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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskie!

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7\o

THEORIE

ELASTISCHER KÖRPER.

EINE EINLEITUNG

ZUR

MATHEMATISCHEN PHYSIK UND TECHNISCHEN MECHANIK

VON

De. JACOB J. WEYRAUCH,

PROFESSOR AN DER POLYTECHNISCHEN SCHULE IN STUTTGART.

MIT 42 FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1884.

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Y orwort.

Im vorliegenden Werke handelt es sieh darum, eine möglichst scharfe Entwicklung der allgemeinen Gesetze elastischer oder wirklicher Körper im Anschlüsse einerseits an die elementaren Lehren der Mechanik und andererseits an die Anwendungsgebiete der Physik und Technik zu liefern. Welche Ausdehnung diese Anwendungsgebiete bereits erlangt haben, braucht nicht erst hervorgehoben zu werden, die Festigkeitslehre, Wärmelehre, Hydrodynamik, Akustik, Optik u. s. w. gehören dazu. Um so mehr muss es auffallen, wie wenig Beachtung der Feststellung und Durchdringung gerade der allgemeinen Beziehungen seit Lamé gewidmet wurde. Man beschäftigte sich mit zahlreichen Specialproblemen, welche in der That den wesentlichen Inhalt der üblichen Untersuchungen elastischer Körper ausmachen.

Schon bei Beginn unserer Bearbeitung des Gegenstandes zeigte sich, dass eine systematische Darstellung ohne umfassende neue Untersuchungen, ja selbst ohne Einführung neuer Begriffe und Functionen gar nicht möglich sei. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichniss wird den Eingeweihten darüber aufklären. Auch die am meisten behandelten Beziehungen zwischen stetigen Verschiebungen und stetigen Spannungen sind von so beschränkter Gültigkeit und vielfach so unsicher formulirt, dass sie ohne theilweise Bestätigung durch die Erfahrung eine wenig zuverlässige Grundlage für weitgehende Schlüsse abgeben würden. Gewöhnlich hat man von vornherein nur gewisse verschwindend kleine stetige Verschiebungen im Gleichgewichte befindlicher isotroper fester Körper von constanter Temperatur mit stetigen Oberflächenkräften, nebst den davon herrührenden stetigen Spannungen, im Auge und schon die Orientirung im Raume ist misslich.

Was von allgemeinen Lehren existirt, findet sich verhältniss-mässig vollständig und ausgezeichnet klar bei Lamé, wo also angeknüpft werden konnte. Nach verschiedenen Richtungen haben uns die Schriften von Beer, GrasJiof, Kirchhoff und Anderen wesentlichen Nutzen gewährt. Eigentliche Anwendungsprobleme sind von den folgenden Entwicklungen ausgeschlossen. Dieselben gehören nicht nothwendig zur Sache, lassen sich nach sehr verschiedenen Gesichtspunkten wählen, werden anderwärts ausführlich behandelt und beruhen meistens auf Voraussetzungen, deren Berechtigung sich nur vom Standpunkte ihrer Wissenschaften beurtheilen lässt. Für Denjenigen, welcher die Grundgesetze als Werkzeuge zu selbstständigen Arbeiten sucht, wirkt ihr Zwischenstreuen störend und auf den Anfänger beim Selbststudium verwirrend.

Indessen ist zuzugeben, dass Beispiele und Anwendungen zur Klarstellung der allgemeinen Gesetze nützlich und selten entbehrlich sind. Aus diesem Grunde soll der vorliegenden Darstellung der Grundlehren in Bälde eine Sammlung von „Aufgaben zur Theorie elastischer Körper“ folgen. Hier wird sich Gelegenheit bieten, auch besonderen Bedürfnissen entgegenzukommen und manche weitere Untersuchung auf allgemeinem Gebiete vorzunehmen. Man kann dann auswählen, ohne Lücken im grundlegenden Entwicklungsgänge befürchten zu müssen.

Von mathematischen Vorkenntnissen nehmen wir soviel in Anspruch, als sich Jeder auf den Mittelschulen oder doch nach einjährigem Besuche der Hochschule erworben haben kann.

Stuttgart, im Januar 1884.

l)er Verfasser.

Inhaltsverzeichniss.

I. A b s c h n i 11.

Grundbegriffe.

Seite

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Eingang ...............

Materielle Systeme. Körper......

Elasticität der Körper.........

Spannungen ..............

Verrückungen. Verschiebungen.....

Dehnung. Drehungen.........

Schiebung. Gleitungen........

Verschiebungsgeschwindigkeiten.....

Stetige und unstetige Functionen .... Vollständiges Differential. Potential . . Grundgleichungen der Bewegung .... Bewegungsgleichungen für Körperelemente Stetige Spannungen..........

10

13

15

18

21

. 24

27

20

II. Abschnitt.

Beziehungen zwischen stetigen Spannungen.

Eingang..................

§13. Spannungen für beliebige Flächenelemente . . .

§ 14. Die Hauptspannungen............

§ 15. Totalspannungen. Das Spannungsellipsoid . . .

§ 16. Die Stellungsfläche.............

§ 17. Hauptschubspannungen............

§18. Specielle Fälle. Untersuchungen in der Ebene .

Hauptformeln.............

Specialfall I..............

Specialfall II.............

§ 10. Potential der Spannungen..........

§ 20. Ueber die Gesetze stetiger Spannungen . . . .

32

32

34

38

40

43

45

45

. 47

48

50

53

III. Abschnitt.

Beziehungen zwischen stetigen Verschiebungen.

§ 21.

§ 22.

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Eingang ......... ..................

Verschiebungen für beliebige Richtungen............

Dehnungen, Drehungen, Gleitungen und Schiebungen beliebiger

Richtungen.........................

Die Hauptverschiebungen...................

*Grenzverschiebungen.....................

Die Hauptdehnungen.....................

Das Verschiebungsellipsoid..................

Die Deformationsfläche. Dilatation..............

Verschiebungen in einem Zeitelement..............

Derivirte verschiedener Verschiebungsfunctionen.........

Potentialbewegung......................

Potentiale der Verschiebungen und Verschiebungsgeschwindigkeiten Ueber kleine Verschiebungen................

55

55

58

60

63

66

60

71

73

75

78

80

IV. Abschnitt.

Zweite Auffassung der Spannungs- und Bewegungsgesetze.

Eingang ........................

§ 33. Modification des Spannungsbegriffs............

§ 34. Bewegung beliebiger Körper...............

§ 35. Bewegung von Körperelementen.............

§ 36. Stetige Spannungen. Potentialspannungen........

§ 37. Princip der (Koexistenz elastischer Bewegungen......

Y. Abschnitt.

Arbeit. Lebendige Kraft. Energie.

Seite

. 86

87

89

91

94

. 96

100

Eingang

§ 38. d’Alembert’s Princip und Princip der virtuellen Verrückungen . . 100

§ 39. Umformungen..................

§ 40. Virtuelle Arbeiten der Massenkräfte und Flächenkräfte

§ 41. Die Verschiebungsarbeit..............

§ 42. Aequivalent von lebendiger Kraft und Arbeit ....

§ 43. Das Hamilton’sche Princip............

§ 44. Energie der Körper................

102

105

108

110

112

114

YI. Abschnitt.

Ausdrücke für die Spannungen auf Grund der Erfahrung.

Eingang...........................

§ 45. Vollkommene Flüssigkeiten..................

§ 46. Berücksichtigung der Flüssigkeitsreibung............

§ 47. Feste Körper. Elasticitätsmodul. Elasticitätszahl. Ausdehnungs-

coefficient.........................

§ 48. Potentialverschiebungen isotroper fester Körper.........

§ 49. Potentialspannungen beliebiger isotroper Körper.........

Allgemeines..........'....'........

Potentialverschiebungen.................

§ 50. Potentialspannungen flüssiger und fester Körper.........

Vollkommene Flüssigkeiten...............

Reibende Flüssigkeiten.................

Isotrope feste Körper..................

§ 51. Festigkeit. Zulässige Spannung. Sicherheit.........

116

116

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121

124

124

126

127

127

127

127

128

VIT. Abschnitt.

Ausdrücke für die Spannungen nach der Molekulartheorie.

Eingang ........................

§ 52. Grundgleichungen....................

§ 53. Spannungen beliebiger Körper. Erste Ableitung......

§ 54. Spannungen beliebiger Körper. Zweite Ableitung.....

§ 55. Körper mit Elasticitätsaxen. Erste Ableitung.......

§ 56. Körper mit Elasticitätsaxen. Zweite Ableitung......

§ 57. Beliebige isotrope Körper. Erste Ableitung........

§ 58. Beliebige isotrope Körper. Zweite Ableitung.......

§ 59. Isotrope feste Körper..................

Erste Ableitung..................

Zweite Ableitung.................

§ 60. Flüssigkeiten. Aether..................

132

133

135

137

140

141

142

145

148

148

149

VIII. Abschnitt.

Bewegungsgleichungen. Verschiebungsarbeit,

Seite

Eingang.................

§ 61. Beliebige Körper.............

Allgemeines.............

Erste Auffassung..........

Zweite Auffassung..........

§ 62. Die Continuitätsgleichung. Condensation . .

Allgemeines............

Erste Auffassung ...........

Zweite Auffassung..........

§ 63. Hydrodynamische Grundgleichungen ....

§ 64. Reibende Flüssigkeiten..........

§ 65. Beliebige isotrope Körper. Erste Ableitung .

Allgemeines............

Erfahrungsformeln für feste Körper . .

Flüssigkeiten............

Beliebige Körper..........

Constante Temperatur (Aether) . . . . § 66. Beliebige isotrope Körper. Zweite Ableitung

§ 67. Clapeyron’s Theorem...........

Erste Ableitung...........

Zweite Ableitung..........

§ 68. Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit. .

Erste Ableitung...........

Zweite Ableitung..........

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153

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163

163

164

166

166

. 167

168

168

170

IX. Abschnitt.

Beliebige Punktsysteme. Energie.

Eingang..............

§ 69. Allgemeine Beziehungen.......

§ 70. Wirkung von Potentialkräften ....

§ 71. Centralkräfte allein.........

§72. Kräfte in den Verbindungsgeraden . . § 73. Berechnung von Punktsystemen . . .

§ 74. Die Verschiebungsarbeit.......

Allgemeines.........

Gewöhnlicher Fall......

§ 75. Coexistenz kleiner Bewegungen . . . § 76. Energie bei innern Radialkräften . . .

Allgemeines.........

Specieller Fall ........

§ 77. Ueber die Réduction auf Centralkräfte

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172

175

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185

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X. Abschnitt.

Bleieligewicht von Stabsystemen.

Eingang ...........................

§ 78. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte, stabile und labile

Stabsysteme......................

§ 79. Aeussere und innere Stabilität und Labilität..........

§ 80. Nothwendige, überzählige und abgängige Stäbe und Reactionen. .

§ 81. Gezogener oder gedrückter Stab................

§ 82. Beliebige stabile Systeme aus isotropen festen Stäben......

196

196

203

207

210

Seite

§ 83. Systeme mit überzähligen Stäben . .

§ 84. Systeme mit überzähligen Reactionen .

§ 85. Verschiebungsarbeit von Systemen aus isotropen festen Stäben . . 222

XI. Abschnitt.

Schwingungen und Wellen.

215

218

Eingang....................

§ 86. Begriffe der Wellenlehre............

§ 87. Einfache Schwingungen eines materiellen Punktes .

§ 88. Wellen in homogenen Punktreihen........

§ 89. Interferenz der Wellen. Combinirte Schwingungen Einzelschwingungen gleicher Geraden ....

Einzelschwingungen beliebiger Geraden . . .

§ 90. Princip von Huyghens............ .

§ 91. Verschiebungen durch einfache Schwingungen . .

Allgemeines...............

Isotrope Medien ..............

Beliebige homogene Medien........

Potentialschwingungen und Schwingungen ohne Dilatation . 244 § 92. Weitere Verschiebungsfunctionen

226

226

229

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241

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244

245

XII. Abschnitt.

lieber elastische Schwingungen.

Eingang..........................

§ 93. Grundgleichungen für Schwingungen von Flüssigkeiten.....

§ 94. Einfache Schwingungen von Flüssigkeiten..........

Allgemeines.....................

Longitudinalschwingungen..............

Transversalschwingungen...............

95.    Schallgeschwindigkeit in Gasen...............

96.    Schallgeschwindigkeit in tropfbaren Flüssigkeiten und Dämpfen

' Allgemeines......................

Tropfbare Flüssigkeiten................

Gesättigte Dämpfe...................

Ueberhitzte Dämpfe..................

§ 97. Grundgleichungen für Schwingungen beliebiger isotroper Körper

Erste Ableitung....................

Zweite Ableitung...................

Zusammenfassung...................

Potentialschwingungen (Schall).............

Schwingungen ohne Dilatation (Licht)..........

§ 98. Einfache Schwingungen isotroper Körper...........

Allgemeines......................

Longitudinalschwingungen...............

Transversalschwingungen................

§ 99. Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in isotropen Körpern.....

Allgemeines.....................

Erfahrungsformeln für feste Körper...........

Beliebige isotrope Körper ...............

§ 100. Berücksichtigung der Temperaturänderung..........

Allgemeines......................

Erfahrungsformeln für feste Körper...........

Beliebige isotrope Körper...............

§ 101. Schwingungen anisotroper Körper..............

§ 102. Das Polarisationsellipsoid . .................

Wortverzeichniss......................

248

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251

251

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253

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256

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. 266

266

268

268

269

272

I. Abschnitt.

Grundbegriffe.

Jede von einem Punkte m aus mögliche Richtung kann man sich dargestellt denken durch eine Gerade gz welche in m beginnt und deren Sinn (Beschreibungssinn, Pfeil) von m weggewendet ist. Den Winkel, welchen g mit einer anderen Richtung g₀ einschliesst, werden wir im Allgemeinen durch (gg₀) bezeichnen, womit zugleich angedeutet ist, dass der Winkel von g₀ aus nach g hin beschrieben sein soll. Nach Festsetzung des positiven Drehungssinns der Winkel (ö9o) =— (000)- Kommt der Winkel von g mit einer anderen, nicht auf m bezogenen Richtung in Frage, so denken wir uns die letztere unter Beibehaltung ihres Sinnes parallel mit sich selbst von m. aus angetragen. Bei Coordinatenaxen sind positive und negative Axenrichtungen zu unterscheiden. Bedeuten x, y, 2 die Coordinaten, so werden unter den Richtungen x, y, 2 immer die positiven Axenrichtungen verstanden sein.

Die Lage eines Punktes n gegen m ist bestimmt durch die Entfernung l beider Punkte und die Richtung g des Punktes n, wobei der den Sinn von g andeutende Pfeil von m aus auf n hinweist. Zwei Punkte n und v, welche mit m in gleicher Richtungslinie liegen, können noch entgegengesetzte Richtungen haben. Nennt man l cos (gg₀) die Projection von l für die Richtung </₀, so findet sich deren Werth positiv oder negativ, je nachdem die geometrische Projection von l auf die Richtungslinie von g₀ in die Richtung g0 selbst oder in die entgegengesetzte Richtung fällt. Wir können in diesem Sinne die einer Richtung g₀ entgegengesetzte Richtung als negative Richtung g₀ bezeichnen.

Die Entfernung l der Punkte m, n ist eine absolute Grösse, die Richtung g von n müssen wir nach ihren Winkeln mit andern Richtungen, z. B. den Richtungen x, y, 2 eines rechtwinkligen Coor-dinatensystems beurtheilen. Dasselbe mag in „Ruhe“ oder in Bewegung sein, Entfernung und Richtung von n sind in jedem Augenblicke eindeutig bestimmt durch die Projectionen l cos (gx), l cos (gy),

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.    1

I cos (gz), wobei der positive Drehungssinn jedes einzeln Winkels beliebig gewählt werden kann. Die Projectionen haben positive oder negative Werthe, je nachdem sie von m aus in den positiven oder negativen Richtungen x, y, z liegen.

Was bis jetzt für die lagebestimmenden Elemente l, g eines Punktes n gesagt wurde, gilt ganz ebenso für beliebige andere Grössen, welche sich von einem Punkte m aus durch Strecken l verschiedener Richtungen darstellen lassen.

Um bei Ansatz von Gleichungen conséquent zu verfahren, wählen wir die Coordinatenaxen stets so, dass für einen gegen die Richtung x oder y, z nach dem Coordinatenursprunge gewendeten Beobachter der Schenkel g den Winkel {ggf) = (zy) bezw. {xz), (yx) wie der Zeiger der Uhr rechts herum beschreibt. Auch andere Winkel {ggf), sowie Winkelgeschwindigkeiten, Momente u. s. w. werden wir hinsichtlich solcher ihrer Ebene senkrechter Richtungen h als positiv betrachten, von welchen aus gesehen der Drehungssinn des den Winkel beschreibenden Schenkels, der Geschwindigkeit, des Moments u. s. w. wie die Bewegung des Uhrzeigers rechtsläufig ist.

§ 1. Materielle Systeme. Körper.

Wird eine beliebige Zusammenstellung materieller Punkte ausschliesslich andrer der Betrachtung unterworfen, so pflegt man ihre

71

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Gesammtheit ein materielles System zu nennen. Zwischen den Theilen des Systems unter sich wie zwischen solchen und — nicht zum System gehörigen Punkten können Kräfte wirken. Erstere heissen innere Kräfte, letztere äussere Kräfte.

Fig. 1.

Jeder Theil s eines Systems S lässt sich als neues System behandeln, in welchem Falle alle Kräfte, welche von dem Reste S — s des ursprünglichen Systems auf das Theilsystem s wirken, in Bezug auf dieses zu den äusseren Kräften gehören, während sie in Hinsicht S innere Kräfte waren. In Fig. 1 sind für das ganze System S die im Schnitte angedeuteten Kräfte innere Kräfte, alle übrigen äussere Kräfte. Für das Theilsystem s hat man die durchkreuzten und für das Theilsystem S — s die nicht durchkreuzten Kräfte zu den äusseren zu rechnen.

Als Körper im weiteren Sinne wird jedes materielle System bezeichnet. Gewöhnlich versteht man jedoch unter Körpern speciell solche Theile der Materie, deren Elemente, abgesehen von den molekularer Beschaffenheit entsprechenden Zwischenräumen, einen durch beliebig viele Flächen eingeschlossenen Raum ausfüllen. Die eingrenzenden Flächen heissen dann Oberfläche des Körpers, während der eingegrenzte Raum das Volumen des Körpers genannt wird. So wollen wir den Begriff Körper in der Folge auffassen.

Wird durch einen Körper ein mathematischer Schnitt gelegt, so kann man sich in demselben zwei Flächen zusammen hängen denken. Wie jede von einem Punkte m aus mögliche Richtung durch eine Gerade g dargestellt wurde, welche in m beginnt und deren Sinn (Pfeil) von m weggerichtet ist, so lässt sich die Lage jedes einem Punkte m anliegenden Flächenelements fn nach seiner in m beginnenden, das Flächenelement selbst durchdringenden Normalenrichtung g — n beurtheilen. Während die Stellung eines Schnittelements durch m mit der zu ihm normalen Richtungslinie nv vollständig bestimmt ist, trifft dies für die Lage eines Flächenelements bei m nicht zu und sind die beiden im Schnittelemente nv zusammenhängenden Flächen

elemente fn, fv nach ihren Normalenrichtungen g = n und g — v zu unterscheiden. Man hat, wenn x, y, z irgend welche Richtungen bedeuten,

cos(vx) = — cos(wrr) cos (vy) — — cos (ny) cos (vz) — — cos(wjs).

Die äusseren Kräfte, welche an einem Körper angreifen, können Massenhräftc oder Oberflächenkräfte sein. Erstere wirken auf die Massentheilchen ohne Rücksicht auf die Begrenzung des Körpers (wie die Erdanziehung, Centrifugalkraft, Ergänzungskräfte der relativen Bewegung), letztere beeinflussen die Oberflächentheilchen unabhängig von den gerade anliegenden Massenpunkten (wie der Atmosphärendruck, Reibungen, Stützenreactionen), sie rühren von angrenzenden fremden Körpern her. Die Massenkräfte per Masseneinheit heissen specifische Massenkräfte und jede Flächenkraft per Flächeneinheit wird specifische Flächenkraft genannt. Da man die auf ein Flächenelement wirkende Kraft in eine Normalkraft und eine Tangentialkraft zerlegen kann, so darf auch von specifischer Normalkraft und specifischer Tangentialkraft die Rede sein. Die Normalkraft wirkt als Zug oder Druck, je nachdem sie das afficirte Flächenelement von dem anliegenden wegzuziehen oder gegen dasselbe hinzudrücken sucht. Per Flächeneinheit haben wir specifischen Zug und specifischen Druck.

Um dem jetzt festgelegten Begriffe der Oberflächenkräfte gerecht zu werden, fassen wir die Oberfläche eines Körpers als Grenzschnitt verschiedener Systeme auf, der von beiden Seiten mit Flächenelementen entgegengesetzter Normalenrichtungen belegt ist. Die Oberflächenkräfte entsprechen den ausserhalb des Grenzschnitts gelegenen Flächenelementen und da wir es mit Oberflächenelementen stets nur in Verbindung mit Oberflächenkräften zu thun haben, so ist für die Zukunft jede weitere Ueberlegung überflüssig, wenn allgemein die vom Körper nach Aussen gerichteten Normalen als Normalenrichtungen n der Oberflächenelemente betrachtet werden.

Die Theilchen eines Körpers haben eine innere Bewegung, wenn sie ihre Lagen gegen einander ändern, sie haben in Bezug auf einen nicht zum System gehörigen Punkt p eine äussere Bewegung, wenn sie ihre Lage hinsichtlich dieses Punktes ändern. Je nachdem es sich um Untersuchung der einen oder anderen Bewegung handelt, pflegt man dem Coordinatensystem eine feste Lage gegen die anfängliche Gruppirung der Theilchen oder aber gegen Punkt p zu geben. Alle Bewegungen sind eingeschlossen, wenn nicht nur den Körperpunkten, sondern auch dem Coordinatensystem eine beliebige Bewegung zugeschrieben wird, in welchem Falle aber die auf das Coordinatensystem bezogene, durch die Winkel (gx), (gy), (gz) bestimmte relative Richtung g von der Bewegung des Coordinaten-systems mit abhängt.

Denkt man sich einen Körper in einem beliebigen Augenblicke in lauter unendlich kleine Theilchen zerlegt, so entspricht jedem dieser Körper demente neben bestimmten räumlichen Verhältnissen auch eine bestimmte Masse. Man kann nun bei Untersuchung irgend welcher Veränderungen im Körper die eingetheilten Massenelemente verfolgen, welche im Allgemeinen Volumen, Form und Ort ändern, oder die eingetheilten Volumenelemente ins Auge fassen, welche im Allgemeinen wechselnde Massen enthalten.

§ 2. Elasticität der Körper.

Ein Körper würde als starr zu gelten haben, wenn keinerlei Ursachen eine Aenderung der relativen Lagen irgend welcher Theile oder Theilchen desselben bewirken könnten. Alle beobachteten Körper lassen jedoch solche Aenderungen zu. Man kann also unter Voraussetzung starrer Körper im Allgemeinen nur Annäherungen an die Wirklichkeit erhalten.

Als Elasticität bezeichnet man das Streben der Körper, gewisse durch äussere Kräfte hervorgerufene Gruppirungsänderungen der Theilchen wieder rückgängig zu machen, oder auch die Fähigkeit zur Wiederherstellung der ursprünglichen Gruppirung nach Entfernung der äusseren Kräfte. Die Kräfte, welche darauf hinarbeiten, und von der Einwirkung der Theilchen auf einander herrühren, heissen elastische Kräfte, die Bewegungen, welche damit verbunden sind, nennt man elastische Bewegungen, und die rückgängig werdenden Veränderungen elastische Veränderungen im Gegensätze zu bleibenden Veränderungen.

Ein Körper heisst vollkommen elastisch oder vollkommen unelastisch, je nachdem angenommen wird, dass die betraehteteten Gruppirungs-änderungen wieder vollständig verschwinden oder vollständig bleiben. In allen anderen Fällen hat man es mit unvollkommen elastischen Körpern zu thun. Ob überhaupt vollkommen verschwindende Grup-pirungsänderungen Vorkommen, gilt bei festen Körpern für zweifelhaft; in der Elasticitätstheorie nimmt man es an, 'so lange die erzeugenden Kräfte ein gewisses Maass, die Klasticitätsgrcnze, nicht überschreiten.

Die mit bestimmten äusseren Kräften erreichbare elastische Gruppirungsänderung tritt vielfach nicht sofort vollständig ein. Man hat bei festen Körpern unter constanten äusseren Kräften noch nach Tagen und Monaten kleine Formänderungen beobachtet. Ebenso brauchen die Theilchen nach Entfernung der äusseren Kräfte längere Zeit, bis sie wieder vollständig zur Kühe kommen. Diese Erscheinungen sind noch nicht genügend erklärt, man bezeichnet sie als elastische Nachwirkung.

Ein Körper heisst homogen, wenn er in allen Punkten gleiche Dichtigkeit und (gleichen Ursachen gegenüber) das gleiche elastische Verhalten zeigt, so dass Dichtigkeit und Elasticität keine Functionen der Coordinaten sind, andernfalls heisst er heterogen. Der Körper ist isotrop, wenn er in jedem Punkte nach allen Richtungen das gleiche elastische Verhalten zeigt, so dass die Elasticität keine Function der Richtung ist, im anderen Falle wird er als heterotrop oder anisotrop bezeichnet. Ist das elastische Verhalten in einem Punkte für alle diejenigen Richtungen dasselbe, welche mit einer bestimmten Richtung g irgend welche numerisch gleiche Winkel einschliessen, so heisst g eine Elasticitätsaxe in diesem Punkte. Bei isotropen Körpern haben wir in jedem Punkte unendlich viele Elasticitätsaxen.

Untersuchungen für nicht starre Körper dürfen dann unter Voraussetzung starrer Körper geführt werden, wenn der Einfluss der Gruppirungsänderungen der Theilchen auf die zu bestimmenden Grössen klein genug ist, um vernachlässigt werden zu können. Aber auch in solchen Fällen kann es nöthig sein, die elastischen Veränderungen mit in Betracht zu ziehen, wenn nämlich die durch die allgemeine Mechanik gelieferten Beziehungen für starre Körper zur Lösung nicht ausreichen, sondern die verlangten Grössen nur unter Zuhülfenahme von Gleichungen bestimmbar sind, in welchen Glieder von höherer Ordnung als die den elastischen Veränderungen entsprechenden nicht Vorkommen. Die von der Mechanik gelieferten Beziehungen, in welchen die von den Gruppirungsänderungen herrührenden Glieder verschwinden, bleiben daneben natürlich doch bestehen, es können Widersprüche durch Mitberücksichtigung der Elasticitätsverhältnisse nicht auftreten.

§ 3. Spannungen.

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/■

Kg. 2.

Infolge Einwirkung der äusseren Kräfte und anderer Ursachen entstehen bei allen Körpern innere Kräfte, welche für die in belie-gen gedachten Schnitten und Schnittelementen zusammenliegenden Flächen irgend welche Flächenkräfte erzeugen und so auch die Wirkung der äusseren Kräfte weitertragen. Die Beanspruchungen per Quadrateinheit oder specifischen Flächenkräfte hierbei sollen allgemein Spannungen heissen. Wir können dann auch von Normalspannungen , Tangentialspannungen und Totalspannungen sprechen und Spannungscom-ponenten nach beliebigen Richtungen durch Zerlegung ableiten. Die Normalspannungen suchen die in einem Schnittelemente zusammenhängenden Flächenelemente aus einander zu ziehen oder gegen einander zu drücken und werden daher in Zugspannungen und Druclispan-nungen unterschieden; die Tangentialspannungen suchen /l die fraglichen Flächenelemente längs einander zu verschieben und werden auch Schubspannungen genannt. Als Richtung einer Kraft bei m soll die von m aus im Wirkungssinne der Kraft gezogene Richtung g gelten. Die Richtung r der Totalspannung Rn auf ein m anliegendes Flächenelement fn wird dann das letztere selbst treffen oder nicht, je nachdem Rn das Flächenelement fn von dem anliegenden fv zu entfernen oder diesem zu nähern sucht, je nach-

ß* = F%2+ rj + zj,

(5)

-f- Pxy cos (nx) cos(ny)-\-Pyzcos(ny)cos(ns) -)- P

<&). £t% l2^).

(1 -f- eny = (1 + exy cos2 (nx)

— (1 + el)*0 + C.j)\ 1 + e3 Y-

qns = 2ex cos (nx) cos (sx)

a2r ^ ~w 02r

(3)

Tn   G YQnx -f- (Jny + gn?   4wn2,

Xn (1 I X(3tre %n) ~}~ 'Sy (j^« Vn~) "j” 'S* (3« Sn) I £«;

\-d + W + TT '“ fCfc - *)’

o = m + <3 - £> + m.

(3) in (2), findet mittelst Sk solcher k Gleichungen sämmtliche Verrückungen und nicht gegebenen äusseren Kräfte, wonach alle Stabkräfte aus Gleichungen der Form (3) folgen.

0 1 3 5 7 9

2 (ä + **)1 is = °>

cos (rl) = 0

(3)

(3)

ß* = F%²+ rj + zj,

und für die Componenten der Schubspannung T1lt in den Richtungen x, y, s und ihre Richtung t bestehen die Gleichungen ' Tn cos (tx) = Xn — Nn cos (nx),

(4)

• Tn cos (ty) = Yn — Nn cos (ny),

Tn cos (tz) — Zn — Nn cos (nz).

Für den Winkel der Richtung r mit einer beliebigen Richtung s gibt die analytische Geometrie

cos (rs) = cos (rx) cos (sx) -f- cos (ry) cos (sy) -J- cos (rz) cos (sz).

Hieraus folgt durch Einführen der Cosinuswerthe (2) die Projection oder resultirende Coinpenente von Bn in der Richtung s

(5)    Sn — Rn cos (rs) — Xn cos (sx) + Yn cos (sy) + Zn COS (sz) und beispielsweise die Normalspannung mit s — n

(6)

Nn = Xn cos (nx) + Yn cos (ny) -f- Tn cos (nz).

Für beliebige in der Ebene des Flächenelements wirkende Componenten der Schubspannung Tn wäre in (5) cos (ns) — 0.

(2)

dem also die Normalcomponente Nx Zug oder Druck bedeutet. Neimen Avir nun Nn im ersten Falle positiv, im zweiten negativ, bezeichnen die resultirende Schubspannung durch Tn und fassen Bn, Tn als Absolutwerthe auf, so folgen (Fig. 2)

Nn = Bn cos (rri),

Es seien x, y, z beliebige zu einander senkrechte Richtungen. Dann hat man die Componenten von Bn in denselben bezw.

Zn = Bn cos (rz),

(1)

Tn² = Bn² - JVM² = Bn sin² (rri).

(2)

Tn = Rn COS (ry),

Xn — Bn cos (rx), die Totalspannung ist der Absolutwerth

Kennt man für ein Flächenelement die Spannungscomponenten Xn, Yn, Zn nach drei zu einander senkrechten Richtungen x, y, z, so lassen sich Grösse und Richtung der Totalspannung Bn aus (3), Grösse und Vorzeichen der Normalspannung Nn aus (1) oder

(6) , Grösse und Richtung der Schubspannung Tn aus (4) und die resultirenden Spannungscomponenten Sn nach beliebigen Richtungen s aus (5) berechnen. Sn ergibt sich positiv oder negativ, je nachdem der Wirkungssinn dieser Kraft mit der Richtung s übereinstimmt oder ihr entgegengesetzt ist (je nachdem die Projection der Totalspannung Bn auf die Richtungslinie von s in der Richtung s selbst liegt oder nicht). Mit dieser Auffassung negativer Spannungen Sn entspricht in obigen Gleichungen die Hauptbezeichnung einer Spannung deren Richtung g, während der Index die Normalen-

riclitimg n des afficirten Flächenelements angibt. Bei Normalspannungen stimmen beide Buchstaben der Bezeichnung überein.

Werden für zwei dem Punkte m anliegende Flächenelemente beliebiger Normalenrichtungen n, s die Richtungen r der Totalspannungen Rn, Rs durch n, § bezeichnet und

(7)

Pns = XnXs+ YnYs + ZnZs gesetzt, dann folgt mit Rücksicht auf (2) und den dem obenstehenden Ausdruck für cos (rs) analogen für cos(n§)

(8)

Pns = RnRs COS (lt§).

Findet sich beispielsweise Pns = 0, dann wirken Rn, Rs senkrecht zu einander. Die Summe der Projectionen oder resultirenden Com-ponenten von Rn in der Richtung s und von Rs in der Richtung n ist Gm = 8n + Ns = Rn cos (ns) -f- Rs cos (ßn).

Aus (7)—(9) aber folgen mit s — n

(10)

Gnn — 2Nn.

] >    — 7? 2

nn - 7

Die hier aufgestellten Gleichungen gelten nicht nur für Flächenkräfte im Innern eines Körpers, sondern für ganz beliebige Flächenkräfte und beispielsweise auch für die specifischen Oberflächenkräfte.

§ 4. Verrückungen. Verschiebungen.

Wir nehmen ein beliebig bewegtes rechtwinkliges Coordinaten-system an. Zu Anfang unserer Betrachtung lag der Punkt m bei x, y, 2 und von ihm aus in der auf das Coordinatensystem bezogenen Richtung g — n ein Punkt n um die beliebige Strecke mn — An entfernt. Infolge irgend welcher Ursachen ist m nach x -f- | y -j- y, 2 -j- t, gerathen, während sich n in den Richtungen x, y, 2 um |x, rjl} ^ fortbewegt hat. Die Wege der Punkte m, n in Hinsicht des angenommenen Coordinatensystems werden auch Verrückungen genannt, während die relativen Wege von m gegen n per Einheit der ursprünglichen Entfernung mn Verschiebungen heissen sollen. Um aus den Verschiebungen von n gegen m die entsprechenden relativen Wege zu erhalten, hat man einfach mit der ursprünglichen Entfernung mn zu multipliciren. Verrückungen und Verschiebungen können ganz wie Kräfte in Componenten zerlegt werden und ist z. B. die resultirende Componente der Verrückung von m in beliebiger Richtung s

(1)

6 = I cos (sx) -{- r) cos (sy) -f- £ cos (S2),

während die Richtung r der als Absolutwerth aufgefassten Totalverrückung

£ — Q cos (rz).

bestimmt ist durch die Gleichungen £ *= q cos (rx),

y] ~ Q cos ( ry),

(3)

Negative Verrückungen in gegebenen Richtungen g sind analog negativen Spannungen zu beurtheilen.

m,n

Sind die Punkte m, n aus den anfänglich eingenommenen Orten m₀, n₀ nach mnl gelangt und denkt man sich von m aus in der ursprünglichen Richtung g — n des Punktes n die Entfernung m₀n₀ — mn angetragen, so ist nnt der Weg, welchen n hinsichtlich m zurückgelegt hat. In Fig. 3 ist die Darstellung dieser Verhältnisse der

Klarheit halber auf die Ebene beschränkt. Verlängert man die Gerade mn bis zum Punkte p, auf welchen das Perpendikel aus nx trifft, so sind np und pnx die relativen Wege des Punktes n in der ursprünglichen Richtung und senkrecht zur selben. Wir nennen nun

IfrvzX

/•

?•

n>

Pnx in n

np nn — —

m n

rn =

nnr

mn

Fig. 3.

bezw. die Normalverschiebung, Transversalverschiebung und Totalverschiebung. Da die Richtung des Punktes n von m aus auf ein Coordinatensystem bezogen ist, so werden nn, tn, rn von der relativen Bewegung der Punkte m, n in Hinsicht desselben abhängig.

(4)

tn — r² — nn² = r² sin² (rn).

Als Richtung einer Verschiebung von n gegen m soll die von m aus parallel und im Sinne der relativen Bewegung von n hinsichtlich m gezogene Richtung g gelten. Fassen wir rn, tn als Absolutwerthe auf, bezeichnen ihre Richtungen durch r, t und nennen nn positiv oder negativ, je nachdem die entsprechende Bewegung in der ursprünglichen Richtung von n oder entgegengesetzt derselben stattgefunden hat, dann folgen nn = rn cos (rn),

Setzen wir zur Abkürzung

Vi — g — Ag

so ergeben sich die Componenten von rn in den Richtungen x, y, z

xn

An

= rn cos {rx)

(5)

Vn = ^ = rn cos (ry)

*n = ^ = rn cos (rz).

Die Totalverschiebung ist der Absolutwerth

H'n — Y%n² 4“ Vn 4“

und die Richtung t der Transversalschiebung wie ihre Componenten in den Richtungen x, y, z sind bestimmt durch die Gleichungen tn cos (tx) — xn — nn cos (nx) t» cos (ty) = yn — n„ cos (ny) tn cos (ts) — 8n — nn cos {ns).

Für den Winkel der Richtung r mit einer beliebigen Richtung s

(6)

(7)

hat man

cos {rs) = cos {rx) cos {sx) 4~ cos {ry) cos (sy) 4~ cos {rs) cos {sz). Hieraus folgt nach Einsetzen der Cosinuswerthe (5) die Projection oder resultirende Componente von rn in der Richtung s

Sn = rn COS {rs) = Xn COS {sx) 4“ î)n COS (sy) 4" 2n {SZ) und beispielsweise die Normalverschiebung mit s — n nn = xn cos {nx) 4- yn cos (ny) 4" zn cos (nz).

Sind die Verschiebungscomponenten von n gegen m für irgend drei zu einander senkrechte Richtungen bekannt, so ergeben sich die Grösse und Richtung der Totalverschiebung aus (5), (6), Grösse und Vorzeichen der Normal Verschiebung n„ aus (4) oder (9), Grösse und Richtung der Transversalverschiebung aus (7) und die resultirende Verschiebungscomponente sn in beliebiger Richtung s nach (8). Negative Verschiebungen sn sind analog negativen Spannungen aufzufassen. In obigen Gleichungen entspricht die Hauptbezeichnung einer Verschiebung deren Richtung y, während der Index die prüngliche Richtung des verschobenen Punktes angibt. Für Normalverschiebungen stimmen Hauptbezeichnung und Index überein.

(8)

(9)

urs

§ 5. Dehnung. Drehungen.

Wir bleiben bei den Verschiebungen des § 4. Setzt man die neue Entfernung der Punkte m, n

mni = (1 4~ en)mn,

dann soll en die Dehnung der Verbindungslinie mn heissen, es ist deren Längenänderung per Einheit der anfänglichen Länge. Aus (mn^f — (imn 4~ wp)² 4“ (p%)²

folgt durch Division mit (mnf die Beziehung

(1 era)² = (1 +    4~ tn = 1    % nn “f"

Für den Winkel der neuen Richtung des Punktes n mit dessen anfänglicher Richtung hat man (Fig. 3)

¹ + nn ¹ + en ’

und werden die anfänglichen Coordinatendifferenzen der Punkte n, m durch Ax, A y, Az bezeichnet, so ist die neue Richtung nx bestimmt durch die Gleichungen Ax + A|

(i + en)An ’

cos (nxz) =

(i)

(2)

cos (nx n) =

cos (nxx) =

sin² (nxn) ==

cos ('nxy) =

Az + At

(1 + en)A n

C¹ + en)

A y -j- Arj

(! + en)Ar‘ ’

Dieselben gehen wegen

cos (nx) =    , cos (ny) = ~, cos (nt) =

und mit Rücksicht auf § 4, (5) über in die folgenden

Az

(1 + en) cos (nLx) =    cos (nx) -}-    xn = an,

(3)

(1 + en) cos (nxy) =    cos (ny) +    yn = K,

(1 -j- en) cos (nxz) =    cos (nz) +    zn — cn\

an,    cn    sind    die Projectionen oder    resultirenden Componenten von

1 -f- en in    den    Richtungen x, y, z.

Es sei h diejenige von m ausgehende Richtung senkrecht zur Ebene nn1} von welcher aus gesehen der Winkel (nxn) in positivem Sinne beschrieben erscheint. Dann sollen

(4)

(5)

ix = tn cos (hx), iy == tn cos (hy), i, — tn cos (hz), is — tn cos Qis)

die Drehlingen des Punktes n um Axen in den Richtungen x, y, z, s durch m heissen. Der Name ist deshalb gewählt, weil in dem spe-ciellen aber wichtigen Falle, dass die Transversalverschiebung tn gegen 1 verschwindet, diese den Winkel weg des Punktes n um eine Axe in der Richtung h darstellt, während gleichzeitig nach einem bekannten Satze über die Zerlegung kleiner Drehungen die Componenten von tn für Axen in den Richtungen x, y, z, s durch m wie in (4), (5) ausgedrückt sind. Mit Rücksicht auf bekannte Formeln der analytischen Geometrie können wir auch schreiben 4 sin (nxn) = tn cos (ny) cos (nxz) — cos (nz) cos (nxy) iy sin (nxn) = tn cos (nz) cos (nxx) — cos (nx) cos (nxz)

4 sin (nxn) = tn cos (nx) cos (nxy) — cos (ny) cos (wrx)J 4 = tn [cos (hx) cos (sx) -f- cos (hy) cos (sy) -f- cos (hz) cos (s^)J.

Substituirt man in diese Gleichungen cos (n₁x), cos (nty), cos (nyz) nach (3), sin (nt n) mit positivem Vorzeichen nach (2) und berücksichtigt (4), so folgen

4 = %n cos (ny) — yn cos (nz),

(6)

(U

' iy == xn cos (nz) — zn cos (nx), iz — yn cos (nx) — xn cos (ny),

4 = ix cos (sæ) -j- iy cos (sy) -f- 4 cos (sz).

ln (6) kann man zufolge (3) auch an, bn, cn an Stelle von x yn, zn setzen und mit Rücksicht auf § 4, (5) bis (7) lassen sich die Drehungen durch die Totalverschiebungen rn oder Transversalverschiebungen tn und deren Richtungscosinusse ausdrücken. Aus (4) folgt

(8) 4² + if + iz² = tn² = rn² — nH² = (1 + enf — (1 -f nH)².

Multiplicirt man die Gleichungen (6) bezw. mit cos (nx), cos cos (nz) und addirt, so entsteht

in — 4 cos (nx) -f- iy cos (ny) -f- 4 cos (nz) — 0,

wie übrigens wegen n _L h schon aus plication von (6) mit xH, yn, zn und Addition folgt die Beziehung

Xn 4 | yn iy | Zn 4 ¹

(9)

(10)

n,

(nv),

(5), (7) folgt. Durch Multi-

welche sich auch mit s = r, t aus (5), (7) ergibt, wenn r und t die zu h senkrechten Richtungen der Totalverschiebung und Transversalverschiebung bedeuten (§ 4). Nach (6) haben wir speciell für

iy    &x j

n = x,

n = y,

0,

Zy,

o,

y*,

0.

x₂,

Hat für einen Punkt der anfänglichen Richtung n keine Dehnung stattgefunden, so folgen mit en = 0 bei nothwendig negativem iin

rn² = — 2nn, cos (nxn) = 1 -j- nn, xn = cos (nlx) — cos (nx), yn = COS (nty) — cos (ny), zn = cos (nt z) — cos (n z).

(11)    4² = — 2nn + nn²,

(12)

Hat keine Normalverschiebung stattgefunden, dann gelten mit nn=0 bei immer positivem en

(13) tn²=rn²=2en-\-en'i, (l + en)²=14-4², cos(w₁w)=l:(l-f en), xn ⁼⁼ tn cos (tx), yn — tn cos (ty), zn = tncos(tz).

Hat schiesslich keine Transversalverschiebung oder Drehung statt-gefunden, so werden mit 4 — 0

(15)

«» = »«.    *■.* — ».¹,    («i ») = 0,

(16) xn — nn cos (nx), yn — nu cos (ny), sn — nu cos (ns).

§ G. Schiebung. Gleitungen.

Was sich bis jetzt über die relative Bewegung eines Punktes n hinsichtlich eines andern Punktes m ergeben hat, gilt auch für beliebige Punkte eines materiellen Systems. Zu weiterer Klarlegung der Verschiebungsverhältnisse empfiehlt es sich, noch die folgenden Functionen qns, gns, pns einzuführen.

Es seien in Bezug auf Punkt m die anfänglichen Richtungen zweier Punkte n, s wie diese selbst, ihre Totalverschiebungen durch rn, rs und deren Richtungen r durch n, § bezeichnet. Für den Winkel, welchen die neuen Richtungen n₁, der Punkte n, s ein-schliessen, hat man

cos (nlSy) —cos (ntx) cos (Sj#)-]- cos (npy) cos (sx£/)-}-cos (nxs) cos (sxs). Durch Substitution der Cosinuswerthe § 5, (3) und der entsprechenden für sx

COS (syx)

coa(sx)-{-xs

¹ + es

folgt die Gleichung

(1 + f‘n) (1 + 0S) COS (WjS,) = [COS (nx) + Xn\ [COS (sx) -f- ,*,]

+ [cos (ny) -j- yn\ [cos (sy) + yß + [cos (ns) -f- snj [cos (ss) -f- sß = (ina,s -j- bnbs -f- cncs.

,    cos (sxy)

cos (sy)ß-ys

,    008(5^) =

cos    Zs

¹ + e,

Führt man die rechts angedeuteten Multiplicationen aus und berücksichtigt die Formeln (5) (8) des § 4, sowie die dem obigen Ausdrucke für cos (WjSj) entsprechenden Ausdrücke für cos (ns) und cos (n§), so entsteht

(O

( (1 -f- en) (1 -f- es) cos (n± sß) = cos (ms) -j- rn cos (ns)

+ rs cos (ßn) -f rnr, cos (nä).

Wir setzen nun

(2)

Die Functionen qns, gns, pns kommen in der Folge sehr oft vor, weshalb wir bequeme Namen dafür haben müssen. Es sollen qns die Schiebung, gns die Normalgleitung und pns die Totalgleitung der Punkte n, s hinsichtlich des Punktes m heissen. Wo man es nur mit einer der Grössen gns, pns zu thun hat, kann dieselbe natürlich kurz als Gleitung bezeichnet werden. gns ist die Summe der Pro-jectionen oder resultirenden Componenten von rn in der Richtung s und von rs in der Richtung n. Wie die Verschiebungen rn, nn, tU) so sind auch gns, pns von der Bewegung der betrachteten Punkte m, n, s hinsichtlich des angenommenen Coordinatensystems abhängig, sie können endliche Werthe annehmen, ohne dass die Punkte ihre Lagen gegeneinander, ihre von jedem Coordinatensystem unabhängige Gruppirung ändern; die Dehnungen en und Schiebungen qns dagegen sind lediglich durch Aenderungen dieser Gruppirung bedingt, jede sonstige Bewegung der Gruppe ist ohne Einfluss auf sie.

Multiplicirt man die Gleichungen (3) des § 5 bezw. mit cos (sx), cos (sy), cos (sz) und die oben angeschriebenen Cosinusausdrücke bezw. mit cos ([nx), cos (ny), cos (nz), so ergeben sich für den Winkel der neuen Richtung von n mit der anfänglichen von s und für den Winkel der neuen Richtung von s mit der anfänglichen des Punktes n

(6)

(1 -f- en) cos (wxs) = cos (ns) -f- sn

= an cos (sx) -f- bn cos (sy) -f- c„ cos (sz),

(0

(l -f- es) cos (stw) = cos (ns) -{- ns

= as cos (nx) -f- bs cos (ny) -f- cs cos (nz).

Specielle Fälle dieser Beziehungen bilden die Formeln § 5, (3) welche mit s — x, y, z aus (6) entstehen.

Waren die anfänglichen Richtungen n, s zu einander senkrecht, so ist oben cos (ns) — 0, sind die neuen Richtungen nl} st zu einander senkrecht, so wird qns -f- cos (ns) = 0, und stehen die Richtungen rt, § der Total Verschiebungen zu einander senkrecht, so hat man pns = 0.

Haben für die Punkte n, s keine Dehnungen stattgefunden, so gelten neben § 5, (11), (12)

(8)

qns — cos (wxSj) — cos (ns), gns — cos (nxs) -f- cos (sxm) — 2 cos (ws);

haben keine Normalverschiehungen stattgefunden, so finden sich neben § 5, (13), (14)

(0

0ns — L COS (ns) + 4 cos (§>n),

Pns = tnts COS (lt§)

und haben keine Transversalverschiebungen stattgefunden, so entstehen ausser § 5, (15), (16)

Pns = nsSn cos (ns),

Die Gruppirung der Punkte eines materiellen Systems hat keine Aenderung erfahren, wenn hinsichtlich irgend eines Systempunktes m für alle in beliebigen Anfangsrichtungen n gewesenen Punkte en = 0 und gleichzeitig für je zwei in beliebigen Richtungen ns gewesenen Punkte qns — 0 ist. Da die Winkeländerungen und qns von den Dehnungen herrühren, so genügt es auch, wenn alle Dehnungen der Entfernungen je zweier Punkte verschwinden. Die ausreichenden Bedingungen hierfür sind aus dem X. Abschnitt zu entnehmen. Für beliebig bewegte starre Körper sind stets alle Dehnungen und Schiebungen gleich Null, womit dann rn² = — 2nn, gns= Pns werden.

Wird der Punkt s mit dem Punkte n identisch oder stimmen die Bewegungen zweier Punkte bis auf verschwindende Grössen überein, so folgen aus (3), (4) mit s = n

Pnn - Tn ?

(10)

g ns = («» -f- ss) cos (ns).

(H)

gnn - 2 fln.

§ 7. Verschiebungsgeschwindigkeiten.

Wir betrachten jetzt hinsichtlich eines zur Zeit t angenommenen beliebig bewegten Coordinatensystems die Bewegungen beliebiger Punkte im Zeitelement dt. Dann sind alle Wege proportional den entsprechenden Geschwindigkeiten. Die augenblicklichen Geschwindigkeiten in den Richtungen x, y, z mögen für den Punkt m (x, y, z) durch u, v, w und für einen in beliebiger Richtung n um An entfernten Punkt n durch u1} vl} bezeichnet sein. Die resultirende Geschwindigkeitscomponente von m in beliebiger Richtung s ist dann

s — u cos (sx) -f- v cos (sy) -f- w cos (sz) — ^,

während die Richtung r, der als Absolutwerth aufzufassenden Totalgeschwindigkeit

(1)

r — ]/u² -j- v² -j- iv² — ~t bestimmt ist durch die Gleichungen

(2)

w — r cos (rz) =

(3) u = r cos (rx) = v = r cos (ry) =

I, rj, Ç, <5, q sind die in § 4 betrachteten Verrückungen. Negative Geschwindigkeiten in gegebenen Richtungen g sind analog negativen Verrückungen aufzufassen.

Die Wege im Zeitelement dt hinsichtlich unseres Coordinatensystems sind

clt’

dt’

in den Richtungen x y für den Punkt ni    udt    vdt    wdt,

„    „    „ n    u, dt v₁dt ivxdt.

Durch Subtraction und mit den Bezeichnungen

Au = ux — u, Av = vy — v, Aw — wy — w folgen die relativen Wege von n gegen m in den Richtungen x, y, g für die Zeit dt

(4)

Aè = Au dt, Ar} — Av dt, A£ — A wdt, sodass An, Av, Aiv die entsprechenden relativen Geschwindigkeiten bedeuten. Wie hier die Wege in den Richtungen x, y, g, so lassen sich auch die relativen Wege von n gegen m in beliebigen Richtungen aus den gleichgerichteten Geschwindigkeiten beider Punkte bezüglich unseres Coordinatensystems ableiten.

Wir wollen nun aber nach Analogie mit den Verschiebungen die Geschwindigkeiten der relativen Bewegung von n gegen m pro Einheit der anfänglichen Entfernung An einführen. Dieselben sollen Verschiebungsgeschwindigkeiten heissen und sie ergeben sich, wenn man die wirklichen Geschwindigkeiten der relativen Bewegung von n gegen m durch An oder die Verschiebungen durch dt dividirt. Umgekehrt folgen aus irgend welchen Verschiebungsgeschwindigkeiten die gleichgerichteten Geschwindigkeiten der relativen Bewegung zur Zeit t durch Multiplication mit An, die gleichgerichteten Verschiebungen im Zeitelement dt durch Multiplication mit dt und die gleichgerichteten Wege im Zeitelement dt durch Multiplication mit An dt. Hinsichtlich der Richtungen der Verschiebungsgeschwindigkeiten ist auf das in § 4 für die Verschiebungen Gesagte zu verweisen.

Es mögen Qn, tn, vn die Totalverschiebungsgeschwindigkeit, Transversalverschiebungsgeschwindigkeit , Normalverschiebimgsgeschwindigkeit und r, t die Richtungen der beiden ersteren bedeuten. Dann hat man unmittelbar oder aus § 4

nn

vn = Qn cos (rn) =

¹

s = (tnCis -f- bnbs + cncs — cos (ns)

= (1 -f- e„) (1 -j- eß cos (w₁s₁) — cos (ns) (Ins. — sn + ns — rn cos (ns) + rs cos (Sw),

Pns = ocnXs + ynys + znSs = rnrs cos (n§)

und haben dann

(5)

und die Componenten der Verschiebungsgeschwindigkeit qu in den Richtungen x, y, g

Au xn An dt

Un — Qn cos (rx) —

Vn = Qn COS (ry) =

Vn

IVn = Qn COS (rg) —

A n    d t ’

Aw    zn

A n    d t '

Die Totalverscliiebungsgescliwindigkeit ist der Absolutwerth

rn

(?)

Qn — VUn -f“ Vn Wn = ^ >

während die Componenten nach x, y, z der ebenfalls als Absolutwert aufzufassenden Transversalverschiebungsgescbwindigkeit und damit deren Richtung bestimmt sind durch die Gleichungen xn cos (tx) — un — vn cos (nx),

(8)

Tn cos (ty) = vn — vn cos (ny), xn cos (t z) — wn — vn cos (nz).

Für die resultirende Componente von rn in beliebiger Richtung s hat man

(10)

(9) an = Qn cos (rs) = un cos (sx) -j- vn cos (sy) + wn cos (sz) und speciell für die Normalverschiebungsgeschwindigkeit mit s — n vn = w» cos (nx) vn cos (ny) -f- wn cos (nz).

Setzen wir die in § 5 eingefürten Drehungen für das Zeitelement dt

(H)

%X - LXdty

.....— lz d t

'i's — Lsdt,

hy Ly dt ,

dann sollen lx, lv, lz, ts die Drehungsgeschwindigkeiten des Punktes n für Axen in den Richtungen x, y, z, s durch m heissen, es sind die Componenten der Transversalverschiebungsgeschwindigkeit tn für diese Axen. Mit Rücksicht auf (6) folgen aus § 5

ix = wn cos (ny) — vn cos (nz), iy — un cos (nz) — wn cos (nx), iz — vn cos (nx) — un cos (ny)]

(13) ls = xn cos (hs) = lx cos (sx) -j- Ly cos (sy) + Lz cos (sz), in — 0 = lx cos (nx) -f- Ly cos (ny) -j- l₂ cos (nz),

(15) Lx —J- Ly —|- Lz Tn , UnLx —j⁻ Vn Ly —j⁻ Wniz 0,

während die positive Richtung h der momentanen Drehungsaxe von n um m bestimmt ist durch die Gleichungen

(IG) lx = xn cos (hx), Ly = xn cos (hy), lz — xn cos (hz).

(12)

(14)

Von dieser Richtung aus gesehen erscheint die Drehung dem Bewegungssinne des Uhrzeigers entsprechend rechtsläufig oder positiv. Die Gleichungen (12) liefern speciell für n — x, lx= 0 n = y,

ix =

Wy,

n = z,

Lx - V₂,

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

Beziehen wir schliesslich auch die noch unberücksichtigten Functionen der §§ 5, 6 auf ein Zeitelement dt und führen ein (1^) ßn endt, gns (pnsdt, gna = ynsdt, png = iknsdt, so sind £n, cpnS} yna, y>na bezw. als Dehnungsgeschwindigkeit, Schiebung sgeschwindigheit, Normalgleitungsgeschwindigkeit und Totalgleitungsgeschwindigkeit zu bezeichnen. Wenn alle Grössen mit dem Index s

den Punkt s betreffen und n, è die Richtungen r der Totalverschiebungsgeschwindigkeiten qs bedeuten, dann folgen

aus

§ 6, (3) (4)

(18)

yns =    + vn = Qn cos (ns) -f- qs cos (§w),

tyns = UnUs -f- VnVs -f- WnWs = QnQs COS (tt§).

Nach § 5, (1) und § 6, (5) hat man ferner

2sn = 2vn + (— sn²) dt,

(21) cpns = yns -f- ÿnsdt==(l -f- endt) (1 + £sdt) cos (w^) — (ns).

In diesen Gleichungen dürfen nicht unter allen Umständen die Glieder mit dem Factor dt gegen vn, yns vernachlässigt werden, da erstere mit letzterem von gleicher Grössenordnung sein können (§§ 5? 6)* Wenn jedoch weder unendlich grosse noch unendlich kleine Verschiebungsgeschwindigkeiten in Betracht kommen sollen und der Kleinheit des Winkels

(19)

(20)

(22)

&dt = (sn) — (s^)

wegen

cos (stnt) = cos (sn) cos &dt -J- siw (sw) sin &dt = cos (ns) -f■ ft dt sin (sw) gesetzt wird, erhält man aus (20) (21)

(23)

<Pns = y ns = ff sin (sw).

Die Dehnungsgeschwindigkeit ist gleich der Normalverschiebungsgeschwindigkeit und die Schiebungsgeschwindigkeit gleich der Normalgleitungsgeschwindigkeit.

&n - Un,

§ 8. Stetige und unstetige Functionen.

Eine Function wird bezüglich ihrer Variabein x, y, z,. . . als stetig bezeichnet, wenn sich für stetige Aenderungen der Variabein

auch die Function stetig ändert; sie heisst nach einer Variabein x bei x — u unstetig, wenn an dieser Stelle für eine unendlich kleine Aenderung von x eine endliche Aenderung von qp entsteht und also

für x = u, = + oo

wird. In Fig. 4 beispielsweise ist die Function V <P (?)

Fig. 4.

■oo

dcp

stetig von x — a bis x = u — d und von x — u -j- â bis e, wobei ó' beliebig klein werden kann, beim Ueberschreiten von x — u aber tritt eine Unstetigkeit ein.

Hat man eine Function qp von x, y,z,.. ., welche für be-. stimmte y, 0, . . . zwischen x — a und x — e an beliebig vielen Stellen x = u, v, . . . w Unstigkeiten erleidet, so ist das Integral

v—cî

u—(Î

(1)

I cpdx = f cpdx + Icpdx -f- • • • + *pdx

a    a    u+ô    w+ô

mit â = 0 doch vollständig bestimmt, wenn qp selbst zwischen je zwei aufeinander folgenden a, u, v, . . w, e in beliebiger Weise

8 F

eindeutig ausgedrückt ist. Speciell mit qp = wird

Jlf dx = (F„_, - F„) + (F_,r - F,+t) H-----h (F, — F^i),

(2)

a

Â    e

J H’ dx = F, - F„ - 2 (Fu+ä —    .

Man findet also dann den Integralwerth der unstetigen Function, wenn man von dem zwischen den gleichen Grenzen genommenen Integrale der stetig gedachten Function die Sprungwerthe des Integrals sub- ^ trahirt.

CI X u

Ist eine Function qp selbst stetig» so können doch ihre Derivirten unstetige Functionen sein. So erkennt —^ man z. B. in Fig. 5

Fig. 5.

y = (p{x)

als stetige Function von x. Dagegen erleidet die erste Derivirte

3Î — »'(*)•

welche die Tangente des Neigungswinkels der verzeichneten Curve bei x darstellt, für x = u eine ünstetigkeit, die geometrische Tangente an die Curve überschlägt beim Uebergange von x — u — d zu x — u -f- d auch für ein unendlich kleines d einen endlichen Raum.

Es seien qp, ip,... verschiedene Functionen derselben Variabein x, y, s, welche nun die Coordinaten eines Körperpunktes m bezeichnen sollen. Die Functionen erleiden in beliebigen Schnitten (und Schnitt-elementen) Unstetigkeiten. Für die Integrale von qo, tp, . . bleibt

es dann bei dem oben Gesagten. Stellen wir ferner irgend welche Beziehungen zwischen stetigencp,^,.. auf, so gelten diese auch in dem angenommenen Körper mit unstetigen cp, ty, . . ., vorausgesetzt nur, dass alle in die erhaltenen Beziehungen eintretenden Grössen auf die gleiche Seite jeder in Frage kommenden Unstetigkeit bezogen werden. So wollen wir uns in Zukunft bei Un Stetigkeiten der Spannungen, Verrückungen, Verschiebungen und Geschwindigkeiten die Beziehungen für die entsprechenden stetigen Grössen aufgefasst und angewandt denken. Es lassen sich dabei doch alle Körperpunkte erreichen, da wir uns den erwähnten Unstetigkeitsschnitten beiden Seiten bis auf. die Entfernung Null hin nähern können. Betrachten wir noch die stetige Function der Richtung n cp = a cos² (nx) -f- b cos² (ny) -f- c cos² ([nz)

-}- 2d cos (nx) cos (ny) + 2e cos (ny) cos (nz)

+ 2f cos (nz) cos (nx), worin a, b, c, d, e, f von n unabhängige Grössen bedeuten, und suchen zu bestimmen, für welche Richtungen n Maxima und Minima von cp eintreten, wenn die Richtungen x, y, z zu einander senkrecht sind. Diese Aufgabe kommt im Laufe unserer Untersuchungen für verschiedene Formen von cp vor, weshalb es sich empfiehlt, sie hier allgemein zu lösen. Setzt man in (3) links

<P = cp

folgen durch Differentiation nach (nx), (ny), (nz) als Bedingungen für Maxima und Minima cp — h

Durch Elimination von cos    (nz) aus den beiden ersten und von

cos (ny) aus der ersten und dritten Gleichung entstehen

cos (nx),

von

(3)

so

(4)

(5)

worin

[cos² (nx) -f- cos² (ny) -f- cos² (w#)],

cos (ny) — — cos (nx), S2

cos (nz) —

«T| co

= (li — a) e -\- fd, h = (h — b)f -j- de, s₃ = (h — c) d -f- ef, und substituirt man die Ausdrücke (5) in

cos² (nx) -f- cos² (ny) -j- cos² (nz) — 1,

(6)

so ergiebt sich mit

die erste der folgenden Gleichungen, während die beiden anderen mit Rücksicht auf (5) hinzutreten

(8)

cos (nx) = ^ , cos (:ny) = s~

cos (ns) = s~

Wenn wir in (6) den Werth h irgend eines Maximums oder Minimums von cp einsetzen, so liefern uns vorstehende Gleichungen mit den beiden Werthen von w zwei entgegengesetzte Richtungen n, welchen dieses h entspricht.

Um nun die Werthe der Maxima und Minima von cp selbst

zu erhalten, substituire man die Ausdrücke (8) in die erste Gleichung (4), womit

(a — cp) s₂ s₃ -|- ds₃sL -j- f s₁s₂ = 0, oder nach Einführen der s aus (6)

(9) (h— a)(h—b)(h—c) — (h—a)e² — (h—b)f²—(h — c)d²—2def= 0, und nach Potenzen von h geordnet

(10)

j — h²(a -f- b -f- c) -f- h(ab + bc -(- ca — d² — e² — f²) l    — (abe — ae² — bf² — cd² + 2def) = 0.

Diese kubische Gleichung hat in den später in Betracht kommenden Fällen drei, im Allgemeinen verschiedene, reelle Wurzeln, so dass auch im Allgemeinen drei verschiedene Maxima oder Minima von cp existiren, welche je zwei entgegengesetzten Richtungen n entsprechen.

§ 9. Vollständiges Differential. Potential.

Ist W eine Function von x, y, z, . . ., dann wird das vollstän

dige Differential von W gleich der Summe der partiellen Differentiale nach x, y, z, ...

dW=d-^rdx-f

dW

dy

dz —(-* • • •

(1)

und man kann durch Integration dieser Gleichung W = F (x, y, z, • • •) + const. wieder erlangen, ohne dass irgend eine Beziehung zwischen x, y, z, • • • gegeben zu sein braucht. Es kommt nun in der Mechanik häufig vor, dass ein Differentialausdruck

(2)

d W = adx -J- bdy -f- cdz + • • • vorliegt und die Frage aufgeworfen ist, ob der Ausdruck, in welchem a, b, c, • • • beliebige Functionen von x, y, z, • • • sind, ein vollständiges Differential bildet, ob sich also W als Function unabhängig veränderlicher x, y, z, • • • darstellen lässt. Um für solche Fälle ein allgemein gültiges Kriterium zu erlangen, setzt man voraus, es sei (2) ein vollständiges Differential und sieht zu, welche Bedingung daraus folgt.

Wenn aber die rechte Seite von (2) das vollständige Differential einer Function x, y, ß, • • • ist, dann muss die Integration auf eine Gleichung der Form (1) führen. Die Differentiation derselben ergibt

(B)

d W = dx -f

8F

demnach waren

8y

dy -f-

7 VF J 8 y ’

und da die Reihenfolge der Differentiation gleichgültig ist, so entstehen die Beziehungen

(4)

8F

8F

a ~ 8x ’

c~~ 8z’

•(5)

8b

8b _ 8c

8 z dy’

8c

dy 8x’

Das gesuchte Kriterium ist damit erlangt, der gegebene Differentialausdruck ist das vollständige Differential einer Function von x, y, ß, wenn die Factoren von dx, dy, dß, • • • partielle Differentialquotienten nach x, y, ß, • • • einer und derselben Function F sind oder die Beziehungen (5) bestehen.

Sind die angeführten Bedingungen nicht erfüllt, dann ist W als Function unabhängig variabler x, y, ß, • • • nicht darstellbar und die Integration von (2) erst mit Hülfe neuer Beziehungen ausführbar. Geben letztere x, y, ß, • • • als Functionen einer bestimmten Yariabeln t (welche auch mit einer der Grössen x, y, ß, • • • identisch sein kann), dann lässt sich (2) in die Form bringen

dW = ip(t)dt und wir erhalten durch Integration

W = f(f) -j- const.

Während jedoch im ersten Falle W nur von den jeweiligen Werthen x, y, ß, • • • und jede Aenderung von W

W— W= F{x, y,ß,".) — F(xt, yv ßv • • •) nur von den Anfangs- und Endwerthen der x, y, ß, • • • abhängt, kommt es jetzt nach (6) auch auf die Beziehungen zwischen x,y,z,---und t, d. h. darauf an, wie sich während des ganzen Uebergangs x, y, ß, • • • mit t geändert liabem

Enthält lier als vollständiges Differential gedachte Ausdruck (2) nur drei Variable x, y, ß, dann sind dieselben entweder die Coordinaten eines Punktes m oder sie lassen sich als solche darstellen. Durch jede Gleichung der Form

W=C

bei beliebigem constantem C ist nach (1) eine Fläche bestimmt und es werden solche Flächen Niveauflächen genannt. So oft m dieselbe Niveaufläche durchschneidet, hat Wdenselben Werth und bei der Be

da?

(6)

(7)

(8)

wegung von m auf einer Niveaufläche würde W constant bleiben. Gehen wir von m(x, y, z) aus in beliebiger Richtung n um dn vor, wobei dx, dy, dz die Projectionen von dn in den Richtungen x, y, z oder x -\- dx, y Ą- dy, z dz die Coordinaten des erreichten Punktes n sein mögen, dann ist nach (2) die Aenderung von W

(9)

dW — adx -J- bdy -f- cdz.

Durch Division mit dn folgt

(10)

= a cos (nx) -j- b cos (ny) -f- c cos (nz).

Denken wir uns a b, c von m oder n aus mit Berücksichtigung der Vorzeichen in den Richtungen x, y, z angetragen und die Richtung der Resultante p = ]/a² -f- b² -J- c² durch r bezeichnet, dann folgen

(H)

[b =

= P cos (rx), = p cos ( ry),

dW

dy

dW

c — -ö-dz

= p cos (rz).

Beim Vorgehen um dn in der Richtung n wird nach (10)

= p [cos (rx) cos (nx) + cos (ry) cos (ny) -j- cos (rz) cos (nz)]

dW dn

das heisst

(12)

dW    ,    .

- = p cos (rn).

nach (8), (12)

Tn diesem Falle lässt sich das Differential von W nach beliebiger Richtung n analog ausdrücken, wie die Differentiale nach x, y, z. In (11) und (12) stehen rechts die Componenten von p in denjenigen Richtungen x, y, z, n, nach welchen differentiirt wird. Liegen die Punkte m, n auf einer Niveaufläche, dann muss cos (rs) = 0 sein und damit ist bewiesen, dass p in allen Punkten einer Niveaufläche senkrecht zu letzterer gerichtet ist.

Es seien in dem vollständigen Differential (9) x, y, z die Coordinaten eines materiellen Punktes hinsichtlich irgend eines rechtwinkligen Coordinatensystems. Bedeuten dann a, b, c die Com-ponenten X, Y, Z einer auf den Punkt wirkenden Kraft in den Richtungen x, y, z, also p die resultirende Kraft, dann wird

(13)

F = / (Xdx + Ydy + Zdz)

nach Hamilton eine Kraftfunction der X, Y, Z genannt. Sind a, b, c die Coordinatengeschwindigkeiten u, v, w unseres Punktes, und p die resultirende Geschwindigkeit, so würde dementsprechend

F — J(udx -j- vdy -j- wdz)

(14)

eine Geschivindigkeitsfunction der u, v, w heissen, und wenn a, b, c die Verrückungen §, rj, £ des fraglichen Punktes in den Richtungen x, y, 2 und p die Totalverrückung vertreten, dann könnte man

(15)

F = J %dx -}- i]dy -j- £dg

eine Verrückungsfunction für die |, tj , £ nennen. Handelt es sich um ein ganzes System von Punkten, für welches eine Kraftfunction, Geschwindigkeitsfunction oder Verrückungsfunction existirt, dann tritt in (13), (14) oder (15) rechts ein auf alle Punkte bezügliches Z vor die Klammer, der Summenausdruck bildet das vollständige Differential von F.

Während hervorragende Autoren für (13) die Bezeichnung Kraftfunction beibehalten haben, wird diese Grösse in neueren Schriften vielfach Potential der Kräfte genannt und für (14) der von Helmholtz eingeführte Name Potential der Geschwindigkeiten gewählt, wonach man (15) Potential der Verrückungen nennen könnte. Wir wollen von diesen Namen Gebrauch machen, um dem Worte Function seine allgemeine Bedeutung zu wahren und weil dann Ausdrücke wie Potentialbewegung, Potentialverrückungen bestimmte Begriffe klar wiedergeben, während die sonst üblichen, von Green und Clausius unterlegten, speciellen Begriffe von Potentialfunction und Potential, bei welchen es sich immer um Kräfte handelt, welche statisch nach dem umgekehrten Quadrat der Entfernung wirken, hier nicht direct in Frage kommen.

In der Folge werden wir zur Klarlegung der Gesetze stetiger Spannungen und Verschiebungen noch andere Potentiale als die jetzt erwähnten einzuführen haben, die man zum Unterschiede von letzteren als JRichtungspotentiale bezeichnen kann (§§ 19, 31, 36).

§ 10. Grundgleiclmngen der Bewegung.

Es handle sich zur Zeit t um die augenblicklichen Bewegungsverhältnisse der Körperpunkte in Hinsicht eines beliebig bewegten Coor-dinatensystems. Für einen bei x, y, 2 liegenden Punkt der Masse m mögen die resultirenden Componenten der auf fragliche Bewegung hinwirkenden Kräfte und die Geschwindigkeiten dieser Bewegung in den Richtungen x, y, 2 durch £, 3), ß und u, v, w bezeichnet sein. Dann hat man bekanntlich

du

dv

dt

3Î-9

dw

und daraus

/dw

{di y

(du

(m*

(dv (dtX

% •)-&»- y*,

= %8 — gx, ~dt y) ⁼    ~~ *y•

dw

dt

x)

du

Die drei ersten Gleichungen sagen aus, dass die Kräfte in den Richtungen x, y, 8 die Beschleunigungen in diesen Richtungen erzeugen, während nach den drei letzten Gleichungen die Momente genannter Kräfte hinsichtlich der Coordinatenaxen x, y, 8 die Beschleunigungen der Rotationen um diese Axen hervorbringen.

Wir denken uns nun einen beliebigen Theil des Körpers abgegrenzt und betrachten diesen als System für sich. Für jeden Punkt des Systems gelten die vorstehenden Gleichungen. Werden jedoch entsprechende Gleichungen aller Systempunkte addirt, so fallen rechts die innern Kräfte wegen doppelten Auftretens mit entgegengesetzten Vorzeichen bei gleichen Hebelarmen aus, es genügt die äusseren Kräfte in Betracht zu ziehen.

Die äusseren Kräfte sind theils Massenkräfte, theils Oberflächeu-kräfte. Werden für die Richtungen x, y, 8 die Componenten der specifischen Massenkräfte durch X, Y, Z und diejenigen der speci-lischen Oberflächenkräfte in Uebereinstimmung mit § 3 durch Xn, Yni Zn bezeichnet, dann hat man

Im

(1)

Ym

ZmX+fXndO ■ i m^ = YmY +fYndO = YmZ -j- J*ZndO\

§*) = Im{Zy - Yd) +/('{Zny - Yn8)d0

dt

Ym

dio

■ (2)

(dw ■

\~dt y

(d~ 8 — d£x) = Ym(X8 - Zx) +f([xn8 —Znx)dO

Ym

„ (dv

\Zm\Ttx

Die Integrale sind auf alle Oberflächenelemente dO und die Summen Y auf alle Massenpunkte m1} m₂, ••• auszudehnen, wobei man sich den in diesen Y auftretenden Grössen die Indices der betreffenden Massenpunkte gegeben denken kann.

Betrachten wir jetzt ein bei x, y, 8 gelegenes, unendlich kleines Volumentheilclien dK von beliebiger Form, welches Massenpunkte der Gesammtmasse ydK enthält, so dass y die mittlere Masse pro

du \

dtV

Im(Yx - Xy) +J(Ynx-Xny)dO.

Volumeneinheit oder specifische Masse bedeutet. Die Geschwindigkeiten des Massenmittelpunktes der eingeschlossenen Massenpunkte in den Richtungen x, y, z mögen u, v, w heissen. Man hat dann nach elementaren Sätzen der Lehre vom Schwerpunkt

(3) TmX = pdKX,

YmZ = ydKZ]

Tm Y = gdKY,

du

dv

dv

(4) Z m^ — gdK

Enthält nun der oben behandelte Körpertheil, für welchen die Gleichungen (1), (2) gelten, beliebig viele und zum Beispiel auch unendlich viele der soeben betrachteten Körpertheilchen, dann folgen aus (1)

/(

x) gdK = f*XndO,

Y) gdK = f YndO,

.f(%-z)t'dK=Jz~d0’

und aus (2), da für die Punkte eines bestimmten Theilchens dK die Differenzen der x, y, z gegen diese Grössen selbst verschwinden,

!/[»(£-*)-'(£

/[>(!?-*)-»(£

(5)

(6)

du

dt

r)] (idK =f (yZn — z Yn)dO, z)] gdK — J*i\zXn - xZn)dO,

J[x^rt -Y)-y(ft~ X)1 ^dK=yxn)do.

Die Gleichungen (5), (6) gelten ebensowohl für unendlich kleine, wie für beliebige endliche Körper und Körpertheile. Die Integrale links sind auf alle Körperelemente und die rechts auf alle Oberflächenelemente auszudehnen.

Es wurde oben erwähnt, dass für die Gleichungen (1), (2) die innern Kräfte des betrachteten Systems wegen doppelten Auftretens mit entgegengesetzten Vorzeichen ausfallen. Die Oberflächenkräfte wirken von ausserhalb des Systems gelegenen Punkten auf die zum Systeme gehörigen. Da aber jedem auf einen Systempunkt wirkenden Bestandtheil einer Oberflächenkraft eine genau gleich grosse Kraft vom Systempunkte aus entgegenwirkt, so muss auch jeder resultirenden specifischen Oberflächenkraft eine gleich grosse Oberflächenspannung von entgegengesetzter Richtung entsprechen. Da wir ferner durch jedes Schnittelement im Körper die Grenze eines als System betrachteten Körpertheils führen können, so sind überhaupt die resultirenden Spannungen je zweier in einem Schnittelemente zusammenhängender Flächenelemente numerisch gleich und entgegengesetzt gerichtet.

§ 11. Bewegungsgleichungen für Körperelemente.

Wir denken uns vom Punkte m (x, y, z) aus ein parallelepi-pedisclies Körpertheilchen dK — dx dy dz abgegrenzt, dessen Kanten in den Richtungen x, y, z der Coordinatenaxen liegen. Auf die Oberfläche desselben werden von den angrenzenden Theilen her

/k?

ï'z

■<—

nn

L.\

"f-

•v

Fig. G.

irgendwelche Kräfte wirken, deren Componenten parallel den Coor-dinatenaxen für die m zunächst liegenden Seitenebenen wie in Fig. 6 bezeichnet sein sollen. Auf dieses Theilchen wenden wir die Gleichungen (5) des vorigen § an und erhalten:

/ du \    /

W-*)*“**-(*• +

X^j dy dz dz dx

dz — dx dy, - y) fidK = (r, + dx - r,) dy ds

+ {Y* + wdy- T*)

+ (v +

~dx

dx —

+ (xy + dwdy- x)

+ (Xz +

dz

dz

dz —

dz dx

Yz^j dx dy,

dw

dt~Z

)(idK=(zx +

-0— dx dx

— Z^j dy dz

oder nach Réduction

/    () Z    \

+ \ Zy + -g— dy — Z,jj dz dx

+ {%* +

~dJ

dz —

Z^j dx dy,

/du    \

\dt~X) ^

a*.

dx»

dx

Jy

(1)

£-*)i-E + 2 +

Vdt ~ /j) P

dx

Wenden wir jetzt dieselben Gleichungen (5) auf ein vom Punkte m (x, y, z) aus abgegrenztes unendlich kleines Tetraeder an, von welchem drei Oberflächenebenen fx, fy, fz senkrecht den Coordinaten-axeu x, y, z sind, während die vierte fn von der Normalenrichtung n

dy

JC

Z.

a>

Vy

Uz

?»

nv //

Zz

Jcz^—

<r~ä>Z

ytv

Mg. 7.

ist (Fig. 7). Denkt man sich die von m ausgehenden Kanten unseres Elements zunächst in den Richtungen x,y,z liegend und bezeichnet die Oberflächenkräfte den Festsetzungen in § 3 entsprechend, dann folgen :

Æ - x) paie = x„f„ - x.f, - x,f, - x,f„

') udK = Y„fn — Yyj, — Y,jf,j — Y,f (~ - z\ fidK = Z.f. — Z.f, - Z,/, - Z,f,

dv

lit

Z)

worin dK des Volumen des Tetraeders und also 3 dK = fxdx — fy dy — fz dz, fn = fx cos ('nx) = fy cos (ny) = fz cos (nz).

Die drei Gleichungen, wie auch (1), führen bei verschwindenden Spannungen auf die der Bewegung des Schwerpunkts freier Massenpunkte entsprechenden Beziehungen. Setzen wir jedoch voraus, dass die mit dK multiplicirten Ausdrücke den Spannungen Xn, Yn, Zn gegenüber nicht unendlich gross sind, so entstehen:

Xn — Xx    cos    (nx)    -j-    Xy cos (ny)    + X* cos (nz),

(2)

• Yn= Yx    cos    (nx)    +    Yy cos (ny)    + Yz cos (nz),

Zn = Zx    cos    (nx)    +    Zy cos (ny)    -f- Zz cos (nz).

Es wurde oben    vorläufig angenommen, dass die Kanten dx, dy, dz

des Tetraeders von m aus in den Richtungen x, y, z der Coordi-natenaxen liegen, womit die Winkel (nx), (ny), (nz) zwischen 0 und -j- 90° fallen. Diese Beschränkung ist aber nicht nöthig. Liegen in entgegengesetzter Richtung die Kanten

dx

dy,

dz,

dann treten in den angesetzten Gleichungen an Stelle von

fn = fz COS (nz)

fn = fy cos (ny)

fn = fx COS (nx), beziehungsweise die Wertlie

fn = fx COS (nx), fn= — fy cos (ny), fn = — fz COS (nz)

während gleichzeitig die Oberflächenkräfte auf

fy,

fx,

ihr Vorzeichen wechseln, sodass die Gleichungen ungeändert bleibeu.

Wenn auch die Formeln (1), (2) unter der oben erwähnten Voraussetzung für alle Normalenrichtungen n gelten, so brauchen doch die in (2) rechts auftretenden Flächenkräfte nicht für alle n die gleichen Werthe zu haben. Dieselben können sich sprungweise ändern, was z. B. häufig mit den specifischen Oberflächenkräften der Fall ist. Dagegen wissen wir aus § 10, dass die Kräfte auf zwei in einem bestimmten Schnittelemente zusammenhängenden Flächenelemente stets gleich gross und entgegengesetzt gerichtet sind.

§ 12. Stetige Spannungen.

Die Anwendung der ersten Gleichung § 10, (6) auf das paral-1 elepipedische Körperelement des vorigen § ergiebt

Wir denken uns nun das hier betrachtete Körperelement und das im vorigen § eingeführte Elementartetraeder innerhalb eines Körpertheils liegen, in welchem alle Flächenkräfte stetige Functionen des durch Coordinaten und Normalenrichtungen bestimmten augenblicklichen Ortes der afficirten Flächenelemente sind, und Ausdrücke von der in §11, (1) links ersichtlichen Form den Xn, Yn, Zn ge-gegenüber nicht unendlich gross werden. Da sich alsdann die in § 1*1, (2) rechts auftretenden Kräfte innerhalb eines unendlich kleinen Raumes um m (x, y, z) nur um verschwindend wenig ändern, so gelten diese Gleichungen mit constanten Werthen der rechtsseitigen Kräfte für alle m anliegenden und unendlich benachbarten Flächenelemente beliebiger Normalenrichtungen n. Aus (1) aber entstehen folgende Grundbeziehungen stetiger Spannungen:

(2)

Xv = Yx,

A.I &

du

dt

x)] (idK

(x -f- dx) ^ Yx -f-

dx

dxj dy dz

xYxdy dz + x (yv -f- -y dy — Fy) dz dx Y^j dx dy

-K— dz —

—    x{yz -\-

/    3 jç¹

—    (y + ^2/) (xy -f- -ry dz *2# -f- yXy dz dx

.-*(* +

_ * (il* + ü +

/ax»

~ yVZi +

dz

dXz

~dYdz~

X₂j dx dy

dz)dK+ Yx dK+d-^ dx dK

+ -g/) dK - X,dK - dy <IA.

Diese Beziehung liefert mit Rücksicht auf § 11, (1) die erste der folgenden Gleichungen, während die beiden andern in ganz analoger Weise aus den zwei weiteren Gleichungen § 10, (6) hervorgehen.

xv - Yx + ^ dy -d-^dx = 0,

y „    dZvj    n

Yz Zy -\- y dz---- dy = 0,

dzr dxz

Zx-X₂ + -^dx--^-dz=0.

dYZ

(i)

dXy

oXz

dy

Zx — X₂.

Man könnte bei obiger Anwendung der Gleichungen § 10, (6) die Angriffspunkte der Spannungen in den Mitten der afficirten Flächenelemente annehmen und auf der linken Seite der angeschriebenen •    dx    dv

Gleichung x -J——, y —~ an Stelle von x, y setzen wollen.

u    il

Wo man aber auch die Angriffspunkte der Flächenkräfte auf den zugehörigen Flächenelementen wählen und welchen Punkt innerhalb des Körperelements man für die Coordinaten links als massgebend betrachten mag, für stetige Spannungen entstehen immer die Gleichungen (2). Dasselbe ist der Fall, wenn man von § 10, (2) anstatt von § 10, (6) ausgeht.

II. Abschnitt.

Beziehungen zwischen stetigen Spannungen.

* Allen bisher im Gebiete der Elasticitätslehre publicirten Untersuchungen liegt die Annahme zu Grunde, dass die Spannungen eines Körpers für jeden bestimmten Zeitpunkt stetige Functionen des augenblicklichen Ortes der afficirten Flächenelemente sind. Ist diese Voraussetzung für die einem Punkte m (x, y, z) unendlich nahe liegenden Flächenelemente erfüllt, so lassen sich eine Reihe von Beziehungen zwischen den Spannungen bei m ableiten, wie im Folgenden gezeigt werden soll. Die entstehenden Gleichungen gelten auch in Körpern, welche in beliebig vielen Schnitten jeder Grösse und Form Unstetigkeiten der Spannungen enthalten, wenn nur die in § 8 erwähnten und in § 13 specieller gefassten Bedingungen erfüllt werden. Wie in § 10 kann unser Coordinatensystem in beliebiger Bewegung sein. Für viele Untersuchungen genügen, neben den allgemeinen Beziehungen der §§ 3, 10—12 schon die in § 13 entwickelten Gesetze stetiger Spannungen.

§ 13. Spannungen für beliebige Flächenelemente.

Um die Spannungen eines dem Punkte m (x, y, z) unendlich benachbarten Flächenelements zu erhalten, haben wir uns in § 11 den Punkt m als Ecke eines Tetraeders gedacht, von welchem drei Oberflächenebenen parallel den Coordinatenebenen lagen, während die vierte von der Normalenrichtung n war. Sind für ein solches Körperelement die Ausdrücke

/du

\dt

ns ns

div

)ft

den Spannungen gegenüber nicht unendlich gross, oder die letzteren den ersteren gegenüber nicht verschwindend klein, dann hat man nach § 11, (2) die Componenten der Totalspannung Iin in den Richtungen x, y, z

Xn = Xx cos (nx)    -f- Xy cos (ny)    -j-    X₃    cos    (nz),

Yn = Yx cos (nx)    Yy cos (ny)    -f-    Yz    cos    (nz),

Zn = Zx cos (nx)    -{- Zy cos (ny)    -f-    Zz    cos    (nz).

Werden diese Gleichungen quadrirt und dann addirt, so ergiebt sich bei den Bezeichnungen des § 3

Bn² = Bx cos² (nx) -f- By* cos² (ny) -f- B? cos² (ns)

(2)

-f- Pxy cos (nx) cos(ny)-\-Pyzcos(ny)cos(ns) -)- Pzx cos (ns) cos (nx), worin, wenn £, t), g die Richtungen r der Totalspannungen Bx, By, Bz für die m anliegenden Flächenelemente der Normalenrichtungen x, y, s bedeuten,

Pxy — XxXy I    YxYy    —f- ZxZy    — BxBy cos

(3)

Pyz — XyXz -f-    YyYZ    -J- ZyZZ    — ByBz COS    (t) g) ,

Pzx = X₂X* +    Yz Yx    + Z.Z*    = BZBX cos    (g£).

Die drei letzten Glieder in (2) verschwinden, wenn Bx, By, Bz zu einander senkrecht sind. Setzt man die Ausdrücke (1) in § 3, (6) ein, so folgt die Normalspannung für das Flächenelement der Normalenrichtung n

Nn = Xx cos² (nx) -|- Yy cos² (ny) -f- Zz cos² (ns)

(4)

+ Grxy cos (nx) cos (ny) -f- Gyz cos (ny) cos (ns) -f- Gzx cos (ns) cos (nx)

mit

(5) Gxy = Xy-\- Yx, Gyz=Yz + Zy, Gzx = Zx + Xz.

Die Gleichungen (1) — (5) gelten unter der oben erwähnten Bedingung für jedes dem Punkte m unendlich benachbarte Flächenelement, auch dann, wenn die Spannungen in der Umgebung von m ihre Werthe sprungweise ändern, in welchem Falle nur die in

(1) — (5) rechts auftretenden Kräfte für verschiedene Flächenelemente nicht gleiche Werthe zu haben brauchen. Setzen wir jedoch voraus, dass sämmtliche Spannungen in der Umgebung von m stetige Functionen des Ortes sind, dann gelten obige Gleichungen nach § 12 mit constanten Werthen der rechtsseitigen Kräfte für alle m anliegenden und unendlich benachbarten Flächenelemente beliebiger Normalenrichtungen n. Wir haben dann ferner

(6)

X, = Y., Y, = Z„ Zx = X„

womit

(7)

Gxy = 2X„ Gyz = 2 Yz, Gzx = 2Xæ

und auch die Gleichungen (3) anders geschrieben werden können. Bildet man durch Substitution von (1) in § 3, (5) die Componente von Bn in beliebiger Richtung s, so ergiebt sich mit Rücksicht auf (6)

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

welche Gleichung selbstverständlich mit s — n auf (4) führt. Weil der Ausdruck rechts seinen Werth nicht ändert, wenn s mit n vertauscht wird, so können wir. aussprechen : Werden zwei einem Punkte m unendlich nahe liegende Flächenelemente der Normalenrichtungen n und s durch Totalspannungen Bn, Bs afficirt, dann ist die Componente von Bn in der Bichtung s gleich der Componente von Bs in der Bich-tung n. Bezeichnen wie in § 3 n, § die Richtungen r von Bn, Bs, so hat man demnach

(9)

Bn cos (tts) = Bs cos (§>n) oder Sn = Ns,

(10) Grns = 2Bn cos (ns) = 2Bs cos (§w)    „ Gns — 2Sn = 2NS.

Specielle Fälle dieses allgemeinen Gesetzes stetiger Spannungen bilden die Beziehungen (6) oder (7), welche mit ns — xy, yz, zx entstehen.

Da bei Ableitungen der Gleichungen (1) und (6) nur dem Punkte m (x, y, z) unendlich nahe liegende Flächenelemente in Frage kamen, so bestehen die für stetige Spannungen erhaltenen und weiter abzuleitenden Beziehungen auch in Körpern, welche in beliebig vielen Schnitten Unstetigkeiten der Spannungen aufweisen, wenn nur unser Elementartetraeder ganz auf einer Seite jedes solchen Schnittes gedacht wird, d. h. wenn sich alle in einer Gleichung auftretenden Spannungen auf die gleiche Seite jedes bestimmten Unstetigkeitsschnitts beziehen. So lassen sich aber alle Körperpunkte erreichen, wir können die Eintheilung in Elemente immer derart vornehmen, dass für jedes derselben die Spannungen stetige Functionen des Ortes sind.

Die Gleichungen (1) wie auch die übrigen zeigen wieder, dass für je zwei in einem Schnittelemente zusammenhängende Flächenelemente numerisch gleiche Spannungen entgegengesetzter Richtungen entstehen, was auch in Unstetigkeitsschnitten gültig bleibt (§ 10).

§ 14. Die Hauptspannungen.

m(

Sn — Bn cos (rs) = Xx cos (nx) cos (sx) -f- Yy cos (ny) cos (sy)

-j- Zz cos (nz)

cos

(sz)

(8)

-f- Xy [cos (nx) cos (sy) -j- cos (ny) cos (s#)J -f- Yg [cos (ny) cos -f- Zx [cos (nz) cos (sx) -f- cos (nx) cos (s#)J,

(sz) +

cos

(nz) cos (si/)J

Die mathematischen Maxima und Minima der Normalspannungen Nn=Xx cos² (nx)-j- Yy cos² (ny)-\-Zz cos² (nz) -j-2 Xvcos (n x) cos (ny) -f- 2 Yz cos (ny) cos (nz) -f- 2ZX cos (nz) cos (nx)

bei einem Punkte m (x, y, z) bezeichnen wir als Hauptspannungen daselbst. Da die Function Nn von der in § 8 betrachteten Form (3) ist, so ergeben sich die Verhältnisse der Hauptspannungen aus den dort abgeleiteten Gleichungen mit (p — N„, a — Xx, b — Yy, c — Zz, d = Xy, e = Yz, f = Zx.

Die Werthe h der Hauptspannungen sind bestimmt durch die

Gleichung

(2) {

(h - X,) (h - Yy) (I, - Z,) - (li — X,) Y,² -(h - Y,) ZJ

— (h - Z,) X/ — 2XyYz Zx = 0,

welche auch wie folgt geschrieben werden kann

h? - Ji² (.Xx + Yy + Z.)

(3)

+ Jl (X, Yy + YyZz + Z.X, - X/ - Y² - X,²)

- (X, YyZz - X» Y² - YyZ ² — Zzx² + 2 X, YzZx) = 0.

Da sich in § 15 zeigen wird, dass die Hauptspannungen durch die Halbaxen eines Ellipsoids dargestellt sind, so hat vorstehende Gleichung im Allgemeinen drei verschiedene reelle Wurzeln, welche wir durch Ji — A, Ji = JB, Ji — C bezeichnen. Substituirt man einen

4

dieser Werthe in

⁵1    —    (J¹ - Xa;)    Yz    -(-    XyZX)

(4)

so folgen aus

⁵2    ⁼    (Jl - Yy)    ZX    +    XyYZ,

Sg =    (Jl - ZZ) Xy    Zx YZ}

S2 ^3

W ’

mit den beiden Vorzeichen von

(5)

COS

(nx) =

cos (ny) =

cos (nz) — ~~~

(6)

= + l/(SlS2)^ + (S2S3 )² + (S3Sl)²

die zwei einander entgegengesetzten Normalenrichtungen n derjenigen Flächenelemente, welche durch diese Hauptspannung afficirt werden. Nach § 8 bestehen für jede Hauptspannung h die Gleichungen (X* — h) cos (nx) -f- Xy cos (ny) -f- Zx cos (nz) = 0,

C0

(Yy — li) cos (ny) -f- Xy cos (nx) -(- Yz cos (nz) = 0,

(Zz — h) cos (nz) -j- Zx cos (nx) + Yz cos (ny) = 0.

Der Vergleich dieser Formeln mit § 13, (1) zeigt uns bei Beachtung von § 3, (2), dass für jedes durch eine Hauptspannung affi-cirte Flächenelement der Normalenrichtung n die Beziehungen bestehen

Ji cos (nx) — Xn = Rn cos (rx), Ji cos (ny) = Yn — Rn cos (ry), Ji cos (nz) = Zn = Piu cos (rz),

(8)

3*

woraus durch Quadriren und Addiren h² == B²: Für die Flächenelemente, welche durch Hauptspannungen afficirt iverden, existiren keine Schubspannungen, ihre Totalspannungen sind gleich den Absolutwerten der Hauptspannungen. Multiplicirt man die Gleichungen (8) bezw. mit cos (sx), cos (sy), cos (sz) und addirt, so folgt nach § 3, (5) die Componente der h entsprechenden Totalspannung Bn in der Richtung s und damit nach § 13 auch die Componente von Bs in der Richtung n

(9)

Sn = Nn = h cos (ns) =

Es seien nun hl, h₂ zwei Hauptspannungen, nl} n₂ die Normalenrichtungen der zugehörigen Flächenelemente, so hat man einmal mit h — h1} n = nx, s = n₂ und dann mit h = h2} n — n₂, s = nx, Gns = 2hx cos (nxn₂) — 2h₂ cos (n₂n₁), und da h1} h₂ im Allgemeinen verschiedene Werthe haben, so muss cos (nxn₂) — 0 sein: Hie Normalenrichtungen derjenigen Flächenelemente, welche durch verschiedene Hauptspannungen beansprucht werden, schliessen mit einander Winkel von 90° ein und demgemäss stehen auch die drei Bichtungslinien der Hauptspannungen auf einander senkrecht. Je zwei Hauptspannungen liegen in der Ebene, welcher die von der dritten Hauptspannung afficirten Flächenelemente anliegen.

(11)

Werden die Axen x, y, z parallel den Hauptspannungen A, B, C heim Punkte m (x, y, z) gelegt, so hat man daselbst Xx = A, Yy = B, Zz = C, Xy = Yz = Zx — 0 und damit vereinfachen sich die in § 13 erhaltenen Spannungsausdrücke für alle Flächenelemente hei m. Für ein Flächenelement der Normalenrichtung n folgen die Normalspannung und Spannungscomponente in beliebiger Richtung s (10) Nn — Bn cos (rn) = A cos² (nx) -f- B cos² (ny) -f- G cos² (nz), Sn = lin cos (rs) = A cos (nx) cos (sx) -J- B cos (ny) cos (sy)

-)- G cos (nz) cos (sz).

Die Componenten der Totalspannung Bn in den Richtungen x, y, z werden

(12)

Xn — A cos (nx) — Bn cos (rx), Yn — B cos (ny) — Bn cos (ry), Zn = G cos (nz) — Bn cos (rz),

und für Bn selbst hat man

(13) Bn² = Xf² + Yn² + Zw²=A²cos²(nx) + B²cos² (ny) + C² cos² (nz),

während die Componenten der Schubspannung Tn — yBn² — Nn2 in den Richtungen x, y, z nach § 3 bestimmt sind durch die Gleichungen

Tn cos {tx) = {A — Nn) cos (nx),

(14)

Tn cos (ty) = {B — Nn) cos (ny),

Tn cos (tg) = (C — Nn) cos {né).

Nach (12) werden für {nx), {ny) oder {ns) gleich + 90° auch bezw. {rx), {ry) oder {ré) zu rechten Winkeln, die Totalspannungen aller Flächenelemente, deren Normalen senkrecht zu einer Hauptspannung sind, liegen in der Ebene der beiden andern Hauptspannungen.

In (3) beziehen sich die neben h vorkommenden Grössen auf drei beliebige, zu einander senkrechte Elächenelemente bei m. Da nun die Werthe der Hauptspannungen nicht von der Wahl dieser Elächenelemente oder der Richtungen unseres Coordinatensystems abhängen, so müssen auch die Coefficienten der Potenzen von h in (3) unabhängig von dieser Wahl sein. Schreiben wir nun die Coefficienten das eine Mal wie oben für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen, das andere Mal für den Fall an, dass die Coordi-natenaxen x, y, g parallel den Hauptspannungen A, B, G gelegt werden, so entstehen folgende Relationen:

(15)

X, + Yy + X* = A + B + C = Q,

(16)    X, Yy + YyZz + X₂X, - X* - Y² - X,² = AB + BC + CA,

(17)    Xæ YyZz - X* Y² - YyZJ - ZaXf + 2Xy Y.X* = ABC.

Hierauf hätten wir auch aus den Eigenschaften cubischer Gleichungen schliessen können. Quadrirt man (15) und subtrahirt das Doppelte von (16), dann ergiebt sich

(18)

B² + By² + B² = A² + B² + C².

Aus (15) und (18) schliessen wir: Für je drei dem gleichen Punkte m anliegende Flächenelemente hat die Summe der Normalspannungen einen festen Werth und ebenso die Summe der Totalspannungsquadrate. Liegt nur eine der Coordinatenaxen parallel einer Hauptspannung, so kommt in (15) und (18) einer der Summanden rechts und links vor, es folgt: Für alle Paare in einem Punkte m zu einander senkrechter Flächenelemente, deren Normalenrichtungen senkrecht einer Hauptspannung liegen, haben die Summe der Normalspannungen und die Summe der Totalspannungsquadrate je einen festen Werth.

Nach (15) — (17) ist eine der Hauptspannungen A, B, C gleich Null, wenn für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen (19) X, YyZz - Xx Y² - YyZ² - ZzX,f + 2X, YzZx = 0 ist; es sind zwei Hauptspannungen gleich Null, wenn neben (19) gilt

(20)

X,Y,j + Y,Z, + Z.X, — X,/ — Y? - Zf = 0;

und sind alle drei Hauptspannungen gleich Null, so hat man noch

Xx -f- Yy 4" Zz — 0.

(21)

zur

Verschwindet eine Hauptspannung, so folgt aus (3) mit (19) Bestimmung der zwei übrigen

(22)

h² — h (Xx -J- Yj -j- Zz) -f- Xx Yy -f- YyZz

+ Z.X. - X*—Y* -    0;

verschwinden zwei Hauptspannungen, so liefert uns (3) mit (19), (20), oder auch (22) mit (20) für die verbleibende

(23)

h — Xx -{- Yy -f- Zz, und ist auch diese gleich Null, so existiren nach (10) bis (13) beim Punkte m überhaupt keine Spannungen.

§ 15. Totalspannungen. Das Spannungsellipsoid.

Für den Fall, dass die Axen der x, y, z parallel den Hauptspannungen A, B, C gelegt werden, ergaben sich in § 14

Xn — A cos (nx), Yn = B cos (ny), Zn = Ccos (nz).

Da nun bei rechtwinkligem Coordinatensystem die Summe der Cosinusquadrate von (nx), (ny) und (nz) gleich 1 ist, so folgt

= 1.

(1)

V , V,² , Z*

~ÄT "T

so

Werden die Componenten Xn, Yn, Zn von Bn als Coordinaten in den Richtungen x, y, z für m als Coordinatenursprung aufgefasst, stellt (1) die Mittelpunktsgleichung eines Ellipsoids dar, dessen Ilalbaxen gleich den Absolutwerthen von A, B, C sind. Diese Absolutwerte der Hauptspannungen sind also die Maxima und Minima der Totalspannungen, während sich in § 14 nur ergeben hat, dass dieselben gleich den Totalspannungen der zugehörigen Flächenelemente sind.

Gehen wir nun zu besserer Beurteilung des gefundenen Ellipsoids von einem beliebigen rechtwinkligen Coordinatensystem aus. Für die Flächenelemente der Normalenrichtungen x, y, z mögen g, 1), § die Richtungen r der Totalspannungen Bx, Bv, Bz bedeuten, dann hat man nach § 3, (2)

cos (%x) =

cos (ijæ) = -jr

COS (£») = -g-,

Werden nun für ein Flächenelement der beliebigen Normalrichtung n die Componenten der Totalspannung Bn, welche bei Zerlegung nach den im Allgemeinen schief zu einander liegenden Richtungen £, tj, J entstehen, durch 3t», $)», ß» bezeichnet, so ist die resultirende Componente in der Richtung x

Xn = 34 cos (%x) + % COS (t)x) +    cos (i\x),

oder mit Rücksicht auf die darüber stehenden Cosinuswerthe

Xn

-X — -J- X — 4- X ~ Xx Bx + Ry + Rz'

Aus dieser Beziehung mit der in § 11 ebenfalls für beliebige Flächen-elemente gefundenen

folgen

Xn — Xx cos (nx) -f- Xy cos (ny) -f- Xz cos (ns)

cos (nx) =

cos (ny) = ^

li, ’ y

cos (nsf) =

«

<yjn

x₂’

woraus durch Quadriren und Addiren

(2)

= 1.

R*

Denkt man sich £, t), § als positive Axenriehtungen eines schiefwinkligen Coordinatensystems gewählt und die 3£w, tyn, für beliebige Flächenelemente als Coordinaten von m aus angetragen, so stellt (2) die Mittelpunktsgleichung eines Ellipsoids dar, für welches RX) Ry, Rz conjugirte Halbmesser sind, wir können aussprechen: Trägt man von einem Punkte m aus die Totalspannungen Rn aller m anliegenden Flächenelemente nach Grösse und Richtung auf, dann liegen die Endpunkte der Rn auf einem Ellipsoïde, für welches die Halbaxen gleich den Absolutwerten der Hauptspannungen und die Totalspannungen für je drei su einander senkrechte Flächenelemente conjugirte Halbmesser sind. Dies Ellipsoid wurde von Lamé eingeführt, es soll hier Spannungsellipsoid heissen.

Sind zwei Hauptspannungen numerisch gleich, so wird das Spannungsellipsoid ein Rotationsellipsoid, dessen Rotationsaxe von der Richtungslinie der dritten Hauptspannung gebildet wird. Ergeben sich alle drei Hauptspannungen gleich, so wird das Spannungsellipsoid eine Kugel.

Wir wollen hier noch einige weitere Beziehungen für die Totalspannungen Rn anscliliessen. Nach § 13 hat man

Rf — Rf cos² (nx) -f- Rf cos² (ny) -f- Bf cos² (ns)

' (3)

-f- 2 F xy cos (nx) cos (ny)

-f- 2Pyz cos (ny) cos (ns)

+ Rzx cos (ns) cos (nx).

Sind für zwei dem Punkte m anliegende Flächenelemente der Normalenrichtungen n, s die Totalspannungen durch Rn, Rs und deren Richtungen durch n, § bezeichnet, dann folgt aus § 3, (7) mit § 13, (1)

Diese Gleichung liefert speciell für s = x, y, g

Pnx = Rx² COS (nx)    +    Pxy cos (ny)    -f-    Pzx cos (ng),

(5)

Pny = By² cos (ny)    +    PXIJ cos (nx)    +    Py» cos (ng),

Pnz = B² cos (ng)    +    Pzx cos (nx)    +    Pyz cos (ny).

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw.    mit cos(mæ), cos (ny),

cos (ng) und addirt, dann folgt wegen (3)

(6)

Bn² = Pnx COS (nx) + Pny cos (ny) + Pnz cos (ng),

und multiplicirt man mit cos(sæ), cos (sy), cos (sg), so entsteht durch Addition

(7)

(4)

Pns = BnBscos (tt§) = Bx² cos (nx) cos (sæ) + -R/ cos (ny) cos (s?/)

-f- B² cos(w#) cos (s'g)

cos (m?/) cos (s*)]

(ng) cos (s?/)]

+ Pxy [cos (nx) cos (si/) +

-j- Pyz [cos (ny) cos (sg) -f--f- Pzx [cos (ng) cos (sx) -f- cos (nx) cos (s#)]-

cos

Pns = Pnx COS (sx) + Pny COS (sy) + Pnz COS (sg)

= Psx cos (nx) + Psy cos (ny) -(- Psz cos (ng).

Da die Function B² von der in § 8 betrachteten Form (3) ist, so könnte man die Maxima und Minima der Totalspannungen aus den dort gefundenen Beziehungen ableiten und es würden sich diejenigen Gleichungen ergeben, welche aus (6) bis (21) des § 24 entstehen, wenn dort (abgesehen von h, s und den Indices) grosse lateinische Buchstaben an Stelle der kleinen und A, JB, G an Stelle von Bv B₂, B.ô gesetzt werden. Indessen sind die Maxima und Minima der Totalspannungen bereits durch § 14 bestimmt.

§ 16. Die Stellungsfläclie.

Wir denken uns vom Punkte m aus die Spannungen Bn aller ni anliegenden Flächenelemente nach Grösse und Richtung aufgetragen. Die Endpunkte der Bn liegen auf dem Spannungsellip-soide. Nimmt man den Ursprung rechtwinkliger Coordinaten im Punkte m selbst an, so ist die Gleichung eines m anliegenden Flächenelements der Normalenrichtung n

x cos (nx) -j- y cos (ny) -f- g cos (ng) — 0.

Werden speciell die Axen der x, y, g parallel den Hauptspannungen .4, B, C gelegt, so folgen aus § 14, (12)

~~AJ ^ ~B ^ ~j~" C ~ ^ — G

Yn

(1)

cos (nx) =

cos (ny) =

A ¹

und damit für unser Flächenelement

cos {nz) —

Diese Gleichung entspricht nach der analytischen Geometrie einer dem Coordinatenursprung anliegenden Parallelebene zu der in der Richtung r von Bn (X„f Yn, Zn) tangirenden Ebene der Fläche zweiten Grades

toh-

o| %

1+

JO bedeutet eine beliebige positive Zahl. Es existirt also eine Fläche zweiten Grades von der Art, dass die Tangentialebene jedes Punktes, welcher von einer Spannungsrichtung r getroffen wird, parallel dem durch die entsprechende Spannung Bn afficirten Flächenelemente ist. Diese durch Lamé eingeführte Fläche vom Mittelpunkte m wird Stellungsfläche genannt. Denkt man sich dieselbe neben den Hauptspannungen gegeben, so lässt sich zu jeder Spannung Bn bei m die Lage des afficirten Flächelements und zu jedem Flächenelement fn bei m die Richtung der afficirenden Spannung construiren. Im ersten Falle legt man durch den Punkt, in welchem r die Stellungsfläche durchdringt, eine Tangentialebene zu letzterer und zu dieser einen parallelen Schnitt durch m. Yon den beiden im Schnitte zusammenhängenden Flächenelementen ist das von r getroffene oder nicht getroffene durch ItH afficirt, je nachdem die Normalspannung Nn Zug oder Druck bedeutet. Im zweiten Falle legt man ^parallel zum Flächenelemente, mit letzterem auf gleicher oder entgegengesetzter Seite von m, je nachdem N„ Zug oder Druck bedeutet (siehe unten), eine Tangentialebene an die Stellungsfläche und zieht von m aus nach dem Tangenzpunkte die Richtung r, in welcher dann auch das Spannungsellipsoid die Grösse von Bn abschneidet.

Zum Zwecke specieller Untersuchung der Stellungsfläche mögen 51, 33, (& die Absolutwerthe von A, B, C bezeichnen. Man hat zwei Fälle zu unterscheiden.

I. Es sind die drei Hauptspannungen und damit überhaupt alle Nn Zugspannungen oder alle Druckspannungen. Dann kann in (2) rechts nur das positive, bezw. nur das negative Vorzeichen gelten, wir erhalten in beiden Fällen

CO

C3|%

JO.

Die Stellimgsfläche ist also ein Ellipsoid, dessen Mittelpunkt mit dem des Spannungsellipsoids in m liegt, während Halbaxen in den Richtungslinien der Hauptspannungen sind

b = AT]/33,

c = K]/&.

Bei dem Spannungsellipsoide waren die entsprechenden Halbaxen

%, 33, <£.

II. Es ist eine der Hauptspannungen von entgegengesetztem Vorzeichen wie die beiden andern, so dass auch die Nn zum Theil Zug und zum Theil Druck bedeuten. Wir wollen die beiden Hauptspannungen gleicher Art A und C nennen. Da nun die linke Seite von (2) einen positiven oder negativen Werth liefern kann, so besteht die Stellungsfläche aus zwei Theilflächen der Gleichungen

(5)

z²

TT²;

16)

Z²

¥

Die erste Gleichung vertritt ein Hyperboloid von einem Fache, mit den in den Richtungslinien der Hauptspannungen A} 2?, C liegenden Halbaxen

a = k y SI,

Die zweite Gleichung entspricht einem Hyperboloide von zwei Fächern mit den in den Richtungslinien von A, B, C liegenden Halbaxen

(?)

b-^KV— 33,

c = K J/&

(8)

b = K j/33,

c = kY—

a = Ky-%

Beide Hyperboloide hängen zusammen durch den gemeinsamen Asymptotenkegel

(9)

X²

^²

Die Richtung r von Bn trifft das einfache Hyperboloid oder das doppelte Hyperboloid, je nachdem die Normalcomponente Nn von gleichem Vorzeichen mit A, C oder mit B ist. Diejenigen Spannungen, welche den Tangentialebenen des Asymptotenkegels entsprechen, liegen in diesen Ebenen selbst, haben also keine Norinal-componenten.

Sind zwei Hauptspannungen numerisch gleich, so wird die Stellungsfläche zu einer Rotationsfläche, deren Rotationsaxe in die Richtungslinie der dritten Hauptspannung fällt. Ergeben sich alle Hauptspannungen von gleichem Werthe, so erhalten wir als Stellungsfläche eine dem Spannungsellipsoide concentrische Kugel.

§ 17. Hauptschubspannungen.

Die Minima der .Schubspannungen Tn sind gleich Null und treten für diejenigen Flächenelemente ein, welche durch Hauptspannungen afficirt werden. Es handelt sich nun darum, die Maxima der Tn zu ermitteln, welche man als Hauptschubspannungen zu bezeichnen pflegt. Die Axen der x, y, z mögen dabei parallel den Hauptspannungen A, B, C liegen.

Für die Schuhspannungen auf beliebige Flächenelemente hat man

Tn* = B² - N²,

oder mit den Ausdrücken § 14, (10), (13) und wegen 1 — cos² = sin²,

T * = A cos² (nx) [yl sin² (nx) — 2B cos² (n?/)J

(1)

-f- B cos² (ny) ^B sin² (ny) — 2 G cos² (nz) j -j- C cos² (nz) [C sin² (nz) — 2 A cos² (næ)J.

Die für rechtwinklige Coordinatenaxen gültige Gleichung

cos²(nx) -f- cos² (ny) -j- cos²(nz) = 1

liefert

cos² (nz) == sin² (nx) — cos² (ny) — sin² (ny) — cos² (nx), sin²(wF) = cos * (nx) -|- cos ²(ny),

und benutzen wir diese Beziehungen, um (nz) aus (1) zu eliminiren, so folgt für ein beliebiges Flächenelement

( T ²

(2)

= (A — G)² sin² (n x) cos² (nx) -f- (B — G)² sin² (ny) cos² (ny) — 2 (A — C) (B — G) cos² (nx) cos² (ny).

(A— C) sin 2 (nx) ["(A — C) cos 2 (nx) — 2(B — C) cos²(ny) j (B — G)sin2 (ny)[(B—C) cos 2(ny) — 2(A—C)cos²(nx)^

2 Tn

Durch Differentiation dieser Gleichung nach den unabhängig variabeln Winkeln (nx), (ny) erhält man dTn = d(nx)

2 Tn

Mn ₌

d(ny)

und die Bedingungen für Maxima und Minima von Tn sind danach

(3)    sin2(næ) J~(H — C) cos 2(nx) 2 (B — G) cos²(w«/)] = 0,

(4)    sin2(ny)^(B — C) cos 2(ny) -j- 2 (A — G) cos²(w#)J = 0.

Führen wir von je zwei in einem Schnittelemente zusammenhängenden Flächenelementen, welche durch gleiche Spannungen entgegengesetzter Richtungen afficirt werden, im Folgenden nur das eine an und wählen den positiven Drehungssinn der Winkel dem zu Anfang des ersten Abschnitts Gesagten entsprechend, so treten

nach (3)₇ (4) Maxima oder Minima von Tn für folgende Richtungswinkel ein (Fig. 8):

(nx)

(ny)

(ng)

45°

II

— 45

- 45° — 135

90°

90

III

90

45

IV

90

- 45

- 45 - 135

VI

- 45 — 135

90

45

90

— 45

Vll

90

90

VIII

90

90

IX

90

90

Die Richtungswinkel der anliegenden Flächenei emente weichen sämmt-lich um 180° von den vorstehenden ab. Mit VII bis IX kommt

man auf die durch Hauptspannungen af-ficirten Flächende-

X/

mente, I bis VI müssen alsoMaximader Schubspannungen liefern, wir können ausspre-_ dien : Die sechs Schnitt-

X'

demente, deren anlie-gende Fläclienelemente iv durch Hauptschubspan-nungen afficirt werden, _jy gehen je durch die liich-tungslinie einer Hauptspannung (oder Axe des Spannungsellipsoids) undhalbiren den Winkel zwischen den beiden andern Hauptspannungen (oder Axen des Spannungsellipsoids).

Wir bestimmen nun für die ermittelten, durch Hauptschubspannungen afficirten Flächenelemente die Normalspannung und Totalspannung aus § 14, (10), (13), die Componenten von Bn in den Richtungen x, y, 8 und die Winkel der Richtung r von Rn mit diesen x, y, z aus § 14, (12), die Hauptschubspannungen Tn selbst obiger Gleichung (2) und die Componenten von Tn in den Richtungen x, y, s aus.§ 14, (14). Es ergeben sich folgende Resultate.

-vs

VS

III

Z - VS

aus

VS

fl

VS

JO

JO

JO

-jo

JO

Fig. 8.

-J3.Î

fs

,ro

L/SS

- VS

/SS

II

VI

Für die Fälle I, II, A + B

Nn =

III, IV,

B-yc

V, VI,

C + A

Iin =

'73 - + G’²

'(P + A-

o,

.1

Yn =

o,

cos (rx) =

0,

4-

cos (ry) =

*.v* ’

cos(rz) =

0,

+ _*_

- w*’

<7

a.V* ’

Tn =

<&). £t% l²^).

Tn cos (£#) =

Tn cos (ty) =

A — B

y 8    ⁷

4 — 73

+ y s" ’

o,

C—4

+ yv ’

Tn cos (£#) =

0,

B — C

y s"    ⁷

73 — G

C—4

+ yv ’

ys

Hierin sind alle Wurzelausdrücke als Absolutwerte aufzufassen, für Tn die Absolutwerthe der angegebenen Ausdrücke zu wählen und von zwei angesetzten Vorzeichen das obere oder untere massgebend je nachdem es sich um den ersten oder zweiten der obenstehenden Fälle handelt. Die Resultate zeigen u. A.; dass die Rn) Tn . jedes Flächenelements, welches durch eine Hauptschubspannung affi-cirt wird, senkrecht zu derjenigen Hauptspannung stehen, durch welche das Flächenelement geht und dass die in den Ebenen zweier Hauptspannungen liegenden Hauptschubspannungen mit den ersteren Winkel von 45° bilden. Die Hauptschubspannungen schliessen also wie die Hauptspannungen Winkel von 90° mit einander ein.

§ 18. Specielle Fälle. Untersuchungen in der Ebene.

In vielen Fällen ist von vornherein bekannt oder angenommen, dafs alle einer bestimmten Ebene anliegenden Flächenelemente nur von Normalspannungen afficirt werden. Liegen dann die Axen der

x, y in dieser Ebene, so hat man für stetige Spannungen in den bisher abgeleiteten Beziehungen Xz — Zx — 0, Yz — Zy = 0 und damit treten wesentliche Vereinfachungen ein.

In jedem Punkte m(x, y, z) bestehen zwischen Spannungen, Massenkräften und Beschleunigungscomponenten nach § 11 die Gleichungen

rgx. , sx.

dx

dy

0)

dx

(du

= Hs -»•(£-y)>

x),

dz

worin Yx = Xy ist. Für ein m anliegendes Flächenelement der beliebigen Normalenrichtung n hat man die Componenten der in der Richtung r wirkenden Totalspannung Iin nach den Richtungen

y, *

Xn = Xx cos (nx) -f- Xy cos (ny) = Rn cos (rx),

Yn = Yx cos (nx) -j- Yy cos (ny) — Rn cos (ry),

= Rn cos (rz).

Die Componente von Rn in beliebiger Richtung s drückt sich aus

(2)

Zn — Zz cos (nz)

(3)

Sn — Rn cos (rs) = Xn cos (sx) -{- Yn cos (sy) + Zn cos (sz)

— Xxcos (nx) cos (sx) -f- Yyeos(ny) cos (sy) -{- Zz cos (nz) cos (sz)

-f- Xyj^cos (nx)cos(sy) -f- cos (ny)cos(sx) J

und es liefert diese Gleichung z. B. mit s = n die Normalspannung Nn = Rn cos (rn) = Xx cos² (nx) -J- Yy cos² (ny) -J- Zz cos² (nz)

-f- 2Xy cos (nx) cos (ny), während die Totalspannung Rn und resultirende Schubspannung wie in § 3 bestimmt bleiben. Da für cos (nz) = 0 nach (2) auch Z„ = 0 ist, so wirken die Rn, Nn, Tn aller Flächenelemente, welche senkrecht zur xy-Ebene liegen, in der letzteren selbst.

Nach § 14 hat man zur Bestimmung der Hauptspannungen h Qi - Xx)(h - Yy)(h - Zz) — (h - Zz)Xy² = 0.

Weil h = Zz eine Wurzel dieser Gleichung ist, so bildet

Zz = C

eine Hauptspannung und damit ist bewiesen, dafs jede Normalspannung, zu welcher keine Schubspannung gehört, als Hauptspannung betrachtet werden kann. Es fällt nun auch eine Axe des Spannungsellipsoides in die Richtungslinie von Zz, während die beiden

w{

(5)

andern Hauptspannungen und Halbaxen des Spannungsellipsoides bestimmt sind durch

(6)

(Jl - Xx)(h - Yy) — V = 0

oder

CO

h = \{Xx +r,± Y(Xx - Y,y + 4V) •

Für die Normalenrichtungen n der durch die Hauptspannungen A, B afficirten Flächenelemente hat man nach § 14; (7)

(8) cos (ny) —

cos (nx), cos (ns) — 0.

cos² (nx)

y

h~Yv

Mit Rücksicht hierauf und bei Beachtung von (G) folgt aus -f- cos² (ny) -f- cos² (ns) = 1

X.

j- cos (nx) =

(9)

K s*-L-

Setzt mau in (8) (9) für h den Werth einer der beiden Hauptspannungen A, B ein, so ergeben sich mit den beiden Vorzeichen in (9) die entgegengesetzten Normalenrichtungen derjenigen Flächenelemente, welche durch diese Hauptspannung afficirt werden. Für den Fall, dass die Axen der x, y, s in die Richtungen von A, B, G gelegt werden, gelten die Beziehungen der §§ 15—17 ohne Aenderung.

Es sei Zz = C = 0. Gleichung (2)

Specialfall I.

Dann haben wir nach der letzten

Zn — Iln cos (rs) = 0

cos (rs) = 0.

Die Spannungen Rn, Nn, Tn aller durch m gehenden Flächenelemente liegen in der a:?/-Ebene, auf welche also die Untersuchung in den meisten Fällen beschränkt werden kann. Aus (1) (2) folgen

(10)

(ii)

äiv

Zn — Zz — 0.

Denkt man sich jetzt die Axen der x, y in die Richtungen der Hauptspannungen A, B gelegt, so liefert § 14 für ein Flächenelement der beliebigen Normalenrichtung n

(12)    Xn = A cos (nx),

(13)    Sn — Bn cos (rs) — A cos (nx) cos (sy) -j- B cos (ny) cos (sy), Nn — Bn cos (rn) — A cos² (nx) + B cos² (ny),

(15) Bin — Xn + Yn² — A² cos² (nx) -(- B² cos² (ny) = Nn² -f- T².

Für die durch die Hauptschubspannungen afficirten Flächenelemente gelten die Formeln des § 17 mit 0=0.

Die Gleichung des Spannungsellipsoides für Coordinatenaxen

Yn = B cos (ny)

Zn — C cos (ns) = 0,

(14)

in den Richtungen der Hauptspannungen ist nach § 15, (1) mit dem aus (12) folgenden Werthe von Zn : C

~ 4-

is I

Das Spannungsellipsoid ist hiernach zur Umhüllungsfläche des nach Aussen durch die Ellipse

(16)

X²

Yn

A²

= sin²(w£).

X ² Y ²

n .    ^ n _ <

~B²~ ~ ¹

begrenzten Theils der All-Ebene geworden. Für alle Flächenelemente von gleichen Winkeln (nz) und die anliegenden Flächen elemente entgegengesetzter Normalenrichtungen liegen die Endpunkte der lln auf den der A-B-Ebene beiderseits anliegenden, sich deckenden Ellipsen, deren Halbaxen gleich den Absolutwerten von A sin (nz) und B sin (nz) sind. Die Ellipse (17) entspricht den senkrecht zur AH-Ebene liegenden Flächenelementen. Für den jetzt betrachteten Fall Zz — 0 genügen übrigens vielfach die folgenden bequemeren Formeln.

(17)

Specialfall II.

Es interessiren nur die Spannungen für Flächenelemente senkrecht zur xy-Ebene, wobei Zn von Null verschieden sein kann. Wie oben gefunden, liegen die Bn, Nn, Tn dieser Flächenelemente in der

xy-Ebene. Auf letztere lässt sich, abgesehen von ausserhalb mJ> gelegenen Sn, die Untersuchung beschränken, wobei die Lage der Flächenelemente nach ihren Spuren zu beurteilen ist. Nennen wir nun in Ueber-~x einstimmung mit früheren Festsetzungen einen Winkel positiv, wenn (für den aus der positiven Richtung der z-Axe auf die xy-Ebene Sehenden) der den Winkel beschreibende Schenkel sich wie der Zeiger der Uhr rechts herum dreht, bezeichnen durch a den positiven, von 0 bis 360° variirenden Winkel (der Spur) des Flächenelements mit der positiven

,n!)>

rn

Ju

ri

(næ)

(X)

■x

.V

/Z \JJ (nx)

(n!J>

0<(Z<<)0

TL

(l

SO < OL <180

'S

a>

-x

<nyi

<ny,

mxj\

180 <a <270

Fig. 9.

7/

71b

inxl

270<0C<360

Richtung der x-Axe und durch s die Richtung des von x verschiedenen Schenkels von a, dann bestehen für beliebige Flächenelemente senkrecht zur xy-Ybene und ihre erwähnte Richtung s die Gleichungen (Fig. 9):

a = (sx) = 90° -f- (sy),

a = 90° -f- (nx) = 180° -f- (ny)

sin a —

cos (nx) = — sin (ny) = sin (sx) = cos (sy),

cos a —

Damit folgen aus (3) (4) Normalspannung und resultirende Schubspannung in der Richtung s, — die Indices der Rn, Nn, Tn, Sn mögen hier wegbleihen —

— sin (nx) = — cos (ny) = cos (sæ) = — sin (sy).

N = Xx sin² a -f- Yy cos² a — 2Xy sin a cos a,

S — (Xx — Yy) sin a cos a -f- Xy (sin² a — cos² a)

oder auch

(18)

cos 2 a — Xy sin 2 a,

(19)

sin 2 a — Xy cos 2 a .

S ergibt sich positiv oder negativ, je nachdem seine Richtung mit der Richtung s übereinstimmt oder ihr entgegengesetzt ist, T = Tn stellt wie immer einen Absolutwerth dar. Die Componenten der Totalspannung R in den Richtungen x, y folgen aus (2)

(20)

Xn = Xx sin a — Xy cos a,

Yn = Xy sin a — Yy cos a, während Zn — 0 ist. Bezeichnen wir noch den positiven oder negativen spitzen Winkel der Richtungslinie von R mit der Richtung n durch d, womit in (3) für die hier allein interessirende Richtung s bei ziehendem N Winkel (rs) — d — 90°, bei drückendem N Winkel (rs) = d -j- 90° wird, dann liefern (3) (4)

N= R cos (rn) = + R cos d,

(21)

S — R cos (rs) — + R sin d, tg d = ^ ,

üie Zeichen gelten für ziehende, die — Zeichen für drückende Normalspannungen N. Als Totalspannung schliesslich haben wir den Absolutwerth

(22)

B = Yn² + §² = Vxj -f YnK

Die speciellen Winkel a, welche den durch die Hauptspannungen A, R afficirten Flächenelementen entsprechen, sind nach (8) bestimmt durch die Gleichung

tg« = —

Die Werthe der Hauptspannungen folgen aus (7). Setzt man in (23) h — A, so ergibt sich die Richtungslinie der von A ergriffenen Flächenelemente und der Hauptspannungen B, setzt man h = B, so findet sich die Richtungslinie der von B ergriffenen Flächenelemente und der Hauptspannungen A.

Wird die x-Axe parallel der Hauptspannung A gelegt, und für diesen speciellen Fall der Richtungswinkel a des Flächenelements durch ß bezeichnet, so entstehen aus (18—20) die einfacheren Beziehungen

(24)

JV =

(25)

(26)

Xn — A sin ß,

A + Tt - A „ ¹¹ cos 2/5, sin 2/5,

Yn — — B cos ß.

Nach § 17 werden alle Flächenelemente senkrecht zur xy-Ebene, welche Winkel von 45° mit den Hauptspannungen einschliessen, durch Hauptschubspannungen afficirt. Wir erhalten aus vorstehenden Gleichungen

A + B

"" 2

■ /Ä» + P* , v A — B

V-T~> W—Ä+B’

A + B    „ B — A

2 ’ ' 2

VW.

Diese Resultate hätten sich auch aus § 17 ergeben und ebenso lassen sich dort oder aus obigen Gleichungen die anderen Verhältnisse für die durch Hauptschubspannungen ergriffenen Flächenelemente entnehmen.

für ß =    45 und — 135° N =

„ ß— 45 „

11 =

135° N =

§ 19. Potential der Spannungen.

Es seien die Richtungscosinus cos(wæ), cos (ny), cos (nz) beliebiger von einem Punkte m(x, y, z) ausgehender Richtungen n durch a, ß, y bezeichnet. Ist dann bei m der Ausdruck

(i)

2(Xnda -f- Yndß -f- Zndy')

4

das vollständige Differential einer Function von a, ß, y, so werden wir diese Function ein Potential der Spannungen daselbst nennen. Die Bedingungen für ein Spannungspotential lauten also nach § 9

dß ’ . du dy

(2)

dß    du

dy

Nun bestehen für die Componenten der Totalspannung Fin in den Richtungen x, y, z nach § 11 die Gleichungen Xn — Xxcc -f- Xyß -f- Xzy,

Yn — Yxa -j- Yyß -f- Yjsy,

Zn — Zxa -f- Zyß -f- Zzy, worin im Falle stetiger Spannungen die Coefficienten der a, ß, y unabhängig von den letzteren sind. Mit Rücksicht hierauf lassen sich die Bedingungen (2) schreiben:

Y, = Z,

(3)

(4)

X,= Y:

Zx=Xz.

Da dieselben nach § 12 für stetige Spannungen erfüllt sind, so können wir aussprechen: Für stetige Spannungen als Functionen des augenblicklichen Ortes existirt bei jedem Funkte m ein Spannungspotential. Wir werden im IV. Abschnitte eine andere Auffassung stetiger Spannungen kennen lernen.

Welchen Werth hat unser Potential? Das Spannungspotential

ist diejenige Function F, deren partielle Derivirten nach a, ß, y die Factoren von da, dß, dy in (1) sind. Nun folgen aus

§ 13, (4)

(5)

2Xn ~~ da

dß ’

2Zn =

dy

Daher erhalten wir

(6)

dNn — 2(Xnda -j~ Yndß -f- Zndy), es kann die Normalspannung als Spannungspotential angesehen werden. Gleichung (6) gibt an, um wieviel sich die Normalspannung ändert, wenn wir die Richtungscosinus der Normale n des Flächenelements von a, ß, y aus um da, dß, dy wachsen lassen.

Man denke sich die Richtungen n auf die Punkte einer Kugel m{x, y, z)

gelegtes rechtwinkliges Coordinatensystem, dessen Axenrichtungen mit den Richtungen x, y, z übereinstimmen, mögen £, t), § die Coor-dinaten eines Kugelpunktes n und g -f-    9 4" dt), h 4~ die Coor-

dinaten eines von n aus in der Richtung s um ds entfernten Punktes s bedeuten. Die Richtungen der Punkte n, s von m aus seien durch n, g bezeichnet. Wir haben dann

um

von

beliebigem Radius r bezogen. Für ein durch m

(7) cos (nx) = a = y, cos (ny) = ß = y,

(8) cos (sx) =

Mit Rücksicht auf

C°₃(sÿ) = §-

(9)

ds

— = (gn) = da

folgen daraus

(10) da = da cos (sx) , dß = da cos (sy), dy = da cos (sz), und durch Substitution dieser Werthe in (6) entsteht die Gleichung

(sy) -f- Zn cos (sY^da,

dNn = 2^Xn cos (sx) -f- Y,

oder nach § 3, (5) und weil g J_n, dN

= 2 Sn = 2 Rn cos (rs) = 2 Tn cos (ts),

(11)

n COS

worin r, t die Richtungen der Totalspannung Rn und resultirenden Schubspannung Tn bedeuten. Gehen wir also von der Normalen

richtung n aus nach der kleinen Winkel da

zu n senkrechten Richtung s hin um den vor, so ist der Differential quotient dNn : da gleich der Componente Sn von Rn oder auch von Tn in der Rich

tung s.

Existirt bei m(x, y, z) ein Potential der Spannungen, dann ist auch der Ausdruck

(12)

2(Xnd% -{- Ynd\) -f- Znd%)

für die Punkte oder Flächenelemente einer um m gelegten kleinen Kugel vom Radius r = dn das vollständige Differential einer Function von £, t), §. Denn die Bedingung hierfür lautet

dt) dz ’

di dt) ’

Mn

H db ’

woraus mit Rücksicht auf (3) und (7) wieder die Gleichungen (4) entstehen. Ferner haben wir aus (5) (7)

dN

(13)

(14)    2Xn —

dz

dn

dn,

2Zn —

01V»

db

dn,

und damit aus (12)

(15)    . dNndn = 2(\nd)C -(- Ynd\) -}- Zndg)

sodass der Ausdruck (12) das vollständige Differential der Function Nndn wird. Letztere ist dn-mal so gross als das Potential der Spannungen und dieses gleich dem Integral radius dn = 1. Mit Rücksicht auf (8) folgt aus (15)

von

(12) für den Kugel-

(16)

ds

dn — 2 Sn = 2N,

wie sich auch nach (11) mit da — ds : dn ergibt.

Aus Gleichung (11) lassen sich u. A. folgende Schlüsse ziehen: Geht man von einer beliebigen Richtung n aus nach irgend einer dam senkrechten Richtung s hin um deyi kleinen Winkel da vor (oder auch, geht man auf einer um m gelegten unendlich kleinen Kugelfläche von dem hinsichtlich m in der Richtung n gelegenen Punkte zu einem von n aus in der Richtung s um ds entfernten Punkte über), dann ändert sich die Normalspannung umsomehr, je grösser die Com-

ponente der Schubspannung Tn in der Richtung s ist. Die 'Normalspannung ivächst (in positivem Sinne) am stärksten in der Richtung s — t der resultirenden Schubspannung, sie nimmt am stärksten ab (in negativem Sinne zu) in der t entgegengesetzten Richtung, und sie bleibt constant beim Vorgehen in jeder der zwei Richtungen senkrecht zu t. Nach keiner Richtung s wächst die Normalspannung, wenn Tn = 0 ist, in welchem Falle für die Richtung n eine Hauptspannung eintritt (§ 14). Existiren bei m überhaupt keine Schubspannungen, dann sind alle Normalspannungen von gleichem Werthe, und umgekehrt verschwinden im Emaile gleicher Normalspannungen sämmtliche Schubspannungen.

§ 20. Ueber die Gesetze stetiger Spannungen.

so

Vergleicht man die in § 3 aufgestellten Formeln für die Spannungen auf Flächenelemente beliebiger augenblicklicher Normalenrichtungen n mit den in § 4 gegebenen Beziehungen für die Verschiebungen der Punkte beliebiger anfänglicher Richtungen n, zeigt sich, dass dieselben, abgesehen von den Bezeichnungen der Spannungen und Verschiebungen durch grosse und kleine lateinische Buchstaben, vollständig übereinstimmen (die Gleichungen für Sn, N,

Gns mit denen für sn, nn, tn, pns, gns). Die alle andern Spannungscomponenten bestimmenden Componenten der Totalspannung Rn in den Richtungen x,y,z sind nach § 11:

ns ?

T S V

(1)

Xn — Xx cos (nx) -f- Xy cos (ny) -f- Xz cos (nz) , Yn = Yx cos (nx) -f- Yy cos (ny) -f- Yz cos (nz), Zn = Zx cos (nx) -|- Zy cos (ny) + Zz cos (nz),

und die alle andern Verschiebungscomponenten bestimmenden Componenten der Totalverschiebung rn in den Richtungen x, y, z nach § 21:

xn — xx cos (nx) + xy cos (ny) -f- xz cos (nz), yn = yx cos (nx) -f- y y cos (ny) -f- yz cos (nz), zn = zx cos (nx) + Zy cos (ny) -|- z₂ cos (nz).

In diesen Gleichungen sind für stetige Spannungen und Verschiebungen die Coefficienten der Cosinus unabhängig von den Richtungen n. Während nun aber für stetige Verschiebungen weitere allgemeine Beziehnngen neben den durch die erwähnten bedingten nicht existiren, haben wir für stetige Spannungen noch Xy=YX,

und damit überhaupt (§ 13)

(2)

(3)

Yz=Z

Zx = X

(4)

Sn = NS)

G m = 2 Sn .

Wir können also sagen, dass die Gesetze stetiger Spannungen einen

•ßy Vx ;

speciellen Fall der Gesetze stetiger Verschiebungen bilden, mit der Massgabe jedoch, dass die in den Gleichungen auftretenden Indices und Richtungen n für diese die anfänglichen Richtungen der verschobenen Punkte, für jene die augenblicklichen Normalenrichtungen der afficirten Flächenelemente bedeuten. Die Beziehungen zwischen stetigen Spannungen bei einem Punkte m lassen sich aus den im folgenden Abschnitte zu entwickelnden Beziehungen zwischen stetigen Verschiebungen bei m entnehmen, während das Umgekehrte nicht der Fall ist.

In einem Falle jedoch bestehen die Gesetze stetiger Spannungen auf Flächenelemente beliebiger augenblicklicher Normalenrichtungen n zugleich für stetige Verschiebungen der Punkte beliebiger anfänglicher Richtungen n, nämlich wenn für letztere die Gleichungen

V* ⁼⁼ &y

(5)

gelten, womit allgemein

(6)

iIns - 2 Sn .

S yi -

Wir werden sehen, dass dies immer zutrifft, wenn ein Potential der Verrückungen ,und damit auch ein Potential der Verschiebungen existirt (§§ 30, 31). Die Beziehungen für stetige Potentialverschiebungen sind demnach bereits abgeleitet.

Man kann sich fragen, ob die Spannungsgesetze nicht zweckmässig nach Erledigung der Verschiebungsgesetze durch Speciali-sirung zu entwickeln seien. Allein da die ersteren vielfach unabhängig von den letzteren zur Verwendung kommen und Potentialverschiebungen besonders wichtig sind, so erschien es zweckmässig, das Verständniss der betreffenden Gesetze nicht unnöthig zu erschweren und vom Einfacheren zum Complicirteren überzugehen. Uebrigens ist die erwähnte Specialisirung erst durch die hier vorgetragene allgemeine Theorie der Verschiebungen ermöglicht.

III. Abschnitt.

Beziehungen zwischen stetigen Verschiebungen.

Die. Verrückungen und Verschiebungen in der Umgebung eines Körperpunktes m hat man bei allen bisherigen Elasticitätsunter-suchungen für einen bestimmten Zeitpunkt als stetige Functionen des anfänglichen Orts, der Coordinaten zu Beginn der Verrückungen, betrachtet. Ausserdem pflegte man die Verschiebungen gegen 1 verschwindend klein anzunehmen, eine Beschränkung, welche wir bei der folgenden Untersuchung stetiger Verschiebungen fallen lassen. Das Coordinatensystem, hinsichtlich dessen die Bewegung der Körper-punkte untersucht wird, soll seinerseits in beliebiger Bewegung sein. Die angenommenen Verrückungen kann man sich als wirklich eintretende oder als virtuelle vorstellen, unter virtuellen Verrückungen solche verstanden, welche zwar nach den allgemeinen Bedingungen des Systems (feste Punkte und Verbindungen, vorgeschriebene Bahnen u. s. w.) denkbar sind, ohne dass sie mit Rücksicht auf die augenblicklich massgebenden speciellen Ursachen (äussere Kräfte, Temperaturänderungen u. s. w.) wirklich einzutreten brauchen. Was für virtuelle Verrückungen gilt, muss also auch auf die actuellen Verrückungen Anwendung finden. Der betrachtete Körper darf in beliebig vielen Schnitten jeder Grösse und Form Unstetigkeiten der Verschiebungen enthalten, wenn nur die in § 8 erwähnten und § 21 specieller gefassten Bedingungen erfüllt werden.

§ 21. Verschiebungen für beliebige Richtungen.

Vor Eintritt der betrachteten Bewegungen waren die Coordinaten eines Punktes m x, y, 8 und diejenigen eines in der Richtung n um dn entfernten Punktes n x -f- dx, y + dy, 8 + ds. Durch die fragliche Bewegung möge m nach x y V> ² 4" £ gelangt sein. Wir set8en £, y, £ und deren Differentialquotienten nach x, y, 8 zwischen m und n als solche stetige Functionen des Orts voraus, dass mit | = f'(x, y, 8) dem Taylor’sehen Lehrsätze zufolge die Aenderung von x Ą- dx sich ausdrückt mmćZ hierin die nicht angeschriebenen Glieder der Reihe rechts, welche mit Quadraten, Producten und höheren Potenzen von dx, dy, dz multiplicité sind, vernachlässigt werden können. Analoges soll für die Aenderungen von y dy, z -f- dz gelten. Man hat also, wenn dl

das vollständige Differential von l nach den Veränderlichen x, y, z bedeutet,

f 0 + dx, y -f- dy, z + de) = ê +

2a:

«S 0£>

dz -J----

f (x dx, y -f- dy, z -f- dz) — l + d%.

In gleicher Weise ergehen sich die Aenderungen der Coordinaten y -f- dy und z -f- dz des Punktes n gleich rj drj und £ -j- dt,. Die Üomponenten des Weges, welchen der Punkt n hinsichtlich des Punktes m zurückgelegt hat, werden damit in den Richtungen

y, £ (Fig. 10)

x + dx +    l + dl    — (x + l) —    dx    =    dl,

V + dy +    r\ -f dp    — (y + rf) —    dy    =    drj,

z dz -f-    £ -|- dl    (z -{- £) —    dz    —    dl,

und die Componenten    der ïotalverschiehung    rn    in    den Richtungen

x’ V> ² drücken sich aus

nt

dxs

dl

\\

xn — -j- = rn cos (rx),

\\

v

(1)

■*j,L

Vn = ⁽Jn = Tn C0S »

t\\

%\ \

dt

WJLZ.

•V?

fl.

= rn cos (rz).

Dividiren wir die Ausdrücke der vollständigen Differentiale dl, dr\, dl durch dn und berücksichtigen

zn

tv

cos (nx) =

dx

cos (ny) =

dy

dn ’

",

Kg. io.

cos (nz) —

dz

dn ’

so

folgen

(2)

Xn==Fcc C0S (wa?) + dy C0s + Vn = cos (nx) + cos (ny) +

p y    p c.

*n = cos (nx) + ^ cos (ny) +

^ cos (nz),

dz

d rj

cos (nz), ^ cos (nz).

dz

dz

nn — xx cos² ([nx) -f- yy cos² (ny) -f- gz cos² (nz)

(4)

Sind nun für die in Frage kommenden, m benachbarten Punkte aller Richtungen n die Verschiebungen xn, yn, zn stetige Functionen des Orts, so werden die in (2) auftretenden partiellen Differentialquotienten eindeutig bestimmt; wir erhalten

für n — x

XX -

ÎJx

dy

d x'

(3)

dt

xv — dy y

dy

yy~ dy’

Sy =

dt

x* ~dz

y* — dz*

Zz =

crv crv

dz '

und es stellen die drei ersten, drei folgenden und drei letzten partiellen Differentialquotienten die Componenten in den Richtungen x, y, 2 von rx, bezw. ry und rz dar. Umgekehrt sind die Verschiebungen bei m so lange stetige Functionen des Orts, als die partiellen Differentialquotienten in (2) dieselben Werthe behalten. Dies ist in Körpern, welche in beliebigen Schnitten Unstetigkeiten der Verschiebungen aufweisen, dann der Fall, wenn wir vom Punktem aus nur solche Punkte n in Betracht ziehen, welche mit m auf der gleichen Seite jedes in Betracht kommenden Unstetigkeitschnitts liegen, d. h. auch, wenn wir alle Differentialquotienten in (2) auf die Seite von m beziehen. So wollen wir uns bei Körpern mit Unstetigkeiten der Verschiebungen immer verfahren denken.

Mit den vorstehenden Werthen von xn, yn, 2n gelten nun sämmt-liche Gleichungen der §§ 4—6 und folgt z. B. durch Substitution von (2) in § 4, (9) die Normalverschiebung des Punktes n

+ yxy cos (nx) cos (ny) -f- gyz cos (ny) cos (nz) Qzx cos (nz) cos (nx),

worin

dt

(Jx ij    % y Ą- yx — d y

dx'

(5)

dy

Oy* Uz + &y — ß₂

d£

dy

dz

Werden die Gleichungen (2) quadrirt und dann addirt, so folgt das Quadrat der Totalverschiebung unseres Punktes n Tn = rx cos² (nx) -f- ry cos² (ny) -j- rz cos² (nz)

(6)

+ 2pxycos(nx)cos(ny)-\-2pyzcos(ny) cos (nz) -j- 2pzx cos (nz) cos (nx), worin, wenn £, ty, 3 die Richtungen r der Totalverschiebungen rx, ry, rz bedeuten, mit Rücksicht auf § 6, (4)

ßxy XxXy -j- yxyy “1“ &x8y ⁼⁼⁼ YxTy COS t)) ,

(?)

Pyz = XyXz -f yvyz -f 8y0z = ryrz cos (t)g),

Pzx = Xzxx + yzyx -f- 0sex = rzrx cos (gg).

Die drei letzten Glieder in (6) verschwinden, wenn rX} ry, rz zu einander senkrecht sind.

gleicher Grösse und entgegengesetzten zu Anfang der betrachteten

Da die für Punkt n abgeleiteten Verschiebungen für alle m genügend benachbarten Punkte der anfänglichen Richtung n gelten, so wollen wir sie auch einfach Verschiebungen für die Richtung n oder Verschiebungen der Richtung n nennen. Die Gleichungen (2) zeigen, dass für zwei einander entgegengesetzte Richtungen n die Total Verschiebungen von Richtungen sind. Alle Punkte, welche

aus

war,

Verschiebungen auf einem Linienelement oder Flächenelement bei lagen, sind auf einem solchen Linienelement oder Flächenelement geblieben. Da aber jede Linie aus Linienelementen und jede Fläche Flächenelementen zusammengesetzt ist, so wird eine Linie oder Fläche, welche innerhalb eines Körpertheils mit stetigen Verschiebungen vor Eintritt der letzteren durch gewisse Punkte belegt auch nachher bei veränderter Form durch die gleichen Punkte eingenommen sein. Zu beachten ist bei diesem Schlüsse, dass man die Grenzen der Elemente beliebig wählen kann. Auch der Oberfläche eines Körpers oder Körpertheils mit stetigen Verschiebungen liegen nach wie vor die gleichen Punkte an, und ebenso bleiben die auf jeder Seite eines Unstetigkeitsschnitts oder diesem anliegend gewesenen Punkte auf der fraglichen Seite oder Grenzfläche. Auf verschiedenen Seiten eines Unstetigkeitsschnitts benachbart gewesene Punkte jedoch können sich beliebig entfernen und der Unstetigkeitsschnitt selbst kann seine Form ändern oder zu einem Hohlraum werden.

§ 22. Dehnungen, Drehungen, Gleitungen und Schiebungen beliebiger Richtungen.

(1)

Wir gehen von den in §§ 5, 6 aufgestellten Beziehungen aus. Für die Dehnung en der Verbindungsgeraden eines Punktes n, welcher anfänglich von m aus in der Richtung n lag, ergab sich (1 -j- ere)² = (1 -j- nn)² -f- tn² = 1 -j- 2 nn -f- rw².

Substituirt man in diese Gleichung nn, r,² nach § 21, (4), (6), so folgt

(1 -f- eny = (1 + exy cos² (nx)

(2)

-f- (1 -j- ey)² cos² (ny) -f- (1 + ez)² cos² (n&)

+ 2qxy cos (nx) cos (ny) -{- qyz cos (ny) cos (ns) + 2qzx cos (ns) cos (nx),

worin, wenn x1} yl} zt die aus x, y, z entstehenden Richtungen bedeuten,

y_xy —    (1    ~f"    ex)    (1    H⁻ Gy)    COS (xlyl) = gXy    “f" ÿxyy

ffyz —    (1    “I“    ey)    (1    “f“ Gz)    COS (yl 0j) = g,jZ    -f“ Pyzi

' üzx —    (1    -j-    Gz)    (1    + Gx)    COS (zt Xj) = gzx    -f- p

während die g und p    in    § 21    ausgedrückt sind. — Für die Drehungen

iz, iy, ix des Punktes n um Axen durch m in den Richtungen x, y, z gelten die Gleichungen des § 5 mit den in § 21 gegebenen Werthen der xn, yn, zn. Da jetzt dieselbe Dehnung und dieselben Drehungen für alle m benachbarten Punkte der anfänglichen Richtung n gelten, so wollen wir dieselben auch einfach als Dehnung und Drehungen für die Richtung n oder Dehnung und Drehungen der Dichtung n bezeichnen.

Sind bezüglich des Punktes m für zwei beliebige Punkte n, s die Totalverschiebungen durch rn, rS) deren Richtungen r durch n, §, die Dehnungen durch en, es und die neuen Richtungen durch n1} Sj bezeichnet, so haben wir mit

ff nt = rn cos (ns) 4- rs cos (8n) = sn -f n„

Pns = r„rs cos (n§) = xnxs + ynys + znzs,

ffns = (1 + Gn) (1 -f- es) COS (%sx) - COS (ns)

(3)

(4)

(5)

(6)

ZX)

die Beziehung

(?)

tins - ff ns “f" P

ns?

die Schiebung, Normalgleitung und Total-

ns

unter qns, gns, p gleitung der Punkte n, s verstanden. Nach § 4, (8) mit § 21, (2) ist jetzt die Componente von rn in der Richtung s

(8)

(9)

+ \ffx cos (sx)    +    yy cos (sy)    -f-    yz cos    (s#)J cos    (ny)

-j- [zx cos (sx)    Zy cos (sy)    -j-    8» cos    (s#)J cos    (nz).

Durch Addition dieser Ausdrücke folgt die Normalgleitung

'gns—2xxcos(nx)cos(sx)-\-2yycos (ny) cos (st/)-f-2^cos (nz) cos (sz)

(10)

-\-gxy [cos (rix) cos (s?/)-f- cos (ny) cos (sx)J -J-gyz [cos(wy) cos(sz) + cos(nz) cos (s^/)] -f-ihx [cos(nz)cos (sx)-f-cos(nx) cos(s^)J.

Multiplicirt man die erste, zweite und dritte dieser Gleichungen mit den entsprechenden Gleichungen § 21, (2)

so

entsteht zufolge (5)

(sx)

pns — rx cos (nx) cos

+ ry cos (ny) cos (sy) -f~ rz² cos (nz) cos (sz)

(H)

+ pxy [cos (nx) cos (sy) -f -j- Pyz [cos (ny) cos (sz) + -f- P;x [cos (nz) cos (sx) +

(ny) cos (sa?)J cos (nz) cos (sy)j (nx) cos (sz)]

cos

cos

und werden (10) und (11) addirt, dann ergiebt sich die Schiebung

qns = (1 + ex)² cos (nx) cos (sx) -f- (1 + eyf cos (ny) cos (sy)

+ (1 + ez)² cos (nz) cos (sz)

(12).

-j- qxy [cos (nx) cos + qyz [cos (ny) cos (sz) +

+ q^x [cos (nz) cos (sx) -f- cos

(sy) + cos (ny) cos ($#)!

(nz) cos (sy)]

(nx) cos (s#)J — cos (ns).

cos

Da jetzt dieselben Werthe von qns, gns, p

ns

für alle dem

Punkte m genügend benachbart gewesenen Punkte der anfänglichen Richtungen n, s gelten, so werden wir auch kurz von den qns, gns, Pns für die Richtungen n, s oder von Schiebung, Normalgleitung und Totalgleitung der Richtungen n, s sprechen. Für s = n folgen

(13) Pnn 2nn,

qn n    C« (z “J⁻ 6«),

und damit geht Gleichung (7) in (1) über.

§ 23. Die Hauptverschiebungen.

Mit den Bezeichnungen (5) des § 21 hat man nach § 21, (4) und § 22, (10) die Normalverschiebung einer beliebigen Richtung n und die Normalgleitung zweier beliebiger Richtungen n, s

n„ = xx cos² (nx) -f- yy cos² (ny) -f- cos² (ns)

(1)

-f- Qxy cos (nx) cos (ny) -f- gyz cos (ny) cos (ns) -J- gzx cos (ns) cos (nx),

■gns = 2xx cos (nx) cos (sx)

-f- 2yy    cos (ny) cos    (sy)    -f- 2^    cos (ns) cos (ss)

(2)

-}- gxy    [cos (nx) cos    (sy)    -f- cos    (ny) cos (s&)J

-{- gyz    [cos (ny) cos    (ss)    -(- cos    (ns) cos (s?/)J

-f- gzx    [cos (ns) cos    (sx)    -f- cos    (nx) cos (sf)J •

(3)

(4)

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit cos (sæ), cos»(sy), cos (ss) und addirt, so folgt mit Rücksicht auf (2) gns = gnx COS (sæ) + gny cos (sy) -f- gnz cos (s^)

= gSx cos (nx) -f- gsy cos (ny) -f- gsz cos (ns) und hieraus mit s = n wegen gnn — 2nn

(5)

2nn = gnx cos (nx) -f- gny cos (ny) + gnz cos (ns).

Damit sind die Normalverschiebung jeder Richtung n und die Normalgleitung von n mit beliebigen andern Richtungen s durch die Normalgleitungen von n mit den Richtungen x, y, s ausgedrückt.

Die mathematischen Maxima und Minima der Normal Verschie

bungen bei einem Punkte m nennen wir Hauptverschiebungen daselbst. Da die Function nn von der in § 8 untersuchten Form (3) ist, so folgen die Verhältnisse der Hauptverschiebungen aus den dort abgeleiteten Gleichungen mit <p = nn, a = xx, b = yy, c = sZj

d ⁼⁼ \gxy, c — \gyzi f ⁼⁼ \gzx-

Die Werthe h der Hauptverschiebungen sind bestimmt durch die Gleichung

(6)

4(h — xx) (h — yy) (h — sz) — (h — xx)gyz² — (h — yy)gzx²

(h sz) gxy gxy gyz g?x — 6;

welche nach Potenzen von h geordnet lautet 4 h³ — 4 h² (xx + y,j + 0t)

9Xy + 9yt + 9Z

(?)

~{- 4h (xxyy —}— yysz | szxx

(4xxyysz xx gyz yy gzx &zgxy -j⁻ gxygyzgzx) 0*

Da sich in § 26 zeigen wird, dass die Totalyerschiebungen rn wie die Halbmesser eines Ellipsoids variiren, so sind auch sämmtliche nn reell und es hat Gleichung (7) drei, im Allgemeinen verschiedene, reelle Wurzeln, welche wir durch h = a, h — b, h = c bezeichnen. Substituirt man einen dieser Werthe in

-    (h    Xx)    “G    [hx    Çfxyt

(8)

S2 ⁼    Ql    Hy) 2 f/zx    “b    9xy [Jy z ;

^3 ==    (Jl    Zz) 2gxy    ~b    9yz üzxy so folgen nach § 8 aus

cos (ny) =

(9) cos (nx) = mit den beiden Vorzeichen von

(10)

w = ± Y(sxs₂Y + (s₂sj² + (s₃s,)²

die zwei einander entgegengesetzten Richtungen n, für welche diese Hauptverschiebung eintritt.

Nach § 8, (4) und obigen Gleichungen (3) bestehen für jede Haupt Verschiebung h die Beziehungen

(11) 2h cos (nx) = gnx, 2h cos (ny) = gny, 2h cos (nz) = gnz,

worin n die Richtung für h bedeutet. Multiplicirt man dieselben der Reihe nach mit cos (sx), cos (sy), cos (sz) und addirt, so folgt mit Rücksicht auf (4) die Normalgleitung zweier Richtungen n, s, für deren eine die Hauptverschiebung h eintritt, während die andere ganz beliebig ist,

(12)

gns = h cos (ns).

Die Normalgleitung zweier zu einander senkrechter Richtungen n, s, unter welchen sich die Richtung einer Hauptverschiebung befindet, ist gleich Null. Wenn nun hx, h₂ zwei Hauptverschiebungen, nx, n₂ die zugehörigen Richtungen n, dann ergiebt sich mit h — hx, n = nx, s — n₂, bezw. h — h₂, n = n₂, s = nx,

gns — hx cos (nxn₂) — h₂ cos (n₂nx),    .

und weil hx, h₂ im Allgemeinen verschieden sind, so muss cos (nxn₂) = 0 sein: Die Richtungen nf welchen die drei Hauptverschiebungen entsprechen, bilden mit einander Winkel von 90°; für je zwei dieser Richtungen existiren keine Normalgleitungen.

Werden jetzt die Axen x, y, z parallel den Richtungen der Hauptverschiebungen a, b, c gelegt, so folgen aus (1), (2) die Normal Verschiebung einer beliebigen Richtung n und die Normalgleitung je zweier beliebiger Richtungen n, s

(13)

nn — a cos² (nx) -{- b cos² (ny) -j- c cos² (nz),

(14)    gns—2 a cos (n x) cos (sx) -f- 2 b cos (n y) cos (s y) -f- 2 c cos (n z) cos (sz),

während die Gleitungen der Richtung n mit den Richtungen x, y, z nach (3) folgen

(15)    gnx — 2acos{nx), gny — 2bcos(ny),    gnz — 2 c cos (nz).

Auch die Gleichungen für rn², pns, (1 -f- eff, qns lassen sich bei den angenommenen Axenrichtungen wegen Q_xy=Pxy, g>jz — Pyz qzx — Pzx noch anders als in den §§ 24, 25 ausdrücken.

Denken wir uns Gleichung (7) das eine Mal wie oben für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen, das andere Mal für den Fall angeschrieben, dass die Coordinatenaxen parallel den Hauptverschiebungen liegen, so folgen

(16)

Xx + Vy + Bz = a + b -f- c = GJ,

(17)    4(xxyy -f yyzz + zzxx) — gxy² — gv? — gj = 4{ab-\-bc-\- ca),

(18)    4:Xxyyzz xxgyz VyQzx“ gxy | gxy gyz gzx — 4 a b c.

Aus (16) schliesst man: Die Summe der Normalverschiebungen für je drei im selben Punkte zu einander senkrechte Bichtungen hat einen festen Werth. — Liegt eine der Coordinatenaxen parallel einer Hauptverschiebung, so ist in (16) einer der Summanden links identisch mit derselben und daher folgt: Für alle Paare in einem Punkte m zu einander senkrechter Bichtungen, welche mit der Bichtung einer Hauptverschiebung rechte Winkel einschliessen, hat die Summe der Normalverschiebungen denselben Werth.

Nach (16) bis (18) ist eine Hauptverschiebung gleich Null, wenn für beliebige gerichtete Coordinatenaxen

(19)

4xxy,yZz xxgyz Vydzx %zgxy -f⁻ 9xzgyzgzx ⁼⁼ 65

neben (19)

es sind zwei Hauptverschiebungen gleich Null, wenn erfüllt ist

(20)

4 (Xx y y “i" Vy&z "F Zzxx) gxy 9yz gzx -Oj

und wenn alle drei Hauptverschiebungen verschwinden, so hat man auch

Xx + yy + 8» = 0;

es existiren dann nach (13), (14) beim betrachteten Punkte m weder Normalverschiebungen noch Normalgleitungen, doch können Transversalverschiebungen Vorkommen.

§ 24. Grenzverschiebungen.

Mit den Beziehungen (7) des § 21 haben wir nach § 21, (6) und § 22, (11) für die Totalverschiebung rn einer beliebigen Richtung n und die Totalgleitung pns zweier beliebiger Richtungen n, s rn² = rx²cos²(nx) -f- r ²cos²(ny) -f- r*²cos²(w£)

0)

-j- 2pxy cos (nx) cos (ny) -f- 2pyz cos (ny) cos (ns) -f- 2pzxcos (ns) cos (nx),

(2)

■pns = rx cos (n x) cos (sx) + ry cos (ny) cos (s y) -j- rz cos (ns) cos (s s)

+ Pxy [cos (nx) cos (sy) + cos (ny) cos (sa;)] -f- Pyz[oos(ny) cos(ss) + cos(ns) cos(sî/)] + Pzx [cos (ne)

cos

(sx) -f- cos (nx) cos (s#)].

Die letzte Gleichung liefert speciell für s = x, y, 8

Pnx = i'x cos (nx) -f- pxy cos (ny) Ą- pzxcos (ns),

Pny = ry²cos(ny) -f- pxycos(nx) pyzcos (ns),

Pnz = r²cos(ns) + pzxcos(nx) + pyzcos(ny).

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit cos (sx), cos (sy), cos (ss) und addirt, so folgt

Pns = PnxPos(sx) -f- pny cos (sy) -j- pnzcos (ns)

= psxcos(nx) + psycos(sy) -f pSzCos(ss) und hieraus mit s = n wegen pnn = rn²

rn² = pnxcos(nx) + pny cos (ny) + pnzcos(ns).

(3)

(4)

(5)

Die mathematischen Maxima und Minima der Totalverschiebungen bei einem Punkte m bezeichnen wir als GrensverSchiebungen daselbst. Da die Function r² von der in § 8 behandelten Form (3) ist, so gelten die dort abgeleiteten Beziehungen auch für die Grenzverschiebungen mit cp — r², a — r², b = r², c = r², d = pxy,

6 Pyz , f Pzx •

Die Quadrate h der Grenzverschiebungen sind bestimmt durch die Gleichung

(6){

(h — rx²)(h — rf)(h — r²)

{h î'x ) Pyz    (Jl> 1 y ) Pzx (b    Vz ) Pxy    2Pxy Pyz Pzx “

welche auch in folgender Form geschrieben werden kann h? — h²(rx² + r² -f- T²)

+ h(r²r² + r²r² -f- r²r² — px² — py² — pj)

(px V y yz H'x Pyz ^'y Pzx ^'z Pxy 2 Pxy Pyz Pzx)    0.

Da sich in § 26 zeigen wird, dass die Grenzverschiebungen durch die Halbaxen eines Ellipsoids dargestellt sind, so hat vorstehende Gleichung im Allgemeinen drei verschiedene reelle Wurzeln, welche wir mit h = r², h — r², h = r² bezeichnen. Substituirt man einen dieser Werth e in

(?)

(Jl V'x ) Pyz ! Pzx Pxy y S2 =    ry²)Pzx “f" Pxy Pyzy

(8)

^3 “ (J¹    ^'z ) Pxy + Py z Pzx y

so liefern die Gleichungen

(9) cos(mæ) = s-~-

cos (ny) =

cos (n z) —

th.

IV ⁷

mit den beiden Vorzeichen von

(10)

w = ± yOuSa)² + fe)² + (s3«i)²

die zwei einander entgegengesetzten Richtungen n, für welche die entsprechende Grenzverschiebung ein tritt.

Nach (3) und § 8,(4) bestehen für jede Grenzverschiebung rn=y h die Gleichungen

(H)

h COS (nx) = Pnx,

h cos (ny) =pny,

Ji cos (nz) — pnz.

Multiplicirt man dieselben bezw. mit cos (sx), cos (sy), cos (sz) und addirt, so folgt mit Rücksicht auf (5) für zwei Richtungen n, s, deren einer eine Grenzverschiebung ]//i entspricht, bei beliebiger anderen

(12)

Pas — h cos (ms).

Die Totalgleitung pm zweier zu einander senkrechter Richtungen n, s, für deren eine eine Grenzverschiebung eintritt, ist gleich Null. Die Totalverschiebungen dieser Richtungen sind senkrecht zu einander. Wenn nun h1} h₂ die Quadrate zweier Grenzverschiebungen, nx, n2 die zugehörigen Richtungen n, so hat man einmal mit h = h ni — nu s = m₂ und dann mit h = h₂, n = n₂, s — nu Pm = ht cos (nxnf) = h₂ cos (n₂nf).

Da aber \, h₂ im Allgemeinen von einander verschieden sind, so muss cos(m₁m₂) = 0 sein: Die Richtungen n, für welche die drei Grenzverschiebungen rl} r₂, r₃ eintreten, schliessen mit einander rechte Winkel ein, für je zwei derselben existiren keine Totalgleichungen.

Werden die Coordinatenaxen x, y, z den letzterwähnten Richtungen m parallel gelegt, dann nehmen die Gleichungen (1) bis (3) folgende einfachere Formen an

(13)

r² — i'x cos² (nx) -j- r₂² cos² (ny) -f- r₃² cos² (nz),

(15)

(14) pm = r² cos (nx) cos (sx) -f- r₂ cos (ny) cos (sy) -j- r₃² cos (nz) cos (sz), Pnx = >’i² cos (nx), pny = r₂ cos (ny), pnz = rs² cos (nz). Die Gleichungen für nn, gns, qns, (1 -f- en)² lassen sich mit Rücksicht auf qxy = gxy, qyz — gyz, qzx = gzx ebenfalls noch anders als in §§ 23, 25 schreiben.

Denken wir uns ähnlich dem Verfahren in § 23 Gleichung (7) einmal wie oben für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen, ein

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

andres Mal für den Fall angeschrieben, dass die Axen parallel den Richtungen n gelegt werden, für welche die Grenzverschiebungen ein-treten, so entstehen folgende Gleichungen

(16)

rx + r² + r² = r² + r₂² + r₃²,

(17)    r²r² + r²r² + r²r² —px²—py² ~Pzł = rfr² + r²r² + r²r ₁²,

(18)    r²r²r² — r²py² — r²pj — r²pxy² + 2pxypyzpzx = r²r²r².

Aus (16) folgt: Für je drei im selben Punkt m einander senkrechte Bichtungen hat die Summe der Totalverschiebungsquadrate einen festen Werth. Liegt eine der Coordinatenaxen parallel einer Richtung n, für welche eine Grenzverschiebung eintritt, so kommt das Quadrat der letzteren in (16) rechts und links vor, wir schliessen: F'ür alle Paare im Punkte m zu einander senkrechter Bichtungen, welche mit der einer Grenzverschiebuug entsprechenden Bichtung n rechte Winkel einschliessen, hat die Summe der r² denselben Werth.

Nach (16) bis (18) ist eine Grenzverschiebung gleich Null, wenn für beliebig gerichtete rechtwinkelige Coordinatenaxen

(19)    r²r²r² — r²py² — r²pj — r²px² -f- 2pxypyzpzx = 0;

es sind zwei Grenzverschiebungen gleich Null, wenn neben (19) erfüllt ist

(20)

rxr² + r²r² + r²r² — px² — py² — pj = 0.

Wären schliesslich alle drei Grenzverschiebungen gleich Null, so würde noch hinzutreten

(21)

rx + r² + r² = 0.

In diesem Falle haben nach (13), (14) im Punkte m überhaupt keine Totalverschiebungen und Totalgleitungen hinsichtlich unseres Coordinatensystems stattgefunden. Mit rn — 0, pns = 0 werden (1 -f- en)² = 1 -j- 2nn, qns = gm, die Gruppirungsänderungen und sonstige Bewegung haben sich ausgeglichen.

§ 25. Die Hauptdehnungen.

Mit den Bezeichnungen (3) des § 22 hat man nach § 22, (2), (12) für die Dehnung en einer beliebigen Richtung n und die Schiebung qns zweier beliebiger Richtungen n, s

(1)

^ (1 -f en)² = (1 + ex)² cos² (nx) + (1 + ey)² cos² (ny)

(1 + ez)² cos2 (ws) + 2 qxlJ cos {nx) cos {ny)

+ 2 qyz cos {ny) cos {nz) + 2 qzx cos {nz) cos {nx)

(2)

cins — ex(2 -f- ea;)cos(wa;)cos(s^) -f- ey(2 -j- ey)cos(ny)cos(sy)

-f- ez(2 -f- ez) cos (nz) cos (sz)

-f- Qxij [cos (nx) cos (sy) -f- cos(n?/)cos(s;z;)J -j- g^cos (n y)cos(sz) -f- cos (nz) cos (sy)J + qZx\oos(nz) cos (sx) -f- cos (nx) cos(s#)J.

Aus (2) folgen die Schiebungen von n mit x, y, 8

qnx = ex(2 -f- ex) cos (nx) + cos (ny) -{- qzxcos(nz),

Qny = ey(2 -f- e,j)cos (ny) -f qxycos(nx) -f- qyzcos(nz), qnz = ez(2 -f- e₃)cos (nz) -f- qzxcos(nx) -f- qyzcos(ny).

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit cos (sa?), cos (sy), cos (sz) und addirt, so folgt mit Rücksicht auf (2)

qns = q„xcos(sx) + qny cos (sy) -f- qnzcos(sz)

= qsxcos(nx) -f- qsycos(ny) + qszcos(nz), und hieraus mit s — n wegen qnn — en(2 -j- en)

en(2 -f en) = qnxcos(nx) -f- qny cos (ny) -f qnzcos(nz).

Die mathematischen Maxima und Minima der Dehnungen en bei einem Punkte m bezeichnen wir als Hauptdehnungen daselbst. Sie treten mit den Maxima und Minima der (1 -j- en)² ein und da diese Function von der in § 8 betrachteten Form (8) ist, so ergeben sich die Verhältnisse der Hauptdehnungen aus den dort abgeleiteten Gleichungen mit qp == (1 —{- en)², a = (1 -{- ex)² = lcX) & = (1 -{- e^)² = hy, c —— (1 -f⁻ Cz)" — lcz, d — qxij) c ⁼⁼ qyzf f — qzx•

Die den Hauptdehnungen entsprechenden h — (1 -f- en)² und damit die Hauptdehnungen selbst sind bestimmt durch die Gleichung

(h — Jcx) (h — Jcy) (h — kz)

(h hx) q>jz (h hy) qzx (h tcz) qzy 2 qxy qyz qzx — 0, welche nach Potenzen von h geordnet lautet

h h (Jix “l⁻ Jcy -j— Jcz) | h(hxJcy “I⁻ lcyJcz —J— TczTcx    qxy qyz qzx )

(hxhjhz hxqyz hyqzx h~qxy -j- 2 qxy qyz qzx) — 0.

Da sich in § 27 zeigen wird, dass die den Hauptdehnungen entsprechenden 1 -f- en durch die Halbaxen eines Ellipsoids dargestellt sind, so hat vorstehende Gleichung drei, im Allgemeinen verschiedene, reelle Wurzeln, welche wir durch h — (1-f-g)², h — ( 1-{-e₂)²> h = (1 -f- e₃)² bezeichnen, womit e1} e₂, e₃ die Hauptdehnungen bebedeuten. Substituirt man einen dieser Werthe h in

(3)

(4)

(5)

(6){

(7){

Sj - (Jl    kx) (j[yz    ~J⁻    (lzx Qxy ;

(8)

so folgen aus

S2 “    (Jl    ky)qzx    ~f~    Ç.X1J Qyz)

Sg    (h    kj) dxy    |    Q[yz Q_zxj

(9) cos (nx)=S-~

cos (ny) =    ,

cos (nz) = —-

v ' w

mit den beiden Vorzeichen von

= + V (S1SÙ² + (S2 Ss)² + (S3Sl)²

die zwei einander entgegengesetzten Richtungen n, für welche die entsprechende Hauptdehnung eintritt.

Nach (3) und § 8 (4) gelten für jede Hauptdehnung, wenn n die zugehörige Richtung bedeutet,

(11) (h— l)cos(nx)=qnx, (h—1)cos(ny)=qny, (h—1)cos(nz)=qnz. Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit cos (sa;), cos (sy), cos(sz) und addirt, so folgt mit Rücksicht auf (4) die Schiebung zweier Richtungen n, s, für deren eine die h entsprechende Hauptdehnung eintritt, während die andere ganz beliebig ist, qn, = (h — l)cos (nś).

Die Schiebung zweier zu einander senkrechter Dichtungen, deren einer eine Hauptdehnung entspricht, ist gleich Null. Wenn nun hx, h₂ die (1 -j- en)² zweier Hauptdehnungen, nx, n₂ die zugehörigen Richtungen n, so hat man nach (12) mit h = hx, n = n1} s — n₂ hezw. mit h = h2f n = n₂, s = nx,

qm = Qh — l)cos(n₁w₂) = (h₂ — l)cos (n₂nf), und da hx, h₂ im Allgemeinen von einander verschieden sind, so muss cos(nxn₂) — 0 sein: Die Dichtungen n, für welche die drei Hauptdehnungen ex, e₂, e₃ eintreten, bilden mit einander Winkel von 90°, für je zwei derselben existiren keine Schiebungen.

Legen wir die Axen der x, y, z parallel letztgenannten Richtungen, so gehen (1) bis (3) über in die folgenden Gleichungen (1 + e»)² = (1 + cffcos²(nx) + (1 + e₂)²cos²(ny)

+ (1 + e₃)² cos² (nz),

qns — ex(2~y ex) cos {nx) cos (sx) -j- e₂ (2 -}- e₂) cos (ny) cos (sy)

-f- e₃(2-j-e₃)cos(w£)cos(s£),

(10)

(12)

(13)

(14)

qnx = ex(2 + ejcos (nx), qny = e₂(2 + e₂) cos (ny), qnz — e₃(2 -f e₃)cos(n#).

Auch die Gleichungen für nn, gns, rn, pns lassen sich wegen gxy = —Pzy, gyi — — pyz, gzx — — pzx noch anders als in §§ 23, 24 ausdrücken.

(15)

Denken wir uns analog dem Vorgehen in den §§ 23, 24 Gleichung (7) einmal wie oben für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen, das andere Mal für Coordinatenaxen parallel denjenigen Richtungen n gelegt, für welche die Hauptdehnungen eintreten, so folgen hx + ky + kg — (1 -f- ej² -J- (1 -f- ej)² -f- (1 + cf)¹, kxky -f- hyhg -f- Jezlcx — qx,f — qyz‘ — q~x² — (1 -f- cj)¹^ 1 -j- 6₂)2 + (i + e₂)²(i + e₃y -j- (i -f- e₃y ( i -f- ejy,

(16)

(17)

(18)

jkxkyhz kxqyz kyqzx kzqxy —(— 2qxyqyzqzx

— (1 + el)*0 + C.j)\ 1 + e3 Y-

Gleichung (15) kann man aussprechen: Für je drei im selben Funkt zu einander senkrechte Richtungen hat die Summe der (1 -f- ej)¹ einen festen Werth. Liegt eine der Coordinatenaxen parallel einer Richtung n, welche einer Hauptdehnung entspricht, so kommt in (15) dasselbe (1 -j- ej)¹ rechts und links vor, daher: Für alle Paare in einem Punkte zu einander senkrechter Richtungen, ivelche mit der einer Hauptdehnung entsprechenden Richtung n rechte Winkel einscJdiessen, ist die Summe der (1 -f- eff von gleichem Werth.

Sind beim Punkte m die drei Hauptdehnungen gleich Null, so haben daselbst nach (13), (14) überhaupt keine Dehnungen und Schiebungen stattgefunden, der Körper kann seine Lage gegen das Coordinatensystem geändert haben, die gegenseitige Gruppirung der TJieilchen bei m aber ist dieselbe geblieben (§ 6).

§ 26. Das Verschiebungsellipsoid.

Wir nehmen rechtwinklige Coordinatenaxen von beliegen Richtungen x, y, z an. Für letztere seien rx, ry, rz die Totalverschie-bungen und £, t), 5 deren Richtungen r. Nach § 21, (1) hat man dann

cos (jo:) —

xy

cos (t)x) = —

cos(§æ) = — •

V

Sind nun \)n, diejenigen Componenten einer beliebigen Totalverschiebung rn, welche bei Zerlegung nach den im Allgemeinen schief gegen einander liegenden Richtungen £, i), § entstehen, so wird die resultirende Componente von rn in der Richtung x

rz

xn = £wcos(£æ) -f- b»cos(^) + änCos(§a?),

oder mit Rücksicht auf die darüber stehenden Cosinuswerthe

Xji Xx

rx

Xy

ry

in

rz

Nach § 21, (2) hat man für jede beliebige Richtung n xn — xxeos(nx) + yncos(ny) -f- 0ncos(n0).

ty* nr fy*

Denken wir uns die Richtungen £, t), g der Totalverschiebungen als positive Axenrichtungen eines schiefwinkligen Coor-

m gewählt und die %n, t)n, %n

' xy ' yy ' z

dinatensy stems mit dem Ursprünge in als Coordinaten angetragen, so stellt (2) die Mittelpunktsgleichung eines Ellipsoids dar, für welches rx, ry, rz conjugirte Halbmesser sind. Es variiren also die Totalverschiebungen rn wie die in ihre Richtungen fallenden Halbmesser dieses Ellipsoids, und je drei conjugirte Halbmesser desselben stellen die rn für drei zu einander senkrechte Richtungen n dar. Für diejenigen drei einander rechtwinkligen n, welchen die Grenzverschiebungen entsprechen, sollen aber nach § 24 die conjugirten Halbmesser rn auf einander senkrecht stehen, die letzteren müssen also die Halbaxen bilden, wir können zusammenfassen: Trägt man von einem Punkte m aus die Total

verschiebungen rn aller Pachtungen n nach Grösse und Richtung an, so liegen die Endpunkte der rn auf einem Ellipsoïde, für welches die GrenzverSchiebungen rx, r₂, rs Halbaxen und die rn je dreier zu einander senkrechter n conjugirte Halbmesser sind. Dies Ellipsoid werden wir VerSchiebungsellipsoid *) nennen.

Legt man die Ooordinatenaxen x, y, z parallel denjenigen Richtungen n, für welche die Grenzverschiebungen rx, r₂, r₃ eintreten, so lautet die Gleichung des Yerschiebungsellipsoids

Daher folgen

in

cos (nx) = —

cos (ny) =

cos (ne) = — ,

und weil die Quadratsunnne dieses Cosinus gleich 1 sein muss,

(1)

rx'

rv

(2)

Ta T"

»■**

+ S = i.

(3)

r,² '

in

ra ²

Die Axen j, b; l sind jetzt zu einander senkrecht, liegen aber nicht wie im analogen Falle heim Spannungsellipsoide den Richtungen x, y, % parallel, es hat eine Drehung um den Ursprung m stattgefunden. Weiter erhält man bei den angenommenen x, y, z nach (1) und § 21, (1) für beliebige Richtungen n

(4)

£» = rx cos (nx') = rMcos(rj), b» = r₂cos(ny) = rBcos(»’b), ln, = ^3 cos (ne) = rn cos (rf),

*) Der Name wird vielfach für das Ellipsoid des § 27 verwendet, eignet sich aber besser für das hier behandelte, sonst nicht abgeleitete Ellipsoid, welches nach Wesen und Entstehung dem Spannungsellipsoide entspricht.

welche Gleichungen wegen

rn - £rt² -f- t)re² “f" fin

wieder auf § 24, (13) führen.

Sind zwei Grenz Verschiebungen gleich gross, so wird das Ver-schiebungsellipsoid ein Rotationsellipsoid, dessen Rotation saxe mit der dritten Grenzverschiebung zusammenfällt, und sind alle drei Grenzverschiebungen gleich gross, so wird das Yerschiebungsellipsoid eine Kugel.

§ 27. Die Deformationsfläche. Dilatation.

Durch die Verschiebungen bei m sind diejenigen Punkte, welche anfänglich von m aus in der Richtung n lagen, in eine neue Richtung nx gelangt und es hat sich ihre Entfernung dn um endn geändert. Die neue Entfernung und neue Richtung sind bestimmt durch die Projectionen von (1 -f- e„) dn auf die rechtwinkligen Richtungen x, y, s. Diese Projectionen ergeben sich durch Multiplication der Werthe

(1)

an = (1 + e») cos (n^), bn = (1 + e„)cos (nxy), cn = (1 + e^coa{nxz) mit dn, während sich an, bn, cn auf die Einheit der ursprünglichen Entfernung beziehen. Da nach § 5, (3)

(1 -f- en) cos (nx x) = cos (nx) -f- xn,

(1 -f en)cos(nxy) = cos(ny) + yn,

(1    en) cosinus) = cos(nz) ^ zn,

(2)

so folgen mit den in § 21 erhaltenen Werthen der xn, yn, zn tan = (1 -j- xx)cos(nx) -f- xycos(ny) -{- xz cos (nz), bn = (1 + yy)cos(ny) -j- xz cos(nz) -f- yxcos(nx), cn = {1 -f- zz) cos (nz) -}- zx cos (nx) -j- ^cos (ny).

Die erste der drei vor (2) angeschriebenen Gleichungen liefert * für die aus n — x, y, z entstandenen Richtungen xx, yx, glf

¹+Xx

(3)    cos (xx x) =

cos (yxx)

xy

cos (zxx) —

H" V

Bezeichnen wir die bei Zerlegung von 1 -f- en nach den Richtungen xx, yx, zx entstehenden Componenten durch a», hn, Cn, so folgt die resultirende Componente in der Richtung x

dn = a„ cos (xx x) +    cos(yxx) + CnGOS(Zxx),

oder mit Rücksicht auf die darüber stehenden Cosinuswerthe

Denken wir uns die im Allgemeinen schief gegen einander liegenden Richtungen xx, yx, zx als positive Axenrichtungen eines Coor-dinatensystems mit dem Ursprünge in m gewählt und die a„, b», C„ als Coordinaten angetragen, so stellt (5) die Mittelpunktsgleichung eines Ellipsoids dar, für welches 1 -f- ex, 1 -f- ey, 1 -}- ez conjugirte Halbmesser sind. Es variiren also die 1 -f- en wie die in ihre Richtungen fallenden Halbmesser dieses Ellipsoids und je drei conjugirte Halbmesser desselben bilden die 1 -f- en dreier zu einander senkrechter Richtungen n. Für diejenigen drei zu einander rechtwinkligen n, welchen die Hauptdehnungen entsprechen, sollen aber nach § 25 die conjugirten Halbmesser 1 -f- en zu einander senkrecht sein, letztere müssen also die Ilalbaxen bilden, wir können aussprechen: Die Punkte, ivelche vor den Verschiebungen auf einer Kugeloberfläche vom Badius 1 lagen, liegen nach derselben auf der Oberfläche eines Ellipsoids, für welches die Kugelhalbmesser der den Hauptdehnungen entsprechenden n die Halbaxen und je drei zu einander senkrecht gewesene Kugelhalbmesser conjugirte Halbmesser sind. Diese Ellipsoidfläche wurde für verschwindend kleine Verschiebungen, wie wir sie in § 32 besprechen werden, zuerst von Clebsch aufgefunden. Sie soll hier Deformationsfläche heissen.

Werden die Axen der x, y, z parallel den Richtungen n gelegt, für welche die Hauptdehnungen eintreten, so folgt aus (5)

(6)

welche Gleichung sich nun auf diejenigen zu einander senkrechten Axen xx, yx, zx bezieht, die aus den Richtungen n werden, für welche die Hauptdehnungen eintreten. Die Gleichungen (4), (1) aber liefern nun für beliege Richtungen n

ct„ = (1 + ejeos (nx) = (1 -f- ß») cos(M₁a:₁),

(?)

d'n - (1 “I⁻ <^x)

c„

1 + e„ + *» 1 +\ +    1 + e₅

Der Yergleich dieses Ausdrucks mit der ersten Gleichung (2) ergibt

(4) cos(næ) =

cos (ny) —

cos (nz) —

¹ + ex

und weil die Quadratsumme dieser Cosinus 1 sein muss,

¹ + ez

(5)    .

(lT^) ⁺ (l + e) + (lT^)

= 1.

K = (1 + e₂)cos (ny) = (1 + e„)cos (nxyx), cn = (1 + e₃) cos(nz) = (1 + en) cos(w₁«₁),

(1 -j~ ßn)¹ — û»¹ “h b»¹ H⁻ c«¹

woraus wegen

wieder die Formel § 25, (13) entstellt.

Sind zwei Hauptdehnungen von gleichem Wertlie und Vorzeichen, so wird die Deformationsfläche ein Rotationsellipsoid, dessen Rotations-axe mit der dritten Hauptdehnung zusammenfallt, und sind alle drei Hauptdehnungeil gleich gross, so wird die Deformationsfläche eine Kugel.

Es bezeichne jc die positive oder negative Zunahme des Volumens per Volumeneinheit eines Massenelements. Da bei m aus einer Kugel vom Radius 1 ein Ellipsoid der Halbaxen 1 -f- el} 1 e₂, 1 -f- e3 geworden ist, und mit Rücksicht auf die bekannten Ausdrücke für die Cubikinhalte von Kugel und Ellipsoid hat man

(1 “b #) g =    + ei)(t +    + ez) i

woraus

(8)

% — (1 + Cl)(l + C2)(l + ez) - 1 •

Wir werden k die Dilatation bei m nennen.

§ 28. Verschiebungen in einem Zeitelement.

Es handle sich um die unendlich kleinen Verschiebungen in einem Zeitelement dt. Dann gelten die Beziehungen des § 7. In Hinsicht eines beliebigen rechtwinkligen Coordinatensysteins habe der Punkt m(x, y, z) in den Richtungen x, y, z die Geschwindigkeiten u, v, iv. Sind dieselben zur Zeit t im gleichen Sinne stetige Functionen des Orts ivic jj, rj, £ in § 21, dann hat der von m in der Richtung n um dn entfernte Punkt n die Geschwindigkeiten u -f- du, v -{- dv, iv -f- dw, unter du, dv, dtv die vollständigen Differentiale von u, v und w nach x, y, z verstanden. Es dürfen also in § 7 die Differentialzeichen d an Stelle der A gesetzt werden. Die relativen Wege

von n gegen m nach den Richtungen x, y, z sind im Zeitelement dt

\

(O

dt] = dv dt,

dt, — dwdt,

di, — du dt,

und für beliebige partielle Differenziale nach x, y, z hat man

dt, — dw dt.

(2)

di, = du dt,

n, s, von HauptverscMebungsgeschwindigTceiten, Grenzverschiebungs-gcschiu indighei tan, HauptdeJmungsgeschwindigJceiten und vom Ver-schiebungsgeschwindiglceitsellipsoid sprechen.

Es mögen folgende Bezeichnungen gelten

Vx -

du

dv

Ux ~~ dx ’

dx

IVx =

dw

dx ’

(3)

du

dv

dw

dy

wv— dy >

' uv dy

_ du

Uz==~dz’

Dann hat man nach § 7, (6) und § 21, (2) (oder durch Division der vollständigen Differentiale des Orts von u,v,w mit dri) die Verschiebungsgeschwindigkeiten der Richtung n in den Richtungen x, y, z

dv

dw

Vz~ dz’

w* = -dr

un — ^ — ux cos (nx) -f- iiy cos (ny) uz cos (nz)

Xn

— Qn cos (rx) —

vn — ^ == vx cos (nx) -j- vy cos (ny) -f- vz cos (nz)

= Qn cos (ry) = -g-,

= wx cos (nx) -f- wy cos (ny) -f- wz cos (nz)

= Qn COS (rz) = -Jj •

Hiernach stellen die partiellen Differentialquotienten (3) die Com-ponenten un, vn, wn der Totalverschiebungsgeschwindigkeit Qn dar bezw. für n = x, y, z. Im Uebrigen lassen sich nun alle Beziehungen für die Verschiebungsgeschwindigkeiten aus den Gleichungen dieses Abschnitts für die entsprechenden Verschiebungen ohne Weiteres entnehmen. Beispielsweise hat man nach § 23, (1) (2) die Normalverschiebungsgeschwindigkeit einer beliebigen Richtung n und die Normalgleitungsgeschwindigkeit zweier beliebiger Richtungen n, s vn — ux cos² (nx) + % cos² (ny) -f- uz cos² (nz)

-{- yXIJ cos (nx) cos (ny) -j- yyz cos (ny) cos (nz)

dt ’

(4)

Vn

wn

(5)

nn

-f- yzx cos (nz) cos (nx) =

yns — 2ux cos (nx) cos (sx) -f- 2uy cos (ny) cos (sy) -f- 2uz cos (nz) cos (sz)

(6)

+ yxu [cos (nx) cos (sy) -f -f- y,JZ [cos (ny) cos (sz) -j- cos (nz) cos (s«/)J -f- yzx [cos (nz) cos (sx) + cos (nx) cos (s^)! =

cos

(ny) cos (sa?)]

9ns

dt ’

worin nach § 21, (5) die Normalgleitungsgeschwindigkeiten der Richtungen xy, yz, zx

dt ⁷

CO

‘ Yyz = Vz + Wy =

dv

dw

' dy    dt ⁷

■    i/» , 3#    9zx

?■* =».» + «« = ^ + 59 — sf

Werden zur Zeit t die Coordinatenaxen in die Richtungen der Hauptverschiebungsgeschwindigkeiten gelegt, dann sind in (5) (6) yxy = y1ja — Yzx — 0, und ux — a, vy — ß, wz = y die Hauptverschiebungsgeschwindigkeiten.

Die Schiebungsgeschwindigkeit cpm zweier einander senkrechter Richtungen n, s gibt nach § 32 an, wie schnell sich zwei unendlich benachbarte Flächenelemente, deren Normalenrichtung zur Zeit t mit der Richtungslinie von n (oder s) zusammenfiel, in der aus s (oder n) entstehenden Richtung pro Einheit ihrer ursprünglichen Entfernung längs einander verschieben. Für den gewöhnlichen Fall, dass nur endliche Verschiebungsgeschwindigkeiten in Betracht gezogen werden, darf man nach § 7 die Dehnungsgeschwindigkeit gleich der Normalverschiebungsgeschwindigkeit und die Schiebungsgeschwindigkeit gleich der Normalgleitungsgeschwindigkeit setzen, das heisst

dz

dw

(8)

nn

en

9 ns

9 ns

£n - vn - ~    ;

Damit wird die von den Richtungen der Coordinatenaxen unabhängige Summe

<Pns — y ns — dt

dt

co = Qdt= (ux + vv + wz)dt = (|| +

nach § 27, (8) bei Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen zweiter Ordnung gleich der Dilatation % bei m und es kann q als Dila-tationsgeschwindiglieit daselbst bezeichnet werden.

(9)

§ 29. Derivirte verschiedener Verschiebungsfunctionen.

Für jede von einem Punkte m{x, y, z) ausgehende Richtung n sind die Normalverschiebung, Totalverschiebung und Dehnung durch nn, rn, en und die Normalgleitung, Totalgleitung und Schiebung bezüglich einer beliebigen andern Richtung s durch gns, pm, qns bezeichnet. Setzen wir zur Abkürzung cos (nx) = a, cos (ny) = ß, cos (nz) — y, so folgen aus den Gleichungen (1)—(3) der §§ 23—25

dUn

(1)

da

9nx;

dnn _

Jf ~ 9n'J’

drin _

dy

(2)

drp

drp

drp

nys

-W = 2l>

ny ;

+ eny

(3)

da

- 2 qnx "I⁻ 2 CC ,

3(1 + O²

3(1 + en)²

aß

— %<lny + 2ß,

dy

= 2 qni -j- 2 y.

Mit diesen Werthen ergeben sich die vollständigen Differentiale für Richtungsänderungen bei m

(4)

(5)

(6)

dnn = gnxda -f- gnydß + gnzdy,

drj = 2 {pnxdtt -f Vnydß + pnzdy) ,

d( 1 + eny = 2(qnxdce -+- qnydß -f- qnzdy).

Beim Ansatz der letzten Gleichung war zu beachten, dass cP -f- ß² -j- y2 — 1 ist.

Man gehe nun von der Richtung n aus auf eine beliebige zu n senkrechte s hin um den Winkel dö vor (womit alle von n um unendlich wenig abweichenden Richtungen erreicht werden können), dann folgen wie in § 19

(7) da = dö cos (sæ) , dß = dö cos (sy) , dy = dö cos (sz) .

Durch Substitution dieser Ausdrücke in (4)—(6) erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (4) der §§ 23—25

dnn _ da —dns,

und weil allgemein dp — 2fdf dnp da

(8)

dry

da —²Pn°>

dP + eny

da

— 2 qn$)

de,

drn

₌    %,s m

da 1 -f en

Da für die Transversalverschiebung qns die Gleichung tn — rp— nn besteht, so folgen mit (2), (9):

dtp

~dg = ²\Pnl> nngns') ,

wie auch aus (1 -f- en)² = (1 -f- nn)² -f- tP entnommen werden konnte. Zu beachten ist, dass in (8) — (10) die n, s zwei zu einander senkrechte Richtungen bedeuten.

Aus den Gleichungen (8), (9) lassen sich u. a. folgende Schlüsse ziehen. Für diejenigen Richtungen n, welchen Maxima oder Minima von nn,rn,en d. h. Hauptverschiebungen bezw. Grenzverschiebungen und Hauptdehnungen entsprechen, sind die gns bezw. p,ls und qns hinsichtlich jeder zu n senkrechten Richtung s gleich Null. Wenn

(9)

(10)

— 2nngns,

Pus

da

rn

dtn

da

Pns    ^ns

bei einem Punkte m alle gns bezw. pns, qns beliebiger zu einander senkrechter n, s verschwinden, dann sind daselbst alle Normalver-schiebungen bezw. Totalverschiebungen oder Dehnungen von gleichem Werthe. Geht man von einer beliebigen Richtung n aus auf irgend eine dazu senkrechte Richtung s hin um den kleinen Winkel dö vor, so ändern sich nn, rw², (1 -j- en)² um so mehr, je grösser die Zahlen-werthe bezw. von gns, pns, qns sind. Es bleiben nn,rnj en constant nach Richtungen s hin, für welche bezw. gns, pns, qns gleich Null sind, also beispielsweise nach solchen s, welchen bezw. eine Hauptverschiebung, Grenzverschiebung oder Hauptdehnung entspricht. Der erste Satz hat sich für beliebig gerichtete s schon früher ergeben und auch das zweite Resultat wurde bereits auf anderem Wege gefunden. Gleichung (10) zeigt, dass für Maxima und Minima der Transversalverschiebungen pns — nn gns ist.

man

Nach §§ 23—25, (3) hat

O 9nij

d9nx

CH)

= 2x

= 2yy,

d9nz

dy

= 2*,,

(12)

8p

ny

ÖPnz

dß

dy

= rz²,

(13)

d%x

- C.r(2 —j⁻ C.r);

d9ny

dß

— ei/(2 + e>/)>

d%z

dy

= Gz (2 -f- e~) •

Durch Addition der drei ersten, drei folgenden und drei letzten Gleichungen entstehen mit Rücksicht auf (1)—(3)

d²nn

(14)

2(xx -f- y,, -f- ßg) =

cz>

d*nn

dß*

ay²

— 2co,

(15)

2 (rj -f r² + r²) =

d a²

d-ß*

(16)

2[(1 + ex)² -f- (1 + eyy + (1 + e*)²]

_ i(l + O² K¹ ± enf , 2(1 + eM)²

a«²

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind nach §§ 23 — 25 unabhängig von den Richtungen der rechtwinkligen Coordinatenaxen und daher sind auch die rechten Seiten für beliebige Richtungen n von gleichem Werth. Weitere Beziehungen lassen sich aus den Formeln am Schlüsse der §§ 23—25 ableiten.

Alle hier erhaltenen Gleichungen gelten natürlich auf für die Verschiebungen in einem Zeitelement und damit entstehen ganz analoge Gleichungen für die Verschiebungsgeschwindigkeiten. Beispielsweise folgen aus (8)—(10) nach § 7:

dy*

-i

(18)

<Un

dxn

'ib — v y

* ns    n* n

~dY — Vns>

In der ersten Formel (18) ist sn endlieli vorausgesetzt.

da

Xn

§ 30. Potentialbewegung.

(1)

Wir wollen nun den Fall ins Auge fassen, dass dF = %dx -f- ydy -f- t,dz

das vollständige Differential einer Function F von x, y, 0, des Potentials der Verrückungen ist. Dann bestehen nach § 9 und mit den Bezeichnungen § 21, (3) die Gleichungen

Vz ⁼⁼⁼ 2yy

(2)

%y yx ,

%x - Xjz j

für die Normalgleitungen gns — sn -j- ns der Richtungen n s = xy, y 0, 0x hat man

(3)

Qxy 2 Xy

und damit nach § 22, (8) (9) für beliebige Richtungen n, s

y n s    2 sn — 2 vig.

fjz X - 2 0X

(4)

sn — 'yis ,

Die Beziehung sn — ns oder deren specielle Fälle (2) sind noth-wendige Bedingung und Folge eines Potentials der Verrückungen.

Bereits in § 20 wurde darauf hingewiesen, dass die Grundgleichungen für die im zweiten Abschnitte untersuchten stetigen Spannungen den Grundgleichungen der im dritten Abschnitte untersuchten stetigen Verschiebungen vollkommen entsprechen (die Gleichungen für Nn, Tn, Rn, Sn, Pns, Grnx, X„, Yn, Zn denen für nn,tn, rn, sn,pns, gns, xn, yn, zn), wenn die in den Formeln auftretenden Richtungen n, s im ersten Falle die augenblicklichen Normalen rieh tungen der Flächenelemente bei m, im zweiten die anfänglichen Richtungen der Punkte daselbst bedeuten. Ein Unterschied in den Gesetzen der

war.

erfüllt ist, gelten für die hierbei eintretenden Verschiebungen der einem Punkte m der anfänglichen Coordinaten x, y, 0 in den anfänglichen Richtungen n benachbart gewesenen Punkte genau dieselben Gesetze, welcher im zweiten Abschnitte für die Spannungen der

stetigen Spannungen des zweiten Abschnittes und der stetigen Verschiebungen des dritten Abschnittes musste indessen dadurch entstehen, dass den aus § 12 entnommenen Beziehungen Xy = Yx, Yz = Zy, Zx = Xz im Allgemeinen nicht analoge Gleichungen xy — yx, yz = 0y, 0X = x₃ entsprechen, dass nicht wie Sn = Ns auch sn — ns Nachdem jedoch für Potentialverrückungen diese Bedingung

einem Punkte m der augenblicklichen Coordinaten x, y, z in den augenblicklichen Normalenrichtungen n anliegenden Flächenelemente erhalten wurden. Man hat einfach dort Verschiebungen, Hauptverschiebungen, Verschiebungsellipsoid u. s. w. an Stelle von Spannungen, Hauptspannungen, Spannungsellipsoid u. s. w. zu setzen und, wenn man will, anstatt der grossen lateinischen Buchstaben als Hauptbezeichnungen die entsprechenden kleinen zu wählen, ohne die Indices zu ändern.

So sind beispielsweise jetzt die Grenzverschiebungen gleich den Absolutwerthen der Hauptverschiebungen. Zu letzteren gehören keine Transversalverschiebungen, womit auch deren Componenten, die Drehungen der Hauptverschiebungsrichtungen, verschwinden. Die sechs Richtungen, welchen Maxima der Transversalverschiebungen entsprechen, liegen in den Ebenen je zweier Hauptverschiebungen oder Grenzverschiebungen und schliessen mit denselben Winkel von 45° ein. Es existirt eine Fläche um m als Mittelpunkt von gleichem Gesetze wie das der Stellungsfläche und solcher Art, dass die Normale in jedem Punkte, welche von einer in m angetragenen Verschiebungsrichtung r getroffen wird,' parallel der zur entsprechenden Totalverschiebung rn gehörigen Richtung n ist. Diese Fläche mag Richtungsfläche heissen. Da allgemein

(1 -f-    — 1 H⁻ -f- r²,    (1 -j- e^dCn — dnn -f- rndrn,

und hierin nun dnn, drn gleichzeitig Null werden, so ist in denselben drei Fällen den — 0; die Hauptdehnungen, Grenzverschiebungen und Hauptverschiebungen treten für die gleichen Richtungen n ein und da dann für diese wegen tn = 0 folgt

(1 -f- ew)² = 1 -J- 2nn -f- n ² — (1 -f- wra)², so sind die Hauptdehnungen gleich den Hauptverschiebungen. Denkt man sich die Coordinatenaxen parallel den Richtungen der Hauptverschiebungen gewählt, dann behalten die anfänglich in den Richtungen x, y, z liegenden Kanten eines Körperelements bei m während der Verrückungen ihre Richtungen bei, das Körperelement hat neben Längenänderungen seiner Kanten hinsichtlich unseres Coordinaten-systems nur eine Translationsbewegung ausgeführt, Körperpunkte, welche anfangs auf Parallelflächen zu Coordinatenebenen lagen, sind auch auf solchen Parallelflächen geblieben (§ 21).

Da nach § 9

(5)

dF

dF

dF

^ dy ’

so folgt noch die von den Richtungen der Coordinatenaxen unabhängige Grösse

dx ’

§ 31. Potentiale der Verschiebungen und Verschiebungsgeschwindigkeiten.

Wir bezeichnen für jede von einem Punkte m(x, y, z) ausgehende Richtung n die cos ([nx), cos (ny), cos (nz) durch a, ß, y. Ist dann bei m der Ausdruck

(i)

d!F,d^F d^F_ 2 dx* ^ dy* ^    »

A²jF ist eine symbolische Bezeichnung für die Summe der angesetzten Derivirten einer Funktion F von x,y,z, welche wir in der Folge mehrfach anwenden werden.

(6)

eo — xx yy zz =

Alle bisherigen Schlüsse gelten natürlich auch, wenn es sich speciell um die Bewegung in einem Zeitelement dt handelt, in welchem Falle

£, = udt,

7] = v dt,

£ = wdt

werden. Ein Potential der Verrückungen F — fdt hat dann nach (1) auch ein Potential der Geschwindigkeiten f zur Folge und umgekehrt. Existirt ein Potential der Geschwindigkeiten, dann entstehen aus obigen Gleichungen oder entsprechend § 9 direct aus df = udx -}- v dy -f- wdz

(?)

die Beziehungen

(8)

Uy Vx ,

Vz=Wy,

es ergeben sich die Normalgleitungsgeschwindigkeiten

wx — uz |

(9)

Yyz - 2 Vz

Yxy

und für beliebige Richtungen n, s hat man

Yns    2 o n — 2 vs,

unter 6n, vn die Componenten der Totalverschiebungsgeschwindigkeiten gn, für die Richtungen s, n verstanden. Da nun

yzx = 2 w

(10)

Gn - Vs ,

(11)

df

df

df

U dx ’

so folgt die Dilatationsgeschwindigkeit bei m(x, y, z')

d*f , <Pf , d*f ' dy* dz*

Es ist überflüssig, die sich von selbst darbietenden Schlüsse noch weiter anzuführen.

v = -ö—

dy

a = ii’

(12)

Q —    -f- Vy “f- Wz —

dx*

2(xndcc -f- yndß -(- zndy) das vollständige Differential einer Function von a, ß, y, dann soll diese Function ein Potential der Verschiebungen daselbst heissen. Die hierdurch bedingten Beziehungen für Verschiebungen, welchen ein Potential zukommt, lassen sich analog ableiten wie in § 9 die

Gleichungen für Potentialspannungen. Wir erhalten als Bedingungen für ein Yerschiebungspotential

(2)

dxn

dVn

dVn

dß da ’

dy

a*

dZn    dxn

da    dy ’

das heisst auch

(3)

zx —    .

y* = %,

Diese Bedingungen sind für die in § 30 betrachteten Verschiebungen erfüllt, daher: Existirt bei einem Punkte m ein Potential der Verrückungen, dann existirt daselbst auch ein Potential der Verschiebungen, und umgekehrt. Wenn hiermit die beiden Potentiale keineswegs identisch werden, so gelten doch die folgenden Beziehungen lediglich für Potentialbewegungen, wenigstens unter Voraussetzung von Verschiebungen der durch § 21, (2) bedingten Art.

(4)

Wie die Normalspannung bei m als Spannungspotential daselbst angesehen werden durfte, so kann die Normalverschiebung bei m als Verschiebungspotential gelten, womit für Potentialverschiebungen dnn = 2(xnda -f- yndß + zndy).

Diese Bedeutung des Verschiebungspotentials ergibt sich sowohl wie in § 19, weil im Falle von (3)

(5)

dnn

dnn

dnn

9nz

sind, als auch aus § 29, (4) mit Rücksicht auf die Beziehungen (5). Gleichung (4) gibt an, um wieviel sich die Normalverschiebung ändert, wenn wir von einem Punkte der Richtungscosinus a, ß, y zu einem benachbarten der Richtungscosinus a -(- da, ß -f- dß, y -J- dy übergehen. Weiter hat man nach § 19, (11) oder § 29, (8), wenn von irgend einer Richtung n aus nach einer beliebigen zu n senkrechten Richtung s hin um den kleinen Winkel da vorgegangen wird (womit sich alle n unendlich benachbarten Richtungen erreichen lassen),

dy

dnn

—j^- = 2sn — 2rn cos (rs) — 2tn cos (ts),

unter r, t die Richtungen der Totalverschiebung rn und Transversalverschiebung tn der Richtung n verstanden.

Man denke sich um m eine Kugelfläche von unendlich kleinem Radius dn gelegt und nehme ein Coordinatensystem vom Ursprünge m an, dessen Axenrichtungen g, b; S mit den Richtungen x, y, 8 übereinstimmen. Sind dann £, b, l die Coordinaten eines beliebigen von m aus in der Richtung n gelegenen Kugelpunktes, so ist für die Punkte unserer Kugelfläche der Ausdruck 2{xndi + yndi) + zndi)

(6)

(?)

das vollständige Differential einer Function von £, t), r, falls wir es mit einer Potentialbewegung zu tliun haben. Obige Gleichungen (3) sind die Bedingungen für eine solche und da entsprechend § 19

_ dnn ₇

Vn gß dn,

dnndn = 2{ccnd^ + yndl) -f- zndf), so ist nndn die fragliche Function von £, t), S und gleich dn-mal dem Potential der Verschiebungen, während dieses gleich dem Integral von (7) für den Kugelradius dn = 1 wird. Gehen wir auf der Kugel vom Punkte n(p, tj, f) aus zu dem in der Richtung s um ds entfernten Punkte über, so ist die Aenderung von nn durch (9) bestimmt und nach (6) mit dö = ds : dn

dnn    •

dn = 2sn — 2ns.

Auf Grund von Gleichung (6) lässt sich aussprechen: Geht man von irgend einer Richtung n aus nach einer beliebigen zu n senkrechten Richtung s hin um den kleinen Winkel da vor (oder auch, geht man auf einer um m gelegten unendlich kleinen Kugelfläche von dem hinsichtlich m in der Richtung n gelegenen Punkte zu einem von n aus in der Richtung s um ds entfernten Punkte über), dann ändert sich die Normalverschiebung um so mehr, je grösser die Com-ponente der Transversalverschiebung tn in der Richtung s ist. Die Normalverschiebung wächst (in positivem Sinne) am stärksten in der Richtung s — t der residtirenden Transversalverschiebung, sie nimmt am stärksten ab (in negativem Sinne zu) in der t entgegengesetzten Richtung und sie bleibt constant beim Vorgehen in jeder der zwei Richtungen senkrecht zu t. Nach keiner Richtung s wächst die Normalverschiebung, wenn tn — 0 ist, in welchem Falle für die Richtung n eine Hauptverschiebung eintritt (§ 23). Existiren bei m überhaupt keine Transversalverschiebungen, Kdann sind alle Normalverschiebungen von gleichem Werthe, und umgekehrt verschwinden im Falle gleicher Normalverschiebungen sämmtliche Transversalverschiebungen.

Werden die jetzt abgeleiteten Gleichungen speciell auf die Potentialbewegung in einem Zeitelement dt bezogen, so entstehen durch Division mit dt analoge Beziehungen für die Verschiebungsgeschwindigkeiten. Dieselben Beziehungen ergeben sich, wenn man als Potential der Verschiebungsgeschwindigkeiten eine Function von a, ß, y definirt, deren vollständiges Differential 2(tinda + vndß -J- wndy) ist. Es folgen die Potentialbedingungen

Vz = Wy,

(8)

(9)

(10)

(H)

(12)

dnn

xn    dn,

Hy —- Vx J

Zn =

dnn

dy

dn

Wx - Hz y

das Potential wird die Normalverscliiebungsgescliwindigkeit vn, für welche dann

(13)

dvn = 2 (un da + vn dß -j- w*. dy),

(14)

dvn

-yjj = 2ön — 2qh cos (rs) = 2xn cos (ts).

Gehen wir auf der oben erwähnten kleinen Kugelfläche um m (x, y, z) vom Punkte n (j, ty, §) aus in der Richtung s um ds weiter, dann folgen

(15)

(16)

dvn dn = 2(xn d% + yn di) + z„ d£), dvn

dn — 26n — 2vs.

Das Potential der Verschiebungsgeschwindigkeiten ist das Integral von (13) für den Kugelradius dn — 1. Den oben nach Gleichung (10) gegebenen Satz kann man jetzt auch auf die Verschiebungsgeschwindigkeiten übertragen.

§ 32. Ueber kleine Verschiebungen.

ver-

Es mögen nun heim Punkte m (x, y, z) alle Dehnungen en gegen 1 verschwindend klein sein, womit auch ew² gegen en schwindet. Dann folgen aus § 25, (1), (2) die Dehnung einer beliebigen Richtung n und die Schiebung zweier beliebiger Richtungen n, s

en = ex cos² ((nx) -f- ey cos² (ny) -(- ez cos² (nz)

(1)

+ qxy cos (nx) cos (ny) -f- qyz cos (ny) cos (nz) + qzx cos (nz) cos (nx),

¹

= dv dt

Damit können alle im laufenden Abschnitte abgeleiteten Verschiebungen und Verschiebungsfunctionen durch die Differentiale der Coordinatengescliwindigkeiten des Punktes m(x, y, z) ausgedrückt werden. Dividirt man beliebige Verschiebungen durch dt, so ergeben sich die entsprechenden Verschiebungsgeschwindigkeiten. Wir können auch allgemein von VerscJiiebungsgeschivindigkeiten, Drehungs-gcschwindiglceiten und Dehnungsgeschwindigheit der Richtung n, von Schiebungsgeschwindigkeit und Gleitungsgeschwindigkeitcn der Richtungen

qns = 2ex cos (nx) cos (sx)

+ 2ey cos (ny) cos (sy) 2ez cos (nz) cos (sz)

(2)

+ Q.xy    [cos    (nx) cos    (sy) -f- cos (ny)    cos    (sæ)]

+ (hjz    [cos    (ny) cos    (sz) -J- cos (nz)    cos    (s«/)J

+ dzx    [cos    (nz) cos    (sx) + cos (nx)    cos    (sä)]    .

Für die Dilatation bei m fanden wir in § 27

% — (1 + e±) (1 -f- e₂) (1 + e₃) — 1,

worin ex, e₂, e₃ die Hauptdehnungen bei m bedeuten. Bei der jetzt zulässigen Vernachlässigung von Producten der e wird daraus in Verbindung mit § 25, (16)

(3)

k — et -j- e₂ -f- e₃ = ex -f- ey -f- ez.

Die Summe der Dehnungen für je drei zu einander senkrechte Rieh-tungen hat einen festen Werth. Nach § 6, (2) können wir ÿn vorliegenden Falle ausdrücken

(4)

qns — cos (wjSj) — cos (ns).

Weil aber für Coordinatenaxen parallel den zu den Hauptdehnungen gehörigen Richtungen n die Glieder mit qxy, qyZf qzx in (2) wegfallen, so sind für gegen 1 verschwindende en auch die Schiebungen qns gegen 1 verschwindend klein. Setzen wir

(5)

0 = (sw) — (slWl),

dann folgt,der Kleinheit von 0 wegen

cos (s₁n₁) = cos (sn) cos 0 -f- sin (sw) sin 0 = cos (ns) -{- 0 sin (sn) und damit

(6)

qns = 0 sin (sn).

Die Schiebung zweier anfänglich rechtwinkliger Richtungen n, s (Fig. 11) ist also gleich der Aenderung 0 des eingeschlossenen

ojr..

rs

Fig. 11.

Winkels oder gleich dem Winkel, n welchen nach den Verschiebungen n, eine der neuen Richtungen nx, s, mit dem Perpendikel auf die andere einschliesst. Dabei ist qns — 0 positiv oder negativ, je nachdem der neue Winkel (wjSj kleiner oder grösser als ein rechter ist. Die zwei einander senkrechten Richtungen n, s entsprechende Schiebung giebt bis auf verschwindende Grössen genau an, um wieviel sich zwei unendlich benachbarte Flächenelemente bei m, deren Normalenrichtungen mit der Richtungslinie von n (oder s) zusammenfiel, in der aus s (oder n) entstandenen Richtung per Einheit ihrer ursprünglichen Entfernung längs einander verschoben haben.

In §§ 5, 6 ergaben sich die Beziehungen

(1 -f" ßn)² = (1 F W„)² -j- tn = 1 -{-    -f- Tn

Qfls    qns —f" Pns mit Pns    X!nXs ~f“ UnDs ”f" %n%S'

Wird nun vorausgesetzt, dass nicht nur wie oben die en gegen 1 und e² gegen en verschwinden, sondern dass auch tn², r ² gegen nn zu vernachlässigen sind, dann liefert die erste Gleichung en = nn. Wenn dies aber bei m allgemein gilt, also z. B. ex = xx, ey — yv, ez = 8e gesetzt werden kann, dann verlangt die Uebereinstimmung von (1) mit § 23, (1), dass auch qxy *= gxy} qyz = gyz, qzx=gzx seien, womit nach (2) und § 23, (2) allgemein qns = gns, die

Schiebung gleich der Normalgleitung, wird. Nimmt man umgekehrt p>is gegen gns so klein an, dass bei m allgemein qns = gns gerechnet werden darf, so verlangt die Uebereinstimmung von mit §23, (2), dass neben qxy = gxy, qyz=gyz, qzx=gzx auch ex = %x, ey — yy, ez = ez werde, womit Gleichung (1) nach § 23, (1) auf en — nn führt. Dies Resultat folgt auch direct daraus, dass für s — n, qns = 2nn wird (§ 22). Die Annahmen en = nn und qns — Ons bedingen also einander und setzen voraus, dass die Grössen Yn, tn gegen die nn zu vernachlässigen sind. Da für en = 0, Tn — — 2nn und für nn — 0, (1 -f- e„)² = 1 -f-tn² werden, so trifft dies nicht immer zu. Wenn jedoch angenommen wird, dass bei m alle Totalverschiebungen rn gegen 1 verschwinden und dass ew, qns, nn) g ns von niedrigerer Grössenordnung als rn unberücksichtigt bleiben sollen, dann sind die Fälle, in welcher rnA nicht gegen n„ verschwindet, von der Untersuchung ausgeschlossen und wir haben allgemein

(2)

(7)

dns - 0ns •

on — wre,

Die Dehnung ist gleich der Normalverschiebung und die Schiebung gleich der Normalgleitung. Die in den gebräuchlichen Lehrbüchern der Elasticitätstheorie aufgestellten Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen gelten nur für diesen Fall. Auf ein wirkliches Durchdringen der Verschiebungsgesetze hat man damit von vornherein verzichtet. nn, gns sind aus § 23 zu entnehmen. Für die Dilatation bei m folgt unter Voraussetzung von (7)

(8)

% — a = xx yy 8z — a c,

worin a, b, c die Hauptverschiebungen bedeuten. Die Berechtigung zu der Annahme, auf welchen die Gleichungen (7), (8) beruhen, hängt von Bedingungen und Zweck der Untersuchung, Wahl des Coordinatensystems und sonstigen Umständen ab, doch werden wir die Hauptverschiebungssumme co in der Folge als Dilatation bezeichnen.

IV. Abschnitt.

Zweite Auffassung der Spannungs- und Bewegungsgesetze.

Bei Aufstellung der Spannungsgesetze in den Abschnitten I, II haben wir die Spannungen in üblicher Weise als Functionen des (durch Coordinaten und Normalenrichtungen bestimmten) augenblicklichen Ortes ihrer Flächenelemente dargestellt. Die Verschiebungen dagegen pflegt man als Functionen des anfänglichen Ortes der betreffenden Punkte aufzufässen. Will man nun von irgend Avelchen Verschiebungen, auf die durch sie bedingten Spannungen schliessen, so macht sich der Umstand, dass beide Arten von Grössen als Functionen verschiedener Variabein ausgedrückt sind, in wenig erwünschter Weise geltend. Man hat die hieraus entspringende Schwierigkeit dadurch zu umgehen gesucht, dass man alle Veränderungen klein genug annahm, um ganz allgemein die anfänglichen Coordinaten und Normalenrichtungen der Flächenelemente für die schliesslichen setzen zu können. Dies ist zulässig, wenn es sich um unendlich kleine Verrückungen, etwa um die Bewegung in einem Zeitelement handelt, wie bei den hydrodynamischen Grundgleichungen; es giebt jedoch Fälle, in welchen sich die Tragweite der Annahme nicht ohne Weiteres übersehen lässt. Aus diesem Grunde wohl hat Kirchhoff die Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen fester Körper ebenfalls auf den Fall beschränkt, dass alle Punkte derselben nur unendlich kleine Verrückungen erhalten (Vorles. üb. math. Physik. Mechanik, 1877, S. 121 u. 389), aus Lagen, für welche die sämmtlichen Spannungen gleich Null sind. Dann können aber auch nur unendlich kleine Spannungen entstehen und man hat eigentlich kein Recht, die betreffenden Gleichungen auf endliche Spannungen anzuwenden. Ein klarer Einblick in das Verhältniss zwischen Spannungsgesetzen und Verschiebungsgesetzen wird auf keinem der beiden Wege erreicht.

Nachdem in §§ 4—6 und Abschnitt III die Verschiebungsgesetze für Verrückungen von beliebiger Grösse aufgestellt wurden, soll im Folgenden gezeigt werden, dass man die Spannungsgesetze

in gleicher Allgemeinheit darstellen kann. Im Zusammenhänge damit steht eine zweite Auffassung der Bewegungsgleichungen. Wir setzen voraus, dass, abgesehen von beliebig vielen UnstetigTceitsschnitten, die Punlcte, welche vor den Verschiebungen ein Flächenelement bei m bildeten, auch nach den Verschiebungen auf einem solchen liegen und also Punkte, welche anfangs zu einem Massenelement vereinigt waren, auch schliesslich ein solches ausmachen, wie es sich für die im vorigen Abschnitte betrachteten Verrückungen und Verschiebungen ergeben hat (§ 21).

§ 33. Modification des Spannungsbegriffs.

Es sei ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem gewählt. Zu Anfang unserer Betrachtung lag der Punkt m bei x, y, z und von ihm aus in der Normalenrichtung n ein beliebiges Flächenelement der Grösse fn. Infolge irgend welcher Bewegung der im Eingang erwähnten Art geräth der Punkt m nach x -j- |, y rj,

.7V

Xj±

's

Vs

K/

Fig. 12.

z -{- £, während das Flächenelement seine Grösse und Normalenrichtung ändert. Die Verrückungen £, rj, £ wie die Aenderungen von fn und n können beliebig gross sein (Fig. 12, 13).

Wie wir nun als Verschiebungen eines Punktes n bei m die relativen Wege pro Längeneinheit der ursprünglichen Entfernung beider Punkte bezeichneten, so wollen wir in diesem Abschnitte unter Spannungen eines Flächenelements fn bei m die Kräfte pro Quadrateinheit des ursprünglichen Flächeninhalts verstehen. Wie ferner bei den Verschiebungen die Hauptbezeichnung der Verschiebungsrichtung und der Index der anfänglichen Richtung des verschobenen Punktes entsprach, so soll auch für die Spannungen die Hauptbezeichnung der Spannungsrichtung und der Index der an-

fänglichen Normalenrichtung des afficirten Flächenelements entsprechen. Die schliesslichen Flächenkräfte auf das Flächenelement der anfänglichen Grösse fn und anfänglichen Normalenrichtung n in den Richtungen x, y, z werden also beispielsweise fnXn, fnYn,

'1

W*

fnZn sein. Hierin sind die Spannungen Xn, Yn, Zn nur dann auch Spannun-gen im früheren Sinne (Kräfte pro Quadratein-heit der augenblicklichen

0(y    ~

Fig. 13.

^ Flächengrösse), wenn die Aenderung von fn gegen diesen Werth selbst verschwindet und nur dann Spannungen auf das frühere Flächenelement (der augenblicklichen Normalenrichtung n), wenn die Aenderung von n ausser Betracht fällt, während wir beliebig grosse Aenderungen von fn, n zulassen.

Es sei r die Richtung der schliesslichen Totalspannung Rn, dann hat man die Componenten von Rn in den Richtungen x, y, 2

(1)    Xn — Rn cos (rx), Yn = Rn cos (ry), Zn = Rn cos (rz) und die Componente von Rn in beliebiger Richtung s

(2)    Sn = Rn cos (rs) = Xn cos (sx) + Yn cos (sy) -f- Zn cos (sz),

also beispielsweise die schliessliche Componente in der anfänglichen Normalenrichtung n des afficirten Flächenelements, die wir hier Normalspannung nennen wollen,

(3)    Nn == Rn cos (rn) = X» cos (nx) -{- Yn cos (ny) -f- Zn cos (nz).

Für Rn und die resultirende Componente Tn senkrecht zur anfänglichen Normalenrichtung, die jetzt Transversalverspannung heissen soll, folgen

(4)    lln² = Xra² -f Yn² + Z,

T² = R² - N² = R² sin² (rn).

Wir fassen wieder Rn, Tn als Absolutwerthe auf, sodass die Componenten von Tn in den Richtungen x, y, z sich ausdrücken:

Tn cos (tx) — Xn — Nn cos (nx),

(Ö)

Tn cos (ty) = Yn — Nn cos (ny),

Tn cos (tz) — Zn — Nn cos (nz), unter t die Richtung von Tn verstanden. Man beachte, dass für das schliessliche Flächenelement im Allgemeinen weder Nn normal wirkt, noch Tn eine Schubkraft ist.

Werden für zwei dem Punkte m anliegende Flächenelemente beliebiger anfänglicher Normalenrichtungen n, s die Richtungen r der Totalspannungen Bn, Bs durch tt, § bezeichnet und Pns = XnXs + YnYa + ZnZs gesetzt, dann folgt mit Rücksicht auf (1)

(6)

(?)

Pns = BnBs COS (tt§).

Findet sich beispielsweise Pns — 0, dann wirken Bn, Bs senkrecht zu einander. Die Summe der Projectionen oder resultirenden Com-ponenten von Bn in der Richtung s und von Bs in der Richtung n ist

(8)

Gns = Sn + Xs = Bn cos (ns) + Bs cos (%n)

(9)

Gnn = 2 Nn.

und aus (6)—(8) entstehen mit s — n V = 7?

nn

Wie in § 3, so lassen sich auch hier aus Xn, Yn, Zn alle weiteren Spannungs Verhältnisse berechnen.

In allen bekannten Elasticitätsuntersuchungen wurde angenommen, dass man bei Beurtheilung der Spannungen auf beliebige Flächenelemente bei einem Punkte m die anfänglichen und schliess-lichen fn, n für einander setzen darf. Für solche Fälle können mit demselben Rechte in den obigen und weiter folgenden Gleichungen dieses Abschnitts die Spannungen als Kräfte pro scliliesslicher Quadrateinheit und die Indices n als schliessliche Normalenrichtungen der afficirten Flächenelemente angesehen werden, womit auch Nn, Tn zur Normalspannung und Schubspannung im früheren Sinne werden. In keinem Falle aber empfiehlt es sich, die erwähnte Annahme schon während der Ableitungen der Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen zu machen, da die Spannungen ganz oder theilweise gerade durch die Aenderungen der Gruppirung bei m bedingt sind. Bei technischen Problemen speciell pflegen überhaupt nur die Beanspruchungen pro Quadrateinheit der anfänglichen Flächenelemente zu interes sir en.

§ 34. Bewegung beliebiger Körper.

Es handle sich zur Zeit t um die augenblicklichen Bewegungsverhältnisse der Körperpunkte hinsichtlich eines beliebig bewegten Coordinatensystems. Wir gehen aus von den Lagen der Körperpunkte zur Zeit t₀, auf welche wir im Sinne des vorigen § auch die Flächenkräfte beziehen. • Ein Punkt m der Masse m, welcher zur Zeit t₀ bei x, y} s lag, habe augenblicklich die Coordinaten x -j- I, fZ + 'JJ, £ + sowie in den Richtungen x, ij, z die Ge-

scliwindigkeiten u, v, w, während 3t, f), 3 die auf Bewegung in diesen Richtungen hinwirkenden Kräfte bedeuten. Dann sind zur Zeit t

(i)

— dt’ v~

0(y + rç)_d’n ____3(« + ö

dt    dt>    dt ~ dt’

mW

= 3f,

cn

mW ⁼ ®’

d²£ o m dt²

Wir denken uns nun zur Zeit t einen beliebigen Theil des Körpers abgegrenzt und betrachten diesen als System für sich. Für jeden Punkt des Systems gelten die vorstehenden Gleichungen. Werden jedoch entsprechende Gleichungen aller Systempunkte addirt, so fallen rechts die innern Kräfte wegen doppelten Auftretens mit entgegengesetzten Vorzeichen aus und es genügt, die äusseren Kräfte in die Summen aufzunehmen.

Die äusseren Kräfte sind theils Massenkräfte, theils Oberflächenkräfte. Werden zur Zeit t für die Richtungen x, y, z die speci-fischen Massenkräfte eines Punktes m durch X, Y, Z und die Flächenkräfte des Oberflächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n und anfänglichen Grösse fn = dO bestimmungsgemäss durch XndO, YndO, ZndO bezeichnet, dann hat man für unseren Körpertheil

d²i

(2)

d²£

XmX+ f XmY+j XmZ + /

XndO,

YndO,

ZndO.

Die Integrale sind auf alle Oberflächenelemente und die Summen X auf alle Systempunkte zu erstrecken, wobei man den auf die Punkte mx, m₂, • • bezüglichen Verrückungen und Massenkräften die Indices 1, 2, • • gegeben denken kann.

Betrachten wir jetzt ein zur Zeit t₀ von m (x} y, z) aus abgegrenztes Massenelement, dessen Kanten damals von den Längen dx, dy, dz und den Coordinatenaxen parallel waren. Dieses Element vom Anfangsvolumen dK — dx dy dz möge Massenpunkte der Gesammtmasse 'ydK enthalten, sodass y die anfängliche spccifische Masse bedeutet, während sich die Gesammtmasse mit der Zeit nicht ändert. Die Wege des Massenmittelpunktes unseres Elements in den Richtungen x, y, z seien für das Zeitintervall von t₀ bis t durch £, rj, £ bezeichnet, womit dessen Geschwindigkeiten zur Zeit t wie in (1) ausgedrückt sind. Man hat dann nach der Lehre vom Schwer-

punkt zur Zeit t, wenn X, Y, Z die mittleren specifischen Massenkräfte in den Richtungen x, y, 8 bedeuten:

•Z,

(3) ^mX=ydK-X, ^mY=ydK-Y, ^mZ = ydK

m dt²    »

(4)

m dt² PdKdt* ’

V    ₇₇^²£

Enthält nun der Körpertheil, für welchen die Gleichungen (2) aufgestellt wurden, beliebig viele und z. B. auch unendlich viele der betrachteten zur Zeit t₀ abgegrenzten Massenelemente, dann folgen

aus

(2) mit (3), (4)

dt²

^ ydK = j*

XndO,

(5)

I fr

dt²

Y) ydK =J*YndO,

/(

d²£

dt²

) udK =j.

ZndO.

Diese Gleichungen gelten ebensowohl für endliche Körper und Körpertheile, wie für einzelne Körperelemente. Die Integrale links und rechts sind bezw. auf alle anfänglichen Körpere]emente dK und alle anfänglichen Oberflächenelemente dO zu erstrecken.

Aus der zweiten Gleichungsreihe oben folgen ganz wie in § 10

we) ⁼ s>y-

Öj *IV \    -y    r\

st x)= *s ~ y) = 9* - 3Ey.

/ dw

\dt y /du

\dtZ

/ dv \dtX

du

dt

Die in § 10 erwähnte Bedeutung dieser Gleichungen trifft jetzt nicht mehr zu und damit schwinden auch die dort gezogenen Conse-quenzen derselben. Das im letzten Absätze des § 10 Gesagte gilt jedoch auch hier.

§ 35. Bewegung von Körperelementen.

Wir denken uns zur Zeit t₀ vom Punkte m (x, y, 8) aus ein parallelepipedisches Körpertheil eben dK — dx dy ds abgegrenzt, dessen Kanten in den Richtungen der Coordinatenaxen liegen. Dasselbe ist zu einer beliebigen späteren Zeit t an irgend einen andern Ort

æ -f- |, y V, # -f- £ gelangt und aus den sechs rechteckigen Seitenflächen sind ebenso viel Flächenelemente von andern Formen, Grössen und Normalenrichtungen geworden. Die zur Zeit t auf die Oberfläche des Massenelements wirkenden Kräfte bezeichnen wir gemäss § 33 und wenden die Gleichungen (5) des vorigen § auf dasselbe an. So entstehen:

d*è,

dt²

d²rj

dt²

a²£

a*²

und wegen

A' ) udl< = ( X, +

+ (x» +

/ SX

+ (x + r) päK=(r« +

+ (*» +

+ (n +

z) päK = (z, +

+ (z,J -f-

+ {z* ~h

dK = fx dx = fjdy — fz dz

dx    fx

dy    fy

l^Ld2-Xz)fz,

dx    fx

dy — ry) fy

~ dZ —

dx

dXv

dy

dz

d*x

dx

ëYy

dy

a#

dy

dz

dx —

dy

dz —

r,)/;

f,

Z,)f,

nach Réduction

(i)

a²rj

a«²

SX SX,

+ W +

dx

= ^ + dx ^

dz ’

+ Ss ’

dy

Aae²    dx +

dz,

M..

dy dz

n war.

Schreiben wir ferner die Gleichungen § 34, (5) für ein Massenelement an, welches zur Zeit t₀ die Form eines Tetraeders mit von m (x, y, z) ausgehenden Kanten dx, dy, dz in den Richtungen x, y, z hatte, während die vierte Seitenebene fn von der Normalenrichtung Es ergeben sich:

3 dK = fxdx = fy dy — fz dz, fn = fx cos (nx) = fy cos (ny) = fz cos (’nz).

Setzen wir voraus, dass die mit dK multiplicirten Ausdrücke den Spannungen Xn, Yn, Zn gegenüber nicht unendlich gross sind, so folgen :

Xn = Xx cos (nx)    -f-    Xy cos (ny)    -{-    Xs    cos (nz),

(2)

dH

::j (idK = x,f, - x,f, — x,/, — x,f„

r) (idK = Y,f, - Yxfx - Yyfy — Y,f„ (”|tl — Zj fldK = Znfn — Z,(, — Zyfy — Z-J, .

dt²

(■

d²v

dt²

Hierin sind

Yn = Yx cos (nx)    +    Yy cos (ny)    -{-    Yz    cos (nz),

Zn — Zx cos (nx)    -j-    Zy cos (ny)    +    Zz    cos (nz).

Ganz wie in § 11 lässt sich    zeigen, dass diese    Gleichungen für be

liebige anfängliche Normalenrichtungen n gelten, und wie dort brauchen die rechts auftretenden Kräfte nicht für alle n die gleichen Werthe zu haben.

Tn (1) sind Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in den Richtungen x, y, z zur Zeit t

(3)

M ~ dt’

ërj

dt

lv ~ dt’

dt’ dv _d²rj

dt ~ W>

Denkt man sich für die Beschleunigungen hier wie in § 11 allgemeine Bezeichnungen px, pyj pz eingeführt, so stimmen die Formen der Gleichungen (1), (2) in beiden Paragraphen genau überein. Doch besteht dem Wesen nach ein bedeutender Unterschied. Denn während sich die dortigen Gleichungen auf Körperelemente beziehen, welche zur Zeit t bei x, y, z liegen und rechtwinklig paralielepipedisch oder tetraedrisch geformt sind, handelt es sich jetzt um Elemente, für welche dies Alles zu irgend einer früheren Zeit £₀ galt, wogegen zur Zeit t die Coordinaten x + £, y -f- rj, z -J- £ (bei beliebig grossen £, rj, £) sind und auch die Formen sich geändert haben. Während dort Xn, Yn, Zn die Componenten der Totalspannung Bn zur Zeit t in den Richtungen x, y, z für ein Flächenelement der augenblicklichen Normalenrichtungen n bedeuten, gilt das Gleiche jetzt für ein Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n, wozu noch dort unter Spannungen die Flächenkräfte pro Quadrateinheit der augenblicklichen Flächengrösse und

(4)

du

d²è

dw

d²£

dt dt² ’

dt dt²

hier pro Quadrateinheit der anfänglichen Flächengrösse verstanden sind. Während in § 11 Xx, Yy, Zz normal ihren Flächenelementen und alle übrigen Kräfte in (1), (2) rechts in den Ebenen ihrer Flächenelemente wirken, ist dies in den obigen Gleichungen (1), (2) im Allgemeinen nicht der Fall. Während schliesslich früher [i die augenblickliche specifische Masse war, ist jetzt p, die anfängliche specifische Masse oder Masse pro anfänglicher Cubikeinheit unseres Massenelements. Wenn wir trotz dieser verschiedenen Bedeutung der erwähnten Grössen die früheren Bezeichnungen beibehalten haben, so geschah es, um das Gemeinsame in den Bewegungs- und Spannungsgesetzen hervortreten zu lassen, weil ferner für verschwindende Grössenänderungen der f, die Xn, Yn, Zn auch Spannungen im bisherigen Sinne werden, weil für t —    — dt gleichlautende

Gleichungen auch gleiche Bedeutung erlangen und weil wir nicht genug Alphabete besitzen.

§ 36. Stetige Spannungen. Potentialspannungen.

In den Gleichungen (1), (2) des vorigen § können die Spannungen rechts ihre Werthe von Punkt zu Punkt sprungweise ändern, es sind wie in den früheren Abschnitten beliebig viele Unstetigkeitsschnitte jeder Form zugelassen. Wir wollen jedoch jetzt den Fall ins Auge fassen, dass sich die betrachteten Malsseirelementre zwischen zwei aufeinander folgenden Unstetigkeitsschnitten öder überhaupt innerhalb eines Körpertheils béfinden, für welchen die Spannungen augenblicklich stetige Functionen des anfänglichen .Orts ihrer Flächenelemente sind. Da alsdann die in § 35, (2) rechts auftretenden Kräfte innerhalb eines unendlich kleinen liaumes bei m nur um verschwindende Grössen von einander abweichen, so gelten diese Gleichungen mit constanten Werthen der rechtsseitigen Kräfte für alle m unendlich benachbarten Flächenelemente beliebiger anfänglicher Normalenrichtungen n. Ein wesentlicher Unterschied gegenüber den früher erhaltenen Gesetzen stetiger Spannungen und allen bekannten Untersuchungen der letzteren besteht jedoch darin, dass jetzt die Grundbeziehungen

X, = Yx,

Yt = Z,

>J7

Zx=Xz

nicht mehr zutreffen. Damit werden trotz übereinstimmender Formen der Gleichungen in § 11 und 35 die Spannungsgesetze des II. Abschnitts hinfällig, sie gelten nur für stetige Spannungen als Functionen des augenblicklichen Orts ihrer Flächenelemente.

Welche Gesetze treten nun aber in Kraft? Vergleichen wir die in § 33 aufgestellten Gleichungen für die Spannungen auf

Flächenelemente beliebiger anfänglicher Normalenrichtungen n mit den Formeln des § 4 für die Verschiebungen der Punkte beliebiger anfänglicher Richtungen n, so zeigt sich, dass dieselben, abgesehen von der Bezeichnung der Spannungen und Verschiebungen durch grosse und kleine lateinische Buchstaben, vollständig übereinstimmen (die Gleichungen für Sn, Nn, Tn, Bn, Pns, Gns mit denen für sn, nn, tn, r-n, Pns, 9ns)- Die Gesetze stetiger Spannungen und Verschiebungen müssen also ebenfalls gleiche Formen erhalten, wenn noch die Spannungscomponenten Xn, Yn, Zn, durch welche alle Spannungsfunctionen für das Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n bestimmt sind, sich analog ausdrücken lassen wie die Verschiebungscomponenten xn, yn, s„, mit welchen wir alle Verschiebungsfunctionen für Punkte der anfänglichen Richtungen n kennen (§§ 3, 4). In § 33 ergaben sich

Xn = Xx cos (nx) -f- Xy cos (ny) -f- Xz cos (ns),

(1)

Yn = Yx cos (nx) -f- Yy cos (ny) -f- Yz cos (ns),

Zn — Zx cos (nx) -j- Zv cos (ny) -f- Zz cos (ns), und in § 21 erhielten wir

(2)

xn — xx cos (nx) -f- xy cos (ny) -j- #/cos (ns), yn = yx COS (nx) + y,j cos (ny) -f- y₂ cos (ns), sn = Zx cos (nx) + Sy cos (ny) -f- sz cos (ns).

In beiden Gleichungssystemen sind die rechtsseitigen Componenten unabhängig von der Richtung n. Hiernach entsprechen bei einem Punkte m, welcher anfangs bei x, y, s lag, nach beliebig grossen Bewegungen der eingangs dieses Abschnitts erwähnten Art stetigen Spannungen auf Flächenelemente der anfänglichen Normalenrichtungen n genau dieselben Gesetse, welche wir im III. Abschnitte für stetige Verschiebungen der anfänglichen Bichtungen n abgeleitet haben. Man hat einfach dort Spannungen, Spannungscomponenten, Spannungs-ellipsoid u. s. w. für Verschiebungen, Verschiebungscomponenten, Verschiebungsellipsoid u. s. w. zu setzen und, wenn man will, an Stelle der kleinen lateinischen Hauptbezeichnungen die entsprechenden grossen zu setzen, ohne die Indices zu ändern. Zu beachten ist jedoch, dass jetzt unter Normalspannungen, Hauptspannungen, Transversalspamiungen im Allgemeinen nicht wie früher normal und längs den augenblicklichen Flächenelementen wirkende Spannungen zu verstehen sind, sondern Kräfte parallel und senkrecht zur anfänglichen Normalenrichtung n. Ein Irrthum ist unmöglich, wenn man sich an die in § 33 festgestellte Bedeutung der Buchstabenbezeichnungen hält.

Für eine beliebige anfängliche Normalenrichtung n seien cos (nx), cos (ny), cos (ns) durch u, ß, y bezeichnet. Ist dann der Ausdruck Xn du -j- Yn dß -J- Zn dy bei m das vollständige Dilferential einer Function von a, ß, y, dann soll diese Function ein Potential der Spannungen daselbst heissen. Die Bedingungen für die Existenz eines Spannungspotentials sind also (§ 9):

dß da ⁷

oder mit Rücksicht auf (1)

(5) X, = Yx,

Sind diese Bedingungen erfüllt, so gelten die aus §§ 30, 31 folgenden Beziehungen, aber auch alle Gesetze des II. Abschnitts mit der Massgabe, dass jetzt n, s und die Indices der Spannungen die anfänglichen Normalenrichtungen (zur Zeit t₀) der betreffenden Flächenelemente bedeuten, während früher die schliesslichen Normalenrichtungen (zur Zeit t) damit gemeint waren. Wir werden solche Spannungen in der Folge Potentialspannungen nennen. Für Potentialspannungen sind die Hauptspannungen A, P, C und Grenzspannungen JR1} Iü₂, B₃ (Maxima und Minima der Totalspannungen Rn) bezw. numerisch gleich und den gleichen Richtungen entsprechend (§§ 15, 31). Für t — t₀ — dt und überhaupt für unendlich kleine Verrückungen dürfen stetige endliche Spannungen immer als Potentialspannungen angesehen werden.

(3)

(4)

dy dß

^=3

da dy

YZ - Zy,

zx = xz.

§ 37. Prineip der Coexistenz elastischer Bewegungen.

Der Körperpunkt m} welcher zur Zeit t₀ bei x, y, s lag, ist zu irgend einer späteren Zeit t nach x -f- §, y -f- g, z -f- £ gelangt. Wir denken uns von m aus zur Zeit t₀ ein parallelepipedisches Massenelement abgegrenzt, dessen Kanten damals in den Richtungen x, y, s lagen, während seine specifische Masse p war. Zur Zeit t bestehen dann nach § 35 die Gleichungen

'    d²'e,

P ~w

(1)

d²rj

dxx xdxy , 0^

dz ⁷

d Yz dz ⁷

dy

dT,

dx

dy

d²£

dz

JL

p — pZ -f-

Bei Erzeugung der fraglichen Bewegung können beliebige Ursachen zusammengewirkt haben.

dx

dy

dz

Steht ein durch gegebene (von den innern Kräften unabhängige) äussere Kräfte ergriffener Körper mit andern Körpern derart in Berührung, dass er der Einwirkung der ersteren nicht frei folgen kann, so bilden die Gegenwirkungen der fremden Körper neue äussere Kräfte des betrachteten Systems, die äusseren Kräfte sind Adivkräfte oder Readionen. Es kann Vorkommen, dass einzelne dieser Reactionen durch die gegebenen äusseren Kräfte nicht mitbestimmt sind, sondern von den inneren Kräften abhängen.

Den beliebigen Ursachencomplexen ü', U", • • mögen einzeln Spannungen entprechen, welche wir, wie alle zugehörigen Grössen, mit den Indices der betreffenden U versehen. Dann hat man nach der ersten Gleichung (1)

= f*X -f-

dx

dy

a²r ^ ~w 0²r

Wirken alle Ursachencomplexe zusammen, so ist die specifische Massenkraft in der Richtung x

X = X' + X" + • . gegebene Oberflächenkräfte des Körpers addiren sich ebenfalls. Wären nun noch die durch die inneren Kräfte bedingten Spannungen und Oberflächenkräfte

Xx = XJ + Xx" H----,

x, = x; + x/' + • • -, xz = x; + xr + • •

so würde durch Addition des zweiten Gleichungssystems mit Rücksicht auf (1) folgen:

_ tpg_ , d²_r dt² dt²    ' dt²

. dg , dg' .    ,

= uo + W + ~W +-"=wo +

% = u₀ (t tQ) -{- | -j- §" -J- • • •

Analoge Schlüsse lassen sich aus den beiden letzten Gleichungen (1) ziehen. Wir können aussprechen: Wenn mehrere Complexe von Ursachen einsein Spannungen erzeugen, welche sich beim Zusammen-wirhen aller Ursachen addiren, dann entsteht die resultirende Bewegung durch Uebereinanderlagerung der anfänglichen und von den einzelnen Complexen erzeugten Bewegungen, es können die Einzelbewegungen als neben einander existirend betrachtet werden. Erzeugt z. B. jeder Ur-

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

dt²

dl

dt

0 (g + r + • •)

dt

sacliencomplex für sich Gleichgewicht, so wird auch beim Zusammenwirken einzelner oder aller Complexe Gleichgewicht bestehen. Dies Princip der Coexistent ist besonders für die Untersuchung elastischer Bewegungen wichtig, es wurde hinsichtlich der Lichtbewegung zuerst von Huyghens erkannt (§ 89).

Wir setzen jetzt die Gültigkeit des Princips der Coexistenz vor-Unter Einwirkung der gegebenen äusseren Kräfte und sonst

aus.

vorhandener Ursachen sei Gleichgewicht möglich, während augenblicklich eine innere Bewegung existirt. Geben wir den Spannungen, welche den fraglichen Gleichgewichtslagen x -f- £', y -f- z -j-entsprechen, den Index ', so folgen aus der ersten Gleichung (1)

a²r

dt²

(2)

d²r{

a²r

dt²

dx; , dx; dx;

= 0 = (iX+-^-+-^ + -5F, dY' dY' dY'

dZ' dZ' dZ'

-o-'Z + sr + TÏ + si-

Sind ferner zur Zeit t die ganzen Verrückungen durch § =

V — rf +    5 = X + und die ganzen Spannungen in analoger

Weise bezeichnet, dann hat man für die Bewegung hinsichtlich der Gleichgewichtslagen

(3)

r= i - r,

(4)

n= v — n> ar ₌₌ g(g-r)

dt    dt

drj' _ d(rj — r/)

r= i - r,

dt

dt

ar    aa-n

. a t

Darf schliesslich angenommen werden, dass die äusseren Massenkräfte und unabhängigen Oberflächenkräfte infolge der Verrückungen £", rf\ £" keine Aenderungen erleiden, so folgen durch Suhtraction entsprechender Gleichungen (2) und (1)

fd²è" a²(ś - r> _dxx" t dxy" t dxz"

dt²    dt²    dx

d²rj" a²(rç — rf)

~W “ dt²

a*r d²a - o az/ a*² a#

Vergleicht man diese Formeln mit (1), so ergieht sich der Satz: Unter Voraussetzung des Princips der Coexistenz folgen die Bewegungen der KörperpunTde um die den gegebenen äusseren Kräften entsprechen-

(5)

dt

dy

dz ’

dYn d7„

dx '

dYf dz > dZy" , dZ"

‘ dz

dy

dy

den Gleichgewichtslagen denselben Gesetzen, wie die Bewegungen, welche die Körperpunkte um ihre anfänglichen Lagen bei Wegfall der erwähnten äusseren Kräfte ausführen würden. Die letzteren können also unberücksichtigt bleiben, wenn die fraglichen Bewegungen allein interessiren (elastische Schwingungen). Vorstehender Satz wurde für feste Körper zuerst von Clebsch ausgesprochen, doch lässt Clebsch anstatt der gegebenen (und von diesen herrührenden) äusseren Kräfte sämmtliche äusseren Kräfte wegfallen, was nicht scharf ist, da äussere Reactionen durch die untersuchten Bewegungen selbst bedingt sein können.

Lassen sich die Spannungen beispielsweise als lineare Functionen einer Anfangsspannung P, einer Temperaturänderung t und der Verrückungen £, r\, £ oder von Differentialquotienten dieser Grössen darstellen, so tritt für die Ursachen P, r, |, rj, £ und Theile derselben das Princip der Coexistenz ein (Abschnitte VI und VII).

Y. Abschnitt.

Arbeit. Lebendige Kraft. Energie.

Wenn es sich, um Ableitungen auf Grund der früher entwickelten Bewegungsgleichungen für Körperelemente handelt, so kann es zunächst freigestellt bleiben, ob diese Gleichungen nach §11 oder § 35 aufgefasst werden sollen, ob x, y, z die Coordinaten eines Körperpunktes m zur Zeit t oder t₀ bedeuten und die Spanungen im Zeitpunkt t Functionen des Orts zur einen oder anderen Zeit sind. Man hat dabei nur für die Beschleunigungen in den Richtungen x, y, z zur Zeit t allgemeine Bezeichnungen px, pyf pz zu wählen und im Uebrigen bezüglich der Bezeichnungen nach den Angaben in §§ 3, 10, 11 und §§ 33, 34, 35 zu verfahren. Dies soll im Folgenden geschehen. Zu beachten ist, dass sich die Bewegungsgleichungen in beiden erwähnten Fällen auf ein selbst beliebig bewegtes Coordinatensystem beziehen, womit das Gleiche für die daraus folgenden Formeln gilt. Obgleich §, r), £ in den vorzunehmenden Ableitungen nicht allgemein dieselbe Bedeutung wie im vorigen Abschnitte haben, schien es uns doch überflüssig, unterscheidende Indices anzuwenden.

§ 38. d’Alembert’s Princip und Princip der virtuellen Verrückungen.

Es sei ydK ein Massenelement, welches zur Zeit t oder t0 von m (x, y, z') aus abgegrenzt wurde und damals parallelepipedische Form mit Kanten in den Richtungen x, y, z hatte. Dann bestehen Zeit t bezw. im Sinne des § 11 oder § 35 die Gleichungen

ir + x¹ +

dx'dy

zur

dx

dZv

dy

= — X)> •

= p(Pu- ' Y)

Multipliciren wir dieselben für jedes Element mit irgend welchen Grössen + %dKf + gdK, -VÇdK, addiren und integriren über den ganzen Körper, so folgt mit den Bezeichnungen

(2)

G = JXpâ + pyl} + P z V)g dK.,

(3)

9=/(Xg + Yrj + ZÇ)pdK,

(4)

/[(

dx

dy

dz

-)«+(£+

.3 «h*

)>î

)*

die Bezeichnung

(5)

G = W + 9Ł

Sind zur Zeit £ die Beschleunigungen aller Körperelemente in Hinsicht unseres Coordinatensy stems gleich Null, dann wird aus (5)

(6)

0 = 3R + 9i.

Versteht man unter + g, + 17, + £ irgend welche beliebig grosse virtuelle Verrückungen der Körperpunkte m (x, y, z) gegenüber deren Lagen zur Zeit t, fasst die g, 77, £ als Functionen des Orts zur Zeit t oder t₀ auf, je nachdem die Gleichungen (1) im Sinne des § 11 oder § 25 gelten sollen, und verfährt bei Unstetigkeiten der Spannungen, Verrückungen und deren Functionen nach Anweisung der §§ 13,21, dann drückt (5) das d'Älembert’sche Princip und (6) das Princip der virtuellen Verrückungen für beliebige Körper Wäre beispielsweise zur Zeit t eine Bewegung der Körperelemente hinsichtlich unsers Coordinatensystems nicht vorhanden, so würde bei Erfüllung von (6) auch Gleichgewicht bestehen bleiben.

Zieht man anstatt der Spannungen deren auf die einzelnen Körperpunkte wirkenden Componenten in Betracht und berücksichtigt in (2), (3) die Gleichungen (3), (4) der §§ 10, 34, so folgt bekannte Form des d’Alembert’schen Princips für ein System dis-creter materieller Punkte (§ 69)

aus.

aus

(5) die

2m \_{Px — X) g + (py — Y)rj + (pz — Z) g] = 0

und hieraus bei verschwindenden Beschleunigungen die entsprechende Form des Princips der virtuellen Verrückungen

Zu beachten ist, dass sich in (2) bis (4) das Volumen dK—dxdydz, wie überhaupt in der Folge Coordinaten, Dimensionen, Normalenrichtungen u. s. w., auf die Zeit t oder t₀ beziehen, je nachdem die Spannungen und Verrückungen als Functionen des Orts zur einen oder anderen Zeit aufgefasst werden.

§ 39. Umformungen.

. Die Gleichungen (5), (6) des vorigen §, welche die Principien von d’Älembert und der virtuellen Verrückungen ausdrücken, lassen sich noch in andere Formen bringen. Führen wir ein

Hèxv + yYv + szy)

(1)

= f[d(-LXx⁺ ®

dx

dy

(2)

f[x* °À + X<

₊ g(pr, + ,r, + gz,)j

dK,

dK

und beachten in (1)

dx *

dx

81

+x*ń’

sowie die analogen Beziehungen, dann folgt nach § 38, (4)

(3)

■Ty

<h

tjny

Fig. 14.

Betrachten wir jetzt einen Körperstreifen vom Querschnitte dy dz, welcher in der Richtung x vom Oberflächenelement dOv der Normalenrichtung v bis zum Ober-r,l0i >JCrv flächenelement dOn der Normalenrichtung n reicht (Fig. 14). Die Integration von dOv bis dOn

ergibt (§ 8)

J    8x

dx—    Yx -j- tZx)n-Yx-\-Z^)v

dx,

.wenn sich die Klammerausdrücke mit den Indices n, v auf die Flächenelemente der Normalenrichtungen x unmittelbar bei den Oberflächenelementen dOv und dOn beziehen und die Summe X alle zur Zeit t zwischen dOn und dOv existirenden Sprungwerthe von (§Xs -f- y Yx -j- £ZX) umfasst. Da

dydz — dOncos(nx) = — dOv cos(vx), so wird bei Ausdehnung der Integration über den ganzen Körper

nun

dx

dK = j (%Xx 7} Yx£ZX) cos (wæ) dO

2J

dx

dK.

In analoger Weise wie diese Gleichung finden sich durch Betrachtung von Körperstreifen parallel der y-Axe und 0-Axe

■8(e^ + ,rf + gzy)

dy

fd(iX, + VY,+ tZM)

J    8 z

y (S^y + rj Yy + gZy) COS (fl ff) Ü Ö

₂fiS*Ltg'+WdK9

dK = y (gX, + yYz + %Zz) cos (w*) dO •*(SX, + nY, + t z,)

dK —

2J

dz

dK

Addirt man die drei letzten Gleichungen, berücksichtigt § 11, (2) und § 35, (2) und führt die Bezeichnungen

9t = —

(4)

dx

dy

dz

dK}

(5)

©= f(Sx. + nY. + tzn)do

ein, so ergibt sich

(6)

8 = © + 9i = 9t-|-®.

Die Integrale in (1), (2), (4) sind auf alle Körperelemente dK auszudehnen, während das Integral (5) alle Oberflächenelemente dO umfasst.

Mit Rücksicht auf (3), (6) haben wir Ausdruck des d’Aleinbert’schen Princips

nun

nach § 38, (5) als

(?) und nach §38, (6) als Ausdruck des Princips der virtuellen Verrückungen

(8)

-äJt = 9t = g- 2) = ©- 2) + 9i.

Wird die Arbeit der Massenkräfte vernachlässigt (oder werden letztere, wie häufig bei technischen Problemen, durch eine Anzahl Oberflächenkräfte ersetzt), dann hat man aus (8)

2) = <B + 9t,

9t = 0,

und speciell

(9)

für 50t = 0, 9t = 0

Die Arbeit 9t lässt sich noch einfacher als in (4) ausdrücken. Wir fassen irgend einen Unstetigkeitsschnitt ins Auge (Fig. 15).

ln analoger Weise mit den andern Gliedern von (4) verfahrend, erhält man 31 = J + yYx -f- £,Zx)cos(nx) -f- (£,Xy -\-r\Yy-\- t,Zy)cos(yiy)

+ (SX + «jr. + tzs) cos(»*)]<io,

oder wegen § 11, (2) und § 35, (2)

(10)

Für die einem bestimmten Schnittelemente anliegenden zwei Flächen-elemente don, dov seien n, v die das Schnittelement selbst treffenden Normalenrichtun-Wir haben dann A£Xr

³ X

-tf-

gen.

dx

dx

= (txx)v — (%Xx)n,

Fig. 15

worin sich (| X*),., (%Xx)n auf diejenigen Seiten des Unstetigkeits Schnitts beziehen, von welchen die Bichtungen v, n ausgehen. Berücksichtigt man

dy dz — don cos (nx)

= — dov cos (vx),

so wird für sämmtliche dem betrachteten Unstetigkeitsschnitte anliegenden Flächenelemente

~ X

dx

dK =

j*£,Xx cos (nx) do,

und für die Umhüllungsflächen aller im Körper vorkommenden Un stetigkeitsschnitte

*AêXx

2j dx

dK =

J %Xx cos (nx)do.

3t = J (|XW -f- 'fjYn -f- £Zn) do.

Das Integral ist auf die Umhüllungsflächen sämmtlicher Unstetigkeitsschnitte auszudehnen, welch’ letztere bei Ansatz der Normalenrichtung n wie verschwindende Hohlräume zu behandeln sind, so dass die Normalenrichtungen der Oberflächenelemente do die zugehörigen Elemente der Unstetigkeitsschnitte selbst treffen (§ 1). Da aber jedem Flächenelemente do auf einer Seite eines Unstetigkeitsschnitts ein genau gleich grosses auf der andern Seite entspricht, und da diese Elemente nach § 10 durch gleich grosse und entgegen-

gesetzt gerichtete Spannungen afficirt werden, so hat man auch bei unstetigen Spannungen

für stetige Verrückungen 9t = 0

und genügt stets, das Integral (10) auf die Unstetigkeitsschnitte der Verrückungen zu erstrecken. Auch die letzteren erfordern keine besondere Behandlung, wenn man ihre Umhüllungsflächen mit zur Oberfläche rechnet, wie schon die Form von (5), (10) erkennen lässt.

§ 40. Virtuelle Arbeiten der Massenkräfte und Flächenkräfte.

Es ist nicht nöthig, aber von Interesse, die Bedeutung der in §§ 38, 39 eingeführten virtuellen Arbeiten 9Jt, €>, 91, SD festzustellen. Man hat dabei zu beachten, dass die §, y, £ zwischen je zwei auf einander folgenden Un stetigkeitsschnitten stetige Functionen des Ortes sind, und zwar des Ortes x, y, 0 zur Zeit t oder t₀, je nachdem die Spannungen in der einen oder anderen Weise aufgefasst werden.

Wir haben in § 38 freigestellt, die virtuellen Verrückungen der Punkte m aus ihren Lagen zur Zeit t durch §, y, £ oder — |, — y, — £ zu bezeichnen. In beiden Fällen gelten sämmtliche Gleichungen der §§ 38, 39; fassen wir zunächst den ersten Fall ins Auge.

Die Bedeutung von 9JÎ ist sofort klar. Da ein Massenelement yäK bei m in den Richtungen x, y, 0 abgesehen von verschwindend kleinen Grössen die Wege §, y, £ zurücklegt und X, Y, Z zur Zeit t die speciflschen Massenkräfte in diesen Richtungen bezeichnen, so würde bei constanten Werthen der letzteren deren Arbeit auf genannten Wegen betragen

yäKXt + gdKYy -f [idKZÇ,

wonach 9)t die Gesammtarbeit darstellt, welche die zur Zeit t auf Bewegung der Körperelemente hinsichtlich unseres Coordinaten-systems wirkenden Massenkräfte für die angenommenen Verrückungen leisten würden.

Ebenso leicht ergibt sich die Bedeutung von @. Sind für .ein Oberflächenelement dO bei m in den Richtungen der Coordinaten-axen |, y, £ die Verrückungen und XndO, YndO, ZndO die Flächenkräfte zur Zeit t, dann folgt als entsprechende Arbeit dieser Kräfte XndO% -j- YndOy -j- ZndO%.

Hiernach drückt die Gesammtarbeit aller zur Zeit t wirkenden Oberflächenkräfte für die angenommenen Verrückungen aus. In gleicherweise ergibt sich 91 als Arbeit der augenblicklichen Flächen-kräfte auf die Umhüllungsflächen sämmtlicher Unstetigkeitsschnitte der Verrückungen für die vorausgesetzte Bewegung.

Für das Massenelement y,dK ist die Arbeit der Fläehenkräfte auf die Begreuzungsebenen, welche zur Zeit t oder t₀ senkrecht zur x-Axe waren,

dy dz

-tx.-vT,-ez,+ (sx,-+

+ (&• + Hitdxj\

d£X:

dx

-dx) +{rtYx + ^d^) d(iX, + „r, + SZ.)

dx

dK.

Auf analoge Weise ergeben sich die Arbeiten der Kräfte auf die Seitenflächen, welche senkrecht zur y- Axe und z-Axe waren,

WX' + yY' + SZJ

dy

dK,

d(jXM + vYä + SZM)

dz

dK,

-so dass die Arbeit $ des vorigen § von den zur Zeit t wirkenden Oberflächenkräften sämmtlicher Massenelemente y dK herrührt. Dass der Modus der ursprünglichen Eintheilung in Elemente dK keinen Einfluss auf % haben kann, ist selbstverständlich und folgt auch aus ^    @ -f" worin @, Üt die oben festgestellte Bedeutung

haben.    .

Die mit den angenommenen Verrückungen verbundenen Verschiebungen jedes einem Punkte m zur Zeit t oder t₀ in beliebiger Richtung n unendlich benachbart gewesenen Körperpunktes n, können wir uns aus den (etwa von den Spannungen herrührenden) relativen Bewegungen dreier den Punkt n enthaltender Flächenelemente zusammengesetzt denken. Es betragen abgesehen von verschwindend kleinen Grössen die Wege von û hinsichtlich m in den Richtungen

mit der Fläche senkrecht zur x-Axe

di

dx

dx,

dr\

dt

dx

dx

„ y- Axe

dy

dy

dy

dy

st

di

dy

dy ’ dz,    dz.

” ^'Axe dïd*>

Beim Zusammentreffen der drei Bewegungen sind die Wege von n bezüglich m

77

dz

dx

in der Richtung x

dx + dĄdy + |i di,

77

77

y drj =

dx

dx + dij dv +

dz

dz,

di

di

di

dt =

dydld dz d8’

Durch Division dieser Gleichungen mit der Entfernung mn — dn zur Zeit t oder t₀ entstehen die Grundgleichungen des § 21 für die Verschiebungscomponenten xn, yn) £», welche nach § 4 alle arideren

77    77

77

Verschiebungsfnnctionen bestimmen. Die Verschiebungen der Körperpunkte lassen sich hiernach aus den Verschiebungen der Seitenflächen von Körperelementen pdK ableiten.

***[*■!l+y*K+4§]

Als Arbeit, welche Avährend der relativen Bewegungen hinsichtlich m der drei n enthaltenden Seitenflächen des Elements [i dK durch die zur Zeit t auf diese Flächen wirkenden Kräfte geleistet würde, hat man

dx

+ d*dx\xĄ +    + z, ||] dy

+ dx<ly[x, ff- + r.|| + z/Mde,

die Verschiebungen der Seitenflächen aller Körperelemente erfordern also (etwa zur Ueberwindung der innern Kräfte) die Arbeit

G £ • -y 2)) I y    I y O § . y d TJ | y S £

+ ÏX dï ⁺ ^ ‘ +    +    A'J

f(X‘

Sa;

co CO

drj

an

+    + Yz

dz

+ *&)<**.

und dies ist die im vorigen § eingeführte Arbeit wonach schliesslich 91 = $ — © denjenigen Theil der bereits besprochenen Arbeit $ (und zufolge ^ = © -|- 97 bei stetigen Verrückungen denjenigen Theil der Arbeit der Oberflächenkräfte) darstellt, welcher nicht durch die fraglichen Verschiebungen bedingt ist.

Nehmen wir jetzt den Fall an, dass die virtuellen Verrückungen durch — I, — 7], — £ anstatt durch §, rj, £ bezeichnet sind. Dann bedeuten, wie sofort klar und übrigens ganz wie oben folgt, in den Gleichungen der beiden letzten Paragraphen — SDt, — ©, — 9t, —    ® die. Arbeiten der zur Zeit t wirkenden Massenkräfte,

Oberflächenkräfte, Kräfte auf die Umhüllungsflächen der Unstetigkeitsschnitte, Oberflächenkräfte der Körperelemente und die durch Verschiebungen allein bedingte Arbeit der letzteren während der fraglichen Verrückungen; ÜDt, ©, 9t,    2) aber drücken die ent

sprechenden Arbeiten der zur Zeit t wirkenden Kräfte auf den umgekehrten Wegen, |, rj, £, aus.

Selbstverständlich gelten die in §§ 38, 39 abgeleiteten Beziehungen auch für wirkliche Verrückungen der Körperpunkte. Die . hier dargelegte Bedeutung der in diesen Beziehungen auftretenden Arbeiten würde jedoch den wirklichen Massenkräften und Flächenkräften nur dann entsprechen (die letzteren würden nur dann die obigen Arbeiten leisten), wenn sie in der vorausgesetzten Weise constant wie zur Zeit t wären. Für unendlich kleine Verrückungen,

wie beispielsweise für die Verrückungen in einem Zeitelement dt, darf man dies annehmen, in anderen Fällen jedoch können die fraglichen Kräfte während des Entstehens seihst nur kleiner Verrückungen sehr verschiedene Werthe durchlaufen.

§ 41. Die Verschiebungsarbeit.

Wir denken uns nun in §§ 38,39 die Verrückungen durch — I, — rj, — £ bezeichnet und verstehen wie im IV. Abschnitte unter £,17, £ die wirklichen Verrückungen der Körperpunkte m von denjenigen Lagen aus, welche sie zur Zeit t₀ einnalimen. Spannungen, Verrückungen und die entsprechenden Verschiebungen sind Functionen der anfänglichen Coordinaten x, y, z und der anfänglichen Richtungen n. Während wir in § 39 setzten

(1)

® J' (XxXx —F Yyyy -f” Zz % z ~F XyXy ~F Yxyx —(— Yzyz

+ ZyZy “F Zx zx -j— Xzxz)dK,

werde bei beliebiger Veränderlichkeit der Spannungen und Verschiebungen als Bezeichnung eingeführt

IdD —(Xxdxx —J- Yydyy | Zzdzz ~F ^Xydxy ~F Y^x dyx v    -F Ygdys -F ZydZy -F Zxdzx -F Xzdxz)dK

und mit

(3)

(4)

ff —J (Xxdxx ~F Yydy,j -F Zzdzz -F Xydxy -F Yxdyx + Yzdyz -F Zydzy —F Zxdzx —F XzdXg), D=f &dK.

Die Integrale in (1), (2), (4) sind auf alle Körperelemente dK zu erstrecken. Wir werden D die Verschiebungsarbeit des Körpers und ff die spezifische Verschiebungsarbeit bei m nennen, während 2) als virtuelle Verschiebungsarbeit bezeichnet werden mag. Sind die Spannungen während des Entstehens der Verschiebungen constant, dann führt (2) wieder auf die speciellere Formel (1).

Nach § 40 bedeuten für unsern Fall ©, 91,    2) in den

Gleichungen der §§ 38, 39 Arbeiten, welche durch die wirklichen Verrückungen |, r\, £ bedingt würden, wenn die Arbeit leistenden Kräfte constant wie zur Zeit t wären, während — ÜDÎ, — @, — 91, — $0 — 2) die Arbeiten derselben Kräfte für die Rückführung der Körpertheilchen in die Anfangslagen darstellen. Die Bedeutung von D ergibt sich ganz wie diejenige von 2) in § 40. Da die wirklichen Oberflächenkräfte des Körperelements dK während des Entstehens der zusammengehörigen (etwa auf das gleiche Zeitelement dt bezüglichen) Theile der Verschiebungen

dxX) dxy, dxZ) dyx, dyy, dyz, dzx, dzy, dzz

als constant gelten können, so findet sich die von diesem Theil der Verschiebungen herrührende wirkliche Arbeit der Oherflächen-kräfte aller Körperelemente, wenn in (1) an Stelle der ganzen Verschiebungen deren vorstehende Differentiale gesetzt werden, womit (2) entsteht und (4) die ganze durch die Verschiebungen von t₀ bis t bedingte Arbeit der fraglichen Flächenkräfte darstellt, ff ist die entsprechende Arbeit per anfänglicher Volumeneinheit bei m.

Die Arbeit ® ist eine Function der zur Zeit t erreichten Spannungen und Verschiebungen im Körper. Diese können unter gegebenen Verhältnissen des Systems (z. B. bleibenden Verbindungen, vorgeschriehenen Bahnen, bestimmten Kräften und Beschleunigungen) je nach begleitenden Umständen verschiedene Werthe annehmen. Wir erhalten jedoch alle mit den gestellten Bedingungen verträglichen Variationen von ®, wenn wir die Spannungen und Verschiebungen selbst beliebige zulässige Variationen vornehmen lassen. Die vollständige Variation von ® ist

(5)

d® — ö\® -j- ds®,

worin von den unendlich kleinen Aenderungen der Spannungen bezw. der Verschiebungen allein herrühren

(6)

A® =j (Xx ö xx -j- Yyöyy -j- Zz d zz -j- Xydxy -J- Yx Ö yx

-j- Yz d yz -J- Zy d 0y -(- Zx dzx -(- Xz d xz) d X,

(?)

A Y) — J' (xx Ö Xx -j- y yd Yy -f- zz Ö Z₂ -f- xy8Xy -j- yx ö Y yx

"f- yzdYz -f- ZyóZy -j- zxöZx -j- xzôA₂) dK.

Nach (2) stellt

(8)

A® = ÖD

in jedem Falle (bei beliebigen begleitenden Umständen) die Verschiebungsarbeit für die vorausgesetzten Aenderungen der Spannungen und Verschiebungen dar. Suchen wir auch einen Ausdruck für A® abzuleiten.

Steht ein durch gegebene äussere Kräfte ergriffener Körper mit andern Körpern derart in Berührung, dass er der Einwirkung der ersteren nicht frei folgen kann, so bilden die Reactionen der fremden Körper neue äussere Kräfte des betrachteten Systems. Es kann verkommen, dass einzelne dieser Reactionen durch die gegebenen Verhältnisse nicht mit bestimmt sind, sondern von Spannungen und Verschiebungen und damit indirect von den erwähnten begleitenden Umständen abhängen (§ 37). Demnach lässt sich die mit irgendwelchen Verrückungen verbundene Arbeit © der Oberflächenkräfte zur Zeit t im Allgemeinen zerlegen in die Arbeit Öl der bestimmten Oberflächenkräfte und die Arbeit U der unbestimmten Reactionen,

(9)

Zu beachten ist, dass jeder Theil eines Körpers auch als Körper oder System für sich betrachtet werden kann (§ 1), sodass wir je nach der Abgrenzung des letzteren auch © = U erhalten können.

Welche Werthe die schliesslichen Spannungen, Verrückungen und Verschiebungen auch haben mögen, so besteht nach § 39, (7) die Beziehung

G_^ = 9t = 3_2) = (3_£)-f97.

Schreiben wir nun den Spannungen ohne Aenderung der Verrückungen, Massenkräfte und Beschleunigungen irgendwelche zulässige Variationen zu, dann ergibt die Anwendung vorstehender Gleichung auf den neuen Zustand

G —    = 97 -f ds97 = $ + ôs% — ® - à,®

= @ -f d,U — 2) - d,® + 97 — d*97,

worin ds97, dsU, d₅97 die entsprechenden Aenderungen von 97, 11, 97 bedeuten. Durch Subtraction der vorletzten von der letzten Gleichung folgt

(10)

0 = ds97 = ds% —    = dsU - -f d,97

und damit der gewünschte Ausdruck

(11)

ds® = dsg = d,U + ds97.

Die Beziehung (5) aber lässt sich mit (8), (11) auch schreiben

(12)

d^ = dD + ds U + ds97.

§ 42. Aequivalenz von lebendiger Kraft und Arbeit.

In §§ 38, 39 mögen jetzt £ die Verrückungen bezeichnen und hierunter die wirklichen Wege der Körperpunkte m(x, y, z) hinsichtlich unseres beliebig bewegten Coordinatensystems im Zeitelemente dt verstanden sein. Sind dann u, v, w zur Zeit t die Geschwindigkeiten von m in den Richtungen x, y, z, so hat man

t, = iv dt,

£ = udt,

(1)

rj = v dt

m, v, w haben für die bestimmte Zeit t als Functionen des Orts allein zu gelten, können jedoch in beliebig vielen Schnitten jeder Form und Grösse Unstetigkeiten erleiden. Die augenblickliche lebendige Kraft bezüglich unsres Coordinatensystems ist für ein Massenelement ydK

ydK

und für den ganzen Körper

(2)

[i dK.

Aus den in §§ 38, 39 erhaltenen, einem beliebigen Körper entsprechenden Ausdrücken für G, ÜD7, 97,    S),    97 ergeben sich mit

(1) der Reihe nach folgende für das Zeitelement dt gültigen Werthe, welche wir deshalb als Differentiale einführen. Aenderung der lebendigen Kraft

dL = dt J (pxu -f- pyv -f- pzw)iidK-:

(3)

Arbeit der Massenkräfte

(4)

dM = dtJ(Xu -|- Yv -j- Zw)ii dK; Beitrag der Flächenkräfte zur lebendigen Kraft

dN—dt

(5)

|/I(g + £ + SM

STX , ST , ST,

dx

+ (g +

dy ¹ dz dy ' dz

)”

dK.

Gesammtarbeit der Flächenkräfte

^d(uXx + vXy + wXz)

dF = dt

(6)

dx

d(uXy + vTy + toZv)

dy

d(uXz + vTz + u>ZMy

dz

dK.

Durch die Verschiebungen allein bedingte Arbeit der Flächenkräfte, mit Rücksicht auf Xy — YX) Yz = Zy} Zx = Xz (§§ 12, 36)

dl) = dt

(7)

l/IL

du . v dv . ry dw , v (du . dv\ + ZzW + Xy\d^ + Tx)

+ I'.(g + lf) + 2.(|j + lr)]

dK.

Arbeit der Oberflächenkräfte

(8)

dS = dtJ{uXn -f- vYn -f- wZ„)dö.

(9)

Arbeit infolge örtlicher Unstetigkeiten der Geschwindigkeiten

dB = dtJ'^uXn -j- vYn -{- wZn)dö.

Die Integrale (2)—(7) sind auf sämmtliche Körperelemente auszudehnen, das Integral (8) umfasst alle,. Oberflächenelemente und das Integral (9) die Elemente der Umhüllungsflächen sämmtlicher Unstetigkeitsschnitte. Fasst man die letzteren als verschwindende Hohlräume auf, so können ihre Umhüllungsflächen mit zur Oberfläche gerechnet, also dB in dS eingeschlossen werden.

Zwischen den Grössen (3)—(9) bestehen nach § 39, (6) (7) die Beziehungen

(10)

(H)

dF = dS + dR = dN + dB, dL = dM+dN = dM+ dF - dB

= dM -j- dS -f- dB- dB.

(12)

Für ein von t₀ bis t reichendes Zeitintervall ist demnach L — L₀ = M+S-\-R-B, und diese Gleichung drückt den Satz von den lebendigen Kräften für beliebige Körper aus: In jedem Zeitintervall ist die Aenderung der lebendigen Kraft eines Körpers gleich den Arbeiten der Massenkräfte, Oberflächenkräfte und Kräfte auf die Umhüllungsflächen sämmtlichcr Unstetigkeitsschnitte der Geschwindigkeiten minus der Verschiebungsarbeit.

Wirken im Zeitelement dt auf die Oberfläche eines Körpers nur normale Kräfte von Nn — — p pro Quadrateinheit, so folgt aus (8) mit § 3, (2) und Rn = p, r = — n,

dS = — dtjïu cos (nx) + v cos (ny) ~h w cos    dO,

oder wenn der Weg des Flächenelements dO in der Richtung seiner Normale durch s bezeichnet wird,

(13)

dS — —JpsdO.

Ist p überall gleich gross und bedeutet V das Gesamintvolumen des Körpers zur Zeit t, dann hat man wegen

(14)

dV =Js dO

die Arbeit der Oberflächenkräfte

dS = —p d V.

Werden auch die Umhüllungsflächen sämmtlicher Unstetigkeitsschnitte der Geschwindigkeiten im Zeitelement dt nur durch Normalspannungen Nn — — p afficirt, so hat man der übereinstimmenden Form von (8) (9) wegen

dR — —Jpsdo.

(15)

Bewegen sich je zwei demselben Schnittelemente anliegenden Flächenelemente do in der Richtungslinie ihrer Normalen gar nicht oder um gleichviel, dann folgt

dR — 0.

§ 43. Das Hamilton'sche Princip.

Zeit t nach a, b, c (in § 35 x -f- y + % z + £)

Ein Massenelement gdK lag zur Zeit t₀ bei a₀, b₀, c₀ (in § 35 x, y, z) und ist zur gelangt. Dann hat man die Geschwindigkeiten dieses Theilchens in den Richtungen x, y, z zur Zeit t nach § 35

da

U~dt

dc

W = dt

wobei die runden d andeuten, dass es sich um Differentiale nach t, allein für ein bestimmtes Theilchen handelt. Schreiben wir jedoch dem Elemente zu jeder Zeit t irgend welche unendliche kleine virtuelle Verrückungen zu und betrachten diese ebenfalls als Functionen der Zeit, so entsteht eine von der vorigen nur unendlich wenig abweichende Bewegung, deren Geschwindigkeiten in den Richtungen x, y, z zur Zeit t sind

d(a + è)

d{c + t)

d(b -f rj)

u —f- d u =

Der Willkürlichkeit unserer |, y, t, wegen lassen sich so alle mit den Bedingungen des Systems verträglichen, von der wirklichen Bewegung nur unendlich wenig abweichenden Bewegungen erreichen. Durch Subtraction erhält man

dt

v + Sv = ~dt

ÔU = -7TT

d$

d'w =

dt’

als von den virtuellen Verrückungen herrührende Variationen der Geschwindigkeiten u, v, iv.

Im Zeitelement dt haben wir für das Massenelement ydK d{ui, vr\ w£) = ud% + vdr\ -f- wdt, -f- ïdu -f- ydv -J- t,dw, und, wenn bei Unstetigkeiten der Verrückungen nach Anleitung des §21 verfahren wird, für den ganzen Körper

dj(u% -}- wy -j- wt)y dK= dtj(udu -f- vd'v -{- wdw)y,dK

-f- f(t>du -f- ydv -f- Çdw)y dK.

In dieser Gleichung ist das erste Integral rechts

dt’

dt ’

dL — % dj(td -f- v² + w²) y dK

die Variation der lebendigen Kraft infolge der angenommenen Verrückungen und

(1)

(2)

G =/(ś§? + 4? +

eine schon in § 38 eingeführte Function der Verrückungen und zur Zeit t wirkenden Kräfte. Wir haben allgemein

(3)

d-f- VT] -|- tvQy, dK — (G -j- dL)dt, und für ein von t₀ bis t reichendes Zeitelement

[/(«*£ -f vrj + ivQydK\ — [/(w| + vy -f- tvQudK\

(4)

t    to

t

=/(G + dL)dt,

to

wenn die beiden Klammerausdrücke die Werthe des eingesetzten Integrals zu den Zeiten t, t₀ bedeuten.

Null machen, folgt

zu

Für den speciellen Fall, dass die Verrückungen %, rj, £ zu Anfang und zu Ende unsers Zeitintervalls Werthe haben, welche die linke Seite von (4)

(5)

J{G Ą- öL)dt = 0.

to

Dies trifft z. B. zu, wenn alle virtuellen Verrückungen |, 17, £ selbst zu den Zeiten t, t₀ verschwinden, und es wird dann der Inhalt von

(5) als Hamilton’ sches Princip bezeichnet.

§ 44. Energie der Körper.

(i)

Jede mögliche Ursache von lebendiger Kraft oder Arbeit nennt man Energie und beurtheilt deren Werth nach ihrer Wirkung, sodass die Energie in Arbeitseinheiten gemessen werden kann. In § 42 ergab sich die Aenderung der lebendigen Kraft für ein Zeitelement dt dL = dM + dN = dM + dS + dTl — dl).

Fassen wir hier den allgemeinen Fall ins Auge, dass dem betrachteten Körper im Zeitelement dt, abgesehen von den in (1) auftretenden Grössen, noch in Summa die Energie dQ von Aussen zugeführt wird (Entziehung negativer Zufuhr) und setzen

(2)

d ü = dS — dN + dQ = dH — dB + dQ,

so folgt

(3)

dL -f dU=dE = dM+ dS + dQ-, dü stellt hiernach denjenigen Theil der von Aussen empfangenen Energie dar, welcher nicht in die lebendige Kraft dL verwandelt wurde.

Soll nun die Energie unzerstörbar sein, so müssen sich alle nach einander auftretenden dTJ in irgend einer Form im Körper ansammeln, es muss dem letzteren wie ein gewisses L auch ein gewisses U entsprechen, sodass erst L -f- U = E die ganze Arbeitsfähigkeit oder Gesammtenergie hinsichtlich des angenommenen Coor-dinatensystems bedeutet. Für ein von t₀ bis t reichendes Zeitintervall aber liefert (3)

(4)

L-L₀ + V-U₀ = E-E₀ = M+S+Q.

Die augenblickliche lebendige Kraft eines Körpers pflegt man auch seine actuelle Energie zu nennen, U soll hier die virtuelle Energie heissen (siehe auch §§ 69 bis 71), Gleichung (7) lässt sich dann aussprechen: In jedem Zeitintervall ist die Arbeit der äusseren Kräfte (Massenkräfte und Oberflächenkräfte) plus der sonst von Aussen

zugeführten Energie gleich der Summe der Aenderungen von ac-tueller und virtueller Energie des Körpers.

Die Gesammtenergie zur Zeit t drückt sich aus (5)J? = L+ U=L₀+U„ + M+S+Q = E₀ + M+S + Q. Ist von t₀ bis t im Ganzen M -f- S -f- Q = 0, so wird E = L + ü = L₀ + U₀ = E₀,

(6)

Wenn einem Körper weder durch die

und beispielsweise folgt:

Arbeit äusserer Kräfte noch sonst von Aussen Energie zugeführt wird, dann ist der Gewinn an actueller Energie stets gleich dem Verluste an virtueller Energie, die Gesammtenergie bleibt constant.

Sind zur Zeit t Beschleunigungen der Körperelemente und Arbeiten der Massenkräfte nicht zu berücksichtigen, oder ist überhaupt dL — dM — 0, dann entsteht aus (3)

dQ — dU — dS

und wenn auf die Oberfläche des Körpers nur ein gleich massig ver-theilter Normaldruck von p pro Quadrateinheit wirkt, mit Rücksicht auf § 42

dQ = dü+pdV,

eine sehr bekannte Formel der mechanischen Wärmetheorie. Bei den Untersuchungen der letzteren pflegt man U als Energie schlechtweg zu bezeichnen.

ö*

VI. Abschnitt.

Ausdrücke für die Spannungen auf Grund der Erfahrung.

Die bisher -abgeleiteten Gesetze sind an keinerlei Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen gebunden, sie gelten für beliebige Körper. Thatsächlich beobachten wir jedoch in vielen Fällen, dass Spannungen und Verschiebungen einander bedingen. Um den Zusammenhang zu erforschen, kann man entweder von Erfahrungsresultaten ausgehen oder ein allgemeines Gesetz der zwischen den Körperpunkten wirkenden Kräfte zu Grunde legen. Wir suchen zunächst auf dem ersten Wege soweit als möglich zu gelangen, um dann im folgenden Abschnitte den zweiten zu betreten.

§ 45. Vollkommene Flüssigkeiten.

Yy cos (ny) = Iin cos (ry),

Als vollkommene Flüssigkeiten pflegt man Körper zu bezeichnen, in welchen unter allen Umständen nur normal den affcirten Flächenelementen wirkende Druckspannungen Vorkommen. Da somit die Schubspannungen gleich Null sind, so hat man nach § 3, (2) und § 11, (2) für nicht unendlich grosse Massenkräfte und Beschleunigungen bei jedem Punkte m(x, y, z) zu jeder Zeit t Xx cos (nx) = Kn cos (rx),

Zz cos (nz) = Kn cos (rz),

oder wegen cos (rx) — — cos (nx), cos (ry) = — cos (ny), cos (rz) = — cos (nz),

Xx — Yy = Zz — — Kn.

Die Spannungen auf drei zu einander senkrechte Flächenelemente sind gleich der Spannung auf ein bestimmtes Flächenelement. Weil aber die Richtungen x, y, z, n beliebig gewählt werden dürfen, so folgt für alle einem Punkte m unendlich benachbarten Flächenelemente

Kn — p,

Tn = 0

Nn = — p,

worin p constant. Dies ergibt sich auch aus der in § 11 eingeführten Betrachtung des Elementartetraeders, indem bei bestimmten

Coordinatenaxen unter Beibehaltung einer der Flächen fx, /), fz durch Aenderung der andern alle Normalenrichtungen n von fn erreicht Averden können. Wenn nun der Druck für alle jedem beliebigen Körperpunkte m unendlich nahe liegenden Flächenelemente als constant anzusehen ist, so können sich die Spannungen von Punkt zu Punkt nur um unendlich wenig, also stetig ändern und daraus folgt, dass auch örtliche Unstetigkeiten der Oberflächenspannungen nicht auftreten, jeder irgendwo auf die Oberfläche ausgeübte Druck pflanzt sich bis zu stetiger Vertheilung fort.

§ 46. Berücksichtigung der Flüssigkeitsreibung.

Bei den wirklichen Flüssigkeiten sind die Schubspannungen nicht unter allen Umständen gleich Null, es wirken der Verschiebung aneinander liegender Flächenelemente gewisse Widerstände entgegen, die man gewöhnlich Reibung świderstände nennt. Für ein dem Punkte m(x, y, z) in der Normalenrichtung n unendlich benachbartes Flächenelement fn wurde die Componente der Totalspannung Rn nach beliebiger Richtung s durch Sn bezeichnet. In § 28 haben Avir die Geschwindigkeit, mit Aveleher sich das Flächenelement fn längs eines ihm unendlich nahe liegenden von gleicher Normalenrichtungslinie pro Einheit ihrer Entfernung in der zu n senkrechten Richtung s verschiebt, als Schiebungsgeschwindigkeit cpns erkannt. Es Averde nun der Fall ins Auge gefasst, dass zur Zeit t bei m(x, y, z) die in § 45 festgestellte Stetigkeit der Spannungen fortbesteht und sich für s _L n mit (pns = yns (§ 7) setzen lässt

(1)

⁼⁼ fVns >

worin f einen von n, s unabhängigen Coefficienten bedeutet, welcher zu bestimmter Zeit von Punkt zu Punkt, in einem bestimmten Punkte mit der Zeit variiren kann und Reibungscoefficient heissen soll.

nach (2)

Gleichung (1) liefert speciell für ns = xy, yz, zx (2) Xy = f yx y — Yx, Yz = fyyz = Zy, Źx — fyzy — Xz. Bedeutet p den Druck, welcher im Falle / == 0 bei m entstehen würde (oder eine andere beliebige Function), dann hat man mit § 28, (6) für zu einander senkrechte n, s

fyns = (2fitz — p) cos (nx) cos (sx) + (2fvy — p) cos (ny) cos (sy)

-f- (2fwz — p) cos (nz) cos (sz)

(sy)    + cos (ny) cos (s#)J

(sz)    + cos (nz) cos (sy)^

cos

-f- Xÿ[cos (nx) cos -f Yz [cos (ny)

-f- ^[cos (nz) cos (sx) + cos (nx) cos ($#)] •

Für ganz beliebige n, s ergab in sieb in § 13

Sn = Xx cos (nx) cos (s#)-+ Yy cos (ny) cos (sy)

-}- Zz cos (nz) cos (sz])

-f- Xy[cos (nx)    cos    (sy)    -f-    cos    (ny) cos (s#)J

-f- Y- [cos (ny)    cos    (sz)    -f-    cos    (ng) cos (ßy)\

-f- Zx [cos (nz)    cos    (sx)    +    cos    (nx) cos (s#)J .

Es folgen also nach (1)

Xx = 2 fux — p,

und mit (2) (3) die Componente der Totalspannung Bn des Flächenelements der Normalenrichtung n in beliebiger Richtung s

Sn —- 2 fux cos (nx) cos (sx) -f- 2fvy cos (ny) cos (sy)

-j- 2fwz cos (nz) cos (sz) — p cos (ns) cos (ny) cos (s#)J (nz) cos (sy)~^ cos (nx) cos (s#)J

(3)

Yy = 2 fvy — p

Zz = 2 fwz — p,

+ />**,[cos (nx) cos (sy) -f + f?y*\cos (ny) cos (sz) + + /Yzx [cos (nz) cos (sx) +

cos

oder mit Rücksicht auf § 28? (6)

(4)

Sn = fyns -P COS (ws) .

Diese Gleichung liefert mit s = n wegen ynn — 2vn die Normalspannung

Nn = 2fvn —p,

(5)

(4)

während (1) für slw daraus entsteht. Die Ableitung von wäre, nach Art derjenigen von § 48, (2), mit einfacheren Formeln möglich gewesen, wenn wir die Coordinatenaxen parallel den Hauptspannungen und damit nach (1) auch parallel den Haupt Verschiebungsgeschwindigkeiten gelegt hätten.

In (1) (4) (5) sind die Spannungen auf beliebige Flächenelemente bei m(x, y, z) unabhängig von den Richtungen der Coordinatenaxen ausgedrückt. Die Sn, Nn, ynS} vn können für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen aus §§ 13, 28 entnommen werden. Nach (4) folgen die Componenten der Totalspannung Rn in den Richtungen x, y, z

— p cos (nx)

Xn = fy

Yn = fyny — p cos (ny),

Zn = fynz —p COS (fiz) .

Durch Addition der Gleichungen (3) entsteht mit den Bezeichnungen

(6)

// ./•

00

(8)

Q = X, + Yy +    = A + B + C,

Q = ux -Ą- Vy wz = CC ß y =    ,

die Beziehung

(9)

Q = 2fQ — 3jp;

Œ, q sind unabhängig von den Richtungen der rechtwinkligen Coor-dinatenaxen.

Die vorgeführte Berücksichtigung der Flüssigkeitsreibung auf Grund von (1) entspricht der Sache nach einer schon von Newton eingeführten und seitdem allgemein acceptirten Annahme. Nach den aufgestellten Gleichungen ist die Reibung ohne Einfluss, wenn sich die Flüssigkeit hinsichtlich des Coordinatensystems in Ruhe befindet.

§ 47. Feste Körper. Elasticitätsmodul, Elasticitätszahl, Ausdehnungscoefficient.

Als feste Körper bezeichnet man Körper, für welche die Möglichkeit eines spannungslosen Zustandes besteht oder fmgirt wird. Von diesem anfänglichen Zustande aus werden alle Gruppirungsänderungen der Theilchen gerechnet. An Ursachen elastischer Gruppirungsänderungen ziehen wir auf Grund der Erfahrung Spannungen und Temperaturänderungen in Betracht, nach deren Aufhebung der ursprüngliche Zustand wieder eintreten muss.

Im spannungslosen Zustande werde vom Körperpunkte m aus ein rechtwinkliges Parallelepipedon der unendlich kleinen Kanten a₀, c₀ abgegrenzt. Infolge von Verschiebungen erlangen letztere die Dimensionen a, b, c. Angenommen, die Deformation sei lediglich bewirkt worden durch parallel der ersten Kante wirkende, auf die Endflächen gleichmässig vertheilte Normalkräfte von P pro Quadrateinheit. Erzeugt dann eine Aenderung dP von P weitere elastische Längenänderungen da, db, de und werden gesetzt

dP *E’

dann sollen E der Elasticitätsmodul für die Richtung a der Elasticitätscoeffdent für diese Richtung^ und s, v die Elasticitäts-

zahlen für die Richtungen b, c heissen. Nach (1) können wir auch schreiben

(1)

da

dP

db

de

a₀

co

dP

vE’

(2)

(3)

77 dF

E ~~ da a°’

dP b0 E db ~~

da

db

Ü/Q

•üT’

dP E de

da de

«0 c„

Wird dagegen vorausgesetzt, die Deformation sei allein infolge einer gleichmässigen Temperaturänderung x entstanden und sind da, db, de die einer weiteren Temperaturänderung dt entsprechenden Aende-rungen von a, b, c, dann nennt man in

— = a dt,

«0

a, ß, y die Ausdehnungscoefficienten für die Richtungen a, b, c.

Anstatt bei den Definitionen (1)—(5) von dem Verhältnisse der Läugenänderungen zu den Dimensionen im spannungslosen Zustande auszugehen, könnte man auch mit den augenblicklichen Längen vergleichen, d. h. a, b, c an Stelle von a₀, b₀, c₀ setzen. In (5) wird vielfach mit den Längen bei 0° C. Temperatur verglichen. Je nach den Längen, mit welchen man vergleicht, ändern sich natürlich im Allgemeinen auch die E, e, v, a, ß, y, doch sind Abweichungen ohne Aenderung der Zahlenwerthe letzterer Grössen zulässig, wenn, wie in allen praktischen Fällen, die Differenzen verschiedener a, b, c gegen die betreffenden Grössen selbst verschwinden.

Denkt man sich während der Entstehung der ganzen oben durch eine Normalkraft bewirkten Deformation anstatt der möglicherweise variabeln E, s, v constante Mittelwerthe eingeführt, welche die gleiche schliessliche Aenderung bedingen, so hat man nach (1) a — a₀ _ P

(4)

(5)

(6)

(0

da

db

-r- — ß dt,

de

a — a₀

(• + 1)

b-b₀

K

b = 6₀(l

c — c₀

Co

vE*

sE

= c₀

b-A)-

Denkt man sich ferner während der ganzen durch die Temperaturänderung x erzeugten Deformation an Stelle der im Allgemeinen variabeln a, ß, y constante mittlere Ausdehnungscoefficienten gesetzt, welche die gleichen Längenänderungen im Ganzen bewirken, dann folgen aus (5)

Ct " Cf'Q

(8)

a₀

= OCX

b-b ₀

= ßt,

c — c„

c₀

(9)

a = a₀( 1 + ax),

Diese Mittelwerthe sind mit P, x dann variabel, wenn es die zuerst definirten E, s, v, a, ß, y sind.

Ist der betrachtete Körper innerhalb des abgegrenzten Parallele-pipedons isotrop, dann hat man in allen obigen Gleichungen

a = ß = y .

Ferner lehrt die Erfahrung, dass in diesem Falle gleichmässig ver-

h = &o(l + ßT)

C = cü(! + YT).

theilte Normalkräfte auf die Seitenflächen und gleichmässige Temperaturänderungen des Prisma zwar Form und Volumenänderungen desselben, aber keine Verschiebung seiner ursprünglich parallelen Seitenflächen längs einander erzeugen, während solche durch Schubkräfte auf diese Seitenflächen bedingt sind.

§ 48. Potentialverschiebungen isotroper fester Körper.

Wir nehmen jetzt einen festen Körper an, welcher wenigstens in dem betrachteten kleinen Raume um einen Punkt m isotrop ist.

Im spannungslosen Zustande, welchem für jenen Raum die Temperatur T₀ entspricht, sei ein rechtwinkliges Coordinatensystem gewählt, hinsichtlich dessen durch Spannungen und Temperaturänderungen bei m irgendwelche Potentialverschiebungen daselbst entstehen (§§ 30, 31). Wir denken uns vor Eintritt der letzteren von m{x, y, z) aus ein parallelepipedisches Massenelement abgegrenzt, dessen Kanten dx, dy, dz den Coordinatenaxen parallel sind. Das Element wird mit den Verschiebungen eine Formänderung erleiden. Wir setzen voraus, dass die Wirkungen verschiedener Ursachen dieser Formänderung sich addiren, dass der Elasticitätsmodul 13 und die Elasticitätszahl s als constant gelten können, dass Schubkräfte auf die Seitenflächen des Körperelements eine Verschiebung paralleler Flächen längs einander erzeugen und dass die schliesslichen Spannungen bei m im Sinne des IV. Abschnitts stetige Functionen der anfänglichen Normalenrichtungen ihrer Flächenelemente sind.

Pzx verseilwin-

P,

xy )

Für Potentialverschiebungen sind die Hauptverschiebungen a, b, c, Hauptdehnungen eX} e₂, e₃ und Grenzverschiebungen r1} r₂, r₃ ' bezw. numerisch gleich und gleichen Richtungen entsprechend (§ 30). Diesen letzteren parallel legen wir vorläufig die Coordinatenaxen, sodass unser Körperelement auch nach den Verschiebungen ein rechtwinkliges Parallelepipedon mit Kanten in den Richtungen x, y, z bildet. Da also keine Verschiebung paralleler Seitenflächen längs einander stattgefunden hat, so kann die Formänderung nur durch Normalkräfte auf die Seitenflächen und eine Temperaturänderung r bedingt sein, es wird Gns = Sn -f- Ns für ns = xy, yz, zx gleich Null, die Spannungen auf Flächenelemente der Normalenrichtungen x, y, z sind Hauptspannungen A, B, C und diese Totalspannungen, womit auch die P den (§ 33).

Es möge während der fraglichen Verschiebungen a den mittleren Ausdehnungscoefficienten bedeuten. Dann erzeugen specifische Längenänderungen der Kanten des Körperelements

Die ganzen specifischen Längenänderungen der Kanten, die Hauptdehnungen oder Hauptverschiebungen werden somit

B -f G

tö fe| ^

sE

-f- at,

G+^

sE

sE

-f- at.

at.

in den Richtungen die A allein

y,

sE »

sE ’

sE ’

eE ’

die Temperaturänderuug t allein at,

Nach § 23 sind die Summen

(1)

(2)

a = a-\-b-\-c = xx-\-yy-\-sz, Q = A + B + C= Xx + Yy +

unabhängig von den Richtungen der rechtwinkligen Coordinaten-Aus den drei vorhergehenden Gleichungen folgen mit der

axen. Bezeichnung

(8)

durch Addition

(4)    « =

§ + 3cct = 7+T 2W + 3at = “(j + 3t)

und wenn weiter gesetzt wird

at —

(5)

-Jrr)« Jt-2G~

£ —1 / £ - 2

= 2Gat- Q

die Hauptspannungen

A = 2Ga — p,

B = 2Gb —p,

G=2Gc—p.

Für jedes m anliegende Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n hat man bei unserer Wahl der Coordinatenaxen das Quadrat der Totalspannung und die Normalspannung (im Sinne des IV. Abschnitts) nach § 21, (6) (4)

Rn² = A² cos² (nx) -f- B² cos² (ny) -f- C² cos² (ns),

Nn = A cos² (nx) -f- B cos² (ny) -J- C cos² (ns) .

Durch Substitution der a, b, c aus den darüberstehenden Gleichungen ergeben sich

Rn — 46r² JV²cos²(wa;) -f- &²cos²(ny) -f- c²cos²(n^)J

— P,

— 46r [a cos² (nx) -f- b cos² (ny) -f- c cos² (nz)^p -f- _p², Nn = 2 6r cos² (nx) -j- b cos² (ny) -j- c cos² (:nz)J

oder mit Rücksicht auf die Ausdrücke für Totalverschiebung rn und Normalverschiebung nn der beliebigen Richtung n R² = AG²rn² — 4 Gnnp -f- p²,

Nn = 2Gnn — p.

Nun gelten aber für die Transversalspannung und Transversalverschiebung der Richtung n die Gleichungen T ² = 7? ² — N ²

_Ln    -Ll?i    -*-'71 ;

Daher folgt aus (6), (7) die einfache Beziehung

Tn — 2Gtn.

Die Transversalspannungen von Flächenelementen der anfänglichen Normalenrichtungen n sind proportional den Transversalverschiebungen von Punkten der anfänglichen Richtungen n.

In (6) bis (8) haben wir die Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen unabhängig von den Richtungen der Coor-dinatenaxen ausgedrückt. Substituirt man (7) (8) in die Gleichungen so ergeben sich bei Beachtung von § 4, (7) die Com-ponenten der Totalspannung Rn in den Richtungen x, y, z beliebiger rechtwinkliger Coordinatenaxen

(6)

0)

(8)

§ 33, (5),

tn = r² — n².    .

Xn = 2Gxn —pcos(nx),

(9)

Yn = 2Gyn — p cos (ny),

Zn — 2 Gzn — p cos (nz).

(10)

Diese Gleichungen multipliciren wir bezw. mit cos(sæ), cos (sy), cos (sz) und erhalten durch Addition wegen § 33, (2) und § 4, (8) die Componente von Rn in beliebiger Richtung s Sn = 2 Gsn — p cos (ns).

Vertauscht man s mit n, so folgt mit Rücksicht auf ns = sn auch Ns == Sn, wir können aussprechen: Bei isotropen festen Körpern entstehen durch Potentialverschiebungcn auch Potentialspannungen. Das Resultat wird sich in § 58 auf anderem Wege für beliebige isotrope Körper ergeben. Für zu einander senkrechte Richtungen n, s liefert (10)

(11)

Sn = 2 Gsn.

Einen speciellen Fall dieser Beziehung bildet Gleichung (8), während

(7) bis (9) aus (10) mit s = n, t, x, y, z folgen. Aus (9) entstehen mit n — x, y, z

Alle aufgestellten Beziehungen gelten unter den oben ausgesprochenen Voraussetzungen unserer Ableitung für beliebig grosse Potentialverschiebungen. Die Proportionsconstante O, welche zum Elasticitätsmodul E und der Grösse J in der Beziehung (3) steht, soll als Gleitungscoeffitient (oder auch Schiebungscoefficient) bezeichnet werden, während J Temperaturcoefßcient heissen mag.

§ 49. Potentialspannungen beliebiger isotroper Körper.

(1)

Sn = Ggm = Ns

Zn = 2 G 0g — p 5 Zx — 2 Gzx = Xz . Die Gleichungen (12) hätten wir aus (7) mit n — x, y, z und die Gleichungen (13) aus (10) oder (11) mit ns — xy, yz, zx erhalten können.

Cu co

Yy    2 Oy y    p,

Xx 2 O Xx    P ,

Xy = 2Gxy = Yx, Yz = 2 Gyz = Zx

Wie im vorigen Paragraphen fassen wir die Spannungen im Sinne des IV. Abschnitts auf. Es mögen nun infolge von Verschiebungen bei einem Punkte m(cc,y,z) Spannungen von solcher Art daselbst entstehen, dass allgemein für s _L n

gesetzt werden kann, worin G von den Richtungen n, s unabhängig ist, aber während des Entstehens der gns variabel sein darf. Gleichung

(1) verlangt, dass nach Eintritt der betrachteten Verschiebungen für alle dem Punkte m anliegenden Flächenelemente beliebiger anfänglicher Normalenrichtungen n die Componenten der Totalspan-nungen Rn nach irgend welchen in den anfänglichen Ebenen dieser Flächenelemente gelegenen Richtungen s proportional den Normalgleitungen der Richtungen n, s sind. Thatsächlich enthält (1) alle bekannten, für isotrope Körper auf Grund der Erfahrung angenommenen Beziehungen als specielle Fälle; speciell für beliebige Potentialverschiebungen isotroper fester Körper hat sie sich in § 48 ergeben. Die Proportionsconstante G mag auch hier Gleitungs-coefficient heissen.

Nach (1) stimmen die anfänglichen Normalenrichtungen n, s der Flächenelemente, für welche Gns — Sn -f- Ns verschwindet und also die Hauptspannungen entstehen, mit den anfänglichen Richtungen derjenigen Punkte überein, für welche gns = sn -f- ns zu Null wird und demgemäss die Hauptverschiebungen eintreten. Legen wir die Coordinatenaxen vorläufig in diese Richtungen und bezeichnen durch p eine in der Folge zu bestimmende, hier willkürliche Function, so folgt aus § 23, (14) für beliebige zu einander senkrechte n, s Ggm = (2 Ga — p) cos (nx) cos (sx) -j- (2 Gb — p) cos (ny) cos (sy)

+ (2 Gc — p) cos (ns) cos (sz).

Da für Potentialspannungen die Beziehungen des II. Abschnitts gelten, wenn n und die Indices der Spannungen die anfänglichen Normalenrichtungen der zugehörigen Flächenelemente bedeuten, so hat man nach § 14, (11) für ganz beliebige n, s

Sn — A cos (nx) cos (sx) -f- B cos (ny) cos (sy) -{- (7 cos (^0) cos (s0).

Mit Rücksicht auf (1) ergehen sich aus den zwei letzten Gleichungen die Hauptspannungen

A = 2Ga — p,

und durch Substitution dieser Ausdrücke in die darüber stehende Gleichung die Componente der Totalspannung Rn des Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n in jeder Richtung s

Sn = Ggm — p cos (ns) = Ns.

Diese Gleichung führt für zu einander senkrechte n, s wieder auf (1) und liefert mit s = n wegen gnn = 2nn die Normalspannung

Nn = 2 Gnn — p.

B = 2 Gb -p

C — 2Gc p,

(2)

(3)

In (1) bis (3) haben wir die Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen unabhängig von den Richtungen der Coor-dinatenaxen ausgedrückt. Die Sn, Nn, gns, nn sind für beliebige rechtwinklige Coordinatenaxen aus §§ 13,23 zu entnehmen. Gleichung (2) liefert die Componenten der Totalspannung Rn in den Richtungen x, y, 8

Xn = Ggnx — p cos (nx), Yn = Ggny — p cos (ny), Zn = Ggnz — p cos (nz), und hieraus folgen mit n = x, y, 0

(4)

(5)

Z. = 2Gzz — p, Zx = Ggzx = Aj,

Xx = 2Gxx — p,

Xy = GgXy = Yx,

welche Beziehungen wir auch aus (3) und (1) erhalten konnten. Mit den Bezeichnungen

Q = X* + Yy + Z, = A + B + C, co = xx y,j Ą- zz = a 1) c entsteht durch Addiren der Gleichungen (5)

Q = 2 G co — 3 p.

Durch Quadriren und Addiren von (4) folgt

Rn² = G²(gnx² -f gny + gnz) — 4:Gnnp + p², und wenn hiervon das Quadrat von (3) subtrahirt wird, als Transversalspannung

(6)

(8)

(9)

(10)

Yy = 2 Gyy —p, Yz — Ggyz Zy,

Tn - G YQnx -f- (Jny + gn? - 4wn²,

(11)

während selbstverständlich für Rn auch (2) und für Tn Gleichung

(2) oder (1) gilt, wenn darin für s die Richtung von Rn oder Tn gesetzt wird. Dabei ist jedoch zu beachten, dass letztere Richtungen im Allgemeinen nicht mit den Richtungen der Totalverschiebung und Transversalverschiebung von Punkten der anfänglichen Richtung n übereinstimmen. Werden diese Verschiebungen wie früher durch rn, tn bezeichnet, so hat man nicht in allen Fällen

Tn — G(tn -f- nt),

Rn — G(rn -f- nr) — p cos (nr)

und sollen umgekehrt r, t in rn, tn die Richtungen von Rn, Tn bezeichnen, dann sind zwar vorstehende Gleichungen richtig, es bedeuten aber darin rn, tn nicht die Totalverschiebung und Transversalverschiebung der Richtung n. — Gleichung (11) liefert beispielsweise für Flächenelemente der anfänglichen Normalenrichtung n == x,y, z

Tx — G Y9xy + 9zx i

(12)

Ty — G ]/g y/ -f- gXyi

Tz = G YgJ ~b 9vY

wie schon aus (6) zu entnehmen war.

Potentialverschiebungen. Für diesen Fall folgt aus (2) die allgemeine Spannungscomponente mit gns = 2 sn = 2 ns

Sn — 2Gsn — p cos (ns),

also speciell für beliebige Componenten von Rn oder Tn in der anfänglichen Ebene des Flächenelements mit

slw

(13)

(14)

Sn — 2 Gsn.

Die Normalspannung bleibt durch (3) bestimmt, als Transversalspannung liefert (11)

(15)

Tn — 2Gtn,

worin tn die Transversalverschiebung der Richtung n bedeutet. Da aber nach (13) der gleiche Ausdruck entsteht, wenn t die Richtung von Tn bezeichnet, so stimmen für Potentialverschiebungen die Richtung der Transversalspannung des Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n und der Transversalverschiebung von Punkten der anfänglichen Richtung n überein. Aus (10) folgt

(16)

Rn² = AG²rn² - AGnnp + p²,

unter rn die Totalverschiebung der Richtung n verstanden. Die Componenten von Rn in den Richtungen x, y, z sind nach (13)

' Xn — 2 Gxn —pcos(nx),

' Yn — 2 Gyn — p cos (ny),

Zn — 2 Gzn — p cos (nz), und diese Gleichungen oder (6) wie auch (14) liefern X,j = 2Gxyy

während die Beziehungen (5) ungeändert bleiben.

(17)

(18)

Yz — 2Gyz

Zx = 2Gzx,

§ 50. Potentialspannungen flüssiger und fester Körper.

Durch die Gleichungen des vorigen Paragraphen sind die in den §§ 45; 46, 48 ermittelten Beziehungen für vollkommene Flüssigkeiten, reibende Flüssigkeiten und isotrope feste Körper unter gemeinsame Formen gebracht. Die in letzteren auftretende Grösse p, welche je nach der Körperart verschiedene Bedeutung haben kann, ist aus den früheren Ableitungen zu entnehmen.

Vollkommene Flüssigkeiten. Für diese sind der Definition zufolge sämmtliche Schubspannungen unter allen Umständen gleich Null, so dass für Verschiebungen in einem Zeitelement G = 0 und

Xx = Yy = Zz = Nn = — p

(1)

werden. Es bedeutet also p den für alle Flächenelemente bei einem Punkte m(x, y, z) gleichen und normalen Druck pro Quadrateinheit. Weiteres siehe in § 45.

Reibende Flüssigkeiten. Um hier den vorliegenden, lückenhaften Erfahrungsresultaten zu genügen, ist G für Verschiebungen in einem Zeitelement dt unendlich gross anzunehmen. Mit

f= G dt

folgt dann aus § 49, (2) die allgemeine Spannungscomponente Sn = fïns — P COS (fis), und beispielsweise für s = n und s Xn Nn = 2fvn — p,

(2)

(3)

Sn=fy

p ist der Druck, welcher bei m(x, y, z). für alle Flächenelemente entstünde, wenn f = 0 wäre oder gar keine Verschiebungen stattfänden. Näheres in § 46.

Isotrope feste Körper. Bei solchen muss nach § 47 p für verschwindende Verschiebungen gleich Null werden. Auf Grund der Erfahrung ergab sich in § 48 für Potentialverschiebungen

p = JT- 2G-— = 2Gax---r-,

*    8—2    8 -F 1’

womit die Gleichungen am Schlüsse des vorigen Paragraphen den

in § 48 aufgestellten identisch werden.

(4)

Setzt man allgemein en = nn (§ 32) und nimmt weiter an; dass die specifisehen Längenänderungen der Kanten eines recht winkligen Körperelements nur von Normalspannungen auf die Seitenflächen und Temperaturänderungen herrühren, welche ganz so wirken, als wenn keine Schubspannungen vorhanden wären, dann ergeben sich wie in § 48, jedoch für beliebige Richtungen der rechtwinkligen Coordinatenaxen, die specifischen Längenänderungen der Kanten

L+i

bE £ + 1

%X    JjJ

+ Za

--CCT =

y y    fi

z. + x,

bE

-f- OCX —

bE

Z.

Zz E

Nach § 49 sind

_

Xx~ 2 G

Daher folgen

X*+Yy

bE

-f- CCT =

Yy+P'

Xx ~ YÉ +

l v    Q

~ Yy jjjj + CCt,

Z₃ — -jj + oct.

CCT

Zz + P

Zz 2 G

(5)

2 G = —~,

£ -j- 1 ;

— CCT —

bE’

p — 2 G a t--

x    s -j-1

oder mit Rücksicht auf § 49, (9)

(6)

p = Jt — 2 G —c°— mit J = s-+4 2Ga.

Unsere Annahmen ergeben also, dass die Gleichungen des vorigen Paragraphen mit gleichem p wie für Potentialverschiebungen auch für andere Verschiebungen isotroper Körper gelten. Im folgenden Abschnitte wird sich dies Resultat als Annäherung noch auf anderm Wege finden (§ 59). Zu beachten ist, dass mit E, s auch G während der Verschiebungen constant bleibt.

§ 51. Festigkeit.. Zulässige Spannung. Sicherheit.

Jede Formänderung fester Körper besteht in einer auf gewissen Wegen erfolgenden Ueherwindung derjenigen Kräfte, mit welchen die Körpertheilchen auf einander wirken. Handelt es sich um elastische Formänderungen, so. sind die neuen Lagen der Tlieilchen durch die Gesammtwirkung der augenbliclilichen innern und äussern Kräfte bedingt. Treten bleibende Formänderungen ein, dann ist ein Gleichgewichtszustand zwischen den anfänglichen innern und äussern Kräften erreicht. Als Bruch bezeichnet man die Entfernung der Theilchen in beiden Bruchflächen aus dem gegenseitigen Wirkungsbereich. Der Widerstand gegen bleibende Formänderungen heisst Elasticitätsgrenze, der Widerstand gegen den Bruch Festigheit. Beide werden gewöhnlich wie die Spannungen des IY. Abschnitts auf die Quadrateinheit der anfänglichen Flächenelemente bezogen. Die Festigkeit in einem Schnittelement kann je nach den Richtungen der auf Trennung wirkenden Spannungen verschieden sein. Bei isotropen Körpern pflegt man anzunehmen, dass für alle numerisch gleichen Winkel der Spannungsrichtung mit der Normalenrichtung des afficirten Flächenelements die gleiche Festigkeit besteht.

Sollen Trennungen in einem Körper nicht emtreten, so müssen die Spannungen unter den betreffenden Festigkeiten bleiben*, sollen bleibende Formänderungen nicht eintreten, so müssen sie auch unter den Elasticitätsgrenzen bleiben. Das Yerhältniss der Festigkeit zur Spannung heisst die Bruchsicherheit, das Yerhältniss der Elasticitätsgrenze zur Spannung die Grenzsicherheit. Der reciproke Werth der Bruchsicherheit wird Bruchsicherheitscoefficient, der reciproke Werth der Grenzsicherheit Grenzsicherheitscoefficient genannt. Gewöhnlich spricht man jedoch einfach von m-facher Sicherheit oder

¹⁻¹ a

indem als bekannt vorausgesezt wird,

vom Sicherheitscoefficienten

ob die Festigkeit oder Elasticitätsgrenze als Ausgangspunkt dient. Durch den Sicherheitscoefficienten sollen alle unvorhergesehenen und zahlenmässig unverfolgbaren Einflüsse berücksichtigt werden; mit ihm hat man den Ausgangswerth ^zu multipliciren, um die bei m-fâcher Sicherheit zulässige Spannung zu erhalten. Bei den Festigkeitsberechnungen im Ingenieurwesen ist dahin zu streben, dass bei allen Punkten einer Construction gegen alle in Frage kommenden Zerstörungsarten die gleiche Sicherheit besteht.

Eine scharfe Elasticitätsgrenze existirt nicht und mancherlei Versuche scheinen sogar darauf hinzudeuten, dass bei jeder Beanspruchung bleibende Formänderungen entstehen. Man könnte nun denjenigen Widerstand als Elasticitätsgrenze bezeichnen, welcher überwunden werden muss, wenn die Formänderungen für den augenblicklichen Zweck in Betracht kommende Werthe annehmen sollen.

Diesem praktischen Standpunkte entspricht es bei vielen Materialien, die Elasticitätsgrenze mit Fairbairn und Bauschinger als Proportionalitätsgrenze aufzufassen, nämlich als diejenige Spannung, bis zu welcher F in § 47 als constant gelten kann und damit erfahrungs-gemäss die bleibenden Formänderungen für technische Zwecke verschwindend klein sind.. Denkt man sich beispielsweise einen geraden Stab von Stahl oder Schmiedeeisen bei constanter Temperatur nur durch eine gleichmässig über den Querschnitt vertheilte Kraft

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

in der Richtung seiner Axe beansprucht (§ 81, Fig. 16) und trägt die Spannungen als Abscissen, die entsprechenden ganzen (elastischen plus bleibenden) Verlängerungen in beliebigem Masstabe als Or-dinaten auf, so verläuft die entstehende Curve innerhalb gewisser Grenzen (Proportionalitätsgrenze pz, pd) fast geradlinig, gebt dann bei Zug und Druck in Linien von geringer Krümmung über, welche

[Pz

-■fl

Pa

<L

Pig. 16.

wieder durch mehr oder weniger scharf ausgebildete Kniee (Streckgrenze s und Quetschgrense q) zu Theilen führt, innerhalb deren die Längenänderungen gegenüber den Belastungszunahmen wesentlich schneller wachsen.

Welche Bedingungen für das Eintreten des Bruchs gleichwertliig sind, lässt sich bis heute nicht erschöpfend angeben. Dass stoss-weise Einwirkungen ungünstig sind, ist theoretisch klar und durch die Erfahrung bestätigt. Ferner zeigte sich, dass die Dauer der Beanspruchung von Einfluss ist; dass ein Körper, welcher gewissen Kräften einmal widersteht, dieselben nicht unter allen Umständen beliebig oft aushält; dass Wechsel von Zug und Druck oder überhaupt Beanspruchungen in verschiedenen Richtungen ungünstiger als die entsprechenden gleichgerichteten wirken etc. Will man bei Angabe der Festigkeit hervorheben, dass es sich nur um den Widerstand gegen einmalige ruhende oder ganz allmählig anwachsende (ohne Erzeugung lebendiger Kraft, umkehrbare im Sinne der Wärmetheorie) Beanspruchung in einer Richtung handelt, dann spricht man von der Tragfestigliext (für Zug, Druck, Schub u. s. w.).

Die Festigkeit als der Widerstand gegen Entfernung der Theil-chen aus dem gegenseitigen Wirkungsbereich hängt natürlich nicht nur von den unbekannten Gesetzen der Grundkräfte zwischen den einzelnen Atomen, sondern auch von dem durch die Gruppirung der letzteren zu chemischen und physikalischen Molekülen bedingten Resultanten ab. Wie mannichfaltig diese ausfallen können, sehen wir an den Aenderungen der Festigkeit und Elasticitätsgrenze durch bleibende Formänderungen aller Art, Erschütterungen, Erhitzen, Härten, Schmelzen u. s. w. Man fürchtet dann auch für den Bestand des Materials ganz besonders unbeabsichtigte Aenderungen der molekülaren Beschaffenheit. Die zahlreichen Versuche, welche in neuester Zeit über die Festigkeitsverhältnisse angestellt wurden, haben dem praktischen Ingenieur wesentliche Dienste geleistet; eine wissenschaftliche Behandlung der Festigkeitslehre ist jedoch bis heute nicht möglich.

YII. Abschnitt.

Ausdrücke für die Spannungen nach der Molekulartheorie.

Verschiedene Autoren, wie Lame, Beer und Castigliano, sind bei Beurtheilung der Spannungsverhältnisse fester Körper von Anschauungen der Molekulartheorie ausgegangen. Dabei wurde angenommen, dass die Kraft S zwischen zwei Körperpunkten in deren Verbindungsgeraden wirke, proportional den Massen m, n sei und im Uehrigen lediglich von der Entfernung l abliänge, wonach sich ausdrücken Hesse

S = mn F(l).

Der letzten Annahme scheint die Erfahrung zu widersprechen. Wir sehen, dass die Körperpunkte hei Erwärmung wenigstens ihre mittleren Entfernungen vielfach merklich ändern, ohne Beeinflussung der Spannungen, welche Functionen der Kräfte S sind. Umgekehrt können die Spannungen bei constantem Körpervolumen mit Erhöhung der Temperatur sehr bedeutend wachsen. Auch auf anderen Gebieten hat sich obige Beziehung vorläufig nicht bewährt, wie die electro-dynamischen Grundgesetze von Biemann, Weber und Clausius beweisen.

Wir werden in den folgenden Entwicklungen setzen S — mn [F (T) — i],

worin mni ganz allgemein eine Function derjenigen Grössen bedeutet, welche neben der Entfernung l auf S Einfluss nehmen. Als Richtungslinie der S behalten wir die Verbindungsgerade auf einander wirkender Punkte bei. Letztere können dabei Rotationen um ihre Massenmittelpunkte ausführen; sollen sie auch als oscillirend gelten, so hat man sich die Schwingungsamplitude gegen die mittlere Entfernung verschwindend klein zu denken. Die Beschränkung der Untersuchung auf feste Körper lassen wir fallen und fassen stetige Spannungen im Sinne des IV. Abschnitts auf. Demgemäss wird vorausgesetzt, dass, abgesehen von beliebig vielen Unstetigkeitssc]mitten, die

Punkte, welche vor den Verschiebungen ein Flächenelement bei m bildeten, auch nach den Verschiebungen auf einem solchen liegen.

Wer die Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen unabhängig von dem Einflüsse der i will, hat die im Folgenden mit i, i₀, x behafteten Glieder gleich Null zu setzen.

§ 52. Grundgleichungen.

Es handle sich wie im IV. Abschnitte um irgend welche Bewegung der Körperpunkte in Hinsicht eines beliebigen rechtwinkligen Coordinatensystems. Wir denken uns vor Eintritt der betrachteten Verrückungen einen Schnitt S durch den Körper gelegt. Die Massenpunkte zu beiden Seiten von S können auf einander wirken, m und n seien zwei solche Punkte der Massen m, n und der anfänglichen Entfernung An. Die Kraft zwischen m und n war also vor den Verrückungen zur Zeit tQ

mn [F (An) — i₀]

und ist nach den Verrückungen zu irgend einer späteren Zeit t mn [F (An -}- en An) — i\,

wenn en die Dehnung der Entfernung An und i₀ den Anfangswerth von i bedeutet.

Der Punkt m, welcher vor den Verrückungen bei x, y, z lag, ist infolge der letzteren nach æ -f- £, y -\- g , z -f- £ geratheii und der Punkt n, welcher anfänglich den Ort x Ax, y Ay, z -j- Az einnahm, hat sich in den Richtungen x, y, z um £4-A§, g Ag} £ -j- A£ fortbewegt. Die Componenten der Kraft, mit welcher Punkt n auf Punkt m wirkt, sind also nach den Verrückungen

in der Richtung x

mn

F (An -f en An) — i Ax -f- A£

An

mn

F (An -f- en An) — i Ay -j- Ar]

_1 + «.

An

mn

F (An -f- en An) — i Az -f- A£

An

Sämmtliche auf der n-Seite gelegenen Punkte gemeinsam erzeugen für Punkt m in den Richtungen x, y, z die Kräfte

F (An -j- en An) — i Ax Ą- A% A “    1 + en    An

^ F (An + en A n) — i Ay + Aq

2j ”    .Ił«.'    4»_~

i Az + A£

F (A» + e. An) -

An

2"    l+e„

So lassen sich die Einwirkungen aller Punkte der n-Seite auf jeden Punkt der m- Seite ausdrücken. Denken wir uns die Kräfte für diejenigen Punkte m summirt, zu welchen Verbindungsgeraden mn durch ein dem Punkte m (.x, y, z) anliegendes Flächenelement der anfänglichen Grösse fn und anfänglichen Normalenrichtung n gehen, dann hat man im Sinne des § 33 die Componenten der Totalspannung Bn dieses Flächenelements in den Richtungen x, y, z nach den Verrückungen

X - - V* V F(A»» ⁺ e,A«)-iA^ + Aj

” f.2l 2j 1 +    A» >

n

(1)

An

Der Index am ersten Summenzeichen gibt die Normalenrichtung des afficirten Flächenelements an. Die entsprechenden Spannungscom-ponenten vor den Verrückungen sind hiernach:

ii

(2)

n F (An) - »0 n An

Az.

Wir führen noch folgende Bezeichnungen ein

ln

==Int    — i₀) ~

n

(3)

Vn = Knr = — ^ m ^ n (i — i₀)

n

tu =LnT =    i₀) -■

Nimmt man an, dass i — i₀ für die Punkte eines Körperelements bei m constant ist und setzt

(4)

i — i₀ — er,

oder wird durch et ein Mittelwerth von i — i₀ bezeichnet, dann folgen

Kn =

(5)

und sollen i0} i als proportional den von einem beliebigen Nullpunkt aus gerechneten Temperaturen zu Anfang und zu Ende der Verrückungen gelten, dann kann man r als Temperaturänderung während der letzteren betrachten. Dieser Fall ist hier von besonderem Interesse, weil er durch die Erfahrung bestätigt wird (§§ 59,60), während andere als von Entfernungsänderungen der Punkte und Temperaturänderungen herrührende Einwirkungen auf die Spannungen bisher nur ganz vereinzelt beobachtet wurden.

(2)

Für feste Körper pflegt man die Verschiebungen von einem spannungslosen Zustande aus zu rechnen (§ 47), womit an Stelle von

3E, = 9, = 3« = 0

treten.

Schliesslich bringen wir die Bezeichnungen

(6)

CO

Q = xx + Yy + Z* = A + B + G, co — xx -f* yv -f- sz — a -f- b -f- c, in Erinnerung, welche in der Folge vielfach Verwendung finden werden.

§ 53. Spannungen beliebiger Körper. Erste Ableitung.

In den Gleichungen des vorigen § haben wir

Ai - en Ax

Ax -f A£

= Ax -f-

¹ + en

A y + Ar]

¹ + en

Az + A£

¹ + en

Handelt es sich nun um diejenige Annäherung, welche bei den bisherigen Untersuchungen im Gebiete der Elastieitätslehre allein erreicht wurde, so vernachlässigt man, unter Voraussetzung einer geeigneten Fixirung des Coordinatensystems, die mit den rechts stehenden Brüchen multiplicirten Glieder gegen die mit Ax, A y, As multiplicirten und setzt dem Taylor’schen Satze entsprechend

= Ay -f

A v— en A y

A£ — en Az

F (An -J- en An) = F (An) -f- en An F' (An),

worin F' (An) die erste Derivirte von F (An) nach An bedeutet. JDamit folgen aus § 52, (1)

fnXn=^ n F (An)    ]?nF' (An) en Ax

\1    \1    . Aæ

-2>m2imÄi>

h Y„=Fm2nF(-A") s! + 2m 2nV (A«) «* a,j

Ay

An ’

fnZnS m 2 U F (An) Fn + 2 m ■'SUF' (An) e" AS

Subtrahirt man vom ersten, zweiten und dritten dieser Ausdrücke die entsprechenden Gleichungen (2) des vorigen §, so ergeben sich mit Rücksicht auf die dortigen Bezeichnungen (3) als Componenten der schliesslichen Totalspannung Bn des Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n in den Richtungen x, y, z

’X, =.3£, - i, + A F m 2n F (A”) e» A* »

Tn n

(1)

Yn = % — rjn +    2 w y n F’ (An) en Ay,

ln n

Zn =    — &» + 7- 2 m 2 n F (Aw) ßn

'« n

unter Hn, $)„, die entsprechenden Anfangsspannungen verstanden.

Die Gleichungen (1) sind unabhängig davon, ob die Spannungen stetige Functionen des Ortes sind oder nicht. Wir wollen nun die gewöhnliche Annahme machen, dass die Verschiebungen bei m stetige Functionen der anfänglichen Richtungen n von der Art sind, dass allgemein en — nn gesetzt werden kann. Nach § 21, (4) ist dann    s en An² = nn An² = xx Ax² -f- yy Ay² -f- zz Az²

+ 9xy Ax Ay -f gyz Ay Az-\-yzx Az Ax.

Substituirt man diesen Ausdruck in (1) und bezeichnet die entstehenden Doppelsummen so, dass unter Weglassung des immer

wiederkehrenden 2j m 2j n ^ An'^' ^er zugehörige Gliederfactor

eine Klammer mit dem Index des afficirten Flächenelements erhält, setzt also

(2)    (Axa Ayh Az°)„ — j- ^ m ^ n F' (An)

⁷¹ n

A ri* »

dann ergeben sich die folgenden Beziehungen für beliebige Körper mit stetigen Verschiebungen bei m (x, y, z) und stetigen oder unstetigen Spannungen.

Xn — 36re "I⁻ (Ax)n —(~ yy (Ax A y )n —J— zz \ Ax A,^)n + 9xy (Xx² Ay)n + gyz (Ax A y Az)n H⁻ Çzx (Ax Az)n,

(3)

Yn — ?)« yjn “f⁻ %x (Ax A y)n ~I⁻ y y (A y )n | & z (A y Az )n -f~ Qxy (Ax A y )n -J- y y z (^yu Az)n “I⁻ Ozx {Ax A y Az)nj

Xn = 3* — tn + %x (Ax² Az)n + yy (Ay² Az)n + Zz (Az\

+ gxy (Ax A y A z)n + gyz (A y A z²)n ~f⁻ gzx (Ax Az“)n.

Speciell für feste Körper hat man in (1), (3) 3t„ = 9),i = 3,J = 0, wenn die Verschiebungen in üblicher Weise von einem spannungslosen Zustande aus gerechnet werden. Für beliebige (anfänglich) homogene Körper sind Klammersummen gleichen Ausdrucks bei allen Punkten m (x, y, z) gleich gross.

§ 54. Spannungen beliebiger Körper. Zweite Ableitung.

Wir wollen hier die Ausdrücke für die Spannungen etwas con-sequenter als in § 53 ableiten, indem wir nur alle diejenigen Glieder vernachlässigen, welche mit Quadraten, Producten oder höheren Potenzen der Dehnungen und Verschiebungen multiplicirt sind. Auch dann kann man die Taylor sehe Reihe

e ² An²

F (An + en An) = F (An) + en An F (An) +    A" (Aw) + ••

mit dem zweiten Gliede abbreclien. Da aber F (A n) —j ¹ +

= F (An) — i -

F (An) — i

cn

ist, so folgt

F (An -f- en Anj — i

¹ + en

= F (An) — i -f F' (An) -

F (A n) — i en A n

- T+Tn

An

und wir erhalten mit

(1)

^ = F' (An) —

F (An) — i

An

aus

§ 52, (1)

fn Xn = ^ m 2 n lF (A n) — ^

Ax 4- A£

An

Ay + Ay

An

(2)

fn Zn = ^ m ^ n [F (A n) — «]

+ ^ ™    Af JgAT? e»

71    ⁷¹

Az + A£

An

Subtraliirt man hiervon die entsprechenden Gleichungen § 52, (2), so ergeben sich mit den dortigen Bezeichnungen (3) die Compo-nenten der schliesslichen Totalspannung Bn des Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n in den Richtungen x, y, z

'Xn = 3e„ - in + J~Fj m 2 n [F(Am) - fl I

⁷¹ n

(3)

Y. = %-rtn+fĘm'F,n[F{^n)-i\ |

Zn

<l

unter dcn, $)„, 8» die entsprechenden Anfangsspannungen verstanden.

Die Gleichungen (3) sind unabhängig davon, ob die Spannungen stetige Functionen des Ortes sind oder nicht. Da jedoch die Verschiebungen bei m stetige Functionen der anfänglichen Richtungen n sein sollen, so hat man nach § 21, (2)

A| = xx Ax -f- xy Ay -f- xz Az,

Ar] = yx AxĄ- yy Ay + yz Az,

A£ = zx Ax -f z,j Ay + z₃ Az; es folgt mit den Bezeichnungen § 52, (3)

T 2 m2n (Aw) ~ % a

§ jtrrc

⁷¹ n

%x (3tn    “l⁻ 'Sy (?)«    ^î») “H (3»    £»)

und damit aus der ersten Gleichung (3) die erste der nachstehenden Gleichungen, während sich die beiden andern in ganz analoger Weise aus den zwei letzten Gleichungen (3) ergeben.

Xn — (1 -f- Xx) (3tre — i») + X,J (D„ — 7]n) 4" Xi (3» — £»)

Ax + A|

1 + «, '

yn — Vx (3t« — §») + (1 + y>j) (Dra - Vn) Ą~ Vz (3« — £»)

(4)

+ 7^ 2m2n'll’en

Aj/ + Arl 1+«, ’

Zu — Sx (3t« - £») -f- Sy (3),J — ^n) -f- (1 -f- 2z) (3« - £«)

+ 4~ 'S n^en

Tn n

A z + A£

¹ + en

Bis jetzt haben wir nur die mit Quadraten, Producten und höheren Potenzen der Dehnungen multiplicirten Glieder vernachlässigt. Da aber

Ax + A|

A| — en Ax 1 + «» '

Ai? — en Ay “ 1 + ’

At — en Az ' 1 + «. ’

so dürfen in (4) auch die gleichzeitig mit en und einem der rechts stehenden Brüche multiplicirten Glieder weggelassen werden. Es entstehen dann mit den abkürzenden Bezeichnungen

Ay -f Ai?

¹ + en

Az -f- A£

= Ax +

= As 4--

(5)

[ln==zy~ 2 m2 n^6n

⁷¹ n

h = y- ^ m nipen As,

\    n n

aus (4) die folgenden Beziehungen.

Xn (1 I X(3tre    %n) ~}~ 'Sy (j^« Vn~) "j” 'S* (3« Sn) I £«;

(G) Yn = yx (3in — |„) + (1 + yy) (3)» — ^«) + yz (3« — Sn) ~b ty«? Zn ⁼⁼ Sx (3t«    ^«) -f" Sy (5)«    ^«) "j⁻ (1 ~f~ 2%) (3» Sn) ~f~ $n •

so können wir, abgesehen von voraussetzungsgemäss zu vernachlässigenden Gliedern wie im vorigen § setzen

en An² = nn An² = xx Ax² -J- yy A y² -f- 0z As²

gxy Ax A y -f gyz A y Az + gzx AzAx. Wird bei Substitution dieses Ausdrucks in (5) entsprechend dem Vorgehen in § 53 die symbolische Bezeichnung

{Ax? Ayb Aza)n — ~ ^m ^ mp

n n

Ax“ A y' A z°

A«s

eingeführt, dann drücken sich in (6) die £?l, t)„, für beliebige Körper mit stetigen Verschiebungen und stetigen oder unstetigen Spannungen bei m {x, y, z) wie folgt aus.

ln = Xx (Ax\ + yy {Ax Ay²)n -f- e, {Ax Az²)n

+ 9xy (Ax² Ay)n -f gyz {Ax A y Az)n “f" Qzx {Ax Az^nj

l)n = Xx (,Ax² Ay)n + y y (A f)n + zz {Ay Az%

(8)

§ 5, (1)

Die Dehnung en ist durch § 25 bestimmt. Weil aber nach

6n - Mn -f"

rn - en

H⁻ 9xy {Ax Ay -J- gyz ( Ay Az)n + <jzx {Ax Ay Az)n,

ln = Xx {Ax² A z)n -f y y {Ay² Az)n + zz (A zA)n

+ 9xi/ (Aæ Ay Az)n -f gyz (Ay Az²)n "f⁻ gzx {Ax Az .

Für feste Körper und beliebige homogene Körper gilt das am Schlüsse des § 53 Gesagte.

§ 55. Körper mit Elasticitätsaxen. Erste Ableitung.

Als Elasticitätsaxe bei Punkt m {x, y, z) bezeichnen wir jede durch m gehende Gerade, bezüglich welcher vor Eintritt der betrachteten Verrückungen die auf m wirkenden Punkte nach Ort, Masse und Kraftäusserung symmetrisch angeordnet waren (§ 2). Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass Elasticitätsaxen bei m für die Punkte des Flächenelements fn als parallel gelten können. Etwaige Unstetigkeiten sind nach den Angaben in §§ 8, 13, 21 zu behandeln.

Wir gehen zunächst von § 53 aus. Existirt irgend eine Elasti-citätsaxe bei m, so kann man sich die x-Axe parallel derselben gelegt denken, womit alle Summen der Form

y- m ^ncp(An,i, iQ) Ax? Aïf AzP

für fn = fx verschwinden, wenn b oder c eine ungerade ganze Zahl bedeutet. Wir erhalten also aus § 53, (3) mit n = x

Xx 3ix    Isx ~(“ Xx(^Ax )a: “f" yyi^Xx Ay }.c “l⁻ Zz{Ax A.3“)x,

(1)

Yx = gXy(Ax Ay )X;

Zx ⁼⁼⁼ 0zx (AX A **), .

Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass vor Eintritt der Verschiebungen die Spannungen auf Flächenelemente senkrecht zu Elasticitätsaxen Normalspannungen sind, wie schon aus dem Begriffe der Elasticitätsaxen folgt.

Kommen bei m zwei zu einander senkrechte Elasticitätsaxen vor, so legen wir ihnen die a:-Axe und y-Axe parallel. Die obige Doppelsumme verschwindet dann auch für fn = fy, wenn c oder a eine ungerade ganze Zahl ist, und nach § 53, (3) gelten neben (1) die Gleichungen

Xy — ffxy{Ay A#²)y,

(2)

'    = % — rjy + xx(Ay Ax²)y + yy(Ays)y + 0,(Ay As²)

Zy = gyz(Ay As²)y.

Hat man schliesslich drei zu einander senkrechte Elasticitätsaxen bei m, so denke man sich denselben die drei Coordinatenaxen parallel gelegt, womit die obige Doppelsumme noch für fn — fz verschwindet, wenn a oder b eine ungerade ganze Zahl ist. Es bestehen also nach § 53, (3) neben (1) (2) auch die folgenden Beziehungen

Xz = gzx( AsAx²)

(3)

Yz = gyz(As Ay²)

Zz = 3£₂ —    + xx(As Ax²)z + yy(AsAy²)z -f- *,(As*)z.

Für Flächenelemente beliebiger Normalenrichtungen n bleiben in allen Fällen die Gleichungen des § 53 bestehen. Für feste Körper sind Hn —    = 3» = wenn wie gewöhnlich die Verschiebungen

von einem spannungslosen Zustande aus gerechnet werden, und für beliebige homogene Körper sind in allen Punkten m die Elasticitätsaxen parallel und Klammersummen gleichen Ausdrucks von gleichem Werth.

§ 56. Körper mit Elasticitätsaxen. Zweite Ableitung.

Wir haben hier auf Grund der Gleichungen des § 54 genau ebenso zu verfahren, wie im vorigen Paragraph auf Grund derjenigen des § 53.

Denkt man sich die x-Axe parallel einer Elasticitätsaxe bei m gelegt, so ergeben sich aus § 54, (6)—(8) mit n — x

Xx — (1 —J⁻ xx)(ßix    lax) H⁻ xx(Ax )x —f- yy(J\x Ay )x

(1)

+ zz(Ax Az²)x,

Yx = . Xx —

yx (j^x    -}- 9^y{.Ax Ay )Xf

&x (3*x    "I⁻ $zx(Ax Az )x .

Auch hier sind die Spannungen auf Flächenelemente senkrecht zu Elasticitätsaxen vor Eintritt der Verschiebungen Normalspannungen.

Kommen zwei zu einander senkrechte Elasticitätsaxen bei m vor, so legen wir denselben die x-Axe und y-Axe parallel und erhalten neben (1) die folgenden Gleichungen

Xy =

Yy = C¹ + 2/y)(Dy ~ Vy) + ^(Ay Ax\ + y,j(Ay%

%y (Dy %j) “h 9xy{Ay Ax )y,

+ zz(AyAz²)

&y (Dy Vy) “f" 9y* (Ay Az*)y .

(2)

Zy —

Existiren schliesslich drei zu einander senkrechte Elasticitätsaxen bei m, und legen wir denselben die drei Coordinatenaxen parallel, dann entstehen neben (1), (2) noch die weiteren Beziehungen:

Xz (8* — tz) + 9zX{AzAx²) Vz (8* — w + 9y*(Az Ay*)

Xz =

(3)

rz =

Xz — (1 -f-    — &s) + xx(Az Ax*)- + yy(Az Ay*)z

+ zz(Az%.

Für Flächenelemente beliebiger Normalenrichtungen n bleiben die Gleichungen des § 54 bestehen. Bezüglich fester Körper und beliebiger homogener Körper gilt das am Schlüsse des vorigen Paragraphen Gesagte.

§ 57. Beliebige isotrope Körper. Erste Ableitung.

Ein Körper heisst hinsichtlich eines seiner Punkte m isotrop, wenn alle durch m gehenden Geraden Elasticitätsaxen sind, wenn also vor den betrachteteten Verrückungen die auf m wirkenden Punkte in Bezug auf jede durch m gelegte Gerade nach Ort, Masse und Kraftgesetz symmetrisch angeordnet waren (§ 55). Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass wenigstens für die in Frage kommenden Punkte eines Körperelements bei m Isotropie bestehe. Der Punkt m lag vor den Verrückungen bei x, y, z und liegt nach denselben bei x -J- §, y -f- rj, z -J- £. Etwaige Unstetigkeiten sind nach §§ 8, 13, 21 zu behandeln. Ein Körper kann in obigem Sinne nie bis zu seiner Oberfläche isotrop sein, doch lassen sich die eventuellen Wirkungen der nach Aussen fehlenden Punkte durch Oberflächenkräfte ersetzen.

Da für alle Punkte unseres Körperelements bei m je drei zu einander senkrechte Gerade Elasticitätsaxen sind, so gelten sämmt-liche Gleichungen der zwei letzten Paragraphen für beliebige Richtungen der Coordinatenaxen. Da ferner die wirkenden Punkte bezüglich jedes durch m gelegten Schnittelements gleich angeordnet waren, so haben wir nach § 52

= % = 8c = —

(1)

Ix Ky — Lz —

Ir.

èx 'Y]y ⁼⁼    -

Die erste Gleichung zeigt, dass vor den betrachteten Verrückungen die Spannungen aller dem Funkte m anliegenden Flächenelemente gleich grosse Normalspannungen waren. Wir konnten hierauf schon aus §§ 55, 56 schliessen. In (1) ist Ir zunächst als Bezeichnung aufzufassen. Wenn jedoch angenommen wird, dass ausser Entfernungsänderungen der Körperpunkte nur Temperaturänderungen die Spannungen beeinflussen, so hat man r als die während der Verrückungen eingetretene Temperaturänderung bei m anzusehen (§ 52).

Wir fassen nun zunächst die in §§ 53, 55 erlangte Annäherung ins Auge. In den dortigen Gleichungen gilt die symbolische Bezeichnung

(2)

(Atf* Ayb Az°)n = 7- ^m^nF' (An)

Axa Ayb Az°

Ar

(3)

und wegen gleicher Anordnung der wirkenden Theilchen bezüglich jedes durch m gelegten Schnittelements sind von gleichem Werthe (A4 = (A y\ = (Azz)z = F,

(4) (Ax A y²)x — (A x Az²)x = (A y Az²)y = (A ij Ax²)y — {A z Ax²)z

= (Az Ay²)z — G.

Es ergeben sich also aus § 55 mit der abkürzenden Bezeichnung

(5)

p = P Ir — Ga die Spannungen auf Flächenelemente der anfänglichen Normalenrichtungen x, y, z

(6)

Xx = (F-G)xx-p,

Yy = (F— G)yv — p

Zz = (F — G)zz — p,

Zx — Xz = Ggzx.

(7) Xy = Yx = Ggxy, Yz = Zy — Ggy

Durch Substitution dieser Xx, Xy> Xz in die erste Gleichung § 35, (2) entsteht

Xn = G [ 2xn cos (nx) -j- 9xy cos (ny) -f- gyz cos (ne) I — p cos (nx)

-f- (F — 3 G)xx cos (nx),

oder mit Rücksicht auf § 23, (3) die erste der folgenden Gleichungen, während die beiden andern in ganz analoger Weise aus den zwei N letzten Gleichungen § 35, (2) hervorgehen.

Xn — Ggnx —p cos (nx) -f- (F— 3 G)xx cos (nx),

(8)

Yn = Ggny — p cos (ny) + (F — 3 G)yy cos (ny),

Zn = Ggnz — p cos (ne) -f- (F — 3G)ez cos (ne).

Multiplicirt man hier der Reihe nach mit cos (sæ), cos (sy), cos (se) und addirt, so ergibt sich wegen § 33, (2) und § 23, (4) für das Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n die Componente der schliesslichen Totalspannung Bn in beliebiger Richtung s

Sn — Ggns — p cos (ms) -J- (F — 3G)[xx cos (nx) cos (sx)

(9)

+ yy cos (ny) cos (sy)

-f- e» cos (ne) cos (sF)].

Specielle Fälle dieser allgemeinen Formel bilden die Gleichungen

(6) (8).

Da die Coordinatenaxen beliebige zu einander senkrechte Richtungen erhielten, so haben wir nach (7) allgemein

(10)

für sl«,

Soll (9) für beliebige rechtwinklige n, s das gleiche Resullat liefern, so muss sein:

(ii)

F=3G,

(12)

und damit folgt die für beliebige n, s gültige Beziehung Sn = Ggns —p cos (ns).

Dieselbe liefert mit s — n wegen gnn — 2nn die Normalspannung

(13)

Nn = 2Gnn — p,

und mit s = x, y, e die Componenten von Rn in den Richtungen

», V, *

Xn = Ggnx — p cos (nx),

(14)

Yn = Ggny — p cos (ny),

Zn = Ggnz — p cos (ne).

Hieraus folgen dann wieder mit n = x,y, e

(15) Xx = 2 Gxx — p, Yy = 2Gyy — p, Zz = 2Gez—p,

während die Gleichungen (7) ungeändert bleiben. Auf (14) hätten wir auch aus (8) und auf (15) aus (6) oder (13) schliessen können.

Durch Addition der drei letzten Gleichungen ergeben sich noch mit Rücksicht auf (5)

(16)

(17)

Q = 2Gco - 3p = 5G« - 3(P + Jz), P = |(p +

sodass wir p durch die Spannungen oder Verschiebungen ausdrücken können.

(18)

Gns = Sn + Ns — 2 Sn,

•Aus (12) folgt allgemein Sn--Ns ,

es lassen sich also, wie auch schon aus (7) oder (10) folgt, mit der hier erreichten Annäherung alle Spannungen als Potentialspannungen an-sehen, wir hätten die Ableitungen nach Feststellung der Gleichung

(14) abbrechen und auf die Beziehungen des § 49 verweisen können, welche für beliebige isotrope Körper mit p nach (5) oder (17) Gültigkeit erlangen. Die Gültigkeit besteht so lange, als etwaige Aenderungen des nach (4) nur vom Anfangszustand abhängigen Gleitungscoefficienten G gegen diese Grösse selbst verschwinden. Da nach (10) Gns und gns für die gleichen zu einander senkrechten n, s verschwinden, so stimmen die anfänglichen Bichtungen der Punkte, für ivelche die Hauptverschiebungen eintrctcn, mit den anfänglichen Normalenrichtungen derjenigen Flächenelemenle überein, welchen die Hauptspannungen entsprechen. Speciell für Potentialverschiebungen bestehen die Gleichungen (13) bis (18) des § 49.

§ 58. Beliebige isotrope Körper. Zweite Ableitung.

Das zu Anfang des § 57 und bezüglich der dortigen Gleichungen (1) Gesagte behält auch hier Gültigkeit. Im Weiteren haben wir jedoch von den Formeln der §§ 54, 56 auszugehen. Für diese besteht die symbolische Bezeichnung \Axa A yh A ßc)n

(i)

F(An) — il A.);“ A y¹' A

An

Aw²

(2)

sodass wegen gleicher Anordnung der wirkenden Punkte bezüglich jedes durch m gelegten Schnittelements nun gleichwerthig sind (Aar% = (Ay³)v = (A0³)* = K,

(3)

(AxA y²)x = (AxAz*)x = (Ay Az*)y = (Ay Ax²)y

= (A#Ax²)z = (Ae Ay²)z = H. Während bei der im vorigen Paragraph erlangten Annäherung F, G von F’(An) und i unabhängig waren, sind letztere Grössen auf K, H von Einfluss.

10

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

X, = (2 G + X- 3 H)xx - p,

(6)

Aus § 56 ergeben sich mit (2) (3) und den abkürzenden Bezeichnungen

p — P -f- Jt — Ha ,

2G = 2H-P -Jt, die Spannungen auf Flächenelemente der anfänglichen Normalenrichtungen x, y, s

(4)

(5)

Yy = (2G + X- 3H)yy—p,

Zz = (2G + X- 3H)z, —p,

Xy =    Hgxy    (P -f- Jt)xy,    Yx = Hgxy    (P    -f- Jt)yx,

(7)    Yz =    Hgyz —    (P + Jt)yz,    Zy = Hgyz    — (P    + Jt )eyt

Zx =    Hgzx —    (P + Jt)sx,    X₂ = Hgzx    — (P    + Jt)xz.

Durch Substitution vorstehender Xx, Xy, Xz in die erste Gleichung § 35, (2) erhalten wir

= H[2xx

(nx) -f- gxy cos (ny) -f- gzx cos (w$)] (P -f- Jt)\xx cos (nx) + xy cos (ny) + xz cos

cos

— p cos (nx) -f- (.K — 3H)xx cos (nx),

und mit Rücksicht auf § 21, (2) und § 23, (3) die erste der folgenden Gleichungen, während die beiden anderen in ganz gleicher Weise aus § 35, (2) hervorgehen.

'Xn = Hgnx — (P + Jt)xn — p cos (nx)

-f- (X — 3H)xx cos (nx),

(«)

Yn = Hgny — (P + Jt)yn — p cos (ny)

+ (X— 3H)yy cos (ny),

Zn = Hgnz — (P + Jt)sn — p cos (ns)

-f- (X — 3 H)sz cos (ns).

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit cos (sx), cos (sy), cos (ss) und addirt, so ergibt sich bei Beachtung von § 4,

(8) und § 23, (4) für das Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n die Componente der Totalspannung JRn in beliebiger Richtung s

(9)

Sn = Hgns — (P + Jt)sn — p cos (ns) + (X— 3H)[xx cos (nx) cos (sx)

+ y y COS (ny) cos (sy)

+ sz cos- (ns) cos (s#)j.

Specielle Fälle dieser allgemeinen Beziehung bilden die Formeln

(6)—(8).

Die Componente der Totalspannung Bs des Fläclienelements der anfänglichen Normalenrichtung s in der Richtung n ist nach (9) Ns = Hgns — (P -f Jr)ns — p cos (ns)

-f- (K — 3H)\xx cos (nx) cos (sx)

-f yy cos (nij) cos (sy)

+ zz cos (nz) cos (s#)] •

Durch Addition der beiden letzten Gleichungen entsteht mit Rücksicht auf (5) und gns = sn -j- ns

(10)

= Sn -J- Ns = 2Ggns — 2p cos (ns) -)- 2(K — 3H)\jcx cos (nx) cos (sx) -{- yy cos (ny) cos (sy) -f- zz cos (nz) cos (s#)] , und durch Addition der zwei ersten Gleichungen (7)

Gns ⁼⁼ 2Ggxy.

(U)

Gns — 2Ggns.

Soll (10) für beliebige rechtwinklige n, s das gleiche Resultat liefern, dann muss sein

Da aber die Coordinatenaxen beliebige zu einander senkrechte Richtungen erhalten haben, so ist allgemein für s _L n

(12)

K = 3 H,

• und damit folgen aus (10) (9) die für ganz beliebige n, s gültigen Beziehungen

(13)

Gns = 2Ggns — 2p cos (ns),

Sn — Hgns — (P -j- Jr)sn — p cos (ns)

= 2Gsn — H(sn — ns) — p cos (ns).

Aus (14) erhält man mit s — n die Normalspannung

Nn — 2Gnn — p, und mit s — x,y, z die Componenten von Bn in diesen Richtungen Xn = Hgnx — (P +    Jt)xn    — p    cos    (nx),

Yn = Hgny — (P +    Jt)yn    —p    cos    (ny),

Zn = Hgnz — (P +    J*)zn    — p    cos    (nz).

Hieraus folgen wieder mit n — x, y, z (17) Xx = 2Gxx—p, während die Gleichungen (7) ungeändert bleiben. Auf (16) hätten wir auch aus (8) und auf (17) aus (6) oder (15) schliessen können. Die Formeln (16) und (7) lassen sich mit Rücksicht auf den zweiten

(14)

(15)

(16)

Yy = 2Gy,j—p, Zz = 2Gzz — p

io*

Ausdruck (14) noch anders als oben schreiben. Durch Addition der drei letzten Gleichungen entstehen bei Beachtung von (4)

(18) Q = 2Gco — dp = (hH— P — Jt)œ - 3(P -f Jr),

(19)

2G(P + Jr) — HQ 4: G (II — G) — HQ

5 H — P + Jr

2G + 3H >

womit p auch durch die Spannungen ausgedrückt ist. Da nach (14)

Ns = Hgns — (P -\- Jr)ns — p cos (ns), so haben wir nur dann Ns = Sn und Potentialspannungen, wenn entweder ns = sn ist und also ein Potential der Verschiebungen existirt oder P -f- Jr gleich Null gesetzt werden kann oder schliesslich die mit P -f- Jr multiplieirten Glieder zu vernachlässigen sind. Dagegen verschwinden nach (11) Gns und gns für die gleichen zu einander senkrechten n, s, so dass wie bei der vorigen Ableitung die anfänglichen Pichtungen der Punkte, für welche die Hauptverschiebungen eintreten, mit den anfänglichen Normalenrichtungen derjenigen Flächenelemente übereinstimmen, welchen die Hauptspannungen entsprechen. Für Potentialspannungen gelten mit p, G nach (4), (5) die Gleichungen des § 49, welcher auch die speciellen Formeln für Potentialverschiebungen enthält. Selbstverständlich bestehen alle abgeleiteten Beziehungen nur so lange, als die Aenderungen von G und H gegen diese Grössen selbst verschwinden. Für P = 0, Jr = 0 hat man H — G und stimmen dann die Formeln dieses und des vorigen Paragraphen bis auf den Ausdruck für G überein.

§ 59. Isotrope feste Körper.

Für feste Körper sollen wie in §§ 47, 49, 50 die Verschiebungen von einem Zustande aus gerechnet werden, in welchem alle Spannungen gleich Null sind. Wir haben es hier speciell mit isotropen festen Körpern zu thun.

Erste Ableitung. Es gelten die Gleichungen des § 57 oder

§ 49 mit

(1)

p — Jr — Go =

Wesentliche Vereinfachungen treten nicht ein. Die folgenden Beziehungen sind im Hinblicke auf das Bedürfniss gegeben, G und J experimentell zu bestimmen.

Da G, J nur von der anfänglichen Gruppirung der Punkte abhängen, so kann man von beliebigen Verschiebungen ausgehen. Es möge beispielsweise

für Yy — Zz — 0 und r — 0

P = 0,

(2)

■Xj; - EXx

bezeichnet sein; dann folgt aus

§ 57, (15)

_ 2G 1 — E

Weil aber im vorliegenden Falle nach (1)

P=~-5 =-so liefert die vorhergehende Gleichung

(3)

G=~E.

5

Setzen wir ferner

(4)

für Xx — Yy — Zt — 0, so ergiebt sich aus (1) und § 57, (15)

0CX    y y - 0 z - CCT y

JP

2G —5Gr — ar’

das heisst

(5)

J — öGa = 2 Eci.

Direct lässt sich J bestimmen, wenn man für xx — yy = 0z — 0

(6)

XX = Yy = Zz — N„ — Jt

misst.

Die Beziehungen (3), (5) folgen noch schneller durch Vergleichung von (1) mit dem für Potentialverschiebungen in § 48 auf Grund der Erfahrung erhaltenen Wertlie

s — 2 T    £2

—t—r Jt--t

s + 1

T 2 G

p = Jt —J^co

worin bei der obigen Bedeutung von E, a

zE = (£ + l)26r = S—— J

ist. Sollen beide Ausdrücke für p übereinstimmen, so müssen t die Temperaturänderung und

J=5Ga = 2Ea

£ == 4,

sein. In §§ 47, 48 wurden E, G, J, r als Elasticitätsmodul, Glei-tungscoefficient, Temperaturcoefficient und Ausdehnungscoefficient bezeichnet.

Zu beachten ist, dass sich die vielumstrittene Beziehung (3) hier ohne Annahme einer continuirlichen Materie ergab, welch7 letztere Anschauung schon Lamé im Gebiete der Elasticitätslehre als unberechtigt verworfen hat.

Zweite Ableitung. Es bestehen die Beziehungen des § 58 mit

(7)

2 G = 2H — Jt,

P = Jt — II03 —

-2GJt - HO.

(8)

Auch hier treten keine wesentlichen Vereinfachungen gegenüber den Formeln für beliebige isotrope Körper ein.

Ein wesentlicher Unterschied gegenüber der vorigen Ableitung besteht darin, dass jetzt der Gleitungscoefficient G von i, x abhängt und also je nach Umständen verschieden sein kann. Auch H wird nach § 58, 3 durch das scliliessliche i beeinflusst. Speciell für Yy — Zz = 0 und x = 0 erhalten wir, wie oben vorgehend,

H=\\E.

O

mit Xx — Exx

Aber selbst hierin ist H und damit E direct von dem ungeändert gebliebenen i₀ abhängig, während im vorigen Falle i₀ für E nur indirect insofern in Frage kam, als es die Gruppirung der Punkte im spannungslosen Zustande beeinflussen konnte.

Die Grösse J ist wie bei der ersten Ableitung ausgedrückt, hängt also nur von der anfänglichen Gruppirung der Punkte ab und lässt sich nach (6) bestimmen. Wollte man auch wie oben

für Xx=Yy = Zz = 0

xx — yy — 3z — ax

setzen, so würde nach (8) mit § 58, (17)

Jt

V _

5 H — Jx

2 G    ’

das heisst

J==

5a    TT

1 -f- U T }

worin aber H selbst vom schliesslichen i abhängt. Dagegen muss der Ausdruck rechts im Ganzen während der Verschiebungen constant sein, so lange J als unveränderlich gilt.

Bei allen festen Körpern ist a ein sehr kleiner Werth (für Eisen etwa 0,000012, für Glas 0,0000086), so dass angenähert

J = 5Hcc.

Hiernach ist wieder J sehr klein gegen H und vernachlässigt man demgemäss in (7), (8) die mit J behafteten Glieder, so folgen

p — Jx — G co = ^r-Jx — y ,

welche Beziehung mit (1) übereinstimmt, nur dass G von anderem Ausdrucke ist und etwas vom schliesslichen i abhängt. Vernachlässigen wir consequenter Weise auch diesen Einfluss und lassen in §58 die mit Jx und einer Verschiebung multiplicirten Glieder weg, so stimmen für isotrope feste Körper die Gleichungen beider Ableitungen überein und alle Spannungen werden Potentialspannungen. Für technische Zwecke genügen die Beziehungen der ersten

Ableitung immer, und bei Verwendung der bisherigen experimentellen Ergebnisse ist überhaupt eine grössere Genauigkeit als die dort erzielte nicht erreichbar. Dagegen dürfte die zweite Ableitung über manche Abweichungen Aufschluss geben, welche gegenüber den Resultaten der ersten Ableitung auftreten.

§ 60. Flüssigkeiten. Aether.

lässt sich vermuthen, dass die in §§ 45, 46 gefundenen

so

Die Flüssigkeitsbewegung bei einem Flüssigkeitspunkte m kann nach den für isotrope Körper gültigen Beziehungen der §§ 57, 58 jedenfalls nur dann beurtheilt werden, wenn vor Eintritt der Verschiebungen die Spannungen für alle m anliegenden Flächenelemente gleich gross sind (§ 57) und während derselben die Aenderungen von G, H gegen diese Grössen selbst verschwinden. Da letztere Bedingung für Bewegungen in einem Zeitelemente dt immer zutrifft,

Beziehungen für vollkommene Flüssigkeiten und reibende Flüssigkeiten auch aus den Formeln der §§ 57, 58 hervorgehen, weil für alle einem Punkte anliegenden Flächenelemente der Druck bei ersteren immer von einerlei Werth ist, bei letzteren aber wenigstens bei Bewegungen vom Gleichgewichtszustände aus. In § 50 ist denn auch die betreffende Specialisirung für Potentialspannungen gezeigt und solche kommen nach § 58, (14) bei unendlich kleinem (P -f- Jz)dt allein vor.

Es handelt sich jetzt noch um endliche elastische Verschiebungen isotroper Flüssigkeiten. Wir beschränken die Untersuchung auf Fälle, in welchen

(1)

Xx= Yy = Zz = Nn — — p,

(2)

Xy=Yz = Zx=Tn = 0

gesetzt werden können. Da die Componente der Totalspannung lin eines Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n in beliebiger Richtung s nach der ersten Ableitung § 57 mit gm = sn -f- ns

Sn = Ggns — p cos (ns)

und nach der schärferen zweiten Ableitung in § 58 Sn = 2 GSn — H(sn — Hs) -p COS (ws),

so wird mit der Annahme (1), (2) vorausgesetzt, dass in vorstehenden Ausdrücken die mit Verschiebungen behafteten Glieder verschwindende Grössen gegenüber Sn sind. Dies trifft z. B. zu im ersten Falle für G = 0 und sn = ns (Potentialbewegung), ohne dass diese Bedingungen jedoch nöthig wären.

Fasst man eine unendlich kleine Bewegung ins Auge und bezeichnet durch V das anfängliche specifische Volumen bei m, so folgt aus dem der ersten Ableitung entsprechenden p <= P -f- Jt — G ca, mit p — P = dP, o V = dV

VdP = JVdr — GdV.

Das Mariotte-Gay-Lussać sehe Gesetz PV = B(a -j- t), in welchem JR, a Constante und t die Temperatur nach Celsius bedeuten, gibt speciell für Gase

VdP = II dt — PdV,

es wären also in diesem Falle

G = P,

JV = II,

dt = dt,

und bestätigt sich, wie schon bei festen Körpern, dass t die Temperaturänderung ist. Nach der zweiten Ableitung tritt nur H an Stelle von G.

Man nimmt an, dass der freie (interstellare) Aether ein homogener isotroper Körper ist, welcher elastische Schwingungen fortpflanzt, ohne sich dabei zu erwärmen. Die Wechselwirkung der Aethertheilchen soll nur von ihren Massen und Entfernungen ab-hängen, t — 0 sein. Ist diese Voraussetzung bei m erfüllt, dann gelten nach der ersten Ableitung die Gleichungen des § 57 mit

p = p _ Gco = y (2P — ß)

und nach der zweiten diejenigen des § 58 mit

p — P — Hco =

2GP — JfQ

Setzt man den Druck im ungestörten Zustande P = 0, so ergeben sich die Gleichungen, welche bei x — 0 für isotrope feste Körper bestehen.

VIII. Abschnitt.

Beweguiigsgleichungen. Verschieb uiigsarbeit.

Nachdem uns die Untersuchungen der zwei letzten Abschnitte zu Beziehungen zwischen Spannungen und Verschiebungen oder Verschiebungsgeschwindigkeiten fester und flüssiger Körper geführt haben, können die gefundenen Ausdrücke in den für beliebige Körper früher entwickelten Gleichungen Verwendung finden. Bezüglich der Bewegungsgleichungen für Körperelemente und des Ausdrucks für die Verschiebungsarbeit soll die fragliche Speciali-sirung hier vorgenommen werden. Weitere Untersuchungen werden sich anschliessen. Die Resultate gelten natürlich nur so lange wie die erwähnten Beziehungen, also im Allgemeinen für gegen 1 verschwindend kleine Verschiebungen, und bei festen Körpern, so lange wir unter der Elasticitätsgrenze bleiben (§ 51).

§ 61. Beliebige Körper.

Ein Körper bewege sich hinsichtlich eines beliebig bewegten Coordinatensystems. Für ein Element der Masse fidK, welches bei der Abgrenzung parallelepipedische Form, Kanten dx, dy, dz vom Körperpunkte m (x, y, z) aus in den Richtungen x, y, z und also das Volumen dK — dx dy dz hatte, seien zur Zeit t die speci-fischen Massenkräfte und Beschleunigungen hinsichtlich unseres Coordinatensystems in den Richtungen x, y, z durch X, Y, Z und px, py, Pz bezeichnet. Dann bestehen nach §§ 11, 35 zur Zeit t die folgenden Gleichungen

(dXr dX dX

\-d + W + TT '“ fCfc - *)’

(1)

dx ' dy ' dz

dzx dzu dzz

dx

+ -w+-w=^ ^

Multiplicirt man dieselben der Reihe nach mit cos (sa:), cos (sy) cos (sz), addirt und setzt

(2)

ps = Px cos (sx) + py cos (s y) + pzcos (se),

S — X cos (sx) -f- Y cos (s y) -f- Z cos (s Y),

womit ps die Accélération und S die specifisclie Massenkraft unseres Theilcliens in der beliebigen Richtung s bedeuten, dann erhält man wegen § 3, (5) und § 33, (2) die allgemeinere Bewegungsgleichung

dSr dS„ dSz

■sî + tï + st-k*-⁸)’

welche beispielsweise mit s — x, y, z die Beziehungen (1) liefert. Speciell für Potentialspannungen lässt sich die Gleichung (4) auch schreiben

(3)

(4)

0*.    / ex

+    = P(Ps — S),

welche Form selbstverständlich ebenfalls auf (1) führt.

Erste Auffassung. Nach der in § 11 gegebenen ersten Auffassung der Bewegungsgleichungen bedeuten x, y, z die augenblicklichen Coordinaten der Körperpunkte und y die augenblickliche Masse der Volumeneinheit. Die Spannungen sind im Sinne des § 3 aufzufassen, das Massenelement hat man sich zur Zeit t abgegrenzt zu denken.

Die Beziehungen (1) bis (5) bestehen für jedes Theilchen y dK zu jeder Zeit t. Fassen wir verschiedene solcher Theilchen zu verschiedenen Zeiten ins Auge, so werden die Geschwindigkeiten u, v, w wie alle andern in den Formeln auftretenden Grössen Functionen von x, y, z, t. Die vollständige Aenderung der Geschwindigkeit u eines Theilchens im Zeitelement dt drückt sich also aus

(5)

02,

dx

dy

du

du = ^dt + Txdx + j^dy + Tg dz,

worin dx, dy, dz die Wege des Theilchens in den Richtungen x, y, z während der Zeit dt bedeuten. Da hiernach

dx = udt,

so liefert die darüberstehende Gleichung die erste der folgenden Beschleunigungen, während sich die beiden anderen in ganz analoger Weise ergeben.

dy = v dt.

dz — wdt,

du

du du . du

v* = St “ 07 +

dv    dv    . dv    . w    .    „„

P‘’⁼⁼-dt^rt + d^u + ^v + uw’

dw    dw    . dw    . div    .

dt=-dt+-^u + 7ïv +

Führen wir noch die Geschwindigkeit unseres Massenelements in der beliebigen Richtung s ein

(6)

Pz =

dx

dv

v + Jl w>

dv

dw * -ö— w. dz

CO

s — u cos (sx) -j- v cos (sy) w cos (sz), dann folgt aus (2), (6) für ps in (4) die Formel

ds ds , ds

p* = in ⁼ dt +

welche die Gleichungen (6) mit enthält.

Als Verschiebungsarbeit im Zeitelement dt haben wir nach § 42, (7) mit den Bezeichnungen des § 28 für einen beliebigen Körper oder Körpertheil

(0) dB = dt J(Xx ux -{- Yy v,j -f- Zz wz -j- Xy yxy    Yz y,JZ -j- ZxyZx) dK.

Das Integral ist auf alle Elemente dK auszudehnen.

Zweite Auffassung. Nach der in § 35 eingeführten zweiten Auffassung der Bewegungsgleichungen beziehen sich die Coordinaten x, y, z der Körperpunkte und die Masse y pro Volumeneinheit auf eine beliebige Zeit t₀. Die Spannungen hat man im Sinne des § 33 aufzufassen und das Körperelement zur Zeit t₀ abgegrenzt zu denken.

Zur Zeit t des Bestehens der Gleichungen (1) bis (5) hat das Massenelement nicht mehr parallelepipedische Form und ist nach y -f- y\, z Ą- l gelangt, wobei £, y, £ beliebig grosse Functionen der anfänglichen Coordinaten x, y, z bedeuten. Die Beschleunigungen in (1) aber drücken sich jetzt nach § 35 aus

__ d w    dn

lh — dt    dt* '

(8)

dx

(10)

du

d²i

dv

ds

dy

V -f-

d²rj

lhj dt ~ dt²’

ds

Wenn ferner für unser Theilchen in der beliebigen Richtung s 6 — £ cos (sx) -f- rj cos (sy) -f- £ cos (sz)

den Weg von t₀ bis t und s die Geschwindigkeit zur Zeit t bedeuten, so folgt aus (2) mit (10)

CH)

_ L⁶

dt² '

Als Verschiebungsarbeit von t₀ bis t haben wir nach § 41 für einen beliebigen Körper oder Körpertheil

B = Jd'dK,

worin alle Elemente dK zu berücksichtigen sind und

t

ü =J'(Xxdxx    Yydy,j -j- Zzdzz -}- XvdXy -f- Yxdyx -j- Yzdyz

-j- Zydsy -f- Zx dzx -j- Xzdxz)

(12)

(13)

(14)

to

Ps =

<?*• I Co

die specifische Verschiebungsarbeit bei m bedeutet.

§ 62. Die Continuitatsgleicłuing. Condensation.

Für irgend ein bestimmtes Massentheilchen sei 6 die positive oder negative Zunahme der specifischen Masse pro anfänglicher Masseneinheit derselben und damit bei constanter Accélération g auch die Zunahme des specifischen Gewichts pro anfänglicher Gewichtseinheit des letzteren. Bezeichnet dann wie früher x die Dilatation unseres Theilchens vom Anfangsvolumen Vv und der anfänglichen specifischen Masse g, dann besteht der constanten Gesammtmasse wegen die Beziehung

t*v= K¹ + *)(1 + *) v,

(1 + <f) (1 + x) — 1.

Wir werden dieselbe in ihren verschiedenen Formen Continuitäts-gleichung nennen, während 6 Condensation heissen mag. Für Verschiebungen der hier allein interessirenden Art ist 1 -f- x und damit auch 1 -f- 6 durch § 27, (8) bestimmt. Ist x gegen 1 verschwindend klein, dann gilt nach (1) das Gleiche für 6 und wird <5x eine kleine Grösse zweiter Ordnung. Darf also x = co gesetzt werden (§ 32), so lautet die Continuitätsgleicliung

ß> + ff = 0,

Mit diesem Falle haben wir es im Folgenden zu thun. Für incompressible Körper wären 0, co gleich Null.

Erste Auffassung. Es handle sich um die erste Auffassung der Bewegungsgleichungen und Spannungen. Dann beziehen wir in (2) den Anfangszustand auf die Zeit t und haben für das Zeitelement dt

(i)

(2)

<o = “,5 = 0i +

(3)

<5 =

dg

CO — Qdt,

unter

(4)

dv . dw

+ Ts

Q =

die Dilatationsgeschwindigkeit verstanden. Die Contunitätsgleichung lautet also

dy

^LJrilQ== 0.

Da sich die Coordinaten x, y, z unseres Theilchens fortwährend ändern, so wird g von x, y, z, t abhängig, wir erhalten

(5)

dg -f- gco — 0,

Tt dt + |£ dx + ff dV + Tb d*>

worin dx — udt, dy — vdt, dz = w dt die Wege des Theilchens in den Richtungen x, y, z für die Zeit dt bedeuten. Daher entsteht aus (5)

dg =

dg

(6)

8 fi

dt

u -j-

i v

®+ »

re

und hieraus durch Addition der mit y multiplicirten Gleichung (4)

8 (iv

V ÇM | O fl U

8t * 8x

Die speciellen Formen (6); (7) von (2) werden gewöhnlich (für Flüssigkeiten) als Continuitätsgleichung bezeichnet und wie folgt abgeleitet.

Man denke sich zur Zeit t von m (x, y, z) aus ein parallelo-pipedisches Yolumenelement der Kanten dx, dy, dz abgegrenzt und sehe zu; wie sich die Masse in diesem bestimmten Raume während der Zeit dt unter der Voraussetzung ändert, dass der Raum vom betrachteten Körper eingenommen bleibt. Es tritt in den Richtungen

(?)

8 fi

8y

ein die Masse

ydzdx • vdt,

(jxu -f-    dxj dy dz dt,

{yv -f- ^j^-dyj dzdxdt,

(y w    dz) dxdydt.

Durch Subtraction der drei letzten Ausdrücke von den darüber stehenden und Addition der Reste erhält man die ganze Zunahme der Masse in unserm Raume

ydy dz ■ udt,

ydxdy • ivdt,

aus die Masse

Diese Zunahme kann man aber auch ausdrücken

8 fi

dt-dxdy dz.

Durch Gleichsetzen entsteht (7) und dann mit Rücksicht auf (4) auch die Gleichung (6).

Zweite Auffassung. Handelt es sich um die zweite Auffassung der Bewegungsgleichungen, dann beziehen wir in (2) den Anfangszustand auf die Zeit t₀. Zur Zeit t seien die Condensation 6 und Dilatation co erreicht. Da nun die Coordinaten x, y, z der Massenelemente den Anfangsorten entsprechen, so erhalten wir aus für ien bestimmtes Massenelement der constanten x, y, z wegen

0C9 dö _ 0 8t ' 8t

(2)

Diese Gleichung können wir mit Rücksicht auf (2) auch schreiben

dm    da _ , d²r\    d²£

dt dtdx '

oder, da die Reihenfolge der Differentiation gleichgültig ist, bei Beachtung von § 35, (3)

(9)

dt

dt dy

dt dz

da _ du- , dv , dw

dt    dx ‘ dy ‘ dz

Man hat nun (9) oder (10) als Continuitätsgleichung für die zweite Auffassung der Bewegungsgleichungen anzusehen. Die Form (2) ist beiden Auffassungen gemeinsam. In § 28 wurde g als Dilatationsgeschwindigkeit bezeichnet, nach (2) kann man — q die Con-densationsgeschwindigkeit nennen.

(10)

d co

dt

§ 63. Hydrodynamische Grundgleichungen.

Für vollkommene Flüssigkeiten haben wir nach § 45 bei Auffassung der Spannungen zur Zeit t als Functionen des augenblicklichen Orts

(i)

Xy = Yx= Yz = Zy = Zx = Xz = 0, Xx=Yy = Zz = -p.

Damit gehen die Gleichungen (1) des vorigen § in die folgenden hydrodynamischen Grundgleichungen von Euler über

- (< (x d-y = * U

’dp

du

(2)

dx

, dp

dt

).

dv \ ~dt) ’

worin die Beschleunigungen rechts durch § 61, (6) bestimmt sind.

Zur Ermittelung der in (2) bei gegebenen Massenkräften auftretenden Unbekannten u, v, w, p, g reichen diese drei Gleichungen nicht aus. Als vierte Beziehung dient die in § 62 abgeleitete Continuitätsgleichung

(3)

dy

dt +

dyu

dx

dyv

dy

dyw

dz

= 0,

welche sich mit

(4)

_ du_ . dv_ ,dw co

^ dx ' dy ' dz    dt auch schreiben lässt

a.

a.

<s£ i⁻?:

<5

'S

Die fünfte Bedingungsgleichung hängt von der Natur der untersuchten Flüssigkeit (Wasser, Gas etc.) und specielleren Umständen ab. Wird diese Gleichung mit neuen Variabein eingeführt (z. B. der Temperatur), so sind natürlich auch neue Beziehungen zur Bestimmung aller Unbekannten nöthig.

Soll die betrachtete Flüssigkeit als incompressibel gelten, wie bei den meisten Untersuchungen tropfbar flüssiger Körper, oder wird doch allen Elementen derselben im gegebenen Falle constantes Volumen zugeschrieben, so hat man

du , dv . dw    ~

äV + by + 37 = ? =(J-

Es genügen dann für homogene Flüssigkeiten bei vier Unbekannten u, v, w, p die Gleichungen (2) und (6), für heterogene Flüssigkeiten bei fünf Unbekannten u, v, w, p, p- dieselben Gleichungen und

dfi ___ d(i , du dt dt ' dx

Für die Verschiebungsarbeit im Zeitelement dt folgt nach § 61, (3) mit Rücksicht auf vorstehende Gleichungen (1) und (4)

dJD — — J pco dK.

(6)

(V

(8)

dfi

V + jr- W — 0.

Die Verschiebungsarbeit ist also nur durch die Dilatation der Körperelemente bedingt. Soll der Druck in allen Theilen unserer Flüssigkeit als gleich gross gelten und bedeutet V das ganze Körpervolumen zur Zeit t, so entsteht mit

dV = JcodK

die Beziehung

(9)

dl) — — p dV.

Die Verschiebungsarbeit ist in diesem Falle nach § 42, (14) gleich der Arbeit der Oberflächenkräfte und bei constantem Gesammt-volumen gleich Null.

§ 64. Reibende Flüssigkeiten.

Bei Berücksichtigung der Flüssigkeitsreibung ergaben sich in § 46 für die Spannungen als Functionen des augenblicklichen Orts u. A. folgende Beziehungen

(1)    Xx = 2fux — p,

(2)    Xy = fyxy = Yx,

Zz = 2fwz—p\ Zx — fyzx — X.Zj

Yy = 2 fVy — P,

Yz = fyyz = Zj

worin die Bezeichnungen der Verschiebungsgeschwindigkeiten den Festsetzungen in § 28 entsprechen.

Kann der Reibungscoefficient f zur Zeit t in dem unendlich

yi

kleinen Raume um m (x, y, 0) als constant gelten, dann folgen

aus

(1), (2)

d²u    p

Tx~ ⁼ dx² ~ x’ d²u    d²v

sx.

dy

).

dx dy tcßu d²w \ ^ \dz²    dx dz )

dy²

Durch Addition entsteht mit

(3)

.    ,    0m . dv 1 dw

P=«f* + »y + W*=g^+g^+-^T

dt

und der symbolischen Bezeichnung

d²cp . d²cp , d²cp

' dyY

(4)

A ²<p —

dx*

dz²

nach § 61, (1) die erste der folgenden Gleichungen, während sich die beiden anderen in ganz analoger Weise ergehen.

d-Z —a ( d u - X)

dx p\dt    )’

-«*(&-*)«

/dw

dz ^ \dt

Diese Gleichungen mit den Substitutionen § 61, (6) treten bei reibenden Flüssigkeiten an Stelle der Beziehungen § 63, (2) für vollkommene Flüssigkeiten. Dagegen bleibt das in § 63 bezüglich der Gleichungen (3)—(7) Gesagte bestehen, sodass wir wieder ebenso viel Gleichungen als unbekannte Functionen haben.

Substituirt man die Ausdrücke (1), (2) in § 61, (9), dann ergibt sich die Verschiebungsarbeit im Zeitelement dt

(5)

dp

dy

dp

z).

dl) — dt

(6)

J* (wx² ~h vyi “b W²

Vxy +yÿ,² + Yz

-) 2fdK—dt J PQ dK.

Der Klammerausdruck im ersten Integral ist nach §§ 23, 28 unabhängig von den Richtungen der Coordinatenaxen und gleich a²-f- ß²-\- y², wenn a, ß, y die Hauptverschiebungsgeschwindigkeiten bei m zur Zeit t bedeuten. Die Verschiebungsarbeit ist jetzt nicht mehr wie bei vollkommenen Flüssigkeiten durch die Dilatation der Körperelemente allein bedingt.

Speciell für Potentialbewegungen hat man

du dv

dy    dx ⁷

und damit in (5) zufolge (4)

(?)

dv _dw

dz dy ⁷

dw _ du

dx dz ⁷

(8)

A ²u =

dg

Für f — 0 gehen alle Formeln in die für vollkommene Flüssigkeiten gültigen über.

dx ⁷

dz

§ 65. Beliebige isotrope Körper. Erste Ableitung.

zur

Wir gehen jetzt von der in § 61 angeführten zweiten Auffassung der Bewegungsgesetze aus und beschränken in diesem § die Untersuchung auf solche elastische Verschiebungen, für welche Zeit t innerhalb des betrachteten unendlich kleinen Raumes um m die Spannungen als Potentialspannungen und der Gleitungseoeffi-cient G als constant anzusehen sind, wie dies unter gewissen Voraussetzungen für beliebige isotrope Körper gilt (§§ 49, 57). Man hat dann

(1)    Xx = 2Gxx—p,

(2)    Xy = Ggxy — Yx,

Yy = 2Gyy—p, Yz = Ggyz — Zr

Zz = 2Gzz — p, Zx — Ggzx — XZy

worin die Bezeichnungen der Verschiebungen den Festsetzungen in §21 entsprechen.

Aus (1), (2) folgen

0*.

dn

dp

dx

dx²

dx

'd²ź

d²rj

dy

$y²

dx dy

d²£

dz

dx dz

)•

Durch Addition entsteht mit

(3)

œ—+

und der symbolischen Bezeichnung

<3

'S

a

te T3

O² Cp

dy²

<r qp

⁷

nach § 61, (1) die erste der folgenden Gleichungen, während sich die beiden anderen in ganz analoger Weise ergeben,

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

dp

(5)

x),

G i + %)

•e(A2S + fe)-

dx

dp

(dH

[i [

dt²

dH

dt²

z).

Die Gleichungen (5) genügen bei bekanntem Anfangszustand und bekannten Massenkräften zur Ermittelung der Unbekannten, wenn p durch |, rj, % mitbestimmt ist. Andernfalls ist noch eine weitere Beziehung nöthig, welche von der Natur des betrachteten Körpers und anderen Umständen abhängt.

Substituirt man die Ausdrücke (1), (2) in § 61, (14) und führt die Integration aus, dann folgt die Verschiebungsarbeit

(6)

dK

mit

& = GO —

-Jp da,

to

worin

(7) 0 = xx² -j- y,f -{- sß -f-

Qxy¹ + gyß + g3X²

= a²-f &²-f c².

0 ist nach § 23, (16), (17) unabhängig von den Richtungen der Coordinatenaxen, a, b, c sind die Hauptverschiebungen bei m. Um das letzte Integral in (6) ausführen zu können, muss eine Beziehung zwischen p und a gegeben sein, wir müssen wissen, wie sich von Beginn der Verschiebungen an bis zur Realisirung ihrer schliess-lichen Werthe p mit der Dilatation a geändert hat. Für da = 0 wäre & = GO.

Speciell für Potentialverschiebungen hat man

d£ _drj_

dy dx⁷

iß)

dp

d£

dx dz ⁷

dz dy ⁷

und damit in (5) mit Rücksicht auf (4)

A ²îj =

Erfahrungsformeln für feste Körper. Nach §§ 48, 50 wäre anzunehmen

(9)

dco

dy ⁷

(10)

p = Jt — 26r —-

s — 2 ⁷

worin s die Elasticitätszahl, t die Temperaturänderung, sowie mit E Elasticitätsmodul und a Ausdehnungscoefficient

^-±4 2Gu = —*— Eu

der Temperaturcoefficient. Damit können wir die Beziehungen (5) auch ausdrücken

(H)

(12)

G(A1i + 7é,ex G (*V + jéj £)

e(A²s + ~₂₃₂

Tdx (

)-Jd-x = llW

a²ê

x),

d(0

dr

- JV- =

dy

dr

dz

v(w-Y)’

=v(U~z)’

und die specifische Verschiebungsarbeit bei m

(13)

x da.

Flüssigkeiten. Die Uebereinstimmung der theoretischen und empirischen Resultate bezüglich der elastischen Bewegungen isotroper Flüssigkeiten verlangt nach § 60 in (5), (6) den Wegfall der mit G behafteten Glieder, womit entstehen

= fdx~w)’

= n(z-

Jp da.

Die Continuitätsgleichung ist durch Gleichung (9) oder (10) des § 62 ausgedrückt.

Beliebige Körper. Nach den theoretischen Ermittelungen in § 57 haben wir

(14)

(15)

(16)

dp

dy

dH

dt²

p — P Jx — Ga,

mit welchem Werthe nun die Gleichungen (5) gelten, während aus (6), (7) folgt

(17)

» = g(q + ~) - Pra

— jJx da.

to

Beispielsweise erhalten wir für feste Körper mit P = 0 dieselben Gleichungen, welche aus (11)—(13) mit s = 4 entstehen, wie dies schon § 59 zu entnehmen gestattet.

Constante Temperatur (Aether). Wenn bei einem isotropen Körper P innerhalb des betrachteten unendlich kleinen Raumes constant ist (homogene isotrope Medien), dann ergeben sich aus (5) mit (16) für x = 0 die Gleichungen:

li*

G (a²| -f- 2    = [Ł    x)

G (** + ² £) - (If - O

g(a^ + 2|î) = ,₁0-z)

• -e(e + i)

Die Gleichungen (18) stimmen mit den bei r — 0 für feste Körper gültigen theoretischen Formeln überein, das constante P ist ohne Einfluss. Bezüglich -fl gilt letzteres nur bei Bewegungen ohne Dilatation (Lichtschwingungen).

(18)

(19)

— Pco.

§ 66. Beliebige isotrope Körper. Zweite Ableitung.

Wir fassen wieder die Spannungen und Bewegungsgleichungen im Sinne des IV. Abschnitts auf, lassen jedoch die Beschränkung auf Potentialspannungen fallen und haben nach § 58

Yy = 2Gyy    p,

(1)    Xx = 2Gxx-p,

Xy = (26r — H)xy -f Hyx,

(2)    Yz = (2G — H)yz-\- Hsy, Zx = (2 G — H)ex + Hxz,

Zz = 2Gz, — J);

YX = (2G-H)yx+Hxy, Zy = (2 G — H)gy + Hyz, XZ = (2G — H)xz+Hzx,

worin

(3)

p — P -j- Jr — Ha,

und die Bezeichnungen der Verschiebungen den Festsetzungen iu §21 entsprechen.

Fassen wir zunächst den wichtigsten Fall ins Auge, dass (wie

z. B. bei den elastischen Bewegungen des freien Aethers, § 60) x verschwindet und H, G, P innerhalb des betrachteten unendlich kleinen Raumes um m als constant gelten. Man hat dann

(32*

dx

sx,

dy

= (2G - H)

d¹rj

dy²

dx dy ⁷

d²i

dz

d²£

dx dz

Durch Addition dieser Ausdrücke entsteht aus § 61, (1) mit Rücksicht auf die Bezeichnungen § 65, (3), (4) die erste der nachstehenden Gleichungen, während sich die beiden andern in ganz analoger Weise ergeben.

Substituirt man die Ausdrücke (1), (2) in § 61, (14) und führt die Integration aus, so findet sich in der Formel für die ganze Verschiebungsarbeit eines Körpers

(6)

D = J& dK die specifisclie Verschiebungsarbeit bei m

& = GQ + G~y— [(pcy - yx)² + (yz — zyf + (ex - xzf]

(?)

(4)

(2 G - H) A H + Hdfx (2G - H) A²rj + H

dp

dn

don

dx

dp

dy

(2G — I?) A²g +    - dp —

dt²

a²£

x),

Bei Beachtung von (3) lassen sich diese Beziehungen auch wie folgt schreiben

dt²

(H - P) A²£ + 2Hda

(5)

(H — P) A²rj+2H

doa

dy

(H - P) A²£-f 2#

da)

dz

r(w~x)’ p(w - z)-

-Jp dco,

to

oder mit Rücksicht auf (3)

(8)

f» = ö(e + ")

Pc3 + tl“² — o*v~yx? ~ ~ ^)² — (**—x*f\>

worin 0 durch § 65, (7) bestimmt ist.

Speciell für Potentialverschiebungen gelten die Beziehungen § 65, (8), (9) und nehmen damit die Gleichungen (4), (7), gleiche Formen wie (5) und (6) des vorigen § an. Ferner stimmen für P = 0 mit H = G entsprechende Resultate beider Ableitungen bis auf den Ausdruck für G überein, was Alles schon aus § 58 folgt.

von

drücke addirt werden

Hätten-wir nicht t = 0 vorausgesetzt, sondern die Formeln (1)—(3) in der nach § 58 zulässigen Allgemeinheit aufgefasst, so würde sich bei ganz analogem Vorgehen wie oben ergeben haben, dass die Gleichungen (4) und (7) gelten, wenn den linken Seiten (4) und der rechten Seite von (7) bezw. die folgenden Aus-

t

-üB =

-f QdG

(10)

to

t

— /[(«» - y*)² + (y* — %)² + (ex

to

Für Potentialverschiebungen fallen die beiden letzten Glieder der Gleichungen (9) und das zweite Integral in (10) weg.

§ 67. Clapeyron’s Theorem.

Wenn während der ganzen Verschiebungen von t₀ bis t die Spannungen constant wie zur Zeit t wären, so würde nach § 41,

(3) (4) die Verschiebungsarbeit eines beliebigen Körpers sein

⁽¹⁾l

dCr

(9)

tel [ Ä fei »* tel «« S3

C^>

+ ^ jP) — OV — Vx)

(p&z &x)

® “ ²(^ 17 +    ~ ^

—    (y* — ®y)

8 = 2 v* + **77 + ^"ä7/ ” (** ~

—    (*v — y*)py>

8x

SD = j'(Xx xx -f- Yy y y + Z g z z -f- Xy xy -J- Yx yx -f- Yzyz~f- Zy zy

~i~ Zx zx -j- Xz xz)dK, worin das Integral alle Körperelemente umfasst. Die wirkliche Verschiebungsarbeit wird nach wie vor durch D bezeichnet, SD haben wir auch virtuelle Verschiebungsarbeit genannt.

Erste Ableitung. Substituirt man in (1) die Ausdrücke der Spannungen nach § 65, (1) (2), so folgt für beliebige isotrope Körper

(2)

$> =

² J (xx² + y ² + 0* +

Oxy² + 9yz² + 9zx²^

GdK

oder wegen

— JpadK,

pa —

t    t

j*p da -{- y a dp,

to    t₀

co dp — p da = (^²d~,

und mit Rücksicht auf § 65, (6) (7)

<£) = 2D—fdKfa²d^-

(3)

Speeiell für den Fall, dass während der Verschiebungen entweder — constant oder a — 0 ist, liefert (3)

® = 2D.

Da für P = 0, x = 0 nach den theoretischen Formeln — = — G

¹    CO

• •    t)    2 (jt

s — 2 ⁷

so können wir aussprechen: Sind bei elastischen Verschiebungen isotroper Körper P = 0, t = 0 (feste Körper mit constanter Temperatur) oder ist co = 0 (beliebige Körper ohne Dilatation), dann ist die wirkliche Verschiebungsarbeit halb so gross, als wenn die Spannungen von vornherein die schliesslichen Werthe hätten.

und nach den empirischen Formeln für feste Körper — = —

¹

= 2H — P — Jx

Es seien jetzt zur Zeit t die Beschleunigungen der Körperelemente hinsichtlich unseres Coordinatensystems gleich Null, dann liefert § 89, (7)

o = m + <3 - £> + m.

Ist der Einfluss der Massenkräfte zu vernachlässigen (oder werden letztere wie vielfach bei technischen Problemen durch Oberflächenkräfte ersetzt) und kommen örtliche Unstetigkeiten der Verrückungen nicht vor, so folgt mit ÜJJÏ = 9Î = 0

und speeiell für — constant oder co — 0

@ = $ = 2 D.

Sind während elastischer Verschiebungen isotroper Körper entweder P = 0, x — 0 (feste Körper mit constanter Temperatur) oder co = 0 (beliebige Körper ohne Dilatation) und treten keine durch Massenkräfte und örtliche Unstetigkeiten der Verrückungen bedingte Arbeiten auf, dann ist im Falle schliesslichen Gleichgewichts oder verschwindender Beschleunigungen der Körperelemente die Arbeit sämmtlicher mit ihren Endwerthen constant gedachter Oberflächenkräfte gleich dem Doppelten der Verschiebungsarbeit.

Dieses Resultat, soweit es sich auf feste Körper (P = 0, x = 0) bezieht, ist zuerst von Clapeyron abgeleitet worden und wird nach ihm Clapeyron’sches Theorem genannt. Zu beachten ist, dass der beliebige isotrope Körper betreffende Theil des Satzes nicht nur für x = 0 gilt.

Zweite Ableitung. Setzen wir jetzt in (1) die Ausdrücke der Spannungen nach § 66, (1) (2) ein, so folgt ® = 2 jGQdK

(⁴)    +/[(*» - y>y + (y« - %)⁸ + (*• -x‘f] (ß - u)dK

— J ptodK,

oder mit Rücksicht auf den allgemeinsten Ausdruck für J), welcher § 66, (6) (7) nach Zufügen von § 66, (10) entsteht,

aus

(5)

2) = 2(D + $ß) -/dKf m²d2-.

to

constant

Hat man während der Verschiebungen entweder

oder m = 0, dann liefert (5)

2) = 2(Z> + $ß).

a. 3

= — H und des constanten i

Da für P = 0, x = 0 nach § 58 wegen 6r, H constant sind, so entsteht mit $8 = 0

2) = 2 D.

Dieselbe Beziehung ergibt sich für beliebige isotrope Körper im Falle Gi = 0, wenn während der Verschiebungen noch x — 0 ist. Nach unserer zweiten Ableitung sind also die oben ausgesprochenen Sätze für P = 0, x — 0 genau, für co = 0 jedoch nur dann, wenn gleichzeitig x = 0 oder überhaupt iß = 0 ist.

Für den schon in § 66 besonders hervorgehobenen Fall x = 0 können wir mit Rücksicht auf p = P — Hm und iß == 0 die Arbeit 2) auch wie folgt ausdrücken

t.

(6)

2) = 2D ~JdKJm²d^- = 2D -f fpmdK,

*0

worin H durch § 66, (6) (8) bestimmt ist.

§ 68. Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit.

von

zur

. Wenn die Spannungen während der ganzen Verrückungen t₀ bis t ihre schliesslichen Werthe hätten, so würden nach den Festsetzungen in § 41 2) die Verschiebungsarbeit, 11 die Arbeit der (von Spannungen und Verschiebungen) abhängigen Reactionen äusserer Stützen und ift die durch Unstetigkeiten der Verrückungen bedingte Arbeit sein. Die wirkliche Verschiebungsarbeit ist durch D bezeichnet. Werden nun den Spannungen und Verschiebungen Zeit t irgendwelche unendlich kleine, mit allen gegebenen Verhältnissen verträgliche Aenderungen zugeschrieben, so ist nach § 41 die vollständige Variation von 2)

(1)

d2) = dB + dsU + ds$i

unter dsll, die Variationen von U, infolge der eintretenden Aenderungen der Spannungen allein verstanden. Dies gilt für beliebige Körper.

Erste Ableitung. Nehmen wir nun einen beliebigen isotropen Körper als gegeben an, so ist nach § 67, (3) die vollständige Variation von 2) d%) = 2ôD -f co*d^-dK,

(2)

und hieraus mit Rücksicht auf (1) die Variation der Verschiebungsarbeit

ÖD = dsU + <L9t +/co²d^dK.

Wenn nun <LU,    verschwinden und entweder —

oder » = 0 sind, liefern (2) (3)

ÔD = 0

(3)

constant

d® = 0,

wonach die Arbeiten D, ® Maxima oder Minima wären. Wie schon in § 67 erwähnt, tritt der Fall — constant nach den theoretischen

°    ⁷    CO

und empirischen Formeln für P = 0, t — 0 ein. Es lassen sich dann, wie auch im Falle o = 0, die Arbeiten D, SD nach § 65 als Summen von Quadraten darstellen, sodass die Minima in Frage kommen, wenn die Bedingungen für Maxima und Minima nur einmal erfüllt sind. Für diesen allein vorkommenden Fall können wir aussprechen: Die VerSchiebungsarbeit isotroper Körper ist ein Minimum, wenn neben dÿU = <L9t = 0 entweder P = 0, t — 0 (constante Temperatur bei festen Körpern) oder co — 0 (Verschiebungen ohne Dilatation bei beliebigen Körpern) zu setzen sind (oder wenn überhaupt die rechte Seite von (3) verschwindet). Mit andern Worten: Wenn bei Verschiebungen isotroper Körper d,sU = ó.s9t = 0 und ent-iveder P = 0, t — 0 oder co — 0 sind, dann haben alle Spannungen, Verschiebungen und davon abhängigen Grössen solche Werthe, wie sie einem Minimum der Verschiebungsarbeit D oder virtuellen Verschiebungsarbeit SD entsprechen.

Liesse sich beispielsweise die Verschiebungsarbeit als Function der von den Spannungen und Verschiebungen abhängigen Reactionen oder sonstigen Grössen H, M, N, . . darstellen, so würden bei Eintritt des Princips der kleinsten Verschiebungsarbeit die wahren Werthe von H, M, N, . . bestimmt sein durch die Gleichungen

(4)

dB

dB

dB

= 0,

ÖM

worin auch SD an Stelle von D gesetzt werden, darf.

Die Arbeit ist mit U z. B. immer dann gleich Null, wenn die abhängigen Reactionen gegen Körperpunkte wirken, welche hinsichtlich des angenommenen Coordinatensystems fest liegen oder reibungslos über feste Stützen hingleiten, das heisst, wenn in den Richtungslinien der abhängigen Reactionscomponenten keine Be-gung (etwa Ausweichen) der Stützen stattfindet. Die Arbeit <L9i ist mit 91 unter Anderem gleich Null, wenn der ganze Körper als ein System von materiellen Punkten anzusehen ist, zwischen welchen

dH

dN

lediglich Kräfte in den Verbindungsgeraden wirken (§ 73), oder wenn der Körper aus ebensolchen Stäben bestellt, welche in reibungslosen Gelenken Zusammenhängen (§ 85), oder wenn er überhaupt in eine Anzahl von Punktsystemen der ersterwähnten Art zerfällt, zwischen welchen (etwa infolge fehlender Reibung) immer nur normale Kräfte wirken (§ 42). Wollte man oben das Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit zur Bestimmung der ZZ, N, . . auch dann anwenden, wenn die Bedingungen desselben nicht erfüllt sind, so würden mittelst desselben stets diejenigen Theile genannter Grössen bestimmbar sein, welche für 4SU = 4<,91 = 0 und P = x = 0 oder ca — 0 ein treten, wonach die auf anderem Wege ermittelten weiteren Beiträge dem Principe der Coexistenz gemäss zu addiren wären. In praktischen Fällen lassen sich jedoch nach Kenntniss des spe-ciellen Ausdrucks von D durch Umformung der Gleichungen (4) auch direct zum Ziele führende Methoden ableiten.

Zweite Ableitung. Nach § 67, (5) hat man für beliebige isotrope Körper die vollständige Variation von ®

4® = 2(4B + 458) -/ca²4~dK, und hiernach mit Rücksicht auf (1) die Variation von B dB = 4SU + 4,91 — 2435 + f ca²d^-dK.

Sind nun 4SU = 0, 4S97 = 0, und während der Verschiebungen ent-

t)

weder constant oder ca = 0, so folgt

4Z)=- 24$ = 4®. ,

Der Fall — constant tritt für P = 0, x — 0 ein, und da alsdann der constanten G, H wegen auch $8 = 0 ist, so erhalten wir

ÖD = 0,

4® = 0.

Die gleiche Beziehung besteht im Falle ca = 0 für t — 0. Nach unserer zweiten theoretischen Ableitung der Spannungen isotroper Körper ist also das oben ausgesprochene Princip für P = 0, x = 0 genau erfüllt, für co = 0 jedoch nur dann, wenn gleichzeitig x = 0 oder aus anderem Grunde 4 $8 = 0 ist.

Dass die Verschiebungsarbeit fester Körper in gewissem Sinne ein Minimum ist, scheinen zuerst französische und italienische Gelehrte erkannt zu haben. Den ersten Beweis lieferte Ingenieur Castigliano für stabile Systeme der im X. Abschnitte untersuchten Art, gebildet aus prismatischen festen Stäben von constanter Temperatur (Theorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Turin 1880). Castigliano wandte das Princip auf zahlreiche technische Probleme fester

Körper an, die er sich als Punktsysteme dachte, in welchen die Kräfte zwischen je zwei Punkten nach gleichen Gesetzen wie in isotropen festen Stäben wirken. Bei weiteren Beweisen von Fränlcel, auch auf Grund des Erfahrungsausdrucks von D für isotrope Körper, wurde ebenfalls die Temperatur constant angenommen (Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1882). In beiden Fällen traten die Arbeiten U, fR nicht auf. Wir sahen oben, dass der Wegfall von ó'₄.U, <h,9î, dt nothwendig und ausreichend für die Gültigkeit des Princips ist (siehe auch §§ 73, 84).

Während bisher allgemein angenommen wurde, das Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit bestehe nur für feste Körper von con-stanter Temperatur, zeigt unsere Ableitung, dass dasselbe auch für beliebige isotrope Körper dann gilt, wenn die Verschiebungen ohne Dilatation stattfinden. In dieser Richtung bietet das Princip erneutes Interesse. Beispielsweise können wir bei Beachtung des Umstandes, dass für transversale Schwingungen des Aethers ct> verschwindet, auf Grund beider Ableitungen aussprechen: Das Licht pflanzt sich so durch den Weltraum fort, dass die Verschiebungsarbeit ein Minimum**ist.

IX. Abschnitt.

Beliebige Punktsysteme. Energie.

Im Folgenden handelt es sich um Gleichgewicht und Bewegung materieller Systeme, deren einzelne Punkte in beliebigen Entfernungen liegen. Da wir diese Punkte nach Belieben mit Masse ausstatten können, wenn die Bewegung der Massenmittelpunkte in Betracht gezogen wird und da auch die Entfernungen beliebig klein gewählt werden dürfen, so gelten die abzuleitenden Beziehungen ebensowohl für grösste wie für kleinste materielle Systeme und beispielsweise auch für Systeme, wie sie bisher als Körper und Körperelemente betrachtet wurden. Die Darstellung wird Rücksicht darauf nehmen, die Uebereinstimmung mit den früher erhaltenen Resultaten hervortreten zu lassen und einer allgemeinen Auffassung der Stabsysteme des folgenden Abschnitts zu dienen.

§. 69. Allgemeine Beziehungen.

Ein beliebiges Punktsystem bewege sich hinsichtlich irgend eines rechtwinkligen Coordinatensystems. Die entsprechenden Geschwindigkeiten und resultirenden Kraftcomponenten in den Richtungen x, y, g zur Zeit t seien für einen Punkt m der Masse m durch u, v, w und X, Y} Z bezeichnet. Man hat dann

dw

(O

ST“*-

mnr = x>

Multipliciren wir diese Gleichungen für jeden Systempunkt mit irgend welchen Grössen +1, + rj, + £ und addiren sämmtliche Gleichungen, so folgt

dv

mar=Y’

aus.

Versteht man unter + |, + y, + £ beliebig grosse virtuelle Verrückungen der Systempunkte gegenüber deren Lagen zur Zeit t, so drückt Gleichung (2) das d’Alembert’sehe Princip und bei verschwindenden Beschleunigungen das Princip der virtuellen Verrückungen Wäre beispielsweise zur Zeit, t eine Bewegung hinsichtlich

unseres Coordinatensystems nicht vorhanden, so würde im Falle G = 0 auch Gleichgewicht bestehen bleiben. Die Summe rechts in (2) stellt die Gesammtarbeit dar, welche die äusseren und inneren Kräfte auf den Wegen £, rj, £ leisten würden, wenn sie constant wie zur Zeit t wären.

Es mögen nun x, y, z die Coordinaten zur Zeit t und %₌₌dx = udt, 7} — dy = vdt, l = dz = wdt die wirklichen Verrückungen der Punkte m im Zeitelement dt bedeuten. Dann folgt aus (2)

(3)

^m{lidu -f- v dv -f- w dw) = ^(Xdx -j- Ydy -f- Zdz)

oder, wenn

(4)

XI ml st-J 2

die lebendige Kraft des Punktsystems in Hinsicht unseres Coordinatensystems bezeichnet,

(5)

(Xdx -f- Y dy -p Z dz).

Für ein von t₀ bis t reichendes Zeitintervall hat man

(6)

L — L₀ = 2' f(Xdx + Ydy + Zdz)

to

und diese Gleichung enthält den Satz von den lebendigen Kräften: Die Gesammtänderung der lebendigen Kraft eines materiellen Systems während irgend eines Zeitintervalls ist gleich der Summe der Arbeiten aller äusseren und inneren Kräfte, welche innerhalb jener Zeit an den Punkten des Systems gewirkt haben.

Fassen wir jetzt anstatt der wirklichen Bewegung alle möglichen unendlich wenig davon abweichenden Bewegungen ins Auge, indem wir jedem Systempunkt m für jeden Augenblick unendlich kleine virtuelle Verrückungen zuschreiben, welche als Functionen der Zeit gelten sollen. Die Geschwindigkeiten werden dann

dt t w-f-ow dt ,

d(x -p |)

« + «„ = - dt

wonach

du — —rr

dt,

dt ⁷

dt ’

ÖW —

dt

Weil aber allgemein

d(u% -f- vrj -(- wt) — u d% -f- vdrj -f- wd% -f- %du -j- r\dv -p Çdw, so folgt für unseren Fall

d(u% -j- vrj -f- wtf) = (u du -f■ v dv    w dw)dt

i / du f. , dv . dw ,\ ₇,

+ Gr£ + vrm+-s-&p,

Neunter Abschnitt. — §§ 69, 70. und mit Rücksicht auf (2) (4) für das ganze System

174

[    + vrj -f ivÇ) —    ^f»(f*£ -f vrj -f- w£)J

(?)

t    t₀

t

=/(£ -f dL)dt,

to worin die Klammerausdrücke links die Werthe der eingesetzten Summen zu den Zeiten t und t₀, dL aber die Variation der lebendigen Kraft infolge der angenommenen Verrückungen bedeuten. Für den Fall, dass die letzteren am Anfänge und Schlüsse unseres Zeitintervalls Werthe haben, welche die linke Seite von (7) zu Null machen, hat man

(8)

0 =f(G+dL)dt.

to

Dies trifft z. B. zu, wenn alle |, rj, £ selbst zu den Zeiten t, t₀ verschwinden und es wird dann der Inhalt von (8) als Hamilton’sches Princip bezeichnet.

Bereits in § 44 wurde jede mögliche Ursache von lebendiger Kraft oder Arbeit Energie genannt und deren Werth nach ihrer Wirkung beurtheilt, wonach die Energie in Arbeitseinheiten gemessen werden kann. Wird nun unserem Punktsystem im Zeitelement dt ausser durch die in (1) (5) berücksichtigten äusseren Kräfte noch auf andere Art von Aussen in Summe die Energie dQ zugeführt und führen wir die Bezeichnungen ein

(9)

dK — (Xdx -j- Ydij + Zdz),

a

(10)

dü = dQ — ^(Xdx -f- Ydy 4- Zdz),

s

worin    ^ sich auf die äusseren und inneren Kräfte beziehen,

a    s

so folgt aus (5)

(11)

dL + dü = dE = dK Ą- dQ.

Nach (9) (10) bezeichnen dK die Arbeit der äusseren Kräfte, dU — dQ die Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte auf den Wegen dx, dy, dz, während dU nach (11) denjenigen Theil der von Aussen aufgenommenen Energie dK dQ darstellt, welcher nicht in die lebendige Kraft dL verwandelt wurde.

Soll die Energie unzerstörbar sein, so müssen sich alle nach einander auftretenden d U in irgend einer Form im System ansammeln und dem letzteren jederzeit, wie ein gewisses L, so auch ein ge-

wisses U entsprechen, sodass erst L Ą- U — E die ganze Arbeitsfähigkeit oder Gesammtenergie in Hinsicht des fraglichen Coordi-natensystems ausmacht. Für ein Zeitintervall von t₀ bis t aber liefert (11)

(12)

L-L₀+ U- U₀ = E-E₀ = K+ Q.

Wir nennen wieder L die actuelle, TJ die virtuelle Energie des Systems. Gleichung (12) sagt dann: In jedem Zeitintervall ist die Arbeit der äusseren Kräfte plus der sonst von Aussen zugeführten Energie gleich der Summe der Aenderungen von actueller und virtueller Energie des Systems.

Für die Gesammtenergie zur Zeit t hat man nach (12)

(13)

E = L+ U=L₀+ U₀ + K+Q = E₀ + K+Q.

(14)

Ist von t₀ bis t insgesammt K -f- Q — 0, so wird E = L+ U=L₀+ U₀ = E₀.

Wenn beispielsweise einem Systeme weder durch die Arbeit äusserer Kräfte noch sonst von Aussen Energie zugeführt wird, dann ist der Gewinn an actueller Energie stets gleich dem Verluste an virtueller Energie, die Gesammtenergie bleibt constant. Dies folgt übrigens schon aus der Annahme einer Unzerstörbarkeit der Energie und heisst auf das grösste aller möglichen Systeme augewendet: Die Energie der Welt ist constant.

Zerfallen die äusseren Kräfte in Massenkräfte und Oberflächenkräfte, so entstehen aus (11)—(14) mit K — M -j- S die Formeln

(3)—(6) des § 44.

§ 70. Wirkung von Potentialkräften.

Die Gleichungen (12)—(14) des vorigen Paragraphen beruhen auf der Annahme, dass die Energie unzerstörbar sei, dass der alte Satz „Causa aequat effectum“ dann auf alle Veränderungen materieller Systeme Anwendung finde, wenn die Ursachen und Wirkungen in Arbeitseinheiten gemessen werden. Es ist das Verdienst Robert Mayer’s, dies Princip von der Erhaltung der Energie erstmals klar erkannt und ausgesprochen, sowie insbesondere auf die Wärme als eine der möglichen Energieformen angewandt zu haben.

Man konnte sich nun fragen, ob nicht die Constanz der Energie unter Umständen als nothwendige Folge der mechanischen Grundbeziehungen zwischen Kräften und Beschleunigungen § 69, (1) ohne Zulassung anderer als der hierdurch bedingten Formen von Energie darstellbar sei. Dieser Fall kommt vor, wenn die wirkenden Kräfte ein Potential haben, wenn eine Function P der Coordinaten unserer

Systempunkte allein existirt, deren vollständiges Differential sich ausdrückt,

(1) .

Es folgt dann

— ^(Xdx + Ydy + Zds).

(2)

Po-

t

p =    (Xdx + Ydv + Zd*)>

to

und aus dem Satze von den lebendigen Kräften § 69, (6)

(3)

L + P = <7=4 + P worin C constant und P₀, P allein von den Anfangslagen und Endlagen der Systempunkte abhängig sind. Durch diese Lagen zu den Zeiten t₀ und t ist auch die Aenderung L — L₀ der lebendigen Kraft bestimmt, während wir nach

zunächst den Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft aussprechen können: a) Wenn die Bewegungsänderung eines Punktsystems hinsichtlich irgend eines Coordinatensy stems nur unter dem Einflüsse solcher äusserer und innerer Kräfte stattfindet, welchen ein Potential zukommt, dann ist die lebendige Kraft der Bewegung zu allen Zeiten dieselbe, in welchen alle Systempunkte dieselben Lagen gegen das Coordinaten-system haben, wie auch ihre Bahnen und Geschwindigkeiten in der Zwischenzeit gewesen sein mögen.

Die Constante G besteht aus zwei Theilen: der augenblicklichen lebendigen Kraft L und der bei Ausnutzung aller Arbeitsfähigkeit der dem Potential entsprechenden Kräfte noch erreichbaren lebendigen Kraft P, welche man nach Bankine bezw. die actuelle und potentielle Energie nennt. Gleichung (3) sagt dann: b) Besteht für die Bewegung eines Punktsystems ein Potential der äusseren und inneren Kräfte, so ist der Gewinn an actueüer Energie stets gleich dem Verluste an potentieller Energie, die Stimme beider bleibt constant.

Führen wir wie in § 69 als Bezeichnungen ein

0)

dK — ^(Xdx -f- Ydy -f- Zdz) = — dH ,

a

(•^)

dU = — ^ (Xdx + Ydy + Zdz),

s

so stellt dK die Arbeit der äusseren Kräfte und d U die Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte auf den Wegen dx, dy, dz dar. Für den Fall von Potentialen H, U der äusseren und inneren Kräfte folgen

(6)

(?)

t

K = y] S(Xdx + YdV + Zdx) = H0

a t₀

u- u₀ =

v J(Xdx + Ydy + Zdz),

S t₀

worin H₀, U₀ nur von den Anfangslagen, H und U nur von den Endlagen der Systempunkte abhängen. Nennt man wieder U die virtuelle Energie des Systems, so ist letztere hier mit dem von den Kräften zwischen Systempunkten allein herrührenden Theile der potentiellen Energie, der inneren potentiellen Energie, identisch. Aus (1), (2) folgen mit (4) bis (7)

dP — dPJ — dK = dU -f- dH,

Die Gesammtenergie des Systems aber, d. h. diejenige Arbeitsfähigkeit, welche von Systempunkten allein abhängt und beim Erlöschen aller äusseren Kraftquellen im System zu finden wäre, ist zur Zeit t nach (3) (8)

(8)

Po - P - U₀ - ü + K.

(9)

E=L+ Ü = L₀+ U₀ + K=E₀ + K.

Da K jedesmal verschwindet, wenn die Systempunkte dieselben Lagen wie zur Zeit t₀ einnehmen, so können wir Satz a) ergänzend aussprechen: c) Steht ein Punktsystem lediglich unter dem Arbeitseinflusse äusserer und innerer Potentialkräfte, dann sind neben der actuellen und potentiellen Energie L, P auch die virtuelle (hier innere potentielle) Energie U und Gesammtenergie E m allen Zeiten dieselben, in welchen alle Systempunkte dieselben Lagen gegen das Coor-dinatensystem haben.

Kommen äussere Kräfte überhaupt nicht vor oder leisten die etwa vorhandenen keine Arbeit am System, so folgt aus (9) mit K= 0

(10)

E = L U=L₀+ U₀ = E₀, und in Worten: d) Wenn ein Punktsystem nur unter dem Arbeitseinflusse innerer Potentialkräfte steht, dann ist der Gewinn an actueller Energie stets gleich dein Verluste an virtueller Energie, die Gesammtenergie des Systems bleibt constant. Für den Fall, dass alle Natur- . kräfte in Potentialkräfte auflösbar wären, würden also schon die Grundbeziehungen der Mechanik zu dem Schlüsse führen: Die Energie der Welt ist constant.

§ 71. Centralkräfte allein.

Die Kräfte haben beispielsweise ein Potential, wenn sie von Systempunkten oder (bezüglich des Coordinatensystems) festen äusseren Punkten ausgehende Centralkräfte sind. Als Centralkraft

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

12

zwischen zwei Punkten m, n bezeichnet man eine Kraft, welche anziehend oder abstossend in der Verbindungsgeraden wirkt und nur von der Entfernung mn = l abhängt. Unter der ersten Voraussetzung ergeben sich, wie aus § 72 zu ersehen,

(1) d? = ^?Sdl, dU — ^ Sdl, ' dH = ^Sdl,

s    a

während die zweite verlangt

(2)

S = mnF(l),

so dass die Integration der Gleichungen (1) ausführbar ist und P, U, H nur von den relativen Lagen der wirkenden Punkte gegen

einander abhängen. Die Summe bezieht sich auf alle einander beeinflussenden Punktpaare, die Summe auf alle Paare einan-

S

der beeinflussender Systempunkte und die Summe auf je zwei

a

einander beeinflussende Punkte, deren einer innerhalb, der andere ausserhalb des Systems liegt.

Wir können nun die in § 70 abgeleiteten Sätze für den vorliegenden Fall wie folgt fassen. Wenn ein Punktsystem nur unter dem Arbeitseinflusse von Centralkräften steht, welche von Systempunkten oder festen äusseren Punkten ausgehen, dann sind die actuelle, potentielle, virtuelle und gesammte Energie des Systems L, P, U, E zu allen Zeiten dieselben, in welchen alle Systempunkte dieselben relativen Lagen gegen einander und gegen die auf sie wirkenden äusseren Punkte haben. In jedem Zeitintervall ist der Gewinn an actueller Energie gleich dem Verluste an potentieller Energie, die Summe beider bleibt constant gleich G Sind nur innere Centralkräfte wirksam, so werden die potentielle und virtuelle Energie identisch und die Gesammtenergie des Systems constant E = C.

Helmholtz war der Erste, welcher das Princip von der Erhaltung der Energie als besondere Form des älteren Satzes von der lebendigen Kraft darstellte und zwar für den speciellen Fall der Einwirkung von Centralkräften allein, indem er annahm, dass sich alle Kräfte der Natur in Centralkräfte auflösen lassen. Das Charakteristische an diesem Falle besteht darin, dass die Energie nur von den Entfernungen der wirkenden Punkte abhängig erscheint, von deren relativen Lagen gegen einander, ohne Beziehung auf ein bestimmtes Coordinatensystem.

Bei Einwirkung beliebiger äusserer und innerer Potentialkräfte wird vielfach die Constante C des vorigen Paragraphen als Energie des Systems bezeichnet, womit aber die sonst angenommene Ueber-einstimmung der Begriffe Energie und Arbeitsfähigkeit aufgegeben ist. Der Unterschied in der Auffassung tritt schon klar hervor im einfachsten Falle, der Bewegung eines Punktes unter Einwirkung einer Centralkraft. Punkt m in Fig. 17 habe hinsichtlich des

SI

~'ö

Wo

X'

Fig. 17.

Coordinatensystems oder des anziehenden Punktes n die Geschwindigkeit v, dann ist die entsprechende actuelle Energie

T mv²

Hat nun m die Bewegung im Unendlichen mit der Geschwindigkeit 0 begonnen, dann sind in § 70, (3) die ganze aus dem Potentiale entspringende Energie

Po

»

= c = fXdx

X₀

und die noch vorhandene potentielle Energie

P — J Xdx.

Xq

In jedem Augenblicke besteht die Beziehung

L + P = C.

Dieses C würde nach der einen Auffassung die Energie des Systems dar stell en.

Versteht man jedoch unter letzterer Bezeichnung die in den ~ Systempunkten allein angehäufte Arbeitsfähigkeit, die Arbeit, welche die Systempunkte leisten könnten, wenn alle äusseren Kraftquellen plötzlich wegfielen, so sind für den Punkt m als System für sich die virtuelle Energie und Gesammtenergie des Systems

E = L.

Nur wenn beide Punkte m, n zusammen ein System bilden und somit X eine innere Kraft desselben wird, hat man

U=P,

U= 0,

E = L+ u=c.

12*

Während in den Fällen der §§ 70, 71 die virtuelle Energie lediglich einen Theil der potentiellen ansmacht und beide identisch sind, wenn nur innere Potentialkräfte wirken, ist der Begriff im Uebrigen ein viel allgemeinerer, indem er dem entspricht, was man in der Wärmetheorie Energie im Körper (Thomson, Clausius), innere Arbeit (Zeuner), inneres Arbeitsvermögen (Grashof) u. s. w. nennt. Wo es sich lediglich um wärmetheoretische Untersuchungen handelt, pflegen auch wir U als Energie schlechtweg zu bezeichnen.

§ 72. Kräfte in den Verb indungsgeraden.

Wir waren im VII. Abschnitte genöthigt, unsern Betrachtungen Kräfte zu Grunde zu legen, welche zwar in den Verbindungsgeraden einander beeinflussender Punkte m, n wirken, aber nicht nur von den Entfernungen mn abhängen. Solche Kräfte sollen hier zum Unterschiede von Centralkräften Hadialkräfte oder noch kürzer Stabkräfte genannt werden, während die entsprechenden Verbindungs -geraden Stäbe heissen mögen. Beschäftigen wir uns nun mit dem Falle, dass an einem Punktsystem neben beliebigen anderen Kräften auch Stabkräfte S Vorkommen. Das Abhängigkeitsgesetz der einzelnen Stabkräfte möge zunächst ganz beliebig sein, doch wollen wir die S als positiv oder negativ ansehen, je nachdem sie die zugehörigen Punkte zu nähern oder zu entfernen suchen. (Als Verbindungsgerade braucht nicht gerade die wirkliche Linie mn in Rechnung zu kommen, wenn nur die Einflüsse eventueller Abweichungen in den folgenden Gleichungen verschwinden.)

Der Systempunkt m liege zur Zeit t bei xm, ym, zm und ein mit ihm durch den Stab der Länge l verbundener Punkt n bei xn, yn, zn, dann führen wir ein x — x

n m

(1)

Zn~Zm

Vn ym

, cos ß

Bezeichnen um, vm, wm die Geschwindigkeiten des Punktes m in

den Richtungen x, y, z, so bestehen zur Zeit t die Gleichungen

dum    ——_

m = Xm -f- ^^S cos a

m

<łir“r- + 2'Scos'⁵

m

dwm

m -jj = Zm-\-    ff cos Tw

COS CCmn--

mn -

, COS Yrnn -

mnj

(2)

mn)

Hierin sollen die

nur solche Stabkräfte umfassen, welche aus Systempunkten oder bezüglich des Coordinatensystems festen äusseren

Punkten in m eintreffen, während Xmi Ym, Zm die resultirenden Componenten aller übrigen auf m wirkenden beliebigen Kräfte in den Richtungen x, y, 2 bedeuten.

171 ;

Multiplicirt man die Gleichungen (2) der Reihe nach mit beliebig grossen virtuellen Verrückungen oder sonstigen Grössen £ Vm, tm, verfährt analog mit den entsprechenden Gleichungen der übrigen Systempunkte und addirt alle Gleichungen, so entsteht mit den Bezeichnungen

(3)

(4)

(Ö)

k

& — (Xm -j- Ym rjm -f- Zm ),

k

-j- T]mn    $ COS ß

m

“}“ £mra    S COS Ymn\

m    '

2) = —

2(p2

k ' m

S cos a

die Beziehung

(6) welche das d’Alembert’sche Priucip und bei verschwindenden Beschleunigungen oder 6r = 0 das Princip der virtuellen Verrückungen

Fall darstellt (§ 69). Die Summen sind auf sämmt-

k

für uusern

liehe Je Systempunkte zu erstrecken. In (6) bedeuten — 2) und Ä die Arbeiten, welche die in (5) aufgenommenen Stabkräfte und die übrigen auf Systempunkte wirkenden Kräfte während der Verrückungen I, 17, % leisten würden, wenn sie constant wie zur Zeit t wären, so dass ® die entsprechende Arbeit zur Ueberwindung der fraglichen Stabkräfte darstellt.

Wir wollen den Ausdruck (5) für den Fall, dass die Verrückungen gegenüber den anfänglichen Coordinaten verschwinden, noch etwas umformen. Für die Entfernung mn hat man vor den Verrückungen

(7)

- (ßn töm) "H (ßjn Vni)" ~1“ (ßn &m) j

nach denselben

(8)

(9)

oder mit Rücksicht auf (1)

(10) A - (ljre %m) COS CCmn —j— (TJn ^m) COS ßmn "I⁻ (£?i Sm) COS ymn-

Der Beitrag einer an m und n wirkenden Kraft S zu S) ist nach (5)

S (^sm COS CCrrin ~f⁻ Vrn ßmn | %m COS Ymn)

S (^re COS CCnm “I⁻ TJn COS ßnm ~j⁻ %>n COS Ynm)•

Dies gilt auch, wenn einer der Punkte m, n ausserhalb des Systems liegt; denn obwohl in diesem Falle der betreffende Punkt nicht in (5) auftritt, so können wir ihn doch deshalb in vorstehendem Ausdrucke berücksichtigen, weil er nun nach unserer Voraussetzung bezüglich der in 2) aufgenommenen Stabkräfte eine feste Lage gegen das Coordinatensystem hat, womit seine £, q, % gleich Null werden. Aus (1) folgen

COS ßnm = — COS ß

COS ynm    COS ymn ;

mn ;

COS CCnm — COS CCrnny und wir erhalten, wenn sämmtliche s Stäbe zwischen System-

S

punkten oder Systempunkten und festen äusseren Punkten umfasst,

(U)

2) = SL

Das d’Alembert’sche Princip drückt sich damit für unsern Fall aus

Sk= ^(Xi+Yv + ZQ

k

und das Princip des virtuellen Verrückungen

(13)

Bedeuten

^SX = ^(Xi+Yr, + ZQ.

s    k

(14)

| = dx — udt,

rj — dy = vdt,

l — dz — w dt

die wirklichen Verrückungen der Systempunkte im Zeitelemente dt, so wird aus G die entsprechende Aenderung der lebendigen Kraft

(15)

dL =

^    ^ m (udu -f- vdv -f- wdw)

k    k

und aus ÜD die entsprechende Arbeit zur Ueberwindung der wirklichen Stabkräfte

dD = ^ Sdl

(16)

Als Ausdruck des Satzes von den lebendigen Kräften aber folgt

(12) (14)

aus

dL + dJD =    (Xdx + Y dy + Zdz).

k

Sind sämmtliche äusseren und inneren Kräfte eines Punktsystems Stabkräfte, welche von Systempunkten oder festen äusseren Punkten ausgelien, dann werden in (12), (13), (17) die rechten Seiten gleich Null.

§ 73. Berechnung von Punktsystemen.

Ein System von Je Punkten enthalte zur Zeit t innere Kräfte £_l

in s der existirenden Je —-— Yerbindungsgeraden (§ 79). Ueber das

Gesetz der einzelnen Stabkräfte wird nichts vorausgesetzt, die zugehörigen Yerbindungsgeraden bezeichnen wir wie in § 72 zur Unterscheidung von den übrigen als Stäbe. Aeussere Kräfte greifen in beliebig vielen der Je Systempunkte an, sie sind zum Theil unmittelbar gegeben, zum Theil als Reactionen ausserhalb des Systems gelegener Stützen entstanden. Je nachdem eine Stütze die freie Bewegung des gestützten Punktes nach einer Richtung, zwei oder drei Richtungen vorschreibt, ist ihre Reaction durch eine Componente, zwei oder drei Componenten bestimmt. Im Ganzen mögen die zur Zeit t vorhandenen Stiitzenreactionen von r unabhängigen Componenten abhängen.

Wir gehen von irgend einem Anfangszustand aus, in welchem unter Einwirkung beliebiger äusserer und innerer Kräfte der Punkt m bei xm, yn, zm und der mit ihm durch einen Stab der Länge 1 verbundene Punkt n bei xn, yn, zn lag. Infolge beliebig grosser Verrückungen sind die Punkte m und n zur Zeit t nach xm -f- |m, ym -{- rj und xn -J- |n, yn -f- rjn, zn -J- gelangt, während der verbindende Stab l die Länge l -f- /L und die Beanspruchung S erreicht hat. Sind nun für Punkt m die resultirenden Componenten der äusseren Kräfte und die Geschwindigkeiten in den Richtungen x, y, z durch Xm, Ym, Zm und

dVm

Vm ~ dt >

(1)

dä

dKn

Um ~ dt ’

Wm ~~ dt

%m “f“ %m

bezeichnet, so lassen sich die Beziehungen § 72, (2) wie folgt schreiben

Xn "l“ K Xm Kn

dUrn

dt

= xm + ^?s

m

m

dw,m

w=z-» + 2s

m

Die Summen sollen nun auf alle im Punkte m eintreffenden

m

Stäbe erstreckt werden.

(2)

Vn +Vn- Vm - Vm

Denkt man sich die l -f- l nach § 72, (8) in (2) eingesetzt, so entstehen bei k Systempunkten Sk Gleichungen zwischen äusseren Kräften, Stabkräften, Verrückungen und Beschleunigungen. Von den Sk auftretenden Verrückungen sind ebensoviel durch die Bewegung der Stützen bestimmt, als unabhängige Reactionscomponenten Vorkommen. Die Sk Gleichungen reichen also gerade aus, die Sk — r unabhängigen Verrückungen und r unabhängigen Reactionscomponenten zu berechnen, durch welche die neuen Lagen aller Systempunkte und sämmtliche äussere Kräfte bestimmt sind, vorausgesetzt, dass sich die Beschleunigungen und Stabkräfte als Functionen der in (2) auftretenden und bekannter Grössen eindeutig ausdrücken lassen. Beispielsweise sind die Probleme des Gleichgewichts von Punktsystemen mit beliebig vielen Stäben vollständig bestmimt, wenn die Stabkräfte als Functionen der Stablängen und anderer augenblicklich bekannter Grössen a, ß? ... gegeben werden. Man drückt die S den Kraftgesetzen gemäss mittelst § 72, (8) durch die Verrückungen aus, substituirt die Ausdrücke

(3) in (2), findet mittelst Sk solcher k Gleichungen sämmtliche Verrückungen und nicht gegebenen äusseren Kräfte, wonach alle Stabkräfte aus Gleichungen der Form (3) folgen.

Die Verrückungen seien jetzt gegenüber den anfänglichen Coordinaten und die l gegenüber den l verschwindend klein. Dann folgen aus (2) mit den Bezeichnungen § 72, (1)

j    S COS Wrnri)

m

dv    _....._

(4)

mnj

m ~W ⁼    ^ s cos ß

* m

dwm    1

mn;

m -jj = Zm -f- ^ S cos y

während für l die Ausdrücke § 72, (9) (10) gelten. Multiplicirt man die Gleichungen (4) der Reihe nach mit |m, rjm) (wobei Im, rjmi Im nicht nur die obigen Verrückungen, sondern auch irgend welche genügend kleine virtuelle Verrückungen bedeuten können), verfährt analog mit den entsprechenden Gleichungen der übrigen Systempunkte und addirt dann alle Sk Gleichungen, so folgt mit den Bezeichnungen G, ® des § 72 wie dort die Beziehung

(5)

G = ® — <&,

welche das d’Alembertsche Princip und bei verschwindenden Beschleunigungen oder G = 0 das Princip der virtuellen Verrückungen

darstellt. $ drückt die Arbeit der äusseren Kräfte und 'S) die Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte während der fraglichen Verrückungen für den Fall aus, dass die Kräfte mit ihren Werthen zur Zeit t constant gedacht werden. Die Gesammtarbeit der inneren Kräfte ist nach § 72, (11) nur durch Entfernungsänderungen der Systempunkte bedingt.

Wie in § 72 würde sich die Beziehung (5) auch gefunden haben, wenn wir in    S) neben den inneren Kräften Stabkräfte nach solchen äusseren Punkten aufgenommen hätten, welche hinsichtlich des Coordinatensystems festliegen. Nur hätten dann diese äusseren Kräfte in Xm} Ym, Zm unberücksichtigt zu bleiben und die vorerwähnte Deutung von S) der in § 72 gegebenen zu weichen.

In § 39 fanden wir für beliebige Körper mit ® = 937 -J- ©

worin S) als Arbeit zur Ueberwindung der constant gedachten inneren Kräfte während der Relativen Bewegungen der Punkte gegeneinander (§ 40) dieselbe Bedeutung wie hier hat. Für solche Körper, welche als Punktsysteme gelten, deren sämmtliche innere Kräfte Stabkräfte sind, besteht aber Gleichung (5) oder § 72, (6). Daher hat man für diesen Fall in allen Gleichungen der §§ 39 — 42, 44

dR = 0.

d,9ï = 0

Arbeiten infolge von Unstetigkeiten der Verrückungen treten nicht auf. Haben wir mehrere Theilsysterne, welche obiger Bedingung bezüglich der inneren Kräfte genügen (z. B. feste Stäbe), während zwischen ihnen Reibungen auftreten (etwa in Gelenken), so sind die letzten Gleichungen für das ganze Punktsystem nicht erfüllt.

§ 74. Die Verschiebungsarbeit.

Wir bleiben bei dem im § 73 betrachteten Fall innerer Stabkräfte. |m, rjm, mögen die wirklichen Verrückungen gegen die Lagen xm, ym, 0m bedeuten. Wären die Stabkräfte S während des Eintretens der ganzen Verrückungen constant wie zur Zeit t, so würde die zur Ueberwindung der inneren Kräfte nöthige Arbeit sich ausdrücken

(1)

Für den allgemeineren Fall, dass die S während der Längenänderungen ihrer Stäbe variabel sind, führen wir ein 2 fScU

(2)

s 0

und bezeichnen diese Arbeit als Verschiebungsarbeit. ® mag die virtuelle Verschiebungsarbeit heissen. Für constante S führt (2) wieder auf die speciellere Formel (1).

Die Arbeit ® ist eine Function der zur Zeit t erreichten Beanspruchungen S und Längenänderungen X oder Verrückungen §, y], £. Diese Grössen können unter gegebenen Verhältnissen des Systems (z. B. festen Punkten, vorgeschriebenen Bahnen, bestimmten Kräften und Beschleunigungen) je nach begleitenden Umständen verschiedene Werthe annehmen. Wir erhalten jedoch alle mit den gestellten Bedingungen verträglichen Variationen von ®, wenn wir die S und X oder £, rj, £ selbst ihre Werthe in beliebiger zulässiger Weise um unendlich wenig ändern lassen. Die vollständige Variation von SD ist

(3)

dSD = döSD -j- dsSD,

worin

(4)

= ^SöX

die Variationen von SD, wenn die Verrückungen bei constanten Stabkräften und die Stabkräfte bei constanten Verrückungen ihre Werthe nur unendlich wenig ändern.

Nach (2) stellt

(5)

dM® = ÖD

in jedem Falle die Verschiebungsarbeit für die vorausgesetzten Aenderungen der Stabkräfte und Verrückungen dar. Sodann ist nach § 73, (5) wegen dsGr — 0

(6)

Die Arbeit ^ der constant gedachten äusseren Kräfte können wir uns zerlegt denken in die Arbeit @1 der gegebenen oder durch die gegebenen Verhältnisse bestimmten äusseren Kräfte und in die Arbeit U der von den S, X abhängigen Reactionen

(?)

ß = $ -f U.

Aus (6) folgt hiernach

(8)

= ösn

und mit (3), (5)

(9)

d® = ÖD -f d,U.

Gewöhnlicher Fall. Es sei nun S eine den Bedingungen des Taylor’schen Lehrsatzes entsprechende Function der Stablänge l und

irgend welcher anderer Grössen a, b, c, . . . Ist dann P der Werth von S zn Beginn der betrachteten Verrückungen und bedeuten L, A, B, ... die partiellen Derivirten von S nach l, a, b, ... für diesen Beginn, dann hat man nach den Aenderungen A, a, ß, . . . von a} b, c, ... dem TayloPschen Satze zufolge,

(10)

S=P-\-Ll + Acc + Bß-\----

Die mit Quadraten, Producten und höheren Potenzen der A, a, ß, ... multiplicirten Glieder verschwinden, wenn entweder erstere selbst oder ihre Coefficienten klein genug sind, was wir voraussetzen. Im Uebrigen kann das Gesetz (10) für alle Stabkräfte verschieden sein.

Mit der Bezeichnung

(H)

T = Au + Bß H----

liefern die Gleichungen (1), (2)

(12)

® = ^ (PA + £A² + TA),

(13)

und hieraus folgt wegen

die Beziehung

(14)

Z(Pi + T + /™)

l    l

TA =f TZA + / AZT 0 0

2 PA ~    (T(U “ kdT)-

s    s 0

Nach (9), (14) aber hat man für Punktsysteme, deren sämmtliche inneren Kräfte der Form (10) entsprechen, die vollständige Variation der Verschiebungsarbeit

(15)

SB = tf.U + y' (PS A — TtfA + AÄT).

Aus (15) folgt, dass für AU = 0 die Stabkräfte, Verrückungen und Functionen derselben Werthe haben, wie sie einem Maximum oder Minimum der Arbeiten Z), S) entsprechen: a) wenn sämmt-. liche P und T verschwinden, die S also bei beliebigen Verliältniss-zahlen L den Längenänderungen A proportional sind; b) wenn in

(15) die Summe gleich Null ist, also beispielsweise, wenn bei

S

verschwindendem '/^l PdA nur innere Centralkräfte Vorkommen. —

S

Im Allgemeinen sind für den Fall innerer Centralkräfte die Arbeiten

p*

Maxima oder Minima. — In allen bekannten Fällen lassen sich D, ® unter obigen Voraussetzungen als Summen von Quadraten darstellen und kommen dann bei nur einer Lösung lediglich Minima der D, 3) in Frage. .

§ 75. Coexistenz kleiner Bewegungen.

Der einem beliebigen Punktsystem angehörige Punkt m lag zur Zeit t₀ bei xm, ym, zm und ist zu irgend einer späteren Zeit nach xm + Iw, ym + Vm, 2m £w gelangt. Sind dann alle inneren Kräfte Stabkräfte und die    % gegenüber den x, y, z verschwindend

klein, so bestehen nach § 73 zur Zeit t die Gleichungen

m TTo“

m

= Ym + ^ S COS ß

m

+2s

m

Die Summen beziehen sich auf alle in m eintrelfenden Stäbe,

(1)

dt²

cos a

771 n y

d^m

M dt²

— Zm

77171)

COS Ymn'

amn, ßmn, Ymn sind nur von den Anfangslagen der Punkte m, n abhängig und Xm, Ym, Zm bezeichnen die resultirenden Componenten der auf m wirkenden äusseren Kräfte in den Richtungen x, y, z. Diese äusseren Kräfte können zum Theil gegeben oder durch die gegebenen Kräfte allein bestimmt sein, zum Theil aber auch von den inneren Kräften mit abhängen. Bei Erzeugung der fraglichen Verrückungen dürfen beliebige Ursachen zusammen gewirkt haben.

Es mögen nun irgend welchen Ursachencomplexen CT, U”, • • • einzeln Spannungen entsprechen, welche wir, wie alle zugehörigen Grössen, durch die Indices der betreffenden U auszeichnen. Dann folgen aus der ersten Gleichung (1)

= v + 2s'

m

=x"+2V

cos a

d²r

rn n y

d²g'

dt²

COS CCmnj

Wirken alle Ursachencomplexe zusammen, so addiren sich gegebene äussere Kräfte. Wäre auch allgemein

S = s' + S" -Ą----,

so würden sich die von den inneren Kräften abhängigen äusseren Kräfte (Reactionen) ebenfalls summiren und durch Addition folgen

dt²

dt²

dnm _ dy d*i'

dt⁸ "* dt* '

dim

di

di'

• • • = u0 +

dt

— U₀(t - t₀) + £ + I” + ' * *

Analoge Beziehungen entstehen aus den beiden letzten Gleichungen (1), wir können aussprechen: Wenn mehrere Complexe von Ursachen einzeln Stabkräfte erzeugen, welche sich heim Zusammenwirken aller Ursachen addiren, dann entsteht die resultirende Bewegung durch Ueber-einanderlagerung der anfänglichen und der von den einzelnen Complexen erzeugten Bewegungen, es können die Binzelbewegungen als nebeneinander existirend betrachtet werden. Erzeugt z. B. jeder Ursachen-complex für sich Gleichgewicht, so wird auch beim Zusammenwirken aller Complexe Gleichgewicht bestehen.

(1)

Setzen wir jetzt die Gültigkeit dieses Princips der Coexistenz voraus. Unter Einwirkung der gegebenen äusseren Kräfte und sonstiger Ursachen möge Gleichgewicht hinsichtlich unseres Coor-dinatensystems möglich sein, während augenblicklich eine Bewegung existirt. Geben wir allen Grössen, welche dem Gleichgewichtszustände entsprechen, den Index so folgen aus

d*i

m dt²

(2)

d*b

dt*

d*i

dt*

+ 2⁸’

m

o = r + 2 s'cos ß

m

+ Bs'

= 0 = X'

= 0 = Z'

cos a

mny

mnj

cos ymn»

Sind ferner zur Zeit t die ganzen Verrückungen durch %m— i -{-rjm = rf -J- vf'} tm — £ + und die Stabkräfte und äusseren Kräfte in analoger Weise bezeichnet, dann haben wir für die Bewegung gegen die Gleichgewichtslagen

(3)

r = im - r,

n =Vm — rf, (di’ d (im - i)

dt

dt

(4)

drf    d (r\m — V)

dt

dt

dt

dt

und hieraus, sowie durch Subtraction entsprechender Gleichungen (1) und (2)

(5)

dH" æ (ś,„ - r)

dt²

dt²

d^rf    d² (rjm rj')

~dW~ dt2 d²£'    d² (Sm - n

dt²

dt²

= x" + 2>"

m

= Y" + ^ S" cos ß

m

=r +y s-

cos a

mn t

mnt

COS Ymn •

Tn diesen Gleichungen sind X" — Y" — Z" = 0, wenn alle an m wirkenden äusseren Kräfte gegeben oder durch die gegebenen Kräfte allein bestimmt sind, während anderenfalls einer unbekannten Re-actionscomponente eine bekannte Beschleunigungscomponente entspricht (§ 73), sodass die betreffende Gleichung zur Berechnung der Reactionscomponente dienen kann.

Vergleicht man die für die Beschleunigungen gefundenen Ausdrücke (5) mit (1), so ergibt sich hei Berücksichtigung von (3) (4) der Satz: Unter Voraussetzung des Princips der Coexistent folgen die Bewegungen der Systempunkte um die gegebenen äusseren Kräften entsprechenden Geichgewichtslagen denselben Gesetzen ivie die Bewegungen, welche die Systempunkte um ihre anfänglichen Lagen bei Wegfall der erwähnten äusseren Kräfte aus führ en würden (§ 37).

Können wir (§ 74) bei verschwindend kleinen Verrückungen +    + Acc + Bß-]----

setzen, worin P, L, A, B, • • • Constante bedeuten, dann besteht für die Ursachen P, A, a, ß, • • oder wegen § 72, (10) auch für die Ursachen P, |, r\, £, a, ß, • • und Theile derselben das Princip der Coexistenz (X. Abschnitt).

§ 76. Energie bei inneren Radialkräften.

Als Radialkräfte oder Stabkräfte wurden bisher Kräfte bezeichnet, welche zwar in den Verbindungsgeraden einander beeinflussender Punkte m, n wirken, deren Abhängigkeitsgesetz aber ein ganz beliebiges ist. Ziehen wir jetzt den Fall in Betracht, dass sämmtliche inneren Kräfte eines Punktsystems Stabkräfte sind, welche irgend welche Gesetze der im VII. Abschnitte angewandten Form

(1)

S = mn [.F(l) — i]

befolgen, worin ganz allgemein i eine Function derjenigen Grössen bedeutet, welche neben der Entfernung l auf S Einfluss nehmen.

Die Centralkräfte bilden einen speciellen Fall dieser Stabkräfte und ebenso die in § 74, (10) ausgedrückten Kräfte. Den äusseren Kräften wird keinerlei Beschränkung auferlegt.

In § 72 ergab sich die Aenderung der lebendigen Kraft oder actuellen Energie eines Punktsystems mit inneren Radialkräften für ein Zeitelement dt

(2)

dL = dK — dD,

worin jetzt

(3)

dK =

(X dx -f- Y dy -{- Z dz)

k

die Arbeit der äusseren Kräfte und

(4)

dD =

S dl

die Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte oder Verschiebungsarbeit bedeutet. Nach (1) besteht für die inneren Kräfte eine Function I der Coordinaten oder specieller der Entfernungen auf einander wirkender Punkte allein, deren vollständiges Differential sich ausdrückt

(5)

dl= ^ mn F il) dl = dD + ^

mni dl.

Wir werden I die innere potentielle Energie nennen.

Für ein von t₀ bis t reichendes Zeitintervall folgen mit

(⁶) K=^f(Xdx+Ydy + Zdi2)’

2J

S dl

to

und der Bezeichnung

(?)

mnJ -

to

idl

aus

(5), (2) die Beziehungen

(8)

I — J₀ = 7) — 2Ö,

(9)

7-7₀ + 7> = W=:7-7₀ + 7-7₀ + SS,

(10)

L + i+M = L₀ + I₀ + K.

Da 7 — 7₀ jedesmal verschwindet, wenn die Systempunkte ihre anfänglichen relativen Lagen wieder einnehmen, so lässt sich für K = 0 aussprechen: Wenn ein Punktsystem nur unter dem Arbeitseinflusse innerer Radialkräfte der Form (1) steht, so sind von einer beliebigen Zeit t₀ an gerechnet die Summe L -J- 2Ö und innere potentielle Energie I zu allen Zeiten dieselben, zu welchen alle einander beeinflussenden Punkte dieselben relativen Lagen gegen einander haben;

bis zu jeder Zeit t ist der Gewinn an L -(- SB gleich dem Verluste an I, die Summe L -f- ÜB -j- I bleibt constant. Gleichung (9) aber sagt: Wenn ein Punktsystem unter dem Arbeitseinflusse beliebiger äusserer Kräfte und innerer Radialkräfte der Form (1) steht, dann ist in jedem Zeitintervall die Arbeit der äusseren Kräfte gleich der Summe der Aenderungen von (äusserer) actueller und innerer potentieller Energie.

Specieller Fall. In einem Systeme mögen nur actuelle und potentielle Energie der ungetheilten Systempunkte Vorkommen und die Aenderungen dieser Gesammtenergie allein durch die Arbeit äusserer Kräfte und innerer Radialkräfte der Form (1) bedingt sein. Dann muss die neben I — I₀ zur Ueberwindung innerer Kräfte aufgewandte Arbeit SB zu Aenderung einer inneren Bewegung gedient haben und man kann von äusserer und innerer actueller Energie sprechen, ebenso wie in § 70 von äusserer und innerer potentieller Energie oder wie oben allgemeiner von Arbeit äusserer Kräfte und innerer potentieller Energie. Zu jeder Zeit t ist die ganze innere oder virtuelle Energie

(H)

U= 1+ w,

unter W die innere actuelle Energie verstanden. Für ein Zeitintervall von t₀ bis t hat man

(12)

ü- U₀ = I— I₀ + SB

w— W₀ = SB,

während die Gesammtenergie zur Zeit t nach (10)

(13)

E=L + U=L₀+Uq + K=E« + K.

Speciell wenn keine äusseren Kräfte wirken, hat man (14) E = L-\- U = L-\- W1= L₀ W₀ -j- I₀ = L₀ + U₀ = E₀, und in Worten: Wenn ein Punktsystem, welches nur actuelle und potentielle Energie der Systempunkte enthält, lediglich unter dem Arbeitseinflusse innerer Radialkräfte der Form (1) steht, dann sind die potentielle Energie I und Summe der äusseren und inneren actuellen Energie L -f- W zu allen Zeiten dieselben, in welchen alle Systempunkte dieselben relativen Lagen gegen einander haben; in jedem Zeitintervall ist der Gewinn an Energie L ~\~ W gleich dem Verluste an Energie I oder der Gewinn an äusserer actueller Energie L gleich dem Verluste an virtueller Energie U, die Gesammtenergie des Systems E bleibt constant.

§ 77. Ueber die Réduction auf Centralkräfte.

Als Helmholtz im Jahre 1847 das Princip von der Erhaltung der Energie für den Fall von Centralkräften aussprach, fügte er hinzu, dass die Hauptaufgabe der Naturwissenschaft darin bestehe,

„die Naturerscheinungen zurückzuführen auf unveränderliche anziehende und abstossende Kräfte, deren Intensität (nur) von der Entfernung abhängt“. Man kann nicht behaupten, dass seither in dieser Richtung wesentliche Fortschritte gemacht seien, im Gegentlieil scheint das Misslingen der Rückführung electrodynamischer Erscheinungen auf Centralkräfte von einer Aufgabe abgelenkt zu haben, deren Lösbarkeit Helmholtz als Bedingung der vollständigen Begreiflichkeit der Natur erklärte.

Es kann dahingestellt bleiben, ob nicht alle Kräfte auf dynamische Einwirkungen zurückzuführen sind. Jedenfalls kommt es bei Versuchen zur Auflösung irgend welcher Kräfte in Centralkräfte darauf an, die Kräfte, soweit möglich, in Componenten zu zerlegen und alles als Bewegung Erkannte oder Erklärbare auf die gleiche, den Kräften oder Arbeiten entgegengesetzte Seite der Bewegungsgleichungen zu bringen. Letzterer Forderung hat man bisher nicht überall Rechnung getragen; sie führt dahin, zwei oder mehrere Bewegungen gleichzeitig zu betrachten. Da auch wir im VII. Abschnitte genöthigt waren, Radialkräfte zwischen den Körperpunkten an die Stelle von Centralkräften zu. setzen, so möge kurz an einem Beispiele gezeigt werden, wie man sich die Réduction auf Centralkräfte unter Umständen denken kann. Wir gehen dabei von der Annahme aus, dass die Kräfte zwischen je zwei Systempunkten theilweise zur Aenderung einer der bisher betrachteten, sagen wir offenen, Bewegung coexistirenden inneren Bewegung dienen, oder von einer solchen herrühren.

Zm bezeichnet. Ist nun smn die Beschleunigung der er-

Für einen Systempunkt m seien wie bisher die Geschwindigkeiten der offenen Bewegung und die resultirenden Componenten der äusseren Kräfte in den Richtungen x, y, z durch um, vm, wm und Y,

wähnten inneren Bewegung in der Richtung auf den Systempunkt n, nach welchem die Kraft S führt, dann bestehen mit § 72, (1) die Gleichungen

(1)

+ 2jS

m

-j- ^ S cos ß

Ir+2

rn

~dT + 2 Smn cos 0

m

—Smn COS y-rnn — Zm —j—    S

Smn COS CCmn -V,

COS ccmn,

um

dWrn

dt

Denkt man sich dieselben für alle Systempunkte angeschrieben und multiplicirt mit beliebigen virtuellen Verrückungen |m, rjm, £m, so folgt durch Addition mit den Bezeichnungen G, S) des § 72 und

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

cos ymn-

13

(2)

Smn COS CCmn -f⁻ yjm W> Sinn COS ß m

+ tm W>

die Beziehung

rn

Smn COS ymn^ j

(3)

Zu tragen die inneren Beschleunigungen von m in der Richtung n und von n in der Richtung auf m bei,

'YM'Smn {fem COS CCmn ~b ?]m COS ßmn ~f" COS ymn)

~f” MSnm (ira COS CCnm “f" t]n COS ßnrn “b £re COS ynm)‘

Da aber msmn und nsnm von derselben Wechselwirkung herrühren, so hat man

(4)

(5)

MSmn — nSnm = mni,

S — Smn ~b Sfim — {fît “b w) if

und mit Rücksicht auf

COS CCnm    - COS    CCrnny

mri)

COS ßnrn    =    —    COS    ß

COS ynm    ⁼⁼    COS    ymnj

als Beitrag der Beschleunigungen von m und n gegen einander

— mni [(§» — I») cos a

~b (.Vu    ßmn "l” (%n    %m) COS ym ;iJ

= —■ mnik,

unter A entsprechend § 72, (9) die mit den virtuellen Verrückungen verbundene Aenderung der Entfernung mn = l verstanden. Wir erhalten also, wenn auf alle Radialkräfte S ausgedehnt wird,

(6)

v

X i m -j- n ⁷

und können anstatt (3) schreiben

0)

2m(

k

du

dt

*+4h+£ t)-2

s

= ^(Xi+Yv + Zi)-^3l,

k    s

mnik

worin für äusseres Gleichgewicht die erste Summe verschwindet.

Die Gleichung (7) gilt, bei beliebigem Abhängigkeitsgesetz der S und beliebigen Verrückungen, lediglich unter der Voraussetzung, dass die einzelnen S zum Theil (in positivem oder negativem Simie)

auf Erzeugung einer inneren Bewegung verwendet werden. Nehmen wir nun für S Centralkräfte irgend welchen Gesetzes

(8)

S = mn F(l) =

mn

n -f- m

an, so stimmt Gleichung (7) genau überein mit der für den Fall innerer Radialkräfte

(9)

S = mn [F(Z) - 0

mn

[/•©-«]

n -f- m

gültigen Grundgleichung § 72, (12). Es ist also hier ganz gleichgültig, ob wir nur die offene Bewegung ins Auge fassen und innere Radialkräfte (9) annehmen, oder ob wir in obiger Weise zweierlei Bewegungen zusammen betrachten und Centralkräfte voraussetzen.

13*

X. Abschnitt.

Gleichgewicht von Stabsystemen.

Eine Anzahl materieller Punkte, welche wir auch Knotenpunkte nennen wollen, sei durch beliebig viele gerade gewichtslose Stäbe zu einem Systeme vereinigt. Aeussere Kräfte greifen allein in Knotenpunkten an. In diesen hängen die Stäbe durch reibungslose Gelenke zusammen, sodass nur in den Yerbindungsgeraden innere Kräfte auftreten können. Da die Knotenpunkte ein Punktsystem der zuletzt betrachteten Art bilden, so bestehen für dies System der Knotenpunkte die im IX. Abschnitte erhaltenen Beziehungen. Sind die Stäbe durch feste Körper gebildet (deren Masse in den Knotenpunkten concentrirt gedacht wird), dann gelten für das System der Körperpunkte die für beliebige Körper und feste Körper abgeleiteten Gesetze.

Die vorerwähnten Stabsysteme spielen im Ingenieurwesen eine sehr bedeutende Rolle, da alle „Fachwerke“ (aus einzelnen Stäben bestehende Brückenträger, Dachstühle, Pfeiler u. s. w.) unter obigen Voraussetzungen berechnet zu werden pflegen. Mit Rücksicht hierauf und zu besserer Beurtheilung bereits betrachteter Systeme soi das Gleichgewicht der fraglichen Stabsysteme hier allgemein untersucht werden. Besondere Beachtung werden wir den statisch unbestimmten Systemen schenken (§ 78), da für statisch bestimmte Systeme die Beziehungen der Elasticitätslehre nur von untergeordneter Bedeutung sind.

§78. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte, stabile und

labile Stabsysteme.

Ein Stabsystem von k Knotenpunkten und s wirksamen Stäben sei hinsichtlich eines rechtwinkligen Coordinatensystems im Gleichgewicht. Aeussere Kräfte greifen in beliebig vielen Knotenpunkten an; sie sind zum Theil als Activkräfte (gewöhnlich Lasten) unmittelbar gegeben, zum Theil als Beactionen ausserhalb des Systems

gelegener Stützen entstanden. Je nachdem eine Stütze die Bewegung des gestützten Knotenpunktes nach drei, zwei von einander unabhängigen Richtungen oder nach einer solchen vorschreibt (gewöhnlich hindert), kann ihre Reaction durch drei, zwei Componenten oder eine Componente bestimmt sein. Im Ganzen mögen die augenblicklichen Stützenreactionen von r lleactionsbedingimgen oder von einander unabhängigen Componenten abhängen. Ueber die Gesetze der inneren Kräfte oder Stabkräfte S wird vorläufig nichts vorausgesetzt, doch werden wir die S als positiv oder negativ einführen, je nachdem der verbindende Stab, dessen Widerstand die Stabkräfte liefert, gezogen oder gedrückt wird.

Ein Stabsystem heisst statisch bestimmt oder statisch unbestimmt, je nachdem für gegebene äussere Activkräfte und bekannt gedachte Knotenpunktslagen die Stützenreactionen und Stabkräfte (unabhängig von den Gesetzen der letzteren) durch die Statik allein bestimmt sind oder nicht. — Unser Stabsystem sei nach einer beliebigen Bewegung zum Gleichgewichte gelangt. Der Knotenpunkt m kam dabei aus der Anfangslage xm, ym, zm in die Lage xm -f §m, ym -f- rjm, zm + und ein mit ihm durch den Stab der anfänglichen Länge l verbundener Knotenpunkt n von xn, yn, zn nach xn -f- yn -f- r\n, zn + Sind nun Xm, Ym, Zm die resultirenden Componenten der auf m in den Richtungen x, y, z wirkenden äusseren Kräfte und A die Längenänderungen von l, so lauten die Bedingungen für das Gleichgewicht an m

(1)

1/

-f- Xm = 0,

= o,

Es

-f-    — 0,

worin sich die wie in § 73 auf sämmtliche in m eintreffenden

Stäbe beziehen. Bei k Knotenpunkten liefert uns die Statik 3 k solcher Gleichungen, welche durch die darin vorkommenden Grössen erfüllt sein müssen und zur Bestimmung von Unbekannten dienen können. Da bei bekannten Knotenpunktslagen wegen

(2)

(l + d)J = (%n -j"ira —    — Iw)² (Pn Vn — ym — ^m)²

-j“ (ßn “f~ tn — Zm — Sw)²

auch die Stablängen bestimmt sind, so bleiben von Unbekannten nur die r unabhängigen Reactionscomponenten und s Stabkräfte, es muss für statisch bestimmte Stabsysteme s -J- r ^ 3h sein, während für s -J- r> 3h ein Stabsystem immer statisch unbestimmt ist.

Ein Stabsystem heisst stabil oder labil, jenachdem bei bestimmten Stablängen (oder gegen die l verschwindenden l) und unbeweglichen Stützen (oder gegen deren x,y,z verschwindenden g, rj, £), aber veränderlichen äusseren Kräften die Knotenpunkte unveränderliche Gleichgewichtslagen (oder gegen die x, y, z verschwindende |, rj, £) haben oder nicht. — Wir fassen wieder den oben betrachteten Fall ins Auge. Sollen alle Stablagen von den äusseren Kräften unabhängig (oder nur in verschwindendem Masse abhängig) sein, dann müssen wir den unter dieser Voraussetzung aus (1) folgenden 37c Gleichungen

2^-v- + =°

m

(2)

EsVjlZi~ + Y,„ = 0,

+ zm = 0

mit den als Unbekannte allein verfügbar bleibenden s Stabkräften und r unabhängigen Reactionscomponenten genügen können, was nur für s -(- r ^ 3 ft der Fall ist. Für s -f- r < 3 ft dagegen findet Gleichgewicht erst unter den allgemeineren Bedingungen (1) statt, und da diese zwischen Kräften und die Stablagen bestimmenden Grössen bestehen, so müssen fürs Gleichgewicht auch Lagebedingungen erfüllt sein. Treffen letztere beim Anbringen der äusseren Kräfte nicht zu, so findet auch kein Gleichgewicht statt und es verschiebt sich das System solange, bis Erfüllung eingetreten ist. Aendern wir dann etwas an den äusseren Kräften, so werden sich mit dem neuen System der Bedingungsgleichungen (1) auch die dadurch mitbestimmten Stablagen ändern, wir haben ein labiles Stabsystem.

Wir wissen jetzt, dass für statisch bestimmte Stabsysteme s + r ~ und für stabile Stabsysteme s -j- r ^ 3h sein muss. Die Erfüllung dieser Bedingungen reicht jedoch nicht aus, um ein System statisch bestimmt oder stabil zu machen, es kommt nicht nur auf die Anzahl, sondern auch auf die Anordnung der Stäbe an. Man hat zu beachten, dass jede Stabkraft oder Reactionscomponente nur aus einer Gleichung bestimmt werden kann, in welcher sie vorkommt, und dass sich umgekehrt mit einer Stabkraft oder Reactionscomponente nur dann einer Gleichung genügen helfen lässt, wenn letztere die erstere enthält. Mit Rücksicht hierauf konnte Verfasser schon bei anderer Gelegenheit folgende Sätze geben:

ä) Stabsysteme sind statisch bestimmt, wenn bei k Knotenpunkten die Anzahl der wirksamen Stäbe und imabhängigen Reactionscompo-nenten s + r ^ 3 ist und dieselben den ihnen anliegenden Knotenpunkten so zugewiesen werden können, dass auf jeden Knotenpunkt mindestens drei Stäbe und Reactionscomponenten verschiedener Richtungslinien kommen. Im Grenzfalle s -f- r = 3Z; tritt statisch bestimmte Stabilität ein, in allen andern Fällen haben wir statisch unbestimmte

Systeme.

b) Stäbsysteme sind stabil, wenn bei k Knotenpunkten die Anzahl der wirksamen Stäbe und unabhängigen Reactionscomponenten s -j- r/L3k ist und dieselben den ihnen anliegenden Knotenpunkten so zugewiesen iverden können, dass auf jeden Knotenpunkt mindestens drei Stäbe und Reactionscomponenten verschiedener Richtungslinien kommen. Im Grenzfälle s -f- r = 37c tritt statisch bestimmte Stabilität ein, in allen andern Fällen haben wir statisch unbestimmte Systeme.

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Fig. 18.

Die Zuweisung macht sich in praktischen Fällen sehr leicht und übersichtlich, wenn man die Knotenpunkte mit lateinischen, die zugewiesenen Stäbe und Reactionscomponenten mit den entsprechenden arabischen Ziffern bezeichnet. Wie schon angedeutet, sind in s -|- r nur wirksame Stäbe und Reactionscomponenten zu berücksichtigen, man hat beispielsweise jeden Stab in s nur solange aufzunehmen, als er die unter Voraussetzung seiner Wirksamkeit auf ihn entfallende Beanspruchung S aushalten kann. Dagegen darf ein Stab, der nur Zug aufzunehmen hat, durch einen genügend widerstandsfähigen Faden gebildet sein, ja wir können Stäbe und Fäden ganz weglassen, wenn nur die in obigen Formeln auftretenden-Kräfte S wirksam bleiben. In diesem Falle entsteht ein Punktsystem der in §§ 72—76 betrachteten Art und man kann also auch von statisch bestimmten und statisch unbestimmten, stabilen und labilen Punktsystemen sprechen. Bei stabilen Punktsystemen können Bewegungen der Systempunkte nur unter Ueberwindung von Stabkräften S Vorkommen, bei labilen Punktsystemen sind auch andere Bewegungen möglich.

III 3

///Az

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S/

73

m/

yjj

10.

x-

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'z

Vz

/r

'n

Fig. 19.

Nach a) lassen sich statisch bestimmte Stabsysteme durch Zufügen z»von 3 Tt — s — r geeigneten Stäben und Reac-tionscomponenten statisch bestimmt stabil machen, ein statisch bestimmtes Stabsystem ist im Allgemeinen (37c — s — r) - fach labil, es müssen fürs Gleichgewicht 37c — s -j— t Lagebedingungen erfüllt sein. Bei stabilen Stabsystemen lässt sich nach b) durch Wegnehmen von s -j- r — 37c geeigneten Stäben oder Reac-tionscomponenten statisch bestimmte Stabilität erreichen, das stabile Stabsystem ist im Allgemeinen (s -}- r — 37c)-fach statisch unbestimmt, es müssen zur Berechnung aller Reactionen und Stabkräfte s -j- r — 37c Gleichungen ausserhalb der Statik gesucht werden. Jedes Stabsystem, welches weder den Bedingungen a) noch den Bedingungen b) genügt, ist theilweise statisch bestimmt labil, theilweise statisch unbestimmt stabil, kann aber natürlich auch statisch-bestimmt-stabile Stabgruppen enthalten.

Bei Untersuchung ebener Stabsysteme (wenn alle Stabaxen und äusseren Kräfte stets in gleicher Ebene liegen) kommen für jeden Knotenpunkt nur zwei statische Bedingungsgleichungen in Betracht, weshalb dann oben überall 27c an Stelle von 37c und in den Sätzen ci) b) „zwei Stäbe“ an Stelle von „drei Stäbe“ gesetzt werden kann. Ebenso sind im gleichen Falle die Reactionen schon durch eine oder zwei Componenten bestimmt, jenachdem der gestützte Knotenpunkt frei verschiebbar ist oder festliegt.

8.

2j

Hs

>L

ir.

'3

G,

'7

'S

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IS

ąt

10

'11

13

11

1Z

1Z

'3

SV

IS

Fig. 20.

Fassen wir einige Beispiele ins Auge. Ein abgestumpftes w-Kant der in Fig. 18, 19 angedeuteten Art mit geraden oder gebrochenen Kauten (Pfeiler, Kuppeln) hat bei m Ringen 1c = nm Knotenpunkte und

Ringstäbe, n(m — 1) Kantenstäbe, n(m — 1) Diagonalstäbe, s = n(3m — 2) Stäbe.

nm

im Ganzen

Es sind also zur statisch bestimmten Stabilität

37c — s — nm — n(ßm — 2) == 2 n

von einander unabhängige Reactionscomponenten nöthig. In Fig. 18 ist die Stützung so gedacht, dass jede Stützenreaction von zwei unabhängigen Componenten abhängt. Bei dem Dreikant Fig. 19 soll

2,

'~Vç

IV

‘L

Z /3

jjr ß ^    8 TUT

6 //

10

1t

12

13

tS

11

!S

r 7 ru g jx to _x /z su w

317

Fig. 21.

der Knotenpunkt XII festliegen, während X auf einer Linie und XI auf einer Fläche reibungslos gleitet. Die Zuweisung der Stäbe und Reactionscomponenten zeigt, dass die Anordnung derselben eine richtige ist. Es gilt dies auch noch, wenn beliebige Diagonalstäbe

ihre Stellung im Viereck wechseln. Dagegen entsteht durch Zufügen eines weiteren Stabes oder einer weiteren Reactionscompo-nente ein statisch-unbestimmt-stabiles System und durch Wegnehmen eines solchen Elements ein statisch-bestimmt-labiles System. Wird

JIr

li

K) X //    .17

------ iLxnr

10

/7

w /:>

'ti

sr/r

10

ii

17\

s r 7 m a Dl n xu iv w io m m

18

Fig. 22.

ein Diagonalstab aus seinem Viereck entfernt und mit einem andern kreuzweise in dessen Viereek gestellt, so erhält man ein statischunbestimmt-labiles Stabsystem. — Läuft das n-Kant in einen Knotenpunkt aus (Thurmdächer, Kuppeln), dann haben wir bei m Ringen Je — nm -{- 1 Knotenpunkte, sowie

nm

nm

Ringstäbe,

Kantenstäbe,

n{m — 1) Diagonalstäbe,

s = n(ßm — 1) Stäbe.

zusammen Das Stabsystem lässt sich durch

3li — s — 3 (nm + 1) — w(3m — 1) = n -f- 3 unabhängige Reactionscomponenten statisch-bestimmt-stabil machen.

m io x

TT

12

.w

TT\

TUT

r.r

n.

.ff

10

IT

\rz

'V

UV

7J

" JZ

br

73"

M.

.r

L/śf

jvyW_z

16

*y

Fig. 23.

In Fig. 19 können alle Stäbe und Reactionscomponenten bleiben, da hier n -f- 3 = 6 ist und die hinzukommenden drei Stäbe sich dem neuen Knotenpunkte zuweisen lassen, in Fig. 18 verlangt die statisch-bestimmte Stabilität den Wegfall von drei Stäben oder

Reactionscomponenten. Die Auswahl karni verschieden getroffen werden, über die Richtigkeit entscheidet die Zuweisung. — Von den ebenen Stabsystemen Fig. 20—30 sind 20—23, 25, 26, 28 statisch-

jr z ir // rr 6 m s jc io xi 71 jnr i3 xr is xr/i

10

12

13

\3

,Z

IS

'l7

jar

nir.

16

17

J7T

16

5t⁻⁵

is

Fig. 24.

bestimmt stabil, 24 und 27 stabil und einfach statisch unbestimmt, 29 statisch-bestimmt und einfach labil, jede nicht senkrechte Kraft würde diesen Stab über die Stützen wegschieben. Das Stabsystem

n ? rr '/ ne vn n> xjt n xii n iw /'/ xrr in um.

.S

IG

18

IS

17

'UL

17

/!>

Mg. 25.

Fig. 30 ist bei s Stäben statisch-bestimmt und (s— 2)-fach labil, für s — 2 und 1 entstehen Fig. 26 und 27 und für s — oo die statisch-bestimmte, oo-fach labile Kette (Faden, Seile).

§ 79. Aeussere und innere Stabilität und Labilität.

In § 78 hat sich gezeigt, welche Bedingungen die Gesammt' heit der s Stäbe und r unabhängigen Reactionscomponenten eines Stabsystems erfüllen muss, wenn letzteres stabil sein soll, wenn also bei starren Stäben und unbeweglichen Stützen keine Verrückungen der Knotenpunkte (bei gegen die l verschwindenden A der Stäbe und gegen die x, y, z verschwindenden £, % £ der Stützen aber nur die hierdurch bedingten verschwindend kleinen Coordinatenänderungen aller Knotenpunkte) entstehen sollen. Es fragt sich nun, unter welchen Voraussetzungen das Stabsystem insbesondere äusserlich stabil und innerlich stabil ist, sodass es bei starren Stäben gegen das Coordinatensystem bezw. in sich selbst unverschiebbar bleibt.

Denkt man sich die sechs Bedingungsgleichungen angeschrieben7 welche durch die am ganzen System wirkenden äusseren und inneren Kräfte im Falle des Gleichgewichts erfüllt sein müssen (Summe aller Kräfte parallel jeder Coordinatenaxe gleich Null, Summe aller Momente um jede Coordinatenaxe gleich Null), so fallen die inneren Kräfte wegen doppelten Auftretens in entgegengesetzten Richtungen aus, die äusseren Kräfte müssen für sich im Gleichgewichte sein. Soll also das Stabsystem bei veränderlichen äusseren Kräften keine oder nur verschwindend kleine Verrückungen gegen das Coordinaten-system erleiden, so müssen wir den zwischen den äusseren Kräften und Functionen der Knotenpunktscoordinaten bestehenden sechs Bedingungsgleichungen mit den Stützenreactionen allein genügen können, was nur der Fall ist, wenn die Stützenreactionen von mindestens sechs unabhängigen Componenten abhängen, die sich den sie enthaltenden Gleichungen so zuweisen lassen, dass auf jede derselben wenigstens eine Componente kommt.

Um festzustellen, durch wieviel von einander unabhängige Stablängen die Lagen der Knotenpunkte gegen einander bestimmt sind, genügt es, einen Fall ins Auge zu fassen. Man kann drei Punkte durch ebensoviel starre Stäbe in feste Lagen gegen einander bringen. Kommt ein vierter Punkt hinzu, so sind drei weitere Verbindungsstäbe möglich und die gleiche Anzahl nöthig, um das System der vier Punkte in sich unverschiebbar zu machen. Für jeden folgenden Punkt erfordert die unveränderliche Verbindung mit dem System drei neue Stäbe, während im Ganzen soviel neue Verbindungsstäbe möglich werden, als bereits Punkte vorhanden sind. Auf diese Weise entsteht folgendes Schema:

Anzahl der nöthigen Stäbe

Anzahl der möglichen Stäbe

Anzahl der Punkte

10

12

15

₇ k — 1

Der Ausdruck 3 7»; — 6 setzt Ic ^ 3 voraus, für h — 1, 2, 3, 4 ist die Anzahl der nöthigen Stäbe gleich derjenigen der möglichen Stäbe.

In § 78 ergab sich, dass bei r unabhängigen Reactionscompo-nenten mindestens s = 3k — r Stäbe dazu gehören, ein Stabsystem stabil zu machen. Oben fanden wir, dass mindestens r = 6 sein muss, wenn das System äusserlich stabil sein soll. Da stabile Stabsysteme nothwendig auch äusserlich stabil sind (§ 78), so enthalten erstere wenigstens r = 6 unabhängige Reactionscomponenten und höchstens s = 3k — 6 unabhängige Stablängen. Beide Grenzzahlen treten im Falle innerer Stabilität ein. Für s < 3k — 6 haben wir innerlich labile Stabsysteme und sollen dieselben im Ganzen stabil werden, so muss zur Erfüllung der Bedingung s -j- r 3k die Anzahl der unabhängigen Reactionscomponenten r> 6 sein. Wir können aussprechen: Ein Stabsystem ist äusserlich stabil, wenn 6 unabhängige Reactionscomponenten wirksam sind, welche sich den nicht senkrecht dam liegenden Coordinatenaxen und Coordinatenebenen so zuweisen lassen, dass auf jede derselben wenigstens eine Componente kommt. — Ein Stabsystem ist innerlich stabil, falls es stabil erscheint (§ 78), wenn die zur äusseren Stabilität nöthigen Reactionscomponenten sämmt-licli und allein wirksam gedacht werden. Beispielsweise haben wir nach Obigem stets ein innerlich stabiles System, wenn die Knotenpunkte sich so ordnen (etwa numeriren) lassen, dass die drei ersten die Ecken eines Stabdreiecks bilden und jeder folgende mit mindestens drei ihm vorhergehenden verbunden ist. Doch sind auch andere Anordnungen möglich (Fig. 19), da die Knotenpunkte nicht einzeln hinzuzukommen brauchen. Im Gegensätze zu innererund äusserer Stabilität stehen innere und äussere Labilität.

Wir bezeichnen ein Stabsystem als äusserlich statisch bestimmt oder äusserlich statisch unbestimmt, jenachdem bei gegebenen äusseren Activkräften und bekannt gedachten Knotenpunktslagen die Stützen-reactionen (unabhängig von den Gesetzen der inneren Kräfte) durch die Statik allein bestimmt sind oder nicht. Ein statisch bestimmtes Stabsystem ist dann natürlich auch äusserlich statisch bestimmt. Dagegen kann ein innerlich stabiles System im Allgemeinen nur dann zugleich äusserlich stabil und statisch bestimmt sein, wenn gerade sechs in oben erwähnter Art zuweisbare Reactionscomponenten existiren. Denn die Statik liefert uns für innerlich stabile Systeme nur sechs von den inneren Kräften unabhängige Gleichungen. Die Stützenreactionen eines Stab Systems mit mehr als sechs unabhängigen Reactionscomponenten lassen sich also nur in Fällen innerer Labilität aus Beziehungen der Statik allein berechnen. Dies gilt auch für solche feste Körper, welche im Ganzen innerlich stabile Punktsysteme bilden. Um die innere Labilität zu erreichen, kann man constructive Mittel, wie Gelenke, Gleitungen u. s. w. einschalten,

womit neue statische Beziehungen gewonnen werden. Kleine Verrückungen der Knotenpunkte, welche in den statischen Gleichungen verschwinden, sind ohne in Betracht kommenden Einfluss auf die Stützenreactionen äusserlich statisch bestimmter Stabsysteme.

Für Untersuchungen ebener Stabsysteme (wenn alle Stabaxen und äusseren Kräfte stets in gleicher Ebene bleiben) kommen in obigem Schema der Reihe nach nur

21c — 3 nöthige Stäbe

0    1    3    5    7    9

und zwischen den äusseren Kräften nur drei Bedingungsgleichungen in Betracht, sodass auch in den zwei letzten Absätzen überall 21c — 3 an Stelle von 3Tc — 6, „mindestens zwei“ an Stelle von „mindestens drei“ und „drei“ anstatt „sechs“ gesetzt werden können.

,//

Betrachten wir noch die schon in § 78 vorgeführten Beispiele. Das abgestumpfte w-Kant Fig. 18, 19 erfordert zur statisch-bestimmten Stabi-

lität 2n unabhängige Reac-tionscomponenten. Da nun ein statisch-bestimmtes Stabsystem nur bei sechs unabhängigen Reactionscomponenten (ebene Systeme bei 3) innerlich stabil sein kann, so ist das Dreikant Figur 19 innerlich stabil, während für

Fig. 26.

TI

n > 3 ein (n — 3)-fach innerlich labiles System entsteht. Wollten wir in diesem

Fig. 27.

Falle durch Zufügen von Stäben innere Stabilität erreichen, so würde das w-Kant äusserlich (2n — 6)-fach statisch-unbestimmt werden. — Läuft das statisch-bestimmt-stabile w-Kant in eine Spitze aus, womit n -f- 3 unabhängige Reactionscomponenten existiren, so haben wir wieder

4#

Fig. 28.

für n = 3 neben der bei stabilen Stabsystemen immer vor-handenen äusseren Stabilität auch innere Stabilität, für n > 3 dagegen innere Labilität, das Stabsystem wird nur durch die über sechs hinaus vorhandenen unabhängigen Reactionscomponenten vor inneren Verschiebungen bewahrt. — Von den ebenen Stabsystemen Fig. 20—30 sind 20—24, 27, 28 äusserlich und innerlich stabil, 25, 26, 30 äusserlich stabil und innerlich labil, 29 äusserlich labil und innerlich stabil. Die

selten nöthige Zuweisung der Reactionscomponenten zu den Coor-dinatenaxen und Coordinatenebenen ist in Fig. 19, 23 beispielsweise angedeutet. Die innere Stabilität von 21, 23, 24 erkennt man auch ohne den Nachweis der Stabilität (bei nur drei unabhängigen Reactionscomponenten) sofort daran, dass von den auf das erste Stabdreieck nach rechts folgenden Knotenpunkten jeder mit zwei ihm vorhergehenden verbunden ist. Die Systeme 20—23, 25, 26, 28—30 sind äusserlich statiseh-besimmt und demgemäss 25, 26, 30 innerlich labil. Fig. 24 und 27 zeigen äusserlich einfach

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Fig. 29.

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ix

Fig. 30.

statisch-unbestimmte Systeme, doch liesse sich durch Entfernung einer beliebigen Diagonale aus 24 ein statisch-bestimmt-stabiles System hersteilen.

§ 80. Noth wendige, überzählige und abgängige Stäbe und

Reactionen.

Nach §§ 73, 78 ist die Gleichgewichtslage eines Stabsystems von h Knotenpunkten bei r Reactionsbedingungen oder unabhängigen Reactionscomponenten durch diese und 3h — r von einander unabhängige Knotenpunktscoordinaten bestimmt. An Stelle dieser 3ß Unabhängigvariabein können auch 37c von einander unabhängige Functionen derselben treten, beispielsweise a Reactionscomponenten und 37; — a Stablängen. Ob die fraglichen Grössen von einander unabhängig sind, hängt eben davon ab, ob sie die Lage des Stabsystems vollständig bestimmen. Dies trifft für a Reactionscomponenten und 37; — a Stablängen nach § 78 dann zu, wenn dieselben zusammen, ohne sonstige Reactionen und Stäbe ein statisch-bestimmt-stabiles System erzeugen. Wir werden deshalb bei beliebigen Stabsystemen von h Knotenpunkten und r unabhängigen Reactionscomponenten solche a Reactionscomponenten und 37; — a Stäbe, welche für sich ein statisch-bestimmt-stabiles System, das Hauptsystem, ausmachen, Hauptstäbe und Hauptreactionen oder auch nothwendige Stäbe und Reactionen nennen. Die bei statisch-unbestimmten Stabsystemen darüber hinaus vorhandenen Stäbe und Reactionscomponenten sollen Beststäbe und Bestreactionen oder überzählige Stäbe und Beactionen und die bei labilen Stabsystemen daran fehlenden Fehlstäbe und Fehlreactionen oder abgängige Stäbe und Beactionen heissen.

Das Hanptsystem lässt sich in vielen Fällen verschieden wählen. Nach § 78 haben wir immer dann eine richtige Auswahl von Hauptstäben und Hauptreactionen, wenn sich dieselben den ihnen anliegenden Knotenpunkten so zuweisen lassen, dass auf jeden der letzteren gerade drei Stäbe und Reactionen verschiedener Richtungslinien kommen. Unter den a Hauptreactionen sind selbstverständig auch diejenigen sechs, welche das Hauptsystem zu einem äusserlich statischbestimmten machen, während für jeden an der inneren Stabilität des Hauptsystems fehlenden Stab eine weitere Hauptreaction auf-tritt, da die Gesammtzahl der Hauptstäbe und Hauptreactionen 37c ist. Für Untersuchungen in der Ebene tritt überall 2h an Stelle von 3 h und in den letzten Sätzen 2 und 3 an Stelle von 3 und 6.

Hat ein Stabsystem irgendwelche Verrückungen erfahren und denkt man sich neben den Bedingungen, welche die Hauptreactionen bestimmen, die Längenänderungen der gewählten Hauptstäbe bekannt, so sind die neuen Längen und Lagen aller Stäbe bestimmt. Auch die Entfernungen l von nicht durch Hauptstäbe verbundenen Knotenpunkten oder von Knotenpunkten zu ausserhalb des Stabsystems gelegenen, bezüglich des Coordinatensystems^ festen Punkten sind im Allgemeinen geändert worden. Die Gesammtänderung einer solchen Entfernung AB — l setzt sich zusammen aus den Aende-rungen, welche die Längenänderungen aller Hauptstäbe bei Einhaltung der Hauptreactionsbedingungen einzeln ergeben. Die Aenderung Al, welche von der Längen'änderung As des Hauptstabes s herrührt, findet sich, wenn man diesen allein seine Länge s ändern lässt und zusieht, welchen Einfluss dies auf l ausübt. Alle anderen Hauptstäbe sind dabei als starr zu denken, und alle überzähligen Stäbe und Reactionen dürfen wegbleiben. Die Beziehung zwischen Al und As kann auf geometrischem oder statischem Wege erhalten werden; wir wollen den letzteren, zuerst von Mohr betretenen wählen.

Es handle sich um Verrückungen, welche gegenüber den anfänglichen Coordinaten der Knotenpunkte verschwinden. Man denke sich an unserem statisch-bestimmt-stabilen Hauptsystem nur zwei Kräfte angebracht, welche bezw. in A gegen B und in B gegen A wirkend nach Eintritt des Gleichgewichts vom Werth e Q sind. Hierdurch können Hauptreactionen und in allen Hauptstäben innere Kräfte entstehen. Für den Stab s möge die entsprechende Kraft den Werth S haben. Dann folgt aus § 72, (13) oder § 73, (5)

QAl + SAs = ^(Xi+Yr, + Zt),

(1)

worin sich die Summe rechts auf alle durch Q erzeugten Hauptreactionen bezieht. Ist R die resultirende Réaction gegen einen gestützten Knotenpunkt, q die resultirende Verrückung desselben und (qR) der Winkel, welchen die Richtung von p mit der von R einschliesst (§§ 3, 4), dann lässt sich (1) auch schreiben

(2)

Q AZ -{- S As — ^Bq cos (qR) .

Wir wollen speciell den alle Anwendungen umfassenden Fall betrachten, dass die rechte Seite von (2) gleich Null ist. Er tritt beispielsweise ein, wenn die durch Hauptreactionen gestützten Knotenpunkte festliegen oder nur senkrecht zu den Resultanten der Hauptreactionen verschiebbar sind; ferner immer dann, wenn AR — l die Verbindungsgerade zweier Knotenpunkte ist, sodass die Q innere Kräfte darstellen oder als solche behandelt werden können und nach § 79 an unserem äusserlich statisch bestimmten Stabsysteme keine Stützenreactionen R entstehen. Mit

(3)

S = tcQ, folgt dann aus (2)

% = S für Q — 1

das heisst

(4)

AZ <= — 7t As.

Damit ist bekannt, welchen Einfluss die Längenänderung eines Hauptstabes auf die Entfernung AR = l ausübt. Erleiden nun beliebig viele Hauptstäbe Längenänderungen, so entspricht jedem einzelnen s ein besonderes 7t und wir erhalten die ganze Aenderung von Z

(5)

AZ = — ^7t As,

worin die Summe rechts auf alle Hauptstäbe zu erstrecken ist. Rie einem bestimmten AR — l entsprechenden Vcrhältnisszahlen 7t der einzeln Hauptstäbe ergeben sich als Reanspruchungen der letzteren, wenn an dem durch die Hauptstäbe und Hauptreactionen allein gebildeten statich-bestimmt-stabilen Syteme lediglich zwei Kräfte Q — 1 angebracht werden, welche in der Verbindungsgeraden AR auf Annäherung der Punkte A, R wirken. Dabei ist es gleichgültig, ob man sich die Q als innere Kräfte ziehend oder als äussere drückend vorstellt, und umgekehrt. Liegt einer der Punkte A, R ausserhalb unseres Stabsystems, so hat die ihn angreifende Kraft Q natürlich keinen Einfluss auf die Stabkräfte.

Gleichung (5) gilt für alle genügend kleinen Verrückungen, die wir annehmen wollen; sie sagt nur, dass, wenn die Längenänderungen der Hauptstäbe die in der Summe rechts aufgenommenen Werthe

14

Weyrauch, Theorie elastischer Körper.

As hätten, das angegebene Al resultiren würde. Nehmen wir nun einmal die Längenänderungen pro anfänglicher Längeneinheit, die specifischen Längenänderungen, für alle Hauptstäbe gleich gross an. Ist damit nothwendig eine gleiche specifische Längenänderung von l verbunden, so folgt durch Multiplication von (3) mit dem con-

Al

As

stanten

(6)

Lässt sich also in einem Falle entscheiden, dass gleiche specifische Längenänderungen aller Hauptstäbe ohne ebensolche Aenderung von l nicht möglich wären, so weiss man, dass zwischen l und den Längen der Hauptstäbe die Beziehung 6) besteht. Dies trifft immer dann zu, wenn das Hauptsystem innerlich stabil ist und l die Entfernung zweier Knotenpunkte oder die Projection einer solchen bedeutet; denn innerlich stabile Stabsysteme bleiben sich bei gleichen specifischen Längenänderungen aller Stäbe ähnlich.

Welche Auswahl von Hauptstäben und Hauptreactionen wir auch treffen mögen, so muss natürlich (5) und eventuell auch (6) für ein bestimmtes l immer das gleiche Resultat liefern. Unsere Ableitung gilt für verschwindend kleine Verrückungen beliebiger Stabsysteme, mögen dieselben statisch bestimmt oder unbestimmt, stabil oder labil sein, doch ist zu beachten, dass die Verrückungen endlichen Aenderungen der äusseren Kräfte gegenüber im Allgemeinen nur dann verschwindend klein sind, wenn wir stabiles Stabsystem haben.

§ 81. Gezogener oder gedrückter Stab.

An einem prismatischen Stabe der Länge l und des Querschnitts F wirken als äussere Kräfte lediglich zwei auf die Endflächen gleich-massig vertheilte Kräfte S = öF parallel der Stabaxe. Dieselben können Zug oder Druck bedeuten, positiv oder negativ sein. Es handelt sich um Spannungen, Verrückungen und Längenänderungen des Stabes nach Eintritt des Gleichgewichts.

Wir nehmen in fester Lage gegen die anfängliche Gruppirung der Körperpunkte ein rechtwinkliges Coordinatensystem an, dessen x-Axe mit der Stabaxe zusammenfällt, fassen die Spannungen im Sinne des IV. Abschnitts als Functionen des anfänglichen Orts auf und haben dann als Lösung der Bewegungsgleichungen § 35, (1) in jedem Stabpunkte x, y, z

(1) X, = o, Yy = Zz = Xy=Yx= Z = Zy = Zx = X, = 0. Diese Lösung werde ins Auge gefasst, sie ist nach § 73 die einzig

mögliche. Die Spannungen sind darnach Potentialspannungen, so dass die Beziehungen des II. Abschnitts gelten (§ 36).

Nach § 13 hat man für jedes Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n die Spannungscomponenten in den Richtungen x, y, z

(2)

Yn = 0, Zn — 0,

Xn = neos (nx),

die Normalspannung und Spannungscomponente in beliebiger Richtung s

Nn = 6 cos² (nx), die Totalspannung und Transversalspannung Rn = a cos (nx),

(3)

Sn — 6 cos (nx) cos (sx)

Tn — ö cos (nx) sin (nx).

Von den Ausdrücken (4) sind nur die Absolutwerthe massgebend. Die Gleichungen (1) bis (4) gelten bei beliebigem Stabmaterial, wenn nur die Spannungen in der vorausgesetzten Weise Functionen der anfänglichen Coordinaten und Normalenrichtungen ihrer Flächenelemente sind.

(4)

Der Stab möge jetzt aus irgend einem isotropen Material bestehen. Dann folgt nach § 49, dessen Beziehungen auch nach der theoretischen Ableitung des VII. Abschnitts für Potentialspannungen isotroper Körper gelten, die Normalverschiebung der Richtung n

p o cos² (nx)

(Ö)

nn =

woraus mit n — x,y,z

Nn+P

- P -f- G

xx 2G

^ (Trc

(6)

drj

dy

dt

2 G    dz

Durch Addition dieser Gleichungen folgt die Dilatation an beliebiger Stabstelle

ca =

3p -j- c

Selbstverständlich kann man auch die übrigen für Potentialspannungen beliebiger und isotroper Körper gegebenen Formeln für den vorliegenden Fall specialisiren.

Wir wollen jetzt weiter voraussetzen, dass die Temperaturänderung t für den ganzen Stab von gleichem Werthe ist, womit p constant wird. Der Ursprung der Coordinaten möge in einer der Endflächen liegen. Dann ergibt die Integration von (6) die Verrückungen eines beliebigen Stabpunktes m (x, y, z) in den Richtungen x, y, z

14*

z + <p(y, *),

⁷¹    2 G

z = ~ygt « +    y)*

Da jedoch bei isotropem Material gleichen Ursachen (für Spannungen und Temperaturänderungen) gleiche Verrückungen entsprechen, so behält der Stab seine anfängliche Axe und ebenen Endflächen hei und wir erhalten

t —P + Gx

S 2G- x>

f. _ P -

2 a⁰’

p

⁷¹ 2Gy’

^ ₌ H ₌ n ₌

dy dx dz dy dx dz

Auch aus unserer zweiten theoretischen Ableitung § 58 lassen sich (8) (9) ableiten. Dieselbe verlangt für Potentialspannungen (wenn nicht P -(- Jt = 0 ist) auch Potentialverschiebungen, das heisst

(8)

wonach

(9)

di dr\

dr\

= 0.

y*

Da aber nach § 58 für den Fall (1) auch

9yz ^ y '*    2y ⁼⁼ 9,

3X — <Pz •

9x y tPy “h yx 9,

()zx &x "j⁻    0,

SO

folgt

Xy — yx — y z    %y &x -Pz 9,

was mit (9) übereinstimmt und die zuerst angeschriebenen Gleichungen für I, r], £ wieder in (8) überführt.

Während der Längenänderung dX des Stahes hat man nach § 61, (14) mit (1) (6) die specifische Verschiebungsarbeit an jeder Stabstelle

P + G ^

~2G~ — G ~T ’

und die Verschiebungsarbeit für den ganzen Stab, wenn V das Anfangsvolumen bedeutet,

(10)

dxt = ö d

dX

dD = d&fdK = Vdü = Flad^ = SdX.

Die der Längenänderung X entsprechende Verschiebungsarbeit ist also

i

(11)

I) = JSdX,

0

wobei die Aenderung des Gesammtvolumens

aV

3P -(- <> 7717_SpF -(- S y

2G    2 G L

Der Stab möge schliesslich durch einen isotropen festen Körper

wir erhalten die Verrückungen beliebiger Stabpunkte m (x, y, z)

i = (at + i)x’

(14)

le—(

gebildet sein. Dann liefern die Erfahrungsformeln (§ 48) mit unbestimmten s und unsere erste theoretische Ableitung mit (§57) s — 4

8 —f- 1

(13)

' p = 2Grccx — f , 8 + 1 ’

2 G = E,

a t--^

die ganze Längenänderung des Stabes

(15)

und die Verschiebungsarbeit

(16)

A = [ar + l = (

2l~ÏÏF + al J Sdt‘

o

I) =

(■: t

Das letzte Integral ist erst ausführbar, wenn man weiss, wie sich während der Entstehung von l die Stabkraft S mit der Temperatur geändert hat.

Mit Rücksicht auf

8 = ( j - ar) EF lässt sich die Verschiebungsarbeit auch ausdrücken

(17)

(18)

EF —-

X

ccEF J t dl.

0

Nach der zweiten theoretischen Ableitung wäre p durch § 59, (8) ausgedrückt, was aber für t = 0 keine und sonst nur verschwindend kleine Aenderungen von l, D gegenüber (15) (16)

zur

Folge hat.

§ 82. Beliebige stabile Systeme aus isotropen festen Stäben.

Wie die Lagen und Beanspruchungen der Stäbe eines beliebigen (statisch bestimmten oder statisch unbestimmten, stabilen oder labilen) Stabsystems für den Fall des Gleichgewichts zu ermitteln sind, ist schon aus § 73 zu ersehen. Wir wollen jetzt die specielle Annahme machen, dass sämmtliche Stäbe prismatisch und durch isotrope feste Körper gebildet seien. Als anfänglicher Zustand werde ein Zustand vor Auftreten irgend welcher äusserer oder innerer Kräfte gewählt. Querschnitte, Material und Temperatur des spannungslosen Zustandes können für alle Stäbe verschieden sein.

Infolge äusserer Kräfte und für je einen ganzen Stab gleich-mässiger Temperaturänderungen t mögen Verrückungen der Knoten-

punkte m entstehen, welche gegen deren anfängliche Coordinaten xm, ym, verschwinden. Solche Verrückungen treten insbesondere als elastische Bewegungen von Stabsystemen ein, die sich den angebrachten äusseren Kräften gegenüber stabil verhalten. Nach Eintritt des Gleichgewichts seien an unserm Stabsystem von k Knotenpunkten s Stäbe wirksam und die Stützenreactionen durch r unabhängige Componenten bestimmt, so dass 3k — r von einander unabhängige Knotenpunktsverrückungen existiren.

Wie früher bezeichnen wir für einen beliebigen Knotenpunkt m die resultirenden Componenten der äusseren Kräfte in den Richtungen x, y, 8 durch Xm, Ym, Zm und die Beanspruchung eines von m nach dem Knotenpunkte n (xn yn 8n) führenden Stabes der Länge l und des Querschnitts F durch S = öF, womit ö die Stabkraft pro Quadrateinheit des Querschnitts, die specifische Stabkraft oder Stabspannung darstellt. Das Gleichgewicht am Knotenpunkte m verlangt dann (§73 oder § 78):

x„.+Fs

rn

m

z„ + Fs

*    m

worin sich die ^ auf alle in m eintrelfenden Stäbe beziehen.

Xn - xm

(1)

y n    y in

Zn ~ ²m

= 0,

= o,

Da wir isotrope feste Stäbe vorausgesetzt haben, so ist nach

§81, (17)

(2)

EF{\ - «)

oder mit Rücksicht auf § 72, (9) EF

(3)

]2    %m) (£«    ~f- iyj H    y ul) (rjn Yjm)

~F” (zn    &m) (fśn ^m)”j*

Eine solche Gleichung können wir für jeden der s Stäbe schreiben, während 3 k Gleichungen der Form (1) bestehen. Denken die S nach (3) in das Gleichungssystem (1) substituirt und die Temperaturänderungen r gegeben, so haben wir 3k Gleichungen zur Berechnung der r unabhängigen Reactionen und 2k — r unabhängigen Verrückungen. Sind letztere aus ersteren bestimmt, dann folgen nach (3) auch sämmtliche Stabkräfte.

Während sich die vorstehende Berechnung stabiler und insbesondere statisch unbestimmter Stabsysteme durch Einfachheit des

wir uns nun

an-

Gedankengangs und Allgemeinheit auszeichnet, führen die Methoden der §§ 83 bis 85 in den meisten praktischen Fällen schneller zum Ziele. Bei statisch bestimmten Stabsystemen genügen die Gleichungen ohne Rücksicht auf (2) (3) alle Stabkräfte und Stützenreactionen bis auf verschwindend kleine Grössen genau zu berechnen, (doch besitzt die Ingenieurmechanik für diesen Zweck noch bequemere Methoden). Die Knotenpunktsverrückungen, Temperaturänderungen und Stützenbewegm igen haben also bei statisch bestimmten Stabsystemen keinen in Betracht kommenden Einfluss auf die Stabkräfte und Stützenreactionen.

(i),

um

§ 83. Systeme mit überzähligen Stäben.

Durch Entfernung der überzähligen Stäbe und Réaction en eines statisch unbestimmt stabilen Stabsystems entsteht das statisch bestimmt-stabile Hauptsystem. Die Stabkräfte und Stützenreactionen des letzteren ergeben sich für beliebige äussere Kräfte ohne Rücksicht auf elastische Veränderungen. Wir legen uns nun die Frage vor, welchen Einfluss die hinzukommenden überzähligen Stabkräfte und Reactionen ausüben und welche Werthe sie selbst annehmen. Den Ausgangspunkt der Untersuchung bildet die in § 80 gefundene Gleichung

A l — — ^ 7t As,

deren dort erwähnte Voraussetzungen wir anerkennen. Gleichung (1) gibt an,

punkte oder eines Knotenpunktes und eines ausserhalb des Stabsystems gelegenen, hinsichtlich des Coordinatensy stems festen Punktes während der Verrückungen ändert. Die Summe rechts bezieht sich auf alle Hauptstäbe, deren Längenänderungen die As und deren Beanspruchungen durch zwei in A und B auf Annäherung dieser Punkte wirkende Kräfte Q — 1 die Tt bedeuten. Zunächst handelt es sich um den Fall, dass das Hauptsystem lediglich durch Entfernung überzähliger Stäbe entsteht (mit welchen jedoch unter Umständen auch Reactionen ausser Wirksamkeit treten können), worauf im folgenden Paragraphen auch überzählige Reactionen berücksichtigt werden sollen.

Das anfangs spannungslose Stabsystem werde durch beliebige äussere Kräfte und Wärme beeinflusst. Hierdurch entstehen elastische Längenänderungen und Beanspruchungen aller Stäbe. Wir setzen für die Hauptstäbe

die anfänglichen Längen die ganzen Beanspruchungen Sx

(1)

um

wieviel sich die Entfernung AB = l zweier Knoten -

0}

für die überzähligen Stäbe die anfänglichen Längen die ganzen Beanspruchungen

Erhalten dann die jr, welche einem bestimmten überzähligen Stabe entsprechen, den Index des letzteren neben dem ihres Hauptstabes, so folgen aus

Asi = — y Tti As — — 7tXl Ast — 7ti₂ As₂ — jti₃ As₃----

A Su = — jtii A s = — Jfiii A s₁ — Jtii2 A s₂ — 3Th₃ As₃ — • • • Asm = — 'z*¹ nni As = — ^nii Ast — ähi₂ As₂ — Jtm₃ A s₃ — • • •

(1)

Sl

Sil

Sn

Sin

Sm

Die einzelnen Summen sind auf alle Hauptstäbe zu erstrecken. Da nun mit der Bezeichnung

(2) nach 81, (15) für jeden Stab

(3)

As = Se -j- (xts,

so geht das angeschriebene Gleichungssystem in das nachstehende über

Si Gi 4~ cci Ti Si — — iti₁ (Sxe₁ -}- tc₁t₁sl)— tci₂ (S₂c₂ -f⁻ cc₂t₂s₂)----

Sn Cn -f- ßn rn sn ⁼⁼ — %ii ($1 c₁ -f- cc₁t₁ Sj) — 7tn₂ (S₂e₂ -j- cc₂t₂s₂)—• SniGni + Km Tm Sm = — ftnii ($!<?! + k₁t₁s₁) — 7tm₂(S₂e₂-\- cc₂t₂s₂)----

Die Beanspruchungen der Hauptstäbe s1? s₂, s₃, . . ., welche für die angenommenen äusseren Kräfte eintreten würden, wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden wären, seien A1; A₂, A₃, ... Hierzu kommen nun noch die Beanspruchungen infolge der Kräfte Si, Sn, Sm, ••• in den überzähligen Stäben, so dass die ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe betragen

(h

Durch Substitution dieser Ausdrücke in die darüber stehenden Beziehungen folgen zur Bestimmung der Beanspruchungen der überzähligen Stäbe die zuerst von Mohr (Zeitschr. d. Hannöv. Arch.- u. Ing.-Vereins 1874) gegebenen Gleichungen

Die Summen sind auf alle Hauptstäbe auszudehnen. Man hat soviel Gleichungen der Form (4) als Hauptstäbe und soviel der Form (5) als überzählige Stäbe existiren.

Die Berechnung der Stabkräfte eines statisch unbestimmt stabilen Stabsystems mit überzähligen Stäben kann nun bei bekannten Stabquerschnitten und beliebigen äusseren Kräften und Temperaturänderungen t etwa in nachstehender Reihenfolge stattfinden.

a)    Auswahl der überzähligen Stäbe, gewöhnlich mit Rücksicht auf möglichst bequeme Berechnung des verbleibenden Hauptsystems;

b)    Annahme der Kräfte Q = 1, welche die durch den überzähligen Stab Si verbundenen Knotenpunkte einander zu nähern suchen, Berechnung der durch die Q allein bedingten Stabkräfte S = Tti des Hauptsystems und Wiederholung dieses Verfahrens für alle überzähligen Stäbe;

c)    Bildung der die A und t nicht enthaltenden Summen in (5);

d)    Berechnung der Beanspruchungen A, welche in den Hauptstäben durch die wirklichen äusseren Kräfte für den Fall ein treten, dass keine überzähligen Stäbe vorhanden sind;

e)    Berechnung der ganzen Beanspruchungen der überzähligen Stäbe nach (5);

f)    Berechnung der ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe

nach (4).

Will man die von den äusseren Activkräften herrührenden

zu werden; für verschiedene Temperaturfälle von e) uńd /’), da die Temperaturände-

(5)

Äi Ci —(— tti Ti 6'i =—JCi CUTS —

TtiTtiiß 7tll Ci TS —

Ah G A—

7t± TtiC

~Sl n2

JTl ^tttC — • •

Sn «n + «ii in Sa = — N

-Sn 2¹

Sin «iii -|- «m tiiiSiii= —

itinars —

-Sn^

yjjcneA-Si V

— Sni^

TT II JTi C

^MaieÄ-S^

njuTtne —

rtniTtme — • •

Stabkräfte unabhängig von Temperatureinflüssen berechnen, so hat man in (5) die t enthaltenden Glieder wegzulassen; bei Berechnung der Temperatureinflüsse allein würden in (5) die mit A behafteten Summen gleich Null zu setzen sein (§ 82). Kommen verschiedene Fälle äusserer Activkräfte in Frage, so brauchen nur die Berechnungen d) — f) wiederholt genügt die Wiederholung rungen ohne Einfluss auf die A sind.

rti Min g — • • •,

Su Cu = —rtn e A — Si Ttn 7ti e — Su 7tn #ii g

(6)

Haben wir es mit einem innerlich stabilen Stabsystem zu thun, so ergeben sich speciell für gleiche Temperaturänderungen x und gleiche Ausdehnungscoefficienten a aller Stäbe aus (5) mit Rücksicht auf § 80, (6) die einfacheren Beziehungen

S± Ci

Tti e

A — Si V 7ti •jti e — Su^J

7ti nu e

— Sm]? #ii ttm C — • •

$m ein = —rtm ß A — Si nui XiC — Su]] Jtm ttu

— Si u ]] Ttin rtiu g — • • -,

Gleiche Temperaturänderungen x aller Stäbe sind also * in diesem Falle ohne Einfluss auf die Stabkräfte und Stützenreactionen (Balkenfachwerke).

§ 84. Systeme mit überzähligen Reactionen.

Wir lassen jetzt neben überzähligen Stäben auch beliebig viele überzählige Reactionen zu. Das Stabsystem, welches nach Entfernung der letzteren entsteht, ist entweder statisch bestimmt stabil (wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden sind), oder es lässt sich nach § 83 berechnen. Wir haben also nur noch den Einfluss der überzähligen Reactionen zu ermitteln. Da jede überzählige Reaction durch eine vorgeschriebene Bewegung des gestützten Knotenpunktes in ihrer Richtungslinie bedingt ist, so entsprechen den überzähligen Reactionen eine gleiche Anzahl bekannter Entfernungsänderungen Al, es lassen sich die ersteren aus Gleichungen der Form § 83, (1) ableiten.

Das anfangs spannungslose Stabsystem sei durch beliebige äussere Kräfte und Wärme beeinflusst. Hierdurch entstehen elastische Längenänderungen und Beanspruchungen aller Stäbe. Für die Hauptstäbe desjenigen Stabsystems, welches nach Entfernung der überzähligen Reactionen verbleibt, mögen wie in § 83 s1; s₂, s₃, • • die anfänglichen Längen und S1} S₂, S₃, • • die ganzen Beanspruchungen bedeuten. Für den gewöhnlichen Fall, dass durch Wegnahme genannter Reactionen ein statisch- bestimmt-stabiles Stabsystem entsteht, sind sämmtliche Stäbe hier eingeschlossen. Sind nun h, lu, hu,'-diejenigen Entfernungen je zweier Knotenpunkte oder eines Knoten-pimktes und eines ausserhalb des Stabsystems gelegenen festen Punktes, welche infolge der überzähligen Reactionen Ri, Bn, Bm,--bekannt bleiben, und erhalten die einem bestimmten l entsprechenden 7t den Index des letzteren neben dem ihres Hauptstabes, so folgen aus § 83, (1)—(3)

Ttn ats,

Ah — — y Ttj Se — ^7tj «TS, Alu — —Ttn Se —

Alm = — rtm Se — TCm «ts,

Die einzelnen Summen sind auf alle erwähnten Hauptstäbe zu erstrecken.

Die Beanspruchungen dieser Hauptstäbe s1} s₂, s₃, • -, welche für die wirklichen äusseren Kräfte und Temperaturänderungen entstehen würden, wenn allein die überzähligen Reactionen wegblieben, seien Ax, A₂, A₃, • • • Hierzu kommen nun noch die Beanspruchungen infolge der überzähligen Reactionen Bi, Bu, Bm, - -, sodass die ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe betragen

$i —    Ax    -j-    Bi Jti₁    -f-    Bu Ttui    -f-    Bm Ttuii

co

5₂    —    A.j    -j-    Bx 7ti₂    -|-    Bn ttn-i    -j-    -Rin #1112    ■ *    -,

5₃    =    A₃    -|—    Bi 7h₃    -f-    Bn 7iii₃    -f-    Rm Ttuiz    ~h    • ■    •,

Durch Substitution dieser Ausdrücke in die darüber stehenden Gleichungen folgen

(2)

A h — — Xi

Aini y

jti e A — Ri y 7ti 7ti e 7ti 7iu e — Rin 2 y 7tu e A — Ri y^ Ttn 7ti e Ttn Un e — Rin y ^TtmeA-Bi^

— ^LI ^ni JCji 6 — Rhi

«TS -

JTiI «TS -

Ttm «TS —

7ti 7tm 6 — * *

3tll Jtlll 6 — ' ‘

TClII 3ti e

Hiernach können die überzähligen Reactionen BX} Bu, Bm, - • berechnet werden, worauf die Beanspruchungen der Hauptstäbe sx, s2; s3; • * aus (1) folgen.

Sind noch weitere Stäbe vorhanden, so hat man nach § 83, (1) (3) für jeden derselben

(3)

Se -f- ats — — nats — neS,

worin die linken Seiten dem betreffenden Stabe s, die rechten aber allen Hauptstäben entsprechen, deren ganze Beanspruchungen S nun bekannt sind. Die 7t rechts gehören der Gruppe des überzähligen Stabes s an, sie sind im Falle vorausgegangener Anwendung des Verfahrens § 83 schon bekannt. In manchen dem Ingenieur vorkommenden Fällen lassen sich die Hauptstäbe so wählen, dass infolge der Symmetrie eine directe Berechnung der überzähligen Stäbe überflüssig wird; auch eine zweite Wahl der Hauptstäbe (mit Einrechnung der vorher überzählig gewesenen) und gewisse Näherungsmethoden können zum Ziele führen.

Am häufigsten hat man es mit ein, zwei und drei überzähligen Reaetionen zu thun. Für nur eine überzählige Reaction folgt aus (2)

7t e A — R

A l=-

7t ats —

(4)

Al -f- 'Î-tiuts -f- £ne A

Bei zwei überzähligen Reaetionen Ri, Ru liefern mit den Bezeichnungen

(5)

(6)

F=A hi + 2

Tti ats

Ttu CCTS

+ eA>

+^ nne a,

0)

Tti Ttu e,

o = ^ Ttiie,

die Gleichungen (2)

V = — eRi — oRu,

U = — clRi — eiin,

woraus

(8)

Uo — Fe

Rl = --g--,

e² — ao ’

(9)

Ru —

Fa — Uo

e² — ao

Im Falle dreier überzähliger Reaetionen Bj, Ru, Rui hat man mit

(5) —(7) und

W= A hu + ^ (11) m = ^ 7t\ Ttui e,

(10)

Ttui atS

-f- #ni e A,

1t = Ttu Ttui e,

r = ^ Ttui e,

nach den Formeln (2)

U = — a .Ri — c -Rn — îîx -Rttt , V = — C_Ri — O.R11 — Tl-Rnr, W = — tu .Ri — tt R’ii — r -Rm,

und hieraus

(12) Ri

(13)

-Rn =

U (or — n²) -f- V (mn — er) + TF (en — tno) a (or — u²) + e(mn — er) + nt (en — mo) ⁷

U (mn — er) + F(ar — m²) -j- TF(em — an) e (mn — er) -j- a (ar — m²) -f n (em an) ’

(14)

Em = —

U (en — mo) -f V(em — an) + TF(ao — e²)

m (en - mo) + n (em — an) + ï (ao — e²)

Die Berechnung der Stabkräfte unseres statisch-unbestimmt-stabilen Stabsystems könnte nun bei bekannten Stabquerschnitten und beliebigen äusseren Kräften und Temperaturänderungen x etwa in nachstehender Reihenfolge stattfinden.

a) Annahme der überzähligen Reactionen Bi, Bn, • • und ihrer Wirkungsgeraden lï} lu, • • so, dass positive B die Endpunkte der l zu nähern suchen.

b)    Auswahl der nach Entfernung der überzähligen Reactionen etwa noch verbleibenden überzähligen Stäbe; die übrigen bilden das statisch-bestimmt-stabile Hauptsystem.

c)    Unter Voraussetzung der Wirksamkeit des letzteren allein

Berechnung der    /

Beanspruchungen der Hauptstäbe herrührend von äussern Kräften Bi = 1

% •* JTi₁ 7ti₂ 7tis • •

Bu = 1

Jflll #112    • *

d)    Bildung der die A und x nicht enthaltenden Summen X in den Gleichungen für die B.

e)    Berechnung der Beanspruchungen Ax, A₂, ■ -, welche in den Hauptstäben durch die wirklichen äusseren Kräfte und Temperaturänderungen für den Fall entstehen, dass nur die überzähligen Reactionen wegbleiben, nach bekannten statischen Methoden oder nach § 83, dessen Sx, S₂, • • dann unsere A sind.

f)    Berechnung der überzähligen Reactionen nach (2) oder den oben stehenden speciellen Formeln.

g)    Berechnung der ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe nach (1) und der etwa noch vorhandenen überzähligen Stäbe wie zu (3) angegeben.

Will man die von den äusseren Activkräften herrührenden Stabkräfte und Stiitzenreactionen unabhängig von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen berechnen, so sind in den obigen Gleichungen die r und Al gleich Null zu setzen. Zur Berechnung des Einflusses

der Stützenbewegungen allein wären alle A und t enthaltenden Glieder wegzulassen. Bei Ableitung des Einflusses der Temperaturänderungen schliesslich hätten die Al zu verschwinden, während die mit A behafteten Glieder nur im Falle des Vorhandenseins überzähliger Stäbe von Null verschiedene, durch § 83 bestimmte Werthe erhalten. Kommen verschiedene Fälle gegebener äusserer Kräfte, Temperaturänderungen und Stützenbewegungen in Frage, so sind unter allen Umständen nur die Berechnungen e) —g) zu wiederholen, wozu man die nöthigen Gleichungen im Anschluss an d) soweit als möglich reduciren wird. Hat man es mit einem innerlich stabilen Stabsystem zu thun und stellt eine der obigen Wirkungsgeraden l die Entfernung zweier Knotenpunkte oder die Projection einer solchen dar, dann entspricht diesem l im Falle gleicher Temperaturänderungen t und gleicher Ausdehnungscoefficienten aller Hauptstäbe nach § 80, (6) die vereinfachende Beziehung

(15)

Tcats — — atl.

(3)

Sind überzählige Stäbe vorhanden und bleibt das Stabsystem nach Entfernung des überzähligen Stabes s innerlich stabil, so folgt bei gleichen a, t des Stabes s und der Hauptstäbe aus

(16)

Se=-

§ 85. Verschiebungsarbeit von Systemen aus isotropen festen Stäben.

Obwohl wir alle die Verschiebungsarbeit betreffenden Fragen aus § 74 beantworten können, sollen doch die für Systeme aus isotropen festen Stäben eintretenden Beziehungen noch besonders abgeleitet werden. Wie in §§ 82—84 werden die Stäbe prismatisch, die Temperaturänderungen für je einen ganzen Stab gleich gross und die Längenänderungen der Stäbe gegenüber deren anfänglichen Längen im spannungslosen Zustande als verschwindend klein an-

genommen.

Wenn die Stabkräfte während des Entstehens der ganzen Längenänderungen constant wie nach Eintritt des Gleichgewichts wären, würde die Verschiebungsarbeit nach §§ 74, 81 sein

®=2s*-=2în?⁺2alSt-

Die wirkliche Verschiebungsarbeit aber drückt sich

i    x

Sd>- =2 ^+2 Klfs ,h’

(o

(2)

1) =

27

aus

sodass wegen

St = fs dt + JtdS,

t dS — S dt — t²d

2 D+^alj‘r²d^

(3)

die Beziehung besteht

Die Summen Z sind auf sämmtliche Stäbe auszudehnen. Die Integrale in (2) (3) werden ausführbar, wenn bekannt ist, wie sich während des Entstehens der A die Stabkräfte mit der Temperatur geändert haben.

Für die vollständige Variation der virtuellen Verschiebungsarbeit ® hat man nach (3)

(4)

Da aber nach § 73 auch

d® = 2dD + ^?alx²d Sx-

d® = dD + dsU,

so folgt die Variation der Verschiebungsarbeit

(5)

dl) =

dsU — ^cclx²d^-

Hierin bedeutet dsU die den Aenderungen der Stabkräfte allein (bei constanten Stablängen) entsprechende Variation der Arbeit der Stiitzenreactionen, insoweit dieselben eben von den Stabkräften ab-

hängen.

Sind d.,U und x gleich Null, womit die rechte Seite von (5) verschwindet, so haben wir

d® = 0,

dl) = 0,

die Arbeiten 1), ® werden Maxima oder Minima. Weil aber

(6)

v iëo.

X, EF

für x = 0,

eine Summe von stets positiven Werthen ist, so haben wir es immer mit einem Minimum zu thun, wemi für x = 0 nur eine Lösung existirt, was allein vorkommt (§ 73). Wir können aussprechen: Die Verschiebungsarbeit während verschtvindend Meiner Verrückungen von Stabsystemen ist ein Minimum, wenn óA.U und x gleich Null sind (oder überhaupt die rechte Seite von (5) verschwindet). Auf die kleinen Verschiebungen stabiler Stabsysteme angewandt heisst dies: Wenn während elastischer Verschiebungen stabiler Stabsysteme die Temperatur constant und dsU = 0 ist, dann haben alle Stabkräfte und von diesen abhängigen Grössen solche Werthe, wie sie einem Minimum der Verschiebungsarbeit D oder virtuellen Verschiebungsarbeit ® entsprechen. Die Arbeit dsU ist mit U zum Beispiel immer dann gleich Null, wenn die von den Stabkräften abhängigen Reactionen gegen Knotenpunkte wirken, welche hinsichtlich des angenommenen Coor-dinatensystems festliegen oder reibungslos über feste Stützen weg-

worin die Summen auf sämmtliche nothwendigen und überzähligen Stäbe auszudehnen sind. Sobald man FT, M, N, • • kennt, lassen sich alle Stabkräfte und Stützenreactionen aus dem Gleichungssystem § 82, (1) oder andern rein statischen Beziehungen bestimmen. Ebenso kann man die noch nothwendigen Stabkräfte und Reactionen aus den Gleichungen

Äj =    -f-    -f-    Mxmi    -f-    Nitnl -{-•••,

(8)

gleiten, d. h. auch wenn in den Richtungslinien der fraglichen Re-actionen keine Bewegung der Stützen stattfindet.

Bei statisch-bestimmt-stabilen Stabsystemen sind alle Stabkräfte und Stützenreactionen bis auf verschwindend kleine Grössen durch die Bedingungen des Systems allein bestimmt (§ 82) und damit bei bekannten x auch die Arbeit sowie bei bekannten Beziehungen zwischen den S und x die Arbeit D. Kommen nun noch überzählige Stabkräfte und Reactionen H, M, N} • • • hinzu, dann wird die Verschiebungsarbeit auch von diesen abhängig, wir können _D, £) als Functionen der H, M, N, • • • darstellen. Die wirklichen Werthe dieser überzähligen Grössen sind beim Eintreten des Prin-cips der kleinsten Verschiebungsarbeit bestimmt durch die Gleichungen

_ >v7 IS öS n ~ A jÏÏF dW~~ö’

dB _ s?

m ~2j

dB y

wn~2j

₍dB

dH

CO

is ds

EF dM

IS dS

EF dN

= 0,

S₂ =    A₂    -j-    Hnh2 -j-    Mnm    -f-    NtiH2 -j- • • -,

S-i —    A₃    -f~    ITtC/,., -f-    -f⁻    Ar7tÄ3 -f- • • •, erhalten, worin A denjenigen Werth der Stabkraft oder Reactions-componente S darstellt, welcher den augenblicklich massgebenden äusseren Activkräften entsprechen würde, wenn nur das Hauptsystem vorhanden wäre, während 7th, nmj nn, • • • die Werthe von S bedeuten, welche im gleichen Falle bezw. durch H= 1, M — 1, N = 1, • • • allein erzeugt würden.

Wollte man das Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit auf die Bestimmung überzähliger Grössen H, M, N, • • • in Fällen anwenden, für welche die Bedingungen seiner Gültigkeit nicht erfüllt sind, so würden sich stets mittelst desselben diejenigen Theile genannter Grössen ableiten lassen, welche für d,U = 0, x — 0 entstehen, wonach die auf anderem Wege ermittelten Beiträge der x, U dem Principe der Coexistenz entsprechend zu addiren wären. Unter Umständen kann man aber durch Umformung von (7) schneller zum Ziele kommen.

Es sei © diejenige Beanspruchung eines Stabes l, welche der wirklichen Längenänderung l dann entsprechen würde, wenn die Bedingungen des obigen Princips erfüllt wären, dann ist die wirkliche Stabkraft

(9)

8 = © -f T.

Man denke sich nun an Stelle von T zwei äussere Kräfte von dieser Grösse in den durch l verbundenen Knotenpunkten angebracht, wodurch am Gleichgewichtszustände nichts geändert wird, dann lässt sich

© = #- T

als neben den äusseren Kräften T wirkende Stabkraft ansehen. Für die Gesammtheit der so erhaltenen Stabkräfte besteht das Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit, und da die äusseren Kräfte T sich mit Hy My N} • • • nicht ändern, also allgemein

d(S = dS

ist, so treten an Stelle von (7) die daraus folgenden Gleichungen

S— Tds _ 0 EF dH~~ U>

(10)

S~TdS

EF dM~~ °⁷

deren T wie die von (7) alle Stäbe umfassen. Ist z. B. das Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit nur deshalb nicht erfüllt, weil beliebige Temperaturänderungen r einzelner oder aller Stäbe stattgefunden haben, so hat man nach § 81, (17)

(U)

T = — at EF

und die Gleichungen (9) gehen in die folgenden über

2 (ä ⁺ **)¹ is ⁼ °>

(12)

V (EF + at) 1 SM ⁼

Sind hieraus H, Af, N, • • bestimmt, so gilt für die weitere Berechnung das im Anschluss an (7) Gesagte. Vorstehende Berücksichtigung der Temperaturänderungen hat zuerst Melan gezeigt (Wochenschr. d. östr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1883).

XL Abschnitt.

Schwingungen und Wellen.

Ein materieller Punkt ist in schwingender Bewegung, wenn er periodisch gleiche Orte durchläuft. Das gewöhnlichste Beispiel einer solchen Bewegung bietet das Pendel. Die Schwingungsbewegung entsteht, wenn durch Entfernen eines Punktes aus der Gleichgewichtslage Kräfte (z. B. Elasticitätskräfte) auftreten, welche ihn nach der letzteren zurückzutreiben suchen und die störende Ursache dann fortfällt. Unter dem Einflüsse der erwähnten Kräfte allein würde sich der Punkt nach Aufbrauch der empfangenen lebendigen Kraft der Gleichgewichtslage wieder nähern. Da jedoch die rücktreibenden Kräfte bis zur Erreichung der Gleichgewichtslage wirken, so wächst ebenso lange die Geschwindigkeit, der Punkt erlangt eine lebendige Kraft, die ihn über die Ruhelage hinausführt, bis die alsdann entgegengesetzt wirkenden Kräfte eine Umkehr veranlassen u. s. f. In dieser Weise könnte das Spiel unbeschränkt fort-dauern, wenn nicht neue Ursachen, wie die Abgabe lebendiger Kraft an andere Punkte, die Umwandlung in Wärme u. s. w. eine Erschöpfung bewirkten.    /

Die Theorie der elastischen Schwingungen ist von höchster Bedeutung für die mathematische Physik; die Akustik und Optik beruhen vorwiegend darauf. Wir werden im letzten Abschnitte die Grundgleichungen zur Untersuchung elastischer Schwingungen aufzustellen haben. Hier handelt es sich besonders darum, mit den einschlagenden Anschauungen bekannt zu machen und zwar an der Hand desjenigen Falles, welcher zur Erklärung des Schalls und Lichts herangezogen wird. Weitere Fälle sind bisher nur vereinzelt und wenig eingehend untersucht worden.

§ 86. Begriffe der Wellenlehre.

Als Schwingungsphase eines Punktes zur Zeit t bezeichnet man seinen Ort und Bewegungszustand für diese Zeit. Der letztere ist durch Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsrichtung bestimmt. Eine

Schwingung ist die Bewegung zwischen zwei gleichen Schwingungsphasen. Die nöthige Zeit T für eine solche Schwingung heisst Schwingungsdauer, die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit Schwingungszahl n. Bei constantem T wäre also

Tn = 1.

Die Abweichung eines schwingenden Punktes von der Ruhelage nennt man Elongation oder Ausschlag, der Absolutwerth a der grössten Elongation heisst Schwingungsamplitude.

Waren die Punkte eines Systems unter Mitwirkung von Kräften im Gleichgewichte, welche sie selbst auf einander ausübten, so werden sich die Störungen des Gleichgewichts einzelner Systempnnkte fortpflanzen. Man betrachte irgend eine von dem gestörten Punkte S ausgehende Punktreihe l. Die Bewegung von S wirkt gleichgewichtstörend auf den benachbarten Punkt, durch diesen auf den folgenden und so weiter von Punkt zu Punkt, wir erhalten eine Wellenbewegung in der Reihe. Die Punkte zwischen zwei Punkten gleicher oder entsprechender (bei veränderlichen Schwingungen) Schwingungsphase bilden eine Welle der Punktreihe. Rückt die Störung in der Zeit dt um dl vor, so heisst

dl

c~di

die Fortpflanzungsgeschwindigheit der Wellenbewegung, sie ist von der Oscillationsgeschivindigheit des einzelnen Punktes wohl zu unterscheiden. Den Weg, welchen die Störung während einer Schwingungsdauer T zurücklegt, nennt man Wellenlänge

c dt.

Der Punkt E am Ende von X beginnt seine Bewegung gerade, wenn der Anfangspunkt A sie beendigt hat. Da ferner von A nach E hin jeder folgende Punkt seine Bewegung etwas später beginnt als der vorhergehende, so werden sich selbst in dem Falle

Fig. 31.

zu bestimmter Zeit t alle Punkte zwischen A und E in verschiedenen Schwingungsphasen befinden, wenn die Schwingungen aller Punkte gleiche Amplituden erlangen und überhaupt ungeändert bleiben.

15*

Erfolgen die Schwingungen in der Richtungslinie der Fortpflanzung, so heissen sie Longitudinalschwingungen, stehen sie senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung, dann nennt man sie Transversalschivingungen. Es sind auch schiefe geradlinige Schwingungen denkbar, und ebenso können je nach den wirkenden Kräften elliptische, parabolische und andere krummlinige Schwingungen um die Gleichgewichtslage resultiren. Die Wasserwellen beispielsweise werden

Fig. 32.

nach Weber durch annähernd elliptische Schwingungen, nach Iiagen (bei unendlicher Tiefe) durch kreisförmige Schwingungen erzeugt. Wie die bekannte Form der Wasser wellen aus elliptischen Schwingungen entsteht, ist in Fig. 31 angedeutet. Fig. 32 stellt eine Welle aus Transversalschwingungen, Fig. 34 eine solche aus Longitudinalschwingungen und Fig. 33 eine aus schiefen geradlinigen Schwingungen dar. Man hat dabei stets die Lagen der schwingenden Punkte

• • •

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• • • • • ® •

Fig. 33.

für den fraglichen Zeitpunkt t zu fixiren. Bei geradlinigen Schwingungen bilden die Punkte, welche zur Zeit t die Gleichgewichtslagen passiren, die augenblicklichen Knotenpunkte der Wellenbewegung, während die grössten Abweichungen nach der positiven und negativen Ausschlagrichtung hin als Wellenberg und Wellenthal bezeichnet werden. Durch Zusammenwirken geeigneter Ursachen können auch stehende Wellen resultiren, bei welchen alle Punkte ihre Schwin-—®-e-#3-®®®® #-©#--©- ®~©-®e--® — •—o®-©-—®- -o-®~

Fig. 34.

gungen gleichzeitig beginnen und endigen, die Knotenpunkte also festliegen.

In einem Körper kann sich jede Störung in zahlreichen Punktreihen fortpflanzen. Jede Fläche, deren sämmtliche Punkte sich gleichzeitig in gleicher Schwingungsphase befinden, heisst eine Wellenfläche. Die Punkte zwischen zwei Wellenflächen gleicher oder entsprechender Schwingungsphase bilden eine Welle des Punktsystems. Während die Fortpflanzung stets senkrecht den Wellenflächen erfolgt, können für die Schwingungen verschiedene Fälle eintreten.

Longitudinalschwingungen beispielsweise liegen normal und Transversalschwingungen tangential den Wellenflächen. Bei Uebertragung der lebendigen Kraft von kleineren auf grössere Wellenflächen werden sich die auf einzelne Schwingungen verwendeten lebendigen Kräfte und damit die Amplituden der letzteren im Allgemeinen ändern. Ginge die ganze lebendige Kraft von einer beliebig geformten Wellenfläche auf eine andere mit gleich dichtem Belag von Punkten gleicher Massen und Krafteinwirkungen über, so würden sich die lebendigen Kräfte zu Einzelschwingungen auf beiden umgekehrt wie die Grössen der Wellenflächen und speciell bei kugelförmigen Wellenflächen umgekehrt wie die Quadrate der Radien verhalten.

Hinsichtlich der Wellenbewegung wird das fortpflanzende Punktsystem Medium genannt. Bei homogenen Medien ist die Anordnung der wirkenden Punkte von jedem Systempunkt m aus die gleiche; bei in Bezug auf m isotropen Medien stimmt die Anordnung der wirkenden Punkte für alle durch m gehenden Geraden oder Ebenen überein. Der Ausdruck Anordnung betrifft in beiden Fällen Lagen, Massen und Kräfte im anfänglichen ungestörten Zustande. Es enthalten also in homogenen Medien alle Geraden von einerlei Richtung, in homogenen isotropen Medien alle Geraden beliebiger Richtungen Punktreihen gleicher und constanter Anordnung und Eigenschaften. Wir wollen solche Punktreihen in der Folge homogene PunJctreihen nennen.

Nach den Lehren der Physik besteht der Schall in Longitudinalschwingungen der gewöhnlichen Materie, das Licht in Transversalschwingungen des Aethers.

§ 87. Einfache Schwingungen materieller Punkte.

Für einen Punkt, der wie seine Masse durch m bezeichnet sei, möge mit Entfernung aus der Gleichgewichtslage M eine zurücktreibende Kraftresultante proportional der Entfernung Mm auftreten. Hat dieser Punkt bei einer Störung keine Geschwindigkeit senkrecht zn Mm erhalten, so werden lineare Schwingungen um die Gleichgewichtslage entstehen, welche einfache Schwingungen heissen und im Folgenden untersucht werden sollen. Wir wählen eine Schwingungsrichtung von M aus als positive, die andere als negative. Zur Zeit t sei r der positive oder negative Weg 'des Punktes m von der Gleichgewichtslage aus und v seine positive oder negative Geschwindigkeit. Dann hat man die der beschleunigenden Kraft pro Masseneinheit proportionale Accélération

d²r

Das negative Vorzeichen ist zu setzen, weil die Kraft für positive r in negativer, für negative r in positiver Richtung wirkt. Die Constante 1c kann als beschleunigende Kraft für m — 1, r — 1 definirt werden. Weil ferner

dr

dv —

(Pr

~dl’

vdv =

cPr

dP

dr,

so folgt mit (1)

vdv — — lirdr,

und wenn ^ G die Integrationsconstante bedeutet,

v² = C — kr².

Es möge a die Schwingungsamplitude und u den Absolutwerth der Geschwindigkeit für r = 0 bezeichnen. Dann liefert die letzte Gleichung mit r — 0 wegen v = + u und mit r = + a wegen v — 0

(2)

u² = C = ka²,

womit weiter

(3)

v² — lc(a² — r²) = u² — 1er²,

dt — —

dr

}/k ]/a²— r² ’ und wenn h die Integrationsconstante bedeutet

(4)

Yk

arc sm

+ Ä.

Die Integrationsconstante ist hiernach die Zeit derjenigen Passage der Gleichgewichtslage, von welcher aus wir in (4) die arcus rechnen wollen, und rechnen wir t von einer Gleichgewichtslage aus, so können wir h — 0 setzen

Aus der letzten Gleichung folgt die Elongation und dann auch die Geschwindigkeit zur Zeit t

(5)

dr

r = a sin ]//t; (t — li),

yiit-k).

V = -r— — u COS dt

Die Passagen von r — 0 finden daher zu folgenden Zeiten statt

h + W’

und wir erhalten die Schwingungsdauer als Zeit zwischen irgend einer dieser Passagen und der übernächsten

Ä,

2rt

VF ’

(6)

2n

yk

unter n die Schwingungszahl verstanden. Da hiernach bei Beachtung von (2)

]/k = ~~ = 2 Ttn= —

CO

so kann man (5) auch schreiben

r = a sin 2n t

(8)

und allgemein, wenn rïy V\ der Zeit ti und r, v der Zeit t entsprechen v aber eine beliebige ganze Zahl bedeutet,

für t = tI±~T

2v 1 j,

für t — h —

r> T>

o,

u,

a, ...

0, ...

v = v1}

„ t = ti +    ₂

r — — ri

v — — Vi.

Wir können nun Folgendes aussprechen:

d) Die Schwingungsdauer T und Schwingungszahl n sind unabhängig von der Amplitude a, alle Schwingungen für ein gleiches 1c sind isochron.

6) Yon jedem Zeitpunkte an folgen sich in Intervallen T T

gleiche und in Intervallen — entgegengesetzte Schwingungsphasen.

u

c) Die Oscillationsgeschwindigkeit v erreicht für r — 0 numerische Maxim a %

v — + u = +    = a ]/k

und für r — + a numerische Minima v — 0.

---Ti--

Kg. 35.

d) Beschreibt man (Fig. 35) um die Gleichgewichtslage einen Kreis mit dem Radius a und setzt den ganzen Winkelraum um o 2jt — T, dann sind für jede Zeit t = h -J- (th) nach (8)

om — v,

mt — r.

e) Haben die Schwingungen 1 und 2 bei gleichem 1 verschiedene Amplituden a1} a₂, und werden ihre Phasen in den Fällen

»i __ rj_ __ a.

^2

und

r,

v₂

a₂

3z

9,

Fig. 36.

h beziehungsweise als gleich und als entgegengesetzt bezeichnet, dann ergeben sich zu irgend einer Phase ml (rx, vJ der einen Schwingung die gleiche und entgegengesetzte Phase der anderen Schwingung wie Fig. 36 andeutet.

§ 88. Wellen in homogenen Punktreihen.

Es mögen sich nun die im vorigen Paragraph betrachteten Schwingungen eines Punktes in einer (genügend klein oder genügend weit vom Störungscentrum gedachten) homogenen Punktreihe mit constanter Geschwindigkeit c ohne Aenderung der Amplitude a fort-plianzen. Die parallelen Einzelschwingungen der verschiedenen Punkte können longitudinal, transversal oder schief sein. Im Folgenden deuten grosse lateinische Bezeichnungen von Reihenpunkten deren Ruhelagen an.

Nach § 86 hat man die Wellenlänge, wenn T die Schwingungsdauer, n die Schwingungszahl und u den Absolutwerth der Oscillata-tionsgeschwindigkeit beim Passiren der Gleichgewichtslage bedeuten,

2nc

(i)

Vk

X = cT = — = 2jtc-

Die Elongation eines Punktes S, welcher seine Gleichgewichtslage

zur Zeit h passirt hat, ist nach § 87, (8) zur Zeit t

• o t — h r₀ — a sin 2 n —^— *

Da ein Punkt M in Entfernung e von S die entsprechende Passage der Gleichgewichtslage um die Zeit z — j- später bewirkt, so ist für diesen zur Zeit t

r = a sin 2% —-^

Wir erhalten mit Rücksicht auf

= a sin    — é),

T cT X

die Elongation und Oscillationsgeschwindigkeit zur Zeit t für jeden Punkt M in beliebiger Entfernung e von einem anderen Punkte S, welch’ letzterer zur Zeit h seine Gleichgewichtslage passirte,

r = a sin 2gg(- y—

dr    n /1 — h

v =    = u cos J7cy T

(2)

e^) — u cos ~ ch — e)'

Nach § 87 wissen wir, wie sich die Schwingungsphase eines bestimmten Punktes mit der Zeit ändert, aus (2) ersieht man, wie sich die Schwingungsphase zu bestimmter Zeit mit dem Orte und in beliebiger Entfernung e von einem gegebenen Orte mit der Zeit ändert. Wenn beispielsweise zur Zeit t ri, V\ der Entfernung e\ und r} v der Entfernung e entsprechen, v aber eine ganze Zahl bedeutet, dann folgen

für e = Gi +

i 2*+i.

= el + -2-

r = ri,

V = Vi

V = — Vi.

Die gestörte Punktreihe zerfällt also zu jeder bestimmten Zeit t in eine Folge von Strecken, an deren Enden die Gleichgewichtslage augenblicklich in gleicher Richtung passirt wird, während in den Streckenmitten entgegengesetzte Passagen stattfinden und alle Punkte zwischen den Streckengrenzen verschiedene Schwingungsphasen ein-nehmen. Die Punkte jeder solchen Strecke bilden eine Welle.

Kommen in einer Punktreihe Wellen von verschiedenen Aus

gangspunkten S und vielleicht auch von verschiedenen Fortpflanzungsrichtungen vor, so ist es mitunter zweckmässig, alle Entfernungen auf ein und denselben Reihenpunkt A zu beziehen. Es sei lh die

von A, welchem h in (2) ent-

J }>o s

-o--

Entfernung desjenigen Punktes S spricht. Da die Fortpflanzung der Schwingungen oben von S aus

S_!t__A

—A--:—o-

"l

•O—

jf

;-0—

nach andern Punkten M erfolgte, so haben wir in beliebigen Entfernungen l = AM:

für Wellen in der Richtung von A nach M (Fig. 37) mit

Vig. 37.

(4)

r = a sin — {ct — l -j- b), v = ucos    — l -f- Z>);

für Wellen in der Richtung von M nach A (Fig. 38) mit

_M

-0^=-

~-o

Lfv

.v

Fig. 38.

(5)

6 — lh • l,

b — lh -f- eh

a sin ~ (c t + l — b),

v — u cos ~Y~(pt -f- l — b).

Die Schwingungsphasen, welche verschiedene Wellen gleicher Fortpflanzungsrichtung zur Zeit t für einen bestimmten Punkt M (l) erzeugen, sind nach vorstehenden Gleichungen nur von b abhängig und wird deshalb b die Wellenphase genannt. Diese Phase ist für jede bestimmte Welle eine von Zeit und Ort unabhängige, in Längeneinheiten gemessene Constante. Wenn sich f\, Vi auf eine Welle der Phase bi und r, v auf eine Welle der Phase b beziehen, v aber einz ganze Zahl bedeutet, dann folgen aus (4) für gleichlange Wellen gleicher Fortpflanzungsrichtung

im Falle b — bi + -^-A,

„    „    b = h. + —^A,

und aus (6) für gleichlange Wellen entgegengesetzter Fortpflanzungsrichtungen

O

im Falle b = 2s — bi + —A,

„    „    b = 2 s — bi -t~ ——A,

Während für jeden Punkt unserer Reihe die im vorigen Paragraphen dargestellten Gesetze gelten, können wir für die Bewegungen der ganzen Reihe Folgendes aussprechen:

a)    Die Wellenlänge A ist unabhängig von der Schwingungsamplitude a, alle Wellen der gleichen le, c sind gleich lang.

b)    Zu bestimmter Zeit t bestehen in Abständen A gleiche und

X

in Abständen — entgegengesetzte Schwingungsphasen.

c)    Da nach (2) für ct — e — Const. gleiche r, v eintreten, so

(6)

r = ri,

v — Vi

r — — fi, v = — V\,

r = ri,

v = Vi,

v — — Vi .

bewegt sich jede bestimmte Schwingungsphase oder ganze Welle mit der Geschwindigkeit c durch die Punktreihe.

d)    Denkt man sich zur Zeit t bei den Gleichgewichtslagen der Punkte M deren augenblickliche Elongationen senkrecht zur ruhenden Punktreihe als Ordinaten angetragen, so entsteht die in Fig. 35 ersichtliche Curve der Elongationen. Für Transversalschwingungen gibt diese Curve ein wirkliches (bei verschiedenen Masstäben der Abscissen und Ordinaten verzerrtes) Bild der Punktreihe zur Zeit t (Fig. 32). Bei Longitudinalschwingungen entsprechen den Knotenpunkten alternirend Verdichtungen und Verdünnungen der Punktreihe (Fig. 34). Um für alle Fälle ein Bild der Punktreihe Zeit t zu erhalten, hat man die Ordinatenaxe stets parallel den Schwingungsgeraden zu wählen (Fig. 33).

e)    Zwei gleichlange Wellen gleicher Fortpflanzungsrichtung und beliebiger Amplituden a würden zu bestimmter Zeit für den Punkt 31(1) gleiche Schwingungsphasen erzeugen, wenn die Wellenphasen

Ä .    .

ein gerades Vielfaches von — differirten, und sie würden für M(l) entgegengesetzte Schwingungsphasen bewirken, wenn die Phasendifferenz der Wellen ein ungerades Vielfaches von — wäre.

f)    Zwei gleichlange Wellen entgegengesetzter Fortpflanzungsrichtungen und beliebiger Amplituden a würden zur Zeit t nur für diejenigen Punkte 31(1) gleiche Schwingungsphasen erzeugen, für welche l um ein gerades Vielfaches von der halben Summe der

& + _

2

für diejenigen Punkte 31(1) entgegengesetzte Schwingungsphasen hervorbringen, bei welchen l um ein gerades Vielfaches von der

h + &i — 2v -j- l A

V*

um

Wellenphasen ab weicht (l

zur

2v \

— A) und sie würden allein

halben Wellenphasensumme differirt (l

§ 89. Interferenz der Wellen. Combinirte Schwingungen.

Als Interferenz der Wellen bezeichnet man die gleichzeitige Fortpflanzung zweier oder mehrerer Schwingungen in der gleichen Punktreihe oder im gleichen Punktsystem. Im Folgenden können die auf Punkt m übertragenen Einzelschwingungen von verschiedenen Wellen in derselben Punktreihe oder von Wellen in verschiedenen m enthaltenden Punktreihen herrühren. Der von den m beeinflussenden Kräften (Elasticitätskräften) abhängige Coefficient 1c ist für alle Wellen als gleich anzunehmen (§ 87). Bezeichnungen mit dem Index 1, 2,’... entsprechen den Wellen 1, 2, . . .

Einzelschwingungen gleicher Geraden. Die Einzelwellen mögen,

wenn sie allein wirken, dem Punkte m zur Zeit t die positiven oder negativen Elongationen rx, r₂,. . . in gleicher Geraden ertheilen, d. h. die durch die Einzelwellen bedingten beschleunigenden Kräfte sind zur Zeit t mkrx, mhr₂₎ ... Es ist also zur Zeit t die ganze beschleunigende Kraft mk(rx + r₂ -f- • • •) und die resultirende Accélération von m

= — Mri + r2~\----) •

(1)

Nach § 87 hat man hrx — —

dir₁

sodass

dt2 7

u. s. w.,

d²r__d²rx . d*r₂

hW ~ ~drr "* dt2 Durch Integration folgt die resultirende Oscillationsgescliwindigkeit zur Zeit t

dr _p , drx . dr₂

dt    ' dt ' dt

und durch nochmalige Integration die resultirende Elongation r — Const. -{- Gt -j- rt -|- r₂ -|- • • •

Wenn nun andere beschleunigende Kräfte als die durch die Wellen bedingten nicht angenommen werden, so muss nach dem Eintreffen der ersten Welle für unsern Punkt v — vlf r — rx sein und können auch mit dem Eintreffen weiterer Wellen Unstetigkeiten von v, r nicht entstehen, wir erhalten

(2)

r = rx -f r₂ + r₃ -f----

(3)

dr

v = ^j = vx + v₂ + v.à-]----

Für jeden Punkt m sind zu jeder Zeit t die resultirende Elongation und resultirende Oscillationsgescliwindigkeit gleich der Summe der Elongationen und Geschwindigkeiten, welche die Einzelwellen für sich erzeugen würden.

Nach § 87 haben bei bestimmtem h alle Einzelschwingungen gleiche Dauer T. Wenn sich nun v\ auf die Zeit ti und r, v auf die Zeit t beziehen, v aber eine ganze Zahl bedeutet, so folgen (2) (3) mit Rücksicht auf § 87

für t = h±~T,

aus

r = n,

V = Vi

T,

v — — Vi.

r = — ri

Die resultirende Schwingung ist von gleicher Dauer und Art wie die Einzelschwingungen, es gelten für sie mit der aus (1) (2) entstehenden Grundgleichung des § 87 sämmtliche Beziehungen des letzteren.

Einzelschwingnngen beliebiger Geraden. Die Einzelwellen mögen, wenn sie für sich wirken, dem Punkte m zur Zeit t die Verrückungen £1, r]x, §x, |₂, rj2f £₂, . . . von der Gleichgewichtslage aus ertheilen. Wir erhalten dann die den beschleunigenden Kräften pro Masseneinheit entsprechenden resultirenden Accelerationen in den Richtungen x, y, z zur Zeit t, ganz wie oben schliessend,

+ £* + • • •)»

(4)

— — &(% + % + •••);

raW = — *(êi + 6» + • • •)•

Aus diesen Gleichungen folgen, wie im vorigen Falle r, die ganzen Verrückungen von m zur Zeit t

(5)

£ = £1 + £2 + ès + • • -t V=Vl+ ^2+%-t----;

£ — £1 + £2 + £3 + ■ • ' •

Weiter haben wir zur Zeit t die als Absolutwerth aufzufassende Totalverrückung

(6)

die Winkel ihrer Richtung mit den Richtungen x, y, z

cos (ry) =

(?)

cos (rx) = die Coordiuatengeschwindigkeiten

IL

cos (rz) =

'D CTY

(8)

dè,

drj

dt

di ⁵

di

di

u. s. w.

Es setzen sich also die von beliebig vielen Wellen beliebiger Punktreihen oder Punktsysteme und Fortpflanzungsrichtungen einzeln erzeugten Verrückungen und Geschwindigkeiten eines -Punktes m dem Parallelogramm der Kräfte entsprechend zusammen.

Bei bestimmten Ti sind alle Einzelschwingungen isochron. Wenn sich nun Grössen mit dem Index 1 und ohne Index auf die Zeiten h und t beziehen, v aber eine ganze Zahl bedeutet, so hat man

£=&,

7] «= 7]I}

V = Vif

Die resultirende Schwingung, welche geradlinig, elliptisch oder sonst krummlinig ausfallen kann, ist von gleicher Dauer wie die geradlinigen Einzelschwingungen.

für t = ti -\- vT,

n —u\

w = Wi.

Selbstverständlich können auch alle auf die betrachteten Punkte übertragenen Schwingungen einander vollständig aufheben, sodass Ruhe oder speciell für Schallschwingungen Stille und für Lichtschwingungen Finsterniss eintritt.

§ 90. Princip von Huyghens.

Wir setzen ein homogenes isotropes Medium voraus. Von jedem Punkte aus gehen Punktreihen der bisher betrachteten Art nach zahlreichen Richtungen. Es handelt sich um Fortpflanzung bestimmter Schwingungen, Longitudinalschwingungen, Transversalschwingungen u. s. w., in diesem Medium.

Ein Punkt S werde in Schwingung versetzt. Berücksichtigt man

im

Fig. 39.

allein solche Schwingungen der Punkte unseres Mediums, welche von S aus in den Verbindungsgeraden übertragen werden, so übersieht man die Schwingungsverhältnisse aller Punkte aus dem Gesichtspunkte, dass diejenigen Punkte, welche Gleichgewichtszustände auf irgend einer von S ausgehenden Geraden lagen, nun eine schwingende Punktreihe nach Art der in § 88 betrachteten bilden (Fig. 39). Die Schwingungen pflanzen sich vom Störungscentrum S aus in concentrischen Kugelflächen fort. Alle auf einer Kugel -fläche um S gelegenen Punkte durchschreiten gleichzeitig gleiche Schwingungsphasen, bilden also eine Wellenfläche (§ 86). Auch der Wiedereintritt der Ruhe muss für die Punkte jeder solchen Kugelfläche gleichzeitig erfolgen. Die Richtungen der Fortpflanzung sind senkrecht den Elementen der Kugelflächen. Zu jeder bestimmten Zeit t zerfällt der Raum um 0 in eine Anzahl Kugelschaalen, deren Endflächen nur Punkte in gleicher Passage der Gleichgewichtslage enthalten, während die Punkte aller zwischenliegenden Kugelflächen sich in verschiedenen Schwingungsphasen befinden. Jede solche Kugelschaale heisst eine Kugelwelle. Bleibt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c und damit auch die Wellenlänge X constant (wie dies in homogenen isotropen Medien zutrifft), so befinden sich

die Punkte aller Wellenflächen, deren Radien um ein gerades Viel-abweichen, in gleicher Schwingungsphase und die Punkte von Wellenflächen, deren Radien um ein ungerades Viel-fâches von differiren, in entgegengesetzten Schwingungsphasen. Die Kugelwellen sind also von gleicher Dicke A.

fâches von

Den Grundgedanken der vorstehenden Anschauung hat schon 1664 Robert Hoolie ausgesprochen, indem er das Licht auf Schwingungen eines elastischen Mediums zurückführte, deren Fortpflanzung nach den vom Störungscentrum ausgehenden Kugelradien erfolge. Indessen ist die Anschauung zwar für manche Zwecke genügend, aber nicht alle Fälle um-

genug.

z. B. in dem schraffirten

fassend, nicht allgemein Nach ihr würde

wm

Fig. 40.

Raume der Fig. 40 vollständige Finsterniss bezw. vollständige Stille herrschen, wenn S die Licht- $ quelle oder Schallquelle bedeutet. Die hier notli-wendige allgemeinere Auffassung rührt von Ruyghens her und wird nach ihm Huyghens’’sches Princip genannt.

Das Einseitige der Anschauung Hooke’s bestand in der stillschweigenden Voraussetzung, dass sich die Schwingungen vom Störungscentrum aus nach andern Punkten m nur in den Verbindungsgeraden fortpflanzen. Da aber jeder zu irgend einer Zeit ti bereits bewegte Punkt aus gleichem Grunde wie früher S das Centrum einer in Kugelflächen fortschreitenden Bewegung bildet, so ist der Schwingungszustand des Punktes m zur Zeit t als Resultat der Interferenz aller augenblicklich m erreichenden Einzelwellen anzusehen. Unter Voraussetzung von Schwingungen des in § 87 angenommenen Kraftgesetzes oder des Princips der Coexistenz elastischer Bewegungen setzen sich die Schwingungen dem Parallelogramm der Kräfte gemäss zusammen, sie können als neben einander und unabhängig von einander existi-rend angesehen werden, wie dies auch die Erfahrung für Licht und Schall lehrt.

Bezüglich der grössten Entfernung, bis zu welcher die Bewegung von einem Punkte S aus bei ungehindertem Fortschreiten zur Zeit t gelangt, kommt man auf Grund der ersterwähnten Anschauung zu gleichen Resultaten wie mittelst des Princips von Huyghens. Denn sehen wir alle Punkte Ti der Kugelfläche K, bis zu welcher die Bewegung zu irgend einer Zeit ti vorgedrungen war, als Centren von neuen Kugelwellen an, so wird zu der späteren Zeit t die Grenze des Vordringens der Störung von S aus durch die Berührungsfläche der äussersten Wellenflächen um die Ti gebildet sein. Diese Berührungsfläche ist aber ebenso lange eine K centrische Kugelfläche als man von S aus ohne Hinderniss radial nach Punkten von $ gelangen kann, sie liegt bei constantem c in Entfernung c(t — tj) von K oder in Entfernung ct von S, wir die Zeit t von der Störung bei S an rechnen. Auf gleichem Wege zeigt sich, dass beide Anschauungen für den Fall ungehinderten Fortschreitens der Störung die nämliche Wellenfläche der zur Zeit t beendigten Bewegung ergeben. Andererseits erkennt sofort, dass jetzt auch Schwingungen in dem schraffirten Raume der Fig. 40 auftreten können. Es werden alle diejenigen Punkte auf

con-

wenn

man

4M

fir

^ \fj i iM ///

i i n U

iimi

directem Wege (nicht reflectirte) Schwingungen erhalten, zu welchen von irgend einem der früher gestörten Punkte eine den Schirm nicht treffende Gerade führt.

so

Kg. 41.

Findet die erste Störung gleichzeitig in einem endlichen Raume S statt (Fig. 41), werden selbst im unbegrenzten Medium die Flächen beginnender und beendigter Bewegung keineKugelflächen mehr sein, sondern die Umhüllungsflächen derjenigen Kugelflächen, welche mit den Radien cta und cte (bei constantem c, Zeiten ta und te von Anfang und Ende der Störungen in S an gerechnet) um die äussersten Punkte S gelegt sind. Denn für jeden Punkt des Raumes S als eines Störungscentrums gilt die obige Darstellung. Die beiden Grenzflächen der

Bewegung müssen sich aber um so mehr Kugelflächen nähern, je weiter sie sich von S entfernen.

Ist das fortpflanzende Medium nicht homogen und isotrop, so findet eine ganz ähnliche Interferenz von Einzelwellen wie im oben behandelten Falle statt, doch ist c nicht mehr constant und sind die Wellenflächen keine Kugelflächen mehr.

§ 91. Verschiebungen durch einfache Schwingungen.

Wir haben in §§ 89, 90 gesehen, dass durch Interferenz von einfachen Schwingungen materieller Punkte combinirte Schwingungen sehr verschiedener Bahnen entstehen können, indem sich gleichgerichtete Wege und Geschwindigkeiten addiren und verschieden gerichtete dem Parallelogramme der Kräfte entsprechend zusammen setzen. Es sollen nun die von einem Punkte S ausgehenden einfachen Schwingungen eines homogenen Mediums unter gewissen V oraussetzungen noch weiter untersucht werden.

Wir wählen ein Coordinaten-system in fester Lage gegen die Gruppirung der Punkte im anfänglichen ungestörten Zustande. Ein beliebiger Punkt m habe seine Ruhelage M von S aus in der Richtung l bei#, î/, £ (Fig. 42).

Dann setzen wir a — cos (Jx),

(1)

womit

y+

ya

Fig. 42.

(i — cos (ly)

X-

■T/f

r-

JTi

y = cos (lz),

«² + ß² + y² = i.

Von den beiden aus M gezogenen Richtungen der Schwingungen des Punktes m sei diejenige der positiven Elongationen r durch r bezeichnet. Mit

(2)

(3)

<p — cos (rx)

X = COS (ry)

folgt dann für den Winkel von r mit l

cos (rl) — ccq) -f- ß% -f- ytp.

il> = cos (rz)

Die Verrückungen von m gegen M aber sind bestimmt durch die Gleichungen

(5)

£ = rÿ.

V = r%,

| = rep,

Die auf der Geraden SM gelegenen Punkte unseres homogenen Mediums bilden eine homogene Punktreihe (§ 86), die Constante Tc und Schwingungsdauer sind für alle ihre Punkte von gleichem Werthe. Dagegen können die Amplitude a und, solange nichts Gegentheiliges bewiesen ist, auch die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c nach Zeit und Ort verschieden sein. Die Aenderung der Amplitude a eines bestimmten Punktes ist durch das Verhältniss von Abgabe und Neuaufnahme lebendiger Kraft bedingt, die Aen-derungen von a zu bestimmter Zeit auf einer Strecke von gegebener Länge sind um so geringer, je weiter sich die Strecke vom Störungscentrum befindet. Wir wählen nun zwischen S und M auf der Verbindungsgeraden einen Punkt A so nahe bei M, dass für die genügend kleine Zeit von t = 0 bis t = t sowohl a als c auf AM — e als constant gelten können, wie dies beispielsweise für unendlich kleine t, e immer zutrifft. Da die Störung über A nach M gelangt, so folgt aus § 88, (2) die Elongation von m zur Zeit t

y (ct — ch — e),

r = a sin

worin Ti eine Constante bedeutet. Diese Gleichung gilt mit con-stanten a, c für genügend kleine t, e.

Sind xa, ya, 2a die Coordinaten von A, so hat man

-Va

x-xa

* —*«

Durch Multiplication mit a, ß, y und Addition folgt

e = (x — xa) a + (y — ya) ß + {s — 0a) ?■

Wir setzen

(6)

b = ccxa + ßya + y 2a — ch und erhalten die Elongation von m zur Zeit t

(7)

a sin ^ (ct — ax — ßy — y2 + b),

worin b für die Punkte der Strecke AM constant ist. Die Oscilla-tionsgeschwindigkeit von m zur Zeit t wird nun

dr 2nc    2it , ,    ₀    ■

= ~y~ a cos i \ct — ccx — ßy — y2 b)

oder mit der Bezeichnung

einfacher ausgedrückt

dr

2nc

ët⁼⁼~rq="T q> unter T die Schwingungsdauer verstanden.

Aus (5), (9) ergeben sich die Coordinatengeschwindigkeiten des beliebigen Punktes m (x, y, z)

(9)

ai

2 tic

an 2ttc dt I ^q ' a£    2ttc

Jt~~T^q>

und hieraus die Coordinatenaccelerationen

U — -FTT

(10)

du _ a²| _

dt    dt2 —

(11)

a«

a²7?

dt    dt2 —

- (tPv>

a«o

a²£

0t ~W — —

Im folgenden haben wir es mit verschiedenen, wenn auch unendlich benachbarten, Richtungen oder Punktreihen l zu thun.

Isotrope Medien. Wir denken uns den Ursprung der Coor-dinaten in den Punkt S gelegt, womit b für die Punkte einer durch A gehenden Kugelfläche um S constant und im Sinne des § 89 die Phase der AM treffenden Kugel wellen wird. Da ferner die Richtung l der Fortpflanzung bei endlichem SM für alle m unendlich benachbarten Punkte als constant gelten kann, so ergeben sich aus (5), (7) mit der Bezeichnung (8) folgende Ausdrücke für die Verschiebungen bei m

(dt

2it

(12)

äi"“ Ta^,

\

r ßv<l,

dt

dy

dt

2 71

orj

2n

s ⁼ -t“h-

-,    2te

Ty = --r^i’

drj

drj

2 7t

Durch nochmalige Differentiation entstehen

Tx⁼~~i «W’ 2n a

- ₌ -Tß₄,lt

st -    ,

= _ T

d²t

dx²

(t) “V>

8²rj

dx²

d²£

dtf —

( r) aSV,

d²t

(r)‘    —Ct)>

(t)Vv, §5=-(tDv,

Aus (12) erhalten wir bei Beachtung von (4) die Dilatation bei

(13)

dy²

d²t

la*2 —

ec

d²£

*r’ ä? = ~

(x)>^

a²£

a*² ~

(14)

ai

œ~d^ +

— Y q cos (r i)

und deren Differentialquotienten

dco

dx

(15)

dco

da

(t~) arcos(.rï)’

( y) ß r cos (ri),

(~r) yrcos(rfy

■dz

Die Gleichungen (13) liefern mit der Bezeichnung

d²F d*F (PF dx² ' dyl    dz²

A ²F =

wegen (2) die Werthe (16) A²g = — ('”) tpr,

a2s = -(t)V-

/2îr\²

^ hr) *r

Durch (12) sind auch die Gleitungen gxy, gyZ} gzx bestimmt. In (14), (15) kann die Condensation <5 an Stelle von — co gesetzt werden. Die Gleichungen (11), (13), (16) lassen sich mit Rücksicht auf (5) noch einfacher ausdrücken. Aus (8) entnehmen wir

dy ~ l p >

Beliebige homogene Medien. Anstatt in den Punkt S wollen wir den Ursprung der Coordinaten jetzt in den Punkt A legen. Betrachtet man dann

(17)

da 2u

05- Tar>

dq 2 Ti

Tz-T'r'

(18)

U%a -f- ßya H" y2a = 0 als Gleichung einer senkrecht zu l durch A gelegten Ebene und

(19)

ax -f- ßy -j- ys = e als Gleichung einer der vorigen parallelen Ebene durch M, so gelangt die Störung von den unendlich* nahe an A auf der ersten Ebene gelegenen Punkten gleichzeitig (wegen gleichem e) und mit gleicher Phase (wegen gleichem b) zu den unendlich nahe bei M auf der zweiten Ebene gelegenen Punkten. Das Gleiche gilt für alle AM unendlich benachbarten Punkte auf zu l senkrechten Ebenen zwischen A und M, man kann von einer Fortpflanzung der Störung in ebenen Wellen unendlich kleiner Flächen sprechen, für welche ebenfalls die oben abgeleiteten Gleichungen gelten. Diese Gültigkeit ist nun aber, weil keine kugelförmigen Wellenflächen vorausgesetzt wurden, nicht mehr auf homogene isotrope Medien beschränkt, sondern besteht für beliebige homogene Medien und beispielsweise auch für die homogenen Theilchen heterogener Medien.

Potentialschwingungen und Schwingungen ohne Dilatation. Für Potentialschwingungen hat man nach § 30, (5)

und mit Rücksicht auf (15) (16) speciell im Falle einfacher Schwingungen

ip = y cos (rl).

X = ß cos (rl),

Hieraus folgt durch Multiplication mit cp, %, i[> und Addition

A²£ =

dco

CU 11 ?

dco

cp = a cos (rl)

cos (rl) — -j- 1.

1 = cos² (rl),

Die Schwingungen sind Longitudinalschwingungen. Setzen wir umgekehrt einfache Longitudinalschwingungen voraus, so folgen wegen zusammenfallender Richtungslinien von r und l

ß<p = a%,

und damit nach (12)

dj _

dy dx ’

VI = ßt,

drj dj dz dy

dx dz⁷

die Bedingungen für Potentialschwingungen. — Für Schwingungen ohne Dilatation ist œ = 0 und im Falle einfacher Schwingungen nach (14) (15)

cos (rl) = 0

Transversalschwingungen entsprechend. Umgekehrt hat man für einfache Transversalschwingungen mit cos(W) = 0 auch a = 0, es findet keine Dilatation statt. Wir können also aussprechen: Bei einfachen Schwingungen sind Potentialschwingungen mit Longitudinalschwingungen und Schwingungen ohne Dilatation mit Transversalschwingungen identisch.

§ 92. Weitere Verschiebungsfunctionen.

Es sollen nun auch die von einfachen Schwingungen herrührenden Normalverschiebungen, Totalverschiebungen und Dehnungen einer beliebigen Richtung n, sowie die Normalgleitungen, Totalgleitungen und Schiebungen je zweier beliebiger Richtungen n, s bei m (x, y, z) abgeleitet werden, da einzelne der betreffenden Ausdrücke in der Folge zur Anwendung kommen.

Substituirt man § 91, (12) in § 21, (2), so folgen die Com-ponenten der Totalverschiebung rn irgend einer Richtung n in den Richtungen x, y, z

xn

qcp cos (ln),

yn =--y q x cos (ln),

zn = — ²* q t cos (ln).

Durch Quadriren und Addiren dieser Gleichungen ergibt sich

rn='ij- q cos (ln),

wobei jedoch rechts nur der Absolutwerth zu nehmen ist. Bezeichnet man die Richtung der Totalverschiebung vorübergehend mit p, so folgen aus (1), (2)

(2)

COS (QX) —

cos({nj) =

a I a a,® S Si I

= + fa

Zn

cos (qz) = — = H-ip.

rn

Die Totalverschiebungen sind parallel der Scliwingungsgeradeii.

Für die Componente von rn in beliebiger Richtung s hat man

allgemein

sn = xn cos (sæ) -f- yn COS (sy) -j- zn cos (sz) und mit (1) in unserm Falle

(3)

Sn -

q cos (ln) cos (rs).

Durch Vertauschen von n, s entsteht

ns =

— ~ q cos (Is) cos (rn)

und wir erhalten die Normalgleitung der Richtungen n, s

(4)

y ns

= sn -f- ns — '— ~ ^[cos (ln) cos (rs) +

COS

(Is) cos (rw)J.

Die Normalverschiebung der Richtung n folgt aus (3) mit s = n

(5)

(2) (5)

nn — — ~y q cos (Jn) cos (rn) und die Transversalverschiebung aus

(6)

tn =~q cos (ln) sin (rn),

wobei wieder rechts nur der Absolutwerth massgebend. Die Richtung von tn ist durch §4,(7) bestimmt. Nach (1) — (6) sind die Verschiebungen von Punkten der Richtungen n _L l gleich Null und ebenso die Componenten der Verschiebungen beliebiger Richtungen n in Richtungen s _L r.

Die Totalgleitung zweier beliebiger Richtungen n, s drückt sich allgemein aus

jPns — xn xs —j— yn y g -j⁻ Zn 8s

und hier nach Substitution von (1) und der entsprechenden Werthe für die Richtung s

Pns = içj) <f cos (Zw) cos (7s).

(?)

Die Gleicliungen (7) (2) lassen ohne Weiteres auf die Verhältnisse der Grenzverschiebungen schliessen. Das Verschiebungsellipsoid erscheint als Umhüllungsfläche einer geraden Strecke, welche von m aus nach beiden Richtungen der Schwingungsgeraden bis zu Entfernungen

2 JE

reicht. Schliesslich erhalten wir die Schiebung der beliebigen Richtungen w, s

(8)

= Ons + Pns = (x) Q² C0S ('}n) C0S (ls)

~ x ^ [cos ^n)cos (rs) "ł“ cos Gs)cos (rw)]

und damit wegen

(1 -f- e„)² = 1 + Q.nn

für die Dehnung en der Richtung n

(9)    (1 + e„)² = 1 — x 2 cos (Zw) cos (rw) -j-    q² cos² (Zw).

Auf diese Beziehung hätten wir auch aus (2) (5) schliessen können. Für Potentialverschiebungen muss wegen sn = ns für beliebige

w, s sein

cos (Zw) cos (rs) = cos (Zs) cos (rn), was nur für r — + Z zutrifft, wir haben dann Longitudinalschwingungen, wie sich bereits in § 91 ergeben hat.

XII. Abschnitt.

Ueher elastische Schwingungen.

Bei Untersuchung elastischer Schwingungen gehen wir von der zweiten Auffassung der Spannungs- und Bewegungsgesetze aus, für welche die Spannungen stetige Functionen der anfänglichen Coor-dinaten und Normalenrichtungen ihrer Flächeneieinente sind. Rühren die Spannungen von den Schwingungen allein her, so gilt das Gleiche für die auftretenden äusseren Kräfte, es kommen äussere Massenkräfte nicht vor, die Schwingungen erfolgen um die Gleichgewichtslagen im anfänglichen ungestörten Zustande. Sind jedoch von den Schwingungen unabhängige äussere Kräfte vorhanden, welche für sich Gleichgewicht hinsichtlich des gewählten Coordinaten-systems erzeugen könnten, so folgen unter Voraussetzung des Prin-cips der Coexistenz die Schwingungen um die den unabhängigen Kräften entsprechenden Gleichgewichtslagen denselben Gesetzen, wie die Schwingungen um die Lagen im anfänglichen ungestörten Zustande bei gänzlichem Fehlen unabhängiger äusserer Kräfte (§ 37). Für die von letzteren und den Schwingungen herrührenden Spannungen besteht aber das Princip der Coexistenz dann, wenn in den Spannungsausdrücken des VI. und VII. Abschnitts die Coefficienten der Verschiebungsfunctionen und von t während der Bewegung constant sind. Solche Fälle kommen hier allein in Frage. Da ferner die Schwingungen um die den unabhängigen äusseren Kräften entsprechenden Gleichgewichtslagen, welche bei Fehlen solcher Kräfte mit den anfänglichen Lagen identisch sind, allein interessiren, so können wir von unabhängigen äusseren Kräften, wie beispielsweise von äusseren Massenkräften, ganz absehen. Die Differentiale der Spannungen oder Verschiebungen in den Bewegungsgleichungen entsprechen denjenigen Werth en dieser Grössen, welche durch die Schwingungen allein bedingt sind, homogene Körper verhalten sich als homogene Medien und homogene isotrope Körper als homogene isotrope Medien.

Die Untersuchung elastischer Schwingungen von Flüssigkeiten erfolgte bisher nach besonderen Formen der hydrodynamischen

Grundgleicliungen von Euler. Bei Beurtheilung der elastischen Schwingungen sonstiger isotroper Körper ging man entweder mit Cauchy von der Bewegung eines Punktes unter dem Einflüsse aller ihn afficirenden aus oder man legte die von Lame aus den Spannungsgesetzen abgeleiteten Schwingungsgleichungen isotroper fester Körper zu Grunde, für welche die Anfangsspannungen gleich Null sind. Das erste Verfahren ist sehr umständlich, und beide beruhen auf der Voraussetzung von Centralkräften zwischen den einzelnen Punkten, welche Annahme wir bereits fallen lassen mussten. Wir werden in §97 auch die Grundgleichungen für elastische Schwingungen beliebiger isotroper Körper erhalten. Die neueren optischen Untersuchungen zu Grunde liegende Annahme eines gleichartigen Verhaltens von Aether und festen Körpern erscheint danach insofern zutreffend, als sich die Schwingungsgleichungen für beide Fälle in gemeinsame Formen bringen lassen.

Von den Grundgleichungen ausgehend wird sodann festzustellen sein, unter welchen Voraussetzungen Schwingungen der im vorigen Abschnitte betrachteten Art möglich sind. Wir machen dabei von den Beziehungen des § 91 Gebrauch. Wenn damit zunächst nur homogene isotrope und anisotrope Körper behandelt werden, so gelten doch die entstehenden Beziehungen auch für die einzelnen homogenen Theilchen heterogener Körper. Schliesslich sei bemerkt, dass die symbolische Bezeichnung

tfF=ri,PF,PF

Sx* ^ dy² ‘ dzź

im Folgenden ohne weitere Erklärung Verwendung finden wird.

§ 93. Grundgleichungen für Schwingungen von Flüssigkeiten.

Wir geben in diesem Paragraphen die Grundformeln zur Untersuchung elastischer Schwingungen von Flüssigkeiten ohne Rücksicht auf die im XI. Abschnitte vorgetragenen Anschauungen und Resultate. Die folgenden Beziehungen lassen sich auch aus den in § 97 enthaltenen Gleichungen für beliebige isotrope Körper entnehmen; sie werden hier für sich abgeleitet, weil die Schwingungen von Flüssigkeiten (insbesondere der atmosphärischen Luft) vielfach allein interessiren.

Für beliebige Schwingungen der Theilchen um ihre Gleichgewichtslagen entnimmt mau aus § 65, (14)

+ f

= 0,

dp

dp

dy

d²r]

dt²

dp

+^U=°> '

worin y, die specifische Masse im anfänglichen ungestörten Zustande bedeutet. Setzt man für gleichzeitige Aenderungen von p und co

= e,

dz

(1)

P = f(p)>

*6 l®C

so folgen

(dn

dt²

+-

(2)

d²rj

a*²

+ ¹

#■*

03 CV)! 03

3 «3    3

= o,

= 0,

unter

fl

T“0,

(3)

di

031 03

CO CO

die Dilatation bei x, y, 2 verstanden.

Durch zweimalige Differentiation von (3) nach t entsteht d³co

dt²    dxdt²

a³a

d³rj

dn

dz dt²

dy dt'¹

und indem man die aus (2) folgenden Ausdrücke der Differentialquotienten rechts substituirt

(4)

a²« e A2

= ^ A “•

Während wir in (2) (3) vier Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten £,17, £, co haben, enthält Gleichung (4) nur noch eine Function co der Unabhängigvariabehl x, y, 2, t, sie lässt sich in einfacher Weise lösen, worauf |, rj, £ aus

An Stelle von (2) — (4) können wegen §61,(10) und mit der Bezeichnung

(2) folgen.

(5)

auch folgende Beziehungen treten

+ c²

dv , ₂ a«

dt ~rc

+ c²

du

da

(6)

CO

dco

Tt

dx

dw

dy

dco

. dt

du

dv

dt dx

= Pi

(8)

d²co 2 a 2 -75-nr = v CO ,

dv

und in (1) — (6) darf wegen

(9)

co + 6 = 0 die Condensation <? für — co gesetzt werden.

Bei der raschen Aufeinanderfolge der Schwingungen kann während einer derselben für das schwingende Theilchen weder Wärmezufuhr noch Wärmeentziehung von Aussen in Betracht kommen. Die mechanische Wärmethorie nennt solche Aenderungen von p, a adiabatische Zustandsänderungen, diesen entsprechen also die Beziehungen (1), womit e, c² für die hier in Frage kommenden Aenderungen constant werden. Die Lösung unserer Gleichungen (z. B. in § 94) ergibt, dass c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schwingungen ist.

Die Gleichungen (6) (7) lassen sich auch aus den hydrodynamischen Grundgleichungen von Euler ableiten, wenn angenommen wird, dass die Componenten u, v, w der Oscillationsgescliwindigkeit von m (x, y, z) klein genug sind, um in § 61, (6), je die drei letzten Glieder als kleine Grössen zweiter Ordnung vernachlässigen zu dürfen. Es folgen dann aus § 63, (2) für Schwingungen um die Gleichgewichtslagen

dp

du

= 0,

dv

die

Wz + P Jt ~~ °’

worin nun g die augenblickliche specifische Masse bedeutet. Da jedoch der geringen Veränderlichkeit von g wegen der Quotient in

nur um verschwindend wenig von 1 ab weicht, so können wir in obigen Gleichungen auch die anfängliche specifische Masse unter g verstehen. Da ferner mit

g = fk) (i + ⁶)

in der Continuitätsgleichung

dfi . dgu dt "*

die Grössen Gu, Gv, Gw bei der vorausgesetzten Kleinheit von u, v, w kleine Grössen zweiter Ordnung sind, so geht diese Gleichung in (7) über.

d fi io

dx

dy

dz

§ 94. Einfache Schwingungen von Flüssigkeiten.

Wir wollen nun feststellen, unter welchen Voraussetzungen einfache Schwingungen der im XI. Abschnitte untersuchten Art und damit auch alle daraus combinirten Schwingungen (§75) in Flüssigkeiten möglich sind. Dies ist dann der Fall, wenn die für einfache Schwingungen gültigen Beziehungen eine Lösung der Grundgleichungen des § 93 bilden. Die Schwingungen mögen vom Punkte S ausgehen. Für die einem Punkte m der Anfangslage M unendlich benachbarten Punkte sind Amplitude a und Fortpflanzungsgeschwindigkeit c als constant anzusehen. Wählen wir S (oder einen zwischen S und M gelegenen Punkt A, § 91) als Ursprung der Coordinaten und substituiren die alsdann gültigen Differentialquo-tientenwerthe nach § 91 in § 93, (2), so folgen für ein Theilchen bei m

(1)

ea cos (rl) -f- grpc² = 0, eß cos (rl) -f- g%c² = 0, ey cos (rl) -f- gt^c² — 0.

(2)

Multiplicirt man die erste, zweite und dritte dieser Gleichungen bezw. mit a, ß, y und addirt, so entsteht mit Rücksicht auf § 91, (2) (4) (e -j- gc²) cos (rl) == 0.

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, welchen die in Flüssigkeiten möglichen einfachen Schwingungen entsprechen müssen. Longitudinalschwingungen. Die erste Lösung bildet

(3)

c² =-----

Damit folgen aus (1) ff — a cos (r l),

X = ß cos (rl),

ty — y cos (rl).

Durch Multiplication dieser Gleichungen mit cp, %, ÿ und Addition entsteht

1 == cos² (rl).

Die Gleichung (3) führt also auf Longitudinalschwingungen und liefert die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c derselben. Bedeuten g die Accélération des freien Falls und V, V₀ die specifischen Volumina eines Massentlieilchens augenblicklich und im ungestörten Zustande, so haben wir

dp

dp

⁶ öco 6 V

und weil hierin der geringen Aenderung des Volumens wegen V : V₀ = 1 gesetzt werden darf,

(4)

c = V— geV=y — gV2 vy-

Die Gleichung lässt sich für bestimmte Flüssigkeiten noch anders gestalten (§§ 95, 96).

Transversalschwingungen. Die zweite Lösung von (2) ent

steht mit

cos

(rl) = 0,

wir hätten dann Transversalschwingungen. Da jedoch für diesen Fall jede der Gleichungen (1) die Fortpflanzungsgeschwindigkeit

(5)

(§ 89),

liefert, so können Wellen von Transversalschwingungen in Flüssigkeiten nicht Vorkommen, wenigstens nicht unter Voraussetzung der Bewegungsgleichungen § 93, (2), welche einen speciellen Fall der für beliebige isotrope Körper gültigen bilden. Weil ferner durch Interferenz von Longitudinalschwingungen wieder solche entstehen so müssen auch die Schallschwingungen der Flüssigkeiten Longitudinalschwingungen sein, falls sie aus einfachen Schwingungen der in § 87 untersuchten Art combinirt sein sollen. Die Akustik nimmt dies an, und da sich beliebige einfache Schwingungen an derselben Stelle nach (3) oder (4) gleich schnell fortpflanzen, so drücken diese Gleichungen ganz allgemein die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten aus, was nach §§ 95, 96 durch die Erfahrung bestätigt wird.

§ 95. Schallgeschwindigkeit in Gasen.

Wir gehen von der im vorigen § für beliebige Flüssigkeiten gefundenen Formel

(1) aus, worin der Differentialquotient einer adiabatischen Zustands-änderung entspricht. Für atmosphärische Luft pflegt man das Mariotte-Gay-Lussac’sehe Gesetz

(2)

pV=RT=R{a + t) als gültig anzunehmen, worin R eine von p, V unabhängige Grösse und T = a -(- t die absolute Temperatur bedeutet, welche um eine Constante a höher als die Temperatur t nach Celsius ist. Sodann besteht speciell für adiabatische Zustandsänderungen von Gasen die Beziehung

(3)

p Vk — Const.,

unter 7c das constante Yerhältniss der specifischen Wärmen hei con-stantem p und constantem V verstanden. Gleichung (3) wird in der mechanischen Wärmetheorie abgeleitet, war aber schon vor Ausbildung der letzteren als Poisson’sches Gesetz bekannt. Durch Differentiation von (3) folgt

Vk dp -I- pk F*-¹ d V = 0,

sodass für Gase

8p

8V~ ~

und damit aus (1) die Schallgeschwindigkeit c — YkgpV = YghRT.

Wie schon in § 93 dürfen auch die Werthe von p, V im ungestörten Zustande an Stelle der augenblicklichen gesetzt werden. Nach (5) hängt c nur von T, nicht von dem Factor p oder V ah.

Für trockene atmosphärische Luft fand Régnault bei g— 9,8089 m, p = 1 Atmosphäre = 10333 kg und T = a = 273° das specifische Gewicht 1 : V — 1,29318 kg. Wir erhalten hiernach für trockene Luft an Orten von g — 9,8089 aus (2)

10333

1,29318 • 273

und mit der Bezeichnung a — *- = 0,003663 und dem gegenwärtig gebräuchlichen Werthe h = 1,41

c = 20,118 yrI= 332,43 ]/l + at.

(4)

(5)

(6)

fr P K y ?

= 29,269

Diese Gleichung liefert für t = — 20    — 10    0

c = 319,96 326,29 332,43 328,47 344,40 350,22 355,92 m. Moll und van Rech erhielten 1823 durch Versuche für trockene Luft

10

20

30

40° C.

von 0° C. Temperatur c = 332,25 m, welcher Werth auch gegenwärtig noch als am zuverlässigsten gilt.

Da nach (2)

p B

Y V

bei bestimmten p, T für alle dem Mariotte-Gay-Lussac’schen Gesetze folgenden Gase gleich gross ist, so haben wir, wenn sich R} V auf ein beliebiges Gas und Ra, Va auf atmosphärische Luft beziehen, à aber die Dichtigkeit des ersteren in Hinsicht der letzteren bei gleichen p, T bedeutet,

R = Ra

Die Schallgeschwindigkeit in beliebigen Gasen kann also nach (5) auch ausgedrückt werden

(7)

c = 'Ÿ hg Ra

o, KJ

und für trockene Gase nach (6)

c = 20,118]/^= 332,4

(8)

F' V'-

Die Schallgeschwindigkeit ist hiernach um so grösser, je kleiner die Dichtigkeit und beispielsweise bei p — 1 Atmosphäre und t — 0° für atmosphärische Luft mit d = 1 Sauerstoff •

c — 332,4 m 316,1 337,3 1263,0 268,8.

1,10563

0,97137

0,06926

1,52901

Stickstoff Wasserstoff Kohlensäure

Die allgemeine Gleichung (5) lässt sich für beliebige g und feuchte Luft (oder Gase überhaupt) noch etwas anders ausdrücken. Nach der Aerostatik hat man

(9)

B = op —,

r 9 *

<P =

worin G eine Constante und rp einen Correctionsfactor bedeutet, durch welchen die Feuchtigkeit dem Dalton’schen Gesetze entsprechend berücksichtigt wird. Dabei bezeichnen p den Druck der feuchten Luft, f denjenigen des beigemengten Dampfes allein, 1 — s das Verhältnis der specifischen Gewichte von Dampf und trockener Luft für gleiche p, t. Mit (9) folgt aus (5)

(10)

c = y<pkCT.

Hiernach ist die Accélération g ohne Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit. Dies Resultat wird durch 1822 von Stampfer und 1844 von Bravais vorgenommene Versuche bestätigt. Für trockene atmosphärische Luft von 0° C. Temperatur fand ersterer bei 1304 m Höhenunterschied der Endstationen die Geschwindigkeit 332,44 m und letzterer bei 2116 m Höhenunterschied 332,37 m, genau übereinstimmend mit dem zunächst für g = 9,8089 berechneten Ausdrucke (6).

Die Constante C in (10) ergibt 'sich aus (9) mit irgend welchen zusammengehörigen Werthen von B, g, (p, beispielsweise für atmosphärische Luft mit B — 29,269, g — 9,8089, rp — 1,

C= 9,8089 • 29,269 = 287,09;

sodass entsprechend (6) für feuchte Luft an beliebigen Orten

(H)

c = 20,118 ]/(pT.

Bei den Verhältnissen der Atmosphäre kann man in (9) etwa 3

s = — setzen und wäre dann rp wie beim barometrischen Höhen-

ö

messen aus gewissen Beobachtungen zu bestimmen, doch weicht sein Werth so wenig von 1 ab, dass die Feuchtigkeit meist unberücksichtigt bleiben kann. Da in der Atmosphäre mit 1 — s < 1

der Correctionsfactor <p < 1 wird, so muss die Schallgeschwindigkeit bei feuchtem Wetter etwas grösser als bei trockenem von gleicher Temperatur sein.

§ 96. Schallgeschwindigkeit in tropfbaren Flüssigkeiten und Dämpfen.

Wir gehen wieder von der nach § 94 für beliebige Flüssigkeiten gültigen Formel

(1)

c = Y-gV*

Oe

Oe

aus.

Der Differentialquotient entspricht einer adiabatischen Aende-rung von p, V. Die mechanische Wärmetheorie liefert für adiabatische Zustandsänderungen von Flüssigkeiten

dp

(2)

worin h = cp: cv das verhältniss der specifischen Wärmen bei con-stantem p und constantem V, mid der eingeklammerte Differentialquotient das Verhältniss der Aenderungen von p und V bei con-stanter Temperatur bedeutet, at aber Compressionscoefficient genannt wird. Damit folgt aus (1)

(3)

und ist z. B. für Gase nach § 95, (5)

/dp\ _ _ P \dV)    V ’

Tropfbare Flüssigkeiten. In (3) wäre p in Kilogrammen per Quadratmeter zu substituiren. Soll jedoch at in (2) auf ein in Atmosphären gemessenes 'p bezogen werden, dann hat man dort 10333 p an Stelle von p zu setzen und damit auch in (3) unterm Wurzelzeichen mit 10333 zu multipliciren. So folgt für g = 9,8089

c = 318,36]/^ V,

welche Formel noch immer für beliebige Flüssigkeiten gilt. Sie liefert z. B. für reines Wasser von 1 Atmosphäre Druck t ==

cct = —

(4)

bei

10

20

30° C.

V = 0,00100014    0,00100026    0,00100175    0,00100426    cbm

mit

h = 1,0006    1,0012    1,0069    1,0160

«i== 0,0000503    0,0000600    0,0000617    0,0000562

1420

1317

1287

1357

m.

Versuche, welche Colladon und Sturm 1827 im Genfer See bei 9° Temperatur Vornahmen, ergaben c — 1435 m. Auch hier ist, wie bei Gasen, c wesentlich von der Temperatur abhängig. Bei Wasser hat nach den bisherigen Versuchen die Höhe des Drucks^ so wenig Einfluss auf at} dass selbst der Sinn dieses Einflusses noch nicht zuverlässig festgestellt werden konnte.

Gesättigte Dämpfe. Für gesättigte Dämpfe mit Flüssigkeitsbeimischung hat man

(5)

V — ux

wenn x die specifische Dampfmenge (Gewicht reinen Dampfes in 1 Kilogramm Gemisch), W das specifische Volumen der tropfbaren Flüssigkeit und S — u -|- W dasjenige ihres reinen Dampfes beim augenblicklichen Drucke p bedeuten. Sodann lässt sich für adiabatische Zustandsänderungen gesättigter Dämpfe, insbesondere des Wasserdampfes, von nicht zu hohem Flüssigkeitsgehalt nach Banlüne näherungsweise setzen

(6)

p Vm — Const.,

worin m von p und V unabhängig ist. Wir erhalten damit

00

Sp

dV~~m

V’

und aus (1) die Schallgeschwindigkeit

(8)

c — y mgpV = y mgp (ux -f- W).

Auch hier dürfen wir an Stelle der augenblicklichen p, V diejenigen im ungestörten Zustande setzen, das kleine W kann eventuell vernachlässigt werden.

Für gesättigten Wasserdampf ist nach Zeuner anzunehmen m — 1,135 -|- 0,1 x,

worin sich x auf den Anfangszustand, hier also auf den ungestörten Zustand, bezieht. Wir erhalten danach für nahezu reinen Wasserdampf von p Atmosphären Druck

c = y 1,135 • 9,8089 • 10333pV — 339,2 Yp V,

und beispielsweise

14 Atm.

mit V — 14,553 1,6505 0,8599 0,3064 0,1383 cbm c = 409    436    445    460    472 m.

Verwendet man die von Zeuner für eine Anzahl Dämpfe in reinem gesättigtem Zustande gegebene Beziehung worin n} a Constante bedeuten, so folgt aus (8)

(10)

c — Y mg (apn~l)2n.

Speciell für reinen Wasserdampf von p Atmosphären Druck erhält man mit n — 1,0646 und a — 1,7049

c = V" 1,135 • 9,8089 • 10333 • ( 1,7049 j?°>⁰⁶⁴⁶)²>i also beispielsweise für p = ~

= 435,7 pO,03034

12    6    14 Atm.

c = 406 436 445 460    472 m

in guter Uebereinstimmung mit den oben berechneten Werthen.

UeberMtzte Dämpfe. Für überhitzte Dämpfe entnahm der Verfasser aus Versuchen Hirn’s mit Wasserdampf die Beziehung (Neue Theorie der überhitzten Dämpfe, Berlin, Gärtner 1876, Zeitschr. d. Vereins deutscher Ing. 1876 und 77)

(H)

p(V -S) = Rt.

Darin bedeuten R eine Constante, S das dem augenblicklichen Drucke p entsprechende specifische Sättigungsvolumen, x = T— Ts die Ueberhitzung oder Erhebung der augenblicklichen Temperatur T über die dem p entsprechende Sättigungstemperatur Ts. Da für idealpermanente Gase die Ueberhitzung gleich der absoluten Temperatur und das Sättigungsvolumen gleich dem von den Theilchen wirklich ausgefüllten Raume M ist, so entspricht jenen

p (V — M) = RT,

welche Beziehung Dühring auf speculativem Wege (Neue Grundgesetze d. rationellen Phys. u. Chemie, Leipzig 1878) und Amagat aus Versuchen für Gase erhalten haben. Durch Vernachlässigung von M entsteht das Mariotte-Gay-Lussac’sche Gesetz

pV= RT.

Setzt man in (11) R:p — z, so folgt für überhitzte Dämpfe

(12)

v=zx -f S,

ganz analog der für gesättigte Dämpfe gültigen Formel (5), indem sowohl 0, S‘ als u, W Functionen von p allein sind und r sowohl als x das Maass der Entfernung vom unteren Grenzzustande bildet, welchem S oder W entspricht. Wie die Formeln für gesättigte Dämpfe, so sind diejenigen für überhitzte als Näherungsformeln anzusehen. Auf Grund von (11) liefert nun die mechanische Wärmetheorie

dp

CP~C„ P²

AB, BT’

unter A, cp, cv das calorische Arbeitsäquivalent und die specifisclien Wärmen bei constantem p und constantem V verstanden. Damit aus (2) die Schallgeschwindigkeit in überhitzten Dämpfen

folgt

(14)

-ïi/

Cp - Cv

AT

iSiach Begnault s Versuchen mit Wasserdampf scheint cp bei bestimmtem p fast constant zu sein. Denkt man sich während der hier in Frage kommenden geringen Aenderungen von p} V ein mittleres cp verwendet, so führt (11) für adiabatische Zustandsänderungen auf (6) mit constantem

c*>

AB ’

eP~

welche Beziehung auch bei Versuchen von Hirn und Cazin mit Wasserdampf nahezu erfüllt war. Wir erhalten demnach für überhitzte Dämpfe zunächst wie oben für gesättigte und dann mit Rücksicht auf (11)

(15)

c — ymgpV = cs -f- ]/mgBr,

worin

(16)

cs = VmgpS

die Schallgeschwindigkeit bei gleichem Drucke für r == 0 bedeutet.

Für Wasserdampf speciell erhält man mit m — wenn p in Atmosphären ausgedrückt werden soll, c = 367,6 YJV = cs + 25,80 ]/t cs — 367,6 ypS

, B = 50,88,

(17)

und hieraus beispielsweise

für

* ⁼ ÏÔ

14 Atm.

512 m

Dass die Werthe cs wesentlich grösser als die oben für reinen gesättigten Dampf berechneten Schallgeschwindigkeiten sind, liegt an den zur Verwendung gekommenen verschiedenen m. Die oben und hier berechneten Werthe müssen danach in dem constanten Ver-hältniss

1,135

1,333

= 0,9226

17*

stehen. Erstere würden nur gelten, wenn der Dampf anfangs etwas unterhalb des reinen gesättigten Zustands war, letztere nur, wenn zu Anfang eine geringe Ueherhitzung stattfand, ohne dass deshalb beim Durchschreiten des rein gesättigten Anfangszustandes eine mathematische Unstetigkeit stattzufinden braucht, da der Dampf sich dann, wie schon in gewisser Nähe desselben, abwechselnd con-densirt und überhitzt.

Setzen wir

(18)

so lässt sich (11) auch schreiben

(19)

aus

pV — R (T — P), eine Form, welche mit anderm, speciellerem Ausdrucke für P zuerst Zeuner an wandte und mit welcher sich unter Anerkennung von (6)

(15) ergibt

(20)

c — ŸmgR (T — P).

Die Gleichungen (13)—(20) gehen für cp — cv — AR, S = 0, t—T, P = 0 in die unter Voraussetzung des Mariotte - Gay - Lussac’sclien Gesetzes gültigen über.

§ 97. Grundgleiehungen für Schwingungen beliebiger isotroper Körper.

Wir geben in diesem § die Grundgleichungen zur Untersuchung elsatischer Schwingungen isotroper Körper ohne Rücksicht auf die Anschauungen und Resultate des XI. Abschnitts.

Erste Ableitung. Für beliebige Schwingungen der Theilchen um ihre Gleichgewichtslagen entnimmt man aus § 65

dp _ d²|j

dx ~ ** W ’

dp

dH

worin g die specifisclie Masse im anfänglichen, ungestörten Zustande und

dy

dy ' dz

die Dilatation bedeutet. Setzt man für gleichzeitige Aenderungen von p und co

(i)

co =

(2)

Ot Ql

so lassen sich obige Gleichungen auch schreiben

G — e dco . G A «

a A2

fi dz ‘ft

dH

dt*

(3)

d*rj

dt*

a²£

va«²

Wir haben also drei Gleichungen für die drei Functionen |, 17, £ der Unabhängigvariabein x, y, 2, t.

Durch zweimalige Differentiation von (1) nach t folgt

d*co _    , d³r,    g³g

dt* dx dt² ‘ dy dt²    dz dt* ’

und indem man die aus (3) folgenden Werthe der Differentialquotienten rechts einsetzt

d*co _ 2G — dt*    y

Diese nur noch eine Function der Unabhängigvariabein enthaltende Beziehung lässt sich in bekannter Weise lösen. Mit G — 0 gehen sämmtliche Gleichungen in die für Flüssigkeiten gültigen über.

Zweite Ableitung. Mindestens unter Voraussetzung constanter Temperatur, also z. B. für Schwingungen des freien Aetliers, sind genauer als die zuerst angeschriebenen Gleichungen folgende aus § 66 entnommenen

(4)

- A²«.

> (2G--ff)A •fl + tfiÿ-H-eiÿ.

worin a durch (1) bestimmt bleibt. Nimmt man die Beziehung (2) hinzu, so treten an Stelle von (3)

ra,«_-gzHgs ₊ «g-gA.L

fi dx ¹ ft    ?

_ =    __i_ ~ H A² Ç

la«² (ł    (i    ^

äF —

(5)

a²£

womit ganz wie oben die Gleichung (4) entsteht. Unsere Gleichungen gehen jetzt mit G = H = 0 in die für Flüssigkeiten gültigen über.

Zusammenfassung. Führen wir als Bezeichnungen ein für die erste Ableitung

f*

und für die zweite ■ Ableitung 2 G — e

(7)

<7² =

ZG- H

c² =

so lauten die Grundgleichungen für elastische Schwingungen beliebiger isotroper Körper nach beiden Ableitungen

gÿ = («= - C²)

= (<?-C‘)d£ + C*An,

8²CO    2 A 2

"TTTtT = C“ A² O.

(8)

(9)

at²

Auch hier wie in § 93 entspricht der Differentialquotient (2) adiabatischen Aenderungen von p, co, weicht aber nur für die bereits behandelten Gase und Dämpfe wesentlich von demjenigen für stante Temperatur ab und ist für Schwingungen des freien Aethers mit diesem identisch. Mit (7=0 gehen die Formeln (6)—(9) in die für Flüssigkeiten gültigen über.

Die Lösung unserer Grundgleichungen (z. B. in § 98) ergibt, dass in homogenen isotropen Medien nur Longitudinalschwingungen und Transversalschwingungen Vorkommen können, die sich mit schiedenen Geschwindigkeiten und also getrennt von einander fortpflanzen. Die ersteren sind Potentialschwingungen mit Dilatation von der Fortpflanzungsgeschwindigkeit c, die letzteren Schwingungen ohne Dilatation von der Fortpflanzungsgeschwindigkeit C. Da beide Arten von Schwingungen nicht immer gleichzeitig interessiren, so führen wir noch die Grundgleichungen zu gesonderten Untersuchungen derselben an.

Potentialschwingungen. Für solche hat man nach § 30, (5)

A²£ =

8co

A²^ =

8x’

womit die Gleichungen entstehen

CO 11 *

8 co

W~^8x’

con-

ver-

(10)

8²r] _ g da

W C dÿf

8 CO

8t²

8z ’

(ID .

d^co 8 t²

= c² A²«

wie wir sie bereits für Flüssigkeiten fanden, selbstverständlich die Beziehungen des III.

Neben ihnen gelten Abschnitts und ins-

besondere auch diejenigen der §§ 30, 31. Nach vorstehenden Formeln sind beispielsweise die Schallschwingungen zu beurtheilen.

Schwingungen ohne Dilatation. Für diese haben wir nach (8) (1) die Gleichungen

id²i

(12)

= 0² A²V,

d²i]

dt²

Ci) O)

CO

jjj) ! ^

«à Ico

<^>| «as    Q

|-sä    »o

<M

< +

neben welchen die allgemeinen Beziehungen des III. Abschnitts, jedoch nicht diejenigen der §§ 30, 31 gelten. Nach den jetzt erhaltenen Gleichungen sind beispielsweise die Lichtschwingungen zu beurtheilen.

§ 98. Einfache Schwingungen isotroper Körper.

Es handelt sich nun darum, festzustellen, unter welchen Voraussetzungen einfache Schwingungen der im XI. Abschnitte betrachteten Art und damit auch die daraus combinirten Schwingungen (§ 75) in isotropen Körpern möglich sind. Dies ist dann der Fall, wenn die für einfache Schwingungen gültigen Beziehungen eine Lösung der Grundgleichungen ,des vorigen § bilden. Die Schwingungen mögen von einem Punkte S ausgehen. Für die dem Punkte m der Anfangslage M unendlich benachbarten Punkte sind Amplitude a und Fortpflanzungsgeschwindigkeit c als constant anzusehen. Wir wählen S (oder einen zwischen S und M gelegenen Punkt A, § 91) als Ursprung der Coordinaten, womit sämmtliche Beziehungen des §91 gelten. Machen wir davon Gebrauch, zunächst in den der ersten Ableitung entsprechenden Gleichungen § 97, (3), so folgen für ein Theilchen bei m

Diese Gleichungen multipliciren wir der Reihe nach mit a, ß, y und erhalten durch Addition mit Rücksicht auf § 91, (2) (4)

(rl) — 0.

(2)

COS

(2 G — e — fic²)

Werden die Ausdrücke des § 91 in den der zweiten Ableitung angehörigen Gleichungen § 97, (5) verwendet, so erhält man an Stelle von (1)

(3)

(2(t — H)cp    -f-    (H — e)a    cos    (rl)    — [iq>c² = 0,

(2(r — H) %    +    (H — e)ß    cos    (rl)    — (.i%c² = 0,

(2(r — H)ty    -f-    (H — e)y    cos    (rl)    — fi-ipc² = 0,

woraus ,bei gleichem Vorgehen wie oben wieder Formel (2) entstellt. Dieselbe hat zwei Lösungen, welche Longitudinalschwingungen und Transversalschwingungen entsprechen.

Longitudinalschwingungen. Die erste Lösung bildet

2 G — e

(4)

c² =

womit aus (1) oder (3) folgen

cp = a cos (rl),    % = ß cos (rl)

il> = y cos (rl) .

Multiplicirt man diese Gleichungen mit a, ß, y und addirt, so entsteht

1 = cos² (rl).

Gleichung (4) führt demnach auf Longitudinalschwingungen und liefert die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c derselben. Sie lässt sich je nach Umständen noch anders ausdriicken.

Transversalschwingungen. Die zweite Lösung von (2) liefert cos (rl) = 0,

wir haben dann Transversalschwingungen. Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit derselben ergibt jede der Gleichungen (1), welche der ersten Ableitung entsprechen,

C² =

(5)

und jede der Gleichungen (3), welche die zweite Ableitung ergab,

2 G — II

(6)

C² =

Isotrope Körper gestatten also von einfachen Schwingungen nur Longitudinalschwingungen und Transversalschwingungen, aus welchen dann auch alle anderen auf einfache Schwingungen rückführ-baren Schwingungen combinirt sein müssen.

§ 99. Fortpflanzungsgeschwindigkeit in isotropen Körpern.

Im vorigen Paragraph ergab sich die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Longitudinalschwingungen

(i)

c=y^*

V fi

mit

dp

e dm ’

und diejenige von Transversalschwingungen nach der ersten Ableitung

Vf.

(2)

sowie nach der zweiten Ableitung bei constanter Temperatur

(3)

Der Differentialquotient in (1) entspricht einer adiabatischen Zustandsänderung, welcher nur für Aetherschwingungen mit der iso-tliermischen identisch gilt. Doch wurde bisher allein bei der Schallgeschwindigkeit von Flüssigkeiten die Temperaturänderung seit Laplace gewöhnlich durch eine Correction der Newton sehen Formel) berücksichtigt. Wir wollen in diesem Paragraph ebenfalls den Einfluss der Temperaturänderungen vernachlässigen, im nächsten Paragraph aber darauf Rücksicht nehmen.

Erfahrungsformeln für feste Körper. Auf Grund von Erfahrungsresultaten ergaben sich in § 50 für isotrope feste Körper

(4)

p = Jr — 26r

£ — 2 ’

Hiernach erhält man aus (1)

2G(e -f 1) = Ee = J-

(5)

dz

und bei Vernachlässigung der Temperaturänderung die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Longitudinalschwingungen, beispielsweise Schallschwingungen,

(6)

—    1    2G

—    2    (i

Das Verhältniss zur Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Transversalschwingungen wird damit

(7)

VH

Diese Gleichung liefert

für

c:C =

CO Ol

3,25    3,5    3,75    4

1,90    1,82    1,77    1,73.

Zuverlässige directe Versuche über die Schallgeschwindigkeit in festen Körpern liegen nicht vor. Setzt man g = 9,8089, der theoretischen Ableitung entsprechend £ = 4 und für Eisen E= 20 000 000000kg per qm, gg = 7700 kg per cbm, so folgt die Schallgeschwindigkeit im Eisen c = 5530 m oder 16,64 mal so gross wie nach Moll und van Beck in trockener atmosphärischer Luft von 0°C. Chladni leitete aus Schwingungen von Stäben die Zahl 16,7 ab.

Beliebige isotrope Körper. Nach der ersten theoretischen Ableitung in § 57 haben wir

(8)

p = P -f- Jt — Gœ,

wonach in (1)

(9)

« = JV- - G.

Bei Vernachlässigung der Temperaturänderungen folgt damit

(10)

C=V~T>

und das Verhältniss der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Schwingungen

(H)

= j/3%= 1,732.

Die Formeln (10) (11) stimmen mit den nach (6) (7) im Falle s —. 4 für feste Körper gültigen überein. Für letztere ist in (10) G = f E, sodass auch wird

-Vir

Die zweite theoretische Ableitung in § 58 liefert bei constanter. Temperatur

(12)

p = P — Hco,

2G = 2H — P

unter P den Druck im anfänglichen ungestörten Zustande verstanden. Damit folgt

(13)

e = — H,

und wir erhalten aus (1) (3)

(14)

-1

(15)

2 G + H __ 2 G — 11 ~~

V* + -wP

Für feste Körper gehen diese Gleichungen mit P = 0, H = G in (10) (11) über.

§ 100. Berücksichtigung der Temperaturänderung.

Um die Schallgeschwindigkeit beliebiger isotroper Körper mit Rücksicht auf die Temperatur berechnen zu können, müssen wir die von einfachen Longitudinalschwingungen herrührenden Spannungen ableiten. Nach § 92, (3) ist für Longitudinalschwingungen die Com-ponente der Totalverschiebung rn von Punkten der anfänglichen Richtung n in der Richtung s

Nn=--; 6rg — p,

4 TI

Sn = 0.

Bei Longitudinalschwingungen isotroper Körpier sind die Spannungen beliebiger Wellenflächen normal den afficirten Flächenelementen.

Betrachten wir nun einen Körpertheil, welcher durch zwei unendlich benachbarte Wellenflächen begrenzt ist. Die Oberfläche desselben ist durch constante Normalspannungen

(5).

N = Gq+p =p — 2Gco

afficirt (co nach § 91, für N Druck positiv). Daher wird bei constantem G

(6)

sn = ns — — cos (in) cos (Is),

wobei die Richtung r der positiven Elongationen mit der Fortpflanzungsrichtung l übereinstimmt. Mit (1) geben nun sowohl die Erfahrungsformeln für feste Körper, wie die beiden theoretischen Ableitungen die Componente der Totalspannung Bn des Flächenelements der anfänglichen Normalenrichtung n in der Richtung s

Sn = Ns = 2Gsn —p cos (ns)

= —    cos (ln) cos (Is) — p cos (ns).

Diese Gleichung liefert mit s = n die Normalspannung

Nn— — -p-G-q cos² (ln) — p,

und beliebige Componenten von Bn senkrecht zu n

Sn — — ~Gq cos (ln) cos (Is).

(1)

(2)

(3)

(4)

für s _L n,

Beispielsweise erhalten wir für n — l

dp en i dN e = So, = 2a+^’

worin die Different]alquotienten adiabatischen Zustandsänderungen entsprechen. Für solche gibt die Wärmetheorie in unserem Falle, wenn 1c das Yerhältniss der specifischen Wärmen bei constantein Drucke N und constantem Volumen V bedeutet und Differential-quotienten in Klammern sich auf constante Temperatur beziehen,

SN

SV

oder auch, wegen Vda = dV,

(7)

SN

S co

»(£)•

Es folgt damit

aus

(6)

und ihr Verhältniss zur Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Transversalschwingungen

(12)

Bei Vernachlässigung des Temperatureinflusses wäre 1c — 1 zu setzen, womit die Formeln § 99, (6) (7) entstehen.

Beliebige isotrope Körper. Mit § 99, (8) liefert (5) auf Grund der ersten theoretischen Ableitung als von den Schwingungen allein herrührend

N=Jt - 3Ga.

Hieraus folgt bei constanter Temperatur

(13)

(4sr) = - 3Ö>

sodass nach (9) für beliebige isotrope Körper

(14)

(8)

+*(£)>

und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Longitudinalschwingungen

(9)

t/2 G — e i/ k IdN\

c — V ~r~ — V — 7 v^T

Sollten neben den betrachteten Longitudinalschwingungen gleichzeitig noch andere Verschiebungen bei m eintreten, so lässt sich Gleichung (9) nach dem augenblicklichen Stande der Wärmetheorie nur dann als bewiesen ansehen, wenn beim Zusammenwirken beider die Spannungen normal den Wellenflächen bleiben.

Erfahrungsformeln für feste Körper. Mit § 99; (4) wird nach (5)

m-

N=Jt — ‘2Gcö^- , £ - ⁷

woraus bei constanter Temperatur

(10)

Daher erhalten wir die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Longitudinalschwingungen (Schallgeschwindigkeit) mit Rücksicht auf die Temperaturänderung

(U)

— V‘7

— 2 fi

V*i

— 2*4-1 fi ’

c = l/fc— V fl

und das Verhältniss beider Fortpflanzungsgeschwindigkeiten

A = |/3F= 1,732 y/c.

(15)

Diese Formeln stimmen mit den nach (11) (12) mit s — 4 für feste Körper gültigen überein. Für letztere hat man dann auch

Setzt man nach Edlund

Gold Platin

für    Silber    Messing    Kupfer    Stahl

lc=    1,0203    1,0170    1,0168    1,0098    1,0091    1,0068

so folgt    c:C =    1,750    1,747    1,746    1,741    1,740    1,738 während bei Vernachlässigung der Temperaturänderung mit Ti — 1 das Verhältniss für beliebige isotrope Körper 1,732 wird.

Nach der zweiten theoretischen Ableitung sind G, II nicht constant, wenn eine Temperaturänderung stattfindet. Wollte man in jedem Falle Mittelwerthe einführen, so würden die Gleichungen (9) und § 97, (5) gültig und darin wegen

p = P -f- Jx — Ha nach (5) von den Schwingungen herrühren

N = Jx — (2G + H)a.

Wir erhielten also

(^)=~2G + H>

und an Stelle von (14) (15)

c = ]/j(2G + H),    £ =

Doch ist damit wohl bei veränderlicher Temperatur keine grössere Genauigkeit als oben zu erreichen, während für den Fall constanter Temperatur mit Je = 1 die bereits gegebenen Gleichungen § 99, (14) (15) daraus entstehen.

§101. Schwingungen anisotroper Körper.

Für beliebige Schwingungen der Theilchen um ihre Gleichgewichtslagen entnimmt man aus § 61

dx

dy

\dJ-

dYv

Qo

dy

. dx

i » _ a²i ' dz ~~ P dt² ’

_ 8²rj

~ P ~W ’

8n

P dt² »

+ _

dy ' dz

worin g die specifische Masse im anfänglichen ungestörten Zustande bedeutet. Hiernach könnte die Untersuchung elastischer Schwingungen ohne Rücksicht auf die Anschauungen und Resultate des XI. Abschnitts vorgenommen werden. Die Spannungen sind nach der ersten Ableitung durch § 53, nach der zweiten durch § 54 und speciell für Körper mit Elasticitätsaxen durch § 55 oder § 56 bestimmt.

Es handelt sich nun wieder darum, zu untersuchen, in welchen Fällen einfache Schwingungen der im vorigen Abschnitte behandelten Art und alle daraus combinirten Schwingungen in unseren Körpern möglich sind, oder mit anderen Worten, unter welchen Voraussetzungen die für einfache Schwingungen gültigen Beziehungen eine Lösung der obigen Gleichungen bilden. Die Schwingungen mögen vom Punkte S ausgehen. Für die einem Punkte m der Anfangslage M unendlich benachbarten Punkte sind die Amplitude a und Fortpflanzungsgeschwindigkeit c als constant anzusehen. Wir legen den Ursprung der Coordinaten in einen Punkt A zwischen S und M (für heterogene Körper müsste AM wegen nothwendiger Homogenität um die Streckenpunkte unendlich klein sein), womit die Beziehungen des § 91 gelten.

Nach den der ersten theoretischen Ableitung entsprechenden Spannungsausdrücken des § 53 erhält man mit den Bezeichnungen

An = a{Ax³)n + ß{Ax² A y)n + y(Ax²Az)n,

(2)

(3)

Bn = «( Ax A if)n + ß(fAy³)n + y(Ay²Az)n,

Gn = a(AxAz²)n -f ß(Ay Az²)n + y(Az\-,

3t» = a(Ax²Ay)n -j- ß(Ax²Ay)n + y(Ax Ay Ae)n, = a(Ax²Az)n -f- ß(Ax Ay Ae)n + y(AxAz²)n, ■ ©» = a(AxAyAz)n + ß(Ay²As)n + y(Ay Az²)n,

die Componenten in den Richtungen x, y, s des von den Schwingungen allein herrührenden Theils der Total Spannung Rn auf ein Flächenelement der anfänglichen Normalenrichtung n bei m

Xn = — £» —

2n

(4)

x q_{<pAn + l%n +

r, = - V. -    + tB„ + *<&,),

Zn = Ç/’--y-^ ( fp Sß„ -}-    ^ Gn) ■

Hierin stellen yn, t,n nach § 52, (3) den Einfluss der mit den Schwingungen verbundenen Temperaturänderung dar. Für die Ableitungen dieses und des folgenden Paragraphen wird angenommen, dass

9>² + %² + ^²=l,

so entstehen mit

(10)

ein solcher Einfluss nicht in Betracht kommt. Denken wir uns in (4) der Reihe nach n = x,y, z gesetzt, so entstehen die Ausdrücke für

X, Yx ZXi Xy Yy Zy, X₂ Yz Zz.

Bilden wir ihre partiellen Differentialquotienten nach x, y, g unter Beachtung von § 91, (17), substitutiren dieselben, zugleich mit den Ausdrücken § 91, (11) in (1) und führen als abkürzende Bezeichnungen ein

(5)

(6)

A = ccAx -f- ßAy -f- y A B — uBx -f- ßBy -J- yBz, G = aCx -f- ßCy -f- yCz]

% = a%x+ ß%j + y% 35 == a35æ + ß$8y + y 35-, ^ = cc®x + ß&y + y®

so ergeben sich die folgenden Bedingungsgleichungen für einfache Schwingungen

(?)

A cp + 31% -j- (L'if — piGcp, %<P + B% + %>if = [ic²%, &cp -j- 33% -f- Cif — [ic²if.

Wir eliminiren aus der ersten und zweiten if dritten %, setzen

aus der ersten und

(8)

S^iiic² —A^ + m, S₂ = ([ic² - B)& + m, s3 = (pc² — c)% + m,

und erhalten die Ausdrücke

(9)

8t

s₂ (p’

Substituirt man dieselben in

8t

S₂

cp.

W=-|/(W + (W + (W>

die Gleichungen

S₂S₃

W ’

Verwendet man in (8) irgend eine mögliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c, so ergeben sich aus (10), (11) mit den beiden Vorzeichen von W die zwei einander entgegengesetzten Schwingungsrichtungen, welchen dieses c entspricht.

(11)

<p =

s₃st

s,s₂

+ --W

zu erhalten,

Um die möglichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten

setzen wir die Ausdrücke (9) und dann die Werthe der S nach (8) in eine der Bedingungsgleichungen (7) ein, womit entsteht

(12)

Oie² - A)(yc² - B)(yc² - C) — Oc² — A)83²

- Oc² — 75)©² — (^c² - C)W - 23183© = 0,

oder nach Potenzen von

(13)

h — yc²

geordnet

(14)

/,3 _    ₊ B + C)

-f- h{AB + BC+CA-W -W — ©²)

- {ABC + 23183© — A33² - R©² - CW) = 0.

Da die möglichen yc² nach § 102 durch die Halbaxen eines Ellip-soids dargestellt sind (14) drei im Allgemeinen verschiedene reelle Wurzeln, womit auch im Allgemeinen drei verschiedene Forpflanzungsgeschwindigkeiten existiren, welchen ebensoviel besondere durch (11) bestimmte Schwingungsgeraden entsprechen.

so

hat die cubische Gleichung (12) oder

Wir sind oben bei Bildung der Ausdrücke für Xn, Yn, Zn der ersten theoretischen Ableitung ausgegangen. Verwendet statt dessen die der zweiten theoretischen Ableitung entsprechenden

so ergeben sich mit den Bezeichnungen (3)

von

man

Formeln § 54, (6) (8),

und

(15)

'An = a(Ax³)n + ß{Ax²A y)n + y{Ax²Az)n

+ a(3£„ - £*) + ß($)n — Vn) + y(8n ~ Çn),

Bn = a(AxAy²)n + ß{A y³)n + y(Ay²Az)n

+ a(3£M — £«) -f ß{H)n — Vn) + y (8» “ I«),

Cn = a(AxAz²)n + ß{Ay Az²)n + y(AzA)n

+ «(&* ~ I») + ß{¥)n — Vn) + y (3m — |m),

wieder die obigen Gleichungen (4), womit auch alle weiteren Beziehungen dieses und des folgenden Paragraphen gültig bleiben. Die Resultate der beiden Ableitungen weichen alle nur bezüglich der Ausdrücke für die An, Bn, Cn beliebiger n von einander ab.

§ 102. Das Polarisationsellipsoid.

Multipliciren wir die Bedingungsgleichungen wirklicher Schwin-gnngsrichtungen § 101, (7) der Reihe nach mit cp, %, ip, addiren und geben der einer eventuellen Schwingungsrichtung r(cp, entsprechenden Fortpflanzungsgeschwindigkeit den Index r, so folgt (1) ycr² = Acp² -f- Bf + Cef -J- 2%cpx + 283^ 4- 2©^çp.

Diese Gleichung ist von der in § 5 behandelten Form (3). Nach ihr allein würden je nach den Schwingungsrichtungen r unendlich viele Fortpflanzungsgeschwindigkeiten cr möglich sein, deren mathematische Maxima und Minima sich aus § 5 finden mit n — r, (p = yc², a = A, b = JB, c — C, d    e = 33, f = 6. Man

erhält dann die im vorigen Paragraphen für die wirklichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten oder h = yc² gefundenen Formeln, so dass die drei wirklichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten die Maxima und Minima sämmtlicher durch (1) hei beliebigen cp, i, f ausgedrückter Fortpflanzungsgeschwindigkeiten sind. Dass nur diese drei der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten (1) actuell werden, rührt daher, dass zwischen c und cp, i, f neben (1) auch die speciellen Bedingungen § 101 (7) erfüllt sein müssen.

Betrachten wir nun zunächst alle durch (1) bei beliebigen r bestimmten Fortpflanzungsgeschwindigkeiten. Wir führen als Hülfs-function ein

frs = Acp cos (sx) -f- B% cos (sy) -|- Cf cos (sß)

(2)

+ 51

(p cos (sy) -j- % cos (sx) 1 cos (s ß) -(— f cos (sy) -j- (S f cos (sx) -j- (p COS (sß)

und haben dann speciell

(3)

(4)

irr -

frx — A<p -(- 51^ -f- &f, fry — JB% + 51 Cp -j-

frz = Cf +    + ©gp,

sowie nach (1) und (2)

Cx ⁼⁼ A,

Uy = %

Multiplicirt man die Gleichungen (4) einmal mit cp, i, f, ein anderes Mal mit cos(srr), cos (sy), cos (sß) und addirt in beiden Fällen, so folgen die allgemeinen Beziehungen

(5)

(6)

y Cy — B

fyz =

yc² — C,

fzx = <£.

- pfrx “f⁻ Xfry ~ffrzi

(8)

frs = frx COS (sx) + fry COS (sy) + frz COS (sß).

Für die wirklichen Schwingungen hat man pc² = yc² = h und neben vorstehenden Gleichungen nach (4) und § 101, (7) noch die folgenden

(9)

frx -

also aus (8) bei beliebigem s

frz = hf,

(10)

frs — h cos (rs).

Wenn die Richtung r (cp, %, xp) wirklichen Schwingungen entspricht, so ist für alle zu r senkrechten Richtungen s die Function frs = 0. Es seien nun hx, h₂ zwei wirkliche gc² und rx, r₂ die zugehörigen Schwingungsrichtungen, dann hat man das eine Mal mit h — hx, r — r1} s — r₂, und das andere Mal mit h = h2} r — r₂, s — rx nach (10)

frs = hv cos (rxr₂) = h₂ cos (r₂rf)

und weil hlf h₂ im Allgemeinen von einander verschieden sind, so muss im Allgemeinen cos (rx r₂) — 0 sein. Die drei wirklichen Schwingungsgeraden eines Punktes m schliessen mit einander Winkel von 90° ein und für je zwei derselben ist frs = 0.

(H)

gc² = Bx,

gc² = Cx.

Die für beliebige r (cp, %, xp) gültigen Gleichungen (1), (2), (4) gehen dann über in die folgenden

Denken wir uns die Coordinatenaxen parallel den wirklichen Schwingungsgeraden von m gelegt, so sind nach (6) 5t = £3 = ß = 0, während die Gleichungen (5) den wirklichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten entsprechen, für welche wir entsprechend den Schwingungsrichtungen x, y, z setzen wollen gc² = Ax,

(12)

(13)

gc² = Axcp² + Bxyf -f Cxxp², frs == At cp cos (sx) + Bx i cos (sy) + Cx xp cos (sz), fry —

(14) frx = A₁cp, und wegen

f rz - Cx Xp

folgt mit (14)

<p² + x² + ^ = i

(15)

©+(£) + ©■

= 1.

m aus

Dies ist die Mittelpunktsgleichüng eines Ellipsoids der Halbaxen Ax, Bx, Cx, wir können aussprechen: Die Punkte, welche von in den Richtungen x, y, z Coordinaten gleich den Functionen frx, fry, frz beliebiger Richtungen r und damit radii vectores gleich q in

(16)

9² = fr,² + fry² + fr,* = A² Cf² + B²^ + C²xp²

zu-

zur Erklärung der Krystallen abgeleitete Polarisationsellipsoid und

haben, liegen auf der Oberfläche eines Ellipsoids, dessen Halbaxen parallel den drei wirklichen Schwingungsgeraden und gleich den gehörigen wirklichen gc² sind. Das gefundene Ellipsoid dient hiernach demselben Zweck, wie des von Cauchy Doppelbrechung von soll deshalb auch so genannt werden, es ist durch §§ 101, 102 vollständig bestimmt.

Denken wir uns die rechtwinkligen Coordinatenaxen das eine

Mal beliebig und das andere Mal parallel den wirklichen Schwingungsgeraden gelegt, so entstehen aus § 101, (14) die folgenden Beziehungen

(18)

A + B + C^A₁ + Bl + Clf AB -f BC+ C A - 31² - 33² — (5? = ^ Ą + BXCX + CXAU ABC + 23133© - H33² — R©² - 031² = A,BXCU Hiernach ist eine der drei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten c gleich Null, wenn für ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensy stein entsteht

(19)

ABC + 23133© — H33² — R©² - 031² = 0,

(20)

es sind zwei gleich Null, wenn neben (19) erfüllt ist AB + BC -j- CA — 3t² — 33² — ©² = 0,

und es werden überhaupt keine einfachen Schwingungen fortgepflanzt, wenn auch noch

(21)

Ä+B+C=0 hinzutritt. — Ist eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit gleich Null, so folgt aus § 101, (14) mit (19) zur Bestimmung der beiden übrigen (22) W — h (A + B + 0) + A B + B C + CA - 3l² — 33² — ©² = 0 ;

sind zwei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten gleich Null, so liefert diese Gleichung oder § 101, (14)

zur

Bestimmung der verbleibenden

(23)

h = A + B + 0.

Sind zwei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten gleich gross, so ist das Polarisationsellipsoid ein Rotationsellipsoid, dessen Rotationsaxe in die der dritten Fortpflanzungsgeschwindigkeit entsprechende Schwingungsgerade fällt. Die Schwingungen senkrecht zu dieser können nach allen möglichen Richtungen erfolgen. Mit diesem Falle hatten wir es schon bei isotropen Körpern zu thun.

W ortverzeichniss.

Seite

Seite

Activkräfte Adiabatische Aenderung .... 251 Aeussere Bewegung .

Aeussere Kräfte . . .

Aether.......

Anfänglicher Zustand.

Anisotrop......

Arbeiten, virtuelle . . Ausdehnungscoefficient Ausschlag......

Bruch........

Bruchsicherheit . . . Bruchsicherheitscoefficient . . . 129

97

152

119

105

120

227

128

129

177

Centralkräfte . . .

Clapeyron’s Theorem Coexistenz kleiner Bewegungen . 188 Condensation Condensationsgeschwindigkeit . . 158 Continuitätsgleichung

167

.■

156

156

Deformationsfläche.......

Dehnung ...........

Dehnung einer Richtung .... Dehnungsgeschwindigkeit .... Dehnungsgeschwindigkeit einer

Richtung..........

Differential, partielles.....

Differential, vollständiges ....

Dilatation...........

Dilatationsgeschwindigkeit . . .

Drehungen ..........

Drehungen einer Richtung . . . Drehungsgeschwindigkeiten . . . Drehungsgeschwindigkeiten einer

Richtung..........

Druck.............

Druck, specifischer.......

rOłH-rHeOlOiHOt-

Druckspannung

Energie ....

Energie, actuelle . . . 114, 175, 176 Energie, äussere actuelle .... 192 Energie, innere actuelle Energie, potentielle .

Energie, innere potentielle . 177, 191 Energie, virtuelle . .    114, 175, 180

Elasticität......

Elasticitätsaxe .... Elasticitätscoefficient . Elasticitätsgrenze . . Elasticitätsmodul. . .

Elasticitätszahl . . .

Elastische Bewegungen Elastische Formänderungen. . 5, 128

Elastische Kräfte.......

Elastische Nachwirkung .... Elastische Veränderungen ....    5

Elastisch, unvollkommen ....

’ Elastisch, vollkommen.....

Elementartetraeder.......

Elongation..........

Fachwerke..........

Fehlstäbe...........

Fehlreactionen.........

Festigkeit...........

Flächenelemente........

Flächenkräfte.........

Flächenkräfte, specifische ....    3

Flüssigkeiten, vollkommene ... 116

Flüssigkeiten, reibende.....

Fortpflanzungsgeschwindigkeit von

Schwingungen........

Functionen, stetige.......

Geschwindigkeitsfunction ....    24

Gleitungen

114

192

176

5, 140

119

5, 129

119

119

28

227

196

208

208

129

117

227

18

124

73

129

64

74

67

227

43

35

207

207

. 61

74

235

. 5, 142 196, 228

23

119

199

o o

Ol Ox

CO

GO

26

229

229

229

22

14

73

6, 88

60

16

73

26

253

274

78

24

82

244

96

98

169, 187, 283

176

gen

114

Seite

Gleitungscoefficient.......

Gleitungsgeschwindigkeiten ...    73

Gleitungsgeschwindigkeit zweier Richtungen .

Grenzsicherheit Grenzsicherheitscoefficient. . . . 129

Grenzverschiebungen......

Grenzverschiebungsgeschwindigkeiten ............

Gruppirung von Punkten ....    14

Hauptdehnungen . Hauptdehnungsgeschwindigkeiten. 74

Hauptreactionen.......

Hauptschubspannungen ....

Hauptspannungen......

Hauptstäbe .........

Hauptsystem.........

Hauptverschiebungen.....

Hauptverschiebungsgeschwindig-keiten...........

Heterogen . . . Heterotrop . . . Homogen . . .

Innere Bewegung Innere Kräfte . , Interferenz .

Isotrop . . . .

Knotenpunkte . Kraftfunction . Körper . . . . Körperelemente Körper, feste . Körper, starre .

Labilität . . .

Labilität, äussere.......

Labilität, innere.......

Lage eines Flächenelements. .

Lage eines Punktes.....

Longitudinalschwingungen . .

Mariotte-Gay-Lussac’sches Gesetz 253 Masse, specifischc Masse, anfängliche specifischc . .    90

Massenelemente........

Massenkräfte.........

Massenkräfte, specifische ....

Medium............

Medien, homogene.......

Seite

Medien, isotrope........

Niveauflächen.........

Normalenrichtung von Flächenelementen ...........

Normalenrichtung von Oberflächenelementen ..........

Normalgleitung........

Normalgleitung zweier Richtungen 60 Normalgleitungsgeschwindigkeit .    18

Normalgleitungsgeschwindigkeit zweier Richtungen Normalkraft ....

Normalspannung . . Normalverschiebung NormalverSchiebung einer Richtung ............

Normal Verschiebungsgeschwindigkeit .............

N ormalverschiebungsgesch windig-keit einer Richtung.....

Oberfläche eines Körpers ....

Oberflächenkräfte.......

Oberflächenspannung......

Oscillationsgeschwindigkeit . . .227

Poisson’sches Gesetz......

Polarisationsellipsoid......

Potentialbewegung.......

Potential der Geschwindigkeiten. 24 Potential der Kräfte Potential der Spannungen. . . 50, 96 Potential der Verrückungen ...    24

Potential der Verschiebungen . .    80

Potential der Verschiebungsgeschwindigkeiten . . Potentialschwingungen Potentialspannungen . Potentialverschiebungen ....    81

Princip der Coexistenz.....

Princip der kleinsten Verschiebungsarbeit

Princip der Erhaltung der lebem-

digen Kraft.........

Princip der Erhaltung der Energie. 175 Princip der virtuellen Verrückun-101, 172

Princip von d’Alembert. . . 101, 172 Princip von Hamilton Princip von Huyghens.....239

130

Schiebung

Schiebung einer Richtung . 7 .    60 Totalverschiebungsgeschwindigkeit einer Richtung.....

124

Schiebungscoefficient Schiebungsgeschwindigkeit ...    18 Tragfestigkeit

, . 227

226

226

129

1    Stabkraft.....

129    Stabkraft, specifische

229    Stabspannung . . .

Stabsysteme .... Stäbe, abgängige. .

.    .180    Stäbe, nothwendige

97,    196    Stäbe, überzählige .

.    .    208    Stabilität.....

Stabilität, äussere . .

.    208    Stabilität, innere. . .

.    197    Statische Bestimmtheit

2    Statische Bestimmtheit, äussere . 205

. 117 Stellung eines Schnittelements. .    3

117 Stellungsfläche .    208    Streckgrenze.

208

Tangentialkraft.........

Tangentialspannungen.....

1 Temperaturcoefficient......

Totalgleitung.........

Totalverschiebung einer Richtung. 90

253 Totalverschiebungsgeschwindig-14 keit............

73 Transversalspannung......

3    Transversalverschiebung ....

6    Transversalverschiebung einer

Richtung..........

227 Transversalverschiebungsgeschwindigkeit ...........

227 Transversalverschiebungsgeschwindigkeit einer Richtung ....    60

129 Verrückungen ....

6, 87 Verrückungen, actuelle

Spannungen, stetige......30 Verrückungen, virtuelle

129 Verrückungsfunction .

39 Verschiebungen . . .

51 Verschiebungen von Richtungen. 58 x

Seite

Projection......

Proportionalitätsgrenze Punktreihen, homogene

(Juetschgrenze ....

Radialkräfte.....

Reactionen.....

Reactionen, abgängige Reactionen, nothwendige .... 207 Reactionen, überzählige Reactionsbedingurigen

Rechtsläufig.....

Reibungscoefficient. . Reibungswiderstände .

Restreactionen ....

Reststäbe......

Richtung g.....

Richtung g, negative .

Richtungen x, y, z . .

Richtung einer Kraft .

Richtung einer Verrückung . . . Richtung einer Verschiebung . .

Richtungsfläche........

Richtungslinie.........

Richtungspotentiale......

Richtungssinn.........

Schallgeschwindigkeit

Schiebungsgeschwindigkeit zweier

Richtungen.........

Schnitte............

Schubspannungen Schwingende Bewegung .... 226 Schwingung .

Schwingungen, einfache .... 229 Schwingungsamplitude Schwingungsdauer . . Schwingungsphase . . Schwingungszahl. . .

Sicherheit......

Sicherheitscoefficient .

Spannungen

Spannung, zulässige . Spannungsellipsoid . . Spannungspotential. .

Seite 180 214 214 196 208 207 208 198 203 203 197

41 130

124 14

7.1

16

7:;

130

Transversalschwingungen . . . .228

88

60 16

Unelastisch, vollkommen . . . Unstetigkeitsschnitte ... 19, 34, 57

55

55 24

Seite

Verschiebungen, stetige Verschiebungsarbeit . . . . 108, 186 Verschiebungsarbeit, specifisehe . 108 Verschiebungsarbeit, virtuelle 108, 186

V    erschiebungsellipsoid

Verschiebungsgeschwindigkeiten.    16

V    erschiebungsgesch windigkeiten

von Richtungen......

V    erschiebungsgeschwindigkeits-

ellipsoid..........

Volumen eines Körpers.... Volumenelemente......

57

70

73

74

03

Welle. . . . . Wellen, ebene . . Wellen, stehende Wellenberg . . Wellen fläche. . Wellenphase . . Wellenthal . . Wellenlänge. .

Zug.....

Zug, specifischer Zugspannungen

Seite 227, 228

244

228

228

228

234

228

227

Fehle rverzeichniss.

S. 22 ist W — Wt an Stelle W — W zu setzen.

S.    47    im Nenner der    Formel (8) hat X'.y an Stelle    von Xy² zu    treten.

S.    84    soll    in Fig. 11    der Winkel durch 0 anstatt    durch 0 bezeichnet sein.

S. 112 ist die Nummer (14) an die Formel dS — —p d V zu rücken.

S. 141 oben hat das erste Summenzeichen den Index n zu erhalten.

S.    171    soll    in Zeile 9    von oben 85 statt 84 stehen.

S.    231    und    232 ist in    Fig. 35 und 36 überall v für    g zu setzen.

S. 263 in Formel 13) ist der Ausdruck für co gleich Null zu setzen.»

S. 61

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