WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Encyklopädie.

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Lehrbuch der

Differentialrechnung

von Prof. Dr. August Haas.

III. Teil.

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Lehrbuch der

Differentialrechnung.

Dritter Teil:

Anwendung der Differentialrechnung auf die ebenen Kurven.

Nebst 425 gelösten Aufgaben, 164 Figuren und 138 Erklärungen.

Für das Selbststudium und zum Gebrauch an Lehranstalten bearbeitet nach System Kleyer von

Prof. Dr. August Haas.

Zweite vermehrte Auflage.

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Bremerhaven.

Verlag von L. v. Vangerow.

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Vorwort.

Der vorliegende III. Teil der Differentialrechnung enthält die einfachsten und wichtigsten Anwendungen, welche erstere in dem Gebiet der ebenen Kurven gestattet. Um dem Buch den Grundzug möglichst leichter Verständlichkeit zu wahren,, mussten sowohl die Auswahl und Anordnung des gebotenen Stoffes als auch dessen Behandlungsweise nach didaktischen Gesetzen im Rahmen des Kleyerschen Systems erfolgen. Vom Leichteren zum Schwereren fortschreitend, wird der Leser mit den mannigfaltigen Methoden und der grossen Fruchtbarkeit der Differentialrechnung vertraut gemacht; jede der dabei auftretenden Rechnungen bildet für sich betrachtet eine Uebung im Gebrauch der im II. Band entwickelten Regeln. Ferner liefern die behandelten Kurven, die mit möglichst grosser Genauigkeit vom Verfasser dargestellt worden sind, in ihrer Gesamtheit ein Bild der wichtigsten Linien, welche in der Geschichte der Geometrie, beim Studium der höheren Mathematik und bei den Aufgaben des Technikers auf-treten. Ausserdem enthalten die Erklärungen sämtliche Angaben zum Nachzeichnen dieser Linien; dadurch wird der Leser in den Stand gesetzt, sich selbst eine für viele Zwecke nützliche Sammlung dieser Kurven anzulegen oder anfertigen zu lassen; hierzu empfiehlt der Verfasser die am Schluss des Buches gegebene Reihenfolge der Figuren. Von den Aufgaben dieses Bandes hat der Verfasser eine grosse Zahl selbst gebildet; ein anderer Teil stammt aus Prüfungsaufgaben, aus den wissenschaftlichen Abhandlungen von Schulprogrammen und aus mathematischen Zeitschriften; der Rest ist unseren besten Aufgabensammlungen, die im Literaturverzeichnis aufgeführt sind, entnommen. Dass der Verfasser die gebührende namentliche Anführung der Quelle bei den Aufgaben der letzten Art unterlassen hat, bittet er dadurch zu entschuldigen, dass die meisten derselben mit mehr oder weniger geringfügigen Abänderungen in fast allen Sammlungen enthalten und in unzählige Kolleghefte übergegangen sind, und daher wohl als Gemeingut betrachtet werden dürfen.

Der Verlagsbuchhandlung spricht der Verfasser für das freundliche Entgegenkommen und die treffliche Ausstattung dieses Bandes den verbindlichsten Dank aus.

Stuttgart, im Juni 1894.

August Haas.

Verzeichnis der vorzugsweise benützten neueren Werke.

1)    Baltzer, Analytische Geometrie. Leipzig 1882.

2)    Dölp, Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung. Giessen 1891.

3)    F renet, Calcul infinitesimal. Paris 1866.

4)    Heath, Geometrische Optik. Berlin 1894.

5)    Magnus, Sammlung von Aufgaben. Berlin 1833.

6)    Reuschle, Praxis der Kurvendiskussion. Stuttgart 1886.

7)    Salmon-Fiedler, Kegelschnitte. Leipzig 1873.

8) -

Höhere Kurven. Leipzig 1873.

9) Schlömilch, Handbuch der Mathematik. Breslau 1881.

Kompendium der höheren Analysis. Braunschweig 1866. Aufgabensammlung. Leipzig 1868.

10) -

11) -

12)    Serret, Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1884.

13)    Sohnke-Amstein, Sammlung von Aufgaben. Halle 1885.

14)    Stegemann-Kiepert, Grundriss der Differentialrechnung. Hannover 1888.

15)    Sturm, Cours d’analyse. Paris 1884.

16)    Wiener, Darstellende Geometrie. Leipzig 1884.

Druckfehlerverzeichnis.

at

Seite 15, Aufgabe 12: y — (r— a) sin

— a sin

zu lesen statt 4"*

dy _ dx -

3    , ,,    ,    3    3

y statt -j- x y .

Seite 60, Auflösung :

Seite 110, Satz : f" (x + h) < 0 und f" (x + h) > 0 statt f" (x -j- h) < 0 und f" (x + h) < 0. Seite 160, Antwort. Im Nenner für q: <p‘ (t₀) ip" (t₀) — <f“ (O 'P' (*o) statt 'P" (*o) am öclilusa.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

A. Von den Tangenten, Polaren, Normalen und Asymptoten der ebenen Kurven i

I.    Die Tangente........................

5)    Die Kurve sei gegeben in Polarkoordinaten durch eine Gleichung von der

Form r = f (&)......................

6)    Die Kurve sei gegeben in homogenen Koordinaten durch eine Gleichung von

der Form f(xv xv x₃) = 0 . •.................

a)    Homogene Koordinaten..................

b)    Die Gleichung der Tangente in homogenen Koordinaten......

7)    Tangente an einer Kurve    parallel zu einer gegebenen Geraden.....

8)    Tangente an einer Kurve    von einem Punkt ausserhalb der letzteren    .    . .

9)    Uebungsbeispiele......................

II.    Die Normale ebener Kurven..................

Uebungsbeispiele......................

III.    Längen von Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale einer ebenen

Kurve ..........................

1)    In rechtwinkligen Koordinaten.................

2)    Uebungsbeispiele......................

3)    In Polarkoordinaten....................

4)    Uebungsbeispiele zur Bestimmung des Winkels zwischen Radius vektor und

der Tangente, der Länge der Tangente, der Subtangente und der Subnormalen eines Punktes einer Kurve in Polarkoordinaten........

IV.    Die Asymptoten.......................

Uebungsbeispiele...............

V. Pol und Polare................

Uebungsbeispiele ...............

B. Der Lauf ebener Kurven ..............

I. Das Steigen und Fallen.............

II.    Die äussersten Punkte einer Kurve........

Uebungsbeispiele...............

III.    Konvexität, Konkavität und Wendepunkte......

Weitere Beispiele über die Bestimmung der Wendepunkte

17

24

24

30

34

33

40

46

52

56

56

61

65

66

69

86

87

89

90

95

96

96

97

. 104

107

C.    Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, Selbstberührungspunkte, Isolierte und vielfache Punkte..................

Seite

123

123

a)    Doppelpunkte im weiteren Sinne.........

123

1)    Die Kurvengleichung sei F (x, y) = 0 . . . . . .

133

2)    Die Kurvengleichungen seien x — <f (t), y = i/> (t)

. 134

b)    Mehrfache Punkte..............

142

c'j Uebungsbeispiele über besondere Punkte......

00 00

D.    Von der Berührung der ebenen Kurven ......

a)    Berührung verschiedener Ordnung zwischen zwei Kurven

159

b)    Der Oskulationskreis.............

IGO

E.    Ueber die Krümmung der ebenen Kurven.....

160

a)    Die Krümmung des Kreises...........

163

b)    Die Krümmung einer beliebigen ebenen Kurve ....

c)    Beispiele über die Bestimmung der Elemente £ und r\ des Krümmungskreises .    171

183

Uebungsbeispiele................

192

F.    Die Mittelpunktskurven oder Evoluten........

207

Anwendung auf einzelne Kurven..........

216

Uebungsbeispiele................

218

G.    Von den einhüllenden Kurven (Enveloppen) .....

218

a)    Ableitung der Gleichung der einhüllenden Kurve ....

O CO CO ^

b)    Anwendung auf die Fusspunktkurven........

c)    Anwendung auf die Parallelkurven.........

246

d)    Anwendung auf die Brennlinien..........

263

Uebungsbeispiele . . . . ............

268

Verzeichnis der wichtigsten Formeln...........

Reihenfolge zum Zeichnen einer Sammlung höherer Kurven .    .

Differentialrechnung.

III. Teil.

Anwendung der Differentialrechnung auf die ebenen Kurven.

A. Von den Tangenten, Polaren, Normalen und Asymptoten

der ebenen Kurven.

I Die Tangente.

1) Die Kurvengleichung habe in rechtwinkligen Koordinaten die Form

y = A4

Frage 1. Wie lässt sich in einem rechtwinkligen Koordinaten system die Gleichung der Tangente finden, welche in einem Punkt P einer gegebenen Kurve an diese gelegt werden Antwort. Hat irgend ein Punkt P' kann, wenn die Gleichung der Kurve der Tangente die Koordinaten X und in der entwickelten Form y = f(x) Y und bezeichnet x den Neigungswinkel . gegeben ist und der Berührungspunkt der Tangente gegen die positive Ab-die Koordinaten x und y hat?

Figur 1.

scissenachse, so folgt aus der Figur 1 die Gleichung:

Y—

P/

x-A = tsx-

Bekanntlich wird aber tg% angegeben durch den Wert des Diflerentialquotien-

p/T \    ¹

ist:

dy

f{x) im Punkt P; die Einsetzung dieses Wertes in obige Gleichung ergibt:

ten

dx

Y-y

dy

A A" A'

Erki. 1. Im rechtwinkligen Dreieck PPB lautet:

X—x

dx

oder die Gleichung der Tangente

ferner ist :

PB = Â¹ P — AP = Y—y-

1) . . . Y-y =

ày

dx

(X-x)

oder:

somit:

PB = OA‘ — OA = X — x,

tgr ---

PB

Y-y

X—x '

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

PB

2) . . . Y-y = f‘(x).(X-x), vorausgesetzt, dass im Punkt P einen bestimmten Wert besitzt.

Nach der Differentialrechnung II. Teil,

Eine kleine Kechnung führt die Glei-Seite 13 gibt aber der Differentialquotient chling 1) in die Form Über:

X-x _ Y-y

³⁾ • • • —air

für den fest angenommenen Wert x den Wert der trigonometrischen Tangente des Neigungswinkels T der Tangente in dem Punkt P der wobei dy das zum unendlich kleinen dx Kurve an, dessen Abscissenachse = x ist ; da-

dy

her tgx —

dy

gehörige Differential vorstellt.

dx

und daraus die nebenstehende

Endlich kann:

Gleichung 1), welche für die Koordinaten X

(X—x) dy — (Y — y) dx

und Y von jedem beliebigen Punkt P/ der aiipli jn öpi* Form pinpr T'lpfprminji'ntp Tangente ihre Richtigkeit behält. Man nennt aUCÜ 111 üei *0 m eiliei ^terminante

X und Y die laufenden Koordinaten, im Gegensatz zu den festen Koordinaten x und y des Berührungspunktes P.

geschrieben, nämlich:

Erki. 2. Nach der Differentialrechnung II. Teil, Seite 182, Erkl. 164 ist das Differential dy der Zuwachs B“P“, welchen die Ordinate

4) . . .

x y O dx dy 0

= 0.

Soll z. B. die Gleichung der Tangente A P erfährt, wenn man vom Berührungspunkt P gefunden werden an die Kurve auf der Tangente weiter geht bis zum Punkt P", dessen Abscisse OA“ um die unendlich kleine Grösse AA“ — dx grösser ist als OA = x. im Punkt P, dessen Abscisse x = 0 ist Die Aehnlichkeit der beiden Dreiecke PP'B und PP“ B" ergibt die Gleichung:

P'B

P“ B“

PB

PB'

T oder

Y—y _ dy X — x dx'

und dessen Ordinate y aus dieser Gleichung — — 3 folgt, so rechnen wir:

= 3x² -j- 4x — 4;

Figur 2.

P*

+Y

für den gegebenen Punkt erhält also dx den Wert —4 und die Gleichung

der Tangente ist nach der Formel 1):

F+3 = X(— 4) oder 4X-fr+3 = 0

Diese Gerade schneidet also von der

Abscissenachse ein Stück OP —

dy

\z

T

ab (s. Figur 2). Wäre die Tangentengleichung für den Punkt P* verlangt, dessen Abscisse x* = — 2 und dessen Ordinate y* = 5 ist, so würde sich ergeben:

--z

NX

-4

-5--

P’*

= 3 (— 2)2 -f 4 (— 2) — 4 = 0;

die Gleichung lautet nun:

F—5 = (X+2)0 oder Y— 5; d. h. die Tangente geht in dem angenommenen Kurvenpunkt P* parallel zur Abscissenachse.

Erkl. 3. Nach der Lehre von den Deter minanten (siehe Weichold, Lehrbuch der Determinanten) hat man:

rH tH

dx du O

Y 1 X—x Y—xj O d y O

dx

dx

dy

J = (X — x) dy — {Y — y) dx

oder (X— x) dy — (Y— y) dx.

Erkl. 4. Zur Zeichnung der Kurve in Figur 2 dienen folgende Werte: x — — 3

— 1 — 0,62

0,7

1,6

— 3    -4,5    —4    0    +-5

Der Punkt (0,7, — 4,5) ist der tiefste, der Punkt (—2, 5) der höchste.

Aufgabe 1. Gegeben sei die Parabel, deren Gleichung y² = 2px ist. Gesucht ist die Gleichung der Tangente und eine Konstruktion der letztem.

Figur 3.

Auflösung. Die Koordinaten des Berührungspunktes P seien wieder x und y, dann folgt aus y² =: 2px:

dy _ d(\/2px)

dx

somit folgt:

dx

P __ P_

1/2 px y

+Y

Y — y — (X-x)2-

OT-OA AN-DF

oder:

yY — pX — px-\-y²=pX-j-px = p (X+aj), d. h. die gesuchte Tangentengleichung lautet: yY = p(X + x).

Für Y = 0 folgt X = — x, d. h. es ist OT — O A oder die Tangente schneidet von der negativen Abscissenachse ein Stück ab gleich der Abscisse des Berührungspunktes, woraus sich folgende äusserst einfache Tangentenkonstruktion ergibt: Mache OT=OA und ziehe PT, so ist dies die gesuchte Tangente.

Erkl. 5. Die Konstruktion der Parabel ist im II. Band der Differentialrechnung in Erkl. 1 angegeben.

Aufgabe 2. Wie heisst die Gleichung der Tangente im Punkt P (x, y) an die Hyperbel x²y* = 1 ?

Figur 4.

Auflösung. Aus x-y''’ = 1 bilden wir:

2

,"T;

y =

dJL-__*

dx ~    3

daher lautet die Gleichung der Tangente:

dies liefert:

³(X-x).

kl

p.

-3

₊*X

Y-y = -~x

Für x = 1 wird auch y = 1 und die Tangente im Punkt (1,1) ist:

Y — 1 = — ~ (X—l) od. 21+3 7-5 = 0 sie schneidet demnach von der Abscissen-achse das Stück OT =    — 2 und von

der Ordinatenachse das Stück:

Erkl. 6. Zur Zeichnung der Kurve dienen folgende Werte:

x — 0,1 y — 4,64

OR =    = 1,67 ab (siehe Figur 4).

JO o

g w

⁰ r-T

rH

CO

(M

00

CO ^

Ci

co

10

0»

CO

0,21

Aufgabe 3. Desgleichen für die Exponentialkurve y = ax. (Siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 43.)

Figur 5.

+Y

Auflösung. Die Gleichung y — ax ergibt zunächst = ax-l(a)\ daraus folgt als Tangentengleichung :

Y—y = (X— x)a*-l(a).

Letztere liefert eine einfache Konstruktion der Tangente; für die Koordinaten X0 und Y₀ = 0 des Punktes T, in welchem die Tangente die Abscissenachse schneidet (siehe Figur 5), folgt nämlich:

— y — (X₀ — x) ax-l (a) und wegen ax — y :

X₀ — x =

Da aber X₀ = OT und x = OA ist, so sein. Schneidet die Tan-

1(a)’

muss AT = gente in C die Achse in D, so ist zunächst:

1(a)

dy

OC = 1 und tg r₀ =    = a°-l(a) = 1(a),

somit ist:

für x = o

-h -3 -Z J) -i Q

T ¹ Az

OD =

OC

1(a)

tg* o

man erhält demnach die Tangente im Kurvenpunkt P, wenn man vom Fusspunkt A der Ordinate aus das konstante Stück OD

Erkl. 7. Wählen wir zur Herstellung der    .

Figuj 5 a = 2, so haben wir für die Koordi- nach links abträgt und den Endpunkt T mit naten folgende Werte zu nehmen:    P verbindet.

— 3    — 2    —1    0    +1    +2    +3    +4

— 1 2 2

16

Aufgabe 4. Desgleichen für die Ketten

linie:

( JL m I m

*)

Auflösung. Aus der gegebenen Gleichung folgt:

Erkl. 8.

Ist ein vollkommen biegsamer Faden in zwei Punkten A und Ax befestigt und nur der Wirkung der Schwere unterworfen, so bildet er in einer vertikalen Ebene eine Kurve, welche Kettenlinie heisst. Legt man das Koordinatensystem derart, dass die Ordi-natenachse vertikal durch den tiefsten Punkt B geht und der Ursprung 0 um m Längeneinheiten unter dem genannten Punkt liegt, so lautet die Gleichung der Kurve wie oben angegeben wurde; die Kurve ist dann gegen die T-Achse symmetrisch.

/ J£_    __x\

dy 1 ( m    m \

y;

die Tangentengleichung lautet daher:

( + — — —\

1 I m    m I

J

Bezeichnet wie früher r den Neigungswinkel der Tangente im Berührungspunkt P gegen die Abscissenachse, so ist bekanntlich:

tgx — -

Nun hat man aber:

dy

dx ‘

■ (X-x).

y⁸ = -^-(^w+2 + 2

— 2-f 2

Diese Kurve kann auch aus der Exponential- woraus:

2af\

’) =

y² — m²

kurve y = mem abgeleitet werden. Die letztere liefert für jeden Wert von x ein reelles y. j Für x — 0 wird y = m, für x — — oo ist y — 0; für x = oo ist y — oo . Die Kurve CBD erstreckt sich also, wenn m positiv gedacht wird, auf der positiven Seite ins Unendliche und nähert sich der negativen Abscissen-achse immer mehr und mehr ohne sie je zu erreichen. Wir denken uns jetzt diese Kurve CBD so um die Ordinatenachse gedreht, dass sie die Lage C,BD, annimmt. Das Stück NNX der auf der Abscissenachse errichteten Senkrechten M N, IV, welches von den beiden Kurven

begrenzt wird, werde in P halbiert; dann ist    __

der geometrische Ort des Halbierungspunktes P m1^ der Ordinate PM = y des Kurven-

x_    punktes P einen Kreisbogen, welcher die

m die Glei- Abscissenachse in E schneidet; ziehe BE und fälle von P auf BE das Lot PT, so ist dieses die Tangente. Denn es ist:

die Kettenlinie; denn da y = me chung der Kurve CBD ist, so hat man:

y = me

als Gleichung der Kurve C₁BD₁. Nun ist:

MP — y (MNt + MN) und wenn man OM durch x bezeichnet,

MN — rnem, MN₁ = tne m folglich wenn MP = y gesetzt wird:

welches die Gleichung der Kettenlinie ist. Für m —

folgende Werte für:

1 und ~    — liefert die Rechnung

-    I —2 I —1 I O I +1

I,    I 3,76 I 1,54 ; 1 I 1,54

æ = +2    +3

y = 3,76    10,07

CO

Hiermit kann die Kettenlinie einfach auf Millimeterpapier eingetragen werden.

Näheres über die Kettenlinie findet man bei Gudermann, Theorie der Potentialfunktionen, Berlin 1833.

( X X \ i+_+)

Daraus folgt:

tgx

V y² — m²

m²

Dieser Ausdruck liefert folgende einfache Konstruktion der Tangente. Aus dem tiefsten Punkt B der Kurve beschreibe man

OB — m, BE = y, OE = ~\/y² — m²,

OE

taß = ~ÖB

a/ y² — m²

und da x — ß, so ist auch:

Vy² —• m²

tgx =

Figur 6.

a.

--1.

Sfr

r-

o;

2) Die Kurvengleichung habe in schiefwinkligen Koordinaten die Form

5) Die Kurve sei gegeben in Polarkoordinaten durch eine Gleichung von der

6) Oie Kurve sei gegeben in homogenen Koordinaten durch eine Gleichung von

2X — F—0,53 = 0 und 2X— F—9,47 = 0   (siehe Figur

f<x—

die Hypotenuse PD = dem Normalenstück n* und <£ ODP = u ; daher folgt :

+ +2)+^r:=0.

Uebungsbeispiele.

Aufgabe 192. Untersuche den Lauf der Kurve, deren

Dieser Ausdruck erreicht nun den Wert und wirklich

r-,. = &

und y = y0 der Ausdruck 0, oder eine Spitze, wenn die Doppelbedingung D** erfüllt wird.

wenn nicht nur f(x0) = q>(x0) und Antwort. Nehmen

Antwort. Auf dem Bogen P0 P = s nehmen wir den une

woraus :

Auflösung.

r 0*0-2r o*o-r 0*0 - {i + ir 0*01*}•/"' o*o

Erkl. 109. Zur Konstruktion der Zuglinie (siehe

6) ... * =

Antwort. Ist :

d) Anwendung auf die Brennlinien.

n i n

x2 y^_ _ 1

2) Die Kurvengleichung habe in schiefwinkligen Koordinaten die Form

y = /X4

Frage 2. Wie lässt sich in einem schiefwinkligen Koordinatensystem die Gleichung der Tangente finden, die im Punkt P der Kurve y = f(x) an die letztere gezogen werden kann.

Antwort. Die Gleichung der Tangente im Punkt P mit den schiefwinkligen Koordinaten x und y hat jedenfalls die Form:

+Y

Figur 7.

P,A'

P’

P~

+x

A Ai

Y — y — a(X — x);

dabei bedeutet a einen konstanten Faktor, dessen Wert jetzt zu bestimmen ist. Ziehen wir durch P eine Sekante PP,, so hat diese eine Gleichung von der Form:

Y — y — «j (X — x);

lassen wir die Sekante sich um den

Punkt P drehen, so geht dieselbe, wenn Pi mit P zusammenfällt, über in die Tangente PP' und dabei ändert a₁ seinen Wert derart, dass a den Grenzwert von ax vorstellt, den ax erreicht beim Ueber-gang der Sekante in die Tangente. Nun ist aber, wenn die Koordinaten OAx und A^P^ von Pj, die natürlich der Gleichung:

ai =

Y-y

genügen müssen, mit x-]-Jx u. y-\-Jy bezeichnet werden, wobei Jx = PPX und Jy = B₁Pl ist,

_ (y + Ay) — y _ Pi

(x-\-zlx) — x    z1x’

Daraus folgt, dass:

a = Limes    ist.

zi x dx

zlx — 0

Man hat demgemäss als Tangentengleichung:

d. h. die Tangentengleichung hat im schiefwinkligen Koordinatensystem die nämliche Form wie im rechtwinkligen (siehe Frage 1).

Auflösung. Aus tg = m folgt:

ocy _

y = — und =

x dx    xl

Aufgabe 5. Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P (x, y) der Hyperbel xy = m, bezogen auf ihre Asymptoten als Achsen.

Figur 8.

\ s.

+Y

daher lautet die verlangte Gleichung: Y— y — ; —    (X    x)

oder:

BAI

oder:

(X-x)y + (Y-y)x = 0

-3    -2 -l

/7

FH /

,3

+X

y X -f- xY — 2 m.

Heissen wir die Koordinaten des Punktes B X₀ und Y₀ — 0, so gibt die Gleichung:

2 m 2 xy

= 2x\

-Y

Xo =

d. h. es ist OB = 20 A ; in gleicher Weise erhält man auch O S = 2 OB. Man erhält also die Tangente in P dadurch, dass OB = 20A gemacht und BP gezogen wird.

Erkl. 9. Zur Zeichnung der Kurve in Figur 8 wählen wir m = 1 und erhalten für:

x — 0,1 + y = 10

IC

o co

to

co

co

to

T—I

IC

co

CO

0,2

u. s. f.

3) Die Kurvengleichung habe in rechtwinkligen oder schiefwinkligen Koordinaten

die Form F(x, y) == 0.

H i'iS

aus der Gleichung:

Frage 3. Wie erhält man die Gleichung der Tangente in einem Kuryenpunkt P mit den rechtwinkligen oder schiefwinkligen Koordinaten x und y, wenn die Kurvengleichung in der nichtentwickelten Form F(x, y) = 0 gegeben ist?

Figur 9.

+Y

Antwort. Wenn die nicht entwickelte Funktion F(x, y) — 0 vorliegt, so erhält man den Wert des Differentialquotienten

BF

dy

Bx

dx

BF ’

dy

C\

(Siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 233.)

Setzt man diesen Wert ein in die frühere Gleichung der Tangente:

(X-*),

dy

r-»= ii

so folgt:

TW (x — «0

6) . . . Y—y —

oder:

BF

By

BF

8y

(Y — y) = 0.

Aufgabe 6. Berechne die Gleichung der Tangente, welche an den Kreis x²-\-y²— 86 = 0 gelegt werden kann in dem Punkt mit der Abscisse x — -f- 4 und der positiven Ordinate y (siehe Figur 9).

Auflösung. Aus x² y² — 36 = 0 ergibt sich zunächst, wenn x = 4 eingesetzt wird:

ferner wird:

y- = 20 und y — 2 yf 5 ;

Erkl. 10. Nach der ebenen Geometrie stelrç bekanntlich die Tangente auf dem Halbmesser nach dem Berührungspunkt senkrecht; die Tangente ist hiernach einfach das Lot auf dem daher lautet die gesuchte Gleichung: Halbmesser.

-    = 2x = 8;

8x

8F

8y

= 2y = 4 l/5;

8(X— 4)+ 4 y/5 (F— 2 y5) = 0

oder :

2X+ y5 F—18 = 0.

Wie lang ist OC und wie lang OD?

Aufgabe 7. Die Gleichung der Tangente aufzustellen für die Ellipse:

Auflösung. Hier erhält man: 8F _ 2x_    8F_ _ 2y_

8 x a² 8 y b²

woraus :

Erkl. 11. Die analytische Geometrie beweist, dass die Tangente PF im Punkt P der Ellipse den einen der beiden Winkel halbiert, ^erweiche die von den Brennpunkten F, und F2 gezogenen Strahlen Ft P und jF₂ P bilden (siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 2); die Brennpunkte liefert ein Kreisbogen aus einem Endpunkt D₂ der kleinen Achse Z>j Z>₂ der Ellipse mit dem Halbmesser a, d. h. der halben grossen Achse; dadurch lässt sich die Tan- daher lautet dje Tangentengleichung der g ente in einem beliebigen Punkt P einfach konstruieren: Man sucht die Brennpunkte Fl und F₂, zieht Fr P und F₂ P und halbiert den Winkel (siehe Figur 10).

~(X—£)+~(r—y) = 0

«²

«2

ft²

= 0;

aber:

, y² __ i.

a2 ' &2 ’

Ellipse im Punkt (x, y) :

xX

«2

e-i

b²

= 0.

Figur 10.

+Y

Di

\P,

v,

\,

S-. \

''■i \C z

N/ A /Ę

Aufgabe 8. Die Gleichung der Tangente aufzustellen für den Punkt P(x,y) der Hyperbel:

Auflösung. Man erhält hier:

x²    y²

2x

8F

2y_

daraus folgt:

l^(X-x)-^(Y-y) = 0

b²

oder:

Erkl. 12. Ueber die Konstruktion der Hyperbel (siehe Differentialrechnung II. Teil,

Seite 2). Die Tangente im Punkt P erhält man wieder durch Halbierung des einen der da aber: zwei Winkel der Brennstrahlen F₁P und F₂P (siehe Figur 8).

xX

yY

«²

52

a²

(«2

52

x² y²

52

= 0;

ist, so folgt als Gleichung die Tangente der Hyperbel im Punkt (x, y):

xX

yY

a²

52

1 = 0.

Aufgabe 9. Wie lautet die der Tangente im Punkt P (x, Ci s soi de x* = y² (2a— x)?

Figur Tl.

an die

Auflösung. Hier erhält man aus: F (x, y) — xs — y² (2 a — x)

Sd

zunächst :

dF

= %x²-\-y⁹-;

'AH

+X

~~7

— — 2y (2a — x)\

8x

somit bekommt die Tangentengleichung die Form :

Sy

(3x²-\-y²)(X — x) — 2y(2a — x)-(Y—y) = 0 oder:

(3x² + y²)XĄ-2y$-2a) F

= (3a:² -j- y²) x — 2y² (2a — x) — 3a;³ -(- xy² — 2a:3 = xy² -j- xs = xy² -j- y² (2 a — x)

= 2ay² d. h.:

die Tangente der Cissoide im Punkt P (x, y) lautet :

(3x² -J- y²) X2y (x — 2 a) Y — 2 ay² = 0.

Der Kurvenpunkt D hat die Koordinaten x = a und y = a\ demnach hat die Tangente in D siehe Figur 11) die Gleichung:

2X — Y— a = 0,

woraus wir schliessen können, dass die Tangente in D durch den Mittelpunkt des Halbmessers OM gehen muss (siehe Figur 11).

Zur Herleitung der Kurvengleichung bemerke man:

Erkl. 13. Die Cissoide hat ihren Namen von dem Epheublatt (/«roo? Epheu) erhalten.

Von dem griechischen Mathematiker Diokles etwa 150 v. Chr. erdacht, wird sie folgender-massen konstruiert : Im Kreis vom Durchmesser OA = 2a werde MD J_ OA gemacht und pp __ Bogen DE — Bogen DF beliebig angenommen.

OF schneidet dann das Lot BE in einem Kurvenpunkt P. Nimmt man OB — x und BP — y, so genügen diese Koordinaten der Gleichung :

also:

OB — AC = x CF² = OC-AC = x(2 a — x) PB : CF = OB :OC

CF-OB

oder y — woraus y² (2 a — x) = x% folgt.

OC

Y^x (2 a — x) • x

2a — x

x% = y² (2 a — x).

4) Die Kurve sei gegeben durch die zwei Gleichungen x = cp(t) und y — 7p{t).

Antwort. Aus x — cp (t) und y — 7p (t) schliessen wir dx = cp¹ (t) dt und dy — 7p‘{t)dt und erhalten: dy __ y (t) dx ff'(t)'

Die Gleichung der Tangente:

erhält dadurch die Form:

8) . . . Y-y =

Frage 4. Wie erhält man die Gleichung der Tangente in einem Kurven-punkt P mit den Koordinaten x und y, wenn die letzteren als Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen t gegeben sind, so dass:

ist?

x= cp if) und y = 7p (f)

(X-x)

xp'tt)

ff' (0

{X-x).

Aufgabe 10. Es soll die Gleichung der Tangente bestimmt werden, welche im Punkt P (x, y) an die Cykloide gelegt werden kann,, welche bestimmt wird durch die zwei Gleichungen :

x = r {t — sin t) und y — r {1 — cos t) ; ferner ist die Konstruktion der Tangente zu finden.

Auflösung. Aus x — r{t — sin t) folgt durch Differentiation:

dx

Erkl. 14.

— r {t — cos t) ; ebenso ergibt sich aus y = r( 1 — cost): = v sin t.

dt

dy

dt

Wenn ein Kreis eine gerade Linie OX im Punkt 0 berührt und sich dann Daraus folgt: auf dieser unbegrenzten Geraden, ohne zu gleiten, weiter rollt; so beschreibt der anfängliche Berührungspunkt eine krumme Linie, welche Cykloide oder Badlinie heisst. Ein sinnliches Bild gibt der Kopf eines Nagels im Keif eines Wagenrades, der beim Rollen des Bades eine Cykloide in der Luft beschreibt.

In Pig. 12 sei OB = x, PB = y. MA = r. Wird der Winkel PMA in Bogenmass ausgedrückt .    .

und mit t bezeichnet (siehe Differentialrechnung an die Cykloide im Punkt {x, y):

Y—y = cotg -^-(X — x).

sin t

dx 1 — cos t

dy

2 sin 4

cos —

2 sin²

= cotg-.

Demnach lautet die Gleichung der Tangente

II. Teil, Erkl. 43), so folgt Bogen AP=rt. Nun muss aber dieser Bogen ebenso lang sein als die Strecke OA wegen der rollenden Bewegung des Kreises; oder wir haben OA — rt. Wegen PC = rsint und iBC — rcost folgt:

Da

x = CB — OA — PC — rt — r sin t

und

y = B P = MA — MC = r — r cos t

so folgt, dass die Tangente in P (s. Fig. 12) mit der Ordinatenachse einen Winkel = -g- bildet

Erkl. 15. Beim Beginn der Bewegung im un(l deshalb durch den Gegenpunkt A₁ von Punkt 0 ist t = 0; mit fortschreitender Be- A hindurchgehen muss, oder es ist, wenn wegung gewinnt der Winkel t fortwährend AMAX _]_ OX gemacht wird, AtP die verwachsend einmal den Wert 180°, dann hat der langte Tangente in P. erzeugende Punkt in P die Höhe BXPX = 2 r über der Basislinie erreicht und die Abscisse OB, ist offenbar gleich dem halben Umfang des Kreises geworden (s. Fig. 13) Im weitern Verlauf nehmen die Ordinaten ab und für t = 360« ist der erzeugende Punkt in P₂ wieder auf der Basislinie angekommen; hierbei hat sich der ganze Kreisumfang auf der Abscissenachse ab-

gewickelt; d. h. es ist 0P₂ = 27rr. Bei der Fortsetzung der Bewegung hebt sich der erzeugende Punkt wieder von der Basislinie und erzeugt während t von 360° bis 720° wächst, einen Kurvenbogen, welcher dem eben erhaltenen kongruent ist. Da sich nun die Bewegung des rollenden Kreises unbegrenzt fortsetzt und dabei der erzeugende Punkt immer wieder auf die Basislinie kommt, so besteht die Cy-kloide aus unendlich vielen Zweigen, die alle unter sich kongruent sind. Es lässt sich aber die Bewegung auch vom Punkt 0 aus rückwärts nach links fortgesetzt denken, wobei ebenfalls unendlich viele, der vorigen kongruente, Zweige der Kurve gewonnen werden. Je zwei aufeinander folgende derselben bilden einen Rückkehrpunkt 1. Art. Dem Winkel t können hiernach alle Werte von — oo bis 0 und von 0 bis -f- oo beigelegt werden und die Rückkehrpunkte werden erhalten für:

t — 0,    ^ 271, Gl 4TT, Hz 6^ u. s. f.

Figar 12.

+Y

Ai

(L

Erkl. 16. Soll die Cykloide konstruiert werden, welche der Kreis k beim Rollen auf der Geraden g erzeugt, so verfährt man wie folgt :

Zuerst teilt man den Umfang von k vom Berührungspunkt 0 aus in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile, z. B. in 12 mit den Teilpunkten 0, 1, 2 • • 11, so dass zu jedem der er-

PQ

+X

haltenen Bogen ein Centriwinkel von — R gehört. Hierauf macht man auf g die Strecke von 0 bis 12' gleich dem Umfang von k u. die Strecken

^2 UmfaBg> so

dass Bogen 01' = Strecke 0 1', Bogen 12 = Strecke 1' 2' u. s. w. In 1', 2', 3' • • • errichtet man die Lote, welche die Parallele durch den Kreismittelpunkt in 1“, 2", 3“ u. s. w. treffen.

Î-R

01' = 1'2' = 2'3' u. s. w. =

An 1' 1" legt man in 1" einen Winkel =

an und macht 1" I = Halbmesser r; an 2'2"

legt man in 2" einen Winkel = 2-~ R an und

macht 2" II = r\ an 3'3" legt man in 3"

3--|-R an und macht 3" III

= r u. s. w. Die Verbindung der Punkte 0, I, II, III u. s. w. liefert dann die gesuchte Kurve (siehe Figur 13).

einen Winkel =

Figur 13.

VI

-----ft

V. fr^i---—---^

Vi

i?v»

<4----

&----£---km

--

cbA

»i •

______

.c

ft¹

.-•T

------1______

*J 1

7' S' 9'

10'    11’ XU 13'    10'    15'    16'    17'    18'

Aufgabe 11. Die Gleichung der Tangente abzuleiten, die im Punkt P mit den Koordinaten x und y an die eine Epicykloide gelegt werden kann, wenn die letztere gegeben ist durch die zwei Gleichungen: .    ,    . a

x = (a 4- r) cos —-1 — a cos r

y — (a -f- r) s in — t — a sin r

und die Konstruktion der Tangente aufzufinden.

und

At+t)

folgt:

Auflösung. Aus :

.    .    . a

x — (a -f- r) cos — t — a cos

dx

dt

— (a r) sin — t

Figur 14.

+a (v+0sin (vł + *)

■ j'sin    t — sin —

+Y

2 a (a -j- r) sin — • cos

(t'+t)

Ai

Ferner liefert:

z'

dy _ dt

— (a-\- r) sin — t —- a sin

a    a

— (a + r) cos — r    r

,AVt

«(7- + ¹) cos (~p

a (a -\-r)

B +X,

i    a

cos — t — cos

L    r

2 a (a -f- r) sin A- • sin

somit erhalten wir:

IP in Bogenmass = t, so ; das Bogenmass des Winkels AOE ist daher = AAL = AA, Wir legen

die positive Abscissenachse in die Gerade OE und setzen OB = x und BP — y\ dann folgt, weil:

dy

— x).

Erki. 17. Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Halbmesser a aussen auf einem festen Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Halbmesser r ohne zu gleiten fortrollt, so beschreibt ein bestimmter Punkt P des Umfangs vom rollenden Kreis eine Kurve, welche Epicykloide heisst. Es bezeichne der Punkt E die Lage, in welcher der die Kurve erzeugende Punkt auf den festen Kreis fällt, wir können ihn als den Ausgangspunkt der Bewegung ansehen, und ist A der Berührungspunkt der beiden Kreise für die Lage P des erzeugenden Punktes, dann muss der Bogen EA des festen Kreises die gleiche Länge besitzen wie der Bogen AP des rollenden Kreises. Setzen wir den Winkel ist Bogen AP —

PMC = AMP—[A — MOEJ

ix = tS

und die Gleichung der Tangente im Punkt P (x, y) der Epicykloide lautet daher :

Y~y — tg

Daraus schliessen wir, dass die Tangente

mit der Abscissenachse den Winkel A1 -)—t—

bildet. Verlängern wir in Fig. 14 die Zentrale OAM bis Ax und ziehen AXP, so MA₁P

=—und wegen AOE = ~t schneidet AXP

die Abscissenachse ebenfalls unter dem Winkel a    t

— t -f- -g- ; d. h. die Tangente im Punkt P

der Epicykloide fällt mit AXP zusammen; sie lässt sich hiernach einfach konstruieren durch die Verbindung des Berührungspunktes P mit dem Gegenpunkt At des Berührungspunktes A der beiden Kreise.

OD -(- CP = (a r) cos 1 -f- « s««    + t —

= (a -J- r) cos £ — a cos

(-Î)

(t-*)

denn sm ferner :

y = D M — C Af — (a-J-r)sm^-< — a cos

= — sin

= — cosxp.

oder :

y — (a -(- r) sm — £ — a sin wie oben angegeben worden ist.

(yl+t)

, denn cos

= sin xp

Figur 15.

Pi

//

5"

\ \\

SJ

\\

fi

IV

•\

■V '

P₂

ß'

,5'

/F

/T

\7

'S*'

\\

7?"

ü'

P₃

------vifer-

- -'>>7*718" / t A ;

'f . i

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r\

x?

V/

\\

!]

Erkl. 18. Beim Beginn der Bewegung im Punkt i? (s. Fig. 15) ist t = 0; bei fortschreitender Bewegung gewinnt der Winkel t fortwährend wachsend einmal den Wert 180°; dann hat der die Epicykloide erzeugende Punkt in Px die Entfernung Px F = 2 a über dem festen Kreis erreicht und die Länge des Bogens EF ist gleich

dem halben Umfang des rollenden Kreises geworden. Im weitern Verlauf nähert sich der cykloide, welche der Kreis vom Halbmesser a erzeugende Punkt wieder dem festen Kreis und beim Rollen auf dem Kreis vom Halbmesser r in für t = 360° kommt derselbe in P₂ zum zweiten- Fig. 15 erzeugt, ist folgendermassen zu verfahren, mal auf dem letztem an; jetzt hat sich der Der rollende Kreis berühre den andern im PunktO. ganze Umfang des rollenden Kreises auf dem Wir teilen den Umfang des erstem in eine be-festen abgewickelt, d. h. es ist Bogen    stimmte Anzahl gleicher Teile ein, z. B. in 8

Erkl. 19. Zur Konstruktion der Epi-

EAFP — 2na.    in den Teilpunkten 0, 1, 2, 3 • • • 7; dann ge-

T,..    „ ,    , ²    -i'-r,    , ,, hört zu jedem der erhaltenen Bogen ein Centri-

Bei der Fortsetzung der Bewegung hebt    J ^    ^

sich der erzeugende Punkt wieder vom festen winkel = ■— R = —- R. Hierauf machen wir Kreis und erzeugt während t von 360° bis 720«    ®

wächst, einen neuen Kurvenzweig, welcher dem au^ dem festen Kreis den Bog. 0 1 _ Bog. y 1, soeben erhaltenen kongruent ist. Da sich nun B°gen 1'2' = Bogen 12, Bogen - 3 — Lo-die Bewegung des rollenden Kreises ins Un- en 2 3 u. g. w. aiso je = ~ Umfang des begrenzte fortsetzt und dabei der erzeugende    tvvmhp«    °

Punkt immer wieder auf dem festen Kreis ankommt, so besteht die Epicykloide aus unend- Die Halbmesser 0/, 0.₂', 0₃' u. s. w. schnei-lich vielen unter sich kongruenten Zweigen, den den konzentrischen Kreis vom Halbmesser Es lässt sich aber die Bewegung auch vom ra in den Punkten 1", 2", 3" u. s. w. An Punkt E aus rückwärts fortgesetzt denken, die Gerade P1" legen wir in 1" die Strecke wobei ebenfalls unendlich viele Zweite, welche T    ,    , ,Tr. . , 1 „    ₀,₀„

den vorigen kongruent sind, gewonnen werden; 1 1 = « unter dem Winkel ~2 R an> an 2 2 je zwei aufeinander folgende bilden einen Rück- jn 2" die Strecke 2" II = a unter dem Winkel kehrpunkt I. Art. Wir können hiernach sagen, p

= a unter dem Winkel 3«-^- R = ly£u.s.w.

Die Verbindung der Punkte O, I, II, III u. s. w. liefert dann die gesuchte Epicykloide.

dass t alle Werte von — oo bis 0 und von 2*— R — R, an 3'3“ in 3" die Strecke 3“ III 0 bis -f- Qo beigelegt werden können und die Rückkehrpunkte erhalten werden für t — 0,

+ 2tt, + 471 u. s. w.

Erki. 20. Wenn der Halbmesser a des rollenden Kreises gleich dem Halbmesser r des festen Kreises gewählt wird, so bekommt der Umfang des ersten die nämliche Länge wie der Umfang des festen, was zur Folge hat, dass der erzeugende Punkt, des rollenden Kreises, welcher beim Beginn der Bewegung auf dem festen Kreis lag, nach einer Umwälzung des beweglichen Kreises genau wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt; bei fortgesetzter Bewegung wird also der erzeugende Punkt dieselbe Kurve durchlaufen, welche er bereits beschrieben hat. Diese spezielle Art von Epicy-kloide heisst Cardioide (siehe Figur 16). Die Kurve ist eine der kaustischen Kurven des Kreises; hierbei ist der leuchtende Punkt auf dem Kreisumfang angenommen (siehe Halley, Philos, transact. 1741).

Y

Für a — — würde der erzeugende Punkt À

nach zwei Umwälzungen des rollenden Kreises zum Anfangspunkt zurückkehren und die auftretende Epicykloide würde sich aus zwei kongruenten Bogen zusammensetzen, die vom erzeugenden Punkt unendlich oft durchlaufen

Y

werden müssten; a = -- würde drei solche

Bogen liefern u. s. w. (siehe Figur 15). Die 2

Wahl a — —r würde zur Folge haben, dass

O

die dreifache Peripherie des rollenden Kreises gleich der doppelten des festen Kreises gleichkäme und der beschreibende Punkt nach drei vollen Umwälzungen zum Anfangspunkt zurück-

Figur 16.

+Y

=1/

•SÎ

ss/'i

Nh—«

Erkl. 21. Wird der Halbmesser r des festen

kehren müsste ; auch hier wäre die Epicykloide gesclilossen; sie bestände aus drei    unter sich    Kreises unendlich gross angenommen, so    geht

kongruenten Zweigen.    Allgemein    wird man    der letztere in eine gerade Linie über,    auf

sagen können, dass die    Kurve sich schliesst,    welcher der Kreis vom Halbmesser a    rollt,

j Tr t-.-ii. • a    . TT    . n.    wobei ein fester Punkt seines Umfangs    eine

wenn das Verhältnis — gleich dem Verhältnis ~ Cykloide beschreibt; es geht daher die Epizweier ganzen Zahlen und n₂ ist. Ist da- cykloide für r = co in eine Cykloide über, a    oder es ist die Cykloide nur ein spezieller Fall

gegen — irrational, so besteht die Kurve aus der Epicykloide.

unendlich vielen sich nicht schliessenden Bogen.

Aufgabe 12. Die Gleichung der Tangente abzuleiten, welche im Punkt P mit den Koordinaten x und y an eine Hypocykloide gelegt werden kann, wenn die letztere durch die zwei Gleichungen:

x — Cr — a) cos -f- a cos r

(-■?>

Auflösung. Aus :

/ -t at .

x — (r — a) cos-- 4- a cos

r

leiten wir ab:

= (r — a) sin    -j- a sin (t--—^

dx

dt

gegeben ist ; ferner soll die Konstruktion der Tangente aufgefunden werden.

Figur 17.

a .    at

--(r—a)sin —

r    r

—-(r~ r

2a(r — a)

“) [*'" -y- + 8ln (* — -f) ]

sin

~2

cos

+Y

Weiter liefert:

f at t\

/M”

'■ö ns

y — (r — a) sin •--a sin

r

a    at

: _(r—a) cos —

T    V

a (r — a)

cos--cos

Ml

2 a (r — a)

~2

•sin

/at t \

TJm

Hieraus folgt:

À}

dy

ÇL

E +X

Erkl. 22. Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Halbmesser a innen auf einem festen Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Halbmesser r, ohne zu gleiten, fortrollt,

f at t\

f t at\

\J~)m

— — tg

Die Gleichung der Tangente im Punkt x, y der Hypocykloide lautet daher:

HJ = tg

Y y — — tg

Die Tangente bildet demnach mit der positiven Abscissenachse den Winkel:

180 —

ft at\

\J~~)

— x).

beschreibt ein fester Punkt P des Umfangs roUeńden’'leJührallgspunkt™ vom rollenden Kreis eine Kurve, welche Hypo- , . ,    ^    .TU. «    T.

cykloide heisst (s. Fig. 17). Es bezeichne der nochm dessen Gegenpunkt Av Die Gerade AxP

Punkt E die Lage, in welcher der die Kurve er- bildet mit axA den Winkel ^ und mit der zeugende Punkt auf den festen Kreis fallt, wir _    ¹    2

können ihn als den Ausgangspunkt der Bewegung Abscissenachse nach links den Winkel: ansehen, und ist A der Berührungspunkt der beiden Kreise für die Lage P des erzeugenden Punktes, so muss der Bogen AE des festen Kreises die gleiche Länge wie der Bogen AP nach dem Satz vom Aussenwinkel eines des rollenden Kreises besitzen. Setzen wir den Dreiecks. Wir schliessen hieraus dass die

so

t at 2 r

— wir legen die posi- Tangente durch die Verbindung des Beriih-...    ,    . r    rungspunktes P mit dem Gegenpunkt A₁ des

Wink AMP in Bogenmass — t, so ist Bogen Tangente in P mit der Geraden Ax P zu-AP = at] das Bogenmass des Winkels AOE sammenfallen muss. Darnach lässt sich die

ist daher =

AE

men*^umdIIP — y^DaniHiiîgf Berührungspunktes A der beiden Kreise sehr

1 einfach hersteilen.

<£MPC = <AAMP— MOE = t— — ist

r

(nach dem Satz vom Aussenwinkel eines Dreiecks) :

x — ODA-CP

= (r — a) cos 1 -j~ a cos --—

y — MD — MC

-f)

= (r — a) sin — t — a sin r

wie oben angegeben worden ist.

Figur 18.

5’

6’

z\

2’

3)

4'

6’

PS

8’

4'

7"

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3’

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s';

3"

Erkl. 23. Was in der Erkl. 18 über die Epicykloide ausgeführt worden ist, gilt vollständig auch für die Hypocykloide. Der Leser

wird gebeten, dieselbe zu wiederholen und sich zu überzeugen, dass auch hier t alle Werte von — 00 bis 0 und von 0 bis -j- 00 durchlaufen kann ; die Kurve setzt sich auch hier aus unendlich viel kongruenten Zweigen zusammen, von denen je zwei benachbarte einen Rückkehrpunkt erster Art bilden, die erhalten werden für t — 0, +2tt, +4tt u. s. w.

Erkl. 24. Die in der Erkl. 19 für die Epi-cykloide gegebene Konstruktion Lässt sich wörtlich auf die Hypocykloide anwenden; nur ist statt des Kreises um 0 mit dem Halbmesser r a hier der Halbmesser r — a zu nehmen (siehe Figur 18).

Erkl. 25. Wenn bei der Hypocykloide der Halbmesser a des rollenden Kreises gleich der Hälfte des Halbmessers r des festen Kreises

gewählt wird, so erhält den Wert ~

die Gleichungen der Kurve gehen über in:

= 0;

Figur 19.

+Y

fr

>/

x = r cos

und

T’ y

d. h. die Hypocykloide ist in diesem Fall eine mit der Abscissenachse zusammenfallende Strecke, nämlich der durch den Punkt E gehende Durchmesser des festen Kreises.

-X

Oi

'I

0/

t-X

//

-Y

V

Für a — — wird die Hypocykloide eine aus

drei Zweigen bestehende geschlossene Kurve; y%

für a = — besteht sie aus vier Zweigen und

heisst dann Sternkurve oder Astroide (siehe Figur 19). Die Kurve schliesst sich immer, wie

in Erkl. 20 ausgeführt worden ist, wenn — ein rationales Verhältnis darstellt.    ¹

¹

Vy

5) Die Kurve sei gegeben in Polarkoordinaten durch eine Gleichung von der

Form r = f(G)

welchen der

Frage 5. Wie lässt sich die Richtung der Tangente in einem bestimmten Punkt P einer Kurve bestimmen, wenn die letztere durch eine Gleichung r—f(Q) zwischen den Polarkoordinaten r und 0 gegeben ist?

Figur 20.

+Y

Antwort. Die Richtung der Tangente im gegebenen Punkt P mit den Koordinaten r und 0 ist bestimmt durch die Grösse des Winkels Radiusvektor OP mit der Tangente bildet. Dieser Winkel f.i lässt sich berechnen. Bezeichnet x den Winkel der Tangente gegen die Abscissenachse, so gibt die Figur 20 die Beziehung p — x— 0 und deshalb :

tgp

tgr — tgQ

> + tgx-tg & ’

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

Setzt man jetzt:

x — rcosQ und y — rsin©,

sin © •

dr

tg g =

d®

cos®-

dr

d©

so folgt:

dy

sin © •

COS®-

dr

d®

dr

\-rcos©

r sin ©

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 258) ; daher durch Substitution:

4- r cos © ) cos © — ( cos © • ——^--r sin © | sin ©

)    \ d&_________)

r sin ©

s/« © •

dr

d©

was ausgerechnet ergibt: 9) . . . ig g =

-j- r cos ©^ sin ©

dr

d©

oder auf andere Weise geschrieben:

rd© dr

10) . . . tg g =

Frage 6. Wie lässt sich der soeben erhaltene Ausdruck für tg g in der vorausgehenden Frage auch ohne Verwendung von rechtwinkligen Koordinaten gewinnen?

Figur 21.

+Y

B.

+X

Erkl. 25a. Um die Gleichung der Tangente in Polarkoordinaten aufzustellen, sin BP, P welche im Punkt P mit den Polarkoordinaten r, © der Kurve r = f(@) gelegt werden kann, denken wir uns auf der Tangente einen beliebigen Punkt P' mit den laufenden Koordinaten r, und ©, ; dann gibt:

Antwort. In der Nähe des Berührungspunktes P mit den Polarkoordinaten r und 0 wählen wir einen zweiten Kurvenpunkt P₁ mit den Polarkoordinaten OPx = r-\-Jr und <^:PlOX — 0 + z/ 0 ; dann beschreihen wir aus 0 den Kreisbogen PB. so dass BPX = dr wird, und ziehen die Sehne PB, sowie PPX ; dann ist zunächst zu beachten, dass BPXP sich ändert, wenn P sich dem Punkt P nähert und den Wert g erreicht im Augenblick des Zusammenfallens von Px mit P, denn BPX fällt in die Richtung von OP und Pj P in jene der Tangente PT.

Nach dem Sinussatz der Trigonometrie hat man nun im A PP, B :

PB

sin P, PB P, B Bogen PB r-(J ©)

PB

PB Bogen PB

Pj B

z/r

x — r cos ©, X = r, cos ©,

y — r sin 0, Y = r, sin ©,

Bogen PB

Nähert sich nun der Punkt Px dem Punkt P bis zum Zusammenfallen erreicht BPXP die Grenze g und

denn BP

wird dann senkrecht auf OP; ferner

in Y — y — tgr(X — x) eingesetzt, die Polar- P, PB die Grenze 90° —• gleichung der Tangente:

g,

SO

13) . . . r,

ysin (©,

— ©)

dr

et©

J- r -cos(®, — ©)^

erreicht der Bruch

PB

den Grenz

+ r² — 0.

Bogen PB

wert 1 (s. Differentialrechnung II. Teil, Seite 47, Zusatz 1); daher erhält man:

sin f.i

sin (90° — g)

= Limes

r-A©

Ar

V

— Limes —-

Ar

A©=o

A©

oder:

A©= o

tg g —

rd©

dr    dr

d©

Aus dieser Formel erhalten wir dann weiter :

11)    . . . sing =

und ebenso:

12)    ... cos g =

tg g

rd©

Vl + tg*g

Y d r² -f- r² d @²

dr

Y dr² -\-r²d©²

Aufgabe 13. Welchen Winkel g bildet die Tangente in einem Punkt P der archimedischen Spirale r = c& mit dem zugehörigen Radiusvektor? Dabei stelle c eine gegebene Strecke vor.

Auflösung. Aus r — c 0 ergibt sich :

dr

d©

Figur 22.

daraus folgt:

tg g —

c0

Pi

dr c

—— — @ ;

d©

's

]6

+x

11

8.

10,

d. h. die trigonometrische Tangente des Winkels, den die Tangente mit dem Radiusvektor bildet, ist immer gleich dem Azimut 0. Für © = 0 wird auch g = 0 ; d. h. im Anfangspunkt der Spirale fällt die Tangente mit der festen Achse OX zusammen. Mit 0 wächst auch g und für 0 = oo wird tg g = oo, folglich g = 90°; d. h. die Tangente in einem unendlich fernen Punkt der Spirale steht auf dem zugehörigen Radiusvektor senkrecht.

Macht man DE_\_OP und DP_L auf der Tangente, so ist im rechtwinkligen Erkl. 26. Die Gleichung r — c© spricht Dreieck D PO der Winkel PDO = g ; daher: aus, dass der Radiusvektor gleich dem Bogen des Kreises vom Halbmesser c ist, gerechnet OB — OP-cotgg — von der festen Achse OX bis zur Richtung des Radiusvektors; z. B. muss, wenn OA = c an- d. h. der Punkt D liegt auf dem aus 0 be-genommen wurde, OP= Bogen AB sein.

Wählen wir c = 10mm und teilen den Kreis lässt sich folgende Tang ent enk on struk-in 12 gleiche Teile ein, so erhält man für:

OP

tg g

c©

= c,

schriebenen Kreis vom Halbmesser c. Daraus

300

H)

60°

(=t)

5,23

10,47

tion ableiten: Verbinde den Kurvenpunkt P mit 0, errichte den Halbmesser OD_\_OP und = c ; ziehe D P und errichte in D auf % DP die Senkrechte, so ist die letztere die gesuchte Tangente.

0 = 900

(=Jr)

u. s. f.

20,94 mm

Gewöhnlich nimmt man eine möglichst kleine Zirkelöffnung z und trägt diese auf dem Um-

15,71

fang des Kreises vom Halbmesser c so oft als möglich ab; ergibt sich der Kreisumfang auf diese Weise etwa = 96z, so macht man für:

© = 30»    © ₌ 60^

r = 16z

r = 8z

und verbindet die Endpunkte.

© = 90» r = 24 z

u. s. f.

Erkl. 27. Diese Spirale wurde von Kon on aus Samos gebürtig, aber in Alexandria lebend, gefunden; sie wurde von seinem Freund Archimedes (287 bis 212 v. Chr.) genau untersucht und nach ihm genannt.    _

daher ist:

Aufgabe 14. Welchen Winkel ^ bildet die Tangente in einem Punkt P der loga-rithmischen Spirale r = e mit dem Radiusvektor ?

Figur 23.

Auflösung. Die Gleichung der logarith-mischen Spirale r = e® liefert:

är _____ © d@ ~ e ’

■ 'jzC

\9o°

= 45/

■60e

°/

V 150/

7\P

y30°

tg 11=:

dr

-~®~

= 1,

d@

also ^ = 45°; d. h. die Tangente bildet in jedem Punkt mit dem zugehörigen Radiusvektor einen Winkel = 45°.

Nimmt man die Gleichung der logarith-mischen Spirale in der allgemeineren Form :

\T

wobei c eine gegebene Strecke und m eine gegebene Zahl bedeutet, so liefert die Rechnung:

tg‘X=—r

cem® cmem® m

EV"

d9

'-30°

-60°

es ist daher bei jeder logarithmischen Spirale der Winkel zwischen der Tangente und dem Radiusvektor von konstanter Grösse.

90⁰

in

. Die Gleichung r = e ergibt r = e° = 1 ; lässt man nun ©

Erkl.

für © =

von 0 bis oo wachsen, so erhält r entsprechende, ebenfalls ins Unendliche reichende Werte; z. B. liefert :

BO»

(=t) ⁶⁰°(=nr) ~(=*) ¹²⁰”(=ir)

1,69

2,85

4,81

8,12

0 = 1500

(-Ï)

1803 (= „)

u. s. f.

23,1

13,7

Gibt man dagegen 0 negative Werte von 0 bis — oo 8, so nimmt r ab von 1 bis 0 ; z. B. liefert :

0 = — 300

(--t)

— 600

(-î)

— 900

0,35

(-■i)

U. s. f.

0,59

Daraus folgt, dass sich die Spirale dem Anfangspunkt 0 unbegrenzt nähert, ohne ihn je zu erreichen.

0,21

(siehe Figur 23).

Erkl. 29. Die logarithmische Spirale wurde von Jakob Bernoulli (1654 bis 1705) sehr eingehend studiert.    _

Aufgabe 15. Den Winkel /x zu berechnen, welchen die Tangente in einem Punkt P der Lemniscate, deren Polargleichung : r² = a²‘cos20

ist, mit dem Radiusvektor bildet, und die Konstruktion der Tangente anzugeben.

Auflösung. Es ist :

tg [X =

rd0

Erkl. 30. Wir nehmen auf einer Geraden zwei feste Punkte F₁ uud P₂ an im gegebenen Abstand T<\1\ — 2 c und suchen den geometrischen Ort des beweglichen Punktes P für den Fall, dass das Rechteck F₁P-F₂P von konstantem Inhalt und zwar gleich dem Qua-

also = c² ist. Beziehen also:

dr

Nun gibt die Differentiation der Kurvengleichung :

2 rdr = —2a²sm2©'d@. Daraus erhalten wir:

dQ

äF'F>

wir die Kurve auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Abscissenachse die Gerade Fl F₂ und dessen Koordinatenanfang im Mittelpunkt 0 von F₁F₂ liegt, so ist zunächst:

Fx P² = (c + x)² + y²

drat über

dr

a²sin2@ ’

rd0

dr

a² sin 2 ©

somit ist:

a² cos 2 ©

a² sin 2 © = — cot g 2 0,

und

F₂P² — (c-x) ² + v²-,

daraus erhalten wir wegen F₁P-F₂P = c² die Gleichung :

~\/ (c -j- x)² + y- • j/(c — x)² + y² — c²

tg[x — — cotg 20 = tg (90° -j- 2©), woraus wir schliessen, dass:

g = 900 + 2 00

ist. Die Tangente PT bildet in Figur 24 demnach mit dem Strahl 0 PU einen Winkel :

oder :

[<fi + ^)² + V²\ [(c - x)² + y²] = C4

UPT — 900 + 20;

dieser ist aber leicht herzustellen ; legen wir oder ausmultipliziert, vereinfacht und zusam- den Winkel POX=© auch nach unten an

oder ziehen wir OP‘, wobei der Punkt P‘ der symmetrische zu P ist, so ist:

mengezogen :

1) . . . (x-\-y)² — 2c²{x² — y²) = 0. Wir führen nun Polarkoordinaten r und 0 ein durch die Gleichungen:

x — r cos© und y — r sin © ;

dies ergibt:

oder:

H — 2 c² • r² (cos² 0 — sin² 0) = 0

<£POP‘ = 20.

Das Mittellot MN von PP' schneidet OP' um N und liefert das gleichschenklige Dreieck ONP mit dem Winkel:

r² — 2c²sin2© = 0.

Setzen wir noch 2c² = a², so folgt: 2) ... r² — a² cos 2 0, was zu beweisen war.

OPN — 20;

daher ist auch der Scheitelwinkel:

UPV= 20;

macht man jetzt noch PT senkrecht PV, so ist:

Erkl. 31. Aus der Bedingungsgleichuug :

FlP-F.iP= c²

lässt sich eine Konstruktion der Lemnis- Punkt P sein, cate ableiten. Wir schreiben die Gleichung in der Form :

<4 UPT — 900 + 2 0;

es muss also jetzt PT die Tangente und N PV die Normale der Lemniscate im

F₁P :c = c : F₂P

und sehen daraus, dass wenn F₁P beliebig lang gewählt wird, dann FnP die dritte Proportionale zu Fx P und c sein muss. Um einen Kurvenpunkt P zu erhalten, nehmen wir auf FxF₂ den Punkt Q beliebig an, errichten das Lot QR = c, ziehen FXR und senkrecht dazu RS, das F₁F₂ in S schneidet, dann ist QR = c die mittlere Proportionale zu F, Q und QS. Wir beschreiben nun aus Fx einen Bogen mit dem Halbmesser Fx Q und aus F₂ einen Bogen mit dem Halbmesser QS; der Schnittpunkt dieser beiden Bogen ist dann ein Punkt der Kurve. Werden die Bogen nach der andern Seite der Abscissenachse gezeichnet, so erhält man einen zweiten Kurvenpunkt, und durch Vertauschung der beiden Halbmesser folgt dann sofort noch ein weiteres Punktepaar; die Strecken F, Q und QS liefern also vier Kurvenpunkte; ein neuer Punkt Q, ergibt wieder vier andere u. s.w.

Errichten wir das Lot FXA — c, ziehen OA und machen PxO = OPx* = OA, so sind die Punkte P, und P* die Schnittpunkte der Kurve mit der Abscissenachse. — Machen wir die Lote

OB und OjBj = ~ und ziehen durch B und Bx

die Parallelen zur Abscissenachse, so schneiden diese den Kreis um 0 mit dem Halbmesser OPj — c in vier Punkten, welches die höchsten, beziehungsweise die tiefsten der Lemnis-cate sind. Diese geht zweimal durch den Punkt 0 hindurch und hat die Form eines liegenden Achters. Der Beweis hiefür folgt später.

Figur 24.

+Y

7-N

/T

-r-Nÿ-

V.

N\

r~f‘

//»

\\

O"

V

1/

. .. J    *'\pa

•W

[2

\s

Bs

'-v

ł____

Aufgabe 16. Den Winkel p zu bestimmen, den die Tangente im Punkt P der Kreisevolvente, deren Gleichung:

Y r2 — al

arc (tg =

ist, mit dem Radiusvektor bildet, zu berechnen und die Konstruktion der Tangente anzugeben.

\/r² — a²

Auflösung. Unter Benützung der früher entwickelten Formeln:

d VÏ+& _    ___

dx    Ÿ1    x²

d arc (tg — x)    1

— 1 + XS

und

Erkl. 82. Um den Koordinatenanfang 0 entwickeln wir zuerst:

sei ein Kreis vom Halbmesser a gezeichnet. / p ---\

Auf seinem Umfang seien die Punkte A, B,    y r² a²J

C, D u. s. w. beliebig angenommen und in B, —A----—

d r

werde auf jeder der letzteren vom Berührungs- / punkt aus nach der halben Seite hin ein Stück d ( arc tg = abgeschnitten, welches gleich der Länge des ' f Bogens vom festen Punkt A bis zum Berührungspunkt ist ; also :

C, D u. s. w. die Tangenten gezogen. Ferner

a Yr² — a²

Y r2 _ a2

d (arc tg —

: dr

Y r² — a²

BBX — Bogen AB,

CCX = Bogen AC,

DDX — Bogen AD u. s. w.

Die Endpunkte A, Bx, Cx, Dx u. s. w. bilden dann in ihrer Kontinuität eine Kurve, welche die Kreisevoivente genannt wird. Stellt man sich einen vollkommen biegsamen Faden ohne Dicke vor, der unzähligemal um

Y r² — a²

■)

dr

1-f

a²

r² — a²

«²

a Yr2 — fl2

a Y r² — a²

-X

D,

Figur 25.

TcT

+Y

T,

'J,

/.

S\

E +X

to

den Kreis gewickelt ist, und stellt sich weiter vor, dass dieser Faden vom Kreis abgewickelt werde, indem er in seinem Endpunkt A angespannt gehalten wird, so beschreibt dieser Punkt bei der Abwickelung die genannte Kurve; ihr liefert daher: Name Evolvente kommt vom lateinischen Zeitwort evolvere — hervorwickeln, hervorwälzen.

Die Differentiation der Kurvengleichung :

l/ r² — a²

arc ^ tg —

f/r² — a²

d@

a²

dr

Erki. BB. Wir wählen die Gerade OA zur Achse und 0 zum Pot; eine spätere Lage des Fadens sei QP, der Winkel AOQ — w, <£AÖP=0, AO — a, OP=r, dann ist nach dem Entstehungsgesetz der Kurve die Tangente Q P gleich der Länge des Bogens A Q oder:

a yV² — a²

a yV² — a²

hieraus folgt jetzt:

r² — a²

ar

rd@ _ yr2 _ a~>

dr

oder :

oder :

QP — arc AQ — a w. In dem Dreieck OPQ ist:

OP² = OQ² + QP²

j'² = a²-\- a² io

oder es ist:

\/r- — a²

1) . . . r = a l/l -f- w². Ferner ist:

Im rechtwinkligen Dreieck OPQ der Figur 25 ist:

somit:

OP — r, OQ — a,

oder:

QP= OQ-tgPOQ

a tg (w — 0) = Bogen AQ ~ a w ; also auch:

QP = f/r² — a².

Stellt nun PT die Tangente vor und <£ UPT demnach den Winkel so folgt:

2) ... tg (w — 0) = iv.

Aus den beiden Gleichungen 1) und 2) kann daher: man w herausschaffen. Die erste liefert :

t/r² — a²

t9P —    — tg POQ,

und die zweite:

oder:

w — 0 = arc (tg — w)

0 = w — arc (tg — to) ;

oder <£ UPT = ^POQ-, d. h. es muss die Tangente PT\\OQ sein.

Wir kommen also zu dem Ergebnis, dass die Evolvententangente in P zum Halbmesser OQ des zugehörigen Berührungspunkts Q der Kreistangente parallel ist.

wird hier der vorhin gefundene Wert eingesetzt, so folgt:

arc ^tg ~ ■ wie oben angegeben worden ist.

l/ r² — a²

Ÿ r- — a*

6) Oie Kurve sei gegeben in homogenen Koordinaten durch eine Gleichung von

der Form f(xx, x₂, xB) = 0.

a) Homogene Koordinaten.

Frage 7. Welche Funktionen von mehreren Yeränderlichen werden als homogene bezeichnet?

Antwort. Eine Funktion von mehreren veränderlichen Grössen heisst homogen, wenn dieselbe die Eigenschaft besitzt, dass sie nach der Multiplikation jeder der Veränderlichen mit ein und demselben Faktor gleich dem Produkt des ursprünglichen Werts der Funktion und einer gewissen Potenz dieses Faktors ist.

Ist f {xx, x₂, x₃) • • • eine Funktion wten Grades von den drei Veränderlichen x1} x₂, x₃, und wir lassen überall txx, tx₂, tx₃ an die Stelle der vorigen x\, x₂, x₃ treten, so heisst f(xx, x₂, x₃) homogen, wenn für jeden Wert von t die Beziehung eintritt

f(txx, tx2, tx₃) = tH’f(xJ, X₂, Xa)

Dabei kann der Exponent n eine ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahl oder auch gleich 0 sein; er heisst der Grad der homogenen Funktion. Z. B. ist:

f(xx, x₂, xs) ~ 6a?j — 2x₂ -f- 3xs eine homogene Funktion ersten Grades, denn :

f(tx₁, tx₂, txs) — 6txx — 2tx.₂ -f- 3txs = t (6xx — 2x₂ -j- 3xg) = t-f(xx, x₂, x₃).

Ferner ist:

f ( r,, x₂, xsj = ax 1 - —|— b xx x₂ -J- c x₂® -j— d xx xs -J- e x₂ x₃ —j— f x₃²

eine homogene Funktion zweiten Grades, denn:

f(txx, tx₂, tXg) — at-xx²-\- btxx-tx₂ -f- ct²x.? -\- dtxx-txs -f- etx₂-txs -)- t²xs~ = t² (axx² -j- bxx x₂ -J- cx₂² -f- dxx x₃ -}- ex₂ x₃ -J- xs²)

— t² f O ! ■^’2 > a?3) •

Ferner ist Æ₁2/3-j-Æ₂²''³— x^³ homogen vom Grad 2/3, denn:

(txjW + (tx.₂)m - (txsf³ = t²'³(x²'³ + x₂²'$ - x²'³) u. s. f.

Frage 8. Welche Sätze gelten über homogene Funktionen?

Bf

Bf

8 xt Xx 8 x2 3²f Bxj²

x² 2

’*2 ff

8²f

Bxx dx₂

Bf

Antwort. Bedeutet u eine homogene Funktion wten Grades von mehreren Veränderlichen, z. B. von den drei xx, x₂, xs, d. h. ist u = f (x₁, x₂, x₃), so gelten die Sätze von Euler: (siehe Differentialrechnung II. Teil, Erkl. 94).

•*s = n-f(xv x₂, xs) — nu,

3²f

Bx²

*₂² + 2

3²f

3²f

Bx₂ Bx g

*2 *3 ff

B²f

Bxx 3xs

= n (n — 1) f (xv x₂, xs) — n (n — 1 )u u. s. w.

Bx²

Frage 9. Wie lassen sich die vorigen Sätze Eulers über homogene Funktionen beweisen?

Antwort. Nach der vorhin gegebenen Definition der homogenen Funktion u — f(xv x₂, x₃) der drei Veränderlichen x₁, x₂, x₃, ist für jede Grösse t:

f(ßX- 1> ^*2> ^*3) t '/(* 1! *2 ) *s)>

= tn-u.

Nehmen wir t = 1 -)- a, so folgt :

1) . . . f(xl-\-ux₁, x₂-\-ax₂, «3 ff-«*₈) = (1-f-o)n*«;

nach dem Taylorschen Satz (Differentialrechnung II. Teil, Seite 73) entwickelt folgt :

2) • • • f (xi ff" K X\ ! *₂ ff" ß *2 ) *3 4“ ß *s)

/ Bf

f (*1> *₂) *3) ff" a    *1 ff

Bf

dx₂

X‘2 ff

Bf

Sr, **

1-2 (yBx²

«2

8²f

*x² + 2

8²f

B² f

Bx., Bxs

X2 *3 ff

Bxl Bx2 B²f

X1 X2 ff"

8²f

<5*₂²

x2² ff" 2

B² f

8x₁ Bx3

*1*8

1-2-3

Andererseits ist nach dem binomischen Lehrsatz :

«3

*1³ ff* * •

3) . . . (! + «)”•

u~ [¹ + T

■« ff

n-(n — 1)

1-2

• a² -j-

n (n — 1) (n — 2)

1-2-3

„3_i_ ..

•] «

« (« — 1)

1-2

aa²

n (n — 1) (w — 2)

4) . .

Bf

Bf

Bf

•na 3-f- • • •

Wegen der Uebereinstimmung der linken Seiten der beiden Gleichungen 2) und 3) müssen die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von a rechter Hand in Gl. 2) und 3) ebenfalls die gleichen sein; daraus folgern wir:

1-2-3

5) . .

BXy

B²f

Bxf²

*1 *₂ “1

*l²ff

28²f

2B²f

Bxi Bx₂

Bx ²

*2² ff

2 B²f

Bxv Bxs

xi *3 ff

23²f

dx₂ Bx3

X2 *3 ff

B²f

Xł

6) . .

<93 f

dxx*

353 f

dx² Sx« 353 f

Xl Xi “f

353 f

dxx dx₂2 353/’

Xi X? “f“

<93 f

dx₂*

dx₂*-\-

3 53 f

dxx²dx₃

x?x%

dx₁ dx,?

5a;₂² 5a;₃

aJ2² **3 "f

35³/¹

dx2 5#₈²

■**2 ^3² +

X*

u. s. w.

dx*

— w (» — 1) (n — 2) • M.

Von diesen Beziehungen ist die erste die wichtigste, welche ausspricht den

Satz. Die Summe der partiellen Differentialquotienten einer homogenen Funktion, von denen jeder mit der entsprechenden Veränderlichen multipliziert ist, ist gleich dem Produkt der gegebenen Funktion und der Gradzahl.

Dieser Satz gilt für jede homogene Funktion von beliebig vielen Veränderlichen.

Aufgabe 17. Es soll die Richtigkeit der Eulerschen Sätze über homogene Funktionen

u — axx² -}- 2bxxx₂ -f- cx₂² + 2dx₁ xs Ar2exfx₃-\- gx ²

durch Ausführung der Differentiation gezeigt ieiten wh* ah : werden.

an:

Auflösung. Aus der gegebenen Funktion:

u — f (xx, x₂ ) x₃)

df

dxx

2axl -?-2bx₂ -j-2dx₃,

df

■ dx = 2bxx -j- 2cx₂ -j- 2 ex₃,

— 2dxx -f 2ex₂-j-2gx₃, woraus sich ergibt:

= 2axi² + 2bxix2 + 2axixs

-j- 2bxxx₂

-\-2cx₂-\-2ex₂x₃

-\-2ex₂x₃-\-2gx²

—    2 (axx² -(- 2 bxx x₂ -j- cx₂2 + 2 d xx x₃ -f- 2 e x₂ x₃ -f- g x²)

—    2 u.

Nehmen wir als Zahlenbeispiel:

U = 3xt² -f- 2a?₁a?₂ -p x₂² — \xxX₂ §X₂X₃ -j- x3²

so wird für xx — 2, a?₂ = 3 und xa — 4, u — — 43 ; ferner :

-j- 2dxxxa

df

— = 6xx -f 2x₂ — 4x₃ = 2

df

-foT = 2xi + 2x2 — ⁵^3 = — 10

df

Sx₃

= —4x₇ — 5y₂-j~2x₃ = — 15

df

df

df

5*i

dx s

dx 3

= 4 — 30 — 60 = — 86 = 2 (— 43).

df _ (2a;,    5a?₂) 4a;₂— (3a;,²    2a?₂²) 5

(2xt + 53-₂)2

dx₂

daraus :

df

(2a?!    5a;₂)2

Aufgabe 18. Desgleichen für die homogene Funktion ersten Grades:

_ 33^ + 23^2

2x₁-\-5x₂

Auflösung. Hier erhält man: df _ (2 a?, -j- 5a?₂) 6 a;, — (3a?,² -f- 2a?₂²) 2 SXy

. df    Bar,2 4-2a?a*

a?,    — g = u.

dxt    dx₂    2ar, 5a:₂

Aufgabe 19. Desgleichen für die homogene Funktion vom Grade — -g- :

U — f (i?, , x₂, xa) —

Vxi

•*3

Auflösung. Hier folgt :

df ₌    _

dx\ 2 y xr • a?g

d x₂

dx 3

2a?₂ \/x₂

V .

xs~

woraus :

„ v ₊, i/_₊«

V'^I

*3

-Frage 10. Wie lässt sich ans einer nicht homogene Funnktion eine homogene bilden?

Antwort. Wir betrachten zuerst

eine nicht homogene Funktion ersten

Grades mit zwei Veränderlichen, z. B.

6æ—3y-|-5; setzen wir in derselben:

X\ 1 X 2 x ~ —— und y — —-,

xs    x»

wobei xl7 x₂ und x₃ drei neue Grössen darstellen sollen, so erhalten wir:

X3

₆3__ 3-^- + 5

und aus letzterem durch Multiplikation mit >₃ :

6a:, — 3x₂ -f- 5a?s.

Denken wir uns die Grössen xL, x2 und xä als veränderlich, so ist:

f(xi, x2-\~xs) = 6a?, — 3a?₂ -f- 5a?3 offenbar eine homogene Funktion des ersten Grades von xl} x₂ und x₃. Dieselbe geht wieder in die alte Form 6x — 32/ —|— 5 zurück, wenn wir nehmen:

a?, = x, x₂ — y und x₃ = 1.

Liegt eine nicht homogene Funktion zweiten Grades mit zwei Veränderlichen vor, z. B.:

7 a?² — 8 x -j- 9 y -j- 10,

so setzen wir wieder:

und y —

x₃    x₃

und erhalten nach der Multiplikation mit x₃ eine homogene Funktion zweiten Grades der drei Veränderlichen xt, x₂, x₃, nämlich:

f : x.2) x^) — 7 x^² Sx^Xÿ —J— 9x₂x₃ —j— 10a;.,-. Hieraus folgt allgemein der

Satz. Hat man eine nicht homogene Funktion vom Grad n mit den zwei Veränderlichen x und y, so wird durch Einsetzung

von x — — undy==— und durch Multiplikation mit x₃n eine ho-

/y»    t/    /y»    A    O

mogene Funktion des nten Grades von xlt x₂ und x₃ erhalten. Aehn-licli wird das Verfahren im Fall einer nicht homogenen Funktion von drei Veränderlichen x, y, z; man setzt dann:

x\

x — —-,

x„

—- u. s. f.

Aufgabe 20. Die Gleichung: x²y -)-y² — x — 0 in homogener Form darzustellen.

Auflösung. Die Substitution :

und y = -^-x₃    x₃

und die Multiplikation mit x₃s ergibt:

Xj²x² -j- x₂²x₃ — xi ay³ = 0.

Aufgabe 21. Desgleichen:

x³y — xy³ -f- 2y² — x — 0.

Auflösung. Hier ergibt die vorige Substitution:

x³ x₂ — x₁ x₂³    2 x² x.³ — xx x₃³ = 0.

Wird gesetzt:

x₃ = 1, xx — x und x₂ — y, so geht die homogene Gleichung in die frühere Form zurück.

Frage 11. Welche geometrische Bedeutung kann drei bestimmten Werten von drei veränderlichen Grössen xlf x2 und x₃ gegeben werden?

Antwort. Geben wir den drei Veränderlichen xt, x₂ und x₃ drei bestimmte Werte, z. B. xt‘, x₂ und x₃, so sind dadurch auch die Werte:

und y' =

x₃

x‘ —

X₂

x₃‘

bestimmt.

Nehmen wir nun x‘ und y‘ als die rechtwinkligen oder schiefwinkligen Ko-

ordinaten in einem gewöhnlichen Koordinatensystem, so ist dadurch die Lage eines Punktes P‘ bestimmt; d. h. drei Werte x₁, x₂ und x₃ bestimmen durch

die Verhältnisse — und — einen Punkt.

x₃

Frage 12. Welche geometrische Bedeutung kann einer Gleichung:

f («h ł , a?g) — 0

vom wten Grade zwischen den drei Veränderlichen xt, x₂ und x₃ gegeben wer- eine Gleichung vom ersten Grad: den, wenn die linke Seite in xx, x₂ und x₃    «, xx ~p a₂x₂ -p $₃x₃ = o,

homogen ist?    so liefert die Division mit x₃:

«i ■?" + a2    + «3 = °-

Nehmen wir nun:

Antwort. Betrachten wir zuerst

— und y —

xs    x₃

als die Cartesischen Koordinaten eines Punktes an, so folgt:

axx a₂y -\- a₃ — 0 ;

d. h. die Gleichung einer geraden Linie. Eine in xlf x₂ und x₃ homogene Gleichung vom ersten Grad repräsentiert demnach eine gerade Linie. Betrachten wir jetzt die Gleichung zweiten Grades:

so geht die vorige Gleichung über in:

«n x2 "i⁻ 2$₁₂xy -p a₂₂ y² -p 2a₁₂a; ~p 2$₁₃y -p a₃₃ = 0,

d. h. in die Gleichung eines Kegelschnitts.

Die nämliche Schlussweise lässt sich die geometrische Bedeutung und Anwendung auf eine homogene Gleichung vom nten der homogenen Koordinaten in Cranz, Ana- Qrad jn x x und x anwenden lind lytische Geometrie.    n.., ,    ¹ ’    1    à

fuhrt zum

Satz. Eine in xx, x₂, x₃ homogene Gleichung vom Grade n stellt eine Kurve n ter Ordnung dar. Drei Werte xx, x₂ und x37 welche der homogenen Gleichung f(x 1; x₂, x₃) — 0 Genüge leisten,

%C *

geben durch die Verhältnisse -V

X3

Kurve an.

«11

— 0.

Erkl. 33 a. Der Leser findet Näheres über

xs

einen Punkt auf der

Frage 13. Wie erhält man die Gleichung der Tangente im Punkt P einer Kurve, wenn die Gleichung der letzteren in der homogenen Form:

f Cxi i > ®s) —- 0

Antwort. Wir denken uns die gleiche Kurve auf ein Cartesisches Koordinatensystem bezogen; ihre Gleichung in dem-gegeben ist und der Punkt P die Ko- selben sei y = cp (x) ; der Beriihrungs-ordmaten xn x₂, xs hat 'i    punkt P habe die Koordinaten x, y und

irgend ein Punkt P' auf der Tangente die Koordinaten X, Y, dann ist nach Seite 1 die Gleichung der Tangente:

dy

»)••• r-* =

Zu homogenen Koordinaten übergehend, haben wir zu setzen:

ł)...,=i„=i«di=|₎ i =

Daraus folgt:

dx —

x₃ dxt — xx dx g

und ebenso:

dy —

demnach hat man:

xs dx₂ — x₂ d xs

Xs2

dy__x,, dx₂ — x₂dx₃

dx x₃dx₁— xidx₃'

Weil der Berührungspunkt P der gegebenen Kurve angehört, haben wir:

f (X1 ) X2 » Xÿ) - 0.

Die vollständige Differentiation dieser Gleichung ergibt:

3) . .

df

3f

df

df

dx₃ — 0.

-e^dx' ⁺ ~sĘdr^

Weiter ist nach dem Satz von Euler:

4) . .

df

xxĄ

df

d x₃

df

Ï- X3

^2-f

= 0.

dxj

Wird die erste dieser Gleichungen mit x₃ und die zweite mit dx₃ erweitert, so liefert die Subtraktion:

dx ₂

-jj- (oc₃ dx, — xx dx₃) -I

df

dx ₂

(xs d x₂ — x₃ d x₃) — 0 ;

woraus :

df

5) . .

x₃dx₂ — x₂dx₃ _ x₃dx₁ — x₁dx₃

dxt

df

also ist auch nach Gl. 3):

3 x₂

df

dy

dx

df •

3 x₂

7) . .

Durch Einsetzung von Gl 2) und 6) in Gl. 1) erhalten wir nun:

xs

®2 _

*8

X₃

*3

)■

Bf

dxx

Bf

oder:

8 x₂

Bf X,

da?j X₃

L(JLX 4

Aus Gl. 4) folgt aber:

af ₄

dxx ¹ ‘ dx₂

dadurch geht Gl. 7) über in:

Bf X, df X, df dxx X₃ <9a;₂ X₃ ‘ <9.rg

oder mit Xä durchmultipliziert erhalten wir als die gesuchte Gleichung der Tangente in homogenen Koordinaten im Punkt (xt, x₂, x₃) der Kurve f(xl,x₂,x₃) = 0:

rkx' + -ïïk^+jkx’ = 0-

df x₂

a a?₂ x₃

df

df

df

x* - dx₅ Xs 5

) = 0.

Aufgabe 22. Die Gleichung der Tangente der Kurve:

«*i^ *^2 —1 Xcff* x₃    xx ajjj“ — 0

im Kurvenpunkt xx, x₂, x₃ aufzustellen.

Auflösung. Aus :

f (®l ) *^2 ) ^3) -    «*2 H⁻ «'2~ X3 «"1    ®

erhalten wir:

df

df

df

dx j

= 2x₁x₂ — x₃²;    = x²-{-2x₂ xs ;    = a?₂² — 2 ^ o?₃ ;

daher lautet die Tangentengleichung :

(2 xx x₂ — x²) Xx -f (x² -\-2x₂ a>₈) X₂ + (x² — 2 xx xs) X₃ = 0.

Soll zu Cartesischen Koordinaten übergegangen werden, so setzen wir am einfachsten :

ferner :

xx — X,

x₂ — y,

*8 = 1»

X, = X, X₂ = F, X, = 1 ; und erhalten als Tangentengleichung der Kurve x²y-\-tß— x — 0 im Punkt (x, y) offenbar :

(2xy — l) X (x² -\-2y)Y-\- y² — 2x = 0 oder:

{2xy — 1)X+ (x²-\-2y)Y= 2x — y².

Aufgabe 23. Die Gleichung der Tangente im Punkt (xx, x₂, x₃) an den Kegelschnitt:

«11 X? + ² «12 X2 + «22 Xł + ² «13 Xl X3 +

2 «23 x., xs -j- «₃₃ xs² — 0

aufzustellen.

Auflösung. Hier erhält man:

ß _!*

ßx — 2 («u xx -J- «₁₂#₂ -f- a₁₃a7₃),

ßx - 2    («21    Xx    -(-    «22 X₂ -f- «23 X₃),

ßx - 2 («31 xx -J- «₃₂ x₂ -{- «₃₃ x₃),

wenn angenommen wird, dass a. h — a}ci sei.

i = 1,2,3, Ti — 1,2/3, also a₁₂ = a₂₁, a₁₃ = a₃₁ u. s. w.

Daher lautet die Tangentengleichung :

(«11    + ®12 ®2 “t” ®13 ^3) -^1 ~T )a2\ *®1 H⁻ ^22 *2 ~ł~ ®23 *®s) -^2 T* Gsi H“ ®32 ®2 T“ ®33 ^s) -^3 — 0.

Antwort. Aus der gegebenen Kurvengleichung F(x, y) = 0 bildet man zuerst durch die Substitution:

Frage 14. Nach welcher Methode erhält man für eine Kurve F(x, y) — 0 in Cartesischen Koordinaten x und y am raschesten und in einfachster Form die Tangentengleichung?

X. n    x₂

x — —— und y — ——

x₃

x₃

und durch nachfolgende Multiplikation mit xsn, wo n den Grad von F(x, y) — 0 angibt, zuerst die homogene Gleichung: /Gi> x₂, x₃) = 0 (siehe Frage 7 und 10). Dann bildet man:

Bf Bf Bf Bx j ’ Bx ₂ ’ Bxs

zur Herstellung der Tangentengleichung in homogenen Koordinaten:

df

«f

x*+-ätx*=°-

8 x₂

Hierauf setzt man in der letzten Gleichung:

Xj = X, X₂ — Y, Xs = 1, xx = x, yx — y und xs = 1 und erhält auf diese Weise die Tangentengleichung in Cartesischen Koordinaten für F(x, y) = 0, wie folgendes Beispiel zeigen wird:

Aufgabe 24. Die Gleichung und Konstruktion der Tangente an das Descartes-sclie Blatt:

zu finden.

Auflösung. Durch die Einsetzung von:

= x und = y

und die Multiplikation mit x% folgt zunächst:

f Gi > x₂ > ^s) ~~ T” Xtf* 3axx x₂ x₃ — 0, woraus :

*3

.Tg

df

Bf

——- = 3a;,² — 3 a x₂ x₃ ; -    - = 3x₂² — 3 a xx x₃ ;

O CC-t    o cc 2

Bf

= — 3ax₁ x₂.

Dies gibt:

(x² — a x₂ x₃) Xx -f- (x₂² — axx x₃) X₂ — axx x₂ X₃ — 0.

Wenn nun:

xr = x, x₂ = y, x₃ — 1 ; Xj = X, X₂ — Y und X₃ = 1

gesetzt wird, so folgt als Tangentengleichung: - (x² — ay) X—(- {y² — ax') Y — axy — 0.

Zur Konstruktion der Tangente im Punkt P berechnen wir in Figur 26 den Abschnitt O T, welchen die Tangente auf der Abscissen-achse abschneidet; es ist:

OT = OA — AT — x — tx (siehe bei Subtangente) y{ax— y²) a?³_j_^3 — 2axy

axy

ax

x² — ay

x* — ay

x² — ay

( x\

x — ) — a

\y )

x-cotgG — a

wobei <£ PO A = © gesetzt ist.

Dieser Ausdruck lässt sich nun konstruieren wie folgt:

Ziehe OP und AE±_OP, mache EF — OG — a, verbinde F mit A und ziehe GT\\ AF. Dann ist PT die gesuchte Tangente.

Figur 26.

Erkl. 34.

«'³ -f- y³ — 3 axy — 0 :

Setzen wir in die Gleichung

so erhalten wir :

y — xt,

und daraus:

-X

3 at

X ~ 1-1-*3

und y

3 at*

to

Ç ö\.\ H olx

#?

1 + f⁸’

also zwei Gleichungen, in denen die Koordinaten irgend eines Punktes der Kurve als rationale Funktionen des Parameters t ausgedrückt erscheinen.

Um die durch die obige Gleichung gegebene Kurve bildlich darzustellen, benützen wir folgende Tabelle:

- 00

00

1 ³

yV«

54

36

~¥

“T

— — a = —2,84a    — a = 1,70a

n

— a = 0,86 a -^-a = 0,35a

j/4 •« = 0,79 a a = 1,5a

12

--ÿ-a = — 1,71« ,

27

~ 26 “ = ⁻¹’⁰⁴“

V*

j/2*a = 1,26 a 2

-g- a — 0,67 a

l/2-a = 1,26a 1,6 a

3

j/4-a = 1,59 a 4

■g- a — 1,33 a

— a = 0,32 a

27

— a = 0,96a

27

09 tO tO    GO I

— « = 0,96a a = 1,33 a

⁵⁴

-jj^-a = l,o4a

ou

!>

28 « = 0,32« -^-a = 0,67 a g-a = 1,03a

36

00

= 0,35 a

-^-a = 0,86 a

27

“26-« = -¹-04a --a = — 1,71 a

oo

- 00

Wir tragen dann für jeden dieser Werte von x als als Ordinate ab; auf diese Weise lassen sich genügend

Abscisse den zugehörigen Wert von y viele Punkte der Kurve konstruieren.

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

7) Tangente an einer Kurve parallel zu einer gegebenen Geraden.

Frage 15. Es seien die Gleichungen einer Kurve und einer geraden Linie gegeben. Wie erhält man die Gleichung derjenigen Tangente an die Kurve, welche der gegebenen Geraden parallel chung y — f\x) und die Gerade die ist?

Antwort. Die Kurve habe die Glei-

Gleichung y = ax -j- b und zwar bezogen auf das gleiche rechtwinklige oder schiefwinklige Koordinatensystem. Wäre der Berührungspunkt P der gesuchten Tangente bekannt (siehe Fig. 27), so würde die Gleichung der Tangente, wenn wir die Koordinaten des Berührungspunktes mit x, y bezeichnen, lauten :

(x-y)

oder :

Erkl. 85. Die Bedingung, dass die Gerade y — cx -\- d der Geraden y — ax-\- b parallel ist, lautet einfach c = a (siehe Cranz, analytische Geometrie.

d//

dy

Figur 27.

+Y

0^T(æ.yho

A

fr/

Da aber diese Gerade der gegebenen Geraden parallel sein soll, so muss zuerst

= a oder f‘(x) — a

sein, und da der Berührungspunkt auf der gegebenen Kurve liegt, so muss ferner y — f(x) sein. Die Koordinaten x und y des Berührungspunktes müssen also den beiden Gleichungen f* (x) — a und y — f{x) genügen. Diese reichen aber zur Bestimmung von x und y aus. Setzt man nun, nachdem diese Bestimmung erfolgt ist, die gefundenen Werte in die Gleichung der Tangente:

Y — y = a(X—x)

ein, so ist die Aufgabe gelöst.

Hat die Kurven gleichung die Form F (x, y) — 0, so ist bekanntlich nach Differentialrechnung II. Teil, S. 233:

dx

dy

dx

BF

+x

dy

dx

dx ~ BF’

/ /T A

By

Zur Bestimmung der Koordinaten x, y des Berührungspunktes dient jetzt die Gleichung :

BF

dx

BF

oder :

BF

BF

dy

= 0 und F (x, y) — 0.

Im übrigen bleibt der Gang der vorige.

Bx

By

dy

Aufgabe 25. Die Gleichung der Tangente zu bestimmen, welche an die Parabel y = x² parallel zu der Geraden y = ix— 6 gezogen werden kann.

Figur 28.

+Yi/

-r6

p,

■N

Auflösung. Aus der Kurvengleichung

y = x¹ erhalten wir = 2 x; da die Gleichung der Geraden y = ix — 6 ist, so muss 2x — 4 oder x = 2 sein; die Koordinaten x und y des Berührungspunktes haben hiernach die Werte x — 2 und y — 2² — 4. Die Tangentengleichung lautet daher:

Y— 4 = 4(X—2)

oder geordnet:

iX — F—4 = 0

In Figur 28 ist:

OT — 1

1-

-X

-1 0

■gi yx

AT — 1 AN — 16 ON= 18

*4

-i -

e = 35,02.

-z

-3 -

~4--

Aufgabe 26. Desgleichen an den Kreis: (*_3)2 + (y_l)2 ₌ 4 parallel zu der Geraden y = 2x-\-2.

gibt:

Auflösung. Die Gleichung :

F O, y) — (x — 3)2 + (y —1)2 — 4 = 0

ÔF

Figur 29.

+Y

— = 2 (* — 3) und — = 2 (x    1) ;

daher:

dy

da;

Da wir der Gleichung der Geraden a — 2 entnehmen, so müssen die Koordinaten x und y des Berührungspunktes der Gleichung:

- = 2 oder x = 5 — 2 y

"■.K

x — 3

-h-

i—-+X

genügen und ausserdem der Kurvengleichung:

(x — 3)2 -\-(y — l)² = 4.

Diese beiden ergeben nun die Wertepaare :

\xx — 1,212

ly, = 1,894

f x₂ = 4,788 \y₂ = 0,106; es sind demnach zwei Tangenten parallel der gegebenen Geraden möglich und deren Gleichungen lauten :

und

und

F— 1,894 = 2 (X— 1,212)

oder vereinfacht:

F— 0,106 = 2 (X — 4,788)

2X — F—0,53 = 0 und 2X— F—9,47 = 0 _    (siehe Figur 29).

Aufgabe 27. Desgleichen an die Nei-lische Parabel y² = x³ parallel zur Geraden y — ax ~\~b.

Figur 30.

Auflösung. Die Gleichung:

#3 — y2. — o = F (x, y)

liefert :

5,2

+T

Tz

2,82

+x

daher :

SF

Sx

= 3x².

BF

Sy

= -2 !T,

dy _ 3 x1 dx 2y '

Die Koordinaten x und y des Berührungspunktes müssen deshalb aus den beiden Gleichungen :

3 x²    , ₉

—— = a und y² — xs

gefunden werden. Die Auflösung ergibt: 4«2

*' = -r

8 a³

und

yl —    ₂₇

y-2 = o.

Die Gleichung der ersten Tangente lautet

daher:

8 «³

27

oder:

Y= aX

4 a³

27 *

Es gibt daher an die Neilische Parabel zu jeder Geraden eine parallele Tangente. Als zweite Tangente folgt die Gerade y = ax durch den Koordinatenanfang, der ein Rückkehrpunkt der Kurve ist; die durch den genannten Punkt zu der gegebenen Geraden parallele Gerade muss deshalb ebenfalls als Tangente angesehen werden (siehe Figur 30). Näheres darüber folgt später.

8) Tangente an einer Kurve von einem Punkt ausserhalb der letzteren.

Antwort. Um eine durch P gehende

Frage 16. Es sei eine Kurve gegeben, durch ihre Gleichung F(x, y) == 0 ; ferner ein fester Punkt P₀, der nicht der Kurve angehört; seine Koordinaten seien X₀, Y₀. Wie lassen sich die Tangenten finden, welche von P vom Punkt P₀ an die Kurve gezogen werden können? Gerade P₀P zu erhalten, welche die (Siehe Figur 31.)    Kurve im Punkt P berühren soll, müssen

+Y

P₂

Po

+x

|0

A A₂

Aq

Ai

die unbekannten Koordinaten x und y des Berührungspunktes P berechnet werden. Weil P ein Kurvenpunkt ist, haben seine Koordinaten der Gleichung F (x, y) — 0 genüge zu leisten und weil P₀ und P Punkte der Tangente in P sind, müssen x, y und X₀ und Y0 auch noch gleichzeitig die Gleichung der Tangente:

befriedigen (siehe Seite 7); d. h. es muss auch:

ÔF

dy

(Y — y) =0

sf

dF (dF y-\

8F

r.) = o

²⁾ • • •

sein. Aus den beiden Gleichungen 1) und 2) lassen sich die Werte von x und y, d. h. die Koordinaten des Berührungspunktes berechnen. Die Gleichung der Verbindungslinie der Punkte P(x, y) und P₀ (X₀, Y₀) ist dann die Gleichung der Tangente.

dy

dx

Aufgabe 28. Gegeben sei die Ellipse 1 (x, y) = 4x² 4-9 y² — 36 = O, sowie der Punkt P₀, dessen Koordinaten X₀ = 5 und Y₀ = 4 sind. Es sollen die Gleichungen der Tangenten aufgestellt werden, welche von P₀ an die Ellipse möglich sind.

Figur 32.

Auflösung. Wir berechnen aus

F(x, y) — 4a:² 4~ 9^² — 36 = 0: F

-rzr = 8*.

5s,

= 18y.

+Y

P₀ die Gleichung der Tangente in einem Punkt P der Kurve mit den Koordinaten x, y lautet daher:

8a?(X —*)4-18 y(Y—y) — 0.

P₂

s.

A. F, A /T

Da auf dieser Tangente auch der Punkt P₀ mit X₀ — 5 und Y₀ — 4 liegen muss, so ist die Bedingung zu erfüllen:

8 a: (5 — x) -}- 18y (4 — y) = 0

oder:

Pi

oder:

r

neben:

8 a:² 4~ 18^² — 40 a? — 72 y = 0 8 a:² 4~ 9iß — 20a: — 36y = 0

4a:² 4- 9^² — 36 Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir für den Berührungspunkt P₁:

( xx — 2,86 l yx — — 0,59

und für den Berührungspunkt P₂:

( x„ = — 1,39 \y, = 1,77.

= 0.

Y-y,

undTwird :

Aufgabe 29. Gegeben sei die Exponentialkurve y — ex, sowie der Punkt P₀, dessen Koordinaten X₀ — 2 und Y₀ = 3 sind. Die Gleichungen der durch P₀ gehenden Tangenten aufzustellen.

Figur 33.

Die Gleichung der Tangente P₀1\ folgt aus der Formel der Verbindungslinie:

_ Y- Y₀

X— xx

11,4 X — 2,14 Y - 14,39 = 0.

In gleicher Weise erhält man für die Tangente P₀P₂ die Gleichung:

2,23 X — 6,39 Y -f-14,41 = 0.

Auflösung. Aus ex — y — 0 folgt:

Äjr = -ü

8F

— = ex und

dx

Sy

+Y

19/<

daher lautet die Tangentengleichung:

e*(x-X) + y + Y= 0.

Wird in diese X =2 und Y — 3 eingesetzt, so erhält man die Bedingungsgleichung:

xex — y — 2«*+ 8 = 0

oder wegen ex = y und x = ly:

yiy — 3y + ³ = 0.

Letztere liefert yx — 1 und y₂ = 19,4; daher ist xx — 0 und x₂ = 2,97 oder der Berührungspunkt Px hat die Koordinaten:

(*1 = 0 l^i = l

und der andere P₂:

(x₂ = 2,97 \y.₂ — 19,4.

daher ist die Gleichung für P₀ Px :

x— r+i = o

und für P₀P₂:

Pi

l\z I \z.97 +X

16,4 X — 0,97 Y — 27,9 = 0 (siehe Figur 33).

Frage 17. Wieviel gibt es Tangenten von einem beliebig gewählten Punkt P₀ an eine algebraische Kurve uten Grades?

Antwort. Die linke Seite der Gleichung F (x, y) = 0 einer algebraischen Kurve nten Grades ist eine Funktion desselben Grades in x und y. Hat der gegebene Punkt P₀, von dem aus die Tangenten gezogen werden sollen, die Koordinaten X₀ und Y₀, so müssen die Koordinaten x, y eines Berührungspunktes ausser der Gleichung:

1) . . . F (x, y) = o

8F

Tx*⁺Tj

8un

8x

x-{

3un

8y

8un

8x X

dUn

—~y

8y

2) . .

auch noch der Gleichung:

7*0+4^-

x -j-

8F

Jro) = 0

(ÔF

Vöa:

8 x

genügen (siehe Frage 3). Da Gleich. 1) vom Grad n ist, so scheint es, dass die Gleich. 2) ebenfalls vom Grad n in x und y sein werde. Nun lässt sich aber zeigen, dass sich der Grad von Gleich. 2) um 1 erniedrigt, wenn man die Gleich. 1) berücksichtigt. Schreiben wir nämlich die letztere:

8y

8y

F (x, y) = un + un _ j + un _ g -----h «i + Moi

wobei un die Gesamtheit der Glieder vom Grad n, jene vom Grad un-i ist u. s. f., so folgt:

8un- 1

8un

ÖUn-

8ul

8 x 8x

= nU»'

8x

8x

8un

8un

dUn

Sy

8un— 2

du

8x

Daraus erhalten wir:

dUn- 1

-i i -x-\-

<9w,

8ux

8y

8x

8y

Nun stellen aber

homogene Funktionen von x und y vor vom Grad n, n — 1 • • • 1 ; nach dem Eulerschen Satz über homogene Funktionen (siehe Frage 8) hat man daher:

8un-l

8un

8x

8y

y = (u — 1) un

u. s. f.

Dadurch erhalten wir:

x + -J-- y = n un + (n — 1) un __ J + (n — 2) un _ ₂ H-----\-[n—{n—2)] u₂ + [n — (n— 1)] ux

= « K + nn- 1 + nn — 2 d-----hUl)~ %

— 2t»    ₂-----(» — 1) ur

Da aber der Berührungspunkt (x, t/) auf der gegebenen Kurve liegt, hat man :

un + un-i + ¹ • • + ui — — uoi

wobei u₀ eine konstante Grösse vorstellt, daher geht die Gleich. 2) über in:

8y

Y-f Un -1 + 2lf7-2 H-----h (n — 1) ux + nu₀ = 0

und weil

Funktionen vom

, ,    . .    - .    , , . , n — 1 ten Grad sind, so ist bewiesen,

Erkl 36. Ist œ(x) — 0 eme algebraische -,    ™ • x. ₀\ .a    n t    , /

Gleichung vom Grad n und xfj (x) eine solche dass, die Gleich. 3) den Grad fl I hat. vom Grade m, so gibt es mn Werte von x, Die Koordinaten x und y des Be-welche beide Gleichungen befriedigen.    rührungspunktes sind demnach zu be

rechnen aus der Gleichung nten Grades 1) und der Gleich, n — 1 ten Grades 3) ; es

8x

und

8y

gibt also n (n — 1) Wertsysteme x, y, welche beiden Gleichungen genügen; geometrisch ausgedrückt heisst dies, es gibt n (n — 1) Berührungspunkte oder wir haben den

Satz. Es lassen sich im allgemeinen vop einem Punkt P₀ an die algebraische Kurve n ten Grades n {n—1) Tangenten ziehen.

Frage 18. Wieviel gibt es Tangenten an einer Kurve n ten Grades, welche zu einer gegebenen Geraden g parallel sind?

Antwort. Der vorhin erhaltene Satz, dass von einem Punkt P₀ an eine algebraische Kurve wten* Grades im Allgemeinen n (n — 1) Tangenten möglich sind, behält seine Richtigkeit auch dann, wenn wir den Punkt P₀ der zuerst auf der gegebenen Geraden g in beliebiger Lage gedacht sein soll, auf g ins Unendliche wandern lassen; von dem unendlich fernen Punkt P₀ müssen dann auch noch n (n — 1) Tangenten gezogen werden können ; die letzteren haben dann mit g den unendlich fernen Punkt gemein oder sie sind parallel zu g. Hiernach lässt sich der Satz aussprechen:

Satz. An eine algebraische Kurve n ten Grades gibt es im allgemeinen n(n — 1) Tangenten, welche zu einer gegebenen Geraden parallel sind.

Zusatz. Von diesen n(n — 1) Tangenten in den beiden letzten Sätzen kann eine gerade Anzahl imaginär sein; ferner können von diesen Tangenten eine oder einige mit der unendlich fernen Geraden zusammenfallen; weiter können von den Tangenten im Endlichen mehrere in der nämlichen Geraden liegen. Die Zahl der Tangenten im engeren Sinn wird ausserdem erniedrigt, wenn die Kurve Singularitäten, wie z. B. mehrfache Punkte, aufweist; doch lässt sich hierauf an dieser Stelle nicht eingehen.

9. Uebungsbeispiele.

Zur Bestimmung der Gleichung der Tangente für einen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) der folgenden Kurven :

Aufgabe 30.

Auflösung.

y - x*

2xX— Y—x 2 = 0 4X - Y — 4 = 0.

x = 2; y — 4 (siehe Figur 28).

Aufgabe 31.

y — x- — 6a? -f-10 x — 1 ; y — 5 (Figur folgt).

(2x — 6) X — Y— a;² -j- 10 = 0. 4 X -j- F — 9 = 0.

Aufgabe 35.

4ar²-f-9y² — 32a: — 54y + 109 = 0 x = 1 ; y — 3 (Figur folgt).

Auflösung.

Aufgabe 32.

a;² — 4 a:    y² — 6 ^    9 = O

x = 3 ; y = 3 — Y 3 (Figur folgt).

Auflösung.

(ar — 2) X-f(y — 3) F—2 a:— 3y-j-9 = 0 X— /ITF =9—4/3"

Aufgabe 33.

(a? — 8)² + (y — l)² — 4 = 0 a? = 1,21

y = 1,89 (siehe Figur 29).

Aufgabe 34.

4 a;² -f- 9 y² — 36 — 0 x = 2,87 ; y = — 0,59 (siehe Figur 32).

Auflösung.

(x — 3) X -f (y — 1) F— 3a: — y + 6 = 0 2 J— F—0,53 = 0.

4<rX-f-9ÿF- 36 — 0 11,48X— 5,31 F—36 — 0

Auflösung.

(4 a; — 16) X-j- (9 y — 27) F— 16 a; — 27 y —(— 109 = 0

1=1,

Aufgabe 36.

25 a:² — Uxy -f 25 y² — 288 = 0 x = 0, 99 ; y — 3,54 (Figur folgt).

Auflösung.

(25a:— 7y)X-f- (— 7a; + 25y) F— 288 = 0 _    F = 3,54.

Aufgabe 37.

xy =zl

Auflösung.

» = Y ; y — 2 (Figur folgt).

î/X + xF-2 = 0 4X + F— 4 = 0.

Aufgabe 38.

y — a:³

a; = 1 ; y = 1 (Figur folgt).

Auflösung.

3a:² X — F— 2y = 0 3 X — F — 2 = 0.

Aufgabe 39.

y — a;³ — 6a:² —J— lia: — 6 a: = 1 ; y = 0 (Figur folgt).

Auflösung.

(3a:² —12a: + ll)X —F—2a;3 + 6^² —6 = 0 21-F— 2 = 0.

Aufgabe 40.

x²y —1 = 0

x — 1 ; y = 1 (Figur folgt).

Auflösung.

2yX-|- «F — 3 a: y = 0 2X + F-3 = 0.

Aufgabe 41.

y² — x³

x = 1; y = 1 (siehe Figur 30).

Auflösung.

3a;²X— 2yF— y- = 0 3 X — 2 F — 1 = 0.

Aufgabe 42.

x²y + x-\- y — 1 = 0 x = — 1; y = -1- 1 (Figur folgt).

Auflösung.

(2a;y + l)X+(a:² + l)F+2(a; + y)-3 = 0 _    X — 2F+3 = 0.

Aufgabe 43.

x% -J-    — c3*

Auflösung.

a² X -f- y² F — c³ = 0.

y² (1 — x) — x³ = 0.

Auflösung.

2 a:³ F — y (3 a:² -f- y²) X-\- xy (x² -j- y²) = 0.

y — #⁴

x = 1 ; y = 1 (Figur folgt).

Auflösung.

4a?³X— Y — 3 y = 0 4 X—Y— 3 = 0.

Aufgabe 46.

y³ = xK

Auflösung.

4x³X—3y²Y—xi = 0.

Aufgabe 47.

x³ — x²y — xy²    y³ x² -\- y² — 1 = 0

(Figur folgt).

Auflösung.

(3 a?² — 2xy — y² -\-2x)X-\- (— x² — 2xy -\-3y²-\- 2y) Y-)- x² -f- y² — 3 = 0.

Aufgabe 48.

a?⁴— 36a?-]-216y = 0 (Figur folgt).

Auflösung.

(4 a?³ — 9) X 64 Y — 27 a? -j- 162 ^ = 0.

Aufgabe 49.

Auflösung.

x⁴ — 2x²y\\- 3xy² — y³ = 0 (Figur folgt).

{4x³ — 4xy-\-3y²)X-\-(—2x² + Sxy — 3y²)Y- 2x²y -f 3xy² — y³ = 0.

Aufgabe 50.

a?⁵ + y³ = c⁵.

Auflösung.

x*X-\-y*Y— co = 0.

Aufgabe 51.

Auflösung.

x2nX-i-y2nY- c2n+1 = 0.

Aufgabe 52.

y⁴ (1 — x) — x⁵ = 0.

Auflösung.

4x⁵Y— y (ôx* -j- y±) X -f- xy (xi -j- y*) = 0.

Aufgabe 53,

y³ (1 — a?) — a;⁷ = 0.

Auflösung.

6a?⁷ Y — y (7x³ -(- y³) X -j- x y (a?⁶ -f- y⁶) = 0.

Aufgabe 54.

«/⁴ — 2by³ -(- (a?² -}- b² — a²)y² — 2bx²y -j- b²x² = 0.

(Gleichung der K o n c h o i d e ; Erklärung und Figur folgt später.

Auflösung.

\2y³ — 3by² + (x²-^ b² — a²)y — bx²] (Y — y)-j-(y — b]²-x-(X—x) = 0.

Aufgabe 55.

y⁴ — 2 (2r² 4~ 2 ra™ — x²)y² — 4r a?³ -j- a?⁴ = 0. (Gleichung der Kardioide) siehe Fig. 16.

Auflösung.

y[y²-\-x² — 2r (r + x)\ ( Y— y) -(- [{y² -j- x²)x — r (y² -f- 3a?²)] (X — x) = 0.

Aufgabe 56.

(x² + y²)² — 2 c²- (x² — y²) = 0.

(Gleichung der Leraniscate) siehe Aufgabe 15 und Figur 24.

Auflösung.

(x² -f-y² — c²)xX 4“ (x²    y²c²) y Y -\- c² (y² — x²) = 0.

Aufgabe 57.

y = mem .

(Gleichung der logarithmischen Linie) siehe Aufgabe 3 und 4, sowie Figur 5 und 6.

m ( Y—y) = y (X — a?).

x — rt — b sin t

oder x — r arc

cos —

y = r — b cos t

(Gleichung der gedehnten Cykloide für b<C.r, der verschlungenen Cykloide für b > /•) siehe Aufgabe 10.

Auflösung.

y ( Y— y) = Y ft- — (r — y)² (X— x) b sin t[X — {rt — ft sin £)] — {r — b cost) [Y — {r — ft cos t)] = 0.

oder:

Erki. 37. Wenn ein Kreis nut dem Mittepunkt M und dem Halbl-messer r ohne zu gleiten auf einer festen Geraden OX fortrollt, so beschreibt nach Aufgabe 10 ein Punkt P des Umfangs des Kreises eine Cy-kloide. Wählen wir auf dem Halbmesser OP einen Punkt Q und bezeichnen MQ mit ft, so beschreibt dieser gleichzeitig eine Kurve (siehe Fig. 34 a und b); die letztere heisst eine gedehnte Cykloide, wenn der beschreibende Punkt Q innerhalb des rollenden Kreises liegt, also ft<> ist; dagegen wird sie verschlungene Cykloide genannt, wenn Q ausserhalb des Kreises, also ft > r gewählt wird. — Die Konstruktion ergibt sich aus jener der gewöhnlichen Cykloide, welche in Erkl. 16 gelehrt wurde, dadurch, dass wie dort die Lage der Halbmesser 0 0", II", II,

2" u. s. w. bestimmt und auf denselben von den Mittelpunkten 0", 1",

2" • • • die Strecke b abträgt (siehe Figur 35). Daselbst beschreibt der Punkt Q., die gedehnte Cykloide Q₂ III₂ IV₂ V₂ • ■ • und der Punkt Qx die verschlungene Cykloide Qx III,

IVj V, u. s. w. Dort sind die Bezeichnungen I₂ und Ij verwechselt; auch sollte es heissen statt XVI₂ : XVI, und statt XX₂ : XXt und bei XII fehlen die Indices } und ₂. Der Leser wird um Korrektur gebeten.

Die Verbindungslinie des Punktes Qx oder des Punktes Q₂ mit dem jeweiligen Berührungspunkt des rollenden Kreises ist die Normale der Kurve, und die hiezu senkrechte Gerade stellt dann die Tangente der gedehnten Cy-

Figur 34 a.

Qi

M₀

r\*~

i.

Figur 34 b.

o-

Figur 35.

+Y

VI.

Mir

IZ/ li

JO

là

S'

i-XHE m

!

iMa

pUf-'-f- -V¹ ir- i-Y

''Æ

-1

Xi

.15]

\5j

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-F

m'X_ i9Y_ so"

r? ■

t/

!    i    •

_____;    ! LÄ

3'    4-'    5'    6'    1'    8'    9'    10' U' 18' 13' IV *S' W,

i y\

17'    18'    19'

kloide in Ç,, bezw. der verschlungenen in Q2 dar. Der Beweis folgt leicht aus der später entwickelten Normalengleichung der Kurve.

Erkl. 38. Schon Galilei hat die Cykloiden geometrisch betrachtet. Dann Descartes, Rober-val, Pascal und die beiden älteren Bernoulli, die sie auch Roulette, Trochoide und als Linie des kürzesten Falles Brachystochrone nannten. Huygens zeigte, dass die Cykloide zugleich eine Tautochrone oder Isochrone ist. Näheres siehe Zehme, Elementare und analytische Behandlung der Cykloiden. Iserlohn 1854.    _

Aufgabe 59. Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(x, y) an die Kurve :

x — (a -}- r) cos —--b cos

("+•)

y — (a -)- r) sin--b sin (y~ -f-

(Gleichung der gedehnten Epicykloide für b <( a, der verschlungenen Epicykloide für b a.)

Auflösung.

[x — (fl -j- r) cos -f- b cos 1 -j- ^jj |

at

a cos ---b cos

+ [t— (fl + r) sin y- + b sin (y ^ + ^)] [

at

a sin--b sin

Erkl. 39. Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Halbmesser a aussen auf einem festen Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Halbmesser r ohne zu gleiten fortrollt, so beschreibt bei dieser Bewegung ein Punkt P des Umfangs eine Epicykloide (siehe Aufgabe 11, Figur 14 und 15. Nehmen wir nun auf dem Halbmesser MP einen Punkt Q₁ an (s. Fig. 36) und setzen MQ^ = b, das hier offenbar kleiner als der Halbmesser a ist, so beschreibt beim Rollen des Kreises M auf dem Kreis 0 die Kurve Oj K Ç, IIIj IV, u. s. w., welche gedehnte Epicykloide heisst und die oben angegebene Gleichung hat.

Ein Punkt Q₂ auf der Verlängerung des Halbmessers MP, der also vom Mittelpunkt M eine Entfernung MQ₂~b hat, die grösser als a ist, beschreibt in gleicher Weise beim Rollen des Kreises die Kurve 0₂ I₂ Q₂ III₂ IV₂ u. s. w. die verschlungene Epicykloide genannt wird (siehe Erkl. 17 und 18).

Die Konstruktion ergibt sich aus jener der gewöhnlichen Epicykloide, welche in Erkl. 19 gelehrt worden ist, dadurch, dass man wie dort die Lage der Halbmesser MO, II", II2", III3" u. s. w bestimmt und auf denselben von den Mittelpunkten M, 1", 2" u. s. w. die Strecke b abträgt.

Die Verbindungslinie des Punktes Ql bezw. des Punktes Q₂ mit dem jeweiligen Berührungspunkt A des rollenden Kreises ist die Normale und die darauf in Ç, bezw. Q₂ errichtete Senkrechte demnach die Tangente an die verkürzte bezw. verschlungene Epicykloide (siehe auch die Erkl. 20).

Bl,

Zs"

Fl

ff«

IV2

Ki |4t

5',

■ vi

\6\

v;

buy

vrä

I2V-.

Figur 36.

+T

vT

6'

-1

fl

vr

\7’

6'

'S’

À'

°2

e]

3"\

rz

c:,'

+X

'/I

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V;

/II__^

A.

5;

/«7

Yr

'2

1/

_A'l

-'4"'

iv'2

.    . at , T / at\

x — (r — a) cos ——|- o cos I i--— 1.

Aufgabe 60. Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(pc, tj) an die Kurve:

at

y — (r — a) sin -—- — b sin

(Gleichung der gedehnten Hypocykloide für b <1 a, der verschlungenen Hypocykloide für &I>a (siehe Aufgabe 12).

X — (r — a) cos — & cos

1    r

Auflösung.

o-f)

at

a cos--b cos

0-^)]

a sin -j- b sin Çt--—= 0.

+ [ Y - (r - «) sin ~ + b sin (t -    [

Erkl. 40. Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Halbmesser a innen auf einem festen Kreis vom Mittelpunkt 0 und dem Halbmesser r ohne zu gleiten fortrollt, so beschreibt bei dieser Bewegung ein Punkt P des

Z'j

3\

5\

6'

Ol

vnr,2

Ja

71

.'■st

- 'X?

tc

/i

o«

•0-1

N

/CO

Figur 37.

+Y

6'

.5'

V/

TH

piw

s'/'l \'N"

Ws?:

'A

/.

\v

\

-1

/I

r/

JP

».

As"

Umfangs vom rollenden Kreis eine Hypocykloide (siehe Aufgabe 12, Figur 17 und 18). Nehmen wir auf dem Halbmesser MP einen Punkt Q1 an und setzen MQ^ = b, das kleiner als a ist, so beschreibt beim Rollen des Kreises M im Innern des Kreises 0 der Punkt Ql eine Kurve

Erkl. 41. Die Theorie der Epicykloiden und Ox Ii Qi Uli IVi u. s. w., welche gedehnte Hypocykloiden ist aus der technischen Aufgabe Hypocykloide genannt wird. Wählen wir hervorgegangen, den Zähnen der Räder einer dagegen auf der Verlängerung vom Halbmesser Maschine die beste Form zu geben. Der Astro-MP den Punkt Q, und setzen wieder MQi — b, nom Römer hat diese Aufgabe im Jahr 1674 so heisst der Weg 0₂ I₂ Q.₂ III₂ I\₂ u. s. w. mittels obiger Kurven gelöst. Weitere Arbeiten von Q.₂ verschlungene Hypocykloide. über die letzteren lieferten de la Hire 1694, Die gemeinschaftliche Gleichung ist oben an- Halley, Newton, Euler und andere. Näheres

gegeben. Für a = ~ geht die Hypocykloide    W^nborn, die cyklischen Kurven,

in eine Ellipse über mit den Achsen r — 2 b und r -f- 2 b (siehe Erkl. 25).

Die Konstruktion der Kurve, der Normalen und der Tangente ist wörtlich wie bei der vorigen Aufgabe 59 über Epicykloiden.

Antwort. Unter der Normalen in einem Punkt einer Kurve versteht man

II. Die Normale ebener Kurven. Frage 19. Was versteht man unter der Normalen in einem Punkt einer ebenen Kurve?

Erki. 42. Normal stammt vom lateinischen die Gerade, welche senkrecht zur n orm a lis = nach dem Winkelmass gemacht, Tente durch deren BerÜh-also unter einem rechten Winkel.    rungspunkt gelegt ist. Ist PT die

Tangente im Punkt P an eine Kurve PPl und PN1.PT gemacht, so stellt PN die Normale im Punkt P dar. Es gehört demnach zu jedem Kurvenpunkt eine bestimmte Normale, wenn dem ersteren eine bestimmte Tangente entspricht (siehe Figur 38).

Figur 38.

+Y

A N\

Frage 20. Welcher Zusammenhang ist demnach zwischen den Winkeln x

und v welche die Tangente und die Antwort. Da der Winkel » Aussen-Normale desselben Kurvenpunkts mit winkel des Dreiecks TPN ist (siehe der positiven Abscissenachse O X bilden ?

Figur 38), so folgt:

v = T -J- 90° ;

daher hat man:

oder es ist:

tgv — tg (t -f- 90°) = — cotg r

1) ... tgv = —

tgr

Frage 21. Wie erhält man die Gleichung der Normalen in einem Punkt P einer Kurve, wenn rechtwinklige Koordinaten vorausgesetzt werden?

Antwort. Hat der Berührungspunkt P die Koordinaten x und y und werden die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Normalen mit X und 1" bezeichnet, so lautet die Gleichung der Normalen offenbar:

Y-y =

Y—y = (X — x)-tgv

Da aber tgv = —ist, so folgt: oder X— x -\-tgx-(Y — y) — 0.

tgr

dg

ist, SO folgt

Da jedoch tgx —

als Gleichung der Normalen im Punkt (x, g) :

dx

2) . . . X—x-\

Frage 22. Welche Form erhält demnach die Normalengleichung der Kurve y = f(x) für den Punkt (x, y)?

Antwort. Da aus y = f(x) der Differentialquotient direkt ermittelt

wir:

werden kann, so benützt man liier die vorige Gleichung der Normalen:

X— x-\

dy

Frage 23. Desgleichen für die Kurve, deren Gleichung in der nicht entwickelten Form F(x, y) — 0 vorliegt?

Antwort. Aus F(x, y) = 0 erhalten

dF

dy

dx

dx

dF

dy

dies in Gleich. 1) eingesetzt, liefert als Normalengleichung :

f<x—

Frage 24. Desgleichen für die Kurve, welche gegeben ist durch x = cp(t) und y = ip(t)?

Antwort. Aus x = q>(t) und y= xp(t) erhalten wir:

dx — (p‘ (t) dt und y — tp' (t) dt ;

daher :

dy _ »// (0 dx cp' (t) "

Diesen Wert in Gleich. 1) eingesetzt, ergibt als Normalengleichung: (X-x)q>'(t) + (Y-y)ÿ(t) = 0

oder:

₄, . . . (X-*Æ

dy

Aufgabe 61. Gesucht wird die Gleichung der Normalen an die Parabel ÿ¹ = 2px im Punkt (x, y). (Siehe Aufgabe 1.)

Auflösung. Aus y — Y2 p x folgt :

Al ₌ p ₌ Lt Y2px y

daher ist nach Gleichung 1) die Normalengleichung :

dx

X— x + (Y— y)-A- — 0

oder:

yX+pY = y{x-\-p').

Die Konstruktion der Normalen folgt direkt aus der der Tangente.

Auflösung. Aus y = x ¹ leiten wir ab :

dy

,    --—x    ;

dx    3

dies in Gleichung 1) eingesetzt, liefert als Normalengleichung :

X~TX

»o :o

(Y— y) — o

Nehmen wir x — y — 1, so folgt :

²u-F-Ï

also folgt für Xt = 0, Yt = — und Y₂ — 0 gesetzt, liefert: .

X° ⁼ T;

~~2

und von der Abscissenachse das Stück 0N= ~ ah (siehe Figur 4).

x X--—x Y= x

w I tO

oder wegen y = x Umrechnung :

7

3"

nach einer kleinen

10

“¥•

d. h. die Normale im Punkt P(l, 1) schneidet von der Ordinatenachse das Stück OB —

Aufgabe 63. Desgleichen für die Exponentialkurve y = ax. (Siehe Aufgabe 3 und Figur 5.)

Auflösung. Die Gleichung y = ax liefert :

damit ergibt die Normalengleichung (siehe Frage 21):

X— x-\-axla(Y— y) — 0 oder wegen y — ax :

X--j- nx • la Y— (x + a2x la) = 0.

Für x — 0 und y — 1 erhalten wir daraus: X-\-laY—la = 0

als Gleichung der Normalen im Schnittpunkt C der Kurve mit der Ordinatenachse. Wählen wir noch a = e, so wird:

l a — le — 1

und die Gleichung der Normalen heisst dann im besagten Punkt:

X+Y= 1,

d. h. die Normale schneidet von beiden Achsen ein Stück = 1 ab.

Aufgabe 64. Desgleichen für die Kreislinie x² -\-y² — r² = 0.

Auflösung. Die Normalengleicliung:

(siehe Aufgabe 23)

dF    8F

ergibt hier wegen — 2x und — 2y: (X— x)y — (Y— y)x = 0 yX— xY= 0; d. h. die Normale in jedem Punkt (x, y) des Kreises geht durch den Mittelpunkt.

oder :

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

Aufgabe 65. Die Gleichung der Normalen im Punkt (x, y) der Ellipse:

1=0

«2 “ 62

aufzustellen (siehe Aufgabe 7 und Fig. 10).

Auflösung. Da:

8 F    2x

= —— und

8F _ 2y dy ~    ’

so gibt die Normalengleichung in Frage 23:

dx

(X-x)4--(Y-y)~ = 0

oder:

fc2

«2

y y__—y — xy(a2 — &²)

fc2    a-    & b*

woraus als Gleichung der Normalen an die Ellipse folgt:

a*X 62 y

= «2 — 62.

Die Konstruktion der Normalen im Punkt P beschränkt sich auf die Halbierung desjenigen Winkels der Brenn strahlen, durch den die Tangente nicht geht (siehe Figur 10).

Aufgabe 66. Desgleichen für die Hyperbel:

«2

y-

a-

62

Auflösung.

(PX . 62 r

(siehe Aufgabe 8 und Figur 8).

— = »2 J- 62.

y

Aufgabe 67. Die Gleichung der Normalen im Punkt (x, y) an die Cykloide:

x — r (t — sin t) und y — r (1 — cost)    . m..    tX7. ,    ,    ,.

.    „ v , . ,    ' „ f v    '    Auflösung. Wir benutzen hier die

aufzustellen (siehe Aufgabe 10 und Figur 12 Normalengleichung : und 13).

dx

== 0

(siehe Frage 24).

Aus x = r(t — sin t) ziehen wir ,

dt

und aus y = r (1 — cos t) ziehen wir = r sin t und erhalten (X — x) (1 — cos t) -)- ( Y— y) sin t — 0 ;

daraus folgt durch eine kleine Umrechnung als Gleichung der Normalen an die Cykloide :

Y—y = -{X—x)-tg~.

Zu Y₀ — 0 gehört X₀ = x -j- y • cotg

Verbinden wir in Figur 12 den Kurvenpunkt P(x, y) mit dem Berührungspunkt A des erzeugenden Kreises, so ist <%.PAB = ^", daher:

OA = OB Ą-BA = x-\-y cotg ~ = X₀ ; d. h. PA ist die Normale an die Kurve.

dx

dy

— r (1 — cos t)

Aufgabe 68. Desgleichen für die Epi-cykloide:

y i \ a

x — (a r) cos — t — a cos

y — (a -f- r) sin ~ t — a sin

(siehe Aufgabe 11 und Figur 14 und 15).

0+0

0+0

Auflösung. Wie in Aufgabe 11 ist zu setzen :

dx _2a (a -j- r)

dt

dy _ 2a(a-\-r)

sin • cos

dt

sin

to] w. to|

0+4)

•sin

0+4}

Hierdurch geht die allgemeine Normalengleichung in Frage 24:

dx

oder:

dy

über in:

„ dx , „ dy    dx ,

¹ ~dT - x~dï + y dt

2 a(a-\- r)

sin

_ 2 a (a r)

sin

to] to]

[cos ("7 ^ + 4) X+sin    y\

(^t+t)\C0S(jrt + Ç)

I [(« + r)

cos — t — a cos

-f- ^(a -\- r) sin — a sin

O+0OO+4)

oder nach cos a cos ß -j- sin a sinß — cos (a — ß):

cos

x +sin(yf + y) Y = («-O)cos

a cos

oder :

cos

0+4)x+8“0+4)r

-- r cos —

2'

Diese Gleichung wird offenbar befriedigt durch die Werte:

^    a -, „    . a

Xn = rcos — t und F₀ = r sm — t ;

r    r

d. h. durch die Koordinaten des Berührungspunktes A, denn es ist:

r-cos

(v ‘+4)■¹“ T¹ + r 8“ (t * +4)

'-«■< > I «•'» (“:<+{) «*» 4] =

sm — t

00+4)

r cos

¥*

man erhält daher die Normale durch die Verbindung des Kurvenpunktes P mit dem jeweiligen Berührungspunkt A des erzeugenden Kreises.

Aufgabe 69. Desgleichen für die Hypo-cykloide :

,    . at .    ( at\

x — (r — a) cos ——(- a cos I t--— I

y ~ (r — a) sin (siehe Aufgabe 12 und Figur 17 und 18).

— a sin

(-■?)

dx

Auflösung. Wir bilden wie in Aufgabe 12 :

2 a (r — a)

dt

sin cos

dy_ _

2 a (r — «)

dt

sin

toi «. to]

(at t\

sin

(V-T>

cos

dt ‘ dt    dt ' * dt

gibt nach der Einsetzung der obigen Werte

(L oc da

für x, y, -jjj, -jj— und nach Weglassung des gemeinschaftlichen Faktors:

2 a (?— d)

sin

~2

/ at V r

genügend vereinfacht:

y)

Y = rcos—.

Diese Gleichung wird befriedigt durch die Werte:

.ff

Xn = r cos —t und Yn — r sm — t,

T    V

d. h. durch die Koordinaten des Berührungspunktes A in Figur 17. daraus, dass die Normale des Punktes P der Hypocykloide erhalten wird durch die Verbindung dieses Punktes mit dem jeweiligen Berührungspunkt A des erzeugenden Kreises.

Wir schliessen

Uebungsbei spiele.

Zur Bestimmung der Gleichung der Normalen für einen Punkt P mit den Koordinaten x und y der folgenden Kurven:

Aufgabe 70. (30, Figur 28.)

y — x²

x = 2 ; y — 4.

Auflösung.

X-\-2xY - x — 2x* = 0 X + 4 Y— 18 = 0.

Aufgabe 71. (31.)

y — x² — 6x + 10 x = 1 ; y — 5.

Auflösung.

X-\-(2x — 6)F— 2a;3 + 18;z²—57;r + 60 — 0 _    1-47+19 = 0.

Aufgabe 72. (32 )

x² — 4x -+ y² — 6y + 9 = 0 x = 3; y — 3 — 1/3.

Auflösung.

(y — 3)X — (x — 2)Y + Zx— 2y = 0 l/3~ X+X = 8 + 2 V3.

Aufgabe 73. (35, Figur 29.)

(X — 3)2 + (y — 1)2 — 4 = 0 x — 1.21 ; y — 1,89.

Auflösung.

(y — 1) X— (x — 3) X + a? — 3y = 0 0,89 X+ 1,79 Y— 6,88 = 0.

Auflösung.

Aufgabe 74. (34, Figur 32.) 4a?2 + 9y2_36 — 0 x = 2,87 ; y = — 0,59.

9yX-4xY—5xy = 0 5,31 X-j- 11,48Y— 8,47 = 0.

Auflösung.

Aufgabe 75. (35.)

4a² -f 9 y² — 32a — 54y + 109 = 0 x = 1 ; y = 3.

9 (y — 3) X — 4(a — 4) F — 5ay + 27a; — 16y = 0. _ y = 3.

Aufgabe 76. (36.)

25a;² — 14ay -j- 25y² — 288 — 0 x = 0,99 ; y = 3,54.

Auflösung.

(25y —7a)X—(25a —7y)F+7(a² —y²) = 0. _ X — 0,99.

Auflösung.

Auflösung.

Aufgabe 77. (37.) xy 1

» = y- y — ²-

Aufgabe 78. (38).

y — x³

x = 1, y = 0.

aX— yF—a²-|-y² = 0 2a —4F + 15 = 0.

X 3a;² F — x — 3 a⁵ = 0 X+3F—4 = 0.

Aufgabe 79.    (39.)

y — a;³ — 6a;² -j- lia; — 6 x = 1 ; y = 0.

Auflösung.

X + (3a;2 — 12 a+ 11) F — a; — y (3a;² — 12a; -J- 11) = 0 X-f 2F— 1 = 0.

Aufgabe 80.    (40, Figur 49.)

a²y — j x = 1, y = 1.

Auflösung.

xX— 2y F— a;² -)- 2y² = 0 X—2F+1 = 0.

Aufgabe 81. (41.)

y² = a3 x = 1, y = 1.

Auflösung.

2y X + 3a²F — 3a²y — 2ay = 0 2X+3F—5 = 0.

Aufgabe 82. (42.)

a² y -J- a: -J- y — 1 =0 a = — 1 ; y = -}- 1.

Auflösung.

(1 + a²)² X -f (a² — 2a — 1) F— (1 -j- a²)² — y (a² — 2a — 1) = 0 2X+ F — 1 = 0.

Auflösung.

Aufgabe 83. (45.)

y = a⁴

a = 1; y = 1.

X-f-4a³F — 4 a⁷ — a = 0 X-j-4 F—5 = 0.

Aufgabe 84. (46.)

y³ = a⁴.

Auflösung.

3y²X-{- 4a³ F — 4a³ F— 3ay² = 0

Aufgabe 85.

y 5 — C²a³.

Auflösung.

5aX-)- 3y F = 5a² + 3y².

Aufgabe 86.    (47.)

a;³ — x²y — xy² -j- y³ -f- x² -f- y² — 1 — 0.

Auflösung.

(— x² — 2xy    3y² -}- 2y) X — (3a;² — 2xy — y² 2a;) F -f- 378 ~h 5a;²y — 5a;y² — y³ = 0.

Aufgabe 87. (48.)

a;⁴— 36a;-f“216y = 0.

Auflösung.

54X-j- (9 — 4a:³) Y — 54#— (9 — 4a;³) y = 0.

Aufgabe 88. (49.)

a^ — 2x²y -\-bxy² — y³ — 0.

Auflösung.

(— 2a:² + 6a:y — 3y²)(X — x) — (4a;³ — 4a-y + 3y²) (F— y) = 0.

Aufgabe 89. (43.)

x³ + y³ = c3>

Auflösung.

a;²F — y²X — xy (x — y).

Aufgabe 90. (50.)

a;5 _|_ yä — C5,

Auflösung.

a;⁴ F — y⁴ X = a;y (a;³ — y³).

Aufgabe 91. (51.)

^2» + ! _(_y²« + ï — c²« + 1.

Auflösung.

x2n Y — y

X= a:y(a;²”⁻¹—y²“⁻¹).

Aufgabe 92. (44.)

y² (1 — x) — a;³ = 0.

Auflösung.

y (3a;² -f- y²) F+ 2a:³X = (3a;² + y²)y² -f 2a:⁴.

Aufgabe 93.

toi g

/ ——\ 1 m , m I \e + e )

Auflösung.

y =

(Gleichung der Kettenlinie).

(Y — y) = 0.

Die Konstruktion der Normalen folgt aus der Tangente in Aufgabe 4 (siehe Figur 6).

Aufgabe 94.

a;³ -j- y³ — 3 oa;y = 0 (Blatt des Descartes).

Auflösung.

(ax — y²) X-f- (x² — ay) Y — a(x² — y²) — a;y (x    y) = 0.

Die Konstruktion der Normalen folgt aus der Tangentenkonstruktion in Aufgabe 24 (siehe Figur 26).

Aufgabe 95.

#3 — yi (2 r — x) (Gleichung der Cissoide).

Auflösung.

2y (2r — x) (X— x) + (3a;² + y²) (F — y) = 0 (siehe Aufgabe 9 und Figur 11).

Aufgabe 96.

Auflösung.

[2y* — 3by* + (x² -{- b² — a*) y — bx²] (X — x) — (y — b)²-x (Y — y) = 0.

y\ — 2 by% -j- (#2 -[- J2 — a2) yi — 2 bx²y -(- b²x² = 0. (Gleichung der Conchoide) siehe Aufgabe 54 und 146, Figur 45.

Aufgabe 97.

Auflösung.

yi — 2 (2r² -)- 2rx — a:-) y² — 4ra:³ 4- xi = 0 (Gleichung der Cardioide). siehe Aufgabe 55 und Figur 16.

y- \x² -J- y² — 2r (r -(- x)} y-(X — x) — [(x² -f- y²) x — r (3 a;² -|- y²)J ( Y — y) = 0.

Die Konstruktion der Normalen folgt aus jener der Hypocykloide (siehe Aufgabe 69).

Aufgabe 98.

(a.-² + y²)² — 2 c² (x² — y²) = 0 (Gleichung der Lemniscate).

Auflösung.

(x² -J- y² 4- c²) y X -f- (c² — x² — y²~) a> Y — 2xyc- — 0.

Die Konstruktion siehe Aufgabe 15 und Figur 24.

Aufgabe 99.

y — ml {x).

Auflösung.

Y-y = -~(X-x). m

Aufgabe 100.

x — at — b sin t

y — a — b cos t

Auflösung.

Diese Gleichung wird befriedigt durch die Werte X₀ — at, F₀ = 0; d. h. durch die Koordinaten des Berührungspunktes A des rollenden Kreises, d. h. es ist AQ₂ die Normale der gedehnten und AQ₁ jene der verschlungenen Cykloide.

(Gleichung der gedehnten, beziehungs- x(a — boost) -f Ybsint — at (a — boost) = 0. weise verschlungenen Cyklo.ide), siehe Aufgabe 58 und Figur 34.

Aufgabe 101.

x — (a 4" r) cos --b cos -ff ^

at

(?+•)

y = (a 4~ t) sin —--b sin

(Gleichung der gedehnten, heziehungsw. verschlungenen Epicykloide), siehe Aufgabe 59 und Figur 36.

Auflösung.

X — (a -j- r) cos -(- b cos Y — (a 4~ i') sin <^~ -)- b sin    -ff

a sin-— b sin

at    ,

a cos--b cos

r

Diese Gleichung wird offenbar befriedigt durch die Werte:

X₀ —    r cos    und Y₀ =    r sin ;

d. h. durch die Koordinaten des jeweiligen

= o.

Berührungspunktes A der beiden Kreise oder die Normalen an die Kurve im Punkt Q geht durch den Berührungspunkt A; man erhält also die Normale durch die Verbindung von Q mit A. Siehe A Q₁ und AQ₂ in Fig. 36.

Ersetzt man in den obigen Formeln a durch — a und b durch — b, so erhält man die Gleichung für die Normalen der gedehnten, beziehungsweise verschlungenen Hy-pocykloide und findet, dass die vorige Normalenkonstruktion auch für die Hypocykloi-den gilt. Siehe AQX und AQ₂ in Figur 37.

III. Längen von Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale einer ebenen Kurve.

1) In rechtwinkligen Koordinaten.

Trage 25. Es sei in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die Gleichung einer Kurve in der Form y — f(x) oder in der Form x— cp(t) und y— xp{t) gegeben. In einem Kurvenpunkt P sei an die Kurve die Tangente und Normale gegeben. Wie können die Stücke der Tangente und Normale vom Berührungspunkt bis zum Schnitt mit der Abscissenachse, sowie die Projektionen OA = x und AP — y die Koordinaten dieser zwei Strecken auf diese Achse, des Kurvenpunktes P. Die Tangente Subtangente und Sub normale ge- in P schneidet die Abscissenachse in T

und die Normale trifft letztere in IV; zu berechnen sind demnach die Stücke PT—t und PN = n. Die Projektion von i ist auch die Abscissenachse offenbar AT oder AT ist die Subtangente; wir bezeichnen sie kurz mit tx\ ebenso ist AN die Projektion von n\ diese Strecke, die Sub norm aie heisse nx\ es sind also auch für tx und nx Ausdrücke zu finden.

Im rechtwinkligen Dreieck P TA haben wir À P TA = % und nach Frü-

woraus wir weiter

Antwort. In der Figur 38 a seien

nannt, berechnet werden?

Figur 38 a.

+Y

lierem ist tyx — finden :

dy

dx ,

dy

+X

A N\

s in t =

dx

und

vMS'

COST =

V'+m

Ferner gibt die Figur:

sin t ’

daher :

Y'+m

dy

dx

Figur 39.

oder es ist:

+Y

1) die Tangente

='V^+(£)-

t*

JA nx 4—1H-f-V■■ t

N.

Weiter folgt:

A T oder tx — —• tgr

daher hat man:

2) die Subtangente

tx —

Im Dreieck APN ist —: daher hat man:

COST ’

3)    die Normale n = y1 +    •

Endlich erhält man AN oder nx = yAgT, somit ist:

4)    die Subnormale nx =

+X

( dx\

*\w)'

Aufgabe 102. Gegeben sei die Gleichung des Kreises x² -(- y* = 100. Berechne für den Punkt, dessen Abszisse x — — 6 ist, die Grössen t, tx, n und nx (siehe Figur 39).

Auflösung. Daa: = — 6 ist, so hat man wegen x² -f- y² — 100 = 0 die positive Ordinate y = 8 zu setzen.

Die Differentiation der Kurvengleichung ergibt 2xdx-\-2ydy = 0, woraus: dy _

y 8    4

folgt; daher bekommen wir:

dx

\^+T- = Tr = ¹⁸’³³-

PT — t — 8

A T = tx = 8-|- =    = 10,66- - •

NP =

„=8^/l+^-=10

t = ⁶-

Aufgabe 103. Gegeben sei die Gleichung der Parabel y² — 2px. Berechne

für den Kurvenpunkt P mit den Koordinaten Auflösung. Aus y² = 2p x leiten wir x und y die Grössen t, tx, n und nx (siehe durch beiderseitige Differentiation zunächst ab :

2y dy — 2p dx,

Aufgabe 1 und Figur 3.

dabei erhalten wir:

= ŁuMŹ?L ₌ JL'

dy p

Setzen wir diese Werte in die Formeln 1) bis 4) ein, so geht hervor:

PT — t

z=z — \^p² y² ; AT — tx = 2x ; NP — n — ~\Ap² -|- y² und A N = nx — p,

d. h. bei der Parabel ist die Subtangente tx gleich der doppelten Abscisse x des Berührungspunktes — in Figur 3 ist AT — 20A; dies liefert die schon in Aufgabe 1 angegebene Tangentenkonstruktion. Ferner sagt A N = nx = p aus, dass bei der Parabel die Subnormale für alle Punkte die konstante Länge p habe.

Aufgabe 104. Desgleichen für die Ellipse:

y²

~ct² ^ b² 1    °

(siehe Aufgabe 7, 65 und Figur 10).

Auflösung. Die Gleichung:

1 = 0

liefert :

dF

dies gibt :

dx

= *;

ÔF

— - +-p-i

dy

BF

äy

dx

b²x

dx

dx

„ und -r— = a*y    dy

a²y

b²x '

dy

Daraus folgt:

PT —

AT — tx =

Setzt man aus der Kurvengleichung: b² (a² -f x²)

und a² — b² = e²

y² =

ein, so bekommt man durch eine kleine Rechnung:

NP = n =

dx

a²

— Y(«² — x²) («4 — e²x²).

nx

Ebenso folgt:

-i- l/b*x² + a^y² =    y"a⁴ — e²x².

a²

a²

Ferner erhält man (abgesehen vom Vorzeichen) :

a² — x²

V dy

dy

und AN = nx = y -=— = dx

b²x

a²

Aufgabe 105. Desgleichen für die Hyperbel:

X²

b² 1 — 0 (siehe Aufgaben 8, 66 und Figur 8).

«²

Auflösung. Setzt man : e — l/a² -f- b²,

so erhält man ähnlich wie vorhin:

■■ ■- Y(x2 — a²) (e²x² — a⁴)

n — ——■ Y e² x² — a4 a²

x² — a²

und nx

b²x

«2 ‘

Aufgabe 106. Desgleichen für Sinus-kurve y = sinx (siehe Differentialrechnung II. Teil, Figur 25).

= cosx und

Auflösung. Hier wird

danach :

t — tgx YI -f- cos²x ; n — sin x Y1 H⁻ cos²x tx — tgx und

nx — sinx-cosx.

dg

Aufgabe 107. Desgleichen für die Exponentialkurve y — ex (siehe Aufgabe 29 und Figur 38).

Auflösung. Da hier ■— = ex, so folgt:

t = Vl + e2x-, n = c* Vl+7* ; tx— 1, also konstant und

nx — <?x = y--

Aufgabe 108. Desgleichen für die Ketten

linie:

-'i

( -

m [ m

(siehe Aufgaben 4 und 93).

Auflösung. Nach Aufgabe 4 ist: dy _ Yy² — m²

daher:

t —y

dx

y²

y²

my

Yy² — w²

Yy² — n²

und nx = ~ yy2, — m2.

Aufgabe 109. Desgleichen für die Cy-kloide:

x — r (cp — sin cp) und y = r (1 — cos cp)

(siehe Aufgaben 8, 66 und Figuren 12, 13).

Auflösung. Nach Aufgabe 8 ist:

dy    w

-£ = eotY

daher:

t — r (1 — cosip)•

2 r sin²

n — r (1 — cos<p)•

yj¹+cot9² y

2 rsiri²^-

À

-= 2 r s in ~-

. (p    2

sm ~

2 r sin³

und nx — 2rsin ~-cosY-

~ = r sin cp.

COS -ir-

Erkl. 43. In der Aufgabe 66 ist gezeigt, dass AP die Normale der Kurve ist.

Um Verwechslungen zu vermeiden, ist hier der Wälzungswinkel cp genannt statt t wie in der Aufgabe 8 und 66.

Aufgabe 110. Berechne die Subtangente der Kurve:

x—y

dx

Auflösung. Aus x = t y erhält man durch Differentiation :

dx — ydx — xdy);

woraus folgt:

dx

dy xy — yi

; daher ist tx — y-j-

Aufgabe 111.

Berechne das von den Koordinatenachsen begrenzte Stück der Tangente im Punkt x, y an die Astroide:

x³ +y* = ~³

Figur 40.

Auflösung. Nach der Figur 40 ist für die Tangente im Punkt P zunächst:

OT= OA + AT=x + lI=x + r-dj-

Ferner erhält man aus dem rechtwinkligen Dreieck TO U die gesuchte Strecke :

— 0 T- \/T -)- tg- r,

TU -

OT

COST

+Y

wobei tgx

= zu nehmen ist; daher folgt:

TU =.

Die Kurvengleichung :

(*+-£)vM©‘

-X

D +X

F(x, y) = x³ -j-y³ - a³ =0 liefert nun allgemein:

8F

ff

dy

——-    — X ³

dx _ 3

dx    dF

— j-x ³ y ³ .

-Y

Weil aber die Abscisse x des gewählten Berührungspunktes negativ ist, müssen wir hier

TU —

dy

_ 1 , 1 dy    3/3

--__ _ Qß    y

CV 00

nehmen und erhalten so durch Einsetzung:

(, + .T t)V

1 -\-X

11 fl !\ -i [ 1

³ y³ = ^a:³ +tj³) V *³

+ *#

(i

d. h. das Stück der Tangente, welches von den Koordinatenachsen begrenzt wird, besitzt die konstante Länge a; die vor-lingende Kurve erscheint daher als die Enthüllende einer Geraden von der konstanten Länge a, welche auf die Koordinatenachsen gestützt fortgleitet; sie ist die nämliche Kurve, welche in Erkl. 25 Sternkurve oder Astroide genannt wurde (siehe Figur 19).

0Ç

CD

<KS

o>

g}

S"

S"

PS

g.

CO

g.

g

Ai

5T

‘S

'S

05

2 a;³

16

(2 a: — 6) y

20

(Z -*) ft

0,73

(.2 — x) ft

y - i

3,8

Xf

1,27

4 y (a? — 4)

9 (y — 3)

00

fi

2) Uebungsbeispiele.

Zur Berechnung der Längen von Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale, Kurvengleichungen:

AI/¹ *

+1 /I *

\Jy(y+t)

AI/¹

Aufgabe 112. (30, 70.)

y = x2 x — 2, y — 4

2x — 6

y(y-3)

2,19

y (y - i)

0,94

a» I « «

05 M ©

9y (y — 3)

4 (* — 4)

M+ e

8(9 — *6)+ 1/1 *

(2 a: — 6)²

+■ i yV *

MA g

Aufgabe 113. (31, 71.)

y = er² — 6x + 10 x = 1, y — 6

2y

1,46

4,3

. Ÿl

8*18 + 8*91/1

r.(f — a?) 91

81 (y-3)3

oo

y]/¹

a? — 2

2,54

a? — 3

2,1

/l6** + 81y*

0,65

81 {y-3)2

16 (x — 4)² '

Aufgabe 114.    (32, 72.)

x² — 4 a? -f- y² — 6y 9 = 0 x = 3, y — 3— ]/ 3

Aufgabe 115. (35, 73.)

(* — 3)² + (y — l)² — 4 = 0 x = 1,21

y = 1,89____

Aufgabe 116. (34, 74.)

4a;2 -L_9«2 __ 36 — 0 a? = 2,87 y — — 0,59

Aufgabe 117.    (35, 75.)

4 r² -j- 9y² — 32a? — 54y -(- 109 = 0 x — 1

y — 3

y (25a: — 7y)

25 y — 7a:

a od

3 Xe1 y

y (3 a:²—12a-fll)

01 I

Si

3#²

y (25 y — 7 a:) 25y — 7a:)

00

B rH |cM

0,33

3a:² — î2x-\- 11

Si O

H |<N r-l |<yj

^ <N I CO

(M I CO

(25 a: —7 y)²

(25 y — 7 a:)²

3,54

-Vri+^

2 x/17

1^6 + 1/1 Ä

3,16

y l/l + (3a² — 12a: + 11)²

■V'+S

j«U

lA

I®

12

! + •>

i rH >

(25 y —7 a:)²

(25a: — 7y)²

oo

Aufgabe 118.    (36, 76.)

25a:² — 14« y + 25y² — 288 = 0 x — 0,989 y = 3,54

<N CM

S ss

4-

15

rH

f--.^ rH |(N

Si

iH

-f

H 8

05 rH-

(3 a:² —12 a:-fl l)²

sa:

4 y²

fxyV

f iyV*

ivï

^!i*

105 I CO

rH I CO

Si

Aufgabe 119. (37, 77.)

xy = 1

X=2

y = 2

Aufgabe 120. (38, 78.)

y — xÿ

x = 1

y = i

Aufgabe 121. (39, 79.) y — a:³ — 6a:² -fila: — 6

X = 1

y — °

Aufgabe 122. (40, 80.)

a:² y — 1 x — 1 y — \

Aufgabe 123. (41, 81.)

I = x ?x — ₇fi

g¹

aq

aq

CD

5*

cp

cr

CD

CD

g.

co

g.

•s

B

a>

CO

nx

(l — *6 —s*)(* — 1)

(1 + a?²)³

i*f

g*^

3*

3 a?2 5*³

a?² (3 r — a?)

(2?¹ — a?)²

* (a?² — ay)

ax — y²

y²

a?

z(x Y l) (* ~ i)

x² — 2 a? — 1

H I'* r-H It*

3x

xg

{x — a g) x

y (ax — y²)

x² — ay

(a?) 2 a?

(a?² — 2 a? — 1 )²

(*²    l)⁴

f iy\+

1 + 0*91 A K

Y17

16a?⁶

9 a?⁴

9 a?⁴

25*8

î+1-t-

y"\A+

Yx( 8* — 3 a?)

(2 r — x)²

rx

— Y y² + m²

— Yw2 Y *²

(a?² +1)⁴

?.(l — *5 —s*)

+5-

m/- y

1 + 0*91/1 ~

9*⁴

16 a?⁶

25*8

9 a?⁴

8 r — 3a?

f x/\+

fi y\+

w-

xr

Y (%² — ay)² ~\~ (a x — y²)²

Z (a? Y m² Y ^²)

x² — ay

Aufgabe 124. (42, 82.)

x²y + a? + * — 1 — 0 x — — 1

y = +1

Aufgabe 125. (45, 83.)

y = a?⁴

a? — 1

y — 1

Aufgabe 126. (46, 84.)

fX = g/Z

Aufgabe 127. (85.)

*⁵ — a?³

Aufgabe 128. (9, 95.)

a;³ = y2 (2 r — x) (Cissoide)

Aufgabe 129. (24, 94.) *³Yy³— 3 axy — 0 (Blatt, des Descartes).

Aufgabe 130. (4.)

mem

Aufgabe 131. (99.)

y — ml (a?)

Aufgabe 132. (55, 97.)

?/4 — 2 (2 r² -f- 2rx — x²) #² — 4r#³ -f- a;⁴ = 0 (Cardioide).

Auflösung.

y¹ \x² -j- y² — 2 r (r -(- x)\ r (3 x² -j- y²) — a: {x² -j- y²) '

Aufgabe 133. (54, 96, 146.)

y⁴ — 2 by⁹ -j- (x² -j- b² — a²) y² — 2bx²y -|- b²x² = 0 (Conchoide).

*« =

Auflösung.

[2y³ — 3 by² -f- {%² + b² — a²) y — bx²] y

(y — b)²-x

Aufgabe 134. (15, 98.)

(,x² -f- y²)² — 2c² (,x² — y²) — 0 (Lemniscate).

Auflösung.

(x² -f- y² 4- c²) y2 (x² -|- y² — c²) x

Aufgabe 135.    (58, 100.)

x — a arc

cos =

(gedehnte oder verschlungene Cykloide).

Auflösung.

*.=

V b² — (a — y)²

Aufgabe 136.    (59, 101.)

x — (r -)- a) cos -f- a cos

y — (r — a) s« —--a sin

r

(Gleichung der Epicykloide).

(■+")

(■+")

Auflösung.

( t , at \ tx = ycotg-{j + —J.

Aufgabe 137. (60, 101.)

ai

a; = (r — a) cos —- 4- a cos r

y — (r — a) sin

r

(Gleichung der Hypocykloide).

— a sin

Auflösung.

at \ r J'

Aufgabe 138.

x = c-Iog

-y²-

Auflösung.

Erkl. 44. Diese Kurve hat die Eigenschaft, dass für jeden Punkt derselben das Stück der Tangente gerechnet vom Berührungspunkt bis zum Schnitt mit der Abscissenachse die konstante Länge c hat. Man hat diese Kurve Tractrix oder Zuglinie genannt. Sie entsteht nämlich, wenn das eine Ende eines völlig biegsamen Fadens von der Länge c an dessen anderm Ende sich ein schwerer Punkt befindet, auf der Abscissenachse in einer horizontalen Ebene fortbewegt wird; der schwere Punkt beschreibt dann die Tractrix; dieselbe besteht aus vier kongruenten Zweigen. Legt man den Ursprung durch den Punkt 0, in welchem die

dy _ +y

dx \/ c² — y²

■v<+m

— c = konstant

cy

nx =

tx— V c² — y²,

V c² — y²

Tangente der Kurve die Abscissenachse senkrecht schneidet, so sind die Punkte

ix — 0    f x — 0

C [    und C \

\y — c \y = — e

Rückkehrpunkte I. Art und die Abscissenachse ist Asymptote der Kurve. Die Konstruktion der Kurve ergibt sich aus ihrer Eigenschaft, zur Evolute zwei gleiche und symmetrisch zur Abscissenachse liegende Kettenlinien zu haben. Der Beweis hierfür folgt später bei der Evolvente der Kettenlinie, ebenso die Nebenrechnungen. Diese Kurve wurde genau untersucht von Huygens (siehe Hugenii Op. varia, T. II, pag. 57.

Figur 41.

+Y

C,

T +X

C’

3) In Polarkoordinaten.

Frage 26. Es sei in einem Polarsystem die Gleichung einer Kurve in der Form r — f(&) gegeben. Der Kurvenpunkt P mit den Polarkoordinaten (r, 0) werde mit dem Mittelpunkt 0 verbunden und in 0 auf OP das Lot errichtet; ferner sollen in P an die Kurve die Tangente AE und die Normale PD gelegt werden. Wie können die Stücke AE und PD der Tangente und Normale, vom Berührungspunkt bis zum Schnitt mit dem in 0 auf OP errichteten Lot gemessen, sowie die Projektionen OE und OD dieser Strecken auf das letztere, die hier ebenfalls Sub-tangente und Subnormale heissen, berechnet werden? (Siehe Figur 42).

Antwort. Bezeichnen wir wieder wie in Frage 5 den Winkel zwischen dem Radius OP und der Tangente PE mit /<, so ist:

tgp =

TS hs

r'

gesetzt wird. Im rechtwinkligen Dreieck OEP ist die Kathete OP~r, die Kathete OE — der Subtangente t*, die Hypotenuse PE = dem Tangentenstück t*; daher folgt:

** = r tg fi =

wenn r =

d&

r‘

r‘

und

t* =

W² + t2 ₌ y^.2 ₊

Im rechtwinkligen Dreieck OPD ist die Kathete OD — der Subnormale n *;

r*

r‘2

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

¹

perbel x²yz = 1. (Siehe Aufgabe 2.)

²

ufgabe 62. Desgleichen für die Hy

die Hypotenuse PD = dem Normalenstück n* und <£ ODP = u ; daher folgt :

Figur 42.

n* — rcotgy, = r‘

und

nL

'A

Somit hat man:

n* — \/ r- -p r'²

+x

2 )...«* =

d©

und

dr

de'

Aufgabe 139. Berechne die Grössen t*, n*, t* und n* für die archimedische Spirale r = c0 (siehe Aufgabe 13, Figur 22).

~ yV² -j- c- ; n* = r- -p c-

l * — ül = c ©² und n* = c,

¹ c

Auflösung. Da = c und ist, erhält man aus obigen Formeln: t* =

Aufgabe 140. Desgleichen für die loga-rithmische Spirale r = e® (s. Aufgabe 14 und Figur 23).

Auflösung. Da hier:

dr

de

ist, folgt:

t* = r Y 2 ; n* — r y2 ; t* — r und nL = r.

4) Uebungsbeispiele zur Bestimmung des Winkels zwischen Radius vektor und der Tangente, der Länge der Tangente, der Subtangente und der Subnormalen eines Punktes einer Kurve in Polarkoordinaten.

Auflösung. Es ist :

dG

Aufgabe 141. Welchen Winkel bildet der Radius vektor nach einem Punkt P der Kurve r© = c mit der Tangente in P und wie gross sind die Subtangente t* und die Subnormale n* ?

Erkl. 45. re — c ist die Gleichung der liyperbolischen Spiralen. Nehmen wir an, es sei 0 der Pol, OX die Polachse; P sei ein Punkt der Kurve mit den Polarkoordinaten also: OP = r und <p POX = ©; endlich sei c eine

dr

trjjx =

rde

dr

— —O

a — arc (tg — — ©).

gegebene Strecke, die wir in 0 senkrecht auf OX auftragen, so dass OA = c ist; hierauf ziehen wir noch AB\\ OX und beschreiben den

Ferner erhält man die Subtangente

dO

OE — t* = r²-

Bogen PQ, dann ist PQ = rO = c; d. h. der Bogen von der Polachse bis zum Kurvenpunkt also von konstantem Wert. Hieraus ergibt P hat die konstante Länge c = OA. Für einen sich folgende Konstruktion der Tanzweiten Kurvenpunkt Pt (r,, 0X) wird Bogen g ente: Mache OE±OPxmä OE=OA Pj Qx = r₁&₁ = c etc. Für 0 = 0 wird

dr

= — c,

= c, ziehe EP, so ist diese Gerade die c = oo. Lassen wir 0 nach und nach Tangente (siehe Figur 43).

erwachsen , so wird r immer kleiner und kleiner und für © = oo wird r = 0. Der Punkt P nähert sich daher dem Pol 0 immer mehr und mehr, ohne ihn je zu erreichen oder mit anderen Worten: die Spirale macht unendlich viel sich immer und mehr verengende Windungen um den Pol 0, den sie niemals erreicht (siehe Fig. 43).

Ferner wird:

OD = n* =

7*2

-, t* = Vi + ©²

und n* = V1 + ©-.

Figur 43.

Erkl. 46. Um die hyperbolische Spirale, die ihren Namen wegen der Aehnlichkeit ihrer Gleichung mit der Asymptotengleichung der Hyperbel hat, zu zeichnen, beschreibt man um den Pol mit verschiedenen Halbmessern r, rv r2 Bogen, die an der Polarachse OX beginnen und trägt von den Punkten Q, Qx, Q₂ mittelst kleiner Zirkelweiten die Bogen PQ, P,QV P₂Q.₂ = c = OA ab. Da für den unendlich grossen Halbmesser der Bogen auch noch = c sein muss der letztere aber geradlinig wird, so liegt der unendlich ferne Punkt der Spirale auf der Geraden AB, im Abstand c von OX; welche Asymptote der Spirale ist (s. Figur 43).

VQX Qo

P2\

. <' ^ " \ \

LA"

Aufgabe 142. Ebenso für die parabolische Spirale r- — cQ.

Auflösung.

tg fi — 20, also tu = arc (tg = 20); t* =

2 -\/c©(e2 + i),

V(®²+ł)’ '•*=

2 r³

Aufgabe 143. Ebenso für die Kurve L i t u u s, deren Polargleichung

Auflösung.

ist.

r=Yi

also:

tg g — —20,

g — arc (tg = — 2 0)

Erkl. 47. Setzen wir 0 = 0, so wird r = oo ; lassen wir 0 wachsen, so wird r immer kleiner und kleiner und der Punkt P nähert sich dem Pol 0. Die Spirale macht unzählig viele sich immer mehr und mehr verengende Windungen um den Pol 0, den sie nie erreicht. Beschreibt man den Bogen PQ, so ist die Fläche des Sektors POQ = r²@ = c, also eine konstante Grösse. Die Kurve wurde zuerst untersucht von Cotes. Harmonia mensurarum 1722. Li-tuus gleich Krummstab.

t* =

n* =

Vi(⁰g+T) ViKe²+v)

n* =

2c

2c '

Erkl. 48. Zur Zeichnung der Kurve dienen folgende Werte für c — 1 :

© = 71/2 0 150    300    600 j 900

90°

izo⁰''"

/jo°:

2/0

Aufgabe 144. Ebenso für die allgemeine logarithmisclie Spirale, deren Gleichung:

r = cem&

ist (siehe Aufgabe 14).

Aufgabe 145. Ebenso für die Kreisevolvente :

yV² — a²

— arcytg —

l/ r² — a²

(siehe Aufgabe 16, Figur 25).

Aufgabe 146. Suche eine Tangentenkonstruktion für die Conchoide, deren Polargleichung

sin © + " ist (siehe Aufgabe 54, 96 und 133).

Figur 44.

>:c '

' ÿ\

\ 450°/'

/ v>,

V' ! V

)aeo°

p₃

s'3o°

„-V'

■R

270°

jo°

■y«»*

\ /

'^300°

Auflösung.

**= ''

Auflösung.

n * =■ mr.

y/r- — a²

i* = ~ \/ a- ; n* —

ar

4/ r² — a² ’

Auflösung. Aus der Polargleichung :

• bilden wir:

dr

T@ -

sin©

b cos 0

Erkl. 49. Es sei eine Gerade g und ausserhalb derselben ein Punkt 0 gegeben. Eine zweite Gerade drehe sich um diesen Punkt 0 und es bewege sich auf der letztem ein Punkt P so, dass seine Entfernung PN vom Durch- daher einfach konstruiert werden wie folgt: schnittspunkt N der beiden Geraden eine ge- OP schneidet die gegebene Gerade g in N-, gebene Grösse a habe. Der geometr. Ort des durch N ziehen wir NQ parallel der Ordi-Punktes P heisst die Conchoide. Wählen natenachse bis zum Schnitt Q mit dem im wir den Punkt 0 zum Ursprung eines recht- p₀j q auy (]em Radius OP errichteten Lot; winkligen Koordinatensystems, eine Gerade durch 0 parallel zur gegebenen Geraden g zur Abscissenachse und bezeichnen wir den senkrechten Abstand OC des Punktes 0 von der Geraden g durch b; so wird, weil /\ OCNg*s A OAP ist, CN: OC = OA: AP\ also:

CN=P-

sin² ©

dieser Wert gibt uns aber auch die Grösse der Polarsubnormalen an und letztere kann

dann ist OQ die Polarsubnormale und QP die Normale in P; denn:

ON = OC: sin ONC =.

sin ©

lind

bx

= —(y—b)

y y

BP = AP—AB — y — b, NP — a; daher nach dem pythagoräischen Lehrsatz: NP² = NB* 4- BP²

NB = CB — CN = x--

OQ — ON-cotg OQN

• cotg 0 — -

b cos ©

sin² O

Ist so PQ gefunden, so gibt das Lot in P die gesuchte Tangente.

sin ©

oder:

P₂

Figur 45.

dl

p’¹

+Y

//

/ /'

c v/ / ;b

rfo'l a

+X'

P.

Erkl. 50. Die Konstruktion der Conchoide geschieht einfach dadurch, dass man von 0 aus eine Reihe von Strahlen zieht und auf jedem Strahl von seinem Durchschnittspunkt mit g nach oben und unten eine konstante Strecke a abträgt; der Endpunkt jeder dieser Strecken . et q , / o i i.*    tu «    , .o 9 ist dann ein Punkt der Kurve. Dieselbe ist

y y    a~}y " x~yP ~x" — gegen die Ordinatenachse OC symmetrisch; der

wie in Aufgabe 54, 96, 133.    > obere und untere Kurvenzweig erstrecken sich

Durch die Einführung der Polarkoordinaten (jer Geraden g immer näher kommend, ins Un-x = r cos 0 und y — r sin 0 geht die vor- endliche, d. h. g ist die Asymptote. Für a — b gelegte Gleichung über in:    hat ^er untere Kurvenzwreig in 0 eine Spitze,

für a^>b einen Doppelpunkt in 0 und unter demselben eine Schleife.

«2 — — (y — b)² + (y — 5)2 ;

y²

woraus :

oder :

«2y2 — (a;2    y2) (y — 5)2

a-r² sin² 0 — r² • (r sin 0 — b)² ; daraus folgt:

r sin 0 — b — a sin 0,

Erkl. 51. Die Conchoide hat ihren Namen von ihrer muschelförmigen Form — conchylium (xoy/vhov) — Muscheltier.

Nikomedes (150 v. Chr.) gefunden und zur eine Formel, welche aus der Figur hätte direkt Verdoppelung des Würfels und Dreiteilung des abgelesen werden können.

daher :

sin 0

f »,

Sie wurde von

Winkels angewendet.

IV. Die Asymptoten.

1) Analytische Bestimmung der Asymptoten in Cartesischen Koordinaten.

Frage 27. Was versteht man unter einer Asymptote einer ebenen Kurve?

Erkl. 52.

Das Wort Asymptote stammt aus dem Griechischen und ist zusammengesetzt aus dem verneinenden «, aus ovv = zusammen und mm uv — fallen.

Antwort. Unter einer Asymptote einer Kurve versteht man eine gerade Linie, welche sich derart neben einem sich ins Unendliche erstreckenden Kurvenzweig hinzieht, dass die Entfernung eines Kurvenpunkts von der Geraden unter jede angebbare Grenze heruntersinkt, während dieser Punkt auf dem Kurvenzweig bleibend unbegrenzt weit hinausrückt.

Dass es wirklich Kurven mit Asymptoten gibt, kann sehr leicht an der Conchoide (siehe Figur 45) gezeigt werden. Der Kurvenpunkt P hat von der Geraden g die Entfernung BP. Die Aehn-

lichkeit der Dreiecke PNB und OCN gibt die Proportion:

BP: NP = OC: CN oder BP:a=b: CN-, daher ist:

ab

ab

ab

CN

VON*—OC²

Figur 46.

+Y

u'

JL^YNi⁵ , ? ~f V ⁰

"Bi

Bill.

-7

aFt

³At * +X

-2

Y ON² — b² ' Lassen wir nun den Strahl OP sich weit gegen rechts oder links drehen, so nehmen CN, ON und O A sehr grosse Werte an, während BP immer weiter abnimmt. Für ein unendlich grosses ON wird auch OA — x unendlich; dagegen sinkt BP zu einer unendlichen Grösse herab; d. h. es ist g eine Asymptote der beiden Zweige der Conchoide.

-3

-5

-Y

Ein zweites Beispiel für Asymptoten bietet die Hyperbel. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem suchen wir den geometrischen Ort eines Punktes, dessen Koordinaten x und y der Gleichung xy — 1 genügen.

Aus y = — ersehen wir, dass y immer

kleiner wird, je grösser wir x wählen; für ein unendlich grosses x wird y unendlich klein; für sehr grosse negative Werte von x, erhält y sehr kleine negative Werte oder die Kurve erscheint jetzt auf der andern Seite der Abscissen-achse; letztere ist also Asymptote. Die

nämliche Betrachtung auf x = y angewendet, führt zur Erkenntnis, dass die Ordinatenachse eine zweite Asymptote der rechtwinkligen Hyperbel darstellt. Siehe Figur 46. Weitere Beispiele bieten die Figuren 4, 5, 8, 11, 26, 33.

Frage 28. Von welchem andern Gesichtspunkt lässt sich eine Asymptote noch betrachten?

Antwort. Wir nehmen an, eine Kurve y — f(x) besitze einen ins Unendliche sich erstreckenden Kurvenzweig PPl und eine Asymptote QQX an den letztem; diese letztere Gerade habe die Gleichung Y = ml-f n. Nehmen wir auf der Kurve einen Punkt P mit den Koordinaten x und y, so berechnet sich sein Abstand PQ = a von

Figur 47.

+y

U

'X

+X

Erki. 53. Die Taugente im unendlich fernen Punkt eines Kurvenzweigs kann nur dann als

der Asymptote nach der Formel der analytischen Geometrie :

y — mx — n yi -j- rrfi

Daraus leiten wir ah:

y — mx    a |/l -J- m²

und

4- — V i + ™²-

Lassen wir nun den Punkt P ins Unendliche rücken, wobei x und im allgemeinen auch y unendlich grossen Wert annimmt, und a unendlich klein wird, weil QQX Asymptote ist, so folgt:

Limes — —

» *

denn das zweite Glied yl -f nfi verschwindet für x — x. Nun ist aber nach Differentialrechnung II. Teil in Frage 37 :

*- = m

Limes ( m + — yi -f- m² J

X — CO V    ^    '

— m,

Limes — = Limes

*=» *

Asymptote bezeichnet werden, wenn sowohl also muss :

dy

X = CO

dy

= Limes ;

d y

als auch y — x bestimmte Grenzen besitzen dx

1) . . . Limes 4^- = m dx

für x = ao. Ist dies nicht der Fall, so ist die sein für X “ oo. etwa vorhandene Asymptote nicht mehr die aus der Gleichung für a ab: Grenzlage der Tangente. Nehmen wir z. B.

die Kurve y =    so folgt:

Weiter leiten wir

d]L _

xcosx — sinx

cosx

sinx

Limes L._

X =■ QO

y — mx — a y 1    m² = », also :

mx — a y 1 -f- m²) = n,

dx

a;²

oder da « yT-fm² verschwindet:

daher :

dy

y_

Limes G — mx) — Limes

X—V3

= 0,

Limes

x'= 00

denn cosx und sinx bewegen sich nur zwischen den Grenzen -j- 1 und — 1.

Weiter folgt:

A =

dx

d >/

y~xjy

sin x    xcosx — sinx

y "da: somit:

a:

a;

= — cosx,

= Limes

X = CO

a:²

x²

Ltaes(y-^)

= n;

Limes { y

i = *    '

dy

— a:

dx

^ = Lim. cosx — unbestimmt. also haben wir :

/ x = Xi

2) . . . Limes (

X = OO V

dy\

x —— I — n. dx j

Daraus schliessen wir, dass die Tangente im

unendlich fernen Punkt keine bestimmteGrenn- Dje Gleiehung der Tangente im Punkt

läge hat. Andrerseits folgt aus y = —, dass P(x,y) an die gegebene Kurve lautet

für wachsende Werte von x die zugehörigen nach Seite 1 :

Werte von y immer weiter abnehmen und für ein unendlich grosses x die Ordinate y gegen Null strebt; daraus schliessen wir, dass die oder:

Abscissenachse zwar eine Asymptote, aber keine Tangente der Kurve darstellt.

dy

y ₌ dy

dx

Lassen wir nun den Berührungspunkt P ins Unendliche rücken, so wird es für die Tangente im unendlich fernen Punkt P eine Grenzlage geben, wenn

sowohl ~ als auch y— sich be-

dx    •'    dx

stimmten endlichen Grenzwerten m bezw. n nähern für x — œ. Dann ist aber nach den Gleichungen 1) und 2) die Gerade 7=ml-fw eine Asymptote und es fällt die Tangente im unendlich fernen Punkt des Kurvenzweigs mit der Asymptote zusammen.

Antwort. Um eine Asymptote einer

Frage 29. Welche Methode zur Bestimmung der Asymptoten

lässt sich aus den vorigen Erörterungen Kurve y—f{x) zu ermitteln, suchen gewinnend (Siehe Figur 47).    wir zuerst, ob der Wert des Differential

quotienten für x — œ sich einer

bestimmten Grenze m nähert oder nicht. Im letztem Fall hat die Kurve keine Asymptote; im erstem Fall untersuchen

wir weiter, ob der Ausdruck y — x

für x — œ ebenfalls einen Grenzwert n ergibt. Trifft dies zu, so ist Y— mX n die Gleichung der Asymptote; ihre Neigung % gegen die Abscissenach.se bestimmt sich durch tgx = m und von der Ordinatenachse schneidet sie das Stück OC — n ab. Zur Berechnung des Stückes OT, -welches die Tangente im Punkt Pix, y) von der Abscissen-achse abschneidet, erhalten wir dadurch, dass wir in der Tangentengleichung:

dy

Y-y = j^(x-x)

die Ordinate Y₀ = 0 wählen ; dadurch folgt :

OT “ X₀ = «

dx

V dy '

Lassen wir den Punkt P ins Unendliche hinausrücken und die Tangente in die Asymptote übergehen, so nähert sich dabei der Wert OT dem Wert OB-, bezeichnen wir also das Stück OB, -welches die Asymptote von der Abscissenachse abschneidet, mit q, so ist offenbar:

Aufgabe 147. Bestimme die Asymptoten der Kurve xy = 1 (siehe Figur 46).

Bei der Bestimmung der Asymptote empfiehlt es sich, nicht bloss die Grenzwerte m und n, sondern auch den Grenzwert q zu berechnen.

Besitzt die Kurve mehrere Asymptoten, so zeigt dies die Rechnung dadurch, dass die Grenzbestimmung von

auf eine Gleichung höheren Grades

dy

dx

in m führt. Jeder Wurzel m dieser Gleichung kann dann eine Asymptote entsprechen. Ferner ist zu beachten, dass Kurvenzweige auftreten können mit Asymptoten parallel zur Ordinaten-achse, so dass für den Berührungspunkt im Unendlichen die Abscisse x endlich und die Ordinate y unendlich gross ist. Solche Asymptoten lässt das seitherige Verfahren vollständig bei Seite liegen; dieselben werden aber leicht dadurch gefunden, dass man die vorhin gelehrte Rechnung nochmals wiederholt für y = &. Um also keine von den Asymptoten, welche die Kurve wirklich besitzt, zu verfehlen, muss man bei der Bestimmung von den Grössen m, n und q zuerst x=oo setzen und nachher auch y— oo setzen. Danach hat man zu bestimmen:

1) . . . tgr = m — Limes

dy

00 dx‘

2) . . . OU — n — Limes fy — x

x = oo V    *

3) . . . OT = q = Limes

(    ix\

und 1*, 2* und 3* wie vorhin für

y = °°-

r folgt: iy _ 1    1

X —Z- - -----

dx x x

Auflösung. Da y —

äy _ dx

dx

— x -f- yx² =

x —y ——

J dy

Daraus erhalten wir:

m = Limes —

x dx

oo²

= 0.

n = Limes (y — x    = 0

dx) oo

q = Limes

X = cc

f dx \

\~y~dy)

= 2 oo = oo .

Aufgabe 148. Berechne die Asymptoten der Hyperbel:

b²x² — a²y² — a²b² — 0 (siehe Aufgabe 5, 8, 66, 105).

Figur 48.

+Y

____

.ii

-X-

b₂\

©■

Tv-

.'H

-Y

d. h. es fällt eine Asymptote mit der Ab-scissenachse zusammen.

Weiter bekommen wir:

m* = Limes y — ⁰⁰

= 2 ao = oo

n* —

und

q*

Limes (x—y—r~ \ — —— = 0;

«=oo V äy) ²⁰

= 2-oo =oo

woraus wir schliessen, dass auch die Or-dinatenachse eine Asymptote der Hyperbel xy — 1 ist.

Auflösung. Aus der Gleichung: W x² — a²y² — a²b² = 0 leiten wir zunächst ab:

b \/ x² — a²

aus der wir ersehen, dass für x = oo auch y = ao wird und umgekehrt, also bei der Grenzbestimmung von m, n und p nur x = oo anzunehmen ist. Die Differentiation ergibt :

2) . .

dy

bx

3) ... y — x

+x

dx

aus diesem Wert folgt:

bx²

a Y x² — a²

Ts re

= »+-*

y x² — a²

und

4) ... x —

Hieraus gewinnen wir:

= Limes +

dx

y—5— — x dy

x² — ö²

m = Limes ,

*=00 dx

— Limes ~+

X = 00

* = oo

•v-er

ab

y x² — a²

bx

a²

-+1.

- ± a ’

also gibt es hier für m zwei Grenzwerte, nämlich:

, &

“■ = +v

Weiter folgt:

und m₂ = —

n — Limes fy ~X~^~J — Limes +

X ~ 00    \    / x ~ oo

ab

y x² — a²

d. h. es ist sowohl für das obere Vorzeichen = 0 als auch für das untere Vorzeichen n₂ = 0.

also :

q = Limes ( x

X = 00    \

dx

a²

Erki. 54. In Figur 48 ist:

OA = a, OF, = OF, = e — Ytfi+b2 Der Kreis um 0 mit dem Halbmesser e treffe das in A errichtete Lot in B, dann ist:

AB² = OB² — OA² = 62,

= tgAOB = ^=^-,

hiernach ist +; A OH = t und OB die Asymp-tote. Ebenso beweist man, dass die Tangente von Fx an den um O mit a beschriebenen Kreis im Schnittpunkt C auf die Asymptote berührt. Der Leser wird hieraus leicht die Konstruktion der Asymptoten finden, wenn die Punkte O, A, F gegeben sind und ebenso die von F, aus A und den Asymptoten.

Endlich bekommen wir: ) = Limes = 0.

/    X

/    X — CO

Daraus schliessen wir, dass die Kurve zwei Asymptoten hat, welche beide durch den Koordinatenanfang gehen und von denen die Neigung t, und r₂ gegen die Abscissen-achse sich bestimmen aus:

.6 6 = + — und tg t₂ = —

Ihre Gleichungen lauten daher:

, b

= +-X.

— a

Aufgabe 149. Desgleichen für x²y = 1. Figur 49.

+Y -9

Auflösung. Aus x²y = 1 folgt:

1

mit wachsendem x nimmt y immer ab und für 3: =+00 wird y — 0; daher ist die Abscissenachse Asymptote. Ebenso gibt die Betrachtung von

x = +y ²,

-5

dass für y = 00 der Wert von a der Null zustrebt; es ist demnach die Ordinatenachse eine zweite Asymptote der Hyperbel dritten Grades x und y (siehe Figur 49).

f-i-

! ;

! -Ife

,P

-3    -2 -i

Ai

«» +x

Aufgabe 150. Desgleichen für y = ex (siehe Aufgabe 29 und Figur 33).

Auflösung. Aus y = ex erhalten wir:

ex = y

x -4^- = ex — x • ex = x • ex

dy

dx

dx

dx

x — y — x — 1. Daher :

dy

m — Limes

dy

X = GO

dx

= 00

n — Limes (y — x^\

*=«\ dxj

dx

= 00 und q = Limes Ix—y -x = 00 \    ¹ y

— go;

Aufgabe 151. Desgleichen für das Car-tesische Blatt:

a?³ -(- y³ — 3 axy = 0

(siehe Aufgabe 24, 94, 129 und Figur 26).

n — Limes

(y

dy

— X —r—-

da?

q —- Limes

da?

die Tangente im unendlich entfernten Punkt x —

y —

^ liegt also ganz im Unendlichen.

Ferner ist auch aus y = ex ersichtlich, dass für wachsende negative Werte von x die Werte von y abnehmen und für x — y = 0 wird. Daraus schliessen wir, dass die Abscissenachse eine Asymptote der Experimentalkurve y = ex sein muss.

- 00

Auflösung. Die vorliegende Gleichung gibt durch Differentiation:

3a?² da? -(- 3^² dy — 3 ay dx — 3ax dy — 0, woraus folgt:

1)

2) ... y—

3) . . . a?

dy _ ay — a?2 da?    y² —

₌_

dx    y‘* — ax

ax

axy

und

dx

axy

V dy

Um hieraus die Grenzen zu finden für x = oo müsste man mittelst der Kurvengleichung y in x ausdrücken und dann x — œ setzen. Im vorliegenden Fall kann man diese Substitution dadurch umgehen, dass man y — tx annimmt. Dadurch wird :

ay — x²

dat

x — -L—;—-.

1 + i!³

Kun sieht man leicht, dass die Annahme t = — 1 den Wert für x — oo gross macht und y — — x gibt. Wird jetzt in den Ausdrücken 1), 2) u. 3) y = — x und x — gesetzt, so folgt:

— cc

Lim.

a. a.

= Lim.

ax + x²

ax — x²

Lim.

— 1, also r

1350;

= Limes

und

= Limes

ax²

aa? — a?²

= Limes

ü-_l

a?

ax²

aa? -j- a?²

= Limes

— a.

./•

Die Kurve besitzt demnach eine Asymptote BC-, sie bildet mit der Abscissenachse einen Winkel von 135° und schneidet von jeder Achse das Stück — a ab (siehe Figur 26.)

2) Algebraische Bestimmung der Asymptoten in Cartesischen Koordinaten.

Frage 30. Mit welchem Nachteil ist die vorhin gegebene analytische Bestimmung der Asymptoten behaftet?

Antwort.

Zur Bestimmung der Grenzwerte m, n und p für unendlich grosse Werte von x (beziehungsweise y) ist es notwendig, die Grössen:

dy

dx’ y X dx

J dx

entweder in x (bezw. y) allein auszudrücken. Dies erfordert die Ausrechnung von y in x aus der vorgelegten Kurvengleichung und die Einsetzung des gefundenen Ausdrucks für y in die vorhin genannten Grössen, was oft sehr schwer, noch häufiger aber gar nicht durchzuführen ist. Diese Schwierigkeiten können bei algebraischen Kurven ganz vermieden werden durch die Anwendung der folgenden Methode.

dy

und x —

Frage 31. Wie können von einer algebraischen Kurve von bekannter Gleichung die Asymptoten gefunden werden?

Antwort. Bevor wir die Methode allgemein darstellen, soll dieselbe an einem Beispiele des leichtern Verständnisses wegen erläutert werden. Wir wählen die Kurve, deren Gleichung:

y$ — 2y²x — yx² -j- 2x³ -\- y² — 6xy -1- 5a;²

— 2y -\-2x-\-l — 0

lauten soll; die linke Seite ist eine ganze rationale Funktion des dritten Grades in x und y\ dieselbe ist geordnet nach Graden ; die vier ersten Glieder sind vom III, die drei nächsten vom IL, die zwei folgenden vom I. und das letzte Glied ist vom Oten Grad, so dass also:

ÿ³ — 2y²x — yx² -f- 2a;³

das Aggregat der Glieder III. Grades vorstellt.

Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen die Gerade Y— \ mX-\~n eine Asymptote, d. h. eine Tangente in einem unendlich fernen Punkt der obigen Kurve vorstellt. Soll irgend ein Punkt (x, y) der Kurve auf dieser Geraden liegen, so muss:

y = mx-\~n oder m =

_ jy_______ n_

sein. Rückt dieser Punkt ins Unend

liche, so wird:

m — Limes

denn — verschwindet für ». Um m zu

X

finden, müssen wir also aus der Kurvengleichung den Grenzwert von ~ für

x — oo berechnen. Zu diesem Zweck schreiben wir letztere nach der Division durch x³:

+    +²)⁺^r:=0.

Lassen wir jetzt x unendlich gross werden, so ist Limes — = m und wenn m

eine endliche Grösse ist, so haben die Klammerausdrücke :

— 6    + 5 und — 2 — -j-2

X    X

endliche Werte, daher verschwinden:

ł(ir_6i + ⁶) A('"²f‘ + ²)

für x — oo ;

und-i-x³

es bleibt demnach nur übrig:

IL+ 2-0

oder man hat m zu berechnen aus der Gleichung III. Grades:

m³ — 2 m² — m -j- 2 = 0.

Dieselbe hat die drei Wurzeln:

m₁ = -p1, m₂ = — 1 und mz — -p 2;

woraus wir schliessen, dass die Kurve von drei verschiedenen Geraden in unendlich fernen Punkten geschnitten wird; die Richtungen derselben berechnen sich offenbar aus:

tgr₁ = 1, tgr₂ = — 1 und tgr₃ = + 2.

Wir benutzen nun zuerst den Wert mx = 1 und betrachten die Gerade Y=X-\-n. Ihre Schnittpunkte mit der gegebenen Kurve finden wir, indem wir bedenken, dass die Koordinaten », y eines solchen Schnittpunkts der Gleichung der Geraden sowie jener der Kurve genügen müssen. Setzen wir daher in die letztere y = x-\-n ein, so berechnen sich die Abscissen der Schnittpunkte aus der Gleichung:

(x -p n)³ — 2 (x -(- n)² x — (x -[- n)\ xL-\- 2 xs -(- (x -p n)- — 6 (x -p n) x -p 5 x²

— 2 (x-\-ri)-\-2x-\-\ = 0

oder aus:

0 • £t³ — 2 n £c² -p (n² — 4 n) x -j- riA -f- n² — 2 n -p 1 = 0.

-<

?t

st

Figur 50.

5 t+Y

Da der Koeffizient von x³ Null geworden ist, so ist eine Wurzel x dieser Gleichung », d.h. die Gerade Y— X-\-n schneidet die Kurve in einem unendlich fernen Punkt, was auch n sein möge. Diese Gerade wird aber die Kurve im Unendlichen berühren, d. h. in zwei zusammenfallenden, unendlich fernen Punkten schneiden, wenn in der obigen Gleichung noch eine weitere Wurzel <x wird. Dies tritt ein, wenn der Koeffizient von x² auch null ist, d. h. für n = 0. Daraus schliessen wir, dass die Gerade Y— X eine Asymptote der Kurve sein muss (siehe Figur 50).

Nun betrachten wir mit Benutzung des Wertes m₂ — — 1 die Gerade Y — — X-\-n. Wir finden die Ab-scissen der Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve, wenn wir in die Kurvengleichung y — —x-\-n einsetzen, dies führt ausgerechnet zur Gleichung:

0-x³ -f- 6x² (n -(- 2) — x (5n² -}- 8n — 4)

-p n³ -p^² — 2 n -p 1

Weil der Koeffizient von x³ verschwindet, ist eine Wurzel dieser Gleichung unendlich gross, oder jede Gerade Y= — X-\-n schneidet die Kurve in einem unendlich fernen Punkt. Unter allen diesen unter sich parallelen Geraden gibt es aber eine, welche die Kurve in jenem Punkt berührt, nämlich jene, für welche noch ein Wurzelwert unendlich und der Koeffizient von x² zu null wird. Wir sehen, dass für das n dieser Geraden der Wert — 2 genommen werden muss, d. h. Y = —X— 2 stellt eine zweite Asymptote der Kurve

dar.

Um endlich noch die dritte zu finden mit m = -j- 2 bilden wir die Gleichung Y—2X-\-n und führen wieder die Substitution y = 2 x~\-n in der Kurvengleichung durch. Dabei erhalten wir: 0-x³ -p Sx² (n — 1) -p x (4n² — 2n — 2)

-p n³ -p ra² -p 2n -p 1 = 0.

Um den Koeffizienten von x² verschwinden zu machen, müssen wir n= 1 wählen; d. h. die Gleichung der dritten Asymptote ist Y= 2W~p 1.

Frage 32. Welchen Gang hat danach die Untersuchung hei der Asymp-totenbestimraung der Kurve:

yi — 2y²x — yx² -|- 2a;² -\-y² — 6xy -\-ox² — 2y -\-2x -\-\ — 0

genommen ?

Antwort. Aus der Kurvengleichung III. Grades bildete man das Aggregat der Glieder III. Grades, nämlich:

y⁸ — 2y-x — yx² -j- 2x⁸;

dieses wurde durch x³ dividiert, wobei man : erhielt. Nun setzte man — = m und bildete die Gleichung:

ni⁸ — 2 m² — m2 — 0.

Die Wurzeln ml, m₂ und m.A dieser Gleichung ergaben die Richtungen der Asymptoten Y=mX-\-n. Um den Wert von n{ (i = 1, 2, 3) für eine derselben zu finden, setzten wir in die Kurvengleichung y = x -f- % ein ; dabei entstand eine in x kubische Gleichung (i = 1, 2, 3); der Koeffizient von x⁶ wurde null und n berechneten wir dadurch, dass wir den Koeffizienten von x² ebenfalls null gleich setzten. Der so gefundene Wert wurde dann schliesslich in die Gleichung der Geraden Y = mX-j-n eingesetzt und dadurch die Gleichung der Asymptote ermittelt.

Frage 33. Es sei F (x, y) eine

ganze rationale Funktion vom rten Antwort. Eine Asymptote ist eine Grad in x und y. Wie können die gerade Linie, ihre Gleichung wird daher Asymptoten der Kurve F(x, y) = 0 ge- die Form Y=mX-\-n haben. Diese funden werden?    Gerade muss nun, um Asymptote zu

sein, mit der Kurve einen Punkt P mit den Koordinaten x und y gemeinschaftlich haben, ferner muss dieser Punkt P im Unendlichen liegen, also (im allgemeinen) x ■= oo und y =■ ■*> sein ; endlich muss die Gerade in diesem unendlich fernen Punkt die Kurve berühren oder anders ausgedrückt, noch in einem zweiten Punkt treffen, der aber mit dem vorigen Punkt P im Unendlichen zusammenfällt.

Weil der Punkt P (x, y) der Kurve und der Geraden angehören muss, hat

man für x und y die Bedingungs-gleicliungen F (x, y) — 0 u. y — mx -f- n. Die letztere ergibt:

y n ni = ----.

Nun soll aber P im Unendlichen liegen, oder x = <x> sein; daher muss m gleich dem Grenzwert angenommen werden,

dem sich — — — nähert für x = also:

./•

m = Limes

X = 00

weil aber — für x = oo verschwindet,

iC    ⁷

so folgt einfacher:

= Limes

x

Diesen Grenzwert können wir nun aus der Kurvengleichung F(x,y) = 0 herleiten. Wir ordnen dieselbe, indem wir zuerst die Glieder vom Grade r, dann jene vom Grade r — 1 u. s. f. zusammenfassen ; dadurch erhält F(x, y)—0 die Form:

D • • • F fait) = aoZ-ffl,/'1 7/ + ö₂*i’_2y² + + \ xł 1 -(- fc, x‘ ‘ y -f b₂ x‘ ³ y² -j-+ c₀ xr~²-\-cl xr~s y +

+ «,._!*/ ¹ + ar yr + K_₂xyr-² + br_₁yr~¹

+ Cr-SX1/ ³ +Cr-2*f    ²

+ îo * + îi y

+ konstantes Glied — 0.

Dividieren wir nun das Ganze mit xr durch, so folgt:

+ł[⁶»+>'(i)+i=(l)²+---

+MCo+c’©+c’©

•er

+h-

xr

-\--• konstantes Glied = 0.

xn

Nehmen wir nun x unendlich gross an, wobei Limes — in m übergeht, so

wird unter der Voraussetzung, dass dieser Grenzwert endlich ist, der ganze

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

vorige Ausdruck sich vereinfachen und übergehen in:

H-----h°V-i

(£r+».(£r=-

denn die erste Klammer: hat, weil Limes — endlich ist, ebenfalls

X

endlichen Wert; wird derselbe mit —

multipliziert, so hat das Produkt den Wert null; das Gleiche gilt von sämtlichen nachfolgenden Gliedern, welche also alle wegfallen. Zur Berechnung von m dient demnach nur die Gleichung:

2) . . . armr -j- at___₁mr~¹-\-at__₂mr~²-}-----f- ax m -f a₀ = 0.

Ist ml eine der r Wurzeln derselben und setzen wir diesen Wert für m in die Gleichung der Geraden Y= mX-\-n ein, so dass wir die Gleichung:

3) . . . Y — tnxX-\-7i

erhalten, so bleibt immer noch n zu bestimmen übrig; denn ml gibt uns nur die Richtung der Geraden:

Y — mx X -}- n

an, welche die Eigenschaft hat, die Kurve in einem unendlich fernen Punkt zu schneiden. Wir suchen nun die Punkte zu bestimmen, in welchen die Gerade Y— m₁X-\-n bei beliebigem Wert von n die Kurve schneidet.

Die Koordinaten (x, ij) eines solchen Schnittpunktes haben die beiden Gleichungen F(x, y) = 0 und ij = mxx-\-n zu befriedigen; setzen wir y = mxx-\-n in die erste Gleichung ein, so enthält F(x, mxx-\-ri) = 0 nur noch die Unbekannte x. Dabei bekommen wir:

F(x, mxx -f- n) — a₀xy -f- axxr 1 (nixx -(- n) a₂xr

Oi x -p ti)- -(-•••

+ ar—ix ("’i* + «)’ “ ¹ + « .Oix -p n)r

-f- b₀xr 1 ~p xr 2 (»»ix -f- n) -f- b₂xr 3 Ojx -p n)- -}-•••

Oi x -p n)r

+ K - 2 x * + nT ~ ² + K

-p c₀P ² -p c, x¹ 3 (mxx ~p ii) ~p c₂xr~⁴ (mxx -P n)- -)-•••

+ <v _ 3 X Ol X -p nf — 3 + Cr _ 2 Oi x -P n)r - ²

Oîo^ + îi Oix ~p n) + konstantes Glied = 0 oder geordnet:

xy [«₀ + fl,?)!, + a₂w,2 + a,w,3H-----T <_1 + af.*Mi’’]

4~ P'— 1 [a,n -f- 2«₂n -f- 3a₃w + • • • + (r — 1) ar_₁ n + ray n + b₀ +    ł,'\ H⁻ V”i² +“•

+ &r_₂V² + &r-l V"¹]

-f xr~² [a₂n²4-3o₃mi«²4- ••• 4" VH----+co + cimi+ **• + <v_₂»V_2]

= 0.

Diese Gleichung vom r ten Grad in x liefert nun r Werte für x\ d. h. die Gerade Y= myX-\-n schneidet die gegebene Kurve in r Punkten. Da aber Wj so gewählt wurde, dass der Koeffizient von xr, nämlich:

a₀ -f- a, m, -j- «2mi² + • • • + «rW?/

verschwindet, so ist eine dieser r Wurzeln unendlich gross oder die Gerade Y = m₁ X -j- n schneidet die Kurve in einem unendlich fernen Punkt, dem früher erwähnten Punkt P. Soll die genannte Gerade aber in P berühren, so muss noch ein zweiter Wurzelwert unendlich gross werden; die Bedingung dafür ist, dass auch der Koeffizient von xr-i verschwindet; es muss demnach auch :

«,« + 2a₂n + 3asn -j- • • • -\- (r — 1) ay_₁n-j-ra₎.n + b₀ -f- b₁m + b₂+ b₃ mp -f- ...

sein. Soll demnach die Gerade:

Y= m₁X-j-n

eine Asymptote der Kurve darstellen, so hat man der Grösse n den Wert beizulegen:

4) ...    =

b₀ -\-b₁m₁-f- b₂mp-\-    br_lmlr

a\ + 2«₂ -f- Baa -p • • • 4~ r'xr

Zu jedem der r Wurzeln ą, m₂ - • *mr der Gleichung 2) gehört ein besonderer Wert von n, der sich, wie vorhin gezeigt wurde, aus Gleichung 4) berechnet, wenn nach einander ml durch m₂, m₃ u. s. f. ersetzt.

Frage 34. Welches ist darnach die Methode der Asymptotenbestimmung bei algebraischen Kurven, deren Gleichungen ganze rationale Funktionen von x und y sind?

Antwort. Ist die Kurvengleichung vom rten Grad, so hat die Kurve r Asymptoten (von denen aber einige imaginär sein können). Man nimmt aus ihr das Aggregat der Glieder höchster, also r ter Ordnung:

«₀P⁻-f «i»’'“¹ y4-----i xÿ-xYyr

heraus; dividiert dasselbe durch xr, setzt darin — = m und bestimmt

X

m aus der Gleichung:

a₀ -j- öj m -f- a₂m² ----+ l mr~ ¹ -f- ar mr — 0.

Ist m eine Wurzel dieser Gleichung, so setzt man y — mx-\-n in die Gleichung F(x, y) — 0, entwickelt nach Potenzen von x und nimmt den Koeffizienten von xr~1 gleich Null an. Dadurch gewinnt man die Bestimmungsgleichung für n. Die Asymptote hat dann die Gleichung Y=mX-\-n.

Aufgabe 152. Bestimme die Asymptoten der Kurve :

x⁵ ~\~y³ — ^ axy — o (siehe Aufgabe 151).

Auflösung. Das Aggregat der Glieder des höchsten Grades, nämlich des dritten ist hier x³-\-y³\ wir bildeten daher:

x$Ą-yZ

w, =

setzen — = m und suchnn m aus der Glei-

./•

chung 1 -f- m³ = 0. Letztere gibt : 1 1

— 1, m₂ — — I — y 3 • î, m

» - ~2~ T * *

Daraus ersehen wir, dass die Kurve nur eine reelle Asymptote Y——X-\-n hat; die beiden andern sind imaginär. Wenn y — — x -j- n in x³ -f~ y³ — 3 axy = 0 eingesetzt wird, folgt:

0-xs -J- 3a;² (m -)- o) — 3 n x {x -J- a) -j- rfi = 0 der Koeffizient von x² gleich Null gesetzt, gibt n = — a ; d. h. die Gleichung der Asymptote lautet Y = — X — a.

Aufgabe 153. Desgleichen für:

a3 — x-y — xy²y³ \ x²-\-y 1_0.    Auflösung. Aus x³ — x²y — xy²-\-y³

(Beuschle, Praxis d. Kurvendiskussion p. 116.) bilden wir:

G³ - *°-y - *y*+y‘) ■ *³ = i - % - (fj + (f)

y_

= m bestimmen wir m aus : 1 — m — m² -{- m³ = 0

und erhalten:

m₁ = — 1, m₂ = -J- 1 und ms -)- = 1. Wird y = — x -j- n eingesetzt, so erhalten wir :

0• x³ -j- 2 (2n -j- 1) x² — 2m (2m -f- 1) x -}- m³ -J- m² — 1 =0,

der Koeffizient von x² verschwindet, wenn

wir

-X

-/

Pi

Figur 51.

Ae'

+Y

+/

-¹/*

-7

annehmen. Die erste Asymptote besitzt daher die Gleichung:

-x-4

~2’

p, ⁺X

0,76    ! + /

Die Gleichheit von den beiden Wurzeln und ni₃ deutet darauf hin, dass in der Dichtung der Geraden Y = X-\-n zwei unendlich ferne Punkte liegen. Setzen wir y = x -j- n in die Kurvengleichung, so liefert uns diese:

0 • x³ (0 • n -j- 2) a:² -)- 2 n (n    1) x

-f- »³ -|- n² — 1 = 0. Unsere Bedingung für n ist daher:

0 • n 2 = 0 oder n — oo .

Die zweite Asymptote — und weil wir für m = 1 nur einen Wert für n erhielten — auch die dritte Asymptote haben beide die Gleichung :

Y — X+oo

d. h. sie fallen beide ins Unendliche oder die unendlich ferne Gerade hat mit der Kurve eine doppelte Berührung in der Richtung der Geraden Y — X.

Frage 35. In welchem Fall versagt das vorige Verfahren?

Antwort. Dasselbe beruht auf der Annahme, dass die Gerade Y = mX-\-n die Kurve in einem unendlich fernen Punkt berühre, dessen Abscisse x unendlich gross ist.

Diese Annahme ist aber nimmer zutreffend für eine Asymptote, welche auf der Abscissenachse senkrecht steht, für welche daher m = a> ist.

Hat also die Gleichung 2) in Frage 33, welche uns m liefert, eine unendlich grosse Wurzel, so muss die genauere Lage der betreffenden Asymptote auf andern Wege ermittelt werden.

Frage 36. Wie können die zur Abscissenachse senkrechten Asymptoten gefunden werden?

Antwort. Hat die Gleichung 2) für m eine unendlich grosse Wurzel, so muss die zugehörige Asymptote, weil sie zur Ordinatenachse parallel geht, eine Gleichung von der Form X = q besitzen und die Kurve im Punkt x = q und y — oo berühren. Zur Bestimmung von q führen wir in der Kurvengleichung F(x, y) — 0 die Substitution x = q durch und lassen y unendlich werden, aus der dadurch entstehenden Gleichung kann dann q gefunden werden.

Aufgabe 154. Bestimme die Asymptoten der Kurve:

x²y -j- xy² — a³ = 0.

Auflösung. Die Glieder x-y und xy2 sind beide vom III. Grad, die Kurve daher auch vom III. Grad ; wir ergänzen die fehlenden Glieder dieses Grades und bilden so das Aggregat:

Oxs -j- x²y xy² -}- 0-y³; aus diesem folgt durch die Division mit x⁷“.

Figur 52.

+Y

3    °-1i

Setzen wir jetzt ~ — m, so erhalten wir

für m die Bestimmungsgleichung :

0 • m³ -f- m² -j- tu = 0 und aus ihr die Wurzeln:

m₂ = 0, ms — — 1.

o,zz

— oo

Führen wir in die Gleichung:

-3 Az *    0

A,

+x

0-x³ -(- x²y -j- xy* -f~ Oy³ — a³ = 0 die Grösse y = vnx-\-n ein, so bekommen wir:

■*2

Pi

0,3    1,7

0,01

3,9

-J,-----

0 • Xs -|- nx² (2 m -f-1) -j- n² x — a³ = 0 Für m₂ = 0 gibt das seith. Verfahren n₂ = 0.

n₃ = 0.

Die Kurve besitzt demnach die beiden Asymptoten Y = 0, d. h. die Abscissenachse und Y = — X, d. h. die Gerade, welche den Winkel zwischen der negativen Abscissenachse und der positiven Ordinatenachse halbiert. Der Wert ml == oo deutet endlich noch auf eine dritte Asymptote, welche auf der Abscissenachse senkrecht steht und eine Gleichung von der Form X — q haben muss. Setzen wir x = q in x^y^-xy* — a³ = 0 ein, so folgt q²y-\-qy²— a³ oder durch y2 dividiert :

q² a³

,-T“V

— = 0.

Für y = oo geht diese Gleichung über in q = 0 ; d. h. die dritte Asymptote fällt mit der Ordinatenachse zusammen.

Uebungsbeispiele.

Aufgabe 155.

xy² — x -{- 2y — 1    0.

Auflösung. Die Kurve hat 3 Asymptoten; deren Gleichungen sind:

y = -f- 1, y — — 1 und x — 0.

Aufgabe 156.

x³ — 2 xy —y = 0.

Auflösung. Die Kurve hat zur Asymptote die Gerade x = —

Aufgabe 157.

x⁴ — ax²y — axy- -j- a²y² = 0.

Auflösung. Die Kurve hat zur Asymptote die Gerade x = a.

Aufgabe 158.

y⁴ — 96 a²y- -j- 100a²#² — x± — 0 (Teufelskurve).

Auflösung. Die Kurve hat die beiden Asymptoten y — -]- x und y — — x.

Aufgabe 159.

1 /« —X

a\ ~x*~'

Auflösung. Die Ordinatenachse ist Asymptote der Kurve.

Weitere Beispiele folgen später.

3) Bestimmung der Asymptoten in Polarkoordinaten.

Frage 37. Wie lässt sich bestimmen, ob eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve r = f(Q) Asymptoten hat?

Figur 53.

Pf

4'

Antwort. Hat die Kurve einen (oder mehrere Punkte) im Unendlichen, z. B. den Punkt Px, so ist der zu P1 gehörige Badius vektor OP₁ = r₁ unendlich lang und wir werden den Winkel ©1} den OPx mit der festen Geraden OX bildet, erhalten, wenn wir in der Polargleichung r — /'(©) für r den Wert

oo (oder für ~ den Wert 0) setzen. Ist

aus dieser Gleichung der Wert von Gx gefunden, so bestimmen wir nun die Länge der Polarsubtangente t? der Tangente QPX in Px ; d. h.:

OQ -- t* — r²•    für

wobei OQ _L OPx sein muss(s. Frg. 26).

Dann ist hier tt* zugleich die Länge +x des Lotes vom Pol 0 auf die Asymptote in Px und Qx der Winkel, welchen die Asymptote mit der festen Geraden OX bildet, denn liegt Pt unendlich fern, so ist die Tangente PQ || PxO und da OQ als Polarsubnormale _L 0PX ist, so muss auch 0Q1_PXQ und AVinkel PxRX= PxOX = ©t werden. Fällt nun der Wert für t* endlich aus, so hat die Kurve eine Asymptote, dagegen besitzt sie keine, wenn t* = oo oder wenn t* imaginär ist. AVir zeigen dies an folgenden Beispielen.

fr— oo

Aufgabe 160. Zu untersuchen, ob der durch die Polargleichung :

Auflösung. In der Gleichung:

1 -|- ecos®

gegebene Kegelschnitt Asymptoten hat.

1 -J- ecos®

wird r unendlich, wenn der Nenner

1 ecos® — 0 oder cos® — —

— ist.

h* =

Mit den obigen Bezeichnungen haben wir für den unendlich fernen Punkt I\ mit den Polarkoordinaten rx und ©t die Werte rx — x>,

Aus:

©, = arc ^cos = —

bilden wir:

r-d©

r2

ł>

dr

pesin&

d@ (1 —j— e cos&)-

dr    dr esin&

Hb c V^l — cos² ®

für © = ©, = —folgt der spezielle Wert:

v -

d&

i + Y &²—i

Daraus ersehen wir, dass die Subnormale t * imaginär ist, wenn e <C 1, d. h. wenn der Kegelschnitt eine Ellipse ist; weiter wird tt* unendlich, wenn e = 1 angenommen, d. li. wenn der Kegelschnitt eine Parabel ist. Ellipse und Parabel haben daher keine Asymptoten. Wenn e > 1 ist, so bekommen wir zu r — co aus:

cos & — —

oder aus:

sin © = +

zwei Winkel ©i und ©₂ = — ©, und für tt* zwei gleiche aber entgegengesetzte Werte

und —

Ye? — 1

Y e² — l'

welche beide reell sind. Hiernach gelangen wir zum Schluss, dass die H3rperbel zwei reelle Asymptoten haben muss.

Aufgabe 161. Es soll die Asymptote der Conchoide, deren Polargleichung:

Auflösung. Aus: r =

sin ©

ist, gefunden werden (siehe Aufgabe 146 und Figur 45.

sin©

schliessen wir, dass r unendlich gross wird für sin © = 0 ; d. li. wenn © —0° (oder = 180°) ist. Da ferner:

_ (b -J- a sin ©)²

K* =

ist, so erhält t* für © = 0 den Wert b, somit ist die Gerade g Asymptote der Kurve.

b cos ©

Aufgabe 162. Es soll die Asymptote der Cissoide gefunden werden, deren Gleichung:

#3 — y2 (2 a — X)

ist (siehe Aufgabe 9 und Figur 11).

Auflösung. Wir bilden mit x = rcosO, y = r sin © zuerst aus der gegebenen Gleichung :

x {x²    y²) = 2ay²

die Polargleichung und erhalten:

r cos © = 2 a sin² ©

oder :

2 a sin² © cos ©    ’

hieraus ersehen wir, dass r unendlich wird für cos © = 0, d. li. für © — 90°. Für die Polarsubtangente liefert die Rechnung:

und © = 90°

2 a sins©

1 -j- cos² ©

ergibt den speziellen Wert tt* — 2 a. Die Asymptote geht demnach in der Entfernung 2 a vom Koordinatenumfang auf der Ab-scissenachse senkrecht.

Uebungsbeispiele.

Aufgabe 163. Die Asymptote der hyperbolischen Spiralen, deren Gleichung    Auflösung. Es wird r, = oo für ©, = 0

r©—c ist, soll bestimmt werden (siehe    — c. d. li. die Kurve hat eine Asymp-

Aufgabe 141 und Figur 43).    tote, welche der festen Geraden OX parallel

geht in der Entfernung c vom Punkt 0.

r = Yi

Aufgabe 164. Ebenso für den Lituus dessen Gleichung:

ist (siehe Aufgabe 143 und Figur 44).

Auflösung. Es wird rt = oo für ©t — 0 ; für diese Werte wird t* = 0; die Achse OX ist daher die Asymptote.

ist.

Aufgabe 165. Ebenso für die Kurve, deren Gleichung:

r — a {tg © —- 1)

Auflösung. Die Kurve hat zwei Asymptoten in der Entfernung a vom Pol in den Richtungen ©t = 90° und ©₂ = 270°.

Aufgabe 166. Ebenso für die Kurve, deren Gleichung:

r² — a²-

sin³ ©

cos&

ist.

Auflösung. Die Ordinatenachse ist eine Asymptote.

a cos² ©

cos@

Aufgabe 167. Ebenso für die Kurve, deren Gleichung:

r =

ist.

Auflösung. Die Kurve hat zur Asymptoten eine Gerade, welche in der Entfernung — a auf der festen Achse OX senkrecht steht.

cos²©

Aufgabe 168. Ebenso für die Kurve, deren Gleichung:

ist.

Auflösung. Die Kurve hat zwei Asymptoten, welche die feste Achse OX unter den Winkeln ©x = 45° bezw. ©₂ = 135° schneiden in den Entfernungen bezw. —-|-vom

Aufgabe 169. Ebenso für die Quadratrix des Dinostratus, welche die Gleichung:

Auflösung. Setzen wir:

— = ta& und x — r cos 0, x

hat. (Figur und nähere Erklärung folgt bei s0 folgt die Polargleichung: den Wendepunkten.)

cos 0.

r wird oo für 0 = + ip +'^> + -g-

u. s. w.

•0-4?)

2a

sin 0--cos 0

71

nimmt hiermit die Werte an +2a, + 4a, + 6 a u. s. w. Die Kurve hat also unendlich viele Asymptoten, welche auf der Ab-scissenachse senkrecht stehen.

V. Pol und Polare.

Frage 38. Es sei wie in Frage 17 F(x, y) = 0 die Gleichung einer algebraischen Kurve vom Grade n eine ganze Zahl bedeutet und X₀, F0 seien die Koordinaten eines ganz beliebigen Punktes P₀ der Ebene. Kommt dann der dort gefundenen Gleichung: dF {dF

•y - ^

auch eine geometrische Bedeutung zu? in der Form:

wo n

dF

dy

dF

3)-. -g-*.!

dF

dy

r.) = o

Antwort. Schreiben wir :

1) . . . F{x,y) = 0

F (x, y) — 0 — un + »„_! + w„_₂ G * • • + ui + wo>

wobei un das Aggregat der Glieder wten Grades, un—i das Aggregat der Glieder n — 1 ten Grades u. s. f. sind, so kann, wie in Frage 17 ausgeführt worden ist, die Gleichung:

dF (dF    dF

dF

dx

dy

dy

• r#) = o

in die Form: d F

To -\-un _ j -j- 2mw_₂ + 3wn_₂ + • • • + (n — 1    = 0

gebracht werden.

Da nun vorausgesetzt wurde, die Gleichung F (x, y) — 0 sei vom n ten d F d F

Grad, so sind    vom Grad n — 1

in x une? y ; daraus ersehen wir, dass die ganze Gleich. 2) bezw. 3) vom Grad n — 1 ist. Dieselbe stellt also geometrisch eine neue Kurve vom Grad n — 1 vor. Aus

S'J

Frage 39. Was versteht man unter dem Pol und was unter der ersten Polaren bei einer algebraischen Kurve n ten Grades? (n eine ganze Zahl.)

dF

dF

dy

der in Frage 16 gegebenen Entwicklung ist ersichtlich, dass die Koordinaten x, y jedes Berührungspunktes einer vom Punkt P₀ an die Kurve F(x, y) — 0 gezogenen Tangente der Gleichung 2) Genüge leisten; wir schliessen hieraus, dass die durch die Gleithung 2) dargestellte Kurve durch die n (n — 1) Berührungspunkte gehen muss, welche die von P₀ an F(x, y) — 0 gezogenen Tangenten ergeben (siehe Figur 17). Wir können aber für ganz beliebige Werte X₀, Y₀ die Gleichung 2) bilden ganz unabhängig davon, ob von dem zugehörigen Punkt P₀ mit den Koordinaten Xt reelle Tangenten an die Kurve möglich sind oder nicht und dann die zum Punkt P₀ gehörige und durch die Gleichung 2) bestimmte Kurve n — 1 ten Grades untersuchen. Zu diesem Zweck führen wir zwei neue Begriffe ein.

Antwort. Es seien Xn, Y₀ die Koordinaten eines beliebigen Punktes P₀ der Ebene und

F (x,y) — unY un_,x -j-un_₂-l-----h “i + “₀ = 0

die Gleichung einer Kurve n ten Grades. Dann sagt man, es sei der Punkt P0 der P o 1 und die Kurve n — 1 ten Grades :

W +    +    2 + 3w„_₃H-----PO— l)«M_₁ + ««₀ = 0

die zu P₀ gehörige erste Polare bezüglich der gegebenen Kurve n ten Grades F (x, y) = 0. Sind vom Pol P0 reelle Tangenten an die Kurve n ten Grades möglich, so geht die Polare durch die n (n — 1) Berührungspunkte.

Aufgabe 170. Die Gleichung der Polaren zu finden für den Pol P₀ (W₀, F₀) bezüglich des Kreises:

x'² -Y y² — r2 = 0.

Auflösung. Aus :

F (x, y) — x² -j— y² — r² — 0

ziehen wir:

BF

Sx = ²*-

dF

— 2 y, Uo — x² -j- y², u₁ — 0, u₀ = — r²\

daher lautet die Gleichung der Polaren: 2xX₀-\~2 yY₀ — 2r² — Q

X,x-Y YGy r² = 0;

die Polare ist also eine gerade Linie

dy

oder:

Erkl. 55. Die Theorie der Kreis polaren findet der Leser ausführlich behandelt inKleyer-Sachs, Lehrbuch der Geometrie und Cranz, Lehrbuch der analytischen Geometrie, II. Teil.

Aufgabe 171. Die Gleichung der Polaren zu finden für den Pol P₀(X₀, F₀) bezüglich der Parabel:

y- — 2 px.

Nehmen wir den Pol auf der Abscissenachse an, also F₀ = 0, so erhalten wir einfacher:

r²

V

d. h. eine auf der Abscissenachse senkrechte Gerade.

Für X₀ — 0, Y₀ = 0 folgt x — qo ; d. h. der Kreismittelpunkt hat zur Polare die unendlich ferne Gerade. Für X₀ ^ ®} Y₀ = 0

ist offenbar    oder die Polare liegt

ausserhalb des Kreises. Für X₀ = r, F₀ = 0. wobei P₀ auf den Kreis fällt, nimmt auch x den Wert r an; d. h. die Polare fällt mit der Tangente in P₀ zusammen und geht in diesem Fall durch ihren Pol. Für X₀>r, Y₀ = 0, d. h. für einen Pol ausserhalb des Kreises wird x < r oder die Polare schneidet den Kreis. Endlich liefert X₀ = oo, d. h. der unendlich ferne Punkt der Abscissenachse die Polare x = 0, oder der zur Abscissenachse senkrechte Durchmesser ist die Polare ihres unendlich fernen Punktes.

Auflösung. F(x, y) = tf-—2px = 0 liefert :

dF

dF

Sy

= 2 y,

«2 = y\ U1 = — 2px, Uq — 0;

daher folgt als Polarengleichung :

— 2pX₀-\-2Y₀y — 2px = 0

Erkl. 56. Da für einen Kegelschnitt die

Gleichung F(x,y) = 0 vom zweiten Grad ist, so oder die Gleichung der Geraden: ist die Gleichung der Polaren für jeden Kegelschnitt vom ersten Grad; die Polare ist daher für diese Kurven eine gerade Linie.

Näheres über die Polaren der Parabel, Ellipse und Hyperbel wolle der Leser nachschlagen in für die Koordinate des Brennpunktes folgt : Cranz, Analytische Geometrie.

Der Leser wird gebeten für die Aufgaben 170, 171, 172 und 173 nachzuschlagen Aufgaben 1, 6, 7 und 8.

Px — Y₀y-\-pX₀ = 0.

Für den Pol X₀ =

_ P_

dies ist aber die Gleichung der Direktrix; in der Parabel hat demnach der Brennpunkt zur Polare die Direktrix.

Aufgabe 172. Wie lautet die Gleichung der Polaren des Pols P₀(X₀, Y₀) bezüglich der Ellipse:

y-

«2 fc2 1    0 •

(Siehe Figur 32.)

Auflösung. Weil hier:

F(*,s,₎ = ^r + -|r-¹ = o

ist, so haben wir:

SF

2a:

dx a² ’

2y _ x-    ij2

62 ’

Mj — 0, Uq —    1 ,

die Polarengleichung ist hiernach:

2 ¥₀y

62

«2

Aufgabe 173. Desgleichen bezüglich der Hyperbel :

X²

a²

y2 1 = 0

b²

(siehe Figur 54).

Aufgabe 174. Bestimme die Gleichung der ersten Polaren des Punktes P₀(X₀ = — 1, F₀ = — 1) in Bezug auf die Kurve : x² y -j- y² — x — 0.

Figur 54.

"4

+Y

-3

'\-UjPo

/Q

^-i-x

X -1 \

-3

,łV.>

oder einfacher:

X x

Xy

a²

b²

i = o.

Auflösung. Gerade wie oben folgt:

X)x

Y,,y

«2

b²

1 = 0.

Auflösung. Die Kurvengleichung :

F (x, y) — x² y -j- y² — x — 0

ergibt :

w:i —    «₂ = y².

= —X, u₀ ~ 0 ;

— x²-\-2 y\

₇₅- = 2*„-l,

daher lautet die Polarengleichung :

(2 xy - 1) X₀ + (x* + 2 y)Y₀ + y² _ 2a; = 0 oder mit den gegebenen Werten für X₀ = — 1 „ und Y₀ — — 1 :

x²-j-2xy — y² -j- 2x -J- 2y — 1 = 0.

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, Rx I\ S\ R₂ P₂ S₂, welche die gegebene Kurve +X dritten Grades in den beiden reellen Punkten Px und P₂ schneidet; die vier anderen Schnittpunkte sind imaginäre. Von P₀ gehen demnach an die gegebene Kurve die beiden reellen Tangenten P₀ Px und P₀ P₂ (siehe Figur 54). Für die Hyperbel ist S\ S₂ die Polare des Punktes P₀.

dy

Frage 40. Wie lautet die Gleichung der ersten Polaren in homogenen Koordinaten ?

Antwort. Es habe die vorgelegte Kurve in homogenen Koordinaten die Gleichung:

l*) . . . f(xx, x₂, xf) = o

Dann

und die Koordinaten des Pols P₀ seien mit Xx*, X₂*, X* bezeichnet, müssen zunächst die Koordinaten xx, x₂, x₃ eines Berührungspunkts jedenfalls der Gleichung 1*) Genüge leisten. Ferner müssen die Koordinaten xlf x₂, x₃ eines Berührungspunkts und jene des auf der zugehörigen Tangente liegenden Punktes P₀, d. h. X*, X*, X*, gleichzeitig die allgemeine Tangentengleichung :

Sf

-vr-Xx +

df

dxx

X-f

Sf

SX s

X₃ = 0

befriedigen (siehe Frage 13). Daraus folgt, dass zwischen den genannten sechs Koordinaten die Beziehung erfüllt sein muss:

2*) . .

df

xp-f

Bf

dx₂

X₂* +

Bf

-x* = 0.

dxl

Ist nun wie seither der Punkt If ein

Bx?,

*°

fester, so haben Xp, X*, X* bestimmte Werte, während die Koordinaten x₂, x?> veränderlich sind. Ist die Gleichung 1*) vom wten Grad, so hat die Gleichung 2*) offenbar den Grad n — 1 in den Veränderlichen xl} x₂ und x₃ ; d. h. sie stellt die Gleichung einer Kurve n — 1 ten Grades dar, welche durch die n (n — 1) Berührungspunkte geht; sie ist also die Gleichung der gesuchten Polaren, welche zum Pol X*, X*. Xp bezüglich der gegebenen Kurve gehört.

«11 «'l h ² «12 «h «^2 + «₂₂ «^ + ² «13 *1 «"3 X ² «23 *2 *3 + «33 Xł - ö.

(Siehe Aufgabe 23.)

Aufgabe 175. Man bestimme die Gleichung der Polaren des Punktes X,*, Xp, X₃* in Bezug auf den Kegelschnitt :

Auflösung. Die Gleichung der gesuchten Polaren lautet offenbar:

(«n x₂ -j- o₁₂ x₂ -p o₁₃ x₃) Xp -p (ö₂i «h ~p «22 «2 ~p «23 «A X₂* -)- («₃₁ xj -p aS2 x₂ -p ctS3 x₃) X* — 0,

wenn aik = aki angenommen ist, oder anders geschrieben erhalten wir als Gleichung der gesuchten Geraden:

(«ii X,* + ols X₂* -p «₁₃ X*) x, + («₂₁ X,* + a₂₂ X₂* + a.2S X*) x₂

-p («₃₁ Xp -p cr₃₂ X₂* -p «₃₃ Xp) xs — 0.

Aufgabe 176. Ebenso in Bezug auf die Kurve III. Ordnung:

f (xi i x2 5 Xs) — «112 «'P ~p 3 ft, j2 xt² x₂ -p 3 öj₁₃ x^ - x₃ -p 3 ćłj₂₂ x₂ x₂ p 6 OSj₂₃ x₁ x₂ x₃ -p 3 0fj₃₃ x₂ xff -p ö₂₂₂ X£> -p 3 ö₂₂₃ x.,- x₃ -p 3 a₂₃₃ x₂ x₃² -p a3S3 x₃~.

Bf

d xl

Auflösung. Hier wird :

⁼ 3 (öf 111 xi“ -f* ²«!12«h «2 “P ² «118 «h «'S “P «122 "P ² «123 «*2 «'S "P «133 «'S⁻);

Bf

— 3 (O112 x\~ “P ² «122 «'l «^2 “P ² «123 X\ «*8 ~P «222 «P "P ² «223 X2 X3 "P «238 «'S²):

Bx 2

ß x —■ 3 («lis «P "p ² «123 «h «^2 + ² «133*1 XS "P «228 «^2 P ² «233 «^2 X3 “P «333 «PP

Geordnet und mit 3 durch di vidiert erhalten wir als Gleichung der Polaren des Punktes X* Xp X₃* :

(«111 Xp -P «n2 X₂* -p «₁₁₈ X*) x* + 2 (otj,2 X* + a₁₂₂ X₂* + «₁₂₃ X₃*)^1 X2

“P ² («113 X, p «]23 X₂* -p ö₁₃₃ X₃*) xx x₃ -p (»J22 Xj* -p «222 X*2 -p ö₂₂3 Xp) X<,~

~P ² («123 A* -p fl₂23 X₂ * “p «233 Xg*) Xç X₃ -p («₁₈₃ X, ' -p «₂₃₃ X₂* -p «g₃₃ Xg*) X₃² — 0.

Man nennt diesen Kegelschnitt auch die konische Polare des Punktes P₀ in Bezug auf die gegebene Kurve dritten Grades. Ueber ihre Eigenschaften siehe Cranz, Analytische Geometrie.

Bf

Bf

X* = 0

²*> • • •

öx₃

Frage 41. Nach welcher anderen Methode kann man für eine Kurve F (x, y) = 0 in Cartesischen Koordinaten x und y die Gleichung der Polaren zu einem gegebenen Pol X₀, Y₀ auch noch erhalten ?

Antwort. Wie in Frage 14 bildet man aus F(x,y) — 0 zuerst die homogene Gleichung:

1*) . . • f (#!, #2 ) *^s) — 9 ; dann bildet man aus der letzteren die Polarengleichungen :

Bf

8 x₂

und setzt hierauf in der letzteren:

*x = x, x₂ = y, x₃ = 1 ; Xx* = Xa, X* = F₀ und X₃* = 1.

Hiebei kommt man dann auf die Gleichung :

3F

2a) . . .

3y

Y₀ + Un-1 + 2un-2 H-----1* (» — 1) «2 + « U0 =

wenn in F(x, y) = 0 w„_i die Gesamtheit der Glieder n — 1 ten Grades, nn-2 jene n — 2 ten Grades u. s. w. ist. Zur Erläuterung diene folgendes Beispiel :

Aufgabe 177. Bestimme die Gleichung der Polaren des Punktes XQ = — 1, F₀ = — 2 für die Kurve :

F (x, y) = x⁹ y — xy³ -f- 2 y- — x — 0.

xt

Auflösung. Wir setzen x = —, y = —

in F(x, y) — 0 ein und multiplizieren mit x₃4 durch; dadurch erhalten wir:

f(xi, x₂, vs) ■— x³x₂ — x₁ xß -f- 2x²x² — x₁ x₃³ = 0

3f

Bf

und

gx — ‘3>xx-x₂ x.ß xß,    — xx" 3*x xß 4:Xt,xä-.

Bf

= 4*₂² xs — 3 *x xs-.

B x 3

Die Gleichung der Polaren ist hiernach in homogenen Koordinaten:

(3^2 *₂ — a?₂³ — x:?) X* -f (x* — 3*x *₂ -f 4*₂ x,f) X* + (4*₂2a:₈ — 3*x xß) X* = 0

und in Cartesischen Koordinaten:

(3*2y - ys - 1)X₀ + (x³ - 3xy² + 4y) Y₀ + 4y² - 3x = 0.

Demnach für X₀ = — 1 und Y₀ = — 2 : 2x³ -J- 3x²y — 6xy² — y³ — 4y² —j— 4y -J— 3x —1 = 0.

Uebungsbei spiele.

Auflösung.

3* -j- 2y ~ 20.

Aufgabe 178. Suche die Polare für den Punkt P₀ (X₀ = 4, Y₀ — 4) in Bezug auf den Kreis:

(X — 1)2 -f (y — 2)2 = 13.

Aufgabe 186. Beweise, dass bei jedem Kegelschnitt jede durch den Pol gehende Gerade die Kurve in zwei Punkten schneidet, welche zum Pol und zum Schnittpunkt der Polaren harmonisch liegen.

Aufgabe 187. Beweise, dass bei jedem Kegelschnitt die Polaren sämtlicher Punkte einer Geraden durch einen festen Punkt gehen, welcher der Pol dieser festen Geraden ist.

■—---♦■4'--

B. Der Lauf ebener Kurven.

I Das Steigen und Fallen.

Antwort. Gehen wir von einem beliebigen Kurvenpunkt P aus mit der Abscisse x und der Ordinate y so wird die Kurve in P steigen, wenn zu einer grösseren Abscisse x₁ = x -f- h

Aufgabe 179.

Ebenso für den Pol P₀ (X₀ = 4, Yq = 5) in Bezug auf den Kreis :

Auflösung.

x²-\-y2, — 3 a; — 4 y ~ 8.

Aufgabe 180. Suche die Koordinaten des Pols X₀, F₀ der Polaren A x-\-By-\-C — 0 in Bezug auf den Kreis;

x² y² — r² — 0.

5x -\-Qy — 48.

Auflösung.

X₀ = -

Ar²

Br²

Aufgabe 181. Suche den Koordinaten X₀, Y₀ des Pols der Geraden 3 a;+ 4 y = 7 in Bezug auf den Kreis:

x²-\- y² — 14.

Auflösung.

X₀ = 6, Y₀ = 8.

Aufgabe 182. Ebenso für die Gerade 2#-j-3«/ = 7 in Bezug auf den Kreis:

(x — 1)2 “I⁻ (y — 2)2 — 12.

Auflösung.

X₀ = -U, Y₀ = — 16.

Aufgabe 183. Suche die Gleichung der Polaren für den Pol X₀ = 5, F₀ = 4 bezüglich der Ellipse:

Auflösung.

4x² -f- 9y² — 36 = 0.

(Siehe Aufgabe 28 und Figur 32.)

5x -f- 9y — 9 = 0.

Ebenso für den Pol X₀ = 3, Y₀ = 2 bezüglich der Parabel: y² — 2x.

Aufgabe 184.

Auflösung.

x — 2y -f- 3 = 0.

Aufgabe 185. Ebenso für den Pol X₍₎ = 1, F₀ = — 2 bezüglich der Hyperbel :

L_ — 1

9    ¹

X²

Auflösung.

16

9a; -f- 32y — 144 = 0.

Frage 42. Wie lässt sich aus der Gleichung y = f(x) oder F(x,y) = 0 einer auf ein Cartesisches Koordinatensystem bezogenen Kurve beurteilen, ob die Kurve steigt oder fällt?

II. Die äussersten Punkte einer Kurve.

Frage 43. Wie erhält man die höchsten und tiefsten Punkte einer Kurve in Bezug auf die Abscissenachse, wenn die Gleichung der Antwort. Die Ordinate y₀ eines Kurve in der entwickelten Form höchsten Punktes P₀ ist verglichen mit x = f(x) vorliegt ?    den Ordinaten der links und rechts be

zogene

y‘ — f (*) —

und somit auch f‘(x) negative Werte. Wir schliessen darnach auf den Satz:

wo r den Neigungswinkel der Tangente gegen die positive Seite der Abscissenachse bedeutet.

Für positive Werte von y‘ ist der Winkel r

zwischen 0 und 90° gelegen, während negative __ f/r\

Werte von y‘ Winkel ergeben zwischen 90° ^ t    ly <

und 180°. Man findet nun leicht geometrisch y = t (x bestätigt, dass    die Kurve in P steigt, wenn    dagegen, solange    y'    — f¹ (x) nega-

0<T< 900;    dass Sie dagegen fällt, wenn    tive Werte hat.    (Siehe auch Diffe-

90'><r<180°    ist (siehe Figur 55). In den    rentiala-lpiohiino- TT    Teil    Satz ÖTT

Punkten P und    P₄ ist die Kurve steigend, da-    renuaigieicnung -U.    öatz öö.)

gegen in P₂ und P₃ fallend.

Die Kurve, deren Gleichung steigt solange v bleib : sie fällt

Erkl. 58. In dem nebenstehenden Satz ist von der Funktion y = f(x) oder F (x, y) vorausgesetzt, dass sie und ihre erste Ableitung endlich und stetig sei, wenigstens in dem Gebiet von x, welches dem zu untersuchenden Kurvenzweig entspricht.

Hat die gegebene Kurve die Gleichung F(x, ij) — 0, so bilden wir:

y‘ =

dF

dF

dy

und wenden dann den soeben ausgesprochenen Satz an.

A* \A₀*

V*

?/

Wj-d

Figur 55.

Po

p₂

eine grössere Ordinate yt = f(x-\-h) eines Punktes P‘ gehört und demnach i/] — y = f(x-\-h) — f(x) für einen noch so kleinen Wert von h positiv ist. Dann muss aber auch wegen des positiven h der Wert des Bruches: ffi — y _ f(x + h) — f(x)

+x

A.AĄ’ A₀

PaV'⁻ ,

Po"

Erkl. 57. Bekanntlich ist für clen Punkt P:

positiv sein und es auch noch bleiben für h = 0, d. h. es muss auch f‘{x) positiv sein. Dagegen wird die Kurve im Punkt P fallen, wenn die Ordinate =z    des Nachbarpunktes P'

mit der um h grösseren Abscisse xx — x -f- h kleiner als y — f (#) ist. Hiermit erhalten in diesem Fall für das gegen Null strebende h die Brüche :

Vx — u _ f(* + V) — fix)

Gerade schneidet die Kurve in zwei einen Wert der Veränderlichen x, welcher

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

zusammenfallenden Punkten. Zu dieser Klasse die Funktion y = f (x) ZU einem Maxi-von Punkten gehören nun nicht nur die hoch- mum oder Minimum macht, Dies führt sten und tiefsten Punkte C und C*, sondern auch die Wendepunkte mit horizontalen Tangenten (siehe Differentialrechnung II. Teil, Die Abscisse X₀ eines höchsten Figur 50 u. 51, Seite 150), sowie die Doppel- oder tiefsten Punktes der Kurve punkte und mehrfachen Punkte; alle diese be-    . \ - ,    n i„:

auf den Satz:

sonderen Punkte werden durch die nachfolgende V f ^ eine W*11 Z.e^ dei^ Glei-Bedingung ausgeschieden. Näheres darüber cllUllg f (x) = 0. Doch gehört X0 folgt in späteren Abschnitten.    nur dann einem Kulminations

Erkl. 60. Von der Funktion y = f (x) ist vorausgesetzt, dass sie nebst ihren in Betracht kommenden Ableitungen für x = x₀ u. s. w. schwindenden Differentialquo-endlich und stetig sei.    tien ten ungerader Ordnung für

x — x₀ negativ ist; andernfalls ergibt x₀ einen tiefsten Punkt der Kurve (s. Differentialrechnung II. Teil, Seite 151). Die zu x₀ gehörige Ordinate y₀ findet man schliesslich aus der Gleichung y₀ — f(x₀) der gegebenen Kurve.

punkt an, wenn der erste Differentialquotient von fix), welcher für x — x₀ nicht verschwindet, von gerader Ordnung ist. Nach Erfüllung dieser Bedingung liefert dann die Abscisse x₀ einen höchsten Punkt, wenn der Wert dieses nicht ver-

ist.

dy

Aufgabe 188. Untersuche den Lauf der Kurve, deren Gleichung y = x¹ — 6a:-j-10

Figur 56.

+Y

Auflösung. Aus der Kurvengleichung ergibt sich:

= 20 — 3 ) ;

10.-

u\

9\

8-

7-

= f (x) negativ für alle

Werte von x, welche kleiner als 3 sind; positiv a: > 3 und = 0 für x = 3. Daraus schlossen wir, dass die Kurve, welche von der positiven Ordinatenachse ein Stück = 10 abschneidet, fällt bis zum Punkt P₀*, dessen Abscisse x₀ = 3 und dessen Ordinate y₀ = 1 ist; für die letztere erhalten wir:

es wird also

6-

dy

dx

= tgx — 0.

« --

Die Tangente geht parallel zur Abscissen-= 2 ist P* ein

achse, und wegen

d²y

3--

Hm)

Po*

d²x

tiefster Punkt, von dem aus die Kurve steigt und zwar bis ins Unendliche. Es ist also P₀* der Scheitel der Parabel, von der wir leicht weitere Punkte erhalten können.

Setzen wir z. B. y = 5, so liefert die Kurvengleichung die Werte xx = 1 und

u=5 mi {7,=lsh,d

x₂ — 5, d. h. zwei Punkte der Parabel (siehe Figur 56).

Frage 44. Wie erhält man die höchsten und tiefsten Punkte einer Kurve bezüglich der Abscissen-

achse, wenn ihre Gleichung in der . ,    , _T i. i    ,

nieli^entwickelten Form F(x, y) = O A“îf N*ch derDifferentialrech-vorlieo-t?    nung ” Frage 129, müssen die

beiden zusammengehörigen Werte xn, y₀, welche einem Maximum oder Minimum

. . , deJ. nßl⁾®nstehenden Regel ist entsprechen, berechnet werden aus den vorausgesetzt, dass die gefundenen Koordinaten .    ’

ö    qF    zwei Gleichungen:

x₀, y₀ die Gleichung —— = 0 nicht befrie-

Erkl. 61. In

Sy

8F

digen und 0 =

di F dx²

F (x. y) = 0 und

— o.

Dabei gehört x₀, y₀ einem Maximum dF nicht verschwindet an oder hier einem höchsten Punkt,

Sy

wenn dieses Wertepaar, in die Aus-

für x — x₀ und y — y₀. Würde der letztere drücke

u. s. w.

d-F

dx²

und 4^ eingesetzt, den

letzteren gleiche Vorzeichen geben. Werden dagegen die Vorzeichen dieser beiden Ausdrücke verschieden, so bedeuten x₀, Erkl. 62. Wenn x₀, y₀ die drei Gleichungen : yo die Koordinaten eines Minimums oder SF _ q und BF _ eines tiefsten Punktes.

untersucht werden.

F (x, y) — 0,    -

dy

befriedigen, so ist der Punkt P(x₀, y₀) ein besonderer Punkt der Kurve. (S. darüber später.)

Frage 45. Wie erhält man bezüglich der Ordinatenachse die nächsten und die fernsten Punkte einer Kurve aus ihrer Gleichung

y = 1\x) ?

Antwort. In solchen Punkten wie I\ und P* der Figur 55 steht die Tangente auf der Abscissenachse senkrecht oder es ist daselbst: x — 90°u. tgx—œ. Vorausgesetzt, dass die Kurve y = j\x) endlich und stetig verläuft, erhalten wir also die Abscisse x₀ eines nächsten oder fernsten Punktes durch Auflösung der

Gleichung f‘ (x) = oo oder

= 0.

f‘(*)

Die Entscheidung, ob x₀ zu einem nächsten oder zu einem fernsten Punkt

gehört, liefert die Ueberlegung, dass für ein beliebig kleines h bei einem nächsten Punkt die Abscisse x₀ — h keine reelle Ordinate ergibt, und dass ebenso bei einem fernsten Punkt die Abscisse x₍₎ -f- h auf imaginäre Werte der Ordinaten führen muss, weil die betreffenden Parallelen zur Achse Y die Kurve nimmer schneiden.

Frage 46. Wie erhält man bezüglich der Ordinatenachse die nächsten und fernsten Punkte einer Kurve aus ihrer Gleichung F(x,y) — o?

Antwort. Da =

dx

dx

ÔF

ist

Sy

und für die angedeuteten Punkte:

dx =Vgx = ⁰⁰

werden muss, so haben die Koordinaten x₀, y₀ eines besagten Punktes den beiden Gleichungen zu genügen:

8 F

F (x, y) = 0 und —— 0.

Dabei darf nicht zugleich für x = x₀ und y = y₀ verschwinden.

Die weitere Behandlung ist die nämliche wie in Frage 44 unter Vertauschung

.. du ., dx

von y mit x, mit

dy

dy

u. s. w.

Aufgabe 189. Suche die äussersten Punkte der Kurve, deren Gleichung:

x² — 4x -j- y² — 6y -)- 9 = 0

ist.

Auflösung. Wir bilden aus:

F (x, y) — x² — 4 x -f- y² — 6 y -f- 9 = 0 8F

- = 2(x-2).

Die rechte Seite der letzten Gleichung verschwindet für x = 2. Daraus schliessen wir, dass sowohl der höchste als auch der tiefste Punkt die Abscisse x = 2 besitzen; die zugehörigen Ordinaten liefert die gegebene Gleichung, wenn in ihr x == 2 angenommen wird, nämlich y₀ = 5 und y₀* — 1, oder P₀ hat die Koordinaten:

zuerst :

\xo = 2    \x* — 2

U = 5 und po ₌ r

8F

Weiter folgt aus = 2 {y — 3), dass

der nächste und fernste Punkt auf einer Parallelen zur Abscissenachse in der Höhe

y — 3 liegen. Setzt man diesen Wert iu die gegebene Gleichung ein, so erhalten wir für die Abscissen xl = 0 und x* = 4, oder die Koordinaten des nächsten Punktes Pj sind : (xt = 0

\yi = 3

*fV=4

W = 3‘

Schreiben wir die Gleichung 1) in der Form: (x — 2)² -f- G — 3)² — 4 = 0, so sehen wir, dass die zugehörige Kurve ein durch die vier gefundenen Punkte gehender Kreis ist vom Halbmesser r — 2 und den

und des fernsten Punktes Pt

. f * 2 = 2

U₂ = 3'

Der Leser wird gebeten, die Zeichnung selbst anzufertigen.

Mittelpunktskoordinaten

Aufgabe 190. Bestimme die äussersten Punkte der Kurve, deren Gleichung:

4a;² -j- 9y² — 32a; — 54y -J- 109 = 0.

Auflösung. Für den höchsten Punkt er-

fx₀* = 4

W = i’

für den nächsten an der Ordinatenachse :

fxi =

\i/i =

hält man:

. fx 0 = 4

Uo = ⁵’

für den tiefsten :

1    ( x * — 7

₃ und für den fernsten:    __

Die Kurvengleichung in die Form: 4 (x — 4)² + 9 (y — 3)² — 36 = 0 oder in die Form:

(x — 4)²

(y-3)²

3²

2²

1=0

gebracht, zeigt, dass die Kurve eine Ellipse

fx₂ — 4

\y* = ³

Aufgabe 191. Desgleichen für die Kurve, deren Gleichung:

25a;² — 14xy -f- 25y² — 288 = 0.

Figur 57.

sein muss mit dem Mittelpunkt und den Halbachsen 3 und 2.

Der Leser wird gebeten, die Zeichnung selbst zu entwerfen.

Auflösung. Für den höchsten Punkt I\ \xo = + 0,99 '\y₀ = +3,54

erhält man :

für den tiefsten P₂:

łY

fx* = — 0,99 U* = -3,54

/I

-v

-X

Ao

tX

; ferner für den am meisten fx₁ = —3,54 l Vi — — 0,99 ( x* — -)- 3,54 ² l V* ⁼ 4~ 0,99’ Die Kurve ist eine Ellipse mit den Halbachsen 3 und 4; letztere hat eine Neigung von 45° gegen die Abscissenachse.

(S. Differentialrechnung II. Teil, Erkl. 216.)

nach links liegenden Qx

für den entferntesten rechts Q

und

Die äussersten Punkte links und rechts, Ql und Q₂, sind in der Figur 57 nicht eingezeichnet. Der Leser wird gebeten, dieselben nachzutragen.

'/

-Y

ist.

Aufgabe 192. Untersuche den Lauf der Kurve, deren Gleichung:

(«2 + I/²)² — 2 c² (ir² — y²) = 0

(Lemniscate, siehe die Aufgaben 15 und 98.)

Auflösung. Die Gleichung der Kurve: 1) . . . F(z, y) = (x*-\- y*)*— 2c² (a;² — y²) = 0 lässt erkennen, dass die Kurve Symmetrie zeigen muss bezüglich der Abscissenachse, denn sie enthält nur x² und nicht x allein; das Gleiche gilt in Bezug auf die Ordinaten-aclise; ist also der Punkt P mit den Koordinaten x und y ein Punkt der Kurve, so gehören auch die drei Punkte mit den

\\

V\

\i

tdl

+Y

Figur 58.

\T

..    - \ -n'J y

^ v\P :\/.

\ m\ ] \g> +x

\/jQ; J?ï

-~x

■-y

t____

XI

Koordinaten x, —y ; —a;, y und —x, — y der Kurve an. Ferner zeigt sich, dass die Kurvengleicliung durch die Werte x = 0 und y — 0 befriedigt wird ; die Kurve geht demnach durch den Ursprung 0.

Zur Bestimmung der höchsten und tiefsten Punkte bilden wir nun:

dF

— 4x (x² -j- y² — c²).

Die Koordinaten x₀ und y₀ eines solchen müssen also der Gleichung 1) genügen, sowie der Gleichung:

2) . . . 4 x (x²y² — c²) — 0 oder der Gleichung:

2 a) . . . x² -f- y² — c²,

weil hier x von Null verschieden sein muss.

Setzen wir diesen Ausdruck in die Gl. 1) ein, so ergibt sie:

3) .

Aus Gl. 2a) und 3) erhalten wir nun:

xo = J- Vä und y₀ = y

als die Koordinaten eines höchsten Punktes P₀. Mittels dieser Werte folgen ohne weitere Rechnung die Koordinaten der zwei höchsten — xo > Vq un(l der beiden tiefsten Punkte :

4"#o, + ^0 UD(^--—Vw ^>a a^e V^er

der Gleichung 2a) genügen, so liegen sie auf dem Kreis um 0 mit dem Halbmesser c = 0FX = 0F₂.

Um die äussersten Punkte links und rechts zu gewinnen, benützen wir: d F

= 4y(^² + ÿ² + c²).

Die Koordinaten x₁, yx eines solchen müssen ausser der Gl. 1) noch der Gleichung:

4) ... 4 y (x² -(- y² -f- c²) = 0 Genüge leisten.

In Anbetracht, dass 4 (x¹ -f - y² c²) einen positiven Faktor vorstellt, schliessen wir aus der letzten Gleichung, dass yx = 0 sein muss; die Gl. 1) liefert dann als zugehörige Abscisse:

xx = c Ÿ 2 ;

d. h. die äussersten Punkte 1\ und P* liegen links und rechts auf der Abscissenachse in der Entfernung c y 2 von 0 entfernt. (Konstruktion siehe Erkl. 31.) Hiermit sind sechs Punkte der Kurve gefunden. Um den Lauf derselben noch genauer festzustellen, schreiten wir zur Bildung von :

dF

dy

dx    dF

d x _ x [c² — (x² -f- y²)\

y (c² + x² y²)

dy

Aufgabe 193. Bestimme die ausser sten Punkte des Descartesschen Blattes, dessen Gleichung :

x³ -\- y³ — 3 axy — 0

ist (siehe die Aufgaben 24, 94,129,151,152)

Figur 59.

+Y

P,

kł-

G.....

-X

vT/

+X

also einen Wert, welcher bei positivem stets negativ bleibt. Der Punkt P₀:

3 _    3

a ]/2 = 1,26a,

ist demnach der höchste Punkt.

Um die grössten Werte zu ermitteln, welche die Abscissen der Kurve erreichen

können, setven wir:    = oo, was auf die

Bedingungsgleichung 1 — 2t³ — 0 führt ; woraus :

x₀ =

y₀ = a Y4 = 1,59 a

t = -2

1 ³ _ ³ _

— 1/4, xl = a Yd und

Für positive Werte von y hat der Nenner

positiven Wert und ist dann positiv,

solange hei positivem x der Ausdruck: c² — (x² -J- y²)

positiv bleibt. Daraus schliessen wir nach Obigem, dass die Kurve steigt von 0 bis Pa und dann fällt von P₀ bis Px*. Das Verhalten in den übrigen Teilen ergibt die Symmetrie gegen die beiden Achsen. Das genauere Verhalten der Kurve im Punkt 0 wird später untersucht.

Auflösung. Hier ist :

dy _ x² — ay dx ax — y² ’

Die Koordinaten vom höchsten und tiefsten Punkt müssen demnach der Bedingung genügen :

dy

dx = ⁰ =

eine Gleichung, in welcher ausser der Veränderlichen x auch noch y vorkommt. Um nun die Wurzeln xx zu ermitteln, welche dieser Gleichung genügen, müsste man aus der Kurvengleichung :

x³ -(- y³ — 3 axy__0

und aus der letzten Gleichung y herausschaffen. Einfacher aber gelangt man zum Ziele, wenn man nach der Substitution x = yt, welche :

3 at

und y —

3 at²

1 + *³

macht, wie in Erkl. 34 und Aufgabe 151.

dy

dx

1 — 2*3 setzt. Hierbei erhält man:

* (2 — *3) = 0 ;

a d. h. es muss t — 0 oder 2 — t³ = 0 sein. Aus * — 0 folgt x = 0, y — 0, ein Wertepaar von keiner Bedeutung, weil für

diese Werte auch

dx --äjT = o werden. Aus 2 — t³ — 0 folgt ohne weiteres :

daher auch:

t = ]/2,

yt = a Y 2

x — a Y2 und y — a ]/4.

Setzen wir diesen Wert ein in die Gleichung:

2 (1 + *3)4

dx² ~ 3 a (1 — 2*3)3’

d-y

folgt. Der Punkt mit diesen Koordinaten x₁, yx des begrenzten Kmwenstiicks ist also so erhalten wir : am weitesten von der Ordinatenachse entfernt (siehe Figur 59).

d²y _ 2

dx²

Schluss dieser Auflösung s. neben.

Uebungsbeispiele.

Zur Bestimmung der höchsten und tiefsten, sowie der am weitesten links und rechts gelegenen Punkte einer Kurve.

Rechts

Links

CO rH

Tiefst

Höchst

a;

tH CO

Aufgabe 194.

*² ~j-y² — 4 — 0

Aufgabe 195.

a:² — 2x -\-y² — 2y — 2 — 0

²2

CO

I = ri

co --i

4-4-

*7

|<M

CM

fi

Aufgabe 196.

— 3a: + ÿ² — 6y 4-10-i- = 0

a²

Aufgabe 197.

4a:² 4~ 9y² — 36 = 0

Aufgabe 198.

4a:² — 32a: -f- y² — 2y —|— 61 = 0

9 4-

a:

a:

0 — fi

Aufgabe 199.

Z- 4“

a:

s®

Aufgabe 200.

25a:² —200a- —y²+ 4^ 4-171 = 0

Aufgabe 201.

4a² — 20 a: — B«/ —|— 41 = 0

Aufgabe 202.

Rechts

y 1— m²

ma

0 = ä

d— — x

Links

l/l — w²

ma

y 1 — m²

Tiefst

ma

yi — m²

y l — m²

^ 8

j/l Y 4-⁹ ~

x = 2,4

y = — 0,2

Höchst

ma

y 1 — m²

l/l — m²

-5

y = 100

«A

*'=27'°

X--

y ~~ 27

lł/8 -6 + fl/8

x — — 0,4

y = 1,2

* = T* y — y V³

Aufgabe 203.

x² y² — 2 m xy — a² — 0

Aufgabe 204.

y — x³ 6 x² — 15 x

Aufgabe 205.

y — x(a — a:)²

Aufgabe 206.

y = (x- 1) (2 — x)²

Aufgabe 207.

(;y — x)³ -f- x 4- 6

Aufgabe 208.

x²y -\-x -\-y — 1 — 0 (siehe Figur 70, Seite 115)

(2x — Sp)²- (2 x —

32 p

Aufgabe 209.

y² =

Hechts

<x> — fi l+ = X

Links

y — co

etc.

UL

Tiefst

x = + 2 }/2

y = 4

in

X — 7T, 37T, 5 71 etc.

y — — 1

Höchst

V — = fl?

8 /l -^I- = fi s»8

i£Ç U

x — 0, 271, 471 etc.

y = i

in

—etc.

<X> — fi

® dL = x

Aufgabe 210.

zx — XV zĄ x

Aufgabe 211.

#⁴ — a;² t/² -{- y³ = 0

Aufgabe 212.

x- — axs -(- y² = 0

Aufgabe 213.

x* — 36if² -(- 216y = 0 (siehe Figur 71)

Aufgabe 214.

Aufgabe 215.

y — cos x

Aufgabe 216.

y = tgx

1 -f- x

Aufgabe 217.

y — l

III. Konvexität, Konkavität und Wendepunkte.

+Y

Frage 47. Welche zwei Fälle können beim Steigen und Fallen einer Kurve bezüglich der Abscissenachse unterschieden werden?

Figur 60 a.

Figur 60 b.

+X

IV

"iB

+X

A A,

A A,

+x

\A

Po\\

-Y

-Y

NJ

PV

P,

Figur 61 a.

Figur 61 b.

+Y

Antwort. Wenn die Kurve steigt, so kann sie der Abscissenachse entweder die erhabene Seite zuwenden wie in der Figur 60 a, oder die hohle, wie in der Figur 60 b. Ebenso kann beim Fallen der Kurve die erhabene oder die hohle Seite der Achse zugekehrt sein, wie in den Figuren 61a und 61b. Wir sagen nun, ein Bogen X P₀PP₁ sei in Bezug auf eine Gerade — hier die A-Achse — k onvex oder er wende der Geraden die konvexe Seite zu, wenn er zwischen der Sehne P₀Pl und der Achse liegt, wie in den Figuren 60a und 61a; dagegen heisst der Bogen konkav oder der Achse die konvexe Seite zuwendend, wenn die Sehne zwischen dem Bogen und der Achse hindurchgeht, wie in den Figuren 60 b und 61b.

+X

+Y

P.

Po%P

! Pi\ V

/.'//jW/!;;/! / !//,'/ uiin/i'

+x

*X

jfUÏÏÏÏJTÏÏW

+X

VJ J

Po

j/

<Y

p»

Antwort. Die Kurve ist im Punkt P

Frage 48. Welches ist das geometrische Kennzeichen dafür, ob eine Kurve in der nächsten Umgebung eines konvex, wrenn sie in der nächsten gegebenen Punktes in Bezug aut die Umgebung von P ganz innerhalb des Abscissenachse konvex oder konkav ist? stumpfen Winkels gelegen ist, welchen

die Tangente in P mit der Abscissenachse bildet, wie in den Figuren 60a und 61a. Dagegen ist die Kurve in P konkav, wenn sie sich ganz innerhalb des spitzigen Winkels befindet, wie in den Figuren 60b und 61b.

Antwort. Wir nehmen die unendlich kleine Grösse h zur Bildung der Abscisse xx— x -j- h des Punktes Px in nächster Nähe von P. Zur gleichen Abscisse gehört dann ausser der Ordinate Ä₁Pl auch noch die Ordinate AXC bis zur Tangente. Die Figuren 60 a und 60 b zeigen jetzt, dass Konvexität oder Konkavität vorliegt, je nachdem A^P^A^C oder Ax Pt < Ax G ist. Nun hat man aber nach dem Taylorschen Satz (Differentialrechnung II. Teil, Seite 82):

Frage 49. Wie lässt sich analytisch entscheiden, ob eine Kurve, deren Gleichung y — f(x) sein soll, im Punkt P mit den Koordinaten x und y konvex oder konkav ist?

X P = f (* + ä) = f (*) + A f (x) + ~ r (?) + B,

und anderseits:

A₁C = APĄ-B C=.y-{-htffT = f(x)

Daraus folgt:

c P, = A, P, - A, C = P- r W + Jf,

+Y

+Y*

0*

Figur 62.

+X

i un um nh/il,'///////// /

To

, nun n ill \JH lh///l//i/JM////////MS//////////

A*

+x*

d²y dx²

Vorausgesetzt, dass

verschieden ist, lässt sich die Grösse h immer so klein annehmen, dass der absolute Wert von ~f“{x) grösser als P₃

wird. Darnach hängt also das Vorzeichen von CP₁ für positive und negative h lediglich vom Vorzeichen von /7/ (x) ab, oder es wird der Wert von C'P₁ links und rechts von Px positiv, wenn dasselbe von f“{x) zutrifft. Dagegen wird CPX negativ, wenn f“(x) negativ ist; im ersten Fall liegt Px über C (siehe die Figuren 60 b und 61b), im letzteren unter C (siehe die Figuren 60 a u. 61a); im ersten Fall ist die Kurve konvex, im letzteren konkav.

Bisher haben wir vorausgesetzt, dass die Ordinate y positiv ist. Trifft dies nimmer zu wie im Punkt P* der Figur 62, so verschieben wir die Abscissenachse parallel zu sich selbst um ein genügend grosses Stück 00* = c, so dass P* über die neue Abscissenachse OX* zu liegen kommt und die neue Ordinate A* P* positiv wird. Die Figur zeigt nun, dass die Kurve in P* gegen 0*X* konkav ist, wenn sie der Achse OX die konvexe Seite zuwendet und umgekehrt.

von Null

Im System X* 0* Y* hat die Kurve wegen y* = y -|- c die Gleichung : y* — f (*) + «•

Die Kurve ist also gegen die neue Abscissenachse konkav und gegen die frühere konvex, wenn:

d*[f(x) + c] __ d²f(x)

dx²

dx²

negativ ist ; ferner gegen die neue konvex und gegen die frühere konkav, wenn:

d² [/-(ap-fc]! _ d²f(x) dx²

positiv ist. Daraus folgt der

Satz. Eine Kurve mit der Gleichung y = f(x) ist gegen die

— /"(#) gleiche Vor-von ungleichen

dx-

d²y

Abscissenachse konvex, wenn y und

Zeichen haben; dagegen konkav, wenn y und Vorzeichen sind.

dx²

d²y

dx²

= r(x)

Frage 50. Was versteht man unter einem Wendepunkt einer Kurve?

Figur 63.

Figur 64.

+Y

iPo

+Y

IV

TPo

O A₀ A A, +X

0 A₀ A

v.

Antwort. Bisher haben wir nur Bogen betrachtet, auf welchen = f“(x)

das Vorzeichen beibehalten hat, d. h. für alle Punkte des betrachteten Bogens positiv gewesen ist im Fall der Konvexität und negativ im Fall der Konkavität. Nun nehmen wir an, dass auf einem Bogen P₀ PP₁ für einen Punkt P0 mit der Abscisse x — h sehr nahe links vom Punkt P mit den Koordinaten x und y fu(x) das Vorzeichen Plus habe, dagegen für einen sehr nahe rechts von P gelegenen Punkt Px mit der Abscisse x-\-h das Vorzeichen Minus, oder umgekehrt links Minus und rechts Plus; dass also:

P'Gr-Ä)> o,    (* + *)< 0

f“ (x — h) < 0 und f" (x -f h) > 0.

Dann wird die Kurve, welche links von P konvex ist, rechts von P konkav (s. Figur 63 u. 64) oder umgekehrt. Die Kurve macht in P eineWendung oder Inflexion, und der Punkt P, in dem der Uebergang von der Konvexität zur Konkavität (oder umgekehrt) sich vollzieht, heisst Wendepunkt oder Inflexion spunkt.

Frage 51. Wie lassen sich aus der

Gleichung y = fix) einer Kurve die Antwort. Wenn bei einer stetigen Koordinaten der Wendepunkte bestim- Aenderung von x die Werte der Funk-men?    tion f“(x) vom Positiven zum Negativen

übergehen sollen oder umgekehrt vom Negativen zum Positiven, so muss für einen gewissen Wert von x die Funktion fu(x) entweder Null oder unendlich gross werden. Die Abscisse x eines Wendepunkts muss hiernach entweder f“(x) zu Null oder zu unendlich machen. Ferner müssen wegen des üebergangs von Konkavität zu Konvexität oder umgekehrt bei hinreichend kleiner Wahl der Grösse h die beiden Funktionswerte f" (x — h) und f“ (x -J- h) entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. Wir schliessen daraus auf den

Satz. Um die Wendepunkte der Kurve y — f(x) zu erhalten, suche man die Werte von x, für welche f"(x) Null oder unendlich gross wird. Bezeichnet x einen solchen Wert, so berechne man für eine sehr kleine Grösse h die Werte f“(x — h) und f"(x-\-h). Dann ist x die Abscisse eines Wendepunkts, wenn entweder f“{x — A)>0 und f“(x-j-li)<0 oder f“(x-\-h)< 0 und fu(x -|-h)< 0 ist. Bekommen dagegen f“(x— h) und f‘{x-\-h) das gleiche Vorzeichen, so ist der zu x gehörige Punkt kein Wendepunkt.

Zusatz. Ist die Gleichung der Kurve in der nicht entwickelten Form F{x, y) = 0 gegeben, so hat man:    s

S* F

82 F

dy

82 F

dy _ dx'

dx

8F

und

d-y _ d x2

8x2

8x8 y dx    8 y2

. (IłY

V dx)

oder:

dy

( il

82 F

d2y _ dx 2

8x2

•(f)-

82 F 8 F 8 F , 82 F 8x8y dx 8 y

8y2

uy

(8F W

\dy J

(siehe Haas, Differentialrechnung IL Teil, Seite 240) zu berechnen und dann die Untersuchung, wie im obigen Satz angegeben wurde, fortzusetzen.

Frage 52. Wie geschieht die Bestimmung der Wendepunkte bei einer Kurve, welche durch die Gleichung:

r = CI> (0)

in Polarkoordinaten gegeben ist?

Antwort. Die Polarkoordinaten r, & können in rechtwinklige x und y übergeführt werden durch die Gleichungen:

x — r cos (f y — r sin ą .

Nach Aufgabe 319 der Differentialrechnung II. Teil, Seite 259, ist dann:

d2 r

d²y _ dx2

r°-+²{^y

— r-

d@2

dr

cos 0 • ——--r sin 0

d 0

Für einen Wendepunkt muss

entweder gleich Null oder gleich unendlich sein; hierzu ist erforderlich, dass der Zähler des vorliegenden Bruches entweder den Wert Null oder den Wert unendlich hat. Daraus leiten wir ab den

Satz. Die Polarkoordinaten r, 0 eines Wendepunktes einer Kurve, welche durch eine Polargleichung r = (£>(©) gegeben ist, müssen den Ausdruck:

d²r

d &’

zu Null oder zu unendlich machen.

Aufgabe 218. Ist die Kurve mit der Gleichung :

Auflösung. Da f“ (x) = 2 ist, hat fu (x) gegen die Abscisseuachse konvex oder konkav? für alle Abscissen positiven Wert; die vorliegende Parabel ist demnach im ganzen Verlauf konvex und hat keine Wendepunkte.

y = x² — 6 a? —j—10

(Siehe Aufgabe 188 und Figur 56.)

Aufgabe 219. Bestimme den Lauf der Kurve mit der Gleichung:

x² — Ax    y² — 6 y -)- 9 = 0

in Bezug auf Konvexität und Konkavität. ^(Sielie die Aufgaben 32, 72, 114.)

Auflösung. Die Kurvengleichung liefert :

x — 2

8F 8F __ dx ' dy

y-3

daraus folgt:

/”'(*) =

(x — 2)2 —I— (y — 3)2 _

0-3)2-

Die Kurve, ein Kreis mit dem Halbmesser 2 um den Mittelpunkt y = 2, y — 3, ist demnach konkav für alle 3 und konvex für alle y<i 3.

Für y = 3 wird f"(x) unendlich; doch sind die betreffenden Punkte Px und P,* keine richtigen Wendepunkte, denn die Kurve wird vollständig von den Tangenten in diesen äusserstenPunkten eingeschlossen; der Kreis hat keine Wendepunkte. Das Gleiche gilt von sämtlichen Kegelschnitten.

(y - 3)8

Aufgabe 220. Den Lauf und die etwaigen Wendepunkte der Kurve anzugeben, deren Gleichung :

ist.

y — x³ — 6 £c² —j— lia? — 6

Auflösung. Da :

x* — 6x² -\-llx — 6 = (x — 1) (# — 2) (sc — 3) ist, so wird:

y — 0 für xx — 1, x₂ = 2 und xs = 3 ; hiermit sind die drei Schnittpunkte Px der Kurve mit der Abscissenachse gefunden. Setzen wir in der Kurvengleichung: x = 0, so folgt : y = — 6 ; d. h. die Kurve schneidet die negative Ordinatenachse im Abstand 6 vom Ursprung 0 (siehe Figur 65).

>2)3

+Y

R»

Figur 65.

i.e 3

P₆

P₃

Nun bilden wir:

und

dy_

dx

= 3 a;² — 12a; -j- 11

d2y - ₆a;_12

dx2-bx

Da die Gleichung 3a;²—12a;-f-ll = die beiden Wurzeln xb — 1,4 und x₆ = 2

hat und

d²y

© CD

für xb negativ, dagegen für x&

dx²

positiv ist, so folgt, dass der Punkt: fxb = 1,4

l y, =

Jx₆ = 2,6

l yö = — 0,4

Kurve darstellt.

Die Funktion f(x) liefert positive Werte von x — — oo bis x = 1,4, negative von x = -j- 1,4 bis x — 2,6 und wieder positive von x = 2,6 bis x = oo. Daraus schliessen wir, dass die Kurve steigt von unten herauf bis P₅, dann fällt bis P₆, um von hier an wieder zu steigen. Im Punkt P₂ wird:

P5

und P₆

ein höchster

ein tiefster Punkt der

dy

dx ~    ¹ *’

d. h. die Tangente macht dort mit der Achse einen Winkel von 135°; da ausserdem für x = 2 : f" (h) — 0 und f“ (2 — h) = — 12 h und f‘‘ (2 -\- h) — —J—12 A wird, so ist P₂ ein Wendepunkt.

Aufgabe 221. Den Lauf des Descartes-sehen Blattes, welches die Gleichung:

X'A + y^ — 3 axy — 0 hat, genauer zu untersuchen.

(Siehe Aufgabe 193 und Figur 59.)

Auflösung. Bilden wir :

d2y _    2 (1 -f P)⁴

dx² 3a (1 — 2 t³)⁸’

so sehen wir, dass das Vorzeichen des Bruches rechter Hand nur vom Nenner abhängen kann. Für t = — 1 (x = —oo, y = oo) wird der Zähler des Bruches, also auch der ganze Bruch Null ; die Kurve besitzt daher im Unendlichen einen Wendepunkt. Für die Werte von t, die zwischen — 1 und 0 liegen, denen also negative Abscissen und positive Ordi-naten entsprechen, ist —P>0, der Nenner und mit ihm der ganze Bruch positiv, oder die Kurve ist im zweiten Quadranten gegen die Abscissenachse konvex gekrümmt. Das Gleiche gilt für t = 0, d. h. die Kurve ist auch beim Durchgang durch den Koordinatenanfang noch konvex. Für weitere Werte

1 ³ —

die zwischen 0 und Ÿ4 liegen,

von t

ist 2P<Cl, der Nenner also positiv, und die Kurve bleibt solange konvex. Erst für

Aufgabe 222.

punkte der Kurve y = æ³.

♦

Figur 66. •

Bestimme die Wende-

+Y

0,008

0,027

\0,064

0Ą25

1 ³ _

= -p- i/4 im äussersten Punkt Px tritt der

Zeichenwechsel ein, für die weiteren Werte von t bis für t — a> (x — O, y = 0) wird der Bruch negativ, die Kurve kehrt also vom Punkt I\ ab ihre konkave Seite der Abscissenachse zu. Im vierten Quadranten, also unterhalb der Abscissenachse, sind für t — co bis t = — 1 Nenner und Bruch positiv, d. h. die Kurve ist gegen diese Achse ebenfalls konkav gekrümmt; dieselbe kehrt endlich für t — — 1 zum unendlich fernen Wendepunkt zurück und vereinigt sich dort mit dem ersten Kurvenzweig (siehe Figur 59).

Auflösung. Aus :

— 3 a;² und dx

schliessen wir auf einen Wendepunkt im Ursprung, denn x — 0, y = 0 macht:

dx²

^ = 0 dx 2

0,00t    _____

0,1    0,2    0,3    0,4    0,5 X

und

d'²y

ist für x = 0 — h negativ, für

Erki. 63. Um den Verlauf der Kurve in der Nähe des Wendepunktes deutlich zu zeigen, ist ein grosser Massstab zu Grunde gelegt worden. Zur Fortsetzung der Kurve nach oben und unten dienen die Werte:

x — 1 2    3    4

y = 1 8 27    64

Die gleiche Bemerkung gilt für die beiden folgenden Figuren.

dx²

x = 0 -j- h positiv ; es wechselt also das Vorzeichen; die Kurve ist oben konvex, unten konkav gegen die Abscissenachse, welche die Kurve in 0 berührt ; sie heisst Wendeparabel (siehe Figur 66).

etc.

Aufgabe 223. Hat die Kurve y einen Wendepunkt?

= xi

Auflösung. Wir erhalten:

dy

Figur 67.

jf

+Y

«♦7

12a;².

Der zweite Differentialquotient verschwindet für x — 0 ; aber der Ursprung a: = 0, y — 0 ist kein

(J2 y

Wendepunkt, weil -j~ivirx =— h

und für x — — h positiv ist. Die Kurve hat die Form einer Parabel und heisst Flachparabel (siehe Figur 67 und Erkl. 63).

0,002

0,02

-0,6    -0.4    -0,2    0

0,2    0,4    0,6    0,8    1

+x

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

Aufgabe 224. Hat die Kurve y = x° einen Wendepunkt?

Figur 68.

'+*

+Y

Auflösung. Aus :

= 5xi xmd = 20x3 dx    dx¹

schliessen wir in Aufgabe 222 auf einen Wendepunkt im Koordinatenanfang.

Die Kurve ist in Figur 68 gezeichnet und heisst Wendeflachparabel. (Ihre Fortsetzung nach oben und unten bleibt dem Leser überlassen; siehe auch Erkl. 68).

■N

-0.6

-0,2

0

<*5    /    ¹

/ «ÿ

y si

+X

0,2 0,4 0,6 0,8 1

Aufgabe 225. Bestimme die etwaigen Wendepunkte der Kurve, deren Gleichung y² = xA ist (Neilsehe Parabel).

(Siehe Aufgabe 27, Figur 30.)

Auflösung. Aus «/ = a:² folgt:

3    2    -, d^y 3

und ~dä? ~ Tæ 5

dy

also wird

d'²y

dx'¹

unendlich gross für x = 0.

Bilden wir:

d²y _    3

dx²

4 \/ x

für x = li und x — —h, so wird der letztere Wert imaginär; die Kurve, welche gegen die Abscissenachse symmetrisch ist, hat also im Punkt 0 keinen Wendepunkt, sondern eine Spitze (siehe Figur 30).

Aufgabe 226. Ebenso von der Kurve mit der Gleichung yb = xi.

Figur 69.

Auflösung. Hier wird:

3_

y = xb

; f (x) = —x ⁵

+Y

und

1,93

2,29

25 \/ x¹

Demnach wird f" (x) unendlich gross für x= 0.

-4    -3    ~2

-1 -0,5

«Li

Nun ist aber:

r c-ä) =

und

r (+ä) =

Erkl. 64. Zur genaueren Bestimmung des    d²y

Laufs der Kurve in der Umgebung des Ursprungs es wechselt also ^x2 mit A, das Vorzeichen,

dienen folgende Zahlenwerte;    woraus wir schliessen, dass die Kurve im

Punkt 0 einen Wendepunkt besitzt (s. Fig. 69).

x = 0,1 I 0,2 y = 0,25 I 0,38

0,5

0,66

Aufgabe 227. Ebenso von der Kurve mit der Gleichung:

x²y -(- x -j- y — 1 = 0.

Auflösung. Aus y =

r (x) =

\-\-x2 x² — 2 x — 1

X

— erhalten wir:

Erkl. 65. Es ist:

2 a;⁵ — 6x*—4a:³ — 4a:²— 6a:-|-2

= (a;+l) (2a:⁴— 8a;³-|-4a:²— 8a;-(-2).

Somit ist die erste Wurzel:

= — 1.

2x⁴ — 8 .x³ -j- 4 a:² — 8 a: -(- 2 = v gesetzt liefert: Punkte als die Wurzeln der Gleichung:

2a:⁵ — 6a:⁴ — 4a:³ — 4a:² — 6a: -f- 2 = 0. Weil letztere in Bezug auf die Koëfficienten symmetrisch gebaut ist, lässt sie sich auf-lösen und liefert:

2 (a;⁴-j-1) — 8 (a;³+aj + 4 a:² = 0 ;

daraus :

Für:

²(a:2+à-)~⁸('r+^)⁺⁴

= 0.

und

(1 + x²)²

— 2xb-{-6xi-\-4xs~{~4x²-\-6x—2 (l_|_a?8>    ⁻

Wir erhalten also die Abscissen der Wende-

fn (x) =

x-\——

x

a?j = —1, x₂ = 3,72, x₃ = 0,27,

und

woraus :

*²+^

= z²—2

Vi = B Vi — — 0,18, ys = 0,68,

y^ — cc und yb— = cc.

folgt:

also:

z² — Az — 0, z₁ = 4 und z₂ = 0;

*3,4 — 2 + Y 3 und a:₄₎₅ = + * u. s. f. Näheres siehe Kley er, Gleichungen.

woraus :

Wir schliessen daraus auf das Vorhandensein von drei reellen Wendepunkten, Pv P2 und P₃, die in einer geraden Linie liegen. Jede Kurve III. Grades hat im allgemeinen drei reelle in einer Geraden liegende Wendepunkte (siehe Figur 70).

Figur 70.

+Y

' — ..Pi

P4

\P₂

-4    -.3    .2

44 Q 0.3    *

-4-e

p₅

OH

Aufgabe 228. Ebenso von der Kurve, deren Gleichung- xi — 36 x¹ -j- 216 y = 0 ist.

Figur 71.

x‘²

Auflösung. Aus y = -g-

' (x) - 3    54

xi

216

folgt:

+y

und

x²

P₂

Pi

sro

-4

~3 -2//^ -Z -i Q

3"“l8*

Daraus folgt, dass (P) verschwindet fiir: !    ar = +l/6= + 2,44.

-i—A Es treten also zwei Wendepunkte Pt und P2 auf mit den Koordinaten a?₂ = + 2,44 und

Aufgabe 229. Ebenso von y = Figur 72.

1-f-x

+Y

o. 4 06

-o,z -oj 0

0,1 0,2

Aufgabe 230. Ebenso von y — cos ar.

Aufgabe 231. Bestimme den Wendepunkt

des Lituus r Figur 44).

y — 0,83 (siehe Figur 71). Der Leser wird gebeten, den Lauf der Kurve weiter zu verfolgen.

=V“|f (siehe Aufgabe 143 und

und

Auflösung. Hier wird:

WÏ = ²<l-*²>

dy

d²y

d X* (1 — X²)² •

Letzterer Ausdruck wird zu Null für x = 0. Der Punkt 0 ist demnach ein Wendepunkt

für x — 0 den Wert 2 ergibt,

so folgt aus tg T = 2 ; x — 63° 26' als Neigung der Wendetangente. Den Abscissen x = + 1 entsprechen unendlich grosse Ordinaten (siehe Figur 72).

und da

dy

dy

Erki. 66. Zur Zeichnung der Kurve dienen folgende Werte:

x — 0,1 y = 0,20 x — 0,7 y = 1,74

und

0,2

0,3

0,41

0,8

1,79

0,62

H-* © 'h-* bn

O ,-H

0,9 j 1 2,94 I go.

Auflösung. Aus y — cos x erhalten wir: dy _ d x

— sin x

d²y

dx2 ~ C0S * ’ d. h. es treten Wendepunkte auf für:

.71    . 3 71    , 5 71

* = ±r ±T’ ±“2~

u. s. f., wobei die Wendetangente Neigungen = 45° bezw. 135° besitzen (siehe Differentialrechnung II. Teil, Figur 25). , '

Auflösung. Auf

r — c² 0    ²

folgt zunächst:

d@    2

und

ä² r 3    — y

Sër=4c2@ ;

r*+²(4if-r-

d²r

d ©²

= c9~

1 + T

(siehe Frage 52).

hiernach wird:

3 a — c 0⁻³

~T

~T

8“

²)

null für 9 — — mit den Koordinaten © —

Aufgabe 232. Bestimme die Wendepunkte

(siehe Auf-

,_b

a sin 0

gäbe 146 und Figur 45).

der Conchoide r

Dieser Ausdruck erreicht nun den Wert und wirklich ist der Punkt

= V 2 c

ein Wendepunkt; weiter wird der Ausdruck null für 9 = oo, allein für 9 = oo wird r = 0, dies sind aber die Koordinaten des Anfangspunktes, der von der Spirale nie erreicht wird. — Endlich wird der vorige Ausdruck unendlich gross für 9 = 0; dies würde r — cc und daher keinen Wendepunkt geben. Die Kurve besitzt demnach nur den einen Wende-

punkt 9 = —, r = V2 c, der hienach leicht durch Konstruktion gefunden werden kann.

Auflösung. Die Polargleichung liefert

hier :

b cos 9

sin ²©

und

d'² r

5(1-)- cos² ©)

a ©s

Der Ausdruck:

sm³ ©

-+»(ÄT

— r-

d°-r

d ©2

(5 -j- a sin ©)²

sin² ©

t-2.

5² cos² ©

sin⁴ ©

geht mit diesen Werten über in:

(b -j- a sin 0) b • (1 -j- cos² ©) a (a sin³ 0 -|- 3 b sin² 9 — 2 5)

sin* 9

sm³ ©

Dieser Ausdruck wird Null für:

a sin³ © -f- 3 5 sin² 9 — 2 5 = 0.

Die genauere Untersuchung dieser Gleichung führt zum Ergebnis:

Wenn 5 > a, so hat die Kurve 4 Wendepunkte, «    6<ff> »    «

„    5 — a, ,,    „

Der Leser wird ersucht, durch die Annahme von bestimmten Zahlenwerten für b und a sich von der Richtigkeit zu überzeugen.

Weitere Beispiele über die Bestimmung der Wendepunkte.

Aufgabe 233.

y = {x — I)².

Auflösung. Keine Wendepunkte.

Aufgabe 234.

y — ax² -\-bx-\- c.

Auflösung. Keine Wendepunkte.

Aufgabe 235.

Auflösung.

y =    -j-bx² -j- CX -f- (7.

Aufgabe 236.

#³ y³ -j- 6 axy -f-1 = 0.

Auflösung.

f x₁ — 0    ( x₂ — — 1

U, = -i una l,I = o.

Aufgabe 237.

ax³ -|- by³ — c⁴ — 0.

Auflösung.

Aufgabe 238.

x³ — 3 ax² -J- c²y = 0.

Auflösung.

x = a, y =

2 a3 c²

Aufgabe 239.

( — o

Ui = o,

Auflösung.

X2 = +1/3

y% —

Aufgabe 240.

x l/2 ax — x²

3

Auflösung, x = -£■ a — cos 30° liefert einen Wendepunkt.

Aufgabe 241.

20000y = x⁴ — 251 x³ + 20170 a² — 566400 a; + 3888000.

Auflösung. Wendepunkte:

\ xj = 38,75 fx₂ = 86,75 \y₃ = -6,17, U-2 = -33,48.

Aufgabe 242.

*⁴ + y⁴ —2&²a² — 2a²y² + 6* = 0.

Auflösung. Wendepunkte:

= 0. yi =

U±^f+(^)²;

₌ _[(^L)ł₊(^l)ł].

Aufgabe 243.

xy² — 2a y'2ax — x².

3a

Auflösung. x =    ₉

Wendepunkts.

Abscisse des

Aufgabe 244.

ij = b -f (x —

a) \

Auflösung, x — a, Abscisse des Wendepunkts, und zwar ist für m n die Tangente des Wendepunkts parallel zur Abscissenachse und für m<Cn senkrecht zur letzteren.

Aufgabe 245.

y — sinx

Auflösung. x = mt, wro n eine ganze Zahl vorstellt ; y — 0. (Siehe Figur 25 in Differentialrechnung II. Teil.)

Aufgabe 246.

y = tang x.

Auflösung. Wie in Aufgabe 245. (Siehe Differentialrechnung II. Teil.)

Aufgabe 247.

y — sin³ x.

Auflösung, x — nn, y — 0, wo n ejne ganze Zahl ist ; ferner : x = arc {tg = + ]/ 2 ) ; ferner :

001 to

Aufgabe 248. Bestimme die Wendepunkte der Kurve:

y — x-tg

der Quadratrix des Dinostratus.

(i

71X

d*y dx²

2a

Auflösung. Die Gerade y = — schneidet die Kurve in Wendepunkten, denn: f n nx\

\2~~~2F )

dy

dx

— tg

2 a cos²

und

nUa

n

——x • sin

71X

7t X

(f

Tl X

2a

71X

2a

)]

a cos²

71X

Erki. 67. Um den Koordinatenanfang 0 sei mit dem Halbmesser a ein Halbkreis BCD be- finden wir: schrieben; auf seinem Umfang werde der Punkt E beliebig gewählt; auf dem Halbmesser OE, der mit der positiven Ahscissenachse den Winkel BOE — 0 bildet, soll nun der Punkt P so und wenn wir diesen Ausdruck in die Glei-bestimmt werden, dass das Verhältnis des Bogens chung der Kurve einsetzen, so folgt:

BE zum Viertelskreis BEC sich verhält wie die Strecke AB zum Halbmesser OB — a. Wir suchen den geometrischen Ort des Punktes P; dazu legen wir die positive Abscissenachse in die Richtung von OB, die positive Ordinaten- in der Entfernung parallel läuft, schneidet achse in die Richtung von OC und bezeichnen    ,    _TT ,

hiernach OA mit x und AP mit y ; dann wird: ^ie Kurve in unendlich vielen Wendepunkten,

in denen

Setzen wir diesen Ausdruck =0, so

71X

2«

71X

2a

y — WT-

71

Die Gerade, welche der Abscissenachse

2a

AB — a — x, Bogen BE = a 0,

<Dy

nicht zu Null wird. Der

71

Bogen BEC =    —

Zufolge der Aufgabe muss nun die Be- y = dingung erfüllt werden:

dx³

Punkt F, in welchem diese Gerade die Kurve berührt und dessen Koordinaten x = 0,

sind, ist kein Wendepunkt; für

71    ,

a© : a- — = (a — x) : a, 2

ihn ist:

d*y _ 0

dx2 ~~ W’

-6

Po

Fs

p,

Figur 73.

P₂

p₃.

D/ 0

A \B

5\

+x

-Y

woraus :

dessen wahrer Wert:

folgt.

n (a — x)

2a

_ --7T

Ferner besteht zwischen x, y und © die Beziehung :

gefunden wird.

y — x-tg 0.

Setzen wir für 0 den vorigen Wert ein, so erhalten wir als Gleichung der gesuchten Kurve:

y — x-tg

71 X

2a

Die Kurve ist unter dem Namen der Qua-dratrix des Dinostratus bekannt.

Für x — —5a, —3a, —a, a, +3«, -f-5a etc. wird y = 0; die Kurve schneidet also die Achse in unendlich vielen Punkten.

Für x = — 6a, —4a, — 2a, + 2a, -f- 4a, -(-6a etc. ist:

7i (a — x)

in -Y- — CO

y 2a

und somit y = oo. Die Kurve hat demnach unzählig viele, sich ins Unendliche erstreckende Zweige.

Für x — 0 findet man :

O F — y — 0.*4 = O-oo

oder auch:

0 • sm

cos-Tr-

Um den wahren Wert dieses Ausdrucks zu finden, setzen wir:

71 X

OF = y — x-tg

{i

X • COS ——

71X

2a

71X

2a

sin

nx

2a

für cos und sin

nx

setzen wir nun nach

2a

der Differentialrechnung II. Teil, Seite 90, die Reihen und erhalten:

2a

OF = y —

71

a’{¹-Tr(w)'*!l+ tW(^)

-TÏT

2 a X

Vereinfacht man diesen Bruch durch x und setzt alsdann : x — 0, so kommt heraus :

1-2-3-4-5

XŻ — • •

2a

somit ist:

2a

OF — ——

Erkl. 68. Aus OF = Gleichung ab :

2a

leiten wir die

71

«2

a 2 OF

a*

d. h. die Länge des Viertelskreises ist =

kennt man demnach die Länge von OF, so kann man die Länge des Viertelskreises finden. Ebenso wird

a2

AB-a

Bogen BE = ßß-

ist also die Lage vom Punkt P bekannt und damit auch die Länge von AB, so kann man nicht nur die Länge des Bogens BE finden, sondern auch die von einem beliebigen Teil desselben, denn:

— Bogen BE = ß-AB--ß n    n

OF — OF

OF'

Hiermit lässt sich also ein gegebener Bogen und zugleich der zugehörige Centriwinkel 0 beliebig teilen.

Daher hat die gefundene Linie bei den alten Geometern den Namen TtTQuywviÇovoa, quadratrix, erhalten.

Dinostratus war ein Zeitgenosse des Plato.

Sehr eingehend hat sich Pappus mit dieser Linie beschäftigt.

Erki. 69. Zur Zeichnung der Kurve unter Zugrundlegung des Wertes a = 1 dienen folgende Werte:

+4

y — 0,687    0,604

10

11

*-±t ±_r

y = + 2,5    +1,16

+4 +4 +¹ +4 ±4 ±4 ±² ±4

+ 5,43

. ^    , i?

— 4    — 4

0,5    0,311    0    - 0,51    — 1,25    — 4,22

, „    ,13    ,14    ,15    , .    ,17

+ ³ ± vr    ± - j-    +⁴ +-J-

0    — 1,37 — 3,5    — 9,05    00    10,26

00

ls

4,25

1,97

21

x = + ⁵    ±U[-

— 2,17

— 5,25

±T

—13,88

6.

00.

Aufgabe 249. Bestimme die Wendepunkte der Kurve, deren Gleichung:

,j = asm 2a ist, der Quadratrix von Tschirnliausen.

Erkl. 70. Um den Punkt 0 werde mit dem Halbmesser a der Halbkreis BCD beschrieben; auf seinem Umfang sei der Punkt E wieder beliebig gewählt und auf dem Halbmesser OB soll der Punkt A so angenommen werden, dass sich wieder der Bogen BE zum Viertelskreis BEC verhalte wie die Strecke AB zum Halbmesser a.

Hierauf ziehe man AP|| OC und EP\\ OB-, hierdurch erhält man den Punkt P, dessen geometrischer Ort zu bestimmen ist. Wir legen die Abscissenachse in die Gerade OB, die Or-dinatenachse in das in B errichtete Lot, bezeichnen also AB mit x und AP mit y. Der Winkel B OE heisse cp ; dann ist Bogen BE=a(p

71

und Viertelskreis BEC = a- ^.~ ; daher muss

A

die Bedingung erfüllt werden:

71X

Auflösung. Die Abscissenachse trifft die Kurve in unendlich vielen Wendepunkten,

denn aus y = a sin folgt :

dy

2a

nx

— — 71 COS

2a ’

7r²

x : a = cup :

an

woraus :

nx

folgt.

v= 2ÏT

Ferner ist AP= GE — a sin cp-, daher ist y = a sin cp oder y — a sin

nx

die Gleichung des gesuchten Ortes. Die Kurve ist unter dem Namen der Quadratrix von Tschirn-hausen bekannt.

Da sin nie grösser als +1 und kleiner A a

als — 1 werden kann, so kann auch y nie grösser als a und nicht kleiner als — a werden. Die Kurve ist also ganz in dem Kaum enthalten, der zwischen den beiden parallelen Geraden y = -(- a und y =. — a liegt. Für x = 0 oder = + 2a, + 4a etc. ist y — 0; für x — + a, + 8 a, + 5 a u. s. w. wird y — + a.

7IX

--:— sin

2a ’

71 X

~2a'

Für alle Werte von x, welche y gleich Null machen, d. li. für x = 0, oder +2a,

dx2 dsy _ dx⁸

7T³

8 a-

COS

oder +4 a u. s. w., wird auch

d-y dx²

nicht

d%i/

aber    gleich Null. Die Durchschnitts

punkte der Abscissenachse sind demnach Wendepunkte.

-4,

Po

-i

-i

Figur 74.

+Y

;p

0⁺¹

+5l

+ 4/

P*

Setzt man für x der Reihe nach irgend zwei Werte x₀ und x₀ + 4na, die um 4na von einander verschieden sind und wo n irgend eine ganze Zahl bedeutet, so erhält y einen und denselben Wert, nämlich:

71 x₀

(JSL+2n) =asin

die Kurve besteht demnach aus unendlich vielen kongruenten Bogen (siehe Figur 74).

a sin

2a

und a • sin

7t (xn -f- 4na)

71 Xn

2a

2a ’

Erkl. 71. Zum Zeichnen der Kurve füra = 1 dienen folgende Werte: 1 ! 2

10

x — 0    —

4

y = 0    0,38 I 0,71    0,92    1    0,92    0,71    0,38    0    —0,38    —0,71

11

— 0,92

13

14

15

4 ...

y — — 0,92    — 0,71

— 0,38

—--*e4/--

C. Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, Selbstberührungspunkte, isolierte und vielfache Punkte.

a) Doppelpunkte im weiteren Sinne.

I) Die Kurvengleichung sei F(x,y) = 0.

Frage 53. Können auf einer ebenen

Kur ve Punkte auftreten, deren Tangenten- Antwort. Es sei F(x, y) = 0 die bestimmung eine besondere Untersuchung Gleichung einer Kurve ; wir setzen voraus, erfordert?    dass sowohl die Funktion F(x,y) als

auch die Funktionen:

8F(x, y)

dx

und

dF (x, y)

dy

stetig sein sollen. Für einen Kurvenpunkt P₀ mit den Koordinaten x₀, y0 bildet die Tangente mit der Abscissen-achse einen Winkel z, der sich berechnet aus:

dF(x, y)

tgx ==

dy

dx    d F (x, y)

Sy

Frage 54. Welchen Wert erhält wenn die Koordinaten

man für

dy

dx ’

x₀, y₀ eines Punktes P₀ die drei Gleichungen :

BF

BF

F(x,y) = 0, ^ = 0 u,d ¥ = 0 befriedigen ?

dy _ dx

dy

für x — x₀, y — y₀. Nun kann der Fall eintreten, dass diese Koordinaten x₀, y0 nicht nur der Gleichung F(x,y) = 0, sondern auch noch gleichzeitig den beiden weiteren Gleichungen:

dF n a dF -r— = 0 und dx

Genüge leisten. Dann tritt der Wert von ty x unter der unbestimmten Form auf und bedarf besonderer Untersuchung.

dy

Antwort. Nach der Kegel zur Bestimmung des Wertes von der Form -jj-

(s. Differentialrechnung II. Teil, S. 121) folgt hier:

d²F di F dy dx² dxdy dx ~d²F d²F dy ‘ dxdy dy² dx

Daraus gewinnen wir durch algebraische Rechnung:

d /dF\ dx \ dx J

dx \dy )

d²F

dy²

(£)*+*

d²F

yty

d³F

dxdy

und diese Gleichung liefert:

d² F

dx ²

dx

dx dy

d² F d²F dx² dy²

d²F

dy²

Vorausgesetzt, dass nicht gleichzeitig

auch :

dFF d²F dx²

und

d²F

dy²

dx dy

für x = x₀ und y = y₀ verschwinden, gibt uns der obige Ausdruck im allge-

meinen zwei verschiedene Werte für ,

dx ¹

und zwar sind dieselben reell und ungleich, wenn:

f d²F y \dxdy J

d²F d²F

reell und gleich, wenn:

dx² dy² ’

f d²F y \dxdy )

d²F d²F

und imaginär, wenn:

dx² d y²

/ d²F y / d²F d²F . ,

\dxdy ) < dx² ' dy² 1St-

Frage 55. Welche Folgerung ist aus den vorigen Formeln zu ziehen?

F fa y) = 0,

Antwort. Erfüllen die Koordinaten x₀, y₀ eines Kurvenpunktes P₀ gleichzeitig die Bedingungen:

d F (x, y)

3F(x, y)

= 0 und

= 0,

so gibt es im Punkt P₀ an der Kurve zwei reelle und verschiedene Tangenten, oder zwei reelle, aber in eine Gerade zusammen fallende Tangenten, oder gar reelle Tangenten, je nachdem:

dx

8y

(&F(x, y) y ;> d*F(x, y) . d*F(x, y) \ dxdy )    dx%    dy²

für x — x₀, y = y₀.

Frage 56. Wie ist ein Kurvenpunkt beschaffen, in welchem zwei verschiedene Tangenten möglich sind?

Figur 75.

Antwort. Die Kurve muss zweimal durch den betreffenden Punkt hindurchgehen, so dass man beim Begehen der Kurve denselben Punkt zweimal passieren muss. Ein solcher Punkt heisst ein Doppelpunkt (siehe Figur 75). Beispiele dafür lieferten bis jetzt das Blatt des Cartesius (siehe Figur 26), die Lemniscate (s. Figur 24), die Conchoide (s. Figur 45), die verschlungenen Cy-kloiden (siehe Figur 34), Epicykloiden (s. Figur 36) und Hypocykloiden (siehe Figur 37).

Erki. 72. Jede Gerade PP₃, welche wir durch den Doppelpunkt ziehen, schneidet die Kurve im Punkt P schon in zwei Punkten, und Ps ist dann ein dritter Schnittpunkt. Lassen wir nun die Gerade PP₃ sich um P drehen, so dass Ps sich P unbegrenzt nähert, so wird PP₃ zur Tangente im Punkt P im Augenblick des Zusammenfallens von P₃ mit P. Daraus ersehen wir, dass die Tangente in einem Doppelpunkt mit der Kurve wenigstens drei zusammenfallende Punkte gemein hat.

Da eine Gerade mit einem Kegelschnitt zwei Punkte gemeinschaftlich haben kann, so können Kegelschnitte keine Doppelpunkte besitzen ; die letzteren können erst bei Kurven höherer Grade auftreten.

Kurve beschaffen

Frage 57. Wie ist ein Punkt einer in welchem zwei Tangenten in Eine zusammenfallen?

Antwort. Die Kurve kann zwei verschiedene Kurvenzweige besitzen, die in dem nämlichen Punkt endigen, so dass die Tangente in dem letzteren an

Po

Figur 76 a.

Figur 76 b.

Po

P,

Figur 77 a.

Figur 77 b.

rp

den ersten Zweig mit jener an den andern Zweig zusammenfällt. Ein solcher Punkt heisst ein Rückkehr punkt. So hat in Figur 7 6 a die Kurve die beiden Zweige P₀Pund PXP; die Tangente PT ist beiden Zweigen gemeinschaftlich. Liegen die zwei Zweige wie vorhin auf verschiedenen Seiten der gemeinschaftlichen Tangenten, so heisst der Rückkehrpunkt ein solcher erster Art; befinden sie sich dagegen auf der gleichen Seite wfie in Figur 76 b, so wird der Rückkehrpunkt als ein solcher zweiter Art bezeichnet. Der Rückkehrpunkt geht dadurch aus dem Doppelpunkt hervor, dass die beiden Tangenten PTX und PT₂ des letzteren sich gegen einander drehen und schliesslich die Schleife erdrückend zusammenfallen. Bei-

Po

Po'

P4

P₂

(T

p₂

P*,

spiel für einen Rückkehrpunkt lieferte die Cissoide (siehe Figur 11), die gewöhnliche Cykloide (s. Figur 13), die Epicykloide (s. Figur 15), die Cardioide (s. Figur 16), die Hypocykloide (siehe Figur 18), die Astroide (s. Figur 19), die Neilsche Parabel (s. Figur 30) u. s. w.

Ferner fallen in einem Doppelpunkt die beiden Tangenten in eine Gerade, wenn die zwei Kurvenzweige P₍₎ PP2 und P₃PP₄ sich im Punkt P berühren und die Tangente in P beiden Zweigen gemeinschaftlich ist. Einen solchen Punkt

Erkl. 73. Was vorhin in Erkl. 72 über den Doppelpunkt gesagt wurde, lässt sich wörtlich nennen wir einen Selbstberührungsauf den Rückkehr- und Selbstberührungspunkt punkt (s. Fig. 77a U. 77b). Nehmen wir übertragen (siehe Aufgabe 27 und Figur 30).

Denken wir uns im Selbstberührungspunkt (siehe Figur 77) die beiden Kurvenfortsätze PP, und pp₄ imaginär, so geht derselhe in einen IV. Ordnung und der Berührungspunkt Rückkehrpunkt über.    der zwei Ellipsen erscheint als ein Selbst

berührungspunkt der Kurve IV. Ordnung.

z. B. zwei sich berührende Ellipsen, so bilden diese zusammen eine Kurve

Frage 58. Was ist über einen Kurven punkt zu sagen, in welchem keine Tangenten möglich sind?

Antwort. Es gibt Kurven, deren Gesetz nicht nur von den aufeinanderfolgenden Kurvenpunkten, sondern auch von einzelnen Punkten der Ebene befolgt wird, welche sich in gar keinem äusseren Zusammenhang mit der Kurve befinden. In Figur 78 stellt 0 einen solchen Punkt vor der Kurve xB— x² — y² — 0, denn seine Koordinaten x = 0, y = 0

+Y

Figur 78.

⁰    p/!    ¹

+x

befriedigen die Gleichung der Kurve; ein kleinerer Kreis, um 0 beschrieben, schneidet die Kurve gar nicht, und in 0 gibt es keine Tangente. Einen solchen Punkt nennt man einen isolierten oder konjugierten Punkt oder einen Einsiedler. — Um ein Beispiel hiefür zu erhalten, suchen wir den geometrischen Ort der Punkte, welche vom Kreis mit dem Halbmesser r die Entfernung r haben; hier genügen nicht nur die Punkte des Kreises vom Halbmesser 2 r der ausgesprochenen Bedingung, sondern auch der Kreismittelpunkt; der letztere erscheint hier als ein isolierter Punkt.

Frage 59. Welches ist die gemeinschaftliche Bezeichnung für Doppelpunkte , Rückkehrpunkte, Selbstberührungspunkte und isolierte Punkte?

Satz. Um die singulären Punkte der Kurve F(x, y) = 0 zu erhalten, suche man die Wertepaare x₀, y₀, welche die drei Gleichungen:

Antwort. Man heisst dieselben besondere oder singuläre Punkte; darnach haben wir den

F(*,,J) = 0,    **£»>

befriedigen. Ist x₀, y₀ ein solches Wertepaar, so ist der Punkt x₀, y₀ ein gewöhnlicher Doppelpunkt, oder ein Rückkehrpunkt erster Art, ein Rückkehrpunkt zweiter Art, ein Selbstberührungspunkt oder ein isolierter Punkt, je nachdem:

= 0 und

3F(x, y)

dy

ist für x = x₀ und y = y₀.

( d²F Y> d2F &F D “ \dxdy ) < dx2 ‘ dy*

Frage 60. Welche Form erhält die Gleichung der Tangenten in einem Doppelpunkt ?

Antwort. Da für den Doppelpunkt mit den Koordinaten x₀ und y₀:

d²F

dy _

dxdy

±V(Siî

d*F d-F dx² dy²

dx

d²F

dy²

so gibt die Tangentengleichung :

(X~x₀)

dx

r-,. = &

hier für die beiden Tangenten die zwei Gleichungen :

(92 F

Y-y₀ =

dxdy

F Vd

(X-x₀)

und

dy'i

d²F

Y-y₀ =

dxdy

VD

di F

dyl

wobei natürlich in den partiellen Ableitungen und in D x = x₀, y —■ y₀ zu setzen ist.

Es können aber auch beide Tangenten durch eine einzige Gleichung ausgedrückt werden. Wenn man nämlich die Gleichung:

di F

Y-y ₀ =

dxdy

dl F dl F dxi dyi

di F

(X x₀)

dyi

zuerst in der Form schreibt:

di F

di F

X x₀

(r-y₀)²

di F

dxi

di F di F dxi dyi ’

dann quadriert, mit (X — x₀) durchmultipliziert und mit so erhält man: t-2 (Y-y₀)(X-x₀)

dxdy

di F

di F

dyi

durchdividiert,

dxdy

Wir haben also den

F(*-*o)²

di F dxi

= o.

Satz. Sind x₀, y₀ die Koordinaten eines Doppelpunktes der Kurve F(x, y) = 0, so haben die beiden Tangenten in diesem Punkt die Gleichung:

di F

f 2 (Y-y₀)(X-x₀)

di F

di F

b(x *„)²- , ₂ — 0,

dxdy

wobei in den partiellen Ableitungen x = xQ, y = y₀ zu nehmen ist; die linke Seite lässt sich als das Produkt von zwei linearen Faktoren in den laufenden Koordinaten x und y darstellen.

Frage 61. Welche Gleichung hat die Tangente in einem Rückkehrpunkt und Selbstberühruugspunkt ?

Antwort. Für diese Punkte ist D = 0, daher beschränkt sich auf :

di F

dy

dx

dx dy

di F '

dyi

Hiermit geht die Tangentengleichung :

über in:

(Y-y₀)

folglich haben wir den Satz. Sind x₀, tj₀ die Koordinaten eines Rückkehr- oder Selbstberührungspunktes der Kurve F(x,y) = 0, so hat die (doppelt zu rechnende) Tangente die Gleichung:

<92 F

<9 z/2

h(X-Xo)

<92 F

dxdy

= 0;

(r-y₀)

<92 F

<92 F

Sy²

dxdy

Aufgabe 250. Hat die Kurve, deren Gleichung:

*³ -f x² — y² — 0 ist, einen besonderen Punkt?

Auflösung. Wir bilden aus F(x,y) =

#³ -)- x² — y² :

dF

— = 3*2 + 2*,

dF

= -a* ä^ = 6x+²’

d² F

= 0,

d²F

Figur 79.

+Y

P,

3,46

Ti

-1

%5°

+x

\T₂

P5

Aufgabe 251. Hat die Kurve, deren Gleichung:

*³ — ^2 ₌ 0

ist, einen besonderen Punkt? (Siehe Aufgabe 27 und Figur 30).

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

= —2.

dx dy

Den drei Gleichungen:

*³ -f- x² — y² — 0 3x² -j-2 x = 0 2 y = 0

genügt das W'ertepaar x₀ — 0 und y₀ — 0; also ist der Ursprung ein besonderer Punkt. Ferner wird für x₀ = 0 und y₀ = 0 :

dy² -

d²F _ dx² ~ '

d²F

dx dy

= 0,

d²F

Sy-2

= -2,

/ d²F \2 d²F d²F _ \ dx dy ) dx² dy²

— (6* + 2) (— 2),

somit D = 4 ; d. b. der gefundene besondere Punkt muss ein Doppelpunkt sein. Endlich folgt :

dy_ +2

— ± !»

also :

beziehungsweise :

Tj = 45O,

7"2 = I35O

und darnach sind die Tangentengleichungen

und

r+x= 0

r - X = 0 (siehe Figur 79).

Auflösung. Die drei Gleichungen:

F (x, y) = *³ — y² = 0,

= 3*2 — 0

und

dF

dy

geben die gemeinschaftlichen Wurzeln x₀ = 0 und y₀ — 0 ; der Ursprung ist darnach ein besonderer Punkt.

52 F

— 0, -r—r- = 6 X und 8 x*

8* F

<92 F

5 y²

geben für :r₀ = 0 und y₀ zunächst:

*11.-0 dx2 ~~ ’

52U

52 p

= 0 und -5— — —2. 8 yi

dx 8y

Hiermit wird auch D = 0 ; d. h. der Ursprung ist ein Rückkehrpunkt und zwar erster Art. Die Gleichung der Rückkehr tangente vereinfacht sich zu:

y — 0;

d. h. die letztere fällt mit der Abscissenachse

zusammen.

8 y

a:¹ — x² — y² = 0, 3 a:²—2 a: — 0 u. —2 y = 0

Aufgabe 252. Bestimme den besonderen Punkt von der Kurve mit der Gleichung: x¹ — x² — î/2 — 0

(siehe Figur 78).

Auflösung. Hier wird    = 3x² — 2 x,

— 2 y. Die drei Gleichungen :

geben die gemeinschaftlichen Wurzeln x₀ = 0, y₀ — 0 ; der Ursprung ist wieder ein besonderer Punkt. Nun folgt weiter:

8²F

in* = e*-²'

<92 F

= 0,

8²F

8 y²

= - 2,

dy 8y

daher D = 2 (6 x — 2) und für x — 0 erreicht D den Wert — 4; d. h. der Ursprung 0 ist ein isolierter Punkt.

Auflösung. Wir bestimmen aus F(x, y) = 3 yl — (x — 2)² (x — 1) :

<92 F

d*F

<9 x <9 y

und

Aufgabe 253. Zu untersuchen, ob die Kurve mit der Gleichung:

?>iß — {x — 2)2 (x — 1) = 0 einen besonderen Punkt besitzt.

4    =(*-2)(-3* + 4);

Figur 80.

+Y

d²F

^ = -6,+ 10;

Die drei Gleichungen:

3^2 _ (a? — 2)2 (a? — 1) = 0,

(x — 2) (— 3 x + 4) = 0 6y = 0

haben die gemeinschaftlichen Wurzeln x₀ — 2 und yQ — 0. Diese Werte liefern:

<9² F

?₂

10,83

8 x <9 y

d² F

8 X-

= -2,

8²F

= 6,

also:

P4

= ±ivä;

also ist:

Tj = 300, r2 — 1500 und die Tangentengleichung lautet:

oder:

oder:

und

(siehe Figur 80).

6 F² -j- (X — 2) (— 2) = 0 3 Y² — (X — 2)² = 0 X -j-1/3" F — 2 = 0 I-Y3F- 2 = 0

Aufgabe 254. Hat die Kurve mit der Gleichung :

y² — (x — 2)2 (x — 4) = 0 einen besonderen Punkt?

Auflösung. Hier erhalten wir: dF = (x — 2) (— 3x -j- 10),

O)' CL>

Figur 81.

d²F dx²

— — 3x-\- 16,

7 = s"

d² F

°. v =²'

dF

— und -=■— verschwinden für

d²F

dxdy

dF

+Y

p.

F(x, y )

x₀ = 2, y₀ = 0; diese Koordinaten liefern: d²F dxdy

d²F    ......

2 und D — Y~ 8 ; d y²

d. h. der Punkt x₀ — 2, y₀ = 0 ist ein isolierter Punkt der Kurve. Sie schneidet die Abscissenachse im Punkt x = 4 und hat

zwei Wendepunkte mit der Abscisse x — 4 -g-(siehe Figur 81).

= 0,

dy

d*F

Pa'

Aufgabe 255. Hat die Kurve mit der Gleichung :

a⁴ -{- a:² y² — 6 x- y -j- y- — 0 besondere Punkte?

dF

dF

Auflösung. Wir erhalten:

d²F d x²

= 12 x² -f 2 y²,

5²P

dxdy

= 4 x y — 12 x,

d²F

1^ = ²*² + ²-

Für x — 0, y = 0 verschwinden :

Diese Werte geben weiter:

5²P _    5²X

5 a;² dxdy

und

dF

dy'

und

d²F

——— = 2 und ü = 0.

dy²

Po

Figur 82.

Po'

+Y

P-T

P-r

'I

+X

-1

-0,5

-2,8 -2,5    -2    -1,5

Erkl. 74. Zur graphischen Darstellung obiger Kurve dienen folgende Werte:

+ * — 0,1

!/i = 0

y₂ = 0,06 + a? =    2

Vi =

y₃ —

0,8

4 (Max.)

t-¹ © p

16

00

¹⁻¹ © cf

0'<

3.74

2,83 (Max.) 8/3 = 2,7 8/3 = 2,7.

IQ Öj 1    1.5    2    2,5 2,8

Daraus schliessen wir, dass der Ursprung ein Rückkehrpunkt oder ein Selbstberührungspunkt sein muss. Da aber x nur auf den Potenzen 2 und 4 in der Kurvengleichung vertreten ist, die Kurve also gegen die F-Achse Symmetrie zeigen muss, so folgt, dass die Kurve im Ursprung sich selbst berührt (siehe Figur 82).

Aufgabe 256. Bestimme die besonderen Punkte der Kurve mit der Gleichung: a?⁵ — a?⁴ -j- 2 x² y — y² = 0.

Auflösung. Die Funktion :

F(x,y) = x⁵ — a?⁴ -)- 2 x² y — y²

liefert :

= 5a?⁴ — 4a?⁸4-4xy ,

dF

dy

= 2a?² —2 y,

d²F

20a?³—12a?²-(-4y ,

l²Z ₌ _o

dy²

Die drei Gleichungen:

x⁵ — a?⁴ -f- 2 x² y — y² = 0 ,

5 a?⁴ — 4 a?³ -J- 4 x y — 0 2 (x² — y) = 0 gaben als gemeinsame Wurzeln x₀ — 0, y₀ = 0; der Ursprung ist demnach ein besonderer Punkt. Seine Koordinaten machen D — 0; d. h. es liegt ein Rückkehrpunkt vor.

Schreiben wir die Kurvengleichung in der Form:

(y — a?²)² = a?⁵ oder y — a?² + xb, so sehen wir, dass die Kurve die beiden Zweige y — x² -j- V xb und y = x² — Vxb

dx2 d²F

dxdy

4a?,

und

Von diesen ist der erstere in allen

Figur 83.

hat.

Punkten gegen die Abscissenachse konvex, denn für ihn ist:

+Y

dy o i ⁵ T -ji = 2x+^x

und

d-y

= 2+-V*²;

d x²

der letztere Wert bleibt wegen des positiven Vorzeichens der Wurzel für sämtliche Abscissen positiv. Für den zweiten Zweig erhalten wir:

io

5 y ~2X ’

d. h. auch dieser Zweig steigt vom Ursprung

4* =2*-

1(>

p₂

P₃ ⁺X

i 1.

an bis zum Punkt xi — und liegt anfänglich auf der oberen Seite der Abscissenachse; der Ursprung erscheint demnach als Kückkehrpunkt zweiter Art. Da:

= 2--~T~X^

4

d²y d x²

Erklärung¹ zur Figur S3.

x — 1,42 yx — 0,2 (W) 0,4 (Max)

y₂ — 0,6

für:

3,2

3,7

beim Massstab 1:5.

O ui

64

225

64

zu Null wird, so bezeichnet x₂ =

Abscisse eines Wendepunkts des unteren Zweigs, der bei x = 1 die Abscissenachse durchschneidet und nach unten ins Unendliche geht (siehe Figur 83).

225

die

2) Die Kurvengleichungen seien x = cp(t), y — ifj (t).

Frage 62. Wie geschieht die Bestimmung der Doppel- und Rückkehrpunkte einer Kurve, wenn die Koordinaten x, y ihrer Punkte als Funktionen eines unabhängigen Parameters t dargestellt sind?

x = (f (t), y — xp (t).

Antwort. Hier können Doppelpunkte in der Weise auf treten, dass zwei verschiedene Werte tl, t₂ des Parameters dieselben Koordinatenwerte x, y ergeben, während die Differentialquotienten:

dx ,,.

-Jt=v w unä

Erkl. 75. Wählen wir als Beispiel die verschlungene C3?kloide (siehe Aufgabe 58 und Figur 35) mit den Gleichungen: x — rt — bsint, y = r — bcost und 5>r, für tx und t₂ verschiedene Werte anso ist zu beachten, dass x zu Null wird für nehmen und dadurch auch die Tangenten-Ï-.*. Heissen wir den gleichlmg:

dy

sr = »'W

rt — bsint oder sint — — _

b    (p'(t)(X—x) — *lj,t)-(Y—y) = 0

*»«• *. ** i«»

nügt der nämlichen Bedingung offenbar auch für tx und t₂ verschieden ausfällt. Aendert

der zweite Wert t₂ = — tx. Zu tx gehört der sich t, beständig wachsend oder beständig

Kurvenpunkt P, mit den Koordinaten xx = 0 abnehmend, von t. ZU L, SO beschreibt und y. =r — bcost.. auf der F-Achse liegend, -, , . . Tl    ¹ , , v .    ^

ta der Punkt p₉ mit den Koordinaten dabei der Kurvenpunkt P eine Schleife, x, — o und y., = r—bcost₂ — r—bcos{— tx) welche zum Anfangspunkt zurückführt.

und zu

Um die Doppelpunkte der Kurve zu erkalten, müssen demnach aus der Form der Gleichungen:

= r— bcostt = yx\ d. h. P₂ fällt mit P, zusammen. Lassen wir demnach t beständig abnehmen vom positiven Wert tt, der vorhin bestimmt wurde, bis zum Wert t₂ = — t, so beschreibt der Punkt P, von P, auf der Y-Achse ausgehend, nach links unten eine Schleife um den Ursprung 0 bis zum tiefsten Kurvenpunkt auf der negativen Y-Achse, und dann rechts den symmetrischen Bogen nach P, zurück. P1 ist dann ein Doppelpunkt. — Eine Wiederholung tritt offenbar ein für t₃ = t, -(- 2tt, ti = —1₃ auf der Geraden 16' 16", tb — tx 47T, t₆ = — tb auf der Geraden 32' 32" u. s. f.

x = (p (t), y — xp (0

solche Werte von t gesucht werden, welche die nämlichen Werte für x und y liefern.

Die vorhin heim Doppelpunkt bemerkte Schleife wird nun immer kleiner, je kleiner die Differenz ty — it₂ ist. Wenn t₂ nur unendlich wenig von tx verschieden ist, so verschwindet die Schleife und der Doppelpunkt geht in einen Riickkehrpunkt über. Die Bedingung für einen Rückkehrpunkt ist also, dass einer unendlich kleinen Aenderung von t unendlich kleine Aenderungen höherer Ordnung von x und y entsprechen; oder der Rückkehrpunkt fordert, dass:

dx _    . dy

dt

dt

— 0 und — 0

ist.

Aufgabe 257. Bestimme die Rückkehrpunkte der Cykloide:

x = r (t — sint), y — r (1 — cos t). (Siehe Aufgabe 10 und Figur 13.)

Auflösung. Wir erhalten:

dx    .

— = r (1 — cos <),

Beide Differentialquotienten verschwinden für t = 0, 277, 477 u. s. vv. Die zugehörigen Punkte sind daher Rückkehrpunkte und die Rückkehrtangenten sind normal zur Abscissen-achse.

dy_

dt

= rsint.

b) Mehrfache Punkte.

Antwort. Da für den vorliegenden Punkt die seither benützte Formel:

Frage 63. Wie ist die Tangentenbestimmung im Punkt P₀ einer Kurve F(x, y) = 0 weiter zu führen, wenn die Koordinaten x₀, yn des Punktes gleichzeitig folgenden Gleichungen genügen: l) . . . F{x, y) = o,

2) . .

dF

' dx °’

d² F

3) .

dF

— 0,

dy _ dx -

dx dy

±V(Ä)

2 S2 F 52 F dx? dy²

d²F

4) . .

d²F

dy2

' dx2 ^ °’

5) . .

d² F

und

dx dy

6) . .

52 f

' dy² ~ °-

versagt, weil die rechte Seite unter der Form auftritt, schlagen wir zur Bestimmung der Werte von -x₀, yn folgenden Weg ein.

dy

dx

im Punkt

9) . .

Pe

8) . .

Wir differentiieren vollständig die Funktion F(x, y) = 0 und erhalten:

7) . .

8F , dF dy _ ₀

dy dx

Diese Funktion ebenso behandelt mit

d²F d²F dy_>(_

dx² ' dxdy dx '\dxdy oder :

d² F

dx²

dF

der Beachtung, dass und tionen von x und y sind, liefert:

d²F dy\ dy dy² dx J dx

d²F

₉ d²F dy d²F ( dy\2 dxdy dx' dy² \dx J '

d³F d³F dy dx³ dx²dy dx

f2(

+(-

dy

Funk

8F^/F_y    ₀

dy dx²

₀

dy ' dx² '

Die nochmalige Differentiation der letzten Gleichung ergibt:

d³F

d³F

dy

oder geordnet:

)+²

d²F d²y dxdy dx²

d²F dy d²y dy² dx dx2 d²F d*y dy² dx³

d³F

dx³

F3

d³F dy dx²dy dx

Figur 84.

10) . .

d³F

dx³

F3

d³F

+³(-

tt

F3

(dy V,

\dx )

d³ F

dx dy²

d²F d²F dy dxdy ' dy² dx

d³F

dy³

dF

(dyy

\dx)

d²y , d²F d³y _ ^

dx² dy² dx³

dF

nicht = 0 für

und

Wären

x — #₀ und y = y₀, so würde die Gleichung 7) den Wert von —■ liefern wie früher:

Wären

d²F

dx

dF

dx

dy

dF

dF ‘

dy

= 0 und

d²F

dF

dy

= 0. da-

und nicht = 0,

dy²

gegen

so würde Gleichung 8) den Wert von

dx² ’ dxdy

dy

dx ergeben wie oben bei den Doppelpunkten. Im vorliegenden Fall dient nun die Gleichung 9) zur Bestimmung

von denn sie vereinfacht sich wegen

der Gleichungen 1) bis 6) für x = x0 und y = y₀ zu :

dy

<9³ F

dx²dy dx

dx dy²

d³F f dy y V da;)

dy³

= 0.

Wir sehen also, dass 4^- aus einer Gleichung dritten Grades zu bestimmen ist, die uns für im allgemeinen drei

verschiedene Werte liefert. Daraus schliessen wir, dass im betrachteten Punkt P drei Tangenten an die Kurve gezogen werden können ; es müssen demnach drei verschiedene Zweige durch den Punkt gehen, oder er muss ein dreifacher Punkt sein (s. Figur 84).

Daraus ziehen wir den

Satz. Erfüllen die Koordinaten x₀, y₀ eines Punktes P einer Kurve F(x,y) = 0 das System der Gleichungen:

— o _^ = 0, —

8x²    ’ 8x8 y    ’ 8y²

so ist der Punkt ein dreifacher; man findet die drei Werte von welche den drei Tangenten in dem betrachteten Punkt an die drei verschiedenen Zweige entsprechen, aus der Gleichung:

F (x, y) = O,

— o,

dF

dy

= 0,

d² F

8-F

— o,

83 F

8x‘3

f3

83 F

8x²8y

(&)+»

83 F

dxdy²

8y3

für x = x₀, y — y₀, und die Gleichung einer solchen Tangente ist dann:    ..

Y-y₀ =

(X-x₀)

Frage 64. Welche verschiedenen Fälle können bei einem dreifachen Punkt unterschieden werden?

Antwort. Jede kubische Gleichung mit einer Unbekannten, z. B. :

a z3 -f- b z²    cz -j- d = 0,

hat eine reelle Wurzel z₁, die beiden andern z₂ und z₃ können 1) reell und

„ ,    . .    ... , . TITT .. 1 sein; ferner können 4) alle drei Wur-

1695. Ferner finden wir sie erwähnt in L Hôpital . ⁷    -,    A ,    , • ,

Analyse des infiments petits. Vergleiche weiter:    -n Z2 Z3    gleich sein,

Maclaurin, Geometria organica, 1720; Euler, also 2, = z₂ — 2₃.

Introductio II c. 18; Cramer, Courbes algébriques.

Erkl. 76. Die mehrfachen Punkte von Kurven sind von Newton, Enumeratio 1704, IV und V, erkannt und beschrieben worden. Die Rück- verschieden, also z₂ ^z₃, oder 2) reell kehrpunkte finden zuerst Erwähnung in einem und zusammenfallend, oder 3) imaginär Brief von Johann Bernouilli an Leibniz 8. Juni

Setzen wir die Diskriminante :

D* — 27ö²(7²-|-4ae³-|-4&³d — b²c² —18 ab cd, so ist nach der Lehre von den Gleichungen :

1)    z₂ und z₃ reell und verschieden für D* 0,

2)    z₂ und zs reell und z₂ = z₃

„ D* > 0.

3)    z₂ und zs imaginär

Weiter wird:

4) z. = z₂ = z₃,

wenn die Doppelbedingung D** erfüllt ist:

62

C Bei

63

27 a² ’

Wenden wir dies auf die Gleichung 10) an, welche für vom dritten Grad ist, indem wir setzen:

<93 F

<93 F

11) . . . D* =

a dy³ ’    ^ dxdy² ’    ° dx²dy

so wird:

3 s* F

53 F

und d ==    -

dx³

(frV' (tt) + ⁴ (yyJ-Y •

\dx³J \dy³ J    \dx-dyj

/ 53 J¹ y (^F\l

\dx²dy) \5x5y²/

5y3

53F    / 53F y

5x³ y dxdy² )

53 F 53 F 5 F 53 F 5xH dx²dy dxdy² dy³

ferner :

d³ F

/ 53 F y

\ dx dy² J

dx² dy    53F

12) . . . D**

und

dy3

d³ F _ dx³

/ 53 F y

\ dx dy² )

/53 F y '

V<W

Wir können also jetzt sagen:

Ist für x = cc₀ und y = y₀ 1) D* < 0, so hat der dreifache Punkt P eine reelle und zwei weitere reelle und verschiedene Tangenten.

Ist 2) D* = 0, so hat der dreifache Punkt P eine reelle und zwei weitere zusammenfallende Tangenten.

Ist 3) D*>0, so hat der dreifache Punkt eine reelle und zwei imaginäre Tangenten.

Ist 4) für x = x₀ und y — y₀ die Doppelbedingung D** erfüllt, so hat der dreifache Punkt drei zusammenfallende Tangenten.

Frage 65. Wie ist ein dreifacher Punkt beschaffen, der eine reelle und zwei weitere reelle verschiedene Tangenten besitzt?

Antwort. Der betreffende Punkt erscheint als ein gewöhnlicher Kurvenpunkt, der mit einem Doppelpunkt zusammenfällt, und ist der gewöhnliche dreifache Punkt, wie ihn die Figur 84 zeigt.

Frage 67. Welche Beschaffenheit hat der dreifache Punkt mit einer reellen und zwei imaginären Tangenten?

Antwort. Hier fällt ein gewöhnlicher Kurvenpunkt mit einem isolierten Punkt zusammen; dem Auge erscheint derselbe in der Zeichnung als ein einfacher und bedarf also, um hervorzutreten, besonderer Markierung, z. B. durch einen kleinen Kreis, wie in Figur 85. Wir bezeichnen ihn als einen aufliegenden Isolierpunkt.

Frage 68. Wie ist ein dreifacher Punkt beschaffen mit drei zusammenfallenden Tangenten?

Frage 66. Wie ist ein dreifacher Punkt beschaffen, der eine reelle Tangente und ausserdem zwei reelle zu-sammenfallende Tangenten besitzt?

Figur 85.

łz,3.

Po

Antwort. In diesem Fall haben wir einen gewöhnlichen Kurvenpunkt, mit einem Rückkehrpunkt zusammenfallend, wie in Figur 85 ; dabei ist die Tangente tx einfach, die Tangente t₂, t₃ doppelt zu rechnen. Wir nennen ihn einen aufliegenden Rückkehr punkt. Derselbe entsteht aus dem vorigen, wenn man die Tangenten t2 und t₃ bei einer Drehung um P sich nähernd vorstellt derart, dass die obere Schleife immer mehr sich verengt und schliesslich sich in den Punkt P zurückzieht.

Antwort,. Wenn wir in Figur 85 die Rückkehrtangente um P nach rechts sich drehend denken, so dass die Schleife sich immer mehr zusammenzieht, so wird beim Zusammenfallen der Rückkehrtangente mit tx und dem Verschwinden der Schleife der Punkt P zu einem solchen mit drei zusammenfallenden Tangenten. Die nächste Figur 86 zeigt einen solchen ; wir nennen denselben eine Spitze.

Zusammengefasst folgt der Satz. Hat eine Kurve F{x,y) = 0 im Punkt mit den Koordinaten x₀, y₀ einen dreifachen Punkt, so ist der letztere ein gewöhnlicher dreifacher Punkt oder ein aufliegender Rückkehrpunkt oder ein aufliegender Isolierpunkt, je nachdem für x = x₀

¹

= V0 — (— 2) 6 = |/l2 = 21/«} ;

der gefundene Punkt ist demnach ein Doppelpunkt. Für ihn wird:

dy __ 0 + 2 VS dx    6

und y = y₀ der Ausdruck 0, oder eine Spitze, wenn die Doppelbedingung D** erfüllt wird.

Aufgabe 258. Zu zeigen, dass die Kurve, deren Gleichung:

x⁴ — 2 x² y -j- 3 x y² — y³ = 0 ist, einen dreifachen Punkt besitzt und den letzteren genauer zu kennzeichnen.

Auflösung. Wir erhalten :

dF

— 4 a;³ — 4 xy 3 y²

dF

dy

— — 2 x² -f- 6 xy — 3 y²

d²F

^-5-= 12*2_4y

d²F

d²F

dx dy

= — 4a; + 6y ,    =6x — 6y,

d³F d x³

= 24 a;

d³ F

d³F

= 6.

dx dy²

Für a; = 0 und y = 0 verschwinden alle partiellen Ableitungen I. und II. Ordnung; ebenso :

<9³F .

5 a;³ ’

der Ursprung ist demnach ein dreifacher Punkt. Berechnen wir D*, so erhalten wir: 4(—4)³ (— 6) — 3 (— 4)2 62 = + 1536 — 1728 = — 192, woraus wir schliessen, dass der dreifache Punkt ein gewöhnlicher ist wie in Figur 84. Die Gleichung:

d³F

dy³

■(£)'+*

d³F

dx dy²

•(40+³

d³F

A, Ai

d³F

dx³

da:² d y

geht hier für x = 0, y = 0 über in:

— 12*

dy

= 0,

woraus wir erhalten:

-0 i£-i

’ da; “ ¹ ’

dy

dx ~ 2;

d. h. die drei Tangenten bilden die Winkel 0, 45° und 63° 26' mit der Abscissenachse und haben die Gleichungen:

7 = 0,    7 = X und 7 = 2 X.

Aufgabe 259. Desgleichen für die Kurve mit der Gleichung:

x⁴ — x%y -f- 2xy² —    — 0.

Auflösung. Aus :

F(x,y) = x⁴ — x²y 4~ 2xy² — y³ = 0 ergibt sicJi :

d²F

dF

—— = 4a:³ — 2xy -\-2y²,

C X

dF

d²F

= —a:²4~4 xy — 3^2, dy

d² F

= —2a;4-4y, -—- = 4x — 6y. dy²

dx dy

Alle diese Funktionen erreichen für x = 0, y = 0 den Wert Null; es ist demnach der Ursprung ein besonderer Punkt.

D* = 4 (- 2)3 (_ 6) - 3-(- 2)2-42 = 0; die Kurve hat also im Ursprung einen aufliegenden Rückkehrpunkt.

dy

d² F

Wir bilden weiter:

d'F

= -2,

53 F

dx dy²

= 4,

<93 F

-6;

dx² dy

von diesen verschwindet nur die erste und es folgt:

Die kubische Gleichung für geht über in:

dx ~ °;

oder es ist:

dy

dy

dy

dx ~ °’ dx ~ 1 UIld dx 1; d. h. die Kurve berührt die Abscissenaclise und die Rückkehrtangente hat gegen die letztere die Neigung 45° (siehe Figur 85).

Aufgabe 260. Desgleichen für die Kurve mit der Gleichung:

a⁴ — 2x²y — 2 xy² — t/3 — 0.

Auflösung. Für x — 0, y = 0 verschwinden sämtliche partielle Differentialquotienten I. und II. Ordnung:

d F    d F

= 4x²— 4xy — 2y², -5— =—2a²— 4 xy — 3#²,

dx

dy

d² F dx²

= 12 a² — 4 y,

d²F

d²F

dxdy ~    4y’ dy²

ferner wird:

— 4a — 6y;

d³F

aï» =²⁴*'

also = 0 für x — 0 und y — 0, weiter folgt : d²F _ _ d²F _ _ dFF _ _ dx²dy    ’ dxdy²    ’ dy³

und demnach:

D* — 4-(— 4)3 (— 6) — 3-(— 4)².(— 4)² = +768, woraus wir schliessen, dass der Ursprung ein aufliegender Isolierpunkt ist. Die kubische

(L y

Gleichung für geht hier über in:

=0;

—12

dx

dy

dx

woraus wir die drei Werte erhalten:

= 0,    = — 1 + i und

dx    dx

die Kurve berührt demnach die Abscisse im Ursprung und besitzt dort zwei imaginäre Tangenten.

dy

Auflösung. Aus :

a⁴ — y² = 0

Aufgabe 261. Bestimme das Verhalten der Kurve mit der Gleichung:

a⁴ — y³ — 0

im Ursprung.

erhalten wir:

-3

-2

Figur 86.

+Y

'1

Frage 69. Was ist über einen Punkt P einer Kurve F(x,y) = 0 zu sagen, dessen Koordinaten x₀, y₀ alle partiellen Differentialquotienten bis zur III. Ordnung einschliesslich zu Null machen ?

Frage 70. Welche weiteren Besonderheiten können in einem vielfachen Punkte auftreten?

d² F

^

dF

Sy

— 3^2,

S*F _A 8²F _    ₀

dxdy ’ dy2 — die alle verschwinden für x = 0, y = 0.

Weiter folgt:

<93 F

<9a;3

<93 F

= 24 a;,

<9 i/³

= — 6.

83 F

8x²8y    dxdy²

= 0,

<93 F

Weil für a: = 0, y — 0 auch zu Null

wird, so genügen die partiellen Differentialquotienten III. Ordnung der Doppelbedingung -D**; d. h. der Ursprung ist eine Spitze (siehe Figur 86).

Antwort. In dem betreffenden Punkt kreuzen sich vier Kurvenzweige; der Punkt ist also ein vierfacher. Zur

Bestimmung der Wurzeln dient die

Gleichung vierten Grades, die man durch viermalige Differentiation von F(x, y) = 0 gewinnt (siehe Frage 63). Doch kann hierauf an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden.

Antwort. Betrachten wir nur einen Doppelpunkt, so kann derselbe für den einen Zweig oder für beide Zweige Wendepunkt sein. Diesen Fall haben wir bei der Lemniscate (siehe Aufgabe 192 u. Figur 58). Oder es könnte der eine Zweig oder beide im Doppelpunkt sich verhalten wie die Wendeparabel oder Wendeflachparabel u. s. w. in ihren Scheiteln (siehe Aufgabe 222 und 224 nebst den zugehörigen Figuren). Aber die Betrachtung dieser Fälle liegt ausserhalb des Rahmens dieses Buches, wie auch die Besonderheiten, welche bei transcendenten Linien Vorkommen, hier übergangen werden müssen.

c) Uebungsbeispiele über besondere Punkte.

1) Doppelpunkte.

Aufgabe 262.

F(x, y) — axa -\-3bx²y -f- 3c xy² -j- dy% -|- 3ex² -\- 6fxy -}- 3gy² — 0.

Auflösung. Die drei Gleichungen:

F(x,y) = 0,

= ax² -j- 2bxy -J- cy²    2ex -|- 2 fy = 0,

= bx²-\-2cxy -\-dy²-\-2fy -{-2g y = 0.

1 BF 3 dx 1 BF 3 dy

werden befriedigt durch x = 0, y = 0, daher ist der Ursprung ein Doppelpunkt. Mehr als einen Doppelpunkt kann die Kurve nicht haben, denn hätte eine Kurve dritten Grades zwei Doppelpunkte A und B, so würde die Gerade AB in A zwei und in B zwei Punkte mit der Kurve gemein haben, hätte also vier Punkte im Widerspruch mit der Thatsache, dass eine Gerade mit einer Kurve vom dritten Grad nur drei Punkte gemein haben kann.

Man hat ferner:

1 d²F

6 dx²

= ax-\-by-\-e, 4

d²F

6 dxdy

L

6 ' dy²

Für den Doppelpunkt x = 0, y = 0 erhalten diese Ausdrücke der Reihe nach die Werte e, f, g\ daher ist die Gleichung der Doppelpunktstangenten :

ex²-\-2 fxy-j-gy² = 0.

Der Ursprung ist daher ein eigentlicher Doppelpunkt, wenn eg — /’²>0, einRück-kelirpunkt, wenn ef—g- — 0, ein isolierter Punkt, wenn eg — f ²<C 0 ist.

= bx + cy-\-f,

= cx-\- dy g.

Aufgabe 263.

y² =

Auflösung.

(2x — 3p)² (2x —p)

32 p

3

* = -«P, y — o.

Aufgabe 264.

y% — x² — x² = 0.

Auflösung.

x — 0, y — 0 ; Tangenten Y — -J- 2 X, Y —-2X.

Aufgabe 265.

Auflösung.

Blatt des Descartes (s. Aufgabe 193 u. Figur 59). x = 0, y — 0; Tangenten X ~ 0, Y = 0.

yÿ x³ — 3 a xy — 0

Aufgabe 266.

(x² -f- y²) (b — y)² — a²y² = 0 Gleichung der Conchoide (siehe Aufgabe 232 und Figur 45).

Auflösung. Aus 1):

F ={x² + y²) (b — y)² — a²y² = 0 findet man:

»-H

K>|

Cb Cb « ^

'To

CO

. . -.-Z = {y-h)(x² + 2y²-by)-a²y,

4) •

1_ a²F 2 dx²

= (*-y)²; 4

2 dxdy

1_ 52 F_

2 "âÿ*

Aus 2) folgt für Doppelpunkte x = 0 oder y = b.

Setzt man das erstere in 1) und 3) ein, so ergibt 1):

6) y² = 0 oder (b — y)² = a²

= x{y — b)\

= x² -(- 6y² — 6 by -j- b² — a².

und 3) gibt :

7) y — 0 oder (y — 6) (2 y — b) — a².

Hieraus folgt, dass der Ursprung a; = 0, y =0 den Gleichungen 1), 2) und 3) genügt; da er die Grössen 4) nicht zu Null macht, so ist er ein Doppelpunkt der Conchoide. Die beiden andern Werte für y unter 6) und 7) stimmen nicht überein; der in 5) noch angegebene Wert y = b befriedigt 3) nur unter der Annahme x = c°; beide Werte genügen auch 1) und machen 4) nicht gleich Null; x = c», y—b sind demnach die Koordinaten eines zweiten Doppelpunktes.

Setzt man in den Formeln 4) x = 0, y = 0, so erhält man als die Gleichung der Doppelpunktstangenten des Ursprungs:

6#² + (&² — a²)y² = 0.

Ist b > a, so sind diese Tangenten imaginär; der Ursprung 0 wird in diesem Fall zwar durch die Konstruktion der Kurve nicht erhalten (siehe Erkl. 50), gehört aber als isolierter Punkt zu der durch Gleichung 1) definierten Kurve.

Ist b = a, so hat die Kurve in 0 einen Rückkehrpunkt und die Ordinatenachse ist Rückkehrtangente.

Ist b<Ca, so ist 0 ein eigentlicher Doppelpunkt.

Der zweite Doppelpunkt ist der unendlich ferne Punkt der Geraden g (siehe Figur 45). Für die Koordinaten desselben ist:

52 F

*£-0

dx*

d²F

unbestimmt, ■_ „ = 00. oy-

dxdy

Die Gleichung der Doppelpunktstangenten ist daher:

(y-6)⁸ = 0;

der unendlich ferne Punkt der Geraden g ist somit ein Rückkehrpunkt und g die zugehörige Rückkehrtaugente der Conchoide.

(Heger, pag. 522).

Aufgabe 267.

Auflösung.

x — 0, y — 0 ; Tangenten Y — -(- X, Y = — X.

Aufgabe 268.

- 2*/² — 2cr² -f 1 = 0.

Auflösung.

xt = -p 1, yx — 0; Tangenten Y = \/2(X— 1), Y = — Ÿ2(X— 1),

Y=Ÿ2(X-j-l), Y=-Ÿ2(X+ 1).

x₂ ■—•    I? y i — O ;

Aufgabe 269.

Auflösung.

a?⁴ — 2 ay³ — 3 a²y² — 2a²a;² -j- a⁴ = 0.

aq = 0,    = — a ; Tangenten Y =

Y— —

x₂ = a, y₂ — 0;

a?₃ — a, y„ — 0;

r= +

+\/t(x-o)' r=~Vir(x Y^ «)> ^(-ï+«)•

— a),

Aufgabe 270.

y — <p (x) - (x — a) ^ e ¹^ «

Auflösung.

x — a, y — (p (a).

Der Leser kann sich hiernach leicht be-

= o,

wobei (p (x) eine analytische Funktion ist, welche innerhalb des in Betracht kommenden liebig viele weitere Beispiele bilden. Gebietes endlich und stetig bleibt, deren Differentialquotienten ebenfalls endlich und stetig bleiben, a, b, c seien positive Zahlen,

P

— ein nicht weiter vereinfachbarer Bruch, q

q eine gerade Zahl und a > b z. B. :

(p {x) = x², a = 2, b = 1, p = 3, q = 2, gibt:

= 0.

y — x² — (x — 2) •

Aufgabe 271.

(t — a) (t — b)

t — c

(t — a) (t — b)

f d-,

Auflösung. Für die Kurve, welche durch die nebenstehenden Gleichungen dargestellt wird, ergibt sich derselbe Punkt P mit den Koordinaten x — d, y = dl für die beiden Parameter werte t = a und t — b.

Wir erhalten:

dx (t — a) ([t — c) -f- (t — b) (t — c) — (t — a) (t — V)

dt

(t - c)²

dy {t — a) (t — ct) (t — b) (t —cA) — (t — a) (t — b)

dt    (t — ej²

Für t = a folgt :

dx

dt

und für t = b:

a — b    dy a — b

a — c' dt    a — Cj

dx b — a    dy b — a

dt    b — c ’ dt    b — Cj

Daher ist der Punkt x = d, y — dA ein Doppelpunkt und die Gleichungen der Tangenten sind:

X- d _ Y — d, _

a — ct X—d

c ’

b — c

Aufgabe 272.

2) Rückkelirpunkte.

Auflösung.

x — p, y — 0 I. Art. Tangente F = 0.

Aufgabe 273.

(y — x) — a:³ = 0.

Auflösung.

x — 0, y — 0 I. Art. Tangente Y = X.

Aufgabe 274.

(x² -f- y²)x— 2p y² = 0.

Auflösung.

x = 0, y = 0 I. Art. Tangente Y = 0.

Aufgabe 275.

x³ -j- xy² — 2a:² — 2y² -)- 2    - 0.

Auflösung.

x = 0, y = 1 I. Art. Tangente Y-f- X— 2 = 0.

Aufgabe 276.

(by — ex)² — (x — a)⁵ = 0.

Auflösung.

x — a, y = I. Art. Tangente Y--(X — a).

Aufgabe 277.

y² (2r — x) — a:³ = 0 (Cissoide).

Auflösung.

x — 0, y = 0 I. Art. Tangente Y = 0.

Aufgabe 278.

y — b = (x — a) ³ -f (x — a)⁴.

Auflösung.

x = a, y — b II. Art. Tangente parallel zur F-Achse.

Aufgabe 279.

a² y²

a:⁴ — ax²y — axy² Ą--^

= 0.

Auflösung.

x = 0, y = 0 IL Art. Tangente F = 0.

Aufgabe 280.

(b²y²a²x² — e*)³-j-27a²b²e⁴x²y² = 0 (Evolute der Ellipse),

wobei :

e² — a² — b².

Auflösung.

4 Eückkehrpunkte.

a-j = 0,

e²

*3-+-,

y\ -tti ^2 — —p

*4 = —

e²

y 4 = °-

Anmerkung 1. Man erhält hier:

dF

= 6 a² (b²y² -(- a²x² — e⁴)²>a’-f- 54a²b²ety²a:,

dF

~x— = 6b² (b²y² -f- a²x² — e’)²y -j⁻ 54a²b²e⁴ya:²;

daraus bilden wir die beiden Gleichungen:

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

[(b²y² 4“ (Fx²)² -f- 7 fc² e⁴y² — 2a²e*x² -j- e⁸] x = 0, [(b²y² -j- a²x²)² — 2b²eiy² -)- 7a²«⁴*² -j- e⁸) y = 0

10

und gewinnen daraus folgendes System von Werten: x = 0

I.

, II.

III.

y — o

« = ±fv=ï

Die beiden letzten S3rsteme geben keine reelle Punkte und das erste System befriedigt die Gleichung der Kurve nicht; das zweite und dritte System genügen dieser Gleichung ; daher vier reelle Rückkehrpunkte in den Krümmungsmittelpunkten der vier Scheitel der Ellipse.

Vergleiche auch die später folgende Aufgabe im System über die Herleitung der Gleichung der Evolute der Ellipse nebst Figur.

IV.

, V.

*=±£v=ï » = ±£v=~i

Aufgabe 281.

(b²y² — a²x² -j- e⁴)³ -j- 27 a²b²eix²y² — 0, wobei :

Auflösung.

«8 = »2 + fc2

(Evolute der Hyperbel).

2 reelle Rückkehrpunkte.

x\

= +^

a

x.₂ = —

y 2 = ⁰

Man erhält die Doppelpunkte dieser Kurve, wenn man in den Werten I bis V der Koordinaten der oben bei der Ellipsenevolute gefundenen Punkte b Ÿ— 1 staff b setzt.

Die beiden letzten Systeme geben ebenfalls keine reellen Punkte, weil:

-=±T^

e²

und

' = ±W

V -~b

ist. Das erste System:

( x = 0

l y — ⁰

befriedigt die Gleichung der Kurve auch hier nicht; das zweite System mit:

x — 0

gibt hier keinen reellen Punkt. Das dritte System aber gehört zu reellen Punkten, welche Rückkehrspunkte und zugleich die Krümmungsmittelpunkte der beiden Scheitel der Hyperbel sind.

Die Figur folgt später bei der Behandlung der Evolute der Hyperbel.

Aufgabe 282.

y = ip {x) + xft (x) (x — a) q.

Dabei seien cp (x) und (x) zwei analy-    _    . .    - g

tische Funktionen, welche innerhalb des in y Tla)>    T (a)-

p_

Auflösung. Rückkehrpunkt in x — a,

dy

Betracht kommenden Gebietes endlich und stetig bleiben, und deren sämtliche Ableitungen ebenfalls endlich und stetig sein

sollen, a. sei eine konstante Grösse, — ein

positiver unächter, nicht weiter vereinfachbarer Bruch, und q eine gerade Zahl, z. B. :

(f (x) = xs, xp (x) — xi, a = 2, p = 5, q — 4, y = x⁹ + (x — 2)⁴.

Aufgabe 283. Bestimme die Rückkehr-punkte der Epicykloide und Hypocykloide.

(Siehe Aufgabe 11, Figur 15, und Aufgabe 12, Figur 18.)

Auflösung. Rückkehrpunkte für t — 0, + 27T, + in u. s. w.

Aufgabe 284.

xy² (x — 9) (x — 2)² = 0.

3) Isolierte Punkte.

Auflösung.

x — 2, g = 2.

Aufgabe 285.

5y² + 10y — x* + 2*2 -f 5 = 0.

Auflösung.

x — 0, y — — 1.

Aufgabe 286.

ay² — x² -(- bx² = 0.

Auflösung.

a; = 0, y = 0.

Aufgabe 287.

y² — (2 — x)² (1 — x) = 0.

Auflösung.

x = 2, y — 0.

Aufgabe 288.

aa;² -)- fcy² — ca;² y²)² = 0.

Auflösung.

x — 0, y = 0.

Aufgabe 289.

(4-0r-

c² — d² — b²

a² c² d²

x²y² —

c²—d²

c²d²

c²d²

y² = 0.

Auflösung. Zwei isolierte Punkte: « = + a

y = 0,

y = o.

Aufgabe 290.

2 a:² y²

y⁴

C²-f-d²

a² cd

c² d²

c²d²

y² = 0.

Auflösung. Zwei isolierte Punkte:

» = +«

y = o,

y = o.

Aufgabe 291.

y = a a: -f- & y sïn x — 1.

Auflösung.

TT

5 7T

9 TT

an

u. s. w.

Vx — ~2~'

y-2 —

Aufgabe 292.

y z= tp (x)-\-(x - a)    i

wobei a<Cb, q gerade, sonst wie in Aufgabe 282.    _

Auflösung.

x z= a, y = (/> (a).

Aufgabe 293.

a^ + a?²*² — 12.r2y2_)_4y2 — o.

4) Selbstberiibrungspunkte.

Auflösung.

x — 0, y — 0.

Aufgabe 294.

x⁵ — 2a:⁴ — 8x³y — 6y² = 0.

Auflösung.

x = 0, y — 0.

Aufgabe 295.

xi — ax-y 4- by³ —

0.

5) Mehrfache Punkte.

Auflösung.

[X ^ dreifacher Punkt mit

\y = o

a,! &

Aufgabe 296.

x⁴ — 2ax³y -f- ay³ -j-    = 0.

fx =

\» =

Auflösung.

^ dreifacher Punkt mit = 0, \/2, — ]/ 2. 0    d cc

Aufgabe 297.

yh -|- ax¹ — bxy² — 0.

Auflösung.

( x = ö dreifacher Punkt mit Rückkehrpunkt

\y = ⁰

erster Art und Wendepunkt.

D. Von der Berührung der ebenen Kurven.

a) Berührung verschiedener Ordnung zwischen zwei Kurven.

Frage 71. Welche Bedingung muss erfüllt werden, damit zwei Kurven MQ und NR, deren Gleichungen y = f{x), beziehungsweise y — cp{x) sein sollen, einen gemeinschaftlichen Punkt P₀ besitzen ?

Figur 87.

Po

Pi

‘53

'R I

h\h +X

a; a₀ a,

Antwort. Bezeichnen wir die Abscisse OA₀ des Punktes P₀ mit #₀, so muss die Ordinate A₀P₀ = f(x₀) sein, weil P₀ auf il/0, und = cp(x₀), weil P0 auch auf A⁷P liegen soll ; daraus folgt als die gesuchte Bedingung: f(x₀ = </>O₀).

Nehmen wir nun A₀ = h sehr klein an, so gehört die Ordinate:

A P = f(xo -P ä)

A P2 = <P Oo + h)

zu einem Punkt Px der ersten Kurve in unmittelbarer Nähe von P₀ und die Ordinate :

zu einem Punkt P₂ der zweiten Kurve, der ebenfalls sehr nahe an P₀ liegen wird. Der Taylorsche Satz gibt jetzt:

h²

A A = f Oo + ä) = f Oo) + hf‘ Oo) + ~2~ f“ Oo) H----

h²

A p₂ = ff Oo + h) — V Oo) + hP Oo) + ~2 P‘ OoH----> woraus :

h²

pi P2 = f Oo + h) — 'f Oo + h) — h [f Oo) — P Oo)] + ~2~ [/" Oo) — </>" Oo)] H----

Bei hinreichend kleiner Wahl von h hängt das Vorzeichen der rechten Seite nur vom Vorzeichen von h ab, ist also nur f(x₀) = qp(O₀); so wechselt P₁P2 das Vorzeichen, wenn h statt positiv negativ oder wenn der Punkt A₁ links statt rechts von A₀ angenommen wird; für AXA₀ = —h wird offenbar:

A^P^A^PN,

also bekommt links P/P₂' die entgegengesetzte Richtung von Px P₂ rechts ; demnach müssen die beiden Kurven sich in P₀ schneiden (s. Figur 87).

-To

Po

Frage 72. Wie lautet die Bedingung, dass die beiden vorigen Kurven im Punkt P₀ sich berühren?

Figur 88.

+Y

Antwort. Die Tangente P₀ T₀ im Punkt P₀ an die Kurve MQ muss auch Tangente an die Kurve NB werden; bezeichnen wir wieder mit % den Neigungswinkel der Tangente gegen die Abscissenachse, so erhalten wir nach früherem ;

M'

fp;

At A₀ A,

+.X

tgr = PO₀) und tgr = p Oo)-Daraus folgt: Die beiden Kurven haben in P₀(a?₀, y₀) eine gemeinschaftliche Tangente ausser f(x₀) = q>(x₍₎) auch noch f‘ (x₀) — cp' (x₀) ist. Nehmen wir wie vorhin A₀AX — h unendlich klein an, so erhalten wir hier:

wenn

h²

Erkl. 7 7. Nehmen wir an, die beiden Kurven p p₂ —-[f“ (x) — <//' 0)1

y₀~f (x₀) und yn = (p(x(t) haben nicht nur den Punkt P₀ mit den Koordinaten x₀, y₀, sondern auch noch den unendlich benachbarten Punkt $ß₀ mit den Koordinaten x₀-\-Jx und y₀Ą-Ay, wobei Jx und /ly unendlich klein sein sollen, gemeinschaftlich, so ist:

\f‘" O) — P“ 0)1 H----

Hier wechselt Pl P₂ sein Zeichen nicht mit jenem von h ; auf beiden Seiten von f(x₀) = tp(rQ) und f(x₀4-/ix) — w(x₀-\-/ix) A₀ sind die Ordinaten von der Kurve

1-2-3

Sind die beiden Punkte P₀ und einander unendlich nahe, so ist Jx eine unendlich kleine Grösse; im Fall des Zusammentreffens von P0 und ipo verschwindet Jx und mit ihm die ganze rechte Seite der vorigen Gleichung mit Ausnahme von f‘ (r₀) — p (ar₀) ; wir sehen also, dass die Gleichung dann nur erfüllt sein kann, wenn f'(xn) — p(x₀) ist; d. h. die beiden Kurven haben zwei zusammen fallen de Schnittpunkte gemein, oder sie berühren sich, falls f‘(x₀) — P (xo) ist (siehe Figur 89 a und 89 b).

Figur 89 a.

Figur 89 b.

⁺Y

+Y

Pov

Po

N7 !

x₀ \

A^r

IN

A₀

a₀+x

0 A₀

1-2

Für

und

f{x0 + dx) — (f (x₀ + Jx) = f (a?₀) — (p (a:₀) -\-/!x [f (x₀) p (#₀)]

oder:

⁰ = f 0<>) — P (*₀)

Jx

1-2

MQ grösser als jene von NB.

Für A₀ Ax= — h links erhält P/P₂' die gleiche Richtung wie PxP₂ rechts; die obere Kurve umschliesst in der nächsten Umgebung des Punktes P₀ die untere. Man bezeichnet dieses Verhalten der beiden Kurven im Punkt P₀ als eine Berührung I. Ordnung (s. Fig. 88).

Frage 73. Wie verhalten sich die beiden vorigen Kurven im Punkt P(x₀, y₀),

wenn nicht nur f(x₀) = q>(x₀) und Antwort. Nehmen wir wieder f‘(xo) = cp*(.x₀), sondern auch noch A₀Ax = h unendlich klein an, so wird /"(.r₀) = cp“(x₀) ist?    hier nach dem Taylorschen Satz:

P, P, =    [P" (*o) - P“ (*₀)1 +    tfIV (*o) - tiv (»o)l + • • ■ ;

Po,

Erki. 78. Wir nehmen an, die beiden Kurven y=zf{x) und y — (p{x) sollen drei gemein- NQ links von P₀ kleiner und rechts schaftliche Punkte P₀, und n₀ besitzen mit yon P₀ grösser als jene der Kurve MQ den Abscissen x₀, xnpjx und x₀-\-2Jx, so    dass die erste Kurve die zweite

ass '    im Punkt P₀ schneidet ; beideKurven

schneiden und berühren sich

und

Figur 90.

P, Q

P₂’

+X

Ai    A

1)    . . . f(x₀) — (p (x₀),

2)    ... f(x o + Jx) = (p (x₀ + Jx)

3) . . . f (x 2 /Ix) = (f (x₀ -j- 2 Jx) ist. Nach dem Taylorschen Lehrsatz entwickelnd bekommen wir hieraus:

ferner wechselt PiP₂ sein Vorzeichen, wenn h statt positiv negativ angenommen oder A₀, A₁ = —h links von A₀ gewählt wird; PXP₂ links bekommt dann die entgegengesetzte Richtung von P₁P2 rechts; wir schliessen daraus, dass einmal wegen /''(æ₀) = r// (x₀) in P₀ eine Berührung der beiden Kurven stattfinden muss und zwar eine engere als vorhin, weil sich PXP₂ als eine unendlich kleine Grösse III. Ordnung ergibt, während bei der einfachen Berührung Px Px nur von der II. Ordnung unendlich klein gefunden wurde. Weiter schliessen wir daraus, dass die Ordinaten der Kurve

gleichzeitig. Dieses Verhalten bezeichnet man als eine Berührung II. Ordnung (siehe Figur 90).

9)... o = r (x₀) - y (x₀) + ^ ir (x₀) - <(■“ (g₀)] + ~4v~ [r‘ ^ ~~ ,f/“<(-x*)] + •••

Ferner gibt die Subtraktion von Gl. 6) und 7) wegen Gl. 1) und 3);

/i T    st 7*2

4) ... f (X₀ + Jx) = f O₀) + -y- f (x₀) + -yp f“ O₀) -f

yi

v'G*₀)4- -yr v"fa>)4-

(2Jx)²

5) . . . </>(*„ +^/a?) = (f (x₀) -f und

z/a;

4f/“w+-

Jx³

3!

O /V»

6) . . . f{x + 2Jx) — f (x₀) -I--— f‘ (a*₀) -f-

rw +

(2z/a;)³

2 Jx

7) • • • y(a?4-2z/a?) = </>(*„) 4

Wegen Gl. 1) und 2) folgt, aus Gl. 4) und 5) durch Subtraktion und Division mit Jx\

— P O₀) H

(2Jx']²

gl—v>"Oo)-b

(2Jx)'A

P" (*₀) H----

Jx

8) ... 0 =r.f‘ (a;₀) — (p (ar₀) +    [f“ (a?₀) — 7 " (a:₀)J -f

Jx²

Durch Subtraktion der Gl. 8) von 9) folgt:

4p [f" (*.) - <p" «] + -4 V“‘ (*«) -    (*.)] +

7z/a;³

f/1V <4₀) - 7)1V (*o)l H----

oder :

10) ... 0 = f“ (*₀) — V" («0) + ^ IP"(*o) — P" Po)] 4

7 z/a;²

Ist Jx eine unendlich kleine Grösse, so liegen die beiden Punkte <po und Z70 unendlich nahe an P₀; für Jx — 0 fallen beide mit Pft zusammen, und die Gleichungen 8) und 10) gehen über in:

f Po) = P Po) f“ Po) = 7 “ Po)-Sind diese beiden Bedingungen erfüllt, so haben also die beiden Kurven drei zusammenfallende Punkte gemeinschaftlich (siehe die Figuren 91 a und 91b).    .

Figur 91a.

■N

+Y

Po

Ho

x₀\ Aj I Ax I So    A₀

[/1V (»0) — t>iy Po)] H----

Figur 91b.

+Y

<2

+X

N,

Po

0 1 Ap

x₀

<2

Frage 74. Wie verhalten sich die beiden vorigen Kurven im Punkt P₀(4₀, //₀), wenn f (x₀) = çp(a?₀), f\x₀) = ^(ar₀), /’"(#„) = f/>" (4₀) und weiter noch

f“‘ <>o) =    ist?

Antwort. Für 4₀4₁ = h erhalten wir hier:

A n = 4[/IV(*) - vly(*)] + £[/*(x„)- J(x,,)] + ■ • •;

mit einem Zeichenwechsel von h ist demgemäss kein solcher von P₁P₂ verbunden oder es sind in unmittelbarer

Erkl. 79. Die Geschichte der Berührung der Kurven führt auf Newton und Leibniz zu- Nähe vom Punkt P₀ sowohl links als rück. Grosse Förderung verdankt diese Theorie rechts die Ordinaten der Kurve f (æ₀) Jakob Bernoulli, später Lagrange, Plücker, grösser a]s jene von œ(xA Die beiden Steiner, Möbius und anderen.    J.    . 7 v ü/ . i n t->

Kurven schmiegen sich, weil P₁P₂ eine

unendlich kleine Grösse IV. Ordnung ist, noch inniger aneinander und die eine Kurve umscliliesst die zweite in der Umgebung von P₀ vollständig. Dieses Verhalten bezeichnet man als eine Berührung III. Ordnung (siehe Figur 92). In dieser Art weiter geschlossen, liefert fiy (x₀) = q)lY (x₀) eine Berührung IV. Ordnung u. s. w.

Zusammengefasst folgt der

Satz. Wenn zwei Kurven y — f{x) mit y = cp(x) für einen bestimmten Wert x₀ dasselbe y haben, so dass also f(x₀) = q)(x₀) ist, so gehen beide Kurven durch denselben Punkt P₀. Ist für a-₀ zugleich f'(x₀)=cp'(x₍₎), so haben beide Kurven im Punkt P₀ eine gemeinschaftliche Tangente; es findet zwischen ihnen eine Berührung I. Ordnung statt. Ist ausserdem /’"(a-₀) — cp"(xQ), so findet eine Berührung II. Ordnung statt; wenn noch f“‘(x₀) = cp"'(x₀) ist, so zeigen die Kurven im Punkt P₀ eine Berührung III. Ordnung u. s. w.

Figur 92.

+Y

Po

p₂

To

o a; a₀

A, +X

Aufgabe 298. Es soll die Ordnung der Berührung zwischen der Kurve y = f{x) und der Geraden y — ax -}- b bestimmt wrerden.

Auflösung. Soll die Berührung im Punkt P₀ (x₀, ?/₀) stattfinden, so muss sein : f(x₀) = ax₀ -p b und f‘(x₀) = a.

Hiermit sind für die beiden Grössen a und b zwei Bedingungsgleichungen aufgestellt; wird letzteren genügt, so hat die Gerade eine Berührung I. Ordnung. Im allgemeinen berührt demnach eine Gerade eine Kurve nur nach der I. Ordnung; doch können in besonderen Kurvenpunkten auch höhere Berührungen auftreten. Dies wird z. B. der Fall sein in einem Punkt x₀, y₀, für welchen f"(x₀) — 0

d* (ax + b) dx 2

ist; dieser Bedingung genügen nach Frage 51 die gewöhnlichen Wendepunkte. Wir ziehen also den Schluss: In einem gewöhnlichen Wendepunkt berührt die Gerade nach der II. Ordnung. Als Beispiel diene der Scheitel der Parabel y — x* (siehe Aufgabe 222 und Figur 66.

ist, weil auch <jp" (a;₀) =

Ist im Punkt (a:₀, y₀) auch f"(x₀) — 0, so hat die Tangente wegen

<p‘" (*0) =

d³ (a x. -|- b) dxs

eine Berühiung III. Ordnung. Ein Beispiel hiefür liefert der Scheitel der Flachparabel y = x* in Aufgabe 223 und Figur 67.

Eine Berührung IV. Ordnung hat wegen flv(%) = 0 un(l    = 0 die Tangente

im Scheitel der Wendeflachparabel y = xb in Aufgabe 224 und Figur 68.

Aufgabe 299. Zu bestimmen, ob zwischen den beiden Kurven:

und

{x — 4 l/3 )² + (y — 4)2 — 4 = 0 eine Berührung stattlindet.

Figur 93.

+Y

Auflösung. Wir suchen zuerst, ob die beiden Kurven gemeinschaftliche Punkte besitzen. Die Koordinaten x₀ und y₀ eines solchen Punktes müssen beiden Gleichungen Genüge leisten und ihre Werte sind daher aus den beiden Gleichungen:

x² H⁻ y² — 36 = 0

«² + y² —8a:l/3'—8y-f 60 = 0 zu bestimmen. Die Subtraktion ergibt:

8+ v/ä’+öy- 96 = 0,

und

woraus :

vTo

?\z-'

Sv---

y — 12 — y 3 • x

folgt; diesen Wert in die erste Gleichung eingesetzt, liefert :

daher :

x² _ 6 y 3 • X -f 27 = 0,

A J B OC

( x₀ = 3 y 3

\ Vo — 3 j

d. li. die Kurven besitzen den gemeinschaftlichen Punkt P₀ mit den vorhin genannten Koordinaten.

Um festzustellen, dass P₀ ein Berührungspunkt ist, differentiieren wir die erste Gleichung und erhalten:

2dx-y 2ydy = 0,    ~ \

Erkl. 80. Die beiden vorliegenden Kurven sind zwei Kreise mit den Radien 6 und 2, die

sich in P₀ berühren. Zwei Kreise ergeben im somit für x₀ und y₀ : allgemeinen zwei Schnittpunkte P₀ und iß₀.

Fällt mit P₀ zusammen, so tritt Berührung I. Ordnung ein. Eine Berührung höherer Ordnung ist unmöglich, weil die beiden Kurven Die Differentiation der zweiten Gleichung nicht mehr als zwei gemeinschaftliche Punkte i- f . . besitzen können (siehe Figur 93).

dy dx ~

= -y s.

also:

2 (x — 4 y3 ) dx -J- 2 (y — 4) dy — 0,

dy _

dx

und für x₀ und y₀ folgt:

3 y3— 4 y 3

dy _ dx

— — y 3.

Aufgabe 300. Zu untersuchen, oh zwischen den beiden Kurven:

y² — 4x — 0

x² y² —10 x-\- \ y — 3 = 0 eine Berührung stattfindet.

und

Figur 94.

+Y

Pq

R \ +X

A₀

's !

Pi

Aus der Uebereinstimmung der beiden ersten Differentialquotienten schliessen wir auf eine Berührung I. Ordnung im Punkt P₀ • (3 Ÿ3, 3). Dass die Berührung keine

höhere ist, ergibt die Ungleichheit von yy der beiden gegebenen Funktionen für «₀ und y₀.

Auflösung. Zur Bestimmung der Koordinaten der Schnittpunkte beider Kurven setzen

«2

wir x = -j- in die zweite Gleichung ein, wodurch diese in:

y* — 24^2_|-64^ — 48 = 0 übergeht. Der letzten Gleichung genügen die beiden Wertepaare:

/ «o = ¹

ly₀ = ²

/ = ⁹

\ yi = 6-

Aus «² -f⁻    — 10« -j- iy — 9 = 0 oder

von (« — 5)² -j- (y -j- 2)² — 32 = 0 folgt durch Differentiation:

also:

und

2 (x — 5) dx -j- 2 {y -f- 2) dy — 0 ;

= f'(x) —

yß 2‘

Die Gleichung iß — 4 « = 0 ergibt in gleicher Weise:

also:

2 ydy — 4 dx — 0,

dy

aV = *<*> =

y_

Erkl. 81. Das nebenstehende Beispiel zeigt, dass ein Kreis mit einer Parabel eine Berührung II. Ordnung haben kann. Während jeder beliebige Kreis, der seinen Mittepunkt M‘ auf &.y der Parabelnormalen in P₀ und den Halbmesser -M‘ P₀ hat, die Parabel in P₀ nach der I. Ordnung berührt, besitzt der Kreis mit den Mittelpunktskoordinaten x = 5, y = — 2 und dem Halbmesser q = ß 32 eine Berührung II. Ordnung. Man sagt von dem letzteren Kreis, er osculiere die Parabel. Osculare = küssen.

Dass im Punkt P₀ drei Schnittpunkte von Parabel und Kreis zusammenfallen, ist schon aus der Gleichung vierten Grades in y :

yi — 2 y² -j- 64 y — 48 = 0 ersichtlich ; denn sie lässt sich in der Form : (y-2)3.(y + 6) = 0

schreiben; sie besitzt demnach die vier Wurzeln:

Vi = — 6, Vo = 2, y.₂ = 2, y₃ = 2 ;

Für «₀ = 1 und y₀ = 2 wird :

f‘ («) = 1, </>'(«) = 1. Aus fix) leiten wir ab:

dx²

= f“ (*) =

dy

(y + 2)²

(r + 2) — (* - ⁸)-(- fqr|)

(y + 2)2

Cy + 2)² + Qr - 5)2    _32_

(y + 2)3    (y-t-2)»*

Ebenso erhalten wir:

1    dy    ß y_ _ y_

2    dx    2 2    4 ’

= =

Für «o = 1 und y₀ = 2 folgt: /" (*) = y » </>" O) = y-

d h. der Kreis schneidet die Parabel in den vier Punkten:

Entwickeln wir fnt (x) und q>u'(x), so nehmen diese für #₀ — 1 und y₀ = 2 die

Werte —16, beziehungsweise an ; es

stimmen daher nur die ersten und zweiten Differentialquotienten der vorgelegten Funktionen überein, woraus wir schliessen, dass und von diesen fallen P₀, P₂ und P₃ zusammen. die Kurven im Punkt P₀(l, 2) eine Berührung II. Ordnung zeigen. Der andere Punkt f *i =

Wi =

licher Schnittpunkt (siehe Figur 94).

p₂

\xx — 9 \ Vx — ⁶

( Xo= 1

W₂ = ²

Po

ps

( x₀ = l

Wo = ²>

1*3 = 1

Ws = ²>

Pi

9

₆ erweist sich als ein gewöhn-

Aufgabe 301. Es soll untersucht werden, ob die Kurven mit den Gleichungen:

1)    . . . 5a;2-)— 5^2 _j- Qxy — 72 — 0,    Auflösung. Um die Koordinaten der

beziehungsweise-    Schnittpunkte beider Kurven zu berechnen,

2)    ... a*a + 3*2 -9 V2(*-,) + 86 = 0 denen die ,.beiden Gleiehmgen 1) und 2)

. ; ,    ,    ¹    , r y /r/,¹    genügen müssen, erweitern wir die erste

sich bei uhren und von welcher Ordnung zu- Gieichung mit 2, die zweite mit 5 und treffenden Falles diese Berührung ist.

erhalten :

IO#² 4~ 10y²    12#y

10#² + 10y²    —45 Ÿ2(x — y)

— 144 — 0 + 180 = 0.

Hieraus folgt:

12#y 4- 45 )/2 (# — y)

— 324 — 0

und

3(36 — 5 ]/2x)

4# —15 y 2"

Diesen Wert für y in Gleichung 2) eingesetzt, erhalten wir nach den notwendigen Umrechnungen und Vereinfachungen:

4) ... #4 — 12 t/2“#3 4- 108#² — 216 t/2"x 4~ 324 = 0.

3) ... y =

Figur 95.

Diese Gleichung wird befriedigt durch: 5) . . . ®₀ = 3 j/2.

Dadurch bekommen wir mitttels der Gl. 3) für die Koordinaten des Schnittpunktes P0 der zwei Kurven die Werte:

+X Bo

Wo

6) .

f x₀ = 8 Ÿ2

Wo = —³ Y%-

Durch Differentiation der Gleichung 1) gewinnen wir:

10 xdx -(- lOy dy-\-6ydx-{-ßxdy — 0

und

7) . .

dy

5x -f- 3 y

M₀\

3x-\-t)y'

Für die Werte in Gleichung 6) wird also :

-T

Po

8) . . . /”(*) = + 1.

Durch Differentiation der Gleichung 2) erhalten wir:

4 xdx -f- \y dy — 9 l/2 d# 4~² y'2 dy — 0

8) .. .

= <p(x) =

9 \/2 — 4#

Für die Werte in Gleichung 6) wird:

9) • • • </>'(*) = +1-

Ans Gleichung 8) und 9) scliliessen wir auf eine Berührung I. Ordnung.

Bilden wir nun:

10) . .

.    — f“(x) = —

dx* ' w

1152

{Sx +

Für die Werte von Gleichung 6) folgt:

11) . . . f“ (x) =.

Erkl. 82. In dem nebenstehenden Beispiel liegt der Fall vor, dass ein Kreis mit einer Ellipse eine Berührung von der III. Ordnung hat. Im Punkt P₀ fallen vier Schnittpunkte zwischen Kreis und Ellipse zusammen. Dies lässt sich auch schon aus der Gleichung 4) folgern, denn sie kann in der Form :

(x — 3 l/2~)⁴ = 0

geschrieben werden, woraus zu schliessen ist, dass dieselbe die vierfache Wurzel x₀ = 3)/2 besitzt und die Schnittpunkte die nämliche Abscisse, also nach Gleichung 3) auch die nämliche Abscisse y₀— — 3 ]/ 2 haben und daher zusammenfallen.

Weil ein Kreis einen Kegelschnitt nur in vier Punkten schneiden kann, ist eine höhere Berührung als die dritte zwischen solchen Kurven unmöglich.

3 ]/2

Ebenso benützen wir Gleichung 8) zur Bildung von:

12) . .

d2V _ „z x _

' dx2 ~ T ^ —

144

(9 V2 +4y)³ ’ mit Benützung der Werte von Gleichung 6) gewinnen wir:

3 ]/2

und schliessen jetzt aus Gleich. 11) und 13) auf eine Berührung II. Ordnung.

Ferner bestimmen wir aus Gleichung 7):

55296

d³y    —

dx³    ' K ’

14)    . .

und gewinnen mittels Gleichung 6):

15)    . . . r'(*«) = 5^-.

Endlich bestimmen wir aus Gleichung 12):

1728 (9 y/2 — 4ar) (9 l/2>4y7⁻" Dies gibt mittels der Werte in Gleich. 6):

17) . . . <'(0 = 5-1

Aus den Gleichungen 15) und 17) folgern wir eine Berührung III. Ordnung; die vier Differentialquotienten werden ungleich, so dass unser Resultat lautet: Der Kreis (2) hat mit der Ellipse (1) im Scheitel ihrer grossen Achse eine Berührung III. Ordnung (siehe Figur 95).

(3a; -\-3y)³

16) . .

•& = *“«=

Aufgabe 302. Es sei die Parabel y² = x gegeben. Welche Kurve:

y — ax³ -\-bx-\- c

hat mit ihr eine möglichst innige Berührung im Punkt P₀, dessen Abscisse x₀ — 4 ist? also:

ferner :

Auflösung. Hier haben wir

y — /O) = V

f( 4) = 2;

Erkl. 83. Die Gleichung der gesuchten Kurve enthält drei zu bestimmende Koeffizienten a, b, c\ es sind also drei Bestimmungsgleichungen notwendig, welche keine andere sein können als:

und p(4)

und

(p“( 4) = 24 a.

f(x₀) = <p(x₀),    f,(x₀) = ip,(x₀)

f“(* o) = ¥>"0"o)-Daraus ersehen wir, dass für die beiden Kurven nur eine Berührung II. Ordnung gefordert werden kann.

Weiter:

y —    = uxz-\-bx-\-c, ip(4)— 64a-j-4b-)-c;

(p' (x) — 3ax²-\-b,    (p‘ (4) = 48a -}- b ;

ip“ (x) = 6ax,

Zur Bestimmung der drei Koeffizienten

Erkl. 84. Wäre zwischen der Parabel a] ’ c ^.e^en daher>    / (4) — <p (4),

y² — x und der parabolischen Kurve dritten / v*) = ÇP (4) und / (4) = qp (4) sein Grades eine Berührung III. Ordnung gefordert muss, die drei Gleichungen:

2 = 64 a -f⁻ 4 6 -f“ c>

1

---- = 24 a ;

worden, so hätte man die Gleichung der letzteren in der Form:

y — ax% -f- bx² -)- cx -J- d wählen müssen. Die Gleichungen: f(xo) = (p (x₀),

f C*o) = ¥>' 0*o)i

/■■"(*o) = v"(*o)und r'(*₀) = 9"'(«o)

-i- = 48a-|-&,    -

deren Auflösung ergibt:

:>2

768 ’ ⁶ ~ 16 Und C “ 6 ’

dienten zur Bestimmung der vier Koeffizienten und die gesuchte Kurve hat die Gleichung: a, b, c, d.

1    5 I ⁵

768 X + 16 X + 6 '

Figur 96.

■V

tfrr

öv

Co

Aufgabe 303. Gegeben sei die Ellipse mit der Gleichung:

x² + ày² — 36 = 0.

Es soll die Gleichung des Kreises gefunden werden, welcher mit der vorigen Kurve: Kurve im Punkt P₀, der die Koordinaten x₀ = 4, y₀ — VW hat, eine Berührung II. Ordnung zeigt (siehe Figur 96).

Auflösung. Die Gleichung der gegebenen

1) . . . x² + <ly² — 36 = 0 könnten wir in der Form:

y — y l/36 — »2 = f(x)

und daraus fJ(x) und f"(x) bilden; es ist jedoch einfacher, die nicht entwickelte Form 1) beizubehalten und diese zweimal nach x zu differenzieren ; dadurch erhalten wir:

2x + 8!/'^ ⁼ 0

f‘{x) —

ferner :

und

¹+*(&)'+«*■

d-y

dx²

d-y dx²

= f“(x) = -

x² -f- 4: y²

4^3

^3'

Demnach ist:

ST co

• • • Vo . . . f‘(x₀) =

= f (O = V"⁵*

~~h

V*

und

9    /=-

1ÖÖ 1/5-

Die Gleichung des gesuchten Kreises nehmen wir in der Form an:

5) • • • (*-0² + (y-’j)²-e⁸ = o; dabei bedeuten £ und y die Koordinaten des Mittelpunktes, und q stellt den Halbmesser vor. Nach y aufgelöst, erhalten wir:

y = n + vV (* — i)² = (f (x).

Statt hieraus q>‘(x) und cpn(x) zu bildeD,

Erkl. 85. Da der Kreis die Ellipse in P₀ .    .    eV

berühren soll, so muss sein Mittelpunkt jeden- ziehen wir vor, diese W erte aus der Gl. 5) falls auf der Ellipsennormalen P₀ C liegen, durch zweimalige Differentiation nach x zu welche den Winkel der beiden Brennstrahlen bilden. Dadurch gewinnen wir:

P₀Pj und P₀P₂ halbiert. — Den Mittelpunkt M₀ des gesuchten Oskulationskreises findet man bei der Ellipse wie folgt : Im Schnittpunkt C der Normalen mit der grossen Achse errichte das Lot CD-, im Schnittpunkt D desselben mit dem Brennstrahl P₀P₂ errichte auf dem letzteren ebenfalls das Lot ; dieses schneidet oder: dann die Normale im gesuchten Mittelpunkt M₀.

und

und

6) . . . X — £ 4- 0 — y) (f‘ (x) = 0

und

⁷) • • • ¹ + W OOP + (y — v) <f" 00 = °-

Nun muss aber werden:

X — X₀ — 4, y = y₀ = y 5,

<p‘ (*₀) = f‘ (*₀) = — y 1/5

Diese Werte in die Gleichungen 5), 6) und 7) eingesetzt, führen nun zu den drei Bedingungsgleichungen :

8)    . . . (4-|)² + (/5-7?)-p² = 0,

9)    . . . 4-1-i- yw. (v*-n) = 0,

10) ... 1 +i—W V5(V5-y) = 0. Die letzte ergibt:

hiermit liefert dann die vorletzte:

dadurch folgt dann endlich aus Gleichung 8) der Halbmesser:

V«

Q-~3

und die gesuchte Kreisgleichung lautet:

= 0.

b) Der Oskulationskreis.

Frage 75. Was ist unter dem Oskulationskreis eines Punktes P0 einer gegebenen Kurve zu verstehen ?

Antwort. Unter dem Oskulationskreis eines gegebenen Punktes P₀ einer gegebenen Kurve versteht man denjenigen Kreis, welcher mit der gegebenen Kurve im Punkt P₀ eine Berührung II. Ordnung zeigt (siehe Aufgabe 300 und 303).

Frage 76. Welche Gleichungen bestimmen die Koordinaten £ und ^ des Mittelpunktes und den Halbmesser q des Kreises, der die Kurve y = f(x) im Punkt P₀ mit den Koordinaten xQ, y₀ = f(x₀) oskuliert?

Antwort. Die Gleichung des Kreises lautet :

oder:

G — I)² + G — v)² — Q² = ⁰

y — n dz V q² — G — £)² = v G)-Durch die Differentiation der ersten Gleichung nach x folgt:

X— H~ G — ri)-<f‘(x) — 0

und letzteres nochmals differentiiert, liefert :

1 -f-1y (ar)]* + (y — v) <f“ G) = 0. Nun muss:

V Go) = /G₀). </' Go) = f Go)

und

<P"Go) = P'Go)

werden; daher lauten unsere gesuchten Gleichungen :

(a,o_|)2 ₊ (yo_^2_p²    =    0)

*₀ — £ + G₀ — n)f‘ Go) =

1 + f Go)² + Go — v) f“ Go) = °-Lösen wir dieselben nach £, ^ und ç auf, so erhalten wir aus der letzten Gleichung :

l + UGo)² .

f“ Go) ’

dies in die vorausgehende eingesetzt, gibt:

v = y₀~t

_ r Go)[i+PGo)²i

° rw

und hiermit folgt aus der ersten:

[l+/'Qr₀)2]²

ro®o)    '

Darnach können wir sagen:

Satz. Der Oskulationskreis der Kurve y = f(x) im Punkt P0 mit den Koordinaten x₀, y₀ = f(x₀) wird bestimmt durch die Abscisse des Mittelpunktes:

die Ordinate des Mittelpunktes:

P'Oo)

i + roo²

und den Halbmesser q =

Anmerkung 2. Weitere Betrachtungen und Uebungen über den Oskulationskreis enthält der nächste Abschnitt über die Krümmung der Kurven.

v = y₀

ro*„)

E. Lieber die Krümmung der ebenen Kurven.

a) Die Krümmung des Kreises.

Frage 77. Was ist über die Krümmung eines Kreises im allgemeinen zu sagen ?

Figur 97.

m₃

m₂

IB.

-A-3

SM, B,

Po

Antwort. Es berühre der Kreis AXP₀BX die Gerade g in P₀; stellen wir uns vor, es entferne sich der Mittelpunkt Mx auf dem Lot nach M₂ und der Halbmesser erhalte die Länge i¥₂P₀, so wird der neue Kreis A₂P₀B₂ zwischen der Geraden g und dem ersten Kreis hindurchgehen ; man sieht, dass der Berührungskreis desto mehr der Geraden sich nähert, je grösser sein Halbmesser wird. Weil die Abweichung des Bogens A₁P₀Bi in Bezug auf die berührende Gerade g eine grössere ist als jene des Bogens A₂B₂, sagt man, es sei AlP₀Bl stärker gekrümmt als H₂P₀P₂; hiernach ist leicht zu erkennen, dass die Krümmung eines Kreises von seinem Halbmesser abhängt und desto kleiner ausfällt, je grösser der Halbmesser gewählt wird.

Frage 78. Wie kann die Krümmung eines Kreisbogens gemessen werden?

Antwort. Zur Bestimmung der Krümmung des Kreisbogens AB ziehen wir im Anfangspunkt A die Tangente AAV Hierauf denken wir uns die Tangente längs des Bogens ABCD fortgleitend. Jede neue Lage bildet mit der anfäng-

R»

h s'

Figur 98.

TV

liehen einen Winkel, der um so grösser ist, je weiter der neue Berührungspunkt von A entfernt liegt. Im Endpunkt D des Bogens hat die Tangente die Lage DDX erreicht, die von AA{ um den Winkel w ab weicht. Der letztere misst die Krümmung des ganzen Bogens AD und heisst die absolute Krümmung desselben.

Bezeichnet R den Halbmesser, s die Bogenlänge AB, so hat man wegen AOD = w, wenn w im Bogenmass ausgedrückt wird (s. Differentialrechnung II. Teil, Erkl. 43):

s — Rw.

Daraus folgt der

Satz. Die absolute Krümmung w eines Kreisbogens vom Halb-

Für gleiche Bogen:

AB = BC = CD u. s. w.

= si

im nämlichen Kreis ergibt sich hiernach die gleiche absolute Krümmung ; dies

muss auch noch dann zutreffen, wenn wir die Bogen AB, BC u. s. w. unendlich klein wählen.

messer R ist = -rr

Frage 79. Was ist unter dem Kriim-mungsmass eines Kreisbogens zu verstehen ?

Figur 99.

TV

/B

fr

Antwort. Ist auf dem Umfang des Kreises vom Halbmesser R der Bogen AB abgegrenzt, so liefern die Tangenten in den Endpunkten zunächst die absolute Krümmung w. Beschreiben wir um 0 einen zweiten Kreis, dessen Halbmesser r gleich der Längeneinheit ist, und machen auf dessen Umfang den Bogen Ai Bx=A B, so gehört zu AiB₁ die absolute Krümmung wx\ jetzt lässt sich w mit u\ vergleichen ; aus w = und u\ — erhalten wir:

tv

~ÄB ~ R"

Das Verhältnis der absoluten Erkl. 86. Das Mass eines Winkels ist die Krümmung des Bogens iü zur Bogenlänge, die zum ersteren als Centriwinkel absoluten Krümmung wx eines im Kreis vom Halbmesser 1 gehört; daher ist „leich langen Bogens im Kreis m o iger igur.    ^    vom Halbmesser 1 heisst nun

XV ~ Ait ~ R'    das Krümmungsmass des Bogens

Wl 1 1 w    oder seine Krümmung im engeren

Das Krümmungsmass — ist also von der Sinn; wir haben soeben gefunden, dass

Bogenlänge AB unabhängig und allein bestimmt dieses Verhältnis dem Verhältnis des

IV

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

11

durch den Halbmesser des Bogens, bezw. des Winkels w zur Bogenlänge gleich ist Kreises.    i

und den Wert

hat, wie gross oder

wie klein wir die Bogenlänge von vornherein angenommen haben. Dieses Ergebnis fassen wir zusammen in dem

wo R den

Satz. Das Kriimmungsmass eines Kreisbogens oder schlechthin die Krümmung desselben, d. h. das Verhältnis des zugehörigen Centriwinkels zur Bogenlänge s ist Halbmesser des Bogens bezeichnet.

Frage 80.

lassen sich aus Formel ziehen?

Welche Folgerungen der vorhin erhaltenen

Antwort. Die Gleichung

lehrt, dass der Bogen s im Kreis vom Halbmesser R den Pten Teil so stark gekrümmt ist als der gleichlange Bogen im Kreis vom Halbmesser = 1. Weiter erfahren wir, dass die Krümmung eines Kreisbogens einen unendlich grossen Wert erhält, wenn der Halbmesser unendlich klein gewählt wird. Endlich lehrt uns obige Formel, dass die Krümmung eines Kreisbogens den Wert Null erhält, wenn der Halbmesser unendlich gross wird.

Frage 81. Was ist nun unter der Krümmung in einem bestimmten Punkt eines Kreises zu verstehen?

Figur 100.

S’T

\P

Po

w+Aw

Antwort. Wir wählen auf dem Kreis vom Halbmesser R einen festen Punkt P₀ und einen weiteren Punkt P, der auf dem Umfang den Bogen P₀ P = s abgrenzt und den Winkel w der Tangenten bestimmt. Lassen wir P die Lage ändern, so ändert sich auch der Wert von w\ w ist von s abhängig oder eine Funktion von s; beim

Kreis haben wir einfach : w — ~w. Für

XL

den sehr kleinen Zuwachs PP* = Js des Bogens folgt die Zunahme Jw = ~ des Tangentenwinkels; bilden wir nun

JIV

Js

so erhalten wir:

Jtv

Js

Js

R-Js R ’

wenn sich nun P* dem Punkt P unbegrenzt nähert , so geht

Jw

Js

in den

Differentialquotienten

div

ds

über, der

natürlich auch = — sein muss. Be-

JA

trachten wir also w als Funktion von s, letzteres von einem festen Punkt P₀ an

gerechnet, so hat für jeden Punkt P des Kreises den gleichen Wert Die

Grösse heisst die Krümmung des Kreises im Punkt P; daher der

Satz. In jedem Punkt eines Kreises vom Halbmesser R ist die \r; der Kreis ist gleichförmig gekrümmt,

dw

Krümmung, d. h. die Krümmung ist —

ds R

Halbmesser*

Frage 82. Wie gross sind hiernach die Krümmungen unendlich grosser und unendlich kleiner Kreise?

Antwort.

Der unendlich grosse Kreis — die gerade Linie — hat die Krümmung Null und der unendlich kleine Kreis Krümmung unendlich.

der Punkt

die

b) Die Krümmung einer beliebigen ebenen Kurve.

Frage 83. Was versteht man unter der absoluten und was unter der mittleren Krümmung eines Kurvenbogens?

Figur 101a.

Figur 101b.

At

b'

TV

Bf

Bf

7V

A'

_(Ç\p

Antwort. Als absolute Krümmung- eines Kurvenbogens AB = s, der keine besondere Punkte besitzt, bezeichnen wir den Winkel w, welchen die Tangente BBX im Endpunkt B mit der Tangente AAX im Anfangspunkt A des Bogens bildet. Unter der mittleren Krümmung des Bogens AB = s versteht man das Verhältnis der absoluten Krümmung w zur Bogenlänge s;

d. h. die Grösse -

Zeichnen wir einen Kreis, in welchem der Bogen A'B' = AB und die Tangenten A! Ax und B*B\ einen Winkel = w bilden (siehe Figuren 101), so ist die Krümmung

des Kreisbogens A* B‘ ebenfalls =

oder die mittlere Krümmung des Bogens AB ist gleich der Krümmung eines Kreises,- dessen Halbmesser R = — ist,

Frage 84. Was ist unter der Krümmung in einem bestimmten Punkt einer Kurve zu verstehen?

Figur 102.

+Y

,T

P0

+X

O¹ A₀ C

A A'

Antwort. Auf irgend einer Kurve P₀ PPj mit der Gleichung y = f(x) sei P₀ ein fester Punkt mit den Koordinaten x₀ und y₀ — f (x₀), P ein beliebiger Punkt (x, y) und die Bogenlänge P₀P heisse s; die Tangente in P bilde mit der Abscissenachse den Winkel x (siehe Figur 102), dann sind sowohl s als x zwei Grössen, welche gewisse Funktionen der Abscisse x des Punktes P sind. Nehmen wir auf der Kurve den Punkt P' sehr nahe an P und den Koordinaten x-\-Jx u. y-\-Jy=f(x-\- Jx) und setzen den Bogen PP' = zls, den Neigungswinkel der Tangente T* P* = x-\-Jx, also ^TPT' = Jx, so ist die mitttere Krümmung des sehr kleinen

Bogens PP' = Jt

Setzen wir nun voraus, dass sich der Punkt P' dem Punkt P unbegrenzt nähere, so bewegt sich der Wert des

Bruches gegen den Grenzwert Die Grenze für

Null konvergiert, oder heisst

die Krümmung der Kurve im Punkt P.

z/r

wenn Js nach

dr

Frage 85. Was ist unter dem Krümmungskreis eines Punktes einer Kurve zu verstehen?

Stellen wir uns einen

Antwort.

Kreis vor, der die nämliche Krümmung wie die Kurve im Punkt P haben soll und dessen Halbmesser q sei, so muss:

dz

da

oder p = —:— dz

g da

sein. Schneiden wir auf der innern Seite der Normalen von P aus das Stück PM = q ab und beschreiben aus M mit PM den Kreis, so hat jetzt dieser die nämliche Krümmung wie die Kurve im Punkt P. Man nennt diesen Kreis den Krümmungskreis, den Punkt M den Krümmungsmittelpunkt und q den Krümmungshalbmesser des Punktes P (siehe Figur 102). Daraus fliesst der

Satz. Der Krümmungshalbmesser eines Punktes P einer Kurve hat den Wert q =

ds

dz

Antwort. Auf dem Bogen P₀ P = s nehmen wir den unendlich kleinen Bogen PP' — ds an und ziehen die Tangenten in P und P'; den unendlich kleinen Winkel dx, welchen diese zwei Tangenten bilden, bezeichnet man als den Kontingenzwinkel im Punkt P. Nach dem Yorausgehenden können wir nun sagen :

Frage 86. Welcher Winkel heisst der Kontingenzwinkel in einem gegebenen Kurvenpunkt?

Satz. Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt ist gleich dem Kontingenzwinkel, dividiert durch das Bogendifferential, und der Krümmungshalbmesser ist gleich dem Bogendifferential, dividiert durch den Kontingenz winkel.

Frage 87. Welchen Wert hat der Krümmungshalbmesser im Punkt P₀ einer Kurve, wenn die letztere, auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen, die Gleichung y — f\x) hat und der Punkt P die Koordinaten x₀, y₀ besitzt?

Figur 103.

+Y

P*

,l

Antwort. Wir wählen unendlich nahe bei P₀ auf der Kurve den Punkt P1 mit den Koordinaten xQ = dx, y₀ = dy, so dass in der nebenstehenden Figur 103 P₀B = dx und PxB = dy wird. Der unendlich kleine Bogen P₀Pi = ds kann mit der Sehne P₀ Pj vertauscht werden ; wegen P₀Pi² = P₀P² -j- BP² oder ds² = dx² -j- dy² haben wir:

1) . . . ds — Y dx² -J- dÿL = dx^ 1 -\-    •

xo

iad

+x

0 A₀A

Erkl. 87. Ist tg t — beiderseitige Differentiation:

dy

dx ’

so ergibt die

dr

Die Verlängerung des unendlich kleinen Kurven elements P₀Pi lässt sich als ein Stück der Kurventangente in P₀ an-sehen und <$. Px P₀ B = x setzen ; daher haben wir:

tgr =

P.B d y

= ~ und cost P₀B dx

also ist:

COS² rj

-(©

folglich ist:

v+e-if

dy

dr —

• cos²r

und

T = arc (tg =

<£)■

'(£)

dr — d arc

(*=£)

‘(Ä)

ds

•(H)

somit :

dy V

•(H)

dx

oder :

H49T

d²y dx²

somit haben wir den

Satz. Der Krtimmungshalbmessser q im Punkt P₀(x₀,y₀) der Kurve y=f(x) berechnet sich aus:

e_HMl

d²y

/"(* o)

(siehe Frage 76);

dx²

d. h. der Krümmungshalbmesser ist gleich dem Halbmesser des Oskulationskreises, der Krümmungskreis fällt mit dem Osku-lationskreis und der Krümmungsmittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Oskulationskreises zusammen; die Koordinaten y des Krümmungsmittelpunktes sind also nach Seite 160:

f'(x₀) [1 +P«)²]

£ = xo

r(xo)

und n = y₀ +

l+/'(*o)2 f"{X o) '

Zusatz. Ist die Gleichung der Kurve iit der nicht entwickelten Form F(x, y) = 0 gegeben, so erhält man aus den vorigen Formeln wegen

B²F

BF

dy

Bx

dx

3F

und

à² y _ _ dx²

B x²

■(4 )-*

8²F BF BF B²F BxBy 8x By By²

•(4 y

t*

By

(BFÿ

\3y)

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 240) für den Krümmungshalbmesser q im Punkt P₀ mit den Koordinaten x₀ und y₀ :

CC <N

B²F

Bx²

iW*

B²F BF BF BxBy Bx By

B²F

By²

y = y o5

und für die Koordinaten f und n des Krümmungsmittelpunktes:

x = x₀,

H[i+(H) ]

d²y

dx²

und rt — y

i+(-y

& y dx²

x — x₀, y = y₀.

x = x₀, y = y₀.

Frage 88. Welche andere Auffassung des Krümmungsmittelpunktes lässt sich noch geben?

Antwort. Es seien wieder P₀ und Px zwei benachbarte Pnnkte auf der Kurve ; P₀ M₀ und Pi seien die Normalen in

Figur 104.

Pi

Po

•Md

P₀ und I\, welche sich in 0 schneiden ; auf P₀0 sei M₀ der Krümmungsmittel-punkt für den Punkt P₀ und auf PlMl der Punkt Mx jener für Pv Wir ziehen P₀ Px ; dann ergibt der Sinussatz der Trigonometrie :

P₀ 0 : P₀ P, — sin P₀P₁O : sin 0,

P(>0 =

woraus :

folgt, oder: P₀O =

PoP

P₀ P, • sin P₀ Pj 0

sin 0

0 arc P₀ ]\

•sinP₀PX 0.

arc P₀ J\ sinO

Lassen wir nun den Punkt P, gegen P₀ rücken, so wird beim Zusammenfallen von Pt mit P₀ die Gerade P₀ PL zur Tangente und daher:

P₀P, 0 = 900 unci sin P₀ Px 0=1. Ferner hat man:

Limes

Po Pr

Limes

arc P₀ P, arc P₀ P,

= 1, Limes

sin 0

= 1,

ds

<⁰

hieraus folgt:

— = Limes —— =

ds

dx

dr ’

ds

Limes P₀ 0 = — = P₀ M₀ ;

d. h. wenn die Normale PXMX sich der Normalen P₀M₀ unbegrenzt nähert, so rückt der Schnittpunkt 0 beider Koordinaten auf der Normalen P₀O so weiter, dass er beim Zusammenfallen der beiden Normalen die Lage M₀ erreicht; daher der

Satz. Der Krümmungsmittelpunkt einer Kurve in einem gegebenen Punkt ist die Grenzlage des Schnittpunktes der durch diesen Punkt gelegten Normalen mit einer unendlich benachbarten Normalen.

Frage 89. Wie lassen sich aus dem vorigen Satz die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gewinnen ?

Antwort. Der Punkt P₀ habe die Koordinaten x₀ und y₀ = f(xç). Die Koordinaten des unendlich nahen Punktes Pj seien xx — x₀-\-dx und yx—y₀-\~ dy = f{xQ-\-dx), wobei dx und dy zwei unendlich kleine Grössen vorstellen. Die Normale in P₀ hat die Gleichung:

1)    . . . X-^ + (r-y„)P| = 0

und jene in Px lautet:

2)    . . .    +    o.

dy

Die Koordinaten Ä" und Y des Schnittpunktes beider Normalen müssen den Gleichungen 1) und 2) Genüge leisten. Zu ihrer Ermittelung setzen wir in Gleichung 2):

und beachten, dass ~~ aus 4^ hervor-

⁷    dx    dx

X = xL

dy

das eine Funk-

geht, wenn man in

tion von x ist, an die Stelle von x₀ den Wert x₀ -f- dx der Veränderlichen treten

lässt ; wir können deshalb

dy

dx

nach dem

x — x₀ -f - d x

dy _ dy dx dx

Taylorschen Lehrsatz nach Potenzen von dx entwickeln und erhalten:

d²y L dx² d*y dx% d±y

2 dxs ^ 3 ! dx^ '

-f- dx

dx²

x = xt x = x₀

x = x₀

x = x₀

x = x₀

Dadurch nimmt die Gleichung 2) die Form an:

x — Oo + <**) + [ Y~ Go + dy)] ■ (

dy

dx

dx² d³y dzs d±y dx² r 1*2 dx³ ‘    3! dx*

d²y

•)

= 0.

X = x₀

dx — (Y—

y₀)f

dx-

d'²y dx² d*y

Jxï'YYÏ'JxS

Subtrahieren wir diese Gleichung von der Gleichung 1), so bleibt:

dx² d²y dx² f 1-2 dx*

dy

dx + ix■

d²y

-)

= 0.

a;

— x₀

1-(F-

d²y dx dsy

dx² 1-2 d#³

und die Division mit dx ergibt:

d²y A dx² d³y 1-2 dx³

-j- da;*

x = x₀

•")

= 0.

a; = rr₍₎

Lassen wir jetzt den Punkt I\ mit P0 zusammenfallen, so wird dx — 0 und die vorige Gleichung geht über in.-

d²y

(&)’=*

Erkl. 88. Das Schneiden der Kurve durch 3) . . . l — (Y—y₀) den Krümmungskreis findet seine Erklärung darin, dass auf der Kurve die Krümmung von Punkt zu Punkt wechselt, während sie auf dem Kreis konstant bleibt. Ist in der unmittelbaren Nähe links vonP₀ die Krümmung stärker, 4) . . . X—a?₀ —)-(Y—y₀)-p- ~ so wird sie rechts von P₀ schwächer als in P0 und auf dem Kreis sein; der erste Teil der Kurve muss daher innerhalb des Kreises und SO haben wir die zwei Gleichungen zur der Teil rechts ausserhalb des Kreises liegen. Bestimmung der Koordinaten X und Y

Wed so der Krümmungskreis die zwei ver- fjes Schnittpunktes der beiden Normalen schieden gekrümmten Teile der Kurve m P0 trennt, so muss er die Kurve im Punkt P0 notwendig schneiden (siehe Figur 103).

dx²

Fügen wir hinzu:

X — X₀

X — x₍₎

dy

X = x₀

oder des Krümmungsmittelpunktes. Diese Gleichungen sind aber genau die nämlichen, welche in Frage 76 zur Bestimmung der Koordinaten | und rj des Mittelpunktes des Oskulationskreises dienten;

es ist daher X — £ und Y= und der Krümm ungskreis mit dem Oskulations-kreis zusammenfallend. Ersterer hat also im allgemeinen mit der Kurve eine Berührung II. Ordnung und schneidet in P0 die Kurve ; in besonderen Punkten kann auch eine Berührung III. Ordnung stattfinden , wie in den Scheiteln der Kegelschnitte (siehe Aufgabe 301).

und

dx²

à² y

Frage 90. Welche Ausdrücke liefert der Halbmesser q des Krümmungskreises im Punkt P₀ einer Kurve, wenn die letztere durch die Gleichungen x — q>(t) und y — ip (t) der unabhängigen Veränderlichen t gegeben ist?

Erkl. 89. Setzen wir :

dx = (p'(t)dt, dy — xp\t)dt, d'²x — (p"(t)dt, d²y = \p"(t)dt, so können wir q auch in der Form schreiben:

(dx°~-\-dy²Ÿ

dx d*y — d²x-dy (siehe Differentialrechnung II. Teil, Aufgabe 307, Zusatz).

Antwort. Nach Differentialrechnung II. Teil, Aufgabe 307, Seite 252, wird:

dy_ _ ip'jt) dx (p‘ (t)

d-y _ y'(t)-ip‘‘(t) — </>"p)-pp)

w m

Setzen wir diese Werte in die Formel für den Krümmungshalbmesser:

K*)T

dx²

so erhalten wir für den Krümmungshalbmesser im Punkt P₀ mit den Koordinaten y₀ — q>(t₀) und y₀ — ip(t₀):

{[ff' Po)l² + [P Po)]²}

P Po) • P' Po) — </>" Po) • P' Po) ’

Die Formeln für die Koordinaten £ und yj des Krümmungsmittelpunktes, nämlich :

dy

dx

d²y

- und y = y₀-\

d-y dx²

dx²

gehen durch die vorige Substitution über in :

S —V (to) —

und y = ip P₀) +

»'O.Hfo'WP + t»' cA)]7

P Po) • P' Po) — P Po) • P' Po)

P Po) {[y* P₀)]² + [P P₀)]²} P (to) ’ P' (to) — p Po) • P' (to) '

Antwort. Gehen wir von der Gleichung y — f {x) der Kurve in

Frage 91. Welchen Ausdruck erhält man für den Krümmungshalbmesser q im Punkt P₀ einer Kurve, welche durch eine Gleichung r — CD (©) in den Polarkoordinaten r und © gegeben ist?

dy _

s in © •

dr

d©

dx

cos©-

dr

d©

£ = r₀ cos 0O —

t] = r₀ sw ©₀ -f

rechtwinkligen Koordinaten ans. so

ist:

K£)T

d-y dx²

Nun haben wir:

x — r cos®, y — r sin © ;

daraus folgt nach Differentialrechnung II. Teil. Aufgabe 319, Seite 258:

■f - r cos ®

r sin ©

und

d²y dx2

_r2.

d²r

dr

cos © •

Setzen wir diese Werte in die obige Formel für q, so erhalten wir nach einer kleinen Umformung:

d©

r sin ©

M£)T

Im Punkt P.

d*r ‘

d@ 2

der die Koordinaten ©₀ und r₀ — (I) (0O) hat, ist demnach:

d²r d® 2

— »V 0 — ®₀ ®—©₀

Ferner erhält man für die Koordinaten £ und 7] des Krümmungsmittelpunktes:

ro

und

©=®₀

©= ©0

[r-'+ (If +n”⁸"-(w)]

© = ©₀ genommen.

Anmerkung 3. Da es sich bei der Bestimmung des Krümmungshalbmessers q nur um den absoluten Wert desselben handelt, wird man der im Zähler vorhandenen Quadratwurzel das Zeichen -j- oder — geben, je nachdem der Nenner positiv oder negativ ist, so dass q positiv wird. Die Bestimmung des Kriimmungsmittelpunktes erfolgt durch die Berechnung der Koordinaten £ und »/. Heisst man den Winkel, den die Normale in der Richtung von der Kurve nach dem Krümmungsmittelpunkt hin mit der Richtung der positiven Abscissenaclise einschliesst, v, so ist:

cosv —

und sinv —

V Va

Diese zwei Gleichungen liefern den Winkel v eindeutig, so dass kein Zweifel darüber herrschen kann, in welcher Eichtung vom Kurvenpunkt (x₀, y₀) ans man den Krümmungshalbmesser q ahzutragen hat. Aus der Gleichung:

v = vA

. i+m

folgt r\ y₀ —

d-y dx²

d²y dx²

d²y

Diese Gleichung zeigt, dass und — y₀ dasselbe Vorzeichen erhalten.

Da aber v — y₀ die Differenz zwischen der Ordinate des Krümmungsmittelpunktes und der Ordinate des Berührungspunktes ist, so folgt, dass die Kurve dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkt ihre konkave Seite zuwendet (siehe Seite 109 dieses Bandes).

c) Beispiele über die Bestimmung der Elemente £ und des

Krümmungskreises.

Aufgabe 304. Für den Kreis:

x² -\-y² — r² — o.

Auflösung. Setzen wir: dy    x , d² y

-JL = — md A =

x² -f- y²

dx

in:

[V'+(®T

d²y dx²

dy

dx

M£)l

d²y

dx²

ebenso in:

d²y

dx²

so wird:

q — r, | = 0 und rj = 0.

Der Krümmungskreis fällt daher, wie sich von selbst versteht, in allen Punkten des gegebenen Kreises mit dem letzteren zusammen.

Aufgabe 305. Für die Parabel:

y² — 2 p X.

Erkl. 90. Macht man OF = so ist F

A

der Brennpunkt (s. Differentialrechnung II. Teil,

Seite 1). Zur Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes Mn für den Punkt P₀ ziehe man die Normale P₀C (siehe die Aufgaben 1 und 61) und den Brennstrahl P₀F. Im _ .

Schnittpunkt C der Normalen und der Achse ?    =

errichte man das Lot CD und mache dann M₀ D J_ P₀ F, dann ist M₀ der gesuchte Mittelpunkt, Mn P₀ = q und Q‘ P₀ Qx der Krümmungskreis (siehe Figur 105). Beweis folgt später.

Auflösung. Aus y² — 2p x leiten wir ab :

dy p_ dx

Darnach ist:

und

d²y

dx²

p²

W-_

(y² + p²) ²

p²

p²

y[ (2x-f j>)3

+Y

Po,

Figur 105.

Q'

V ,M

-f-

Ferner :

y-

2p

3y²

— ■₇?~+p = 3x+p,

2p

y³

y²

p²

— (siehe Erkl. 90)

p²

yi

's

//

iO

Im Scheitel 0 der Parabel P'OPq der Figur 105 ist x = 0 und y — 0, daher: q — p = AF = 2 OF = OM

— p — OM, tj = 0; der Krümmungskreis hat daselbst eine Berührung III. Ordnung. Mit wachsendem x wächst auch q , die Krümmung wird demnach nach aussen zu immer schwächer. Für x = oo wird o = 0 (siehe Figur 105).

uud

Aufgabe 306. Für die Ellipse:

X²

y²

b²

Figur 106.

Auflösung. Die Differentiation ergibt:

b²x d²y _

a²y ’ dx² ~~ a²ya ’ hiermit erhalten wir:

dy

dx

_ (b*x² -f a*y²)²

b±

ferner :

a⁴ 6⁴

CQ

a;3 (a² — 62)

y3 (fl2 — 62)

fs;~

Pö

A,[ M₂y⁷

•V"

1kL

/,

13

Bi 1

5^7--

__>AJ

•o /

- und 7] =

oder für a² — &² = e² erhalten wir :

y³«²

M '

Die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes ist schon Seite 158 angegeben worden.

a2

Für x — 0 wird y = + b und q = =

dagegen erhält man für x — + a : y — O b²

und p = —. Nehmen wir a > b an, so hat

der Krümmungsradius in den Endpunkten der

b²

grossen Achse den kleinsten Wert — und in den Endpunkten der kleinen Achse den grössten Wert -y. Die betreffenden Krümmungskreise haben in den genannten vier Punkten eine Berührung III. Ordnung (s. Aufgabe 301 und Figur 95).

ai

bi

x^e²

ai

und rj -

Erkl. 91. Setzen wir:

x²

y) = YF + -p--1 = 0’

so folgt:

Erkl. 92. Um die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel der Ellipse zu erhalten, beschreibe man um die letztere als Rechteck CDEF und ziehe die Diagonalen CE und DF. Die Lote . auf diese Geraden aus den Eckpunkten schneiden die Achsen AAX und BBX in den v erlang -Nach der Regel über die Differentiation ten Punkten Mx, M₂, M&, Mr eines Bruches entwickeln wir:

daher : dy _

clx

BF

2x

BF

Bx a² ’ By

BF BF _

Bx By

(Dy _ dx²

b² ’

2x 2 y _

“ «2 '■ W ~

b²x

n²y

dy

a²y-b²— b²x-a²--^-dx

a²b²y — a²b²x•

fb²x\

\a²y)

a⁴ y²

a²b²y²-\-bix2 a* y³

denn aus der Kurvengleichung folgt, dass a²y² -}- b²x² — a²b² sein muss.

a⁴y²

b² (,<x²y² + b²x2) _ _ b²-(a²-b²)

ai y ³

ai y³

bi

a²y³ ’

Aufgabe 307. Für die Hyperbel:

y²

4rr — 1 = 0.

a²

b²

Auflösung. Ersetzen wir in den soeben erhaltenen Formeln b² durch — b², so erhalten wir für die Hyperbel:

Erkl. 93. Die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes für Punkte der Hyperbel ist die nämliche wie bei der Ellipse (siehe Aufgabe 301 und Figur 95).

(b⁴ x² -J- aiy²)²

⁹ - PP ’

xs (a² -(- b²)

a*

und î; =

y3 (a² + 62)

bi

Aufgabe 308. Für die Kettenlinie:

(siehe die Aufgaben 4, 93, 108 und Figur 6).

Auflösung. Wir erhalten:

dy

dx

• e---e

^    ^ (p >» i e — y

~d& - ~2m +e

2x

2x

2x

”>=4(e"+²+< ”)

y²

m²

daher :

Dadurch geht:

V■+(©'

VMM

d-y

dx²

über in:

y?> . _y_ _ y^_

m³ ' m²

Aufgabe 309. Für die Cissoide:

x³ = y²(2r — x)

(siehe die Aufgaben 9, 95, 128, 162, 277 und Figur ll).

dy

dx

r(8r — 3 x) ² • x ²

3 (2 r — x)²

Aufgabe 310. Für das Descartessche Blatt:

x³ Ą- y³ — 3 axy — 0,

beziehungsweise :

3 at

und y -

3 at²

l + *s

(siehe die Aufgaben 24, 94, 129, 151 152, 193, 265 und Figur 59).

l + *3

3a

2 (1 + *3)4

Nach Aufgabe 108, Seite 59 ist auch

y²

die Normale n = —, d. h. der Krümmungshalbmesser der Kettenlinie hat die gleiche Länge wie die Normale; dabei ist aber zu beachten, dass sie von der Kurve aus entgegengesetzt liegen (siehe Figur 6).

Ferner wird:

Auflösung. Aus :

leiten wir ab:

(3 r — x) • x "

und

m),

x“

(2 r — x) ²

d² y

3>-²

dx²

(2 r — x)j

Hiermit erhalten wir:

(2 r — x)² • x²

rx (12 r— 5 a;)

3 (2 r — x)²

und t] =

8rx ²

3 (2 r — x)²

Für x = 0, y = 0 wird q = 0, f = 0 und y = o, d. h. in der Spitze 0 der Kurve ist der Krümmungshalbmesser gleich Null.

Auflösung. Aus :

dy _ x² — a y dx ax — y²

oder

dy _ t (2 — t³)

dx 1 — 2 t³

und

d²y

2a³xy dx²    (ax — y²)³

erhalten wir:

oder

dx² ~ 3a (1 — 2*3)3

x² — a y

[(1-2*3)2 -f t² (2 — *3)2]² oder q =

ax — y²

)]

• (a x — y²)³

2 a³xy

Für t — — 1, d. h. im Wendepunkt wird

q = OO.

im Koordinatenanfang für * = 0 den Wert

Von da an nimmt er ab, erreicht

3a

-g-, nimmt in seinem weiteren Verlauf noch

1 » _ a mehr ab, um in J\ für t — -^y 4 den Wert -g-

und bei P₂ für t = 1 sein Minimum

3a \/2

16

zu erreichen. Dann wächst er wieder, wie er vorher abgenommen hat. Die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes ist sehr schwerfällig.

Für die Koordinaten £, n des Krümmungsmittelpunktes erhalten wir:

2 (1 + *3)4

(*9 + 6 i* — 61» — 61* -f- 12 fl + 151 — 8),

3a

(1 -j- 6*2 — 6*3 — 6*5 -j- 12«6 _|_ 15*8 _ 8*9).

Figur 107.

+Y

2 TS-'

+Y

At

P,

— Pa

/-Je

Ö'JA

. D Ar-

+x

E M±

Aufgabe 311. Für die Cykloide:

1)    . . . x — r(t — sin t),

2)    . . . y = r (1 — cos t)

(siehe Aufgabe 10 u. s. w\).

Auflösung. Die Gleichung :

y — r (1 — cos t)

liefert :

cost —

f — y

-— oder t =

arc

cos —

und

sin t = -f-

V%ry — y²

denn:

sin²1 -f- cos²t — 1.

Setzen wir diese Werte in die erste Gleichung ;

x — r (t — sin t)

ein, so erhalten wir:

ry — y².

Statt die Gleichung 3) zu differentiieren, um zu gewinnen, differentiieren wir einfacher Gleichung 1) und 2), in welchen x und y Funktionen der unabhängigen Veränderlichen t sind, was gibt:

V—

V y

dx — rdt( 1 — cos t) — y dt, dy = rdt sint = dt \/2 y y — y². Durch Division folgt jetzt: dy __ V 2ry — y² _ dx

daher:

(dy\²

\dx)

1.

Beiderseitige Differentiation nach x ergibt :

2 r dy y² cl x ’

daher:

o dy d²y _ dx dx²

d²y

dx²    y² '

Setzen wir diese Werte von ty und -Ę-Ą-

dx    dx²

in den bekannten Ausdruck für den Krümmungshalbmesser p, so finden wir:

2 r \³

8 r³y

r-

also:

Da aber:

Q — 2 ]/2ry.

1/2ry — ]/AArAC — P₀A (s.Fig.107) und ausserdem P₀A die Normale im Punkt P₀ ist, so erhalten wir die Lage des Krümmungsmittelpunktes M₀ des Punktes P, wenn wir in der Richtung von P₀ A den Punkt l/0 so bestimmen, dass P₀M₀ — 2P₀A ist.

Fällen wir nun das Lot M₀D, so ist:

Ç = OD = OA-^AD =1 OA + AB, denn A A M₀ D ^ A P₀ B, somit folgt :

und

I — rt-{- r sin t — r{t-\-sint)

V — M₀D = — P₀ B — —y — — r( 1 — cost).

u. s. w.

71 r,

In den Kurvenpunkten 0, 0₁, 02 auf der Abscissenachse ist x = 0,

2 7t r u. s. w. und y — 0. Da der Krümmungshalbmesser sich aus p = 2 y 2~ry berechnet, so wird p in diesen Rückkehrpunkten der Cykloide gleich Null; in den höchsten Kurvenpunkten, wie in Plt wo y = 2r ist, erreicht p den grössten Wert, nämlich:

4>* = P, My

Aufgabe 312. Für die Epicykloide:

, . «

x —    cos — t

r

— (a -(- r) sin —

(siehe Aufgabe 11 u. s. w.).

— a cos

t — a sin

Auflösung. Aus :

1    „    a

x = (a -\- r) cos — t

— a cos

bilden wir:

a (a -f- r)

r°-

und ebenso aus

*"(<) =

y — (a-\- r) sin — t — a sin

a (a -f- r)

cos — t — cos

(7' + ')

}-2

— a s/w — < -f- (a -f- r) sm 1 -f- AJ.

v#(0P + ¥'(0]* = -—7

Hieraus folgt nach einer kleinen Vereinfachung :

2 a² (a-\- r)²

[1 — cos /] =

4 a² (a -j- r)²'Sin²—

}>2

daher ist:

{ftrW+IłW}'¹ =

8 «³ (a r)³ • swt³-—

a² (a -f- r)² (1 — cos t) • (2 a -j- r)

Feiner bilden wir ebenso:

2 o² (a -f- r)² (2 a -j- r) • sin² ~

^•3

7*3

Mit diesen Ausdrücken bilden wir:

__[y* (<„)»+*'(*<,)*]⁸    ₌

v'(*o) V'"(^o) — v"(#n)-^(<o)

8 a³ (a -J- r)⁸ sms —- • r³

r³ • 2 o³ • (et -}■ r)³ (2 a -{- r) sin²

woraus :

4 a (a -f- )') si»

(> =

2 a -f- r

f = -s

Für die Koordinaten ? und n des Krürn-mungsmittelpunktes liefert die Rechnung:

2 „ ZjT7 [(« + *0 «» 7 *o + « cos

und

2 « qTV [(<* + r) sin 7 *o + « »»» 0- #₀ + ^ j (siehe Erkl. 94).

Der Krümmungsmittelpunkt für den Punkt P der Epicykloide wird wie folgt durch Konstruktion gefunden: Man ziehe den Durchmesser PMF=2a, verbinde O mit F, so schneidet die Verlängerung von PA die Gerade OF im Krümmungsmittelpunkt G. Dies lässt sich auf folgende Art beweisen. Im rechtwinkligen Dreieck A P ist:

<£ AAXP =

daher:

AP — 2a sin —.

12

Haas, Differentialrechnung. TH. Teil.

Figur 108.

mVM/

'I

+X '

Erkl. 94. Zur nebenstehenden Auflösung gehören folgende Nebenrechnungen:

d cos

(?■)

dt

— — sin

CO-

-&■)

d cos

(?■+')

= — sin

•sin

W(t) la+[^(0]* =

r-

Ferner ist das Viereck A PA₁F ein Rechteck, also auch:

AtF — 2a sin —.

Im Dreieck OAxF ist AG AlF₁₎ woraus die Proportion folgt:

AG-.A^F — OA : OAt ; aus dieser leiten wir ab:

{AGĄ- A₁ F):A₁F= (OA -j- OAĄ : OAj oder:

GP:A₁F= (OAĄ-OAĄ: OA,, GP :2 a sin -I

~2

= 2 (a -f- r) : 2 a -j- r ;

daher ist:

GP —

4 a (a -f- r) sin —

A

— Q,

2 a -j- r

und weil PAG die Normale im Punkt P der Epicykloide darstellt (siehe Aufgabe 68), so ist in der That G der Krümmungsmittelpunkt für den Kurvenpunkt P.

Für t — 0°, 360°, 720° u. s. f. erhält man die auf dem festen Kreis liegenden Rückkehrpunkte I. Art der Epicykloide. In diesen Punkten wird q gleich Null, also die Krümmung unendlich; den grössten Wert erreicht q für t = 180°, 540° u. s. w., also in den Scheitelpunkten der Epicykloide, nämlich:

a . a --sin —

t,

4 a (a Ą- r)

2 a-\-r

denn :

s/w² — t — 2 sin — • sin / -J-    -(- sin- t -j-

(j f + co*²(j * +    ]

(ył + *)+si" (yt,sin (y¹ +*)]}

-f- cos² — t — 2 cos — t cos

=    2-2 U-

r² ( L r

_ 2 a² («-fr)²

t cos

cos

a 4

— t cos

(t~ ¹ +    +sin

— t • sin

(y' + O

= cos t ;

P(t) iF'(0 — (p"(f) 'F(t) ==

^^{[-<,+-,(±,+1)]

r    ° *

— I cos — t —

L    r

cos

— « sin 1 -f- (a r) sin t -j-

~t-P(a + r)cosÇyt-j-t^

— a cos

Ferner ist:

Ueber die Krümmung der ebenen Kurven. u² (a -j- r)²

■j’3

a² (a -J- r)²

[2 a -\-r — a cos t — (a    r) cos t]

[2 a r — (2 a -j- r) cos t\ a- (a -f- r)² • (2 a -f- r) (1 — cos t)

r'i

^(o r^(0²+^(0²]

= (a -f- r) cos — < —

r • (a -|r r) cos 1 a r cos

a cos

(v' + O

4a³-(a -j- >')3 sm²    1 — cos

^•3

• 2 a² (a -(- r)² (2 a -J- r) sm² —

(f'+O

- -Ï7+7 [⁽" +')»« y t + « cos (j I + /)]

und

<p'(*) y" V) — <p“ CO-^'W

= (a -f- r) sm — £ — a s?‘»

r (a -f- r) sin — t -j- a r sin    t -J- ^

~ —    2a 4-r

•= S-J+7 [⁽“ + 0sin T * + “ (f ' + ')]■

4 a³ (a -f- )')³ sm²    £

a

— sm —

r³ • 2a² (a -}- r)²• (2a -|- r) •sin'² —

Aufgabe 313. Für die Hypocykloide:

, N at , f    at\

x = (r — a) cos ——a cos I t--— I,

y — (/• — a) sin -j- a sin --

(siehe Aufgabe 12 und Figur 17 und 18).

Auflösung. Die Rechnung, ganz ähnlich der vorigen, gibt:

4 a (r — a) sin —

r — 2 a

Die Konstruktion des Krümmungs-mittelpunktes lässt sich buchstäblich von der Epicykloide (s. Figur 108) auf die Hypocykloide übertragen.

Ferner erhält man für die Koordinaten I, n des Krümmungsmittelpunktes die Ausdrücke :

s& =

(r — a) cos--a cos

r

(>■ — 0) sin + a sin --•

Aufgabe 314. Für die Archimedische Spirale:

r — cQ

(siehe Aufgabe 13 und Figur 22).

Auflösung. Wir bilden :

d² r

dr

dG

= c und

d@²

= 0.

Figur 109.

<2

Die Formeln für die Koordinaten £, y des Krümmungsmittelpunktes der Kurve r = f(0) in Frage 91 ergeben nun:

£ = r cos ©

?S

(r² -f- c-) (/• cosQ c sin 0) r² -)- 2 c²

oder r = c© eingesetzt und vereinfacht:

c [© cos © — ( 1 -j- ©²) sin ©]

DK

L+X

\-

t —

ebenso :

. _ . (r² 4- c²) ( - r sm © -4- c cos ©)

, = ,• s,„ a + -—!---

oder wieder r = c© eingesetzt und vereinfacht :

2 -f ©²

c [© sm © —J— (1 —J— © -) cos ©]

2 + ©²

Der Ausdruck für den Krümmungshalb -

Erkl. 95. Fällen wir das Lot D S, so ist im Rechteck ODSP die Seite J)S = OP = r messer g in Polarkoordinaten in Frage 91 und PS — OD = c. Im rechtwinkligen Drei- ergibt hier: eck QDP ist:

DS²

;*2

daher ist:

PS c

= ,,2+c2

also:

(}'2 + C²) ²    (C² ©² + C²) ²

r² -j- 2 c²

Aus der Aehulichkeit der Dreiecke PMQ und OMD folgt:

C (1 + ©²)

PM: MD = PQ : OD,

woraus :

(PJlf-f MD) : PM =z PQ -\- OD : PQ

oder:

PD:PM= PQ -\- OD : PQ,

l/r² j-c² : PM = —

daher:

= r² -}- 2c² : r² -j- c-,

PM =

Q-2 -f C2)²

2 + ©² ’

Zur Bestimmung des Krümmungs-mittelpunktes für den Punkt P der Spirale dient folgendes Verfahren: Wir konstruieren nach Aufgabe 13 die Normale PI) mit der Subnormalen OD = c. Tn D errichten wir auf der Normalen das Lot c, r²-\- r~ und ziehen durch P die Parallele zu O D, c welche das eben errichtete Lot in schneidet; die Verbindungslinie OQ schneidet dann die Normale im Krümmungsmittelpunkt M. Den Beweis siehe Erkl. 95.

somit :

PM = Q.

Aufgabe 315. Für die logarithmische Spirale:

r = e

(siehe Aufgabe 14 und Figur 23).

Auflösung. Die Differentiation von r=e® liefert hier:

dr

und ebenso:

(10

dr

dQ r;

(10 ²

die Ausdrücke für S, y und q werden hierdurch :

I — — rsin0, y == rcos0 und q = ry,2. Nun ist nach Aufgabe 140 auch die Polarnormale PD — r ]/2~; wir kommen demnach zu dem Ergebnis, dass der Krümmungshalbmesser g der log. Spirale gleich

di-

■__■■ = in c e

in 0 _

d(->

— inr,

der Polarnormale ist und der Endpunkt D der letzteren den Krümmungsmittelpunkt darstellt (siehe Figur 23).

Das gleiche Ergebnis erhält man auch für die allgemeine logarithmische Spirale mit der Gleichung r = cem@) dabei wird:

— m-r und g — r y/1 -j- m².

d²r

- ~ m-

d&    d&

Aufgabe 316. Für den Kegelschnitt:

1 -f- e cos 0

Auflösung. Aus der Polargleichung des Kegelschnitts :

bilden wir:

p e sin 0

d& (1 -j- ecos&)²

und

d² r pe (cos 0 -f- e sin² 0 -{- c)

(W² ~

(1 -(- e cos 0)³

Hiermit wird:

p² e² sin² 0

(1 -(- e cos ©)²    (1 -f- e. cos 0)⁴

p² e (cos 0 -J- e sin²& -j- e)

p²

(1 -f- CCOS0)²

2 p² e²sin²&

(1 -p c cos @)⁴

(1 -f- c cos 0p

Figur 110.

ui

Dieser Ausdruck lässt sich durch eine kleine algebraische Rechnung umformen und geht schliesslich über in:

p (1 -j- 2 c cos 0 -f- e²) ^

' ~    (1 —}- c cos 0)^

Nun ist nach Früherem:

71

t(J p =

r _    1 -(- e cos 0

e sin 0

N/y ß

d@

+X

wobei p den Winkel zwischen dem Radiusvektor und der Tangente im Kurvenpunkt P vorstellt. Bezeichnen wir den Winkel zwi-

sehen dem Radiusvektor und der Normalen in P mit /, so ist:

X ⁼ 90 p, tg x =

e sin 0

sinx —

e s in 0

daher :

1-|- e cos 0

\/1 4~ 2 e cos © 4~ c²

und cos x —

1 4~ e cos 0

Ist v der Winkel der Normalen PN mit der Polarachse OT, so folgt:

v — 0 — x ;

also:

sin v — sin (0 —x) ~ ,SIU © cosx — cos 0 sin x

sin 0 • ( ' e cos 0) — cos 0 • v sin 0

sin 0

\/1 4~ eosO 4~ c²

Ÿ1 4” 2 c cos 0 4- C2 Aus dem Dreieck F PN leiten wir nach dem Sinussatz ab:

daher ist:

n : r — sin © : sin v,

cos²/

r sin ©    r sin © • \/1 -p 2 e cos © -)- e²

sin G

mithin ist die Normale: n — r \/\ -p ²e cos© -p c² und

p ]/1 -f- 2ecosG -f- e² (1 -\-ecosG)² _ p (1 4- 2 ecosG-j- e²) ²

1 ecosG

sin v

1 -j- 2 e cos & t2

(1 -j- e cos ©)³

- <?;

also ist:

Der Ausdruck NJ_PN, so ist :

PG =

COS²/ '

kann aber einfach konstruiert werden: Machen wir N(1 in

cos²/

und machen wir jetzt noch in G die Gerade G M J_ PG, so ist :

PM =

PG

cos² /

— Qi

cos /

d. h. M ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises des Punktes P. Da diese Konstruktion des Kvümmungsmittelpunktes für jeden beliebigen Kegelschnitt Geltung hat, so ist hiermit auch für die Richtigkeit der bei der Parabel (siehe Aufgabe 305, Fig. 105), Ellipse (siehe Aufgabe 303, Figur 96) und Hyperbel (siehe Aufgabe 307) angegebenen Konstruktionen der Beweis erbracht.

Erkl. 96. Es ist :

A r p (—1)(—es inS)

Je -

d² r

p e sin G

(1 -(- e cos G)² ’

il G²

== pe

(1 -J- e cos G)²

(l e cos G)² cos G — sin G-2 (1 -j- e cos G) (— c sin G) (l -f e cos ©)*

— pc-

(1 -|- e cos ©) cos G Ą- 2 e sin² Q

(1 -(- e cos ©)³

pe

(l —j— e cos ®)3 p e (cos® -p e sin² G e)

(cos G-f- e cos² G -j- 2e sin² G)

(1 -(- e cos ©)³

(jL

\N ²

p²e² sin² G

A⁴

p²

2p² e² sin² G

p² c² (cos G -j- e sût⁸ G -j- c)

N²

A⁴

A⁴

wobei A = 1 -f- e cos G gesetzt ist ; daraus folgt :

p²

p² e² sin² G

A⁴

2p² e² sin² G — p²e cos G — p² e² sin² G — p* e²

A²

A⁴

(P²

p²

² • A⁴

G)² -j- p² e² sin² G — p² e cos G — p² e²

p² e² sin² G

A²

A⁴

e cos

p² c² sin² Q

(a²    _____

p² -p 2p² e cos G —p² e cos G

A⁴

. A⁴

(a²

p²

p² e² sin² G

A⁴

p² (1 ~p e cos G)

p [(1 -p e cos ©)²-p e²sin² ©] ² _ p (1 -p 2 c cos G ~p e²)

(1 ~P e cos ©)³

A³

te ca

. A⁴

Uebungsbeispiele.

Krümmungshalbmesser q

(l + 4;r)²

o> —

“¥

\/17 = 35,02

Jt

(l + 4aO ²

17    ,—

= —- Y11 = 35,02

~¥

q = 2 = konstant

o = 2 = konstant

Ordinate rj

des Krümmungsmittelpunktes

~2 = 12-1

7? = 3#2 — iScc + 28-J-= 13¹

■>] = 3 = konstant

rj = 1 = konstant

Abscisse £

des Krümmungsmittelpunktes

I = — 4 a?³

= — 32

Î = 3 - 4 (* — 3)3

= 35

1 = 2 = konstant

| = 3 = konstant

Aufgabe 317.

x = 0, y — 0

x = 2, y = 4

(siehe Figur 28 und Aufgabe 112).

Aufgabe 318.

y — x- — 6 X -J- 10

OC = 1, y = 5

x = 3, y = 1

(siehe Figur 56 und Aufgabe 113).

Aufgabe 319.

x- — éx -J-y² — 6y -j- 9 = 0 (siehe Aufgabe 114 und 189).

Aufgabe 320.

(x — 3)2 + (y — 1)2 — 4 = 0 (siehe Figur 29 und Aufgabe 73).

Krümmungshalbmesser p

(16*2 4-81 yg) ⁸

16-81

= 1,56

[16 (x - 4)² 4- 81 (y -3)2]³

16-81

q — 5,22

(1+«⁴)²

2a;ä

srt = a A Ll

_91. _

(1 -j- 9x~)²

XQ

00

== 5,27

Ordinate łj

des Krümmungsmittelpunktes

7ÿ³

16

= £t

=r 0,09

7 (y — 3)³

16

rj = — 1.68

a;³

V ~~ 2a; ‘    2

= 3±

16

1 4- 15 a"⁴

6a;

00

Abscisse £

des Krümmungsmittelpunktes

7 a;³

^=-8T

= 2,29

7 (x — 4)³

18

25 x — 7 y

— 7 a; 4" 25 y

äy __

d-y 115200 (x² 4- y-) — 64512 xy

s(*09 + gfl —)

I = 0,99

=4

— 9 a*

£ = —---

* 2

— 0

= —8,5

Aufgabe 321.

4a;2-f9?/2_ 36 = 0

x = 2,87, y = — 0,59 (siehe Figur 32 und Aufgabe 74).

Aufgabe 322.

4a² 4-91/2 —32a; —54y +109 — 0

x — 1, y — 3 (siehe Aufgabe 75).

Aufgabe 323.

25 a-² — 14ary + 25y² — 288 = 0 x — 0,99, y — 3,54 (siehe Figur 57 und Aufgabe 191).

Aufgabe 324.

xy — 1

x = ~2' y ~ ²

(siehe Figur 46 und Aufgabe 119).

Aufgabe 325.

y = xz

x — 0, y — 0 x = 1, y = 1

(siehe Figur 66 und Aufgabe 120). ]

CD

S:

QG

g

cc

Krümmungshalbmesser n

q = 1,86

(*6 + 4)²

= 1.86

6x⁵

51/5

(4a;3 + 9yg)²

6xy

= 7;8

(1 + 16x6)²

12x2

11/1-51==

—⁷ II

Ordinate v

des Krümmungsmittelpunktes

10+ x«

6x2

ë*8

■f- fi, f ~ U

= ⁴y Jr^ty

wobei ty die Subnormale bezüglich der Ordinatenaclise ; daraus Konstruktion von M

9*85 + 1

12x2

12

Abscisse £

des Krümmungsmittelpunktes

dy

—= 3x2— 12a-4-11 dx

5 Xp

4 (a;⁶    1 )

<3^8

(*+©

Aufgabe 326.

y = er³ — 6 a* + lia? — 6 x = 1, y — 0

(siehe Figur 65 und Aufgabe 220).

Aufgabe 327.

x-y = I

£»7 = 1, y — 1

(siehe Aufgabe 80 und Figur 49).

Aufgabe 328.

y- — a?³

x — 0, y — O x = 1. y — 1

(siehe Aufgabe 81 und Figur 30).

Aufgabe 329.

y — x*

x — 0, y = 0

* = i, y — i

(siehe Figur 67 und Aufgabe 223).

Krümmungshalbmesser q

(9*2 -{- 16y2) ²

12 xy

15 I

-r-X-

(9*2-1-25 y 3) ²

30*y

(g* + y⁴)*

co I Ol

2c³*y

4-

or^

4 c⁵*³y³

Ci/

*(zv — öp) ô^ô*?

elöQ 4~ s(sx‘ — sö)]

Ordinate 77

des Krümmungsmittelpunktes

9*2

"*e4-*9 =

^ J- Æç = U

(s*0I 4-1) T

15 x~

(6 4- 8^99) -~r — k

y a?⁴-)-y4 2* *³4~ff³

Ci — U

—    __ y    -T⁸+ff⁸

ł ^    4 *³ *⁵ -|- y⁵

ö⁴y⁶ -j- 5⁴*⁶

3a-x-yr°

Abscisse £

des Krümmungsmittelpunktes

16y2

3x

( 8^—4- i) — — \4 95 V x

__*    ^4-ff⁴

2y *³ -J- y³

-f- Ç* g^p ^ s

4~ s37    37

3 b- *⁵ y-

'i — x

Aufgabe 330.

y³ = y⁴

* — 0, y = 0

(siehe Figur 86 und Aufgabe 261).

Aufgabe 331.

y² =

Aufgabe 332.

y³ =: *5 * = 0, y = 0

(siehe Figur 69 und Aufgabe 226).

Aufgabe 333.

a;3 _f_ ff³ — C3

Aufgabe 334.

Ci> - q4 —J— (}ä/

Aufgabe 335.

s9

y-

«2

*2

Aufgabe 336.

x³ -j- xy² — y² — 0.

Auflösung.

6a%(a;²4-y²)²

Aufgabe 337.

a:⁵ -f- a?y⁴ — ÿ⁴ = 0.

Auflösung.

(16ariO-|_25a%2_|_iOj,4ÿ6-{_yio)2

20*6ÿ(®ï+ y⁴)²

Aufgabe 338.

a;

y — niem

Exponentialkurve; siehe Aufgabe 130 und Figur 45).

Auflösung.

0 n² + y²Y

my

2x

Figur 111.

§ — x — m (em -fs 1))

m( 2em -fl)

em

⁺Y

denn :

P,

+x

Konstruktion: AB PN und TMX TB,

AT = m (siehe Aufgabe 130), VT — Ym2+^;

PB : AP = AT: TP,

ferner :

daher:

PB =

AP-AT

TB

my

und

Yw² 4“ y2

also :

MP: TP= TP: PB,

MP —

TP² _ (W2_|_y2)²

PP “

my

_ (siehe ~ Ł Fig. 111).

Aufgabe 339.

y⁴ — 2biß -j- (x² + b² — a²)y² — 2bx²y \ b²x² = 0 oder:

r = a + lŁe

(Conchoide; siehe Aufgabe 260 u. Fig. 45).

Auflösung.

« [(y - bp + 2 b {y — 6)3 + a² js]2 e — {y — bp [2 «² b — {y — b f - 8 b (y — b)²] oder:

(6² -)- 2 a b sinÿ Q 4" a² s»⁴ ©) 2 (a² sm³ 0 4~ 3 a b sin² & — 2ab) sirfiQ '

P =

£ und werden sehr komplizierte Ausdrücke.

Aufgabe 340.

(#2 4- y 2) 2 _ 2c² (*2 — y²) = ü

>•2 — 2 c² cos 20 (Lemniskate; siehe Aufgabe 192 und Figur 58).

oder:

Auflösung.

2c²

rt²

2 c²

oder    —

3 Yx* + y²

(daraus q konstruierbar), x (ft2 + #² + y²) __ 2acos;!@

B 4² + y²)

r] —

y (a² — æ² — y²) _

3 y cos 20

2 a sin³ 0

3 (*² 4 y⁸)

3 y cos 20

wobei a = c y 2.

Aufgabe 341.

>•0 = c

(hyperbolische Spirale; siehe Aufgabe 141 und Figur 43).

Auflösung.

r (1 + ©2) ²

>•

03

cos³ 0 EP

daraus p leicht zu konstruieren. Ferner wird:

r [0 • cos 0 — (1 4 ®²) s*n © I

03

r[0• sin©4(14 ö²) cos

03

Aufgabe 342.

r- — cQ

(parabolische Spirale; siehe Aufgabe 142).

Auflösung.

(lt*)3 _

r² 4 3 (»*)² ’ wobei die Polarnormale vorstellt.

Aufgabe 343.

*' = Ve

Auflösung.

(Lituus; siehe Aufgabe 143 und Fig. 44).

4 c² .(»*)» r2 [4 c² — (n*)⁴J ’ wobei die Polarnormale vorstellt.

C» =

Aufgabe 344.

x — 2rcost — rcos2t, y = 2 rsint— rsin2t

(Cardioide; siehe Aufgabe 11 und Figur 16).

Auflösung.

£ = — r (2 cos t 4 cos 21), i\ = r(2sin t 4 sin2t).

Aufgabe 345.

x — rcos³-^r, y

(Astroide; siehe Aufgabe 12 und Figur 19).

— rsin³

Auflösung.

q — — 3 r sin—-cos

3 . — r sm

~2

Erki. 97. Setzen wir in der Gleichung der Hypocykloide :

a-T,

so folgt:

^cos² ~ -j- 3 sin²    \ ,

y = r sin ~ ^sin² -j- 3 cos²

£ — r cos

³⁷ — T

r cos

3    . t

y - r sui ~4

denn :

T + T cos!,T = 7 (f",T + ³'ms t) =

' ⁼ t(~s“”t+3s’'’‘t)

r . 3 4"T

= r cos³

— r sin³

sind a = 3 sina — 4 sinket, cos3« =r —3COS« -(- 4cos³«.

Aufgabe 346.

Erkl. 98. In Figur 25 ist: OF = r cos w

q — rw,

x — r cos w -j- r w sin tv, y — rsin iv — rw cosw

(Kreisevolvente; siehe Aufgabe 10 und Figur 25).

FQ — rsinw, <£; PQF — w, PQ = arcus A Q — rw, FF = r w sin w,

QG = rw cos iv ; daher : x — OF =z OF-\- FE ~ r cos w -|- rw sin w, y = EP — FQ — QG = r sin iv — rw cosw.

Auflösung.

d. h.:

Q = PQ oder Q ist der Krümmungsmittelpunkt,

£ = r cos io und — rsinw sind die Koordinaten vom Krümmungsmittelpunkt und vom Berührungspunkt Q der Tangente PQ.

Aufgabe 347.

x = c log

~y-

(Traktrix; siehe Aufgabe 138 u. Figur 41).

Auflösung.

c Vc²-y²

Da:

PT = a

dy

dx

Va² —y²

ist, so findet man den Krümmungsmittelpunkt M als Schnitt der Senkrechten TM mit der Normalen in 7' (siehe Figur 41). Ferner wird:

S = cloff(c+.Vf- y‘~y

c²

V =    —■■

y

Aufgabe 348.

r — o (2 cos 0 -J- 1).

Auflösung.

(5 -f- 4 cos 0)

° 3 (3 -j- 2 cos 0)

Aufgabe 349.

oder :

x = a costv, y — a cos w • sin w

Auflösung.

a² y² — x² (a² — x²).

V (2 «⁴ — 5 a² x² -J- 4 ai)³

a² x (3 a² — 2 x²)

Aufgabe 350.

(*² + y²)² — 2 c² (;®² — y²) = qi - c4 (Cas sini sehe Kurve, siehe Figur 112).

Erkl. 99. Es seien zwei feste Punkte Fx und F₂ gegeben in der Entfernung Fx F₂ — 2c; wir suchen den geometrischen Ort des Punktes P, für welchen das Rechteck aus F₁P = und F₂P — r₂ eine konstante Fläche = q² besitzt, also r₂ = q². Nehmen wir den Mittelpunkt 0 von F₁ F₂ zum Anfang rechtwinkliger Koordinaten und OF₂ zur positiven Abscissenachse, so erhalten wir:

y (c — «o* + y°- = ?²>

woraus durch Quadrieren und Ausmultiplizieren die obige Gleichung folgt.

Wie kann die Kurve mittels eines Kreises vom Halbmesser a konstruiert werden, welchen Wert erhält (j für £ = 0 und x — a und wo wird q ein Maximum?

Auflösung. Es wird :

dy x (c² — x² — y²) x (c² — r²)

dx    y (c² -j- x² 4- y²)    y(c²-j-r²j

d²y _ dx²

qi qi — c⁴-|-3c²(a:² — y²) (c² -f x² + ÿ²Y~

q² V(x² + y²)'d

oder :

qi — c⁴ -J— 3 c² (x² — y²)

2 q²r³

c*— g⁴ -f- 3r⁴ ’

Erkl. 100. Die Konstruktion einer Für x = rcos& und y — rsinS geht sie Cassinischen Kurve aus FtF₂ = 2 c und der über in die Polargleichung:

rl — 2 c² r² cos 2 © = qt — c⁴.

Aus der obigen Gleichung in x und y finden wir leicht:

y² — — (c² -}- a:²) -}- V q*    4 c² x².

Wählen wir, um die Schnittpunkte auf der Ordinateuaehse zu erhalten, x = 0, so folgt das zugehörige y aus der Gleichung:

y² = — c² + q² ;

dasselbe erhält demnach zwei reelle Werte:

Strecke q ist die nämliche wie die in Erkl. 31 für die Lemniskate angegebene, nur mit dem Unterschied, dass man in Figur 24 das Lot QR — q zu machen hat. Im rechtwinkligen Dreieck F₁RS ist dann :

F^Q = r, und RS — r₂ ; die P>ogen aus Fx mit t\ und aus F₂ mit r.2 und umgekehrt lieferu dann vier Punkte; ein weiterer Punkt Qx gibt dann vier neue u. s. f.

Zur Bestimmung der Schnittpunkte auf den Achsen dient folgende Tabelle:

Vo = + Yv²— c² und yfl0 = — Yq²~ c²,    -

wenn q c ist. Für q p> c hat die Kurve eine q

Ovalform. Wenn q = c ist, so wird y₀ = y₀₀ — 0; _

die Kurve ist in eine Lemniskate übergegangen (siehe Figur 24). Für q c werden y₀ und y₀₀ imaginär, die Ordinatenachse schneidet die Kurve nicht und letztere besteht aus ' -zwei getrennten, aber geschlossenen ovalen Stücken (siehe Figur 112). Nimmt man q etwas

9

grösser als c, z. B. c, so erscheint die Kurve

iu der Richtung der Ordinatenachse eingedrückt; für weiter wachsende q (z. B. für q = 2 c) nähert — sich ihre Form der Ellipse und zuletzt erscheint 9 sie kreisförmig.

Diese letzteren Formen haben den Astrono- — men Cassini (1625 bis 1712) veranlasst, in ihnen die Form der Planetenbahnen zu suchen.

Nach ihm sind die Kurven genannt. Sie treten auch in der Physik auf bei Plättchen optisch 3 zweiachsiger Kristalle im polarisierten Licht. — (Siehe Kleyer, Lehrbuch der Physik).

x, wenn y — 0

y, wenn x — 0

CO

c + 1,25c,    -j- 0,6614c

ÜTC

"8 C

+ 1,37 c, + 0,348 c

0,

± 1,508 c

c ± 1,601c

2C

~j~ 1,802 c

± 0,1414c

± 0,517 c

+ 0,75 c

± 1,18c

'Er-''

Figur 112.

+Y

2c

2l

~c

4C

ic *

\N

rr* j

\\

0/

+x

Q \flf- ? <?/

rT7

dy

Erkl. 101. Der Differentialquotient

erhält den Wert 0 für a;²-)-^² = c². Daraus schliessen wir, dass die höchsten und tiefsten Punkte für alle zum gleichen Wert von c gehörigen Cassinischen Kurven auf dem Kreis liegen, der aus 0 mit dem Halbmesser c beschrieben wird.

Aufgabe 351. Bei wie grosser Abscisse streicht eine mit 2jo = 25 mm gezeichnete Parabel y- = 2px so schwach gewölbt hin, wie der Wasserspiegel eines Sees in Deutschland, wo der Krümmungshalbmesser des Erdmeridians 6370 km beträgt?

Auflösung. Bei der Abscisse x — 3987,4 m.

Aufgabe 352. Ebenso für die gleichseitige Hyperbel mit dem gleichen Parameter 2p = 25 mm.

Auflösung. Bei der Abscisse x == 7,06 m.

Aufgabe 353. An welcher Stelle ist der Krümmungshalbmesser der kubischen Parabel yA =p²x am kleinsten?

Auflösung. Beim Punkt Px mit den Koordinaten :

dabei wird:

xt = 0,057556p, yx = 0,3861p ;

= 0,5647p.

Aufgabe 354. Wie gross ist der Krümmungshalbmesser in demjenigen Punkt der Parabel y³ = p^x, dessen Abscisse x₂ gleich der Ordinate y.₂ ist?

Auflösung.

~ Vl — ± P, ()., ~ 5,27p.

Aufgabe 355. Ebenso bei der Parabel

y³ — p x¹.

Auflösung.

x₂ = + p, y₂ — p und q₂ ~ 7,812p.

Aufgabe 356. Berechne die Halbmesser p, und p₂ für den Nullpunkt auf der Kurve :

— ftpx-y -j- p²y² = 0 ; dabei sei p — 2 cm angenommen.

Auflösung.

p, — 2,914p = 5,83 cm q₂ — 0,0858p = 0,17 cm

Aufgabe 357. Ebenso für den Nullpunkt auf der Kurve r= a sin 2 <p und die äussersten Punkte derselben.

Auflösung.

Qi = « und Q, — — a.

F. Die Mittelpunktskurven oder Evoluten.

Frage 92. Was versteht man unter der Evolute einer ebenen Kurve?

Figur 113.

p₂

+\

Pi

M₀

M!

T\ M

Antwort. Wenn man zu sämtlichen Punkten P, J\, P₂, P₃ u. s. w. einer Kurve die Krümmungskreise konstruiert denkt, so wird durch die zugehörigen Krümmungsmittelpunkte M, Ml, M₂, M., u. s. w. eine neue Kurve bestimmt, welche die Evolute der ersten Kurve genannt wird. Durchläuft also ein Punkt die ursprüngliche Kurve PnPiP₂, so bewegt sich sein Krümmungsmittelpunkt auf der Evolute M₀MtMa derselben (s. Fig. 113).    .

Frage 93. Wie erhält man die Gleichung der Evolute einer Kurve, deren Gleichung in der Form y — f\x) oder in der Form F(x, y) — o gegeben ist?

oder :

A, MA N +X

Antwort. Sind x₀, y₍₎ die Koordinaten eines Punktes P₀ auf der Kurve, so ist zunächst:

1) • • • • !/o — fi*o)

1 fi) ... /' (x₍₎, y₍₎) — 0.

Die Koordinaten g, rj des Krümmungsmittelpunktes M₀ berechnen sich nach Frage 87 aus den beiden Gleichungen:

1 r(o{i + [r(*o)]²}

f“ (*o)

l + rc^o)]²

H*o)    '

Aus diesen drei Gleichungen 1), 2) und 3) oder la), 2) und 3) lassen sich die beiden Grössen x₀ und y₀ wegschaffen ; es bleibt dann eine Gleichung zwischen §, ^ und den in der Gleichung 1) enthaltenen konstanten Grössen übrig, und diese stellt dann die Gleichung der Evolute dar. Wir erläutern dies an folgenden Beispielen:

2) . . . S = xQ —

3) • • • y — % ff

Aufgabe 358. Es soll die Gleichung

der Evolute der Parabel y = y/2px Auflösung. Wir wählen auf ihr beliebig gefunden werden (siehe Aufgabe 305 und den Punkt P₀ mit den Koordinaten und y₀. Figur 105).    Nach Aufgabe 305 folgt aus:

für die Koordinaten £ und y des zugehörigen Krümmungsmittelpunktes M₀ :

2) . . . 1=3 x₀ + p

und

3) . . . y =

Daraus leiten wir ab:

P²

¹ und yo = —v*

setzen wir diese Werte in die Gleichung 1) ein, so folgt:

x₀ =

-,w-V

woraus sich:

2p(Ç — p)

pT T _ 2p(t-p)

und

7,2 — 27p ^

ergibt. Dies ist die Beziehung zwischen den Koordinaten £ und y eines Punktes der Evolute und dem Parameter der Parabel oder die Gleichung der Evolute der gegebenen Kurve.

Aus y =

dass y nur reelle Werte annimmt £—p positiv, also £ = p oder £>p ist. Die Evolute beginnt daher in einem Punkt M der Abscissenachse, welcher vom Scheitel A die Entfernung p hat, und erstreckt sich dann in zwei zur Abscissenachse symmetri-

±v

8{S—p)*

21p

ist ersichtlich.

wenn

13

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

sehen Zweigen MM‘ und MM₀ ins Unendliche; sie ist eine Neilsche Parabel (siehe Aufgabe 27 und Figur 30).

Aufgabe 359. Es soll die Gleichung der Evolute der Ellipse:

~ + -^_l=0

„2 ' b²

gefunden werden (siehe Figur 106).

Auflösung. Auf der Ellipse wählen wir beliebig den Punkt P₀ mit den Koordinaten x₀ und y₀ ; zwischen diesen besteht dann die Gleichung:

1)..

/V»    2

*^0

?/o²

b²

1 = 0.

Die Koordinaten I, y des zu P gehörigen Krümmungsmittelpunktes M₀ sind nach Aufgabe 306:

2) ... I =

£C₀³ (o² — b-)

und

y„³(«²-&²)

3) ... y =

Zur Abkürzung setzen wir:

a² — b² = e²

und erhalten dann aus Gleichung 2):

und aus Gleichung 3):

Vo_ _ (_    ³

b “ V «² ) *

Erkl. 102. Die Punkte Mx uud M.₂, bezw.

3fs uud AT₄ lassen sich leicht konstruieren. Die Tangenten in den vier Scheiteln der Ellipsen

bilden ein Rechteck und die Lote aus den Ecken . ,    .    .

dieses Rechtecks auf seine Diagonalen schneiden Gleichung 1) ein, so erhalten wir als die Achsen in den gesuchten Spitzen der Evolute Gleichung der Evoluten: der Ellipse.

Setzen wir nun diese Werte in die

(£)*+(£)’ = >•

Die durch diese Gleichung dargestellte Kurve Mx Ma M₂ Mi hat die beiden Achsen der Ellipse zu Symmetrieachsen, was vorauszusehen war, da ja auch die Ellipse selbst diese Sjunetrieen zeigt. Für y = 0 wird : e²

f = + — ;

— a

dies gibt die beiden auf der Abscissenaclise gelegenen Punkte Mx und M₂ auf der Ab-scissenaclise. Ebenso wird für 1 = 0:

4- ß2 •

* —

dies sind die Ordinaten der beiden Punkte M₃ und M₄ auf der U-Achse.

Zur Abkürzung der Rechnung setzen wir

— — A und — a    b

dadurch erhält die Evolute die Gleichung:

— 1=0.

Die Differentiation dieser Gleichung ergibt :

4) . . .

•3+(ł) ’■

dy

= 0;

daraus folgt:

5) . .

dy

’ d£ -

œ ' -i

(iß-

Die nochmalige Differentiation von Gl. 4)

gibt:

= 0.

Hieraus ziehen wir:

6) . .

d²y _

' d Ç² ~

•(*) ‘4

Da der Zähler des letzten Bruches stets

positiv ist, so hat das Vorzeichen des

Nenners, also das Vorzeichen von y. Daher wendet die Kurve der Abscissenachse überall die konvexe Seite zu. Aus der Gleichung 5)

folgt, dass die erste Ableitung    ver

schwindet für y — 0. Wir schliessen hieraus, dass die Tangenten in und M₂ mit der Abscissenachse zusammenfallen und Mt u. l/₂

0/ 7\

zwei Spitzen sind. Da ~ für ? = 0 unendlich gross wird, stehen die Tangenten in Mä und auf der Abscissenachse senkrecht und fallen demnach mit der Ordinatenachse zusammen. Die Evolute hat daher auch in M₃ und M± zwei weitere Spitzen (siehe Figur 106).

Aufgabe 360. Es soll die Gleichung der Evolute der Hyperbel:

*² -£-1 = 0

&2

Auflösung. Da :

*₀3 («2 -I- J2)

gefunden werden.

y₀³(a² + &²)

und y =

ist (siehe Aufgabe 307), so gibt eine der

Figur 114.

ÎT7F

4r

O'

•T*

td

Erki. 108. Die Punkte J₁ und J₂ lassen obigen ganz ähnliche Rechnung für die sich einfach konstruieren: Man errichtet ira Evolute die Gleichung:

Scheitelpunkt Ä₂ das Lot, welches die Asymptote OB₂ in B₂ trifft. Das Lot in B₂ auf OB2 schneidet dann die Achse im verlangten Punkt J₂.

(Siehe Cranz, Analytische Geometrie).

œ-œ⁸

= i;

= a² -4- b² und —

g2    «

— = B gesetzt worden.

Diese Kurve setzt sich aus zwei sich ins Unendliche erstreckenden Aesten Hx Jx Kx und H₂J₂K₂ zusammen, welche in Bezug auf beide Achsen symmetrisch sind. Sie hat auf der Abscissenachse jenseits der Brennpunkte zwei Spitzen Jx und J₂ und wendet dieser Achse überall die konvexe Seite zu (siehe Figur 114).

dabei ist e²

— A und

Frage 94. Gibt es noch weitere Beziehungen zwischen einer Kurve und ihrer Evolute?

Antwort. In Frage 88 ist der Satz bewiesen worden, dass der Krtimmungs-mittelpunkt, der in einer Kurve zu einem bestimmten Punkt gehört, die Grenzlage des Schnittpunktes der durch dessen Punkt gelegten Normalen mit einer unendlich benachbarten Normalen ist; da der Krümmungsmittelpunkt einen Punkt der Evolute der ursprünglichen Kurve darstellt, so tritt demnach ein Evolutenpunkt auf als die Grenzlage des Schnittpunktes einer Normalen mit einer zweiten unendlich nahen Normalen der Grundkurve. Diese enge Beziehung zwischen den Normalen der ursprüng-

liehen Kurve und ihrer Evoluten tritt noch schärfer hervor durch den

Satz. Die Normalen einer Kurve berühren die Evolute derselben in den Krümmungsmittelpunkten.

dS

dx

Beweis. Wir denken uns, es sei die ursprüngliche Kurve durch die Gleichung y ~ f(x) gegeben ; dann sind die Koordinaten I, tj des Krümmungsmittelpunktes M vom Punkt P mit den Koordinaten x und y bekanntlich:

f'G){l + l/(*)]²}

* r G)

und 7] — y Ą

i + ro*)]²

rix) •

Da y, f‘{x) und fn (x) Funktionen von x sind, so sind auch § und rj Funktionen von der Abscisse x des beliebig angenommenen Punktes P der Grundkurve; wir können also setzen:

% — (p (x) und rj — rp (x)

und zur Bildung der Differentialquotienten von diesen Funktionen bezüglich der unabhängigen Veränderlichen x schreiten. Hierbei erhalten wir:

[ r o)i {r g)+a    r (x) {i+[r G)i²} r G)

[r(x)r-

oder :

as _ - 3[rgoi²- ir (*)?+rw{i + \r(*)?}r(*)

irm²

dx

Ferner wird:

= n*H

r 0*0-2r o*o-r 0*0 - {i + ir 0*01*}•/"' o*o

[ro*o²

oder :

dr, _ ar (*) [/■" (tc)]² - {i + [f (*)]*} f“ (x)

dx

Bilden wir jetzt:

dl; d% dr]

so folgt:

dx ' dx ’

»2 f G) '

Bezeichnen wir in Figur 113 wie seither den Winkel, welchen die Tangente PT im Punkt P(x, y) mit der positiven Abscissenachse bildet, mit t, so ist:

y‘ — f G) = tgx.

Ist ferner T der Winkel der Tangente MN im Punkt M der Evolute mit der positiven Abscissenachse, so ist geradeso :

dS

~~ = tgT.

d r]

Hieran reihen wir den weiteren

Satz. Der Längenunterschied von zwei Krümmungshalbmessern PM und PlMl ist gleich der Länge des Bogens 3IM₁ der Evolute zwischen den zugehörigen Krümmungsmittelpunkten M und M₁ (siehe Figur 115).

Beweis. Zu dem Punkt P mit den Koordinaten x und y gehört der Evolutenpunkt M mit den Koordinaten:

£ — (f (x) und T] = xp (x), sowie der Krümmungshalbmesser:

= * (*)•

Figur 115.

Zwischen c und T besteht hiernach die Beziehung, dass:

tg T —

Pv

TV ^

yy\

P.

lz

tg t

+Y

, ,’ii

P\s

s.

in!

+X

Mj ;

ist, woraus wir weiter folgern, dass:

T= 90 + r

sein muss; d. h. die Evolutentangente MN in M und die Tangente PT im zugehörigen Punkt P der ursprünglichen Kurve bilden einen rechten Winkel miteinander. Die Gerade PM steht aber als Krümmungshalbmesser ebenfalls senkrecht auf der Tangente PT in P; sie muss daher mit der Evolutentangente MN in M zusammenfallen, weil es durch den Punkt M nur ein Lot auf die Tangente in P gibt.

Hiermit ist gezeigt, dass in der That die Normale im Punkt P die Evolute im Krümmungsmittelpunkt M berührt.

Wie die gleichlangen Sehnen eines Kreises einen konzentrischen Kreis ein-so erscheint jetzt die

M₂

hüllen

Evolute als die von den Normalen der ursprünglichen Kurve eingehüllte Linie.

r (x)

Lassen wir x sich um die unendlich kleine Grösse dx ändern, so sind x -j- dx, y -j- d y die Koordinaten des Kurvenpunktes P', der unendlich nahe an P liegt, und hierbei ist:

dy — f‘ (x) dx.

Zum Kurvenpunkt P' gehört der Evolutenpunkt ilP mit den Koordinaten wobei offenbar:

d'i—ąt‘(x)dx und dy = t//(x)dx

ist; ferner hat P‘ den Krümmungsradius

d$ =

dr] —

wobei dQ — d% (x) dx genommen werden muss. Zwischen M und M‘ liegt der unendlich kleine Bogen MM‘ der Evolute; heissen wir denselben do, so ist nach früheren Entwicklungen:

da — d £² -{- d rfi.

Um diesen zu berechnen, entnehmen wir dem Beweis des vorigen Satzes:

- 3 \r (a?)]« • tr uoi²+f‘{*) (i+[w}rw

und

\rw]*

• dx

3 r (x) ir (*)i² - {i + [ruoi²}r>)

[/"'(*) l²

hiermit bilden wir:

'&y ;

d f*+d tj2 = {9p (a?> r (*)⁴ - 6 r' o*)³ r c*o² [i ■+ r oo²] • r c*o+r w²■ [i ■+ r' o)²i² -r o*)²

+9 r (*)² • r go² -6/w" go² u u r G)²i r c*o

+[i+r(^)²3²-r'(^)²}-

(Za;²

f“(xy

= [1 + f‘ O)²] {9/" (*)²-/" (a;)4 - 6/' (*) r GO²-[1 + ft*)⁸]-/”" G) +[i+rG0²]²-r'G0}-

(ZiC²

ro)⁴

[l+/-(a;)²]{3r(^)rGO² — [1 + PG0²]• r'G)}² _

f“ G)⁴

(Za;² ;

1) . . . (Zu =

also folgt:

^i+pgo² {3 r go r (xy - ci+p go²i -r (*>}

f“ O)²

•(Za;.

Der Ausdruck für den Krümmungshalbmesser :

[1+r(tt)²]²

r go

gibt durch Differentiation:

(Zç = +

y u+r m² • ap go • r go - u+r go²i² • rw

f“ GO²

• (Za;

2) ... dp = ±

oder :

Vl + PG0² {3 f'(x)f" GO² - [1 + r (x)* • f (X)}

r go²

• dx.

Aus den Gleichungen 1) und 2) schliessen wir, dass:

da = dp

ist; d. h. die unendlich kleine Grösse, um welche der Krümmungshalbmesser in P‘ grösser oder kleiner ist als jener im Punkt P, ist gleich der Länge des unendlich kleinen Bogens MM* der Evolute zwischen den Krümmungsmittelpunkten M und ÜP.

Gehen wir nun von der Annahme aus, dass die Krümmungshalbmesser auf

dem endlichen Bogen PP₁ wachsen von PM — q in P bis zu P₁ Mt — qx in Ml, so können wir uns den zwischen M und Mx gelegenen endlichen Bogen MMX der Evolute in unendlich viele, unendlich kleine Bogen MM⁴ — dg⁴, M‘M“ = do⁴⁴, M⁴⁴M⁴⁴⁴ = do'“, M⁴⁴⁴Mlx = daÏX u. s. w. geteilt und die Tangenten M‘Pl = q⁴, MI4P¹⁴ = Q⁴⁴, M4,4P⁴⁴⁴ == Q⁴⁴⁴ u. s. w. gezogen denken. Der vorige Satz gibt dann:

q' = q 4- da,

q“ = (>'-(- da' = g -f- da    da' — q -j- Bogen MM',

Q⁴⁴⁴ = Q⁴⁴ + da" — q -\- da -\- da' -\- da“ — q -j- Bogen MM“,

(W = q“' -f- da“‘ — q da da' da“ da'“ — q -)- Bogen MM“'

u. s. w.

Durch Fortsetzung dieser Schlussweise erhalten wir:

= q (da da' Ą- da“ -\- •••) = q -f- Bogen MM, oder :

P, — q — Bogen MMV

Frage 95. Welche Folgerung lässt sich aus den beiden letzten Sätzen ziehen ?

Antwort. Wir wollen die Vorstellung erwecken, dass ein vollkommen biegsamer, aber nicht dehnbarer Faden im Punkt P der ursprünglichen Kurve beginne und straff gespannt nach dem Krümmungsmittelpunkt M auf der Evolute gehe (siehe Figur 115); von da aus sei derselbe auf der Evolute MMXM₂ • • • aufgerollt; dann bildet das freie Ende Erkl. 104. ln der Figur 25, Aufgabe 16 pM des Fadens die Tangente im Punkt

n reiL    îfS; Mt der Evolute. Wenn wir jetzt den

AB,C,D. die Evolvente. ln ligur lOo, Aut- — .    . .    „ .    —,    . .    . . .

gäbe 305 ist die Parabel PxOPP' die Evol-    Faden    sich auf    der    Evolute abwickeln

vente; die Kurve MnMM' die Evolute, in    lassen,    während    das    freie Endstück ge-

Figur 106, Aufgabe 306 ist die Ellipse aba,b,    spannt    bleibt, so    hat, wenn die Abwick-

lnLEanàT“teFigSrKîïr SMMs®to    ‘""VT H    P    f«rt^chrj?e“ ist>

reicht, denn es ist:

M'P' = MP + Bogen MM' ;

Hyperbel die Evolvente, die Kurve H,J₁K₁ das Ende des Fadens den Punkt P ei-H₂J.₂K₂ die Evolute.

Unter dem in nebenstehender Antwort entwickelten Gesichtspunkt hat Huyghens, der . . ,.    ..    ...    .    .

M“P" — MP -j- Bogen MM'M“ u. s. w. ; haben wir also die Abwicklung des Fadens auf der Evolute von M bis Mx gehen lassen, so ist der Endpunkt P des Fadens auf der ursprünglichen Kurve von P nach P¹, P⁴⁴ u. s. f. bis Pt gegangen, weil

Erfinder der Evoluten, sie zuerst betrachtet 1S^ ^ie Abwicklung in M angekommen, und ihnen den Namen gegeben. An sie schlossen finden wir das Fadenende in P⁴¹, denn sich dann die Untersuchungen über Berührungen gs ist : und Krümmung der Kurven von Leibniz und Newton an.

P, M, = PM + Bogen MM, ;

d. h. der Endpunkt P des Fadens hat die Kurve PPX beschrieben.

Wir können dieses Resultat zusammenfassen in dem

Satz. Denkt man sich um eine Kurve MMXM₂ • • • einen vollkommen biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden gelegt, dessen freies Ende PM straff gespannt ist, so beschreibt bei der Abwicklung des Fadens der freie Endpunkt P des immer straff gespannt bleibenden Endstücks eine Kurve PP₁P₂---, von welcher die Kurve MMxM₂ • • • die Evolute, d. h. der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte M, Mx, M₂ • • • u. s. w. ist. Die Kurve PPXP₂ • • • heisst aus diesem Grunde die Evolvente, d. h. die abgewickelte der Evolute MMXM₂ • • •    _

Frage 96. Wieviel Evoluten hat hiernach eine gegebene Kurve?

Antwort. Nur eine einzige; denn jedem Punkt P, Pv P₂* • • der gegebenen Erkl. 105. In Aufgabe 305 gibt es zur Kurve PPXP₂ • • • entspricht nur ein gegebenen Parabel nur eine Evolute; ebenso einziger Krümmungsmittelpunkt M. hat m Aufgabe 306 die Ellipse nur eine ein-    ö ,.    . . . °    . ;    ,

zige Evolute u. s. w.    Mi, ^4 * - S die letzteren sind aber die

Punkte der Evolute von PPX P₂ • • •

Frage 97. Wieviel gibt es zu einer gegebenen Kurve Evolventen?

Figur 116.

R;

\Q₂

Ri

VSi

M3

Antwort. Soll zu einer gegebenen Kurve MM₁Mi • • • (siehe Figur 116) die Evolvente gefunden werden, so haben wir in M die Tangente zu ziehen und auf ihr einen Punkt P anzunehmen, von dem aus dann ein Faden längs der Tangente PM nach M und dann um die Kurve MM₁M₂ • • • gelegt zu denken ist. Bei der Abwicklung des Fadens beschreibt P die Evolvente P, Px, P₂ • • • von M, Mlf M₂ • • •

Wählen wir aber auf der Tangente PM beliebig den Punkt Q, so bewegt sich dieser beim Abwickeln des Fadens auf einer neuen Kurve Q, Qlf Q₂ • • • Hierbei ist QM die Normale in Q, QlMl die Normale in Q₁ u. s. f. ; d. h. M ist der Krümmungsmittelpunkt des Punktes Q, Mx jener für Ql u. s. w. oder die neue Kurve Q Qt Q₂ • • • hat ebenfalls die Evolute MMX M₂ • • • oder die letztere hat auch die Evolvente

qqa •••

Wenn auf der Tangente PM noch ein dritter Punkt B angenommen wird, so legt dieser bei der Abwicklung eine

dritte Kurve RRXR₂ ••• zurück, für welche dasselbe gilt, was soeben für QQiQ-2 gefunden wurde.

Hieraus fliesst der

Satz. Jede Kurve hat eine einzige Evolute, aber zu jeder als Evolute angenommenen Kurve gibt es unendlich viele Evolventen.

Frage 98. Welche Eigenschaften haben die unendlich vielen Evolventen einer gegebenen Kurve?

Antwort. Die Kurven PP, P₂ • • •, QQiQ-2 • • •> RRXR₂ - • • der Figur 116, die sämtlich Evolventen der Kurve MMXM₂ • • • sind, haben das gemeinsam

dass die Tangenten MPQR, M₁P₁Q₁R₁ • • • der Kurve MMXM₂ • • • Normalen für sämtliche Evolventen sind ; weiter haben die Punkte P, Q, R auf der ersten Normalen den gemeinschaftlichen Krümmungsmittelpunkt M, die Punkte Px, Qx, Rx den gemeinschaftlichen Krümmungsmittelpunkt Mx u. s. w.

Da weiter:

und

P₁M₁ PM-\- Bogen MM,

Q, Mx — QM-\- Bogen MM\

ist, SO folgt:

Ql M, — Px M, — QM — PM oder Qx P₁ — QP.

Ebenso beweist man, dass Q₂P₂ = Pt ist ; d. h. die Kurve Q,    , Q₂ • • • hat

von der Kurve P, Pl, P₂ überall den nämlichen Abstand. In gleicher Weise ist QR — QXRX = Q₂R₂ • • •

Wir fassen dies zusammen in dem

Satz. Sind zwei Kurven Evolventen derselben Evoluten, so haben sie gleiche Normalen, gleiche Krümmungsmitt eipunkte und stehen überall gleich weit von einander ab; sie sind äquidistant oder parallel.

Anmerkung 4. Ueber solche Parallelkurven wird ein späterer Abschnitt genauere Untersuchungen bringen.

Frage 99. Wie lässt sich, wenn zu einer Kurve eine Evolvente gezeichnet

Antwort. Hat man zur Kurve P, ist, eine beliebige zweite Evolvente pi; P₂ die Evolute M, Mx, M₂ gezeich-konstruieren?    net, so erhält man eine zweite Evol

vente, indem man sämtliche Evolutentangenten MP, MXPX, M₂P₂ um ein beliebiges konstantes Stück s verlängert oder um ein solches Stück verkürzt (siehe Figur 116).

Frage 100. Welche andere geometrische Auffassung kann hiernach von einer Evolvente einer gegebenen Kurve noch gegeben werden?

Figur 117.

■fr -

S3

s,

Sa’ S;

Si

,s.

Mi

f

M,

m.;

M₂

Nehmen wir die Strecke s = — PM, so wird der Punkt M selbst der beschreibende Punkt; auch dieser durchwandert beim Abwickeln des Fadens eine Evolvente MSxS.₂S₃. wir schon bei der Kreisevolventen in Aufgabe 16 und Figur 25.

Diesen Fall hatten

Antwort. Um eine Evolvente der Kurve    zu erhalten, ziehen

wir im beliebigen Punkt M die Tangente und lassen nun diese, ohne zu gleiten, auf der gegebenen Kurve fortrollen; dann beschreibt bei dieser Bewegung der anfängliche Berührungspunkt M eine Kurve M, Sv S₂, Sa. Diese ist offenbar eine Evolvente der gegebenen Kurve.

Hierbei ist zu beachten, dass diese rollende Bewegung der Tangente auch rückwärts über den Anfangspunkt M fortgesetzt werden kann in die durch Mx, MJ, M.a‘ u. s. f. gehenden Lagen; dann hebt sich der beschreibende Punkt wieder von der Evolute in M und durchwandert einen neuen Zweig MSXS₂JS.J> • der Evolvente; die letztere hat also in M einen Rückkehrpunkt erster Art — eine Spitze erhalten.

Lassen wir die Bewegung der Tangente in einem andern Punkt M* der Evolute beginnen, so erhalten wir eine andere Evolvente, eine Parallelkurve TXM*TX zur vorigen, die in M* eine Spitze besitzt. In der Figur 118 ist Mx‘ MM* Mx die Evolute der Ellipse PXPP*PV Der Berührungspunkt der Tangente in M beschreibt bei seiner rollenden Bewegung auf der Evolute die Evolvente Sx MS* Sx ; hierbei ist MP = S/P/ = S*P* — SXP Kurve ist geschlossen und hat vier auf der Evolute liegende Spitzen.

Lassen wir die Bewegung der Tangente vom Berührungspunkt M* ausgehen, so beschreibt der letztere die Evolvente TXM*TTX‘, wobei M* P* = T^M^ — TP — T₁P₁ ist; auch diese Kurve hat vier auf der Evolute gelegene Spitzen.

1;

Die

Figur 118.

nP.

Pil

's;

1---

'.T/

M'

S*

-----

/•

JL

>T._

M*

Tr

Mi

Frage 101. Welchen Einfluss hat ein W e n d e p u n k t einer Kurve auf die Gestalt ihrer Evolute?

Antwort. Auf der Kurve P"P'P₁ P2 sei P ein Wendepunkt. Ziehen wir in demselben die Tangente t, so ist der Erkl. 106. Geben wir die Gleichung der Kurvenzweig P" P' P gegen eine be-

und der Zweig PP₁P₂ konvex (siehe

Kurve in der Form y = f (x) und legen hier- iiep)ig- unter P gezogene Gerade konkav bei die Abscissenachse m eine beliebige Gerade g ° unter P, so muss nach Frage 51 für die Koordinaten X, y des Wendepunktes f‘(x) ent- Frage 49); daher liegen die Krlim-weder = 0 oder = oo sein. Der Krümmungs- mungsmittelpunkte M“, M‘ unter t, da-halbmesser:    „    gegen M₂, Mt über t Die Evolute

_ [l + ^(x)2]²

f“{x)

muss demnach beim Uebergang von MM‘ nach Mv M₂ die Seite wechseln wird daher für P entweder unendlich oder Null, was bei der vorausgesetzten Stetigkeit

nur im Unendlichen oder auf der im

Figur 119 a.

Figur 119 b.

QO

MX

,m₂

St

Pa

p;

Punkt P selbst stattfinden kann. Im ersten Fall ist die Kurvennormale in P die Asymptote der Evolute, und die beiden dem unendlich fernen Krümmungsmittelpunkt il/zustrebenden Zweige M“M‘ und Mx M₂ liegen auf entgegengesetzten Seiten der Asymptote (siehe Figur 119 a). Ein Beispiel liefert die Lemniscate in Figur 58. Im zweiten Fall schneidet die Evolute die gegebene Kurve in P und besitzt in P ebenfalls einen Wendepunkt (siehe Figur 119 b). Ein Beispiel liefert die Parabel if = xb in Figur 69. Da ein weiterer Fall nicht denkbar ist, haben wir den

P/

ivr

m’

M'

oo

Satz. In einem Wendepunkt einer Kurve ist der Krümmungshalbmesser unendlich gross oder Null und ihre Evolute hat entweder die Normale des Wendepunktes zur Asymptote oder der gegebene Wendepunkt ist für die Evolute ebenfalls ein Wendepunkt.

Frage 102. Welchen Einfluss hat ein Rückkehrpunkt erster Art einer Kurve auf die Gestalt ihrer Evolute ?

Figur 120 a.

Figur 120 b.

M,

Mi

p;

Pi

P//CV;

p*

p;

P2

m₂

Antwort. Bei einem Rückkehrpunkt erster Art (einer Spitze) liegen die beiden Kurvenzweige und daher auch ihre hohlen Seiten auf verschiedenen Seiten der Tangente t\ es muss daher ebenso wie beim Wendepunkt der Krümmungsmittelpunkt und die Evolute die Seite der Tangente t in P wechseln. Der Krümmungshalbmesser muss daher auch in der Spitze P entweder unendlich gross oder Null sein. Im ersten Fall p ist die Kurvennormale in der Spitze Asymptote der Evolute (s. Figur 120 b). Ein Beispiel gibt die Evolute der Ellipse (s. Fig. 118) in ihren oberen und unteren Spitzen. Im zweiten Fall geht die Evolute durch die Spitze (siehe Figur 120 a). Beispiele hiefür sind die Spitzen von Cissoide (s. Figur 11), Neilscher Parabel oo s.) Figur 30), Cykloide (s. Figur 13),

oo

mJ

Epicykloide (s. Figur 15), Hypocykloide u. s. w. Wir fassen dies zusammen in dem

Satz. In einem Rückkehrpunkt erster Art — einer Spitze — ist der Krümmungshalbmesser unendlich gross oder Null; die Evolute hat im ersten Fall die Kurvennormale der Spitze zur Asymptote, im zweiten Fall geht die Evolute durch die Spitze hindurch.

Figur 121a. Figur 121b.

Figur 121c.

P,

P,

PL

py

m;

M₂

lä

Frage 103. Welchen Einfluss hat ein Rückkehrpunkt zweiter Art — eine Schnabelspitze einer Kurve — auf die Gestalt ihrer Evolute?

Antwort. Bei einer Kurve: P"P‘PPXP₂

mit einem Rückkehrpunkt zweiter Art P liegen alle Krümmungsmittelpunkte: iU", M‘, Mv M₂

auf der nämlichen Seite der Tangente in P, daher kann der Krümmungshalbmesser in P jeden beliebigen Wert annehmen. Nimmt die Krümmung auf dem Bogen P₂'P₁'P ab bis P und ist sie dann weiter abnehmend auf dem Zweig PPXP₂, so besitzt die Evolute im Krümmungsmittelpunkt M von P einen Wendepunkt (siehe Figur 121a). Ist dagegen die Krümmung in P sowohl für den Bogen /yP/P als auch für PP, P₂ ein Maximum (siebe Figur 121b) oder für beide ein Minimum (siehe Figur 121c), so ist M für die Evolute ein Rückkehrpunkt zweiter Art, der beim Maximum ins Unendliche (siehe Figur 121 d), beim Minimum in P fallen kann (s. Fig. 121 e). Darnach folgt der

Satz. In einem Rückkehrpunkt zweiter Art ist der Krümmungshalbmesser Null, endlich oder unendlich, und liefert für die Evolute entweder einen Wendepunkt oder einen Rückkehrpunkt zweiter Art.

Figur 121 d.

Figur 121 e.

\p₂

, Mg

l2

M>

M,’

M₂

oo

Auflösung. Nach Aufgabe 311 haben die Koordinaten £ und y des Krümmungsmittelpunktes M₀ des Punktes P₀ der Cykloide die Werte:

Anwendung auf einzelne Kurven.

Aufgabe 361. Die Gleichung der Evolute der Cykloide:

x — r(t — sin t) und y — r (1 — cos t) zu finden und zu untersuchen.

(Siehe Aufgabe 10, Figur 12 und 13;

Aufgabe 67 und 311; Figur 107).

1) . . . £ = r(t -J- sint), y =—r(l — cost).

Hiermit ist eigentlich die Evolute schon bestimmt, denn die Koordinaten jeder ihrer Punkte sind dargestellt als Funktionen des unabhängigen Parameters t ; auch könnte die Kurve Punkt für Punkt konstruiert werden nach der in Aufgabe 311 gefundenen Methode.

Eine genauere Einsicht in die Natur der Kurve gewinnen wir, wenn wir sie auf ein neues Koordinatensystem X'O'Y' beziehen, dessen Achsen zu den seitherigen parallel gehen. Die neue Abscissenaclise O'X' bekommen wir durch eine Parallelverschiebung der Achse OX nach unten um die Strecke 2 r und die neue Ordinatenachse O'Y* folgt aus der ursprünglichen durch eine Parallelverschiebung nach links um die Strecke nr. Dann hat der Punkt M₀ im neuen System die Koordinaten:

2)    . . . xx =    und y, = 2r-\-y.

Dadurch gehen die beiden obigen Gleichungen 1) über in:

3)    . . . xx =:r(n-\-t — sin t) und

yx — r (1 -j- cos t).

Setzen wir jetzt noch:

4)    ...*! = w + f,

so wird:

und

5) . . . sin tx — sin (ti -f- 0 — — sin t

6) . . . cos tx — cos (n -\- t) — — cos t.

Figur 122.

+Y»

+Y

Ai

Pt

— Pa

-\

Je

Ć-JA

'V

-• J.....

0,

/.

CCj *4TZ 7* +

t/10

I___

E M±

Dies in Gl. 3) die Werte 5) und 6), so folgt als Gleichungen der Evolute im neuen System :

xx = r(tx — sintx) und yx = r( 1 — costx).

Diese beiden Gleichungen stimmen vollständig mit denen der gegebenen Cykloide überein; an die Stelle von x, y und t sind nur xx, yx und tx getreten ; wir schliessen hieraus, dass die Evolute der Cykloide wieder eine Cykloide ist, welche der ersteren kongruent ist (siehe Figur 122).

Denken wir uns längs des Cykloiden-bogens OM₀Mx einen Faden gelegt und denselben vom Punkt 0 an abgewickelt, so erzeugt der Punkt 0 nach Frage 95 die Evolvente OP₀PV Ist die Abwicklung bis zum Punkt Mx fortgeschritten, so hat der die Evolvente erzeugende Punkt die Lage Mx erreicht. Nach Frage 94 ist daher die Länge des Cykloidenbogens OM₀MX gleich der Länge der Strecke Px Mx, d. h. = 4 r. Da aber OM₀Ml die Hälfte des Cykloiden-zweiges 0'0MX darstellt, so kommen wir zu dem Satz, dass ein ganzer Cykloiden-zweig die achtfache Länge des Halbmessers des erzeugenden Kreises hat.

Aufgabe 362. Desgleichen für die Evolute der Epicykloide:

x — (a r) cos — t r

y — (a-\- r) sin — t — a sin r

— a cos

Auflösung. Nach Aufgabe 312 haben die Koordinaten £ und y des Kriimmungs-(Siehe Aufgabe 11, Figur 14 und 15; mittelpunktes M des Punktes P(x, y) der

Aufgabe 68 und 312).

Epicykloide die Werte:

(a 4~ r) c°s -t-\- a cos 1 -(-    ,

(a -f- r) sin ^ t ~\- a sin    .

2a -\-r

2) ... y =

2a-\-r

Diese zwei Gleichungen stellen zusammen die gesuchte Evolute dar, ausgedrückt im „    ^ ,    .    ......    Parameter t. Zur Untersuchung dieser Kurve

Erkl. 10<. Dreht man ein rechtwinkliges drehen wjr ^as Koordinatensystem um den Koordinatensystem 107 um den Winkel tp m    J

der Richtung der positiven Y-Achse, so hat ein Winkel — n in der Richtung von der posi-Punkt P, der im alten System die Koordinaten    r

x und y hat, im neuen System XxOYx die tiven Abscissenachse zur positiven Ordinaten-Koordinaten:    achse. Die Koordinaten des Krümmungs

xx — x cos cp -j- y sin cp, yx = — x sin (p -f- y cos <p.

Näheres siehe Cranz, Analytische Geometrie.

mittelpunktes M seien im neuen System und yx ; dann hängen | und y im alten mit und yx im neuen System zusammen durch die Gleichungen :

3)    . . . ^    £ cos 7i sin n,

4)    . . . yx =. — I sin -7i-{-rj cos — 7i.

cos

r (a -f- r)

2 a -j- r

r (a -J- »')

f    a

( cos — t cos \    r

•cos

fa,    a \

5) ...    =

6) . • • Vi =

Figur 123. +Y 1_

0/-'

3«

ar

Setzen wir die Werte für I und y aus Gl. 1) und 2) in Gl. 3) ein, so folgt:

a .    . a . a

— 7i -4- sin — t • sin — r    r    t

r 2 a -J- r

a ,    . .

— (* — ⁷¹H

— cos

2a-f- r

r (« 4- r)

2 « 4~r

r/

cos

• cos

2 a -j- r Da nun:

— ri -f- sin r

fa,    a \

(7< + (~77

> «

-    --71 -

r

so bekommen wir:

a ,    .

—    (t — 7l) —

r

und ebenso:

• sin — (t — Ti) — r

•cos

ar

2 a-\-r

— cos

•cos

• sin

2 a 4- >’ Setzen wir .jetzt:

8) . . . «,

o+o«

— 7l),

[-7

\y    — n\

v²

und

2 fl + r ’ a r

~ 2 a-\-r

9) . . . tx—t 7T,

so gehen, weil

10) . . .

«1 _

2 a 4" r " 2 a 4~ r r ist, die Gleichungen 5) und 6) über in:

und

ri

ai

11) ... f, = (a₁ + r₁)cos-—tl

ri

— a₁-cos

(W

a,

12) . . . vi = («14- d) sin — 4

r\

— ax-sin

(W

Vir

Tu 0

0,

Aus diesen beiden Gleichungen sieht man +XJ~ durch Vergleichung mit jenen der gegebenen Kurve, dass die Evolute der letzteren selbst wieder eine Epicykloide ist, die dadurch entsteht, dass auf dem Kreis vom Halbmesser:

'JL

IV

ri =

«²

2 a 4- r

der Kreis vom Halbmesser:

ar

Ul 2 ff 4~ r

rollt. Ihr fester Kreis liegt mit dem ursprünglichen festen Kreis konzentrisch und die Spitzen der Evolute sind um

4 tt gegen die Spitzen der ursprünglichen

gedreht. Wegen -^7- — — ist die Evolute

den Winkel

Haas, Differentialrechnung. Iü. Teil.

14

yv

V.

VI

Ai

VŒ

VŒ

Figur 124.

\I

/»*

T\

+X

5\

AJ

7-

8,

Aufgabe 363. Desgleichen für die Evolute der Hypocykloide:

x — (r — a) cos 4- a cos r

.    .    . at    . f at\

y — (r — a) sm ---a sin I t--I.

der Epicykloide der letzteren ausserdem noch ähnlich (siehe Figur 123).

Nehmen wir wie in Figur 15:

r,

a“ T

so ergibt sich für die Evolute:

3    r . a

— — r, a. — — und — n —

5    ¹    5    r

(siehe Figur 123).

Für die Cardioide (siehe Fig. 16) ist:

a — r,

ri

f [= 60°]

daher:

*₁=Tll,T,r =

die Evolute ist wieder eine Cardioide und zwar verkleinert im Verhältnis 3 :1 und um 180° gedreht im Vergleich zur gegebenen Kurve (siehe Figur 124).

7i [- 1800]; d.h.

Auflösung. Nach Aufgabe 313 ist hier:

r — 2a

(r — a) cos--a cos

r

(-n

(Siehe Aufgabe 12, Figur 17 und 18, y = Aufgabe 69 und Aufgabe 313.)

(r — a) sin — -j- a sin A — —^ .

r — 2 a

Drehen wir das Koordinatensystem um

den Winkel

formationsformein die neuen Koordinaten f,,

des Krümmungsmittelpunktes:

. an

Setzen wir weiter:

an

?, = %COS

so sind nach den Trans-

an

,•2

«i =

ar

r — 2 a so erhalten wir:

und t. = tĄ--

r

ri — ²«i L

[7\ — aj cos

ri

f- «J COS

('■

)]■

Vi =

rt — 2a₁

(»•j — a,) sm

woraus wir schliessen, dass die Evolute der Hypocykloide wieder eine Hypocykloide ist, die dadurch entsteht dass im Kreis vom Halbmesser:

ri

ri

ri —

r — 2 a

der Kreis vom Halbmesser:

a₁ —

ar

Figur 125.

rollt. Ihr fester Kreis liegt mit dem gegebenen konzentrisch und die Spitzen der

Evolute sind um den Winkel

an

IV

m;

dl'

— gegen

jene der gegebenen gedreht; ausserdem sind

/ü

JU

wegen    beide Kurven ähnlich.

V

-j- heisst die Hypocykloide

Astroide (siehe Erkl. 25 und Fig. 19 u. 40). +X Ihre Evolute ist demnach wieder eine ~ Astroide, für welche:

Für a —

i*

= 2r,    «1 = ~

und der Drehungswinkel:

3.

*2*

= —450

zu nehmen ist. Dieselbe ist in Figur 125 dargestellt.

Aufgabe 364. Desgleichen für die Evolute der Zuglinie:

c —j— y c²— y²

Auflösung. Der Krümmungshalbmesser :

— y²-

(Siehe Aufgabe 138 und Figur 41.)

Kt)]²

d²y

d x-

wird nach den Formeln 4) und 6) der nebenstehenden Erklärung:

C² _ y2 \ ²

Erkl. 108. Zur Berechnung der Grössen: und

dy

d°-y

y²

c²y

_ c (c² — y²)²

dx

dx²

bedienen wir uns der Formeln:

1) . .

dy ₌    1

dx dx

(C2 _ yS)2

Für die Koordinaten ft n des Krümmungshalbmessers gilt:

dy

dx

und

dy

Mäh

2) . .

d²y _ ' dx² ~

d²x

dy²

d'²y

dx²

r dx y \dy)

(c2 — y²)²

Ÿ c² — y²-c²y

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 256). Aus der gegebenen Gleichung folgt zunächst :

1    (- 2y)

dx

dy

= c--£=-•

C -f l/c2—y2

Vc² — y²

(c -(- Yc² — y²)

(-2 y)

y-

y/c2— y‘2

c [— y² — c \/c² — y² — (c² — y²)]

y • (c + Y c² — y²) y c² — y²

— c²

Y c² — y2 — (c² — y²)

y c² — y²

y y c²— y²

y c²—y²

y yc² — y²

also ist:

3) . .

dx

y c² — y²

dy

und nach Formel 1):

setzen wir hier aus der Gleichung der Zuglinie den Wert für x ein, so erhalten wir:

c -}- y c² — y²

4) . .

dy

dx

yc² — y² * Aus Gleichung 3) ergibt sich:

7) ... I = clog

Die Gleichung:

d²x _ dy² —

² Vc² — y²

Vcz-yz

d-y

oder :

__ ff² + c² — y²

y2 yC*—y* ~

y²

c²

Cy2 y C2_ y2

dx²

gibt mit den Werten 4) und 6) nach kleiner Vereinfachung:

C²

8) ... r, = 4-.

-X

c²

______ Um die Gleichung der Evolute zu bekom-

dy² y2 yc2 _ ^2 '    men, haben wir aus Gleich. 7) und 8) y zu

Die Werte aus Gleich. 3) und 5) in Gl. 2) eliminieren. Aus Gl. 7) folgt: eingesetzt, liefert:

5) . .

d²y _ dx² —

c²

y² y c²— y²

(c² — y²)²

c-y

V² - y-)²

c² — ÿ² = (yec — c)² — y²e c — 2cyec c²,

2g

also haben wir:

6) . .

d'²y __ _____ dx² ~ (c² — y²)²‘ Figur 126.

c²y

daher:

2cyec = ÿ²(e c + 1) ;

2cec

M₂

!m’z

+Y

e 0 +1

Dies in Gl. 8) eingesetzt ergibt:

_ c²(ec +1)

oder :

WWY Mj

P?

B'

1 _I

10) . . . 7j = y(cc+e c).

Nach Aufgabe 4 stellt diese Kurve eine Kettenlinie dar, deren tiefster Punkt B Längenheiten über dem Koordinatenanfang auf der Ordinatenachse liegt. Unser Resultat ⁺Y lautet demnach: Die Evolute der Zuglinie ist eine Kettenlinie (s.Fig. 126).

In obiger Entwicklung haben wir stillschweigend nur das negative Vorzeichen von

(1 V

und damit nur den oberen Teil der Zuglinie berücksichtigt. Es ist klar, dass dem unteren Zweig als Evolute eine zweite Kettenlinie entspricht, welche zu der ersten bezüglich der Abscissenachse symmetrische Lage hat.

-Y

Erkl. 109. Zur Konstruktion der Zuglinie (siehe Aufgabe 138 und Figur 41) wird man daher am einfachsten von der Konstruktion der Kettenlinle (siehe Aufgabe 4, Figur 6), ausgehen; an letztere wird man hierauf einige Tangenten M₂ P₂', Af/P,', Af,P,, M₂P₂ konstruieren und auf ihnen die Bogenlängen M₂ B, Af/P, 114, P, M₂B abtragen. Dann ist P₂'P/ PP,P₂ die Zuglinie (siehe Figur 126).

Aufgabe 365. Desgleichen für die loga-rithmische Spirale:

©

r — e .

Auflösung. Nach Aufgabe 315 ist q = r — der Polarnormalen BD und die (Siehe Aufgabe 14, Figur 23, Aufgabe 140 Polarsubnormale OB ist = r — e®. Der und 315.    Krümmungsmittelpunkt D hat daher, bezogen

auf den Pol 0 und die Polarachse OX, die Koordinaten OB — r₁ und Winkel XOB — ©'; dabei ist:

e® und ©' = © -j- ~

©■- —

Figur 127.

Pi,

ri —

oder:

Pt

rx—e

Errichten wir nun in 0 auf OX das Lot OXx und setzen:

<£ Xx 01) = ©, — ©'--^ = ©.

so ist der Punkt B, bezogen auf 0 und OXj, durch die Gleichung bestimmt :

Dl

\    D₀\

NOÄ

■^Po

Du

r, =

Daraus schliessen wir, dass die +JL Evolute der gegebenen Kurve ebenfalls eine logarithmisclie Spirale bildet und zwar eine solche, die der gegebenen kongruent ist.

Eine Drehung um 90° im entgegengesetzten Sinn der Bewegung des Uhrzeigers bringt die gegebene logarithmische Spirale P₀₀ P₀ PI\ Pn zur Deckung mit ihrer Evoluten B₀₀B₀BB₁Bn (siehe Fig. 127).

so ist:

Aufgabe 366. Es soll eine logarithmische Spirale gefunden werden, welche mit ihrer eigenen Evoluten zusammenfällt.

Erkl. 110. Ziehen wir durch 0 die Gerade OA und setzen:

<£XOA = a, XOP — ©,

XOD = 0 + -|-, AOD = 0₁,

©i + « = © + \ »

© = ©! + « — -?-•

Auflösung. Gehen wir von der allgemeinen Gleichung:

y = cem ®

aus, so ist nach Aufgabe 315 wie im vorigen Beispiel der Krümmungshalbmesser:

q = r i/1 + w²

gleich der Polarnormalen PB und die Sub-polarnormale OB — rx = mcem®. Diese bildet mit der Achse OX den Winkel :

XOD

Die Gleichung:

gibt nun:

r\ = mcem

: V    ²>=zcem^

r₁ — nice

Wählen wir nun den Winkel « derart, dass:

•me

so folgt:

»i«

m(a-lL)

V ²/ = 1

bezeichnen wir den letztem mit ©' und setzen :

e' = e + -f.

® ⁼ ®' —TT ®-T

und die Gleichung:

oder:

r. = mc«

ist offenbar diejenige der Evolute. Von dieser lässt sich wieder leicht beweisen, dass sie eine logarithmische Spirale darstellt, welche der gegebenen kongruent ist, und dass die letztere durch eine Drehung um 0 mit ihrer Evolute zur Deckung gebracht werden kann wird, so erhalten wir für den Pol 0 und die (siehe Erkl. 110).

Polarachse OA die Gleichung der Evolute:

oder :

l (m) -J- m ---?= 0

71

In der vorliegenden Aufgabe soll nun die Grösse m so bestimmt werden, dass die eben welche mit der Gleichung der gegebenen Spirale gefundene Drehung wegfällt; dies wird ein-übereinstimmt; d. h. die Evolute ist der Evol- treten, wenn die Polarkoordinaten rx und ©' venten kongruent.    des p^tes D die Gleichung der logarith-

mischen Spirale:

ri —

cem ö‘,

Erki. 111. Zur Zeichnung der Kurve :

l(m)

z = ———

dienen folgende Werte: m — 0

tn

- 00

0,2745    0,5

— 4,7124    —1,39

r — cem

befriedigen. Das Azimut :

©' = © + -£

5,51 0,27 Wendep.

Bei beliebig gewähltem m berechnet man mit gewöhnlichen Logarithmen den Wert von z aus: log m

Z ~ 0,43429 • m

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Frage 29).

Der Leser wird gebeten, die Kurve auf Millimeterpapier einzutragen.

z = — 00

2,718

0,3769

Max.

oo

können wir auch um 360° oder 720°, kurz um ein ganzes Vielfaches von 360° oder um 2 kn, wenn k eine ganze Zahl bedeutet, vermehren, ohne die Richtung vom Radiusvektor O D = rj dadurch zu ändern, d. h. können wir

0'=©-|-y durch 0 -f- y + 2Æn ersetzen.

Dann gehört der Punkt D der gegebenen Spirale an, wenn:

t\ = cem ^0 -j- ~ + 2Jc 7i^

Erkl. 112. Zur Darstellung der Kurve:

r = e°>2745 &

(siehe Figur 128) dienen folgende Angaben:

Sn r— 0,523

ist. Vorhin wurde aber schon gefunden: rt — mc em ® .

Daraus fliesst die Bedingungsgleichung :

= mem

P— 3 •••• © = —

oder :

+ +2Ä;7r)

P—2 •••

71

„    0,650

em

oder:

P-1 ••

71

„ 0,806

P₀

oder :

m (lT +2kn)

= Uni)

Fi

71

„    1,240

P2

71

„    1,540

ps

3 71

„    1,909

T[ = T(¹ + 4fc),

worin k irgend eine ganze Zahl ist. Betrachten wir die Funktion:

l (m)

P,

5tt

2,368

2,939

deren Differentialquotient :

dz _ 1 — I (m)

d m    m²

Po

371

3,645

Pt

7 71

Ps

Po

O LO

tt a

4,522

5,606

6,959

5 71

ist, so wächst z von —oo bis 0, wenn wir tu von 0 bis 1 gehen lassen; dann wächst

sie weiter von 0 bis —, wenn m von 1 bis

e

e — 2,718- •• geht. Dann nimmt z ab von — = 0,368 • • • bis 0, wenn man m von e bis oo wachsen lässt.

kann hiernach höcli-

8,634

u. s. f.

Die nebenstehenden Unter- der Gleichung :

stens den positiven Wert 0,368 erreichen, dagegen jeden beliebigen negativen Wert annehmen. Da Je beliebig ist, geben wir ihm zuerst den Wert 0 und suchen m aus

Erkl. 118.

suchungen verdankt man Jakob Bernoulli,    lim) 7t

der sie die spira mirabilis nannte und als Typus    ~~m~ ~~ ~~2~ — •'

der Beständigkeit und der Auferstehung be- .    ...    Tt x    . .

trachtete. Die Worte „eadem mutata resurgo“, zu bestimmen Die vorige Untersuchung zeigt

welche er auf seinen Grabstein setzen l'iess, so.fort> dass dies unmöglich ist. Nun wählen beweisen, wie hoch er seine Entdeckung schätzte wir Jc = — 1 und suchen m aus der Gleichung:

4 (1-4) = --^- = -4,7124.

(siehe Erkl. 29).

I (m)

Figur 128.

Po

Pa

IR

SX

r_v

P₈

+x

Diese Bestimmung ist möglich und die Rechnung liefert:

w = °’²⁷⁴⁵-

Die Evolute der Spirale:

ce0,2745 0

muss demnach mit der Evolvente zusammenfallen.

k — — 2, — 3 würden neue derartige Kurven ergeben; wirsehen hieraus, dass unendlich viele logarithmische Spiralen die merkwürdige Eigenschaft haben, dass sie mit ihren Evoluten zusammenfallen.

In der Figur 128 ist jene dargestellt, wrelche der Gleichung:

r — e0,2745 0

Genüge leistet. Die Grösse c spielt hierbei keine Rolle, weil:

r = ce°,2745 0

die gleiche Kurve gibt, nur mit anderer Polarachse. Eine Drehung der Achse OX um seinen Winkel a gibt nämlich sofort die neue Gleichung :

eO,2745 ( 0 — a) _

gO,2745 0

Pr

_ ceO,2745 0

wenn c = e~ °’²⁷⁴⁵ “ genommen wird.

«,2745« a

Aufgabe 367. Wie lautet die Gleichung der Evolute.der logarithmischen Linie:

Auflösung. Nach Aufgabe 338 ist:

y — mem ?

(Siehe Aufgabe 130 und 338, sowie und Figur 45 und Figur 111).

2x

1) . . . I = x — m (em -f- 1)

2) ... 7] =

m (2em -f-1)

em

Aus diesen beiden Gleichungen ist x zu eliminieren. Zu diesem Zweck bilden wir aus Gl. 2) die Gleichung zweiten Grades:

m _ V + vV-— 8w²

em

und erhalten:

3) . . . em

Diese gibt:

4 h?

4) . . . x — ml

f v ih Y v² — 8 m‘² ^

V 4 m )

und

2 oc    _________

_ rj- — 4m² + )j\/j)² — 8 m²

8 m²

Gl. 4) und 5) in Gl. 1) eingesetzt, folgt als Gleichung der gesuchten Evoluten:

% — ml

f V + Y V² — 8 m² \

V 4 m J

r\- -}- 4 m² + 2 T] YV² — 8 w?²

Aufgabe 368. Desgleichen für die Evolute der Kettenlinie:

Auflösung. Aus :

m).

2x

y = -(e’"-i-e

(Siehe Aufgabe 4, Figur 6; ferner Auf- und gäbe 93, 108 und 308.)

2) . . . 7j =• m (e m -j- e

in Aufgabe 308 folgt durch eine Rechnung, die der vorigen ganz ähnlich ist:

r] -f- YV²— 4 m²

I = ml

)±

rj YV² — 4 m~

4 7ÏI

Uebungsbeispiele.

Evolvente.

Evolute.

Aufgabe 369.

y — x-

(Siehe Aufgabe 317).

Auflösung.

f²

Aufgabe 370.

y — x² — Gx “F 10. (Siehe Aufgabe 318.)

Auflösung.

(|-3)² = -i(2^-3)3.

Evolvente.

Evolute.

Aufgabe 371.

Auflösung.

4¹2+ 9«,2 _36 — 0.

(Siehe Aufgabe 321.)

=. 1.

Aufgabe 372.

4¹2 — 9y2 — 36 — 0.

(Siehe Aufgabe 360.)

Auflösung.

(§)-(!)¹

= 1.

Aufgabe 373.

4¹2 _j_ 9y2 — 32¹ — 54 y² -J- 109 = 0. (Siehe Aufgabe 322.)

Auflösung.

= i.

Auflösung.

= 8.

Aufgabe 374.

25¹2 _ 14xy -f 25ÿ² _ 288 = 0. (Siehe Aufgabe 323.)

Aufgabe 375.

xy — 1.

(Siehe Aufgabe 324.)

Auflösung.

= i.

Aufgabe 376.

— 5¹2 _j_ lß¹.

Auflösung.

(^)³-©³

Aufgabe 377.

y — ¹³.

(Siehe Aufgabe 325.)

Auflösung.

15(2+ y 4 — 451t;)⁴ + 9^1    + +4 — 45f^ = 0.

27 rj² = 16

Aufgabe 378.

y² = ¹3.

(Siehe Aufgabe 328.)

Auflösung.

' (— ir—V^lr—2^)‘

Aufgabe 379.

*2 — a²cos²(p.

(Lemniscate; siehe Aufgabe 340).

Auflösung.

9(|3₊₇?3)₂.(|3_ ₇₂ 3 ) _ 4ß2>

(Rechnung mit Polarkoordinaten.)

Aufgabe 380.

Auflösung.

27 + + 1152 r² ?j2 + 4096 r³£ = 0. (Rechnung sehr weitläufig.)

G. Von den einhiillenden Kurven (Enveloppen).

a) Ableitung der Gleichung der einhüllenden Kurve.

Frage 104. Was ist unter einer einhüllenden Kurve und was unter der ein gehüllt en Kurve zu verstehen ?

Er kl. 114.

Die einhüllende Kurve wird sehr häufig auch Enveloppe genannt, von envelopper = einhüllen.

Figur 129.

tY

fo

Antwort. Diese beiden Begriffe kommen schon in der gewöhnlichen Geometrie vor. Alle geraden Linien g, welche von einem festen Punkt 0 den nämlichen senkrechten Abstand besitzen, werden von einem Kreis um 0 mit dem Halbmesser r eingehüllt (siehe Figur 129). Der letztere heisst die „einhüllende“ Kurve, während jede Gerade der unendlich grossen Schar als „eingehüllte“ bezeichnet wird. Bewegt sich ein Kreis vom Halbmesser r auf dem Umfang eines Kreises vom Halbmesser R, so werden alle Lagen der Kreisschar von zwei Kreisen, deren Halbmesser R-\-r und R — r sind, eingehüllt (siehe Fig. 130). Die „einhüllende Kurve“ setzt sich hier aus den beiden letzten Kreisen zusammen, während die „eingehüllte“ der bewegliche Kreis ist. — Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf einer festen Geraden OX liegt und dessen Halbmesser r — m a ist, wobei a den Abstand des Mittelpunktes M vom festen Punkt 0 und m einen konstanten Faktor vorstellt, wird daher grösser, je weiter M von 0 entfernt ist. Alle diese Kreise geben als „Einhüllende“ zwei durch 0 gehende gerade Linien mit OX als Symmetrieachse (siehe Figur 131).

Hiernach sagen wir allgemein: Wenn eine Kurve nach einem gewissen Gesetz ihre Dimension oder Gestalt oder Lage beständig ändert, so berühren alle diese Kurven eine neue Kurve; und diese heisst die „Einhüllende“ des Systems der ersteren, der „eingehüllten“.

Frage 105. Welche Form hat die Gleichung der eingehüllten Kurve?

Antwort. Beziehen wir in dem ersten der obigen Beispiele die Gerade auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem und bezeichnen wir den Winkel, den das

eine dritte:

Figur 130.

+Y

\M

T»

''Wo

Ai

'0 Ç A

;m₅

Lot aus 0 auf irgend eine der Geraden mit der Abscissenachse bildet, mit a₀, so hat die letztere Gerade die Gleichung:

x cos u₀ -j- y sin ci₀ — r — 0 ;

eine zweite Gerade mit dem Winkel hätte die Gleichung:

x cos w, -f-y sin — r — 0,

x cos -f- y sin ci₂ — r — 0 u. s. w.

Die Gleichung:

x cos et —y sin a — r = 0,

in welcher x und y rechtwinklige Koordinaten eines Punktes der Geraden, a aber eine willkürlich zu bestimmende Konstante bedeutet, drückt also eine bestimmte oder individuelle Gerade aus, wenn dem a ein bestimmter Wert a₀, ax, a₂ u. s. w. beigelegt wird; sie drückt aber immer andere beständig aufeinanderfolgende Gerade aus/ wenn dem a verschiedene beständig aufeinanderfolgende Werte beigelegt werden. Die Gleichung:

l) ... x cos a -p y sin a — r — 0

ist daher die der Schar der „eingehüllten“ Geraden.

>M₃

Im zweiten Beispiel nehmen wir auf dem Kreis vom Halbmesser R einen beliebigen Punkt i¥₀ mit den Koordinaten £₀ rjQ) dann ist zunächst:

k² -P %² — -ß².

also:

vo = V*² -Der Kreis um il/₀ mit dem Halbmesser r hat dann die Gleichung:

O - *₀)2 + (y — \/^-|₀2)² - r* = 0.

Einem andern Mittelpunkt Ml mit den Koordinaten:

I, und r], = yW _ Si»

entspräche die Gleichung:

(x - fj)2 + (y - YR² - li²)² ~r* = 0 u. s. w.

Die vorige Schlussweise lässt erkennen, dass hier die Gleichung:

2) . . . (x — 1)2 + (y —    _ f2 - 0

die der Schar der „eingehüllten“ Kreise sein muss.

Im dritten Beispiel ist es sehr leicht,

3) .

• ' (*“ i") +y²~r2 = o

4r

<?

Figur 131.

M-yo

als Gleichung der Schar der eingehüllten Kreise zu erkennen.

Die Rolle, welche die Grösse a in der Gleichung 1) spielt, hat in der zweiten die Grösse £ und in der dritten die Grösse r\ a, | und r sind die Parameter derselben; alle drei Gleichungen lassen sich gemeinschaftlich in der Form:

yM WO JVIo ~M;

+X

F (x, y, a) — O

beziehungsweise :

F(x, y, I) = O

und

F (ar, y, r) = O

darstellen.

Wie in den angeführten Beispielen kommt nun in der Gleichung jeder ebenen Kurve ausser den Koordinaten x, ij eines beliebigen Kurvenpunktes gewöhnlich noch eine konstante Grösse, ein sogen. Parameter — er heisse von nun an z — vor, der die Grösse, Gestalt oder Lage der Kurve bestimmt ; wir geben daher die Gleichung der Kurvenschar in der Form :

4) ... F (x, y, x) — 0.

% bedeutet in derselben eine beliebig zu bestimmende Konstante; geben wir ihr bestimmte Werte x₀, z,, z₂ u. s. w., so geben

F (oc., y, Jf₀) — 0,

F (x, y, *,) = 0,

F (x, y, x₂) = O

bestimmte individuelle Kurven C₀, G₁, 0₂ u. s. w.

Lassen wir z beständig aufeinanderfolgende Werte, so drückt die Gleich. 4) immer wieder andere beständig aufeinanderfolgende Kurven aus, kurz:

F(x, y, z) = 0 gibt die Schar der eingehüllten Kurven.

Frage 106. Wie gewinnt man aus der Gleichung:

Antwort. In dem ersten Beispiel, der Geraden mit konstantem Abstand r der Schar der eingehüllten Kurve die von 0 (siehe Frage 107 und 105), be-Gleichung der einhüllen den deute a irgend einen individuellen Wert

des Parameters, so dass die Gleichung:

1) . . . x cos a —|— y sin a — r — 0

F (x, y, x) = 0

Kurve?

Figur 132.

Ay''

! :\po

9

+x

die Gleichung einer bestimmten Geraden g vorstellt. Bedeutet da eine sehr kleine Grösse, so gibt a— da eine neue Gerade g₍₎ mit der Gleichung:

2)    ... x cos (a — da) -f- y sin (« — da) — r — 0,

welche der Geraden g unmittelbar vorangehen und ihr sehr nahe liegen muss; ebenso liefert dann aĄ-da eine dritte Gerade gx mit der Gleichung:

3)    ... x cos (a -j- d a) -j- y sin («    d a) — r — 0,

welche unmittelbar auf g folgen wird. Dadurch erhalten wir auf g den Schnittpunkt P₀ zwischen g₀ und g, und den Schnittpunkt Px zwischen g und gx. Zwischen beiden liegt dann auf g der Punkt P, in welchem g von der Einhüllenden berührt wird (siehe Figur 132). Lassen wir g₀ sich gegen oben drehen nähert sich P₀ dem Punkt P, der von P₀ in dem Augenblick des Zusammen-fallens von g₀ mit g erreicht wird ; drehen wir ebenso gx nach unten, so findet ebenso eine Annäherung von Px an P statt, und Px fällt mit P zusammen, sobald gx in die Lage g gekommen ist.

Die Koordinaten x₀, g₀ von P₀ genügen den beiden Gleichungen:

x₀ cos a -)- y₀ sin a — r — 0

SO

und

4) . . .

x₀ cos (a — da) -j- yQ sin (« — da) — r — 0 ;

daher auch der dritten Gleichung:

[a?₀ cos (a — da) -\-y Q sin (« — da) — r] — [x₀ cos a -j- yx sin a — r\

— da

= 0.

In gleicher Art erhalten wir für die Koordinaten xx, yx des Punktes Px die drei Gleichungen:

x₁ cos « —j-y₁ sin a — r = 0,

x₁ cos (a -j- d a) -j- yx sin (a -j- d a) — r — 0

und

[ar, cos (a ä a) -f- yx sin (a d a) — r] — [xt cos a -)- y, sin x — r]

= 0.

Lassen wir nun da zu Null werden, so geht g₀ in g, P₀ in P, x₀, g₀ in x, y über; ferner gx in g, Px in P, xx, yx in x, y ; die Gleichungen 4) und 3) verwandeln sich aber gleichzeitig in die Gleichung :

6) . . .

8 (x cos a -f- y sin a — r)

- — 0.

+Y

C₀

■Tg

Figur 133.

Po

P p<

C,

Die Koordinaten x, y des Berührungspunktes P müssen hiernach nicht nur die gegebene Gleichung:

1) . . . x cos a y sin a — r = 0,

sondern auch noch die Gleichung:

6*) ... — x sin a -}-y cos a — 0

befriedigen. Aus den letzteren können wir den Parameter a herausschaffen durch Quadrierung und Addition von Gl. 1) und 6*); dies gibt dann:

a;2 y2 — r2 ₌ 0.

Dieser Gleichung sind die Koordinaten x, y des Berührungspunktes unterworfen ; sie ist daher die des „einhüllenden“ Kreises.

Nach diesem speziellen Fall macht der Uebergang zum allgemeinen keine Schwierigkeiten. Geben wir in der Gleichung :

1) . . . F(x, y, *) = 0

y„ \y W

Xi

Ao A Aa

der Schar der Einhüllenden dem Parameter z irgend einen bestimmten Wert, so stellt Gl. 1) eine bestimmte Kurve C der Schar vor (siehe Figur 133). Ist weiter z/z eine sehr kleine Grösse, so entspricht dem Parameter z— z/z eine Kurve C₀, die G unmittelbar vorangeht und ihr sehr nahe liegen muss; ihre Gleichung lautet:

2) . . . F (x, y, y. — /ly) = 0.

Der Parameter z-f-z/z liefert dann eine dritte Kurve C₁, die unmittelbar auf C folgen wird und dargestellt wird durch :

3) . . . F (x, y, y -f- /ly) — 0.

C₀ schneide C in P₀ mit den Koordinaten x₀, y₀': dann genügen dieselben den zwei Gleichungen:

P (xo » Vo ) x) — ff

₀, y₀, y — Jy) = 0

und daher auch:

4) . . .

= 0.

F&oiÿo, * — /ly) — F(x₀, y₀. y)

— Jy

Ferner werde C von im Punkt P, geschnitten ; seine Koordinaten seien xt, yv\ diese sind an die zwei Gleichungen gebunden:

F {xx, y,, y) — 0,

F(x^yi: y-\- /ly) — 0

und somit auch an:

F (xj, yt, x-\-Jx) — F(xi,yi,x)

5) • • •

Jx

- = 0.

Erkl. 115. Diese Methode der Bestimmung der Einhüllenden fand Johann Bernoulli (1647 bis 1748).

Wenn wir nun z/z gegen Null abnehmen lassen, so nähert sich C₀ der Kurve C, und P₀ rückt auf C weiter, etwa gegen I\ rechts; ebenso kommt Cx von rechts der Lage C immer näher ; P, rückt auf C gegen P₀ zu. Im Augenblick des Verschwindens von z/z sind sowohl C₀ als Cx in die Lage von C gelangt, und P₀ und P, haben hierbei eine Grenzlage P auf C erreicht; der letztere muss dann auch der einhüllenden Kurve angehören, weil er der Berührungspunkt beider ist. Heissen seine Koordinaten x, y, so ist zu beachten, dass sie einmal der Gleichung 1) genügen müssen; ferner der Gleichung, wrelche aus Gl. 4) und 5) hervorgeht für z/z =■ 0; diese lautet aber für beide:

8F(x, y, x)

6) . . .

Durch Elimination von x aus Gl. 1) und 6) folgt dann eine Gleichung zwischen x und y allein, und die letztere ist die der gesuchten Einhüllenden.

Wir fassen dies zusammen in dem

dx

= o.

Satz. Ist F(x,y, z) = 0 die Gleichung einer Kurvenschar mit dem Parameter z, so erhält man die Gleichung der einhüllenden Kurve durch die Elimination von z aus den beiden Gleichungen:

8 F (x, y, x)

F (x, y, x) — 0 und

8x

= 0.

Aufgabe 381. Bestimme die Gleichung der Einhüllenden der Kreisschar:

(x — *)* + {y — V R² — x²)² — r² = 0.

(Siehe Figur 130.)

Auflösung. Wir haben in dieser Aufgabe unser obiges zweites Beispiel.

Aus:

1) ... F (x, y, x) — (x — x)² -J- {y — \/ R² — x²)² — r² — 0

2) . . .

bilden wir:

ÖF{Xd';-— = -2(a?-x)+ 2 (y-ŸRt-x²)

= 0.

Ÿ B² — x²

Zur Elimination von x setzen wir aus

3) . . . x — x =

Gleichung 2):

x (y — l/R² — x²)

YB* — x²

y — yu-i _ *2 = -ź-L yë² — x²

II

dies in Gleichung 1) eingesetzt, ergibt:

und daher ist:

5 ) ... y =

R~-- Y R* — *²-

JLl

Wird Gl. 4) in Gl. 3) eingesetzt, so folgt :

¹

³ = y°- (2 r — ¹)

(Ci s soi de; siehe Aufgabe 309).

6) ... * =

Gl. 5) und 6) quadriert und addiert liefern : 7) . . . #2 + ^2 — (ß + r)2.

Dies ist nun die Gleichung der „Einhüllenden“; dieselbe besteht aus den beiden Kreisen:

-)- y^ — (R -j- r)² und a:² -f~ ÿ² — {R — r)².

Aufgabe 382. Ebenso der Kreisschar:

X² = 0.

(Siehe Figur 131.)

Auflösung. Hier liegt unser drittes Beispiel vor (siehe Frage 104 und 105).

Die Gleichung:

1 ) ... F (x, y, x) = gibt :

8F(x, y, x)

2) . . .

= (x--—Y — + * — 0-

\ m J m

Aus Gleichung 2) folgt:

X ~ 1 — m2 dies in Gl. 1) eingesetzt, gibt als Gleichung der Einhüllenden:

mx

Y1 — m²

Diese setzt sich demnach zusammen aus den beiden Geraden:

jr = 4

mx

Y i — w²

und y = —

mx

Y i — w²

Auflösung. Wir wählen die beiden festen

Aufgabe 383. Eine gerade Linie von gegebener Länge a bewegt sich so, dass ihre Endpunkte auf zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden liegen. Man soll die Geraden als Achsen eines Koordinatensystems Kurve finden, welche von jener Geraden XOY wie in Figur 40. UT sei eine Lage

berührt wird.

(Siehe Aufgabe 111 und Figur 134.)

der sich bewegenden Geraden von der Länge a und i der Winkel, den sie mit der positiven Abscissenachse bildet; dann ist:

Or= — a cost und OU = a sinr.

Die Gleichung der Geraden TU lautet aber allgemein:

OT ' OU

= 1,

also hier:

a sin z

— a cos T oder wTir haben:

1) . . . F (x, y, t) = — x sim Y y cost — a sin t cost — 0.

-X

2) . . .

Figur 134.

+Y

-C

TAO

-Y

In dieser Gleichung ist t der veränderliche Parameter, d. h. die Grösse, welche wir seither * genannt haben ; hiernach müssen wir bilden:

dF(x, y, t)

dx

D +X

• = — x cost — y sin r — a (cos² r — sin² r) = 0,

und nun muss r aus Gl. 1) und 2) heraus-geschaift werden. — Wird Gl. 1) mit sin x und Gl. 2) mit cost erweitert, so liefert die nachfolgende Addition:

3) ... x = — a cos³ t.

Wird dagegen Gl. 1) mit cost und Gl. 2) mit sin t erweitert, so ergibt die nachfolgende Subtraktion :

4) ... y — a sin³ t. Aus Gl. 3) folgt:

cos² T —

aus Gl. 4) folgt:

sm² t =

(0

W ! IO

daher lautet die Gleichung der eingehüllten Kurve:

= i.

YV ir haben diese Kurve in Erkl. 25 A stroi de genannt; dort erschien sie als Hypocykloide, während sie hier als die Einhüllende einer geraden Linie auftritt.

Aufgabe 384. Im Koordinatensystem XOY sind die beiden parallelen Geraden x = -\-a und x = — a gezogen. Eine

T^nje- ^    so> dass Auflösung. Geben wir die Gleichung

ABA'B gleich einer konstanten positiven ^er (jera(jen in <jer Form:

Grösse b² ist. -Es soll die Kurve gefunden werden, welche von g eingehüllt wird.

(Siehe Figur 135.)

oder:

so wird:

1) . . . c₁ x — y + c₂ = 0,

Haas. Differentialrechnung. III. Teil.

4)

AB = c₁ a c₂

ÄB' — — Cj a -j- c₂, also muss wegen AB A'B' = b² hier:

2)    . . . c₂ 2 _ c2 a2 _ 2,2 ₌ 0

sein. Aus dieser Gleichung können wir c2 in cx ausdrücken, also setzen:

3)    . . . c₂ = + Yb² + c* ä*

und diesen Wert einführen in die Gleich. 1) ; dadurch gewinnt die letztere die Form:

. . c₁ x — y + Yb² -j- c² a² = 0 = F (x, y, cj.

und

15

A,

Figur 135.

+Y

Sie enthält den Parameter cl ; demnach haben wir zu bilden:

d F (x, y, cx)

dies gibt:

dc₁

5) . . ,-x±

---c'a-— = 0. Yb² + Cj2 a-

Zur Elimination von cx aus Gl. 4) und 5) setzen wir aus Gl. 5):

Ci =

bx

a Ya2 — X<1

in Gl. 4) ein und gewinnen nach einer leichten Umformung :

6) . . . b²X²-\-a²y² = «2 62

als Gleichung der gesuchten Einhüllenden. Dieselbe ist offenbar eine Ellipse mit den Halbachsen a und b.

Frage 107. Wie hätte sich der Gang der Auflösung der vorigen Aufgabe abändern lassen?

7) . . .

Antwort. Statt c₂ aus der Gleichung 2) in cx auszudrücken, den erhaltenen Wert 3) in Gl. 1) einzusetzen und die neue nur noch cx enthaltende Gleichung 4) nach cx zu differenzieren, hätten wir in den Gleichungen 1) und 2) c₂ als eine Funktion von der unabhängigen Veränderlichen cx ansehen und daher diese beiden Gleichungen nach cx differentiieren können. Hierbei würde sich ergeben:

d (c, x — y -f- c₂)

<9cj

dc₁

= 0,

8) . . .

d(c,2 — Cl2«2 — 62) _ dc2 dcx    °² dct

Aus Gl. 7) und 8) die Grösse ~-herausgeschafft, ergibt :

9) . . . c₂ x c₁ «² = 0.

Nun liegen die drei Gleichungen 1), 2) und 9) vor, die alle cl und c₂ enthalten. Bestimmen wir aus Gl. 1) und 9) die Werte von cx und c₂ und setzen sie in Gl. 2) ein, so ergibt sich wie vorhin die gesuchte Gleichung 6).

Hier fügen wir die Bemerkung bei, dass die Gleichung 1) der Geraden zwei Parameter cx und c₂ enthalten hat, die aber nicht von einander unabhängig, sondern durch die durch die Gleichung 2) gegebene Bedingung verknüpft gewesen sind. In der ersten Lösung wurde der zweite Parameter c₂ im ersten cx aus-

a2cx — 0.

gedrückt und durch Substitution entfernt; in der zweiten Lösung wurde c2 als Funktion von cx behandelt und erst nach der Differentiation herausgeschafft. Dies führt uns zur allgemeinen

Frage 108. Wie gewinnt man aus der Gleichung F(x, y, x, l) — 0 einer Kurvenschar die Gleichung der Einhüllenden, wenn die beiden Parameter x, l durch die Gleichung cp (x, X) = 0 miteinander verbunden sind?

Antwort. Man könnte X aus der Gleichung :

2) ... (p(z, X) — o

in x ausdrücken und den erhaltenen Wert 3):

X — xp (x)

in die Gleichung:

l) ... F(x, y, x, X) = o

einsetzen. Dies würde ergeben: 4) • • • F[x, y, x, i/>(*)] = 0. Nun wäre zu bilden:

dF[x, y, x, xp (x)]

5) • • •

dx

0.

Die Elimination von x aus Gl. 5) und 1) führte dann zur gesuchten Gleichung 6) der Einhüllenden.

Statt diesen Weg einzuschlagen, beachten wir die Aenderung, welche l erleidet infolge einer Aenderung von x. Da l nur von x abhängt, so ergibt die Gleichung 1):

7) . .

SF . ôF dl _ dx dX dx

Andererseits ist nach Gleichung 2):

d(p

8) . .

dX

dx

dx

d(p

dX

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 232 ff.) ;

wenn wir den Wert von aus Gl. 8) in Gl. 7) einsetzen, erhalten wir:

dF dtp

dF d(p dx dX

Aus Gl. 1), 2) und 9) können wir jetzt x und X eliminieren und gelangen dann wieder zur Gleichung 6) der einhüllenden Kurve. Wir zeigen die Anwendung dieser Methode nochmals an folgenden Beispielen:

9) . .

dx

dx

=: o.

Aufgabe 385. Eine Kurve ist gegeben durch ihre Gleichung:

a² u² -\-b²v² — 1 = 0

in den Linienkoordinaten u und »; es soll die Gleichung der Kurve in den Cartesischen Punktkoordinaten x und y gefunden werden.

Auflösung. Die Gleichung der geraden Linie mit den Linienkoordinaten u und v lautet :

Erkl. 116. Im Koordinatensystem XOY ist die Lage einer Geraden bestimmt durch ihre Abschnitte OS, und OS₂ auf den Koordinatenachsen, also auch durch die reciproken Werte der Längenzahlen dieser Strecken:

u und v nennt man die Koordinaten der Geraden oder kurzweg die Linien-koordinaten.

Liegt eine Gleichung y> (u, ») = 0 vor und gibt man der Veränderlichen u eine Reihe aufeinanderfolgender Werte w,, u₂, w₃*•• und bestimmt gemäss der Gleichung </> (u, ») = 0 die zugehörigen Werte i\, v₂, », ■ • -, so bilden die Geraden g₂, gs • ••, welche m,, »,, u₂, v₂, Mą, »₃ • • • zu Koordinaten haben, in dieser Aufeinanderfolge einen polygonalen Zug P,, P₂, P₃, P₄, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte zweier aufeinanderfolgenden Geraden der Reihe y\ i 92, 9s- •• sind (siehe Figur 136).

Denkt man sich nun die Unterschiede u₂ —    , us — u₂, m₄ — Mg • • • immer kleiner,

so werden auch die zugehörigen i\, v₂, v₃ • • • immer dichter aufeinander folgen, die Zahl der Geraden g wird immer grösser und die Punkte P,, P,, P₃ erhalten immer kleinere Abstände. Geht man nun zur Grenze über und lässt u stetig wachsen, so ändert sich im allgemeinen auch v stetig ; daher ändert sich dann auch die Gerade g stetig; die Punkte P,, P₂, P₃ • • • folgen dann kontinuierlich aufeinander und bilden eine Kurve, während die Geraden g zu Tangenten dieser Kurve werden.

Die Geraden g, deren Koordinaten u und v einer Gleichung (p (u, v) = 0 genügen, umhüllen daher eine Kurve. Die Gleichung </>(«, v) = 0 bezeichnet man als die Gleichung der Kurve in Linienkoordinaten.

OS!

1)    . . . ux -\-vy — 1 =0.

Bewegt sich diese Gerade derart, dass hierbei u und v der Bedingung:

2)    . . . a²u²-{-b²v² — 1 = 0 Genüge leisten, so hüllt sie hierbei die gegebene Kurve ein. Wir erhalten daher die Gleichung derselben in den Punktkoordinaten x und y, wenn wir u und v als die beiden Parameter annehmen, welche durch die Gleichung 2) verknüpft sind, und im übrigen die soeben gefundene Methode anwenden.

Aus Gleichung 1) folgt:

dv

x-\-y•

ebenso aus Gleichung 2):

a²u-\-b²v-

du

0;

= 0.

Die Elimination von

dv

du

gibt jetzt:

3) . . . b²vx — a²uy = 0.

Hieraus bilden wir:

a²uy b²x

und setzen es in Gleichung 1) ein; dadurch erhalten wir:

5) . . . u =

b²x

b²x -p a²y und aus Gleichung 4) dann:

a²y

b² x —|— a² y '

Gl. 5) und 6) in Gl. 2) eingeführt, liefert als die gesuchte Gleichung:

b²x²-\-a²y² — 1 = 0.

Figur 136.

\+Y

Soll also eine Gerade ux-\-vy — 1 = 0 Tangente der Kurve (p(u,v) = 0 sein, so müssen ihre Koordinaten u, v die Gleichung (p (u, ») = 0 der Kurve befriedigen.

Im vorliegenden Beispiel stellt a²u² -\-b²v2 — 1=0 die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b in Linienkoordinaten dar; die Gleichung derselben Ellipse in Punktkoordinaten lautet wie eben gefunden:

S₂

Pt

b²x² -f- a²y² — 1=0.

Näheres über Linienkoordinaten siehe Cranz, Analytische Geometrie.

+x

St

Frage 109. Wie lässt sich hiernach von einer Gleichung cp (u, v) — 0 einer Kurve in Linienkoordinaten zur Gleichung derselben Kurve in Punktkoordinaten übergehen ?

Antwort. Aus den vier Gleichungen:

ux -\-vy — 1 = 0,

(p (u, v) = 0,

dv

x+»dt

und

d(f

d(f dv _ q

du dv du

werden die drei Grössen x, y und

herausgeschafft ; die erhaltene Gleichung gibt dann die Kurve in den Punktkoordinaten x und y.

Aufgabe 386. Es soll aus der Gleichung : y² — 2p x = 0

der Parabel in Punktkoordinaten die Gleichung der nämlichen Kurve in Linien-koordinaten gefunden werden.

Auflösung. Wir geben die Gleichung der Geraden in der Normalform:

1)    . . . ux -j- vy —1 = 0

und betrachten in derselben u und v als die Veränderlichen, dagegen x und y als zwei Parameter, die durch die Gleichung:

2)    ... y² — 2px = 0

verknüpft sind; es sind nämlich x, y die Koordinaten des Berührungspunktes der Geraden ux~\~vy—1 = 0 auf der Parabel. Unsere Theorie fordert nun, wenn:

F (u, v, x, y) = 0

die Gleichung der Tangente und ip (x, y) — 0 die Gleichung der gegebenen Kurve in Punktkoordinaten sind, dass: dF(u, v, x, y)

d F («, v, x, y) dy^ _ Q

dy

und ebenso :

d\p (x, y) , dip (ar, y) dy_ _

Sy

dx

wird; dies gibt hier: d (ux -j- vy — 1)

dx

d(ux-\-vy — 1) dy _ Q

dy

dx

und

d (y- — 2px) , d (y² — 2px) dy _

dx

Sy

oder ausgeführt:

3) . .

und

4) . . .

. u-\-v-~- = 0 dx

dy

y-di

p = 0.

dy

Die Elimination von , ...    dx

ergibt :

aus Gl. 3) und 4)

5) . .

. u-\- — V

y

= 0.

Jetzt müssen x und y aus den drei Gleichungen 1), 2) und 5) lierausgeschafft werden. Aus Gl. 5) bilden wir:

pv

6) • • • y =

diesen Wert in Gl. 1) verwendet, folgt:

7) ... * = -üztEïî-

Gl. 6) und 7) in Gl. 2) eingesetzt, erhalten wir als die gesuchte Gleichung der Parabel in Linienkoordinaten: pv2-j- 2u = 0.

Frage 110. Wie lässt sich demnach aus der Gleichung ip(x, y) — 0 einer Kurve in Punktkoordinaten die Gleichung derselben Kurve in Linienkoordinaten gewinnen?

Antwort. Mittels der vier Gleichungen :

ux -\-vy — 1 = 0,

'P Or, y) — 0,

und

d\f>

u + v.lŁ = 0

dx

I dip dy _ 0 dx dy dx

schafft man die drei Grössen x, y und

dy

. heraus ; die hierbei auftretende

dx    ’

Gleichung in u und v ist dann die gesuchte Kurvengleichung in Linienkoordinaten.

b) Anwendung auf die Fusspunktkurven.

Frage 111. Was ist unter einer Fusspunktkurve einer ebenen Kurve zu verstehen?

Antwort.

Figur 137. t tz l₃

ts

t.

B,

*

IP.

9s

Fällt man von einem festen Punkt 0 aus Lote auf sämtliche Tangenten einer ebenen Kurve, so bilden die Fusspunkte dieser Lote eine neue Kurve, welche die Fusspunktkurve der gegebenen Kurve für den Punkt 0 als Pol genannt wird. Fällt man z. B. vom Brennpunkt einer Parabel die Lote auf die Tangenten, so liegen alle Fusspunkte auf der Tangente im Scheitel der Parabel ; die Fusspunktkurve der letzteren für den Brennpunkt als Pol ist demnach eine gerade Linie.

Die Fusspunkte der Lote aus einem Brennpunkt einer Ellipse auf die Tangenten liegen alle auf dem Kreis, der über der grossen Achse als Durchmesser

Erkl. 117. In Figur 137 sind auf der gezeichnet werden kann; dieser letztere

Kurve c die Punkte P, P,, P>, i\, P₄ be- bildet also die Fusspunktkurve der Ellipse hebig gewählt; m diesen Punkten sind an C n..    ^    -r,    t    ,

die Tangenten t, t₂ ... gelegt und von 0 fur ^ Brennpunkt als Pol. auf die letzteren die Lote I. Z,,    • • • gefällt

worden. Die Fusspunkte 5p,    %, 5ßg ■ • bestim

men die Fusspunktkurve der Kurve C für den Pol ö.

Da der Fusspunkt P* der Normalen l*, welche von 0 an C möglich ist, auch der Fusspunktkurve angehört, so ist leicht ersichtlich, duss die letztere die Kurve in P* berühren muss.

Frage 112. Wie kann aus der Gleichung einer gegebenen Kurve und den Koordinaten eines gegebenen Punktes als Pol die Gleichung der zugehörigen Fusspunkte hergeleitet werden?

Antwort. Wir zerlegen den Anfang des rechtwinkligen Koordinatensystems in den gegebenen Pol 0, so dass für diesen:

+Y

1/

Figur 138.

n.

;p

+X

x — O und y = 0

ist; die Stammkurve besitze in diesem Koordinatensystem die Gleichung:

F o, y) = 0.

Ein beliebiger Punkt P auf ihr besitze die Koordinaten x und y, so dass: l) . . . F(x, y) = 0

sein muss. Die Tangente t in P an die Stammkurve hat dann die Gleichung:

²>-- - =

[siehe Seite 1, Formel 1)] ; die Normale n in P an diese Kurve hat die Gleichung:

X-x +

dy

dx{Y-y)^0

[siehe Seite 47, Formel 2)J und die parallele Gerade hierzu durch 0, d. h. das Lot l aus dem Koordinaten-

anfang auf die Tangente t, hat dann die Gleichung:

VLv= 0.

3) ... X

Werden die Koordinaten des Fuss-punktes $ mit % und t> bezeichneti so müssen dieselben, weil $ auf t liegt, der Gleichung 2) genügen, und weil $ auch auf l liegt, müssen sie auch die Gleichung 3) befriedigen. Hiernach berechnen sich % und t) aus:

dx

dy

dx

(X — x) = 0,

Aufgabe 387. Die Gleichung der F u s s -punktkurve eines Kreises aufzustellen.

Mittels der gegebenen Gleichung 1):

F (x. y) = 0

kann weiter x und y herausgeschafft werden; die tibrigbleibende Gleichung zwischen % und t) bestimmt dann die Fusspunktkurve.

Für die Koordinaten Dû = ï und $0 = p des Fusspunktes % selbst geben die Gleichungen 4) und 5) die Ausdrücke :

j. dy

dx dy

„ dy

X —-

6) ... y =

und

7) . . .

y " dx

Wir geben von dieser Herleitung der Fusspunktsgleichung zunächst folgendes Beispiel.

Auflösung. Wir wählen einen Kreis vom Halbmesser Ii, dessen Mittelpunkt 0 auf der Abscissenaclise in der Entfernung a vom Erkl. 118. In Figur 139 ist 0 der Mittel- Koordinatenanfang 0₁ liege; die Gleichung punkt des gegebenen Kreises vom Halbmesser desselben lautet dann:

OJ — OG = P; ferner sei 0, der Punkt, von welchem die Lote auf die Tangenten zu fällen sind. Der Punkt P auf dem Kreis hat in dem rechtwinkligen Koordinatensystem XOxY die mit den Koordinaten x und y\ die Differen-Koordinaten OxQ = x und QP = y. In P ist tiation von Gl. 1) gibt: die Kreistangente gezogen und auf sie ist von 0, das Lot 0, 5p gefällt, so dass 5p ein Punkt der Fusspunktkurve ist mit den Koordinaten 0, Q. = £ und 5p SQ = p. Die Kreispunkte P,,

P₂, G, P‘ und J ergeben dann weiter die Kurvenpunkte 5p,, 5p₂, G, 5p', J. Die Kurve hat in 0, einen Doppelpunkt und berührt den Kreis in G und J.

1) . . . (x — a)² -f- y² — R² — 0.

P sei ein beliebiger Punkt auf demselben

also:

dy

dy

= 0,

Erki. 119. Wir ziehen im Kreis den beliebig gewählten Durchmesser POP' mit den un(j Tangenten P5p und P'5P', dann ist PP'5p'5p ein Eechteck. Ziehen wir in diesem noch die Mittellinie ON, so wird N5p = IV5p' — P; ferner liegt N auf dem Kreis über dem Durchmesser

dx

Hierdurch gehen die obigen Gleichungen 4) und 5) über in:

4*) . . .

5*) .    . ç

•p = 0.

ist nun, aus Gl. 1), 4*)

0,0. Wir können daher die Punkte 5p un(j 5*) die Grössen x und y zu eliminieren, und 5p' der gesuchten Fusspunktkurve auch da- ^us 5*) bilden wir : durch herstellen, dass wir von 0, aus einen be-liebigen Strahl ON ziehen, der den durch 0, gehenden Kreis über der Strecke 0,0 — a in N

Unsere

6) ••• y —

(x — a) 9

trifft, und dann von N aus nach links und dies in Gl. 1) eingesetzt, liefert: rechts die Strecke R abtragen oder IV5p = P    „

und IV5p' = P machen. Der geometrische Ort    1) ... x — a — -{--—Li

von 5p stellt dann die gesuchte Kurve dar.    V^£² + D²

\

\

\

%

\

\

\

\

\

\

V

\

\

•••I

\

\

\

Figur 139.

U

I

;

TV

/

.i

N

\

/

/

7

P₂/ \

\ s

/

/"m

G

>

\

\

S f

/

Pt

I

V

\

\

\

%

I

f

<p\

,

j

/

«© k

«-(

&

R

/

/

/

/

/

/

P'

/

/

M"o.

/

/

/

/

/

Pi

/

;

N

:

K

Figur 140.

+Y

V

Ty

R

i

/

7

f

.Nx

-Vç[m

\\

✓

f

\

n

\

a

I

:

/i

JO

'S

f Q J

s>:

p’N

j

Ä

p*

Bezeichnen wir den Winkel iß 0,0 mit & und die Länge von Oi mit r, so ist :

0,= OtN-}~ mß = 0₁Ocos® + R

und somit:

8) • . . y = ±

Rx)

V ï² T~ 9²

Die letzteren Werte in Gl. 4*) eingesetzt, folgt nach genügender Vereinfachung:

9) . . . (?a + 9⁸ —aj?)2 —Æ2(ç2_|_₉8) ₌ o. Dies ist nun die Gleichung der gesuchten Fusspunktkurve. Dieselbe ist vom vierten Grad und hat, wenn Ox au s s er-Daraus schliessen wir, dass die Kurve in halb des gegebenen Kreises liegt, die in Polarkoordinaten die Gleichung:

oder:

r — a cos 0 -j- R.

Analog folgt:

0^' = 0,7V—iViß' = 0₁0 cos® — R — a cos © — R.

Figur 139 dargestellte Form; für innerhalb des Kreises gibt Figur 140 die Form

r — a cos® + R

hat. Man heisst sie die Pascalsche Schnecke, der Fusspunktkurve an.

Dieselbe bat für R in 0, einen Doppel- Für a = R geht der Kreis durch 0₁ und punkt ; für a — R geht die Schnecke in die die Gleichung geht über in :

Kardioide über mit einer Spitze in 0, ; für a<^R erhält die Kurve die Form einer Muschel und hat in einen isolierten Punkt (siehe Figur 140).

(Vergl. ferner hiermit die Herstellung der gäbe 55, 97, 132).

Conchoide, Aufgabe 146 und Figur 45.)    Die Gleichung 10) geht in die früher

angegebene über durch die Substitution:

R = 2 r.

10) . . . (y² +1)² — Rç)² — R² (y² -J- p2) — o.

Dies ist die Gleichung der Kardioide (siehe Seite 14, Erkl. 20, Figur 16; Auf-

Erkl. 120. Pascal, bedeutender Mathematiker und Physiker, geh. 1623 in Clermont-Ferrand, gestorben 1622 in Paris.

Die Kardioide erscheint nach Vorstehendem als die Fusspunktkurve eines Kreises, dessen Pol 0 auf dem Umfang liegt.

Frage 113. Wie lässt sich in einem Punkt $ einer Fusspunktkurve die Tangente an letztere finden?

Figur 141.

l\ \

OS

U-

Antwort. Auf der Stammkurve C nehmen wir den Punkt P beliebig an, ziehen in diesem die Tangente t und fällen auf sie das Lot OSß; ferner wählen wir auf der Stammkurve in unmittelbarer von P den Punkt Px und konstruieren den zu ihm gehörigen Punkt der Fusspunktkurve G. Schneiden sich die Tangenten t und t₁ von P, bezw. von P₁ in A, so liegen die vier Punkte 0, Sßj und A auf einem Kreisbogen, und ist dabei zugleich Sehne der Fusspunktkurve. Lassen wir jetzt den Punkt Px sich dem Punkt P nähern, so rückt auch A gegen P, ^ gegen und im Augenblick des Zusammenfallens von Pj und P fällt auch A mit P und mit zusammen, wird gleichzeitig Tangente der Fusspunktkurve, sowie des Kreisbogens, in den OP^xA übergegangen ist; der letztere hat sich aber offenbar in den Halbkreis OißP über OP verwandelt, so dass die Tangente der Fusspunktkurve in $ zugleich Tangente des Halbkreises O-ßP im Punkt iß geworden ist. Hieraus folgt, dass

die Tangente im Fusspunkt $ an die Fusspunktkurve dadurch erhalten wird, dass man über OP den Halbkreis zeichnet und an diesen in die Tangente legt (siehe Figur 141).

Figur 142.

\\

'«S ;

4©*

to-

Antwort. Die zum Pol 0 gehörige Fusspunktkurve der Stammkurve PP₁P₂ •• • erscheint Erkl. 121. Zieht man von einem festen auch als die Einhüllende aller

Kreise, welche über den Durchmessern OP, OP₁, OP₂ u. s. w. gezeichnet werden können. Denn der Mittelpunkt M von OP hat die

Frage 114. Wie lässt sich eine Fusspunktkurve einer gegebenen Kurve noch anders auffassen?

P unkt 0 ans nach einem Punkt P einer Kurve C den Radiusvektor OP= r und verlängert den letzteren um sich selbst his P‘, so dass:

OP¹ = 2 OP oder r‘ = 2r ist, so beschreibt der Punkt P', wenn sich P

auf der Kurve C bewegt, eine neue Kurve C‘ Koordinaten und ■£; dem Kreis Über welche nach den Gesetzen der Geometrie zu C    2    2 ’

11) . . . X2 + Y2 — xX— yY= 0

ähnlich und ähnlich liegend ist. Ist C ein Kreis, OP kommt daher die Gleichung ZU: so muss auch C ein Kreis sein (siehe Pig. 142).

Denken wir die vorhin angedeutete Konstruktion für die Figur 142 durchgeführt, so und in dieser haben wir den Parameter y

weil x, y als Koordinaten des Punktes P

l) . . . F(x, y) = o

liefert die Verdoppelung der Radienvektoren als Funktion des Parameters « anzusehen, fur den Mittelpunkt M von OP den Punkt P selbst, für den Kreis um M mit dem Halbmesser OM einen Kreis um P mit dem Halb- der Gleichung: messer OP; aus der Fusspunktkurve 5(3,, welche die Einhüllende der Kreise um 0 ist,

geht eine neue Kurve $B'iß'®.' hervor, welche der Stammkurve genügen müssen.

12) . . . x+r-

die Kreise um P einhüllen muss und zur ersteren Die Differentiation von Gleichung 11) iß $1^2 ähnlich ist und zu ihr ähnlich liegt ; sie n „ „1. „ pro-iv>t ■ hat doppelte Dimensionen im Vergleich zur    ®

ersteren. Statt diese zu bestimmen, können wir auch die grosse Kurve aufsuchen und an ihr die Eigenschaften der Fusspunktkurve ermitteln.

a a.

(siehe Satz Seite 223).

„.    ,    . ,    ... ...,    ,    ,. Diese Gleichung ist dieselbe wie Gl. 3)

Hiernach wird es verständlich, dass die .    ^    _    .. ö,. , .    ,    -,    ,    \

Aufgabe: „Ein Kreis von veränder- in Frage 112, nämlich jene der Geraden/ lichem Halbmesser bewegt sich so, durch 0 parallel zur Normalen n in P. dass sein Mittelpunkt p eine ge- Die Koordinaten £, t) des Punktes

g ebene Kurve beschreibt, sein Um- der Einhüllenden müssen hiernach die lang aber fortwährend durch einen,.,    . .    , , N , , i_ e •

festen Punkt o geht. Es soll die Ein- beiden Gleichungen 11) und 12) befne-hüllende des Systems dieser Kreise digen, oder geometrisch ausgedrückt gefunden werden“ — ebenfalls auf die heisst dies, der Punkt liegt erstens Fusspunktkurve der gegebenen Kurve in Bezug auf dem Halbkreis Über OP und zweitens

sie in doppelter Grösse, aber in ähnlicher Lage der Parallelen / durch 0 zur Kuiven-wie in Figur 142.    normalen n in P; dieser Schnittpunkt

muss aber wegen des rechten Winkels im Halbkreis notwendig auf die Tangente t in P zu liegen kommen, oder dieser Punkt $ ist mit dem früher erhaltenen zusammen fallend und der Ort von ist die Fusspunktkurve $ ^ $ßL> • • •, womit der Satz bewiesen ist.

Frage 115. Welche Gleichungen liefert der vorige Satz zur Herleitung der Gleichung der Fusspunktkurve?

Aufgabe 388. Die Fasspunktkurve der Parabel für den Scheitel als Pol zu bestimmen.

Antwort. Ist :

1)    . . . F(x, y) = 0

die Gleichung der Stammkurve, so müssen die Koordinaten £, i) eines Punktes $ der Fusspunktkurve, die zum Pol 0 gehört, den Gleichungen;

2)    . . . £² + p² — xç — y\) = 0

dy

und

genügen. Die Elimination von x, y mittels dieser drei Gleichungen ergibt dann die Gleichung der Fusspunktkurve, wie die folgenden Beispiele zeigen werden.

Auflösung. Aus der Gleichung der Parabel:

1 ) ... y² — 2px — 0 folgt zunächst:

dy p_. dx y ’

hiermit geht die obige Gleichung 3) über in :

. .    - o,

y

woraus :

»w;

r.

Figur 143.

+Y

Ti

sich ergibt. Dies in Gleich. 1) substituiert, erhalten wir:

5) . . . x

Gl. 4) und 5) in Gl. 2) eingesetzt, folgt : + 2r

PV²

P V²

oder:

oder:

I I j

<Wß''

F +X

oder:

kT/7

— f³ =

1/

71

»/:

Dies ist die Gleichung einer Cissoide $    • • •, welche ihre Spitze 0 im Ko-

ordinatenanfang und die Direktrix AB der Parabel 0 Pl P₂ zur Asymptote hat (siehe Aufgabe 9, Fig. 11, und Aufgabe 1, Fig. 3). Sie liegt also ganz auf der negativen Seite der Abscissenachse. Die Cissoide erscheint also hier als Fusspunkt-kurve einer Parabel mit dem Scheitel als Pol (siehe Figur 148).

Figur 144.

\v

■I

t'

A,

Aufgabe 389. Desgleichen die Fuss-punktkurve der Ellipse in Bezug auf den Mittelpunkt als Pol.

Erki. 122. In Figur 144 ist ABA₁Bl die gegebene Ellipse mit den Halbachsen OA = a hieraus folgt: und OB = b. Auf der Kurve ist P ein beliebiger Punkt mit den Koordinaten OQ — x

Auflösung. Die Ellipse mit den Halbachsen a und b hat zur Gleichung:

1) ... F ( x, y) — b² x² -(- a² y- — a² b² = 0 ;

dy

b²x

dx    a²y‘

und PQ = y. In P ist mittels Halbierung des Winkels F₂ PFi der zwei Brennstrahlen F₂ P und Fj P die Tangente t konstruiert (siehe Aufgabe 7); auf sie ist ferner von 0 das Lot l gefällt und der Fusspunkt $ gewonnen worden. Der geometrische Ort von $ ist dann die gesuchte Fusspunktkurve A^BAxBr Die letztere wurde in Figur 144 als die Einhüllende der Kreise über OP hergestellt; zu diesem Zweck ist OP in M halbiert und der Kreis

\r OP gezeichnet

Dadurch gewinnt die Gl. 3) die Form: 3*) ... ?

b²x

= 0,

woraus :

b²x\) o²f

Die Einsetzung von Gl. 4) in die Gleichung: 2) . . . f² + t)² —ya.- —t)y — 0

ergibt :

aus M mit dem Halbmesser = —

worden; hierauf wurde die gleiche Konstruktion für eine ganze Reihe von Punkten auf der und hiermit wird :

Ellipse durchgeführt ; das System dieser Kreise    ^    _ b² y (ç2    ^2)

ergab dann die einhüllende Kurve A'$BA₁ß6) ... y —    ₂ •

die aus vier kongruenten Stücken A^B zu- _.T    ,    . TT ,

sammengesetzt ist?    . Nun setzen wir Gl 5) und 6) “ GL V

Weiter ist in Figur 144 aus P mit OP ein oiß und erhalten als Gleichung der ge-Kreis beschrieben worden und ebenso aus der suchten Fusspunktkurve: vorigen Reihe von andern Punkten auf der Ellipse. Dieses zweite System von Kreisen

lieferte eine neue einhüllende Kurve 2t'$'23'•• •    ,    „

Der Punkt $' liegt auf dem Strahl 0$, so dass vier kongruenten, . um den Mittelpunkt O 0$' = 20$ ist. Die zweite Kurve ist der herumliegenden Teilen; der von den posi-ersteren ähnlich und hat zu ihr ähnliche Lage ; tiven Seiten der Koordinatenachsen einge-d. h. die zweite 21'$'93'... stellt ebenfalls die schlossene Teil schneidet die Abscissenach.se Fusspunktkurve der Ellipse dar, nur in verdoppelten Dimensionen. Es ist:

5) . .

a²y(y²-l-p2)

a2y2-|_&2t,2

(y2-j-₉2)2 ₌ «2 ç2 _j_ &2 p2.

Diese Kurve vierten Grades besteht aus

und ebenso:

OD' = 20Q = 2y

$'Q' = 2 $Q — 2p.

senkrecht in A, die Ordinatenaclise ebenfalls senkrecht in B. Ist a b \/2, so besitzt derselbe einen höchsten Punkt, und zwischen diesem und dem Punkt B einen Wendepunkt (siehe Figur 144). Die Bestimmung der Koordinaten dieser zwei Punkte bleibt dem

Leser überlassen.

Figur 145.

+Y

i!

(A

+x

F₂ B

TA

P6/

?>■

J3

Aufgabe 390. Desgleichen die Fuss-punktkurve der gleichseitigen Hyperbel in Bezug auf den Mittelpunkt der gleichseitigen Hyperbel die Form:

Auflösung. Gehen wir der Gleichung

als Pol.

x² — y² — a² = 0,

(f + 9²)² — o² G² — p²) = 0. Setzen wir in dieser:

so gibt eine Rechnung, die der vorigen ganz Erkl. 123. In Figur 145 ist P^4P₃BP₇ die ähnlich, als Gleichung der Fusspunkt-gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten auf- kurve: einander senkrecht stehen. Fx und F.₂ sind ihre Brennpunkte. Die Halbierung des Winkels F₂PFx lieferte die Tangente t im Punkt F.

«2 = 2c2,

so geht sie in die Gleichung 1) der Erkl. 30 über; d. h. die gefundene Fusspunkt-kurve der gleichseitigen Hyperbel ist eine Lemniscate. (Siehe Figur 24 und 58, sowie die Aufgaben 15, 98, 192, 340, 379.)

Das Lot l von 0 ergab den Fusspunkt iß. Der geometrische Ort von iß ist die Lemniscate:

-4iß Oiß₆ -Bißr, Oiß„.

den

Frage 116. Wie kann die Gleichung der zum Ursprung 0 gehörigen Fuss-punktkurve einer Kurve gefunden wer-wenn die letztere durch eine

Gleichung :

1) . . . r = /•(©)

in den Polarkoordinaten r und 0 gegeben ist?

Antwort. Hat ein beliebiger Punkt P auf der Stammkurve die Koordinaten x und y und die Polarkoordinaten r und 0, so ist:

2) ... x — rcosQ

und

ferner :

3) ... y — rsin&,

sin © •

dr

4) . . .

d&

rcosQ

cosQ-

dr

d&

r sin ©

(siehe Differentialrechnung II. Teil, Seite 258, und diesen Band, Seite 17).

Der zugehörige Punkt der Fuss-punktkurve habe die rechtwinkligen Koordinaten % und t) wie in Frage 112 und die Polarkoordinaten r und t, dann ist nach Seite 232, Formel 6) und 7):

^ d»

>+(# "

dy

x---

und

y—

dy

6) - - - P =

dx

ferner :

und

7) . . . r² = ç² -(-1)²

Aufgabe 391.

Setzt man nun die Werte aus Gl. 2), 3) und 4) in Gl. 5) und 6) und die so gewonnenen Ausdrücke in Gl. 7) und 8) ein, so gibt die algebraische Rechnung:

9) . ...

und

10) . . . tg t =

y2

rtg 0

dr

dO

dr

r-\~tg&-

Aus Gl. 9), 10) und 1) lässt sich eine Gleichung in r und t herstellen, welche die der Fusspunktkurve sein muss.

d@

Bestimme die Fuss-punktkurve der Kreisevolventen in Bezug auf den Kreismittelpunkt als Pol.

(Siehe Aufgabe 16, Fig. 25, und Fig. 146.) und Seite 28 die Gleichungen:

Auflösung. Hier haben wir nach Erkl. 88

Figur 146.

und

6’

6"

Q — iv — arc {tg — to).

dr

ar

dO

SIS¹

l/l 4-w'¹

I.

Ty

Hierdurch liefert die obige Gleichung 9):

r = 1/r² — a² ~ aw.

+Y

• .i?

'i

&‘

Aus der Figur 146 entnehmen wir, dass OSßPQ ein Rechteck ist, daher:

<%u> = XOQ — XOiß + 5ßO<2

= '+T

folglich ist:

7 ''

“(t+" }

to a

iu

2"

Nach Aufgabe 13 stellt diese Gleichung eine archimedische Spirale vor, welche gegen die Erkl. 124. In Figur 146 ist 0, 1, 2, 3 • • • in Figur 22 konstruierte um 90° nach rechts der Grundkreis; in den Punkten 1,2*-- sind gedreht erscheint.

an ihn die Tangenten 11', 22', 33'•• • gelegt Die Fusspunktkurve der Kreis-

woärd^C0, l'”2/r.⁰¹isfdaw'dÄ    ist hiernach eine archi-

evolvente. Auf ihr ist P ein beliebiger Punkt mit den Koordinaten OP = r und dem Wälzungs-winkel XOQ = w. Die Tangente Piß geht il OQ und das Lot Oiß |j PQ. Der geometrische Ort von iß ist die Kurve 0, 1", 2", 3“ • • der gezeigt wurde, dass sie eine archimedische Spirale darstellt, welche im Vergleich mit jener der Figur 122 um 90° nach unten gedreht erscheint.

8'

St.

von

medische Spirale.

Aufgabe 392. Bestimme die Fuss-punktkurve der logarithmischen Spiralen r = e® für den Punkt 0 als Pol. (Siehe Aufgabe 14 und Figur 23.)

Figur 147.

Auflösung. Wir haben r = e®, daher

dr ©

— e , somit:

Pa

+Y

/p\/    '

&ir, yx

?*

VMS)'

V*'

Ferner gibt :

rtgG —

tgt =

dr

__ tg 9 — 1

dr tg0 -\-1 '

r+ts9-m

woraus : tg® — -j also :

1 + tgt

— tgt

folglich wird:

(10

= tg

T + *'

71

T + ł e ⁴

~w~~we ;

Erkl. 125. In Figur 147 ist P₀PPlP.₂••• d. h. die Fusspunktkurve der loga-die gegebene logarithmische Spirale, welche rithmischen Spirale ist ebenfalls nach der Anleitung der Erkl. 28 gezeichnet eiüe logarithmische Spirale (siehe

mttden Sgehörigm'EaJSef”o5; OP,'OP, “ Figllr U7’ ver«¹- auch Au%abe ³⁶⁵ "■ ³⁶⁶>'

Winkel von je 45°. Die Lote aus 0 auf diese

Tangenten ergeben die Fusspunkte 5ß₀,5pt, • • •

und sie liegen auf einer zweiten logarithmischen

Spiralen, welche der gegebenen kongruent ist

und nur gegen sie verdreht ist.

r =r

e⁴

Auflösung. Aus rm = am cosm0 folgt:

Aufgabe 393. Es soll die Gleichung der Fusspunktkurve für den Punkt 0 als Pol der Kurve rm — am cosm0, wobei a und m konstante Faktoren vorstellen, gefunden werden.

r = a (cos m 0) m,

dr

r’-+{%y=a^e

Erkl. 126. Nehmen wir auf dem Umfang eines Kreises vom Durchmesser OMQ = a den Punkt 0 an, legen die Abscissenachse durch 0 und den Kreismittelpunkt M und wählen auf dem Umfang den Punkt $ beliebig, so wird für :

0$ = r, <£<?Oiß = t, OMQ =z a,

OP = OQcost oder r = a cost; dies ist die Gleichung des Kreises, also m = 1.

Die Gleichung der Kardioide:

(y² + p² — Æy)² —    +p²) = 0

in Aufgabe 327 geht mit y = r cos t, p — r sin t über in:

(r² — r R cos t)² — R² • r² = 0 Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

^    = — a sin m 0 (cosm 0) m ,

--2

os m 0) m ,

somit nach der Formel für r [siehe Gl. 9) der Frage 116]:

--1

1) . . . r = a (cosm0)m Ferner wird für tg t [siehe Gleich. 10) der Frage 116] erhalten:

tgt — tg (m+ !)•©,

also t — (?»-j- 1)© und daher 0 =

16

m —J- 1

oder:

woraus :

(r — R cos t)² = R²,

und

2) ... m 9 =

r = J? (1 -j- cost) = 2R cos²

denn:

—rr-t. tn 1

Diesen Wert aus Gl. 2) in 1) eingesetzt erhalten wir:

1 -j- cos t — 2 cos²

(Siehe Kleyer, Trigonometrie.)

a ^cos

*)

m -f- 1

Für 2R = a folgt als Gleichung der Kar- und hieraus folgt als Gleichung der gesuchten Fusspunktkurve:

dioide:

. also in — ~2~.

x = a cos² — oder r ² = a ² cos

-4

Die gleichseitige Hyperbel hat die Gleichung:

f    = 1 oder y² — n² = a².

aŁ    '

tn

cos

•t,

711 —j— 1

d. h. die Fusspunktkurve der Kurve

Für y = r cost und 9 = rsint geht sie über in: r² (cos²1 — sin²1) = a².

Nach der Trigonometrie ist:

cos²1 — sin²1 = cos 21 ;

rm = am cos in ©

ist von derselben Gattung wie die Stammkurve.

Wählen wir m = 1, so erhalten wir:

daher :

r² cos 21 = a²,

woraus da cos (— if) — cos cp ist : r²cos(—2t) = a² und x~² = a~² cos(—2t) als Polargleichung der gleichseitigen Hyperbel folgt, also m — —2.

r — a cos ©. Dies ist die Polargleichung eines Kreises vom Durchmesser a, wobei der Pol auf dem Umfang angenommen ist.

—7-7- = 77 wird, so hat die zürn 1    2

Da hier

gehörige Fusspunktkurve die Gleichung:

r²

² cos

oder x — a cos²

Die Gleichung einer Parabel, bezogen auf Achse und Scheiteltangente lautet y² — 2px-, legen wir die Ordinatenachse durch den Brennpunkt und heissen die neuen Koordinaten y und 9 ; (sißhe Aufgabe 387 und Erkl. 126). nun muss:

~2'

Dies ist die Polargleichung der Kar diode

Für in — — 2 folgt :

V² =

sein.

Für y = rcost₀ und 9 = rsmt₀ folgt: r² sm²t₀ — 2px cos t₀ —p² — 0.

r ² = a ² cos (— 2 ©) oder a² = r² cos 2 ©. Dies ist die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel (siehe Aufgabe 390). Hier wird

Hieraus :

p cos t₀ + Ÿp² cos²1₀ -f- p² sin²10 sin²1₀

__ p( 1 + cost₀) __ p

1 — cos²1₀    1 — cos t₀

— 2 ; d. h. die entsprechende Fusspunktkurve besitzt die Gleichung:

2 sin²

r² = a² cos 21 ;

bekanntlich stellt diese eine Lemniscate vor [siehe Erkl. 30, Formel 2)].

Für t₀ = 180 — t, = 90 — A

sin — cos geht die obige Gleichung über in:

Für m —

¥’

7‘

² =a

— ~2

² cos

erhalten wir:

(-1)

oder a — rcos²

2 cos²

Diese Gleichung ist die einer Parabel, bezogen auf den Brennpunkt als Pol; aus

ihr gewinnen wir

711

1 und hiermit:

woraus :

m H 1

r—1 = o~l'cos{—t) oder a — rcost;

--cos²

oder:

dies ist die Gleichung einer geraden Linie, nämlich der Direktrix der vorhin genannten Parabel.

r—i -

cos²—, r

'-©

cos

¥’

oder schliesslich:

als Gleichung der Parabel folgt, also Dabei ist der Brennpunkt der Pol

- — IT*

und die positive Achse ist gegen den Scheitel zu gerichtet. Die Direktrix hat vom Brennpunkt den Abstand p. Für jeden Punkt auf dieser Geraden muss deshalb r cos t — p oder :

= p ¹ cos t oder r ¹ = p ¹ cos (— t) sein, wie vorhin gefunden worden ist.

c) Anwendung auf die Parallelkurven.

Frage 117. Was verstellt man unter einer Parallelkurve zu einer gegebenen ebenen Kurve C?

Figur 148.

+Y

C,

Po^-Cj

Ci

yt

Pi

£-—c

y\ x,

+x

Antwort. Werden in den verschiedenen Punkten P°, P, P², P³ u. s. w. der Kurve C die Normalen konstruiert und auf denselben von den Fusspunkten P°, P, P², P³ • • • aus die Strecken P°P₀, PP1? P²P₂ u. s. w. nach derselben Seite der Kurve C von konstanter Länge c abgetragen, so liegen die Endpunkte P₀, P], P₂ u. s. w. auf einer neuen Kurve Cl ; und diese heisst die Parallelkurve zu C im Abstand c. — Wählen wir als C einen Kreis vom Halbmesser r, so erscheint als Parallelkurve wieder ein Kreis vom Halbmesser rĄ-c oder r — c, je nachdem die Strecke c nach der konvexen oder konkaven Seite des Kreises auf den Halbmessern abgetragen worden ist. Auf die Parallelkurven der Ellipse haben schon die Betrachtungen der Evoluten geführt (s. Frage 100 und Figur 118). Daselbst ist gezeigt worden, dass eine Kurve C und eine zu ihr parallele Cx im Abstand c die nämliche Evolute besitzen. Hat die Kurve C im Punkt P den Krümmungshalbmesser q, so hat die Kurve Cx in dem P entsprechenden Punkte Px den Krümmungshalbmesser q-\-c oder q — c.

Frage 118. Welche andere Erzeugungsarten können von der Parallel-kurve gegeben werden?

Antwort. Da die Tangente in Px an Cx offenbar der Tangente in P an C parallel sein muss und von ihr die Ent-

p,/

P3I

Figur 149.

P41

c,

Figur 150.

p;

■c;

,p₂

P4

Ci

Pi

Ci

p₂

P4

P¹

p⁶

P7

terming c hat; weil ferner das gleiche von den Tangenten in P₂ bezw. P², P₃ bezw. P³ u. s. w. gilt, so erscheint die Kurve C₁ als die Einhüllende einer Geraden tv welche parallel der Tangente t der Kurve C in dem konstanten Abstand c gezogen ist (siehe Figur 148).

Der Kreis um den Durchmesser PPX berührt sowohl C als C₁ ; lassen wir ihn auf der Kurve C weiter rollen nach P²,P³ u. s. w. bei gleichbleibendem Halbmesser so berührt der Kreis fortwährend C und Cj ; das System dieser Kreise hat demnach als Einhüllende die Kurve (s. Fig. 149).

Beschreiben wir endlich um P mit dem Halbmesser c einen Kreis, so berührt auch dieser C₁ in P₁ ; das Gleiche finden wir für die Kreise um P², P³ u. s. w. mit dem nämlichen Halbmesser c bezüglich der Punkte P₂, P₃ u. s. w. Die Kurve Ct kann hiernach auch aufgefasst werden als die Einhüllende dieses zweiten Systems von Kreisen vom Halbmesser c und den Mittelpunkten auf C (siehe Figur 150). Für die Lösung der Aufgabe, wenn C und c gegeben sind, Cx zu konstruieren oder zu berechnen , bieten sich also nach dem Vorausgehenden drei Wege.

Frage 119. Es sei in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die Gleichung F(x, y) = 0 einer Kurve C gegeben. Die Gleichung der Parallelkurve zu Ct im Abstand c zu finden.

Antwort. Der beliebig gewählte Punkt P auf C habe die Koordinaten x, y (siehe Figur 148), so dass :

1) . . . F(x,y) = 0

ist. Die Normale in P hat die Gleichung:

(s. Formel 2, Seite 47), bezeichnen wir nun die Koordinaten von Px auf der Normalen im Abstand c von P mit xx und so ist der geometrische Ort von c

X—xĄ

dtj

Vx

die gesuchte Kurve Cr Die Werte xv yx müssen nun der obigen Gleichung der Normalen genügen; wir haben also:

2)    . . . xx — x + (yx — y)

Ferner muss PPt = c sein ; dies führt zur Gleichung:

3)    ... («i — x)² + Gi — y)² — c² = o.

Aus Gl. 1), 2) und 3) können nun x

und y weggeschafft werden; die resultierende Gleichung in xt und y₁ stellt dann die der Parallelkurve Cl dar.

Rechnet man aus Gl. 2) und 3) die Werte x₁ und yx aus, so erhält man:

= o.

4) . . . xx — x -j-

dx

und

V'+ey

V'+ey

5) . • • yx = y +

Man beachte, dass die Gleich. 3) auch die Gleichung des Kreises aus dem Mittelpunkt P (x, y) mit dem Halbmesser c darstellt.

In derselben sind x und y die beiden Parameter, welche durch die Gleich. 1) verbunden sind. Die Differentiation von Gl. 3) nach x führt auf die obige Gl. 2), d. h. die Auffassung der Parallelkurve Cl als Einhüllende des Systems der Kreise vom Halbmesser c mit den Mittelpunkten P auf C gibt die nämliche Bedingungsgleichung, wie oben Gl. 2) und 3).

Aufgabe 394. Die Parallelkurve des Kreises:

x2 H~ y² — *⁻² — b für den Abstand c zu linden.

Auflösung. Aus :

1) . . . F (x, y) — x² -J- y² — r- — 0

v+(®y

~\/x² -j- y² _ r

y ~ y' Hiermit folgt aus Gleichung 4) und 5) von vorhin:

*(!±y) y,=y(i+y)

woraus :

r    r

x — —:— x, und y = —:—x.. r±c    r±c

Diese Ausdrücke in Gl. 1) eingesetzt, folgt:

x\ + yi² = (f + c)²

als Gleichung der Parallelkurve. Dieselbe besteht aus den beiden Kreisen mit den Halbmessern r-\-c und r — c.

Aufgabe 395. Ebenso für die Ellipse: «2

^--1 = 0.

Auflösung. Wollten wir hier den seitherigen Gang einschlagen, würden sehr umfassende Rechnungen schliesslich zu einer Kurve achten Grades, der Parallelkurve, führen. Wir können die letztere aber auch dadurch bestimmen, dass wir die Koordinaten xv yx eines ihrer Punkte Px als Funktionen einer dritten Veränderlichen t darstellen. Zu diesem Zweck setzen wir die Koordinaten des Punktes P der Stammkurve:

x — a cos t und y — b sin t

Erkl. 127. Die volle Entwicklung der Glei- Dies ist zulässig, weil die Einsetzung dieser chung der Fusspunktkurve der Ellipse und der zwei Ausdrücke in die Gleichung der Ellipse Parabel findet der Leser in Salraon-Fiedler, auf sin²1cos²1 = \ führt, also auf eine Analytische Geometrie der Kegelschnitte, Ar-    ¹

tikel 348.

Viel einfacher gestaltet sich die Rechnung, wenn die Parallelkurve statt in Punktkoordinaten x, y in den Linienkoordinaten u und v ausgedrückt werden soll (siehe Erkl. 116).

Vergleiche Salmon-Fiedler, Analytische Geo- ein, so erhalten wir: metrie der höheren ebenen Kurven, Artikel 119.

Beziehung, welche jeder Wert von t genügt.

Aus dx — — a sin tdt und dy — b cos tdt

ergibt sich

dx

--^ cot g t. Setzen wir

dy

diesen Wert in 4) und 5) der Frage 119

xx ~ a cos t +

bc-cotg t

und

\/a² -j- b² cotg² t

yx — b sin t +

ac

Ÿ a²-(- b² cotg² t Das System dieser beiden Gleichungen drückt die gesuchte Parallelkurve aus. Verschiedene Werte von c geben verschiedene Formen der Parallelkurve (siehe Figur 118).

d) Anwendung auf die Brennlinien.

Frage 120. Was versteht man unter

einer katakaustischen Kurve oder Antwort. Die Kurve CCX in einer Brennlinie durch Zurück- Figur 151 sei ein ebener Schnitt

werfung?

einer beliebigen spiegelnden Fläche, gegen welche der leuchtende Punkt A in der Ebene der Kurve Strahlen aussendet. Ist AP ein in P auffallender Lichtstrahl, PD die Tangente und PE die Normale des Punktes P, so muss nach den Gesetzen über Spiegelung der reflektierte Strahl PB mit der Normalen PE den nämlichen Winkel bilden wie der ein fallende Strahl oder es muss <^APE= EPB sein. Aber der leuchtende Punkt A schickt ausser diesem Strahl AP noch unendlich viele Licht-

Frage 121. Welchen Gang nimmt hiernach die Rechnung bei dem Aufsuchen der Gleichung der katakausti-schen Kurve, welche zu einer gegebenen

Kurve F(x, y) — 0 und dem Licht- Antwort. Aus der Gleichung eines punkt A mit den rechtwinkligen Koor- beliebig einfallenden Strahles AP sucht

dinaten a und ß gehört?

man zunächst die Gleichung des reflektierten Strahles PB, welche eine veränderliche Konstante als Parameter enthalten wird, z. B. den Winkel 0, den AP mit der Abscissenachse bildet. Das Aufsuchen der einhüllenden Kurve der Geraden PB erfolgt hierauf nach dem früher gelehrten Verfahren: Man differenziert die Gleichung von PB nach dem Parameter und eliminiert den letztem aus den beiden Gleichungen. Das Resultat ist dann die Gleichung der Katakaustika. Weil die Durchführung der Rechnung, soweit sie überhaupt möglich ist, auf sehr weitläufige Entwicklungen führt, beschränken wir uns hier auf die nachfolgenden beiden Beispiele.

Aufgabe 396. Auf die Peripherie eines Kreises vom Halbmesser R treffen

parallele Lichtstrahlen, welche dort zurückgeworfen werden. Es soll die Brenn-

Trifft ein

Figur 151.

+Y

P,

Itvfrv

P*

iE/

02

strahlen ^4P1? /4P2? ^^3 ••• gegen die Kurve CC₁ aus, welche unter verschiedenen Winkeln gegen die zugehörigen Normalen auffallend, deshalb auch unter verschiedenen, den Einfallswinkeln gleichen Winkeln reflektiert werden. Die zurückgeworfenen Strahlen PB, P₁B₁, P₂B2 hüllen eine Kurve BBlB₂B.äBi ein, welche die katakaustische Kurve für den Lichtpunkt A und die Kurve CG. genannt wird.

Auflösung. Durch den Kreismittelpunkt 0 lime bestimmt werden. (Siehe Figur lo2.) iegen wjr ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Abscissenachse den einfällenden Lichtstrahlen parallel ist.

Strahl A P den Umfang in P, so setzen wir die Koordinaten von P, nämlich: 0Q — x₀ — R cos0 und PQ = y₀ = R sin0\ der zurückgeworfene Strahl PB‘ bildet dann

B,

7/

-Bł \

P5/

ÏY

A'

fi

ir/i

D,!

>C

v. '

-r

Bs

und

- 4

Ganz ähnlich erhält man auch y.

Erkl. 129. Denkt man sich obige Fig. 152 um die Gerade JG als Achse gedreht, so bebeschreibt der Halbkreis JHG eine Kugel und die Epicykloide R\HF, eine Rotationsfläche; diese zwei Flächen sollen durch die Ebene, also hier: welche in 0 auf JG senkrecht steht, halbiert und die Teile rechts von HOK weggenommen gedacht werden. Die innere Seite der linken Halbkugel bilde einen Hohlspiegel, welcher von rechts her paralleles Licht empfangen soll.

Dann entsteht offenbar in jedem Schnitt durch die Achse J 0 eine Brennlinie, welche der Epicykloide HF₂K kongruent ist und diese Brennlinien liegen sämtlich auf der vorhin erhaltenen Rotationsfläche — der Brennfläche der un(^ ebenso aus 6): Halbkugel. Die Spitze, welche diese Fläche in F.> hat, heisst Brennpunkt, eine Bezeich-

,B'

+x

's

b;

4)    ... y =

Diese Gleichungen gestatten eine einfache geometrische Erklärung.

Nach Aufgabe 11 lauten die Gleichungen einer Epicykloide:

5)    . . . x = (a -)- r) cos — < — a cos

r

6)    . . . y = (a -|- r) sin — t — a sin

Setzen wir in 5):

R

r — "ä".    «

t — 20 und

oR

-r- cos 3 0

4

Figur 152.

+Y

T\

‘    / X

\/ B«

V

/ \ID-y&S

.r . Q,r iV: ~ T~"

Ä\/

Bi

Erkl. 128. Aus :

1)    . . —xsin2& -\-ycos2Q — —RsinQ

R

2)    . . . xcos2Q-\-ysin2& = — cos© folgt durch Elimination:

p

— • (cos 2 0 cos 0 -j- 2 sm 2 © sm 0)

= — (2 cos 2 0 cos 0 -)- 4 sm 2 0 sm 0)

= — [3 cos 2 0 cos 0 -f- 3 sm 2 0 sm 0 — (cos 2 © cos © — sin 2 © sm 0) j (3 cos© — cos 30).

mit der Abscissenacbse den Winkel B‘PBX~ 20; daher lautet die Gleichung des Strahles PB‘\ y — yt) — (x — x₀)tg2@

oder:

y — Rsin 0 = (x — R cos Q) tg 20 oder:

y cos 2 © — xsin2@ -{- R (sin 2 0 cos© — cos 2 © sm 0) — 0

oder:

1)    . . . y cos 2© — xsin2Q -j- Rsin 0 = 0.

Diese Gleichung nach dem Parameter 0 differenziert, liefert:

2)    . . . ysin2@ -\-xcos2&

R

--— cos 0 = 0.

Aus Gl. 1) und 2) lässt sich 0 eliminieren; die umfassende Rechnung ergibt schliesslich die Glei-chungder einhüllendenKurve: (4^2 -f 4y2 _ Rty ₌ 27 Riy* Hierbei bedeuten x und y die -Koordinaten ON, bezw. NB des Kurvenpunktes B, in welchem der rückwärts verlängerte reflektierte Strahl PB' die Brennlinie berührt.

Wir können aber auch aus Gl. 1) und 2) x und y in R und 0 ausdriicken und erhalten :    ß

3) . . . # = -— (3 cos 0 — cos 3 0) und

~ (3 sin 0 — sin 3 0) (s. Erkl. 128.)

— t 4-1 = 3 0, r so folgt: x = —— -cos G — oder: — (3 cos© — cos3@) y = — (3sin © — sin 3 0).

nung, welche auch auf den Punkt F₂ der Brenn- Dies sind aber unsere beiden vorigen Hnien HFK übertragenwird    Gleichungen 3) und 4); wir haben hiernach

Die Katakaustika des Kreises vom

Stellen wir uns vor, die rechte Hälfte HGR ^as Resultat-der Kugel sei aussen spiegelnd, dann erfolgt die Zurückwerfung der parallel zur Achse einfallenden Strahlen derart, dass die Rückver- Halbmesser R für parallele Lichtlängerungen der zurückgeworfenen Strahlen die strahlen ist eine Epicykloide, welche Brennlinie HFyK beziehungsweise die Breun- Von einem Kreis mit dem Halbmesser fläche HF^K einhüllen. Die letzteren, sowie r

der Brennpunkt F₁ sind also beim Konvex- erzeugt wird, welcher auf einem

Halbkreis HJK    Halbmesser

als die Grundfläche eines senkrechten hohlen hat und zum gegebenen konzen-Cylinderspiegels, welcher von rechts her *t paralleles Licht erhält, so wird in jeder hori- trisch ist.

zontalen Ebene die Brennlinie HF₂K auftreten. jn Figur 152 ist OG — R- ferner ist Analog liegen die Verhältnisse bei einem kon-    p

vexen Cylinderspiegel HGK bezüglich der OFx — OF₂ ist = -= und F₁G = Rollt geometrischen Brennlinie HF,K.    , Tr    .    ...    „T-,    .    .    _ .

Zur Herstellung der Brennlinie    HF₂K    lässt    der Ki eis    über    x₁G    auf    dem    Kreis über

man Sonnenlicht auf das Innere    eines    blanken    GJI₁,    so    erzeugt    er    die    Epicykloide

Ringes fallen. Auf einem weissen Blatt unter F₁BBXH • • •, welche von den reflektierten dem Ring wird dieselbe deutlich beobachtet Strahlen PB‘, P₁B₁i, P₂B₂ •••, beziehungswerden können.    weise    von    den    Verlängerungen derselben

Näheres darüber siehe Kleyer, Lehrbuch der eingehüllt wird.

Physik, Abschnitt Optik.

Aufgabe 397. Von einem leuchtenden Punkt A fällt Licht auf die Peripherie eines Kreises und wird dort reflektiert. Es soll die katakaustische Kurve bestimmt werden.

Figur 153.

⁺Y

mv/l

Auflösung. Wir legen wieder ein rechtwinkliges Koordinatensystem durch den Kreismittelpunkt 0; dabei soll die Abscissenachse durch den leuchtenden Punkt A gehen und OA mit a bezeichnet werden. Irgend ein Halbmesser OP des Kreises vom Halbmesser r bilde mit der Abscissenachse den Winkel POX=@, dann hat OP die Gleichung:

x sin 0 — y cos 0 = 0;

aus ihr folgt als Gleichung der Tangente PD in P:

xcos 0 -I⁻ y sin © — r — 0.

b;

B,

IG

Vs

II

ff;

\\i/ %

NW

Die linke Seite der ersten Gleichung bezeichnen wir kurz mit N, die der letzteren mit T; dann ist die Gleichung irgend einer Geraden, welche durch den Schnittpunkt beider Geraden, also durch P geht von der Form N — X T = 0. Soll diese dritte Gerade durch den Punkt A mit den Koordinaten

x = a, y — 0 gehen, so müssen die letzteren die eben gefundene Gleichung befriedigen, d. h. es muss :

asin0 — X {acosQ — r) = 0 oder X =

a s in 0

acos@ — r

•T — 0.

sein; hiermit wird die Gleichung von AP: asinQ

a cos 0 — r

Der reflektierte Strahl PB ist nach den

Erkl. 130. Bezeichnen N — 0 und T — 0 die Gleichungen von zwei geraden Linien, so Gesetzen der Geometrie der vierte harmo-hat eine Gerade, welche durch den Schnittpunkt nische zu q P dp und AP. nach der ana_ von N und T geht, eine Gleichung von der Form N—IT=. 0; ferner hat die vierte Gerade, welche zu diesen drei harmonisch ist, die Gleichung N -f-1T — 0.

lytischen Geometrie ist also seine Gleichung:

asinQ

■T= 0

a cos © — r

Näheres siehe Cranz, Analytische Geometrie. oder ausführlich angeschrieben:

(xsin © — y cos ©) (a cos © — r) -f- (x cos © -f- y sin © — r) a sin © = 0 oder :

2 axsin © cos © — r (x    a) sin © — ay (cos² © — sin² ©) -f- ry cos © = 0

oder:

1 ) ... ay cos2 © — axsin2 © -j- r (r -)- a) sin © — ry cos 0 = 0.

Dies ist die Gleichung des reflektierten Strahles PB; sie enthält den Parameter ©. Um die Einhüllende desselben zu gewinnen, müssen wir die Gleichuug 1) nach © differenzieren; dabei tritt auf:

Y    Y

2) ay sin2 axcos2 © —— (x -j- a) cos ©--^ y sin © = 0.

Aus 1) und 2) lässt sich © eliminieren; eine umfassende Rechnung iiihrt schliesslich zur Gleichung der Katakaustika:

[4 a² (x² -{- y²) — r² (x -f- a)² -|- y²]³ = 27 r⁴a²y² (x² -f- y² — a²)².

Hierbei bedeuten x und y die Koordinaten OS, bezw. BS des Kurvenpunktes B, in welchem der zurückgeworfene Strahl PB die Brennlinie berührt. Zur Untersuchung derselben ziehen wir vor, x und y als Funktionen von r und © darzustellen. Wir schreiben die Gl. 1) und 2) in der Form: x (asin 2 © — rsin ©) — y (a cos 2 © — rcos ©) = arsin © x (2acos2 © — rcos ©) — y (— 2asin2 © -j- r sin ©) = arcos © auf; hierbei erhalten wir nach kleinen Umrechnungen :

r a [a (3 cos © — 2 cos³ ©) — r]

2 a² — 3 a r cos © -(- r2 2 ra² sin³ ©

2 a² — 3 ar cos ©    r²

als Gleichungen der gesuchten Katakaustika BB₁BiB₂Bä.

Aufgabe 398. Die Gestalt der Brennlinie des Kreises für verschiedene Lagen des leuchtenden Punktes zu finden.

Auflösung. Für a = 0 fällt der leuchtende Punkt mit dem Kreismittelpunkt zusammen und die Brennlinie schrumpft zu einem Punkt, dem Mittelpunkt zusammen.

In Figur 153 ist 0 < a < die Brennlinie hat auf der Abscissenachse zwei Spitzen B₁ und B₂ mit den Koordinaten: ra

— und x„ — r    ²

ra

2a -j- r '

Von diesen beiden Brennpunkten liegt B

Figur 154.

+Y

/An

BAI/

CA

/;A

! //

i/K

+Y

\\

B*kj4 8 r

S/0

t/

harmonisch zu Ov Av G und B₂ harmonisch zu Ox, A und J. Ferner besitzt die Kurve noch zwei weitere Spitzen B.A und Bi in symmetrischer Lage gegen GJ. Sie liegen auf den Strahlen HBS und HBi, welche durch die Reflexion von AL und AM, welche J_ GJ von A ausgehen, entstehen; dabei ist dann noch HB.d — AL, MBi — AM.

Für a — rückt die Spitze Bx

ins Unendliche, B₂ kommt in die Mitte von OJ; R₃ und Bi findet man wie vorhin (siehe Figur 154).

Für <a<r, also O A >

in Figur 155 tritt die Spitze Bx auf der rechten Seite auf als geometrischer Brennpunkt.

Für a — r liegt der leuchtende Punkt A auf dem Kreisumfang in G (siehe Figur 156). Die Gleichungen der Katakaustika gehen in diesem Fall :

r³ (— 1 3cos& — 2 cos³©) x — —----

+x

und

Figur 155.

a-

"A/-'

3 r² (1 — cos 0)

= ~ (— 1 -j- 2 cos© + 2cos²©) oder:

x — ~ (2cos © -f- cos2 @)

2 r    v

— -g- cos 9 + — cos2 @

2 t*

— -5- (1 4- cos 0) sin ©

O

2 r³ sin³ 0

3 r² (1 — cos 0)

r,

Figur 156.

oder:

+Y

^71

iA_+X

Figur 157.

10’

2

= — r sin &-f- -g- sin 2 &.

Setzen wir hierin:

y = — y i.

so erhalten wir:

und

= 2 i\ cos t — t\ cos 21

yx = 2r, sm t — rx sw 21. Vergleichen wir diese Formeln mit denen der Epicykloide in Aufgabe 11, so ergibt sich, dass diese Katakau-stika eine Epicykloide ist, in welcher sowohl der Halbmesser des festen Kreises als auch der des rollenden

Y

Kreises = y ist und dass also

die Katakaustika des Kreises für einen leuchtenden Punkt auf dem Kreisumfang eine Kardioide ist, deren Spitze B.₂ um 180° vom

//'

7\

I,

5'

’S

io

73'

j;

¥s

15,

/6

^-77 //

7'.

7'

leuchtenden Punkt A entfernt liegt (siehe Figur 156 und Figur 16, sowie Erkl. 20).

Für a > r liegt der leuchtende Punkt A in endlicher Entfernung ausserhalb des Umfanges; dann bildet sich wiederum eine Spitze Bx, die aber nur ein geometrisches Bild des leuchtenden Punktes gibt (siehe Figur 157).

Der Fall a = co ist schon in der Aufgabe 396 behandelt worden.

Frage 122. Bestehen zwischen einer

Kurve und der zugehörigen Katakau- Antwort. In Fig. 158 sei PP^.. stika eines gegebenen Punktes noch die reflektierende Stammkurve, 0 stelle weitere geometrische Beziehungen?

Figur 158.

den leuchtenden Punkt vor, OP einen Strahl, PB den dazu gehörigen reflektierten, der sich dadurch konstruieren lässt, dass 0$ senkrecht auf die Tangente TJPV in iß gefällt, Oiß um sich selbst nach iß' verlängert und iß'P ge-gezogen wird, dann ist A OißP?=ißiß'P und <$OPTJ=BPV, wie es das Spiegelungsgesetz fordert. Macht man jetzt:

0M= MP = ~0P

W' \

3\

Bz

und zeichnet den Kreis OißP mit dem Mittelpunkt M, so ist nach Frage 113 der geometrische Ort für iß die Fuss-punktkurve der Stammkurve PPj P₂ in Bezug auf den Punkt 0 und ißM ist die Normale dieser Fusspunkt-kurve im Punkt P. Zeichnen wir ferner um den Mittelpunkt P den Kreis Oiß', so hat nach Erkl. 121 das System der Kreise um P mit dem Halbmesser O P zur Einhüllenden eine Kurve iß' iß/ Sß₂' • • •, welche der Fusspunktkurve ißiß^ißg ähnlich ist und zu ihr ähnliche Lage hat. Die Gerade iß'PB, welche parallel ißitf ist, stellt dann die Normale in iß' an diese grosse Fusspunktkurve vor. Da nun die Katakaustika des Punktes 0 in Bezug auf die Stammkurve die Einhüllende der zurückgeworfenen Strahlen PB, PXBV P^B₂ • • • ist, so können wir jetzt die „ Katakaustika auch als die Einhüllenden der Normalen iß'B, iß/P^ iß₂'P₂ •••

b₃

der grossen Fusspunktkurve auffassen. Nach Frage 94 ist aber die letztere die Evolute der genannten Kurve; d. h. die Katakaustika B, Bv B₂ • • ist die Evolute von der Kurve    $₂' • •

dies liefert den

Satz. Wenn man aus den aufeinander folgenden Punkten der reflektierenden Kurve als Mittelpunkte Kreise beschreibt, welche sämtlich durch den leuchtenden Punkt gehen, so ist die Einhüllende dieser Kreise eine Kurve, von welcher die Katakaustika der Stammkurve die Evolute ist.

In Figur 157 erscheint die Katakaustika B₁LB₂M des Kreises GHJK für den Lichtpunkt A als die Evolute der Paskal sehen Schnecke 1'2' • • • 18' (vergl. hierzu Fig. 139 sowie Frage 114 und Erkl. 121).

Lässt sich aus der Gleichung der Stammkurve P, 1\, P₂ die Gleichung der Fusspunktlinie $}!/$.>' gewinnen, so wird die Gleichung der Evolute dieser Kurve auch die Gleichung der gesuchten Katakaustika sein.

Frage 123. Was versteht man unter einer diakaustischen Kurve oder einer Brennlinie durch Brechung? Schnittlinie in der Ebene der Zeichnung

mit einer Fläche, welche zwei durchsichtige, aber optisch verschiedene Stoffe CECl und CElCl voneinander trennt;

ferner sei in dem vom ersten Stoff erfüllten Raum A ein leuchtender Punkt,der gegen die Trennungslinie CC\ in die Ebene der Zeichnung Lichtstrahlen aussendet. Ist AP ein solcher Strahl, der unter dem Winkel w gegen die Normale EtPE, die Linie CC\ in P trifft, so geht derselbe nicht in der Ver-

Antwort. Die Kurve GCX sei die

Figur 159.

Bi

pv<p₂ Z-

Bs

[P₃

rCi

längerung von AP in den vom zweiten Stoff erfüllten Raum CPC, über, sondern wird in P gebrochen und in einer Richtung PB weiter geführt, die mit der Normalen EPEX einen Winkel u\ bildet, welcher mit w verbunden ist

sinw

B₃

B4

durch die Gleichung:

sin iv r

= n.

Hierbei stellt n eine konstante Zahl vor, nämlich den Brechungsexponenten zwischen den beiden die Räume CEXCX und CECX erfüllenden Stoffe.

Enthält der erste Raum Luft und der andere Wasser, so ist n = 1,33.

Enthält der erste Luft und der zweite

Erkl. 131. Kennt man den Brechungsexpo- Glas, SO ist n — 1,56. nenten zwischen den beiden Stoffen, welche

CCt trennt, so lässt sich der gebrochene Strahl zweite Glag so ist n _ 12 folgendermassen konstruieren:

Um den Fusspunkt P des einfallenden T ,    T * i + a

Strahles AP beschreibe man zwei Kreise mit K^llie VOm LlCilt.J den Halbmessern PH = 1 und PG = n. Die Verlängerung von AP schneide den kleineren augser diesem Strahl AP noch unend-Kreis m J, dann ziehe man JB parallel zur Normalen EPEX bis zum Schnitt B mit dem grossen Kreis, dann ist PB die Richtung des Linie CCX aus, welche unter verschie-gebrochenen Strahles.    denen Winkeln gegen die zugehörigen

Für n = - 1 geht die Brechung in Zurück- Normaien auffallend, auch unter werfung über, so dass die letztere nur als ein spezieller Fall der Brechung erscheint.

Enthält der erste Alkohol und der

(Siehe Kleyer, Lehrbuch der Physik,

Aber der leuchtende Punkt A schickt

lieh viele andere Lichtstrahlen gegen die

verschiedenen Winkeln gebrochen werden. Alle diese gebrochenen Strahlen PB, PXBX u. s. w. hüllen eine neue Kurve DDXD₂ • • ein; sie heisst die Brennlinie durch Brechung oder die diakaustische Kurve der gegebenen Kurve für den Lichtpunkt A und den Brechungsexponenten n. Wir wenden dies auf folgende zwei Fälle der Brennlinie durch Bre

chung an:

Aufgabe 399. Die Brennlinie durch Brechung für eine gerade Linie zu finden.

Auflösung. In Figur 160 sei A der leuchtende Punkt, O Y die gerade Trennungslinie von zwei durchsichtigen Stoffen von verschiedener Brechbarkeit und zwar liege A im optisch dünneren Stoff.

Ist A P ein Lichtstrahl, welcher die trennende Gerade in P trifft, so wird derselbe in P so gebrochen, dass:

sin iv

sin A PE sin BPEX

ist, wenn n den bekannten Brechungsexponenten zwischen den beiden Stoffen vorstellt. Da nach unserer Voraussetzung die Strahlen vom optisch dünneren Stoff in einen dichteren übergehen, ist hier n > 1. Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Einhüllende des Systems der Geraden PB aufzusuchen. Wir legen das Koordinatensystem derart, dass OY die Ordinatenachse und AO senkrecht O Y die Abscissenachse wird. Die Strecke AO bezeichnen wir mit d. Für

Figur 161.

A2

rZ-lü’i-.

A,

Figur 160.

\F

Erkl. 182. In Figur 160 ist n = 1,5 angenommen (was annähernd dem Uebergang von Luft in Glas entspricht).

2(7

A0 ist = d, 0C = ~.

O

Weil die Diakaustika DD^D^ ••• die Evolute der Hyperbel sein muss, so stehen die Rückverlängerungen der gebrochenen Strahlen sämtlich auf dem linken Hyperbelzweig senkrecht.

+Y

P,

P<

c*

'2

/Fi

-B

i/

Bo

+X

Gi

0 P = x hat der entfallende^ Strahl tfl P die Gleichung:

— d

Hierbei ist:

somit :

OP

1.

tgw = äö -1’

sin w —

daher :

und

y aż 4- *2’

sinw. = — n

— sinw —

n y d² ~J- x²

tgwx —

yn² d² -f- x² (n² — 1)

Die Gleichung des Strahles PB lautet nun : y — x — x tg icx

oder den vorhin gefundenen Wert eingesetzt:

XX

y n² d² -f- (n² — 1) x²

dies umgeformt, führt zur Gleichung des gebrochenenStrahles PB:

2) . . . *²a;² - {y — x)² [n²d² + (n² — \)x²] = 0.

Derselbe enthält den Parameter x; um die Einhüllende zu finden, müssen wir nun nach Frage 106 die Gl. 2) nach x differenzieren; dies ergibt:

3) . . . xx² — (n² — 1) x (y — x)² -I- [n² d² -|- (n² — 1) x²] (y — x) =■ 0.

n² d²y

n² — 1 ’

Zur Elimination von * aus Gl. 2) und 3) erweitern wir Gl. 3) mit * und erhalten :

4) . . . x²x² — (w² — 1) x² (y — x)² x \n² d² -j- (n² — 1) x²] (y — x) — 0.

Hiervon Gl. 2) subtrahiert, liefert:

(y — x)² • n² d²    x [n² d² -J- {n² — 1) x²] (y — x) — 0

oder:

(y — x) • n² d² -j- x [n² d² -(- (n² — 1) x²] = 0, woraus : somit ist:

5) . .

denn es ist ja n² > 1, also n²— 1 > 0.

Wir multiplizieren jetzt Gleichung 3) mit y — x und erhalten :

6) . . . xx² (y — x) — (n² — 1) x (y — x)³ -f- [n² d² -f- (n² — 1) x²] \y — x)² = 0.

Die Gleichung 2) dazu addiert ergibt: *

x x² (y — x) — (n² — 1 )x (y — x)⁸ -f- x² x² — 0, x²y — (n² — 1 ) x (y — x)³ = 0 ;

also :

- V n² — r Durch Addition von Gleichung 5) und 7) folgt als Gleichung der einhüllenden Kurve:

7) . . . y-

,y x²y    Y'/*n²d²y

y y «²-i V n²—i

Erki. 133. Legen wir durch die drei Punkte vereinfacht geht sie über in : A, P und At, wobei OAj = OA, einen Kreis und verlängern den gebrochenen Strahl B F bis zum Schnittpunkt Q mit dem Kreis und dem Schnittpunkt R mit der Verlängerung von AtA, ₀₍jer in; dann ist, wenn AQ und Ai ÇA₂ gezogen wird,

QR die Halbierungslinie des Winkels AQA₂, denn:

n² d²

n²d²y n² — 1

und

<£RQA₂ — PQA^ = PAA₁ = PA, A

n² — 1

d²

<£RQA = QAP-\- QPA

— QA,P-\- QA,A = PA, A.

oder in:

Nach einem bekannten Satz der Geometrie über das Verhältnis der Abschnitte, welche die Halbierungslinie eines Dreieckswinkels auf der Gegenseite erzeugt, verhält sich nun:

A, Q : A Q — R A, : R A ;

8) . . .

= l.

daher :

oder:

A, Q — AQ: AQ — AA, : RA

]/n² — 1

Hiermit ist für die Diakaustika eine Gleichung gefunden, welche mit der Evolutengleichung einer Hyperbel in Aufgabe 360 übereinstimmt. Hat letztere die Halbachsen aus b, also die Gleichung:

daher :

A, Q — AQ : AA, = AQ : RA

—    sin ARP : sin RQA

—    sin BP E,: sin PA A,

—    sinBPE, :sinAPE

—    sin io, : sinw — 1 : n,

x²

y²

= 1,

so ist die Gleichung ihrer Evolute:

«²

b²

A,Q — AQ —

— AA, = --2 d) n    n

(siehe Aufgabe 360).

17

Haas, Differentialrechnung. III. Teil.

. Die Gleichung 8) wird mit der Gleich. 9)

d. h. die Differenz der Entfernungen des Punktes

Q von A und Ax hat den konstanten Wert — ; identisch für a² 4- b² = d² und a = —.

n    i    n

der geometrische Ort von Q ist demnach die ^un drückt aber    b- die Entfernung

Hyperbel mit den Brennpunkten A und A, nnd des Brennpunktes vom Mittelpunkt der Ellipse der halben grossen Achse = —. Da BPR die aus, diese ist hier = d, d. h. = AO; daher

Mediane des Winkels AQA,’ist, so muss sie \st/ ein Brennpunkt und die kalbe grosse die Normale der Hyperbel in Q sein und die -^cise dei Hyperbel hat die Lange.

Evolute der letzteren berühren. Hiermit ist    pp_    _ d_

geometrisch bewiesen, dass die Dia-    ¹ n '

kaustika die Evolute einer Hyperbel mit den Brennpunkten A, A{ und der

halben reellen Achse

AO = d.

womit die Hyperbel und somit auch ihre ^    Evolute gezeichnet werden kann. Unser

— ist für Resultat lautet jetzt: Trennt eine gerade Linie zwei optisch verschiedene Stoffe und gehen von einem leuchtenden Punkt im dünnem Stoff Lichstrahlen aus, so ergeben diese nach der Brechung eine diakaustische Kurve, welche die Evolute einer Hyperbel ist, von welcher die trennende Gerade die imaginäre Achse und der leuchtende Punkt ein Brennpunkt ist. Ferner ist die halbe reelle Achse gleich der Entfernung des leuchtenden Punktes von der Trennungsgeraden, dividiert durch den Brechungs exp on ente n.

Wird der leuchtende Punkt A statt in dem dünneren im dichteren Stoff gewählt, so bleibt die ganze Entwicklung genau die gleiche, mit der einzigen Aenderung,

dass — statt n zu setzen ist. Die Glei-

n

chung der Diakaustika stimmt dann mit jener der Evolute einer Ellipse überein mit dem Brennpunkt A und der grossen Halbachse a — nd. Die Ausführung bleibt dem Leser überlassen.

Der

Winkel A PE — w trifft, und stellt PB den gebrochenen Strahl vor mit dem Brechungs-

sinw

so muss

sin u\

Aufgabe 400. Die Brennlinie durch Brechung für einen Kreis zu finden.

Erkl. 184. Sind A und F zwei feste Punkte in der Entfernung A F = c, bedeuten ferner n und «j zwei konstante Zahlen, p, und p die Entfernungen eines Punktes iß der Ebene von den vorigen Punkten A und F, und genügen diese Grössen der Bedingung rap -(- w, p, = c, so ist der geometrische Ort von dem Punkt iß eine Kurve, welche nach Descartes, der dieselbe zuerst untersucht hat, das Oval von Descartes oder das Cartesianische Oval genannt wird. Je nachdem n'^>n₁ oder n nl, nimmt die Kurve verschiedene Formen an.

Figur 163 liegt die Gleichung:

2e + 4-e. = e

Auflösung. In Figur 162 sei A der leuchtende Punkt; ferner sei der Ki-eis um 0 mit dem Halbmesser OP = r die Trennungslinie von zwei durchsichtigen Stoffen verschiedener Brechbarkeit und zwar liege der leuchtende Punkt A wieder im optisch dünneren Stoff. Ist AP ein Lichtstrahl, der den lichtbrechenden Kreis in P unter dem winkel 0 PB = io

sein, wenn n den Brechungsexponenten der beiden Stoffe vorstellt ; hier ist n > 1 wegen des Uebergangs vom dünneren zum dichteren Stoff. — Um die einhüllende Kurve der ge-

Figur 162.

/?

'<9

?*

\'A

71

Jr.

7V>

CO

/I «o

iB

y?i

h'

bd

>x>

p-i/ V |// ✓

?

r 17

B,7

'16

?

'16

If

f 10

15

y/

.1

zu Grunde. Sie lässt sich leicht konstruieren brochenen Strahlen PB zu erhalten, schlagen durch die aus der vorigen Gleichung gezogenen Werte:

¹²

Q = — — !>71 Q> = ~ = 7,71

wir folgenden geometrischen Weg ein.

1,8

1,9

2,1

7,2

6,6

5,4

0 = 2,2

2,3

2,4

Wir ziehen das Mittellot von A P und die Kreistangente in P, aus dem Schnittpunkt M beider Geraden beschreiben wir den durch A und P gehenden Kreis, welcher AO in F und die Verlängerung des gebrochenen Strahles PB in 5p schneidet. Da OP den neuen Kreis in P berührt, ist:

Qi — 4,8

4,2

3,6.

also haben wir:

OP2 = AO-FO;

Die Punkte A und F heissen die Brennpunkte des Ovals; von diesen liegt bei unserer obigen Annahme A ausserhalb der Kurve, während F von ihr umschlossen wird. Bezieht man die letztere auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, so erscheint sie als eine Kurve vierten Grades, welche in den unendlich fernen Kreispunkten zwei Spitzen hat.

Figur 163.

OP2 _

AO d ’ wenn AO — d gesetzt wird. Aus dem Wert:

R2

ï) ... f° —

ersehen wir, dass der Punkt F auf A 0 eine feste Lage hat, die von der Wahl des Punktes P unabhängig ist. Aus der Aelmlichkeit der Dreiecke AOP und FOP folgt:

FO =

somit ist:

AP : F P — A 0 : OP ;

II) . .

AP _ d_ * FP ~ R

yf

oder von konstantem Wert.

Nach der obigen Annahme ist der Einfallswinkel APE = w = dem Peripheriewinkel A PP (nach dem Satz über den Winkel zwischen Tangente und Sehne) ; daraus folgt, dass im Kreisviereck AFPty:

<£ AißP = 180° — AFP = 180° — ufl ist. Gerade so findet man:

Erkl. 135. Die Normale ißB des Ovals in iß teilt den Winkel AißP in zwei Teile AißP und PißP derart, dass: sin A iß B : sin Piß B — n : w, ist.

Diesen Satz beweisen wir mit der Methode der unendlich kleinen Grössen (s. Differentialrechnung II. Teil, Seite 173).

<£ißAP~ iß PE — OPB — wv Im Dreieck A P liefert der Sinussatz :

AP

Piß ~ sin iß A P

sin AP iß _ sin (180° — w)

sin u\

sinw

Hiernach hat auch AP _

* Piß ~ n

III) . .

Der Kurvenpunkt iß, liege unendlich nahe bei iß, so dass iß iß, eine unendlich kleine Sehne konstanten Wert, der Kurve ist; die Gerade Tißißj kann dann als Tangente im Punkt iß angesehen werden und das Lot ißP auf iß iß, als die zugehörige Normale. Ferner unterscheidet sich Piß A nur um eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung vom Winkel Piß, A.

sinwx

— n.

Die Division von Gl. III) durch Gl. II) ergibt weiter:

IV) . .

PP _ nR_

'    d '

Ein bekannter geometrischer Satz über Da iß und iß, auf dem Oval liegen, muss: das Kreisviereck A PPSß liefert die Gleichung: «Piß, -(-»,-Aißj = «Piß + MjAiß

sein oder:

oder:

AP*Piß = PP.ASß-f- AF-$P

«x (A iß, — A iß) = n (Piß - Piß,).

Machen wir jetzt:

AR = A iß und PP, = Piß,,

oder:

A P* Piß — PP* A iß = AP*ißP

V) . .

AP

PP

so wird:

‘ Piß‘FP ißP'^ AF‘

somit auch:

n, • iß, P == n iß P, ;

Setzen wir nun:

w,*

~~ — spspi •

5ß5ß,

Wegen der unendlich kleinen Kreisbogen und Seiten dürfen wir die Dreiecke iß iß, P und iß iß, P, als rechtwinklig betrachten und setzen:

ißP,

iß,P

iß iß,

= cos iß iß, A und

so dass:

iß iß,

= COS iß, iß P,

P2

(Z2 — P2

d ~~ d

sowie Gl. III) und IV) in Gl. V) ein, so folgt :

.72_ 7?2

if-.Aiß— d    d

n-Piß

nP

«P

Für —T- = nx, P$ß = q , A $ =

ist.

w, cos iß iß, A = n cos iß, iß P

= c geht diese Gleichung über in : ng — n, ç, — c.

Statt des Winkels ißißjA darf Winkel TP A genommen werden; daher haben wir:

nxcosTPA — ncosißjiß.F

oder:

nx cos (90° — AtyG) = n cos (90° — Eiß B). Hieraus erhalten wir jetzt:

nx sin A iß G — n sin FSß B

oder:

oder:

smAißG : sinFVßB = n : nx, sin A 5p B : sin FS$B = n :nx.

Da die Punkte A und F fest sind, so gibt uns die vorige Gleichung den geometrischen Ort des Punktes an. Die letztere stellt aber ein Cartesianisches Oval vor mit den Brennpunkten F und A, das hiernach der geometrische Ort des Punktes ist (siehe Erkl. 134). Um die Lage des gebrochenen Strahles tißPB bezüglich der gefundenen Kurve zu ermitteln, beachten wir, dass:

Erkl. 136. Wählt man wie in Figur 162: A 0 = d = 8 cm

und den Halbmesser des brechenden Kreises: R = 3 cm,

und

<£AißP = 1800 — AFP

so wird:

<£F?ßP= FAP ist; nun wenden wir auf das Dreieck A PF den Sinussatz an und erhalten:

55

AF= c =    = 6,89.

sin A iß P : sin FSß P =■ sin AFP : sin FA P

AP FP

AP. FI pçp . pçp n . nx.

Der Strahl $ PB teilt demnach den Winkel zwischen den Brennstrahlen A$ß und i^jS in zwei Teile, deren Sinus im Verhältnis n : nx stehen; daraus folgern wir nach Erkl. 135, dass $ PB eine Normale der Kurve ist. Die gebrochenen Strahlen PB stehen hiernach auf dem Oval senkrecht und hüllen eine Kurve BB₃ • • • BlbBxl • • • ein, welche die 24(5 — 9^ = 110.    Evolute des Ovals $ß₀$ß-*-$ß₁₈ sein muss.

Die Konstruktion des Ovals macht sich dann Unser Resultat lautet also: Die Brennsehr einfach durch die zusammengehörigen Werte: linie für d_ie Brechung am Kreise,

welche von einem Punkt ausgehen, ist die Evolute eines Cartesiani-schen Ovals, das den einen Brennpunkt im leuchtenden Punkt und den andern auf der Zentralen im

Für den Brechungsexponenten n wurde 1,5 angenommen; dies ergab:

sinw

sin wx

nR

d 16

und als Gleichung des Ovals:

oder:

55

"2 e-l6 “T

5,25    5,3

5,4

5,85    5,8

Q = 5,2

qx — 1,65    1,77    1,90    2,19    2,44    3,25

<? = 5,2

qx = 1,65    3,77    6,44    9,11    11,77 14,44

<? = 5,2 qx — 1,65    17,11 17,91.

Der Leser möge die Form dieses Ovals mit jenem der Figur 163 vergleichen.

Seine Evolute hat vier Spitzen in Ba, B₉, Bxh und Bxa, von welchen die letztere ausserhalb des Blattes fällt.

Die Spitzen Bs und BXb liegen auf den Randstrahlen APS und APXb, welche den Kreis berühren. Bei der vorliegenden Aufgabe kommen nur die zwei Aeste:

6,0

7,0

8,0

9,0

10

11

11,3

Abstand -j- vom Kreismittelpunkt

hat.

in Betracht.

B₀ B R₂ B& und BXb Bx8 Bx7 • • • B₀

Erkl. 137. Da in Figur 163 nach Erkl. 135 : sin ASlßG: sinBS$F = n:nx, sin A iß G sinBtyF

Einfallswinkel des Strahls AP und B?ßF der Brechungswinkel desselben ist, wenn man das Oval als brechende Kurve betrachtet, so folgt, dass der von A ausgehende Strahl A iß nach der Brechung durch den Punkt F geht. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Normalen

d. h.

= konstant,    aber der

wird nun dies auch für jeden anderen von A aus auf die Kurve fallenden Strahl zutreffen. Wir sehen also, dass alle von A ausgehenden Strahlen nach der Brechung durch das Oval im andern Brennpunkt F wieder Zusammenkommen.

Erkl. 138. Um das Studium der Brennlinien haben sich ausser Descartes verdient gemacht: Huyghens, Jakob und Johann Bernoulli, Malus, Quetelet, Laurent, Cayley, Glaisher u. a.

Figur 164.

r,

j₃

Jl

Po

Frage 124. Bestehen zwischen einer Kurve und der zugehörigen Diakaustika eines gegebenen Punktes allgemeine Beziehungen ?

Antwort. In Figur 164 sei 0 der leuchtende Punkt und P₀ PPX P₂ die brechende Kurve; OP₀ sei der senkrecht auffallende Strahl, welcher ohne Ablenkung nach rechts weiter geht. Ferner bedeute OP einen beliebigen Strahl mit dem Einfallswinkel w und dem Brechungswinkel wx gegen die Kurvennormale in P, so dass PJ die Richtung des gebrochenen Strahles und hierbei sinw = nsinwx ist mit n als Brechungsexponent zwischen den beiden durch die Kurve P₀PP₁P2 getrennten Stoffe.

Weiter nehmen wir einen zu dem Strahl OP unendlich nahen Strahl OPx, der nach der Brechung in der Richtung P₁J₁ weiter geht und PJ im Punkt Jt trifft. Fällen wir PHA_OPx und PG_LJlP₁, so können wir wegen der

unendlich kleinen Strecken PP, _L zur Normalen PN und PH_L OPO-, ansehen ; dann wird:

<£PPP, = Ö,PA = IV und <£GPP, = NPJt = w₁, daher :

P, fl = PP, • sinw und P₁G — PP, sin u\. Nehmen wir hierzu OP=OH und J,P =JXG, so folgt:

J₁P₁ = P— PP₁-sinw₁

OP, = OP-j- PP, -sinu',

— OP, = — 0P + — PP.-sinw,    J.P, = J. P— — PP.-sinur,

n    n    n    ¹    n

Die Addition liefert:

— OP, + j, p, = — 0P+ J, P.

»    liii    n

Macht man nun in der Rückverlänge-rung von PJl die Strecke P$ — ^ OP und ebenso P,^, = ~OP,, so folgt: ^Ą + ^P^spP + JiP;

d. h. es wird:

und die gebrochenen Strahlen PJ und P, J, sind normal zu dem geometrischen Ort von $. Der letztere ist aber die Einhüllende der Kreise aus den Mittelpunkten P, P, u. s. w. mit den Halbmessern :

— OP, P,9ß, — — OP, u. s. w. n    n

Hieraus folgt der

Pp =

Satz. Beschreibt man nun die Punkte, in welchen die vom leuchtenden Punkt ausgehenden Strahlen die brechende Linie treffen, Kreise, deren Halbmesser zu der Entfernung vom leuchtenden Punkt im Verhältnis der Brechungsexponenten stehen, so ist die Einhüllende dieser Kreisschar die Evolvente der Dia-kaustika.

Diesen Satz und jenen von Seite 254 verdankt man Quetelet. (Siehe Nouveaux Mémoires de l’Academie de Bruxelles 1826.)

Uebungsbeispiele.

Auflösung. Alle Gerade s gehen durch

Aufgabe 401. Gegeben ist der Kreis x² -j- y² = r² und die Gerade g mit der Gleichung x = c. Von einem Punkt P der letzteren sind die beiden Tangenten an den Kreis gelegt und die Verbindungslinie s der einen Punkt auf der Abscissenachse in der zwei Berührungspunkte gezogen worden. Es „ x„    r² ,r.xx .    , x

soll die Einhüllende von s gefunden werden, Entfernung x₀ — vom Mittelpunkt.

(Vergl. Aufgabe 170.)

wenn sich P auf g bewegt.

Aufgabe 403. Ein rechter Winkel bewegt sich so, dass der eine Schenkel durch einen festen Punkt F geht und der Scheitel an einer festen Geraden g hingleitet; man sucht die Einhüllende des andern Schenkels. ^ -Achse und das Lot 01 von F auf g zur

Auflösung. Wird die feste Gerade g zur

Abscissenachse, so wird für OF = ~ die

Gleichung der Einhüllenden:

y² — 2 px,

d. h. sie ist eine Parabel mit F als Brennpunkt.

Aufgabe 404. Um einen festen Punkt I dreht sich eine Gerade FG und schneidet

eine feste Gerade g in G. Man soll die

.....    ,    ,    ^    ₃    _ rr „ ,    . . Auflösung. Wahl des Koordinatensystems

OF — p:

x² H⁻ ÿ² = (x sin <P H“ y cos V — P sin t)²* Die Einhüllende ist wieder eine Parabel mit F als Brennpunkt.

Einhüllende der Geraden G H finden) welche w{e VOrhin. Gleichung der Einhüllenden für mit der drehenden Geraden F G den konstanten Winkel FGH — cp bildet.

Aufgabe 405. Gegeben sind zwei feste Punkte Fl F₂ in der Entfernung:

OP\ = OF₂ — c.

Auflösung. F₁OF₂ sei Abscissenachse,

y²

Aufgabe 402. Die nämliche Aufgabe für die Ellipse:

——4--^--1

«2 “ b2

und die Gerade g mit der Gleichung x = c.

Auflösung. Ebenso :

«2

x° ⁼ T’

(Yergl. Aufgabe 172.)

Bestimme die Einhüllende einer geraden Linie g, für welche das Produkt der senk- das Lot im Halbierungspunkt 0 Ordinaten-rechten Abstände Fx Gx und F₂ G₂ der Punkte achse, dann lautet die Gleichung der Ein-1₁ und F₂ von g den konstanten Wert d- hat. hüllenden von g :

d² -j- c²

W~

Aufgabe 406. Bestimme die Einhüllende einer geraden Linie, für welche die Summe der senkrechten Abstände von zwei festen Punkten konstant ist.

Auflösung. Fx und F₂ seien wieder die gegebenen Punkte im Abstand Fx F₂ — 2 c ; g sei eine Lage der Geraden und Ft Gx und F₂G₂ die Lote auf g von Fl und Fs‘, Fx G² + F₂ G² soll = §2 werden.

Wahl der Achsen wie vorhin. Gleichung der Einhüllenden:

2 »2

2 y²

s² —2c²

s²

Auflösung. Eine Parabel.

Aufgabe 407. Bestimme die Einhüllende aus der Differenz der Quadrate dieser senkrechten Abstände.

Aufgabe 408. Eine Gerade g bewegt sich zwischen zwei sich schneidenden Geraden ?! und l₂ so, dass das von ihr abge-schnittene Dreieck einen konstanten Inhalt k² Auflösung. Wählt man und l,₂ zu hat. Welche Kurve wird von g eingehüllt? Koordinatenachsen und bezeichnet <£(?!, ?₂)

mit X, so heisst die Gleichung der Einhüllenden :

xy —

2 sin l

sie ist also eine Hyperbel.

2 a;²

Aufgabe 409. In der Ellipse mit der Gleichung :

x² . y-

&²

sind zwei konjugierte Durchmesser gezogen und deren Endpunkte durch eine Sehne s verbunden worden. Welche Kurve hüllt s ein?

Auflösung. Gleichung der Einhüllenden : »£ = i.

Aufgabe 410. Man bestimme die Einhüllende der Berührungssehnen aller derjenigen Tangentenpaare an die Ellipse:

x² y² _

«2 ' &2 “ A’

welche aufeinander senkrecht stehen.

Auflösung. Gleichung der Einhüllenden : a² + fc² . , o² + b2 a⁴

Diese Kurve ist eine Ellipse, welche mit der gegebenen die beiden Brennpunkte gemeinschaftlich hat; beide sind konfokal.

Aufgabe 411. Ein rechter Winkel werde so verschoben, dass der eine Schenkel durch einen festen Punkt geht und der Scheitel einen gegebenen Kreis durchläuft. Man sucht die Einhüllende des andern Schenkels.

Auflösung. Der Kreis habe den Halbmesser r, der feste Punkt heisse F und habe vom Kreismittelpunkt 0 den Abstand OF= c, das Koordinatensystem werde durch 0 als Ursprung und OF als Abscissenachse gelegt, dann ist die Gleichung der Einhüllenden :

(r- — e²) x² -\-r²y² — r² (r² — c²) ; die Einhüllende ist also eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem der feste Punkt innerhalb oder ausserhalb des Kreises liegt.

27

Aufgabe 412. Ein rechter Winkel bewegt sich so, dass der eine Schenkel durch den Scheitel einer Parabel geht, während die Spitze des rechten Winkels auf dem Scheitel fortrückt. Man sucht die Einhüllende des andern Schenkels.

Auflösung. Heisst die Gleichung der Parabel :

y² = 2 p x,

so ist die Gleichung der Einhüllenden:

— py2— (X — 2p)S.

Die Kurve ist also eine Neilsche Parabel. (Siehe Aufgabe 388 und Figur 143).

Aufgabe 413. Von einem Punkt der Ellipse :

+ — = 1 m² ' n²

Auflösung.

n²y² _ ~~b^~ -

werden Tangentenpaare an die Ellipse:

- —1--—— —- 1

«2 T    62    - ¹

gezogen. Es wird die Einhüllende der Be-rührungssehnen verlangt.

Aufgabe 414. Verlangt die Einhüllende einer Sehne eines Kegelschnittes, welche am Brennpunkt einen konstanten Winkel spannt.

Auflösung. Die Einhüllende ist ein Kegelschnitt, welcher mit dem gegebenen den Brennpunkt und die Direktrix gemein hat.

Aufgabe 415. Der Mittelpunkt eines veränderlichen Kreises bewegt sich auf des Abscissenachse so, dass das Quadrat des Halbmessers gleich der zugehörigen Abscisse Auflösung. Die Einhüllende ist die x₀ des Mittelpunktes, multipliziert mit einer Parabel:

Konstanten c ist. Berechne die Gleichung    _    , 1

der Einhüllenden dieser Kreisschar.    y — cx-j- — c .

(x — o)²    y² = b²

y² — Am (x -f- m).

Aufgabe 416. Bestimme die Einhüllende der Kreisschar, welche durch die Gleichung :

mit der Bedingung:

b² — Ama

Auflösung. Die Einhüllende ist die Parabel :

gegeben ist.

gegeben ist.

Aufgabe 417. Bestimme die Einhüllende der Parabelschar, welche durch die Gleichung :

qr 2

y — ax — (1 + «²) —

Auflösung. Man findet :

x² — Ac (c — y),

d. h. eine Parabel; sie ist die Einhüllende der Parabeln, welche als Flugbahnen eines Geschosses auftreten, das mit konstanter Geschwindigkeit, aber unter veränderlicher Neigung gegen die horizontale Ebene abgeschossen wird.

Aufgabe 418. Gesucht wird die Einhüllende der konzentrischen Ellipsen, deren Achsen die nämlichen Richtungen haben und für welche die Summe der Achsen konstant ist, nämlich = k.

Auflösung. Es ergibt sich:

_2_ 2 _2_ x³ -\-ys — k³.

Die Einhüllende ist somit eine Astroide. (Siehe Aufgabe 383 und Figur 134.)

Aufgabe 419. Gesucht wird die Einhüllende der konzentrischen Ellipsen, deren Achsen die nämliche Richtung haben und die gleiche Fläche nc² besitzen.

Auflösung. Die Einhüllende hat die Gleichung :

Ax²y² — c⁴.

Aufgabe 421. Die Einhüllende der logarithmischen Spiralen zu finden, deren Gleichung :

Auflösung. Die Einhüllende ist die Gerade : y = ex.

Auflösung.

(x² -)- y²)² -\-b²y² — a² x² — 0.

Aufgabe 420. Gesucht wird die Einhüllende einer Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Mittelpunkt sich auf einer zweiten kongruenten und parallelen Ellipse:

x‘l i y'¹ _ -, a2 12 — l

Auflösung. Die Einhüllende ist die Ellipse: y,‘    =i.

x²

(2 a)² — (2b)²

bewegt.

y — mem

ist, wenn m als veränderlicher Parameter betrachtet wird.

Aufgabe 422. Bestimme die Gleichung der Fusspunktkurve der Hyperbel:

x²__y^_ _ ₁

a²    b² —

in Bezug auf den Ursprung.

(-£+£}

Aufgabe 423. Bestimme die Fusspunktkurve der Kardioide:

r — 2 a (1 — cos (p).

Auflösung. Die Gleichung der gesuchten Kurve in Polarkoordinaten r‘ und cp⁴ wird:

r‘ — 4 asm³

Aufgabe 424. Bestimme die Gleichung der Parallelkurve der Parabel:

y = 4 mx

im Abstand r.

Auflösung.

r⁶ — (3y² -j- x² 8mx — 8 m²) r4 -f- [3yi -)- y² (2a;² — 2mx 20m²)

-J- 8ma;³ -J- 8m²x² — 32m³x -f- 16m⁴] r2 — (ÿ² — 4ma;)² [y² -(x — m)²] = 0.

Aufgabe 425. Bestimme die Gleichung der Parallelknrve der Astroide:

im Abstand k.

x³ -f-y³ =: a³

Auflösung.

[3 (x² -\-y² — a²) — 4Â;²]

[27 axy — 9 h (x² 4- y²) — 18a²Ä; + 8A;³]² = 0.

Auflösung.

x‘ — 2at — (2asint + k) cost, y‘ — (2 a sin t + k) sin t.

Aufgabe 426. Bestimme die Gleichung der Parallelkurve der Cykloide:

x = a (t — sin t) y — a( 1 — cos t)

m Abstand k.

Verzeichnis der wichtigsten Formeln.

Tangentengleichungen.

Kurvengleichung y = f(x) in Cartesischen Koordinaten ; x, y die Koordinaten des Berührungspunktes : Y — y — f‘ (x) (X — x). (Seite 2.)

Kurvengleichung F (#, y) — O ; x, y Koordinaten des Berührungspunktes :    *

ÔF(Y—y) = 0. (Seite 7.)

dF

Kurvengleichungen x = q> (t) und y = rp(t) :

(t)

<f‘ (0

Kurvengleichung in homogenen Koordinaten ; f (x₁, x₂, x₃) = 0 ; x₁, x₂, xs Koordinaten des Berührungsp unkt es :

Y-y =

(X—x). (Seite 10.)

8f

*2-t

df

ßx₃

X₃ = 0. (Seite 31.)

d x%

Kurvengleichung in Polarkoordinaten y. der Winkel zwischen Radiusvektor und Tangente :

tgfi =

rdS

cos u =

dr

l/(Zr²-j-r²(Z@²

dr²-\- r²d0ł

Normalengleichung.

Kurvengleichung y — f{x)\ Koordinaten des Kurvenpunktes x, y :

X - rr -j- f (er) ( Y — y) == 0. (Seite 48.) Kurvengleichung F (x, y) — 0 :

3 7?    3 F

(X-x)-jfc(Y-y) = 0. (Seite 48.)

Kurvengleichungen x = cp (t), y — i/> (t) :

(X—x)(f‘(t)-\-(Y—y)xp‘(t) = 0. (Seite 48.)

Länge der Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen. In rechtwinkligen Koordinaten:

Tangente t =

(Seite 18.)

dx

Suhtangente tx=. y * —— cl y

Normale n — y

y

Suhnormale nx — —~

V'+W-

dy

(Seite 57.)

dx

Länge der Polartangente, Polarnormalen, Polarsubtangente und Polarsubnormalen.

Kurvengleichung r — f{&):

Polartangente t* =

Polarnormale n* =

Polarsubtangente t* — r-

d@

dr '

Polarsuhnormale nl —    . (Seite 66.)

dr

Polarengleichung.

Kurvengleichung F (x, y) = 0 ; Koordinaten des Pols Xfl, F₀ :

(£*■+ SF

Für F(x, y) EE un + un_x + un_₂ -)-----f ut + u₀ = 0 :

dF    d F

-JJ xoJr-ßyYo + un-i + 2ttn-2 + 3un-3-i-----h (« — !) ui + n uo = (Seite 90.)

Kurvengleichung /(a^, a?₂, a;₃) = 0; Koordinaten des Pols Xx*, X₂*, X₃*:

X* + Ąf- X* = 0. (Seite 94.) oxs

dF

dF

dx

df

*i*4

dy

Sy

r)

= 0.

df

ö a;₂

Krümmungshalbmesser und Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes.

Kurvengleichung y = /(a:):

fl+ /”(*)»] ²

r r(^)[i+r(^)²]

i+r(*)²

f“(x)

f“(x)

•. (Seite 166.)

Kurvengleichung F(x, y) = 0:

<? =

d²F

dx'²

•(f)-

KIMM

d²F BF dF_ d²F dxdy dx dy dy²

<f)²

l—X

i+(f)²

d²y dx²

d²y

da;²

. (Seite 166.)

Kurvengleichungen x = (p (t), y =

3

[»'(<)² + d>'(<)²]T

v'(0*^(0 — y"(0-V,,(0 ’

I = <p (*)

xp‘ (t) [(/)' (*)² -f ip¹ (Q²]

Kurvengleichung r —    (©) ;

y (0 [y' (*)² +    (O²]

v' (9 V (9 — ¥>" (0 V' (9 ‘

(Seite 169.)

Kf)T

"+■(£)’

d²r

— r •-

d©²

, J = rcosO

4+(f )1    + »■•" ■e-(f )1

r] — r sin © -f

’•s+2(f)"⁻’'

[,>+(f )'] [->•»<"e + ««e(~)]

- + *(w)--

d²r

d©²

d² r

d©²

Formeln von Euler.

(Seite 170.)

Ist t« = /"(^n »2) ^3)» so is^:

da;x ¹ ' da:₂ ² ' da;3 d²f

df

xs = «t« = Mj f {xx, a;₂, <r₈),

d²/

dxj²

a;i²4-2

d²/¹

da;! da;₂

da;₂²

V4-2

d²/¹

d²f

dxx dxs

*^2 ^3 4

d²f

d«r₃²

•a;₃²

da;₂ da; s

— n(n — 1) u — n (n — 1) f(xj, a;₂, xs). (Seite 25.)

Reihenfolge zum Zeichnen einer Sammlung höherer Kurven.

(Siehe Vorwort.)

I. Gruppe : Kreiskuryen.

1)    Figur 139. Fusspunktkurve des Kreises (Pascalsche Schnecke):

(x² -j- y² — Rx)² — R² (x² -}- y²) = 0 oder r — a cos 0 4~ E,

Pol ausserhalb, also a^>E.

2)    Figur 140. Fusspunktkurve des Kreises (Pascalsche Schnecke):

(a;² -f- y² — Ex)² — E² (x² -f- y²) — 0 oder r = a cos 0 + R,

Pol innerhalb, also a<^R.

3)    Figur 157. Evolute der Kurve 1) (Katakaustika für den Kreis), leuchtender Punkt

ausserhalb.

4)    Figur 156. Katakaustika für den Kreis, leuchtender Punkt auf dem Umfang (Kardioide),

siehe Nro. 11).

5)    Figur 152. Katakaustika für den Kreis, leuchtender Punkt im Unendlichen (Epicykloide):

p

— (3 cos 0 — cos 2 0),

T>

y — — (3 sin 0 — sin 3 0).

II. Gruppe : Rollkurven.

6)    Figur 13.

7)    Figur 34.

8)    Figur 34.    Verschlungene Cykloide : x = rt — b sin t und y — r — bcost für b > r.

9)    Figur 107. Evolute der Cykloide, wieder eine Cykloide.

Epicykloide : x = (a -J- r) cos —

y — {a-j- r) sin — t — a sin 1 -f-

11) Figur 16. Epicykloide (Kardioide) für a — r oder:

y⁴ — 2 (2r² -f- 2 rx — x²)y² — 4 rx² -|- x⁴ = 0.

Gedehnte Epicykloide : x — (a-f- r) cos —— b (cos    -f-t^,

y = (a-j-r) sin — b sin    ^

13) Figur 36. Verschlungene Epicykloide : x = (a    r) cos —— b ^cos -f- tj,

Cykloide : x = r (t — sin t) und y — r (1 — cos t).

Gedehnte Cykloide: x — rt—bsint und y — r—bcost für 5<^r.

10) Figur 15.

12) Figur 36.

t — a cos

und

für a =

für b <C_a.

— b sin

y — (« -|- r) sin-

14)    Figur 123. Evolute der Epicykloide, wieder eine Epicykloide.

15)    Figur 124. Evolute der Kardioide, wieder eine Kardioide.

Hypocykloide : x = (r — a) cos    -j- a cos (t--und

= (r — a) sin    + a sin (t--

V

Hypocykloide: (Astroide) für a = —.

für &>a.

16) Figur 18.

17) Figur 19.

18) Figur 134. Astroide als Enveloppe :

(v)³+©

= 1.

19)^ Figur 37. Gedehnte Hypocykloide : x

,    . at .    ( at\

= (r — a) cos ——|- o cos I < —---I,

at

b sin

(<~v)fSr b<a■

y — (r — a) sin —

20) Figur 87. Verschlungene Hypocykloide: x = (r— a) cos ~~ -f- b cos Çt--—

y — (r — a) sin --b sin (t--für b^>a.

21) Figur 125. Evolute der Astroide, wieder eine Astroide.

III. Gruppe : Kegelschnittkurven.

22) Figur 105. Parabel y² = 2px mit Oskulationskreis im Scheitel und in einem Kurvenpunkt,

(x— £>)³. [Siehe Nro. 33)].

ferner mit Evoluten(Neilsche Parabel): y² =

21p

23) Figur 143. Parabel y² = 2px mit Fusspunktkurve (Cissoide):

(— x)³ = y²    --'(— x) J. [Siehe Nro. 40)].

*² il². _

^ b²

25)    Figur 118. Parallelkurven der Ellipse.

26)    Figur 144. Fusspunktkurve der Ellipse    = 1 mit Gl. (a?²-|-y²)² = a²x² -j- b²y².

26 a). Fig. 160. Ellipse mit Evoluten als Diakaustika einer Geraden und eines leuchtenden Punktes für n ]> 1.

27)    Figur 114. Hyperbel -^-4--fr- = 1 mit Evoluten

a*    o*

28)    Figur 145. Gleichseitige Hyperbel x² — y² = a² mit Fusspunktkurve (Lemniscate) :

(x² -}- y²)² — a² (x² — y²) = 0.

29)    Figur 160. Hyperbel mit Evoluten als Diakaustika einer Geraden und eines leuchtenden

Punktes für n <] 1.

24) Figur 106. Ellipse

1 mit Evolute

1 für e = Ya² — b².

IV. Groppe: Kurven höherer Grade.

30)    Figur 66. Wendeparabel y = x³.

31)    Figur 67. Flachparabel y =

32)    Figur 68. Wendeflachparabel y    x⁵ u. s. w.

32 a) Figur 31 im II. Band, y — x³ mit Differentialkurven.

33)    Figur 30. Neilsche Parabel y² = x³.

34)    Figur 86. Spitzparabel y³ —

35)    Figur 69. Wendespitzparabel y³ — 5 u. s. w.

36)    Figur 49. Binomische Hyperbel x²y — 1.

37)    Figur 4. Binomische Hyperbel x²y³ — 1 u. s. w.

38)    Figur 2. Parabel dritten Grades y — x³-\-2x²4x— 4.

39)    Figur 26. Blatt des Descartes x³ Ą- y³ — 3axy = 0.

40)    Figur 11. Cissoide x³ — y²(2a— x).

41)    Figur 70. Kurve x²y -\-x -\-y—1 = 0 mit drei Wendepunkten.

42)    Figur    54.    Kurve    x²y    -|- y² — x = 0 mit beiden Polaren.

43)    Figur    78.    Kurve    x³ — x² — y² — 0 mit isoliertem Punkt.

44)    Figur    52.    Kurve    x² y    -J- xy² — a³ — 0 mit zwei Asymptoten.

45)    Figur    19.    Kurve    x²y    — 4y—1 =0 mit drei Asymptoten.

46)    Figur 45. Konchoide y* — 2 by³    (x² -}- b² — a²) y — 2 bx²y -f-b²x² =0 oder :

sin ©

47)    Figur    24.    Lemniscate (x² -j- y²)²— 2 c² (x²— y²) = 0 oder r² = a²cos29.

4C-

51)    Figur 162. Evolute des Ovals von Descartes als Diakaustika des Kreises.

52)    Figur 82. Kurve x±-\-x²y²— 6x²y-\-y² = 0 mit Selbstberührung.

53)    Figur    83.    Kurve x⁵ — x± — 2x²y — y² —    0 mit Schnabelspitze.

V. Gruppe: Trigonometrische Kurven.

54)    Figur 25 im II. Band

55)    Figur 25 im II. Band

56)    Figur 27 im II. Band: y = arc (sin = x).

57)    Figur 27 im II. Band

58)    Figur 26 im II. Band

59)    Figur 26 im II. Bund

60)    Figur 28 im II. Band : y = arc (tg — x).

61)    Figur 28 im II. Band : y = arc (cotg — x).

62)    Figur 73. Quadratrix des Dinostratus : y — xtg

y — sinx.

y — cosx.

y — arc (cos — x). y — tgx.

y — cotg x.

nx

63) Figur 74. Quadratrix des Tschirnhausen : y = a sin

A Cl

YI. Gruppe: Exponential- und logaritlimische Kurven.

64)    Figur 32. y = 2X mit Differentialkurven.

65)    Figur 33. y = e*.

= (ex -f- e x) (Kettenlinie).

66)    Figur 6.

67)    Figur 126. Evolvente der Kettenlinie (Traktrix): y = clog

68)    Figur 41.

69)    Figur 72.

Traktrix mit Krümmungsmittelpunkt.

1 -j- *

Kurve y — l

y/ c²— y².

YII. Gruppe : Spiralen.

70)    Figur 22.    Archimedische Spirale y — cO und Figur 109 Krümmungsmittelpunkt.

71)    Figur 43. Hyperbolische Spirale r & = c.

72) Figur 44.

Lituuą-Spirale r =

73)    Figur 23. Logarithmische Spirale r — e .

74)    Figur 127. Evolute der logarithmischen Spiralen, wieder eine Evolute.

75)    Figur 147. Fusspunktlinie der logarithmischen Spiralen, wieder eine Evolute.

76)    Figur 128. Logarithmische Spirale r — e⁰>²⁷⁴⁵ mit Evoluten zusammenfallend.

y/ r² — a²

77) Figur 25. Kreisevolvente 9 —

— arc

(tg

y/r² — a²

oder r = a \/1 -\-iv² und 9 = w — arc tg — w 78) Figur 146. Fusspunktkurve der Kreisevolventen (Archimedische Spirale).

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S-96

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