WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Lehrstuhl für Statik d. H und bewegliche Brücken. Inv. No......~.....................

Königl.T echn. Hochschul

zu Danzig.

ELEMENTARBUCH

DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

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FR. AUTENHEIMER

ELEMENTARBÜCH

DER

DIFFERENTIAL- m

MIT ZAHLREICHEN ANWENDUNGEN AUS DER ANALYSIS, GEOMETRIE, MECHANIK UND PHYSIK

FÜR

HÖHERE LEHRANSTALTEN UND DEN SELBSTUNTERRICHT

FÜNFTE VERBESSERTE AUFLAGE

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BEARBEITET

VON

für

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Dr. ALFRED DONADT

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OBERLEHRER AN DER THOMASSCHULE IN LEI

Mit 156 IN DEN TEXT EINGEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN x> <s\^y

LEIPZIG 1901

VERLAG VON BERNH. FRIEDR. VOIGT.

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BIBLIOTEKA PüLlïECIMICZfü

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Vorrede

zur

vierten Auflage

Das Eigentümliche dieses Buches liegt teils in der Anordnung, teils in der Auswahl des Stoffes, den es bietet.

Die Differentialrechnung wird nicht im Zusammenhänge behandelt. Auf die Differentiation der Funktionen mit einer Variabein folgen sogleich Anwendungen des ersten Differentialverhältnisses auf die Bestimmung vom Maximum und Minimum dieser Funktionen, auf ebene Kurven und auf die Entwickelung der gewöhnlichsten unendlichen Reihen.

Sodann werden einfache Integrale abgeleitet und dieselben dazu benutzt, um Beispiele aus der Geometrie, der analytischen und technischen Mechanik, der Physik, der mathematischen und physikalischen Geographie etc. zu lösen. Wer die Infinitesimalrechnung studiert, hat auch schon einen Kurs der mechanischen Naturlehre durchgemacht. Deshalb konnte dieser Abschnitt nicht nur Beispiele über Rektifikationen, Quadratur und Kubatur der Kurven, sondern auch Aufgaben über Schwerpunkte, Trägheitsmomente, mechanische Arbeit, Reibung, Anziehung nach dem Gesetze der Gravitation, Wärme etc. bieten. Die Zahl der durchgeführten Aufgaben dieser Abteilung beträgt 148. Diese Beispiele sollen einerseits üben im Anschreiben der Differentialgleichung und im Integrieren derselben, andererseits aber auch das Interesse für den Gegenstand wecken. Es hat dabei nicht die Meinung, dass der Studierende eine jede dieser Aufgaben durcharbeite, bevor er zu einem weiteren Teile der Theorie übergeht. Er wird aus der gebotenen Zahl jene auswählen, welche ihm am meisten Zusagen.

VI

die Differentiation der Funktionen mit mehreren Veränderlichen, nebst den gewöhnlichen Anwendungen auf Geometrie und Analysis. Hierauf folgen im zweiten Teil der Integralrechnung: eine Erweiterung der theoretischen Partien, die vielfachen Integrale, die Wiederholung der Integration etc. Angereiht sind 49 ausgeführte Aufgaben aus verschiedenen Gebieten.

Der theoretische Teil ist somit nach methodischen Gesichtspunkten geordnet und auf das Notwendigste beschränkt. Dagegen ist das Gebiet der Anwendung sehr erweitert und dadurch der Beweis erbracht, dass mit wenig Lehren nach den verschiedensten Seiten hin erspriessliche Resultate gewonnen werden können. Das ist es auch, was Manchem bei Durchsicht des Buches auffällt und ihn für die Sache gewinnt. Die Mehrzahl derer, welche mathematischen Studien obliegen, haben weder die Absicht, noch die Kraft, die Mathematik um ihrer selbst willen zu studieren. Sie betrachten diese Wissenschaft als Hilfsmittel, um die Vorträge in den Fach-Kursen verstehen zu können. Diesen Studierenden soll Vortrag und Lehrbuch nach Möglichkeit entgegenkommen. Seit längerer Zeit geschieht es auch mehr und mehr, dass im Unterricht der höheren Mathematik den theoretischen Partien solche Beispiele, wie sie unser Buch bietet, nachfolgen. Wir keimen Dozenten, die zu diesem Zwecke das Buch benutzen. Es sind uns auch Briefe zugekommen, welche zeigen, mit welcher Freude die Verfasser dem Studium des Buches obliegen.

Gegenüber der dritten Auflage enthält diese Auflage einige Modifikationen und Erweiterungen.

So wurden Aufgaben beigefügt über Quantität der Bewegung, das Potential und die mechanische Wärmetheorie.

Zum Schlüsse glauben wir noch darauf hinweisen zu dürfen, dass unsere Arbeit unter den Litteraturnachweisen figuriert, welche der im Jahre 1894 verstorbene Herr Prof. Dr. Rudolf Wolf in Zürich in seinem „Handbuch der Astronomie, ihre Geschichte und Litteratur“, Band I, 1890, auf Seite 108 im Abschnitt über Mathematik aufführt.

WIN PERTHUR, im März 1895

Der Verfasser

Vorrede

fünften Auflage

Bei der Bearbeitung der fünften Auflage, mit der nacli dem Ableben des Verfassers der Unterzeichnete von der Verlagsbuchhandlung betraut worden ist, sind die folgenden Grundsätze massgebend gewesen.

"Wie aus der Vorrede zur vierten Auflage ersichtlich ist, wollte der Verfasser den Schwerpunkt des Buches auf die Anwendungen gelegt wissen und zeigen, welche vielseitigen Resultate mit nur wenigen allgemeinen Lehren gewonnen werden können. Dadurch sind nach der Meinung des Unterzeichneten die theoretischen Teile des Buches zu kurz gekommen, so dass es in erster Linie wünschenswert und nötig schien, die theoretischen Teile umzuarbeiten oder wenigstens au manchen Stellen zu erweitern. Eine Umarbeitung in diesem Sinne haben deshalb insbesondere die folgenden Kapitel erfahren: die Einleitung, die Begründung der Differentialrechnung, die Theorie der unendlichen Reihen, die Lehre von den bestimmten Integralen, die Ableitung der höheren Differentialquotienten, die Taylor’sche Reihe. Der Unterzeichnete weiss wohl, dass man in einigen dieser Kapitel eine noch weitergehende Ausführlichkeit und Strenge der Ableitung verlangen kann, und hätte gern in ihnen und noch in einigen andern Punkten Erweiterungen beigefügt, doch legte ihm der Charakter des Buches gewisse Beschränkung auf: das Buch sollte ein Elementarbuch bleiben.

Ferner galt es bei der neuen Auflage die gelegentlich der Besprechungen der vierten Auflage von verschiedenen Seiten geäusserten Wünsche und Verbesserungsvorschläge auf ihre Berechtigung zu prüfen und ihnen nach Möglichkeit Rechnung zu tragen.

VIII

Infolge davon sind die Aufgaben über das Trägheitsmoment vor die Aufgaben über lebendige Kraft gesetzt worden, weil dadurch eine Anzahl von Aufgaben über lebendige Kraft eine viel einfachere und elegantere Lösung zulassen. Die Ableitung einer Anzahl von Difterentialquotienten einfacher Funktionen ist umgearbeitet worden, so z. B. die Differentiation eines Produktes und eines Quotienten, des Logarithmus, der trigonometrischen und cyklometrischen Funktionen, der Funktion einer Funktion und der unentwickelten Funktionen; näher erläutert ist der Zusammenhang zwischen Potential und Kraft. Entsprechend der Behandlung des Körperelementes in Polarkoordinaten ist auch das Flächenelement und der Inhalt einer Fläche in Polarkoordinaten an der geeigneten Stelle beigefügt worden.

Es kann hier nicht der Platz sein, alle kleinen Einzelheiten, bei denen Aenderungen von geringerer oder grösserer Wichtigkeit gemacht worden sind, aufzuzählen; hervorgehoben sei blos noch, dass nicht nur sämtliche Beispiele sorgfältig nachgerechnet, fehlerhafte oder mindergeeignete durch neue ersetzt wurden, sondern dass eine ganze Reihe neuer Beispiele hinzugefügt worden ist, insbesondere bei der Zerlegung in Partialbrüche und in der Theorie der Differentialgleichungen. Auch alle Zahlenangaben wurden nachgeprüft und nach gerechnet.

Als Neuerung sei noch bemerkt, dass für die natürlichen Logarithmen die jetzt immer mehr gebrauchte Bezeichnung /, dass für die partiellen Differentialquotienten die Jacobi’sche Bezeichnung mit gebogenem à und dass für die Quadratwurzel aus ■der negativen Einheit überall das gebräuchliche i eingeführt wurden.

Am Schlüsse ist dem Buche ein ausführliches Sachregister in alphabetischer Anordnung beigefügt worden, das den Gebrauch des Buches erleichtern soll, zugleich aber auch die Reichhaltigkeit und Vielseitigkeit seines Inhaltes zeigt.

LEIPZIG, Ostern 1901

Dr. Alfred Donadt

Einleitung

Inhaltsverzeichnis

Seite

Erster Teil der Differentialrechnung.

I. Differentiation der Funktionen einer Variabein

II.    Maximum und Minimum der Funktionen .

III.    Anwendung der Differentialrechnung auf ebene Kurven . IVV-Eirtwickelung der Funktionen in Reihen .

12

39

50

58

Erster Teil der Integralrechnung.

I. Ableitung von Integralen........

II. Bestimmte Integrale.........

III.    Länge ebener Kurven.........

IV.    Fläche ebener Kurven-.........

V.    Inhalt der Rotationsflächen.......•

VI.    Inhalt der Rotationskörper........

VII. Bestimmung von Kurven aus gegebenen Eigenschaften

VIII. Bestimmung von Schwerpunkten.......

IX.    Aufgaben über die Bewegung.......

X.    Aufgaben über mechanische Arbeit......

XI.    Aufgaben über lebendige Arbeit. Bestimmung von Trägheits

momenten ..........

XII. Aufgaben über die Quantität der Bewegung .

XIII.    Aufgaben über die Reibung........

XIV.    Aufgaben über die Festigkeit der Materialien .

XV.    Aufgaben über die Anziehung nach dem Gesetze der Gravitation

XVI. Aufgaben über das Potential........

XVII. Aufgaben über das Gleichgewicht und die Bewegung des Wassers

XVIII. Vermischte Aufgaben .........

XIX. Aus der mechanischen Wärmelehre.....

89

104

C0C50i 03 03K)MO

192

207

211

217

233

240

249

264

282

Zweiter Teil der Differentialrechnung.

I. Wiederholte Differentiation entwickelter Funktionen einer

Variabein.......

II. Entwickelung der Funktionen in Reihen

. 305 . 317

Seite

III.    Differentiation der Funktionen mit mehreren Veränderlichen

. 332 . 340

und der unentwickelten Funktionen

IV.    Auflösung numerischer Gleichungen

V.    Bestimmung der Werte der Funktionen, die die unbestimmte

. 345

Form § annehmen

VI. Zerlegung gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche 349

. 358

VII.    Maxima und Minima der Funktionen

. 371

. 382

VIII.    Berührung und Krümmung ebener Kurven

IX. Ebene Kurven in Bezug auf Polarkoordinaten

Zweiter Teil der Integralrechnung.

I. Diflferentialformeln mit einer Variabein......

II. Ueber bestimmte Integrale........

III.    Länge der Kurven im Raume .    .    ......

IV.    Volumen der Körper ..........

V.    Inhalt krummer Oberfläckeu........

VI.    Physikalische Aufgaben über mehrfache Integrale.

VII. Differentialgleichungen der ersten Ordnung mit zwei Veränderlichen ..........

VIII. Differentialgleichungen der zweiten Ordnung mit zwei Variabein

IX. Aufgaben über die Kettenlinie .    .......

X. Aufgaben über die elastische Linie......

XI. Aufgaben über fortschreitende Bewegung.....

XII. Aufgaben über schwingende Bewegungen.....

XIII.    Aufgaben über die Zentralbewegung......

XIV.    Partielle Differentialgleichungen der ersten Ordnung .

XV.    Partielle Differentialgleichungen der zweiten Ordnung .    .    ;

Sachregister.............

389

398

406

411

416

427

441

459

478

495

510

530

558

595

Berichtigungen.

71

statt

Seite 143 in Fig. 41 lies ßi statt ß\ 162, Zeile 19 von oben lies ^

Einleitung.

in

I. Die kontinuierliche Zahlenreihe. Die gesamte Arithmetik hat ihre Grundlage in dem Begriffe der Zahl und der daraus folgenden unbegrenzten Reihe der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . der jede folgende um eine „Eins“ grösser ist als die vorhergehende. Die niedere Arithmetik zeigt, dass die direkten Operationen (Addieren, Multiplizieren und Potenzieren) in dem Bereiche dieser Reihe stets ausführbar sind und als Resultat wieder eine Zahl derselben Zahlenreihe ergeben. Anders verhält es sich mit den inversen Operationen. Die Forderung, dass auch sie stets ausführbar seien, führt zu mehrfachen Erweiterungen des Zahlbegriffs.

Zunächst führt das Subtrahieren auf den Begriff der negativen Zahlen, durch dessen Einführung die vorher einseitig begrenzte Zahlenreihe nach beiden Seiten unbegrenzt wird. Das Dividieren bedingt die Einführung der beliebigen Bruchteile der Einheit und der aus diesen ableitbaren Brüche. Durch diese werden in die von — ao bis -j- cc gehende Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen Zwischenglieder eingeschaltet, so dass der Unterschied zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern durch weiteres Einschalten von Brüchen beliebig klein, d. h. kleiner als eine von vornherein festgesetzte noch so kleine Grösse gemacht werden kann. Das Radizieren nötigt zur Einführung der irrationalen Zahlen und damit zu einer weiteren Einschaltung in der Zahlenreihe, da jede irrationale Zahl, wie aus dem Mechanismus des Radizierens folgt, stets zwischen zwei Brüchen, deren Unterschied beliebig klein gemacht werden kann, liegt, ohne einem dieser ihren Wert einschliessenden Brüche je gleich zu werden.

Die Gesamtheit der so gewonnenen Zahlen wird das Gebiet der reellen Zahlen genannt. Aufgabe der niederen Arithmetik ist es zu zeigen, wie die Rechenoperationen in diesem Gebiete vorgenommen werden.

Während also die Einführung der Brüche gestattet, den Sprung, der beim Uebergange von einer Zahl der natürlichen Zahlenreihe zur nächsten gemacht wird, nach Belieben zu verkleinern, geben die irrationalen Zahlen die Möglichkeit, auch die hierbei noch bleibenden Lücken auszufüllen.

A ntenheimer, Elementarbuch.    1

Diese Eigenschaft des Zahlengebietes wird noch deutlicher durch die folgende Yersinnlichung. Nimmt man auf einer Geraden einen Punkt A (den Ausgangspunkt) an und ordnet ihm einen Punkt E (den Einheitspunkt) so zu, dass durch die Grösse der Strecke AE die Einheit, durch ihre Richtung die positive Richtung festgesetzt ist, so entspricht jeder ganzen positiven oder negativen Zahl a ein ganz bestimmter Punkt der Geraden, den man erhält, wenn man a Längeneinheiten A E

O-l p

in entsprechender Richtung von A aus abträgt. Auch jedem Bruche-

entspricht ein bestimmter Punkt, den man konstruiert, indem man AE in b gleiche Teile teilt und a solcher Teile in gehöriger Richtung von A aus abträgt. Auch jeder irrationalen Zahl entspricht ein ganz bestimmter Punkt der Geraden. Man erhält z. B. die beiden der Zahl Y 2 entsprechenden Punkte, wenn man über A E als Seite das Quadrat konstruiert und dessen Diagonale von A aus auf beiden Seiten der Geraden abträgt. Die der Zahl Y~ 3 entsprechenden Punkte werden erhalten, wenn man das gleichseitige Dreieck mit AE als Seite konstruiert und seine doppelte Höhe auf beiden Seiten von A abträgt. — Umgekehrt schliesst man, dass jedem Punkte der Geraden eine ganz bestimmte Zahl aus dem Gebiete der reellen Zahlen entspricht und dass daher, wie der Uebergang von einem Punkte der Geraden zu einem andern nicht sprungweise, sondern mit Durchlaufung aller möglichen zwischen beiden liegenden Punkte, d. h. in stetiger Weise geschieht, auch der Uebergang von einer Zahl des reellen Zahlengebietes zu einer andern in stetiger Weise geschehen kann, dass also das Gebiet der reellen Zahlen ein stetiges oder kontinuierliches ist.

Diese Eigenschaft der Zahlenreihe bildet die Grundlage der höhern Analysis, und es liegt auf der Hand, dass eine Anwendung der Zahlgrösse auf die stetigen Raum- und Zeitgrössen nicht möglich wäre, wenn nicht auch die Zahlgrösse als eine stetige vorausgesetzt werden könnte.

2. Die veränderliche, insbesondere die stetig veränderliche Grösse. Eine Grösse heisst eine Veränderliche oder eine Variable, wenn sie mehrere oder auch unendlich viele Werte annehraen kann. Im Gegensatz dazu heisst eine Grösse, die nur einen Wert hat, mag das eine bestimmte oder eine allgemeine Zahl sein, eine Konstante. Um äusserlich einen Unterschied zwischen veränderlichen und konstanten Grössen zu machen, bezeichnet man die veränderlichen mit den letzten Buchstaben x, y, z, u, v, . . ., die konstanten mit den ersten a, b, c, . . .

Kann eine Veränderliche x jeden beliebigen Wert annehmen, so heisst sie eine unbeschränkt Veränderliche; in der Natur des Begriffs dieser Grösse liegt es, dass, wenn a ein Wert derselben ist, sie auch jeden Wert annehmen kann, der der Ungleichung jx —aj<§ genügt, wo I x — a I den absoluten Betrag der Differenz und b eine beliebig kleine Grösse bezeichnet.

Kann eine Veränderliche x nicht jeden beliebigen Wert annehmen, so heisst sie beschränkt veränderlich und die Gesamtheit der Werte, die sie annehmen kann, ihr Bereich. Ist z. B. eine ATeränderliche dadurch definiert, dass sie nur die Werte der ganzen Zahlen annehmen kann, so ist die natürliche Zahlenreihe ihr Bereich.

Ist eine beschränkt Veränderliche dadurch definiert, dass sie innerhalb des durch die beiden Zahlen xi und X2 (x2 > Xi) begrenzten Bereiches jeden beliebigen Wert annehmen kann, so heisst sie innerhalb dieses Bereiches stetig oder kontinuierlich veränderlich. Ist a irgend .ein Wert innerhalb des Bereiches (xi, X2), so wird die Stetigkeit der Veränderlichen dadurch definiert, dass sie jeden Wert annehmen kann, für den dieselbe Ungleichung wie oben | x — a | < c) gilt. Ob die Grenzen xi und X2 dem Bereiche der Veränderlichen angehören oder nicht, hängt von der Definition ab. Definiert man z. B. x solle kleiner als x> sein, so gehört die obere Grenze x* dem Bereiche nicht an, während sie dem Bereiche angehört, wenn man definiert, x solle nicht grösser als X2 sein.

Man sagt, eine veränderliche Grösse x komme einem bestimmten Werte a unendlich nahe, wenn durch stetige Veränderung von x die Differenz j x — a | beliebig klein gemacht werden kann , ohne dass damit gesagt ist, dass x gleich a werden könne. Insbesondere sagt man, eine Veränderliche werde unendlich klein, wenn sie der Null unendlich nahe kommen kann. Kann eine stetig veränderliche Grösse Werte annehmen, die grösser sind als jede noch so gross angenommene Zahl, so sagt man die Veränderliche werde unendlich gross.

Den Bereich einer unbeschränkt Veränderlichen kann man mit (—00, + co) bezeichnen.

3. Begriff und Bezeichnung der Funktionen. Denkt man sich in der Gleichung y = x² + 2 x -f- 3 die Grösse x veränderlich, so ändert sich auch der Wert von y, d. h. der Wert des gesamten Ausdrucks auf der rechten Seite, und zwar entspricht jedem Werte von x ein bestimmter Wert von y. Wenn z. B.

?• hä • ■

3, i *, 0 + 2V2...

Ist ebenso in der Gleichung y = log x die Grösse x veränderlich, so wird auch y, d. h. der Logarithmus von x, sich ändern.

Die Abhängigkeit der Grösse y von der Grösse x wird dadurch angedeutet, dass man nach Johann Bernoulli sagt, es sei y eine Funktion von x. Die Abhängigkeit wird bezeichnet durch

y = f(x).

Man liest diese Gleichung: „y gleich Funktion x“. Statt f(x) wird auch F(x), (f (x), ip (x) . . . geschrieben.

Das Zeichen f (x) enthält keineswegs das bestimmte analytische Gesetz der Abhängigkeit; es wird damit nur die Abhängigkeit der Grösse y von der Veränderlichen x im allgemeinen bezeichnet.

In gleichem Sinne ist auch die Gleichung z = f (x, y) aufzufassen. Es wird durch sie angegeben, dass z in irgend einer Weise von den zwei veränderlichen Grössen x, y abhängig sei. Hängt eine Grösse von drei andern ab, so kann man ihren Zusammenhang andeuten durch u = f (x, y, z); u. s. w.

der Wert

x = 0,    1,    2,    -1

so wird der von y = 3,    6, 11

2,

-2,

Für die Mathematik hat aber nur der Fall eine Bedeutung, dass der Zusammenhang zwischen x und y durch eine Gleichung gegeben ist; dann heisst y eine analytische Funktion von x.

In der Gleichung

y =f (x)

kann man der Yariabeln x beliebige Werte innerhalb ihres Bereiches beilegen; man nennt sie deshalb die unabhängig Veränderliche oder auch das Argument der Funktion, während y, da sein Wert von dem von x abhäagt, die abhängig Veränderliche heisst.

Gehört zu jedem Werte von x nur ein Wert von y, so heisst die Funktion eindeutig, dagegen mehrdeutig, wenn zu einem Werte von x mehrere Werte von y gehören.

Denkt man sich die Gleichung y —f(x) nach x aufgelöst, so erhält man eine neue Gleichung x = <p(y), durch die x als abhängig Veränderliche von der unabhängig Veränderlichen y definiert wird. Diese Funktion heisst die inverse oder umgekehrte der ersteren.

Man weiss, dass das Volumen v einer Kugel vom Halbmesser r abhängt, deshalb kann man schreiben v = f(r). Sollte aber der Halbmesser als Funktion des Volumens dargestellt werden, so würde v zur unabhängig Veränderlichen, und es könnte geschrieben werden r — (f¹ (v).

Wenn eine Gleichung zwischen zwei Veränderlichen x und y in Hinsicht der einen Grösse aufgelöst ist, so wird die Funktion eine entwickelte oder explicite genannt. So sind y = a 4 bx4cx'²; y = log x explicite Funktionen von x. Ist aber die Gleichung hinsichtlich keiner der Areränderlichen aufgelöst, so heisst die Funktion unentwickelt oder implicit. Solche Funktionen sind z. B.

= 0.

a² 4 a x y 4 b = 0 ; y x2 4 y² — log

Sie werden gewöhnlich durch den Ausdruck f (x, y) = 0 bezeichnet.

4. Einteilung der Funktionen. Die Funktionen werden nach Leib-nitz eingeteilt in algebraische und transe en d ente. Die algebraischen entstehen durch die Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit konstantem Exponenten. Ihre einfachsten Formen sind

x™.

a x, a x,

Sie sind alle enthalten in dem allgemeinen Ausdrucke (a 4- b x 4 c x² 4- • •)"

(A + Bx + C x²-f-TÖ™“’

Im weitesten Sinne sagt man y sei eine algebraische Funktion von x, wenn der Zusammenhang beider Grössen vermittelt wird durch eine algebraische Gleichung von der Form

A₀ y¹¹ 4 Ai y¹¹“¹ 4 A₂ y¹¹“* 4 • • • 4 Au_! y 4 A„ = 0, worin die Ao, Ai, A₂, . . . . Polynome von x, also etwa Ai = a₀ xm 4 ai x“-¹ 4 ... 4 am_i x 4 am,

sind.

Die transcend ent en Funktionen umfassen alle übrigen Funktionen, wozu aus dem Gebiete der Rechenoperationen vornehmlich die Potenzen mit veränderlichem Exponenten, die sogenannte Exponentialfunktion, und deren Umkehrung, der Logarithmus, gehören.

Die Exponentialfunktion hat die Form y = ax; dabei muss jedoch a positiv sein, wenn zu jedem reellen Werte von x ein reeller Wert von y gehören soll; soll die Funktion eindeutig sein, so ist noch festzusetzen, dass, wenn einem x mehrere Werte von y entsprechen, (was eintritt, wenn x ein Bruch mit geradem Nenner ist) der positive Wert von y zu nehmen sei.

In der inversen Funktion x = ”logy müssen dieselben Voraussetzungen gemacht werden: es muss a eine positive Konstante sein und die Veränderliche y auf den Bereich (o, -f- ce) beschränkt werden.

5. Die Kreisfunktioneil. Zu diesen aus der Arithmetik bekannten Funktionen kommen aus der Geometrie noch die go ni o me tri sehen Funktionen sin x, cosx, tangx, cotang x und deren Umkehrungen, die cyklometri schen Funktionen. Beide Arten werden auch Kreis-funktionen genannt und gehören zu den transcendenten Funktionen.

Während in der Trigonometrie die Grösse des Winkels gewöhnlich in Graden, Minuten und Sekunden ausgedrückt wird, bedarf die Analysis, da das Argument der Funktionen nur eine Zahlgrösse sein kann, eines anderen Masses für den Winkel, durch das der Winkel als reine Zahl definiert wird. Zu diesem Zwecke wird die Grösse des Winkels gemessen durch das Verhältnis der Länge des zum Winkel gehörenden Kreisbogens zum Halbmesser des Kreises oder, was dasselbe ist, durch die Länge des zum Winkel gehörenden Bogens des mit dem Radius 1 um den Scheitel geschlagenen Kreises. So entspricht jedem Winkel eine bestimmte Zahl, die das analytische Mass des Winkels heisst.

Die Verwandlung des gewöhnlichen Masses in das analytische und umgekehrt geschieht mittels der Formel

x : 2 n — a : 360 • 60 • 60,

in der x das analytische Mass, « das gewöhnliche Mass des Winkels in Sekunden bedeutet.

Aus den Elementen der Trigonometrie ist bekannt, dass die Funktionen y = sinx und y = cosx nur Werte zwischen — 1 und -j- 1 annehmen, dass aber die Funktionen y = tangx und y = cotang x jeden Wert zwischen — oo und cc annehmen können, und dass ferner die Funktionen einfach periodisch sind, da

y = sin x = sin (x i 2 n n) ; y = cos x = cos (x i 2 n n ) ; y = tang x = tang (x i n zr) ; y = cotang x = cotang (x fna), worin n eine beliebige ganze Zahl ist.

Die aus den goniometrischen sich ergebenden inversen Funktionen, die sogenannten cyklometrischen Funktionen

x = arc sin y ; x = arc cos y ; x = arc tang y und x = arc cotang y sind wegen jener Periodizität unendlich vieldeutig, auch sind die beiden ersten nur für den Bereich (— 1, + 1) der Grösse y definiert.

Um die cykl omet rischen Funktionen als eindeutige in Rechnung ziehen zu können, bedarf es gewisser Festsetzungen, die im Folgenden bestehen :

I.    arc sin y bedeutet die zwischen — ~ und -f -J- liegende Zahl, deren Sinus den Wert y hat, wobei für y die Ungleichung besteht

i 5^ + 11

II.    arc cos y bedeutet die zwischen 0 und n liegende Zahl, deren Cosinus den Wert y hat, wobei — 1 <y< -f- 1 ist;

HI. arc tang y bedeutet die zwischen--und -f- — liegende

2 2

Zahl, deren Tangente den Wert y hat, wobei — co<y< -{- cc ist;

IV. arc cotang y bedeutet die zwischen 0 und n liegende Zahl, deren Cotangente den Wert y hat, wobei — cc < y < -f oo ist.

Jede Funktion

(5. Geometrische Darstellung der Funktionen.

y = f(x) oder F(x, y) = 0 mit einer unabhängig Veränderlichen lässt sich nach Descartes auf folgende Weise darstellen.

Fig.l.

Auf beiden

o'

y\

\m

m'

Es seien Ax, A y (Fig. 1) zwei rechtwinkelige Koordinatenachsen, setze man die positive Richtung, damit zugleich die negative fest und wähle eine beliebige Strecke als Längeneinheit. Man trage eine Reihe aufeinander folgender Werte von x, vom Anfangspunkte A aus, auf der Abscissen-achse A x ab, errichte in den Endpunkten dieser Abscissen Lote auf der Abscissen-achse, mache diese Lote, Ordinaten genannt, gleich den entsprechenden Werten von y und verbinde die Endpunkte der Ordinaten; dann entsteht im allgemeinen eine krumme Linie, die das Gesetz der Funktion zur Anschauung bringt. Werden in beistehender Figur die Richtungen A x und A y als positive gewählt, so sind die Abscisse Am' und die Ordinate mm' des Punktes m positiv, dagegen die Abscisse An' und die Ordinate nn' des Punktes n beide negativ. Abscisse und Ordinate eines Punktes heissen dessen Koordinaten. Der Punkt, dessen Koordinaten x, y sind, heisst kurzweg Punkt (x, y).

Auf diese Weise konstruiert, gibt die Gleichung y² = 2px eine Parabel, a²y² + b²x² = a²b² eine Ellipse, y = logx die Logistik. Die Gleichung y = a x -f- b vom ersten Grade ist der einzige Fall, wo die Verbindungslinie der Endpunkte der Ordinaten eine gerade Linie liefert.

7. Stetigkeit der Funktionen. Durch die geometrische Darstellung einer Funktion y = f (x) oder F (x, y) = 0 erhält man eine Kurve mit unendlich vielen, unmittelbar aufeinander folgenden Punkten. Die Stetigkeit der Kurve, also auch die Stetigkeit der Funktion, liegt nun darin, dass immer je zwei dieser aufeinander folgenden Punkte unendlich nahe aneinander liegen, dass also unendlich kleine Aenderungen der Abscissen auch unendlich kleine Aenderungen der Ordinaten zur Folge haben. Wo dies zutrifft, heisst die Funktion eine stetige oder kontinuierliche.

Sobald je zwei aufeinander folgende Ordinaten, die einen unendlich kleinen Abstand voneinander haben, eine endliche oder unendlich grosse Differenz geben, so erleidet die Kurve, also auch die Funktion, eine Unterbrechung der Stetigkeit, sie macht einen plötzlichen Sprung von einem Ordinatenwerte zum nächstfolgenden. Dieser Unterbrechung der Stetigkeit der Funktion entspricht ein bestimmter Wert von x. Die Funktion heisst an dieser Stelle diskontinuierlich.

Analytisch kann man nach § 2 das Kennzeichen der Stetigkeit einer Funktion folgendermassen aussprechen : Ist y = f (x) eine in dem Bereiche (xi, X2) der Veränderlichen x eindeutig definierte Funktion, so ist diese Funktion innerhalb des Bereiches (xi, X2) stetig, wenn es nach Annahme einer beliebig kleinen Grösse s möglich ist, eine zweite Grösse ê zu finden, dass für alle Werte von h, die kleiner sind als b, und für jedes x innerhalb des Bereiches die Ungleichung

I f (x ± h) — f (x) I < s

besteht. Alle Punkte, an denen diese Bedingung nicht erfüllbar ist, heissen Unstetigkeitspunkte. Als Unstetigkeitspunkte sind besonders diejenigen aufzufassen, in denen die Funktion unendlich oder unbestimmt wird, weil dann die obige Bedingung der Stetigkeit fehlt. Das Verhalten der Funktion an einer solchen Stelle muss dann besonders untersucht werden. Auch ist es von Wichtigkeit zu untersuchen, wie sich eine Funktion von x, die nicht auf einen endlichen Bereich beschränkt ist, für ein unendlich gross werdendes x verhält.

I. Die Funktionen a + x; ax; ax; sinx und cosx sind stetig in dem Bereiche (— cc, + cc) der Variabein x, ebenso x", wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet. Die Funktionen |^x, log x sind stetig in dem Bereiche (0, + co) der Veränderlichen.

Es ist z. B.

sin (x ± h) — sin x = 2 • cos

(x±A).si^±A)

der erste Faktor ist für jedes x endlich, der zweite kann durch passende Wahl von h beliebig klein gemacht werden. Wie klein also auch s von vornherein angenommen wird, h kann stets so gewählt werden, dass

²cos(x±y)'sin(±y)

wird; also ist die Funktion sinx überall stetig.

werden.

Aehnlich kann die Behauptung von den andern Funktionen erwiesen

worin n eine ganze, positive Zahl bezeich-

III. Ebenso ist

x -f 2

für b = x und

für x = 2

x² -(- 2 x — 8

sowie für x = — 4 diskontinuierlich, weil für diese Werte die Nenner zu Null, also die Funktionen = -f- co oder — co werden.

(b x)-

IV. Die Funktionen cotangx, cosec x werden diskontinuierlich für x = 4; n jt, wo n irgend eine ganze Zahl bezeichnet. Denn es ist

cotangx ==

COS X

sinx ’

cosec x =

sin x

und der Nenner sin x wird = 0 für x = 4 n n. Ganz ebenso kann gezeigt werden, dass tang x, sec x diskontinuierlich werden für 2n+ 1

n, wo n eine ganze positive Zahl sein soll.

V. Die Funktion y = sin ganz unbestimmtes Verhalten.

zeigt an der Stelle x = a ein Denn setzt man x = a 4 h und wo n eine beliebige ganze Zahl ist, h also durch

h (2 n 4- 1) n

passend gewähltes n beliebig klein gemacht werden kann, so ist f (x -f h) = 2n + 1

n, schwankt also bei wachsendem n fortwährend zwischen

— 1 und + 1 » und diese Schwankungen folgen immer rascher aufeinander, je grösser n, d. h. je kleiner h wird, je näher also x an a kommt.

sin

VI.    Die Funktion y = a 4 — wird für x =

x

an dieser Stelle einen bestimmten endlichen Wert.

Die Funktion y = sin x bleibt für x = co endlich aus V. hervorgeht, keinen bestimmten Wert.

Die Funktion y = alogx(a > 1) wird für x = co ebenfalls co.

VII.    Sind (f (x) und ip (x) zwei in dem Bereiche (xi, X2) der Variabein x stetige Funktionen von x, so sind auch

4 co zu a, hat also

hat aber, wie

<P (x) 4 V' 0) ; <f (x) ■ *p (x)

in dem Bereiche (xi, X2) stetige Funktionen von x. Denn es ist

(P(x±h)± V'(x±h)-(^(x) ± lf> (x j) = I <r (x ± h) - <f(x) ±(lp(x±h)-lp(x))\,

und diese Summe kann mit den einzelnen Summanden beliebig klein gemacht werden.

Es-ist ferner identisch

I ^ (x ± h) - xp (x ± h) - (f (x) • ip (x) I = -J I (W (x ± h) - (f (x)) • (f (x ± h ) + ip (x)) + (ip (x ± h) — ip (x)) • (<f (x ± h) + (f (x))

(p (x £ h) • ip (x) — y (x) -ip(x± h) j ^ (x ± h) • ip (x)

y (X ± h) _ <f (x) ty (x ± h) Ip (x)

(cp (x ± h) — Cp (x)) • V*(x) — (Ip(x £ h) - Ip (x)) • (p (x)

ip(x±h).ip(x)

worin der Zähler mit | y (x i h) — (p (x) | und ij) (x ^ h) — ip (x) beliebig klein gemacht werden kann. — Wird für x — a der Nenner zu Null, und ist für diesen Wert von x der Zähler (p (x) von Null verschieden, so ist der Quotient an dieser Stelle unendlich oder unbestimmt, d. h. diskontinuierlich. Wird aber gleichzeitig mit dem Nenner auch der Zähler für x = a zu Null, so muss die Stetigkeit der Funktion an dieser Stelle nach besonderen Methoden untersucht werden.

8. Begriff der Grenze.

= 0,1666

I. Der gemeine Bruch in einen Dezimalbruch verwandelt gibt Stellt man diesen Dezimalbruch durch die Reihe

10"

Auch der Quotient

⁽f (x)

ist mit Ausnahme jeder Stelle x = a,

an der der Nenner verschwindet, eine stetige Funktion. Man liât nämlich identisch

ip(x)

JL + _

10 ' 102 r 10³

dar und lässt darin n immer grösser und grösser werden, so nähert sich

die Summe der Glieder der Reihe mehr und mehr dem Werte 4-, so

6

dass der Unterschied zwischen -j,- und der Summe jener Reihe beliebig

klein wird, wenn n hinreichend gross wird. Je grösser man n nimmt, um so grösser wird der Wert der Summe, aber er wird nie bei noch

so grossem n den Wert — übersteigen. Man sagt dann, der Bruch ~ 6 6

sei die Grenze (limes) der Summe jener Reihe für unendlich grosse n und schreibt

lim

11 = 00

(l¥ ⁺

102 r 10a ‘ '

10"

II. Die Seite des einem Kreise mit dem Radius r einbeschriebenen

180°

regelmässigen n-ecks ist 2r-sin—-—, mithin der Umfang

180°

2 n r • sin

Dieser Umfang wird sich immer mehr dem Umfange des Kreises nähern, je grösser die Anzahl n der Seiten wird. Für ein unendlich grosses n erreicht der Umfang des Vielecks den Kreisumfang. Folglich

lim

und einem ohne Ende abnehmenden Faktor einer konstanten Grösse, der Zahl n = 3,14159 . . . ln diesem Sinne kann n als Grenze jenes Produktes angesehen werden, also

180°

lim n • sin

11 = O0

III. Die Fläche dieses Vielecks ist

= TT.

«    . —    —    1 ₂    . 360°

y¹ • n • sin--cos --— = — rl • n • sin —-

n    n *2    n

Nimmt jetzt n ins Unendliche zu, so verwandelt sich die Fläche in die Kreisfläche yrr², so dass man hat

360°

180°

180°

= 2 TT.

lim n • sin n = oo

1). Grenzwerte der Funktionen. Lässt man die Variable x einer stetigen Funktion y = f(x) sich stetig einem ausgezeichneten Werte nähern, und nähert sich hierbei der Wert der Funktion mehr und mehr einer bestimmten endlichen konstanten Grösse A, ohne diese dem absoluten Werte nach überschreiten zu können, so wird diese Grösse A der Grenzwert oder auch kurz die Grenze der Funktion an jener Stelle a genannt. Man schreibt dies

lim f (x) = A. x = a

Es ist dann stets möglich eine Grösse b so klein zu bestimmen, dass, wenn | x — a | < b ist, der Wert | A — y | < s bleibt, wo s beliebig klein ist.

Als solche ausgezeichneten Stellen kommen wesentlich die Stellen a = 0 und a = cc in Betracht.

I. Die Funktion

y = f (x) =

(a > 0)

a + x²

ist für jedes endliche, positive oder negative x kleiner als — ;

8i

man aber, ob von der positiven oder negativen Seite ist gleichgültig, x sich stetig der Null nähern, so nähert sich die Funktion der Grösse —

cl

als einem Grenzwerte, der für x = 0 erreicht wird ; es ist also

lässt

180°

nähert sich das Produkt n • sin

aus einem ohne Ende wachsenden

— o a + x²

Soll der Unterschied

x²

a -f x- a² -b ax²

beliebig klein, also

X²

man

a² -f- ax2 x I < a I ]/" £ I wählt.

< s bleiben, so ist dies erfüllbar, wenn

II. Die Funktion

y == f (x) = a +

in der a und b positive Konstanten seien, ist für jedes endliche x grösser als a. Lässt man aber x grösser und grösser werden, so bleibt zwar f (x) stets grösser als a, nähert sich aber dem Werte a immer mehr, so dass man hat

/    b \

lim f a + ~2 ) = a. x rr oc ^    x '

III. Die Funktion

,, v sinx

y = f (x) = —

A

die für x > 0 ein echter Bruch ist, wird für x = 0 zu 1. Denn es ist

sin x

x

< —, also

sin x

<1,

und

sin x

sin x

tang x’

also

sin x

—— > cos x ; x

es gilt also die Ungleichung

COS X <

sin x

< 1.

Lässt man x gegen die Kuli abnehmen, so nähert sich cos x immer mehr der Eins und erreicht sie für x = 0.

Für diese Abnahme hat man daher

lim

sinx

x = 0 x

Dabei ist der folgende Satz benutzt worden, der bei Grenzbestimmungen sehr häufig angewandt wird.

Wenn die Funktion f(x) der Ungleichung genügt (f (x) < f (x) < lp (x),

und es haben beim Uebergang zur Grenze (f (x) und *f.< (x) denselben Grenzwert A, so ist auch

limf(x) = A.

Zufolge der Ungleichung kann man nämlich setzen

f (x) = (f (x) + X (lp (x) - (f (x)),

wo X ein echter Bruch ist. Geht man zur Grenze über, so ist

lim f (x) = A -f X • (A — A), d. h. lim f (x) = A.

Erster Teil der Differentialrechnung.

I. Differentiation der Funktionen einer Variabcln.

10. Entwickelung des Differentialbegriffes. Lässt man in der Gleichung

(1)

y = f 00,

durch die y als eindeutige stetige Funktion von x in dem Bereiche (xi,xî) definiert werde, x innerhalb dieses Bereiches sich um A x ändern, so wird sich im allgemeinen auch y urn einen Wert ändern, der mit A y bezeichnet werde. Für diesen geänderten Zustand hat man

y + A y = f (x + a x)

A y = f (x. + A x) — f (x).

Um ein Mass für diese Veränderung des Funktionswertes im Vergleich zur Aenderung des Argumentes in dem Intervalle x und x + A x zu haben, bilde man den Differenzenquotienten

Ay

(2)

f(x + A x) - f(x)

Lässt man in dieser Gleichung A x ohne Auf hören gegen die Null abnehmen, so konvergiert auch A y zufolge der vorausgesetzten Stetigkeit der Funktion gegen die Null. Wird A x = 0, so wird auch f (x -)- A x)

Ay Ax

geht für diesen

, wenn er aus der Gleichung y = f (x) aus obigem

Vorgänge entstanden ist, in der Regel ein bestimmter Wert, der endlich, Null oder auch unendlich sein kann, im allgemeinen aber wieder

— f(x) = 0, also Ay = 0 und das Verhältnis Grenzzustand in die unbestimmte Form -jj- über. Gleichwohl entspricht dein Ausdrucke

^ bei diesem

eine Funktion von x ist. (Die Ausnahme, wo der Ausdruck Grenzübergauge unbestimmt bleibt, kommt hier nicht weiter in Betracht.)

Dabei ist noch zu unterscheiden, ob A x positiv oder negativ ist, sich also von der positiven oder negativen Seite der Null nähert. In weitaus den meisten Fällen ist dies zwar für die Berechnung des Grenzwertes gleichgültig, doch muss insbesondere an den Grenzen des Bereiches der Variabeln x darauf geachtet werden; denn ist der Bereich (xL,X2) der Veränderlichen ein beschränkter, so kann A x an der unteren Grenze nur positiv, an der oberen X2 nur negativ gegen die Null konvergieren.

Fig. 2.

Um das Vorsteheode zu erläutern, stelle man die Gleichung y — f(x) nach § 6 geometrisch dar. Es seien (Fig. 2) die Ahscissen AM' = x,

A N' = x + A x: die Ordinaten M M' = y,

N N' = y -j- A y. Zieht man M P parallel zur Abscissenachse, so ist MP = A x, N P = A y.

Wird durch die Kurvenpunkte M und N eine Sekante gelegt, so erhält man vermöge des rechtwinkeligen Dreiecks N M P

= tang N M P.

A x

Zieht man durch den Kurvenpunkt M eine geometrische Tangente MG an die Kurve und lässt Ax ohne Aufhören abnehmen, so rückt der Punkt N gegen M hin, die Sekante dreht sich um M und nähert sich ohne Aufhören der Richtung der Tangente. Wenn A x verschwindet, so fällt die Sekante mit der Tangente MG zusammen,

und das vorstehende Verhältnis

geht über in die trigono-

Ay

A x

metrische Tangente des Winkels a, den die Berührungslinie MG mit der Abscissenachse bildet. Man hat daher

<]

Ay o

—- — tang a.

1st die Kurve in M stetig, so ist es gleichgültig, ob der Punkt N von der positiven (rechten) oder von der negativen (linken) Seite gegen M heranrückt ; die Sekante M N wird in beiden Fällen zur Tangente M G.

Da die Grösse tang a bei jeder Kurve von der Lage des Berührungspunktes abhängt, so ist tang a eine Funktion der Abscisse, also der Grenzwert -{J- eine Funktion von x. Ist die Tangente in M der

Abscissenachse parallel, so tritt der Fall ein, dass lim

Ay

A x

wird ; ist dagegen die Tangente in M der Ordinatenachse parallel, so ist

lim

Ay

= co.

Lässt man in y = f(x) die unabhängig Veränderliche x sich stetig ändern, so ändert sich im allgemeinen auch der aus Gleichung (3) hervorgehende Wert tang a. Allein dieser gibt die Neigung der Kurve zur Abscissenachse, mithin auch die Schnelligkeit an, mit der sich y, d. li. die Funktion, ändert. Dieser Grenzwert (3) ist daher von grosser Wichtigkeit. Es ist deshalb nötig, für denselben eine besondere Be-

Zeichnung einzuführen, die den Ursprung des Wertes {J- erkennen lässt. Man gelangt zu derselben durch folgende Betrachtung.

Bevor die Differenz A x zu Null wird, durchläuft sie eine Reihe von Werten, die kleiner sind als jede noch so kleine angebbare Grösse, d. h. eine Reihe unendlich kleiner Werte. Einem solchen unendlich kleinen Werte von A x entspricht auch im allgemeinen ein unendlich kleiner Wert von A y. Die unendlich kleinen Werte der Differenzen A x, A y bezeichnet man nach Leibnitz mit dx, dy, vertauscht also A mit d, nennt d x, d y Differentiale, und zwar d x das Differential von x, dy das Differential von y und definiert diese Differentiale durch die Gleichung

(4)

lim

A y dy

A x = 0 Ax

— = tanga,

O 'O

durch

dy

Euler hat auch

d. h. man ersetzt in (3) das Zeichen in (4) dx nicht als unendlich kleine Grösse, sondern als Null gedacht.

auch dann als das exakte Mass von tang a angesehen wrerden, wenn man sich vorstellt, es erreiche das Verhältnis die Grenze tang a, wenn d x die Null als Grenze erreicht.

Bei dieser Auffassung bleibt dx eine Grösse, die mit x gleichartig ist. Bezeichnet z. B. x eine Linie, so ist dx auch eine Linie; bezeichnet x eine Fläche, so ist dx ebenfalls eine Fläche u. s. w. Das Gleiche gilt von d y in Bezug auf y. Es kann daher mit d x, d y multipliziert und dividiert werden, ohne dass das Verhältnis -

Allein es kann

dy

dx

als Grenzwert von

Ay

zu dienen.

dx'

dy

aufhört

dy

Das Verhältnis ——, falls es einen bestimmten Wert hat, gegen d x

konvergiert, wenn A x von der positiven oder negativen Seite

den

Ay

A x

der Grenze Null sich nähert, wird der Differentialquotient oder das Differentialverhältnis der Funktion y = f(x) genannt. Der Vorgang, durch den die Differentiale der Funktionen abgeleitet werden, heisst Differentiation und der Inbegriff der Regeln, die bei der Differentiation der Funktionen aufgestellt werden, die Differentialrechnung.

II. Das charakteristische Dreieck. Denkt man sich in der vorhergehenden Figur eine Reihe aufeinander folgender Kurvenpunkte M, N,. . und die entsprechenden Dreiecke M P N, deren Katheten A x und A y sind, eingezeichnet, so kann aus der Form dieser Dreiecke auf den Verlauf der Kurve geschlossen werden. Nimmt man dabei die Abscissen-dififerenzen A x gleich gross, d. h. konstant an, so werden im allgemeinen die Ordinatendififerenzen A y ungleich ausfallen. Was von den Differenzen gilt, trifft auch zu für die Differentiale d x und d y. Das Dreieck mit den Katheten d x und d y heisst das charakteristische Dreieck.

In ihm wird das Differential der unabhängig Veränderlichen als konstant betrachtet.

Aus einer Vergleichung dieser Dreiecke ergeben sich folgende Schlüsse. Lässt man die Abscisse zunehmen und nimmt dabei auch die Ordinate zu, so ist dy positiv; nimmt aber die Ordinate ab, so geht y in y — d y über, d. h. das Differential d y wird negativ. Aendern sich daher die Variabein x und y in gleichem Sinne, so haben auch dx und dy gleiche Vorzeichen; ändern sie sich in entgegengesetztem Sinne, so sind auch die Vorzeichen von dx und dy entgegengesetzte.

Wenn die Tangente an die Kurve parallel zur Abscissenachse wird, so ist tang a — 0, also wird auch im entsprechenden charakteristischen Dreiecke dy = 0. Wird die Tangente parallel zur Ordinatenachse, so wird tang a — i co ; also wird auch d y unendlich mal so gross als d x.

12. Differentiation (ter Funktion

y = x² — x — 2.

Stellt man diese Gleichung geometrisch dar, so entsteht eine Parabel G E C (Fig. 3). Run sei AB = x die Abscisse und BC = y die Ordinate eines Kurvenpunktes C. Lässt man x um BB' = A x zunehmen und zieht die Ordinate B' C', sodann C D parallel zu Ax, so wird y um A y = D C' wachsen. Zieht man durch die Kurvenpunkte C, C' eine Sekante, so gibt das entstandene recht winkelige Dreieck

(1)

Fig. 3.

c'i

L H E/ i

c/—\*

(2)

tang C'CD =

Ay

Aï

Aus Gleichung (1) folgt aber

y + A y = (x + A x)² — (x + A x) — 2, A y = 2 x • A x — A X + (A x)²,

Ay

(3)

A x

Lässt man nun in den Formeln (2) und (3) die Grösse A x ohne Aufhören abnehmen, so nähert sich der Kurvenpunkt C' dem Punkte C und die Sekante C C' der Berührungslinie CF, die durch C geht. Bildet diese Berührungslinie den Winkel « mit der positiven Richtung der Abscissenachse, so erhält man somit als Grenzwert des Verhältnisses (2)

dy

tang « = -—.

d x

Allein das Verhältnis (3) nähert sich hierbei dem Grenzwerte 2 x — 1 und erreicht denselben für ein verschwindend kleines A x ; folglich wird sein

(4)

tang a = 2 x — 1.

ITm die Bedeutung dieses Grenzwertes (4) hervortreten zu lassen, lege man der Abscisse x stetige Werte von x = — oo bis x = -j- co

bei; dann durchläuft der Punkt C alle auf der Kurve liegenden Punkte, und da die Tangente C F, die diesem Punkte in seiner Bewegung folgt, die Richtung der Kurve im jeweiligen Berührungspunkte angibt, so erhält man durch den Inbegriff der Werte (4) eine Vorstellung von der Richtungsveränderung der Kurve, also auch von der Schnelligkeit, mit der sich die Ordinate oder die Funktion ändert, wenn sich die Abscisse stetig ändert.

Die Tangente durch den Punkt G, der nach unten am weitesten von der Abscissenachse absteht, muss parallel zur Abscissenachse sein. Setzt man also a — 0, so folgt aus (4)

x = 0,5.

Dieser Wert von x ist die Abscisse A H des tiefsten Punktes G. Setzt man diesen Wert x = 0,5 in Gleichung (1), so erhält man als Ordinate des tiefsten Punktes: GH = —2,25.

In den Punkten E und L schneidet die Parabel die Abscissenachse. Für diese Punkte ist y = 0, also nach (1)

x² — x - 2 = 0,

2 x - 1 = 0,

x = 0,5 + 1,5.

Der eine Wert x = 0,5 + 1,5 = 2 ist die Abscisse des Punktes E, der andere Wert x = 0,5 — 1,5= — 1 die Abscisse des Punktes L. Setzt man diese Werte für x in Gleichung (4), so erhält man für die Richtung der Kurve

im Punkte E . . . tang a — + 3, im Punkte L . . . tanga = — 3.

Die Tangente in E bildet also mit der positiven Richtung der Abscissenachse den gleichen Winkel, den die Tangente in L mit der negativen Richtung dieser Achse macht.

Für diesen Punkt

Die Kurve schneidet die Ordinatenachse in K. ist x = 0, also nach (4) tang a = — 1.

Für x = +• co wird tang a = + co ; also stehen die Kurven-Ele-mente, die rechts und links von der Ordinatenachse unendlich weit vom Anfangspunkte entfernt liegen, senkrecht auf der Abscissenachse.

13. Differentiation einer Potenz mit ganzem positiven Exponenten.

Es sei

(1)

y =

wo der Exponent jede positive ganze Zahl bezeichnen kann. Wenn x in x + A x übergeht, so wird y zu y + A y- Deshalb wird sein

(2)

y + A y — (x + A x)u.

Durch Entwickelung nach dem binomischen Lehrsätze erhält man

y + A y = x'¹ + n x"-¹ A X +

n(n-l)

v 1-2

xu-2 x)² +

n (n — 1) (n — 2)

x11 3 (A x)³ + ..

Zieht man y = x¹* hiervon ab und dividiert durch A x, so folgt n(n-l)

n (n — 1) (n — 2)

A y

A x

Lässt man hierin A x gegen die Null konvergieren, so nähert sich der Wert der rechten Seite der Grenze nxI1_1; folglich erhält man für den Fall, wo A x verschwindend klein wird,

d y    .

-A- = n x¹¹“¹

— n x"_1 +

1-2

x¹¹⁻² A x +

1-2-3

nn-3(A x)² -f ..

oder auch, indem man x“ statt y schreibt und mit dx multipliziert,

d x¹¹ = n x“—1 d x.

Das Differential der Potenz x“ wird also erhalten, wenn man den Exponenten n zur Vorzahl macht, den Exponenten um 1 vermindert und mit dem Differentiale der Grundzahl x multipliziert.

Beispiele.

(3)

y = x;

oder

dy

y = x³;

d y = 3 x² d x oder

a P-

= l;

dx

= 3 x² ;

f(x) = x⁷;

d f (x) — 7 x⁶ d x oder

df(x)

= 7 x⁶.

14. Differential einer Funktion mit konstantem Faktor.

gebene Funktion sei

Die ge-

(1)

y = a f (x),

worin a einen konstanten Faktor bezeichnet, ist nach dem bisherigen Verfahren

Setzt man f (x) = u, so

y + A y = a (u + a u),

A y = a (u + A u) — a u = a A u.

Setzt man hierin au statt y und geht zum Differential über, so ist

d a u = a d u, d a f (x) = a d f (x).

(2)

Hieraus folgt, dass der konstante Faktor bei der Differentiation unverändert aus der Funktion in das Differential übergeht, und dass dieser Faktor vor oder hinter das Differentialzeichen d gesetzt werden kann.

Beispiele.

I. Wenn

so wird d y = 6 x² d x ;

d y = 20 a x⁴ d x.

y = 2 x³,

y = 4 a x⁵,

II. Der Radius eines Kreises sei x, seine Fläche F; es ist F = 7rx². Durch Differentiation dieser Gleichung erhält man

d F = 2 n x d x.

Autenheimer, Elementarbuch.

’Geht daher x in x + dx über, so nimmt die Kreisfläche zu um eine Ringfläche, deren Länge 2 n x und deren Breite d x ist. Diese Ringfläche ist das Differential der Kreisfläche.

Dividiert man den Wert von dF durch jenen von F, so ist

dF

= 2-hi.

von x

io ooo

Beim Uebergange von x in x + dx nimmt daher die Fläche zweimal so stark zu als der Radius. Wenn z. B. die Zunahme dx zu 1 angenommen wird, so beträgt die Zunahme d F    von der Fläche F.

Dies gilt streng genommen nur von unendlich kleinen Aenderungen.

III. Der Radius einer Kugel sei x, ihr Volumen V; dann ist 4

— 7tx³, folglich durch Differentiation 3

dV = 4/ix²dx.

Nimmt daher x um dx zu, so wächst das Volumen um eine Hohlkugel von der Oberfläche 4ttx² und der Dicke dx, nimmt also zu im V erhältnis

dx

15. Differential eines Aggregates. Dieses Aggregat sei

(1)

y = A + f (x) 4- <P (x) 4- ..

worin A ein konstantes Glied bezeichnet. Setzt man f (x) — u, (f (x) = v, und führt die gleichzeitigen Werte x+Ax,y + Ay, u + A u, v -f- A v ein, so kommt

y + A y = A -f (u + A u) + (v + A v) -f . .

Ay = Au+Av-f ..

Geht man von der Differenz zum Differentiale über, so ist

(2)

dy = du-j-dv+--

d y = d f (x) + d <f (x) +

Somit ist das Differential eines Aggregates gleich der Summe aus den Differentialen der einzelnen Glieder und das Differential eines konstanten Gliedes gleich Null.

Beispiele.

= a-f b x-j-ex², dy = b dx -j- 2 exdx;

= xm — b xn

d y = (m xm_1 — n b x¹¹⁻¹) d x.

II. Sind p und q die Katheten, s die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, so ist s² = q² + p². Denkt man sich nun die Kathete q konstant, lässt jedoch p stetig wachsen, so nimmt auch die Hypotenuse stetig zu. Die Differentiation gibt

s d s = p d p.

Es entstehen also zwei Rechtecksflächen von gleichem Inhalte. Da nun s immer grösser ist als p, so wird ds kleiner als dp, d. h. die Hypotenuse ändert sich weniger rasch als die Kathete.

III. In einer cylindrischen Röhrenleitung vom inneren Durchmesser D und der Länge L bewege sich Wasser mit der Geschwindigkeit v ; wird auf diese Geschwindigkeit ein Gefälle H verwendet, so ist nach Prony

H == (a v + b v²)

in welcher Gleichung a und b konstante Zahlenwerte bedeuten. Nimmt nun auf einmal H um d H zu, so wird die Geschwindigkeit v um d v steigen, während alle anderen Grössen der Gleichung dieselben bleiben. Welches Verhältnis besteht zwischen diesen Zunahmen?

Die Differentiation der gegebenen Gleichung gibt

d H = (a + 2 b v) —— d v,

woraus das Differentialverhältnis d H : d v hervorgeht. Dividiert man aber die zweite Gleichung durch die erste, so wird

dH

--■

a + 2 b v d v a-f bv

Nun ist a sehr klein gegen b (nur circa 0,05 von b) ; daher der Zähler des zweiten Bruches fast nahe zweimal so gross als dessen Nenner. Mithin wächst das Gefälle zweimal so rasch als die Geschwindigkeit.

IV. Bezeichnet t die Temperatur des Wassers und q die Anzahl Wärmeeinheiten oder Kalorien, die nötig sind, um 1 kg Wasser von 0 Grad auf die Temperatur t zu erwärmen, so ist nach Régnault

(1)

q = t + 0,000 02 t² + 0,000 000 3 t³.

Hieraus folgt durch Differentiation

(2)

= 1 4 0,000 041 + 0,000 000 91².

Nun ist dq die Wärme, die 1 kg Wasser erfordert, wenn seine Temperatur um dt zunehmen soll. Ist nun c jene Wärme, die für 1 kg nötig ist, damit die Temperatur um 1° steige, also die spezifische Wärme des Wassers, so verhalten sich, innerhalb der kleinen Aenderungen, die Temperaturzunahmen dt und 1° wie die entsprechenden Wärmezunahmen dq und c, so.dass man hat

= c,

d t : 1 = d q : c, woraus

daher nach Gleichung (2) die spezifische Wärme des Wassers c = 1 + 0,000 041 + 0,000 000 91².

16. Differential eines Produktes von Funktionen derselben Variabein.

Es sei

y = uv,

V8V~

U„4 1

d J f (x) d x = f (x) d x;

(2)

|-7rp2 + C.

P y3

+ c.

(3)

dp

(3)

„ ,..r,E + r , bv (K2 + r2) (H + Ol

J v3 V V3

b’ U

dy

f'(-l) = A-r(-l) + B-9(- O;

dy

a+Kxdx;

z = f (x, y).

8 pR

Ff+p'

(6)

«‘-Pt + TpL;

d2 x

«d * • *+° - i [(4f) + (tt)2+(4£T

= f(x>y)-

Tragvermögen eines prismatischen Stabes 223; eines

(1)

y = uv,

wobei u = f (x), x = (f (x) stetige Funktionen derselben Veränderlichen x sind. Nimmt x um Ax zu, so wird y um A y, u um Au und y um A v zunehmen, so dass man erhält

y H- A y = (u + A u) (v + A v),

Ay = uAv + vAu + A u A v,

A u A v

Ay

H- v

A x.

so nimmt das Produkt Ax bis zum Verschwinden ab, d. h. es nähert sich das

Wenn A x ohne Ende gegen 0 abnimmt Au Av Ax Ax

dritte Glied der rechten Seite dem Werte 0; folglich erhält man durch den Uebergang von der Differenz zum Differentiale

dx ¹¹ dx oder, indem man mit dx multipliziert,

(2)

d y = u d v -f- v d u.

Somit ist das Differential > des Produktes zweier Funktionen derselben Veränderlichen gleich dem ersten Faktor multipliziert mit dem Differentiale des zweiten, plus dem zweiten Faktor, multipliziert mit dem Differentiale des ersten.

so er-

Dividiert man die Gleichung (2) durch die Gleichung (1) hält man die Form

(3)

Ist y = u v w ein Produkt dreier Funktionen derselben Veränderlichen, so erhält man durch dasselbe Verfahren

d y = u vdw-fuwdv-f vwdu

oder

d y du d v d w

d y = (— 1 + 2 x — 3 x²) d x; d y = — 2 x d x ; d y = x⁴ (5 a² — 7 x²) d x.

Das in diesen Gleichungen enthaltene Gesetz ist leicht erkennbar. Beispiele, y = (1 — x) (1 -f- x²), y = (a + x) (a — x), y = (a² — x²) x⁵,

17. Differential des Uuotienten zweier Funktionen derselben Veränderlichen.

Es sei

wo u — f (x), v — cp (x) stetige Funktionen derselben Veränderlichen x sind. Wächst x um A V so geht y in y -)- A y, u in u + A u und y in v + A v über, so dass man erhält

u -+- A u v + A v’ u + A u

_ v A u — u A v v v (v + A v)

A v

₌    A x

x v (v + A v)

Beim Uebergange zur Grenze erhält man, da A v im Nenner mit A x gegen Null konvergiert,

Ay =

[>l!>

du

dv

v -j—    — u —

d x    d x

v²

oder nach Multiplikation mit dx

(2)

v²

Das Differential eines Bruches aus zwei Funktionen

derselben Veränderlichen ist also gleich dem Nenner, multipliziert mit dem Differentiale des Zählers, minus dem Zähler mal dem Differentiale des Nenners, alles durch das Quadrat des Nenners dividiert.

Dividiert man die Gleichung (2) durch die Gleichung (1), so er

hält man

(3)

dy

du d v

Einfacher folgt diese Gleichung aus der Gleichung (3) des § 16 ; ist

nämlich y = —, so ist u = v

woraus die Gleichung (3) sofort erhellt.

Beispiele.

v y, und man hat - =

u

dy

a + x a -f- x

dy =

dy =

(a + x) 2 a d x

(a — x)2 — 2 a x d x

b² -f x²

(b² + x²)2 7 2 a + b + b x (1 — x)³

i8. Differential einer Potenz mit beliebigem Exponenten. Für einen ganzen positiven Exponenten gilt nach § 13 die Regel

d xn = n x¹¹⁻¹ d x.

(1 - X)²

dy =

d x.

(2)

Nun sei zunächst die Potenz x~u zu differentiieren, in der der Exponent eine ganze negative Zahl sein soll. Setzt man

y = x~",

oder auch y xn = 1.

so wird y =

J x¹¹

Hierin ist die linke Seite ein Produkt aus veränderlichen Faktoren, die rechte Seite aber konstant; daher gibt die Differentiation X" d y -f n y x,1_1 d x = 0, woraus folgt, wenn durch x¹¹ dividiert wird, d y — — n y x—1 d x,

(3)

oder indem man rechts den Wert von y aus (2) einführt, dy = - nx~n_1 d x.

Daher gilt für negative Exponenten die gleiche Regel wie für positive.

Es sei ferner der Exponent ein positiver oder negativer Bruch. Die Potenzen dieser Art haben die Form *

_p

(4)

y = x «,

worin p und q positive oder negative ganze Zahlen bezeichnen. Potenziert man (4) mit q, so folgt y*J = x¹’. Daher durch Differentiation

Da aber nach (4) yi

q y¹*⁻¹ d y = p x1)_1 d x; d y =

E(q-l)

-i

, so wird

p x'¹

q yq

d x.

(5)

d x.

p — — i d y = — x '!

Das Gesetz, das in (5) enthalten ist, stimmt mit dem in (1) und

(3) überein. Daher gilt für gebrochene Exponenten die gleiche Regel wie für ganze.

Im Vorstehenden wurden die Exponenten als rationale Zahlen vorausgesetzt. Allein die Regel gilt auch, wenn die Exponenten irrationale Zahlen sind, weil man diese immer als Grenzen ihrer rationalen Näherungswerte auffassen kann.

Beispiele.

d x“¹ = — x~- d x;

dx“⁴ = — 4 x⁻⁵ d x;

1 i __L dx² = — x ² dx;

- 2 d x³ = —

rx

= d (a x~²)

= — 2 a x_ 3 d x = —

2 adx

x³

= d (a + b x) x_ 1 = d (a x~¹ + b) =

adx

x²

19. Differential einer Quadratwurzel. Es sei

(1)

Setzt man (f (x) = z, so kann man schreiben

y = z ²~.

Folglich erhält man nach Gleichung (5) § 18 über das Differential einer Potenz

dy=YZ

2 y z ’

oder, wenn man wieder die ursprünglichen Zeichen einführt,

(2)

dN(x) =

d (f (x)

2 y>(x)

Somit ist das Differential einer Quadratwurzel gleich dem Differentiale der Grösse unter dem Wurzelzeichen, dividiert durch das Doppelte der Quadratwurzel.

Beispiele.

d y a, x = "K a

2yx’

dy2ax — x² =

(a — x) d x y2ax — x²

dx

2 |Aa — x

d(a + x)ya-x = ^    .

2 y a

dfx—yx²—i

2 x² yx² — 1

20. Differential eines Logarithmus. Die gegebene Funktion sei

(1)

y = alog x.

Setzt man die gleichzeitigen Werte x + A x uüd y + Ay ein, so erhält man

y + A y = alog (x + A x),

Ay = alog (x -f A x) — alog x, x + Ax

Ay = alog

= alog 1 -f

x

Multipliziert man diese Gleichung mit

so erhält man

(2)

Ay

—— x =

-— alog \ 1

\ X V

Wählt man A x so, dass

A x

bezeichnet werde, so geht (2) über in

A x x

:— eine ganze positive Zahl ist, die mit n

Ay

—— x =

A x

Hierin nähert sich die rechte Seite mehr und mehr einer bestimmten Grenze, je kleiner A x, je grösser also n wird. So erhält man für gemeine, briggische Logarithmen für

Werte von

(3)

n “log r 1 H--N1 = “log ( 1 + —^ .

\ n J \ n J

die entsprechenden von log ^1 -j-    ;

= 100 ; 1000 ; 10 000 = 0,432 1: 0,434 1; 0,434 3.

Für n = 10 000 ist der letzte Wert so genau, dass er, wie in § 71 gezeigt wird, mit dem Grenzwerte verwechselt werden darf. Aus (3) folgt daher, wenn A x zu d x übergeht,

^x

dx

= 0,434 3

also, wenn y = logx gesetzt wird, für briggische Logarithmen

(4)

d log x = 0,434 3

dx

Um nun den genauen Grenzwert der rechten Seite von (3) für ein beliebiges Logarithmensystem zu ermitteln, entwickele man nach dem binomischen Satze in eine Reihe und erhält

1 V¹

1-2

1 ! n (n — 1)^ 1

n(n — l)(n — 2)/ 1\³

1-2-3

V.T

n (n — 1) (n — 2)... 3 • 2 • 1 ^ 1 y

1-2-3...n

3\ 1

n/ 4 !

TT + -..+

Die Glieder sind sämtlich positiv; mit wachsendem n wachsen nicht nur die einzelnen Glieder vom 3. ab, sondern es wächst auch ihre Anzahl

behält einen endlichen Wert.

und damit ihre Summe, aber f 1 + —-^

Offenbar ist ( 1 -j-

ly

>2.

Ersetzt man die echten Brüche ( 1 —

IO

u. s. w. alle

'S -

— die grösseren Werte

durch 1 und schreibt für    , ...

3 ! 4 ! n !

₂3> •••ös=r» 80 fo1^

r-r < 3;

2'i-i

l Y¹

1 + n) <1+ 1 + T⁺ 2*

2³

2n 1

aber es ist

+ •- +

2,,_l

folglich gilt für jeden Wert von n

Schreibt man nun

²<(i+iy

<3.

0+t)"

— Sm + R,

worin Sm die Summe der m ersten Glieder der Entwickelung, R die Summe der übrigen bezeichnet, so dass

3!

Jr

(m - 1) !’

ml

(m + 1) !

+ . . .+

n — 1\ 1 n ) n

so kann man schreiben

J m ! L \ n ym+1

(m + 1) (m + 2)    ‘ ’

n — 1

(m + l)(m + 2)...n_

. . sämt

Ersetzt man hierin die echten Brüche 1 —

lich durch die grössere Zahl 1 und schreibt in der Klammer für

; u. s. w. die grösseren

Werte

(m -f 1)

2) ’ (m + 1) (m + 2) (m + 3) ’

1

₃; . •

(m + 1)

. . , so ist jedenfalls

oder

R < Ï! O +

m + 1 (m -f- 1)

(m + 1)

n—m

u—m-t-l

RC-

ra + 1

also erst recht

R<-

¹--¹~r

m+ 1

oder

R<

Man hat also

<C S m -f-

Lässt man jetzt m unverändert, n aber über alle Grenzen wachsen, so

konvergieren in Sra die Brüche — ; —

n n

Sm nähert sich dem Grenzwerte

Sm= l + lH-27 + gy+--> +

ES 08

; . . . gegen die Null und

(m - 1) !’

Setzt man fl -1--^

diesem Grenzwerte gleich, so ist der Fehler,

1 m -f-1

der dabei gemacht wird, positiv, aber kleiner als —₇ ——-, kann also

m ! m

durch passende Wahl von m beliebig klein gemacht werden. Man hat also

(5)

lim

¹ (1 + vT⁼

CO ^    '

!+ i+l; + lr + |i +

n =

wobei man einen um so genaueren Wert erhält, je mehr Glieder man berechnet. Löst man die Brüche rechts in Dezimalbrüche auf, so findet man als Summe der Reihe

(6)

lim

= 2,718 281 828 ... .

n — cc

Diesen Zahlenwert bezeichnet man mit e, so dass e durch die Gleichung

'S

n co

definiert wird. Die Zahl e ist, wie H ermite bewiesen hat, transcendent, d. h. sie ist nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten.

Die Ableitung setzte n als ganze Zahl voraus; es ist aber gleichgültig, wie n ins Unendliche wächst, ob es eine kontinuierliche oder diskrete Zahlenreihe durchläuft, stetige Variable v, so liegt v, wenn es keine ganze Zahl ist, stets zwischen zwei ganzen Zahlen n und n+ 1, so dass

Ersetzt man nämlich n durch die

n < v < (n + 1), oder ^1 +    > Çl +    > (^1

also erst recht

1+ —

>14

1 V¹

n + ly

ist. Nun konvergieren aber f 1\u+1

(¹⁺t)

beide mit wachsendem n gegen die Grenze e, also ist allgemein

lim ( 1 -f y = OD ^

¹ v

—    = e.

v;

Man erhält nunmehr aus Gleichung (3)

Yx

dx

= alog e

oder

(7)

dx

d “log x = alog e ——,

in dieser Gleichung ersetzt aloge die Zahl 0,434 3 der Gleichung (4).

Man hat nun e als .Basis eines Logarithmensystems gewählt, nennt die entsprechenden Logarithmen natürliche oder hyperbolische und pflegt sie kurz durch l zu bezeichnen. Für sie ist le — 1, so dass dia Gleichung (7) lautet

(8)

dx

Das Differential des natürlichen Logarithmus einer veränderlichen Grösse wird also erhalten, wenn man das Differential der veränderlichen Grösse durch diese Veränderliche dividiert.

Die Formeln (3) der § 16 und 17 folgen sofort aus (8).

1st

nämlich

y = UV

oder y = —

so hat man

ly — Im Ix oder ly = lu —Ix,

also durch Differentiation

oder

dy du dv

d y du d v

d (x l x) = (1 -f l x) d x;

d l x² =

Beispiele.

dx

d l (a + x) = —:— a 4- x

d l (x -f Y\ + x²) =

yr+xV

(/ x — 1) d x

(W ‘

21. Differential der Exponentialgrösse ax. In dieser Grösse sei die Basis konstant. Schreibt man

dx

d (l x)¹' = n (l x)¹'-¹ • —

(1)

y = ax

und nimmt auf beiden Seiten die Logarithmen, so ist

ly = x l a.

Durch Differentiation dieser Gleichung ergibt sich nach § 20 und 14

(2)

dy

= dx l a.

Schreibt man hierin ax für y, so folgt

das = axdxL.

(3)

Das Differential der Exponentialgrösse ax ist also gleich dieser Grösse, multipliziert mit dem Differentiale des Exponenten und dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Wenn die Grösse a zur Basis der natürlichen Logarithmen wird, also den Wert e = 2,718 28 . . hat, so ist le = 1 und Gleichung (3) geht über in

(4)

d ex = ex d x.

Durch Division dieser Gleichung durch ex folgt d ex

ex

= d x.

Denkt man sich nun die Gleichung y = ex geometrisch dargestellt und lässt man x sich stetig ändern, so entsteht die Proportion d y : y]= d x : 1. Wenn, wie dies gewöhnlich geschieht, dx konstant bleibt, so ist auch das Verhältnis dy:y der ganzen Kurve entlang konstant.

Beispiele.

d ex (x — 1) = ex x d x;

de^ = e^x .

dx

d e-x2 = — 2 x e~x'² d x ;

VT. _

dx

2 K x'

22. Differential der Exponentialgrösse (ff (x))x. Schreibt man

(1)

y = Ux

und nimmt auf beiden Seiten die Logarithmen, so erhält man

ly = x lu.

Wird differentiiert und berücksichtigt, dass u eine Funktion von x ist, so erhält man nach § 20 und 16

dy

+ / ud x,

(2)

und hieraus, wenn der Wert von y eingeführt wird, d y = x ux_1 d u ux / u d x oder

d y = x (</ (x))x-x d (p (x) + (<f (x))x l<p(x)d x.

Somit besteht das Differential aus zwei Teilen; der eine Teil wird erhalten, wenn man in (cp (x))x den Exponenten konstant, der andere Teil, wenn man die Basis konstant betrachtet.

Beispiele.

d y = xx (1 -f- l x) d x;

— (a — x)x ; d y = (— x (a — x)x-x + (a — x)x l (a — x)) d x.

23. Differential eines Sinus. Es sei

= xx;

(1)

y = sin x ;

lässt man x in x + A x übergehen, so wird y zu y + A y und man erhält

y + A y = Sin (x 4- A x)

A y = sin (x -f- A x) — sin x

= 2 cos ^x +    sin ■%

sin

= cos

Lässt man A x gegen die Null konvergieren, so konvergiert

sin

Ax

A gegen die 1 (§ 9), cos (x +

gegen cos x.

Man hat daher

(2)

d sin x = cos x d x.

Das Differential des Sinus eines Bogens ist also gleich dem Cosinus dieses Bogens, multipliziert mit dem Differentiale des Bogens.

Beispiel e.

d sin 2 x = cos 2 x d 2 x = 2 cos 2 x d x ;

(f cp    cp

d sin — = cos — d — = | cos — d cp ;

d sin x cos x d x 2 \ sin x 2 Ysin x d(sinx)²    2cosxdx

<(

d y sin x =

d l (sin x)² =

sin x²

sin x

24. Differential eines Cosinus. Ist

(1)

y = cos x,

so erhält man analog der Entwickelung des § 23 A y = cos (x + A x) — cos x,

= — 2 sin

f . Ax\ . A

(x + ir>mT

Ay

= -sto(x + i¥)

. A x

s>„—-

also, da sin ^x

für Ax = 0 zu sin x wird.

Fig. 4.

25. Aufgabe. In einem Dreiecke sei ein Winkel fehlerhaft gemessen worden. Es soll angegeben werden, welchen Einfluss dieser Fehler auf die dem Winkel gegenüberliegende Seite ausübt.

Sind a, b, c die Seiten (Fig. 4) und a, ß, y die ihnen gegenüberliegenden Winkel, so besteht folgender Zusammenhang

b² = a² + c² — 2 a c cos ß.

Denkt man sich hierin a und c als richtig gemessen, also als konstante Grössen, gibt aber dem Winkel ß eine kleine Aenderung, so wird

(2)

d sin x cos x = (cos²x — sin²x) d x = (1 — 2 sin²x) dx;

— n sin x cos x¹¹⁻¹ d x

d l (cos x)¹¹ =

d cos x"

sin x

cos x“

cos xn

cos x

d x.

sich auch die gegenüberliegende Seite b ändern. Die Differentiation von (1) gibt

(2)

b d b = a c sin ß d ß.

Da nun aber hierin csinß ersetzt werden kann durch bsin^, so geht (2) über in

(3)

d b = a sin y d ß.

Fällt man von dem Scheitel des Winkels

der geändert worden, das Lot BD = z auf die gegenüberliegende Seite, so ist z = asiny; folglich aus (3)

(4)

d b = z d ß.

Betrachtet man nun d ß als Fehler, der dem Winkel ß anhaftet, so ist db als der Fehler anzusehen, der sich daraus für die Seite b ergibt. Dieser Fehler ist daher dem Lote z proportional. Für alle möglichen Werte von ß schwankt z zwischen 0 und a. Den grössten Wert a erreicht z, wenn das Dreieck in C rechtwinkelig ist; also tritt auch bei dieser Dreiecksform der grösste Fehler an der Seite b ein.

Ist ßi das Bogenmass in Minuten von d ß, so hat man (§ 5) d ß : 2 n = ßi : 360 • 60,

woraus

also

dß = 0,000 290 88 ßi,

db = 0,000 290 88 ßt z

folgt. Für 1000 m Lothöhe und 0,5' Winkelfehler wird hiernach der Fehler der gegenüberliegenden Seite

d b = 0,145 44 m.

26. Differential der Tangente und Cotangente. Es ist

sin x cos x ’

tang x —

cotang x =

cos x

sin x ’

Da die Differentiale von sin x und cos x bekannt sind, so erhält man nach der Kegel über die Differentiation eines Bruches (§ 17)

,    cos²x 4- sin²x

d tang x = —=-

cos²x

d x, d cotang x =

— sin²x — cos²x

sin²x

d x.

d tang x =

dx

d cotang x = —

dx

cos²x

Um die übrigen, weniger gebräuchlichen, trigonometrischen Funktionen zu differentiieren, berücksichtige man die Relationen

sin'²x ’

sin x ’

secx =-,

cos x

sin vers x — 1 — cos x, cosec x =

cos vers x = 1 — sin x.

Es folgt unter Anwendung vorangegangener Regeln

d sec x =

sin x

COS²X

d x, d cosec x = —

COS X

sin²x

d sin vers x = sin x d x, d cos vers x = — cos x d x.

27. Differentiale (ter cykl «me tri scheu Funktionen. Es sei

(1)

y = arc sin x ;

dann ist x = siny; durch Differentiation dieser Gleichung folgt dx = cos y d y = j/^1 — sin²y d y = y 1 — x² d y,

woraus sich ergibt

(2)

d y = d arc sin x =

V 1-x² '

1st

(3)

y = arc cos x,

so ist x = cos y und

dx = — sin y d y = — Y"l — cos²y d y = — Vl — x² d y,

woraus

(4)

d y = d arc cos x = —

Die Funktion

(5)

y = arc tang x

ist die Umkehrung von x = tang y. Durch Differentiation dieser Gleichung erhält man d x = sehen Formeln

dy

cos \v

Nun ist nach bekannten trigonometri-

cos²y —

■ - , —--s— — ——^——, so dass man erhält d x = (1 4- x²) d y,

1 + tangly 1 + xz

oder

(6)

d y = d arc tang x =

Ist endlich

(7)

y = arc cotang x,

so gehört diese Funktion zu x = cotangy, aus der durch Differentiation ; nun ist sin²y =

folgt d x = —

dy

sin²y

hält also d x = — (1 + x²) dy oder

1 + cotang²y 1 + x²

; maner-

(8)

d y = d arc cotang x = —

dx

1 + x² ‘

Der Vollständigkeit wegen seien noch angegeben

(9) d arc sec x =

dx

; d arc cosec x = —

dx

x Vx-² — 1

die in analoger Weise abgeleitet werden können.

x } x ² -~l

Beispiele.

dx

d arc sin • —

Ka² - x²

d arc cos \ 1 — x =

— dj/ 1 — x

Ki-(i-x)

dx

2 V x ( 1 — x)

d arc tang

sv

y,

l/L

dx

2 (i + x) y x

d arc cotang (x²) ==

d (x²)

1 + x⁴ '

28. Differentiation der Funktionen von Funktionen. Die veränderliche Grösse einer Funktion ist öfters eine Funktion einer andern veränderlichen Grösse. Dies ist z. B. der Fall in den Ausdrücken

1 + x⁴

; mithin

Setzt man (f³ (x) = z, so ist y = / z, dy =

d l (f (x) =

Hieraus erhält man unmittelbar

d I (a — x) = —

d / sin x =

COS X

sin x

d x.

a — x

IV. Zu differentiieren y = ax + 2x2.

Für x -j- 2 x² — z erhält man y = az, d y = a7, d z I a, d z = (1 + 4x)dx; folglich, indem man z durch x ausdrückt,

d y = ax +2 x 2 • ( 1 -f 4 x) d x • I a.

V. Es sei ferner y = eil .

Schreibt man ax = z, so ist y = ez, d y — ez d z, dz = as/adx;

folglich

/ d y = eil •axladx.

Auf diese Weise können folgende Gleichungen abgeleitet werden

1 -- x²

d cos l x == —

d arc sin

1 + x²

1 +. X² ’

dl

Vi + x + Ki - x

x ]Ai - x² ’

Kl + X — Kl — x d (sin x)x = x (sin x)x—1 cos x d x -f- (sin x)x d x l sin x.

29. Allgemeine Darstellung des Differentials einer Funktion einer Funktion. Ist y eine stetige Funktion von z, und z eine stetige Funktion von x, also

y = F (z) ; z = f(x), so ist auch y eine stetige Funktion von x, die geschrieben werden kann

y = F [f (x)],

so dass y eine Funktion einer Funktion von x ist. Differentiiert man die Gleichungen (1), so ist nach der bisherigen Bezeichnuugsweise

d y = d F (z) ; d z = d f (x).

Allein d F (z) nimmt in der Ausführung die Form F' (z) dz, d f (x) die Form f' (x) d x an, worin

(1)

(2)

(3)

(4)

dy

F' (z) = -p- ; f'(x) = d z

dx

die Differentialquotienten bezeichnen. Man erhält aus (4) d y = F' (z) dz; d z = f' (x) d x.

Setzt man in die erste dieser Gleichungen die Werte von y, z und d z ein, so erhält man als gesuchtes Differential

(5)

d F [f (x)] = F' [f(x)].f'(x)dx.

II. Die gegebene Funktion sei y = sin y a² — x².

Schreibt man j^a² — x² = z,

Führt man in die letzte Gleichung ein cos z = cos |^a² — x² und x d x

so ist y = sin z, d y — cos z d z.

dz = -

y a² — x²

, so wird

y a² — x2 III. Es sei gegeben y — I (f (x).

cos

Va²J— x².

Man kann die Differentialquotienten (4) noch in der 4 orra andenten _ d F (z) d z d z ’

also die Differentiale bezeichnen mit d F (z)

dy

₌ df(x>

dx dx ’

dy =

• d z,

df(x)

• d x,

und daller die Gleichung (5) schreiben in der Form

d F [f (x)] d f (x) d f (x)

oder mit Beibehaltung der Bezeichnung (1)

d y dz dz d x

Ist y eine stetige Funktion von z, z eine solche von x, so ist das Differential von y gleich dem Produkte aus dem Differentialquotienten von y nach z, dem Differentialquotienten von z nach x und dem Differentiale von x.

> Ist die Abhängigkeit der Grösse y von der Grösse x vermittelt durch die Gleichungen

y = F(u);

so gilt entsprechend (7)

(6)

(7)

(8)

(9)

d F [f (x)] =

dy =

dy-

dx

• d x,

• d x.

u = f(z);

z= (f (x),

Cl! O.

du dz dz d x

dx.

30. Das Dilterenlial einer Funktion zweier Funktionen. Die in den

§§ 15, 16, 17, 29 abgeleiteten Differentialformeln sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes über das Differential zusammengesetzter Funktionen.

Es seien u und v stetige Funktionen von x, und y eine stetige Funktion von u und v, also

u = 9>(x);

y - f(u,v);

Lässt man x in xf Ax übergehen, so werden gleichzeitig y, u und v zu y -f A y, u -|- A u und v + A v, und es ergibt sich

(1)

\ =ip (x).

y + a y = f (u + A U, V + A v)

A y — f (u + A u, v + A v) — f (u, v) f (û + A u, v + A v) — f (u, v)

Ay

Dafür aber kann geschrieben werden

f (u + A u, v + A v) — f (u, v -f A v) An

Ay

f (u, v + A v) — f (u, v) Av

Nun ist f(u, v + A v) — f (u, v) die Differenz zweier Werte derselben Funktion, in denen die Variable u denselben Wert, die Variable v verschiedene Werte hat, so dass gewissermassen u als konstant betrachtet und nur v als variabel angesehen wird. Geht man zur Grenze über, so ist

lim

f (u, v 4- A v) — f (u, v)

Av = 0

der Differentialquotient der Funktion f (u, v), wenn u als konstant, v als variabel angesehen wird. Solche Differentiation nennt man partielle Differentiation und das Resultat den partiellen Differentialquotienten der Funktion f (u, v) nach v und schreibt nach Jacobi mit gebogenem d

(3)

d f (u, v)

lim

f (u, v + A v) — f (u, v)

Av = ö

und ebenso

(30

à f (u, v)

lLn

t (u + A u, v) — f (u, v)

so wird

Geht man jetzt in Gleichung (2) zur Grenze A x = 0 über,

A u _ d u A v __ d v A x d ' A x dx'Ax dx f (u, v + A v) — f (u, v) _ à f (u, v)

~ Av

Ay

Da aber die Differenz

f (u + A u, v + A v) — f (u, v 4- A v)

f (u + A u, v) — f (u, v)

A u

unter der gemachten Voraussetzung der Stetigkeit der Funktion mit abnehmendem A x die Grenze 0 hat, so ist

f(u+ Au,v-f Av) - f(u,v+Av)

lim

lim

f(u+ Au,v) — f(u,y)

df(u, V)

(4)

Die Gleichung (2) kann nunmehr geschrieben werden d y d f (u, v) du d f (u, v) d v

dx

oder

(5)

d (f u, v)

du-f

d f(u, v)

dv.

Ist also y = f(u, v) und u = </ (x) ; v= ip (x), so erhält man das vollständige Differential von y, indem man f(u, v) partiell

nach u und v differentiiert, diese partiellen Differentialquotienten entsprechend mit den Differentialen von u und v multipliziert und addiert.

Beispiele.

I. y = u -f y. (§ 15).

'-O

Cb

p |<c

Ob I Cb

also d y = d u -j- d v.

O.; Cb-

P ^

<1

Cu¹ Cu <« «»

also dy = vdu4-udv.

III. y = —. (§ 17).

Cu ;

£ \<<

rH

dy

— ; also d y =

v²

du -

V²

v²

IV. y = f (u).    (§29).

dy

= O; also dv = -— du. ’    J d u

ô y    d y    d y

du    du’ d v

31. Differentiation unentwickelter Funktionen. Die allgemeine Form solcher Funktionen (§ 3) ist f(x,y) = 0. Hierbei ist es gleichgültig, welche der Grössen x, y die unabhängig Veränderliche sei. Diese Gleichung wird differentiiert nach den Regeln, die über Summen, Produkte, Quotienten etc. entwickelter Funktionen aufgestellt wurden. Dadurch wird jedes Glied im Differentiale entweder dx oder dy als Faktor enthalten. Fasst man alsdann die Glieder mit dx, ebenso diejenigen mit dy zusammen, so erhält man eine Gleichung von der Form

Pdy-fQdx = 0,

in der P die Summe der Glieder mit dem Faktor dy und Q diejenige der Glieder mit dem Faktor dx bezeichnen, und aus der

dy

folgt.

I. Gegeben

so folgt

y Ix + x ay -f b = 0, l x d y + - d x 4- ^y d x 4 x ay d y / a = 0,

Cb

dy

y x⁻¹ + ay I x 4- x ay / a'

d f (x, y) d y

d f(x, y)

dx

IL 1st

so wird

b sin² (x y) — a = 0,

2 b sin (x -f y) cos (x + y) (d x + d y) = 0,

dy

= — 1.

Aus der gegebenen Gleichung ergibt sieb, dass sin (x -f y), also auch x -j- y konstant ist. Daher wird das Differential von x -|- y zu Null, d. h. es ist d x + d y = 0, woraus auch sofort das obige Differentialverhältnis hervorgeht.

32. Allgemeines Verfahren, unentwickelte Funktionen zu differen-tiieren. Wird in der Gleichung (1) des § 30 y = 0, lautet also die zwischen u und v, wo u und v irgend welche stetige Funktionen von x sind, bestehende Gleichung

(1)

f (u, v) = 0,

dy

so ist — = 0 und die Formel (4) des § 30 geht über in

df(u,v) du df(u, v) du d x

Setzt man jetzt u — x und führt für v als neue Bezeichnung y ein, so lautet die Gleichung (1)

(2)

(3)

f (x, y) = 0,

durch die y als unentwickelte Funktion von x definiert wird, erhält, da

Man

dx

dx

= 1 ist, aus (2)

dy

und hieraus

d f(x, y)

(4)

dy

d f (x, y)

Die Gleichung (4) kann auch geschrieben werden

d f (x, y)

(5)

d f(x, y)

dy -f

Eine Vergleichung mit Gleichung (2) des § 31 zeigt, dass die dort mit P und Q bezeichneten Grössen die Werte

d f(x. y)

df(x,y)

dy

haben.

Nennt man die beiden Teile der Gleichung (5) die partiellen Differentiale der Gleichung f(x,y) = 0, so ist das vollständige

(totale) Differential der Gleichung f(x,y) = 0 gleich der Summe der partiellen Differentiale.

Beispiele.

I. Aus der allgemeinen Gleichung vom zweiten Grade mit zwei Veränderlichen

A y² + B y x -f C x² -f D y -f- E x + F = 0

ergibt sich durch Differentiation:

Differential in Hinsicht y .    .    = (2 A y •+ B x + D) d y,

.    = (2 C x -f B y 4- E) d x,

Differential in Hinsicht x .

vollständiges Differential als Summe der partiellen

(2Ay + Bx + D)dy + (2Cx + By + E)dx = 0,

2 C x 4- B y + E 2A'y : B x -f D

— = 0; daher

Differentialquotient .

dy

‘•dx

II. Gegeben f (x, y) = Y a⁻² — x² sin y -f-1 —

fl

à f (x, y)

Differentialq. in Hinsicht x .

Differentialq. in Hinsicht y .

Y a- — x-    ¹¹

dy

cos y + -a

dy

Differentialquotient .

x sin y Y a² — x²

Y a² — x² cos y 4---

a — y

11. Maximum und Minimum der Funktionen.

33. Erklärung von Maximum und Minimum und Bestimmungsweise derselben. Denkt man sich die Gleichung y = f (x) oder f (x, y) = 0 geometrisch dargestellt und lässt die unabhängig Veränderliche x sich stetig ändern, so ist es möglich, dass die abhängig Veränderliche y, d. h. die Funktion von x, bis zu einem gewissen Werte AB (Fig. 5 u. 6) wächst und dann wieder abnimmt. In diesem Falle nennt man jenen grössten Wert der Funktion ein Maximum. Die Funktion kann aber

Fig 8.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

mm

Gr:/..:

A:

auch bis zu einem gewissen Werte CD (Fig. 7 und 8) abnehmen und sodann wieder wachsen. Alsdann heisst jener kleinste Wert der Funk-

tion ein Minimum. Maxima und Minima heissen auch extreme Werte der Funktionen.

Es ist möglich, dass eine Funktion keine Maxima- oder Minima-Werte hat, oder dass sie deren mehrere besitzt.

Uebrigens bezieht sich die Benennung Maximum und Minimum immer nur auf die unmittelbar benachbarten Werte. Wie aus Fig. 9, die eine Funktion darstellt, die zwei Maxima A B und E F und zwei

Fig. 9.

Minima CD und GH hat, ersichtlich ist, kann wohl ein Minimum grösser als ein Maximum sein. Es ist z. B. GH> AB. Dieselbe Figur lehrt ferner, dass, wenn eine stetige Funktion mehrere extreme Werte hat, diese nicht lauter Maxima oder Minima sein können, da nicht zwei Maxima oder Minima unmittelbar aufeinander folgen können, sondern dass Maxima und Minima abwechseln.

Legt man durch die Punkte A und D in den Figuren 5 bis 8 Tangenten an die Kurven, so müssen diese Tangenten parallel zur Abscissenachse x sein, weil die Nachbarordinaten zu beiden Seiten von AB kleiner als AB, und zu beiden Seiten von CD grösser als CD sind.

Wegen dieser Lage der Tangenten durch A und D muss nach § 10

dy

der Differentialquotient

der gegebenen Funktion = 0 sein.

Leitet man also den Differentialquotienten

dy

ab, setzt ihn = 0,

bestimmt daraus alle möglichen Werte von x und führt sie in die gegebene Funktion ein, so können die daraus hervorgehenden Funktionswerte Maxima- und Minima-Werte sein. Es ist jedoch nicht notwendig, dass sie solche sind. Denn die Werte von x, die aus der Gleichung

= 0 hervorgehen, können auch, wie die beiden Figuren 10 und 11

zeigen, andere eigentümliche Punkte E, H der Kurven anzeigen. In

beiden Kurven ist die Tangente durch die Kurvenpunkte E, H ebenfalls parallel zur Abscissenachse; allein beim ersten Punkte tritt eine Wendung in der Krümmung, beim zweiten eine Unterbrechung im Laufe eines oder mehrerer Kurvenäste ein. Der Punkt E heisst Wendepunkt, der zweite eine Spitze der Kurve.

34. Kennzeichen der Maxima und Minima der Funktionen. Es sei y = f (x) oder F (x, y) = 0 gegeben. Man stelle diese Funktion geometrisch dar. Die rechtwinkeligen Koordinaten eines Kurvenpunktes seien AB = x, BC = y (Fig. 12). Lässt man x übergehen in x -j- d x, so geht y über entweder in D E = y + d y oder in DG = y — d y, je nachdem die Ordinate um E F zunimmt oder um G F abnimmt. Im ersten Falle haben d x und d y gleiche, im zweiten Falle entgegengesetzte Vorzeichen. Daraus folgt:

dx

dy

dx

Fig. 10.

Fig. 11.

y\

a)    Wenn in einer Funktion y die unabhängig veränderliche x wächst und dabei dx und dy gleiche Vorzeichen haben, so wächst auch die Funktion y. Haben dagegen d x und d y entgegengesetzte Zeichen, so nimmt die Funktion y ab.

Fig. 12.

b)    Wenn in einer Funktion y die unabhängig Veränderliche x wächst und hierbei das Differential dy stetig von positiven Werten durch die Null in negative Werte übergeht, so wird die Funktion y wachsen bis zu dem Werte von x, der dy=0 macht, und sodann abnehmen. Folglich wird y ein Maximum, wenn d y = 0.

c)    Wenn    für wachsende    Werte von    x das Differential    dy stetig

aus    negativen    Werten durch    die Null in    positive übergeht,    so wird y

abnehmen bis zu dem Werte von x, der dy = 0 macht, und dann wieder wachsen. Folglich wird y ein Minimum, wenn dy = 0.

d)    Wenn    für wachsende    Werte von    x das Differential    dy stetig

aus    positiven    Werten durch    die Null in    positive oder aus    negativen

Werten durch die Null in negative übergeht, so wird im ersten Falle die Funktion y immer wachsen, im zweiten immer abnehmen. Also entspricht dem Werte von x, der dy = 0 macht, ein Wendepunkt der Kurve.

e) Wenn für die wachsenden Werte von x das Differential dy stetig aus positiven oder aus negativen Werten in die Null übergeht und der Wert von x, der dy = 0 macht, eine Grenze der Stetigkeit der Funktion gibt, die den Lauf der Kurve unterbricht, so entspricht diesem Werte von x eine Spitze der Kurve.

35. Aufgabe. Eine gerade Linie von der Länge a in zwei solche Teile zu teilen, dass das Rechteck aus beiden Teilen ein Maximum wird.

Ist der eine Teil der Strecke x, so ist der andere a — x und die Rechtecksfläche y = x (a — x). Mithin wird sein

y = a x - x²,

dy

dx

= a — 2 x.

= 0, so folgt a — 2x = 0, x = ia, Nun kann x,

dem Sinne der Aufgabe entsprechend, von x = 0 bis x = a wachsen. Wächst x von nimmt x von -]

Folglich wird y ein Maximum für x = | a, Mithin muss die Strecke in zwei gleiche Teile geteilt werden, wenn das Rechteck ein Maximum werden soll. Unter allen Rechtecken von gleichem Umfange hat somit das Quadrat den grössten Inhalt.

Setzt man

dx

bis |a, so bleibt dy positiv, also wächst auch y; bis a zu, so wird dy negativ, also nimmt y ab.

3b. Aufgabe. Zu zeigen, dass unter allen Rechtecken, die in einen Kreis beschrieben werden können, das Quadrat den grössten Umfang und die grösste Fläche hat.

Ist der Durchmesser des Kreises = a, der Winkel, den die Diagonale a des Rechtecks mit einer Rechtecksseite bildet = «, der Umfang des Rechtecks = u und dessen Fläche = y, so wird sein

u = 2a (sin « -f- cos «),

2 a (cos a — sin a)

y = a² sin « cos a

— a² (cos²« — sin²«).

Setzt man

= 0 und

dy

= 0, so folgt in beiden Fällen

sin « — cos a,

Der Winkel « kann sich hier von « = 0 bis a = ^ rx ändern. Wächst a von 0 bis \ n, so bleibt sowohl    du,    als auch dy    positiv;    also wachsen

auch u und y. Wächst a von    n    bis ^n, so    werden    du und dy

negativ; also nehmen u und y    ab.    Somit wird    sowohl    u als y ein

Maximum für a — -\n, also wenn das einbeschriebene Rechteck ein Quadrat ist.

37. Aufgabe. Es seien a, b zwei konstante Seiten eines Dreiecks und y der von ihnen eingeschlossene Winkel. Bei welchem Werte von y wird die Dreiecksfläche F ein Maximum?

Betrachtet man a als Grundlinie des Dreiecks, so ist b sin y dessen Höhe; folglich wird sein

dF

— ab sin y, A

-ab cos y.

Aus der Bedingung d F = 0 fol^t cos y = 0, y — n. Nun kann y sich von 0 bis n ändern. Nimmt y von 0 bis \n zu, so bleibt dF positiv, also wächst F ; nimmt y weiter von J- n bis n zu, so wird d F negativ, also nimmt F ab. Folglich wird F für y — ein Maximum. Die gegebenen Seiten müssen also rechtwinkelig żu einander stehen, wenn die Dreiecksfläche ein Maximum sein soll.

38. Aufgabe. Ein gerader Cylinder habe ein konstantes VolumenY. Aendert man das Verhältnis der Cylinderhöhe h uud des Halbmessers x der Grundfläche, so ändert sich auch die Oberfläche F des Cylinders. Bei welchem Verhältnis von h und x wird F ein Minimum?

F = 2 n x² + 2 n x h.

Für das Volumen und die Oberfläche des Cylinders hat man V = n x² h,

Weil die Fläche F sich nur auf ein gegebenes Volumen beziehen soll, so muss in der zweiten Gleichung für F die Grösse V eingeführt werden. Man erreicht dies, wenn man aus beiden Gleichungen h eliminiert. Dadurch erhält man folgende eine einzige unabhängige Grösse x enthaltende Gleichungen

F = 2n x² +

dF

dx

= 4 TI X —

2 V "x*⁻'

Setzt man den Wert von dF = 0, so findet man

¹

-|--■    = 1 + n

²

os x = — sin x d x.

Folglich ist das Differential des Cosinus eines Bogens gleich dem Sinus dieses Bogens, mit entgegengesetztem Zeichen genommen, multipliziert mit dem Differentiale des Bogens.

Beispiele.

d cos n x = — sin n x d n x = — n sin n x d x ;

³

(x + 2 x-), l sin x,    tang ~Ya² — x².

Solche Funktionen können durch eine passende Substitution oder Transformation immer auf eine der einfachen Funktionen gebracht werden, deren Differentiale bisher abgeleitet wurden. Einige Beispiele werden dies zeigen.

I. Es sei zu differentiieren y = (a 4- b xm)u.

Setzt man a -f- b xm = z, so ist y = z", also d y = n z"~³ d z und d z = m b xra_1 d x. Drückt man z wieder durch x aus, so folgt

d y = n (a -f- b xm)11—1 • m b xni_1 d x.

-f

V8V~

2 71 '

(3)

Nimmt x von 0 bis zu dem Werte

so bleibt d F negativ und F wird kleiner; nimmt es noch weiter zu, so wird dF positiv

zu

-V

und F wird grösser. Folglich wird F ein Minimum für x

Bei diesem Werte von x wird h = 2 x, d. h. die Oberfläche eines Cylinders von gegebenem Körperinhalte ist ein Minimum, wenn die Höhe gleich dem Durchmesser, der Achsenschnitt des Cylinders also ein Quadrat ist.

Ein Gefäss, das eine warme Flüssigkeit enthält, wird am wenigsten Wärme durch die Oberfläche verlieren, wenn diese Oberfläche ein Minimum ist. Folglich wird bei einem cylindrischen Gefässe, das diese Bedingung erfüllt, die Höhe gleich dem Durchmesser sein müssen.

2 71

39. Aufgabe. Man soll den grössten Cylinder suchen, der aus einem gegebenen geraden Kreiskegel geschnitten werden kann.

Ist (Fig. 13) der Halbmesser AB der Kegelgrundfläche = r, die Höhe B C des Kegels = h, der Halbmesser D E des Cylinders — x, die Höhe B E des Cylinders = y und das Volumen des Cylinders = V, so erhält man

(O

V = n x² y.

In dieser Gleichung ist V durch x und y ausgedrückt; allein x und y hängen von einander ab, so dass eine dieser Grössen durch die andere ausgedrückt werden muss. Nun besteht folgende Proportion

h — y h

Fig. 13.

CE _ CB DE ~ AB

Eliminiert man hieraus und aus (1) die Grösse y, so kommt

(2)

TT ll

-— (r x² — x³),

dV

= —- (2 r x — 3 x²).

Setzt man diesen Differentialquotienten = 0, so folgt x = 0 und x = ! r.

Für x = 0 wird der Inhalt des Cylinders = 0, also zu einem Minimum. Lässt man x von 0 bis fr wachsen, so bleibt dV positiv, also wächst auch V. Wächst x weiter bis r, so wird d V negativ, also nimmt Y ab. Mithin wird V ein Maximum für x = fr. Setzt man diesen Wert in obige Proportion, so findet man

y = i h-

Der grösste in einen Kegel beschriebene Cylinder hat also zur Höhe ein Drittel von der Höhe des Kegels. Der Inhalt dieses grössten Cylinders ist f vom Inhalte des Kegels.

40. Aufgabe. Zieht man in einem Kreisausschnitte vom Halbmesser R und dem Zentriwinkel 2 a eine Sehne, die die Endpunkte des Kreisbogens verbindet, so entsteht ein Dreieck, gebildet von dieser

Sehne mid zwei Radien. Für welchen Zentriwinkel wird die Fläche dieses Dreiecks ein Maximum?

Der Inhalt F dieser Dreiecksfläche ist

(1)

—-R¹ • sin 2 a.

Hieraus folgt durch Differentiation

(2)

dF

= R¹ cos 2 a.

Setzt man dieses Differentialverhältnis = 0, so muss sein cos 2 a — 0, also 2a    — \n. Hierfür ist    in der That F    ein    Maximum;    denn lässt

man 2 a    wachsen von 0 bis    \n, so bleibt    cos 2« positiv,    wird aber

sofort negativ, wenn 2 a diese Grenze überschreitet und bleibt negativ, bis der    Bogen -|jt erreicht    ist. Hier entsteht    für F ein    Minimum.

Für 2 a    = 0 und = n wird    F = 0; für 2 a    =    n wird F = t R² und

für 2 a — \ri wird F = — t R¹.

41. Aufgabe. Aus jedem Kreisausschnitte lässt sich der Mantel eines Kegels bilden. Der Kubikinhalt V des Kegels hängt ab vom Zentriwinkel x des Kreisausschnittes. Nähert sich x der Null oder 2 ri, so nimmt Y rasch ab. Für einen bestimmten Wert des Zentriwinkels wird der Kubikinhalt des Kegels zu einem Maximum. Man soll diesen Winkel bestimmen.

Wenn y der Radius der Grundfläche und h die Höhe des Kegels ist, so ist dessen Volumen

(1)

Y = £ n y¹ h.

Allein die Grösse Y soll hierin durch den Zentriwinkel x und nicht durch y und h ausgedrückt sein. Daher müssen Werte für y und h gefunden werden, die nur die eine Variable x enthalten.

Ist r der Radius des Kreisausschnittes, so ist xr der Bogen, und dieser gleich 2 tt y, d. h. gleich dem Umfange der Kegelgrundfläche. Man findet also

Ferner erhält man aus dem Achsenschnitte des Kegels, der in zwei rechtwinkelige Dreiecke mit den Seiten r, h und y zerfällt,

x¹ r¹ 4 7T¹

Setzt man diese Werte von y und h aus (2) und (3) in (1) ein, so erhält man für das Volumen des Kegels

V = ~

(3)

h¹ = r¹ — y¹ = r¹

r¹

4 7T¹

• (4 7T¹ — X²).

(4)

r²

X¹ .

3    4 n²

— c]/ 4 7T² X* — X⁶,

2 71

wenn die Konstante

r³

2 4 TT¹

zur Abkürzung = c gesetzt wird.

= 0 wird, nachdem man durch x³ dividiert hat 8 7i- - 3 x²,

Für

Durch Differentiation von (4) ergibt sich

8 jt² x³ — 3x⁵

dV

y 4 7ï ² x⁴ — x^

woraus x — 2 n

J/t folgt-

Bezeichnet £ das Bogenmass von x, so ist

= 360° •

Vi-

293°,94.

Der Zentriwinkel des Ausschnittes muss also nahe 294° betragen.

42. Aufgabe. In der Physik, Mechanik, Astronomie, praktischen Geometrie etc. sei eine Grösse x durch Beobachtung zu ermitteln. Bei n aufeinander folgenden Versuchen finde man dafür die Werte ai, a-2, Da diese Grössen vom wahren Werte x etwas ab weichen,

&3i • • ^n*

so sind x — at, x — a2, . . x — an der absoluten Grösse nach die Fehler der Beobachtungen.

Nun hat Gauss gezeigt, dass die aus der Beobachtung zu bestimmende Grösse x am richtigsten wird, wenn die Summe der Quadrate der Beobachtungsfehler ein Minimum ist. Nach dieser „Methode der kleinsten Quadrate“ muss also die Funktion

ai)² -f- (x — a2)- 4- .. -j- (x a„)j

y = (x

ein Minimum sein. Nun ist

dy

= 2 [(x — ai) -f (x — a₂) + .. + (x — a„)].

Setzt man diesen Differentialquotienten = 0, so folgt

ai -f- a2 -f- as -f- .. a„

Dieser Wert von x ist das arithmetische Alittel aus sämtlichen Beobachtungen. Lässt man x von 0 bis zu diesem Mittel wachsen, so bleibt dy negativ, also nimmt y ab. Nimmt x noch weiter zu, so wird dy positiv, also wächst y. Folglich wird y ein Minimum für diesen mittleren Wert von x.

Aus einer Anzahl Beobachtungen wird der richtigste Wert erhalten, wenn man das arithmetische Mittel dieser Beobachtungen nimmt.

43. Aufgabe. In einem Dreiecke sind eine Standlinie c (Fig. 14) und die beiden anliegenden Winkel a und (5 gemessen. Man soll bestimmen, welchen Einfluss der Fehler, der am Winkel u haftet, auf die gegenüberliegende Seite a ausübt.

Man hat die Relation

a sin 7 = c sin «

ä : c = sin « : sin y, oder, da siny = sin («    ß), so hat man auch

Fig. 14.

a sin (cc + ß) = c sin a.

Nimmt man auf beiden Seiten die natürlichen Logarithmen, so kommt

I a + l sin (« + (3) = l c + l sin «•

Denkt man sich hierin « und a veränderlich und ß und c konstant, so erhält man durch Differentiation

da cos «

sin a

da —

cos

(« + ß)

sin (a -f- ß)

d a.

Bringt man rechts auf gleichen Nenner, so folgt durch Zusammenziehung

va

O)

d u.

a sin a sin (a + ß)

Denkt man sich nun, die Seite AC drehe sich um den Punkt A herum so, dass der Winkel a stetig von 0 in n übergehe, so durchläuft der Punkt C die Gerade B C und deren Verlängerung. Den Aende-rungen d a des Winkels « entsprechen dabei die Aenderungen d a der Seite a. In jeder Lage des Punktes C entsteht ein besonderes Verhältnis zwischen d a und a. Während der Punkt C auf der Geraden B C fortschreitet, ändert das Verhältnis da: a seinen Wert. In einer ge-wissen Lage des Punktes C wird dieses Verhältnis ein Minimum.

Um dieses zu bestimmen, bedenke man, dass das Verhältnis da: a nach Gleichung (1) abhängt vom Werte des veränderlichen Nenners sin a sin (a + ß). Es wird da: a grösser, wenn dieser Nenner abnimmt, und ein Minimum, wenn der Nenner ein Maximum wird. Bezeichnet man diesen Nenner mit y, so ist

dy

= sin a cos (a + ß) + cos a sin (a -\~ ß),

(2)

'"O ;

— = sin (2 a -f- ß). a

Setzt man diesen Differentialquotienten = 0, so erhält man

2 a -j- ß = 0,    2 a -j- (3 — zr, 2 a -f- ß = 2 n,..

Die Bedingung 2 u + ß = 0 kann nicht bestehen, weil sonst einer der Winkel a, ß negativ sein müsste, was dem Sinne der Aufgabe nicht entspricht. Die Bedingung 2 a + ß — 2 n ist ebenfalls unzulässig, weil 2(aJrß-\-y)=2n und 2 a + ß < 2 (a -(- ß + 7) ist. Deshalb wird sin (2 a -j- ß) = 0, wenn 2 « 4- ß = n, also wenn

« = I (n - fj).

Lässt man in der Gleichung (2) den Winkel a von 0 bis (n — ß) wachsen, so bleibt dy positiv, also wächst y. Wächst a noch weiter, so wird dy negativ, also nimmt y ab, folglich wird y ein Maximum, d a

also

ein Minimum, wenn a —    — ß).

Setzt man diesen Wert von a in die Gleichung a -f- ß -+- 7 == 7iy so folgt

r = ł W — ß)-

Folglich    wird y — a für den Fall,    dass    d a : a ein Minimum wird.

Ist    nun d a die Grösse, um    die    a fehlerhaft gemessen wurde,

so    wird    da der Fehler der Seite    a sein. Der kleinste Fehler,    der

beim Messen eines Winkels an der gegenüberstehenden Seite entsteht, tritt somit ein, wenn die Standlinie und die berechnete Seite einander gleich sind.

Setzt man nun a = c voraus    und    berechnet den Einfluss,    den

der Winkel (3 auf die gegenüberstehende Seite b hat, so ergibt sich in gleicher Weise, dass die Standlinie c und die gesuchte Seite b einander gleich sein müssen, wenn der Fehler der Seite b ein Minimum sein soll. Daraus folgt, dass, wenn aus einer Seite und den beiden etwas fehlerhaft gemessenen anliegenden Winkeln die übrigen Stücke zu berechnen sind, die Fehler dieser Stücke ein Minimum werden, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

44. Aufgabe. In der geraden Linie, die zwei leuchtende Punkte M und N verbindet, soll diejenige Stelle B bestimmt werden, in der die schwächste Beleuchtung stattfindet. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Lichtstärke umgekehrt proportional sei dem Quadrate der Entfernung von der Lichtquelle.

Sind die Entfernungen MN = a und MB = x, ferner die Lichtintensitäten im Abstande 1 von M und von N gleich uv* und n³, so wird die Lichtintensität y in B sein

(0

y •=

m³

x-

n³

(a — x) - ‘

o-

Aus dieser Gleichung folgt zur Bestimmung des Minimums von y 2 m³

dy

2 n :t

(a — x)³

— 0, woraus

(2)

oder x : a = m : (m -\- n).

Setzt man den Wert von x aus (2) in (1), so erhält man als schwächste Lichtintensität in B

45. Aufgabe. Ein Körper vom Gewichte P werde auf einer Horizontalebene fortgezogen mit einer Kraft K, die mit der Horizontalebene den Winkel « bildet. Diese Kraft K habe nur die Reibung, die P auf der Unterlage verursacht, zu überwinden. Bei welchem Winkel a wird die Zugkraft K ein Minimum?

Zerlegt man K (Fig. 15) in die beiden rechtwinkeligen Seitenkräfte K cos « und K sin a, so liegt K cos a in der Richtung der Bewegung und ist somit gleich der Reibung, die der Körper auf der Horizontalebene veranlasst, während K sin a vertikal aufwärts wirkt und den Druck P gegen diese Ebene vermindert. Der Normaldruck auf die Reibfläche ist somit = P — Ksina.

Fis- 1'..

Ist nun f der Reibungskoeffizient (§ 203), d. h. die Reibung für den Normaldruck = 1, so ist die Reibung = f (P — K sin «), mithin die Bedingung des Gleichgewichtes

(1)

K cos a = f (P — K sin a)

fP

cos a -j- f sin « '

Hierin ist der Zähler fP konstant, es muss also der Nenner

(2)

y = cos « + f sin a ein Maximum sein, wenn K ein Minimum werden soll. Nun ist

(3)

dy

d (x

— — sin u f cos et.

Dieser Differentialquotient wird = 0, wenn tang a — f.

Lässt man a von 0 bis zu dem Werte, der aus tang« = f entspringt, wachsen, so bleibt dy positiv, also wächst y. Nimmt a noch weiter zu, so wird dy negativ, also y kleiner. Folglich wird' y für tanga = f ein Maximum, also K ein Minimum. Dieser Minimalwert von K ist

— f P COS Ct,

fP

cos a -j- tang a • Sin a

©der da

cos a —

V1 -f- tang² a

V1 + f²

, so wird

(4)

P.

V 1 ; f²

Bei Fuhrwerken auf schlechten Strassen kann f = 0,07 angenommen werden. Nun erhält man für tanga — 0,07 einen Winkel a = 4°. Folglich ist die günstigste Richtung der Zugstange um 4 Grade zur horizontalen Fahrbahn geneigt.

46. Aufgabe. Aus einem cylindrischen Baumstamme einen rechtwinkeligen Balken zu schneiden, der in horizontaler Lage an beiden Enden unterstützt und in der Mitte belastet, eine möglichst grosse Tragkraft besitze.

Die Aufgabe sei unter der Voraussetzung zu lösen, dass die Tragkraft bei gegebener Balkenlänge zunehme mit der Breite AB - y (Fig. 16) und dem Quadrate der Höhe B C = x des Querschnittes. (Siehe § 216, Gleichung 2.)

Dieser Differentialquotient wird = 0, wenn x = 0. Also ist die Tangente an die Kurve durch den Punkt B parallel zu A x. Lässt man x von — oo bis 0 wachsen, so bleibt dy positiv; also wächst y. Nimmt x von 0 bis -f- cc zu, so ist d y ebenfalls positiv, also wächst y fort. Mithin geht dy aus positiven Werten durch die Null in positive Werte über. Der Durchgang findet statt für x = 0. Mithin ist der Punkt B ein Wendepunkt der Kurve.

= 3b²; man erhält daher für je zwei gleiche Abscissen mit entgegengesetzten Zeichen zwei Kurvenpunkte, den gleichen Wert hat. Also sind die Tangenten durch diese Kurvenpunkte parallel. Wächst x von 0 aus in positivem und

Autenheimer, Elementarbuch.

dx

Für x = -£b wird

dy

Ist bei gegebener Länge a die Tragkraft des Balkens fiir die Einheit der Breiten- und Höhendimension, T die Tragkraft für die Dimensionen x, y, so ist

• T = a x² y.

Hierin ist eine der Grössen x, y durch die andere auszudrücken. Ist nun der Durchmesser des Stammes = D, so ist x³ = D² — y²; folglich

(1)

Fig. 16.

By

(2) T = a (D² y — y ³),

dT

dy

= a (D² — 3 y²).

dT

Damit T ein Maximum werde, setze man ,— = 0, woraus folgt

dy

3)

D² — 3 y³ = 0

y Vs

Führt man diesen Wert von y in x² = D² — y² ein, so wird sein

(4)

x = DJ/r-

Mithin hat man die Proportion y² : x² : D² = 1:2:3. y : x = 1 : V^2, so ist annähernd

Da hiernach

y : X = 5 : 7.

47. Aufgabe. Zu prüfen die Maxima- oder Minima-Werte von y = a + x³.

(1)

Die Konstruktion der Gleichung gibt eine Kurve von der Form CBD (Fig. 17). Sie schneidet die Ordinatenachse in einem Punkte B, dessen Koordinaten x = 0 und y = a = A K sind. Durch Differentiation von (1) folgt

Fig. 17.

'D

(2)

O-i O-

- 3 x².

/

cl

für die

dy

negativem Sinne, so wächst auch

d. h. diese Tangenten nehmen

d x ¹

mehr und mehr eine Richtung an, die senkrecht steht zur Abscissenachse, und erreichen diese Richtung für x = ± cc.

48. Aufgabe. Zu ermitteln, welche Eigentümlichkeit eine Kurve darbietet für

dv

= 0, wenn deren Gleichung ist

(1)

y = a + b (1 — x)t, wo die Quadratwurzel positiv genommen werde.

Durch Differentiation dieser Gleichung findet man •

(2)

p.

CO KM

b]A _ x.

Dieser Differentialquotient wird =0, wenn x = 1. Lässt man x von — co bis + 1 wachsen, so bleibt d y negativ, also nimmt während der ganzen Aenderung y ab. Wächst x über 1 hinaus, so werden dy und y imaginär. Also hört der Lauf der Kurve für x = 1 auf. Mithin ist der Kurvenpunkt, dessen Koordinaten x = 1, y = a sind, eine Spitze der Kurve, deren Tangente parallel zur Abscissenachse liegt, d y

Der Bedingung — = 0 entspricht mithin kein Maximum oder Minimum

der Funktion. Für x = — ce wird

dy

unendlich gross, also steht

die Kurvenrichtung für diesen Wert der Abscisse senkrecht zur Abscissenachse.

dx

III. Anwendung der Differentialrechnung auf ebene Kurven.

49. Ausdrücke für die Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale einer Kurve. Es sei y = f(x) oder (f (x, y) = 0 die Gleichung einer Kurve, bezogen auf rechtwinkelige Koordinatenachsen Ax, Ay.

Die Koordinaten eines Kurvenpunktes C (Fig. 18) seien A B = x , B C = y. Man ziehe durch C die Tangente CE und die Normale CD zur Kurve, d. h. die Senkrechte auf die Tangente, und verlängere beide Linien, bis sie die Abscissenachse in E und D schneiden. Man nennt dann die Strecke CE der Tangente die Länge der Tangente, ihre Projektion auf die Abscissenachse, die Strecke EB, die Subtangente, die Strecke CD der Normale die Länge der Normale, ihre Projektion auf die Abscissenachse, die Strecke DB, die Sub-normale des Punktes C (x, y).

Die Bestimmung der Richtungen der Tangente und Normale einer Kurve, der Länge der Tangente und der Länge der Normale, der Sub-

Fig. 18.

\y

tangente und Subnormale wird bisweilen die Methode der Tangenten genannt.

Da in den beiden rechtwinkeligen Dreiecken BCE und BCD die Winkel B E C und BCD einander gleich sind, so erhält man

BD

BC

BE

= tang CEB =

dy

dx’

BC

= tang BCD =

d-

dx ’

folglich

Subnormale BD =

(1) Subtangente BE = y —

Hieraus folgen sofort die folgenden Formeln:

J*L.

' dx

Länge der Tangente CE

(2)

-4M

d xy²

ïÿj ’

Länge der Normale CD

50. Anwendung auf die Parabel. Die Scheitelgleichung der Parabel ist y² = 2 p x. Hieraus folgt durch Differentiation

dy

Setzt man hierin die Ordinate y = 0, so wird

Berührungslinie im Scheitel der Parabel steht senkrecht auf der Abscissen-

dy

achse. Setzt man y= co, so folgt—— = 0, d. h. die Tangente, die den Parabelast im Unendlichen berührt, ist parallel zur Abscissenachse.

erhält man ferner (Fig. 18)

Mit Hilfe des Wertes von

dy

dx

y²

Subtangente BE = — = 2 x ;

1»

=ao, d. h. die

Subnormale B D = p.

Da nun AB = x, BE = 2x, so ist AE = AB, d. h. die Sub-tangente der Parabel ist gleich der doppelten Abscisse des Berührungspunktes. Die Sub norm aie ist konstant, nämlich gleich dem halben Parameter der Parabel.

51. Anwendung auf die Ellipse. Die Gleichung der Ellipse für den Mittelpunkt als Anfangspunkt der Koordinatenachsen ist

(1)

a² y² y b² x² = a² b²,

worin a, b (Ehg. 19) die halben Achsen bezeichnen. Durch Differentiation folgt

(2)

dy

b²

4*

Somit ist die Subtangente von der Ordinate y und der kleinen Achse der Ellipse unabhängig. Man ziehe deshalb über derselben grossen Achse 2 a zwei Ellipsen mit verschiedenen kleinen Achsen ; entsprechen hierbei die Ellipsenpunkte C, C' derselben Abscisse A B, so müssen beide Kurvenpunkte die gleiche Subtangente B E haben, d. h. die Tangenten durch die Punkte C, C' gehen nach demselben Punkte E der Ab-scissenachse.

Gesetzt die Ellipse durch C' sei ein Kreis, der sogenannte grosse Scheitelkreis. Errichtet man auf dessen Radius C' A die Senkrechte C' E, so wird dadurch der Punkt E gefunden ; zieht man dann von E nach dem Ellipsenpunkte C eine Gerade, so muss CE eine Tangente an die Ellipse sein.

Die Subnormale ändert ihr Zeichen mit dem Zeichen von x, d. h. der Endpunkt D der Subnormalen befindet sich immer auf der gleichen Seite der Ordinatenachse mit dem Kurvenpunkte C.

52. Anwendung auf die Hyperbel. Die Mittelpunktsgleichung der Hyperbel ist

(1)

a²y² — b² x² = — a² b²,

worin a, b (Fig. 20) die halben Achsen bezeichnen. Durch Differentiation folgt

(2)

Wird hierin x = 0 gesetzt, so ist die durch die Endpunkte der kleinen Achse gehen, sind parallel zur grossen Achse. Wenn x=f a, also y = 0, so wird

dx

= 0, d. h. die Tangenten

dy

= ± <*,

d. h. die Tangenten durch die Endpunkte der grossen Achse sind auf dieser Achse senkrecht.

Fi?. 19.

.o

Zieht man einen Durchmesser durch die Ellipse, so haben die Endpunkte desselben gleich grosse Koordinaten mit entgegengesetzten Zeichen, es hat also für beide Punkte die

Grösse —

dy

denselben Wert mit

also auch

demselben Zeichen. Folglich sind die Tangenten durch die Endpunkte irgend eines Durchmessers zu einander parallel.

Ferner ergibt sich vermöge des Wertes von a² — x²

dy

dx

(3) Subt. B E — —

b²

Subn. B D —--— x.

a²

dy b²

Für y = 0 wird——= cc, also steht die Tangente im Scheitel

d x

der Hyperbel senkrecht auf der Hauptachse.

Die Sehne C C', die durch den Mittelpunkt A der Hyperbel geht, heisst Durchmesser. Die Koordinaten seiner Endpunkte haben gleiche Werte mit entgegengesetzten Zeichen. Also hat der

Quotient —, folglich auch ^ y    d x

für

beide Endpunkte 0, C' die gleichen Werte mit gleichen Zeichen.

Die Berührungslinien durch die Endpunkte eines Durchmessers sind also parallel.

d y

Mit Benutzung des Wertes von —— erhält man ferner

(3)

Subt. B E = x —

b²

Subn. B D = —— x.

Nun ist A B = x die Abscisse des Punktes C, folglich

a²

AE=AB-BE=—

Wenn hierin x wächst, also der Berührungspunkt C der Tangente vom Anfangspunkte A sich entfernt, so wird A E kleiner. Wenn x = cc, a²

so ist — -= 0, also A E = 0, mithin geht die Tangente durch den Mittel-

Diese Tangente, die die Hyperbel im Unendlichen berührt

punkt.

und durch den Mittelpunkt geht, heisst Asymptote der Hyperbel.

Um die Richtung der Asymptote zur Abscissenachse zu erhalten setze man den Wert von y aus (1) in (2); es kommt

dy b

a Vx² — a²

Setzt man hierin x = oo, was für die Asymptote als Tangente nötig ist, so wird =0, also hiernach sein

dy

dx

= Ist AP die Asymptote, so muss

dy

= tang FAB =

Errichtet man im Scheitel S der Hyperbel das Lot SF auf Ax, das die Asymptote in F schneidet, so muss S F = b sein, weil

tang F A S =

FS _ b^

AS a '

53. Anwendung auf die Kurve der Exponentialgleichung y = ex.

In dieser Gleichung bezeichnet e die Basis der natürlichen Logarithmen. Die Abscisse x ist der Ausdehnung von — cc bis + go fähig. Folg-

lich hat die Kurve CMN (Fig. 21) zwei Aeste, die von der Ordinatenachse aus nach positiver und negativer Seite ins Unendliche verlaufen. Für x = 0 wird v=e° = l= AM. Die Differentiation der Gleichung gibt dv

Fig. 21.

<p

= e\

dy

Setzt man hierin x = — cc, so wird

und auch zugleich y = 0. Somit ist die Ab-scissenachse eine Tangente an den Kurvenast MN im Unendlichen.

d y

Setzt man x = -f- cc, so wird — = oo, folglich wird die Richtung des Kurvenastes M C im Unendlichen senkrecht zur Abscissenachse. In M ist x = 0, scissenachse geneigt.

Ferner ist

dy

= 1, also die Tangente durch M unter 45° zur Ab-

Subt. BE =

= 1.

y!7

Die Subtangente ist mithin konstant und zwar = AM fiir jede Lage des Berührungspunktes C.

54. Gleichung der Tangente und -Normale einer Kurve. Es sei

y — f (x) oder (f (x, y) = 0 die Gleichung einer Kurve. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes C (Fig. 22) seien x, y. Man soll durch diesen Punkt eine Tangente CE und eine Normale CD legen und deren Gleichungen ableiten.

Die Gleichung einer geraden Linie liât gewöhnlich die Form

Fig. 22.

(1)

\A li I) x

y' = a X' -f b, worin x', y' die laufenden Koordinaten eines Punktes der Geraden bezeichnen. Wird diese Gleichung differentiiert, so findet man d y'

-= a.

d x'

Folglich ist der Koeffizient a der Abscisse in der Gleichung der Geraden die trigonometrische Tangente des Winkels, den die Gerade mit der Abscissenachse einschliesst. Soll die Gerade (1) durch den Kurvenpunkt C gehen, so müssen für diesen Punkt die Koordinaten x', y' der Geraden in diejenigen des Punktes C der Kurve übergehen, so dass

y = ax b.

(2)

Zieht man diese Gleichung von (1) ab, so folgt y' - y = a (x' — x).

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch den Kurvenpunkt (x, y) geht. Solcher Geraden gibt es aber unendlich viele mit

verschiedenen Richtungen zur Abscissenachse. Damit die Gerade (2) zur Tangente C E an die Kurve wird, muss sein

= a.

d y d y' d x d x'

Setzt man diesen Wert von a in (2), so erhält man die gesuchte Gleichung der Tangente im Punkte (x, y)

(3)

d y ,

y‘-y = -ĆFF(x ~x)-

Die Gleichung der Normale geht ebenfalls aus (2) hervor; es ist nur der Wert von a zu bestimmen.

Die Normale bildet mit der positiven Richtung der Abscissenachse den Winkel CDx = 90 -f CEB. Mithin Avird sein

tang C D x = — cotang C E B = —

dx

tang CEB

Setzt man diesen Wert von tangCDx für a in die Gleichung (2), so erhält man als Gleichung der Normale im Punkte (x, y)

(4)

dx

dy

(x' — x).

Die allgemeine

55. Ainvendung auf die Gleichung des Kreises.

Gleichung des Kreises ist

(x - a y + (y - b)’ = B»,

worin a, b (Fig. 23) die Koordinaten des Mittelpunktes und R den Halbmesser bezeichnen. Die Differentiation dieser Gleichung gibt

(x-a)dx-f (y — b) d y = 0,

dy

x — a

x    y _ j^’

Folglich sind die Gleichungen der Tangente und der Normale des Kreises

Fig. 23.

(2)

(3)

¥(x'-x)

■A

\y

y' - y = +

b t , — (x a

-x).

y    x —

Gehen die Koordinatenachsen durch den Kreismittelpunkt, so ist a = b = 0, und die vurstehenden Gleichungen gehen über in

VTT

y' — y = ---

-(X'

y

- x),

y' — y = + y (x< “ x)-

Setzt man in der ersten dieser Gleichungen y' = 0, so ist x' die Abscisse AE des Durchschnittes der Tangente CE mit der Abscissenachse. Für diesen Punkt ist deshalb

— — (A E - x).

Multipliziert man mit y und setzt den Wert von y² aus der Gleichung

R²

y² = R² — x² ein, so folgt A E = -—. Der Abschnitt A E ist somit

der Abscisse x umgekehrt proportional.

Setzt man in die Gleichung der Normale y' = 0, so findet man auch x' = 0. Dies sind die Koordinaten des Punktes, in dem die Normale die Abscissenachse schneidet. Mithin geht die Normale des Kreises durch den Mittelpunkt.

Fig. 24.

56. Asymptoten dee Kurven. In der Gleichung y = f (x) oder </> (x, y) = 0 sei die eine Variable oder auch beide einer Ausdehnung fähig bis ins Unendliche, entweder in positiver oder negativer oder in beiden Richtungen. Stellt man die Gleichung geometrisch dar, so wird die Kurve (Für. 24) einen oder mehrere Aeste haben, die ins Unendliche verlaufen. Alan lege eine Tangente C D an die Kurve durch einen Punkt C, verschiebe den Berührungspunkt C vom Anfangspunkte A der Achsen ohne Aufhören weg. Nähert sich hierbei die Tangente einer bestimmten Grenzlage FG, die eine oder auch beide Koordinatenachsen in endlicher Entfernung von A aus schneidet, und erreicht sie diese Grenzlage in dem Augenblicke, wo der Berührungspunkt ins Unendliche rückt, so heisst die Tangente in dieser Grenzlage Asymptote der Kurve.

tsäYsi

Die Koordinaten des Punktes C seien x, y, die laufenden Koordinaten der Tangente CD aber x', y'; dann ist die Gleichung der Tangente

(1)

y' — y =

(V - x).

Die Tangente schneide die Achsen in D und E. Setzt man in Gleichung (1) y' = 0, so wird x' = AD; folglich hat man zur Bestimmung des Abschnittes A D auf der Abscissenachse

dy

-y

(AD — x),

woraus folgt

(2)

AD =x

dx

Setzt man in (1) x' = 0. so wird y' = AE; folglich hat man zur Bestimmung des Abschnittes A E auf der Ordinatenachse

AB—y=-

und hieraus

dy

(3)

dy

Man bestimme aus der Gleichung der Kurve den Wert

ihn in (2) oder (3) ein und lasse sodann x oder y oder auch beide unendlich gross werden. Bleibt hierbei einer der Abschnitte (2) und (3)

dx

führe

oder auch beide endlich, so hat die Kurve wenigstens eine Asymptote. Wenn aber die genannten Abschnitte bei jedem Versuche unendlich gross werden, so hat die Kurve keine Asymptote.

Die Gleichung

57. Anwendung auf die gleichseitige Hyperbel.

dieser Kurve ist

xy =

Hieraus folgt

und somit nach § 56, Fig. 24

Abschnitt A D = 2 x =

Abschnitt A E =

= 2 y.

Setzt man hierin x — ^ oc, so wird y — 0 und AE = 0. Da dieser Wert von AE für x = + oo und auch x = — cc ein endlicher ist, so ist sowohl die positive wie die negative Seite der Abscissenachse eine Asymptote der Kurve.

Setzt man v = i ⁰⁰? s0 wird x = 0 und AD = 0: mithin sind auch die beiden Seiten der Ordinatenachsen Asymptoten der Kurve.

58. Anwendung auf die allgemeine Gleichung der Kegelschnitte. Die

Scheitelgleichung für die Kegelschnitte lautet y² = 2 m x -j- nx²,

(1)

folglich ist

(2)

dy

m-f nx

dy

Setzt man diesen Wert von

in die vorstehenden Ausdrücke

(§ 56, Fig. 24) für AD und AE und eliminiert y vermittelst der Gleichung der Kurve, so folgt

(3)

AD =

m -j- nx

n-r-

(4)

AE = ±

y 2 m x    n x²

Aus diesen Gleichungen ergibt sich für x = ^ oo

AB=±^

AD = -

Kn*

Bei der Parabel ist n = 0, also werden die Abschnitte A D und AE unendlich gross. Mithin hat die Parabel keine Asymptoten. Für die Hyperbel sind m und n bestimmte, endliche Werte und zudem n positiv; folglich hat diese Kurve zwei Asymptoten, die wegen des doppelten Zeichens von A E symmetrisch zur Abscissenachse liegen. Die Ellipse hat keine Asymptoten, weil weder x noch y ins Unendliche wachsen können.

IV. Entwickelung der Funktionen in Reihen.

5ÎT. Feber Reiben im allgemeinen. Es seien

(1)

Uo, Ul, U₂, U3,...Uu

die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmäßiger Weise abgeleitet werden kann. Hierbei nennt man die Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . die Stelle n-an zeig er der Glieder und das Glied u„ mit dem Stellenanzeiger n das allgemeine Glied der Reihe. Aus der Reihe (1) kann eine zweite Reihe

(2)

(3)

so, Si, S₂, S3, . ..8„ gebildet werden, deren Glieder durch die Gleichungen So = u₀ ; si = u₀ + Ui ; s₂ = u₀ + Ui + u₂ ;

S3 = u₀ + uL -f u₂ -f u₃ ;

1 S„ — Uj 4" U1 4" u2 -j- U₃ -j- . . . 4" Uu

definiert sind. Man nennt diese zweite Reihe die Sum men reihe der ersten.

Kann die Zahl n der Reihe (1) beliebig gross werden, so heisst die Reihe eine unendliche. Wenn das allgemeine Glied su der Reihe (2) in diesem Falle so beschaffen ist, dass s„ sich mit wachsendem n einer bestimmten endlichen Grösse s immer mehr und mehr nähert, so dass lim s„ — s ist, so heisst die Reihe (1) konvergent n — co

und s ihre Summe. Nähert sich aber s„ keinem bestimmten Grenzwerte, indem es entweder über alle Grösse wächst oder unbe-bestimmt bleibt, so heisst die Reihe (1) divergent. Da also die Existenz einer bestimmten Summe das unterscheidende Merkmal der konvergenten und divergenten Reihen ist, so versteht man unter einer Reihe nicht nur die Folge der Glieder uo, Ui, u₂,..., sondern nennt in prägnantem Sinne die Summe

Uo 4~ ui 4" u₂ 4- . .. -f- u„ 4~ • • •

die Reihe.

Nur die konvergenten unendlichen Reihen sind für die Analysis brauchbar; daher ist es nötig, Kennzeichen für die Konvergenz der unendlichen Reihen aufzusuchen.

Analytisch kann die Konvergenz einer Reihe dadurch ausgesprochen werden, dass n so gross bestimmt werden kann, dass die Ungleichung

(4)

s — sn I < b,

wo è eine beliebig kleine Grösse ist, besteht und für weiter wachsende n bestehen bleibt.

Aus diesem Begriffe der Konvergenz folgt zunächst, dass die Beschaffenheit einer endlichen Anzahl von Gliedern im Anfänge der Reihe keinen Einfluss auf die Konvergenz oder Divergenz hat, und dass man sie, besonders wenn sie ein unregelmässiges Verhalten haben, bei der Untersuchung der Reihe ausschliessen kann.

Bezeichnet m eine beliebige Zahl, so muss bei hinreichend grossem n auch die Differenz

<S’

I S Sn+ m

sein, damit die Reihe konvergent ist. Aus dieser Ungleichung und der Ungleichung (4) folgt aber, dass dann auch die Ungleichung

S,,+ m    J b

für hinreichend grosse n besteht, dass also

(5)

u„₊i fl- un+3 -j- ... -j- un + ra I <[ b

gilt. Als notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der unendlichen Reihen folgt daher, dass sich ein Glied u„ bestimmen lässt, so dass von diesem an die Summe beliebig vieler folgender Glieder der Reihe ihrem absoluten Werte nach kleiner als eine beliebig kleine Grösse b bleibt.

Diese Bedingung kann aber nur erfüllt werden, wenn die Glieder u₁₁₊i; u₁₁₊₂;... selbst beliebig klein werden, so dass für die Konvergenz der Reihe die Bedingung

I u„ I < b oder

(6)

lim u„ = 0 11 = 00

für beliebig grosse n gelten muss, dass also bei fortwährend wachsendem n die Glieder unendlich klein werden.

Während aber die Bedingung (6) notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, ist sie nicht hinreichend, d. h. man kann aus dieser Eigenschaft einer Reihe nicht auf ihre Konvergenz schliessen. Das zeigt sofort die harmonische Reihe

«-H CO

00. Die unendliche geometrische Reihe. Das Vorstehende möge zunächst an dem Beispiele der geometrischen Reihe erläutert werden. Sie lautet

(0

a -f a q a q² 3 + ... -f a q“ -f ..

— q

und es ist, wie ans der niedern Arithmetik bekannt,

1 — qn+I

anr

(2)

Sn =

Es ist nun zu untersuchen, ob und wann sich diese Grösse s„ bei unendlich wachsendem n einer bestimmten endlichen Grösse nähert. Offenbar hängt diese Entscheidung von dem Verhalten von q"'^¹ ab.

Wenn | q| < 1, also q ein positiver oder negativer echter Bruch ist, so werden die Potenzen von q immer kleiner und kleiner, mit wachsendem n nähert sich qn+1 der Null, so dass

(3)

lim s„ = s = a • n = oo

die Reihe (1) also konvergent ist.

Ist q > 1, so wachsen die Potenzen von q mit wachsendem Exponenten, qn+1 wird für n = co auch + co, und die Reihe (1) ist divergent.

Ist q < — 1, so wachsen die Potenzen von q ihrem absoluten Werte nach mit n über alle Grenzen, qn+1 wird bald -f- cc, bald — co, je nachdem (n + 1) gerade oder ungerade ist, also schwankt auch s„ beständig zwischen — co und -f oo, die Reihe ist also divergent.

Ist q = i 1, so wird s„ selbst unbestimmt; zur Entscheidung gehe man auf die Reihe selbst zurück und findet

für q = -f- 1

wächst also mit n über alle Grenzen; für q = — 1

schwankt also fortwährend zwischen den Werten 0 und a.

Die unendliche geometrische Reihe

a + aq + aq² + ...

ist also nur konvergent, wenn der absolute Wert des Quotienten q kleiner als 1 ist, und hat dann die Summe

1 -q

sn — a -j- a -j- a -j- ...

s„ — a — a -j- a -p ..

= n • a,

1 -q

Die vorstehende Untersuchung zeigt zugleich, wie eine Reihe divergent sein kann, indem ihre Summe über alle Grösse wächst, oder unbestimmt von einem Werte zu einem anderen schwankt, mögen diese nun oo oder endlich sein.

Es werde vorausgesetzt,

61. Reihe» mit nur positiven Gliedern.

dass die unendliche Reihe

(1)

Uo 4~ ut "f" u2 -f- . . • + u„ + . . .

nur positive Glieder habe, weil solche Reihen besondere Eigenschaften haben, und weil die Eigenschaften der anderen Reihen aus ihnen abgeleitet werden.

1st die Reihe (1) konvergent, und bezeichnen ao, ai, a2,... beliebige Grössen, die sämtlich den bestimmten endlichen Wert A nicht übersteigen, so ist auch die Reihe

(2)

ao Uo -j- ai Ui -f a2 u-2 -f- ... + a„ u„ -f-... konvergent. Zufolge der Voraussetzung ist nämlich

(a„4-i u„₊₁ + au+2 u,,_j_2 + ■••)<[ A (u„₊i + ull+2 + • • • )

und da die rechte Seite dieser Ungleichung beliebig klein gemacht werden kann, so ist auch

a,,_|_v un+i 4" a„₊2 uI1+2 -f- ... < b ■erfüllt, d. h. die Reihe (2) ist konvergent.

Gibt man im besonderen den Grössen ao, ai, a2,... nur die Werte 4~ 1 und — 1, so folgt

I.    Eine aus lauter positiven Gliedern bestehende kon-A'ergente unendliche Reihe bleibt konvergent, wenn man ■die Vorzeichen beliebig vieler Glieder ändert.

Gibt man einer beliebigen Anzahl der Grössen a₀, ai, a2,... den Wert 0, so folgt

II.    Eine aus lauter positiven Gliedern bestehende konvergente unendliche Reihe bleibt konvergent, wenn man beliebig viele Glieder weglässt.

Aendert man in der Reihe (1), deren Summe s sei die Anordnung der Glieder, so möge aus (1) die neue Reihe

(3)

hervorgehen. 1st nun

s„ = Uo 4- Ui u-2 -f- ...    u„,

S m = U'o + U'i 4- U'2 4- • • • + U'n,,

so kann offenbar m so gross gewählt werden, dass die n Glieder von sn ■sämtlich in s'm enthalten sind, und dass s'm noch Glieder enthält, deren Stellenanzeiger grösser als n sind, dass also

s'm — s„ 4- (up 4- U,j 4"    4“ • •

wo ]), q, r, ... grösser als n sind. Nun soll aber (1) nur positive Glieder enthalten und konvergent sein, also ist

ui> 4"    4~ ui-    ö,

folglich s'm < s„ 4- 5, also

lim s„ = s, d. h. u ~ x

III. Die Konvergenz einer aus lauter positiven Gliedern bestehenden unendlichen Reihe ist von der Anordnung der Glieder unabhängig.

62. Das Prinzip der Reiheuvergleieliung. Das Verfahren, durch das im § 60 die Konvergenzbedingungen der geometrischen Reihe abgeleitet -'wurden, setzt voraus, dass man die Summe s„ bilden kann. Das ist aber in den meisten Fällen nicht möglich; man kann zuweilen leichter die Grösse s als die Grösse s„ angeben.

Zur Bestimmung der Konvergenz oder Divergenz unendlicher Reihen benutzt man dann das folgende unmittelbar klare Prinzip.

(1)

(2)

Ist die aus lauter positiven Gliedern bestehende Reihe uo + Ui -f u₂ + ... konvergent, so ist auch die aus lauter positiven Gliedern bestehende Reihe Vo + Vl + V2 + . . .

konvergent, wenn

v₂ < u₂ ; ... ;

vo < u₀ ;

vi < ui ;

ist aber die Reihe (1) divergent, so ist die Reihe (2) um so mehr divergent, wenn

v₀ > u₀ ; Vi > Ui ; v₂ > u₂ ; ....

Da aber eine endliche Anzahl Glieder auf die Konvergenz oder Divergenz keinen Einfluss haben (§ 59), so kann das Prinzip auch ausgesprochen werden:

Die Reihe (2) ist mit der Reihe (1) konvergent, wenn von einem bestimmten, wenn auch noch so grossen Werte m ab die Ungleichungeu

Vm    Um ; Vm+l    Um+1 , ...

bestehen, die Reihe (2) aber ist mit der Reihe (1) divergent, wenn

^ m    Um , Vm_j_i    Um_|_i ; ...

Aus diesem Prinzip der Reihenvergleichung folgt das wichtigste Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen, wenn man als Vergleichsreihe die geometrische Reihe benutzt.

Die unendliche geometrische Reihe

i + q + q² + • • • + q'¹ + • •. (q > o)

ist konvergent für q < 1 ; es wird also die unendliche aus lauter positiven Gliedern bestehende Reihe

u₀ + ui + u₂ -f ... -f u„ -f- ...

konvergent sein, wenn für bestimmte, wenn auch noch so grosse n die Ungleichungen

u„ < q" , ull4.i < qn+¹ ; un+2 < q"⁺²; • • •'

bestehen. gent sein, wenn

Die Reihe u₀ + ui -f u₂ + ... wird also erst recht konver-

un+i < un q; un+2 < un+i q;

oder

u„+i

U,,+2

u„

Uu+l

für noch so grosse n gelten. Da nun q < 1, so hat man den Satz:

Die aus lauter positiven Gliedern bestehende unendliche Reihe

u₀ 4- ui -f u₂ + ... -f u„ -j- ...

ist konvergent, wenn

lim

Un+t

< 1,

aber divergent, wenn

lim

U.,+ 1

n =00

i s t. Ist dagegen

= 1,

lim

n = go Un

so kann die Konvergenz oder Divergenz nach diesem Kriterium nicht entschieden werden; man muss dann die Konvergenz oder Divergenz auf andere Weise zu ermitteln suchen.

Beispiele.

I. In der Reihe

a²

a³

a"

1-2-3...n

1    12 ¹ 1-23

an+l

1 • 2 • 3 ... n (n -f 1 ) die für a > 0 aus lauter positiven Gliedern besteht, ist

¹

71

²

hr allgemeines Glied u„ =

³

gemacht werden, als jede beliebig kleine Grösse b, aber doch wächst die Summe der Reihe über alle Grenzen, denn die Summe

lim

= lim —-, n = oo n + 1

U„4 1

co u"

also ist die Reihe stets konvergent, welchen Wert a auch habe. Aus § 61, I, folgt dann, dass a auch negativ sein kann.

II. In der Reihe

ist

lim

1-    • • a³ -f ... -f- 1 • 2 • 3 ... n • an

1-    •    ...n(n+ l)-a1,+1 + ... (a > 0)

U„ 4.1

Ol Ol

CO CO

= lim (n -f- 1) a = co n = co

also ist die Reihe für jeden Wert von a divergent. III. In der Reihe

n = oo U|]

+ -T7 + ...+

n²

ist

(n+1)

lim

U., + 1

= lim

n²

11 = 00 Un

n = oc (n + !)²

= lim

n = ⁰⁰ (l + — V

= 1.

Vergleicht man aber die Reihe mit der Reihe

>+U

1-2 ' 2-3 ' 3-4

(n — 1) • n ¹ n (n -f 1)

so ist, da die Ungleichungen

2² " 1 • 2 ’    32 < 2 • 3 ⁵ * ‘ * n2 < (n - 1) n ’ ’ • ’

gelten, die erste Reihe konvergent, wenn die zweite es ist. Nun ist aber

s,i = 1 —t—

1-2

4-

2-3    3-4

(n — 1) n ¹ n (n -f l)

to i—

i.

Vn — 1

I-H VI

n+ 1’

also

lim s„ = 2 ;

U = CO

folglich ist die Reihe

n²

konvergent.

IV. In der Reihe

¹ +¥ ⁺ ¥ +

ist’

U.H-1 11 — GC U"

lim

= lim

= lim

11 = 00] i i

= 1.

11

Die Divergenz der Reihe ist in § 59 dadurch bewiesen worden, dass gezeigt wurde, die Summe u„. t -f 11,1+2 -f • • • + U2„+2 ist stets grösser

als der endliche Wert —.

(»3. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. Wenn die Glieder einer Reihe verschiedene Vorzeichen haben, so kann man eine neue Reihe dadurch bilden, dass man allen Gliedern das positive Vorzeichen gibt, oder für alle Glieder ihre absoluten Werte setzt. Aus dem Satze I des § 61 folgt dann unmittelbar, dass die ursprüngliche Reihe konvergent ist, wenn die neue Reihe der absoluten Werte konvergent ist, da diese letztere konvergent bleibt, wenn man die Vorzeichen beliebig vieler Glieder ändert.

kann zwar mit wachsendem n kleiner

um+1 + un+2 + • • • + U2,i+2 =

+ .V +

2n + 2

ist stets grösser als (n + 1) •

2 n + 2’

die notwendige Ungleichung (6) nicht erfüllt ist.

also stets grösser als

, so dass

Die aus positiven und negativen Gliedern bestehende Reihe u₀ + Ui + ua + ... + u„ + ... ist also sicher konvergent, wenn die Reihe

uo I + I ui I + I u₂1 + ... + I un I + ...

konvergent ist ; dies aber ist der Fall, wenn

U.H-1

(1)

(2)

(3)

lim

u„

n =: co !

ist. Die Gleichung (3) ist somit das Kriterium für die Konvergenz der Reihe (1).

Werden nun die Glieder der Reihe (2), die in der ursprünglichen Reihe (1) das positive Vorzeichen hatten, mit u',, die Glieder aber, die in der ursprünglichen Reihe (1) negativ waren, mit u'h bezeichnet, so folgt aus Satz II des § 61, dass die Reihen

(4)

U'o I -t~ I u'l I + i U'2 I + I u'3    -f- I u'm

U"o I -1- I U"i I 4- I U"₂ [ + I U"₃ I -f . . . + I u"m | + . .

die aus (2) hervorgehen, wenn man jedesmal eine Anzahl Glieder weglässt, jede für sich konvergent sind, und dass, wenn s' und s" die Summen der Reihen (4) bezeichnen, die Summe der Reihe (2) gleich s' + s", folglich die Summe s der Reihe (1)

s = s' — s"

(5)

ist. Zugleich folgt aus Satz III des § 61, dass in den Reihen (4) und damit in der Reihe (1) die Anordnung der Glieder beliebig ist. Es gilt also

I. Eine aus positiven und negativen Gliedern in unbeschränkter Anzahl bestellende Reibe ist konvergent die aus den absoluten Werten der Glieder gebildete Reihe konvergent ist, wenn also

wenn

lim

U.,+ 1

u„

11 “ X

ist; die Summe der Reihe ist gleich der Differenz aus der Summe der positiven Glieder und der Summe der negativen Glieder; dabei hat die Anordnung der Glieder keinen Einfluss auf den W ert der Summe.

Eine aus positiven und negativen Gliedern bestehende Reihe kann aber auch konvergent sein, ohne dass die aus den absoluten Werten der Glieder gebildete Reihe konvergent ist.

Es sei zunächst die Reihe eine alternierende, d. h. eine solche, in der die Vorzeichen ab wechseln,

(6)

Uo — Ul + U-2 — u₃ ± . . . .

Wenn in dieser Reihe die Glieder von einem bestimmten Gliede u, an mehr und mehr abnehmen, so dass schliesslich limum = 0 (m > i), so kann man stets das Glied uk (k > i) so wählen, dass

Auteulicimer, Elementarbuch.    5

s„ = u₀ - Ul -f U₂ ^    , — Uk—i + (uk — Uk+l + Uk+2 — . . . .),

wobei die Differenzen uk — uk+1; uk_,_2 — uk+s; . . . sämtlich positiv sind, also auch der Wert der Klammer positiv ist. Schreibt man aber s„ in der Form

s„ = U₀ — UL + U₂ =f . . + Uk — (uk+i — Uk+2 ± . . .),

so sind die Differenzen uk+1 —uk+o; uk+:ł — uk+4; . . . ebenfalls sämtlich positiv, somit der Wert in der Klammer positiv. Setzt man nun

ffk-i = Uo — Ui -f- u₂    . . — uk_,

CTk = U₀ — Ui -f U₂    . . — Uk—i -f Uk,

so sind ak_i und uk, weil sie nur aus endlichen Anzahl von Gliedern bestehen, bestimmte Werte, und es gilt die Ungleichung

ffk Sn > (7k—i ",

da aber die Differenz uk — uk_i = uk mit wachsendem k beliebig klein gemacht werden kann, so nähert sich s„ einem bestimmten endlichen Werte. Es gilt also der Satz

II. Eine aus positiven und negativen Gliedern bestehende Reihe, bei der die Vorzeichen abwechseln, ist stets konvergent, wenn die absoluten Werte der Glieder von einer bestimmten Stelle an fortwährend abnehmen und gegen die Null konvergieren.

Hiernach ist die Reihe

1111

--1------1----T

2    3    4 ^5^

deren Glieder abnehmen und abwechselnde Zeichen haben, konvergent, während die Konvergenzbedingung des Satzes I nicht erfüllt ist, weil die Reihe nicht mehr konvergent ist, wenn man alle Glieder positiv nimmt (§ 59).

Von dieser Reihe hat Dirichlet eine merkwürdige Eigenschaft bewiesen, dass nämlich der Wert der Summe der Reihe von der Anordnung der Glieder abhängig ist. Ist

oo —

_L 1

6 / und setzt man

T+- •

°-¹⁺T“T⁺T⁺4

wobei die Anordnung so getroffen ist, dass auf je zwei positive Glieder ein negatives folgt, so kann man schreiben

tO| œ

to! i—

H ¹ CO

00    K-*

und erhält durch Addition

f-M

Hieraus folgt die Notwendigkeit, zweierlei Arten unendlicher Reihen mit positiven und negativen Gliedern zu unterscheiden: man nennt unbedingt konvergente Reihen solche, bei denen die Anordnung der Glieder keinen Einfluss auf den Wert der Summe hat, bedingt konvergente diejenigen, deren Summenwert von der Anordnung der Glieder abhängt.

Das Kriterium, ob eine Reihe eine unbedingt konvergente ist, spricht der Satz I aus.

(14. Reihen mit variabel» Gliedern. Sind die Glieder einer unendlichen Reihe rationale Funktionen einer Variabein x, etwa

(1)

Uo = ff o (x); m = (/1 (x); u₂ = ff 2 (x); . . .

und ist die unendliche Reihe

(2)

⁽f 0 0) + <f'i (x) + ffi (x) 4- . . .

nicht nur für einen einzelnen Wert von x, sondern für alle Werte von x

die innerhalb eines gewissen Bereiches (xi, x₂) liegen, konvergent, so sagt man*, durch die Gleichung

(3)

y = f (x) = ff 0 (x) + <f 1 (x) + ff 2 (x) A . . . . i = 00

= 2 <f i(x)

i —0

sei eine Funktion von x innerhalb des Konvergenzbereiches (xi, x₂) deflniert. Dabei ist aber zu unterscheiden, ob die Reihe (2) unbedingt oder bedingt konvergent ist; ersteres ist der Fall, wenn die Reihe

(4)

ff'o (x) I + I ffi (x) I -f- J ff2 (x) I -j- . .

für jeden Wert von x innerhalb des Konvergenzbereiches ebenfalls konvergent ist; andernfalls ist der Wert von f(x) an die Anordnung der Glieder der Reihe (2) gebunden. Auch ist in jedem Falle besonders zu untersuchen, wie sich die Reihe (2) an den Grenzen des Konvergenzbereiches verhält.

Gibt man der Variabein x innerhalb des Konvergenzbereiches einen bestimmten Wert, so liegt es im Begriffe der Konvergenz (§ 59), dass nach Annahme einer beliebig kleinen Grösse s es möglich ist, eine bestimmte Anzahl n der ersten Glieder der Reihe so abzusondern, dass die Summe der übrig bleibenden Glieder kleiner als s ist, dass also

(5)

I S — s„ I < S

gilt und für weiter wachsende n in Geltung bleibt. Denkt man sich dem x andere und andere Werte innerhalb des Konvergenzbereiches beigelegt, so muss zwar jene Bedingung bestehen bleiben, aber es ist wohl denkbar, dass einem andern Werte von x auch eine andere bestimmte Zahl n entspricht; die Zahl n braucht für die verschiedenen Werte von x nicht dieselbe zu sein, sie kann für einzelne Werte von x über alle Grenzen wachsen.

Kann aber eine bestimmte Zahl n so angegeben werden, dass für sie für alle Werte von x innerhalb des Konvergenzbereiches die Ungleichung (5) besteht, so heisst die Reihe (3) innerhalb des Konvergenzbereiches gleichförmig konvergent.

Da die einzelnen Glieder der Reihe (2) rationale Funktionen von x sind, so sind sie nach § 7 stetige Funktionen von x. Wie aber der Satz von der beliebigen Reihenfolge der Glieder eines Aggregates nicht ohne weiteres auf Aggregate mit unendlich vielen Gliedern übertragen werden kann, so kann man auch aus der Stetigkeit der einzelnen Funktionen (f i (x) nicht auf die Stetigkeit der durch die Reihe (3) definierten Funktion f(x) unvermittelt schliessen.

Unter der Voraussetzung, dass f (x) = 2’ <f i (x) innerhalb des Konvergenzbereiches gleichförmig konvergent sei, kann leicht gezeigt werden, dass f(x) sich innerhalb des Konvergenzbereiches stetig mit x ändert.

Ist x₀ ein bestimmter Wert im Innern des Bereiches, so bilde man

1 = 00 f    I

f(x₀ i b) — f(xo) =    ~ i Ti (xo iL 1') — 9h (xo) < ;

i = 0 l    J

es ist zu beweisen, dass nach Annahme einer beliebig kleinen Grösse s eine andere Grösse b so bestimmt werden kann, dass

I f (x₀ i h) — f (x₀) I < £ für alle h < b (§ 7).

Wird a in zwei Teile geteilt 8 — ti +£2, so kann auch

i —GO (    i

- Ti (Xo ± h) - (fi (x₀) } i = 0(

in zwrei Teile

s,i =    - 'I Ti (xd ± h) — (f i (x₀) \ und

1 = 0

s'n =

i=n+ll

I Ti (xo i h) —

Ti(x₀) j

zerlegt und zufolge der gleichförmigen Konvergenz zu den Werten (xo i h) und xo dasselbe n so bestimmt werden, dass

I S',, I < £2

wird, wenn für h eine Grenze b-> festgesetzt wird. Da s„ eine rationale und somit stetige Funktion von x ist, kann jederzeit h < bi bestimmt werden, so dass | s„ | < £1 wird. Wird die grössere der beiden Zahlen b 1 und CÎ2 mit b bezeichnet, so ist

s„ + S'„ I < £ fÜT 11 < 5,

die Funktion f (x) ist also stetig.

65. Die Potenzreihen. Von besonderer Wichtigkeit unter den Reihen mit variabeln Gliedern sind Reihen, die nach ganzen positiven

Potenzen dir Veränderlichen x fortschreiten, die sogenannten Potenz-reihen. Sie haben die Form

U — GO

(1)

•'o *f* ai x -(- U2 "I⁻ • • • -f- a„ x" -j- . . =    ^ a„ x",

n = 0

wobei die ao, ai, a_>, . . Konstanten sind, die in der Kegel nacli einein bestimmten Gesetze gebildet werden.

Aus den allgemeinen Bedingungen für die Konvergenz unendlicher Reihen folgt, dass die Reihe unbedingt konvergent ist, wenn

(2)

lim

u»»+i

II = 00 I

U„

< 1 oder lim

n ~ go

‘hi+l

a„

mit wachsendem n gegen

ist. Konvergiert also der Quotient

a„

I ‘b)-f-I

eine bestimmte Grösse X, so ist die Reihe (1) konvergent, sobald j x j < X ist. Es gilt also der Satz:

I. Ist lim

a„

< X, so ist die Potenzreihe (1) un-

. an+l

bedingt konvergent für alle Werte von x innerhalb des Bereiches — X < x < + X.

11 = CO

Ob die Reihe auch an den Grenzen — X und -f X des Konvergenzbereiches konvergent ist, muss im Einzelfalle besonders untersucht werden.

Ist X = co , so ist die Reihe für jeden Wert von x konvergent; für X — 0 ist die Reihe für jeden Wert von x divergent.

Man hat demnach die Potenzreihen in zwei Arten zu teilen, in solche, die für alle Wert von x und in solche, die nur für Werte von x innerhalb eines endlichen Bereiches konvergent sind. Die Reihen, die für keinen Wert von x konvergent sind, sind naturgemäss von der Betrachtung auszuschliessen.

Zu den ersteren gehört die in § 62 I betrachtete Reihe, wenn man a durch x ersetzt,

x³

x²

1-2

1 • 2 • 3

als Beispiel der zweiten Art diene die Reihe

x²

x³

in ihr ist

lim

a„

= lim

li — oo n

= l;

x I ‘"'"’-I-¹

also ist die Reihe konvergent für alle x, die der Ungleichung

- 1 < x< + 1

genügen. An den Grenzen selbst zeigt die Reihe verschiedenes Verhalten; sie lautet

und ist bedingt konvergent (§ 63)

für x = -f 1

für x = — 1

. . und ist divergent (§ 59).

Die Reihe II des § 62, wenn a durch x ersetzt wird, lautet 1 + x + 1 • 2 • x² + 1 • 2 • 3 • x³ + ...

und ist für jeden Wert von x divergent.

Unabhängig von dieser Folgerung aus den allgemeinen Konvergenzbedingungen gilt für die Rotenzreihen der folgende Fundamentalsatz:

II. Wenn die absoluten Werte der einzelnen Glieder einer Potenzreihe 2fa„x" für einen bestimmten Wert xn von x sämtlich unter der festen endlichen Grösse g bleiben, so konvergiert die Potenzreihe für alle x, die der Ungleichung ' xI < I xo ! genügen, und innerhalb des durch diese Ungleichung bestimmten Bereiches gleichförmig.

Es sei also für jeden Wert von n

(3)

I a„ x"o I < g.

Setzt man

I x I = g und I xo I = &» »

so ist weil J auxu₀ ! —. |a„ | • | x"₀ ,

io

a„ I < g • uo, also I a„ x" J < g • (    ;

so dass weiter

(4)

I a₀ ! + J at x I -+- | a, x²1 -f ... < g 1+4

Xo

io

Da nun

< 1, so ist die geometrische Reihe

1 + ï,⁺ (t) ⁺ '

und damit auch die vorgelegte Reihe 2; a„ x" konvergent. Teilt man diese in zwei Teile und nennt wie früher

i = oc

s'„ =

i = ii -f 1

aj x¹

so genügt dieser Teil offenbar der Ungleichung

i — oc

i = cc

s'„ =

i = n -f 1

»i X¹ I <

i = n +-1

g+su

< g:

Xo

xo

worin inan die redite Seite durch hinreichend grosse Wahl von n, so 1', d. h. für jedes £ < beliebig klein machen kann;

lange —

folglich ist die Reihe unter den gemachten Voraussetzungen gleichförmig konvergent.

Da zufolge der Gleichung (4) die Reihe auch konvergent ist, wenn die einzelnen Glieder durch ihre absoluten Werte ersetzt werden, so konvergiert die Potenzreihe in dem Bereiche | x | < | x₀, | unter den gemachten Voraussetzungen unbedingt. Aus Satz 11 kann sofort gefolgert werden :

Wenn die Koeffizienten der unendlichen Reihe a₀ -j- ai x -j- a₂ x² + ... -j- a„ x" Ą- •. von einem bestimmten Gliede an sämtlich kleiner als die endliche Grösse g sind, so ist die Reihe konvergent für alle x, die der ’Ungleichung | x < 1 genügen.

Da ferner aus der gleichförmigen Konvergenz auf die Stetigkeit geschlossen werden kann, so gilt

III. Die durch eine unendliche Potenzreihe definierte Funktion ist innerhalb des Konvergenzbereiches der Reihe eine stetige Funktion der variabeln Grösse.

Differentiiert man die durch die Potenzreihe

(5) f (x) = a₀ + ai x -f a₂ x² + .. . -f an X“ + a„+v x“+l + ...

definierte Funktion, indem man die einzelnen Glieder differentiiert, so erhält man

(6)

df(x)

dx

— ai + 2 a₂ x + 3 a₃ x² -f .. -f- ¹¹ • a„ x"⁻¹

Wenn aber

lim

a„

11 = oc a»+l

= X, so hat auch lim u =

na„

= lim n =

all

an+i

den Wert À ; folglich ist die Reihe (6) in dem nämlichen Bereiche wie die Reihe (5) konvergent.

IV. Für jeden Wert von x innerhalb des Konvergenzbereiches einer Potenzreihe ist die aus den Differentialquotienten der einzelnen Glieder gebildete Reihe eine ebenfalls unbedingt und gl eich förmig konvergente, deshalb auch stetige Potenzreihe.

Wenn die beiden

(iö. Salz fier unbestimmten Koeffizienten.

Potenzreihen

(1)

i ao -j- ai x -f a₂ x² -f . . + a„ x¹¹ —j— . . bo -ff bi x -f b₂ x² -f- . . -)- b„ x'¹    . . ,

die innerlialb des Bereiches — À < x < 4-À gleichförmig konvergent sind, für jedes x aus diesem Bereiche einander fr lei ch sein sollen, so kann das nur geschehen, wenn die Koeffizienten der gleich hohen Potenzen von x gleich sind. Nach der Voraussetzung ist nämlich

(2)

a₀ + x (aL + a₂ x + a₃ x² + .. ) = b₀ + x (bi + b₂ x + b₃ x² + ... ),

worin die in Klammern stehenden Werte innerhalb des Bereiches (— X, + X) ebenfalls konvergent sind und endliche Summen haben. Lässt man x = 0 werden, so liegt dieser Wert im Konvergenzbereiche, also bleiben die Werte der Klammern endlich, folglich muss

(3)

ao = bo

sein. Lässt man jetzt an und bo auf beiden Seiten in (2) weg und dividiert durch x, so erhält man

ai + x (a₂ + a3 x + .. ) = bt -j- x (b₂ -j- b₃ x -(-... )

für alle Werte im Bereiche (— X, -f- X), woraus durch genau dieselben Schlüsse

(4)

ai = bi

(5)

gefolgert wird. So fortfahrend kann man beweisen, dass a₂ = b₂. a₃ = b₃ , . . . au = bn, . . .

gelten müssen.

Aus diesem Satze der unbestimmten Koeffizienten ergibt sich die für das Folgende wichtige Bemerkung, dass eine Funktion innerhalb eines gewissen Bereiches nur in einer einzigen Weise durch eine Potenzreihe darstellbar ist.

67. Binomische Reihe für beliebige Exponenten. In den elementaren Lehrbüchern entwickelt man die Potenz (a -f- z)m der zweiteiligen Grösse a -f- z für den Fall in eine Reihe, dass der Exponent eine ganze positive Zahl bezeichnet. Es soll nun gezeigt werden, dass diese Entwickelung in eine Reihe auch zulässig ist, wenn der Exponent eine negative oder gebrochene Zahl darstellt.

Setzt man voraus, dass a und a + z positiv sind, so ist (a + z)m für jeden Wert von m reell und kann in die reellen Faktoren

\ m    z

) zerlegt werden. Setzt man x an Stelle von —, so

J    a

handelt es sich um die Entwickelung von (1 -f- x)m.

Nach dem Satze der unbestimmten Koeffizienten nehme man an (1 + x)m = a₀ + at x + a₂ x² + a₃ x³ +.....

Hierin sind die von x unabhängigen Konstanten ao, ai, a?, . . . zu bestimmen.

ara •

(i)

Für x = 0 erhält man ao = 1. Um die folgenden Konstanten zu bestimmen, differentiiere man (1) und erhält

m (1 + x)m — 1 = aL -f 2 a₂ x 3 a₃ x² + ... oder, indem man durch m dividiert und mit (1 -j- x) multipliziert,

(2)

— ai') x³4-m J

m    m J \ m

Setzt man jetzt die Koeffizienten der gleich hohen Potenzen von x in den Entwickelungen von (1) und (2) einander gleich, so findet man

in

-ai = a-i folglich ai = m • 1

— a₍

a₂ — ai

a₂ —

m (m — 1 )

1 -2

-a₂

in

a.₃ — a₂

a₃ =

m (m — 1) (m — 2)

1-2-3

a₃ 4-

-a+ = a₃

a+ =

m (m — 1 ) (m — 2) (m — 3)

etc.

etc.

Fuhrt man diese Werte von a<), ai, a₂, a₃, . . . in (1) ein , so erhält man als gesuchte Reihe

(3) (l+x)m=r+mx +

m(m — 1)

1-2

x²

m (m — 1 ) (m — 2)

1-2-3

x³+...

m (rn — 1) (m — 2)... (m — n 4- 1)

Ist der Exponent m eine ganze positive Zahl, so ist die Reihe endlich ; sie hat (m -f- 1 ) Glieder. Ist aber m negativ oder ein Bruch, so ist die Reihe unendlich. Für diese ist

(4)

lim

a„

an+i

lim

= lim

U = 00

14-

= 1;

also ist die Reihe (3) konvergent in dem Bereiche

— 1 <x< + 1.

Die Reihe (3) wird häufig angewendet auf Wurzelgrössen mit zweiteiliger Grundzahl. Man bringt sie auf die Form von Potenzen, wie folgende Ausdrücke zeigen.

Kl+x=(l+x)²;

\y i — x = (i — x)³*

ł(ł-l).., , *(*“!)(*-2)

Für Y 1 4- x erhält man z. B. (1 + x)T = ] -f i x -f-

1-2 r x² x³ 5x ⁺

8 r I 6 “ 128

Diese Reihe kann zur Wurzelausziehung von bestimmten Zahlen benutzt werden, wie folgendes Beispiel zeigt.

V l,0o — (1 + 2V) ' - 1 + 2 ( 2ïï) S (2V)' tV (2 V)’!    1 ;2 8 (2V)¹ + • •

= 1,024 695 1 . .

Dabei kommt es aber immer darauf an, dass die Zahl in zwei Teile zerfalle, wovon der eine das Quadrat einer bestimmten Zahl und der andere Teil klein sei.

Soll z. B. y 7 bestimmt werden, so kann man wie folgt zerlegen

7 = 9 — 2 — 9(1 - J);

4-, CO

daher

= ¥(i+Ä);

V 7=3(1 -f)--;

1

KT-f(i+Ä)Ti

7 - W - TV = W (1 - 1I1)i V 7 = V 0 — tIt)s

68. Reihe für die Ex|N)iie»lialgrösse ax. Man nehme an, es lasse sieh ax in eine konvergente Reihe von folgender Form entwickeln

ax = aa 4 ai x -J- a-' x² + a₃ x³ + a₄ x⁺ -j- . .

u. s. w.

worin ao, ai, a₂, . . unbekannte konstante Grössen bezeichnen, die zu bestimmen sind.

hält man

Setzt man zuerst x = 0, so folgt a° == 1 = ao.

Hierdurch er

(1)

ax — 1 ai x + a> x² + a₃ x³ + a+ x³ 4-Durch Differentiation dieser Gleichung ergibt sich

ax — -— (ai 4~ - a» x 4 3 a₃ x² 4- 4 a^ x³ 4- . . ).

(2)

Da die rechten Seiten von (1) und (2) einander gleich sein müssen, so geben nach § 66 die Vorzahlen der gleichen Potenzen von x folgende Relationen

ai = / a ;

folglich ai = / a;

2 a2 = ai • / a ;

a₂ =

1-2

Ga)²;

3 a₃ = a2 • / a ;

a₃ =

(/a)³;

Setzt man diese Werte von a₀, aL, ;v₂, . . . in (1) ein, so erhält man die gesuchte Exponentialreihe

(3)

ax = l 4- (l a) x -f-

(/a)²

x'M

x³ 4

Q)⁴

1.2-3-4

1 -2-3

Wenn a = e als Basis der natürlichen Logarithmen (§ 20) angenommen wird, so ist l e = 1 und die Reihe (3) geht über in

(4)

ex = 1 4- x -f

x²

x³

4_

X⁴

4- - -

1 -2-3

Setzt man hierin x = 1, so erhält man den numerischen Wert der Basis

(5)    6=1 + 14^

1 -2-3

1-2-3-4

4- .. = 2,718 281 828 459..

Zur Bestimmung des Konvergenzbereiches hat man

n + l

lim

a„

— lim n = oo

= cc ;

n = x aii-M

also sind die Reihen (3) und (4) konvergent im Bereiche

— CC' < X < 4- cc.

09. Reihe für l (14- x). Da l x selbst nicht in eine nach positiven Potenzen von x fortschreitende Potenzreihe entwickelt werden kann, weil /x an der Stelle x —0 unstetig wird, so setze man voraus, dass / ( 1 4- x) in eine konvergente Reihe entwickelt werden könne von der Form

(1)    / (1 4- x) = a₀ -f ai x -f a₂ x² 4 a₃ x³ 4 a₄ x⁴ -f-

worin die konstanten Koeffizienten ao, ai, a₂ . . . unbekannt, somit noch zu ermitteln sind.

Setzt man x = 0, so folgt l i = 0 = a₀. Durch Differentiation von (1) erhält man

(->)

= ai 4- - a*2 x + 3 a3 x² -p 4 a4 x³ 4- • •

1 + x

Führt man nun die Division von l:(l4~x) nach den gewöhnlichen Regeln aus, oder entwickelt man (1 4~ x)⁻¹ nach dem binomischen Satze in eine Reihe, so kommt

(3)

= 1 — x 4- x² ■— x³ 4- xł — . .

in (2) und (3) sind Reihen, die

nacli den Potenzen derselben Veränderlichen x fortschreiten. Also sind die Koeffizienten gleich holier Potenzen dieser Reihen einander gleich. Dies gibt

Die beiden Werte von

1 4- x

ai = 1 ; 2 a₂ = - 1 ; 3 a$ = 1 ; 4 a₄ = — 1 ; . . .

Führt man diese Werte von ai, a₂, a₂, . . in (l) ein und setzt a₃ — 0, so erhält man die gesuchte logarithmische Reihe

Als Bereich der Konvergenz dieser Reihe ist bereits in § 65 — 1 < x < -f- 1 bestimmt worden. wobei zugleich gezeigt wurde, dass an der oberen Grenze bedingte Konvergenz stattfindet, x = 4 G so erhält man

Setzt man

± • • • (§ 63).

I 2=1 —

x²

(4) l( l+x)-x—y + y-T+..±

X"

x"+1

n+ 1

1 1

70. Anwendung dieser Reihe zur numerischen Berechnung der natürlichen Logarithmen. Da die Reihe für /(I -f-x) die Berechnung der natürlichen Logarithmen nur für die Zahlen von 0 bis 2 gestattet, vertausche man, um zu einer für alle Zahlen brauchbaren Reihe zu gelangen, x mit — x, und erhält

_ G¹ -x) =

X²

— x--—

X³

xł

Zieht man diese Gleichung von der für l ( 1 -j- x) ab, so wird

(O

I+S-(‘ +

x³

O»

x⁷

1 + x

1 — X

— 1 < x < 0 jeden echten Bruch darstellen. Setzt man nun

und hierin kann

für 0<x<l jede noch so grosse Zahl, für

1 4- x

2

= 1 -j--, also x —

so gibt dadurcli die letzte Reihe

(2)

i(* + y) = <y + a[-2F+r + T(-

.i

2y + z

Gewöhnlich nimmt

Dies ist nun die Reihe, nach der numerische Rechnungen auszuführen sind. Dabei werden um so weniger Glieder der Reihe zu berechnen sein, je kleiner z und je grösser y ist. man z = 1 und hat

(3) Z(l+y)=Jy + 2.

+ l(

2y+ 1

I. Für y = 1 erhält man aus (3)

IL Für y = 2 ist nach (3)

is = 12 + 2[! + HI)* + Hł)⁵ + ł(ł>’ + ••.].

IS = 1,098 612 288 7 ...

III. Für y = 9 folgt

no = 19 + a [* + i (A)³ + i (A)³ + HA)’ + •■•],

und da 19 — 213 = 2,197 224 577 4 .., so findet man J 10 = 2,302 585 093 0 ...

Um die Logarithmen aller ganzen Zahlen zu erhalten, müssen vermittelst der Reihe (2) oder (3) nur die Logarithmen der Primzahlen berechnet werden. Alle übrigen Zahlen zerlege man in ihre Primfaktoren und nehme die Summe der Logarithmen dieser Faktoren.

71. Bestimmung der gemeinen Logarithmen. Die Basis der gemeinen oder Briggischen Logarithmen ist 10, die der natürlichen e = 2,718 28 .. Hat man nun die Relation

ey = 10x = A,

Nimmt man von beiden Potenzen die natürlichen Logarithmen,

so ist v der natürliche und x der gemeine Logarithmus derselben Zahl A." so ist

y = x 110.

Daraus folgt, dass der gemeine Logarithmus multipliziert werden muss mit /10 — 2,302 585 09 .., um den natürlichen Logarithmus derselben Zahl zu ergeben, und dass umgekehrt der natürliche Logarithmus multipliziert werden muss mit

= 0,434 294 48 ..

I 10    2,302 585 09 ..

um den gemeinen Logarithmus dieser Zahl zu geben.

Diese letztere Zahl wird Modulus der gemeinen Logarithmen genannt. Sind also nach dem Vorhergehenden die natürlichen Logarithmen der Zahlen berechnet, so können durch Multiplikation derselben mit dem Modulus die gemeinen Logarithmen aus ihnen abgeleitet werden.

Nach § 20, Gleichung (7), hat man für irgend ein Logarithmen

system

dx

d!l log x = il log e •

Für natürliche Logarithmen wird ^ e = 1, für briggische dagegen ist log e — log 2,718 281 82 . . = 0,434 294 48 . .

Dieser letztere Wert ist daher für den in § 20, Gleichung (4) enthaltenen Annäherungswert zu nehmen.

72. Reihen für den Sinus und den Cosinus. Es sollen die trigonometrischen Zahlen sinx und cos x durch den Bogen x ausgedrückt werden. ■ Man nehme an, es lasse sich sinx entwickeln nach der Gleichung

worin ai, a2, aj, ... konstante Zahlen bezeichnen, die zu bestimmen sind. Das von x unabhängige Glied in (1) ist weggelassen, weil für x = 0 auch sin x = 0 wird.

Differentiiert man (1) und dividiert durch dx, so kommt

(2)    cos x ⁼⁼ ai —2 a2 x -(— 3 a3 x² -I⁻ 4 a^ x³ -)— 5 as x⁴ —)— ... Differentiiert man auch (2) und ändert das Vorzeichen, so wird

(3)    sin x = — 2 a2 — 6 a3 x — 12 a± x² — 20 as x³ — ...

Setzt man nun x = 0, so erhält man aus (2) ai — 1 und aus (3) a2 = 0.

Setzt man sodann die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x äus (3) und (1) einander gleich, so findet man

1-2-3

—    ß a.3 = ai ; folglich a3 =

a4 = 0;

—    12 a₊ = a2 ;

— 20 a₅ = a3 ;

as — -f-

1- -3-4-5

to

; u. s. w.

Führt man schliesslich die für ai, a2, a.3, . . . gefundenen Werte in (1) und (2) ein, so erhält man die gesuchten von Kewton herrührenden Reihen

(5) sin x — x

x³

X⁵

x⁷

1-2-3

1-2-3-4-5-6-7

(6)

COS X = 1----:

x²

X⁴

X⁶

1-2.3-4.5-6

Je eine der Reihen (5) und (6) ist der Differentialquotient der anderen. Ist daher die eine konvergent für irgend welche Werte von x, so ist es die andere für diese Werte ebenfalls.

Nun ist in (5)

1 -2

lim

a2u—1

2 n (2 n + 1) — cc

11 ~ GO j a2ll+l

also ist der Konvergenzbereich beider Reihen durch

11 == GO

— co < x < 4- co

bestimmt.

Hiernach sind also die Reihen für jeden endlichen Wert von x konvergent. Die Glieder der Reihe können allerdings, je nach dem Werte von x, bis zu einer gewissen Stelle wachsen, müssen aber von da an abnehmen.

73. Numerische Berechnung des Sinus und des Cosinus. In den eben entwickelten Reihen für sinx und cosx ist natürlich x das analytische Mass des Winkels.

Ist nun z. B. Sinus und Cosinus von 1° zu bestimmen, so folgt aus

= 0,017 453 292.

1° : 360° = x:2tt, 3,141 592 653

Führt mau diesen Wert von x in die Sinus- und Cosinusreihe, Gleichungen (5) und (6) von § 72 ein und berechnet die Glieder der Reihe bis auf die achte Dezimalstelle, so wird man bemerken, dass nur die beiden ersten Glieder der Reihen von Einfluss auf die Resultate sind, indem man erhält

sin 1° = 0,017 453 29 - 0,000 000 89 = 0,017 452 40, cos 1° = 1,000 000 00 — 0,000 152 31 - 0,999 847 69.

Setzt man in dieselben x = m

Die Reihen von sin x und cos x lassen behufs numerischer Rechnungen folgende Umgestaltung zu. ein, so gehen sie über in

1 f m 7T \³

1 • 2 - 3 U./'

1-2-3 4 • 5 V 2

,    m n

sin (m -90°) = —— £

1 -2

cos (m-90°) =

Berechnet man die Werte von folgende Gleichungen

77

. , so erhält man

+ 0,000 000 1 m¹³,

cos (m • 90°) = 4- 1,000 000 0

1,233 700 6 m2 + 0,253 669 5 m⁴ - 0,020 863 5 m6 4- 0,000 919 3 m⁸ — 0,000 025 2 m10 4- 0,000 000 5 m¹².

Sind Sinus und Cosinus von 1° zu berechnen, so setzt man in diesen Gleichungen m — —und findet die obigen Werte.

90

Für

1 Minute hat man zu setzen m • 90 • 60 = 1, also m =s

u. s. w.

90-60

Vermittelst dieser Gleichungen rechnet man nur die Werte von Sinus und Cosinus für Winkel bis auf 45°. Folglich ist der grösste

Wert von m =

—, also sind diese Reihen sehr konvergierend.

74. Reihen für Logarithmus-Sinus und Logarithmus-Cosinus. Sondert man bei der Sinusreihe (5), § 72, den Faktor x ab, so erhält man

(1)

sin x = x ( 1 —

x²

1-2 - 3

x⁴

setzt man zur Abkürzung

x²

x⁴

xc

so geht Gleichung (1) über in

sin x = x (1 — y).

Nimmt man liier die natürlichen Logarithmen, so kommt Zsinx = Ix -f Z(1 — y).

Wird die Grösse /(I —y) vermittelst der Reihe (4), § 69, in eine Reihe aufgelöst, so erhält man

/ sin x = Ix —

Man führe hierin den Wert von y aus (2) ein und erhält

x²

x² 3

x⁴

1-2-3

1.2-3-4.5

1-2.3.4-5-6-7

X²

1 • 2 • 2² • 3²

xG

1 • 2² • 3² • 4 • 5

x⁴

to 1—

- m n und geht von den natürlichen Logarithmen zu den gemeinen über, indem man den Modul 0,434 29.. mit M bezeichnet, so erhält man

71

log sin (m • 90°) = log -f log m — M

Setzt man nun x =

m²

log cos (m 90°) = — INI

rK--),-⁺

3² • 5

Hätte man vermittelst dieser Reihen die Grössen log sin 2° und

2

log cos 2° zu berechnen, so würde man setzen m • 90 = 2, also m = — ;

für 1 Sekunde hätte man m • 90 • 60 • 60 = 1, also m =

90•60 • 60

zu setzen. Da der grösste in der Anwendung vorkommende Wert von ^ ist, nämlich für 45°, so sind diese Reihen numerisch konvergierend.

{I a)¹;

m² + - - -

COS X = 1 —

x²

X²

x°

1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6

ebenso, indem man die Grösse rechts = 1—y setzt und /(I — y) in eine Reihe auflöst etc., so erhält man

1 -2

tang x = x + —

75. Reihe für Tang x. Dividiert man die Reihe für sinx durch die von cos x (§ 72), so erhält man als gesuchte Reihe

2 x⁵ 17 x7 TÏT ⁺ 315

x³

Topographische Aufnahmen können ein verhältnismässig grosses Gebiet umfassen. Nimmt man an, sie seien eingeschlossen in den Mantel eines Kreiskegels, dessen Spitze in den Mittelpunkt der Erde fällt, so schneidet der Mantel auf der Erdoberfläche, diese kugelförmig gedacht, eine Kalotte aus, auf der die wahren Längen sich vorfinden. Allein die Kalotte werde ersetzt durch die Grundfläche des Kegels, die die Kalotte berührt, oder durch die Grundfläche, die durch den Umfang der Kalotte geht.

Nun ergibt ein ebener Schnitt des Kegels längs der Achse einen Bogen auf der Kalotte und zwei Gerade auf den Kegelgrundflächen. Der Zentriwinkel, den die Seitenkanten des Achsenschnittes bilden, sei 2x und der Radius der Kugel R; dann sind der halbe Bogen auf der Kalotte = R x und die Radien der Kegelgrundflächen = R tang x und R sin x. Diese Linien verhalten sich untereinander wie x : tang x : sin x.

Setzt man x sehr klein voraus, so hat man annähernd

x³

tangx = x + — ;

sin x = x —

x³

2-3 '

Daher die relativen Fehler, werden,

tang x — x

w! x g

tangx und sinx für x genommen

x — sin x

Mithin ist der Fehler auf der inneren Grundfläche zweimal so klein als auf der äusseren.'

Für einen Zentriwinkel von 1° hat man

x:2 n = 0,5°: 360°;

7T

360 '

Daher ergibt sich hierfür tang x —

x 1 / 3,141 592 65 . . V ÏV 360 J

= 0,000 025 38 ..

von der Bogenlänge.

000

Der Fehler beträgt daher auf der äusseren Grundfläche für einen Bogen, der 0,5° umfasst, sehr annähernd ^40

Nimmt man den Erdhalbmesser zu 6 400 000 m an, so beträgt die Länge dieses Fehlers

6 400 000--^?

= 1,396 m.

360    40 000

76. Reihe für Arcnssinus. In der Gleichung y = arc sin x

bezeichnet x den Sinus, dessen Bogenmass = y ist. Es soll der Bogen y ausgedrückt werden durch eine Reihe, deren Glieder den Sinus x enthalten. Man setze zu diesem Zwecke

(1)

Autenheimer, Elementarbuch.

(2) arc sin x = ai x -f a2 x² -f a3 x³ a4 x⁴ + a₅ x⁵ + a₆ x⁶

4~ a7 x⁷ -j- ....

in welcher Gleichung die Grössen at, a₂, a₃, . . unbestimmte Konstanten bezeichnen. Da für x = 0 auch der Bogen = 0 wird, so ist das Glied ohne x weggelassen.

Die Differentiation dieser Gleichung gibt

(3)

yi—x²

= ai + 2 a₂ x + 3 a₃ x² + 4 a₄ x³ 5 a₅ x⁴ 4- 6 aß x⁵

4" 7 a7 x⁶ 4~ • • •

Bringt man die linke Seite dieser Gleichung auf die Form (1 — x²) 2 und entwickelt dieselbe nach dem binomischen Satze, so folgt

⁵ 6 > 35 “X +H8

Da nun die rechten Seiten von (3) und (4) einander gleich sein müssen, so geben die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x folgende Werte

= 0; a,=7Ï2

(4)

|Al - x²

= 1+Tx2+4x4+l6

ai = 1, a₂

; a4 = 0 ; a₃

a₂ n = 0 ;

a2n + l —

TS II

40 ; 86

n — 1)

2 ■ 4 ... 2 n

2 n 4- 1 '

Vermöge dieser Werte wird die Gleichung (2)

(5)

arc sin x = x 4

¹    3 I ³    5 1    ⁵    7 1

Tx3^4ÖX +H2-X +••

Setzt man hierin nach (1) x = siny und beachtet, dass die Koeffizienten ein bestimmtes Bildungsgesetz befolgen, so hat man als gesuchte Reihe

1 • (siny)³

(6) y = sin y 4-

1 • 3 (sin y)⁵

1-3-5 (sin y)⁷

2-3

(M CO

2-4-6-7

. 1-    •    • -(siny)⁹

^    2 • 4 • 6 ■ 8 • 9

Der Konvergenzbereich der Reihe (5) ergibt sich aus

lim

a₂ n — i

11“ CO ! a2 n 4- 1

= lim n =

2n(2n+ 1) oo (2 n l)²

= lim n — go

²(²+i)

= 1.

Danach ist die Reihe für

V

- 1 < x < 4-1

konvergent. Sie konvergiert aber auch noch an den Grenzen des Bereichs, denn ihre Glieder sind für x = 1 kleiner als die entsprechenden

., deren Konvergenz

2 3    3 4 ^ Ą.

in § 62 nachgewiesen ist. Mithin ist die Reihe (6) für jeden Wert von y konvergent.

Glieder der Reihe 1 -j-

Für einen Winkel von 30° ist sin30° = “ Werte geht die Reihe (6) über in

K «O

. Für diese

71

1-3

1-3-5

2-3-4

2-4-5-1    ¹

1-3- -7

2-4.6-7-64

2-4-6    -9-256

5

7“Ï68 ⁺ ¥94 912 ⁺ ¥ 883 584

CO •

63

- ^ 640

Die Glieder dieser Reihe nehmen ziemlich rasch ab, also kann daraus der Wert von n bis zu einem beliebigen Grade der Genauigkeit berechnet werden.

77. Reihe für Arcustangens. In der Gleichung

y = arc tang x

24

(1)

bezeichnet x die trigonometrische Tangente des Bogens y. Man soll den Bogen y durch eine Reihe ausdrücken, deren Glieder die Variable x enthalten.

Man nehme als hypothetische Gleichung an

arc tang x = ai x -j- a2 x² + &3 x³ + x⁴ + a5 x⁵ + ..

worin ai, a2, a3,... konstante Grössen bezeichnen, die zu bestimmen sind. Dabei ist der Koeffizient der Potenz x° gleich Null genommen, weil für x = 0 auch der Bogen = 0 wird.

Differentiiert man (2), so kommt

(2)

— ai —(— 2 a2 x —3 a3 x² -f⁻ 4 a4 x³ —|— 5 as x^ —(— ... Führt man die Division von 1 durch (1 + x²) aus, so findet man

= 1 — x² Ą- x⁴ — x⁶ + • • •

(3)

1 + x²

(4)

1 + x²

Vermöge der Gleichungen (3) und (4) hat man zwei Reihen für dieselbe Grösse 1 : (1 -j- x²). Also müssen die Koeffizienten derselben Potenzen von x in beiden Reihen gleich sein. Dies gibt

ai = 1 ; a2 = 0; a3 =

a± = 0 ; as

a2 n = 0 ;

a2 n + 1 = (— 1)“ ‘

2n + 1 ’

Führt man diese Werte von ài, a2, aa, . . in (2), so folgt

(5)

arc tang x = x —

X³

X⁵

x⁷

3~ + _¥~~

Setzt man hierin nach (1) x = tang y, so erhält man folgende von Leibnitz gefundene Reihe

(6) y = tang y —

Y" tang³y + -i- tang⁵y — -i- tang⁷y + ..

Aus

lim

____ !    —lim

n ~ OG j 3,2 n + ¹ n co , ^ ¹¹    1 ergibt sich der Konvergenzbereich der Reihe (5) zu

. — 1 < x < + 1.

Sie lautet

Doch auch an den Grenzen ist die Reihe konvergent, für x = 1

da in dieser alternierenden Reihe die Glieder immer mehr abnehmen, ist sie konvergent (§ 63, II), aber nur bedingt, d. h. ihr Wert ist von der Reihenfolge der Glieder abhängig.

Für diese Werte wird

Setzt man tang y die Reihe (6) geben

= 1, so wird y — —

4,4_4₊_L_4 ₊

3    5    7    9    11 ' "

Mithin wenn man je zwei Glieder zusammenzieht und mit 4 multipliziert,

—--1--¹—

9-11 T 13-15

(7)

(8) n = 8

1-3 ¹ 5-

17 • 19

TZ

Für 30° wird y = — und tang y = -b

— + _4_

3 •    ~5 • 3²

Vs

; daher nach (6)

(9)

CO

7 • 3³

werden.

Mittels der Reihen (8) und (9) kann der Wert von n berechnet

Um aber die Reihe (7) noch rascher konvergierend zu machen,

TZ

zerlege man den Bogen — in zwei solche Teile, dass man hat

(10)

— 7T = 4« — ß,

und nehme tang « = — an; alsdann ist 5

tang 2 a =

2 tang a

1 — tang²«

2.4

12

(U)

tang 4 « —

2 tang 2 «

2-

»O

12

120

1 —tang²2 «

25

1 - -4-

119

tang 4 u — 1

tang ß =

Da ferner tang -4- 71 4

1 = tang (4 « — ß) —

= 1, so wird vermöge (10) sein

taug 4 a — tang ß

tang 4 a ■ tang ß

woraus folgt

tang 4 « + 1

Setzt man hierin den Wert von tang 4 a aus (11) ein, so ergibt sich

120

tang ß =

119

120

239

119

Führt man nun in Gleichung (6) die entsprechenden Werte y = a und

ein, so findet man

tang « =

OM t-¹

, sowie y = ß und tang ß —

4a = — ^1 —

3 • 5²

9 • 5Ö

3•239²

5•239⁴    7•239⁶

Zieht man die eine Reihe von der andern ab, so erhält man den Wert

von -i- n. Folglich entsteht nach einer einfachen Umformung der Brüche 4

in den Klammern die von Machin angegebene Reihe

O»

1 --

42

4³

44

45

3 • 100 '5 100²    7 • 100³ ‘ 9 • 100⁴    11•100⁵

239

3-57121    5-57121²    7-57121³

4- .

O'

Vermittelst dieser Reihe findet man leicht

n = 3,141 592 653 589 793 238 46 . . .

Der Beweis, dass die Zahl n ebenso wie die Zahl e (§ 20) transcendent ist, ist von Lindemann gegeben, womit zugleich die Quadratur des Zirkels als unlösbar bewiesen worden ist.

78. Bemerkungen zum Funktionsbegriff. Während von den bisher eingeführten Funktionen nur die rationalen elementar berechenbar waren (d. h. zu jedem bestimmten Werte des Argumentes konnte bei ihnen der Wert der Funktion durch eine endliche Anzahl von Operationen berechnet werden), ist nunmehr durch die Entwickelung der übrigen Funktionen in Potenzreihen eine Methode angegeben, nach der man zur Berechnung des Funktionswertes nur Summationen und Multiplikationen auszuführen hat, deren Resultat den gesuchten Funktionswert um so genauer und angenäherter ergibt, je weiter die Rechnung ausgeführt wird.

Der Rechner ist selbst in jedem Falle in der Lage, von vornherein die Genauigkeit zu bestimmen, bis zu der er die betreffenden Werte angeben will.

Dadurch ist aber auch das Wesen dieser Funktionen genauer aufgedeckt. Die Funktionsbezeichnungen y = logx, y = sinx und dergl. sind nur als Symbole anzusehen, durch die die Abhängigkeit der Grösse y von der Grösse x ausgedrückt wird, doch erst durch die Möglichkeit der Berechnung ist die Art der Abhängigkeit bestimmt, die bisher nur durch äusserliche Angaben (Umkehrung einer Rechenoperation, geometrische Definition) angedeutet war.

Man kann jetzt von den bisherigen Definitionen ganz absehen und die transcendenten Funktionen nur durch ihre Potenzreihen definieren, also z. B. sagen y = sin x und y = cos x sind nur symbolische Bezeichnungen für

x³

x⁵

x⁷

1.2.3

1-2-3-4.5-6-7

x²

x⁴

x⁶

1-2

1-2-3-4-5-6 ^

In der That ist es möglich, aus diesen Potenzreihen alle wichtigen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, insbesondere das Additionstheorem und ihre Periodizität abzuleiten.

79. Ableitung der Moivrc’sclien Binoniinalforinel aus der Exponential-, Sinus- und Cosinusreibe. Die Exponentialreihe (4), § 68, für einen positiven und negativen Exponenten ist

X³

x²

1-2

1-2-3

e- x

= 1-4 +

x²

x³

1 ¹ 1-2    I.2.3

Durch Addition und Subtraktion dieser Gleichung erhält man

ex + e~ x = 2    1

x²

X*

1-2

ex — e—x = 2 x-j—

x³

x⁵

1-2.3-4-5

Setzt man hierin i x statt x, wobei i die imaginäre Einheit y — 1 bedeutet, so erhält man mit Rücksicht auf die Sinus- und Cosinusreihe

e1 x + e

— ix

X²

X⁴

X⁶

1-2-3-4

I.2.3.4-5-6

= COS X,

X³

X⁵

1.2-3-4-5

. ] = i sin x.

1 -2-3

Durch diese Gleichungen ist der merkwürdige Zusammenhang der Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen gegeben.

n (n - 1) (n — 2) (n — 3) (n - 4)

cos"⁻⁵ x sin⁵ x —

Addiert man diese beiden Gleichungen, so folgt el x = cos x + i sin x.

Setzt man hierin nx statt x, so wird sein

ei> i x = cos n x -f- i sin n x.

Erhebt man aber die Gleichung (1) auf die nte Potenz, so kommt en i x _ (cos x i sin x)n.

Die linken Seiten von (2) und (3) sind identisch, also sind auch ihre rechten Seiten gleich; dies führt zu der gesuchten Moivre’sehen Formel

(1)

(2)

(3)

(cos x i sin x)n = cos n x -f- i sin n x.

80. Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen durch die Potenzen der einfachen. Entwickelt man die linke Seite der eben erhaltenen Moivre’sehen Formel nach dem binomischen Satze, so folgt

(cos x + i sin x)n = cos¹¹ x + -j- cos'¹⁻¹ x i sin x

n(n-l)

(4)

1-2

cos"

-2

x sin² x

n (n — 1) (n — 2)

1 -2-3

cos"⁻³ i sin³ x

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

1-2.3-4

cos¹¹⁻⁴ x sin⁴ x —

Die rechte Seite dieser Gleichung ist gleich der rechten Seite der Moivre’sehen Formel = cos n xi sin n x. Mithin müssen die reellen, ebenso die imaginären Teile beider gleichen Ausdrücke gleich sein. Dies gibt die gesuchten Gleichungen

sin n x = n cos¹¹⁻¹ x sin x

n (n — 1) (n — 2)

1 -2-3

cos"⁻³ x sin³ x

cos n x = cos" x —

n(n-l)

1-2

cosn—2 x sin² x

cos"⁻⁴ x sin⁴ x -f-..

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

1-2-3 -4

Setzt man in diesen Gleichungen der Reihe nach n = 2, 3, 4, . so erhält man folgende Relationen, wenn man noch sin² x durch 1 — cos² x ersetzt,

sin 2 x = sin x (2 cos x),

sin 3 x = sin x (4 cos² x — 1),

sin 4 x = sin x (8 cos³ x — 4 cos x),

sin 5 x = sin x (16 cos⁴ x — 12 cos² x -j- 1),

etc.

cos 2 x == 2 cos²x — 1,

cos 3 x = 4 cos³x — 3 cos x,

cos 4 x = 8 cos⁴x — 8 cos²x -j- 1,

cos 5 x == 16 cos⁵x — 20 cos³x + 5 cos x,

etc.

Löst man diese Gleichungen in Hinsicht der Potenzen von sinx, cosx auf, so erhält man

2 sin²x = — cos 2 x + 1,

4 sin³x = — sin 3 x + 3 sin x,

8 sin⁴x = cos 4 x — 4 cos 2 x + 3,

16 sin⁵x = sin 5 x — 5 sin 3 x + 10 sin x,

etc.

2 cos²x = cos 2 x + 1,

4 cos³x = cos 3 x + 3 cos x,

8 cos⁴x = cos 4 x -f- 4 cos 2 x -j- 3,

16 cos⁵x = cos 5 x + 5 cos 3 x + 10 cos x,

etc.

Erster Teil der Integralrechnung.

1. Ableitung von Integralen.

81. Begriff mul Bezeichnung der Integration. Ist

(i)

y = F (x)

W enn    lim

Ax = 0

= f (x) gesetzt wird, so war

eine in dem Bereiche (xi, X2) der Variabein x eindeutige stetige Funktion , so ist es die Aufgabe der Differentialrechnung, das Differential dieser Funktion für jedes x in dem Bereiche (xi, X2) zu berechnen. F (x + A x) — F x

(2)

d y = f (x) d x.

Die Umkehrung dieser Aufgabe ist die Grundaufgabe der Integralrechnung: Gegeben die in dem Bereiche (xi, X2) stetige eindeutige Funktion f (x) ; es soll eine stetige Funktion F (x) gebildet werden, deren Differential für jedes x in dem Bereiche (xt, X2) gleich f (x) d x ist.

Man nennt diese Funktion F(x) nach Jak. Bernoulli das Integral des Differentials f (x) d x.

Um die Integration durch ein Zeichen anzudeuten, schreibt man

J ; dieses Zei-

vor das Differential, das zu integrieren ist, das Zeichen

eben hat für die Integralrechnung dieselbe Bedeutung wie der Buchstabe d für die Differentialrechnung. Man schreibt hiernach

(3)

y = F(x)= pf (x) dX.

Die Gleichungen (2) und (3) sind völlig gleichwertig, d. h. eine folgt aus der andern. Aus diesen Erklärungen folgt unmittelbar die Richtigkeit der Gleichung

¹

a* = a.) • I a ;

²

T

³

2²•3²•5 V 2

⁴

Verfährt man mit der Cosinusreihe

d J f (x) d x = f (x) d x;

(4)

die Zeichen d und heben sich also auf, wenn sie aufeinander folgen.

Das Integrieren verhält sich zum Differenzieren genau so, wie das Subtrahieren zum Addieren, das Dividieren zum Multiplizieren; es ist die inverse Operation.

Für einzelne einfache Differentiale kann das Integral leicht angegeben werden. So ist z. B.

Integral :

x;

Differential : d x,

x²;

2 x d x,

/x;

sin x ;

cos x d x, .

arc tang x ;

1 -j- x²

wie man sich durch Differentiation des Integrals überzeugen kann.

In der Differentialrechnung werden für ganze Klassen von Funktionen die Differentiale abgeleitet; aus jeder dieser Formeln folgt durch Umkehrung eine Integralformel. Zwar ist dadurch keine Methode des Integrierens gewonnen, aber es werden die Grundformeln der Integralrechnung erhalten, die der Ausgangspunkt für weitere Rechnung werden.

82. Die willkürliche Konstante. Zunächst ist die Frage zu beantworten, ob die Aufgabe der Integralrechnung ein- oder mehrdeutig sei, d. h. ob es nur eine einzige Funktion F (x) gibt, die der Gleichung

(1)

y = F (x) = J f (x) d x

genügt.

Vorausgesetzt, es gäbe noch eine zweite Funktion, so könnte sie durch F (x) + 4» (x) dargestellt werden, wobei (x) ihren Unterschied von F(x) bezeichnet, so dass die Gleichung

(2)

Jf(x)dx = F(x) + <h (x)

bestände. Daraus würde folgen

d F (x) -j- d (x) = f (x) d x ;

da aber schon dF(x) = f(x)dx ist, so muss d (x) für jeden Wert von x im Bereiche (xi, X2) gleich Null sein, was nur möglich ist, wenn (x) von x unabhängig, also eine Konstante ist (§ 15). Man hat demnach das Resultat: wenn

(3)

d y = f (x) d x

ist, so ist

(4)

y = Pf (x) d x + C.

Die Aufgabe, zu einem gegebenen Differential das Integral zu finden, hat also unendlich viele Lösungen; ist aber eine derselben gefunden, so hat man alle übrigen; sie unterscheiden sich voneinander nur durch eine additive Konstante, die willkürliche Integrationskonstante.

Die Bedeutung dieser Konstanten ergibt sich durch folgende Betrachtung. Gleichung (1) stellt eine Kurve dar, deren Abscisse x (Fig. 25) und deren Ordinate y ist; während Gleichung (3) die Neigung dieser Kurve zur Abscissenachse angibt und

zwar mittels des Verhältnisses

sind aber unendlich viele Kurven denkbar, die für dieselbe Abscisse in a, b, c . . gleiche Neigung zur Abscissenachse haben. In den Anwendungen kann im allgemeinen nur eine dieser Kurven der Aufgabe entsprechen und zwar jene, die durch einen gegebenen Punkt geht. In Gleichung (4) ist nun die Konstante C nichts anderes als eine Ordinate, die einen Punkt wie a, b, . . feststellt, durch den die Kurve gehen soll. Dieser Bedingung wegen fügt man dem aus der Integration unmittelbar hervorgegangenen Werte immer eine Konstante 0 bei. Ihre Anwendung zeigen die folgen den Aufgaben aus der Geometrie, Physik, Mechanik etc.

83. Integration des Differentials x"(lx. Wird die Funktion

Fig. 25.

O. Cu

= f (x). Nun

W.

xn+1

differentiiert, so findet man x¹¹ d x. Folglich erhält man durch die umgekehrte Operation

x"dx =

x"*¹

+ 0.

n + 1

Somit wird das Integral der Formel x" dx erhalten, wenn man dx zu x macht und die entstandene Potenz xII+1 durch den neuen Exponenten dividiert.

Diese Regel ist gültig für jeden Wert von n. Allein sie führt in dem speziellen Falle, wo n = — 1 wird, zu dem unbrauchbaren Ausdrucke

x~~¹ d x = —- -j- C.

dx

Nun ist aber x~¹ d x — —— und somit das Integral

f¥

= Zx + C.

Enthält das Differential einen konstanten Faktor a, so kann man

schreiben

P a x" d x = a Ç

ąj

x" d x =

xn+l

a n + 1

+ 0.

Denn diese drei Ausdrücke liefern, wenn sie differentiiert werden, ein und dasselbe Differential. Somit geht der konstante Faktor unverändert aus dem Differential in das Integral über, und es kann ein solcher Faktor vor oder hinter das Integralzeichen gesetzt werden.

Beispiele.

Jadx = ax-j- C;

rH CO

2x³dx = -i-x⁴ + C;

â

1    3

T, 3    2 y

x dx = --yx +0;

oi

x⁻² d x = —

= x 2 dx =

⁻!"ÏFT + a

Kx⁵

84. Logarithmische und exponentielle Integrale. Durch Umkehrung der Differentiation folgt unmittelbar

= l x -f C ;

=4+0;

dx

dx

= — l (a — x) + C ;

a -f- bx

= l (a -f- b x) -f C ;

df(x)

f(x)

= Zf(x)-f C.

deren Zähler das Differential des Nenners is't, führen durch die Integration auf Logarithmen. So ist

2 x d x

Alle gebrochenen Differentiale

a² -f- x²

= «(a* + x*) + C; J

cos x d x

sinx

= l sin x + C.

Um

zu integrieren, multipliziere man Zähler und Nenner

a + bx

mit b, dem Faktor von x, und schreibe dann d (b x) statt b d x ; dann folgt

= -j—-1 (a b x) -j- C.

Die Gleichungen (4) und (3), § 21, geben unmittelbar J^ex d x = ex + C;

Je2x 2 d x = e2x -f- O; Ja V ^ d (p (x) =

Nach dieser Hegel kann jedes exponentielle Differential integriert werden, wenn die Exponentialgrösse mit dem Differentiale des Exponen-

r dx

iJ

a -j- bx

-if

d (b x) a -j- bx

ax d x =

ax

la

+ C;

a'f W

la

+ 0.

ten multipliziert ist. Um z. B. an x d x integrieren zu können, multipliziere und dividiere man mit n und schreibe d(nx) statt ndx; es folgt

a"x d x

= —J a11 s d (n x) =

anx

+ 0.

85. Trigonometrische Integrale. Durch Umkehrung der Differentiation folgt

J cos x d x = sin x -j- C ;

= tang x -f C ;

sin x d x = — cos x -f C ;

dx

dx

COS²X

sin²x

= — cotangx-f C;

sin x d x

COS²X

— sec x -f- C ;

'S

cos x d x

sin²x

= — cosec x -j- C.

Damit das Integral von sin 2 x d x ermittelt werde, ist es nötig, dass sowohl in sin 2 x als in d x derselbe Bogen vorkomme. Nun ist

r-H 04

aber dx =

d (2 x) ; somit hat man

'P    ] P    1

sin 2 x d x = — sin 2 x d (2 x) —--— cos 2 x -j- C.

1/    2 2

Ganz ebenso ergibt sich

Pcos4yd</> = ~ P cos 4 ff d(4 ff) =

sin a x d x = - -J sin a x d (a x) =

80. Kreisfunktionen. Die Differentiale des § 27 geben

f -dx

JVT=*

— d x 1 4- x²

sin 4 (f + C;

— cos a x 4- C. a

(1)

(2)

(3)

dx

y i—x²

1 -f- x²

= arc sin x -j- C ;

= arc cos x -j- C ;

= arc tang x -f- C ;

= arc cotang x -f- C ;

J X |/~x² — 1

= arc sec x -f- C.

I. Um den Ausdruck

Va2 — X²

auf die erste dieser Gleichungen

zurückzuführen, schreibe man

"(r)

iMt)’

X

und betrachte hierin nicht x, sondern — als Sinus; dann wird sein

(4)

dx

= arc sin

v+°-

y a² — x2 II. Ganz ebenso findet man nach (2)

(5)

a² + x²

--r

a J

<i)

= — arc tang — + C.

cl    8»

s *■

a²-f-b²x² ab

III. Um

1 -f- x4 = d z ; dann erhält man

1 + x⁴

= 1/

bx

= — arc tang — 4- C. ab    a

zu integrieren, setze man x² = z, und 2xdx

arc tang z + C = arc tang x² + C.

£ --

1 -f- z²

IY. Setzt man in Gleichung (4) statt x die Grösse b + y, also d x = d y, x² = b² -f 2 b y -j- y², so folgt

dy

= arc sin

a² =

}/V² — b² — 2 b y — y²

Schreibt man hierin a² — b² = A, — 2 b = B, also b = — ~ und 4A + B²

, so wird

(6)

dy

= arc sin

J KA + By —y²

Für A = 0 geht diese Gleichung über in

K4A + B²

+ 0.

(7)

dy

= arc sin

+ G.

J KBy-y²

87. Integration einer Summe you Differentialen. Es ist

j* [f (x) d x + ff (x) d x -f ..] = ff (x) d x + J ⁽f (x) d x + ..

Denn differentiiert man auf beiden Seiten, so erhält man gleiche Werte. Folglich wird eine Summe von Differentialen integriert, indem man jedes Glied integriert und die erhaltenen Integrale addiert. Selbstverständlich ist nur eine Integrationskonstante hinzuzufügen. So ist

r>    b x

J (a -f b x -f c x²) d x = a x -1——

J (a² — x²) d x =

C X³

3- + C;

a² x —

X³

-T + C;

J* (x ]/"x + a [Xx) d x = -|-x ^ -f

Da nach § 80 sin²x =    (1 — cos 2 x) und cos²x = — (1 -j- cos 2 x), so

hat man

^ ₊ c.

Isin2x + C;

4

= - - f (1 -j- cos 2 x) d x = -i- x + sin 2 x + C.

Es ist (a — x)² d x = (a² — 2 a x -j- x²) d x; folglich durch Integration J\a — x)² d x = a² x

Um das Produkt (a + x)(b —x)dx zu integrieren, führe man die Multiplikation aus. Man erhält

(a + x)(b —x)dx= [ab+ (b — a) x — x²] dx.

Folglich, indem man integriert,

J sin²xdx = J(1

— cos 2 x) d x =

cos²x d x

X³

— ax2 + -g- + C-

J\a -f x) (b — x) d x = a b x -j- (b — a) --- -f C.

88. Integration nach vorausgegangener Differentiation.

I. Differentiiert man a² + x² und V~&‘² — x², so kommt d y a² -|- x² =

d |/"a² — x² =

y a² + x²

Mithin erhält man, wenn die Gleichungen integriert werden,

y a² — x²

(1)

ysF+ï*

= Va'" + X² + O, J-

y a² - x²

1 -j— x

II. Differentiiert man die Grosse l-, so wird

1 — x

„1+x

= — Va² — x² -f- G,

1 - x² ’

— x

und indem man durch 2 dividiert und integriert,

III. Differentiiert man l[x

, so folgt

{    ^ r__^    ]/"a² x²    d x

l* + y a* + ¹ 2 3 4 57 ⁼ x +    ⁼ V^~+^ '

Mithin durch Umkehrung der Operation

(3)

dx

J [/ a² + x2 IV. Differentiiert man xu_1 J/~b x — x², so folgt

/xI1_1 ]/ bx — x²^ =

(n— 1) xn—2 y bx — x²dx-j--

⁻¹ (b - 2 x) d x 2 Y b x — x²

Bringt man rechts auf gleiche Benennung und ordnet, so folgt

(2 n — l)b

^x¹¹—¹ y bx — x²^ =

x¹¹⁻¹ d x

nxndx

yb x — x²

y b x — x²

Dividiert man durch n, versetzt die Glieder und integriert, so kommt

f X¹¹ d X

I    —

J y b x — x²

Für n = 1 erhält man hieraus x d x

y b x — x²

Somit unter Benutzung von Gleichung (7), § 86, x d x

(4)

x11_1

y b x — x² 4

= — y b X — X² +

(2 n — 1) b U xu_1 d x

J y b x — x²

to o-

y b x — x²

(5)

y b x — x²

= — ybx — x² + -|

arc sin

2x —

V. Es ist

d arc tang

yx^

yr=rx

2    yb _x’

daher auch

yx — a yb — x

= 2 arc tang_*

yb^

C.

(6)

rür n — 2, 3 erhält man hieraus sin x cos x d x = — sin²x + C ; J'sin x cos x d x =

---— cos²x + C.

Jsin²x cos xd x = — sin³x -f C; | cos^xsin xdx =---- cos³x -f- C.

Die Gleichungen (6) und (7) gelten auch, wenn n negativ wird. Für n = — 1 erhält man z. B.

cos xdx

sin²x

4" C;

siu xdx

cos²x

+;c.

sin x

YII. Differentiiert man sin"xcogx und cos"xsinx, so kommt d sin"x cos x = — sin"+'x d x -j- n sin"_1x cos²x d x, cos"+'x d x — n cos'¹⁻ ’x sin²x d x.

Setzt man in den letzten Gliedern cos²x =1 — sin²x und sin²x = 1 — cos²x, so folgt

d cosnx sin x =

cos x

dsin"x cos x = — (1 -\- n) sin"+,x d x + n sin"_1x d x, dcos"xsinx =    (1 + n) cos"+'x d x — neos"~⁵x d x.

Mithin durch Versetzung der Glieder, Division mit (1 -f- n) und durch Integration

(8)

sin"+'x d x = —

1+n

sin"x cos x -f

₁ f sin" 1 + n J

"'xdx;

(*) r

cos"+'xdx =

— cos"x sin x -p

n

ü_r

4- nj

cos""“'x d x.

Für n = 1, 2, 3 erhält man

(10)

sin²x dx =

tJ

sin x cos x + — x + 0 ;

(H)

cos²xd x =

lOi ¹

(12)

(13)

j"* sin ³x d x = I cos³x d x =

(14) Çsin⁴x dx =

4- i—

- - sin x cos x + — x 4- C :

2

sin²x cos x — — cos x -f C ;

siiDxcosx +

(15)

cos⁴x dx =

~ sin x cos x + ~ x^j + C ; ~cos³xsinx-j-    sinxcosx + ^ x\ -f- C.

Führt man in (8) und (9) Glieder, so erhält man

Autenheimer, Elementarbuch.

n statt -j- n ein und versetzt die

VIII. Wendet man dieses Verfahren auf x"lx an, so kommt

zunächst

d x,

dx

sin"+'x

dx

1 COS X

n sin"x 1 sin x n cos"x

COS"⁺¹X

Für ii = 1 geben diese beiden Formeln

n — 1 p d x n J sin"~'x n — 1 p

n J

dx

cos¹¹⁻'x

sin²x

= —•. cotang x -f- C;

p d x J cos²x

= tang x + C (§ 85).

d x¹¹ / x = n x"~¹ d x / x 4 x sodann durch Division durch n und Integration

(16)

x"

x"

fxdx = —• / x —

X"

ii

n'²

+ c.

IX. Ebenso gibt dasselbe Verfahren mit Zugrundelegung von x" ax : d x" ax = n x,1_1 asdx-f x" ax l a d x, x" ax

(17)

x" ax d x =

x"—1 ax d x.

Für n= 1. 2 erhält man hieraus:

x ax d x =

ax

l a J

Px²ax dx =    x² - -X- +

J    / a \    / a

(u yj

+ C.

Auf diese Weise können offenbar unzählige Integrale abgeleitet werden, ohne dass irgend welche neue Lehren der Integralrechnung in Anwendung kommen.

Formeln, wie sie durch die Gleichungen (4), (8), (9), (17) repräsentiert werden, heissen Rekursionsformeln, weil durch sie ein Integral auf ein anderes ähnlicher, aber einfacherer Art zurückgeführt wird. Sie spielen in der Integralrechnung eine wichtige Rolle.

8!). Integration durch Einführung einer neuen veränderlichen Grösse.

I. Es sei zu integrieren d x j^a f b x. Setzt man a -j- b x = z,

so ist

J dxj^a-f-bx = —

d x }Ai ff- b x = — z ¹ d z, b

2 y

— z' 4-C,

z/ dz =i

3 1)

oder wenn z wieder ersetzt wird,

I d x Ka -f bx =

kJ

Mithin

(x - a)

II. Es sei zu integrieren

Y (x — a)³ ’

Setzt man x

a = z, so wird dx = dz, x = z-fa und

z -j- a

-y

Y (x — a)³

d z.

+ 2 z + C,

(2)

J K(x- a)³

+ 0,

2 (x — 2 a)

+ C.

III. Zu integrieren

d x.

Setzt man Ix = z, so ist

= d z und

dx = z d z,

(3)

IO l-¹

z² + C,

/“Tdx = i(/x)! + 0-

IV. Es sei das Integral von

sin x d x

cos²x

zu bestimmen.

Setzt man cos x = z, so ist sin x d x = — dz, also sin x d x

z²

COS²X

° sinxdx

COS²X

z~ ² d z =

F + c-

(4)

J-

sin x d x

COS²X

V. Für 1 -f / x — z wird

COS X

+ 0.

<⁵> /-T-FT+75-JV

-, 2 z d z = — z

O

co! to

K(i + ix)» + c.

VI. Das im \forstehenden an einigen Beispielen entwickelte Verfahren der Integration durch Einführung einer neuen Variabein ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der Integralrechnung. Es wird besonders dann mit Vorteil anwendbar sein, wenn durch diese Substitution das neue Integral einfacher wird als das ursprüngliche.

Soll nach diesem Verfahren f (x) d x integriert werden, so setze man x = <f (z) ; dx = ff' (z) d z,

(6)

wobei von der Funktion (f vorausgesetzt werden muss, dass durch sie x eindeutig durch z, aber auch z eindeutig durch x bestimmt ist : man erhält dann

also

(7)

f (x) d x == f [</' (z)] (f ‘ (z) dz— F (z) d z, j"* f (x) d x = I f [(f (z)] (f‘ (z) d z = J F (z) d z ;

nach Ausführung der Integration nach z ist dann an Stelle von z wieder x einzuführen.

1)0. Das teilweise Integrieren. Sind u und v Funktionen derselben veränderlichen Grösse, so erhält man durch Differentiation d(uv) = udv -f vdu

und hieraus durch Versetzung der Glieder und durch Integration

0)

J^udv = uv—J¹ vdu.

Der durch diese Formel ausgesprochene Satz heisst der Satz der teilweisen oder partiellen Integration und ist neben dem im § 89 angegebenen Verfahren das zweite fundamentale Hilfsmittel der Integralrechnung.

Lässt sich der zu integrierende Ausdruck f(x)dx als ein Produkt udv darstellen, worin von dem Differentiale d v das Integral leicht an-gebbar oder aus dem Früheren bekannt ist, dann kann mittels der

v in die beiden Teile u v und

Formel (1) das Integral I f(x)dx= Pud

^v d u in der Weise zerlegt werden, so dass nunmehr das zweite Integral

entweder nach bekannten Formeln hergestellt werden kann oder wenigstens einfacher ist als das ursprünglich vorgelegte. Im letzteren Falle führt dann die Formel (1) vielfach auf eine Rekursionsformel (§ 88). Die nächstfolgenden Beispiele zeigen die Anwendung der Gleichung (1). Beispiele.

I. Zu integrieren Ix dx. Setzt man

d x = d v,

so folgt unter Anwendung der Gleichung (1)

to

Cu

II. Zu integrieren cos x sin x d x. Zerlegt man wie folgt

sin x = u ;

cos x d x = d v, so folgt zunächst du = cosxdx; v = sinx; folglich

cos x sin x d x = sin²x — j"*cos x sin x d x.

Daher durch Zusammenziehen der Glieder

(3)

r>

cosx sin xdx =

sin²x -j- C (§ 88).

III. Um das Differential

xn+‘ d x V a² — x²

zz—■ zu integrieren, setze man

u — xa,

Y a² — x²

dann erhält man unter Anwendung der Gleichung (1) rechts in § 88: — Va² — x² ; mithin wird

v d u = — n xll— ’ |/"a² — x² d x.

Allein die letzte Gleichung gibt, indem man Zähler und Nenner des zweiten Teiles mit |^a² — x² multipliziert,

n a² x“⁻¹ d x

n x'‘⁺¹ d x

y a² -- x²

Setzt man diese Werte von u v und v d u in (1), so folgt

y a² — x²

x¹¹⁺¹ d x

T xn+1 d x ! J/a² — x²

Zieht man die beiden gleichartigen Glieder zusammen und dividiert durch (n -j- 1), so kommt

f x’^¹ d x

J |/\a² — x²

Ganz ebenso findet man

= — x" y-à² — x² A n a² I

kJ

x¹¹⁻¹ d x

Ÿa²—x²    J Ka² — x²

(4)

X¹¹

n a²

f x¹¹⁻¹ d x

n fi- 1

+ 1J y a² — x²

n a² y x¹¹⁻¹ d x n + 1J V^-. x²*

i’ x”+‘ d x

J j/"a² A x2 n A 1

Für n = 1 ergibt sich aus diesen beiden llekursionsformeln x² d x V^a² — x2 x² d x

J ]Ka² A x²

Wenn man die zweiten Teile nach den Gleichungen (4), § 86, und (3), § 88, integriert, so entsteht

’ x² d x

(5)

- y a² A x²

-1 P A ± ~-|-KÏF+ÿ

a²

dx

y aW’

2 J y a² A x²

(6)

(<)

y a² — x2 x² d x

I y a² A x²

=--— ]/"a² — x² A -~k~ arc sin — -f C ;

2    2    a

= "A Ka² + x² — Ą- l(x A y a² + x²^) A C-

Die vorstehende Gleichung (4) kann benutzt werden, um das Differential xu-1dx|/^a²— x² zu integrieren. Man multipliziere und dividiere dieses Differential mit y a² — x² und erhält

a² xn—1 d x

Y a² — x²    Y a² — x²

Man integriere, führe den Wert des letzten Gliedes aus Gleichung (4) ein und ziehe zwei gleichartige Glieder zusammen ; es ergibt sich

a² Ç x¹¹⁻¹ d x 1 + n |^a² — x²

x,1—1 d x Va² — x² =

x"+' d x

(8)

xll—1 d x |^a² — x² =

x"

1 -,

— y a² — x² 4 u

Ganz ebenso findet man mittels (ü) die Gleichung x"_1 d x y a² 4- x² =

(9)

-— y a² 4* x² +

a²

x"~' d x

1 4-¹¹

1 + bJ Y a² 4- x²

Für n = 1, 2 ergeben beide Gleichungen

a²

f d x

(11) f d x Yn'J + x² = -ï- Y a* + x²

j    —

x d x y a² — x² =    ₀ Y a² — x² -j—-

O    O

(10)

- x² =

y a² — x² 4

X

arc sin -—\- C ;

.i

Y'l(y 4- V^a² 4-x²^ 4" C;

a²

J y a² — x2 a² r xd'x

J Y a² 4- x

Allein die letzten Teile dieser zwei Gleichungen können mit Hilfe der Gleichungen (1), § 88, integriert werden, wodurch man erhält

x²

x d x y4~ x² **> V a² 4- x² H—g o    o

‘l

(12)    f x d x y a²

_ ,    3

(13)    Px d x Y a² 4- x² = — (a² + x²)² 4- C.

-(a²-x²)² 4- G;

Für n = 3 erhält man aus (0)

j x² d x y a? 4- x² = -j— Y a² 4- x² +

x² d x

J Y a² 4" x²

Führt man den Wert des letzten Integrals aus (7) hier ein, so

kommt

(14)

Jx² d x yy 4- x² =

x³

— y a² 4- x² 4-

|/a² + x² — l (x + Va² + x²j j

91. Intégration durch Reihen. Es sei

f (x)    a3 -f- ai x + a'² x² -f • • • r an x"

eine in dem Bereiche — X < x < -f- Â konvergente unendliche Potenzreihe. Multipliziert man die beiden Seiten der Gleichung (1) mit dx und integriert, indem man rechts die einzelnen Glieder integriert, so erhält man    *

(1)

(2)

Jf(x)dx =

f-xi + Tx3 +

x"+l + .. + C.

n + 1

Umgekehrt würde die Reihe (1) aus der Reihe (2) durch Differentiation der einzelnen Glieder hervorgegangen sein; nach Satz IV des § 65 haben daher diese beiden Reihen denselben Konvergenzbereich.

Für jeden Wert von x innerhalb des Konvergenzbereiches einer unendlichen Potenzreihe ist die durch die Integration der einzelnen Glieder gebildete Reihe ebenfalls unbedingt und gleichförmig konvergent, stellt also eine stetige Funktion des Arguments dar.

Auch an den Grenzen des Konvergenzbereiches kann die Reihe (2) noch konvergieren, wenn vielleicht die ursprüngliche Reihe (1) an den Grenzen nicht mehr konvergent ist.

ln zweierlei Weise kann die Aufgabe unendliche Reihen zu integrieren gestellt werden: die zu integrierende Funktion ist entweder direkt durch eine Potenzreihe definiert oder sie wird erst zum Zwecke des Integrierens in eine unendliche Reihe verwandelt.

Falle ist die Integration durch unendliche Reihen ein weiteres-fundamentales Hilfsmittel der Integralrechnung in Bezug auf solche Funktionen, deren Integral durch die elementaren Funktionen in endlicher Anzahl nicht darstellbar ist.

I. Durch Division von 1 durch (1 -f x) findet man

Im letzteren

(3)

1 -f- X

Diese Reihe ist konvergent für alle Werte von x zwischen - 1 und + 1. Multipliziert man mit dx und integriert, so kommt

(4)

x²

l( l+x) = x— ₂

x³

X⁴

Die Konstante der Integration ist = 0, weil für x = 0 beide Seiten der Gleichung verschwinden. Die erhaltene Reihe (4) ist die in § 69 abgeleitete logarithmische Reihe. An der oberen Grenze x = 1 konvergiert die Reihe (4), während die integrierte Reihe (3) für diesen Wert nicht mehr konvergent ist.

II. Für den Sinus von x hat man die Reihe

sin x = x

x³

x⁵

1-2-3-4-5

1-2-3

die für jeden Wert von x konvergent ist. Multipliziert man mit dx und integriert, so erhält man

x²

x⁴

x';

— COS X — ——

.. + C.

Für x = 0 wird —1 = C. Führt man diesen Wert von C ein und multipliziert mit — 1, so erhält man die bekannte Cosinusreihe

COS X =1 —

x²

x⁺

1-2-3-4

ITT. Sei zu integrieren

d x, so hat man (§ 68)

ex

x²

X³

xn—1

1-2-3

folglich ist

(5)

f»ex d x

J x

= Ix 4- X

x²

X³

1-2-2

x"

1-2.

IV. Ebenso findet man, da sin x

X²

x⁴

x⁶

1-2-3

1 • 2-3 -4- 5-6-7

COS X

X³

X⁵

p Sin

J x

X³

X⁵

x⁷

6)

1 • 2- 3 • 4 - 5-6 • 7 • 7

--+C.

i* cosx

x²

X⁴

1-2-2

+ •. + C.

X⁶

1-2-3-4-5-6-6

II. Bestimmte Integrale.

02. Begriff und Bezeichnung. Ist die Differentialgleichung d y — f(x)dx gegeben, so folgt nach § 81 durch Integration

(1)

y = Jf(x)dx + C,

oder indem man

(2)

Jf (x) d x durch F (x) bezeichnet, y = F(x) + C.

Der Ausdruck rechts in (1) und (2) wird das unbestimmte Integral von f (x) d x genannt, weil der Wert von C noch willkürlich ist.

J ' f (x) d x = F (b) - F (a).

(6)

b die obere Grenze von x und den

wenn x zu a wird

Nimmt man nun an, es gehe y in ya über (Fig. 26), so erhält man aus (2)

ya = F(a) + C.

Zieht man (3) ab von (2), so folgt y — ya = F (x) — F (a).

Diese Differenz, in der a bestimmt und x als veränderlich gedacht wird, heisst das partikuläre Integral von f (x) d x.

Lässt man x übergehen in b, wodurch y zu yb werde, so gibt hierfür Gleichung (4)-

yb — ya = F (b) — F (a).

Hierin denkt man sich a und b als bestimmte Grenzwerte, zwischen denen die Variable x liegen soll. Also liegt auch das Integral von f (x) d x zwischen F (b) und F (a). Indem nun x übergeht von a in b, ändert sich das Integral um die Differenz F (b) — F (a). Man sagt alsdann, es sei das Differential f(x)dx integriert worden von x = a bis x = b oder auch, es sei das Integral von a bis b genommen worden. Um den Vorgang anzudeuten, schreibt man nach Fourier

(3)

(4)

(5)

Fie. 26.

y\

y a y yb

i__

a cc b

Dabei nennt man a die untere ganzen Wert rechts in (6) das bestimmte Integral von f(x)dx.

Setzt man daher in das unbestimmte Integral zuerst die obere, sodann die untere Grenze der Variabein und zieht das letztere Resultat vom ersteren ab, so erhält man das bestimmte Integral für diese Grenzen.

Der UebergaDg von F (a) in F (b) muss im Sinne von § 7 stetig erfolgen. Das geschieht in unendlich kleinen, aufeinander folgenden Intervallen, so dass von Intervall zu Intervall das Integral (die Ordinate der Kurve in Fig. 26) um unendlich kleine Werte sich ändert. Die endliche Differenz F (b) — F (a) kann daher als Summe aus diesen unendlich kleinen Werten angesehen werden. Daher kommt es, dass

nach Leibnitz vor das Differential der Anfangsbuchstabe J* des Wortes Summe geschrieben wird.

93. Aenderung der Iutegrationsgreiizen. Dehnt man die Variable x von a bis c aus, wo c > b > a vorausgesetzt wird (Fig. 26), so folgt

(1)

Daher

(2)

f° f (x) d x = F (c) - F (a).

d a

P f (x) d x = f f (x) d x -f- f f (X) d x,

«I a    v a    •-/ b

d. h. um ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen x = a bis x = c zu erhalten, kann man integrieren von x = a bis x = b und sodann von x = b bis x = c und die Resultate addieren.

Vertauscht, man die Integrationsgrenzen in (1), so folgt

Daher muss sein

(3)

f'f(x) dx - F (a) - F (c).

<

fM.    Pl

f (x) d x = — f (x) d x,

t/a    l/c

d. h. wenn man die obere und untere Grenze der Variabein verwechselt, so ändert das Integral sein Vorzeichen.

94. Auswertung bestimmter Integrale.

I. Das unbestimmte Integral von x² d x ist

x'² dx -

x³

T + a

Es soll daraus das bestimmte Integral abgeleitet werden für x = b und x = a.

b³

Für die obere Grenze b ist das Integral — ——[- C,

o

für die untere Grenze a dagegen folglich durch Subtraktion dieser beiden Resultate

f

•J ÎI

x²dx-

- (b³ — a³).

Für a = 0 geht diese Gleichung über in

r«l>

x² d x =

Wird a negativ, so erhält man

x-d x =

g(b³ + a’).

II. Aus dein unbestimmten Integral C dx

— I (a -(- x) -j- 0

erhält man für die Grenzen x und 0 :

Wert des Integrals für x als Grenze = l (a + x) C, A\rcrt des Integrals für x — 0

Daher durch Subtraktion des letzteren Wertes

. = la-j-C.

a -\r X

o a -f x

Wird hierin a als obere Grenze eingeführt, so kommt u d x

III. Es ist

sin xdx = cos x + C.

Für x — als obere Grenze wird das Integral = 0 -j- C, für x = 0 als untere Grenze

daher ,

Jo

sin x d x = — 1.

IV. Nach § 90, Gleichung (6) ist r X² d x

J V a² — x²

Nimmt man als obere Grenze x = a und als untere x — 0, so wird der rechts in arcsin: für die obere Grenze = 1, für die untere

* Y a² — x² -j"

a²

arc sin X -j- C

Bruch

ci

= 0. Allein der Bogen, dessen Sinus =1, ist = — und der Bogen, dessen Sinus — 0, ist selbst — 0. Daher wird

a²

das Integral für die obere Grenze —

..= 0 + 0,

und für die untere Grenze

somit

x² d x

= . a² n.

und

x² d x

J o Va² — x2 Nach § 88, V. ist

1C -

V a² — x² +

arc sin

Vi

dx

= arc tang

Kb

a

= + C.

Daher

l)

dx

= TT.

a |/ x - a y b — x VI. Nach § 68, Gleichung (4), hat man folgende Reihe

a³ x³

ea x = 1

a² x²

a⁴ x⁴

1-2-3

1.2.3.4

Wird mit

eax d x

multipliziert und integriert, so kommt

a³ x³

1 • 2 • 3-3

a² x²

Daher das bestimmte Integral für die Grenzen Xi und xo :

px, eax (J x    /Xi\

⁼ W +a(X‘ ~x»> +

a²

12 2

VII. Weitere Beispiele zur Uebung.

j:

2,797

3 x² d x = 125 ;

r* 3

J |^xdx =

dx

= 2;

dx

1+x

Jo

sin²x d x =

r% a    ___

d x Y a² — x J o

P¹

(a + b x) d x

J o

a² 7T ;

¹ ,

“a + 2b;

0 V1 - X²

poo d x

J o ⁼ ’’

cos³x d x = \ ;

o

r% a

Y"a²— x²xdx = —-a³; Jo    d

Jo

exdx = 2,718 28..

POO

⁶

J 0

Poo

e

ci

J 0

71

71

J sin Dx d x =

0;

r

‘J 0

eos 4 x d x = 0.

111. Länge ebener Kurven.

95. Ausdruck für das Element eines Bogens. Es sei y = f(x) die Gleichung einer Kurve CE (Fig. 27). Es seien x₀ =AD, y₀ =DE die Koordinaten des Punktes E, x = AB, y = BC die Koordinaten des Punktes C. Die Ordinaten D E und B 0 schliessen einen Bogen der Kurve EC-s ein, dessen Differential zu bestimmen ist.

Fig. 27.

Die Bogenlänge s bängt von der Abscisse AB = x ab, ist also eine Funktion von x. Wenn x in x-f Ax = Am übergeht, so wird y zu y-Jr/\y=mn und s zu s + A s = E n. Zieht man Cn' parallel zur Abscissenachse, so ist nn' = A y. Legt man noch eine Sehne durch die Kurvenpinkte C und n, so ist die Länge dieser Sehne

a\ d

V( A X)² + ( A y)² = A X j/l +    .

Allein das Bogenstück C n ist länger als die Sehne, mithin wird sein

|A+(g)

r>¹-

A s A x

Wenn hierin A x ohne Aufhören abnimmt, so nähert sich der Bogen A s der Sehne als einer Grenze und erreicht dieselbe, wenn A x zu d x wird. Aisdaun wird A s zu d s und man hat

Diese drei unendlich kleinen Differentiale d x, d y, d s bilden ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse ist

(1) ds=JAlx² + dy²

—V'+(£}■-

dy

V'+(f>'

Wenn nach dieser Vorstellung die Grösse x um d x zunimmt, so nimmt auch der Bogen s um ds zu. Das Differential ds heisst Bogenelement.

Wird die Gleichung (1) integriert, so erhält man

¹

Man erhält ferner durch Differentiation von sinnx und cos"x:

²

d sinDx = n sin“⁻¹ x cos x d x, d cosnx = — n cos¹¹⁻¹ x sin x d x; daher, wenn man durch n dividiert und integriert,

³

Jsin,1—!x cos x dx = — sin”x -\- C;

⁴

— cos"x + C.

⁵

n

(2)

als Ausdruck für den Bogen E C. Die Ausführung dieses Integrals heisst auch die Rektifikation der Kurven.

96. Gerade Linie. Die Gleichung der geraden Linie ist

y = a x + b, folglich

cl: d.

- = a.

dy

Setzt man diesen Wert von

in die Gleichung (1), § 95, so

erhält man für das Bogenelement

d s = d xj/^l -j- a-.

Das Integral dieser Gleichung ist

s = ]/"L-f- a² fdx = x|/^l -j-a² + C.

. ^

Mithin die Länge der Geraden innerhalb der Abscissen x und xo, diese als Grenzen des Integrals gedacht,

s = (x — xo) V1    a².

97. Länge der Kreislinie. Die Mittelpunktsgleichung des Kreises ist y² -f x² = a². Durch Differentiation dieser Gleichung folgt

a²

a² — x²

K a² — x²'

l/'+Ü)'-

Wird diese Gleichung unter Berücksichtigung von Gleichung (4), § 86, integriert, so erhält man

V+c-

a

= a arc sin

J Y a’² — x²

Wird x zwischen den Grenzen b und c genommen, so erhält man für den Bogen, der über der Abscissendifferenz c — b liegt, den Ausdruck

'V

dx

= a arc sin

— arc sin —

J i, Va² — X²

ferner für den Bogen, der über der Abscisse x liegt,

X ci

s = a arc sin

und für den Viertelkreis

a arc sin 1 = n a.

Ui

J o Y a² — x²

98. Rektifikation der Parabel. Aus der Scheitelgleichung y² = 2px der Parabel folgt y d y = p d x. Folglich

d s² = d x² + d y² =

C-l

n,

(P² + y²),

ds =

dy

1>

Vv² + y²-

Wird nach Gleichung (11), § 90, integriert, so kommt

S = y [*dy Kp² + y² =

yV~p²+y² + p‘^(y + Kp² + y²^) +c.

2 p _

Für y = 0 wird auch Bogen s = 0. Setzt man diese gleichzeitigen Werte in diese Gleichung, so erhält man

/ p + C.

Führt man diesen Wert der Konstanten C in die Formel für s ein, so ist die Länge des Parabelbogens vom Scheitel bis zum Punkte (x, y)

s = 4Kp2+y2 + T'(

y + V p² + y²

99. Rektifikation der zweiten kubischen Parabel. Die Gleichung dieser Kurve ist y³ = a²x². ^Hieraus folgt

dx

dy

= 2^'-

Mithin das Bogenelement

Um dieses Differential integrieren zu können, führe man eine neue Variable z ein, so dass

9    ,    ,    4 a²

¹⁺4lUy = Z’ alS° dy=-9~

ist; man erhält für das Bogenelement

ds

³ dz

4 a2 ~9

und für den Bogen, indem man integriert,

4a2    2 4 , n

0--T2 +C = 27

8 a²

4 a²

+ C.

Nun sind die Koordinaten des Anfangspunktes der Achsen x = 0, y = 0. Zählt man den Bogen s von diesem Punkte an, so ist für y = 0 auch s = 0. Für diese Werte von y und s wird die letzte Gleichung

27 +C'

8 a²

Führt man diesen Wert der Konstanten C ein, so wird die Länge des Kurvenbogens zwischen den Ordinaten 0 und y seiu

8 a² T

“1

9    \4-

27

100. Rektifikation der Ellipse. Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist a² y² + b² x² = a² b². Setzt man hierin x = a sin (p, so folgt y — b cos <[, mithin dx = acos <f d <f , d y — — b sin (f d fp. Folglich ist das Bogenelement

d s == |/"d x² -4- d y² = d <p V a² cos²<p + b² sin²<p. Nun ist aber cos²<p    1 — sin°(/, folglich

a² cos'Np -f- b² sin²(p = a² ( 1

a² — b²

a²

sin²'/¹ j.

= b'¹ ein, so folgt

Führt man hierin die numerische Exzentrizität & durch die Gleichung a² — b²

a²

d s = a d (f Vl — b¹ sin Np    (U² < 1).

Um integrieren zu können, entwickele man die Wurzelgrösse nach dem binomischen Satze in eine Reihe. ^Man erhält

sinGp — . .

(1 — s² sin²<p) ■- = 1 — — t²sin²<p--— s⁺sin*<p —

da sie nach Potenzen von

Diese Reihe ist gleichförmig konvergent (b sin (f) = z fortschreitet, da die Koeffizienten der Glieder fortwährend

abnehrnen und | s sin cp j < 1 ist; die Integration der Reihe kann also gliedweise ausgeführt werden. Vermittelst dieser Reihe wird

(1)

— g² sin'²cf- —

Die Glieder auf der rechten Seite können integriert werden nach der Gleichung (8), § 88 :

— sin"⁻¹ cf cos cp -j- n rc ^    sin"~²cp d cp.

Man erhält für n = 2,4,6,.. und die Grenzen x = 0 bis x = x, also für cf — 0 bis cp = cp:

rxf

s\nłc[ A cp —

J o

i ¹ sin xcp d cp a=

J o

j ¹ sin ⁶(f d cp =

J o

j sin"*/ d cf

sin cp cos cf -j- -

1C r-

- <f

1-*

sin³<f cos (f -f-

CO -t-

Ç--Y sin <f cos (f +

Ci o< Ci

sin⁵<f cos cf

sin³ cf cos (p

— sin cp cos cf -J 8

00| 05

etc.

etc.

etc.

Hierfür wird nun nach Gleichung (1) der Bogen s sein

(2)

= <r -

— S² (- (f 2 \ V

]- sin cf cos cf J

1-3

2 • 4 A 2 •

113 ~ 2 4-6 6 — etc.

Wird dieses Integral zwischen den Grenzen x = 0 und x = a, also

7T

zwischen cp = 0 und cp = — genommen, so erhält man den vierten Teil

2

vom Umfange u der Ellipse. Folglich ist

05

Cf -

2-4

sin (f cos (p — — sin³ cp cos (f

\2-4-6

1-3-5

2-4-6

sin cf cos cf —

1-5

4-6

sin³ cf cos cp—-

sin *cf cos cf )

etc.

(3) u = 2 n a

wi^y

5 V2-4-6 J

1.3.5.^

7 V2-4-6-8

•0*-

Betrachtet man die Erde als elliptisches Sphäroid, so bezeichnet

Run hat

2 n a die Länge des Aequators und u die eines Meridians, man für die Erde nach Listing

*² = 1 -

b\²

/ 288 \ ²

(l89 ) = °’000 908 44’

Mithin

u = 2 7i a- 0,998 268 1,

d. h. es verhält sich der Aequator zum Meridian annähernd wie 1 000 : 998,3.

Nach französischen Messungen gehen 10 000 000 Meter auf einen Meridianquadrant; folglich wird sein

• a • 0,998 268 1 = 10 000 000 m

und daher der Halbmesser des Aequators

a = 6 377 224 m.

101. Rektifikation der uykloide. Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie fortrollt, so beschreibt ein bestimmter Punkt des Kreisumfanges während des Rollens eine Kurve, die gemeine Cykloide genannt wird.

Es sei C D (Fig. 28) der Rollkreis, A B die Gerade oder Grundlinie und 0 der Punkt, der während des Rollens die Cykloide beschreibt. Wenn der Kreis um den Bogen CD, in der Richtung von A nach B, fortrollt, so muss das Stück A D der Grundlinie gleich dem Bogen C D, ebenso die ganze Grundlinie gleich dem Umfange des Rollkreises sein.

!Fig. 28.

. /•

Nun sei a = OC der Halbmesser des Kreises, a ff = Bogen C D, also ff der dem Zentriwinkel C O D entsprechende Bogen für den Halbmesser — 1; ferner sei x — A E die Abscisse und y = CE die Ordinate des Kurvenpunktes C ; dann ist, wenn C F parallel zu A B gelegt wird,

CE — OD — OF, also y — a ( 1 — cos ff ).

A E — A D — C F, x = a (ff¹ — sin ff ),

Hieraus folgt durch Differentiation

d x = a ( 1 — cos ff ) d <[ ;

dy = a sin ff d ff .

Bezeichnet s den cykloidischen Bogen A C, so wird das Bogeneleinent d s = "Kd x'² + d y² = a d tf y 2 (1 — cos ff).

Nun ist 1

cos ff = 2 sin² ^

IO 'S

To

CT

Cu

Ss ct

O-

s = 4 a fsin ~ d- - =

J 2

Mithin der Bogen für die Grenzen ff

a»

<t

— 4 a cos — + C.

= 0 bis ff = ff

— cos —

Aulcuheimer, Eleinentarljuch.

Dehnt man hierin cp bis 2 n aus, dreht man also den Rollkreis vollständig, so ist, da cos n — — 1, die Länge der ganzen Cykloide = 8 a, d. h. das Vierfache vom Durchmesser des Rollkreis es.

102. Rektifikation der Kreisevol vente. Wenn sich ein Kreisbogen AB (Fig. 29) vom Umfange des Kreises abwickelt und sich dabei in eine Gerade C B so ausstreckt, dass diese Gerade fortwährend Tangente an den Kreis bleibt, so beschreibt der Endpunkt 0 der Tangente eine Kurve, die Evolvente des Kreises heisst.

Fig. 29.

'ss

4-

Der Halbmesser des Kreises sei a, die Länge AB des abgewickelten Bogens =acp, wobei cp den Bogen bezeichnet, der de Zentriwinkel BOA für den Halbmesser = entspricht. Man lege rechtwinkelige Koordinatenachsen durch den Mittelpunkt ; die Abscissenachse gehe durch den Anfangspunkt A der Kurve. Die Koordinaten des Kurvenpunktes 0 seien OC' = x, C C' = y. Zieht man noch B B' senkrecht und C D parallel zur Abscissenachse, so ist

OC' —OB' -j-DC,

C C' — B B' — B D.

Da nun Tangente CB = Bogen A B und Winkel CBD = Winkel A O B, so geben die vorstehenden Gleichungen

x = a cos (f 4- a (f sin cp :

y = a sin cp — a cp cos cp.

Der Bogen A C werde mit s bezeichnet; dann ist d s = ]Alx² -f- dy². Nun ist aber

d x = a cp cos cp d (p,

d y ■= a (p sin cp d cp. Mithin das Bogenelement d s = a cp d ff, und der Bogen

P'/'    1

s = a I cpdcp = —-aT². Jo    2

' IV. Fläche ebener Kurven.

Es sei

103. Ausdruck für das Flächenelenient und die Fläche.

y = f(x) die Gleichung einer Kurve CE (Fig. 30). Man bestimme die Fläche, die zwischen zwei Ordinaten D E und B C, der Abscissenachse und der Kurve liegt.

Die Koordinaten des Kurvenpunktes E seien AD — xo, DE = y₀, die von C seien AB = x, BC = y. Die zu bestimmende Fläche hängt ab von der Abscisse x, ist also eine Funktion von x. Man bezeichne deshalb diese Fläche mit F(x). Nimmt x zu um Ax, so wird y zu y ± A y und F (x) zu F (x) + A F (x).

Der Wert des Verhältnisses

A F (x)

liegt hiernach zwischen den

> y,

< y + A y.

Nun sei A x — B m. Zieht man die Ordi-

Fig. 30.

so wird mn-y £ A y und die

nate m n

Fläche B m n C — A F (x) sein. Ist die Kurve von C aus steigend, also m n = y + A y, £so wird die Fläche BmnO grösser sein als das Kechteck Bran'C, dessen Grundlinie A x und dessen Höhe y, und kleiner als das Rechteck, dessen Grundlinie A x und dessen Höhe y + A y ist. Mithin wird sein

B

warn

A F (x)

Ax

A F (x)

Ax

A x

Grenzen y und y -J- Ay. Lässt man A x abnehmen, d. h. rückt man die Ordinate m n näher an B C, so bleibt die Grenze y fest, während die Grenze y-f Ay sich mehr und mehr der Grösse y nähert und diese erreicht, wenn die endlichen Differenzen in Differentiale übergehen. Deshalb muss sein

(1)

d F (x)

= y oder d F (x) = y d x.

Man nennt die Grösse ydx das Differential der Fläche F(x). Das Produkt ydx ist ein Rechteck von der Höhe y und der Breite d x. In diesem Sinne nennt man ydx Flächenelement und stellt sich vor, dass die Fläche F (x) um d F (x) oder um ydx zunehme, wenn^x in x-f dx übergeht.

Integriert man die letzte Gleichung zwischen den Grenzen x₀ und x, so erhält man die gesuchte Fläche"

(2)

f(x) = r

*J x₀

ydx.

Die Berechnung der Fläche ebener Kurven, auch Quadratur ge-

nannt,

besteht hiernach in der Bestimmung des Integrals ydx.

J

Fig. 31.

104. Trapezfläclie. Es sei y = ax -f b die Gleichung einer Geraden. Die Koordinaten eines Punktes der Geraden (Fig. 31) seien AB = x, BC = y. Die Fläche zwischen den beiden Koordinatenachsen, der Ordinate B C und der Geraden werde mit F (x) bezeichnet. Den beiden Ahscissen x und x-f-dx entsprechen zwei Ordinaten, die ein Flächenelement d F (x) = y d x einschliessen. Führt man den Wert von y aus der Gleichung der Geraden hier eiu, so folgt

d F (x) = (a x -f b) d x.

Wird diese Gleichung integriert, so erhält man

o y2

F (x) = —A--j- b x C.

Hierin ist die unbestimmte Konstante C zu ermitteln. Lässt man die Abscisse AB = x zu 0 abnehmen, so wird auch die darüber liegende Fläche F (x) = 0. Setzt man daher x = 0 in die letzte Gleichung, so folgt 0 = C, d. h. die Konstante fällt aus der Gleichung weg.

Wird x ausgedehnt bis zu dem bestimmten Werte h, so folgt aus der letzten Gleichung

Es ist dies die Trapezfläche über der Abscisse h.

AD

Fig. 32.

105. Dreiecksfläche. Es sei BC = a (Fig. 32) die Basis und — h die Höhe eines Dreiecks. Die Spitze A werde als Anfangspunkt der Koordinatenachsen und die Höhenlinie als Abscissenachse angenommen. Der Abscisse AE = x entspreche eine Ordinatensumme Bm-fEn^ y, für die man vermöge der Aehnlichkeit der Dreiecke A m n und ABC hat y : a = x : h.

Bl

Der Inhalt des Flächenelementes längs der Ordinate m n wird deshalb sein

ydx = — x d x.

J    h

Folglich die Dreiecksfläche, indem man integriert,

CL

=r p

+ C.

fläche

Lässt man die Abscisse x abnehmen zu 0, so wird auch die Dreiecks-J"*y d x = 0, folglich geht die letzte Gleichung für x =- 0 über in 0 = C. Mithin fällt C weg, und es ist

a x-

Dreieck A m n = —

Dehnt man hierin x bis h aus, so erhält man

Dreieck ABC =

-i

eil

71

100. Parabelfläcue.

Die auf Parabelachse und Scheiteltangente als Koordinatenachsen bezogenen Koordinaten eines Punktes der Parabel seien x, y. Man soll die Fläche bestimmen, die zwischen diesen beiden Koordinaten und dem entsprechenden Parabelbogeu liegt.

Zu den Abscissen x und x Ą- d x gehören zwei Ordinaten, die ein Flächenelement einschliessen von der Breite d x und der Höhe y, also dem Inhalte yd x. Vermöge der Gleichung der Parabel ist aber y = \'~'2 p x. Mithin wird das Flächenelement

y d x = J/~2 p x d x — y 2 p • x - d x

und folglich die Fläche, indem man integriert,

— V2 p • xÀ -f- C. 3

Für x = 0 wird auch die Fläche Jy d x = 0. Mithin wird auch C — 0. Es ist deshalb die gesuchte Fläche

rt    2    _ 2

)ydx = yxfäpx = yxy.

von der umschriebenen Rech t-

Nun ist x y die der Parabelfläche umschriebene Rechtecksfläche. Folglich ist die Parabelfläche —-

3

ec ks fläche.

wo-

107. Andere Auffassung des bestimmten Integrals. In § 02 wurde die Grösse dy = f(x)dx als Differential der Ordinate aufgefasst durch sich das bestimmte Integral als Differenz zweier endlicher Ürdi-naten darstellte.

Hier erscheint f(x)dx als Differential einer Fläche (Fig. 33), begrenzt von einer Kurve ab'c'.., deren Gleichung y = f(x) ist (§ 103).

die Fläche dieser Kurve dar.

Folglich stellt das Integral j f (x) d x

Nun erhalte man durch Integration

(1)

J*f(x)dx = F(x) + C.

Gesetzt die Fläche zwischen der Kurve und der Abseissenachse verschwinde für x = Aa = a, so erhält man aus (1)

Fig. 33.

0 = F (a) + C, C = — F (a).

Setzt, man diesen Wert der Konstanten’ C in (1) ein, so folgt

(2)

J f (x) dx = F (x) — F (a).

Dieser Wert des Integrals ist die Fläche über der Abscissendififerenz x — a. Wenn also Ax = x, so ist F(x) — F(a) die Fläche axx', also das partikuläre Integral.

Dehnt man den Wert der Abscisse in (2) von Aa = a bis Ab = b aus, so geht (2) über in

P f (x) d x = F (b) — F (a).

t/ a

Dieses Integral ist die Fläche abb' über der Abscissendifferenz b — a und wird wegen der bestimmten Grenzen, zwischen denen die Variable x eingeschlossen ist, das bestimmte Integral von f(x)dx genannt.

Ist c>b>a, so hat man mit Rücksicht auf die Figur, gerade wie in § 92 und 93,

Fläche

= P f (x) d x — F (c) — F (a),

a

= f b f (x) d x = F (b) — F (a),

= J' f (x) d X = F (c) — F (b),

P f (x) d x = P f(x)dx-j- f f(x)dx.

a    tJ a    tJ b

I ntegrals    f (x) d x, als Fläche gedacht, ist ein

J b

acc'

Fläche abb'

Fläche b c c' b'

Der Wert des

Produkt aus zwei Faktoren. Der eine Faktor ist die Abscissendifferenz c — b als Grundlinie eines Rechtecks, der andere die Höhe dieses Rechtecks. Diese Höhe ist ein mittlerer Wert aus den verschiedenen Ordinaten, die zwischen den Endordinaten f (b) und f (c) liegen, und kann mit f [b —j- « (c — b)] bezeichnet werden, wobei der Wert von a zwischen 0 und 1 liegt. Diese mittlere Ordinate muss nämlich eine Abscisse haben, die zwischen Ab und Ac liegt; eine solche Abscisse ist b -j- « (c — b). Mithin ist das Integral

(3)

I f (x) d x = (c — b) f [b + « (c — b)].

ln dieser Gleichung sind die einzelnen Rechtecke als algebraische Grössen aufzufassen. Wenn c>b oder c<b, so wird c — b das positive oder negative Zeichen haben. Ordinaten, die über der Ab-scissenachse liegen, werden gewöhnlich als positiv, solche unterhalb derselben als negativ angesehen. Aus diesem Grunde kann die mittlere Ordinate in (3) positiv oder negativ sein; das Integral (3) aber ist positiv, wenn beide Faktoren rechts gleiche, negativ, wenn sie ungleiche Zeichen haben.

108. Das bestimmte Integral eine Summe aus unendlich kleinen

Teilt man die Abscissendifferenz c — b in n Teile,

x zu.

Teilen. Es sei, wie im vorigen Paragraph, f(x)dx das Differential von F(x). Lässt man nun die Grösse x in x -f dx übergehen, so nimmt F (x) um f (xj d

wovon jeder — dx ist, und lässt man x, vom Werte b aus, übergehen in b-f dx, b 2 d x,... b + (n — 1) d x, so stellt die Summe aus den entsprechenden Zuwachsen der Funktion den totalen Zuwachs derselben, d. h. die Grösse F (c) — F (b) dar. Mithin wird sein

f (b) d x 4 f (b 4 d x) d x 4 f (b 4 2 d x) d x 4 • •

4 f [b 4 (n — 1) d x] d x.

Die einzelnen Glieder der Reihe rechts sind Flächenelemente auf den Grundlinien dx und mit den respektiven Höhen f(b), f(b 4 dx), f (b 4 2 dx),,,. Die Summe dieser Flächenelemente ist die totale Fläche, eingeschlossen zwischen den Endordinaten f (b) und f (c).

Verwandelt man die Fläche zwischen diesen Endordinaten in ein Rechteck von der Länge c — b, diese der Abscissenachse nach gemessen, so ist die mittlere Höhe dieses Rechtecks

^b/'f(x)dx-

Ganz unabhängig von diesen geometrischen Grundlagen kann diese zweite Auflassung des bestimmten Integrals in folgender Weise rein analytisch gegeben werden.

<l mit A x, so dass A x > 0, wenn b > a, aber A x < 0,

Es seien a und b zwei bestimmte endliche Grössen und f(x) eine in dem Bereiche (a, b) einschliesslich der Grenzen stetige und endliche Funktion von x. Teilt man das Intervall b — a in n gleiche Teile, wo n eine beliebige positive ganze Zahl ist, und bezeichnet b —

wenn

b < a ist, dann nennt man den Grenzwert, dem sich der Ausdruck f (a) A x + f (a + A x) A x + f (a -f 2 A x) A x + . ..

+ f (a + (n — 1) A x) A x

j f (x) d x,

so dass die Definitions-

bei wachsendem n, also bei gegen die Null abnehmendem Ax nähert, das bestimmte Integral von f(x) nach x zwischen den Grenzen a und b und bezeichnet es mit gleichung lautet

(1)

Jbf(x)dx =

+ f (a + 2 A x) A x + ... + -f (a + (n — 1) A x) A x j.

lim . f (a) A x + f (a + A x) A x Ax = 0 1

Durch den Uebergang zu unendlich kleinen Grössen kann man diese Definitionsgleichung auch schreiben

(2) J f (x) d x = f (a) d x 4 f (a -j- d x) d x -f f (a -f 2 d x) d x -f .,.

4 f (a 4 (n — 1) d x) d x.

Hierin werden die Produkte f(a)dx; f(a 4 dx)dx; etc. die Elemente des bestimmten Integrals genannt.

Da nach der Voraussetzung f (a) ; f (a 4- A x); f(a 4~ 2 A x); sämtlich endliche Grössen sind, so wird die rechte Seite in (1) dem absoluten Werte nach kleiner sein, als die Grösse, die man erhält, wenn man für alle f (a) ; f(a 4 A x) ; ... die grösste dieser Grössen setzt, und grösser als das, was man erhält, wenn man die kleinste setzt. Ist f (a 4- P A x) diese grösste, und f (a + q A x) diese kleinste, so ist der absolute Wert der rechten Seite von (1) sicher kleiner als A x • n • f (a 4 P A x) und grösser als A x • n • f (a -j- q A x), also sicher

< (b — a) f (a 4- P A x) und > (b — a) f (a 4 9 A x).

Folglich ist die rechte Seite von (1) gleich dem Produkte aus (b — a) und einem Werte von f(x), für den x zwischen a und b liegt. Bezeichnet man diesen Wert von x mit (a + « (b — a)), worin 0 < a < 1, so ist, da die angeste Ilten Betrachtungen für jedes A x, also auch für den Grenzwert gelten,

(b — a) • f [a -f- a (b — a)],

(3) J^f(x)dx =

Den Ausdruck f[a -j- « (b — a)] nennt man den mittleren W ert der Funktion f(x) in dem Bereiche (a, b), denn es ist

f [a + « (b — a)] = —

lim

Ax =: 0 ¹¹

- P'* f (x) d x aj a

-—• f(a)Ax-|-f(a + Ax) Ax+.. .

- • f (a) + f (a + A x) -j- ... f (a) + f (a+ A x) -f ....

+ f (a + (n — 1) A x) ,

d. h. gleich der Summe aller Werte von f(x), wenn x stetig alle Werte von a bis b annimmt, dividiert durch die An-zahUdieser Werte.

Ist nun

(4)

d F (x) = f (x) d x oder

F(x)=Jf(x)dx,

so folgt aus der Definition des Differentials

F (x + A x) — F (x) = [f (x) -f- s] A x,

worin s mit A x gegen die Null konvergiert. Setzt man in diese Gleichung für x der Reihe nach die Werte a; a+Ax; a + 2Ax;... a + (n — 1) A x, so erhält man

F (a + A x) — F (a) = [f (a) + si] A x,

F (a -f 2 A x) — F (a -f A x) = [f (a -f A x) -f ç₂] A x,

F (a -f 3 A x) — F (a -)- 2 A x) = [f(a -(- 2 A ï) -f £3] A x,

F (b) — F (a + (n - 1) A x) = [f (a + (n — 1) A x) + Sll] A x,

worin £1, s₂,    £» sämtlich mit Ax gegen die Null konvergieren.

Die Addition dieser Gleichungen gibt

F (b) — F (a) = f (a) Ax + f(a-f Ax) Ax + • •• + f(a + (n— 1) Ax) Ax T Ax({[ -f- £2 -f- £3 + • • • “P £n)-Geht man zur Grenze über, so erhält man

F (b) — F (a) = fbf(x)d

Ł/ a

x + litn

Ax = 0

Ist nun s die grösste der Zahlen si, £2, . . £n, so ist

Ax = 0

aber da n A x = b — a, so ist

lim n A x • £ > lim A x -f £₂ -f ... + sn); Ax = 0

lim n A x • £ = (b — a) • lim £ = 0, folglich gilt

Ax = 0

A x = 0

(5)

J f (x) d x = F (b) — F (a),

Integral Ji (x) d

wobei F(x) nach (4) das unbestimmte man die obere Grenze b variabel, gleich x, so hat man

x ist. Lässt

(6)

JXf(x)dx = F(x) — F(a)

und nennt dieses bestimmte Integral mit fester unterer und variabler oberer Grenze die Integralfunktion von f(x).

Aus der Gleichung (5) folgen leicht die bereits in § 93 aufgestellten Gleichungen

(7)

und

(8)

( f(x)dx = — P f (x) d x,

va    v b

I f (x) d x = f f (x) d x -j- i f (x) d x,

tz a    a    c

wo c zwischen a und b liegt.

Die Voraussetzungen für diese Untersuchungen waren

I. f (x) darf in dem Bereiche (a, b) nicht unstetig sein ;

II. f (x) darf in diesem Bereiche nicht unendlich werden ;

III. a und b müssen endliche Grössen sein.

Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt , so kann die Bedeutung des Integrals von vornherein weder behauptet noch geleugnet werden, vielmehr ist in jedem einzelnen Falle eine besondere Untersuchung nötig, die im folgenden angedeutet werde.

I. Wird f(x) etwa für den zwischen a und b liegenden Wert xm unstetig, so dass dem Argumente xm zwei verschiedene Funktionswerte entsprechen, wenn also f(x) an der Stelle xm einen Sprung macht, so zerlege man das Integral in die beiden Teile

+ f f (x) d X,

^ x m

f (x) d X

(*h    /»xnt

f (x) d x = I

k) a    tJ a

worin in dem ersten Integrale dem xm der letzte Funktionswert vor dem Sprunge, in dem zweiten der erste Funktionswert nach dem Sprunge entspricht. Macht die Funktion f (x) in dem Bereiche (a, b) mehrere solcher Sprünge, so ist entsprechend das Integral in mehrere Teile zu zerlegen, nur dürfen in einem Teile des Bereiches (a, b) nicht unendlich viele Sprünge stattfinden.

II. Wird f(x) für den Wert x = x„ innerhalb des Bereiches (a, b) unendlich, so zerlege man

P " f (x) d x -f- P f (x) d x

f (x) d x in

J a    J xQ

11

und untersuche das Integral f (x) d x für eine obere Grenze xn — s, für die f (x) nicht unendlich wird. Dann ist

j f(x)dx =

F (xn — s) — F (a) ;

nähert sich jetzt F (x„ — s) — F(a) für abnehmende Werte von s einer bestimmten Grenze, so ist das Integral zulässig, und diese Grenze dann der Wert des Integrals; anderenfalls ist das Integral nicht brauchbar.

Integrale j* f (x) d x; f (x) d x und lässt s dann gegen die Null

In derselben Weise verfährt man mit dem

man

bestimmt erst

ab-

x,i+f

nehmen.

wenn die Funktion f(x) an einer der

Genau so ist zu verfahren Grenzen unendlich wird.

III. Wird eine der Grenzen unendlich, hat man also das Integral

± 00

f (x) d x

oder

± co

f (x) d x,

so bestimme man das Integral

oder

f (x) d x

J a

J" f (x) d x

und untersuche, was geschieht, wenn nachher a = i co gesetzt wird. Ist der erhaltene Wert endlich, so hat das Integral Bedeutung; ist aber der Wert unendlich, so ist das Integral für die Rechnung zu verwerfen.

Beispiele. In dem Integrale

J oKl-x²

wird f (x) für die obere Grenze unendlich ; doch hat das Integral Bedeutung; denn

Jo V 1 - x²

n 00

In dem Integrale e J 0

= arc sin x und arc sin 1 =

w, a

-x d x ist die obere Grenze go ; nun ist

fe

Ł/ 0

—x dx = —e_x -j- 1, also

r»oo

J. ⁶

-x d x = 1 (§ 94).

109. Fläche einer Kurve, deren Gleichung ist

y = x² — x — 2.

Fig. 34.

Diese Gleichung gibt nach § 12 eine Kurve, die die Abscissenachse (Fig. 34) in E und L schneidet. Der Kurventeil EKL liegt unterhalb der Abscissenachse. Für y = 0 erhält man x = AE = 2 und x = AL = — 1.

Sind die Koordinaten des Punktes 0 x = AB,

)r = BC, so ist das Flächenelement längs der Ordinate BC = ydx = (x² — x — 2)dx; folglich die Fläche zwischen der Kurve und der Abscissenachse für unbestimmte Grenzen

Cu

CO

tel K:

—- 2 x    C.

ïïl

Ist AB' = 4, so ist die Fläche EB'O'

64    16

3 '    2

-8 + c)-(-

00 ICO

4 + 0) =

(M co

Ferner die Fläche EKL unterhalb der Abscissenachse

Cu

00 CO

H I'M

H-¹

Der Inhalt dieses Flächenteiles hat das negative Vorzeichen, weil die Ordinaten zwischen L und E negativ sind. Die algebraische Summe aus den zwei berechneten Flächenteilen ist daher 8-| — 4|~ = 4-^. Dieses Resultat kann indessen auch direkt erhalten werden. Es ist nämlich

T - ⁸ + c) - (- T - Y +:² + c) - ⁴- -•

Dieser Wert 4-J als Rechteck gedacht, hat nach § 107, Gleichung (3), zur Grundlinie B'L = c — b = 4 — (— 1) = 5 und somit zur mittleren Höhe f [b -f- a (c — b)] — 4£ : 5 — | . Dieser Ordinate entspricht, zufolge der gegebenen Gleichung, eine Abscisse = 2,26. Es ist daher

b + « (c — b) = 2,26

1 + « [4 - (- 1)] = 2,26,

a = 0,65.

Man erkennt hieraus die Bedeutung der Grösse a im Ausdrucke der Gleichung (3), § 107.

ÜO. Fläche der Ellipse. Die Gleichung der Ellipse für den Mittelpunkt ist a² y‘² -f- b² x² = a² b². Mithin das Flächenelement

Y"a² — x² d x

und das unbestimmte Integral hiervon nach Gleichung (10), § 90

b r

a² — x²dx =

I x y a- — x² - a² arc sin —

L    a

+ C.

Für x = 0 wird die rechte Seite dieser Gleichung = C, da arc sin 0 verschwindet, also C — 0. Mithin ist die Fläche über der Abscisse x:

— f V^a² — x² dx = xj-^a² — x² -f a2 arc sin & o    2 8» __

Um den vierten Teil der Ellipsenfläche zu erhalten, muss man x von 0 bis a nehmen. Nun wird die rechte Seite dieser Gleichung

für die obere Grenze x = a zu

b a . , ab n -F»rcsml = -r.?,

für die untere Grenze x = 0 zu 0. Folglich die Differenz dieser Werte

— x² dx =

⁷¹ v

— ab. 4

Mithin ist die ganze Ellipsenfläche = n a b.

111. Fläche des Kreises. Ersetzt man im Vorhergehenden das Verhältnis b:a durch 1, so erhält man die Gleichungen für die Quadratur des Kreises.

In § 14 wurde auch als Differential der Kreisfläche die Formel

angegeben

dF = 27rxdx.

Mithin erhält man für die Kreisfläche und den Kreisring

2 n x d x = n R² ;

F = J* 2 n x d x — n (R² — r²).

112. Fläche der Hyperhel. Die Gleichung der Hyperbel für den Mittelpunkt ist a² y² — b² x² = — a² b². Folglich das Flächenelement

y d x = — \ x² — a² d x. a

Integriert man nach Gleichung (11), § 90, so wird

b r

(1) Jydx

x y"x² — a² — a² / ^x -j- JAx² — a²^

+ c.

In diesen Gleichungen muss x > a sein. Um deshalb die Fläche zu finden, die zwischen der Abscissenachse, der Ordinate y und dem betreffenden Hyperbelbogen liegt, muss man dieses Integral von x = a bis x = x nehmen. Nun wird die rechte Seite von (1) für x = a zu

—• a²1 a 4- C.

Zieht man diesen Wert des Integrals von (1) ab, so erhält man die gesuchte Fläche

(2)

ydx

x 4- |/"x² — a²

113. Quadratur der gleichseitigen Hyperbel. Die Asymptoten dieser Hyperbel stehen rechtwinkelig aufeinander. Nimmt man dieselben als Koordinatenachsen 0x, Oy (Fig. 35) an, so ist die Gleichung der Hyperbel y' x' = m². Der Einfach-

Fig. 35.

= 1 und bezeichne

y' x*

heit wegen schreibe man---—

in in

die Brüche mit y und x; dann erhält man als Gleichung der Hyperbel

x y — 1, oder y = -

Wenn die Abscisse O A = 1, so ist die entsprechende Ordinate A B = 1. Es seien x = OD, y = CD die Koordinaten eines Hyperbelpunktes C. Lässt man x um d x zunehmen, so ist das Flächenelement längs der Ordinate C D

Folglich die Fläche zwischen der Abscissenachse und der Kurve für Tinbestimmte Grenzen von x

(1)

== lx-f C.

Rückt man die Ordinate C D gegen die Ordinatenachse hin, bis sie mit ihr zusammenfällt, so ist auch die zwischenliegende Fläche = 0 ; folglich gibt (1)

0 = — x> -j- C.

Setzt man x = 1 in (1) ein, so stellt

Also ist die Konstante C = cc. die linke Seite der Gleichung die Fläche y O A B dar ; folglich

Fläche yOAB = C = co.

Hieraus erkennt man die geometrische Bedeutung der Konstanten C. Ist E F eine Ordinate für die Abscisse OE = a, so -ist

p* d x

J i x

Diese Fläche ist somit der natürliche Logarithmus ihrer Abscisse a. Wegen dieser Eigenschaft werden die natürlichen Logarithmen auch hyperbolische genannt (S. 27).

114. Fläche der Sinuskurve. Eine Halbkreislinie, beschrieben mit dem Radius 1, werde in eine Gerade AB (Fig. 36) ausgestreckt. Das Stück A C = x derselben bezeichnet daher einen Bogen des Kreises. Trägt man eine Reihe solcher Bogen ab und errichtet in den Endpunkten derselben Ordina-ten DC, die = sin x sind, und verbindet die Endpunkte dieser Ordinaten, so entsteht die Sinuskurve. Die Gleichung derselben ist daher, wenn die Ordinaten mit y bezeichnet werden,

y = sin x.

(2)

(1)

= / a = Fläche A B F E.

Fig. 36.

Ä m.

Mithin das Flächeninhalt längs der Ordinate C D = y d x = sin x d x. Allein es ist

J sin x d x = — cos x + C.

Folglich das Flächenstück A C D und die ganze Fläche A D B

f

J o

Verwandelt man diese Fläche in ein Rechteck ABB'A' mit einer Höhe BB' = h, so ist der Inhalt desselben = 7rh; daher

(2)

sin x d x — 1 — cos x ;

sin x d x = 2.

0,636 6..

Schneidet die Gerade A' B' die Kurve in m, so ist die Ordinate mn — h. Ist der entsprechende Bogen An — a, so wird h — sin a = 0,636 6 ; daher a — 39,5°.

Die Gleichung dieser

115. Quadratur der logarithinischeu Linie.

Linie C M N (Fig. 37) ist

(i)

x = ly.

Für Werte von y, die kleiner sind als 1, wird x negativ; solche Werte geben den Kurvenast MN, der sich immer mehr der Abscissen-achse nähert und dieselbe für y = 0, also x = — go erreicht. Wenn y = 1, so wird x = 0. Diese Werte geben den Durchschnitt M der Kurve mit der Ordinatenachse. Wenn y von 1 an wächst, so entfernt sich der Kurvenast MC von beiden Achsen. Geht man von den Logarithmen der Gleichung (1) zu den Zahlen über, so ist y = ex; folglich das Flächenelement y d x = ex d x. Mithin durch Integration

Fig. 37.

(2)

exdx = ex — 1,

'c

Bf (3)

f°

J ex[d x = 1

— e~x.

weitert, so wird e~x und der Kurve gelegene Fläche, von der Ordinatenachse an nach links ins Unendliche reichend, — 1.

Wenn x = AB, so stellt das Integral (2) die zwischen den Ordinaten B C und A M liegende Fläche dar. Wenn — x — AD, so ist das Integral (3) die Fläche zwischen den Ordinaten D N und A M. Wird die Abscisse in (3) bis — gc er-0 ; folglich ist die zwischen der Abscissenachse

116. Quadratur der Cykloide. Nach § 101, Fig. 28, ist das Element der Fläche A OE

y d x — a² (1 — cos ff)² d ff = a² (1 — 2 cos ff cos ²</>) d ff.

Setzt man hierin cos² y = — (1 + cos 2 ff), so wird

y d x = a²

/ 3    1\

( — — 2 cos ff 4- — cos 2 ff J d ff.

Hiervon ist das Integral

Jy d x = a² — 2 sin ff -f ~ sin 2 ff ^ -f C.

Nimmt man dieses Integral rechts zwischen den Grenzen ff = 0 und ff — ff, so erhält man

/ w    1    \

( ---2 sin ff    —- sin 2 ff \

TO !

Fläche AEC = a²

Wenn hierin ff bis zu 2 n ausgedehnt wird, so erhält man den Inhalt der ganzen Fläche zwischen der Cykloide und der Grundlinie = 3 n a². Derselbe ist also das Dreifache vom Inhalte des Rollkreises.

Verwandelt man diese Fläche in ein Rechteck mit der Grundlinie

3

2 n a, so wird die Höhe desselben 3 n a² : 2 n a = — a. Dieser

Wert ist das arithmetische Mittel aus den unendlich vielen Ordinaten, die zwischen A und B, je in einem Abstande dx voneinander, errichtet werden können. Wird diese mittlere Ordinate erreicht, nachdem sich der Rollkreis um einen Winkel ff — a gedreht hat, so folgt (S. 113) aus der allgemeinen Gleichung y —a(l —cosy) für diese Ordinate

Mi «

a — a (1 — cos «); cos a — — 0,5,

CC LC

4

— n entsprechen. Bei

O

welcher Gleichung die Werte « = diesen Winkeln schneidet daher die obere Rechtecksseite die Cvkloide.

n und a —

V. Inhalt der Rotationsflächen, g

117. Ausdruck für Aas Element der Rotationsfläche. Es sei y = f (x)

die Gleichung einer Kurve E C (Fig. 38). Dieselbe mache eine ganze Drehung um die Abscissenachse. Man soll den Inhalt der von der Kurve beschriebenen Oberfläche bestimmen.

Fig. 38.

Die Koordinaten des Kurvenpunktes C seien x, y, die Länge der Generatrice C E — s. Da s eine Funktion von x ist, so wird auch die Rotationsfläche von x abhängen und durch F (x) bezeichnet werden können. Nimmt x um A x = B m zu, so ändert sich F (x) um A F (x), y um A y = n n' und s um A s ±= C n. Die Aen-derung von A y kann positiv oder negativ sein, je nachdem die Kurve von C aus steigt oder fällt.

Legt man durch die Kurvenpunkte C und n eine Sehne, so ist deren Länge = \r( A x)² + ( A y)².

Diese Sehne ist kürzer als der Bogen A s. Dreht

stände y von der Achse, bei der Rotation beschrieben wird. Integration der Gleichung (1) erhält man den Inhalt der Rotationsfläche

Die Grösse 27ryds ist das Flächenelement, das von ds, im Ab-

Durch

(2)

sich die Sehne mit der Kurve um die Abscissenachse, so beschreibt die Sehne den Mantel eines Kegelstumpfes. Da die Halbmesser dieses Mantels y und y ± A y sind, so ist sein Inhalt = tt (y -\- y ± A y) • V{ A x)‘² + ( A y)². Dieser Kegelmantel ist kleiner als die Zone A F (x), die vom Bogen A s beschrieben wird; folglich wird sein

. A F (x)

n (2 y ± A y) A x

ACiS'

> 1.

Nimmt hierin Ax ohne Aufhören ab, so nähert sich die Zone dem Kegelmantel als einer Grenze. Diese Grenze wird erreicht,’ wenn A x zu dx wird. Alsdann reduziert sich 2 y ^ A y auf 2 y, die Verhält-A y A F (x)

nisse

werden zu Differentialquotienten, und man erhält

d F (x)

V' * (©'

= 1.

Da dx

i/'⁺(©

durch das Differential d s des Bogens (§ 95) ersetzt werden kann, so findet man als Differential der Rotationsfläche

d F (x) = 2 7i y d s.

(1)

F (x) = 2 n py d s.

Die Herstellung dieses Integrals heisst auch Komplanation der Rotationsflächen.

IIS. Inhalt des Mantels eines geraden Kegels. Die Achse des Rotationskegels sei h, der Halbmesser der Grundfläche r, der Halbmesser eines Schnittes im Abstande x von der Kegelspitze, normal zur Achse, gleich y; es ist

-s

a.

~ •-s

a.'

mithin das Element d s der Seitenlinie des Kegels

KhM^

j/'+(S'=

d x.

Somit ist die unendlich schmale Zone 2 tt y d s, die d s bei der Drehung um die Achse beschreibt,

d F (x) =

2 tt r V h² + r2

h*

xd x,

uud der Mantel des Kegels für unbestimmte Grenzen von x, indem man integriert,

2 n r ]/^h² ~f- r²

x²

F(x) =

h²

"T + a

Folglich der Kegelmantel zwischen den Grenzen x = 0 und x — h F (h) = n rKh»+?.

119. Oberfläche der Kugel und der Kugelzone. Die Kugeloberfläche entsteht durch Drehung eines Kreises um seinen Durchmesser. Ist der Halbmesser des Kreises r, so wird sein

y² = r² — x²,

dy = -

d x,

V X² + y²

Hiernach wird das Flächenelement 2 n y d s der Kugel = 2 n r d x und die ganze Kugelfläche, indem man von x = — r bis x=-j-r integriert,

d x = 4 n r².

Stehen die beiden parallelen Ebenen, die eine Kugelzone aus-schneiden, vom Mittelpunkte der Kugel nach derselben Seite hin um h und h' ab, so ist der Inhalt dieser Zone

-hfl

d x = 2 n r (h' — h).

120. Oberfläche des Paraboloides. Diese Oberfläche entsteht durch Rotation einer Parabel um ihre Achse. Die Scheitelgleichung der Parabel ist

y = Y2 p x,    folglich

dy

2 x + p 2 x "

Mithin das Element 2 n y d s der Rotationsfläche, die mit F (x) bezeichnet werde,

d F (x) = 2 7i Y P    x + p d

Um integrieren zu können, setzt man

x.

2 x -f p = z,

also

dx =

Tdz- \%

und erhält

d F (x) = 7T Y V z “ dz;

F (x) =

2 1 F(x) = ₁-»Kp(2x+p)-' +C.

Autenbeimer, Elementarlmch.

Für x = 0 wird auch die Paraboloidfläche F(x) = 0. Diese Werte, in die letzte Gleichung eingesetzt, geben

|-7rp² + C.

Führt man diesen Wert von C in die Gleichung für F(x) ein, so erhält mau die Paraboloidfläche von der Höhe x, vom Scheitel an gerechnet,

F(x) =

2    - r i i~

-gK Vp (2x +p)² — p ² .

Diese Oberfläche entsteht durch Nun ist die Mittel-

121. Oberfläche des Ellipsoïdes.

Rotation einer Ellipse um ihre grosse Achse, punktsgleichung der Ellipse

— xd x

a J/V² - X² '

— ]/" a² — x², folglich d y = — <1

Mithin wird das Flächenelement

2 7r y d s = 2 Tr

CT

i/

a² — b²

a²

x².

a² — b²

= s², so dass s die numerische Exzentrizität der Ellipse bedeutet, so wird das Flächenelement gleich

l^a² — f² x² d x.

Setzt man

a²

Dividiert man noch unter dem Wurzelzeichen durch £² und integriert nach Gleichung (10), § 90, so erhält man

2 TC

HW

—=--X² +

a²

£²

2 £²

arc sin

+ 0.

Für x == 0 muss dieses Integral = 0 sein ; folglich ist auch 0 = 0.

Zwischen den Grenzen x = 0 und x = a liegt die halbe Oberfläche des Ellipsoides. Der vorstehende Ausdruck gibt hierfür, da a² — a² £² = b² ist,

n b² +

arc sin s.

= 1.

Wenn das Ellipsoid in eine Kugel übergeht, so ist b = a, £ = 0 und arc sin £

Folglich die halbe Oberfläche der Kugel = 2 n a².

122. Oberfläche des abgeplatteten Sphäroides. Dreht sich die Ellipse, deren Mittelpunktsgleichung a² y² + b² x² = a² b² ist, um ihre Achse 2b, so beschreibt dieselbe ein abgeplattetes Sphäroid. Das Bogenelement

dy

a l^b⁴ -j- y² (a²—b²)

bx

beschreibt während der Drehung ein Flächenelement gleich

2 jt x d s =

²^₂a V b4 + (a² — b²)y2 dy-

Setzt man a² — b² = a² s² und dividiert unter dem Wurzelzeichen durch a² e², so wird das Flächenelement

2 n a² s

(1)

]/"

+ y²-

a² £²

Das Integral dieses Ausdruckes zwischen den Grenzen y = 0 und y = b gibt die halbe Oberfläche des Körpers. Nun ist nach Gleichung (11), § 90J

dy

b⁴

-y¹'

+y²

+ y²

(y+Vb

Folglich ist für die halbe Oberfläche des Sphäroides

b    y ii

a² £²

a² £²

+ y² =

a² £²

b⁴

2 a² £²

b²

^+y2 +a

a + lT7;T(¹+^-

und diese halbe Oberfläche selbst, unter Benutzung des Integrales von (1),

F = 77 a² +

Hierin lässt sich der logarithmische Faktor wie folgt umgestalten. Aus a² — b² = a² £² folgt

a²

a² (1 - £²) = b² ; und indem man auf beiden Seiten die Logarithmen nimmt,

2 A =-■ -«(1 + e) - Ul - «)•

Dividiert man hier durch 2 und addiert auf beiden Seiten l (1 -f- e) so wird

7 a / 1 I S    + £

ii(1 + f)_'2 lr^7’

wodurch nun Gleichung (2) übergeht in

n b² ; 1 -f £

' 1 — s'

- nach Gleichung (1), § 70, in eine Reihe auf, so hat £

(3)

Löst man l

1+*

1 -

man für die halbe Oberfläche

(4)

F = 7ra² + 7rb²(l+A ₊    +

Die Reihe in der Klammer ist konvergent für alle Werte von s zwischen s — — 1 bis « = -f- J, also für alle denkbaren Werte von s. Wenn b — a, so wird s = 0 und F = 2jra², wie es sein soll.

VI. Inhalt der Rotationskörper.

123. Ausdruck für das Element eines Rotationskörpers.

Es sei

y = f(x) die Gleichung einer Kurve C E (Fig. 39). Man ziehe zwei Ordinaten CB und ED dieser Kurve und bestimme das Volumen, das die Fläche B C E D bei einer ganzen Rotation um die Abscissenachse beschreibt.

Fig. 39.

Die Koordinaten des Kurvenpunktes C seien AB = x, BC - y. Da die Fläche, die den Körper beschreibt, von x abhängt, so ist auch der Inhalt dieses Körpers eine Funktion von x. Man bezeichne diesen Inhalt mit F(x). Lässt man x um A x = B m zunehmen, so ist die entsprechende Ordinate in n = y £ A y. Dadurch wächst das Volumen des Rotationskörpers um A F (x). Somit ist A F (x) das von der Flächenzunahme BmnC beschriebene Volumen. Wenn m n = y + A y, so ist n (y + A y)² A x ein Cylinder, der um A F (x) und n y² A x ein Cylinder, der in A F (x) beschrieben gedacht werden kann. Der erstere Cylinder ist grösser, der letztere kleiner als A F (x). Folglich hat man

oder auch

A F (x)

n (y + A yY A x

A F (x) n y² A x

A F (x)

< n (y + a y)²,

A F (x)

> n y².

A x

Wenn hierin Ax abnimmt, so nähert sich y + A y der Grosse y als einer Grenze. Wird Ax zu dx, so wird aus beiden Ungleichungen die Gleichung

(1)

d F (x)

= 7ry², dF(x) = 7ry!dx.

d F (x)

Die Grösse

ist der Differentialquotient des Rotationskörpers und dF(x) sein Differential, die Grösse 77V²dx ein Cylinder won der Grundfläche n y² und der unendlich kleinen Höhe d x. In diesem Sinne sagt man, es nehme das Volumen des Körpers um n y² d x zu, wenn x in x + d x übergeht. Die Ermittelung von F (x) heisst auch Kubatur.

124. Inhalt eines geraden Kreiskegels. Seine Höhe sei h, der Halbmesser seiner Grundfläche r. Legt man in den Abständen x und x-j-dx von der Kegelspitze ebene Schnitte durch den Körper, senk-

recht zur Achse, und bezeichnet den Halbmesser des ersteren dieser Schnitte mit v, so ist

x : y = h : r,

y = Yx’

mithin das zwischen den beiden Schnitten enthaltene Körperelement

r‘2

n y ² d x = 7i ^t₂ x² d x. Das unbestimmte Integral hiervon ist

r² x³

T

Folglich ist der Inhalt des ganzen Kegels

J°x² d x =

C.

r²

n “h²

x² dx = — re r² h, o

und der Inhalt eines abgestumpften Kegels, dessen Grundflächen um h und h' von der Spitze abstehen,

r²

rh

j u'

x² d x =

7i r²

(h³ - h'³).

⁷⁷ h²

125. Inhalt einer Kugel. Die Kugel entsteht durch Umdrehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser. Nimmt man diesen Durchmesser als Abscissenachse und einen seiner Endpunkte als Anfangspunkt der Achsen an, so ist die Gleichung des Kreises

y² = 2 r x — x².

Legt man in den Abständen x und x-fdx vom Anfangspunkte zwei ebene Schnitte durch die Kugel, senkrecht auf die Drehachse, so ist das zwischen ihnen liegende Körperelement

n y² d x = a(2rx — x²) d x.

Die Integration dieses Differentials gibt

3 h²

— x²) d x = n ^rx²--^S~)

nj (2 r x

Folglich ist der Inhalt der ganzen Kugel

(1)

(2)

(2 r x — x²) d x =

T⁷”³’

der Inhalt einer körperlichen Zone, deren parallele Grundflächen um h und h' vom Anfangspunkte der Achsen abstehen, nach Gleichung (1)

(3)

7T ^r h²

h³

— 7i ( rh<2

h'³

und der Inhalt eines Kugelsegments von der Höhe h

(4)

TT fh(2

•J 0

— x²) d x = 7r(r h²--

CO I h-*

- 7i h² (3 r — h).

Nach § 14 ist das Yolumenelement einer Kugel dV = 4^x²dx,

folglich, indem man integriert, das Volumen der vollen und der hohlen Kugel

(5)

V = -f tt r³ ; V = -f n (R³ — r³).

126. Inhalt des Ellipsoïdes. Dasselbe entsteht durch Drehung einer Ellipse um ihre grosse Achse. Aus der Gleichung a²y² + b²x² = a²b2 der Ellipse könnte der Wert des Körperelementes yry²dx wie bei der letzten Aufgabe über die Kugel dargestellt werden. Allein statt dessen setze man x = a cos cf und erhält vermöge der Gleichung der Ellipse y = b sin cp und durch Differentiation dx = — a sin y d .

Mit Hilfe dieser Werte erhält man

7ry²dx = — Trab² sin³^ d </.

Nun ist aber nach Gleichung (12), § 88

Jsinzcp d cp =

folglich der Inhalt des Ellipsoides für unbestimmte Grenzen

TT cl l) ^

—-— (sin²«/ cos cp -j- 2 cos cp) -j~ C.

O

(1)

1 . _ 2 ~ sin-^ cos cp ——. cos cf -j- C, o    o

7T J y²dx =

Für x — 0 bis x = a erhält man das halbe Ellipsoid. Diesen

Tf

Grenzen entsprechen aber die Werte (f = — und cf = 0. Mithin ist das halbe Ellipsoid

(2)

— tt a b²

f°    2

sin³^ d cf = — tt a b². J TT    O

127. Inhalt des abgeplatteten Sphäroidrs. Dieser Körper entsteht, wenn sich eine Ellipsenfläche um ihre kleine Achse dreht. Es gelte die Bezeichnung der vorigen Aufgabe. Legt man zwei ebene Schnitte durch den Körper in den Abständen y und y + d y vom Mittelpunkte des Körpers, senkrecht zur kleinen Achse, so ist das von diesen Schnitten eingeschlossene Körperelement = n x² d y. Da nun aber

x = a cos cf,

so wird das Körperelement

y = b sin cf ,

d y = b cos cf d (f,

(1)

tt x² d y = tt a² b cosd cf.

Das Integral hiervon ist aber nach Gleichung (13), § 88

tt a² b Pcos³^ d cp =

TT cl ~ b

—-— (cos²<p sin cf -f- 2 sin cf ) -j- C.

O

Um das halbe Sphäroid zu erhalten, muss y zwischen den Gren-

TT

zen 0 und b, also cp von cp = 0 bis cp = — genommen werden. So-mit ist der Inhalt des halben Körpers

d. h. gleich der Hälfte vom umschriebenen Cylinder.

Die Schicht zwischen den Grenzen xo und x, entsprechend den Ordinaten y₀ und y, wird

n p (x² — x₀²).

Setzt man x — xo = h,

Allein es ist x² — xo² = (x + xo)(x — xo). so wird der vorstehende Inhalt

-Hjjp- (2 P x + 2 p x₀) =    (y² + yo ²)‘

Der Inhalt des Kegelstumpfes mit den Grundflächen Try² und 7ryo2 und der Höhe h ist

re h

ö— (y² + yo² + yyo).

Folglich der Unterschied zwischen der Parabelschicht und dem ihr einbeschriebenen Kegelstumpfe gleich

(3)

(2)

ri a² b

cos ³(f d (f =

— Ti a² b. o

Wird die Erde als elliptisches Sphäroid angesehen, so kann ihr Inhalt vermittelst dieser Formel berechnet werden. Man schreibe

* Y^27ra)³-

5 400 geogr. Meilen und — =

R

~ Tra² b = à

6 TT²

288

Nun ist der Erdumfang 2 n a = folglich der Inhalt der Erde 288

6 7T² ' 289

128. Inhalt eines Paraholoides. Es drehe sich eine Parabelfläche um ihre Achse. Da die Gleichung der Parabel y² = 2 p x, so ist das scheibenförmige Körperelement dieses Hotationskörpers

n y² d x = 2 yr p x d x, folglich das Paraboloid von der Höhe x, vom Scheitel an gerechnet,

(5 400)³ = 26 500 Millionen Kubikmeilen.

289

(1)

(2)

2*p/o‘

= n p x² = Ynxy²’

nip (y - yo)².

129. Inhalt eines Hyperboloides. Wenn sich eine Hyperbelfläche um ihre grosse Achse dreht, so beschreibt sie zwei getrennte Körper, die man Hyperboloide nennt. Die Gleichung der Hyperbel für den Mittelpunkt ist

y²

b²

a²

(x² — a²),

mithin das Körperelement, senkrecht zur Drehachse

(1)

b²

n y² d x = 7i —y- (x² — a²) d x,

und das Hyperboloid, das mit F(x) bezeichnet werde, indem man integriert,

(2)

b² /

F(x) = ,rlH 3

X³

a² x^ -4- C.

Lässt man hierin x bis auf a abnehmen, so verschwindet das Hyperboloid, weil dasselbe nur bis zum Scheitel reicht. Da für x = a somit F (x) = 0 wird, so erhält man aus der Gleichung (2)

(3)

b²

a²

a³^ + C.

was

Setzt man den Wert der Konstanten C aus (3) in (2) ein, oder auf das Gleiche herauskommt, zieht man Gleichung (3) von (2) ab, oder integriert man (1) zwischen den Grenzen x = a bis x = x, so erhält man das Hyperboloid zwischen den Grenzen x = a und x = x; nämlich

0)

b² / x³    2 a³ \

VII. Bestimmung von Kurven aus gegebenen Eigenschaften.

130. Sinn der Aufgaben. Bei der Untersuchung über das Maximum und Minimum der Funktionen, der Methode der Tangenten (§ 49 und 54), der Quadratur, Rektifikation der Kurven etc., wurde immer eine bestimmte Funktion vorausgesetzt und eine gewisse Eigenschaft derselben nachgewiesen. Man kann aber auch die umgekehrte Aufgabe stellen, aus einer gegebenen Eigenschaft der Funktion die Funktion und die ihr entsprechende Kurve abzuleiten. Einzelne Beispiele werden das Verfahren zeigen.

131. Form einer Kurve mit konstanter Subtangente.

Diese Konstante sei = à; da der Ausdruck der Subtangente nach § 49,

dx

Gleichung (1) =y-p-

ist, so wird im Sinne der Aufgabe sein

= a,

dy

a —

Wird die letztere Gleichung integriert, so kommt

x = a/y -j- C.

Gesetzt es sei für y = 1 die Abscisse x = 0, so wird auch die Konstante C = 0. Folglich ist die Gleichung der gesuchten Kurve

x = a l y, oder y = e H.

132. Form einer Kurve mit konstanter Subnormale. Ist diese Konstante = a, so hat man nach Gleichung (1), § 49

dy

y d y = a d x.

y ~dx~ ⁼ ’

Durch Integration der letzten Gleichung erhält man

y²

— = ax -f C.

Die

Wenn für x = 0 auch y = 0 sein soll, so wird auch C = 0. Gleichung der gesuchten Kurve ist somit

y² = 2 a x,

d. h. die einer Parabel, deren Parameter den Wert 2 a hat.

133. Form einer Kurve mit konstanter Länge der Tangente. Der

Ausdruck für die Länge der Tangente ist nach Gleichung (2), § 49,

dxy dy7 '

Ist a der konstante Wert, so wird man haben

dy

Ka» - y².

Um diese letztere Gleichung integrieren zu können, setze man

V a² — y² = yz,

worin z eine von y abhängige Veränderliche bezeichnet; dann wird

d x = z d y.

Auf das Differential zdy wende man Gleichung (1) von § 90 Jzdy =

über das teilweise Integrieren an und erhält

I y dz.

1/

also dx =

(1)

(2)

zy —

Jydz

Allein aus Gleichung (1) folgt y —

Führt man diesen Wert

y i + z² *

von y in den letzten Teil von (2) ein, so folgt unter Anwendung von Gleichung (3) des § 88

y dz =

aJ KT+?

Mit Hilfe dieses Ausdruckes wird (2)

= a II z

+ C.

(z + VT+ -A + c,

oder, wenn man den Wert von z durch y ersetzt,

a 4- Va² — y²

x = Y a² — y² — a /

+ C.

Für y = a werde x = 0.

Diese gleichzeitigen Werte geben C = 0.

Somit ist die Gleichung der gesuchten Kurve

(3)

x = \r a² — y² — a l

a + y a.² — y²

134. Form einer Kurve mit konstanter Länge der Normale. Ist die

Konstante = a, so wird nach Gleichung (2) des § 49

so kommt

= 'a, folglich d x = i

ydy

j^a² — y²

Integriert man die letzte Gleichung nach Formel (1) des § 88,

*=±

ydy

= dz Fa² — y² -f C.

|Aa² — y²

Wenn y = 0, so sei x = a. Für diese Werte wird C = 0; somit

x = ffa,² — y².

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser a.

135. Zerlegung eines Rechteckes durch eine Kurve in Teile von gegebenem Verhältnis. Diese Kurve gehe vom Anfangspunkte der Achsen, den Seiten des Rechtecks, aus und entferne sich bis zum Punkte (x, y) von beiden Achsen. Der Kurvenbogen, der zwischen diesem Anfangspunkte und dem Punkte (x, y) liegt, schliesse mit der Abscisse x und der Ordinate y eine Fläche ein, die einen gegebenen Teil vom umschriebenen Rechtecke xy sein soll. Welches ist diese Kurve?

Das Flächenelement der Kurve ist ydx, also die Fläche

fydx.

Soll diese Fläche — vom Rechteck x y sein, wo n eine positive Zahl, die grösser als 1 ist, bezeichnet, so hat man

Jydx=-iXy.

Differentiiert man diese Gleichung, so fällt links das Integralzeichen weg, und man erhält

¹ , , ¹

— y d x Ą--

n    n

und indem man auf beiden Seiten — ydx abzieht, mit n multipliziert

und die Yariabeln sondert, nämlich y auf die eine, x auf die andere Seite der Gleichung bringt,

y dx =

xdy

dy

— = (n- 1)-•

y    x

Die Integration dieser Gleichung gibt

|y = (n-l)lx-f C.

Fiir x = 1 sei y = p; folglich /p = C. Führt man diesen Wert der Konstanten ein, so folgt

= l x"-¹.

Wenn aber die Logarithmen gleich sind, so müssen es auch die Zahlen sein: folglich ist die Gleichung der gesuchten Kurve

y = p xn—1.

Für n = I wird y³ = p³x. Diese Gleichung gehört der kubischen Parabel an. Sie teilt das Rechteck in Teile, die sich verhalten wie 3:1.

Für n = 11 wird y² = p² x. Diese Kurve ist eine Parabel, die das Rechteck in zwei Teile teilt, die sich wie 2 :1 verhalten.

Für n —2 wird y = px zur Gleichung einer Geraden, die als Diagonale das Rechteck in zwei gleiche Teile teilt.

130. Entstehung einer Rotationsfläche von gegebenem Inhalte durch Drehung einer Kurve. Diese Kurve gehe vom Anfangspunkte der Achsen aus und werde um die Abscissenachse gedreht. Dabei beschreibe der Bogen, der zwischen diesem Anfangspunkte und dem Punkte (x, y) der Kurve liegt, eine Oberfläche, die das n fache sein soll vom Kreise mit dem Halbmesser y. Welches ist diese Kurve?

IMS)’

. Dasselbe be-

Das Bogenelement der Kurve ist d y schreibt während einer vollen Drehung um die Achse ein Flächen-

. Somit ist die Rotationsfläche gleich

element = 2 n y d y

MM

2 71

hVi+(^y

und da die Kreisfläche vom Halbmesser y gleich 7ry², so hat man vermöge der Aufgabe die Bedingungsgleichung

= n n y².

Dividiert mau durch n und differentiiert, so folgt

2 n y d y.

IMS)'-

Dividiert man durch 2 y d y und quadriert, so kommt d x — £ y”n² — 1 d y.

Wird integriert, so erhält man die gesuchte Gleichung

x = ± Kn² — 1 • y,

worin die Konstante C = 0 genommen wurde, weil fiir x = 0 auch y = 0 sein soll. Dies ist die Gleichung einer geraden Linie. Folglich ist die Rotationsfläche eine Kegelfläche und uy² die Grundfläche des Kegels. Die Aufgabe ist für jeden Wert von n > 1 lösbar. Folg-lieh können Mantelfläche und Grundfläche von Rotationskegeln alle möglichen Verhältnisse zu einander haben.

137. Entstehung eines Rotationskörpers von gegebenem Inhalte durch Drehung einer von einer Kurve begrenzten ebenen Fläche. Diese Kurve gehe vom Anfangspunkte der Achsen aus. Der Kurvenast, der zwischen diesem Anfangspunkte und dem Punkte (x, v) der Kurve liegt, werde um die Abscissenachse gedreht. Dabei beschreibe die Fläche zwischen

der Kurve

der Abscisse x und der Ordinate y ein Volumen, das —

n

betrage vom Cylinder, dessen Länge die Abscisse x und dessen Halbmesser die Ordinate y ist. Man soll diese Kurve bestimmen.

Das Volumenelement des Rotationskörpers ist nach Gleichung (1),

Der Inhalt des

§ 123 =7ry²dx, also das Volumen =jrjy²dx.

Cylinders ist = n y² x. Folglich wird man nach der Aufgabe haben

n J y² d x =

¹ 2

— njl\.

Dividiert man durch n und differentiiert, so kommt

y² d X =

— y² d x -f -?- y x d y,

ferner durch Sonderung der Veränderlichen

aiZ.

y    x

und endlich durch Integration der letzten Gleichung 2 l y = (n — 1 ) l x -f C.

Für x = 1 sei y = a ; folglich wird 2 Z a = C. Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

to

oder

to

Zxn_1.

Geht man noch von den Logarithmen zu den Zahlen über, so erhält man als gesuchte Gleichung

y² = a² xn—h

Soll der Rotationskörper i sein vom umschriebenen Cylinder, so wird n = 2 und y² == a² x. Folglich ist der Rotationskörper ein Paraboloid.

Soll der Rotationskörper sein vom umschriebenen Cylinder, so wird n = 3 und y = ^ ax; folglich ist der Rotationskörper ein Kegel.

138. Die loxodromische Linie auf der Kngelfläche. Die Oberfläche der Kugel sei eingeteilt durch Parallelkreise und Meridiane wie diejenige der Globen, auf denen die Erdoberfläche abgebildet wird. Zieht

man nun auf der Kugelfläche eine Linie so, dass sie die Meridiane unter konstantem Winkel schneidet, so heisst diese Linie die loxodro-mische Kurve (Bahn eines Schiffes auf dem Meere). Man soll ihre Gleichung ableiten.

Fig. 40.

Es seien (Big. 40) P der Pol, AG der Aequa-tor und f g die loxodromische Linie. Legt man durch die Punkte f und g Meridiane, so werde der Aequator von ihnen geschnitten in F und G. Geht der erste Meridian durch A, so stellen die Bogen A F, AG die Längen und Ff, G g die Breiten der Punkte f und g dar. Länge und Breite eines Punktes können als Koordinaten derselben angesehen werden. Nun seien:

a der Halbmesser der Kugel,

« der Winkel, unter dem die Meridiane von der Kurve geschnitten werden,

Ao, ßo Länge und Breite eines Punktes auf einer Kugelfläche mit dem Halbmesser 1, entsprechend dem Punkte f und

X, ß dasselbe, entsprechend dem Punkte g, so dass die Bogen auf der Kugel mit dem Halbmesser a das a fache von Ao, ßo, etc. sind.

Lässt man A zunehmen um dA, so wird ß übergehen in ß -{-dß. Es sei der Bogen GH auf dem Aequator =adA. Man lege durch H den Meridian; wird dieser von der loxodromischen Linie in h, von dem durch g gehenden Parallelkreise in i geschnitten, so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck g hi, mit dem rechten Winkel bei i und dem Winkel ghi = a, so dass

(1)

g i = hi- tang a.

Nun ist G H = a d A, d. h. gleich dem Bogenelemente d A, multipliziert mit dem Radius des Aequators. Gerade so ist das Bogenelement gi gleich dem Differentiale d A, multipliziert mit dem Radius a cos ß des Parallelkreises in g. Da ferner hi = & dß, so geht (1) über in

(2)

d X = tang a •

dß

cos ß '

Dies ist nun die Differentialgleichung der gesuchten Kurve. Um sie zu integrieren, beachte man, dass taug« konstant ist und dass den Ordinaten ß₀, ß die Abscissen Ao, A entsprechen, so dass

(3)

X — Xo = tang a •

'ß dß

ßo C0SP'

Um

integrieren zu können, setze man sin ß — x ; dann wird cos ß d ß = d x, also durch Division durch cos² ß

cos ß

dß

dx

cos ß

cos² ß

1— sin²# 1 — x²‘

Nun ist aber nach Gleichung (2) des § 88

(5)

J 1 - x² 2

1 +x

Ti

+ 0.

Daher geht (4) über in

1 - sin ß

cos ß

und somit (3) in folgende Gleichung der loxodromischen Linie:

(6) X — X₀ = tang «

1 — sin ßoj

1 + sin ß

- sin ß

1 + sin ßo

Allein diese Gleichung wird für den Gebrauch auf Schiffen in folgender Weise umgeformt.

Es ist

cos 2 « = cos²« — sin²« oder, indem man cos²« =1 — sin²« setzt,

cos 2 « =' 1 — 2 sin²« und cos 2 « = 2 cos²« — 1 ; mithin, indem man « für 2 « einführt,

“ = j/r

— cos«

1 /l + cos « a=\ —2

und durch Division

“»g-f-«=1/

1 — cos « 1 -f- cos a

Setzt man hierin

+ « statt a, so geht diese Gleichung über in

tang

1 A sin « — sin a

Daher folgt aus (6) die gesuchte Gleichung

(7) X - X₀ = tang « • l tang Çj- + ^ - l tang + -^01.

Für die Fahrt eines Schiffes auf dem Meere sind Xo, ßo und X, ß die Längen und Breiten der Anfangs- und Endstation der Bahn. Werden diese als gegeben betrachtet, so erhält man mittels (7) die Grösse tang«, d. h. die Richtung, die das Schiff mit Hilfe des Kompasses einschlagen muss.

Für Xo = 0 und = 0 geht (7) über in die Gleichung X = tang a •

(8)

nang(^ + |-)

einer loxodromischen Linie, die in dem Punkte beginnt, wo der erste Meridian den Aequator schneidet.

Setzt man diesen Wert von b in (4) ein, so wird

y 1 — s² sin² ß

139. Die loxodromische Linie auf der Oberfläche des abgeplatteten Sphäroides. Diese Oberfläche entsteht durch Drehung einer Ellipse ihre kleine Achse. Teilt man diese Oberfläche durch Parallelkreise und Meridiane ein und legt eine Linie so, dass sie die Meridiane unter konstantem Winkel schneidet, so heisst diese Linie die loxodromische Kurve.

Gelten die Figur und Bezeichnungen der vorigen Aufgabe, so sind die Meridiane P F, P G, P H etc. kongruente Ellipsen, deren Mittelpunktsgleichung ist

um

(1)

b²

Das unendlich kleine Dreieck ghi gibt auch hier den Zusammenhang

gi = hi-tang«,

in dem gi das Bogenelement des Parallelkreises durch g und hi das Bogenelement des Meridians darstellen. Diese Bogenelemente haben aber vermöge der abgeplatteten Form des Körpers andere Werte als für die Kugel. Es sind daher zunächst diese Werte zu bestimmen.

Auf dem Aequator ist GH = adX, auf dem Parallelkreise in gleicher Weise

(2)

(3)

gi — xd À,

wo x = M E (Fig. 41) die Abscisse des Punktes g der Ellipse, also auch den Radius gC des Parallelkreises durch g bezeichnet.

Wenn man, um x zu finden, (1) diffe-rentiiert, so folgt

Fig. 41.

dy

dx

dy

die trigonometrische Tangente

des Winkels |3i, den die Tangente g B an die Ellipse mit der positiven Richtung der Abscissenachse bildet. Zieht man die Gerade gl) senk-

7t

recht auf gB, so wird Winkel gDB = jï. Nun ist ßi = — + 0, daher

£

Nun ist

tang

(ł+0- b2

a²

und

(4)

tang ß = —

a Va² — x²

Ist s die numerische Exzentrizität der Ellipse, so ist

V'irzTb?

= f,

■ ci

Vi - e².

a cos ß

und somit nach (3) die eine Seite des unendlich kleinen Dreiecks

(6)

gi =

a cos ß d X y 1 — £² sin² /î

Die andere Seite h i dieses Dreiecks ist das Bogenelement d s des Meridians, für das in § 100 folgender Ausdruck sich angegeben findet

(7)

d s = a d ff¹ y\ — s² sin²<f,

In Gleichung (7) ist nun (f durch ß auszu-

worin a sin (f = x ist. drücken. Setzt man a sin (f fiir x in (5) ein, so folgt

(8)

sin (f —

cos

■ce

Y 1 — £² sin² ß

Nun gibt die Differentiation von (8)

(9)

d (f =

-VT=

1 — i² • sin² ß

i-räß.

Setzt man die Werte von sin ^ aus (8) und d (f aus (9) in (7) ein, so findet man a (1 - s²) d ß

(10)

(1 — s² sin² ß) -

In diesem Ausdrucke für d s ist das positive Zeichen genommen worden, weil s und ß zugleich wachsen.

Dieser Wert von ds ist nun nichts anderes als die Seite hi des unendlich kleinen Dreiecks. Mit Hilfe desselben und der Gleichung (6) gibt (2)

(11)

d X = tang a •

(l-s²)dß

(1 — s ² sin² ß) cos

Diese Gleichung ist für das Sphäroid, was Gleichung (2) des vorigen Paragraphen für die Kugel, nämlich die Differentialgleichung für die loxodromische Linie.

Um sie zu integrieren, bringe man sie auf die Form

s² cos d ß ~

1 — t² sin²/ÿ_ ’

d X = tang u

[_dß

Leos ß

Da £ cos ß d ß = d (s sin ß), so erhält man

(12)

k — X o — tang u

rß

J ßo C0SP

— £ tang a

'ß d (f sin ß)

1 — £² sin² ß'

Das erste dieser Integrale ist in der vorigen Aufgabe angegeben. Um das zweite abzuleiten, setze man z = £ sin ß ; es wird

d (f sin ß) = d z;

£² sin² ß = z²,

d (s sin ß)

1-z² ’

1 — £²sin²tf

folglich nach der vorigen Aufgabe, Gleichung (5)

1    1 + z    1    1 + f sin ß

⁼ Tlr^ + C = TlT

1 — z²

— s sin ß

f C.

Daher gibt Gleichung (12)

(13)

X — Xo = tang a

[uang(^- ' P

+ y J - ^tang

ßo

s tang a I

1 + £ sin ß

1 — s sin ß

1 + s sin ßo 1 — s sin ßo

Für ^0 = 0 beginnt die Kurve im Aequator im Abstande Xo vom ersten Meridiane. Für ß ~ 90° wird X = cc, d. b. die Kurve kann den Pol nicht erreichen.

Wenn die Abplattung eine schwache ist, so bleibt das zweite Glied rechts ohne merklichen Einfluss auf den Wert X — Xo, wie dies für die Erde der Fall ist.

140. Form der Ketteillinie.

Ist eine vollkommen biegsame Kette an ihren Endpunkten befestigt, so wird sie sich senken und eine Kurve bilden, deren Form bestimmt werden soll, unter der Voraussetzung, dass das Gewicht der Kette I) der Lange ihrer horizontalen Projektion, II) der Länge der Kette proportional sei.

Die Kurve wird in einer Vertikalebene liegen, die durch die Aufhängepunkte A, B (Fig. 42) geht. Man lege in dieser Ebene durch den tiefsten Punkt C der Kurve zwei rechtwinkelige Achsen Cx, Cy, wovon die erstere horizontal liegt. Es seien:

y, x die Koordinaten C F und E F eines Kurvenpunktes E, a,(f die Winkel, die die Kurve in den Punkten A und E mit der horizontalen Richtung bildet,

P, Q die Spannungen der Kette in den Punkten A und E, in den Richtungen der Tangenten an die Kurve wirksam, und a, h die horizontale und vertikale Projektion des Kurventeiles AC.

Zerlegt man die Kräfte P und Q in die . horizontalen Seitenkräfte P cos a

Qcos (f,

und in die vertikalen Seitenkräfte P sin a,

Q sin <p, so kann man sich denken, es werde das Kurvenstück A E durch die Kraft P cos a -

Fig. 42.

nach rechts, durch Q cos fp nach links gezogen.

Richtung keine Bewegung annimmt also sein

Damit dieses Stück in horizontaler

muss

Q cos (f = P cos a.

Diese Gleichung gilt, wo auch der Punkt E auf der Kurve angenommen werde. Daher ist die Spannung der Kette in horizontaler Richtung konstant. Bezeichnet man diese Spannung mit T, so ist

Q cos ff — T.

(1)

(2)

Erste Voraussetzung. Es sei q das Gewicht der Kette für jede Längeneinheit, in der Richtung der horizontalen Projektion gemessen, also a q das Gewicht des Stückes A C und (a — x) q das Gewicht des Stückes AE.

Die Kraft P sin a wirkt in A aufwärts, die Kraft Q sin ff in E abwärts. Zu dieser letzteren Kraft kommt noch das Gewicht (a — x) q des Kurvenstückes AE. Die Kräfte in vertikaler Richtung abwärts und aufwärts müssen ebenfalls gleich sein. Dies gibt

(3)

Q sin <f + (a — x) q = P sin «.

Dividiert man die Werte von Qsinff und Q cos ff, chungen (2) und (3) liefern, durcheinander, so hat man

P sin a — (a — x) q

die die Glei-

(4)

tang <f —

Für den tiefsten Punkt wird ff = 0 und x = 0 ; mithin erhält man für diesen Punkt

P sin a —aq

Folglich muss der Zähler dieses Wertes — 0 sein, woraus folgt

P sin a

(5)

Setzt man diesen Wert von a in Gleichung (4) ein, so kommt

tang ff =

qx

Allein nach Gleichung (4), § 10, ist tang <f =

Folglich wird

d y = x d x.

Durch Integration dieser Formel erhält man die Gleichung

q x²

(6)

der Kurve, in der die Konstante C weggelassen wurde, weil für x — 0 auch y = 0 ist. Diese Gleichung

x² -

zeigt, dass die Kurve eine Parabel ist. Man nennt daher diese Kurve die parabolische Kettenlinie. Sie kommt vor bei Draht- und Kettenbrücken, indem die Brückenbahn, die an den Drahtseilen oder Ketten hängt, auf gleiche horizontale Entfernungen gleiche Belastungen hat; ferner bei Seilen und Ketten, die gleichbleibenden Querschnitt haben und durch starke Spannungen nur eine schwache Biegung annehmen etc.

Aus der Gleichung (3) folgt, dass die vertikale Spannung von oben nach unten abnimmt und im tiefsten Punkte = 0 wird. Setzt

man in Gleichung (6) für x den Wert von a ein, so wird y zur Ordinate des höchsten Punktes. Man erhält dafür

h = fWa.

\2 Ty

Was von dein Kurventeile A C gezeigt ' wurde, gilt auch vom Stücke B C.

Zweite Voraussetzung. Ist q das Gewicht der Kette für jede Längeneinheit derselben, so wird das Gewicht des Stückes AE-q • A E sein etc. Rückt der Punkt E um das Bogenelement d s aufwärts, so nehmen <p zu um d </>, x um dx, y um dy. Daher wird auch die vertikale Spannung Q sin <p zunehmen um d (Q, sin (f). Diese Zunahme ist aber nichts anderes als das Gewicht q d s des Elementes der Kettenlinie. Daher

d (Q »in (f) — q d s.

Führt man hier den Wert von Q aus (2) ein und beachtet, dass T konstant ist, so wird

q

d taug (f — — d s. Allein es ist nach § 10 und § 95

(7)

tang (f —

dy

dy

Führt man diese Werte in (7) ein, nachdem man -— = z und

d x

gesetzt hat, so folgt

(8)

yr+i⁵'

Durch Integration dieser Gleichung erhält man nach (3), § 88

(9)

-1{z + Ki + 4

wo die Konstante der Integration Iweggelassen ist, weil für x=0 dy

auch z, d. h. = 0 wird, d x

Geht man in (9) von den Logarithmen zu den Zahlen über, so wird

emx = z + VT+7*.

Isoliert man hier die Wurzelgrösse und quadriert, so kommt

— 2zemx = 1

g2m x

dy

und, indem man -— für z setzt, d x

(10)

dy -

T(e

— e~ m x) d x.

Schreibt man behufs der Integration

dy =

— em x d (m x) +

-e

2m

so gibt die Integration dieser Gleichung nach § 84

d(— mx),

[em x + e- m x] + C.

Für x = 0 wird auch y = 0; daher erhält man für diese Werte

[1 + 1] + C.

so ergibt sich als

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab Gleichung der gemeinen Kettenlinie

(11)

-2].

Für x = a wird y = h zur Ordinate des höchsten Punktes der Kurve. Aus (10) folgt

(12)

tang (f =

ni x

— e-mx).

Wird hierin x = a, so verwandelt sich <f in « ; daher

tang a —

— e~ara).

(13)

Aus Gleichung (7) folgt durch Integration tang (f = m s,

worin s den Bogen, von C bis E reichend, bezeichnet.

Geht hierin in a über, so wird s zum Bogenstücke CA, das mit S bezeichnet sei. Daher

tang ff = mS.

Setzt man die beiden Werte von tang</> aus (12) und (13) einander gleich, so wird

(14)

(e

)•

Entwickelt man die Exponentialgrössen in Reihen, so erhält man nach § 68, Gleichung (4)

2-3-4

(m x)²

(m x)³

2-3

(m x)⁴

e~

x = 1 — mx +

(m x)²

(m x)³

(m x)4 2 ■ 3 • 4

Wird m = q:T sehr klein, sei es, dass q klein oder T gross ist, so wird s nahe gleich x und y sehr klein. In diesem Falle geht Gleichung (15) nahezu über in (6), d. h. die Kettenlinie nähert sich der Parabel.

Wenn die Fläche CEF mit M bezeichnet wird, so wird das Flächenelement dM = xdy. Setzt man hier den Wert von dy aus (10) ein, so folgt

Für ein endliches m, was stets vorausgesetzt werden kann, sind diese Reihen für jeden Wert von x konvergent; daher erhält man

(in x)²

TT

(15)

y = yinx² 1 +

(m x)⁴

3-4-5-6

(16)

(m x)²

(m x)⁴

r,

2-3

(17)

~rJ>

— e~

rn x

) x d x.

Nun kann x em x d x integriert werden nach Gleichung (1) von S 90, indem man setzt x — u; emxdx = dv; folglich v =--e

0    7    m

und man erhält

emx

e“ x x d x =

/•

xdx ---e

h-*

— e mz

Daher durch Einführen dieser Werte in Gleichung (17)

(18) M =

X(emx + e-mx)

— (e m

— e-rax)

Die Konstante ist weggelassen, weil für x = 0 auch M — 0 wird.

141. Form einer Seiltrommel für gleiche statische Momente der Last am Seile. Die Achse AB der Trommel (Fig. 43) liege horizontal; ein Schnitt durch die Oberfläche der Trommel längs der Achse gebe die Kurve acb.

Fig. 43.

Dreht sich die Fläche AB b a um die Achse, so erzeugt sie einen Rotationskörper, über den ein Seil gewickelt sei, an dem eine Last P hänge. Das Seil beginne seine Aufwickelung auf Seite A des kleineren Trommelhalbmessers r. Auf dieser Seite hat das herab-

y\

hängende Seils eine grösste Länge, die mit L bezeichnet werde. Wickelt sich das Seil auf, so wird der herabhängende Teil kürzer; daher auch leichter; also muss der Halbmesser der Trommel dafür grösser werden, wenn das statische Moment, womit Last und Seil die Trommel drehen, konstant bleiben soll.

In einer Entfernung x von a aus, längs der Achse gemessen, sei der Halbmesser der Trommel y und die Länge des herabhängenden Seil-

Setzt man diese Werte von d« aus (5) und (6) einander gleich, so ist

dx = ■—

Stückes z. Bezeichnet man das Gewicht des Seiles für jede Längeneinheit mit p, so zieht bei A ein Gewicht abwärts = P + p L am Hebelarme r und bei c ein Gewicht = P -f P z am Hebelarme y. Gemäss der Aufgabe sollen die statischen Momente dieser Kräfte gleich sein: daher

(P + p z) y = (P -f p L) r.

Diese Bedingungsgleichung gestattet nun, den Zusammenhang zwischen den Koordinaten x, y der Kurve acb wie folgt zu bestimmen. Die Momente (1) sind konstant; setzt man daher (P + P z) Y = m, worin die Grösse m konstant ist, so folgt

(1)

(2)

py

Cl, a

woraus durch Differentiation sich ergibt

m d y

p y²

Nun ist d z ein Längenelement des Seiles ; steigt das Seil um d z, so geht z in z — d z über. Dreht sich dabei die Trommel um einen unendlich kleinen Winkel da, als Bogen gedacht zum Halbmesser 1, so wird ein Punkt der Trommel im Abstande y von der Achse einen Weg = yd« zurücklegen. Daher wird sein

(3)

dz = —

(4)

y d a = — dz.

Setzt man nun die beiden Werte von dz aus (3) und (4) einander gleich, so folgt

m . dy^

P y² '

Ist die Dicke des Seiles e, so wird bei jeder vollen Umdrehung der Trommel das herabhängende Seilstück um e in der Richtung der Achse fortrücken, d. h. das Fortrücken ist e für den Drehwinkel '2tt; somit = dx für den Drehwinkel da. Aus der Proportion 2 n : d a = e : d x folgt daher

(5)

yda =

(6)

da =

d x.

m d y

P y³

und folglich durch Integration

2 TT

Für x = 0 geht y in r über; für diese Werte wird (7) zu

(7)

Zieht man diese Gleichung von (7) ab Zusammenhang

so erhält man den gesuchten

(8)

2 7T

2p

r^

ist die Länge der Trommel = b, so geht für x = b der Radius y über in R. Für diese Werte wird (8) zu

2 n . m f

2p

-b =

Eliminiert man aus den letzten zwei Gleichungen die Grösse so erhält man als gesuchte Gleichung der Kurve

(9)

y² =

VIII. Bestimmung von Schwerpunkten.

142. Vom Schwerpunkte im allgemeinen. Alle materiellen Teile eines Körpers werden vermöge der Schwere gegen den Mittelpunkt der Erde gezogen. Für Körper auf der Erdoberfläche können die Richtungen der Kräfte, die den einzelnen Teilen entsprechen, als parallel angesehen werden. Der Angriffspunkt der Mittelkraft dieser parallelen Kräfte heisst der Schwerpunkt des Körpers. Für gewisse einfache Körperformen lässt sich der Schwerpunkt sogleich angeben. So ist der Schwerpunkt einer homogenen Kugel in ihrem Mittelpunkte, der Schwerpunkt eines . homogenen Cylinders in der Mitte seiner Achse etc. Es seien

P, P', P", . . die Gewichte solcher Teile eines Körpers, deren Schwerpunkte man kennt,

x, x', x",. . die horizontalen Abstände der Schwerpunkte dieser Teile von einer horizontalen Drehachse und z der horizontale Abstand des Schwerpunktes des ganzen Körpers von dieser Achse.

Daun ist (P P' -f P" z das statische Moment des ganzen Körpers und Px-)-P'x'-j-P''x"-|-., die Summe der statischen Momente der einzelnen Teile des Körpers. Da beide Werte für den Zustand des Gleichgewichtes einander gleich sein müssen, so hat man

(1)

Px-(-P'x'-)-Pwxw-f •• -Px p + P' + P" +77    ,== AP ’

wo der griechische Buchstabe A (Sigma) anzeigt, dass eine Summe gleichartiger Teile herzustellen sei. Ist einer dieser Teile das Differential des Ganzen, so geht das Summenzeichen A in das Integralzeichen j* über.

Wenn Y, V', Y",.. die Rauminhalte der Teile des Körpers und p das Gewicht der Kubikeinheit der homogenen Masse ist, so ist P = Y p, P' = Y'p,... Setzt man diese Werte in Gleichung (1), so erhält man

(2)

V x + V' x + Y" xw + ..

2'Vx

y ą. V' + Y" + ..

Sind die Körperteile Prismen mit gleichen Höhen h und den Grundflächen F, F', F",.so wird V = Fh, Y' = F' h,.. Setzt man diese Werte in (2), so kann man Zähler und Nenner durch h dividieren und erhält

(3)

Fx-f F' x' -f- F" x" + ..

F + F' -p F" -f ..

den Längen L, L', L",. erhält aus (2) durch Division des Zählers und Nenners durch q

Sind die Körperteile Prismen von gleichen Querschnitten q mit so wird Y = L q, V' = L' q,.., und man

(4)

Lx + L'x' -f L"x" + •• -Lx ~~ L 4-“L⁷+“L'⁷T7    _ AL *

Das statische Moment kann also, je nach der Aufgabe, durch Px, Y x. Fx oder L x ausgedrückt werden.

143. Schwerpunkt eines Kreisbogens. Ist der Halbmesser AD (Fig. 44) senkrecht auf der Sehne B C, die durch die Endpunkte des Bogens geht, so liegt der Schwerpunkt des Bogens in diesem Halbmesser. Es sei r der Halbmesser, b die Bogenlänge, a die Sehne, r a = Bogen B D, r (f = Bogen D m und der Abstand des Schwerpunktes des Bogens vom Mittelpunkte A — z.

Fig. 44.

Lässt man (f in (f 4- d (f übergehen, so geht der Bogen r (f in r ((p 4- d (f) — D n über, so dass das Bogenelement mn = rd^ wird. Die Entfernung dieses Elementes von A, in der Richtung A D gemessen, ist =rcos (f -, folglich das statische Moment des Bogenteiles für eine Drehachse durch A, parallel zu B C, gleich r d (f • r cos (p — r² cos (f d (f .

W ird der Bogen D B in unendlich viele Elemente rd (f abgeteilt, das Moment eines jeden angeschrieben und die Summe dieser Momente gebildet, so erhält man das Moment des Bogens D B. Diese Summierung ergibt sich nach § 108 durch Integration des vorstehenden Differentials. Man erhält

r²

f cos <f d (f J 0

= r² sin a.

Nun ist aber auch das

Ebenso gross ist das Moment des Bogens CD. Das Moment des ganzen Bogens ist daher = 2 r² sin « =ra.

Durch

Moment des ganzen Bogens für dieselbe Drehachse == b z. Gleichsetzung beider Momente folgt der gesuchte Abstand

d. h. der Abstand des Schwerpunktes verhält sich zum Halbmesser wie die Sehne zum Bogen.

Für einen Halbkreis ist a = ‘2 r, b = 7rr; also

<M

r.

144. Schwerpunkt eines Parabelbogens. Aus der Scheitelgleichung y¹ = 2 p x der Parabel folgt durch Differentiation y d y = p d x. Mithin erhält man für das Element des Bogens s, liegend zwischen dem Scheitel der Parabel und dem Punkte (x, y),

d s = ]/~ d x¹ -f- d y¹ = —— Y P¹ + y¹-

Das statische Moment dieses Bogenteilchens d s in Bezug auf die Abscissenachse als Drehachse ist

y d s = — y d y W + y¹.

Wird dieses Differential integriert, so erhält man die Summe der statischen Momente aller Teile des Bogens s. Nun ist nach Gleichung (13), § 90

Jydyj/p¹ + y¹ = -i-(p¹ + y¹)¹ + C.

indem man das Integral

Folglich die gesuchte Summe der Momente von y = 0 bis y = y nimmt,

(i)

yds =

(p¹ + y¹)¹ — p² •

3 p _

Das statische Moment des Bogenteiles ds in Bezug auf die Ordi-natenachse als Drehachse ist

y¹dy

2 p¹

Kpa + ya-

Fach Gleichung (14), § 90, ist aber

Jy¹ d y Kp¹ + y¹ =

j-Kp ¹ + y¹ +

oo

^y V p¹ + y² —v¹l(j + V p¹ + y¹)j + c.

Dividiert man die Momente (1) und (2) durch die Länge des Parabelbogens, wie sie in § 98 angegeben ist, so erhält man die Abstände des Schwerpunktes des Bogens von der Abscissen- und der Ordi-natenachse.

145. Schwerpunkt der Cykloide. Nach § 101 ist das Bogenelement der Cykloide

d s = a y 2 (1 — cos (f ) d (f.

Dieses Element hat den Abstand y = a (1 — cos (f) von der Grundlinie, also ist sein statisches Moment in Bezug auf die Grundlinie als Drehachse

y d s = a² (1 — cos (f )    2 (1 — cos (f)d(f.

Nun ist 1 — cos (f

2 ⁽f

= 2 sin — ; folglich

yds

³ u u

= 8 a² sin —-d—

2 2

1    . ² (f (f 2

--— sin —r cos

3    2

Dieses Integral zwischen den Grenzen (f = 0 bis (f — <f ist das statische Moment für den Bogen s, reichend vom Anfangspunkte bis zum Punkte (x,y). Dieses Moment ist daher

— cos — + C.

Das Integral hiervon ist nach Gleichung (12), § 88 J y d s = 8 a²

r ^    8a2 fo

J„yds = nrL²-

tf "I

sin -4- cos —--2 cos —- .

2    2 J

Für die halbe Cykloide ist hierin y bis 2 a und (f bis rr auszudehnen. Semit ist das statische Moment der halben Cykloide

(1)

'f

(2)

yds

16 a²

Dividiert man die Momente (1) und (2) durch die Länge der betreffenden Bogenteile, so erhält man die Abstände der Schwerpunkte dieser Bogen von der Grundlinie. Für die Länge der halben Cykloide ist (§ 101) s = 4 a ; folglich der gesuchte Abstand

16 a²

„    4

:4a= — a.

O

146. Schwerpunkt einer Dreiecksfläche. Es sei B C = a (Fig. 45) die Basis und AD = h die Höhe eines Dreiecks, Man nehme diese Höhe zur Abscissenrichtung an. Entspricht der Abscisse A E = x eine Ordinatensumme mE-f nE = y, so wird vermöge der ähnlichen Dreiecke A m n und ABC sein

y : a = x : h.

Der Inhalt des Fläclienelementes längs der deshalb sein

Ordinate m n wird

y dx

x d x.

Fig. 45.

Dieses Flächenelement hat von der Ordinatenaehse A y den Abstand x; folglich ist sein statisches Moment in Bezug auf die Ordinatenaehse als Drehachse

x² d x,

folglich die Summe der statischen Momente aller Flächenteile des Dreiecks

Ü- a li².

x² d x =

JNun ist die Dreiecksfläche =^ah, also ihr Moment in Bezug auf die Ordinatenaehse = i a h z. Setzt man diese Momente einander gleich, so kommt

er

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist somit um -| der Höhe von der Spitze entfernt.

Fig. 46.

147. Schwerpunkt einer Trapezfläche. Die parallelen Seiten des Trapezes (Fig. 46) seien a und b, wobei a > b, die Höhe h. Legt man im Abstande x von b aus eine Gerade = y durch das Trapez, parallel zu b, so wird die Fläche in zwei Trapeze geteilt, deren Inhalte zusammen gleich sind dem Inhalte des Ganzen. Dies gibt folgende Gleichung

a_+_b

2 ’

— x) =

b 4- v , a-fy,,

woraus folgt

r-Q

x.

Zieht man im Abstande dx von y die Parallele zu y, so entsteht das Flächenelement ydx, dessen Abstand von b gleich x ist. Mithin wird das statische Moment dieses Flächenelementes in Bezug auf die Parallele b als Drehachse

yxdx = bxdx-i- a ^ ^ x² d x.

Wird diese Gleichung zwischen den Grenzen x = 0 und x = h integriert, so erhält man als Summe der statischen Momente aller Flächenteile des Trapezes

f(

b x -j—

— x²^dx =

h³

h² (2 a + b).

Wenn der Abstand des Schwerpunktes von der Parallelen b = z ist, so wird das Moment der ganzen Trapezfläche — t (a -f- b) h z. Setzt man diese Momente einander gleich, so ergibt sich

h 2 a -f- b 3 a -f- b

Fig. 47.

148. Schwerpunkt eines Kreisausschnittes. Der Schwerpunkt des Kreisausschnittes ABC (Fig. 47) liegt auf dem Halbmesser A D, der senkrecht auf der Sehne B C steht. Der Abstand dieses Schwerpunktes vom Mittelpunkte A sei = z, der Halbmesser = r, der Bogen D m = r (f, der Bogen B D = r a. Geht (f in (f> -f- d (f über, so nimmt der Bogen r^umrdÿ = mnzu. Zwischen den Radien A m und A n liegt eine unendlich kleine Dreiecksfläche, deren Grundlinie m n = r d (f und deren Höhe A m = r ist. Ihre Fläche wird daher sein — tr‘-d y. Der Schwerpunkt dieser Dreiecksfläche hat den Abstand f r von A. Die Projektion dieser Entfernung auf A D ist | r cos <p. Somit ist das statische Moment dieses Flächenteiles in Bezug auf eine Drehachse, die durch den Mittelpunkt A geht und parallel zur Sehne B C liegt, gleich

t r³ d (fi • -f r cos (f'> — Ą r³ cos (f d (f.

Das Integral dieses Ausdruckes zwischen den Grenzen (f — — a und (p = + « ist

r³ sin a.

Dieses Integral ist die Summe der statischen Momente aller Dreiecke Amn, die im ganzen Kreisausschnitte enthalten sind. Da nun die Fläche des ganzen Kreisausschnittes — r³ « ist, so wird ihr Moment in Bezug auf die gleiche Achse sein == r³ « z. Aus der Gleichsetzung dieser Momente folgt

2    sin a

z = — r--

o a

Für « =

toi a

wird der Kreisausschnitt zum Halbkreise, und die Formel

für z geht über in

Z 3 TT r’

Zieht man einen Radius AD senkrecht auf die

149. Schwerpunkt eines Kreisabschnittes. Es sei CBD (Fig. 48) dieser Abschnitt.

Sehne B C, so wird der Schwerpunkt auf diesem Radius liegen. Wenn der Mittelpunkt A des Kreises zum Anfangspunkte und dieser Radius zur Abscissenachse genommen wird, so ist die Gleichung des Kreises y = \ r³ — x³. Das Flächenelement, das zur Länge die Doppelordinate 2 y und zur Breite d x hat, ist

Das erste dieser Integrale ist die Fläche, das zweite das statische Moment des Kreisabschnittes. Dividiert man den letztem Wert durch den erstem, so erhält man

(r² - x²) Vr² — x²

r² 7/

— x Y r² — x² — r² arc sin

als Entfernung des Schwerpunktes des Kreisabschnittes vom Mittelpunkte des Kreises. Für den Halbkreis wird x = 0, also

4

3 TT

—- r -{wie in § 148).

150. Schwerpunkt der Fläche zwischen einer Cykloide und ihrer

Grundlinie. Aus den Gleichungen x — a (ff — sin (f), y = a(l — cos ff) der Cykloide (§ 101) erhält man als Wert des Flächenelementes

y d x = a² (l — cos ff)² d ff.

Der Schwerpunkt dieses Elementes hat einen Abstand — 0,5 y von der Grundlinie; folglich ist das statische Moment dieses Elementes in Bezug auf die Grundlinie als Drehachse

łj y² d x = ^ a³ (1 — cos ff)³ d ff.

Nun ist

(1 — cos cf)³ =1 — 3 cos ff -f- 3 cos²ff — cos³ff

IO I—*

und das statische Moment desselben, wenn die Ordinatenachse zur Drehachse genommen wird,

2 x y d x = 2 x |/~r² — x² d x.

VA-r..:,

Fig. 48.

V\

Man integriere diese Ausdrücke nach den Gleichungen (10) und (12), § 90, und nehme die Integrale zwischen den Grenzen x = x und x = r; man erhält dann

•'W

TT , TT)

K VW

p r    y»2 ,

2 ydx = —

kJ X    &

— x Yr² — x- — r² arc sin — ;

■r.

Oi IO

(r²— x²) r² — x².

J*cos²<f d ff =    - sin ff Cos <f + — ff -j- C,

f*    1    n 2

cos³ff d <f = —- sin ff cos²ff -(- — sin <f -j- C. Jo    o

Folglich

J°(l — cos ff)³ d ff — (f — 3 sin ff + ^

+±»_

^ 2 V

sin f/ cos <{

1    2

—- sin <f    cos² ff--—    sin f/

3    3

C.

Mithin die Summe der statischen Momente aller Flächenteile zwischen den Grenzen 0 bis (f — <p

\-JVdx ⁼ TaS[v

sin (f¹ -f- —sin (f cos --^-sin ⁽/ cos⁴<f .

O    O

Dividiert man dieses Integral durch das Intégral! ydx der Fläche, wie

dasselbe in § 116 dargestellt ist, so erhält man den Abstand z des Schwerpunktes der Fläche von der Grundlinie.

Für die ganze cykloidische Fläche erhält man

a³ f»25T

Tf/o ⁽¹

— cos (f Y d <f =

5 TT.

— a3 2 a’

und da die ganze Fläche = 37ra⁴, so ist das statische Moment derselben = 3 re a⁴ z ; folglich wird sein

z = a.

3 n a⁴ / = 17i a³ ;

151. Schwerpunkt einer rarabelfläche. Die Scheitelgleichung der Parabel ist y⁴ = 2 p x und das Flächenelement derselben — y d x. Der Abstand des Schwerpunktes der Fläche ydx von der Ordinatenachse ist = x, von der Abscissenachse = 0,5y; folglich ihr statisches Moment

in Bezug auf die Ordinatenachse

xydx = )/2px⁴dx, in Bezug auf die Abscissenachse 0,5 y⁴ d x = p x d x.

Also das statische Moment; der Fläche zwischen der Abscisse x und der Ordinate y

in Bezug auf die

Ordinatenachse |/^2 p |

tel

2 x⁴ y

f*x    1

in Bezug auf die Abscissenachse p x d x = — p x⁴.

Jo    2

Nun ist die Parabelfläche = -f vom umschriebenen Rechteck, also = |xy; mithin der Abstand des Schwerpunktes der Parabelfläche

von der Ordinatenachse x⁴ y : -| x y = -³- x, von der Abscissenachse i p x⁴ : | x y = 4 y.

152. Schwerpunkt einer Flächenzone der Kugel. Die Mittelpunktsgleichung eines Kreises ist y — j/"r⁴ — x⁴, das Bogenelement desselben

J/"d x⁴ + d y⁴ = - - d x. Dreht sich der Kreis um seine Abscissenachse,

so beschreibt das Bogenelement eine Flächenzone 2 7r y J^d x⁴ -f d y⁴ = 2 n r d x. Das statische Moment dieses Flächenteils in Bezug auf die Ordinatenachse ist = 2 n r x d x ; folglich das statische Moment einer Zone von unbestimmter Breite

Hat die Zone die Höhe h und steht ihr grösserer begrenzender Kreis um x vom Mittelpunkte der Kugel ah, so ist das Moment der Zone, wenn sie auf derselben Seite des Kugelmittelpunktes liegt,

x d x = 7i r [(x -f- h)² — x²] = 7T r (2 x h + h²).

Ist nun z der Abstand des Schwerpunktes der Zone vom Kugelmittelpunkte, so ist, da der Inhalt der Zone = 2 n r h, das Moment der Zone =2yrrhz; folglich kommt durch Gleichsetzung dieser Momente

px + h

z = x -4- —.

2

Der Schwerpunkt liegt also in der Mitte der Höhe der Zone.

153. Schwerpunkt einer Kugelschicht. Die Mittelpunktsgleichung des Kreises ist y² = r² — x². Dreht sich dieser Kreis um die Abscissen-achse, so beschreibt die Ordinate y eine Kreisfläche vom Inhalte yry², folglich ist das scheibenförmige Volumenelement der Kugelschicht n y² d x — n (r² — x²) d x und der Inhalt einer Schicht, deren begrenzende Kreise um h und h' vom Kugelmittelpunkte, nach derselben Seite hin, abstehen,

h'³ — h³H

f¹¹'

7i J . (r²

— x²) d x = Ti I r² (hy — h) —

Das statische Moment des Volumenelementes in Bezug auf die Ordinatenachse als Drehachse ist = n (r² — x²) x d x ; folglich das Moment obiger Schicht

fh'

7i J (r² x

— x³) d x =

r² (h'² — h²)--^-(h'⁴ — h⁴) •

Folglich der Abstand z des Schwerpunktes der Schicht vom Kugelmittelpunkte

1 r² (h/2 — h²) — \ (h'⁴ — h⁴)

2    r²(h' — h) — -i-(h'³ — h³)

Für die Halbkugel wird h' = r, h = O; somit Abstand

8 r-

154. Schwerpunkt einer Pyramide. Es sei a die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide. Legt man im Abstande x von der Spitze der Pyramide einen ebenen Schnitt durch den Körper, parallel zur Grundfläche, und bezeichnet diesen Schnitt durch y, so ist

y : a = x² : h²,

⁵ h*

5-X*.

also zum Inhalte y d x = Pyramide

Das Volumenelement hat zur Grundfläche y und zur Dicke d x, x² d x. Folglich ist der Inhalt der ganzen

x²dx =

iah.

x Das statische Moment des Volumenelementes in Bezug auf eine Achse durch die Spitze der Pyramide, die parallel zur Grundfläche liegt, ist

xydx = —x-x³dx; folglich das statische Moment der ganzen Pyramide

h²

A fh

h² J o

Für den Abstand z des Schwerpunktes der Pyramide von der Spitze ergibt sich deshalb der Wert

x:idx =

— a h². 4

4 a h² : ah = h.

4-;w

155. Schwerpunkt eines Paraboloids. Derselbe liegt in der Achse des Körpers; sein Abstand vom Scheitel sei z. Die Scheitelgleichung der Parabel, durch deren Rotation das Paraboloid entsteht, ist y² = 2 p x ; folglich das Volumenelement des Rotationskörpers 7ry²dx = 2;rpxdx, und das statische Moment desselben für eine Drehachse, die durch den Scheitel geht und senkrecht auf der Achse des Paraboloids steht, = 2 7T p x² d x. Das statische Moment eines Paraboloids von der Achsenlänge x ist daher

- 77-pX³.

Da aber der Inhalt des Paraboloids = yrpx² (§ 128), so wird sein

TT p X² • Z = -f TT p X³ ;

150. (iuldin's Hegel zur Bestimmung des Inhaltes von Rotationsflächen.

Es sei y = f (x) die Gleichung einer ebenen Kurve, bezogen auf rechtwinklige Koordinatenachsen; dann ist das Element des Bogens s dieser Kurve d s = ]/"d x² -f- d y². Multipliziert man dieses Element mit seinem Abstande y von der Abscissenachse, so erhält man sein Moment für diese Achse = y \ d x² d y², folglich das Moment des ganzen Bogens

= J*y V'à x² + d y².

Ist nun z der Abstand des Schwerpunktes des Bogens s von der Abscissenachse, so ist das Moment des Bogens auch =sz, Folglich erhält man durch Gleichsetzung dieser Momente

wie

X.

(1)

J y ]/"d x² + d y² -

z s.

Multipliziert man diese Gleichung mit 2 tt, so ist

(2)

2 TT

J y Kd X² + d y² =

2 TT Z • S.

Run ist aber die linke Seite die Oberfläche, die durch eine volle Rotation des Bogens s um die Abscissenachse entsteht (§ 117). Folglich ist der Inhalt einer Rotationsfläche gleich dem Wege27rz, den der Schwerpunkt der G eneratrice s während der Rotation beschreibt, multipliziert mit der Länge der Generatrice.

Beispiel 1. Ein recht winkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse = a, und dessen Katheten b und c sind, drehe sich um die Kathete b; es beschreibt die Kathete c eine Kreisfläche und die Hypotenuse einen Kegelmantel.

Der Schwerpunkt von c liegt in der Mitte dieser Linie, also ist der Weg des Schwerpunktes von c bei einer vollen Drehung = n c ; folglich die Kreisfläche = tt c².

Der Schwerpunkt der Hypotenuse beschreibt bei jener Drehung den Weg 7rc; also ist der dadurch entstandene Kegelmantel = 7rca.

Beispiel 2. Ein Kreis und eine Gerade liegen in einer Ebene. Der Halbmesser des Kreises sei = r, der Abstand seines Mittelpunktes von der Geraden = a, wobei a > r vorausgesetzt wird. Dreht sich nun der Kreis um die Gerade als Achse, so beschreibt die Kreislinie eine ringförmige Oberfläche, die für eine volle Rotation = 27ra-27rr — 4/r²ar ist, weil die Länge der Generatrice = 2 7rr und der Weg des Schwerpunktes derselben — 2 n a.

Beispiel 3. Der Abstand des Schwerpunktes einer Halbkreislinie von ihrem Mittelpunkte sei == z, der Halbmesser derselben = r. Dreht man diese Linie um ihren Durchmesser, so beschreibt sie eine Rotationsfläche =27rz-7rr = 4 7r²rz. Allein diese Rotationsfläche ist eine Kugelfläche, deren Inhalt auch = 47rr²; folglich erhält man durch Gleichsetzung

157. Guldin s Regel zur Bestimmung des Inhaltes von Rotalionskörpern.

d x.

Ist y = f (x) die Gleichung einer Kurve und F die Fläche, die zwischen der Kurve, der Abscissenachse und zwei Ordinaten liegt, so ist das Element der Fläche d F = y d x. Der Schwerpunkt dieses Elementes hat einen Abstand =^-y von der Abscissenachse; folglich ist das statische Moment dieses Elementes in Bezug auf die Abscissenachse als Drehachse = 4₂ y² d x und die Summe der Momente aller Flächenteile, die F enthält, =

Wenn der Schwerpunkt der Fläche F um z von der Abscissenachse absteht, so ist Fz das Moment dieser Fläche; folglich muss sein

Fz.

¥ JV d x =

Durch Multiplikation mit 2 tc ergibt sich

J y² d x =

2 n z • F.

Nlin ist TT

y²dx das Volumen, das die Fläche F bei einer vollen

•J

Rotation um die Abscissenachse beschreibt (§ 123). Folglich ist das Volumen eines Rotationskörpers gleich dem Wege 27rz, den der Schwerpunkt der Fläche bei ihrer Rotation zurücklegt, multipliziert mit dem Inhalte F dieser Fläche.

lt

Auteiiheiraer, Elementarbueh.

Beispiel 1. Ein recht winkeliges Dreieck, dessen Katheten a und b seien, drehe sich um seine Hypotenuse. Welches Volumen beschreibt die Dreiecksfläche bei einer Drehung?

Ist der Winkel, der der Kathete a gegenüberliegt = «, so ist das Lot von der Spitze des rechten Winkels auf die Hypotenuse -=bsina; folglich der Abstand des Schwerpunktes der Dreiecksfläche von der Hypotenuse =^bsina, und der Weg, den dieser Schwerpunkt bei einer vollen Rotation beschreibt = |7rbsina. Da die Dreiecksfläche = ^ab, so ist das gesuchte Volumen

V = ! Tr b sin a • i a b.

Y a² -f- b²

Allein es ist die Hypotenuse = ]/a² -f- b², folglich sin u =

Hiernach wird das gesuchte Volumen

a² b²

3 y a² 4- b²

V = ^-

Beispiel 2. Man soll den Abstand z des Schwerpunktes einer Halbkreisfläche von ihrem Durchmesser bestimmen.

Wenn sich die Halbkreisfläche um ihren Durchmesser 2 r dreht, so entsteht ein Volumen = | zr r h Die Fiäche des Halbkreises ist = I, n r², folglich muss sein

n r³

= — 7t r² • 2 n z, 2

—— r.

3 n

Beispiel 3. Ein Kreisabschnitt CBD (Fig. 49) drehe sich um den Durchmesser A y als Achse, der zur Sehne B C parallel liegt. Man soll das vom Kreisabschnitte bei einer vollen Umdrehung beschriebene Volumen V bestimmen.

Fig. 49.

Man lege die Achse A x senkrecht zu B C. Es seien r der Halbmesser, x, y die rechtwinkeligen Koordinaten des Kreispunktes C; dann ist die Sehne B C — 2 y, und somit das zu B C parallele Flächenelement — 2 y d x. Bei einer vollen Drehung um die Achse A y beschreibt sein Schwerpunkt den Weg 2 ji x ; also ist das von ihm beschriebene Volmnen-element = 2 tt x • 2 y d x. Allein es ist x² = r²— y², folglich xdx— — ydy. Hierfür wird das Volumenelement =—4 rr y² d y ; folglich

-J,

4

4 7Ty² dy = —ny³.

Der Inhalt dieses ringförmigen Körpers ist also von r unabhängig und gleich einer Kugel vom Halbmesser y.

IX. Aufgaben über die Bewegung.

158. Gleichförmige Bewegung. Eine Bewegung heisst gleichförmig, wenn das Bewegliche in gleichen Zeitelementen gleiche Wege zurücklegt. Eine gleichförmige Bewegung kann nur eintreten, wenn während der Dauer der Bewegung auf das Bewegliche keine Kraft einwirkt oder die auf dasselbe einwirkenden Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung ist der Weg, der in der Zeiteinheit (Sekunde, Minute etc.) zurückgelegt wird.

Bezeichnet v diese Geschwindigkeit und x den in t Zeiteinheiten zurückgelegten Weg, so ist

x = v t.

159. Gleichförmig veränderte Bewegung. Wenn das Bewegliche in gleichen Zeitelementen ungleiche Wege durchläuft, so heisst die Bewegung ungleichförmig. Eine solche Bewegung kann nur eintreten, wenn auf das Bewegliche eine Kraft beschleunigend oder verzögernd ein wirkt. Dadurch ändert sich die Geschwindigkeit. Unter Geschwindigkeit in einem bestimmten Augenblicke versteht man alsdann den Weg, den das Bewegliche in der nächsten Zeiteinheit gleichförmig zurücklegen würde, wenn dasselbe, ohne Einwirkung einer Kraft, sich selbst überlassen wäre.

Nimmt die Geschwindigkeit in gleichen Zeitteilen um gleichviel zu oder ab, so ist die Bewegung gleichförmig beschleunigt oder gleichförmig verzögert. Diese Bewegung ist die Folge einer konstant wirkenden Kraft. Die bei einer solchen Bewegung in der Sekunde eintretende Geschwindigkeitsänderung heisst Beschleunigung. Die Beschleunigung ist positiv bei der beschleunigten, negativ bei der verzögerten Bewegung.

Beginnt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung von der Kühe aus und ist ihre Beschleunigung = g, so nimmt die Geschwindigkeit in t Sekunden um gt zu. Dieser Wert ist nichts anderes als die Geschwindigkeit v nach der Zeit t. Folglich wird sein

v = gt.

IGO. Ungleichförmig veränderte Bewegung. Sind die Zunahmen oder Abnahmen an Geschwindigkeit in gleichen Zeitelementen ungleich, so ist die Bewegung ungleichförmig verändert. Eine solche Bewegung ist die Folge einer variabeln Kraft. In einem bestimmten Augenblicke haben diese Kraft und die Geschwindigkeit gewisse Werte. Denkt man sich, es bleibe von diesem Augenblicke an die Kraft konstant, so tritt eine gleichförmig veränderte Bewegung ein, und es wird alsdann die in der nächsten Sekunde erfolgte Zu- oder Abnahme an Geschwindigkeit die Beschleunigung der Bewegung in diesem Augenblicke genannt.

161. Differentialformeln der Bewegung. Bei einer beliebig veränderlichen Bewegung sei v die Geschwindigkeit und g die Beschleunigung nach Verfluss von t Sekunden, sowie x der in dieser Zeit zurückgelegte Weg.

Die Grössen v und x sind Funktionen von t. Es nehme t um At zu; dadurch werde x utn A x grösser. Ist die Bewegung beschleunigt, so wird dabei v um A v wachsen. Während der Zeit A t wird, also der Weg A x zurückgelegt, und es geht v stetig in v 4- A v über. Am Anfänge der Zeit A t haben wir also die Geschwindigkeit v, am Ende derselben die grössere Geschwindigkeit v -f- A v. Würde die kleinere Geschwindigkeit durch die ganze Zeit A t hindurch vorhanden sein, so wäre nach § 158 der zurückgelegte Weg = v At; würde aber die grössere Geschwindigkeit v -j- A v während der Zeit A t vorhanden sein, so wäre der zurückgelegte Weg = (v + A v) A t. Der erstere dieser Werte ist kleiner als der wirklich durchlaufene Weg A x, der letztere grösser. Es wird deshalb sein

A x < (v + A v) A t

A x > v A t,

oder auch

> v,

< v -f A v.

Lässt man hierin A t ohne Aufhören abnehmen, so nehmen auch A x und A v ab. Dabei konvergiert v -)- A v gegen das Glied v als einer Grenze. Diese Grenze wird erreicht, wenn At zum Differential dt, also auch Ax zu dx wird. Für diesen Grenzzustand ist also

(1)

d X;

d tj

= V.

Zu dem gleichen Resultate gelangt man, wenn die Bewegung eine verzögerte ist. Die Geschwindigkeit wird also erhalten, wenn man das Differential des Weges durch das Differential der Zeit dividiert.

Die Beschleunigung g ist ebenfalls eine Funktion von t. Nimmt t um A t zu, so geht bei beschleunigter Bewegung g in g + A g und v in v 4- A v über. Am Anfänge der Zeit A t hat also die Bewegung die Beschleunigung g, am Ende dieser Zeit die Beschleunigung g + A g. Würde während der ganzen Zeit A t nur die kleinere Beschleunigung g oder nur die grössere g + A g vorhanden sein, so wäre die Geschwindigkeitszunahme g A t im ersten Falle kleiner, die Geschwindigkeitszunahme (g + A g) A t im zweiten Falle grösser als die wirkliche A v. Folglich wird sein

A v > g A t, A v < (g + A g) A t,

also auch

A v A t

G élit hierin At in d t über, so geht g + A g in g als einer Grenze über, und es folgt aus den beiden Ungleichungen die Formel

dv _

>g.

< g + A g.

(2)

Für eine verzögerte Bewegung erhält man das gleiche Resultat. Die Beschleunigung einer Bewegung wird also erhalten, wenn

v = V sin a.

Es ändert sich mithin die Geschwindigkeit der Projektion proportional detn Sinus des Dreh winkeis a.

Für die Punkte A und B wird « =0 und n ; daher v — 0; dagegen für a = \n und ^7r wird v — V und = — V.

163. Gleichförmig beschleunigte Bewegung. Bei dieser Bewegung ist die Beschleunigung g konstant und positiv. Die Integration der Differentialformel d v = g d t gibt

v = g t -j- C.

Um die Konstante C zu bestimmen, nehme man an, das Bewegliche habe zur Zeit t = 0 eine Geschwindigkeit V. Setzt man diese zwei gleichzeitigen Werte in die vorstehende Gleichung ein, so folgt V — C. Hierdurch wird

(1)

man das Differential der Geschwindigkeit durch das Differential der Zeit dividiert. Eliminiert man dt ans den beiden Gleichungen (1) und (2) so folgt

vdv' = 'gdx.

Mit Hilfe dieser drei Differentialformeln der Bewegung sollen die folgenden Aufgaben gelöst werden.

162. Gleichförmige Kreisbewegung. Der Punkt C (Fig. 50) bewege sich gleichförmig mit einer Geschwindigkeit V in einem Kreise* Welche Geschwindigkeit v hat die Projektion c dieses Punktes auf dem Durchmesser AB dieses Kreises?

Es sei a der Halbmesser des Kreises und w die konstante Winkelgeschwindigkeit, d. h. der Weg, den ein Punkt im Abstande = 1 von der Achse in der Sekunde durchläuft.

Zeit t habe der Punkt C einen Bogen A C = a a durchlaufen und dessen Projektion c einen Weg x = Ac auf dem Durchmesser, von A ans gezählt; dann ist

(3)

Fig. 50.

Nach der

ifiK

(1)

x = a (1 — cos «).

Folglich, indem Zeit dividiert,

cd

pL

'S

rH

P

03

Öj

»

CD

3".

p^

<X>

(2)

1-

pd &

dx

Allein es ist chung (2) den gesuchten Wert

= v,

= w und aw= V. Hierfür gibt Glei-

v = V + g t.

Führt man diesen Wert von v in die Differentialformel dx - v d t ein, so ist

d x = (V + g t) d t.

In dieser Gleichung sind nur t und x veränderlich. Die Integration gibt

*=vt+^i+c.

Hat zur Zeit t = 0 das Bewegliche noch keinen Weg zurückgelegt, so ist x = 0, wenn t — 0. Setzt man diese Werte in die letzte Gleichung. so findet man C = 0. Daher ist

g t²

x = vt + v-

Eliminiert man t aus (1) und (2), so folgt

11

(3)

v² = V² -j- 2 g x.

Ist die Anfangsgeschwindigkeit V = 0, so geben die vorstehenden Gleichungen

v = Y 2 g x.

Diese drei Gleichungen gelten für den freien Fall der Körper im leeren Raume, wenn auf die Veränderlichkeit der Schwere keine

(4)

v = g-t,

Rücksicht genommen wird.

Beim freien Falle beträgt die Beschleunigung für mittlere Breiten

g = 9,81 m.

I(H. Gleichförmig verzögerte Bewegung. Die Beschleunigung g ist konstant und negativ. Die Differentialformel d v = g d t ist daher zu schreiben

d v = — g d t.

Durch Integration erhält man hieraus

v = — gt -f 0.

Für t — 0 sei die Geschwindigkeit v = V. Vermöge dieser gleichzeitigen Werte geht die letzte Gleichung über in V = C. Setzt man diesen Wert der Konstanten ein, so folgt

(1)

v — V — g t.

Diesen Wert von v setze man in die Formel dx = vdt ein, und erhält

d x = (V — g t) d t,

woraus durch Integration folgt

x = V t —£ g t² -f C.

Da für t = 0 auch x — 0 ist, so erhält man hierfür C = 0. Folglich ist der zurückgelegte Weg

(2)

x = V t — ^ g t².

Durch Elimination von t aus (1) und (2) ergibt sich

(3)

v² = V² — 2 g x.

Da die Bewegung eine verzögerte ist, so tritt ein Moment ein, wo das Bewegliche zur Ruhe kommt. In diesem Augenblicke wird

Für den Anfang der Bewegung ist v = 0 und x = 0. Für diese Werte wird die letzte Gleichung

gR²

Zieht man diese Gleichung von (2) ab, so erhält man die Geschwindigkeit

(3)

v = 0. Die der Grosse v = 0 entsprechenden Werte von t und x bezeichne man mit T und X und führe sie in (1) und (3) ein; dann erhält man

0 = Y — g T,

0 = V² — 2 g X,

woraus folgt

(4)

Y²

2 g'

Diese Formeln finden Anwendung, wenn ein Körper im leeren Raume vertikal aufwärts geworfen wird. Dabei bezeichnet T die Zeit bis zur Erreichung des höchsten Punktes und X die totale Steighöhe.

105. Freier Fall der Körper im leeren Raume, mil Berücksichtigung

Es seien R der Halbmesser der

• der Veränderlichkeit der Schwere.

a der Abstand des Anfangspunktes der Bewegung vom Erd-

Erde

mittelpunkte, x der Fallraum des Körpers nach t Sekunden und g, g' die Beschleunigung der Bewegung in den Abständen R und a — x vom Mittelpunkte der Erde.

Da die Anziehung des Mittelpunktes der Erde auf einen Körper ausserhalb ihrer Oberfläche abnimmt wie das Quadrat der Entfernung zunimmt, so hat man

(1)

g : g' =

R² ' (a - x)² '

Setzt man den hieraus hervorgehenden Wert von g' in die Eiffe-rectialformel vdv = gdx an die Stelle von g, so folgt

R²

(a —x)

-dx.

Setzt man, um diese Formel integrieren zu können, a — x — z, so wird dx = — dz und daher

vdv = — gR² z— - d z

und durch Integration

to . Io

= gE2Z-‘+C,

to Io

gß²

+ c.

2 g x

a (a — x) '

Um die Fallzeit zu bestimmen, setzt man diesen W ert von v in die Differentialformel d x = v d t, und erhält

dt =

Setzt man belmfs der Integration x — y², so wird d x = 2 y d y und

4)

dt —

CM PC

Vii

Ka-yJdy.

Allein nach Formel (10), § 90, hat man

Ł-+C.

I Ka — yydy = yKa — y² + -|-arcsin

Folglich ist das Integral der Gleichung (4), wenn x statt y² geschrieben wird,

\/ ITg    X ^ a — x + a arc sin j/

'x~

+ C.

Fiir den Anfang der Bewegung [ist t = 0 und x = 0; folglich auch C = 0. Mithin wird die Fallzeit

io

erb

- Ph

r-

In diesen Formeln kann sich x ausdehnen von x = 0 bis x — a — R. Wenn x = a — R, so fällt der Körper auf die Erdoberfläche. Für x > a — R, also fiir den Fall, wo sich der Körper im Innern der Erde bewegen sollte, gilt das Gesetz (1) der Anziehung nicht mehr.

Wenn der Fallraum sehr klein ist, und die Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche vor sich geht, so kann man in den Formeln (1), (3) und (5) die Grösse a — x mit a vertauschen, ebenso a mit R, wodurch man erhält, wenn man in (5) den Sinus des sehr

j/ — mit dem Bogen verwechselt,

kleinen Bogens

g' = g,

v = K*2gx, t =

W'

PP

Ph

und nach einer einfachen Reduktion der letzten Formel

*-y

Diese letzten Formeln enthalten die gewöhnlichen Fallgesetze, wie sie in § 163 gefunden wurden.

Kiti. Freier Fall der Körper im Innern der Erde. Befindet sich ein Körper innerhalb der Erdoberfläche, so wird er vom Mittelpunkte der Erde aus durch eine Kraft angezogen, die der Entfernung des Körpers vom Mittelpunkte der Erde proportional ist.

Es sei der Erdhalbmeser AM = R (Fig. 51), AC = x die Tiefe, in der sich der bewegte Körper nach der Zeit t befindet, und die Geschwindigkeit in C = v. Ferner seien die Beschleunigungen in A und C gleich g und g'; dann ist

(1)

[g' : g = (R — x) : R.

Setzt man den Wert von g' aus dieser Proportion in die Gleichung v d v = g d x an die Stelle von g, so erhält man

\i

vdv = — (R — x) d x

und durch Integration

» Io

£j|crq

X²

■) + c.

Ist die Anfangsgeschwindigkeit in A = 0, so hat man als zusammengehörende Werte dieser Gleichung x = 0, v = 0. Dies gibt auch C = 0. Mithin erhält man aus der letzten Gleichung als Wert der Geschwindigkeit

(2)

v = l/|- V2 Rx - X².

Fig. 51.

Ist O D senkrecht auf A M, so ist ]/~2 R x — x² = CD; mithin ist die Geschwindigkeit des Körpers, der sich auf dem Durchmesser A M B bewegt, der Ordinate C D proportional ; sie ist in A und B ■= 0 und in M ein Maximum. Ist der Körper in B angekommen, so wird er wieder von M aus angezogen wie früher in A ; er wird also den Durchmesser rückwärts gerade so durchlaufen wie vorwärts. Der Körper macht mithin eine schwingende Bewegung, ähnlich der eines Pendels.

Um die Schwingungszeit T, d. h. die Zeit, in der der Körper von A nach B gelangt, zu bestimmen, setze man obigen Wert von v in die Differentialformel d x — v d t, und es folgt

(3)

dt

-y-*

g V2Rx—x²

Das Differential rechts kann integriert werden unter Benutzung der Gleichung (7), § 86. Man erhält

x

— arc sin -

(4)

-K

-R

f c.

Für t — 0 wird auch x = 0 ; wofür die letzte Gleichung wird

CTQ

¹

p¹

²

Teile des Bogens s in Bezug auf die Ordinatenachse. Diese Summe ist daher

³

y d x = 2 Yr³ — x³ d x,

⁴

n r J x d x = /r r x⁴ -j- C.

+ c.

Zieht man diese Gleichung von (2) ab, so kommt

-vr

(5)

Nun ist aber arc sin (— 1) — —

te <N

oder —-

3 TC

Allein der erstere

2 '

Wert ist hier zu nehmen, weil die Aenderung der Sinusgrösse —

R

für x — 0 bis x = R dem vierten Quadranten als Bogen entspricht. Folglich ist

7t

----arc sm

2    R J

Es ist aber Quadrant AE — BogenDE = Bogen AD; mithin

(6)

-V‘

— arc cos —

Dieser Wert von t ist die Zeit zum Durchlaufen eines beliebigen Weges x. Die Zeit zum Durchlaufen des Halbmessers AM wird er-

R setzt. Dies gibt = -^-1/

. Fürx=2R

halten, wenn man x =

erhält man die Zeit zum Durchlaufen des ganzen Durchmessers A B, d. h. die ganze Schwingungszeit

l()7. Freier Fall der Körper unter der Voraussetzung, dass der Luftwiderstand der Geschwindigkeit proportional sei. Es bezeichne g die konstante Beschleunigung der Schwere, v die Geschwindigkeit des Körpers nach t Sekunden, x die dieser Zeit entsprechende Fallhöhe und k diejenige konstante Grösse, um die die Beschleunigung der Schwere bei der Geschwindigkeit v = 1 vom Luftwiderstände vermindert wird.

Nach dieser Bezeichnungsweise ist g — k v die wirkliche Beschleunigung des Körpers nach t Sekunden. Setzt man dieselbe in die Differentialformel d v = g d t an die Stelle von g, so erhält man

dv = (g — k v) dt,

dv

g — kv ’

Die Integration dieser Gleichung gibt

¥*(g-kv) + C.

Für den Anfang der Bewegung sei v = 0; da auch t = 0, so erhält man durch Substitution dieser Werte

kł*+a

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

g — kv '

Hierin ist die Zeit durch die Geschwindigkeit ausgedrückt. Multipliziert man mit k und geht von den Logarithmen zu den Zahlen über, so erhält man für die Geschwindigkeit

(1)

also einem konstan-

Wenn die Zeit t bis ins Unendliche wächst, so nähert sich in Gleichung (1) die Geschwindigkeit der Grenze ten Werte.

Setzt man den Wert von v aus (1) in die Differentialformel d x = v d t, so kommt

(2)

(1 - e-kt)dt.

Nun ist aber e—ktdt=---— e-ktd(—kt) und das Integral hiervon

nach § 84

/•

~ktdt =

— kt

+ C.

k ⁶

Somit erhält man durch Integration von Gleichung (2)

(3)

I = f(* + Te-‘*) + a

P* Da für t = 0 auch x = 0 ist, so erhält man hierfür aus (3)

-p- + °-

Führt man den Wert von C aus dieser Gleichung in (3) ein, so erhält man den durchlaufenen Weg

(4)

t+;-

- (e~ k 1 — 1).

Wächst hierin t bis ins Unendliche, so wird auch der Weg x unendlich gross.

108. Vertikaler Wurf eines Körpers unter der Voraussetzung, dass der Luftwiderstand der Geschwindigkeit proportional sei. Wird der Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit Y vertikal aufwärts geworfen, so ist, wenn die Bezeichnungen der vorigen Aufgabe gelten, die Beschleunigung nach t Sekunden = — g — k v. Beide Teile der Beschleunigung sind negativ, weil sowohl Schwere als Luftwiderstand der Bewegung entgegen wirken. Somit hat man

d v = (— g — k v) dt,

dv

g + kv ’

4-1 (S + k v) + C.

Wenn t = 0, ist v — chung über in

V ; folglich geht für diese Werte die Glei-

l (g + k Y) + C.

Eliminiert man C ans den beiden letzten Gleichungen, so kommt

1jg+kV

k g + kv '

Hieraus erhält man als Wert der Geschwindigkeit nach der Zeit t

(1)

PT i CT3

+ -h(g + kV)e-t*.

Setzt man diesen Wert von v in die Differentialformel dx = vdt, so ist

Cu

SŁ

PT¹ H-

rÜS

a>

O-

e*t-

Integriert man wie in der vorigen Aufgabe, so findet man

Für t = 0 ist x = 0 ; mithin

^-<g + kV)e-‘* + C.

A(g+k.y) + c.

Durch Subtraktion dieser beiden letzten Gleichungen erhält man den Weg

(2)

x -=

Bei Zunahme von t nimmt v ab. Setzt man v = 0 in Formel (1), so bezeichnet der entsprechende Wert von t diejenige Zeit, die zum Erreichen des höchsten Punktes nötig ist. Führt man diese Zeit in (2) ein, so gibt der entsprechende Wert von x diejenige Höhe an, bis zu der der Körper sich erhebt, bevor er umkehrt und fällt.

169. Freier Fall in einem Medium, dessen Widerstand dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist. Wenn k, wie in den beiden vorigen Aufgaben, die Aenderung der Beschleunigung bezeichnet, die dem Widerstande des Mediums bei der Geschwindigkeit = 1 entspricht, so ist k v2 diese Aenderung bei der Geschwindigkeit v. Da diese Aenderung die Beschleunigung der Schwere g, die wir als konstant voraussetzen, vermindert, so ist die wirkliche Beschleunigung der Bewegung

(1)

a- — v²

a i-fr

Setzt man der Einfachheit wegen rung der Veränderlichen

= a², so erhält man durch Sonde-

v

Betrachtet man nun rechts die Grosse — statt v als die Variable, so

a

erhält man durch Integration von (1) unter Anwendung von Formel (2) des § 88

1+ —

c.

Da für t = 0 auch v = 0 sein soll, so wird auch die Konstante C = 0 ; deshalb erhält man als Wert der Zeit

1 j a + v 2 a k a — v’

Multipliziert man mit 2 a k und geht von den Logarithmen zu den Zahlen über, so folgt

a — v

a-f V e‘2akt •

Nimmt hierin die Zeit t zu, so wächst die Exponential grosse im Nenner rechts sehr rasch. Für t = oo wird diese rechte Seite =0; folglich muss auch der Zähler a — v = 0 sein, woraus folgt

(2)

__ g2 a k t

oder

-i/f

Dauert also die Bewegung unendlich lange, so wird die Geschwindigkeit gleich der Konstanten a, somit die Bewegung gleichförmig. Fällt also ein Körper im Wasser nach obigem Gesetze, so nähert sich seine Bewegung mehr und mehr einer gleichförmigen, je länger sie dauert.

Setzt man die Beschleunigung g — k v² in die Differentialformel v d v = g d x an die Stelle von g, so kommt

v d v = (g — k v²) dx, v d v

g — k v²’

Multipliziert man Zähler und Nenner rechts mit —2k, so kann man schreiben

dx= —

g — k v²

Nunmehr ist der Zähler des zweiten Bruches das Differential des Nenners, also das Integral dieser Gleichung nach § 84

2 k ^(g-ky2) + C-

Für den Anfang der Bewegung ist v = 0 und x = 0 ; dies gibt

T~ l g + C.

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

(3)

2 k g — k v-'

Eliminiert man aus den Gleichungen (2) und (3) die Geschwindigkeit v, so erhält man den Zusammenhang zwischen dem Wege x und der entsprechenden Zeit t.

Man gelangt aber auch zu diesem Zusammenhänge auf folgende Weise. Aus Gleichung (2) folgt

--T-

g‘2 a k t _ y

akt

Setzt man diesen Wert von v in die Formel dx = vdt, so kommt

dx =

g2 a k t _

^ gjj a k t

Multipliziert man behufs der Integration Zähler und Nenner rechts mit k e~

a kt

so kann man schreiben

(— a k d t)

1 eakt-akdt-j-e

e!lkt + e

Da der Zähler rechts das Differential des Nenners ist, abgesehen von der Konstanten -i-, so gibt die Integration

‘) + C.

^l(eakt+ e

Für den Anfang der Bewegung ist t = 0 und x = 0. Dies gibt

— I 2 + C. k

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so erhält man die Fallhöhe

(4)

a kt

_|_ 0

— ak t

170. Vertikaler Wurf der Körper in einem Medium, dessen Widerstand dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist. Gelten die Bezeichnungen der vorigen Aufgabe, so ist die Beschleunigung der Schwere, sowie diejenige des Widerstandes negativ zu nehmen. Die wirkliche

Für den Anfang der Bewegung ist t = 0 und v = der Anfangs-Mit Hilfe dieser Werte wird die vorstehende

geschwindigkeit Y. Gleichung

arc tang Y j/    -f C.

Setzt man diesen

Beschleunigung wird somit — — g — k v² sein.

Wert für g in die Differentialformel dv = gdt, so erhält man

dt— —

g + k v²

oder, indem man im Nenner mit k dividiert und multipliziert,

7t Cf Q

-J- y²

Nun ist nach Gleichung (5), § 86

Mithin wird sein, wenn man a² =

setzt,

Kgk

arc tang v

/k

+ C.

Folglich erhält man durch Elimination der Konstanten C

(1)

arc tang Y

Cf? 7t

— arc tang v

i/]

Vg k

Um den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem durchlaufenen Wege zu finden, löse man die Gleichung (1) zuerst in Hinsicht v auf und setze zu diesem Zwecke

(2)

]/ 7 = T; arctai«v]/

arc tang v

V⁷-

T;

man erhält dann aus diesen Gleichungen (2)

(3)

V g ,k

und aus Gleichung (1)

— tang a,

— = tang (f

ci

Dieses Integral, zwischen den Grenzen y = 0 und y = y genommen multipliziert, ist die Summe der statischen Momente aller

und mit

(2)

y Kp¹ + y¹ — p¹^

y + Kp¹ + y¹

. gt a — <p = — ;

dl

folglich auch, wenn man auf beiden Seiten die Tangenten nimmt,

gt

tang (a — (f) — tang-.

à

Allein nach einer bekannten trigonometrischen Relation ist

tang (a — ff ) =

tang a — tang ff

1 + tang u • tang ff

Setzt man hierin die Werte aus (3) und (4), so kommt

gt

gt Y — v tang — = a - - ; a a² + Y v

— atang — a

a + Y tang

gt

Y cos

gt

— a sin

gt

(5)

V sin

gt

+ a cos

gt

Führt man diesen Wert von v in die Gleichung dx = vdt ein, so ist

gt

Y cos

a sin

gt

dx = a

Y sin

gt

-f- a cos

gt

d t.

Da hierin der Zähler des Bruches das Differential des Nenners ist, so gibt die Integration (§ 84)

x = a I V sin -f a cos

gt

v +°-

Für den Anfang ist t = 0 und x = 0. Hierfür wird

0 = a l a -f- C.

Mithin durch Subtraktion dieser Gleichungen die gesuchte Relation

gt~l

(6)

rY

sin

gt

--k cos —

a    a

Um den Zusammenhang zwischen den Grössen x und v zu ermitteln, könnte die Zeit t aus den Gleichungen (1) und (6) eliminiert werden.

Allein man erhält diesen Zusammenhang auch, wenn man in die Differentialformel v d v = g d x statt g die dieser Aufgabe entsprechende Beschleunigung — g — k v² setzt. Dies gibt

dx = -

2’

g+ kv

Auf der rechten Seite bewirkt man, dass der Zähler das Differential des Nenners wird, indem man schreibt

1    2 k v d v

2 k g + k v²’

Folglich erhält man durch Integration

2k ? (g + k v!) + c.

: Für x =i¹0 wird v — der Anfangsgeschwindigkeit V. Diese Werte geben

•,'n

-V

-T;(g + kV2) + c.

T K (    £

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so erhält man den gesuchten Zusammenhang

(⁷)

1 /g-ikV2 2 k g -f k v²'

'i

Setzt man in der Gleichung (1) die Geschwindigkeit v = 0, so gibt der entsprechende Wert von t, den wir mit T bezeichnen wollen, die Zeit an, die der Körper zur Erreichung des höchsten Punktes nötig hat. Mit Berücksichtigung der Relation (2) erhält man

Wird dieser Wert von T in Gleichung (6) eingeführt und der entsprechende Wert von x mit X bezeichnet, so erhält man die ganze Steighöhe

: r, -

sin « -f- cos « ) •

lii. Bewegung des Pendels im leeren Raume. Es sei A (Fig. 52) der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels und A F die vertikale Lage der Pendelstange. Diese Stange werde in die Lage A B versetzt, die mit der vertikalen Läge A F den Winkel a bildet, und sodann sich selbst überlassen. Man soll den entstehenden Bewegungszustand bestimmen.

Der schwere Punkt in B hat das Bestreben, in vertikaler Lichtung zu fallen und eine der Schwure entsprechende Beschleunigung anzunehmen. Man zerlege diese Beschleunigung g in die beiden Seitenbeschleunigungen g cos a und g sina. Die erstere fällt in die Richtung der Pendelstange und kommt nicht zur Wirkung. Die Seitenbeschleunigung g sin a steht senkrecht zur Pendelstange A B und fällt in die Vertikalebene, die durch AB geht.

Mit dieser Beschleunigung beginnt die Bewegung. ln der Lage AC, die mit A F den Winkel (f bilden soll, ist die Beschleunigung =gsin(f. Die Richtung dieser sich mit <f .ändernden Beschleunigung fällt immer in die genannte Vertikalebene. Der Weg B F des schweren Punktes ist also eine ebene Kurve und zwrar ein Kreisbogen.

Die Länge der Pendelstange sei a, der in der Zeit t durchlaufene Bogen BC = x; dann ist, wenn a und cp im Bogenmass ausgedrückt werden, x = a(a— </). Denkt man sich a und a konstant, so erhält man durch Differentiation dieser Gleichung

dx = —ad (f .

Fig. 52.

(1)

Autenheimer, Elemeutarbuch.

12

Setzt man in die Differentialformel vdv- gdx der Bewegung statt g die veränderliche Beschleunigung g sin ff, und statt d x den in (1) enthaltenen Wert, so folgt

vdv = — g a sin (p d ff. Die Integration dieser Gleichung gibt

v²

(2)

— = g a cos <p + C.

Für ff = et wird v = 0. Hierfür erhält man aus (2)

0 = g a cos a + C

(3)

und durch Subtraktion dieser Gleichung von (2) v = ]^2 g a (cos (p — cos a).

Zieht man B D und O E horizontal, so ist Abstand DE=a (cos <p — cos a). Folglich ist die Geschwindigkeit des Pendels, nachdem er den Bogen B C durchlaufen hat — Y2 g ■ D E, d. h. ebenso gross als wenn er den vertikalen Abstand der Endpunkte dieses Bogens durchlaufen hätte. Für ip = 0 ist die Geschwindigkeit v= |/ 2 g a (1 — cos «) ein Maximum. Da v ebensowohl für ff = — « wie für ff = a zu Null wird, so sind die Ausweichungen des Pendels zu beiden Seiten der Vertikalen A F gleich gross.

Um die Schwingungszeit zu bestimmen, setze man den Wert von v aus (3) in die Differentialformel d x = v d t, und vertausche noch d x mit —ad ff, Formel (1); man erhält alsdann

V iź J/ 2 (cos ff — cos «)

Erste Integration. Um den Ausdruck rechts in (4) zu integrieren, entwickle man cos cp und cos « nach § 72 in Reihen :

F ⁺

(4)

COS (p — 1 —

ff'²

ff ⁺

2-3-4

cos a = 1

a²

2-3-4

Wenn nun « ein sehr kleiner Bogen ist, so dass in diesen Reihen die Glieder mit den vierten Potenzen von a und (f und die folgenden vernachlässigt werden können, so wird sein

ff²

cos ff = 1 — 2 Setzt man den letzten Wert in (4) ein, so erhält man

cos a

2 (cos <p — cos a) = u² — tp².

-VÎ

d ff

g Va-— ff-’

Um diese Gleichung nach Formel (4), § 27, durch blosse Umkehrung integrieren zu können, schreibe man zuerst

woraus man durch Integration

</>

t = 1 / — arc cos

V s

erhält.

Für t = 0 wird (f = «. Hierfür wird arc cos 1 = 0, somit auch C = 0. Deshalb ist

(5)

= 1/ — arccos —.

V S

VI

weil der Bo-

d if

Va²- ip²

|A-©

Lässt man hierin if abnehmen von if — a bis (f = 0, so erhält man die dem Bogen B F entsprechende Zeit =

7t

gen — —, wenn der zugehörige Cosinuswert = 0 ist.

Nimmt tp ab von (p = -f- a bis (p = — u, so wird arc cos (— 1) = n. Die dieser Aenderung entsprechende Zeit ist die Schwingungszeit, die mit T bezeichnet werde. Folglich ist

(6)

Nach Verfluss der Zeit T kehrt das Pendel um und macht nach entgegengesetzter Richtung eine Schwingung von gleicher Dauer u. s. w. Diese Formel (6) gilt streng genommen nur für unendlich kleine Schwingungswinkel. Für unendlich kleine Schwingungsweiten ist 'also die Schwingungsdauer der Quadratwurzel aus der Pendellänge proportional.

Zweite Integration. Wenn man, um die Formel (4) zu integrieren, in obigen Reihen für cos tp und cos u die Glieder bis zur vierten Potenz der Bogen nimmt, so erhält man durch Subtraktion

2 (cos ip — cos a) = a² — tp² — ^ (ft4 —    ⁴),

oder da a⁴ —    ⁴ = (a² -f- ip²) (a² — if ²), so ist

2 (cos tp — cos u) = (a² — ip²) [1 — j% (a² -f- <P²)].

Hierfür wird nun Formel (4)

(7)

--VI

d tp

v*%-v*y

12

Entwickelt man die zweite Wurzelgrösse mit dem Exponenten — i nach dem binomischen Satze in eine Reihe und bricht bei der zweiten Potenz von (f ab, so erhält man

- .V

■!

1_l2 ⁽“2 + ^²⁾

Führt man diesen Wert in (7) ein, so kommt

FIW*“

(a² + ff²).

(8)

Cfq p

(f² d ff

24 ya2_y2 •

* Die Grösse d t dieser Formel werde integriert von t — 0 bis t = }y T, wenn mit T die ganze Schwingungszeit bezeichnet wird. Diesen Grenzen entsprechen die Grössen ff — a und (f = 0; also müssen die Integrale rechts von (8) zwischen den Grenzen ff — a und ff — 0 genommen werden. Vertauscht man diese Grenzen, so ändert das Integral rechts, nach Formel (3),' § 93, sein Zeichen. Deshalb wird sein

(9)

t,/ r r« i + a«²

a V

aq p

dff +

24

a ff ² d ff

o v^-ffy

Nun ist aber nach § 86, Formel (4) und nach § 90, III., Formel (6)

d </>

J o V«²-v²

Setzt man diese Werte in (9) ein, so erhält man'

(10)

²Vł[(

24

a²^) 7T -f

1«

r- a² 7T .

T = Wf(

V«² .

16

Der Wert von T in (10) ist im Verhältnis von 1 zu (1 -f- yV a²) grösser als der in (6). Für eine Ablenkung der Pendelstange von der vertikalen Richtung =5° ist der entsprechende Bogen a = 0,087 266. Hierfür wird

1 -f Ttg-«2 =    1)000 476.

Hat das Pendel einen unendlich kleinen Schwingungswinkel oder einen Winkel von 5°, so macht es im ersteren Falle 1 000 476 Schwingungen in derselben Zeit, in der es im zweiten Falle 1 000 000 Schwingungen macht.

Dritte Integration. Setzt man

1 — cos ff — z,

so erhält man durch Differentiation

sin (f d ff — d z,

d ff =

dz

sin ff

V2z

z² '

Setzt man ferner 1 — cos« — b und zieht hiervon 1 — cos ff — z ab, so folgt    .    •- .

cos a = b — z.

Vermittelst dieser Werte wird das Differential der Zeit in Formel (4)

cos ff

Vf

g Y% z — z² y^2 (b — z) oder indem man Y2 z aus dem einen Divisor in den andern versetzt,

Vf

Yb z — z²

Allein nach dem binomischen Satze ist

0-i)

IO h—*

1-3 z²

z³

1 - 3-5

4" • •

*'2~~^

Setzt man diesen Wert in die vorstehende Formel und integriert so kommt

2-4

'X ⁺

2-4-6    8

(11) t= -

FJ

CT? j

tO! H-

1-3 z² \

' 2 ¹ 2-4    4 ⁺*’ )*

Y b z — z²

Es bezeichne wie oben T die ganze Schwingungszeit. Um durch

T

die Integration von (11) die Grösse — zu erhalten, muss das Pendel

Ci

den Bogen a durchlaufen, d. h. es muss ff von ff = a bis ff — 0 abnehmen. Diesen Grenzen entsprechen, zufolge der Gleichung 1 — cos ff — z, die Grenzen z = b und z = 0. Somit ist b die untere und 0 die obere Grenze für das Integral rechts in (11). Vertauscht man diese Grenzen, so ändert nach Formel (3), § 93, das Integral sein Vorzeichen. Multipliziert man zudem noch mit 2, so kommt

(12) T

-Vfi

r*b

dz

o Y b z — z2 Nun ist nach Formel (7), § 86

1 + 4---+ ^2 2 ¹

1-3 z²

dz

JA) z — z²

= arc sin

folglich

(13)

= 7T.

i, Y b z — z²

Es geht nämlich der Bogen von —\ n durch die Null in -j-'t tc über für z = 0 bis z = b.

Ferner ist nach Formel (4), § 88 f zn dz

J J4b z — z²

Zll—¹

Yb z - z² -4

2n -

-z²

Da in diesem Integral das erste Glied rechts wegfällt für z — 0 und für z = b, so wird sein

z" d z

J 0 Vbz — z²

Bezeichnet man die linke Seite mit A,„ so ist hiernach

2 n — 1

■u

211 b

l> z"—ldz o Yh z — z'²

An =

b A„—1.

Folglich erhält man, da nach (13) Ao = n\

für 11 = 1,

Ai = — b A₀ =

toi

für n = 2,

A₂ = -7- b Ai =

1 -3

2-4

b² TT,

für n = 3

A3 =

|bA₂ =

2-4-6

b³ 77T, U. S. W.

Setzt man diese Werte in ( 12) ein, so erhält man die gesuchte Gleichung für die Schwingungszeit

<1 • 3 \2 V.2^4 )

T“’rV/t[¹⁺(4)4⁺

Bezeichnet man noch- FD (Fig. 52) mit h, so wird b = — ; daher

a

gellt die letzte Gleichung über in die häutig vorkommende Form

172. Bewegung eines Projektils in einer Geschützrohre. Diese Bewegung soll betrachtet werden unter der Voraussetzung, dass sich die ganze Pulverladung gleichzeitig entzünde; dass erst nach dieser gänzlichen Entzündung die Bewegung des Projektils beginne; dass das Pulvergas sich nach dem Mariotte’sehen Gesetze ausdehne, dass während der Bewegung des Geschosses in der Röhre kein Gas entweiche und dass das Geschoss. keinen Widerstand an der Wand der Röhre finde. Diese Voraussetzungen sind nur annähernd richtig, deshalb werden aucli die folgenden Resultate nur als Annäherungen* zu betrachten sein. Es bezeichne :

L die Länge der Geschützrohre im Innern, a die Ausdehnung der Ladung, in der Richtung der Röhre,

V die Geschwindigkeit, mit der das Geschoss die Mündung der Röhre verlässt,

v die Geschwindigkeit, die das Geschoss in der Röhre im Abstande x von der Ladung besitzt,

g, g' die Beschleunigungen im ersten Augenblicke der Bewegung und im Abstande x von der Ladung. Nach dem Mariotte’sclien Gesetze ist alsdann

g':g = a:(a-fx);

g‘ = g

a -f- x’

Setzt man diesen Wert von g' in die Differentialformel vdv = gdx an die Stelle von g, so erhält man

vdv = ag

und durch Integration

(1)

v²

— — a g⁻1 (a -f- x) ~r C.

Wenn x = 0, so ist auch v = 0. Hierfür erhält man aus (1)

0 = a g I a + C.

Zieht man diese Gleichung von (1) ab, so folgt

v²    , a-p x

— = a g I-.

2 -    a

Dehnt man hierin x bis L — a aus, also so weit, als das Gas auf das Geschoss wirken kann, so geht v in Y über, und man erhält aus der letzten Formel

(2)

V²

= 2ag'0r}

Ist Y bekannt, so kann hieraus g, also auch die Intensität des Pulvergases berechnet werden.

Es sei

Y = 400 m

a = 0,1 m,

L = 1,5 m ;

dann findet man durch Substitution dieser Werte in Formel (2)

g = 295 415 ?«,

d. h. würde das Pulvergas eine Sekunde lang mit derjenigen Intensität, die es im ersten Augenblicke seiner Entstehung besitzt, konstant auf das Geschoss einwirken, so würde dasselbe in dieser Zeit eine Geschwindigkeit = 295 415 rn annehmen. Unter dieser Yoraus-setzung würde eine gleichförmig beschleunigte Bewegung entstehen, die eine Yergleichung mit dem freien Falle der Körper zulässt.

Wenn das Gewicht des Geschosses = 6 kg, der grösste Druck des Gases auf das Geschoss = x und die Beschleunigung beim freien Falle = 9,81 ist, so entsteht die Proportion

9,81 : 295 415 = 6 : x; woraus x = 180 682 kg.

Beträgt der Querschnitt des Geschosses 80 gern, so ist obiger Druck auf 1 qcm = 2 259 kg. Dieser Druck entspricht circa 2 187 Atmosphären.

173. .Geschwindigkeit, mit der Gas aus einem Gelasse in ein anderes iiberströml. Damit das Gas aus einem Gefässe A (Fig. 53) in ein Gefass B überstrüinen kann, muss seine Spannung in A grösser sein als in B. Beim Uebergange aus A in B wird die Spannkraft des Gases in A stetig abnehmen. Es seien :

P, P' die Spannungen des Gases in A und B, für jede Flächeneinheit,, p die Pressung des Gases für jede Flächeneinheit an einer solchen Stelle des Abflusskanales, wo seine Geschwindigkeit = v ist,

F der Querschnitt des Kanales an dieser Stelle.

V die Geschwindigkeit, mit der das Gas in das Gefäss B eintritt und G das Gewicht der Kubikeinheit Gas vom Drucke s einer Atmosphäre und der Temperatur 0 ;

PhI ce

es wird dieses Gewicht für den Druck p gleich G - - ; steigt aber die

Fig. 53.

P-

Temperatur von 0 auf t, so wird das Volumen == 1 +«t, wo « die Zunahme des Volumens, für je 1 Grad bezeichnet. Daher wird das Gewicht der Kubikeinheit für t Grade und der Pressung p gleich

(1)

Gp

s (1.4- a t) '

Der

Legt man an der Stelle, wo das Gas eine Geschwindigkeit v hat, einen Schnitt durch den Kanal, normal zur Richtung der Bewegung, so wird dieser Querschnitt im Zeitelemente d t um das Wegelement dx vorgeschoben und die Geschwindigkeit v geht über in v -\- d v. Querschnitt F kann längs des Weges d x als konstant angesehen werden. Das Volumen, das er beschreibt, ist =Fdx; somit das Gewicht des Volumenelementes Gas nach (1)

• Fdx.

(2)

Gp

s (1 -j- u t)

Während v in v-f dv übergeht, wird p zu p — dp. Der Druck auf das Volumenelement von der Seite A ist = F p, von der Seite B = F(p — dp); somit der Unterschied dieser Kräfte = Fdp. Diese Kraft treibt das Gewicht (2) vorwärts, und da diese Kraft während des Weges dx als konstant angesehen werden kann, so wird die Bewegung gleichförmig beschleunigt.

Bezeichnet man die entsprechende Beschleunigung mit g', diejenige der Schwere mit g, so hat man

•Fdx,

gDg = Fdp:-————-

s(l t«t)

weil zwei konstante Kräfte, die auf eine und dieselbe Masse (2) wirken, Beschleunigungen hervorbringen, die den Kräften proportional sind.

Setzt man den hieraus folgenden Wert von g' in die Differential-formel vdv = gdx an die Stelle von g und berücksichtigt, dass dv und dp entgegengesetzte Zeichen haben, so erhält man

s (1 -f- a t) dp

Die Intégration dieser Gleichung gibt, wenn man t während des Vorganges als konstant voraussetzt,

(3)

v²

s (1 -f- a t)

2g

l p + C.

Für den Anfang der Bewegung ist v - 0 und p = P; setzt man diese Werte in (3) ein, so kommt

/p + c.

s (1 -f- « t)

Zieht man diese Gleichung von (3) ab, so folgt

3(1 + «t) , P

. G

Geht hierin p in P' über, so wird v zu V ; folglich ist die gesuchte Geschwindigkeit

V²

2g

1»

(4)

= j/2gG

o +«t )i-JL

Bei numerischen Rechnungen ist zu setzen g = 9,81 m ; s = 10 333 kg für 1 qm\ « = 0,003 67 ;

ferner für atmosphärische Luft G = 1,293 kg. Um den natürlichen Logarithmus zu erhalten, wende man den gemeinen an und multipliziere ihn mit 2,302 58.

X. Aufgaben über mechanische Arbeit.

174.    Begriff von mechanischer Arbeit. Wenn der Angriffspunkt einer Kraft in der Richtung der Kraft fortschreitet, so ist die Wirkung, die die Kraft hervorbringt, sowohl proportional der Intensität der Kraft, als auch dem von ihr zurückgelegten Wege, also proportional dem Produkte aus der Intensität und dem Wege. Dieses Produkt wird die Arbeit der Kraft genannt.

Wenn ein Gewicht von 5 kg auf eine Höhe von 4 m gehoben wird, so ist die erforderliche Arbeit 5 x 4 = 20 Kilogramm-Meter,

-d:

(Ui.

Wird ein Widerstand von 10 Pfunden längs eines Weges von 5 Fuss, überwunden, so ist die auf diesen Widerstand verwendete Arbeit 10 x51=50 Fuss-Pfunde.

175.    Einschlagen eines Nagels in eine homogene Masse. Der Widerstand^ den der Nagel beim Eindringen findet, bestehe aus zwei Teilen: aus dem Widerstande, den die'Spitze des Nagels erfährt, und aus einem Teile, der von der Reibung der Oberfläche des Nagels an der Substanz herrührt. Nehmen wir den ersteren Teil konstant und den letzteren proportional der Tiefe x an, bis zu der der Nagel schon als eingetrieben angesehen werden kann, so ist der gesamte Widerstand = a 4- b x, worin a und b konstante Grössen bezeichnen.

Dringt der Nagel um den Weg dx ein. so kann der längs des Weges d x wirkende Widerstand als konstant angesehen werden. Die Arbeit für diesen Wegteil ist deshalb

(a + 1>x) d x.

Wenn L die Länge des Nagels bezeichnet, so ist die gesamte Arbeit zum Einschlagen des Nagels

17(5. Arbeit, um Wasser in einer kommunizierenden Röhre zu verschieben. Die Röhre habe zwei vertikale, gleich weite cylindrische Schenkel; diese seien bis auf eine gewisse Höhe mit Wasser gefüllt, so dass das Niveau in beiden Schenkeln gleich hoch steht. Bringt man nun in den einen Schenkel einen luftdicht anschliessenden Kolben, ähnlich dem einer Pumpe, und drückt den Kolben abwärts, so wird das Wasser in der Röhre verschoben. Nlati soll die darauf verwendete Arbeit ermitteln. Es sei

y das Gewicht der Kubikeinheit Wasser, q der Querschnitt der Wassersäule und x der Weg, um den der Kolben abwärts geschoben worden; dann ist der Höhenunterschied der Wasserspiegel in beiden Schenkeln = 2x; daher drückt auf den Kolben eine Wassersäule von der Höhe 2x, also dem Volumen 2xq und dem Gewichte 2xq y. Das ist aber auch der Druck, den der Kolben gegen das Wasser ausübt.

Rückt der Kolben vor um den Weg d x, so wird dabei eine Arbeit verrichtet = 2xqy-dx. Somit ist die Arbeit, die der Kolben verrichtet, indem er um x sinkt,

x d x = y q x • x.

px    px

2 x q y • d x = 2 y q Jo    Jo

Nun ist j'qx das Gewicht des Wassers, das aus dem einen Schenkel nach dem anderen verschoben worden, und x die Höhe, um die diese Wassermenge im anderen Schenkel steigen muss.

Dieses bildet den

Es sei der erste Schenkel ein Luftkasten, wie er unter Wasser bei Gründungsarbeiten angewendet wird. Denkt man sich den Kolben ersetzt durch verdichtete Luft, die von einem Kompressor her in diesen Kasten getrieben wird, so sinkt das Wasser im Kasten und entweicht in das den Kasten umgebende Wasser, zweiten Schenkel der Röhre, nur mit dem Unterschiede, dass das Wasser im zweiten Schenkel nicht steigt. Daher ist der Druck des Kolbens (der Luft) in der Tiefe x nur = j'qx; also das Arbeitselement = ) q x d x und die gesuchte Arbeit , um das Wasser aus dem Kasten zu treiben.

xdx =

2~ )' Ü * • x.

Geht der Wasserspiegel im Kasten über aus einer Tiefe ht* in h, wo h > hn, so ist die auf den Vorgang verwendete Arbeit

fh h

T-l Ol

) <1

y q (h² — h₀ ²).

•J iio

Hiernach wird das Wasservolumen q(h — ho) niedergedrückt durch eine Wassersäule vom Querschnitte q und der mittleren Höhe t(h -f- ho).

177. Uehertragung mechanischer Arbeit durch die Kurbel. Der

Druck des Kolbens einer Dampfmaschine, einer Pumpe etc. wirkt in der Richtung AC (Fig. 54), längs der sich der Kolben hin- und herbewegt. Der Druck, den somit die Schubstange CB gegen den Zapfen B der Kurbel BA ausübt, ist, in der Richtung AC genommen, gleich dem Kolbendrucke. Nun sei:

P der Kolbendruck, längs des ganzen Hubes konstant gedacht, r der Halbmesser des Kurbelkreises B D, und

<f' der Winkel BAD, den die Kurbel mit der Richtung AC bildet,

im Bogenmass ausgedrückt.

Fig. 54.

Man zerlege die Kraft P, wirkend am Kurbelzapfen B, in zwei Seitenkräfte B n = P sin <p und B m = P cos </ , wovon die erstere tangential an den Kurbelkreis und die letztere gegen die Kurbelwelle A wirkt.

Die letztere Kraft \ wird durch den Widerstand der Kurbelwelle aufgehoben, während die erstere die Kurbel dreht, also arbeitet.

Wenn (f und d (f zunimmt, so rückt der Kurbelzapfen um r d <f Die Kraft P sin <f kann während des Wegelementes r d (f als

vor.

konstant angesehen werden, und da ihre Richtung mit der des Weges zusammenfällt, so ist die Arbeit der Kraft längs des Weges r d (/' =

J sin (f d (f =

— cos (f -f C, so ist die Arbeit der tangentiellen Seitenkraft während eines Kolbenganges

P r sin (f d (f. Da nun

Pr

J sin <f d (f = 2 P r,

also gleich dem Produkte aus dem Drucke auf den Kolben in den Weg 2 r des Kolbens. Es geht somit durch die Kurbelbewegung keine Arbeit verloren, abgesehen von den vorkommenden Reibungen.

Wenn der mittlere Druck auf den Kurbelzapfen, in der Richtung der Tangente an den Kurbelkreis, Py ist, so ist seine Arbeit während eines Kolbenganges, also längs einer halben Peripherie des Kurbelkreises = P' 7T r. Da diese Arbeit = 2 P r sein muss, so folgt

= 0,636 P.

P' = — P

178. Arbeit, die auf die Drehung; einer rechtwinkeligen Fläche in einem Medium verwendet werden muss. Der Erfahrung zufolge ist der Widerstand, den Wasser, Luft etc. der Bewegung entgegensetzen, proportional der Fläche, die normal zur Richtung der Bewegung gegen das Medium stösst und sehr nahe proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit der Bewegung. Es seien

a die Kante, um die sich das Rechteck dreht, b die darauf senkrechte Kante des Rechteckes, v die Geschwindigkeit der Fläche im Abstande b von der Achse, p der Widerstand, den das Medium einer Fläche = 1 entgegensetzt, wenn sich diese mit einer Geschwindigkeit = 1 bewegt. Legt man in der Rechtecksfläche, in den Abständen x und x-fdx zwei Gerade parallel zur Achse, so schliessen dieselben ein Flächenelement — a d x ein. Die Geschwindigkeit, mit der sich dieses Flächenelement dreht, sei u; dann ist

b x’

Würde die Fläche adx sich mit der Geschwindigkeit =1 bewegen, so fände sie einen Widerstand = p a d x ; folglich ist der Widerstand dieses Flächenelementes bei der Geschwindigkeit u

u : v = x : b,

(1)

padX'U² =    • x² dx,

b-

(2)

x² dx = — pab v².

O

und der Widerstand der ganzen Rechtecksfläche p a v²

b²

Dieser Widerstand ist somit nur ^ von jenem, den die Fläche bei fortschreitender Bewegung finden würde.

Der Angriffspunkt der Kraft (1) rückt in der Zeiteinheit um den Weg u, in der Richtung von u, vor, folglich ist die auf das Flächen-elemeht a d x verwendete Arbeit

p a d x • u³ =

und die Arbeit für die ganze Rechtecksfläche p a v³

p a v³

b³

• x³ d x,

(3)

s:

x³ d x =

pabv³.

Diese Arbeit ist somit der dritten Potenz der Rotationsgeschwindigkeit proportional und gleich j- der Arbeit pabv³, die die Fläche bei fortschreitender Bewegung nötig hätte.

Der Widerstand (2), als Kraft gedacht mit einem Angriffspunkte, der um x₀ von der Achse abstehe, bewege sich mit der Geschwindigkeit u₀ ; dann ist die Arbeit, die auf diesen Widerstand verwendet wird,

M,-*

p a b v² • u₀ = p a v³ • x₀.    .

Diese Arbeit muss aber gleich sein dem Werte (3); daher folgt

x₀ = I b,

d. h. der Mittelpunkt des Widerstandes hat einen Abstand von der Achse gleich von der Breite des Rechteckes.

179. Arbeit des Dampfes bei einer Expansionsmaschine. Bei dieser Maschine füllt der Dampf, der bei jedem Kolbenzuge in den Dampf* cylinder tritt, denselben nicht ganz an, sondern es wird die Kommunikation des Cylinders und der Dampfleitungsröhre unterbrochen, nachdem der    Kolben einen Weg

Fig. 55.

AB =|, i • • • (Fig. 55) des ganzen Hubes h durchlaufen hat. Der Dampf wirkt also nur während des Teiles AB = a der Hublänge mit dem anfänglichen konstanten Drucke P, dehnt    sich nachher aus und

wirkt während dieser Periode der Ausdehnung mit einem Drucke auf den Kolben, der mit der Ausdehnung des Dampfes abnimmt. Bezeichnet P' den Dampfdruck auf den Kolben,    nachdem dieser einen

Weg B C — x während der Periode der Expansion durchlaufen hat, so sollen mit Rücksicht auf die Abnahme des Druckes zwei Fälle unterschieden werden.

a) Druckabnahme nach dem Mariotte’schen Gesetze. Setzt man voraus, der Dampf    dehne sich aus wie ein permanentes    Gas,

ohne dabei seine Temperatur    zu ändern, so nimmt    die    Spannung    in

gleichem Verhältnis ab, wie das Volumen zunimmt; daher

a

—:— oder a-f x

Volumen von A bis B Volumen von A bis C

(1)

P.' =

P-*—. a + x

Wenn der Kolben sich von C aus um den unendlich kleinen Weg- d x bewegt, so kann der Dampfdruck P' während dieses Weges als konstant angesehen werden. Somit ist die Arbeit der Kraft P' längs des Weges dx

(2)

P' d x — a P

a -f- x

und die Arbeit während der ganzen Periode der Expansion

— a d x a + x

(3)

aP

J*

J o

Addiert man zu dieser Arbeit noch die Arbeit aP, die der Dampf längs des Weges A B, also vor dem Eintritte der Dampfabsperrung verrichtet, so erhält man als gesamte Arbeit während eines Kolbenzuges

aP Hl

Für briggische Logarithmen ist dieser Ausdruck

a P ^1 + 2,302 6 log -0.

b) Druckabnahme nach dem Poisson’schen Gesetze. Indem der Dampf arbeitet, verwandelt sich ein Teil der Wärme, die

Nach beiden Resultaten (3) und (5) ist die gesuchte Expansionsarbeit ein Vielfaches von aP. Bei schwacher Expansion müssen die Faktoren von aP sehr nahe übereinstimmen, in allen Fällen aber wird der Faktor von a P in (5) kleiner als der in (3).

P ! P"

= 4, und da für

er enthält, in Arbeit, so dass seine Temperatur sinkt und ein Teil Dampf kondensiert wird. Der noch übrig gebliebene Dampf hat daher, nachdem der Kolben einen Weg x zurückgelegt hat, eine kleinere Spannung als nach dem Gesetze (1). Diese Spannung P' ergibt sich aus der Gleichung

(4)

P'

a + x

worin nach Zeuner für trockenen Dampf n = 1,133 angenommen werden kann. Daher wird das Arbeitselement P' d x unter Benutzung von (4)

^ d x = P a" (a x)—11 d x.

a + x

Das Integral hiervon zwischen den Grenzen 0 und h — a ist

P' d x =

Pa"

- [h¹⁻¹¹ — at—"1 n

Nun ist an = a • a“ ~¹ ; daher der umgeformte Ausdruck

(5)

P' d x = -

aP

n— 1

Für eine Ausdehnung von 1 auf 4 wird z. B. trockenen Dampf n= 1,133, so erhält man als Faktor von aP

nach (3) .    .    .    . 2,302 6 log4 = 2,302 6 . 0,602 1 = 1,386;

nach (5)

0,133-1

0,133

= 7,518 8-0,168 4 = 1,266.

180. Arbeit zum Zusamiuendnicken eines Gases. Ein Gefäss enthalte Gas vom Volumen v und dem Drucke p. Dieses Gas werde zusammengedrückt, so dass es in einem gegebenen Augenblicke ein Volumen v' und einen Druck p' besitze. Welche Arbeit ist auf diese Zusammendrückung zu verwenden?

Der Einfachheit wegen denke man sich das Gas eingeschlossen in einem Cylinder vom Querschnitte q. Dabei entspreche dem Volumen v die Höhe h und, durch Vorschieben des Kolbens, dem Volumen v' eine Höhe x; dann wird sein

(1)

v' — q x.

Denkt man sich die Grössen p und p' als Druck, ausgeübt auf die Flächeneinheit, so wird in dem Augenblicke, da das Volumen des Gases auf v' gesunken ist, der Druck des Gases auf den Kolben = p' q sein.

Rückt nun der Kolben um dx vor, d. h. geht x in x — dx über, so wird v' zu v' — dv'; denn bei diesem Vorgänge nehmen x und v' zugleich ab. Während dieser unendlich kleinen Verschiebung kann man den Druck p'q als konstant betrachten; daher dessen Arbeit = p'q( — dx), oder weil nach (1) dv' — qdx, so ist das Arbeitselement auch

(2)

— p' d v'.

a) Findet bei der Zusammendrückung keine Aenderung der Grastemperatur statt, so gilt über die Druckabnahme das Mariotte’sche Gesetz, wonach man hat

(3)

P'

v'

Führt man den Wert von p' aus (3) in (2) ein, so wird das Arbeitselement

d v'

v' ’

— p' d v' = — p v

folglich die Arbeit zum Zusammendrücken zwischen dem Anfangsvolumen v und dem Endvolumen v', da p v konstant ist,

"v' dv'

(4)

pvJ.

V'

v'    v

= — p V l-= p V / —

V    V'

b) Wenn die Arbeit, die auf die Zusammendrückung verwendet wird, sich in Wärme verwandelt und die Temperatur des Gases erhöht, so gilt über die Druckzunahme folgendes Gesetz von Poisson

(5)

P'

v'

worin der Exponent n grösser als 1 und z. B. für atmosphärische Luft nach Régnault — 1,394 5 ist.

Führt man den Wert von p' aus (5) in das Arbeitselement (2) ein, so wird dasselbe

— p' dv' = — p v" v' ~ " d v'

und die gesuchte Arbeit zum Zusammendrücken des Arolumens v auf v', da p und v konstant sind,

p v"

J' p'dv'

Nun ist aber v" = v-vu — 1; daher geht der Ausdruck rechts über in

(6)

r p' dw=-

J v    n

Die Arbeit nach (6) fällt immer grösser aus als nach (4); es ist also immer

(7)

v'

n - 1

So wird z. B. für v = 2 v' und n = 1,394 5 die linke Seite von (7) = 0,797, die rechte aber nur = 0,693.

Hestiminung von Trägheitsinomenten.

ISL Arbeitsgrosse, die auf einen Körper verwendet werden muss, um ihn aus der Ruhe in Bewegung zu versetzen. Es wirke auf den Körper eine stetige, jedoch beliebig veränderliche Kraft beschleunigend ein. Nachdem der Körper den Weg x zurückgelegt hat, sei der Wert dieser Kraft — k, die Geschwindigkeit des Körpers = v und seine Beschleunigung = g'; ferner sei das Gewicht des Körpers — P und die Beschleunigung der Schwere = g. Es besteht dann zwischen den Kräften und den entsprechenden Beschleunigungen folgende Proportion

g'-

g':g..= k:P;

Legt nun der Körper den unendlich kleinen Weg dx zurück, so kann angenommen werden, die Kraft k bleibe während dieses Weges konstant; also ist die auf die Beschleunigung der Masse des Körpers verwendete Arbeit = kdx. Setzt man obigen Wert von k hier ein, so folgt

I»

'*-2

• A-il    4-:    ' ;    • ■; pji "'iC*'-. .    • ■(-. '■’)    '    •

Xf. Aufgaben über lebendige Arbeit.

;r

;.r'

rr

- g; <1 x-

Allein nach der Differentialformel (3) der Bewegung, § 161, ist g'dx — v d v. Dies gibt

kdx =

P ,

— v d v.

Beginnt die Bewegung von der Ruhe aus, so erhält man die Arbeit der Kraft k längs des Weges x, indem man integriert,

j;

vd v =

P v²

Diese auf die Masse des Körpers verwendete Arbeit

P v²

2g

nennt man

lebendige Arbeit, auch wohl lebendige Kraft L des Körpers.

Da das Verhältnis P : g konstant bleibt, in welcher Entfernung das Gewicht P vom Mittelpunkte der Fmde gedacht wird, so wird dasselbe als Ausdruck für die Masse M des Körpers angesehen. Man hat daher

¹

p¹

(3)

Führt man diesen Wert yon M in (2) ein, so folgt als Ausdruck für die lebendige Arbeit

(4)

d. h die lebendige Kraft einer bewegten Masse wird ge-messen durch das Produkt aus der halben Masse und dem Quadrate der Geschwindigkeit.

Aus (3) ergibt sich auch

(5)

P=M g,

d. h. das Gewicht eines Körpers ist gleich seiner Masse» multipliziert mit der Beschleunigung des freien Falles. Führt man endlich den Wert von M aus (3) in (1) ein, so ergibt sich

(6)

k = M g',

d. h. die Kraft, die in einem gegebenen Augenblicke auf einen Körper einwirkt und dadurch eine Beschleunigung g' veranlasst, ist gleich dieser Beschleunigung, multipliziert mit der Masse des Körpers.

182. Arbeitsgrösse, die ein Körper in sieli aufnininil, wenn er frei herabfällt. Es sei der Halbmesser der Erde = r, die Fallhöhe = h, das Gewicht des fallenden Körpers an der Erdoberfläche = q. Nachdem der Körper durch eine Höhe x herabgefallen, also eine Entfernung = r + h — x vom Mittelpunkte der Erde besitzt, sei sein Gewicht = q'; dann hat man nach dem Newton’sehen Gesetze der Gravitation

r²

q (r + h — x)²

q:q/ ’ r² ' (r + h — x)² ’

Nimmt x um dx zu, so kann angenommen werden, es bleibe q' während dieses unendlich kleinen Weges konstant; folglich ist die Arbeit der Kraft q' längs des Weges d x

q' d x = q r²

dx

(r + h - x)² ‘

Wird diese Gleichung integriert, so erhält man die Arbeit der Schwere während einer endlichen Fallhöhe x. Um integrieren zu können, setze man r + h — x = y ; alsdann ist d x = — d y und q' d x = — q r² y~² d y ; folglich

J* q' d x = q r² y¹ + C = q r² Ç-

r+^r) + c.

und die gesuchte Arbeit für den Fallraum h

P q'dx = qr²f— Jo    \ I⁻

' r A r + h/

Wenn der Fallraum klein ist, so dass h gegen r vernachlässigt werden kann, so geht der letzte Ausdruck in das Produkt qh aus Gewicht in Fallhöhe über. Ist dagegen r gegen h klein, wie dies z. B. bei Meteorsteinen, die auf die Erde fallen, angenommen werden kann, so wird diese Arbeit = q r. Diese Arbeit gibt ein solcher Meteorstein beim Aufschlagen auf die Erdoberfläche an die Masse der Erde ab. Eine grössere Arbeit als qr kann kein Körper durch die blosse Wirkung der Schwere aufnehmen, selbst wenn er aus einer unendlich grossen Entfernung gegen die Erde fiele.

Bemerkung. Nehmen wir an, die Arbeit qr, die ein Meteorstein beim Herabfallen an die Erde abgibt (indem von jenem Teile, den die Reibung in der Atmosphäre absorbiert, abgesehen wird), verwandle sich in Wärme und es produzieren je 424 kgm Arbeit (mechanisches Aequivalent der Wärme) eine Kalorie Wärme, so entwickeln sich aus

Autcnheimer, Elementarbuch.

r+h

diesem Falle qr: 424 Kalorien. Es sei q = 1 kg und r — 6 365 000 m; dann ist die Wärmemenge, die jedes Kilogramm des herabfallenden Meteors beim Aufschlagen erzeugt, gleich

6 365 000 : 424 = 15 012 Kalorien,

d. h. soviel Wärme, dass 15 012:79 = 190 kg Eis damit geschmolzen werden könnten. WTürde die Masse des Meteors diese Wärme •'■allein aufnehmen und seine spezifische Wärme 0,2 betragen (durchschnittlicher Wert der spezifischen Wärme der Steinmassen), so würde die Temperatur derselben werden

15 012 : 0,2 = 75 060° C.

Setzt man voraus, die Erde sei durch Verdichtung vieler, kleiner, im Welträume zerstreuter Massen entstanden, so lässt sich auf diesem Wege die hohe Temperatur, in der die Erdmasse sich nach dein Ballungsakte befunden haben muss, erklären. Die betreffende Aufgabe ist in § 373 behandelt.

183. Eindringen einer Kanonenkugel in einen Erdwall. Beim Eindringen hat die Kugel die Kohäsion der Erde und die Reibung der Oberflächen zu überwinden, sowie den ausweichenden Erdteilen Geschwindigkeit zu erteilen. Die beiden ersten Widerstände können als konstant angesehen werden, der letztere wächst mit dem Quadrate der Geschwindigkeit der Kugel, ähnlich wie der Widerstand, den ein Schiff im Wasser findet, wenn es sich bewegt. Nun seien

p, q das Gewicht und der grösste Querschnitt der Kugel,

Vo ihre Anfangsgeschwindigkeit,

v ihre Geschwindigkeit, nachdem sie bereits um eine Tiefe x vorgedrungen ist, und

t die auf den Weg x verwendete Zeit.

Denkt man sich zuerst den Querschnitt der Kugel = 1, so wird der Widerstand, den sie bei der Geschwindigkeit v findet, durch den Ausdruck a + bv² dargestellt werden können, wo a und b konstante Grössen bezeichnen. Daher ist der Widerstand für eine Kugel mit dem Querschnitte q gleich

q (a + b v²).

Rückt nun die Kugel um den Weg dx vor, so kann angenommen w’erden, es bleibe der Widerstand (1) längs dieses Weges konstant, daher verbraucht das Erdreich die Arbeit q (a + b v²) dx.

(1)

Einen ebenso grossen Betrag von Arbeit muss aber die Kugel gleichzeitig abgeben. Da ihre lebendige Arbeit in dem Augenblicke, da

sie die Geschwindigkeit v besitzt, nach § 181 =

ist, so nimmt

p v²

2g

diese Arbeit ab um d

/ p v² \ p

—J = — v d v. Durch Gleichsetzen folgt daher

— vdv= —q (a + b v²) dx.

Das negative Zeichen rechts wird nötig, weil v in v — d v übergeht, wenn x zu x-j-dx wird. Die vorstehende Gleichung gibt

(2)

v d v

g q a -f b vr

Behufs der Integration multipliziere man Zähler und Nenner des zweiten Bruches mit 2b, so dass im Zähler vd (2bv) statt vdv vorkommt; dann wird der Zähler gerade das Differential des Nenners; daher aus (2) durch Integration

(3)

2bh*(a+bv!)+c-

Für v = vo wird x = 0. Diese Werte verwandeln (3) in

2bk;(a + bV°²>'

Folglich ergibt sich durch Subtraktion von (3)

(4)

_ p a + b vo2 2b g q a + bv²'

Die grösste Tiefe, zu der die Kugel Vordringen kann, sei X ; dann geht in (4) x über in X für v = 0. Daher

-Vo

(5)

Die Zeit findet sich wie folgt. Denkt man sich die Kugel im Raume frei schwebend der Wirkung der Kräfte p und q (a -j- b v²) ausgesetzt, so veranlassen beide Kräfte gleichförmig veränderte Bewegungen. Dem Gewichte p entspricht die Beschleunigung g = 9,81 m, der andern Kraft entspreche die Beschleunigung g'; es findet dann folgende Proportion statt

(6)

p : q(a -f b v²) = g : g'.

Allein es ist auch nach § 161 die Grösse g' = Setzt man diesen Wert von g' in (6) ein, so folgt

g q a -f b v² ’

Die rechte Seite ist hier negativ zu nehmen, weil v abnimmt, wenn t zunimmt. Man schreibe noch, um Formel (5), § 86, auf die Integration anwenden zu können,

* (-D)

gqKab

und erhält

(D)’

p

——arc tang v gq V ab

Für y = vo wird t = 0. Diese Werte geben daher

I/7 + c-

p

——arc tang v0 g<łP ab

Folglich erhält man durch Subtraktion der letzten zwei Gleichungen

(7)

gql^ab [_

arc tang Vo

j/k_arctangvj/kJ

Dem Wege X entspreche die Zeit T. Diese wird aus (7) erhalten, wenn v = 0 gesetzt wird. Daher

(8)

arc tang Vo

VI

gq|Aab

Bei sandiger Ackererde und für mittlere Verhältnisse kann man, wenn in Metern und Kilogrammen gerechnet wird, annehmen

a = 400 000 kg ; b == 40.

Ist für eine gusseiserne Kugel

p = 12 kg; q = 0,017 qm-, Vo =’480 m,

so wird, da g = 9,81 m und die natürlichen Logarithmen erhalten werden, wenn man die briggischen mit 2,303 multipliziert,

X = 0,9 • 2,303 log (1 + 23,04) = 2,87 m.

■T — 0,018 arc tang 4,8.

Der Bogen, dessen Tangente = 4,8 ist, umfasst 78,279 Grade. Daher ergibt sich seine Länge u aus der Proportion:

u : n = 78,279 : 180₍; u = 1,366 2.

Mithin wird

T = 0,018 • 1,366 2 = ^ Sekunde.

Diese Kugel dringt also 2,87 m tief in die Erde ein und braucht dazu -Ą- Sekunde.

184. Ausdruck für das Trägheitsmoment. Es drehe sich ein Körper um eine feste Achse. Während bei einer fortschreitenden Bewegung alle Teile des Körpers dieselben Wege beschreiben, also auch dieselbe Geschwindigkeit haben, beschreiben bei einer drehenden Bewegung die Körperteile nur ähnliche Wege mit verschiedenen Geschwindigkeiten, die um so grösser sind, je weiter die Körperteile von der Drehungsachse entfernt sind.

Ist to die Winkelgeschwindigkeit, d. h. der von einem Radiusvektor in der Zeiteinheit überstrichene Winkel, so sind

v₂ = r₂ to ;

V3 = r₃ to , . . .

Vi = D to ;

die linearen Geschwindigkeiten der in den Entfernungen rL, r₂, r₃, . . . von der Drehungsachse befindlichen Massenteilchen des Körpers.

Zur Berechnung der Arbeit, die für die Drehung des Körpers er-

r-i Ol

forderlich ist, kann in der Formel

m v² die Grösse v wegen der

verschiedenen Werte, die sie für die verschiedenen Körperteilchen besitzt, nicht verwendet werden. Man denkt sich deshalb die verschiedenen in den Entfernungen ri, r2, r3, . .. von der Drehungsachse rotierenden Massenteilchen mi, m2, m3, ... durch eine einzige ideale Masse ersetzt, die im Abstande 1 von der Drehungsachse bei derselben Winkelgeschwindigkeit dieselbe lebendige Kraft wie der rotierende Körper besitzt. Da diese Masse wegen der Grösse 1 ihres Hebelarmes zugleich ihr Moment darstellt, nennt man sie das Trägheitsmoment des rotierenden Körpers und bezeichnet sie mit T.

Mun sind die lebendigen Kräfte der einzelnen Massenteilchen des sich drehenden Körpers {mi (ri cu)²; ^-m₂ (r₂ cu)²; ^013 (r₃ tu)²; . . folglich die lebendige Kraft des ganzen Körpers

L — -L mi ri² tu² + y m2 r2 ² u² -1- \ m₃ r₃ ² tu² 4- ...

(■*•*    = \ tu² (mi rt² -f m₂ r₂² -f m₃ r₃² -f ...) = { tu² • S m r².

Diese soll aber ^cu²-T sein; also ist

(1)

T = mi ri² + m₂ r₂ ² -f m₃ r₃ ² + • • • = — m r²,

d. h. das Trägheitsmoment eines Körpers ist gleich der Summe der Produkte aller Massenelemente und den Quadraten ihrer Abstände von der Drehungsachse.

Zwischen der lebendigen Kraft L des Körpers und dem Trägheitsmomente T besteht die Gleichung

(2)

L-|cu²-T,

die aus der Kenntnis des Trägheitsmomentes leicht die lebendige Arbeit eines rotierenden Körpers berechnen lehrt.

Der Ausdruck (1) für das Trägheitsmoment eines Körpers vereinfacht sich, wenn dessen Dichtigkeit gleichförnug ist. Sind für diesen Fall n die Masse der Yolumeneinheit und ui, u₂, U3,.. die sehr kleinen Raumteile des Körpers, so sind nui, nu₂,.. die Massen dieser Teile. Setzt man diese für mi,m₂,.. in (J) ein, so erhält man

(3)

n (ui ri² + u₂ r₂ ² + u₃ r₃ ² -f- ..) = n £ u r².

Hierin können die Grössen ui,u₂,.. auch als Teile einer Fläche oder Linie angesehen werden, ähnlich wie in § 142 bei Bestimmung von Schwerpunkten.

über, wenn

m r² oder nur² das Differential des Trägheitsmomentes der Masse ist.

Man kann sich die ganze Masse eines Körpers in einem Punkte konzentriert denken, in einer solchen Entfernung z von der Drehachse, dass das Trägheitsmoment der Masse dadurch unverändert bleibt. Dieser Punkt in der Entfernung z von der Achse heisst Mittelpunkt der Trägheit.

Das Summenzeichen 2 geht in das Integralzeichen J

185. Trägheitsmoment einer materiellen geraden Linie. Erster Fall. Eine Gerade BD (Fig. 56) drehe sich um eine Achse A, die die Gerade senkrecht schneidet. Die Masse der Längerreinheit Fig. 56. der Geraden sei = in. Zwischen den Abständen x und x -j- d x I I auf der Geraden, von der Achse aus gemessen, liegt das Linien-!    element dx, dessen Masse — mdx ist; folglich ist das Träg-

ßt

!    heitsmoraent dieses Elementes = mx²dx.

k---—\i~'~ *

“

Hat die Gerade, von der Achse an beginnend, eine Länge A D = a, so ist mithin ihr Trägheitsmoment

(1)

pa    l

T = m x² d x = — m a³.

Jo    o

Hat der Mittelpunkt der Trägheit der Masse ma der ganzen Linie den Abstand z von der Achse, so ist das Trägheitsmoment der Linie m a z². Folglich ergibt sich durch Gleichsetzung beider Momente

(2)

z VT’

und setzt man

Reicht die Gerade B D nicht bis zur Achse A AD = a und AB = a', so ist das Trägheitsmoment von BD

(3)

T = m P x² d x = m (a³ — a'³).

Ja'    o

Da das Trägheitsmoment der ganzen Linie auch = m (a — a') z², so erhält man durch Gleichsetzung beider Momente

(4)

z² == -i (a² -faa'-f a'²).

Der Abstand A E

Fig. 57.

Zweiter Fall. Die Gerade BD (Fig. 57) drehe sich um die Achse E, die senkrecht auf der Geraden steht, der Geraden von der Achse sei — b, der Abstand A C auf der Geraden = x. Da das Massenelement der Geraden = mdx und sein Abstand CE von der .Achse = |/"b²-j-x², so ist das Trägheitsmoment des Teilchens = m (b² + x²) d x. Folglich das Trägheitsmoment der Geraden für eine unbestimmte Länge

T = m J d x (b² -f- x²) = m ^b² x -f-    + C.

Wenn AB-a', AD = a, so ist das Trägheitsmoment

von B D

r*a    m

(5) T = mj d x (b² -f x²) = m b² (a - a') + y (a³ - a'³)

a') • [b2 +y(a² +

—*/?

ml

a a' —j— a

= m (a —

Das Trägheitsmoment von BD ist aber auch m(a —a')z²; folglich

(6)

z² = b² -f- -y (a² -j- a a/ -(- a'²).

ISO. Trägheitsmoment eines Rechtecks, das sich um eine seiner Seiten dreht. Die Dimension des Rechtecks längs der Achse sei b, die darauf senkrechte a. Legt man durch die Fläche, parallel zur Achse, zwei Gerade in den Abständen x und x-)-dx, so schliessen sie ein Flächenelement ein = b d x, das an die Stelle der Masse tritt, dessen Trägheitsmoment mithin = b x² d x ist. Daher wird das Trägheitsmoment des ganzen Rechteckes sein

==    bx²dx = ab-—.

Jo    6

Man kann sich auch denken, in dieser Aufgabe sei die Masse der Flächeneinheit = 1 angenommen, wie auch in der folgenden.

187. Trägheitsmoment eines Kreises, der sich um einen seiner

Durchmesser dreht.

Die Gleichung des Kreises für rechtwinkelige

Achsen, die durch den Mittelpunkt desselben gehen (Fig. 58), ist

Fig. 58.

(1)

y² -f X² = r².

Legt man in den Abständen y und y -f- dy zwei Gerade durch den Kreis, parallel zur Achse, so schliessen sie mit dem Kreise ein Flächenelement ein von der

Länge 2x und der Breite dy, also vom Inhalte 2 xd y.

Das Trägheitsmoment desselben ist daher = 2 x d y • y².

Damit dieser Ausdruck integriert werden kann, muss darin eine der Variabein x oder y durch die andere ausgedrückt werden. Man erhält mit Hilfe von (1)

2 x d y • y² — 2 y² Ki'² — y² • d y.

(2)

Dieses Differential kann integriert werden nach Formel (8), § 90 ; man erhält für n = 3

y² y r² — y² dy =    • Kr² — y² +

y² dy

J }Ar² — y

r + c>

somit unter Benutzung von Formel (6), § 90

Jy²-Kr² —y²dy= Kr² —y² + -J ^

+ —arcsin + C.

2    r J ^

Um das Trägheitsmoment für die eine Hälfte der Kreisfläche zu erhalten , hat man das Integral zwischen y — 0 und y = r zu nehmen. Man erhält

(3)

f y² • Kr²

c/ o

Dieser Ausdruck muss wegen des Faktors 2 in (2) verdoppelt werden, um das Trägheitsmoment für die eine Hälfte der Kreisfläche zu geben; für die andere ist das Moment aber ebenso gross, ist das gesuchte Trägheitsmoment für die ganze Fläche

TT . TC ₁ .

• • 4; ‘—- - (1 ^

2    64    ’

wenn d den Durchmesser des .Kreises bezeichnet.

Daher

(4)

r⁴

Man hätte auch das unbestimmte Integral zwischen y — — r bis y = -j- r nehmen können, um sofort das Trägheitsmoment der ganzen Fläche zu erhalten.

Fig. 59.

.x* 188. Trägheitsmoment eines rechtwinkeligen Parallelepipeds, das sich um eine seiner Kanten dreht. Die drei Kanten des Körpers seien a, b, c, die Masse der Kubikeinheit = m. Die Drehung erfolge um die Längenkante a. Legt man in der Grundfläche des Prismas, von dem Endpunkte A (Fig. 59) der Drehachse aus, zwei rechtwinkelige Achsen A x, A y ; zieht in den Abständen x und x + d x die Parallelen m n, m' n, zu A y und in den Abständen y und y + d y die Parallelen p q, p' q' zu A x, so schliessen diese vier Linien ein Flächenelement = dxdy ein, das als Grundfläche eines Prismas mit der Höhe a angesehen werden kann. Das Volumen dieses Prismas ist a d x d y, sein Abstand von der Drehachse = J/"x² -f- y², also sein Trägheitsmoment = madxdy (x² -f- y²).

Lässt man in diesem Ausdrucke vorerst y konstant und integriert in Hinsicht x von x = 0 bis x — b, so erhält man das Trägheitsmoment der Körperschicht p p' q' q gleich

/ b³

dyj ^dx(x² -f- y²) = mady

Lässt man sodann in diesem Ausdrucke rechts die Grösse y von y = 0 bis y = c sich ändern, so beschreibt das Körperelement pp'q'q das ganze Volumen des Prismas. Integriert man daher jenes Differential zwischen y = 0 und y = c, so erhält man das gesuchte Trägheitsmoment des ganzen Körpers

Jo<ïy + by²) = -^-abc(b² -f c²).

0)

T — m a

Das Trägheitsmoment des Körpers ist aber auch = mabcz²; folglich

(2)

z² = -^-(b² + c²).

189. Trägheitsmoment eines homogenen geraden Kreiscylinders, der sich um seine geometrische Achse dreht. Es sei r der Halbmesser, h die Länge und m die Masse der Kubikeinheit des Cylinders. Legt man zwei cylindrische Flächen mit den Radien x und x-fdx, konzentrisch zur Achse, so schliessen diese Flächen ein Volumen =2yrxdxh und eine Masse = 2jThmxdx ein. Folglich ist das Trägheitsmoment dieser Masse mit Rücksicht auf die Drehachse =2;rhmx³dx und das Trägheitsmoment des ganzen Cylinders

(1)

x³ d x =

~ Tt h m r⁴.

Das Trägheitsmoment des Cylinders ist aber auch =myrr²hz²; folglich wird sein

(2)

l=r- = 0,707 r.

V2

Für einen hohlen Cylinder, dessen Radien r und r' sind, ist das Trägheitsmoment

(3)

f*r    1

J x³ d x = — 7i hm.(r⁴ —

und

(4)

z² =

fco; h-⁴

(r² 4- r'²).

r,

190. Trägheitsmoment eines homogenen geraden Kreiskegels, der sich um seine geometrische Achse dreht. Der Radius der Grundfläche sei die Höhe des Kegels h und die Masse der Kubikeinheit m. In den Abständen x und x+.dx von der Kegelspitze lege man zwei Schnitte durch den Körper normal zur Achse. Ist der Halbmesser des erstem Schnittes y, so kann der zwischen beiden liegende Körper als Cylinder angesehen werden von der Grundfläche zry² und der Höhe dx; sein Trägheitsmoment ist deshalb, zufolge der letzten Aufgabe, gleich

\ n m y⁴ d x.

y = Tx.

Nun geben aber ähnliche Dreiecke die Relation y : r = x : h,

Hierdurch wird das vorstehende Differential

r⁴

—- 7i m —— x⁴ d x.

h⁴

Folglich das Trägheitsmoment für den ganzen Kegel

x⁴ d x = m h r⁴.

(1)

r⁴

h⁴

10

Für einen abgekürzten Kegel, dessen Grundflächen um h und h' von der Spitze abstehen, wird das Trägheitsmoment

T = -^-mr⁴-

(2)

h⁵ — h'⁵

10

h⁴

191. Trägheitsmoment einer homogenen Kugel in Bezug auf einen Durchmesser als Drehachse. Die Mittelpunktsgleichung eines grössten Kreises der Kugel ist y² = r² — x². Hierbei nehme man die Ab-scissen x auf der Drehachse. Legt man in den Abständen x und x-f-dx vom Mittelpunkte zwei Schnitte durch die Kugel, senkrecht zur Drehachse, so schliessen sie einen Cylinder ein, dessen Masse = 7rmy²dx und dessen Trägheitsmoment nach § 189 gleich ist

\ ri m y⁴ d x.

Nun ist aber hier y durch x auszudrücken. Man erhält y⁴ = (r² — x²)² = r⁴ — 2 r² x² -|- x⁴.

Folglich das Trägheitsmoment der ganzen Kugel

- n m r⁵.

(1) T = ~7Tm j (r⁴—2r²x²-f x⁴)dx = ^ J — 1*

Da die Masse der ganzen Kugel — | yrr³m, so erhält man zur Bestimmung des Abstandes z des Mittelpunktes der Trägheit von der Achse die Gleichung

(2)

z² = -| r².

Das Trägheitsmoment einer hohlen Kugel, deren Halbmesser r und r' sind, wird nach vorstehendem Ausdrucke sein

(3)

T = T⁸g- n m (r⁵ — r'⁵).

Nun ist die Masse dieser hohlen Kugel

M = ! n m (r³ — r'³).

Hierdurch wird das Trägheitsmoment der hohlen Kugel gleich

!m

(4)

jio ji/ 5

j»3 y* 3

wenn

Ist nun r — r' = b eine sehr kleine Grösse, so erhält man r' = r — b auf die dritte und fünfte Potenz erhoben wird und die höheren Potenzen von b vernachlässigt werden,

r'⁵ _ r5 _ 5 r413>

r'³ _ r3 — 3 r² b,

Hierdurch wird das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale

(5)

T = -f Mr².

Wenn die Kugelschale zur Kugelobertläche, und m als Masse der Flächeneinheit angenommen wird, so ist M = 4 n r² m ; folglich das Trägheitsmoment der Kugelfläche

(6)

T = I n m r⁺.

Bemerkung. Dieser letzte Ausdruck kann wie folgt direkt gefunden werden. Wenn das Bogenelement, das dem Punkte (x, y) des grössten Schnittkreises entspricht, d s ist, so ist das Flächenelement, das von ds bei der Rotation beschrieben wird = 2yryds, seine Masse =27rmyds und sein Trägheitsmoment =27rmy³ds. Drückt man ds und y durch x aus und integriert, so erhält man den vorstehenden Wert als Trägheitsmoment der Kugelfläche.

Fig. 60.

192. Allgemeines Theorem über die Trägheitsmomente. Kennt man das Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt geht, so kann man daraus wie folgt das Trägheitsmoment des Körpers für jede andere Achse flnden, die der erstem parallel ist.

Es sei O z (Fig. 60) die Achse durch den Schwerpunkt des Körpers und 0' z' die ihr parallele Achse, für die das Trägheitsmoment zu suchen ist. In C befinde sich das unendlich kleine Massenelemont m. Man lege durch C die Ebene, senkrecht zu 0 z, die O z und 0' z' in 0 und 0' schneiden möge, und nehme in dieser Ebene die rechtwinkeligen Achsen Ox, 0 y an. Die Koordinaten von O seien 0 A — x₀,

O' A — y₀, die von C dagegen OB = x, C B = y. Setzt man 0 0' = a 0 C = r und 0' C = r', so erhält man

a² = x₀² + yo², r² = x² + y²,    r'² = (x — x₀)² + (y — y₀)².

Löst man die Klammern in der letzten Gleichung auf und benutzt die ersteren Gleichungen, so folgt

r'² = r² -f- a² — 2 xq x — 2 yo y.

Multipliziert man mit dem Massenelemente m und integriert, so findet man

Jr'² m — J r² m + a² J m — 2 xo J"*x m —

y m.

2y„J

Nun sind aber xin und ym die statischen Momente des Teilchens m mit Rücksicht auf die Achse 0 z, die durch den Schwerpunkt geht,

also

J x m, J°y m die Summe der statischen Momente aller Teile des

Körpers. In Bezug auf die durch den Schwerpunkt gehende Achse sind aber die Summen der statischen Momente aller Teile des Körpers

gleich 0, folglich verschwinden j x m und Py m aus der Gleichung.

Ferner ist

j*m = M die Masse des Körpers. Hiernach erhält man

I r'² m = J r² m -|- a² M.

J* r² m

Die Grösse

ist das Trägheitsmoment des Körpers für die

Achse Oz durch den Schwerpunkt. Also hat man zu diesem Momente noch zu addieren das Produkt aus der Masse M des Körpers in das Quadrat des Abstandes a des Schwerpunktes von der neuen Rotationsachse. Bezeichnet man j*r²m mit k²M, so wird das gesuchte Träg-

heitsmoment

J r'² m = M (a² + k²).

Es sei z. B. das Trägheitsmoment eines geraden Kreiscylinders anzugeben, der sich um eine seiner Kanten dreht.

Dieses Moment setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Der eine

J^r² m ist das Trägheitsmoment des Cylinders, der sich um seine

geometrische Achse dreht, und das nach § 189 beträgt

^ n m' h r⁴,

wenn m' die Masse der Volumeneinheit bezeichnet; der andere Teil ist das Produkt aus der Masse M = n r² h m' des Cylinders und der Grösse r², weil die beiden Achsen um r von einander abstehen. Dieser Teil ist daher

n r² h m' • r²

und somit das gesuchte Trägheitsmoment

^ n m' h r⁴ -f- Ti r² h m' • r² = n m' h r⁴.

193. Lebendige Arbeit eines homogenen geraden Cylinders, der sich nm seine Achse dreht. Diese Arbeit kann leicht aus der allgemeinen Gleichung (2) des § 184 zwischen der lebendigen Kraft eines rotierenden Körpers und seinem Trägheitsmomente!

berechnet werden.

Bezeichnet r den Halbmesser, h die Höhe und m die Masse der Volumeneinheit des Cylinders, so ist nach § 189

— n h m r⁴.

Ist nun v die Geschwindigkeit eines Punktes des Umfanges des Cylinders, so gilt

tu = —

man erhält also

— 7rhmr²-v² = — M v2 4    4

worin M = n h m r² die Masse des ganzen Cylinders bezeichnet. Um diesem Cylinder eine fortschreitende Bewegung mit der Geschwindigkeit y zu erteilen, ist also doppelt soviel Arbeit nötig als zur Hervorbringung der Rotation.

194. Arbeit, die auf die Drehung einer homogenen Kugel um einen ihrer Durchmesser als Drehachse zu verwenden ist. Es sei r der Halbmesser, v die Geschwindigkeit eines Punktes des A equators und m die Masse der Volumeneinheit der Kugel. Aus dem in § 191, Gleichung (l), berechneten Trägheitsmomente

15

n m r⁵

folgt, da auch hier

co = —

ist, für die gesamte lebendige Arbeit der rotierenden Kugel

n m r⁵

1 v² 8

2 r² 15

4

— -—7i mr³ • v² —

15

worin M = |;rr³m die Masse der Kugel ausdrückt. Da die lebendige Arbeit der Kugel beim Fortschreiten mit der Geschwindigkeit v gleich | Mv² ist, so ist die letztere Arbeit mal so gross als die der Rotation entsprechende.

Die Geschwindigkeit der fortschreitenden Bewegung uer Erde ist circa 64 mal so gross als die der Rotation unter dem Aequator. Wäre

nun die Dichtigkeit der Erdmasse überall die gleiche, so würde der Fortschreitung |-x 64² = 10 240 mal soviel lebendige Arbeit entsprechen als der Rotation.

195. Lebendige Arbeit einer dünnen Kngelschale, die sieb um einen ihrer Durchmesser dreht. Es bezeichne r den Radius, b die sehr kleine Dicke, m die Masse der Kubikeinheit und v die Geschwindigkeit des

v

Aeqnators der Kugelschale. Auch hier ist wieder u> = — und da nach

§ 191, Gleichung (5), das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale T = § M r², so folgt

L = M v² =    (4 7T m r² b) • v².

Hierin ist M = 4 m r² b die Masse der ganzen Kugelschale, und J M v² die lebendige Arbeit dieser materiellen Fläche, wenn alle Masse in ihrem Aequator vereinigt wäre. Daher beträgt die Arbeit L gerade § von {ïv².

196. Lebendige Arbeit einer Kugel, die sieb um einen ihrer Durchmesser dreht und deren Dichtigkeit von Schicht zu Schicht sich ändert.

Das Gesetz, nach dem die Aenderung der Dichtigkeit erfolge, sei

(1)

mi = m₀ + c (r — x),

worin bezeichnen: r den Halbmesser der Kugel, x einen Teil von r vom Mittelpunkte aus gezählt, mo und mi die Massen der Kubikeinheit in den Abständen r und x vom Kugelmittelpunkte und c die Grösse, um die die Masse für die Längeneinheit von aussen nach innen sich ändert. Die Grösse c ist positiv, wenn die Dichtigkeit von aussen nach innen zunimmt, negativ im umgekehrten Falle.

Denkt man sich zwei konzentrische Kugelflächen mit den Radien x und x-fdx konstruiert, so schliessen sie eine Kugelschale ein, auf die der Ausdruck für L des vorigen Paragraphen angewendet werden kann,

d x für b, mi für m und v

als

wenn man darin setzt: x für r

Geschwindigkeit am Aequator der Kugelschale vom Halbmesser x. Daher wird die lebendige Arbeit dieser Kugelschale

y (4 n x² d x) [mo + c (r — x)] v²

Unendlich viele solcher Kugelschalen setzen aber die ganze Kugel zusammen; daher wird die in der ganzen Kugel enthaltene Arbeit

4 71

r³ v² (mo +

f [(m₀ + c r) x4 J o

— cx⁵]dx= ^

4 TT V²

<²> ~r?

Für c = 0 wird die Masse der Kugel homogen, und es geht dieser Wert über in jenen, der in § 194 gefunden wurde.

Die Kugelflächen mit den Radien x und x -f- d x schliessen ein Volumenelement ein, dessen Masse ist

4 it x² d x [nio -f- c (r — x)].

Daher wird die Hasse der ganzen Kugel sein

(3)

— c x³] d x =

4 7i P [(m₀ + c r) x2 J o

4 7i 3 / cr\

__ra^mo+T).

Denkt man sich nun diese Masse in einem solchen Abstande y von der Achse, dass ihre lebendige Arbeit gleich der in (2) sei, so wird

= v ^ und ihre lebendige Arbeit gleich

ihre Geschwindigkeit

4 J r²

Setzt man die Werte von (2) und (4) einander gleich, so folgt

₌ o mp + jcr

⁵ m₀ + -} c r

Für c = 0 wird y² = |-r² oder y = 0,63r, d. h. die lebendige Arbeit einer homogenen Kugel bleibt dieselbe, wenn man sich ihre Masse im Abstande 0,63 r vom Mittelpunkte der Kugel denkt.

Für x = 0 gehe die Masse mi in m über, es sei also m die Masse der Kubikeinheit im Mittelpunkte der Kugel; hierfür geht (1) über in m = m₀ + c r, woraus folgt

(4)

(5)

r—i ‘ Ol

₃ f . — r³( mo +

y²

r².

m — m₀

• = yrr³ (m + 3m₀),

2

= T? n r³ (m + 5 m₀) v², 45

Setzt man diesen Wert von c in (3), (2) und (5) ein, so wird Masse der Kugel .    .

lebendige Arbeit derselben .

Wert von .    .

4 m 4* 5 m₀

15 m 4~ 3 m₀

r².

Denkt man sich die Masse der Kugel in ihren Aequator verlegt, also in eine Entfernung r von der Achse gebracht, so steigt ihre lebendige Arbeit im Verhältnis von

(6)

^ 15 m 4- 3 m0 '4 m 4- 5 m₀

Gesetzt die Dichtigkeit der Erde, diese als Kugel gedacht, befolge das Gesetz (1) und es seien

mo = 2,65 s und m = 14,29 s,

wo s das Verhältnis zwischen der Masse und dem spezifischen Gewichte bezeichnet. Hierfür wird

. y = 0,574 r, = 1: 3,02.

Wert .    .

Verhältnis (6)    .    .

XII. Aufgaben über die Quantität der Bewegung.

197.    Begriff von Quantität der Bewegung. Ist m die Masse und v die Geschwindigkeit eines in Bewegung befindlichen Körpers, so nennt man Quantität der Bewegung dieses Körpers das Produkt m v aus Masse und Geschwindigkeit.

Statt Quantität der Bewegung sagt man häufig Menge der Bewegung, Bewegungsraenge, auch Bewegungsmoment.

Die folgenden Aufgaben werden die Entstehung und Bedeutung dieses Produktes darlegen.

198.    Berechnung der Quantität der Bewegung. Wirkt auf einen Körper vom Gewichte P, der im Raume frei schwebt, eine beliebig veränderliche Kraft, so wird er eine beschleunigte Bewegung annehmen. Wenn nach der Zeit t k der Wert der Kraft, v die Geschwindigkeit und g' die Beschleunigung der Bewegung ist, so gilt für diesen Vorgang die in § 181 angegebene Proportion

(1)

g':g = k:P;

k = — g'.

so wird auch v um dv wachsen; daher

Nimmt nun t um d t zu wird nach Gleichung (2) auf S. 164 sein

(2)

g' =

dt

Eliminiert man g' aus (1) und (2) und ersetzt P nach Gleichung (5) des § 181 durch mg, so folgt

(3)

kdt = md v

und durch Integration, da m als konstant anzusehen ist,

(4)

kdt = mv — mvo

worin v₀ die Anfangsgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit für t = 0 bezeichnet.

In dieser Gleichung ist m v die Quantität der Bewegung des Körpers am Ende und mv₀ diejenige am Anfänge der Zeit t; daher das Resultat der Integration die Zunahme der Quantität der Bewegung während der Zeit t.

Wenn vo = 0, so reduziert sich das Integral auf mv.

Ist die Kraft k konstant, so kann auch die linke Seite in (4) integriert werden. Man erhält für Vo = 0 :

(5)

kt = mv,

d. h. die Kraft, multipliziert mit der Dauer ihrer Einwirkung, ist gleich der Quantität der Bewegung des Körpers.

I. Wird hiernach z. B. eine Lokomotive auf horizontaler Bahn durch eine konstante Kraft angetrieben; ist das Gewicht der Lokomotive

30 000 kg und die Geschwindigkeit 10 tn nach 30 Sekunden, so wird nach (5)

• 10; k = 1 019 kg,

k - 30 =

30000

9,81

d. h. es muss die Kraft, die der Lokomotive die Bewegung erteilt, 1 019 kg betragen. Dabei ist der Teil der Kraft, der die Widerstände der Lokomotive überwindet, nicht inbegriffen.

Sollte die Geschwindigkeit von 10 m in kürzerer Zeit, z. B. in 10 Sekunden, erreicht werden, so müsste auch die Kraft k das dreifache des obigen Wertes haben.

II. Während eine Kanone abgeschossen wird, macht sich der Druck des Pulvergases in jedem Augenblicke vorwärts auf das Geschoss und rückwärts auf das Geschütz gleich stark geltend. Kann das Geschütz sich frei bewegen, so nehmen beide Körper Bewegungen an und zwar so, dass in demselben Momente beide Körper gleich grosse Quantitäten der Bewegung haben. Denn es ist für beide das Produkt k t in (5) dasselbe, also ist dies auch mit m v der Fall.

Gilt M Y für das Geschütz, m v für das Geschoss in dem Augenblicke, da dasselbe abfliegt, so wird

M V = m v.

Nimmt man hier v = 600 m und das Verhältnis m:M= 1:200, so wird Y = 3 m, d. h. das Geschütz beginnt seinen Rücklauf mit 3 m Geschwindigkeit.

199. Zusammenhang zwischen der (Quantität der Bewegung und der lebendigen Arbeit. Ist L die lebendige Arbeit, die die obige Kraft k dem Körper in der Zeit t erteilt, und Q die gleichzeitig erzeugte Quantität der Bewegung, so ist

L = imv² und Q = mv;

folglich erhält man durch Elimination von m die Relation

L = |vQ.

Nun ist L Arbeit, also ist es auch vQ.; Allein v 'bezeichnet einen Weg; daher wird Q eine Kraft sein.

Die Quantität der Bewegung muss also als Kraft aufgefasst werden, ebenso angesammelt in der Masse des Körpers wie die lebendige Arbeit.

In der oben erwähnten Lokomotive ist angesammelt:

• 10 kg = 30 570 kg.

Quantität der Bewegung m v =

30 000 9,81

Lebendige Arbeit

to h-*

30 000

9,81

• 10² mkg = 152 850 mkg.

200. Quantität der Bewegung, enthalten in einer prismatischen Stange, die sich um eine Achse dreht. Die Achse A (Fig. 56, S. 198) durchschneide die Längenrichtung der Stange senkrecht. Es sei A D — a die Länge und F der Querschnitt der Stange, m die Masse der Kubik-

einheit des homogenen Materials und v die Geschwindigkeit am . freien Ende der Stange.

Legt man in den Entfernungen x und x + d x von der Achse Querschnitte durch die Stange, so schliessen diese ein Volumen Fdx ein, dessen Masse =mFdx ist. Bewegt sich dieses Teilchen mit der Geschwindigkeit v',, so wird

v' = v —.

v' : v = x : a ;

Daher die Quantität der Bewegung dieses Teilchens mFdx-v' oder

x d x,

mF v

und die Summe der Quantitäten der Bewegung für unbestimmte Grenzen

xdx = -

mFv x¹ 2

a ‘ T⁺    ’

und für die Länge AD

mFv f*a & tJ 0

mFv a²

Nun ist mFa = M die Masse der Stange; daher die gesuchte Quantität der Bewegung

|Mv,

also die Hälfte von jener Quantität der Bewegung, die die Stange bei fortschreitender Bewegung erhält.

Dehnt sich die Stange nur über den Teil BD = a aus und ist Abstand AB = a', so wird die Quantität der Bewegung

1 mFv

a -f-a'

[(a + V)² — a'²] = — M v

201. Quantität der Bewegung einer homogenen Kugel, die sieh um einen ihrer Durchmesser dreht. Es sei r der Halbmesser der Kugel, m die Masse ihrer Kubikeinheit und v die Geschwindigkeit ihres Aequators.

Die Gleichung eines grössten Kreises (Fig. 58, S. 199), der durch die Drehachse geht, ist

(1)

y² — r² — x².

Nun soll die Quantität der Bewegung eines Volumenteilchens bestimmt werden, durch deren Integration die gesuchte Quantität erhalten wird. Legt man zu diesem Behufe zwei Cylinderflächen durch die Kugel, parallel zur Drehachse und zwar mit den Radien y und y -f- d y, so schliessen diese Flächen eine Schicht ein mit dem innern Radius y, der Wanddicke dy und der Länge 2x, also dem Volumen 2 n y d y • 2 x; daher ist die Masse dieses unendlich kleinen Teilchens

(2)

2 n y d y • 2 x • m.

Autenheimer, Elementarbuch.

14

Ist ihre Geschwindigkeit v', so wird v':v = y:r; mithin

v' =

Multipliziert man diesen Wert von v' mit der Masse (2), so erhält man als Quantität der Bewegung eines unendlich kleinen Teilchens

(3)

47rmv „ ,

--- x y ² d y.

r

Damit dieser Ausdruck integriert werden kann, darf nur eine der Yariabeln x oder y darin Vorkommen. Man erreicht dies, indem man aus (1) und (3) eine der Variabein eliminiert. Die Elimination von x gibt

y2 yr2 _ y2dy

'    (4)

4 7i m v

und diejenige von y

(5)

4 Ti m v

x² yr² — x² d x.

HI

Die Integration einer dieser zwei Ausdrücke besteht nun in der Summierung aller Elemente, die in (3) enthalten sind. Dabei muss (4) genommen werden von y = 0 bis y = r und (5) von x = r bis x = 0.

Das Differential (4) ist, abgesehen von dem konstanten Faktor, dasselbe wie in § 187. Dort war erhalten, Gl. (3),

r⁴ u

T ~2~'

f y²J/~r² — y²dy =

J o

Daher ist die Quantität der Bewegung als Integral von

^ 71 r ³ m \ 7i.

Dieses Produkt lässt sich zerlegen in die Faktoren

3 71 V

(6)

^ 7T r³ m und

O

16 ‘

■ ' f,

Der erste dieser Faktoren ist die Masse M der Kugel; daher die gesuchte Quantität der Bewegung nach (6)

(7)

3 TT

16

M v.

3 TT

Folglich beträgt diese —    - von jener Quantität, die die Kugel beim

Fortschreiten besitzt.

202. Druck keim Anpralle eines Körpers gegen eine Wand. Körper und Wand seien ' elastisch. Trifft der Körper mit der Masse m die Wand in normaler Richtung mit einer Geschwindigkeit v, so wird diese durch den Widerstand der Wand auf Null reduziert und hierauf bei Wiederherstellung der Form der Wand in —v verwandelt.

Der Stoss dauere t Sekunden. Wenn in einem bestimmten Augenblicke der Druck des Körpers auf die Wand = k ist, so gilt für den unendlich kleinen Zeitteil dt die Gleichung (3) auf S. 207.

Bei Integration derselben bezeichne man den mittleren Wert von k mit k'; da die Geschwindigkeit zwischen den Grenzen — v und -f v zu nehmen ist, so erhält man

k' t

-r:

indv = 2mv.

Der mittlere Druck, multipliziert mit der Dauer des Stosses, ist hiernach gleich der doppelten Quantität der Bewegung des Körpers.

XIII. Aufgaben über die Reibung.

203. Von der Reibung im allgemeinen. Wenn zwei Körper sich berühren und gegen einander gepresst werden, so greifen die Erhöhungen der einen berührenden Fläche in die Vertiefungen der anderen ein. Soll der eine Körper über den anderen verschoben werden, so müssen diese Hervorragungen umgebogen oder abgerissen werden. Der Widerstand, den diese Verschiebung in der Richtung der Bewegung erfährt, heisst Reibung. Ist N der Druck, den beide Körper, senkrecht zur Berührungsfläche, gegen einander ausüben und f der Reibungskoeffizient, d. h. die Reibuug, die der Normaldruck = 1 hervorbringt , so ist die Reibung“ = fN.

204. Reibung eines horizontalliegenden cylindrischen Wellzapfens.

Fie. 61.

Der Halbmesser des Zapfens sei = r, die Länge seiner cylindrischen Auflagefläche = L, der vertikale Druck des Zapfens auf das genau anschliessende Lager für jede Einheit der horizontalen Projektion der Berührungsfläche = p und der Reibungskoeffizient = f.

*«•€

Es sei M die Achse und (f der Winkel (Fig. 61), den der vertikale Halbmesser M B mit dem beliebigen Halbmesser M D bildet. Legt man in den Abständen r cos (f und r cos (</> -f- d <p) von M aus abwärts zwei horizontale Querschnitte, so ist der Unterschied ihrer Flächen = 2 r L cos (f d (f und der Druck a darauf in vertikaler Richtung a = 2 r L p cos cp d <p. . Man zerlege diesen Druck in zwei Seitenkräfte b und c, wovon b senkrecht zur Cylinderfläche und c horizontal wirkt. Die Kräfte c in jedem Horizontal schnitte heben sich auf, während die Kraft b bei der Drehung eine Reibung = b f hervorbringt. Nun ist aber b = a : cos (f ; folglich das Element der Reibung gleich

2rLpf à(f.

Schliesst sich die Hälfte des cylindrischen Zapfens an die Unterlage an, so ist dieses Differential von ą = 0 bis (p = n zu integrieren. In diesem Falle erhält man als gesuchte Reibung

71

2 r L p f P d (f> — ^ • 2 r L p • f.

Jo. 2

Kun, ist 2rLp der Druck des Zapfens und 2rLp-f die Reibung des Zapfens, wenn die Bewegung längs der Achse stattfindet. Folglich verhält sich die Reibung in drehender Richtung zu der in fortschreitender wie 7i : 2.

205. Reibung eines vertikalstehenden cylindrischen Wellzapfens. Es

sei A B (Fig. 62) die kreisförmige, horizontal liegende Fläche des Zapfens, die auf ihrer Unterlage, dem Zapfenlager, Reibung hervorbringt. Der Radius des Zapfens sei = r, der Reibungskoeffizient = f, der Druck des Zapfens auf das Lager für jede Flächeneinheit = p.

Fig. 62.

Beschreibt man mit den Radien x und x -f- d x vom Mittelpunkte der Reibfläche aus zwei Kreise, so schliessen sie ein Flächenelement = 2a:xdx ein. Der Druck auf dasselbe ist — 2/rpxdx und die Reibung, die dieser Druck bei der Drehung veranlasst, = 27rpfxdx, also die Reibung auf der ganzen Kreisfläche

fl

2 n p f P x d x = 7T r² p • f, J o

d. li. ebenso gross wie für die fortschreitende Bewegung bei gleichem Drucke.

Multipliziert man das Differential 2 n p f x d x der Reibung mit dem Wege 2 TT x, den diese Reibung bei einer Drehung beschreibt, so erhält man als Element der Arbeit, die von der Reibung absorbiert wird, für jede Umdrehung = 4 7r²pfx²dx; somit als absorbierte Arbeit auf der ganzen Kreisfläche

2

— • 2 7i r ■ p 7T r² f 3

4 7r²

x² d x =

und die Arbeit der Reibung auf einer konzentrischen Ringfläche, deren Radien r und r' sind, für je eine Umdrehung

4 7T²

pf/'.

x² d x =

7T² p f (r³

— r'³).

200. Reihung eines vePtikalstehenden konischen Wellzapfens. Es

Fig. 63.

«ei r (Fig. 63) der Halbmesser, s die Seitenlinie und p der Druck des Zapfens auf das Lager für jede Einheit der horizontalen Projektion des Zapfens.

T«

Legt man mit den Radien x und x-f-dx zwei horizontale Schnitte durch den Zapfen, so ist der Unterschied dieser Schnitte eine ringförmige Fläche = 2 n x d x und der Druck darauf in vertikaler Richtung a — 2 n p x d x. Man zerlege diesen Druck in zwei Seitenkräfte b und c, wovon b normal zur Kegelfläche und c horizontal wirkt. Die horizontalen Seitenkräfte in jedem horizontalen Schnitte heben sich auf, während die Normalkräfte bei der Drehung Reibung

hervorbringen. Aus der Aelinliclikeit zweier Dreiecke,' wie sie sich unmittelbar aus der Figur ergeben, erhält man die Proportion

b : a = s : r,

folglich

x d x.

2 7rps

Die Reibung auf dem Flächenelemente des Lagers ist = b f, wenn f der Reibungskoeffizient; folglich die Reibung auf der ganzen Kegelfläche

xdx =-

2 n p s f

Mithin verhält sich bei gleichem Drucke 7rr³p die Reibung in drehender Richtung zur Reibung in fortschreitender wie s:r. Je kleiner somit der Winkel ist, den die Seitenlinie des Kegels mit der Achse bildet, um so grösser ist die Reibung. Die Ursache liegt in der keilförmigen Wirkung des Zapfens im Lager.

Die Arbeit, die das Element b f der Reibung bei der Drehung absorbiert, ist =bf-2yrx; folglich die Arbeit, die durch die Reibung des ganzen Zapfens absorbiert wird, bei einer Rotation

x³ d x = —

4 TI³ p s f f*r J o

Geht s in r über, so entsteht aus der Kegelfläche eine Kreisfläche, und man erhält die Resultate der vorigen Aufgabe.

Fig. 64.

207. Reibung eines kugelförmigen Zapfens. Der Mittelpunkt der Kugel sei B (Fig. 64), der Radius derselben — r, der Druck des Zapfens auf das Lager, in der Richtung der Achse A B, für die Einheit der horizontalen Projektion des Zapfens — p und der Reibungskoeffizient = f.

Man lege einen ebenen Schnitt längs der Achse und bezeichne in demselben den Winkel A B D, den die Achse A B mit irgend einem anderen Halbmesser B D bildet, mit ff ; lasse den Bogen AD — r ff übergehen in r (ff -f-d <f); dann wächst dieser Bogen um das Element r d ff, das bei einer vollen Drehung eine konische Fläche = 2 n r sin ff • r d ff beschreibt.

Die horizontale Projektion dieser Fläche ist = 2 n r³ • sin ff cos ff d ff, der Druck darauf a = 2 n r³ p • sin ff cos ff d ff. Man zerlege diesen Druck in zwei Seiteukräfte b und c, wovon b normal zur Kugelfläche und c horizontal wirkt. Die horizontalen Seitenkräfte, in einem und demselben Horizontalschnitte liegend, heben sich auf, während der Druck b die Reibung bf hervorbringt. Da b = a:cos ff, so ist diese Reibung auf dem Flächenelement = 2 n r³ p f sin ff d ff und die Reibung auf einem ganzen Kugelsegment

Geht der Zapfen in eine Halbkugel über, so beträgt seine Reibung

2 • n r² p • f.

Folglich verhält sich bei gleichem Drucke n r² p die Reibung der drehenden Bewegung zur Reibung n r² p f der fortschreitenden wie 2:1.

Multipliziert man die Reibung b f, die das Flächenelement des Zapfens verursacht, mit dem Wege 2 7rrsinç>, so erhält man die Arbeit, die diese Reibung bei einer Drehung absorbiert, gleich

4 7T² r³p f sin² (f d <p.

Da

f sin² (p d (f = ~ (ff — sin cp cos (f) + C,

so erhält man die Arbeit, die die Reibung eines Zapfens von der Form einer Halbkugel bei einer Rotation verbraucht, gleich

71

4 7F² r³

n

pf sin² <p d (f — —- • 2 n r • 7r r² p f.

Jo    2

Mithin verhält sich diese Arbeit zu der eines cylindrischen Zapfens, bei gleichen Werten von r und p, wie | n \ 1.

208. Reihung eines gespannten Seiles, das um einen festen Cylinder gewickelt ist. Es sei AB (Fig. 65) die Achse des gebogenen Seiles,

Fig. 65.

liegend in einer Ebene, die normal zur Achse des Cylinders ist. Am einen Ende des Seiles hänge die Last Q, am andern wirke die Kraft P, die die Last am Herunterfallen verhindert. Das Seil drückt an jeder Berührungsstelle an den Cylinder und bringt somit eine Summe von Reibungen hervor. Die Kraft P, unterstützt durch diese Reibungen, steht mit der Last Q, im Gleichgewichte.

Es sei r der Halbmesser des Cylinders samt der halben Dicke des Seiles, <p der Winkel, den der Radius AM von der Berührungsstelle A aus mit irgend einem andern Radius a M bildet und f der Reibungskoeffizient. Man lasse den Bogen Aa = r (p übergehen in A b = r (y -f- d (p) und in A c = r ((p -|- 2 d <p), so dass die Bogenelemente ab = bc = rd'/ werden. Würde nun das Seil keine Reibung hervorbringen, so wäre die Spannung des Seilstückes a b, die mit p bezeichnet werde, gleich der Spannung des Seilstückes b c. Allein vermöge dieser Reibung nimmt die Spannung p, beim Uebergange vom Elemente ab in b c, ab um dp, so dass sie in b c noch p — dp ist.    Beide Spannungen p und p — dp schliessen den Winkel d (p ein,

bringen also eine Mittelkraft hervor. Da p — d p mit p verwechselt werden kann, so ist diese Mittelkraft die Diagonale eines Parallelogramms, mit zwei Seiten =p, und einem von ihnen eingeschlossenen Winkel = d (f. Die Diagonale oder Mittelkraft ist daher = 2psin—^

ät Da

64

aber d (f unendlich klein ist, so kann der Sinus mit dem Bogen verwechselt werden. Die Mittelkraft wird daher — p d (f und die von ihr hervorgebrachte Reibung = f p d (p sein. Dies ist die Grösse, um die die Spannung p längs eines Bogenteiles r d (f abnimmt. Folglich wird sein

d p = — f p d (f.

Hierin haben dp und d (f das entgegengesetzte Zeichen, weil p abnimmt, wenn <p wächst. Durch Division durch p kommt

dp

= — fd (f.

Die linke Seite muss integriert werden von Q, bis P, die rechte von (f = 0 bis ip — a, wenn r a den vom Seile umschlungenen Bogen A B bezeichnet. Dies gibt

= f a.

/ P — £ Q = - fo;

Geht man von den Logarithmen zu den Zahlen über, so folgt

f«

Diese Formel zeigt, dass der Radius des Cylinders keinen Einfluss auf die Reibung hat, dass sie lediglich von dem Winkel abhängt, den die Normalen in A und B bilden, und dass die Kraft P beim Zunehmen des Winkels a ausserordentlich rasch abnimmt.

Wenn f = -^; wenn ferner

die Umwickelung =    {

so wird

h 12    4 vom Umfange,

Q, = 1,69    2,85    8,12 65,94 4 348 von P.

209. Die logaritlimische Spirale als Böschungslinie einer Sandmasse.

Fig. 66.

Es sei A E (Fig. 66) die kugelförmige Oberfläche der Erde, M ihr Mittelpunkt, und A B E ein vertikaler Schnitt durch einen Sandkörper, der auf der Oberfläche der Erde liegt. Besteht dieser Sandkörper aus gleichartigen Teilen, die durch gleiche Kräfte der Adhäsion Zusammenhängen, so wird die Böschungslinie B A des Sandkörpers unter der Einwirkung der Schwere sich so gestalten, dass die Tangente B C an dieselbe mit dem Erdhalbmesser BMr eitlen konstanten Winkel bildet, wo auch der Berührungspunkt B in derselben angenommen wird.

Zieht man die Horizontale D B n und bezeichnet man mit a den Winkel D B C, so wird nach einem einfachen Satze aus der Lehre von der schiefen Ebene tang a gleich dem Koeffizienten f der Reibung sein, die ein weiteres Heruntergleiten der Sandteile über die geneigte Oberfläche verhindert. Ferner

sei A M = r der Halbmesser der Erde, B M = p der Abstand des Punktes B vom Mittelpunkte der Erde und AMB = (f. Wenn man (f um d (p zunehmen lässt, wodurch B M nach m M rücke, so wird in dem unendlich kleinen Dreiecke B m n sein :

Bn = pd (p, mn = dp, tanga

Bn p d cp ’

Aus der letzten Gleichung folgt, indem man f = tang a setzt,

¹

Fv

²

a —a'

wo wieder M = m F a ist.

³

n r³ p f f,sinyd^ = 2zrr³pf(l — cos ff). o

dp

Das Integral dieser Gleichung ist

l p = fy-f C.

Für (p — 0 wird p = r. Diese Werte geben

l r = C.

Durch Subtraktion beider Gleichungen kommt als gesuchte Relation

Geht man noch von den Logarithmen zu den Zahlen über, so ist

f'f.

= re

Für Flüssigkeiten ist f = 0, also e⁽'f — 1, folglich p = r, d. h. die Oberfläche von Flüssigkeiten ist kugelförmig.

X 210. Arbeit zum llinaufzielien eines Körpers über eine geneigte Fläche mit Rücksicht auf die Reibung. Der Körper bewege sich längs des in einer vertikalen Ebene befindlichen, stetig gekrümmten Weges AB

(Fig. 67). In dieser Ebene ziehe man die Achse Ax horizontal, die

Fig. 67.

Achse A y vertikal. Es seien : x, y die Koordinaten des Punktes B, in dem der Druck I■■ ^des Körpers gegen die Kurve konzentriert gedacht werden kann; a der Winkel, den die »Tangente an die Kurve durch diesen Punkt * mit Ax bildet; P das konstante Gewicht des Körpers, im Schwerpunkte desselben wirksam, und f der Reibungskoeffizient.

Das Gewicht des Körpers wirkt vertikal abwärts. Zerlegt man dasselbe in die Seitenkräfte P sin a und P cos a, so wird P sin a parallel zur Tangente wirken und den Körper über die schiefe Fläche hinab zu treiben streben, während P cos « normal zur Kurve wirkt und eine Reibung = P f cos u hervorbringt. Die Kraft k, die in der Richtung der Tangente wirken muss, um die Bewegung aufwärts zu veranlassen, wird also sein

k = P sin a -f P f cos a.

Erfolgt die Bewegung längs eines Bogenelementes d s, so ändert sich «, also auch die Zugkraft k nur um unendlich wenig, d. h. es

kann die Kraft k längs des Wegteiles ds als konstant angenommen werden. Somit ist das Arbeitselement (Produkt aus Kraft und Weg)

k d s = P (sin a -f- f cos «) d s.

Nun ist aber

sin « =

dy

cos a =

Folglich

k d s = P (d y -j- f d x).

Wird integriert zwischen x = 0 und x = x, so erhält man als

In dem Ausdrucke rechts sind P und f konstant und y eine Funktion von x.

Arbeit zur Fortschaifung des Körpers längs des Weges AB

j* kds = Py + Ffx.

Diese Arbeit besteht somit aus zwei Teilen ; aus der Arbeit P y, die den Körper längs der Vertikalprojektion y und aus der Arbeit Pfx, die den Körper längs der Horizontalprojektion x des Weges AB fortzuschaffen vermag.

XIV. Aufgaben über die Festigkeit der Materialien.

(    211. Von der Festigkeit der Körper im allgemeinen. Die Form

änderung (Verlängerung, Verkürzung etc.) eines festen Körpers durch eine äussere Kraft ist bis zu einer gewissen Grenze, die man die Grenze der Elastizität nennt, dieser Kraft proportional. Innerhalb dieser Grenze stellt der Körper seine Form wieder her, wenn die äussere Kraft zu wirken aufhört. Ueberschreitet die Formänderung diese Grenze, so ändern sich die Verschiebungen der Teile anders, als die sie bewirkenden Kräfte. Ueberschreiten diese Kräfte ein gewisses Mass, so erfolgt die Trennung der Teile, der Bruch. Der Widerstand des Körpers gegen die Einwirkung äusserer Kräfte heisst seine Festigkeit.

Die absolute Festigkeit ist der Widerstand gegen das Zerreissen, die rückwirkende gegen das Zerdrücken, die relative gegen die Biegung und die Torsionsfestigkeit gegen die Verdrehung oder Verwindung.

212. Empirisches Gesetz der Ausdehnung und Verkürzung. Wird ein prismatischer Stab vom Querschnitte F au einem Ende festgehalten und durch eine am andern Ende wirkende Kraft P ausgedehnt oder verkürzt, so leistet er einen Widerstand, der für die Einheit des Querschnittes = s sei; dann wird der Widerstand des Stabes für den ganzen Querschnitt sein

(1)

P = F s.

Man nennt die Grösse s Modul der Festigkeit, auch spezifische Spannung. Steigt diese, so dass der Stab bricht, so wird s zum Bruchmodul.

Das Gesetz (1) gilt beim Zusammendrücken >für verschiedene Längen des Stabes nur, wenn der Stab geradlinig erhalten wird.

Hat der Stab eine Länge L, und erreicht er durch die Kraft P eine Ausdehnung a, so ist innerhalb der Grenze der Elastizität, wie Versuche ergeben haben, die Kraft P direkt proportional dem Querschnitte F, der Längenänderung a und umgekehrt proportional der Länge L des Stabes. Bezeichnet E einen von der Natur des Materials abhängigen Koeffizienten, so ist

(2)

Setzt man hierin F = 1 und — = 1, so wird P = E. Der Fak-

JU

tor E ist also eine Kraft und zwar jene, die einen prismatisch eu Stab vom Querschnitte 1 soweit verstrecken kann, dass die Zunahme an Länge gleich der ursprünglichen Länge wird.

Modul der Elastizität.

Man nennt ihn

213. Arbeit, die die Langeuänderuug eines prismatische» Stabes bewirkt. Geht der Stab, wie er im letzten Paragraphen vorausgesetzt wurde, aus der Längenänderung x in die Längenänderung x -f d x über, so wird die Kraft P nach Gleichung (2) von § 212 zu

P 4- dP = E- F

(x 4 dx)

Da dieser Wert sich jedoch nur um unendlich wenig von P unterscheidet, so kann die Kraft P während der Längenänderung dx konstant = P angenommen werden. Multipliziert man diese Kraft mit dem Wege dx, den ihr Angriffspunkt zurücklegt, so erhält man das Arbeitselement, indem das Glied mit dx² vernachlässigt wird,

P d x = E • F — d x,

und die Arbeit für unendlich viele aufeinander folgende Wegelemente

x²

+ c.

Geht man mit der Längenänderung von 0 bis a, so erhält man als Arbeit zur Erreichung dieser Längenänderung, jedoch innerhalb der Grenze der Elastizität

Pdx =

to i—

Nach dem Gesetze (2) ist aber

P-L

Ë • F*

Führt man diesen Wert von a in die vorige Gleichung' ein, so erhält man,

durch s ersetzt wird, als gesuchte

P

wenn noch nach (1) der Bruch —

' '    F

Arbeit

r.

Pdx =

1 s²

• F • L.

Nun ist F • L das Volumen des Stabes. Die Arbeit ist somit dem Quadrate der spezifischen Spannung und dem Volumen des Stabes proportional.

214. Ausdehnung; eines vertikal aufgehängteu prismatischen Stahes durch sein eigenes Gewicht. Ist der Stab A B (Fig. 68) am oberen Ende befestigt, so wird er sich durch sein eigenes Gewicht verlängern.

Es sei F der Querschnitt des Stabes, L seine Länge in horizontaler Lage, p das Gewicht des Stabes für jede Längeneinheit und x = A m ein Teil der Länge des Stabes in unausgedehntem Zustande. Man lege in den Abständen x = A m und x -f- d x = A n horizontale Querschnitte durch den Stab. Da das unterhalb von m liegende Stück m B eine Länge = L — x vor der Ausdehnung hat und demselben ein Gewicht (L — x)p zukommt, so wird nach (2)

(§ 212) der Teil ran durch dieses unter ihm befindliche Gewicht ausgedehnt und zwar proportional der Kraft (L — x) p und der primitiven Länge d x, sowie umgekehrt proportional dem Querschnitte F und dem Modul E der Elastizität. Diese Ausdehnung wird also sein

Fig. 68.

i/i

(L — x) p

E-F

dx.

Die Ausdehnung für alle Elemente zwischen den Punkten A und B ist deshalb, da x von 0 bis L genommen werden muss,

P_ fL E-FJ o

Die gesamte Länge des Stabes wird mithin unter der Wirkung des Gewichtes sein

(L — x) d x =

1 p L²

1 pL²

2 E-F

Würde noch eine Last P am unteren Ende angehängt, so wäre die Zunahme an Länge vermöge dieser Last nach § 212, Formel (2)

PL

E-F

und die gesamte Länge des Stabes somit

L(¹⁺in

2' E-F /

Da pL das Gewicht des Stabes bezeichnet, so wird die durch das eigene Gewicht bewirkte Ausdehnung halb so gross, als wenn dieses Gewicht am untern Ende aufgehängt wäre.

215. Vertikal aufgehängter und belasteter Körper von gleicher absoluter Festigkeit. Ein Stab A D (Fig. 69) sei am obern Ende A aufgehängt und am untern Ende D durch ein Gewicht P belastet. Man soll bestimmen, in welcher Weise der Querschnitt des Körpers von oben nach unten abzunehmen hat, damit die Gefahr des Bruches in jedem Querschnitte des Körpers dieselbe sei.

Es bezeichnen: L die Länge des Stabes, p das Gewicht der Kubikeinheit des homogenen Stoffes, s den Modul der absoluten Festigkeit, x = DB einen variabeln Teil der Länge des Stabes, und y,yo die Querschnitte des Körpers in B und D.

Die Längenfasern, die durch den Querschnitt y gehen, haben dem Gewichte P, sowie dem Gewichte des Körperteiles DB zu widerstehen.

B C = d x zunehmen, so ist das Volumen zwischen den Querschnitten in B und C = y d x und das Gewicht derselben = p y d x ; somit das Gewicht des Körperteiles

Da nun nach (1) (§ 212) die absolute Festigkeit der

Fasern im Querschnitte y gleich sy ist, so muss sein

Fig. 69.

DB

\p

IÄ

= p Jy dx.

sy

= PH-pfydx.

Lässt man x um

Differentiiert man diese Gleichung auf beiden Seiten, indem man berücksichtigt, dass s, P,p konstant sind, so ergibt sich sdy = pydx, oder indem man durch y und s dividiert,

o.

d x.

Das Integral dieser Gleichung ist

Cfl

x + C.

Setzt man hierin x = 0, so wird y = y₀, und die letzte Gleichung geht über in l yo = C. Mithin wird' sein

(i)

i»

= -X.

yo

Geht man in dieser Gleichung von den Logarithmen zu den Zahlen über, so erhält man als gesuchte Relation

(2)

y = yo e .

Da der unterste Querschnitt y₀ gerade so stark sein muss, dass die absolute Festigkeit sy₀ in diesem Querschnitte gleich dem Gewichte P wird, so hat man P = sjro. Hierdurch wird die letzte Formel

05

Jede dieser beiden Gleichungen bestimmt die Form des Stabes.

Anmerkung. Das Volumenelement ydx des Stabes wird mit Hilfe der letzten Gleichung zu

P W , e d x.

du

p X

Um integrieren zu können, setze man -= u, und hat d x = und

y d x = — eu d u.

P

Mithin ist das Volumen des Körpers für unbestimmte Grenzen

J¹ y d x — — eu + C.

Ersetzt man hierin u wieder durch x und nimmt das Integral zwischen den Grenzen x = 0 und x = L, so erhält man als Volumen des ganzen Stabes

pL

(4)

Fig. 70.

216. Relative Festigkeit eines rechtwinkligen Stabes. Ist dieser Stab an einem Ende eingespannt und drückt am andern eine Kraft auf ihn, senkrecht zu seiner Längenrichtung, so wird sich der Stab biegen. Dadurch dehnen sich die Fasern auf der konvexen Seite aus, auf der konkaven ziehen sie sich zusammen. Wenn der Widerstand des Materials gegen die Ausdehnung und die Zusammenpressung gleich gross ist, was wir hier voraussetzen wollen, so bleibt die mittlere Faserschicht AC DB (Fig. 70) des Stabes ohne Längenänderung. Deshalb wird diese Schicht die neutrale Schicht

genannt.

Es seien CM und DN zwei

Querschnitte durch den Körper, die im unbelasteten Zustande des Stabes normal sind zu den Längenkanten.

Während der Biegung gehen diese Schnitte auf der einen Seite auseinander und nähern sich auf der andern, bleiben jedoch senkrecht zur Neutralschicht, werden sich also in einer Stelle F schneiden.

Zieht man den Schnitt D N' parallel zu CM, so kann angenommen werden, es habe sich dieser Querschnitt beim Eintreten der Biegung um eine Achse D in die LageDN

gedreht. Somit hat sich die Faser mn' ausgedehnt um n'n, die Faser M N' um N' N, etc.

Nun seien;

b, h, L Breite, Höhe und Länge des Stabes,

x = D n der veränderliche Abstand einer Faser m n von der Neutralschicht,

s, s' die Kräfte, womit prismatische Stäbe vom Querschnitte 1 in der Lage N und n verstreckt werden,

P die Kraft, die am freien Ende auf den Stab, senkrecht zur Längenrichtung, einwirkt und

z der Abstand der Drehachse D von der Richtung der Kraft P.

Es sollen nun das Festigkeitsmoment und das Elastizitätsmoment abgeleitet werden.

A. Festigkeitsmoment. Die Kräfte s und s' sind den Ausdehnungen NN' und nn', die sie veranlassen, proportional, und diese verhalten sich wie die Abstände DN und Dn; daher wird sein

,;i;

s : s' = -

■_t&\

: x; s' =

2s

TTX-

Legt man in den Abständen x und x-f dx von der Neutralschicht und parallel zu ihr zwei Flächen durch den Körper, so schliessen sie eine Schicht ein vom Querschnitte b d x. Geht man nun vom Querschnitte 1 zum Querschnitte b d x über, so geht die verstreckende Kraft s' über in

s'bdx =

x d x.

2 s b

Diese Kraft wirkt in n am Hebelarme Dn = x; ihr statisches Moment für die Drehachse in D ist daher    ^

(1)

x² d x,

somit die Summe der statischen Momente aller Kräfte, die auf der konvexen Seite Ausdehnung und auf der konkaven Verkürzung herbeiführen,

P

ł/ h

x² d x

m j cO

b h².

Da z den Abstand der Drehachse D von der Richtung der Kraft P bezeichnet, so ist das äussere Moment Pz, das den Stab biegt, gleich dem Momente der Widerstand leistenden Molekularkräfte. Daher das gesuchte Festigkeitsmoment

Ol

051 co

B. Elastizitätsmoment. Es seien E der Modul der Elastizität des Materials,

I = C D der sehr kleine Abstand der Querschnitte C M und D N auf der Neutralschicht,

Al — nn' die Verstreckung der Schicht mn' im Abstande x von der Neutralschicht und

p = DF der Krümmungshalbmesser des Kurvenstiickes CD.

Die Kraft, die einen prismatischen Stab vom Querschnitte F und der Länge l um Al ausdehnt, ist nach Formel (2) des § 212

F.

À

Al

oder

Diese Gleichung zeigt, dass für eine und dieselbe Spannung s des Materials in den äussersten Schichten P und z umgekehrt proportional sind. Für z = L werde P zu P'. Daher

bh²

P'“T'

Man nennt diesen Wert von P' das Tragvermögen des Stabes. Dasselbe ist somit proportional der Breite, dem Quadrate der Höhe und umgekehrt proportional der Länge des Stabes.

Hat der Querschnitt des Stabes die Form von Fig. 71, so muss man das Differential (1) von bis ih integrieren, um die Summe der statischen Momente der ausdehnenden Kräfte zu erhalten. Somit ist die Summe der statischen Momente sowohl der ausdehnenden als der zusammendrückenden Kräfte für diesen Querschnitt, d. h. das Festigkeitsmoment

s b (h³ — h'³)

f.

Fig. 71.

y////////////,

(3)

hä

z --

Au$ der Aehnlichkeit der Dreiecke Dnn' und D C F folgt nn' D n CD ⁼ 1ÏF

Setzt man diesen Wert von

Al

in (4) ein und vertauscht F mit b dx,

so erhält man als Kraft, die eine unendlich dünne Schicht im Abstande x von der Neutralachse verstreckt,

.4

x

E — b dx, und als statisches Moment dieser Kraft für die Drehung um die Achse D

E — x² d x.

Daher die Summe der Momente für alle Schichten des Querschnittes E bh³

(5)

Pz =

und o • P z == , _ ; ' 12

bh³

und fPz - “b (h³ — li/3).

und ebenso für den Querschnitt dar Fig. 71 E b (h³ — h/3)

(6) r*= ₁₂

Die letzten Gleichungen (5) und (6) zeigen, dass p dem Abstande z umgekehrt proportional ist. Wenn z = 0, wird p = go, d. h. der Stab hat am Angriffspunkte der Kraft P keine Krümmung. Wenn z = L, wird p am kleinsten. Folglich ist die Biegung am befestigten Ende am stärksten. Man ersieht, dass die Produkte p • P z, weil nur abhängig von E und den Dimensionen des Querschnittes, konstant sind; sie heissen Elastizitätsmomente.

und (6) sind

CO

Die Werte von Pz in (2) und (5), ebenso in einander gleich. Durch Gleichsetzen folgt

(7)

E 2 p ’

eine Relation, die sich unmittelbar auch aus den ähnlichen Dreiecken DNF und D C F ergibt. Man kann daher mittels (7) das Festigkeitsmoment aus dem Elastizitätsmomente ableiten und umgekehrt.

Wird die Spannung s angenommen, so kann mittels (7) der Krümmungshalbmesser p berechnet werden.

217. Relative Festigkeit eines cylindrisclien Stahes. Die Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in der letzten Aufgabe, nur dass der rechtwinkelige Querschnitt mit einem kreisförmigen vom Halbmesser R vertauscht wird. Die neutrale Schicht ACDB (Fig. 70) geht durch die Mitte sämtlicher Querschnitte, schneidet diese also längs Durchmessern. Man nennt einen solchen Schnitt HI (Fig. 72) ge-wöhnlich Neutralachse des Querschnittes.

Fig. 72.

1mm

Beschreibt man vom Mittelpunkte M aus mit den Halbmessern r und r-fdr zwei Kreise, so schliessen sie einen ringförmigen Querschnitt von der Breite d r ein. Legt man sodann zwei Radien M S und M S' unter den Winkeln S MI = (f und S' MI = (f -f- d (f, so schneiden diese Radien ein Flächenelement aus dem Ringe aus von der Länge r d <f, also vom Inhalte r d (f • d r, da dieses Element als Rechteck angesehen werden kann. Dieses Flächenelement hat den Abstand p q — r sin (f von der Neutralachse. Die Ausdehnung, die die Fasern von der Länge I an der Stelle dieses Flächenelementes bei der Biegung erhalten, sei Al = nn' (Fig. 70). Dann ist die Kraft, die einem prismatischen Stabe vom Querschnitte F und der Länge I eine Ausdehnung AI beibringt, nach Formel (2) von § 212

Al

F.

(1)

Setzt man hierin statt F das Flächenelement r d (f ■ d r und nach der vorigen Aufgabe

r sin (f

Al

so erhält man als Wert der Kraft, die das Stäbchen vom unendlich kleinen Querschnitte ausdehnt,

r² d r • sin (f d (f.

Der Hebelarm dieser Kraft, bei einer Drehung um die Neutralachse, ist =- r sin (f, also das statische Moment der Kraft

E

-— r³ d r • sin²(p d (/>.

Betrachtet man hierin r zunächst als konstant und integriert von (f = 0 bis (f = 2 n, so erhält man die Summe der statischen Momente der Kräfte, die die Fasern der ringförmigen Schicht ausdehnen und zusammendrticken. Nun ist

r» 2 n

sin²^ d    — n.

J o

Folglich das statische Moment für jene Schicht gleich

B 3a u — i"¹ d r.

Integriert man dieses Differential von r = B/ bis r = R, so erhält man die Summe der statischen Momente der Kräfte, die die Fasern innerhalb eines Ringes von der Breite R — R' ausdehnen und zusammendrücken, gleich

(R⁴ - R'⁴).

71 E

4 Q

Da dieses Moment nach der vorigen Aufgabe auch = Pz ist, so wird

(2)

Pz- —

71 E

(R⁴ - R/4).

7t E

Die Grösse———(R⁴ — R/4), also auch p • P z, hängt nur vom Querschnitte des Stabes und von seiner materiellen Beschaffenheit ab und wird Moment der Elastizität des Stabes genannt.

Für z = 0 wird p — oo, also ist der Stab am freien Ende nicht gebogen. Je grösser z ist, um ,so kleiner wird p. Folglich tritt die grösste Biegung an der befestigten Stelle ein. Für diese ist mithin

n E R⁴ - R'4 4 p

Die Relation (7) des vorigen Paragraphen verwandelt sich hier in

Mit Hilfe derselben erhält man aus dem Elastizitätsmomente das Festigkeitsmoment

(3)

„ n R⁴ - R'4 PZ = ^S B

Für z = L wird das Trag vermögen des Stabes

n R⁴ — R/4 T S R • L ‘

Wenn R' = 0, so erhält man für den massiven Cylinder

R⁴

(4)

Tt s R³

4 LP ’

Mithin ist das Tragvermögen P eines Cylinders der dritten Potenz des Halbmessers direkt und der Länge umgekehrt proportional.

Anmerkung. Wenn ein hohler und ein voller Cylinder aus demselben Materiale gleiche Länge und gleiches Gewicht haben, wenn R und R' die Radien des hohlen, r der des vollen Cylinders ist, so gilt für ihre Tragvermögen Pi und P2 aus (3) und (4) die Proportion

: r³.

Pi : P₂ =

R⁴ - R'⁴

Aus der Gleichheit der Gewichte und Längen beider Cylinder folgt aber n (R² — R'²) — n r² oder r = ]/ R² — R'²;

damit geht die obige Proportion über in

R² + R'²

Pi : P‘2 =

•V R² — R/2,

woraus folgt

Pi =

R² + R'²

■P2

r Kr² - R'²

d. h. die Tragfähigkeit des hohlen Cylinders ist grösser als die des vollen, und zwar wird das Verhältnis beider um so grösser, je näher R' dem R kommt.

Ist R' = nR, wo n < 1, so wird

Pi

1 -j- n²

Pj

KÏ- n*'

Man erhält für

n = 0,5;

0,9;

0,99

Pi

P2

= 1,44;    4,15;

14,03.

Daher ist es erklärlich, warum ein Strohhalm dem Wetter und der Schwere seiner Aehre so leicht widersteht ; überhaupt wird in der Natur die Röhrenform ausser im Pflanzenreiche, auch bei den Federn und Knochen der Tiere beobachtet, wodurch bei geringem Materiale und kleinem Gewichte doch eine grosse Festigkeit erreicht wird.

218. Torsion eines cylindrischen Stabes. Es werde ein senkrechter Kreiscylinder an einem Ende festgehalten und am andern durch ein statisches Moment, dessen Kraft in einer zur Achse normalen Ebene wirkt, verdreht.

Dadurch nimmt jede Faser, die vor der Torsion parallel zur Achse liegt, die Form einer Schraubenlinie an. Der Uebergang von der geraden Linie zu dieser Schraubenlinie bringt eine Längenänderung der Faser hervor, die zunächst bestimmt werden soll. Es sei L die Länge des Cylinders vor der Torsion,

R sein Halbmesser,

« der Drehwinkel am freien Ende, abgetragen als Bogen eines Kreises, dessen Radius die Einheit ist, und x die Entfernung irgend einer Längenfaser von der Achse.

Erste Voraussetzung. Wird angenommen, die beiden Grundflächen bleiben ebene Kreise, deren Abstand sich nicht ändere, so werden alle Längenfasern verstreckt bis auf jene, die mit der Achse zusammenfällt. Die Verstreckung wächst proportional dem Abstande von der Achse. Wickelt man die Cylinderfläche mit dem Radius x in eine Ebene ab, so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten L und a x und dessen Hypotenuse mit L -f- y bezeichnet werde. Daher wird

(L + y)² = L² + a²x²

oder, indem man die Klammer entfernt und y² gegen 2Ly vernachlässigt,

x².

«²

y= 2L

Die Verstreckung y ist daher proportional dem Quadrate des Abstandes x von der Achse.

Zweite Voraussetzung. Man nehme an, die Fasern verstrecken sich während der Torsion nicht. Um zu prüfen, was unter dieser Annahme im Innern des Cylinders vorgeht, lege man durch denselben und zwar bevor die Torsion beginnt, Schnitte senkrecht zur Achse; diese ebenen Schnitte gehen bei der Verdrehung in Rotationsflächen über, deren Meridiane in Ebenen liegen, die die Achse enthalten. Die Rotationsfläche durch die Mitte der Achse bleibt eben ; solche Flächen, die sich gleich weit von dieser befinden, erhalten gleiche Krümmung. Am stärksten ist die Krümmung an den Endflächen des Cylinders. Die Gleichung des Meridians der Grundflächen ist folgende.

Wickelt man die Cylinderfläche, deren Radius x ist, in eine Ebene ab, so entsteht, vom mittleren ebenen Querschnitte an gerechnet, ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse -|L, dessen eine Kathete ^ a x ist, und dessen andere durch ^ L — z ausgedrückt werde. Das Dreieck gibt

r-i <M

a² x²

woraus folgt, wenn z² gegen L z vernachlässigt wird

4L

£z«.

Die Kurve, deren rechtwinkelige Koordinaten x und z sind, ist mithin eine Parabel, durch deren Drehung um die Cylinderachse die Grundfläche des Cylinders entsteht.

Dritte Voraussetzung-, entsprechen der Wirklichkeit nicht, denn sie verlangen, dass ausser der Kraft, die die Drehung bewirkt, auch noch äussere Kräfte vorhanden seien, die Längenverschiebungen herbeiführen. fehlen. Daher wird man annehmen müssen, dass die äussern cylindrischen Schichten sich verstrecken, die innern sich verkürzen und dass die Summe der verstreckenden Kräfte gleich sei der Summe der verkürzenden Kräfte, dass sie sich mithin aufheben. Wo die Ausdehnung in die Verkürzung übergeht, liegt eine Schicht, die keine Längenänderung erleidet und die neutrale Schicht genannt wird. Diese Schicht kann cylindrisch angenommen werden. Sodann werde noch vorausgesetzt, dass jene ebenen Schnitte, die vor der Torsion senkrecht zur Achse standen, auch während der Torsion eben bleiben und nur ihre Abstände unter einander ändern. Unter dieser Voraussetzung soll nun bestimmt werden: der Halbmesser der neutralen Schicht und das statische Moment der Kraft, die eine beabsichtigte Verdrehung herbeiführen kann.

Die beiden ersten Voraussetzungen

Allein solche Kräfte

I. Halbmesser der neutralen Schicht.

Da jede Faser in der

Es sei a dieser Halbmesser und E der Modul der Elastizität (§ 216) des Materials für die Längenänderung, neutralen Schicht ihre Länge beibehält, so bildet sie abgewickelt die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen eine Kathete der Bogen a a und dessen andere Kathete somit KL²— a²a² ist. Eine Faser im Abstande x von der Achse ist die Hypotenuse eines recht-winkeligen Dreiecks, dessen beide Katheten «x und y h² — «² x² sind. Folglich ist die Länge einer solchen — pL² — «²a'² -f «'²x² und ihre Ausdehnung

}AI/² - «² a‘² + ix² x² — L.

Diese Ausdehnung wird = 0 für x = a und negativ für x < a, sie wird also im letztem Falle zu einer Verkürzung.

Die Kraft, die in der Richtung der Faser diese Längenänderung für jede Querschnittseinheit herbeiführt, wird nach § 212, Formel (2), sein

(1)

KL* - a²a² + «²x² - L

Zerlegt man diese Kraft in zwei Seitenkräfte, senkrecht und parallel zur Achse, so ist die letztere Seitenkraft

KL² - a² a²

(2) E

]/L'² - a² a² + a² x⁻² - L

K L² — a² a² + «² x²

Diese Kraft ist proportional dem Querschnitte der Faser, auf die sie wirkt. Multipliziert man sie daher mit 2 n x d x, so erhält man die Kraft, die eine Schicht ausdelmt, die zwischen zwei Cylinderflächen liegt, beschrieben mit den Radien x und x -j- d x. Integriert man sodann noch zwischen den Grenzen x = 0 und x = R, so erhält man die Summe der ansdelmenden und zusammendriickenden Kräfte, die in der Richtung der Achse liegen. Diese Summe ist

Da aber die Kräfte in der Richtung- der Achse in jedem Querschnitte sich das Gleichgewicht halten, so muss dieses Integral = 0 sein. Folglich erhält man zur Bestimmung von a die Gleichung

R¹

2ttE

Kl¹— a¹ a¹ P

X I'L¹

a¹ a¹ -j- a¹ x¹

= 2ttE-

Y L- — a¹ a-^R¹

L₀ (|/ L¹- a¹a¹ + a¹R¹ - VlJ - a¹ a¹) . a¹

ii. (J/L2 _ «2 a¹ + «¹ R¹ - ]/L¹ - a¹ a¹) - 0,

woraus sich ergibt

(3)

a ¹ R¹'

8 L¹ y

Für einen kleinen Torsionswinkel a ist daher annähernd

V2

== 0,707 R,

d. h. für schwache Verdrehungen beträgt der Halbmesser der Neutralschicht 0,707 vom Halbmesser des Cylinders.

II. Statisches Moment der verdrehenden Kraft.

Dieses Moment setzt sich aus zwei Teilen zusammen: dem Teile, der aus der Längen Verschiebung, und demjenigen, der aus der Querverschiebung entspringt.

A. Erstes Moment. Die Kraft (1), die eine Faser vom Querschnitte 1 in der Richtung der Schraubenlinie ausdehnt, gibt folgende Seitenkraft senkrecht zur Achse, also in der Richtung der Drehung

T, VL¹ — a¹ a¹ + a¹ x¹ — L

J/~L¹ - «¹ a¹ -j- oc ’ x¹

E —--zr-¹--

Diese Kra'ft verschwindet für x = a, weil in der neutralen Schicht keine Resultante vorhanden ist ; sie wird für Werte zwischen x = a bis x = R positiv und für Werte zwischen x = a und x = 0 negativ. Multipliziert man sie mit dem Flächenelemente 2 n x d x und dem Hebelarme x und integriert innerhalb der Grenzen x = 0 bis x — R, so ergibt sich

(4)

x³ -

Lx³

PL¹ — a¹ a¹ + a¹ x¹

dx

als statisches Moment der Torsion, das aus der Längenänderung hervorgeht. Nun ist

x³ dx

J Y4j2 —    a ¹ + a¹ x¹

x¹KL¹ — a¹ a¹ -j- a¹ x¹

«¹

Folglich der Wert des bestimmten Integrals (4)

2 n aE Tr⁴ L R² - «a a² + aL R² , 2L(L²-«²a²+«²R²)i

a²

3 a*

2 L (L² - a²a²)2 3 a*

Entwickelt man in Reihen und setzt den Wert von a aus (3) ein, so erhält man, wenn die Glieder von der fünften Potenz von a an vernachlässigt werden, als gesuchtes Moment

TT E

(5)

R⁶«3 24    L³"*

B. Zweites Moment. Wird ein prismatischer Stab von der Länge Lj* im Innern des Cylinders parallel zur Achse gedacht, an einem Ende in der Querrichtung um AL verschoben, so ist die verschiebende Kraft P, nach § 212, proportional der Verschiebung AL, dem Querschnitte F und umgekehrt proportional der Länge L. Bezeichnet T eine Konstante, die von der Natur des Materials abhängt, so ist diese Kraft

(6)

T AL

F.

AL

Wird F = 1 und

-— = 1, so ist P = T. Daher bedeutet T die

Jj

Kraft, die einen prismatischen Stab vom Querschnitte 1 soweit in der Querrichtung verschieben kann, dass die Verschiebung gleich wird der ursprünglichen Länge. Man nennt daher T Modul der Elastizität für Torsion.

Legt man mit den Radien x und x-j-dx zwei Cylinderflächen, so schliessen sie eine Schicht ein vom Querschnitte 2 n x d x. Setzt man diesen Wert für F in (6) und ersetzt A L durch die Verschiebung a x, so erhält man als Kraft, die diese Schicht verdreht,

T —-— 2 n x d x.

lj

Das statische Moment, womit diese Kraft der Drehung widersteht, wird erhalten, wenn man die Kraft multipliziert mit dem Hebelarme x. Dehnt man dieses Moment auf alle Schichten aus, die den Cylinder zusammensetzen, so erhält man das gesuchte Moment

(7)

2tt T«

Hiernach wird das gesamte Moment M, womit der Cylinder der Drehung Widerstand leistet, als Summe aus (7) und (5)

___ Rß «³

L ¹    24 ‘ L³ '

R⁴ «

Zwischen den Kräften T und E besteht folgender Zusammenhang. Wenn T eine Querverschiebung’ herbeiführt, die so gross ist als die ursprüngliche Länge L des Stabes, so wird die Länge des Stabes zur Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Katheten L und L, erhält also den Wert L |^2. Die Zunahme an Länge wird also L ]^2 — L, während die Kraft E eine Zunahme — L hervorbringt. Diese Zunahmen verhalten sich wie ([^2 —l):l. Gerade ebenso verhalten sich auch die Kräfte, die sie veranlassen. Daher ist

T:E = (K2 —l):l,

w’oraus folgt T = 0,414 E. Nach Navier nimmt man hierfür gewöhnlich T = 0,4 E.

(9)

Führt man diesen Wert von T in (8), so wird Ar zrE R⁴a r 5 /R«yi

5 L L ⁺ 24 C L ) J*

Man ersieht aus Gleichung (8), dass der Teil des gesamten Momentes, den die Längenänderungen liefern, sehr klein ist gegenüber dem andern Teile ; weshalb gewöhnlich nur der von der Querverschiebung herrührende in Rechnung kommt. In diesem Falle erhält man aus (9)

(10)

ix E R⁴ a M =    5    ~L

Diese Formel findet bei der Coulomb’sehen Drehwage, bei den cvlindrischen Wellen zur Uebertragung der Kraft etc. ihre Anwendung.

Für einen hohlen Cylinder erhält man aus (7), indem man das Integral von x = r bis x = R nimmt,

5L“(R4-r4>-

(H)

71 E

Es sei s die Kraft, die an der Oberfläche des Cylinders einem Stäbchen vom Querschnitte 1 eine Querverschiebung = R a zu geben vermag. Da der Kraft T eine Verschiebung L entspricht, so besteht die Relation

Ra

die der Gleichung (7) des § 216 entspricht. Führt man hieraus den Wert von T in (10) und (11) ein, so erhält man für den massiven und hohlen Cylinder

71 S

(12)

— (R⁴ - r⁴).

•^sR³ und M =

di

Die Momente (9), (10) und (11), die den Drehwinkel enthalten, heissen Elastizitätsmomente, jene unter (12), die die Spannung s enthalten , Festigkeitsmomente. Man erkennt, dass das Verhältnis M : a für einen und denselben Cylinder konstant ist.

219. Torsion eines abgekürzten geraden Kreiskegels. Der Kreiskegel sei an der grösseren Grundfläche BD (Fig. 73) festgehalten und werde am anderen Ende AC durch ein statisches Moment M, das in der Ebene der kleinern Grundfläche wirkt, gedreht. Es seien:

R, r die Halbmesser der grösseren und kleineren Grundfläche,

L = A B die Achsenlänge des Kegels, x = Aa ein veränderliches Stück auf der Kegelachse, y = a b der Halbmesser eines zur Achse normalen Schnittes durch den Punkt a und

a, <p die Torsionswinkel des Kegels für die Längen x und L.

Fig. 73.;

Der Winkel « ist eine Funktion von x, so ^ ^dass a um d a zunimmt, wenn x um d x wächst. Wenn also aa' = dx ist und man durch a' einen Schnitt senkrecht zur Achse legt, so ist d a der Torsionswinkel für einen Cylinder von der Höhe dx, liegend zwischen den Querschnitten durch a und a'. Wird die Formel (10) der vorigen Aufgabe auf diesen Cylinder angewendet, also nur auf die Querverschiebungen Rücksicht genommen, so erhält man

5M dx ttE y

Zieht man die Gerade Cpq parallel zur Achse, so geben die ähnlichen Dreiecke C p b und C q D die Proportion (y — r) : (R — r) = x : L, woraus folgt

dy

R —7*

T y-r R — r

Setzt man diesen Wert von dx in den von da, so kommt

5M L dy “ " 7T E ' R - r ' y⁴ ‘

Um hieraus den Torsionswinkel für die ganze Länge des Kegels zu erhalten, hat man wie folgt zu integrieren

pH

vj, y~‘dy’

d« =

5 M L n E R —

daher als Wert des Dreh winkeis am befestigten Ende 5 M L r i 1 3^t¥ ’ r7^7    “ R³

oder

5ML R² + Rr + r2 37¥ R³ r³

Wird hierin r = R, so geht diese Formel über in die für den Cylinder, wie es sein muss.

XV. Aufgaben über die Anziehung nach dem Gesetze der

Gravitation.

220.    Gesetz der Anziehung. Zufolge des Newton’sehen Gesetzes der Gravitation ist die Kraft, mit der zwei materielle Teilchen sich anziehen, direkt proportional den Massen dieser Teilchen und umgekehrt proportional dem Quadrate ihres Abstandes.

Sind m, m' die Massen der Teile, r ihr Abstand und f eine Konstante, so ist die Anziehung beider Massen gleich

m m' r²

Setzt man in dem vorstehenden Ausdrucke m = m' = 1 und r.= 1, so wird die Konstante f diejenige Kraft bezeichnen, die zwei Masseneinheiten in der Entfernung — 1 aufeinander ausüben.

221.    Anziehung eines Punktes und einer geraden Linie, deren Richtung durch den Punkt geht. Es seien m die Masse des anziehenden Punktes A (Fig. 74), in' die Masse der Längeneinheit der Geraden, a und b die Entfernungen der Endpunkte B und D der Fig. 74. Geraden vom anziehenden Punkte. Man bezeichne mit x den Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden von A. Lässt man x in x-j-dx übergehen, so entsteht auf der Geraden ein Teilchen von der Länge dx und der Masse in' d x. Die Anziehung dieses Teilchens und der Masse m ist daher nach § 220

*"4i

„ mm'dx

X²

f-^-.

Folglich die Anziehung der ganzen Linie und der Masse m

fmm'

r*

a

—² d x = f m m'

b/

Reicht die Gerade bis zum Punkte A, so ist a = 0, also erscheint die Anziehung = oo. Allein die Aufgabe muss als eine physikalische aufgefasst werden, wonach die materiellen Teilchen in A und B Ausdehnung haben, also nicht zusammen fallen können, wie mathematische Punkte. Ausserdem ist zu beachten, dass das Teilchen in B eine verschwindend kleine Masse hat und selbst bei einem sehr kleinen Abstande von A nur eine kleine Anziehung auf A ausiiben kann.

Um dieses zu zeigen, sei der Abstand der Schwerpunkte von A und B = «, die Länge des Teilchens in B = a, der Querschnitt der Geraden =a², also das Volumen des Teilchens = a³. Ist in der Kubikeinheit der Geraden eine Masse m" enthalten, so ist die Masse des Teilchens in B gleich m" a³ und daher die Anziehung zwischen A und B

m m' «

— f m • m" a.

m m" a³

«²

«²

Dieser Schlusswert ist wegen des Faktors a eine sehr kleine Grösse.

Wird b = cc angenommen, so erhält man als Anziehung eines Punktes und einer unendlich langen Linie

m m'

m • m' a

a²

wo M = m'a die Masse der Linie A B bezeichnet. Diese Anziehung ist also ebenso gross, wie die einer Linie von der Länge a, im Abstande a von der Masse m konzentriert gedacht.

Fig. 75.

222. Anziehung einer Geraden und eines Punktes, der ausserhalb der Richtung der Geraden liegt. Es seien m die Masse des anziehenden Punktes A (Fig. 75), m' die Masse der Längeneinheit der Geraden C D und a — A B die Länge des Lotes vom anziehenden Punkte nach der Geraden. Ferner sei x = Bc ein beliebiges Stück der Geraden, von B aus gezählt. Geht x in x-f dx über, so entsteht auf der Geraden ein Teilchen von der Länge d x und der Masse m' d x. Der Abstand dieses Teilchens von der Masse m ist Ac — Y a² + x², folglich die Anziehung der Massen m'd x und m

(1)

m m' d x a² -f- x² ’

Teilt man die Gerade in unendlich viele solcher Massenteile m'd x und bestimmt ihre Anziehungen auf die Masse in, so erhalten diese Kräfte verschiedene Richtungen, weil sie alle nach A hin konvergieren.

wovon

Richtung der Geraden zusammenfallen, nach derselben Richtung addiert werden.

Man zerlege deshalb diese Anziehungen in zwei Seitenanziehungen, die einen normal sind zur Geraden, die andern aber mit der

Alsdann können die Kräfte

1. Die Seitenkraft von (1) in der Richtung der Geraden CD ist _ m m' d x

^ a² + x²

cos AcB = fmm'

IC «

(a² + x²)

Um dieses Differential zu integrieren, setze man a² + x² = z², also x d x = z d z, und erhält statt des letzten Differentials

z²

f m m'

Hiervon ist das Integral für unbestimmte Grenzen

f m m'

z~² d z = — f m m' ——C.

Um die Anziehung- des Stückes B c auf die Masse m zu erhalten, muss das vorstehende Integral von x = 0 bis x = x, also entsprechend von z = a bis z = Y a* -j- x² genommen werden. Dies gibt

\Ta2 + x2

f m m'

|/"a² 4- x² /

~² d z — f m in'

Setzt man hierin x = oo, so erhält man als Anziehung

m m'

m - m'a

a²

also dasselbe, was in der letzten Formel der vorigen Aufgabe.

Wenn der Teil D B der Geraden gleich ist B c, so entsprechen beiden Teilen gleiche Anziehungen, jedoch mit entgegengesetzten Zeichen. Diese Anziehungen heben sich somit auf. Wenn aber DB = x'<x, so entsteht eine Kraft in der Richtung von C nach D gleich der Differenz

f m m'

j^a² + x²

l^a² 4- x'²

— f m m'

Y a² + x/2

sin A c B = f a m m'

II. Die Seitenkraft von (1) normal zur Geraden CD ist mm'dx

a² -j- x²

(a² 4- x²)²

Behufs der Integration setze man a²4x² = x²z², wo z eine neue Variable bezeichnet; dann ist

x² =

a²

z² -

a² 4- x² =

a² z²

z² — 1

; dx — —

(z² - l)²

y- ; folglich

famm'

= — f m m'

(a² 4" x²)²

az²

Das Integral hiervon ist

famm'

dx

m m'

3-= f

d    az

f C.

(a² 4- x²)²

Da aber z = a² 4- x² : x, so erhält man als Anziehung der Masse m und des Stückes B c der Geraden

famm

dx

mm'

|^a² + x²

(a² 4- x²)²

Wenn das Stück BD der Geraden = x' gesetzt wird, so erhält man als Anziehung der Masse m und der Geraden D c eine Summe gleich

f mm' /

a V

x'

ya² 4 x²    }/~a² 4 x'² )

Anziehung der Masse m und einer nach beiden Seiten ins Unendliche verlängerten Geraden

m m'

Bemerkung. Befindet sich in A der Pol eines Magneten und wird die Gerade I) C von einem galvanischen Strome durchflossen, so gibt der letzte Ausdruck auch die Anziehung zwischen diesem Magneten und dem galvanischen Strome an. Dabei bezeichnet m die freie Flüssigkeit im magnetischen Pole und m' die Stromintensität.

Fig. 76.

223. Anziehung der Spitze und der Grundfläche' eines geraden Kreiskegels. Es sei AB = a (Fig. 76) die Achse und BC = R der Halbmesser der Grundfläche des Kegels; ferner sei m die Masse des anziehenden Punktes in der Kegelspitze und m' die Masse der Flächeneinheit der Grundfläche.

Man ziehe den Radius BD so, dass der Winkel CBD = cp eine unendlich kleine Grösse wird ; beschreibt man sodann mit den Radien Bx = x und x-f dx um B zwei Kreise, so liegt zwischen diesen Kreisen und jenen beiden Radien eine unendlich kleine Fläche, die als Rechteck betrachtet werden kann. Der Inhalt dieses Flächenelementes ist = ^pxdx, dessen Masse =|m' cp x d x und dessen Abstand A x von der Kegelspitze = \ a² -f- x²; die Anziehung dieses Massenelementes und der Spitze ist daher

f m nF

cp x dx a² -f- x²*

Man zerlege diese Kraft in zwei Seitenkräfte, wovon die eine längs des Halbmessers x B und die andere parallel zur Achse, also senkrecht zur Grundfläche, wirkt. Die erstere Seitenkraft wird durch eine zur Achse AB symmetrisch gelegene Seitenkraft aufgehoben. Die letztere Seitenkraft ist

frnm'^)

a² -j- x²

sin A x B = f a m m ‘cp

(a² +x ²)²

Dehnt man hierin den Bogen cp' zu 2 n aus, so erhält man die Anziehung zwischen der Masse m und der jener Ringfläche, deren Radien x und x-f dx sind, gleich

(!)

2 Tr a f mm' —

(a² -f- x²)²

Das Integral dieses Ausdruckes von x = 0 bis x = R gibt die gesuchte Anziehung der Spitze und Grundfläche des Kegels. Um die Integration zu vereinfachen, setze man a² -f- x² = z²; es wird xdx = zd z; folglich das vorstehende Differential (1)

2 n a f m m' z~² d z

und da

m m'

2 re a f m m' J z—2 dz = — 2 7r a f

so erhält man als gesuchte Anziehung, wenn z durch x ersetzt wird

x d x

J o V a² 4- x²

Dieser Ausdruck gilt für jeden Wert von a, der von der Null verschieden ist.

(2)

2/rafmm'

z~ + C)

■n

KaÄ+R² /

224. Anziehung einer in der Spitze eines geraden Kegels befindlichen Masse und der Masse dieses honiogonen Kegels. Es sei h die Höhe und s eine Seitenlinie des Kegels; ferner m die in der Spitze des Kegels befindliche Masse und in' die Masse der Kubikeinheit des Kegels.

Legt man in den Abständen x und x -f- d x von der Spitze zwei Querschnitte durch den Kegel, senkrecht auf die Achse, so schliessen sie eine cylindrische Scheibe von der Dicke dx und einem Halbmesser ein, der mit y bezeichnet werde.

Die Anziehung der Masse und dieser Scheibe kann ausgedrückt werden durch Formel (2) der vorigen Aufgabe, wenn daselbst m' mit m'dx, a mit x und Jt mit y vertauscht wird. Man erhält

2 n f m m' d x ( 1 —    —Y

V    V*‘ + y‘ )

Allein das Verhältnis x: |/~x²-f y² ist gleich dem Verhältnis h:s, deshalb wird der vorstehende Ausdruck

2 rr f m m' d x ^ 1---^

Mithin die Anziehung der Masse m auf den ganzen Kegel

2 n f m m'

dx =

2 n f m m' h ^ 1--\

225. Anziehung einer homogenen Halbkugel und einer im Mittelpunkte der Kugel befindlichen Masse. Diese im Mittelpunkte liegende Masse sei = m, die Masse der Kubikeinheit der Kugel = m' und der Halbmesser der Kugel = r.

Legt man in den Abständen x und x 4- d x von der begrenzenden Halbkreisfläche zwei Schnitte durch die Kugel, so schliessen sie eine cylindrische Scheibe ein von der Dicke dx; ihr Halbmesser sei y. Die Anziehung der Masse m und dieser Scheibe wird daher nach Formel (2), § 223, sein, indem man m' mit m'dx vertauscht,

2 n f m m' d x ( 1

Vx‘ + y' j

Allein es ist x²-|-y² = r²; folglich die vorstehende Anziehung

2 n f m m'dxf 1--—

Mithin die gesuchte Anziehung der Masse m und der Halbkugel

2 n f m m'

<fódx C¹ — t) ⁼

n f m m' r.

Die Masse der Halbkugel ist = |7rr³m'. Denken wir uns diese Masse in einem solchen Abstande z vom Mittelpunkte konzentriert, dass die Anziehung zwischen ihr und m dieselbe bleibt, wie wenn die Masse gleichförmig im Volumen der Halbkugel verteilt wäre, so wird sein

n f m m' r —

7rr³m'mf

i-Ï*—

woraus folgt

z = r Yj- = 0,816 r.

Dieser Punkt im Abstande z vom Mittelpunkte der Kugel wird der Mittelpunkt der Anziehung der Masse genannt.

226. Anziehung einer homogenen Kugel und eines Punktes auf der Oberfläche der Kugel. Die Masse des anziehenden Punktes A (Fig. 77) auf der Kugel sei = m, die der Kubikeinheit der Kugel = m' und der Halbmesser der Kugel = r.

Nimmt man A zum Anfangspunkte zweier rechtwinkeligen Achsen A x, A y, wovon die erstere durch den Mittelpunkt der Kugel geht und die letztere die Oberfläche derselben berührt, so ist die Gleichung des grössten Schnittkreises der Kugel, der diese Achsen enthält, y² = 2rx — x². Wenn man in den Abständen x und x -f- d x zwei Schnitte durch den Körper, senkrecht auf A x legt, so schliessen sie eine cylindrische Scheibe von der Dicke dx und einem Halbmesser y ein. Die Anziehung der Masse m und dieser Scheibe ist nach Formel (2), § 223, für m'dx statt m'

2 n f m m' d x ( 1 —

Fig. 77.

A\

.. .

Vx’² + y² )

Allein es ist x² + y² = 2rx; folglich lautet das vorstehende Differential

27rfmm/dx^l

Mithin die Anziehung der Masse m und der anliegenden Halbkugel

2 n f m m'

dx 1 —

X2~

J/2r

= 2 Tr f m m' r ^1--

Bezeichnet z den Abstand des Punktes A vom Mittelpunkte der Anziehung dieser Halbkugel, so wird sein

= 2 n f m m' r

(-J?)

2 fmm'7rr³

z²

woraus folgt

= 0,794 r.

Die Anziehung des Punktes A auf die ganze Kugel ist

2 n f m nF

J'(

xy

-—n im nF r.

O

VYv

Ist der Abstand des Punktes A vom Mittelpunkte der Anziehung der Kugel = z, so muss sein

4 afmm'r³

z²

= — ri f m m' r, ô

woraus folgt

z = r,

d. h. jede homogene Kugel zieht einen Punkt auf ihrer Oberfläche so an, wie wenn die Masse der Kugel in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre.

Fig. 78.

227. Anziehung zwischen einer homogenen Kugel und einem Punkte ausserhalb der Kugel. Die Masse des anziehenden Punktes A (Fig. 78) ausserhalb der Kugel sei = m, die Masse der Kubikeinheit der Kugel = nF; ferner der Abstand von A bis zum Mittelpunkte B der Kugel = b, der Halbmesser der Kugel = r.

In einem grössten Schnittkreise, gehend durch A, nehme man zwei rechtwinkelige Koordinatenachsen BA und By an. Die Koordinaten eines Punktes C in diesem grössten Kreise seien BD = x,

D C = y ; also wird sein y² = r² — x². Legt man in den Abständen x und x + dx von B aus zwei Schnitte durch die Kugel, senkrecht auf die Abscissenachse, so scbliessen sie eine cylindrische Scheibe ein von der Dicke dx und dem Halbmesser y. Der Abstand derselben von A aus ist AD-b-x. Folglich ist die Anziehung zwischen dieser Scheibe und der Masse m, nach Formel (2), § 223

2 re f ni nF d x ( 1

K(b — x)² + y

r)

Allein es ist

(b — x)² -|- y² = b² -j- r² — 2 b x.

Mithin das vorstehende Differential

2 ix f m nF d x ( 1

V"b² -f- r² — 2 b x/

Behufs der Integration setze man b² -|— r² — 2bx = u; dann ist

b² + r² — u

2b

dx = -

2b ’

Folglich das obige Differential

n f m m'

b² — r²

2b

u“T

IO

er «I “

du.

j^b² + r² — 2 b x a

oder, indem man den Wert von u einführt,

b² -r²

7rfmm'

^b² -f- i*² — 2 b x

Das unbestimmte Integral dieser Formel ist

b² — r²

n f m m'

uT-

(b² -f r²-2bx) ^ + C.

Um die Anziehung zwischen der ganzen Kugel und dem Punkte A zu geben, muss dieses Integral zwischen den Grenzen x = — r bis x = r genommen werden. Der Wert dieses Integrals ist

für die obere Grenze 7i f in m'

((b - r)²-

b² — r²

1)

(b - r) -

V (b

3^,

für die untere Grenze n f m m'

((b + r)²

b² — r²

(b + r)

r)³J + C, (b + r)*) + C.

Zieht man den letztem Wert vom erstem ab, so erhält man nach einer einfachen Reduktion die gesuchte Anziehung gleich

Tr f m tn'

r3

b² *

Nun ist aber zrin'r³ = M die Masse der Kugel; folglich ihre Anziehung auf die Masse m ausserhalb derselben gleich

mM b² ’

Die Kugel zieht also den Punkt A gerade so an, wie wrenn ihre Masse in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre.

XVI. Aufgaben über das Potential.

228. Ausdruck für das Potential. Diese Grösse tritt auf in der Lehre von der Elektrizität und dem Magnetismus.

Nach dem Coulomb’sehen Gesetze ziehen sich ungleichartige Teile von Elektrizität und Magnetismus an, gleichartige stossen sich ab und ’ zwar nach dem gleichen Gesetze (§ 220), das Newton über die Anziehung ponderabler Massen nachgewiesen hat. Es ist daher die anziehende, ebenso die abstossende Kraft zwischen zwei elektrischen wie zwei magnetischen Massenelementen proportional dem Produkte ihrer Massen und umgekehrt proportional dem Quadrate ihres Abstandes.

Bezeichnen m, in' die Massen der Teile und r ihren Abstand, so ist daher der Ausdruck für die Kraft zwischen beiden Teilen

„mm'

worin f jene Kraft darstellt, die zwei Masseneinheiten in der Entfernung 1 aufeinander ausüben.

Bei den wägbaren Stoffen wird die Masse ausgedrückt durch das Gewicht, dividiert durch die Beschleunigung beim freien Falle (§ 181). Da nun Elektrizität und Magnetismus nicht wägbar sind, so hat auch der Ausdruck „Masse“ nicht denselben Sinn wie bei ponderablen Stoffen. Masse bezeichnet dann soviel wie Menge.

Ziehen sich die Massen an, so betrachtet man die Grösse (1) als positiv; stossen sie sich ab, als negativ.

Nun nehme man die Masse m als Einheit an und denke sich dieselbe in einem bestimmten Punkte P konzentriert; nehme ebenso f="l; dann geht (1) über in

(2)

m'

Diese Grösse ist also die Kraft, die ein Massenelement m' im Abstande r auf eine in P befindliche Masseneinheit ausübt.

Nun nennt man den Quotienten m' : r aus Masse und Abstand r das Potential der Masse m' in Bezug auf die Masseneinheit in P. Bezeichnet man das Potential mit Y, so ist

¹

(L¹ — a¹a¹ + ct¹x¹)¹

in'

(3)

Zwischen dem Potentiale (3) und der ihm entsprechenden Kraft (2) besteht nun eine einfache Eelation. Man erhält nämlich durch Differentiation von (3), indem man m' als konstant betrachtet,

m'

(4)

d V

r‘2

Der Differentialquotient des Potentials, mit entgegengesetztem Zeichen genommen, ist also die Kraft (2). Kennt man daher die eine der beiden Grössen, so kann die andere aus ihr abgeleitet werden.

229. Physikalische Bedeutung des Potentials. Das Massenteilchen m' befinde sich - im Abstande r von der Masseneinheit in P. Lässt man r übergehen in r + dr, so durchläuft die Kraft (2) den Weg dr und verrichtet eine Arbeit gleich

** M

g Sh

o.

da hier die Kraftrichtung und Wegrichtung zusammenfallen. Das Integral dieser Differentialformel ist für unbestimmte Grenzen von r:

f» dr

m'J

und für die Grenzen r und s, wobei s > r vorausgesetzt werde,

f*s dr mJ r r^"

(2)

m'

m'

m'

Autenheimer, Elemeutaibuch.

16

Nach dem Gesetze (2) des § 228 nimmt die Anziehung mit der Zunahme der Entfernung rasch ab. Bezeichnet daher s die Entfernung des Punktes P bis an die Grenze des Kraftfeldes, so wird das zweite Glied rechts in Gleichung (2) zu Null, und man erhält als Arbeit, die verrichtet wird, indem die Masse m' den Weg s — r, in der Richtung von r, durchläuft, den Ausdruck

m'

Diese Grösse ist also nichts anderes als das Potential der Anziehung. Das Potential bedeutet daher Arbeit (potentielle Energie).

Bilden die Grössen m', m", m"', . . ein System von Massenteilchen, die auf die Masseneinheit im Punkte P einwirken, so wird das Potential eines jeden Teilchens in der gleichen Weise, wie soeben gezeigt, abgeleitet; daher das Potential des ganzen Systems für die Masseneinheit in P, wenn das Potential mit Y bezeichnet wird,

Wenn in dieser Summe die Massenteilchen in irgend einer geometrisch bestimmten Weise Zusammenhängen und die Grösse m' hinter dem Summenzeichen A das Differential der gesamten einwirkenden Elektrizitätsmenge bezeichnet, so geht dieses Summenzeichen in das

Integralzeichen

k)

über.

230. Potential einer materiellen geraden Linie in Bezug auf einen Punkt P in der Geraden. Ueber diese Gerade sei Elektrizität gleichförmig verteilt und zwar eine Menge m' für jede Längeneinheit; im Punkte P befinde sich die Masseneinheit. Ein Punkt der Geraden habe von P aus den Abstand x. Lässt man x zunehmen um dx, so enthält dieses Element d x die Elektrizitätsmenge m' d x. Dividiert man diese durch ihren Abstand x von der Masseneinheit, so erhält man folgendes Differential des Potentials

(1)

dx

d V = m'-.

Folglich wird, indem man durch dx dividiert, die Grösse

in'

d V

nach Gleichung (4) von § 228 die Anziehung der Elektrizität der Geraden auf die Masseneinheit sein, was auch durch § 221 bestätigt wird. Das Integral von (1) gibt das Potential

V = m' / x + C,

das für die Grenzen a und b, wobei b > a sein soll, übergeht in

so [ a"

231. Potential der Grundfläche eines senkrechten Kreiskegels in Bezus; auf die Spitze des Kegels. In der Grundfläche des Kegels sei die Elektrizität gleichförmig verteilt; jede Flächeneinheit enthalte die Menge m'. Die an gezogene Masseneinheit liege in der Spitze des Kegels.

Fig. 79.

<A

I!

Es sei (Fig. 79) AB = a die Achse und BG = r der Halbmesser der Grundfläche des Kegels. Man ziehe den Radius B D so, dass der Winkel CBD — ip unendlich klein wird; beschreibt man sodann mit den Radien B x = x und x 4- d x von B aus in der Grundfläche zwei Kreise. so liegt zwischen diesen Kreisen und den beiden Radien eine unendlich kleine Fläche = ^ x d x, enthaltend die Elektrizitätsmenge m'(/ xdx. Der Abstand dieses Massenelementes von der Kegelspitze ist = [Aa² -f- x- ; folglich das Potential dieses Elementes

(1)

m' (f x d x

V a² -j- x²

In diesem Ausdrucke ist zunächst (f auf 2 n auszudehnen, wodurch man als Potential eines unendlich schmalen Kreisringes

(2)

m' • 2 n x d x

y a² -f- x²

erhält.

Um in Hinsicht x zu integrieren, setze man a²-)-x² = z²; alsdann wird x d x — z d z ; dadurch geht (2) über in

dV = m' • 2 7r d z; daher ist das Integral für beliebige Grenzen

Y = m' • 2 n z -f- C = m' • 2 n j^a² -)- x² + C

und für die ganze Grundfläche

(3)

Y = m' • 2 n (Ka² r² — a).

Um nun die Anziehung der Spitze und Grundfläche zu erhalten, ist zu beachten, dass die anziehenden Kräfte nicht parallel sind, also nicht direkt addiert werden können. Man wird aber nach Gleichung (4) von § 228 aus dem Potentiale nach bestimmter Richtung die Kraft erhalten, wenn man das Potential nach dieser Richtung differentiiert. Da sich nun die längs A x gerichtete Kraft zerlegt in eine Komponente, parallel zur Grundfläche, und in eine solche, parallel zur Achse a, so wird man Gleichung (3) differentiieren, das eine Mal in Hinsicht einer Variabein, parallel zur Grundfläche, das andere Mal in Hinsicht des Abstandes a. Allein der Richtungen, parallel zur Grundfläche, gibt es unendlich viele; eine bezügliche Variable kommt in (3) gar nicht vor. Also muss der Ausdruck rechts in (3) mit Rücksicht auf diese Differentiation als konstant angesehen werden, es wird daher d V = 0, d. h. die Kräfte, die parallel zur Grundfläche gerichtet sind, heben sich auf.

S. § 235.

Die Differentiation von (3) in Hinsicht a gibt

dV

= nF • 2 ri

( — a-----— l\

\ Y a² -f- r² /

welcher Wert des Differentialquotienten mit umgekehrtem Zeichen zu nehmen ist, um nach Formel (4), § 228, die Anziehung- längs der Achse zu geben.

Wird a = 0, so fällt die Spitze des Kegels in die Mitte der Grundfläche. Dann wird mit Hilfe von (3) das Potential

V = nF • 2 n r= 2

wenn die im Kreise enthaltene Elektrizitätsmenge m' • n r² mit M bezeichnet wird.

Dieses enthält die Elektrizitätsmenge

232. Potential einer Cylmderfläche in Bezug auf einen Punkt in der Achse des Cylinders. Ueber die Cylmderfläche mit dem Radius r sei Elektrizität gleichförmig verteilt; es sei m' die Menge derselben für die Flächeneinheit. Im Punkte P der Achse befinde sich die angezogene Masseneinheit. Legt man in den Abständen x und x-f dx von P aus Querschnitte durch den Cylinder, senkrecht zur Achse, so schneiden diese ein Flächenelement aus von der Breite d x und dem Umfange 2 n r, also dem Inhalte 2 n r d x. m' • 2 n r d x. Alle Teile dieses Elementes haben einen Abstand j/'r² -f x2 von P, also ist ihr Potential

(1)

m' • 2 n r d x

V v² -j- x²

und das Potential einer Cylmderfläche, die sich um eine Länge x von P aus ausdehnt, indem man (1) integriert,

(2)

Y = in' • 2 n r I

x -j- V r² x²

Dividiert man Gleichung (1) durch d x, so erhält man als Anziehung längs der Achse

nF • 2 n r

dV

|^r² + x²

x yr-2 _|_ x²’

worin M die Elektrizitätsmenge nF • 2 n r • x bezeichnet.

In jedem Querschnitte, senkrecht zur Achse, wirken Kräfte radial und heben sich auf.

233. Potential der Oberfläche einer Halbkugel in Bezug auf «deren Mittelpunkt. Auf dieser Oberfläche mit dem Radius r befinde sich auf der Flächeneinheit die Elektrizitätsmenge nF, die anziehend wirke auf die elektrische Masseneinheit im Mittelpunkte P der Kugel. Legt man parallel zum grössten Schnittkreise (Grundfläche), der die Halbkugel begrenzt, zwei ebene Schnitte in den Abständen x und x + d x,

so schneiden sie eine Flächenzone aus von der Höhe dx, also dem Inhalte 2 tc r d x und der Elektrizitätsmenge m' • 2 n r d x. Alle Teile dieser Masse haben den gleichen Abstand r von P; daher ist das Potential dieses Elementes

0)

dV = m' • 2 7T d x

und das Potential der halben Oberfläche der Kugel, indem man (1) integriert,

V = m' • 2 7t r =

wo M = m'-2yrr² die auf der Halbkugel befindliche Elektrizitätsmenge darstellt.

Die anziehenden Kräfte, die von der Oberfläche nach P gerichtet sind, zerlegen sich in solche, die parallel, und in solche, die senkrecht zur Grundfläche gerichtet sind. Die ersteren heben sich gegenseitig auf; die letzteren, parallel zu x gelegen, werden erhalten, wenn man (1) dividiert durch dx. Daher sind diese Kräfte

= m' • 2 n =

BdV

r²’

234. Potential der Oberfläche einer Kugel in Bezug auf einen beliebig gelegenen Punkt. Die Menge der Elektrizität, die auf der Oberfläche der Kugel gleichförmig verteilt ist, sei für jede Flächeneinheit m'; die angezogene elektrische Masseneinheit befinde sich in P, in einem Abstande a vom Mittelpunkte 0 der Kugel, deren Radius r sei.

Wenn zwischen 0 und P zwei Querschnitte durch die Kugelfläche, senkrecht zu OP, in den Abständen x und x-j-dx von 0 aus gelegt werden, so schliessen diese Schnittebenen eine Kugelzone ein von der Höhe dx; ihr Flächeninhalt beträgt 2/rrdx und die auf ihr angesammelte Elektrizitätsmenge m'-27rrdx. Alle Teilchen dieser unendlich schmalen Zone haben einen gleichen Abstand u von P; daher ist das Potential dieses Elementes

(1)

dV =

tn' • 2 n r d x

In diesem Ausdrucke kommen rechts zwei Variable u und x vor, es muss daher vor der Integration die eine durch die andere ausgedrückt werden. Die Linie u reiche von P aus nach einem Punkte Q, der auf der unendlich schmalen Zone liegt. Daher entsteht das Dreieck 0 P Q mit den Seiten a, u und r. Fällt man in diesem Dreieck von Q aus auf die gegenüberliegende Seite 0 P das Perpendikel Q T — y, so wird jenes Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke P QT undOQT zerlegt, aus denen folgt

u² — (a — x)² -j- y² und y² = r² — x².

Daher ergibt sich durch Elimination von y aus diesen beiden Gleichungen u² = a² -f r² — 2 a x

und durch Differentiation dieser Gleichung

(2)

udu = — a d x,

wodurch also x durch u ausgedrückt ist. Nimmt man nun x, in der Richtung von 0 aus nach P hin ąls negativ, von 0 aus auf der Verlängerung von a als positiv an, so wird dx in (1) negativ. Daher gibt die Elimination von dx aus (1) und (2)

(3)

d u.

in' • 2 Tr r

Um dieses Differential zu integrieren, muss man über die Lage des Punktes P zur Kugel entscheiden. Es kann nun P ausserhalb der Kugel, innerhalb der Kugelfläche und auf dieser liegen.

I. Punkt P ausserhalb der Kugel fläche. Dann ist der kleinste Wert von u = a — r, der grösste u —- a -j- r. Die Integration der Gleichung (3) zwischen diesen Grenzen gibt

(4)

m' • 2 Tr r

worin M = m' • 4 n r² die ganze Elektrizitätsmenge der Kugelfläche bezeichnet.

Das Potential einer gleichförmig mit Elektrizität belegten Kugelfläche auf einen äusseren Punkt ist also ebenso gross, wie wenn die gesamte Elektrizitätsmenge der Kugelfläche in deren Mittelpunkte vereinigt wäre.

Das Differential des Potentials (4) in Hinsicht a, als Variable gedacht, ist mit entgegengesetztem Zeichen genommen die Anziehung der Kugel und der Masseneinheit in P in der Richtung von a. Daher ist diese Anziehung

(5)

dV

Sie ist also ebenso gross, wie wenn die Elektrizität der Kugelnäche in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre.

Die Kräfte der Elektrizität, die senkrecht zur Richtung von a liegen, heben sich gegenseitig auf.

II. Punkt P innerhalb der Kugelfläche. Der kleinste Wert von u ist r — a, der grösste = r + a. Für diese Grenzen von u wird das Integral von (3)

(6)

m' • 2 7T r

Hiernach bleibt das Potential einer homogenen Kugelfläche auf einen innern Punkt konstant, wie auch der Punkt P im Innern seine Lage ändert, z. B. wenn er von der Mitte nach der Oberfläche rückt.

zu betrachten, der entsteht, wenn P mit b zusammenfällt. Dann verschwindet die Kugelmütze links, also fällt auch die von ihr früher aus-geiibte Wirkung aus.

235. Allgemeine Ausdrücke für den Zusammenhang zwischen Kraft und Potential. Es seien «, ß, y die rechtwinkeligen Koordinaten der angezogenen Massöneinheit in P und x, y, z die Koordinaten eines unendlich kleinen Massenteilchens m', das zu einem Systeme von Massenteilchen gehört, die anziehend auf P wirken; ferner r der Abstand des Punktes P von m'; dann ist

(1)

r² = (x — «)² + (y — ß)² + (z — y)². Das Potential der Masse nF hat den Wert

nF

Die Kraft in der Richtung des Abstandes a ist = 0, weil im Potential M:r die Grösse a nicht vorkommt, also das Differential

d V

von (6) in Hinsicht a zu dem Resultate führt

= 0.

III. Punkt P auf der Kugelfläche. Der kleinste Wert von u ist 0, der grösste *2 a; hierfür wird

d u = 2 a.

Also ist das Potential genau dasselbe wie unter II.

Der Fall III geht aus den beiden andern Fällen hervor, wenn a = r angenommen wird. Alsdann erhält man in allen Fällen als Potential den Wert wie in Gleichung (6), während man als Anziehung

M

, aus II aber Null. Der erstere

erhält: aus 1 nach (5) den Wert

dieser Werte ist der richtige, was sich wie folgt ergibt.

Es sei (Fig. 80) 0 der Mittelpunkt der Kugel, P der Punkt, wo die angezogene Masseneinheit konzentriert gedacht wird, b B ein durch P und 0 gehender Durchmesser und C D ein Schnitt, senkrecht zu bB; dieser Schnitt teilt die Kugelfläche in zwei Teile. Der eine Teil C B D wird von P aus nach links, der andere C b D nach rechts gezogen.

Die Komponenten dieser Kräfte, die senkrecht zu CD stehen, heben sich nach dem Vorhergehenden auf.

Rückt man nun P gegen b hin fort, so nimmt die Kugelmütze CbD ab. die andere nimmt zu; gleichwohl heben sich die zu CD senkrechten Komponenten auf. Die Kugelmütze rechts geht dabei mehr und mehr in die ganze Kugelfläche über und es wird daher auch ihre Kraftkomponente

r²

Fig. 80.

mehr und mehr den Wert

r²

annehmen. Dieser ist als Grenzwert

(2)

und die Anziehung zwischen in' und der Masseneinheit in P ist

m' r²

Zerlegt man diese Kraft in drei Komponenten X, Y, Z nach den drei Richtungen der Koordinatenachsen, indem man die Kraft (3) auf diese Achsen projiziert, so erhält man als Seitenkräfte

m'¹¹ x — a

(4)

r-

y-ß .

m' z — y r²

Aus der Gleichung (1) folgt aber

dr () x

dr

y-ß.

Daher wird

r~ = z — y; d z

m'

ni' d r r² d

und ebenso

m'

ni' d r r² d y

óy

ày

d-

in'

dz ’

m' d r r² d z

Gibt es mehrere Massenteilchen m', m“, m'", .... so hat man die einzelnen Kräfte in derselben Weise zu zerlegen und die entsprechenden Komponenten zu Addieren, um die Gesamtwirkung längs jeder Achse zu erhalten.

Die Komponenten der Gesamtwirkung sind alsdann

m'

m' x' — « r⁷²

r'

r'

dX

m'

r'

dV

r'

óy

ày

m' z' — y

d£

m'

r'

dV

r'²

r'

dz ’

worin wie in § 229

CD

bedeutet.

Es sind also die Differentialquotienten des Potentials nach den Richtungen der Achsen mit entgegengesetztem Zeichen genommen, die Komponenten der Kraft in den Richtungen der Achsen.

XVII. Aufgabe« älter das Gleichgewicht nnd die Bewegung

des Wassers.

236. Druck des Wassers gegen die Wände der Gelasse. Der Druck des Wassers, soweit derselbe nur von der Schwere der Wasserteile herrührt, wächst proportional mit der Tiefe unter der Oberfläche. Dieser Druck, in senkrechter Richtung auf ein unendlich kleines Flächenteilchen der Wand ausgeübt, ist gleich dem Gewichte einer prismatischen Wassersäule, die dieses Flächenteilchen zur Grundfläche und seine Tiefe unter dem Niveau zur Höhe hat.

Ist dF das Flächenteilchen, h seine Tiefe unter dem Niveau und Y das Gewicht der Kubikeinheit Wasser, so ist das Volumen jener Wassersäule =hdF, also der Normaldruck auf das Flächenteilchen = y h d F.

237. Horizontaler Druck des Wassers auf eine rechtwinkelige, vertikale Gefässwand. Der benetzte Teil der Wand sei A 15CD (Fig. 81), die Breitenkante AB = b liege horizontal, die Flächenkante A D = h vertikal.

Fig. 81.

Legt man in den Tiefen x und x + dx unter dein Wasserspiegel zwei horizontale Ebenen durch die Wand, so schliessen sie ein rechtwinkeliges Flächenelement =bdx ein. Auf alle Stellen dieses Elementes ist der Wasserdruck derselbe. Bezeichnet y wie oben das Gewicht der Kubikeinheit Wasser, so ist der Druck auf b d x gleich j'bxdx; folglich der Druck auf die ganze Wandfläche

(1)

r'f.

xdx =

2-^bh-

sein statisches Moment ist daher

Wenn man denkt, der Druck j'bxdx auf das Flächenelement b d x strebe eine Drehung an, um die Kante AB als Drehachse, so wirkt dieser Druck am Hebelarme x = j'bxdx; folglich die Summe der statischen Momente aller Kräfte, die auf die Wand wirken, in Bezug auf die angenommene Drehachse

x²dx = -^-j'bhl

O

Denkt man sich den Gesamtdruck (1) in einer Tiefe z unter der Drehachse AB so wirksam, dass sein statisches Moment gleich ist der Summe (2), so erhält man

I y b h² • z = l r b h³, z — I h.

Der Angriffspunkt der Kesultante aller parallelen Kräfte, die auf die Wand wirken, liegt in einer Tiefe = |h unter der Oberfläche des Wassers. Man nennt diesen Angriffspunkt den Mittelpunkt des Druckes auf die Wand.

Der Druck auf eine untergetauclite, recht winkelige Wand, deren obere Kante um h' und deren untere um h unter dem Wasserspiegel liegt, ist vermöge des Differentials ybxdx

woraus folgt

(3)

Y b ( x d x = y b (h² — h'²), J h'    2

und die Summe der statischen Momente der Kräfte, die normal auf die Wand wirken, in Bezug auf eine in der Oberfläche des Wassers liegende Drehachse ist

,bf"

J h'

x² d x —

— y b (h³ - h'³). o

Folglich liegt der Mittelpunkt des Druckes auf diese Wand in einer Tiefe unter dem Wasserspiegel

2 h³ — h'³

2 h² + hh' + IT²

3 h² — h'²    3

h + h'

238. Horizontaler Druck des Wassers auf eine vertikale, dreikantige Gefässwand. Es sei ABC (Fig. 82) der benetzte Teil der Wand, die horizontale Basis A B = b, die Dreieckshöhe = h.

Man lege in den Tiefen x und x-|-dx unter AB zwei horizontale Linien durch die Wand. Ist die erste derselben y, so ist

Fig. 82.

y : b = (h — x) : h, y

folglich das Flächenelement zwischen jenen zwei Horizontalen

y dx =

(h — x) d x. h v

Bezeichnet y das Gewicht der Kubikeinheit des Wassers, so ist der Druck auf dieses Flächenelement

j'xydx =

Y y (hx — x²) d x,

folglich der Druck auf die ganze Wand

(1)

b f*h

Y Y J    (h X - X²) d X =

05 I—¹

Y bh²,

und die Summe der statischen Momente aller Kräfte, die normal auf die Dreiecksfläche wirken, in Bezug auf A B als Drehachse

y - - P (h x² — x³) d x = -î- y b h³.

Jo    12

(2)

Liegt, der Mittelpunkt des Druckes in einer Tiefe z unter der Oberfläche, so muss das Moment von (1) gleich dem Momente (2) sein. Dies gibt

z = i h.

239. Druck des Wassers auf die Grundfläche eines cy lind rischen

Gefässes mit horizontaler Achse. Das Gefäss sei ganz mit Wasser gefüllt; zieht man durch den Mittelpunkt O (Fig. 83) der Kreisfläche den Halbmesser O A — R vertikal aufwärts, so ist A ihr höchster Punkt.

Zieht man die halbe Sehne mn horizontal, . setzt Bogen Am = Rÿ, so ist die ganze Sehne längs mn gleich 2 R sin ff. Nimmt ff um dtp zu, so wächst der Abstand An = R(l — cos ff) um sein Differential, d. h. um R sin tf dtf. Dadurch entsteht ein horizontal liegendes Flächenelement von der Länge 2 m n = 2 R sin ff und der Breite R sin (f d ff ; es ist daher dieses Flächenelement

Fig. 83.

A.

in

v;

d F — 2 R² sin²</> d (f.

Wenn y das Gewicht der Kubikeinheit Wasser bezeichnet, so ist Druck auf d F = 2 y R³ sin -ff (1 — cos ff) d ff.

Multipliziert man diesen Druck mit An als Hebelarm, so erhält man das Moment dieses Druckes für eine horizontale Drehachse durch A. Also ist, wenn (1 — cos ff )² entwickelt wird,

Moment = 2 y R⁴ (sin²^ — 2 sin²(f’ cos ff -J- sin²«/¹ cos² «/) d ff .

Die Differentiale von (1) und (2) müssen integriert werden von ff — 0 bis ff = n, um Druck und Moment für die ganze Kreisfläche zu liefern. Nun ist nach den Formeln (10), (6) und (14), § 88

(1)

(2)

TT

J ^ sin² ff dtp =

f sin²«/- cos tf d ff — 0, J o

[>n    r*7i

sin²tp cos² tf d tp —    (sin²ff — sinxtf) d </ =

Jo    Jo

to a

O TT

gd| a

Folglich ist

= yjrR³;

Druck auf die Grundfläche Statisches Moment in Bezug auf die Horizontale durch A = | y n R⁺.

Der Mittelpunkt des Druckes auf die ganze Grundfläche liegt daher in einer Tiefe unter dem höchsten Punkte A gleich

I y n R⁴ : y n R³ = £ R.

240. Allgemeines Theorem über den Druck des Wassers auf eine ebene Gefässwand. Es sei F der benetzte Inhalt einer ebenen Gefässwand.

in den Tiefen x und x-j-dx vom Niveau ziehe man in der Wandfläche zwei horizontale Linien. Diese beiden Horizontalen schliessen ein Flächenelement = d F ein. Folglich liegt der Schwerpunkt der Wand, nach § 142, in einer Tiefe unter der Oberfläche des Wassers

xd F

vJ =

Multipliziert man diese Formel mit y F, wobei y das Gewicht der Kubik-einheit Wasser ist, so folgt

x d F.

y F z' = y J*

Nun ist y dF der Druck des Wassers auf die Fläche dF in der Tiefe 1, also y x d F der Druck auf diese Fläche in der Tiefe x und somit

r>

y J x d F der Druck des Wassers auf die ganze Wand. Ferner ist F z'

das Volumen einer prismatischen Wassersäule von der Grundfläche F und der Höhe z'; also yFz' das Gewicht dieses Wasserkörpers.

Hieraus folgt, dass der Normaldruck des Wassers auf eine beliebige ebene Gefässwand gleich ist dem Gewichte einer prismatischen Wassersäule, die die Wand zur Grundfläche und den Abstand des Schwerpunktes der Wand vom Niveau zur Höhe hat. Dreht sich also die Wand im Wasser um ihren Schwerpunkt, so bleibt der Normaldruck des Wassers auf dieselbe gleich.

241. Tiefe der Eintauchung eines homogenen Cylinders in Wasser.

Es seien R der Radius und L die Länge des Kreiscylinders; ferner das Gewicht der Kubikeinheit : y des Wassers und s des Cylinders. Die Achse des Kreiscylinders liege horizontal.

Fig. 84.

kl

lareu

Es sei A (Fig. 84) der Mittelpunkt und A ß der vertikal abwärts gehende Halbmesser der Grundfläche. Der Cylinder tauche bis zur Horizontalen C E ein. Es sei ferner R a = Bogen B C und R (f — dem variabeln Bogen B n. Geht (f in (fi + d (f über, so rücke der Punkt n nach n'. Legt man durch diese Punkte horizontale Ebenen durch den Cylinder, so liegt zwischen ihnen ein Körperelement von der Breite 2 D n = 2 R sin (f , der Länge L und einer Dicke, die das Differential des Abstandes B D = R (1 — cos (f ), also = R sin (f d (f ist. Sein Volumen ist daher = 2 R² L sin ²<p d (f.

Wird dieser Ausdruck innerhalb der Grenzen (f = 0 und (f — a integriert, so erhält man das Volumen des eingetauchten Teiles vom Cylinder, also auch das Volumen des verdrängten Wassers. Das genannte bestimmte Integral, mit y multipliziert, gibt das Gewicht des verdrängten Wassers. Setzt man dieses Gewicht gleich dem Gewichte des Cylinders, so erhält man

s yr R² L = 2 R² L

y P sin ²(f> d (f J o

oder nach Ausführung der Integration

7i—= a - -i- sin 2 a.

2

Hieraus kann die Tiefe der Tauchung durch Bestimmung des Winkels a ermittelt werden.

Wird der Cylinder durch ein Gewicht P so belastet, dass die Achse desselben horizontal verbleibt, so sinkt der Cylinder tiefer. Geht hierbei der Winkel k in a' über, so hat man

sttR²L+P = 2R²L y J“ sin² y d tp

oder auch

P = 2 R² L y f sin²«/) d (f.

J «

Mithin durch Ausführung der Integration und durch Subtraktion

P = R²L

) F(a' — a)--(sin 2 a' — sin 2 a) .

242. Ausfluss des Wassers aus einer Oeffiniii«; im Boden eines Ge-

fiisses bei konstanter Druckhöbe. Der Boden des Défasses sei horizontal, der Querschnitt der Oeffnung = a, die Tiefe der Oeffnung unter dem Wasserspiegel oder die Druckhöhe = h, die Ausflussgeschwindigkeit — v und die in der Zeiteinheit abfliessende Wassermenge = M.

wenn g die Beschleunigung beim freien Falle bezeichnet. Diese Arbeiten müssen gleich sein, woraus folgt

lebendige Arbeit =

Indem irgend ein Wasserteilchen vom Gewichte p vom Niveau des Wassers bis zur Oeffnung gelangt, also in vertikaler Richtung den Weg h zurücklegt, nimmt es eine Arbeit — ph auf. Allein unter der Oeffnung hat es eine Geschwindigkeit = v, also nach § 181 eine p v²

2g

v²

2g

v = |/"2gh.

Die Geschwindigkeit v des Teilchens ist also ebenso gross, wie wenn es die Druckhöhe h frei durchfallen hätte. (Toricelli’sches Gesetz).

Abgesehen von der Kontraktion oder Zusammenziehung des Wasserstrahles beim Durchgänge durch die Oeffnung ist

M = av = ay~2 gh.

Diesen Wert von M nennt man auch wohl theoretische oder ideale Wassermenge.

243. Ausfluss des Wassers durcb eine rechtwiakelige Oeffnung in der Wand eines Gelasses. Die Breite der Oeffnung, horizontal gedacht, sei = b, die konstanten Tiefen der obern und untern Kante der Oeffnung unter dem Niveau seien = h und H.

Es sei (Fig. 85) die variable Tiefe irgend eines Punktes der Oeffnung unter dem Niveau = x. Zieht man in den Tiefen x und x + dx zwei horizontale Linien längs der Oeffnung. so schliessen sie ein Flächenelement = b d x ein. Für alle Punkte dieser unendlich kleinen Oeffnung b d x ist die Druckhöhe — x, also die Ausflussgeschwindigkeit = \/~2 g x. Mithin ist die Wassermenge, die diese Oeffnung in jeder Sekunde liefert, d M = b d x \^ 2 g x und die Wassermenge, die durch die ganze Oeffnung tritt,

Fig .85.

dx =

ca |co

ca

erq I

Wl

er

er

Ist v die mittlere Geschwindigkeit des Wassers unter der Oeffnung,

Durch

so beträgt die Wassermenge in der Sekunde = b (H — h) v. Gleichsetzung dieser Werte erhält man

T*'¹*

H KH - h V \\

H-h

Wenn h = 0, so reicht die Oeffnung bis an den Wasserspiegel und es wird

os to

- b H )^2 g H,    v = -

K2gH.

244. Ausfluss des Wassers durch eine trapezförmige Oeffnung in der Wand eines Gefiisses. Die beiden Parallelen der Oeffnung, horizontal vorausgesetzt, seien b, B (Fig. 86) und ihre vertikalen Abstände vom Niveau h, H.

Ist x die Tiefe irgend eines Punktes der Oeffnung unter dem Niveau und y die Breite der Oeffnung in der Tiefe x, so ist

Fig. 86.

(b — B) : (y — B) = (H — h) : (H — x).

H-h

x.

y = B +

J    H — h

Lässt man x um d x wachsen, so bildet sich iD der Oeffnung ein Flächenelement = y d x. Die Geschwindigkeit, mit der das Wasser durch diese unendlich kleine Oeffnung fliesst, ist = y 2gx; folglich die durch diese Oeffnung tretende Wassermenge in der Sekunde

dM

= y d xJA ² g X = (b + -g _ h

t-A-x)dxK2gx.

Integriert man dieses Differential zwischen den Grenzen x = h bis x = H; so erhält man als Ausflussmenge durch die ganze Oeffnung

ca |ro

hH

H² — h² )V%g

Wenn b —B gesetzt wird, so geht dieser Ansdruck in den der vorigen Aufgabe über. Setzt inan h = 0, so reicht die Oeffnuug bis an die Oberfläche, und es ist alsdann die Wassermenge

cc| to

tO j

<*3 i

crq

Der erste Teil rechts ist die Wassermenge, die durch das Rechteck von der Breite b und Höhe H, der zweite Teil die Wassermenge, die durch das Dreieck mit der unten liegenden Basis b — B und der Höhe H abfliesst.

Wenn B = 0 oder b = 0, so wird die Oefifnung ein Dreieck, das sich unter dem Wasserspiegel befindet.

Wenn b = 0 und zugleich h = 0, so verwandelt sich die Oefifnung in ein Dreieck, dessen Spitze bis an den Wasserspiegel reicht. In diesem Falle wird die Wassermenge

M₂ = 4- B H V2 g H. 5

Wenn aber B = 0 und zugleich h = 0, so verwandelt sich die Oefifnung in ein Dreieck, dessen Basis im Wasserspiegel liegt, und es wird die Wassermenge

15

M₃ =

Sind die Dreiecksflächen in den beiden letzten Fällen gleich gross, so verhalten sich die Wassermengen M₂ : M₃ = 3:2.

Fig. 87.

245. Ausfluss des Wassers durch eine kreisförmige Oeffnuug in der vertikalen Wand eines Gefässes. Der Halbmesser BD (Fig. 87) der Oeffnung sei = r und die Tiefe A B ihres Mittelpunktes B unter dem Wasserspiegel = h.

Ef

Nennt man den Winkel ABD = ff, so ist die horizontale Sehne D E = 2 r sin ff und die Tiefe dieser Sehne unter dem Niveau =h — rcos</\

Wenn diese Tiefe um ihr Differential, also um r sin <f d ff zunimmt, so rückt die Sehne D E um diese Grösse r sin ff d ff abwärts, und es bildet sich zwischen beiden Sehnen ein Fläch en element = 2 r² sin - ff d ff. Die Geschwindigkeit, mit der das Wasser durch diese kleine Oeffnung tritt, ist = V"2 g (h — r cos ff); folglich die Ausflussmenge durch diese Oefifnung

d M = 2 r² sin²(f d <f Y~2 g (h — r cos ff )

oder

d M = 2 r² J^2 g h sin'²«/ d ff ^1

Fnter Anwendung des binomischen Satzes erhält man d M = 2 r² y 2 g h sin²ff dffx

cos² ff

p cos tp\ ².

-cosy

r²

r³

8 h²

16 h³

COS ³ ff

5 r⁴

128 h⁴

COS i(f — . .1.

Da wir h>r voraussetzen, so nehmen die Glieder der Reihe in der Klammer rasch ab. Es kann also dieses Differential rechts als angenäherter Wert von dM angesehen werden. Die Ausflussmenge für die ganze Oeffnung wird erhalten, wenn man rechts von (f =|0_bis ip = jr integriert. Setzt man sin²y = 1 — cos²ip, so kommt

r> n

(1 — cos²«/¹) dip = J 0

to S3

'S

O

CJ

&:

CO

Sh

r*Ti    jç

(cos -tp — cos* if) d tp = — Jo    6

r>7T    ji

I (cos⁴</> — cos⁶«/) d (p — —,

f (cos ³</> — cos ⁵tp) dtp — 0, J o

etc.

Mit Hilfe dieser Werte wird das Integral der obigen Formel

5 r⁴

= n r² Y2 g h ^1

32 h² 1 024 h⁴

Reicht der Kreis bis an die Oberfläche des Wassers, so ist h = r und die drei ersten Glieder in der Klammer geben 987:1 024. Folglich wird in diesem Falle die Ausflussmenge annähernd

n r² Y2 g r.

987

1 024

24(i. Entleeren eines mit Wasser gefüllten prismatischen Gefässes durch eine Oeffnung im Buden. Die Grundfläche des Gefässes liege horizontal. Es finde während der Entleerung kein Wasserzufluss statt. Es sei

A der horizontale Querschnitt des Gefässes, a der Querschnitt der Oeffnung im Boden, h die anfängliche Höhe des Wasserspiegels über dem Boden,

' x die Höhe des Wasserspiegels über dem Boden, nachdem das Wasser t Sekunden lang abgeflossen ist,

V die Geschwindigkeit, mit der der Wasserspiegel im Gefässe in dem Augenblicke sinkt, in dem die Druckhöhe = x ist, und v die Ausflussgeschwindigkeit des Wassers bei der Druckhöhe x.

Da die Geschwindigkeit v der Druckhöhe x entspricht, so ist v = Y2 g x. Da ferner durch beide Querschnitte A und a die gleiche Wassermenge strömt, so wird AV = av sein. Hieraus folgt

(1)

V = Ą K2gx.

Geht die Zeit t über in t + dt, so wird x zu x — dx, d. h. in dem Zeitelemente dt sinkt der Wasserspiegel um dx. Es haben daher dt und d x entgegengesetzte Zeichen. Die Differentialformel der Bewegung dx = vdt (§ 161) geht also über in dx = —vdt. Setzt man hierin .obigen Wert von V ein, so folgt

oder, indem man der Integration wegen die Variabein sondert,

² dx.

a V% g

Wird diese Gleichung integriert, so kommt

a~K2g

•2x2 + C.

Für den Anfang der Bewegung ist t = 0 und x = h.

Diese

Werte geben

• 2h² + C,

a V 2g

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so erhält man

2 A

a K2g

Hieraus ergibt sich die Tiefe, um die das Wasser in t Sekunden sinkt,

(2)

(Kh-Fx).

t².

(3)

Die Zeit, die zum gänzlichen Entleeren des Gefässes nötig ist, sei T. Man erhält diese Zeit, wenn man in der Gleichung (2) x = 0 setzt und t mit T vertauscht. Somit ist

(4)

2 A -i / h

2g'

Bliebe die Druckhöhe konstant = h, indem das abfliessende Wasser durch einen gleichen Zufluss ersetzt würde, so wäre die Ausflussgeschwindigkeit = Y 2gh und die in der Sekunde austretende Wassermenge, ohne Rücksicht auf die Kontraktion des Wasserstrahles, = aF2gh. Sollte nun in F Sekunden eine Wassermenge = Ah ab-fliessen, so müsste sein Ah = a|/^2gh*t', d. h.

A i / h a y 2g-

Nun ist t' = ^-T, folglich die zur Entleerung des Gefässes nötige Zeit doppelt so gross als die Zeit, in der dieselbe Wassermenge bei gleichbleibender Druckhöhe abfliessen würde.

247. Entleeren eines mit Wasser gefüllten pyramidalen Gefässes. Das Gefäss habe die Gestalt einer abgestumpften Pyramide (Fig. 88).

Grundfläche sei unten und liege horizontal. Es bezeichne

A die Fläche des Wasserspiegels beim ursprünglichen Wasserstande,

A' die Fläche des Wasserspiegels, nachdem t Sekunden lang Wasser abgeflossen ist,

Autenheimer, Elementarbuch.

(5)

Fig. 88.

Die kleinere

A'

fi

17

a die Fläche der Oeffnung im Boden des Gefässes,

V die Geschwindigkeit, mit der die Wasseroberfläche nach t Sekunden sinkt,

v die Ausflussgeschwindigkeit nach derselben Zeit,

H, h die Höhe des ursprünglichen Wasserstandes und der Bodenfläche über der Spitze der Pyramide und x die Höhe des Wasserspiegels nach t Sekunden über dein Boden.

Vermöge der pyramidalen Form des Gefässes hat man

A' : A = (x + h)² : H².

Da durch alle Querschnitte die gleiche Wassermenge fliesst, so muss auch sein A' V = a v. Setzt man die beiden Werte von A' einander gleich und berücksichtigt, dass v = |^2 g x, so folgt

2 V² S X.

(1)

v — —__ïï²

A (x + h)

Nimmt t um dt zu, so vermindert sich x um dx. Die Differentialformel der Bewegung d x = V d t wird also hier dx = — Yd t. Setzt man den Wert von V hier ein, so folgt

A (x + h)

oder nach einigen Reduktionen behufs Sonderung der Veränderlichen

_    ,    _ j_    _3_

d x.

-^-H²]/~2g-dt = — Th² x ²+2hx²-fx²J

Die Integration dieser Formel gibt

(2)

- 2 11x2 + T

x^) + C,

Für t = 0 wird x = H — h = h'. Hierfür gibt Gleichung (2)

/ A 4 A o 2_\

0 = — ( 2h²h'² +— hh'² + — h'² ) + C. V    O    5    /

Zieht man diese Gleichung von (2) ab, so kommt

(3)

H² y 2 g • t = 2 h² (y h' — y x) -j- ~ h (h' y h' — x y x) A    o

x² Y x).

+ |(h'²K5^

Entleert sich das Gefäss ganz, so wird x = 0 ; ist T der entsprechende Wert von t, so ist

(4)

aH²1/^2 g

(2 h² y h* + 4- h h' y y + ~ h'² y h;).

O    5

Wenn die Bodenfläche so nahe an der fepitze der Pyramide liegt, dass man ohne wesentlichen Fehler h = 0 und h' = H setzen kann, so folgt aus (4)

(5)

Ve

2 g'

Ist t' die Zeit, die nötig ist, damit aus diesem Gefässe bei konstanter Druckhöhe eine Wassermenge = |AH ausfliesse, so ist

fAH = a K^gH ■ V o

oder

CD

—H I CO

erq I

Durch Vergleichung von (5) und (6) folgt T:t' = 6:5, d. h. die zum Entleeren des ganzen Gefässes nötige Zeit T ist •£ mal so gross als die Zeit t', innerhalb der eine gleiche Wassermenge bei der ursprünglichen konstanten Druckhöhe abfliessen würde.

248. Entleeren eines kugelförmigen Gefässes durch eine an der tiefsten Stelle der Kugel befindliche Oeffnung. Der innere Halbmesser des Gefässes sei r, der horizontale Querschnitt der Oeffnung a und die Höhe BD (Fig. 89) des ursprünglichen Wasserstandes über der Oeffnung h.

Der Wasserspiegel senke sich während t Sekunden von B nach C; es sei daher die Höhe des Wasserstandes DC nach dieser Zeit = x, der Inhalt der Wasseroberfläche nach der Zeit t gleich A, die Geschwindigkeit, mit der der Wasserspiegel nach t Sekunden sinkt,

Fig. 89.

= V, die Geschwindigkeit des Wassers unter der Oeffnung nach dieser Zeit = v. Da durch die Querschnitte A und a gleich viel Wasser fliesst, so wird sein A V = a v. Allein es ist auch v = \r2gx und A = 7T [r² — (r — x)²] — n{2 r x —- x²).

Folglich

(1)

a Y~ 2 g x

7T (2 r x — x²) ‘

Während t in t-j-dt übergeht, wird x zu x —dx; die Differential-formel d x = V d t wird also hier dx = — V d t. Führt man obigen Wert von V ein, so kommt

(2 r x - — x² ) d x.

a ]A2 g

Die Integration dieser Gleichung gibt

TT

V2g

CO

Ie»

<M UO

l<M

+ 0.

17*

2 TT h

(3)

Für x = h = B D ist t = 0. Diese beiden Werte geben

2 TT

h² + C.

TT

a y*2 g _

CC

5 -,

rh² —

Durch Subtraktion beider Gleichungen kommt

~ 2 r ³

(2)

i2 TT

L_(h2_x2)-

1 i

T<h*

al^2g

Dieser Wert von t ist die Zeit, die nötig ist, damit der Wasserspiegel um B C = h — x sinke. Setzt man hierin x = 0, so erhält man die Zeit T zum Entleeren des Gefässes

Wenn hierin h = r gesetzt wird, so erhält man die Zeit zum Entleeren des halbgefüllten Gefässes

(4)

Ti

14 Tr r²1 / r

ä~V 2g'

15

Wenn dagegen h = 2r wird, so erhält man die Zeit zum Entleeren des ganz gefüllten Gefässes

(5)

16

To

15

'-fv

2 g'

Mithin verhalten sich die beiden letzten Zeiten Ti : T2 — 14 : 16    2,

also sehr annähernd wie 5: 8.

249. Reibung des Wassers in einer cylindrischen und konischen Röhrenleitung. Bei einer cylindrischen Bührenleitung sei L die Länge, r der innere Halbmesser, v die Geschwindigkeit des Wassers in der Sekunde und h das Gefälle, das längs des Weges L durch die Reibung des Wassers an der Röhrenwand konsumiert wird.

Erfahrungsgemäss ist h proportional der Oberfläche 2 tt r L, längs der die Reibung stattfindet, umgekehrt proportional dem Querschnitte tt r2 der Leitung und abhängig voii einem Faktor von der Form av-j-bv², worin a und b konstante, durch Versuche zu bestimmende Grössen bezeichnen. Es ist mithin

2 tt r L

(1)

tt r²

(a v + b v²) = —— (a v + b v²).

Das in dieser Formel enthaltene Gesetz soll nun auf eine konische Röhre übertragen werden. Es seien (Fig. 90)

L = A D die Achsenlänge der Röhre,

R, r die Radien der Grundflächen des Kegels in A und D,

x = AB ein variables Stück der Achse,

y = BB' der Radius der Röhre an der Stelle B,

u, v die Geschwindigkeiten in den Querschnitten tt y² und tt r²,

h, H die Gefälle Verluste, die die Reibung des Wassers längs der Wege x und L hervorbringt, und

a der Winkel, den die Seitenlinie des Kegels mit der Achse bildet.

Lässt man x in x 4- d x = A C übergehen, so wird y zu y — d y = C C' und h zu h -j- d h. Zieht man O E parallel zur Achse, so gibt das unendlich kleine, rechtwinkelige Dreieck B' O E die Relation

Fig. 90.

(2)

C'B' =

cos «

Während somit ein Kegelmantel von der Länge der Seitenlinie B' O durchlaufen wird, konsumiert die Reibung ein Gefälle =dh. Wendet man daher Formel (1) auf diese unendlich kurze Kegelfläche an, so erhält man unter Benutzung von (2)

(3)

dh =

(a u + b u²).

y cos a

Da aber durch die Querschnitte 7ry² und n r² gleichviel Wasser geht, so ist y² u = r² v und da ferner dx = — d y cotang a, so geht Formel (3) über in

2 d y / a r² v sin a \ y³

Die Integration dieser Formel gibt r² v

dh = -

br⁴v² \

y⁵ /

(4)

b r² v

sin «

2y⁴

-f- c.

Für h = 0 wird y = R, und für h = H wird y = r. Vermittelst dieser gleichzeitigen Werte erhält man aus (4)

b r² v

r² v

sin a r² v

(— +

VR²

2 R4 b r² v

) + c,

sin a

r²

2 r⁴

■) + c

und durch Subtraktion dieser zwei Gleichungen

b r² v

(5) H = -

r² v

aV r²

Für r —R wird diese Formel unbestimmt, während man die Formel (1) für den Cylinder erhalten sollte.

Bezeichnet man aber, um die Formel (1) aus (5) zu erhalten, die

_

Seitenlinie des Kegels mit s, so ist sin « = —

s

r² v s f“ R² — r2 R-r a R²r2 +    2

sin a

r⁴

R⁴

folglich gibt Formel (5)

b r² v R⁴ — r⁴ ""

R⁴ r⁴

oder, indem man die Division durch R — r ausführt,

(6)

R⁴

„ ,..r,E + r , bv (K² + r²) (H + Ol

H L ~R²~⁺”2

Setzt man nunmehr in (6) r = R, so wird s = L, und man erhält in der That die Formel (1) für die cylindrische Leitung-.

Man schreibe die Gleichung (5) wie folgt

r²

R²

sin «

Ist nun r sehr klein gegen R, so können die Verhältnisse r² : R2 und r⁴ : R⁴ gegen die Einheit vernachlässigt werden, und man erhält, wenn man noch R — r — s sin a setzt,

R,b(aV +

b v²

2 y

250. Stoss des Wassers gegen eine feste Ebene. Diese Ebene befinde sich im unbegrenzten Wasser, senkrecht zur Richtung der Bewegung des Wassers. Der Stoss des Wassers ist proportional dem Inhalte F der Fläche und nahe proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit v des Wassers. Bezeichnet daher c eine Konstante, so wird der Stoss P des Wassers annähernd sein

P = c Fv².

Bildet die Richtung der Bewegung des Wassers mit der Ebene einen Winkel = a, so zerlege man die Geschwindigkeit v in die beiden Seitengeschwindigkeiten v cos a und v sin a. Mit der erstem dieser Seitengeschwindigkeiten gleitet das Wasser parallel zur Ebene fort, ohne Stoss hervorzubringen, während die Ebene mit der Geschwindigkeit vsina senkrecht getroffen wird. Vertauscht man daher in der obigen Formel v mit v sin a, so erhält man als gesuchten Stoss

P = c F v² sin²a.

251. Stoss dos Wassers gegen einen Kegel. Der Kegel liege im unbegrenzten Wasser. Dieses Wasser bewege sich mit einer Geschwindigkeit v in der Richtung der Achse des Kegels gegen dessen Mantelfläche. Die Achsenlänge des Kegels sei = h, der Halbmesser der Grundfläche = r, der Winkel, den die Seitenlinie mit der Achse bildet, — a.

Entspricht der Achsenlänge AB —x (Fig. 91) ein Radius BC = y, so wird für x-f dx = AD der Radius y -f d y = D E. Zieht man C F parallel zur Achse, so ist im rechtwinkeligen Dreieck CEI'¹

die Hypotenuse G E =

Fig. 91.

dy sin « ’

Dreht man das Element C E der Seitenlinie

»I

. Gegen dieses Flächen-

also eine Fläche =

um die Kegelachse, um einen unendlich kleinen Winkel <f, so beschreibt es einen Weg = (f y, Tydy

sin a

element strömt das Wasser, parallel zur Achse, mit einer Geschwindigkeit H C = y, also ist die Geschwindigkeit gegen das Flächenelement in normaler Richtung G C = v sin « und diejenige parallel zur Seitenlinie K C = v cos a. Diese letztere bringt keinen Stoss hervor, während der erstem ein Stoss = c (f v² y d y sin « entspricht.

Dieser Stoss werde durch das Parallelogramm der Kräfte zerlegt in eine Kraft G J = c (f v² y d y sin a cos a senkrecht und in eine JC — c(fv²y dysin²« parallel zur Achse. Die erstere Kraft wird durch eine gleiche und entgegengesetzte aufgehoben. Erweitert man den Winkel <p zu 2 n, so erhält man aus der letztem den Stoss d P auf eine Kegelfläche, deren Seitenlinie CE ist, gleich

— 2 n c v² sin² « • y d y.

2 7T

Mithin ist der Stoss P, parallel zur Achse, auf die ganze Kegel

fläche

P = 2 5T c v² sin² «

y d y = c JT r² v² sin²a, J o

oder, da sin²« =

r²

r² -j- h²

ist,

P = c n r² v²

r²

r² -J- h² '

Wird li = 0, so erhält man den Stoss des Wassers auf die Grundfläche c Tc r² v². Folglich verhält sich der Stoss gegen die Mantelfläche zum Stosse gegen die Grundfläche, immer in der Richtung der Achse gedacht, wie r² : (r²    h²).

Die vorstehende Formel gilt auch, wenn man das Wasser ruhend und den Kegel in Bewegung denkt. Ebenso gilt sie, wenn man statt Wasser die Luft oder ein anderes Medium voraussetzt.

252. Stoss des Wassers gegen eine Kugel. Die Kugel befinde sich ruhend in einer unbegrenzten, bewegten Wassermasse. Der Radius der Kugel sei r, die Geschwindigkeit des Wassers v.

Der Mittelpunkt der Kugel sei in M (Fig. 92), die Bewegung des Wassers erfolge in der Richtung des Halbmessers A M gegen die Kugelfläche.

Der Radius MB bilde mit MA einen Winkel — a, so dass der Bogen AB eines grössten Kreises der Kugel — r« wird. Lässt man r« um BB' = rdcf zunehmen und dreht dieses Bogenelement um A M als Achse und zwar um einen unendlich kleinen Winkel (f, so beschreibt es einen Weg = r (p sin «, da der Halbmesser B H der Drehung r sin « ist. Also ist das von r d « beschriebene Flächenelement = r² (p sin « d «. Gegen dieses Flächenelement strömt das Wasser mit einer Geschwindigkeit G B = v in der Richtung AM; mithin ist die Geschwindigkeit des Wassers in der Richtung der Tangente . an die Kugel: EB = vsina, und die Ge-

Fig. 92.

tl\

M\

IS

schwindig'keit normal zum Flächenelement: DB = vcos«; folglich der Stoss auf das Flächenelement = er² (f sin « d « • v² cos² a. Man zerlege diese Kraft durch das Parallelogramm D F B J in zwei Seitenkräfte, wovon die eine J B senkrecht und die andere F B parallel zur Richtung von A M wirkt. Die erstere Kraft wird durch eine gleiche, entgegengesetzte Kraft aufgehoben. Die letztere Kraft ist = c r² v² (f sin « cos³a d «. Macht man mit dem Bogenelemente B B' eine volle Drehung um AM als Achse, so erweitert sich <p zu 2;r; also ist der Stoss gegen eine Zone von der Breite B B'

d P = 2 c 7i r² v² sin « cos³« d «.

Mithin der Stoss des Wassers gegen die der Strömung zugekehrte Hälfte der Kugel, indem man nach § 88, Formel (7), integriert,

— 2 c n r² v² P J o

sin a cos³« d a =

7T1’² V².

Der Stoss des Wassers gegen den grössten Querschnitt der Kugel in normaler Richtung zum Schnitte, ist = C7rr²v². Folglich beträgt der Stoss auf die Oberfläche der Kugel nur die Hälfte von diesem.

Denkt man sich diesen grössten Schnittkreis der Kugel als Grundfläche eines Kegels mit der Spitze in A, so wird der Stoss auf diese Kegelfläche nach § 251 wegen h = r ebenso gross wie auf die Halbkugelfläche.

XVIII. Vermischte Aufgaben.

253. Zunahme eines Kapitals durch seine Zinsen. Es bezeichne: a, A das gegenwärtige und zukünftige Kapital, z den Zinsfaktor, also z. B. z = 1,04, wenn das Kapital zu 4 Prozent,

angelegt wird, und

t die Anzahl Jahre, während der a zu A heranwächst, wenn der Zins je weilen zum Kapitale geschlagen wird.

Erste Annahme. Der Zins werde je am Ende eines Jahres fällig und zinstragend zum Kapitale gelegt. Dadurch wird das Kapital a samt Zins nach dem ersten Jahre = a z, nach dem zweiten =az² etc. und nach t Jahren, wenn es nun mit A' bezeichnet wird,

(1)

A' — a z*.

Zweite Annahme. Es werde der Zins jeden Augenblick zum Kapitale geschlagen, das Wachstum des Kapitals erfolge also nicht absatzweise, sondern stetig, ähnlich demjenigen einer Pflanze. Wird die Zeit t in die Elemente dt zerlegt, so kann man annehmen, es erfolge die Kapitalzunahme stetig, wrenn die Zinsen je nach solchen Zeifteilen dt zum Kapitale kommen.

Während nun t in t -f- d t übergeht, wird A zu A + d A; also ist d A der Zins, den das Kapital in der Zeit d t abwirft. Dieser Zins ist aber auch = (z— l)Adt; daher die Gleichung

d A = (z — 1) A d t,

und indem man durch A dividiert und integriert, l A = (z — 1) t + C.

(2)

Wird t — 0, so geht hierin A in a über, und Gleichung (2) gibt

Za = C.

Zieht man diese Gleichung von (2) ab, so ist

(3)

So

— (z — 1) t.

Folglich auch, indem man mit e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet und von den Logarithmen zu den Zahlen übergeht,

(4)

A = aeO-¹)*.

Der Wert A ist grösser als A', was wie folgt gezeigt werden kann. Nimmt man von (1) die Logarithmen, so kommt

A'

l — — tl z.

Setzt man nun z = 1 -f- p, also z. B. für 4 Prozente p = 0,04 und entwickelt l (1 -f- p) nach § 69 in eine Reihe, so wird

(5)

A'

t (p

Pi, JEl

2    '    3

P⁴

Da aber auch nach Gleichung (3)

(6)

l — = tp,

à

so erhält man durch Subtraktion der Gleichung (5) von (6)

(7)

A'

“pn(l

P³

Für p<^l, was in der Regel der Fall ist, wird die Reihe in der Klammer positiv; also wird auch A^>A' für jeden positiven Wert von t. Für den Grenzfall t — 0 wird A' = A, wie es sein soll.

Für p = 0,04 und a= 100 ergibt sich aus (1), (4) und (7) folgende Zusammenstellung

t.

Ab

A.

A' ’

1 Jahr

10

100

104,000

108,160

112,486

148,024

505,045

104,081

108,229

112,749

149,182

545,982

1,000 78 1,001 56 1,002 34 1,007 82 1,081 04

254. Abnahme der Lichtintensität im Wasser und in der Luft. Wenn sich Licht im Wasser oder in der Luft fortpflanzt, so wird seine Intensität geschwächt.

Man nehme die Lichtmenge beim Eintritte in das Medium zur Einheit an und bezeichne mit m die Lichtmenge, die im Medium bis ziun

Wege x vordringt ; dann wird m eine Funktion von x sein. Geht x in x -j- d x über, so wird m zu in — d m. Die Aenderungen d x und d m liaben also entgegengesetzte Zeichen. Nun ist der Verlust dm, der längs des unendlich kleinen Weges dx eintritt, diesem Wege, sowie der noch vorhandenen Lichtmenge m proportional, so dass man fiir konstante Medien hat

— dm =

worin a eine Konstante bezeichnet, die von der Natur des Mittels abhängt und durch Versuche bestimmt werden muss.

Aus der vorstehenden Gleichung folgt und wenn man integriert,

/ m —---j- C.

Beim Eintritte des Lichtes in das Medium ist x — 0, m = 1. Vermöge dieser beiden Werte gibt die letzte Gleichung 0 = C; folglich

a,

Im — —

wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet. Folglich nimmt die Lichtstärke in geometrischer Progression ab, wenn die Wege in arithmetischer Progression wachsen.

Nach Schmidt's Lehrbuch der mathematischen und physischen Geographie findet im Meerwasser eine Schwächung des Sonnenlichtes im Verhältnis von 14:5 auf einem Wege von 115 paris. Zollen statt. Setzt man also in die letzte Formel x = 115 Zoll = 9T⁷^ Fuss und m = t⁵t, so hat man zur Bestimmung der Konstanten

9,⁷

i? .

a = 9,307 6 par. Fuss.

Wenn nach Schmidt das Licht in der Luft, von der Dichtigkeit an der Oberfläche der Erde, einen Weg von 45 300 paris. Fuss zurücklegt, so nimmt seine Stärke ab im Verhältnis von 3:2. Vermöge dieser Werte wird für die Luft

a = 111 722 paris. Fuss.

255. Abkühlung eines Körpers (lurch Ausstrahlung seiner Wärme in den leeren Raum. Es sei U die Differenz der Temperaturen eines sich abkühlenden Körpers und des leeren Baumes, in dem sich der Körper befindet. Durch Ausstrahlung sinkt diese Temperaturdifferenz. Nach Verfluss der Zeit t sei sie noch u.

Diese Temperaturdifferenz ist eine Funktion von t, folglich geht u in u — du über, wenn t um dt zunimmt. Die in dem Zeitelemente dt vor sich gehende Abkühlung d x ist nahe der Dauer d t und der zu dieser Zeit herrschenden Temperaturdifferenz u proportional. Man kann daher annähernd setzen

du — — audt,

worin a eine Konstante bezeichnet und berücksichtigt ist, dass du und dt entgegengesetzte Zeichen haben. Man erhält

(1)

du

= — a d t,

also durch Integration

(2)

l u = —at + C-

Für t = 0 ist u = U. Hierfür wird (2)

IV = C.

Zieht man diese Gleichung von (2) ab, so kommt

— a t,

U e~at,

wo e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet.

Diese Formel (3) entspricht den Beobachtungen über die Abkühlung- nicht hinreichend. Nimmt man deshalb in Gleichung (1) statt der Konstanten a die Grösse a — 2 b t, worin b eine zweite Konstante sein soll, so kann man statt (1) schreiben

du

— = (— a-j-2bt)dt.

Hieraus folgt durch Integration

l u = — a t + b t² + C.

Für t = 0 wird u = U. diesen Wert der Konstanten ab, so kommt

Hierfür wird IV> = C.

Zieht man

l — = —at + bt².

(4)

u = U e~ at + bt2.

Zwei

Dieses Gesetz (4) entspricht den Beobachtungen besser, durch Beobachtung ermittelte Werte von u und t' reichen hin, die Konstanten a und b für einen und denselben Körper zu bestimmen.

25ö. Erwärmung irgend eines physischen Punktes in der Atmosphäre durch die von der Erde ausgestrahlte Wärme. Wir nehmen an, die Intensität der Wärmestrahlen, die von der Erde aus nach irgend einem Punkte des Raumes gelangen, verhalte sich direkt wie die Grösse dF des Elementes der strahlenden Fläche, direkt wie der Sinus des Ausflusswinkels, d. h. des Winkels <f, den der ausgehende Wärmestrahl mit der Ebene des Elementes d F macht, und umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung r des physischen Punktes im Raume vcm Elemente.

Bezeichnet daher k eine Konstante, so wird der Ausdruck der Erwärmung durch das Element d E sein

k "

(1)

r2

sin cp.

Nun sei A (Fig. 93) der physische Punkt der Atmosphäre, M der Mittelpunkt der Erdkugel und AE eine Tangente an dieselbe.

Dreht man das Dreieck AEM um AM, so beschreibt der Punkt E die kreisförmige Grenze derjenigen Kugelkalotte, die Wärme nach A ausstrahlt. Wir setzen voraus, dass diese Wärme gleichförmig über die Kalotte verteilt sei, bestimmen das Flächenelement d F der Kalotte, seine Neigung zu der Richtung der Wärmestrahlen und drücken beide, sowie seinen Abstand r von A durch eine Variable aus, führen diese Werte in (1) ein und integrieren den entstandenen Ausdruck zwischen den Grenzen, die der ganzen Kalotte entsprechen, und erhalten so die gesuchte Erwärmung W des Punktes A.

Legt man zu diesem Zwecke längs A E und A M einen Schnitt durch die Kugel, so ist die Mittelpunktsgleichung des entstandenen Kreisschnittes, wenn R den Halbmesser der Erde bezeichnet,

y2 ₌ R2 _ x2;

wobei wir die Ordinaten y auf MA nehmen. Im Kreispunkte B, dessen Koordinaten x, y sind, liegt das Bogenelement JAd x² -f- d y², durch dessen Rotation um die Achse    M A ein    Flächenelement    =

2 7rxj/dx²-fdy² beschrieben wird.    Mit    Hilfe    von (2) ist dieses

Flächenelement = — 2 n R d y. Dieses Flächenelement von der Form des Mantels eines abgestutzten Kegels hat in allen Stellen gleiche Neigung zur Achse M A des Kegels. Zieht man die Tangente B D an den Kreis, setzt den Ausflusswinkel ABD = (f,    so    ist    cp für    alle Stellen des    gedachten Flächenelementes gleich gross.    Man    kann daher setzen

d F = — 2n R d y.

Fig. 93.

(2)

(3)

Ist nun Abstand BA = r, MA = R-j-h> also h die Höhe des Punktes A über der Erdoberfläche, so erhält man aus dem Dreiecke MAB

(R -f h)² = r² -f R² — 2 r R cos (90 + tp).

Allein da cos (90 -f (p) = — sin (p, so folgt

2Rh -f h²

(-1)

sin (p —

2 Rr

Um die Variable y in (3) durch r auszudrücken, ziehe man BH senkrecht auf M A ; dann gibt das rechtwinkelige Dreieck A H B

(R -{- h — y)² + x² = r²,

woraus mit Berücksichtigung von (2) folgt

(R + h)² - 2 (R + h) y + R² = r². Mithin erhält man durch Differentiation

dy = —

Hierdurch wird der Ausdruck (3)

r d r.

(5)

R + h

Setzt man die Werte von sin (f und dF aus (4) und (5) in (1) ein, so erhält man das Differential d W der Erwärmung des Punktes A

R + h L Folglich ist durch Integration

(2 R h + h²)

r²

-r +C.

(6)

2 Rh + h²

R+h

Lässt man in diesem Integral das Flächenelement (5) vom Scheitel der Kalotte bis zur Grenze derselben vorrücken, so erhält man die Wirkung aller Wärmestrahlen, die nach A gehen. Folglich muss <f von (f = \ n bis (f = 0 abnehmen, also r von r = h bis r = ^(R + h)² — R2 = Y~2 R h + h² wachsen.

Für die untere Grenze    \ ir, also r = h wird das Integral (6)

— 2 n k + C.

Für die obere Grenze (f = 0, also r = V2 R h + h² wird (6) zu

y2 R h + h² + C.

Die Differenz dieser Werte gibt die gesuchte Grösse

V2H h + IG "

Liegt der physische Punkt an der Erdoberfläche, so ist h = 0 und seine Erwärmung = 2 n k ein Maximum. Bei wachsendem h nimmt die Erwärmung ab, jedoch sehr langsam. Wenn h = cc , so kann im Nenner R gegen h vernachlässigt werden und es wird W = 0.

Die Höhe der Atmosphäre beträgt gemäss der Aufgabe in § 258 annähernd vom Erdhalbmesser. Hierfür ist

= 0,127,

V2 Uh +“h”²

Die Erwärmung der Luft oder die Absorption der Wärme durch die Luft an der Grenze der Atmosphäre weicht also nur um 0,127 von der an der Erdoberfläche ab.

257. Druck eines Gases mit Rücksicht auf dessen Gewicht. Die tropfbaren Flüssigkeiten denkt man sich als nicht zusammendriickbar. Daher wiegt die Kubikeinheit einer solchen Flüssigkeit gleich viel, in welcher Höhe der Flüssigkeit sie sich befinde. Anders verhält es sich mit den elastischen Flüssigkeiten. Bei diesen hat der Druck, den die oberen Schichten auf die unteren ausiiben, zur Folge, dass die unteren durch diesen Druck sich verdichten. Es soll nun das Gesetz angegeben werden, nach dem der Druck, sowie die Dichte des Gases von oben nach unten zunimmt, unter der Voraussetzung, dass auf die Veränderlichkeit der Schwerkraft keine Rücksicht zu nehmen und die Temperatur des Gases überall dieselbe sei.

Es bezeichne: po den Druck des Gases an der obersten Stelle des Gaskörpers, p denjenigen in der Tiefe x unter der obersten Stelle, beide Drucke für jede Flächeneinheit gedacht, und q₀, q das Gewicht von einer Kubikeinheit des Gases am obéra und untern Ende des vertikalen Abstandes x.

Lässt man x (abwärts) zunehmen um d x so nimmt p zu um d p. Legt man daher in den Tiefen x und x + d x zwei horizontale Ebenen durch das Gas, so herrscht auf der obern dieser Ebenen der Druck p, auf der untern der Druck p + d p. Dabei drückt p abwärts, p + d p aufwärts; der Unterschied beider Drucke ist gleich dem Gewichte des Gases, das zur Höhe das Differential dx und zur Grundfläche die Flächeneinheit hat. Dieses Gewicht ist = q d x. Daher die Gleichung

p-f-qdx = p-|-dp oder

(1)

d p = q d x.

Allein hierin ändert sich q mit x. Nach dem Mariotte’sehen Gesetze erhält man aber

Po

q = qo

Führt man diesen Wert von q in (1), so folgt, indem man noch

qo

—- = c setzt

Po

dp — c p d x.

Um diese Differentialgleichung zu integrieren, sondere man die Veränderlichen, was man durch Division mit p erreicht. Daher ist

(2)

= cdx

und durch Integration

l p = cx -j- C.

Für x = 0 wird p = p₀; mithin

l Po = C,

und durch Subtraktion

(3)

Po

C X.

Diese Gleichung enthält nun das gesuchte Gesetz.

Geht man in (3) von den Logarithmen zn den Zahlen über, so wird

(4)

p = Po ecx,

worin e — 2,718 . . die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet.

Entwickelt man die Exponentialgrösse der Gleichung (4) in eine Reihe, so wird

(!    ,    .    c²3

P = Po ( 1 + cx 4---

(5)

c³ x³

2-3

Es befinde sich Leuchtgas in einer ansteigenden Leitung. Das Gewicht von 1 cbm solchen Gases sei am obern Ende der Leitung = 0,7 kg, der Druck daselbst 1 Atmosphäre = 10 330 kg für 1 qm Fläche; wie gross ist dieser Druck an einer Stelle, die in vertikaler Richtung um 40 m tiefer liegt?

Es ist q₀ = 0,7; p₀ = 10 330 und x = 40; folglich

cx = -

0,7 • 40

10 330

= 0,002 710 6.

Daher unter Anwendung von Gleichung (5)

p = 10 330 (1 + 0,002 71) kg = 10 358 kg.

Der Druck ist also unten grösser um 28 kg für 1 qm Fläche als oben, was vom obern Drucke 0,27 Prozente ausmacht.

258. Bestimmung der Höhe der Atmosphäre. Diese Höhe soll bestimmt werden unter folgenden Voraussetzungen: 1) dass die Temperatur in der Atmosphäre von unten nach oben gleichförmig abnehme; 2) dass die Schwerkraft längs der Höhe der Atmosphäre konstant sei und 3) dass der Einfluss der Zentrifugalkraft, die auf die einzelnen Luftteile wirkt, unberücksichtigt bleiben könne.

Es sei AC (Fig. 94) eine vertikale Luftsäule, deren Querschnitt = 1 ist und deren Höhe bis zur Grenze C der Atmosphäre reicht. Es bezeichne

x = AB die Höhe irgend einer Station über der Erdoberfläche,

A und B,

Fig. 94.

=4

P, p den Druck der Luft für die Flächeneinheit in T, t die Temperatur der Luft an diesen Stationen, a das Gewicht der Kubikeinheit Luft bei 0 Grad Temperatur, an einer Stelle der Atmosphäre, wo die Spannkraft der Luft = 1 ist,

« die Grösse, um die das Volumen 1 der Luft bei je einem Grad der Erwärmung zunimmt, und

h die Höhe, um die man sich in der Atmosphäre erheben muss, wenn die Temperatur um 1 Grad sinkt ; alsdann erhält man für die Temperaturabnahme folgende Relation

fl)

also durch Subtraktion

(6)

" “h ' 1 + «T/

Diese Gleichung enthält das Gesetz der Abnahme des Luftdruckes in der Atmosphäre.

CC .

Würde die Luft überall 0° Temperatur haben, so wäre das Gewicht der Kubikeinheit Luft in B gleich a p. Allein indem die Temperatur von 0 auf t steigt, geht das Volumen 1 über in 1-J-at, also sinkt das Gewicht ap auf

(2)

1 -j- a t

Legt man in den Höhen x und x -(- d x zwei horizontale Querschnitte durch die Luftsäule A C, so schliessen sie ein Prisma ein, dessen Querschnitt = 1, dessen Höhe = dx, dessen Volumen also = dx ist. Dieses mit Luft erfüllte Prisma hat daher nach (2) ein Gewicht gleich

(3)

Dasselbe wird unten mit einer Kraft p aufwärts und von oben mit einer Kraft p — d p abwärts gedrückt, da p in p — d p übergeht, wenn x zu x + dx wird. Da das Prisma gleichwohl in Ruhe ist, so muss der Unterschied dp dieser Pressungen gleich dem Gewichte (3) des Prismas sein. Daher

(4)

dp = —

Hier müssen dp und dx entgegengesetzte Zeichen haben, weil p abnimmt, wenn x wächst. Dividiert man (4) durch p und setzt den Wert von t aus (1) ein, so folgt

(5)

dp

rx

Die Integration dieser Gleichung gibt

Jp = — l(l +«T

cc \

F*) + C-

Für x = 0 ist p = P ; folglich

l~P

ah

cc

l (1 + « T) + C

Für die Grenze der Atmosphäre ist p = 0 ; also l —

Hierfür muss die Formel (6) übergehen in

h 1 + ce T

— cc,

= 0.

Nach der mechanischen Wärmelehre (§ 266) beträgt der absolute Nullpunkt der Temperatur — 273°. Es ist wahrscheinlich, dass diese Temperatur auch diejenige des Weltraumes sein wird.

259. Höheinnessung durch das Barometer. Wird das Barometer von unten nach oben gebracht, so sinkt das Quecksilber in der Glasröhre und zwar um die Höhe einer Säule, die ebensoviel wiegt als die vertikale Luftsäule, um die das Instrument gehoben wurde. Hiernach lässt sich der Höhenunterschied zweier Stationen berechnen, wenn man die Barometerstände für diese Stationen kennt. Es seien

R der Halbmesser der Erde, beziehungsweise die Entfernung der untern Station vom Mittelpunkte der Erde, x die Höhe der obern Station über der untern,

P, p die Pressungen der Luft an der untern und obern Station, für jede Flächeneinheit gedacht,

B, b die Barometerstände an diesen Stationen,

T, t die ihnen entsprechenden Temperaturen der Luft,

Q das Gewacht der Kubikeinheit Luft unter dem Drucke a einer Atmosphäre und für 0° Temperatur und q das Gewicht der Kubikeinheit Luft an der obern Station.

18

Diese Bedingungsgleichung gibt als Höhe der Atmosphäre

-h-,(l ₊ «T).

(7)

Gray-Lussac stieg in einem Luftballon 6 980 m hoch. Dabei war die Temperatur in dieser Höhe — 9,50° und gleichzeitig am Boden 30,75° C. Nimmt man nun an, die Abnahme der Temperatur sei eine gleichförmige, so wird die Abnahme 1 Grad betragen für je

6 890

30,75 + 9,50

Für trockene Luft ist a = 0,003 67. Allein für den Zustand der Luft in der Atmosphäre kann als Mittel angenommen werden a — 0,003 7. Für diese Werte wird nach (7) die Höhe der Atmosphäre

(8)

m = 173 m.

(9)

173

(l + 0,003 7.30,75) m = 52 077 m.

0,003 7

Als Halbmesser der Erde kann man nehmen 6 365 000 m. Daher wird das Verhältnis zwischen der Höhe der Atmosphäre und dem Erdhalbmesser

52 077 6 365 000 ~ 122 *

Mittels der Werte h und x aus (8) und (9) erhält man als Temperatur an der Grenze der Atmosphäre

t = 30,75 -

52 077

173

— 270,27 °.

Autenheimer, Elementarbuch.

Konstruiert man mit den Radien R -f- x und R + x -)- d x zwei Kugelflächen, deren Mittelpunkte mit dem Mittelpunkte der Erde zusammenfallen, so scliliessen beide Kugelflächen eine unendlich dünne Luftschicht ein. Wir setzen voraus, dass die Dichtigkeit und Spannung der Luft in dieser Schicht überall dieselbe sei. Ein Teil dieser Schicht habe die Grundfläche 1 ; alsdann ist sein Volumen = d x, also sein Gewicht = q d x. Da nun der Druck auf diese Schicht von unten = p, von oben = p — d p ist, so muss sein

(1)

d p = — qdx.

Hier haben d p und d x entgegengesetzte Zeichen, weil p abnimmt, wenn x zunimmt.

Es handelt sich nun zunächst darum, Werte von q abzuleiten. Dies kann unter verschiedenen Voraussetzungen geschehen.

Erste Voraussetzung. Das Gewicht eines Körpers ändert sich mit seiner Entfernung vom Mittelpunkte der Erde. Allein man nehme an, es bleibe dasselbe innerhalb der verhältnismässig kleinen Höhe x konstant und die Temperatur T gehe gleichförmig in t über.

Denkt man sich eine Kubikeinlieit Luft an irgend einer Stelle von 0° Temperatur und unter dem Drucke a einer Atmosphäre, so ist ihr Gewicht = Q ; geht nun der Druck a über in p, so wird ihr Gewicht

= Q — ; steigt ausserdem die Temperatur auf t, so wird ihr Gewicht

ä>

a (1 + « t)

Daher ist

(2)

a (1 —i— cc t)

Folglich, indem man q aus (2) in (1) einführt und durch p dividiert,

(3)

dx.

a (1 —F cc t)

Um diese Differentialgleichung mit den Variabein p, x und t integrieren zu können, denke man sich t konstant und nehme nach der Integration für t das Mittel aus den Grenzwerten. Man erhält auf diese Weise

f C.

Da für x = 0 die Grösse p in P übergeht, so wird

l P = C.

Zieht man von dieser Gleichung die vorige ab, so kommt

Q.x

(4)

A =

Diese Gleichung kann nun für Messung kleinerer Höhen zurecht gelegt werden. Man beachte, dass P:p = B:b, dass für Meter und K ilogramme

a = 10 330 kg für 1 qm ; Q = 1,293 kg,

dass ferner für feuchte Luft a — 0,004 und dass von natürlichen Logarithmen zu den briggischen übergegangen wird , indem man jene mit 2,302 585 .. multipliziert; man erhält so

10 330

1,293 L

und daher die gesuchte Gleichung

1 -)---— (T + t) • 2,302 58 log ——

(5)

x = 18 395 ^1 +

T + tV B 500 /°g b '

Um die Logarithmen zu vermeiden, kann man auf die Integration

von

das in § 107, Formel (3), angegebene Verfahren anwenden.

Hiernach betrachtet man das bestimmte Integral als ein Rechteck mit der Grundlinie P — p und einer Höhe, die erhalten wird, wenn man das Mittel \ (P + P) aus den Grenzwerten von p nimmt. Man erhält daher als Annäherungswert

fPdP

JP P

P

Setzt man diesen Wert für l —

p + p

(p-p)'rTp

— in Gleichung (4) ein, so folgt P

Qx

a(^l!+

500

oder indem man B und b für P und p einfiihrt und die oben angegebenen Werte von Q und a benutzt,

x= 15 977 ^1 +

(6)

T + t \ B — b 500 yB + b‘

Die Werte, die (5) und (6) liefern, weichen für geringe Höhen nur sehr wenig voneinander ab.

Zweite Voraussetzung. Es sei bei Berechnung des Gewichtes q auf die Veränderlichkeit der Schwere Rücksicht zu nehmen.

Nach dem Newton’sehen Gesetze der Gravitation nimmt das Gewicht eines Körpers ab, wie das Quadrat seiner Entfernung vom Mittelpunkte der Erde zunimmt. Nun wurde der Wert von q in (2) ohne Rücksicht auf diese Abnahme angenommen; es muss dieser Wert daher noch mit dem Verhältnis R²:(R-j-x)² multipliziert werden. Also wird für die obere Station sein

(7)

_ R V

a (1 + a t) Vr + xj Setzt man diesen Wert von q in (1) ein, so folgt

(8)

dp

a (1 + u t) \R + V

18*

Behufs der Integration dieser Gleichung schreibe man

dp

QR²

a(l -j- a t)

• (R -f x)~² d (R + x)

und betrachte t als konstant in obigem Sinne; es folgt dann

+ c.

QR

a (1 -(— cc t) R —(- x

Für x = 0 wird p = P ; daher wird

QR

a (1 -f- a tj

und durch Subtraktion

(9)

it

(JE

p a (1 -f- « t) R-f x'

woraus folgt

(10)

x=4<1+“t)(¹⁺Tr)/ir

Um hierin P und p durch die Barometerstände B und b zu ersetzen, hat man zu beachten, dass die Spannung der Luft abnimmt wie die Schwere, so dass man setzen muss

Nimmt man die Logarithmen, so wird

Entwickelt man das letzte Glied nach § 69 in eine Reihe und nimmt von derselben nur das erste Glied, so erhält man

(11)

j-p

to

P

Setzt man diesen Wert von l— in (10) ein, so folgt, indem man das

P

x²

Glied mit -^y- vernachlässigt,

a ,,

x = — (1 -f- a t)

f (i + -

Die Werte von Q, a und t sind die gleichen wie oben. Geht man noch von den natürlichen Logarithmen über zu den briggischen, so erhält man nach Poisson

Um mittels dieser Formel die Höhe x zu berechnen, berücksichtige man, dass — ein sehr kleiner Bruch ist. Man vernachlässige denselben zunächst und erhält folgenden angenäherten Wert

x,

Führt man sodann diesen Wert von x, auf der rechten Seite der Gleichung (12) ein, so erhält man den gesuchten Wert von x. Dabei kann R — 6 366 OOO m angenommen werden.

Dritte Voraussetzung. Es sei Gleichung (7) zu integrieren für den Fall, dass die Temperatur t von unten nach oben abnehme, jedoch als Funktion von x eingeführt werde.

Wenn die Temperatur der Luft für jedes Höhenintervall r je um 1° abnimmt, so wird die Temperatur in der Höhe x sein

t = T--—.

Setzt man diesen Wert von t in (7) ein, so kommt

Q d x

(13)

dp

a(l + «T

•(---Y

VR + xJ

nach

Um diese Gleichung zu integrieren, entwickele man dem binomischen Lehrsätze in eine Reihe. Man erhält

)=(w-r=

•₂JL

Ł R

X¹ 2

+ 3Rf~-

\R -j- x

Vernachlässigt man alle Glieder dieser Reihe bis auf die beiden ersten und setzt noch der Einfachheit wegen

x dx

Somit wird die Differentialgleichung (8) ersetzt durch (14). Um — dieser letztem Gleichung zu integrieren, setze man m — nx = z; dann wird

dx = -

n² z

n² ’

Folglich

m    . . m

l (m - n x) 4--n2

Mit Hilfe dieser Werte gibt Gleichung (14)

l (in — n x) —

Rn

l (m — n x) 4-

— nx)1 + C.

Für x = 0 wird p = P ; folglich

2 m

l in

Rn

l m -f-

Rn

und durch Subtraktion

I*

2x1

1»

Rn

oder auch, indem man die Werte von m und n wieder einführt,

₂ M-oT ._TA

(15)

1 +«T

er

1 +aT— — x

Setzt man den Wert von l

Cu ! p.

Qr

04+¥)-

aus (11) hier ein, so gibt (15) ₂ 1 + a T r

1 + «T— il. x

1, so kann der Bruch rechts, von dem der

Multipliziert man mit Logarithmus zu nehmen ist, umgekehrt werden, und man erhält

R Qr V R

a6) , + aT

Um einen angenäherten Wert von x,

Hieraus ist nun x zu bestimmen, der mit x„ bezeichnet sei, zu erhalten, vernachlässige man alle Brüche mit dem Nenner R, entwickele die linke Seite in eine Reihe und verwende nur das erste Glied derselben; man erhält alsdann, entsprechend (4),

zu

Führt man diesen Wert von x,, in (16) ein, so kann der Wert von x, der im Ausdrucke links vorkommt, berechnet werden. Dabei sind a = 0,004; r = 173 m: a = 10 330 kg und Q = 1,293 kg nehmen.

260. Dicliligkeit der Masse im Innern der Erde. Es soll die Dichtigkeit der Erdmasse in einer beliebigen Tiefe unter der Erdoberfläche bestimmt werden, unter der Voraussetzung, dass diese Dichtigkeit proportional mit der Tiefe unter der Erdoberfläche zunehme. Es sei r der Halbmesser der Erde, diese als Kugel gedacht, ao = 2,65 die Dichtigkeit der Erdmasse an der Oberfläche (J. R.

Blum),

a,n = 5,56 die mittlere Dichtigkeit der Erdmasse (Cornu u. Baille), a die Dichtigkeit im Abstande x vom Mittelpunkte der Erde, also in der Tiefe r — x unter der Oberfläche, und b der Wert, um den die Dichtigkeit für jede Längeneinheit von der Oberfläche nach dem Innern zunimmt; mit diesen Bezeichnungen wird sein

(1)

a = ao + b (r — x).

Konstruiert man zwei Kugelflächen mit den Radien x und x -\- d x vom Mittelpunkte der Erde aus, so schliessen dieselben ein Volumen = 4 Ti x² d x ein, von der gleichförmigen Dichte a. Die Masse dieses Volumenelementes ist also = 4 n x² d x [ao + b (r — x)] ; folglich die Masse der ganzen Erdkugel

— b x³ d x

r³

P f(a₀ + br) x²dx J o L

= 4 n (a₀ |br)y

Die Masse der Erde ist aber auch — n r³ am. Folglich wird sein

r⁴1

r    r³

4 n (a₀ -f b r) —

— — n r³ am.

und hieraus folgt

(2)

am ao

Setzt man diesen Wert von b in (1) ein, so folgt die gesuchte Relation

(3)

a — ao -j- 4 ^1--—^ (am — ao),

(4)

oder indem man obige Zahlenwerte für ao und am einführt, a = 14,29 — 11,64—.

Setzt man in (4) x = 0, so erhält man als Dichte der Masse im Mittelpunkte der Erde a = 14,29. Diese Dichte ist somit nahe gleich derjenigen des Quecksilbers.

Wird in (3) die Dichte a zu am, so folgt x = 0,75 r,

d. h. die mittlere Dichtigkeit der Erdmasse liegt um | vom Halbmesser der Erde unter der Erdoberfläche.

261. Bestimmung der Abplattung der Erde aus Gradmessungeu.

Schneidet man die Erde längs ihrer Rotationsachse AC (Fig. 95), so entsteht als Schnitt ein Meridian C E B. Dieser sei eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Das Verhältnis

(1)

a — b

wird alsdann die Abplattung der Erde genannt.

Die Koordinaten des Ellipsenpunktes E seien AF = x, EE — y: dann ist die Gleichung der Ellipse für den Mittelpunkt

y = Y a,² — x²

und das Bogenelement der Ellipse ds = Y~dx² -f- dy².

Beschreibt man über der halben grossen Achse A B einen Kreis B D, verlängert die Ordinate EE bis zum Durchschnitte D mit dem Kreise, zieht den Radius AD und setzt Winkel DAB = u, so ist x = acosu, folglich auch nach (2) y = bsinu. Hieraus folgt

dy = bcosudu;

(2)

(3)

(4)

Fig. 95.

d x = — a sin u d u,

d s = d u J/^a² sin² u -\- b² cos² u.

Zieht man die Kreistangente D G bis zum Durchschnitte G mit der Abscissenachse und verbindet E mit G, so wird E G eine Tangente an die Ellipse (§ 51).

Wenn man die Normale E H durch den Punkt E zieht, so nennt man den Winkel E H x = v, den sie mit der grossen Achse bildet, die geographische Breite des Punktes (x, y). Da Tangente E G und Normale E H recht winkelig zu einander stehen, so ist nach § 54

cotang v =

dy

dx ’

Allein aus den beiden Gleichungen (3) folgt auch

dy

cotang u.

dy

Setzt man diese Werte von -,— einander gleich, so wird

d x

a tang u = b tang v.

Hieraus folgt

COS²U =

sin²u =

a² cos²v

a² cos²v -|- b² sin²v

b² sin²v

a² cos²v -j- b² sin²v

du =

a² cos²v + b² sin²v ’    ,

Führt man diese Werte in (4) ein, so ergibt sich das Differential des Meridians, ausgedrückt durch die geographische Breite,

ds =

a² b² d v

(a² cos²v -j- b² sin²v)²

Aus (1) folgt b = a (1 — «) und, indem man quadriert und das Glied mit a² als einer sehr kleinen Grösse vernachlässigt,

b² = a² (1-2 «).

= n,

(14)

dp

P \JQ

in — n x

Hierdurch wird

(5)

a ( I — 2 a) d v

(1 — 2 a sin²v)²

In dieser Gleichung (5) sind a,«,dv konstant. Lässt man v um d v, 2 d v, 3 d y,.. wachsen, so nimmt der Nenner von (5) ab ; folglich nehmen die entsprechenden Werte des Bogenelementes ds zu. Das nämliche wird stattfinden für eine Summe- von Bogenelementen, also für Grade des Meridians. Die Grade des Meridians wachsen somit vom Aequator nach den Polen hin.

Um (5) zu integrieren, entwickele man den Nenner in eine Reihe und vernachlässige alle Glieder von der zweiten Potenz der Grösse « an ; man erhält

(1 — 2 a sin²v) ² = 1 -f- 3 a sin²v,

(1 + 3 a sin²v) (1 — 2 a) — 1 — 2 a -f- 3 a sin²v,

und da

sin²v = 4(1 — cos 2 v),

so ist

a cos 2 v d v.

2

Mithin ergibt sich durch Integration dieser Formel

3 a a . n _

—-— sin 2 v + C.

4

Nimmt man den Bogen zwischen den Breiten v und v', sodann zwischen den Breiten V und V' und bezeichnet die entsprechenden Bogen durch s' und S', so ist

s = a (¹ - y) v

—(sin 2 v' — sin 2 v),

- (sin 2 V' — sin 2 V).

Nun sollen die Unterschiede v' — v, V' — Y je einen Grad umfassen, also die Bogen s', S' die Längen dieser Grade sein. Da

sin 2 v' — sin 2 v = 2 sin (v' — v) cos (v' -f- v),

— V) —

s' = a(¹_Tr)<y,_V)

so wird

^ tt sin (v' — v) cos (v' -f- v).

Da der Unterschied v' — v nur einen Grad misst, so kann man sin(v' — v) mit dem Bogen v' — v vertauschen und v'-fv-2Vo setzen, wo v₀ die mittlere Breite bezeichnet. Dadurch folgt

s' = a (l - -0 (v' — v)

s'

a (y' — v) 1 —

tOl 55

CO

55

(M

CM

Wird die Reduktion für S' ebenso durchgeführt, und mit V₀ die mittlere Breite des Bogens S' bezeichnet, so erhält man durch Division, da v' - v = V' - V als Werte von je einem Grade,

S'

tO S3

— cos 2 V₀

s'

Fiir Vo > vo ist auch S'> s', also das Verhältnis S':s' um eine kleine Grösse ß grösser als die Einheit. Man kann mithin setzen

--₉ cos 2 Vo

1-^-

1+ß.

1 a 3 « o l-T--rcos2v„

Schafft man den Nenner weg und vernachlässigt die beiden Glieder mit dem Produkte aß, so folgt als gesuchter Wert der Abplattung

(6)

3 cos 2 v₀ — cos 2 V₀

Im Jahre 1 735 machten Bouguer, Condamine und Godin in Peru eine Gradmessung und Picard um 1 669 eine solche in Frankreich bei Amiens, die um 1 739 durch Lacaille verifiziert wurde. Die Resultate dieser Messungen sind

Messung in Peru: = 56 753 Toisen, = 0° 0'.

Messung bei Amiens: S' = 57 060 Toisen, Vo - 49°54'.

Hieraus folgt

S'

— = 1,005 41; ß = 0,005 41 ;

cos 2 v₀ — cos 2 Vo = 1 -f cos 80° 12' = 1,170 209,

2    0,005 41

a~Y' 1,170209    324 ’

Hiernach würden sich die kleine und grosse Achse des elliptischen Meridians wie 323:324 verhalten.

XIX. Aus der mechanischen Wärmelehre.

202. Wesen «1er Wärme. Man denkt sich die Körper zusammengesetzt aus Körper- und Aetheratomen. Die erstem sind dem Gesetze der Schwere unterworfen, ziehen sich also gegenseitig an. Die Aether-atome bilden eine feine Flüssigkeit mit vollkommener Elastizität; ihre Teile stossen sich untereinander ab, werden aber von den Körperatomen angezogen. Dadurch bilden sich um die Körperatome herum

Aetherhüllen, deren Dichtigkeit nach dem Körperatom hin zunimmt. Diese Hüllen halten die Körperatome auseinander. Der Aether ist dem Gesetze der Schwere nicht unterworfen, seine Masse ist gegenüber derjenigen der Körperatome verschwindend klein.

Ein Körperatom, an der Oberfläche des Körpers liegend, kann von aussen her in Bewegung versetzt werden, ohne dass der ganze Körper in Bewegung gerät, so z. B. durch Stösse, durch Reiben der Oberfläche, durch plötzliches Abtrennen einzelner Körperteile mittels Werkzeugen n. s. w. Das in Bewegung geratene Körperatom rückt gegen benachbarte Atome. Dadurch werden die Aetherhüllen dieser Atome zusammengedrückt; in einem bestimmten Augenblicke erreicht die Verdichtung der Hüllen einen höchsten Grad. In diesem Augenblicke gehen die Körperatome auseinander; das erste kehrt zur ursprünglichen Lage zurück, schwingt über diese hinaus, kehrt wieder zurück u. s. w. Es nimmt eine hin- und hergehende Bewegung an mit sehr kleiner Schwingungsweite und grosser Geschwindigkeit. Die Bahn des Atoms kann geradlinig oder krummlinig sein; das Atom kann eine fortschreitende und zugleich eine rotierende Bewegung haben. Die Bahnen der fortschreitenden Bewegung sind nicht parallel untereinander, sondern schneiden sich unter allen denkbaren Winkeln.

In der Regel kommt eine grosse Anzahl von Atomen zugleich in schwingende Bewegung. Diese teilt sich dann zunächst den benachbarten Atomen mit und diese übertragen die Bewegung weiter. Diese Bewegungen hat man wegen der kleinen Bahnen stationäre genannt.

Ein Massenteilchen kann nur in Bewegung geraten, wenn ihm lebendige Arbeit (§ 181) mitgeteilt wird. Ist u die mittlere Geschwindigkeit eines Körperatoms und m seine Masse, so ist die in ihm angesammelte lebendige Arbeit

^ m u².

Sind alle Körperatome in solcher schwingender Bewegung, so kann die im ganzen Körper enthaltene lebendige Arbeit dargestellt werden durch den Ausdruck

(1)

£ 4 m u²,

worin das Summenzeichen 2 sich über alle Atome des Körpers auszudehnen hat.

Diese in den schwingenden kleinsten Teilen des Körpers enthaltene lebendige Arbeit heisst Wärme des Körpers und zwar fühlbare oder freie Wärme.

Jeder Geschwindigkeit u entspricht eine bestimmte Temperatur. Diese ist also proportional dem Quadrate der mittleren Schwingungsgeschwindigkeit. Hört die schwingende Bewegung auf, d. h. ist u = 0, so ist auch die Temperatur — 0. Diesen Nullpunkt der Temperaturskala nennt man absoluten Nullpunkt und die Temperaturangaben, von diesem Nullpunkte an gerechnet, absolute Temperatur. Wie gezeigt wird, ist dieser Nullpunkt — 273° C., d. li. der absolute Nullpunkt liegt um 273 Zentigrade tiefer als der Nullpunkt unserer Thermometer. Zeigt unser Thermometer z. B. 20°, so ist die entsprechende absolute Temperatur 273° -j- 20° — 293° C.

2G3. Mechanisches Activaient der Männe. Als Einheit der Arbeit nimmt man gewöhnlich das Meter-Kilogramm (mkg) an und als Einheit der Wärme die Kalorie, d. h. jene Wärme, die nötig ist, um 1 kg Wasser von 0° um 1° C. zu erwärmen.

Da nun Wärme Arbeit ist, so wird in jeder Kalorie Wärme eine Anzahl Meter-Kilogramme enthalten sein. Diese Anzahl ist durch Versuche festgestellt, sie beträgt 424 mkg. Man nennt diese Grösse das mechanische Aequivalent der Wärmeeinheit, oder auch die Joule’sehe Zahl, weil sie durch Joule zuerst sicher festgestellt wurde.

Der Sinn dieser Zahl ist folgender: Eine Kalorie Wärme kann erzeugt werden durch 424 mkg Arbeit; aber ebenso kann 1 Kalorie Wärme eine Arbeit von 424 mkg leisten. Dass dieses Verhältnis ein festes sein muss, ist selbstverständlich, gleichviel, ob durch Arbeit Wärme oder durch Wärme Arbeit entstehe, ob die Umwandlung langsam oder schnell vor sich gehe, in dieser oder jener Substanz u. s. w.

Der reziproke Wert von 424 ist die Wärme, welche 1 mkg liefern kann und wird Wärmeäquivalent, der Arbeitseinheit genannt; es gehen also aus 1 mkg Arbeit hervor T*₄ Kalorien.

204. Latente Wärme. Geht Wärme in einen Körper über, so wird seine Temperatur erhöht und sein Volumen verändert. Der Teil Wärme, der die Temperatur steigert, ist die sensible Wärme nach Ausdruck (1); der andere Teil heisst latente Wärme. Diese zerlegt sich im allgemeinen in zwei Teile : Der eine überwindet die Molekularkräfte, die der Volumenänderung entgegen wirken, und heisst innere latente Wärme; der andere überwindet äussere Kräfte, die bei der Zunahme des Volumens zu überwinden sind, und heisst äussere latente Wärme.

Es sei Q, die Wärme, die eine Gewichtseinheit Stoff aufnehme. Dadurch steige dessen Temperatur um t Grade; dann ist die entstandene fühlbare Wärme =ct, wenn c die spezifische Wärme des Körpers bezeichnet. Die auf latente Wärme verwendete Arbeit sei: auf die innere J, auf die äussere L; dann entspricht diesen Arbeiten eine Wärmemenge = (J + L) : 424. Daher

(2)

424

424 '

Nicht bei allen Vorgängen treten die drei Glieder rechts auf. Wenn z. B. ein permanentes Gas sein Volumen, seine Dichtigkeit und Temperatur ändert, so ist keine Arbeit auf die Aenderung des Molekularzustandes zu verwenden, es wird daher J = 0.

Wird dieses Gas ausserdem erwärmt, ohne dass sich sein Volumen ändert, so ist auch keine äussere Arbeit nötig, daher auch L = 0. Es verbleibt daher nur noch das erste Glied ct.

Wird Eis von 0° in Wasser von 0« verwandelt, so ist t = 0 und es kann auch L = 0 gesetzt werden, da das Volumen sich nicht wesentlich ändert. Daher bleibt nur das zweite Glied mit J bestehen. Da zum Schmelzen von 1 kg Eis 79 Kalorien nötig sind, so wird auf das Schmelzen, d. h. auf die Aenderung des Aggregatzustandes eine Arbeit verwendet

J = 424 • 79 mkg = 33 496 mkg.

Eine Pferdekraft leistet 75 mkg Arbeit in der Sekunde. Diese Kraft hätte also zum Schmelzvorgange eine Zeit zu arbeiten von

33 496 :7b = 447 Sekunden.

Wird Wasser von 100° in Dampf von derselben Temperatur verwandelt , so ist t = 0 und es verbleiben die beiden andern Glieder. Die Arbeit J löst den Aggregatzustand auf, die Arbeit L schafft dem Dampfe, der sich bildet, den nötigen Raum zu seiner Existenz.

205. Ableitung der Joule’sclieu Zahl. Man denke sich 1 kg atmosphärische Luft in einem Cylinder durch einen Kolben abgeschlossen. Wird nun diese Luft erwärmt um 1°, so aber, dass der Druck der Luft der gleiche bleibt, so wird der Kolben unter diesem Drucke aus-weichen; also ist eine äussere Arbeit zu verrichten. In der letzten Gleichung (2) wird J = 0 und t = 1°. Ferner bezeichnet c die spezifische Wärme der Luft für konstantes Volumen und Q diejenige für konstanten Druck’. Diesen letzteren Wert wollen wir mit c' bezeichnen und die Zahl 424, die als Unbekannte aufzufassen ist, mit E; so folgt aus (2)

(3)

c' — c

Nun ist c' = 0,237 7 ; c = 0,168 6. Um L zu finden, nehme man die ursprüngliche Temperatur der Luft = 0n und den Druck = 1 Atmosphäre an; es ist alsdann das Volumen von 1 kg derselben 1:1,293 2 = 0,773 27 cbm, da das Gewicht von 1 cbm Luft 1,293 2 kg beträgt. Gibt man dem Cylinder 1 qm Grundfläche, so wird seine Höhe = 0,773 27 m. Diese Höhe nimmt bei Erwärmung um 1" zu um 0,003 67 • 0,773 27 = 0,002 837 8 m, da 0,003 67 als Ausdehnungskoeffizient zu betrachten ist. Also legt der Kolben während der Erwärmung den Weg 0,002 837 8 m zurück mit einem Drucke = 10 330 kg. Diese Werte geben L = 10 330-0,002 837 8 = 29,3 mkg. Daher wird

mkg = 424 mkg.

29,3

0,069 1

Diese Methode rührt von Robert Mayer her; er gab den Wert von E im Jahre 1842 zu 365 mkg an. Es standen ihm aber die richtigen Werte von c' und c noch nicht zur Verfügung.

26(1. Gesetz von Gay-Lussac. Wenn po, v« und to Druck, Volumen und Temperatur eines abgeschlossenen Gaskörpers und p, v und t dieselben Grössen für einen zweiten Zustand desselben Gaskörpers bezeichnen, so findet unter diesen Grössen folgende Beziehung statt.

Man bringe das Gas für beide Zustände auf 0° Temperatur, ohne dass ihre Spannung geändert werde. Dabei gehe v₀ in V₀ und v in V über. Auf diese Zustände wende man das Mario tt e’sche Gesetz an, wonach bei gleicher Temperatur die Volumina sich umgekehrt verhalten wie die Drucke. Daher wird V₀ : V = p : p₀ oder

pV

Po V₀

Erwärmt man nun das Gas für den ersten Zustand auf to Grade, so nimmt sein Volumen zu im Verhältnis von 1 :(1 -j- at₀), wo « den Ausdehnungskoeffizienten für das Gas bezeichnet. Ebenso erwärme man das Gas des zweiten Zustandes auf t Grade. Diesen Zustandsänderungen entspricht Gleichung (4), wenn man ihre Zähler mit 1 -j- a t und ihre Nenner mit 1 + ato multipliziert und sodannV (1 —j— ert) durch rund Vo (1 -f- to) durch v₀ ersetzt. Man erhält

1 + « t 1 *4" a to

Diesen Zusammenhang stellt das Gay -Lu s sa c’sehe Gesetz dar. Dividiert man Zähler und Nenner rechts durch « = 0,003 67 und beachtet, dass 1 : « — 273, so geht die letzte Gleichung über in

273 + t 2/3 to

Nun sind die Glieder der Summe 273 + t gleichartig; also wird auch 273 eine Temperatur sein. Die Temperatur kann daher abnehmen um 273 -j-1, also um 273° unter den Nullpunkt der gebräuchlichen Thermometerscala. Diese Temperatur, von — 273° an aufwärts gerechnet, heisst absolute Temperatur.

Aus der zweiten Form dieser Gleichung erkennt man, dass die Grösse pv, dividiert durch 273 —(— t, eine Konstante ist, die mit R bezeichnet werde.

Setzt man zur Bestimmung derselben to = 0; po = 10 330 kg und für atmosphärische Luft Vo = 0,773 27 (§ 265), so wird für diese Gasart

pv

Po v₀

(5)

pv

Po v₀

oder

pv

Po Vo

273 +7 — 273 + t₀'

Po v0 273

Es ist das die in Gleichung (3) vorkommende Arbeitsgrösse L. Aus (5) folgt nun das gesuchte Gesetz

= 29,3.

pv = R (273 + t) = ET, worin T die absolute Temperatur bezeichnet.

(6)

2ö7. Kreislauf eines Gases mit Zustandsäiiderungeu bei konstantem Yolumen und konstantem Drucke. Stellt man die Gleichung (6) durch rechtwinkelige Koordinaten geometrisch dar, indem man v als Abscisse und p als Ordinate aufträgt (Fig. 96), so entsteht für ein gleichbleibendes t eine gleichseitige Hyperbel.

Fig. 96.

Gesetzt, die Werte v und p entsprechen dem Kurvenpunkte A. Lässt man nun bei gleichbleibendem v die Temperatur wachsen, so rückt A parallel zur Ordinatenach.se vor und lässt man bei gleichbleibendem p die Temperatur zunehmen, so rückt A parallel zur Abscissenachse vor.

Wenn durch solche Temperaturänderungen A die Seiten eines Rechteckes A B C D beschreibt, dessen eine Seite AB parallel zur Ordinatenachse liegt, so wird das Gas nach Vollendung des Kreislaufes die ursprüngliche Temperatur t und Spannung p haben.

Der Kreislauf kann wie folgt durctigeftihrt werden. Es gelange A nach B, es bleibe also v konstant. Dieser Uebergang ist nur möglich, wenn dem Gase Wärme zugeführt wird; dabei steige t auf t⁴ und p auf p'. Hierauf werde der Weg BC durchlaufen, es bleibe also p' konstant. Auch bei diesem Uebergange muss dem Gase so viel Wärme zugeführt werden, dass v zu v⁴ und t⁴ zu t⁴⁴ heranwachse. Nun werde dem Gase bei gleichbleibendem Volumen Wärme entzogen; der Punkt beschreibe die Seite CD, es sinke t" auf t⁴⁴⁴, während die Spannung zu p wird. Beim Rückgänge von I) nach A bleibt p konstant, v' nimmt ab auf v, t'" auf t. Auch dieser Vorgang ist nur möglich, wenn dem Gase Wärme entzogen wird.

Die zu diesem Kreisläufe benötigte Wärmemenge ergibt sich wrie folgt. Die letzte Gleichung (6), angewendet auf die vier Eckpunkte des Rechteckes, wird zu

A.    pv = R (273 + t),

B.    p' v = R (273 + t⁴),

Vollzieht man die Subtraktion (B) — (A), (C) — (B) etc., so kommt

v' (p — p⁴) = R (t⁴⁴⁴ — t"), p (v — v') = R (t — t⁴⁴⁴).

Beim ersten Uebergange werde dem Gase die Wärmemenge q zugeführt, beim zweiten q'. Es sei ferner 1 kq das Gewicht des Gaskörpers; ferner dessen spezifische Wärme bei gleichem Drucke c' und bei gleichem Volumen c; dann wird für diese zwei Uebergänfe

q⁴ = c⁴ (t⁴⁴ — t⁴).

C.    p⁴ v' = R (273 + t"),

D.    p v' = R (273 -ft'").

(1)

(2)

\v (p' — p) = R(t' — t),

I P' (v' —- v) = R (t⁴⁴ — t'),

q = c (t⁴ — t),

Bei den beiden letzten Uebergängen wird dem Gase Wärme entzogen; der Entzug betrage beim dritten q⁴⁴, beim vierten q'"; dann wird

(3)

q'" = c⁴ (t⁴⁴⁴ — t).

q" = c (t⁴⁴ — t⁴⁴⁴);

Führt man die Werte von t⁴ — t, t" — t⁴ etc. aus (1) in (2) und (3) ein, so folgt, indem man den reziproken Wert von R mit r bezeichnet,

q⁴ = r c⁴ p⁴ (v⁴ — v), q'" = r c' p (v⁴ — v).

) q — r c v (p⁴    p),

/ q" = r c v⁴ (p⁴ — p),

Die Wärmezuschüsse sind als positiv, die Wärmeentzüge als negativ anzusehen. Bezeichnet Q, ihre algebraische Summe, so ist

(4)

Q = (q — q'O + (q' — q'")-

Allein die Differenzen in diesen Klammern sind vermöge (4) q — q" = — r c (v⁴ — v) (p⁴ — p).

Daher

q⁴ — q44 4 = r c⁴ (v⁴

v) (P' — p).

Q = r (c⁴ — c) (v⁴ — v) (p⁴ — p).

Dieser Wert von Q kann nicht zu Null, auch nicht negativ werden, weil die Differenzen in den Klammern, so lange wenigstens die Vorgänge dem Rechtecke entsprechen, positive Werte haben. Also wird dem Gase mehr Wärme zugeführt als entzogen. Der Mehrbetrag Q verwandelt sich in Arbeit. In der That wird bei den beiden ersten

(5)

Uebergängen eine Arbeit verrichtet = p' (v'— v), weil das Gas, in einem Cylinder mit der Grundfläche 1 eingeschlossen gedacht, den Kolben mit einem Drucke p' fortschiebt um den Weg v' — v. Beim Rückgänge wird eine Arbeit verbraucht = p (V — v), weil der Kolben gedrückt wird mit p und dabei den Weg v' — v durchläuft. Die Differenz dieser Arbeiten ist

(p' — P) O' - v)

und daher nichts anderes als die Rechtecksfläche, die v'—v zur Grundfläche und p' — p zur Höhe hat.

Kun vermöge eine Kalorie Wärme (§ 265) eine Arbeit E zu verrichten; dann ist die Arbeit von Q Kalorien = QE; daher

QE = (p' — p) (v/    v).

Dividiert man diese Gleichung durch Gleichung (5), so folgt als Wert des mechanischen Aequivalentes der Wärme

c' — c'’

also derselbe Wert wie in § 265.

Erfolgt der Uebergang nur längs der beiden ersten' Seiten des Rechteckes, so ist nur Wärmezusclmss nötig. Dieser beträgt

Q = q + q' = r [c v (p' — p) + c' p' (v' — v)].

Sind die Rechtecksseiten unendlich klein, so kann p' — p als das Differential von p und \r< — v als das von v angesehen werden. Die letzte Gleichung geht daher über in

dQ = r[cvdp + c'(p -(- dp)d v].

Hierin kann aber das Glied mit d p d v vernachlässigt werden gegen die andern iu der Klammer. Daher wird

(6)

d Q = r (c v d p -f c' p d v).

Bei dieser Auffassung schreitet A um unendlich kleine Intervalle vor in der Richtung einer Kurve (Druckkurve), die durch die Punkte A und C geht und deren Variable v und p sind.

Für den Uebergang längs eines endlichen Bogens dieser Kurve, von p, v (A) zu p',v'(C), gibt das Integral von (6) die erforderliche Wärmemenge. Diese ist daher

(7)

-*r.

(c v d p + c' p d v).

Es durchlaufe der Punkt C die dritte und vierte Seite des Rechtecks; dann wird die Wärmemenge Q/, die dem Gase entzogen werden muss, sein

Q' = q" + q'" = r [c v' (p' — p) -j- c' p (v' — v)].

Wird wieder p' — p = d p und \t/ — v = d v, so geht diese Gleichung über in

d Q/ = r [c (v -f- d v) d p -j- c' p d v]

und nach Weglassung des Gliedes mit dpdv und angedeuteter Integration in

Q' = r P (c v d p + c' p d v). J v'

Dieser Wert von Q/ ist gleich dem von Q in Gleichung (7), jedoch mit entgegengesetztem Zeichen, weil die Integrationsgrenzen vertauscht sind (§ 93). Durchläuft also der Kurvenpunkt die Druckkurve rückwärts, so muss dem Gase ebensoviel Wärme entzogen werden, als ihm beigebracht werden muss, wenn er vorwärts schreitet.

Es sollen nun spezielle Fälle betrachtet werden.

I. DerUebergang erfolge vom Punkte A nach B; es sei also v konstant.

Daher wird in Gleichung (6) dv=’0 und die Integration dieser Gleichung gibt

Q = r c v (p' — p).

Die Wärme Q, wird also r.ur auf die Zunahme p' — p des Druckes verwendet.

II. Der Uebergang finde von B nacjh C statt; es bleibe also p konstant.

Da in Gleichung (7) d p = 0 ist, so gibt die Integration Q = r c' p (v' — v).

Die Wärme Q wird also ausschliesslich auf die Ausdehnung des Volumens von v auf v' verwendet.

III. Der Uebergang vom Punkte (p, v) zum Punkte (p', v') erfolge so, dass dem 'Gase weder Wärme zugeführt noch ihm entzogen werde.

Ist dabei v' > v, so entspricht diesem Vorgänge eine Expansion des Gases: das Volumen v geht in das grössere v' über und die Spannung sinkt. Wenn dagegen v' < v, so entspricht diesem Vorgänge eine Kompression des Gases: das Volumen nimmt ab und die Spannung steigt.

Da in beiden Fällen Q = 0 ist, so muss in Gleichung (7) auch die Grösse hinter dem Integralzeichen = 0 sein. Also wird

cvdp-f-c'pdv = 0.

c'

Setzt man in diese Gleichung —— = n und sondert die Variabein, so kommt und durch Integration

l p + n l v = l C,

wo l C die Konstante der Integration bezeichnet. Da hieraus / p v” = / C, so folgt

Mithin ist das Produkt pv" konstant, welche zusammengehörende Werte von p und v auch eingesetzt werden. Daher die Gleichung

p v¹¹ = p' v'n

oder in der gewöhnlichen Form

(8)

v' V¹

P' V v

wird.

Gleichung (8) hervorgehende Kurve adiabatische Kurve.

Eliminiert man aus (6) von § 266 und (8) zuerst p, p', sodann v, v', so erhält man folgende Relationen

Diese Gleichung enthält das Poisson’sche Gesetz (§ 179, b) über den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen des Gases, wenn es seinen Zustand ändert, ohne dass ihm Wärme zugeführt oder entzogen Diese Zustandsänderung heisst adiabatisch und die aus

y/ N 11 — 1

T,

V p'

die mit den Aenderungen des Druckes oder des Volumens auch diejenige der Temperatur zeigt.

Die Arbeit, die auf die Zustandsänderung verwendet werden muss, ist in Gleichung (5) des § 179 dargestellt.

IV. Der Uebergang von den Werten (p, v) zu den Werten (p', v') erfolge bei konstanter Temperatur. Dann ist nach (6) von § 266 das Produkt p v konstant ; daher sein Differential

v d p + p d v = 0.

(9)

Vermöge dieser Relation wird die Klammergrösse in (6) zu (c' — c) p d v.

Allein nach (6) von § 266 ist auch

_ R (273 + t)

v|

Vermittelst dieses Wertes von p geht (9) über in

d v

R (c' - c) (273 + t) —,

und die Gleichung (6) in

(10)

dQ=±

c' —

- • R (273 -j- t)

Das doppelte Zeichen rechts ist anzuwenden, weil d Q für Expansion positiv, für Kompression negativ wird. Denn wenn ein Gas sich ausdehnt, so verrichtet es Arbeit; es wird ihm also ein entsprechender Teil Wärme entzogen. Also wird seine Temperatur sinken. Soll diese nun aber, der Voraussetzung nach, nicht sinken, so muss ihm Wärme zugeführt werden und zwar gerade jener Betrag, der sich in Arbeit umsetzt. Umgekehrt verhält es sich bei der Kompression. Hier wird Arbeit auf die Zusammendrückung verwendet. Dadurch steigt die

Temperatur des Gases. Soll sie nun nicht steigen, so muss genau soviel Wärme dem Gase entzogen werden, als ihm durch die Arbeit rait-geteilt wird. Nun ist der erste Bruch rechts in (10) der reziproke Wert von E; daher

IÎ

Da hierin t konstant ist, so erhält man als Wärmeaufwand: für die Expansion

für die Kompression

0/ —

r*v d v

(273 + t)    —=

J V v

ftv' d v R    v

(273 + t) f ^    (273 + t) Z

V'

(273 4" t) l——,

Da die Grösse R(273 -l-t) durch pv ersetzt werden kann, so werden die vorstehenden Wärmemengen

Q = H|-

^ E

v'

und die Arbeiten, die der Expansion und Kompression entsprechen, Q E = p v l —; Q/ E = p v l

Die letzte dieser Gleichungen ist in § 180, a, dargestellt.

Die unter IV aufgeführten Vorgänge heissen isothermische; sie erfolgen nach dem Gesetze von Mariotte, die Druckkurve der Gase ist daher die gleichseitige Hyperbel.

268. Caruot’sclier Kreislauf. Ein abgeschlossener Stoff macht einen Kreislauf durch, indem er unter dem Einflüsse von Wärme verschiedene aufeinander folgende Zustände annimmt und am Schlüsse wieder in den Anfangszustand zurückkehrt.

Unter den vielen denkbaren Kreisläufen zeichnet sich derjenige aus, den Sadi Carnot 1824 vorgeschlagen hat, und zwar deswegen, weil er, zur Gewinnung von Arbeit benützt, ein Minimum von Wärme erfordert, also den höchsten Wirkungsgrad der Wärme liefert.

Der Stoff sei in einem Cylinder eingeschlossen. Derselbe besitze im Anfangszustande ein Volumen Vo, einen Druck p₀ und eine absolute Temperatur To (Fig. 97). Man führe dem Stoffe von aussen her eine Wärme Q₀ zu, so aber, dass seine Temperatur konstant bleibt, er also einen isothermischen Zustand durchläuft; es gehe dabei das Volumen in Vi und der Druck in pi über, es sei also po Pi die Drucklinie dieses Vorganges.

Hierauf lasse man den Stoff einen adiabatischen Vorgang durchmachen, indem man dem Stoffe Wärme weder zuführt noch entzieht. Das Volumen dehne sich aus auf V2 ; der Druck sinke auf p2 und die Temperatur auf Ti.

Nunmehr drücke man den Stoff stetig zusammen, so aber, dass er einen isothermischen Zustand durchläuft bis sein Volumen V3 und sein Druck p3 wird. Man erreicht dies, wenn man dem Stoffe vorweg jene Wärme Qt, die ihm durch den Kolbendruck mitgeteilt wird, nach aussen hin ableitet. Dabei soll aber die Druck-kurve P2 P3 nicht beliebig lang, sondern so gewählt sein, dass ein neuer adiabatischer Vorgang die Druckkurve p3 Po liefert, d. h. den Stoff in den Anfangszustand zurückführt. Damit ist der Kreislauf vollendet.

Die Arbeiten, die während der vier Vorgänge verrichtet wurden, sind in der Figur durch Flächen dargestellt und zwar: während des ersten Vorganges durch VopoPiVi, während des zweiten durch vi pi P2 v₂, während des dritten durch V2 1>2 P3 v₃ und während des vierten durch v₃ p₃ p₀ v₀. Die beiden ersten Arbeiten sind produktiv, die beiden letztem verbrauchen wieder einen Teil davon, so dass die schraffierte Fläche die Arbeit angibt, die während des Kreislaufes gewonnen wird. Während des ersten Vorganges wurde die Wärme Qo zugeführt und während des dritten die Wärme Qi abgeleitet; die auf den Kreislauf verwendete nützliche Wärme ist daher Q₀ — Qi und die daraus entstandene Arbeit E (Qi0 — Qi). Daher die Gleichung

Fig. 97.

B?,

far

E (Qo — Qi ) = Fläche p₀ pi pa P3.

Die Arbeit E (Qo — Qi ) ist abhängig von den Temperaturen To und Ti, wie auch der Stoff im Cylinder beschaffen sein mag.

Diese Abhängigkeit mag hier gezeigt werden kfür den Fall, dass der Stoff ein permanentes Gas ist.

Es bezeichne v ein im Diagramm liegendes Volumen v und p den zugehörenden Druck. Nimmt v um dv zu, so kann man annehmen, es bleibe während dieser Aenderung p konstant; daher entsteht das Arbeitselement p d v. Liegt der Punkt (p, v) auf der obern isothermischen Linie, so ist pdv ein Teil jener Arbeit, die während der ersten Zustandsänderung verrichtet wurde ; liegt aber der Punkt (p, v) auf der untern isothermischen Kurve, so ist pdv ein Teil der Arbeit während der dritten Zustandsänderung. Daher die Arbeiten für diese beiden isothermischen Vorgänge

(1)

(2)

E Qo = Fläche po Pi vi v = j pdv;

(3)

E Qi — Fläche p2 P3 Vs V2

r»v ₂

J v₃

p d v.

Allein für beide Vorgänge gelten auch die Gleichungen pv = RT₀ und pv = RTi

•des Gay-Lussac’sehen Gesetzes (6), § 266. Führt man die Werte von p, die diese Gleichungen geben, in (2) und (3) ein, so folgt, da R und T konstant sind,

E Qo

-r

t/ v₀

RTo

= RT₀ Z~;

Vo

f*'² d v    V9

E Q i = RTi-= R Ti Z —

¹

+ «T = m;

²

so geht (13) über in

J v₃    V    V₃

und durch Division dieser Gleichungen

Vl

(4)

Qo

Vo

Qi

V₂

V₃

Nun sind aber die Verhältnisse, von denen in (4) die Logarithmen

zu nehmen sind, einander gleich, adiabatischen Vorgang

Denn man erhält für den ersten

nach dem Gay-Lussac’sehen Gesetze

Pi Vi

P2 v₂

O I T*

und nach dem Poisson’sehen Gesetze

P2

Vi \"

Pi

V2

folglich durch Multiplikation dieser beiden Gleichungen

(5)

/ V2 N¹¹

To

Vl

Ti

und für den zweiten adiabatischen Vorgang

nach dem Gay-Lussac’sehen Gesetze

Po Vo PS Vs

To

Ti

und nach dem Pois son’sehen Gesetze

daher durch Elimination der Drucke aus beiden

■i

a 's iS

(6)

V₃ Y¹

To

Vo

Aus (5) und (6) folgt nun aber

v₂

Vs

Vi

Vo.

; also auch

Vi

Vo

v₂

Vs

Wegen dieser letzten Gleichung geht (4) über in

Qo

(7)

To

Qi TY

Diese Gleichung enthält nun die Carnot’sehe Proportion. Sie lautet: Die Wärme, die während des Kreislaufes dem Stoffe zugeführt wird, verhält sich zur Wärme, die ihm entzogen wird, wie die Temperatur während der Periode der Wärme-Zuleitung zur Temperatur während der Wärmeableitung.

Diese Proportion gilt auch für andere Stoffe als permanente Gase, z. B. für solche, die während des Kreislaufes teilweise den Aggregatzustand ändern, wie dies beim Wasserdampfe immer der Fall ist.

Aus Gleichung (7) folgt, indem man auf beiden Seiten 1 abzieht,

(8)

Q,o 0i

Qo

To '

Es ist aber Oo — Qi die beim Kreisläufe nützlich gewordene Wärme und To — Ti die Temperatursenkung. Folglich verhält sich die nützliche Wärme zur aufgewendeten Wärme wie die Temperatursenkung zur Anfangstemperatur.

Der Bruch links in (8) heisst Wirkungsgrad der Wärme; daher wird auch der zweite Bruch dasselbe bedeuten. Allein dieser gibt den Ausdruck

Ti

To'

Daher wird der Wirkungsgrad gross, wenn wenig von der Einheit abgezogen werden muss, d. h. wenn T₀ gross und Ti klein ist. Bei kalorischen Maschinen muss also der Kreislauf mit hoher Temperatur beginnen und mit niederer Temperatur schliessen.

Man kann sich nun einen geschlossenen Kreislauf denken, bei dem die Wärme Qo bei wachsender Temperatur zugeleitet und die Wärme Qt bei wechselnder Temperatur abgeleitet wird. Dabei gibt es aber immer eine höchste Temperatur T₀ und eine niederste Ti. Jene teil weisen Aenderungen, denen keine so weit auseinander gelegenen Grenztemperaturen entsprechen, geben einen kleinern Wirkungsgrad. Man wird also, bei gegebenem Wärmeaufwände, die obere Grenztemperatur To so lange aufrecht erhalten als möglich, ebenso die untere Ti. Dann aber kann der Uebergang von einer Grenztemperatur zur andern nur ein adiabatischer sein.

Die ganze mechanische Wärmetheorie beruht auf dem Satze von der Aequivalenz von Wärme und Arbeit und auf der Car not’sehen Proportion. Man nennt sie daher auch die beiden Fundamentalgesetze dieser Theorie.

209. Anwendung des Carnot’schen Gesetzes auf Wasserdampf. Der

Stoff, der im Cylinder eingeschlossen ist, sei Wasser. Bei Beginn des Kreislaufes habe dasselbe eine Temperatur T und einen Druck p. Das Wasser besitzt also bereits seine fühlbare Wärme. Führt man ihm nun Wärme zu, so aber, dass die Temperatur dieselbe bleibt, so wird auch der Druck derselbe bleiben. Mithin wird die isothermische Linie geradlinig und parallel zur Abscissenachse.

Hört nunmehr die Zuleitung von Wärme auf, so kann im Cylinder vorhanden sein: eine Mischung von Wasser und Dampf, gesättigter Dampf allein oder überhitzter Dampf, je nach der Wärmemenge, die zugeleitet worden. Es beginne nun der adiabatische Vorgang (ohne Wärmezuleitung und ohne Wärmeableitung), bis die Temperatur auf Ti und der Druck auf pi gesunken sei.

Von hier an trete ein isothermischer Vorgang ein mit der Temperatur Ti ; dann wird auch die Spannung pi bleiben. Das ist nur möglich, wenn dem Stoffe im Cylinder Wärme entzogen wird und zwar so viel, als ihm Wärme durch das Zusammendrücken mittels des Kol-bens übertragen wird ; dann wird auch diese isothermische Linie parallel zur Abscissenachse.

Endlich werde der Kreislauf durch eine zweite adiabatische Linie geschlossen; dann wird sich während derselben aller Stoff im Cylinder in Wasser verwandeln von der Anfangstemperatur T.

Die von den vier Linien eingeschlossene Fläche gibt die gewonnene Arbeit an. Wäre sie ein Parallelogramm, so könnte man sie berechnen aus der Länge und Breite. Die Breite ist die Differenz p — pi ; dagegen kann als Länge nur dann die obere isothermische Linie angenommen werden, wenn die Breite sehr klein ist. Man nehme daher p — pi unendlich klein, also = d p an. Dann wird die Länge dargestellt durch den Weg u, den der Kolben während der vollständigen Verdampfung durchläuft. Es soll also gerade so viel Wärme zugeleitet werden, dass alles Wasser sich in gesättigten Dampf verwandelt. Denkt man sich den Querschnitt des Cylinders = 1 , so ist das vom Kolben beschriebene Volumen — l u; also kann u auch als Volumen aufgefasst werden. Die Rechtecksfläche ist nun =udp und die entsprechende Warme udp:E. Diese Grösse ist das erste Glied der Car not’sehen Proportion (8), S. 294, also die Grösse Qo — Qi.

Dem Wasser im Cylinder muss zur Verdampfung nur latente Wärme (S. 284) zugeführt werden. Diese kann bestimmt werden aus den empirischen Formeln

(1)

q = t + 0,000 021² + 0,000 000 3 t³,

(2)

Q = 606,5 + 0,305 t,

worin bezeichnen: Q die Wärme, die 1 kg Wasser von 0° zugefiihrt werden muss, um bei t Zentigraden in Dampf verwandelt zu werden, und q die fühlbare Wärme, d. h. jene, die das Wasser enthalten muss unmittelbar vor Beginn des Verdampfens.

Dann ist Q — q die latente Wärme des Dampfes und bildet das zw-eite Glied der Carnot’sehen Proportion. Der Spannungsabnahme dp entspricht eine Temperaturabnahme d T ; daher geht Gleichung (8) von § 268 über in

E :(Q-q) = dT:T,

woraus als Volumen u folgt

(3)

E(Q,-q) d^T T 'dp*

Verhältnis

Ueber den Zusammenhang zwischen t und p hat Régnault Versuche gemacht, die von —- 32 bis + 230 Zentigraden reichen und Formeln angegeben, aus denen p berechnet werden kann, wenn man t kennt. Die eine dieser Formeln umfasst die Temperaturen von — 32° bis 0°, die andere diejenigen von 0° bis 100° und die dritte die von 100° bis 230°. Aus diesen Formeln kann durch Differentiation das dT

dp

abgeleitet werden. Allein die Formeln sind kompli-

ziert und dadurch unbequem. Dafür werde folgendes Annäherungs-Verfahren angewendet.

Fig. 98.

Stellt man den Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck graphisch dar (Fig. 98), so entsteht eine Kurve Obe, die Druckkurve des gesättigten Dampfes genannt wird. Es sei OA = T und Aa = p. Legt man durch den Kurvenpunkt a eine Tangente af, so ist das in Gleichung (3) erhaltene Differentialverhältnis

(4)

dT Af

- E= -.

dp A a

Macht man nun A B = A C, zieht die Ordinaten B b und C c, legt durch die Kurvenpunkte b und c eine Sekante bc, so wird diese um so mehr parallel zur Tangente werden, je näher B und C an A liegen. Nun schreitet die Regnault’sche Drucktabelle vor von Grad zu Grad. Nimmt man nun OA an, so wird als kleinster Wert zu wählen sein AB = 1°, also BC = 2°. Zieht man be parallel zur Abscissenachse, so ist c e der Unterschied aus den Ordinaten C c und B b, die aus der Tabelle entnommen werden. Daher das Differentialverhältnis (4) sehr nahe = b e : c e.

Es sei, um die numerische xAuswertung von u zu zeigen, das Volumen von 1 kg gesättigten Dampfe von 1 Atmosphäre Druck zu bestimmen.

Es ist t= 100°; also nach (1) und (2)

q= 100,5; Q. = 637; Q — q = 536,5 Kal. Ferner für 1 Atmosphäre Druck

T = 273° + 100° = 373°; p = 10 330 kg und für 101 und 99 Zentigraden nach Régnault

C c = 1,036 3 ; Bb = 0,9649; c e = 0,071 4 Atm. Folglich diese Druckdifferenz für je 1 qm Fläche ce = 10 330 • 0,071 4.

cbm = 1,653 cbm.

Setzt man diese Werte in (3) ein, so ergibt sich 424 • 536,5

373

10 330-0,071 4 Daher der Raum, den dieser Dampf einnimmt,

0,001 cbm -j- 1,653 cbm — 1,654 cbm.

Nachdem nunmehr das spezifische Dampfvolumen berechnet ist, kann auch die Zerlegung der latenten Wärme des Dampfes in äussere und innere vorgenommen werden.

Beitn Vorschieben des Kolbens während der Verdampfung legt der Kolben den Weg u mit einem Drucke p zurück, verrichtet also die Arbeit p u ; daher die ihr entsprechende äussere latente Warme

(5)

424 '

Diese hat man nun von der ganzen latenten Wärme Q — q abzuziehen, um die innere latente Wärme zu erhalten.

Für obiges Beispiel wird bei Dampf von 1 Atmosphäre

536,5 — 40,27 = 496,23 „

äussere latente Wärme 10 330 • 1,653 : 424 = 40,27 Kal. innere latente Wärme

270. Zustandsäiiderungen des Wasserdampfes während der Expansion.

Es befinde sich im Cylinder einer Dampfmaschine feuchter Dampf (Mischung von Wasser und Dampf) von der Temperatur T. Dieser Cylinder habe Wände, die an den Wärme Vorgängen im Innern keinen Anteil nehmen, er werde also als mathematischer Cylinder gedacht. Beginnt nun der erste adiabatische Vorgang des Carnot’sehen Kreislaufes, so dehnt sich der Dampf aus, und es sinke dabei seine Temperatur auf Ti. Während dieses Vorganges verrichtet der Dampf Arbeit, indem er den Kolben fortschiebt. Diese Arbeit wird der Mischung, die der Cylinder enthält, in Form von Wärme entzogen. An der Wärmeabgabe beteiligen sich dabei sowohl der Dampf wie das Wasser. Indem der Dampf Wärme abgibt, kondensiert ein Teil davon zu Wasser; indem das heisse Wasser Wärme abgibt, nimmt zuerst der Dampf, der das Wasser berührt, diese Wärme auf. Allein der Dampf ist immer als gesättigt zu betrachten; also muss die Dampfmenge sich vermehren. Beide Vorgänge, das Kondensieren beim Dampfe und das Verdampfen beim Wasser, kombinieren sich so, dass am Ende der Expansion, gleichviel, mehr oder weniger Wasser im Cylinder sein kann als am Anfänge. Man soll nun bestimmen, in welcher Weise sich das Verhältnis von Wasser und Dampf während der Expansion ändert.

Es sei q die fühlbare, p die innere latente und r die gesamte latente Wärme des Dampfes. Besteht ein Kilogramm der Mischung bei Beginn der Expansion aus x kg Dampf und aus (1 — x) kg Wasser, so wird die im Dampf enthaltene innere latente Wärme = x p und somit die in der ganzen Mischung enthaltene Wärme sein

(1)

q 4 xp.

Während des ersten isothermischen Vorganges wird nämlich die äussere latente Wärme zur Arbeit verbraucht; es verbleibt also nur noch die im Ausdrucke (1) angegebene.

Sinkt nun während der Expansion die Temperatur T um d T, so ändert sich in (1) die Grösse q um d q und x p um d (x p). Zugleich wird eine kleine äussere Arbeit verrichtet. Diese beträgt nach (5)

von § 269 für 1 kg Dampfund für x kg Dampf —    , worin

xu das Volumen des Dampfes bei der Temperatur T bezeichnet. Sinkt also T um dT, so dehnt sich das Volumen xu aus um d(xu). Wäh-

rend dieser unendlich kleinen Aenderung kann man den Druck p als konstant betrachten; also wird die während dieser Aenderung ver-

F-d(x u).

richtete Arbeit =

Während des adiabatischen Vorganges bleibt die in der Mischung vorhandene und in Arbeit umgesetzte Wärme konstant; daher muss das Differential dieser Summe = 0 sein. Mithin wird

dq + d(x?) + yd(xu) = 0.

Da nun ein Ganzes gleich seinen Teilen, so wird

(2)

Führt man diesen Wert von ç in (2) ein, so wird

d (xpu) + -J-d(xu)]= 0.

Betrachtet man xpu als Produkt aus p und x u, so gibt die Differentiation

dq-f d (xr) —

d (x p u) == p d (x u) -j- x u d p.

Setzt man diesen Wert von d(xpu) in die vorhergehende Gleichung ein, so ist

(3)

îx 11

d q -j- d (x r)--— d p = 0.

Allein nach Gleichung (3), S. 295, ist

dT

dp

mittels welchen Wertes von u Gleichung (3) übergeht in

(4)

dT

d q -j- d (x r) — x r = 0.

Nun nimmt q sehr nahe proportional zu mit der Temperatur. Man kann daher setzen q = c T, wo c die mittlere spezifische Wärme des Wassers bezeichnet. Daher wird auch dq = cdT.

Die Differentiation von —— gibt

J-l

‘(V-)-

Txdr — xrdT

rp2

somit auch, wenn mit T multipliziert wird,

Td

dT

= xdr — x r —

Setzt man diese Werte in (4) ein, so kommt

cdT + Td(4f) = 0,

oder indem man durch T dividiert,

0.

d T ,/ xr\

c^r + dAr) =

Das ist nun die gesuchte Differentialgleichung, deren Integration gibt

(5)

= C.

Bezeichnen T,, r, und x, für den Endzustand, was T, r und x für den Anfangszustand, so geht für letztere Gleichung (5) über in

x ,r,

T,

= C.

Zieht man Gleichung (5) ab von dieser, so erhält man folgendes von Clausius abgeleitete Gesetz

x, r,

T,

Für eine mittlere Temperatur von 130 Zcntigraden kann c = 1,02 angenommen werden. Wird mit briggischen statt mit natürlichen Logarithmen gerechnet, so müssen diese mit 2,302 6 multipliziert werden. Daher lautet die zur numerischen Berechnung geeignete Formel

x, r,

(6)

T,

— = 1,02- 2,302 6 log

T, *

1. Es dehne sich Dampf von 8 Atmosphären arbeitend aus, bis der Druck auf 0,8 Atmosphären gesunken ist. Er habe bei Beginn der Expansion einen Wassergehalt von 0,05: wie gross ist dieser im Endzustände?

Hier ist x = 0,95 und gemäss der Zeuner’sehen Dampftabelle für 1 kg Dampf

r = 485,7 Kal.; T = 273° + 170,81° = 443,81°; r, = 540,8 „ ; T, = 273° + 93,88° = 366,88°;

daher nach der letzten Gleichung (6) x, • 540,8    0,95 • 485,7

366,88

443,81

= 1,02 • 3,302 6 log

443,81

366,88

x, = 0,836.

Am Ende der Expansion enthält also die Mischung 0,836 kg Dampf und 0,164 kg Wasser. Dieses ist also vermehrt worden um 0,164 kg — 0,05 kg = 0,114 kg.

II. Bei der eben erwähnten Expansion soll der Wassergehalt der Mischung am Ende der Expansion so gross sein wie am Anfänge. Wie viel beträgt er?

Hier wird x, = x; daher nach Gleichung (6)

^ / 540,8    485,7 \ _

X \~366,88 ~ 443,81/ ~

1,02 • 2,302 6 log

443,81

366,88'

x = 0,507.

Die Mischung enthält also am Anfänge und Ende der Expansion 0,507 kg Dampf und 0,403 kg Wasser.

27i. Erklärung des Druckes der Gase. Bei jedem Körper, der Wärme enthält, sind dessen Atome in vibrierender Bewegung (§ 262). Bei den gasförmigen Körpern besteht nun die Eigentümlichkeit, dass deren Körperatome weit auseinander liegen und daher die Kraft, womit sie sich anziehen, verschwindend klein ist. Daher das Bestreben dieser Atome, sich immer weiter von einander zu entfernen und um so weiter, je grösser der Wärmegehalt, je intensiver die vibrierenden Bewegungen sind. Vermöge dieser Bewegungen stossen die Atome an die Wände der Gefässe, die das Gas einschliessen.

(Hydrodynamica, 1738) sollen diese Stösse die Ursache des Druckes sein, den das Gas auf die Wände ausübt. Es kann der Nachweis für diese Auffassung wie folgt gegeben werden.

Man lege zwei ebene, parallele Wände AC, BD (Fig. 99) durch den Gaskörper in einem sehr kleinen Abstande h von einander. Ein

Gasteil mit der Masse m treffe in der Richtung AB die eine Wand in B mit der Geschwindigkeit u unter einem Winkel A BE = a zum Einfallslote BE; dann wird diese Masse in der Ebene A B E unter einem Winkel E B C = « und mit derselben Geschwindigkeit u nach der andern Wand geworfen längs B C ; dann von C wieder zurückgeworfen längs C D, parallel zu A B u. s. w.

Beim Stosse in B zerlegt sich die Geschwindigkeit u in die Komponenten usina parallel zur Wand und ucosa senkrecht zur Wand. Die erstere Komponente kommt für den Stoss gegen die Wand ausser Betracht ; die letztere geht aus -f- u cos a in — u cos a über und bewirkt den Druck auf die Wand mit einer Quantität der Bewegung (§ 202) = 2mucos«. Solche Stösse wiederholen sich in B, augenscheinlich mit ungleicher Geschwindigkeit ; allein in der Rechnung denkt man sich unter u die mittlere Geschwindigkeit der fortschreitenden Bewegung aller Massenteilchen.

N un ist der Weg A B =

Nach Daniel Bernoulli

Fig. 71.

—— ; also der Weg AB + BC, den cos a

ein Teilchen macht, um zum zweiten Male die nämliche Wand zu

treffen =

2h

. Stösst aber dieses Teilchen unterwegs auf ein anderes

cos a

Teilchen, so dass es den Weg ABC nicht durchläuft, so trifft dafür ein anderes in B ein.

Ist t die Zeit zum Durchlaufen des Weges ABC, so ist tu = AB

-f BC =

cos «

; also

U COS U

In dieser Zeit erfolgt je ein Stoss in B; also erfolgen in 1 Sekunde so viel Stösse, so oft t in 1 enthalten ist. Daher die Anzahl der in

u cos a

1 Sekunde in B aufschlagenden Atome =

der Bewegung, die durch sie an die Wand abgegeben wird,

m u² 0 —-— cos"⁵ Ci.

h

und die Quantität

(1)

2 m u cos u ■

u cos a

2h

Die Stossfläche in B wird aber auch getroffen von Atomen, die unter andern Winkeln zur Wand gelangen. Um auch deren Wirkung in Rechnung zu bringen, beschreibe man von B aus über der Wand-flache B D eine halbe Kugelfläche mit dem Radius B E = 1 und denke sich im entstandenen Kugelraume eine grosse Zahl von Radien gleichförmig verteilt ; jetzt kann man annehmen, es gelangen die Atome längs dieser Radien nach B.

Innerhalb dieses Raumes

Lässt man den Bogen Ba= « zunehmen um aa' = d «, und dreht den Ausschnitt a B a' um BE als Achse, so beschreiben die Radien B a und Ba' Kegelflächen, die einen Raum mit der Spitze in B und einer Kugelzone aa'c'c als Grundfläche haben, gelangen die Atome zur Wand unter dem Winkel a; die Anzahl dieser Atome sei n'.

zwar von « = 0 bis a —

Lässt man den Bogen a durch Intervalle d a sich ändern, und , so schliesst der Raum zwischen diesen

Die Zahl

Grenzen alle Richtungen ein, die Atome nach B führen, derselben sei n, so verhält sich n' zu n wie die Kugelzone aa'c'c zur halben Oberfläche der Kugel. Die Zone mit der Breite a a' = c c' hat zum Inhalt 2 n . a a' = 2 n sin a d a, die andere Fläche den Inhalt 2 n ; daher

(2)

n'

2 n sin a d «

— sin a d a.

Die n' Atome verursachen nun einen Verlust an Quantität der Bewegung, gleich dem unter (1) angegebenen, multipliziert mit n' oder mit einem aus (2) folgenden Werte; daher diese Quantität der Bewegung

(3)

nmu²    .

—--cos² a sm a da.

h

Beim Integrieren dieses Differentials setzen wir die Massen aller Teile gleich voraus oder betrachten m als mittlern Wert aller Atome; dann ist m konstant, ebenso sind n, u und h konstant. Es ist also nur in Hinsicht a zu integrieren. Nun ist nach § 88, S. 97

cos² a sin a d a =

--— cos³ a + C;

o

daher fiir die angegebenen Grenzen

Ul

to

•35

Ï5

Cu

»-H I CO

und das Integral von (3)

(4)

Allein auf die ganze Wandfläche mit dem Inhalte F ist dieser Wert (4) so viel mal so gross, als der Inhalt des gestossenen Flächenelementes in B in F enthalten ist. Ist dieses Verhältnis z, so ist die Wirkung auf die ganze Wandfläche

3h

u².

Diese Wirkung muss nun von der Wand aufgehoben werden. Ist p die konstante Kraft, mit der jede Flächeneinheit der Wand Widerstand leistet, so wird F p der Widerstand der ganzen Wandfläche sein. Daher nach Gleichung (5) auf S. 207, wenn die Zeit t = 1 Sekunde, wie oben angenommen wurde,

u².

Fp =

Allein zn ist die Anzahl aller Atome, die die Fläche F treffen, und znm = M die Masse derselben. Daher einfacher

IM

Fp = trn '

Nun ist Fh das Volumen zwischen den beiden Wänden, also auch das der Masse M. Bezeichnet man dasselbe mit v, so wird

(5)

pv = -piu².

Um nun dieses Produkt pv mit dem des Gay-Lussac’schen, Gleichung (6), S. 286

(6)

p v =’B T

zu vergleichen, ist zu berücksichtigen, dass die Konstante B, in (6) sich auf die Gewichtseinheit, 1 kg, bezieht. Nehmen wir daher auch M in (5) so an, dass es sich um die Wirkung von 1 kg Gas handelt, so wird nach Gleichung (5) auf S. 193 Mg = 1; daher M = 1 :g und es geht (5) hierfür über in

(7)

pv =

u²

3g*

Daher durch Gleichsetzen der Werte pv aus (6) und (7)

u² = 3gRT.

(8)

Für atmosphärische Luft ist R = 29,3 (S. 286). Bezeichnet man das spezifische Gewicht irgend eines anderen Gases mit s, so erhält man aus (8) für dieses Gas

(9)

u² =

g'T

3.29,3

Nimmt man T = 273 absolute Grade an, so wird für atmosphärische Luft nach (8)

u² = 3-9,81-29,3.273; u = 485m.

Also beträgt die mittlere Schwingungsgeschwindigkeit der Gasteile in der Luft bei 0 Zentigraden 485 m.

Bei derselben Temperatur findet man mittels (9) für Sauerstoff 461 m, Stickstoff 492 rn. Wasserstoff 1 884 m.

Im Gas machen die kleinsten Teile nicht nur eine fortschreitende, sondern auch eine drehende Bewegung, sei es, dass sich die Atome oder deren Gruppenverbindungen, Moleküle genannt, drehen. Die ganze lebendige Arbeit, die auf 1 kg Gas bei der fortschreitenden

• -—u². Wie gross ist diejenige,

-H |(N

Bewegung verwendet wird, ist =

die die drehenden Bewegungen erfordern?

Ist c die spezifische Wärme des Gases bei konstantem Volumen und T seine Temperatur, so ist cT die in 1 kg Gas enthaltene Wärme und daher 424 cT die entsprechende lebendige Arbeit. Daher das Verhältnis zwischen der Arbeit bei fortschreitender Bewegung zur ganzen Arbeit

u²

2g

oder indem man den Wert von u² aus (8) einführt,

3,R

2•424 c

Dieses Verhältnis ist somit unabhängig von der Temperatur.

Für atmosphärische Luft ist R = 29,3 und c = 0,168 6. Daher das Verhältnis

: 1.

0,615: 1.

Von der Einheit entfallen daher bei atmosphärischer Luft 0,615 Teile Arbeit auf die fortschreitenden, der Rest mit 0,385 Teilen auf die drehenden Bewegungen.

Im Vorstehenden wurde ein homogenes Gas vorausgesetzt. Nun sei aber das Gas eine Mischung aus zwei verschiedenen Gasen, die indessen keine chemische Wirkung auf einander ausüben.

Es sei u die mittlere Geschwindigkeit der Gasteile der Mischung für fortschreitende Bewegung und L die in 1 kg dieses Gases enthaltene lebendige Arbeit; dann ist nach (7)

u²

2 .    _ 1 T.

* 2g “ ³

(10)

pv =

Mithin beträgt das Produkt aus Druck und Volumen des Gases | von der im Gase enthaltenen lebendigen Arbeit.

Denkt man sich nun die zwei Gase, die die Mischung bilden, je einzeln im Raume v abgesperrt, so wird nach (10)

p' v = IL' und ' p" v = J- L",

Addiert man die letzten zwei Glei-

wenn p', p" die Drucke dieser Gase und L', L" die in ihnen enthaltenen lebendigen Arbeiten bezeichnen, chungen, so kommt

(11)

(p' + p")v=    (L' + L")-

Da aber 1/ -j- L" = L, so folgt durch Vergleichung von (10) und (11)

P = Py + p".

Der Druck der Mischung ist also gleich der Summe aus den Drucken der Gase, wenn diese allein den Raum ausfüllten.

Zweiter Teil der Differentialrechnung.

I. Wiederholte Differentiation entwickelter Funktionen einer Variabel«.

dy

quotienten

dx

272. Erklärungen und Bezeichnungen. Wenn die in dem Bereiche (xi,X2) der unabhängig veränderlichen Grösse x eindeutige und stetige Funktion y = f(x) für jeden Wert dieses Bereiches einen Differentialbesitzt, so ist dieser Differentialquotient jim allgemeinen

in dem Bereiche (x1;X2) wieder eine Funktion der Yariabeln x, die mit F (x) bezeichnet werde. Wie im ersten Teile der Differentialrechnung, sich ergeben hat, ist die lineare Funktion y==ax-j-b die

einzige Funktion, deren Differentialquotient konstant ist

Ist die durch

(1)

dy

dx

lim

f (x + A x) — f (x)

= f'(x)

Ax = 0

definierte Funktion in dem Bereiche (x!,X2) wieder eindeutig und stetig, so kann man nach dem Differentialquotienten dieser neuen Funktion fragen, der dann durch die Gleichung

(2)

df'(x)

dx

lim

F (x + A x) — F (x)

definiert ist und aus F (x) nach denselben Kegeln berechnet wird, durch die F (x) aus f (x) gefunden wurde. Man nennt diesen Differentialquotienten den zweiten Differentialquotienten der ursprünglichen Funktion f(x). Auch er wird im allgemeinen wieder eine Funktion von x sein, die mit f" (x) bezeichnet werde. Der durch die Gleichung

f" (x -j- A x) — f " (x)

(3)

d f" (x)

lim

Ax = 0

Autenheimer, Elementarbuch.

-20

definierte Differentialquotient von f" (x) heisst dann der dritte Differentialquotient'der ursprünglichen Funktion f(x).

So weitergellend erhält man den vierten, fünften,... nten Differentialquotienten oder die höheren Differentialquotienten von f(x), während man den bisher kurzweg Differentialquotient genannten nunmehr den ersten Differentialquotienten von f(x) nennt.

Die höheren Differentialquotienten lassen sich aber ebenso wie der erste durch die ursprüngliche Funktion f (x) selbst definieren, wie im Folgenden im Anschluss an Euler gezeigt werden soll.

Es sei die Gleichung y = f (x) geometrisch dargestellt, den Abscissen

x;

x+Ax; x -j- 2 A x ; x-f-3 A x;. ..

entsprechen die Ordinaten oder Funktionswerte

f(x); f(x+Ax); f(x + 2Ax); f(x + 3 A x); .. .

Zieht man diese Ordinaten voneinander, jede von der unmittelbar folgenden, ab, so erhält man die Reihe der Differenzen erster Ordnung

A f (x) = f (x + A x) — f (xj ;

(4)

Af(x+ Ax) = f(x + 2 Ax) —f(X+ Ax);

A f (x + 2 A x) = f (x + 3 A x) — f (x 4- 2 A x) ;

Diese Differenzen sind einander gleich, wenn die Kurve y = f(x) eine gerade Linie, also y = ax + b ist. In jedem andern Falle sind sie ungleich. Zieht man sie wieder voneinander ab, so erhält man die Reihe der Differenzen zweiter Ordnung.

Wie man f(x-)-Ax)-f(x) mit Af(x) bezeichnet, so kann Af(x+ A x) — A f(x) mit A A f (x) bezeichnet werden. Allein statt A A f(x) schreibt man gewöhnlich A ’"f(x). Gemäss dieser Bezeichnung wird man haben

A² f (x) = A f (x + A x) — A f (x) ;

(5)

A ² f (x + A x) = A f (x + 2 A x) — A f (x + A x) ;

A ² f (x + 2 A x) = A f (x + 3 A x) — A f (x + 2 A x) ;

Aber auch diese Differenzen zweiter Ordnung sind im allgemeinen ungleich. Sie geben, je eine von der unmittelbar folgenden subtrahiert, die Differenzen dritter Ordnung. Da man entsprechend AA²f(x) mit A³ f (x) bezeichnen wird, so hat man

(ö)

A³ f (x) = A² f (x + A x) — A ² f (x).

In ganz derselben Weise erhält man die Differenz der nten Ordnung

(7)

AH f(x) = All_1f(x + A x) — An_1f (x).

Man kann die Differenzen der höheren Ordnung aber auch durch die ursprünglichen Funktionswerte ausdriicken; man findet leicht

A² f (X)    =    f (x    + 2    A    x)    —    f (x + A x) — f (x ,-h A    x)    4- f (x)

=    f (x    + 2    A    x)    -    2 f (x + A x) -f f (x) ;

(8)

A³ f (x)    =    f (x    4- 3    A    x)    -    2 f (x 4- 2 A x) 4- f (x -f    A    x)

—    f (x 4- 2 A x) 4- 2 f (x 4- A x)    — f (x)

= f(x 4- 3 Ax) — 3f (x 4- 2 Ax) 4- 3 f (x 4- Ax) — f(x) ; u. s. w.

Yon diesen endlichen Differenzen kann nun zu den Differentialen übergegangen werden. Statt A f (x) ; A² f (x) ; A³ f (x) ;... A¹¹ f (x) schreibt man d f (x) ; d² f (x); d³ f (x);... d" f (x) und nennt diese Grössen der Reihe nach Differentiale der ersten, zweiten, dritten,... nten Ordnung.

Bei der obigen Differenzenbildung wurde die Grösse A x längs der Abscissenachse als gleich, ihr Wert also als konstant angesehen. Diese Anordnung der Ordinaten in gleichen Abständen ist bei der Untersuchung der Krümmung der Kurve oder der Eigenschaften der Funktion von wesentlichem Vorteile. Dies gilt noch, wenn man von Ax zu dx übergeht. Man nimmt deshalb allgemein das Differential d x der unabhängig veränderlichen Grösse als konstant an.

Nun ist aber

df(x)

dx

lim

f (x 4- A x) — f (x)

Ax = 0

= f'(x);

df' (x)

lim

F (x 4- A x) — f' (x)

Ax = 0

lim

1 Tf(x4-2Ax) —f(x4-Ax)    f(x4- Ax) — f(x)

Ax = 0 A x L

lim

Ax = 0

f (x 4- 2 A x) — 2 f (x 4- A x) 4- f (x) (A x)²

= f"(x);

A²f(x)

lim ——rf Ax = U (Ax)²

d f" (x)

dx

lim

1 ff (x -h 3 A X) — 2 f (x 4- 2 A x) 4- f (x 4- A X)

Ax = 0 Ax L

(Ax)²

f (x -f 2 A x) — 2 f (x 4- A x) 4- f (x)

(A x)²

lim

f (x 4- 3 A x) — 3 f (x 4- 2 A x) 4- 3 f (x 4- A x) — f (x)

Ax = 0

(A x)³

= f"'(x);

A³ f (x) lim ———tô-

Ax = 0 (Ax)³

u. s. w.

Beim Uebergange zu den Differentialen ist hiernach die Leibnitz’sche Bezeichnungsweise der höheren Differentialquotienten

A²f(x)

A x = 0 ( A x)² ’ ä A³ f (x)

A x = 0 (A x)3 5

d² y = dx²

(9)

d3Z; ₌

d X*

d"y

d X "

r Anf(x) litn —-—

Ax = 0 (Ax)¹¹ begründet.

Die schon gebrauchten Bezeichnungen ff (x) oder y' für den ersten, ff'(x) oder y" für den zweiten, ff"(x) oder y"' für den dritten; . . . ffn)(x) oder y(n) für den nten Differentialquotienten rühren von Lagrange (Théorie des fonctions analytiques) her. Er nennt diese Differentialquotienten Derivationen oder Ableitungen der Funktion f(x), und zwar ff (x) die erste Ableitung, f" (x) die zweite, u. s. w.

Hiernach hat man

dy

= y' = ff (x) oder d y = ff (x) d x;

(10)

d² y

dx²

= y" — ff' (x) oder d² y — ff' (x) (d x)² ;

duy

dxn

= y(n) = f(") (x) oder d“ y = f(“) (x) (d x)n.

Zur Bildung der höheren Differentialquotienten einer gegebenen Funktion hat man nur wiederholt nach den früheren Regeln den ersten Differentialquotienten zu bilden, wie im Folgenden zunächst an einigen Beispielen gezeigt werden soll.

273. Wiederholte Differentiation einfacher Funktionen.

gj| I. Zu differentiieren sei die Funktion

f (x) = a x³.

Die erste Differentiation gibt

d f (x) = 3 a x² d x oder

df(x)

dx

= 3 ax².

Differentiiert man von neuem und beachtet, dass dx als konstant anzusehen ist, so erhält man

d² f (x) d x²

Hieraus erhält man durch nochmalige Differentiation

d ³ f (x) d x³

d² f (x) = 6 a x (d x)² oder

= 6 a x.

d³ f (x) = 6 a (d x)³ oder

= 6 a,

und hieraus

d⁴f(x) = 0 oder

d⁴ f (x)

dx⁴

- 0.

II. Zu differentiieren sei

Der erste Differentialquotient ist

dy

dx

= 4 A X³ + 3 B X² + 2 C X + D.

= 12 Ax² -f 6Bx + 2C;

Hieraus folgt der zweite Differentialquotient d²y d x²

der dritte ergibt sich zu

und hieraus folgt

d³y

dx³

= 24 Ax 4- 6 B,

d⁴y

dx⁴

= 24 A;

d⁵ y

d x⁵

= 0.

III. Gegebene Funktion ... y =

a²

a² 4* x² '

D- D.

Erste Ableitung

— 2 a² x ⁼ (a⁻⁴ 4- x²)² '

IV.

Zweite Ableitung . . . . y" =

Dritte Ableitung .... y'" =

y = (a — b x)p.

= (— b) p (a — b x)p _ h

dy

dx

d²y

d x²

— 2 a⁴ 4- 0 a² x²

(a² 4- x²)³

d³y 24a⁴x — 24a²x3 (a² 4- x²)⁴

d x³

dll

d x2 d³^ dx³

= (— b)² p (p — 1) (a — b x)p —2.

— (— b)³ p (p — 1) (p — 2) (a — b x)p ~³.

V. y =

1 4-x

VI. f(x)

— tang x =

sin x

COS X

=²d^)²-(1 - x)

f' (x) =

d f (x)

y" =

3‘

f" (x)

d² f(x) __

dx²

2 sin x

COS³X

„ 3-2.1 ¹ (i - x)⁴ ;

₀4 -3-2-1 - (1 —x)⁵*

274. Independente Darstellung der höheren Ableitungen. Während in dem vorigen Paragraphen die successive Bildung der höheren Ableitungen einer Funktion an einigen Beispielen gezeigt wurde, handelt es sich nunmehr um die Aufgabe für die allgemeine oder nte Ableitung der Hauptfunktionen independente Formeln aufzustellen. Das direkte Verfahren des vorigen Paragraphen führt in einigen Fällen zum Ziele.

I. y = x,n ; es ist

y'Ji —

yTV =

f"" (x) =

cPf(x) _ dx³    cos⁴x cos²x

d⁴ f (x)    24 sin x 8 sin x

cos⁵x cos³x

d x⁴

dy

= m x,u

d² y

= m (m — 1) xm_-;

dny d xn

Ist in eine ganze positive Zahl, so wird die mte Ableitung konstant dm x dxm

die höheren werden sämtlich 0.

= m (m — 1) (m — 2) .... (m — n ■+ 1) xm~".

= m (m — 1) (m — 2)... 3 ■ 2 • 1 ;

so wird

Tritt a x -)- b an Stelle von x, hat man also y = (a x + b),n,

d"y

dx"

II. y — Ix- es wird

— m (m — 1). .. (m — n l)a"-(ax -f b)m_".

d²y

dx²

d“y

dx"

ITT, y — ax ; es ist

und hieraus folgt

d²y

dx²

allgemein

d³y __

dx³ “ x3 1 - 2 - 3 ... (n — 1)

x² ’

= (- l)—¹-

dy

= ax l a,

= ax (/ a)²;

d³y

d x³

x"

= ax (/ a)³ ;

d"3T

d x"

ax (l a)u ;

ist a = e, also y

dy

ex, so hat man

(1 x

= ex ;

•"Ö

i ''

(1 x²

d"y _

----= e\

d x¹¹

IV. y = sin x; es ist

dy

= COS X

Î-

d²y

dx²

d:’y

= cos(x + -|-) = Sta(x+^.)

d x³

— cos (x

$)-*+¥>

71

und allgemein

d¹¹ y

dx¹¹

= sm(x + ¹f),

und diese Grosse ist

2;

sinx; cosx; — sinx; — cosx je nachdem n durch 4 dividiert den Rest 0; 1;

gibt. .

V. Ganz ebenso ist fiir

y = cos x ;

dy

= — sin x =

d²y

d x²

= — sin (x +    = cos Çx -f

2 TT

dny

dx"

= cos(x + -ïf),

und das ist

— sin x ;

cos x ;

je nachdem n durch 4 dividiert den Rest

— cos x ;

sin x,

0;

1;

2;

gibt.

275. Wiederholte Differentiation einer Summe von Funktionen. Ist y

gleich einer Summe von Funktionen so folgt durch wiederholte Differentiation sofort

d“y d x"

= f DO (x) + (f 00 (x) + V'" (x) + . . . •

Eine solche Zerlegung einer Funktion in Summanden ist häufig nützlich für die independente Darstellung ihrer höheren Ableitungen.

Zum Beispiel sei

1 - X²

man kann zerlegen

2 Ll + x

und hat

d" y

d xn

und nunmehr nach I. § 274

d“y dx"

i rd"(i + x)

d x"

1-2-3..n f

(- 1)"

d¹¹ (1 — x)

d x"

— i -i

_(1 + x)“+»

(1 -x)

ii"+1    '

270. Wiederholte Differentiation eines Produktes zweier Funktionen.

Es sei

(1)

y = u • v,

und u und v Funktionen der Variabein x. Nach den bisherigen Regeln erhält man

y =uv;

dy = udv-f,vdu; d²y = u d² v + 2 d u d v -f v d² u; d³y = ud³v-f-3dud²v-j-3d²udv-|-vd³u, etc. somit als Differentialquotienten in Hinsicht x:

dy

du

Das Vorstehende kann auch wie folgt dargestellt werden : y = f (x) (f (x) ;

dx ’

du d v

dx dx

dx

du d²v dx²

d² u

dx² ’ d² u dv dx² dx

d³u

dx³

; etc.

dy

d x d²y d x2 d³y d x³

= f (x) <f‘ (x) -f f' (x) (f (x) ;

= f (x) <f" (x) + 2 f' (x) W (x) 4- f" (x). (f (x) ;

= f (x) <f‘“ (x) -1- 3 f' (x) ç"(x) + 3f" (x) (f‘ (x) -f f'"(x) (f (x).

Hieraus schliesst man, dass allgemein sein wird d" y

(2)

d x“

= f(x)?(”) (x) + f ” ) V (x)fC’ - O(X) + (    t" (x) <f <" - *> (x)

+ • • ■ + f (,,) (x) V (x),

worin

den mten Binomialkoeffizienten bezeichnet. Die Richtigkeit

der Formel (2) wird durch den sogenannten „Schluss von naufn-j-1“ verifiziert. Nimmt man nämlich an, die Formel sei für n bewiesen, so folgt daraus durch nochmalige Differentiation

= f (x) </0‘ + ¹) (x)

+ Qf'(x)f(,l)(x)+ (^f"(x)l(,,-^(x)+..+f(,,)(x)?'(x)

ff (x) (f (••) (x) + ^ ff' (x) (/ (" - *)(x) + .. + Q^f(“)(x)y.'(x)

+ f(n + 1>(x) (f (x);

weil nun. wie bekannt, allgemein

so folgt

d ¹¹ +¹ y

d x ¹¹⁺¹

= f(x)ÿ<"+ °(x) + j^n+¹Jf(x)^(")(x) +(^n^ ^ f"(x) 9("-l)(x) f (» + 0 (x) ^ (x).

Da nun das Bildungsgesetz der Gleichung (2) für n = ], 2, 3 direkt nachgewiesen ist, so gilt es allgemein für jeden Wert von n.

Auch die Formel (2) findet häufig Anwendung zur independenten Darstellung der höheren Ableitungen von Funktionen.

277. Differentiation der Funktionen von Funktionen. Nach § 29 hat eine solche Funktion die Form

y = F[f(x)].

Setzt man wie dort zur Abkürzung

z = f (x), also y = F (z),

so wird

dy = F' (z)jdz.

Betrachtet¹ man bei der weiteren Differentiation das Differential d x der unabhängig Veränderlichen als konstant, so werden sowohl dz als d y als veränderlich anzusehen sein. Die beiden letzten Gleichungen geben daher als zweite und dritte Differentiale:

■ d² z = f" (x) d x²;

d² y = F" (z) d z² + F' (z) d² z ; d³ y = F'" (z) d z³ 3 F" (z) d z d² z -j- F' (z) d³ z ;

d z = f' (x) d x,

(l³z = f'" (x) d x³;

u. s. w.

u. s. w.

Somit sind die Differentialverliältnisse in Hinsicht x:

d²V

dy

= F' (z)

dx

d³y

dx³

= F'" (z) (

/ d z\²    .    ² z

Cdi) + t'(z)

+ F'(z)

dz d²z

> +31 <X)Wdx‘

d³z d x³ ’

: u. s. w.

278. Wiederholte Differentiation der cykloinetrisehen Funktionen.

I. Es seien die höheren Ableitungen von

(1)

y = arc sin x

zu bilden. Aus

dy

II

VT^

= ( 1 — x²)    -

folgt durch nochmalige Differentiation

d²y

d x ■

( J/ l_x²)³

und aus der Verbindung dieser beiden Gleichungen

(1 - x²)-

d²y dx²

oder in anderer Schreibart

(2)

(1 — x²) • y" = x • y'.

Differentiiert man diese Gleichung nach Formel (2) des § 276 und beachtet, dass

?r(l-x²) =

dx

- 2x;

d²

(1 -x²) =

2,

d x²

alle höheren Differentialquotienten von (1 — x²) aber 0 sind, so erhält man

a-**).y<n) +    ■ r<”-■)•(- 2x) + (l~‘²⁾⁽°r8>. y<° -•>•(- 2)

woraus leicht folgt

(3)

(1 — x²) yOO = (2 n

3) x • yb‘ — 0 4- (n — 2)² • y("

Eine solche Formel, durch die ybO aus yV-¹) und y(n~²) berechnet werden kann, heisst eine Eecursionsformel. Aus ihr fohrt für n = 2, 3,J4,..

J (1 — x²) y" = xy':

(4)

(l — x²)y'" = 3 xy" + y';

u. s. w.

I (1 — x²)ylv = 5xy'" -f 4y";

H. Ist

also

dy

= (! + x²)-

so folgt

d² y d x²

2 0dei‘.

(6)

(1+X²)

(1 + x²) y" = — 2 xy'.

In genau derselben Weise, wie in L, erhält man (1 -(- x²) yOO -j- n • 2 x • y(u —    -j-

(n — 2) (n — 3)

1 -2

woraus die Kecursionsformel

(7)    (1 -f x²) y(") = — 2 (n — 1) x • y(“ —¹) — (n — 1) (n — 2) y(¹¹⁻²)

folgt, die ebenso benutzt wird, wie die Formel (3).

III. Ist

(8)

y = arc cos x oder y = aro cotang x,

so ist wegen

arc cos x =

— arc sin x ;

7t

arc cotang x = —--arc tang x

(9) -

du arc cos x

dn arc sin x d " arc cotang x

d" arc tang x

d x"

dx"

d x"

d x"

z>9. Die liöhern Differentiale als uuendlich kleine Grössen verschiedener Ordnung. Die unendlich kleinen Grössen können aus endlichen Grössen entstanden gedacht werden durch fortwährende Annäherung dieser Grössen gegen die Null. Der Zustand des unendlich Kleinen wird hierbei als erreicht angesehen, wenn die Grössen von der Null um weniger abweichen, als jede noch so kleine angebbare Grösse.

I. Der Quotient zweier unendlich kleiner Grössen kann endlich, unendlich gross oder unendlich klein sein, je nach dem Gange, den Zähler und Nenner des Quotienten befolgen, wenn sie durch stetige Abnahme gegen die Null konvergieren.

sin x

7T

die Grösse x von

Lässt man in dem A^erhältnis

durch stetiges Abnehmen unendlich klein werden, so werden Zähler und Nenner unendlich klein, während das Verhältnis endlich bleibt und gleich der Einheit gesetzt werden kann.

X

Lässt man dagegen in dem Verhältnis .

sm²x

endlich klein werden, so wird dieses Verhältnis unendlich gross, obschon Zähler und Nenner unendlich klein sind. Denn schreibt mań

aus

den Bogen x un-

sin’-'x

sin x sin x

b’ U

Ferner sind die Grössen

a als Pro-

c,

so ist für ein unendlich kleines x der erste Faktor

rechts endlich,

sin x

während der zweite wegen des unendlich kleinen Kenners unendlich cross wird. Folglich ist auch das Produkt beider Faktoren und somit das gegebene Verhältnis unendlich gross.

t np* * \

In dem Verhältnisse —--

ax-fx²

lieh klein für ein unendlich kleines x. Schreibt man nun

werden Zähler und Nenner unend-

tang²x a x 4- x²

so wird für ein unendlich kleines x der erste Faktor rechts = 1, während der zweite wegen des unendlich kleinen Zählers und des endliche^ Nenners als unendlich klein angesehen werden muss. Nun ist das Produkt aus dem endlichen und dem unendlich kleinen Faktor unendlich klein, also auch das gegebene Verhältnis unendlich klein.

II. Ist das Verhältnis zweier unendlich kleiner Grössen im allgemeinen endlich, so sind diese Grössen von derselben Ordnung.

Sind a, b, c solche unendlich kleine Grössen derselben Ordnung, a    a b

so werden die Verhältnisse —,—,— endliche Werte haben, ebenso

b c    c

a² a c ab b2 ! “b² ’ c²

sowie auch die Verhältnisse

die Arerhältnisse

Faktoren.

tang x

tang x

als Produkte zweier endlicher Faktoren,

a³ ac2 b² c

b³

als Produkt dreier endlicher

dukte endlicher Faktoren in einen unendlich kleinen Faktor selbst unendlich klein und zwar von derselben Ordnung wie c, b, a.

Die Grössen a, a b, a b c sind unendlich kleine Grössen verschiedener Ordnung. Sind a, b, c unendlich Kleine der ersten Ordnung, so nennt man die Produkte a b, a c, b c, a², b² zweier unendlich kleiner Grössen der ersten Ordnung unendlich Kleine der zweiten Ordnung, ferner die Produkte a b c, a² b, b c², c³ unendlich Kleine der dritten, die Produkte a²bc, ab²c, abc² unendlich Kleine der vierten Ordnung.

Ill. Denkt man sich das Differential d x als ein unendlich Kleines der ersten Ordnung, so ist dx² unendlich klein von der zweiten, dx³ unendlich klein von der dritten Ordnung.

Die Differentiale von y = f(x) sind nach der Bezeichnung von Lagrange

dy = P (x)dx,

d² y — f" (x) d x²,

d³y = f"'(x) d x³,..

Da nun die Ableitungen f' (x), f" (x), f'" (x),.. Funktionen von x sind, die keine Differentiale als Faktoren enthalten, so sind ihre Werte im allgemeinen endlich. Mithin ist dy von derselben Ordnung wie dx, d²y von derselben Ordnung wie dx², und allgemein d"y von derselben Ordnung wie dx".

IV. Eine unendlich kleine Grösse der ersten Ordnung wird gegen eine endliche Grösse vernachlässigt. Gesetzt, man habe die Gleichung

Ady + Bdx + Cdxdy + Dd¹ 2 y = 0,

worin A, B, C, D endliche Grössen bezeichnen sollen, so kann man auch schreiben

A-^ + B + Cdy+D

d² y

dx

= 0.

In dieser Gleichung sind die beiden ersten Glieder endlich und die beiden letzten Glieder unendlich Kleine der ersten Ordnung; folglich werden sie vernachlässigt. Man hat daher

A d y 4- B d x = 0.

In der ersten, gegebenen Gleichung werden somit die Glieder der zweiten Ordnung gegen diejenigen der ersten Ordnung vernachlässigt. Allgemein gilt der Satz: In einer Gleichung fallen die Glieder einer höhern Ordnung gegen die Glieder einer niedern Ordnung weg.

V. Es bezeichne x einen Kreisbogen, beschrieben mit dem Halbmesser 1, s die Länge der Sehne, die seine Endpunkte verbindet, und f die Pfeilhöhe des Bogens; dann gilt

rfl

LO

to! x

"N

IO I X V___X

Entwickelt man sin

hält man

(ï\

V2 J

und cos

X I'M

nach § 72 in Reihen, so er-

Ist nun x eine unendlich kleine Grosse der ersten Ordnung, so wird die Differenz x — s zwischen Bogen und Sehne der Grösse x^ proportional, also eine unendlich kleine Grösse der dritten Ordnung, und die Pfeilhöhe eine unendlich kleine Grösse der zweiten Ordnung. Somit ist auch x — s in f unendlich oft mal enthalten.

II. Entwickelung der Funktionen in Reihen.

280. Theorem von Rolle. ‘Es sei f(x) eine in dem Bereiche (a, b) der variabeln Grösse x eindeutige und stetige Funktion, die an den beiden Grenzen des Bereiches den Wert 0 habe, so dass f(a) = 0 und f (b) = 0 seien.

Da die Annahme, dass die Funktion innerhalb des ganzen Bereiches (a, b) den Wert 0 habe, ausgeschlossen werden kann, so muss über den Verlauf der Funktion in dem Bereiche (a, b) angenommen werden, dass sie von a aus entweder zunimmt oder abnimmt. Aber dieses Zu- oder

3-4-5

to I—

INS X

2-3-4

tO X

4-

+"

3ią

Abnehmer! kann nicht durch den ganzen ßereicli hindurch statttinden, soll f(x) stetig und f (b) = 0 sein. Es muss daher zwischen x = a und x = b mindestens einen Wert x=z geben, für den das Zunehmen oder Abnehmen aufhört. Nach § 34 b) und c) müssen dann aber die Quotienten

f(z- Ax)-f(z)

und

f (z + A x) — f (z)

A x

verschiedene Vorzeichen haben; der erstere + , der zweite —, wenn die Funktion von x = a zunimmt, dagegen der erstere — , der zweite +, wenn f(x) von x = a abnimmt.

Besitzt aber die Funktion f(x) für jeden Wert von x innerhalb des Bereiches (a, b) einen bestimmten Differentialquotienten, ist also

lim

f (z — A x) — f (z)

lim

f (z + A x) — f (z)

A x = O

so muss f' (z) = O sein, da eine positive und eine negative Grösse sich nur derselben Grenze nähern können, wenn diese Null ist.

Ist also die Funktion f(x) in dem Bereiche (a, b) eindeutig und stetig, besitzt sie ferner für jeden Wert von x innerhalb des Bereiches einen bestimmten Differentialquotienten und sind endlich die Funktionswerte f(a) —0 und f(b) —0, so gibt es in dem Bereiche (a, b) mindestens einen Wert von x, für den die Ableitung P (x) den Wert Null hat.

Geometrisch kann dieser Satz, der das Theorem von Bolle heisst, in folgender Weise veranschaulicht werden. Van stelle y — f(x) geometrisch dar, indem man x zur Abscisse, f (x) zur Or-f dinate macht; dabei entstehe eine Kurve (Fig. 100), die die Abscissenachse in den Punkten x = a und x = b schneide. Dann gibt es ein Kurvenstück zwischen diesen zwei Punkten, das oberhalb oder unterhalb der Abscissenachse liegt. In beiden Fällen kann man an dieses Kurvenstück eine Tangente ziehen, die parallel der Abscissenachse ist, für die also die erste Ableitung P (x) = 0 ist. gDie Abscisse des Berührungspunktes c muss ein pWert z sein, der zwischen a und b liegt.

Bei den Voraussetzungen des Satzes von Bolle ist nicht ausgeschlossen, dass P (x) in dem Bereiche (a, b) unendlich wird, d. h. dass die Tangente in einem Kurvenpunkte parallel der Ordinatenachse ist, wenn die Ableitung f'(x) nur überall insofern bestimmt ist, dass es gleichgültig ist, ob A x sich von der positiven oder der negativen Seite der Null nähert (§ 10).

281. Der Mittelwertsatz. Ist f(x) eine in dem Bereiche (a, b) eindeutige und stetige Funktion, die für jeden Wert des Bereiches (a, b) eine bestimmte Ableitung besitzt, und wird der Differenzenquotient

Fig. 100.

Ax = 0

BE

gesetzt, so ist

(2)

<P (x) = f (b) - f (x) — (b — x) • P

eine mit f(x) stetige Funktion, die gleichfalls (überall eine bestimmte Ableitung besitzt, aber für x = a und x = b gleich Null wird. Folglich muss es nach dem Theorem von Rolle einen Wert z im Bereiche (a, b) geben, für den

r (z) =

wird, d. h. es muss sein

(3)

f(b) -f(a)

= f'(z).

Jeden Wert von x zwischen a und b, also auch z kann man aber darstellen durch

z = a + 0 (b — a),

worin 0 ein echter Bruch, 0 < 0 < 1, ist. Gleichung (3) sagt dann aus:

Besitzt die in dem Bereiche (a, b) eindeutige und stetige Funktion f(x) für jeden Wert von x in diesem Bereiche eine bestimmte Ableitung, so gibt es zwischen a und b mindestens einen Wert von x, für den die Ableitung P(x) gleich

dem Differenzenquotienten

f (b) — f (a)

ist, dass also

(4)

b — a

f (b) — f (a) = (b — a) P [a + 0 (b — a)], 0 < 0 < 1

ist.

Dieser Satz, der Mittelwertsatz genannt, sagt geometrisch¹¹ Folgendes aus: Stellt man f(x) als eine Kurve dar, so gibt es zwischen den Abscissen a und b mindestens eine Stelle, in der die Tangente an die Kurve der die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) verbindenden Sehne parallel ist. Auch hier kann der Fall eintreten, dass P (x) in dem Bereiche unendlich wird, d. h. dass die Tangente an die Kurve in einem Punkte der Ordinatenachse parallel wird.

Bringt man die Formel (4) auf zwei Werte x und x -}-’di innerhalb des Bereiches (a, b) in Anwendung, so geht die Formel (4) über in

f (x -j- h) — f (x) = h • P (x -f 0 h),    0 < 0 < 1,

(5)

wodurch die Differenz zweier Funktionswerte durch einen Mittelwert der ersten Ableitung dargestellt wird.

282. Reihe von Taylor. Es sei f (x) eine in dem Bereiche (a, b) eindeutige und stetige Funktion von x, deren Ableitungen P (x), f" (x), ... f(" — 0(x), f(")(x), .. . sämtlich in dein Bereiche (a, b) eindeutig, stetig und endlich seien.

Bildet man die Funktion

(f (x) = f (b) — f (x) — (b — x) P (x) — (b — x)² • P,

in der P von x unabhängig ist, so ist <4 (x) eine stetige Funktion mit bestimmtem Differentialquotienten, die für x = b zu Null wird. Bestimmt man P so, dass auch (f (a) = 0 ist, setzt also

(b — a)² • P = f (b) — f (a) — (b — a) P (a),

(1)

so lässt sieli auf die Funktion <f(x) das Theorem von Rolle anwenden. Es muss also einen Wert z geben, für den

(f (z) = — P (z) 4 f' (z) — (b — z) f" (z) + 2 (b — z) • P = 0

oder

(2)

p = *f"0)

ist. Führt man z = a 4 0 (b — a) ein, und setzt x = a. so erhält man aus (1)

(3)    1 (b) — f (») 4-    (»)

(b - a)²

f" (a + 0 (b — a)).

Diese Formel ist eine Erweiterung des Mittelwertsatzes. Eine weitere Verallgemeinerung erhält man in folgender Weise.

Bildet man analog der Formel (1) für ein beliebiges n die Funktion

(4)    (f (x) = f (b) — 1 (x) — ~j— P (x) —    ₂,

(b — x)²

(b — x)n

f(“) (x)

(b — x)p

•P,

in der P und p von x unabhängig sind und P so bestimmt gedacht wird, dass (p (a) — 0 wird, dass also

<(•>) - f« - *44« -

(b — a)"

(b — a)²

1-2

n!

f(n-(a),

so gilt für (f (x), da auch </> (b) = 0, und wegen der über die Ableitungen von f (x) gemachten Voraussetzungen das Theorem von Rolle, wonach

rO) = — f'(z) + f'(z) — (b — z) • f"(z) -f (b — z) f"(z) —

(b — z)“

(b — z)²

P" (z) 4 • • •

(b—-z)²

1-2

P"(z)

f (n + O (z) 4 (b — z)p ~ <¹ • P = 0.

⁷ Hierin heben sich je zwei aufeinanderfolgende Glieder bis auf die zwei letzten auf, so dass

(b — z)i’~ ' •

p = v=4f<„₊o(Z)

n!

oder

(5)

(b - z)» n!

~ p -+■ i

— . f(» + 0(z)

(b — a)¹¹ ~ » + ¹

n!

(1 _ 0)n —p-M + (a 4 0 (b — a)); 0 < 0< 1.

worin Rn zur Abkürzung für

(8) R„=

Für x = a folgt dann aus Gleichung (4) die Gleichung

(b — a)²

(6)

(b — a)n

f(b) = f(a)+^-y-^f (a) + (b — a)n + l

1-2

f"(a) + • • •

(1 — 0)n~p + i f(«-H) (a -j- 0 (b—a)).

00(a) +•

n! p

Setzt man in dieser Gleichung x -f- h an Stelle von b und x für a, so erhält man

1-2..

(7) f(x + h)=f(x) + A;f.(x)+ h2

1 -2

h”

h“-t-¹(l — 0)»-p + i

n! p

gesetzt wurde.

Die durch die Gleichungen (7) und (8) dargestellte Formel heisst die Taylor’sehe Formel. Sie gibt an, nach welchem Gesetze der Wert der Funktion f (x), wenn die Variable x um die beliebige Grösse h zunimmt, von diesem Zuwachse h abhängt.

Ist f(x) eine ganze rationale Funktion, so wird eine der Ableitungen f'(x); f"(x); ... zu Null. Die Formel enthält alsdann eine beschränkte Anzahl von Gliedern. In allen andern Fällen kann die Formel beliebig weit fortgesetzt werden, so lange die Voraussetzungen erfüllt sind, unter denen sie abgeleitet wurde, dass nämlich x und x -f- h innerhalb des Bereiches (a, b) liegen, in dem die Funktion f(x) eindeutig und stetig ist, und in dem ihre Ableitungen f'(x); f"(x); . . . ebenfalls eindeutig, stetig und endlich sind.

Auf der rechten Seite der Gleichung (7) kommt in Rn, dem sogenannten Restgliede, noch der unbekannte echte Bruch 0 vor; kann man aber zeigen, dass dieses letzte Glied R„ für beliebig wachsende Werte von n sich der Null immer mehr und mehr nähert, und sind alle Ableitungen der Funktion f(x) in dem Bereiche (a, b) stetig und endlich, so geht die Taylor’sche Formel in die Taylor’sehe Reihe

(9)

f (x + h) = f (x) + |f'(x)4 h

1-2

f" (x) -f .. . in inf.

über.

Diese lehrt, wenn man die Werte einer Funktion und aller ihrer Ableitungen für einen einzelnen bestimmten Wert x der Veränderlichen kennt, den Funktionswert für jeden andern Wert x -j- h berechnen, wenn die Funktion in dem Bereiche x bis x + h nebst allen ihren Ableitungen stetig und endlich ist, und wenn lim Rn = 0 ist.

n = go

Denn die Taylor’sche Reihe und die aus ihr zu bildenden Reihen sind, wie unendliche Reihen überhaupt, nur dann zulässig, wenn sie konvergent sind (§ 59).

21

Autenheimer, Elementarbuch.

zwischen unendlich kleinen Grössen der dritten Ordnung. Daher ist die Differenz der beiden unendlich kleinen Grössen der zweiten Ordnung links der Grösse h³ proportional, also unendlich klein von der dritten Ordnung; u. s. w.

Ersetzt man h durch dx und f(x) durch y, so geht (1) über in

(2)

f (x 4 dx) = y + dy4yd²y4^jd³y4..

eine Form der Keihe, die die Ordnung der Glieder sofort erkennen lässt.

r—7— in eine

b 4 x

283. Unendlich kleine Zunahme einer Funktion.

Taylor’schen Keihe

Wird in der

h²

h³

(1) f(x + h) = f(x) + hf'(x) + —f-(x) +

fb

die Grösse li nnendlicli klein, so ist das Glied mit h eine unendlich kleine Grösse der ersten Ordnung, das mit li² eine solche der zweiten Ordnung u. s. w. Vernachlässigt man die Glieder von der zweiten Ordnung an, so wird der Unterschied

f (x + h) — f (x)

dem Zuwachse h proportional, also eine unendlich kleine Grösse der ersten Ordnung.

Zwischen den unendlich kleinen Grössen der zweiten Ordnung ergibt sich aus (1) folgende Gleichung

A~

h²

[f (x + h) — f (x)] - h f' (x) = — f" (x),

d. h. es ist der Unterschied der beiden unendlich kleinen Grössen der ersten Ordnung, nämlich der Klammergrösse und dem Gliede mit h, der Grösse h² proportional, also ein unendlich Kleines der zweiten Ordnung.

So besteht ferner die Gleichung

j [f (x 4 h) - f (x)] — h f'(x) I — -^-f" (x) =

h³

2-3

f"'(x)

284. Entwickelung der algebraischen Funktion f (x) = Reihe. Durch Wiederholung der Differentiation erhält man

f'M =

flV(x) =

(b 4 x) 2 • 3 • 4 a

; f'" (x) =

2- 3a

(b 4 x)⁴

(Hx)

: etc.

Diese Ableitungen sind sämtlich stetig und endlich, so lange x nicht gleich — b ist.

Formel

Mithin folgt durch Substitution dieser Werte in die Taylor sehe

h² 2 - 3 a h³

(b + x)3 2-3-4a

(b + x)³    2

(b + x)⁴ 2-3

h⁴

(b + x)⁵

2-3-4

Setzt man hierin x = 0, so kommt

&    3. a u i a ,₂    ^ o a

bTE = -r-^h+-b5-Ł2—br»³+^

und, indem man h mit x vertauscht,

b⁵

(±- ‘

Diese Reihe kann auch durch unmittelbare Division von a durch b + x erhalten werden; sie ist aber nur konvergent, wenn | x j < | b | ist.

285. Entwickelung der Wurzel grosse j^x + h in eine Reihe. Setzt man f (x) = J^x, so ist

f'(x) =

iV^'fm(x)

Führt man diese Werte in die Taylor’sehe Reihe ein, so wird

2]Ax

^fIV<x) = -

3-5

lßV^’ ■ ’

h²

h*

5 h⁴

= 4-

16x²|/ x

Setzt man j^x 4- h = (x 4 h) ² und entwickelt nach dem binomischen Satze, so erhält man diese Reihe ebenfalls. Mithin ist diese Reihe nach § 67 konvergent, wenn der absolute Wert des Verhalt-

kleiner ist als 1. Für x = 0 wird die rechte Seite unend-

2Kx

8x]/~ x

i

128 x³ f x

nisses

lieh gross, während die linke sich auf JTh reduziert. Für diesen Wert von x ist die Reihe daher unbrauchbar, was schon daraus hervorgeht, dass für x = 0 die sämtlichen Ableitungen unendlich gross werden.

286. Entwickelung logarithmischer Ausdrücke in Reihen. Es sei

f (x) = l x ; es wird

-2-3

X⁴

Diese sind sämtlich endlich und stetig, so lange x > 0 ist. Mit Hilfe dieser Werte wird f(x + h) zu

(1)

(2)

l (x -j- h) == / x 4-

“I To

• •>

21 *

als deren Konvergenzbereich in § 69

angegeben ist.

Setzt man dagegen h — 1, so folgt

- 1 <h<;+ 1

(3)

£ (1 -{- x) — Z x -j--

X

—-----1_ _L

2x²    3x³    4x⁴    5x°

Diese Reihe (3) ist konvergent für jeden Wert von x = 1 bis

X = -j- GO.

287. Entwickelung trigonometrischer Funktionen in Reihen. Es sei

f (x) = sin x, (f (x) = cos x; dann erhält man durch Differentiation

f' (x) = cos x; f" (x) — — sin x; f'" (x) = — cos x; fIV (x) = sin x; . . <y>'(x) = —sinx; f/"(x) — —cos x; <p“'(x) = sinx; yIV(x) = cosx;..

Sämtliche Differentialquotienten sind für jeden endlichen Wert von x stetig und endlich.

Setzt man diese Werte in die Taylor’sehe Reihe ein, und schreibt y für h, so folgt

y²

sin (x -f y) = sin x 4- y cos x--— sin x —

y³

2T3C0SX +

y⁴

2-3-4

sin x -j- ..

cos (x -j- y) — cos x — y sin x —

y 2    y 3

-VC0SX+2Ts

sin x -j-

y*

cos x —

2-3-4

Für x = 0 erhält man hieraus die in § 72 gefundenen Reihen

sin y — y —

y⁵

2-3

cos y = 1 —

y²

y⁴

1-2

1-2-3-4    “

deren Konvergenzbereich — oo < x < + cq in §72 auch angegeben worden ist.

288. Reihe von Maclaurin. Setzt man in der Formel (6) des § 282 x an Stelle von b, so erhält man

(1) f (x) = f (a) 4- —y— f' (») +

(x — a)²

(x—a)"

2!

ft") (a)

• (1 — 0) "-P+¹. f (u + i) -f 0 (x — a)^.

(x — a)u +¹

n! p

Liegt 0 in dem Bereiche (a, b) der Veränderlichen, so erhält man für a. = 0 die durch die Gleichungen

xn + i

I f (X) = f (0) +Yf‘ (°) + ^ i" (0) + • • + ^ f « (0) + Rn (1 - Q)"-v + ' • f(“ +L) (0 x), 0 < 0 < 1.

bestimmte Maci au rin’sehe Formel, und falls

lim R„ = 0 11 =00

ist, die Maclaurin ’sehe Reihe

(3)

X³

f(x) = f(0) + yf'(0) + ^-f"(0)+ 8!

P" (OH----.

Sie dient dazu, eine Funktion in eine nach x fortschreitende Potenzreihe zu entwickeln, und ist anwendbar, wenn die Funktion in dem Bereiche von 0 bis x samt allen ihren Ableitungen stetig und endlich ist, und wenn das Restglied R„ gegen die Null konvergiert.

Unter den gleichen Voraussetzungen liefert die Formel (1) die vom Werte a ausgehende erweiterte Maclau rin’sehe Reihe

(x — a)³

(4) f (x) = f (a) +    F (a) J

(x — a)²

2! f"(a)

3!

Nimmt man an, wie das in den §§ 67 bis 77 geschehen, es lasse sich f (x) in einer Reihe von der Form darstellen

f(x) = A + Bx-f Cx²-f Dx³ -{- Ex⁴

worin A, B, C,.. unbekannte, konstante Vorzahlen bezeichnen, so erhält man die Werte dieser Vorzahlen wie folgt.

Durch Wiederholung der Differentiation von (5) kommt

(5)

P (x) =B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³+..

2C + 2- 3Dx + 3- 4Ex² + .. 2 • 3 D -f- 2 • 3 • 4 Ex -f- ..

f" (x) =

P" (x) =

etc.

etc.

Setzt man hierin, sowie in (5) x = 0, so folgt

P" (0)...

A=f(0), B = f'(0), C = yf"(0), D =

Führt man diese Werte in (5) ein, so erhält man in der That die Maclaurin’sche Reihe (3).

289. Entwickelung der Exponentialgrösse ax in eine Reihe. Man

schreibe f (x) = ax; dann wird man erhalten

f'(x) = ax/a; f" (x) = ax (/a)²;    f'" (x) — ax (/ a)³;

f,v (x) = ax (la)⁴;..

2-3

Mithin für x = 0 :

f (0) = 1 ; P (0) = / a ; P'(0) = (Za)²;    f^(0) = (U)⁵;

fIV(0) = (ia)‘;..

Führt man diese Werte in die Maclaurin’sche Reihe § 288 ein,

so kommt

o

a* = l + (/a)y + Ca)²y + (ia)³

X³

2-3

Es ist dies die in § 68 nach dem Satze der unbestimmten Koeffizienten entwickelte Reihe.

290. Entwickelung des Kreisbogens durch den zugehörigen Sinus.

Ist f(x) ein Bogen, beschrieben mit dem Halbmesser = 1 und x der zugehörige Sinus, so erhält man aus den Recursionsformeln (4) des § 278

f (x)    = arc sin x,

f'(x)    = (1—X²)

“T

+ (l-x²) ²,

f" (x) = x(l - x²)~T, f'" (x) = 3 x² (1 — x²) fiv (x) ₌ 15 x3(! _ x²)    ² + 9 x (1 - X²)⁻■»,

fv(x) = 105x⁴(l — x²)    ² + 90x² (1 — x²)    ² —J- 9 (1 — x²) ²,

u. s. f.

Diese sind sämtlich endlich innerhalb des Bereiches (— 1, --- 1); man erhält aus ihnen für x = 0

f (0) = 0; f' (0) = 1 ; f" (0) = 0; t‘" (0) = 1 ; flv(0) = 0; fv (0) = 9;

u. s. f.

Setzt man diese Werte in die Maclau rin’sehe Reihe

so erhält

man die gesuchte, schon in § 76 auf anderm Wege gefundene Reihe

arc sin x = x -j-

1 -x3 2-3

1 • 3 x⁵

1 •3 • 5 x⁷

2-4-5

deren Konvergenzbereich durch gegeben ist.

291. Das Restglied der Taylor'sclien und Maclauriu'scheu Reihe,

Die Möglichkeit, mit Hilfe der Taylor’sehen oder Maclaurin’sehen Reihe eine Funktion f (x -f- h) oder f (x) durch eine unendliche Reihe darzustellen, hängt, wie hervorgehoben,, nicht nur von der Stetigkeit und Endlichkeit der Differentialquotienten aller Ordnungen ab, sondern ist an die Bedingung gebunden, dass das Restglied R„ mit wachsendem n gegen die Null konvergiert. In den Anwendungen der § 284 bis § 290 ist hierauf keine besondere Rücksicht genommen worden, weil die Konvergenzbedingungen der betreffenden Reihen schon früher abgeleitet waren.

Nunmehr soll an einigen Beispielen das Restglied genauer untersucht werden. Es war gefunden worden (§ 282) für das Restglied der Taylor’sehen Reihe

(1)

R„ =

Il" +1 n! p

yvH

• (1 - 0)«-p+i. f(» + D(x +0h),

T'

/L

und für das Restglied der Maclau rin'sehen Reihe (§ 288)

x.i+l

n! J>

Diese Restglieder, in denen p eine beliebige Grösse war, erhalten eine besonders einfache Gestalt, wenn man

I. p = n + 1 und II. p = 1 -

(2)

Rn =

(1 - 0)W-F + I.f(i>+1) (üx).

setzt. Man erhält dann für die Taylor’sehe Reihe die Restformen h" +¹

(3)

Rn —

-, i\, f(ll + l).{x + Rh)

(n + !) !• ' O ‘ V-

(1 - 0)n- f(“+R (x+0h)

hh+i

n!

und für die M ac lau rin ’ sehe Reihe

x» + i

Ri =

(4)

Rn =

(n+1)!

Xn + i

f (i> + O (0 x)

(1 — 0)n,.f(u + 1) (0x).

Die erstere dieser Formen des Restgliedes beider Reihen rührt von Lagrange her, die zweite hat Cauchy angegeben. Im Folgenden sollen nur diese beiden Formen als erste und zweite Form benutzt werden. Jedoch ist noch liervorzuheben, dass in beiden Formen die Grösse 0, die unbekannt ist, verschiedene Werte haben wird; allein es genügt zu wissen, dass sie zwischen 0 und 1 liegt.

Es lautet nunmehr die Taylor’sehe Reihe

(5) f (x + h) = f (x) +yf‘ (x) + h

hn

12

hn+t

. f(n + 0 (x -)- 0 h)

(n + 1)!

= t (x) + ~ f> (x) + W f (x) + ....    + ^ f « (x)

h“ + l

11 !

(1 _0)n.f(n+l) (x+ Oh)

und die Maclaurin’sehe Reihe

(6)    f (x) = f(0) + -ff'(O) +    (0) + ...

xn + l (n+1)!

= i(o) ++‘(0) + |)i"(o) + ...

x"

f(B + 1) (0 x)

X¹¹

Xn + 1

+ +w(0)

(1 - 0)“ • f(“+ ■) (0 x).

Sehr einfach gestaltet sich die Untersuchung des Restgliedes beider Reihen in der Lagrange’sehen Form bei solchen Funktionen, deren nte Ableitungen auch für unendlich grosse n in dem Bereiche (x, x -f h) endlich bleiben. Denn dann hängt die Frage, ob Rr bei wachsendem n die Grenze Null habe, nur von dem Produkte

h"-M

0> + 1)!

ab. Nun ist aber

03 S3*

+ CT

also

h²

l²

S3⁻ ÜO ÊT

to tel IO

h² h² h2 3²    (n — l)'² n² (n -f- l)²

h²

h²

h²

h²

h²

h²

1 • (n + 1) 2 • n 3 • (n — 1)    (n — 1)

Hierin ist aber der Nenner (n -f 1) der kleinste, so dass

n + i

Q²<

r-üL')

Vn + 1 )

oder Q <

ist. Bei endlichem h wird mit wachsendem n der Bruch

immer

Kn 4- i

kleiner, daher hat seine (n -f- 1 )te Potenz die Null zur Grenze.

Daher gilt der Satz: Eine Funktion, deren nte Ableitung in einem Bereiche auch für n — oo endlich bleibt, lässt sich in diesem Bereiche durch eine Potenzreihe nach der Taylor’-schen oder, falls der Bereich die Null einschliesst, nach der Maclaurin’schen Reihe darstellen.

Das Restglied der Taylor’sehen oder Maclaurin’schen Reihe dient noch zu einem andern wichtigen Zwecke; es gestattet nämlich die Grenze des Fehlers zu bestimmen, den man begeht, wenn man zur Berechnung des Wertes einer Funktion die Taylor’sehe oder Maclau rin’sehe Reihe bei einem bestimmten Gliede abbricht.

Würde man die Grösse 0 genau kennen, so könnte der Wert der Reihe schon aus einer kleinern Anzahl Glieder berechnet werden. Allein von der Grösse 0 weiss man nur, dass sie zwischen 0 und 1 liegt. Wählt man nun 0 so, dass das Restglied möglichst gross und ebenso, dass es möglichst klein wird, so gibt die rechte Seite der Reihe (5) oder (6) zwei Grenzwerte, zwischen denen der Wert von f(x-f-h) oder f(x) liegen muss. An dem auf diese Weise berechneten Werte der Funktion haftet daher ein Fehler, der kleiner ist als der Unterschied dieser Grenzwerte.

I. Anwendung auf ’die Exponentialreihe. Aus f(x) = ex

folgt

f'(x) = ex;    f"(x) = ex;.. f(n)(x) = ex;    fb¹ + ¹)(x)    — eK.

f' (0) = 1 ;    f" (0) = 1 ; ..    f 00 (0) = 1 ;    f <” +0 (0 x) = eöx.

Da die (n -{- ])te Ableitung für jeden endlichen Wert von x auch für n = co endlich bleibt, so konvergiert die Taylor’sehe und die Maclau rin’sehe Reihe für jeden endlichen Wert von x.

Die Mac lau rin’sehe Reihe gibt

(7) ex = 1 + x +

x³

+ •• +

x"

x"+ ¹ (L — 0)" J 1-2.3.Tn

e°\

1-2

Bricht man die Reihe (7) bei der fünften Potenz von x ab, so erhält man für n = 4, 0 = 0 und 0=1 folgende Grenzwerte der Funktion

1■2 . .n

ex < 1 -f- x +

x³

x⁴

X*

X⁵

1-2

1-2-3

1•2-3 -4

ex > 1 + x +

x³

x⁴

x⁴

1-2-3

Benutzt man daher den Wert von ex, den eine dieser Reihen liefert, so ist der Fehler, der begangen wird, kleiner als das Glied

x⁵

1 • 2 ■ 3 • 4 '

Setzt man x — 1, so findet man aus obigen Ungleichheiten e< 2,750 00 und e> 2,708 33.

Der Unterschied dieser Werte ist = 0,041 67 und beträgt vom wahren Werte von e

0,041 67:2,718 28 = 0,015 3,

d. h. der Fehler bei Berechnung von e nach obigem Verfahren kann 1,53 Prozente des wahren Wertes nicht übersteigen.

II. Anwendung auf die logarithmische Reihe. Da Ix nicht in eine Potenzreihe nach x entwickelbar ist (§ 69), sei

f (x) = / ( 1 x) ; man erhält

f ' (x) =

Ü-+X)

;    f"'(x) =

(1+x)

und daher mittels der Maclaurin’sehen Reihe, da f (0) = 0,

(8)

x²

x³

i(l+x)=x- — +-

x¹¹

.. + — + ...

n

mit dem Restgliede, abgesehen vom Vorzeichen

X'i + l

(n+ 1)(1 + 0x)u + l

oder

x“ +¹ • (1 — 0)¹¹

(1 +0X)

11-4-1

Damit diese Reihe konvergent wird, muss das Restglied für ein unendlich grosses n verschwinden. Dieses Glied kann in der ersten Form geschrieben werden

•(

ii -I* 1

1 + 0x

Für positive Werte von x wird dieser Ausdruck = 0 für ein unendlich grosses n, wenn x = 1 oder kleiner als 1 ist. Denn die Klammergrösse ist dann ein echter Bruch, da 0 weder 0 noch 1 sein kann, dessen Potenz mit wachsendem Exponenten abnimmt und für n = co verschwindet.

Für negative Werte von x gibt die zweite Form des Restgliedes, abgesehen vom Vorzeichen,

\ 11

1 — 0 I x I

Nun ist der Bruch in der Klammer kleiner als 1 für jeden Wert von jxj, der kleiner ist als 1, d. h. wenn x zwischen 0 und — 1 liegt. Daher wird die nte Potenz desselben, für wachsende n, abnehmen und zu Null werden für n = go.

¹ -®|x|

An diesem Resultate kann alsdann der zweite Faktor

nichts ändern, weil er einen endlichen Wert hat.

Die Reihe ist daher konvergent, wenn der Wert von x zwischen + 1 und — 1 liegt und auch dann noch, wenn er = + 1 ist. (§ 69; 63).

III. Anwendung auf die binomische Reihe. Es sei y = f(x)=xm, worin m eine beliebige endliche Zahl sei und y stets positiv genommen werde. Nach § 274 ist

f (") (x) = m (m — 1 ) ... (m — n -f- 1 ) x m ~ ;

daher erhält man unter Benutzung der Taylor’sehen Reihe

(«)

.    ,.    • m (m — 1)

1-2

(x + h)>“ - x™ + — h x"'-¹ -1    ^ >-

m (m — 1) (m — 2)

1-2-3

wobei

Ri -

m (m — 1) .... (m — n)

(10)

1 • 2 ... (n -F 1)

h11 + 1 • (x -j- 0 h)m 11

Rn =

m (m — 1).... (m —n)

1-2. ..n

1D+¹ (1 — 0)».(x -f0h)'"-n-¹j

ist.

Ist m eine ganze positive Zahl, so sind alle Ableitungen von der (m -j- l)ten an gleich Null, und die Reihe wird eine endliche; in allen andern Fällen ist die Reihe unendlich. Setzt man der Einfachheit

wegen x — 1 und ersetzt dann h durch x wickelnng

so erhält man die Ent-

(11) (1 + x)m = m +

m (m — 1 )

x² -j-

m(m — l)(m — 2) ₃

1 -2-3

Xd+ ....

mit dem Restgliede .

Ri -

(12)

Rn —

m (m — 1)... (m — n)

1 • 2 • 3 . . 7( n + Ï) X”

1 • 2. • o . • • D

Die Reihe (11) stimmt mit der Formel (3) des § f>7 überein. Dort ist bereits der Konvergenzbereich — 1 << x    1 angegeben worden.

Daher kann die Untersuchung des Restgliedes auf diesen Bereich beschränkt werden.

Die zweite Form des Restgliedes kann in Form von drei Faktoren geschrieben werden

(13) Rh=^

m — 1 m — 2 —x •

Der dritte Faktor (1 -j- 0 x) m Grösse, da m als endlich vorausgesetzt wird.

Wird j x j 1 vorausgesetzt, so ist der Quotient

ist von n unabhängig, also eine endliche

mag x

1 + 0x’

positiv oder negativ sein, ein echter Bruch, also wird die nte Potenz dieser Grösse für ein unendlich grosses n zu Null.

Zu untersuchen bleibt noch der erste Faktor des Restgliede&

x-

x;

dieses mit n unendliche Produkt wird die Null zur Grenze haben, wenn seine Faktoren von einer bestimmten Stelle an echte Brüche sind und für n = co echte Brüche bleiben. Da nun | x | <^ 1, so nehmen die Faktoren mit wachsendem Werte von n ab; der letzte dieser Faktoren,

— x konvergiert bei endlichem m und wachsendem n mehr

nämlich

in —

und mehr gegen ^ x als Grenze, ist also mit x ein echter Bruch; folglich ist das Produkt für n = cc verschwindend klein.

Daher kann in dem Bereiche

~ i <C x + i

für jedes m die positive Funktion (l-f-x)m durch die Reihe

m (m — 1 ) (m — 2)

(1 + x) “ = 1 +

m (m — 1)

1-2

X² -f-

1-2-3

X³ -j- . . . .

berechnet werden. Schreibt man

• Xm.

(x + h)'" = (l + - -)

so folgt, dass die Taylor’sehe Reihe (9) konvergent ist, wenn

Der Fehler, den man begeht, wenn man die Reihe (11) beim (n + l)ten Gliede abbriclit, ist, wie aus der ersten Form des Restgliedes hervorgeht, höchstens

m (m — 1) ■. • (m — n)

1 - 2-3... (n 4- 1)

n-M

■ (1+x)“ —

für x > 0

oder

m (m — 1) ■. • (m — n)

l-2-3...(n + 1)

x°D für x <0.

Ist z. B. m = —, hat man also zu berechnen + x und bricht r

beim zweiten Gliede ab, setzt also

fï+ï-i + i,

r — 1

so ist der dabei begangene Fehler für x+>0 kleiner als-^-^-.x²; für

x²

r = 2 der Fehler also kleiner als

x²

r = 3 der Fehler also kleiner als —.

So ist z. B.

Vl ,000 834 = 1 + 1.0,000 834 = 1,000 417 [Xi,OCX) 834 = 1 + + 0,000 834 = 1,000 278 auf 6 Stellen genau; denn die Fehler sind kleiner als 0,000 834²    0,001²

8- 10⁶

0,000 834 ²

0,001²

9- 10⁶'

III. Differentiation der Funktionen mit mehreren Veränderlichen und der unentwickelten Funktionen.

292. Der Taylor’sche Satz für Funktionen mit zwei unabhängig veränderlichen Grössen. Die gegebene Funktion sei

u=f(x,y).

Lässt man x in x+h übergehen und betrachtet y als konstant, so erhält man

(1)    - f (x + h, y) = u +

^h

d²u h² , ö³u h³

dx² 2 dx³ 2 • 3

+ ••

In sämtlichen Gliedern dieser Gleichung lasse man y in y + k übergehen und betrachte x als unveränderlich; dann wird

P(0) = 1;

f/y/ (0) = 2; . .

f" (0) = — 1 ;

f(n + 0 (0 x)= q:

2 • 3 ..(n — 1)n

(1+0 x)

u zu u

3² u k²

dx ”

3² u

à y2 à² u 3 x à y 3² u

3³u k³ , 2    3 y³ 2*3

à³ u

k²

3 x 3 y² 2 à³ u

3x² ”

3 x²

3³ u

3;x² à y 3³ u

3 x³ ”

3 x³

(2)

Führt man diese Werte in (1) ein, so kommt als gesuchte Reihe

3²u k²

3y²    2

3²u

f (x + h, y + k) = u +

+ öTh +

3x3}' 3²u 3 x²

hk -!

3³u k³ , 3v³    2-3 ⁺' *

3³u hk² ,

3 x 3 y² 2 h² 3³u h²k 2    3x²3y 2

3³u h2 3x³    2 • 3

die auch wie folgt geschrieben wird

f 3u V 3 x 1    / 3² u

1*2 \ 3 x2 3³ u

(3) f(x + h,y + k) = u +

HO

1    /3³ u

1 • 2 • 3 Kdx^

h³ 4- 3

3 x² 3 y

h² k + 3

h² + 2

3³ u 3 x 3 y²

3²u

3 x 3y

hk -f

hk² +

3² u 3y²

3³ u

3 y²

k²

k³)+ •

Hierin ist

das partielle Differential Verhältnis, das entsteht, wenn

man f (x, y) nur in Hinsicht x differenziert

3² u 3 x²

Verhältnis von u, d. h. dasjenige Verhältnis, das aus

3²u 3 x 3 y

hältnis, das aus erhalten wird, wenn man in Hinsicht y allein diffe-3 x

rentiiert, etc.

Die Bedingungen für die Gültigkeit der Entwickelungen (2) und (3) ergeben sich aus den Bedingungen des § 282. Danach müssen die Werte x und x -f h, y und y -(- k einem Bereiche beider A⁷eränderlichen angehören, in dem f (x, y) und ihre sämtlichen partiellen Differentialquotienten eindeutig, stetig und endlich sind.

Verhältnis in Hinsicht y (§ 30) ;

ày

das partielle Differential-

das zweite partielle Differential-

malige Differentiation in Hinsicht x sich bildet ;

durch noch-

dasjenige Ver-

Lässt man in f (x, y) zuerst y in y + k und sodann x in x -f- h übergehen, so muss eine Reihe für f(x + h, y+k) entstehen, die der vorstehenden gleich ist, woraus folgt, dass in beiden Reihen die Glieder mit denselben Potenzen von h und k einander gleich sein müssen. Dies führt zu folgenden Relationen

d² u

d² u

d³ u

d³ u

d³ u

d³ u

dxdy dydx’ dxdy² dy²dx’ dx²dy dydx²

Allein diese Gleichungen gelten nur, wenn die Differentialverhältnisse der betreffenden Ordnung stetig sind. Aus der Gleichung (5) des § 281 für den Mittelwertsatz folgt nämlich

etc.

f (x + h, y) - f (x, y) = h ^ f (x + 0 h, y) ;    0 < G < 1 ;

ersetzt man hierin y durch y + k, so folgt

f (x + h, y + k) — f (x, y + k) = h f (x + O h, y + k)

und durch Subtraktion beider Gleichungen

(4) f (x + h, y + k) — f (x, y + k) — f (x + h, y) + f (x, y)

= h ( dT f (x + e h> y + k) - äY f (x + ⁰ h, y))

f(x-f öh; y + ö'k), O<0'<1

= hk-

d²

d x d y

wenn man auf die Klammer wieder den Mittelwertsatz anwendet. In ganz analoger Weise findet man

f (x, y + k) — f (x, y) = k-^y f (x, y + Oik); 0 < 0i < 1 f (x + h, y -f k) — f (x + h, y) = k f (x + h, y + Oik)

und hieraus

(5) f (x + h, y + k) — f (x + h, y) — f (x, y + k) + f (x, y) = k (yy f (x -f h, y + 0! k) - -^y f (x, y + k) J

d²

dydx

Aus der Vergleichung von (4) und (5) folgt

f (x + O'ih, y + Oik), 0 < Q\ < 1.

d²

dy dy

f (x + 0 h, y + 0' k) =

d²

dydx

f (x + 0'ih, y + 0ik).

Sind nun

d²

und

d²

dydx

für das Wertepaar x, y stetige Funktionen,

dxdy

so geben die beiden Seiten dieser Gleichung für gegen 0 konvergierende h und k denselben Wert.

Daher hängt eine partielle Ableitung beliebig hoher Ordnung nicht von der Reihenfolge der Differentiationen ab, wenn die Funktion und ihre Ableitungen bis zu der betreffenden Ordnung stetig sind.

293. Differentiation der Funktionen mit mehreren unabhängig veränderlichen Grössen. Lässt man in der vorstehenden Taylor ’sehen Reihe für f(x-j-h, y + k) die Grösse h in dx, k in dy übergehen, so folgt

Die linke Seite ist das vollständige Differential von f (x, y). Auf

d x die partiellen

f (x + d x, y -f d y) — f (x, y)

der rechten Seite sind die Glieder

dy

() u

dy

dy +

dx-f

dy und

<) u

• d x d y -f- . .

Differentiale der Funktion und als solche unendlich kleine Grössen der ersten Ordnung. Die Glieder mit den Faktoren dy², dxdy, dx² sind unendlich kleine Grössen der zweiten Ordnung und verschwinden gegenüber denen der ersten Ordnung. Um so mehr werden in der Reihe die Glieder mit den Faktoren dy³, dxdy², etc. vernachlässigt werden können. Mithin ist das vollständige Differential

d f (x, y)

(1)

d f (x, y) =

à f (x, y)

() x

dy

d y.

Auf demselben Wege findet man als Differential einer Funktion mit drei unabhängig veränderlichen Grössen

öf(x,y,z) d x _j_ df (x,y,z)

(2)    d f (x, y, z) —

dx

dy

dy

Of(x,y,z)

(1 z

dz.

Mithin erhält man das vollständige Differential einer Funktion mit mehreren unabhängig veränderlichen Grössen, wenn man die Funktion in Hinsicht einer jeden Veränderlichen besonders differentiiert und die erhaltenen Differentiale addiert.

Man sieht, dass man dasselbe Resultat erhält, wie wenn man nach den Regeln verfährt, die in der ersten Abteilung über die Differentiation von Aggregaten, Produkten, Quotienten, etc. bei Funktionen mit einer Variabein gelehrt wurden.

Beispiel. In einem Dreiecke ABC (Fig. 101) sei die Standlinie c mit der Messkette und die beiden anliegenden Winkel « und ß mit einem Winkel instrumente gemessen. Die Resultate dieser Messungen seien mit kleinen Fehlern behaftet. Man soll den Einfluss dieser Fehler auf die dem Winkel a gegenüberliegende Seite a bestimmen.

Man hat die Relation

a : c = sin « : sin y.

Setzt min hierin y — 180 — (a + ß), so folgt a sin (a + ß) = c sin a.

Fig. 101.

Nimmt man auf beiden Seiten die Logarithmen, so kommt

(1) l a -(- l sinr(a 4- ß) = l c 4-1 sin a.

Die Differentiation dieser Gleichung gibt

cos (a 4- ß)

sin (a 4- ß)

cos a

sin a

(d« + a « = —

cos (a -(- ß) ~ sin (a -f ß) _

cos a

sin «

d a,

da —

cos (a 4" ß)

sin (a 4- ß)

(2)

sinß

sin a sin (a + ß)

da — cotang (a 4~ ß) d ß.

Betrachtet man in Formel (1 ) die Grössen c, a, ß als unabhängig Veränderliche, also l a als die Funktion, so besteht das Differential von l a aus drei partiellen Differentialen. In der That ist in (2) das erste Glied rechts das partielle Differential von (1) in Hinsicht c, das zweite Glied dasjenige in Hinsicht a und das dritte dasjenige in Hinsicht ß.

Sind nun d c, d a, d ß die sehr kleinen Fehler der Grössen c, a, ß,

d à

so wird d a'* der gesuchte Fehler der Seite a und - das Verhältnis

a

dieses Fehlers zur Seite sein.

294. Höhere Differentiale einer Funktion mit mehreren unabhängig veränderlichen Grössen. Die gegebene Funktion sei

u = f(x, y);

ihr erstes Differential ist nach Formel (1) des § 293

(1)

<) x

öy

dy.

du du

d x ■ d y

Da aber x und y von einander unabhängig

In diesem Ausdrucke sind die Differentialverhältnisse

Funktionen von x und y. sind, so nimmt man ihre ersten Differentiale dx und dy als konstant an und erhält

Da nun

d² u

(2)

d² u _ dxdy dydx’ d² u d x²

d² u =

d? u

d x²

dx

d² u

d x d y d² u

dy²

dy,

dy.

so wird das Differential von du in Formel (1)

d x² 4- 2

d² u

dxdv

d x dy 4-

- d v². 2 *

zunächst

Wird diese Gleichung nochmals differentiiert, so erhält man

/ d² u

d v a x²

a³ u

a x³

d x -j-

a³ u

a³ u

a x² a y a³ u

dx +

a x² a y a³ u

dy,

axa y²

dx +

a x a y2 a³ u

dy,

a y³

ï—d y-

Deshalb wird das dritte Differential von u sein

d³u

a³u

a³u

dxdy

Auf ähnliche Weise kann die Differentiation fortgesetzt und ebenso die Wiederholung der Differentiation einer Funktion mit mehr als zwei unabhängig Variabein ausgeführt werden.

295. Wiederholte Differentiation einer unentwickelten Funktion mit einer unabhängig Veränderlichen. Es sei die Funktion u = f (x, y) = 0 zu differentiieren.

Betrachtet man x als die unabhängig Variable, so wird im Folgenden ihr Differential dx als konstant anzusehen sein. Nach § 32 gibt die erste Differentiation

(3) d³u = -—

dx³-)- 3

dx²dy

dx²dy + 3

2 dxdy²

ày

3d y³*

(1)

d v

Hierdurch ist der Wert des Verhältnisses = tanga (§ 10) gegeben.

d² y

d x²

fährt man mit Gleichung ( 1 ) gerade so, wie in § 32 mit der gegebenen Funktion verfahren wurde, um das erste Differentialverhältnis abzuleiten, d. h. man differentiiert (1) partiell in Hinsicht x, dann partiell in Hinsicht y und setzt die Summe aus den erhaltenen Differentialverhältnissen — 0. Nun sind die partiellen Differentialverhältnisse von (1)

Um auch das zweite Differentialverhältnis

zu bestimmen, ver-

in Hinsicht x:

a² u

a² u d y

a x²

in Hinsicht y:

a²u d y

dx dy d x

a²u

ày⁷

dy V

a u d²y a y dx²

somit das vollständige Resultat der Differentiation aus (1) d²u d y d²u ( dy dydx dx ' dy² Vs dx

(2)

d²u

dx²

du d²y d y dx²

= 0.

Setzt man hierin den Wert von

dy

aus

(1), so kann

d²y

dx²

gefunden

werden. Es ergibt sich

Autenheimer, Elemeutarbuch.

22

a²u

(3)

d²y

d x²

/ a u \2 ax² v ay )

a²u du du

dxdy dx dy

a² u

dy²

¹

/ X^³

²

3 \~2)

³

• 3 .. (n - 1)

⁴

(1+x)"

dy

Man erkennt aus der Art, wie die Gleichungen (1) und (2) entstanden sind, dass in gegebenen Fällen keine andern Regeln zur Anwendung kommen, als wie sie im ersten Abschnitte über die Differentiation von Summen, Produkten, Quotienten, etc. bei entwickelten Funktionen auf-gestellt wurden. Es ist daher auch überflüssig, hier noch weitere Differentiationen auszuführen.

296. Differentiation einer unentwickelten Funktion mil mehreren unabhängig Veränderlichen. Es sei u — f (x, y, z) = 0 zu differentiieren. Betrachtet man x, y als unabhängig veränderlich, so wird z von x, y abhängen. Setzt man in Formel (2) des § 293 die Grösse f (x, y, z) = 0, so erhält man als erstes Differential

CU '

(1)

() u

dx + —— dy +

dy

d z = 0.

du du

Bei Wiederholung der Differentiation beachte man, dass——, .    ,

a x a y

— Funktionen von x, y, z sind, dass die Differentiale dx, dy konstant

genommen werden und dass das letzte Glied

dz ein Produkt ist

au

aus den veränderlichen Faktoren

und dz. Folglich erhält man

d²u    d²u

a x a y y a x a z a² u    a² u

"x—^~dy    —--—dz,

a y² • dy d z

d² u    à²u

a y a z y a z²

Mithin das Differential der Formel (1)

d² u

a x a z

, , . a²u dydz + TP~dz' ⁺

Aus (1) kann dz, aus (2) kann d²z dargestellt werden. Auch hier kann nach den Regeln, die im ersten Abschnitte über die Differentiation der Funktionen mit einer unabhängig Variabein aufgestellt wurden, verfahren werden, wenn man nur beachtet, dass die ersten Differentiale 'der unabhängig Veränderlichen konstant, das der abhängig Variabein veränderlich angenommen wird.

df—^

\àyj

d²u

dx²

a² u

dy dx d² u

dx -f- —

-dx.-f

d x dz

dx-f-

(2)

a² u a x²

dx²+ 2

d² u dxdy d² u

a y a z

dxdy-j-2

dz,

dxdz

d z^dz -f

a²u

dy

dz

du

— d² z.

2-dy²

d²z = 0.

Beispiel. Es sei zu differentiieren

(a x)² + (b y)² + (c — z)²    R,² = 0.

Man erhält zunächst

(3)

(4)

(a — x)dx 4- (b — y) dy -f- (c — z) dz = 0. Ist z die abhängig Veränderliche, so ergibt sich hieraus dx² — dy² — dz² + (c — z)d²z = 0.

Aus (1) folgt

(a — x) d x + (b - y) d y

c — z

Führt man diesen Wert in (4) ein und ordnet nach den Potenzen von dx, dy, so erhält man

(5) d² z =

(c — z)² + (a — x)²

(c-z)³

d x² +

2 (a — x)(b — y)

(c — z)3 (c - z)² + (b —y)²

oder auch

(c — z)³

dy²

d² z

R² — (b — y)²

(c — z)³

dx² +

2 (a - x) (b - y)

(c — z)3 R² — (a — x)²

(c - z)³

dy².

Handelt es sich darum, die partiellen Differentialverhältnisse der als abhängig angesehenen Veränderlichen z nach den unabhängig Veränderlichen x und y zu erhalten, so folgt, wenn man u = 0 partiell nach x und nach y differentiiert,

àu h dz

(6)

= 0 und

du à u dz

ày

dz d y

berechnet werden können, falls —— nicht verschwin-

d z

det. Differentiiert man (6) nach derselben Regel nochmals partiell nach x oder y, so erhält man

d²ü

woraus -— und

àj

d² u dz

d x2 d² u

___L

d x d z d x ¹

d²u /'dz\² du d²z d z² V dx ) dz dx² ’

d² u dz

dz² V d y )

du d² z

dydz dy d² u dz

dxdy ¹ dxdz dy^¹” dydz dx

ày

d² u

d² u dz

-+

dz d y2 d²u dz dz dz² d x ö y

= 0;

du d² z d z dxdy

= 0,

woraus

d² z

d² z

d² z

dx²

à y²

dxdy

berechnet werden können.

22*

IV. Auflösung numerischer Gleichungen.

297. Gleichung mit einer Unbekannten. Es sei f (x) = 0 die aufzulösende Gleichung'.

I. Methode von Newton. Lässt man x zunehmen um h, so erhält man nach der Taylor’sehen Reihe

f (x + h) = f (x) + f (x) h + (" (X) L- + .. und folglich, wenn x mit a vertauscht wird,

(1)

f (a + h) = f (a) + f' (a) h -j- f" (a)

Gesetzt es sei a sehr nahe eine Wurzel der Gleichung und h ihr sehr kleiner Fehler, so dass h einen sehr kleinen, echten Bruch bezeichnet, so wird a + h eine exakte Wurzel der Gleichung, also f (a + h) = 0 sein.

Vernachlässigt man nun in (1) die Glieder mit der zweiten und— den höheren Potenzen von h, so erhält man annähernd

f (a) + f' (a) h = 0,

woraus folgt

(2)

f(a)

Um also den Fehler h der Wurzel annähernd zu finden, bilde man den ersten Differentialquotienten der gegebenen Funktion, setze sodann in die Funktion und ihren Differentialquotienten statt x den angenäherten Wurzelwert, dividiere die erstere Grösse durch die letztere und nehme das Resultat mit entgegengesetztem Vorzeichen. Alsdann ist a + h = b ein Wert, der der wahren Wurzel näher liegt als a. Verfährt man mit b wie mit a, so erhält man eine weitere Annäherung an die wahre Wurzel.

Ist h nicht klein genug, damit in der Gleichung (1) die Glieder mit h², h³,.. vernachlässigt werden können, so muss der Wert von a durch neue Versuche genauer ermittelt werden.

Beispiel. Es sei

f(x) = x³-8x-f8 = 0;

es ist

f' (x) = 3 x² - 8.

Für den angenäherten Wurzel wert a = 1 hat man f(a) = l³- 8- 1 +8 = 1, p (a) = 3 • l² - 8= — 5.

Fehler der Wurzel h =

-K- = 0,2.

— o

Verbesserte Wurzel b = 1 -f- 0,2 = 1,2.

Verfährt man mit diesem Werte b = 1,2 wie soeben mit a= 1, so ist f (b) = 1,2³ — 8 • 1,2 + 8 = 0,128,

P (b) = 3 • l,2a — 8 = — 3,68.

Fehler der Wurzel h = —

= 0,035.

0,128 — 3768

Verbesserte Wurzel c = 1,2 -j- 0,035 = 1,235.

Durch Fortsetzung des Verfahrens kann noch eine grössere Annäherung erzielt werden.

II. Regula falsi. Wenn man in der Gleichung f(x) = 0 die Unbekannte x um die sehr kleinen Grössen h und k zunehmen lässt, so hat man nach der Taylor’sehen Reihe annähernd

f(x + h)- f(x) = f'(x)h. f (x + k) — f (x) = f' (x) k,

indem man die Glieder mit der zweiten und den höheren Potenzen von h und k vernachlässigt; folglich durch Division dieser Gleichungen

f (x -f h) — f (x) h f (x + k) — f (x) “ ¥

Wird hierin x -f- h = a und x-f k = b gesetzt und angenommen, dass x die wahre Wurzel der Gleichung bezeichnet, so wird f (x) = 0, f (x -}- h) = f (a), f (x -f- k) = f (b) und die vorstehende Formel gibt die Proportion

(3)

f (a)

f(b)

b — x'

Folglich verhalten sich die Funktionswerte wie die Fehler der Wurzel. Diese Proportion, Regula falsi genannt, ist um so richtiger, je kleiner die Fehler h = a — x und k = b — x sind. Aus obiger Proportion folgt

(4)

(a — b) f (a)

f (a) - f (b)

ein Ausdruck, durch den die Wurzel x sehr annähernd berechnet werden kann.

Beispiel. Die aufzulösende Gleichung sei (1 -f x)x = 100.

Nimmt man zuerst auf beiden Seiten die gemeinen Logarithmen, so wird die aufzulösende Gleichung sein

f (x) = x log (1 -}- x) — 2 — 0.

Setzt man hierin a = 3 und b = 3,3 für x, so folgt

f (a) = 3 log 4 — 2 f (b) = 3,3 log 4,3 — 2 =

= - 0,193 820,

0,090 446,

a — b = — 0,3: f (a) — f (b) = — 0,284 266,

o,3.o,₁₉₃82o = 3204

Wurzel x = 3 -j-

0,284 266

Bezeichnet man diesen genäherten Wert von x mit c, so ist f (c) = 3,204 log 4,204 - 2 = — 0,001 784 7.

Verfährt man mit a = 3 und c = 3,204 wie oben mit a und b, so erhält man

- 0,204; f (a) — f(c) = — 0,192 035 3,

= 3,205 9.

Wurzel x = 3 -j-

0,204 • 0,19382 0,192 0353

Auf diesem Wege kann die Wurzel bis zu einem beliebigen Grade der Annäherung bestimmt werden.

Fig. 102.

IIÏ. Geometrische Darstellung der beiden Auflösungsmethoden. Es seien Ox, Oy (Fig. 102) zwei rechtwinkelige Koordinatenachsen. Trägt man eine Reihe von Werten von x als Abscissen und die entsprechenden Werte von f (x) als    Ordinaten    auf, so erhält man eine

Kurve b' ca'.    Schneidet    diese Kurve die Abscissen-

WM

achse 0 x in c, so wird O c = x eine wahre Wurzel der Gleichung f (x) = 0 sein. Nun seien Oa — a, Ob = b zwei angenäherte Wurzeln der Gleichung f(x) = 0. Setzt man in f (x) die Werte a und b statt x, so wird f (x) zu f (a) = aa' und zu f (b) = b b'. Da    ac =    a    —x    und b c = x — b    sehr klein    vorausgesetzt werden, so

können    die    Kurvenstücke a' c und b' c als    gerade Linien angesehen

werden.

Alsdann ist

tang a' ca =

a a'

f(*)j

Allein die Tangente durch a' an die Kurve ist gleich dem ersten Differentialquotienten (§ 10) der Funktion, also = f'(a); folglich wird sein, wenn man noch den Fehler x — a der Wurzel = h setzt,

f (a)

woraus h = —

f (a) *

Sind die Kurvenstücke a'c und b' c in einer geraden Linie, was sehr nahe der Fall sein wird, so hat man die Proportion

a a'

f (a)

a — x

Fïb)" ⁼ x - b '

Diese letztere Proportion stimmt mit der oben aufgestellten (3) überein, wenn auf beiden Seiten mit — 1 multipliziert wird. Bei Ableitung dieser Proportion wurde vorausgesetzt a > x, b < x. Es ergibt sich dieselbe Proportion, wenn a und b zugleich grösser oder zugleich kleiner als x sind.

b b'

oder

29S. Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die aufzulösenden Gleichungen seien

Aendern sich die Grössen x und y um h und k, so erhält man nach der Taylor’schen Tteihe

(2)

f (x + h, y + k) = f (x, y) +

df (x,y) h , df(x,y)

<) x

ày

k + ..

(3) F(x + h,y + k) = F(x,y) +

ÖF(x,y)

0F(x,y)

ày

k+,.

Nun seien a und b zwei sehr angenäherte Wurzelwerte, h und k ihre Fehler, so dass a-f-b, b -f- k wahre Wurzeln der Gleichungen bezeichnen.

Setzt man in den Gleichungen (2) und (3) a für x, b für y, bricht die Beihen wegen der Kleinheit von h und k bei den ersten Potenzen dieser Grössen ab und berücksichtigt, dass die linken Seiten dieser Gleichungen (2), (3) gleich 0 werden, so hat man

0 — f (a, b) -j-

(4)

d f (a, b). ö f (a, b)

<) x

ày

(5)

0 = F (a, b)

d F (a, b)

a F (a, b)

ày

Diese Gleichungen enthalten nur noch die Unbekannten h und k in der ersten Potenz, indem alle andern Ausdrücke aus den Funktionen und ihren partiellen Ableitungen erhalten werden, wenn man die bekannten Werte a, b für x, y einführt. Mithin ist die Aufgabe auf die Auflösung zweier Gleichungen vom ersten Grade zurückgeführt.

Sind diese Werte von h und k ermittelt, so setze man a' = a + h, b' = b + k als angenäherte Wurzelwerte und bestimme ihre Fehler h' und k' auf dieselbe Weise, wie h und k bestimmt wurden, und erhält so eine weitere Annäherung.

Beispiel.

à f (x, y)

f (x, y) = x³ — 2 x y² -f 5 = 0, F (x, y) = y² + 3 x y -f 10 = 0.

à f (*, y)

= — 4 x y.

ày

= 3 x² — 2 y² ;

à¥ (x, y)

³ y;

a F (x, y)

= 2 y -f 3 x.

Für x = 2,3 und y = — 2 wird

F(x,y) = 0,2.

f (x, y) = - 1)233;

Da die Funktionen für diese Werte der Unbekannten klein aus-fallen, so nehme man a = 2,3 und b = — 2, führe sie in die ersten Differentialquotienten ein und schreibe die Gleichungen (4) und (5) an; es kommt

= — 1,233 + 7,87 h + 18,4 k, = 0,2 — 6 h + 2,9 k,

woraus man für die beiden Fehler der Wurzeln findet

k = 0,044,

h = 0,054.

Deshalb sind die angenäherten Wurzeln

a + h = 2,3 + 0,054 = 2,354 ; b -f k = - 2 -f 0,044 := — 1,956.

Hierfür werden die gegebenen Funktionen

f (x, y) = 0,039; F(x,y) =0,013,

also sehr nahe = 0; mithin sind x = 2,354 und y = — 1,956 sehr angenäherte Wurzelwerte.

299. Algebraische Gleichungen mil gleichen Wurzeln. Sind a, b, c, . .

die Wurzeln der Gleichung F (x) = 0, so lässt sich F (x) in das Produkt (x — a) (x — b) (x — c) . . zerlegen. Sind drei dieser Wurzeln einander gleich, z. B. gleich a, so wird jenes Produkt den Faktor (x— a)³ enthalten. Hat nun die Gleichung F(x) = 0 n gleiche Wurzeln a, so wird F (x) ' in ein Produkt zerlegt werden können von der Form

(1)

F (x) = (x — a)". f (x).

Durch Differentiation dieser Gleichung folgt dF (x)

(2)

= n (x — [a)n ~ ¹ f (x) + (x — a)

,,df(x)

dx ’

Wepn nun n = 2, so hat die Gleichung (1) zweimal, und der erste Differentialquotient (2) ■ einmal den Faktor x - a. . Wenn daher die Gleichung und ihr erster Differentialquotient einen gemeinschaftlichen Faktor yon der Form x — a enthalten, so hat die Gleichung zwei gleiche Wurzeln.

:n'Xf

ii.b’e < ,    ‘Tf.'M. io > hlfJ

Durch Differentiation von (2) folgt

i ;L •?    77

(3)

d² F (x) d x²

n (n — 1) (x — a)" ~² f(x) 2-n (x — a)" 7

.0

+ (x - a)

,, d2 f (x)

d x²

Wennn = 3, so enthält F(x) den Faktor x — a dreimal, der erste Differentialquotient (2) zweimal und der zweite Differentialquotient (3) einmal. Wenn somit der erste und zweite Differentialquotient einen gemeinschaftlichen Faktor von der Form x — a haben, so hat die ursprüngliche Gleichung drei gleiche Wurzeln.

Auf diesem Wege ergibt sich folgender allgemeine Satz: Wenn der (n — l)te Differentialquotient der linken Seite der Gleichung F (x) = 0 mit dem vorhergehenden einen gemeinschaftlichen Faktor hat von der Form x - a, so hat die gegebene Gleichung n gleiche Wurzeln a.

= 3 x² — 3.

folgt

Beispiel 1. Aus F(x) = ^ —3x-f 2 = 0 d F (x)

Aun haben die Polynome x³ — 3 x— 2 und 3 x² — 3 den gemeinschaftlichen Faktor x-f 1;' folglich hat die Gleichung F (x) = 0 die beiden gleichen Wurzeln -K 1. Die zweite Ableitung von F(x) ist = 6x.

Diese hat mit der ersten 3 x¹ — 3 keinen gemeinschaftlichen Faktor. Somit hat auch die Gleichung nicht drei gleiche Wurzeln.

Dividiert man die gegebene Gleichung durch (x -)- l)¹, so findet man als Quotienten x — 2; folglich ist

F (x) = x² — 3 x - 2 = (x -f l)¹ (x — 2) = 0.

Beispiel 2. Die linke Seite der zweigliederigen Gleichung xn fa=0 hat zur ersten Ableitung n xn — l. Da diese Ableitung und x¹’ ^ a keinen gemeinschaftlichen Faktor haben, so sind die Wurzeln der Gleichung x" i a = 0 alle ungleich.

V. Bestimmung der Werte der Funktionen, die die unbestimmte Form Tr annehmen.

300. Bestimmung der werte ^ in speziellen Fällen. Wenn man im

1 — x

Bruche - die Variable x = 1 setzt, so geht der Bruch über in

1 — x¹

die unbestimmte Form -2 gegebenen Bruches durch (1 — x), so folgt

1 — x 1 — x¹

o-

Dividiert man aber Zähler und Nenner des

1 +x-

Setzt man hierin x = 1, so findet man als gesuchten Wert |

sin x

Wird in dem Bruche

die Veränderliche x = 0 gesetzt, so erscheint dieser Bruch ebenfalls unter der Form Allein nach § 287 ist

sin x = x

X²

X³

folglich

sin x

x¹

x⁴

man also x = a und dividiert sodann rechts im Zähler und Kenner durch h, so folgt

(1)

f (a + h)

+ f"' (a)

h²

2-3

(f{ a + h)

2-3

Wird hierin h == 0 angenommen, so kommt

f(a) _ ° _ f' (a)

<f (a) “ 0 “ <f‘ (a)’

Somit wird der Wert des Bruches, der für x = a unter der unbestimmten Form £ erscheint, erhalten, wenn man die erste Ableitung des Zählers durch die erste Ableitung des Nenners dividiert und im Resultate x = a setzt.

Sollten auch die Grössen f' (a) und <f ‘ (a) für x — a gleichzeitig verschwinden, so gibt die Formel (1), nachdem noch Zähler und Nenner

durch

A

dividiert sind,

(2)

f (a -f- k)

(f (a + h)

f" (a) -r f'" (»)-jj-

Setzt man hierin h = ö, so folgt

f(a) _    _ f" (a)

9(a)

9" (a) ‘

In diesem Falle hat man also die zweite Ableitung des Zählers durch die zweite Ableitung des Nenners zu dividieren und sodann x = a

zu setzen, um den Wert

f(a)

9(a)

0

= — zu erhalten.

Man sieht hieraus, dass man haben würde

f(a)

9(a)

CH O

f'"(a)

9"'(a) ’

wenn u. s. w.

im Ausdrucke (2) f" (a) und <f “ (a) gleichzeitig zu Null würden,

Beispiel 1.

X _ ^

Der Bruch „    „ wird für x = a zu —

xä — a³

Schreibt

man

f (x)

9(x)

-, so ist

_

9' (x)    3 x² ‘

x³ — a³

Für x = a wird daher der Wert von f gleich f (a) _ 0 _ f'(a) _    1

9' (a)    3 a²

9 (a)    0

Für x =

h¹

f (x + h)

f (x) + f/Xx) h -f f" (x) ~2~ +

(f (x h)

h‘¹

(f (x) -f (f J (x) h + (f " (x) —

Geht nun der Bruch

f(x) ,

cp (x)

für x = a in

O: O

___. f'(x) _

f(x) __

Beispiel 2. Es soll der Wert des Bruches

KI^x

= für x = 1

bestimmt werden. Nun ist

?(x) KÄi-x; r 0)

Für x

fy(l)

r(i)

= 0 der gesuchte Wert sein.

Beispiel 3. Es sei der Wert des Bruches

x² — sin²x

x³

für

x — 0 zu prüfen. Man hat x² — sin²x

f(X)

cp (x)

X³

f" (x)    1 — cos²x + sin²x

f' (x)    2 x — 2 sin x cos x

3 x2 4 cos x sin x

r (x)

f'" (x)

Cp“' (x)

Setzt man hierin x — 0, so gehen die drei ersten Brüche in die unbestimmte Form $ über und der letzte wird = 0 ; folglich ist auch der gegebene Bruch = 0 für x = 0.

Beispiel 4. Es sei der Wert des Bruches — zu ermitteln. Man hat

X • COS X

cp (x) x — sin x

f(x)

f'(x)

r(x)

X • COS X

— sinx

für x = 0

cos x — x • sin x

1 — COS X

für x = 0 ist

f'(0)

r (0)

— = co der gesuchte Wert.

302. Zähler und Nenner enthalten einen Faktor von der Form

m

(x — a)¹¹. Ein Bruch von der Form

f (x) _ (x — a)¹¹ cp: (x)

FW

(x — a)<! ip (x)

dessen Zähler und Nenner den Faktor (x — a) mit irgend einem Exponenten enthalten, wird immer zu % für x = a. Wenn die Exponenten des Faktors x — a gebrochen sind, wie dies im vorstehenden Ausdrucke der Fall ist, so sind die Regeln des § 301 zur Bestimmung der Werte {} unzureichend. Denn so oft auch die Differentiation im Zähler und Nenner wiederholt wird, immer enthält jedes Glied des Zählers und Nenners der entstandenen Brüche den Faktor x — a, im Zähler

versehen mit den Exponenten —--1,--2, .. und im Nenner mit

n    n

den Exponenten —

Sämtliche Glieder werden also

q

= 0 für x == a; also nehmen die Quotienten aller aufeinander folgenden Ableitungen die Form $ an.

In diesem Falle entwickelt man Zähler und Nenner des gegebenen Bruches direkt, indem man a -f- h fiir x einführt und sodann h — 0 setzt. In jedem besondern Falle ist also der Wert des Bruches

f (a + h)

F(a + h)

zu bestimmen für h = 0.

Beispiel. Das eben Gesagte findet seine Anwendung auf den Bruch

f(x)

(x² — 4 a x -j- 3 a²)³

F (x)

(x³ — a³)²

f'(x)    {" (x)

F' (x) ’ UQx)’

Derselbe wird zu -2

Setzt man a -f h für x, so erhält man, wenn die Grössen in den Klammern reduziert werden,

- fiir x = a: aber ebenso

0 i . ; •••

etc.

.r

f(a-f-h)

F (a + h) ⁼

(h — 2 a)

(h² — 2 a b)

(3 a² h-f 3 a h² + b³) ² h« (3 a² + 3 a h + h²) ²

Für h = 0 wird dieser Bruch = — co ; folglich wird auch der gegebene = — co für x = a.

zu

f(x)

303. Bestimmung der Werte —. Der Bruch . Um dessen Wert zu bestimmen, sclireibe man

F (x)

werde für x — a

"V

f (x) _ F (x)

F(x)

f(x)

dann wird der Annahme zufolge die rechte Seite dieser Gleichung übergehen in die Form ^ für x = a. Der Wert dieser Form kann aber nach dem Vorhergehenden bestimmt werden.

I>urch passende Umformungen lassen sich die Werte der unbestimmten Förmen 0 • co , co • co , etc. immer auf die Form Y bringen und somit, bestimmen.

gibt co — co für x = 0.

I

Beispiel., Die Formel —+-

X S111X

Bringt man nun beide Brüche auf gleichen Nenner, so erhält man dafür den Bruch

sin x — x

x sin x

der zu •{} wird für x = 0. hierfür durch zweimalige Differentiation im Zähler und Nenner den Wert 4 = 0.

Nach dem obigen Verfahren findet man

VI. Zerlegung gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche.

304. Erklärungen. Die gebrochenen, rationalen Funktionen sind enthalten in der allgemeinen Form

px"

X“ + P X" - ¹ + Q x“ - - + .. + S x -J- T ’

worin der Exponent n eine ganze positive Zahl und die Grössen p, q,.. P, Q,.. konstante Koeffizienten bezeichnen. Der höchste Exponent ist im Zähler wenigstens um eine Einheit kleiner als im Nenner vorauszusetzen. Denn wenn der Zähler in Hinsicht x von gleichem oder höherem Hange ist als der Nenner-, so lässt sich immer die Division des Zählers durch den Nenner so weit fortführen, bis man auf einen Rest kommt, dessen Hang um die Einheit niedriger ist als der des Divisors.

ir.reduktibel

f(x)

P(x)

f(x)

F (x)

Auch darf vorausgesetzt werden, dass der Bruch

ist, d. h. dass Zähler und Nenner keinen gemeinschaftlichen algebraischen Teiler haben, oder was dasselbe ist, dass Zähler und Nenner für keinen gemeinschaftlichen Wert von x Null werden.

Man setze den Nenner der gegebenen Funktion F (x) — 0, und bestimme die n Wurzeln dieser Gleichung, was immer möglich ist, wenn die Vorzahlen P, Q,.. numerische Werte sind. Die reellen Wurzeln seien a,b,c,.. die komplexen Wurzeln haben die Form iß und kommen in der Art paarweise vor, dass «-f-i ß und a — i ß gleichzeitig auftreten.

Es ist bekannt, dass der Nenner als ein Produkt angesehen werden kann aus den reellen, binomischen Faktoren x — a, x — b, x — c,.. und aus den komplexen Faktoren x — (a ± i ß),. .

305. Erster Fall der Zerlegung. Der Nenner könne zerlegt werden in ein Produkt ungleicher reeller Faktoren. In diesem Falle kann folgende Gleichung vorausgesetzt werden

(1)

p x» - r 4^ q xn —² 4- • • 4~ t

x¹* 4- p x¹¹ -¹ 4-.. 4- T

x — a¹ x — b x — c

worin die Grössen A, B, C,.. unbestimmte, von x unabhängige Zahlen sein sollen.

Denn wenn mit dem Nenner multipliziert wird, so erhält man auf beiden Seiten Polynome vom (n— ljten Grade. In denselben müssen, nach dem Satze der unbestimmten Koeffizienten (§ 66j, die Vorzahlen gleich hoher Potenzen von x einander gleich sein. Dadurch erhält man n Bedingungsgleichungen, aus denen die n unbestimmten, konstanten Grössen A, B,C.. bestimmt werden können.

In der vorstehenden Formel werden die Brüche mit den einfachen Nennern x — a, x — b,.. Partialbrüche genannt.

Beispiel.

2x + 3 A x² —4 x + 2^x — 2’

Multipliziert man beiderseits mit x² -- 4, so erhält man 2 x +3 = A (x - 2) + B (x + 2),

2 x + 3 = (A + B) x - 2 (A — B).

— 2 (A - B) = 3,

Die Vorzahlen gleich hoher Potenzen von x geben die Relationen A + B = 2,

woraus folgt

somit

2x + 3

x² —4    4(x+2) ⁺ 4(x — 2)'

.300. Zweiter Fall der Zerlegung. Der Nenner könne zerlegt werden in reelle Faktoren vom ersten Grade, wovon jedoch einzelne einander gleich seien.-

Nach dem ersten Falle kann geschrieben werden

px³4-qx² + rx-j- s

^ (x — a) (x — b) (x —c) (x — d) x —a

i;

-- _|---J

x—b x —c x—d

Wenn nun etwa a = b = c wird, so geht hieraus hervor

A,

p x³ -f • • • + s

(x — a)³ (x — d) x

wenn nämlich A, für A + B + C gesetzt wird. Multipliziert man diese Gleichung mit dem gemeinschaftlichen Nenner, so erhält man auf beiden Seiten Polynome vom 3ten Grade, die 4 Bedingungsgleichungen unter den Konstanten p,q,..A,,D liefern. Unter diesen Konstanten sind aber nur zwei Grössen, nämlich A, und D, unbekannt. Folglich erhält man für A, und D im allgemeinen Werte, die sich widersprechen. Also ist die obige Voraussetzung (2) unzulässig.

Damit die hypothetische Gleichung, die die Zerlegung in Partialbrüche enthält, richtig sei, müssen in ihr so viele unbestimmte konstante Grössen Vorkommen, als Bedingungsgleichungen entstehen. Dieser Forderung wird entsprochen durch die Formel

px³-j-qx²-f-rx + s

(x — a)³ (x — d)

Ax²-f Bx + C ₍ D

x - d‘

(x — a)³

Auf gleiche Weise lässt sich die Gleichung rechtfertigen

(x — a)³ (x — b)² (x — c)

Ax² + Bx + C , Dx + E F (x — b)2 1 x—c

(x — a)³

Denn liier entstehen, wenn mit dem gemeinschaftlichen Nenner multipliziert wird, zu beiden Seiten Polynome vom 5ten Grade, die zwischen den Koeffizienten 6 Bedingungsgleichungen liefern, aus denen die 6 Unbekannten A,B, ..F bestimmt werden können.

Gesetzt es sei die Zerlegung nach (3) ausgeführt, so dass die Grössen A, B, C als bekannt anzusehen sind, so kann der erste Bruch rechts in (3) durch folgende Formel weiter zerlegt werden

(4)

A x² + B x + C

A'

B'

C'

(x — a)³

(x-a)

(x-a)

Dieselben liefern drei

Denn durch Entfernung des gemeinschaftlichen Nenners entstehen zu beiden Seiten Polynome vom 2 ten Grade.

Bedingungsgleichungen, gerade so viele, als zur Bestimmung der Unbekannten A', B', C' nötig sind.

Nach dieser Zerlegungsweise (4) kann man nun statt des Bruches (3) schreiben

p x⁵ + q x⁴ -|- .. -f-1 (x — a)³ (x b)² (x — c)

(x — a)³

A,

A„

B,

(x — aj ²

(x —b)² ^ x —b ¹ x

Man sieht hieraus leicht, wie die Zerlegung vorzunehmen wäre, wenn der Nenner der gegebenen Funktion die Faktoren (x — a)", (x — b)m enthielte.

Beispiel.

7 x² + 9

7x² + 9

x³ -- 5 x² -f 3 x -f 9

(x - " 3)² (x + 1)

(x    3)2 + x

Ai

x + r

3)² (x -f- 1), so erhält man

Multipliziert man auf beiden Seiten mit (x 7x² + 9 = A(x+ 1) + Ai (x —3)(x+ 1) + B(x — 3)²

= (Ai + B)x² + (A-2Ai - 6B)x-f (A-3Ai + 9B)

und hieraus für die unbekannten Zahlen A,Ai und B die Gleichungen

= 7

Ai +B A — 2 Ai — 6B = 0 A — 3 Ai + 9B = 9

aus denen folgt

A = 18; Ai = 6; B — 1

und somit

7x²-f 9

18

(x - 3)

(x — 3) ¹ x + 1

307. Dritter Fall der Zerlegung. Der Nenner des zu zerlegenden Bruches enthalte komplexe Faktoren.

Die konjugierten komplexen Faktoren x -(- a + i ß und x-f« — iß geben, mit einander multipliziert, einen quadratischen Faktor von der Form

(x + a)² + ß² = x² + 2 ax + «² -j- ß².

Nun lasst sich die Richtigkeit der Zerlegung durch die Formel

A - iB

px + q

A + iB

(x 4- a)² -f ß² x-(-a + iß ¹ x-f-« — iß'

worin A und B zu bestimmende Konstanten sind, leicht nachweisen; denn multipliziert man mit dem gemeinschaftlichen Nenner, so kommt, da sich alle Glieder mit i aufheben,

px-j-q=2Ax-)-2Aa-f-2Bjÿ,

A = -₂-p,

Diese Zerlegung wird aber gewöhnlich nicht ausgeführt, um in den Partialbrüchen den imaginären Faktor i zu vermeiden.

PX + q_______

x² -j- 2 a x + a² + ß Gestalt angesehen.

Ist der quadratische Faktor im Nenner mehrmals vorhanden, z. B. dreimal, so ist das Schema der Zerlegung

q-p«

Der

Bruch

wird also bereits als in seiner einfachsten

p x⁵ -j- q x⁴ + t (x² -j- 2 a x -f a ² + ß²):i

Ax + B

(x² + 2 a x-i-«²    ß²)*

T~ “T

A, x 4- B,

(x² 4~ 2 a x 4- «² 4~ ß²)

x² 4- 2 a x 4- a² 4- ß²

Denn hier geben Zähler und Nenner Polynome vom 5 ten Grade mit 6 Bedingungsgleichungen, aus denen die 6 Konstanten A, B, A,,.. bestimmt werden können.

308. Allgtuiieinei* Fall. Die gebrochene Funktion habe einen Nenner von der Form (x² 4“ 2«x 4“ “² + ß²)"(x — a)m(x — b)f . . . Nach den entwickelten Gründen gibt die Zerlegung folgende Partialbriiche

A, x 4~ B,

(x² + 2 ax + cts + ß²)a-

Ax 4- B

(x² 4- 2 a x 4- «² 4- ß²) An — 1 X 4“ B|,_ 1 x² 4- 2 a x 4- «² 4- ß

(x-aV

iT +

C,

(x — a)m -

Ï + ..+

C,n

D,

(x - b)'¹

(x — b)p ~¹

Beispiel. Es sei der Bruch zu zerlegen

6 x 4- 2 x²

(x² 4- 4 X 4- 8) (x 4- 2)’

Da hier der quadratische Faktor die imaginären Faktoren x² + 4x + 4-f4 = (x4-2 + 2i)(x4-2 — 2 i)

gibt, so wird das Schema der Zerlegung sein

Beispiel. Es sei zu zerlegen

6 x 2 x²

A4-Bx x² 4-4 x 4- 8

6 x 4- 2 x² = (2 A 4- 8 C) 4- (A 4- 2 B 4- 4 C) x 4- (B 4- C) x².

(x² 4- 4 x 4- 8) (x 4- 2)

x 4- 2

Die Vorzahlen gleicher Potenzen von x geben die Bedingungsgleichungen

2 A 4- 8 C = 0 A4-2B + 4C = 6 B4-C = 2 f

aus denen

A = 4; B = 3;

C= - 1

gefunden werden; folglich ist 6 x 4- 2 x ²

4 4- 3x

(x² 4-4 x 4-8) (x 4-2) x² 4-4x4-8 x 4-2'

300. Anwendung der Differentialrechnung auf die Zerlegung in Partial Brüche. Die Bestimmung der unbekannten Konstanten in den Zählern der Partialbrüche ist nach dem Satze der unbestimmten Koeffizienten oft sehr weitläufig. Schneller führt die Anwendung der Differentialrechnung zum Ziele.

Erster Fall. Der Zähler der gebrochenen Funktion sei f(x), der Nenner F(x); dann hat man

f(x)

---j---U _

x — a x — b x Multipliziert man mit x — a, so folgt

F(x)

f (x). -i

F(x)

Setzt man hierin x = a, so wird F (a) = 0, da a eine Wurzel dieser Gleichung ist. Folglich geht die vorstehende Formel über in

f (a) * ir ⁼

Nun wende man die in §301 angegebenen Regeln zur Bestimmung von x — a

an.

Die erste Ableitung des Zählers ist = 1, des Nenners

F' (x) ; folglich für x = a

0 F'(aj’

Folglich A —

f(a) .

F'(a)’

ebenso B =

f(b) .

f(c)

F' (b)

F'(c)

u. s. w.

x² + 4

x³ + 6x² + llx+6 ‘

Die Wurzeln der Gleichung x³-f-öx²-j-Hx-{-6 = 0 sind — 1, — 2, — 3. Ferner ist

für x = — 1

CI CO

f (x) = X² + 4,

f(-l)= 5, f(— 2) = 8, f(-3) = 13,

= -8,

F' (x) = 3x² + 12 x + 11, F'(-l) = 2,

F' (— 2) = — 1,

F' (— 3) = 2,

2 ’

folglich hat man

x² + 4

13

x³ + 6 x² -F 11 x -F 6    2 (x + 1) x + 2 ^2 (x -f 3)’

Zweiter Fall. Man habe die Zähler der Partialbrüche in folgender Formel zu bestimmen :

f(x)

(x — a)⁴ (x — a)4 1 (x — a)

Multipliziert man mit dem Nenner und differentiiert die entstandene Gleichung, so erhält man successive

f (x)    = A + B (x — a) -(- C (x — a)² -j- D (x — a)³,

f' (x) = B -f 2 C(x — a)-f 3D(x-a)², f"(x) = 2Ci6D(x- a), f"' (x) = 6 D.

Setzt man in diesen Gleichungen x = a, so erhält man A = f (a), B = f' (a),    C = -i-f"(a)

Man sieht, wie zu verfahren ist, wenn der Nenner der Funktion (x — a)n wäre.

Beispiel. Es sei zu zerlegen

f (x)    = x² + 2, folglich A = f (3)

f' (x) = 2 x, f" (x) = 2, f'" (x) = 0, x² + 2 (x - 3)⁴

Ferner sei der Nenner der gegebenen Funktion (x — a)²(x — b). Man wird voraussetzen

(x — a)²

x² -f- 2

(x - 3)⁴’

f " (a).

Man erhält

= 11,

= 6,

B = P (3)

C*{f" (3) = 1,

= 0;

11

(x-3)

(x — 3)³ (x - 3)²’

f(x)    ₌    -    i

(x — a)² (x — b) (x — a)² ^ x

x — b’

— a

Schafft man den Nenner weg und bildet die Ableitungen der entstandenen Funktion, so erhält man

f (x) == A (x — b) -f- B (x — a) (x — b) + C (x — a)²,

P (x) = A + B (x — a) 4- B (x — b) + 2 C (x — a), f" (x) - 2 B + 2 C.

Setzt man hierin x = a, so folgt

f (a) = A (a - b), f' (a) = A + B (a — b), f" (a) = 2 B + 2 C,

aus welchen Gleichungen A, B, C sich leicht ergeben.

Endlich sei der Nenner der gebrochenen Funktion (x — a)n (p (x), so dass man folgendes Schema der Zerlegung hat

f (x)

(x — a)M -

(x - a)“ <f (x) (x - a)” (x - a)“

-    , VW

x — a <f (x) ’

worin ip (x) ein ganzes rationales Polynom ist von niederem Grade als (f (x). Durch Beseitigung des Nenners erhält man

f (x) = A (f (x) + B (x — a) (f> (x) + C (x — a)² </> (x) + . ..

+ H (x — a)n -¹ (f (x) + ^ (x) • (x — a)n.

Wird diese Gleichung, wie in den beiden vorhergehenden Zerlegungen, wiederholt differentiiert und sodann x = a gesetzt, so erhält man

f (a)

= A (f (a), f' (a) = A • (f‘ (a) +- B • (f (a), f" (a) = A • <f“ (a) + B • 2 (f‘ (a) + C • 2 (f (a), f'" (a) — A • <f'" (a) -f B • 3 cp“ (a) + C • 6 (f¹ (a) + D • 6 (f (a),

Aus diesen Gleichungen lassen sich nun die unbestimmten Konstanten A, B, C,. . der Reihe nach (rekurrierend) bestimmen.

Beispiel. Es sei zu zerlegen x⁴ — 3 x³ — 2 x²+ 5x4-2 F (x) x⁵ + x⁴ — 2x³—2x²+x + l Man setze zunächst

i(x)

x⁴ — 3 x³ — 2 x² + 5 x + 2

(x + l)³ • (x — l)²

f(x)

(x + l)³ • (f (x) (x + l)³ ^ (x + l)² ^ (x + 1)

Cf(x)

und hat die Gleichungen zur Bestimmung von A, B und C f(-l) .= A.ÿ(-l);

¹

• 3 • 4 • 5

²

0 gibt diese Gleichung ----- =    = 1 als gesuchten Wert.

³

den Zähler des Bruches durch f (x), den Nenner durch cp (x) dar, lasse x in x 4-h übergehen und entwickele nach dem Taylor’chen Satze; man erhält alsdann

⁴

301. Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Werte Man stelle

f'(-l) = A-r(-l) + B-9(- O;

f"(— 1) =    1) + 2B1) + 2C-<p(- 1).

Nun ist

f(-l) = — 1 ; f'(-l) =-4; f"(- 1) = 26;

f (x) = x⁴ — 3 x³ — 2 x² + 5 x + 2 ; f' (x) = 4 x³ — 9 x² — 4 x + 5    ;

f" (x) = 12 x² — 18 x — 4    ;

und

^(x) =(x— l)²;

= 2(x- 1);

r‘ (x) - 2    ;

cp(-l) = 4;

r(~ 1) = — 4 ; r‘(- l) =2;

so dass die Gleichungen für A, B und C lauten

—    1 = 4 A

-    4 = - 4A + 4B

26 = 2A — 8B + 8C

aus denen A = —

c<

33

j ₆ folgen.

Weiter setze man

f(x)

*00

F(x)

(x — 1)* • (fl (x) (x — l)'²    (x— 1)

und hat die Gleichungen

f(l) =D-<fx (1);

f‘(l) =D.yi<(l) + E.yl(l).

Nun ist f (1) = 3 ; f' (1) = — 4 und

Ï1 0) =0 + 1):1 ;

y,'(x) = 3(x+ 1)

so dass die Gleichungen für I) und E lauten

3 = 8D

— 4 = 12 D + 8 E

2.

¥i(0 =    8;

Vl'(l) = 12:

aus denen

I) ==

00 OÎ

17

16

folgen. Nunmehr hat man die gesuchte Zerlegung x* - 3 x j - 2 x² + 5 x + 2 x⁵ + x⁺ — 2 x³ — 2 x² -j- x + I

4 (x r l):i 4(x+l)²

33

17

16 (x+ 1)

8 (x — l)²

16 (x - 1)'

Der Nenner enthalte zunächst nur einen qua-

Dritter Fall, dratisclien Faktor, so dass man hat

f(x)

Ax + B

x² A 2 « x -j- «² -j- ß

ip(x)

(x² -f- 2 a x A a² + £f²) (f (x)

wo ip (x) ein ganzes rationales Polynom ist von niederem Grade als <f (x). Durch Entfernung des Nenners folgt

(1) f (x) = (A x + B) (f (x) -f V' (x) • (x² + 2 a x -f «² -f 0²).

Setzt man hierin x² 2 « x -f «² +    = 0, also x = — a -±_ iß,

so verschwindet der letzte Teil rechts, und es sind in der Gleichung nur noch die Unbekannten A, B, nebst konstanten Grössen mit oder ohne i enthalten. Die Gleichung lässt sich also auf die Form bringen P -)- i Q = 0. Diese Gleichung kann aber nur bestehen, wenn P = 0 und Q, = 0. Aus diesen beiden Bedingungsgleichungen ergeben sich alsdann A und B.

Wenn der Nenner den quadratischen Faktor mehrmals enthält, so kann man setzen

wo

f«

Ax + B

(xa H- 2 a x 4- a² + p²)'“ (f (x)    (x² + 2 a x -f a² + p²)"

T + ..+

Cx + D

(x² -f- 2 a x + aa + P²)n ~

ip(x)

y(x)

ip (x) dieselbe Bedeutung hat wie oben. Entfernt man die Nenner,

so folgt

(2) f (x) = (Ax+B)(f(x)+ (Cx + D)(x²-f 2«x+a²+^²)y (x) + .. + (x² -f 2 « x -f a² -f p²)n (x).

Für x²-]-2«x + a² + /S² = 0 verschwinden alle Glieder rechts bis auf das erste, es bleibt noch eine Gleichung, die die Form P + i Q = 0 annimmt. Aus den Bedingungsgleichungen P = 0 und Q = 0 ergeben sich sodann die darin enthaltenen Unbekannten A und B.

Um C und D zu bestimmen, bilde man die erste Ableitung von (2).

Man hat

P (x) = A ip (xj-f (Ax + B ) (f' (x) -f [C (f (x) +Cx^' (x) -f Dy'(x)] x (x² + 2 a x + a² -j- ß?) -f (C x + D) (2 x + 2 a) (f (x) 4 .. •. Setzt man hierin x²-f2ax-f-«²-l-^² = 0, so folgt P (x) = A(p (x) + (Ax + B) <p' (x) -f (C x + D) (2 x + 2 ce) q> (x),

in welche Gleichung x — — a 4z i ß zu setzen ist. Auch diese Gleichung nimmt die Form P -f- iQ = 0 an, so dass aus P = 0 und Q, = 0 sich C und D ermitteln lassen. Natürlich müssen die Werte von A und B aus den vorigen benutzt werden.

Man sieht, wie zu verfahren ist, wenn zwei weitere Konstanten bestimmt werden sollen.

Beispiel. Es sei

f(x)

x² — 9

x² — 9    _

F (x) x³ + 3 x² -f 7 x + 5    (x² + 2 x + 5) (x -p 1)‘

Man setze zunächst

f(x) ₌ _Ax + B _    ip(\)

F (x) x² + 2 x + 5 (p (x)

und hat

f (x) = (A x + B) (f (x) + ip (x) • (x² -f 2 x + 5).

Damit x'² -f 2 x + 5 = 0 wird, hat man x = 2 i — 1 zu setzen und erhält, da (f (x) = x + 1,

(2 i — l)² — 9 = [A (2 i — 1) -f BJ • 2 i oder — 12 — 4 i = — 4 A + i (— 2 A + 2 B), woraus für A und B die Gleichungen folgen 4 A =

I 2 A - 2 B =

oder

cd p

so findet man C nach dem ersten Falle

n f(-0 F'(-l)

3 x -f 1

Setzt man

V'i (x)

(x) ’

man hat also die Zerlegung x² — 9

x³ + 3x² + 7x + 5

x² + 2 x + 5

x + 1'

VII. Maxima und Minima der Funktionen.

310. Funktionen mit einer Variabein. Es wurde in § 33 erklärt, was unter dem Maximum und Minimum einer Funktion zu verstehen ist, und gezeigt, dass solche Werte, die man auch öfters ausgezeichnete (extreme) nennt, als Ordinaten einer Kurve y = f (x) gedacht, nur möglich sind, wenn man eine Tangente so. an die Kurve legen kann, dass sie parallel mit der Abscissenachse, d. h. dass das Differentialverhältnis

dy

— 0 wird. Allein es konnte daselbst noch kein auf die Differen-

tialrechnuug gegründetes analytisches Merkmal angegeben werden, um diese Werte als grösste oder kleinste zu erkennen.

Es bezeichne x die einem Maximum oder Minimum entsprechende Abscisse O A (Fig. 103). Lässt man x um h = A C = A C' zu- oder

d v

abnehmen, so ist nach dem Taylor’sehen Satze, wenn bereits —L = 0

d x

gesetzt wird,

Man nehme nun h so klein an, dass in diesen Reihen die Glieder mit der dritten und den höheren Potenzen von h gegen die Glieder mit h² verschwinden (§ 279, IV). Unter dieser Voraussetzung ist also

d²y h2 d x² 2 d²y h2 d x² 2

Sind die beiden Nachbarwerte C D = f (x + h) und C' D' = f (x — h) zugleich kleiner als AB = f (x), so ist f (x) ein Maximum ; sind sie zugleich grösser als f (x), so ist f (x) ein Minimum. Für ein Maximum müssen also die rechten Seiten in (3) und (4) negativ sein, was nur

(1) f (x + h) -- f (x) =

(2) f (x — h) — f (x) =

+ ■■

(8)

(4)

f(x + h) - f (X) =

f(x - h) - f(x) =

möglich ist, wenn der Faktor immer positiv bleibt.

d² y

d x²

negativ ist, da der andere Faktor h²

Für ein Minimum müssen jene rechten Seiten d²y

positiv sein, was nur möglich ist, wenn positiv ist.

Man bilde also, um die grössten oder kleinsten Werte der Funktion y = f (x) zu finden, aus der Gleichung y = f (x) oder auch aus der Gleichung ą (x, y) — 0 den ersten und zweiten Differential-

0, bestimme die

d x²

ra

Fig. 103.

DBD

quotient en, setze den ersten

dy

dy

Wurzeln dieser Gleichung -r-

d x

0 und führe sie in die Grösse

d² y

dx²

ein. Diejenigen Wurzeln, die

d² y ä x²

Bewirken die Wurzeln, die aus ~    — 0 entspringen, dass auch

= () wird, so gehen die Formeln (1) und (2) über in

d³y h³ , d⁴y h4 dx³ '2-d³ y ³

dl³" ‘ 2^3 ' d x⁴ 2 - 3 • 4

Man denke sich hierin h wieder so klein, dass die Glieder mit h⁴, h⁵,.. gegen die Glieder mit h³ verschwindend klein werden. Diese Glieder mit h³, die den Wert der Differenzen f(x-}-h) — f(x) und f(x —h) — f(x) in (5) und (6) bestimmen, haben entgegengesetzte Zeichen. Diese Differenzen können alsdann nur gleiche Zeichen annehmen, wenn die ersten Glieder rechts zu Null werden. Allein der

d³ y d x³

Alsdann können in den Reihen (5) und (6) die Glieder mit h⁴, wegen der Kleinheit von h, grösser vorausgesetzt werden, als die Summe aller folgenden Glieder. Die Glieder mit h⁴ haben gleiche Zeichen. Es wird also y ein Maximum, wenn diese Glieder negativ, also wenn d⁴y d x⁴

also wrenn

diejenigen, die

d²y

d x²

d x²

negativ machen, liefern ein Maximum;

positiv machen, ein Minimum.

(5) f (x + h) — f (x) =

2-3-4

(6)

f (x — h) — f (x) = —

Faktor h³ ist nicht = 0; folglich muss

= 0 sein.

h⁴

negativ ist; es wird y ein Minimum, wenn diese Glieder positiv,

d⁴ y d x⁴

Sollten die Werte von x, welche

d⁴y

d x⁴

fahren auf die folgenden Differentialverhältnisse zu übertragen.

positiv ist.

d y d² y dx"’ die²

und

d³y

dx³

zu Null

machen, bewirken, dass auch

= 0 wird, so wäre dasselbe Ver-

Es gilt also die folgende allgemeine Regel:

Die Funktion y — f(x) besitzt an der Stelle x —a, für dy

die = 0 wird, nur dann einen ausgezeichneten Wert, dx

wenn der erste für x = a nicht verschwindende Differentialquotient von y nach x von gerader Ordnung ist, und zwar ist dieser ausgezeichnete Wert ein Maximum, wenn dieser nicht verschwindende Differentialquotient für x = a negativ ist, aber ein Minimum, wenn dieser Differentialquotient für x = a positiv ist.

Ist aber der erste für x = a nicht verschwindende Differentialquotient von ungerader Ordnung, so ist f (a) kein ausgezeichneter Wert der Funktion.

311. Aufgabe. Zu ermitteln die ausgezeichneten Werte der algebraischen Funktion

y = x² -{- a x -j- b.

Man erhält durch Differentiation

d^y

d x²

a

Setzt man den ersten Differentialquotienten 2x + a = 0, so wird x = — ^.

dy

dx

= 2x + a;

= 2.

a²

Für diesen Wert von x wird die Funktion y = b--— e^n Minimum,

weil der zweite Differentialquotient = -j- 2, also positiv ist. Funktion von der Form x² + a x 4- b hat also einen ausgezeichneten

Jede

Wert und zwar ein Minimum.

312. Aufgabe. Zu bestimmen, für welche Werte von x das Polynom y = 3x⁴ + 4x³- 36x² + 24 zu einem ausgezeichneten Werte wird.

Man hat

dy

= 12x³ + 12 x² - 72 x;

d²y d x²

= 36 x² + 24 x - 72.

dy

Setzt man -— = 0, so folgt d x

x³ + x² — 6 x = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind

Xi =0, x₂ = 2, x₃ == — 3. d² v

Für Xi = 0 wird —4 = — 72, also negativ. Somit ist das Poly-d x²

= 120, also positiv. Somit wird die Funk-

Fiir X2 = 2 ist

nom für x = 0 ein Maximum und zwar = 24. d² y d x²

tion hierfür zu einem Minimum. Dieses Minimum ist = — 40.

d² y d x²

= 180, also wieder positiv, so-

Für X3 = — 3 endlich wird

mit die Funktion zu einem Minimum, dessen Wert = — 165.

313. Aufgabe. Man soll bestimmen, für welche Werte von x in der unentwickelten Funktion

(1)

y²+2xy + 4x² — 12 = 0

die Grösse y ein Maximum oder Minimum werde.

Indem man x als unabhängig Variable betrachtet und zweimal differentiiert, erhält man

(2)

(2y-j-2x)dy + (2y + 8x)dx = 0;

(3) .(dy -f d x) d y + (y + x) d²y 4- (d y -f 4 d x) d x = 0. Dividiert man (2) durch d x und (3) durch d x², so ist

+ (y + 4x) = 0;

(y + x)

0.

dy

Setzt man in diesen Gleichungen —— = 0, so folgt

(4)

(5)

y + 4 x = 0; d² y

d x²

x + y

Mit Hilfe von (4) und (1) erhält man als korrespondierende Werte der Variabein

d2X₌-k-dx² ^ 3

d²y ₌

d x² ~    3'

Folglich wird für x = + 1 die Grösse y zu einem Minimum und für x = — 1 zu einem Maximum.

xt = + 1, yi = — 4 ; folglich

x₂ =

1, y₂ = + 4 ;

314. Aufgabe. Für welche Werte von x wird in der Formel

y = (a - x)⁴ -f b

die Grosse y ein Maximum oder Minimum?

Es ist

dy

= — 4 (a — x)³;

d² y

dx-

= 12 (a - x)².

d² y

dy

= 0 folgt x = a. Hierfür wird aus dem zweiten Dififerentialquotienten nicht entschieden werden, ob

Aus

d x²

= 0. Also kann

Man hat folgende Systeme zusammengehörender Wérte für diese

Punkte :

x = a einen ausgezeichneten Wert liefert. Allein durch weitere Differentiation erhält man

d⁴ y d x⁴

Für x = a wird nun auch der dritte Differentialquotient = 0 und da der vierte positiv ist, so wird y ein Minimum für x — a.

315. Aufgabe. Es sollen die ausgezeichneten Werte der Funktion y = siu²x cos x

unter der Voraussetzung bestimmt werden, dass sich der Bogen x von x = 0 bis x = 2 n ändern könne.

Durch Differentiation kommt

= — 24 (a — x),

= + 24.

dy

= — sin³x -f- 2 sin x cos²x,

d² y d x²

= — 7 cos x sin²x -j- 2 cos³x.

dy

Aus—r—= 0 folgt, indem man cos²x = 1 — sin²x setzt dx    s ’

sin x (— 3 sin²x -f 2) = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind

sin x =    ; sin x

■¥

; sin x

—V

coi t o

Vermöge der Relation cos²x = 1 — siu²x entspricht der ersten Wurzel cos x = ^ 1, der zweiten cosx

ebenfalls cos x

-±V-

-*v

r—1 i CO

und der dritten

co

Um die Resultate besser übersehen zu

können, konstruiere man die gegebene Gleichung. Man erhält eine Kurve

der Form AB CG (Fig. 104). Es entstehen sieben ausgezeichnete Werte, nämlich

Minima in A,C, E, G; Maxima in B, D, F.

Fig. 104.

von

S3.’

Ns

-^1

F-.

K _.JŁĆZ^3l G, E

A, G sin x = 0,

cos x = 1

X = 0, 2 7T,

d²y

D .. sin x = 0,

cos x — — 1

X = TT,

a? ⁼ +²-

d²y

dx²

= — 2.

B . . sin x

-Ÿ

cm !co

COS X

=1/

OC I I—1|

54044. d²y

180°

TT,

dx²

Setzt man den ersten Differentialquotienten — 0, so folgt

2 71

h³ =

4 TT 8 71 dh²“⁼    3    ⁺    3

C .. sin x =

'2

E .. sin x = —

I/T 125fl16' y 3’X ~    180°

234°44' d²y 4 180° n'dxi~ 305°16'

co¹ i—> i 05 i-q

d²v

cos x =

fco

= -]/\'T=

cc; to; co| bo \

COS X

• 'i i

d²v

310. Aufgabe. Man soll den Kugelabschnitt yon gegebenem Volumen bestimmen, dessen Mantelfläche ein Minimum ist.

Das Volumen des Kugelabschnittes sei = V, seine Mantelfläche = F, seine Höhe = h und der Radius der zugehörigen Kugel = r ; dann ist

F .. sin x — —

COS X

-V

CC I h-*■ !

180°

(1)

F - 2n rh;

2)

= Tr h² (^r

Um F als Funktion nur einer der Variabein h oder r darzustellen, eliminiere man eine dieser letztem Grössen aus (1) und (2). Man erhält zunächst aus (2)

r = Th

Trh²

und sodann durch Einfuhren dieses Wertes von r in (1)

² — h² + 2 V h- K

a

Durch Differentiation ergibt sich, indem man V als konstant betrachtet,

d²F

dF

4 71

dh²

= -f-+4Vh-y.

Vermittelst dieses Wertes von h wird d² F

Da dieser Wert des zweiten Differentialquotienten positiv ist, so wird F ein Minimum für

Führt man diesen Wert von h in (2), so folgt r = h. Der Kugelabschnitt, dessen Mantelfläche ein Minimum ist bei gegebenem Körperinhalte, hat somit die Form einer Halbkugel.

317. Grösste Dichtigkeit des Wassers. Hallström hat die Ausdehnung des Wassers bei Temperaturen innerhalb 0,8 und 32,5 Grad

Celsius durch 64 Versuche bestimmt und unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate folgende Formel gefunden

s = 1 + 0,000 052 939 t — 0,000 006 532 2 t² -f 0,000 000 014 45 t³,

worin s das spezifische Gewicht und t die Temperatur des Wassers bezeichnet. Es folgt

ds

= 0,000 052 939 — 0,000 013 064 41 + 0,000 000 043 35 t²,

d² s

d t²

= — 0,000 013 064 4 + 0,000 000 086 70 t.

Aus

= 0 ergibt sich

t = 4,108° C. d² s

Für diesen Wert von t wird

negativ, also s ein Maximum.

Mithin ist die Dichtigkeit des Wassers, nach diesen Versuchen, am grössten bei 4,108° C.

dt²

318. Maxintalleistung eines untersclilächtigen Wasserrades. Eine Wassermasse M fliesse mit einer Geschwindigkeit V gegen die Schaufeln eines unterschlächtigen Wasserrades (Fig. 105). Die mittlere Umfangsgeschwindigkeit der Radschaufeln sei = v. Bei welchem Verhältnis zwischen V und v wird die Arbeit des Wassers ein Maximum?

Fig. 105.

Die Arbeit, die das Wasser in der Sekunde verrichtet, wird erhalten, wenn man den Druck, den das Wasser in der Richtung seiner Bewegung gegen die Schaufeln ausiibt, multipliziert mit der Geschwindigkeit v, mit der der Druck der Bewegung des Rades folgt. Nun ist aber der Druck des fliessenden Wassers proportional der Masse M und der relativen Geschwindigkeit V — v, also = a M (V — v), wobei a eine konstante Grösse bezeichnet. Folglich ist die gesuchte Arbeit, die mit A bezeichnet werden mag,

A = a M (V — v) v.

Hieraus folgt, indem man v und A als variabel betrachtet,

dA

d² A

d v²

= — 2aM.

dA    1    d²A

Aus —— = 0 folgt V — 2 v = 0, also v = —V, und da ——x- negativ dv    2    dv^

ist, so leistet das Rad am meisten, wenn seine Umfangsgeschwindigkeit die Hälfte ist von der Geschwindigkeit des die Schaufeln stossenden Wassers.

319. Per Keppler’sclie Satz vom Maximum und Minimum. Die

Gleichung y = f (x) oder tp (x,y) = 0 liefere für einen gewissen Wert von x einen grössten Wert für y. Stellt man diese Gleichung geometrisch dar, zeichnet die grösste Ordinate ein und zieht noch in sehr kleinen, gleichen Abständen benachbarte Ordinaten, so weichen diese

Nachbarordinaten nur sehr wenig von der grössten ab. Mit andern Worten: es ändert sich die Funktion y sehr langsam in der Nähe ihres Maximums. Das Gleiche gilt ebenso von den Werten in der Nähe des Minimums.

Wenn (§ 318) die Geschwindigkeit v des Wasserrades von dem vorteilhaftesten Werte v = 4V allmählich abweicht, so nimmt die Arbeit des Rades anfangs nur langsam ab. Es ist dies eine vorteilhafte Eigenschaft des Wasserrades, weil die Geschwindigkeit des Rades innerhalb gewisser Grenzen variieren kann, ohne dass merklich an Leistung ein-gebüsst wird.

320. Maxima und Minima der Funktionen mit zwei "unabhängig Yariabeln. Es sei z = f (x, y) eine Funktion mit den beiden unabhängig Veränderlichen x, y. Ferner seien h und k sehr kleine Grössen. Lässt man die Variabein x, y durch sehr viele Werte stetig aus x — h in x + h und aus y — k in y -f- k übergehen und stellt jeden dieser Werte von x mit jedem Wert von y zusammen, so wird jedem Paare dieser Werte ein besonderer Wert von z entsprechen. Wenn nun für ein Paar dieser Werte von .x, y die Grösse z grösser oder kleiner wird als für alle andern Paare, so wird z im einen Falle ein Maximum, im andern ein Minimum genannt.

Sind nun x, y solche W erte, die z zu einem Maximum oder Minimum machen, so muss die Differenz

(1)

f(x + h,y + k)-f(x, y)

im Falle eines Maximums immer negativ, im Falle eines Minimums immer positiv sein, ob man sich die kleinen Werte von h und k positiv oder negativ denkt.

Nach dem T ay 1 or ’sehen Satze ist nun, wenn k = nh gesetzt wird,

(2) f (x 4- h, y + k) - f (x, y) = h ^

Q-/

3y

d '² z

d x²

+ n²

d² z

dy²

Dankt man sich hierin h und k so klein, dass das erste Glied rechts die Summe aller folgenden Glieder überwiegt, so wird das Zeichen der Differenz (1) vom Zeichen der Grösse

(3)

hUx +n

dz

abhängen. Allein das Zeichen dieser Grösse ändert sich mit dem Zeichen von h, das sowohl positiv als negativ sein kann. Die Differenz (1) kann also nicht für alle Werte von k und h entweder nur positiv oder nur negativ sein, ohne dass die Grösse (3) in der Reihe (2) verschwindet. Setzt man aber die Grösse (3) gleich Rull, so ist zu beachten, dass dies nur möglich ist, wenn

(-*)

= 0,

da h nicht = 0 gedacht wird. Und da in (4) die Grösse n als Verhältnis zwischen h und k willkürlich ist, so wird die Bedingung (4) nur erfüllt, wenn man zugleich setzt

(5)

öx

0,

(1 z

dy

- 0.

Man denke sich nun in der Reihe (2) das Glied mit h weg und sodann h und k so klein, dass das Glied mit h² die Summe aller folgenden Glieder übertrifft. Ist dieses Glied für die Werte von x und y, die aus (5) hervorgehen, positiv, wie auch k und h beschaffen sein mögen, so wird z ein Minimum; ist es negativ, so wird z ein Maximum. Allein das Zeichen jenes Gliedes hängt nur ab von der Grösse

d² z

d² z dy²

(6)

d x²

d² z d x dy

da der Faktor h² immer positiv ist. Der Einfachheit wegen schreiben wir für diese Grösse

A + 2nB + n²C,

wobei die Bedeutung der Grössen A, B, C durch A^ergleichung mit (6) sich leicht ergibt. Dafür kann man setzen

~ A

B²

Addiert man in der Klammer

B²

C²

C²

so kommt

(7)

O! >

B²

Q2

immer positiv. Wenn man

/ B    \²

In diesem Ausdrucke (7) ist ( — '-f- n )

\ G *    J

daher setzt

A B²

C C²

>0, oder AC>B²,

so ist die Grösse in der viereckigen Klammer in (7) immer positiv, und es hängt alsdann das Zeichen von (7) nur vom Zeichen der Grösse C ab. Ist in diesem Falle C positiv, so wird z ein Minimum; ist C negativ, so wird z ein Maximum. Damit aber die Bedingung A C > B² erfüllt werden kann, muss das Zeichen von AC immer positiv sein; also müssen A und C gleiche Zeichen haben. Hieraus ergeben sich folgende Regeln:

ày

(1 x

Man setze die beiden ersten Differentialverhältnisse -4^ und 4—

gleich Null und bestimme daraus sämtliche zusammengehörige Werte von x und y.

Man führe diese Werte von x und y in die zweiten Differential-

Verhältnisse

d²z d²z <3²z

d x² ’ à y² ’ à x à y ein. Wenn hierbei

a) die beiden Grössen

(V² z

und

d² z

— gleiche Zeichen haben, und d² z

d x²

b) wenn ihr Produkt grösser oder gleich ist dem Quadrat von

<'y

a x a y'

so entsteht ein ausgezeichneter Wert für z und zwar ein Maximum,

a² z

a² z

() x²

oder

s wenn das Zeichen von dieses Zeichen positiv ist.

Wenn diejenigen Werte von x und y, die die ersten Differentialverhältnisse zu Null machen, auch die zweiten zum Verschwinden bringen, so ist aus dem Bisherigen klar, dass alsdann nur dann ein Maximum oder Minimum entstehen kann, wenn für jene Werte von x, y auch die dritten Differentialverhältnisse zu Null werden und die vierten zusammen entweder negativ oder positiv bleiben, welche Werte auch h und k haben mögen.

321. Aufgabe. Eine gerade Linie von der Länge a in drei Teile zu teilen, dass das Produkt der Teile ein Maximum werde.

Die Teile seien x, y, a — x — y und ihr Produkt z ; es wird sein z = x y (a — x — y).

Folglich sind die ersten Differentialverhältnisse

dy²

negativ; ein Minimum, wenn

dz

= ay — 2xy - y²;

dz

dy

- 2 x y — x² ;

und die zweiten Differentialverhältnisse d² z d x²

- 2y;

d² z

— 2 x — 2 y.

’ Oy²

Setzt man die ersten Differentialverhältnisse = 0, so folgt

a — 2 y — x = 0.

Durch Auflösung dieser Gleichungen erhält man

x = y = a.

Führt man diese Werte von x und y in die zweiten Differentialverhältnisse ein, so wird

d² z d x²

2 a d²z

T~; TJ*

(j - Z    (} “ Z

Da die Werte von——^und d x²

2 a d²z 3 ; d x d y

ci CO

gleiche Zeichen haben und zu-

d²z

dy²

dem ihr Produkt grösser ist als das Quadrat des Wertes von

dx d y’

so wird z zu einem ausgezeichneten Werte für x = y = j a und zwar

d² z

zu einem Maximum, weil das Zeichen von

— negativ ist. Das Produkt der Teile wird also ein Maximum, wenn diese Teile einander gleich sind.

ày

322. Aufgabe. Man soll die Form desjenigen rechtwinkeligen Prismas bestimmen, dessen Oberfläche bei gegebenem Körperinhalte ein Minimum ist.

Es seien x, y, z die Kanten des Körpers, V sein \ olmnen lind F seine halbe Oberfläche; dann gelten die Formeln

(1)

V = x y z,

(2)

F = xy+xz+yz.

Führt man den Wert von z aus (1) in (2) ein, so folgt F = xy + Vy-i + Vx-¹.

Die ersten Differentialverhältnisse dieser Gleichung sind

OF

x-Vy-2;

und die zweiten

d‘F

Oy²

Setzt man die ersten Differential Verhältnisse = 0, so folgt

X = vH l ' v.

Hierfür erhält man als Wert der zweiten Differentialverhältnisse

à² F ô x ô y

à² F à x²

-5- = 2 V x~³;

à² F

àx²

= 2;

O² F

0 y²

= 1.

Da die Werte der beiden ersten dieser Verhältnisse positiv sind und da ihr Produkt zudem grösser ist als das Quadrat des Wertes

so wird F ein Minimum für x =

von

a²F

y = pv.

Allein mit

0 x 0 y’

Rücksicht auf (1) wird auch z = x = y. Mithin hat unter allen recht -winkeligen Prismen von gegebenem Körperinhalte der Würfel die kleinste Oberfläche.

323. Aufgabe. Es sind zwei gerade Linien im Raume gegeben. Man soll ihren kürzesten Abstand bestimmen.

Bezieht man diese Geraden auf drei rechtwinkelige Achsen A x, Ay, Az, nimmt die eine Gerade in der Achse Ax an, so wird die andere in dem Raume vorausgesetzt werden können, der von den drei Koordinaten-Ebenen xy, xz und yz gebildet wird. Die Projektionen dieser zweiten Geraden auf die Ebenen xy und xz sind gerade Linien; die Gleichungen dieser Projektionen seien

(1)

y — ka x -)— « ; z = bx + ß, wobei die Konstanten a, a und b, ß als gegeben zu betrachten sind.

Der kürzeste Abstand beider Geraden sei = p ; sein Endpunkt in der Achse A x habe zur Abscisse x', der andere Endpunkt zu Koordinaten x, y, z; es wird p zur Diagonale eines rechtwinkeligen

Prismas, dessen Kanten parallel zu den drei Achsen liegen und die Werte x — x', y und z haben. Deshalb wird sein

(2)

p² = (x — x')² + y² + z².

(3)

Führt man hierin die Werte von y und z aus (1) ein, so folgt p² = (x — x')² -f(ax-f a)² + (bx + ß)².

Wird hierin p² ein Minimum, so wird es auch p. Bezeichnet man deshalb p² mit u, so erhält man als erste Dilferentialverhältnisse, indem man x und x' als die beiden unabhängig Veränderlichen betrachtet,

= 2 (x — x') + 2 a (a x -f- a) + 2 b (b x + ß),

d x'

= - 2 (x - x'),

und als zweite Differentialverhältnisse d² u

d x²

= 2 + 2a² + 2b²;

d² u d x'²

= 0. a2u

dxdx'

- 2.

= 0 folgt x = x', d. h. der Abstand p ist senkrecht auf

Ax, also auf der ersten Geraden. Da nun aber die Geraden vertauscht werden können, so folgt, dass dieser Abstand auf beiden Geraden senkrecht steht.

Aus

d x'

Setzt man

= 0 und führt x' = x ein, so erhält man

a et -j- b ß

a² + b²

Führt man diesen Wert vou x in (3) ein und setzt x = x', so folgt

&ß — h a

V a² + b²

Dieser Wert von p ist ein Minimum; denn die Werte der zwei-

d² u d x'²

Zeichen und ihr Produkt ist grösser als das Quadrat des Wertes d² u dxdxy’

ten Differentialverhältnisse

von

d² u

d x²

und

haben das gleiche positive

324. Aufgabe. Man soll von einem Punkte ausserhalb einer Ebene das Lot auf diese Ebene fällen.

Die Koordinaten des gegebenen Punktes ausserhalb der Ebene seien x',y',z' und die laufenden Koordinaten der Ebene x, y, z. Die Gleichung der Ebene sei

(1)

z = ax-f by-j-c.

Man verbinde den gegebenen Punkt mit dem Punkte (x, y, z) der Ebene durch eine Gerade. Die Länge dieser Geraden sei p. Legt man

24

Autenheimer, Elementarbuch.

durch die Endpunkte von p Ebenen, die parallel sind zu den Koordinatenebenen xy, xz und yz, so schliessen sie ein rechtwinkeliges Prisma ein, dessen Kanten x — x', y — y' und z — z' sind. Die Länge der Diagonale p dieses Prismas ist daher

(2)

p = V (x — x')'² + (y — y')² + (z — z')².

Führt man den Wert von z aus (1) hier ein, so erhält man

(3)

P = V (x — x')² + (y — y')² + (a x + b y -f c - z')².

Damit nun p senkrecht auf der Ebene steht, muss der Wert von p ein Minimum werden. Die ersten partiellen Differential Verhältnisse von (3) sind

dp

x — x' -f- a (a x -f- b y c — z')

dx dp _ y — y' -f b (a x -f b y -f c — z')

ày

Setzt man diese Differentialverhältnisse =0 und führt wieder den Wert von z aus (1) ein, so kommt

(4)

(5)

x — x' -)- a (z — z') = 0 ;

y — y' + Mz — z') =s= 0.

Vermöge dieser Bedingungsgleichungen (4) und (5) werden die zweiten Differentialverhältnisse

1 +a²

d² p

Tï*

d² p

1-fb² d² p

dy²

Die beiden ersten dieser Verhältnisse sind positiv, ihr Produkt ist grösser als das Quadrat des dritten Verhältnisses; also wird p ein Minimnm, wenn die Gleichungen (4) und (5) stattfinden.

Die Formel (4) kann als die Gleichung der Projektion des Lotes p auf die Ebene xz und die Formel (5) als die der Projektion von p auf die Ebene yz angesehen werden. Man nennt daher diese Formeln kurzweg die Gleichungen der Geraden p.

Um die Länge des Minimal wertes von p zu finden

könnte man

aus (1), (4) und (5) die Grössen x, y, z berechnen und in (3) einführen. Allein man kommt schneller zum Ziele, wenn man setzt

(6)

z' == a x' 4- b y' -j- c — c',

Zieht man (6) von (1) ab,

worin c' eine neue Konstante bezeichnet, so kommt

(7)

z — z' = a (x — x') + b (y — y') + c'.

Setzt man hierin die Werte von x — x', y — y' aus (4) und (5), so wird

c'

Vermittelst dieses Wertes von z — z' folgt aus (4) und (5)

— a c'

x — x' =

1 + a² + b²’

y — y' =

— be'

1 + a² + b²'

Führt man diese Werte von x — x', y — y' und z — z' in (2) ein, so erhält man den gesuchten Abstand, indem man den Wert von c' aus

(6) ersetzt,

z' — ax' — by' — c ± Kl + a* + b*

Handelt es sich bei Bestimmung von p nur um die Länge des Lotes, so ist in diesem letzten Ausdrucke das Zeichen der Wurzel so zu wählen, dass p positiv wird.

Nimmt man hierin p — 0 an, so muss auch der Zähler des Bruches verschwinden, so dass

z' = a x' + b y' -f- c.

Vergleicht man diese Gleichung mit (1), so stellt sich in der That heraus, dass der Punkt (x', y', z') in diesem Falle in der gegebenen Ebene liegt.

VIII. Berührung und Krümmung ebener Kurven.

325. Grad der Berührung zweier Kurven. Die Gleichungen zweier Kurven in Bezug auf dasselbe Koordinatensystem seien

(1)

y — f (x) und y = (f (x),

von denen angenommen werde, dass sie endliche Differentialquotienten jeder Ordnung besitzen und deshalb nach der Taylor’sehen Formel entwickelbar sind.

Man setze voraus, dass die Kurven einen Punkt A (Fig. 106) mit den Koordinaten x, y gemeinschaftlich haben. Nimmt x um eine sehr kleine Grösse h zu, so werden die entsprechenden Ordinaten B a, B b nach dem Taylor’schen Satze sein

(2)

h²

f (x + h) = f (x) + h f' (x) + — f" (x) ą

h³

f"'(x) +..

h²

ih³

(3) <f (x + h) = <f (x) + h (f ⁴ (x) + — (f ‘⁴(x) +    <f>⁴⁴⁴ (x) +..

Wegen des gemeinschaftlichen Punktes A muss nun hierin f (x) = cf (x) sein. Sollen die Kurven in A eine gemeinschaftliche Tangente A c haben, so muss auch f' (x) = <f ‘ (x) sein. In diesem Falle sagt man, die Kurven berühren einander im Punkte A. Zu einer Berührung gehört also mindestens, dass in den Beihen (2) und (3) je die ersten und ebenso die zweiten Glieder einander gleich sind.

24*

Je kleiner der Unterschied ab der beiden Ordinaten f(x-f-h) und (f (x -j- h) für sehr kleine Werte von h wird, um so inniger berühren sich die beiden Kurven. Dieser Unterschied wird aber um so kleiner, je mehr Glieder der beiden Reihen einander gleich werden. In diesem Sinne gibt es Berührungen von verschiedener Ordnung.

Fig. 106.

y\

\y

Eine Berührung der ersten Ordnung tritt ein, wenn ausser f (x) = (p (x) die ersten Ableitungen f'(x) und <f ‘ (x) gleich sind, eine solche der zweiten Ordnung, wenn nbch die zweiten Ableitungen f" (x) und (f “ (x) gleich werden ; eine der dritten Ordnung, wenn zudem noch die dritten Ableitungen gleich sind, u. s. w.

Es sei nun die erste Kurve gegeben und ebenso der Punkt (x, y), in dem die zweite Kurve die erste berühren soll; alsdann muss die zweite Kurve, um eine Berührung mit der ersten Kurve einzugehen, in ihrer Form und Lage gewissen Bedingungen entsprechen. Das ist nur möglich, wenn die Gleichung y = (f (x) der zweiten Kurve konstante Grössen enthält, die den gestellten Bedingungen gemäss gewählt werden können.

Es ist z. B. y² = a -f b x die Gleichung einer Parabel. Lässt man die Konstanten a und b derselben sich ändern, so ändert sich Form und Lage der Parabel, ohne dass sie aufhört, eine Parabel zu sein.

Zu einer Berührung erster Ordnung müssen nun die beiden Gleichungen

(4)

f (x) = ?(x);

P (x) = <f ‘ (x)

■erfüllt sein. Mittels dieser Gleichungen können zwei Konstante der Gleichung y = </> (x) bestimmt werden. Für diese entsteht daher eine Berührung der ersten Ordnung. Enthält die Gleichung y — (f (x) noch ■eine dritte Konstante, so kann diese willkürlich bleiben, ohne dass die Berührung der ersten Ordnung aufhört.

Soll die Berührung von der zweiten Ordnung sein, so lassen sich aus den drei Gleichungen

(5)

f (x) = (f (x) ; f' (x) = (f ' (x) ;    f" (x) = (f " (x),

die erforderlich sind, drei Konstante der Gleichung y = <f (x) bestimmen. Hat diese Gleichung nur zwei Konstante, so kann der letzten der Gleichungen (5) nicht genügt werden; hat sie vier Konstante, so bleibt eine derselben willkürlich u. s. w.

Die Gleichung einer Geraden ist

y = ax-f b;

sie enthält nur zwei Konstante, die aus den Gleichungen (4) bestimmt werden können. Daher kann eine Gerade mit einer Kurve nur eine Berührung erster Ordnung haben; die Gerade ist die Tangente an die Kurve im betreffenden Punkte.

Die Gleichung eines Kreises ist

(x —«)² -f (y — py = Ç>²,

worin p den Halbmesser des Kreises, cc, ß die Koordinaten seines Mittelpunktes und x,y die laufenden Koordinaten des Kreises bezeichnen.

Diese Gleichung enthält drei Konstante a, ß, p. Diese können so bestimmt werden, dass sie den Gleichungen (5) Genüge leisten. Also kann ein Kreis mit einer beliebigen Kurve eine Berührung der zweiten Ordnung annehmen.

326. Krümmungshalbmesser einer ebenen Kurve. Der Kreis, der mit einer Kurve im Punkte A eine Berührung der zweiten Ordnung hat, heisst Krümmungskreis der Kurve für das betreffende Kurvenelement und seine Halbmesser Krümmungshalbmesser der Kurve in dem Punkte A.

Die Gleichung der Kurve sei y = f (x), diejenige des Krümmungskreises

(1)

(x - a)² -f (y - ßY = p²; dann müssen die Konstanten a, ß, p dieses Kreises so bestimmt werden, dass sie den Gleichungen (5) des vorigen Paragraphen genügen. Dies kann wie folgt geschehen.

Durch Differentiation von (1) erhält man, wenn x als unabhängig Variable, also d x als konstant angesehen wird,

(2)

(3)

(x — cc) d x + (y — ß) d y = 0, d x² + d y² + (y — ß) d² y = 0

und hieraus

dy\²

(4)

y-ß =

d² y

d x²

(⁵)

dy

d²y d x²

und folglich unter Anwendung von (1), (4) und (5)

(6)

(®T

d²y

d x²

in diese Gleichungen einzuführen. Den Krümmungshalbmesser p nimmt man schliesslich immer positiv.

von y,

Die Gleichungen (4), (5) und (6) sind ans der Kreisgleichung allein hervorgegangen. Damit durch (4) und (5) die Koordinaten «, ß des Kreismittelpunktes und durch (6) der Krümmungshalbmesser des Kreises, der die gegebene Kurve im Punkte (x, y) berührt, bestimmt werden können, hat man die aus der Gleichung der Kurve hervorgehenden Werte dy d²y d x ’ dx²

Bezeichnet d s das Bogenelement zwischen den Kurvenpunkten (x, y) und (x + dx, y + dy), so ist d s² = d x² + dy². Hierfür erhält man aus den drei letzten Gleichungen d s²

J-ß =

d²y

d s² d y d²y dx

d s³

d x d² y '

327. Andere Ableitung' des Krümmungshalbmessers. Kontingenzwinkel der Kurve. Es seien A, B, C (Fig. 107) drei aufeinander folgende, unendlich nahe an einander gelegene Punkte einer Kurve y = f (x). Man denke sich durch je zwei dieser Punkte eine Gerade A B, B C gelegt und auf diesen Geraden in ihren Mitten m und n die Lote mM und

nM errichtet, die sich in M schneiden; so ist M der Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Kurvenpunkte geht.

Fig. 107.

Es sollen nun der Halbmesser AM = BM

= q und die Koordinaten ON = «,MN-jï des Mittelpunktes dieses Kreises bestimmt werden.

Die Tangente durch den Punkt A, dessen Koordinaten x, y sind, bilde mit der Abscissen-achse den Winkel

Geht x in x-f dx,

y in y-Rdy über, so ändert sich y um d d. h. die Tangente durch den Punkt B, dessen Koordinaten x -(- dx, y±dv sind, bildet mit der ersten Tangente den Winkel d y. Geht man vom Kurvenelement in A über nach dem Kurvenelement in B, so macht hierbei die Richtung der Kurve eine Ablenkung = d /. Man nennt diese Ablenkung den Kontingenzwinkel der Kurve.

Die Halbmesser AM und BM stehen auf jenen Tangenten senkrecht, sie schliessen also auch den Winkel d y ein. Nun hat man sich aber y als Bogen zu denken, der mit dem Halbmesser = 1 beschrieben wird; folglich ist der Bogen A B = ç d y, er ist aber auch = ds; daher

S3

r-

(1)

p d y = d s, o —

ds

dy

In dieser Gleichung ist nun noch der Wert von d^ aus der Re

dy

lation tang y = —— auszudrücken. Man erhält durch ^Differentiation

d tang y =

Da aber

cos² y =

1+tangV

l+(d"x)

2’

so wird

d-y

dx²

d² 3rd x

dx

dx² 4- dv²

Q.

Führt man diesen Wert von d y in (1) ein, so erhält man

d s³

(2)

dxd²y ’

welche Formel mit der im vorigen Paragraphen abgeleiteten übereinstimmt. Es ist also AM = BM=o der Krümmungshalbmesser der Kurve, und man kann den Krümmungskreis einer Kurve in einem Punkte definieren entweder als den Kreis, der mit der Kurve in dem betreffenden Punkte eine Berührung zweiter Ordnung hat, oder als den Kreis, der durch drei benachbarte Punkte der Kurve geht.

328. Evoluten der Kurven. Denkt man sich für alle Punkte B, B',. . (Fig. 108) einer Kurve y = f(x) die Mittelpunkte M, M'.. der entsprechenden Krümmungskreise aufgetragen, so werden die letztem Punkte eine Kurve bilden, die die Evolute der Kurve heisst. Die gegebene Kurve wird in Beziehung zu ihrer Evolute gewöhnlich Evolvente genannt.

Die Gleichung der Evolute lässt sich aus der Gleichung der Evolvente mit Hilfe der Gleichungen (§ 326)

(i)

o-l Cu

¹⁺(-x)²

a. cu

d!_y

dx²

Q.

dx²

wie folgt bestimmen. Man leite aus der Gleichung y = f(x) die Ver-ab, drücke sie in einer Variabein x oder y aus

hältnisse

dy d²y

dx’ dx²

und führe sie in den vorstehenden Gleichungen (1) ein; sodann eliminiere man noch diese Variable x oder y aus den beiden Gleichungen ; . auf diese Weise wird eine Gleichung entstehen, die die Grössen a,ß und gewisse Konstante enthält. Diese Gleichung ist die der Evolute.

Lässt man in den Gleichungen (1), (2) und (3) des § 326

Fig. 108.

(x- a)² +(y — ß)2 (x - «) d x + (y — ß) dy = 0, dx² +dy² -f (y — ß)d²y = 0 die Grösse x sich ändern, so ändern sich auch y, a, ß und p. Man betrachte deshalb a, ß und p als Funktionen von x und bestimme den Zusammenhang von dx, dy und da, dß, sowie den Zusammenhang von da, dß und dp.

Differentiiert man (2) und (3), so kommt

(x — «) (d x — d a) (y — ß)(&y — à ß) = pdp, (dx-da)dx-f (dy — d ß) dy + (y — ß) d² y = 0. Zieht man (4) von (6) ab, so folgt

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

= p²

öl

CÇ

m'

— dxda — dyd/i = 0,

dß

(7)

dx

dy ’

d. li. die Tangente im Punkte M an die Evolute steht senkrecht auf der Tangente im Punkte B der Evolvente (§ 54). Allein der Krümmungshalbmesser BM ist auch senkrecht auf der Tangente durch B.

Folglich ist der Krümmungshalbmesser der Evolvente eine Tangente an die Evolute.

Zieht man (3) von (5) ab, so folgt

(8)

(x — a) d a -f (y — ß) d ß = — p d p.

Führt man d x aus (7) in (3) ein, so kommt

(9)

(x — a) d ß — (y — ß) d a — 0.

Eliminiert man x — a, y — ß aus (2), (8) und (9), so findet man den -zweiten gesuchten Zusammenhang

(10)

d P² = d «² -P d p.

Der Sinn dieser Relation (10) ist folgender: Geht p in p + dp über, so rückt der Punkt a, ß nach a + d a, ß d ß. Zwischen diesen Kurvenpunkten liegt das unendlich kleine Bogenelement JAia² + dß². Folglich ist dieses Bogenelement gleich der Aenderung d p des Krümmungshalbmessers.

Bringt man daher an die Stelle des Krümmungshalbmessers B M einen biegsamen, nicht dehnbaren, jedoch gespannten Faden, hält ihn in M fest und wickelt ihn auf der Evolute auf, so beschreibt sein Endpunkt B die Evolvente. Daher die Namen: auf der Evolute ist der Faden auf gewickelt, die Evolvente ist seine Abwickelung.

329. Krümmungshalbmesser und Evolute der Parabel. Für diese

Kurve ist

P²

d²y d x²

Mit Hilfe dieser Werte wird der Krümmungshalbmesser

y² = 2 p x;

dy

y³'

p²

1+A

tc| œ

y²-

oder indem man reduziert und für p das positive Zeichen nimmt,

(i)

[p² + y²]² [p 4- 2 x] a

p    ' Vv '

p²

Für den Scheitel ist x = 0, also p = p, also der Krümmungshalbmesser gleich dem halben Parameter. Wenn x wächst, so nimmt auch o zu. Für ein unendlich grosses x ist p = oo, d. h. es wird der Parabelast im Unendlichen geradlinig.

Nach § 49 ist der Ausdruck für die Länge der Normale n einer

Kurve

>|A+(£)’■

Mithin wird hier

n² = y² p² und p =

n:?

p²

d. h. es ist der Krümmungshalbmesser der Parabel der dritten Potenz der Länge ihrer Normale proportional.

Setzt man obige Werte von y, 4-^-, 4 4

dx dx²

in die Gleichungen (4)

und (5) des § 326, so wird

3 y²

2p

- = P + 3x,

= -2x

Kt

Eliminiert man x oder y aus diesen Gleichungen, so erhält man als Gleichung der Evolute

(2)

27 P~

Die durch diese Gleichung (2) bestimmte algebraische Kurve 3 ter Ordnung heisst semikubische oder Ne il’sehe Parabel. Für a — p wird ß = 0. Lässt man a von a = p an wachsen, so geht die Evolute in zwei symmetrisch zur Achse gelegenen Aesten aus einander, die der Achse ihre konvexe Seite zukehren. Aus der Relation

p.

dy

== 0 wird, d. h. dass die Achse der

folgt, dass für y = 0 auch

Parabel die Aeste der Evolute im Punkte ß = 0, a = p tangiert.

Für y = i cc wird auch± co, d. h. die äussersten Enden der

d «

Kuvenäste der Evolute stehen senkrecht auf der Parabelachse.

330. Krümmungshalbmesser und Evolute der Ellipse. Durch Differentiation der Ellipsengleichung a² y²-f-b² x ² = a² b² erhält man

a² d y²-j- a² y d² y -f- b² d x² = 0,

a²ydy -4- b² xdx = 0,

__d²y

a²y’ d x²

dy

b² x

b² (a² y² -\- b² x²)

b⁴

a²v

Folglich durch Substitution in den Ausdruck für den Krümmungshalbmesser

3"

(1)

(a⁴ y² + b⁴ x²)²

o =

Für den Endpunkt der grossen Achse ist x = a, y = 0 p = b² : a ; für den Endpunkt der kleinen Achse x = 0, y = b, folglich p = a² : b.

a⁴ b⁴

also

Führt man obige Werte von y und Länge der Normale n (§ 49) ein, so kommt

dx

in den Ausdruck für die

a⁴ y² + b⁴ x²

a⁴

Mithin geht der vorstehende Ausdruck des Krümmungshalbmessers über in

e'=

a²

n³.

b⁴

Da nun aber b² : a der halbe Parameter der Ellipse ist, so setze man b² : a = p und erhält

n³

?    p2’

welcher Ausdruck mit dem für die Parabel gefundenen übereinstimmt. Ebenso kann gezeigt werden, dass der Krümmungshalbmesser der Hyperbel der dritten Potenz der Länge ihrer Normale proportional ist.

d y d² y dx’ dx²

Setzt man die Werte von des § 326 ein, so erhält man a² — b²

in die Formeln (4) und (5)

a⁴

x³;

b² — a²

Hieraus

x² = a²

; y² = b²

CL

a² —b²

cc| IC

a² — b²

Setzt man diese Werte von x², y² in die Gleichung der Ellipse ein, so erhält man als Gleichung der Evolute

(2)

bfl

a² — b²

a² — b²

= 1.

Fig. 109.

SJ

Diese Kurve besteht aus vier kongruenten Aesten, die in den Spitzen A, B, C, D zusammenlaufen (Fig. 109). Zwei dieser Spitzen liegen in der grossen und zwei in der Richtung der kleinen Achse. Ist M F der Krümmungshalbmesser der Ellipse in F, so ist M F eine Tangente an die Evolute in M. Rückt der Punkt F nach dem Scheitel S, so bewegt sich M nach A; rückt F nach dem Endpunkte H der kleinen Achse, so bewegt sich M nach D Für ß = 0 wird

a² — b²

F#J

Folglich AS> o = a-

a² — b²

grösseren Wert von ß als diesen in die Evolutengleichung, so wird cc

a¹ - b¹

angenommen

imaginär. Ebenso wird ß imaginär, wenn « >

wird. Mithin schliessen die Kurvenäste in den Spitzen A, B, C, D ab, und es sind daselbst die Achsen der Ellipse Tangenten an die Evolute.

331. Krümmungshalbmesser und Evolute der Cyklonie. Die Gleichungen der Cykloide sind (§ 101), Fig. 110

AE = x = a(tf — sin y); OE = y = a(l — cos ff), d x = a (1 — cos ff) d tf ; d y = a sin ff d ff.

Werden die letztem Gleichungen wieder differentiiert, so ist zu beachten, dass dx konstant zu nehmen ist. Man erhält daher 0 = a (1 — cos ff) d² 1 ff + a sin ff d ff¹, d¹ y = a cos ff d ff² + a sin ff d¹ ff.

Eliminiert man d¹ ff aus diesen beiden Gleichungen, so folgt

d¹ y = — a d ff¹-,

d¹ y

a ( 1 — cos (f)¹ ’

wie oben.

folglich H D = o — b -f

Für die Spitze D ist a = 0, also ß = E D = a¹ — b¹

a¹ — b¹

= —- (wie oben). Setzt man einen

d X¹

so wird

Da ferner

sin ff

1 — cos ff

dy V

1 — cos tf

dx

Fig. 110.

Setzt man diese Werte in die Formel für den Krümmungshalbmesser ein, so ist ohne Rücksicht auf das Vorzeichen

q = 2 a|/~2 (l — cos tf) = 1 a sin; oder auch"

\‘P

i2.

(I)

in die Formeln (4) und (5)

Setzt man die Werte von

die Koordinaten des Endpunktes des Krümmungshalbmessers CF. Da E D = « sin (f, so ist wegen der Formel a = x 4- 2 a sin <p, auch D H = a sin ; da ferner y = — ß, d. h. CE = FH, so geht der Krümmungshalbmesser durch den Punkt D, wo der Rollkreis die Grundlinie berührt, und ist gleich dem Doppelten der Normale C D. Wegen der beständigen Kongruenz der Dreiecke CED und F H D beschreiben die Endpunkte C und F des Krümmungshalbmessers kongruente Cykloiden. Evolute und Evolvente sind somit kongruent.

332. Ueber einige Eigentümlichkeiten ebener Kurven.

y = f (x) die Gleichung einer Kurve BB' (Fig. 111). Entsprechen den Punkten B, B', B" die Abscissen x, x + d x und x + 2 d x, so werden ihre Ordinalen sein y, y -f- dy und y + 2dy+d²y. Wenn nun die Grössen B" C' = d y -j- d² y und B' C = d y einander gleich sind, also wenn d² y = 0 ist, so liegen drei aufeinander folgende Kurvenpunkte in einer geraden Linie, und es wird der Krümmungshalbmesser der Kurve an dieser Stelle unendlich gross. In der That wird nach Formel (6) des § 326, p = co für d² y = 0.

Liegt die Kurve auf der Seite der positiven y und ist B" C' > B'C, also d² y positiv, so kehrt die Kurve ihre konvexe Seite der Abscissenachse zu. Ist aber bei dieser Lage der Kurve d² y negativ, so kehrt die Kurve ihre konkave Seite gegen die Abscissenachse. Befindet sich die Kurve auf Seite der negativen y, so findet die umgekehrte Regel statt. Daraus folgt allgemein: Die Kurve wendet ihre konvexe oder konkave Seite gegen die Abscissenachse, wenn y und d² y gleiche oder entgegengesetzte Zeichen haben. d² y d x²

Fig. 111.

Es sei

y\

À Ä A " î) F

Geht

aus dem Positiven durch die Null ins Negative über,

so findet ein Uebergang aus der Konvexität in die Konkavität oder umgekehrt statt und zwar durch eine Kurvenstelle, für die der

d² y d x²

tiven durch das Unendliche ins Negative über, so tritt auch hier ein Uebergang aus der Konvexität in die Konkavität ein und zwar durch eine Stelle, für die der Krümmungshalbmesser = 0 ist. Uebergangspunkte nennt man W ende- oder Flexionspunkte (§ 33 u. 47). Um eine Kurve y = f (x) auf etwa vorhandene Wendepunkte zu unter-

= co und bestimme daraus

Krümmungshalbmesser unendlich gross ist.

Geht

aus dem Posi-

Solche

suchen, setze man also

d² y

d² y

— 0 und

d x²

die entsprechenden Werte von x. Ein solcher Wert sei = a. Wenn nun für a + h und a — h, wobei h als sehr klein vorausgesetzt wird, die Grösse d²y ihr Zeichen ändert, so entspricht der Abscisse a ein Wendepunkt der Kurve.

Schneiden sich mehrere Kurvenäste in einem Punkte in verschie-

d x²

denen Richtungen, so nimmt

dy

dx

ebenso viele verschiedene Werte an.

Dabei entscheiden dieZeichen zusammengehöriger w erte von y und d²y, ob die Kurvenäste , die von diesem Durchschnittspunkte ausgehen, ihre konkave oder konvexe Seite der Abscissenachse zukehren.

Beispiel 1. Es sei die Gleichung einer Kurve

y³ = x⁵ oder y = x³ ;

man erhält

P-j! Q-

d² y 10    1

d x²

Diese Abscisse entspricht zwei

Für d² y — 0 wird x = i oo.

Punkten, für die der Krümmungshalbmesser p = cc wird, ohne dass ein Wendepunkt entsteht, weil oo fh, an die Stelle von x gesetzt, das Zeichen von d² y nicht ändert. d² y d x²

= cc wird x = 0; somit wird für beide Kurvenäste,

die sich im Anfangspunkte treffen, der Krümmungshalbmesser = 0.

d² y d x²

Für

Setzt man 0 fh für x in den Ausdruck für Grösse ihr Zeichen; also hat die Kurve im Anfangspunkte eine Wendung. Da für x — 0 auch Tangente an die Kurve.

ein, so ändert diese

= 0, so ist die Abscissenachse eine

Beispiel 2. Jede Kurve, deren Ordinate ein Polynom ist von

der Form

y = x³ + ax²-pbx + c

hat einen Wendepunkt und somit ein Kurvenelement mit einem unendlich grossen Krümmungshalbmesser. Denn es ist

d²y d x²

dy

= 3x²4-2ax + b;

= 6 x -f 2 a.

Setzt man d² y = 0, so wird x = —

--^--h ändert d² y sein Zeichen.

3    J

eines Wendepunktes.

d² y

d x²

sein Zeichen nicht für i cc _4Z h. d²y d x²

linig sind.

a

j + h und Also ist x =--die Abscisse

O

Für

so wird x = i ⁰⁰ ; allein d² y ändert Also zeigt die Gleichung = f oo an, dass die beiden Kurvenäste im Unendlichen gerad-

Setzt man

= ± oo

Beispiel 3. Die Kurve, deren Gleichung y=x±xKx

ist, liât zwei Kurvenäste AB und AD (Fig. 112), die im Anfangspunkte A unter gleicher Neigung zur Abscissenachse beginnen und nach der positiven Richtung der Abscissenachse auseinander gehen.

Fig. 112.

Denn für x = 0 wird auch y = 0 ; die Kurve geht also durch den Anfangspunkt. Für negative Werte von x wird y imaginär; also hat die Kurve keinen Punkt auf der Seite der negativen Abscissenachse. Ferner ist

Für x = 0 hat

(2)

dy

dy

dx

= 1 ± |T*;

d²y

d x²

:    1| X

- nur einen Wert, nämlich = 1. Also gehen

beide Kurvenäste unter einem Winkel von 45° zur Abscissenachse vom

d² y

rï²

also ist der Krümmungshalbmesser der Kurve im Anfangspunkte = 0.

Anfangspunkte aus. Für den gleichen Wert von x wird

± °° »

Setzt man 0 + h in die Ausdrücke (2), wobei h eine sehr kleine Grösse bezeichnet, so nimmt

dy

, zwei verschiedene Werte an; also dx

gehen die Kurvenäste zunächst am Anfangspunkte aus einander. Der Kurvenast AB kehrt seine konvexe Seite der Abscissenachse zu, weil für jeden Wrert von x die Grössen y und d² y gleiche Zeichen haben.

Für x = 1 wird y in der Formel für den untern Kurvenast A D zu Null. In diesem Punkte C geht die Kurve durch die Abscissenachse. Für den Teil AC haben y und d² y entgegensetzte, für C'D gleiche Zeichen. Also kehrt AC der Abscissenachse die konkave, CD die konvexe Seite zu.

IX. Ebene Kurven in Bezug auf Polarkoordinaten.

333. Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten. Die Lage eines Kurvenpunktes B (Fig. 113) kann bestimmt werden durch dessen Abstand AB = r von einem festen Punkte A und den Winkel B Ax = (f, den dieser Abstand mit einer festen Geraden A x bildet. Hierbei nennt man r den Radiusvektor oder Leitstrahl des Kurvenpunktes, A den Pol, Ax die Polarachse und (f den Polarwinkel. Die Grössen r und (f heissen die Polarkoordinaten des Punktes B. Die eine dieser Grössen ist eine Funktion der andern, weshalb im allgemeinen die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten sein wird

r == f ((f) oder F (r, (f) — 0.

Ist die Gleichung einer Kurve in rechtwinkeligen Koordinaten gegeben, so kann die Polargleichung dieser Kurve abgeleitet werden, wenn

CO

man den Zusammenhang der rechtwinkeligen und der Polarkoordinaten kennt.

Die Gleichung der Ellipse für rechtwinkelige Koordinaten ist a² y² -f b² x² = a² b²,

(1)

wrorin a, b die halben Achsen bezeichnen und die Ab-scissen x vom Mittelpunkte 0 aus gezählt werden.

Nimmt man nun den Brennpunkt A zum Pol, bezeichnet den Leitstrahl A B mit r, den Winkel B A x mit <f und A 0 mit c, so ist

0 C = x = r cos <f — c ; B C = y = r sin <f.

Setzt man diese Werte von x und y in (1) ein, so kommt a² r² sin²<f -f- b² (rcosff — c)² = a² b².

Wird die zweiteilige Grösse entwickelt und sin²ff durch 1—cos² ff ersetzt, so kommt

a² r² = b² (a² — c²) + 2b² crcosff -f- (a² — b²)r² cos²<f,

Da aber a² —c² = b², so folgt

Fig. 113.

■V| B

a²r² = b⁴ -f- 2b² er cos <f -f- c² r² cos² <f.

Die rechte Seite ist das vollständige Quadrat einer zweiteiligen Grösse; deshalb wird

ar = i (b² -f- crcos ff)

und hieraus

(2)

±b²

a c cos <f '

Da der Nenner rechts immer positiv sein wird, weil c<a und da r immer positiv sein soll, so folgt aus (2) als Gleichung der Ellipse

(3)

b²

a pp c cos ff

Hierin ist das Zeichen — zu wählen, wenn der Polarwinkel, wie in der Figur geschehen, von dem Leitstrahle desjenigen Scheitels aus gezählt wird, der dem als Pol gewählten Brennpunkte nicht zunächst liegt, das Zeichen + aber, wenn von der entgegengesetzten Richtung aus gezählt wird. Nimmt man in (2) die Grösse b² mit entgegengesetztem Zeichen, so erhält man die Polargleichung der Hyperbel. Für die beiden getrennten Zweige der Hyperbel sind diese Gleichungen, wenn als Pol derjenige Brennpunkt genommen wird, der auf der positiven Seite der Ab-scissenachse liegt, und der Polarwinkel von der Richtung der positiven Abscissenachse aus gezählt wird,

(4)

r, =

b²

; r„

-b²

a — ccos ff

Auch hier sind nur positive Werte der Leitstrahlen zulässig, r, gilt für denjenigen Zweig, der den als Pol gewählten Brennpunkt einschliesst, r„ für den andern.

a -f c cos ff

Für die Ellipse und diejenige Hyperbel, die den Pol einschliesst, hat man als gemeinsame Polargleichung

(5)

b²

a — c cos (f

Führt man den Parameter und die numerische Exzentrizität

b²

ein, so wird die Gleichung

(6)

1 — s cos (f ’

Leitet man in gleicher Weise aus der Gleichung y² = 2 p x die Polargleichung der Parabel ab, so erhält man

1 — cos (f

Also ist die Gleichung (6) die allgemeine Gleichung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten und zwar die einer Ellipse, einer Hyperbel oder einer Parabel, je nachdem s < 1; s > 1 oder s = 1 ist.

334.    Fiächeneleinent in Polarkoordinateu. Es sei A (Fig. 114) der Pol, A x die Polarachse, A B = r der Leitstrahl und Winkel B A x = (f. Lässt man cf in cf -f- d = C A x übergehen, so entsteht ein Flächenelement CAB, das wir mit dF bezeichnen wollen. Dadurch wird der

Fig. 114.

Leitstrahl A C = r ^ d r, je nachdem der Leitstrahl wächst oder abnimmt. Gesetzt es sei, übereinstimmend mit der Figur, AC = r — dr. Beschreibt man um A mit den Radien r und r — d r die Kreisbogen B D = rd (f und EC = (r-dr)d^, so sind die Flächen der Kreisausschnitte

ACE = i(r — dr)² dcf.

ABD = {r² d cf ,

Also

Diese beiden sind unendlich kleine Grössen der ersten Ordnung, die sich um ein unendlich Kleines der zweiten und dritten Ordnung von einander unterscheiden, kann auch die zwischen diesen Grössen liegende Fläche ABC mit ABD verwechselt werden, d. h. es ist das Differential der Fläche

dF = ir²d^.

335.    Bogenelement in Polarkoordinaten. Es gelte die Bezeichnung des vorhergehenden Paragraphen. Man bezeichne das unendlich kleine Bogenelement B C mit d s, betrachte dasselbe als eine Gerade und nehme an, es sei der unendlich kleine Bogen B D = r d cp senkrecht auf seinem Radius AD: dann ist BDC ein rechtwinkeliges Dreieck, das zur Bestimmung von d s folgende Relation liefert

ds² = dr² + r² d <p².

336. Subtangente und Subnormale in Polarkoordinaten.

Errichtet

man die Gerade NAT (Fig. 115) senkrecht zum Leitstrahle AB und zieht die Tangente BT und die Normale BN für den Kurvenpunkt B, so wird A T die Subtangente und A N die Subnormale der Kurve genannt. Somit bezeichnet man hier mit diesen Ausdrücken ganz andere Linien als für ein rechtwinkeliges Koordinatensystem (§ 49).

Fig. 115.

Man lasse (f in (f -f- d (f übergehen, so dass Winkel CAB = d^f wird, und beschreibe mit dem Halbmesser r von A aus den unendlich kleinen Bogen BD = rd(f ; dann kann angenommen werden, es sei B D geradlinig und senkrecht zu AD. Dadurch wird Winkel DBC = BTA = ABN; also sind die Dreiecke D B C, A B T und A. B N ähnlich und man hat

Subtg. A T — r²

d (f

dr

'S CU CU ’S

^ <s

Oh

CU

<S '"<5

Sh Sh

; Subn. A N

dw '

Ferner nennt man B T die Länge der Tangente, B N die Länge der Normale der Kurve im Punkte B. Aus den rechtwinkeligen Dreiecken ABT und A B N findet man durch den Pythagoreischen Lehrsatz leicht

Länge der Tangente BT=r

BN =

Länge der Normale

k"+(£>'

337. Krümmungshalbmesser der Kurven in Polarkoordinaten. Es

sei (Fig. 116) Ax die Polarachse, A der Pol, AB = r lind Winkel B A x = cp. Man lasse ff in </,-j-d<f = CAx übergehen, so dass Winkel BAG— d (f wird. Errichtet man in den Punkten B und C die Tangenten B D und C E und die Normalen B M und C M, so wird BM = CM = (j der Krümmungshalbmesser der Kurve für das Bogenelement B C sein.

Fig. 116.

Ist Winkel BDx=«, so ist « eine Funktion von (f. Wenn (f in (f -|- d (f übergeht, so wird a zu a + d «, d. h. es ist Winkel CEx = «’+ d a, also auch Winkel I) C E = d « = B M C. Da das Bogenelement BC = p d a, aber auch = d s ist, so hat man p d a d s, woraus folgt

CU

O)

y d r^-f- r² d (f²

Hierin ist noch a durch r und (f auszudrücken. Es ist Winkel AB D — a — (f. Zieht man die Tangente B T und die Subtangente A T (senkrecht zum Leitstrahle A B), so folgte

AT

AB

tang A B D =

Subtg. d (f

—--= r -

•J5

Autenheiraer, Elementarbuch.

Mithin

a — (f — arc tang r

d (f

dr '

Differentiiert man diese Gleichung und nimmt (f als die unabhängig Variable an, so wird d (f konstant sein. Man erhält daher nach § 27

da — d (f —

'S

dr

d r² — r d²r ^

und indem man d (f auf die andere Seite bringt,

d (f.

r² d (p² -j- 2 d r² — r d² r

d r² -f- r‘² d <p²

Führt man diesen Wert von da in (1) ein, so kommt die gesuchte Formel

[r²d^² -f- d r²]²

r² 4-

d r\2_l 2

.d (f

d ' r *

~rJYz

338. Anwendung auf den Kreis. Da der Radius r konstant ist, so wird dr = 0, daher wird das Flächenelement    also der

Kreisauschnitt und die Kreisfläche

d (f [r² d (f ² + 2 d r² — r d² r]

2 TT

Q-

r²

d y = n r².

Das Bogenelement ist d s = r d (f ; folglich der Kreisbogen und der Kreisumfang

'/

d q = r (f,

d (f< — 2 TT r.

Ebenso

Subn. = 0,

Subtg. = oc

Kriimmungsh. p = r.

33!). Anwendung auf die archimedische Spirale. Bei dieser Kurve ist der Radiusvektor dem Polarwinkel proportional. Die Gleichung der Kurve wird daher sein

(1)

r =’a (f,

worin a denjenigen konstanten Radiusvektor bezeichnender dem Bogen (f = 1 entspricht.

Es sei Ax (Fig. 117) die Polarachse, A der Pol. Beschreibt man mit dem Radius AB = a einen Kreis, macht auf demselben den Bogen BC = 1, setzt den Winkel E AB = <f, so wird der Kreisbogen ECB = a</. Dieser Bogen muss nun nach (1) gleich AD = r sein. Es

seien A T und A N die Subtangente und Subnormale der Kurve. Durch Differentiation von (1) folgt d r = a d q ; folglich erhält man

(2)

Subtangente AT =

r²

— = a q2 a

Subnormale A N = a.

Mithin liegt der Punkt JS der Normale für jede Lage des Punktes D auf dem Kreise B C E. Für q = 1 wird auch die Subtangente = a, und es bilden alsdann Subtangente und Subnormale den Durchmesser des Kreises, der senkrecht zu A C steht.

Fig. 117.

Das Element der Fläche ist

dF = |r²d q = -|-a² q²dq.

'b

Folglich die Fläche zwischen den Grenzen q — 0 und q = q

1 r3 6 a

1 a²</³

Das Bogenelement der Spirale ist    _ j

d s = V&² d q² + a ² <T² d q² = a d</ )/1 -(- q².

Mithin der Bogen zwischen den Grenzen q = 0 und q = q, nach § 90, Formel (11)

(4)

W Fi + ?² +i (v + Fi + y²)l-

Um den Krümmungshalbmesser p der Spirale zu finden, beachte man, dass in der Formel âv = aàq die Grösse dq konstant, also d²r = 0 ist. Mithin wird

(ö)

(a² q ² + a²)²

a²,q² 4 2 a²

(i + r-r¹

2 4 q² *

Der kleinste Wert von p entsteht fiir y = 0; er ist p = ] a. Mit wachsendem Werte von q wird p grösser. Für q — c© wird auch p = cc.

Bei der gewöhnlichen archimedischen Spirale wird a= * also ist die Gleichung derselben

27T

340. Anwendung auf die hyperbolische Spirale. Wenn man in der

so erhält

Gleichung xy = a der gleichseitigen Hyperbel die rechtwinkeligen Koordinaten x, y mit den Polarkoordinaten q und r vertauscht man die Gleichung

(1)

der hyperbolischen Spirale.

Mithin ist die Subtangente konstant. Für den Kurvenast, der sich im Unendlichen parallel zu Ax fortzieht, wird die Subtangente AG senkrecht zu A x. Folglich wird die Tangente G H, die die Kurve im Unendlichen berührt, parallel zu Ax im Abstande a eine Asymptote sein.

Um den Krümmungshalbmesser zu erhalten, hat man das erste Differential r d ff -f- ff d r von (1) nochmals zu dififerentiieren. Man erhält, wenn d ff als konstant angenommen wird,

d²r 2r3 d ff² a²

Es sei Ax (Fig. 118) die Polarachse, A der Pol. Konstruiert man mit dem Halbmesser AB— AC = 1 einen Kreis, trägt darauf einen Bogen ff — B C = 1 ab, so muss der durch C gehende Radiusvektor A D = a sein. Halbiert man den Bogen B C in E und zieht den Radiusvektor AEF, so muss AF = 2a = 2AD sein, etc. Der Ast über F hinaus nähert sich mehr und mehr einer Geraden, die zu Ax parallel liegt und bis ins Unendliche geht. In der Richtung von F nach D nähert sich die Kurve in unendlich vielen Windungen dem Pole und erreicht ihn für ff = go .

Die Differentiation von (1) gibt rd^r-f- ff dr= 0; folglich ist Fig. 118.

(2)

dr

r²

d ff

Mithin wird das Element der Fläche

d F = ir² d ff — — -l ad r,

und somit die Dreiecksfläche A D F zwischen den Leitstrahlen A F = 2 a und A D = a gleich

— % a (a — 2 a) =    a²,

und die Fläche, die zwischen dem Leitstrahle A D = a und den unendlich vielen Windungen der Spirale liegt, die von D aus bis zum Pole A reichen oder mit andern Worten: die Fläche für die Grenzen ff — 1 bis ff = oo

-{a(0-a) = ia².

Die vorige Fläche (3) und diese sind somit gleich gross und zusammen gleich dem Quadrate der Linie AD.

Ferner hat man

(3)

(4)

Subtangente AT = r²

d ff

— a.

2 d r d T + T d² r = 0, also

Mithin ergibt sich nach § 337

(5)

r² 2

-j

tO\ 4*

-2^

a²

Zweiter Teil der Integralrechnung.

I. Differenlialformeln mit einer Variabeln.

341. Rationale, gebrochene algebraische Differential-Formeln. In den

§§ 304 bis 309 ist gezeigt worden, dass das allgemeine rationale gebrochene Differential

d x,

f(x)

F (x)

unter der Voraussetzung, dass die Wurzeln der Gleichung F(x) = 0 bestimmt werden können, immer vermittelst der Zerlegung in Partial-briiche auf die einfachen Formen

Adx

A x -f- B

a -j- x’

(a + x)² -j- b²

d x;

Ax + B

[(a + x)² + b²]"

dx

(a -f x)11 gebracht werden kann.

Das Integral der ersten dieser Formen ist bereits in § 84 angegeben. Es ist nämlich

Adx a + x

Um die übrigen Formeln zu integrieren, setze man a -f- x = y, also auch d x = d y.

Man erhält dann für die zweite Form

Ady

(1)

Adx

(a + x)¹'

= A • l (a + x) -f- C.

yn

= Ay-»dy,

folglich, indem man integriert.

Ady Ay-n + 1

-n+ 1

(2)

und wieder x statt y einführt, Adx

n—1 (a + x)u

(a + x)"

Fiir die dritte der obigen Differentialformeln erhält man

Ax+B

A ydy

(a + x)² + b2 Nun ist aber nach § 84

y² + b² ^ y² + b²

dy.

A ydy Aj'»2ydy y²H-b2 = TJ

y² -f- b²

= —l[Ca + x>²4-b²14-0

und nach § 86, Formel (5>) B — Aa

y² -f b²

dy =

b arG tang y + C , x + a

b “•*"*-*—

i-C.

Durch Addition dieser beiden Werte folgt <3> f

Ax-f-B

(a -§- x)² + b²

dx = — l[(x + a)²'4-^]

B — Aa

arc tang

f C.

Endlich erhält man für die vierte der obigen Formeln

B — Aa

(A x 4- B) d x

Ay dy

E(a Hr x)² -f- b²]'¹

(y² 4_b²)u ~ (y² —j— b²)u

dy.

Um den ersten Teil rechts zu integrieren, setze man y²-j-b²=z², also y d y = z d z ; dann wird

Ay dy

(y² -fr- b²)¹¹

A z dz

zm"

= Az-Sll+ldi;

⁽⁴⁾ I

A ydy

Az-äm+a

C.

fC =

— 2m -t-2 Nun bleibt noch die Differentialformel

(y² H b²)¹¹'

2(1 — n) (y² 4-b²)u 1

dy

(y² -ft- b²)¹*

zu integrieren. Multipliziert und dividiert man diesen Quotienten mit y² H~ b², so kommt

b² dy

Integriert man imn den ersten Teil rechts nach der Formel (1) des § 90

(5) /

dy

(y² —|— b²)¹¹

₌ f_ÏÜÏ__L f

J (y» + b»)*+‘    J

u d v = uv —

jT v d u,

indem man annimmt

dv =

ydy

(y² 4-b²)¹¹⁺¹ ’

so erhält man zunächst aus der letzten Formel vermittelst (4)

2 n (y² -\- b²)¹¹

folglich

y²dy

(y² -f b² ) “ +¹    2 n (y ² -}- b²)'

Führt man diesen Wert von

y² dy

(y² - \- b²)n + l

gleichartigen Glieder zusammen, so erhält man

b² dy

(y² 4-b²),i+¹

dy

(y² + b²)'¹ ’

in (5) ein und zieht die

dy

2 n (y² -(- b²)" woraus, wenn man (n 4- 1) durch n ersetzt, folgt

(y² 4- b²)¹¹

r dy

J Cy² + b²)n

____

: 2 (n — 1)• ba J (y* + b!)“

Vermöge dieser Rekursionsformel ist das Integral^

zurückgeführt. Durch wiederholte Anwendung der-

(6)

dy

2 (n — 1) • b² • (y² -f" b²)¹¹

dy

dy

(y²-f b²)'*

auf

(y² + b²)n

selben Formel gelangt man zuletzt zum IntegralJ -

dy

dessen Wert

y- -\- b“

bekannt ist. (§ 78, Formel (5). Vermittelst der Gleichungen (4) und (6) kann nun das Differential der vierten Form integriert werden. Die wiederholte Anwendung von (6) liefert die Gleichungen

P-

(y²-fb²)n

P dy J (y2_j_b2)»-2

2 (n — 2). b* • (y²+ b²)u -²

2 (n— 3) • b²- (y²-f~ b²)¹¹⁻

dy

__5 r

2(n — 2) • b²J (y²-j-b²)" 2n —7 p 2 (n — 3) • b² J (y²+b²)u

dy

dy

(f + b²)

2 . b² (y² r b²)

dy]

ys + b²

da nun

dy

= - arc tang b

er ! v;

y² + b²

ist, so erhält man aus (4) und den aus (6) gefolgerten Gleichungen, wenn man schliesslich y durch a -j- x wieder ersetzt, die allgemeine Formel :

⁽⁷⁾ /

+ (B-Aa). j

(A x -j- B) d x [(a+x)H-P]'r = 2(1 —n)’ [(a + x)²"+F]"

a -f- x

I 2 ■ (n - 1) • b² • [(a -f x)²-fb²] ” -

2n — 3

afx

fC

2². (n - 1) ■ (n — 2) • b⁴ [(a -f x)² + b²]" - 2 (2n — 3) • (2n — 5)

• 2³ - (n — l).(n-2)-(n — 3) • b⁶ [(a-f x)²+b²]"-3 (2n — 3) • (2 n — 5)•(2 n — 7)

2⁴ • (n — 1 ) - (n — 2)-(n— 3) • b⁸ [(a + x)² + b²]* - ⁴

(2 n — 3) • (2 n — 5) • (2 n — 7)... 3

a-|-x

2-1 .b²("-') [(a-|-x)²+b²]

(2 n — 3) • (2 n - 5) • • • • 3

211 — 1 • (n— 1) • (n — 2) • ■ • l-b2n

arc tang

a + xj

Damit sind die vier Fälle, die bei rationalen gebrochenen Funktionen auftreten können, erledigt; es hat sich dabei zugleich ergeben, dass die

Integration des allgemeinen Differentials

f(x)

F(x)

rithmische und cyklometrisclie Funktionen führt.

dx auf rationale, loga-

342. Irrationale, algebraische Differentialformeln. Enthält die Differentialformel algebraische Polynome, in denen die Variable mit gebrochenen Exponenten vorkommt, so kann die Formel durch passende Substitutionen rational gemacht werden. Es sei z. B. zu integrieren

¹

Für den Anfangspunkt A istjy = 0, also o = 0; für den Scheitel N der Cykloide wird yj— 2 a, also p = MN = 4 a, d. h. gleich dem doppelten Durchmesser des Rollkreises.

dy d¹ y dx’ dx¹

des § 326 ein, so erhält man als Koordinaten für den Mittelpunkt der Krümmung

a = x -|- 2 a sin ff ; ß — — y.

²

ä K2a y.

(i)

dy =

a+Kxdx;

i r    i³—

Setzt man x = z⁶, also y x = z³, y x = z², dx—-z⁵dz, so ist

(2)

dy =

• 6 z⁵dz.

P_ j,2

Diese Formel ist rational und kann nach dem vorhergehenden Paragraphen integriert werden.

Die binomische Differentialformel

(3)

(a -j-bx")<i dx

kann in gewissen Fällen durch eine der beiden Substitutionen a-J-bx¹¹ = z‘i oder a-J-hx" = z'¹ xn

rational gemacht werden.

dz;

Für die erste Substitution erhält man nbx" ~ ] dx = qzq

Somit

z'¹ — a

z'i+-|)_1dz.

P_    Q

(4) xm — 1 (a 4- b xn) q d x = —-¹    nb

Diese Formel wird rational, wenn    eine ganze Zahl ist.

Wendet man die zweite Substitution an, so wird man finden, dass

die Formel (3) rational wird, wenn ——\- — eine ganze Zahl ist.

q n

Diese

343. Differeiitialforiiielii mit der Grösse KA + Bx-f Cx². Grösse kann auch geschrieben werden

x+x²,

xm

-CVT⁻-

Kc]/

weshalb man, der Allgemeinheit unbeschadet, die Quadratwurzel aus obigem quadratischen Ausdruck in der Form |^a+bx + x² voraussetzen kann.

Es ist bereits im § 86 eine Differentialformel, die diese Wurzelgrösse enthält, integriert worden. Auf demselben Wege, auf dem diese entstanden ist, erhält man auch das Integral von dxj/a-fbx — x².

Setzt man in Formel (10) von § 90

b -j- y = x, dy = dx, b² -f 2 b y -f y² = x²,

so kommt

b yZ y % 2 _ b² — 2 by — y²

+ C.

, a² .b + y 4- — arc sin ■■ -.....-

2    a

1/A + By-y²

Setzt man hierin a² — b² = A, — 2 b = B, so wird (1) JdyJAX + By — y² =

arc sin

r + °-

4A + B²

2y-B

V 4 A 4- B

Um die Integrale der Formeln

, dx]Aa-|-bx + x²

dx

Y a-fbx4x²

zu erhalten, setze man in Formel (3) des § 88 und Formel (11) des § 90, wie oben, die Grössen b+y = x, dy = dx und erhält

dy

= = I + y + Va² + b² + 2 b y + y²^) + C,

J7a² + b² + 2by + y Jdy 7a² + b² + 2 by + y² =    7a² + b² -f 2 b y + y² + C

+ -g- ^ Tb + y + Ka² 4- b² + 2 b y + y²^)-

Setzt man hierin a² -f b² = A, 2b = B, so wird

dy

= /(|- + y+KA + By + y^) + c.

(3) Jd y V A + B y + y² =    K A + BTT7² j- C

¹ (t+y +    +ßy4-y*y

(2)

7 A + By + y ²

4 A — B²

Es sei das Integral der Formel

zu finden, in

x,n+' d x

7a -|- b x + c x2 der c positiv oder negativ sein kann. Durch Differentiation folgt

d (xm 7a -j- b x -(- c xv) =

m xm

d x 7a b x -|_ c x2 xm (b -f- 2 c x) d x 2 Va-f-b x + cx²

Bringt man die Glieder rechts unter den gleichen Nenner und ordnet, so kommt

d (x'”7a -f- b x -f- c x²)

m a xm ~¹ d x

2 (m -j- 1) b xm d x

2 V^a-f-k x-[~c x²

(m-f- l)cxm + 1dx 7a -f- b x -|- c x²

Dividiert man durch (m -|- 1) c, versetzt die Glieder und integriert, so erhält man

(4)

Y a-|- b x -f- c x²

(m 1 ) c

xm d x

(2 m -\-1 ) b

2 (na    1) c J 7a -f- b x -|- c x²

xm — 1 (] x

(m-j-l)cj 7a -j- b x -f- c x²

Für m = 0 geht diese Formel über in

7a-|-bx-}-cx²

J 7a-)-bx-|-cx²

b r

2cJ 7a-j-bx+cx²

dx

Das letzte Glied kann nach dem Vorhergehenden integriert werden und zwar nach (2), wenn c positiv oder nach (6) des § 86, wenn c negativ ist. Formel (4) ist eine Rekursionsformel, aus der man nunmehr, indem man der Reihe nach m= 1,2,3,... einsetzt, das Integral für einen bestimmten Wert von m berechnen kann.

Für a — 1, b = 0, c = — 1 erhält man aus (4) die weitere Rekursionsformel

¹xm_1d x K 1 — x²

Um den Ahsdruck x"~ ¹ d x Ka -(- b x -j- c x² zu integrieren, multipliziere und dividiere man mit |/"a -f- b x -|- c x² ; man erhält als Differential

(5)

x’“+¹ d x

Ki — x²

*VT=*-\

m-j-1

m-fl

X‘i-1

dx(a-f bx-fc x²)

b x -j- c x²

das nach (4) integriert werden kann.

344. Transceudeute Differentiale. Um die Differentiale

sin x

und

cos x

zu integrieren, schreibe man

f* d x sinx

-s-

sin x d x

d (cos x)

sin²x

cos?x ’

cos x d x

cos"x

d (sin x)

1 — sin²x '

Setzt man cos x = y und sin x = z, so erhält man

=JVZ

p dx    p

J sin x J

dy

i — y

Nun erhält man aber durch die Methode der Zerlegung in Partialbrüche

cos x

_____¹ i 1    1

1 — y² 2 l-J-y ¹ 2    1— y

Folglich wird

sin x

IO: H-

dy

i+y

Kt

dy

i,i+y

Jdx

Ganz ebenso ergibt sich

(1)

sin x

- y

1 , l j~ cos X

1 — COS X

r + C.

—j- c. y

(2)

1 -j- sin x 1 — sin x

+ c.

COS X

Setzt man — n statt -f n in die Formeln (8) und (9) des § 88 und versetzt die Glieder, so erhält man wie dort

(3)

sin"⁺¹ x

(4)

1 COS X

n sin" x 1 sin x

(1 x

sin"⁻¹ x

dx

COS"⁺¹ X

Für n = 0 sind diese Formeln unbrauchbar. In diesem Falle sind die Formeln (1) und (2) anzuwenden. Allein (1) und (2) kommen auch zur Anwendung, wenn man n = 2,4, 6,. . in die Rekursionsformeln (3) und (4) einführt.

Man erhält für n = 1 und 2 :

n cos" x

COS"- 1 X

(5)

dx

COS X

sin²x

sinx

rx

sin x

(6)

1 cosx

sin³x

2 sin²x

Tl~l

COS²X 1 -j- COS X

cos x

+ C.

— COS X

f C.

(7)

1 sin x

cos³x

2 cos²x

⁺ Tl

1 + sin x

1 — sin x

+ 0.

Es sei der Ausdruck sinmx cosqx d x, in dem m und q ganze Zahlen bezeichnen, zu integrieren. Man betrachte zunächst q als eine gerade Zahl, setze also q = 2n; man kann dann schreiben

(8)

sinmxcos²" xdx = sinmx(1 — sin²x)" dx.

Entwickelt man (1 — sin²x)" nach dem binomischen Satze, so enthält der vorstehende Ausdruck eine endliche Anzahl Glieder von der Form sinpxdx, die vermittelst Formel (8) des § 88 integriert werden können.

Ist q eine ungerade Zahl, so setze man q = 2 n -f- 1, wodurch man erhält

sinmx cos2 U + 1 xdx = sinmx (1 — sin²x)" cos x d x.

Wird hier nach dem binomischen Satze entwickelt, so erhält man Glieder von der Form sinpx cos x d x, die nach Formel (6) des § 88 integriert werden können.

Auf demselben Wege können die Ausdrücke

sin'>x

(9)

cosqx

sin™ x

d x,

cosmx

integriert werden. Wenn q eine gerade Zahl ist, so erhält man die Formen

(1 — cos²x)"

cos'"x

(1 — sin²x)" d x

sinrax

die nach (3) und (4) dieses Paragraphen oder nach (8) und (9) des § 88 zu integrieren sind.

Wenn q = 2n + 1 eine ungerade Zahl ist, so wird

cosqx ,    (1 — sin²x)" d (sin x)

sin’"x

dz = -—— --.

smmx

Setzt man hierin sin x = z, so kommt cos^x sinmx

Diese rechte Seite ist eine rationale algebraische Funktion, die integriert werden kann.

Wendet man auf den Ausdruck

x¹¹ arc sin x d x

(10)

dx ==

(1 — z²)¹¹ dz

zm

die Formel

J¹ y d u des teilweisen Integrierens an, indem

man setzt

d v = xn d x, u = arc sin x,

so erhält man zunächst

xn+¹

V = -

n + 1’

dx

Ki -x²

Führt man die Werte von u, v und du ein, so folgt

x“ arc sin x d x —

x" + 1

x11 4 1 d x

arc sin x —

Ki — x²

Und hierin kann das zweite Glied rechts nach Formel (5) des § 343 integriert werden.

n -j- 1

n+ 1

Integral J*e_x2

Es sei das

redlining vorkommt, abzuleiten. Entwickelt man e-x2 nach Formel (4) des § 68 in eine Reihe, so kommt

dx, das in der Wahrscheinlichkeits-

e~ = 1

x²

x⁴

x⁶

1-2-3

1-2

Folglich wird, indem man mit dx multipliziert und integriert,

(11) fe

i/ o

- x2 d x = x —

x³

X⁵

X⁷

3    ‘2*5    2 • 3    7

Die erste dieser beiden Reihen ist für jeden endlichen Wert von x konvergent, also ist es auch die zweite Reihe.

345. Reihe von Johann Bernoulli. Durch wiederholte Anwendung der Formel

des teilweisen Integrierens erhält man

J f (x) d x = f (x) • x — J f' (x) • x d x,

J f'(x)-xdx=f'(x)~—J f“(x)-ydx,

n    -y“î    y 3

Jf"(x)—dx=f"(x).—

J f"'(x)■

x³

2-3

d x,

und durch Addition dieser Gleichungen

f(x)-X - f'(x)-

to

+ f" (x) •

x³

2-3

— f'" (x) •

x⁴

2-3-4

Dies ist die von Johann Bernoulli zuerst angegebene Reihe. Sie ist, wie jede unendliche Reihe iiherhaupt, nur zulässig unter der Bedingung ihrer Konvergenz.¹ jjSJ

Um das Integral ^l x d x nach dieser Formel abzuleiten, hat man

f' (x) = X f,// (x) = 2 x ³ ; flv(x) = — 6x-⁴;

f" (x) = — x⁻²; fv (x) = 24 x⁻⁵, etc.

Setzt man diese Werte in die vorstehende Reihe, so ergibt sich = x fix ——-

1-2    2-3    3-4

..) + 0.

II. Leber bestimmte Integrale.

340. Ableitung von Integralformeln durch Variation einer Konstanten.

Die gegebene Gleichung sei

(1)

u = P f(x,ff)dx,

in der « eine Konstante bezeichnet, die in irgend einer Weise mit der Yariabeln x zusammenhängt. Setzen wir voraus, es sei a von den Grenzen a und b unabhängig. Denkt man sich a veränderlich und bezeichnet man den Wert von u, der entsteht, wenn a in a + A a übergeht, mit u + A u, so ist = f f (x, a -f A «) d x.

t/ a

Folglich durch Subtraktion

= J [f (x, a -f A a) — f (X, a)] d x,

oder indem man durch A « dividiert,

(2)

-J

b f (x, a -f A «) — f (x, «)

A «

Allein es ist nach § 10

d x.

lim

f (x, « -f- A «) — f (x, «)

d f (x, a)

A(c — 0

Um daher die Gleichung (1) in Hinsicht einer Konstanten « zu differenzieren, kann man die Differentiation der Grösse hinter dem Integralzeichen, ohne Rücksicht auf dieses Zeichen, ausführen. Konstante wird häufig Parameter und das Verfahren die Differentiation nach einem Parameter oder auch die Differentiation von Kurve zu Kurve genannt.

Die

Geht man daher in (2) von der Differenz zum Differential über, so ist

df (x, a)

(3)

du

-r

dx.

Dieser von Leibnitz ausgesprochene Satz kann dazu benutzt werden, um aus bereits bekannten Integralformeln andere abzuleiten, wie folgende Beispiele zeigen.

I. Es ist

/•

dx = —

/•

d (— a x) =--e

+ 0,

P GO

⁶

J 0

dx =

Differentiiert man in Hinsicht a, so kommt nach 1, 2, .. n maliger Wiederholung

f*co

xe J o

«xdx =    )

ai

dx =

a³’ '•

xn e

dx =

2-3 ... n

an +1

II. Es ist

, 1

x"dx=-—.

n + 1

Differentiiert man 1,2, ..mmal in Hinsicht n, so kommt

x"Hdx = —

(u l)z S o

x" Pxdx =

(n + 1)

(n + l)m+ r

IU7. Vereinfachung gewisser Rekursionsformeln durch Anwendung von Integrationsgrenzen. Rach Formel (5) des § 343 ist z. B.

xm + 1dx

xm i r--r, .    m fxm -¹ d x

V 1 -- x*

m + 1    ⁺ m + 1 J y 1 _x²‘

Hieraus folgt

(1)

i xm -e ' d x

xm

dx

oKl-x2 m + 1 J 0 Kl — x²

Run beachte man, dass man nach § 86 und 88 hat

¹¹ xdx

oFi^⁼ '

dx

Mit Hilfe dieser Integrale ergeben sieb nun aus (1) folgende neue, wenn m = 1, 2, 3 . . gesetzt wird,

x² d x

JoVÏ=T*

x⁴ dx

1 TT

1-3 TT

oK 1 — X2 11 x⁶ d X

2-4 2

1-3-5 TT

J 0 V 1 — X²

und daher allgemein

2-4-6 2

IAJ^Tx² ~ "8 ’

x⁵ d x

oFl^2==TT^’

2-4-6

oFr^“3T5"-”7’

x⁷ d x

2-4

T* 1

(2)

x²¹¹ d x

1 • 3 - 5 . . (2 n — 1) n

J K i ^x ²

>1x2n + ¹dx _

0 FT^P ” 3-5-7 77(2 7TÏT

Diese Formeln können noch wie folgt umgewandelt werden. Setzt man x = sin (f, führt also den Bogen (f statt x ein, so entspricht der untern Integrationsgrenze der Wert sin (f = 0, also auch Bogen (f = 0;

Jt

dagegen der obern Grenze der Wert sin (f — 1, also der Bogen <f = —.

2-4-6..2n

(3)

2-4-6..2n

7t

Das neue Integral ist also von <p — 0 bis (f — — zu nehmen. Aus x = sin <f folgt aber d x = cos (f d (f

Somit gehen (2) und (3) über in

cos (f d (p Y1 — x² Y1 — sin²«/¹

d «f.

71

(4) f

J 0

sin² " ff d (f

1-3-5. .(2n — 1) Ti

2-4-6..2n

71

(5)

sin²¹¹ +¹ (f d (f =

2-4-6..2n

3 - 5 • 7 . . (2 n + T) '

Man erhält daher für n = 1, 2, 3,..

71

J' =

71

I sin⁴ (fd(f =

1 TT

1- 3 TT

2- 4 2

f sm³(fd(f — J o

71

f sin⁵ (f d(f —

J o

ICO

2-4

3-5

— u. s. w.

Setzt man in (2) und (3)

x = cos (f, so ist d x = — sin ff d </>,

sin (f d (f

— d (f ;

Kl— COS² (f

to a

den Grenzen x = 0 und x = 1 entsprechen dann die Grenzen (p = und (f = 0 ; da aber

f° *<f = f a<p,

71    tJ o

so gehen (2) und (3) über in

TT

(6)

cos'- " (f d (f

1 • 3 ... (2 n — 1)

2-4. ..2n

i CM

-f

sin²J' (f d (f ;

71

cos" " +¹ (f d (f =

2•4 ... 2 n

sin2n + I (f d cf .

3 • 5 ... (2 n -f- 1)

Eine andere Umwandlung ergibt sich, indem man y = a(l —cos if) in (4) setzt. Man erhält

y

d y — a sin (f d (f, cos (f = 1--, sin '(f —

ci

ur(2a^

sin2 n <f d (f —

a-

2 a y — y²

a²

y2)"-i K2 a — y² dy.

Die Grenzen der Integration von (4) ändern sich wie folgt. Für

7T

die untere Grenze (f — 0 wird y = a(l — 1 ) = 0 ; für die obere —

dagegen y = a^l — cos -^) = a. Daher erhält man aus (4)

(8) P (2ay — y²)"-¹ ]/"2ay —y²dy J o

1 • 3 • 5 . . (2 n - 1)

2-4-6..2n

a2n.

Zu einem weitern Beispiele dieser Art kann Formel (8) des § 90 benutzt werden. Man erhält allgemein

¹ xn—1 d x

1 + n I ₀ Kl- x²

xn_1 d x Kl — x² = —'

J o

und speziell für n = 1,2, 3,.. mit Benutzung der vorstehenden Resultate

Ki — x²=

LO! H-

to a

f x d x Kl J o

— x² —

rt \    _____

x² d x K1 - x² -----c

Jo    2

/■>! __

J x⁴dxKl

- x² =

rr- r—⁴

-o

1-3 TC 2 4 "2

J’x³dxKl

i x⁵ d x K1 — x2 J 0

— X² =

1 -2

3-5

1-2-4

3-5-7

-etc.

348. Bestimmte Integrale für besondere Grenzen. Wenn allgemein

Jf (x) d x = F (x) + C,

so erhält man nach § 92 als bestimmtes Integral

rUf(x)dx = F(b) — F(a).

a

Bei Anwendung dieser Formel hat man sich jedoch immer zu überzeugen, ob die Natur der Funktion die Grenzen a und b zulässt. In welchem Sinne dies gemeint ist, mögen folgende Beispiele zeigen.

I. Bei der Quadratur der gleichseitigen Hyperbel, § 113, wurde als Fläche zwischen der Kurve und der Abscissenachse gefunden

Dehnt man hierin die obere Grenze ins Unendliche aus, so wird der AVert des Integrals unendlich gross, also unbestimmt, während es zum Wesen des bestimmten Integrals gehört, immer einen bestimmten endlichen Wert zu besitzen. Lässt man a der Null sich nähern, so nähert sich der Wert des Integrals wieder der Grösse go. Dabei wurde a positiv vorausgesetzt. Nimmt .man aber a negativ an, so wird das Integral imaginär. In der That zeigt auch die Figur zu § 113, dass die Kurve keine Punkte, also auch keine Flächenelemente auf der negativen Seite der Abscissenachse hat. Es können also auf dieser Seite auch keine Flächenelemente summiert werden. Somit müssen im vorstehenden Integral die Grenzen a und b positiv und endlich sein.

II. Aus dem unbestimmten Integral

2 x²

x³

folgt

r»b dx

J . X³ 2

Dehnt man hierin die obere Grenze bis b = co aus, so geht der Wert des Integrals rechts über in den Grenzzustand

Dieser Wert ist

9! rj.2 '

ein bestimmter endlicher Wert, es kann daher auch die obere Grenze bis b = go ausgedehnt werden.

Nimmt die untere Grenze a, als positiv gedacht, gegen Null ab, so nähert sich das Integral der Grösse go und erreicht sie für a — 0. Dieser Grenzwert darf also nicht in Anwendung kommen. Allein es kann auch a nicht negativ und b positiv sein, weil sonst die \Tariable x sich von — a bis + b ändern, also durch 0 gehen müsste. Sind dagegen a und b negative Abscissenwerte, so gilt für diese was für positive. Wenn daher « ein sehr kleiner, der Null nahe liegender Wert ist, so kann das vorstehende Integral wie folgt genommen werden

1 1

2 * «²’

-f-co dx

x³

= ₊ _L.±

¹    2    a²'

349. Xäherungsweise Bestimmung bestimmter Integrale. Lässt sich das bestimmte Integral

ob

I f(x)d x

*J a

durch keine der bisher in Anwendung gekommenen Methoden finden, so bestimme man seinen Wert näherungsweise wie folgt. Es sei x die Abscisse und f(x) die Ordinate einer Kurve BE (Fig. 119). Ist diese Kurve stetig zwischen den Grenzen

x = a — O A und x=b = OD,

so werden die diesen Grenzen entsprechenden Ordinaten AB = f (a) und D E - f (b) sein.

Fig. 119.

I. Trapezmethode. Man teile den Unterschied AD = b — a in n gleiche Teile h, mache also h = AA' = A' A" = .., bezeichne der Einfachheit wegen die Ordinaten, die den Abscissen a, a + h, a -f 2 h, ,.a-f nh entsprechen, mit yo, yi, y2, . .y„ und betrachte die Flächenteile zwischen je zwei benachbarten Ordinaten als Trapeze; dann sind die Inhalte dieser Trapeze

A A' A"

(yo +yi),

-i + y»).

-y Oh +y2)> •• -y Ob“

Die Summe dieser Trapeze ist annähernd der Wert des bestimmten Integrals. Folglich wird die Formel

(1)

Xaf (x)d x = h -|-y₀ +yi +y₂ + .. +yn-i + yyDJ

um so näher den Wert des gesuchten Integrals geben, je kleiner das Intervall h genommen wird.

II. Simpson¹sehe Methode. Es gelte die bisherige Bezeichnung. Man teile den Abschnitt AA" = 2 h in drei gleiche Teile und errichte in den beiden Teilpunkten die Ordinaten v und u; betrachtet man die dadurch zwischen den Ordinaten y₀ und y₂ entstandenen drei Flächenteile als Trapeze, so ist ihr Inhalt gleich

Y (yo 4- v) + ~ (v + u) + ~ (u + y₂ ) = ~ (y₀ + 2 v + 2 u + y₂ ).

Diese drei Trapeze geben den Wert der Fläche ABB"A" genauer als die beiden Trapeze zwischen den Ordinaten yo,yi und yi,y₂.

Dieser Wert ist jedoch zu gross oder zu klein, je nachdem die Kurve ihre konvexe oder konkave Seite der Abscissenachse zukehrt. Setzt man noch v -f u = 2 yi, was sehr nahe richtig ist, so wird der Ausdruck für die Fläche im ersten Falle kleiner, im zweiten grösser, so dass eine teilweise Ausgleichung der Fehler entsteht.

Dadurch wird die zwischen y₀ und y₂ liegende Fläche

A A" B" B =

y (yo + 4 yt + y₂).

Ganz ebenso ist die Fläche zwischen je zwei weitern Ordinaten mit geraden Stellenzeigern

— rc

(y2 4- 4y₃-hy4),

(y^-Mys 4-y«)» • •

Durch Summation dieser Ausdrücke erhält man den angenäherten Wert der ganzen Fläche zwischen y₀ und y„ gleich

(2)

[yo 4- 2 (y₂ 4 y₄ 4- • •

fbf(x)dx =

J a

4- yu-a) + ⁴ (yi 4 ys + • • 4- yu - 0 4 yj.

Diese Formel, die verlangt, dass die beliebige Zahl n gerade gewählt wird, nennt man die Simpson’sehe Regel.

III. Poisson’sehe Methode. Das unbestimmte Integral von f (x) d x sei (f (x) ; dann ist

(3)

I f (x) d x = (f (x) 4- C

und somit für die Grenzen a und b

(4)

4

f (x) d x =

J a

(f (b)-(f (a).

Diiferentiiert man (3), so kommt

(5)

f(*) =

dy (x)

dx

= 4 (x)-

Der Wert von (f (b) — (f (a) des bestimmten Integrals kann nun aus der Relation (5) ermittelt werden. Man erhält vermöge des Taylor’sehen Satzes

h²

h³

<p ,(a 44 ⁼ ? (a) 4łl f(a) 4—^f ' (a) \—g⁻ f" (a) 4 • • <f (a -f 2 h) = (f (a 4 h) 4 h f (a 4 h) 4—^ (a 4 h) 4 • •

h²

ç(a4-uh) = ç(a4nh— h)-j-hf(a4nh~h) 4—-^-f'Ca+nh— h)-f-.

Setzt man in diesen Gleichungen n h - b — a und addiert sie, so

kommt (6) (f (b) — (f (a) = h [f (a) -j- f (a h) -(-••4f(a4nh~— h)]

+ y[J'(a) + «'(a + h) + .. + f (a + nh - h)]

+ y [£" (a) + f" (a + h) + .. + f" (a + nh - h)]’ +..

Ganz ebenso wird sein

(7)    f (b) — f (a) = h [P (a) -f P (a 4- h) -f .. 4- P (a -f- n h — h)]

+ y tf/' (a) + f//(a + h) + .. + f"(a 7f n h — h)] + ..

(8)    P (b) - P (a) = h [f" (a) + f« (a + h) + .. + P' (a + n h - h)] -f..

!<N

und (8) mit

J. —

und addiere nach-

Man multipliziere (7) mit —

her diese Gleichungen zu (6), setze dabei h als eine sehr kleine Grösse voraus, so dass in der Summe die Glieder, die h in einer [höhern als der zweiten Potenz enthalten, vernachlässigt werden können; alsdann erhält man mit Rücksicht auf (4)

(9)

P f (x) d x = h

J a

f(a) -f- f (a -+■ h) -j-.. -f f (a -f nh — h) -f — f(b)

h²

12

f'(b)-f'(a)

Das erste Glied rechts in (9) stimmt mit der Formel der Trapez-Methode überein. Wegen des zweiten Gliedes rechts bietet die Formel (9) jedoch eine grössere Genauigkeit dar als jene der Trapez-Methode.

Beispiel. Es soll der Wert des bestimmten Integrales

f*¹’² dx

1 4- x³

U=J»

näherungsweise berechnet werden.

Teilt man die Abscissendifferenz b —a = 1,2 — 0 in sechs gleiche Teile, so erhält man als Werte der Abscissen und entsprechenden Or-dinaten

Absc. = 0    0,2

Ord. = 1    0,9920    0,9398    0,8224    0,6614    0,5000    0,366 5.

Setzt man diese Ordinaten von yo an bis y(i in die vorstehenden Formeln und nimmt h = 0,2, so erhält man als Wert’ des Integrales: I. Rach der Trapez-Methode

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

u = 0,2-4,599 1 = 0,9198. II. Nach der Simpson’schen Regel

0,2

• 13,826 7 = 0,9218.

O

III. Nach der Poisson’schen Formel hat man zunächst

3 x²

f(x)= -

f(X) ' “1 +x»

Der Wert von P(x) wird für x = 0 = a und x = l,2 = b zu

(l-fx³)²’

f'(a) = 0,    f(b)=—0,5803.

Folglich ist das Glied

h²

₁₂ [f(b)-f'(a)] =

0,04

-0,5803 = 0,0019,

und da das erste Glied rechts in der Formel (9) gleich dem Werte ist, den die Trapez-Methode gibt, so ist der verbesserte Wert

u = 0,9198+0,0019 = 0,9217.

Man sieht, dass die drei Werte, namentlich die beiden letztem, nur wenig von einander abweichen.

111. Länge der Kurven im Raume.

350. Ausdruck fiir das Bogeuelement. Denkt man sich die Kurve aus unendlich kleinen, geradlinigen Bogenelementen zusammengesetzt, so kann man durch je zwei aufeinander folgende eine Ebene legen. Eine solche Ebene heisst Krümmungsebene (Oskulationsebene) und der Winkel, den die zwei Bogenelemente einer Krümmungsebene bilden, Kontingenzwinkel (§ 327). Dieser Winkel ist das Mass der ersten Krümmung. Je zwei aufeinander folgende Krümmungsebenen schneiden sich und bilden einen Winkel, der als Mass der zweiten Krümmung der Kurve betrachtet wird.

Ist die Kurve auf drei recht winkelige Achsen bezogen, so kann sie als gegeben angesehen werden durch ihre Projektionen auf zwei der drei Koordinatenebenen xy, xz,yz.

Sind nun x,y,z und x + dx, y + dy, z + dz die Koordinaten zweier einander unendlich nahe gelegener Punkte der Kurve, so kann mau das dazwischen liegende Bogenstiick, das wir mit ds bezeichnen wollen, als geradlinig anseben. Alsdann ist ds die Diagonale eines rechtwinkeligen Prismas, dessen Kanten dx, dy und dz sind. Folglich wird sein

d s = Y d x² + d y - + d zl oder

ds

(1)

Die Winkel, die das Bogenelement ds mit der x-, der y- und der z-Achse macht, seien a,ß.y; dann ist

(2)

cos « —

dx

dz

cos, = —.

Durch (1) wird die Länge und durch (2) die Richtung der Kurve im Punkte (x, y, z) bestimmt. Erhebt man die Gleichungen (2) ins Quadrat und addiert sie, so folgt

COS-« 4" COS-ß + COS-;' = 1.

Um den Bogen s der Kurve zwischen den Abscissen x₀ und x zu finden, hat man nur das Integral

s ==

(3)

dy

X CS3

auszuführen, zu welchem Zwecke die Verhältnisse

Gleichungen der Kurve abzuleiten, in einer Variabein x auszudrücken und in Formel (3) einzuführen sind.

dx’ d

aus den

351. Länge einer Geraden im Räume. Die Gleichungen der Projektionen der Geraden auf die Ebenen xy und xz seien y = ax-(-a'; z = bx-j-b'.

Hieraus folgt

a;

dx

d s = d x J/" 1 -Ç- a²-j- b²

und mithin die gesuchte Länge

P dx Vl -f- a² -f- b² = (x — x₀) Kl+ a² ~r L²-

J x₀ .

352. Länge einer Schraubenlinie. Die Achse eines Kreiscylinders vom Halbmesser a falle in die z Achse und seine Grundfläche in die Ebene xy. Es befinde sich auf der Cylinderfläche eine Schraubenlinie, die den konstanten Winkel a mit der Ebene xy bildet und in der x Achse beginnt. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes seien x, y, z. Man lege durch diesen Punkt und die z Achse eine Ebene. Bildet sie mit der Ebene xz den Winkel <f, wobei (p im Bogenmass ausgedriickt wird, so ist

z = a (f tang «.

x = a cos (f ,

y =±= a sin </,

Hieraus folgt

d x = — a sin <f d (f, d y = a cos (f> d (f, dz = a tang a d (f,

d s² = d x² + d y² -f- d z² = a² (1 -j- tang²a) d (p² — ¹ d (f =

a²

cos² a

cos a

—(y - <f o).

cos a

J (fo

353. Schnittlinie zweier CylinAerflächen. Die Achsen zweier Cylinder, die gleiche Halbmesser a haben, sollen sich schneiden und zwar unter rechtem Winkel. Es ist die Länge der Kurve zu bestimmen, längs der sich die Cylinderflächen durchdringen.

Nimmt man die Achse des ersten Cylinders in der zAchse, die der zweiten in der xAchse an, so ist die Gleichung der ersten Cylinderfläche auf der Ebene xy

(1)

x² + y² = a², und die der zweiten auf der Ebene yz

(2)

y² -j- z² = a².

Für die Durchschnittskurve müssen die Werte von x, y, z in beiden Gleichungen gleich sein. Setzt man die Werte von a² einander gleich, so folgt

(3)

x² = z²,

woraus sich ergibt x = fz, d. h. die beiden Durchschnittskurven projizieren sich auf der Ebene xz als zwei gerade Linien, die die zAchse unter Winkeln von 45° schneiden. Mithin liegen diese Kurven in Ebenen, die zur Ebene xz senkrecht stehen. Diese Ebenen schneiden sich längs der y Achse.

Aus (1) und (3) folgt durch Differentiation

dy

dx

dx

4-±i.

Vermittelst dieser Werte erhält man

x-y²

Führt man hierin den Wert von y aus (1) ein, so kommt

(4)

= dxl/

2 a² — x²

a² — x²

d x = a cos (f d (f

Um diese Formel zu integrieren, setze mau x = a sin (f ,

und erhält aus (4)

V'2 — sin²y-y 1 — sin² (f

Entwickelt man die zweiteilige Grösse nach dem binomischen Satze in eine Reihe, so wird

d s = a cos (f d (f

— a y 2 d <f ^1

sin² <f

(5) ds = *y 2à(f(\

sin²</> sin⁴<£ sinR(p 5 sin⁸(f 32"    128"    2“ 048

Um den vierten Teil einer der beiden Kurven zu erhalten, muss

71

x von 0 bis a, also ff von 0 bis — genommen werden. Die Grossen

sm-(f d ff, sinx(fd<f,.. werden integriert nach Formel (4) des § 347. Man erhält als bestimmte Integrale, entsprechend den Gliedern in der Klammer

7i n

ro i h-*

ins! ^

CO MH

INS.

CO MT

5    71

»U

lO ! CO

l> 00

Bezeichnet daher s die Länge einer ganzen Kurve, so erhält man vermittelst dieser Werte aus (5)

s = 27ra-J/~2(l —

¥ — T5¥ ~~ TÜT¥ ~ TlWi'T

s = 1,216 • 2?ra.

Es verhält sich daher der Cylinder um fang zur Kurvenlänge wie 1 000 : 1 216.

Ein

354. Schnittlinie einer Cylinderfläche und einer Kugelfläche.

gerader Kreiscylinder gehe durch eine Kugel. Man soll die Länge der Kurve bestimmen, längs der sich beide Oberflächen schneiden, und zwar unter der Voraussetzung, dass der Mittelpunkt der Kugel auf der Cylinderfläche liege und dass der Durchmesser des Cylinders gleich dem Halbmesser der Kugel sei.

Man nehme den Mittelpunkt M der Kugel (Fig. 120) zum Ursprünge rechtwinkeliger Koordinaten und lege die y Achse parallel zu den Seitenlinien des Cylinders, also senkrecht zur Ebene der Zeichnung. Dann werden die Kugel- und Cylinderfläche geschnitten durch die Ebene xz längs zwei in der Figur abgebildeten Kreisen, die in A einander berühren.

Fig. 120.

Ein Punkt B des cylindrischen Schnittkreises habe zu Koordinaten MC = x, BC— z; dann ist (CB)'² = MC-AC. Wenn der Halbmesser der Kugel = a, so wird AC = a-x; daher die Gleichung der Cylinderfläche auf der Ebene xz

(1)

z² = ax — x².

(2)

Die Gleichung der Kugelfläche aber ist] x² -f y² -j- z² = a².

Eliminiert man die

Für die Kurve, längs der sich die Oberflächen schneiden, müssen die Koordinaten x, y, z einander gleich sein.

Grösse z aus (1) und (2), so folgt als Gleichung der Kurve auf der Ebene xy

y² = a² — ax.

Die Kurve projiziert sich daher auf diese Ebene als Parabel.

Dem Punkte B entspricht eine Ordinate y, liegend im Cylinder-mantel. Sie schliesst mit dem Kugelradius a und der Sehne M B = r ein rechtwiukeliges Dreieck ein, das kongruent ist dem Dreiecke MAB. Denn das erstere Dreieck mit den Seiten y, a und r gibt y² = a² — r²; ebeuso gibt das zweite Dreieck die Delation (AB)² = a³— r²; folglich ist y = AB.

Nun sei Winkel AMB = «; dann wird

(3)

y = a sin « ;

r = a cos «.

Lässt man nun x in x -f dx übergehen, so wird a zu a — da und r zu r -f- d r. Dabei rückt der Punkt B in der Richtung nach A hin vor um einen Bogen, der als Hypotenuse eines recht winkeligen Dreiecks angesehen werden kann mit den Katheten r d « und d r ; die Länge des Bogens ist daher ]/\r d a)² -f- d r². Gleichzeitig ändert sich y um d y. Daher ist die Gleichung für das Bogenelement der Schnittkurve

d s² = dy² -f- r² d «² -f d r².

Nun folgt aus (3)

d y = a cos a d a ;

d r = — a sin a d a.

Daher ist

(4)

d s = a d «    1 -f- cos²a.

Dieses Differential kann nur durch Annäherung integriert werden. Es sollen folgende zwei Verfahren zur Anwendung kommen.

a) Mittels Reihen. Die Wurzelgrösse gibt

7 cos¹⁰«

256    ' '

Multipliziert man mit da und integriert zwischen den Grenzen a = 0

(1 -j- cos-a) = 1

cos²a cos*a

cos⁶a 5 cos⁸«

16

128

bis a =p 77

so wird s zur halben Kurvenlänge. Die Integrale von

2’

cos-« da, cos⁴« d . können nach Formel (6) des § 347 ausgeführt werden. Man erhält der Keihe nach folgende bestimmte Integrale

Tl

to

to I I—¹

ÎO :

Oïl Ü<

toi 3

co

Oil O’

i— .oo

daher als Wert der ganzen Kurvenlänge

s = n a (1 + i — Ti + 2It ~~ hÜ4 + s = 1,218 n • a.

4 41- -6 5 5 3 6

+ • •)

Man denke sich den Bogen « als Lässt man

b) Mittels Konstruktion.

Abscisse abgeti’agen; ebenso ]71 -f- cos²a als Ordinate.

71

nun a von 0 bis wachsen, so beschreibt die Ordinate eine Fläche,

TL

deren Inhalt das Integral von d a V1 + cos’^a ist.

7t

zur Länge —-a; ist h ihre mittlere Höhe, so ist das Integral (4) für die angegebene Ausdehnung

Diese Fläche hat

(6)

7- a h. 2

Allein die Krümmung der Kurve, die die Fläche begrenzt, ist unerheblich. Man überzeugt sich davon, wenn man eine Anzahl Ordi-naten aufzeichnet und ihre Endpunkte stetig verbindet. Verbindet man die Endpunkte der Endordinaten durch eine Gerade, so entsteht ein Trapez, dessen Inhalt etwas zu klein ist; zieht man aber zu jener Verbindungslinie die Parallele durch die mittlere Ordinate, so wird die Fläche des Trapezes etwas zu gross. Das Mittel zwischen beiden Trapezflächen kann als ein sehr angenäherter Wert der Fläche angesehen werden.

Nun sind die Endordinaten 1 und ]/"2— 1,414 2; ihr Mittel daher

1,207 1 und nach (6) die Trapezfläche = 7- • 1,207 1 a.

z

7t

Die mittlere Ordinate, also die für —

4

7t

daher nach (G) die Trapezfläche = — • 1,224 7 a.

Nimmt man nun das Mittel aus beiden Werten und multipliziert mit 2, so erhält man als angenäherten Wert der Kurvenlänge

s - 1,216 n • a.

Würde sich die Durchschnittslinie auf die Ebene xy als gerade Linie projizieren, so wäre die Kurve ein ebener Schnitt durch die Cylinderfläche, also eine Ellipse und zwar mit den Achsen a und a y 2 und, nach § 353, mit einer Länge = 1,216 7r • a. Daher ist die wirkliche Schnittlinie nur um sehr wenig länger als diese Ellipse.

ist = Y~ 1,5 = 1,224 7 ;

IV. Volumen der Körper.

355. Volumen eines Körpers in rechtwinkeligen Koordinaten. Die

Gleichung der Oberfläche, die den Körper begrenzt, sei

¹

dy K^² — b² — 2 b y — y² —

(1)

z = f (x, y).

Man denke eine Cylinderfläche konstruiert, deren »Seitenlinien sämtlich den Körper berühren und parallel der zAchse sind, also senkrecht auf der x y Ebene stehen; diese Cylinderfläche schneide die Ebene xy längs einer Kurve elifk (Fig. 121). Die Fläche, die diese Kurve einschliesst, kann als die Projektion des Körpers auf die Ebene xy angesehen werden. Zieht man von a und c aus Tangenten an diese Kurve, parallel zur y Achse, und ebenso von m und n Tangenten an dieselbe, parallel zur x Achse, so wird die Kurve von diesen vier Geraden eingeschlossen.

I.    Man lege einen ebenen Schnitt durch den Körper parallel zur Ebene y z im Abstand A b = x vom Anfangspunkte aus. Diese Schnitt-ebene schneide die Projektion längs der Geraden e f. Die Fläche dieses Schnittes sei X. Lässt man x um dx zunehmen, d. h. rückt X um d x parallel zu sich selbst fort, so beschreibt X das Volumenelement X d x. Dieses Volumenelement ist ein unendlich Kleines der ersten Ordnung. Lässt sich X in x allein ausdrücken, so hat man nur das Differential X d x zu integrieren, um den Inhalt des ganzen Körpers zu erhalten. Die Grenzen von x sind hierbei die Werte A a und Ac.

Fig. 121.

pf

ir

Man lege einen ebenen Schnitt durch den — Körper, parallel zur Ebene xz, im Abstande y = A g vom Anfangspunkte aus. Diese Schnittebene schneide die Projektion längs der Geraden hk. Der Wert dieses Schnittes sei Y. Lässt man y um dy zunehmen, d. h. schiebt man Y um d y, parallel zu sich selbst, fort, so beschreibt Y das Amlumenelement Y d y. Lässt sich Y durch die Variable y allein ausdrücken, so integriere man Y d y und nehme das Integral zwischen den Grenzen A m und A n und erhält so den Inhalt des ganzen Körpers. -

II.    Legt man Schnittebenen durch den ganzen Körper senkrecht zur x Achse, in den Abständen dx von einander, sodann Schnitt ebenen, senkrecht zur y Achse, die je um dy von einander abstehen; so teilen diese zwei Systeme von Schnittebenen den Körper in Prismen mit den Grundflächen dxdy (diese Grundflächen parallel zur Ebene x y gedacht) und mit Höhen, die den verschiedenen Werten von z entsprechen, die sich aus der Gleichung (1) ergeben. Deshalb ist der Inhalt eines solchen Körperelementes = z d x d y oder auch = f (x, y) d x d y. Dieses Körperelement ist ein unendlich Kleines der zweiten Ordnung. Um daraus das unendlich Kleine X d x der ersten Ordnung zu erhalten, denke man sich im Ausdrucke f(x,y)dxdy die Grösse x konstant und integriere in Hinsicht y. Man erhält

(2)

= dx Jf(x,y)dy.

Hierin ist y zu nehmen von be bis b f, wenn x = A b ist.

Um den ganzen Körperinhalt zu erhalten, muss (2) integriert werden in Hinsicht x. Man erhält in Zeichen ausgedrückt

(3)

Jxdx =f d xj*f(x,y)dy.

Die Grenzen, von x sind A a und A c.

Um aus dem Differentiale f (x, y) d x d y der zweiten Ordnung das Differential Y d y der ersten Ordnung abzuleiten, nehme man y als konstant an und integriere f (x, y) d x d y in Hinsicht x. Man erhält

(4)

Ydy = dyj*f (x,y) dx.

Hierbei ist x zu nehmen von x = gh bis x[= gk, wenn A g = y ist.

Um den ganzen Körperinhalt zu bestimmen, integriere man (4) in Hinsicht y zwischen den Grenzen y = Am und y = An. Man erhält

J Ydy = f d y J f(x,y) d x.

Beide Integrale (3) und (5) geben den Inhalt des ganzen Körpers für die bezeichneten Grenzen. Die Beilienfolge der Integrationen, die an f(x, y)dxdy auszuführen sind, ist dabei verwechselt. Schreibt man abgekürzt a und c für A a und Ac; ebenso m und n für Am und An; h und k für gh und gk; e und f für be und bf, so wird man durch Gleichsetzung der Werte aus (3) und (5) erhalten

(«)

rv

a t/ e

f(x,y)dy

= f dy f

d m d h

f(x,y)dx.

Setzt man bei den Integralen (3) und (5) die richtigen Grenzen stillschweigend voraus, so schreibt man auch statt dieser Integrale allgemein

(7)

ff f(x,y)dxdy.

Ist die Projektion des Körpers in der Ebene xy ein Rechteck, dessen Ausdehnung längs der x Achse von a bis c und längs der y Achse von m bis n reicht, so verwandelt sich die vorstehende Formel (6) in

(8)

ftc    nn    nn    nc

dx f (x,y)dy — dy f(x,y)dx.

v a ł/ m    «/ m «J a

Sind somit die Grenzen der Yariabeln x und y von einander unabhängig, so ist die Reihenfolge der beiden Integrationen, die am Differentiale f(x,y)dxd\^ auszuführen sind, ohne Einfluss auf das Endresultat.

Die vorstehenden Integrate (6), (7), (8) nennt man zweifache oder doppelte Integrale.

III. Legt man durch den Körper Ebenen, senkrecht zur z Achse, die je um dz von einander abstehen, so liegen zwischen den drei Systemen von Schnittebenen rechtwinkelige Prismen, deren Seiten dx, dy und dz sind. Das Volumen eines solchen Körperelementes ist = dxdydz. Dieser Ausdruck ist ein unendlich Kleines der dritten Ordnung. Zur Herstellung des ganzen Körperinhaltes sind somit in diesem Falle drei Integrationen auszuführen. Die allgemeine Andeutung dieses Inhaltes ist

.HM

= J dyj dzj*dx,..

wofür man auch schreibt

(9)

JTfdxdydz.

Hierbei sind die Grenzen der Variabein ähnlich zu wählen wie in den Formeln (3), (5) oder (6), so dass schliesslich alle Körperelemente d x d y d z, die den ganzen Körper zusammensetzen, durch diese Integrationen summiert werden. In jedem gegebenen Falle hat man sich bei jeder der drei Integrationen Rechenschaft abzulegen von der geometrischen Bedeutung des Integrals und somit auch von den Grenzen der Veränderlichen. Geschieht dies, so erhält man dasselbe Endresultat, in welcher Reihenfolge die Integrationen von (9) vorgenommen werden. Diese letztem Integrale werden dreifache genannt.

Sind die Grenzen der drei Variabein von einander unabhängig, so gilt für das dreifache Integral (9), was in diesem Falle von dem zweifachen Integral (8) gezeigt wurde.

356. Volumen einer Kugel.

Die Gleichung der Kugelfläche ist, wenn ihr Mittelpunkt in den Anfangspunkt der Achsen fällt und der Radius mit a bezeichnet wird.

x2 _j_ y2 _j_ z2 _ a2_

Folglich wird der Inhalt eines prismatischen Kcrperelementes mit der Grundfläche dxdy und der Höhe z gleich sein

z d x d y = d x d y Va² — x² — y².

Betrachtet man hierin x als konstant und integriert diese Grösse in Hinsicht y, so erhält man ein scheibenförmiges Körperelement von der Dicke d x und der Grundfläche X. Man kann daher schreiben

Xdx

= dxj dy H²

Allein die Schnittfläche X durch den Körper, senkrecht auf die x Achse, im Abstande x von der Ebene y z, ist ein Kreis vom Inhalte n (z² -f- y²). Also ist

X — n (y² + z²) — n (a² — x²).

Vermöge dieses Wertes von X ist das Doppelintegral Jj zdxdy auf das einfache j X d x zurückgeführt. Das Volumen der Kugel ist hiernach

/-» + a

v — a

Xd x

r>+a    4

— n \    (a² — x²) d x = —- 7T a³.

— a    O

357. Volumen eines Ellipsoïdes mit drei verschiedenen Achsen. Die

Gleichung der Oberfläche dieses Körpers für den Mittelpunkt als Anfangspunkt ist

x²

az

y² z²

worin a, b, c die drei Halbachsen bezeichnen.

Ein Schnitt durch das Ellipsoid, senkrecht zur x Achse und im Abstande x vom Anfangspunkte, gibt eine Ellipse, deren Gleichung ist

y²    z²

TT,--1--

X²

b²

c²

aa

In dieser Gleichung muss man x konstant denken; es wird für z = 0 die Grösse

bj/i

zu der Halbachse dieser Ellipse, die parallel zur y Achse ist; ebenso ist

c|/l

X²

a²

die Halbachse dieser Ellipse, die parallel zur z Achse liegt.

Die Fläche einer Ellipse ist aber = n AB, worin A und B die halben Achsen bezeichnen. Daher ist die Fläche jenes Schnittes, senkrecht zur x Achse, gleich

X = 7i b c ( 1

x²

a²

und somit das Volumen des Ellipsoides für unbestimmte Grenzen

J0-£)

d x — n bc x

x³

3 a²

) + c.

Folglich das Volumen des ganzen Ellipsoides

l + a

TH CO

7i a b c.

Hiernach ist das Volumen eines Ellipsoides | vom Volumen des umschriebenen geraden Cylinders, dessen Seitenlinien parallel zu einer der Achsen liegen.

Der Halb-

35S. Volumen eines schief abgeschnittenen Cylinders.

messer des Cylinders sei = R; fällt die Cylinderachse mit der z Achse

zusammen, so wird die Gleichung des Durchschnittes mit der Ebene xy sein

(1)

x² -f y² = R²-

Die Gleichung der Ebene, die den Cylinder schneidet, sei

(2)

z = ax-(-by-|-c.

Es soll das Volumen des Cylinders bestimmt werden, der zwischen dieser Ebene und der Ebene xy liegt.

Das prismatische Volumenelement, dessen Grundfläche dxdy auf der Ebene xy liegt, ist =zdxdy. Führt man hierin den Wert von z aus (2), so erhält man als Ausdruck des Volumenelementes

(a x -f b y -f c) d x d y.

Das unbestimmte Integral dieser Formel in Hinsicht y ist gleich

f cy^dx-fC,

(3)

by²

worin 0 die Konstante der Integration bezeichnet, y sind vermöge (1)

Die Grenzen von

y — — V"R² — x² und y = -)- ]/ R² —x². Für diese Grenzen erhält man aus (3)

(4)

2 (a x -J- c) y R² — x‘2 d x.

Dies ist das Volumen eines Teiles des Cylinders, der zwischen zwei Ebenen liegt, die parallel zur Ebene yz laufen und von ihr um x und x -j- d x abstehen. Das unbestimmte Integral von (4) ist nach § 90

^ (R- — x²)² -f- c x |Ar² — x² + R² arc sin - -1 -j- C.

Um den Inhalt des ganzen Cylinders zu erhalten, muss man hier y von — R bis -j- R nehmen. Mithin wird der Inhalt des ganzen C\r-linders gleich

n R² c.

Nun ist 7rR² die Grundfläche dieses Cylinders in der Ebene xy; somit ist c, d. h. das Stück, das die Ebene (2) auf der zAchse vom Anfangspunkte aus abschneidet, seine mittlere Höhe.

359. Volumen eines Körpers in Polarkoordinaten. Man nehme den Anfangspunkt der drei rechtwinkeligen Achsen x, y, z als Pol an. Es sei r der Radiusvektor eines Punktes, also der Abstand dieses Punktes vom Pole, ff der Winkel, den die Ebene durch r und die z Achse mit der Koordinatenebene xz bildet und © der Winkel, den r mit der Ebene xy einschliesst.

Denkt man sich vom Pole aus mit dem Radius r eine Kugelfläche beschrieben, so kann man, gemäss der Bezeichnung eines Punktes oder Ortes auf der Erdoberfläche, die Grösse ff die Länge und © die Breite des fraglichen Punktes auf der Kugelfläche nennen. In diesem Sinne wird die Ebene xy zur Aequatorebene, die z-Achse zur Drehachse und rcos© zum Halbmesser des Parallelkreises, der durch den Punkt gebt. Die Bogenelemente r d 0 auf dem Meridiane und r cos 0 d (f auf dem Parallelkreise können als Seiten eines rechtwinkeligen Flächenelementes angesehen werden, dessen Inhalt = r² cos 0 d 0 d (f>. Dieses Flächenelement kann als Grundfläche einer Pyramide betrachtet werden, deren Spitze im Pole liegt. Beschreibt man mit dem Radius r -j- d r eine zweite Kugelfläche, so kann der Teil dieser verlängerten Pyramide, der zwischen diesen beiden Kugelflächen liegt, als ein Prisma angenommen werden, dessen Grundfläche r²cos©d0d</> und dessen Höhe dr ist. Das Volumen dieses Körperelementes ist daher gleich

r² d r cos 0 d 0 d (f.

Dieser Ausdruck muss in Hinsicht der drei Variabein r, 0, <f zwischen den Grenzen integriert werden, die sich aus der Form des zu suchenden Volumens ergeben. Macht man sich von Integration zu Integration eine Vorstellung von der geometrischen Bedeutung der Resultate, so findet man jene Grenzen leicht. In diesem Sinne ist die Reihenfolge der Integrationen ohne Einfluss auf das Endresultat.

360. Inhalt einer Kugel. Nimmt man im vorstehenden Ausdrucke des Volumenelementes zuerst das Integral nach (f zwischen den Grenzen (f = Q und (f — 2 7T, so erhält man dadurch einen Körperring längs des Parallelkreises vom Inhalte

2 n r² d r cos © d 0.

Das unbestimmte Integral hiervon in Hinsicht 0 ist 2 TT r² d r sin 0 C.

Nimmt man hierin 0 von

— bis -j- —, d. h. vom Süd- bis 2 2 ,

zum Nordpole, so erhält man den Inhalt einer Kugelschale von der Dicke dr gleich

27rr?dr(l-(-l) = 47Ti“²dr.

Mithin wird der Inhalt einer hohlen Kugel mit den Radien r₀ und r sein

r

V l'o

r² dr =

7T (r³ — r₀ ³).

ausge-

Wird die zweite Integration zwischen den Grenzen 0 und

führt, unter Beibehaltung des angegebenen Ganges, so erhält man als Inhalt eines Ausschnittes dieser Hohlkugel

•|zr (r³ — ro³) (1 — sin 0).

V. Inhalt krnmmer Oberflächen.

361. Ausdruck für das Flächenelement und die Fläche. Die Gleichung der Oberfläche sei

Man lege durch diese Oberfläche zwei Ebenen, parallel zur Ebene y z, in den Abständen x und x + d x vom Anfangspunkte der Achsen, ebenso zwei Ebenen, parallel zur Ebene xz, in den Abständen y und y 4 d y vom Anfangspunkte aus. Diese vier Ebenen schliessen ein Element der gegebenen Oberfläche ein, das als eben angesehen werden kann und das mit dF bezeichnet werde. Die Projektion von dF auf die Ebene x y ist das Rechteck d x d y. Bildet dieses Flächenelement mit der Ebene xy den Winkel a, so wird sein

(2)

dF =

d x dy cos a

Hierin ist cos a durch die Koordinaten der Fläche (1) auszudrücken. Legt man zu diesem Zwecke durch das Flächenelement dF eine Ebene, so wird diese Ebene die krumme Oberfläche im Punkte (x,y,z) berühren und den Winkel « mit der Ebene xy bilden. Die Gleichung dieser Berührungsebene sei (vergleiche die Aufgabe in § 324)

(3)

z == ax-[-by-j-c.

Irgend ein Lot auf diese Berührungsebene bildet mit der z Achse ebenfalls den Winkel a. Statt eines beliebigen Lotes nehme man dasjenige, das durch den Anfangspunkt der Achsen geht; die Gleichungen dieses Lotes sind nach den Formeln (4) und (5) des § 324

(4)

x-(-az = 0; y-j-bz = 0.

Allein die partiellen Differentialverhältnisse der Gleichung der Ebene (3) sind

(5)

= a;

= b.

Im Berührungspunkte sind die Koordinaten x, y, z der krummen Oberfläche und der Berührungsebene dieselben. Man kann daher die Yorzahlen a und b, die in der Gleichung (3) der Berührungsebene und in den Gleichungen (4) des Lotes Vorkommen, ableiten, wenn man die

der Gleichung (1) der

() z

<1 z

partiellen Differentialverhältnisse krummen Oberfläche bildet.

Nun nenne man p die Länge des Lotes vom Anfangspunkte aus und x,y,z die Koordinaten seines Fusspunktes auf der Berührungsebene; dann wird sein

Tx

und

p = Kx² + y² + z²,

(6)

COS (X — —

x² 4- y² 4" z²

Führt man die Werte von x und y aus (4) in (6) ein, so findet man

cos a —

Kl + a² + b²

oder mit Rücksicht auf (5)

(6)

ccs a —

l/'+O'+Gf)'

Setzt man diesen Wert von cos a in (2) ein, so folgt als Wert des Flächenelementes

(8)

d z

Tf J '

Wird hierin

= a = 0, so geht die Gleichung (3) über in

z = b y + c. Dies ist die Gleichung einer Ebene, die parallel zur x Achse liegt. Mithin wird dF zum Elemente einer cylindrischen Fläche, deren Seitenlinien parallel zur x Achse liegen.

= b = 0, so wird d F zum Elemente einer cylindrischen

Fläche, deren Seitenlinien parallel zur y Achse laufen.

zugleich =0, so verwandelt sich die Formel’

Wird

Sind

dx

und

dx

(8) in

d F = d x dy

als Ausdruck des Elementes einer Fläche, die in der Ebene xy liegt oder mit ihr parallel ist.

Die Gleichung (1) kann dazu benutzt werden, um z aus (8) zu eliminieren. Es kommen dann in diesem Differentiale nur die unabhängig Yariabeln x und y vor.

Um das Integral zu erhalten, sind zwei Integrationen nötig : eine nach x und eine nach y. Der Vorgang dabei ist folgender.

Die beiden Ebenen, die in den Abständen x und x-f dx vom Anfangspunkte senkrecht zur x Achse gelegt sind, schliessen unendlich viele Flächenelemente wie d F ein. Sie haben, der x Achse nach gemessen, die Breite d x und dehnen sich über die Oberfläche aus, soweit dies die Grenzen von y zulassen. Integriert man daher in Hinsicht y, so erhält man den Teil der Oberfläche, der zwischen den genannten zwei Ebenen eingeschlossen ist. Die Andeutung für diese Ausdehnung ist

(9)

Ul/'+Gb+Gf/

Lässt man nun x sich ändern zwischen zwei Grenzen, so reihen sich unendlich viele Flächenelemente an einander, deren Ausdruck (9) ist, und bilden die gesuchte Fläche. Diesem Vorgänge entspricht die Integration der Grösse (9) in Hinsicht x. Man erhält dann für unbestimmte Grenzen der Variabein

Man kann auch zuerst die Integration in Hinsicht x ausfiihren. Man erhält dann eine Fläche, die zwischen zwei Ebenen eingeschlossen ist, die senkrecht zur y Achse stehen und zwar in den Abständen y und y -f- d y. Der Ausdruck dafür ist

Solcher Flächenstreifen reihen sich längs der y Achse unendlich viele an einander. Es muss daher der letzte Ausdruck in Hinsicht y integriert werden, was man andeutet durch

(11)

dy y

V.

Die Werte (10) und (11) sind für dieselben Grenzen von x und ebenso für y gleich gross. Die Reihenfolge der Integrationen ist mithin gleichgültig. Man kann daher auch schreiben

36". Teil einer hhene. Die Gleichung einer Ebene ist Ax+By+Cz-f D = 0.

(1)

Für diese wird

dy

Daher das Flächenelement

(2)

V¹ + +(tt)

Man denke sich hierin y, beziehungsweise dy konstant, integriere also nur in Hinsicht x und zwar zwischen den Grenzen x₀ und Xi ; man erhält

(Xl-

• dy

als Wert einer Fläche, deren Projektion auf die Ebene xy die Grösse Xi —x₀ zur Länge und dy zur Breite hat. Integriert man nun noch in Hinsicht y zwischen den Grenzen yo und yx, so wird die gesuchte Fläche

(3)

F = (xi - x₀) (yi - y₀) |/l +    •

Diese Fläche ist von zwei Paar parallelen Ebenen eingeschlossen. Zwei dieser Ebenen stehen senkrecht zur x Achse in den Abständen xo und xi vom Anfangspunkte und die beiden andern senkrecht zur y Achse in den Abständen yo und yi vom Anfangspunkte.

(2)

303. Oberfläche der Kugel. Aus der Gleichung der Kugel x2 *i" y² + z² — R²

(i)

folgt durch Differentiation

dz

z ’ d y

Hierfür wird das Element der Kugelfläche

dF = dxdy

X²

z²

■₊iL

' z² ’

oder indem man auf gleiche Benennung bringt und Gleichung (1) berücksichtigt,

• (3)

V R² — x² — y²

Um dieses Differential (3) in Hinsicht y zu integrieren, nimmt man x als konstant an. Man erhält

(4) R d x

dy

= R d x arc sin

KB² - x²

+ c.

J JAR²—x² — y²

Dieses Integral stellt ein Flächenelement dar, das über der Ebene xy liegt und von zwei Schnittebenen eingeschlossen wird, die senkrecht zur x Achse liegen und um x und x + d x vom Anfangspunkte abstehen. Dieses Element hat die Form eines abgekürzten Kegelmantels, dessen Seitenlinien unendlich klein sind. Bei konstantem x werden die Grenzen für y aus (1) erhalten, wenn man z = 0 setzt. Dies gibt y = ± ]/~R² — x². Nimmt man das Integral (4) zwischen den Grenzen y = — j^R² — x² und y = -j- VR² — x², so erhält man als Wert des ganzen Flächenelementes über der Ebene xy

(5)

n R d x.

Mithin wird die Kugelfläche über der Ebene xy

(6)

d x = 2 7T R².

Würde man das Differential (3) zuerst in Hinsicht x integrieren, so wäre y konstant zu nehmen. Man erhielte zunächst ein Flächenelement über der Ebene xy, das zwischen zwei Ebenen liegt, die senkrecht sind zur y Achse und um dy aus einander stehen. Die Grenzen von x würden aus (1) erhalten, wenn man z = 0 setzt. Diese Grenzen wären also x = -f- [^R² — y².

Bemerkung. Die Gleichung einer Ebene sei z' = ax' -f- by' -f c.

Damit diese Ebene die Kugel (1) im Punkte (x, y, z) berührt, z — ax + by-f-c.

Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen folgt z — z' = a (x - x') + b (y — y').

muss sein

dz

Führt man hierin obige Werte von a = aus der Gleichung (1) der Oberfläche hervorgehen, ein, so kommt

f(y-y')

oder indem man mit z multipliziert und die Gleichung (1) berücksichtigt,. xx' + yy' + zz' = R².

Dies ist somit die Gleichung der Ebene, die die Kugel im Punkte (x, y, z) berührt.

Z — 7.‘ — —

und b =

wie sie

00

364. Cyluulerfläche in einer Kugel fläche. Ein gerader Kreiscylinder gehe durch eine Kugel. Man soll den Teil der Cylinderfläche bestimmen, der innerhalb der Kugelfläche liegt, unter der Voraussetzung, dass der Mittelpunkt M der Kugel (Fig. 122) auf der Cylinderfläche liege, und dass der Durchmesser M A des Cylinders gleich dem Halbmesser a der Kugel sei.

Gelten die Bezeichnungen von § 354, so hat man als Gleichung

der Kugel

a² = x² -f- y² -4- z².

Die Kurve, längs der sich die Cylinder- und Kugelfläche schneiden,, gibt auf der Ebene xz eine Projektion, deren Gleichung ist

z² — a x — x²,

und eine Projektion auf der Ebene xy, deren Gleichung ist (§ 354)

y² = a² — a x.

(1)

. (2)

(3)

Für die Cylinderfläche ist

ày

= 0, weil die Seitenlinien derselben

parallel zur y Achse sind (S. 418). Es folgt dies auch •aus Gleichung (2). Dagegen erhält man aus (2)    .

a — 2 x

Fig. 122.

2 "JAi x — x²’

Mithin wird das Element der Cydinderfläche (a — 2 x)²

4 (a x — x²) ~ 2 KaT^-Oc²’

Das unbestimmte Integral dieses Differentials in Hinsicht y ist

a d x

2 Y 'a x — x²

Zwei Ebenen, die senkrecht zur x Achse stehen und den Abstand dx von einander haben, schliessen zwei gleiche Flächenelemente des Cylinders ein. Das eine derselben liegt über, das andere unter der Ebene xy. Das Integral (4) stellt das eine dieser Elemente dar, das über der Ebene xy liegt. Um dieses Element in der Richtung der y Achse durch

d x dy

(4)

•y + c.

Si

o:

die Kugelfläche abzugrenzen, muss das Integral (4) genommen werden zwischen den Grenzen

— V"a² — a x und -{- ]^a² — a x, wie sie sich aus (3) ergeben. Für diese Grenzen wird (4) zu a y a² — y a x — x²

(5)

dx

Kx

Kun ist

= 2Kx + C,

folglich das Integral (5) zwischen den Grenzen 0 und a

(6)

a K* a

=- = 2 a².

o K x

Dieser Wert ist die Oy linderfläche über der Ebene xy. Somit ist die ganze Cylinderfläche, die von der Kugelfläche eingeschlossen wird, 4 a².

365. Kegelfliicite. Es sei h die Höhe, a der Radius der Grundfläche und k die Seitenlinien eines senkrechten Kreiskegels.

Man nehme die z-Achse in der Achse des Kegels und die x- und y-Achsen in der Grundfläche desselben an. Ein Punkt auf der Seitenlinie k habe zu Koordinaten x, y, z. Denkt man sich nun das recht-winkelige Dreieck, dessen Hypotenuse k und dessen Katheten a und h sind, und zieht vom Punkte (x, y, z), der in der Hypotenuse liegt, die Parallele zur Kathete a bis zur Achse, so ist die Länge dieser Parallelen = yx² -f y² und der obere Abschnitt der Kathete h gleich h — z. Daher erhält man die Proportion

• h : a = (h — z) : y x² + y². Hieraus ergibt sich folgende Gleichung der Kegelfläche

(i)

— yx² 4- y²-

Bi

Die partielleu Differentialverhältnisse von (1) sind

dx

a    y x² -j- y² à y

a y x² 4- y²

Mithin wird das Element der Kegelfläche

dxdy

h²

y²

a² x² -{- y²

Das Integral dieses Ausdruckes in Hinsicht y ist

a² x² -j- y²

dxdy.

Dieses Integral stellt ein Flächenelement dar, das zwischen zwei Ebenen liegt, die senkrecht zur x-Achse stehen und um x und x-f dx vom Anfangspunkte der Achsen entfernt sind.

Die erstere dieser beiden Ebenen schneidet die Grundfläche längs einer Sehne, die parallel zur y-Achse liegt und eine Länge = 2 y a² — x² hat. Die Grenzen von y im Integral (2) sind daher — y a² — x² und -f- ]/ a² — x². Diese Grenzen ergeben sich auch aus Formel (1), wenn man in ihr z — 0 setzt. Für diese Grenzen erhält man daher aus (2)

o D__

-d x V a² — x².

Mithin wird ein Teil des Kegelmantels der zwischen zwei Ebenen liegt, die parallel zur Ebene y z sind und einen beliebigen Abstand von einander haben, gleich

— f d x|/a² — x'² = a J

x y a² —

p

fO

+ C.

Wird dieses Integral von x —0 bis x = a genommen, so erhält man den Inhalt des halben Kegelmantels = 1, n a k. Also ist der Inhalt des ganzen Kegelmantels — jrak.

300. Das Flächeiielement und der Inhalt einer Fläche in Polarkoordinaten. Führt man das bereits in § 359 gebrauchte Polarkoordinaten-system ein, so lautet die Gleichung einer Oberfläche in diesen Koordinaten

(o

r = f (</•', 0),

während die rechtwinkeligen Koordinaten x, y, z eines Punktes mit diesen Polarkoordinaten durch die Gleichungen

(2)

x = r • cos (f cos 0 y = r sin (f cos © z = r • sin 0

verbunden sind. Nimmt man auf der Oberfläche einen Punkt an, dem die Koordinaten r, </> und 0 zugehören, und lässt (p und 0 sich um die Differentiale d (f> und d 0 ändern, so wird der Endpunkt des Radiusvektor auf der Oberfläche ein kleines Flächenstück beschreiben, das als auf der Tangentialebene liegend angesehen werden kann. Die Projektion dieses Flächenstückes auf die Ebene xy wird begrenzt durch die durch die Aenderung d 0 hervorgebrachte Aenderung von r cos 0, also durch d (r cos 0), wobei (p ungeändert bleibt, und durch das durch die Aenderung von d (p in der Ebene x y beschriebene Bogenelement r • cos © d (p ; beide können als die Seiten eines recht winkeligen Flächen elementes angesehen werden, dessen Inhalt also ist

d (r cos 0) • r • cos 0 d (p.

Aber bei ungeändertem (p ist

d (r cos 0) =    • cos © — r • sin © \ d 0,

also das Flächenelement in der Ebene x y

r sin 9j d 9 ■ r cos 9 d y.

Das Element dF der durch (1) dargestellten Fläche ist alsdann

(3)

dF =

COS 9 —

r sin 9^j r cos 9 d 9 d y •

cos a ’

wenn a den Winkel bezeichnet, den die Tangentialebene im Punkte (r, y, 9) mit der Ebene xy bildet. Für ligen Koordinaten gefunden worden

cos a

ist aber in rechtwinke-

COS «

welcher Ausdruck nunmehr in Polarkoordinaten zu entwickeln ist. Aus den Gleichungen (2) folgen

f d r d (f ~ Vd y

cos y —

r sin (pj cos 9 ;

cos 9 —

r sin 9^j cos y :

-C

sin (f r cos y ) cos ft ;

df)

cos 9 — r sin 9 ) sin y;

d </'

r .

— sin 9,

sin 9 + r cos 9.

Nun ist aber

dz d

dy

dy d (f

dy

so dass man erhält

d cp

sin 9 —

ro KO

z/dr    .    \    , dz/dr ,    ,    \

— cos cp — r sin y J cos 9 -j- — — sm y    r cosy Jcos 9,

sin 9 -f- r cos 9 =

d z /d

dx

\    dz/dr

cos 9 — r sin 9 cos y 4- — -— cos 9 J y 1 dy\d9

r sin 9j sin y ;

aus diesen Gleichungen folgt

sinV+(aw

d cp

sin 9 -f- r cos 0^ cos y cos 9

dx

--cos 9 — r sin 9 cos 9

— cos y -j-

dy

sin 9 + r cos 9 j sin y cos 9

cos 9 — r sin 9 ] cos 9

Nunmehr ergibt sich nach einigen leichten Reduktionen

à r \²

à r \²

a (f

de

-j- r² cos² ©

\²

a©

cos © — r sin © i cos² ©

so dass die Formel (3) für das Flächenelement lautet

(4)

dF — rdyd©-

1 //■ dr\² , [“/ ar \²

V yjf)⁺ L(dï)

+ r² cos² ©.

und

Hierin sind nun aus der Gleichung (1) die Grössen r,

als Funktionen von (f und © auszudrücken.

Zur Berechnung eines Stückes der Oberfläche muss (4) nach den Variabein <f> und © integriert werden, wobei die Grenzen gemäss den Bedingungen der Aufgabe zu bestimmen sind.

367. Die Oberfläche der Kugel. Besonders einfach gestaltet sich Formel (4) des § 366 für das Flächenelement, wenn r konstant ist, also

für ein Element der Kugeloberfläche. Setzt man r = a, also

d(f

a©

O,

,    = 0, so erhält man für das Flächenelement

a© ’

d F = a² cos © d <f d ©.

Integriert man zunächst nach (f, so hat man die Grenzen (f = 0 bis (f = 2 n zu nehmen und erhält

(1)

(2)

2 n a² cos © d ©

für die Fläche einer in der geographischen Breite © gelegenen Kugelzone von der Breite d ©. Die Oberfläche der ganzen Kugel erhält man,

wenn man (2) nochmals nach © zwischen den Grenzen © = —

(N

bis

7T

© = — integriert. Man erhält

(3)

F = 4 n a².

Integriert man (2) zwischen den Grenzen © und Oberfläche einer Kalotte

so erhält man die

Fi = 2 n a² (1 — sin ©).

368. Cjlinderfläche in einer Kugelfläche. Eine Kugel, deren Gleichung in rechtwinkeligen Koordinaten

x² -j- y² -f- z² — a²

(4)

(1)

sei, werde durch die Cylinderfläche

geschnitten. Diese Cylinderfläche geht durch den Mittelpunkt der Kugel und ihr Durchmesser ist gleich dem Radius der Kugel, wie im § 364, nur dass jetzt die Fig. 122 in der Ebene xy liegt.

Es sollen 1. der Teil der Kugeloberfläche, der innerhalb der Cylinderfläche liegt, und 2. der innerhalb der Kugelfläche liegende Teil der Cylinderfläche mit Anwendung von Polarkoordinaten berechnet werden. Durch die Ebenen x y und x z werden beide Flächenstücke in vier kongruente Teile zerlegt, so dass jedesmal nur ein solcher Teil zu berechnen ist.

Für ein Element des ersten Teiles als eines Teiles der Kugeloberfläche ist r konstant, r a, daher gilt für ein solches Element

(3)

= a² • cos 9 d y d 9.

Setzt man in die Formel (2) für x und y die Werte

= a cos y cos 9, = a cos (f sin 9

ein, so ergibt sich, dass für jeden Punkt der Kurve, in der sich die Kugel- und die Cylinderfläche schneiden,

9 = (f

ist. Integriert man also (3) zunächst nach y , indem man 9 konstant lässt, so sind für y die Grenzen y = 0 bis y = 9 zu nehmen, so dass diese erste Integration fiir einen Flächenstreifen parallel der x y Ebene den Wert

a² 9 cos 9 d ©

7T

liefert. Die zweite Integration nach 9 ist für 9 = 0 bis 9 = — zu

nehmen. Nach dem Satze der teilweisen Integration (§ 90) findet man leicht das unbestimmte Integral

J*x cos x d x = x sin x -j- cos x 4- C ;

also erhält man

= a²

>-i a

9 cos 9 d 9

tf*

folglich für den ganzen zu berechnenden Teil der Kugelfläche

Fi = 2 (n — 2) a².

Für einen Punkt der Cylinderfläche folgt aus (2) die Formel

(4)

a cos y cos 9

hieraus folgt

a sin y

ôr

a cos y sin 9

COS² 9

Ô9

COS 9

Durch Einführung dieser Werte in die Formel (4) des § 366 erhält man nach leichten Vereinfachungen für ein Element der zu berechnenden Cylinderfläche. Die Integration dieser Formel nach cp bei konstantem 0 ist zwischen den Grenzen

cp = 0 bis cp =    zu nehmen, da für jeden Punkt der Schnittkurve

to

d 0 = a'² •

beider Flächen cp 0 ist. Diese erste Integration liefert 1 — sin 0

cos² 0

(5)

dF₂ =

a‘“ cos cf

COS² 0

dcp äf>

1 + sin ft ’

Für die zweite Integration nach ft beachte man

J*

2 sin²

1 -f- sin x

Hiernach findet man

= - cotang (JL _|_    + C.

(§ 344. (5)V

— Fa

4 ²

= a²

’T

₀    1 + sin 0

folglich für die gesuchte Fläche

= a² • cot an g ~

(6)

F₂ - 4 a²,

denselben Wert wie in § 364.

che

Die Addition beider Flächenteile gibt für die gesamte des Körpers, den die Cylinderfläche aus der Kugel ausschneidet, den Wert

(7)

F = Fi + P₂ = 2 n a² ; diese Oberfläche ist also gleich der halben Oberfläche der Kugel.

VI. Physikalische Aufgaben über mehrfache Integrale.

309. Torsion eines rechtwinkligen Prismas. Die Kanten dieses Prismas seien a, b, c. Die Kante c stelle die Länge dar. Dieses Prisma werde an einem Ende seiner Länge festgehalten und am andern verdreht durch ein statisches Moment M, dessen Kraft in einer zur Kante c normalen Ebene liegt. Die Endfläche, in der das Moment M wirkt, sei ab (Fig. 123). Die Faser, die durch die Schwerpunkte aller Querschnitte geht, bleibt während der Torsion geradlinig. Diese Gerade bildet die Drehachse. Alle andern Punkte des Körpers werden um diese Achse herum in der Richtung der Drehung verschoben. Auf die Verschiebungen in der Längenrichtung (§ 218) werde hier keine Rücksicht genommen.

Man lege durch die Mitte 0 des Querschnittes ab zwei recht-winkelige Achsen Ox, Oy, parallel zu¹ den Kanten a, b. Es seien x,y die Koordinaten eines Punktes n der Rechtecksfläche. Erhält ein Punkt dieses Querschnittes ab, im Abstande 1 von dem Drehpunkte 0, eine Drehung = «, so wird die Drehung des Punktes n, im Abstande

Y + y² von der Drehachse, sein = « j/V² -f y². Die Kraft, die ein Flächenelement d x d y in diesem llAbstande um die Grosse a ]/"x² -j- y² verschiebt, ist ^proportional dieser Fläche, proportional dieser Ver-jggschiebung, umgekehrt proportional der Länge des Körpers Hund abhängig von einer Konstanten T. Folglich ist diese Kraft gleich

Fig. 123.

lim

r^~ d x d y |/\\² -f- y²-

Multipliziert man diese Kraft mit dem Hebelarm 0 n, an dem sie wirkt, so erhält man ihr statisches Moment gleich

T«

I — dxdy(x² + y²).

so er-die die Da die

Wird dieses Differential integriert in Hinsicht x von — bis -j- \ a und das Resultat sodann in Hinsicht y von — t b bis + -^ b, hält man die Summe der statischen Momente aller Kräfte, Flächenelemente des ganzen Querschnittes ab verschieben.

Grenzen von x und y von einander unabhängig sind, so ist die Reihenfolge, in der die beiden Integrationen ausgeführt werden, ohne Einfluss auf das Ergebnis. In Zeichen ist daher

i-

Ta

d x (x² + y²).

“T

Nun ist

'+_2

a³

dx(x² + y²) = — + ay²

und

/4dyGj+ay2)“

ab

₁₂ (a² + b²).

Folglich

T ab

12 c

(a² -j- b²) a.

Drückt man a, statt im Bogenmass, in Graden aus, so erhält man

<a²+b2)li)

a°.

T ab 12

370. Trägheitsmoment einer Kugel. Man lege durch den Mittelpunkt der Kugel die drei rechtwinkeligen Achsen der x, y, z. Die Kugel drehe sich um die z Achse. Ist r der Radiusvektor eines Punktes im Innern der Kugel, (f die Länge und 0 die Breite dieses Punktes, so ist das Volumenelement der Kugel an dieser Stelle (§ 359)

Ist m die Masse der Kubikeinheit des Materials in diesem Punkte, so ist die Masse dieses Volumenelementes

m r² d r cos © d © d (f.

Der Abstand dieses Elementes von der z Achse als Drehachse ist = rcos©. Multipliziert man das Quadrat dieses Abstandes (§ 184) mit der vorstehenden Masse, so erhält man das Trägheitsmoment des Volumenelementes gleich

m r⁴ d r cos³© d © d (f,

worin m konstant ist, wenn die Kugel homogen ist. Das Integral hiervon in Hinsicht (f zwischen den Grenzen 0 und 2 n ist

(1)

2 re m r⁴ d r cos³© d ©.

Dieser Ausdruck ist das Trägheitsmoment eines unendlich dünnen körperlichen Ringes, längs eines Parallelkreises gelegen, der die nördliche Breite © und den Abstand r vom Mittelpunkte hat.

Tt , .    , 7t

—- bis 4- — 2 2

so erhält

Wird (1) integriert in Hinsicht 0 von

man das Trägheitsmoment einer unendlich dünnen Kugelschale vom Halbmesser r. Nun ist nach § 88, Formel (13)

n    1    2

cos³© d © = — cos?0 sin 0 4 — sin 0 + C, Jo    o

71

cos³ © d © =

-J

Folglich ist das Trägheitsmoment dieser Kugelschale gleich

(2)

I n m r⁴ d r

und somit das Trägheitsmoment der ganzen Kugel, wenn ß den Halbmesser derselben bezeichnet

15

r⁴dr =

n m R⁵.

Es sei ferner die Dichtigkeit des Materials eine Funktion von r, so dass man etwa hat

(3)

m = a ^ b r,

worin a die Masse der Kubikeinheit im Mittelpunkte und b die Aboder Zunahme der Masseneinheit für jede Längeneinheit des Radiusvektor bedeutet. Hiernach ist die Dichtigkeit in einer und derselben Kugelfläche, die ihren Mittelpunkt im Mittelpunkte der Kugel hat, dieselbe.

Setzt man den Wert von m aus (3) in (2) ein und integriert, so erhält man das Trägheitsmoment der Kugel gleich

7t R⁵ (a 4 — b R).

8 pR

3-nrl (aTt>r)r‘dr=₁₅

37!. Anziehung einer Kugel und eines materiellen Punktes nach dem Gesetze der Gravitation. Die Aufgabe, die in § 227 unter gewissen Beschränkungen gelöst wurde, soll hier allgemein behandelt werden. Es seien

m,m' zwei sich anziehende Massenteilchen in A und B (Fig. 124), a, r die Abstände dieser Teile vom Mittelpunkte M der Kugel, u der Abstand AB dieser Teile unter einander,

(f der Winkel, den a und r bilden,

n die Masse der Kubikeinheit der Kugel, die in gleichen Abständen vom Mittelpunkte der Kugel gleiche Werte habe, und f die Anziehung zweier Masseneinheiten im Abstande 1 von einander; dann ist

(1)

m m'

u²

der Ausdruck für die Anziehung der Massen m, m' nach dem Gesetze der Schwere.

Fig 124.

Legt man durch die Abstände a und r eine Ebene, beschreibt in ihr mit den Radien r und r -f- d r zwei Kreise, lässt sodann (f in (f + d (f übergehen, so dass der Radius B M nach C M kommt, so wird der Bogen mmsÈptSiÊsk BC — rd<f sein. Zwischen jenen zwei Kreisen und Hl diesen zwei Radien liegt ein Flächenelement = r d r d (f. WtÆÊKBÊm Dreht man die Ebene des Kreises um A M als Achse um einen Winkel d@, so beschreibt der Punkt B einen Weg = r sin (f d 0, also die Fläche r d r d (f ein Volumen = r² dr sin (f d (p d 0. Die Masse dieses Volumenelementes ist = p r²drsin (f à(f d0. Somit ist nach (1) die Anziehung dieses Massenelementes und der Masse m in A gleich

(2)

r² d r sin (f d (f d 0

u²

Zerlegt man diese Kraft in zwei Seitenkräfte, parallel und senkrecht zur Achse A M, so ist die erstere gleich

r² d r sin (f d cp d 0

(3)

f pm

u²

cos B A M.

Nun folgt aus dem Dreiecke B A M

(4)

cos BAM =

u² = a² -f- r² — 2 a r cos (f a — r cos (p

Eliminiert man hieraus r cos (f, so folgt

cos B A M —

a² — r² -f- u²

2 au

Führt man diesen Wert in (3) ein, so erhält man r² d r sin (f d (f d 0

(5)

fpm

2 a u³

(a² _ r² + u²).

Durch Differentiation der ersten Gleichung (4) in Hinsicht <f und u folgt

u d u = a r sin tf d (f.

Führt man den Wert von sin cp d (f aus dieser Formel in (5) ein, so ist die Anziehung des Massenelementes der Kugel und des Teilchens m parallel zur Achse AM

2 a²

a² — r² -p u²

u²

d u.

Das Integral dieses Ausdruckes in Hinsicht 9, zwischen den Grenzen 0 = 0 und 9 = 2 n, ist die Anziehung der Masse m und der Masse eines Ringes, der vom Flächenelement r d r d (f bei einer vollen Umdrehung um AM gebildet wird. Diese Anziehung ist daher

a² -

(6)

TT f o m

a²

u²

du.

Die Seitenkräfte, die die Massenelemente dieses Ringes auf m ausiiben, in senkrechter Richtung zur Drehachse A M, heben sich gegenseitig auf.

dass

Behufs der Integration der Formel (6) in Hinsicht u beachte man,

u²

Folglich ist das Integral von (6) für unbestimmte Grenzen n fprn

(U

a²

rdr u

a² — r²

) + c.

Man wähle hier die Grenzen von u so, dass dieser Ausdruck die Anziehung der Masse m auf eine ganze Kugelschale vom Halbmesser r und der Dicke dr darstellt.

I. Befindet sich die Masse m ausserhalb der Kugelschale, so sind die Grenzen von u gleich a — r und a + r. Für diese Grenzen wird

a² — r²

= 4 r.

Folglich das Integral (7) gleich

(8)

a²

r²dr.

Bezeichnen wir

Allein es ist 4 n ç r² d r die Masse der Kugelschale, sie mit 2JÎ, so geht der Ausdruck (8) über in

m 2R a²

Also ist die Anziehung eines Massenteilchens, das sich 'ausserhalb der Kugelschale befindet, auf die Kugelschale gerade so, wie wenn die Masse der Kugelschale in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre.

Besteht die Kugel aus unendlich vielen konzentrischen Kugelschalen, sei es, dass die Dichtigkeit der Masse von Schale zu Schale sich ändert, oder dass sie für alle gleich ist, so wird die Anziehung aller Schalen, d. h. der ganzen Kugel auf den ausser ihr liegenden Punkt dieselbe sein, wie wenn die Kugelmasse in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre.

Für eine homogene Kugel ist diese Anziehung nach (8)

4    r³

Tf7r<,m15-

f 4Trę m J¹¹⁻

r² dr =

(9)

m3JP a² '

wenn 3JP die Masse der ganzen Kugel bezeichnet.

Ist p nicht konstant, sondern eine Funktion von r, so dass z. B.

? = p T q D

so setze man diesen Wert von p in (8) ein, und erhält als Anziehung der Kugel auf das ausser ihr liegende Massenteilchen m

4 n r³ m

(10) —

a²

f (p T 4 r) r² d r =

J o

3 a²

(PT 4

qr).

II. Befindet sich der Punkt A, dessen Masse =m ist, innerhalb der Kugelschale vom Halbmesser r und der Dicke dr, so müssen im Integral (7) die Grenzen von u zwischen r — a und r + a genommen werden. Hierfür wird

u--

a² — r²

= 0.

Also verschwindet das Integral (7). Somit ist die Anziehung einer unendlich dünnen Kugelschale mit gleichförmiger Dichte auf einen materiellen Punkt, der sich innerhalb der Kugel schale befindet, gleich Null. Liegt der materielle Punkt innerhalb einer beliebigen Anzahl unendlich dünner, konzentrischer Kugelschalen, so gilt der Satz für jede dieser Schalen, gleichviel ob die Dichte der Masse von Schale zu Schale sich ändert oder sich gleich bleibt; also gilt er auch für eine Schale von endlicher Dicke.

Hieraus folgt, dass sich die Anziehung einer Kugel auf einen Punkt in ihrem Innern reduziert auf die Anziehung derjenigen konzentrischen Kugel, deren Oberfläche durch diesen Punkt geht. Je näher daher dieser Punkt dem Mittelpunkte der Kugel liegt, um so schwächer wird er von ihr angezogen.

Ist die Masse der Kugel homogen, also p konstant, so ist die Anziehung der Kugel vom Halbmesser r auf das Massenteilchen m, das den Abstand a vom Kugelmittelpunkte hat, nach (8)

_f4yrapm

dl)

r² d r

4 n p m

a² J o

Diese Anziehung hängt somit nicht vom Halbmesser der ganzen Kugel ab, sondern ist dem Abstande des anziehenden Punktes vom Mittelpunkte der Kugel proportional (Anwendung hiervon in § 166).

so ziehen sich diese Kugeln an, wie wenn ihre Massen in ihren Mittelpunkten vereinigt wären.

372. Anziehung eines Berges und eines materiellen Punktes auf der Spitze des Berges. Der Berg habe die Form eines Rotationsparaboloides, dessen Achse AB (Fig. 125) vertikal liegt. Ein Schnitt durch den Berg längs der Achse wird eine Parabel A C E sein. Es seien x, y die Koordinaten A B und B C eines Parabelpunktes C, h, n h die Höhe A D und der Halbmesser D E der Grundfläche des Berges,

m die Masse des materiellen Punktes in der Spitze A, p die Masse der Kubikeinheit des Berges, die gleichförmig vorausgesetzt werde, und

f die Anziehung zweier Masseneinheiten im Abstande 1 von einander.

Da bei einer Parabel sich die Abscissen verhalten wie die Quadrate der Ordinaten, so ist x : h = y² : n² h², woraus als Gleichung der Oberfläche folgt

(1)

y² = n² h x.

Man lege in den Abständen x und x + dx vom Scheitel A zwei Horizontalebenen, und beschreibe zwei Cylinderflächen, deren Achsen mit A D znsammenfallen, mit den Radien r = B F und r -j- d r, wobei r < x sein soll ; alsdann schliessen diese vier Flächen einen Ring ein, dessen Querschnitt d x d r ist. Legt man endlich noch zwei Ebenen längs der Achse A D, die einen Winkel d cp bilden, so schneiden diese Ebenen von jenem Ringe ein Volumenelement =dxdr-rdy aus, dessen Masse = pdxrdrdtf sein wird. Dieses Teilchen hat den Abstand AF=|/~x²-{-r² von der Bergspitze. Folglich ist die Anziehung zwischen diesem Teilchen und der Masse m gleich

(2)

modxrdrdT

x² + r²

Diese Kraft zerlege man in eine vertikale und eine horizontale Seitenkraft. Die erstere wird erhalten, wenn man die Mittelkraft (2) multipliziert mit

Fig. 125.

cosFAB =

Mithin ist diese Seitenkraft gleich

(3)

f mpxdxrdrdT

f    jf •

(x² -|- r²) ²<

Dieses Differential muss nun in Hinsicht der drei Variabein cp, r und x integriert werden. Das Integral in Hinsicht cp, von 0 bis 2rr genommen, nämlich der Ausdruck

xdxrdr

(4)

Antenheimer, Elementarbuch.

(x² -j- r²)²

28

ist die Anziehung zwischen m und jenem Ringe, dessen Halbmesser r und dessen Querschnitt drdx ist. Die horizontalen Seitenkräfte, die aus (2) hervorgehen und sich an den Teilen dieses Ringes geltend machen, heben sich gegenseitig auf.

Um das Integral von (4) in Hinsicht r zu erhalten, denke man sich x konstant und setze r²4-x‘² = v²; es wird dann durch Differentiation rdr=vdv, also auch

dv

rdr

Kr²+ x²

V²

^    (x²    r²)

Diese Integration von (4) gibt die Anziehung von m und einer Summe von Körperringen, die zwischen den Horizontalebenen liegen, die um x und x-J-dx von der Spitze abstehen. Mithin ist das Integral zwischen den Grenzen r = 0 und r = BC = y zu nehmen. Nun ist

rdr

J o (x²4-r²)²

Folglich ist die Anziehung dieser horizontalen Schicht und der Masse m nach (4) und (1)

(5) 2;rfmpxdx

rdr

J 0 (x² + r²)

3- = 2Trfmp I 2    \

dx —

xd x

f/"n²hx-j- x²

Nach

Dieser Ausdruck muss noch in Hinsicht x integriert werden. § 343 ist

xdx

J J/n²lix-|-x²

x -f- |/^n² h x + x² J + C.

Vn²hx +x² —

Allein das Integral von (5) in Hinsicht x ist von x = 0 bis x = h zu nehmen, um die Anziehung aller horizontalen Schichten des Berges auf m zu erhalten. Nun ist

>h xdx

0 V"n² h x 4- x²

= h|^l 4- n²

n² h n² 4- 2 4~ 2.V 1 + n²

r-*

n²

(6)

n²

Die gesuchte Gesamtanziehung in vertikaler Richtung ist daher gleich 2 7T f m (? h l_KrY^ + ^z"2 + 2 + 2KrT1?^

A

Dieser Ausdruck kann unter der Voraussetzung vereinfacht werden, dass der Berg sehr flach ist, d. h. dass die Zahl n bedeutend grösser ist als die Einheit. Man erhält zunächst aus (6) (7) 2^f“?hn 4-|/l + A ₊ A;(i₊ A. + Ąj/l+ Y)

Entwickelt man nun j/1 -f- nach <3em binomischen Satze und nachlässigt die Glieder von der vierten Potenz von — an, so ist

ver-

¹+?⁼¹ + ii?-

Hierfür wird nach der Formel (4) des § 69

l (1 -f x) = x

x²    x³    xł

"2~ ⁺ ~3    4_ + --

die logarithmische Grösse

jg+ia+j.

n \ n

2 n²

AAI-

2 n²^_

-(l + —

n \ n

ifAYfi+-+—V

2 V n / V ^ n ⁺2nV

2 n²

+4-(—YG+—

3 vny Y n

Entfernt man rechts die Klammern, so heben sich die Glieder mit-4-

n²

auf. Vernachlässigt man sodann alle Glieder von der vierten Potenz der Grösse — an, so wird der Wert des vorstehenden logarithmischen

Ausdruckes = — ( n Y

bezeichnen wollen,

also das Integral (7), das wir mit a

a = 2,rfmehn[i--(l + -Ar)

+ 1-

6 n²

(8)

3n/

Ist nun R der Halbmesser der Erde, diese als Kugel gedacht, p' die mittlere Dichtigkeit der Erdmasse und A die Anziehung der Erde auf das Massenteilchen m, das auf ihrer Oberfläche liegt, so ist nach Formel (11) § 371

mithin das Verhältnis zwischen den Anziehungen a und A

(‘-£>

A 2 o'

Ist nun n = 5, h = 0,5 geographische Meilen, und wie man annähernd annehmen kann (§ 260),

ç — 2,65, (P = 5,56, R = 860 Meilen,

so wird

A 2 776'

Mithin ist die Anziehung der Erde 2 776 mal so gross als die dieses Berges auf die Masse m.

373. Wärmeentwickelung bei der Bildung der Himmelskörper, nach der Hypothese der Entstehung dieser Körper durch Verdichtung aus Welldunst. Nehmen wir an, die Materie, die die Himmelskörper bilden, habe sich ursprünglich im Welträume im aufgelösten Zustande vorgefunden und sich sodann an einzelnen Stellen dieses Raumes, nach dem Gesetze der Gravitation, verdichtet. Jedes kleinste Teilchen der Materie hat hierbei auf alle übrigen eine anziehende Wirkung ausgeübt. Jeder dieser Anziehungen entspricht eine Arbeitsgrösse (§ 174), weil je eine Kraft längs eines Weges gewirkt hat. Denken wir uns alle diese Arbeitsgrössen, die dem Verdichtungsvorgange eines Himmelskörpers entsprechen, berechnet, und sodann diese Arbeitsgrössen nach der mechanischen Wärmetheorie in Wärme verwandelt. Diese Wärme wird sich über die verdichtete Masse des Körpers verbreitet und ihr eine entsprechend hohe Temperatur erteilt haben. Es seien

xo die ursprüngliche Entfernung zweier Massenteilchen m, m,, die sich anziehen,

x ihre Entfernung in irgend einem Augenblicke ihrer Annäherung, x, ihre Entfernung in dem verdichteten Himmelskörper und f die Anziehung zweier Masseneinheiten, die den Abstand 1 haben; dann ist nach dem Gravitationsgesetze die Anziehung der Massen m, m, in der Entfernung x gleich

(1)

# mm, x² ’

und somit die Arbeit beim Uebergange aus dem Abstande xo in den Abstand x,

Xo

f mm,

Wegen des ursprünglich aufgelösten Zustandes der Materie ist xo vielmal grösser als x,. Deshalb kann man

Xo

sigen. Dadurch wird die vorstehende Arbeit gleich.

fmm'

gegen — vernachläs-

x,

(2)

x,

Sind nun m₂,ni3 . . Massenteilchen wie m,in,, die an dem Vorgänge der Verdichtung teilnehmen, so wird m auf in,, m2,m3,.. wirken; ebenso in, auf m, m₂,m₃,..; dann m₂ auf m, m,,m₃,.. d. h. jedes Teilchen wirkt auf jedes der übrigen. Jeder dieser Anziehungen entspricht eine Arbeit, die die Formel (2) zum Ausdrucke hat.

Um alle die Arbeiten zu finden, die zunächst aus der Anziehung von m auf alle übrigen Massenteile entspringen, lege man durch den

Mittelpunkt der verdichteten Kugelmasse und durch das Teilchen m eine feste Ebene und nenne

r, r, die Abstände der Teilchen m, m, vom Mittelpunkte der Kugel-tnasse,

x, wie oben den Abstand der Teile m, m,,

0 den Winkel, den die Abstände r und r, einschliessen,

<f den Winkel, den der Abstand r, mit der festen Ebene durch den Mittelpunkt bildet,

p die Masse der Kubikeinheit der verdichteten Kugel, welche Masse als gleichförmig dicht vorausgesetzt werde, und R den Halbmesser dieser verdichteten Kugel.

Man erhält zunächst die Gleichung

(3)

x,² = r² 4- r,² — 2 r r, cos 0.

Man beschreibe um den Mittelpunkt der verdichteten Kugelmasse zwei Kugelflächen mit den Radien r, und r, -f- d r, und denke sich zwischen diesen Flächen ein rechtwinkeliges Volumenelement, dessen Dimensionen d r„ r, d 0 und r, sin 0 d </ sind. Die Masse m, dieses Volumenelementes ist daher

(4)

m, = o r,² d r, sin 0 d 0 d (f.

Setzt man die Werte von x, und m, aus (3) und (4) in (2) ein, so folgt als Arbeit, die aus der Anziehung von m auf m, entspringt

(5)

r,² d r, sin 0 d © d (f Ÿ r² -f- r,'² — 2 r r, cos 0 Integriert man diesen Ausdruck (5) der Reihe nach in Hinsicht (f von 0 bis 2n

» 0 »    n

»    D r> 0 n    ü'»

so erhält man die Arbeit a, die aus der Anziehung des Teilchens m auf alle übrigen Teilchen, die an der Verdichtung Anteil nehmen, hervorgeht. Diese Arbeit ist daher für die angegebenen Grenzen

r,² d r, sin 0 d 0 d (f

V r² + r,² — 2 r r, cos 0

Die Integration in Hinsicht (f gibt

r,² d r, sin 0 d ©

Yr² -f- r,² — 2 r r, cos © Da sin 0 d 0 = — d (cos 0), so kann man auch schreiben

(6)

a = 2 n f m p r,² d r,

— d (cos 0)

V r² + r,² — 2 r r, cos ©

Um die Integration in Hinsicht © auszuführen, berücksichtige

man, dass

d J/a — b cos 0 =

— b d (cos 0)

2 Ka — b cos 0

und folglich, von der Integrationskonstante abgesehen, durch Umkehrung

b cos 0 -

— d (cos 0)

Ka — b cos 0

Hiernach wird sein

rr,

— d (cos 0)

J Vr² + r,² — 2 r r, cos 0

yr² -f r,² — 2 r r, cos 0.

Der Wert dieses Integrals zwischen den Grenzen 0 = 0 und 0 = ti ist

(7)

r r,

Çyr² + r,² + 2 r r, — r² -f- r,² — 2 r r,^.

Hierin kann nun r, grösser oder kleiner als r sein. Wenn r, <( r,

so wird der Wert von (7) =

Masse m ausserhalb aller der Kugelschalen, deren Halbmesser variieren können zwischen 0 und r. Wenn r, ^>r, so wird der Wert von (7)

— ; es liegt alsdann die anziehende

r

2

= —; in diesem Fall liegt die Masse m innerhalb aller Kugelschalen,

* f

deren Halbmesser von r bis R wachsen können, schiedenen Werte —

Wegen der ver-

und

— ist es daher nötig, die Integration in

Hinsicht der dritten Variabein getrennt auszuführen, hin aus (6)

Man erhält mit-

(8)

fm?cn

r 2 r,² d r,

K 2 r,² d r,

r,

Nun ist

r 2 r,² d r,

f*R

)    2r, dr, =R² —

r² ; daher die Summe

dieser Werte = R² — -|r². Führt man diesen Wert in (8) ein, so kommt

(9)

a = 2 Ti f in o (R² — Ą r²).

Denken wir uns alle diese

Beschreibt man vom Mittelpunkte der verdichteten Kugel aus zwei Kugelflächen mit den Radien r und r + dr, so schliessen beide Flächen unendlich viele Massenteile wie m ein.

Massenteile gleich gross, so entspricht jedem eine gleiche Arbeit = a. Die Arbeit, die somit allen zwischen diesen zwei Kugelflächen eingeschlossenen Teilchen entspricht, ist der Anzahl dieser Teilchen, d. h. der eingeschlossenen Masse proportional. Vertauscht man daher in (9) die Masse m mit der Masse 4 7rpr²dr jener Kugelschale, so erhält man als Arbeit die aus der Anziehung aller Teile jener Schale auf alle Teile überhaupt hervorgeht, den Wert

8 7T² f p² ^R² r²

Uw

dr.

Wird dieses Differential integriert von r = 0 bis r = R, so erhält

man die Arbeit, die der Anziehung aller Teile auf alle Teile entspricht, gleich

(10)

CCir-4

CijlO

7T² f p² R⁵.

In diesem Ausdrucke sind die Arbeiten, die aus der Anziehung von m auf m, und von m, auf m hervorgehen, gleich gross. Da sich dies für je zwei andere Teilchen ebenso verhält, so ist die gesamte Arbeit, die aus dem Verdichtungsprozesse entspringt, nur die Hälfte von (10). Bezeichnet man diese Arbeit mit A, so ist mithin

A = If 7T²f p²R³.

Man nenne s die mittlere Wärmemenge, die nötig ist, um eine Masseneinheit des Stoffes um 1⁰ Celsius zu erwärmen ; E = 424 Meter-Kilogramm die mechanische Arbeit (§ 263), die zur Hervorbringung einer Kalorie Wärme erforderlich ist, wenn sich die Arbeit vollständig in WTärme umsetzt, und t die ursprüngliche Temperatur, die der Himmelskörper infolge des Verdichtungsprozesses annehmen wird.

Nun ist die Masse des Himmelskörpers gleich

j 71 R³ p.

Wird diese Masse von 0 auf 1 Grad erwärmt, so ist hierzu eine WT armem enge nötig = |7rR³ps Kalorien; für eine Erwärmung von 0 auf t Grade steigt diese Wärmemenge auf -f n R³ p st. Jede dieser Kalorien kann entstanden gedacht werden aus einer Arbeit = E, also jene im ganzen Ball enthaltene Wärme aus einer Arbeit = f tt R³ p s t E. Diese Arbeit muss gleich sein der Grösse A in Formel (11) unter der Voraussetzung, dass während des Verdichtungsprozesses keine Wärme durch Ausstrahlung an den Weltraum verloren gegangen sei. Hieraus folgt

•§ 7T R³ p S t E = ff 7T² o² f R⁵.

4    rt qI

5    s E

(H)

(12)

R².

Da die Grössen f und E konstant sind, so ist mithin die ursprüngliche Temperatur t eines Himmelskörpers proportional seiner Oberfläche 7i R² und seiner Dichtigkeit p.

Setzt man die Grösse s für alle Himmelskörper als konstant voraus und bezeichnet mit t, die ursprüngliche Temperatur, mit R, den Radius und mit. p, die Masse der Kubikeinheit eines andern Himmelskörpers, so ist nach (12)

(13)

4 71 ÎQ,

R,².

Durch Division von (12) und (13) folgt t, _ p, R,²

t “ pR² *

Um die ursprüngliche absolute Temperatur der Erde zu bestimmen, nenne man M die Masse der Erde, diese Masse als gleichförmig gedacht; G das Gewicht der Masse p, die in der Kubikeinheit enthalten ist, wenn sich diese Masse auf der Erdoberfläche befindet, s die spezi-

(14)

fische Wärme der Erdmasse, d. h. die Wärme, die nötig ist, um 1 Kilogramm der Erdmasse um 1 Zentigrad zu erwärmen; dann ist die Erdmasse gleich

! 71 R³ p = M

und nach dem Gesetze der Gravitation, indem man G als Anziehungskraft der Massen M und p auffasst, die sich im Abstande R von einander befinden, gleich

(15)

(16)

Mo

R‘²

Das Gewicht der Erdmasse ist = n R³ G. Wird dasselbe von 0 auf 1 Grad erwärmt, so ist eine Wärmemenge erforderlich = -f ttR³Gs. Wird dieses Gewicht auf t Grad erwärmt, so bedarf es hierzu einer Wärmemenge = 7r R³ G s t. Dieser Wärmemenge entspricht die mechanische Arbeit = 4 jt R³ G s t E, da jede Kalorie eine Arbeit = E produzieren kann. Diese Arbeit muss gleich der sein, die aus ■ dem Verdichtungsprozesse der Erde entstanden ist. Man hat daher nach (11)

(17)

-fn R³ G s t E = A.

Multipliziert man die Gleichungen (11), (15), (16) und (17) mit einander, so folgt die gesuchte Formel

3 R y sE '

(18)

Ist nun

s = 0,2, E = 424 mkc/, R = 6 365 000 rn, so folgt als Wert der ursprünglichen Temperatur der Erde nach (18)

3 • 6 365 000 5 • 0,2 • 424

Vermöge der Formel (14) und des Wertes von t aus (19) erhält man folgende Resultate (Halbmesser und Dichte der Himmelskörper nach dem Annuaire, 1864)

(19)

— 45 035 Grade.

Merkur

Venus

Erde

Mars

Jupiter

Saturn

Uranus

Sonne

Mond

Temperaturverhältnisse t, : t 0,45 0,89 1,00 0,26 30,00 11,23

Radius - R. 0,391 0,985 1,000 0,519 11,225 9,022 4,344 112,060 0,273

Mittlere Dichte p. 2,94o" 0,923 1,000 0,948 0,238 0,138 0,180 0,252 0,557

3,40 3 164,50 0,04.

VII. Differentialgleichungen der ersten Ordnung mit zwei Veränderlichen.

374. Erklärungen. — Sonderung der Veränderlichen. Eine Gleichung zwischen einer unabhängig veränderlichen Grösse x, einer Funktion y derselben und Differentialquotienten von y nach x heisst eine gewöhnliche Differentialgleichung mit zwei Veränderlichen und zwar eine Differentialgleichung der ersten Ordnung,, wenn sie nur den ersten Differentialquotienten von y enthält. Eine solche Gleichung hat die allgemeine Form

(1)

f (x’ y’Tx\)'⁼ °’

wofür man auch schreiben kann

f (x, y, d x, d y) = 0 oder f (x, y, y') = 0.

Die Aufgabe, die durch eine solche Gleichung gestellt wird, besteht in der Bestimmung von y als Funktion von x, so dass durch y und

die Gleichung (1) identisch, d. h. für alle Werte von x befriedigt wird. Dieses Lösen der Differentialgleichung erfordert im allgemeinen, wie im Folgenden sich ergeben wird, die Ausführung von Integrationen, weshalb man dieses Lösen auch Integration der Differentialgleichung und jede Funktion von x oder jede Gleichung zwischen y und x, die der^ Gleichung (1) genügt, ein Integral von (1) nennt.

Von den Differentialgleichungen erster Ordnung sollen zunächst die

des ersten Grades betrachtet werden, bei denen y' oder

dy

dx

der ersten Potenz vorkommt. Sie haben die allgemeine Form f (x, y) + y' <P (x, y) = 0

oder

(2)

dy

nur in

f(x,y)dx+ (x,y) dy = 0.

Die einfachste Gestalt, die die Gleichung (2) haben kann, ist f (x) d x -f (f (y) d y = 0.

Diese Gleichung besteht zwischen zwei Differentialen, wovon jedes nur eine Variable enthält. Man sagt deshalb, die Variabein seien in der Gleichung (3) gesondert oder getrennt.

Die Integration von (3) giebt die Integralgleichung

(3)

(4)

Jf (x) d x + J (f (y) d y = C,

worin C eine willkürliche Konstante bezeichnet. Ergibt die Ausführung der Integrationen etwa

Jf(x)dx = F(x); JV(y)dy = <t>(y),

so lautet das Integral der Gleichung- (3)

(5

F(x) + 4>(y) = C.

Die Hauptaufgabe bei der Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades ist nun die, durch irgend welche Hülfs-mittel die Yariabeln zu sondern. Denn kann diese Sonderung bewirkt werden, so hat man nur die einzelnen Differentiale nach den in den früheren Abschnitten angegebenen Regeln zu integrieren.

Diese Sonderung kann sehr oft durch blosse Umformung erzielt werden, so z. B. in den Gleichungen

dx

Ydx-(-Xdy = 0, woraus

A

dy

= 0,

XYdx + X' Y'dy = 0,

x^dx +

Y'

worin Y eine Funktion nur von y und X eine Funktion nur von x bezeichnet.

Bei gewissen Funktionen lässt sich die Sonderung der Variabein erzielen durch Einführung einer neuen Veränderlichen. Wenn z. B.

(6)

dy = f — dx,

y

so setze man — = t und erhält

y = xt, dy = xdt-j-tdx.

Folglich durch Substitution in (6)

x d t + t d x = f (t) d x,

dx

dt

375. Sonderung der Variabein bei linearen Differentialgleichungen. Man nennt eine Gleichung von der Form

dy + f (x)ydx = <£(x)dx,

eine lineare, weil die abhängig Variable y und ihr Differential dy nur in der ersten Potenz Vorkommen.

Behufs der Sonderung der Variabein setze man

y = xt,

worin X eine Funktion von x und t eine neue Variable bezeichnet; man erhält durch Differentiation von (2)

(1)

(2)

(3)

dy = Xdt + tdX.

Führt man die Werte von y und dy aus (2) und (3) in (1) ein, so kommt

X d t + t d X -f X t f (x) d x = (p (x) d x.

Da der Wert von X willkürlich ist, so kann man denselben so wählen, dass die beiden Glieder, die X enthalten, zusammen — 0 werden.

Dies gibt folgende zwei Gleichungen

(4)

(5)

Aus (4) folgt

dt-f-tf(x)dx — 0;

t d X = <f (x) d x.

-=-f(x)dx,

! It = — J*f(x) dx,

<W

t = e-J f (x)d x.

Setzt man diesen Wert von t in (5) ein, so wird dX = y(x)dxe/fWdx.

(6)

(7)

/in- x.

- JL

Die Integration liefert

so dass also

(8)

X = J(f (x) e/fWdxdx + C, y = e~ /f(DdxQ' ^(x)e/ f 00** dx +

die Integralgleichung von (1) ist. Es sei z. B. zu integrieren

dy + xydx = adx,

so ist f (x) = x, (f (x) — a. Setzt man y = X t, so wird

X2

xdx = —

x2

d X = ae dx; X

= a J e dx,

welcher Wert von X als bekannt angesehen werden kann. Folglich

x2

y = a e~ 4e ’ dx.

Da alle linearen Differentialgleichungen integriert werden können, kann man auch das Integral aller derjenigen Gleichungen angeben, die sich auf lineare zurückführen lassen. Solches ist stets möglich bei den Differentialgleichungen von der Form

(9)

V' (y) d y + y (y) f (x) d x = (f (x) d x,

Setzt man

in der ip (y) eine von y allein abhängige Funktion ist. nämlich

z = ty (y); also d z = ip' (y) dy,

so geht Gleichung (9) über in

dz -f- zf (x) d x = (f (x) d x, die mit (1) in der Form übereinstimmt.

Zu den Gleichungen (9) gehört die sogenannte Bernoulli’sehe Differentialgleichung

(10)

d y + y f (x) d x = y" • (f (x) d x; denn durch Multiplikation mit (1 — n) y —11 folgt aus ihr

- d y + * „ _; f f (x) d x = (1 — n) (p (x) d x ¹

und, wenn substituiert wird

d z -f (1 — n) z • f (x) d x = (1 — n) (f (x) d x. Das Integral dieser Gleichung ist nach (8)

(1 — Il) J f (x) d X

( n — 1) (' f (x) d x

Î ^ ~~ (x)e

aus der folgt

(1 —n) j' f (x) d x

(1 — n)J (p (x) e

376. Sonderung der Veränderlichen bei homogenen Differentialgleichungen. Eine Gleichung heisst homogen, wenn in ihr die Anzahl der Dimensionen der Veränderlichen in allen Gliedern dieselbe ist. Homogen sind demnach die Gleichungen

x y d y + x² d x + y² d x = 0,

dx4

, r__ d y = 0.

V*² + y²

Nun sei allgemein

(1)

f(x,y)dx = cp (x,y)dy

eine homogene Gleichung. . Setzt man in ihr y = x z, so wird x in jedem Gliede der Gleichung mit demselben Exponenten Vorkommen. Ist die Summe der Exponenten in jedem Gliede = n, so ist mithin x“ ein gemeinschaftlicher Faktor der Gleichung. Nach Entfernung dieses Faktors werden die Vorzahlen von dx und dy in (1) nur noch Funktionen von z sein. Aus (1) folgt deshalb

dy

(2)

worin ip (z) eine Funktion von z allein bezeichnet. Dififerentiiert man y = x z, so folgt

dy = x d z 4- z d x.

Folglich wird durch Substitution dieses Wertes von dy in (2) x d z 4- z d x — ip (z) d x,

woraus sich ergibt

(3)

ip (z) — z

In dieser Gleichung ist nun die Sonderung der Variabein vollzogen. Ihre Integration liefert

(4)

+ C;

V'(z) — z

Y

setzt man nach Ausführung des Integrals für z den Wert — ein, so hat man das Integral Von (1).

Es sei z. B. zu integrieren

(x — y) d x = x d y.

Setzt man y = x z, so wird (5) zu

(x — xz)dx = xdy

oder nach Entfernung des gemeinschaftlichen Faktors x

(1 — z) d x = d y.

Aus y = xz folgt aber dy = xdz-)-zdx; hierfür wird (4) (1 — z)dx = xdz + zdx; (1—2z)dx = xdz,

1 d(—2 z)

Y 1 - 2z '

(5)

(6)

1 — 2 z

Folglich kommt durch Integration

Ix — — \ l (1 — 2 z) + i l a,

worin ^ l a die Konstante der Integration bezeichnen soll. Man kann auch schreiben

Ix =

Tl

1 - 2z

Ix² =

— 2z

1 — 2z’

Führt man schliesslich noch z =

ein, so kommt das gesuchte Integral

(7)

x (x — 2 y) = a.

Auf die homogenen Differentialgleichungen lässt sich die allgemeine

Gleichung

(8)

(ai x + bt y + d ) d y -f (a₂ x + b₂ y + c₂) d x = 0 zurückführen. Setzt man nämlich

x = £ + a; y = y + ß,

so lautet die Gleichung (8)

(ai £H-bi    a + bi ß 4- Ci)d^-f (a2 £ +b₂ v/+a2 « + b2 /J-j-C2)d|j =0.

Bestimmt man nun die willkürlichen Konstanten a und ß so, dass sie den Gleichungen

(9)

ai cc —)— bi ß —J— Ci — 0 a2 « + ß + C2 = 0 Genüge leisten, so erhält man die homogene Gleichung (ai £ + bi y)) d Y) + (a₂ £ + b2 yf) d £ = 0.

Die Auflösung der Gleichungen (9) ist aber nicht mehr möglich, wenn ai b2 — a2 bi =0

ist. Für diesen Fall ist aber

b₂ =

a₂ bi

ai

und (8) kann geschrieben werden

(ai x + bi y) (^d y + d x J + ci d y + c₂ d x = 0.

Führt man

ai x + bi y = z ;

dy =

¹ , ai -—dz — -—dx

bi

bi

hierin ein, so erhält man schliesslich

(ai z + ai Ci) d z + [(a2 bi — ai ) z — ai² Ci + ai bi c₂] d x = 0,

Nach der

in der sich die Yariabeln ohne weiteres sondern lassen. Integration ist dann z = ai x + bi y wieder einzusetzen.

377. Vollständigkeit des Differentials einer Gleichung [mit zwei Variahein. Abgesehen von dem Falle, wo die Gleichung

(1)

P d xj+ Q, d y = 0,

in der P und Q Funktionen von x und y sind, durch Sonderung der Yariabeln integriert werden kann, gibt es noch einen Fall, in dem eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) durchgeführt werden kann. Dies ist nämlich möglich, wenn die linke Seite ein vollständiges oder genaues Differential ist.1 .Ist nämlich

;Pdx+tQdy = d f (x, y),

so kann (1) durch die Gleichung d f (x, y) = 0 ersetzt werden und hat die Integralgleichung

f (x,y) = C.

Man sieht aber nicht immer sofort ein, ob die linke Seite der Gleichung (1) ein vollständiges Differential ist. Daher ist es nötig, die Bedingungen hierfür aufzustellen und zugleich anzugeben, wie f (x, y) gefunden wird. Setzt man dazu f (x, y) = u und differentiiert, so erhält man

(2)

dy

dy;

dP dQ

(4)

dy

als Bedingung dafür, dass die linke Seite von (1) ein vollständiges Differential ist, d. h. so aufgefasst werden kann, als sei es durch unmittelbare Differentiation aus der ursprünglichen Funktion abgeleitet worden. Die Integration der Gleichung (1) wird dann nach folgendem allgemeinen Verfahren ausgeführt.

Da Pdx das partielle Differential von u in Hinsicht x ist, so wird u aus Pdx durch Integration nach x bis auf einen von y abhängigen Teil erhalten, so dass man setzen kann

(5)

aus (1) und (2) folgen als Bedingungen, dass (1) ein vollständiges Differential ist,

(3)

c) u

du

dx’

; Q = -v—

dy‘

Dififerentiiert man P in Hinsicht y, Q in Hinsicht x, so erhält man

d² u

dP

d² u d x d y d x"

d y d x d y d² u

d² u

dxdy dydx’

in Hinsicht x, dann in Hinsicht y differentiiert oder umgekehrt, so wird sein

Da aber

indem es gleichgültig ist, ob man u zuerst

u = Jpdx + Y.

Die Grösse Y vertritt hier die Stelle der Konstanten, ist aber allgemein als eine Funktion von y zu betrachten, die noch bestimmt

werden muss. Bezeichnet man das Integral J^P d x mit U, so ist

u = U + Y.

Diese Gleichung, in Hinsicht y differentiiert, gibt du _ dU    dY

dy ~~ dy    dy '

Da nun aber auch — - = Q, so wird mithin

dY = Qdy —

dü

dy

d y.

Somit erhält man durch Integration in Hinsicht y

=JIQ

dUl

dy _

dy.

Führt man diesen Wert von Y in (5) ein, so erhält man den Wert von u und damit die gesuchte Integralgleichung in der Form

d f ^ — d y = C.

(6)

u=J°Pdx+J Qdy— J

dy

Wenn die Grösse z, die man den integrierenden Faktor oder Euler’sehen Multiplikator nennt, aus dieser Gleichung (3) bestimmt werden kann, so multipliziere man (1) damit, und es wird diese Formel integriert werden können.

Allein z lässt sich aus (3) nur in besondern Fällen ermitteln. Unter diesen Fällen heben wir denjenigen hervor, wo z eine Funktion von nur einer der Variabein x, y ist.

= 0. Hierfür folgt

äy

Ist z eine Funktion von x, so wird

aus (3)

Hätte man zuerst Q d y nach y integriert, so würde man ebenso die Integralgleichung in der Form

(?)

u = J* Pdx-fJ^Qdy — J-

àf Qdy

erhalten haben.

378. Integrierender Faktor. Wenn ein Differential Mdx + Ndy = 0

zwischen zwei Veränderlichen x,y kein vollständiges ist, so kann es durch einen Faktor z, der im allgemeinen eine Funktion von x,y sein wird, zu einem vollständigen gemacht werden.

Nach der Bedeutung von z wird also das Differential Izdx-fNzdy = 0 ein vollständiges sein, also die Bedingung erfüllen

a(M z) _ a(N z) d x

(1)

(2)

àj

Allein diese letzte Gleichung gibt, indem man die Differentiation ausführt,

(3)

dM

= N ^--(- z

dN

dM dN

(4)

dy

d x.

Ist z eine Funktion von y, so wird —— = 0 und man erhält J ’    dx

aus

(3)

dN dM

(5)

dy

dy.

Wird der Ausdruck (4) oder (5) integriert, so erhält man den integrierenden Faktor z.

Beispiel. Es sei zu integrieren die Differentialgleichung

(6)

(l+aj^l +x²)dx-j-2byj/"l4-x²dy = 0.

Da mit M die Vorzahl von dx, mit N diejenige von dy bezeichnet wird, so ist

Die Werte von

= 0,

ÔM

dy

und

Q*'

2 b xy

⁼ vtT^'

sind verschieden. Die Formel (6)

Gesetzt, es gebe einen integrieren

ist also kein genaues Differential, den Faktor z dieser Gleichung, der eine Funktion nur von x ist, so wird man nach (4) erhalten

1 -f- x²

Somit ist

Iz = - 2¹ Z (1 + X²) 4- i l C,

wenn die Integrationskonstante mit l c bezeichnet wird. Dies gibt auch

z = l/ryv5-

Multipliziert man die gegebene Gleichung mit diesem Werte von z, so kommt

Vc

-fa^dx-j-2b|/rcydy = 0.

Ki + x2 Das Integral dieser Gleichung ist

Y c [/ (x + y 1 -f- x²) + ax] + b y² Vc = c', oder indem man durch Yc dividiert und c' : Y c mit h bezeichnet, l (x + Y1 -f x²) + a x + b y² — h = 0.

Wird diese Formel differentiiert, so erhält man in der That die gegebene Gleichung (6). Somit ist (7) das Integral von

Man sieht übrigens, dass in der vorgelegten Gleichung die Sonderung der Variabein durch Division durch Y1 + x² ausgeführt, die Integration somit ohne einen integrierenden Faktor bewirkt werden kann.

(7)

(6).

379. Differentialgleichung mit dein Quadrate des Differentialverhältnisses. Enthält eine Differentialgleichung zwischen den Variabein x, y

das Differentialverhältnis

dy

in der ersten und zweiten Potenz, so heisst

sie eine Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades und kann stets auf die allgemeine Form

(KM©«-

0)

gebracht werden, wo P und Q Funktionen von x oder y oder beiden Variabein sein können.

29

Autenheimer, Elemeutarbuch.

Der unmittelbare Weg-, die Gleichung (1) zu integrieren, ist der,

Gleichung (1) wie eine quadratische in Hinsicht aufzulösen. Man

dx

erhält zwei Wurzelwerte. Sind diese A und B, so geht die gegebene Gleichung über in das Produkt

- B = 0.

der Faktoren = 0 ist.

Diese Gleichung kann nur bestehen, wenn der eine oder der andere Daher entstehen folgende zwei Differential-

gleichungen der ersten Ordnung

(2)

d y = B d x.

Lassen sich diese integrieren, so multipliziere man ihre Integrale miteinander, und das Produkt ist das Integral der gegebenen Gleichung (1).

Als Beispiel diene die Gleichung legung in ein Produkt folgt

/ d v \ ²

— a² =0; durch Zer-

(8)

dy

a) (tr +a) -

0.

Daher ergeben sich die Gleichungen der ersten Ordnung d y = a d x ; dy = — adx und, da a konstant ist, durch Integration

(4)

y = ax + C; y = — ax-f-C'.

Diese Gleichungen entsprechen zwei Geraden; die eine hat a, die a zur trigonometrischen Tangente des Winkels, den sie mit

andere

der Abscissenachse bildet. Die Linien liegen daher zu beiden Seiten dieser Achse und bilden mit ihr gleiche Winkel. Die Konstanten C,C' sind die Stücke, die sie auf der Ordinatenachse, vom Anfangspunkte aus, abschneiden. Hiernach erhält man entsprechend der Gleichung (3)

(y — a x — C) (y + a x — C') = 0 oder durch Ausführung der Multiplikation

y² (C + C') y — a² x² — a (C — O') x -j- C C' — 0.

Diese Gleichung ist das Integral der gegebenen Differentialgleichung. Sie stellt eine Hyperbel dar für jenen speziellen Fall, wo die beiden Kurven in gjÿei Gerade übergehen, die sich für 0 = 0 im Mittelpunkte schneiden.. *

In vielen Fällen führt jedoch die Auflösung der Gleichung (1) auf zwei solche Gleichungen (2), bei denen eine Sonderung der Veränderlichen nicht gelingt. Man kann alsdann folgendes Verfahren versuchen.

Es werde vorausgesetzt, dass Gleichung (1) in Hinsicht x oder y

dy

p ein und erhält den

aufgelöst werden kann; dann führe man Zusammenhang zwischen x, y und p unter einer der beiden Formen

x = T(y,p); y = </’(x,p).

b y = p² + a x

(6)

Gesetzt es gelinge die Herstellung der zweiten dieser Gleichungen, so liefert ihre Differentiation nach x die Gleichung

à (f J d <p dp à x ¹ dp dx

die in Bezug auf x und p von der ersten Ordnung und vom ersten Grade ist. Gelingt es, diese Gleichung zu lösen und ist etwa F (x, p, C) = 0 ihre Integralgleichung, so erhält man durch Elimination von p aus

y = <f (x, p) und F (x, p, C) = 0

oder p d x =

d x -f

d (f

dp,

die Integralgleichung der gegebenen Differentialgleichung (1). Man nennt dieses Verfahren die Methode der Integration durch Differentiation. Zwei Beispiele mögen das Verfahren erläutern.

I. Es sei zu integrieren

dy Y

(5)

-fax — b y = 0.

Nach dem zuerst angegebenen allgemeinen Verfahren erhält man folgende zwei Gleichungen der ersten Ordnung

---= +Vby — ax;

dy

dx

= —V by — ax.

Da aber in denselben die Sonderung der Veränderlichen nicht direkt möglich ist, so wende man das soeben angegebene spezielle Verfahren

= p in (5) ein, und erhält

an.

Zu diesem Zwecke setze man

dy

dx

also durch Differentiation, nachdem noch d y durch p d x ersetzt worden,

2pdp

Diese Gleichung kann aber integriert werden. Setzt man b p — a = b z, so wird

a -f- b z

dx =

2 fadz

b²

-f- bd z

und durch Integration

’S

— [a l z -j- b z] -f- C ;

ff vj. v

' [<% % /r>) •

9p oft

(7)

b²

+ C.

Eliminiert man nun aus dieser Gleichung (7) und der gegebenen Gleichung (6) die Grösse p, so erhält man das Integral von (5).

II. Es sei ferner zu integrieren

(8)

y d x — x Y d x² + d y² = 0.

Man erhält zunächst durch Einführung- von p y = x V1 + P²

(9)

und durch Differentiation

dy = dx|/ 1 + p² + x

pdp

yi+p²'

Daher ist, wenn d y durch p d x ersetzt wird,

(p — yi+p*)dx =

pdp_

VT+Ï?

Multipliziert man noch auf beiden Seiten mit p -}- Yl -f- p², so geht die Gleichung über in

p² dp

Ff+p'

Die Integration dieser Gleichung gibt unter Benutzung von Formel (7), § 90

i x = i D(p + V¹ + p²) — p²

p Vi + p²] + c.

Setzt man den Wert p = 4-hält man das Integral von (8).

W-x*

aus (9) hier ein, so er-

Bis-

380, Integration der Differentialgleichungen durch Reihen.

weilen gelingt es eine Differentialgleichung durch eine konvergente Reihe zu integrieren. Wir zeigen das Verfahren nach der Maclaurin’sehen Reihe und nach dem Satze der unbestimmten Koeffizienten.

I. Die Maclaurin’sehe Reihe, § 288, Formel (4), ist

(1) f (x) = f (a) + f' (a) (x — a) + f" (a)

(x — a)²

1-2

Dafür schreibt man auch häufig

(2)

y = y*⁺Gnr).(x-a) + (©.

(x — a)²

dy

. . durch Vergleichung mit (1) sich

wobei die Bedeutung von yu. leicht ergibt.

Nach dieser Reihe soll integriert werden die Differentialgleichung

d x/a

(3)

dy

d x 2 x Man erhält durch Differentiation von (3) d²y dx2 d⁺y Tx*

2 x²

y;

d³y

d x³

X³

2 x²

+ y;

x⁴

x³

2 x²

d⁵ y 36

dx⁵

|x⁵

3    .

:—h y; u. s. w.

■>

X's

2 x²

Man bezeichne nun denjenigen Wert von y, der für x = a entsteht, mit ya und führe diese gleichzeitigen Werte von x und y in die vorstehenden Differentialverhältnisse ein und sodann die entstandenen Resultate in die Reihe (2); man erhält auf diese Weise

x⁴

y = ya +

Ji V 2 a

ya) (x — a) + ^

3    '\ (x—a)³

2a+y0l • 2 ~

2 a²

36 __ _9    _3___

.a⁵ a4 r a³ 2a2 1 2a

03    03

(    ⁹ I ³

V    a4 + ^

+ ya)

\ (x a)

~T G®

(x — a)²

2a ' ya

+ -•

1-2

(x—a)⁴

2-3-4

In dieser Reihe vertritt die Grösse ya die Stelle der Integrationskonstanten.

Nimmt man an, es werde für a = 1 die Grösse ya = 1, so geht die vorstehende Reihe über in

(4) y

= 1 + ~2 (x — 1) +

(x — l)²

1 -2

(x — l)³    - (x — l)⁴

1-2-3    2-3-4

+ 31

(x — l)⁵

2-3-4-5 ^* '

Um zu prüfen, ob die Reihe (4) in dem angegebenen Sinne das Integral von (3) ist, bilde man die Dififerentialquotienten von (4) und vergleiche sie mit denen aus (3). Die von (4) sind

dy

31

dx

d ₌

d x²

d³ y

d x3 d⁴ y

+ (X - 1) + 2 (x - 1)* — -(x - l)³ (- ~ (x - 1)‘ + .. 1    +4(x-l) _A(x-1)³ + ~(x-1)³ + ..

- 5 (x — 1) + |(x-!)* + ..

+ 81(x-l) + ..

d x⁴

Diese, sowie die aus (3) abgeleiteten Dififerentialquotienten geben für x = 1 und y = 1 die folgenden gleichen Werte

d x³

dy

d² y

d x²

= l;

5; u. s. w.

Die Reihe (4) ist konvergent für Werte von (x— 1), die zwischen — 1 und -f 1 liegen, also für Werte von x zwischen 0 und 2.

II. Behufs der Integration durch Reihen wendet man oft mit Vorteil die hypothetische Gleichung

an, worin A, B, C,.. konstante, von x und y unabhängige Faktoren bezeichnen, die nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden.

Es sei zu integrieren

(6)

dy

= a x — y*.

dy

A*us (5) folgt = B-f2Cx + 3Dx² + 4Ex³ + ..

Setzt man diese beiden Werte von

dy

einander gleich, so kommt

y² = a x — (B + 2 C x + 3 D x² -f- 4 E x³ . .).

Ersetzt man hierin y² durch den aus (5) hervorgehenden Wert, so erhält man

A² + 2ABx + 2AC x² + 2AD x³ + . . = ax-(B-f 2Cx + 3Dx²+ ..) -f 2BC + ..

In dieser Gleichung müssen die Vorzahlen gleich hoher Potenzen der Variabein gleich sein. Dies führt zu folgenden Relationen

B = —- A², 2AB — a — 2C, 2AC + B²=-3D,..

C = A³ + -|-,

Là

Setzt man diese Werte von B, C, D,.. in (5) ein, so erhält man die gesuchte Reihe

+ B²

dx

D — — A⁴ —

Aa

y = a — A²x + (^A³+ x² — (^A⁴-f    ^x³ + .

Diese Formel ist das Integral von (6). Die unbestimmte Grösse A bezeichnet die Konstante der Integration.

381. Integration der Differentialgleichungen durch Konstruktion. Es

sei eine Gleichung von der allgemeinen Form

(i)

f(x’y’4f) = 0

gegeben. Man soll durch Konstruktion den Zusammenhang zwischen den Variabein x, y angeben.

Fig. 126.

Damit die Aufgabe bestimmt wird, muss ein Punkt B (Fig. 126) durch seine Koordinaten OA = a,AB = b, durch den die aus (1) hervorgehende Kurve B E gehen soll, gegeben sein. Setzt man nun die Werte x = a, y = b in (1), so findet man den entsprechenden Wert

dy

von ——. Dieser Wert ist die trigonometrische d x

Tangente des Winkels, den die Kurve im Punkte B mit der Abscissenachse 0 x bildet.

1st deshalb B B' eine Tangente an die Kurve und B C parallel zu 0 x,

= tang B' B C. Lässt man nun a um eine

so ist jener Wert von

dy

dx

sehr kleine Grösse Ax = AA' = BC zunehmen, so wird der Zuwachs CB' der Ordinate AB aus dem rechtwinkeligen Dreiecke CBB' sehr annähernd erhalten gleich

CB' = BC tang CBB'.

Allein tang CBB' ist berechnet und A x angenommen ; also ist auch die Ordinate A'B'=? AB-f B'C als gefunden zu betrachten. Entsprechende Werte der Gleichung (1) sind also

x — a + A x; y = b +

(S

A x.

Setzt man dieses Paar Werte in (1) ein, so erhält man einen neuen Dieser ist die trigonometrische Tangente des Winkels

Wert von

dy

dx‘

C' B' B'', den die Tangente B' B" durch den Punkt B' mit der Abscissen-richtung B' C' bildet. Lässt man also die Abscisse um die sehr kleine Grösse A x = A' A" = B' C' zunehmen, so erhält man als Zuwachs C' B" der Ordinate

C' B" = B' C' tang C' B' B".

Hieraus ergibt sich der ganze Wert der Ordinate A" B" = A' B' + 0' B".

Auf diese Weise kann man eine hinreichende Anzahl von Punkten der Kurve konstruieren. Folglich kann man auch für irgend einen Wert von x den entsprechenden von y finden. Die Resultate werden um so richtiger, je kleiner die Abscissenzuwachse A x genommen werden. Beispiel. Man soll die Differentialgleichung 2xydy — 3ydx + 2xdx = 0

(2)

konstruieren Punkt xo = 1, y₀ = 1 gehe.

unter der Voraussetzung, dass die Kurve durch den

Man erhält aus (2)

(3)

dy

= 0,5. Ist deshalb O A = AB = 1,

Für xo = 1, yo = 1 wird so ist tang CBB' = 0,5. Nimmt man nun A x= 0,05, so wird CB' = 0,05-0,5 = 0,025,

A'B' = 1 + 0,025 = 1,025.

Setzt man x = O A' = 1,05 und y = 1,025 in (3) ein, so wird

= tang C' B' B" = 0,452 962.

Nimmt man daher den Zuwachs A'A" = 0,05, so wird B" C' = 0,050 ■ 0,452 962 = 0,022 648,

A" B" = 1,025 + 0,022 648= 1,047 648, u. s. w.

Auf diese Weise erhält man für 6 auf einander folgende Punkte (x,y) der Kurve

I—¹ I-*

O

r—I ©

h-⁴

© 7-¹

Ci ©

O 00

so

oo

iO Ci

ct

-i

Dieses Kurvenstück kehrt mithin die hohle beite der x Achse zu.

382.    Allgemeines Integral einer Differentialgleichung. Aus § 381

ergibt sich, dass jeder Differentialgleichung f ^x, y,=

0 eine Kurve

entspricht. Die Gleichung dieser Kurve ist das Integral der gegebenen Differentialgleichung.

Fig. 127.

Allein da der Punkt B (E'ig. 127), durch den die Kurve gehen soll, beliebig gewählt werden kann, so entsprechen der Differentialgleichung unendlich viele Kurven B, B', B",.. . Diese Kurven sind in ihrer Lage und im allgemeinen auch in ihrem Laufe verschieden. Sie haben die allen gemeinsame Eigenschaft, dass ihre Neigung zur Abscissenachse für irgend einen Punkt der Kurven eine Funktion ist der Koordinaten dieses Punktes, d. h. sobald die Koordinaten eines Punktes gewählt sind, ist auch der Lauf der Kurve, die durch denselben geht, bestimmt. Das Integral, um ebenso allgemein zu sein wie die Differentialgleichung, muss daher alle diese Kurven darstellen. Dies ist der Fall, wenn das Integral eine willkürliche Konstante enthält, die nicht in der Differentialgleichung vorkommt und durch deren Wahl zu irgend einer Kurve übergegangen werden kann.

Der fragliche Uebergang ist aber auch in der That durch eine einzige wirkliche Konstante möglich. Um das einzusehen, ziehe man in der Ebene der Kurven eine Gerade AB'B" .. parallel zur Achse Oy, im Abstande x == a zur Ordinatenachse. Alle Kurven werden diese Gerade schneiden und zwar in Punkten, die verschiedene Abstände von der Abscissenachse haben. Sobald nun auf dieser Geraden die Abstände AB, AB',.. gewählt sind, ist auch die entsprechende Kurve bestimmt.

Das Integral mit der willkürlichen Konstanten heisst das allgemeine Integral. Legt man der Konstanten einen bestimmten Wert bei, so wird das Integral zu einem partikulären (§ 92).

383.    Singuläres Integral einer Differentialgleichung. Es sei

(1)

F (x, y, c) - 0

Fig. 128.

das allgemeine Integral einer Differentialgleichung und die Grösse c die Konstante der Integration. Gibt man dieser Konstanten verschiedene Werte, so erhält man aus dem allgemeinen Integral (1) ebenso viele partikuläre Integrale. Diese stellen Kurven (Fig. 128) derselben Art dar, die sich möglicherweise schneiden können. Lässt man in dem Falle, dass sie sich schneiden, die Grösse c durch unendlich kleine Intervalle sich ändern, so werden die auf

einander folgenden Durchschnittspunkte B, B', B",.. der entsprechenden Kurven eine neue Kurve bilden, die jede der andern Kurven berührt und deshalb einhüllende Kurve genannt wird. Die Gleichung dieser einhüllenden Kurve heisst ein singuläres Integral der gegebenen

dy

Differentialgleichung. Das Differentialverhältnis

singulären und dem allgemeinen Integral (1) folgt, erhält den gleichen Wert für den Berührungspunkt der einhüllenden und der eingehüllten Kurve.

dx

wie es aus dem

Um das singuläre Integral aus dem allgemeinen zu bestimmen, gehe man von einer Kurve aus, die einem bestimmten Werte von c entspricht, lasse sodann c in c-fdc übergehen; dann verwandelt sich die Gleichung (1) in

(2)

F(x>y>c) +

à F (x, y, c)

d c = 0,

Diese Gleichung stellt eine Kurve dar, die der angenommenen unendlich nahe liegt. Durch Vergleichung von (2) und (1) folgt, dass der zweite Teil von (2) gleich Null sein muss. Dies ist der Fall, wenn entweder d c = 0 oder wenn das Differentialverhältnis

(3)

dF(x,ytc)

gesetzt wird. Aus d c = 0 folgt, dass c konstant sei, was zu keiner weitern Relation führt. Eliminiert man dagegen die Grösse c aus (1) und (3), wodurch man die Grössen x, y in beiden Gleichungen als gleich, d. h. als Koordinaten der Durchschnittspunkte zweier Kurven ansieht, so erhält man eine Gleichung zwischen x, y, die der einhüllenden Kurve angehört.

Man differentiiere daher das allgemeine Integral (1) einer Differentialgleichung in Hinsicht der Konstanten c, setze das entstandene Differentialverhältnis = 0 und eliminiere hieraus und aus (1) die Konstante c. Erhält man auf diese Weise eine Relation zwischen x und y, die die willkürliche Konstante c nicht mehr enthält und aus (1) nicht dadurch abgeleitet werden kann, dass man der Grösse c einen bestimmten Wert beilegt, so ist diese das singuläre Integral der Differentialgleichung. Erhält man auf diesem Wege keine Relation zwischen x und y, so durch-schneiden sich die Kurven der partikulären Integrale nicht, somit fehlt auch ein singuläres Integral.

Bei Anwendung dieser Regel ist darauf zu achten, dass die Gleichung (1) nicht aufgelöst sei in Hinsicht c, also nicht in der Form

c + <f (x, y) = 0

vorkomme. Denn in dieser Form erhielte man

à [c 4- y (x, y)] ₌

statt der Gleichung (3). Es könnte also c nicht eliminiert werden.

Das singuläre Integral nennt man auch die besondere Auflösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1. Es sei

(4)

y = a x a²

das allgemeine Integral einer gewissen Differentialgleichung und a die Konstante der Integration. Diese Gleichung stellt eine gerade Linie dar. Lässt man a sich stetig ändern von — co bis + oc, so erhält man unendlich viele gerade Linien. Die Durchschnittspunkte dieser Geraden bilden eine Kurve. Um die Gleichung dieser Kurve zu erhalten, differentiiere man (4) in Hinsicht a und setze das Differential-Verhältnis = 0. Man erhält

(5)

x 4- 2 a = 0. Eliminiert man a aus (4) und (5), so folgt

(6)

y = — - -

Diese Gleichung ist das singuläre Integral. Die einhüllende Kurve ist somit eine Parabel, deren Scheitel im Anfangspunkte liegt und deren Achse mit der negativen Richtung der Ordinatenachse zusammenfällt.

= a und das von (6)

—, welcher Wert aus (5) folgt, sind diese

zwei Differentialverhältnisse einander gleich. Das Eigentümliche des singulären Integrals besteht hiernach darin, dass sein Differentialverhältnis gleich ist demjenigen des allgemeinen Integrals für einen bestimmten Wert von x.

Beispiel 2. Es sei die Differentialgleichung

Das Differentialverhältnis von (4) ist

dy

dx

dy

Für a == -

y d x — x d y = a y d x² -(- d y2 gegeben. Man dividiere durch d x, so dass kommt

dv

x—-

(7)

== a

dy

Setzt man = p, so geht diese Gleichung über in

y — p x = a Kl + P²,

und indem man differentiiert,

dy — xdp — p d x =

a p d p

V i+p²

Da aber d y = p d x, so folgt hieraus

xdp-j

= 0.

ap dp

V i+p²

Diese Gleichung zerfällt, wegen des gemeinschaftlichen Faktors d p, in folgende zwei Gleichungen

(8)

d p = 0, x -f

Fi+p²

0.

Aus dp = 0 folgt, dass p gleich einer konstanten Grösse c sei. Setzt man c für p in (7) ein, so erhält man

(9)

p — cx = aj/^l-i-c².

Aus der zweiten der Gleichungen (8) folgt dagegen

K a² — x²

wobei jedoch, vermöge der Bedingung, die in der zweiten der Gleichungen (8) ausgedriickt ist, nur das untere Zeichen genommen werden darf. Hierfür wird die Gleichung (7) zu

(10) y +

x²

a²

y a² — x² Y a² — x²

y² -f- x² = a².

Nun können die Gleichungen (9) und (10) als Integrale von (7) angesehen werden. Gleichung (9) enthält eine willkürliche Konstante, die der Gleichung (10) fehlt. Die letztere geht nicht aus der ersteren hervor, indem man der Konstanten c einen besondern Wert beilegt, d. h. es ist (10) kein partikuläres Integral von (9).

Um zn zeigen, dass (10) ein singuläres Integral zu (9) ist, diffe-rentiiere man (9) in Hinsicht c und setze das Differentialverhältnis = 0 ; dann kommt

(11)

Ki + c²

Eliminiert man c aus (9) und (11), so erhält man in der That die Gleichung (10). Das allgemeine Integral (9) und das singuläre (10)

geben denselben Wert des Differential Verhältnisses

dy

für

c² =

x²

a² — x² ’

welcher Wert von c² aus (11) folgt. Die Geraden, die durch Gleichung (9) für verschiedene Werte von c dargestellt werden, berühren sämtlich den Kreis der Gleichung (10).

VIII. Differentialgleichungen der zweiten Ordnung mit zwei

Variahein.

f (a y,

384. Form der Gleichungen. Eine Gleichung von der Form dy d² y d¹¹ y d x ’ d x² ’ ” dx"

Ordnung zwischen den zwei

ten

heisst eine Differentialgleichung der n Yariabeln x und y, weil das höchste Differential Verhältnis, das in ihr vorkommt, von dieser Ordnung ist. Hiernach wird die allgemeine Form der Differentialgleichung der zweiten Ordnung sein

(1)

f (a y,

dy d² y

d x ’ d x²

= 0,

wofür man auch schreiben kann

f (x, y, d x, d y, d² y) = 0 oder f (x, y, y', y") = 0.

Gelingt es, diese Gleichung zu integrieren, so entsteht eine Differentialgleichung der ersten Ordnung, von der Form (f (x, y, y', c) = 0, die ein erstes Integral der Gleichung (1) heisst. Kann diese wieder integriert werden, so erhält man die primitive Gleichung oder das zweite Integral. Da bei jeder dieser Integrationen, der Allgemeinheit des Kesultates wegen, eine willkürliche Konstante in die Gleichung treten muss, so wird das zweite Integral einer Differentialgleichung der zweiten Ordnung zwei solche willkürliche Konstante enthalten, also die Form F (x, y, c, c') = 0 haben.

Die Gleichung (1) kann in ihrer vollen Allgemeinheit nicht integriert werden. Die Behandlung beschränkt sich daher auf gewisse spezielle Fälle. Sie entstehen, wenn eine oder zwei oder alle drei der

d y

Grössen x, y, -— in der Gleichung fehlen. Die zu integrierenden Glei-

chungen sind also

= 0; f(x, y")

= 0; f (y, y")

f (y")

f(y',y") = 0; f (x,y',y") = o; f(y,y',y") = o;

= 0;

f(*,y.y") = 0; f(*,y.y',y") = o.

Diese Gleichungen werden in solche der ersten Ordnung mittels gewisser Substitutionen verwandelt, die im Folgenden, soweit hier nötig, gezeigt werden. Am allgemeinsten wird die Substitution verwertet

(2)

dy

d²y _ djp dx² dx’

— p, woraus folgt d x

385. Integration der ersten Gleichung. Diese wird sein d²y dx²

worin a eine Konstante bezeichnet. Für d y = p d x geht sie über in

(1)

f a = 0,

dp

dx

= — a, oder d p = — ad x.

Folglich erhält man durch Integration

p = — a x + c.

Führt man hier den Wert von p ein, so wird

dy

= —ax-f c oder dy = (—ax-j-c)dx;

daher ergibt sich durch Integration

ax²

(2)

cx-f c'.

Diese Gleichung (2) ist das Integral von (1). Denn durch zweimalige Differentiation von (2) entsteht die Gleichung (1). Das Integral, . geometrisch dargestellt, liefert eine Parabel.

Wird a = 0 vorausgesetzt, so entsteht die Gleichung einer Geraden.

f (x), so wird, wenn man p durch

386. Integration der zweiten Gleichung. Diese Gleichung hat die

Form

(1)

d²y

f?(x) = 0.

d x²

Setzt man d y = p d x, so geht sie über in

d p — — (f (x) d x,

woraus man durch Integration erhält

Gesetzt man finde

P = - J <P (x) d f <P (x) d x =

—— ersetzt, d x

d y = — f (x) d x + c d x

und durch Integration

(2)

— — J f (x) d x -j- c x -f c'.

Diese Gleichung ist nun das gesuchte Integral von (1).

Beispiel. Es sei (x) = — ax, also hält nach diesem Verfahren

— ax = 0: man er-

d²y d x²

q y 3

y = —Q—h c X -f c'.

387. Integration der dritten Gleichung. Ihre allgemeine Form

wird sein

(1)

d² y

d x²

+ a ff (y) — 0.

Setzt man —-

- = p, also

d² y

dx

= d p, so lautet (1)

dp

+ a ff' (y) = 0.

Da aber d x =

dy

—, so geht diese Gleichung über in

pdp = — ay (y)dy, woraus sich durch Integration ergibt

Bezeichnet man

p² = — 2 a J (f (y) d y + c.

JV(y)dy mit f (y).

P = Fc — 2 a f (y),

so wird

oder indem man mit 2 multipliziert und die willkürliche Konstante 2 c = a² setzt,

p = y a² b² y²

und hieraus

(4)

dx —

dy

|/"a² ± b² y² *

Diese Gleichung ist nun zu integrieren. Das Integral hängt aber vom Zeichen der Grösse b² ab.

I. Es sei b² positiv; dann gibt die Integration von (4) nach § 86

(5)

woraus, indem man p ersetzt durch

dy

dx

folgt

dx =

dy

yc — 2 a f (y) ’ hieraus entsteht als Integral der Gleichung (1)

(2)

dy

+ c'.

J Kc — 2 a f (y)

Beispiel. Ist </> (y) = X b² y, so erhält man folgende in den Anwendungen vorkommende Gleichung

(3)

d² y

-f b² y = 0.

d x²

Durch Einfiihren von p ergibt sich

Pdp = ± b²ydy;

P²

b²y²

2^2

x = ~ l (b y + Ka² + b² y²) + c'.

Dieses Integral der gegebenen Gleichung enthält die willkürlichen Konstanten a und c'.

Die Gleichung (5) kann auch auf folgende Form gebracht werden; setzt man c' auf die linke Seite, multipliziert mit b und geht von den Logarithmen zn den Zahlen über, so kommt

eb x — b c' _ p y _j_ ya2 —b² y².

Nun ist aber ebx“bc'— ebx • e~bc'= mex-m'= Mex, wo m, m' und M Konstante bezeichnen. Führt man diesen Wert ein, so wird

1VI ex — b y = ]/"a² + b² y²,

woraus folgt, wenn man diese Gleichung quadriert und nach y auflöst,

a²

ex

_— X

2 b M

Bezeichnet man schliesslich die konstanten Faktoren von ex und e” x mit A und B, so erhält man als gesuchte Gleichung

y — Aex + Be-x.

y= ~2b

(8)

----- -f z² b² = 0. d x

Nimmt man nun der Einfachheit wegen z konstant an, so wird in der letzten Gleichung d z = 0 ; also geht sie über in

z² = i b².

von (8)

II. Es sei b² negativ; dann erhält man durch Integration von (4)

1    . by

— arc sin-

nach § 86

ll

+ c.

Hieraus folgt, indem man die willkürliche Konstante c versetzt, mit b multipliziert und vom Bogen zum Sinus übergeht,

by

sin (b x — b c) —-.

Ri

Allein durch Entwickelung des Sinus erhält man

(sin b x cos b c — cos b x sin b c)

es ja

und hieraus, wenn man die konstanten Faktoren von sinbx und cosbx mit A und B bezeichnet, als gesuchtes Integral

y = A sin b x -f- B cos b x.

Die Gleichung (3) kann auch in folgender Weise integriert werden. Führt man eine neue Variable z ein, die der Bedingung

y =

entspricht, so wird hieraus zunächst das zweite Differential Verhältnis abzuleiten sein. Dabei beachte man, dass das Differential von J z d x gleich zdx ist. Man erhält

(7)

(8)

e/‘

d² y    dz

d x² dx

somit durch Einführen des Wertes von y aus (8) und des vorstehenden d²y d x²

von

dy

Jzdx;

e/zdx + z ²eJ'zdx,

in (3)

Hier sind wieder die beiden Zeichen von b² aus einander zu halten. I. Ist b² positiv, so wird 2 = 4z b; daher der Exponent

J*bdx = bx-|-c und J* — b d x = — b x -(- c'.

Es entstehen daher zwei Werte für y, die mit yi und y 2 bezeichnet seien. Diese Werte sind nach (8)

yt = ebx+c = A ex; y₂ = e-bx+c' = Be_x.

Jeder dieser Werte ist ein partikuläres Integral von (1), enthält jedoch nur je eine der willkürlichen Konstanten A und B. Daher wird

das Integral die Summe dieser partikulären Integrale sein. Diese Summe entspricht der Gleichung (1) in der That in allgemeinster Weise; daher ist

y = Aes-f Be_x,

eine Gleichung, die genau mit (6) übereinstimmt.

II. Ist b² negativ, so wird z = fi; daher

J bidx = bxi-j-c und J — bidx = — bi —{— cG

Die beiden Werte von y sind daher

y 2 - ne

yL = ebxi+c _ uiebxi;

worin m und n willkürliche Konstante bezeichnen. Daher ist das allgemeine Integral

y=mellxi-f ne_bxi.

(9)

Nach dem Moivre’sehen Satze (§ 79) ist aber

ebxi = cosb x -j- i sin b x; e-bxi = cos b x — i sin b x.

Daher folgt durch Ein führen dieser Werte in (9)

y = (m -f- n) cos b x -f- (m — n) i sin b x,

oder wenn die Faktoren von sin b x und cos b x mit A und B bezeichnet werden,

y = A sin b x -f- B cos b x. Diese Gleichung stimmt mit (7) überein.

388. Integration der vierten Gleichung. Es sollen zunächst folgende zwei Beispiele integriert werden.

I. Gegeben

(i)

d²y

dy

d x²

dx

o,

dy

worin a eine Konstante bezeichnet.

Führt man p = ein, so folgt

dx

f- a p — 0

und durch Sonderung der Veränderlichen und nachherige Integration

dp

l p = e-ax.

Geht man von den Logarithmen zu den Zahlen über, so wird p = ec_ax; dy = ec~axdx; daher folgt durch Integration als gesuchte Gleichung

(2)

y =--ec_ax -f- C',

Avorin c und c' die Avillkürlichen Konstanten bezeichnen.

II. Zum Integrieren sei vorgelegt

(3)

d²y

d x²

0.

V i + p²

Für d y = p d x gellt diese Gleichung über in = a y 1 4-p² oder adx =

daher folgt durch Integration die Gleichung

a x + c = l (p + V1 + p²),

Geht man von den

worin c die willkürliche Konstante bezeichnet. Logarithmen zu den Zahlen über, so wird

eax+c = p + Vl

Bringt man p auf die linke Seite und quadriert, so kommt

02ax + 2c g p eax + c =: 1

und indem man p ersetzt und durch eax+c dividiert,

c) d x.

2 dy = (eax+c — e Die Integration dieser Gleichung gibt

+c) + ch

i ,

— (eax + c + e~

Setzt man noch ec = A, so wird diese Gleichung als gesuchtes Integral zu

(4)

2ir(Ae'l+xe““)

+ c'.

Hat man allgemein

(5)

d² y

dy

d x²

.dx/

so gibt die Substitution

dy

= p zunächst

-i = f (p) oder d x — dx

f(p)

woraus sofort

dy =

Pdp

Uv)

folgt. Die Integration dieser beiden Gleichungen gibt

Pdp

f (P)

f c; y

Uv)

+ G;

gelingt es aus diesen beiden Gleichungen p zu eliminieren, so ist die sich ergebende Gleichung das Integral von (5).

30

Autenhei mer, Elementarbuch.

Kann man diese Gleichung integrieren und p durch x darstellen, so entsteht ein Ausdruck von der Form p = F (x, c) und daraus, wenn p ersetzt wird, d y = F (x, c) d x; daher durch Integration

(3)

380. Integration der fünften Gleichung. Diese enthält die Grössen x,y' und y" und habe die Form

d²y d x²

Setzt mau d y = p d x, so geht sie über in folgende der ersten Ordnung zwischen x und p

(1)

f(x)

+ (f (x) = 0.

(2)

dp

dx

+ P f (x) + <f (x) = 0.

y = J¹ F (x, c) d x + c'.

Diese Gleichung ist das Integral der gegebenen Gleichung (1).

Folgt dagegen aus dem Integral von (2) die Gleichung x = Fi (p, c), so entsteht daraus durch Differentiation

dx = F'i (p, c) dp.

Da aber d x =

PJ

so geht diese Gleichung über in

dy = pF'i (p, c) dp.

Kann man diese Gleichung integrieren, so eliminiere man aus ihrem Integral und aus dem Werte von x = Fi (p, c) die Grösse p, und erhält den Zusammenhang zwischen x und y.

Beispiel. Es sei zu integrieren

dy

+ x(^a

(4)

d²y

dx;

d^

Durch Einfuhren von p erhält man sofort

dp

dx

+ x (a + p) = 0 ;

dp

= — x d x.

Folglich durch Integration wo / c die willkürliche Konstante bezeichnet. Allein es ist / (a + p) -f- / c = l c (a + p). Geht man sodann von den Logarithmen zu den Zahlen über, so wird

(5)

c a -f

dy

cdy =

— c a^ d x.

x2

Lässt sich das Integral von e 2 dx darstellen das Integral der Gleichung (4) gewonnen.

so ist dadurch

so kommt

Entwickelt man die Exponentialgrösse nach § 68 in eine Reihe,

¥x2 + ^4X<

2-3-8

C -îi -,    1 x³

I e 2 dx = X--— —

1 X⁵

X⁷

2 3    2-4 5    2-3-8    7

Daher gibt die zweite der Gleichungen (5)

(6)

1 x³

1 x⁵

+ c'.

y = — a x + —

Diese Gleichung ist in der That das Integral von (4), was sich leicht durch Vornahme der Probe ergibt. Leitet man nämlich aus (6)

d²y

d x²

heben sich die Glieder gegenseitig auf.

die Verhältnisse

dy

— und

X-ïï +

2-4 5

ab und setzt ihre Werte in (4) ein, so

390. Integration der sechsten Gleichung. Die Gleichung habe die

Form

(1)

d²y

+;a-

« 'C

- + By=0.

dx'³

Hierin können nun die Grössen A und B konstant oder auch Funktionen von y sein, dürfen aber x nicht enthalten.

I. Es seien A und B konstant. Da in (1) die Grössen y und ihre Ableitungen in der ersten Potenz Vorkommen, nennt man sie eine lineare Gleichung.

Behufs der Integration nehme man an

y = ce

wo c und m konstante Zahlen bezeichnen; dann wird sein

d²y dx²

Setzt man diese Werte in (1) ein, so geht diese Gleichung über in m² -f- A m -f- B = 0.

Hiernach ist die Grösse m in (2) nur abhängig von A und B. Die Wurzeln der Gleichung (3) sind

(2)

dy

dx

= cmems;

= cm² emx.

(3)

(d)

— B.

Hier begründet nun die Grösse unter dem Wurzelzeichen drei Fälle. A²

Erster Fall: — B sei positiv. Es entstehen zwei Wurzelwerte für m. Sind diese a und b, so entsprechen ihnen nach (2) auch zwei Werte von y, die mit y, und y„ bezeichnet seien, daher gibt (2)

y, = ceax; y„ = c'ebx.

30*

Jeder dieser Werte leistet der Gleichung (1) Genüge; dasselbe ist auch der Fall mit ihrer Summe

(5)

y = c eax -f- c' ebx,

die mit ihren zwei willkürlichen Konstanten c und c' als das allgemeine Integral von (1) zu betrachten ist.

Zweiter Fall: —7 4

werte von der Form

A²

B sei negativ. Es entstehen zwei Wurzel-

a -f- bi und a — bi.

Daher werden die entsprechenden Werte von y sein y, = c ea x • eb x 1 ; y„ = c' ea x • e

die nach § 79 übergehen in

y, = c ea x (cos b x -J- i sin b x) ; y„ = c' ea x (cos b x — i sin b x).

Daher lautet die Summe y, -f- JA oder das allgemeine Integral

y = ea x [(c -f- c') cos b x -(- i (c — c') sin b x].

Bezeichnet man nun die konstanten Faktoren von cos bx und sinbx mit M und N, so wird

(6)

y = ea x (M cos b x + N sin b x).

Dritter Fall:

A²

0.

Dann wird jede Wurzel der

Gleichung (4) = —

_._B =

und die Gleichung (5) gibt als Integral

« A x

y = (c -j- c') e - = c" e

Allein hierin kommt nur eine willkürliche Konstante c" vor. Es kann also dieser Wert von y nicht als das allgemeine Integral von (1) angesehen werden.

(7)

Macht man daher statt der Voraussetzung (2) die folgende y = (cx + c') e“ x,

A

so leistet dieser Wert unter der Voraussetzung m =--— der Glei

chung (1) Genüge, Denn es folgt aus (7)

dy

_ c em s _j_ (c x 4- c') m em x,

= 2cme1T'x-f (cx-f cjm² emx.

dx²

Führt man diese Werte in (1) ein, so gibt die linke Seite (cx-f c') [m² f Amf B]f c(2mf A).

Da nun der Voraussetzung nach m =--—-, so werden die zwei

LA

letzten Klammerfaktoren = 0, also wird die ganze linke Seite von (1) zu Null.

Setzt man daher m = — gral von (1) sein

in (7) ein, so wird das allgemeine Inte-

y - (c x -f c') e ² .

II. Es seien A und B Funktionen von y. Man habe

a²y

d x²

Für d y = p d x wird diese Gleichung sein

(8)

+ f(y)

dy

dx

+ <f (y) = o.

+ f (y) p + (y) = °-

Ersetzt man hierin noch dx durch

dy

so erhält man die Differential-

1»

gleichung erster Ordnung zwischen y und p

P d p + p f (y) d y + (f (y) d y = 0.

Kann diese Gleichung integriert werden, so verfahre man damit entsprechend wie mit der Gleichung (2) in § 389.

Beispiel. Ist gegeben d² y

d)

d x²

(a + y)

dy

dx

= o»

so wird

d P — (a + y) d y; p = ay +

und indem p ersetzt wird,

(2)

dx =

2 dy

y² -t- 2 a y + 2 c '

Dieses Differential kann wie folgt auf die Form werden. Zunächst ist

1 -f- z²

gebracht

2 c + 2 a y -f y² = (2 c — a²) + (a -f y)2 = (2 c — a²) 1 +

y 2 c — a²

)1

Setzt man nun

y2 c — a²

= z, so wird

d y = d z y2 c — a².

Führt man diese Werte in (2) ein, so folgt

dx =

cl z

1 -j- z²

y 2 c — a²

also durch Integration als gesuchte Gleichung

arctang

a + y]

y 2c — a²

4- c'.

y 2 c — a²

391. Integration der siebenten Gleichung. Diese Gleichung sei d² y dx²

+ a y f (x) = 0.

Setzt man y = e⁷', wo z eine Funktion von x sein soll, so wird

d² z d x² -

dy

d³y

r    / d z \²

e⁷- + ( —— ) ez -    V dx J

dx] dx ⁶ ’

und durch Einfuhren dieser Werte in die gegebene Gleichungl

dx²

d² z

dx²

⁺ (4r) +afW-0.

Wenn - == p angenommen wird, so geht diese Gleichung über in

dp

+ p² + af(x) = 0,j

also in eine solche der ersten Ordnung, die indessen nur in besondern Fällen integriert werden kann.

Form

392. Integration der achten Gleichung. Diese Gleichung habe die

(1)

d² y

d x²

— 2 f (x)

dy

+ yy(x) = 0.

Man suche sie auf eine der früheren Formen zurückzuführen, was durch verschiedene Substitutionen erreicht wird.

I. Es sei

(2)

y = uz,

in welcher Gleichung u und z von x abhängige Grössen bezeichnen. Durch Differentiation (2) folgt

d'y

du

dx

= zTx+ud ;

d² y    d² u

d x²    dx²

du dz

d² z dx² '

(3) u

Führt man diese Werte in (1) ein, so kommt -uf(x)"]^ + z

d² z

d x²

d²u

_dx²

— 2f(x)

+ uff(x) =0.

Wählt man die Grösse u so, dass sie der Bedingung

(4)

dx

— u f (x) = 0

entspricht, so verschwindet in (3) das Glied mit dem Faktor Aus (4) aber folgt sofort

f (x) d x;

= Jf (x) d x,

und daher, wenn von den Logarithmen zu den Zahlen übergegangen wird,

(5)

u = eJf(-')dx.

Durch diesen Wert von u kann nun die Gleichung (3) umgeformt werden. Zunächst folgt aus (5) durch Diiferentiation

du = f (x) e^'G)d * ;

d² u

dx

d x²

= [f' (x) f (x)²] e/fG)dx.

Mittels dieser Werte und derjenigen aus (5) und (4) geht Gleichung (3) über in

(6)

d² z

dx²

-H [f' (x) — f (x)² + (f (x)] z = 0,

welche Gleichung mit der des § 391 übereinstimmt. Wenn in beson-dern Fällen die Klammergrösse konstant wird, so stimmt die Gleichung mit der in § 387 behandelten überein.

II. Es sei ferner

(7)

y = u ev,

wro u und v Funktionen von x sein sollen. Die Differentiation von (7) gibt

dy

dx

= ev

du

dx

-j- ev u

dx ’

dv\ 2 dxJ ‘

d²y dx²

Durch Einführen des Wertes von y aus (7) und dessen Ableitungen in (1) kommt

= ev

d² u

d x²

+ 2ev-

du d v d x d x

d² v

d x²

-j- ev u

(8)

d² u

du d v

d x²

(©*-««(■

dx

4- u

O.! pu

-f U.

Nun bestimme man die Grösse v dadurch, dass man die letzte Klammergrösse zu Null macht. Dies gibt

(9)

d² v

d x²

+ ff (x) = 0.

Diese Gleichung stimmt nun der Form nach mit der in § 386 überein. Man erhalte durch zweimalige Integration von (9)

(10)

v = F (x),

also auch durch Differentiation dieser Gleichung

dx

= F' (x).

Mit Hilfe dieser Werte und der Relation (9) geht nun Gleichung (8)

über in

(11)

d² u dx²

+ 2[F' (x)-f(x)]

+ [F' (x)² - 2 f (x) F' (x)] u = 0.

Diese Gleichung hat die nämliche Form wie (1), allein die Klammer-grossen können unter Umständen auf spezielle Formen führen.

Gesetzt man finde aus (11) als Integral u = X, so erhält man schliesslich, indem man diesen Wert von u und denjenigen von v aus (10) in (7) einfiihrt, das gesuchte Integral

y = X eFG).

Beispiel. Es sei die Gleichung zu integrieren

~n (n — 1)

d² y

d x²

x²

+ b² i y = 0.

Durch Vergleichung mit (1) ergibt sich

f(x) = —

n    / X

r; ?W-

n(n - 1)

X²

•f b².

Benutzt man die erstere der beiden Substitutionen, so wird der Exponent in Gleichung (5)

j*f (x) dx = j*

Daher gibt Gleichung (5)

g— 11 / X

Man kann aber diese Exponentialgrösse noch umformen. Nimmt man nämlich die Logarithmen, so wird lu = —n lx = lx~'\ Daher, indem man wieder zu den Zahlen zurückgeht,

(12)

u = x~ n.

Zur Bestimmung der Klammergrösse in (6) hat man

n(n-l)

f/ (x)-f(x)² + ^(x) = -^

n²

x²

X²

+ b² = b².

Daher geht Gleichung (6) über in

+ b² z = 0,

d² z d x²

deren Integral nach Formel (7) des § 387 ist z = A sin b x -f- B cos b x.

Da aber nach. (2) sein soll y = u z, so wird durch Multiplikation der Gleichungen (12) und (13) das gesuchte Integral sein

y = x~ ¹¹ (A sin b x + B cos b x).

393. Ableitung des allgemeinen Integrals aus einem partikulären.

Für die Differentialgleichung der zweiten Ordnung

d²y d x²

sei ein partikuläres Integral gefunden, d. h. ein solches, das der Gleichung (1) Genüge leistet und nur eine willkürliche Konstante enthält.

Ist P dieses partikuläre Integral, so wird P eine Funktion vonTx sein, so beschaffen, dass, wenn die Grössen P, dP und d²P in (l) eingesetzt werden, der Ausdruck links identisch Null wird.

Nun sei aus P ein allgemeines Integral zu (1) abzuleiten. Man gehe von der Voraussetzung aus, es lasse sich darstellen durch

y — P z,

worin der Faktor z eine Funktion von x bezeichnet, die bestimmt werden soll. Durch Differentiation von (2) erhält man

(O

(2)

d² y

d x²

+ *00

dy

dx

+ y (f (x) - 0

dy

dx

d² z

d x²

dP

dP dz

d²P

dx² '

Führt man diese Werte von y,

dy

und

d² y

dx²

in (1) ein, so

kommt

d²P

d x²

f(x)

dP

+ P?«) + P

d² z

d x²

⁺ (²

dP

pf«)

= 0.

Hier ist nun die erste Klammergrösse identisch =0, weil P ein Integal von (1) ist, ihr also Genüge leistet. Daher muss sein

piA

F dx²

_u

G—

V d x

pf«)

= 0.

Setzt man nun

dx

= p, so geht diese Gleichung über in

P-lp ₊ GdP

d x V

und durch Sonderung der Veränderlichen in

dx

+ Pf(x))p = 0

dp

~P~⁺²~P Die Integration dieser Gleichung gibt

+ f (x) d x = 0.

lv + 21Y - lk

= — J f(x)dx,

worin I k die Konstante der Integration bezeichnet. Das Integral rechts könne ausgefülirt werden ; bezeichnet man es mit F (x), so wird sein

(3)

x) d x = F (x).

Geht man von den Logarithmen zu den Zahlen über und ersetzt p

durch

dz

so wird

dz = kP_2eFWdx

und daher der gesuchte Wert

(4)

z = k J P— 2 eF G) d x,

der nur noch mit P multipliziert werden muss Integral zu geben.

Beispiel. , Für die Gleichung des § 390 d²y d x²

worin A und B konstant sind, wurde das partikuläre Integral

um das allgemeine

(5)

dy

dx

+ B y — 0,

(6)

A²

Es soll aus diesem

für den Fall gefunden, dass —--B = 0 ist.

4

Werte (6) das allgemeine Integral von (5) abgeleitet werden. Hier ist f (x) = A; daher nach (3)

A d x = — A x;

F« = -J

eFG) = e~Ax

Ferner folgt aus (6)

P-² =

c²

eA x.

Mithin nach (4)

c²

eAx . g-A x d x

c²

X + ch

Das gesuchte allgemeine Integral nach (2) ist daher

c²

(')

Es stimmt dasselbe mit dem in § 3£0 in Formel (8) angegebenen

überein.

304. Integration nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Wie die Differentialgleichungen der ersten Ordnung, so können auch solche höherer Ordnung durch Reihen integriert werden. Man wendet hierzu vorzugsweise die Methode der unbestimmten Koeffizienten an. Natürlich können die etwa erhaltenen unendlichen Reihen nur benutzt werden, so lange sie konvergent sind. Sind sie summierbar, so erhält das Integral die Form eines geschlossenen Ausdrucks.

Es sei folgende Gleichung zu integrieren

(i)

= 0.

dy d²y d x ’ d x²

Man setze voraus, das Integral habe die Form

(2)

y = Ao x¹¹ + Ai x¹^¹ + A2 x"+»²+ A3 xn + ³ + • -,

worin sowohl die Vorzahlen Ao, Ai, A2,. . als auch der Exponent n als konstant, jedoch als noch unbestimmt vorausgesetzt werden. Die Differentiation von (2) gibt

(3)

dy

dx

= n Ao xn_1 -j- (n -f 1 ) Ai x¹¹4 (n + 2) A2 x”+l 4* • •

(4)

d²y

dx²

= n (n — 1) A« x"-²4- (n+1) n Ai xn_1 + (n42)(n +1) A2 x“4- •.

dy

Führt man nun die Werte von y,

aus (2), (3) und

und

d² y

d x²

(4) in (1) ein, so entsteht eine Gleichung, die es möglich macht, die Konstanten bis auf zwei oder eine zu bestimmen. Die unbestimmt verbleibenden Konstanten sind dann diejenigen der Integration. Verbleiben zwei, so ist das Resultat das allgemeine Integral von (1); bleibt nur eine Konstante unbestimmt, so entsteht ein partikuläres Integral. Die Methode soll an den folgenden zwei Beispielen erläutert werden.

I. Die gegebene Differentialgleichung sei

(5)

d²y

d x²

-j-axy = 0.

Führt man hier die obigen Werte von y,

dy

und

d²y

d x²

ein, so

kommt

0 = n (n — 1 ) Ao x"⁻² 4~ (0 + 1 )n Ai x"⁻¹ 4 (n + 2) (n 4- 1 ) A2 x" + (n -f 3) (n 4 2) A₃ x"*¹ 4 (n 4- 4) (n + 3) A₄ x"+² 4 ...

4" ft Ai

•    4 ^ Ao

Da die linke Seite dieser Gleichung fehlt, so müssen die Vorzahlen aller Potenzen von x auf der rechten Seite zu Null werden.

Nimmt man auch n = 0 an, so geben zunächst die beiden ersten

Glieder

0 • Ao = 0 ;    0 • Ai — 0.

Daher bleiben A₀ und Ai unbestimmt. Aus den folgenden Gliedern rechts ergeben sich die Bedingungen

= 0; somit A₂ = 0.

2 • 1 A₂

3 • 2 A^ -f- a Ao = 0

A3 =

a Ao

4-3A ,+ aAi = 0

A4 = —

a Ai

3 • 4'

A5 = 0.

5 • 4 A5 + a A₂ = 0

6 • 5 Ae + a A₃ = 0

Aß = -j-

A7 — -j-

a² A0 2-3-56 a² A

3-4-6- 7*

Ag = 0.

8 • 7 As -j- a A-, — O

9 • 8 Ag -j- a A₆ = 0

Ag = —

10-9 A10 -j- a A7 = 0

A10 = —

a³ Ao

2-3-5-6-8-9 ' a³ Ai

3.4.6-7-9-10 ‘

Setzt man diese Werte von n, A₀, Ai etc. in (2) ein, so erhält man als gesuchtes allgemeines Integral

a³ x⁹

a² x⁶

ax³

2-3

Ai (x

a x⁴

3-4

+ to

•3-5-6

a² x⁷

a³ xlp

3-4-6-7

3-4-6•7 9•10

Die Grössen Ao und Ai sind hier die Konstanten der Integration. Beide Reihen sind für jeden endlichen Wert von x konvergent.

II. Es sei ferner die Gleichung zu integrieren d²y

(6)

a dy

d x²

+ by = o.

Setzt man die Werte von y,

dy

dx

und

d²y

dx²

aus (2), (3) und (4)

hier ein, so wird

(n-J-2)aA₂

naAo

0 = n(n — l)Ao x¹¹⁻²-|-(n-f l)nAi x11_1 + (n + 2)(n + 1)A₂ xn + .. (n -f~ 1) a Ai

bAo

Hier müssen wieder die Vorzahlen der Potenzen von x gleich Kuli sein. Das erste Glied gibt

n (n — 1 + a) Ao = 0.

Soll daher Ao unbestimmt bleiben, so muss entweder n = 0 oder n = 1 — a sein. Für diese Werte von n wird der Koeffizient des zweiten Gliedes: für den ersten aAi =0, für den zweiten (2—a)Ai = 0. In beiden Fällen muss daher Ai = 0 sein.

Für n = 0 bleibt also Ao unbestimmt und Ai wird zu Null. Hierfür geben die folgenden Glieder

2    (1 + a) A₂ + b Ao = 0; folgi. Aa =

3    (2 + a) A₃ + b Ai = 0

4    (3 -j~ a) A4 -)- b A2 = 0

5    (4 -{- a) A5 -j- b A3 — 0

6    (5 + a) A₆ + b A4 = 0

A3 = 0.

A4 =

bA₀

2(1+a)'

b² Ao

2 • 4(1 +a)(3+a)'

Ar, = 0.

Ae =

b³ A₀

2 • 4 • 6 (1 + a) (3 + a) (5 + a)

Für diese Werte gellt (2) über in b x²

(7)

b² x⁴

2 (1 -j- a) ' 2 - 4 (1 + a) (3 + a) b³ x⁶

2 • 4 • 6 (1 + a) (3 + a) (5 + a)

Diese Reibe ist konvergent für jeden Wert von x, so lange kein Faktor (1 + a); (3 + a); (5 + a); ..im Nenner verschwindet.

Da Gleichung (7) nur eine unbestimmte Konstante Ao enthält, so ist sie ein partikuläres Integral von (6). Zu einem solchen wird das vorstehende Verfahren immer führen, welchen Wert von n man auch annehmen mag. Es zeigt dies, dass das Integral noch andere Glieder enthalten muss als solche, wie sie Gleichung (2) voraussetzt.

Das allgemeine Integral soll nun aus (7) nach dem in § 393 angegebenen Verfahren bestimmt werden. Dort ist mit P das partikuläre Integral bezeichnet. Daher kann man aus (7) ableiten

P"² = A₀-²(l + «x² + /*x⁴ + ..),

worin a,ß,.. konstante Faktoren sind, die sich durch a und b aus-drücken lassen. Ferner ist im vorliegenden Falle

— — a Ix;

N a T, . s    (* adx

f(x) = —;    F.(x)=-

A

daher

Da aber allgemein

so wird

z = kJp~²eF« dx,

² J (1 + « X² -f- ß X⁴ -f- . .) X

+ «3

d x,

X³- a

x5-a

r+fe + -J + c-

Auch hierin darf kein Nenner zu Null werden; a darf also keine ungerade, positive oder negative ganze Zahl sein.

Setzt man diesen Wert von z in die Gleichung y = Pz ein, so wird das gesuchte allgemeine Integral sein

b²x⁴

bx²

, 2 (1 -f a)-    2 • 4 ( 1 + a) (3 + a)j '

x3 —

IX. Aufgaben über die Kettenlinie.

305. Allgemeine Gesetze der Kettenlinie. Wenn eine vollkommen biegsame Kette an beiden Endpunkten befestigt wird, so senkt sie sich vermöge der Gewichte, die an ihren Teilen hängen und bildet eine Kurve, die Kettenlinie genannt wird. Sie liegt in einer Vertikal-ebene, die durch die Auf hängepunkte geht. Die Form der Kurve wird bedingt durch das Gesetz, nach dem die Gewichte an der Kette über ihre Länge verteilt sind.

Es sei CAB (Fig. 129) eine solche Kettenlinie, C einer der Aufhängepunkte und A der tiefste Punkt. Man lege durch letztem Punkt in der Ebene der Kurve zwei rechtwinkelige Achsen A x, A y, wovon Ax horizontal ist, und bezeichne mit

x, y die Koordinaten D E und A E eines Kurvenpunktes D, h, b dasselbe für den Aufhängepunkt C,

«, (f die Winkel, die die Kurve in den Punkten C und I) mit der horizontalen Richtung bildet und

P, Q die Spannungen der Kette in den Punkten C und D, in der Richtung der Tangenten an die Kurve wirksam.

Man zerlege die Kräfte P und Q, in die horizontalen Seitenkräfte P cos a, Q cos (f und die vertikalen P sin «, Q sin tf>. Damit das Kurvenstück CD keine horizontale Bewegung mache, müssen die Kräfte, die an dessen Endpunkten in horizontaler Richtung wirken, einander gleich sein, so dass man hat

(1)

Qcos (f = P cos a.

Da hierin P und a konstant sind, so wird auch das Produkt Q cos (f konstant sein, wo auch der Angriffspunkt D der Kraft Q gedacht wird. Hieraus folgt, dass die Spannung der Kette in horizontaler Richtung konstant ist. Rückt der Punkt D abwärts, so wird (f kleiner, also auch die Spannung Q kleiner. Im tiefsten Punkte ist (f = 0, also Q = Pcosa. Die Spannung der Kette nimmt somit von oben nach unten ab und wird im tiefsten Punkte ein Minimum.

Die Kraft P sin a, die das Kurvenstück D C in C aufwärts zieht, muss gleich sein der Kraft Q sin <f, die in D abwärts wirkt, vermehrt um die Last G des Kurvenstückes CD. Diese Last G setzt sich zu-

sammen aus dem Eigengewichte des Kurvenstückes und dem Gewichte, das ausserdem an ihm hängt oder auf dasselbe drückt. Hiernach muss sein

* (2)

Fig. 129.

Q sin (f -j- G = P sin a.

Rückt der Punkt D der Kurve entlang abwärts, so vergrössert sich G, während <f , also auch sin (f abnimmt.

(f = 0 und G — P sin a. Rückt umgekehrt D aufwärts, so nimmt G ab und Qsin<p zu. Für den Punkt C ist G = 0 und Q = P.

Die Voraussetzungen, die im Folgenden gemacht werden, beziehen sich ausschliesslich auf die Grösse G.

Im tiefsten Punkte ist

IC

'D

Q.

396. Die parabolische Keltenlinie. Das Gewicht G sei der Länge der horizontalen Projektion des Kurvenstückes C D (Fig. 129), also der Abscissendifferenz h — x proportional

Es

Die Gesetze dieser Kurve sind bereits in § 140 behandelt, entsteht eine Parabel.

397. Die gemeine Kettenlinie. Das Gewicht G sei der Länge des Kurvenstückes proportional, mithin gleichförmig über die Kette verteilt.

Es seien (Fig. 129) s, s' die Längen der Kurvenstücke A'D und C^D und q das Gewicht der Kette für jede Längeneinheit derselben, also qs das Gewicht des Stückes AD und q s' = G dasjenige des Stückes CD. Für diesen letztem Wert geht (2) von § 395 über in

(1)

Q sin (f -f q s' = P sin a.

Da die Länge der Kette s + s', erhält man für den tiefsten Punkt

also ihr Gewicht q(s+ s') ist, so

(2)

q (s -p s') = P sin a, und für den Punkt D, indem man diese Gleichung von (1) abzieht,

(3)

Q sin (f = q s,

d. h. die Vertikalkraft Q sin </ in D ist gleich dem Gewichte des Kurven-stiickes AD.

Dividiert man (3) durch Gleichung (1) des § 395, so folgt

(4)

tang (/ = Setzt man der Abkürzung wegen

P cos a

(5)

P cos «

in (4) und berücksichtigt, dass tang (f =

dy

so geht (5) über in

(6)

dy

—- = m s.

dx

In dieser Gleichung kommen die drei Variabein x, y und s vor. Man kann aber die letztere durch die beiden erstem ausdriicken durch

die Relation d s² = dx² -f- dy². Zu diesem Zwecke differentiiere man Gleichung (6), indem man dx als konstant ansieht, und ersetze ds; es folgt

(7)

d²y

= m Kd x² -f- d y² = m d

■k'+o'

Setzt man nun

dy

.    = p, also auch

d x

dy

= d p und d x = — P

so wird

pdp

Kr+K = m d y.

Das Integral dieser Gleichung ist nach § 88 |A + p² = my + C.

Für y = 0 wird y = 0, also auch p = 0; daher die Konstante C = 1. Hiernach wird die letzte Gleichung zu

Kl + P² = my + 1.

Die Ordinate des Aufhängepunktes C ist mit b bezeichnet worden; also wird für diesen Punkt p = tang « und die letzte Gleichung zu

Kl + tang²a = mb + 1,

oder indem man den Wert von m aus (6) einführt,

P cos « Y 1 -f- tang²« = q b -f- P cos «.

Allein es ist cos « \ 1 + tang²a — 1 ; daher wird

(8)

(9)

(10)

P

b = — (1 — cos a).

q \    /

Quadriert man (9), so kommt

p² = m² y² -\- 2 my.

Ersetzt män hierin p durch seinen Wert und zieht die Wurzel aus, so ist

dy

(H)

m . /

Allein in dieser Gleichung darf für den Bogen A C von beiden Zeichen nur das obere genommen werden, weil d y mit d x zunimmt. Lässt man also das untere Zeichen weg und integriert nach § 343, Formel (2), indem man daselbst A = 0 nimmt, so wird

2y

+ 0.

—1\---b y +

m \ m

Für den tiefsten Punkt wird x = 0 und y = 0, also auch

-l— + C.

Durch Subtraktion dieser Gleichung von der vorigen wird

(12)

Diese Gleichung erscheint aufgelöst in Hinsicht x. Man kann aber auch y durch x ausdriicken. Zu diesem Zwecke multipliziere man mit m und gehe von den Logarithmen zu den Zahlen über, und erhält

erax = 1 + m y + m

l/y2+Y

2y

oder auch

e,n x _ i

Quadriert man diese Gleichung, so folgt

in \

Y = He

und daraus die gesuchte Gleichung

(13)

— (e“x-f e-

-2),

die genau mit der in § 140 übereinstimmt.

P

Setzt man y = b = -

— (1 — cos «) aus (10) in (12) ein, so wird x

zur Abscisse des Aufhängepunktes, die mit h bezeichnet wurde, und es folgt nach einigen Reduktionen

P cos a

/I + sina^ V cos u j'

Setzt man die beiden Werte von gleich, so folgt

dy

aus

(6) und (11) einander

-I/3

v²

2y

|/y²+

2 P cos a

y-

Der Ausdruck für den Krümmungshalbmesser n einer ebenen Kurve ist nach § 326

CO

dy\²

d² y

Setzt man hierin die Werte von ein, so folgt unmittelbar

dy

aus (6) und von

d² y

d x²

aus

(’)

— -f- m s².

Für s = 0 erhält man als Wert des Krümmungshalbmessers im tiefsten Punkte

P cos a

P sin a

ein, so erhält

Setzt man für s die Länge der Kurve vom Aufhängepunkte bis zum tiefsten Punkte, also nach (2) die Grösse man als Krümmungshalbmesser im Aufhängepunkte

q cos a

Daher gilt die Proportion

p' : o" = cos²« : 1.

398. Form einer Kette, bei der der Querschnitt proportional der Spannung sich ändert. Die Kette habe nur ihr eigenes Gewicht zu tragen, soll aber in allen Querschnitten einen gleichen Grad der Sicherheit gegen das Zerreissen besitzen; also wird jede Flächeneinheit der Querschnitte gleich stark gespannt sein müssen.

Sind z, z' die Querschnitte der Kette in C und D (Fig. 129), q das Gewicht der Volumeneinheit der Kette, so müssen der Voraussetzung nach die Querschnitte in C und D sich verhalten wie die Spannungen P und Q. Daher ist

z' =

z p*

Allein aus der Gleichung (1) des § 395 folgt Q : P = cos « : cos (f ; folglich wird

(1)

z' = z

cos «

COS (f

Wir nehmen hier den Aufhängepunkt C als Anfangspunkt der Koordinaten, lassen x zunehmen um d x, wodurch der Querschnitt in D um den Weg d s' abwärts rückt. Längs dieses Weges kann der Querschnitt z' als konstant betrachtet werden; es entsteht daher während dieses Vorganges das Volumenelement z' d s'.

Rücksicht auf (1) gleich

Dieses ist daher mit

d s'.

cos «

cos (f

Nun ist d s'² = dx² -f dy² und cos (f — des Volumens

dx

d s'

; daher das Element d v

(2)

d v = z cos « 1 -j-

dy \²“

dx

d x.

Multipliziert man den Wert (2) mit q, so erhält man das Gewicht des Volumenelementes; integriert man sodann, so entsteht das Gewicht des Kettenstückes CD von der Länge s'. Dieses Gewicht ist aber nichts anderes als die Grösse G der Gleichung (2) des § 395. Daher wird diese Gleichung im vorliegenden Falle

d x = P sin a.

Versetzt man das zweite Glied von links nach rechts und dividiert durch Q cos (f — P cos a, so wird

P sin a — q z cos a

(3)

tang ff

P cos a

Für ff — 0 wird

dx

P sin a — q z cos a

zum Gewichte des Kettenstückes vom Aufhängepunkte bis zum tiefsten Punkte.

dy

Setzt man tang ff — folgt, da P sin a und P cos a konstant sind, d²y

dx

in (3) ein und differentiiert sodann, so

(4)

¹⁺(4r)

2-1

d x.

Setzt man nun

(5)

qz

—= m und

dy

cü = P’

so wird

d² y

= dp; daher geht (5) über in

= — m d x.

dp

1 + P²

Hieraus folgt durch Integration

arctang p = — mx-f C.

Für x = h ist aber p = 0; daher gibt die letzte Gleichung 0 = — m h + C.

Van erhält daher durch Subtraktion

arctang p = m (h — x).

(6)

Geht man vom Bogen zur Tangente über, so gibt diese Gleichung p = tang m (h — x).

Für x = 0 wird aber p = tang a ; daher folgt tang « = tang m h

und hieraus a = m h oder

“=¥•

►Setzt man die beiden Werte von m aus (5) und (7) einander gleich,

so folgt

(8)

P '

Allein hz ist das Volumen eines Prismas von der Länge h und dem Querschnitte z, also qhz das Gewicht desselben. Das Verhältnis dieses Gewichtes zur grössten Kettenspannung P gibt daher den Bogen a.

dy

Für p = ——gibt Gleichung (6) d x    v 7

d y = tang m (h — x) d x.

Um diese Gleichung zu integrieren, beachte man, dass

sin x d x

(9)

J* tang x d x = j*

cos x

= — / cos X,

und da taug m (h — x) d x =

rH i S

tang m (h — x) d (— m x), so gibt (9)

l—i

l cos m (h — x) + C.

Hierfür

Für x = li wird y = b ; daher die Konstante C = b. wird die letzte Gleichung

rH

l cos m (h — x), oder auch, indem man den Wert von m aus (7) einführt,

(10)

h ₇ h — x — I cos---ß.

ß    h

Dies ist die gesuchte Gleichung der Kurve. Darin ist

ein echter Bruch, dessen Wert für x = 0 auf 1 steigt. Daher ist der Cosinus zu nehmen von einem Winkel, der kleiner als a ist. Der Logarithmus davon ist negativ, weshalb b— y positiv erscheint, wie es sein soll.

Für x = 0 wird auch y = 0. Hierfür gibt Gleichung (10)

(11)

cr'l er

l COS ß.

Durch Gleichsetzen der beiden Werte von a aus (8) und (11) gelangt man zu folgender Relation

qbz

die ähnlich wie (8) aufgefasst werden kann.

Sind b und h gegeben, so kann aus (11) die Grösse a berechnet und hierauf mit Hilfe von (10) die Kurve konstruiert werden.

Um das Volumen v der Kette zu finden, hat man nur Gleichung (2) zu integrieren. Führt man zu diesem Zwecke vorher den Wert von

x j<<j

^ aus (9) ein, so folgt

(12)

v = z cos a

J[1 -j- tang²m (h — x)] d x.

Nun ist 1 -j- tang²m (h — x) =

f» dx J cos²x

J [14-tang²m(h — x)] dx = J-Also gibt (12)

cos²m (h — x) = tangx, daher

und nach § 85

dx

cos²m (h — x)

- - tang m (h—x) + C.

^^tangm(h-x) + C. Für x = 0 wird auch v = 0 ; daher erhält man

z cos a

— tangmh + C m

und durch Subtraktion, indem man noch m mittels (7) ersetzt, cos« r

(13)

h — x

-ta ng ct — tang —-— a

Dehnt man x bis h aus, so erhält man das Volumen der Kette vom Aufhängepunkte bis zum tiefsten Punkte. Dieses ist daher

(14)

v' = zh

sin«

Zur Bestimmung der Länge benutzt man die Gleichung

d s' = d x

V'+(©’•

von der schon bei Ableitung von (2) Gebrauch gemacht worden. Führt dy

man den Wert von — aus (9) ein, so folgt

d s' = y 1 -f- tang²m (h — x)dx =

dx

cosm(h — x)"

Allein es ist nach § 344, Formel (2)

COS X

= Uï

1 -|— sin x — sin x ’

Daher auch

s' =

1 + sin m (h — x)

1 — sin m (h — x)

+ C.

Für x = 0 wird auch s' = O ; mi thin wird

— I -

2m 1

1 -f- sin m h

— si n m h

und durch Subtraktion

1 -f- sin m (h — x)

1 + sin m h

1 — sin m h

Ersetzt man m durch seinen Wert aus (7), so erhält man als gesuchte Bogenlänge der Kurve

s' = -

1 — sin m (h — x) J*

(15)

s' =

A_ i±

2 a 1

1 -f sin «

— sin a

. h — x — sin —--a

h -J

Für x = h entsteht hieraus die Länge s" der Kurve vom Aufhängepunkte bis zum tiefsten Punkte. Daher

(16)

s" =

1 + sin a

— sin a '

Setzt man den Wert von

dy

aus (9) und denjenigen von

d² y

d x²

aus (4) in den Ausdruck für den Krümmungshalbmesser (§ 326) ein, so folgt unmittelbar für irgend einen Kurvenpunkt

>-W

1 + tang²

ferner für den Aufhängepunkt, wo x = 0 ist,

p' = —    1 + tang²a =

a

a\

a • cos a

und endlich für den tiefsten Punkt, wro x = h wird,

399. Form eines von oben belasteten Tuches.

Ein Tuch sei an

Man soll die Form dieser

zwei parallelen, vertikal stehenden Wänden längs horizontaler Linien festgehalten und zwischen den Wänden durch eine Masse belastet, deren Teile lose neben einander liegen (wie trockener Sand, Wasser etc.), so dass die obere Begrenzung dieser Masse eine horizontale Ebene bilde. Das Tuch soll in gespanntem Zustande so geformt sein, dass Vertikal-ebenen, senkrecht zu den Wänden gedacht, dasselbe längs kongruenter, gleich tief liegender Kurven schneiden.

Kurven bestimmen unter der Voraussetzung, dass das Gewicht des Tuches und seine Steifigkeit nicht in Betracht kommen.

Es gelte die bisherige Bezeichnung. Es sei also CAB (Fig. 130) die Kurve, AE = y die Ordinate und DE = x die Abscisse des Kurvenpunktes D; dann wird, wenn die A⁷ertikale AF=b, die Vertikale D H — b — y sein.

1. Die auf dem Tuche liegende Last reiche von unten bis zum Punkte C. Dann wird das Kurvenstück CD einen Körper tragen von der Form eines Prisma. Grundfläche desselben ist die Fläche C D H und Höhe der Abstand zweier Vertikal ebenen, die senkrecht zu den Wänden stehen. Ebenso liegt auf dem Kurvenstücke D A ein Prisma von der Grundfläche DAFH und gleicher Höhe.

Fip. 130.

pA

er.

Nimmt man die Höhe dieser Prismen = 1 an und bezeichnet, wie in der letzten Aufgabe, mit q das Gewicht der Volumeneinheit der Masse, so ist das Gewicht, das auf CD drückt, = q x Fläche CDH; dasjenige, das auf DA drückt, = q x Fläche DAFH. Daher gibt Gleichung (2) des § 395

(2)

qxDAFH-[-qxDCH = Psina und Q sin (f = q x D A F H.

Lässt man x zunehmen um dx, so beschreibt die Vertikale DH ein Flächenelement von der Breite d x und der Höhe b — y, also vom Inhalte (b —y)dx. Diese Grösse ist das Differential der Fläche ADHF; folglich das integral von (b — y)dx die Fläche ADHF. Hierfür geht

(1) über in

Q sin (p = q J (b — y) d x.

Dividiert man diese Gleichung durch Q cos (p = P cos u (§ 395), so folgt

(2)

tang <p =

J (b — y) dx.

P cos a

Für (p = 0 muss auch die Fläche DAFH sich auf Null reduzieren, alsoj (b — y)dx = 0 sein; für (p = ct aber dehnt sich diese Fläche über A CF aus. Daher muss sein

(3)

Fläche A CF

— y) d x.

Setzt man in Gleichung (2)

(4)

tang (f =

dy

und m =

P cos a

ein, so geht sie über in

dy

dx

= m (b — y) d x.

Die Differentiation dieser Gleichung gibt, da dx konstant ist, d² y

(5)

= m (b — y) d x.

d y

Führt man —— — p, also d x

d² y

dx

= d p ein und ersetzt d x durch

, so wird

P d p = rn (b — y) d y.

Folglich durch Integration

p2

= m by —

y²

Für y = 0 wird auch p = 0 ; daher ist die Konstante der Integration weggelassen. Multipliziert man mit 2, zieht die Wurzel aus

und ersetzt p durch

dy

so folgt

(6)

dx’ d x Y m =

dy

K2 b y — y² ’ welche Gleichung folgendes Integral liefert (§ 86)

x J/rm = arcsin - -f C.

Für x = h wird y = b. Hierfür gibt die letzte Gleichung h |An = C.

Daher durch Subtraktion

(h — x) ]An = arcsin -—— ^

(7)

oder auch, wenn man vom Bogen zum Sinus übergeht, b — y = b sin (h — x) Ym-Für den tiefsten Punkt wird x = 0 und y = 0 ; ihm entspricht also die Gleichung 1 = sin h V m, der der Bogen — Genüge leistet. Es muss daher sein

(8)

hfm =

Führt man den Wert von m aus (4) hier ein, so ergibt sich als Spannung des Tuches in horizontaler Richtung

-p    / 2 h \²

P cos a = q { --    .

V n J

Setzt man aber den Wert von Y111 aus (8) in (7) ein, so erhält man als gesuchte Gleichung der Kurve

(9)

b-y

In der Figur ist h — x = CH und b - y = D H. Nimmt man den Punkt C zum Anfangspunkte der Koordinaten und bezeichnet die genannten Werte mit x' und yJ, so geht Gleichung (9) über in

tang (f =    Y'2 by — y²

(U)

und hieraus für y — b, da (f in a übergeht,

TT

(10)

y¹ = b sin

sr >1

71

Aus (6) folgt, indem man

dy

dx

durch tang <f ersetzt,

tang « = -

Diese letzten Werte können ebenso aus (9) oder (10) abgeleitet werden.

Reduziert man die obere Grenze des Integrals (3) auf x, so erhält man als Ausdruck für die Fläche ADHF

(12) f(b

J o

- y)dx

, (**■ . /h — x n\ , 2bh

— b I sin —---— d x =-cos

Jo \ h 2 J    n

h — x yr , h 2

und hieraus als Wert der ganzen Fläche A CF

2 b h

f(b

J o

— y) d x =

Nun ist bh das um die Fläche beschriebene Rechteck; folglich ist die

Fläche

= 0,636 . . von diesem Rechtecke.

Das Gewicht der Masse, die das Tuch auf eine Länge — 1 der Wand nach gemessen, zu tragen hat, wird erhalten, wenn man diese Fläche mit q multipliziert. Mithin wird z. B. das Gewicht der Masse CDH nach (12) sein

element

q f (b — y) d x = q

X

71

1 — cos

h — x Tt\ , h 2

Die Länge der Kurve ergibt sich wie folgt. Es ist das Bogen

Aus (9) folgt aber durch Differentiation

dy

TT b

d x 2 h Folglich wird das Bogenelement

cos

(13)

Um dieses Differential zu integrieren, wende man die Methode der Quadratur an, indem man Flächenelemente von der Form udx an einander reiht und zwar mit der Grundlinie d x und der Höhe u gleich der Wurzelgrösse in (13). Dadurch entsteht eine Fläche, ähnlich derjenigen auf S. 403, mit der Grundlinie h, zwei Endordinaten und einer Kurve. Die erste Endordinate entspricht der Abscisse x = 0 und

hat einen Wert = 1; die letzte wird

für x = h.

Der Abscisse x =

h entspricht ein Bogen = Â

7Z

— ; allein es ist 4

7t 1/1

cos T “ 1/ 2

r*+4(S)’

; also wird diese Ordinate =

Ordinate ist nun das arithmetische Mittel aus den Höhen aller Flächenelemente. Denn geht man von dieser Ordinate aus um eine Grösse h'<i-h rückwärts und vorwärts, so trifft man auf Ordinaten, die um gleichviel ab weichen von der mittleren und zwar im positiven und negativen Sinne, was sich aus der Eigenschaft der Funktion leicht nach-weisen lässt. Daher ist die Fläche gleich einem Rechtecke mit der

Grundlinie h und der Höhe

. Diese

|/' + T©'

; also das Integral von (13), d. h. die Kurvenlänge vom Aufhängepunkte bis zum tiefsten Punkte

Der Ausdruck für den Krümmungshalbmesser einer Kurve ist

d s³

^ d x d² y

Kun gibt Gleichung (5) d² y = m (b — y) d x² ; daher wird

1 f d s \3 m (b — y) V d x y Da aber gemäss der Figur dx = dscos</>, so ist auch

(14)

m (b — y) cos³(f ’

Hier kann nun cos (f nach (11) durch tang (f ausgedrückt werden. Es ist nämlich

COS ² y =

1 -f- tang² (f

G^)!<2by

- y²)

Mittels dieses Wertes und des von m aus (8) erhält man aus (14) den gesuchten Krümmungshalbmesser

’[¹⁺Gnr)2(2by-y2>

b - y

Für y — 0 erhält man als Krümmungshalbmesser der Kurve im tiefsten Punkte

if!hY

bUy

und für y = b als Krümmungshalbmesser im Auf hängepunkte q" — co.

II. Die Last reiche um a über die Ebene CF hinauf. Dadurch wird die Höhe des Flächenelementes in D H gleich a + b — y und

daher die Fläche über dem Bogen A D gleich J^(a -j- b — y) d x. Also geht

Gleichung (5) über in

d²y

dx

= m (a + b — y) d x

und Gleichung (6) in

dy

V2(a-f- b)y — y²’

deren Integral ist

x Y m = arc sin —

a -f b

Für x = 0 wird y = 0 und die letzte Gleichung gibt

l + c-

Folglich hat man durch Subtraktion

x m = —--arc sin

A

TZ

Versetzt man — und geht vom Bogen zum Sinus über, so wird

a

xVmj,

woraus als gesuchte Gleichung der Kurve folgt

a + b — y = (a + b) cos x }/m. Für x = h wird y = b. Dafür gibt (15)

(15)

(16)

cos h Vm =

a + h’

eine Gleichung, aus der ]/ m bestimmt werden kann. Dabei entspricht dem Bogen h ra eine Anzahl Grade. Man kann nun für numerische Eechnungen die Grösse y m in Graden ausdriicken und diese mit x multiplizieren, und erhält so die Anzahl Grade, deren Cosinus zu benutzen ist, um mittels (15) die entsprechende Ordinate zu erhalten. Da ferner

tang (p = |An V2 (a -f b) y — y², so ergibt sich zur Bestimmung des Bogens a die Gleichung tang a = Vm V(2 a + b) b.

J//1 +    = d x |^/ 1 -{- (a + b)² m sin² x Km.

Daher ist das Integral nach dem auf S. 489 angewendeten Verfahren

s = hj/

Die Fläche, vertikal über dem Bogen A D gelegen, ist unter Benützung von (15)

(a + b — y) d x = (a + b)

cos x

Vm d x =

a -f- b

Y m

und daher die Gewichte der Massen über den Bogen AD und AC

sin h Ym-

a -f- b

a + b

i r

y m

Das Bogenelement der Kurve ist mit Rücksicht auf (15)

(18)

Km

h V m

1 + (a 4- b)² m sin² —-—

Aus den Werten von

dy

und

d²y

d x-

erhält man als Krümmungs-

halbmesser der Kurve

n = [l + m (2 (a + b) y — y²)] 2 m (a + b — y)

Für a = 0 gehen die unter II. aufgestellten Gleichungen über in die bezüglichen der Voraussetzung I.

400. Form eines von unten belasteten Tuches. Das Tuch sei wie in der vorigen Aufgabe angebracht, die Last jedoch von unten angehängt, so dass dieselbe bis auf eine wagerechte Ebene A'C' (Fig. 131) reiche. Statt dass die homogene Masse den Raum A D C F über dem Tuche ausfülle, nehme sie jetzt den Raum CD A A'C' ein, wo CC' und AA' als vertikale Ebenen zu denken sind.

Im übrigen gelte die bisherige Bezeichnung. Es seien also A der Anfangspunkt, A E = y und ED = x die Koordinaten des Kurvenpunktes D und Abstand AA' = a, Zieht man D D' vertikal, so ist

Fig. 131.

DD' = a + y. Geht sodann x in x + dx über, so beschreibt D D' das Flächenelement (a-j-y)dx vom Gewicht q(a + y)dx; folglich ist das Gewicht der Last ADD'A' =

4 J (a + y)Jd'x.

Daher nach (2) des § 395 Q sin (p    (a + y) d x.

Dividiert main durch Gleichung (1) des § 395, so folgt

tang (p =

pcKJ(a+y)dx-

Setzt man wieder zur Abkürzung

P cos «

und schreibt

dy

dx

für taug (f, so gebt (1) über in folgende Gleichung

dy

= m f (a + y) d x,

Avoraus durch Vornahme der Differentiation folgt d² y

(2)

= m (a -f- y) d x.

d y

Für p = ——, also d x — dx

dy

— gibt Gleichung (2) p d p = m (a + y) d y.

Mithin folgt durch Integration

p² = m (2 a y + y²).

Die Konstante der Integration fällt weg, weil für y = 0 auch p = 0 wird. Diese Gleichung gibt, wenn p ersetzt Avird,

(3)

dy

d x Y m =    ~    -,

V 2 a y + y²

also auch, indem man integriert,

(4)

xV m= / (a-f y + J/2ay+ y²) + C.

Zur Bestimmung der Konstanten C nehme man x = 0 ; dann wird y = 0, daher

0 = l a + C,

und durch Subtraktion ergibt sich folgende Gleichung der Kurve

(5)

a + y + y2 ay -f- y²

Für y = b wird x = h. Hierfür liefert (5) zur Bestimmung der Grösse m die Gleichung

(8)

Die Gleichung (5) kann auch auf folgende Form gebracht AArerden

(7)

[ex    2].

dy

Aus (3) folgt, da und daher für die Aufhängestelle C

dx

= tang (f ist, tang (f — ]/"m    2 a y + y²

tang a — y ni y (2 a + b) b, eine Relation, mittels der der Winkel a bestimmt werden kann. Die Fläche A D D' A' wird unter Benützung von (7)

(8)

(9) J%, -f- y) d x = (ex    e_^x^r m) dx =

^ex V m_e—xV

2 y m

Die Konstante der Integration ist = 0, weil für x = 0 die rechte und linke Seite der Gleichung verschwinden.

Diese⁻ Fläche kann aber auch noch wie folgt gefunden werden. Setzt man den Wert von dx aus (3) in den Ausdruck (a-j-y)dx für das Flächenelement ein, so wird dieses gleich

(a + y) d y

V™V 2 a y + y²

(10)

Nun ist nach § 343

dy

K2ay + y²

= ż(a + y + K2ay -f y²),

ydy

= K2ay + y² —

ady

V2ay + y²

Folglich ist das Integral von (10) als gesuchte Fläche

K2ay + y²

(11)

Km

K2ay + y²,

ein Ausdruck, der etwas einfacher erscheint als der obige.

Hiernach wird das Gewicht der am Bogen A C angehängten Last sein

(12)

Km

P sin « = —L- V2 a b + b².

Für den Krümmungshalbmesser der Kurve ergibt sich mit Hilfe

von

(2) und (3)

_ [1 + m(2ay + y²)]2 ? — m (a 4- y)

Im tiefsten Punkte ist y = 0 ; daher der Krümmungshalbmesser daselbst

(13)

?' =

a m

Für den Aufhängepunkt ist y = b ; daher der bezügliche Krümmungshalbmesser

?"

[1 4- m(2ab + b²)]

CO I'M

m (a 4- b)

Für den speziellen Fall, da a = 0 ist, d. h. die untere Begrenzung der aufgehängten Masse durch den tiefsten Punkt der Kurve geht, wird nach (8) ferner nach (12) das am Bogen A C hängende Gewicht

P sin a —

Km’

nnd endlich als bemerkenswert der Krümmungshalbmesser q' im tiefsten Punkte nach (13) unendlich gross, d. h. dieser Punkt und die beiden benachbarten Punkte, die um -fdx und — dx von ihm abstehen, liegen in gerader Linie.

Dagegen werden die Gleichungen (5), (6), (7) und (9) unbrauchbar. Um eine allgemeine Gleichung der Kurve zu erhalten, die auch auf den genannten speziellen Pall angewendet werden kann, bestimme man die Konstante C in (4) so, dass man x = h und y = b einführt. Dadurch geht (4) über in

h "K m = ż(a-f-b-|-K2ab-|- b‘²) + C, und daher lautet durch Subtraktion die gesuchte Gleichung

(x - h) Km = l

a + y + a y + y'²

+ b -f Y 2 a b + b⁻² '

Wird hierin a = 0 angenommen, so erhält man als Gleichung der Kurve für den speziellen Fall

Es werde die Kurve CDA durch eine starre Linie ersetzt und um C P als Achse gedreht, so dass sie vertikal über C P zu liegen komme. Dabei gehe die Last mit, und wird dann von oben die Kurve zusammendrücken und zwar mit den gleichen Kräften, mit denen sie vorher verstreckt wurde. Die Kurve bildet dann die Drucklinie eines Gewölbes.

X. Aufgaben über die elastische Linie.

401. Krümmung der elastischen Linie im allgemeinen. Wird ein prismatischer Stab von elastischer Beschaffenheit gebogen, so dehnen sich die Fasern desselben auf der einen Seite aus und verkürzen sich auf der andern. Wo die Ausdehnungen in die Verkürzungen übergehen, liegt eine neutrale Schicht, die keine Längenänderung erfährt. Diese neutrale Schicht ist eine Cylinderfläche. Diese Cylinderfläche wird durch eine Ebene, senkrecht zu den Seitenlinien der Cylinderfläche, in einer Kurve geschnitten, die elastische Linie heisst.

In den § 216 und 217 sind die Biegungsverhältnisse betrachtet, die an einem Stabe von rechtwinkeligem und kreisförmigem Querschnitte eintreten, der am einen Ende eingespannt und am andern durch eine Kraft verbogen wird, die senkrecht zur Längenrichtung des Stabes einwirkt. Es wurden daselbst folgende Gleichungen abgeleitet:

für den rechtwinkeligen Stab .    .    . pPx=-

5-b h.

für den Stab mit Querschnitt Fig. 71 pPx =

n d⁴.

für den cylindrischen Stab .    .    .    . p P x = ——

₆₄

für den hohlen Cylinder .    .

und die Grössen rechts Momente der Elastizität genannt. Da diese nur vom Modul E und den Querschnittsdimensionen abhängen, so bleiben ihre Werte dieselben, wie auch der Stab in Anspruch genommen wird. Daher gilt auch das in diesen Gleichungen enthaltene Gesetz allgemein für irgend einen Teil eines gebogenen Stabes mit irgend einem Querschnitte, wenn nur unter p der Krümmungshalbmesser der elastischen Linie an einem bestimmten Punkte und unter P x das statische Moment der Kraft verstanden wird, das diese Krümmung veranlasst. Dabei kann P x auch als eine Summe von statischen Momenten aufgefasst werden, deren Glieder gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Das Moment der Elastizität kann für jeden Querschnitt, der auf eine gesetzmässige Weise geformt ist, abgeleitet werden. Wir setzen dasselbe daher im Folgenden als bekannt voraus, bezeichnen es mit M und erhalten

(1)

p • P x = M.

Nun ist der Krümmungshalbmesser einer Kurve nach § 326

(2)

['+(©

2“i 2

d² y

d x²

Allein in den folgenden Anwendungen kommen nur sehr schwache Krümmungen vor; daher sind die Winkel, die die Tangenten an die Kurve mit der Abscissenachse bilden, sehr klein, daher ist die Grösse

im Zähler rechts gegenüber der Einheit sehr klein. Unter dieser

Voraussetzung entwickele man diesen Zähler nach dem binomischen Satze in eine Reihe und vernachlässige die Glieder von der vierten oder

an. Für letzteres erhält man aus (2)

dy

zweiten Potenz der Grösse als Annäherungsausdruck

dy

d²y ₌ 1 d x² p '

402. Elastische Linie eines Stabes, der in horizontaler Lage am einen Ende eingespannt und am andern belastet ist. Es sei A B (Fig. 132) die elastische Linie, A die Befestigungsstelle und B der Auf hängepunkt der Last P.

(3)

Man lege durch B zwei rechtwinklige Achsen B x und B y in der Ebene der Kurve, wovon die erstere horizontal, die letztere vertikal aufwärts gerichtet ist. Es seien

x, y die Koordinaten B D und C D eines Kurvenpunktes C,

L, u dasselbe für den Kurvenpunkt A,

«, (f die Neigung der Kurve in B und C zur Achse Bx.

Denkt man sich den Stabteil AC von veränderlicher Länge fest eingemauert, ohne dass er seine Form ändert, so ragt das Stück C B über die Mauer hervor und wird somit gedreht um C mittels der Kraft P am Hebelarme x, also mit dem Momente Px. Daher gilt unmittelbar die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen, woraus folgt

(0

Fig. 132.

Px '

Für x = 0 wird p = cc, d. h. der Stab ist am freien Ende geradlinig. Wächst x, so nimmt p ab; die Krümmung nimmt also von B nach A hin zu. Der kleinste Krümmungshalbmesser wird erhalten, wenn man L für x in (1) einführt.

Setzt man den Wert von p aus (1) in Gleichung (3) des letzten Paragraphen ein, so folgt

(2)

d² y M V-V = P x. d x²

Nun ist aber

d² y d x²

Wenn aber x zunimmt, nimmt ab: deshalb haben die Diffe-

d x

rentiale dieser zwei Grössen entgegengesetzte Zeichen. Man wird deshalb in der Gleichung (2) das Zeichen rechts ändern, so dass man hat

(3)

<£)

— Px.

Multipliziert man mit dx und integriert, so kommt

-¥ ₊ C.

Für x = L wird wegen der horizontalen Lage des Stabes an der 0. Hierfür erhält man aus (4)

PL²

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

(4)

dy

befestigten Stelle

dy

dx

(5)

d y

M^-

32

Autenheimer, Elementarbuch.

Multipliziert man mit d x und integriert, so erhält man als Gleichung der elastischen Linie

(6)

My = y(l*x

X³

ti

Die Konstante der Integration ist weggelassen, weil für x = 0 auch y = 0 ist.

\ !LV

Setzt man in (6) x = L, so wird y = u. Mithin , hat man zur Bestimmung der grössten Senkung

PL³

>jl x

H3 n£

if

= tang (f, so folgt aus (5)

tang (f =

(L² — x²) ; tang a-

PL²

i.')

403. Stab der vorigen Aufgabe, der noch eine über seine Länge gleichförmig verteilte Last zu tragen bat. Es gelte die bisherige Bezeichnung und Fig. 133.    ,,,

Die Last, die über die Länge gleichförmig verteilt ist, sei für jede Längeneinheit = p; dann ist die Last, die auf dem Kurvenstücke BC liegt, = p x, da x für B C genommen werden kann. Den Angriffspunkt dieser Last px kann man in der Mitte von BC voraussetzen; also ist das statische Moment dieser Last in Bezug auf C als Drehpunkt = ^-px²; somit das gesamte statische Moment, das den Stab um C zu drehen strebt, =Px + -|px². Setzt man dasselbe an die Stelle von Px in die Gleichung (1) des § 401 ein, so kommt

'•!i M

Px + fpx²

Wenn x = 0, so wird p = cc ; also bleibt der Stab am freien Ende geradlinig. Die grösste Krümmung erhält er am befestigten Ende. Für diese Stelle wird der Krümmungshalbmesser

Fig. 133.

\y

\F X D

PL + ^pL* '

Wenn p = 0, so werde p=p'; wenn P — 0, so werde p = o“\ deshalb wird sein

9‘ =

PL

^ P L²,

Setzt man die Last pL, die gleichförmig über die ganze Länge verteilt ist, gleich der Last P am freien Ende voraus, so wird

_r_ 1 nu

9 — 2 9 >

d. h. es wird die Krümmung des Stabes am befestigten Ende zweimal so gross, wenn die Last am freien Ende wirkt, als wenn sie gleichförmig über die ganze Länge verteilt ist.

Vertauscht man in Gleichung (3) des vorigen Paragraphen das Moment Px-J--|px² mit Px, so erhält man als Differentialgleichung der Kurve

lpA

Multipliziert man mit d x und integriert, so kommt

(1)

Mdy

= -Px-

Px²

dy

Für x = L wird —— = 0 ; hierfür gibt die letzte Gleichung d x

PL²

pL³

(T + a

Durch Subtraktion folgt

(2)

dy

= -    (L² — x²) +    (L³ — x³).

Multipliziert man mit dx und integriert, so erhält man als gesuchte Gleichung der elastischen Linie

(8)

My = |-(L²x

Die Konstante der Integration ist weggelassen, weil für x = 0 auch y = 0 wird.

Für die grösste Senkung u — A F des Stabes erhält man aus (3), indem man x = L und y = u setzt,

pL⁴

(4)

PL³

Ist keine Last am freien Ende aufgehängt , so wird P = 0. Ist dagegen p = 0, so gehen alle vorstehenden Formeln in die betreffenden der letzten Aufgabe über.

Wenn die gleichförmig verteilte Last gleich der am freien Ende ist, so wird p L = P und somit die Senkung aus (4)

PL³    PL³ 11 PL³

3M ⁺ SM -1>4 M '

Beträgt somit die Senkung 8 gleiche Teile, wenn nur die Last am freien Ende hängt, so bewirkt die ebenso grosse jedoch gleichförmig verteilte Last für sich allein 3 solcher Teile.

Soll die Last pL gleiche Senkung wie P her Vorbringen, so muss nach (4) sein

PL³ _ pL4 3 M ~ <¥

d. h. es muss in diesem Falle die Last am freien Ende f- sein von der gleichförmig verteilten Last."

, also P =

OO OJ

pL,

Ist a der Winkel, den die Tangente an die Kurve am freien Ende

für x = Ö. Für

mit der horizontalen Richtung bildet, so ist tang « = diese Werte erhält man aus (2)

dy

tang a —

PL²

ns

Für p = 0 werde a = a‘ und für P = 0 werde a — a“. Hierfür erhält man aus der letzten Gleichung

PL²

m

Setzt man nun p L — P voraus, so wird

tang a‘ = 3 tang a“.

Also wird die Tangente des Winkels a am freien Ende dreimal so gross in dem Falle, wenn die Last an diesem Ende hängt, als wenn dieselbe Last gleichförmig über die ganze Länge verteilt wird.

tang a' =

; tang ec“ =

p L³

6M '

404. Stab, der von zwei «Teich hoch gelegenen Stützen getragen und durch eine gleichförmig verteilte und eine konzentrierte Last gebogen wird. Diese Stützen A, Ai (Fig. 134), an den Enden des Stabes angebracht, liegen in einer horizontalen Linie A D Ai. Es seien :

P die in F konzentrierte Last in den horizontalen Abständen AD = a, Ai D = ai von den Stützen, ai < a, p die über den Stab gleichförmig verteilte Last für jede Längeneinheit, • das Gewicht des Stabes inbegriffen,

x, y die rechtwinkeligen Koordinaten A C, BC eines Kurvenpunktes B,

xi, yi die Koordinaten AiCi,BiCi eines Kurvenpunktes Bi, u die Senkung DF des Aufhängepunktes,

ß der Winkel, den die Tangente an die Kurve durch den Aufhänge-punkt der Last P mit der horizontalen Richtung A Ai bildet,

L = a + ai die Entfernung der Stützen,

Q, Qi die Pressungen auf die Stützen A.,Ai.

Fist. 134.

Denkt man sich die Stütze in A weg und den Druck, den sie auszuhalten hat, durch die Kraft Q, die aufwärts wirkt, ersetzt, so entsteht ein Hebel, der seinen Drehpunkt in Ai hat. Daran wirkt Q am Hebelarme L, P am Hebelarme ai und pL am Hebelarme L. Da nun das statische Moment von Q gleich sein muss der Summe der Momente der abwärts wirkenden Kräfte, so erhält man

Q, L = P ai -f \ p L²,

Ganz ebenso findet man

(2)

«‘-Pt + TpL;

Hiernach kann man die Kräfte Q, Qi als bekannt betrachten.

Denkt man sich das Kurvenstück Ai B eingemauert und A B hervorragend, so wirkt am letztem die Kraft Q aufwärts am Hebelarme x und die Last p • A B oder annähernd p x am Hebelarme ^ x abwärts. Somit ist das statische Moment dieser beiden Kräfte in Beziehung auf B als Drehpunkt = Qx -ipx². Setzt man diesen Wert statt P x in die Formel (1) des § 401 ein, so kommt

(3)

Qx —

IC —

Ganz ebenso findet man für das andere Kurvenstück

(4)

Pi =

Qi xi — l p Xi

2"

Für x = 0 und xi = 0 erhält man p = co und pi die elastische Linie ist an ihren Enden geradlinig.

Lässt man Xi wachsen bis Xi = ai, so nimmt pi fortwährend ab,

da nach Voraussetzung ai < a, also ai < ~ ist. Also hat das kürzere

Kurvenstück seine stärkste Biegung im Aufhängepunkte F der Last P.

Lässt man x wachsen bis x = a, so nimmt p bis zu einer gewissen Stelle hin ab, um von da wieder zuzunehmen. Um die Abscisse dieser Stelle zu finden, bezeichne man den Kenner Q,x — ipx² des Wertes von p in (3) mit z, und erhält durch Differentiation

d² z d x²

= cc

d. h.

(5)

= — p.

sein.

Wenn nun p ein Minimum werden soll, so muss z ein Maximum Dies ist nach (5) der Fall für

= Q — p x = o,

woraus folgt

P ai

pL

:+T-

Dieser Wert von x ist grösser als —. Also wird die Stelle der

stärksten Biegung nie zwischen der Stütze A und der Mitte der Kurve liegen. Sie wird aber zwischen die Mitte der Kurve und den Aufhängepunkt des Gewichtes P kommen, wenn dieser Wert von x kleiner als a ist. Sie wird in diesen Aufhängepunkt fallen, wenn dieser Wert von x gleich oder grösser als a wird.

An der Stelle des Stabes, wo der Krümmungshalbmesser der elastischen Linie ein Minimum ist, werden die Fasern auf der konvexen Seite am stärksten verstreckt und auf der konkaven am stärk-

sten zusammengedrückt ; es befindet sich also hier der gefährdetste Querschnitt.

Bei einer schwachen: Biegung des Stabes hat man auch hier wie in den beiden vorhergehenden Aufgaben nach (3) von § 401 zu setzen

d²y

dx2 — p *

dy

Deshalb ist aus (3) und (4), da d x und

_r d²y

M^ =

Ms?“~Q,Xl+fpXl2-

Multipliziert man (6) mit dx und integriert, so kommt

Qx² px3 “2“ ⁺ -6“ + L-

sich entgegengesetzt ändern,

(6)

(7)

(8)

dy

-Qx + 4pX2.

dy

Setzt man hierin x = a, so wird = — taDg ß. Das negative

Zeichen ist hier deshalb zu nehmen, weil der Aufhängepunkt F zwischen der Stütze Ai und dem tiefsten Punkte der Kurve liegt, weil also die Ordinate y vom tiefsten Punkte an gegen F hin abnimmt, während x wächst. Für den Punkt F wird daher die Gleichung (8)

Qa²

— M tang ß = —

Zieht man diese Gleichung von (8) ab, so folgt Mdy

(9)

dx

to UC

— - - (a² — x²)--(a³ — x³) — M tang ß.

Wird hier mit dx multipliziert und sodann integriert, so kommt

CO

a³ x —

Ganz ebenso findet man aus (7)

X!³

(11)

ai²xt

ai³ Xi —

X* \

\ — M x tang ß.

Xi ^ \

J + Mxi. tangjS.

Die Formeln (10) und (11) sind die Gleichungen der Kurvenäste A F und Ai F.

Setzt man x = a in (10) und Xi — ai in (11), so werden y und yi beide zu u. Deshalb erhält man Qa³    pa⁴

3 M    8 M

(12) u -

a tang ß; u =

Qi ai³ p ai4 3 M 8 M

ai tan g ß.

Aus diesen beiden Werten von u folgt Qa³ — Qi ai³

(13)

tang ß

p a⁴ — p ai⁴

8 ML

Vermöge dieser Gleichung ist die Richtung der Kurve im Aufhängepunkte der Last P bestimmt. Wenn a = &i, so wird auch Q = Qi und tang ß — 0 ; d. h. wenn die Last P in der Mitte zwischen den Stützpunkten aufgehängt ist, so fällt der tiefste Punkt mit dem Aufhängepunkte F zusammen.

Wenn aber a grösser ist als ai, so erhält man den tiefsten Punkt

d v

aus der Gleichung (9), indem man -—=0 setzt. Dies gibt

d x

~ (a² — x?)--(a³ — x³) — M tang ß.

Der Wert von x, den diese Gleichung- liefert, ist die Abscisse des tiefsten Punktes.

:i

Wenn der Aufhängepunkt des Gewichtes P in der Mitte zwischen den Stützpunkten liegt, so sind die Kurvenäste zu beiden Seiten der grössten Ordinate symmetrisch, und man erhält aus (1),

(3), (10), (12)

Q = Q| =i(P + PL);

9 = pi =

Px-f pLx—p x²

My =

(14)

(8P + 5Lp).

L³

384 M

Die letzte Gleichung (14) ist geeignet, um den Modul E der Elastizität eines Materials durch Versuche zu bestimmen.

Macht man die Versuche mit einem recht winkeligen Stabe und bezeichnet seine Höhe mit h, seine Breite mit b, und den Modul der Elastizität mit E, so ist nach § 216, Formel (5), das Moment der Elastizität

12

M - —- b h³.

Führt man diesen Wert von M in (14) ein, so erhält man

(8 P + 5 L p).

L³

32 b h³ u

Bei Versuchen betrachtet man die Grösse p als das Gewicht der Längeneinheit des Stabes, der angewendet wird.

405. Prismatischer Stab, am einen Ende in horizontaler Lage eingespannt, am andern in gleicher Höhe unterstützt und in einem Punkte belastet. Das Stück A' A des Stabes (Fig. 135) sei eingespannt (eingemauert), das Ende B unterstützt, so dass BAA' in horizontaler Richtung liegen. Die Last P sei im Punkte D angebracht; dadurch wird sich der Stab biegen und eine Kurve A D B bilden. Um ihre Gleichung abzuleiten, nehme man die Abscissen längs der Wagerechten AB und die Ordinaten darauf senkrecht an. Es seien

L die Stablänge AB zwischen der Einmauerung und der Stütze, x,y die Koordinaten Ac, Cc des Kurvenpunktes C, zwischen A und D gelegen,

a,u die Koordinaten Ad, Dd des Aufhängepunktes D, x',y' die Koordinaten de, Ee des Kurvenpunktes E, zwischen D und B gelegen, so dass x' von d aus gezählt wird, p, p' die Krümmungshalbmesser der Kurve in C und E und ß der Winkel, den das Kurvenelement in D mit der Abscissen-richtung bildet.

Ersetzt man den Widerstand der Stütze in B durch eine Kraft Q, die daher aufwärts gerichtet ist, so wird das Gleichgewicht am Stabe fortbestehen.

Denkt man sich nun das Stück A C des Stabes eingemauert, so ragt noch das Stück c B hervor, das durch die Kräfte Q und P in entgegenge-setzter Richtung gedreht wird um C als Drehachse. Dabei wirkt P abwärts am Hebelarme c d = a — x und Q aufwärts am Hebelarme cB = L — x. Daher ist das resultierende statische Moment = P (a — x) — Q(L — x). Setzt man diesen Wert in Gleichung (1) des § 401 an Stelle von Px, so folgt

Fig. 135.

il

(1)

P (a — x) — Q (L — x) ’

Daher hängt der Krümmungshalbmesser vom Verhältnis der Kräfte P und Q ab, das im Nachfolgenden bestimmt wird.

Mit Hilfe dieses Wertes von p gibt Gleichung (3) des § 401

= P (a - x) — Q (L — x).

Wird mit dx multipliziert und integriert, so kommt

(2)

dx

Eine Konstante der Integration ist nicht nötig, weil für x = 0

auch

dy

= 0 wird.

Für den Aufhängepunkt D wird x = a und

dy

= tang ß ; daher ist

M tang ß — ^ P a ² — Q a (2 L — a).

Das Integral von (2) gibt als Gleichung der elastischen Linie AD

(3)

0)

x³

6/

Auch hier fällt die Konstante der Integration weg, weil für x = 0 auch y — 0 wird.

Für den Punkt D gehen x in a und y in u über; daher folgt

(5)

Mn =

Pa³ —

-H :<M

<P

a \co

Denkt man sich nun die Einmauerung des Stabes von C bis E fortgesetzt, so reicht über die Mauer hinaus noch das Stück E B. Dasselbe wird durch die Kraft Q um E als Achse gedreht am Hebelarme e B = L — a — xy. Das statische Moment dieser Kraft ist daher = Q (L — a — xy). Setzt man dasselbe in Gleichung (1) des § 401 für P x ein, so folgt’

(«)

M|

Q (L — a — xy)’

Da die Krümmungsmittelpunkte für die Kurvenelemente in A und E auf entgegengesetzter Seite der elastischen Linie liegen, so haben p und o' entgegengesetzte Zeichen, weshalb, py in (6) negativ angenommen ist.

Mit Hilfe von (6) gibt Gleichung (3) des § 401 für das Kurvenstück D B

Q-

ro

d xy

= — Q (L — a — x') d x'

woraus durch Integration folgt

(7)

d v' M

d x'

— — Q (L — a) xy -|—^2 ~h

Für xy = 0 wird

= tang ß. Hierfür geht (7) über in

M tang ß — C

und durch Subtraktion in

= — Q(L - a) x' +    --h M tang ß.

Diese Differentialgleichung liefert folgendes Integral

--1- M xy tang ß -f- C.

(8)

r dyy M

d x'

x/2

My = — Q(L — a) —

Für xy = 0 wird y' = u; daher Mu = C und somit die gesuchte Gleichung der Kurve D B

(9)

My' =

-Q(L-a)^- +

Qx/3

-j- M xy tang ß -f- M u.

Setzt man in dieser Gleichung x' = L — a, so wird y' = 0, entsprechend dem Punkte B. Dafür gibt (9)

(10)

0 = — 4- Q (L - a)³ -f M (L — a) tang ß + M u.

Daher ist dieser Krümmungshalbmesser negativ. Es ändert also o sein Vorzeichen, wenn x von 0 bis a wächst. Im Augenblicke des Ueberganges von positivem zu negativem p zeigt die Kurve einen Wendepunkt. Für diesen muss der Nenner in (1) zu Null werden. Allein aus P (a — x) — Q (L — x) = 0 folgt als Abscisse des Wendepunktes

Pa —Qb

Diese Gleichung kann benutzt werden, um Q zu bestimmen. Eliminiert man zu diesem Zwecke M tang ß und M u aus ihr mittels (3) und (5), so folgt

(U)

a² (3 L — a) 2 L³ '

nach (1)

Im Punkte A ist x = 0; hierfür wird der Krümmungshalbmesser

?='

Pa — QL

Nun ist der Nenner dieses Bruches positiv, wie sich mit Hilfe von (11) ergibt. Daher ist auch q positiv.

Im Punkte D dagegen ist x = a ; also der Krümmungshalbmesser

nach (1)

(12)

(? = -

Q(L — a)‘

P-Q. *

Von A bis zum Wendepunkte nimmt der Krümmungshalbmesser zu, von da bis zum Punkte D wieder ab.

Setzt man in (6) x' = 0, so erhält man als Krümmungshalbmesser der Kurve in D denselben Wert wie oben in (12).

Von D aus in der Richtung nach B hin wird der Nenner in (6) kleiner, wreil x' zunimmt’; daher wird der Krümmungshalbmesser grösser und wird in B, wo x' = L — a ist. unendlich gross.

Die Kurve hat einen tiefsten Punkt; derselbe kann vor oder hinter dem Aufhängepunkte der Last liegen. Befindet er sich auf dem Stücke DB,

so muss für ihn das Differential Verhältnis

d y'

= 0 werden. Hierfür folgt aus (8), wenn der Wert von M tang ß aus (3) eingeführt wird,

O

— Q (L — a) x' -j- —2—

d x'

Pa²

Qa

-    (2 L — a).

Löst man diese quadratische Gleichung auf, so erhält man als Abscisse des tiefsten Punktes, diese von d aus gezählt,

x¹ = L — ai

(L - a)²

a² -f- a (2 L — a)

und nach Umformung als Abscisse, von A aus gezählt,

x' -j- a — L 1 —

Von den beiden Vorzeichen der Wurzelgrösse entspricht nur das negative dem Sinne der Aufgabe, weshalb auch nur dieses im letzten Ausdrucke beibehalten ist. Wird die Grösse unter dem Wurzelzeichen negativ, so liegt der tiefste Punkt auf dem Kurvenstücke A D und kann dann mit Hilfe|der Gleichung (2) bestimmt werden.

40(5. Biegung eines prismatischen Stabes, der in der Längenrichtung zusanunengedrückt wird. Der Stab sei eine Säule, A H (Fig. 136) die vertikale Richtung derselben, H der Unterstützungspunkt und A der Angriffspunkt der Last P. Diese Last erteile dem Stabe eine Biegung. Gesetzt eine Biegung würde nicht eintreten, so würden alle Fasern, die man sich als materielle gerade Linien, parallel zur Längenrichtung, denken kann, um gleichviel verkürzt. Sowie aber die Biegung eintritt, verkürzen sich die Fasern auf der konkaven Seite noch mehr, während die auf der konvexen sich wieder ausdehnen. Wie stark auch die Zusammendrückung auf der einen und die Ausdehnung auf der andern Seite sein mag (immer eine schwache Biegung vorausgesetzt), so bleibt der Wert des Elastizitätsmomentes M derselbe.

Es sei A C F H die Krümmung der elastischen Linie des Stabes. Man bezeichne mit

a die Höhe der Säule im gebogenen Zustande, also die Länge AH, x, y die Koordinaten A B, B C eines Punktes C der Kurve, p den Krümmungshalbmesser der Kurve in C, und u == D F die grösste Ausweichung (Pfeilhöhe) der Kurve.

Denkt man sich den Kurventeil C H eingemauert, so wird die Last den hervorragenden Teil A C um C herum abzudrehen streben, mit einem statischen Momente = Py. Deshalb wird nach § 401 sein

d²y ₌ 1 d x² p ’

sich entgegengesetzt ändern,

(1)

Fig. 136.

woraus folgt, da y und

dy

p-

d²y

d x‘²

= -Py.

P

Setzt man

- = c², multipliziert mit 2d y und integriert, ML

so kommt

dy\²

dx

= C - c² y²,

s,

wobei C die Konstante der Integration bezeichnet,

dy

Für y = u wird 0, da die Tangente durch den Punkt F der Kurve parallel zu

AH liegt. Für den Punkt F wird daher die letzte Gleichung

0 = 0 — e²u*.

Mithin erhält man durch Subtraktion

f dy y

= c² (u² — y²)

und hieraus

y u² — y²

In dieser Gleichung ist das Vorzeichen von d x und d y gleich-genommen, weil für den Bogen A F die Grössen x und y sich in gleichem Sinne ändern. Das Integral der letzten Gleichung ist

cx — arcsin

Die Konstante der Integration ist weggelassen, weil für y == 0 auch x = 0 wird. Geht man von dem Bogen zum Sinus über, so folgt als Gleichung der Kurve

(2)

y = u sin c x.

Setzt man hierin y = 0, so bezeichnet x die Abscisse aller Durchschnittspunkte der Kurve mit der Abscissenachse. diese Punkte

Man erhält für

0 = u sin c x.

Diese Gleichung erfordert, dass entweder u = 0, wodurch der Stab geradlinig bleibt, oder dass der Bogen cx ein Vielfaches von n ist. Bezeichnet daher n irgend eine ganze positive Zahl, so muss sein

(3)

cx = n 7T\ x

Diese Gleichung gibt für x so viele Werte, als n Einheiten enthält. Für n = 0 wird auch x = 0. Dieser Wert von x entspricht dem Anfangspunkte A (Fig. 137). Wird für n = 1 x = AD,

Wird x = A G für n = 2. so wird

Fig. 137.

so ist A D =

AG =

—, woraus folgt, dass A D = D G. Ganz ebenso c

folgt D G = G H,. . . . Man sieht, dass die Abscissenachse von der Kurve in gleiche Teile geteilt wird.

Setzt man der Reihe nach x = |AD, |-AD, |-AD, . . in (2) ein, so wird y abwechselnd -f u und — u, d. h. die Kurventeile weichen nach entgegengesetzter Seite gleichweit von .der Abscissenachse ab und zwar in ihren Mitten, weil für y = u

in Formel (2) der Bogen c x =

Bezeichnet n in Formel (3) die Anzahl aller Biegungen A D, D G,.., so wird x = a und man erhält

II

. wird.

(4)

aus (4)

ac = n n.

Hat die Kurve nur eine Biegung, so ist n = 1 und man erhält

(5)

c² =

7T²

a² M '

Um die Ausweichung u zu bestimmen, berechne man die Länge s der Kurve. Man erhält aus (2)

dy

—— = c u cos C X.

Hierfür wird das Element eines Bogens der Kurve

ds = dx

1 À    = d x (1 -j- c² u² cos²cx) ².

Entwickelt man nach dem binomischen Satze und vernachlässigt die Glieder von der vierten Potenz der Grösse u an, so wird

ds = dx 14-

c² u²    \

—-— cos'c xj.

Um die ganze Länge s der Kurve zu geben, muss diese Gleichung n Tt

von x = 0 bis x = a = —— (Formel 4) integriert werden. Nun ist

cos²c x = y (1 -j- cos 2 c x),

c² u² , c² u²

-——cos2 cx

4

und da

cos 2 c x d x = 0,

so wird woraus die gesuchte Ausweichung folgt

O IO

— 1.

Wenn der Stab sich nicht biegt, so wird s = a, also u = 0, wie es sein soll.

Setzt man den Wert von P aus (5) in (1) ein, so erhält man als Krümmungshalbmesser der Kurve

tt² y ‘

An den Endpunkten ist y = 0, also = oo. Den kleinsten Krümmungshalbmesser erhält man für y = u. Also nimmt die Krümmung des Stabes von den Endpunkten nach der Mitte hin zu.

XI. Aufgaben Uber fortschreitende Bewegungen.

407. Differeiitialformelii der Bewegung. Diese Formeln wurden für irgend eine Bewegung bereits in § 161 abgeleitet. Es ist hiernach

dx = vdt; dv = gdt; vdv = gdx,

wobei x den in der Zeit t durchlaufenen Weg, v und g die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach der Zeit t bezeichnen.

Nimmt man t als die unabhängig Veränderliche, also dt als konstant an, so erhält man durch Differentiation der ersten der Formeln (1)

d² x = d v d t.

(1)

Setzt man hierin den Wert von dv aus der zweiten der Formeln (1) ein, so folgt

(2)

d² x

dt²

= g-

Es ist mithin die Beschleunigung g gleich dem zweiten Differentialverhältnis des Weges in Hinsicht der Zeit.

Es bewege sich ein Punkt in einer ebenen Kurve E C (Fig. 138), deren Gleichung für rechtwinkelige Koordinatenachsen gegeben sei. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes C seien x, y, der Bogen EC = s. Nimmt x um dx = Cn' zu, so ändert sich y um dy = nn' und s um ds = Cn. Der Weg s werde in der Zeit t durchlaufen. Nach dieser Zeit sei die Geschwindigkeit = v. Man zerlege die Geschwindigkeit v, deren Richtung in das Kurvenelement ds fällt, in die zwei Seitengesdnvindigkeiten v

Fig. 138.

71

y\

El

\n'

dx

dy

und v ——-

ds

Da nun aber v =

Cu

parallel und senkrecht zur Abscissenachse.

vermöge der ersten der Gleichungen (1), so erhält man als Seitengeschwindigkeit

in der Richtung der Abscissenachse =

dx

dt ’

in der Richtung der Ordinatenachse =

.. I ■■ i

und somit nach Formel (2) als Beschleunigung parallel zur Abscissenachse .    .    .

dy

dt ’

d²x

d t²

parallel zur Ordinatenachse .

d²y

dt²'

408. Bewegung eines Körpers in einer Geraden, die die Mittelpunkte zweier Himmelskörper verbindet. Die Himmelskörper ziehen sich an, als wenn ihre Massen in ihren Mittelpunkten A, B (Fig. 139) vereinigt wären. Es seien

a=AB der Abstand dieser Mittelpunkte,

b = B C der Abstand eines Körpers in der Geraden A B, der von beiden Himmelskörpern nach dem Gesetze der Gravitation angezogen wird,

x = CD der Weg, den dieser Körper in der Zeit t in der Richtung von C nach D durchläuft,

vo, v die Geschwindigkeiten des Körpers am Anfänge und Ende der Zeit t, also in den Punkten C und D,

g, g' die Beschleunigungen, die die Himmelskörper in A und B im Abstande 1 von ihren Mittelpunkten dem beweglichen Körper beizubringen vermöchten.

Nach dem Gesetze der Gravitation sind die Beschleunigungen, die von A und B aus in den Abständen AD = a-b-x und BD = b-}-x bewirkt werden,

2’

g'

o» + =0* ‘

Fig. 139.

(a — h — x)

Diese Beschleunigungen haben entgegengesetzte Richtungen. Die erstere wächst mit t, die letztere nimmt ab. Daher wird sein

d¹ x

g'

(b -f k)¹ ’

(a — b — x)¹

Behufs der Integration dieser Gleichung setze man

dt¹

BD = b-f x = z, dx = dz, d¹ x =

z;

dadurch geht die vorstehende Gleichung über in d¹ z d t¹

(a — z)¹

z¹ *

Multipliziert man mit 2 d z und beachtet, dass alsdann die linke Seite

das Differential von

dz \¹

ist, so erhält man durch Integration

•Vdt ) -

In dieser Gleichung ist C die Konstante der Integration und die Geschwindigkeit v. Mithin ist

2 g'

^ + c.

dz d x

dt dt

v¹ =

2 g'

+ C.

i . - «    . . . .

Für z = b = BC wird v zu v₀. Für diese' Werte wird die letzte

Gleichung

v0¹^=

Mithin erhält man durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen

(2)

Y² =

v₀² + 2 g (—¹-~ \ a— z

a 'h)

er

Auf der Geraden AB gibt es eine Stelle E, wo die Anziehung beider Himmelskörper gleich gross ist. Setzt man den Abstand

BE = c, A E = a — c,

so müssen die Beschleunigungen, die beide Himmelskörper an dieser Stelle hervorbringen, gleich gross sein, so dass man hat

g'

c² (a — c)² '

Diese Gleichung ist in Hinsicht c eine quadratische.

Es entsprechen also der Grösse c zwei Werte. Der eine davon bestimmt die Stelle E zwischen A und B, der andere eine Stelle in der Verlängerung AB auf Seite des kleineren Himmelskörpers. Der erstere dieser Werte ist

(3)

Vi

Setzt man diesen Wert von c statt z in (2) ein, so erhält man diejenige Geschwindigkeit v, mit der das Bewegliche die Stelle E passiert.

Es bezeichne Un den kleinsten Wert von vo, den das Bewegliche in C haben muss, um die Gleichgewichtslage in E gerade noch erreichen zu können. Vertauscht man daher vo mit Uo und z mit c in (2), so muss v = 0 werden. Dies gibt die Delation

(4)

2 = 2g(i

I=W+2g'Vb

Ist vo kleiner als Uo, so erreicht das Bewegliche die Stelle E nicht, sondern kehrt nach B zurück. Ist Vo grösser als Uj, so geht der Körper über E hinaus nach A hin.

Es sei A der Mittelpunkt der Erde, B der des Mondes. Daher ist

u₀

(5)

75 ⁷

= 0,1035a.

1 + ^75

Man denke sich nun, es werde ein Körper von der Oberfläche des Mondes aus mit einer solchen Geschwindigkeit Uo in der Richtung B A abgeworfen, dass er die Gleichgewichtslage in E gerade erreichen kann. Ist nun r der Halbmesser der Erde, so ist sehr annähernd

Halbmesser des Mondes = -Ą r ;

g

Allein für b = —

Abstand A B = 60 r.

Hr;

g¹ =

75

a = 60 r :

c = 0,103 5-60 r

gibt (4)

(6)

uo² = 0,044 89 •

2g

Nun bezeichne G die Beschleunigung auf der Erdoberfläche. Da die Grössen G und g den Abständen r und 1 vom Mittelpunkte der Erde entsprechen, so erhält man nach dem Gesetze der Gravitation

(7)

G : g = l² : r², . g = r² G.

(8)

Führt man diesen Wert von g in (6) ein, so folgt uo² = 0,044 89-2 Gr.

Wird dieser Körper mit einer Geschwindigkeit, die Uo nur um unendlich wenig übertrifft, vom Monde aus abgeworfen, so dass er mit einer unendlich kleinen Geschwindigkeit die Stelle E überschreitet, so wird er gegen die Erde hin fallen.

Die Geschwindigkeit, mit der dieser Körper die Grenze der Atmosphäre erreiche, sei = u. Die Höhe der Atmosphäre ist höchstens = 0,01 r. Führt man nun in Formel (2) die Werte ein

Vfl=Uo; a=60r; z = 58,99 r; b —

11

n s‘ = ~,

so geht v in u über, und man erhält

u² = u₀² -f-0,924 70 ■

r

Setzt man hierin den Wert von uo aus (8) und den von g aus (7) ein, so wird

(9)

u² = 0,969 59 • 2 G r.

Durch Vergleichung von (8) und (9) folgt das Verhältnis

— = 4,647 5,

(10)

uo

d. h. der Körper, der auf der Geraden BA die Gleichgewichtslage mit einer unendlich kleinen Geschwindigkeit passieren würde, träfe die Grenze der Atmosphäre mit einer etwas mehr als 4 t mal so grossen Geschwindigkeit als diejenige ist, mit der er abgeworfen würde. Setzt man noch

G = 9,808 m; r = 6 365 000 m,

so folgt aus (9) und (10)

uo = 2 367 m ; u = 11 003 m.

Die Höhe der Atmosphäre beträgt, der obigen Voraussetzung gemäss, höchstens 0,01 r = 63 650 m. Würde nun jener Körper die Atmosphäre gleichförmig durchfallen, so würde er hierzu nahe 6 Sekunden Zeit brauchen.

409. Bewegung eines Körpers in einer Kurve, die in einer vertikalen Elienp liegt, infolge seiner Schwere. Die Kurve A B (Fig. 140) gehe durch den Anfangspunkt A der rechtwinkeligen Achsen A x, Ay. Es sei Ax horizontal und A y vertikal abwärts gerichtet.

33

A u t eu h eim er, Elementarbuch.

In horizontaler Richtung wirkt keine Kraft auf den Körper, also ist die Beschleunigung in dieser Richtung = 0. In vertikaler Richtung wirkt die Schwere auf ihn, die dem Körper die konstante Beschleunigung g • erteile. Dann sind die Formeln für die Beschleunigung in der Richtung der Achsen

(1)

d² x

d t²

dt²

= g-

Multipliziert man die erste Formel mit d x, die zweite mit d y und addiert sie, so erhält man

(2)

dxd²x-j-dyd²y

dt²

= g d y.

Fig. 140.

Nun ist aber der Zähler links als Differen-

tial von

C_x_

-t (d x² -f d y²) = i d s². Also kann man statt (2) schreiben 1 d (d s²)

I dt²

(8)

= gdy.

Allein es ist

ds

= v; mithin erhält man für (3)

A d (v²) = g d y.

Multipliziert man mit 2 und integriert, so kommt

(4)

v² = 2gy + C.

Beginnt die Bewegung im Anfangspunkte, so ist für diesen Punkt v = 0 und y = 0, also auch die Konstante C = 0. Ist daher B C = y, so erhält man aus (4)

(5)

v = ]/A2gy = K2g-BC.

Beginnt die Bewegung in einer Tiefe CC' = yo unter dem Anfangspunkte, so ist in (4) v = 0 für y — y₀; hierfür folgt aus (4)

0 = 2 g y₀ -j- C.

Zieht man diese Gleichung von (4) ab, so wird

(ö)

v = V% g (y — y₀) = Vs* g • B C'.

Man sieht aus den Formeln (5) und (6), dass die Geschwindigkeit an jeder Stelle der Kurve dieselbe ist, wie wenn das Bewegliche die vertikale Höhe des durchlaufenen Bogens frei durchfallen hätte.

410. Anwendung des eben naebgewiesenen Gesetzes auf die Bewegung in der Cykloide. Liegt die Cykloide in einer Vertikalebene und ist ihre Grundlinie B C (Fig. 141) horizontal, so wird der Scheitel A der tiefste Punkt der Kurve und A B —2 a der Durchmesser des Rollkreises sein.

Mau lege die Abscissenachse A x horizontal, die Ordinatenachse A y vertikal aufwärts. Der Rollkreis bewege sich von der Mitte B der Grundlinie längs des Weges BC, so dass BC = Bogen CD werde. Sind CM F

und D M E zwei Durchmesser von der Länge = 2 a, so wird Bogen CD = Bogen E F — a (f sein, wenn (f den Rollwinkel im Bogenmass bezeichnet. Ferner seien x = EGr und y = A Gr = F N die Koordinaten eines Kurvenpunktes E; dann wird sein, da CF vertikal liegt,

x = EN + CB.

(1)

Allein es ist

EN = ]/E M² — N M² = Ka² -(a-y)² = i‘2 a y — y²,

MN

CB = EF = a(f' = a- arccos —= a• arccos T    ME

Setzt man diese Werte in (1) ein, so erhält man als Gleichung der Cykloide in rechtwinkligen Koordinaten

a-y

Fig. 141.

x=j/ 2ay — y²-}-a-arccos a .

Wird diese Gleichung differentiiert, so ergibt sich nach einigen einfachen Reduktionen

2 a — y

dy j/~2ay—y²

In einem Kurvenpunkte ÏÏ, dessen Ordinate AI = h sei, beginne die Bewegung eines materiellen Punktes in der Cykloide infolge seiner Schwere. Die Zeit zum Durchlaufen des Bogens HE = s seit; hat er in E die Geschwindigkeit v, so wird diese Geschwindigkeit die gleiche sein, wie wenn er die Vertikale IG = h — y frei durchfallen hätte. Es ist daher

(2)

(3)

Da aber v =

(4)

v² = 2 g (h — y). so geht diese Formel über in d s \²

= ² g (h — y).

sag»

Um hieraus ds zu entfernen, benutze man die Relation

⁻    / d x \ ² ~

d s² = d y² -f- d x² = d y² 1 -(-

und setze hierin den Wert von

dy

aus (3) ein; man erhält

oder indem man die Veränderlichen sondert und die Quadratwurzel auszieht,

d s²

2 a d y²

y dt²

= ² g (h — y),

(5)

Vs ' KTi7-y² ‘

dy

Von den beiden Vorzeichen, die die Grösse rechts allgemein haben sollte, wurde nur das negative beibehalten, weil bei der Bewegung längs des Bogens HE die Zeit t zunimmt, während y abnimmt.

Das Integral von (5) ist nach Formel (7) des § 86

2y-h fO.

a

— arc sin

Für t = 0 ist y = h ; folglich

~ + e.

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so folgt

CD

— arc sin

Um die Zeit T zu erhalten, die das Bewegliche nötig hat, um in den tiefsten Punkt zu gelangen, muss in (6) die Ordinate y von

y — h bis y = 0 abnehmen. Hierbei geht der arcussinus von -f- -

IO

durch die Null in —

über. Diese Grenzwerte von arcussinus heben

sieli daher auf, und man hat

=nY

Man siebt hieraus, dass in der Formel für die Fallzeit T die Länge des Bogens HA nicht vorkommt. Es ist deshalb die Zeit zur Erreichung des tiefsten Punktes dieselbe, welcher cykloidische Bogen durchlaufen werde. Eine Kurve, die diese Eigenschaft besitzt, heisst autochron.

4H. Horizontaler Wurf eines Körpers im leeren Raume. Es werde ein Körper im leeren Raume mit einer Anfangsgeschwindigkeit V in horizontaler Richtung abgeworfen. Von da an sei er nur der Einwirkung der Schwere ausgesetzt.

|;Die Bahn AB des Körpers (Fig. 142) wird in einer vertikalen Ebene liegen, die durch die anfängliche Richtung der Bewegung geht. Diese Richtung sei die Abscissenachse Ay und A der Anfangspunkt der Bewegung. Nimmt man die Ordinatenachse A x vertikal abwärts und bezeichnet mit v die Geschwindigkeit nach der Zeit t, mit x, y die Koordinaten eines Kurvenpunktes B und mit g die Beschleunigung durch die Schwere, die als konstant vorausgesetzt werde, so hat man

d² y dt²

<1)

d² x

dt²

— 0;

= g-

Hm diese Formeln integrieren zu können, setze man

Fig. 142.

dx

CT

dann gehen die Formeln (1) über in

du

“TT- = g-

= 0;

Multipliziert man hier mit dt und integriert, so kommt z = C; u = g t -f C',

oder indem man die Werte von z und u wiederherstellt,

dx

dy

= C;

d t

Fiir den Anfangspunkt der Bewegung ist

(2)

:- = gt + c'.

dy

- = 0.

Hierfür erhält man aus (2) C = V und C' = 0. Deshalb gehen die Formeln (2) über in

(3)

CL, P-<

dy

= gt.

Es sind mithin Y und g t die Geschwindigkeiten des Körpers parallel zu den Achsen Ax und Ay. Vermittelst des Parallelogramms der Geschwindigkeiten (unter Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes) erhält man daher

v² = V² -f- g²1².

Man sieht aus dieser Gleichung, dass die Geschwindigkeit v in der Richtung der Bahn vom Anfangspunkte aus im Wachsen begriffen ist, da die Zeit t zunimmt.

Multipliziert man (3) mit d t und integriert, so kommt

(4)

x = Vt; y

t\2 CT?

Die Konstanten der Integration sind weggelassen, weil für t = 0 auch x — 0 und y = 0 werden.

Eliminiert man aus den beiden Formeln (4) die Zeit t, so erhält man als Gleichung der Kurve

x².

(5)

2 Y²

Die Bahn ist mithin eine Parabel, deren Scheitel im Anfangspunkte und deren Achse in der Ordinatenachse liegt.

412. Schiefer Wurf eines Körpers im leeren Raume. Es werde ein Körper in schräger Richtung AD (Fig. 143) unter einem Winkel a zum Horizonte aufwärts geworfen mit einer Geschwindigkeit Y und sodann der Einwirkung der Schwere überlassen.

Die Bahn A E F des Körpers liegt in einer Vertikalebene, die durch die Anfangsrichtung der Bewegung geht. Man nehme in dieser Ebene, vom Anfangspunkte A aus, die beiden Achsen A x, A y an, wovon die erstere horizontal, die letztere vertikal anfwärts geht, x, y die Koordinaten A B und B C eines Kurvenpunktes C, der in der Zeit t erreicht wird, und v die Geschwindigkeit in C, so muss im Sinne der Aufgabe sein, wenn g die Beschleunigung beim freien Falle bezeichnet,

Sind

Fig. 143.

(1)

d² x

dt²

= 0;

d²y

dlF - " g-

P)

e-t- ! M

Setzt man---=

Formeln (1) über

ay

= u, so gehen die

in

g-

z — C;

Multipliziert man mit d t und integriert, so kommt u = — g t + C', also

(2)

- c.

dy

- -gt + C'.

dx

Man zerlege die Anfangsgeschwindigkeit in die horizontale Seitengeschwindigkeit V cos a und in die vertikale V sin a. Da nun aber

dy

die vertikale Seitengeschwindigkeit nach der Zeit t bezeichnen, so erhält man aus (2) für t = 0

V sin « = C'.

die horizontale und

V cos a = C ;

Setzt man diese Werte der Konstanten C, C' in (2) ein, so kommt

(3)

dx

— Y cos a ;

Q- Q-i

C-t- I

V sin a — g t.

Diese Seitengeschwindigkeiten sind die Seiten eines Rechtecks, dessen Diagonale die Geschwindigkeit y (in der Richtung der Tangente an der Bahn) ist. Man erhält deshalb nach dem pythagoreischen Lehrsätze

(4)

y² = V² — 2 V g t sin a -j- g²1².

Dieser Wert von v ist wegen der Einwirkung der Schwere veränderlich. Um das Minimum von v zu bestimmen, differentiiere man diese Gleichung, indem man t als unabhängig und v als abhängig Variable betrachtet, und setze den ersten Differentialquotienten — 0 ; man erhält

Pj O-

ert- <

Hieraus folgt, da der Nenner y nicht unendlich gross sein kann, dass der Zähler verschwinden, also

sein muss, mit T, so ist

— Y g sin u + g² t = 0

Bezeichnet man den hieraus hervorgehenden Wert von t

(5)

Y sin «

Für diesen Wert von T wird die Geschwindigkeit v zu einem Minimum, weil das zweite Differentialverhältnis

d² v

g²

dt²

= +v

positiv ist. Führt man T für t in (4) ein, so erhält man den kleinsten Wert der Geschwindigkeit

v = V cos a.

Mithin ist diese kleinste Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn gleich der konstanten horizontalen Seitengeschwindigkeit des Körpers (Formel 3).

Multipliziert man (3) mit d t und integriert, so kommt

y = V sin a • t--1².

J 2

(6)

x = V cos a • t;

In diesen Wegformeln sind die Konstanten der Integration weggelassen, weil für t = 0 auch x — 0 und y = 0 werden.

Die Ordinate y wird in den Punkten A und F, wo die Kurve die Abscissenachse schneidet, zu Null. Setzt man nun y = 0 in der zweiten der Gleichungen (6), so muss alsdann t die Zeit bezeichnen, die diesen zwei Punkten entspricht. Man erhält zunächst

0 = t ^Y sin a —    1^.

Das Produkt rechts wird nun aber zu Null, wenn der eine oder andere der Faktoren zu Null wird. Setzt man den ersten Faktor t = 0, so entspricht diese Zeit dem Punkte A ; setzt man aber den zweiten = 0, so ündet man als Zeit

(7)

to =

2 V sin a

Die Länge A F, die die Kurve auf der Abscissenachse abschneidet, heisst Wurfweite. Also bezeichnet to die Zeit zum Durchlaufen der ganzen Kurve A E F über der Abscissenachse.

Eliminiert man t aus den beiden Formeln (6), so erhält man als Gleichung der Bahn

(8)

y = x tang u —

gx²

2 V² cos² « ‘

In den Punkten A und F der Bahn wird die Ordinate zu Null. Setzt man daher y = 0 in (8), so bezeichnet x die Abscisse dieser zwei Punkte. Für diese wird daher

0 = x ( tang « —

2 V² cos²« /

Macht man den ersten der Faktoren, nämlich x, gleich Null, so entspricht er dem Punkte A; macht man aber den zweiten zu Null, so erhält man als Abscisse des Punktes F

2 Y² sin « cos «

(9)

x₀ =

Es bezeichnet daher x₀ die Wurfweite A F.

Die Gleichung (8) zeigt, dass die Wurfbahn eine Parabel ist, deren Achse vertikal liegt.

Um den Scheitel oder höchsten Punkt E der Bahn zu finden, kann man den halben Wert von x₀ aus (9) als Abscisse AG derselben betrachten, ihn in (8) einfiihren und aus (8) die Ordinate GE des Scheitels berechnen.

Es kann aber auch die Abscisse des höchsten Punktes wie folgt aus (8) abgeleitet werden. Man bestimme denjenigen Wert von x, der y zu einem Maximum macht. Aus (8) erhält man

d²y dx²

dy

gx

tang « —

V² cos²« *

Setzt man das erste Differential Verhältnis =0, so folgt, indem man x mit X vertauscht,

dx

V² cos²«

(10)

V² sin « cos a

Für diesen Wert von x wird y ein Maximum, weil das zweite Differentialverhältnis negativ ist. Somit ist X = A G die Abscisse des höchsten Punktes. Setzt man diesen Wert von x in (8) ein und vertauscht y mit Y, so erhält man als Ordinate GE des höchsten Punktes oder als Wurf höhe

(H)

V² sin²«

Führt man den Wert von X aus (10) in die erste der Formeln (6) ein, so findet man für t gerade den Wert T, der in Formel (5) dargestellt ist. Mithin ist T die Zeit zur Erreichung des höchsten Punktes, und es ist die Geschwindigkeit des Körpers in diesem Punkte ein Minimum. Es nimmt somit die Geschwindigkeit vom Anfangspunkte aus bis zum höchsten Punkte ab.

Wenn der Parabelpunkt C in der Zeit T — t' erreicht wird, so muss, wegen der gleichförmigen Bewegung in horizontaler Richtung, ein Punkt C' der Bahn, der mit C gleichen Abstand von der Achse E G hat, erreicht werden in der Zeit T + t'. Setzt, man diese beiden Zeiten für t in Formel (4) ein, so erhält man gleiche Werte für v, d. h.

die Geschwindigkeiten des Körpers in gleichen Tiefen unter dem höchsten Punkte der Bahn sind gleich. Diese Werte sind

v = |/"V² cos²« + g²1/2.

Da aber 2 sin «cos« = sin 2«, so ist die Wurfweite nach (9) auch

V² sin 2 a

x₀ =

Denkt man sich hierin die Grössen V und g konstant, dagegen a veränderlich, so wird auch xo veränderlich. Für 2 « = 90° ist sin 2« = 1, also xo ein Maximum. Wird somit ein Körper unter einem Winkel von 45° zum Horizonte abgeworfen, so ist unter sonst gleichen Umständen seine Wurfweite grösser als für jeden andern Winkel.

Denken wir uns zwei Wurfwinkel, die gleich weit über und unter 45° liegen, etwa um 0, so ist für den einen Winkel

sin 2 a = sin 2 (45 + ß) = sin (90 + 2 0)

und für den andern

sin 2 a — sin 2 (45 — ß) = sin (90 — 2 ß).

Allein diese beiden Werte von sin 2 a sind gleich gross ; also ist auch für beide Winkel 45 + 0 und 45 — 0 die Wurfweite gleich gross.

413. Schiefer Wurf eines Körpers in der Luft. Der Luftwiderstand sei dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional und wirke in der Eichtling der Tangente an die Bahn.

Wegen der letztem Voraussetzung wird die Bahn AC (Fig. 144} des Körpers eine ebene Kurve sein und in der Vertikalebene liegen, die durch die Anfangsrichtung der Bewegung geht. Es gelten die Bezeichnungen der vorigen Aufgabe. Ausserdem sei s = AC der Bogen der Kurve, der vom Anfangspunkte bis zum Punkte mit den Koordinaten x, y reicht, u = Y cos a die horizontale Geschwindigkeit im Anfangspunkte und m die Beschleunigung, die der Luftwiderstand dem Körper in der Kichtung der Bahn entzieht, bei der Geschwindigkeit = 1.

d. s

Die Geschwindigkeit im Punkte C ist = ——, also die Besclileu-

Q l

nigung, die in diesem Punkte dem Körper in der Dichtung der Tangente

f s \ ^

an die Bahn entzogen wird = m ( - -+

Zerlegt man sie in eine hori-

Fig. 144.

zontale und vertikale Seitenbeschleunigung, so wird man dafür erhalten

m    -,—

V d t

ds

ds '

Die erstere bewirkt, dass die Bewegung in horizontaler Richtung verzögert wird ; daher ist die Beschleunigung in dieser Richtung

d s d x d t2    m dt. dt’

d² x

Die letztere hat das entgegengesetzte Zeichen von d y, so dass in vertikaler Richtung sein muss

d²y

d s dy

dt²' - - S - m - jjr - dy Man betrachte t als die unabhängig Variable, also d t als konstant,

und beachte, dass nunmehr der Zähler

(2)

dividiere Gleichung (1) durch

d² x dt²

Integral dieser Gleichung

links das Differential des Nenners

ist; dann erhält man als

dx

dt

Um die Konstante C zu bestimmen, setzt man s = 0 ; dann wird die Geschwindigkeit

dx

^ zur Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung, also zu u. Diese Werte geben /u = C. Folglich erhält man durch Subtraktion dieser Gleichung von der vorstehenden

dx

dt

— — m s,

oder indem man von den Logarithmen zu den Zahlen übergeht

(3)

dx

dt

= ue

— ms

Multipliziert man die Gleichungen (1) und (2) mit dt², so kommt d² x — — mdsdx; d²y = — gdt² — mdsdy und hieraus durch Elimination von mds

woraus folgt

d² y = — g d t²

dy

d² x,

g' d t² =

d y d² x — d x d² y

d x²

d x.

Die Grosse in der Klammer ist das Differential von

dy

: daher

wird sein

(4)

gdt² — — dxd

dy

Führt man den Wert von dt aus (3) hier ein und multipliziert auf

beiden Seiten mit d s

= d4/l + (dx

, so kommt

(5)

g e2m s d g ₌ — u²

Gesetzt, die Bahn weiche nur wenig- von der horizontalen Achse

gegen die Einheit vernachlässigen kann. Unter dieser Voraussetzung gehen die Formeln (3) und (5) über in

Ax ab, so dass man s mit x verwechseln und

dy\²

dx

(6)

dt =

emxdx.

(7)

ge2mxdx= — u²d

dy

Das Integral von (6) ist

— em x + C.

Setzt man, um die Konstante zu bestimmen, x = 0, so wird auch t = 0. Dies gibt

— + c.

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so erhält man

(8)

rr-(e

in \

- 1).

Die Integration der Formel (7) liefert

ge²

= -u²

Zur Bestimmung der Konstanten C hat man die gleichzeitigen tang a. Hierfür wird die Gleichung

Werte x = 0,

dy

dx

2m

= — u² tang a + C.

Folglich ergibt sich durch Subtraktion und Auflösung in Hinsicht

dy

dx

(9)

dy

dx = tang“ +

2 m u²

(1 — e2mx).

Multipliziert man mit dx und integriert, so kommt

g2 in x

y = x tang a 4

) + C.

2 m u²

Für x = 0 wird auch y = 0, so dass diese Gleichung wird

f C.

4 m² u²

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

(10) y = f tang a -+-

2 m u²

4 m² u²

(e²

1).

Die Gleichung (10) bestimmt die Bahn und (8) die Zeit.

Für den höchsten Punkt der Bahn ist

dy

dx

Hierfür folgt

aus (9), wenn x mit x' vertauscht wird,

2 m u²

tang a,

oder indem man die Logarithmen nimmt,

2 m u²

x¹ =

tang aj.

Dieser Wert von x' ist die Abscisse AD des höchsten Punktes E.

Setzt man in (10) y = 0, so wird x zur Abscisse derjenigen Punkte A und F, in denen die Bahn die Abscissenaclise schneidet. Bezeichnet man diesen Wert von x mit x", so erhält man

(11)

(^tang a

2 m u²

4 m² u²

(e²

ni x"

-1).

Diese Gleichung liefert zwei Werte von x". Der eine x" = 0 entspricht dem Anfangspunkte A, der andere gibt die Wurfweite A F.

Kennt man in einem besondern Falle x", a und u, so kann vermittelst (11) der Wert von m berechnet werden. Ebenso könnte m aus (8) ermittelt werden, wenn man entsprechende Werte von x und t durch Beobachtung finden würde.

Weicht die Bahn von der Horizontalachse so wesentlich ab, dass s

'dyy

> dxj

nicht gegen 1 vernachlässigt werden kann, so werden die Differentialformeln der Bewegung sehr zusammengesetzt.

nicht mit x verwechselt und

Setzt man

dy

(12)

= p in (5) ein, so erhält man

ge²

u²

d s = d p y 1 -j- P²-

Das Integral hiervon ist nach § 84 und 90, Formel (11),

(13) b

ge²

2 m u²

V i + p² + y ¹ (p + V¹ + p2)’

worin b die Konstante der Integration bezeichnen soll. Um sie zu be-

= tang a. Folglich ist

stimmen, setze man s = 0, wofür wird p —

dy

te

tang «y 1 + tang² a + -i-1 (tang a -j- y I + tang² a).

2 m u²

Diese Gleichung bestimmt den Wert von b. Der Einfachheit wegen wollen wir jedoch für diesen Wert das Zeichen b beibehalten.

Nun ist

Setzt man diesen Wert von ds in (12) ein, so folgt

— ge

d x = u² d p.

so kommt

Eliminiert man hieraus und aus (13) die Grösse e

(14)

mdx =

dp

Pri+P² + /(p+ Kl + P²) - 2 b

Multipliziert man hier mit

dy

= p, so wird

(15)

m dy =

pdp

P Kl + P² + l (p + V1 + P²) — 2 b

Aus (4) folgt

g d t² = — d x d p.

Setzt man hierin den Wert von dx aus (14) ein und zieht die Quadratwurzel aus, so erhält man

(16) K• d t =

-dp

[2b—pj/ 1 + p² —/(p+Kl + P²]²

Hier ist deswegen das negative Zeichen der Quadratwurzel genommen, weil für die aufsteigende Bewegung p ab- und t zunimmt, also dp und dt ungleiche Zeichen haben müssen.

Da ferner

v² =

dt²

so erhält man den Wert von v², wenn man hierin die Werte von dx, dy und dt aus (14), (15) und (16) einführt. Es wird

1 + P²

(17)

v² —

2 b — p Y1 + P² — l (p + V 1 + P²)

Die Formeln (14), (15) und (16) können nur durch Annäherungs-

Eine dieser Methoden besteht in der

methoden integriert werden.

Reihenentwickelung. Sie ist jedoch nur unter der Voraussetzung der Konvergenz der Reihen zulässig.

Eine andere Methode besteht darin, dass man diese Differentialgleichungen nach § 381 konstruiert. Betrachtet man für alle drei Kurven p als Abscisse, so wird x die Ordinate der Kurve (14), y diejenige von (15) und t die von (16). Alle drei Kurven gehen’durch den Punkt x = O, y — 0, t = 0, p = tang «. Sind nun für aufeinander folgende Werte von p = tang a bis p = 0 die entsprechenden Werte von x, y, t gefunden, so erhält man den aufsteigenden Ast der Kurve und die Zeit zur Erreichung irgend eines Punktes dieser Kurve. Sodann bestimmt man für Werte von p, die von 0 aus abnehmen, d. h. negativ werden, den absteigenden Ast, etc.

Man erhält auf diese Weise eine Kurve, deren Aeste nicht mehr symmetrisch sind zur Vertikalen E D (Fig. 145), die durch den höchsten Punkt geht. Die Wurfweite ist nicht mehr so gross wie für die Be-

wegung im leeren Raume, ihr Maximum tritt auch nicht mehr für einen Winkel a von 45°, sondern für einen kleinern ein. Der absteigende Ast neigt sich rascher gegen die Abscissenachse als der aufsteigende. Denkt man sich die absteigende Bewegung bis ins Unendliche möglich,

= p immer grösser und zuletzt unendlich

so wird das Verhältnis

dy

dx

gross. Für diese Bewegung ist aber p negativ. Vertauscht man deshalb — p mit —|— p in (14), so kommt

m d x —

(18)

— dp

Fig. 145.

— p Y'\ -f- p² -j- l (— p -(- Yl -•)- p²) — 2 b

Nun ist aber l 1 = 0; l (1 -)- p² — p²) = 0: allein

1 -f p² p² — (Y 1 + p²— p) (V l + p² + p)-

Folglich ist

KVÏ+ P² -p) + l (KlTp² + p) = 0. Hiernach wird (18) zu

also auch

fl

mdx =

dp

P V1 + P² + l(Ÿ1 + P² + p) + 2 b

Denkt man sich hierin p so gross, dass p j^l -)- p² mit p² vertauscht und l(Y 1 —|— p² —p) —|— 2 b gegen p² vernachlässigt werden kann, so wird

mdx =

dp

p² ’

Das Integral dieser Gleichung ist

(19)

- + c.

Es erfolge die Bewegung in dem sehr steilen Kurventeile GH. Hierbei gehe die Abscisse AG' = x' über in AH' = x und es verwandele sich p' in p, so dass x' und p' entsprechende Werte für den Punkt G sind. Man erhält für denselben aus (19)

-4+c,

m x' =

P;

also durch vSubtraktion und Division durch m

G' H' — x — x' = —

1    1

P'    P

Da p ins Unendliche wächst, so nähert sich die Grösse

x = x'-f-

1    1

P'    P

mehr und mehr der konstanten Grenze

x — x'

m p'

Also nähert sich auch der absteigende Ast mehr und mehr einer vertikalen Geraden, die diesen endlichen Abstand von der Ordinaten-achse hat. Diese vertikale Gerade ist mithin eine Asymptote dieses Astes.

Nimmt man auch in (17) die Grösse p negativ und so gross, dass der Nenner des zweiten Bruches rechts mit p² vertauscht werden kann, so erhält man

b/3 g

j/ ^ die Grenze, der sich die Geschwindigkeit des Körpers

Somit ist

bei der absteigenden Bewegung mehr und mehr nähert. Grenze ist der Luftwiderstand gleich der Schwerkraft.

An dieser

414. Wärmeleitung m einem prismatischen Stahe. Einem dünnen prismatischen Stabe werde am einen Ende Wärme mitgeteilt. Diese Wärme pflanzt sich im Stabe fort und vermindert sich durch Verluste an die umgebende Luft. Man soll das Gesetz der Temperaturabnahme von einem Ende des Stabes nach dem andern hin bestimmen.

Das Ende A des Stabes (Fig. 146) nehme von irgend einer Wärmequelle her in gleichen Zeiten gleiche Wärmemengen auf, so dass sich die Wärme über den Querschnitt in A gleichförmig verteile; ferner werde die Temperatur der umgebenden Luft, etwa durch Hinzuströmen neuer Luft, konstant auf Null erhalten. Nach einer gewissen Zeit muss in der Bewegung der Wärme durch den Stab der Beharrungszustand eintreten, so dass die Temperatur in einem und demselben Querschnitte des Stabes konstant bleibt. Es seien q der Querschnitt des Stabes, u der Umfang dieses Querschnittes,

T, t die Temperaturen in A und m und x = A m der veränderliche Abstand eines Querschnittes durch den Stab von der Wärmequelle aus.

Die Temperatur t ist eine Funktion von x. Nimmt x um d x = m n zu, so vermindert sich t vermöge der Abkühlung um dt. Zwischen den Querschnitten in m und n liegt ein Prisma von der Länge d x. Wegen dieser geringen Länge kann angenommen werden, es bewege sich die Wärme gleichförmig längs des Weges d x. In diesem Falle ist aber die durch den Querschnitt in m in jeder Zeiteinheit gehende Wärmemenge proportional dem Querschnitte q, der Differenz dt der Temperaturen in m und n und umgekehrt proportional der Länge d x des Prismas. Bezeichnet k eine von der Natur des Stabes abhängige Konstante, so ist also die in der Zeiteinheit durch den Querschnitt in m gehende Wärmemenge

Fig. 146.

Sw

(1)

dt

Lässt man hierin x in x-fdx, also t in t — dt übergehen, so erhält man, da dx konstant angenommen wird,

= k q (-

d (t — dt)

dt    cl²1

d x d x

als Ausdruck für die Wärmemenge, die durch den Querschnitt in n gleichzeitig geht. Die Differenz

(2)

d²1

dx

dieser Wärmemengen ist offenbar gleich derjenigen Wärme, die die Oberfläche des Prismas m n durch die Abkühlung in gleicher Zeit verliert.

Nun ist aber dieser Wärmeverlust proportional der sich abkühlen-xlen Oberfläche udx und der Temperatur t des Prismas. Wenn also h den Wärmeverlust bezeichnet, den ein Prisma von derselben Substanz, von der Oberfläche 1, bei der Temperatur von 1 Gfrad, in der Zeiteinheit erleidet, so ist der Wärmeverlust des Prismas mn in derselben Zeit = h u t d x. Mithin erhält man folgende Gleichung

d²1

dx

= h u t d x,

d²1 __ d x² q k ^

Würde man die Wärme als eine Flüssigkeit betrachten, so wäre im Ausdrucke (1) die Grösse k

d²1 dx²

im Stabe. Diese Beschleunigung wäre daher der Temperatur t proportional. Wenn auf eine und dieselbe frei schwebende Masse Kräfte ein-wirken, so verhalten sich diese Kräfte wie die Beschleunigungen, die sie hervorbringen. Bei der in Frage liegenden Wärmebewegung vertritt also die Temperatur die Stelle der Kraft.

Multipliziert man Gleichung (3) mit dt, so kommt

d t d²1 dx²

Man setze zur Abkürzung

(3)

dx

die Geschwindigkeit und im Aus-

drucke (3) die Grösse k

die Beschleunigung der Wärmebewegung

(4)

uh

= —— • t d t.

uh

— m²

und beachte, dass dtd²t —    d(dt)²; dann ergibt sich durch Integra

tion von (4)

(i£r=m2t2+b’

indem man mit b die Konstante der Integration bezeichnet. Hieraus folgt

dt

(5)

~yb 4- m²1²

Von den beiden Vorzeichen, mit denen hier die Quadratwurzel behaftet ist, muss nur das negative genommen werden, weil t abnimmt, wenn x wächst. Das Integral von (5) ist nach Formel (3) des § 88

l [ni t -j- K" b + m'²t²] + c-

Dadurch

Um die Konstante c zu bestimmen, setze man x = 0. wird t zu T. Für diese Werte erhält man also

1-3

•N

s

io!

Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, so kommt

1 ;mT + Vb + m² T2 m int + -f m*tr’

Multipliziert man mit m und geht von den Logarithmen zu den Zahlen über, ’so wird

emx

m T + Kb + m² T²

mt-f Vb + m²ta

Bezeichnet man sie

Der Zähler rechts ist eine konstante Grösse, mit a, so erhält man hieraus

V~b + m²t² = -rat + ae-mi.

Wird diese Gleichung quadriert, so heben sich die Glieder mit t² auf und es wird

b = — 2 m a t e~

+ a² e

Dividiert man durch den Faktor von t und bezeichnet mit A und B die konstanten Faktoren der vorkommenden Exponentialgrössen, so erhält man

(6)

t = Ae-rax + Be™\

Um die Werte der Konstanten A und B zu ermitteln, setze man zunächst x= go. Dadurch muss die Temperatur t unendlich klein werden. Der erste Teil rechts in (6) wird hierbei in der That unendlich klein, während der zweite unendlich gross ausfällt. Folglich muss B = 0 sein. Hiernach folgt aus (6)

t = Ae-mx.

Setzt man hierin x = 0, so muss t in T übergehen; folglich ist A = T. Somit wird die Temperatur t in der Entfernung x von der Wärmequelle sein

(7)

t = T e~

Ill X

Gesetzt man beobachte in den Abständen x' und x'' von der Wärmequelle die Temperaturen t' und t" im Stabe, so ist nach (7), indem man den Wert von m wieder einführt,

— x'

14Ï.

U ll

- x"

t" = Te

Dividiert man diese zwei Gleichungen durcheinander und nimmt die Logarithmen, so erhält man nach einer einfachen Reduktion

IV — lt“

t' = Te

VI-

x" — x'

Vï

Durch diese Relation kann das Verhältnis ~ zwischen dem Ab-

k

kiihlungs- und Leitungsvermögen der Substanz ermittelt "werden.

Sind t, t', t". . die Temperaturen in Querschnitten

die die

Abstände x, x + a, x -f- 2 a,. . von A aus haben, so wird nach (7) sein

t" = T e— ni(x -f 2a)

t ,= T e~111 x ; Hieraus folgt

t' = Te"m +

t + V‘ V + V“

ma

t"

4- e

Nimmt man daher im Stabe Querschnitte an, die in gleichen Abständen aufeinander folgen, so bieten je drei benachbarte die Eigentümlichkeit, dass die Summe aus den Temperaturen der äussern Querschnitte dividiert durch die Temperatur des innern Querschnittes einen Wert liefert, der der ganzen Länge des Stabes nach konstant ist. Dieses Resultat ist durch Versuche von Despretz bestätigt.

XII. Aufgaben über schwingende Bewegungen.

Fig. 147.

. tu

a H. H-Hq= ta

415. Läiigeiischwingungen eines elastischen Stahes. Ein prismatischer Stab A B (Fig. 147) sei in vertikaler Lage am obern Ende befestigt. Am untern Ende B werde ein solches Gewicht P angehängt, dass der Stab eine kleine Ausdehnung B C annimmt. In dieser Stellung sind der Widerstand des Stabes und das Gewicht mit einander im Gleichgewichte. ‘Wird ein zweites Gewicht angehängt, so dehnt sich der Stab um eine weitere Grösse CE aus. Nimmt man dieses zweite Gewicht ab, so zieht sich der Stab vermöge seiner Elastizität zusammen. Diese Elastizität wirkt beschleunigend auf das untere Ende des Stabes, bis dasselbe zur Stelle C zurückgekehrt ist. In C hat also das untere Ende seine grösste Geschwindigkeit; folglich wird es von hier aus die Bewegung aufwärts um eine gewisse Grösse C E' fortsetzen. Wenn der Modul der Elastizität für Ausdehnung und Kompression derselbe und die Elastizität für die eintretenden Längenänderungen eine vollkommene ist, so wird die Verkürzung CE't=CE. Auf die Verkürzung folgt wieder

die Ausdehnung, etc., so dass das untere Ende auf- und abgehende Schwingungen macht, die in gleichen Zeiten vollendet werden. Man soll die Schwingungszeit bestimmen. Es bezeichne

L, q die primitive Länge A B und den Querschnitt des Stabes, a = BC die durch das Gewicht P bewirkte Ausdehnung, b = CE die durch ein zweites Gewicht hervorgebrachte Ausdehnung, E den Modul der Elastizität des Stabes und g die Beschleunigung beim freien Falle der Körper.

Ist x = CD eine variable Ausdehnung, die in der Zeit t von der Gleichgewichtslage C aus erreicht wird, so ist nach dem in § 212 ausgesprochenen Gesetze die Kraft P, die die Ausdehnung a bewirkt,

(1)

„ a E L q.

Folglich ist die Kraft, die dem Stabe eine Ausdehnung — a -f- x beibringt, gleich

(2)

a 4- x

q-

Diese Kraft kann auch als Widerstand des Stabes angesehen werden, den er der Ausdehnung entgegensetzt. Folglich ist die Differenz

(3)

a -j- x

fei

►c

der Widerstand, den der Stab der Bewegung des Gewichtes P abwärts entgegensetzt.

Die Beschleunigung, mit der diese Bewegung in D erfolgt, sei g'. Statt dass also das Gewicht P frei herab fällt und die Beschleunigung g annimmt, bewegt es sich mit einer Beschleunigung g'. Die diesen Bewegungen entsprechenden Beschleunigungen verhalten sich wie die Kräfte, so dass man hat

g' :g

= Eip-.E^q,

— x.

Da aber der Ausdruck für die Beschleunigung auch

d² x

Tt²

ist, so hat

man ohne Rücksicht auf das Gewücht des Stabes

¹

g .    2 g'

²

a d y²

Führt man diesen Wert von ds in (4) ein, so kommt

d² x

(4)

d t²

Hier ist das negative Zeichen genommen, weil einer verzögerten Bewegung eine negative Beschleunigung entspricht.

Multipliziert man mit 2 d x und integriert, indem man d t als konstant betrachtet, so erhält man

iW=c —®x’.

dt y

Die Grösee -r— bezeichnet die Geschwindigkeit des Stabes in D.

Für x = C E = b, d. h. für den tiefsten Punkt, wird

P-| q.

= 0. Dies gibt

~^ b².

Folglich erhält man durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen

P ! CfQ

woraus folgt

dt =

vl

Diese Quadratwurzel erhält das positive Zeichen, weil x und t beim Sinken von D gleichzeitig zunehmen. Die Integration gibt

CT’ X

(5)

t = 1/ — arc sin

y g

Die Konstante der Integration ist weggelassen, weil für x = 0 auch t = 0 wird.

Aus (5) erhält man durch Umkehrung

(«)

x = b • sin I t

öd! sö

die Gleichungen (5) und (6) bestimmen die eintretende Schwingungsbewegung vollständig.

Für x = b wird t zur halben Dauer T einer Schwingung. Die Schwingungszeit ist mithin

(7)

T=-]/!•

Diese Zeit stimmt überein mit der Schwingungszeit eines einfachen Pendels, dessen Länge = a ist. Da nun aber a immer sehr klein ist, so fallen diese Schwingungen sehr rasch aus. Führt man den Wert von a aus (1) in (7) ein, so erhält man

PL

gE q'

4l(i. (lucrschwiiiguiigeii eines elastischen Stahes. Ein prismatischer Stab AB (Fig. 148) sei in horizontaler Lage am einen Ende A befestigt, am andern hänge ein Gewicht P, so dass dadurch der Aufhängepunkt B eine kleine Senkung B C = a annehme. Wird noch ein zweites Gewicht angehängt, so nehme seine Senkung um den kleinen Wert CE = b zu. Wird dieses zweite Gewicht abgenommen, so

T = "l/

Fig. 148.

UL

~F:

Dr

-K

geht der Aufhängepunkt, vermöge der Elastizität des Materials, in die Höhe und macht von da an um die Gleichgewichtslage C herum Schwingungen von gleicher Schwingungsdauer und gleicher Ausweichung von C aus, unter der Voraussetzung vollkommener Elastizität.

In der Ist L

Die Bewegung beginne vom Punkte C aus abwärts.

Zeit t lege der Aufhängepunkt einen Weg CD = x zurück, die Länge des Stabes und M das Elastizitätsmoment (§ 401) desselben, so ist nach § 402 die Kraft, die die Senkung a bewirkt,

(1)

3 M

a,

L³

somit auch die Kraft, die einer Senkung BD=a+x entspricht, gleich

(2)

co W

(a + x).

Der Unterschied dieser Kräfte (1) und (2) ist der Widerstand, den der Stab der weitern Bewegung abwärts entgegensetzt. Bezeichnen daher g' und g die Beschleunigungen des Gewichtes P, hervorgerufen am Stabe und beim freien Falle, so erhält man ohne Rücksicht auf das

x:P ; daher vermöge (1)

Gewicht des Stabes g' : g =

3 M

g' = Tx.

Hiernach erhält man, wie in der vorigen Aufgabe, als Differentialformel der Bewegung, indem man wegen der verzögerten Bewegung g' mit negativem Zeichen einführt,

(3)

(4)

d²x

dt²

ÖD ! ci

somit auch als Wert T einer Schwingungszeit

(5)

'PL» 3 gM

Fig. 149.

417. Schwingungen eines Torsionspentlels. Ein elastischer Cylinder A B (Fig. 149) vom Halbmesser r und der Länge L befinde sich in vertikaler Lage. Sein oberes Ende A sei befestigt. Durch das untere Ende B gehe eine horizontale gerade Stange mit gleichen Armen BD, BI)', die gleiche Gewichte tragen. Ist der Cylinder nicht verdreht, so besteht Gleichgewicht. Diese Gleichgewichtslage sei in B C.

T. ■

Dreht man den Arm B C in einer horizontalen Ebene um einen Winkel E B C = a und lässt sodann den Arm los, so macht er Schwingungen um die Gleichgewichtslage. Es sei die Schwingungsdauer zu bestimmen.

Indem der Arm BC nach BE gelangt, wird der Cylinder verdreht, und es ist das statische Moment der Kraft, die die Fasern des Cylinders verdreht, nach § 218 Formel (10)

(1)

ttE r⁴

a.

wobei E den Modul der Elastizität des Materials bezeichnet. Man überlasse nun das Pendel in der Lage B E sich selbst. Nimmt alsdann der Drehwinkel a während der Zeit t um a — cp ab, wobei cp den veränderlichen Winkel D B C bezeichnet, so ist jenes Torsionsmoment (1) nur noch

(2)

n El'⁴

y-

Mit diesem statischen Momente werden die Gewichte in D und D' gegen die Gleichgewichtslage getrieben. Die treibende Kraft hört erst auf für cp — 0, d. h. erst in der Gleichgewichtslage ; also wird die Bewegung bis dahin beschleunigt; jenseits der Gleichgewichtslage wird sie verzögert. Es entsteht eine schwingende Bewegung mit konstanter Schwingungszeit und konstanter Schwingungsweite bei vollkommener Elastizität des Cylinders.

Man denke sich sämtliche schwingende Massen, unter Anwendung der Lehre vom Trägheitsmomente (§ 184) in ihrem Mittelpunkte der Trägheit vereinigt, d. h. in einem Punkte, in dem sie den gleichen Einfluss auf die Drehung ausiiben, wie die vereinzelten Massen (der Arme und Gewichte) in ihren jetzigen Lagen. Der Abstand dieses Mittelpunktes der Trägheit von der Drehachse sei = a und das Gewicht der in diesem Punkte vereinigten Massen = P. Denkt man sich das statische Moment (2) am Hebelarme a, in der Richtung der Bewegung, wirkend, so ist die diesem Momente entsprechende Kraft gleich

n E r4 5 a L

Das Gewicht P drehe sich in D mit der Beschleunigung g'. Bezeichnet daher g die Beschleunigung beim freien Falle, so müssen sich die Kräfte, die auf eine und dieselbe Masse wirken, wie ihre Beschleunigungen verhalten, so dass man hat

?rE r⁴

g':g =

g n E r⁴

5aL

*:Pj g' ⁼ F5aL

nigung auch

Daher erhält man in gleicher Weise wie

Ist x = Bogen CI) = a cp, so wird der Ausdruck für die Beschleu-d²x    d² cp

dW = aTW

in den beiden letzten Aufgaben

d² cp    g ?rEr⁴ ^

a dt2 = P ' 5 a L <f ‘

Bezeichnet man den konstanten Faktor von cp rechts mit u, so erhält man

d² cp d t²

Diese Gleichung stimmt der Form nach mit den Formeln (4) der beiden letzten Aufgaben iiberein. Man erhält deshalb für die Schwingungszeit den Wert

(4)

a²

TC E r4 5 L )

Fig. 150.

BP A

-US. Schwingungen eines elastischen Mittels. Dieses Mittel (Luft, Aether), habe überall gleiche Dichte. Eines seiner Teilchen werde durch eine momentane äussere Einwirkung in einer gewissen Dichtung AB (Fig. 150) verschoben. Dadurch wird das Mittel in der Dichtung der Bewegung verdichtet. Die dadurch vergrösserte Expansivkraft des Mittels erschöpft die Bewegung des Teilchens und treibt es wieder in die Anfangslage A zurück. Bei dieser rückgängigen Bewegung wirkt die Expansivkraft des Mittels beschleunigend bis zum Punkte A. Also nimmt die Geschwindigkeit bis zu dieser Stelle zu und es muss das Teilchen über A hinaus in der Richtung nach C hin sich bewegen. Auf dieser Seite tritt die gleiche Erscheinung ein wie auf der Seite von B. Also schwingt das Teilchen um die Gleichgewichtslage A hin und her.

Nach der Zeit t habe das Teilchen den Weg AD = x von der Gleichgewichtslage aus durchlaufen. Der Widerstand des Mittels ist eine Funktion von x, die für x = 0 verschwinden muss. Würde man also diese Funktion in eine Deilie nach ganzen Potenzen von x auflösen, so dürfte kein Glied ohne x Vorkommen. Diese Reihe müsste also die Form haben

Ax + Bx² + Cx³-j----

Da nun aber die grössten Werte von x als sehr klein vorausgesetzt werden, so kann man annehmen, es verschwinden die Glieder mit der zweiten und den höheren Potenzen von x gegen das erste Glied. Der Widerstand des Mittels kann deshalb = A x und die ihm proportionale Beschleunigung = kx gesetzt werden. Allein diese Beschleunigung, als einer verzögerten Bewegung entsprechend, ist negativ. Deshalb wird die Differentialformel der Bewegung

(1)

d² x

Tt²" ⁼

— k x.

Multipliziert man mit 2 d x und integriert, so kommt

/ d x \ ²

vTt; ⁼

C — k x².

= 0 für x = a; dies gibt

1st nun die grösste Ausweichung AB — a, so wird die Geschwindigkeit d x*

0 = C - ka²

und durch Subtraktion

(7)

Hieraus folgt

|k d t

Ka² ^ ’

wobei der Quadratwurzel das positive Zeichen gegeben wird, weil x und t gleichzeitig wachsen. Durch Integration erhält man

t Vk = arc sin —.

a

Die Integrationskonstante ist weggelassen, weil für x = 0 auch t — 0 wird. Geht man vom Bogen zum Sinus über, so wird

x = a sin {tYk).

(3)

Wird diese Wurzel differentiiert und die Geschwindigkeit v bezeichnet, so erhält man

mit

v = a |/"k cos (t Vk).

Man könnte auch diesen Wert von v erhalten, wenn man den Wert von x aus (3) in (2) einführt.

Ist nun T die Zeit, die das Teilchen zu einer Hin- und Herbewegung braucht, so wird es überhaupt am Anfänge und Ende der Zeitdauer T die nämliche Stelle der Bahn in der gleichen Richtung passieren. Diese Zeit wollen wir hier Schwingungszeit nennen.

Die Sinus und Cosinus von Bogen, die um ein Vielfaches von 2 7t von einander ab weichen, sind einander gleich mit gleichen Zeichen. Bezeichnet daher n irgend eine ganze Zahl und schreibt man

(4)

•2«+WÏ=^+ÜKÏ,

so erhält man aus (3) und (4)

(5)

x = a sin

(6)

v = a y k cos

(yr⁺’)KE/

je um

Setzt man hierin der Reihe nach n— 1,2,3,.., so wird die Zeit t 2 71

Kk

vergrössert; dabei erhalten x und v für alle diese Substitu-2 71

tionen gleichen Wert. Folglich ist zeit, so dass man hat

Kk

die konstante Schwingungs-

rn 2 ⁷¹

Kk '

Führt man den Wert von Yk aus dieser Formel in (5) und (6) ein, so kommt

Für t = 0, T, 2 T,.. wird x = 0 und v ein Maximum. Bezeichnet man diesen grössten Wert, den das bewegliche Teilchen in der Gleichgewichtslage besitzt, mit V, so erhält man aus (9)

(10)

(8)

x = a sin

2 nt T ‘

(9)

:-COS

2 nt

2 n a

Die Sinus und Cosinus von Bogen, die um n von einander ab-weichen, haben gleiche Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen. Lässt man daher in (8) und (9) die Zeit t um eine halbe Schwingungsdauer, also um }y T, zunehmen, so erhält man

= a ■ sin {

x = a • sin

i---1

‘nft i T^\ T V ⁺ *7

2 nt

'2 nt \ T

■\/~r f 2 n v = a y k cos ( ——

cos

\    . '2 nt

+ n j = — asm—,

2 nt

Somit hat das schwingende Teilchen nach jeder halben Schwingungszeit gleichen Abstand von der Gleichgewichtslage und gleiche Geschwindigkeit, beides jedoch in entgegengesetzter Richtung.

419. Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde, nach Cavendish.

Es sei AB (Fig. 151) ein sehr dünner, prismatischer Körper von Holz, an dessen beiden Enden A und B zwei gleiche Bleikugeln angebracht sind. Ist der Stab in der Mitte M zwischen diesen Kugeln an einem dünnen Drahte aufgehängt, so wird der Stab eine horizontale Lage annehmen. Dreht man denselben in einer hori

zontalen Ebene in eine andere Lage A' B' und lässt ihn los, so wird er vermöge der Elastizität des Aufhängedrahtes zurückkehren und um die Gleichgewichtslage A B hin- und herschwingen.

Fig. 151.

Bringt man nun in der Schwingungsebene, in einer Geraden C M D, in gleichen Entfernungen von M, zwei gleiche Kugeln von dichtem Stoffe, z. B. von Blei, in fester Lage an, so werden die Kugeln A und B von diesen Kugeln angezogen und vermöge der Elastizität des Drahtes in Schwingungen versetzt. Diese Anziehung findet statt nach dem Gesetze der Gravitation, und zwar so, als wenn die Massen der Kugeln in ihren Mittelpunkten vereinigt wären. Es seien

a = AM die Entfernung der beiden Kugeln A,B von der Drehachse, b = CM die Entfernung der Kugeln C, D von dieser Achse,

« der Winkel DMB, den die Anfangslage MB mit der Geraden AI D bildet,

(f der veränderliche Winkel A M A', den die schwingende Pendelstange in der Zeit t von der Anfangslage AM aus beschreibt,

f die Beschleunigung, die die Anziehung der Kugel C auf eine Masseneinheit der Kugel A hervorbringt, wenn beide Kugeln den Abstand 1 von einander haben, m die Masse einer der Kugeln C, D ; dann werden die Beschleunigungen, die die Kugeln C und D der Kugel A' beizubringen vermögen, sein

Kugel C in der Richtung C A' = f —    ,

Kugel D in der Richtung D A' = f

Man zerlege diese Beschleunigungen in Seitenbeschleunigungen, die senkrecht und parallel sind zur Pendelstange A' B'. Die letzteren gehen fiir die Drehung verloren, nur die erstem entsprechen der Drehung. Diese sind

fm

sin M A' C

A' C²

f in

sin M A' D

A' D²

Die erstere dieser Beschleunigungen nimmt mit fp zu, die letztere ab, sie haben also entgegengesetzte Vorzeichen. Die wirkliche Beschleunigung, die die Kugeln C und D der Kugel A' beibringen, ist daher

sin MA'C

(1)

sin MA'D

A' C²

A' D²

Allein die Dreiecke OMA' und DMA' geben die Proportionen b : A' C — sin MA'C: sin (a — ff), b : A' D = sin M A' D : sin (« — ff ).

Führt man hieraus die Werte von sin MA'C und sin MA'D in (1) ein, so kommt

(2)

b f m sin (« - ff) L a/C3 - ^3J.

Hierin sind noch die Abstände A' C und A' D durch a, b, a, (f auszudrücken. Es ist für die schon genannten Dreiecke

Fig. 151.

A' C² = a² b² — 2 a b cos (« — ff ),

■um

A' D² = a² 4- b² — 2 a b cos A' M D.

Allein cosA'MD =• — cos (cc— ff>); folg-

lieh

A'D² = a² -)- b² + 2 a b cos (a — ff ).

Der Schwingungswinkel ff wird sehr klein ausfallen. Unter dieser Voraussetzung kann man daher annehmen

cos ff = 1, sin ff — ff’ ; cos (« — ff) = cos « + ff sin a.

Deshalb wird sein

A' C² = a² + b² — 2 a b (cos a ff sin u). A' D² = a² + b² + 2 a b (cos a + ff sin «).

Setzt man zur ATereinfachung

( 3) p² = a² -f- b² — 2 a b cos a ; q² = a² -j- b² + 2 a b cos a,

so wird

A' C² = p² — 2 a b ff sin cc,

A' D² = q² + 2 a b cp sin a.

Erhebt man diese Ausdrücke auf die Potenz — | und vernachlässigt die Glieder der Reihen, in denen ff die erste Potenz überschreitet, so kommt

C±)

3 a b sin «

A'C³ p³

P⁵

<f-

(5)

3 a b sin «

A‘ I)³

q³

q⁵

<P-

Zieht man (5) von (4) ab, nach Vorschrift von Formel (2), multipliziert sodann mit

sin (cc — ff) = sin a — ff cos a,

indem man die Glieder mit ff² vernachlässigt, und setzt zur Abkürzung

(6)

sin a

p³

q³

— h,

(7)    -J- 3 a b sin²«

q⁵

— cos a

V. p³ q³

so wird der Ausdruck (2) für die Beschleunigung der Kugel A' vermöge der Anziehung sein

(8)

f m b (h + k ff).

Die Elastizität des Aufhängedrahtes widersteht der Drehung mit einer Kraft, die dem Torsionswinkel ff proportional ist (§ 218). Also wird auch die dieser Kraft entsprechende Beschleunigung der Grösse ff proportional sein, also mit n ff bezeichnet werden können. Da der Einfluss der Kugeln C und D auf die Kugel B' gleich gross ist wie auf A', so ist also vom Doppelten der Beschleunigung (8) die Grösse n ff abzuziehen, um die wirkliche Beschleunigung zu ergeben.

d² x dt² ’

wo x den Bogen AA'

Diese Beschleunigung ist aber auch

= a ff bezeichnet. Da nan dx = ad(/> und d² x = a d² </>, so wird mithin die Differentialgleichung der Bewegung sein

d ² ff

a dl²

Multipliziert man mit 2 d ff und integriert, indem man d t als konstant betrachtet, so kommt

(»)

= 2 f m b (h 4- k ff) — n ff.

hält man aber aus (11)

2 <p‘ (p — cp² = 0 oder (p (2 (p‘ — ip) — 0.

Das Produkt (p (2 </>' — (p) kann aber nur =0 werden, wenn einer der Faktoren = 0 ist. Daraus folgt

ip = 0, (p = 2 (p\

Der erste Wert von (p entspricht dem Anfänge, der andere dem Ende einer Schwingung; also ist der Schwingungsbogen das Doppelte von der Ablenkung (p‘.

Sondert man die Veränderlichen in (11) und nimmt für d (p und d t bei der Quadratwurzelausziehung gleiche Zeichen, weil <p und t gleichzeitig wachsen, so wird

d (p

}^2 (p‘ (p — (p²

a <p‘

Das Integral dieser Gleichung ist nach § 86, Formel (7)

2 <p —- 2 (p ‘

+ C.

Die Konstante der Integration ist = 0, weil für (f — 0 das Pendel in der Anfangslage AM sich befindet, also auch die Geschwindig-a d (f

keit

daselbst = 0 ist.

In einer bestimmten Lage jder Pendelstange halten sich der Torsionswiderstand des Drahtes und die Anziehung der Kugeln das Gleichgewicht. In dieser Lage bilde die Stange mit der Anfangslage den Winkel (f‘. Während also die Gerade AM die Ruhelage ist ohne Anziehung der Kugeln, so ist die Richtung, die mit AM den Winkel (p' bildet, die Ruhelage unter Einwirkung der Kugeln.

d² ff¹

<p‘, so wird die Beschleunigung a = 0;

d

Setzt man in (9) (p —

dies gibt]

2fmbk — n —

Führt man diesen Wert von 2fmbk — n in (10) ein, so folgt

2 f m b h

ou

(2 (fJ cp' — (p²).

VW

Da nun

ad <p

, die Geschwindigkeit bezeichnet, so muss diese Grösse zu d t

beiden Seiten eines Schwingungsbogens — 0 sein. Für

a d ip

= 0 er-

= arc sin

a (p‘

Für t = 0 ist (p — 0; folglich

0 = arc sin (— 1) -f C,

so dass man durch Subtraktion erhält

‘1/

a (p‘

~ -f- arc sin

<p - r

Für (f — 2 (f‘ wird t zur Zeit T einer einfachen Schwingung; folglich ist

/2 finbli

71    71

⁼ ~2~ ⁺ T

= ny/

(12)

2 f m b h ’

Um diese Formel zur Bestimmung der mittleren Dichte der Erdmasse brauchbar zu machen, sei

L die Länge eines Sekundenpendels, g die Beschleunigung beim freien Falle,

M die Masse der Erde,

s das Gewicht der Kubikeinheit der Erdmasse von mittlerer Dichte und r der Erdhalbmesser der als kugelförmig gedachten Erde;

man erhält aus Formel (6) des § 171 für die Länge des Sekundenpendels, wenn man daselbst T = 1 setzt,

g = n¹ L

und als Beschleunigung desselben durch die Erdmasse, wenn man eine der Kugeln A oder B als schweren Körper des Sekundenpendels sich denkt,

Setzt man diese beiden Werte von g einander gleich, so folgt

(13)

7T¹L = f-^r-

r¹

Eliminiert man f aus (12) und (13), so wird

(14)

t-tV

/ a (f¹ M 2bhL m’

Die Massen M und m sind den Gewichten der Erde und der Bleikugeln C, D proportional. Nehmen wir daher an, es bezeichnen M, m die Gewichte dieser Körper, so ist

M = ! 7i r² s.

Führt man diesen Wert von M in (14) ein, so folgt der gesuchte Wert

(15)

Gewicht einer der Bleikugeln C, D = 9 662,3 Länge der Arme .    .

a = b = 36,65,

a = 13° 58' 26",

Winkel.....

Bogen (für den Radius =1)    ' = 0,007 937 3,

. T = 424,5 Sekunden.

Schwingungszeit .

Berechnet man vermittelst der Werte von a, b, a die Grössen p und q nach (3), sodann nach (6) die Grösse h, so erhält man

logh = 6,531 56 - 10.

Ferner hat man für das Verhältnis

— den briggischen Logarithmus

3,193 29 — 10.

¹os(t) =

Für diese Daten wird nach (15)

s = 5,52,

d. h. ein Kubikzoll Erdmasse wiegt durchschnittlich 5,52 mal so viel als 1 Kubikzoll Wasser; also ist die mittlere Dichte der Erdmasse = 5,52.

420. Schwingungen des Pendels in der Luft. Die Luft setzt der Bewegung einen Widerstand entgegen, der für sehr langsame Bewegungen sehr nahe der ersten, für rasche Bewegungen sehr nahe der zweiten Potenz der Geschwindigkeit proportional ist. Wir setzen sehr kleine Schwingungsbogen voraus und nehmen an, es sei der Luftwiderstand der Geschwindigkeit proportional. Die Pendelstange habe eine Länge == a und mache eine grösste Ablenkung von der vertikalen Lage = u.

Es sei (Fig. 152) AB die äusserste, A F die vertikale Lage der Pendelstange, also Winkel BAF = «. In der Zeit t bewege sich die Stange von AB nach AC, wo sie mit der Vertikalen den Winkel CAF = (f bilde. Wird der vom schweren Punkte B durchlaufene WegBC mit s bezeichnet, so ist s = a (a — (f). Ist g die Beschleunigung beim freien Falle, so wird g sin (f die Beschleunigung der Bewegung in der Richtung der Tangente an den Schwingungsbogen in C. Diese Beschleunigung wird durch den Luftwiderstand vermindert um den Betrag

kV

Fig. 1Ü2.

Aus s == a («

ds

die Geschwindigkeit in 0

und k eine Konstante bezeichnet. Somit ist die Beschleunigung des Pendels

d² s

d7²

-, worin

= g sin ff —

kV

(f) folgt

d s = — ad (f -,

d²s = — ad² (f.

Durch Auflösung dieser Gleichung in Hinsicht ß findet man

Vt

(ö)

Ferner ist nacli § 72

sin ff = ff —

(jp3

2.3    ¹

(f: ⁵

Vernachlässigt man in der letzten Reihe, wegen der Kleinheit von ff, die Glieder von ff³ an, so Avird (1) vermöge dieser Werte zu

d ² ff

(2)

dt²

₊JL<f ₌ 0.

¹ a *

Diese Differentialgleichung ist eine lineare (§ 375) und stimmt mit der in § 390 I behandelten überein.

Behufs der Integration dieser Gleichung (2) setze man

ff = ce^;

worin c und ß konstante Grössen und e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnen. Durch Differentiation von (3) folgt

d² ff

(3)

d ff

d t²

= ß² c eß¹.

Setzt man diese Werte von ff,

d ff d² ff dt ’ d t²

in (2) ein, so kommt

(4)

ß² + ßk +

= 0.

ß=—^±

Die Grösse k ist sehr klein, folglich die Grösse unter dem Quadratwurzelzeichen negativ. Setzt man daher zur Abkürzung

(6)

k    ! / k²

2~ = m; VT

S3 1 CTO

= ni,

so gibt (5) für ß folgende zwei Werte

— m -f ni und — m — ni.

Verfährt man nun, wie auf S. 468 Abteilung „zweiter Fall” geschehen, so erhält man als allgemeines Integral

[ÜÏ cos n t -f- 91 sin n t].

Das Differentialverhältnis dieser Gleichung ist

(9)1 cos n t -f 91 sin n t)

(7)

(/ = e_

(8)

d ff

— in t

(— 9)1 sin n t -j- 91 cos n t).

Für den Anfangszustand der Bewegung ist t = 0, ff = a und die

Vermöge dieser Werte erhält man aus

-f ne

Geschwindigkeit a (7) und (8)

d ff

dt

a = 9)1; 0=-m3R + n9l.

Also sind die Werte der Konstanten

*> m yc = a.

Setzt man diese Werte in (7) und (8) ein, so erhält man

(9)

(p = « e

^cosn t + “ sinnt^,

(10)

d (f

n e_ m 1 (m² + n²) sin n t. n

Nun ist aber nach (6) k²

m² — —— :    — n² —

k²

— ; m² + n² =

cßj d

CC Cf

—— e~mt sin n t.

(U)

Vermittelst dieser Werte wird (10) d ip

a —    =

Die Gleichung (9) bestimmt den Wert von (p und (11) die Geschwindigkeit für irgend eine Zeit.

Am Ende jeder Schwingung ist die Geschwindigkeit

Hierfür gibt (11)

ad rp

dt

= 0.

e~ mt sin nt.

Diese Gleichung findet statt, wenn sin n t = 0, also wenn n t ein Vielfaches von n ist. Setzt man

(12)

n t = n.

also t = —

n’

so bezeiclinet dieser Wert von t die Zeit der ersten Schwingung. Setzt man

n t = 2 5T, also t —

so bezeichnet t die Zeit der zwei ersten Schwingungen, etc. Man ersieht hieraus, dass die Zeit für jede Schwingung den gleichen Wert hat oder dass die Schwingungszeit konstant ist.

Bezeichnet T diese konstante Schwingungszeit, so hat man aus (12)

T = ——,

oder indem man aus (6) den Wert von n einführt,

v;

ak²

4g

a i cd

Denkt man sich den Luftwiderstand weg, so ist k = 0 und es geht diese Formel über in die für kleine Schwingungsbogen in § 171

angegebene. Die Schwingungszeit desselben Pendels im Luft erfüllten Raume ist also grösser als im leeren Raume im Verhältnis von

a k²

4g ’

Es seien (f i, (f₂, (fs,... die Schwingungsbogen, die während der ersten, zweiten, dritten,.. Schwingung durchlaufen werden. Aus (9) folgt als Ablenkung der Pendelstange von der vertikalen Richtung

für t — O

— m 7i

für t = —

(f = — a e

für t =

2 3T

— 2'm 7i

— 3 in 7i

für t =

¹¹    , etc.

Bogen

Es liegen somit vom tiefsten Punkte aus links und rechts die

m Ti

für die 1 te Schwingung -f a

und

m 7i

für die 2te Schwingung — ae

2 m 77

für die 3 te Schwingung a e

Wenn nun die Bogen rechts mit entgegengesetzten Zeichen zu denen links addiert werden, so erhält man die ganzen Schwingungsbogen. Diese sind somit

und — ß e

etc.

rn Ti

m Tr

= — ff ‘ e

m Ti

2m n

2 m 77

= + (f'e

</>3 = + ß Vl+ e

m 77 \

3 Ul 77

3 m 77

= — <f ‘ e    ¹¹ , etc.

Die Schwingungsbogen bilden hiernach die Glieder einer geo-

m 77

ist.

metrischen Progression, deren Exponent die Grösse — e Diese Bogen nehmen allmählich ab, so dass sich die Bewegung nach und nach erschöpft.

35

Autenheimer, Elementarbuch.

Ans (11) folgt durch Differentiation, indem man die Geschwindig-a d cp

mit v bezeichnet,

keit

dt

= a ge

— sin nt — cos n

t\

Setzt man diesen Differentialquotienten = 0, so findet man denjenigen Wert der Zeit t, für den die Geschwindigkeit v ein Maximum

wird. Es folgt aus

sin n t — cos n t — 0,

tang n t =

TT

Wenn hierin k = 0 gesetzt wird, so wird tang nt = go, nt ——

d. h. im luftleeren Raume tritt die grösste Geschwindigkeit in der Mitte der Schwingungszeit ein. Allein im lufterfüllten Raume ist k nicht = 0,

1 nicht unendlich gross; folglich wird tang nt end-

also auch

4g

a k²

TC

lieh, also n t < —.

Ablauf der ersten Hälfte einer jeden Schwingungszeit. Die grösste Geschwindigkeit, die wir mit u bezeichnen wollen, tritt ein. wenn die d² s

Die grösste Geschwindigkeit findet also statt vor

Beschleunigung

dt²

= 0, also wenn nach Formel (1) ist

g sin cp = k u,

oder da sin (f mit cp vertauscht werden kann, wenn «

lv

cp' = —11.

Diese Ablenkung cp der Stellung des Pendels von der Vertikalen bei der grössten Geschwindigkeit ist somit der Konstanten k direkt proportional.

Setzt man in (y) cp = 0, so wird t zu derjenigen Zeit, die zur Erreichung des tiefsten Punktes nötig ist. Tn diesem Falle muss also sein

— sin n t + cos n t = 0,

tang n t = —

-V-

4g

a k²

— 1.

Die Grösse unter diesem Quadratwurzelzeichen ist eine sehr grosse Zahl, die für k = 0 unendlich wird; folglich wird der Winkel nt nur

TC

wenig von - ab weichen, jedoch wegen des negativen Vorzeichens der

Quadratwurzel grösser sein als-^-gange mehr Zeit als zum Aufgange.

d. h. das Pendel braucht zum Nieder-

421. Schwingungen des physischen Pendels im leeren Raume. Denkt man sich die Masse des Pendels in unendlich kleine Teile zerlegt mit verschiedenen Abständen von der Drehachse, so haben diese Teile die Tendenz, für sich so zu schwingen, wie der schwere Punkt eines einfachen Pendels. Den Teilen zunächst der Drehachse entspricht daher eine kleinere, den entfernteren eine grössere Schwingungsdauer. Da aber die Teile ein starres Ganzes bilden, so kommen die unendlich vielen ungleichen Schwingungszeiten nicht zur Verwirklichung, sondern es bildet sich eine mittlere Schwingungsdauer. Der Punkt am Pendel, dem diese Schwingungszeit angehört, heisst Schwingungsmittelpunkt und sein Abstand von der Drehachse Länge des physischen Pendels. Dieser Schwingungsmittelpunkt ist zu unterscheiden vom Schwerpunkte des Pendels. Beide fallen nur dann sehr nahe zusammen, wenn die Masse der Pendelstange sehr klein ist.

Es gelten die Bezeichnungen von § 420. Ausserdem bezeichne M die Masse des Pendels, also dM ein Massenelement. Dieses habe den Abstand p von der Drehachse und werde in dem Augenblicke, da die Zeit t abgelaufen ist, getrieben von einer Kraft k mit einer Beschleunigung g'; dann ist nach § 181, Formel (6)

k = g'dM.

Geht t über in t -f d t und der Bogen s in s + d s, so erhält man als Ausdruck für die Beschleunigung

g' =

d² s

dt² ’

daher ergibt sich durch Elimination von g' der Wert der Kraft

d² s dl²“

dM.

Diese Kraft liegt in der Richtung der Tangente an den Schwingungsbogen und durchläuft in der Zeit dt den gleich gerichteten Weg ds, verrichtet also eine Arbeit, die nach § 174 erhalten wird, wenn man die Kraft, die während der unendlich kleinen Zeit dt als konstant angenommen werden kann, mit dem Wege multipliziert. Diese Arbeit d² s d t²

Diese Arbeit kommt her vom Sinken der Masse d M in vertikaler Richtung. Hat d M nach der Zeit t in vertikaler Richtung eine Tiefe x unter der Drehachse, so nimmt x während der Zeit dt zu um d x. Daher sinkt das Gewicht g d M des Teilchens in der Richtung des Gewichtes um dx und verrichtet dabei die Arbeit gdM-dx. Durch Gleichsetzen dieser beiden Arbeiten folgt

ist daher =

d s • d M.

d² s

d t²

d s • d M.

35*

Für dasselbe Massenteilchen d M mit gleich bleibendem Abstande n von der Achse erhält man die Arbeit, die während der Zeit t verrichtet wird, wenn man die vorstehende Gleichung integriert. Das Integral ist

(1)

gdM-x + C

- '(Ił)²-¹’

to l-¹

worin C die Konstante der Integration und——die Geschwindigkeit des

Teilchens dH nach der Zeit t bezeichnet.

Für t = 0 wird diese Geschwindigkeit == 0, während x übergehe in x₀. Hierfür gibt Gleichung (1)

g d M • x₀ + C = 0,

daher folgt durch Subtraktion

(2)

g d M (x — x₀) =

d s \²

dt

•dH.

Hier sind nun x und s durch die Variable (f auszudrücken. Man

erhält

x — x₀ — o (cos (f — cos a),

und indem man cos (f und cos « nach § 72 in Reihen entwickelt und die Glieder von der vierten Potenz der Bogen cp und « an vernachlässigt,

X-Xo =!?(a²-<y²).

Da d s = q d (f, so geht für diese Werte Gleichung (2) über in

g (a² — ff ²) • p d M = Ç-

Denkt man sich nun den Winkel cp konstant und dehnt das Massenteilchen d M über die ganze Länge des Pendels aus, so erhält man für den Augenblick, da die Zeit t erreicht ist, das Integral

(3)

Nun ist ç der Abstand des Teilchens dM von der Achse, also

pdM das statische Moment des Teilchens und J p d M die Summe der

statischen Momente aller Pendelteile. Diese Summe ist daher gleich dem statischen Momente der ganzen Masse M. Allein der Hebelarm dieser Masse ist der Abstand des Schwerpunktes der Masse M von

der Achse. Wird er mit a bezeichnet, so ist

a M. Ferner

J p dM =

ist das zweite Integral j* p²dM nichts anderes als das Trägheitsmoment

(§ 184) des Pendels. Bezeichnet man dasselbe mit E, so erhält man aus (3)

-(£)

a g M (a² - cp²)

und durch Sonderung der Veränderlichen

<■-1/7

d (f

g'M Y w2 _y>i

Hierin sind die Vorzeichen yon dt und d <f entgegengesetzt genommen, weil beim Beginne der Bewegung (f abnimmt, wenn t wächst. Die Integration gibt

'■V ¹

arc cos

agi

Die Konstante der Integration ist weggelassen, weil für t = 0 auch (f¹ — a und arc cos 1 = 0 wird.

Bezeichnet T die Zeit zu einer einfachen Schwingung, so findet

man t =

1    1    71

— T für cf = 0, also als Zeit — T für arc cos 0 = —.

2    2    2

Daher ist

agM '

Ist nun die Länge des physischen Pendels = L, so ist L auch die Länge eines einfachen, mathematischen Pendels, das mit obigem physischen Pendel gleiche Schwingungszeit hat; daher wird nach § 171 auch

(4)

Setzt man die beiden Werte von T einander gleich, so folgt

(5)

L * a M

Ist nun r der Abstand des Mittelpunktes der Trägheit der Masse M von der Drehachse, so ist das Trägheitsmoment E = M r². Setzt man diesen Ausdruck für E in Gleichung (5) ein, so folgt

(6)

r² = aL;

hierin bezeichnen r den Abstand des Trägheitsmittelpunktes, a den Abstand des Schwerpunktes, L den Abstand des Schwingungsmittelpunktes vom Aufhängepunkte.

Wenn man daher vom Schwerpunkte des Pendels eine Gerade senkrecht zur Drehachse zieht, so ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Drehachse der Aufhängepunkt. In dieser Geraden liegen nun: der Schwerpunkt, der Mittelpunkt der Trägheit und der Schwingungsmittelpunkt und zwar in der Anordnung, dass der Schwerpunkt dem Aufhängepunkte am nächsten liegt, dann der Trägheitsmittelpunkt und zuletzt der Schwingungsmittelpunkt folgt. Dabei ist der Abstand r nach (6) die mittlere geometrische Proportionale zwischen den beiden andern Abständen a und L.

L = 11.

I. Besteht das physische Pendel aus einer prismatischen Stange mit der Masse M und der Länge I, so wird a = ^ I und r = I y \ (§ 185) und daher nach (6)

II. Das Pendel bestehe aus einer dünnen prismatischen Stange und einer am untern Ende derselben angehängten Kugel.

Es sei M die Masse der Kugel, b ihr Halbmesser und I der Abstand ihres Mittelpunktes von der Drehachse; ferner sei m die Masse der Stange und es könne die Länge l — b derselben mit 1 vertauscht werden; dann hat man zunächst zur Bestimmung von a folgende Gleichung der statischen Momente

(M -j- m) a = M t -j- m I.

Das Trägheitsmoment der Kugel für eine Achse durch ihren Mittelpunkt ist nach § 191 = |Mb², also nach § 192 für die Drehachse = fMb²-J-MI² und, da das Trägheitsmoment der Stange = ^ml², so wird die Länge des physischen Pendels nach (5)

CM UO

3~m +

b y

•I.

I m + M

Da nun a und L bekannt sind, kann nunmehr auch nach (6) die Grösse r, also die Lage des Trägheitsmittelpunktes gefunden werden.

Bei zusammengesetzten, unregelmässigen Körperformen ist es schwierig, ja unmöglich, den Wert r durch Rechnung genau zu ermitteln. In diesem Falle bestimmt man a und L durch Versuche : a, indem man den Körper durch Auflegen auf eine Schneide zum Balancieren bringt und L, indem man ihn um eine Achse schwingen lässt, alsdann seine Schwingungsdauer T beobachtet und hierauf L mittels Gleichung (4) berechnet.

422. Schwingungen des Bililaeinagnetonieters. Bei diesem Apparate, der zum Messen magnetischer und elektrischer Kräfte dient, wird der Fig. 153.

cnfj'

AJ

horizontale Magnetstab an zwei langen, feinen, wenig von einander abstehenden Fäden oder Drähten aufgehängt, die symmetrisch zur Vertikalen liegen, die durch den Schwerpunkt des Magnetstabes geht. Um diese Vertikale dreht sich der Magnetstab in kleinen Schwingungsbogen, indem er sich abwechselnd etwas hebt und senkt, hin und her.

Es seien Cc (Fig. 153) die vertikale Achse, d d' der horizontale Magnetstab und D d, D' d' die Auf hängedrähte. In der Ruhelage befinden sich Drähte und Stab mit der Achse in einer Vertikalebene. In dieser Ebene liege auch die Vertikale D f. Es sei

a = c d == c d' der Abstand der untern Auf-hängepunkte von der Achse;

b — CD = CD' derjenige der obern Aufhängepunkte von der Achse; L = D d die Länge eines Drahtes und h = D f deren vertikale Projektion ; es ist alsdann

(1)

L² = h² + (b — a)².

Man gebe dem Magnetstabe eine grösste Drehung; er komme dabei aus der Gleichgewichtslage 0 n nach 0 q und lege einen Winkel « zurück. Lässt man ihn los, so wird er sinken und sich drehen. Er komme zunächst aus der Lage Oq in die Lage Op und bilde mit der Gleichgewichtslage den Winkel (f ; er durchlaufe also den Winkel a — <f . Während dieses Vorganges bewegt sich der Punkt p in einer Kugelfläche, deren Mittelpunkt in D und in einer Cylinderfläche mit der Achse Cc und dem Halbmesser a.

Man nehme nun drei rechtwinkelige Achsen an, mit dem Ursprünge in D. Liegt die z Achse in D f E, die x Achse in D D', so wird die y Achse senkrecht auf der Ebene x z stehen. Befindet sich der Magnetstab in der Gleichgewichtslage On, so ist D f = z, En = x und y = 0. Allein in der Lage Op ist Em = x, mp = y und z hat sich verkürzt, so dass die drei Koordinaten der Kugelfläche geben

/Kj

x²    y²    z² = L².

Die horizontalen Koordinaten liefern folgende Gleichung der genannten Cylinderfläche

y² -j- (b — x)² = a².

Für die Bahn des Punktes p müssen die Werte von x, ebenso von y und z in den beiden letzten Gleichungen gleich sein. Eliminiert man aus ihnen y, so folgt

(2)

z² = L² -j- b² — a² — 2 b x.

Die Koordinaten x, y in der horizontalen Ebene sind

y — a sin (f.

(3)

x = b — a cos (f ;

Führt man den Wert von L² aus (1) und von x aus (3) in (2) ein, so folgt

(4)

z — "J/" h² — 2 a b (I — cos (f).

Indem der Stab aus der Lage o q in die Lage o p gelangt, ver-fliesse eine Zeit t. Lässt man t um dt zunehmen, so ändern sich (f , x, y und z um ihre Differentiale. Ihr Zusammenhang ergibt sich durch Differentiation von (3) und (4). Man erhält

(5) dx — asin<fd<p; dy = acos d <p; dz =

— a b sin (f d (f

^h² — 2 a b (1 — cos <p)

Nun sei M die Masse des Stabes, also nach § J81, Formel (5), gM das Gewicht des Stabes. Während der Zeit dt sinkt dasselbe um den Weg d z und produziert eine Arbeit (Produkt aus Kraft und Weg, wenn Bichtung der Kraft und des Weges zusammenfallen) =gMdz. Diese Arbeit teilt sich der Masse des Stabes mit und überwindet allfällige Widerstände.

A. Schwingungen ohne Rücksicht auf Widerstände.

Wenn keine Nebenhindernisse in Betracht kommen, so wird die Arbeit, die während der Periode des Sinkens durch das Gewicht produziert wird, vollständig vom Stabe in Form von lebendiger Arbeit aufgenommen, aber auch später während der Periode des Steigens wieder verbraucht, weil nunmehr das Gewicht um ebensoviel zu heben ist, als es gesunken war.

Ist nun d M ein Massenelement des Stabes im Abstande o von der Drehachse, s der Bogen, den dasselbe durchläuft, wenn der Winkel « in (f übergeht, v und g' die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse d M im Augenblicke, da die Zeit t eintritt, so wird nach § 407 sein

(6)

dt ’

d² s [dt²'

Längs des Weges d s werde die Masse d M getrieben durch eine Kraft k, die während der Zeit d t als konstant angesehen werden kann. Sie veranlasst die Beschleunigung g' und ist daher nach § 181 = g'dM. Daher wird mit Benutzung von (6)

d² s

dt²

dM.

Nun seien x', y\ z' die Koordinaten des Massenpunktes d M nach der Zeit t. Man zerlege die Kraft k in die drei rechtwinkeligen Seitenkräfte

d²y'

d² x'

d t²

•dM,

dt²

• d M,

d² z dt²

•dM,

wo z' mit z vertauscht ist, weil allen Punkten des schwingenden Körpers die gleiche vertikale Bewegung zukommt.

Die erste dieser Kräfte wirkt längs des Weges d x', die zweite längs dy', die dritte längs dz. Es entstehen also in der Richtung der drei Koordinatenachsen folgende Arbeiten d² x'

dt²

d x' • d M.

4²y'

dt²

d y' • d M,

d² z

dt²

d z • d M.

Ihre Summe muss gleich sein der Arbeit, die das Gewicht gdM der Masse dM längs des Weges dz verrichtet, also — g d M • d z. Daher wird

d² x'

Tt‘r

dx'-f

d²y'

d t²

dy' +

d² z

"d^

dz dM.

Diese Gleichung gibt für das Massenelement d M, wenn sie in Hinsicht t integriert, also wenn dt als konstant gedacht wird,

¹

Ti a y r

²

Bei Versuchen, die Cavendish von 1797 bis 1798 anstellte, wurde der Zoll als Längenmass und das Gewicht von 1 Kubikzoll Wasser als Einheit der Gewichte angenommen. Bei diesen Versuchen ergaben sich nach Schmidt’s mathematischer und physikalischer Geographie im Mittel

dM.

«d * • *+° - i [(4f) + (tt)²+(4£T

Hier ist C die Konstante der Integration, ferner sind die Glieder in den runden Klammern die Geschwindigkeiten der Masse d M in der Richtung der Koordinatenachsen und zwar nach der Zeit t. Daher wird die Gesamtklammergrösse =v² sein. Die letzte Gleichung gibt daher g d M • z + C = £ v² • d M.

Für t = 0 wird auch v = 0 ; dabei gehe z über in zo • wird die letzte Gleichung

Hierfür

g d M • zo + C = 0.

Daher folgt durch Subtraktion

g (z-z₀)dM = £v²-d M.

Diese Gleichung soll nun auf alle Massenelemente ausgedehnt werden. Zu diesem Zwecke hat man

v² —

d s² = o² d y ² -j- d z², ds\²

d (f \²

dz -²

g (z — Zo) d M -

?²

dM.

In der letzten Gleichung sind g(z —zo)

Punkte des schwingenden Körpers dieselben. Wenn sie als Konstante abgesondert werden, so gibt die Integration für den Moment, da y erreicht ist,

und —— für alle

2g(z- z„)/d M = (iWjd M + (|f-) /

dM.

dM die Masse M und j p²dM das Trägheitsmoment

(§ 184) des schwingenden Körpers, das mit E bezeichnet werde. Daher kann die letzte Gleichung wie folgt geschrieben werden

Allein es ist

(7)

2gM(z_z„) = E(^y+M(||)²

Damit diese Differentialgleichung integriert werde, müssen z — zo und dz durch y ausgedrückt werden.

Setzt man zu diesem Zwecke zunächst in (4)

cos ff = 1 —

<f ²

2-3-4 ’

indem man nur die Glieder der Reihe bis zur vierten Potenz von </> in Rechnung bringt, so folgt

ab (f²

Die Entwickelung der Wurzelgrösse nach dem binomischen Satze gibt hierfür bis zu den Gliedern mit der vierten Potenz von (/

(8)

a by² t aby⁴

2 h²

24 h²

a² b² y⁴ \

8 h⁴ /

Für y = a geht z in zo über; daher ist in gleicher Weise ab a- ab et4 2h2 + 24 h²

zo =h(^l

a²b² «⁴

8 h⁴

folglich durch Subtraktion

ab

Z-Z0 = 2h

ab

4 h²

«² -

ab

12    4 h²

Setzt man zur Abkürzung

= k,

ab

12    4 h²

so wird

(9)

z — z₀ =

a i(M

er

(ot² — cp²){\ - k«² - kcp²).

Durch Differentiation von (8) folgt, indem man die Glieder von cp³ an vernachlässigt,

(10)

a b cp d cp

Dieser Wert ist nur ein Annäherungswert von dem in (5), allein er macht die Durchführung der Integration möglich.

Setzt man nun die Werte von z — zo und dz aus (9) und (10) in (7) ein, so folgt

ab|^(a2 _ y,2)(₁_ka2_ky2) = ^E +

a² b² M

à cp'²

h²

d t²

a² b² M

i/

abgM

— d cp

h² E

<f²

hE

V a ² — ⁽p²

[1 — ka² — k cp²]²

Hierin sind für d t und d cp entgegengesetzte Vorzeichen genommen, weil beim Uebergange von a in cp die Zeit t zunimmt, während cp abnimmt.

entwickele, nach dem binomischen Satze

_ _i

Beim zweiten Bruche rechts bringe man den Nenner in den Zähler mit dem Exponenten und vernachlässige die Glieder von cp* und cp'¹ ot¹ an; dann gibt dieser Bruch

a² b² M 2 h² E

^ cp².

a² b² M 2 h² E J

Daher lautet mittels dieses Wertes die Differentialgleichung

i/

abgM

— d cp

k a²

hE

to

a² b² M

V a² — cp '² _

die nunmehr zu integrieren ist. Nach § 90 hat man Ç cp²(hp>

J Va²—cp²

2 h² E

toj'S

——    a²

Va² — cp² -f -—-arccos

Ci

Daher folgt die Integralgleichung

<f

arc cos —

+ (t ⁺

a² b² M

2 h² E

■)(t Va2 ~ v'‘

a²

<{ '

arccos— .

Die Konstante der Integration fällt weg, weil cp = « wird für t = 0. Diese Gleichung gibt den Zusammenhang zwischen der Zeit t und dem Schwingungsbogen (f an. Ist nun T die Zeit zu einer Schwingung, so wird cp — 0 für t = ^ T. Hierfür geht die letzte Gleichung über in

a² b² M

(H)

hE

4h² E

abgM’

Je kleiner der Bogen a wird, um so mehr nähert sich T einem Grenzwerte T₀. Dieser wird erreicht für a = 0; daher

(12)

To

hE

abgM'

Bezeichnet T, die Schwingungszeit eines einfachen Pendels von der Länge h, so ist für sehr kleine Schwingungsbogen nach § 171

T,

-”Vt’

daher besteht der Zusammenhang

To

abM*

E

Die letzte Gleichung zeigt, dass die Grösse —

zahl sein muss, was auch am folgenden Beispiele ersehen werden kann.

Ist der schwingende Körper prismatisch von der Länge l und der Masse M, so ist sein Trägheitsmoment =-^Ml² (§ 185 (1)); daher das Verhältnis

eine Verhältnis-

__ 1 I²

abM 3 a b '

Wenn z. B. a = 6; b = 8 und I = 48 Millimeter, so wird dieser Bruch =16; daher To = 4 T,. Dieser Apparat schwingt also viermal so langsam als ein einfaches Pendel von der Fadenlänge h.

Die Gleichung (12) kann aucli wie folgt abgeleitet werden. In Gleichung (7) ist der AVeg d z in vertikaler Eichtung sehr klein gegenüber dem Wege d cp in drehender Eichtung. Vernachlässigt man daher das letzte Glied dieser Gleichung, so folgt unter Benützung des Annäherungswertes von z — zo aus (9)

und

abfV-^E(4r)²

d cf

abgM’

welche Gleichung durch Integration sofort den Wert von T₀ in (12) liefert.

B. Schwingungen mit Beriicksichtigung des Luftwiderstandes.

Die Arbeit, die das Gewicht des schwingenden Körpers heim Sinken verrichtet, wird zum Teile auf die Ueberwindung der Nebenhindernisse verwendet. Unter diesen steht der Luftwiderstand oben an;

d (f

der Drehbewegung proportional. Zu-

er sei der Geschwindigkeit

gleich werde vorausgesetzt, es könne d z gegen d cp vernachlässigt werden, wie dies bei Ableitung der Gleichung (13) geschehen.

Durch Differentiation von (13) erhält man

d² (f

abgM

dt²

eine Gleichung für die Beschleunigung, in der das Glied noch fehlt, das den Einfluss des Luftwiderstandes darstellt. Ist dasselbe 2 n

d cp

dt ’

wo n eine Konstante bezeichnet, so geht die letzte Gleichung über in

d² </>

dt²

— 2n

d cp

abgM

hE

<f-

Setzt man zur Abkürzung

(14)

abgM

hE

so ist die zu integrierende Gleichung der Bewegung d² (f

(15)

d (f

dt²

Diese Gleichung stimmt mit der in § 390 unter I. behandelten überein. Setzt man daher

in t

cp = ce

wo c und m Konstante bezeichnen, so wird

d t

= cm² emt; daher ergibt sich durch Einsetzen dieser Werte in (15)

d² cp

d t²

die Gleichung

m² + 2 n m -j- r² == 0, die für m folgende Wurzelwerte liefert

m = — n ^ j/"n² — r².

d cp

— cm emt und

Nun ist n, vom Luftwiderstände herrührend, gegenüber r² sehr klein, daher n² — r² negativ. Bezeichnet man

(16)

n² — r² = — y², so werden die beiden Werte von m sein

— n -j- y i und — n — y i.

Daher wird nach (6) des § 390 das Integral von (15) sein

(ÜJi sin y t + üft cos y t),

worin 9JÎ und 31 konstante Grössen bezeichnen, die noch zu bestimmen sind.

Für t = 0 wird <f — a. Hierfür gibt die Gleichung 31 = a. Um 9JÎ zu bestimmen, differentiiere man (17). Das Differential ist

(17)

(f = e

— nt

— nt

(3JI sin y t + « cos y t) -f- e~¹¹* (y 2R cos y t — a y sin y t),

woraus sich für t = 0 ergibt

Setzt man diese Werte von 3ÏÎ und 51t in (17) ein, so entsteht die gesuchte Gleichung

(18)

Ci

— e"¹“ (n sin y t -f- y cos y t).

Für n — 0 fällt der Einfluss des Luftwiderstandes weg. In diesem Falle wird nach (14) und (16)

r = r=y/

hE

und daher der Wert von (f nach (18)

(f = a cos

(FHir)

welche Gleichung auch wie folgt geschrieben werden kann

hE

arc cos

abgM

T

Setzt man hierin (f = 0, so wird t zu

d. h. zur halben Schwin

gungszeit und der Bogen rechts zu -

Daher die Schwingungszeit

t = „|/

hE

abgM’

Dieser Wert von T stimmt mit To in (12), aber auch mit T in (11) überein, wenn daselbst wie hier der Bogen a sehr klein vorausgesetzt wird.

Um die Schwingungszeit für die Bewegung in der Luft zu bestimmen, differentiiere man (18) und beachte die "Relation (16); es kommt als Geschwindigkeit

a r²

e~nt sin y t.

Nun muss die Geschwindigkeit am Anfänge lind Ende einer jeden Schwingung = 0 sein, eine Bedingung, die erfüllt wird durch die letzte Gleichung für sin y t — 0. Also muss der Bogen y t für den Beginn der Bewegung = 0 sein; für das Ende der ersten Schwingung = n, der zweiten = 2 n, der dritten =3 n, . . Aus yt = Ti, y t = 2 7T, . . folgt aber, dass die Zeit zu zwei Schwingungen zweimal, zu drei Schwingungen dreimal so gross ist als zu einer Schwingung, d. h. es ist die Schwingungszeit konstant. Bezeichnet man sie mit T„, so folgt aus y t = n

T„ = —

TC

V r² — n²

Setzt man nun

abgM

und schreibt ferner

D,

n2 E

so folgt als Wert der Schwingungszeit

T„ =

Ohne Rücksicht auf den Luftwiderstand ist D, = 0, also die Schwingungszeit wie nach (12)

To

.»[/■

Daraus folgt, dass T„ T, d. h. dass der Apparat in der Luft langsamer schwingt als im leeren Raume.

Die Schwingungsbogen nehmen in ähnlicher Weise ab wie diejenigen des gewöhnlichen Pendels. Es sei in dieser Beziehung auf S. 545 verwiesen.

XIII. Aufgaben über die Zentraibewegung.

423. Differentialgleichungen der Bewegung durch Zentralkräfte. Im

leeren Raume erhalte ein materieller Punkt durch einen Stoss eine Bewegung. Nach Beendigung dieses Stosses wird sich der Punkt geradlinig und gleichförmig fortbewegen. Ausserhalb dieser geraden Bahn habe eine Kraft ihren festen Sitz und wirke von dem Augenblicke an, wo jener Stoss auf hört, kontinuierlich auf jenen materiellen Punkt. Dadurch wird der Punkt aus seiner geraden Richtung abgelenkt und eine Kurve beschreiben, die in einer Ebene liegt, die durch die ursprüngliche Richtung der Bewegung und durch den Sitz der anziehenden Kraft geht. Diese Kraft heisst Zentralkraft, ihr Sitz Mittelpunkt der Bewegung und die Bewegung im allgemeinen Zentral-b e w e g u n g.

Der Mittelpunkt der Bewegung sei A (Fig. 154). Man lege durch ihn in der Ebene der Bahn C D zwei rechtwinkelige Achsen A x, Ay und bezeichne mit

Fig. 154.

I

Ml

x, y die Koordinaten A B, B C eines Kurvenpunktes C, s den Bogen D C der Bahn, der in der Zeit t von D aus durchlaufen wird, v die Geschwindigkeit nach der Zeit t, r den Abstand (Radius vector, Leitstrahl) des Punktes C vom Mittelpunkte und g die Beschleunigung, die die Zentralkraft dem Beweglichen nach der Zeit t in der Richtung des Leitstrahls A C beibringt.

Zerlegt man diese Beschleunigung in zwei Seitenbeschleunigungen und g—.

zu A y liegt, so wird sein, wenn man diese Beschleunigungen in entgegengesetzter Richtung zu den positiven Achsen voraussetzt,

d² y

wovon die erstere parallel zu A x, die letztere parallel

d² x

dt²

= — g—,

dt²

= — g—•

Erstes Keppler’sches Gesetz. Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit y, die zweite mit x und zieht sie von einander ab, so folgt

(2)

x d² y — yd?x

dt²

= 0.

Der Zähler dieses Ausdruckes ist das Differential von xd y — ydx; multipliziert man daher (2) mit der Konstanten d t und integriert, so erhält man

(3)

x d y — ydx

worin c die Konstante der Integration bezeichnet. Um die Bedeutung dieser Formel zu erkennen, führe man Polarkoordinaten ein, setze also

x = r cos (f, y = r sin <f ,

(4)

woraus durch Differentiation folgt

f d x = cos (f d r — r sin (/ d (f ,

{ d y = sin (f d r -j- r cos (f d (f.

Führt man diese Werte von x, y, dx, dy in (3) ein, so kommt r² d (f — c d t.

Nun sei der Sektor D A C, der in der Zeit t vom Leitstrahle beschrieben wird, = F. Dreht sich der Leitstrahl in dem Zeitelement d t um den Winkel d (f aus der Lage AC in die Lage Am Flächenelement d F = C A m gleich (nach § 334)

dF = |r² d (f.

(5)

(6)

so ist das

Mithin wird d F mit Rücksicht auf Formel (6) zu

d F — ^ c d t.

Durch Integration dieser Formel erhält man

(7)

F = y c t,

wobei die Konstante der Integration weggelassen ist, weil t und F gleichzeitig verschwinden.

Aus (7) folgt, dass bei jeder Zentralbewegung die vom • Leitstrahle beschriebene Fläche der darauf verwendeten Zeit proportional ist. Keppler hat dieses Gesetz (durch Beobachtung der Bewegung der Planeten um die Sonne) für das Planetensystem zuerst ausgesprochen.

d (f

dass r

Um die⁻ Bedeutung der Konstanten c zu erhalten, beachte man, die Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zum Radius-

vektor ist. Bezeichnet Y die Anfangsgeschwindigkeit, R den Leitstrahl nach dem Anfangspunkte der Bewegung, (V/R) den Winkel, den die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit mit dem Leitstrahle bildet, so folgt aus (6)

c = Y - R • sin (V/R).

Ausdruck für die Geschwindigkeit. Multipliziert man .die erste der Gleichungen (1) mit d x, die zweite mit dy und addiert sie, so kommt

(8)

dxd²x-|-dyd²y

dt²

(x d x + y d y).

Hierin ist der Zähler links das Differential von i(dx² + dy²)

und die Grösse x d x -f y d y rechts das Differential von

,i(x² + y²) - L².

Deshalb geht die Formel (8) über in

/ d x² + d y² \

\—d?—,) =

br j Sh

d(r*).

Nun ist aber d(r²) = 2rdr, also wird die rechte Seite dieser Gleichung zu — 2gdr. Führt man diesen Wert ein und integriert, wobei g als veränderlich zu betrachten ist, so kommt

dx² -j- dy²

(9)

d t²

2j gdr.

Hierin bezeichnet A die Integrationskonstante. Da d x² + d y² = d s²

d. s

und die Geschwindigkeit v =

ist, so erhält man aus (9)

Vermittelst dieser Formel kann die Geschwindigkeit des Beweglichen bestimmt werden, wenn g als Funktion von r gegeben ist.

Allgemeiner Zusammenhang zwischen dem Gesetze der Kraft und dem der Bahn. Führt man die Werte von dx, dy aus

(5) in (9) ein, so folgt

(H)

r² d ff² + d r²

dt²

2 J gdr.

Eliminiert man dt aus (6) und (11), so wird c² d r²

(12)

c²

r²

r⁴ d ff ²

2 J¹ gdr.

Durch Differentiation dieser Gleichung erhält man

--^dr+d

r⁴

c² d r²

r⁴ d ff²

) = — 2 g d r,

woraus folgt

(13)

c²

g = - 3

r⁴

Allein es ist

\r² d ff J

c² / dr \²

2 d r¹ I r² d ff )

d r A dr \

²^²Tff>A\J²TffJ

und indem man ff als unabhängig Veränderliche, also d ff als konstant betrachtet,

df àr \    1 A_dr^ ₌

Ar² à ff) d (f A r² J

d ff

Setzt man diese Werte in (13) ein, so wird

c²

J_dVA\ .

d ff ² V r ) \

Die Beschleunigung g ist aber der Zentralkraft proportional. Folglich kann vermittelst der Gleichung (14) das Gesetz, nach dem die Zentralkraft wirkt, abgeleitet werden, wenn r als Funktion von ff ausgedrückt, d. li. wenn die Gleichung der Bahn bekannt ist. Umgekehrt kann aber auch aus dieser Formel die Gleichung der Kurve abgeleitet werden, wenn man das Gesetz der Kraft kennt. Die folgenden Aufgaben werden die Anwendung der Formel (14) zeigen. Zuerst soll die Bahn als gegeben angesehen und die Wirkung der Kraft gesucht werden; an zweiter Stelle werde das Gesetz der Kraft als gegeben betrachtet und die Bahn des bewegten Körpers bestimmt.

(14)

s=pr

424, Bei einer Zentralbewegung sei die Balm des Beweglichen eine

Diese

Man soll das Geselz der Zentralkraft suchen.

gerade Linie,

Gerade sei CD (Fig. 155), der Pol A der Mittelpunkt der Anziehung, der Leitstrahl AD = r; er bilde mit der festen Richtung AC den Winkel ff. Schneidet die Gerade auf dieser Richtung ein Stück AC = a ab und bildet mit a den Winkel a, so ist

A C : A D = sin A D C : sin A C D, a : r = sin (a + <f) : sin a,

Fig. 155.

'c

a sin a sin (a + (f) '

Diese letzte Formel ist die Polargleichung der geraden Linie. Betrachtet man in ihr a und « als konstant, r und (p als veränderlich, so erhält man durch Differentiation

cos (a + (f )

a sin «

dy; d²(~) =

sin (a + y)

a sin a

d <f².

sin (a -f- tp ) ~ a sin a

Setzt man diesen Wert von d2 ein, so wird

r²

Ç— ^ in Formel (14) des § 423

= 0.

Aus g = ö folgt aber, dass ein Körper sich nur dann in einer geraden Linie bewegen kann, wenn ausserhalb dieser Geraden keine Kraft auf den Körper wirkt.

425. Es bewege sieb ei» materieller Punkt infolge einer Zentralkraft in einem Kreise. Man soll Aas Gesetz dieser Kraft bestimmen.

Hier ist der Leitstrahl r konstant, also d Ç-—— 0. Hierfür geht die

Formel (14) des § 423 über in

(1)

c²

r³

Mithin ist die Zentralkraft umgekehrt proportional der dritten Potenz des Halbmessers der Bahn.

Aus der Formel (10) des § 423 folgt, da r konstant, also dr= 0 ist,

v² = A.

Da aber A eine Konstante ist, so wird auch die Geschwindigkeit v konstant. Also die Kreisbewegung gleichförmig.

Bezeichnet T die Zeit zu einem Umlaufe, so ist der Weg des Beweglichen in dieser Zeit

T v = 2 re r.

Setzt man T für t in Formel (7) des § 423, so wird F zur Kreisfläche 7rr²; folglich gibt diese Formel

JT r² = -^ c T.

Eliminiert man T aus den beiden letzten Formeln, so erhält man den Wert der Konstanten c = rv. Führt man diesen Wert von c in (1) ein, so kommt

Mithin ist bei einer Kreisbewegung die Zentralkraft direkt proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional dem Radius der Bahn.

Es werde ein Körper in horizontaler Richtung auf der Erdoberfläche ahgeworfen. Vermöge der Anziehungskraft der Erde wird er aus der anfänglichen Richtung abgelenkt. Je nach der Geschwindigkeit, die ihm durch die Wurfkraft erteilt wurde, wird er zur Erde fallen oder sich in einem Kreise um die Erde herum bewegen oder sich von der Erde entfernen.

Nun ist die durch die Anziehungskraft der Erde bewirkte Beschleunigung

g = 9,808 m

und der Halbmesser der Erde annähernd

r = 6 365 000 m.

Damit also der Körper sich in einem Kreise um die Erde bewege, muss nach Formel (2) seine Geschwindigkeit in der Sekunde sein

v = Ygi - |/'97808 • 6 365 000 = 7 902 m.

Wird der Körper mit einer kleinern Geschwindigkeit als 7 902 m abgeworfen, so fällt er zur Erde. Diese Geschwindigkeit ist nahe 17 mal so gross als die Rotationsgeschwindigkeit der Erde unter dem Aequator.

426. Ein materieller Pujikt bewege sich in einem Kegelschnitte infolge einer Zentralkraft, die ihren Sitz in einem Brennpunkte der Kurve hat. Man soll das Gesetz der Kraft bestimmen. Die Gleichung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten ist nach § 333, Formel (6)

(1)

1 + s cos (f ’

worin bezeichnen: p den halben Parameter, s das Verhältnis des Abstandes der Brennpunkte zum Abstande der beiden Scheitel, d. h. die numerische Exzentrizität, und (f den Winkel, den der Leitstrahl r mit dem Teile der grossen Achse bildet, der vom Zentrum der Bewegung nach dem nächsten Scheitel führt.

Diese Gleichung drückt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel aus, je nachdem

s < 1, s = 1, s 1.

Aus (1) folgt

1 + E COS </>

ci (— — gsin yd y .    d2 f JlA _ — g cos <y a <y>²

K? )    P ’    \ r J ~ p

Set^t man diese Werte in Formel (14) des § 423 ein, so erhält man

s cos (f ~

r'²

oder indem man obigen Wert von — einführt,

r

c²

(2)

g^

p r²

Bei der Bewegung in einem Kegelschnitte muss somit die Zentralkraft dem Quadrate des Leitstrahls umgekehrt proportional sein. Wenn der Kegelschnitt zu einem Kreise wird, so ist p = r; also geht in diesem Falle die Formel (2) über in Formel (1) des § 425.

Kepp 1er hat zuerst durch Beobachtung gezeigt, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind, in deren einem Brennpunkte sich die Sonne befindet, und Newton zeigte, gestützt auf dieses sogenannte zweite K e p p 1 e r ’ sehe Gesetz, dass die Sonne die Planeten im umgekehrten Verhältnis der Quadrate der Entfernungen anziehe.

427. Die Zentralkraft sei umgekehrt proportional dem Quadrate des Leitstrahls. Man soll die Gleichung der Bahn und die Bewegungsverhältnisse ableiten. Bringt diese Zentralkraft demselben materiellen Punkte in den Entfernungen r, r' die Beschleunigungen g, g' in der Richtung der Leitstrahlen bei, so wird der Voraussetzung nach sein

g:g'

1 1

jöT • r/2 ’

<yJ py2

r²

Setzt man g'r'² = k, so erhält man als Ausdruck für die Beschleunigung

(1)

Hierfür wird

(2)

Jgdr=jAdr =

+ n,

worin n die Konstante der Integration sein soll.

J*g dr in Formel (12) des § 423 ein, so folgt

c² d r \²

r⁴ v d (f )

Wert von

(3)

c²

r2

= A — 2 n -f

Setzt man diesen

Wenn man hierin setzt

(4)

so wird zunächst

dr —

dp

und somit Gleichung (3), indem man sie nach d <f auflöst,

± cd p

Y ₍4 -j- 2 k p — c² p² ‘

Fügt man unter clem Wurzelzeichen im Nenner gibt sich

k²

k²

hinzu, so er-

d (p — —

-J: cdp

|A+k2

c²

Setzt man noch zur Abkürzung

(6)

k²

so erhält man

± du

FFLF

Denken wir uns (f und r gleichzeitig wachsend, so werden p und u abnehmen. Also müssen in diesem Falle d (p und d u entgegengesetzte Zeichen haben. Nun gibt die Integration von (7) für das untere der beiden Vorzeichen

(7)

d (f =

<p — <f ‘ = arc cos —,

worin — <f' die Konstante der Integration bezeichnet. Bogen zum Cosinus über, so wird

Geht man vom

(8)

u

- = cos (<f — (f).

Aendern sich (p und r in entgegengesetztem Sinne, so erhalten d (p und du gleiche Zeichen. Statt (7) kann man in diesem Falle schreiben

— du

FFVP’

woraus durch Integration, indem man die Konstante mit ip“ bezeichnet,

— def =

— </> -[- (p‘\ = arc cos

oder

(9)

— = cos (— (p + V ") —

cos (<p — (p") erhalten wird.

Setzt man u = y, so erhält man aus (8) und (9) <p = (p‘ = tp“, und aus (6)

k -j-j/'/ïc² + k² -

c²

man

mum,

Dieser W ert von ç ist ein Maximum, wie aus (5) folgt, wenn = 0 setzt; also ist der entsprechende Wert von r ein Mini-Dieser kleinste Leitstrahl ro ist somit

ro =

c²

k -j- V ß c² -f- k²

Zählt man nun den Winkel ff — ff‘ = ip von diesem Leitstrahle aus, so erhält man aus (8) und (9) zugleich

u = y cos ip,

oder indem man die Werte von y und u aus (6) einführt,

■Cfc

k²

COS Ip,

CÇ--

ç c

also auch, wenn man wieder o = — setzt und nach r auflöst,

\ r

c²

c²

V¹

ß c²

^-C°sip

Schreibt man der Einfachheit wegen

(10)

c²

k²

so wird

(11)

1 + £ COS Ip '

Dies ist die Polargleichung eines Kegelschnittes (§ 426), wenn der Pol in einem Brennpunkte liegt; der halbe Parameter desselben ist = p, das Verhältnis zwischen dem Abstande beider Brennpunkte und dein Abstande beider Scheitel oder die numerische Exzentrizität = s und der Winkel zwischen dem Radiusvektor r und seinem kleinsten Werte i'o gleich ip.

Diese Gleichung gibt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem s kleiner, gleich oder grösser als die Einheit ist. Allein in der Relation (10)

(12)

ßc*

¹⁺ k²

= *²

ist die Grösse

c²

j <2 immer positiv. Also wird der Ausdruck links in

(12) kleiner, gleich oder grösser als die Einheit, je nachdem ß negativ, gleich Null oder positiv ist. Es entsteht somit

eine Ellipse, wenn    s <    1,    also    ß    negativ,

eine Parabel, „    s =    1

eine Hyperbel, „    s >    1,    „    ß    positiv.

Piir die Parabel hat man als halben Parameter nach (10) und (11)

» ß = 0,

Folglich ist die Gleichung der Parabel für den Scheitel in rechtwinkeligen Koordinaten

y² =

2 c²

irx-

Sind a und b die halbe grosse und halbe kleine Achse der Ellipse und Hyperbel, so ist aus der Lehre von den Kegelschnitten bekannt

b²

a² — b²

a²

Somit geben die Formeln (10)

(13)

b²

c²

ß c²

a k ¹    k²

Aus diesen beiden Formeln findet man

a² — b²

a²

T'

(14)

Für die Ellipse ist ß negativ, also b² positiv; für die Hyperbel ist ß positiv, also b² negativ, wie es sein soll.

Die Bedeutung der Konstanten ß ergibt sich wie folgt. Die Gleichung (10) des § 423 gibt, wenn man den Wert von J gdr aus (2) einführt,

(15)

v² = A — 2 n -f

2k

Wenn nun Y die anfängliche Geschwindigkeit, die dem Beweglichen durch einen Stoss im Raume beigebracht wurde, und R den entsprechenden Leitstrahl bezeichnet, so folgt aus der letzten Gleichung

V² = A — 2n +

R ’

also auch, wenn man nach (4) A -- 2 n durch ß ersetzt,

(16)

ß = V² -

2k

Nun entsteht eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, wenn ß negativ, null oder positiv ist. Es wird daher die Bahn

eine Ellipse, wenn Y² <

2k

eine Parabel, „ Ar2 =

2k

eine Hyperbel, „ Y² >

2k

Somit entscheidet die Geschwindigkeit V, die dem Beweglichen durch den Stoss anfänglich erteilt wird, über die Art des Kegelschnittes.

, so entsteht eine

Wenn V² gerade gleich ist dem Werte

Lässt man von diesem Werte an V² stetig abnehmen bis

Parabel.

Null oder stetig zunehmen bis Unendlich, so entstehen unendlich viele elliptische oder hyperbolische Bahnen. Man kann daher unendlich viel

gegen 1 wetten, dass materielle Punkte im Raume, die sich infolge der Gravitation bewegen, eher elliptische oder hyperbolische als parabolische Bahnen haben.

Addiert man (16) tzu (15), so folgt zur Bestimmung der Geschwindigkeit

rH

(17)

v* = V*-f 2k^ —- \

Setzt man den Wert von ß = A — 2 n aus (14) in (15) ein, so kommt

(18)

v² =

Wird nun die elliptische Bahn zu einem Kreise vom Halbmesser R, so wird in der letzten Formel r = a = R. Bezeichnet man den korrespondierenden Wert von v mit V„ so folgt aus (18)

V,²=

Dieser Wert von V,² ist halb so gross als derjenige von V², der eine Parabel zur Folge hat. Lässt man daher V, wachsen bis Y V 2 und abnehmen bis auf Null, so erhält man zwei Gruppen von elliptischen Bahnen, zwischen denen der Kreis liegt.

Aber es wird r = a = R nur, wenn in Gleichung (11) s = 0 oder

■c²

-- 0 oder ß -f

k²

c²

Setzt man die Werte der Konstanten ß und c, wie sie durch den

wird.

Anfangszustand bestimmt werden, ein, so lautet diese Gleichung

Y²__

;2k

k²

R² Y² sin² (V|R)

= V-

k Y i k2

RAV ' R²V²

• cotang²(V|R) — 0,

d. h. es müssen

Y² = Y- und cotang (V|R) = 0

sein. Soll also die Bahn ein Kreis werden, so muss die Anfangsgeschwindigkeit senkrecht auf dem Radiusvektor stehen.

428. Anwendung auf die Bewegung der Himmelskörper. Es seien M, m die Massen der Sonne und eines Planeten. Diese Körper ziehen sich an, wie wenn ihre Massen in ihren Mittelpunkten vereinigt wären. Die Entfernung dieser Mittelpunkte sei r. Bezeichnet ferner f die Anziehung zweier Masseneinheiten in der Entfernung 1 von einander, so

ist nach dem Newton’sehen Gesetze der Gravitation f

die An-

M m

r²

die Beschleu-

ziehungskraft der]Sonne und des Planeten; folglich f

nigung, die die Sonne jeder Masseneinheit des Planeten und f Beschleunigung, die der Planet jeder Masseneinheit der Sonne in der

r²

die

Richtung des Abstaudes r erteilt (§ 181). Denkt man sich die Sonne ruhend, so nimmt der Planet in der Richtung von r die Summe dieser Beschleunigungen an, so dass seine Beschleunigung sein wird

M -f- m r*

Setzt man diesen Wert gleich der Grösse g in der Formel (1) des § 427, nämlich so folgt als Wert der Konstanten

(1)

k = f(Mt m).

Führt man diesen Wert von k m die Formeln des § 427 ein, so erhält man die Elemente der Bahn und der Bewegung des Planeten mit Rücksicht auf die Massen. Da aber die Bahnen der Planeten geschlossene Kurven, also Ellipsen sind, so soll hier nur noch für diese Bahnen die Zeit zum Durchlaufen irgend eines Bahnteiles ermittelt werden.

Eliminiert man aus den Gleichungen (3) des § 427 und (6) des § 423:

c²

c²

r²

rł \d (f

r² d (f = c dt

die Grösse d ff, so folgt, wenn man A — 2 n = ß setzt und nach d t auf löst,

(2)

-}-rd r

Y ß r² -f- 2 k r — c²

Den Scheitel der Ellipse, für den r ein Minimum ist, nennt man Perihel, den andern Aphel. Man zähle die Zeit t vom Perihel aus.

Bewegt sich der Planet von diesem Scheitel zum Aphel, so wächst r mit t, und es ist somit für diese Bewegung das obere Zeichen in (2) zu nehmen.

Für die Ellipse liegt r immer zwischen den beiden Stücken, in die die grosse Achse von einem Brennpunkte geteilt wird, also zwischen den Werten a(l — s) und a(l -+- ?); man kann daher setzen

(3)

r = a (1 — s cos u),

worin a die halbe grosse Achse, $ das Verhältnis zwischen dem Abstande der Brennpunkte und dem der Scheitel und u eine Variable, die sogenannte exzentrische Anomalie, bezeichnet. Hieraus folgt

(4)

d r = a s sin u d u.

Setzt man noch nach den Formeln (14) und (12) des § 427

ß=~

c² == ak (1 — £²),

so erhält man durch Verwendung von (3) und (4)    »

rdr = a²f(l — e cos u) sin u d u, ß r² +2kr-c² = aks² sin?u,

indem man zunächst (1—scosu)² entwickelt und cos²u = 1 — sin²u setzt. Führt man diese Werte in (2) ein, so kommt nach der obigen Voraussetzung

= a 1/ ^-(1 — s cos u) d u.

Das Integral dieser Gleichung ist, wenn man mit t' die Integrationskonstante bezeichnet,

t -f t' = a j/~ (u — s sin u).

Für u = 0 ist nach (3) r = a(l — s). In diesem Falle befindet sich der Planet im Perihel. Somit ist für u = 0 auch t = 0. Dies gibt t' == 0. Die vorstehende Gleichung wird daher

(5)

-V-—

a \ a

— s sin n.

Dies ist die gesuchte Gleichung. Für irgend einen Wert von r kann vermittelst (3) der Winkel u und somit die Zeit t berechnet werden. Ueberhaupt können vermittelst der zwei Formeln (3) und (5) je zwei der Grössen r, u, t bestimmt werden, wenn man die dritte kennt.

Die Zeit, die ein Planet zu einem Umlaufe braucht, sei T. Lässt man in (5) den Bogen von u = 0 bis u 2 ix wachsen, so wächst t von t = 0 bis t = T. Für eine Umlaufszeit wird daher die Formel (5)

2 TC.

-l/k- =

a \ a

Setzt man hierin den Wert von k aus (1) ein, so folgt

rp² _

(6)

4 7T² a3 f (M + m) ‘

Somit hängt die Umlaufszeit T eiçes Planeten nur von der grossen Achse seiner Bahn    und    von    den Massen    der Sonne und    des    Planeten    ab.

Würde sich    ein    Körper    von    der gleichen    Masse m des Planeten    in    einem

Kreise um die Sonne bewegen, dessen Radius — a ist, so hätte er gleiche Umlaufszeit mit dem Planeten. Und da die Bewegung jenes Körpers im Kreise gleichförmig ist (§ 425), so ist seine Geschwindigkeit die mittlere von der Geschwindigkeit des Planeten.

Sind T', m', a' Umlaufszeit, Masse und halbe grosse Achse der Bahn irgend eines andern Planeten, so folgt aus (6)

T/2 =

4 7T² a<3 f (M -j- m') ’

Dividiert man Gleichung (6) durch die letzte, so folgt T²    a³ M    -j- m'

T'²    a'³ M    + m

Wenn somit m = m' oder wenn m und m' gegen M vernachlässigt werden können, so verhalten sich die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten wie die dritten Potenzen der halben grossen Achsen ihrer Bahnen. Keppler hat dieses Gesetz durch Beobachtung gefunden, wobei er allerdings die Massen der Planeten nicht berücksichtigte. Es enthält demnach die Formel (7) das berichtigte dritte Keppler’sche Gesetz.

XIV. Partielle Differentialgleichungen der ersten Ordnung.

429. Art der Gleichungen. Eine Gleichung zwischen zwei unabhängig veränderlichen Grössen x, y und einer abhängig veränderlichen Grösse z, die ausser diesen Veränderlichen noch die ersten partiellen Differentialquotienten der Variabein z nach den Grössen x und y enthält, heisst eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung zwischen den drei Veränderlichen x, y, z. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung wird sein

(1)

F (x, y, z,

dz dz d x ’ d y

= 0.

1st z = f (x, y) so bestimmt, dass z nebst seinen partiellen Ableitungen nach x und y die Gleichung (1) identisch, d. h. für alle Werteverbindungen von (x,y) erfüllt, so heisst z = f(x, y) ein Integral von (1). Die Aufgabe, die eine partielle Differentialgleichung stellt, ist, alle Integrale der Gleichung zu bestimmen.

Fehlen in der Gleichung (1) einige der Grössen x, y,..., so entstehen spezielle Fälle. Selbstverständlich muss aber wenigstens einer

darin enthalten sein.

der partiellen Differentialquotienten    ^

Im Folgenden sollen nur einige der einfachsten Gleichungen zur Behandlung kommen.

dz dz

430. Gleichungen mit einem partiellen Differentialverhältnis.

I. Als einfachste Gleichung sei gegeben

(i)

worin z eine Funktion von x und y bezeichne. Wäre z eine Funktion nur von x, so erhielte man durch Integration

z = ax-f c;

die Grösse c wäre dann die Konstante der Integration. Allein im vorliegenden Falle hat man c durch eine Grösse (f (y) zu ersetzen, die anzeigt, dass z nicht nur von x, sondern in irgend einer Weise auch von y abhängt ; denn (f (y) bezeichnet eine beliebige Funktion von y. Dadurch erhält man das Integral von (1) in der Form

(2)

z = a x + <f (y),

und diese Gleichung leistet (1) vollständig Genüge, weil die Differentiation von (2) nach x für jede Wertverbindung von x und y gerade die Gleichung (1) liefert.

Um den Gleichungen (1) und (2) eine geometrische Deutung zu geben, denke man sich drei zu einander rechtwinklige Achsen der x,v, z, die erstem zwei etwa horizontal, die letztere also vertikal. Alsdann stellt z = f (x, y) allgemein eine Oberfläche dar, und es sind x, y, z die Koordinaten irgend eines Punktes derselben. Im vorliegenden Falle wird z = f(x, y) ersetzt durch Gleichung (2).

Die Form der Oberfläche lässt sich wie folgt beurteilen: Setzt man y = 0 in (2), so ist </" (0) eine Konstante, also (2) die Gleichung einer Geraden, die in der xz Ebene und der fraglichen Oberfläche liegt. Die Oberfläche wird also von der x z Ebene längs einer Geraden geschnitten. Das ist aber auch der Fall mit irgend einer Ebene, die zur x z Ebene parallel liegt, also senkrecht zur y Achse steht, sofern überhaupt ein Durchschneiden vorkommt; denn setzt man y =1,2,3,.. in (2), so wird cp (y) immer konstant, also Gleichung (2) diejenige einer geraden Linie sein. Die Oberfläche ist daher eine Cylinderfläche ; ihre Seitenlinien bilden nach (1) mit der x y Ebene einen Winkel, dessen trigonometrische Tangente die Grösse a ist.

Setzt man x = 0 in (2), so wird z = tp (y) zur Gleichung der Kurve, längs der die Cylinderfläche von der y z Ebene geschnitten wird. Allein diese Kurve ist unbestimmt, weil es auch (p (y) ist. Daher entsprechen alle denkbaren Kurven der Aufgabe, so lange nicht aus irgend welchen anderweitigen Daten dieser Schnitt eine bestimmte Form erhält. Würde man aber z. B. verlangen, er solle eine Parabel sein, .deren Achse mit der z Achse, und deren Scheitel mit dem Anfangspunkte zu-satnmenfällt, so würde z = <P (y) übergehen in y² = 2 p z und es würden dann alle Schnitte, parallel zur y z Ebene, kongruente Parabeln werden.

II. Es sei zu integrieren

(3)

ö x j/^ay-f x'²

Betrachtet man im Ausdrucke rechts nur x als veränderlich, so erhält man durch Integration

(4)

z = l (x + V a y + x² ) + q> (y), wo die Konstante der Integration wie in (2) durch ą> (y) bezeichnet ist. Dass Gleichung (4) das Integral von (3) ist, ergibt sich sofort, wenn von (4) das partielle Differential in Hinsicht x genommen wird.

Gleichung (4) stellt wieder eine Oberfläche dar. Um eine Vorstellung von der Form derselben zu erhalten, lege man Ebenen durch, senkrecht zur y Achse, in bestimmten Abständen von der xz Ebene; man mache z B. y = 0,1, 2,..; dann wird die Oberfläche geschnitten längs Kurven, für die (3) die Steigung angibt, d. h. die Neigung zur Ebene x y und zwar mittels der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die Bogenelemente mit der x y Ebene bilden. Für y = 0, also für die Schnittkurve in der Ebene xz, erhält man die gleichzeitigen Werte

; z = l 2 x -f- (p (0).

Ganz ebenso können Ebenen durch die Oberfläche gelegt werden, parallel zu der y z Ebene und der y x Ebene. Man erkennt, dass der Aufgabe wegen der Unbestimmtheit von cp (y) unendlich viele Oberflächen entsprechen.

III. Endlich sei zu integrieren

= f(x>y)-

Man erhält nach dem bisherigen Verfahren, indem man mit dx multipliziert, y als konstant betrachtet und integriert

z==fi (x> y)d x + V (y)-

431. Gleichungen mit zwei partiellen Differentialverhältnissen. Es

sei zu integrieren die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

(1)

dy

= P,

worin M, N und P Funktionen von x, y, z bezeichnen.

Ist z = f(x,y) das gesuchte Integral von (1), so ist nach § 293 das Differential davon

dy.

(2)

N.

dy

Eliminiert man aus den Gleichungen (1) und (2) den Quotienten so erhält man

Ndz — Pdy —

dz

(N d x — M d y) = 0.

In dieser Gleichung ist aber

unbestimmt; daher kann sie nur be-

stehen, wenn gleichzeitig

(3)

Ndz — P d y = 0 und Ndx — M d y = 0

werden; diesen Gleichungen kann man auch, wenn P von Null verschieden ist, die Form geben

(4)

dx

dy

N P '

Ist man aber im stände, diese beiden gleichzeitigen Differentialgleichungen zu integrieren, so kann man das allgemeine Integral von (1) angeben. Es seien die Integralgleichungen von (3) oder (4J u = fL (x, y, z) == er, v = f₂ (x,y,z) = c₂,

worin die Funktionen fi und f₂ keine der auftretenden willkürlichen Konstanten Ci und c> enthalten.

Sind die Gleichungen (5) die Integralgleichungen von (4), so müssen, wenn man (5) vollständig differentiiert, die daraus hervorgehenden Gleichungen eine Folge von (4) sein oder die Gleichungen (4)

(5)

identisch erfüllen, weil eben die Funktionen fi und f2 keine willkürlichen Konstanten mehr enthalten.

Die Differentiation von (5) gibt

dx

dx

dy 4

d z — 0,

dx + ---dy +

dy

d z = 0.

Setzt man dz aus (4) hier ein, so erhält man

du

(6)

ày

|P-T- = 0,

+ N— + P

ày

0.

Da aber aus den Gleichungen (5) für die Differentialquotienten von z nach x und y folgen

S3 ! X

dy

dy

dv

. dz

dx

dy

dx

dy

dv ’

so folgt aus den Gleichungen (6) beide Male die Gleichung

dy

— P = 0,

die gegebene Differentialgleichung (1).

Daher ergibt sich : ein Integral der gleichzeitigen Differentialgleichungen (3) ist auch ein Integral der Differentialgleichung (1) und zugleich auch der homogenen Gleichung (6).

Dann aber genügt auch eine beliebige Funktion

(7)

u = <P (v)

zwischen den beiden Integralen der Differentialgleichungen (3) der Differentialgleichung (1). Aus (7) folgen nämlich die Gleichungen

= 0,

r--9,'(T)-5

r(v)A = °,

= 0,

aus denen durch Multiplikation mit M, N und P und Addition die Gleichung folgt

au

— <f‘ (v) • M

avn

ay

= 0.

Diese Gleichung ist aber wegen der Gleichungen (6) unabhängig von der beliebigen Funktion (f erfüllt. Daher ist, was für eine Funktion (f auch sein möge,

M Hu — v 001

a [u — (p (v)]

ajn (v)J

dx

ay

- 0.

Aber aus u — (f (v) = 0 folgen

ay

a [u - cf (v)]

a [u - v (v)]

a [u — (f (v)3

ay

a [u — y (v)]

und daher ist (7) ein Integral auch der Gleichung (1) und zwar das allgemeine Integral, weil es in allgemeinster Weise den Zusammenhang zwischen x, y und z angibt.

Die Integration der partiellen linearen Differentialgleichung (1) beruht daher darauf, dass man zwei verschiedene Integrale der gleichzeitigen Differentialgleichungen (3) zu bestimmen sucht und diese vermittelst einer willkürlichen Funktion zum allgemeinen Integrale verbindet.

Dieses Verfahren hat zuerst Lagrange gelehrt, weshalb die Hilfsgleichungen (3) seinen Namen führen.

Wenn M, N und P nur x und y oder nur eine Variable enthalten, oder, wenn sie konstant sind, entstehen spezielle Fälle. Einige solche sollen im Folgenden als Beispiele zur Behandlung kommen.

I. Es sei P = 0, ferner seien M und N konstant, so dass die vorgelegte Gleichung lautet

(8)

0z

= 0.

Die gleichzeitigen Differentialgleichungen (3) lauten alsdann d z = 0 ; b d x = a d y,

ay

und ihre Integrale sind

(9)

b x — a y = Ci.

Danach ist das allgemeine Integral der Gleichung (8)

z = (f (bx — ay).

Davon, dass diese Gleichung der Gleichung (8) Genüge leistet, kann man sich durch Differentiation überzeugen; man erhält

z = Ci ;

(10)

= - af (bx-ay);

ay

b ffJ (b x — ay);

durch Einsetzen dieser Werte in (8) wird deren linke Seite identisch gleich Null.

Die erste der Gleichungen (9) stellt eine Ebene A dar, die parallel zur x y Ebene liegt; die zweite eine Gerade B in dieser Ebene, die mit

der xz Ebene einen konstanten Winkel bildet. Da nun die Grösse Ci willkürlich ist, so kann man sich denken, sie nehme alle möglichen Werte an; dann schreitet die Ebene A fort und mit ihr die Gerade B. Bliebe hierbei c₂ konstant, so beschriebe B eine Ebene, parallel zur zAchse gelegen. Allein e₂ ist ebenso willkürlich wie Ci. Lässt man daher c₂ sich ändern, so schreitet B in der Ebene A fort. Während dieser gleichzeitigen Aenderungen beschreibt B eine konoidische Oberfläche; die Krümmung derselben hängt von dem Verhältnis zwischen Ci und c₂ ab; für dasselbe folgt aber aus (9) und (10) die Beziehung

Ci = (f (c₂).

II. Es seien P, M und N konstant; dann nimmt die Gleichung (1),

setzt, die Form

M

wenn man durch P dividiert, und a = —, b =

(11)

ày

aA~

a x

an. Die Hilfsgleicliungen (3) lauten jetzt

b d z = d y ; b d x = a d y,

deren Integrale sind

(12)

b z — y = Oi ;

b x — a y = c₂, so dass das allgemeine Integral von (II) durch die Formel

(13)

gegeben ist.

und

Die beiden Gleichungen (12) stellen eine gerade Linie dar. Denkt man sich dieselbe auf die Koordinatenebenen projiziert, so entspricht die erste der Gleichungen (12) der Projektion auf die y z Ebene, die zweite der Projektion auf die x y Ebene. Lässt man Ci sich ändern, so schreitet die Gerade in einer Ebene fort, die parallel zur zAchse ist; lässt man aber nur c₂ sich ändern, so bewegt sich die Gerade in einer Ebene, parallel zur xAchse gelegen. Aendern sich Ci und c₂ zugleich, so beschreibt die Gerade eine krumme Fläche. Da aber die Grössen

jl konstant sind, so behalten die Projektionen der Geraden zu den

Achsen eine gleiche Neigung. Die krumme Fläche ist daher eine Cylinder fläche, deren Gleichung die Gleichung (13) ist. Die Art der Krümmung hängt vom Zusammenhänge zwischen Ci und C2 ab, der aus (13) folgt

ci = <p (c₂).

III. Die Gleichung (1) gehe über in

(14)

= 0;

es seien also M = x, N

a x

y und P = 0 ; dann geben die Gleichungen (3)

x i

— dy.

y

aus ihnen folgt das allgemeine Integral der Gleichung (14)

(16)

Dividiert man die zweite dieser Gleichungen durch x und integriert sodann beide, so kommt

z — Ci ; l x = l y -j- l c₂,

worin Ci und I C2 die Konstanten der Integration bezeichnen. Die letzte x

Gleichung gibt l — = l C2, woraus folgt folgende Integrale der gleichzeitigen Hilfsgleichungen (3)

= C2.

Daher erhält man

(15)

z == Ci ;

= c₂;

-<T>

Die Form der Oberfläche, die (16) darstellt, kann wieder erkannt werden aus den Gleichungen (15). Es stellt z = Ci eine Ebene dar,

x

parallel zur x y Ebene, und — = C2 eine Gerade, die in dieser Ebene

y

liegt und die z Achse schneidet. Lässt man Ci und c₂ sich ändern, so schreitet die Gerade längs der zAchse fort und dreht sich um dieselbe. Sie beschreibt eine konoidische Fläche, deren Form von dem Gesetze Ci — cf (c₂) abhängt.

IV. Die Gleichung (1) sei in einem weiteren speziellen Falle

(17)

X7T~

dy

= 0,

so dass M — y, N = — x und P — 0 seien; daher werden die Hilfsgleichungen (3) sein

dz = 0; xdx-r-ydy = 0. Die Integration dieser Gleichungen gibt

(18)

z = ci; x².+ y² = c₂, aus denen das allgemeine Integral folgt

(19)

z = (f (x² -f y²)

Diese Gleichung gehört einer Rotationsfläche an, deren Achse zusammenfällt mit der z Achse. Die erste der Gleichungen (18) stellt nämlich eine Ebene dar, senkrecht zur z Achse, und die zweite einen Kreis, der in dieser Ebene liegt und dessen Mittelpunkt in die z Achse fällt. Rückt die Ebene durch Variation von Ci fort und ändert sich gleichzeitig auch der Radius Yc₂ des Kreises, so wird die Oberfläche beschrieben.

V. Es sei zu integrieren

(20)

(x -a)

f (y-b)

— z — c:

die Gleichungen (4) geben sofort

dy

y-b

0;

dy

y-b

= 0,

Auteuheimer, Elementarbuch.

37

woraus durch Integration folgt

l (z — c) — l (y — b) = l ci ; l (x — a) — l (y — b) = l c₂,

worin l Ci und l C2 die Konstanten der Integration darstellen. Zieht man links die Glieder zusammen und geht von den Logarithmen zu den Zahlen über, so wird

(21)

y —b

woraus als Integral von (20) z — c

= <*;

y-b

= C2,

(22)

y-b

= ę(l^\

Vy-b )

folgt.

Diese Gleichung stellt eine Kegelfläche dar. Die Gleichungen (21) sind vom ersten Grade; sie sind die Gleichungen der Projektion der Kegelseitenlinie auf die Ebenen vz und xy. Die Seitenlinie schreitet fort, sowie die Grössen Ci und C2 sich ändern und beschreibt die Oberfläche. Alle Seitenlinien, wie sie auch im Raume liegen mögen, schneiden sich in einem Punkte, dessen Koordinaten a, b, c sind. Um dies zu zeigen, schreibe man die Gleichungen (21) wie folgt

z — c = Ci (y — b); x — a = c₂ (y — b).

Nimmt man nun y = b an, so verschwinden die rechten Seiten dieser Gleichungen, also muss auch zugleich x = a und z = c werden. Dieser Punkt ist daher die Spitze des Kegels.

YI. Ist

(23)

4- b- — - z

0 x

die zu integrierende Gleichung, so dass M = a, N = b, P — z ist, so lauten die Hilfsgleichungen (4)

dy

dx dy dx dz

die Integrale hiervon sind

bx — a y = Ci ; x + £ C2 = a £ z,

wenn die zweite Integrationskonstante mit IC2 bezeichnet wird. Geht man in der zweiten Gleichung von den Logarithmen zu den Zahlen über, so folgt

c2 ex = za oder za- e~x = C2

woraus das allgemeine Integral

(24)

folgt.

za = ex (f (b x — a y)

VII. Endlich sei zu integrieren

(25)

dy

= xy,

in der M = xz; N = yz; P = xy ist; man erhält aus (4)

ay yz xy

von ihnen liefert die erste sofort das Integral

x

= Ci.

/ x — l y = l Ci oder —

erweitere man die drei Hilfs-

Um ein zweites Integral zu erhalten, gleichungen mit x y z, wodurch kommt

y d x = x d y = zdz;

hieraus folgt

ydx-j-xdy — 2zdz.

Jetzt ist die linke Seite ein vollständiges Differential, so dass man ohne weiteres als zweite Integralgleichung

xy = z² -j- c₂

erhält. Die Verbindung der beiden Integrale gibt

(26)

als allgemeines Integral von (25).

XV. Partielle Differentialgleichungen der zweiten Ordnung.

432. Form der Gleichungen. Eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängig veränderlichen Grössen x, y und der abhängig veränderlichen Grösse z enthält im allgemeinen ausser den

ersten partiellen Differentialverhältnissen

und —T— auch mindestens

dy

einen der partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung von z nach x und y, also eine der Grössen

à² z

d² z

d² z

und

dy²

vom letzteren ist im § 292 nachgewiesen, dass im Falle der Stetigkeit der Differentialquotienten

d x²

dx d y

d² z

d² z

dxdy dydx

ist. Eine allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung hat daher die Form

F (x,y,z,

) = °.

dz    dz d²kz d² z d²z

d x ’ d y ’ d x² ’ ô y² ’ d x d y

Allgemeine Methoden zur Integration der partiellen Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung zu finden, ist bisher nicht gelungen. Es

werden deshalb im Folgenden nur einige der einfachsten speziellen Fälle behandelt werden.

433. Gleichungen mit einem partiellen Differentialverhältnis.

I. Es sei die Gleichung zu integrieren

(1)

d² z

d x²

Wäre hierin z eine Funktion nur von x, so gäbe die Integration

— c, wo c die willkürliche Konstante bezeichnet. Da aber z auch

von y abhängt, so hat man <p (y) für c zu nehmen, und erhält in der allgemeinsten Weise als Integral von (1)

(2)

d

T = <P (y).

Wird diese Gleichung in Hinsicht x wieder differentiiert, so ist d</>(y) = 0, und man erhält die ursprüngliche Gleichung, ein Beweis, dass (2) der Gleichung (1) Genüge leistet.

Wird (2) in der Form dz = <p (y) <3 x integriert, indem man y als konstant ansieht, so erhält man als gesuchtes Integral

(3)

z = x (p (y) + f (y),

in dem f(y) die neue willkürliche Konstante bezeichnet.

Gleichung (3) stellt eine Oberfläche dar. Legt man durch sie eine Ebene, parallel zur Ebene xz in einem bestimmten Abstande von der letztem, so wird y konstant. Bezeichnet man nun die konstanten Grössen tp (y) und f (y) mit a und b, so geht (3) über in

(4)1-1

z = ax-f b,

Der Durchschnitt jener Ebene mit der Oberfläche ist daher, wie (4) zeigt, eine gerade Linie. Dies wird der Fall sein für jeden Wert von y. Diese Geraden schneiden die Ebene yz in Punkten, die stetig aufeinander folgen können. Sie bilden daher eine Kurve, deren Gleichung erhalten wird, wenn man x = 0 in (3) setzt. Daher ist diese Gleichung

z = f(y).

Macht man z = 0 in (3), so ergibt sich als Gleichung der Kurve, längs der die Oberfläche von der x y Ebene geschnitten wird,

f(y)

<P (y) '

II. Es sei gegeben

ô² z

Ô X²

= F (x, y).

Multipliziert man mit d x, betrachtet y als konstant und integriert,

so wird

= J F (x, y) d x + (p (y).

Dabei vertritt (f (y) die Stelle der Integrations-Konstanten. Wird mit d x multipliziert, so erhält man das gesuchte Integral

x + y(y) +f(y),

Z=JW

wobei f (y) die nämliche Bedeutung hat wie oben (f (y).

= F (x, y) integriert werden.

() ^ z

Ganz in gleicher Weise kann ——--

dy-

III. Die Gleichung

d² z

= F(x,y)

integriere man zuerst in Hinsicht x und das Resultat in Hinsicht y oder umgekehrt. Zunächst hat man

d² z

ày

= F O, y)d x

und daher durch Integration, indem y als konstant angesehen wird,

= J*F (x, y) d x + (f (y).

Multipliziert man mit d y, betrachtet x als konstant und integriert, so erhält man als gesuchtes Integral

z=/dy J F (x, y) d x + (f (y) + f (x).

Wenn F (x, y) = c, so wird, wenn J </ (y)dy durch F (y) ersetzt wird,

äy

(5)

d z = [c x + <f (y)] d y, z = c x y + F (y) + f (x).

Diese Gleichung (5) stellt wieder eine Oberfläche dar. Für y = 0 wird die Gleichung der Kurve, längs der die Ebene xz von ihr geschnitten wird, sein

z = F(0) + f(x).

Da f(x) willkürlich ist, so sind unendlich viele solcher Kurven möglich. Nimmt man x — 0 an, so enthält Gleichung (5) alle Punkte der Oberfläche, die der Ebene yz angehören. Diese Punkte liegen in einer Kurve, deren Gleichung ist

z = F(y) + f(°)-

Auch hier ist F (y) willkürlich ; es können also unendlich viele Kurven dieser Art in der Ebene y z angenommen werden. Man erkennt hieraus die Mannigfaltigkeit der Oberflächen, die in (5) enthalten sind.

434. Gleichung mit dem ersten und zweiten Differentialverhältnis derselben Variahein. Es sei zu integrieren

d² z

(i)

dy

= Q,

in Gleichung (1), so geht sie über in

(3)

wo P und Q Funktionen von x und y sein sollen.

d² z

Setzt man

(2)

<3 z

ay

= u, also

ay

du + Pudy = Qdy.

Diese Gleichung stimmt der Form nach überein mit der in § 375 Um darin die Sonderung der Veränderlichen durchzu-

behandelten.

führen, nehme man

(4)

u = Yt,

wo Y und t zwei veränderliche Grössen bezeichnen; dann wird

(5)

d u = Y d t + t d Y.

Führt man die Werte von u und du aus (4) und (5) in (3) ein,

so kommt

Y(dt + Ptdy) + tdY = Qdy.

Wählt man nun Y so, dass

(6)

wird, so muss auch sein

dt-f- P t d y = 0.

Allein aus dieser Gleichung folgt, indem man durch t dividiert und

integriert,

(7)

= —Jpdy; t =

Setzt man diesen Wert von t in (6) ein, so wird

/rd y

dY =Qdye

Betrachtet man x als konstant und integriert, so kommt

(8)

= J Q3 ye-1 Pdy + <f (x).

Können die in (7) und (8) angedeuteten Integrationen ausgeführt werden, so kann auch Y als bekannt betrachtet werden. Mit Hilfe von (7) und (8) gibt daher Gleichung (4)

u = Ye-/p<G,

und da nach (2) d z = u d y, so wird nunmehr

dz = Ydye_Jpdy

und daher das Integral der gegebenen Gleichung

z=J^Ydye_Jpdy + f (x)-

(9)

Sind P und Q konstant, so wird

(10)

/Pdy =

Py; t = e~ p y ; Y =

TJ «P

ePy + 9(x)-

pH

[Qy — <P (x)-e-py] + f(x).

435. Gleichung mit zwei zweiten Differentialverhältnissen. Es sei die Gleichung zu integrieren

(1)

a²z

ö² z

— a²

dy² '

Man nehme an, das Integral lasse sich darstellen durch z — em x+u y,

wo m und n willkürliche Konstante bezeichnen. Die Differentiation von (2) gibt folgende partielle Differential Verhältnisse

d x²

(2)

ày

= m era x + “y ;

= n em x + n y,

a² z a x²

= m2emx+ny;

a² z a y²

= n² emx + ny.

a² z

a² z

a x² a y²

also m = i a n.

Es besteht also zwischen den willkürlichen Konstanten m und n ein bestimmter durch (3) gegebener Zusammenhang.

Ersetzt man in (2) die Grösse m durch fan, so erhält man zwei Werte von z, die mit z' und z" bezeichnet seien; dann wird

z' = e,]G+ax) ;

Diese Werte sind partikuläre Integrale von (1). Also wird auch die Summe z' -f- z" ein Integral von (1) sein und auch dann noch, wenn jeder der partikulären Werte mit einer Konstanten multipliziert wird. Der Wert von z ist daher

Setzt man die Werte von

und

in (1) ein, so folgt

(3)

m² = a² n² ;

z" = enG — ax>.

(4)

z = Ae"(y+ax) -f Be"(y-ax),

wo A und B die neuen Konstanten bezeichnen. Nun ist aber in (4) die Grösse n willkürlich und einer beliebigen Ausdehnung fähig. Gibt man der Grösse n eine Reihe von Werten n',n",.., so liefert (4) ebenso viele Integrale, als Werte von n angenommen werden. Die Summe dieser Integrale entspricht der Gleichung (1) allgemeiner als Gleichung (4). Man erhält daher als Ausdruck für das allgemeine Integral

(5)

z = 2Aen(y + as) -f 2Be“Cy—a*).

Allein das erste Glied rechts ist eine Funktion von y-f-ax, das zweite von y —ax. Diese Funktionen seien allgemein bezeichnet mit

d² z

d² z

(9)

F (y + a x) und f (y — a x). Daher kann (5) auch ausgedrückt werden durch

z = F (y + a x) + f (y — a x).

Dass dieser Wert von z das Integral ist von (I), zeigt die Probe. Die partiellen Differentialverhältnisse von (6) sind nämlich, da a konstant,

(6)

<3 z

= a_F' (y + a x) — a f (y — a x),

öz

= F' (y -f a x) + P (y — a x),

(7)

== a² F" (y + a x) + a² f" (y — a x)

(8)

2 = F" (y + a x) + f" (y — a x).

Setzt man die Werte von

d² z

und

d² z

dy²

aus

(6) und (7) in

d x²

(1) ein, so heben sich sämtliche Glieder auf und es leistet das Integral (6) der Gleichung (1) Genüge, Die Gleichung (6) stellt eine krumme Oberfläche dar, deren Form abhängt von dem Gesetze, dem die Funktionen auf der rechten Seite unterworfen sind. Das Integral (6) kann aber auch noch zu andern Zwecken verwendet werden, wie im folgenden Paragraphen gezeigt werden wird.

Ganz analog der Gleichung (1) kann die Gleichung

aôÿT

integriert werden. Man nehme als Integral an

z = em x + n y

und erhält durch Differentiation d² z

d² z

= mnemx + ny;

dy²

woraus durch Einsetzen in (9) die Bedingungen m = a n oder n — 0

d xd y

folgen. So erhält man die partikulären Integrale z/ = eIl(ax+y); z“ — emx

und durch dieselben Betrachtungen wie oben als allgemeines Integral von (9)

z = F(y + ax) + f(x), worin F und f beliebige Funktionen bezeichnen.

(10)

430. Schwingungen einer gespannten Saite. Eine Saite, an beiden Enden festgehalten, werde gespannt und hierauf in Bewegung versetzt, so dass die Schwerpunkte ihrer Querschnitte in einer Ebene, die durch die festen Endpunkte geht, hin- und herschwingen. Man soll deren Schwingungsdauer bestimmen.

Die Saite bildet in der Schwingungsebene Kurven. Man nehme die Gerade, die durch die Endpunkte A und B (Fig. 156) der Saite geht, als Abscissenachse und A als Anfangspunkt an. Es sei AmB eine Kurve, die die Saite bildet zur Zeit t. Ferner seien x, y die Koordinaten eines Kurvenpunktes m, s die Bogenlänge Am,

P die Spannung der Saite im Punkte m,

p das Gewicht jeder Längeneinheit der Saite und 1 die Entfernung AB der festen Punkte.

Lässt man x übergehen in x + d x, so wird y zu y -f- d y und s zu s + d s. Die Spannung P liegt in der Lichtung des Bogenelementes d s. Nun zerlege man P in zwei Seitenkräfte, die eine parallel, die andere senkrecht zu AB. Für die letztere erhält

man P

ày

Fig. 156.

ös '

Wenn x in x-j-dx übergeht.

ày

d y

über in P -—

so geht P

Also wirken an den Endpunkten von ds

zwei Kräfte, senkrecht zu AB, d. h. in der Richtung der Bewegung.

Nun kann man längs also wird

Daher wird das Bogenelement d s in dem Augen-

Der Unterschied beider Kräfte ist d P

ày

der Strecke d s die Grösse P als konstant annehmen

blicke, da die Zeit t abgelaufen ist, in der Richtung der Bewegung ge-d² y

trieben mit der Kraft P

ds

Man kann annehmen, diese Kraft bleibe

während des nun folgenden Zeitelementes dt konstant; also wird während dieser Zeit eine gleichförmig beschleunigte Bewegung entstehen (§ 159).

Das Gewicht des Bogenelementes ds ist pds. Man denke sich nun, dieses Element sei abgelöst von der Saite und sei nur dem Ein-d²y

flusse der Kraft P

ausgesetzt, es bewege sich also im Raume frei.

Entspricht der genannten Kraft die Beschleunigung g', dem Gewichte pds die Beschleunigung g, so verhalten sich die Beschleunigungen wie die Kräfte, die sie hervorbringen; daher gilt

: p d s.

g':g

₌ p üz

Allein nach § 407 ist die Beschleunigung in der Richtung (1er Bewegung auch

d²y dt² '

P d² y dt² ^ p ds² ’

Eliminiert man g' aus den beiden Gleichungen, so kommt d² y

Nun machen wir die Voraussetzung, die Ablenkung der Kurve von der Geraden A B sei so klein, dass d s mit d x vertauscht werden könne. Dann kann auch die Spannung P der ganzen Länge der Saite nach als konstant angesehen werden. Setzt man zur Abkürzung

(2)

— = a²

so geht Gleichung (1) über in

3² y

ô² y

= a²

ô x² '

Diese Gleichung stimmt der Form nach mit derjenigen überein, die in § 435 integriert ist. Ihr Integral wird daher sein

dt²

(3)

y — F (x + at) -f f (x — at).

Nun hat D’Alembert gezeigt, wie aus den Anfangs- und Grenzbedingungen die willkürlichen Funktionen F und f bestimmt werden können.

Es werde angenommen, für den Anfang der Bewegung, also für

t = O, seien die Werte von y und von

3y

bekannt; es sei etwa

(4)

(5)

3y

y = ⁽r (x) I = <f> (x)

( für t = 0,

und es seien (f (x) und (f, (x) für alle Werte von x —0 bis x—1 gegeben.

Aus der Gleichung (3) folgt alsdann

F(x) + f (x) = y(x),

F' (x) — f' (x) = — (f, (x).

cl

Setzt man — | (f, (x) d x = ip (x), so kann auch ip (x) bis auf eine

& ąj

willkürliche Konstante als bekannt angesehen werden; man hat alsdann

(6)

(7)

F (x) -j- f (x) = (f (x) ; F (x) — f (x) = ip (x),

aus denen

F(x) =

<P (x) + >p (x)

. (8)

f (x) =

folgen, durch welche Gleichungen F (x) und f(x) für alle Werte x in dem Bereiche x = 0 bis x = 1 bestimmt sind.

Aus (3) folgt aber, dass man y für alle möglichen Werte von x(Obisl) und t(Obiscc) kennt, wenn man die Funktionen F(z) von z = 0 bis z = oo, und f (z) von z = 1 bis z = — co kennt. Es kommt also darauf an, diese Funktionen innerhalb des übrig bleibenden Teiles des Intervalles, also

F (z) für das Intervall 1 < z < go , f (z) für das Intervall O > z > — oo

zu ermitteln.

Dies geschieht mit Hilfe der gegebenen Grenzbedingungen, nach denen y = 0 ist für x = 0 und x = 1. Man hat also aus (3) für jeden Wert von t

F (at) + f (— at) = 0,

F(l + at) + f(l- at) = 0, d. h. für jeden positiven Wert von z

(9)

( F (z) — f ( z) ;

( F(l + z)=-f(l-z).

Die erstere dieser Gleichungen führt die Bestimmung von f (z) für z < 0 auf die von F (z) für z > 0 zurück, so dass jetzt nur noch F (z) in dem Bereiche 1 < z < oo bestimmt werden muss. Diese Bestimmung geschieht zunächst durch die zweite Gleichung (9), wenn man z von 0 bis 1 wachsen lässt; denn für diese Werte variiert das Argument von f zwischen 1 und 0, wofür f (z) aus der zweiten Gleichung (8) bekannt ist. Die zweite Gleichung (9) liefert also F (z) in dem Bereiche z = 1 bis z = 21, so dass jetzt F (z) in dem Intervalle 0 bis 21, f (z) in dem Intervalle 1 bis — 21 bekannt sind.

Setzt man nun in der zweiten Gleichung (9) 1 + z' an Stelle von z und setzt z' > 0 voraus, so lautet sie

F(21 + z') = — f(— z'), woraus wegen der ersten Gleichung (9) folgt

(10)

F(21 + z') = F(z'), (z'>0),

d. h. die Funktion F (z) ist mit 21 periodisch. Jetzt ist durch (10) die Funktion F (z) für jedes z von z — 21 bis z = co bestimmt.

Wird in der ersten Gleichung (9) 21 —j- z' an Stelle von z gesetzt, so erhält man

F (21 + z') = — f(— 21 — z'), also wegen (10) und der ersten Gleichung (9)

(11)

f (— 21 — z‘) = f(— z'),    (—z'<l),

d. h. auch f (z) ist mit 2 1 periodisch.

Somit ist F (z) bekannt für das Intervall von

z — 0 bis z = 1 aus der ersten Gleichung (8), z = 1 bis z = 2 1 aus der zweiten Gleichung (9), z = 21 bis z = co aus der Gleichung (10), und f (z) für das Intervall von

z = 0 bis z = 1 aus der zweiten Gleichung (8), z = 0 bis z = —    aus der ersten Gleichung (9).

Nunmehr ist die Grösse y in (3) und damit die Gleichung der Kurve in (3) vollständig bestimmt.

Setzt man aber in (10) z' = x-j-at, in (11) — z' = x— at, so erhält man

(12)

( F (x -f- a t -f- 21) — F (x -f- a t),

I f (x — a t — 21) = f(x — at).

Daher nimmt y immer dieselben Werte wieder an, wenn at um 21,

t also um 2 — zunimmt, a

Setzt man aber 21 + at = at', so ist wegen der Gleichungen F (x -f a t) = F (x + a t') ; f (x — a t) = f (x — a t') und d t = d t'

ô F (x + a t) d F (x + a t') __ = at,

d f (x — at) d f (x — at')

dt'

so dass auch

ày

dt

wieder dieselben Werte erhält, wenn at um 21 zu-

nimmt.

21

die

Daraus folgt, dass jedesmal nach dem Verlaufe der Zeit

cl

Saite in den früheren Zustand zurück kehrt, dass also diese Zeit die Zeit einer Schwingungsdauer ist.

Wird diese Zeit mit T bezeichnet, so erhält man also

51=211/ P

a    y P • g

Die Schwingungsdauer ist also der Länge der Saite, der Quadratwurzel aus ihrem spezifischen Gewichte direkt der Quadratwurzel aus der Spannung umgekehrt proportional.

437. Wärmeleitung in einem homogenen prismatischen Stahe. Der

Stab befinde sich in einem gewissen Zustande der Erwärmung, hierauf werde er in ein Medium versetzt, worin die Temperatur Null herrsche ; gleichzeitig werde dafür gesorgt, dass die beiden Enden des Stabes sofort die Temperatur Null annehmen. Von nun an beginnt der Stab Wärme an das Medium abzugeben. Man soll den Wärmezustand des Stabes nach einer gegebenen Zeit bestimmen. Es sei

q der Querschnitt des Stabes, möglichst klein vorausgesetzt, u der Umfang seines Querschnittes,

x die Entfernung eines Querschnittes von dem einen Stabende, y die Temperatur in diesem Querschnitte nach der Zeit t, in allen Punkten des Querschnittes gleich gross vorausgesetzt, a die Länge des Stabes,

h,k die äussere und innere Leitungsfähigkeit der Wärme, also z. E. h die Wärme, die in der Zeiteinheit durch die Oberfläche 1 aus dem Stabe an das Medium übergeht, wenn der Unterschied der Temperaturen im Stabe und Medium 1⁰ beträgt, s die spezifische Wärme und p das Gewicht der Kubikeinheit des Stabes.

Legt man Querschnitte durch den Stab in den Abständen x — d x, x, x + d x und x -f- 2 d x vom Anfangspunkte aus, so entstehen drei Volumenelemente a, ß, y. Bewegt sich die Wärme in der Richtung von « nach y, so nimmt ß Wärme auf von a und gibt solche ab an y und an die Umgebung. Dieser Wärmeaustausch finde nach der Zeit t statt und dauere während des Zeitelementes dt. Nun verliert ß mehr Wärme als es bekommt; der Unterschied wird gleich sein der Abnahme am Wärmegehalte des Stabteilchens.

Das Prisma ß hat das Volumen qdx, also das Gewicht pqdx; es enthält daher bei der Temperatur y die Wärmemenge spqdx-y. Nimmt x um dx zu, so ändert sich diese Wärmemenge um ihr Differential, also um s p q d x d y.

Von « erhält ß durch innere Leitung in der Zeiteinheit auf die Stablänge 1 bei 1° Temperaturdifferenz eine Wärmemenge kq, also in der Zeit dt und bei der Temperaturdifferenz dy die Wärmemenge kqdtdy

3y

dt. Wenn sich x um dx

und bei der Länge dx die Wärme kq

ändert, so ändert sich auch diese Wärmemenge um ihr Differential, also d²y

um k q

d t. Hiervon muss nun noch abgezogen werden die Wärmemenge h u d x y d t, die die Oberfläche u d x des Prismas in der Zeit d t verliert. Daher gilt die Gleichung

spqdxdy = kq

dt—-hudxydt,

oder auch

ày

k ô² y

hu

s p d x²

spq

y-

Setzt man zur Abkürzung

k .

— = b;

(1)

hu

spq

so wird die vorstehende Gleichung sein dy ^ d²y _ dt dx²

(2)

ry.

Das letzte Glied dieser Gleichung kann nun noch beseitigt werden, indem man setzt

(3)

Denn die Differentiation von (3) gibt, da v veränderlich ist,

d²y

à y dv

= —— e_11

d t

3y

i) v

— _p— r t.

“ dx ’ dy d² y dt’ d x²

als vereinfachte Differentialgleichung der Wärmebewegung

d² v

dt = )^²'’ die nunmehr integriert werden soll.

Führt man die Werte von

(4)

d x²

und y in (2) ein, so folgt

Ein Integral dieser Gleichung ist

(ß)

v = A sin m x • e— bm2t,

worin A und m willkürliche Konstante bezeichnen. Behufs der Verifikation differentiiere man (5) in Hinsicht x, nachher in Hinsicht t; es kommt

= m A cos m x • e~bm2t ;

a² v

a x²

— m²A sin mx • e—bm2t;

at

= — b m²A sin m x • e~ bm2t

â² v ô x²

in der That beide Seiten gleich. Es ist daher (5) ein Integral von (4).

Nun ist zu prüfen, inwiefern Gleichung (5) den Bedingungen entspricht, die gemäss der Aufgabe gestellt werden müssen.

Die erste Bedingung ist die, dass die Temperatur an den Enden des Stabes gleich Null sein müsse. Für x = 0 und x = a muss also y in (3) .und somit auch v in (3) und (5) zu Null werden. Für x = 0 wird nun v in (5) ohne Weiteres zu Null; dagegen für x = a nur,

TC    TV

wenn m = — oder ein Vielfaches von — ist. Nimmt man die will-

Setzt man diese Werte von

und

in (4) ein, so werden

TV X

an, so wird sinmx = sin—— und diese Grösse

a

wird = 0 für x = a. Durch diese Modifikation von (5) erhält man

kiirliche Grösse m =

(6)

v = A sin

G)¹”*

Die zweite Bedingung, der das Integral (6) entsprechen soll, ist die, dass dasselbe den ursprünglichen Wärmezustand des Stabes angibt für t = 0. Hierfür wird nun (6) zu

(7)

v = A sin

n x

woraus man nach (3) schliesst, dass A die Anfangstemperatur an jener

Stelle bezeichnet, für die sin

~ a ist. Von da aus

7T X

nimmt vor- und rückwärts die Temperatur ab wie der Sinus von .

Somit setzt Gleichung (6) einen ganz speziellen ursprünglichen Wärmezustand voraus. Unter unendlich vielen Wärmezuständen, die willkürlich geschaffen werden, wird sich nur einer finden, der dem Gesetze (6) der Wärmeverteilung entspricht. Es kann daher das Integral (6) nur ein partikuläres sein.

Um das allgemeine Integral zu finden, das alle denkbaren anfänglichen Wärmezustände in sich schliesst, lasse man in (5) die Konstanten A und m sich ändern. Für A erhalte man der Reihe nach Ai,

A₂,A3,.. und für m, gemäss Formel (6), die entsprechenden Werte re 2 n 3 n

: alsdann bekommt man durch Einfuhren dieser Werte

in (6) ebenso viele partikuläre Integrale, deren Summe

7T X

(8) v = Ai sin — •

-(-7

e x '

+ Ao sin

2 71 'S.

3 ns.

-f A3 SÙl

/Un y

— (- bt

Vu/

ebenfalls ein Integral von (4) sein wird. Enthält diese Reihe unendlich viele Glieder, so kann ihr Wert als das allgemeine Integral von (4) angesehen werden. Die Reihe (8) konvergiert rasch, denn die Exponential-grösse mit wachsendem, negativem Exponenten nimmt sehr rasch ab.

Setzt man in (8) t = 0, so reduzieren sich die Exponentialgrössen auf 1. Wird der dabei entstehende Wert von v mit (f (x) bezeichnet, so erhält man

(9) (f (x) — Ai sin

71 X

+ A₂ sin

-f A3 sin

2 ns.

Diese Gleichung stellt eine Kurve dar, die die Abscissenachse in den Punkten x = 0 und x = a schneidet. Speziellen Werten von x, wie xi, x₂, . . entsprechen die Ordinaten (f (x 1), <p(x₂), . . Diese sind nichts anderes als die ursprünglichen Temperaturen des Stabes an Stellen, die um xi,x₂,.. vom Anfangspunkte abstehen. Sind diese Temperaturen gegeben, so kann die Kurve gezeichnet werden, und es sind dann die Yorzahlen Ai,A₂,.. keine willkürlichen Grössen mehr, sondern Ergebnisse der Rechnung.

rechnen.

Man stelle sich in der That die Aufgabe, diese Vorzahlen zu be-Teilt man zu dem Zwecke a in n .+ 1 gleiche Teile, bezeichnet die Abscissen der aufeinander folgenden Teilpunkte mit xi, x₂,..xn, die entsprechenden Vorzahlen mit Ai,A₂,..A,„ so liefert (9) folgende spezielle Gleichungen

.    . n 71 xi

•. + A„ sin—-;

a

n 71X2

(f (xi ) = A-i sin--p A2 sin-

(i    <1

(f (x₂) — Ai sin 71X2 -j- A₂ sin

a    a

+ A„ sin

2 n x₂

(f (x„) = Ai sin

7T Xn

A₂ sin

2 71 xu

+ • • + A„ sin

n TT x„

Da so viele Gleichungen vorhanden sind als unbekannte Grössen Ai, A₂,. . , so könnten diese auf gewöhnlichem Wege ermittelt werden. Es mag dies auch für eine kleine Anzahl von Unbekannten geschehen. Allein hier soll folgender Weg eingeschlagen werden.

C TT X

Ein Gflied der Reihe (9) sei Aesin-, wo c eine ganze Zahl

Bj

bezeichnet, die zwischen 0 und n liegt. Man multipliziere die vorstehenden Gleichunsen mit —-—

n + 1

und ausserdem noch

c n xu

.    , v . C7TXÜ

..ffP (x„) Sin -

ct

n + 1

Lässt man hierin n unendlich gross werden, 'so wird ^ | als

unendlich kleiner Teil der Geraden a, zu d x. Die Glieder in der Klammer sind Ordinaten einer Kurve, entsprechend den Abscissen xi,

C TV X

. Der Abscisse x gehört die Ordinate ff (x) sin-- zu ; das Pro-

dukt der letztem mit dx ist ein Element der Fläche, die die Kurve und Abscissenachse einschliessen. Integriert man dieses Flächenelement zwischen den Grenzen x = 0 und x = a, so erhält man die ganze Fläche, bezw. die Summe der Glieder links der vorstehenden n Gleichungen. Diese ist daher

X2, •

(10)

r*a ... c7ix

ff (x) sin-

Jo    a

d x.

e 7i x

irgend ein Glied der Reihe (9), so stehen im obigen

System von Gleichungen n Glieder vertikal untereinander mit der Vorzahl 'Ae- Diese geben die Summe

C Tt Xi

Ist Ae sin

Ae sin

sin

e zi xi

4- sin

c tt x₂ . e n x₂

sin

a^ ⁺ -‘

n 4- 1

Es liegt also wieder eine Quadratur vor. Der allgemeine Ausdruck

der Ordinate ist Ae sin C 71X sin 6 n X ; daher die Fläche zwischen den

a    a

Grenzen x = 0 und x = a

rb a

e sin

J 0

Es kommt eine Vertikalreihe vor, bei der c und e übereinstimmen. Lässt man für diese Reihe e in c übergehen, so erhält man aus (11)

c 7r x\²

(11)

C 7T X

- sin

d x.

(12)

sin

d x.

Man denke sich in (11) die Grössen c und e verschieden. Aendert sich dann, wie die Integration dies voraussetzt, die Variable x von 0

c n x

bis a, so nehmen die Faktoren sin

und sin

positive und

negative Vorzeichen an, dasselbe wird auch der Fall sein mit ihren Produkten. Eine Zusammenstellung zeigt, dass je einem positiven Produkt ein gleiches negatives entspricht, so dass das Integral (11) zu Null wird. Ein Beweis für diesen Satz kann auch wie folgt geführt werden. Es ist

sin

c 71 x

sin

e 7T x

to i—

cos

(e — c) n x

— cos

(e + c) n x

wie sich sofort ergibt, wenn die Cosinuswerte rechts nach der Formel cos («iß) entwickelt werden. Daher hat man statt désintégrais (11)

(e — c) n x

(13)

LCdx[

■ •ns

— cos

(e + c) n x

Allein es ist

cos-

a . b n x ......

sm-; folglich

R

cos

b 71 X

<= 0,

da 5 eine ganze Zahl bezeichnet. Daher verschwinden beide Glieder im Integrale (13); also ist auch das Integral (11) gleich Null.

Somit reduziert sich die Summe aller Glieder auf der rechten Seite des vorstehenden Systems von Gleichungen auf das Integral (12). Nun ist nach § 87 bis auf eine Konstante

r*    11

I sin²x d x = — x —— sin 2 x,

sin

c n x 's²

dx

C TT X

sin

2 C 71 x'

toi to

Ac. Setzt man diesen Wert

und daher das Integral der letzten Gleichung für die angegebenen Grenzen = und das Integral (12) = dem Integrale (10) gleich, so folgt

(14)

Ac

Pa .    . C 71 x

— - - ff (x) sin-

J 0    8«

to tO

d x.

Hiermit ist das Bildungsgesetz der Vorzahlen Ai,A2,.. gefunden. Da dasselbe nur von den Grenzen abhängt, kann man für x einen beliebigen andern Buchstaben, z. B. z schreiben, so dass das allgemeine Glied der Reihe (9) lautet

so tO

sin

C7TX f»a . .    . c 71

-- ff (z) sm-

a J o    a

d z.

Daher kann die Summe aller Glieder dieser Reihe dargestellt wer

den durch

Summiert man die Glieder der Reihe, indem man das Zeichen vor das allgemeine Glied setzt, multipliziert sodann noch nach Vorschrift von (3) mit e~rt, so kommt

/ C TI y

V a /

I (f (z) sin J o

!» t

d z.

(15) y(x)

c n x f*'¹    en

- (f (z) Sill

a J o    a

d z,

worin c von 1 bis co auszudelmen ist.

Mit Hilfe des Wertes von At in (14) wird nun das allgemeine Glied der Reihe (8)

2 .

— Sill

i» t

f*il , , . c n z <f (z) sin —

Jo    a

— d z.

(16) y = — e

Diese Gleichung gibt die Temperatur y des Stabes für jeden Wert von x und nach jeder gegebenen Zeit, so unregelmässig auch die Vrärme im Anfangszustande verteilt gewesen sein mag.

Mit wachsender Zeit nehmen die Glieder der Reihe (81, der Ex-ponentialgrösse wegen, sehr rasch ab und reduzieren sich bald auf das erste Glied. Alsdann fällt das Summeuzeichen A aus (16) weg, zugleich wird c = 1 und die Gleichung geht über in

(17)

2 . — Sili

l . Tl'¹ 1) \

r    n

(f (z) sin — Jo    a

d z.

y = a

Welches auch der Wert von (f (z) sein mag, das bestimmte Integral ist immer eine Konstante; wird sie mit B bezeichnet, so wird (17) zu

2 B .

v =-sin

a    a

Diese Gleichung zeigt, dass im Stabe vom Anfangszustande an die Tendenz herrscht, eine Wärme Verteilung herbeizuführen, die der Grösse n x

sin

also dein Sinus der Bogen des Halbkreises proportional ist.

Diese Grösse kam aber schon im partikulären Integrale (7) vor; also wird der Zustand, den das partikuläre Integral darstellt, bald erreicht und bis zur gänzlichen Abkühlung verbleiben.

Denkt man sich die Wärme anfangs ganz regellos verteilt, z. B. ■so, dass die Temperatur in der Mitte des Stabes kleiner ist als in benachbarten Teilen rechts und links, so wird die Wärme von beiden Seiten her nach der Mitte sich bewegen, wie nach den Enden des Stabes. In einem gewissen Augenblicke hört der Zufluss nach der Mitte hin auf, von da an sinkt zu beiden Seiten die Temperatur unter jene der Mitte und es ist nunmehr jener Zustand nahezu erreicht, der durch das partikuläre Integral ausgedrückt wird.

Sachregister (Die Zahlen bezeichnen die Seite)

Ableitungen einer Funktion 308.

Abkühlung eines Körpers durch Strahlung 2G6.

Abplattung der Erde 279.

Absolute Temperatur 283; 286.

Aggregat, Stetigkeit 8; Differentiation 18.

Anziehung einer Geraden und eines Punktes 233; eines Kreises und eines Punktes 236; eines Kegels und seiner Spitze 237; einer Halbkugel 237; einer Kugel und eines Punktes der Oberfläche 238; einer Kugel und eines ausserhalb gelegenen Punktes 239; einer Kugel und eines Punktes im allgemeinen 430; eines Berges und eines Punktes auf seiner Spitze 433.

Aequivalent, mechanisches der Wärmeeinheit 284.

Arbeit, mechanische; Begriff 185; heim Einschlagen eines Nagels 185; bei Verschiebung von Wasser in kommunizierenden Röhren 186; Ueber-tragung durch Kurbel 187; bei der Drehung eines Rechtecks in widerstehendem Medium 188; des Dampfes einer Expansionsmaschine 189; beim Zusammeudrücken eines Gases 190.

Arbeit, lebendige; Begriff 192; eines frei fallenden Körpers 193; einer in einen Erdwall eindringenden Kugel 194; eines rotierenden Cylinders 204; einer rotierenden Kugel 204.

Arcussinus-reihe 82.

Arcustangens-reihe 83.

Argument einer Funktion 4.

Asymptoten der Hyperbel 53; 57; ebener Kurven 56; der Kegelschnitte im allgemeinen 57.

Atmosphäre: ihre Erwärmung durch die Strahlung der Erde 267; ihre Höhe 271.

Ausdehnung eines vertikal aufgehängten Stabes 219.

Barometrische Höhenmessung 273;

Basis der natürlichen Logarithmen 26.

Bereich einer Variabein 2.

Bernoullische Differentialgleichung 444; Reihe in der Integralrechnung 397.

Berührung ebener Kurven 371.

Beschleunigung 163.

Bewegung, gleichförmige 163; gleichförmig und ungleichförmig veränderte 163; Differentialformeln 164; gleichförmige Kreisbewegung 165; gleichförmig beschleunigte 165; gleichförmig verzögerte 166; eines Körpers in einer Geraden, die die Mittelpunkte zweier Himmelskörper verbindet 511; in einer vertikalen Kurve infolge der Schwere 513; in der Cykloide 514; schwingende Bewegung 530; der Himmelskörper 568.

Bifilarmagnetometer 550.

Binomialformel von Moivre 87.

Binomische Reihe 72.

Bogenelement einer ebenen Kurve 109; in Polarkoordinaten 384; einer Raumkurve 406.

Böschungslinie einer Sandmasse 215.

Carnotscher Kreislauf 291.

Cosinus, Differentiation 30; wiederholte Differentiation 311; unendliche Reihe 78; numerische Berechnung 79; Reihe für log cos 80; der Vielfachen eines Bogens 87.

Cotangente, Differentiation 31.

Cykloide, Gleichung und Rektifikation 113; Quadratur 126; Schwerpunkt der Kurve 154; der Fläche 157; Krümmungshalbmesser und Evolute 379; als Tautochrone 514.

Cyklometrische Funktionen siehe Kreisfunktionen.

Cylinder, Trägheitsmoment 200; lebendige Kraft eines rotierenden Cylinders 204; Schnittkurve zweier Cylinderflächeu 407; Schnittkurve einer Kugelfläche und einer Cylinderfläche 408; Volumen des schief abgeschnittenen Cylinders 414.

Dichtigkeit der Erde im Innern 278; grösst des Vassers 363; mittlere der Erde 537.

Differential einer Veränderlichen 14.

Differentialquotient einer Funktion einer Veränderlichen 14; geometrische Deutung 13; partieller 36; höhere 305; höhere partielle 333.

Differentialgleichungen, gewöhnliche erster Ordnung mit zwei Veränderlichen 441; lineare 442; homogene 444; vollständige 446; erster Ordnung und zweiten Grades 449; Integration durch Reihen 452; durch Konstruktion 454; der zweiten Ordnung mit zwei Variabein 459; Integration derselben durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten 474.

Differentialgleichungen, partielle erster Ordnung 571; mit einem partiellen Differentialverhältnis 571; lineare 573; zweiter Ordnung 579; mit nur einem partiellen Differential Verhältnis 580; mit dem ersten und zweiten derselben Variabein 581; mit zwei zweiten 583.

Differentiation einer Potenz 16; 21; eines Aggregates 18; des Produktes zweier Funktionen 19; des Quotienten zweier Funktionen 20; einer Quadratwurzel 23; des Logarithmus 23; der Exponentialfunktion 28; des Sinus 29; des Cosinus 30; der Tangente und Cotangente 31; der cyklometrischen Funktionen 32; der Funktion einer Funktion 33; einer Funktion zweier Funktionen 35; unentwickelter Funktionen 38; einer Potenzreihe 71; einer Funktion mehrerer Veränderlichen 335; eines bestimmten Integrals nach einem Parameter 398.

Differentiation, wiederholte der Potenz 310; des Logarithmus 310; der Exponentialfunktion 310; der trigonometrischen Funktionen 311; eines Aggregates 311 ; eines Produktes 312 ; der Funktion einer Funktion 313; der cyklometrischen Funktionen 314; einer Funktion mit mehreren Veränderlichen 336; unentwickelter Funktionen einer unabhängig Veränderlichen 337; unentwickelter Funktionen mehrerer unabhängig Veränderlichen 338.

Divergenz unendlicher Reihen 58; 63.

Dreieck, Schwerpunkt und Fläche 154.

Durchdringung zweier Cylinderflächeu 407; einer Cylinderfläche und einer Kugelfläche 408; 421; 425. .

Ebene Kurven; Spitze und Wendepunkt 40; 380; Tangente, Normale, Sub- * tangente, Subnormale 50; Asymptoten 56; Rektifikation 108; Quadratur 114; Krümmung 371.

Elastische Linie, Krümmung 495; eines am einen Ende eingespannten horizontal liegenden Stabes 496; eines auf zwei Stützen liegenden Stabes 498; eines am einen Ende eingespannten, am andern gestützten belasteten Stabes 503; eines in der Längenrichtung zusammengedrückten Stabes 507.

Elastizität, Grenze 217; Modul 218.

Element des Bogens einer ebenen Kurve 109; 384; der Fläche einer ebenen Kurve 114; 384; eines bestimmten Integrals 119; einer Rotationsfläche 128; eines Rotationskörpers 132.

Ellipse, Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale 52; Rektifikation 111; Quadratur 123; Krümmungshalbmesser und Evolute 378; Gleichung in Polarkoordinaten 383.

Ellipsoid, Oberfläche des Rotationsellipsoids 130; Volumen 134; Volumen des dreiachsigen 414.

Erde, Dichtigkeit im Innern 278; Abplattung 279; mittlere Dichtigkeit 537.

Eulerscher Multiplikator einer Differentialgleichung 448.

Evolute einer Kurve 375; der Parabel 376; der Ellipse 377; der Cykloide 379.

Evolvente des Kreises, Gleichung und Rektifikation 114.

Exponentialfunktion, Differentiation 28; wiederholte Differentiation 310; Entwickelung in unendliche Reihe 68; Integration 92.

Extreme Werte der Funktionen einer Variabein 39; der Funktionen zweier Variabein 365.

Fall freier im leeren Raume 167; im Erdinnern 168; mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes 170; in einem Medium, dessen Widerstand dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist 172; lebendige Arbeit beim freien Falle 193.

Festigkeit der Körper, verschiedene Arten 217; absolute eines Stabes 218; relative eines Stabes 221; relative eines Cylinders 224.

Flächenelement einer ebenen Kurve 115; in Polarkoordinateu 384; einer krummen Oberfläche in rechtwinkeligen Koordinaten 416; in Polarkoordinaten 423.

Formel von Maclaurin 324; von Taylor 319.

Funktion einer Veränderlichen 3; analytische 4; eindeutige und mehrdeutige 4; explicite und implicite 4; algebraische 4; transcendente 4; inverse 4; Kreisfunktionen 5; periodische 5; geometrische Darstellung 6; stetige und unstetige 6; Grenzwert 10; Funktion einer Funktion 33; extreme Werte 39; mittlerer Wert 120.

Gas, Arbeit beim Zusammendrücken eines Gases 190; Druck eines Gases mit Rücksicht auf sein Gewicht 270; Kreislauf eines Gases 286; Erklärung des Gasdruckes 300.

Gasströmung 184.

Gay Lussacsches Gesetz 285.

Geometrische Reihe, unendliche und ihre Konvergenz 59.

Gerade, Trägheitsmoment 198; Anziehung einer Geraden und eines Punktes 233.

Geschwindigkeit 163.

Gleichförmige Konvergenz einer Reihe 68.

Gleichung, Auflösung numerischer Gl. mit einer Unbekannten 340; mit zwei Unbekannten 342; mit gleichen Wurzeln 344.

Gravitationsgesetz 231.

■=\

Grenze 9.

Grenzwert einer Funktion 10.

Guldinsche Regel für Rotationsflächen 160; für Rotationskörper 161.

Höhe der Atmosphäre 271.

Höhenmessung durch das Barometer 273.

Homogene Differentialgleichungen 444.

Hydromechanik; Druck des Wassers gegen verschieden geformte Gefäss-wände 249; Tiefe des Eintauchens eines Cylinders 252; Ausfluss aus einer Bodenöffnung bei konstantem Drucke 253; Ausfluss aus einer Oeffnung in einer Seitenwand 253; Entleeren verschieden geformter Gefässe 256; Reibung in einer Röhrenleitung 260; Stoss des Wassers gegen verschiedene Körper 262.

Hyperbel, Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale 53; Asymptoten 53; 57; Quadratur 124; Gleichung in Polarkoordinaten 383.

Hyperboloid, Volumen 135.

Inhalt krummer Oberflächen in rechtwinkligen Koordinaten 416; in Polarkoordinaten 423.

Integrale, unbestimmte 89; logarithmische und exponentielle 92; trigonometrische 93; auf Kreisfunktionen führende 93; vielfache 412.

Integrale, bestimmte 104; Aenderung der Grenzen 105; als Summe aus unendlich kleinen Teilen 118; Differentiation nach einem Parameter 398; für besondere Grenzen 402; näherungweise Berechnung 403.

Integral einer Differentialgleichung 441; allgemeines, partikuläres und singuläres 456; Ableitung des allgemeinen aus einem partikulären 473.

Integration, Begriff und Bezeichnung 89; einer Potenz 91 ; eines Aggregates 94; nach Differentiation 95; durch Einführung neuer Variabein 98; teilweise oder partielle 100; durch unendliche Reihen 103; rationaler gebrochener Differentiale 389; irrationaler algebraischer Differentiale 392; von Differentialen mit VA-f Bx-f Cx² 393; transcendentni- Differentiale 395; durch Variation einer Konstanten 398.

Integration einer Differentialgleichung durch Reihen 452; durch Konstruktion 454; nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten 474.

Integrationskonstante 90.

Integrierender Faktor einer Differentialgleichung 448.

Joulesche Zahl 284.

Kegel, gerader, Mantelfläche 128; 422; Volumen 132; Trägheitsmoment 201.

Kegelschnittsgleichung in Polarkoordiuaten 384.

Kepplers Satz vom Maximum und Minimum 364.

Kepplersche Gesetze der Zentralbewegung 559; 564; 571.

Kettenlinie 145; parabolische 146; gemeine 147; 479; allgemeine Gesetze 478.

Komplanation von Rotationsflächen 127; des Mantels eines geraden Kegels 128; der Kugel und der Kugelzone 129; des Paraboloids 129; des Ellipsoids 130; des abgeplatteten Sphäroids 130.

Konstante der Integration 90.

Kontingenzwinkel einer ebenen Kurve 374; einer Raumkurve 406.

Konvergenz unendlicher Reihen 58; unbedingte und bedingte 67; gleichförmige 68.

Koordinaten, rechtwinklige 6.

Kraft und Potential 247.

Kreis, Tangente und Normale 55; Rektifikation 109; Quadratur 124; Schwerpunkt des Bogens 152; des Sektors und des Segments 156; Trägheitsmoment 199.

Kreisevolvente, Gleichung und Rektifikation 114.

Kreisfunktionen 5; Differentiation des Sinus 29; des Cosinus 30; der Tangente und Cotangente 31; der cyklometrischen Funktionen 32; wiederholte Differentiation 311; 314; Reihen für die Kreisfuuktionen 78; Integrale, die auf Kreisfunktionen führen 93.

Kreislauf eines Gases 286; von Carnot 291.

Krümmung ebener Kurven 371; der elastischen Linie 495.

Krümmungsebene einer Raumkurve 406

Krümmungshalbmesser einer ebenen Kurve 373; der Parabel 376; der Ellipse 377; der Cykloide 379; in Polarkoordiuaten 385; der- avchi-medischen Spirale 386; der hyperbolischen Spirale 387.

Kubatur von Rotationskörpern 132; des Kegels 132; der Kugel 133; des Ellipsoides 134; des Sphäroides 134; des Paraboloids 135; des Hyperboloids 135.

Kugel, Oberfläche und Zone 129; 420; 425; Volumen 133; loxodromische Linie 140; Schwerpunkt einer Zone 158; einer Schicht 159; Trägheitsmoment 201; lebendige Kraft einer rotierenden Kugel 204; Schnittkurve mit einer Cylinderfläche 408; Anziehung einer Kugel und eines Punktes 239; 433; Potential der Kugelfläche auf einen Punkt 245.

Kurbel zur Uebertragung mechanischer Arbeit 187.

Kurve von gegebener Eigenschaft 136; mit konstanter Subtangeute 136; mit konstanter Subuormale 137; mit konstanter Länge der Tangente 137; mit konstanter Länge der Normale 138; die ein Rechteck in gegebenem Verhältnis teilt 138; die eine Rotationsfläche von gegebenem Inbalte erzeugt 139; die einen Rotationskörper von gegebenem Volumen erzeugt 140; Berührung und Krümmung von Kurven 371; Evolute einer

Kurve 375; besondere Eigentümlichkeiten von Kurven 380; Gleichung in Polarkoordinaten 382.

Lebendige Kraft s. Arbeit, lebendige.

Lichtiutensität, ihre Abnahme in der Luft und im Wasser 2(35.

Lineare Differentialgleichung 442.

Lineare partielle Differentialgleichung 573.

Logarithmen; Differentiation 23; wiederholte Differentiation 310; natürliche oder hyperbolische 27; 125; unendliche Reihe für die logarithmische • Funktion 75; numerische Berechnung der natürlichen 76; der gemeinen Logarithmen 77; Modul der gemeinen Logarithmen 77.

Logarithmische Kurve, Quadratur 126.

Logarithmische Spirale als Böschungslinie einer Sandmasse 215.

Loxodrome auf der Kugel 140; auf dem Sphäroid 143.

Maclauriusche Reihe für Funktionen einer Veränderlichen 324.

Maxima und Minima der Funktionen einer Veränderlichen 39; Erkennung der Maxima und Minima durch die höheren Differentialquotienten 358; der Funktionen zweier Veränderlichen 365.

Mechanische Wärmelehre s. Wärmelehre.

Mittelpunkt der Trägheit 197; des Wasserdrucks auf eine Gefässwand 250.

Mittelwertsatz 318.

Modul der gemeinen Logarithmen 77 ; der Festigkeit 217; der Elastizität 218; der Torsionselastizität 230.

Moivresche Biuomialforinel 87.

Multiplikator, Eulerscher, einer Differentialgleichung 448.

Neutrale Schicht eines gebogenen Stabes 221; eines gebogenen Cylinders 224.

Newtonsche Methode der Auflösung numerischer Gleichungen 340.

Normale einer ebenen Kurve 50; der Parabel 51; der Ellipse 52; der Hyperbel 53.

Numerische Berechnung der Logarithmen 76; von sinus und cosinus 79; von 7i 83; 85; von bestimmten Integralen 403.

Oberfläche von Rotationskörpern 127; des Kegels 128; der Kugel und der Kugelzone 129; des Paraboloids 129; des Ellipsoids 130; des Sphäroids 130; Quadratur krummer Oberflächen 416.

Parabel, Subtangente und Subnormale 51; Rektifikation 110; Quadratur 116; Schwerpunkt des Bogens 153; der Fläche 158; Krümmungshalbmesser und Evolute 376; Gleichung in Polarkoordinateu 384; Rektifikation der semikubischen 110.

Paraboloid, Oberfläche 129; Volumen 135; Schwerpunkt 160.

Parallelepiped, Trägheitsmoment 200.

Partialbrüche bei einfachen reellen Wurzeln des Nenners 349; bei mehrfachen reellen Wurzeln 350; bei komplexen Wurzeln 350; Anwendung der Differentialrechnung auf die Zerlegung in Partialbrüche 353.

Partielle Differentialgleichungen 571.

Partielle Differentialquotienten 36; höhere 333.

Partikuläres Integral einer Differentialgleichung 456.

Pendel im leeren Raume 177; in der Luft 542; physisches im leeren Raume 547.

Poissonsches Gesetz für Gase 290.

Poissonsche Methode für die näheruugsweise Berechnung eines bestimmten Integrals 404.

Polarkoordinaten 382; Flächenelemeut 384; Bogeuelement 384; Subtangente und Subnormale 385; Krümmungshalbmesser 385; Volumenelement 415; Element einer krummen Oberfläche 423.

Potential, Begriff und Ausdruck 240; physikalische Bedeutung 241; einer materiellen Geraden auf einen Punkt in der Geraden 242; eines Kreises auf einen Punkt ausserhalb 243; einer Cylinderfläche auf einen Punkt der Achse 244; der Oberfläche der Halbkugel auf den Mittelpunkt 244; der Kugelfläche auf einen beliebigen Punkt 245; Zusammenhang zwischen Kraft und Potential 247.

Potenz, Differentiation 16; 2L; wiederholte Differentiation 310,; Integration 91.

Potenzreihen 68; gleichförmige Konvergenz 70; Stetigkeit der durch eine Potenzreihe dargestellten Funktion 71; Differentiation 71; Identität zweier Potenzreihen 71; Integration 103.

Produkt, Stetigkeit 8; Differentiation 19; wiederholte Differentiation 312.

Projektil im Geschützrohr 182.

Pyramide, Schwerpunkt 159."

Quadratur ebener Kurven 114; der Trapezfläche 115; des Dreiecks 116; der Parabel 116; der Ellipse 123; des Kreises 124; der Hyperbel 124; der Sinuskurve 125; der logarithmischen Linie 126; der Cykloide 126; krummer Oberflächen in rechtwinkligen Koordinaten 416; in Polarkoordinaten 423; der Durchdringungsfläche von Kugel und Cylinder 421 ; 425.

Quadratwurzel, Differentiation 23.

Quantität der Bewegung, Begriff und Ausdruck 207 ; Beziehung zur lebendigen Arbeit 208; einer rotierenden Stange 208; einer rotierenden Kugel 209.

Quotient, Stetigkeit 9; Differentiation 20.

Raumkurven, Länge des Bogenelements 406; Länge der Schraubenlinie 407; Schnittkurve zweier Cylinderflächen 407; Schnittkurve einer Kugel- und einer Cyliuderfläche 408.

Rechteck, Teilung in gegebenem Verhältnis 138; Trägheitsmoment 198.

Regula falsi zur Auflösung numerischer Gleichungen 341.

Reibung, im allgemeinen 211 ; eines horizontalen cylindrischen Zapfens 211; eines vertikalen cylindrischen Zapfens 212; eines vertikalen konischen Zapfens 212; eines Kugelzapfens 213; eines Seiles 214; auf geneigter Fläche 216; des Wassers in einer Röhrenleitung 260.

Reibungskoeffizient 211.

Reihen unendliche 58; konvergente und divergente 58; unendliche geometrische 59; mit nur positiven Gliedern 60; Prinzip der Reihenver-gleicbung 61; Kriterinm der Konvergenz 63; mit positiven und negativen Gliedern 64; alternierende 65; unbedingt und bedingt konvergente 67; mit variabeln Gliedern 67; gleichförmige Konvergenz 68; Potenzreihen 69; binomische 72; für die Exponentialfunktion 74; für den Logarithmus 75; für Sinus 78; für Cosinus 78; für logsin und log cos 80; für Tangens 81 ; für arcsin 82; für arc tang 83.

Reihe von Maclaurin für f (x) 324.

Reihe von Taylor für Funktionen einer Veränderlichen 319; für Funktionen zweier unabhängig Veränderlichen 332.

Rektifikation ebener Kurven 108; des Kreises 109; der Parabel 110; der semikubischen Parabel 110; der Ellipse 111; der Cykloide 113; der Kreisevolvente 114.

Rekursionsformeln in der Integralrechnung 98; für die höheren Differential-quotienten der cyklometrischen Funktionen 314; für bestimmte Integrale 399.

Restglied der Taylorschen und Maclaurinschen Reihe 326; Anwendung auf die Exponentialreihe 328; auf die logarithmische Reihe 329; auf die binomische Reihe 330.

Rolles Theorem 317.

Rotationsfläche, Element und Komplanation 128; von gegebenem Inhalte 139; Guldinsche Regel 160.

Rotationskörper, Element und Kubatur 132; von gegebenem Volumen f40; Guldinsche Regel 161.

Saite, schwingende 584.

Schraubenlinie, Läge 407.

Schwerpunkt im allgemeinen 151; des Kreisbogens 152; des Parabelbogens 153; der Cykloide 154; der Dreiecksfläche 154; der Trapezfläche 155; des Kreissektors 156; des Kreissegments 156; der Cykloidenfläche 157; der Parabelfläche 158; der Kugelzoue 158; der Kugelschicht 159; der Pyramide 159; des Paraboloids 160.

Schwingungen eines elastischen Stabes 530: eines Torsionspendels 533; eines elastischen Mediums 535; des Pendels in der Luft 542; im leeren Raume 177; des physischen Pendels im leeren Raume 547; des Bifilarmagneto-meters 550; einer gespannten Saite 584.

Seiltrommel 149.

Simpsonsche Methode für die näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals 403.

Singuläres Integral einer Differentialgleichung 456.

Sinus, Differentiation 29; unendliche Reihe 78; numerische Berechnung 79; Reihe für log sin 80; der Vielfachen eines Bogens 87.

Sinuskurve, Quadratur 125.

Sphäroid, Oberfläche 130; Volumen 134; loxodromisclie Linie 143.

Spirale logarithmische als Böschungslinie einer Sandmasse 215; archimedische 386; hyperbolische 387.

Spitze einer ebenen Kurve 40.

Stetigkeit einer Variabein 3; einer Funktion 7; eines Aggregates 8; eines Produktes 8; eines Quotienten 9; einer durch eine unendliche Potenzreihe definierten Funktion 71.

Stoss des Wassers gegen verschiedene Körper 262.

Subnormale und Subtangente einer ebenen Kurve 50; der Parabel 51; der Ellipse 52; der Hyperbel 53; bei Polarkoordinaten 384.

Tangens, Differentiation 31 ; unendliche Reihe 81.

Tangente einer ebenen Kurve und ihre Länge 50; der Parabel 51; der Ellipse 52; der Hyperbel 53.

Tautochrone 516.

Taylors Reihe für Funktionen einer Veränderlichen 319; angewandt auf gebrochene rationale Funktion 322; auf Wurzelgrössen und logarithmische Ausdrücke 323; auf die trigonometrischen Funktionen 324, für Funktionen mit zwei unabhängig Veränderlichen 332.

Toricellis Gesetz der Hydromechanik 253.

Torsion eines cylindrischen Stabes 226; eines Kegelstumpfes 231; eines rechtwinkligen Prismas 427.

Torsionspendel 533.

Trägheitsmittelpunkt 197.

Trägheitsmoment, Begriff und Ausdruck 196; einer materiellen Geraden 198; eines Rechtecks 196; eines Kreises 199; eines Parallelepipeds 200; eines Cylinders 200; eines Kegels 201; einer Kugel 201; 428; Verlegung der Achse 202.

Tragvermögen eines prismatischen Stabes 223; eines vollen und eines hohlen Cylinders 226.

Trapez, Schwerpunkt der Fläche 155.

Trapezmethode für die näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals 403.

Trigonometrische Funktionen siehe Kreisfunktionen.

Trigonometrische Integrale 93.

Tuch von oben belastet 486; von unten belastet 492.

Unbestimmte Formen £ 345; -fj etc. 348.

Unbestimmte Koeffizienten, Satz für Potenzreihen 71; Entwickelung von Reihen nach diesem Satze 73; Integration nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten 474.

Unendlich klein, gross 3.

Unendlich kleine Grössen verschiedener Ordnung 315; 322.

Unendliche Reihen siehe Reihe.

Unentwickelte Funktion zweier Variabein, Differentiation 38; wiederholte Differentiation 337.

Unstetigkeitspunkt einer Funktion 7.

Variable, beschränkte und unbeschränkte 2; stetige 3; abhängige und unabhängige 4.

Variation einer Konstanten in bestimmten Integralen 398.

Vielfache Integrale 412.

Volumen von Rotationskörpern 132; des Kegels 132; der Kugel 133; 413; 416; des Ellipsoids 134; des Sphäroids 134; des Paraboloids 135; des Hyperboloids 135; durch mehrfaclie Integrale 411; des dreiachsigen Ellipsoids 414; des schief abgeschnittenen Cylinders 414.

Volumenelement eines Rotationskörpers 132; in rechtwinkligen Koordinaten 411; in Polarkoordinaten 415.

Vollständige Differentialgleichung 446.

Wärmeentwickelung bei der Bildung der Himmelskörper durch Verdichtung 436.

Wärmelehre, mechanische, Wesen der Wärme 282; mechanisches Wärmeäquivalent 284; latente Wärme 284; Kreislauf eines Gases 286; Carnotscher Kreislauf 291 ; Carnotsche Proportion 293; Anwendung auf Wasserdampf 294; Gasdruck 300.

Wärmeleitung in einem prismatischen Stabe 527; 588.

Wärmeverlust eines Körpers durch Strahlung 266.

Wendepunkt einer ebenen Kurve 40; 380.

Winkelmass, analytisches 5.

Wurf, vertikaler mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes 171; in einem Medium, dessen Widerstand dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist 174; horizontaler im leeren Raume 516; schiefer im leeren Raume 517; schiefer in der Luft 521.

Wurzeln, gleiche einer algebraischen Gleichung 344,

Zahlenreihe, natürliche 1 ; kontinuierliche 2.

Zentralbewegung im allgemeinen 558; im Kreise 562; in einem Kegelschnitte 563.

Zinseszins bei stetigem Wachsen des Kapitals 264.

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■Buchdruckern von Straubing & Müller, Weimar.

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