehung der Scheiben erfolgte bei der ersten Maschine, die Pascal 1642 konstruierte, mit der Hand, bei andern Maschinen durch Niederdrücken von Tasten, indem entweder jeder Ziffer von 1 bis 9 eine Taste entsprach, oder aber für die Einer, Zehner, Hunderter usw. je neun Tasten in parallelen Reihen angeordnet wurden.*)

12. Schaltwerk. Um unit diesen Maschinen zu multiplizieren (dividieren), ist eine wiederholte Addition (Subtraktion) erforderlich. Hierbei ist es zu mühsam, nacheinander jede einzelne Scheibe um die geforderte Stellenzahl zu drehen, man benutzt daher ein Schaltwerk. Die älteste, aber heute noch gebräuchliche Ausführung eines solchen verdanken wir Leibniz (1673), der die Staffelwalze und damit die erste zur Multiplikation brauchbare Maschine erfand.²) Ein solches Schaltwerk dient dazu, gleichzeitig sämtliche Scheiben und zwar jede um die geforderte Stellenzahl weiter zu drehen.

Wenn wir uns eine Anzahl von zehn völlig gleichen Zahnrädern zentrisch so aufeinander gelegt denken, daß ihre Zähne und Zahnlücken sich decken, so bilden sie zusammen einen Zylinder mit Längsleisten (Fig. 9). Wir stellen uns nun weiter vor, daß das erste Rad vollständig ist, bei jedem folgenden aber, der Reihe nach, ein Zahn mehr fortgeschnitten wird, so daß das vorletzte Zahnrad nur einen, das letzte keinen Zahn besitzt. Dann haben auf dem Zylinder, den die Zahnräder bilden, die Leisten verschiedene Längen, die der Reihe nach über 9, 8, 7, ... 1 Zahnräder reichen. Ein solcher, in Wirklichkeit aus einem Stück hergestellter Zylinder, wird nach Reuleaux Staffelwalze genannt.

Wird nun auf einer der Walzenachse parallelen vierkantigen-j) Achse (Fig. 8) ein Zahnrad Z mit zehn gleichmäßig verteilten Zähnen verschoben, so wird es, wenn es dem ersten der Räder,, aus denen wir uns die Staffel walze zusammengesetzt dachten, gegenübersteht und zum Eingriff kommt, bei einer vollen Umdrehung der Walzenachse um neun Zähne weitergedreht. Bei der weiteren Verscbie-

1)    Additionsmaschine von Max Mayer, konstruiert von A. Barthelmes, 1887. Auch verband man damit eine Vorrichtung zum Drucken der Summanden und der Summen : Burrough.

2)    Die nach seinen Angaben gebaute Maschine konnte allerdings nicht in Gang gebracht werden, vgl. Zeitschr. f. Verm., 26, 292, 1897.

3)    Längs einer solchen Achse kann ein lose aufsitzendes Rad mit viereckigem Ausschnitt verschoben werden und dreht sich doch bei einer Drehung der Achse mit.

bung erleidet Z Eingriffe von acht Staffelleisten bei einer Umdrehung der Walzenachse usf. Am andern Ende angelangt, wird Z nur um einen Zahn weiter gedreht und nach der letzten Verschiebung steht es dem glatten Zylinder gegenüber und wird gar nicht gedreht.

In dem Gehäuse, wo diese Einrichtung angebracht ist, sei nun im oberen Deckel ein Schlitz parallel den Achsen der Staffelwalze und des verschiebbaren Zahnrades Z angebracht und in ihm ein Stab mit einem Knopf, der den Stab am Hineinfallen hindert, senkrecht aufgehängt (Fig. 8). Mit Hilfe dieses Stabes wird Z auf seiner Achse verschoben. Am Rande des Schlitzes sind den verschiedenen Stellungen von Z entsprechende Ziffern 9, 8,... 1, 0 angeschrieben und der Knopf ist mit einem Zeiger versehen. Stellen wir den Zeiger auf eine bestimmte Ziffer ein, so wird bei einer durch eine Kurbel bewirkten Umdrehung der Staffelwalze das Zahnrad um dieselbe Anzahl von Stellen gedreht, wie die Ziffer angibt. Durch ein Kegelgetriebe¹) überträgt das Rad Z, bzw. seine sich mit ihm drehende Achse c (Fig. 8) die Drehung auf eine unter dem Deckel des Gehäuses, in dem sich auch der Schlitz befindet, horizontal gelagerte Ziffernscheibe. Man erblickt dann durch das im Deckel frei-gelassene Schauloch die betreffende Ziffer.

Nun ist, wie schon erwähnt, nicht ein Schlitz, sondern eine Anzahl paralleler Schlitze vorhanden und unterhalb eines jeden befindet sich eine ebensolche Einrichtung, wie unter dem ersten. Ferner ist durch eine Kurbel b (Fig. 8) mit einer langen, quer zu den vorgenannten Achsen liegenden Achse a (Fig. 8) die Möglichkeit gegeben, durch eine einzige Kurbeldrehung mittels Kegelräderübertragung sämtliche Staffelachsen gleichzeitig einmal herumzudrehen. ⁴)

1) Zahnräder, bei denen die Zähne auf dem kegelförmig abgeschrägten Radkranze liegen, können ineinander eingreifen, wenn ihre Ebenen schräg oder sogar senkrecht zueinander liegen (z. B. die beiden Räder in Fig. 8 vorn links), während gewöhnliche Zahnräder nur zum Eingriff gelangen können, wenn sie in derselben Ebene liegen.

12. Schaltwerk.

27

Pi

Fig. 8.

Um auch subtrahieren und damit dividieren zu können, ist ein Umschalter vorgesehen. Wir haben ein Kegelrad an der Achse des Rades Z erwähnt, welches die Drehung dieser Achse auf die senkrechte Achse der Zählscheibe überträgt. Nun sind zwei solche Kegelräder auf der Achse von Z angebracht, die von entgegengesetzten Seiten in das Zählscheibenrad eingreifen und es demgemäß in verschiedener Richtung drehen können. Durch einen Stellhebel d und e (Fig. 8) kann nun gleichzeitig für sämtliche Achsen aller Räder Z die Y erschie-bung der Kegelräderpaare bewerkstelligt werden, so daß die Zahlen auf allen Zählscheiben entweder gleichzeitig zu- oder abnehmen, wenn man die Kurbel dreht.

Es muß noch erwähnt werden, daß die Verteilung der zwar unter sich gleich weit abstehenden Zahnleisten der Stalfelwalzen keine gleichförmige über den Umfang der Walzen ist. Vielmehr nehmen die Leisten nur einen Teil des Zylinderumfanges ein, so z. B. bei Burkhardt ⁹/₂₅, während ¹⁶/₂₅ frei bleiben, bei Thomas ⁹/₂₂ gegen ls/₂₂. Dies hängt mit der Zehnerübertragung zusammen, deren Einrichtung wir jetzt leicht erörtern können. Die Achsen der Zahnräder Z tragen nämlich in ihrer Verlängerung noch andere Räder V¹), die nicht mit den Zahnleisten der Walzen in Berührung kommen. Jede Walzenachse trägt auch noch in ihrer Verlängerung einen Zahn X (Fig. 9), der aber für gewöhnlich nicht in das zugehörige Rad Y eingreift. Wenn aber eine der Zählscheiben von 9 auf 0 übergeht, so verschiebt ein unten an ihr

Zahl 11325 addiert werden, so dreht man zunächst einmal und erhält 9876 in den Schaulöchern, dann stellt man die Knöpfe auf 11325 in den fünf rechts liegenden Schlitzen und erhält bei nochmaliger Kurbe-lung 21201 in den Schaulöchern.

1) In Fig. 8 nicht sichtbar.

befindlicher Daumenansatz mittels einer Hebelübersetzung den Zahn Xi + 1 der links nächstfolgenden Walze in die Ebene des zugehörigen Rades Yi + 1, so daß dieses um eine Stelle weiter gedreht wird und die Zahl auf der zugehörigen Zähl scheibe 8i+1 sich um 1 ändert. Dieser Eingriff des Zahnes Xi + l in das Rad Êt- + 1 darf aber nicht gleichzeitig mit dem Eingriff einer Zahnleiste der Walze WiJrl in das Rad Zi + 1 erfolgen. Denn da Y’i^₁ und Z. + 1 auf derselben Achse sitzen, so würde die gleichzeitige Wirkung den einen von beiden Eingriffen überflüssig machen oder bei nicht vollständiger Gleichzeitigkeit eine Störung verursachen. Deshalb darf der Eingriff des Zahnes -Xj.₊₁ erst erfolgen, wenn bereits alle Zahnleisten der Walze Wi + 1 ihre Wirkung auf das Zahnrad Zi + ₁ ausgeübt haben. Hieraus ist erklärlich, weshalb die Zahnleisten noch einen Teil des Walzenzylinders frei lassen müssen, aber dieser ’V freie Teil brauchte nicht so bedeutend zu sein, wenn nur die eine Walze Wi+1 in Betracht käme. Der Zahn Xi + 1 darf aber auch erst wirken, wenn sämtliche Zahnleisten der (rechts) vorangehenden Walze Wt einschließlich des an ihr befindlichen Zahnes Xi ihre Rolle fertig w gespielt haben. Denn es kann ja gerade der Zahn Xt sein, welcher die Scheibe S{ von 9 auf 0 bringt und demnach erst die Zehnerübertragung auf die Scheibe Si+t nötig macht. Aus diesem Grunde darf die Stellung der Zahnleisten auf den verschiedenen Walzen nicht dieselbe sein; die Walzen, die ja an.sich ganz gleich sind, müssen sozusagen, gegen einander verdreht sein. Es ist dies auch noch deshalb nötig, weil beim gleichzeitigen Eingreifen der Staffelwalzen eine große Kraft zum Drehen der Kurbel erforderlich wäre und außerdem starke Spannungen auftreten würden.

Fig. 9.

13. Einteilung der Rechenmaschinen. Diejenigen Maschinen, die zwar eine Zehnerübertragung, aber kein Schaltwerk besitzen, werden als Additionsmaschinen bezeichnet, wie Roths Additioneur, Webbs Adder und zahlreiche in kaufmännischen Betrieben verwendete Abarten. Bei ihnen finden sich häufig selbsttätige Vorrichtungen zum Drucken der addierten Zahlen und ihrer Summen auf einem weiterlaufenden Papierstreifen, wie bei Burroughs Registering Accountant. Tritt ein Schaltwerk hinzu, so erhält man eine erweiterte Additionsmaschine,

Um diese aber zum Multiplizieren auch mit mehrstelligen Multiplikatoren benutzen zu können, muß beim Übergang von einer Stelle des Multiplikators Zehnern, Zehnern zu den Hunderten usf.) das Zählwerk gegen das Schaltwerk jedesmal um eine Stelle verlegt werden. Diese Verrückung findet entweder durch Umheben mit der Hand von einem Einsatz zum andern statt, wodurch bei der beschriebenen Einrichtung jede Staffelwalze mit dem nächstfolgenden Zahnrad der ihm entsprechenden Zählscheibe in Eingriff kommt, oder die Verschiebung findet auf Schienen statt und wird durch Anschläge begrenzt und durch Druck auf einen Knopf ausgelöst oder endlich sie erfolgt selbsttätig nach jeder Kurbeldrehung, wobei dann durch einen besonderen Ausschalter die Möglichkeit gegeben sein muß, sie außer Tätigkeit zu setzen (im Palle der Addition). Eigentliche Multiplikationsmaschinen sind mit einem Multiplikationskörper versehen, wie er zuerst von Bollee (1888) angewandt worden ist. Hierzu kommen als vierte Art noch die Differenzenmaschinen.

nächsten (von den Einern zu den

zur

14. Thomas-Burkhardtsch.e Maschine. Die erste, wirklich brauchbare Maschine, die mit der Leibniz sehen Ähnlichkeit hatte, war 1776 von dem Pfarrer Mathias Hahn in Echterdingen gebaut worden. Dasselbe Prinzip lag auch derjenigen des Ingenieurhauptmanns J. H. Müller in Gießen (1783) zugrunde, zur allgemeinen Verbreitung kam aber erst der Ai-ithmometer des Pariser Versicherungsdirektors Thomas aus Colmar (1821), den dann Burkhardt in Glashütte (1878) weiter verbessert hat. Hieran schließen sich dann zahlreiche neuere Maschinen an, die unter den Namen Arithmometer, Archimedes, Peerleß, Saxonia, Tim, Unitas, Bunzel-Delton, Austria, Ideal usf. verbreitet sind. Die Beschreibungen, die im Voranstehenden gegeben sind, beziehen sich auf die Burk har dt sehe Konstruktion, im folgenden sollen für die hauptsächlichsten Typen die wesentlichen Abweichungen und Ergänzungen folgen. Eine Anzahl teils gemeinsamer, teils besonderer Einrichtungen muß hierbei übergangen werden. Es sei nur erwähnt, daß an Stelle der Zehnerübertragung bei der letzten Stelle, wo sie aufhört, ein Glockensignal als Warnungszeichen eingeführt ist, daß ferner Löschvorrichtungen alle Zählscheiben gleichzeitig auf die Einstellung „Null“ zurückführen, daß bei manchen Maschinen zwei Reihen von Zählscheiben vorhanden sind, von denen die eine das Zwischenresultat festhält, während eine neue Operation ausgeführt wird und dergl. mehr.

15. Divisionsmaschine Mercedes-Euklid. An diese Rechenmaschinen schließt sich in der Form die von Ch. Hamann (Friedenau bei Berlin) konstruierte und Mercedes-Euklid benannte an (Fig. 11). Bei ihr sind die Staffelwalzen durch 10 Zahnleisten Z ersetzt, welche in ihrer Längsrichtung verschiebbar quer unter den Einstellschlitzen angebracht sind. Ihre Verschiebung wird durch einen sogenannten Proportionalhebel bewirkt, mit dem sie durch Gelenke verbunden sind. Dieser Hebel H wird um einen seiner Endpunkte durch eine Pleuelstange J°, die ihn in der Mitte anfaßt, hei einer Um-

Fig- 10.

drehung der Kurbel K gedreht. Jeder Gelenkpunkt und damit jede Zahnleiste Z verschiebt sich dadurch um eine Strecke, die den an den Schlitzen angeschriebenen, darüber stehenden Zahlen proportional ist. Stellt man nun mit den Einstellknöpfen über die Zahnleisten Zahnräder, welche unter den Knöpfen angebracht sind, so greifen diese in die Zahnleisten ein und werden um so viel Stellen gedreht, als sich die betreffenden Zahnleisten verschieben, also um die Zahl, die den Einstellungen der Knöpfe gleich ist. Durch einen Umstellhebel kann aber der Proportionalhebel zur Drehung um seinen anderen Endpunkt eingestellt werden. Dann beschreiben die Gelenkpunkte und die Zahnstangen, die vorher 0, 1, 2, 3, ... 9 Einheiten bei einer Kurbelumdrehung zurücklegten, 9, 8, 7, ... 0 Einheiten, d. h. die Ergänzungen der an den Schlitzskalen angezeigten Zahlen zu 9. Diese Einstellung dient daher zur Subtraktion, die in der Tat durch Addition der

dekadischen Ergänzungen ausgeführt werden kann. Wenn noch die Einerstelle um eine Einheit erhöht und die höchste Stelle um eine Einheit erniedrigt wird⁵), was durch besondere Vorrichtungen der Maschine besorgt wird, so erhält man das richtige Resultat. Für die Multiplikation (Multiplikator) und Division (Quotient) ist es notwendig, daß auch die Kurbelumdrehungen gezählt werden und diese Zahlen in besonderen Schaulöchern (die den Stellen der . Einer, Zehner usf. entsprechen) sichtbar werden, wie dies auch bei den anderen Maschinen der Fall ist. Nun ist aber bei dieser Maschine auch für das Umdrehungszählwerk die Zehnerübertragung vorhanden und eine Umschaltung von Addition auf Subtraktion vorgesehen. Hierdurch ist die Möglichkeit einer völlig automatischen

//

“21

s*

-z—

____

2_

0'

/?

z,

Fig. 11.

Division gegeben, wobei durch sehr bequeme Anordnung der beiden Umschalter für das Schaltwerk (Proportionalhebel) und die Kurbelumdrehungen die jedesmalige Einstellung beider durch einen Handgriff erledigt wird (Fig. 10 links oben). Auch wird bei jeder Umschaltung des Proportionalhebels, wenn nicht eine besondere Hebelvorrichtung dies verhindert⁶), das Zählwerk selbsttätig um eine Stelle nach links verrückt. Ferner tritt an die Stelle der bei der letzten Ziffer nicht mehr vorhandenen Zehnerübertragung nicht ein Glockenzeichen, sondern eine mit Federdruck bewirkte Sperrung der Kurbel.

Die automatische Division, durch die sich diese Maschine auszeichnet, beruht auf folgendem Vorgang, bei dem wir uns auf 2 Stellen des Quotienten c und d beschränken: Es sei

tH

also

**1«?

dann führt man zunächst c -j-1 Kurbeldrehungen (Kurbelzählwerk auf Addition) bei Stellung des Proportionalhebels auf Subtraktion aus und erhält

rc — b ■ 10”

An einer Fortsetzung der Kurbeldrehung hindert die Sperrung der Kurbel, sobald rc — b • 10" negativ ist. Jetzt schaltet man den Hebel H auf Addition und das Kurbelzählwerk auf Subtraktion und erhält bis zur Sperrung der Kurbel

= — (io —    •

Beide Operationen zusammen geben daher denselben Ausdruck

rc — b ■ 10”

für wie oben.¹)

1) Beispiel: a — 225, b = 7, c = 3, d— 2, rc=15, rd= 1, 10n —10, 10w_1= 1. (a-.b— 32, Rest 1.) Wir nehmen eine 9stellige Maschine an und stellen mit den Wirteln an der Vorderfläche der Maschine bei äußerster Verschiebung des Wagens nach rechts in der Reihe der 16 Schaulöcher des Dividendus, von links beginnend, 225 ein. Als Divisor stellen wir 7 (da,wir dies in diesem Beispiel übersehen, in dem zweiten der Schlitze) ein. Bei Stellung des Proportionalhebels (linker Knopf Fig. 10 oben links) auf Subtraktion wird die dekadische Ergänzung addiert, also bei jeder Kurbeldrehung ...980. Dies gibt, bei der ersten Kurbeldrehung zu 225 addiert, 155. Wir drehen die Kurbel weiter und erhalten der Reihe nach 085, 015, 945. Bei diesem Übergang müßten die Zahlen 9 nach links fortgesetzt werden (da die dekadische Ergänzung ebenfalls mit unendlich vielen Zahlen 9 nach links zu denken ist). Die letzte Stelle links überträgt sich aber nicht mehr, sondern löst statt dessen die Hemmung aus, so daß eine weitere Kurbeldrehung unmöglich ist. Das Resultat ist bis hierher 945 — 1000 = — 55 — rc — b • 10”. Das Kurbelzählwerk (vordere Reihe mit 8 Schaulöchern für den Quotienten) zeigt 4 positive Drehungen in der ersten Stelle an.

Stellt man jetzt den Proportionalhebel auf Addition und gleich-

16. Odhners Arithmometer. Die nach dem System von dem schwedischen Ingenieur W. Th. Odhner in Petersburg (1878) konstruierten Maschinen (Odhner, Brunsviga 1892, Brunsvigula, Merkur, Arithmotyp-Trinks, Berolina, Triumphator, Monopol) haben an Stelle der Staffelwalzen Zahnräder E mit einziehbaren Zähnen.¹) Bei der Einstellung der Stellhebel (die an Stelle der Knöpfe [s. S. 26] treten) in den auf einer zylinderförmig gewölbten Pläche angebrachten Schlitzen werden in den Zahnrädern E so viele Zähne vorge-

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Fig. 12.

S S Schlitze, ZZ Produkt (Dividendus), Q Q Multiplikator (Quotient),

LL Löschvorrichtung, K Kurhel.

schoben, daß die am Schlitz eingestellte Zahl von Zähnen in Wirksamkeit tritt (Fig. 13). Das Zahnrad Z (s. S. 25) verschiebt sich hier nicht, sondern bleibt immer seinem besonderen Rade E gegenüber. Auf diese Weise wird auch weniger Raum beansprucht, da auch die Zählscheiben auf einer gemeinsamen horizontalen Welle nebenzeitig das Kurbelzählwerk (rechter Knopf Fig. 10 oben links) auf Subtraktion, so wird gleichzeitig das Zählwerk um eine Stelle nach links verrückt, so daß 7 über der letzten Ziffer von 945 steht. Macht man jetzt 10 — d = 8 Kurbeldrehungen, so erhält man 952, 959, 966, 973, 980, 987, 994, 001. Jetzt löst der Übergang von 9 auf 0 in der letzten Stelle links die Hemmung und hindert eine weitere Drehung. (Wenn wir nicht mit dem Reste rd = 1 auf hören wollen, müssen wir wieder den linken Knopf auf Subtraktion, den rechten auf Addition stellen, und man kann beliebig weit fortfahren, wenn man am Ende angelangt, den letzten Rest wieder nach links in der Dividendenreihe überträgt.) Das Kurbelzählwerk zeigt in der zweiten Stelle 8 negative Umdrehungen an, oder da bei ihm auch Zehnerübertragung stattfindet, so liest man im ganzen 40 — 8 — 32 ab.

1) Dieser Gedanke rührt auch von Leibniz her und war vielleicht bei seiner zweiten (verschollenen) Maschine verwirklicht. Vgl. Mehmke, Numerisches Rechnen S. 965.

Galle: Mathematische Instrumente.

einander angebracht werden konnten. Die Zahlen (ZZ Fig. 12) stehen auf ihren Stirnflächen dichter nebeneinander als bei anderen Maschinen mit horizontal liegenden Rädern. Ein Vorteil dieser Maschinen vor allen anderen ist die Bewegung der Kurbel in einer senkrechten Ebene, wobei der Arm weniger ermüdet, als bei horizontaler Drehung. Dieselbe Schaltwerkeinrichtung haben die Maschine von Otto Büttner und die Duplex-Rechenmaschine von Küttner,

Fig. 13.

letztere auch mit Odhners Anordnung der Zählscheiben. Die anderen Einrichtungen sind z. T. verschieden, z.B. hat Büttner keine Umschaltung für Addition und Subtraktion, sondern die Kurbel wird für letzteren Zweck rückwärts gedreht, ferner stehen im Stellwerk die Ziffern in gerader Reihe nebeneinander, was übrigens bei den meisten neueren Maschinen aller Konstruktionen durch Sichtbarmachung der Einstellung in einer besonderen Reihe von Schaulöchern ebenfalls herbeigeführt wird.

17. Rechenmaschine Gauß. Wie die Hahn sehe und

J. H. Müllersche Rechenmaschine haben die Circular Calculating-Machine von J. Edmonson in Halifax (Engl.) und die deutsche „Gauß“ von Ch. Hamann eine kreisförmige Gestalt (Fig. 14). Die Vorzüge der Gauß bestehen in ihrer kleinen Form und entsprechend geringerem Preise und ihrer Handlichkeit, in dem durch die noch zu erwähnende Stufenscheibe erzielten sanften Gange und in dem durch ihre Bauart begründeten Umstande, daß eine Einschränkung der Ziffernzahl des Multiplikators und des Quotienten nicht eintritt, wenn die Maschine zunächst auch auf 10 Stellen eingerichtet ist. Diesen Vorteilen steht ein wesentlicher Nachteil gegenüber, der darin liegt, daß die eingestellten und die abzulesenden Ziffern im Kreise, also entweder für den Beschauer zum Teil auf dem Kopfe stehen, oder teils ihre Köpfe nach innen und teils nach außen richten.

Die Maschine besteht aus einer festen mit dem Fuß verbundenen Dose und der durch einen Hebel abhebbaren Kapsel, in deren Deckel sich in radialer Anordnung 6 Einstellschlitze befinden. (Fig. 14.) Unter jedem dieser Schlitze liegt eine ebenfalls radiale Achse f mit einem darauf verschiebbaren Zahnrad £, das durch

eine an jedem Einstellknopf S unten angebrachte Gabel auf f verstellt wird (Fig. 15). Es sei sogleich noch erwähnt, daß am äußeren Ende jeder Achse f auch noch ein festes Zahnrad r mit 10 Zähnen sitzt, das sich mit seiner Achse dreht.

Über dem Deckel befindet sich die Kurbel AT, welche eine durch i seine Mitte und durch A die Maschine hindurch-gehende senkrechte Achse x dreht. Diese Achse trägt in der Mitte die horizontal liegende Stufenscheibe Sch.

Sie dreht sich mit der Kurbel, während die anderen Teile der Maschine in ihrer Lage bleiben. Die Oberseite dieser Scheibe trägt 9 konzentrisch angeordnete Reihen von Zähnen, von denen die innerste 9 Zähne, jede weiter nach außen liegende einen Zahn weniger he-

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Fig. 14.

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Fig. 15.

sitzt, bis zur äußersten mit nur einem Zahne (Fig. 16). Wenn ein Knopf an einem der Einstellschlitze des Deckels auf eine bestimmte Zahl der am Schlitz stehenden Skala eingestellt wird, so geht das

Zahnrad bei der Drehung der Scheibe über die Reihe mit derselben Zahl von Zähnen und erfährt daher eine Drehung um diese Zahl.

Die Zahnringe nehmen nur einen Bruchteil des ganzen Umkreises der Scheibe ein. Dicht hinter ihnen folgt bei der Drehung

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der Scheibe ein zungenartiges Sperrstück. Auf jeder Achse f befindet sich nämlich am zentralen Ende eine Scheibe mit 10 nach dem Innern der Maschine gerichteten Stiftchen. p | Wenn die Achse f über sämtliche Zähne hin-v nv r'\ u 'J, weggegangen ist und \\    '\\,v^    das Rädchens die vor

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Fig. 16.

geschriebene Drehung vollführt hat, so schiebt sich das Sperrstück zwischen die Stiftchen und hält nun die Achse fest, damit sie sich nicht weiter drehen kann.

Unterhalb der Scheibe liegt das Zählwerk, das sich also in der eigentlichen Dose befindet. Indem die Stufenscheibe nicht bis an den Umfang der Dose heranreicht, übertragen die am Ende der Achse f sitzenden, oben erwähnten, festen Rädchen ihre Drehung auf ähnliche radiale Achsen g des unteren Raumes, die ebenfalls Zahnräder und an ihren Enden Scheiben mit Ziffern tragen. Diese Ziffernscheiben liegen unter einem Vorsprung des Dosenkastens und tragen die Ziffern auf ihrer Stirnfläche, die in runden Schaulöchern (bei Bl.) von oben aus sichtbar werden.

Die Verlegung des Zählwerkes in den untern Teil der Dose hat für die Zehnerübertragung Bedeutung. Beim Übergang einer Ziffemscheibe von 9 auf 0 wird nämlich, wenn soeben die Achse fL mit ihrem Zahnrad die verschiedenen Zähne der Stufenscheibe passiert hat, ein hinter diesen folgender Schalthebel durch eine Vorrichtung an der Achse g der Ziffernscheibe von unten aus in die Höhe gedrückt, so daß für das folgende Zahnrad zi+1 außer den festen Zahnstufen nun noch dieser Schalthebel als Zahn wirkt.

Dann folgt auf der Stufenscheibe ein Anschlag, durch den der Schalthebel wieder niedergedrückt und gleichzeitig der frühere Zustand im Zählwerk hergestellt wird.

Zwischen den Achsen g der Ziffernscheiben liegen andere Achsen h, welche die Umdrehungen der Kurbel (Multiplikator bzw. Quotient) zählen und ebenfalls Ziffernscheiben tragen, deren Schaulöcher zwischen den andern Schaulöchern (die das Produkt oder den Dividenden zeigen) liegen. Durch einen auf dem Vorsprung der Dose aufliegenden, verschiebbaren Ring ist immer die eine Art Ziffern verdeckt, die auch noch durch verschiedene Farbe von der andern Art unterschieden ist.

Die Subtraktion (Division) wird bei Kurbeldrehung in demselben Sinne ausgeführt, nachdem ein Stellknopf auf dem Deckel von Addition auf Subtraktion verschoben ist.

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18. Sellings Maschine. Auf einem ganz andern Prinzip wie die vorher beschriebenen beruht die Multiplikationsmaschine von E. Selling in Würzburg (1887), das hier nur in seinen Hauptzügen erläutert werden möge.⁷) Hat man eine Nürnberger Schere ⁸) und hält man den Anfangspunkt 0 fest, verschiebt den Punkt 1 um eine Strecke w, so verschiebt sich der Punkt 2 um 2 iv, allgemein n um ww, da bei der Streckung die Diagonale jedes Parallelogramms sich um die gleiche Länge vergrößert. Selling hat 10 Kreuzungspunkte, er benutzt aus praktischen Gründen als festen Punkt einen mittleren. Da dies unwe-

______________ Fig. 17.

II. Rechenmaschinen.

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sentlich ist, denken wir uns wie vorher Punkt 0 fest und Punkt 1 durch einen Handgriff verschoben und die Verschiebung tv an einer Skala gemessen. Mit der Schere wird eine in ihrer Längsrichtung liegende Zahnstange in Verbindung gesetzt, die, wenn der Punkt n mit ihr verbunden wird, die Verschiebung nw erfährt. Diese Zahnstange greift in ein senkrecht stehendes Zahnrad ein und dreht es um die entsprechende Zahl von Zähnen weiter. Um eine größere Anzahl von Zahnstangen gleichzeitig in Bewegung zu setzen, sind 2 ganz gleiche Nürnberger Scheren vorgesehen, deren gleichnamige Kreuzungspunkte durch Querschienen verbunden sind, so daß sich also die wte Schiene um nw verschiebt. Verbindet man die Zahnstangen in der gewünschten Weise mit den Schienen, so kann man jeder eine bestimmte Bewegung und jedem zugehörigen Zahnrad eine entsprechende Drehung erteilen. Die Verbindung der einzelnen Zahnstangen mit den Schienen kann man sich durch Stifte bewerkstelligt denken, die man mit der Hand durch beide hindurchsteckt, indem sie in passenden Abständen durchlocht sind. Bei der Maschine wird diese Verbindung vermittelst einer Klaviatur hergestellt, so daß man auf die betreffenden Tasten drückt, um die einzelnen Zahnstangen mit der gewünschten Schiene zu verbinden. Die Klaviatur bewirkt also die Einstellung des Multiplikandus, während jede Ziffer des Multiplikators durch Bewegung der Schere hervorgebracht wird.

Eine andere abweichende Einrichtung besteht bei der Zehnerübertragungx), die im Gegensatz zu andern Maschinen immer mit dem gleichen, geringen Kraftaufwande vor sich geht. Sie findet kontinuierlich statt, ähnlich wie bei der Übertragung der Bewegung des Sekundenrades einer Uhr auf das Minuten- und Stundenrad. Bei. den Ziffernrädern stehen daher die Zahlen nicht in gerader Richtung, sondern erscheinen etwas verschoben, wenn das vorhergehende Rad einen Bruchteil einer ganzen Umdrehung zurückgelegt hat, ähnlich wie der Minutenzeiger zwischen 2 Strichen steht, wenn der Sekundenzeiger der Uhr nicht auf 0 zeigt. Die Übertragung erfolgt dadurch, daß die Wellen der Zahnräder selbst gezahnt sind und ein anderes kleineres Rad in Drehung versetzen, welches von innen in ein anderes neben dem ersten liegendes größeres Rad eingreift, das mit dem folgenden Zahnrad verbunden ist.

1) Hier ist nur die ursprüngliche Konstruktion berücksichtigt, bei der neueren geschieht die Zehnerübertragung durch ein System von Storchschnäbeln bzw. Planetenrädern.

Durch geeignete Wahl der Radien dieser Räder läßt es sich erreichen, daß jedes folgende um 1 weiter rückt, wenn das vorhergehende um 10 sich gedreht hat.

Bei der Multiplikation mit mehrstelligen Multiplikatoren muß, ähnlich wie sonst, eine Verschiebung des Scherenwerks gegen das Räderwerk um je eine Stelle vorgenommen werden.

Selling hat auch eine automatische Aufzeichnung des Ergebnisses eingeführt, indem die Ziffern der Zifferräder erhaben sind und auf dem Papier einer Walze abgedruckt werden; unter dem auf die Walze gespannten Papier liegt das Farbe gebende Papier, so daß die Ziffern auf der Rückseite des weißen Papiers in richtiger Lage erscheinen.

19. Multiplikationsmaschine Millionär. Aus der Beschreibung geht hervor, daß die Sellingsche Maschine sich von den vor-

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Fig. 18.

hergehenden dadurch unterscheidet, daß sie Multiplikationen ausführt. Die erste eigentliche Multiplikationsmaschine stammt, wie bereits erwähnt, von Bollee (1888), aber in den Handel gekommen ist wohl von Multiplikationsmaschinen nur die von Otto Steiger erfundene, die von Hans Egli in Zürich konstruiert und Millionär benannt ist.

Auf der Deckplatte erblickt man zwei Teile, die wir als vorderen und hinteren unterscheiden wollen. Der letztere (der obere in der Figur 18) zerfällt wieder in drei Abteilungen, deren mittelste die uns bereits bekannten (hier 8) Einstellschlitze enthält, vor denen in Schaulöchern sich die mit den Knöpfen eingestellten Zahlen durch Stahlbänderübertragung noch einmal zeigen. In der Abteilung rechts davon befindet sich die Umstellungseinrichtung, bei der ein Knopf auf A (Addition), M (Multiplikation), D) Division) oder S (Subtraktion) geschoben wird und gleichzeitig das betreffende Wort sichtbar wird. In derselben Abteilung noch weiter rechts sehen wir die Kurbel, die immer nur in der Richtung des Uhrzeigers gedreht wird und vor jeder andern Operation in ihre Anfangsstellung ein-schnappen muß. Der Multiplikationshebel M in der linken hinteren Abteilung wird bei Addition und Subtraktion auf 1 gestellt, für Multiplikation und Division auf die betreffende Zahl des Multiplikators und Divisors. Der vordere Teil der Deckplatte zeigt zwei Reihen von Schaulöchern, in der hinteren, der Kontrollreihe Q Q erscheint der Multiplikator (Quotient) in 8 Schaulöchern, während in den 16 Schaulöchern der vorderen, der Resultatreihe ZZ, das Produkt (Dividend) sich zeigt. Für jede dieser Reihen ist eine Auslöschvorrichtung vorhanden, durch deren seitliche Bewegung sämtliche Ziffernscheiben auf Null gestellt werden. Dieser vordere Teil kann durch Druck auf einen Knopf, die Wagenschiebevorrichtung, von Hand hin- und hergeschoben werden, um die Zahlen der Kontroli- und Resultatenreihe in einer der 8 möglichen Stellungen zu erhalten. Bei der Multiplikation (und Division) schiebt der Wagen sich nach jeder Kurbeldrehung selbsttätig um eine Stelle nach links weiter.

Man unterscheidet drei Hauptmechanismen bei dieser Maschine: den Multiplikationsmechanismus, den Übertragungsmechanismus und das Registrierwerk.

Das Verständnis des Multiplikationsmechanismus wird durch das Rechenverfahren mit den Neperschen Rechenstäben¹)

1) Die Bacilli Neperiani oder Virgulae numeratrices (von J. Blater

__ wird eine „Erleichterungstafel“ in

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0 4 3 4 2 9 4 den Handel gebracht, auch andere ältere und neuere Formen sind im Gebrauch) sind vierkantige Stäbchen, auf denen jede der 4 Seiten-v flächen das einfache Einmaleins für die jedesmal am Kopfe stehende Zahl enthält. Durch Zusammenstellung verschiedener Stäbchen findet man das 2 bis 9 fache beliebiger mehrstelliger Zahlen, wenn man die durch Diagonallinien getrennten, schräg untereinander stehenden Zahlen addiert. Wir berechnen z. B. die Vielfachen von M = 0,484294 (Modulus) mit Beschränkung auf 6 Dezimalstellen. Wir suchen die Stäbchen bzw. diejenigen ihrer Seitenflächen aus, welche die Über-

erleichtert. Stellt man z. B. an den 8 Schlitzen SS die Zahlen 00434294 ein, die gleichzeitig in den Schaulöchern erscheinen, so stellt man, um das 7 fache der Zahl zu erhalten, den Knopf auf M und den Hebel M auf 7 ein. Nach dem ersten Viertel einer Umdrehung der Kurbel K erscheinen dann in den Schaulöchern der Reihe ZZ die Ziffern 00222162, die während des weiteren Verlaufs derselben Kurbeldrehung infolge der selbsttätigen Wagenverschiebung um eine Stelle nach links rücken: 02221620. Dann wird die Zahlenreihe 00818438 zunächst ohne Zehnerübertragung hinzuaddiert, so daß 02(939058 erscheint, erst beim letzten Viertel der Drehung tritt die Zehnerübertragung (von den durch den Druck hervorgehobenen Zahlen nach links wirkend) in Erscheinung, so daß 03040058 entsteht. In der Kontrollreihe QQ zeigt sich der Multiplikator: 00000007.

Wir sehen uns jetzt die inneren Einrichtungen an, um diese Vorgänge zu begreifen. Unter jedem der 8 Schlitze S befindet sich parallel mit ihm je eine vierkantige Achse, auf der ein Zahnrad z hin- und hergleitet, der Stellung des Knopfes an der Einstellung entsprechend. Am vorderen, dem Beschauer zugewandten Ende befinden sich an den Achsen festsitzende, in einer Ebene liegende Räder, welche die Drehung der Achsen auf die Zählscheiben des vorderen, beweglichen Teils der Maschine (des Registrierwerks), ähnlich wie bei der Thomas sehen Maschine, übertragen. Die verschiebbaren Räder z greifen von oben in 9 unter ihnen quer zu den Schlitzen liegende Zahnstangen Z ein, von denen Zx unter den Ziffern 1 sämtlicher Schlitze, allgemein Zi unter i = 1, 2 . . , 9 liegt. Nur unter den Nullen liegt keine Zahnstange. Diese untereinander gleichen Zahnstangen Z sind in ihrer Längsrichtung verschiebbar.

Die Bewegung der Zahnstangen Z geschieht nun durch den sogenannten Einmaleinskörper, der links hinten unter dem Multiplikationshebel M liegt. Wir denken uns ihn durch horizontale Schnitte in 9 Zungenplatten zerlegt, von denen die erste zu unterst, die neunte zu oberst liegt. Auf der linken Seite liegen die Endflächen aller Zungenplatten in einer senkrechten Ebene, wäh-

schriften 0, 4, 3, 4, 2, 9 und 4 tragen, legen noch den Indexstab mit den Zahlen 2 bis 9 davor und lesen das siebenfache von 31 ab:

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222162

7 M = 3,040058

rend sich die einzelnen Zungen nach rechts in verschiedener Länge in der Richtung auf die Zahnstangen hin erstrecken.

Jede Zungenplatte stellt das Einmaleins der Zahl dar, mit der wir sie numeriert haben. Die Längen der horizontal nebeneinander liegenden, im Querschnitt gleichen Zungen sind von der gemeinsamen Grundfläche aller Platten aus gerechnet, der Reihe nach, von hinten nach vorn geordnet:

0,4;    0,8;    1,2;    1,6;    2,0;    2,4;    2,8;    3,2;    3,6 usf.

Die Zeichen haben wir nur dazwischen gesetzt, um die Anordnung besser zu veranschaulichen. Wir sehen, daß in jeder Platte auf eine Zehnerzunge eine Einerzunge folgt. In Wirklichkeit existieren nicht verschiedene Platten, sondern der ganze Körper ist aus einem Stück gearbeitet.

Dieser Einmaleinskörper läßt sich nun in drei zueinander senkrechten Richtungen verschieben, die wir als räumliche Koordinatenrichtungen unterscheiden können. Der Hebel M besorgt durch ein Hebelwerk, das mit Kegelrädern und Zahnstangen arbeitet, die Bewegung auf und abwärts (Richtung der z-Achse). Wird M auf 0 gestellt, so nimmt der Körper die tiefste ihm mögliche Stellung ein, er liegt dann ganz unterhalb der Ebene, in der sich die Zahnstangen befinden. Stellt man aber z. B. M auf 4, so liegt die vierte Zungenplatte den schmalen Enden der Zahnstangen gegenüber. Die erste Vierteldrehung der Kurbel K bewirkt nun eine Bewegung des Multiplikationskörpers von links nach rechts auf die Zahnstangen hin (Richtung der æ-Achse). Die Lage des Einmaleinskörpers ist hierbei so, daß die Zehnerzungen an die Zahnstangen stoßen, die Einerzungen aber in die Zwischenräume zwischen den Zahnstangen zeigen. Ist z. B. wieder 00434294 an den Schlitzen S eingestellt, und soll diese Zahl mit 4 (M auf 4) multipliziert werden, so stehen die 9 Zehnerzungen der vierten Platte mit den Längen 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 von hinten nach vorn geordnet den Zahnstangen 1 bis 9 gegenüber. Wir erhalten folgende Übersicht (von oben gesehen in der a>?/-Ebene)*) :

1) Unter den Einstellknöpfen 0, 0 liegt keine Zahnstange; über den Zahnstangen 1, 5, 6, 7, 8 befinden sich im Beispiel keine Einstellknöpfe, in diese Zahnstangen greifen daher auch keine Zahnräder ein, die sich ja unter den Knöpfen befinden.

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Einstellungen (S)

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Die Zungen und die Zahnstangen sind von links nach rechts gerichtet («- Achse). Durch die Rechtsbewegung des Einmaleinskörpers wird, wie man sieht, keine Verschiebung der Zahnstange 2 verursacht, da die gegenüberliegende Zungenlänge 0 ist, dagegen werden die Zahnstangen 3 und 4 je um eine Einheit, die Zahnstange 9 um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Gleichzeitig werden die darüber gestellten Zahnräder um dieselbe Anzahl von Zähnen gedreht, welche die Reihe ZZ, deren Scheiben vorher auf 0 standen, anzeigt.

Die Kurbel K setzt ein Kegelrad in Bewegung, in das ein anderes mit halb so großem Radius eingreift, so daß dieses hei einmaliger Kurbeldrehung zwei Umdrehungen vollführt. Dieses zweite Rad setzt aber mittels einer mit ihm durch einen Kurbelzapfen verbundenen Pleuelstange und eines Schlittenwerkes den Einmaleinskörper in Bewegung und schiebt ihn daher bei einer einzigen Kurbeldrehung zweimal hin und her (in der Richtung der «-Achse) um eine durch den Durchmesser des vom Kurbelzapfen beschriebenen Kreises bestimmte Länge. Bevor nun die zweite Bewegung des Einmaleinskörpers gegen die Zahnstangen beginnt, findet durch einen ebenfalls durch die Kurbel K betätigten Mechanismus eine Bewegung des Körpers in der dritten Koordinatenrichtung («/-Richtung), vom Beschauer gesehen, nach hinten statt, die so bemessen ist, daß jetzt die Einerzungen den Zahnstangen gegenübertreten, während die Zehnerzungen in die Zwischenräume zwischen den Zahnstangen gerichtet sind, also unwirksam werden.¹) Ferner ist vorher auch eine Verschiebung des Wagens um eine Stelle nach links ebenfalls durch die Kurbeldrehung erfolgt. In unserm

1) In der folgenden Übersicht sind die Längen der Zehnerzungen in Klammern nochmals beigefügt, obgleich sie nicht in Betracht kommen.

Beispiel zeigt sich also unmittelbar vor der zweiten Rechtsbewegung des Einmaleinskörpers folgendes Bild:

Einstellungen (SS)

Zungenlängen der Platte 4.

Zahnstangen

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Die Vorwärtsbewegung der Zungen und die dadurch bewirkte Verschiebung der Zahnstangen und Drehung der Achsen der eingreifenden Zahnräder verändert die Ziffern von Z um die mit -f-hinzugefügte Zahl, so daß die Endzahl herauskommt. Beim letzten Viertel der Kurbeldrehung tritt die Zehnerübertragung ein, so daß 01737176 erhalten wird.

Hiermit haben wir die wesentlichen Bestandteile dieser zurzeit wohl vollkommensten Multiplikationsmaschine hervorgehoben, die andrerseits durch ihre Größe etwas unhandlicher ist.

20. Differenzenmaschinen. Zur Berechnung von Tafelwerken ist die unbedingte Sicherheit einer Rechenmaschine von solcher Bedeutung, daß sich trotz der großen Kosten die Konstruktion einer besonders hierfür geeigneten Maschine lohnt. Dieses Problem hat insbesondere Ch. Babbage⁹ 10) um 1812 in Angriff genommen, doch ist sein Werk nur teilweise zur Vollendung gekommen. Dagegen sind die von G. und E. Schütz und von M. Wiberg¹) ersonnenen Maschinen zur nutzbringenden Verwendung gekommen. In neuester Zeit ist eine Differenzenmaschine von Ingenieur Hamann in Berlin-Friedenau nach Angaben von J. Peters für die Herstellung einer logarithmiscb-trigonometrischen Tafel mit 8 Dezimalstellen (herausgegeben von Bauschinger und Peters, Leipzig 1910) konstruiert worden, welche die Resultate gleichzeitig druckt (Fig. 19 a). Sie besteht aus zwei gleichartigen, voneinander unabhängigen Rechenmaschinen I und II zu je 16 Stellen nebst dem zugehörigen Druckwerk III. Sie ist auf die Rechnung mit zweiten Differenzen zugeschnitten, die bei genügend engem Intervalle der zu berechnenden Funktionen für längere Reihen konstant bleiben.

Nimmt man an, daß in einem bestimmten Zeitpunkte das Zählwerk der Maschine II den Funktionswert, das Zählwerk der Maschine I die erste Differenz anzeigt und daß letztere gleichzeitig im Schaltwerk II enthalten ist, so wird die zweite Differenz im Schaltwerk I eingestellt, durch Drehung einer Kurbel a zur ersten Differenz in Zählwerk I und Schaltwerk II zugefügt, und diese durch eine zweite Kurbel b dem Funktionswert (im Zählwerk II) zugelegt, durch Kurbeln wird das Druckwerk betätigt.

Die umstehende Figur 19b gibt ein Bild des Vorganges, wie er an jeder der 16 Stellen stattfindet. An dem Knopf, der die Achse 1 dreht, wird die zweite Differenz auf der durch ein Schauloch ablesbaren Scheibe 5 eingestellt. Durch die Drehung der Kui’bel a wird erstlich die Doppelzahnstange 23 in ihrer Längsrichtung verschoben und dadurch das auf der festen Achse 9 drehbar gelagerte Zahnrad 10 herumgedreht, bis durch Übertragung seiner Umdrehung auf das Zahnrad 4, mit dem sich die Achse 1 dreht, im Schauloch der Scheibe 5 eine Null erscheint. Durch Fehlen eines Zahnes bei 4 läßt sieb diese Begrenzung der Bewegung erreichen, indem dann 10 nicht mehr eingreift. Dieselbe Kurbelbewegung (a) hat die Achse 24 um den Zapfen 25 gedreht und Rad 7 so weit nach rechts verschoben, daß vermöge einer Flansche die Achse 3 an den Drehungen von Achse 1 teilnimmt. Es möge hier gleich bemerkt werden, daß mit dieser Achse die Ziffern-

Bericht über die Differenzenmaschine sowie über die spätere analytische Maschine zieht sich wie ein roter Faden durch das Werk.

1) M. Wiberg, Logarithm-Tabeller, Stockholm 1875 sind mit der Maschine gerechnet.

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Fig. 19 b.

(Vgl. die Erläuterungen zu dieser Figur in Bauschinger - Peters logarithmisch - trigonometrischer Tafel.)

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scheibe 19 des Zählwerkes I in Verbindung steht. Nach der Hälfte der Drehung der Kurbel a kippt die Zahnstange 23, die sich um eine Achse dreht, von Rad 10 hinweg und nach Rad 11 hinüber, durch welches Rad 7 auf Achse 1 um ebensoviel Zähne vorwärts gedreht wird, als es vorher zurückbewegt wurde. Da aber inzwischen Achse 24 Rad 7 mit Rad 4 verkoppelt und von der Verbindung nach rechts gelöst hat, so wird Rolle 5 wieder auf die frühere Einstellung gebracht. Auf Rolle 5 ist also der frühere Wert eingestellt, während im Zählwerk I, das ja nur an der ersten halben Bewegung teilgenommen hatte, der Wert der zweiten Differenz hinzugefügt ist. Nun hat aber die Achse 3 ihre Bewegung gleichzeitig auch auf Achse 28 übertragen, die mit der Achse 1 der Maschine II gekoppelt ist. Diese Achse trägt also keinen Einstellknopf, sondern wird von Achse 28 der Maschine I um ebensoviel gedreht, als die Änderung im Zählwerk I beträgt. Sonst ist die Einrichtung von II entsprechend, nur kommt die hier nicht ohne besondere Figuren erklärbare Druckvorrichtung hinzu. Die Hebel c und d dienen zur Umschaltung von Addition auf Subtraktion.

21. Anforderungen an eine Rechenmaschine. Zum Schlüsse stellen wir als Anfordenmgen an eine moderne Rechenmaschine die folgenden auf:

Durchgehende Zehnerübertragung sowohl im Zählwerk (bzw. Warnungsglocke) als auch im Quotienten.

Automatischer Stellentransport.

Auslöschvorrichtung für die Einstell- und die Resultatenreilien.

Ein Druckwerk, welches wenigstens das Resultat druckt, wenn möglich auch die Aufgabe (aber nicht vom Einstellwerk aus).

III. Abschnitt.

Die Meßrolle.

22. Einrichtung und theoretische Grundlagen. Eine Rolle, d. h. eine kreisrunde Scheibe, die auf einer ebenen Fläche, sich um ihre Achse drehend, fortbewegt wird, kommt bei einer großen Anzahl von Instrumenten zur Verwendung. Ist ihr Rand scharf, so hat sie die Eigenschaft, eine bestimmte Richtung inne zu halten, aus der sie nur durch Drehung um ihren Auflagepunkt, den Berührungspunkt mit der Zeichenebene, in eine andere Rieh-tung übergeführt werden kann. Rollen von dieser Beschaffenheit oder auch an ihrer Stelle Schneiden von etwas gekrümmter Form werden bei Planimetern und Integraphen in Anwendung gebracht.

Eine noch häufigere Benutzung erfahren Rollen mit einem flachen oder auch etwas abgerundeten Rande als Meßrollen. Sie sind dann entweder mit einer Teilung an ihrem Rande versehen, die mit Hilfe eines an der Drehung nicht teilnehmenden Index abgelesen wird, oder ihre Achse steht mit einem Zählwerk in Verbindung, welches die vollen Umdrehungen der Rolle und deren Bruchteile angibt. Die Rollenumdrehungen, die man auf diese Weise abliest, messen bei bekanntem Halbmesser der Rolle den von ihrem Mittelpunkt zurückgelegten Weg. Bezeichnen wir den Halbmesser der Rolle mit q und nehmen wir an, das sie sich beim Durchlaufen einer geradlinigen Strecke s um den Winkel to dreht, so beschreibt ein Punkt ihres Umfanges den Bogen pco = <J, welcher der durchlaufenen Strecke (n = s) gleich ist. Für unendlich kleine Wegstrecken ds gilt die Gleichung q • da = da — ds, aus der für ein Kurvenstück von der Länge S zwischen zwei Punkten A

C»>₂

und B: q j dco — q(co₂ — co₁) = ö₂ —    == S folgt. Wir nennen

U>i

6 bzw. da auch die Abwicklung der Rolle.

Eine Voraussetzung für die Zuverlässigkeit der Messung ist die, daß die Rolle, die mit einem sanften Druck gegen die Unterlage gedrückt wird, sich in jedem Augenblick wirklich dreht und nicht gleitet. Ein Gleiten der Rolle, bei dem sie sich nicht dreht, sondern stets in demselben Punkte die Unterlage berührt, muß dagegen stattfinden, wenn eine Verschiebung der Rolle in der Richtung ihrer Achse vorkommt. Wenn die Richtung der Rollenbewegung oder was dasselbe ist, die Ebene der Rolle nicht mit der Richtung des Weges (bei Kurven mit der Tangente) zusammenfällt, sondern beide Richtungen einen Winkel a mit einander bilden, so kann man sich die Rollenbewegung in zwei Bewegungen zerlegt denken, von denen die eine senkrecht zur Rollenachse, die andere in der Richtung der Rollenachse sich vollzieht. Die Abwicklung ist dann nicht dem zurück gelegten Wege gleich, sondern gibt nur die Komponente, die senkrecht zur Rollenachse liegt, daher ist da — ds • cos a.

Wir schalten noch ein, daß es nicht notwendig ist, daß die Rolle senkrecht zur Unterlage steht, sondern daß ihre Abwicklung

Galle: Mathematische Instrumente.

dieselbe bleibt, wenn ihre Ebene gegen die Unterlage geneigt ist, so lange nur eine ungehinderte Drehung stattfindet und keine Reibung sie verhindert.

23. Verschiedene Mechanismen und Ersatz der Rolle durch Zylinder usw. Da es ferner nur auf die relative Bewegung ankommt, so kann die Rolle auch fest stehen und die Unterlageebene unter ihr verschoben werden. Ein derartiger Fall kommt vor, wenn es sich darum handelt, eine geradlinige Bewegung in eine kreisförmige zu verwandeln. Hierbei ruht die Rolle auf einer rotierenden Kreisscheibe auf, wobei ihre Achse meist nach dem Mittelpunkt der Scheibe gerichtet ist. Wenn die Entfernung des Auflagepunktes vom Mittelpunkt e ist und die Scheibe sich um einen kleinen Winkel clcp dreht, so ist die Abwicklung der Rolle da = edcp.

Sind cpl und <p₂ die Winkel, welche ein Scheibenhalbmesser p vor und nach der Drehung mit einer beliebig gewählten Anfangsrichtung einschließt, und cox und co₂ die entsprechenden Ablesungen

an der Rolle, so erhält man (co₂ — «j) = — (<p₂ — cpt) oder auch

<?₂— at — e(<p₂ — <pt), wofür wir kurz a — ecp schreiben wollen. Häufig wird e veränderlich sein, indem etwa die Drehung d cp —p •dx der Änderung der ^-Koordinate proportional ist, während e = y der y - Koordinate gleich gemacht wird. Ist dann y = f(x) ge-

OTJ    X<±

geben, so wird <7₂ —    = pjydx oder auch oo₂ — col = ~^J*ydx.

*i    xi

Diesen Fall werden wir z. B. beim Hansen-schen Planimeter kennen lernen.

A.

Es ist nicht nötig, daß die Achse der Rolle mit einem Durchmesser der ruhenden

Scheibe zusammenfällt, es genügt, daß sie ihm parallel ist (Fig. 20). Findet nämlich eine Verschiebung längs einer Sehne statt, die den Abstand d vom Mittelpunkt der Scheibe hat, ist ferner f die Entfernung des Rollenauflagepunktes vom Mittelpunkt der Scheibe, y der dem der Rollenachse parallelen Durchmesser

r''f

Fig. 20.

Winkel, den f mit bildet, so ist bei einer Scheibendrehung dcp die Abwicklung der Rolle da — f • dcp • cos y oder da — edcp, d. h. die Abwicklung ist dieselbe, als wenn die Rolle in ihrer Ebene nach dem Durchmesser

23. Verschiedene Mechanismen und Ersatz der Rolle.

51

verschoben wird, und ihre Achse nach dem Mittelpunkt der Scheibe gerichtet ist.

Diese Verbindung von Scheibe und Rolle scheint zuerst Poncelet angewendet zu haben, sie wird in der Regel als Gonellascher Integrationsmechanismus bezeichnet, da Gonella sie durch sein Planimeter allgemeiner bekannt gemacht hat.

Die Kreisscheibe kann als besonderer Fall eines Kreiskegels aufgefaßt werden, wenn nämlich sein Öffnungswinkel 180° beträgt. Läuft eine Rolle auf einer Kegelfläche, die sich um ihre Achse um den Winkel dcp dreht, und ist die Rollenachse der Kegelachse parallel, so möge der Berührungspunkt der Rolle sich auf dem Kreise mit dem Radius y bewegen, der von der Kegelspitze den Abstand z hat (Fig. 21). Dann ist die Abwicklung da — y dcp oder wenn a der Radius

des Grundkreises des Kegels und li seine Höhe ist, da = dcp. Auch hier kann z — cp(x) und dcp — p • dx sein, so daß man entsprechend wie früher ö₂ —    p j

ß¹

Die Kegelfläche ist nicht die einzige gekrümmte Oberfläche, auf der man eine Rolle laufen läßt. Insbesondere kommt auch ein Mechanismus in Betracht, wo die Rolle auf einer Kugeloberfläche läuft. Wir nehmen zunächst an, daß die Rolle senkrecht auf ihr steht, d. h. daß ihre Ebene einen größten Kreis BNN' aus der Kugel ausschneidet.

Es sei 0 der Mittelpunkt der Kugel, B der Berührungspunkt der Rolle, der Kugelradius OB — r, der Rollenradius B1Î — q. Die Kugel drehe sich um einen Durchmesser PP' als Achse, mit dem der Radius OB den Winkel d einschließe. Dreht sich die Kugel um ihre Achse um den Winkel dtp, so bewegt sich der Berührungspunkt B auf einem kleinen Kugelkreise mit dem Radius r sin d und beschreibt einen Bogen r sin öd cp. Die Bewegung der Rolle wird teils eine rollende, teils eine gleitende sein und nur die erstere hat eine Drehung der Rolle zur Folge. Wenn wir den Winkel PBN

zdx erhält.

h-z

Fig. 21.

Pà

___--

N’

Fig. 22.

4*

mit y bezeichnen, d. h. den Winkel, welchen der sphärische Eadius des Berührungspunktes B der Rolle mit der Ebene der Rolle oder auch mit dem größten Kreise JSTBN' einschließt, so beträgt die Abwicklung der Rolle dß — r sind siny dtp, da ja die Rollenebene mit der Bewegungsrichtung des Berührungspunktes (der Tangente des kleinen Kreises) den Winkel 90° — y einschließt.

Wenn die Rollenebene einen kleinen Kreis aus der Kugel aus-schnitte und die Rolle infolgedessen schräg auf der Kugel stände, so wäre die Abwicklung dieselbe, nur müßte dann der Winkel y als der Winkel zwischen der sphärischen Tangente desjenigen kleinen Kugelkreises, den die Ebene der Rolle ausschneidet, und dem sphärischen Radius des andern kleinen Kreises, den der Berührungspunkt B bei der Drehung der Kugel beschreibt, definiert werden.

Aus praktischen Gründen tritt bei vielen Instrumenten an Stelle der Rolle, die auf einer gekrümmten Fläche läuft, ein Zylinder, also gewissermaßen eine große Zahl von Rollen mit gemeinsamer Achse. An Stelle der Verschiebung einer Rolle in der Richtung ihrer Achse findet dann ein Wälzen oder Kippen des gegen die Fläche gedrückten Zylinders statt, so daß der Berührungspunkt des Zylinders sich auf ihm verschiebt und verschiedene Rollen, aus denen wir uns ihn zusammengesetzt denken, nach einander in Berührung mit der krummen Oberfläche kommen. Auch ist in einzelnen Fällen der Versuch gemacht worden, die Rolle durch eine Kugel zu ersetzen, deren Umdrehungen um eine Achse gemessen werden, und die auf einer andern Kugel rollt.

Alle diese Mechanismen mit gekrümmten Flächen bezwecken, unbeabsichtigte Bewegungen des Meßapparates zu verhindern, indem seitliche Bewegungen einer Meßrolle auf einer ebenen Fläche infolge von Unebenheiten u. dgl. Drehungen der Rolle nicht ausschließen, also das Ergebnis verfälschen. Bei krummen Flächen ist dagegen die Forderung, daß die Berührung immer nur in einem Punkte stattfindet, leichter erfüllbar.

Insbesondere ist hierbei noch auf eine Bemerkung Rücksicht zu nehmen, die Clark Maxwell zuerst gemacht hat, daß bei einer seitlich wirkenden Kraft, die nicht genau mit der Richtung der Rollenachse zusammenfällt, die eine Komponente (senkrecht zur Rollenachse) eine Rollbewegung verursacht, wenn die Rolle in dieser Richtung rollen kann, wie dies bei ebener Unterlage der Fall ist.

IV. Abschnitt.

¹

Nur bei einer Maschine (Gauß) ist die Stellenzahl des Multiplikators oder Quotienten unbegrenzt, aber dies ist nur bei der Division von Vorteil.

²

Bei manchen Maschinen (s. u. Odhner) stehen die Scheiben

³

Wir besprechen sie an anderer Stelle. Das von Pascal erfundene Prinzip, das wir hier angegeben haben, ist bei den einfachen Additionsmaschinen (Goldmans Contostyle, Bollee Compteur) anwendbar, bei denen z. B. auf parallel geführten Metallstreifen, die über Rollen in sich zürücklaufend geführt sind, die Zahlen stehen und nach links eine Übertragung angebracht werden kann.

⁴

Würde z. B. in den vier am weitesten rechts gelegenen Schlitzen die Zahlen 9876 eingestellt, während die übrigen Knöpfe auf 0 stehen, so wird eine Multiplikation von 9876 mit 3 durch dreimalige Kurbeldrehung erreicht. Bei der ersten Umdrehung erscheint die Zahl 9876 selbst in den vier rechts liegenden Schaulöchern. Bei der zweiten Umdrehung erhält man 19 752, bei der dritten 29 628, wenn Zehnerübertragung stattfindet. Soll dagegen zu 9876 eine andere

⁵

   Beispiel : 384923 — 97605 = 384923 -f (99999 — 97605) — 100000 -f 1 = 384923 -j- 2394 — 100000 -f 1.

⁶

   Bei der Addition und Subtraktion darf keine Verrückung des Schaltwerkes gegen das Zählwerk stattfinden, wie schon oben erwähnt wurde.

⁷

   E. Selling, Eine neue Rechenmaschine, Bevlinl887. Hartmann, Zeitschr. f. Instr. 1887, 403.

⁸

   Sie gleicht einer Kette von Parallelogrammen, deren in der Mittelrichtung liegende Ecken von den Kreuzungspunkten der Arme der einzelnen Scheren gebildet werden. Die Arme der auf einander folgenden Scheren hängen in Gelenken zusammen, welche die anderen Eckpunkte der Parallelogramme bilden.

⁹

   Gegen oben xun eine Stelle verschoben.

¹⁰

   Das Buch von Charles Babbage, Passages from the life of a Philosopher, London 1864 ist z. T. sehr amüsant geschrieben. Der

Stetige Rechenapparate.

Die im vorigen Abschnitte beschriebenen kinematischen Grundlagen können zur Ausführung derselben Rechenoperationen dienen, die durch Rechenmaschinen in ganz anderer Weise zu Stande kommen.

CA

piS

Fig. 23.

24. Addition und Subtraktion. Hierher gehört zunächst der sog. Proportionalrechenschieber von Ch. Hamann. Ein scharfrandiges Stahlrad B wird mit seiner horizontalen Achse gabelförmig (oder in einem ringförmigen Lager wie in der Fig. 23) von einem Arm gehalten, dessen anderes Ende einen Indexstift m umfaßt, der sich in einem Schlitz längs einer Skala M verstellen läßt. Das Rad trägt einen zur Richtung M senkrechten, horizontal liegenden Zylinder (7, der das Rad senk-. recht über seinem Mittelpunkte berührt. Dieser Zylinder läßt sich in der Richtung seiner Achse verschieben und trägt einen Index S, dessen Stellung an einer V» zu M (y-Achse) senkrechten Skala A (æ-Achse) abgelesen / wird. Wird S auf einen bestimmten Punkt der Skala A 'i eingestellt und festgehalten, so daß die Richtung des Armes ^ mH unverändert bleibt, und der Zylinder in seiner Längsrichtung um eine bestimmte Strecke verschoben, so findet eine Drehung des Rades und gleichzeitig des auf ihm ruhenden Zylinders statt. Diese Drehung ist proportional der Einstellung Om = y und wird durch eine mit der Zylinderachse verbundene Zählvorrichtung abgelesen. Bezeichnen wir nämlich den Winkel, den eine Senkrechte B 0 auf M, welche die konstante Länge l hat, mit der Richtung des Armes Bm einschließt, mit «, so bewirkt eine Verschiebung dx des Zylinders in der ^-Richtung eine Drehung der Rolle um d co und die Abwicklung der Rolle ist qcIco — d<3. Durch die Rollendrehung wird eine Drehung des Zylinders dtp um seine Achse veranlaßt, die für einen Zylinderhalbmesser r eine Verschiebung rdcp des Berührungspunktes auf der Zylinderfläche in der Richtung der y-Achse zur Folge hat. Der Weg des Berührungspunktes auf der Rolle ist die Resultante der beiden rechtwinkligen Komponenten dx und rdcp. Es ist daher

cos <xd6 = dx, sirnx d<5 — rdcp und dcp — — >t gcc.

Anderer-

seits ist aber Ztga = ?/, also dcp =    ydx, mithin cp₂ —

<Pi =

lr ‘ y{x2— xi)- Verschiebt man den Zylinder um seine ganze Länge a und setzt = c einer Konstanten gleich, so ist die Zylinderdrehung

cp₂ — <pl — cy. Beim Addieren stellt man den ersten Summanden yl mit m ein, führt den Zylinder in seiner ganzen Länge über das Rad E hinweg, dann zeigt die Umdrehungszahl (wenn man c — 1 wählt) diesen ersten Summanden an. Man führt den Zylinder in seine Anfangsstellung zurück, stellt den zweiten Summanden y₂ ein, dann gibt die Umdrehungszahl des Zylinders, wenn man ihn wieder über das Rad in seiner ganzen Länge geführt hat, yt -f y₂ usf. Wird die Verschiebung des Zylinders x₂ — xt einer Zahl proportional, so liefert das Hamann sehe Instrument auch Produkte y(x₂ — xx) zweier gegebenen Zahlen.

25. Multiplikation und Division. Die folgenden Konstruktionen sind sämtlich von Prof. Hele-Shaw in London angegeben

\0

'K

90-a

Fig. 24.

worden. Eine Kugel vom Halbmesser r sei um eine horizontale Achse KK drehbar und zwei Rollen A und B sollen sie in dem größten Kugelkreise berühren, der horizontal liegt. Sie sind durch einen Rahmen, den wir als den festen Rahmen bezeichnen wollen, so mit einander verbunden, daß ihreEbe-’ nen senkrecht zu einander stehen und durch den Mittelpunkt 0 der Kugel gehen. Auf der horizontalen Achse der Rolle A soll ein Schieber P verschiebbar sein, der durch einen andern Rahmen, den wir den beweglichen nennen, so mit der Drehachse KK der Kugel in Verbindung steht, daß die Richtung OP stets senkrecht zu KK ist. Ist dann der Winkel OPA = 90°— a und wird die Entfernung PA = a, OA = Je gesetzt, so ist a — Jt tg a. Dreht sich die Kugel um KK und ist cp der Drehungswinkel, so wickelt die Rolle A, deren Berührungspunkt sich auf dem kleinen Kugelkreise mit dem Halbmesser r cos cc bewegt, den Bogen = r cos ad cp ab, während die Rolle B

den Bogen o₂ = r sin ad cp abwickelt. Es ist also °- = t g a und

(S a

daher ^    ^, wo ^ konstant ist. Wenn man nun eine Entfernung

a mit Hilfe einer Skala einstellt, indem man P auf der Achse von A verschiebt, und die Rolle A, die ebenfalls mit einer Teilung versehen ist, von null ausgehend bis zu einer Ablesung a>j dreht, so wird dadurch die Kugel und damit auch die Rolle B in Drehung

versetzt. Die Ablesung co₂ der Rolle B ist dann co₂ = ~ wenn 6i = (JjCOj, ö₂ = p₂o)₂ ist. Durch passende Wahl der Einheit (p¹ ~    0<^er ^6r ®,0^en<^urc^messer örhält man also ro₂ =

als Produkt der eingestellten Zahlen.

Besonders vorteilhaft ist diese Vorrichtung, wenn man a konstant läßt, indem man dann eine Tabelle der Produkte von a mit verschiedenen Faktoren erhält.

Dreht man dagegen die Rolle B, so wird die Kugel ebenfalls um ihre Achse gedreht und damit auch A und man erhält

(wieder für Pl = Je) = -² als Quotienten zweier eingestellten Zahlen.

. Ri

es

a • coj

26. Quadratwurzelzielmng. Wir nehmen jetzt an, daß die Achse der Rolle A eine Schraube und P eine Schraubenmutter sei. Durch Drehung der Rolle A, die durch den festen Rahmen in ihrer Stellung gehalten wird, wird die Schraube gedreht und dadurch die Schraubenmutter P verschoben, die in dem beweglichen Rahmen befestigt an der Drehung nicht teilnehmen kann. Dadurch wird ferner die in dem beweglichen Rahmen sitzende Drehachse der Kugel in ihrer Lage verändert. Es seien wieder pj und p₂ die Halbmesser der Rollen A und B, dco₁ und dm2 ihre Drehungswinkel, ferner t die Ganghöhe der Schraube, also auch die Änderung der Entfernung a, die einer Schraubenumdrehung entspricht. Dann ist ^ = ”, wenn = 0 für a = 0

(?2 ^ d co₁

d“> “ f,

ist. Setzt man den Wert von a in

tg cc = ” ein, so folgt

und durch Integration, wenn für oc^ = 0 auch co₂ = 0 ist, co₂ =

— g)₁². Wählt man

47tk q₂

d. h. wenn man die Rolle B um eine Zahl co₂ dreht, wodurch die

Kugel und die Rolle A ebenfalls in Drehung versetzt werden, so liest man an der Rolle A die Quadratwurzel ]/oj₂ ab.

27. Logarithmierung. Bringt man dagegen bei sonst unveränderten Verhältnissen P in der Verlängerung der Drehachse der Kugel an (Fig. 25), so möge wiederum der Winkel zwischen dieser Drehachse und der Schraubenachse APO = a bezeichnet werden.

In diesem Falle ist tga = —-, also auch    = —. Setzt

° a ¹    da₁ Qldco₁ a

man wieder a — —— ein, so erhält man dco« = 2n ~ — —--¹ i 2n    J    t q₂ al

also durch Integration

■g®i»

Schraubenganghöhe 2n

Modulus

wenn die Integrationskonstante null ist, d. h. der Einstellung co₂ = 0 die Einstel-.g lung coj = 1 entspricht, was man durch Drehung der Rollen erreichen kann. Hier kann man durch passende Wahl der Je = t (?2

Cö₂ = log 03₁. um c»₁ erhält man log w₁ als Ablesung

Fig. 25.

der dekadischen Logarithmen machen. Dann wird

Durch Drehung der Rolle A der Rolle J5.

28. Trigonometrische und hyperbolische Funktionen.

Von dem Erfinder Ch. Hamann des unter 24. besclniebenen Proportionalrechenschiebers ist ein arithmetischer und trigonometrischer Universalrechenapparat konstruiert worden, der sich in der Konstruktion an den genannten anschließt.x) Auf einem quadratischen Metallrahmen von 17 cm Seitenlange (s. Fig. 26) dreht sich ein Arm, den wir mit A bezeichnen wollen um einen Punkt D in der rechten oberen Rahmenecke. Wenn er der oberen Rahmenkante parallel liegt, zeigt ein an ihm befestigter Nonius auf den Nullpunkt eines bis 45° reichenden Gradbogens (II).²) Ein zweiter Nonius wird ebenfalls

1)    Zeitschrift für Instrumentenkunde 31,101, 1911. (Beschreibung von Ingenieur K. Ho eck en.)

2)    Die Bezeichnung der fünf Ablesevorrichtungen ist durch die Zahlen I bis V von links nach rechts vorgenommen, entsprechend die der Ablesungen ax bis as.

von ihm längs der linken Rahmenkante mitgeführt und zeigt in der genannten Anfangsstellung auf den Nullpunkt einer geradlinigen Skala (I) an dieser Rahmenkante. An der rechten Rahmenkante befindet sich eine mit I völlig übereinstimmende Skala (Y), die aber verschiebbar ist und mittels eines am Rahmen fest angebrachten Nonius abgelesen wird. Mit dieser Skala (Y) ist ein um seine Achse drehbarer Zylinder (IV) so verbunden, daß er sich gleichzeitig mit V in

-,

rf

2-E

li

= H 5 3-=i_

Er5

10

E-2

IM

5-r

r.

il

F±

n-

sJt⁶

8-E

|-8 -9

ui

Fig. 26.

seiner Längsrichtung verschieben läßt. Nun ist auf dem Arme A nahe seinem Drehpunkt D ebenfalls ein Zylinder (III) gelagert, und es kann durch den Druck auf einen an der unteren Rahmenkante angebrachten Knopf bewirkt werden, daß (durch seitliche Kippung des Rahmens des Zylinders IV) die beiden Zylinder III und IV einander in einem in der Richtung des Armes A gegebenen Punkte berühren. Wird der Knopf losgelassen, so sind die Zylinder wieder außer Berührung. Die Drehung der Zylinder wird an zwei

Zählwerken abgelesen, welche die ganzen Umdrehungen und ihre Bruchteile angeben.

Bezeichnet man den am Gradbogen abgelesenen Winkel mit a, so ist der Winkel der beiden Zylinderachsen 90° — cc. Wird nun der Zylinder IV um den an der Skala Y abzulesenden Betrag a-₀ in der Richtung seiner Achse verschoben, so erleidet er durch die Berührung mit dem Zylinder III eine an seinem Zählwerk meßbare Drehung a₄. Hierbei wird auch der Zylinder III eine an der Zählscheibe sichtbare Drehung a₃ erleiden. Eine Drehung des Zylinders III kann man als Resultante einer Längsverschiebung und Drehung des Zylinders IV auffassen, so daß bei konstantem Winkel a auch für endliche Drehungen ai = a₃ sin «, °h ~ «3 cos a ist. Wenn ferner die Rahmenseite (genauer die Entfernung des Drehpunktes D von Skala I) als Einheit genommen wird, so ist die Ablesung an Skala I: a₁ = tg a.

Hieraus geht hervor, daß sich der Apparat zur Multiplikation

und Division verwenden läßt, indem a₄ = ax a₅, ah = — ist, wenn

ai

man bei Herstellung der Berührung der Zylinder III und IV mit dem Druckknopf die Faktoren ax und a₅ auf den Skalen I und V bzw. den Dividenden am Zählwerk des Zylinders IV einstellt. Wenn man die Zählwerke, die durch eine besondere Vorrichtung auf Null gestellt werden können, eingestellt läßt, so kann man ein anderes Produkt zu einem vorhergehenden addieren usf., also was mit dem Rechenschieber nicht möglich ist, Ausdrücke von der Form ab ± cd + ef. . . bilden.

Die sechs Gleichungen:

a₄ = a₃ sin a

dg ■— d^ S6C CC

a₅ = «₄ ctg cc

zeigen die Möglichkeit, die Produkte einer trigonometrischen Funktion und einer Zahl zu bilden, wenn noch sin (45° + a) = cos (45° + a) in Betracht gezogen wird.

Wenn außerdem die Winkeldrehung des Armes A durch die Längsverschiebung des Systems IV, V mittelst einer besonderen Vorrichtung hergestellt wird, so besteht für kleine Bewegungen die Differentialformel

— dg COS cc

~ a4: C0SeC a CIą. — $5 CC

dah — cos ad^.¹)

Da nun dah = da durch passende Einrichtung der Übertragung gemacht werden kann, so folgt

und

da

/sÜ-Wt + t).

d (ig -

und damit erhält man die hyperbolischen Funktionen

sin a — Setnej a₃, sec a = (£of u₃, tga = (Sina₃.

Wenn man daher bei gekuppelten Zylinderwalzen die Skala V so lange verschiebt, bis die Ablesung a₃ an dem Zählwerk des Zylinders III erscheint, so hat sich der Arm A von selbst auf a eingestellt. Man kann dann auf die frühere Weise das Produkt einer Zahl mit sina usw., also auch das Produkt einer Zahl mit Xûîtg a₃ usf. durch den Apparat erhalten, also ebenso wie beim ungekuppelten System.

cos a

a₃

V. Abschnitt.

Differentiatoren.

29. Zweck. Um den Wert des Differentialquotienten

erhalten, also wenn y = f(x) durch eine Kurve dargestellt betrachtet wird, die Richtung der Tangente, wird bei den Apparaten

von Hele-Shaw das Verhältnis der Geschwindigkeiten

eingeführt und diese werden in Rotationsgeschwindigkeiten a>2 und co₁ verwandelt. In dem besonderen Falle, daß x = t, d. h.

dt

dx

dy

dt

zu

und

die eine Veränderliche die Zeit und daher co₁ =-jj eine Konstante

dy_ _

(= l) ist, erhält man dann direkt die Geschwindigkeit

30. Rollen- und Sckeibenmecłianismus. Eine Rolle R (Figur 27) möge in der Weise auf einer rotierenden Kreisscheibe S angebracht sein, daß ihr Berührungspunkt sich längs eines Durchmessers der ruhenden Scheibe verschiebt. Diese Verschiebung findet auf einer Schraubenspindel E statt, die als Achse der Rolle dient. Die Schraube werde in eine Drehgeschwindigkeit ro₂ versetzt, die von der

dt

&>₂.

1) Für das gekuppelte System ist genauer daa= cos (a -f- da) das, wofür (cosa — sinada)da₃ oder mit Vernachlässigung des Gliedes zweiter Ordnung cos a da. geschrieben werden kann.

einen Veränderlichen y abhängt, während die Winkelgeschwindigkeit co₁ der Scheibe von der anderen Veränderlichen x abhängen soll. Da nun die Rolle, die wie eine Schraubenmutter auf der Spindel aufsitzt, durch die rotierende Scheibe die Geschwindigkeit eœ₁ empfängt, wenn e der Abstand des Berührungspunktes vom Scheibenmittelpunkt ist, so muß sie sieb auf der Schraubenspindel, welche eine andere Winkelgeschwindigkeit besitzt, so lange verschieben, bis beide Geschwindigkeiten gleich sind. Ist etwa die Drehgeschwindigkeit der Schraube kleiner, so wird sich die Rolle nach dem Mittelpunkt der Scheibe hin verschieben. Wenn mit q der Halbmesser der Rolle bezeichnet wird, so wird ein Ruhezustand

®i

eintreten, wenn qco₂ — ecox ist. Daher ist e = q — ein Maß für

Fig. 28.

k£*J

Fig. 27.

das Verhältnis beider Geschwindigkeiten, da ja p eine Konstante ist. Da im allgemeinen die Geschwindigkeiten sich fortwährend ändern, so ist die augenblickliche Ablesung der Entfernung der Rolle vom Scheibenmittelpunkt das Verhältnis der gleichzeitig stattfindenden Geschwindigkeiten. Im Falle co₁ = 1 ist e = q co2 das Maß für die Geschwindigkeit der Schraubendrehung, die dann erhalten wird, wenn die Scheibe durch ein Uhrwerk in gleichförmige Umdrehung versetzt wird.

Die beschriebene Einrichtung wird besonders dann ungünstig, wenn kleine Werte annimmt, also e sehr groß wird und die Rolle über den Rand der Scheibe sich entfernen würde. Diesem Übelstand hilft eine Veränderung (Figur 28) ab, die in der Anwendung zweier gleich großer Rollen A und B besteht, die zwar auf derselben Achse sitzen und die konstante Entfernung r des Halbmessers der Scheibe haben, aber sich unabhängig voneinander drehen. Erteilt man der Rolle A mit dem Radius q die Geschwindigkeit , so wird die Scheibe dadurch in eine Winkelgeschwindigkeit cp versetzt, die sich bei einem Abstand e der Rolle vom Mittelpunkte durch eep = bestimmt. Die Rolle B, die den Abstand r — e vom Mittelpunkte der Scheibe besitzt, wird dadurch die Geschwindigkeit q co₂= (r — e)cp erhalten. Wenn aber die ihr erteilte Geschwindigkeit co₂' nicht mit co₂ übereinstimmt, so wird eine Verschiebung der beiden Rollen, deren Abstand unveränderlich ist, so lange stattfinden, bis die Gleichheit co₂ = <x>₂' Ä’reicht ist. Dann ergibt sich

d yi    ojä r — e

dx to,

31. Rollen- und Kugelmechanismus. Derselbe Gedanke liegt einem anderen Apparate zugrunde (Figur 29). Eine schräggestellte Scheibe S wird durch Vermittlung eines Zahnrades A mit

wm

iB

—Z.

z,

zzz,

Fig. 29.

der Geschwindigkeit    in Drehung versetzt. Längs eines

horizontalen Durchmessers der Scheibe rollt eine Kugel K, die an dem Herabgleiten durch einen Zylinder Z mit ebenfalls horizontaler Achse gehindert wird. Die Kugel berührt daher den ruhenden Zylinder längs einer Mantellinie, wenn sie sich längs des Durchmessers der Scheibe bewegt, während der Zylinder und die Scheibe nicht in Berührung stehen. Die seitliche Verschiebung der Kugel wird durch einen gabelförmig sie umfassenden Bügel B geleitet, der an einer Schraubenmutter N befestigt ist, die ohne sich zu drehen auf einer Schraubenspindel, welche die Verlängerung der Zylinderachse bildet, sich verschiebt. Die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Schraubenspindel und damit der Zylinder

«•

dreht, sei co₂ = ^ . Da nun die rotierende Scheibe der Kugel eine

Drehgeschwindigkeit mitteilt, die vom Abstande des Berührungspunktes vom Scheibenmittelpunkt abhängt, und andererseits der Zylinder eine andere Drehgeschwindigkeit besitzt, so entsteht eine

Verschiebung der Kugel, die so lange vorhält, bis beide Geschwindigkeiten, die der Kugel erteilt werden, gleich sind. Ein Zeiger, welcher an dem die Kugel umfassenden Bügel sich befindet, gestattet an einer Skala die Entfernung der Kugel vom Mittelpunkte abzulesen, die also das Verhältnis beider Geschwindigkeiten angiht.

Bereits im vorigen Abschnitt haben wir die Einrichtung erwähnt, bei der zwei rechtwinklig gegeneinander gerichtete Rollen auf derselben Kugel sich drehen und eine auf der Achse einer dieser Rollen verschiebbare Schraubenmutter mit der Kugelachse in Verbindung steht. Im Verfolg dieses Gedankens hat Hele-Shaw gezeigt, wie man auf diese Weise ebenfalls das Verhältnis der

Geschwindigkeiten beider Rollen (nämlich = tg a, s. S. 54) bestimmen und durch Anwendung von zwei Kugeln auch den zweiten Differentialquotienten, also die Beschleunigung erhalten kann. (Vgl. Philosophical Transactions vol. 176, Part. II, p. 367—402, London 1886.)

VI. Abschnitt.

Kurvenmesser.

(Kurvimeter, Kurvometer, Kurveometer, Opisometer, Rektifizierrädchen, Meßrädchen, Longimeter, Linienmesser, Kartometer usw.)

32. Bei den folgenden Instrumenten wird die Summation von Größen, die graphisch gegeben sind, nach dem Verfahren der Integration ausgeführt. Die Integration bezieht sich entweder auf diese Größen selbst oder auf Funktionen derselben. Einer der einfachsten Fälle betrifft die Summierung der Bogenelemente einer Kurve oder der Bestimmung ihrer Bogenlänge. Da diese zwischen gegebenen Punkten gesucht wird, so vollzieht das Instrument eine Integration zwischen festen Grenzen, liefert also ein bestimmtes Integral. Der Einfachheit halber lassen wir die Bezeichnung der Grenzen der bestimmten Integrale in den folgenden Abschnitten fort.

Um die Bogenlängen einer Kurve zu messen, sind zwei Verfahren in Gebrauch. Das eine bedient sich einfach des Zirkels, mit dessen Hilfe Tangenten- oder Sehnenabschnitte gemessen und durch eine besondere Vorrichtung am Zirkel addiert werden. Die zweckmäßigste Zirkelöff'nung richtet sich bei dieser Methode, die sich vorzugsweise auf Kurven von allmählicher Krümmungsänderung beschränkt, nach der Größe des Krümmungsradius.

Die andere Methode der Rektifikation benützt als besonderes Instrument ein Meßrädchen, das gewöhnlich von der Hand geführt nach Augenmaß die Richtung der Tangente einhält und an einer Ablesevorrichtung für die Anzahl der Umdrehungen die Länge der Kurve bis auf einen vom Radius des Rädchens abhängigen Faktor in einem gewünschten Maße angibt. Dieses Verfahren ist also im Grunde dasselbe, welches der französische Arzt Fernei (1525) zum Zwecke einer Meridianmessung von Paris bis Amiens anwandte, als er die Umdrehungen seines Wagenrades zählte. Da wir einem solchen Meßrädchen bei verschiedenen Integrierinstrumenten begegnen werden, so führen wir q als Bezeichnung des Radius, co als Bezeichnung des Winkels, den ein bestimmter Radius von einer Anfangslage ausgehend beschreibt, und a als Weg eines Punktes des Umfanges bei Drehung des Rades ein. Wenn das Rad mit einem hinreichenden Druck auf der Unterlage eine elementare Wegstrecke ds durchläuft, so wird der von einem Punkte des Umfanges zurückgelegte Bogen d6 = ędco und da = ds sein. Bei Kurven muß die Ebene des Rades fortwährend ihre Richtung ändern. Bei wechselnder Größe des Krümmungsradius der Kurve ist die Größe des Radius q bald günstiger, bald ungünstiger. Durch Versuche ist festgestellt worden, daß der Krümmungshalbmesser nicht wesentlich unter den Radhalbmesser herabsinken darf, wenn das Rädchen mit Erfolg benützt werden soll.

Das Kurveometer von Witt mann inWien hat etwa 8 mm Durchmesser, das Rektifizierrädchen von Platzbecker¹) in Düsseldorf etwa 6,5 mm. Bei der Befahrung einer geradlinigen Strecke wächst der unregelmäßige Fehler nahezu wie die Quadratwurzel der Länge, bei anderer Gestalt des Weges ist er natürlich größer. Hammer erhielt z. B. mit letzterem Instrumente bei einer geraden Wegstrecke von 500 mm einen unregelmäßigen Fehler + 0,5 mm, bei einem ungefähr gleichlangen willkürlich geformten Kurvenzug + 0,9 mm als mittleren Fehler, wobei kein Krümmungsradius unter 10 mm vorkam. Erwähnt sei noch, daß bei dem Instrumente von E. Krauß in Mailand mit 4 mm Durchmesser das Zählwerk stets in derselben Richtung fortschreitet, auch wenn das Rädchen seinen Drehungssinn wechselt.²)

Ein Linienmesser (Kurvometer) von Gr. Coradi in Zürich (Figur 30) ist mit 2 Rollen versehen, deren Achsen in derselben Richtung liegen und die unterhalb einer Platte mit 4 kreisförmigen Öffnungen angebracht sind. In zwei dieser Ausschnitte sind die Registrierscheiben der beiden Rollen zz sichtbar. Genau in der Mitte zwischen den Auflagepunkten der beiden Rollenx'änder befindet sich der Führungspunkt, der längs der auszumessenden Linie verschoben wird, wobei die Richtung der Rollenachsen senkrecht zur augenblicklichen Tangente gestellt wird. Als Führungspunkt wird der Nullpunkt einer kleinen im mittleren Ausschnitte sichtbaren Skala C

11 1 LI il.

Il I | I ij

-à

rrs

Fig. 30.

benutzt. Die Bezifferung der beiden Registrierscheiben wächst im gleichen Sinne, so daß hei einer Drehung des Instrumentes um den Berührungspunkt die Summe der Ablesungen Null ist. Die Teilung ist so gewählt, daß die Summe der Ablesungen den zurückgelegten Weg angibt, wobei ein Teil einem Millimeter entspricht Der vierte Ausschnitt dient zum Anfassen des Instrumentchens. Die Genauigkeit wird vom Verfertiger auf y₂₀₀₀ angegeben. Bei einer Abweichung um 8° von der senkrechten Stellung der Skalenrichtung oder der Rollenachse zum Kurvenelement wird die Weglänge um yi00 unrichtig (entsprechend cos 8° = 0,99).

von Schlagintweit, Jacob, Sandor, Mayer und Wolf in Fiume usf. konstruiert worden.

Ein Kurvenmesser von Ott in Kempten³) beruht in Kürze auf Folgendem: Ein Fahrstift trägt am unteren Ende einen Ring mit eingespanntem Hornblättchen, das zwei sich senkrecht kreuzende Linien enthält, deren eine in die Richtung der Kurventangente gedreht wird. Am oberen Ende desselben Stiftes sitzt die Rolle, die durch Gegengewichte angedrückt auf der Unterseite eines darüber liegenden horizontalen Glasdaches rollt, das noch zur Vermeidung eines Gleitens der Rolle mit Papier überzogen werden kann. Das Instrument wurde von Hammer auch bei starken Krümmungen, bis zu 0,8 mm Krümmungshalbmesser hinab, benutzt und gab bei Kurvenlängen von 120 bis 140 mm als mittleren Fehler + 0,2 bis 0,3 mm für eine einzelne Durchfahrung. Andere haben in der fortwährenden Drehung des Stiftes einen Übelstand gesehen.

iii

Fig. 31.

Dieser Schwierigkeit begegnet das vom Ingenieur Fleischhauer in Gotha erfundene Kartometer (Konstrukteur Tesdorpf). Hier (Figur 31) befindet sich in der Mitte einer ringartigen Platte der Fahrstift, der durch zwei Führungsstangen regiert und auf der Kurve entlang geführt wird. Gleichmäßig über den Umfang des Ringes sind eine ungerade Anzahl (3 in der Figur, auch 5 oder 7) Räder, deren Ebenen radial stehen, verteilt; die Räder, die sich infolge einer Sperrvorrichtung, die sich aber nicht bewähren soll, nur nach außen drehen können, sind mit Zifferblättern versehen, an denen die Umdrehungen und ihre Bruchteile abgelesen werden. Man bestimmt durch Umfahrung einer Kurve von genau bekannter

Länge, also etwa eines Kreisumfanges, die Konstante Æ, mit welcher die Summe der Ablesungsdifferenzen der Räder multipliziert werden muß und befährt die zu untersuchende Kurve zweimal, indem man jedesmal die Führungsstangen in derselben Richtung hält, beim zweiten Male aber senkrecht zu ihrer ersten Richtung stellt.

VII. Abschnitt.

Flächenmesser.

(Insti’umente zur Flächenbestimmung, Planimeter.)

33. Flächentafeln. Alle Instrumente, welche zur Ausmessung zweidimensionaler Größen dienen, verfolgen den Zweck, das Resultat durch eine einzige Zahl zu geben.

In der allereinfachsten, trotzdem aber für viele Zwecke durchaus geeigneten Weise wird dies durch die Quadratmillimeterglastafel erreicht, die auf die auszumessende Fläche gelegt wird. Die Anzahl der auf die Fläche fallenden Quadrate gibt unmittelbar den Inhalt an, während die an den Grenzen nur teilweise die Fläche deckenden Quadrate schätzungsweise addiert werden. Die Genauigkeit bewegt sich nach Lüdemann zwischen 0,05 und 0,1%.

Etwas bequemer wird das Resultat mit einer Hyperbelglastafel⁴) von Kloth in Osnabrück erhalten, bei der aber mehrere Verschiebungen nötig sind und einfachere Gestalten der Flächenstücke vorausgesetzt werden.

34. Harfenplanimeter und ähnliche. In demselben Zu-sammenhange *) ist das Harfenplanimeter von Oldendorp zu nennen. Es bestellt in seiner ursprünglichen Gestalt aus parallelen, in einem rechteckigen Rahmen, in kleinen konstanten Abständen aufgespannten Fäden. In der Flächenformel F = 2y Ax werden die y als die mittleren Längen der Flächenstücke zwischen je zwei im Abstande Ax aufgespannten Fäden angesehen. Werden die Längen y mit einem Zirkel (Planimeterzirkel, Planimeterhaarzirkel) gemessen, so ist es vorteilhaft, an diesem eine Additionsvorrichtung anzubringen (Zirkeladdition).

Da die Fäden nicht straff gespannt bleiben, ersetzt man sie durch eingeteiltes Ölpapier, das wiederum infolge nicht genügender Durchsichtigkeit die Konturen der Pläne nicht deutlich erkennen läßt. Deshalb wurde von Mönkemöller ein Planimeter⁵ 6), das auf demselben Prinzip beruht, in folgender Weise konstruiert. Es besteht im wesentlichen aus einem viereckigen, eisernen Rahmen, in welchem eine Glasskala an einer Leitstange entlang verschoben werden kann. Die auszumessende Figur wird durch Teilstriche der Glasplatte in Parallelstreifen zerlegt, deren Breite konstant ist, und deren Längen durch die Verschiebung der Glasskala gemessen werden, die an einer Rolle abgelesen wird. Die Anwendung der Harfenplanimeter ist besonders bei langgestreckten Figuren empfehlenswert, die Genauigkeit des Mönkemöllerschen wird nach Untersuchungen von Hamann⁷) derjenigen der später zu erwähnenden Präzisionsplanimeter gleichgestellt. Beim Gebrauch muß darauf geachtet werden, daß nicht Flächenstreifen ausgelassen oder doppelt gemessen werden.

Auf wesentlich demselben Prinzipe beruht das von F.

X'

U¹

Fig. 82.

Günther angegebene Äqui-distanzplanimeter, welches zur Ausmessung von Detailfiguren (im Maßstabe 1 :

4000) konstruiert wurde. In der Hauptsache besteht es aus einer langen Schraube, deren Muttergewinde in einem auf einer festen Platte drehbaren Block eingelassen ist. An dem Ende, das dem

5*

Schraubengriff entgegengesetzt ist, befindet sieb eine bewegliche Hülse, die zwei Arme trägt; der eine Arm trägt den Fahrstift, der andere die Zählrolle, die beide im gleichen Abstande von der Schraubenachse auf verschiedenen Seiten derselben einander gegenüberstehen. Setzt man den Fahrstift auf den dem Instrument nächsten Punkt des unteren Randes der auszumessenden Figur und dreht man den Schraubenarm um seinen Drehpunkt, so beschreibt der Fahrstift einen flachen Kreisbogen bis zum oberen Rand der Figur, wobei die Rolle sich abwälzt. Jetzt schraubt man die Schraube um ein bestimmtes Stück (eine Viertelumdrehung) vorwärts und bringt den Fahrstift wieder an den unteren Rand der Figur. Hierbei wird durch eine Vorrichtung, die auch die Drehung der Schraube auf eine Vierteldrehung beschränkt, gleichzeitig die Rolle verhindert, sich zu drehen. Nun beschreibt der Fahrstift wieder einen Kreisbogen bis zum oberen Rande usf. und die Figur wird in eine Anzahl von Kreisringsektoren zerlegt.

Es sei (Fig. 32) Z der Drehpunkt der Schraubenachse ZX, F der Fahrstift, B die Rolle, deren Mittelebene immer senkrecht zur Schraubenachse steht, dann beschreibt, wenn F einen Kreisbogen mit dem Radius FZ beschreibt, B einen kongruenten Kreisbogen und auch X beschreibt einen Kreisbogen. Denn es ist FX = XB und FB senkrecht zu XZ, nach Konstruktion des Instrumentes, also FZ = ZB. Die Ebene der Rolle bildet nun mit der Tangente des Kreises einen kleinen Winkel a, daher wickelt sie (S. 49) nicht den Bogen As des Kreises ab, sondern Au = As • cosa. Durch die Drehung der Schraube erhält nun ZX einen Zuwachs XX'— Ax. Dadurch wird der Radius des Kreises, den der Fahrstift und der Rollen auflagepunkt beschreiben, um Ar = Ax • cos « vergrößert. Die Fläche eines Kreisringes beträgt daher

As • Ar = Au sec cc • Ax cos a = A u • Ax.

Durch passende Wahl der Ganghöhe der Schraube und geeignete Bezifferung der Rolle kann man, da Ax eine Konstante ist, die Ablesung des Flächeninhalts unmittelbar an der Rolle erhalten.

Ein einfaches Hilfsmittel bietet der Planimeterschieber von R. A. de Wal⁸), der die Größe (27 crn^) und Form eines gewöhnlichen Rechenschiebers (z. B. von Frank) besitzt. Er trägt aber zwei gewöhnliche Teilungen von 25 cm Länge (den Maßstäben eines Planes in 1 : 2500 und 1 : 1000 entsprechend). Die Zunge trägt dieselben Teilungen, aber in entgegengesetzter Richtung laufend und nur mit Auszeichnung einiger Hauptstriche. Der Läufer ragt mit einer Glasplatte über den Stab hervor und trägt auf dieser und zwar senkrecht zu den Teilungen einen Indexstrich.

Legt man nun eine Harfe auf die auszumessende Figur, so kann man mit dem Schiehermaßstab, den man den Mittellinien der dadurch in parallele Streifen geteilten Figur parallel legt, die Streifen- (Mittellinien-)längen abmessen und additiv aneinandersetzen. Wenn die Länge des Maßstabes nicht mehr ausreicht, schiebt man die Zunge zum nächsten Strich und beginnt die Messung von einem Zungen strich am linken Ende des Maßstabes ausgehend. Als besonders vorteilhaft erscheint (nach Hammer) die größere Genauigkeit bei der Ausgleichung unregelmäßiger Streifenenden bei Anwendung des Indexstriches als durch Augenmaß.

2j

mh

(n i)

(n)

35. Verwandlungsplanimeter. Für die Inhaltsberechnung geradlinig begrenzter Figuren (Polygone) kommen die Verwandlungsplanimeter in Betracht, wie sie Hofmann und Gangloff und Schlesinger konstruiert haben. Sie beruhen auf dem Prinzip des Parallelabschiebens zum Zwecke der Verwandlung des Polygons in ein flächengleiches Dreieck.⁹)

//,

Fig. 33.

Ein Lineal I aus Messing (Figur 33) besitzt /[ längs einer Kante eine Einteilung mit dem Nullpunkt in der Mitte. Ein kürzeres Lineal II läßt sich längs der geteilten Kante von I verschieben und hat eine Marke oder Noniusteilung, um die Größe der Verschiebung messen zu können. An seiner anderen Längsseite ist ein drittes Lineal III durch ein Scharnier angebracht, um das es sich drehen kann. Die eine abgeschrägte Seite von III geht verlängert genau durch die Mitte des Scharniers und trägt eine Marke. Mit dieser wird es an einen Punkt (l) des Polygons angelegt, dann wird das Lineal I senkrecht zu III an II so gelegt, daß die Nullpunkte der Teilungen zusammenfallen und in dieser Lage mit zwei Nadeln fixiert. Das Verfahren

ist dann weiter das folgende: Der bewegliche Arm III wird soweit gedreht, daß er am Punkte (2) anliegt, darauf unter Beibehaltung der Richtung von III das Lineal II soweit verschoben, bis III wieder durch Punkt (l) geht. Jetzt wird der Arm III nach Punkt (3) gedreht, dann II mit III verschoben, bis III durch (2) geht usf. bis zuletzt der Arm III wieder an den Ausgangspunkt (l) angelegt und nach dem Punkte (w) verschoben wird. Jetzt wird die Verschiebung x gegen I an II abgelesen und man erhält, wenn die Entfernung der Marke auf III vom Umdrehungspunkte mit h bezeichnet wird, den Flächeninhalt F = ^xh.¹⁰)

Da die Parallelverschiebung des beweglichen Armes ohne Klemmvorrichtung schwierig ist, wird bei einer abgeänderten Konstruktion eine Glastafel auf die Zeichnung gelegt und der bewegliche Arm durch einen gespannten Faden ersetzt, der mit seiner Fassung auf der Glastafel auf liegt und daher bei Verschiebung der Tafel am Lineal I in seiner Richtung unverändert bleibt. Allerdings kommt hierbei eine Parallaxe bei der Ablesung in Frage, jedoch hat sich das Instrument bei Flächenberechnungen von Waldparzellen als nützlich erwiesen.¹¹)

36. Planimeter mit Integrierrolle. Bei dem Planimeter von Mönkemöller und dem Äquidistanzplanimeter sind Rollen zu dem Zwecke angebracht, die geradlinige bzw. die kreisförmige Bewegung durch die Umdrehungen der Rolle zu messen, doch mußte • in beiden Fällen die Tätigkeit der Rolle bei der Rückwärtsbewegung ausgeschaltet werden. Bei der Verwendung einer Rolle als Hilfsmittel zur Integration fällt diese Beschränkung fort. Die Art der Verwendung bei den Planimeterkonstruktionen ist jedoch eine verschiedene. In erster Linie handelt es sich hierbei um eine Rolle mit flachem oder auch abgerundetem Rande, oder auch um einen Zylinder. Später kommen dann auch Planimeter mit scharfrandigen Rollen in Betracht. Aber nur die erste Art kann als Integrieroder Meßrolle bezeichnet werden, hierbei dient die Rolle dazu, die

Verschiebungen eines Stabes zu messen, der die Fläche tiberstreicht, deren Inhalt bestimmt werden soll.

B₀ Bq Bö

37. Theorie dieser Instrumente. Wir stellen uns zunächst einen Stab von konstanter Länge l vor und betrachten die von ihm überstrichene Fläche. Wir nehmen an, daß der Stab durch kleine Verschiebungen nach und nach die Lagen A₀B₀, A₁B₁ . . . AnBn einnimmt. Um aus der Lage A₀B₀ in die benachbarte AtBt zu gelangen, wird der Stab, wie wir uns vorstellen können, zunächst ein kleines Rechteck A₀B₀B₀' A₀' überstreichen, indem seine Endpunkte die kleinen zu A₀B₀ senkrechten und gleichen Strecken AqAq und B₀B₀' beschreiben, die dem Abstand von Ax von der Geraden AqB₀ gleich sind. Darauf wird er sich längs A₀'B₀' verschieben, bis sein Anfangspunkt nach Ax gelangt. Durch eine Drehbewegung um Ax als festen Punkt kommt dann sein Endpunkt nach B₁. In ähnlicherWeise wird die Bewegung von A₁B₁ nach A^B.j, in eine Parallel Verschiebung, eine Längsbewegung und eine Sektoçbewegung zerlegt usf. Je kleiner die Rechtecke und die Sektoren angenommen werden, um so mehr werden sich die Bewegungen der Endpunkte in kontinuierlichen Kurven vollziehen.

A<? Al

Bezüglich des Vorzeichens setzen wir fest, daß einer Bewegung aus der Lage AkBk nach Ak+1Bk+l das positive Vorzeichen zukommt, wenn die neue Lage sich rechts von der alten befindet, das negative im andern Falle und daß dementsprechend auch die überstrichenen Flächenteile mit dem positiven oder negativen Zeichen eingeführt werden.

A, A'ö

Fig. 34.

Auf diese Weise erhalten wir, wie dies notwendig ist, dasselbe Ergebnis, wenn wir statt A₀ nach M₀' und B0 nach Bq zu verschieben, A₀ bis A₀" und BQ bis B₀" verrücken, wo AqAq' = B₀B₀" der Abstand von Bk von A₀B₀ ist. Wenn wir dann B₀" nach Bt in der Richtung B₀" A₀" verschieben, so daß der Anfangspunkt nach Aq" kommt, so müssen wir dem Stabe eine negative Drehung erteilen, damit sein Anfangspunkt nach At gelangt. Man sieht aus der Figur sofort, da die Sektoren flächengleich sind, daß in beiden Fällen dieselbe überstrichene Fläche erhalten wird.

IJ‘ds -f- \ l²J äcp.

Bezeichnen wir die unendlich kleinen Parallelverschiebungen des Stabes mit ds, die unendlich kleinen Drehwinkel mit cügp, letztere in Bogenmaß gemessen, so ist der Inhalt der überstrichenen Fläche

Die Grenzen der Integrale sind durch die Anfangs- und Endlage des Stabes bestimmt. Das erste Integral bezeichnet die Länge des Weges, den ein Punkt des Stabes senkrecht zur Stabrichtung zurücklegt (die Länge der orthogonalen Trajektorie sämtlicher Stablagen). Denken wir uns ferner (Fig. 35) durch einen beliebigen Punkt P dtr Ebene Parallelen l

b*

B₂

zu sämtlichen Stabrichtungen gezogen, so ist dcp — (Xk, A.£ + 1) der Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Richtungen. Das Integral

A)

\J

A3

fi?

zwischen der ersten und letzten ist daher der

Winkel zwischen A.₀ und XH und wir erhalten

F=lJds + i-P(

Wenn der Stab wieder in seine Anfangsrichtung zurückkehrt, so ist (ä₀, kn) = 0 oder — 2 mn, letzteres, wenn der Stab m volle Umdrehungen gemacht hat. Ist aber (*oi K) = 0, so ist

= ljds.

Fig. 35.

In den Figuren 36 und 37 sind solche Bewegungen angedeutet, bei denen die Endpunkte des Stabes die geschlossenen Figuren A und B durchlaufen. In der ersten Figur wird die zwischen A und B liegende Fläche C zweimal überstrichen, einmal im positiven und einmal im negativen Sinne. Man erhält daher als Inhalt der ganzen vom Stabe überstrichenen Fläche bis zur Rückkehr in dieselbe Lage F — A — B. In der zweiten Figur ist die vom Stabe bestrichene Fläche + (A— C) — (B — C) = A — B, wenn wir den Flächen das ihnen zukommende Zeichen geben. Die kleinen überragenden Flächenstücke I) und E kommen nicht in Betracht, da jedes vom Stabe zweimal und zwar in entgegengesetzter Richtung überstrichen wird. Man kann sich auch die Figuren als Projektionen einer Art Röhrenflächen vorstellen, die von den den Stab darstellenden Geraden erzeugt werden. Die algebraische Summe der Projektionen aller Flächeninhalte einer geschlossenen Fläche auf eine Ebene ist nun Null. Die beiden Endflächen sind aber A und _B, die Mantelfläche ist F. Durch

Projektion auf die Ebene A z. B. erhalten wir B -f- F — A oder wie oben F = A — B.

Zwingt man den einen Endpunkt des Stabes, z. B. B auf einer Kurve von gegebenem Flächeninhalt (Kreis) oder dem Flächeninhalt Null (Gerade) sich zu bewegen, so ist die vom andern Endpunkt A umfahrene Fläche A = F -f- B (wo B im zweiten Fall null ist), wenn der Stab wieder in seine Anfangslage zurückkehrt.

Um also den Inhalt der von dem einen Endpunkt des Stabes um-

D,

/B

Fig. 37.

Fig. 36.

fahrenen Fläche zu bestimmen, ist außer der Kenntnis der Stablänge nur noch die Messung der Länge des Weges nötig, den ein Punkt des Stabes senkrecht zur Stabrichtung zurücklegt.

Bevor wir die hierzu dienende Vorrichtung besprechen, möge noch eine analytische Beweisführung des der Planimetertheorie zu gründe liegenden Satzes folgen, wodurch seine Gültigkeit für alle Fälle dargetan wird. Wir nehmen ein rechtwinkliges Koordinatensystem an, bei dem die positive «/-Achse der positiven x-Achse bei einer Bewegung im Sinne des Uhrzeigers folgt. Bei dem Stabe unterscheiden wir eine bestimmte Richtung von A nach B. Bei einer Drehung des Stabes um einen Endpunkt ist die überstrichene Fläche positiv, wenn die neue Richtung rechts von der alten liegt, also der Winkel zwischen beiden im positiven Sinne rechts herumwächst. Haben wir z. B. ein Dreieck (Fig. 38), das von den beiden Stablagen l sind ₂ und qDx.₃ die Winkel derselben mit der x-Achse, so ist

1-2

und l

1-3

■3

Fig. 38.

eingeschlossen wird, und

der Flächeninhalt des Dreiecks

' h s s^n (9h • 3 9h-2)

lT'

1-2

= y [A-2cos9V2 • *i-₃sin 9h-3 — h-2 sin 9»i*2 zi-s cos 9>i-₃] = y [0*>—xi) Os - Vi) — Os - xi ) 0 2—2/1)]

= y [OiV2 — V\ xt) + Osds —    + (^₃2/i — *12/3)] »

so daß eine zyklische Beihenfolge der Koordinaten der Dreieckspunkte rechts herum im Sinne des Uhrzeigers stattfindet.

Nach diesen Vorbemerkungen betrachten wir zwei auf einander folgende, unendlich wenig verschiedene Stablagen

B*a AkBk und Äk + iBk + i (Fig- ³⁹)> Die Koordinaten des Anfangspunktes A bezeichnen wir mit x, y, diejenigen des Endpunktes B mit £, 77 und nach der Verschiebung die Koordinaten von A

x -j- dx, y -f dy und diejenigen von B

X •>

4'Ä'

//

mit

Fig. 39.

mit £ +dg, 77 +drj. Für den Flächeninhalt d/j des

Dreiecks AkBkAk + 1 2dfk = (xrj — y g) -f- g(t/-f dy) — ri(x-\-dx) -f {x-\-dx)y

— (y + äy)x = (g — x)dy — (7]—y)dx. Ebenso erhalten wir für den Inhalt df% des Dreiecks A ²df₂ = {x-\-dx)r\ — £(y + dy) -f g(i7 + dif) — 17(1 +dg)

+ (I + dg)(y -f dy) — (77 -j- drj)(x -f dx) = '£,dr\ — 77dg -f- 7/dg — xdrj + (dgdy — drjdx)

= (g — cc)dt] — (77—y)dg -f- Glieder 2. Ordnung.

Mit Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung in dem letzten Ausdruck folgt daher für die vom Stabe überstrichene Elementarfläche die Summe d/j -f- df% —

2 {ydx - xdy) - y (77dg - gdł?) + y d(gÿ - ztj).¹)

erhalten wir dann

dF =

1) Wir können die drei Teile auch geometrisch direkt

ver-

Die Integration ergibt zwischen den gegebenen Grenzen:

F = yJ (ydx — xdy)

yJ*— %drù + y \£y — xri\-

Das letzte Glied verschwindet, wenn der Stab in seine Anfangslage zurückkehrt. Das erste Integral stellt den Flächeninhalt der vom Anfangspunkt des Stabes, das zweite die vom Endpunkt anschaulichen: Ist 0 der Koordinatenanfang, so ist die Dreiecksfläche

OAkAk + x = \[_x{y + dy) — y{x + dx)] = \{xdy — ydx),

die Fläche

OBkBk + 1 =    + dri) — r\{g + dg)]=l(£dn — r\dg),

endlich

OAk + 1Bk + l — OAkBk = \ [(x + dx){ri + dri) — (y + dtj){£ + <*!)] — \ (xr\ — yg) — 4 (xdr\ -f r\dx — ydg — gdy -f- dxdr\ — dydg) = | d{xr\ — 2/1) + Glieder 2. Ordnung

und es ist

^■k^k^k + i^k+i = OBkBk + 1 — OAkAk + t -J- OAkBk — OAk + iBk+1 = i(gdri — ridg) — ^ {xdy — ydx) + $d(yg — xri).

Auch als Summe eines Parallelogramms und eines Sektors läßt sich der Ausdruck auffassen. Es ist nämlich anders geschrieben:

dF= ${g — x)dy — |(ij — y)dx -f- %(g — x)dr\ — J(ij — y)dg = [(L — x)dy— {n — y)dx] + |[(| — x)d{rj — y) — (rj — y)d(g — *)]•

Der erste Teil ist die doppelte Dreiecksfläche AkBkAk + i oder die Fläche des Parallelogramms mit den Seiten AkBk — l und AkAk + x . Der zweite Teil ist der Sektor mit dem Winkel dcp. Denn es ist

also

dcp =

und

(Ś — x)d(r\ - y) (t] y)d(g — x) (1 — xy + (n — yf

daher

(I —    + — y)* = 2s,

\l³dcp = 4-[(Ś — x)d(n — y) — {rj — y)d{g — *)].

Bezeichnen wir noch den senkrechten Abstand der beiden Stablagen, welche den Seiten des Parallelogramms entsprechen, mit ds, so ist dF — Ids -f- dcp und F = ljds -f- iPfdcp wie früher.

umschriebene Fläche dar, so daß wie oben nach der früheren Bezeichnung F = A — B ist.

Dasjenige Hilfsmittel, welches die Bewegungen eines Stabes senkrecht zu seiner Richtung mißt, ist die Rolle. Wir denken uns zunächst den Stab von der Länge l als Achse einer in seiner Mitte angebrachten Rolle, wobei es nicht darauf ankommt, ob die Rolle am Stabe festsitzt, so daß er sich mit der Rolle dreht oder ob die Rolle frei beweglich ist. Die Rolle, die mit leisem Drucke auf die Unterlage gedrückt wird, kann man sich als ein fein gezahntes Rad vorstellen, und man sieht dann, daß bei schiefer Stellung der Radebene dieselbe Abwicklung stattündet, wie wir oben bereits erwähnt haben. Hat die Rolle einen breiten Rand, wie eine Walze, so trägt sie in der Regel eine feine Riffelung, die man sich als enge Zahnleisten vorstellen wird, welche auf der Unterlage eine entsprechende Riffelung, wenn auch vorübergehend, hervorbringen. Bei schräger Riffelung wären die geradlinigen Zahnleisten durch Schraubenlinien (von großer Ganghöhe) ersetzt. Eine Schraube rollt aber auf ebener Grundlage ebenfalls senkrecht zu ihrer Achse, wenn nicht in der Achsenrichtung eine Kraft wirkt. Daher hat die Art der Riffelung keinen direkten Einfluß auf die Richtung der Rollenbewegung.¹²)

Wird der Stab zwar parallel mit seiner Anfangsrichtung ver-. schoben, beschreibt aber sein Mittelpunkt eine gegen die Stabrichtung geneigte Gerade, oder eine beliebige Kurve, so können wir uns die Bahn des Punktes aus unendlich kleinen geradlinigen Wegstrecken zusammengesetzt und diese in zwei Komponenten zerlegt denken, von denen die eine senkrecht, die andere parallel zur Stabrichtung liegt. Ist a der Winkel, den das Wegelement äs mit der Richtung des Stabes oder der Bollenachse einschließt, so wird von der Rolle nur in der zum Stabe senkrechten Komponente das Stück dö = ds • sina abgewickelt, während bei der Bewegung in der Richtung des Stabes der Berührungspunkt mit der Unterlage derselbe bleibt, also kein Rollen stattfindet. Dreht sich der Stab um seinen Mittelpunkt, so dreht sich die Rolle ebenfalls in demselben Auf lagepunkte, so daß für die vom Stabe überstriehene Fläche sich der Inhalt null ergibt; in der Tat werden die beiden Sektoren von den Hälften des Stabes in entgegengesetztem Sinne überstrichen und ihre algebraische Summe ist daher null. Dreht sich der Stab um einen Punkt, der vom Rollenmittelpunkt den Abstand c hat, um den Winkel ig, so mißt die Rolle die Länge des von ihr beschriebenen Kreisbogens c ■ rfj.

R’

Öl

‘0

Fig. 40.

Es ist nun nicht notwendig, daß die Rolle sich im Mittelpunkt des Stabes befindet. Wir setzen nur voraus, daß der Stab sich parallel der Unterlage bewegt. Es ist aber auch nicht erforderlich, daß die Rollenachse in der Richtung des Stabes liegt, sondern nur, daß sie dem Stab parallel und fest mit ihm verbunden ist. Für Parallelbewegungen des Stabes ist dies ohne weiteres ersichtlich. Wird aber der Stab aus der Richtung OA um den Winkel cp gedreht, so daß er in die Richtung OA' gelangt und ist R die Lage der Rolle, die irgendwie fest mit dem Stabe verbunden ist, bei der Anfangsstellung des Stabes und R’ für die Stellung OA', so fällen wir (Fig. 40) die Senkrechten RA und R'A' auf die jedesmalige Stabrichtung und bezeichnen den Winkel ROA = R'OA'— ö und OA = OA' = r. Da auch der Winkel zwischen der Rollenachse und OR gleich d ist, so beträgt die Abwicklung der Rolle für ein kleines Wegestück dö = ds • cos ô oder da ds — OR • dcp — r sec 8 • dcp ist, dö = rdcp, d. h. die Abwicklung ist dieselbe, als wenn die Rolle im Punkte A des Stabes angebracht wäre.

38. Koordinatenplanimeter. Wenn wir in der Entwicklung der Formel für den Flächeninhalt auf S. 74, 75 x = £ setzen, so findet eine Verschiebung des Stabes, der die Fläche überstreicht, parallel zur y-Achse statt und wir erhalten dF = (y— rj)dx. Da nun in diesem Falle y — r] — l die Länge des Stabes darstellt,

so wird bei der Rückkehr in dieselbe Anfangslage F = 0. Es geht dies auch daraus hervor, daß die beiden Figuren A und B in diesem Falle kongruent sind, also A — B = 0 wird. Wenn wir aber auf unsere allgemeine Betrachtung zurückgehen, so können wir uns einen unendlich langen Stab vorstellen, der sich um den unendlich fernen Punkt der «-Achse dreht und mit seinem andern Endpunkte die. gegebene Fläche A umfährt. Bei dieser Umfahrung wird also der Stab sich selbst und der «/-Achse parallel bleiben und derjenige Teil der von ihm überstrichenen Fläche, der außerhalb A liegt, in entgegengesetztem Sinne zweimal überfahren werden, so daß man F = A erhalten würde, während B, das durch einen unendlich fernen Punkt dargestellt wird, null ist. Statt des unendlich langen Stabes können wir daher auch einen endlichen Stab von veränderlicher Länge annehmen, indem wir ihn z. B. durch die «-Achse abgeschnitten denken. Wenn wir dementsprechend in unserer obigen Formel i] = 0 setzen, d. h. den einen Endpunkt der Geraden in die «-Achse verlegen, so kann

darauf ein Planimeter begründet werden, das F=jydx = A liefert.¹)

Der Gon eilasche Integrationsmechanismus (s. S. 51) dient zur Ermittlung eines solchen Integrals, wenn der Scheibe eine Drehung proportional dx erteilt wird und die Rolle im Abstande y vom Mittelpunkt der Scheibe durch ihre Verbindung mit dem Fahrstift gehalten wird.

Die erste Lösung dieser Aufgabe gab der Bergrat Josef Stadler zu Eisenerz in Steiermark durch das 1855 ersonnene und durch den Bergbeamten Smollin ausgeführte Hyperbel-

1) Um die Integration F—Jydx anschaulich zu machen, zerlegen wir es im Falle einer auf derselben Seite oberhalb der «-Achse liegenden Fläche (und ähnlich in andern Fällen) in zwei Teile, indem wir den Fahrstift zunächst an der oberen Kontur im Sinne wachsender, also positiver dx entlang führen, wobei y mit yx bezeichnet werde. Die an dem Stabe angebrachte Rolle wickelt also die Beträge dx ab. Bei der Zurückführung des Fahrstiftes von seiner äußersten Stellung rechts an der unteren Kontur wird — dx von der Rolle abgewickelt, und sind die Ordinaten hier y — yiy so erhält man y₂ •(—dx). Die Fläche der Figur ist nun gleich der zuerst in der Richtung nach rechts überstrichenen Fläche minus der das zweite Mal überstrichenen Fläche innerhalb der Figur, also

F =f yx dx —f yt (— dx)=fy₁dx-{-fyidx=fydx.

planimeter. Infolge der ungefähr gleichzeitigen Entstehung des Amslersehen Polarplanirneters, das einfacher und praktischer ist, hat es allerdings keine Verbreitung gefunden, seine Idee ist aber wert, kurz erläutert zu werden.

dx

Ein Umdrehungkörper (Fig. 41) sei durch Rotation einer gleichseitigen Hyperbel um eine ihrer Asymptoten entstanden, die die Richtung der y-Achse sei, und ein Zylinder, der auf ihm aufliegt, werde so verschoben, daß seine Achse der «-Achse parallel bleibt. Sein Berührungspunkt beschreibt bei dieser Bewegung eine Hyperbel, deren Gleichung

y z = le² sei und z ist der Ra- ---

dius eines Parallelkreises des Um-

Ö

Fig. 41.

an, daß die Verlängerung der Zy-linderachse den Fahrstift F trägt, mit dem die auszumessende Figur " umfahren wird. Bei einer Ver-rückung des Fahrstiftes parallel der «/-Achse bleibt der Zylinder durch einen parallelogrammati-schen Führungsmechanismus der «-Achse parallel und rollt von einem Parallelkreis zum anderen. Bei einer Bewegung dx des Fahrstiftes parallel der «-Achse, wird der Zylinder in der Richtung seiner Achse verschoben und bewirkt durch Reibung eine Drehung dep des Umdrehungskörpers um seine Achse. Es ist nun der unendlich kleine Kreisbogen zdop des Berührungskreises der Verschiebung des Zylinders dx in seiner Achsenrichtung gleich, also dx = zdcp, mithin tfdcp — ydx.

Die Umdrehungen des hyperbolischen Körpers und ihre Bruchteile werden durch eine Zählscheibe 8 an seiner Grundfläche mittels eines Index abgelesen. Zeigte die Zählscheibe vor der Messung die

Ablesung cpt, nach der Messung <p₂, so ist &²(<p₂— 9^) = jydx = F,

also gibt die AblesungsdifFerenz bis auf eine von den Dimensionen des Umdrehungskörpers abhängige Konstante den Flächeninhalt der umfahrenen Figur.¹³)

Gon eil a wandte bei seinem 1824 erfundenen Planimeter, das mit dem wenig beachteten des bayrischen Trigonometers Hermann (1814) Ähnlichkeit hat, eine Rolle an, die auf einer Kegelfläche läuft (Fig. 42). Er ließ zwei Räder in der geradlinigen Nut eines Lineals, das wir in der Richtung der x-Achse annehmen, hinter einander laufen. Das Gestell, welches sie verbindet, trug die Achse des drehbaren Kegels, der mit dem Grundkreis auf der Zeichenebene rollte, und zwar in der Weise, daß die jedesmal oberste Mantellinie des Kegels parallel der Zeichenebene war. Das Gestell, das man kurz als Wagen bezeichnen kann, wurde nun durch

eine Stange geführt, die senkrecht zum Lineale lag; an dieser Stange i befindet sich der Fahrstift F, mit dem man die gegebene Figur umfährt. Führt man den Fahrstift um ein Stück dx parallel zum Lineal, so verschiebt sich der Wagen um dasselbe Stück dx und der Kegel dreht sich infolge der Reibung an der Unterlage um einen Winkel dcp. _ Wenn der Radius seines Grundkreises Tc ist, so beträgt die Drehung

iK

Fig. 42.

dx

dcp — ~jr- Auf dem Kegel liegt die

Integrierrolle auf, welche an der in ihrer Längsrichtung in einer Hülse verschiebbaren Führungsstange a so befestigt ist, daß ihre Achse der Stange also der ?/-Achse parallel ist. Die Rolle berührt den Kegel in dem Abstande y von der Kegelspitze. Ist h die Höhe des Kegels, so ist der Radius des Kreises, der durch den Berührungspunkt der

. Die Abwick-

yk* -f h*

lung der Rolle bei der Drehung des Kegels ist daher da = rdcp v 1c

dcp. Bei einer Bewegung des Fahrstiftes parallel der

Rolle senkrecht zur Kegelachse geht r —

>4* H- h*

y-Achse gleitet die Rolle, ohne sich zu drehen, längs der Kegelerzeugenden. Es findet also dabei keine Abwicklung statt. Jede beliebige Bewegung des Fahrstiftes kann nun als Resultante dieser

bleibt, so daß die Gleichung dx — zdy nicht streng erfüllt ist. Deshalb hat auch Stadler der Kurve auf Grund von Versuchen eine von der Hyperbel etwas abweichende Form gegeben.

beiden Bewegungen verstanden werden; und man erhält daher, wenn öx und die Ablesungen der Rolle vor und nachher sind

g2

= ,    — / ydx

yic* -j- h*J

oder F

==J*ydx — Yb² + h² • (cr₂ — öj).

Mit dem soeben beschriebenen stimmt auch das von Oppikofer, Ingenieur in Unteroppikon, 1827 in Verbindung mit dem Schweizer Mechaniker Ernst konstruierte Planimeter im Prinzipe überein, das in Paris 1836 mit einem Preise ausgezeichnet wurde.

Gonelia selbst hat 1825 bei einem anderen Instrumente den Kegel durch eine kreisförmige . Scheibe ersetzt, deren Drehung proportional derV er-schiebung des Wagens ist.

Ihm ist darin das Wetli-schen Planimeter ähnlich, das durch Starke in Wien (1849) und Hansen in Gotha (1850) noch einige Änderungen und Verbesserungen erfuhr.

Das Wetli-Hansensche Planimeter (Fig. 43) ist auf einer starken Messingplatte P aufgebaut. Ein dreifüßiges Gestell ähnlich dem eines Theodoliten läuft auf Rollen in drei parallelen Schienen $, wie ein Wagen, hin und her. In der Mitte des Dreifußes erhebt sich eine senkrechte Achse, um die sich, wieder ähnlich wie beim Theodoliten, eine horizontale Scheibe M aus Messing dreht, deren Oberfläche ganz glatt mit Papier überzogen ist. Zwischen zwei Paaren von Führungsrollen g: die mit dem Dreifuß in fester Verbindung stehen, läßt sich eine prismatische Stange L senkrecht zur Schienenrichtung hin- und herschieben. Diese Stange trägt am Ende den senkrecht auf der Zeichenebene stehenden Fahrstift .F, der also vermöge der Bewegung der Stange zwischen den Führungsrollen in der einen Koordinatenrichtung (der Æ-Achse) sich bewegen läßt. Längs dieser Stange ist ein Silberdraht d gespannt, der vermittelst einer unterhalb der Scheibe an ihrer Achse angebrachten Welle w: um die er sich schlingt, die Scheibe bei Ver-

Gallo: Mathematische Instrumente.

ff

Bl

v]

'9

ff

L Ln F

!■

dx

Fig. 48.

¹

   Bei diesem Apparat wird besonders die Registriervorrichtung für Zählung der Radumdrehungen gerühmt.

²

   Andere Instrumente, die auf demselben Prinzip beruhen, sind

³

Abbildung Zeitschr. f. Verm. 18, 1889, S. 132.

Galle: Mathematische Instrumente.

⁴

Kloth stellte sich die Aufgabe, den geometrischen Ort der Schnittpunkte der stetig veränderlichen Koordinaten zu konstruieren, welche mit den rechtwinkligen Achsen ein Rechteck von konstanter Größe einschließen, xy — F ist nun die Asymptotengleichung einer Hyperbel, und es sind auf der Glastafel für äquidistante Werte von F die Hyperbeln ausgezogen. Bei einem Dreieck legt man die Grundlinie in die i/-Achse, verschiebt dann die Tafel, bis die Spitze des Dreiecks mit der a:-Achse zusammenfällt und liest am Endpunkt der Grundlinie den Wert F ab, der die doppelte Dreiecksfläche gibt. Ein Viereck zerlegt man durch eine Diagonale in 2 Dreiecke usf. Man kann auch die Eigenschaft der Hyperbeltangenten, daß sie Dreiecke von konstantem Flächeninhalt mit den Koordinatenachsen einschließen zu einer veränderten Ablesung benutzen, (vgl. Zeitschr. f. Verm. 82, 369, 1903).

⁵

   Ein ähnliches Hilfsmittel ist auch der Flächenmesser von Semmler, Zeitschr. f. Verm. 85, 1906, 386, der aus einer fünfeckigen Glastafel mit aufgezeichneten Teilstrichen besteht.

⁶

   Zeitschr. f. Instrk. 15, 456, 1895.

⁷

   Zeitschr. f. Verm. 28, 549, 1899.

⁸

Zeitschr. f. Vermessungsw. 39, 111, 1910. Zeitschr. f. Instru-mentenk. 31, 29, 1911.

⁹

Vgl. Galle, Geodäsie. Sammlung Schubert XXIII, 7. § 4.

¹⁰

   Zum Beweise fällt man passender Weise von den beiden äußersten Polygonpunkten (deren einen man als (1) annehmen kann) Senkrechte auf die Richtung des Lineals I. Den Lagen von III vor und nach der jedesmaligen Verschiebung entsprechen zwei parallele Geraden. Die Entfernung des letzten Schnittpunktes von III und I vom Nullpunkt auf 1 ist dann die Grundlinie des Dreiecks, in das das Polygon verwandelt wird.

¹¹

   Bezüglich einiger praktischen Hinweise vgl. Zeitschr. f. Venn.

8, 150, 1879.

¹²

Man kann sich am leichtesten diese Unabhängigkeit der Bewegung einer Walze oder Rolle von ihrer Riffelung dadurch veranschaulichen, daß man sich die einzelnen Riffelleisten in eine große Zahl getrennter Punkte aufgelöst denkt (wie auch in der Tat Walzen in dieser Weise bearbeitet werden, daß Erhebungen mit quadratischer Grundfläche stehen bleiben, um ihnen genügende Reibung zu verleihen). Dann ist es bei gleichmäßiger Verteilung dieser Punkte über die Oberfläche gleichgültig, ob man die in gerader Linie längs der Zylindererzeugenden stehenden sich verbunden denkt (Schraubenlinie von unendlich hoher Ganghöhe) oder ob man die durch eine mehr oder weniger steile Schraubenlinie verbundenen betrachtet. Da sich in der Literatur abweichende Ansichten finden, wurde die oben ausgesprochene auch experimentell erprobt.

¹³

Die Konstruktion leidet an dem Mangel, daß der Zylinder bei seiner Parallelbewegung längs des Rotationskörpers nicht horizontal

Schiebung der Stange in ihrer Richtung in Umdrehung setzt. Nun ist ferner am schmalen Ende der Grundplatte ein senkrechter Ständer quer zur Schienenrichtung angebracht, der in Scharnieren einen aufklappbaren Rahmen B trägt. Der Rahmen hält die Achse der Meßrolle m in der Richtung des den Schienen parallelen Scheibendurchmessers. Bei der Bewegung des Wagens mit der Scheibe verschiebt sich daher der Berührungspunkt der Rolle in diesem Durchmesser.

Ist r die Summe der Halbmesser der Welle und des Drahtes, so bringt eine Verschiebung des Fahrstiftes um dx durch den Silberdraht eine Drehung dcp der Scheibe hervor, und es ist rdcp — dx. Ist ferner y der Abstand des Auflagepunktes der an derselben Stelle bleibenden Rolle von dem Mittelpunkt der unter ihr sich verschiebenden Scheibe, so wird die Abwicklung der Rolle der Bewegung des Berührungspunktes auf der Scheibe gleich sein y dcp = qdco — da. Wenn man sich also durch den Rollenmittelpunkt die x-Achse gelegt denkt, so ist y die Ordinate des Fahrstifts und ydx — çrdco —rdß. Sind to₁ und ra₂ die Ablesungen

an der Rolle vor- und nachher, so ist F —Jydx — rę>(eo₂ — oq),

d. h. der Flächeninhalt F ist der Differenz der Rollenablesungen bis auf einen von den Dimensionen der Bolle und der Welle abhängigen Faktor gleich.

Dieses Planimeter hat sich verhältnismäßig wenig Freunde erworben, obwohl es gerade bei kleinen Flächen mit einer 7 bis 8mal größeren Genauigkeit als das später zu besprechende Amslersehe Polarplanimeter arbeitet. Abgesehen von den höheren Anschaffungskosten ist dies darin begründet, daß die Leichtigkeit der Bewegung von ihrer Richtung abhängig ist. Auch ist es gegen äußere Einflüsse empfindlich. Dies gilt namentlich für den Dr&ht, der leicht zu Störungen Veranlassung gibt.

Wir lassen auf dieses in der Geschichte der Planimetrie bekannteste ein neueres Koordinatenplavimeter folgen, das aus der Werkstatt von Ch. Hamann in Berlin-Friedenau hervorgegangen ist.

Der ganze Apparat ist auf einer an den beiden Längskanten abgeschrägten Metallplatte montiert. Auf dieser ist an der einen kurzen Querseite der Pol P (Fig. 44) festgemacht, um den sich der Arm PA — rt drehen läßt. Mit PA hängt in A durch ein Gelenk der ihm an Länge gleiche Arm AB — r₂ zusammen. Es ist nun dafür gesorgt, daß B sich der Längskante parallel bewegt. Dies

wird dadurch erreicht, daß B in einem Schlitten befestigt ist, der mit horizontal liegenden Rollen auf beiden Längskanten läuft. In B befindet sich eine Meßrolle, deren Achse in die Richtung von r.2 fällt, deren Ebene also genau senkrecht zu r₂ steht. Durch Stellschrauben läßt sich die Gleichheit rx — r₂ = r herstellen. Durch eine besondere Einrichtung der Rollenlager, die in einem Kreisringe liegen, wird eine Abweichung der Richtung der Rollenachse von der Richtung r₂ korrigiert. Unter der Rolle hinweg ist ein flacher Fahrarm hoi’izontal und senkrecht zu den Längskanten der Grundplatte verschiebbar angebracht. Auf seiner Oberseite ist eine Lage Papier eingelassen, auf der die Rolle mit einem geringen Drucke auf liegt, indem sie in einer Gabel innerhalb des erwähnten Ringes liegt. Auf dem Papier A findet sie genügend Reibung und wird nicht    s

B'

abgenutzt. Es ist dafür gesorgt, daß der Fahr- y \ Ä arm, der am Ende den Fahrstift trägt, senk- _l recht zu den Längskanten bei der Verschiebung ? des Schlittens bleibt, indem an diesem angebrachte federnde Rollen ihn an beiden Seiten führen.

Fig. 44.

Nehmen wir _P als Anfangspunkt rechtwinkliger Koordinaten, die Richtung PB B' als «/-Achse, die dazu senkrechte Verschiebung des Fahrarms parallel der x-Achse an, so wird bei einer Bewegung des Fahrstifts Ff = dx die Rolle einen Bogen dß = cos a • dx abwickeln. Bei einer Bewegung des Fahrstifts parallel der «/-Achse (Ff oder f F') bleibt der Berührungspunkt der Rolle mit dem Fahrarmlineal derselbe, es ändert sich nur der Winkel a, den die Ebene der Rolle mit der sc-Aehse einschließt; dieser Winkel ist aber gleich dem Winkel an der Grundlinie des gleichschenkligen Dreiecks. Da y — 2 r cos a für jede Lage von B gilt, so erhält man

2 r cos ccdx = 2rdß

oder

ydx = 2rda

mithin

=I ydx = 2r(ö₂ — öj).

Wählt man die Teilung der Rolle so, daß ein Intervall doppelt so groß ist, wie in der Teilung auf dem Schenkel «*, so erhält man

F = r{(s\ — g\) =ro'.

den doppelten Wert der Rollenabwicklung 6 = 2 6 durch direkte Ablesung, also

Die Länge r kann zwar am Schenkel r₂ abgelesen werden, indessen wird sie genauer durch Umfahren einer Figur von bekanntem Flächeninhalt erhalten. Zu diesem Zwecke wählt man etwa ein Quadrat auf Millimeterpapier oder benutzt ein sog. Kontrollineal. Das eine Ende eines solchen Lineals ist mit einer Nadelspitze versehen, die als Mittelpunkt des zu umfahrenden Kreises genommen wird. Der Fahrstift wird in eine der Vertiefungen eingesetzt, die das Lineal trägt, bei denen der Flächeninhalt des von ihnen beschriebenen Kreises angegeben ist. Ist r0 der am Schenkel des Planimeters abgelesene Wert, so würde F' = rQ6 der genäherte Flächeninhalt sein. Wenn nun der mit dem Kontrollineal gefundene wahre Inhalt F ist, so ist der Fehler F — F' — (r — r₀) 6, woraus die wahre Schenkellänge

F-F'+r₉a_

folgt oder auch die Korrektion

F — F’

r — r₀ =

Die beiden Schenkel AP und AB kann man zur Deckung bringen, indem man den Punkt B unter den etwas höher angebrachten Pol P schiebt. Auf diese Weise lassen sich durch Schräubchen die beiden Schenkel gleich lang machen.

Wir besprechen sogleich bei diesem Instrument die in ähnlicher Weise bei anderen vorkommenden Fehlerquellen. Es sind folgende Bedingungen vorhanden.

1. Die Rollenachse soll horizontal liegen. Bildet sie mit der Horizontalebene einen kleinen Winkel ß, so wird (immer vorausgesetzt, daß sie in der Richtung r₂ liegt) die Wirkung nur die sein, daß der Berührungspunkt b ein wenig seitlich nach b' verschoben wird. Dies hat bei der Bewegung des Fahrarmlineals in der Richtung der æ-Achse unter der Rolle hinweg keinen Einfluß auf ihre Abwicklung, die beide Male gleich ist. Bei einer Verschiebung des Schlittens (Bewegung in der y-Achse) wird aber die Rolle nicht, wie es sein sollte, unbeweglich bleiben, da ja nur der senkrecht unter dem Schenkelende B liegende Punkt eine ge-

rade Linie beschreibt. Der Berührungspunkt wird also mit dem Radius bb' einen Kreisbogen beschreiben wodurch eine fehlerhafte Abwicklung entsteht. Bei vollständiger Umfahrung der Figur treten indes diese Abwicklungen beim Hin- und Rückweg des Schlittens mit entgegengesetzten Vorzeichen auf und heben sich im Ergebnis auf.

2.    Die Rolle soll sich um ihren Mittelpunkt drehen. Ist aber die Rollenachse exzentrisch zur Rolle, der Drehpunkt C' urn CC' = G vom Mittelpunkt C entfernt (Fig. 45), so wird durch Drehung um den Winkel cp statt des Bogens OA der Bogen OÄ abgewickelt. Das kleine Bogenstück AA' können wir mit dem Abstande C D vertauschen und gleich esinqp setzen. Wird die Rolle um 180° gedreht, so beträgt der Fehler der Rollenabwicklung esin(l80°+ cp) —— esingp. Man muß daher eine zweite Flächenmessung machen, bei der die Rollenablesungen um den halben Umfang verschoben sind, um

im Mittel der Umfahrungen das vom Exzentrizitätsfehler befreite Ergebnis zu erhalten.

3.    Die Rollenachse soll die geradlinige Fortsetzung des Schenkels AB (Fig. 44) bilden oder ihm wenigstens parallel sein. Ist aber ein kleiner Winkel tfj zwischen beiden oderwie man sagt, Rollenschiefe vorh anden, so ist d 6 = cos (a -f- ■»//) d x.

Da aber y = 2 r cos a bleibt, so wird 2rda = yclx — 2rrp sin ctdx, wenn cos^ = l und ip für sin -ig gesetzt wird. Man kann diesen Feh- p,

1er beseitigen, indem man das gleichschenk- Tv lige Dreieck auf die andere Seite der y-Achse verlegt und dann die Fläche nochmals umfährt, denn dann wechselt ip sein Zeichen und das Mittel aus beiden Umfahrungen ist frei von Rollenschiefe. Das Durchschlagen geschieht bei dem Instrumente am einfachsten, wenn man beide Schenkel zur Deckung bringt und gleichzeitig nach unten dreht.¹) Will man aber nur in einer

D,

C/Ć

Fig. 45.

2,

'4

K'T—

Fig. 46.

1) Um dies leichter zu überblicken, sind in Figur 46 die vier

Lage arbeiten, so muß man die Bollenschiefe durch die Korrektionsschrauben beseitigen.

4. Die beiden Hauptbewegungsrichtungen des Instrumentes sollen senkrecht gegen einander sein. Weicht aber die Richtung des Fahrarms von der Senkrechten auf den Längskanten der Grundplatte um einen kleinen Winkel Z ab, dann wird der Fahrstift die Strecke sec zdx statt dx zurücklegen. Da die Rolle zugleich den Winkel a — z statt cc mit dem Fahrarm bildet, so erhält man

da — cos (a — z) sec z dx — cos ccdx + sin a tg z dx

mithin

2 rda — 2r cos ccdx -j- 2r sin cc tg zdx = ydx -f- 2r sin cc tg zdx.

Wird die Figur mit durchgeschlagenen Schenkeln durchfahren, so tritt — z an Stelle von + 2, daher ist das Mittel aus beiden Umfahrungen von diesem Fehler befreit.

5. Die Achsen der Scharniere sollen senkrecht zur Zeichenebene stehen. Dies gilt sowohl für das Polgelenk P, wie für das Gelenk im Punkte A. Ist letzteres nicht der Fall, so beschreibt der Endpunkt des Armes AB um den Endpunkt des Armes PA einen Kreisbogen, das Scharnier selbst eine Kegelfläche. Dieser Fehler (Scharnierschiefe), der vielfach überschätzt worden ist, läßt sich nicht eliminieren.

Die Genauigkeit des Instrumentes, das besonders deshalb nicht für große Figuren geeignet ist, weil bei lang herausgezogenem Fahrarm die Sicherheit seiner Führung senkrecht zur «/-Achse verloren geht, beträgt etwa y₃₀₀ bis y35o des Flächeninhaltes, die bei kleinen Figuren bis auf etwa y₂₀₀ herabsinkt. Es hat denselben Nachteil, wie das Wetlische Planimeter, daß in den beiden Hauptrichtungen die Bewegung spielend vor sich geht, dagegen in anderen Richtungen je nach ihrer Lage ein größerer oder geringerer Widerstand überwunden werden muß.

Lagen des Schenkels AB unterschieden, wobei die Rollenschiefe stark übertrieben eingezeichnet ist. Lage 1 deutet die Stellung bei der ersten Messung an, bei 2 ist der Schenkel AB mit AP zusammengeklappt, bei 3 ist die Drehung beider Schenkel vollzogen, bei 4 ist AB wieder von AP entfernt und bat die der Lage 1 entsprechende Stellung zur zweiten Messung. Der Winkel der Rollenebene mit der ic-Acbse ist bei Lage 1 : cc — bei Lage 4 : cc -f-

Wir deuten noch ein anderes Prinzip an, auf dem das 1852 von E. Sang beschriebene Planimeter beruht (Fig. 47). Ein Doppelkegel rollt mit seinen beiden gleichen Grundkreisen in einer der x-Achse parallelen Richtung. Die Registrierrolle B ist derartig angebracht, daß sie einen Kreis des Kegels berührt, der den Abstand y von der in der æ-Achse sich bewegenden Kegelspitze hat. Den Fahrstift denken wir uns so mit der Rolle verbunden, daß er denselben Abstand ?/, wie die Rolle, von der æ-Achse hat. Ist a der Radius der Grundkreise, so wird bei einer Bewegung des Fahrstiftes und des Kegels um dx der Kegel eine Drehung dop um seine Achse erfahren, die durch dx — ad cp bestimmt ist. Ein Punkt des Berührungskreises mit dem Radius r wird, wenn h die Höhe der Kegel

ist, den Bogen rdcp = ^ydx beschreiben, der durch die Rolle ge-

wird (vgl. S. 80). Es ist also

hda=ydx

h(a₂ —    =j ydx =

39. Linearplanimeter. In der allgemeinen Flächenformel (S. 73, 75) F = A — B kann das zweite Integral

messen

und

F.

JI

t—.

Fig. 47.

r.....t

\y

■*x

auch dadurch zum Verschwinden gebracht werden, daß wir

4 = c

(konstant) setzen; dies bedeutet, daß der eine Endpunkt (|, r\) des die Fläche überstreichenden Stabes auf einer durch den Koordinatenanfang gehenden Geraden zu laufen gezwungen wird. Diese Gerade kann aber auch ganz beliebig liegen; denn setzen wir

7i — b

{--= ci

g — a

so folgt

(t]dè — Çdrj) — (bd'S, — adr\) = 0.

Bei der Integration fallen die beiden Integrale

a,Jd rj

bfit

und

fort, wenn wir die Fläche vollständig umfahren, also die Grenzen für den Anfangs- und Endpunkt dieselben sind. Wir bezeichnen solche Planimeter, bei denen der eine Stabendpunkt in einer Geraden sich hin und her bewegt, als Linearplanimeter.

Hierher gehört das von dem Erfinder des Hyperbelplanimeters (S. 79) Stadler ersonnene und von ihm Rollplanimeter benannte Instrument. Auf zwei Schienen SS gleitet ein Wagen TF, der den um den Zapfen Z drehbaren Fahrarm FM trägt (Fig. 48). An dem einen Ende F ist der Fahrstift, am andern R die Rolle befestigt, deren Achse mit der Richtung des Fahrarms zusammenfällt. Sei die x-Achse parallel, die y-Achse senkrecht zu den Schienen, so mögen .^X xi y Koordinaten des Fahrstiftes F, x, 0 die des Drehpunktes Z und X, Y die des Rollenmittelpunktes bzw. des senkrecht unter ihm liegenden Auflagepunktes bezeichnen. Ferner sei

Fs F

-A?

Jz

■S

■S

b.

Fig. 48.

FZ = a, RZ = b und « der Winkel den ZF mit der «-Achse bildet. Es ist dann

x = x + a cos cc, y = a sin a. Beschreibt der Fahrstift den kleinen Weg ds — ]/dx² -f- dy²,

so sind seine Komponenten

dx = dx — a sin ada, dy — a cos ccda.

Die Rolle macht gleichzeitig einen Weg dS, der sich aus einer Kreisbewegung um Z mit dem Radius b und einer Parallelbewegung zur «-Achse zusammensetzt. Die Rollenabwicklung gibt nur den zur Rollenachse senkrechten Teil dieser Bewegungen

dß = bda + cos (270° + a)dx — bda -j- sin adx'

oder

dß — bda -f sin adx -f- a sin¹ 2 ada — ^ ydx -f (b + a sin² a)da und

_ A.J*,lJ(ix -f ^ -f- y) («₂

— ai) — -|-(sin 2 a₂ — sin 2at).

g₂ — 6₁

Wenn man die Figur¹) vollständig umfährt, also zur Anfangslage a₂ — a₁ zurückkehrt, so erhält man einfach:

a(ß₂ — ö₁) = j ydx = F.

Da dieses Resultat die Rollenarmlänge b überhaupt nicht mehr enthält, so kann man b auch zu Null machen, und man gelangt zu dem Linearplanimeter von A. Miller Ritter von Hauenfels (1860 von Breithaupt & Sohn in Kassel angefertigt). Ein Lineal von 52 cm Länge bildet die Führungsbahn für einen Wagen mit zwei Rollenpaaren, von denen das eine in einer Nut von halbkreisförmigem Querschnitt, die beiden andern Rädchen mit etwas breiterem Kranze auf der Ebene des Lineals rollen.²) Die Fahrstange, welche sich an einer Stelle zu einem Ring erweitert, wird mit diesem in eine kreisförmige Öffnung des Wagens horizontal eingelegt. Um eine zum Lineal senkrechte Achse im Mittelpunkt des Ringes bzw. der kreisförmigen Öffnung läßt sich die Fahrstange drehen. In derselben vertikalen Achse liegt der Berührungspunkt der Meßrolle, welche bei Bewegung des Fahrarms und des Wagens sich auf der mit Papier überzogenen Gleitbahn des Lineals abwälzt, und deren Teilung ein Nonius gegenübersteht. Die horizontale Drehachse der Rolle läuft in Spitzenschrauben und trägt eine Schraube ohne Ende, welche mit einem im Fahrarm eingelassenen Zählwerk in Verbindung steht. Die Länge des Fahrarms kann verändert werden; zur Ausgleichung seines Gewichtes ist an seiner Rückwärtsverlängerung ein Gegengewicht angebracht. Neben dem Fahrstifte sind zwei Stützen angebracht, die mit dem Auflagepunkt der Rolle zusammen die wagerechte Lage des Fahrarms gewährleisten. Die Theorie ist dieselbe wie beim vorigen Instrument, wenn man 5 = 0 setzt. Auch kann man passend a = a₀ mi setzen, wenn die Fahrarmlänge um m Teile von der Länge i auf der Skala des Fahrarms verändert wird. Bei diesem Instrument kann auch der Fall Vorkommen, daß das Lineal innerhalb der zu bestimmenden Fläche liegt und infolgedessen der Fahrarm eine volle Umdrehung macht, um in seine ursprüngliche Lage zurückzukehren. Dann erhält man

a₁ + 2 7f

= a(ö.₂ — tfj) — a² ylsin² ada

ax

+*\rF£"

oder

= «0a - O — a2[yl]+2;t

F ===== (a₀ -f- wh)(ö₂ —- Oj) — a²jr,

d. h. es tritt noch die Fläche eines Kreises mit der Fahrarmlänge als Radius hinzu.

Die Konstruktion eines Linearplanimeters von Amsler (1882) ist im Prinzip ähnlich (Fig. 49). Auch hier läuft ein kleiner W-agen in den Nuten eines Lineals. Dieser trägt eine horizontale runde Scheibe, die bei der Bewegung des Wagens vermittels einer Übertragung um ihre vertikale Achse gedreht wird, so daß die Drehung der Verschiebung des Wagens proportional ist. Auf dieser mit Papier überzogenen Scheibe liegt die mit dem Fahrarm in fester Verbindung stehende Integrierrolle auf, deren horizontale Achse je nach der Stellung des um einen Punkt des Wagens drehbaren Fahrarms verschiedene Winkel mit dem durch ihren Berührungspunkt gehenden Scheibenradius einschließt.

Bei diesem und dem vorhergehenden Planimeter ist die Abwicklung der Integrierrolle unabhängig von der Beschaffenheit und den Unebenheiten der Zeichenfläche. Das Amslersche Instrument ist nur zur Umfahrung langgestreckter, in der Richtung des Lineals sich ausdehnender Figuren geeignet, da die Drehbewegung des Fahrarms eine beschränkte ist, wenn die Rolle auf der Scheibe bleiben soll.

Da die Drehung der Scheibe der Fortbewegung des Wagens proportional ist, kann man das Element des Drehungswinkels dcp ===== pdx₀ setzen, wenn x₀ die Abszisse des Drehpunktes 0 ist. Wenn ß der Winkel der Rollebene mit dem Scheibenradius r ist, so ist die Rollenabwicklung da ===== sin ß rdcp = pr sin ßdx₀. Denn nur die Bewegung des Wagens, nicht aber die Drehung des Fahrarms, bei der die Rolle in der Richtung ihrer Achse verschoben wird, bat eine Abwicklung zur Folge. Wird die unveränderliche Entfernung des Scheibenmittelpunktes vom Drehpunkt des Fahrarms OS = s gesetzt, so ist

r sin ß = s sin a,

also

Fj

-X

Co

v;

da = ps sin adx₀. Nun ist wie früher

dF — a sin adx₀ — a² sin² ccda, mithin

dF — — do — a² sin² ada und

F =    (ô₂ — t^) — a²y sin² atïa,

Fig. 49.

wo das zweite Glied bei der Rückkehr zur Anfangslage Null wird (bzw. = 7ta², wenn der Fahrarm eine volle Umdrehung gemacht hat).

Man kann die besprochenen Linearplanimeter als Vorläufer des Rollplanimeters von Hohmann-Coradi ansehen, das ebenfalls besonders für langgestreckte Figuren (und zwar von beliebiger Länge) sich eignet (Fig. 50). Bei ihm bewegt sich ein Gestell auf zwei an den Enden einer Längsachse sitzenden breiten Walzen in der zu ihr senkrechten Richtung. Auch hier trägt das Gestell eine horizontale Scheibe, die sich bei der 'Fortbewegung des Instrumentes proportional dem zurückgelegten Wege um ihre senkrecht stehende Achse dreht. Der Fahrarm läßt sich um eine ebenfalls an dem Gestell angebrachte senkrechte Achse drehen und ist im rechten Winkel mit dem Rollenarm verbunden, der die auf der Scheibe aufliegende Integrierrolle trägt, deren Achse der Richtung des Fahrarms parallel ist.

Es seien Wx und-W^ die beiden walzenförmigen Rollen, die auf besondere Art rauh gemacht, die Parallelbewegung des Instrumentes in der Richtung der x-Achse gewährleisten; die eine von ihnen, Wx, ist an einer Seite mit einem konischen, gezahnten Rädchen versehen, das in ein auf der Achse der Scheibe S sitzendes horizontales Rädchen eingreift. Ist der Radius der Walze Wt

(und W2), Rtdilj — dx₀ ihre Abwicklung (gleich dem Fortrücken des Drehpunktes 0 des Fahrarms in der Richtung der Achse), so dreht sich das mit ihr verbundene konische Zahnrad, das an der Berührungsstelle mit dem Scheibenrad den Radius JR₂ haben

ü

möge, um R₂di\> = -^-dxQ. Ist der -“1

Radius dieses an der Scheibenachse sitzenden Zahnrädchens I?₃, so ist seine Abwicklung R,₃dcp = ü₂diß, also der Win-|. kel, um den sich die Scheibe dreht,

d Xq    p d Xq .

Wenn nun der Berührungspunkt der Rolle die Entfernung r vom Scheibenmittelpunkt hat, so ist die Bewegung des Berührungspunktes rdcp, und wenn ß der Winkel von r mit SO (y-Achse) und a der Winkel des Rollenarms mit der Richtung OS ist, so beträgt die Abwicklung der Integrierrolle mit dem Radius q und dem Drehungswinkel m:

ç>dœ = rdcp sin (a -j- ß) = rp sin (« -f ß)dx₀.

Da nun (OF = a gesetzt)

. x — Xq -J- a cos a, y = a sin a

"W

S*

Fig. 50.

dcp =

die Koordinaten des Fahrstiftes sind, so ist wieder

sin a

pr sin (cc -)- ß)

dF = ydx -- aQ

dm — a² sin² ccd a

und mit Rücksicht auf

r sin (a -f- (3) = s sin a,

wenn s die konstante Entfernung des Drehpunktes 0 vom Scheibenmittelpunkte S ist:

Setzen wir noch

F = f—

J sp

agdco

a?Jsin² a da

a _R, B₃

sB %

so wird für eine geschlossene Umfahrung:

F = C(os — ßt).

= C, Qdco — da,

Um eine Vorstellung von den Dimensionen zu erhalten, so gab nach Reitz ein Planimeter mit einem Fahrarm von 50 mm Länge für die Noniuseinheit den Flächenwert 0,2 qmm und man konnte einen Streifen von 4 cm Breite ausmessen. Wurde der Fahrarm auf 125 mm verlängert, so betrug die Fläche, welche durch eine Einheit am Nonius gemessen wird, 0,5 qmm und die Breite des Streifens stieg auf 15 cm.

Für die Theorie wurde angenommen, daß die Konstruktionsbedingungen erfüllt sind. Es kommt darauf an, die durch Abweichungen von diesen Bedingungen entstehenden Fehler zu untersuchen.

1. Wenn zwar die Achse der Integrierrolle dem Fahrarm parallel ist, aber die Rolle sich auf ihrer Achse verschoben hat, so geht die Ebene ihres Laufkreises nicht durch den Drehpunkt 0 des Fahrarms hindurch, sondern an ihm vorbei und schneidet FO in Q (Fig. 51). Dann tritt an Stelle des Dreiecks SOB das Dreieck SO'B mit den Winkeln a und ß\ wobei aber der Punkt 0' je nach der Stellung des Fahrarms FO und mit dem Winkel a sich verrückt und zwar so, daß OQ = 00' sina = c konstant bleibt. Es war nun

Fig. 51.

F.

IT'⁰'

"X

oder wegen

wenn

gesetzt wird,

Da jetzt

Qdco = pr sin (a -J- ß)dxQ

r sin (k -j- ß) = s sin a,

s B^ ai?, Bs

qdco = s ydxQ. r sin (a -J- ß') = (s -j- 0 0 ) sin a — s sin a -\- c

= s'

wird, so ist jetzt

ędco = s'ydx₀ + c'dx₀.

Wenn dieser Ausdruck integriert wird, so fällt bei vollständiger Umfahrung c jdx₀ fort, und der in Rede stehende Fehler ist einflußlos.

2. Ist die horizontale Projektion von SO (der Verbindungsgeraden des Scheibenmittelpunktes und des Drehpunktes des Fahrarms) mit der Walzenachse W₁W₂ nicht genau parallel, sondern schließen beide den kleinen Winkel s miteinander ein, so entsteht ein Fehler.

Wir nehmen als æ-Achse die Senkrechte auf der Anfangslage von OS im Punkte 0 und bezeichnen den Winkel des Fahrarms mit dieser 0 Achse mit t/, während wir die zur Walzenachse senkrechte Fortbewegungsrichtung des Instrumentes mit £ bezeichnen. Durch Fortbewegung sei x nun der Punkt 0 längs der |-Achse in die Lage 0'{x'y') gekommen, S' sei dann der Scheibenmittelpunkt, B' der Berührungspunkt der Rolle mit der Scheibe. Im Dreiecke B'S'0' ist dann der Winkel bei 0' gleich u und es besteht wie früher die Gleichung

dß = çda) = pr sin (a'-f ß)d£₀

s-

R'

g£L

àh-JiO'

a.

oder wegen r sin (a'-j- ß) = s sin d dß = ps sin adEr..

Nun ist

cos £

sin £ = ^°

Fig. 52.

und

x — xQ — a cos d oder x = a cos d -f- £₀ cos £ V — Vo ~ a sin    oder y — a sin d + £₀ sin £

Es wird also

dl ₀ =

dx = — a sin d da -f- cos £d$₀

= sec £ (dx -f a sin a da)

da

ps sin a

dß = ps • sec £ (sin a dx -j- a sin² a da)

— sec £ •

^ [(y — y₀)dx + a² sin² a da].

Bei der Integration über eine geschlossene Kurve fällt wie früher das letzte Glied fort, und es bleibt

cr₂ — c?i = sec s ■ ^\_jydx —Jy₀dxj-

Außer dem Faktor sec s ist also noch ein Flächenintegral hinzugekommen. Diese fehlerzeigende Figur kann man sich von dem PunkteZ beschrieben denken, welcher auf der Ordinate des Punktes F durch die von 0' gefällte Senkr-echte getroffen wird, indem ZX — #₀, OX = « die Koordinaten von Z sind.

O'F

3.    Ein weiterer Fehler entsteht, wenn die Achse der Integrierrolle dem Fahrarm nicht parallel ist oder OB' nicht zu senkrecht ist.

Es sei B'O'F = 90° -f- £, wo £ klein sein soll, so legen wir in der Anfangsstellung des Instrumentes die «-Achse so, daß sie mit S 0 den Winkel 90° -j- £ einschließt und mit der Fortbewegungsrichtung des Instrumentes (^-Achse) den Winkel £ bildet. Für eine beliebige Stellung des Instrumentes ist dann der Winkel B'O'S'—a dem Winkel des Fahrarms mit der «-Achse gleich. Wir erhalten also eine ganz ähnliche Figur wie im vorigen Falle (nur daß B'O'F kein rechter Winkel ist).

Wenn F auf der andern Seite der «-Achse liegt, so liegen F und Z auf verschiedenen Seiten derselben, d. h. das Vorzeichen der hinzutretenden Fläche ändert sich. Man kann also durch Umfahrung einer Fläche von bekanntem Inhalt (einmal auf der einen, das andre Mal auf der andern Seite der «-Achse) die Größe der fehlerzeigenden Figur als halbe Differenz der Ergebnisse ermitteln. Als Gebrauchs Vorschrift für das Instrument ergibt sich zugleich die Regel, daß für die auszumessende Figur die Bewegungsrichtung des Mittelpunktes des Instrumentes nahezu eine Symmetrielinie sein soll.

4.    Wenn die Walzen nicht genau gleiche Durchmesser haben oder die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt des Instrumentes geht und die Riffelung der Walzen keinen hinreichenden Widerstand gegen den exzentrisch ausgeübten Zug des Fahrarms bietet, so wird der Drehpunkt keine gerade Linie senkrecht zur Walzenachse in ihrer Anfangslage, sondern einen Kreisbogen beschreiben.

Zur Anfangslage WyW₂ sei die «-Achse durch 0 senkrecht gelegt. In der Lage W/W₂' schließe die Senkrechte zur Walzenachse deu Winkel y mit der «-Achse ein; den Übergang zu einer benachbarten Lage Wt" W₂" kann man in eine Parallelbewegung und eine Drehbewegung um 0₂ zerlegt denken. Bei der Parallelbewegung, die senkrecht zur Walzenachse erfolgt, wird der Bogen ds — sec ydx₀ abgewickelt und von der Integrierrolle

da = pa sin ads — pa sin a sec ydx₀.

Da ferner

und

x = x₀ -f- a cos (a + y) dx = dxQ — a sin (a -f- y) d (a -j- y),

so wird

da = pa sina sec ydx    sina sec y sin (a -j- y)d(u -f- y).

Wenn man annehmen darf, daß das Instrument bei vollständiger Umfahrung einer Figur in seine anfängliche Lage zurückkehrt, so verschwindet bei der Integration der zweite Teil dieses Ausdrucks. Im ersten Teil ist a sin a sec y derjenige Teil der Ordinate des Fahrpunktes, der zwischen diesem und der Bahntangente des Punktes 0₂ liegt. Ist S der Schnittpunkt der Bahntangente mit der Ordinate, so ist der geometrische Ort des Punktes S die Umgrenzung eines Flächenstückes, das um so kleiner ist, je kleiner der Winkel y ist. Man kann daher diese Figur wiederum als fehlerzeigende betrachten, die von der Integrierrolle algebraisch zu der auszumessenden Fläche addiert wird. Auch hier ändert sich das Vorzeichen, wenn F auf verschiedenen Seiten der «-Achse liegt und der Fehler wird am wenigsten Einfluß haben, wenn die Senkrechte zur Walzenachse eine Symmetrielinie der auszumessenden Fläche ist.

Amsler hat darauf hingewiesen, daß bei einer auf einer Ebene aufliegenden Rolle ein Gleiten nicht gänzlich beseitigt werden kann und dadurch die Messung verfälscht wird. Man ersetzt deshalb die Rolle durch einen Zylinder und die Ebene durch eine Kugelfläche (S. 52).

Das mit dieser Vorrichtung versehene Planimeter wird als Kugelrollplanimeter bezeichnet (Fig. 53). Es ist ganz ähnlich dem vorher beschriebenen konstruiert. In die eine Walze B sind am Umfange Zähne eingeschnitten, welche in ein darüber befindliches vertikales Zahnrad eingreifen, dessen Drehungsachse mit der Walzenachse A parallel ist und senkrecht über ihr liegt. Diese Achse trägt an ihrem in der Mitte des Instruments befindlichen Ende ein Kugelsegment JT, dessen Mittelpunkt in ihr liegt. An das glockenartige

Kugelsegment, dessen ebene Endfläche senkrecht zur horizontalen Walzenachse steht, legt sich durch Federdruck ein horizontaler um seine Achse drehbarer Zylinder an, dessen Umdrehungen nebst ihren Bruchteilen an einem besonderen Zählwerk abgelesen werden. Mit dem Zylinderlager (dem Rahmen Jf, der den Zylinder trägt) ist der Fahrarm verbunden, der der Zylinderachse parallel liegt. Der Zylinder soll die Kugelfläche in ihrem größten Horizontalkreise berühren. Befindet sich der Fahrarm in seiner Grundstellung, nämlich senkrecht zur Walzenachse und damit auch senkrecht zur Achse des Kugelsegments, so findet die Berührung von Kugel und

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H.FISCHER.^./y.

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Fig. 53.

Zylinder im Mittelpunkt des Kugelsegments (und Endpunkt seiner Achse) statt. Bei geradliniger Fortbewegung des Instrumentes rotiert das Kugelsegment um seinen Mittelpunkt, und es findet bei der Grundstellung des Fahrarms

Sä

| i

1.3

keine Bewegung des Zylinders statt. Aber es entsteht auch, die Berührung bei der Grundstellung des Fahrarms etwas

wenn

oberhalb oder unterhalb der Mitte des Kugelsegments stattfindet, keine Rotation des Zylinders durch Bewegung des Wagens, sondern eine geringe Bewegung parallel der Zylinderachse. Wenn da-

nur

gegen der Fahrarm um seine vertikale Drehachse bewegt wird, so wird eine geringe Umdrehung des Zylinders verursacht, falls die Berührung nicht auf dem größten Horizontalkreise des Segments bleibt.¹) Die Meßrolle tritt dagegen in Tätigkeit, sobald das In-

1) Diese Drehung wird eine Funktion des Winkels cc sein, den der Fahrarm mit seiner Grundstellung bildet. Bei der Umfahrung

Galle: Mathematische Instrumente.

strument bewegt wird und der Fahrarm außerhalb der Normalstellung steht.

Bezeichnen wir den Radius der Walzen Bl, li² mit TU, so ist ihre Abwicklung Wchp = dx₀ gleich dem von dem Drehpunkt des Fahrarms zurückgelegten Wegelement. Das in die Walze eingreifende Zahnrad mit dem Radius r wird eine Drehung um dcp erleiden, die durch r dcp = Wdip = dx₀ bestimmt ist. Da der Drehungswinkel des Kugelsegmentes ebenfalls dcp ist, so können wir die auf

S. 51 gegebene Entwicklung an wenden. Wir nehmen an, der Berührungspunkt P des Zylinders stehe vom Mittelpunkt C des Segmentes oder Endpunkte der Achse um rö im Bogen größten Kreises ab. Der Bogen des durch P gehenden Vertikalkreises, der durch den obersten Punkt Z der vervollständigten Kugel geht, ist dann, da seine Ebene die Zylinderachse senkrecht durchschneidet, als Rollenebene (im Sinne obiger Entwicklung) zu betrachten. Der Winkel, den PZ und PC einschließen, sei y. Dann ist die Abwicklung des Zylinders qdco = r sind sin y dcp. Nun ist der Winkel der Vertikal ebene ZP mit der Vertikalebene ZC der Kugelachse gleich dem Winkel a des Fahrarms mit seiner Grundstellung. Es ist also sin a = sin d sin y, mithin

T

ędco = r sin a dcp = — sin adx₀.

Führen wir wieder a sin a — y, ein, so folgt

dx₀ = dx — a sin ada

a cos a — x — x₀,

gdco — — ydx —r, a sin² ada '    r a    r

und bei der Integration über eine geschlossene Kurve

ar'

- (ß₂ — aj.

Die Prüfung des Instrumentes wird am einfachsten in der Weise ausgeführt, daß man einmal dieselbe Fläche in verschiedenen Lagen zur Abszissenachse und zweitens Figuren mit verschiedener Umgrenzung, aber mit gleichem Flächeninhalt umfährt. Wenn

einer geschlossenen Figur wird das Integral jf(u)dcc nahezu verschwinden, wenn eine Rückkehr zu demselben Ausgangwert von a stattfindet, da f(a) dieselben Werte mit anderen Zeichen durchlaufen wird.

diese Unabhängigkeit von Lage und Gestalt innerhalb der Grenzen der Genauigkeit nicht vorhanden ist, so lassen sich im allgemeinen die Konstruktionsmängel nur durch den Mechaniker beseitigen. Es ist nur eine Berichtigungsvorrichtung vorhanden, welche den Rahmen der Integrierrolle im horizontalen Sinne zu verstellen gestattet, um den Parallelismus von Zylinderachse und Fahrarm herzustellen³), während die Horizontalität der Zylinderachse, die eine besonders wichtige Bedingung ist, als mechanisch erreichbar stillschweigend vorausgesetzt wird.

Die Konstante bestimmt man bei diesen Instrumenten am sichersten durch Umfahren einer Figur von bekanntem Flächeninhalt z. B. mit Benutzung eines Kontrollineals (s. o. S. 84). Sowohl bei der Justierung (durch Einstellung des Fahrarms auf eine gewünschte Länge durch Schraube m, die der Konstanten einen runden Wert erteilt), wie bei der Anwendung des Instrumentes zur Flächenmessung ist es empfehlenswert, die Umfahrung in solcher Stellung zu beginnen, wo die Meßrolle eine geringe oder gar keine Bewegung eiieidet, also bei der Grundstellung des Fahrarms, weil hierbei eine kleine Unsicherheit in der Anfangs- und Endlage keinen bemerkenswerten Einfluß auf die Ablesung ausübt und ebenso wenig eine anfängliche Trägheit der Rollenbewegung bemerkbar wird.

40. Polarplanimeter. Mit der Ausbildung der Koordinaten-und Linearplanimeter ist die Entwicklung der Polarplanimeter parallel vor sich gegangen.

Das Polarplanimeter lehnt sich in seiner Konstruktion an das Vorbild des menschlichen Armes (bei Horizontalbewegung desselben) an, indem wie der Oberarm im Schultergelenk, der Polarm sich um einen festen Punkt als Pol dreht. Mit ihm ist durch ein Scharnier, das dem Ellbogengelenk entspricht, der dem Unterarm vergleichbare Fahrarm verbunden, der die Hülse für den Fahrstift wie die Hand die Feder trägt. Die Bewegungen des Fahrarmes senkrecht zu seiner Richtung werden wiederum durch die Abwicklung einer Meßrolle gemessen. Das eine Ende des Fahrarms wii’d in einem Kreisbogen mit dem Polarm als Radius geführt, während das andere Ende die auszumessende Figur umfährt.

Die älteste Idee eines Polarplanimeters stammt aus dem Jahre 1814 von dem Trigon om eter Hermann in München, es wurde dann unabhängig von A. Miller von Hauenfels in Leoben 1855 und wahrscheinlich ein Jahr früher von Jakob Amsler erfunden, der zwar seine Erfindung erst 1856 veröffentlichte, tatsächlich aber derjenige ist, der das Polarplanimeter in die Praxis einführte und damit alle andern Planimeter zurückdrängte.

Endlich hat auch Clark Maxwell fast gleichzeitig ein Polarplanimeter konstruiert, das dadurch bemerkenswert ist, daß eine Kugel auf einer anderen sich abwälzt, eine Einrichtung, die wohl bei keinem andern Planimeter verwendet worden ist. Auch ist von Buniakowsky in Petersburg und Decker in Augsburg ein Polarplanimeter erfunden worden, das aber ebensowenig wie das vorhergehende in Konkurrenz mit Amslers Konstruktion getreten ist.

In der allgemeinen Formel F = A — B (S. 73) ist beim Polarplanimeter A die vom Fahrstift umschriebene Fläche, B ist durch die vom Gelenk zwischen Fahrarm und Polarm beschriebene Kreiskurve begrenzt und F ist der vom Fahrarm überstrichene und durch die Rollenablesung gegebene Flächeninhalt. Je nachdem der Gelenkpunkt, den wir im folgenden mit 0 bezeichnen wollen, einen Kreisbogen hin und zurück oder einen vollen Kreis beschreibt,

F"{\F

R,

wird B Null oder der Fläche eines Kreises gleichzusetzen sein. Um aber Fehlerbetrachtungen anschließen zu können und auf die besonderen Konstruktionen der Instrumente Rücksicht zu nehmen, ist es wie bei den früheren Planimetern nötig, die Theorie genauer zu entwickeln.

Fig. 54.

Es sei (Fig 54) P der Pol, PO — b der Polarm, OF=a der Fahrarm, PF=R der Leitstrahl des Fahrstiftes. Die Meßrolle B ist gewöhnlich in der Rückwärtsverlängerung des Fahrarms angebracht, und es sei OB — c. Ist sie zwischen 0 und F gelegen, so muß c mit negativem Zeichen ein-

geführt werden. Im ersten Falle kann der Fahrstift F zu beiden Seiten des Fahrarms nur Bögen von nahezu 180° umfahren.

Lassen wir F einen Kreisbogen FF' um den Pol als Mittelpunkt beschreiben, so bleibt für konstantes R das Dreieck POF unverändert und das ganze Instrument wird ohne Veränderung der Lage des Fahrarms zum Polarm um den Zentriwinkel cp des Kreisbogens herumgeschwenkt. Die Rolle R beschreibt infolgedessen ebenfalls einen Kreisbogen um P mit demselben Zentriwinkel cp, dessen Radius r sei. Wenn die Rollenachse, die dem Fahrarm parallel liegt, mit dem Radius PR den während dieser Bewegung unveränderlichen Winkel a einschließt, so beträgt ihre Abwicklung, wenn wie früher q der Radius, co der Drehungswinkel der Rolle um ihre Achse ist, G = qco — rep cos «. Wird noch der Winkel zwischen Polarm und (verlängertem) Fahrarm mit POR = ß bezeichnet, so ist c = b cos ß — r cos a, mithin

g = (b cos ß — c)cp und da R² = a² -|- b² -f- 2 ab cos ß ist, a = (R* — a² -b² — 2ac)^-

Führt man noch die Bezeichnung C² = a² + b² -f- 2ac ein, so wird aG = i-(R² - C²)cp.

C kann man als den besonderen Wert von R auffassen, für den c = b cos ß, also r cos a = 0, a = 90° und G — 0 ist. Dies findet dann statt, wenn PR zu F₀R senkrecht steht (unten in Fig. 54) oder mit anderen Worten, wenn der Fahrarm so gestellt ist, daß die Ebene der Rolle durch den Pol geht. Man nennt den Kreis mit dem Radius C den Grundkreis. Bei der Bewegung des Fahrstiftes auf dem Grundkreis (22 = (7) findet keine Rollenabwicklung statt. Führt man den Fahrstift dagegen auf dem Kreisbogen FF', so folgt aus obiger Gleichung, daß die mit der Fahrarmlänge multiplizierte Rollenabwicklung der Differenz der Kreissektoren mit dem Zentriwinkel cp und den Radien R und C gleich ist, d. h. dem Kreisringstück FF'F"F'" zwischen dem beliebig gewählten Kreise und dem Grundkreise, das durch die Radienvektoren am Anfang und Ende der Bewegung begrenzt ist. Dieselbe Rollenabwicklung würde man aber auch bei Umfahrung des Kreisringstückes FF' F"F'" erhalten, da bei Führung des Stiftes auf den radialen Strecken F'F" und F'"F die Rolle dieselben Umdrehungen aber in entgegengesetztem Sinne macht, also die Abwicklung sich aufhebt und längs F"F'” auf dem Grundkreise die Rolle unbewegt bleibt.

Eine beliebige Fläche kann man sich von einer Kurve begrenzt denken, die aus unendlich kleinen Kreisbogenstücken und radialen Strecken in bezug auf P als Mittelpunkt besteht. Umfährt der Punkt F diese Begrenzungskurve, so bestreicht der Radiusvektor PF Kreissektoren vom Flächeninhalte ^R²dcp. Bildet man das

Integral ^J^R²dcp, so stellt dieses den Inhalt der betrachteten Fläche dar, indem man bei Berücksichtigung des Vorzeichens von dcp übersieht, daß die außerhalb der begrenzten Fläche gelegenen Teile zweimal mit verschiedenem Vorzeichen auftreten. Es ist daher für eine beliebige Fläche

oder wenn wir

setzen,

a fdß = %fp²dcp — C² fdq>, %fR²dcp = F

F = a (e₂ — öj) + C² (cp₂ — cpj.

qp₂ und cp₁ sind die den Stellungen des Polarms am Anfang und Ende der Umfahrung entsprechenden Winkel mit einer beliebig gewählten Anfangsrichtung. Kehrt der Polarm bei vollständiger Umfahrung von F in seine Anfangslage zurück, so ist wegen q>₂ = cpx das letzte Glied Null. Liegt der Pol aber innerhalb der auszumessenden Figur, so wird der Polarm nach Umfahrung derselben einen vollen Umlauf um den Pol gemacht haben und

9>2 — 9>i = 2 71

werden. In diesem Falle ist

F=a(6u -    + G²n.

C²n ist aber die Fläche des Grundkreises, die demnach zu der mit der Fahrarmlänge multiplizierten Ablesungsdifferenz der Rolle addiert werden muß, wenn der Pol im Innern liegt.

Ein Mangel des gewöhnlichen Polarplanimeters ist die Bewegung der Rolle auf der Planunterlage, so daß infolge kleiner Unebenheiten ein unregelmäßiges Abwälzen erfolgt.⁴) Dieser Mangel ist beim Präzisionsplanimeter behoben, indem die Rolle auf einer Scheibe läuft. Die älteste Konstruktion von Hohmann und Coradi hatte eine senkrecht stehende Scheibe, gegen welche die Meßrolle gedrückt wurde. Da hierbei keine genügende Sicherheit des Rollens gewährleistet war, so wurde bei einer zweiten Konstruktion die Scheibe schräg gestellt.

Fig 55.

f'f

In der Verlängerung des Polarms (Fig. 55) ist die schief liegende Achse einer Laufrolle L angebracht, die daher bei der Drehung des Instrumentes einen Kreisbogen um den Pol P beschreibt. Auf p_ derselben Achse sitzt die kreisförmige Scheibe S, welche ebenfalls schief und parallel zur Laufrolle steht. Senkrecht zum Fahrarm a ist in dem Drehpunkte 0, der Fahrarm und Polarm verbindet, ein kurzer Arm c angebracht, welcher einen die Meßrolle tragenden Schlitten in der zum Polarm PL = l senkrechten Richtung verschiebt, so daß die Verschiebung der Meßrolle in dem zum Schlitten parallelen (horizontalen) Durchmesser der Scheibe stattfindet, wenn der Fahrarm sich um 0 dreht.

Ist a der Winkel des Fahrarms mit der Verlängerung OL des Polarms PO, so ist ô = c cos u der Abstand der Rolle vom Mittelpunkt der Scheibe und bei einer Drehung des Fahrarms um du verschiebt sich der Berührungspunkt der Rolle um d ô = — c sin u d u. Beschreibt der Fahrstift einen Kreisbogen mit dem Radius r um P, so ist r² = a² -f- 5² -f 2ab cos u. Der Winkel, um den sich sowohl r als der Polarm dreht, sei dtfs, dann wickelt die schief stehende Laufrolle mit dem Radius P/, da ihr Berührungspunkt mit der Unterlage den Bogen Idt/j beschreibt, den Bogen Ldl —

Id'ijj ab. dl =    ist der Drehungswinkel der Laufrolle und

gleichzeitig auch der Scheibe. Daher ist ddl = ô ~ dif> die Bogenstrecke, um die der Berührungspunkt der Integrierrolle auf der Scheibe weiterrückt und die Abwicklung der Integrierrolle ist 120° Winkelgröße) laufen ließe, das etwa nur durch eine bei 60° gelegte radiale Schiene mit dem Pole verbunden wäre. Das Instrument könnte so gebaut sein, daß das Gelenk zwischen Pol- und Fahrarm möglichst über dem Stützpunkt der Rolle läge, wodurch die überflüssigen Bewegungen der Rolle auf ein Minimum beschränkt würden.

d ö — q d co — â dl

oder mit Einführung von p = c

da = p cos adrp.

Während hei diesem Planimeter die schrägstehende Eolle die Drehung des Polarmes um den Pol auf die Scheibe überträgt, wird bei einer zweiten Konstruktion von Hohmann-Coradi die Drehung der Scheibe dadurch hervorgebracht, daß ein unter ihrem Mittelpunkt sitzendes Triebrad an dem geriffelten Rande einer den Pol umgebenden kreisrunden Polplatte entlang läuft. Die Ausführung ist in zwei verschiedenen Arten erfolgt.

Bei dem freischwebenden Präzisionsplanimeter ist im Mittelpunkte der geriffelten Polplatte P eine vertikale Achse eingesteckt. Der an einem Ende gabelförmige Polarm umfaßt mit der Gabel die Polachse und wird durch eine von der oberen Spitze der Polachse nach seinem anderen Ende gehenden Lamelle getragen. Am Polarm ist die vertikale Achse einer ajt der Riffelung der Polplatte entlang laufenden Laufrolle L angebracht. Über L sitzt auf derselben Achse die mit Papier überzogene Hartgummischeibe S (vgl. Fig. 56). Am anderen Ende des Polarms ist um eine Vertikalachse drehbar die Hülse angebracht, in der sich der Fahrarm verschieben läßt, der mit einer Teilung (in halbe Millimeter) versehen, mit Hilfe eines Nonius auf eine gewünschte Länge eingestellt und mit einer Klemmschraube festgeklemmt werden kann.

zum

Mit der Hülse steht ein Rahmen in fester Verbindung, der die auf der Scheibe aufliegende Meßrolle trägt, deren Achse dem Fahrarm parallel ist. Wenn der Fahrarm und Polarm senkrecht zu einander stehen, soll die Berührung im Scheibenmittelpunkt stattfinden. Die Bewegung des Fahrarms allein hat, da die Rollenebene senkrecht zu ihm steht, eine nur gleitende Bewegung der Meßrolle zur Folge; denn der Arm, welcher die Meßrolle trägt, dreht sich um den Drehpunkt der Hülse, und der Berührungspunkt beschreibt einen Kreis um diesen Drehpunkt. Wird dagegen der Polarm bewegt, so setzt sich die Scheibe in drehende Bewegung und diese überträgt sich auf die Meßrolle, die z. T. gleitende, z. T. rollende Bewegungen ausführt, deren Größe von ihrer Lage Mittelpunkt der Scheibe abhängt.

Sei wieder dty die Drehung des Polarms, P der Halbmesser der Polscheibe, L derjenige der Laufrolle, dl ihr Drehungswinkel, so ist Pdy = LdL dl ist zugleich der Drehungswinkel der Scheibe, und wenn die Meßrolle den Abstand 8 vom Scheibenmittelpunkt hat und a der Winkel ist, den der Fahrarm mit der Verlängerung des Polarms, ferner ß der Winkel, den der Radius 8 mit der Richtung des Polarms einschließt, so ist die Abwicklung der Meßrolle da = 8dl cos (a — ß). Ist c die Entfernung des Scheibenmittelpunktes vom Drehpunkt des Fahrarms, so ist

p

8 cos (a — 13) = c cos a oder wenn wir c = p setzen, da = päty cos a.

Es möge hier gleich bemerkt werden, daß dieses Instrument für die Lage des Pols im Innern einer Figur nicht eingerichtet ist, und daß nur ein Teil des Umfanges der Polplatte geriffelt ist.

¹

   Das Planimeter muß so aufgestellt werden, daß die auszumessende Fläche ganz umfahren werden kann.

²

   Um Spannungen zu vermeiden.

³

Wenn die Zylinderachse mit dem Fahrarm in der Horizontalprojektion einen Winkel s bildet, so erhält man ähnlich wie beim vorigen Instrument, abgesehen von einem konstanten Faktor cos £, den richtigen Flächeninhalt als Mittel aus 2 Umfahrungen zu beiden Seiten der x-Achse, und es folgt wieder als Regel, die auszumessenden Figuren symmetrisch zur a:-Achse zu legen (langgestreckte Rechtecke und ähnliche Figuren in schräger Lage), um das auftretende Integral

jcosadx möglichst geringen Einfluß gewinnen zu lassen.

⁴

Dieser Mangel ließe sich einfach dadurch beseitigen, daß man die Meßrolle auf einem nicht zu breiten Kreisringstück (von etwa

------- s

-r I

Fig. 56.

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;!|s

HFischerx-a.zch-

Bei der anderen Konstruktion (Fig. 56) ist die Aufhängevorrichtung weggelassen und durch eine Tragrolle L ersetzt, die so ange-* bracht ist, daß das Übergewicht des Instrumentes auf der Seite des Fahrstifts liegt. Dieses als einfaches Präzisionsplanimeter bezeichnete Instrument ist nur in kleinen Dimensionen ausgeführt und eignet sich also nur zur Ausmessung von kleineren Flächen,

Bei der dritten Klasse von Planimetern von Hohmann-Coradi, den Kugelpolarplanimetern, ist die Scheibe durch eine Kugelfläche mit horizontaler Drehachse ersetzt. An die Stelle der Meßrolle tritt eine zylindrische Integrierwalze, welche gegen die Kugelfläche gedrückt wird.

Beim einfachen Kugelpolarplanimeter läuft die am Ende des Polararms angebrachte Kugelschale auf der Zeichenunterlage, beim freischwebenden Kugelpolarplanimeter ist unterhalb des Polarms, durch ein Gegengewicht ausbalanziert, eine ihm parallele Achse mit der Kugelkalotte am Ende angebracht. Diese Achse wird durch ein auf dem fein gezahnten Rande der Polplatte laufendes Rädchen in Umdrehung versetzt. Am anderen Ende des Polarmbügels befindet sieb die um eine vertikale Achse drehbare Hülse, die den verschiebbaren Fahrarm aufnimmt; der Fahrarm trägt den Rahmen für die durch eine Feder an die Kugel gedrückte Zylinderwalze, deren Achse dem Fahrarm parallel ist (vgl. Fig. 53).

Bei diesem Planimeter ist wiederum eine völlige Unabhängigkeit der Meßvorrichtung von den Unebenheiten der Unterlage gewährleistet. Durch die Verwendung der Kugelfläche ist außerdem ein Gleiten der Integrierwalze ausgeschlossen. Wird bei festgehaltenem Polarm der Fahrarm gedreht, so erfolgen nur ganz geringe Drehungen des Zylinders, insofern dieser die Kugel nicht ganz genau im größten Horizontalkreis berührt und nicht genau horizontal liegt. Diese sind aber bei geschlossenen Figuren einflußlos (siehe S. 97). Die Drehung des Polarms hat dagegen eine Drehung der Kugelfläche zur Folge, welche nur dann keine Drehung der Integrierwalze verursacht, wenn diese die Kugel im Endpunkt ihrer Umdrehungsachse berührt, d. h. wenn der Fahrarm zum Polarm senkrecht steht, das Instrument sich also in seiner Grundstellung befindet. Je weiter der Berührungspunkt von diesem Kugelpol abliegt, um so größere Drehungen erleidet die Walze.

Bildet der Fahrarm mit dem verlängerten Polarm den Winkel a, so berührt der Zylinder die Kugel in einem Punkte des Horizontalkreises der Kugel, dessen Radius mit dem Polarm (oder mit der Umdrehungsachse der Kugel) den Winkel 90° — a einschließt, da die Zylinderachse dem Fahrarm parallel ist. Bei der Drehung der Kugel beschreibt der Berührungspunkt auf ihr einen kleinen, zur Umdrehungsachse senkrechten Kreis, dessen Radius daher R cos a ist, wenn mit R der Kugelradius bezeichnet wird.

Beschreibt der Fahrstift F einen kleinen Kreisbogen, so beschreibt der Leitstrahl und ebenso der Polarm (dessen Stellung zum Fahrarm in diesem Falle unverändert bleibt) einen Winkel dty. Die Rolle mit dem Radius L rollt an dem Bogenstück Pdty der kreisförmigen Polplatte mit dem Radius P entlang und dreht sich um einen Winkel dX, der durch Pdty — LdX bestimmt ist. Um denselben Winkel dl dreht sich aber die auf derselben Achse sitzende Kugelschale, also legt ein Punkt des Berührungskreises auf der Kugel den Weg RcosccdX zurück, dem die Abwicklung des Zylinders da = qdco gleich ist (ç Zylinderradius, dco sein

p

Drehungswinkel). Man erhält also, wenn noch B y- = p gesetzt

wird und der Fahrstift einen Kreisbogen um den Pol beschreibt, da — p cos ad'tp.

Wir sehen also, daß bei allen diesen Planimetern für die an einem besonderen Zählapparat abgelesenen Umdrehungen der Rolle oder des Zylinders dieselbe Formel gilt, und daß nur der konstante, von den Dimensionen abhängige Faktor je nach der besonderen Anordnung verschieden ist.

Wenn nun der Fabrstift einen beliebigen kleinen Weg FF2 zurücklegt, bei dem der Leitstrahl PF — r einen kleinen Winkel dcp überstreicht, so denken wir uns den Weg in zwei Teile FF₁ und Ft F2 zerlegt (Fig. 57.). Der erste Teil wird durch die Bewegung des Polarms allein durchlaufen, indem FFt ein Teil eines Kreisbogens ist, wobei die gegenseitige Lage von Polarm und Fahrarm unverändert bleibt. Das ganze Instrument, also auch der Polarm wird um den Winkel dtp herumgeschwenkt.

Der zweite Teil der Bewe-

P;

o,

-r.

r+(Tr

Fig. 57.

\a

\a

gung, FlF₂, -wird durch Drehung des Fahrarms für

F₂

sich hervorgebracht und der Leitstrahl PF überstreicht einen Winkel dy. Der ganze bei der Bewegung des Fahrstifts von F bis F2 vom Leitstrahl überstrichene Winkel ist dann dtp = dtp -}- dy.

Den Winkel dtp erhalten wir, wie wir gesehen haben, durch die Rollenahwicklung da. Es kommt nun noch darauf an dy durch da, den Winkel, um den sich der Fahrarm dreht, auszudrücken. Wendet man auf das Dreieck POF, dessen drei Winkel y, 180°— a und a — y sind (da wir y von der Anfangslage des Polarms aus zählen dürfen), eine bekannte Differentialformel an, so erhält man

rdy — sin (a — y)da — sin ydb — a cos (a — y)da oder da a und b konstante Längen sind, und —cos (a— y)

2ar

ist,

dy =

b²— a² — r² j 2r²

Der Kreis mit dem Radius V»² + dessen Fläche bei „Pol innen“ zur abgelesenen Fläche hinzugefügt werden muß, und der vom Fahrstift bei senkrechter gegenseitiger Stellung von Fahrarm und Polarm beschrieben wird, heißt Ordinatenkreis.¹)

-, a² -\-b² i a / dcp~ C 2ab - d(f> Adcp

-f (c cos a -f- A)

Bei Umfahrung einer geschlossenen Fläche bleibt also bei „Pol

Hiermit ergibt sieb also

dep = dip -\- dy =

jö cos a

b² — a² — r2 2r*

und, mit Rücksicht auf

r² — a² — b²

und r² — a² -f- b² -f 2a&cos «,

, a²-f-ft² j . a²-fa&cosa dfp ~ ~2arpdcp + a² + b²+2ab

Bei der Integration über eine geschlossene Figur fallen die beiden letzten Integrale fort, weil die Grenzen gleich werden. Das

, ist aber dem Inhalt F der umfahrenen Fläche

cos u —

p r²

dß — T 0 ab 2

lfr²dcp

2 ab

cos a

p cos a du.

erste,

gleich, und diese ist mithin der Abwicklung der Rolle bis auf einen konstanten. Faktor gleich. Dieser Faktor ist also der

Wert der Noniuseinheit, d. h. die Fläche, welche ß₂— a₁ — 1 entspricht.

Liegt der Pol innerhalb, so wird das zweite Integral nicht null, sondern es ist

°j («,- «Ù + («⁸+ <>>■

Die Genauigkeit der verschiedenen Planimeter ist durch Bestimmung des mittleren Umfahrungsfehlers ermittelt worden.¹) Hierbei wurde der Flächeninhalt F — nf gesetzt, indem mit n die Anzahl der Umdrehungen der Meßrolle bezeichnet wurde, also f der Flächenwert ist, welcher einer Umdrehung der Meßrolle entspricht. Es ergab sich für das

dF = 0,00081 f+ 0,00087 Y Ff

0,00126/’+ 0,00022 y¥f

0,00056 f + 0,00084 Y Ff 0,00069/-+ 0,00018 YTf

0,00060/* + 0,00026 Y Ff

Linearplanimeter

Polarplanimeter

Präzisionsplanimeter (einf.) freischwebendes Planimeter

woraus

die Überlegenheit der beiden zuletzt genannten Planimeter

__    jfyT

]/n

hervorgeht (man kann auch Y Ff = —= einsetzen).

Das Polarplanimeter ist, wie es scheint, das einzige Piani-

£

außerhalb“ a₂ — a₁—p'—^ F, indem die anderen Integrale fortfallen, wenn die Grenzen gleich werden. Für „Pol innerhalb“ folgt as —

= p F — c —Jt + 2 A 71    , und das letzte Glied gibt daher

den Fehlereinfluß an.

äinadqp hinzu, das wegen

Integral von der Form

Von den übrigen Bedingungen ist die wichtigste, daß die Rollenachse und der Fahrarm parallel sind. Ist dies nicht streng der Fall, sondern ein kleiner Winkel s vorhanden, so tritt ccos(a + e) an Stelle von c cos cc und es ist mit genügender Annäherung da = p'(c cos cc — c«sina)d(cp — y). Dadurch tritt zu dem Flächenintegral noch ein p cs 2 ab,

sin cc —

_1_ y4 a*₆*_(r»_a*

über eine Funktion T{r) des Radiusvektors sich erstreckt. Die Anzahl der Rollenumdrehungen ist daher nicht der Fläche proportional, sondern auch vom Leitstrahl, also von der Lage des Pols abhängig. Um daher das Planimeter in dieser Beziehung zu prüfen, ist eine Umfahrung der gegebenen Figur bei verschiedenen Polstellungen nötig. Ferner wird aus zwei Umfahrungen mit symmetrischer Polstellung dieser Fehler eliminiert (s. d. f.).

1) österreichische Zeitschrift für Berg- und Hüttenwesen, 1883.

meter, das sich mit geringer Abänderung zur Flächenbestimmung auf einer nicht abwickelbaren Oberfläche, insbesondere auf der Kugelfläche verwenden läßt. Die hauptsächlichste Änderung besteht darin, daß sowohl der Polarm als der Fahrarm eine Art Knick (oder verstellbares Horizontalgelenk j und / Fig. 58) haben, so daß der Pol- und Fahrstift einerseits, die Rolle andererseits die Kugel berühren können. An Stelle der Bedingung, daß die

Fig. 58.

Rollenachse dem Fahrarm parallel ist, tritt die andere, daß ihre Richtung immer durch den Fahrstift geht.

41. Kompensations-Polarplanimeter. Wenn die Achse der Meßrolle dem Fahrstab nicht genau parallel ist (Fig. 59), so entsteht ein Fehler, der sich aber durch zwei Umfalmingen der Figur bei symmetrischer Stellung des Pols zum Fahrstab eliminieren läßt. Dabei kann entweder die Verbindungslinie Pol-Fahrstift mit Beibehaltung ein und derselben Polstellung oder der Fahrarm ^ bei zwei verschiedenen Polstellungen Symmetrieachse sein. Zu diesem Zwecke ist das Kompensationspolarplanimeter konstruiert, welches ein Durchschlagen des Fahrarms gestattet, d. h. der Fahrarm kann unter dem Polarm hindurchgeführt werden (Fig. 60). Es ist damit zugleich der Vorteil verbunden, daß das Instrument auseinander genommen werden und seine beiden Arme für sich aufbewahrt werden können. Die Verbindung zwischen beiden Armen wird durch

~s\

a+t

AKl

a-tf

A P,

7 a-t

Fig. 59.

ein Kugelgelenk hergestellt, indem eine am Polarm befindliche polierte Stahlkugel in eine Öffnung im Fahrarm hineingelegt wird. Hierdurch wird zugleich die Scharnierschiefe vermie-

sog.

den, welche bei fester Verbindung der beiden Arme dadurch entsteht, daß die Projektionen

I-V<S%

- ' -1

Fig. 60.

der beiden Endpunkte des Scharniers, nämlich des im Polarm und des im Fahrarm liegenden, in der Zeichenebene nicht zusammenfallen (s. S.86). Die einzelnen Konstruktionen unterscheiden sich dadurch, daß bei den feineren Kompensationsplanimetern die Länge des Fahrarms verstellbar ist, und daß die Rollenachsenlage korrigiert werden kann.

42. Verschiedene andere Planimeter mit Integrierrolle. Komb iniertes Planimeter von F. Kloht. Ein Übelstand beim einfachen Polarplanimeter ist der Wechsel der Lage der Meßrollenachse zur Bewegungsrichtung, ein anderer Nachteil, daß seine Empfindlichkeit bei kleinen Flächen zu gering ist und eine Verkürzung des Fahrarms die Umfahrungsgrenze zu sehr einschränkt, was besonders bei langgestreckten Figuren stören würde. Hierdurch war Veranlassung gegeben, ein Planimeter zu konstruieren, welches eine Art Kombination des Polarplanimeters und des Wetli-Hansenschen Planimeters darstellt, dessen bereits erwähnte Nachteile ebenfalls vermieden werden sollen.

Ein durch Gewicht genügend beschwerter Kreissektor von etwa 90° Zentriwinkel (Fig. 61) hat einen hohen, außen unter 45° abgeschrägten Rand, an dem eine mit dem Polarm verbundene Scheibe bei seiner Bewegung durch Reibung rotiert (vgl. Fig. 56). Diese horizontale Scheibe ist mit einer größeren zentrisch über ihr parallel liegenden fest verbunden. Der Polarm PD, der durch ein angeschraubtes Kniestück das untere Lager der Scheibenachse trägt, liegt über der oberen Scheibe und trägt ein Ansatzstück für das obere konische Achsenende. Der Fahrarm ist durch ein Gelenkparallelogramm AB CD ersetzt, dessen dem Polarm parallele, mit einer Teilung versehene Seite B C den an ihr verschiebbaren und festzustellenden Fahrstift F trägt. Es sei noch erwähnt, daß das freie Ende des Polarms auf einer Stützrolle aufliegt und daß die den Fahrstift tragende Parallelogrammseite an beiden Enden Führungsgrilfe besitzt. Ein Winkelstück B B C, das an dieser Seite befestigt ist, hält in seinem Scheitelpunkte den die Meßrolle B tragenden Schlitten, so daß bei ' einer Bewegung des Parallelogramms bzw. des Fahrstifts die Meßrolle längs des Polarms hin- und hergleitet.

Wird der Fahrstift durch ein Linienelement FF₂ geführt, so können wir diese Bewegung in zwei Teilen FF₁ und F±Fa vollzogen denken (vgl. Fig. 57). Bei der ersten Bewegung beschreibe

Y M %e\d 1 v

F einen Kreisbogen um den Pol, dann bleibt das Parallelogramm unverändert und der Polarm überstreicht denselben Winkel

PA

_d7f>, wie der Leitstrahl r.x) Der

\n

Fig. 61.

zweite Teil der Bewegung wird durch die Bewegung des Parallelogramms hervorgebracht, während der Polarm in Ruhe bleibt; der vom Leitstrabi über-stricbene Winkel sei dy, und dcp = dif> -f- dy der der ganzen Bewegung FF₂ entsprechende Winkel am Pol P. Wir bezeichnen die Entfernung vom Pol Pbis zum Schnittpunkt E einer durch F zu den Parallelogrammseiten MP und D C gelegten Parallelen mit b und setzen die Länge der Parallelen FF — AB — DG = a. Es sei der Winkel des Parallelogramms bei A oder auch FED = cc. Kur bei der Führung des Fahrstifts längs FF₁ = rdif> findet eine Drehung der Scheibe statt, indem die kleine Friktionsscheibe mit dem Radius l sich um einen Winkel dX dreht, der durch ihr Rollen an dem Polsektor bestimmt ist. Ist P der Radius des Pol Sektors, so rollt die Scheibe bei der Drehung des Polarms um drf) längs des Bogens Pdifi und es ist LdX = Pdip. Die große Scheibe dreht sich um denselben

1) Es seien FF' zwei benachbarte Punkte und PF = PF' und es werde E bei der Bewegung von F nach E übergeführt. Nun ist PE = PA -f- AE = PA -f-BF konstant, also PE' — BE. Da auch EF = E'F' — AB = DC ist, so erhalten wir Winkel EBF= E' BF'.

P

Winkel dl — ^dty. Wenn die Meßrolle in der Grundstellung des

Instruments, in der das Parallelogramm zu einem Rechteck wird (a = 90°), den Abstand d vom Mittelpunkte der Scheibe hat, so hat sie bei einer anderen Stellung des Parallelogramms den Abstand d -f- a cos a (da ja ihre Entfernung vom Fußpunkt eines von F auf AB gefällten Perpendikels konstant bleibt und dieser Fußpunkt sich um a cos a verschoben hat). Daher ist die Abwicklung der Meßrolle

p

(d -j- a cos a)dl = (d + a cos a)j^dip = da.

Wenn wir dtp = dcp — dy einsetzen, so wird mit Rücksicht auf cos a =

r² — a² — fr²

2 ab

da

a cos a

)dy) ■

Um dy durch da auszudrücken, gehen wir auf Fig. 57 zurück, indem PO und POx die beiden Lagen des Polarms sind, und der Winkel y von der Lage POt ab gerechnet wird. Dann ist

a² = b² -j- r² — 2 br cos y

v

- dr und wegen rdr = — ab sin ada

— dy = —^-- a sin ada.*)

'    r sin y    '

a sin a = r sin y

r cos y — b -f- a cos a

b% — r² -\- ab cos a

also dy =

b cos y — dr sin y

Es ist ferner

und

oder

b cos y — r =

und

also

r² = a² + b² -{- 2 ab cos a

dy —

a² -P ab cos a a² -f- b² -f- 2ab cos cc

da.

1) Die Herleitung ist absichtlich etwas verschieden von derjenigen auf S. 107, die ebenso gut angewandt werden konnte.

Galle: Mathematische Instrumente.

Denken wir uns diesen Ausdruck eingesetzt und integriert, so Verschwinden für eine geschlossene Figur alle Integrale mit Ausnahme des ersten, welches den Flächeninhalt gibt, nämlich

Das Panintegrimeter von Kohlmorgen, das auch die Messung von Kurvenlängen umfaßt, bezweckt in erster Linie die Ausmessung von Flächenstücken insbesondere bei Wasserprofilen, meteorologischen Aufzeichnungen u. dgl. Dieser besondere Zweck kommt nur insofern in Betracht, als die Abszissen bei der Stationierung der Flußprofile und bei den nach der Zeit angestellten Beobachtungen in einem Sinne fortschreiten. Soll z. B. die von dem Kurvenstück FF' begrenzte Fläche ausgemessen weiden (Fig. 62), so kann man diese in folgender Weise zerlegen.

Wir unterscheiden:

Fig. 62.

1. die vom Leitstrahl überstrichene Fläche X mit der Anfangslage A F und der Endlage AE, die positiv gerechnet wird, insofern der Leitstrahl sich im

Sinne des Uhrzeigers um A dreht, 2. die vom Leitstrahl von der Anfangslage AE bis zur Endlage AF' überstrichene Fläche, die negativ gerechnet wird, weil der Leitstrahl entgegengesetzt der Uhrzeigerbewegung sich dreht, 3. die von der Ordinate yx und Abszisse xt des Anfangspunktes F begrenzte Dreiecksfläche

CC V

AB F, die positiv -Lp ist, und 4. die von der Ordinate y₂ und der

Abszisse x₂ des Endpunktes F' begrenzte Dreiecksfläche , die

negativ gezählt wird, weil y₂ negativ ist. Wir erhalten im ganzen für die betrachtete (schraffierte) Fläche

(ACF + ACE - AEF') - (ABF- ADF')

¹

Fehlereinflüsse: Die Integrierrolle soll bei senkrechter Stellung von Polarm und Fahrarm die Scheibe bzw. Kugelkalotte im Mittelpunkt berühren.

Ist diese Bedingung nicht streng erfüllt, so ist bei außerhalb der Figur liegendem Pol der Fehler einflußlos. Wenn nämlich c cos cc -f- A an Stelle von ccosa tritt, d. h. der Rollenberührungspunkt, der einen Kreisbogen um den Drehpunkt des Fahrarms beschreibt, bei der Grundstellung a = 90° den Bogenabstand A statt 0 hat, so wird

da =p'(ccos cc A)dip —p'(ccos u -)- A)(dcp — dy) c r2 ab 2

a² -f- ab cos u a² -\-b² -f- 2ab cos u

x₂

J'ydx.

J 0*d(p+—(x₂y₂

Vi

Wir erhalten das auch leicht allgemein, wenn wir von dem Ausdruck des Flächenelements

(;ydx — xdy) = ydx — d

x = o sin cp

ydx = ç² cos² cpdcp -f- p sin cp cos cpdp xdy = — ç² sin² cpdcp -f- p sin cp cos cpdp

ydx-ä^f) = \ ęhly

dF =

ausgehen und

y — P cos cp,

einführen. Es ist

also

daher

J*ydx

X!

xy |*ay*

²    !*i »/i

if₂

j p²dcp .

’Pi

<ih

Das Panintegrimeter mißt nun Jp²dcp.

<Pi

Es besteht im wesent

lichen (Fig. 63) aus vier Stäben MO — OF = a, AP — BP = - - ,

die in O, A und B durch Gelenke verbunden sind, wobei A und B die Mitten von OM und OF sind.

In F befindet sich der Fahrstift, in P der Pol, so daß die gedachte Verbindung PF = p den Leitstrahl vorstellt. Es ist nun noch ein Arm PL — X senkrecht zu AP, in fester Verbindung damit, angebracht, der also auch zu 0 F senkrecht steht, so

daß p² = 2aX und ~ p²dcp = aXdcp

ist. Die Verschiebung von L auf dem Arm OF, der in einem Schlitz den bei L angebrachten Stift führt, überträgt sich durch einen Seilzug,

der über BOP geht, auf eine Rolle B, die sich infolge dessen in

X

der Richtung OP um X' = verschiebt. Um die Abwälzung der Rolle von der Unterlage unabhängig zu machen, liegt sie auf

A.

kL

Pj

>F

Fig. 63.

einer Kegelfläche auf und verschiebt sich auf ihr längs einer horizontal liegenden Mantellinie. Wenn PF sich um den Winkel dcp um P dreht, so dreht sich auch OB um P um dcp, denn das Dreieck F PO ist vor und nach der Drehung ein rechtwinkliges.¹) Die Kegelfläche rollt bei dieser Drehung von OB aut ihrem Grundkreise, während die Kegelspitze die Höhe z über der Zeichenebene hat. Ist s die Länge der Mantellinie, so ist der Weg, den der Berührungspunkt des Grundkreises beschreibt —z²-dcp. Ist ferner a der halbe Öffnungswinkel des Kegels, so dreht er sich um seine Achse um einen Winkel dtp, der durch s sin adxp = ys¹ — z²dcp berechnet wird. Die Rolle berührt den Kegel in der Entfernung X' von der Kegelspitze, mithin ist da = X' sin adrp ihre Abwicklung. Man erhält schließlich:

s sin a da 1/s² — z² X’ sin a

~ Q²dcp = aXdcp = anX'

oder wenn so ergibt sich

ans

Ÿs² — z²

= 1c gesetzt wird, wo 1c eine Konstante ist,

ns

q² cpIcdö.

Für die anderen Zwecke, denen das Instrument noch dient, sind in M und am Stabe OF ebenfalls Rollen angebracht.

Wir gehen nicht auf das Bryandsche Planimeter für Diagramme mit veränderlichem Maßstab ein, da seine Theorie nichts wesentlich neues bietet und die praktische Herstellung der dafür nötigen Führungskurven einige Schwierigkeit macht.

Einige Andeutungen über ein Planimeter von Adolf Schmidt in Potsdam zur Ausmessung registrierter Kurven mögen noch Platz finden. Der ausgeführte Apparat ist speziell für Aufzeichnungen der magnetischen Elemente am Potsdamer Observatorium eingerichtet, läßt sich aber leicht für andere Zwecke abändern. Die Kurven werden auf einem Papierbogen erhalten, der um einen Zylinder gewickelt ist, der sich durch ein Uhrwerk in einem bestimmten Zeitintervall, z. B. in einem Tage einmal um seine Achse dreht. Die in gleichen Abständen gezogenen Linien längs der Erzeugenden des Zylinders teilen dieses Intervall z. B. in Stunden.

Eine Linie senkrecht zu den Erzeugenden etwa am Ende des Zylinders (der Grundkreis) stellt die Nulllinie oder Abszissenachse für die Kurven dar. Es handelt sich nun im vorliegenden Falle darum, den mittleren Ordinatenwert ym für ein bestimmtes Abszissenintervall x₂— x1: also z. B. für ein Stundenintervall zu ermitteln, so daß y

m(p» — Xl) =J y(lx oder Vm *1

——• / ydx ist. *i — Xxj

xx

Zu diesem Zwecke ist ein Wagen auf einer dem horizontal gelegten Zylinder parallelen Laufschiene angeordnet, der den Fahrstift trägt, den man auf den Kurvenpunkt einstellt. Er ist durch eine ebenfalls dem Zylinder parallele Stange mit einer Meßrolle verbunden, die bei einer Verschiebung des Stifts in der Ordinatem richtung (durch Bewegung des Wagens) längs dem Durchmesser einer horizontalen Kreisscheibe gleitet. Die Achse der Rolle ist dem Durchmesser, ebenso der Zylinderachse, parallel. Diese horizontale Scheibe und der Zylinder werden durch eine Kurbel in gleichzeitige Umdrehung versetzt, so daß vollständige Umdrehungen beider zusammenfallen (oder wie im vorliegenden Falle proportional sind). Die Lage der Rolle, bei der ihr Berührungspunkt im Mittelpunkt der Scheibe liegt, entspricht der Stellung y — 0 des Fahrstifts. Dreht sich die Scheibe um den Winkel dcp — pdx, wo p = 1 (oder ein konstanter Proportionalitätsfaktor) ist, und hat der auf den Kurvenpunkt eingestellte Fahrstift die Ordinate ?/, so hat auch die Rolle den Abstand y vom Mittelpunkt der Scheibe und wickelt da = pydx ab. Für die Drehung des Zylinders um x₂ — £Cj und die entsprechende Drehung p(x₂ — x^) der Scheibe erhält man

*2

■Jydx

und

Vm

Aus praktischen Gründen ist die Nullstellung des Fahrstifts in der Mitte des Zylinders gewählt, so daß y = y -f a gesetzt werden kann, ferner ist eine Skala längs des Zylinders fest angebracht, durch die man die Stellung des Fahrstifts kontrolliert.

Namentlich in Amerika werden zahlreiche Instrumente angewendet, die auf einer rotierenden, kreisförmigen Papierscheibe Diagramme aufzeichnen, die demnach auf ein Polarkoordinatensystem bezogen sind. Die Scheibe dreht sich gleichmäßig z. B. in 24 Stunden herum, während der Schreibstift sich entweder radial oder in einem Bogen vom Mittelpunkt weg oder auf ihn zu bewegt. Zur Auswertung dieser Diagramme ist das Durand-Amsler-sche Radialplanimeter konstruiert worden.²) Es besteht aus einem zylinderförmigem Gewicht, das zentrisch über den Mittelpunkt der Scheibe gestellt wird. Durch dasselbe sind zwei parallele Führungsstangen gelegt, an denen sich der Rahmen bewegt, der den Fahrstift und in gleicher Entfernung vom Scheibenmittelpunkt die Meßrolle trägt. Die Verbindungslinie des Mittelpunktes - der Scheibe mit dem Fahrstift stellt in jedem Augenblick den Leitstrahl dar, dem die Rollenachse parallel liegt. Wenn der Leitstrahl den Winkel cp.₂ — cp₁ überstreicht, so ist die Rollenablesung r(cp₂ — 9h) proportional, wenn r den mittleren Wert der Länge des Leitstrahls bedeutet.³) Dividiert man also durch <jp₂ — qo₁, so erhält man diesen Mittelwert, der die mittlere Ordinate bei einem in rechtwinkligen Koordinaten dargestellten Diagramm bedeuten würde. Die Genauigkeit des Instrumentes entspricht nach Amsler und Hammer derjenigen des einfachen Polarplanimeters.

43. Momentenplanimeter. Das Momentenplanimeter von Amsler besteht hauptsächlich aus einem Wagen, der auf zwei

m,

Fig. 64.

Rädern und dem Fahrstift ruht. Die beiden Räder laufen hintereinander in der Nut (Rinne) eines Lineals, so daß der ganze Wagen parallel mit dem Lineal geradlinig V verschoben werden kann (Fig. 64). Dieser Wagen trägt ein horizontal liegendes Zahnrad M, das sich um einen senkrecht in seinem Mittelpunkte 0 stehenden Zapfen dreht. Ein verlängerter Radius dieses Zahnrades ist der Fahrarm OF², der den Fahrstift F trägt. In das große Zahnrad A greifen zwei kleinere Zahnräder B und C ein, die ebenfalls horizontal liegend auf dem Wagen so angebracht sind, daß die Verbindungslinie der

n Aqp = r(qp₂ — qpx).

L Aqp -fr₂ Aqp -1-----\-rnAcp

Mittelpunkte der drei Räder senkrecht zum Lineal liegt. Der Radius des Rades B beträgt die Hälfte des Radius des Zahnrades M, der des Rades C ein Drittel desselben. Dies wird bei gleicher Größe der Räder B und C dadurch erreicht, daß das große Rad A aus zwei Teilen mit verschieden großen, im Verhältnis 2 : 3 stehenden Radien besteht und der Sektor mit dem größeren Radius in (7, der andere in B eiligreift. Die Lage der drei Räder ist so gewählt, daß das Spiel des Fahrarms möglichst wenig beschränkt und andrerseits das Umschlagen verhindert wird, und daß der Wagen sich nicht einmal rechts, ein andres Mal links vom Fahrstift befindet.

Der Fahrarm trägt eine auf der Zeichenebene aufliegende Meßrolle m₁, deren Achse ihm parallel ist. Ebenso tragen die beiden kleinen Räder Meßrollen, deren Achsen in der Ebene der Räder liegen und radial gerichtet sind. Diese drei Rollen helfen den Wagen tragen; damit sie aber nur mit einem geringen Druck auf der Zeichenebene auf liegen, wird der Wagen durch eine über das Lineal hinwegreichende Stange mit einem Gegengewicht entlastet.

Der Apparat dient zur Bestimmung des Flächeninhalts, des statischen Moments und des Trägheitsmomentes einer Figur in bezug auf irgend eine Momentenachse in der Ebene der Figur. Betrachten wir diese als »-Achse, so muß der Mittelpunkt 0 des Rades A auf ihr liegen und das Lineal ihr parallel sein. Es wird dies leicht bewerkstelligt, indem zwei auf das Lineal senkrecht zu ihm aufzusetzende Hilfsarme mit ihren Spitzen auf die »-Achse gesetzt werden.

Denkt man sich zunächst den Fahrarm, also auch die Achse der daran befindlichen Laufrolle mx in die Richtung der »-Achse gestellt, so ist die Achse der Laufrolle ms des Rades C ebenfalls parallel der »-Achse oder der Richtung des Lineals, die Achse der Laufrolle m₂ des Rades B aber senkrecht zum Lineal gerichtet. Bei einer Bewegung des Wagens (in der Richtung der »-Achse) würde dann nur die Rolle m₂ den zurückgelegten Weg messen, während die beiden anderen Rollen keine Drehung erlitten.

Wenn man jetzt bei stillstehendem Wagen den Fahrarm um einen Winkel a gegen die »-Achse dreht, so dreht sich das Rad A um denselben Winkel und infolgedessen C um den dreifachen, B um den doppelten Winkel. Die Achse der Rolle mx wird dann den Wiökel a, die der Rolle m₃ den Winkel 3 a, die der Rolle m den Winkel 90° — 2 a mit der »-Achse bilden, da letztere vorher den Winkel 90° mit ihr einschloß und die Räder B und C sich in entgegengesetztem Sinne drehen.

Ist a die Länge des Fahrarms, also y = a sin a die Ordinate des Fahrstifts, so erhält man die umfahrene Fläche

Çydx a sin ecdx.

Die Rolle m₁ am Planimeterarm wickelt aber dö = sin adx ab, man erhält daher an einer an ihr angebrachten Ablesevorrichtung

-\jyäx

ö2 — ⁶1

und damit den Flächeninhalt F = a(<r₂ —

Ça cos 2adx = a jdx — 2Ja sin² adx.

Liest man an der Rolle m₂ des Rades B ab statt an der Rolle des Fahrarms, so hat man nur 90° — 2 a statt a einzusetzen und erhält

Das erste Integral verschwindet, wenn man eine geschlossene Figur umfährt, also denselben Anfangs- und Endwert von x erhält. Setzt man im zweiten Integral

sin² a =

ein, so erhält man wo dF = ydx das Flächenelement ist. Nun ist das statische Moment eines Flächenteilchens dxdy in bezug auf die x- Achse ydxdy, also das der ganzen Fläche

= M₂.

Jj ydxdy =    y²dx

Die Ablesung¹) der Rolle m.₂ gibt also

Jf₂.

f    f

⁶2 — ai =

Ist y₀ die Ordinate des Schwerpunkts der Fläche, also Vo F=fydF,

1) Die Teilung der Rolle wird in dem Sinne gewählt, daß die Differenz e„ — 6, das positive Integral liefert.

wenn F der durch die Rolle des Fahrarms erhaltene Flächeninhalt ist, so wird

Vo =

JydF fydx

erhalten und durch Drehung des Instrumentes um 90° kann man ebenso xQ und damit die Lage des Schwerpunktes finden. Gleichzeitig gibt die dritte Rolle m₃

(T₂"— o₁"= J a sin 3 adx = 3 a j sin a dx — 4 a jsin³ adx

kl

Nun ist y²dxdy das Trägheitsmoment eines Flächenteilchens, also

JJ*y²dy dx = yJiif’dx =

Mz

das Trägheitsmoment der ganzen Fläche in bezug auf die x-Achse. Mithin erhält man durch Ablesung der Rolle m₃ vor und nach der Befahrung:

ö₂"— <>/'= 3 F — 12 a² JT₃,

,1:

woraus Ma erhalten wird.

Auf einem ähnlichen Prinzip beruht das Momentenplani-meter von Prof.

IL J. Hele-Shaw in Liverpool, das aber eine abweichen-

ET

Fig. 65.

de Konstruktion zeigt. Es hat eine Geradführung auf 2 Rollen, wie das Coradische Rollplanimeter (s. S. 97). Die Drehung der sie I verbindenden 35 cm langen Achse überträgt sich auf drei matt geschliffene Glaskugeln. In den Rahmen, welche die Kugeln tragen,

sind die Meßrollen eingefügt, die die Kugeln stets berühren. Diese Rahmen drehen sich um vertikale Achsen und sind durch Zahnräder in der Weise in Verbindung, daß bei einer Drehung des mit dem mittelsten Rahmen verbundenen Fahrarms um einen Winkel a aus der Normalstellung (Fahrarm senkrecht zur Rollenachse) die Achse der (in der Figur 65 rechts liegenden) Momentenrolle den Winkel 90° + 2 « mit derselben Anfangsrichtung bildet, die (links liegende) Trägheitsmomentenrolle den Winkel 3 a. Durch die Verwendung der Kugeln (an Stelle der Scheiben des vorigen Apparates) wird ein Gleiten der Meßrollen verhindert. Der Fahrstab kann um 40° nach beiden Seiten aus der Normalstellung gedreht werden, so daß Flächen von etwa 50 cm Breite und beliebiger Längenausdehnung umfahren werden können. Die Theorie läßt sich unmittelbar von dem vorigen Apparat übertragen.

Einen anderen Apparat zur Bestimmung beliebiger Momente durch Parallelabschieben hat J. Schnöckel⁴) konstruiert. Ferner kommen wir bei den Integraphen auf diese Bestimmungen zurück.

44. Schneidenplaninaeter und Abarten. Das in der Ausführung und dem Grundgedanken einfachste Planimeter ist das von dem dänischen Kapitän Prytz erfundene und in Tekniske Forenings Tidsskrift 1886 beschriebene Stangenplanimeter (Stangplanimeter, Beilschneidenplanimeter, Hatchet-Planimeter).⁵)

Das Instrument besteht aus einer Stange, die an beiden Enden rechtwinklig in derselben Vertikalebene umgebogen ist(Fig. 66). Das

Fig. 66.

eine Ende ist zugespitzt, das andre trägt eine kleine, stark gekrümmte Schneide (Messerchen, Beilschneide), deren Ebene durch die Spitze geht. Man hält die Spitze mit zwei Fingern und führt sie in senkrechter Lage um die geschlossene Kurve herum, wobei das Messerchen nachgezogen wird. Kehrt man mit der Spitze wieder zum Anfangspunkt zurück, so ist das Messerchen im allgemeinen nicht in seinen Ausgangspunkt gelangt Hat man nun vor und nach der Umfahrung durch einen Druck auf die Schneide einen

Eindruck ins Papier gemacht, so ist, wenn c der Abstand dieser beiden Marken und a die Armlänge (Entfernung : Spitze — Schneide) ist, das Produkt ac in erster Näherung der Flächeninhalt der umfahrenen Figur. Die Theorie ist schwieriger als bei anderen Planimetern, aber von Bedeutung für die Anwendung des Instrumentes. Man gelangt außer in einfachen Fällen (Quadrat und Kreis), wie es scheint, zu keinem geschlossenen Ausdruck. (Ygl. C. Kunge, ZS. f. Vermessungswesen 24 (1895) und Hamann, ebenda 25 (1896).

Wir denken uns die Fläche F in Elementardreiecke zerlegt, die sämtlich in einem Punkte 0 im Innern ihre Spitze haben, während jeder Leitstrahl von 0 nach einem Punkte des Umfangs eine gemeinschaftliche Seite zweier benachbarten Dreiecke bildet, und jedes Linienelement der Umgrenzungskurve die der Spitze 0 gegenüberliegende Seite ist. Wenn wir dann jedes Elementardreieck vom Punkte 0 ausgehend mit dem Stift des Planimeters umfahren, so wird jeder Leitstrahl zweimal in entgegengesetztem Sinne durchlaufen und die Umfahrung endet schließlich wieder im

Punkte 0.

Es sei OSS' ein solches Elementar- ^■

dz■

dreieck (Fig. 68), 0 der Anfangspunkt und O X die Anfangsi'ichtung für Polarkoordinaten. Der Winkel des Leitstrahles OS = r

F F"

F'

Fig. 67.

mit OX sei tt, der von OS' — r -f- dr mit OX eingeschlossene Winkel + d&, so ist d& der Winkel an der Spitze des Dreiecks.

Den Richtungswinkel des Planimeterarmes bezeichnen wir im Anfangspunkte 0 bei Beginn der Umfahrung mit <Z>, am Ende mit & -f- clQ. In S sei er cp und in S' cp -f- dcp.

Wenn der Planimeterstift ein geradliniges Streckenelement (Fig. 67) FF' = da durchläuft, % der Winkel des Planimeterarmes mit FF' im Punkte F, d% im Punkte F' ist und a die Länge des Armes bezeichnet, so werden wir die Bewegung des Planimeters in die beiden ihm allein möglichen Bewegungen zerlegen, von denen die eine in einer Verschiebung in der Richtung des Planimeterarmes von BF nach B'F” besteht, während die andere den Übergang des Stiftes von F" nach F' durch eine Drehung um den Berührungspunkt B' der Beilschneide hervorbringt. In dem Dreiecke B'F'F " mit dem Winkel d% bei B' ist F'F'— ad mithin sin %da = ad% oder

da

dx

(1)

sin x a

Für eine endliche gerade Strecke 6 erhalten wir, wenn i und % die Winkel des Planimeters mit <j am Anfang und Ende der Bewegung sind,

fdX

J sin* /

oder lg tg | — lg tg | =

wofür man auch schreiben kann:

to

ct

'ï-4 <N

ot

to

dJt

Fig. 68.

Diese Formel können wir sogleich anwenden für die Führung des Planimeterstifts längs der Geraden OS = r (Fig. 68), wenn wir % — O — tt, = cp — & ein setzen:

cp —    —    $ — O-

tg—2~ = e tg g

Hiermit ist also cp aus O erhalten. Wir lassen nun den Stift von S nach S' fahren. Um die Änderung dcp von cp zu erhalten, stellen wir daher eine der Gleichung (l) entsprechende auf. Bezeichnen wir vorübergehend den Winkel, den SS' und das Kreisbogenelement SS''= rd& untereinander einschließen, mit tp, so ist

cos ipds = rd&, sin ipds — dr.

Der Planimeterarm MS schließt in S mit OS den Winkel — cp ein, also mit SS' den Winkel tt — cp -f- 90° — ip. Hier sind und ip als gegebene Winkel anzusehen, welche die Lage von ds bestimmen. Wir wenden nun Gleichung (l) an und erhalten:

(3)

(4)

dcp

ds

COS (it — cp — <i|})

ad cp = cos (tt — qp) cos t\>ds + sin(tt — cp) sin ipds und mit Rücksicht auf (4)

adcp — cos (qp — &)rd& — sin (qp — &)dr.

Hiermit haben wir also dcp durch cp und die gegebenen Stücke er-

oder

(5)

halten. Wenn wir nun von S nach 0 zurückgehen, so könnten wir die der Gleichung (3) entsprechende Gleichung aufstellen:

r+dr

— e a tg

(⁶) tg

0 - d0 — ff — d ff

cp -f- dcp — ft — dft

Wir erhalten aber d O bequemer, wenn wir Gleichung (3) sowohl nach 0, <p, wie nach ff und r differenzieren, und für dcp und dr den bei der bisherigen Umfahrung erhaltenen Wert nach (5) ein-setzen. Nach vorangegangener Logarithmierung der Gleichung (3) bekommen wir, wenn wir noch den andern Richtungssinn beachten:

d(0— ff) dr d(cp — ff) sin^ — ff) a ' sin (cp — ff)

Wir setzen dcp aus (5) ein und finden

— ctg —    —

^)-(ctg^ + tg

=l[(v - ')ot« Sr¹ -(v +

Wenn wir jetzt aus der (7) entsprechenden Integralgleichung, die sich von (6) nur durch Wegfall der Differentialgrößen unterscheidet, die Werte für (cp — ff) einsetzen, so erhalten wir:

d(0 — ft) sin (0 — ff)

(7)

d(0 — ff)

sin (0 — ff)

— tg

dft

sin (qp — ff)

¹ r/r A + T . $ — ff (r , \    , 0 — ftl

"■vLl«-¹)6 ct«~2--L + 1)e    —2—J

r

d(<P-ff) = -i[(-£--l) e⁺“ (1 +cos(<P-ff))

und

-f- 1^ e a (1 — cos (G> — ff))J dft

r

“)]

dft

r    r

^ — [e, + a — e a cos (<J> — ft)dft.

+ [ (e ⁺ “ + e

dft

Es ist

e a — 1 +

+£+

^«3

2as

r⁴

2 a'² — 6 a³    24 a⁴ ~    120 a⁶    720 a⁶    — ' ‘    ‘

/*² y⁴    î*⁶    1

— 1 — 2a²~ 24a⁴"“720a⁶ J

■ • -Jcos (0 — &)d&,

r⁶

Ï20a⁶"’

^•5

1*3

^.5

24 a⁸    a

6 a³ 120a⁸

also

■*®=fô+

r*

8 a⁴

Integriert man um die ganze Kurve, so sind die Grenzen -fr = 0 und & = 2it und wenn 0 in 0 -j- 40 sich ändert, so daß das Planimeter in seiner Endstellung den Winkel A 0 mit seiner Anfangsstellung einschließt, so ergibt sich:

2 n    2 n

Cr²    / V⁴dO-

J » d» +J -0 0

+j cos (® - *)<*«■ +J :

o    o

a²A0 =

8a²

2/r

r⁸

30 a⁸

cos

2?r

rGd&

144a⁴

— ■O') dtt -f- • • •

Hier ist das erste Integral die Fläche, deren Inhalt zu bestimmen ist. Wenn die Fläche nicht groß ist und r gegen die Länge des Planimeters klein bleibt, so gibt a-aA0 den Flächeninhalt nahezu an. aA0 = AS ist der Bogen, den der Berührungspunkt der Schneide um den Anfangspunkt 0 beschrieben hat und der im Falle eines kleinen Bogens auch durch die Sehne, also die Entfernung der beiden Marken im Papier ersetzt werden kann:

aJS~F+ ~fr>dF+ j~f'‘dF + ■ ■ -P r cos (0 — &)dF -\----

Das Integral im ersten Korrektionsglied stellt das Trägheitsmoment um eine durch 0 gehende zur Fläche senkrechte Achse dar, es ist daher ein Minimum, wenn O der Schwerpunkt der Fläche ist. Das

folgende Glied ist jedenfalls kleiner als y-f -J , wenn R der größte vorkommende Leitstrahl ist. Das letzte der angeschriebenen Glieder hängt von der Anfangslage des Planimeters ab, und es ist ersichtlich, daß eine Änderung des Richtungswinkels um 180°, also Einführung von 180° + Q statt <Z>, das Vorzeichen ändert. Wenn man also zwei Umfahrungen bei diametral entgegengesetzter Anfangslage des Planimeters macht, so fällt im Mittel aus beiden dieses Glied (und ebenso die folgenden) fort.

Maffiotti fand für Flächen von 4000 bis 8000 mm² mittlere Fehler von 0,36 bis l,16°/o bei rechtläufiger, 0,28 bis 0,70°/o bei entgegengesetzter Führung des Fahrstiftes.

Bei einer etwas anderen Form „Goodmans Hatchet Planimeter“, die eine Veränderung des Abstandes: Schneide-Fahrstift gestattet, ist die unmittelbare Ablesung von Mittelordinaten (für Indikatordiagramme und dgl.) vorgesehen und eine Skala zur einfachen Berücksichtigung des Faktors £l — (^-) J angebracht.¹)

Andere Abänderungen bestehen in dem Ersatz der Schneide durch eine Rolle mit scharfem Rand, in seitlichen Stützen, welche die senkrechte Haltung des Planimeters gewährleisten usw.

Auf etwas verändertem Prinzipe beruhen einige andere Planimeter, unter denen wir dasjenige von Fieguth in Danzig nennen. Die Rolle sitzt auf einem zum Planimeterarm nahezu senkrecht angebrachten Arm und verschiebt sich auf diesem. Die Verschiebung der Rolle auf diesem Querarm, die an einer Teilung abgelesen wird, gibt in die Fahrarmlänge multipliziert den Flächeninhalt.

Ähnlich ist das Planimeter von Lippincott, endlich auch dasjenige von Weber-Kern. Bei letzterem ist der Fahrarm durch einen senkrecht stehenden Zylinder horizontal hindurch gesteckt, der auch den zum Fahrarm senkrechten Radarm trägt, an dessen Skala wiederum die Verschiebung eines auf ihm verschiebbaren scharfrandigen Rädchens abgelesen wird. Die Achse des Zylinders bewegt sich in unverändert senkrechter Lage längs der Nut eines auf der Zeichenebene aufliegenden Lineals. Der Fahrarm läßt sich durch den Zylinder hindurchziehen, so daß seine Länge

1) Es ist F—aAS—

r*d Fodei genähert F— a AS—

oder auch F—aAS

verändert werden kann. Die Theorie ist einfach, indem die Führungskurve als ein Kreis mit unendlich großem Radius angesehen werden kann. Das Planimeter kann nur zwei Arten von Bewegungen ausführen, erstens eine Drehung um den Schnittpunkt beider Achsen, bei der sich das Rad dreht, aber nicht auf seiner Achse verschiebt, zweitens eine Verschiebung parallel zur Richtung des Lineals, die wir als æ-Achse denken. Ist der Winkel des Fahrarms von der Länge a mit der a?-Achse a, so wird bei einer Verschiebung dx das Rädchen erstlich eine nicht in Betracht kommende Abwicklung cos adx und zweitens eine Verschiebung dv = sin adx ausführen. Nun ist der Inhalt der zu umfahrenden Fläche

='pydx = J*a sin a dx = cij*dv — a(«₂— vx)‘.

Um beim Prytzschen Planimeter den Flächeninhalt aus a² A<2> zu berechnen (vgl. S. 126), besitzt man kein einfaches Hilfsmittel, den Winkel A O zwischen der Anfangs- und Endlage der Stange zu messen. Deshalb hat Horst von Sand en das Instrument in der Weise abgeändert (Fig. 69), daß statt der Schneide zwei Rollen mit scharfem Rande angebracht werden, die auf einer zur Stange rechtwinkligen Achse in gleicher Entfernung von der Stange sitzen. Der Mittelpunkt M zwischen beiden Rollen, also der Endpunkt der Stange, wird dann in der gleichen Weise wie die Schneide geführt.⁶) Die Berührungspunkte der Rollen beschreiben zwei Parallelkurven. Ist das vom Punkte M beschriebene Bogenelement ds = rdcp und der Abstand der Rollen 2fr, so werden die beiden Rollen Bogenelemente döj == (r -j- &) dcp und da.₂= (r — l))dcp beschreiben. Damit folgt d— da₂ = 2 bd(p, also

2bAO.

Nun ist die Differenz dax — da₂ der relativen Verdrehung der Rollen gegeneinander gleich. Um sie ablesen zu können, ist jede Rolle mit einer Trommel in der Mitte der Achse starr verbunden. Die eine Trommel trägt eine Teilung, die andere zwei um 180° auseinanderstehende Nonien. An dem gerade sichtbaren Nonius wird die Verdrehung abgelesen, die mit einer Konstanten multipliziert den Flächeninhalt angibt. Die Regeln für die Handhabung des Apparates schließen sich an die Theorie des Stangenplanimeters an. Bei dem ausgeführten Apparat ist der Rollenabstand 150 mm, der Rollendurchmesser 40 mm, die Stangenlange a ist zwischen 50 und 192 mm verstellbar, die Trommel ist in 100 Teile geteilt, von denen Zehntel geschätzt werden. Die Genauigkeit ergab sich hei Umfahrung eines Kreises von 10 mm Radius (0,7% bei a = 191, 0,4% hei a = 101).

Fig. 69.

Ebenfalls zwei symmetrisch an der Stange angebrachte Schneiderollen besitzt das Präzisions-Stangenplanimeter von Th. Pregél (vgl. Zeitschr. f. Instrumentenk. 28, 373 und 31, 373).

Das optische Planimeter von J. Schnöckel unterscheidet sich hauptsächlich dadurch von anderen, daß es keinen Fahrstift hat. Vielmehr befindet sich über der scharfkantigen Rolle, die am Ende eines langgestreckten rechteckigen Rahmens angebracht ist, ein senkrecht stehender Spiegel, dessen Ebene die Rollenachse und den Berührungspunkt der Rolle enthält. Das Instrument dient hauptsächlich zur Ausmessung von Registrierstreifen und Ermittlung der mittleren Ordinate. Zu diesem Zwecke wird ein vorn befindlicher Index an den Anfangspunkt der Kurve gelegt, auf einem

Galle: Mathematische Instrumente.

untergelegten Blatte Papier eine Gerade rückwärts in derselben Entfernung vom Rollenauflagepunkte parallel den Ordinaten der Kurve gezogen. Das Instrument selbst ist in seiner Längsrichtung parallel der Abszissenachse aufgestellt, so daß ein in dieser Richtung gespannter Faden die auf dem Papier gezogene Gerade l in einem in bezug auf die Rolle symmetrisch zum Anfangspunkt gelegenen Punkte F schneidet. Dieser Punkt wird durch den teilweise durchbrochenen Spiegel betrachtet und fällt demnach bei der Anfangsstellung des Instrumentes mit dem Spiegelbild des Anfangspunktes der Kurve zusammen. Das Instrument wird nun so bewegt, daß immer der Schnittpunkt des Fadens mit l mit den Kurvenpunkten, die im Spiegel erscheinen, zusammenfällt; ist der Endpunkt der Kurve erreicht, so entspricht der Indexpunkt der mittleren Ordinate. Das Instrument wird jetzt, nach Arretierung der Rolle, soweit gedreht, bis seine Fadenrichtung durch den ersten Auflagepunkt der Rolle in der Anfangsstellung hindurchgeht.

Sind x, y die Koordinaten des optisch eingestellten Kurvenpunktes, £, 7] des Berührungspunktes des Rädchens, so ist, wenn die Gerade l dem Werte x — 0 entspricht, immer x = 2£. Da die Richtung des Instrumentes (strenger des Fadens) den Weg der Rolle in jedem Augenblick tangiert, so ist

x—i

TS -TS

= tg T,

wo r der Winkel der Tangente mit der Abszissenachse ist. Hieraus folgt

yäx = 2 d(y£)

oder

Da nun

IJ ydx = ij(£

x₀

£<>)•

Vm

__i__ /

x — x₀J

<1er Wert der gesuchten Mittelordinate ist, so ist mit Rücksicht auf x = 2£, x₀ = 2£₀₅ y — Vm- Über die Verwendung des Instrumentes zur Aufzeichnung der mittleren Integralkurve oder im besonderen Falle zur Zeichnung von Hyperbeln s. Zeitscbr. für In-strumentenk. 31, 69, 1911.

Von demselben Erfinder rührt ein Kompensationsplanimeter her, das im wesentlichen wiederum aus einer einfachen

Stange mit Fahrstift besteht, die auf einer beweglichen Rolle rollt. Der scharfe Rollenrand findet in einer Rille des Stabes Halt, mit der der Stab auf ihm aufgelegt wird. Damit die Rolle nicht umkippt, ist sie seitlich in einen auf der Unterlage rollenden Zylinder verlängert. (Bei anderen Konstruktionen ist der Zylinder durch ein Rollenpaar oder durch eine Kugel ersetzt.) Ein weiterer Stützpunkt für den Stab ist neben dem Fahrstift am einen Ende angebracht. Das andere Ende des Stabes läuft in einen Index aus, an den eine Skala ungefähr senkrecht zum Stabe angelegt wird, die aber während der Umfahrung um eine Nadelspitze an einem ihrer Enden weggedreht werden kann, um die Bewegungen des Stabes nicht zu hindern. Er wird dann nach Beendigung der Umfahrung wieder gegen den Stabindex gelegt, um die Entfernung der Indexlagen (vor und nach der Umfahrung) zu messen, ähnlich wie beimPrytz-schen Planimeter den Abstand der Marken. Die Rolle wird an einer Marke am Stabe eingestellt und kehrt nach der Umfahrung genau oder wenigstens nahezu in diese Anfangslage zurück. Für letzteren Fall ist eine Korrektion anzubringen. Die Theorie (vgl. Zeitschr. f. Instrumentenk. 31, 173) schließt sich an die des vorigen Instrumentes an, indem der Stab sich in seiner Richtung doppelt so schnell wie die Rolle bewegt. Die Genauigkeit ist annähernd gleich der des Coradisehen Kompensationsplanimeters gefunden worden und übertrifft die des Prytz sehen Instrumentes bedeutend, während sie etwas unter derjenigen des freischwebenden Präzisionskugelplanimeters von Coradi zurückbleibt.

VIII. Abschnitt.

Apparate zur harmonischen Analyse.

45. Allgemeines und Verwendung des Planimeters.

Eine Funktion y von x kann unter gewissen Einschränkungen in eine nach den cosinus und sinus der Vielfachen von x fortschreitende (Fouri ersehe) Reihe entwickelt werden. Diese Funktion nehmen wir graphisch durch eine Kurve gegeben an, deren Abszissenintervall sich von x — 0 bis x — u erstreckt. In diesem Intervall kann die Kurve vollständig willkürlich gezogen sein, so lange es für jedes x nur einen einzigen endlichen Wert y gibt, und hierin ist der Fall eingeschlossen, daß bei der Bewegung eines Punktes längs der Kurve die ihm entsprechenden Abszissenwerte stets zunehmen. Diese Bedingung wird für solche Kurven * erfüllt sein, bei denen die æ-Koordinate die Zeit darstellt, z. B. für alle registrierten Kurven, die durch Bewegung der Zeichenfläche mittels eines Uhrwerks entstanden sind. Unstetigkeiten der Kurve, d. h. ein plötzlicher Übergang von einer Ordinate yx zu einer andern y₂ dürfen in endlicher Anzahl Vorkommen. Ist das Zeichenpapier etwa um einen Zylinder geschlungen, so daß die Anfangs- und Endabszisse zusammenfallen, so wird sehr häufig die Anfangs- und Endordinate verschieden sein. Wenn z. B. die Lufttemperaturen für einen Zeitraum von 24 Stunden aufgezeichnet werden und die Stundenwerte die Abszissen, die Lufttemperaturen die Ordinaten geben, so werden die Mitternachtstemperaturen am Beginn und am Ende nicht übereinstimmen. Man kann dann die beiden Punkte der Kurve durch eine Mantellinie des Zylinders geradlinig verbunden denken und hat also in diesem Falle eine solche Stetigkeitsuntei’brechung.

Wir setzen nun einen Winkelwert ß der Abszisse proportional

2 7t oc

px = ß und pu = 2jt, so daß ß = - ist; dann können wir die

Gleichung der Kurve in der folgenden Form schreiben, wo a und b konstante Koeffizienten sind:

(O y

= aQ -f- ax cos ß + a₂ cos 2 ß -\- as cos 3 ß ------j- an cos n ß

+ bx sin ß + b₂ sin 2 ß -j- b₃ sin 3 ß -|- • • • • -f- bn sin n ß. Es ist dann nach Fourier

2 7t

j*\) cos nßdß, b 5

r*

n~ jysmnßdß, w = l,2,3

und a₀ =

L.l*â9

die mittlere Ordinate, die durch ein Plani-

meter ermittelt werden kann.

Streng genommen hat die Fouriersche Reihe eine unendlich große Gliederzahl, aber in den meisten praktischen Fällen sind die Glieder höherer Ordnung klein genug, um vernachlässigt zu werden. Beschränkt man sich auf 2n Glieder, so kann man schreiben:

(3)

y = a₀ +^?ay cosKß + ^by sinxö.

Um die Koeffizienten zu finden, teilen wir das Abszisseninter-yall in 2n gleiche Teile und messen die Ordinaten y^ — yx,... yïn

in den Teilpunkten, wo yx zu    gehört. Es müssen dann

die zusammengehörigen Werte die Gleichungen befriedigen:

y. = n

(4) yk = a₀ +^\axcosndi    bxsinx6x, 1 = 1, 2, ...2 n.

y. = 1

y. = 1

Diese 2 n linearen Gleichungen können zur Berechnung der 2n Koeffizienten at, ... a , bx, ... bn dienen

Jn

=    cosxO

(5)

nb^^y^smnd^ x = l...n.

. ;. = i

1 = 1

Für % = 0 oder ?t = n erhält man 2wa₀.⁷)

Da nun zwischen den Gleichungen (4) und (5) eine gewisse Reziprozität stattfindet, so läßt sich die Verwendung eines Instruments für die beiden Zwecke voraussehen, einmal die Koeffizienten einer gegebenen Kurve zu ermitteln, zweitens eine Kurve aus gegebenen Werten zu konstruieren.

Die hierzu erfundenen Instrumente heißen Analysatoren und sind also auch Instrumente zur Darstellung bestimmter Integrale wie die Planimeter.

In der Tat lassen sich diese letzteren nicht nur zur Ermittelung von a₀, sondern auch für die anderen Koeffizienten verwenden, wie S. Finsterwalder, P. Schreiber und Ad. Schmidt gezeigt haben. Um zunächst ax und bx zu erhalten, denkt man sich die Kurve um einen Zylinder gelegt, so daß die x-Achse den Grundkreis des Zylinders bildet, der den Umfang u hat. Projiziert man die Kurve auf zwei zu einander senkrechte Ebenen, die sich in der Zylinderachse schneiden und von denen die eine durch die Endordinate gelegt ist, so erhält man die Koeffizienten ax und bx durch die Inhalte der von den Projektionen der Kurve, der x-Achse und den Endordinaten eingeschlossenen Flächen, wenn man noch mit ^ dividiert. Die Ebene, die durch den Anfangspunkt der

Kurve geht, dient zur Berechnung von b. Hier wird sin 0 gleichzeitig mit 9 null, während auf der dazu senkrechten Ebene (für die Berechnung von a) sich das Linienelement des Anfangspunkts unverkürzt abbildet und cos 6 — 1 für 6 = 0 ist. Wenn die Quadranten der Winkel beachtet werden, so erhält man die Flächenteile auf beiden Seiten der Projektionsebene (vorn und hinten) mit verschiedenen Vorzeichen, wie es sein muß.

Die anderen Koeffizienten lassen sich in entsprechender Weise

2nx

bestimmen. Man setzt nd = n

oder u = — , nimmt n ¹

2 nx'

setzen, also x =nx, d. h. die Abszissen

also einen Zylinder vom Umfang —. Da x von 0 bis u = nu variiert, so umschlingt die Kurve den Zylinder w-mal. Man kann ebenso gut n =

w-mal vergrößert auf einen Zylinder vom Umfange u auftragen (während die Ordinaten unverändert bleiben). Da aber in dem

2

Integral (2) dx statt dx eingeführt wird, so muß man mit — statt mit — multiplizieren.

Bei der wirklichen Verzeichnung der auszumessenden Kurven denkt man sich den Zylinderumfang in eine solche Anzahl von gleichen Teilen geteilt, daß die Ordnungszahlen der Reihenkoeffizienten als Faktoren in dieser Anzahl enthalten sind (z. B. 60 bei Beschränkung auf 6 Glieder, 24 bei 4 Gliedern) und zieht die den betreffenden Mantellinien des Zylinders entsprechenden Geraden in der Projektion. Trägt man dann die Ordinaten auf, so erhält man durch die geradlinige Verbindung ihrer Endpunkte die gesuchten Kurven mit genügender Genauigkeit und kann sie nun mit dem Planimeter ausmessen.

46. Analysatoren von Yule. Eine einfache Form eines Analysators, die man sich selbst hersteilen kann, ist von Yule beschrieben worden. An der Seite eines größeren quadratischen Kartonblattes ist ein Lineal befestigt (etwa aufgeleimt), an dem sich ein kleines viereckiges Kartonblatt verschieben läßt, das am Lineal anliegen muß und einen Zeiger parallel der a;-Achse trägt. Die untere Kante des großen Blattes wird mit der Richtung der rr-Achse zusammengelegt und zwar so, daß der Zeiger, wenn er unten einsteht, auf den Anfangspunkt der Kurve weist. Das Abszissenintervall teilt man z. B. in 60 Teile, je 6° entsprechend und errichtet die Mittelordinaten, deren zugehörige Kurvenpunkte man nach und nach mit dem Zeiger durch Verschiebung des kleinen Blattes in der «/-Richtung einstellt, indem man den großen Karton gleichzeitig längs der x-Achse verschiebt. Auf dem kleinen Karton bringt man z. B. eine sinus-Skala, ebenfalls in der Richtung der x-Achse, an und stellt den Fahrstift eines Amslersehen Polarplanimeters jedesmal auf den der betreffenden Ordinate entsprechenden Teilstrich, also wenn man mit 0° anfängt, schiebt man ihn immer um je 6° weiter. Der Pol des Planimeters ist fest auf dem großen Karton. Infolge dessen umfährt der Stift des Planimeters folgende Flächen:

«^(sin 6° — sinO⁰), «/₂(sin 12° — sin 6°), «/₃(sin 18° — sin 12°), • • yn (sin 360° — sin 354°).

Wir erhalten also genähert

f yd (sin 6) =Jy cos Odd = a

und durch Einsetzen anderer Skalen und andere Wahl des Abszissenintervalls andere Koeffizienten.

Nicht ganz so einfach ist ein anderes Instrument von Yule. Es besteht aus einem Lineal, das auf zwei Walzen an seinen

Fig. 70.

Enden rollt und sich dadurch parallel mit sich selbst verschieben kann. Längs der einen Kante trägt es eine Zahnstange von 30 cm Länge (mit acht Zähnen auf einen Zentimeter), die durch ein Gegengewicht an der entgegengesetzten Kante im Gleichgewicht gehalten wird, so daß das Lineal horizontal liegt. Eine am Rande gezahnte Scheibe wird so angelegt, daß sie in die Zahnstange eingreift. Bei der Bewegung der Scheibe längs der Kurve muß das Lineal angeschoben werden, damit die Scheibe in die Zahnstange eingreift. Außer einer großen Scheibe mit 240 Zähnen, die sich bei der Bewegung längs der Zahnstange also gerade einmal herumdreht, werden nach einander noch kleinere Scheiben mit 120, 80 usw. Zähnen verwendet. Die große Scheibe hat drei Löcher in der Richtung eines Durchmessers, von denen das mittelste mit einem Glasfenster und einem Punkt darauf zur Einstellung auf die Punkte der Kurve versehen ist, die beiden anderen dienen zur Orientierung der Scheibe. Ein viertes kegelförmiges Loch auf einem zum vorigen senkrechten Durchmesser hat den Zweck, den Fahrstift eines Polarplanimeters aufzunehmen. Seine

Entfernung vom Mittelpunkt der Scheibe (Fahrpunkt) beträgt — cm.

Bei den kleineren Rädern, die auf einer Grundplatte angebracht sind, befindet sich das Loch für den Planimeterstift auf einem über das Rad hervorragenden Arm, der sich mit dem Rade frei über der Zahnstange des Lineals dreht.

Das Abszissenintervall 2 u macht man der Länge der Zahnstange gleich, der Scheibenumfang ist dann ein aliquoter Teil

desselben —. Das Loch F für den Fahrstift des Planimeters be-n

schreibt bei der Drehung der Scheibe einen Kreis mit dem Radius PF=r um den Mittelpunkt der Scheibe P (Fig. 70). Im Anfangspunkte sei PF nach links in die Richtung der Abszissenachse gestellt. Da sich die Scheibe 2w7r-mal herum dreht, wenn sie die Kurve entlang von A bis B geführt wird, so entspricht einer Strecke x

ein Drehungswinkel nn- = nO, wenn ^ x = 0 gesetzt wird.

Die Koordinaten £, vj von F sind dann folgende, wenn æ, y diejenigen von P sind:

£ = x — r cos nd

ri — y -f- r sin n 6.

Daher ist die vom Planimeterstift umfahrene Fläche

J r\d‘S, —J ydx-\-nrJ*y sinnOdd + rj^sinnddx -f nr²J^sin² nOdO.

Die beiden letzten Integrale verschwinden, wenn sie sich über eine geschlossene Kurve erstrecken, also die obere und untere Grenze für x bzw. 0 dieselbe ist. Beim zweiten Integral ist der Wert derselbe, ob man es über die Kurve von A bis B nimmt, oder ob man die Fläche ganz umfährt, also auch von B nach A in der Abszissenachse zurückgeht, da diese letztere Strecke keinen Beitrag zu dem Integrale liefert, sondern y = 0 bleibt. Setzen wir

Bn=f+10n-bn.

Wird die Scheibe im Anfangspunkte A so gestellt, daß PF mit der positiven Richtung der y-Achse zusammenfällt, so ist

£ = x -f rsinnO An=Çr\d£, =j*ydx + nr jy cosnddO -f- rj^cosnddx + nr²J*cos² nddd

7j = y -f- r cos n6,

also

und entsprechend wie vorher

An=f+ 10n • an,

Jydx = f

so ist, wenn noch r — ^ eingesetzt wird (vgl. (2) S. 132):

und

jVi =

Bn=f+10n- bn.

Jede Scheibe n liefert also ein Koeffizientenpaar an, bn. (/' wird mit einem Planimeter gemessen.)

47. Apparat von Le Conte. Bei dem Apparat von Le Conte sind auf einer Grundplatte ein Schienenpaar (DJ5, F G Fig. 71),

©©©©©^

—r E

i fŁ

Z\\

'JŁ

Cf

06 !j "O-

rr-

lf J

Fig. 71.

auf dem ein Wagen läuft, und elf Zahnräder angeordnet, die durch eine Kurbel V in Umdrehung gesetzt werden und zwar macht jedes Rad hei einer Kurheldrehung seiner Numerierung entsprechend 1, 2, 3 . . . usf. Umdrehungen. Der Wagen wird durch dieselbe Handkurbel bei einer Umdrehung des Rades 1 um die Strecke, die einer Periode entspricht, vorwärts bewegt. Ein zweites Schienenpaar (LK, NT), das auf dem Wagen rechtwinklig zum ersten angebracht ist, trägt einen zweiten Wagen, an dem der Fahrstift X angebracht ist. Durch die Bewegung des ersten Wagens wird er parallel der «-(in der Fig. t-)Achse geführt, während seine Einstellung auf die Ordinatenendpunkte eine Verschiebung des zweiten Wagens verarsacht.

Das Folgende wird durch die Überlegung verständlicher, daß die Projektion eines gleichförmig im Kreise sich bewegenden Punktes auf einen Durchmesser des Kreises eine harmonische Bewegung ausführt.

Das Zahnrad 1 (und ebenso jedes der übrigen) trägt einen exzentrischen Stift S, der in einen Schlitz eingreift. Der Schlitz befindet sich in dem kürzeren Arm eines kreuzförmigen Schlittens, dessen längerer, der «-Achse paralleler Arm durch die Bewegung von S sich längs eines Durchmessers des Rades hin- und herschiebt. Wenn sich S im Kreise um den Mittelpunkt des Rades dreht, so vollführt seine Projektion auf den der «-Achse parallelen Durchmesser eine harmonische Bewegung (rcosö bzw. rsinö, je nachdem die Anfangsstellung des Stifts in dem der y- oder «-Achse parallelen Durchmesser sich befand). Setzt man auf den Schlitten M den Fahrstift eines Polarplanimeters, so beschreibt dieser daher dieselbe Bewegung. Der Pol Q und die Meßrolle B des Planimeters, werden auf den zweiten Wagen aufgesetzt. Wenn der Fahrstift des Analysators und mit ihm der zweite Wagen in der y-Achsenrichtung verschoben werden, so wird dabei dasselbe erreicht, als wenn bei ruhender Planimeterebene der Fahrstift des Planimeters in der entgegengesetzten Richtung der «/-Achse geführt wird. Die Theorie ist genau dieselbe, wie beim vorigen Planimeter.

Dm die Koeffizienten a₂ . .. an, b₂ . . . bn zu erhalten, wird der Planimeterfahrstift auf die (in der Figur fehlenden) Schlitten der anderen Räder gesetzt.

48. Analysator von W. Thomson. Älter als die genannten Instrumente ist der 1876 von William Thomson (Lord Kelvin) konstruierte Analysator⁸), der an das von seinem Bruder James Thomson erfundene Planimeter anknüpft.

Wir denken uns (ähnlich wie bei A. Schmidts Planimeter, S. 116, vgl. auch S. 133) die auszumessende Kurve y = f(x) um einen horizontalen „Kurvenzylinder“ gelegt, so daß die x-Achse etwa mit dem Grundkreise zusammenfällt und die y-Achse der Zylinderachse parallel ist. Durch Zahnradübertragung wird der Achse A einer Scheibe D eine mit der Drehung dx des Zylinders proportionale Drehung p dx erteilt (Fig. 7 2). Diese Scheibe ist gegen die Horizontalebene um 45° geneigt und auf ihr rollt eine frei bewegliche Kugel B, die durch einen zweiten horizontalen Zylinder (7, den wir zum Unterschied den „RegistrierZylinder“ nennen, und der die Scheibe nicht berührt, längs des horizontalen Durchmessers der Scheibe

I.B |

C,

Mg. 72.

zu rollen gezwungen wird. Die Kugel berührt demnach sowohl die Scheibe als den Zylinder und überträgt die Drehbewegungen der Scheibe durch Reibung auf den Zylinder, so daß bei einem Abstande y des Berührungspunktes der Kugel vom Mittelpunkt der Scheibe pydx die Drehung des Zylinders ist. Beide Zylinderachsen sind einander parallel und eine zu ihnen parallele Stange trägt an einem Ende den Fahrstift, der auf der jedesmal oben befindlichen Mantellinie des Kurvenzylinders auf den Kurvenpunkt eingestellt wird. Am anderen Ende der Stange befindet sich eine Gabel, welche die Kugel von oben faßt und längs des Registrierzylinders und des horizontalen Scheibendurchmessers hin- und herschiebt (vgl. Fig. 29). Wenn der Fahrstift auf der x-Achse steht, berührt die Kugel die Scheibe im Mittelpunkte, daher ist ihr Abstand von diesem immer gleich der Ordinate y der Kurve. In geeigneter Weise wird die Drehung des Registrierzylinders gemessen, die für ein Kurvenstück zwischen den Abszissen xx und x₂ den Inte-

*2

gralwert jydx bis auf einen konstanten von den Abmessungen

xi

des Instrumentes abhängigen Faktor gibt.

Diesen Planimeterapparat hat W. Thomson in folgender Weise zu einem Analysator abgeändert. Die Achse des Kurvenzylinders trägt einen Exzenter, also eine Vorrichtung, welche die Drehbewegung in eine geradlinige verwandelt. Eine Beschreibung ist nicht angegeben, doch kann man sich die Einrichtung wie beim Le C ont eschen Analysator vorstellen, wo die Drehung der Scheibe in die geradlinige Schlittenbewegung verwandelt wird (vgl. S. 138). Durch Einschaltung verschiedener Zahnräder kann man erlangen, daß einer Umdrehung des Zylinders x hin- und hergehende Bewegungen einer Stange entsprechen. Jeder Punkt der Stange macht also eine geradlinige Bewegung, deren Größe proportional sinxö bzw. cosxö ist, je nach der Anfangsstellung. Die Stange ist gezahnt, greift in den gezahnten Rand der Scheibe ein und erteilt ihr eine Drehung, bei der dx proportional cos n6 • ndd bzw. sin xö -%d0 ist. Mithin sind die Ablesungen am Registrierzylinder bis auf Faktoren, die von den Dimensionen des Instruments abhängen,

und

J y cos xddd

also die gesuchten Koeffizienten ax und by.

Sollen mehrere Koeffizienten gleichzeitig bestimmt werden, so müssen mit einem Kurvenzylinder und einem Führungsstift mehrere Integratoren verbunden werden, welchen ebenso viele Registrierzylinder zugehören. Der Apparat hat Fehler gezeigt, die von dem Gleiten der Kugel bei raschem Arbeiten herzurühren scheinen, auch berühren die Kugeln in kleinen Flächenstücken statt in Punkten.

49. Analysator von Henrici-Coradi. Vollkommener, aber auch komplizierter ist der Analysator von Henrici, der von Coradi konstruiert wurde. Er beruht auf dem sog. Henricischen Prinzipe, das die Koeffizienten a und b durch partielle Integration um wandelt, es ist nämlich:

Die Integrale erstrecken sich über die ganze Periode, infolge dessen fällt das erste Glied auf der rechten Seite fort¹) und das rechts stehende Integral hat eine wesentlich andere Form, als das links stehende.

Das Instrument von Henr ici hat durch Sharp und namentlich durch C o -radi -wesentliche Verbesserungen erfahren und ist schließlich zu folgender Gestalt gelangt:

Ein festes Gestell, dessen Grundriß ein langes Rechteck ist, ruht mit drei Rollen auf der Zeichenebene. Eine von ihnen, vorn in der Mitte gelegen, dient nur als Stütze, die beiden anderen sind an den Enden einer langen Achse angebracht. Wir bezeichnen sie als Haupt-

ff

ES

Fig. 73.

1) Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn die Ordinate einen Sprung macht, also wenn die Kurve eine Unstetigkeitsstelle besitzt. Seien in diesem Falle die zu einem Abszissenwerte x gehörenden Kurvenpunkte P, und Pj' mit den Ordina-ten yx und yt’ und 0' der zugehörige Wert von 0, so tritt bei a hinzu : {yl —yt') sin0', bei b hinzu: \yx'—yx) cos0'. Für 0'= 0 oder 2tt wird der erste Ausdruck null.

lg

-3Ł

achse und wählen ihre Richtung als «-Achse, so daß das Instrument in der Richtung der Ordinaten y rollt. Bewegt es sich um ein Stück dy, so drehen sich die Rollen um dcp = pdy, wo p ein Proportionalitätsfaktor ist. Auf der Hauptachse sitzt eine Anzahl unter einander gleicher walzenförmiger Zylinder 0 (in der Figur ist nur einer gezeichnet), über deren jedem ein Integrator mit vertikaler Achse angebracht ist, der je einen der Koeffizienten ax, by liefert. Die geometrischen Mittellinien dieser Vertikalachsen schneiden sämtlich die Hauptachse und zwischen diesen Vertikalachsen oder Zapfen, wie wir sie nennen wollen und den walzenförmigen horizontal liegenden Zylindern liegt jedesmal eine Glaskugel G Die Zapfen C sind in dem hinteren erhöhten Rahmen s befestigt.

Bevor wir die Integratoren eingehender beschreiben, betrachten wir die Vorrichtung, welche eine Drehung der Zapfen bewirkt. Entlang der Vorderseite P des Rahmengestells läuft ein Wagen W, an dem der Fahrstift F befestigt ist, der einen Weg gleich der Basis u der gezeichneten Kurven durchlaufen kann, die also den Dimensionen des Instruments angepaßt werden muß. An dem Wagen ist oben ein Silberdraht befestigt, der auf der Vorderseite des Rahmens entlang gespannt ist und, über zwei horizontale Führungsrollen l an beiden Enden des Apparats geführt, sich um kleine Scheiben H schlingt, die ebenfalls horizontal oben auf den Zapfen befestigt sind. Durch passende Wahl der Durchmesser dieser Scheiben wird es erreicht, daß sich der Zapfen x-mal um seine Achse dreht, wenn der Stift die ganze Basis durchläuft. Die Durchmesser dieser Schnurscheiben verhalten sich wie 1 : ^ : y usf. Wenn sich also der Fahrstift um « bewegt, so drehen sich die Scheiben um

¹

PF² fi- PO² = PB² -f BF² + PB² BO² = a².

²

   Zeitschr. f. Instrumentenk. 31, 213 u. 214 (Hammer, Zusatz zur Mitteilung von Amsler).

³

   Gleichen Zentriwinkeln Aqp entsprechen Längenelemente der registrierten Kurve rtAqp, r₂ Aqp, . . . rwAqp. Die Rolle summiert

ri + r2 8-----\- rn

⁴

   S. Zeitschr. f. Vermessungswesen 24, S. 245, 1904.

⁵

   Vgl. Prytz, Tidsskrift for Opmaalings- og Matrikulvaesen 1895, 383—392 und die Beschreibung in der Broschüre des Fabrikanten Cornelius Knudsen in Kopenhagen 1894.

⁶

Bei völliger Gleichheit der Rollenradien wird er bei bloßer Drehung der Stange an derselben Stelle bleiben, da dann beide Räder in verschiedener Richtung denselben Kreisbogen durchlaufen. Inwieweit dies praktisch erreicht ist, wird von dem Verf. in Zeitschr. für Mathematik u. Physik Bd. 59, S. 314 nicht erwähnt. — Das Instrument ist wohlfeiler (54 M.) als andere Instrumente gleicher Genauigkeit.

⁷

Setzt man ay = ix sin yx, bx = ix cos yy, so kann man ay cos x 0 -)-bx sin xd — iy sin (yx-f- kQ) schreiben. Es ist in vielen Fällen wünschenswert, die Amplituden iy und die Phasenwinkel yy statt ax und by zu erhalten. Um dies zu erleichtern, hat Strachey in London einen besonderen Rechenschieber konstruiert (vgl. W. Dyck Katalog mathematischer usw. Instrumente, München, 1892, S. 144).

⁸

Proceedings of the Royal Society of London, XXIV, 1876.

Q 7t CC

3 0-, 5 usf., wenn = - ist.

Mit jedem Zapfen ist unten ein horizontaler viereckiger Rahmen verbunden (Fig. 73). Zwei Seiten desselben werden von den Achsen zweier Integrierrollen li.₂ (Fig. 74) gebildet, welche die erwähnte, im Innern des Rahmens liegende Glaskugel G berühren, die von der dem Schnitt /, der Rollenachsen gegenüberliegenden Ecke aus durch eine Führungsrolle r an die Integrierrollen angedrückt wird.¹) Bewegt sich der Fahrstift in der Richtung der «-Achse bis zum Punkte «, so dreht sich die Zapfenscheibe mit dem Radius

* um xd (in der Figur mit kiot bezeichnet, mit t die «-Achse) und

die Integrierrolle bildet, wenn sie vorher der « Achse parallel war, jetzt den Winkel xd mit ihr; die Ebene der Integrierrolle i?2 wird den Winkel 90° -{-xd' mit der «-Achse einschließen. Wird der Apparat um dy fortgerollt, so wird die Drehung der t Zylinder walz epdy sich der Kugel mitteilen, die demnach cdy sei, und die Integrierrollen werden, da die Kugel sich senkrecht zur «-Achse um einen dieser parallelen Durchmesser dreht, sich proportional cdy cos k & bzw.cdy sinnt! drehen. Bei einer Bewegung des Fahrstifts längs der Kurve werden daher von den Registrierrollen die Koeffizienten

= cj dy cos nt! und bx—c(dy sinnt!

k<yt

2>

ffi'

Bjl-

Fig. 74.

ßy.

■N

ÖK

geliefert. Um nicht zu viele Integratoren nötig zu machen, sind an jedem Zapfen mehrere Schnurscheiben von verschiedenem Durchmesser vorgesehen, über welche der Silberdraht geführt werden kann.²)

50. Analysator von Sharp. Der Analysator von Sharp hat wiederum ein auf drei Rollen laufendes Gestell, das aber im Grundrisse die Gestalt eines doppelten TJ hat (Fig. 75). Die Enden der drei Arme liegen in gerader Linie, die Richtung der Arme wählen wir als Richtung der Abszissen (in der Figur t). An den Enden der beiden äußeren Arme F befinden sich Rollen W±, W₂, W₃ von verschiedenem Durchmesser im Verhältnis 1 : | : usf., die auf der Papierebene oder auf Leisten laufen. An dem rückwärts verlängerten Mittelarm sitzt noch eine Stützrolle W. An seinem Ende M trägt dieser Mittelarm eine ScheibeĄ, die sich durch Zahnradübertragung bei der Bewegung des Apparats um das ganze Abszissenintervall u einmal herumdreht (bei Anwendung der Rollen mit dem größten Durchmesser,

bzw. jtmal bei den Rollen vom Durchmesser — ). Bei einer Bett '

2 Tt

wegung des Instruments um x dreht sie sich um & — ~ x (bei

Verwendung der Rollen mit dem Durchmesser -^- um xll).

Auf dem langen Rahmen, an dem die drei Arme sitzen, bewegt sich auf einer Schiene S ein Wagen in der Richtung der y-

rW₂

W?

Achse, der einen Arm Gr trägt, der - A den vorigen parallel liegt. Dieser Arm führt einen Zeichenstift JV, der auf einer, wie wir gleich

DT

In L> >L

NjnV, y zu

Fig. 75.

sehen werden, mit der bereits genannten Scheibe D₁ sich drehenden Scheibe D₃ zeichnet und in seiner Rückverlängerung den Fahrstift P, der entlang der gegebenen Kurve geführt wird. Weil nämlich die Scheibe Dx fest sitzt, und der Wagen sich in der ?/-Rich-tung bewegt, so mußte eine in gewissen Grenzen mit dem Schreibstift N mitgehende Scheibe angebracht werden. Deshalb ist auf Dx längs eines Durchmessers eine Führungsleiste angebracht, die in eine entsprechende Nut längs des Durchmessers einer zweiten Scheibe _D₂ eingreift. In derselben Weise steht mit P₂ eine dritte Scheibe D₃ in Verbindung. D₃ trägt auf der Unterseite eine Führungsleiste, die in einer auf P₂ befindlichen, zur anderen senkrecht verlaufenden Nut sich verschiebt. Da nun neben dem Zeichenstift eine Friktionsrolle an dem beweglichen Arm angebracht ist, welche die mit Papier überzogene Scheibe D₃ im Berührungspunkte festhält, so dreht sich D₃ um diesen Punkt um denselben Winkel & bzw. x#, wie die Scheibe D1? wenn das Instrument um eine Strecke x (Richtung t in der Figur) fortrollt. Wenn dagegen der Wagen um dy bewegt wird, so rollt das Friktionsrädchen, und mit ihm bewegt sich der Zeichenstift um diesen Betrag. Hat man in der Anfangslage der Scheibe D₃ Parallele zur x- und y-Achse gezogen, so hat sich dieses Koordinatenkreuz um gedreht, daher sind die Komponenten von dy, abgesehen vom Vorzeichen cos &dy und sin &dy und bei Durchfahrung der ganzen Kurve erhält man

^cos&dy und^/sin&dy bzw. ay =^cos n&dy und bx—jsmK&dy bei Einschaltung der Rollen mit dem Durchmesser Die Verbindungsgerade des Anfangs- und Endpunkts der auf der Scheibe dargestellten Kurve liefert dann die Periode yx und die Amplitude iy durch

K.

ay

= tg yx und ix = y

und damit die Koeffizienten bei der Darstellung der Kurve in der Form: i =Jiy sin (x# + yx), wo bx — iy sin yy, ax = ix cos yx ist.

51. Präzisionsinstrument von Sommerfeld und Wiechert. Ein Präzisionsinstrument ist der harmonische Analysator von A. Sommerfeld und E. Wiechert, konstruiert von Volkmann und Gross in Königsberg i/P., 1890.J)

9 ly j/V /Al

9’-AcX<-Yk'

'b

Fig. 76.

Die Maschine besteht in den Hauptteilen aus einem horizontal liegenden Zylinder ab cd (Fig. 76), der erstens um seine Umdrehungsachse und zweitens um eine Vertikalachse C, die wir Konstruktionsachse nennen, drehbar ist. Parallel der Konstruktionsachse ist die sogenannte Integrationsachse J angebracht, um die sich eine horizontale kreisförmige

1) Sitzungsberichte der physik.-ökonomischen Gesellsch. zu Königsberg, Bd. 32, S. 28, 1891.

Galle: Mathematische Instrumeate.

Scheibe dreht. Wenn sich der Zylinder um seine Rotationsachse um einen Winkel ff dreht, so dreht sich die Scheibe um denselben Winkel, und gleichzeitig dreht sich durch eine noch zu erwähnende Vorrichtung der Zylinder um die Konstruktionsachse, also im azimutalen Sinne, um den Winkel £ff. Die gegebene Kurve ist auf dem mit Papier überspannten Zylinder aufgezeichnet.¹) Die bei seiner Drehung jeweilig oberste Mantellinie wird durch einen längs derselben gespannten Faden ef markiert. Derjenige Punkt P der Kurve, der unter diesen Faden kommt, wird mittels eines andern ebenfalls horizontal liegenden Fadens gh eingestellt. Dieser Einstellfaden läßt sich durch einen Schieber (Wagen ik) parallel verstellen. Am Ende des Schiebers befindet sich eine Integrierrolle (r), deren Achse der Verschiebungsrichtung parallel ist. Die Rolle liegt auf der Scheibe auf und verschiebt sich längs eines Durchmessers derselben. Bei der Einstellung des beweglichen Fadens g'h' auf die x-Achse der Kurve, die einen dem Grundkreis des Zylinders parallelen Kreis bildet, berührt die Rolle die Scheibe im Mittelpunkt. Der Abstand des Berührungspunkts der Rolle vom Mittelpunkt der Scheibe mißt also ycosłff oder y sin ff, je nachdem

die Zylinderachse den Winkel JCP — Zcff oder * — ftff mit der Schieberrichtung einschließt, wobei ff der der Abszisse x ent-

sprechende Winkel, ff

, ist, und u den Umfang des Zylinders

bezeichnet. Bei einer Winkeländerung ciff, welche sowohl die Umdrehungsbewegung des Zylinders, wie die der Scheibe betrifft, wird daher die Rolle den Weg y cos k& • d& oder y sin Æff • d& abwickeln; bei einer vollen Umdrehung des Zylinders um seine Achse erhält man als Ablesungen der Integrationsrolle

2 7t

n k&d&.

—j y cosftffdff bzw. by =J y si

5    o

1) Die Kurve kann von dem Apparate selbst aufgezeichnet werden; zu diesem Zwecke wird die Zylinderachse der Schieberrichtung parallel gestellt. Am Schieber wird ein Zeichenstift angebracht, dem man mit Hilfe einer Skala eine der y-Koordinate entsprechende Stellung geben kann. Gleichzeitig wird dem Zylinder eine wachsenden Abszissen x entsprechende Drehung erteilt und der Zeichenstift heruntergedrückt. Dieser zeichnet durch eine ihm erteilte Rotationsbewegung einen kleinen Kreis, dessen Mittelpunkt unabhängig von einer etwa vorhandenen Exzentrizität des Stifts den richtigen Punkt bezeichnet.

Die Drehung des Zylinders im azimutalen Sinne beruht auf folgender Einrichtung (Fig. 77): Die vertikale Achse, um die sich der Zylinder dreht und die mit der Konstruktionsachse C zusammenfällt, ist zugleich Achse eines in der Nähe ihres unteren Endes angebrachten horizontalen Rades r₁, dessen Radius wir ebenso bezeichnen, wie auch im folgenden entsprechend bei anderen Rädern. Sie ruht mit ihrem unteren Ende auf dem Boden einer Kapsel K, die ihrerseits mit einer Kernspitze in einem Block G drehbar angebracht ist. Diese Kapsel weitet sich nach oben in einen Kreisring T aus, auf dessen horizontaler glatter Fläche ein Stahlrad S im Kreise um die Achse C läuft. Mit diesem äußeren System, zu dem die Kapsel gehört, schwingt sich ein an ihr angebrachtes Gehäuse H mit herum, in das ein Räderpaar r₃rA mit vertikaler Achse eingesetzt werden kann.

Das eine Rad r₄ dieses Paares berührt das Rad r₁ durch Reibung¹), während das andere tiefer liegende Rad r₃ dem kreisförmig abgeschliffenen Blocke G mit dem Radius r₂ gegenüber liegt.

Wird dem äußeren System eine Drehbewegung um die Konstruktionsachse um einen Winkel cp erteilt, so legt der Berührungspunkt des Rades r₃ den Weg r₂cp am kreisförmigen Rande des Blockes G zurück, wobei r₃ eine Drehung um den Winkel i erfährt und r₃i = r₂cp ist. Mithin dreht sich das auf derselben Achse mit r₃ sitzende Rad r₄ ebenfalls um £, und ein Punkt seines Umfangs beschreibt den Weg r₄^. Da aber außerdem das ganze äußere System sich gleichzeitig um den Winkel cp um die Konstruktionsachse gedreht hat, so beschreibt der Berührungspunkt des Rades r4 mit dem Rade r₄ im ganzen den Bogen r₄^ -f r₄qp, und diesem Bogen ist der von dem Berührungspunkte des Rades rx infolge der Reibung zurückgelegte Weg gleich:

Sc

0_

L5l3l-L_2

V [tA

r₃ \ r₃ \-

rit = r41 +

Ti

Fig. 77.

1) Es sind nirgends Zahnräder, sondern überall Reibungsräder zur Anwendung gekommen.

mithin ist

cp.

ri rs *    \ rt rj

Bei der Drehung ip des inneren Systems und damit auch des Zylinders um die Achse C läuft das Stahlrad S auf dem Ringe, und wenn B der Radius dieses Ringes ist, so legt sein Berührungspunkt den Weg B(tP — cp) zurück, da ja der Ring sich mit dem äußeren System um dieselbe Achse dreht. Das Rad wird dabei den Bogen S& abwickeln. Nun sitzt S auf der Umdrehungsachse des Zylinders, der daher um denselben Winkel rotiert. Er wird durch die Gleichung bestimmt:

B r, r\

S rt r₃

Wird umgekehrt dem Zylinder eine Drehung um seine Um-drehungsachse um den Winkel & erteilt, so kann man die Dimensionen der Räder so wählen, daß die horizontale Drehung des Zylinders um die Konstruktionsachse

cp.

fr = ^ (v — v) =

<P

S a

—

B r₂r₄ wird. Auch läßt sich B durch eine mikrometrische Einstellung M innerhalb enger Grenzen ändern. Für die verschiedenen Koeffizienten werden andere Räderpaare r₃ r₄ eingesetzt und statt r₂ sind im ganzen drei Radscheiben vorhanden, aus denen sich der Block Cr terrassenförmig aufbaut.

52. Analysator von Michelson und Stratton. Der Analysator von Michelson und Stratton (Fig. 78) dient den beiden Aufgaben, die Kurve zu einer gegebenen Fourier sehen Reihe zu zeichnen und zu einer gegebenen Kurve die Koeffizienten zu finden.

Eine Achse D trägt n (= 80) Zahnräder, denen n (= 80) Exzenter A gegenüberstehen, in die sie eingreifen. Wir betrachten (s. Fig. 79) nur ein Zahnrad und einen Exzenter, der bei einer Umdrehung der Achse % Umdrehungen machen möge. Die Bewegung des Exzenters wird durch den Hebel B auf die Stange B und auf den Punkt x übertragen. Dabei ist die Länge d des Hebelarms regulierbar. Die auf- und abgehende Bewegung von x ist dann proportional zx — dy sinx-ö’, wenn ff der Drehungswinkel des Zahnrads ist. Jeder der 80 Punkte x ist durch je eine, bei allen gleiche Spiralfeder s mit je einem Hebelarm u verbunden, der an

einem langen Hohlz y linder C, der auf zwei Schneiden ruht, senkrecht zu dessen Achse angebracht ist.

Durch eine andere Feder S, welche an einem gegenüberstehenden Hebelarm wirkt und den sämtlichen Federn s das Gleichgewicht hält, wird die Drehbewegung des Zylinders gedämpft. Der Hebel u trägt einen Draht w, durch den die Bewegung des Zylinders auf eine Schreibfederübertragen wird, welche auf einer tafelförmigen Scheibe die Kurve aufzeichnet. Diese Scheibe verschiebt sich bei einer vollen Umdrehung von Dum das Abszissenintervall u.

Sind l und L die natürlichen Längen der Federn s und S und werden ihnen durch Drehung der Zahnradachse Verlängerungen x bzw. y erteilt, so sind ihre Zugkräfte

IlH

==;

i Q + %x),

il

LM

HÜ!!!!!!!¹

püi

I"'......................

Eli

ii:;

Fig. 78.

{L + y),

li

worin e und Ddie Kräfte für ihre natürlichen Längen sind (xx =0, y = 0). Ist a der Hebelarm der kleinen Federn, b der Hebelarm

der großen Feder, so wird Gleichgewicht eintreten, wenn a 27p = bP ist oder

a    + Xx) — h J, (L + y) •

Hierbei setzt sich xy aus zwei Teilen zusammen, der Verschiebung zy des Aufhängungspunktes der Feder und der durch die Wirkung der großen Feder bewirkten Verkürzung §, die proportional der Verlängerung y der großen Feder gesetzt werden kann, so daß

j. a

Ka*Kb*i

wird. Dann folgt

a*i2 (z + Iy) = hï (L + y)-

y. = 1

Im Anfangszustand wird

55’

et-

Cr-

+    X**

a- a

Fig. 79.

zy stellt aber die harmonische Bewegung des Punktes x dar: zy — dy sin x& Wenn man also dy = ay macht, so erhält man für x = 1£zx = 2Jay sinx It, die Summe der sinus-Glieder der Fouriersehen Reihe. Macht man die Achse D mit ihren einen Konus bildenden Zahni’ädern frei, so kann man mit Hilfe eines langen Getriebes alle Exzenter auf einmal um 90° drehen und erhält dann, wenn man d — by (x — 1 ... n) macht,

i)

ißiA

n \ l ^ l

Hier ist 21 — nl, also

_ 1 ni l

»-■Ł

n a \

~TTy) ⁼ ~L~ '

( l I a\ ^Zx

xi + y ) ⁼

und y L    J

2Jzx'= 2Jby cos xff. Man erhält auf einmal entweder nur eine-sinus-oder eine cosinus-Reihe.

y ist aber 2Jzy proportional, und die Bewegung des Zeichenstiftes ist mit y proportional, mithin erhält man bei passenden Abmessungen des Apparats das Bild der durch ay oder by gegebenen Kurve.

Soll dagegen eine gegebene Kurve analysiert werden, so nimmt die Aufgabe im vorliegenden Falle folgende Form an: Es sind ay und by zu bestimmen aus den Gleichungen (5) S. 133:

nay =J}?y1L cos xö^,

/■>

X = 1 . . . M,

/: = i

wobei 6^ = ² ist- Wir fe^en das Abszissenintervall u der gegebenen Kurve in 2n = 80 gleiche Teile, so daß

— = ~ und 0X = u 80    x

wird und errichten in den Teilpunkten die Ordinaten yx. Diesen machen wir die 80 Hebelarme gleich: dy = yx und zeichnen durch Drehung der Kurbel der Zahnräderwelle D die zugehörigen Kurven, deren Ordinaten wir zum Unterschied mit & und z bezeichnen. Wir erhalten dann entsprechend den Gleichungen (4) S. 133:

2 Ttl

80

(A = 1, 2 ... 80)

80

80

X=1

Hier können wir offenbar x und À vertauschen, also auch schreiben:

y. = l

80

80

=2^cos(“AS)’

A = 1

*/=2*'',sinVaS)’

d. h. es ist zx = 40ax, zx — 40by. Wenn wir also für die zuletzt erhaltenen Kurven das einer vollen Periode entsprechende Abszissenintervall wiederum in 80 Teile teilen, so ist die zum Aten Teilpunkte gehörige Ordinate zx bzw. z-' das 40 fache des gesuchten Koeffizienten ax bzw. by.

Dieser Apparat wird seine Anwendung finden, wenn es nicht auf äußerste Genauigkeit ankommt, sondern Fehler von 1 bis 2 °/0 gestattet sind. Dafür liefert er in schnellster Weise die Kurven mit

Berücksichtigung der Glieder vom 80 fachen Winkel und es ließe sich diese Zahl noch leicht vermehren.

53. Apparat von Terada zur Analyse und Synthese von Schwingungen. Der Analysator von Terada, der zwar auch zur Analyse von gegebenen Kurven benutzt werden kann, dient in erster Linie zwei anderen Aufgaben, nämlich erstlich zu einer gegebenen Kurve, für deren Grundschwingung Amplitude und Periode bekannt sind (so daß man sie an den Skalen des Apparates einstellen kann), die Kurve der Oberschwingungen zu zeichnen und zweitens aus den einzelnen gegebenen Schwingungen die

zusammengesetzte Kurve darzustellen.

F.

Fig. 80.

Wir denken uns zunächst eine vom Punkte B (Fig. 80) durchlaufene Kurve gegeben und für diesen Punkt die Ordinate B A gezogen, dann wird ein dreiteiliges Gelenksystem, welches in B und A Führungs- bzw. Zeichenstifte trägt, entlang der Kurve geführt und der Apparat sorgt dafür, daß BA stets mit den 2 Ordinaten von B zusammenfällt. Dem Mittelpunkte C des Gelenksystems wird nun eine vorgeschriebene harmonische Bewegung (Sinuskurve) mit Hilfe des Apparates erteilt. Da die Dreiecke, die das Gelenksystem mit der Ordinate bildet, gleichschenklig sind, so sind sie mit Rücksicht auf die Gleichheit der Winkel bei C auch in jedem Augenblicke kongruent.

Sind also in den drei Kurven die Ordinaten

00

des Punktes B

3/1 = &o + si*¹ 'ö' ~l~ by sin st# + \ sin &

so ist wegen

Vz — y* = y% - Vx 00

Vz =    — yx — — ^Xsinxft,

x = 2

d. h. der Stift M zeichnet das Spiegelbild der Oberschwingungen. Man kann das Verfahren wiederholen und andere Oberschwingungen eliminieren, indem man z. B. bei C das Glied mit sin 21t hinzunimmt. Auch kann man eine Maßstahänderung für ys erhalten, wenn man BC:CA = 1 : p macht, und dasselbe Verhältnis entsprechender Seiten der beiden Dreiecke durch Verschieben der Gelenke herstellt, ferner dem Punkte C die Bewegung

(&o + ⁶isin

erteilt. Dann wird wegen also

00

Vz--

fl ^'i by sin y.lh

x= 2

Der Apparat besteht aus zwei Zeichenblöcken (Fig. 81), welche die in derselben Ebene liegenden Blätter für die von A und B beschriebenen Kurven tragen. Zwischen beiden befindet sich ein Wagen K, der sich auf Schienen bewegt, die der «-Achse parallel laufen. Dieser Wagen trägt einen Konus TV, dessen Spitze nach unten gerichtet ist und der an der einen verstellbaren Schiene Bx anliegt. Je nachdem diese Schiene, den Konus berührend, hinauf oder hinunter geschoben wird, erzielt man eine schnellere oder langsamere Umdrehung des Konus bei Bewegung des Wagens. Die Einstellung dieser Schiene wird daher die Periode bestimmen, in der sich ein oben auf dem Konus befindlicher Stift P um die Achse des Konus herumdreht. Dieser Stift kann nun in verschiedene Entfernung von der Achse gestellt werden, wodurch die Amplitude der durch ihn heiworgerufenen Bewegung des Punktes C bestimmt wird. Dieser Stift wird nämlich in dem der «-Achse parallelen Schlitz eines in der Richtung der y -Achse beweglichen Schlittens S geführt. Bei der Drehung des Stiftes um die Konusachse führt der Schlitten die Verschiebungen aus, welche die Pro-jektion des Punktes P auf die «/-Achse erfährt, und da der Punkt C mit ihm fest verbunden ist, so führt C ebenfalls eine harmonische Bewegung in der Richtung der «/-Achse aus. Die Stifte A und B werden auch in der Richtung der «/-Achse durch Schienen geführt, die mit dem Wagen fest verbunden sind. Die Gelenkver-

r' .......................

Fig. 81.

bindung JJ besteht in der oben beschriebenen Weise zwischen B: C und A. Die Gelenke selbst werden durch Schrauben gebildet, die durch Schlitze geführt und in diesen verstellbar sind.

Die zweite der genannten Aufgaben läßt sich folgendermaßen lösen. Man führt A auf einer Parallelen zur x-Achse, dann beschreibt B eine Sinuslinie (deren Amplitude und Periode an der Schiene Bl und dem Stifte S eingestellt werden muß). Man bringt diese Sinuslinie unter A und stellt Amplitude und Periode der ersten Oberschwingung ein, so erhält man unter B die aus beiden Schwingungen zusammengesetzte und kann in dieser Weise fortfahren.

IX. Abschnitt.

Integraphen.

54. Grundlagen. Bei den in den voranstehenden Abschnitten behandelten Integrierapparaten wurden bestimmte Integrale zwischen gegebenen Grenzen erhalten, die Integraphen geben auch unbestimmte Integrale, indem sie, und dies ist ihr wesentlicher Unterschied, die Integralkurve graphisch aufzeichnen.

Wir nehmen an, die gegebene Kurve, die wir als Differentialkurve bezeichnen, habe die Gleichung y = f(x), dann bezeichnen wir als Integralkurve die durch die Gleichung

= Vf(x)dx + C = F(x) C

definierte Kurve.

O2D

Fig. 82.

= f(x) = «/ = tg gp, d. h. die Tangente der

Integralkurve in einem Punkte B («, Y) schließt mit der «-Achse denselben Winkel cp ein und ist daher der Direktrix in dem Punkte A, der auf der Ordinate von B liegt, parallel. Diese Eigenschaft kommt sämtlichen Integralkurven zu, deren es wegen der willkürlichen Konstante C unendlich viele gibt. Denkt man sich das Koordinatensystem so verschoben, daß der Anfangspunkt der Differentialkurve mit dem Koordinatenanfange zusammenfällt, so daß also in diesem Punkte y — 0 ist, so wird Y — C, und damit ist für einen gegebenen Wert von C die Lage der Integralkurve bestimmt. Ferner wird für jeden Schnittpunkt der Differentialkurve mit der «-Achse y = 0 und damit cp — 0, mithin ist in dem zu derselben Abszisse gehörenden Punkte der Integralkurve die Tangente der

d Y

«-Achse parallel, und die Bedingung ^    = 0 drückt gleichzeitig

Andererseits ist

Wir denken uns beide Kurven auf rechtwinklige Koordinatensysteme mit derselben y-Achse und parallelen «-Achsen, die um C von einander abstehen, bezogen (Ox 0₂ = C). Die Gleichung für Y zeigt, wenn wir das Integral zwischen bestimmten Grenzen (z. B. «x für den Punkt Ox und x₂ für den Punkt Ö) nehmen, daß die Oi'dinate (B C) eines Punktes (5) der Integralkurve den Inhalt der von der Differentialkurve, demselben Abszissenintervall und den zugehörigen Ordinaten begrenzten Fläche mißt. Wir wählen eine passende Strecke in der «-Achse als Längeneinheit, z. B. CD und tragen sie von dem Ordinaten- C\ fußpunkt C der P unkte A und B nach rückwärts ab, dann schließt die Verbindungslinie DA, die wir die Direktrix der Kurve f{x) im Punkte A nennen, mit der «-Achse einen Winkel cp ein, der durch tgcp = y bestimmt ist, da ja DC = 1 angenommen ist. dY

dx

{x — a)² -f (y — bf = r²,

so ist

aus, daß die Ordinate der Integralkurve ein Maximum oder Minimum erreicht.

Erreicht die Ordinate der Differentialkurve ein Maximum oder

d²Y dx²

Minimum, so ist

dy

= 0. Dann wird

= 0, also hat

dx x₀

die Integralkurve im allgemeinen einen Wendepunkt.

Ist ein Stück der Differentialkurve eine Parallele y — b zur dY

\x = x₀

= tg cp = b und Y = b x -j- c die Gleichung

x-Achse, so ist

des entsprechenden Stückes der Integralkurve, die eine unter dem Winkel cp — arctg b geneigte Gerade darstellt. Ist umgekehrt die Differentialkurve eine geneigte Gerade y = ax-\-b, so ist Y =

— x² -j- bx -j- c, also die Integralkurve eine Parabel. Wenn man

daher die Differentialkurve aus kleinen geraden Linienelementen entstehen läßt, also als einen Polygonzug ansieht, so wird die danach gezeichnete Integralkurve sich aus kleinen Parabelelementen zusammensetzen.

Ist die Differentialkurve ein Kreis, mit der Gleichung

dx

S-l SU

a i««

Für die Punkte x = a, y — b i r wird

= 0. Die Inte-

(PY\ dx'¹ \x = a

gralkurve hat jedesmal einen Wendepunkt, wenn die Tangente der Differentialkurve der x-Achse parallel ist. Wenn die Tangente der Differentialkurve der ^/-Achse parallel ist, was in den Punkten y = b, x = a ń: r stattfindet, so wird

= oo, cp = 90° und

dx²

= oo;

in diesem Falle hat die Integralkurve eine Spitze. Es sei noch bemerkt, daß die Integralkurve keine Strecken enthält, die der

d Y

«/-Achse parallel sind, weil für ^ = oo auch y = oo sein würde.x)

1) D’O cagne gibt eine einfache Konstruktion für den Krümmungsradius r der Integralkurve an. Es seien A und B die derselben Abszisse entsprechenden Punkte der Differential- und Integralkurve,

55. Instrument von Abdank-Abakanowicz. Zuerst hat das Prinzip eines Integraphen Coriolis angegeben (1836), später haben sich Zmurko (l861), J. Thomson und Cayley (1876 und 1877) damit beschäftigt, 1878 haben Abdank-Abakanowicz und ziemlich gleichzeitig Boy s Integraphen konstruiert. Wir gehen nur auf die neuere Form ein, welche Coradi dem Instrument von Abdank-Abakanowicz gegeben hat, dessen Konstruktion der Erfinder nicht mehr erlebt hat.

Das Instrument besteht aus einem rechteckigen Rahmen, dessen lange Seiten L und L' (Fig. 84) bei dem größeren Modell etwa 52, bei dem kleineren 27 cm lang sind und als Schienen für zwei Wagen, den Differential wagen W und den Integral wagen PF¹

A T die Tangente der Differentialkurve und CT — a ihre Subtangente, qp wie früher der Winkel der Tangente B E der Integralkurve mit der x-Achse oder auch der Direktrix DA der Differentialkurve, so ist

g — y ^ oder wegen

dY V

_ = tgqp = y auch

Wenn dS

dx

Ty■

,<p

das Bogenelement der Integralkurve bezeichnet, ist r = ^ und acp

Fig. 83.

coscpdS=dx. Da ferner sec⁸qp(?qp = dy ist, so ergibt sich

dS

dx

r~dy

sec⁸ cp — -3— sec³ qp

oder 6 = t sin cp cos² qp.

sin qp cos⁸qp

Man errichte in B senkrecht zur Tangente BE die Normale der Integralkurve, welche in S die Ordinate von T schneide. In S errichte man wiederum eine Senkrechte SR aüf SB, deren Schnittpunkt mit der Ordinate CB in R sei. Eine Parallele RQ zur x-Achse trifft die Normale BS im Punkte Q, dem gesuchten Krümmungsmittelpunkt. In der Tat ist, wenn wir noch die Parallele FS — g ziehen,

dy

also

und

B F = g ctg qp, FR — ctg cp, B R = G (tg qp -f- Ctg cp)

BQ

BR

cos qp sin qp COS² qp

dienen. Der Rahmen selbst ruht auf zwei an seinen beiden schmalen Enden angebrachten Rollen r, während als dritter Stützpunkt ein mit dem Differentialwagen verbundener Fahrstift t hzw. eine seitlich neben ihm angebrachte Stütze s dient. Das Instrument hat also insoweit eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Coradischen Rollplanimeter (vgl. Fig. 50 u. 53). Die Bewegung auf den Rollen findet senkrecht zur Schienenrichtung in gerader Linie statt, die wir als Abszissenrichtung wählen. Jeder der beiden auf den Schienen laufenden Wagen wird auf zwei hintereinander in einer Nut rollenden Rädchen bewegt. Während der Differentialwagen, wie erwähnt, an einem in der Länge innerhalb gewisser Grenzen verstellbaren, senkrecht zur Schiene gerichteten Arme B den Fahrstift trägt, ist mit dem Integralwagen ein Zeichenstift Ti verbunden. Der Arm A desselben ist unter den Schienen nach vorn durchgeführt, so daß dieser Stift, ebenso wie der andere von dem Beobachter im Auge behalten wird. Auch dieser Arm hat die Richtung der x-Achse. Mit dem Integralarm ist nun in einem um eine senkrechte Achse drehbaren Rahmen C die scharfkantige Rolle i verbunden, welche auf der Zeichenebene rollend die.Integralkurve beschreibt. Damit dieses Rad in jedem Augenblick die Richtung der Tangente der Integralkurve einnimmt, ist folgende Einrichtung getroffen. Um eine in der Mitte des Instruments befindliche feste Achse ist eine Schiene T> drehbar, und zwar so, daß sie sich in einem Lager <7, das mit dieser Achse verbunden ist, frei hin- und herschieben läßt. Ihr eines Ende ist an einem Punkte M des Differentialwagens drehbar befestigt, von dem wir zunächst annehmen wollen, daß er auf der Differentialkurve geführt wird. (Er entspricht also dem Punkte A in Figur 82, während der Drehpunkt der Schiene in der Mitte des Instruments den Punkt D darstellt, die Abszissendifferenz beider Punkte ist konstant und stellt die als Einheit gewählte Strecke CD dar.) Auf der Direktrixschiene D läuft nun ein dritter Wagen W² und dieser ist mit dem Rahmen, der die Achse der Rolle i hält, durch ein Gelenkparallelogramm P verbunden. Hierdurch wird die Ebene von i stets der Schiene D und der Bewegungsrichtung des Wagens W² parallel gehalten.

Dadurch, daß nicht der Drehungspunkt M der Direktrixschiene am Wagen W, sondern der senkrecht zur Bewegungsrichtung von W stehende Differentialarm den Fahrstift trägt, tritt eine Verschiebung der ^/-Achse der Differentialkurve ein. Ebenso zeichnet nicht die Rolle i, sondern der um eine konstante Länge in der

Richtung der x- Achse abstehende Zeichenstift Je die Integralkurve, wodurch auch diese in der Abszissenrichtung verschoben erscheint. Eine solche Verschiebung wird ferner dadurch notwendig, daß die beiden \ Stifte t und Je sich nicht gegenseitig ' stören dürfen. Bringt man näm- ^ lieh den Differentialwagen W in die Mitte des Instruments, so daß die Direktrixschiene parallel der x-Achse steht, so rollt der Wagen TV² in der Richtung der x-Achse und auch die Rolle i muß in dieser Richtung rollen. Um dies aber zu ermöglichen, wird der Wagen IV¹, mit dem die Rolle i fest verbunden ist, gezwungen, ebenfalls in die Mitte des Instruments zu rollen. Folglich befinden sich nicht nur i und TV² in |f⁻derselben Vertikalebene (die senk- g recht zur Längserstreckung des Instruments steht), sondern auch die beiden Stifte. Der Differentialstift t ist deshalb an einem etwas höher liegenden Arm angebracht und dieser Arm kann durch die Hülse H etwas verlängert werden, damit die beiden Stifte sich nebeneinander befinden (um eine konstante Abszissendifferenz von einander liegend). In dieser Grundstellung beschreiben bei Bewegung des ganzen Instruments die beiden Stifte eine der x-Achse parallele Gerade. Man untersucht auf diese Weise vor Beginn der Arbeit mit dem Instrument, ob die Schienen die vorschriftsmäßige Lage parallel zur «/-Achse haben.

LT⁵

•• KBÊM& *

«Hl

mr.

»AV

cd

üJHosrj 'H

Im

ca

mi

SSV

ri

il

F-

Will man eine vorgelegte Kurve integrieren, so löst man den Differentialwagen FF, den man an jeder Stelle festklemmen kann, und bringt den Fabrstift t auf den Anfangspunkt der Kurve. Den Integralwagen W¹ schiebt man dagegen möglichst weit zur Seite, wo die Teilung ihren Anfangspunkt hat, an der man die Ordi-naten Y ablesen kann. Wie weit diese Verschiebung möglich ist, hängt von der Längeneinheit ab, die sich in gewissen Grenzen verändern läßt¹), beim großen Apparat zwichen 10 und 20 cm, beim kleinen zwischen 4 und 12,5 cm. Jede Bewegung des Fahrstifts t in der Richtung der x- Achse wird durch das Rollen des ganzen Instrumentes auf den Rädern r, jede Bewegung in der y-Achsenrichtung durch Verschiebung des Differentialwagens Wauf seiner Schiene L bewirkt. Bei letzterer Bewegung wird die Direktrixschiene um den festen Drehpunkt (unterhalb g) in der Mitte des Instruments gedreht. Die Einstellung des Stiftes t bzw. des Wagens W in der «/-Richtung bestimmt also die Richtung der Direktrixschiene D. Der Wagen W² bleibt dabei durch seine Verbindung mit dem Rahmen C der Integrierrolle nahezu in unveränderter Entfernung von diesem und rollt infolgedessen auf der Schiene D bei ihrer Drehung. Das von W² geführte Gelenkparallelogramm P dreht nun den Rahmen C so, daß die Ebene der Rolle i parallel der Schiene D liegt. Wird diese Rolle durch Bewegung des Instrumentes in der Abszissenrichtung in Drehung versetzt, so kann sich ihre Drehungsebene nicht ändern. Dadurch entsteht eine seitliche Komponente, welche die Rolle i und damit den Stift Tz durch Bewegung des Wagens W' längs L' in der Ordinatenrichtung verschiebt.

Die Ausdehnung der gegebenen Kurve kann, wie man sieht, in der æ-Richtung beliebig groß sein, in der «/-Richtung ist sie durch die Abmessungen des Instruments (auf etwa 52 cm beim großen Modell) beschränkt.²)

1)    Der Differentialarm B trägt eine Teilung. Durch die Schraube N läßt sich der vordere Drehpunkt der Direktrixschiene D auf dem Differentialarm verstellen, wodurch die Einheitsstrecke geändert werden kann.

2)    Die Anwendungen des Instruments sind sehr zahlreich. Wir geben nur einige Beispiele:

a) Auflösung numerischer Gleichungen, z. B. :

æ⁴ — 2,50 xs + 1,76 xi — 0,14 x — 0,12 = 0.

Wir setzen

56. Integrator von Pascal. Der wesentliche Punkt, durch den sich der von Ernesto Pascal 1909 konstruierte Integra-tore meccanico von dem vorhergehenden unterscheidet, liegt in dem Wegfall der festen Drehachse der Direktrixschiene. Im übri-

y = xi — 2,50 a?³ -f- 1,76 x* — 0,14 a; — 0,12 = y₀

= 4a;⁸ — 7,50a;² -f- 3,52 x — 0,14

2/i

= 12 xÿ — 15 x -j- 3,52

aar

Wir nehmen an, daß die Instrumentalkonstante, d. h. die Zahl, mit der die Ordinate der Integralkurve multipliziert werden muß, um die Fläche der Differentialkurve zwischen der æ-Achse und der entsprechenden Ordinate zu erhalten, der Einheit gleich sei. Man nimmt zunächst als Differentialkurve die Gerade t/₄ — 24, dann zeichnet der Integralstift ys = 24 a; -J- C. Dann stellt man den Differentialwagen so, daß für x = 0 y = —15 ist und durchläuft die Gerade y₃ = 24a; — 15. Man erhält die Integralkurve y₂. Indem man den Differentialwagen so stellt, daß für x = 0 y = -j- 3,52 ist, integriert man die erhaltene Kurve yt und so fort, bis man schließlich y₀ erhält. Die Schnittpunkte (y = 0) der zuletzt erhaltenen Kurve mit der x- Achse liefern die Wurzeln der vorgelegten Gleichung:

a?i =    0,2, *^2 = -j- 0,5, x₃ = -J- 1,0, a;₄ = -j— 1,2.

dny dxn

die Gleichung durch eine Kurve gegeben ist. Man erhält durch den Apparat die n auf einander folgenden Integralkurven.

c) Bestimmung der Momente einer Fläche in bezug auf eine (der y-Achse parallele) Achse.

a

Ist jydx die gegebene Fläche, so ist

b

der vorgelegten Kurve bis zur Ordinate in x,

b) Differentiation von Differentialgleichungen

Yi=jY₁dx=j j^ydx-dx

= 2/*

= 2/s

= 2/4-

f n (x), wenn

Yj. =J ydx

o

die Fläche

VS

Sl,

das statische Moment der Fläche in bezug auf eine mit der Endordinate (x — a) zusammenfallende Momentenachse, Ferner ist

Galle: Mathematische Instramente.

11

gen ist auch hier ein paralleles Schienenpaar auf einem Rahmen vorhanden, der senkrecht zur Schienenrichtung, die wir der «/-Achse parallel annehmen, auf zwei Rollen läuft. Auf der einen Schiene läuft der Differential-, auf der anderen der Integralwagen. Die Direktrixschiene verbindet hier einfach die beiden Wagen und zwar ist sie um eine Vertikalachse des Differentialwagens so drehbar, daß sie sich in einem mit dieser Achse sich drehenden Lager in ihrer Längsrichtung verschiebt. Sie trägt am hinterer Ende (Fig. 85) den Rahmen für die Achse der Integrierrolle, deren Ebene der Direktrix par-

II

5p

Fig. 85.

allel gehalten wird. Der Abstand der Schienen oder genauer die Projektion der Entfernung vom Drehpunkt der Direktrix bis zum Berührungspunkt der Integrierrolle mit der Papierebene auf die «-Achse ist die Längeneinheit oder Basis des Apparates. Mit den

2 ydx•

==J* Y₂dx =j*ydx j*vdx— j 0 0 0 0

Also liefert die Ordinate Ys der dritten Integralkurve das Trägheitsmoment in bezug auf dieselbe Achse. Auf einfache Weise läßt sich auch die Lage des Schwerpunktes der Fläche bestimmen.

d) Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trägt man die Fehler t einer Beobachtungsreihe als Abszissen auf, die relative Häufigkeit (Anzahl dividiert durch Gesamtzahl der Fehler) als Ordinaten und bezeichnet diese mit y — cp(s), so wird die Wahrscheinlichkeit des Fehlers durch

Wenn man die Kurve qp(e)

das Integral W—jcp(s)d8 dargestellt.

mit dem Fahrstift durchläuft, so geben die Ordinaten der Integralkurve W.

Bezüglich anderer Anwendungen sei auf Br. Abdank-Abakanowicz Les Intégraphes, la courbe intégrale et ses applications, Paris 1886 verwiesen.

beiden Wagen sind der Führungs- und Zeichenstift verbunden, die an Armen angebracht sind, die senkrecht zur Schienen (y-) Richtung stehen, also eine konstante Verschiebung der Kurven in der Richtung der Abszissen verursachen, von der wir bei der Theorie der Einfachheit wegen absehen können. Bei dem neuesten Modell läßt sich die Größe der Basis durch Entfernung der Schienen voneinander verändern. Die beiden Stifte liegen auf.verschiedenen Seiten der Schienen, weshalb das Instrument beim Gebrauch mit Vorteil so aufgestellt wird, daß die Schienenrichtung nach dem Beobachter zeigt, also das Instrument nach rechts oder links rollt. Die wesentliche Vereinfachung gegenüber dem Integraphen von Abdank-Abakanowicz liegt in dem Wegfall des dritten Wagens.

Um die Wirkungsweise des Instruments zu erkennen, halten wir den Integralwagen in einer beliebigen Stellung fest und lassen den Differentialwagen laufen. Dann ändert die Direktrixschiene fortgesetzt ihre Richtung und verschiebt sich dabei in ihrem Lager auf dem Differentialwagen. Infolge dessen dreht sich die Integrierrolle auf dem Berührungspunkt mit der Zeichenebene ruhend, ohne zu rollen. Läßt man umgekehrt den Integrierwagen frei und hält man den Differentialwagen fest, bewegt dagegen das ganze Instrument in der Richtung (der «-Achse) senkrecht zu den Schienen, so wird die Integrierrolle in ihrer Ebene sich um ihre Achse drehen. Wenn der Winkel der Rollenebene gegen die «-Achse cp ist, so wird bei einer Bewegung dx des Instruments von der Rolle der Weg cos cp dx abgewickelt. Da die Rollenebene ihre Richtung beibehält, so findet wegen der Komponente sin cpdx eine Bewegung des Integralwagens auf seiner Schiene, in der ^-Richtung, statt:

d Y

dY — dx sec cp sin cp = tg cp dx, mithin ist ^ = tg cp. Da nun die

Rollenebene ihre Richtung festhält, also cp konstant bleibt, so wird Y— xtgcp-\-C=bx-\-C, d. h. der Integrierstift beschreibt eine gegen die Abszissenachse um den Winkel cp geneigte Gerade. Wird dagegen auch der Differentialwagen losgelassen, so ändert sich fortgesetzt die Richtung der Direktrixschiene, also auch diejenige der Rollenebene, und der Integrierstift beschreibt eine stetig gekrümmte Kurve.

Wir denken uns die gegebene Differentialkurve und die Integralkurve auf dieselbe «-Achse bezogen. Sind «, y die Koordinaten der gegebenen Kurve, X, Y der Integralkurve, so ist X — « = 6 der konstanten Basis des Apparates gleich, die wir als Einheit wählen.

Wenn ferner cp der Winkel der Direktrix mit der Achse, also auch der Tangente der Integralkurve ist, so bestehen die Glei-

d Y

chungen tg cp — y — Y und = y — Y. Bezeichnen wir noch d Y

-j— — Y', y = F(oc), so erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

(1)

r+ Y-F(x),

die daher durch den Apparat integriert wird.

Sind die Ordinaten beider Kurven gleich, y = Y, so hat die

Integralkurve ein Maximum oder Minimum, weil Wenn die Tangenten entsprechender Punkte beider Kurven zusammenfallen , also ⁽~^ — ^ Y

die Integralkurve hat eine Wendetangente parallel zur æ-Achse. Wenn die Ordinate der Differentialkurve diskontinuierlich ist, so ist die Tangente der Integralkurve diskontinuierlich. Wenn nämlich der Fahrstift einen Kurvenbogen durchläuft und man läßt durch einen Zug den Differentialwagen auf seiner Schiene laufen, ohne den Apparat zu verrücken, und verfolgt dann mit dem Fahrstift einen andern Kurvenbogen, dessen Anfangspunkt also eine andre Ordinate, aber dieselbe Abszisse wie der Endpunkt der erst beschriebenen Kurve hat, so wechselt die Integralkurve plötzlich ihre Richtung. Sie macht, von der Unterbrechung an, einen Winkel mit der bis dahin beschriebenen Kurve, also hat die Integralkurve einen Rückkehrpunkt. Wenn dagegen die Tangente der Differentialkurve diskontinuierlich ist, aber ihre Ordinate kontinuierlich, so bleibt die Tangente der Integralkurve kontinuierlich. Wenn also der Fahrstift einen Kurvenbogen bis zu einem gewissen Punkte beschreibt, und man läßt nun plötzlich den Apparat in entgegengesetzter Richtung rollen, so entsteht bei der Integralkurve eine Spitze, da die beiden Teile der Kurve in dem betrachteten Punkte eine gemeinsame Tangente haben.

Das allgemeine Integral der Gleichung (l) ist

dx

= 0 ist.

dx

ist, so wird

= Y" = 0, und

(2) Y = e~x[J'F(x)<fdx -f c] = Y₀ + e~xjF(x)<?dx,

*0

wenn Y = F₀ für x — x₀ ist.

Befährt man eine geschlossene Kurve mehrmals, z. B. einen Kreis mit der Gleichung (x — a)² Ą- (y — 5)² = r², so hat die Integralkurve in den x = a + r entsprechenden Punkten Spitzen (vgl. S. 156) und bei mehrmaligem Durchfahren werden sowohl die Spitzen, welche x = a r entsprechen, als auch diejenigen, welche x — a — r entsprechen, gleiche Ordinatendifferenzen haben. Die Ordinate vergrößert sich nach jedem vollen Umlauf um

Xo

e-x ! F(x')éedx,

x₀

wo sich die Grenzen auf denselben Punkt vor und nach dem Umlauf beziehen. Der Faktor e~x ist um so kleiner, je größer die Abszisse ist, also die konstanten Ordinatendifferenzen sind für die Abszisse x = a — r größer als für die Abszisse x = a Ą- r.

Setzt man in (2) F(x) — a einer Konstanten gleich, so folgt³)

(3)

Y = a -f- Ce~x.

Man erhält also die Exponentialkurve. Sie nähert sich asymptotisch der Geraden Y = a. Wenn wir die x- und y-Achse so legen, daß der Punkt x — 0 Y₀ = a + 1 ein Punkt der Kurve ist, so erhalten wir in diesem Punkte

y₀ — ci 1 = ei -}- (7, also G = -f- 1,

mithin als Gleichung der Kurve nach (3) Y = a + e⁻*, oder wenn wir die x-Achse parallel um den Abstand a verschieben:

Y    — + e~x, oder auch, wenn wir das Zeichenblatt um 180° drehen, so daß -j- x in — x übergeht, Y = + ex.

Verschiebt man die y-Achse parallel um x = — m, so wird

Y    = ex+m= Mer®, und man erhält die logarithmische Kurve.

Hat man die Integralkurve Y = eæ erhalten und durchläuft man diese Kurve als Differentialkurve mit dem Fahrstift, so erhält man eine neue Integralkurve

e"*[ fe*xdx + C] - jex + Ce~x.

(4)

Z =

Ft(x) = F

Das Vorzeichen von C hängt von der Anfangsstellung des Integralwagens ab. Beginnen wir die Durchfahrung von

im Punkte x = 0, y = 1, so wird, je nachdem die Anfangsstellung des Integralwagens Z₀ 7> Z₀ = Z₀ <C y gewählt wird, (7 positiv, null oder negativ sein, da für x = OZ₀ — j-j-C oder C — ZQ — y ist.

Ist C positiv, so stellt (4) eine Kettenlinie dar. Wenn nämlich der Anfangspunkt auf der x-Achse verschoben wird, so daß x = x -f- m ist, so erhält man mit m = y log 2 C die Gleichung in der Form Z — \em{ex' + e~x'), also die Kettenlinie mit dem Parameter em =]/2 C. Ist C — y (Z₀ — l), so erhält man die Kurve Z = j(ex -j- e~x) = cos ix = (£of x. Ist (7=0 (Z₀ = |), so wird Z — |ex, also ist die Integralkurve wiederum eine Exponentialkurve. Ist endlich C negativ, so erhält man

Z — \em{f — e~x) und für m = 0 Z =    — e~x) = <&inx.

Auch mit diesem Apparat lassen sich algebraische Gleichungen lösen. Setzt man in (2)

F(x) = e~x, so ist Yx = e~x(x -f (7). Integriert man diese Kurve nochmals, so liefert der Apparat¹) r₂ = e~x(\x² + Gx+ C')

und so fort.²)

Wird der Schienenabstand verstellbar eingerichtet, so daß man

erhält, so ist

1) Yi = e~x [ j"F(x)exdx + C'J = e-x[j’x + C)dx + C'J , F(x) = e~x(x + G)

statt der Basis 1 die Basis

wenn

eingesetzt wird. 2) Beispiel:

\x* -\- \Mx* Nx -\- P = 0 |æ² -f- Mx -{- N — 0 x Ą- M — 0 ,

1. Differentialkurve: y = e~x. Einstellung des Differentialwagens:

æo = °i 2/o = ¹

Yl = e ~ x {x -f- C). Einstellung des Integralwagens : xü = 0, Y₀ = M, also

«o = °i Vo = M

Integralkurve :

2.

Yl = e~x(x + M)

Y, = e~x(^ + Mx')+ e~xC z₀ = 0, Y₀ = N

Y' + aY=ay.

i B

re i¹"®

Integriert man die Kurve Y von neuem und wählt die Basis y, so erhält man

Y'

Z'+bZ =bY=by -

oder

also mit

CfQ

'S

und -rj— — ay — aY,

aZ' -f- cibZ — aby -J- 6 Y' = 0.

Nun erhält man durch Differentiation Z' -f bZ' — bY —0, oder wenn man den Wert für b Y' einsetzt,

Z -}- (a -)- b)Z abZ = aby,

wo y — f{x) die ursprünglich gegebene Kurve ist. Man kann in dieser Weise fortfahren und erhält Differentialgleichungen von beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Der Apparat zeichnet die Kurve der Funktion Z, welche der Differentialgleichung genügt.

Sollen die Koeffizienten nicht Konstante, sondern Funktionen

von x sein, so muß die Basis eine Funktion von x sein, also durch einen Mechanismus der Schienenabstand stetig geändert werden. Dieser Mechanismus müßte mit einem Stifte verbunden sein, mit dem man eine gegebene Kurve <2>(;r) umfährt, aber die gleichzeitige Führung von zwei Stiften auf zwei Kurven hätte Schwierigkeiten, und es müßte ein zweiter Beobachter tätig sein.¹)

3.

Y* = e-X(Y+łMxi+Nx + C)

Ys=e-*(j + łMx* + Nx + Py

x₀ = o, y<> = N

*o = °, Yo = P

Die Schnittpunkte der Kurve Ys mit der æ-Achse geben die reellen Wurzeln der vorgelegten Gleichung.

1) Wenn a eine Funktion von x ist, stellt die Gleichung Y'-f- aï — ay die Form dar, auf die eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung stets gebracht werden kann.

¹

Die Anordnung der Kugel mit zwei Meßrollen rührt von Max Küntzel, Markscheider in Charlottenhof bei Königshütte O/S her.

²

Wenn die Achsen der Zapfen nicht über den Kugelmittelpunkten M liegen, so entstehen Fehler, die sich aber durch Befahren der Kurve in entgegengesetzter Richtung eliminieren lassen. Bezüglich aller Einzelheiten der Konstruktion, der Behandlung des Instruments und der Fehlertheorie muß auf die eingehende Theorie des harmonischen Analysators von Dr. L. Gr ab owski (Sitzungsberichte der math. naturw. Klasse der K. Akademie der Wissenschaften in Wien, Bd. 110, Abt. Ha, S. 717—889, Wien 1901) verwiesen werden. Das dort mitgeteilte Beispiel zeigt, wie die Resultate durch Anbringung von Korrektionen wesentlich verbessert werden.

³

Y = ae~xJFdx = ae~x(ex + c), ac = C.

Wesentlich einfacher ist eine andere Abänderung (Fig. 86), welche der Ebene der Rolle eine beliebige konstante Neigung a gegen

’ ■ -.Ï

Fig. 86.

die Direktrixschiene gibt. Sei a der Winkel, so daß der Winkel der Rollenebene gegen die x-Achse cp -f a wird, so erhält man

oder

aJ a-& I w

== tg (?> + a) =

tgqp + tg«

1 — tg qp tg a

y — Y = tg g) =

, oder mit tg a — m Y' — m

i + »r’

m — Y'

1 -j- w Y'

oder

Y'[l -f- m( Y — î/)1 -f- Y — y — m = 0.

Dies ist also eine Differentialgleichung, die der umgeänderte Apparat integriert.

Wird im Besonderen die Rolle senkrecht zur Richtung der Direktrix gestellt, also der Winkel cc — 90° gemacht, so integriert das Instrument die Differentialgleichung

y' ■+■ y —y' + f(x)-

Diese Vorrichtung, welche die Rollenebene um eine vertikale Achse beliebig zu drehen gestattet, kann auch bei dem Instrumente von Abdank-Abakanowicz angebracht werden. Der Drehungswinkel <x wird dabei an einem horizontalen, geteilten Kreise eingestellt. Wir werden die Instrumente von Ab dank und Pascal kurz durch A und P bezeichnen. Da der Unterschied in der

Theorie darin liegt, daß bei P: y— Y — a tg cp, bei A: y = a tg cp ist, wenn a die (gewöhnlich = 1 gesetzte) Einheitsstrecke oder Basis des betreffenden Instrumentes bedeutet, so erhalten wir bei A einfacher mit tga = m

am -f- f(x) a — mf(x)

Y' =

Für « = — 90° und a = 1 wird ferner bei A

*-r oder Y = /

A)    J i

Y' =

+ C.

dx

/’(*)

Wählt man im Besondern f(x) = x d. h. als Differentialkurve eine um 45° gegen die Abszissenachse geneigte Gerade, so zeichnet der Integrierstift für gegebene Grenzen die Kurve

Y = log#.

Läßt man nun die Stellung der Rolle (a = — 90°) unverändert und verwendet man die soeben erhaltene logarithmische Kurve als Differentialkurve, so beschreibt der Integrierstift, indem man f(x) = log# einzusetzen hat, die Funktion

_ i dx

J 1 _

log x ’

die zuerst von Euler¹) betrachtet und von Soldner²) Integrallogarithmus benannt worden ist. Gauß³) hat darauf aufmerk-sam gemacht, daß dieses Integral die Anzahl aller Primzahlen unter einer gegebenen Grenze nahezu darstellt. Das Instrument gibt daher eine zahlen theoretische Anwendung, indem die Ordinate Y die Anzahl der Primzahlen unter der durch die zugehörige Abszisse x dargestellten Zahl mißt.

Noch zwei andere Abänderungen des Integraphen rühren von Pascal her.

Die erste besteht darin, daß an Stelle der einen geradlinigen Schiene, nämlich derjenigen, auf welcher der Integralwagen läuft, eine gekrümmte Schiene eingesetzt wird, welche die Gestalt einer vorgeschriebenen Kurve besitzt.

Denken wir uns durch den Drehpunkt der Direktrix am Differentialwagen eine Parallele zur y-Achse gelegt, die also nahe mit der Differentialschiene zusammenfällt, und den Anfangspunkt des mit dem Instrumente beweglichen Koordinatensystems auf der festen x-Achse, so kann man sich die Gleichung der Schienenkurve in der Form £ = <P(Y) gegeben denken. Dies ist zugleich die Kurve, welche der Integrierstift bei ruhendem Instrument beschreibt, wenn sein Wagen auf der gekrümmten Schiene läuft, nur um ein konstantes Stück in der Abszissenrichtung verschoben. Es ist nun X = £ -f- x und daher y — f(X — £) = f(X — &{YŸ). Wird noch die Rollenebene drehbar angenommen, so erhalten wir bei Instrument A mit m — tga

r-

ma -\- f(X— <&(Y)) a — mf(X— &(Y))

Beim Instrument P ist a der Abszissenunterschied des Integrierstiftes und Drehpunktes der Direktrix, mithin tritt bei dem abgeänderten Instrument £ an Stelle von a und aus Y' = tg(<p + a) und y — Y — £tgcp folgt

m$(Y) -F f{X — $(D) — Y #(Y) — m [f(X — $( D)^Tj ‘

Die zweite Abänderung, die ohne Weiteres nur beim Instrument P angebracht werden kann, läßt die geradlinigen Schienen unverändert, ersetzt dagegen die Direktrix durch eine Kurve von gegebener Form. Die Integrierrolle wird dabei so geführt, daß ihre Ebene stets die Tangente dieser Kurve enthält.⁴) Der veränderliche Winkel, den dann die Rollenebene mit der geraden Linie bildet, welche die Direktrix in ihrer ursprünglichen Gestalt darstellt, sei a und cp + « der Winkel mit der x-Achse. Der Winkel a hängt von der Stellung der beiden Wagen auf ihren Schienen bei ruhendem Instrument, also von y — Y ab und wir können daher tgcc = ip( y — Y) setzen. Wegen Y' = tg(qp + u), y — Y = atgqp, y — fix) wird daher

Y' = /fo) — Y+    — Y)

a — \f(x) — Y]ty(f{x) — Y)

Auch die gleichzeitige Anbringung beider Variationen hat Pascal untersucht.

Polarintegraph. Wir wenden uns noch einer andern Form eines Integraphen zu, den Pascal konstruiert hat. Ein Kreisquadrant ruht 1.) drehbar in seinem Mittelpunkte fest auf der Zeichenebene, 2.) auf einer am Ende des einen begrenzenden Radius angebrachten Walze und 3.) auf der an einem beweglichen Radius verschiebbaren Integrierrolle, also auf drei Punkten auf und kann auf der Walze rollend um den Mittelpunkt rotieren. Der fest mit dem Kreisbogen verbundene, zuerst genannte Radius, an dem die Walze sitzt, dient als Schiene für einen Dilferentialwagen, während der Integralwagen auf dem gegen diesen Radius um einen (am Kreise ablesbaren) Winkel verstellbaren andern Schienenradius sich bewegt. Beide Wagen sind durch eine geradlinige Direktrixstange verbunden, die sich um Zapfen an beiden Wagen drehen und außerdem in ihrer Längsrichtung verschieben kann. Zu letzterem Zwecke ist sie über ein Lager geführt, das der Zapfen des Differentialwagens trägt. Wir sehen für die Theorie des Instrumentes davon ab, daß der Zeichenstift des Integralwagens aus praktischen Gründen seitlich, aber in derselben Entfernung vom Mittelpunkt, den wir auch als Pol bezeichnen wollen, angebracht ist. Wir nehmen vielmehr an, daß der Berührungspunkt der am Integralwagen befindlichen Rolle, deren Ebene mit der Richtung der Direktrix in jedem Augenblicke zusammenfällt, die Integralkurve beschreibt.

In der Anfangsstellung des Instruments möge der die Differentialschiene bildende Radius mit einer in der Zeichenebene gewählten besserte Konstruktion an, bei der die gekrümmte Direktrix-Schiene sich um einen Zapfen des Integralwagens dreht während der Zapfen des Differentialwagens sich längs der Schienenkurve verschiebt. Die Rollenebene ist dabei fest mit der Schiene verbunden.

Anfangsrichtung den Winkel & bilden. Ist q die der Stellung des Wagens entsprechende Entfernung des Differentialstiftes vom Pole, so sei q — /’(ff) die Gleichung der gegebenen Kurve. Der am Kreisbogen abgelesene Winkel der beiden Schienen sei co, r der Leitstrahl des Berührungspunktes der Integrierrolle, 90° — cp der Winkel ihrer Ebene oder der Verlängerung der Direktrix mit dem Radius r, so ist

dr

tgcp =

dr

r d -f- ta) rdd' ’

ô — j/ç² -f- r² — 2 q r cos co .

Aus dem Dreieck mit den Seiten p, r und ö folgt

da co während der Ausführung der Integration ungeändert bleibt. Die Länge der Direktrix (zwischen ihren Drehpunkten auf beiden Wagen) ist

cos cp —

p sin co

mithin

l/r² -)- (j⁵ 6 — 2tq cos co

r

und tg<p == -

— q cos CO q sin a» ’

dr

r*

d& sin af(&) r Ctg “

oder

rH

dy

ctg co =

sin co • f(&)

In diese lineare Form kann eine Bernoulli sehe Gleichung

d&

^ -f- Py = Qyn gebracht werden, wenn P konstant ist.

57. Integratoren für Differentialgleichungen. Die Inte-graphen von Pascal können zwar Quadraturen ausführen, sind aber in erster Linie für die Integration von Differentialgleichungen bestimmt. Zu letzterem Zwecke sind noch verschiedene Instrumente konstruiert worden: von Lord Kelvin 1876, Torres 1895, Petrovitch 1897x). Wir fügen noch eine kurze Beschreibung von zwei Apparaten von L. Jacob, Generalingenieur der französischen Schiffsartillerie, hinzu, welche zwei besondere Differentialgleichungen integrieren.²) Sie sind in ihremHauptteil einemPrytz-

sehen Stangenplanimeter ähnlich, bei dem die Schneide durch ein scharfrandiges Rad ersetzt ist. (S. S. 122).

Der Fahrstift ist bei dem ersten zur Auflösung der Riccati-schen Gleichung bestimmten Apparate durch den Mittelpunkt eines geteilten Kreises hindurchgeführt. Ein Durchmesser dieses horizontalen Kreises wird durch zwei miteinander verbundene Gelenkparallelogramme stets einer bestimmten gegebenen Richtung parallel gehalten, wenn der Fahrstift auf der gegebenen Kurve entlang geführt wird. Dieser ganze Mechanismus wird von kleinen Rollen getragen, damit der Kreis und die Parallelogramme mit möglichst wenig Reibung sich bewegen können. An der Stange des Apparates ist ein Nonius angebracht, der an dem Kreise gleitet und den Winkel, den die Stange in irgend einem Augenblick mit der Anfangsrichtung einschließt, abzulesen gestattet.

Wie beim Stangenplanimeter ist die Richtung der Stange jederzeit Tangente an die vom Berührungspunkte des Schneidenrades beschriebene Kurve. Es seien A, Y die Koordinaten dieses Berührungspunktes, x, y diejenigen des Fahrstiftes; co sei der Winkel, den die Stange mit der Abszissenachse, die wir als Anfangsrichtung wählen, einschließt, q die Länge der Stange, d. h. der Abstand vom Fahrstift bis zum Mittelpunkt des Schneidenrades. Es ist dann

dY

(1)

dX

= tgw,

ferner

(2)

also

X — x q cos co, Y = y -j- Q sin co

(3)

dX = dx -f- cos godę — q sin codco dY = dy + sin codę -f- q cos codco,

woraus durch Multiplikation der ersten Gleichung mit — sin co, der zweiten mit -f- cos co und Addition mit Rücksicht auf (l) folgt:

(4) O = — sin codX -f- cos codY = ędco -f- cos cody — sin codx:

Wir führen eine unabhängige Variable t ein und denken uns die gegebene, vom Fahrstift beschriebene Kurve durch

definiert. Es ist dann

« = /i(0> V ⁼ 4(0

und nach (4)

(5)

Q 4* ft (0 C0S ⁰³ — fl (f) siQ 0 = 0.

Führt man noch tg^co = u ein, dann ist ä —

— da)

2 _

1 4 tt⁸ ’ dt 1 -f

und man erhält nach (5) für die Winkelbewegung der Stange die Differentialgleichung

du =

dco

dt

, cos co =

, sin w =

2? ^ + (i -    - ²“A'(⁽) = 0

oder für eine bestimmte Stangenlange q — l (die Stangenlange läßt sich bei dem Apparate ändern)

du_    ₂

(6)

(7)

dt

2Z + U l

/reo f/(t)

21

Man nennt nun eine allgemeine Riccatische Gleichung eine Differentialgleichung von der Form:

(8)

du

dt

wo P, Q, B Funktionen von t sind. Im vorliegenden Falle besteht aber die einschränkende Bedingung P -f- B = 0. Soll diese Gleichung integriert werden, so hat man (vgl. (7) und (8))

also

§?-/•/(*)= 2CP = - 2m, = /;'(*) = IQ = 21 I Pdt, x — xf)=lj Qdt

zu setzen, wo y₀ und x₀ Integrationskonstante sind oder auch die Koordinaten, die dem Werte t₀ entsprechen, bedeuten. Durch x und y ist dann die vom Fahrstift zu durchlaufende Kurve gegeben.

Das Integral bis zur Grenze t — tx erhält man dann, indem man den Winkel Oj am Instrument abliest, nämlich ut = tg ^ •

Der allgemeine Fall, in dem P -f- B ^ 0 ist, läßt sich auf den besondern zurückführen. Setzt man u = Af, wenn X eine noch unbestimmte Funktion von t ist, so hat man aus (8)

u = Xv + vX' = PlV -f QXv + R

v' = Plv> + (Q-y)o + f Bestimmt man nun X so, daß

ri + f

ist, so ist der allgemeine auf den speziellen Fall zurückgeführt. Jedoch erhält man nur dann eine reelle Wurzel X, wenn R und P verschiedene Vorzeichen haben.

Wenn dies in dem in Betracht kommenden Intervall von t0 bis nicht der Fall ist, führt man den als bekannt anzunehmenden Winkel ß der Tangente in einem beliebigen Punkte der gegebenen Kurve mit der x-Achse ein. Dann bilden die Tangenten in den entsprechenden Punkten beider Kurven miteinander den Winkel ß — oo = {h

(9)

also

(10)

- 0 oder X

-±V-i

Da

dy

^ = tgß und Id co -f- cos wdy — sin coda; = 0 ist (s. (4)), so folgt

Idß — ld& + cos(j3 — &)dy — sin(/3 — Q)dx = 0 oder auch wegen cos ßdy — sin ß dx = 0

ld& = Idß -f sinj3 sinltrf«/ -f cosß sin&dx. Setzt man nun

2 dv

2v

, sintt =

ï+v*'

so erhält man, wenn die Ableitungen nach t genommen werden, durch Einsetzen

1 + v*

dv

1    dß

2    dt

+ t’ł[sin(³^ + cos'³^f] +

1_ dß 2 dt ’

dt

JR

also eine Gleichung von der früheren Form (10), in der PX = -z-

ist und X = ~j/-p wird. Wenn also

«• -Vö

, e = i[sin/J^ +

cos

f%\

gesetzt wird, so folgt

ß-ßo

<1

= 2 \J*.Pdt, x

to

^1

= l f Q cos ßdt

» y—y₀

h

= l f $sinßdt.

to

Für i — tQ kennt man æ₀, ?/₀, ß₀, ferner ist co₀ — ß₀ — ^ gegeben; für t = tt erhält man die gesuchte Lösung

vx •-= tg^frj = tg|(ft — œx).

Der zweite Apparat von Jacob dient zur Integration der Abel sehen Gleichung

y =Py* + Ï3T + ry + s,

wo p, g, r, s Funktionen von x sind und, y = ™ ist. Durch die Substitution

y =

gelangt man zu der Form

— MM — p + qu + »"W² + SW³.

Zunächst wird s — 0 angenommen und wir schreiben uu' = Pu² -f- $w -f 72.

Das Instrument ist ähnlich dem vorigen konstruiert. Wir denken uns wiederum ein Stangenplanimeter, dessen Fahrstift aber im Anfangspunkt einer horizontal liegenden Kurve C angebracht ist, die als eine gekrümmte Schiene einen Bestandteil des Instrumentes darstellt. Der Fahrstift führt bei seiner Bewegung längs einer gegebenen Kurve diese Schiene mit sich. Durch eine Parallelführung ist in derselben Weise wie beim vorigen Instrument dafür gesorgt, daß diese Kurvenschiene keine drehende Bewegung erfährt, sondern eine bestimmte Tangente der Kurve G bei jeder Stellung des Fahrstiftes einer auf der Zeichenebene gegebenen Anfangsrichtung parallel bleibt. Die Verschiebungen der Gelenkparallelogramme und der Kurvenschiene erfolgen nicht durch Gleiten auf der Papierebene, sondern auf kleinen Rollen.

Auf der Stange des Instruments ist nun eine Hülse verschiebbar angebracht, die unterhalb mit vertikalen und horizontalen Rädchen in der im Querschnitt U-förmig aufgebogenen Kurvenschiene geführt wird. Oben enthält diese Hülse ein Fenster, durch das man die Entfernung p des darunter befindlichen Kurvenpunktes vom Anfangspunkt der Kurve C ablesen kann. Ebenso kann man auch an der passend geteilten Kurvenschiene den Winkel co mit der Anfangsrichtung ablesen.

Es seien », y die Koordinaten eines Punktes der Kurve, die der Fahrstift durchläuft, und t eine unabhängige Variable. Dann ist wie oben, wenn die Akzente die Ableitungen nach t bezeichnen,

da , .    ,

q ^ =£Sinft) — y cos co

oder mit tg^-co = w:

2q • u — vPy -f- 2 ux' — y .

q sehen wir als eine Funktion von co oder von u an. Um den Apparat auf die Abelsche Gleichung anwenden zu können, müssen wir q = l ■ u setzen, wo l eine zunächst noch unbestimmte Länge ist. Die Kurvenform der Schiene ist dann durch

crct

bestimmt. Entspricht dem Werte t — t₀ die Entfernung o₀ = l u₀, wo u₀ = tg als gegeben anzusehen ist, so ist damit l als Grundlänge oder Basis des Instruments bestimmt.

Die Kurve, auf der der Fahrstift geleitet wird, folgt aus

y ⁼ Vq + 21 f Pdt, x = x₀ + ij Qdt.

am

Für einen andern Wert t = liest man den Wert ^ Instrument ab und erhält

als Integral der Differentialgleichung zwischen den Grenzen t₀ und tv Die integrierte Gleichung ist aber nur ein besonderer Fall der Abelschen Gleichung, nämlich derjenige, wo P -f- B = 0 ist. Um die allgemeine Gleichung hierauf zurückzuführen, setzen wir u — Xz, erhalten

r] +

. E z + X*

und bestimmen die Funktion X von t so, daß XX' — PX² — B wird. Diese Gleichung können wir auch folgendermaßen schreiben:

PX² = 2 E, dt

12

Galle: Mathematische Instrumente.

und es folgt

A = e⁺SFdt -y y + 2 /W

— 2 Pdt

dt.

Durch passende Wahl der Integrationskonstanten y wird man es in der Regel erreichen können, daß in dem in Betracht kommenden Intervall (£₀ bis tL) A reell ist. Sonst muß man dem besondern Falle entsprechend eine andere Behandlung der Aufgabe versuchen.

Ist der Koeffizient s von uz in der letzten Form der Abel-schen Gleichung nicht null, so wird der Apparat komplizierter, indem an Stelle der Parallelführung eine Führung der Kurvenschiene tritt, die durch die Koeffizienten der Gleichung vorgeschrieben ist.

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G.    U. Yule, On a simple form of harmonie analyser. Philosophical

Magazine. 39, 367.    1895.

Vgl. außerdem verschiedene Literaturnachweise im Text und in den Anmerkungen.

B1BLI5TEKA NSLITEMICZII

A vy

Register.

(Die Ziffern bedeuten die Seitenzahlen.)

Gleichung

Burkhardt 27, 29 Additionsmaschine 28, Burrough 25, 28 Byrgi 2

Glei-

17

Abdank - Abakanowicz 157, 162, 163,169 Abel sehe 172, 176, 177 Abwicklung 49 Adder 28 Additioneur 28

29, 53

Adiabatische Kurve 14 ! Ajello 172 Aquidistanzplanimeter 67, 70

Amsler 79, 82, 90,96, 100, 118

Analysator 133,134,138, 140, 143, 148. Archimedes 29 Arithmometer 29 Arithmotyp-Trinks 33 Auslöschvorrichtung 29,

is

Austria 29

Babbage 44 Barometrische Höhen 17 Barthelmes 25 Bauschinger 45 Beilschneidenplanimeter 122 Bernard 21 B ernoullische chung 172 Berolina 33 Beschleunigung 62 Beyerlen 22 Billeter 21 Biquadratische Gleichung 20 Blater 40 Bollee 24, 29, 39 Boucher 22 Boys 15, 157 Breithaupt 89 Brigg 1

Brunsviga 33 ßrunsvigula 33 Bryand 116 Büttner 34 Buniakowsky 100 Bunzel 29

Calculex 22 Cayley 157 Cercle à calcul 22 Clouth 22 Compteur 24 Le Conte 137 Contostyle 24 Coradi 64.91, 103,104, 105, 121,131,140,141, 157

Coriolis 157

Decker 100 Delton 29

Differentialkurve 155 ff. Differentialquotient 59 Differentialwagen 157 ff. Differenzenmaschine 29,

44

Direktrix 155 ff. Direktrixschiene 158 ff. Division 10,12, 22, 32,54 Durand 118 Dyck 133

Edmonson 34 Egli 39

Einmaleinskörper 41 ff Encke 169 Erleichterungstafel 40 Ernst 81

Exponentialgleichung 15

Exzentrizität 85

Euler 169 Everett 21

Faber, A. W., 5 Favaro 17 Fernei 63 Fieguth 127 Finsterwalder 133 Fleischhauer 65 ! Frank 16, 68 Fourier 131, 132 Französisches Kataster

Furie 15, 19 Fuller 21

Gangloff 69 Gauß, C. F., 169 Gauß (Maschine) 23, 34 Genauigkeit 15, 16, 63, 66, 82, 109, 151 Generalkommission Kassel 21

Geschwindigkeit 59, 61 I Goering 4 Goldm an 24 Gonella 51, 78, 80, 81 Goodman 127 Grabowski 143 Gravet 4 Grundkreis 101 Groß 145 Günther 67 Gunter 3

Hahn 29, 34 Halden 22 Hamann 30, 34,45, 53, 54, 56, 67, 82 Hammer 3, 63, 65, 69, 118

Hannyngton 17, 21 Hansen 50, 81, 111 Harfenplanimeter 67 | Hart 22

127

161

77, 82, 99 Krauß 63 Kronecker 169 Kubikwurzel 13 Kubische Gleichung 20 Kapier 2 Kubus 13 Küntzel 142 Küttner 34

Mannheim 4, 21 Martiny 14 Maxwell 52, 100 Mayer 25, 64 Mehmke 22, 33 Mercedes-Euclid 30 Merkur 33 Meyer 22 Michelson 148

Miller v. Hauenfels Polarintegraph 171 89. 100    Polarplanimeter 79, 99,

100, 109

Mönkemöller 67, 70 Poncelet 51 Momentenplanimeter    Potenz 14

118, 121 Monopol 33 Müller, C. H., 2

Kompensationspolar- Müller, J. H., 29, 34 Proell 21 planimeter 110    Multiplikation 10,12,21, ! Progreßstab 2

Kontrollineal 84, 99    40, 54    Proportionalhebel 30

Koordinatenplanimeter Multiplikationsmaschi- | Proportionalrechen-ne 29, 37, 39, 44 Multiplikationsmechanismus 40

17

Hartmann 37 Hatchet-Planimeter 122,

Henrici 140, 141 Hermann 22, 80, 100 Hoecken 56 Hofmann 69 Hohmann 91,103,104,

105

Hyperbolische Funktionen 56

Hyperbelglastafel 66 Hyperbelplanimeter 78,

ss

Ideal 29

Integralkurve 130,155 ff. Integrallogarithmus 169 Integralwagen 157 ff. Integratore meccanico

Jacob 64, 172, 176 Jordan 21

Kartometer 65 Kegelräder 26, 27, 42 Kelvin 138, 172 Kern 127 Kewitsch 2 Kloht 111 Kloth 66 Klott 21 Knudsen 122 Kohlmorgen 114 Kombiniertes Planimeter 111

Kompensationsplanimeter 130

Kugelpolarplanimeter

105

Kugelrollplanimeter 96 Kurvenzylinder 116, 139

Längenteilung 8, 16 Läufer 4, 14, 69 Lambert 4 Lanchester 14 Leibniz 25, 29, 33 Lenoir 4

Linearplanimeter 87,89, 90, 91, 99, 109 ¹ Lippincott 127 Logarithmen 1, 2, 8, 10, 45, 56

Logarithmischer Rechenschieber 1 Logistik 2 Liidemann 22, 66

Millionär 39

Nautischer Rechenstab

Nelting 17

Neper s. Napier 40 Nestler 4, 16 Netto 169

Nürnberger Scheere 37

d’Ocagne 156 Odhner 23, 33 Oldendorp 67 Omnimeter 22 Oppikofer 81 Optisches Planimeter 129

Ordinatenkreis 108 Ordnungsziffer 9 Ott 65 Oughtred 3

Panintegrimeter 114 Pascal, B., 24, 25 Pascal, E., 161, 169, 170, 171, 172 Patridge 3 Peerless 29 Peters 45 Petrovitch 172 Planimeter für Kugel 110 Planimeterhaarzirkel 67 Planimeterschieber 68 Planimeterzirkel 67 Platzbecker 63

Präzisionsplanimeter 103, 104, 105, 109 Pregél 129

Schieber 53

Prüfung des Rechenschiebers 15 Proportionalrechnung

12

Proportior 22 Prytz 122, 128, 131,172 Puller 22

Quadratbildung 12, 17 Schmidt, A., 116, 133 Quadratische Gleichung Schnöekel 122, 129 Schreiber 133 Quadratmillimeterglas- ! Schütz 45

Selling 37, 39

Quadratwurzel 13,17,55 j Semmler 67 Sexton 22 Sharp 141, 143

133

Radial Cursor 14

Radialplanimeter 11S    ■ H-Shaw 54, o9, 62, 121 IJbertra^ungsvorrich—

Rechenknecht 22    j Sinusskala 6, 18

Rechenkreis 22    Smollin 78

Stanley 21 Starke 81

Statisches Moment 119, de Wal 68

120 122 161    Warnungszeichen 29, 31

Steiger 39    Watt 3

Steinhäuser 22    j Webb 28

Stellhebel 33    Weber 22, 127

Strachey' 133    Weltausstellung Brüssel

Stratton 148 Stufenscheibe 35

Wetli 81, 86, 111 Wiberg 45 Tachy metrische Skalen Wich mann 4, 22 Wiechert 145

Tangens-Teilung6, 8,18 j ^ ingate 3 Taschenrechenschieber Wittmann 63 5    Wolf 64

Taschenschnellrechner Wurzelziehung 14, 55

y ule 134, 135

tung 24 s. Zehnerübertragung

Umfahrungsfehler 109 1 Unitas 29

Y erwandlungsplanime-ter 69 . Vinay 4 Volk mann 145

Waelzen 52

Wahrscheinlichkeit 162

11

tafel 66

Rechenräder 22 Rechenscheiben 22 Rechenschieber 22, 23,

Rechenstäbe 1, 40 Rechentafeln 21 Rechenwalzen 21 Registrierwerk 40, 63 Registrierzylinder 139 Reitz 93

Rektifizierrädchen 63 Rouleaux 25 Riccatische Gleichung 172, 173 RitFelung 76 Roether 22 Rollen - Kugel - Mechanismus 51, 54, 55, 56, 61, 97, 105, 110, 139, 142, 143

Rollen - Scheiben-Me-chanismus 50, 59, 78, 81, 91, 103, 104, 112, 117,118,119,139,146 Rollenschiefe 85 Rollplanimeter 88, 91 Roth 28 Runge 123 v. Sanden, H., 128 Sandor 64 Sang 87 Saxonia 29

Scharnierschiefe 86, 111 Scherer 21 Schieber s. Zunge 3 Schlagintweit 64 Schlesinger 69

Soho rules 3

Soldner 169 Sommerfeld, A., 145 Sonne 22 Sresnewsky 17 Stadler 78, 80, 88 Stalfelwalze 25, 26 Stangenplanimeter 122,

129

17

22

Tavernier 4 Terada 152 Tesdorpf 65 Thacher 21 Thomas 27, 29, 41 Thomson s.Kelvin 138, 140, 157 Tim 29 Torres 172 Trägheitsmoment 119, 121, 122, 126, 162

Trigonometrische Funktionen 56

Trinomische Gleichung 20

Triumphator 33

Übertragungsmechanismus 40

21

Zählwerk 23, 31, 33,36, 48, 49

Zehnerübertragung 24, 27, 38, 41, 48 Zenitdistanz 18 Zinseszinsrechnung 20 Zirkeladdition 67 Zmurko 157 Zunge 3, 17, 69

Druck von B. G. Teubner in Leipzig

Wirkungsweise und Gebrauch des Mikroskops und seiner Hilfsapparate.

Von Prof. Dr. W. Scheffer. Mit 89 Abbildungen und 3 Blendenblättern. 1911. Geh. M. 2.40, in Leinwand

geb. Ji 3.—

Auf fast allen Gebieten der Naturwissenschaften und der Technik ist das Mikroskop ein wichtiges — häufig ein unentbehrliches — Hilfsmittel geworden. Zum Verständnis und zur richtigen Anwendung des Mikroskops sind einige physikalische Kenntnisse nötig. Im Yorliegenden Buche werden die notwendigen physikalischen Grundlagen möglichst allgemeinverständUeh und einfach vorgetragen, so daß jeder Gebildete der Darstellung leicht folgen kaut. Durch eine größere Anzahl von Figuren, sowohl Zeichnungen als auch Mikrophotogrammen wird das Verständnis dem Leser erleichtert. Die Beschreibung einer Beihe einfacher Experimente gibt dem Leser Gelegenheit, die Vorgänge in praxi wahrzunehmen. Die Erscheinungen in der hinteren Brennebene, deren Kenntnis für das Verständnis des Mikroskops ganz besonders wichtig ist, werden durch Experimente mit den dem Buche beigegobenen Blendenblättern auf einfache Weise klargemacht.

Maschinen und Apparate der Starkstromtechnik, ihre Wirkungsweise und Konstruktion.

Ein Lehrbuch für den Gebrauch an technischen Lehranstalten, zum Selbststudium und für den in der Praxis stehenden Ingenieur. Von Elektroingenieur G. W. Meyer. I. Teil: Gleichstrom II. Teil: Wechselstrom. Mit 772 Figuren. Geh. M. 15.—, geb. M. IG.—

Will dem Studierenden wie dem in der Praxis stehenden Ingenieur schnelle und zuverlässige Information über den Stand des Baues moderner elektrischer Maschinen und Apparate sowie über die bei der Konstruktion derselben zu beachtenden Gesichtspunkte bieten. Soweit zum Verständnis der betreffenden Maschinen und Apparate erforderlich, wurde auch auf die Theorie derselben kurz eingegangen. Zu dem gleichen Zwecke dient eine große Zahl graphischer Koproduktionen.

Pnnilläro Acłrnnhucilf Von Dr. Scheiner, Professor der Astrophysik an r UfJUiai O «öll upiiyola. der Universität Berlin, Hauptobservator am Astro-physikalischen Observatorium bei Potsdam. Mit 30 Tafeln und 210 Figuren, gr. 8.    1908.

In Leinwand geb. M. 12.—

(Monatsschrift für höhere Schulen.)

„...Sein Hauptvorzug besteht darin, daß es den Leser zunächst auf das sorgfältigste mit den astrophysikalischen Methoden und Instrumenten vertraut macht; fast die Hälfte des Buches ist diesem Zweck gewidmet. Dadurch ist es aber nicht etwa zu einem Handbuch für den Fachmann geworden, nein, es ist eine gemein-verständliche Darstellung im besten Sinne des Wortes für den großen Kreis der Gebildeten Mathematische Betrachtungen, die nun einmal nicht zu entbehren sind, werden nicht ängstlich vermieden; sie gehen aber nirgends über den Standpunkt eines Gymnasialprimaners hinaus. Überall schöpft der als hervorragender Forscher bekannte Verfasser aus dem vollen.“

GpnHäciP Inno Anleitung zu geodätischen Messungen für Anfänger mit Grund-UCUUclölC. zügen der direkten Zeit- und Ortsbestimmungen. Von Dr.-Ing. H. Hohenner, Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt. Mit 216 Figuren. 1910. In Leinwand geC. Jt. 12 —

Das Buch soll für die meisten technischen Zwecke ausreichen und zwischen den umfangreichen Handbüchern und den kleinen Leitfaden stehen. Deshalb wurden die Grundzüge der Wassermengen- und Wasserkraftmessung in Wasserläufen aufgenommen, und auch die Beschreibung einiger Methoden zur direkten (astronomischen) Bestimmung der geographischen Koordinaten von Punkten der Erdoberfläche sowie der Azimute terrestrischer Richtungen mit Hilfe des Theodolits wird manchem erwünscht sein. DerBeschreibung sowie der Berichtigung der Meßinstrumente ist verhältnismäsig viel Raum zugewiesen, weil erfahrungsgemäß das Entstehen unbrauchbarer Messungen am meisten durch ungenügendes Vertrautsein mit dem Meßgeräte begünstigt wird. Die Messungsund Berechnungsarten sind durch viele Zahlenbeispiele erläutert, und auch an Figuren zur Unterstützung des Textes ist nicht gespart.

(Literarisches Zentraibiatt für Deutschland.)

,,. .. Die Darlegungen sind sämtlich klar und auch dem Anfänger wohl leicht verständlich; sie werden durch zahlreiche Figuren erläutert und dürften besonders für die Studierenden der Feldmeßkunst wertvoll sein. Hier liegt vielmehr die Hauptbedeutung in der Art der Darstellung eines schon häufig behandelten Stoffes, und diese Darstellung • verdient in diesem Falle das höchste Lob.“

1    phrhlirh Hpi* Phv/cik Zum Gebrauch beim Unterricht, bei akademischen l_CIII UUtill UCI I lljollx. Vorlesungen und zum Selbststudium vop E. Grimsehl, Direktor der Oberrealschule auf der Uhlenhorst in Hamburg. Mit 1291 Textfiguren,

in Leinwand geb. Jt 16.—

2    farbigen Tafeln und einem Anhänge, enthaltend Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen. 2. Auflage. 1912. Geh. M. 15.

„...In erster Linie sei hier das Werk von ,Grimsehl* erwähnt, nach Auffassung und Durchführung wohl das größte und schönste Lehrbuch der Experimentalphysik, welches an höheren Schulen benutzt werden soll. Wir können stolz darauf sein, daß ein Fachkollege hier ein Werk vorlegt, welches als Handbuch der Physik den angehenden Studenten dieses Faches ebensowohl wie den Medizinern, Chemikern und Pharmazeuten meiner Überzeugung nach bessere Dienste leisten kann und wird als verschiedene bekannte Lehrbücher, die wir seinerzeit auf der Universität in Händen hatten....“

(Korrespondenz-Blatt für den akademisch gebildeten Lehrerstand.)

(Natur und Erziehung.)

„Was es für diese Zwecke besonders geeignet macht, ist die hervorragend klare und anregende Art der Darstellung. Jeder Abschnitt geht von einfachen Beobachtungen und leicht anzustellonden Versuchen aus. Über tausend Abbildungen, zumeist sind es recht charakteristische schematische Zeichnungen, unterstützen den Text in wirksamer Weise. . . . Mit einem Worte, das Buch verdient in wissenschaftlicher, methodischer und didaktischer Hinsicht volle Anerkennung.“

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker.

Unter Mitwirkung

zahlreicher Fachgenossen herausgegeben von Felix Auerbach und Rudolf Rothe. II. Jahrgang 1910/11. Mit einem Bildnis Hermann Minkowskis. 1911. In Leinwand geb. M. 7.— Das Taschenbuch enthält Angaben über Personalien, Literatur, Praktisches usw., hauptsächlich aber ein Gerippe des Tatsachenmaterials der mathematischen und physikalischen Wissenschaften, zu denen noch Astronomie, Geodäsie, Elektrotechnik und physikalische Chemie als Annexe hinzugefügt wurden, um allseitigen Bedürfnissen entgegenzukommen. Die bei der ersten Herausgabe des Werkes geäußerte Annahme, es komme einem dringend empfundenen Bedürfnisse entgegen, hat bei Publikum und Kritik eine volle Bestätigung gefunden, und das Buch hat sich als praktisches Hilfsmittel bei Mathematikern, Physikern und Angehörigen verwandter Gebiete rasch verbreitet. Bei der Herausgabe des zweiten Jahrgangs hat sich die Notwendigkeit herausgestellt, daß in die Redaktion ein zweiter, mathematischer Herausgeber eintrat, und daß dieser eine völlige Neubearbeitung des mathematisclian Teiles in die Wege leiten mußte. Auch der physikalische, astronomische und chemische Teil enthält, unter Fortlassung einzelner Abschnitte des ersten Jahrganges, sehr viel des Neuen; daß im übrigen Mängel des früheren Textes beseitigt und berechtigte Wünsche aus dem Leserkreise beachtet wurden, versteht sich von selbst. Außerdem hat sich das Taschenbuch diesmal der Mitwirkung einer größeren Anzahl von Fachgenossen zu erfreuen, die es in dankenswerter Weise übernahmen, gewisse besondere aktuelle Kapitel in Sonderdarstellungen vorzuführen. [Jahrgang III erscheint im November 1912 ]

,,. . . Die Reichhaltigkeit und Vielseitigkeit, die sich schon beim Durchblättern zeigen, und die Gediegenheit des Inhalts, die sich dem eingehenderen Studium erschließt, machen im Verein mit der übersichtlichen Stoffanordnung das Taschenbuch zu einem Orientierungsmittel von großer Verwendbarkeit und Zuverlässigkeit; jedem Freunde der exakten Wissenschaften kann daher die Anschaffung des vorzüglichen Buches angelegentlich empfohlen werden.“    (Naturwissenschaftliche Wochenschrift.)

15. Auflage, bearbeitet von R. Seifert, Kgl. Regierungsbaumeister. Mit 15Ab

Kröhnkes Taschenbuch zum Abstecken von Kurven auf Eisenbahn- und Wegelinien.

bildungen. 16.    1911. In Leinwand geb. M. 2.—

Das seit 1851 in fünfzehn Auflagen erschienene „Taschenbuch“ soll die beim Abstecken von Bögen in Eisenbahn- und Wegelinien erforderlichen Rechnungen nach Möglichkeit erleichtern und vor Fehlern sichern. Als Hauptverfahren ist die Absteckung von Bogenpunkten gleichen Abstands von der Tangente aus mit rechtwinkligen Koordinaten zugrunde gelegt. Die Einleitung enthält die hierfür nötigen mathematischen Entwicklungen und Hinweise auf die zur Aushilfe dienenden anderen Verfahren der Absteckung; auch Korbbögen und Übergangsbögen von Eisenbahnlinien sind in die Betrachtung einbezogen worden. Ferner ist eine Anleitung zur Winkelmessung in dem für Bogenabsteckung erforderlichen Umfang und zur Prüfung und Berichtigung des Theodoliten gegeben.

Die eigentlichen Zahlentafeln sind in 3 Abteilungen gegliedert; Tafel I enthält alle Werte zur Berechnung der Tangentenlängen und der Kontrollen der Absteckung, Tafel II alle Ordinaten und Abszissen zur Bogenabsteckung, Tafel III das Winkelmaß für bestimmte Bogenlängen. Der Umfang der Tafeln bezüglich der Abstufung der Halbmesser von 20 bis 10000 m, der Winkel von 10 zu 10 Minuten und der Länge der Ordinaten bis zu 100 m dürfte allen Anforderungen der Bequemlichkeit der Rechnung und der Genauigkeit genügen.

H. Wiener und P. Treutleins Sammlung mathematischer Modelle für Hochschulen, höhere Lehranstalten und technische Fachschulen.

Die Modelle sind für den geometrischen Unterricht bestimmt und sollen dem Lernenden Eaum-formen und geometrische Beziehungen durch einfache und übersichtliche Darstellung anschaulich machen.

photographischen Aufnahmen der Modelle ist durch den Verlag unberechnet zu beziehen.

Das Preisverzeichnis mit Figuren und Tafeln nach

Ein Lehrbuch: Enthaltend : Eine Begründung der allgemeinen Mechanik ; die Mechanik der Systeme starrer Körper; die synthetischen und die Elemente der analytischen Methoden sowie eine Einführung in die Prinzipien der Mechanik deformierbarer Systeme. Von Georg Hamei, Professor an der Deutschen Technischen Hochschule zu Brünn. , Mit 265 Figuren. 1912. Geh. Ji. 16.—, in Leinwand geh. M. 18

Das Buch enthält die Grundlagen einer allgemeinen Mechanik sowie die Stereomechanik, hingegen nicht die Mechanik der deformierbaren Körper. Behandelt es auch in seinen Beispielen hauptsächlich technische Probleme, so ist es doch keine eigentliche technische Mechanik, sondern hat vor allem eine Darstellung der allgemeinen Mechanik zum Ziel. Der erste Abschnitt entwickelt ausführlich den kinetischen Kraftbegriff, der zweite enthält die Statik, der dritte baut die allgemeine Mechanik auf die Theorie der Volumelemente auf und geht in die Systemmechanik bis zu den Lagrangeschen Gleichungen. Die beiden letzten Paragraphen zeigen, wie sich die Begründung der Mechanik deformierbarer Körper an die allgemeinen Grundlagen anschließt

Die elementare Mechanik.

Thoni»ołicrho Mpphpflils Von Dr.R.Marcolongo, Professor an der Universität I IlCUl CLIoLillC m CL» Hell 11 ft. Neapel. Deutsch von H. E. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig 2 Bände, gr. 8. Geh. je Ji. 10 —, in Leinwand geh M. je Jt 11.—. I. Band: Kinematik und Statik. Mit 110 Figuren. 1911. II. Band: Dynamikund Mechanik der deform ierbarenKörper. Mit 88 Fig. 1912.

„ . . . Dem Werke kommt sehr zustatten, daß der Verfasser von vornherein darauf verzichtet hat, den Stoff erschöpfend zu behandeln. Er bringt nur eine Auswahl der interessantesten Gebiete Als besonderer Vorzug muß weiter hervorgehoben werden, daß jedem Kapitel eine reichliche Anzahl von Übungsbeispielen mit Auflösungen beigefügt ist, an Hand derer sich der Leser vergewissern kann, ob er den Inhalt des Kapitels wirklich ganz erfaßt hat. Das Buch wird sich sicher in den Kreisen der Ingenieure viel Freunde erwerben. Es ist so abgefaßt, daß auch der Ingenieur, soweit er für die Theorie Interesse hat, vieles Nützliche darin findet. Die theoretische Mechanik von Marcolongo-Timerding kann deshalb bestens empfohlen werden.“ (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.)

Vorlesungen über technische Mechanik.

In 6 Bänden. Von Dr. August FÖppl, Professor der Mechanik und Vorstand des Mechan.-Techn. Laboratoriums an der Techn. Hochschule

in München. I. Einführung in die Mechanik. 4. Aufl. Mit 104 Figuren. 1911. Ji. 10.— II. Band. Graphische Statik. 3. Aufl. 1912. Mit 209 Fig. M.ü.—. III. Band. Festigkeitslehre. 4. Aufl. Mit 66 Fig. 1910. uft 10.—. IV. Band. Dynamik. 3. Aufl. Mit 71 Fig. 1909. Ji 10 —. V. Band. Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitätstheorie. Mit 44 Fig. 1907. Ji. 10.—. VI. Band. Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik. Mit 30 Fig. 1910. Ji. 12.— „Föppl versteht die Kunst, mit klaren und interessanten Worten, gestützt auf geistreich gewählte Beispiele, auseinanderzusetzen, was die Formel kurz aber trocken zusammenfaßt. Man gewinnt daraus auf die angenehmste Art Einsichten, die sich sonst hinter langen Formelentwioklungen verbergen. Die Auseinandersetzungen werden bei Föppl zwar äußerlich länger als in der knappen Formelsprache anderer Bücher, die zum Verständnis nötige Zeit wird aber kürzer. Das sind Vorzüge, die für den Praktiker schwerer ins Gewicht fallen, als die bei früheren Auflagen aus mathematischen Kreisen geäußerten Bedenken

gegen die Korrektheit mancher Entwicklungen.“

(Elektrotechnische Zeitschrift.)

AnnPUianrlłp Mpphpllilf Von John Perry, F. K. S. Ein Lehrbuch für Stu-nliyCnailUlC SYlCGIlfllllft. dierende, die Versuche anstellen und numerische und graphische Beispiele durcharbeiten wollen. Berechtigte deutsche Übersetzung von Ingenieur Rudolf Schick in Cöln. Mit 371 Figuren. 1908. In Leinwand geb. M. 18.— „Aus diesem Werke spricht ein Lehrer allerersten Banges, der ausgedehnte Kenntnisse mit vollendeter Lehrkunst vereinigt. Er hat aus dem großen Wissengebiete der technischen Mechanik \iele hundert Beispiele zusammengetragen, an welchen er die Grundgesetze anschaulich erläutert, und damit ein echtes Lehrbuch geschaffen, dessen Übersetzung sich bald zahlreiche Freunde erwerben wird. Alle Darlegungen sind unmittelbar auf den praktischen Gebrauch zugeschnitten ,und der ma thematische Apparat ist in möglichst engen Grenzen gehalten ; vorausgesetzt wird lediglich die Kenntnis der niederen Analysis “ (Literarisch. Zentralblatt.)

Über die Theorie des Kreisels.

Von F. Klein und A.Sommerfeld. 4Hefte. pr. 8. I. Heft. Die kinematischen und kinetischen Grundlagen der Theorie. 1897. Geh. M. 5.60, geh. M. 6.60. II..Heft. Durchführung der Theorie im Falle des schweren symmetrischen Kreisels. 1898. Geh. M. 10.—, geh. M. 11.—. III. Heft. Die störenden Einflüsse. Astronomische und geophysikalische

geh. M. 10.—. IV. Heft. Die technischen Anwendungen geh. M. 9. —

Anwendungen. ly03. Geh. Jt. 9.—, der Kreiseltheorie. 1910. Geh. M. 8.

„In klarer und, soweit bei diesem Stoff überhaupt möglich, auch anschaulicher Weise sind zuerst allgemeine Auseinandersetzungen über Stabilierung gegeben und dann die einzelnen Anwendungen besprochen, u. a die Kreiselwirkungen bei Schnellbahnen, der Gerad-laufapparat der Torpedos, der Schlicksche Schiffskreisel, der Kreiselkompaß, die Stabilität des Fahrrades sowie einige Bemerkungen über Einschienenbahnen, die Stabilierung von Flugzeugen und die Kreiselwirkungen bei Geschossen. Die wichtigeren dieser Anwendungen sind in theoretischer wie praktischer Beziehung eingehend und überaus klar auseiuander-gesetzt, wobei noch besonders anerkannt werden soll, daß überall auf die Grenzen der Gültigkeit der Formeln und auf die zu ihrer Herleitung erforderlichen Vernachlässigungen hingewiesen ist und der entstehende Kehler wenigstens seinem Sinne nach angegeben wurde, wenn seine Größe sich nicht abschätzen ließ. Die Diskussion der Differentialgleichungen für den Schiffskreisel soll als Beispiel einer eleganten Behandlung, einer eingehend durchgearbeiteten Aufgabe sowie der Abschnitt über Ballistik als Beispiel einer vorzüglichen Klarlegung eines noch nicht gelösten Problems hervorgehoben werden. ..“ (DinglersPolytechn.Journ.)

Tpf'hnicphp C + otiU Vorlesungen über die Theorie der Tragkonstruktionen von I ClilllliolfllC O Laim. A. Ostenfeld, Professor an der Technischen Hochschule zu Kopenhagen. Deutsche Ausgabe von D. Skouge. 1904. Geb. Ji. 12.—

Das Werk trägt seinem Inhalt und seiner Behandlung des Stoffes nach — die in der Regel sowohl zeichnerisch wie rechnerisch durchgeführt ist — den Bedürfnissen von Hörern an technischen Hochschulen sowie von Ingenieuren der Praxis Rechnung. Dabei werden die allgemeine technische Elastizitätslehre sowie die ersten Elemente der graphischen Statik als bekannt vorausgesetzt.

Nach Vorausschickung dreier einleitender Abschnitte, in denen die Eigenschaften und Anwendungen der Einflußlinien sowie die einfach unterstützten vollwandigen Träger und Fachwerkbalken bei ruhender und beweglicher Belastung behandelt werden, wird im vierten Abschnitt die allgemeine Theorie der Tragkonstruktionen einheitlich — für statisch bestimmte und unbestimmte Systeme — mit Hilfe der virtuellen Verschiebungen aufgebaut. Ein fünfter Abschnitt gibt das Wesentlichste über die verschiedenen Fachwerkformen, wobei auch die in den letzten Jahren entstandenen Formen, K-Fachwerk, halbe Diagonalen, behandelt werden.

„ . . . Das ganze Werk ist durch eine wohltuende Klarheit ausgezeichnet. Mit richtigem Gefühl hat es Verfasser verstanden, allzu -weitgehende, uferlose theoretische Abhandlungen zu unterlassen. Dadurch wird die dem Anfänger oft schwer verdauliche Kost schmackhaft geboten, wodurch das Verständnis wesentlich gefördert und beim Leser die Lust zur Weiterarbeit geweckt wird. Die Übersetzung ist gut gelungen, so daß man die Abstammung des Buches aus einem außerdeutschen Lande kaum bemerkt. Sehr praktisch ist die Anordnung der Figuren in einem besonderen dünnen Heft, welches durch einen

Einschub mit dem Text fest verbunden werden kann.“

(Technische Literatur.)

The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and

Plllirl RflHipC* fleing Lectures on Mathematical Physics. By Professor A.G. Webster. rlUlU DUUICö , 2. Auflage. 1912. gr. 8. In Leinwand geb. M. 14.—

zur

überleiten. Darauf folgt die Behandlung der linearen Vektorfunktionen mit Anwendung auf Bruch und Zug. Die einfacheren Probleme der Elastizität werden in Verbindung mit der Biegung und Windung des Stabes nach St. Venant abgehandelt. In der Hydrodynamik schließt sich der Wirbel- und Wellenbewegung eine Einführung in die Theorie der Gezeiten an.

Die dem Buche dies- und jenseits des Ozeans bereitete günstige Aufnahme beweist, daß es einem Bedürfnis entspricht und seine Aufgabe, in gedrängter Form die dem Studenten der Physik und Mathematik nötigen hauptsächlichsten Methoden und Ergebnisse der allgemeinen Mechanik darzubieten, wohl erfüllt. Der Student lernt aus dem Buche zugleich das Prinzip der Energie, das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Lagrangeschen Gleichungen in verallgemeinerten Koordinaten kennen, die ihm die Mittel zur Lösung praktischer Aufgaben an die Hand geben. Der zweite Toil des Buches ist der Bewegung der starren Körper gewidmet und dabei ein rocht erheblicher Raum der Bewegung rotierender Körper einschließlich der praktischen Anwendungen des Gyroskopes zugewiesen. Der dritte Teil behandelt die Mechanik der kontinuierlichen Systeme, eingeleitet durch die Attraktionstheorie, in welcher das Newtonsche und LogarithmischePotential den'Studierenden Bekanntschaft mit den partiellen Differentialgleichungen und bestimmten Integralen

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Biblio

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-351281

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¹

   Institutiones calculi integralis I, Kap. IV.

²

   Theorie et tables d’une nouvelle fonction transcendente, München 1809. Vgl. L. Kronecker, Vorlesungen über die Theorie der einfachen und vielfachen Integrale, herausg. v. E. Netto, Leipzig(Teubner) 1894, 199—214.

³

   Werke II, 444. (Brief an Encke.)

⁴

In einer während des Druckes erschienenen Abhandlung: Sul mio integrafo a riga curvilinea, Napoli 1912, gibt Pascal eine ver-

⁵

   Vgl. L. Jacob, Le calcul mécanique, wo sich die Literatur angegeben findet.

⁶

   In einer soeben erschienenen Abhandlung: C. Ajello, Su di una importante applicazione dell’ integrafo Pascal a riga curvilinea, Napoli 1912, wird gezeigt, daß auch der Pascalsche Integraph mit gekrümmter Direktrix die Riccatische und Abelsche Gleichung integriert.