WYDZIAfcY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Hlfred Kröncr Verlag tu Leipzig

Der Eisenbeton

in Theorie und Konstruktion

Ein Leitfaden durch die neueren Bauweisen in Stein und Metall. Für Studium und Praxis verfaßt von Dr.-Jng. Nnüolf Knliyev

Oberlehrer an der Baugewerkschule in Kassel.

Zweite Auflage. Mit 354 Abbildungen im Text.

Preis geheftet 5 W. 40 Pf. Stt Uernwand gebunden 6 Mark.

Die Aufnahme, welche dieser Leitfaden gleich bei seinem ersten Erscheinen gefunden hat, ist ein Beweis dafür, daß er einem vorhandenen Bedürfnis entgegenkommt. In der vollständig neu bearbeiteten zweiten Auflage sind die Fortschritte der neuesten Zeit berücksichtigt. Bei den vorgenommenen Änderungen war hauptsächlich der Gesichtspunkt maßgebend: den Anforderungen der Praxis noch mehr als in der ersten Auflage zu entsprechen.

Uber die

insbesondere von

Festigkeit veränderlich elastischer Konstruktionen,

Sisenbeton-Hairten

Ein Beitrag ;ur Erforschung der inneren Kräfte und Deformationen sowie ;um Gebrauch bei der Berechnung und Ausführung armierter Beton-Balken, -Stützen und -Gewölbe.

Von

Dr.-Jng. Ruüolf Laligev

Oberlehrer an der Baugewerkschule in Kassel.

Mit 63 Abbildungen im Text und 5 Tafeln. Ports geheftet 4 Mark.

Dieses Buch, welches sich durch Übersichtlichkeit der Beispiele und Deutlichkeit der Figuren auszeichnet, dürfte für den mit der Berechnung und Ausführung von Eisenbeton-Hochbauten beschäftigten Techniker und Ingenieur eine gute Hilfe sein.

—Zu beziehen durch alle Buchhandlungen.

Hlfred Kröner Verlag in Leipzig

Kcrntbeoric und vacbpfetteuberechnung

nebst einigen weiteren Kapiteln ans der TestigUeitSlebre und einem Anhang: Anwendung der Crägbeitskreise

Von

Ingenieur, Oberlehrer an der Baugewerkschule in Kassel.

Mit 104 Abbildungen.

Preis geheftet 3 Mark. Sn Weinwand gebunden 3 W. 60 Pf.

Das Buch stellt sich die Aufgabe, einzelne schwierigere, für die Baupraxis aber große Wichtigkeit besitzende Kapitel der Festigkeitslehre, wie die allgemeine Theorie der Trägheits- und Zentrifugalmomente, der schiefen und exzentrischen Druckbelastung, ferner die Lehre vom Kerne mit den einfachen Mitteln der elementaren Mathematik vorzuführen.

Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst.

Das Werk darf als ein faßlich geschriebenes imb brauchbares Hilfsbuch bezeichnet werden und ist bestens zu empfehlen.

'Cafchenbuch

zum

Hbstecken der Kurven

an Strafen und Gifenbabnen

Von

C. Knoll

Zweite Auflage.

Neu bearbeitet von M. ööeitbrecbt,

Professor an der Baugewerkschule und Fachschule für Vermessungskunde in Stuttgart.

Mit 41 Figuren und 10 Zahlentafeln.

Sn Wrrnnmnd gebunden Preis 3 Warb.

Das Taschenbuch zerfällt in zwei Teile. Im ersten Teil gibt der Bearbeiter eine Anleitung zum Abstecken von Kreisbögen, Kerbbögen, 8-Kurven, Nbergangskurven usw. und erläutert die rechnerische Ermittlung der zum Abstecken nötigen Bestimmungsstücke; auch zeigt er die Lösung der in der Praxis vorkommenden Aufgaben. Der zweite Teil enthält Zahlentafeln.

Das mit Sorgfalt und Fleiß ausgearbeitete, vortrefflich ausgestattete Taschenbuch, welches die Lucken der vorhandenen Werke dieses Gebiets auszufüllen sucht, wird sich sicherlich Freunde erwerben, um so leichter, als sein Anschaffungspreis ein sehr mäßiger ist.

Technisches Gemeindeblatt.

Zu beziehen durch alle Buchhandlungen. -<*—

Die Te$ligkeit$lebre

Elementares Lehrbuch für den Schul- und Selbstunterricht sowie zum Gebrauch in der Praxis nebst einem Anhang enthaltend

Tabellen der Potenzen, Wurzeln, Kreisumfänge und Kreisinhalle

Von

R. Gallenstein weil. Baurat und Professor an der Baugewerkeschule in Karlsruhe.

Zehnte JJuflage

Bearbeitet von C. HbreilS

Professor an der Baugewerkeschule in Karlsruhe.

Mit 137 Abbildungen.

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Leipzig u)o8 Alfred Kröner Verlag

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Alle Rechte Vorbehalten.

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3510

Druck von Grimme & Ttömel in Leipzig.

äkc. Nr.

Aus dem Vorwort zur achten Auflage.

Vas vorliegende Lehrbuch ist zunächst für den Unterricht an technischen Mittelschulen bestimmt; daneben soll es zum Selbststudium sowie zuin Gebrauche in der Praxis dienen.

Bei dem Zwecke, den das Lehrbuch verfolgt, mußte ich mich darauf beschränken, die bekannten Lehren der „Festigkeitslehre" in möglichst übersichtlicher und leicht faßlicher Form zu geben.

Die mathematischen Kenntnisse, welche vorausgesetzt werden, sind nicht bedeutend und gehen nicht über das Maß dessen, was auf guten Baugewerkeschulen gelehrt wird, hinaus. Es ließ sich dabei nicht vermeiden, daß an einzelnen Stellen auf eine streng wissenschaftliche Durchführung verzichtet werden mußte (wie z. B. bei der Theorie des Zerknickens, wo als Biegungskurve statt der Sinuslinie die Parabel angenommen wurde); außer-deni sind einige Formeln, die sich nur mit Hilfe der höheren Mathematik ableiten lassen, lediglich als Resultate gegeben, so z. B. die Gleichung (135) S. 151 und die Gleichungen (138) und (139) S. 154.

gl qcm angenommen wurde, ist unter Berücksichtigung

Die Inanspruchnahme des Schmiedeeisens für ruhig und stetig belastete Hochbaukonstruktiogen. die bislang auf Grund alter Bestimmungen ziemlich allgeinein noch zu 750 k der bedeutenden Fortschritte, welche das Eisenhüttenwesen in den letzten Jahren gemacht hat, nicht mehr aufrecht zu erhalten. Ich habe deshalb, den Vorschlägen von Heinzerling und Jntze und auch dem Vorgehen von Scharowsky und anderer namhafter Ingenieure folgend, die Inanspruchnahme des Schmiedeeisens zu 1000 kg/qcm angenommen.

Karlsruhe, Januar 1904.

A. Eausnpteiu.

Vorwort zur zehnten Auflage.

Am 17. Februar 1904 entschlief nach längerem Leiden — kurz vor Erscheinen der 8. Auflage — mein langjähriger Freund und Kollege Rudolf Lauenstein. Den mir damals zuteil gewordenen Auftrag, die Weiterbearbeitung der „Festigkeitslehre", sowie die der im gleichen Verlage erscheinenden „Mechanik" zu übernehmen, gedenke ich stets im Sinne des Verfassers auszuführen und hoffe, daß die Bücher auch fernerhin eine freundliche Aufnahme finden mögen.

Vorschläge zur weiteren Vervollkommnung werde auch ich immer dankbar begrüßen und etwaige Wünsche bezüglich Behandlung und Auswahl des Stoffes nach Möglichkeit berücksichtigen.

In die vorliegende Auflage neu aufgenommen ist zunächst die Bestimmung des Abscherwiderstandes in der Längsrichtung von Trägern (§ 14); vor allem mit Rücksicht auf die Bedeutung, welche die Schubspannungen bei Berechnung von Plattenbalken aus Eisenbeton haben. Ferner ist der Abschnitt Beton und Eisenbeton (§ 18 u. 19), den ich bereits in die 9. Auflage (1906) aufgenommen hatte, ergänzt bezw. erweitert unter Zugrundelegung des neuen Runderlasses des preußischen Ministers der öffentlichen Arbeiten vom 24. Mai 1907. Ich ließ mich dabei von dem Gedanken leiten, daß es für den angehenden Techniker vor allem wichtig sei, sich mit den Grundlagen für die Berechnung der einfacheren Fälle vertraut zu machen. Dem Rahmen des ganzen Lehrbuches entsprechend, habe ich daher geglaubt, mich auf Besprechung der einfachen Eisenbetonbalken, Plattenbalken und der zentrisch belasteten Eisenbetonstützen beschränken zu sollen. Ein Techniker, der sich mit diesen Grundlagen für die statische Berechnung vertraut gemacht hat, wird auch imstande sein, sich später in die schwierigeren Fälle der Eisenbeton-Konstruktionen einarbeiten zu können. Für ein weitergehendes Studium sei z. B. auf die am Schluß des § 19 angegebene (z. T. auch von mir benutzte) Literatur verwiesen. Über Decken aus Eisenbeton siehe auch: Lauenstein „Die Eisenkonstruktivnen des einfachen Hochbaues", 2. Teil.

Karlsruhe, April 1908.

C. Mhrrns.

Inhalt.

Seite

H (N CC Tj? CD I> od OOO CÖO CZ/2 CÖO GOO g00 GOO CZZ-

GOO

ZO

§ 10.

Vorbemerkungen....................

Widerstand gegen Zug und Druck...............

Flächenmomente und Säulenmomente.............

Widerstand gegen Biegung.................

Trägheitsmomente und Widerstandsmomente...........

Tabellen der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente verschiedener Profile

Die Krümmung und Durchbiegung der belasteten Balken.......

Der an einem Ende eingespannte Träger............

1.    Belastung durch Einzelkräfte..............

2.    Streckenbelastung..................

3.    Zusammengesetzte Belastung..............

Der Träger auf zwei Stützen................

1.    Belastung durch Einzelkräfte..............

2.    Streckenbelastung..................

3.    Zusammengesetzte Belastung..............

Die statisch unbestimmter: Träger...............

1.    Der gleichmäßig belastete Träger auf drei Stützen.......

a)    Die    Spannweiten sind    gleich............

b)    Die    Spannweiten sind    ungleich...........

2.    Der durch Einzelkräfte belastete Träger auf drei Stützen.....

a)    Die Spannweiten sind gleich; die gleichen Einzelkräfte P greifen

in den Feldmitterr an..............

b)    Die Spannweiten sind ungleich; die Einzelkräfte F₁ und P₂ greifen

an beliebigen Stellen an.............

3.    Der an einem Ende wagerecht eingespannte, am anderen Ende frei

aufliegende Träger.................

a)    Der    Träger ist gleichmäßig auf    seine    ganze    Länge    belastet    .    .

b)    Der    Träger ist in der    Mitte durch    die    Einzelkraft    P    belastet    .

c)    Der Träger ist an beliebiger Stelle durch die Einzelkraft P

belastet...................

4.    Der an beiden Enden wagerecht eingespannte, gleichmäßig belastete

Träger.....................

5.    Der an beiden Enden wagerecht eingespannte, durch eine Einzelkraft P

belastete Träger..................

a)    Die Kraft P greift in der Trägermitte an........

b)    Die Kraft P greift an beliebiger Stelle an.......

12

14

18

28

43

45

45

48

52

59

59

68

80

93

93

93

95

98

98

100

102

102

102

103

104

106

106

Inhalt.

Seite . 109

§ 11. Die Träger von gleichem Biegungswiderstand. . .

§ 12. Die aus Doppelbiegung beanspruchten Träger. . .

§ 13. Widerstand gegen Abscherung........

§ 14. Abscherwiderstand in der Längsrichtung von Trägern

§ 15. Widerstand gegen Zerknicken.........

Beispiel der Berechnung von Balken, Unterzügen und Säulen für ein

einfaches zweistöckiges Gebäude.............

§ 16. Widerstand gegen Verdrehung................

§ 17. Zusammengesetzte Widerstände................

1.    Biegung und Zug oder Druck..............

2.    Biegung und Verdrehung...............

§ 18. Beton und Eisenbeton..................

1.    Vorbemerkungen..................

2.    Der einfache Betonbalken oder Betonplatte.........

§ 19. Berechnung der Eisenbeton-Konstruktionen............

1.    Leitsätze für die statische Berechnung............

2.    Berechnung von Eisenbetonbalken mit einfacher Eiseneinlage.... 163

3.    Berechnung von Plattenbalken.

4.    Berechnung von Eisenbetonstützen

116

121

124

127

138

143

148

148

151

155

155

157

161

162

171

176

Eisenbeton-Literatur.......

§ 20. Zusammenstellung der wichtigsten Formeln

182

183

Anhang.

1.    Tabelle der Potenzen, Wurzeln, Kreisumfänge und Kreisinhalte der Zahlen

0,0 bis 100,0..........'...........

2.    Tabelle der Quadrat- und Kubikwurzeln der Zahlen 100 bis 1000    . .    . 211

189

SödhÜamlwerkefSvsHuie

—- ßresiau.-—

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Vorbemerkungen.

Wirken auf einen festen Körper irgendwelche äußeren Kräfte, so tritt unter allen Umständen eine Formänderung des Körpers ein.

Wird z. B. ein am oberen Endpunkte befestigter gerader Stab durch ein unten angehängtes Gewicht belastet, so tritt stets eine Verlängerung und zugleich eine Einschnürung (Verkleinerung des Querschnittes) des Stabes ein, wie groß auch immer die Festigkeit des Materials und wie klein auch immer das angehängte Gewicht sein möge.

Solange die Formänderungen eine gewisse Grenze, die sog. Elastizitätsgrenze, nicht überschreiten, verschwinden dieselben wieder, sobald die äußeren Kräfte zu wirken aufhören, und der Körper nimmt seine ursprüngliche Form wieder an. Diese Eigenschaft der Körper nennt man Elastizität.

Vergrößert man die äußeren Kräfte so weit, daß die Elastizitätsgrenze überschritten wird, so verschwinden nach Aufhören der Kräfte die Formänderungen nicht mehr vollständig; es treten vielmehr bleibende Formänderungen ein, bis schließlich durch weitere Steigerung der äußeren Kräfte eine Zerstörung des Körpers erfolgt.

Den durch die äußeren Kräfte hervorgebrachten Formänderungen wirken nun innere Kräfte als Widerstände entgegen, welche abhängig sind von der Art und Weise, in welcher die äußeren Kräfte auf den Körper einwirken. Es lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

1.    Die Kraft P wirkt in der Längsrichtung des Körpers und sucht denselben entweder auszudehnen (Fig. la) oder zusammenzudrücken (Fig. 1b). Bei dieser Kraftäußerung tritt der Widerstand gegen Zug bezw. Druck auf.

2.    Die Kraft P wirkt unter einem Winkel (meist 90°) gegen die Längsrichtung des Körpers und sucht denselben durchzubiegen (Fig. 2). Hierbei entsteht der Widerstand gegen Biegung.

3.    Die Kraft P sucht eine Trennung des Körpers in einer Fläche zu bewirken und erzeugt dabei den Widerstand gegen Abscherung oder Schub (Fig. 3 und 3a).

4.    Die Kraft P wirkt in der Längsrichtung des Körpers, dessen Länge im Vergleich zu seinem Querschnitt so groß ist, daß ein seitliches Ausbiegen

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aust.

eher als ein Zerdrücken eintritt (Fig. 4). Der hierbei auftretende Widerstand heißt der Widerstand gegen Zerknicken.

5. Die Kraft P strebt den Körper um seine Längsachse zu verdrehen und erzeugt dabei den Widerstand gegen Verdrehung (Fig. 5).

Fig. 1a. Fig. 1b.

Fig. 2.

Fig- 3.

Fig. 3 a.

Fig- 4.

um—£

Fig- 5.

Die Widerstände können entweder einzeln oder auch gleichzeitig in einem Körper auftreten. So z. B. wird der Balken eines versteiften Trägers (siehe Fig. 123) gleichzeitig auf Biegung und auf Druck beansprucht; eine Welle gleichzeitig auf Biegung und auf Verdrehung.

Um nun die bei Einwirkung äußerer Kräfte auftretenden inneren Widerstände näher untersuchen zu können, bezieht man diese auf die Flächeneinheit und nennt den auf die Flächeneinheit wirkenden Widerstand: Spannung oder Inanspruchnahme.

Es soll hier in der Folge

als Flächeneinheit das Quadratzentimeter, als Krafteinheit das Kilogramm

zugrunde gelegt werden.

Je nach der Größe der Spannung nennt man:

Tragfestigkeit diejenige Spannung, welche der Elastizitätsgrenze entspricht, bei welcher also ein Stab bis zur Elastizitätsgrenze ausgedehnt oder zusammengedrückt wird.

Bruchfestigkeit diejenige Spannung, bei welcher eine Zerstörung des Materials eintritt.

Ist bei einem Materiale die Bruchfestigkeit erheblich größer als die Tragfestigkeit, so nennt man das Material zäh; ist dagegen die Bruchfestigkeit nur wenig größer als die Tragfestigkeit, so ist das Material spröde.

Elastizitätsmodul oder Elastizitätsmaß*) kann man erklären als diejenige Spannung, bei welcher ein Stab um seine eigene Länge ausgedehnt oder zusammengedrückt würde; vorausgesetzt, daß die Elastizitätsgrenze dabei nicht überschritten würde, und daß das Material eine solche Formänderung überhaupt zuließe.

Da bei Eintritt bleibender Formänderungen ein Körper seine ursprüngliche Beschaffenheit nicht mehr besitzt, vielmehr schon als teilweise zerstört angesehen werden kann, so darf bei statischen Konstruktionen die Elastizitätsgrenze niemals überschritten werden. Diejenige Spannung, welche auf die Dauer und mit Sicherheit dem Materiale zugemutet werden kann, die zulässige Spannung oder zulässige Inanspruchnahme, muß daher immer kleiner als die Tragfestigkeit sein.

Das Verhältnis der Bruchfestigkeit zu der zulässigen Inanspruchnahme heißt der Sicherheitsgrad.

Für die Folge sollen nachstehende, ziemlich allgemein verbreitete Bezeichnungen benutzt werden:

k — zulässige Spannung oder Inanspruchnahme,

K = Bruchfestigkeit,

E — Elastizitätsmodul,

n — p — Sicherheitsgrad.

Für diese Größen lassen sich bestimmte, unter allen Umständen gültige Zahlenwerte für die verschiedenen Materialien nicht angeben; namentlich gilt dieses für die zulässige Inanspruchnahme, welche sowohl abhängig ist von der Form und Größe des Querschnittes als auch von der Güte des Materials, sowie von der Art der Beanspruchung desselben. Häufig sind die baupolizeilichen Vorschriften maßgebend, die aber auch wieder für verschiedene Orte verschieden sein können. Bei größeren statischen Konstruktionen (z. B. bei großen Brücken) Pflegt man wohl besondere Versuche mit dem zu verwendenden Baustoffe anzustellen, um die genaueren Zahlenwerte der Tragfestigkeit, Bruchfestigkeit und des Elastizitätsmoduls zu ermitteln.

Die folgende für Baukonstruktionen gültige Tabelle gibt für die wichtigsten Materialien die aus zahlreichen Versuchen gewonnenen Mittelwerte der Größen E und K, sowie die für ruhende Belastungen üblichen bezw. vorgeschriebenen Werte von k in Kilogramm für ein Quadratzentimeter.

Material

Gußeisen . .

Tabelle für Baukonstruktionen.

Elastizitäts

modul

Bruchfestigkeit

Zulässige Inanspruchnahme

Zug

Druck

Zug

Druck

Schweißeisen \ Schmied-Fluß eisen    / eisen

Stahl......

Tannenholz . .    .    .

Kiefernholz.....

Eichen- u. Buchenholz .

Glas.......

Kalkstein.....

Sandstein.....

Ziegel......

Kalkmörtel.....

Zementmörtel .    .    .    .

Baugrund (guter) .    .

1000000 • 2000000 2100000 2200000 100000 100000 120000 750000 120000 100000

1200

3700

6000

4000

6000

800

900

1000

250

3000 bis

4000

6000

400

450

500

1500

300—500

200—300

60—120

40

100—150

250

500

900

1000

} (750)

1200

60

100

100

900

1000

}(750)

1200

50

60

80

75

30—50

20—30

6—12

10—15

2,5—4

30—40

140000 (für Druck)

Die eingeklammerten Werte für Schmied eisen (allgemein) gelten für solche Bauteile, welche bedeutenden Erschütterungen oder starken Belastungswechseln ausgesetzt sind.

Für gerades Eisenwellblech ist k — 750 (Zug oder Druck)

„ gewölbtes

Über die zulässige Materialbeanspruchung bei Maschinenkonstruktionen sind eingehende Festigkeitsversuche angestellt von Wühler, Spangenberg, Bach u. a.

Die Wöhlerschen Versuche ergaben folgende Tatsachen:

Der Bruch des Eisens läßt sich bei wiederholter Beanspruchung durch eine weit geringere Kraftwirkung erreichen, als bei einmaliger Beanspruchung möglich ist. Die Tragfähigkeit nimmt also ab, wenn die Belastung keine ruhende, sondern eine oft wechselnde ist.

Die Abnahme der Tragfähigkeit ist dabei um so größer, je größer der Unterschied der oberen und unteren Spannungsgrenze ist.

Selbst bei sehr oft wiederholter Belastung wird jedoch das Eisen nicht zerstört, wenn die Beanspruchung auf ein gewisses Maß beschränkt bleibt.

Für die Größe der zulässigen Inanspruchnahme sind danach folgende Belastungsfälle als maßgebend zugrunde zu legen:

1.    Die Belastung ist eine ruhende, unveränderliche.

2.    Die Belastung wechselt beliebig oft zwischen den Grenzen Null und einem größten Werte (z. B. bei wiederholter Ausdehnung bezw. Zusammendrückung, wiederholter Biegung, wiederholter Drehung nach einer Richtung hin). Für die zulässige Inanspruchnahme ist hier nur ²/₃ der für ruhende Belastung gültigen Werte zu setzen.

Beton*).

15-20

180—250

1,5—2

„ k = 500

*) Beton: siehe § 18.

3. Die Belastung wechselt beliebig oft zwischen einem größten Positiven und einem in absoluter Beziehung gleich großen negativen Werte (z. B. bei wiederholter Biegung und wiederholter Drehung nach entgegengesetzten Richtungen, sowie bei wiederholter Ausdehnung und darauffolgender Zusammendrückung). Bei diesem Belastungsfall darf für die zulässige Inanspruchnahme nur x/s der für ruhende Belastung gültigen Werte eingesetzt werden.

Danach ergeben sich je nach der Art der Beanspruchung bezw. Belastung für die zulässige Inanspruchnahme der verschiedenen Eisensorten folgende Tabellen (nach Bach):

I. Die Belastung ist ruhend.

Material

Zug

Druck j Biegung

Schub

Drehung

Gußeisen.......

Schweißeisen......

Flußeisen.......

Stahlguß (Form-Flußeisen) .

Martinstahl......

Tiegelgußstahl.....

II. Die Belastung wechselt zwischen Null und einem größten Werte.¹)

300

900

900

900—1200

600—900

1200

1500

900

450

900

300

900—1200 900—1200 900—1200 750—1050

1200

1500

1200

1500

720

300

720—960

480—840

360

960

1200

600—840

480—840

900

1200

Material

Zug

Druck

Biegung

Schub

Drehung

Gußeisen.......

Schweißeisen......

Fluß eisen.......

Stahlguß (Form-Flußeisen) .

Martinstahl......

Tiegelgußstahl.....

III. Die Belastung wechselt zwischen einem größten positiven und einem größten negativen Werte.

200

600

600

600—800

400—600

800

1000

600

300

600—800

600—800

800

1000

600

200

600—800

500—700

800

1000

480

200

480—640

320—560

640

800

240

400—560

320—560

600

800

Material

Zug

Druck

Biegung

Schub

Drehung

Gußeisen.......

Schweißeisen......

Flußeisen.......

Stahlguß (Form-Flußeisen) .

Martinstahl......

Tiegelgußstahl.....

100

300

300

300—400

200—300

300

150

400

500

300—400

300—400

300

100

400

500

300—400

250—350

240

100

400

500

240—320

160—280

320

400

120

200—280

160—280

300

400

2.

COT)

Widerstand gegen Ing und Druck.

Eine am oberen Endpunkte aufgehängte und durch ein Gewicht P belastete prismatische Stange von F qcm Querschnitt kann angesehen werden als bestehend aus F einzelnen Stangen von je 1 qcm Querschnitt.

Ist k die zulässige Inanspruchnahme, so kann jede dieser Einzelstangen belastet werden mit k kg, folglich die ganze Stange mit k - F kg; daher:

(1)

P = F k

oder:

Belastung — Querschnitt x Inanspruchnahme.

Die Belastung erzeugt nach § 1 in der Stange, deren Länge = l sein möge, eine Verlängerung X, welche sich, wie die Erfahrung lehrt, gleichmäßig über die ganze Länge der Stange verteilt. Durch Versuche ist ferner festgestellt, daß innerhalb der Elastizitätsgrenze die Verlängerung in demselben Verhältnis zu- oder abnimmt, als die Belastung P selbst, so daß z. B. bei einer und derselben Stange 2 P die doppelte Verlängerung; ¹/i P nur den vierten Teil der Verlängerung erzeugen würde als P.

Die Verlängerungen verhalten sich also wie die Belastungen*). In einer Einzelstange von 1 qcm Querschnitt und l cm Länge entsteht nun die Verlängerung X durch die Belastung k. Nach § 1 erzeugt der Elastizitätsmodul E in derselben Stange die Verlängerung l; folglich ist:

(2)

X _k

l ~~ E......

Setzt man für k den sich aus Gl. (1) ergebenden Wert:

ein, so erhält man für die Verlängerung X, welche in einer Stange von F qcm Querschnitt und l cm Länge durch eine Belastung von P kg erzeugt wird, den Ausdruck:

(3)

PI

FE

d. h.: Die Verlängerung X steht in geradem Verhältnis zu der Belastung und der Länge der Stange, in umgekehrtem Verhältnis zu dem Querschnitt und dem Elastizitätsmodul.

Verlängerung

Das Verhältnis:

>y

Ursprüngliche Länge

heißt die Dehnung**).

*) Proportionalitätsgesetz von Hooke (1678). Dasselbe besitzt sür verschiedene Materialien (so z. B. Beton, siehe § 18) streng genommen keine Gültigkeit mehr.

**) Die Dehnung ist ein Maß für die Zähigkeit der Materialien.

Die Dehnung wird hervorgebracht durch die Spannung k, und man nennt das Verhältnis:

Dehnung

Spannung k

den Dehnungskoeffizient, welcher gleich ist dem umgekehrten (reziproken) Wert des Elastizitätsmoduls E; denn:

k lk E

Die Gleichungen 1, 2 und 3) gelten ebenfalls für einen am unteren Endpunkte befestigten oder durch eine Unterlage unterstützten kurzen Stab, auf welchen ant oberen Endpunkte die Belastung P wirkt (Fig. 1b). Die Druckkraft P erzeugt in dem Stabe die Druckspannung k und die Verkürzung

Aufgabe 1. Wenn eine Hängesäule von Eichenholz eine Belastung von 14000 kg mit Sicherheit tragen soll, wie groß muß die Seite a des quadratischen Querschnittes genommen werden? (k = 100).

Auflösung. Nach Gl. (1) ist:

140 qcm

P 14000

100

Folglich:

F — a² = 140 ar=; Y140 — cv) 12 cm

Der Sicherheitsgrad ergibt sich:

1000

100

10 (10 fache Sicherheit)

Aufgabe 2. Wie groß muß der Durchmesser ä einer schmiedeisernen Zugstange sein, welche in der Achsenrichtung mit 25000 kg belastet werden soll? (k — 1000). Auflösung. Nach Gl. (1) ist:

J25000 1000

F — di~ — 25 4

— 25 qcm

F-P-

F” k ”

Folglich:

d — cvd 5,6 cm

4000

1000

4 (4fache Sicherheit)

Aufgabe 3. Welche Belastung kann ein l¹/₂ Stein starker quadratischer Pfeiler aus Ziegelstein tragen bei einer Inanspruchnahme k — 7kg?

Auflösung. Bei Normalziegeln (25 x 12x6,5 cm) ist die Seilenlänge des Pfeilers bei 1 cm Fuge:

also der Querschnitt: und nach Gl. (1):

a = 25 + 1 + 12 = 38 cm F — 38 - 38 — 1444 qcm P = F -k= 1444 - 7    10108 kg

Aufgabe 4. Wie groß muß der Durchmesser d einer vollen gußeisernen kurzen Säule sein, welche eine Last von 20000 kg zu tragen hat? (k = 500).

Auflösung. Nach Gl. (1) ist:

40 qcm

P 20000

500

40

d == cx3 7,2- cm

6000

500

12 (12 fache Sicherheit)

Aufgabe 5. Wie groß muß die Seite a des quadratischen Fußes der vorigen Säule sein, wenn der Unterstützungsquader mit k = 25 kg beansprucht werden darf, und wie groß ist die Beanspruchung k₂ des Baugrundes, wenn der Unterstützungsquader der Säule 75 cm lang und 70 cm breit ist?

Auflösung.

20000

25

800 qcm

a — <>428,6 cm

20000 Q Q . = 75.70 =³'⁸ ²

Aufgabe 6. Der Kolben einer hydraulischen Presse hat D = 40 cm Durchmesser. Wie stark ist jede der vier zylindrischen schmiedeisernen Säulen bei der Beanspruchung k = 1000 zu nehmen, wenn der Wasserdruck p — 160 kg für 1 qcm (160 Atmosphären) beträgt? Auflösung. Der Kolbenquerschnitt ist:

D²tu

40² - 3,14

1256 qcm

Folglich kommt auf jede der vier Säulen die Kraft:

1256 -160

50240 kg

Nach Gl. (1) ist der erforderliche Säulenquerschnitt:

F-P

also:

d ²tc    50240

oder:

1000

50,24 qcm

d == 8 cm

Aufgabe 7. Eine Kette ist belastet mit P — 4000 kg. Es soll der erforderliche Durchmesser d des Kelteneisens berechnet werden unter Annahme von k — 637 kg/qcm²).

II,

„ gehärteten

Auflösung, Die Last verteilt sich auf 2 Querschnitte des Ketteneisens. Also nach Gl. (1):

4000 — 2    637

4

d²TT

4000

2-637

3,14 qcm

d = 2 cm

Aufgabe 8. Für einen Dampfzylinder von D — 60 cm Durchmesser, in welchen der Dampf mit 8 Atmosphären Überdruck (p = 8 kg/qcm) eintritt, soll die Anzahl und der Durchmesser der Deckelschrauben berechnet werden.

Auflösung. Der Durchmesser des Kreises, in dem die Deckelschrauben angeordnet sind, beträgt etwa = 70 cm; der Umfang desselben ist also:

Di 7T == 70 • 3,14 — 220 cm

Nimmt man die Entfernung der Schrauben voneinander zu etwa 14 cm an, so sind

erforderlich:

220

Der Druck auf den Deckel ist:

D²7U

—p

Eine Schraube ist daher belastet mit:

— co IQ Schrauben

60² - 3,14

— • 8 = oo 22 620 kg

22620 1>M, ,

—jg —= 1414 kg

Für k — 350 kg/qcm ergibt sich der erforderliche Kernquerschnitt der Schraube zu:

d^TU

1414

350

4,04 qcm

und danach der Kerndurchmesser:

di — 2,27 cm

Der Nächstliegende Wert der Withworthschen Schraubentabelle ist:

di — 2,39 cm

welcher dem äußeren Schraubendurchmesser

entspricht.

d — 2,86 cm — D/s"

Aufgabe 9. Wenn der äußere Durchmesser D einer hohlen gußeisernen kurzen Säule, welche eine Last von 30000 kg zu tragen hat, — 12 cm ist, wie groß muß der innere Durchmesser d angenommen werden? (k —500).

Auflösung.

P 30000

500

60 qcm

D²tc d²n

d² K    D² TC

₇- = 60 4

- 60 — 113 — 60 — 53 qcm,

Die Wandstärke der Säule wird bann:

1,9 cm

D —d _ 12 — 8,2

Aufgabe 10. Wieviel beträgt die Zusammendrückung der obigen Säule, wenn die Länge derselben 140 cm ist?

Auflösung. Nach Gl. (3) S. 6 ist:

0,07 cm

30000 -140

60-1000000

Aufgabe 11. Eine schmiedeiserne Stange von 500 cm Länge und 5x3 cm Querschnitt wird belastet mit 12000 kg. Wie groß ist die Verlängerung?

Auflösung.

Folglich:

F == 5 • 3 = 15 qcm

12000 - 500

15 - 2000000

0,2 cm

Aufgabe 12. Eine Stahlstange von 200 cm Länge und 4 qcm Querschnitt soll durch ein Gewicht um 0,12 cm ausgedehnt werden. Wie groß muß dieses Gewicht sein? Auslösung. Nach Gl. (3) S. 6 ist:

X-F-E

oder:

p _ 0,12-4-2200000

200

5280 kg

Aufgabe 13. Eine runde schmiedeiserne Stange von 350 cm Länge wurde durch ein Gewicht von 8000 kg um 0,14 cm ausgedehnt. Wie groß ist der Durchmesser d der Stange? Auflösung. Da hier:

so ist nach Gl. (3) S. 6:

d²7T

PI

8000 • 350 XE ~ 0,14 - 2000000

10 qcm

d = cv) 3,6 cm

Bisher wurde das Eigengewicht der gezogenen oder gedrückten Körper nicht weiter berücksichtigt und kann sehr häufig auch ohne wesentlichen Fehler vernachlässigt werden. In manchen Fällen dagegen kann die Natur der Aufgabe es verlangen, das Eigengewicht, welches z. B. bei Mauerwerk eine bedeutende Rolle spielt, auch bei langen Schachtgestängen ziemlich erheblich ist, mit in Rechnung zu ziehen.

Ist G das Eigengewicht eines Mauerpfeilers, welcher oben durch das Gewicht P belastet ist, so wirkt auf den unteren Querschnitt die Last P -j- G. Die Grundfläche des Pfeilers muß daher die Größe erhalten:

Das Gewicht des Stabes beträgt:

0,0078 - 3000 • 42 = 983 kg

Für den zweiten Stab (von unten ab gerechnet) ist:

g + Gi + rVi

a.

■:

Man findet:

&, — 6,6 cm ; G₂ — 1030 kg

Desgleichen für die weiteren Stäbe:

a₃ — 6,8    cm    ;    G₃    — 1080    kg

ä₄ = 7,0    cm    ;    G₄    = 1134    kg

% — 7,1    cm    ;    Gg    — 1190    kg

Das Gewicht des ganzen Gestänges beträgt:

G = 5417 kg

Wäre das Gestänge mit überall gleichem Querschnitt ausgeführt, so würde sein:

a²

P + Ya2L

a²

20000

k —7L

52,2 qcm

500 — 0,0078 - 15p00 /ö^2 = 7,2 G = 'j-La'² — 0,0078 • 15000 - 52,2 — 6107 kg

cm

Da die Beanspruchung für das ganze Gestänge nahezu den gleichen Wert k — 500 hat, so ist nach Gl. (2) S. 6 die Verlängerung angenähert:

— 3,75 cm

500 -15000 , 2000000

V/.

3.

Flächenmomente und Läulenmomente³).

Unter dem statischen Moment einer Kraft, bezogen auf eine senkrecht zur Kraftebene stehende Achse, versteht man bekanntlich das Produkt aus der Kraft und dem rechtwinkligen Abstande derselben von der Achse (betn Hebelarm).

Wirken in derselben Ebene gleichzeitig mehrere Kräfte, so ist das statische Moment der Mittelkraft gleich der Summe der statischen Momente der einzelnen Kräfte⁴).

Dieser Satz der statischen Momente gilt auch für in verschiedenen Ebenen liegende Parallelkräfte und lautet dann:

Das statische Moment der Mittelkraft paralleler Kräfte in bezug auf eine der Kraftrichtung parallele beliebige Ebene ist gleich der Summe der statischen Momente aller Einzelkräfte in bezug auf dieselbe Ebene.

Bestehen die Parallelkräfte aus den Gewichten der einzelnen Massenteilchen eines Körpers, ist also deren Mittelkraft gleich dem Gewichte der

Fy₀ = t;yi+i,2y₂+-.- = 2(fy).....(4)

Trägt man nun die Abstände y auf den zugehörigen f als Höhen auf und betrachtet das dadurch entstehende jedesmalige fy als den Inhalt eines Säulchens, so erhält man in der Gesamtheit als körperliche Darstellung von 2 (fy) eine über der Fläche F errichtete Säule, welche oben schräg begrenzt ist durch eine unter 45° gegen F geneigte Ebene E. Diese schneidet die Ebene der Fläche F in der Geraden 00.

Die über F errichtete, oben abgeschrägte Säule, deren Inhalt mit V bezeichnet werden möge, ist also gleich dem statischen Moment (Flächenmoment) von F, bezogen auf die Achse 00.

(5)

Y = 2 (fy) = Fy₀

Wird die Säule, anstatt durch die unter 45° geneigte Ebene E, oben begrenzt durch eine Ebene Ex mit dem Neigungswinkel «, welcher bestimmt ist durch die Höhe t im Abstande 1 von der 00 (tga = t:l), und wird deren Inhalt mit V„ bezeichnet, so ist:

1^-1

V 1

oder:

(6)

ganzen Körpermasse, so kann, da sich die Gewichtsteilchen wie die Massenteilchen verhalten, der obige Satz auch ausgesprochen werden:

Das statische Moment der ganzen Masse eines Körpers ist gleich der Summe der statischen Momente der einzelnen Massenteilchen, bezogen auf ein und dieselbe Ebene.

Hat der Körper die Gestalt einer sehr dünnen ebenen Platte, die man als gleichmäßig mit Masse bedeckte Fläche ansehen kann, so läßt sich, indem man die einzelnen Flächenteile als Gewichte auffaßt, der Begriff des statischen Momentes auch auf eine Fläche ausdehnen. In diesem Sinne erhält man den Satz:

Das statische Moment der ganzen Fläche (Fläche mal Schwerpunktsabstand), bezogen auf eine beliebige Ebene, ist gleich der Summe der statischen Momente der einzelnen Flächenteilchen, bezogen auf dieselbe Ebene.

Es sei nun eine beliebige Fläche F gegeben (Fig. 8) und eine Ebene senkrecht dazu, welche die Flächenebene in der Geraden 00 schneidet. Die Gerade 00 wird kurz als Achse bezeichnet. Ist y0 der Abstand des Schwerpunktes 8 der Fläche F von der Achse, sind ferner i₁f₂ . . . die einzelnen Flächenteilchen und j₁j₂ ... deren senkrechte 0 Abstände von der Achse 00, so ist:

Fig. 8.

tu

4?

#*-

m m 111111111! i lin: m i

4t

-y

v. = t-v

Auf irgendeinen anderen Querschnitt des Pfeilers kommt ein umso geringerer Teil des Eigengewichtes, je höher dieser Querschnitt über dem unteren liegt. Die Querschnitte können deshalb nach oben hin allmählich kleiner werden bis zum oberen, welcher nur durch P belastet wird.

Bei genauer Berechnung ergeben sich als Begrenzungslinien des Pfeilers Kurven, und man würde danach dem Pfeiler etwa die nebenstehende Form (Fig. 6) zu geben haben. Aus praktischen Gründen tut man dieses selten, sondern stellt hohe Pfeiler gewöhnlich mit geradlinigen Böschungen her, indem man die Punkte aat und bbx durch gerade Linien verbindet.

Fig. 6.

°,r

Bei höheren Gebäudemauern führt man einen Querschnitt unverändert durch ein oder zwei Stockwerke durch und geht dann nach oben hin sprungweise auf den nächsten kleineren Querschnitt über.

Die nebenstehende Fig. 7 möge eine solche abgetreppte Mauer darstellen. Ist F, der Querschnitt und das Gewicht des oberen, F₂ der Querschnitt und G₂ das Gewicht des unteren Teiles, so wird:

Fig. 7.

Fi

P + Gt

F₂

P -j-Gl + Gz

ßt

Bezeichnet man mit j das Gewicht der Kubikeinheit des Materials, so ist:

6.2

Aufgabe 14. Ein 150 m langes schmiedeisernes Schachtgestänge von quadratförmigem Querschnitt hat außer seinem Eigengewicht noch eine Last P — 20000 kg zu tragen. Dasselbe besteht aus 5 in der Längsrichtung miteinander verbundenen prismatischen Stäben von je 1 — 30 rn Länge. Welchen Querschnitt muß jeder einzelne Stab (bei k = 500)⁵) erhalten, wenn das Gewicht von 1 cbcm Schmiedeisen: y = 0,0078 kg beträgt?

Auflösung. Für den untersten Stab ist, wenn ax die Seite des quadratischen Querschnitts bedeutet:

o 2 _ r + YcVl

% - k

ai² (k — yl) = P

ai²

20000

k — yl

500 — 0,0078 - 3000 sl₁ = 1^42 = 6,5 cm

42

Das statische Moment eines Sänlchens fy (kurz genannt: Säulenmoment), bezogen auf die Achse 00, ist nun — fy-y = fy²; folglich das Süulenmoment für die ganze Säule V, wenn ym bereit Schwerpunktsabstand von der 00 bedeutet:

V.ym = 2(fy²)

(7)

Für die Säule Va mit den um t: 1 geänderten Höhen ergibt sich ent-

V«-ym = t.2(fy²)

Der Ausdruck 2 (fy²) bedeutet die Summe aller Flächenteilchen, multipliziert mit dem Quadrate ihrer Abstände von der Achse 0 und wird das Trägheitsmoment der Fläche F in bezug auf die Achse 0 genannt. Bezeichnet man dasselbe mit J₀, setzt also:

J₀ = 2(fy²)

sprechend:

(8)

so erhält man aus Gl. (7):

(9)

^ ■ Ym — Jo

(10)

oder in Worten:

Das Säulenmoment der Säule V — Fy^ ist gleich dem Trägheitsmoment J₀ der Fläche F für die Achse 0.

Für die Säule Ya ergibt sich ebenso:

(11)

V„-ym = t-J₀

Liegt die Achse 0 nicht, wie bisher angenommen, außerhalb der Fläche F, sondern schneidet sie dieselbe (wie in Fig. 9), so haben die ans verschiedenen

Seiten der Achse liegenden Abstände y der Flächenteilchen f verschiedenes Vorzeichen, und folglich werden dann die zugehörigen Flächenmomente bei der Säulendarstellung nach verschiedenen Seiten der F-Ebene aufgetragen. Die beiden Sänlen-teile V' und Y" gehen in diesem Falle in Keil--¹ stücke über, von denen eins positiv, das andere negativ zu nehmen ist; , deren Momente also in bezug auf die Achse 0 die gleiche Drehrichtung haben, so daß die von ihnen gelieferten Beiträge für das Trägheitsmoment Ja gleiches Vorzeichen und zwar das positive haben, weil J₀ = 2 (fy²) als Ansdruck vierten Grades stets positiv ist.

Fig. 9.

-/y

V"

ft

Y'

'JOT.

4.

Widerstand gegen Biegung.

Ist ein gerader, in bezug auf die Bildebene symmetrisch vorausgesetzter Balken mit seinem einen Ende eingespannt, und wird das andere freie Ende desselben durch ein in der Symmetrieebene angreifendes Gewicht P belastet, so erführt derselbe dadurch eine Biegung (Fig. 10).

Denkt man sich den Balken aus einzelnen Fasern bestehend, welche der Längsachse parallel sind, so werden durch die Biegung die oberen Fasern verlängert, die unteren Fasern verkürzt. Zwischen der obersten und untersten Faserschicht muß sich eine mittlere, senkrecht zur Bildebene stehende Faserschicht AB befinden, die weder verlängert noch verkürzt, sondern nur gebogen wird. Diese heißt die neutrale Faserschicht. Diese Schicht schneidet jeden durch den Körper gelegten Querschnitt in einer geraden Linie, welche die neutrale Achse des Querschnittes genannt wird.

Die beiden, sehr nahe aneinander liegenden Querschnitte ab und cd des Balkens (Fig. 10), welche vor der Biegung einander parallel waren, haben nach der Biegung eine gegeneinander geneigte Lage.

Zieht man durch IST zu ab die Parallele cd', so stellen die Abschnitte zwischen cd und c'd' die Verlängerungen bezw. Verkürzungen der einzelnen Faserabschnitte dar, welche vor der Biegung sämtlich die Länge MN hatten.

So z. B. ist

der neutralen Faserschicht hat; d'd die Verlängerung der im Abstande ex liegenden äußersten Faser, cc' die Verkürzung der untersten Faser im Abstande Cz von der neutralen.

Nach Fig. 10 ist:

Fig. 10.

"Au

mn

-R.

‘‘.fl

//

!//

(B

die Verlängerung einer Faser, welche den Abstand y von

mn

d'd

Nach § 2 verhalten sich nun die Verlängerungen wie die Spannungen. Wird mit s die Spannung der im Abstande y befindlichen Faser, mit kx die Spannung der oberen äußersten Faser bezeichnet, so ist:

mn

d'd

ki

Aus beiden Gleichungen folgt:

k, ex

Ebenso wird für die unterste Faser:

(12)

(13)

k, e₂

Die Spannungen der einzelnen Fasern eines gebogenen Balkens verhalten sich wie ihre Abstände von der neutralen Faser.

Die inneren Spannungen müssen den äußeren Kräften das Gleichgewicht halten. Denkt man sich den Balken durch eine im Abstande x vom Ende hindurch gelegte Querschnittsebene in zwei Teile zerschnitten (Fig. 11), so sind an der Schnittstelle solche in der Symmetrieebene angreifende, äußere Kräfte anzubringen, daß dadurch genau dieselbe Wirkung hervorgebracht wird, wie vorher durch die inneren Spannungen.

Für das Balkenstück BN (Fig. 11), welches, da die Biegung in den weitaus meisten Fällen nur sehr gering ist, wagerecht angenommen werden kann, hat man dann die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen anzuwenden.

Ng. 11.

Fig. 11a.

t®

?-•

ft?--».

y je'

j-----B

N+------⁶ - 4/V -.....N -

e2

•ez

Xv"

-**

Diese lauten bekanntlich, da nach der obigen Voraussetzung die Kräfte hier alle in einer Ebene wirken⁶):

1.    Die algebraische Summe der lotrechten Kräfte muß — Null sein.

2.    Die algebraische Summe der wagerechten Kräfte muß — Null sein.

3.    Die algebraische Summe der statischen Momente sämtlicher Kräfte in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt muß — Null sein.

<S = P

Nach der ersten dieser Bedingungen ist an der Schnittstelle eine lotrecht nach oben gerichtete Kraft:

anzubringen, welche als Abscherungswiderstand wirkt und eine Verschiebung des Balkenstückes in der Schnittebene verhindert.

Die einzigen wagerechten Kräfte, welche auf das Balkenstück BN wirken, sind die Spannungswiderstände, welche in der oberen Hälfte der Schnittfläche als Zugspannungen (von rechts nach links gerichtet), in der unteren Hälfte als Druckspannungen (von links nach rechts gerichtet) wirken.

Trägt man diese Spannungswiderstände, welche sich (wie oben bereits gesagt) verhalten wie ihre Abstände von der neutralen Faser, auf den zugehörigen Flächenteilchen f als Strecken auf (Fig. 11a), so bilden sie in ihrer

Gesamtheit einen Spannungsdoppelkeil vom Inhalt V—V'-f-Y", begrenzt einerseits von der Querschnittsfläche F, anderseits von einer durch die NN verlaufenden Ebene, deren Neigung bestimmt ist durch die Spannung sx im Abstande 1 von der NR Nach der zweiten Gleichgewichtsbedingung muß sein:

v=r-j-y"=o

also auch nach Gl. (5) S. 13:

2(fy5 = 0

d. h. die Summe der statischen Momente (Flüchenmomente) sämtlicher Flüchenteilchen der Querschnittsfläche in bezug auf die Achse NN muß — Null sein, woraus nach der Lehre vom Schwerpunkt⁷) folgt, daß die Achse NN eine Schwerachse der Querschnittsfläche ist.

Da dies für alle Querschnittsflüchen gilt, die durch den Balken hindurchgelegt werden können, so erhält man den Satz:

Die neutrale Faserschicht geht durch die Schwerpunkte sämt-' licher Querschnittsflüchen hindurch.

Nach der dritten Gleichgewichtsbedingung muß in bezug auf jede beliebige, also auch z. B. in bezug auf die Achse N das rechts herumdrehende Moment M der äußeren Kraft P gleich der Summe der Momente der in der Schnittfläche wirkenden Spannungswiderstände sein, welche für sich eine Drehung nach links hervorbringen würden.

Letztere werden in Figur 11a dargestellt durch das Säulenmoment des Spannungsdoppelkeiles, und man erhält daher nach Gl. (8) bezw. (11) S. 14:

worin 2 (fy²) = J bezug auf die Schtt

Nun ist nach Fig. 11a:

oder:

^ = sl:S(fy²) = s₁J    ^

Trägheitsmoment der QuerschnittsM^ e NN bedeutet.    y>

in

S,=

k.

\V

Folglich wird:

.0

M k, — = k₂ ¹    . . > . \5vxvX(14)

¹ e, ² e₂    oAy x ’

ei

e₂

(15)

k₂W;

Also nach Gl. (14):

(16)

Meistens liegt der Schwerpunkt des Querschnittes, also auch die neutrale Achse in der Mitte der Höhe; es ist dann et = e₃ = e; folglich auch Wt = W₂ — W, und man erhält:

(17)

l = kW

oder:

Bieguugsmoment — Spannung X Widerstandsmoment.

Da f als Flächenteilchen ein quadratischer Ausdruck ist (Breite X Höhe), so erscheint das Trägheitsmoment stets als Größe vierten Grades, das Widerstandsmoment als Größe dritten Grades.

Trägheitsmoment und Widerstandsmoment in bezug auf die Schwerachse sind nur abhängig von der Form und Größe des Querschnittes.

§ 5.

Trägheitsmomente und Widerstandsmomente.

Aus dem allgemeinen Ausdruck für das Trägheitsmoment:

J = 2(fy*)

ergeben sich für die verschiedenen Qnerschnittsformen bestimmte Werte, welche sich für das Rechteck und die ans Rechtecken zusammengesetzten regelmäßigen Figuren, für das Dreieck und für den Kreis mit elementaren Mitteln berechnen lassen; in allen anderen Fällen aber durch Integration zu bestimmen sind.

Fig. 12.

f-h.lv---I

/□ -£

s—

:y

s-

7 4 Jv : r

xv

*.....b

Bei dem Rechteck von der Breite b und der Höhe h (Fig. 12) entsteht durch Aufträgen der Abstände y von der Schwerachse 8 auf den zugehörigen Flächenteilchen f ein Doppelkeil mit der Keilkante 88.

Der Inhalt eines Keilstückes ist:

bh _h 2 ‘ 2

bh²

y'_y"_ ^

2

und der Abstand des Schwerpunktes desselben von der Achse 8:

y,„ =

CM CO

Folglich:

bhä h _

™ .........“3 — 12

Danach ist unter Berücksichtigung der Gl. (10) S. 14 das Trägheitsmoment des Rechteckes in bezug auf die Schwerachse:

V.ym = (r+V")ym =

bh⁸

bh³

12

(18)

Für den besonderen Fall, daß das Rechteck ein Quadrat von der Seite a ist, erhält man:

J=.a

12

(19)

Fig. 13.

Fig. 14.

Fig. 15.

1-

s.

_s

h // •

-- :/« ;/f

- I-M- n

I.....M !

Fig. 13 kann angesehen werden als Differenz der beiden Rechtecke BH und Bh; folglich ist das Trägheitsmoment dieses Querschnittes gleich der Differenz der Trägheitsmomente der beiden Rechtecke; also:

j ₌ BH³ Bh³ _ B(H³ — h³)

12

12

12

Fig. 16.

Fig. 17.

WMm

x-x-l

M-

ME

Ebenso lassen sich die Querschnitte Fig. 14 bis 17 ansehen als Differenz der Rechtecke BH und bh; also:

BH³ bh³

12

12

Fig- 18.

Fig. 19.

Fig. 20.

fr

b/₂

yv//.

i.....i......|

FÄ

d'd ist die Verlängerung der Faser, deren ursprüng

FHr+®4

4l2 (l, + l2)

wobei für k der kleinere Wert der nach der Tabelle § 1 @. 4 zulässigen Inanspruchnahme gegen Zug oder Druck einzusetzen ist*).

,\

Sx- Ax

2. Tabelle der

Die graphische Statik

¹

Für ungehärteten Federstahl (Belastungsfall II, Biegung) ist: k — 3600.

„    ) „ : k = 4300.

Für die gehärteten Federn der Lokomotiven und Eisenbahnwagen kann man etwa annehmen: k — 6000—8000.

²

Nach Bach kann gewählt werden:

k — 637 kg/qcm für wenig angestrengte Ketten, k^509 kg/qcm für häufiger benützte Ketten, k§318 kg/qcm für Dampfwindenkelten u. dgl.

³

Nach R. Land. Vgl. Zeitschr. d. V. b. I. 1897, S. 1246.

⁴

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Ausl., § 6.

⁵

Bei Schachtgestängen nimmt nran wegen der beständigen Bewegung die zulässige Beanspruchung zweckmäßig geringer an, als sonst nach Belastungsfall II zulässig wäre.

⁶

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Anst., § 7.

⁷

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Aust., § 9, Gl. 36 S. 42. Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aust.

FÄ

Die Querschnitte Fig. 18 bis 20 können dagegen aufgefaßt werden als Summe der Rechtecke BH und bh; folglich:

BH³ . bh³

12

12

Die Größe des Trägheitsmomentes eines bestimmten Querschnittes ist abhängig von der Lage der Achse. Bei den bisher aufgeführten Trägheitsmomenten ist die Achse stets Schwerpunktsachse und zugleich Symmetrieachse; d. h. sie geht durch den Schwerpunkt des Querschnitts und teilt denselben in zwei symmetrische Hälften. Das Trägheitsmoment in bezug auf irgend eine andere Achse 00, welche der Schwerpunktsachse 88 parallel

ist und den Abstand a von derselben hat (Fig. 21), kann folgendermaßen bestimmt werden:

Ist f irgend ein Flächenteilchen, so ist das Trägheitsmoment desselben in bezug auf die Achse 0:

f (y+a)

c

Folglich das Trägheitsmoment der ganzen Fläche: J₀=2f(y+a)

J₀ = 2 (fy² + 2 fy a -f fa²)

J₀ = 2(fy²) + 2a2(fy) + a²2(f)

Fig. 21.

/c.....*

8-4-

0- -x

rxe

<■—o

Das erste Glied der rechten Seite ist das Trägheitsmoment der Fläche in bezug auf die Schwerpunktsachse; in dem zweiten Gliede bedeutet 2 (fy) das statische Moment aller Flächenteilchen in bezug auf die Schwerachse, welches nach der Lehre vom Schwerpunkt gleich Null ist; folglich muß das ganze zweite Glied — Null sein. Das dritte Glied ist, wenn F die ganze Querschnittsfläche bedeutet, — Fa².

J₀ = Js + Fa²

(20)

Danach ist:

d. h.: Man erhält das Trägheitsmoment tu bezug auf eine der Schwerachse parallele Achse, wenn man zu dem Trägheitsmomente Js in bezug auf die Schwerachse das Produkt aus der ganzen Querschnittsfläche und dem Quadrat des Abstandes der beiden Achsen hinzufügt.

bh³

Für ein Rechteck b x h ist z. B. das Trägheitsmoment in bezug auf die Schwerachse:

12

Folglich ist das Trägheitsmoment in bezug auf eine durch die untere Kante des Rechtecks gelegte Achse, da hier F = bh und a — ¹j., h einzusetzen ist:

oder:

Jo

bh³

12

_ bh3 J° — z

Nach Gl. (20) ist das Trägheitsmoment in bezug aus die Schwerachse von allen Trägheitsmomenten das kleinste.

(21)

Fig. 22.

Fig. 23.

»■

''S

J ;xo

ö*

h.Q.-Q.tk.

BH³ . bh³

Bei den Querschnittsformen Fig. 22 bis 24 ist das Trägheitsmoment in bezug auf die Achse 0:

Wird mit F die ganze Querschnittsfläche und mit x? der Abstand des Schwerpunktes derselben von der Achse 0 bezeichnet, so ist das Trägheitsmoment in bezug auf die Schwerachse:

Js = Je-F^

Zur Bestimmung des Schwerpunktsabstandes x₀ ist der S. 13 angeführte Satz anzuwenden: Das statische Moment der ganzen Fläche ist gleich der Summe der statischen Momente der einzelnen Flächenteile in bezug auf eine beliebige Achse. Danach ist in bezug auf die Achse 0:

Fx₀=BH-^ + bh.

_ BH² + bh2 *-— 2F

L-.

Fig- 24.

10

Fig- 25.

ÄS

Z. B. ist für ein Winkeleisen 10 X 10 X 1,2 cm (Fig. 25) ohne Berücksichtigung der Abrundungen¹):

F = 1,2 -10 + 8,8 -1,2 = 22,6 qcm

X0

1,2 • 10² -f- 8,8 • 1,2²

Jo

2 - 22,6

1,2-10» . 8,8 -1,2³

2,94 cm

405

Fig. 27.

Js == 405 — 22,6 - 2,94² = 210 «Hfl- 26.

!)

; r.

'-H

%h

Sh

S-

Sh

o-

-o

l-

Für ein Dreieck ABC von der Grundlinie b und der Höhe h (Fig. 26) ergibt sich durch Aufträgen der Abstände y von der durch die Spitze gelegten Achse C (|| AB) auf den zugehörigen Flächenteilchen f eine Pyramide. Die Grundfläche derselben ist — bb, die Höhe — b; folglich der Inhalt:

b.h²

Y = bh.|

und der Abstand des Schwerpunktes derselben von der Achse C²):

Jm=SU h

Nach Gl. (10) S. 14 ist dann das Trägheitsmoment des Dreiecks in bezug auf eine durch die Spitze C gelegte, der Grundlinie parallele Achse bezw. Ebene:

Je = V - ym

bh²

CO

bh³

In bezug aus die Schwerachse 88 (Fig. 27) ist ferner nach Gl. (20)

S. 20:

J,

.Ts = Je -F(%h) bh³ bh

bh³

2 (²/sh)²    36

und in bezug auf die Achse 00:

J°— 36

J₀=Js + F(V₃h)²

bh⁸ . bh

h-ö-e/sh)

bh³

12

Ein Kreis kann angesehen werden als bestehend aus sehr vielen Dreiecken, deren Spitzen mit dem Mittelpunkte des Kreises zusammenfallen, und deren sehr kleine Grundlinien b auf dem Kreisumfange liegen. Ist r der Halbmesser des Kreises, so ist das Trägheitsmoment eines solchen Dreiecks in bezug auf den Mittelpunkt C:

bi’³

und die Summe der Trägheitsmomente aller dieser Dreiecke, d. i. das Trägheitsmoment des ganzen Kreises:

r³

Je = -T2(b)

Da aber 2(b) gleich dem Umfang des Kreises — 2i’te ist, so wird:

r*K

Jc =

r³

•2^- ₂

Führt man den Durchmesser d ein, setzt also r = ^ , so ergibt sich

für das Trägheitsmoment des Kreises in bezug auf die durch den Mittelpunkt gelegte, rechtwinklig zur Bildfläche stehende Achse, d. i. für das polare oder zentrale Trägheitsmoment des Kreises:

T dTit

J    32

Zieht man (Fig. 28) durch den Mittelpunkt des Kreises zwei rechtwinklig aufeinander stehende Durchmesser XX und YY, und ist x p der Abstand eines Flächenteilchens f vom Mittelpunkt, so ist das Trägheitsmoment dieses Flächenteilchens in bezug auf die winkelrecht zur Bildfläche stehende Achse C:

fp² — fx² fy2 Für die Summe aller Flächenteilchen wird dann:

. . (22)

mg. 28.

.Y

oder:

2(fp²) = 2(fx²) + 2(fy²) Je — Jy "4“ Jx

Da der Kreis eine nach allen Seiten hin symmetrische Figur ist, so ist:

Folglich:

jy = j,, = j

Jc ----- 2 J

Das Trägheitsmoment des Kreises in bezug auf einen Durchmesser

d⁴7T

ist danach:

J,

64

• (23)

Die Ringfläche (Fig. 29) kann angesehen werden als Differenz zweier Kreise von den Durchmessern D und d; folglich ist das Trägheitsmoment derselben:

J — _(D⁴— d⁴)7C

Fig. 29.

64

• . (24)

Moment:

Die Widerstandsmomente der verschw-denen Querschnitte ergeben sich nach Gl. (15) S. 17, wenn man die auf die Schwerachse bezogenen Trägheitsmomente durch den Abstand e der äußersten Faser von der neutralen Faser dividiert.

Für das Rechteck b X h ist e = folglich ist das Widerstands-

w ¹⁾¹¹²

>Y —    ......

6

Für den Kreis vom Durchmesser d ist e — -c. ; daher:

d³z

(25)

33

(26)

Bei den Querschnitten Fig. 22 bis 26 haben, da hier et nicht — e₂ ist, die Widerstandsmomente für die untere und obere Kante verschiedene Werte.

Für das Widerstandsmoment der I-Querschnitte läßt sich ein Annäherungswert aufstellen, welcher bei der ! vorläufigen Berechnung genieteter Träger vielfach gute ; Dienste leistet. Bedeutet (Fig. 30):

F die Querschnittsfläche eines Flansches bezw. einer Gurtung,

F₁ die Querschnittsfläche des Steges oder Stehbleches, h₀ den Abstand der Schwerpunkte der Flanschen oder Gurtungen,

so ist in bezug aus die wagerechte Schwerachse XX das Trägheitsmoment der beiden Flanschen (oder Gurtungen) angenähert:

m

yt—

Fig. 30.

-x

Jl

und das Trägheitsmoment des Steges:

12

Folglich das Gesamtträgheitsmoment:

J    ch- J^ :==

dh» F'X

12

r(E + w)

Durch Division mit ergibt sich das Widerstandsmoment: W^h^F + VaFO

oder erforderlicher Querschnitt eines Winkeleisen-Flansches:

(27)

h₀ 6

F=W F

Fig. 31.

Aufgabe 15. Das Widerstandsmoment eines aus Stehblech und Winkeleisen zusammengesetzten Trägerquerschnittes soll W = 29QO betragen, die ganze Trägerhöbe sei h — 72 cm und danach schätzungsweise h₀ — 66 cm. Die Stärke des Stehbleches ist ä — 1 cm. Es sollen die erforder- , lichen Winkeleisen berechnet werden.

Auflösung. Die Querschnittsfläche des Stehbleches ist

Zl

angenähert:

Fx = d h₀ = 1 • 66 = 66 qcm

/0*/Ox/

baher nach Gt. (27):

2900

F — 6ß---11 =33 qcm

Jeder der beiden Winkel einer Gurtung erfordert danach den Nutzquerschnitt !/₂F = 16,5 qcm und bei Nieten von 2 cm Durchmesser den Gesamtquerschnitt:

1=16,5 + 2 • 1 = 18,5 qcm

Dafür genügt der Winkel 10 x 10 x 1 cm mit f = 19 qcm.

Für diesen Querschnitt (Fig. 31), welcher als Differenz von Rechtecken betrachtet werden kann, ergibt sich genau:

21 - 72* — 18 - 70³ — 2 - 52*

s-

12

2(+ 6 • 30,5²) = 104082

Folglich:

Nietabzug

.1    _ 104082

/7h —    36

— 2891.

In der folgenden Tabelle sind die Trägheitsmomente und Widerstandsmomente für die wichtigsten und am häufigsten vorkommenden einfachen Querschnitte zusammengestellt.

Nr.

Querschnittsform

Trägheitsmoment I Widerstandsmoment

a⁴

a³

12

im

ß 'S

a³

fl.-'

S'

6 V2

A⁴ — a⁴

A⁴ —a⁴

12

'......A -

:-y

A⁴ — a4 12

A⁴ — a⁴

A\

bh⁸

bh*

12

B(H³—k³)

B (H³ — h³)

mMm

12

6H

•4ü4 :

BÄ

.1

BH³+bh³

BH³ + bh³

12

6H

!<-*

//! Älr;

Nr.

Querschnittsform

Trägheitsmoment

Widerstandsmoment

tu

BH³—bh³

BH³ —bh³

: ' '4 *|

Ai—iv H-

i........;

kB *

Ö3; |X]

12

I

Q K\ —A jff—34 |A B(H⁸~h⁸)+b(h⁸-h⁸) B(H⁸-h⁸)+b(k⁸-h⁸) ''    i wCLn-h    12    6H

k B *

kB

•>

10

5 /3

1V, a⁴ = 0,5413 a4 lo

001 G<

cd

’a*

11

ai —-1

5/3^

a⁴-^ 0,5413 a⁴

0,5413 a³

12

bh³

bh³ 4

36

24

co

d⁴7U

ds7U

64

32

(D⁴ — d⁴) tu

32 D

SS

*-4 - -

-- *

bhsTU

bh⁴TU

64

32

'JOT.

6.

Tabellen der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente verschiedener Profile*).

x-

iitzf

1. D@ifen.

b — 0,25 h -j- 2,5 cm R = t; r = 0,5 t

Neigung im Flansch = 8 % (= 1:12x/₂) Normale Längen Größte Länge

— 4 bis 8 m.

— 12 m.

Höbe Breite h b

Dicke

Steg Flansch

Fläche Gewicht Y für 1 m in kg

Abstand

des

Schwer

punktes

Trägheitsmoment

Widerstands

moment

Nr.

qcm

x₀

Jx

ly

Jo Wx Wy

00    02 Ol ^    00

bi

0(M^OGOO<M^OGOO

t-It-It-It-It-103C<](M(M(MCQ

O O    o 00    00    <1    02    02    pi    Ol Jp* ^    03    03    03

bi    o bi    ©    bi "o bi    O    bi    o bi lo "oo bl    co

t—⁴    o    O    O    O    0    0    0    0,0    _o    ©    ©    ©

©    © "©    "o    o    Qo    Go    V]    V]    02 02    bi    "bi    bi    bi

Oi    Ol    Ol    Ol

1,31

1,33

1,37

1,42

1,45

1,55

1,60

1,75

1,84

4,26 2,68 7,10 3,08

CO

GO CR Ut

IO

OCM-hOGOO'M-^OGCO H H t—I 7—i -T—I CM CM CM CM Ol CC

*) Z. T. Auszug aus dem „Deutschen Normalprofilbuch für Walzeisen",

5. Ausl.

2. I-Eisen. b — 0,25 h + 3 cm d = 0,035 h+ 0,3 cm t — 0,05 h + 0,3 cm

Die Dicke cl ist auf halbe mm abgerundet. R — t; r = 0,5 t Normale Längen — 4 bis 8 m. Größte Länge =12 m.

x------

«... -

Höhe Breite

Dicke

Fläche Gewicht Trägheitsmoment Jx jy

Steg ISIcmfä) F für Im in kg

qcm

Widerstandsmoment WX Wy

Nr.

CO Ist CD GO

O CM ^ CD GO O

H H H t—i rH Ol

Gopppp o<ppppp

"ob* o"o'"o<bi o'bt'bci"o"oo

p © © © © o © © o o p "go V] "05 05 "st' "ü'P P Ql    Ql

O CD 00

pist § cp, p cp 05, cp p cqCO, ©" O ©" o" o" o" o" t-T t-T t-T th"

(M CO [> H

COpp05^pnq(M 05 ist CO p 'ch ist cd" t>" t-T P co" cm" i> co" go" rH 1—l rH (M (M co co

t>- co go t>*

cq,CM pppco <M 05,ist pcq co" ^h" io" cd" go" t-T tjT t>" H cd" o"

t—I T—I rH (M (M CO

109

222

402

p cp op H p p CO CO ©" t>" cm" HHNCO^IC-

676

1059

1598

2298

CD G0 tH H GO OüOC-O ■H T-l CM CM CO

W^WCD05^DOHH o oc topp ^ Pppp p "05 "o    05 "cd "cji Vi "©

W W tO K H H P po p p 00 p p p p p 00 -O 05 "o "co 00 © "h-¹ "o 00 "05 GO 00 00 05 o

O CM r* CD GO O t—I rH rH tH tH CM

Trägheits- und Widerstandsmomente der 2-Eisen bezogen auf die Hauptachsen.

K,

fei

>W

X_Z_1

a .*

"" JI

Nr.

tg a

Trägheitsmoment

Jl

'Tll

Widerstandsmoment Wn

Ungünstigste Belastung in der Ebene EE Nr. Wmin | tg 8

CO »st CD GO

O CM ^ CD GO O rH rH -i-H h t—I CM

mVoh

ist CO

>pp_ppppp p ist, r-T co" ist" i> tF t*" r-" cd" 05" © d-

H W CO iO I> H ^

GO 05 00 bO h-L 00 O pD p 00 _CD 05 p O 05 GO Ü* <1 Va 05 05 tD CD

i—l CO CD CO tJH CD p GO p p p 03 ist, CD, p Q_ p

t—Tt-T cm" co" cd" äs cm" cd" t-T i>"co"

t-I rH CM (M CO

H W lO O l> lO

p 2O t> t> cq,co p rH t> p rH t-T cd CO cd" cd cm" cd" iH cd" co

rH rH CM <M CO

p ptp'p' p 00 00p O O p

Tv CD V "o k- "cd "oo o 00 Va "c<

O5Q0G0CDO5-vaü'05O5b0O'' CD CD

CO ist CD CO

ow^ciGco

t—I i—l t—I r-f rH CM

ff?

</-

X—

-X

3. I-Eisen. Für h < 25 cm ist: j

für li > 25 cm ist: | jj t — 1,5 d;

b = 0,4 h -|- 1 cm d — 0,03 h -|- 0,15 cm '' = 0,3 h + 3,5 cm d — 0,036 h ß = d; r = 0,6 d Neigung im Flansch — 14 °/₀ (— 1: 7) Normale Längen Größte Länge

= 4 bis 10 m.

— 14 m.

Breite

<s\

Fläche Gewicht¹ Trägheitsmoment

qcm

für 1 m in kg

Jx

Jy

Widerstandsmoment Wx I Wx

Nr.

CG GC

b» "bi    ________________

H? © OO. S S 05 Ol K ^ W 00 Jo Jo p p p p „© © „CG „CG „CG „GC 00    <1 „-3 „© C5 „Ol Ü» O* „4-

b' b> bi OD "b bo bi b) bo bl 1—*■ bl 4o COGOJOGL’OGOl^OOißiGO^CGlOGDtf-OGM

0,59

0,63

0,68

0,72

0,77

0,81

0,86

0,90

0,95

0,99

1,04

1,08

1,13

1,17

1,22 I

1,26

1,31

1,36

1,41

1,47

1,52

1,57

1,62

1,73

1,83

1,95

2,05

2,16

2,30

2,43

2,56

2,70

3,00

3,24

7,57

8,99

10,6

12,3

14,2

16,1

18,2

20,4

22,8

25,2

27,9

30,5

33,4

3L,3

39,5

42,6

46,1

49,7

53,3

57,1

61,0

64,8

69,0

77,7

86,7

97,0

107

118

132

147

163

179

212 •

254

5,91

7,02

8,28

9,59

11,1

12,6

14,2

15,9

17,8

19,7

21,7

23,8

26,1

28,3

30,8

33,3

35,9

38,7

41,6

44,5

47,6

50,6

53,8

60,6

67,6

75,7

83,4

91,8

103

115

127

140

166

199

77,7

117

170

238

327

435

572

734

933

1165

1444

1759

2139

2558

3055

3605

4239

4954

5735

6623

7575

8619

9785

12493

15670

19576

23978

29173

36956

45888

56410

68736

99054

138960

5    05 Jo „S ^ p _02 Jo 00 05

w ^ co bo b» b* V] Io b* 4o lo bi IO

lüIIIISSälllilSsSli

1088

1262

1459

1739

2040

2375

2750

H602

4632

2,99

3,81

4,86

5,99

7,38

8,85

10,7

12,5

14,7

17,1

19.8

22,6

25.9

29,3

33,3

36,9

41,6

46,4

50,6

¹ 56,0 ! 60,8 ! 66,1

71,9

84,6

98,1

114

131

150

176

203

349

503

CG GC

3a. Breitflanschige Differdinger Träger (System Grey)*)

R = d

Neigung im Flansch — 9"/o (—1:11).

,i,d

-X

'st

L--*

Dicke

Höhe Breite

b Steg

Flansch t, t₂

>> Fläche Gewicht Trägheits-F für 1 m qcm in kg

Moment

Jx

Jy

Widerstandsmoment Nr.

Wx Wy j

0,9    1,67

0,95 1,81 1,0    1,95

1,05 2,09 1,09 2,17 1,17 2,29 1,2    2,36

1,24 2,44 1,27 2,52 1,33 2,63 1,41 2,7

2,03 3,3 2,14 3,4 2,26 3,52 2,45 3,7

59,9

70,4

82,6

96,8

105.1

115.6

123.2

131.8

141.1

152.1

160.7

167.4

181.5

191.2

203.6

213.9

229.3

242

261,8

288

300.6 314,5

335.7

47

00 CO

76

82,5

90,7

96,7

103.4

110,8

119.4 126,2

131.4

142.5 150,1

159.8

167.9

180

190

205,5

226,1

236

246,9

263,4

*) Aus Prvfilbuch 1904 der Deutsch-Luxemburgische» Bergwerks- und Hütten-Aktiengesellschaft, Differdingen (Luxemburg).

*o:

Breite

Dicke

ist

K.

Qt

Ist

C<

cd"

Hpc    p Op    000    opp    p OO    pp    pp    pp    pp    pp

"o"oo 05    0 00 05    "cd Vidi    "cDVi'bt    00 05"^    ©V    u    Ho    Ho    Ho

4. Gleichschenklige Winkeleisen.

dmin — 0,1b

—    0,1b -j- 0,2 cm

—    0,1b -s- 0,4 cm dmin — 0,1b — 0,1 cm

für b > 10 cm ist: d — 0,1b -s- 0,1 cm dmax — 0,1b —|— 0,3 cm

Für b — 4 bis 10 cm ist: d Vj-S    d

' >-

Die Schenkelbreite b ist auf volle cm abgerundet.

dmin ~\~ dmax .

Normale Längen — 4 bis 8 m. Größte Länge — 12 m.

Fläche Gewicht

qcm in kg

03 Ist    03 ist    Ol »st    Ir |r    [T [r    GOCOO    O CD rh    O CD rh    H CO I>    H st O

00^0_    TH rh    rh^Oq    03 oq    CD^GC_    0^00^    pGO^p    pp01_    C0^03^0_    O5_0^0^

o" 1-h"    1-h    rh"    r-T r-T    03" CO    03" co"    co" rh" ist"    rh" Ist" I>"    rh" cd" 00"    cd" 00" o"    cd" 05" rh"

Abstand

des

für 1 m Schwerpunktes

rh Ol    O* CO    rH rh    t> ist    0003    O 05 03    CD t> CO    ist 03 CO    Ol 03 ist    05 rh CO

CD^GC_    QO^rH^    T-qrh    Dq ist_    OO^    rh^rhist^    cqptq    Lq rH^ rh_    O_rf^G0^    pp CD

o" o"    o" r-T    th" h    t-T 03"    03" co"    03" cd rh"    cd rh" Ist    CO ist cd    rh" cd" 1>"    ist" t>" GO"

Xo

H-    H- H- H- OO OO OO OO

00 rH    o rh    CO CD    05 CD    O 00    03 O 00    00 CD rh    O 05 CD    CD rh 03    05 ist

rh ist    CD CD    I> I>    GO 05    OO    rH 03 03    Ol CO rh    rh rh ist    ist CD O    O    O 00

Trägheitsmoment

Widerstands

moment

Jo J

Jx

Jy

max

min

Ws

Wx

b=max

Nr.

CO

H^CO 05" Ol" rh" rH rH

05 00

CD 05^    rh rprH -h CG rh HHH

t>"05"03"    03"cd"05"    D-"co"00"    [r    rH⁻1—T    CD    CD"ist"

rH    rH rH H    tH 03 03    03    CO rh    CO    rh ist

l> Ist O Ist

rh p05_    OD^SD    ©CDO^    CO_ p rh_    00^03^05^

rh" CD" t>"    I>" O" 03"    r-T rh" t>"    [r Dl" CD"    of 05" rfT

rH rH    rH rH rH    rH 03 03    03 03 CO

CO

COOO^    O5^cq_G0_    rh OO    'GOCOO    ist_ist G0_

00" 03" l>"    rh" r-T [V    o" 05" GO"    03"    rh" CD    Ol" t>" 03"

HH    H 03 03    03 03 CO    CO    rh ist    rh    ist ic-

CD I> GO ODO 05 03 [> rh ist 00 CD OO Ol CO rh ist O CD 03 CO

0,15

0,19

0,28

0,36

0,45

0,58

0,86

1,22

1,19

1,71

1,56

2,26

2,90

2,44

3,32

4,13

3,05

4,15

5,20

4,40

5,75

6,95

5,30

6,90

8,40

0,23

0,28

iy₂

0,44 y 0,55    *

0,72

0,91

2V,

1,35 o 1,84 d

1,90

2,63

37,

O 03 OO    HCDrfl    HCOtH    rh CD    rH

C^T-^Cq    05^itq05^    OQCO    »ODO

cvf CO" rh"    CO ist" cd"    rh" cd" i>"    d-T go" ©    oo" o" CO

rH    HH

ist

CD

Breite Dicke b d

Fläche

Abstand

qcm

Gewicht

für Im Schwer-.    . Punktes

>n kg Xo

des

Trägheitsmoment

Jo Js

Jx

Jy

— max —min

Widerstandsmoment Wx

— max

Nr.

Ws

CO

ÜX

H-» © O V"coVl

8,70    6,79

10,98    8,56

13,17 10,30

-M

O Ö* xh"

xh oq co ad xh" xd

r—1 rH

7,33

9,26

11,13

>0 CO O l>* iO CO

go_ aq cq    aq © rq

rH rH GM xH CM GM

O CO O CO CO D-

cd gm" g" GO 2 S

xqpp

co" t-T co

CO xh xh

OIÜ'^

CO IO CO

ob w

53,0

65,4

76,8

67,1

83,1

97,6

"CR

00

rrp    rrP

co o co    co o oo

pxqcq    co rH aq

xh" xd cd“    gm" »cd i>“

HHH    HHH

8,94

11,00

13,00

9,57

11,78

13,94

CO xH 05    CO xh xH

H GM GM    GM CO xq

cm" gm" gm" cm" gm" gm"

111

140

170

135

170

206

aq t—q p    cq GM xq    O 03^ xq

©> rH rH    t-H tH rH    rH rH xH

K> K) K> MtOH K) H H _CO ÜqH-^ p to_CO HOOÜ'

"© m. To    "to Vi To    "go Vi Cr

rH co o    aqcqxh    ppp

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HHH    rH t—I GM    -i—I H GM

xh GM O    CM O 00    t> »st xH

irq cq cq    p aq aq    ©_ xh oq

gm" cm" gm"    gm“ gm“ cm"    co" cd co"

cd CO l>» rH CO tH CM GM CO

O O lO    O »st CM

grHCM    ggg    3

93,3

113

130

115

139

161

CO 00 00 rH CO »st

KJ K> I—*• CR I-¹- 00 O 00 ^

rfn 05 05 CO K) GO CO

03

X

KJCOH

WO-J

O 00 03 00 CM [-CM CO CO

GO O GM CO CO GM xh »st CO

319

CO

"cr'covl

CO

GM xh_ p

^ ^    05    05 05 05    05 CO    CO

Cr O    C    CO O    05 CO CR

© O    ©    05 Vl o    CO Vl V

oo^cqic    ^O^co    co^GM i-q

ad co"cd“    co" o"o"    t>" th" io"

H (M (M    GM CM CO    GM CO CO

CO xh rH    xh CM O    03 0 00

co xq tst_    p t> oq    oq o cq

cd co" co*“    co" cd cd    co" xh“ xd

626

745

864

© xh CO xh 05 xh CO CO xh

-J03 0'    CR    CO

OK) ^    O ^

CR CR M-    CR ^    CD

G0 GM D~    CO O O    xh 00 O    CO 05 O    CO H 05    C0 CM CO    CO CO CO

co" lV ©“    t>" gm" cd    xd ad xd    ad »cd cd    t>" o*" »cd    co" co" cd“    go“ ^ ⁰⁰

rHxHCM xH GM CM GM GM CO CM CO xh xh »st CO    G0 05    05

7,20

9,05

10,85

xq p Dq    O »st_ aq    p ist GM

go" © cm"    rH co" ist"    gm" ist" GO

t—I tH    tH t—I rH    rH tH    rH

»st GMp-t-T xd cd“

T—I T—I rH

6V,

140

162

186

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go" t—T io    xd ad cd    0"»cd r-T    ad co" cm"

H CM CM    CM GM CO    CO CO xh    CO xh ist

ppcq ppp    aqpp

co" co" ad    C-" t-T xd o" xd od cd xd ad

HHH    H GM GM    GM CM GM    GM CO CO

7V,

39,7

46,3

52,6

48,7

57,1

64,8

63,8

73,7

83,2

10

11

12

869

1020

1171

1176

1364

1554

GM O

lO

O xh O xh ist CO

750

194

223

251

ist O »st

öodic" lO IC co

81,6

93,3

104

CR 05 GO

13

xq p DD    Ist cq oq

xH xH xH    rH xH xH

K>

CR CR ^    CR »fH

«*aq-»p Hü»p GRQoV    "o Vl "cc

xqcq aq co co CO

05

qpoi

H"co

ist 05 03 CO GM O    xh xh »st

CO t> CO    GO 05 O

1014

1148

1276

1343

1507

1665

10. Aufl.

1745

1945

2137

262

298

334

347

391

438

453

506

558

köcq co" gm" th

CO D- 00

78,5

88,5

99,0

95,5

107

119

CM CO 05 O rH GM xH xH rH

127

142

157

05

»O^GO

05

14

15

16

Verhältnis

2:3

1:2

^ -------4

°    * = 1.3

X o"

i!

•P-_

Breite Dicke

Fläche

qcm

LO

co

CO

4-

bx

02

bx

PP PO OO PO "cdV] bibx b>b- b- OO

CM iC O* CO 02 lQ CO p OO p p p p p p r-T t-T CM" CO" 'F CD" OO" O"

6,5    10

10    15 I

6,5

10

5. Ungleichschenklige Winkelten.

^ — (annähernd)

Gewicht für 1 m in kg

Xo

T-l 'xh    rtf lO    T* tH

th p    pp    pp    pp

t-T t-T    cm" cm"    cd ib    cd" oo"

0,3

0,4

0,5

0,7

0,6

0,8

dmin

dmin d

;r— 2

(r ist auf halbe mm abgerundet). Normale Längen — 4 bis 8 m. Größte Länge

= 12 m.

Abstand des Schwerpunktes

yo J°i

0,49 0,99 0,79 0,541,03 1,08

Trägheitsmoment

Widerstands

moment

Jo₂ Jx

00 CO ü<02 02 ^

PP

H

^ ox

Jy J min W x

o 8

o o

Mk

PO

00 bo

Wy

O O 00 02

1,24 2,47 29,2 97,1 16,4 46,3 9,58 4,36 9,2 1,32 2,56 38,4 126 20,4 57,1 11,9 5,54 11,6

1,593,31 82,5 1,673,40 103

t> lO 02 CD CM CO

46,0 141 26,8 9,37 21,1 55,0 167 32,9 11,4 25,3

1,95 3,92 171 569 98,0 276 56,8 16,2 34,2 2,02 4,00 208 686 115 323 67,5 19,2 40,4

2,42 4,89 400 2,50 4,97 471

CM

CO CD CM CM

uO CO CO CD CO xO

649 134 30,6    64,2

743 153 35,2 j 74,1

1,72

1,34

0,44

2,25

4,29

5,85

6,89

9,01

1,76

0,48

1,43 0,81 6,32 0,47 1,47 1,12 8,44 0,60

oo co "bi oo 00 O

0,31

0,40

0,30    1,09

0,40    1,42

3,35

4,56

5,37

7,03

0,68

0,76

0,88

0,96

2,15 4,59 35,4 2,61 15,6 2,24 6,80 50,1 3,4120,7

2,85 13,0 101 7,63 45,0 2,94 18,0 136 9,65 57,6

1,71

1,13

4,05

2,28

4,99

6,41

1,52

5,51

2,45

3,17

8,74

11,4

10

13

16

0,8

1,0

1,0

1,2

1,2

1,4

20 1 X'⁴

1,6

11,5

8,93

1,12

14,1

18,6

22,1

27,5

31,8

40,3

45,7

11,0

1,20

O P '■F co"

_CO_3fi

0"2~C"-

pp

co"co"

pp 02" cm" rH cm

CM CD CO CM CO

116

142

12,8

14,6

5,05

6,03

18,1

22,4

14,5

1,45

17,2

1,53

pp

xh" cm"

io CD

CM CM CM l>-O* 00

O CO CM O» CO CO

35,4

41,3

10,7

12,7

38,3

45,2

21,5

24,8

31,4

35,6

1,77

1,85

2,18

2,26

5,72 209 1619 122 719 5,81 248 1899 135 826

79,4

19,6

69,9

86,0

22,0

81,1

02 D- ^ ^ iO

GM O rH CM

[>-" o"

3905

4231

1654

1862

182

205

36,1

128

40,8

145

Breite

CD QC ^4 05

O (M Th CD 00 O

rH tH ▼H t-H rH CM

6. Breitfüßige _I_-Eisen. d — 0,15 h + 0,1 cm; li — A

R = d; r = A; r'~ •'

Neigung im Fuß = 2°/₀ (— 1: 50) Neigung im Steg == 4°/₀ (= 1: 25) Normale Längen — 4 bis 8 m Größte Länge

Höhe

Dicke

iC

iv !•!

= 12 m.

Fläche ! Gewicht

F I für 1 m Punktes i tit kg

qcm    °    v

xo

Trägheits

moment

Jo

Widerstandsmoment Js Ws

Nr.

CO co" Th Th" LO CD t> 00 05 O

iO    1.0 iC iO

O CD t> GC 00 H CO Th CD. O O O O O 1—I rH 1—t 1—I rH

Ü' *4 CD tC “4 tO O

kn © "qi 00 O © Io "CD CD "05

<M CO I> CO 00

CD CD. i-H. 05 CO^CM O0_©^ 00^ Th^ CO Th"cd"t> 05"CO o"CO CO >0" HHCMdCO

t>t>000050i-l<MCOTh CD. t> 00 ©. CD CO iC t> 05. t-4

O O O T—I 1—1 t—I r-l 1—1 rH CM

I>* o O O t-i > o

Th"CO Th"CO CO CD -H CM CO CD

T-i -h CO CD (M O CM 00 rH CM CO Th

CI 00 00 00 o c⁻hhcocdhgoc^

§ 3 00 I> t> O 05

(of-AiV —    —

rH lQ O Th 00 05 rH CD. 1CD c- 0_ CD___ CD_ tH_C0__ tH t-TOl" CO Th 00" cm"CO cd"in" HH(MCO

6/3

7/3¹/,

8/4

9/4l/₂

10/5

12/6

14/7

16/8

18/9

20/10

7. Hochstegige leisen, d = 0,1 h + 0,1 cm; h = b

E = d; r = A; r'=- -

Neigung im Fuß und Steg = 2 °/₀ (= 1: 50) Längen: wie oben.

S — ’ T----~T£----S

₀-i.HV Vh;₀

Breite Höhe Dicke Fläche

Gewicht für 1 m in kg

Abstand des Schwerpunktes

Trägheits

moment

Wider

stands

moment

Nr.

x₀

Jo

Js

Ws

iO iO lO.

CM CM" CO C0" Th Th" iO CD Cr G0 05 © 04 HH

4^ 40 O CD 00 -Hl 05    CD JD CO

"ü' "üi Tr

H-    O © 0^0 CD 0^0 CD,0^0

Qi 00 HOC GeV] 05"ct Ü<k-k^"cd"cd

4h CD M O4 tT CD^ CO. 05 CO.CD^ rH_ 05_ CO 05 th" r-T cm" CM" CO" Th" >o" r-" O" C0" I>" O" 05" 05 1—I -rH 1—1 CM CM CO

0,87

1,28

1,76

2,32

2,94

3,64

4,42

6,19

8,27

10,6

13,3

16,3

23,1

31,1

0,58

0,73

0,85

0,99

1,12

1,26

1,39

1,66

1,94

2,22

2,48

2,74

0,76

1,63

3,35

6,01

10,0

15,5

23,0

45,7

84,4

141

224

336

3,28 I 684 3,80    1236

CO 00    2 (M 23 TH 00 iC i>

©" O" t-T CO lO oo" 04 00 -t" CO

05 05 CD O H l> CD CD -i—l t-H CO CD

^ ID ^ 00 tD GO O* 00 IO _H*- 4-^ CC CD ,0

oo Vi o 05 co oo Vi k- oo ot 00 To 00 V To

*    CsJOCOiK^COOC'^l

O <M Th

oTl^ccdll^^lS^cD"    <m Th

w cc 4

*■

h X-

4äU'_:

„As¹"-.x

;<• An

8. Zores-Eisen (Belag-Eisen), a = 0,5 h -|- 0,8 cm r₁ = d b = 2 h -|- 2 cm c — 0,3 h + 0,6 cm r₃ — d = x/3 0h -f- 0,14 cm r₄= 0,6 d-f-0,13 cm t — x/l5 h 0,19 cm

Normale Längen — 4 bis 8 m.

Größte Länge — 12 m.

r₂ — d — 0,05 cm

Höhe

oben

Breite

unten

Dicke

Fuß

Steg

Kovf u. Fnß

Fläche

Gewicht für 1 m in kg

Trägheits

moment

Jx

Widerstands

moment

Wx

Nr.

3,3

12

3,8

14

2,1

0,3

0,5

6,71

5,24

23,2

9,27

7,5

4,55

17

2,4

0,35

0,6

9,34

7,28

47,2

15,8

11

5,3

20

2,85

0,4

0,7

13,2

10,3

iu:.

6,3

24

3,3

3,9

r2n-x

0,45

0,5

0,8

0,9

17,9

24,1

14,0

18.8

206

421

27,9

71/2

45,8

76,5

11

r/

ri

.1

t LI

ii

Ö-»

9. ^'--Eisen (Quadrant-Eisen).

B — mittlerer Radius b = 0,2 B -j- 2,5 cm rx — 0,12 B; r₂ — 0,06 B Längen: wie oben.

Fläche

1*1

Gewicht für 1 in in kg

des vollen Rohres.

Trägheits

moment

Nr.

3,5

7,5

4,0

10

4,5

12,5

5,0

15

5,5

ro,4 X 0,8 |0,6

0,6

0,9

1,0

X 1,4

1,2

"1

\E

0,6

0,8

0,8

1,0

1,0

1,2

1,2

1,4

1,4

1,7

00 00 Ot ^ to

*0^000

O GO

23,3

37,4

42,8

62,5

68,7

576

906

2068

2982

5 511

71/2

120

129

169

179

249

94,0

101

132

140

194

7478 12161 15 788 23637 32 738

10

121/2

15

o.⁻:

10. Handleisten-Eisen.

rx = 0,15 B r₂ — 0,1 B p = 0,05 B bt = 0,45 B b₂ = 0,75 B Längen: wie oben.

B — B H = 0,45 B d = 0,2 B b = 0,5 B h = 0,25 B

ri

r2

P bx b₂

Fläche Gewicht F für 1 m Nr. in kg

1,8

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

2,7

1,5

1,2

0,9

0,6

0,3

10

3,6

2,0

1,6

1,2

0,8

0,4

12

4,5

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

3,0

1,8 3,0 2,7 4,5 3,6 6,0 4,5 7,5 5,4 9,0

4,20

3,28

9,46

16,8

26,3

37,8

7,38

10

12

11. Wellbleche.

nähernd:

Das Widerstandsmoment für 1 m Breite ist an-

'jth

(¹⁷+⁴⁰t)m

Das Gewicht für 1 qm bei 1 mm Dicke ist annähernd:

G = 7,8(2^+ 0,57) kg

Der Querschnitt für 1 m Breite und 1 mm Dicke ist annähernd:

F= 10 (‘2 || + 0,57j qcm

u Wellen- Wellenbreite

Y Höhe

Widerstandsmoment W für 1 in Breite und für § — b 0,075    0,1    0,125    0,15    0,2    0,25    0,3 cm

Flaches Wellblech

03"

03"

.0

03 hH CD CO

Qi

O 03

o in o in o

rH rH 03 03 CO

o ^in co^gc_o_ in o in o in 1—1

H rH 03 03 CO

co GC_CD_in CO^ co" co" o" t>-" rH" th"

tH 03 03 CO ^

CO^ CO^ CC_ O CO_

cd i> in" HtT co" rn" rH 03 co in

05_ t> 05 CO^ CD 05 O O rH -t—I 03

03 co ^ m co

03^ CC^ 03^    00 co

co" t>" rH in" 00 m" rH 03 in CD GO

in in G0 o co I ^"rHOOcdco"

¹ C0 in CD GO o

rH

^00 in (N 05^ I th" th" 03" cd cd

¹ ^ CO 00 O 03

rH tH

^ CO CC

00

GO o

03 CO O 'ch rH rH 03 03

in 03^05^

t-T [>" 03" GO" HfT rH rH 03 03 CO

coosiooi^ao in" 03" o" co" in" rH 03 co co ^

1—I CO^ rH GO CO 05 00"odt>-"t> rH 03 CO in

03'i#CCC0^t>

co" "d in" co 01 co ^ in co

co cq^o ^co

O in T—I CO rH C0 ^ CO 05

GO o- co in ^ co in o- 05 rH

co co cq.iö io

ist CD

in"oo"rH^"c-" rf CD 05 rH C0

Trägerwellblech

1,5

CO GO

CO 05

1,0

o m co co o m

rH rH j    rH rH

03 in QO

■i—l t—( rH

00 05

LO O

<o cq_ rH tt- 03 co o" co" co" o" in ns i-T rH (M 01 co xh 03 co in

05 Cn 4^> 0G Ol 4H OG t>5 1-1 00_05_CJ1 _4^    _0G    _Ü1 05 -0

"OG"cO"4-"h- OG 4-^"O» 05"00

cq_cq_iC5_co co^G0_rH r# of co ntT in" co" of cd" rH in m co ^ in co Hh ic i> QO

0^05^co cq_ t>^ 03 th_

cd 05" CO CD OcT rH CO" in" of

(M co n cc i> in co ec o

OG K    CD Ol    O GO    Ü<    W

05 CO    O 00    05 QO    H-i    CO    O'

05 QO    00 IO    05 00    O    K)    05

lO iQ GO O CO I CO in CO GO

00 05 4^ 00 05 4^

in co m o

GO r—I rfl t>" rH rH rH

CO 03^t> 05^

CO"05" cd CO 05    03" <d"O

»sl i> o m »o ocoi>o

rH rH 1—H    rH t—( rH 04

12. Eisenbahnschienen.

Je nach dem Profile der Schienen schwankt die Größe des Trägheitsmomentes und Widerstandsmomentes. Für 13 cm hohe Schienen kann man im Mittel annehmen:

J = 1000 W = 140

Für zwei aufeinander genietete Schienen ist etwa:

W = 420

Für 14 cm hohe Schienen (verstärkter badischer Oberbau):

4 — 1485; IV, — 206 für den Kopf ___    ^2^218 für den Fuß*)

13. Kreisförmiger Querschnitt.

Durch

messer

Trägheits

moment

Wider

stands

moment

Durch- Trägheitsmesser Moment

Wider

stands

moment

Durch- Trügheits-messer Moment

Wider

stands

moment

cm3

0,0491

0,7854

3,976

12,57

30,68

63,62

117,9

201,1

322,1

0,0982

0,7854

2,651

6,283

12.27 21,21 33,67

50.27 71,57

34

35

36

37

38

39

40

41

42

65 597 73 662 82 448 | 91998 I 102 354 113 561

3859

4209

4580

4973

5387

5824

O CO 05

Z£) ZD CD

989 166 1 049 556 1 112 660

29    527

30    869 32 251

OH(MCO^>0«D^COC5

t-H rH tH rH t“H t—H tH tH tH tH

490,9

718,7

1018

1402

1886

2485

3217

4100

5153

6397

98,17

130,7

169.6

215.7 269,4

331.3 402,1

482.3 572,6

673.4

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

125 664 138 709 152 745 167 820 183 984 201 289 219 787 239 531 260 576 282 979

6283

6766

7274

7806

8363

8946

9556

10 193 10 857 11550

1 178 588 1 247 393 1 319 167 1 393 995 1 471 963 1 553 156 1 637 662 1 725 571 1 816 972 1 911 967

33 674

44    820 46 589 48 404

7854

9547

785,4

909,2

53

54

11499 13 737 16 286 19175 22 432 26 087 30172 34 719

1045

1194

1357

1534

1726

1932

2155

2394

55

56

57

58

59

60

61

62

306 796 332 086 358 908 387 323 417 393 449 180 482 750 518 166 555 497 594 810

8oooooo3)5>aooooooo

2 010 619 2 113 051 2219347 2 329 605 2 443 920 2 562 392 2 685 120 2 812 205

2    943 748

3    079 853

50 265 52 174 54 130 56 135 58 189 60 292 62 445 64 648 66 903 69 210

39 761 45 333 51 472 58 214

2651

2925

3217

3528

63

64

65

66

636 172 679 651 725 332 773 272 823 550 876 240 931 420

21 206

26    961 28 225

Cs)COCDCiCCCs>CsiCsi0{O

3 220 623 3 366 165 3 516 586 3 671 992 3 832 492

3    998 198

4    169 220 4 345 671 4 527 664 4 715 315

71569 73 982 76 448 78 968 81 542 84173 86 859 89 601 92 401 95 259

cm cm

O    <0 GO O

r—< rH t—I i—I t—I CQ

14. Ringförmiger Querschnitt. F — Querschnitt J — Trägheitsmoment W — Widerstandsmoment

28.27 33,18 37,83 42,22 46,37

50.27

289.8 327,1 359,0

385.9 408,5 427,3

cm3

57,96

65,42

71,79

77,18

81,70

85,45

14

159,0

174,0

187,4

199.3 209,9 219,1

227.3

36,95

42,22

47,25

52,02

56,55

60,82

450,2

496.7 537,0

571.5

600.8

625.6

81,85

90,31

97,64

103,9

109,2

113,8

1,4

1,6

1,8

15

2,0

2,2

2,4

io

DO DO DO ^

DO O "CC 'Ö5 "DO

40,71

46,62

52,28

57,68

62,83

67,73

72,38

601,0

660.4

723.5

773.5 816,8 854,1 886,0

100,2

110,1

120,6

128,9

136,1

142,4

147,7

2,6

1,4

1,6

1,8

59,82

67,36

74,65

81,68

88,47

95,00

101,3

1398

1533

1656

1766

1866

1954

2032

186.4

204.4

220,8

235.5

248.8

260.5

270.9

16

2,0

2,2

2,4

CO

CO 00^ 0_ <M^ r# r-T t-T t-T gvT c<f C<T

51,02

57,30

63,33

69,11

74,64

79,92

870,6

949,2

1019

1080

1134

1180

133,9

146,0

156,8

166,1

174.4

181.5

2,6

2,8

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

64,21

72.38 80,30 87,97

95.38

102.5

109.5 116,1

1687

1899

2056

2199

2329

2445

2549

2643

210.9

237.4 257,0

274.9 291,1

305.6

318.6

330.4

68,61

77,41

85,95

94,25

102,3

110,1

117,6

124,9

2104

2320

2517

2698

2863

3012

3148

247,5

272,9

296,1

317.4

336.8

354.4

370.4

384.8

o?

C/l

qcm

cm

So

Dö Dö IO M M M M 00 05 b* 'DO O bo 05

82,44

91,61

100.5 109,2

117.6 125,8

133.7

2798

3042

3267

3475

3663

3835

3992

310,9

338,0

363,0

386.1 407,0

426.1 443,6

26

DO DO DO DO DO "bo 05 b>. DO O 00 05

87,46

97,26

106,8

116,1

125,2

134,0

142,5

3338

3636

3912

4168

4401

4617

4814

351,4

382.8

411.8

438.7 463,3 486,0

506.8

28

£    O Ol cd cq © oi_

§ r-T of of of of of cd cd

cm*

136.8

150.8 164,5

177.9

191.1

204.1 216,8

229.2

10073

10933

11747

12516

13244

13930

14578

15188

774.8 841,0 903,6

962.8

1019

1072

1121

1168

00 DO DO DO CO DO    H-

o 00 05 b* DO "o GO 05

92,49

102,9

113.1 123,0 132,7

142.1 151,3

160.2

3944

4303

4637

4948

5234

5499

5743

5968

394,4

430.3

463.7

494.8

523.4

549.9 574,3 596,8

30

05 05 DO DO DO DO DO

bo © bo 05 b* bo o

163.4

178.3 193,0

207.5 221,7

235.6

249.3

13886

14945

15951

16907

17813

18673

19487

991,9

1068

1139

1208

1272

1334

1392

05 03 DO DO DO DO DO

bo o bo 05 b- lo o

175,9

192.1

208.1 223,8

239.3 254,5

269.4

17327

18676

19965

21192

22359

23472

24197

1155

1246

1331

1413

1491

1565

1636

Ol

Ol

00 DO DO DO DO DO ^ ^ O GO 05 5- DO O 00 05

102.5 114,2

125.7

136.8

147.8

158.5

168.9 179,1

5367

5873

6346

6789

7203

7589

7948

8264

487.9

533.9

576.9

617.2

654.8

689.9 722,5

751.3

32

Ol    co 00 CD Ol T#

oT of oT oT cd co co

206,0 223,2 240,1 256,9 273,3.

289.5

305.5

22988

24603

26148

27628

29040

30389

31676

1437

1538

1634

1727

1815

1899

1980

DO

W CO M K) K) DO

O 00 05 5- K) O 00

125.5 138,2

150.7 162,9

174.8

186.5

197.9

7785

8432

9042

9615

10154

10659

11133

648.8

706.9 753,5 801,3

846.2

888.3 927,8

34

O CO CD Ol -rq

os of of cd co cd

238.3

256.5

264.4 292,2

309.6 326,9

29911

31827

33664

35426

37113

38729

1759

1872

1980

2084

2183

2279

Breite

GO ■

10

15. Rechteckiger Querschnitt.

lib³

Jy — Jmin — ^2

WX = W

Trägheits

moment

Jy

*•>

-f-

bh²

...i

Widerstands

moment

Breite

'S

Trägheits

moment

Widerstands

moment

Wx

Jy

Wx

CO 00

10

12

13

14

10

11

12

13

14

15

11

12

13

11    14

15

16

17

12

13

14

12    15

16

17

18

13

14

t-I -^1 t> 05 04 tHGOOICOH CO CO tu ^ lO

547

608 •

668

729

790

851

833

917

1000

1083

1167

1250

1220

1331

1442

1553

1664

1775

1886

1728

1872

2016

2160

2304

2448

2592

2380

2563

85

108

133

161

192

CM O 04 lQ

04-CO GO

H 04

LO K> CO QX

167

202

240

282

327

375

(MCOHiC 04 04 CO CO

413

469

530

288

338

392

450

512

578

648

366

425

13

16

17

16

17

18

19

20

14

15

16

17

18

19

20

21

15

16

17

18

19

20

21

22

23

16

17

18

19

20

21

22

23

24

17

18

19

2929

3112

3296

3479

3662

3201

3430

3659

3887

4116

4345

4573

4802

4219

4500

4781

5063

5344

5625

5906

6188

6469

5461

5803

6144

6485

6827

7168

7509

7851

8192

6960

7370

7779

ist CD 03 (M O lOOJOCOCD iC CO I> t> 00

t>* ist D- ^ CO iO 04 05 O* O ^ CO ^ iO CD l> 00 05

1029

563

640

723

810

901

1000

1103

1210

1323

05

1067

1176

1291

1411

1536

819

918

1023

Breite

Trägheits

moment

Jy

Widerstands

moment

Wx

Breite

Trägheits

moment

Widerstands

moment

Jy

Wx

21

17

22

23

24

25

18

19

20

21

8598

9007

9417

9826

10 235

8748

9234

9720

1250

1371

1499

1632

1771

22

(MCOO

24

25

26

27

28

29

30

31

18

22

23

24

25

26

27

10 206 10 692 11178 11664 12 150

12    636

13    122

1323

1452

1587

1728

1875

2028

2187

32

33

23

24

25

26

27

21296

2112

2292

2479

2673

2875

3084

3300

3524

3755

3993

19

20

21

22

19

23

24

25

26

27

28

10 860 11432 12 003

1143

1267

1397

1533

1675

1824

1979

2141

2309

2483

23

28

29

30

31

32

33

34

2028

LO

2591

2795

3005

3224

3450

3684

3925

4175

4431

20

21

22

23

24

20

25

26

. 27

28

29

30

1333

1470

1613

1763

1920

2083

2253

2430

2613

2803

3000

24

2304

2500

2704

2916

3136

3364

3600

^ CD CO TU

4900

5184

21

22

23

24

25

21

26

27

28

29

30

31

16 207

23    153 23 924

1544

1694

1852

2016

2188

2366

2552

2744

2944

3150

3364

25

26

27

28

29

25

30

31

32

33

34

35

36

22

19    521

20    409

1775

37

46    875 48177

2604

2817

3038

3267

3504

3750

4004

4267

4538

4817

5104

5400

5704

7.

Die Krümmung und Durchbiegung der belasteten Kalken.

In Z 4 S. 15 wurde die neutrale Faserschicht eines Balkens als diejenige Faserschicht erklärt, welche, wenn der Balken durch eine Belastung eine Durchbiegung erfährt,, weder verlängert noch verkürzt, sondern nur gebogen wird.

Denkt mein sich durch die Längsachse des Balkens eine lotrechte Ebene gelegt, so schneidet diese die gebogene neutrale Faserschicht in einer krummen Linie, welche die elastische Linie genannt wird. Diese kann angesehen werden als zusammengesetzt aus einzelnen Kreisbögen, deren Halbmesser an verschiedenen Stellen des Balkens im allgemeinen verschieden groß sind.

Ist 0 der Mittelpunkt des Kreisbogens für das sehr kleine Bogenstück MN (Fig. 32), und bezeichnet man den Krümmungshalbmesser NO mit p, so ist wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke d'dN und MNO:

Fig. 32.

A_____i

/?

d'd

MN '

70 | Q

k)

¹

Die genaueren Werte siehe: § 6, Tab. 4.

²

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Anst., § 10, S. 55.

³

D⁴ — d⁴) tu

⁴

64

d'd

d'd ist die Verlängerung der Faser, deren ursprüngliche Länge — MN war; folglich ist nach Gl. (2) S. 6 zu setzen:    ^    y t.

MN E

k    a J ₍    / jw

Aus beiden Gleichungen folgt:

(28)

p - E •    •    •    •

Setzt man für k den Wert aus Gl. (17) S. 18:

Me

ein, so erhält man:

Me

£*S

p EJ

Für den Krümmungshalbmesser p ergibt sich danach die Größe:

EJ

(29)

Man erkennt aus dieser Gleichung, daß bei einem prismatischen Balken, bei welchem J stets denselben Wert behält, der Krümmungshalbmesser um

so kleiner wird, je größer das Kraftmoment M wird, und daß für diejenige Stelle des Balkens, wo das Moment am größten ist, der Krümmungshalbmesser seinen kleinsten Wert annimmt, der Balken dort also am schärfsten gekrümmt ist.

Infolge der Krümmung erleiden die einzelnen Punkte des Balkens eine Durchbiegung, welche sich folgendermaßen berechnen läßt.

Aus dem Dreieck MNO (Fig. 32) mit der sehr kleinen Seite MN = /\x und dem sehr kleinen Winkel MON = A9 folgt: ». -r

Ax

Ax = P • A? oder A? —

und wenn für p der Wert aus Gl. (29) eingesetzt wird:

- (30)

A<p

MAx

EJ

Fig. 33.

Bi

<-----a......*

Denkt man die Länge MB — x in sehr viel kleine Abschnitte /Yx und dementsprechend den Winkel MOB — 9 in sehr f-" viel kleine Winkelteile A9 zerlegt, so erhält man nach der letzten Gleichung für das Trägerstück MB:

Fm

9 — S(A<P>

Trägt man nun (Fig. 33) die Momente M auf den Endpunkten der

zugehörigen x als Strecken auf, so erhält man als Darstellung von 2 (Al - Ax) eine Fläche, die sogen. Momentenfläche oder kurz M-Fläche. Der Inhalt derselben werde mit Frn bezeichnet. Es ist dann nach der letzten Gleichung, da man wegen Kleinheit des Winkels genügend genau tg cp statt 9 setzen kann:

Fig. 34.

M;

$'■

'®V=Ejr-

. . (31)

oder allgemein: tg9 =

^ (M-Fläche) . (32)

Nach Fig. 34 ist:

Af = x- A9

oder wenn für A9 der Wert aus Gl. (30) eingesetzt wird:

M - Ax

x r •

Af=

EJ

Die Durchbiegung f des Trägerendpunktes B gegen den Punkt M hat demnach die Größe:

f = S(Af) = ₁jj-S(9R.Ax)x

Der Ausdruck 2(59? • Ax)x bedeutet die Summe der statischen Momente sämtlicher Flüchenstreifen der M-Fläche in bezug auf den Punkt B. Wird daher der Schwerpunktsabstand dieser Fläche (= Fm) mit x₀ bezeichnet (Fig. 33), so ist nach S. 13:

Folglich:

2 (59? - Ax) x = Fm • x₀

oder allgemein:

EjF.s.

(33)

-jjjj- • (Moment der M-Fläche).....(34)

GO

Der an einem Ende eingespannte Träger.

1. Belastung durch Einzelkräfte.

Nach Gl. (17) S. 18 ist für einen prismatischen Balken, bei welchem das Widerstandsmoment W für alle Querschnitte denselben Wert hat, die Spannung k um so größer, je grösser das Moment M ist. Da k an der am stärksten gespannten Stelle des Balkens nicht größer als die zulässige Inanspruchnahme werden darf, so ist ein prismatischer Balken immer nach dem größten Momente zu berechnen, wobei k —der zulässigen Inanspruchnahme gesetzt wird.

Ist ein an einem Ende eingespannter Balken am anderen freien Ende durch die Kraft P belastet (Fig. 35), so ist für eine Stelle in der Entfernung x vom Endpunkte des Balkens das Moment der Kraft P:

59?x = Px

Das Moment wächst mit x und wird am größten an der Einspannungsstelle für x = l. Danach ist:

Wmax = -Pl

Aus beiden Gleichungen folgt:

Mx

max

Die Momente Verhalten sich wie die Entfernungen von der Belastungsstelle. Da für x — 0 auch M —0 wird, so lassen sich die Momente darstellen durch die Ordiuaten des Dreiecks AAXB (Fig. 35), dessen Endordinate AA, = Pl ist.

xo

Setzt man in Gl. (17) S. 18 für M den größten Wert PI ein, so folgt:

(35)

Pl = kW

wo k die Spannung an der Einspannungsstelle, also die größte überhaupt im Balken auftretende Spannung ist; folglich gleich der zulässigen Inanspruchnahme zu setzen ist. Alle anderen Stellen eines prismatischen Balkens erleiden eine geringere Spannung; es ist deshalb die Einspannungsstelle der gefährliche Querschnitt.

Die letzte Gleichung kann in der Form:

k.W

benutzt werden, um die Tragfähigkeit eines gegebenen Balkens zu berechnen.

Soll dagegen für eine gegebene Belastung der erforderliche Balken -querschnitt bestimmt werden, so ist zu setzen:

w __ PI W k

So z. B. ist für einen Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser d:

PI

Fig. 35.

-V

X‘

,--A

mx,

Pi

d³7T

32

also:

*-VZ”-v

pi

^•-k

bh³ PI

Für einen rechteckigen Querschnitt von der Breite b und der Höhe h ist:

Man kann hier entweder b annehmen und h danach berechnen, oder umgekehrt h annehmen und b danach berechnen; oder endlich für b:h ein bestimmtes Verhältnis wählen, woraus sich dann die Größen b und h ebenfalls ermitteln lassen. (Letzteres Verfahren ist wohl das zweckmäßigste.)

Setzt man z. B.:

; also b —

so wird:

³/₄h »h² _ PI

Bei eisernen Trägern berechnet man das Widerstandsmoments und sucht dann aus den Profiltabellen ein Profil heraus, dessen Widerstandsmoment gleich oder nahezu gleich dem berechneten ist.

Die Durchbiegung f des Endpunktes B ergibt sich aus Gl. (33) S. 45, worin für den vorliegenden Fall nach Fig. 35 zu setzen ist:

Fm=:AAA₁B = Pl.l

xo ⁼

Man erhält:

PI³

CCCk

3EJ

(36)

oder setzt man hierin nach Gl. (17) S. 18:

Pl = kW = k

so wird:

1=J

l²

(37)

Fi-,. 36.

t.

(?

/rris

Pik

Pik

pj

■3 3 ■

Aj

Der Winkel <x (Fig. 35), den die elastische Linie an dem Endpunkte B mit der Wagerechten einschließt, folgt nach Gl. (31) S. 44 aus:

tg a =

PI²

2EJ

(38)

Wirken auf einen eingespannten Träger verschiedene Einzelkräfte

Px P₂ P₃ in den Entfernungen ^ l₂13 von der Einspannungsstelle (Fig. 36), so ist zu setzen:

®max=P₁l₁+P₂lä + P₃l

Fig. 37.

,P

.. .ff...

■*!

P.

; .X„

und das Widerstandsmoment wird:

IjJi +jEV4 + Fglz

,-A

Fig. 36 zeigt zugleich die graphische Darstellung der Momente.

Wirkt auf den eingespannten Träger (Fig. 37) ein Kräftepaar, dessen Moment—Pa ist, so ist für eine beliebige Stelle in der Entfernung x vom Endpunkte (für x )> a):

Pa

Mx — Px — P (x — a) — Pa

Das Moment zwischen den Punkten A und C ist also unveränderlich

und hat die Größe Pa; daher:

Fig. 38.

Pa

W = -k

:    Wirkt das Moment M am freien

Ende des Trägers (Fig. 38), so ist die Momentensläche ein Rechteck von der Höhe

M und der Grundlinie l, hat also den Flächeninhalt:

■>

Nach Gl. (31) S. 44 ist dann:

Ml

tg a

MI

EJ

und nach Gl. (33) S. 45, in welcher x₀ — ₉ einzusetzen ist:

Ml²

. . (39)

2EJ

(40)

2. Streckenbelastung.

Ist die Belastung für die Längeneinheit gleichmäßig über die ganze Länge l des Balkens verteilt (Fig. 39), so liegt der Angriffspunkt der Gesamt-

Belastung pl int Schwerpunkte der Belastungsfläche, hat also den Abstand 2 von der Einspannungsstelle.

Das Moment an der Stelle x ist:

Mx

= px-₂-

Das größte Moment an der Einspannungsstelle ist:

= Pl"2

Folglich:

Mx

x²

S-Jtmax    V

Die Momente Verhalten sich wie die Quadrate der Abstände vom freien Ende des Balkens; die Momentenfläche wird daher begrenzt durch eine Parabel

pl^

AjB, deren Scheitel in B liegt und deren Höhe A    ist. Eine ein

fache Konstruktion der Parabel ist in Fig. 39 angegeben.

Fig. 39.

px

l.

...A

XA

Pr ²

*2 : 3

■yt

Der gefährliche Querschnitt des Balkens an der Einspannungsstelle ist nach dem größten Moment zu berechnen. Setzt man:

= kW

so folgt:

pl-

t\3 e-

= kW

(41)

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

(43)

¹ ÄA

0 4......

Der Winkel a (Fig. 39) folgt nach Gl. (31) S. 44 aus:

pl³

(44)

Führt man für die Gesamtbelastung pl wieder die Bezeichnung P ein, so erscheint Gl. (41) in der Form:

p.A

2

Diese Gleichung und Gl. (35) S. 46 lassen erkennen, daß ein Balken doppelt so viel trägt, wenn die Belastung gleichmäßig über die Länge desselben verteilt ist, als wenn dieselbe Belastung als Einzelkraft am freien Ende des Balkens angreift.

Besteht die gleichmäßige Belastung aus dem Eigengewichte des Balkens und wird dieses mit Gr bezeichnet, so ist:

«4

= kW

= kW

Daraus würde die Länge l, welche ein an einem Ende eingespannter Balken haben darf, um sich selbst noch mit Sicherheit tragen zu können, sich ergeben zu:

2k W

Gr

Die M-Fläche für den gleichmäßig belasteten Freiträger wird (tote schon auf S. 49 gesagt) begrenzt durch eine Parabel und hat den Flächeninhalt:

l pl2 3 ' 2

Fm =

pl³

Der Abstand x₀ des Schwerpunktes dieser Fläche vom Trägerende B ist¹):

x„ = V

Nach Einsetzung dieser Werte ergibt sich die Durchbiegung f aus Gl. (33)

S. 45 zu:

f= Pl⁴

oder nach Einsetzung von:

8EJ

(42)

pl²

kW =

k-i

tga~ 6EJ

Die Gleichungen (36), (38), (39), (40), (42), (44), welche die Durchbiegungen und Neigungen des freien Trägerendes angeben, wie sie erzeugt werden durch die Einzelkraft P, durch die Streckenbelastung p für die Längeneinheit und durch das Moment M, liefern folgende Zusammenstellung:

MP

EJ

2EJ

Die Streckenbelastung sei nun nicht mehr gleichmäßig über die ganze Länge des Balkens verteilt, sondern sei — p cm der Einspannungsstelle A und nehme von dort aus stetig und gleichförmig ab bis auf Null am freien Ende B (Fig. 40). Die Belastungsfläche ist dann ein Dreieck.

Fig. 40.

2l

Es erzeugt:

tg « =

PI²

PI³

2EJ

3EJ

pl³

pP

6EJ

8EJ

3 ipx²

f--—k----->

%    3    \

LJ

. A

/tf

3'l

,r

EL

r6

pl²

Die- ganze Belastung ist — - der Angriffspunkt derselben (Schwerpunkt des Belastungsdreiecks) hat die Entfernung ¹/₃ l von der Einspannungsstelle; folglich ist:

3    6

Belastungshöhe ist also:

px

Für eine Stelle in der Entfernung x vom freien Balkenende ist die *I X - Die Belastung des Balkenstückes von der Länge x px²

r' ~2 ~ ~w

4*

und das Moment an der Stelle x:

X _ px³

21 IT” 61

Mx- ^

Aus beiden Momentengleichungen folgt:

Mx

x³

l³

Die Momente Verhalten sich wie die dritten Potenzen der Abstände vom freien Ende des Balkens; die Momentenfläche wird daher begrenzt durch eine

kubische Parabel, deren Scheitel in B liegt und deren Höhe AAt

pl²

6 T,t"

Zur Konstruktion der kubischen Parabel teile die Geraden AA, und AB (Fig. 40) durch die Punkte 1 2 3 in die gleiche Anzahl unter sich gleicher Teile (hier vier), beschreibe über AAt einen Halbkreis und von dem Mittelpunkt A aus durch die auf AAX liegenden Punkte 12 3 Kreisbögen bis zu den Schnittpunkten 1' 2' 3' mit dem Halbkreis. Ziehe ferner 1' I, 2' II, 3' III parallel zu AB und verbinde die Punkte IIIIII mit B durch gerade Linien. Durch die auf der AB liegenden Punkte 12 3 ziehe sodann Parallelen zu AAV welche die durch IIIIII nach B gezogenen Strahlen in Parabelpunkten schneiden.

Der gefährliche Querschnitt liegt an der Einspannungsstelle, und der Balken ist daher zu berechnen nach:

pl =kW

£C>

(45)

3. Zusammengesetzte Belastung.

Wird ein an einem Ende eingespannter Träger an seinem freien Ende durch die Kraft P belastet, und hat derselbe außerdem noch eine gleichmäßig über seine Länge verteilte Belastung p für die Längeneinheit zu tragen (Fig. 41), so ist:

= PI + Pl- 2

Setzt man:

ätfmax = kW

so ergibt sich das Widerstandsmoment:

PI + PI-2

Pl + G-

Besteht die gleichmäßige Belastung aus dem Eigengewichte G des Trägers, so wird:

Die graphische Darstellung der Momente (Fig. 41) setzt sich zusammen aus dem Dreieck AAXB, herrührend von der Einzelkraft P, und der von der Parabel AäB begrenzten Fläche AA₂B als Beitrag von der gleichmäßig verteilten Belastung.

Fig. 4L

rl

i-t.......

*/>

PI

i--4

jd!

'r

A₂

Wird die durch die Einzelkraft P hervorgebrachte Beanspruchung mit Iq und die durch die gleichmäßig verteilte Belastung hervorgebrachte Beanspruchung mit k₈ bezeichnet, so ergibt sich die Durchbiegung des Endpunktes B durch Addition der Gleichungen (37) und (43) zu:

ki

(46)

J_ l*

E e

Aufgabe 16. Ein an einem Ende wagerecht eingespannter Balken von Eichenholz, dessen Länge — 150 cm und dessen Querschnitt 20 x 24 cm ist, soll an seinem freien Ende durch ein Gewicht P belastet werden. Wie groß darf P sein?

Auflösung. Nach Tabelle S. 4 ist hier zu setzen: k — 80 (für Druck); ferner ist nach Tabelle 15 § 6 0. 42 für b — 20 cm, h = 24 cm:

W = 1920

folglich nach Gl. (35) S. 46:

80 -1920

150

1024 kg

Aufgabe 17. Ein an einem Ende eingemauerter schmiedeiserner I-Träger von 250 cm Länge wird am freien Ende durch ein Gewicht von 3000 kg belastet. Welches Profil muß der Träger erhalten, und wie ist die Durchbiegung des Endpunktes? (k — 1000)

Auflösung. Aus Gl. (35) S. 46 folgt:

750

3000.250

1000

Nach Tabelle 3 § 6 ist das Profil Nr. 32 mit W = 781 zu wählen.

Die Beanspruchung wird dann genau:

960 kg/qcm

M 3000 - 250

781

Die Durchbiegung beträgt nach Gl. (37) S. 47, worin e —

f=i

tö tr

= 16 cm zu setzen ist:

960    2502

3    2000000    16"

0,63 cm

Ausgabe 18. Ein Balken aus Kiefernholz von 180 cm Länge ist an seinem freien Ende durch ein Gewicht P == 800 kg belastet. Welche Abmessungen erhält der Balken bei k — 60 kg/qcm?

Auflösung.

800 -180

60

2400

bh2

2400

Für b = 21 cm wird:

h =K 21

Wählt man b — 26 cm, so wird:

A. 2400 = 26,2 cm

6 - 2400

26‘²

21,3 cm

Wird b = ³/₄h angenommen, so ergibt sich:

⁸/₄h.h²

2400

h ----- "/8- 2400 = 26,8 = oo 27 cm

co kn

. 26,8    — 20,1 — ou 20 cm

Aufgabe 19. Ein 220 cm ausladender I-Träger soll nach Fig. 36 S. 47 belastet sein, und zwar sei:

Pi — 200 kg; lj — 220 cm P₂ — 500 kg; l₂ — 180 cm P₃ — 300 kg; lz — 120 cm

Welches Profil muß der Träger erhalten bei k — 1000? W* Auflösung.

.....o

Mmax = 200 - 220 + 500 • 180 + 300 • 120 = 170000 kgcm 170000

1000

170

Nach Tabelle 3 § 6 genügt Profil Nr. 19 mit W —185.

Aufgabe 20. Welche gleichmäßig verteilte Belastung kann ein 200 cm langer Freiträger aus Kiefernholz, dessen Breite b — 18 cm und dessen Höhe b — 24 cm ist, mit Sicherheit tragen? (k — 60)

Auflösung. Nach Tabelle 15 § 6 S. 42 ist:

W = 1728

Aufgabe 21. Wie lang kann ein an einem Ende wagerecht eingespannter I-Träger Profil Nr. 18 sein, um sich selbst (bei k — 1000) noch mit Sicherheit tragen zu können, und wie groß ist die Durchbiegung des freien Endes?

Auflösung. Das Widerstandsmoment dieses Trägers ist nach Tabelle 3 § 6:

W = 161

Das Gewicht für 1 cm Länge: folglich das Gesamtgewicht: Danach ist:

folglich nach Gl. (41) S. 49:

pl

2 • 60 • 1728

200

1036,8 kg

g — 0,217 kg G = 0,217-1

2k W 2-1000-161

0,217-1

=v

2 -1000 • 161

0,217

1218 cm — 12,18 m

Die Durchbiegung beträgt nach Gl. (43) S. 50:

f=4

1000

12182 T* 2000000    9

— 20,6 cm

Aufgabe 22. Ein 200 cm langer Freiträger aus I-Eisen soll am Ende durch P — 500 kg belastet sein; außerdem hat derselbe noch eine gleichmäßige Belastung p = 8 kg auf 1 cm zu tragen. Es soll das Profil des Trägers und die Durchbiegung des Endpunktes bestimmt werden, (k 1000)

Auflösung.

200

Mmax = 500 - 200 + 8 - 200 • ^ = 260

260000

1000

260000

Nach Tabelle 3 § 6 gewählt: Profil Nr. 22 mit W = 278. Die durch P — 500 hervorgebrachte Beanspruchung ist:

500 • 200

ki-

278

— 360 kg/qcm

Durch die gleichmäßig verteilte Belastung entsteht:

8 - 200 - 200

2-278

576 kg/qcm

Also im ganzen:

k = kx -j- k₂ — 936 kg/qcm Die Durchbiegung beträgt nach Gl. (46) S. 53:

360 . 576

200²

2000000-11

0,48 cm

Aufgabe 23. Ein Balkon von 3,2 m Länge und 1,2 m Ausladung wird durch 5 Konsolträger (I-Eisen) unterstützt, die 0,8 m auseinander liegen. Wie stark müssen diese gewählt werden, wenn als Belastung einschließlich Eigengewicht 750 kg auf 1 qm gerechnet wird, und das Gewicht der Brüstung 200 kg für das laufende Meter beträgt? (k —1000)

Auflösung. Auf jeden der drei mittleren Träger kommt die gleichmäßig verteilte

Belastung:

pl = 0,8-1,2.750 = 720 kg

und die am Ende wirkende Einzellast:

folglich ist:

P = 0,8 • 200 = 160 kg 720 -120

+-160-120 = 62400

62400

1000

62,4

folglich ist:

Nach Tabelle 3 § 6 genügen I-Eisen Nr. 13 mit W = 67. Für die beiden Endträger sind die Belastungen:

pl = 0,4 -1,2 - 750 + 1,2 • 200 = 600 kg P = 0,4 • 200 = 80 kg

600 - 120

SC^Cmax

f 80 -120 = 45600

45600

1000

= 45,6

Erforderlich: I-Eisen Nr. 12 mit W = 54,5.

Aufgabe 24. Es soll der I-Träger Fig. 42 unter Berücksichtigung des Eigengewichtes berechnet werden, (k = 1000)

F-

Fig. 42. 600 cnv.

300

HO

600g

600 kg.

500 kg.

Auflösung. zeichnet, so ist:

Wird das Eigengewicht des Trägers auf 1 cm Länge mit g be-

Mniax = 500 - 600 + 600 • 400 + 600 g - 300 Imax = 540000 + 180000 . g 540000

180000

1000

1000

•g

W = 540 + 180 . g

Nach Tabelle 3 § 6 würde ohne Berücksichtigung des Eigengewichtes Profil Nr. 28 mit W = 541 genügen. Das Gewicht dieses Eisens beträgt 0,476 kg für 1 cm Länge; folglich ist:

180 g = 180 • 0,476 = 85,7 und das erforderliche Widerstandsmoment würde betragen:

W = 540 + 85,7 = 625,7

Danach ist Profil Nr. 28 zu schwach, und es ist dafür das Profil Nr. 30 mit AY = 652 zu wählen.

Da das Gewicht dieses Eisens 0,538 kg für 1 cm Länge beträgt, so ist: 180 g = 180 - 0,538 = <~97

das erforderliche Widerstandsmoment also:

W = 510 + 97 = 637

Das Profil Nr. 30 ist daher genügend.

Aufgabe 25. Ein Freiträger von 200 cm Länge ist nach Fig. 43 belastet. Es soll das erforderliche Profil berechnet werden (k —1000).

Fig. 43.

100 cm

v p

|

P %!.§

--------

80 an ;

/20 cm

\C

tJfh

8.200 leg

P=MOOkj

Mmax —

— + 8 • 200 • 100 +1200.200 = 412800

Auslösung. Das Moment bei A ist: 12 - 80 80

Das Moment bei C ist:

mc = 8 • 120.60 + 1200.120 = 201600

Fiir den Querschnitt bei C ist daher erforderlich:

Wo

201600

und für den Querschnitt bei A:

1000

202

412800

Fig. 44.

413

1000

Für den Träger kann danach gewählt werden: ein I-Eisen Nr. 26 mit W = 441

oder: zwei I-Eisen Nr. 20 mit je W = 214, davon eins durchlaufend von A bis B, das andere nur von A bis C reichend; oder: ein I-Eisen Nr. 20 durchlaufend von A bis B und

zwei kl-Eisen Nr. 16 mit je W = 116 von A bis C (nach Fig. 44).

Aufgabe 26. Wie groß muß der Durchmesser d eines zylindrischen Tragzapfens aus Flußeisen sein, dessen Länge l = 1,5 d betragen soll, unter der Annahme, daß sich der Druck P = 2000 kg gleichmäßig über die Zapfenlänge verteilt?^)

Auflösung. Da die Biegungsbeanspruchung bei einem sich vollständig drehenden Zapfen zwischen einem größten positiven und einem größten negativen Werte beständig wechselt, so ist für die zulässige Inanspruchnahme die Tabelle III S. 5 (Biegung) maßgebend. Danach kann als Mittelwert für Flußeisen gesetzt werden: k = 350 kg/qcm.

Das Widerstandsmoment des Zapfenquerschnittes ist nach Tabelle S. 27 Nr. 13:

d³7T

32

= c^O,l d³

*) Vergl. Fig. 96 (Achse).

Folglich nach Gl. (41) S. 49:

P - ^ = 0,1 kd³

Setzt man 1 —1,5 d ein, so entsteht:

d'² =

1,5 P

oder:

2.0,1k

*-v

oo 6,5 cm

1,5 • 2000 2 • 0,1 • 350 l — 1,5 • 6,5 cxd 10 cm

Aufgabe 27. Für eine gußeiserne Riemenscheibe vom Halbmesser R, auf welche am Umfang die Kraft P (Differenz der Riemenspannungen) ²) wirkt, sollen die Arme berechnet werden (Fig. 45).

Fig. 45.

Auflösung. Die Arme können annähernd als fest in der Nabe eingespannte Träger von der Länge R betrachtet werden, die am anderen Ende durch die Umfangskraft P belastet sind. Man kann (nach Bach) annehmen, daß ¹/₃ der Arme gleichzeitig und gleichmäßig zur Kraftübertragung beiträgt, so daß, wenn die Armzahl mit z bezeichnet wird, zu setzen ist:

üi N

PR —kW-

€>

Der Armquerschnitt ist elliptisch und hat, verlängert gedacht und in der Mitte der Welle gemessen, die Höhe h und die Breite b — l/₂ h.

Für diesen Querschnitt ist nach Tabelle S. 27 Nr. 15:

bh²7c    1i³tc

W = “32“⁼2T32

h³

-0,1.—

Setzt man diesen Wert und außerdem (da hier die Belastung zwischen Null und einem größten Werte wechseln kann) nach Tabelle II S. 5 die Biegungsbeanspruchung für Gußeisen: k = 300 kg/qcm in die obige Gleichung ein, so erhält man:

h³ z

PR — 300 • 0,1

oder:

z. B. Geg. für eine Riemenscheibe, welche bei n = 120 Umdrehungen in der Minute N = 20 Pferdekräfte übertragen soll, R — 50 cm und z — 6 Arme. Bezeichnet v die Umfangsgeschwindigkeit in m, so ist³):

N==

P-v

und:

75

2 Rtt: • n

2 • 0,50 • tc • 120 _

60

60

oo 6,3 m

also Umfangskraft, die der Leistung N = 20 entspricht:

75-20

oo 240 kg

75- N

6,3

Es ist üblich, die Abmessungen der Zähne (Breite, Höhe, Stärke) auf die Teilung (d. i. das Maß von einem beliebigen Punkte des einen Zahnes bis zu dem gleichliegenden Punkte des folgenden Zahnes, im Teilkreise gemessen) zu beziehen. Wird die Teilung mit t bezeichnet, so ist zu setzen:

h = 0,7 t

und angenähert:

Die Abmessungen für die Arme, gemessen auf Mitte Welle (wie in Fig. 45 angedeutet), ergeben sich dann:

240 - 50

56

7,4 cm

— 3,7 cm

Aufgabe 28. Es soll die Teilung eines gußeisernen Zahnrades berechnet werden, welches den Zahndruck P zu übertragen hat (Fig. 46).

Auflösung. Der Druck P beginnt (bei dem treibenden Rade) am Fuße des in Eingriff kommenden Zahnes und steigt dann während des Ganges der Räder allmählich auf bis zum Kopf, in welchem Augenblick (oder auch schon früher) ein folgendes Zähnepaar in Eingriff kommt. Der ungünstigste Fall für einen Zahn (und dieser Fall wird immer der Berechnung der Zahnstärke zugrunde gelegt) ist also der, daß der Druck P am Kopfe angreift, und daß nur ein Zahn diesen Druck auszuhalten hat. Unter dieser Voraussetzung ist:

Fig. 46.

bX

f"J

Ar-

Ph =

bc²

kW = k--

o — 0,5 t

Man erhält dann für k = 300 kg/qcm (Tabelle II S. 5):

oder:

b (0,51)²

P-0,7 t = 300    —

_ 300 • 0,25 bt²

6 • 0,71

cvd 18bt

Für sog. Windenräder mit b = 2t wird:

P = 18 • 21 • t = 361²

z. B. für einen Zahndruck P = 1750 kg ergibt sich:

l~Y1750 = 7 cm

t = 2,2 Tz = ov) 6,9 cm b = co 14 cm

oder:

dafür:

"6"

(Mittelwert):

*) Für Windenräder aus Stahlguß ergibt sich in gleicher Weise für k = 600kg/qcm VFür das obige Beispiel würde sich ergeben:

₈ . •/1750 = ~ 5 cm = 1,6 tc b = 10 cm.

9.

JA

Der Träger auf zwei Stützen.

1. Belastung durch Einzelkräfte.

Ein an beiden Enden unterstützter, durch lotrechte Kräfte belasteter Träger übt auf die Unterstützungspunkte lotrecht abwärts gerichtete Drücke, die sog. Stützendrücke oder Auflagerdrücke aus. Nach dem Gesetze der Wechselwirkung erfährt umgekehrt der Träger durch die Unterstützungspunkte die gleichen, aber entgegengesetzt, also senkrecht aufwärts gerichteten Drücke, welche Stützenwiderstände genannt werden.

Ist der Träger AB (Fig. 47) durch eine lotrechte Kraft P belastet, welche die ganze Trägerlänge l in die Abschnitte a und b teilt, und werden die Stützenwiderstände mit A und B bezeichnet, so müssen sich die drei Kräfte A, B, P im Gleichgewichte halten; daher:

A + B = P

er

Die Stützenwiderstände A und B ergeben sich aus der Gleichung der statischen Momente. In bezug auf den Drehpunkt B ist Al = Pb; folglich:

(47)

Fig. 47.

x'

Ph

mx

\qMomente

Pab

mx'

Schubkräfte

tö

.....i

In bezug auf den Drehpunkt A ist Bl =

jo

<£=r-

Pa

(48)

Ist der eine Stützenwiderstand z. B. A mit Hilfe der Gleichung der statischen Momente ermittelt, so ergibt sich der andere Stützenwiderstand B auch aus der Bedingung:

Pb

Also: Der Widerstand der Stütze ist gleich der Last, multipliziert mit dem Abstande derselben von der anderen Stütze und dividiert durch die ganze Trägerlänge.

Das Moment Mx im beliebigen Abstande x von A ist:

Pb

ls = Ax = 1-i

Das Moment M/ im Abstande x' von B ist:

Pa

2RX' = Bx'

Die Momente haben in den Auflagerpunkten den Wert Null, nehmen dann mit x bezw. x' zu und erreichen den größten Wert im Angriffspunkte C der Last. Für diesen Punkt wird x = a und x' = b; folglich ist:

max

=p

ab

Da die Momente sich Verhalten wie die Abstände von den Unterstützungspunkten, so müssen die Begrenzungslinien der Figur, welche die Momente graphisch darstellt, gerade Linien sein. Konstruiert man also das Dreieck ABOi

Q B

(Fig. 47) mit CG, = P.....- , so werden die Momente durch die Ordinalen

dieses Dreiecks gemessen.

Ist der Träger prismatisch, so ist zur Berechnung des Querschnittes das größte Moment maßgebend, welches — kW zu setzen ist: also:

es

= kW

(49)

Fig. 48.

Denkt man sich den Träger in der Entfernung x < a vom Auflager A zerschnitten und betrachtet das linke Stück . desselben (Fig. 48), so ist der Stützenwiderstand A die einzige äußere auf das Trägerstück wirkende Kraft. Da sich aber der ganze Träger und folglich auch jedes einzelne Stück des-selben im Gleichgewichte befinden soll, so muß an der Schnittstelle noch eine Kraft S angebracht werden, welche gleiche Größe, aber entgegengesetzte Richtung wie A hat. Diese Kraft wird Schubkraft oder Querkraft genannt; sie sucht das linke Trägerstück gegen das rechte in lotrechter Richtung zu verschieben, was durch die in dem betreffenden Querschnitt auftretenden inneren Schubspannungen verhindert wird.

Die Schubkraft ändert sich nicht von A bis C.

Fig. 49.

Wird x > a, so kommt im Punkte C die äußere Kraft P hinzu, und das Trägerstück (Fig. 49) befindet sich unter Einwirkung der drei Kräfte A, P und S int Gleichgewichte. Es hat deshalb von C bis B die für das linke Trägerstück nach oben ge-& richtete Schubkraft die Größe:

s    @ = P —A = B

J    Im Punkte C, also an der Stelle, wo das

Moment seinen größten Wert erreicht, ändert die Schubkraft die Richtung.

Die Schubkräfte lassen sich (ähnlich wie die Momente) durch eine geometrische Figur graphisch darstellen, wie in Fig. 47 angedeutet ist.

Wird a = b =    ; d. h. hängt die Last P in der Mitte des Trägers,

so sind die Stützenwiderstände:

A — B —1/2 P

und man erhält nach Gl. (49):

PI

= kW

(50)

h.F

Die Berechnung der Durchbiegung f kann auch hier wieder geschehen

mit Mfe der M-Fläche, durch welche man den Träger als belastet auffaßt.

Unter der Annahme von a = b = ¹/₂1 ist der Inhalt der M-Fläche (Fig. 50):

PI l _ PV 4 ‘ 2 ~ 8

und das dadurch hervorgerufene Moment in bezug auf die Trägermitte:

l _ PI³ PI³ _ PI3 32    96    48

Fig. 50.

UL

hF

''in

15

.....V

h......1

Fm

V2 Fm ¹ g Vä Fm ' g

Folglich nach Gl. (34) S. 45:

1 PI3 BJ "TS"

Setzt man hierin:

PI

CD

so folgt:

1 k V 12 E c

In derselben Weise ergibt sich, wenn der Angriffspunkt C der Last P die Trägerlänge l in die ungleichen Abschnitte a und b teilt (Fig. 47> die Durchbiegung im Punkte C zu:

f=

er

(52)

Für a = b = x/₂ l entsteht hieraus wieder die Gl. (51).

Wirken zwei Einzellaften P und Px auf den Träger und teilen die Trügerlänge l in die Abschnitte a und b, bezw. a, und bx (Fig. 51), so sind die Stützenwiderstände:

A_ Pb + Pjbj

Pa+LV,

B ergibt sich auch aus:

A + B = P + Px

und die Momente an den Laststellen C und Cx:

M — Aa

Mx —Bbx

Es ist in jedem einzelnen Falle zu untersuchen, welches dieser Momente das größere ist; das größte Moment ist = kW zu setzen und danach der Träger zu berechnen.

Fig. 61.

C,

[B

•«

a.

b,

P,

Sind die beiden Lasten einander gleich (= P) und greifen in der gleichen Entfernung a von den Auflagern an, so entsteht der in Fig. 52 S. 64 dargestellte einfachere Fall.

Die Stützenwiderstünde sind hier:

A = B = P

Das Moment ist in den Auflagerpunkten = Null und wächst von dort ab gleichmäßig bis zu den Laststelleu, wo es die Größe annimmt:

M — Pa

Zwischen den Laststellen bleibt das Moment unveränderlich; denn für eine Stelle in der Entfernung x vom Auflager ist:

Mx — Px — P (x — a) = Pa

Pa ist also zugleich das größte Moment; daher:

Pa = kW

Die Schubkraft S hat zwischen den Laststellen C und C' die Größe Null. Vertauscht man in Fig. 52 die Lasten mit den Stützenwiderständen und denkt sich die ganze Figur herumgedreht, so erhält man den in Fig. 53 dargestellten Belastungsfall.

Fig. 52.

C'

Momente

Pa

Pa

Schubkräfte

h3

Die Berechnung dieses Trägers, bei welchem das Moment zwischen den Stützpunkten die unveränderliche Größe Pa hat, geschieht in derselben Weise wie bei dem Träger Fig. 52. Die Trügerlünge zwischen den Stützpunkten ist in diesem, sowie auch in dem vorigen Falle (Fig. 52) unter der Voraussetzung, daß der Träger selbst als gewichtlos betrachtet werden kann, ganz ohne Einfluß auf die Tragfähigkeit, da in dem größten Momente Pa die Trägerlänge nicht erscheint.

P

-4¹

a

Fig. 53.

Wirkt außer den Kräften P, welche an den Enden des über die Stützpunkte um das Stück a hinausragenden Trägers angreifen, innerhalb der Auflager noch eine Kraft Px und teilt die Stützlänge l in die Abschnitte ax und bx (Fig. 54), so sind die Stützenwiderstünde:

PA

Pxa,

P,

•A

P,

Das Moment über den Stützen hat die absolute Größe:

M — Pa

Die Tragfähigkeit des Trägers wird voll ausgenutzt, wenn die Momente einander gleich sind.

Setzt man M — M,., so folgt:

p ai bi

¹ I

. _ pi ai bi

P 21

Das Moment bei C hat die Größe:

M<- — Aax — P (a ax) und wenn für A der obige Wert eingesetzt wird:

Pa

Fig. 54.

Ai

DL

Hol

a,

J)_\C

D\Xm

'E

'3tc

2 Pa —

oder:

Danach:

1.

Das Moment im Lastpunkte C erteilt dem Balken eine Biegung, welche gerade entgegengesetzt der durch die Stützenmomente hervorgebrachten Biegung ist. Während über den Stützen die oberen Fasern des Balkens gezogen werden, sind bei C die oberen Fasern gedrückt. Zwischen den Stützpunkten A und B müssen daher zwei Punkte D und D' liegen, in denen

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aust.

die eine Biegung in die andere übergeht, wo also überhaupt keine Biegung stattfindet; das Biegungsmoment in diesen Punkten daher — Null ist.

Man findet die Lage dieser Punkte, wenn man die Momente in den Abständen x₀ und x₀' von den Stützpunkten A und B — Null setzt.

also:

Ax₀ — P (a + x₀) =0

bezw.:

Bx₀'-P(a + x₀') = 0

oder:

x»

Pa

A—P

bezw.:

Pa

xo =

B —P

In der graphischen Darstellung der Momente ergeben sich die Punkte D und I)' als Schnittpunkte der Geraden A₁C₁ und B₁C₁ mit der EE. Sind die Lasten unter sich gleich, also Px = P und ist außerdem ax = bx

so vereinfachen sich die obigen Ergebnisse. Es wird:

I.

lp

2

PI

Mo^ ₄ —Pa SW =Pa

Sollen die Stützenmomente gleich dem Momente in der Mitte des Trägers sein, so folgt aus:

Pa =

PI

.--Pa

4

PI

PI

Danach:

und:

xo = xo':

— P — P 4 2

Ist ein auf den Stützen A und B aufgelagerter Träger, welcher über die eine Stütze B um das Stück a hinausragt, am freien Ende durch die Kraft P belastet, und hat derselbe außerdem noch eine Last Px zu tragen, welche innerhalb der Stützen angreift und die Stützlänge l in die Abschnitte ax und bx teilt, so ist nach Fig. 55 in bezug auf den Drehpunkt B:

Al —P^! +Pa = 0

in bezug auf den Drehpunkt A:

— Bl + Piai + P (a + l) = 0

Mg. 55.

A.

a,

p,

Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Stützenwiderstünde:

PA —Pa

B_ Piai + P (a +1)

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, daß für Pa>P₁b₁ der Stützenwiderstand A negativ wird; d. h. von oben nach unten wirkt.

Für Pa = P₁b₁ wird A = Null.

In beiden Fällen entsteht bei B das Maximalmoment:

Mb — Pa

Ist dagegen Pa<PA, so wird A positiv. Es entsteht dann im Lastpunkte C ein zweites Maximalmoment von der Größe:

PA —Pa

• ai

Me — Aax

Welches von diesen beiden Momenten das absolut größte ist, muß für jeden einzelnen Fall untersucht werden. Das größte Moment ist daun = kW zu setzen und der Balken danach zu berechnen.

Die Tragfähigkeit des Balkens wird voll ausgenutzt, wenn die Momente einander gleich sind. Setzt man Mb —Mo, so folgt:

Pa

PA — Pa

oder:

aA

P l -j- iij

Nach Einsetzung dieses Wertes wird dann:

Mb = 3)(c =

p ai b,

¹ T+a”

Das Moment Mb erteilt dem Balken eine Biegung, welche gerade entgegengesetzt der durch das Moment M« hervorgebrachten Biegung ist. Zwischen den Punkten C und B muß sich daher ein Punkt D befinden, in welchem die eine Biegung in die andere übergeht, das Moment also —Null ist.

P (a + xo) — Bx₀ = 0

Die Entfernung x₀ dieses Punktes von der Stütze B ergibt sich dann aus der Bedingung:

zu:

xo =

Pa

Für den besonderen Fall, daß PL = P und außerdem at —1)₁ = ist, erhält man:

rH

P 2 P&

P₂ +P(a + l)

Mb = Pa

Pa

Sollen wieder beide Momente einander gleich werden, so folgt aus:

Pa =

Danach:

Mb— Mo

PI

und:

xo

Pa

CO !CM

Ein Balken (Fig. 56) werde beansprucht durch zwei gleiche, bewegliche Belastungen P, welche den konstanten Abstand e voneinander haben

Fig. 56.

X Punkt ist:

(z. B. Räder eines Wagens, einer Winde oder dergl.). An welcher Stelle im Abstande x vom linken Auflager entsteht das größte Biegungsmoment? In bezug auf A als Dreh-

-I

oder:

Bl= Px + P(x —e)

p 2x —e

Das Biegungsmoment ergibt sich: '

ä)cx = B (l — x) = ' ' • (2 x — e) • (l — x)

Dieser Ausdruck wird ein Maximum für:

(53)

l , e

X=T+4    .....

CD

d. h.: die eine Belastung P muß um geschoben sein.

Durch Einsetzung von x aus Gl. (53) ergibt sich das größte Biegungs-

über die Trägermitte Hinaus

moment:

Mmax = B(l-

CD TP

IO

2. Streckenbelastung.

Ist ein an den Endpunkten unterstützter Träger AB von der Länge l (Fig. 57) gleichmäßig belastet, und bezeichnet man die Belastung für die Längeneinheit mit p, so ist die Gesamtbelastung — pl. Der Angriffspunkt derselben liegt im Schwerpunkte der Belastungsfläche, also in der Mitte des Trägers. Die Belastung wird zur Hälfte auf jedes Auflager übertragen; folglich sind die Stützenwiderstände:

a = b = »₂'

(54)

Denkt man sich den Träger in der Entfernung x vom Auflager A zerschnitten und betrachtet das linke Stück desselben, so sind der Stützen-

Pl

widerstand und die Belastung px die auf das Trägerstück wirkenden äußeren Kräfte. Die Belastung px greift im Schwerpunkte der Belastungsfläche, also in der Entfernung von der Schnittstelle an. Stellt man in bezug auf die Schnittstelle die Momentengleichung auf, so ergibt sich:

pl

₂--x —px-^

Mx — 2 x (l — x)

oder:

M.

(55)

Für x — 0 und x — l wird Mx — 0; d. h. das Moment an den Stützpunkten ist — Null.

Das größte Moment sindet in der Mitte des Trägers statt. Es ist für x — %l:

l l l²

x (l x) = g • o - ₄

ir

y); Schubkräfte '

;    SvL--"""

pl²

ist-

Wert:

Dagegen ergibt sich für x = l + X oder x — % l— X der kleinere

(y+x)'(y™"x)⁼T-v

X (l-x) —

Aus Gl. (55) folgt dann für x — x/₂l:

pl²

(56)

8 8

d. h.: Das größte Moment bei dem gleichmäßig belasteten Träger ist gleich der ganzen Belastung multipliziert mit dem achten Teil der Trägerlünge.

,4

Fig. 57.

pl

px

T|T

tAiome'fite \Q

rfi

Nr.

pi

L.

z2

Die graphische Darstellung der Momente ist eine Parabel AC,B, deren Scheitel in C, liegt und deren Pfeilhöhe CC₁ =

Die Schubkraft in der Entfernung x vom Auflager ist:

pl

©x = - 2-----Px

ändert sich also in geradem Verhältnis mit x.

Am Auflager, also für x — 0, wird:

pl

und für x = wird:

d. h.: Die Schubkraft erreicht ihren größten Wert an den Stellen, wo das Moment —Null ist (an den Auflagern) und wird —Null an der Stelle, wo das größte Moment stattfindet (in der Trägermitte)*).

Wird in Fig. 57 in der zeichnerischen Darstellung der Schubkräfte der Inhalt der Fläche bis zur Schnittstelle x mit Fx bezeichnet, so ergibt sich diese als Inhalt eines Trapezes:

¹

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Ausl,, § 10, Gl. 48 S. 54.

²

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Aust., S. 127 Gl. 154.

³

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Aust., S. 24 Gl. 18.

co *

FHr+®4

oder nach Einsetzung des obigen Wertes für Sx:

ai+

Fx =

— px •

* CM

Ph CM

X • (l — x)

oder nach Gl. (55):

Fx = Mx

d. h.: Der Inhalt der Schubkraftfläche ist gleich dem Biegungsmoment für die betr. Schnittstelle**).

Für die Mitte (x = j ergibt sich dasselbe; denn:

pl l 2"2

pl²

max

Setzt man in Gl. (56) Bi des Trägers die Gleichung:

max

= kW, so erhält man zur Berechnung

pl-l = kW

Aus Gl. (50) S. 62 und aus Gl. (57) erkennt man, daß ein gleichmäßig belasteter Balken doppelt so viel trägt, als wenn dieselbe Belastung pl — P als Einzelkraft in der Mitte des Balkens wirkt.

Besteht die gleichmäßige Belastung aus dem Eigengewichte G des Trägers, so erhält man die Gleichung:

*4

= kW

(57)

*) Der allgemeine Beweis dieses Satzes für einen beliebig belasteten Träger ist S. 78 gegeben.

**) Der allgemeine Beweis hierfür findet sich ebenfalls auf S. 78 Gl. (62).

Welche in der Form:

8 kW

zur Bestimmung der Länge l dienen kann, welche ein prismatischer Balken

höchstens haben darf, um sein eigenes Gewicht noch mit Sicherheit tragen zu können.

Zur Berechnung der Durchbiegung f denke man sich den Träger durch dieM-Fläche belastet (Fig. 58). Der Inhalt der Parabelfläche AB ist:

Ng. 58.

A,

*.....bi

pl² pl³

A,

12

i-H km

und das Moment in bezug auf die Träger-mitte: pl³

'12 '2

pl³

12

CO 00

2    .384

5    ₁₄

u, >'>'

Nach Einsetzung dieses Wertes ergibt sich die Durchbiegung nach Gl. (34)

S. 45 zu:

5 pl4 384 EJ

Setzt man hierin:

pl²

kJ

so folgt:

5 k H    (5 )

Bei den zu Deckenkonstruktionen verwendeten Trägern hält man gewöhnlich die Bestimmung ein, daß die Durchbiegung bei voller Belastung nicht mehr als der Spannweite betragen soll*).

Setzt man f = Veoo ferner k = 1000 und E = ~ 2 000 000 (für Schmiedeisen) in Gl. (58) ein, so erhält man:

l _ 5    1000 V

600 ~ 48 2 000 000 0,5 h

h= 1 l

woraus folgt:

16

QC

(59)

Diese theoretisch erforderliche Trägerhöhe hält man praktisch häusig nicht ein. Da nämlich in Wirklichkeit die Deckenträger an den Enden fast immer eingemauert sind und infolgedessen wenigstens als teilweise eingespannte Träger (vergl. 4, § 10) betrachtet werden können, bei denen

*) Im Brückenbau: f 5 Viooo k

die Durchbiegung unter denselben Umständen wesentlich geringer ist als bei den frei auf zwei Endstützen ruhenden Trägern, so genügt es zu setzen:

i>

Li

25

(60)

Man stellt danach Praktisch die Forderung:

Die Stützweite der Träger soll mit Rücksicht auf die Durchbiegung nicht mehr als das 25fache der Trägerhöhe betragen.

Fig. 59.

Xo

*L

Ragt ein auf zwei Stützen ruhender, gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belasteter Träger um ein Stück a über die Stützpunkte hinaus (Fig. 59), und bezeichnet man die Stützweite wieder mit 1, so sind die Stützenwiderstände:

Das Moment in der Entfernung x vom Auflager ist:

p(a + x)²

Mx =Ax

oder:

x (l — x) — ^

Die größten Momente sinden über den Stützen und in der Mitte des Trägers statt.

Für x — 0 und x — l werden die Stützenmomente:

Mx —

pa

M —

und für x — A- wird das Moment in der Trägermitte:

Mo

pP

pa²

Um diejenige Größe von a zu ermitteln, bei welcher der Balken die größte Tragfähigkeit besitzt, hat man den absoluten Wert von M—Mo zu setzen; also:

pa²

pl²

pa²

= 0,353-1

ys

Nach Einsetzung dieses Wertes ergibt sich dann für die Momente:

M = Mo — pl - ₁₆

Ist a < 0,3531, so wird das Moment in der Trägermitte größer als die Stützenmomente.

Ist a > 0,3531, so werden die Stützenmomente am größten; die gefährlichen Querschnitte des Trägers liegen dann über den Stützen.

Der Balken erhält durch die Stützenmomente eine Biegung, bei welcher die erhabene Seite nach oben gerichtet ist; durch das Moment in der Mitte aber eine entgegengesetzte Biegung. Man erhält die Lage der zwischen den Stützen liegenden Punkte D und D', in denen eine Krümmung in die andere übergeht, indem man lx = Null setzt.

x² — Ix = — a²

Bezeichnet man die Wurzeln dieser Gleichung mit x₀ und x₀', so er

gibt sich:

xo =

Daraus folgt:

— a²

“ 2 +]/t — a

Für den besonderen Fall, daß a = erhält man:

ys

0,353 l angenommen wird,

xo

2 ys 2

.---a

ys

— y + a

Wird nicht die Stützweite, sondern die ganze Trägerlänge mit l bezeichnet (Fig. 60), so sind die Stützenwiderstände:

pi

Das Moment für die Trägermitte C ist:

M«= ^ / l

Pl l pl ( l 2 ' 4 ⁼"2 " VI

----a

— la

Die Stützenmomente haben den absoluten Wert:

pa²

Der Balken besitzt die größte Tragfähigkeit, wenn M —M« wird.

Fig. 60.

■4

A*

VI

>!

jß

AlZ

Vzl-a

Aus:

pa²

pl / l

folgt dann:

l²

a² + la--^

a = y(V2 — l) = 0,207-1

Nach Einsetzung dieses Wertes ergibt sich dann für die Momente:

pl²

(3 — 2 y 2) = 0,0215 pl²

Für eine Stelle in der Entfernung x vom Balkenende ist:

- (x a) — |,XL‘

2 v    ;    2

30cx = Pl

Setzt man Mx — 0, so folgt:

x²—- Ix = — la

Die Wurzeln dieser Gleichung sind:

xo =

V_|/A²

2 y 4

— la

xo'=

und für den besonderen Fall, daß a = (V 2 — 1) ist:

⁵" = ¥-V/T-X<Vf-¹>=T-4V/3-²>'¹

xo' =

2    ¹ 2 i H ³-->-

Der Ausdruck a =    (y 2 — 1) läßt sich noch auf eine andere Form

bringen. Es ist nämlich:

X (2 - ² V2+ 1)=~ (3-21/2)

2_

Folglich:

3 — 2 y 2 = 0,207 • l

Danach ergeben sich die Abstände der Stellen, wo das Moment — Null ist, vom Balkenende zu:

xo = Z — a xo —~2™ + a

Fig. 61.

A,

«-

Ragt ein auf zwei Stützen ruhender, gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belasteter Träger von der Stützweite l um ein Stück a nur über den. einen Stützpunkt hinaus (Fig. ßl), und stellt man die Gleichungen der statischen Momente auf, so ist in bezug auf den Drehpunkt B:

pl²

Al 2

und in bezug auf den Drehpunkt A:

— Bl-)

Daraus ergeben sich die Stützenwiderstände:

’>

B=ii(l+a)2

^ = 0

4 ^pa(l+1)—⁰

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, daß für a>l der Stützenwiderstand A negativ wird. Für a = l wird A — Null.

In beiden Fällen entsteht bei B das Maximalmoment:

pa

Mb

Ist a < l, so wird A positiv. Es entsteht dann zwischen den Stützpunkten A und B ein zweites Maximalmoment von der Größe M. Das Moment in der Entfernung x vom Auflager A ist:

% = Ai- PX*

px²

oder:

Dieses Moment wird — Null am Auflager A; d. h. für x — 0 und außerdem für:

(im Punkte D)

l² —a²

X — X«

Das Moment wird ein Maximum für:

l² —a²

21

und ergibt sich zu:

l² —a²

Um diejenige Größe von a zu ermitteln, bei welcher der Balken die größte Tragfähigkeit besitzt, hat man die beiden Maximalmomente Mb und M einander gleich zu setzen:

pa²

p / l² — a² V

Daraus folgt:

= 10/2 — 1) = 0,414-1 Nach Einsetzung dieses Wertes ergibt sich:

und:

x₀ = 0,828 • l = 2a

M = % = 0,0857 pl²

Ist die Belastung eines Trägers unsymmetrisch, so läßt sich die Lage des gefährlichen Querschnittes am einfachsten dadurch bestimmen, daß man die Stelle aufsucht, wo die Schubkraft = Null ist. An derselben Stelle erreicht das Moment seinen größten Wert.

Ein einfacher Beweis dieses Satzes, welcher für den besonderen Fall des gleichmäßig auf seine ganze Länge belasteten Trägers schon S. 71 angeführt war, ergibt sich folgendermaßen.

d. h.: die Zunahme des Moments von einer Stelle in der Entfernung x bis zu der nächstfolgenden Stelle in der Entfernung x -f- Ax vom Auflagerpunkte A ist gleich dem Flächeninhalt des lotrecht darunter liegenden Streifens der Schubkraftflüche.

Aus Gl. (61) folgt bei der zeichnerischen Darstellung der Momente:

Wird Sx —Null, so wird auch AMX —Null; d. h. das Moment M erreicht seinen größten Wert an der Stelle, wo die Schubkraft S —Null ist (oder bei einer Einzellast von in — übergeht).

Durch Summierung vom Auflagerpunkte A ab, also von x — Null ab gerechnet, entsteht aus Gl. (61):

- - (62)

Mg- 62.

A,

X AX¹

Px

Bei dem beliebig belasteten Träger (Fig. 62) hat für eine Stelle in der Entfernung x vom Auflager A die Schubkraft die Größe:

Sx — A — P

A,

z'¹

AP

Wächst x um das sehr kleine Stück /\x an, so entsteht:

Momente

@x+Ax = A-(P + AP)

Danach beträgt die Änderung der Schubkraft, während x um Ax anwächst:

Schubkraft¹

A@₅ = @x + AX-@! = -AP= — Px- Ax

Für die Momente an den Stellen in den Entfernungen x und x + Ax von A erhält man die Ausdrücke:

Mx = Ax — Pz

Ax

STOx+ax = A(x +Ax) —P(z+Ax) —AP-^I

A x

oder, da das letzte Glied A P • wegen Kleinheit vernachlässigt werden kann:

= A(X +Ax) —P(z +Ax)

x+Ax

Die Zunahme des Moments betrügt danach:

A3Ki = SDix+Ax — 3Jfx = A‘Ax — P- Ax = (A- — P) • Ax

und wenn für (A — P) der obige Wert Sx eingesetzt wird:

A = <3X • A x.......

(61)

Mx-2(Sx.Ax)--sS-Fläches

oder: Das Moment in der Entfernung x vom Auflager ist gleich dem Inhalt der lotrecht unter der Strecke x liegenden Schubkraftfläche; also gleich demjenigen Teil der Schubkraftfläche, welcher begrenzt ist einerseits von der Auflager-Lotrechten, anderseits von der durch den Endpunkt von x gezogenen Senkrechten¹).

Aus Gl. (62) folgt:

Das Moment M wird — Null bei dem Querschnitt, für welchen die Schubkraftfläche (bestehend aus positiven und negativen Teilen) Null wird; beim Träger auf zwei Endstützen also an den Auflagern.

Fig. 63.

Aa

's

B.;

M-

Ai

Die Belastungsfläche des Trägers AB (Fig. 63) bilde ein Dreieck mit der Höhe p bei dem Auflager B. Es ist dann:

pl 1

2 "13

pl

1.

pl    pl pl

2    6 “ 3

Wird die Entfernung der Stelle, wo die Schubkraft — Null ist, vom Auflager A mit x₀ und die Belastungshöhe an dieser Stelle mit y bezeichnet, so erhält man zunächst:

Pxo

und danach die Belastung des Stückes AG:

x«y _ J)x|

21

oder:

Aus der Bedingung: XA - — A (Schubkraft — 0)

pxZ

!>'

21 6

folgt dann:

x₀ =

V3

0,577 -1

Das an dieser Stelle entstehende größte Moment ergibt sich zu:

P£| JE»

21 ‘ 3

und wenn für x₀ der obige Wert eingesetzt wird:

pl2 — 0,064 pl²

pl

6 X°

max

9V3

Für den symmetrischen Belastungsfall (Fig. 64): Belastungshöhe in der Trägermitte — p und an den Auflagern — Null, ist:

pl²

- - (64)

pl /l

12

4\

Fig. 64.

Fig. 65.

PTTmir

Al

B La 1

IMttttw ^fsssirilslfss

...M.....j

Iß-

Ist umgekehrt die Belastungshöhe an den Auflagern — p und in der Trägermitte — Null (Fig. 65), so wird:

max

pl

CO «T-

pl²

- - (65)

3/    24    ’

Die Addition der Gleichungen (64) und (65) ergibt wieder das Maximal-moment des gleichmäßig mit p auf die ganze Länge l belasteten Trägers (bergt. Gl. (56) S. 70) zu:

pl²

Fig. 66.

C_

AI

Der Träger AB (Fig. 66) sei nur von A bis C gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belastet. Man erhält die Stützenwiderstände A und B,

indem man sich die gleichmäßig verteilte Belastung im Schwerpunkte der Belastungsfläche vereinigt denkt, aus den Momentengleichungen:

Al —pl, (l-¹/₂li) = 0 Bl — plj • ¹jil₁ = 0

zu:

B = 2ll 21

Hat nun die Stelle, wo die Schubkraft — Null ist, die Entfernung x0 vom Auflager A, so ergibt sich x₀ aus der Bedingung px₀ — A zu:

A lj (l Vs st)

PkO-Vi)

xo

Das Moment an dieser Stelle hat dann die Größe:

Pxo Pxu

Bl

= Ax»--2

Siß- 67.

pl **o

Für den Belastungsfall (Fig. 67), bei welchem man sich die gleichmäßig verteilten Belastungen wieder in den Schwerpunkten der Belastungsflächen vereinigt denkt, erhält man:

pii (i—VäM + pWi

B =

Ist l₂>lj, so ergibt sich die Größe x₀, d. h. die Entfernung der Stelle, wo die Schubkraft — Null ist, wo also zugleich das Biegungsmoment seinen größten Wert erreicht, vom Auflager B aus der Bedingung px₀ = B zu:

B

xo = —

Folglich wird:

P

Pxo

9J₍‘

-Bx    pX«

™™tix° 2

3. Zusammengesetzte Belastung.

Wirkt auf einen an den Enden unterstützten, gleichmäßig durch p für die Längeneinheit belasteten Balken noch eine Einzelkraft P (Fig. 68), so setzt sich das Moment für eine beliebige Stelle des Balkens zusammen aus

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aufl.

zwei Teilen, nämlich aus einem Beitrage, herrührend von der gleichmäßig verteilten Belastung, und aus dem Beitrage, den die Einzelkraft P liefert. Diese Beiträge sind einzeln für sich zu berechnen und zu addieren.

Die Stützenwiderstände sind:

pl

Pb

B_ Pl_L Pa

Fig. 68.

>Z... I

Atome nie

\pl ¹ z

Pi- \

Schubkräfte,

Das größte Moment findet entweder im Lastpunkt 0 statt oder liegt zwischen der Trägermitte und dem Lastpunkte C und kann dann abgegriffen werden aus der graphischen Darstellung der Momente, welche sich

zusammensetzt aus dem Dreiecke ABC mit der Höhe P

Einzellast P und aus der Parabel AMB mit der Pfeilhöhe der gleichmäßigen Belastung.

Genauer erhält man die Lage des gefährlichen Querschnittes, indem man die Stelle aufsucht, wo die Schubkraft — Null ist.

Ist x₀ die Entfernung dieser Stelle vom Auflager A, so ist:

A — P — px₀ = 0 A —P

also:

x₀

ab

als Beitrag der als Beitrag

pl²

Das Maximalmoment hat dann die Größe:

= Ax₀ —P(x₀ —a) — P20 worin für x₀ der obige Wert einzusetzen ist.

Für den Fall:

Bl

max

a = b=T

liegt das Maximalmoment in der Mitte des Trägers und hat die Größe:

PI

Fig. 69.

p4*p

;e

,2

M

's

Für den symmetrischen Belastungsfall Fig. 69 liegt der gefährliche Querschnitt ebenfalls in der Trägermitte, und der Träger ist zu berechnen aus der Gleichung:

= Pa + pl.-5- = kW

O

Fig. 70.

’ M

l.

V.

Erstreckt sich die gleichmäßig verteilte Belastung nur über einen Teil lx des Trägers, und wirkt außerdem die Einzellast P auf denselben, so ist nach

0—VA)

Fig- 70:

Pb

f Pli

Wird die Entfernung des gefährlichen Querschnittes vom Auflager A wieder mit x₀ bezeichnet, so ist:

A — px₀ = 0 oder x₀ =

und danach das größte Moment:

= Ax₀

P*0

Pxo

Aufgabe 29. Ein an den Enden frei aufliegender Balken aus Eichenholz von 420 cm Länge ist 150 cm vom Auflager durch ein Gewicht von 900 kg belastet. Welchen Querschnitt muß derselbe erhalten, wenn sich die Breite zur Höhe wie 5:7 verhalten soll, und die Inanspruchnahme k — 80 kg/qcm ist?

Auflösung. Da hier (Fig. 47 S. 60):

a —150 cm

b = 420 — 150 — 270 cm

in Gl. (49) S. 61 einzusetzen ist, so ist das größte Moment:

Mmax — 900 - -und das erforderliche Widerstandsmoment:

86786

150 - 270

420

86786

Da für b = ⁵/? h:

80

1085

Lhs = 1085

42

so erhält man:

h    . 1085 = CXD 21 cm

15 cm

Ausgabe 30. Ein mit den Enden frei aufliegender I-Träger Nr. 20 von 600 cm Länge ist in der Mitte durch ein Gewicht von 1400 kg belastet. Wie groß ist die Inanspruchnahme k?

Auflösung. Nach Gl. (50) S. 62:

PI

Nach Tabelle 3 § 6 ist:

—j- = kW 4

W = 214

daher:

1400 - 600

4-214

— 981 kg

Aufgabe 31. Welche Einzellast P kann ein 400 cm langer, mit den Enden frei aufliegender Balken aus Kiefernholz, dessen Breite — 18 cm und dessen Höhe — 24 cm ist, in der Mitte tragen (k = 60 kg), und wie groß ist die Durchbiegung f?

Auslösung. Da nach Tabelle 15 § 6 6. 42:

W = 1728

ist, so wird nach Gl. (50) S. 62:

4 kW

= 1037 kg

4 - 60 • 1728

400

1    60    400²

und nach Gl. (51) S. 62:

12 100000 ' 12™ ~ °'⁶⁷ °m

Aufgabe 32. Ein I-Träger von 600 cm Länge ist nach Fig. 71 belastet. Es soll das Profil des Trägers ohne Berücksichtigung des Eigengewichts berechnet werden (k = 1000 kg).

Fig. 71.

600

iß

ISO

800

400 SOO 600

Auflösung. Der Stützenwiderstand A ergibt sich:

400.450 + 500.350 + 600 ■ 250 + 800 • 100

600

975

Die Gesamtbelastung beträgt:

Folglich ist:

400 + 500 + 600 + 800 = 2300 kg

B = 2300 — 975 = 1325 kg

Für die Momente in den Lastpunkten 1, 2, 3, 4 ergeben sich die Werte: Mi = 975 -150 = 146 250 M, ----- 975.250 — 400 • 100 = 203 750 Mg = 1325 - 250 — 800 • 150 = 211 250 M4 = 1325 -100 = 132 500

Das Moment Mg ist das größte; daher das erforderliche Widerstandsmoment:

211 250 1000

Es genügt nach Tabelle 3 § 6 Profil Nr. 20 mit W = 214.

211

Aufgabe 33. Es soll ein nach Fig. 54 S. 65 belasteter I-Träger berechnet werden unter Annahme folgender Werte:

P = 800 kg Pi == 1200 kg

a —120 cm a-i — 200 cm bj — 300 cm l = aj -f- bL = 500 cm

Auflösung. Die Stützenwiderstände sind:

1200 - 300

A = 800

500

1520

1280

B = 800 4

1200 - 200

500

Das Moment über den Stützen hat die Größe:

M — Pa — 800 -120 = 96000

Das Moment im Lastpunkte C ist:

aA:- Pa

Mo-Pi

Mo —1200 •

200 - 300

500

96000 = 48000

96000

Der gefährliche Querschnitt liegt also über den Stützen, und das erforderliche Widerstandsmoment ist:

96

1000

Gewählt: Profil Nr. 15 mit W=97,9.

Aufgabe 34. Es soll unter Beibehaltung aller anderen Größen in Aufg. 33 die Länge a so gewählt werden, daß die Momente einander gleich sind.

Auflösung. Nach S. 65 ist:

_ ^ Ri bi _ 1200    200.300

a~ P 21 — 800    2 - 500

90 cm

Danach wird:

_ Pi ai bi _ 1200    200 - 300

JJC— ₂

500

= 72000

72000

1000

72

Gewählt: Profil Nr. 14 mit W = 81,7.

Fig. 72.

Qi

Pi

Aufgabe 35. Ein Balken aus Eichenholz sei nach Fig. 72 belastet und es sei: P = 800 kg Px = 3000 kg

= 96 cm —100 cm I — 360 cm

Wie stark muß der Balken genommen werden bei k = 80 kg/qcm? Auflösung. Nach S. 67 ist:

Px Ri — Pa

3000-100 — 800-96

360

620 kg

Das Moment im Punkte C ist:

mc = A (l — Ri) = 620 (360 — 100) = 161200 Das Moment über der Stütze B hat die Größe:

Md = Pa = 800 • 96 — 76800

Der Balken ist daher nach Me zu berechnen und erfordert das Widerstandsmoment:

161200

80

2015

Nach Tabelle 15 § 6 ©. 42 genügt b — 18 cm, h — 26 cm mit W — 2028.

Ausgabe"36. Zwei Brückenträger von 8 m Stützweite werden beansprucht durch einen Wagen von 10000 kg Gewicht und mit 4 m Radstand. Bei welcher Stellung des Wagens tritt das größte Moment ein? (Fig. 56 S. 68.)

Auflösung. Jeder Träger erfährt die Belastung:

Nach Gl. (53) S. 69:

2P = 2- 2500 kg

500 cm

800 . 400

Hierfür ergibt sich der Stützenwiderstand:

B = 2500 -

2 - 500 — 400

Also:

800

1875 kg

= 1875 (400 — 100) = 262500 cmkg

Aufgabe 37. Eine 1¹/₂ Stein (0,38 m) starke, 4 m breite und 12,5 m hohe Mauer soll durch zwei I-Eisen unterstützt werden. Welches Profil ist zu nehmen?

Auflösung. Der Rauminhalt der Mauer beträgt:

0,38 • 4 * 12,5 — 19 cbm

Rechnet man ein Kubikmeter Mauerwerk zu 1600 kg, so ist das Gewicht der ganzen

Mauer:

1600 -19 — 30400 kg

Die Gesamtbelastung eines Trägers beträgt daher:

pl

30400

15200 kg

Danach ist nach Gl. (56) S. 70:

fcax = 15200

400

= 760000

760000

1000

760

Gewählt nach Tabelle 3 § 6: Profil Nr. 32 mit 781. Der Auflagerdruck eines Trägers hat die Größe:

A = ^ = 7600 kg

Legt man den Träger auf gewöhnliches Ziegelmauerwerk und nimmt an, daß sich der Druck gleichförmig auf die Unterstützungsmauer verteilt (was streng genommen nicht ganz zutreffend ist), rechnet dabei als zulässige Inanspruchnahme k — 7 kg, so ergibt sich die erforderliche Auflagerfläche zu:

F = —— 1086 qcm

Setzt man:

F — ab

wo a die Auflagerlänge und b die Breite des Trägers —13,1 cm (nach Tab. 3 § 6) bedeutet, so wird die Auflagerlänge:

1086

13,1

cxd 83 cm

Bei Holzbalken ist es Regel und im allgemeinen auch genügend, die Auflagerlänge gleich der Balkenhöhe zu nehmen. Bei Eisenträgern ist dieses, wie schon aus obigem Beispiel hervorgeht, in vielen Fällen ganz

ungenügend. Man sollte die I-Träger durch Werksteine unterstützen oder besser noch auf eisernen Unterstützungsplatten lagern, um den Druck auf eine größere Fläche der Mauer zu verteilen. Besonders gilt dieses für kurze gleichmäßig belastete Träger.

Bei Anwendung von eisernen Trägern achte man daher, aus die Auflager!

Aufgabe 38. Dieselbe Mauer in voriger Aufgabe soll durch einen breitflanschigen Grey-Träger (Tabelle 3 a S. 31) unterstützt werden.

Auslösung. Es wird dann die Gesamtbelastung:

pl

=30400 kg ^ax = 1520000 W —1520

Gewählt nach Tabelle 3a: Nr. 30B mit W== 1680.

Auflagerdruck: A — 15200 kg 15200

Auflagerfläche: F F — a - d, wo b = 30 cm nach Tabelle 3 a.

2172 qcm

Also Auflagerlänge:

2172

a — —20 = cxd 73 cm

Aufgabe 39. Bei einem Dache mit Wellblecheindeckung sei die wagerechte Entfernung der Pfetten — 2,5 m; als gesamte Dachbelastung (Eigengewicht, Schnee und Wind) soll 180 kg für das Quadratmeter der Grundrißfläche angenommen werden. Welches Wellblech ist zu wählen?

Auflösung. Die Belastung des Wellbleches für 1 m Breite beträgt: pl = 180 - 2,5 — 450 kg

Folglich ist das größte Moment:

= 450-

“pl'T

und das Widerstandsmoment (bei k — 500 kg):

14063

250

=14063

500

oo 28

Wählt man die Wellenhöhe gleich der halben Wellenbreite und die Dicke 8 = 0,1 cm (flaches Wellblech), so genügt nach Tabelle 11 § 6 ©. 37 eine Wellenhöhe von 8 cm, eine Wellenbreite von 16 cm mit W = 30,5.

Aufgabe 40. Für einen Treppenarm (Fig. 73), bei welchem als Belastung 450 kg für 1 qm der Grundrißfläche angenommen wird, soll die äußere Wange, bestehend aus einem II-Eisen, berechnet werden (k = 750).

Auflösung. Die Gesamtbelastung des Treppenarmes beträgt:

1,1-5.450 = 2475 kg

Davon kommt auf die Wange die Hälfte:

1238 kg

pl = CV)

Durch Zerlegung von pl erhält man die rechtwinklig zum Träger AB wirkende Seitenkraft pl cos a, welche das größte Moment erzeugt:

pl cos a * lx

Mmax

plcosa

cos a

= pl*

Hieraus geht hervor, daß die Neigung des Trägers auf die Größe des Moments ganz ohne Einfluß ist, und daß die Wange von der Grundrißlänge l genau so zu berechnen ist, wie ein wagerechter, gleichmäßig belasteter Träger von der gleichen Länge l.

Fig. 73.

Um

...j

/ - 5ttz

I l.cosoc

Pl

Das erforderliche Widerstandsmoment des Wangenträgers ist (Bet k = 750) danach:

500 .

"87750

Nach Tabelle 1 § 6 ©. 28 genügt L-Eisen Nr. 16 mit W = 116.

Die in der Richtung AB wirkende Kraft pl sin a kann bei der geringen Beanspruchung k — 750 für den Träger selbst vernachlässigt werden.

W = 1238

103

Aufgabe 41. Eine Deckenkonstruktion soll mit Hilfe von eisernen Trägern ausgeführt werden, die in solchen Entfernungen voneinander anzuordnen sind, daß bei voller

Belastung die Durchbiegung BerfelBen Bet: Stützweite beträgt.

Geg.: Stützweite l — 520 cm

Belastung — 700 kg für 1 qm

Auflösung. Die Höhe der Träger muß mit Rücksicht auf die Durchbiegung nach Gl. (60) S. 73 mindestens sein:

520

20,8 cm

Es ist daher nach Tab. 3 § 6 I-Eisen Nr. 21 mit W — 244 zu verwenden.

Ist b der Trägerabstand, so ergibt sich die Gesamtbelastung eines Trägers:

pld —700.5,2.b —3640 b

25

Für k = 1000 wird dann nach Gl. (57) S. 71:

520

3640 b-g

1000 - 244

Folglich:

8 -1000 - 244

3640 - 520

1,03 m = oo1 m

Aufgabe 42. Es soll ein nach Fig. 67 S. 81 belasteter I-Träger berechnet werden unter Annahme folgender Größen:

P= 10 kg l — 600 cm

11    —120 cm

1₂    — 300 cm

Auflösung. Die Stützenwiderstände sind:

=1830 kg

2370 kg

10 -120 (600 — 60) + 10 • 300 • 150

600

10 -120 - 60 +10 • 300 (600 — 150)

600

Xg, d. i. die Entfernung des gefährlichen Querschnittes vom Auflager B, ergibt sich zu:

B 2370

Xo

Folglich wird:

10

237 cm

9)Zmax

10-2372

280845

und für k = 1000:

280845

1000

281

Nach Tabelle 3 § 6 ist erforderlich ein I-Eisen Nr. 23 mit W = 314.

Aufgabe 43. Es soll die Profilnummer eines I-Eisens von 720 cm Länge bestimmt werden, welches gleichmäßig mit p — 8 kg für 1 cm Länge belastet ist. Dasselbe ist an seinem einen Endpunkte unterstützt und soll so weit über die zweite Stütze hinausragen, daß die Tragkraft voll ausgenutzt wird. (Vgl. Fig. 61 S. 76.)

Auflösung. Aus:

folgt:

l + a = l + 0,414-1 = 720

l — 509 cm

a = 720 — 509 = 211 cm

M = 0,0857.8-509² = 177626 177626

1000

cxd!78

Nach Tabelle 3 § 6 genügt ein I-Eisen Nr. 19 mit W = 185.

Aufgabe 44. Ein nach Fig. 70 S. 83 belasteter Träger ist für folgende Angaben zu berechnen:

P = 600 kg p = 12 kg

a = 500 cm

l — 600 cm lj = 400 cm b = 100 cm

453750

454

Auflösung:

600 -100

600

f-12 - 400

(600 — 200)

xo

3300

600

3300

12

275 cm

12-275²

453750

1000

Nach Tabelle 3 § 6 gewählt: I-Eisen Nr. 27 mit W = 491.*)

Aufgabe 45. Ein auf zwei Stützen ruhender Balken aus Eichenholz von 800 cm Länge soll gleichmäßig mit p = 5 kg für 1 cm Länge belastet und so unterstützt werden, daß die Tragkraft des Balkens voll ausgenutzt wird. Es soll der erforderliche Querschnitt des Balkens und die Lage der Stützen bestimmt werden (Fig. 59 S. 73).

Auflösung. Da nach S. 74:

ist, so hat man: oder Stützlänge:

a — 0,353 l 800 = l + 2 • 0,3531

800

1,706 800 — 470

cxd 470 cm

— 165 cm

Folglich:

Die Gesamtbelastung des Mittelteiles beträgt:

plzzr5.470 = 2350 kg

470

» = pl.-- = 23ä0.

69031

und bei k = 80 kg:

bh² 69031

80

863

Wählt man b — 14 cm, so wird:

-=v

. 863 — 19,2 — oo 19,5 cm

Aufgabe 46. Zur Unterstützung eines Balkons von 1,8 m Ausladung sollen die über die Gebäudemauer hinausragenden Fußbodenbalken aus Kiefernholz benutzt werden, welche 0,8 m auseinander liegen und 5,2 m Spannweite haben. Die Fußbodenbelastung beträgt 450 kg/qm, die Balkonbelastung 600 kg/qm; das Gewicht der Brüstung ist — 120 kg für das laufende Meter.

Wie stark sind die mittleren Balken auszuführen?

Auflösung. Die Belastung eines Balkens zwischen den Stützen beträgt für 1 cm Länge: p — 0,8 - 4,5 — 3,6 kg

Die gleichförmig verteilte Belastung des überkragenden Balkenendes ist für 1 cm Länge:

______ Pi = 0,8 *6 — 4,8 kg

*) Oder nach Tabelle 3a § 6: Grey-Träger Nr. 20B mit W — 517. (Das Trägergewicht wird jedoch größer.)

Auf das freie Balkenende wirkt außerdem die Einzelkraft:

P = 0,8 • 120 = 96 kg

In Fig. 74 sind diese Belastungen zusammengestellt.

Fig. 74.

730

520

/>/ = V/ry

Zu:

Der Stützenwiderstand A ergibt sich in bezug auf B als Drehpunkt aus: 3,6 - 520 ^ , 4,8 • 180²

A • 520

f 96 • 180 = 0

A = 753 kg

Das Moment in der Entfernung x vom Auflager A ist:

px²

lx = Ax

Die Schubkraft wird — Null für: oder für:

753-x

3,6 - x²

A — pxg—0

753

3,6

209 cm

Folglich hat das Maximalmoment zwischen den Stützen die Größe:

M — 753 * 209

3,6-209²

78751

Das Moment über der Stütze B ist:

Md

4,8-180²

f 96 • 180 = 95040

Das Stützenmoment ist das größte und der Balken hiernach zu berechnen. Für k = 60 kg:

95040

Hierfür nach Tab. 15 § 6 S. 42:

60

1584

oder:

b = 17 cm und h — 24 cm mit W — 1632

b — 18 cm und b — 23 cm mit W — 1587

Da für die übrigen nicht überkragenden Fußbodenbalken das größte Moment:

3,6-520²

Mmax

121680

also größer als Md ist, so folgt, daß des Balkons wegen die Balken nicht verstärkt zu werden brauchen, sondern eher etwas schwächer gehalten werden könnten, was aus praktischen Rücksichten indessen wohl nicht geschehen wird.

b — 20 cm; ü — 25 cm mit W — 2083

Aufgabe 47. Welche Länge kann ein an den Enden unterstütztes I-Eisen Nr. 20 haben, um sich selbst noch mit Sicherheit tragen zu können?

Auslösung. Nach Tabelle 3 § 6 ist das Widerstandsmoment:

W = 214

g — 0,261 kg

Für die übrigen Balken ist:

121680

Hierfür nach Tab. 15 S. 42 z. B.:

60

2028

und das Gewicht für 1 cm Länge: Folglich das Gesamtgewicht:

G = 0,261 -1

Die Trägerlänge ergibt sich dann nach S. 72:

8 kW 0,261^1

-v

8.1000 - 214

0,261

2561 cm = 25,61 m

§ 10.

Die statisch unbestimmten Träger.

Statisch unbestimmt nennt man solche Träger, bei denen es nicht möglich ist, die unbekannten Größen (Momente und Stützenwiderstände) nur mit Hilfe der allgemeinen Gleichgewichtsbedingnngen (§ 4 S. 16) zu bestimmen. Zur Berechnung solcher Träger sind außer den allgemeinen Gleichgewichtsbedingnngen noch die Elastizitätsgleichnngen Gl. (31) bis (34) S. 44 und 45 zu benutzen.

Die einfachsten Fälle der statisch unbestimmten Träger sollen in folgendem kurz besprochen werden.

Dabei soll vorausgesetzt werden, daß die Stützen alle in gleicher Höhe liegen.

1. Der gleichmäßig belastete Träger auf drei Stützen.

a) Die Spannweiten sind gleich (Fig. 75).

Da die Durchbiegung des Punktes A gegen den Punkt C — Null ist, so erhält man, wenn die gleichmäßige Belastung wieder mit p bezeichnet wird, mit Anwendung der Gl. (36) S. 47 und Gl. (42) S. 50:

Al³

pl⁴ .    ,

3EJ 8EJ

00 OS

Da wegen des symmetrischen Belastungszustandes A = B sein muß, so folgt aus der letzten Gleichung:

pl

(66)

Die Summe aller drei Stützenwiderstände ist gleich der Gesamtbelastung — 2pl; danach wird:

10

pl =

IO 00

2pl

(67)

00 cn

der Gesamt-

d. h.: Der Druck auf die Mittelstütze beträgt belastung.

Nachdem die Stützenwiderstände mit Hilfe der Elastizitätsgleichungen gefunden sind, erfolgt die weitere Behandlung des Trägers in gewohnter Weise.

Das Moment in der Entfernung x vom Auflager ist:

₌Apl.x-_ i,x

2 8 P 2

Fügt man das Glied ^plx positiv und negativ hinzu, so erhält man:

|-x(l —x) —!/₈plx

Das erste Glied der rechten Seite stimmt überein mit Gl. (55) S. 69; die graphische Darstellung desselben ist also eine Parabel mit der Pfeilhöhe ^pV. Das zweite Glied ist proportional x, erreicht seinen größten Wert %pl² für x = l und läßt sich darstellen durch die Gerade AtC2 bezw. LzOz (Fig. 75), wenn C,C₂ = V₈pl² aufgetragen wird.

Man erhält daher nach der letzten Gleichung graphisch die Momente M, wenn man von den Ordinalen der Parabel diejenigen der Geraden abzieht. Dadurch entsteht die in Fig. 75 schraffierte Momentenfläche.

^x=Ax —

px

M.

plx px² plx

tNO

Fig. 75.

1.

rf

Xq

r-

Xq

C2

Der Träger ist so durchgebogen, daß über der Mittelstütze die oberen Fasern, in den Feldern zwischen den Punkten A und D bezw. B und D' dagegen die unteren Fasern gezogen werden. In den Punkten D und D' geht die eine Krümmung in die andere über; folglich ist in diesen Punkten das Moment = Null.

Bezeichnet man den Abstand der Punkte D und D' von den Auflagern mit x₀, so ergibt sich, indem man sDtx — 0 setzt:

x₀ = s/₄l

Diese Trägerstücke AD und BD' können daher als an den Enden frei aufliegende Träger von der Länge ³/₄1 angesehen werden. Das größte Moment für diese Trägerstücke ist nach Gl. (56) S. 70:

³i l

m = p-³/₄i-

00

pV=~TTpl2

Das Moment über der Mittelstütze erhält man, wenn man in dem Ausdruck Mx für x den Wert l einsetzt; also:

pi²

2Rc = -

pl²

Der absolute Wert von M« ist größer als M; der gefährliche Querschnitt liegt also über der Stütze C, und der Träger ist zu berechnen nach der Gleichung:

= kW

(68)

Diese Gleichung stimmt überein mit der Gleichung (57) S. 71.

Danach ist das Moment über der Mittelstütze des symmetrischen gleichmäßig belasteten Trägers von der Länge 21 auf drei in gleicher Höhe liegenden Stützen gleich dem größten Momente des gleichmäßig belasteten, an beiden Enden frei aufliegenden Trägers von der Länge l.

Für die Berechnung des Trügerquerschnittes kann man daher annehmen, daß die Felder AG und BC durch je einen besonderen Träger überspannt sind.

Zur Berechnung der Stütze G selbst, die z. B. aus einer Säule oder einem Unterzug bestehen kann, ist diese Annahme dagegen unzulässig; denn der Druck, welchen zwei Einzelträger AG und BG auf die Stütze C übertragen, würde nur — pl sein, während in Wirklichkeit der durchlaufende Träger AGB nach Gl. (67) einen größeren Druck auf die Mittelstütze ausübt.

Durch eine Änderung in der Höhenlage der Stützen werden die Momente stark beeinflußt, und zwar wird durch eine Senkung der Mittelstütze das Moment Mo verkleinert, die Momente M vergrößert. Durch eine geringe Senkung der Mittelstütze läßt sich daher die Tragfähigkeit des Balkens vergrößern, wogegen eine Überhöhung der Mittelstütze nachteilig auf die Tragfähigkeit einwirkt. Da durch Zufälligkeiten, z. B. nachträgliches ungleichförmiges Setzen der Auflager, die Höhenlage derselben sich gegeneinander leicht etwas verändern kann, und eine genaue Überwachung häufig schwer durchzuführen ist, so bleibt hauptsächlich aus diesem Grunde die Anwendung der Träger auf mehreren Stützen mit Recht beschränkt, obgleich bei diesen an Material etwas gespart werden kann.

b) Die Spannweiten sind ungleich (Fig. 76).

Die Trägerstrecke AC = sei mit p, und die Strecke BC = l₂ mit p₂

belastet.

Durch die Belastungen wird der Träger, wie in Fig. 76 angedeutet, durchgebogen. Die Tangente an die Biegungskurve in C bilde mit der Wagerechten den Winke! a.

Fig. 76.

TI 11111ITTT

Betrachtet man das eine Mal das Trägerstück B C als fest eingespannt und stellt für das andere Trügerstück AC die Gleichung der statischen Momente in bezug auf den Drehpunkt C auf, so erhält man (Fig. 77):

-Pl₂-< +SRc = 0

Al,

woraus folgt:

a==m

2

Mo

(69)

Fig. 77.

Fig- 78.

M, SJVL

<- ——>!

%k

PL‘

Pzk

In derselben Weise erhält man, wenn man das Trägerstück AC als fest eingespannt annimmt, nach Fig. 78:

B - ,’-¹-

M«

(70)

oder:

Für die Mittelstütze gilt:

C = pA + p₂l₂—A — B C = pjli p₂l₂ - ₂¹ -f

C = ^‘-+P*k + SWo(_l.₊ 1)    .    .

Mo

Mo

l₂

- - (71)

fi = \ tg a

Für das linke Trägerstück AG liefert die schräge Einspannung unter 4Ca für sich allein eine nach oben gerichtete Durchbiegung des Punktes A von der Größe:

Die Kraft A für sich allein würde nach Gl. (36) S. 47 die ebenfalls nach oben gerichtete Durchbiegung erzeugen:

fz —

Al?

3EJ

Die durch die Streckenbelastung p nach unten gerichtete Durchbiegung ist nach Gl. (42) S. 50:

P.fi

8EJ

Al?__Pl!t_n

3EJ 8EJ

In derselben Weise findet man für das rechte Trägerstück:

Da nun die Gesamtdurchbiegung des Punktes A gegen den Punkt G — Null ist, so erhält man:

li tg «

P2I2 _Q

Bl»

3EJ 8EJ

Multipliziert man die erste dieser beiden Gleichungen mit l₂ und die zweite mit llf so folgt durch Addition:

Al?l₂ + Bl|l, _ p,lfl₃ + p₂l|lx

oder:

Alf + Bl§ = -

CO 00

- (Pi¹? + P2¹*)

woraus sich nach Einsetzung der in den Gleichungen (69) und (70) für A und B gefundenen Werte für das Stützenmoment M« ergibt:

Mo

Pili + P»ll

8(li + l₂)

(72)

Die Maximalmomente innerhalb der Felder erhält man durch Bestimmung der Nullpunkte D und D' (Fig. 75).

Man findet:

xo — li

x₀'=l

p,l? + p₂l»

^Pili (li + lg)

Pllf+P2^

4p₂l₂ (lj +12)

In gleicher Weise wie auf S. 95 wird dann:

PlX0

M,

und M₂

P2xo'²

Lauen stein, Festigkeitslehre. 10. Stuft.

¹

Für einen gleichmäßig belasteten Träger findet sich der Beweis dieses Satzes schon

ans S. 71.

4l₂ (l, + l₂)

lf + ll

Für Pi = p₂ = p vereinfachen sich die Gleichungen (69) bis (72) zu den folgenden:

Mo

a=ä

°-4

(73)

Mo

(74)

- • (75)

Mo

Außerdem wird:

H\ + \)

(76)

l? + lg

M.

M.

PV²

Für l, = l₂ = l erhält man dann wieder die schon auf S. 93 bis 95 gefundenen Werte:

3 . 8pl

10

pl

x₀ = x₀ = -7- 1

0-pi²

a»i = aR₈= i28

Mo

pi²

2. Der durch Einzelkräfte belastete Träger auf drei Stützen.

a) Die Spannweiten sind gleich, und die gleichen Einzelkräfte P greifen in den Feldmitten an (Fig. 79).

Die Durchbiegung des Punktes A gegen den Punkt C ist im ganzen — Null. Sie setzt sich zusammen aus einem Teile, hervorgebracht durch den Stützenwiderstand A, und aus einem andern Teile in entgegengesetzter Richtung, welcher durch die Einzelkraft P erzeugt wird.

<1X ,

Ez

El

Der Angriffspunkt E der Einzelkraft P erfährt nach Gl. (36) S. 47 durch ^P (allein die Durchbiegung:

fi

Fig. 79.

Aa

D’

E'

er's?

VP

CL

El

ß,

pp

3EJ 24 EJ Der Punkt A liegt aber (Fig. 80) um das Maß:

4=2 Aga

tiefer als der Punkt E, und da nach Gl. (38) S. 48:

Fig. 80.

tga

2EJ

—>*-

.--»i

ist, so entsteht:

CO e-¹

-X

Ta,

sL

pp

2EJ 16EJ

Die Gesamtdurchbiegung des Punktes A, hervorgebracht durch die Kraft P, beträgt danach:

PP PP _ 5 PP 24EJ ' 16EJ 48 EJ

fi + f₂ =

Diese wird wieder aufgehoben durch die von dem Stützenwiderstande A allein bewirkte Durchbiegung nach oben, welche nach Gl. (36) S. 47 die Größe hat:

AP 3EJ

Setzt man f = f₁ + f₂, so erhält man:

16

16

c=IEp

Das Moment im Angriffspunkte von P ist:

— P - — ⁵ Pi 16    2    32

Das Moment über der Mittelstütze hat die Größe:

»Pl

M«-^Pl —

P-2

Der Träger ist daher zu berechnen nach:

16

16

™Pl = kW

16

(77)

Für die Strecke von A bis B (Fig. 79) ist:

Ipx

Mx — Ax

16

oder:

16

Mx —

Jtpx

Für x — 0 wird:

und für x = -5r:

2

Pl 3

^ Pl (wie vorhin)

Pl =

M —^

4

Für die Strecke von E bis C (Fig. 79) ist:

32

Mx —Ax —P x —^

oder:

Mx-

₂ (l x) Xß'Px

Für x = y wird wieder (wie oben):

Pl    3

M — ¹ -__° pi —

4    32

32

Pl

und ebenso für x —l:

Mo — —

16

Pl

Ebenso erhält man für das rechte Trägerstück:

Mo

(79)

Hieraus ergibt sich die graphische Darstellung der Momente in Fig. 79. Darin ist:

PI

und:

EiE₂ = Ej E₂'= -g CxC₂ = ^Pl

Die Lage der Punkte D und D' ist bestimmt durch die Bedingung: y(l —x₀) —^Px₀ = 0

Man erhält daraus:

x»=n

b) Die Spannweiten sind ungleich; die Einzelkräfte Pt und P greifen an beliebigen Stellen au (Fig. 81).

Fig. 81.

«r-

-k-

Vf>

P-i

Für das linke Trägerstück lautet in bezug auf den Drehpunkt C die Gleichung der statischen Momente:

woraus folgt:

M—^^ + ^0=0

a = PA Mo

Ix li

(78)

T> _ ^*2^2

|

l2

Der Stützenwiderstand bei C ist danach:

C = Px -f- Ps — A — B

und wenn für A und B die gefundenen Werte eingesetzt werden:

. . (80)

0 ₌ JÜllÜü

Für die Durchbiegungen der Punkte A und B, die im ganzen — Null sind, ergeben sich die Gleichungen in gleicher Weise wie auf S. 97:

Pib?

litga-f-

Al? Ptb»

3EJ 3EJ

2EJ

b r2aj _o

² 2EJ _U

Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit l₂, die zweite mit l₁₍ so folgt durch Addition:

Al²l₂+Blil₁=:

—1₂ % a

Bis P₂af

3EJ 3EJ

Pi (b?l₂ + ^a₁b?l₂) + P₂(a3l₁ +

CO KM

a|b₂lx

Setzt man für A und B die in den Gleichungen (78) und (79) gefundenen Werte ein und löst die Gleichung für M« auf, so erhält man:

l, -j- ax

p    ____

¹ Ix 2 (l, -|- l₂)

+ P:

l₂ "P" b₂

4    2 (\ f-1₂)

- (81)

Für die Momente in den Lastpunkten ergeben sich nach Fig. 81 die

Größen:

Mo

ax

ix k>

Ist Pj — P₂ — P und Ul — 8^ — a₂ — b₂ — so ergeben sich für

die Momente und Stützenwiderstände wieder die unter 2 a) S. 98—100 gefundenen Werte.

3. Der an einem Ende wagerecht eingespannte, am anderen Ende frei

anfliegende Träger.

a) Der Träger ist gleichmäßig auf seine ganze Länge belastet.

Dieser Träger (Fig. 82) ist anzusehen als die Hälfte des unter 1 a) besprochenen, gleichmäßig belasteten Trägers auf drei Stützen, welcher in der Mitte fest eingemauert gedacht ist (S. 94).

Die Stützenwiderstände sind:

A=r

00; 00

pl

00 Ol

-Pl

Das größte Moment findet bei C statt und hat den Wert:

90?e =

pl²

Für Berechnung des Trägers gilt Gl. (68) S. 95.

Für das Trägerstück AD ergibt sich wie auf S. 95 das größte

Moment:

9    ₁₂    1 lt

128 Pl'! = - iJ Pl*

Fig. 82.

Fig. 83.

C,

AL

c\

•Ml

O-

Et

Die graphische Darstellung der in Fig. 82 schraffierten Momentenfläche gibt ein Bild von der Veränderlichkeit des Momentes.

b) Der Träger ist in der Mitte durch die Einzelkraft P belastet.

Der Träger (Fig. 83) ist als die Hälfte des in Fig. 79 S. 99 abgebildeten Trägers auf drei Stützen zu betrachten.

Die Stützenwiderstände sind:

A = i P

16

16

Das größte Moment bei C hat den absoluten Wert:

30Ze = ™Pl

16

Die Berechnung des Trägers geschieht nach Gl. (77) S. 100. In der graphischen Darstellung der Momente ist:

E,E₂ =

0.0-

16

PI

c) Der Träger ist an beliebiger Stelle durch die Einzelkraft P

belastet.

Da die Durchbiegung des Punktes A gegen den Punkt 0 — Null ist, so erhält man nach Fig 84:

Al³ Pb³ Pab²_

3KJ — 3EJ ~ 2EJ ⁼ 0

Fig. 84.

A.

!)

I »•

¹ M,

Daraus folgt:

b²(2l + a)

2l³

(82)

2l³

c = p A = p2l³-b²(2l + a)

oder:

a[2l(l + b) —b²]

21³

. . (83)

Das Moment im Lastpunkte ist:

M — Aa —k

ab²(2l + a)

2l³

(84)

Das Moment an der Einspannungsstelle ist:

Pb

Mo —Al — Pb = P -    ^ -

2lJ

b (21 -j- a) — 2l²'

2l²

und wenn zunächst im Zähler a + b statt l eingesetzt wird, ergibt sich nach kurzen Umformungen:

a»c=—

p ab (l p a)

2l²

(85)

4. Der an beiden Enden wagerecht eingespannte, gleichmäßig belastete Träger.

Die Form der elastischen Linie bei diesem Träger (Fig. 85) zeigt, daß zwei Punkte I) und D' vorhanden sind, in denen das Moment — Null ist.

Die vorläufig noch unbekannte Entfernung dieser Punkte von der Mitte des Trägers sei x₀.

Fig. 85.

VA

Xp

Das mittlere Trägerstück von der Länge 2x₀ kann angesehen werden als ein an den Enden frei aufliegender Träger, welcher auf jeden Unter» stützungspunkt den Auflagerdruck px₀ überträgt. Die Seitenstücke AD und BD' bilden daher gleichmäßig belastete Konsolträger, an deren freiem Ende die Einzelkraft px₀ wirkt.

Fig. 86.

,+ Xp

D'

-i

<-•

I)

BM

px₀

p(l/z xo)

Der Gleichgewichtszustand wird nicht gestört, wenn man sich den Träger AB im Punkte D' zerschnitten denkt und dafür für das linke Trägerstück AD die lotrecht aufwärts gerichtete Kraft px₀, für das rechte Trägerstück die lotrecht abwärts gerichtete Kraft px₀ als äußere Kraft hinzufügt (Fig. 86). Bezeichnet man die Durchbiegung des Punktes D' gegen die Punkte A und B mit f, so ergibt sich nach Gl. (36) S. 47 und Gl. (42) S. 50 für das linke Trägerstück:

1.

P 2"+ x-

px° T + x°

8EJ

und für das rechte Trägerstück:

3EJ

P y-xo

Px° ly —xo

8EJ

3EJ

Setzt man diese beiden Werte von f einander gleich, so solgt:

2~ +xoj +    x°

4"

8x₀

³p~ + Xo)

Durch Auflösung dieser Gleichung ergibt sich:

xo —

Danach ist die Länge des Mittelstückes DD':

2x₀

V3

und das größte Moment in der Mitte bei C nach Gl. (56) S. 70:

l__l

M.

pyf ‘ yf

ober:

ä»c=pl2

24

(86)

Für das Moment an der Einspannungsstelle B ergibt sich:

M — px₀

und wenn für x₀ der obige Wert eingesetzt wird:

2R =

p l2

woraus folgt:

p2ys\2 2ys

M— pl2

12

(87)

Die Einspannungsstellen A und B sind also die gefährlichen Querschnitte, und der Träger ist zu berechnen nach:

= kW

5. Der an beiden Enden wagerecht eingespannte, durch eine Einzelkraft P

belastete Träger.

a) Die Kraft P greift in der Trägermitte an.

Die Entfernung x₀ der Punkte D und D', in denen das Moment — Null ist, von der Mitte des Trägers erhält man in ähnlicher Weise wie unter 4.

Das mittlere Trägerstück DD' von der Länge 2x₀ kann betrachtet werden als ein an den Enden frei aufliegender Träger, welcher auf jeden

UnterstützungsPunkt den Auflagerdruck ¹j₂P überträgt. Die Seitenstücke AD und BD' bilden daher Konsolträger, an deren freiem Ende die Kraft */* P wirkt.

Fig- 87.

•§

w.

*Xq

X₀

Denkt man sich den Träger AB (Fig. 87) im Punkte D' zerschnitten, so hat man für das linke Trägerstück AD' die lotrecht aufwärts gerichtete Kraft ¹I₂ P; für das rechte Trägerstück BD' die lotrecht abwärts gerichtete Kraft P als äußere Kraft hinzuzufügen (Fig. 88).

Fig. 88.

h?

XV

D'

Die Durchbiegung f des Punktes D' gegen die Punkte A und B ergibt sich dann für das rechte Trägerstück BD' nach Gl. (36) S. 47 zu:

f=

V» phjr — x°

3EJ

Für das linke Trägerstück AD' setzt sich die Durchbiegung f aus mehreren Teilen zusammen.

Die in C angreifende Kraft P (Fig. 89) erzeugt im Punkte C die Durchbiegung:

fl

3EJ

Die Tangente des Winkels, den die Trägerachse in C mit der Wagerechten bildet, hat nach Gl. (38) S. 48 die Größe:

tg<x

2EJ

Folglich liegt der Punkt D' um:

x₀ tg a = x₀

2EJ

tiefer als der Punkt C.

Fig. 89.

Sy.

St

Die von der Kraft P allein bewirkte Durchbiegung des Punktes I)' gegen den Punkt A beträgt danach:

\"2",

X° 2EJ

fi + x₀ tga =

3EJ

Die in D' angreifende Kraft x/₂ P erzeugt nun aber eine Durchbiegung nach aufwärts von der Größe:

J/*p T + x°

3EJ

Die Gesamtdurchbiegung des Punktes D' ist daher:

3-

f = f, + x₀ tg a + f

f xo

¹/2p(y+ x„

2EJ

3EJ

3EJ

Setzt man die beiden Werte von f, die sich bei Betrachtung des rechten und linken Trägerstückes ergeben haben, einander gleich, so folgt:

(2 - x°) + (t + x°) ~² (i) + 3x° (t)

woraus man durch Auflösung der Gleichung für x₀ erhält:

x0— 4

Das mittlere Trägerstück DD' hat daher die Länge:

2X0 = -9

und das Moment in der Mitte bei C ist nach Gl. (50) S. 62:

M«

PI

Die Konsolträger AD und BD' haben die Länge -r- und sind am freien

p    ⁴

Ende durch die Kraft ^ belastet. Die Momente an den Einspannungsstellen bei A und B haben danach die Größe:

P l 2 ' 4

Die drei größten Momente bei A, B und C sind also einander gleich, und das erforderliche Widerstandsmoment des Trägers ergibt sich aus:

PI

V = kW

PI

b) Die Kraft P greift an beliebiger Stelle an.

Da die Durchbiegung des Punktes A gegen den Punkt B — Null ist (Fig. 90); außerdem auch tg a = Null ist, so erhält man für f und tg a nach der Tabelle S. 51 in bezug auf den Punkt A die Gleichungen:

Al³ Pb³ Pab²    _

3EJ 3EJ 2EJ 2EJ —U

tga =

Al²

Pb² M,1

2EJ 2EJ EJ

Fig. 90.

r-'-er

:p

y.

Aus der letzten dieser Gleichungen folgt:

M ___

g gl

Setzt man diesen Wert in die Gleichung für f ein, so ergibt sich: Al³ Pb³ Pab² Al³ . Pb²l

Al³ Pb²

12

(4b + 6a-31)

oder:

b² (b + 3a)

l⁸

Moment an der Einspannungsstelle A:

^ = pb²(b^+3a)

Pb² _ Pb² /b + 3a

21

21

oder:

^-p™ . . .

In bezug auf den Punkt B (Fig. 90) ist:

Bl³ Pa⁸ Pa²b 9JL1²

(89)

3EJ 3EJ 2EJ 2EJ

und:

tga

Bl²

Pa²

MA

2EJ

EJ

2EJ

Durch dieselben Entwicklungen wie oben ergibt sich dann: 8 — p a² (a -f- 3b)

l³

(90)

9H₂ =

p a²b

l²

(91)

Das Moment im Punkte C ergibt sich zu*):

2Pa²b²

I³

PI

Für die Berechnung des Trägers ist das größte Moment maßgebend. Für a = b = g erhält man wieder:

^ M₂ --- Mo

In bezug auf die eingespannten Träger ist schließlich noch hervorzuheben, daß in der Praxis auf eine vollkommene Einspannung nicht leicht zu rechnen ist, und daß man sicherer geht, keine Rücksicht darauf zu nehmen, sondern den Träger als Träger auf zwei Stützen anzusehen und zu berechnen**).

§ 11.

Die Träger non gleichem Lirgungswiderstand.

In der Gleichung:

9Ä = kW

darf k höchstens gleich der zulässigen Inanspruchnahme werden.

*) Ableitung siehe: Ott, Vorträge über Baumechanik, 3. Ausl. I. Teil S. 187. **) Dasselbe gilt im erhöhten Maße auch sür Balken und Platten aus Beton und Eisenbeton (siehe: § 18 und 19).

Bei den bisher betrachteten prismatischen Trägern, bei denen W für alle Querschnitte denselben Wert hat, wird diese zulässige Inanspruchnahme nur in den Punkten erreicht, wo das Moment der äußeren Kräfte ein Maximum ist. Alle anderen Stellen des Trägers erleiden eine geringere Inanspruchnahme. Das Material wird bei den prismatischen Trägern daher nur in den gefährlichen Querschnitten voll ausgenutzt.

Soll die Tragfähigkeit des Materials in allen Querschnitten voll ausgenutzt werden, so darf der Träger nur in den Teilen eine prismatische Form haben, in denen das Moment unveränderlich ist (tote z. B. bei dem Träger Fig. 37 S. 48 zwischen den Punkten A und C; in Fig. 38; in Fig. 52 S. 64 zwischen C und C' und in Fig. 53 S. 64 zwischen A und B). In allen übrigen Teilen muß sich der Querschnitt mit dem Momente ändern, und zwar muß der Träger eine solche Form erhalten, daß die Spannung der äußeren Faserschicht in allen Querschnitten gleich der zulässigen Inanspruchnahme wird.

Träger, welche dieser Bedingung entsprechen, nennt man Träger von gleichem Biegungswiderstand. Diese Träger besitzen außer dem Vorteil der Materialersparung vor den prismatischen Trägern auch noch den Vorteil, daß die Belastung durch das Eigengewicht geringer ausfüllt.

Nach der obigen Erklärung muß bei einem Träger von gleichem Biegungswiderstand das Verhältnis:

Biegungsmoment W Widerstandsmoment

für alle Querschnitte denselben unveränderlichen Wert haben. Bezeichnet man mit Mx und Wx die Werte, welche die Größen M und W für einen bestimmten Querschnitt des Trägers an einer Stelle in der Entfernung x vom Trägerende annehmen, so lautet die allgemeine Bedingung für einen Träger von gleichem Biegungswiderstand:

oder:

Mx _ Wx

Bi ~ W

(92)

d. h.: Die Momente verhalten sich wie die Widerstandsmomente.

Sind für kreisförmigen Querschnitt y und d die Durchmesser, welche den Widerstandsmomenten Wx und W ensprechen, ist also:

d³tu

Wx

ydir

32

32

so erhält man aus Gl. (92):

Mx

y⁸

M d³

i/9»x

oder:

1 M

d. d.: Die Durchmesser verhalten sich wie die dritten Wurzeln aus den Momenten: die Trägerform entspricht einer kubischen Parabel*).

Bei einem an einem Ende fest eingespannten, am anderen Ende durch die Kraft P belasteten Träger (Fig. 91) ist:

M = Pi

Fig. 91.

.1

d\ mi

Li

9Äx = Px folglich wird nach Gl. (93):

4L

y =i/>

d y l

- - (94)

Nach Gl. (94) kann der Durchmesser y für jede beliebige Stelle x des Trägers bestimmt werden, nachdem der Durchmesser d aus:

pi=k.ä

32

~ 0,1 kd³

berechnet ist.

Für einen Freiträger mit rechteckigem Querschnitt und der unveränderlichen Höhe h ist nach Fig. 92 für eine Stelle in der Entfernung x vom Angriffspunkte der Kraft P:

9Rx = Px

Fig. 92.

Wx

yh²

hd böL.J

und für die Einspannungsstelle: M — Pi

folglich nach Gl. (92):

bh²

. . (95)

l b

d. h.: Der Grundriß des Trägers bildet ein Dreieck.

Die Breite b an der Einspannungsstelle ergibt sich aus:

k-iP=pi

6

Wird der Krümmungshalbmesser dieses Trägers an der Einspannungsstelle mit p, an der Stelle x mit px bezeichnet, so ist nach Gl. (29)

_ EJ_Ebh³

f“ M — 12 PI

S. 43:

px =

EJX Eyh³

Mx    12 Px

*) Konstruktion derselben siehe S. 52.

px

Nach Gl. (95) ist die rechte Seite dieser Gleichung — 1, woraus folgt:

p = px

d. h. der Krümmungshalbmesser hat für alle Stellen des Trägers dieselbe Größe; der Träger ist also nach einer Kreislinie gekrümmt.

Fig. 93.

und:

Fig. 94.

I-

>!

*•#

lf

]f

Tp

Ist r der Halbmesser dieser Kreislinie, so läßt sich die Durchbiegung f des Endpunktes B aus Fig. 93 folgendermaßen berechnen.

Es ist:

l² = r² — (r — f) l² = 2 rf — f²

Wegen Kleinheit von f kann man den Wert f² vernachlässigen und erhält dann aus letzter Gleichung:

(96)

Nach Gl. (28) S. 43 ist aber:

Ee

Setzt man diesen Wert in Gl. (96) ein, so ergibt sich:

k l2 E e

Die Durchbiegung ist hier also 1,5mal so groß als unter sonst gleichen Umständen bei einem prismatischen Träger (vergl. Gl. (37) S. 47). Führt man die ganze Trägerhöhe h ein, setzt also:

2 6 — h

und löst Gl. (97) für h auf, so erhält man:

1-H CM

(97)

H.

(98)

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

Nach dieser Gleichung kann z. B. die Stärke einer Dreiecksfeder berechnet werden, welche durch eine am Ende wirkende Kraft P die Durchbiegung f erfährt (Fig. 94).

Die erforderliche Breite b an der Befestigungsstelle ergibt sich aus:

r_ — pi 6

6PI

~ kh*

Fällt hiernach die Breite b größer aus, als wünschenswert ist, so kann man die Feder, wie in Fig. 95 angedeutet, in einzelne Streifen von gleicher Breite zerlegen. Indem man sich dann je zwei mit gleichen Nummern versehene Streifen zu einem Stück wieder zusammengesetzt denkt, entsteht

durch Übereinanderlegen der einzelnen Stücke die sog. Schichtfeder.

zu:

Fig. 95.

k-

bh²

(99)

v “'S--;

.3

~£

Ausgabe 48. Es sollen die Abmessungen h und b einer Stahl-Feder von 50 cm Länge, welche sich unter Einwirkung einer Kraft P = 256 kg um 6 cm durchbiegt, berechnet werden. Die zulässige Inanspruchnahme für gehärteten Stahl sei k — 4000 kg und der Elastizitätsmodul E — 2200000.

2>

Auflösung Nach Gl. (98) ist:

, __    4000    50-    nQ

¹    2200000 ‘ 6    0,8 Cm

Die Breite an der Einspannungsstelle ergibt sich nach Gl. (99):

b ==

6 - 256 - 50 4000-0,8²

30 cm

Statt der einfachen Dreiecksfeder kann hier eine Schichtfeder ausgeführt werden, welche z. B. aus:

bestehen kann.

4 Blättern von je 7l/₂ cm Breste oder 3 Blättern von je 10 cm Breite

Aufgabe 49. Die in Figur 96 dargestellte, aus Gußeisen vorausgesetzte ungleichschenklige Achse sei belastet mit Q = 16000 kg. Die Schenkellängen (bis Mitte der Zapfen gemessen) seien: Lt= 36 cm; L₂=60 cm. Es sollen die Zapfendurchmesser dL und d2 und der Durchmesser D der Achse an der Laststelle berechnet werden. Das Verhältnis voll Zapfenlänge zu Zapfendurchmeffer sei—1,4.

Auflösung. Die Zapfendrücke sind nach Gl. (47) und (48) S. 60:

16000 - 60

Pi =

P,

Q * P‘2

Lj+P* — 36 + 60

16000 - 36 "36 + 60

Q-Li

10000 kg

6000 kg

Pi + P*

Der vorläufig voll angenommene Zapfendurchmesser di ergibt sich aus:

p . Jp__k dL+ ¹    2    32

cxD 0,1 • kdV

Wird l, — 1,4 d, eingesetzt, erhält man:

di²

Ebenso ist:

d./ =

1,4 Pj 2 -0,1 k

1,4 P, 2 - 0,1 k

gi0. 96.

p,

Pt

-K

r>"

,/

! \d.

<-----

:4 >

I«

Für die zulässige Inanspruchnahme k, die hier zwischen einem größten positiven und einem größten negativen Werte wechselt*), ist die Tabelle III S. 5 (Biegung) maßgebend. Danach ist für Gußeisen k— 150 kg/qcm, so daß man erhält:

di = |/

7 > 10000

150

21,6 cm

d,=y-i

-6000

150

16,7 cm

Die Zapfenlängen werden:

Ii— 1,4 • 21,6 — oo 30 cm l₂ — 1,4 -16,7 = cvd 23 cm

Für Träger von gleichem Biegungswiderstand ergibt sich der Durchmesser!) nach Gl. (93) S. 111 aus:

=v

P,L,

zu:

PvVJi

3

V i.

2 Lj

oder in gleicher Weise:

D = dj y

2 Lj

I)

=d,|/

2L,

= 2i,6|/—3o

3

M'' 23

2-36

2 • 60

cx3 29 cm **)

oo 29 cm

also:

*) Vergl. Aufgabe 26 S. 57.

**) Der Achsendurchmesser D ergibt sich auch direkt aus der Gleichung: M — ?i - I^i — 0,1 - kl)b

Pi-L,

0,1 -k

j /10000-36

V 0,1

-150

= cxd 29 cm

Wird die Achse nicht voll, sondern als Hohlguß mit ringförmigem Querschnitt ausgeführt, so muß dieser dasselbe Widerstandsmoment besitzen

wie der Querschnitt der massiven Achse an derselben Stelle.

Wird für den vollen Querschnitt der Durchmesser mit I)₀ und werden für den Ringquerschnitt an derselben Stelle die Durchmesser außen und innen mit D und d bezeichnet (Fig. 97), so muß sein:

Do³*

Fig. 97.

~-d-

Do

(D⁴—d⁴) *

ex

32 D

oder:

T) 3 ^0

D⁴—d⁴

I)

daraus folgt:

d‘Hf)

(100)

Gewöhnlich wird für das Verhältnis d: D ein bestimmter Wert angenommen, und für diesen nach der letzten Gleichung D berechnet. Man erhält dann folgende Tabelle:

D“ 0,4

0,5

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

Do

1,01

1,03

1,05

1,07

1,1

1,14

1,2

Nimmt man z. B. bei der obigen Aufgabe für die hohlen Zapfen das Verhältnis der Durchmesser — 0,6 an, so werden nach der Tabelle die äußeren Zapfendurchmesser:

(1/= 1,05 • dL— 1,05 • 21,6 = oo 23 cm d₂'= 1,05 • d₂= 1,05 • 16,7 = 10,5 cm

und die inneren Zapfendurchmesser:

d/' = 0,6 • dx' = 0,6 - 23 = 13,8 cm d₂" = 0,6 - d₂'= 0,6 -17,5 = 10,5 cm

Nimmt man ferner für die hohle Achse an der Laststelle das Verhältnis der Durchmesser—0,7 an, so wird nach der Tabelle der äußere Durchmesser:

D'= 1,1-1) — 1,1 • 29 = 32 cm

und der innere Durchmesser:

D" = 0,7 - D' = 0,7 - 32 = 22,4 cm

Der Durchmesser des Achsenkopfes wird mit Rücksicht auf die Keilnut entsprechend größer als D' gewählt.

§ 12.

Die auf Doppelbieguug beaufpruchteu Träger.

Bisher wurde bei den belasteten Trägern stets vorausgesetzt, daß die Kraftebene, also auch die Momentenebene mit einer Hauptachse des Trägerquerschnittes übereinstimmt. Es kommen nun aber im Hochbau hänsig Träger vor, bei denen diese Voraussetzung nicht zutrifft, bei denen vielmehr die Momentenebene eine beliebige, von der Hauptachse des Querschnittes abweichende Richtung hat. Die Träger erfahren in diesem Falle eine Doppelbiegung.

Zerlegt man nämlich (Fig. 98) das Moment M nach der Richtung der Hauptachsen TT und XX in die Seitenmomente M^ und Mz, so wird durch M^ eine Biegung des Trägers in der T-Ebene und gleichzeitig durch Mz eine Biegung in der X-Ebene hervorgerufen.

Fig. 98.

Das Moment BF für sich erzeugt in den äußersten Fasern die Randspannnng:

ki

Wx

und das Moment Mz für sich die Randspannung:

k2

Mz

X--

L.

Wy

Durch gleichzeitige Wirkung von 9K₁ und Mz entsteht als größte überhaupt auftretende Spannung:

Mi , Mz

M/

Y9)t

k = kl + k2 —

k darf dabei nicht größer als die zulässige Inanspruchnahme werden. Aus der letzten Gleichung folgt:

k= \vx('xl‘¹~l'

oder wenn man das Verhältnis Wx: Wy mit c bezeichnet:

M,-i-eMz

Wx

Wy

wx

Wy

Mz

Wx

(101)

Man setze nach R. Land*) für ein schätzungsweise passendes Prosil aus den Profiltabellen die zugehörige Verhältniszahl c ein; bestimme nach Gl. (101) den Wert Wx und setze die zum nächstpassenden Profil gehörige Verhältnis-zahl c von neuem in Gl. (101) ein, um den genaueren, mindestens erforderlichen Wert Wx zu erhalten. Mittelwerte für die erste Schätzung sind:

c —8 für I-Profile o — 6 für Q-Profile

*) Siehe Zeitschr. d. V. d. I. 1895 S. 293.

Die genauen Werte von c — Wx: Wy für die I-, l__- und ^-Prosile sind in folgenden Tabellen aufgeführt:

1. I-Eisen.

r¹

CG 02

OrH03COThiOCDI>-GO

rH f—I rH rH rH rH rH rH rH

00 Qo «<] -v] -<] -j •<] -j 02 02 © "cd 00 02"cn CO K> © 00 ¹ bx ObStOOOO' -JGOCOHOO

tODOtOtOtODOtOtOtOtOH

CDOO-ODCrf^WtOHOCD

OCOH^OO^WCDHD 03 03 CO CO lO iO >D t> t> 02 02_ 00 CC CG CG GO CC CG CG CG CG CG

ÜtOxrf^^^^COCOCOCOCO

ÜiO“30r»MOGOC5^tOO

I-a M- l—l I—¹

© © © © _CD CD CD_CD CD CD _CD CO CO    "t-L "GO V] 02 "ü<    K5 ©

CD 05 -d CO o CO -O

2. U-Eisen.

Nr.

Nr.

Nr.

CO i-O CD GO

CO H 03 O CD ist CO OOiO^ l-^OO rH 03¹" 03¹" CstT tjT rjT

03 CD GC O t—I t-H tH rH 03

-<l 02 02^0¹ CK

b^'woo^

-vl CO tO CK GC

03 CD GO O OJ 03 03 03 CO

~3 -o <!

'cd ooVi'bx'lo

OOOOi^GO

3. 2-Eisen.

Nr.

Nr.

Nr.

C0 lO CD

ist CD O l> H

CO

© 03 rtf HHH

t> 03 of CO CO

CD 00 O

CO CD QO

Für den rechteckigen Querschnitt¹) mit der Breite b und der Höhe h ist:

Wx_ y₆bh² _ h

Wy ~    b

Daraus: b =

und folglich Wx — -g—

Setzt man diesen Wert in Gl. (101) ein, so ergibt sich für h:

6c

k (M^ + cf₂)

(102)

Wird, tote vielfach geschieht, das Seitenverhältnis h : b = c von vornherein angenommen, so ergibt sich h unmittelbar aus Gl. (102) und danach auch b = h : c.

Will man dagegen die bei staatlichen Bauten durch Erlaß des preußischen Ministers der öffentlichen Arbeiten vorgeschriebenen Normalprofile für Bauhölzer*) benutzen, so setze man für c einen vorläufigen Mittelwert ein. Dabei kann man bei den von der Quadratform am meisten abweichenden Querschnitten (beim Quadrat ist c = 1) etwa annehmen:

für starke Querschnitte (von ¹⁸/₂₄ cm ab): c —1,3

für mittelstarke Querschnitte (¹⁴/ä0 und lc/₂₂ cm): c — 1,4.

Nötigenfalls wiederholt man die kurze Rechnung, wenn für den vor-läusig ermittelten Querschnitt der angenommene c-Wert wesentlich von dem nunmehr genauer festzustellenden abweicht.

Die Abmessungen der Normalprofile in cm für Bauhölzer nebst den zugehörigen c-Werten sind in folgender Tabelle aufgeführt.

Höhe

Breite

Höhe

Breite

Höhe

brr

b rrr

hr=r

Breite b —

00

12

14

MKH I—l )—l I—l    >—*■ M-

05 rfn to j tf^to©    to O    O OO 00

to

CD 00    : ^CCCOO

rH tH tH    rH rH r—( <M

IQ

05 CM o    COtOHO

(M H O    ^(MHO

to

to

CD

ooo^

tH (M cm

20

24

O to 01 COOi

1,30

1,08

26 1,00

to

to

O 00 05

H—¹ to OO ° to gl

to

00

00

22

26

28

gO to

^ QC CM CM

CTO

Aufgabe 50. Eine Decke ist aus I-Eisen und zwischengespannten V₂ Stein (0,12 m) starken Backsteinkappen mit Vio Stich ausgeführt.

Die Spannweite der Träger beträgt: 1 — 3,7 m Die Entfernung der Träger beträgt: b —1,2 m Die Verkehrsbelastung ist angenommen zu: p = 185 kg/qm

Es sollen die Deckenträger berechnet werden unter der Annahme, daß ein anschließendes Feld die volle Verkehrsbelastung aufzunehmen hat, das andere nur durch das Eigengewicht belastet ist (Fig. 99).

Auflösung. Das Gewicht einer halben Kappe beträgt (bei y 1600 kg) für 1 m Tiefe angenähert:

Gx = 0,6 - 0,12 - 1600 — 115 kg *) Zentralbl. d. Bauverw. 1898 S. 373.

Dazu für Schlackenauffüllung und Fußboden (y₁ = 850) bei 0,1 m mittlerer Starke:

G₂ — 0,6 - 0,1 - 850 = 51 kg

zusammen:

G= 115 + 51 = 166 kg

Verkehrsbelastung für 1 m Tiefe:

Q = 0,6 • 185 = 111 kg

Fig. 99.

_____

-------0/ ----

Hl

0,06.

o,n \

Hl

X-

G*a

Nimmt man an, daß die Angriffspunkte der Lasten um 0,3 m von der Trägerachse entfernt sind, und daß die Horizontalschübe E₁ und H₂ der Gewölbekappen in der Mitte der Scheitelfuge angreifen (was streng genommen nicht ganz zutreffend ist), so erhält man:

H _ (0 + Q) 0,3 __ (166 + 111)0,3

H₂

0,06 + 0,12

00,3

0,18

462 kg

166 - 0,3

0,06 + 0,12

0,18

= 277 kg

H = H* — H₂ = 462 — 277 = 185 kg Die lotrechte Belastung für 1 m Länge beträgt:

Danach hat der Träger einen wagerechten Schub für 1 m Länge aufzunehmen von der Größe:

P = 2 G + Q == 2 • 166 + 111 = 443 kg

Hieraus ergeben sich bei 3,7 m Spannweite die Momente nach Gl. (57) S. 71:

3,7 - 443 - 370

Mi =

3,7P • l

= 75 808

M,

3,7 H • l _ 3,7 - 185 • 370

31 658

Nach Gl. (101) S. 117 ist dann (bei k — 1000), wenn vorläufig o — 8 angenommen wird:

Wx

329

75 808 + 8 - 31 658

1000

Das Nächstliegende Profil ist (nach Tabelle 3 S. 30) Nr. 24 mit Wx = 353. Für dieses ist genau:

Wx 353

Hierfür wird:

Wy 41,6

8,5

Wx

75 808 + 8,5 - 31 658

1000

d. h. I-Eisen Nr. 24 genügt als Trügerquerschnitt.

Das Nächstliegende Profil ist (nach Tabelle 1 S. 28) Nr. 20 mit Wx —191. Für dieses ist genau o — 7,07; folglich würde bei Beibehaltung des Profiles Nr. 20 die Inanspruchnahme betragen:

— 1002 kg/qcm

191

k _ 49 920 + 7,07 ♦ 20 000

§ 13.

Widerstand gegen Äbscherung.

Der Widerstand gegen Abscherung tritt auf, wenn die äußeren Kräfte einen Teil des Körpers von dem anderen in einer Fläche abzuschieben oder abzuscheren streben. Dieser Widerstand ist verhältnisgleich der abzuscherenden Fläche.

(103)

Aufgabe 51. Bei einem eisernen Dache sei die wagerechte Entfernung der Pfetten — 2,4 m, die Binderentfernung d — 3,2 in. Der Neigungswinkel der Dachfläche ist angenommen zu oc — 21° 50' (entsprechend tg a = 0,4 = 1:2,5).

Die lotrechte Belastung für 1 qm Grundrißfläche betrage p — 175 kg. Es soll das erforderliche Profil der aus L-Eisen zu bildenden Pfette berechnet werden (Fig. 100).

Auflösung. Die lotrechte Belastung der Pfette ist:

P = 2,4 - 3,2 - 175 — 1344 kg

Fig. 100.

x\£.

Durch Zerlegung erhält man:

P, = P dos a — 1344 - 0,928 — ~ 1.248 kg P, — P sin a — 1344 • 0,372 — 500 kg

et

Die Momente sind, wenn die Pfette als Träger auf 2 Stützen mit gleichmäßig verteilter Belastung betrachtet wird:

F,b _ 1248-320 8 “ 8 Pob _ 500-320

49 920

₈

Nach Gl. (101) S. 117 ist (bei k = 1000) und vorläufiger Annahme von 6 — 6:

20 000

Wx

49 920 + 6 - 20 000

1000

170

Ist daher P die auf Abscherung wirkende Kraft, F die abzuscherende Fläche und t die dabei auftretende innere Schubspannung, so ist unter der Annahme, daß sich die Kraft gleichmäßig über die Querschnittsfläche verteilt:

Soll der Körper dem Abscheren mit Sicherheit widerstehen, so darf die Schubspannung t eine gewisse zulässige Grenze nicht überschreiten, und zwar kann man int allgemeinen für Eisen und für Holz rechtwinklig zur Stammachse annehmen:

(104)

¹

Siehe R. Land, „Profilbestimmung von rechteckigen Balkenquerschnitten bei schiefer Belastung" in Zeitschr. d. V. d. I. 1899 S. 239.

wobei für k der kleinere Wert der nach der Tabelle § 1 @. 4 zulässigen Inanspruchnahme gegen Zug oder Druck einzusetzen ist*).

Bei Holz parallel zur Faserrichtung dagegen ist nur anzunehmen:

für Tannenholz t — 4,5 kg für Kiefernholz t = 6 kg für Eichenholz t = 8 kg

Aufgabe 52. Wie groß muß der Durchmesser 4 eines schmiedeisernen Bolzens sein, welcher eine Schubkraft von 6400 kg aufnehmen soll?

Auflösung. Für eine zulässige Zugspannung k — 1000 ist:

t = ⁴/ö • 1000 = 800 kg

F-"T

3Hfo nach Gl. (103):

6400

800

8 qcm

oder:

d = 3,2 cm

Aufgabe 53. Ein schmiedeiserner Bolzen (Fig. 101) soll durch eine in der Achsenrichtung wirkende Kraft P — 8000 kg belastet sein. Wie groß muß der Durchmesser d und wie groß die Kopfhöhe h ausgeführt werden? (k = 1000 kg)

Auslösung. Der Durchmesser d ergibt sich aus:

d²ir P 8000

~4~    k    1Ö00

d — 3,2 cm

Die abzuscherende Fläche des Kopfes ist:

P — dTth

Fig. 101.

TTHGh

8 qcm

Zu:

Folglich:

oder:

P    8000

“ d 7c ⁴/₅ k ~~ 3,2.3,14 .'800

— 1 cm

Aufgabe 54. Eine Blechtafel von 8 —1,2 cm Stärke soll mit Nietlöchern von d — 2,5 cm Durchmesser versehen werden. Wie groß ist die zum Durchstoßen der Löcher erforderliche Kraft P, wenn man die Inanspruchnahme, bei welcher der Bruch erfolgt, — 4000 kg annimmt?

Auslösung. Die abzuscherende Fläche ist:

Also:

F = d • Ti • 8 = 2,5 • 3,14 -1,2 = 9,42 qcm P = 9,42 - 4000 = 37 680 kg

Aufgabe 55. Welche Schubkraft kann ein Nagel aus Eichenholz von 2,6 cm Durchmesser aufnehmen?

Auflösung. Die abzuscherende Fläche ist:

— 5,31 qcm

2,6² - 3,14

Für k = 80 kg nach Tab. S. 4 ist:

und:

t — ⁴/ö • 80 = 64 kg P = 5,31 - 64 = 340 kg

*) Siehe auch Tabelle S. 5.

Aufgabe 57. Bei einer einfachen Vernietung (Fig. 103) soll die Nietteilung c und das Maß a (Entfernung von Nietmitte bis Blechrand) berechnet werden unter der Annahme, daß der Nieldurchmesser doppelt so groß als die Blechstärke (d = 2 6) gewählt wird.

Fig. 103.

Auflösung. Ein Abscheren der Niete durch eine Kraft P darf nicht eher eintreten als ein Zerreißen des Bleches zwischen denselben.

F-P

Denkt man sich einen Streifen von der Breite der 5 t;

vp⁷

Ausgabe 56. Auf den Balken eines Hängewerkes wird durch die versatzte Strebe eine wagerechte Schubkraft H = 2484 kg ausgeübt (Fig. 102). Die Breite b von Balken und Strebe fei = 18 cm. Wie groß muß das Maß a angenommen werden, wenn der Balken aus Kiefernholz vorausgesetzt wird?

Auflösung. Die abzuscherende Fläche ist:

F = a • b = a • 18

Fig. 102.

Für:

t — 6 kg (parallel zur Faserrichtung)

wird dann:

oder:

a • 18 • 6 = 2484

2484

a 18*6

— 23 cm

Nietteilung e herausgeschnitten, so ist für diesen: *

(J2

1 - y kfßiet = (e — d) 5 l'Blech

Da für die Niete, welche starke Formänderung ertragen müssen, ein weit besseres Eisen verwendet wird, als für das Blech, so darf man hier annehmen:

\e

t —Vs^Niet —k'Blech

Wird außerdem noch ö = ¹/a d eingesetzt, so folgt ans obiger Gleichung:

. tu

.t.

tOj P-

d²7t

^ = (e-d)

oder:

Ferner darf ein Abscheren der Niete nicht eher eintreten als ein Herausschieben oder Aufstauchen des Bleches vor den Nieten; daher ist für einen Streifen von der Breite e:

• -g- kNiet = 2 |a — j 8 kBlech

ns

Setzt man wieder:

und:

so folgt:

Vs^Niet — kBlech

8 = ¹/2<i

oder:

d²*    / d \ d 4

4 ^-(a- 2)2 5

5-3,14

16

— 00 1,5 d

Die beiden Bleche überlappen sich um das Maß 2a = 3d.

Aufgabe 58. Die schmiedeiserne Zugstange eines Dachbinders sei mit P = 10000 kg belastet und soll vermittelst eines Stahlbolzens mit zwei Knotenblechen verbunden werden (Fig. 104). Wie groß sind Durchmesser d der Zugstange und Durchmesser d₀ des Bolzens auszuführen?

Auslösung. Der Durchmesser der Zugstange ergibt sich (6et k = 1000 kg) aus:

. 1000 = 10000

zu:

d =    3,6 cm

Wird das Auge der Stange in derselben Stärke ausgeführt, so kann der Bolzen angesehen werden als ein an beiden Enden eingespannter Träger von 3,6 cm Länge, welcher durch 10000 kg gleichmäßig belastet ist. Die Berechnung desselben geschieht nach Gl. (87) S. 106, worin

pl = 10000 do³^    ni ,

₃₂ =^0,ld„

und:

Fig. 104.

einzusetzen ist; also:

np

Ta

3,6

tüf

10000 --^2= 0,1 - k d0 für kn 1200 (Stahl) wird dann:

d.=i/

10000 - 3,6

ÖJ7T27120Ö

= cx3 3 cm

Wollte man den Bolzen auf Abscherung berechnen, so würde man zu geringe Abmessungen erhalten, wie sich aus folgender Rechnung ergibt.

Da der Bolzen zweischnittig ist; d. h. da hier zwei Querschnitte abzuscheren

sind, so ist:

•1200= 10000

P = 2d^.l

4    5

Also nur:

d₀²7i

10000

2 • ⁴/ß • 1200

5,2 qcm

d₀ = 2,6 cm

Das Beispiel zeigt, daß bei Bolzenverbindungen wie in Fig. 104 die Beanspruchung aus Biegung häufig größer ausfallen kann als auf Abscherung. In zweifelhaften Fällen tut mein daher gut, beide Rechnungen auf Biegung und auf Abscherung durchzuführen.

§ 14.

M scherwiderstand in der Längsrichtung von Trägern.

Bei einem Träger auf zwei Stützen, welcher unter der Einwirkung irgendeiner Belastung P eine Durchbiegung erfährt (Fig. 105), werden die unteren Fasern gezogen, also verlängert; die oberen dagegen gedrückt, also verkürzt. Denkt man sich den Träger in zwei Hälften zerlegt, so würde auch jede Trägerhälfte sich durchbiegen, wobei aber gleichzeitig eine

Verschiebung beider Teile aufeinander stattfinden müßte; denn in der Berührungsfläche werden nun gezogene und gedrückte Fasern von verschiedener Länge aufeinander liegen (Fig. 106). Diesem Verschieben müssen daher beim ungeteilten Träger innere Widerstandskräfte (Schubspannungen) in der Längsrichtung entgegen wirken.

Fig. 106.

Fig. 105.

Ist der Balken von der Länge l gleichmäßig belastet und wird ein Schnitt im Abstande x vom Auflager geführt, so entsteht eine Schubkraft Sx, welche ihren größten Wert nach S. 71 am Auflager erreicht (Fig. 107). Die graphische Darstellung der Schubkräfte für dieses Balkenstück ist ein Trapez (vergl. Fig. 57 S. 70).

Fig. 107.

F-g. 108.

—t-

Ax

h\

2._._

rx

Tx\

Ax

Tx

Wird ein zweiter Schnitt in dem sehr kleinen Abstand Ax geführt, so werden an diesem für sich betrachteten Balkenstück von der Länge Ax oberhalb der neutralen Faser Druckspannungen von verschiedener Größe auftreten (Fig. 108).

Denkt man sich die sämtlichen Druckspannungen in beiden Querschnitten zusammengefaßt zu den Druckkräften D bezw. und beachtet man, daß D₁> D ist, da die Biegungsmomente mit zunehmendem x ebenfalls wachsen, so muß Dj — D diejenige Kraft sein, die bestrebt ist, die eine Balkenhälfte auf der anderen in der neutralen Faser zu verschieben.

Wird die hier auftretende Schubspannung mit t bezeichnet und die Balkenbreite mit b, so ist nach Gl. (103) S. 121:

. . (105)

Wenn (in gleicher Weise wie in Fig. 11a S. 16) die Spannungen aufgetragen werden, so ist D bezw. ich — dem Inhalt der Spannungskeile.

Dt —D = F t = b -Ax t .

Nun ist nach S. 71 die Schubkraftfläche — dem Biegungsmoment für die betr. Schnittstelle.

Die Differenz der Momente TO₁ — M wird daher in Fig. 107 dargestellt durch den Inhalt des sehr kleinen Trapezes von der Länge Ax-Wird dieses angenähert als Rechteck aufgefaßt, so ist:

Ml —M —Sx- Ax

Nach Einsetzung in obige Gleichung ergibt sich dann:

Di-

7.h

und:

Also:

u~~ 2 ’ 1 Dx —D

kr^hb

hb

r(ki-k)

Werden die entsprechenden Biegungsmomente mit M und bezeichnet, so ist nach Gl. (17) S. 18 für rechteckige Balkenquerschnitte:

Also auch:

Dl —v

6hb

4bh²

• (Ml — TO) =

Mi —M ²/ah

D== ©x; ÄA

und nach Gl. (105) auftretende Schubspannung:

@x- Ax

Dj —D

oder:

b-Ax

/»b-b-Ax

@x

(106)

7s hb

Die größte Schubspannung wird dort auftreten, wo @x seinen größten

Wert erreicht, also am Auflager, wo S Dieselbe ergibt sich zu:*)

pl

A.

(107)

7>h

*) Für einen Träger von beliebigem Querschnitt gilt die allgemeine Gleichung:

A • S

Darin bezeichnet:

.1 — Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts,

8 —statisches Moment des halben Querschnitts, bezogen auf die neutrale Achse.

Für rechteckige Querschnitte mit J wieder Gl. (107):

bh³

c ₀ bh h

12 unb S — 2 ‘ 1

bh²

erhält man

A bh²    12

b    8    bh3    2/₃hb

Gl. (107) gilt auch für einen durch Einzelkräfte belasteten Träger.

Die Ermittlung der Schubspannungen wird vor allem erforderlich bei Plattenbalken aus Eisenbeton (siehe: § 19); unter Umständen auch bei genieteten Blechträgern, bei denen die auftretende Schubspannung im Stehblech eine zulässige Größe nicht überschreiten darf. Auch die Nietteilung in den Winkeleiseu-Gurtungen läßt sich nach den horizontalen Schubkräften im Träger bestimmen. (Näheres hierüber siehe: Lau enstein, „Eisenkonstruktionen". II. Teil. 3. Ausl. 1903. §1. S. 4.)

Bei den normalen Profileisen bleibt die auftretende Schubspannung

im Steg — wie aus folgendem Beispiel hervorgeht lässigen Grenzen.

wohl immer in zu-

Aufgabe 59. Der in Aufg. 37 S. 87 berechnete I-Träger Nr. 32 ist hinsichtlich der Schubspannung int Steg zu untersuchen. Der Auflagerdruck des Trägers betrügt:

A = pl — 7600 kg.

Auflösung. Vernachlässigt man die Flanschen und berücksichtigt nur den eigentlichen Steg von einer Höhe — 32 — 2 -1,7 — 28,6 cm und von der Dicke —1,1 cm²), so ergibt sich nach Gl. (107) die auftretende größte Schubspannung:

362 kg/qcm

7600

²/₃ ² 28,6 -1,1

Bei Berücksichtigung der Flanschen nach der allgemeinen Gleichung in Anmerkung S. 126 würde sich die Schubspannung noch geringer ergeben.

§ 15.

Widerstand gegen Zerknicken.

Ist ein gerader prismatischer Stab vom Querschnitt E mit seinen Enden A und B gelenkartig befestigt (Fig. 109) und wirkt, während der untere Endpunkt unterstützt ist, an dem oberen Endpunkte und in der Achsenrichtung des Stabes eine Kraft P, so erzeugt diese nach § 2 eine Druckspannung:

Je länger der Stab im Verhältnis zu seinem Querschnitt ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, daß er unter Einwirkung der Kraft P seine ursprünglich gerade Lage beibehält; es wird vielmehr, wenn die Kraft P groß genug und der Stab lang genug ist, eine seitliche Ausbiegung eintreten, und infolgedessen entsteht dann außer der Druckspannung k in dem Stabe noch eine Biegungsspannung, hervorgebracht durch das Moment der Kraft P.

Bei allmählichem Anwachsen der Kraft P wird schließlich durch gleichzeitige Wirkung der Druckspannung k und der Biegungsspannung eine Zerstörung eintreten; der Stab wird zerknickt werden.

EJ

Wird dagegen als Biegungskurve die Sinuslinie zugrunde gelegt (wie es streng genommen sein sollte), so erhält man die genaue Eulersche Formel:

. . (109)

l²

9,87 , .

Von dieser Kraft P, welche gerade hinreichen würde, ein Zerknicken des Stabes herbeizuführen, ist, um Sicherheit zu haben, daß ein.Zerknicken nicht stattfindet, nur ein gewisser Teil, allgemein l/n P zu nehmen.

1. Danach ist die praktische Tragkraft gegen Zerknicken eines an beiden Enden gelenkartig befestigten Stabes von der Länge l (Fig. 110):

- (HO)

Lange dünne Stäbe werden daher eher zerknickt als zerdrückt und müssen außer auf Druck auch auf Zerknicken berechnet werden.

Der Stab AB (Fig. 109) erfahre durch die Kraft P in der Mitte die Durchbiegung f und befinde sich im Gleichgewicht. Wir denken uns den unteren Teil des-3 selben bis zu der Mitte C fest eingespannt.

/    Es läßt sich nachweisen, daß die Biegungs-

/    kurve CB eine Sinuslinie ist; statt derselben

soll hier annäherungsweise die Parabel angenommen werden. Die Durchbiegung y der Stabachse in der Entfernung x vom Punkte B ist zugleich der Hebelarm der Kraft P, so daß das Moment an dieser Stelle — Py ist. Das Moment bei C, wo die Durchbiegung f auftritt, ist = Pf. Die Momente sind also P-mal so groß als die Durchbiegungen, und die Mvmenten-fläche wird danach begrenzt durch eine Parabel mit der Scheitelordinate Pf.

Da der Abstand des Schwerpunktes der 5 k 51

Parabelfläche vom oberen Ende — „ •    = y,.

Gl. (34) S. 45:

5J₁_ 5 PfV 16 " 48 KJ

Daraus ergibt sich für die Kraft P der Ausdruck³):

48 EJ 5 V

Fig. 109.

Pf

X.

ix

EJ

= 9,6

EJ

l⁴

beträgt⁴), so ist nach

. . (108)

1 TT²

P = — EJ n V

2. Ist das untere Ende des Stabes fest eingespannt, das obere Ende gelenkartig befestigt (Fig. 111), so ist die Tragkraft:

(111)

p    2    ^2

P=«P EJ

Fig. HO. Fig. 111.

Fig. 112.

Fig. 113.

V»

lh.p

’ mm

mm

3. Sind beide Enden des Stabes fest eingespannt (Fig. 112), so wird:

(112)

4. TZ²

p = .    ? E J

n l²

4. Ist ein Stab von der Länge l mit seinem unteren Ende fest eingespannt, während das obere Ende vollständig frei ist, also seitlich ausweichen kann (Fig. 113), so ist derselbe anzusehen als die Hälfte eines an beiden Enden gelenkartig befestigten Stabes (Fig. 110) von der Länge 21. Man erhält daher für diesen Fall die Tragkraft P, indem man in Gl. (110) 21 für l einsetzt, zu:

1Z ²

v EJ

(113)

p_ \

Fig. 114.

......

Ws

77ZW7Z'

e -- W

Die Formeln (110) bis (113) lassen sich zusammenfassen in die allgemeine Zerknickungsformel:

P= <! * )ej

(114)

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aufl.

für Schmiedeisen .    .

worin für c die in Fig. 114 Fall I bis IV angegebenen, durch die Art der Einspannung bedingten Werte einzusetzen sind.

Der Zahlenwert n ist abhängig vom Material, und zwar kann man annehmen:

5— 6*) n= 8—10

für Gußeisen .    .    .

für Holz und Stein . n — 10—12,5

Der Einspannungsfall IV kommt bei Säulen nur sehr selten vor, da diese an ihrem oberen Ende mit den übrigen Konstruktionsteilen meistens so verbunden sind, daß ein Ausweichen aus der ursprünglichen Stabachse ausgeschlossen ist.

Der Fall II liegt vor, wenn die Säule einen fest angegossenen oder angeschraubten, mit Verstärkungsrippen versehenen, genügend großen Fuß besitzt.

Am meisten kommt wohl der Fall I vor, nach welchem auch dann zu rechnen ist, wenn die Säule auf einen für sich hergestellten, breiteren Fuß aufgesetzt ist. Es genügt dann aber, die freie Länge der Säule von Oberkante Fuß aus zu bemessen.

Für den Einspannungsfall I ergibt sich aus Gl. (114) das erforderliche Trägheitsmoment, wenn ir² = ~ 10 gesetzt wird:

PI²

J~¹¹ 10E

(115)

Dabei ist zu beachten, daß bei freistehenden Säulen J immer das kleinste Trägheitsmoment der Querschnittsfläche bedeutet.

Für Schmiedeisen und n = 5 erhält man dann aus Gl. (115):

PI²

.1 =

(116)

Ebenso für Gußeisen und n —8:

t_4 PI2 ' — 5 E

bezw. für Holz und Stein und n = 10:

(117)

PI²

(118)

Ist, wie vielfach gebräuchlich, die Belastung P in Tonnen (lt=1000kg) und die Länge l in m angegeben, so ergibt sich aus obigen Gleichungen nach Einsetzung des Wertes E (siehe S. 4):

für Schmiedeisen (n — 5):

für Gußeisen (n —8):

für Holz und Stein (n= 10): J = 100Pl²    . .

*) Im Maschinenbau pflegt man bei beweglichen Teilen, die auf Zerknicken zu berechnen sind (z. B. Kolbenstangen und Schubstangen), die Sicherheit größer zu nehmen. Man nimmt dabei n um so größer an, je langsamer die Maschine geht. <Bergl. S. 133.)

J = 2,5Pl²    . .

J = 8P1² . . .

. .    (119)

. . (120) • - (121)

Bei den aus mehreren Teilen zusammengesetzten Querschnitten der schmiedeisernen Stützen ist es erforderlich, dieselben in solchen Entfernungen lj vermittelst Querverbindungen miteinander zu verbinden, daß gegen ein Einknicken der einzelnen Teile zwischen den Stützpunkten genügende Sicherheit vorhanden ist.

Bedeutet z die Anzahl der den Gesamtquerschnitt bildenden Eisen, i das kleinste Trägheitsmoment eines solchen Eisens, so wird nach Gl. (116):

. JP l\

1 — 2 ’ z ' E

woraus sich für die größte zulässige Entfernung l, der Verbindungspunkte voneinander in cm der Wert ergibt:

ll=

v-

2Ei

(122)

Zur Berechnung der Tragfähigkeit der Säulen wird außer der Gleichung (114) (von Euler) häufig auch noch die folgende, für den Einspannungsfall I geltende Erfahrungsformel von Schwarz benutzt:

P = kF

,1

J + aFl²

worin k die zulässige Druckbeanspruchung des Materials und F die Querschnittsfläche der Säule bedeutet und die Größen P, J, l die bereits oben angegebene Bedeutung haben. Der Zahlenwert a ist vom Material abhängig; man kann als Mittelwerte annehmen:

10M ,Üt Schmiedeisen 5000 fÜt Gußeisen

655Tfüt Holz

Fiir den Einspannungsfall II ist: 0,7 I „    „    „    III    „    0,51

„    „    „    IV    „    2 1

statt l in die Formel einzusetzen.

Die Belastung P, welche ein Stab ertragen kann, ohne zerknickt zu werden, ist nach den aufgeführten Formeln umgekehrt proportional dem Quadrate der Stablänge, nimmt also bei zunehmender Stablänge rasch ab; wogegen diejenige Belastung, welche ein Zerdrücken des Stabes bewirken würde, unabhängig von der Länge desselben ist.

Während daher bei langen dünnen Stäben die Gefahr des Zer-knickens größer ist als die Gefahr des Zerdrückens, werden umgekehrt kurze Stäbe eher zerdrückt als zerknickt.

Bei einer gewissen Länge wird der Stab ebenso leicht zerdrückt als Zerknickt. Diese Länge ergibt sich, wenn in die allgemeine Zerknickungs-formel Gl. (114) S. 129:

9*

c_ EJ n kF

eingesetzt wird, zu:

So z. B. wird für den Belastungsfall I und für Schmiedeisen mit o — 5 (it² = 10):

=J/^

Für den vollen kreisförmigen Querschnitt mit dem Durchmesser d ist:

d²TC

d⁴ TC

also:

64

hrj!

Nimmt man dann noch an:

E —    2 000 000

k = 1000

so erhält man:

2 000 000 d* 1000 ' 16

= 15,8 - d

Für l < 15,8 . d braucht der Stab nur auf Druck berechnet zu werden; für l > 15,8 • d ist die Berechnung auf Zerknicken maßgebend.

In derselben Weise kann die Untersuchung auch für andere Querschnitte durchgeführt

werden.

Bei der ersten vorläufigen Berechnung der Säulen von ringförmigem Querschnitt genügt es, wenn keine Tabellen der Trägheitsmomente zur Hand sind, statt des genauen Trägheitsmomentes einen Annäherungsausdruck zu benutzen, der sich folgendermaßen ableiten läßt (Fig- 115):

Mg. 115.

d_

»1

64

oder:

T_(D² —d²)it (D² + d²)

•' ”4........

Der erste Faktor der rechten Seite ist der Flächeninhalt des Querschnittes. Bezeichnet man mit D, den mittleren Durchmesser:

D + d

k......•>......>:

16

Di

und mit 5 die Wandstärke der Säule, so ist:

(D² —d²)*

D₁tu5

Für den zweiten Faktor der rechten Seite kann man annähernd setzen: D²+d² D²

16

woraus folgt:

D⁵5

oder abgerundet:

J = 0,4 DJ 5

(123)

Nach dieser Gleichung kann der Durchmesser Dt berechnet werden, wenn für 5 ein bestimmter Wert angenommen wird. Für mittlere Verhältnisse ist etwa anzunehmen:

ö — 2 cm bis 2,5 cm

Für Kolbenstangen ist stets der Einspannungsfall I anzunehmen. Man kann nicht darauf rechnen, daß beide Enden einer Kolbenstange so fest liegen, daß diese als eingespannt betrachtet werden darf.

Der Sicherheitsgrad kann gewählt werden⁵):

u — 8 bis 11, wenn die Belastung zwischen P und Null schwankt, u —15 bis 22, wenn die Belastung zwischen -st P und — P schwankt.

Für Schubstangen kann gewählt werden:

n = 25

1.    bei geringen und mittleren Geschwindigkeiten:

für kreisförmigen Querschnitt.....

(bei sehr langsam gehenden Maschinen bis . . n = 33) für rechteckigen Querschnitt von der Breite b

n — 15

und Höhe ll—1,8b bis 2b......

10 20 n = i te-g-

Aufgabe 60. Welche Belastung kann ein 3 in langer rechteckiger Pfosten aus Eichenholz tragen, dessen Querschnittsseiten b = 16 cm und h = 18 cm sind, unter Annahme des Einspannungsfalles I (Fig. 114 S. 129)?

Auflösung. Nach Gl. (121) S. 130 ist:

2.    bei größeren Geschwindigkeiten (z. B. bei Loko-

motiv-Schubstangen).........

h-

“'S

1000 18 -16³

Also:

12

6144

6144

100 - 3²

Da der Querschnitt der Säule:

6,8271 = 6827 kg⁶)

P — 16 -18 — 288 qcm

ist, so beträgt die Inanspruchnahme auf Druck nur:

oo 24 kg

6827

F 288

6554 kg

Aufgabe 61. Welche Belastung kann eine runde schmiedeiserne Sackte von 8 cm Durchmesser und 3,6 m Länge tragen, wenn beide Enden derselben fest eingespannt sind? (Einspannungsfall III.)

Auflösung. In Gl. (114) S. 129 ist zu setzen:

o — 4 n — 5 1 = 360

E=cvd 2000000

Nach Tabelle S. 38: folglich (ti² = 10):

1 = 201

4    10 - 2000000 - 201

24815 kg

p=ir

Die Tragfähigkeit auf Druck bei k = 1000 kg würde sein:

360²

- k — 50,26 -1000 — 50260 kg

Aufgabe 62. Eine gußeiserne Säule von ringförmigem Querschnitt und 4,5 m Länge sei mit 30000 kg belastet. Wie groß muß der äußere Durchmesser D der Säule genommen werden, wenn der Fuß derselben als fest eingespannt, der Kopf als geführt betrachtet werden kann, und die Wandstärke 8 = 2 cm gewählt wird? (Einspannungsfall II.)

Auflösung. Aus Gl. (114) folgt:

PI²

Pl²n

Hierin ist zu setzen:

E C7i²

⁰⁰ 10 Ec

fl ° Ph

CnD GO

Es wird dann:

= 30000 1 = 450 E = 1000000

30 000 - 450² - 8

10 - 1000000 - 2

2430

oder:

Der mittlere Durchmesser J)₁ (Fig. 115) ist aus Gl. (123) S. 133 zu bestimmen: 2430 = 0,4 Dj³ • 2

D, = J/

2430

2-0,4

Danach wird der äußere Durchmesser:

= 14,5 cm

und der innere Durchmesser:

D = Iq + 8 = 16,5 cm

d = Di — 8 = 12,5 cm

Die Querschnittsstäche der Säule ist:

D² TC

d²TT

= 91,1 qcm

folglich beträgt die Inanspruchnahme auf Druck:

30000

91,1

oo 330 kg

Aufgabe 63. Eine hölzerne Strebe von 3,2 m Länge und quadratischem Querschnitt, welche einen Druck von 16000 kg aufzunehmen hat, soll unter Annahme des Einspannungssalles I berechnet werden.

Auflösung. Für P = 16 t folgt aus Gl. (121) S. 130:

J = 100 • 16 *3,2² = 16384

Wird die Seite des quadratischen Querschnittes mit a bezeichnet, so ist:

a⁴

= 16384

folglich:

also:

J=i2

4 __

— /l2 ■ 16384 — Querschnitt: a² = 441 qcm

21 cm

Inanspruchnahme auf Druck: k

16000

441

cxd 37 kg

Aufgabe 64. Eine hohle gußeiserne, runde Säule, 4,55 m lang, erfährt eine Belastung von 40000 kg. Welche Querschnittsabmessungen muß die Säule erhalten, wenn dieselbe am oberen und unteren Ende frei und in der ursprünglichen Achse geführt ist? (Einspannungsfall I.)

Auflösung. Nach Gl. (120) S. 130 ist:

J = 8 - 40 - 4,552 = 6625

Bei einer Wandstärke von 2,2 cm wird nach Tabelle S. 40 der äußere Durchmesser: D = cv3 22 cm

und der innere Durchmesser: d = 17,6 cm

n , ... D²tc d²ir Querschnitt: —

Fig. 116.

137 qcm

also:

Inanspruchnahme auf Druck: k

40000

137

292 kg

Cj

k-

’h£>i

Aufgabe 65. Eine gußeiserne Strebe von kreuzförmigem Querschnitt (Fig. 116) und 2,5 m Länge sei -mit P = 15000 kg belastet und vermittelst Bolzenverbindung an die übrigen Konstruktionsteile angeschlossen, so daß der Einspannungsfall I vorliegt. Welche Querschnittsabmessungen sind der Strebe zu geben?

Auslösung. Nimmt man an, daß die eine Rippe nur zur Aussteifung der andern dient, was zulässig ist, so ist zu setzen:

bh³

12

Nach Gl. (120) S. 130 ist:

folglich:

4 = 8-15- 2,52 = 750

bh³

12

750

Wählt man:

b = 2 cm

so wird:

,    1 / 12 • 750

h=y—2-

= 16,5 cm

Die Querschnittsfläche ist:

F = 16,5 - 2 -j- (16,5 — 2) 2 = 62 qcm

und die Inanspruchnahme auf Druck:

15000

62    ⁼ 242 kg

Fig. 117.

-J........M-r

0pm\

A......r

Aufgabe 66. Eine schmiedeiserne Stütze von 5 m Länge sei mit 30000 kg belastet. Der Querschnitt soll aus 4 Winkeleisen zusammengesetzt werden, wobei die in Fig. 117 eingeschriebenen Maße einzuhalten sind. Die Stütze sei am unteren Ende fest eingespannt, am oberen in der ursprünglichen Achse geführt. (Einspannungsfall II). Welche Winkeleisen sind zu verwenden?

Auflösung. Setzt man in Gl. (114) S. 129: n —

so ergibt sich das erforderliche Trägheitsmoment zu:

5    30000 - 500²

°° 2 ‘ 10 • 2000000

— 938

5 PI²

J“ 2" HL

Wird mit F die Querschnittsfläche eines Winkeleisens und mit h₀ der Abstand der Schwerpunkte bezeichnet, so ist angenähert:

= F • h₀²

Folglich:

h₀⁵

Die Größe h₀ wird geschätzt zu:

Danach:

h₀ — 12,2 cm h₀² — 149 qcm

6,3 qcm

938

149

Gewählt wird nach Tabelle S. 32 das Winkeleisen:

mit:

5,5 x 5,5 x 0,6 F — 6,31 qcm

Der Gesamtquerschnitt der Stütze beträgt dann:

4 F — 25,24 qcm

und die Inanspruchnahme auf Druck würde sein:

1188 kg

30000 25,24

Der Querschnitt ist daher bei einer zulässigen Inanspruchnahme von k = 1000 kg zu schwach, und die Stütze ist in diesem Falle nicht auf Zerknicken, sondern auf Zerdrücken zu berechnen. Die erforderliche Querschnittsfläche ergibt sich nun aus:

30

4F

30000

1000

zu:

F — 7,5 qcm

Aufgabe 67. Eine Säule aus zwei L-Eisen von 5,5 m Höhe ist belastet mit P = 36000 kg. Welches Profil ist zu wählen unter Voraussetzung des Einspannungsfalles I?

Auflösung. Nach Gl. (119) S. 130 ist:

J — 2,5 - 36 - 5,5* = 2722 Für jedes der beiden L- Eisen ist danach erforderlich:

Jx —

L — 1361

Nach Tabelle S. 28 genügt Nr. 18 mit:

Jx — 1354 und F — 28 qcm

Die Beanspruchung auf Druck beträgt:

643 kg

mit:

Gewählt wird das Winkeleisen:

5,5 x 5,5 x 0,8

F — 8,23 qcm

Das kleinste Trägheitsmoment dieses Winkels ist:

i =: 9,35

Folglich sind nach Gl. (122) S. 131 die Winkel untereinander zu verbinden in Abständen von höchstens:

4 2- 2 000 000 - 9,35

30000

= 71 cm

Fig. 118.

d. h. es sind mindestens 6, besser 7 Quer-Verbindungen auszuführen.

Eine recht zweckmäßige Querschnittsform für schmiedeiserne Säulen bilden zwei miteinander    x—

verbundene H-Eisen, bei denen der Zwischenraum a so groß genommen wird, daß die Trägheitsmomente in bezug auf die Achsen XX und YY einander gleich sind. (Fig. 118.)

Es ergeben sich dann folgende Werte für a:

_J._.

JL,

Nr. des kl-Eisens

67*

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

1,54

2,72

4,14 5,50

6,82

8,16 9,48 10,78

12,22

13,34

14,60 15,94

17,24

36000 2 - 28

Das kleinste Trägheitsmoment eines L- Eisens ist:

i — 114

Die beiden L-Eisen sind daher miteinander zu verbinden nach Gl. (122) S. 131 in Abständen von:

l,

= |/-

2 2 2000000 • 114

36000

Danach sind mindestens 3 Verbindungen erforderlich.

159 cm

Aufgabe 68. Die Kolbenstange vom Durchmesser d einer Dampfmaschine ist zu berechnen für P = 5000 lg. Länge derselben (gemessen von Mitte Kolben bis Mitte Kreuzkopfzapfen): l = 150 cm.

Auflösung. Für Stahl (E = 2200000) und n = 22 ergibt sich nach Gl. (115) 22 - 5000 • 150²

S. 130:

also nach Tabelle S. 38:

10-2200000

cv=113

d = 7 cm

Aufgabe 69. Eine Schubstange aus Flußeisen von l = 250 cm Länge ist für P = 8000 kg zu berechnen.

Auflösung. Für kreisförmigen Querschnitt ergibt sich:

25-8000-62500

oder:

10 - 2100000 d = c-o 11 cm

cv> 600

Beispiel der Berechnung von Balken, Uuterzuge« und Säulen für ein einfaches zweistöckiges Gebäude. (Fig. 119.)

1. Oberer Stock. (Holzbalken und eiserner Unterzug.)

Es sollen folgende Angaben zugrunde gelegt werden: Säulenentfernung ....

Säulenhöhe......

Spannweite der Balken . .

Entfernung der Balken voneinander B = 60 cm Belastung einschließlich Eigengewicht p = 500 kg/qm

. . L = 480 cm . . H = 500 cm

l = 400 cm

a) Holzbalken.

Die Belastung eines Balkens ist:

P = 4 - 0,6 • 500 = 1200 kg Folglich das größte Moment nach Gl. (68) S. 95:

1200•400

PI

60000

Bei k = 60 kg wird:

bh² 60000

und nach Tab. S. 41:

W= —

6

b = 15 cm, h = 20 cm

60

1000.Y v

OCi cn

b) Eiserner Unterzug.

Die Belastung ist, da die Balken als Träger auf drei Stützen nach S. 94 ihrer Gesamtbelastung auf den Unterzug übertragen:

^.4,8.3.4.500 = 12000 kg,

ö

lQ 00

• L-21-p —

Es genügt vollkommen, diese Belastung als gleichförmig verteilt anzunehmen; es wird dann nach Gl. (56) S. 70:

720000

12000-480

und für k — 1000 kg:

720000

1000

= 720

Ng. 119.

'!

Nach Tab. S. 30 ist erforderlich ein I-Eisen Nr. 32 mit W — 781. Die Beanspruchung wird dann genau:

922 kg/qcm

720000

781

c) Säule.

Die Belastung der Säule ist gleich der des Unterzuges, also: P= 12000 kg= 12 t

a) Gußeisen (ringförmiger Querschnitt).

Nach Gl. (120) S. 130:

i==8-12-5²=2400

Nach Tab. S. 39 genügt: D = 17 cm M 5 — 1,8 cm. Der innere Durchmesser wird dann: d — 13,4 cm.

Querschnitt der Säule:

^>7C    C^— — 86 qcm = 0,0086 qm

140 kg

Beanspruchung der Säule auf Druck:

P 12000

86

Gewicht der Säule (1 cbm Gußeisen — 7250 kg):

G = 0,0086 - 5 - 7250 + C = 312 + C Rechnet man C = 40 kg (als Zuschlag für Kopf usw.), so wird: G = 312 + 40 = 352 kg ß) Schmiedeisen (Kreuzquerschnitt).

Nach Gl. (119) S. 130:

4 = 2,5-12-5^ = 750

Zur vorläufigen Bestimmung der Abmessungen der erforderlichen Winkeleisen kann man statt des genauen Trägheitsmomentes des Kreuzquerschnittes genügend genau setzen (Fig. 120):

Fig. 120.

25h³

12

Für 5 = 1 cm wird dann:

2-1-h³

12

750

und:

«r

, iV 12 • 750

h=y—2

16,5 cm

Danach genügen Winkel 7,5 x 7,5 x 1 mit 1,5 cm Zwischenraum. Die Querschnittsfläche eines Winkels ist f = 14,1 qcm; folglich die Beanspruchung auf Druck:

P _ 12000 — 4f — 4 • 14,1

Das Gewicht eines Winkels beträgt 11 kg/m; danach berechnet sich das Gewicht der Säule zu:

= 213 kg

G = 4 • 5 • 11 + C = 220 + C

C = 30 geschätzt gibt:

G = 220 + 30 = 250 kg Das kleinste Trägheitsmoment eines Winkels ist:

i = 29,8

Folglich wird nach Gl. (122) S. 131, worin z = 4 einzusetzen ist:

4-2-2000000-29,8

199 cm

11 =

Es sind daher 2 Verbindungen der 4 Winkel untereinander erforderlich.

12000

2. Unterer Stock. (Eiserne Träger und eiserner Unterzug.)

Die gegebenen Werte sind:

L — 480 cm H — 540 cm 1 — 387 cm

Säulenentfernung ....

Säulenhöhe......

Spannweite der Träger . .

Entfernung der Träger voneinander B = 96 cm Belastung einschließlich Eigengewicht p — 800 kg/qm

a) Eiserne Träger.

Belastung eines Trägers:

P = 3,87 - 0,96 - 800 = 2972 = ~ 3000 kg Erforderliches Widerstandsmoment:

145

M 3000 - 387

8 -1000

Gewählt: I-Eisen Nr. 18 mit W=161.

Belastung:

b) Eiserner Unterzug.

P = 5/₈.4,8.2.3,87 - 800 = 18576 = ~ 18600 kg Erforderliches Widerstandsmoment:

1116

18600-480

8 -1000

Gewählt: Zwei I-Eisen Nr. 29 mit je W — 594.

c) Säule.

Die Säule wird belastet durch den Unterzug mit 18600 kg; außerdem hat dieselbe die Belastung und das Eigengewicht der Säule des oberen Stockes aufzunehmen.

a) Gußeisen (ringförmiger Querschnitt).

P = 18600 + 12000 + 352 = 30952 kg = ~ 311 Das erforderliche Trägheitsmoment ist:

J — 8 - 31 - 5,4² = 7232

Nach Tab. S. 40 genügt: D = 22 cm bei 5 — 2,5 cm (als Mittelwert)

d = 17 cm

Querschnitt:

Beanspruchung auf Druck:

F — 153 qcm 30952

153

= 202 kg

Gewicht:

G = 0,0153 - 5,4 - 7250 + C = 599 + C C = 61 kg geschätzt gibt: G — 660 kg

ß) Schmiedeisen (Kreuzquerschnitt).

P = 18600 + 12000 + 250 = 30850 kg = ~v 30,9 t J = 2,5-30,9-5,4² = 2253

Für den Querschnitt Fig. 120 ist dann annähernd:

2 5h³

12

= 2253

und für 5 = 1,2 cm:

b=V

12 - 2253

2-1,2

= 22,5 cm

Danach sind erforderlich Winkel lOxlOx 1,2 mit 2,5 cm Zwischenraum. Querschnitt eines Winkels:

f = 22,7 qcm

Beanspruchung auf Druck:

= 340 kg

P 30850

4f 4 - 22,7

g = 17,7 kg/m

Gewicht eines Winkels:

Gewicht der Säule:

G = 4 - 5,4 -17,7 + C = 382 + C C = 58 kg geschätzt gibt: G = 382 —J— 58 = 440 kg Das kleinste Trägheitsmoment eines Winkels ist:

i = 86,2

Folglich wird nach Gl. (122) S. 131 für z = 4:

l,=

4-2-2000000-86,2

30850

212 cm

Es sind daher zwei Verbindungen erforderlich⁷).

d) Säulenfuß.

Nimmt man die zulässige Beanspruchung des Unterstützungsquaders zu k = 18 kg an, so ergibt sich die Auflagerfläche der gußeisernen Säule zu:

, 31000 + 660

18

r>j

1760 qcm

Die Seite a des quadratischen Säulenfußes folgt dann aus:

aa

a 1

1760 = a²

172-3,14

oder:

a = yi987 =    45 cm

Für die schmiedeiserne Säule wird:

30850 + 440

F = a² =

18

1738 qcm

a — V1738 — 42 cm

§ 16-

Widerstand gegen Verdrehung.

Ein an einem Ende fest eingespannter prismatischer Stab wird durch ein am anderen freien Ende wirkendes Kräftepaar (Fig. 5 S. 2), dessen Ebene rechtwinklig zur Stabachse gerichtet ist und dessen Moment M sei, auf Verdrehung in Anspruch genommen, indem das Kräftepaar den Stab um seine Längsachse zu verdrehen oder zu verwinden strebt.

Der Stab soll hier als voller Kreiszylinder vorausgesetzt werden.

Denkt man sich den Zylinder zusammengesetzt aus einer sehr großen Anzahl sehr dünner, unter sich gleicher Scheiben, so wird bei einer durch das Kräftepaar bewirkten, eintretenden Verwindung jede einzelne Scheibe sich durch eine geringe Drehung um ihren Mittelpunkt gegen die nebenliegeude Scheibe verschieben. Als innere Widerstände treten daher hier Schubspannungen auf, welche, solange die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird, dem äußeren Kräftepaare das Gleichgewicht halten und die einzelnen Scheiben in ihre ursprüngliche Lage zurückzudrehen streben.

Man kann sich auch hier wieder vorstellen, der Zylinder bestehe aus einzelnen, der Achse parallelen Fasern. Diese kommen bei einer eintretenden Verdrehung in eine solche Lage, daß jede einzelne Faser die Gestalt einer Schraubenlinie annimmt. Die von der Achse am weitesten entfernten, also die in der Mantelfläche des Zylinders liegenden Fasern erleiden die größte Ablenkung, während die eine, mit der Achse des Zylinders zusammenfallende Faser in ihrer ursprünglichen Lage bleibt und nur in sich selbst verwunden wird.

BB1 = b

die Verschiebung des Endpunktes B dar. Der diesem Bogen entsprechende Winkel 9, um welchen der durch B rechtwinklig zur Achse gelegte Quer-

Es sei AB (Fig. 121) die ursprüngliche Lage einer in der Mantelfläche des Zylinders von der Länge l liegenden Faser, welche nach eingetretener Verdrehung in die Lage ÄB₁ gekommen ist. Es stellt dann der Bogen:

schnitt gegen den Querschnitt an der Einspannungsstelle A unter Einwirkung des Kraftmomentes M verdreht ist, heißt der Verdrehungswinkel. Die bei dieser Verdrehung in der Mantelfläche des Zylinders auftretende Schubspannung sei — t.

Fig. 121.

¹

l + —) d = cv3 2,5d

²

Nach Tabelle S. 30.

³

Bergt. R. Land, in Zeitschr. d. B. d. I. 1896 S. 99 und Koenen im Zentralblatt der Bauverw. 1884 S. 545.

⁴

Siehe Lauenstein, Mechanik. 7. Anst. S. 54, Gl. (46).

⁵

C. Bach, Die Maschinenelemente. 10. Aust. S. 742 und S. 815—816.

⁶

Soll mit der größeren Sicherheit n — 12,5 gerechnet werden, so ergibt sich mit E = 120 000 nach Gl. (115):

10 -120 000 - 6144

12,5 - 300²

⁷

Für Säule aus einem Grey-Träger: erforderlich ist: J —2253. Nach Tabelle S. 31 ist zu wählen: Nr. 24 B mit J — 3043

Gewicht: G = 5,4 • 76 + 58 = 468 kg 31318

18

,\

Die Verschiebung des Punktes B, also der Bogen BBV wird um so größer ausfallen, je größer das Kraftmoment wird. Man kann sich vorstellen, das Kraftmoment erreiche eine solche Größe, daß der Verdrehungsbogen BB1 gleich der Länge l des Zylinders würde, wenn das Material eine solche Verdrehung überhaupt zuließe, und die Elastizitätsgrenze dabei nicht überschritten würde. Wird die dabei in der Mantelfläche des Zylinders auftretende Schubspannung mit Ex bezeichnet, so kann man folgendermaßen schließen:

Bei der Spannung t entsteht die Verschiebung b TT

fr ff    ff    -^1 ff

Da sich nun erfahrungsmäßig innerhalb der Elastizitätsgrenze die Verschiebungen wie die Spannungen verhalten, so erhält man das Verhältnis: oder:

Bezeichnet man mit r den Halbmesser des kreisförmigen Querschnittes,

s° ist:

b = r-<p

Danach erhält man für den Verdrehungswinkel:

(124)

t l

E[' r

Auflagerfläche: F

1740 qcm; a = 42 cm

Ex wird der Schub-Elastizitätsmodul genannt und ist durch Versuche bestimmt zu:

E,=r~0,4E

wobei E den Elastizitätsmodul für Zug und Druck bedeutet (siehe § 1 @. 3).

(125)

Für den Zustand des Gleichgewichtes muß das Moment des verdrehenden Kräftepaares gleich sein dem Momente sämtlicher, in einem Querschnitte des Zylinders auftretenden Verdrehungswiderstände in bezug auf den Mittelpunkt des Querschnitts.

Es sei Fig. 122 ein solcher Kreisquerschnitt mit dem Halbmesser r und f ein Flächenteilchen int Abstande p vom Mittelpunkte C. Ist v die Schubspannung für ein Quadratzentimeter an dieser Stelle, so ist der auf das Flächenteilchen f kommende Verdrehungswiderstand — rf, und das Moment desselben in bezug aus den Mittelpunkt — xkp.

Danach ist:

Fig. 122.

X-~V

X\

3K — 2 (xf p)

Ist nun t die am äußeren Umfange, also in der Entfernung r vom Mittelpunkte auftretende Schubspannung, so besteht, da sich die Spannungen verhalten wie die Entfernungen vom Mittelpunkte, das Verhältnis:

oder:

7P

Nach Einsetzung dieses Wertes erhält man für das Moment:

2 (fp²)

Der Ausdruck 2 (fp²) bedeutet die Summe aller Flächenteilchen, multipliziert mit dem Quadrate ihrer Abstände von der durch den Mittelpunkt des Querschnitts gelegten Drehachse, ist also das zentrale oder polare Trägheitsmoment der Querschnittsfläche. Wird dasselbe mit Jc bezeichnet, so ist:

Je

(126)

Ist d der Durchmesser des Kreisquerschnitts, so ist nach Gl. (22) S. 23:

d⁴tc

Je

32

Setzt man in Gl. (126) r — so erhält man:

d³iu ^

(127)

Hieraus ergibt sich der Durchmesser d einer Welle, welche durch das

M = PR

auf Verdrehung in Anspruch genommen wird, zu:

Moment:

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Aust.

16

*=v.«

16-PR

10

oder da:

16

TU

5,093 — ro 5,1

ist:

Für t — 365 (Mittelwert für Sch mied eisen) wird:

*-V

5,1

365

PB = 0,24 V I' R.....(129)

Ist das verdrehende Moment nicht unmittelbar gegeben, sondern die Anzahl der zu übertragenden Pferdekräfte — N und die Anzahl der Umdrehungen in der Minute —n, so ist zu setzen*):

p 2Btuii ¹ 75 - 60 -100

PR = 71620 -

woraus folgt:

Pv

75

(130)

Durch Einsetzen dieses Wertes in Gl. (129) ergibt sich für Wellen aus Schmiedeisen:    ₃

(l = 10

(131)

Gl. (129) und Gl. (131) berücksichtigen nur die Beanspruchung auf Verdrehen. Bei den meisten Wellen darf jedoch die gleichzeitige Beanspruchung auf Biegung nicht vernachlässigt werden (vergl. § 17. 2). Für angenäherte Rechnung ergibt sich anstatt der letzteren Gleichung:

(1 = 12

3

v-

(132)

Lange, verhältnismäßig dünne Wellen (Transmissionswellen) werden häusig unter der Annahme berechnet, daß der Verdrehungswinkel 9 für einen Meter Länge ¹/₄° betragen soll.

Nach Gl. (124) S. 144 ist:

21

^ Ej r    ^ d

Setzt man für t den sich aus Gl. (127) ergebenden Wert ein:

16M 16PR

d⁸iu

d³TU

so wird:

16PR 21 9 — dsTtE₁ d

*) Vergl. Lauenstein, Mechanik, 7. Ausl., § 5 Gl. (18) S. 24.

Der Winkel <p ist hier in Winkeleinheiten ausgedrückt. Die Winkeleinheit ist bekanntlich ein Winkel, dessen Bogen gleich dem Halbmesser ist, und hat, in Graden angegeben, die Größe:

360

57°17'45"

Danach ist:

o - 360

Setzt man für cp den oben gefundenen Wert ein, so erhält man unter Berücksichtigung der Gl. (130):

360

16-71620—-21

d⁴TcE₁

woraus sich für die Zahlenwerte:

? = l/4°

für d ergibt:

l -100 cm

E₁ = 0,4E = 800000

(1 = 12

4

V-

*)

(133)

*) Abgesehen von dieser schon von Redtenbacher gegebenen Ableitung der Gl. (133), kann die Gleichung auch abgeleitet werden unter Zugrundelegung einer bei kleineren Wellen kleineren, bei größeren Wellen größeren zulässigen Schubspannung. Mit anderen Worten: man nimmt die Schubspannung verhältnisgleich dem Durchmesser der Welle und setzt:

t = Cd

wobei C eine vom Material abhängige, durch Erfahrung festgesetzte Zahl bedeutet. Für Schmiedeisen nimmt man:

Aus der Gleichung:

t = 17,6d

n - 360 t ⁹ ~ ⁹ 2tz ~ E,

folgt nach der obigen Voraussetzung (t = Cd):

360

2k

o O 360

Der Verdrehungswinkel ist danach unabhängig vom Durchmesser der Welle, wächst aber in geradem Verhältnis mit der Länge derselben.

Aus den Gl. (127) S. 145 und (130) S. 146 folgt:

71620

d³7C

16

Setzt man hierin: t —17,6d, so ergibt sich für d ebenfalls der Wert:

Aufgabe 70. Auf eine schmiedeiserne Welle wirke eine Kraft P = 2400 kg am Hebelarme P — 50 cm. Wie groß ist der Durchmesser der Welle bei einer Inanspruchnahme von t = 365 kg?

Auflösung. Nach Gl. (129) S. 146 ergibt sich für Beanspruchung auf Verdrehen allein:

d — 0,24-/2400 • 50 = oo 12 cm

Aufgabe 71. Es soll der Durchmesser einer schmiedeisernen Welle berechnet werden, welche eine mechanische Arbeit von 36 Pferdekräften zu übertragen hat bei 60 Umdrehungen in der Minute.

d = 12j/|l= 12/0,6 =

Bei angenäherter Berücksichtigung der Beanspruchung auf Biegung ergibt sich nach Gl. (132) S. 146:

10 cm

Nach Gl. (133) S. 147 würde sich der Durchmesser der Welle ergeben zu:

oo 10,5 cm

a=i2k/-$-=

d. h. für N < n ergibt Gl. (133) größere Werte.

§ 17.

Zusammengesetzte Widerstände.

1. Biegung und Zug oder Druck.

hrj

Wirken in der Längsrichtung eines prismatischen Stabes vom Querschnitt F zwei gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Zug- oder Druckkräfte P, so entsteht dadurch in dem Stabe eine Zug- bezw. Druckspannung kv welche sich gleichförmig über den Querschnitt des Stabes verteilt und die Größe hat:

ki = ±

Wirken gleichzeitig rechtwinklig zu der Längsrichtung des Stabes Kräfte, welche denselben zu verbiegen streben, und ist W das Widerstandsmoment der Querschnittsfläche, M das größte Biegungsmoment, so ist die dadurch bewirkte Biegungsspannung:

K = ±~^s

wobei das Zeichen + für Zugspannungen, das Zeichen — für Druckspannungen gelten soll. Die Summe der Spannungen / und k₂ darf höchstens gleich der zulässigen Inanspruchnahme des Materials sein; daher:

(134)

k=+^+w

~ F ~ W

Ist z. B. der Stab mit seinen beiden Enden frei aufgelagert und durch Gewichte belastet, so bewirken letztere eine Durchbiegung des Stabes; dabei

entstehen in den oberen Fasern Druckspannungen, in den unteren Fasern Zugspannungen. Durch Hinzutreten der in der Längsrichtung des Stabes wirkenden Zugkräfte P erleiden die unteren Fasern dann die Gesamt-Zugspannung:

die oberen Fasern die Gesamtspannung:

P M

k + F

welche entweder positiv oder negativ, d. h. entweder Zug- oder Druckspannung sein kann, je nachdem das erste oder das zweite Glied der rechten Seite der Gleichung das absolut größte ist.

Wirken dagegen in der Richtung der Stabachse die Druckkräfte P, wie z. B. bei dem Balken eines versteiften Trägers (Fig. 123), so sind die oberen Fasern die am stärksten beanspruchten; sie erleiden die Gesamt-Druckspannung:

F ' W

Es kann bei einem solchen Träger, wenn nicht wenigstens zwei derselben in gewisser Entfernung nebeneinander angeordnet und fest miteinander verbunden sind, aber auch eine seitliche Ausbiegung eintreten, und es muß daher bei einem einzelnen versteiften Träger stets noch eine Untersuchung auf Knickfestigkeit durchgeführt werden.

Aufgabe 72. Der Holzbalken eines einfach versteiften Trägers von der Gesamtlänge L = 21 = 6 m (Fig. 123) sei gleichmäßig belastet mit p = 5 kg für 1 cm Länge. Die in seiner Achsenrichtung wirkende Druckkraft sei P — 2800 kg. Wie stark muß der Balken ausgeführt werden?

Fig. 123.

Auflösung. Die Gesamtbelastung einer Balkenhälfte ist:

pl = 5 • 300 = 1500 kg

Folglich das größte Biegungsmoment:

300

56250

9K = pl.- = l500.^

Wählt man den Balken 20 cm hoch, 16 cm breit, so ist der Querschnitt:

F — 20 • 16 — 320 qcm

und das Widerstandsmoment nach Tab. S. 41:

bh²

1067

Nach Gl. (134) wird dann die größte Druckspannung in der oberen Faserschicht:

56250 1067

Damit der Balken auch gegen Zerknicken genügend stark ist, muß, wenn die Hohe h — 20 cm beibehalten wird, die Breite b verstärkt werden, wie folgende Rechnung ergibt: Nach Gl. (121) S. 130 ist das erforderliche Trägheitsmoment:

J = 100 PL² 100.2,8.6² = 10 080

2800

320

) = — 61,5 kg

Also das kleinste Trägheitsmoment:

hb³ 20 - b³

woraus folgt:

Es wird dann:

12

12

—10080

b = cxd 18,5 cm

F = 20-18,5 — 370 qcm 18,5 - 20²

1233

und die größte Druckspannung nur:

2800 , 56 250 \

f “1233") — — 53 kS

Aufgabe 73. Auf die obere aus zwei L-Eisen bestehende Gurtung eines Dachbinders wirke in der Achsenrichtung die Druckkraft P = 8000 kg. Außerdem soll die Gurtung, deren Grundrißlänge 4 m sei, durch die in der Mitte befindliche Pfette a (Fig. 124) eine lotrechte Belastung von 960 kg erhalten. Welche Eisen sind zu wählen, wenn die Gesamtbeanspruchung k höchstens 800 kg betragen soll?

370

Fig. 124.

\960Jcq

4 in

Auflösung. Das größte Biegungsmoment ist (wie in Fig. 73 S. 89):

960.400

— 96000

Ist F die Querschnittsfläche, W das Widerstandsmoment eines L-Eisens, so ist, da die Gurtung aus zwei L-Eisen besteht, die größte Druckbeanspruchung nach Gl. (134) S. 148:

8000 , 96000

Man verfährt nun zweckmäßig so, daß man aus den Profiltabellen probeweise ein Profil heraussucht, die Größen F und W dieses Profils in die letzte Gleichung einsetzt und k danach berechnet. Erhält man danach für k einen zu großen Wert, so hat man ein stärkeres Profil zu wählen.

Gl. (137) hat die Form der allgemeinen Biegungsgleichung:

kW = 2Jti

(137 a)

Darin würde bezeichnen:

k die zulässige Biegnngsspannung und M; das sog. ideale Biegungsmoment, welches — dem Klammerausdruck in Gl. (136) zu setzen wäre.

Nach Gl. (137) läßt sich z. B. der Durchmesser d einer durch Zahnräder, Riemenscheiben usw. belasteten und auf Verdrehung beanspruchten Welle berechnen, wobei für k (wie bei Zapfen und Achsen) Tab. HI. S. 5 maßgebend ist.

Bei Berechnung von hohlen Wellen würde in Gl. (137a) für W das Widerstandsmoment des ringförmigen Querschnitts einzuführen sein.

Aufgabe 74. Es soll der Durchmesser d einer sch mied eisernen Welle berechnet werden, welche nach Fig. 125 durch ein Zahnrad belastet ist, dessen Eigengewicht G — 200 kg ist, und welches einen Zahndruck von P = 600 kg überträgt.

Auflösung. Für den durch die Mitte des Lagers gelegten Querschnitt ist das Biegungsmoment:

Mk = (600 + 200) 30 = 24000 kgcm Das Verdrehungsmoment ist:

Mr — 600 • 50 — 30000 kgcm

Bei einer zulässigen Gesamtspannung k = 400 erhält man nach Gl. (137):

0,1 • 400 d³ • 24000 +    4/24000- + 300ÖÖ²

d = 00 9,5 cm

Aufgabe 75. Von einer Welle A, die n = 100 Umdrehungen in der Minute macht, sollen auf eine andere in L = 16 m Entfernung und in gleicher Höhe befindliche parallele Welle B vermittelst Hansseile N = 60 Pferdekräfte übertragen werden. Länge der Welle A zwischen den Lagern: k — 4 m; Abstand der Seilscheibe vom linken Lager: a — 0,8 m; vom rechten Lager: b = 3,2 m (Fig. 126).

umn

'•JbÖC/11

oder:

Fig- 125.

200 kg 600 kg

QyT‘ß.Qm.

G=20ok*

P-Gookg

Fig. 126.

A<

öB

...j

'ct

Die Welle A, welche zugleich auf Biegung und auf Verdrehung in Anspruch genommen wird, ist zu berechnen.

Gewicht des Seiles für 1 m Länge:

q —1,5 kg

Der Halbmesser der Seilscheibe wird angenommen zu:

R — 20 d — 20 - 4,5 — 90 cm

Nach Gl. (130) S. 146 ist die zu übertragende Umfangskraft:

477,5 = oo 480 kg

Auflösung. Gebräuchliche Seildurchmesser sind: d = 3 bis 5,5 cm. Angenommen:

Seilquerschnitt:

d — 4,5 cm

d²7T

15,9 = cxd 16 qcm

P=71B0'W'W-

Die erforderlichen Seilspannungen sind¹):

8i — p = y • 480 = 800 kg

S, = -|P = -|-480 = 320 kg

Rechnet man für die zulässige Inanspruchnahme der Seile (bezogen auf die Seilspannung 8i) k = cxd 8 kg/qcm, so ergibt sich die Anzahl der Seile zu:

S,

800

8-16

OO 6

, d²7T

4

Das auf eine Scheibe kommende Seilgewicht ist:

Oi = zq(L + R7u) = 6-1,5 (16 + 0,9tc) = oo 170 kg.

Das Eigengewicht der Scheibe beträgt etwa:

G₂ = 800 kg

Also Gesamtgewicht:

0 = G, + G₂ = 970 kg

Die auf die Welle A wirkende Horizontalkraft besteht aus der Summe der Seilspannungen und ist danach:

R — 800 -ft 320    1120 kg

Aus G und H ergibt sich die Mittelkraft:

Q = Y970² -ft 1120² = oo 1480 kg

Das Biegungsmoment ist:

Qb

1480 - 320 - 80

und das Drehmoment:

400

94 720 kgcm

= PR = 480 • 90 = 43200 kgcm

Für k — 400 wird dann nach Gl. (137) S. 151 der auszuführende Wellendurchmesser

(|- - 94720 +    / 94720² + 43200² j — 2513

8 __

d = V 2513 =

d³

10

400

oo 14 cm

Ist h>b, so wird Jn<CJi; folglich ^>^5 d. h. die stärkste überhaupt vorkommende Schubspannung erleiden diejenigen Punkte des Umfangs, deren Entfernung von der Stabachse am geringsten ist.

LJ

Bei einem rechteckigen Querschnitt (Fig. 127), welcher auf Verdrehen beansprucht wird, ist die Schubspannung in den vier Ecken — Null. Die größten Schubspannungen treten auf in den Mitten der Umfangseiten und sind²):

Fig. 127.

ti

3 Mr-b

Jii

- - (138)

3 M-r-b

.....t

Ji

- - (139)

Für die Drehungsfestigkeit des rechteckigen Querschnittes ist daher stets das kleinste Trägheitsmoment maßgebend.

bh³

hb³

Setzt man -i) = und -Tn = ' ,₀ in die letzten Gleichungen ein, so entsteht:    1Z

*i =

9 Mr 2 lib²

9 Mr 2 bh²

. . (140)

(141)

Ausgabe 76. Es sollen die Abmessungen h und b der in Fig. 128 angegebenen, mit P — 4000 kg belasteten Kurbel von rechteckigem Querschnitt berechnet werden unter der Annahme, daß b = ^ h ist.

Fig. 128.

P= 4000 leg

SOc/tn-

„D “c

l\ F----i—F'-²

la

-P

Da hier die Biegungsebene (M^-Ebene) parallel zu den Kanten AB bezw. CD siegt, so bildet EE' die neutrale Achse, und die größte Biegungsspannung s entsteht in den Kanten AD und BC. Die größten Schubspannungen und t₂ treten auf in den

Punkten E und E' bezw. F und F'; die größte Gesamtspannung überhaupt in den Mitten der Seiten AD und BC, für welche:

ML

6ML

und nach Gl. (141):

bk²

Nun ist:

9 M?

2 W

ML = 4000 - 50 = 200000 kgcm = 200 tcm M^r — 4000 • 14 — 56000 kgcm — 56 tcm

t₂ —

Folglich für b = V₂h:

6 - 200    2400

h³

V₂h3

_ 9    56 _ 504

2— 2 ' Voll³ — h³

Für eine zulässige Gesamtspannung von k = cxd 500 kg/qcm = 0,5 t/qcm (für Flußeisen)³) wird nach Gl. (135) S. 151:

oder:

0,5

³

(?200 + 5 Y2400² + 4 - 504²j

0,5 IT ³

20215

8 h³

h = Y 5054 — 17,2 b — i/z ü — 8,6 cm

Die größte Schubspannung in der Mitte der Seiten AB bezw. CD wird nach Gl. (140):

und:

cm

Q

tx = Y"1727862 ⁼ 0,2 t/qcm — 200 kg/qcm

§ 18.

öeton und Eisenbeton.

1. Vorbemerkungen ⁴).

Beton ist bekanntlich ein unter Wasserzusatz verarbeitetes Gemenge aus Zement (Portland-Zement), mehr oder weniger grobkörnigem Sand und Kies oder Schotter. Unter Eisenbeton oder armiertem Beton versteht man die Verbindung beider Baustoffe zur Herstellung besonderer Tragkonstruktionen. Infolge der großen Adhäsion, die bei sachgemäßer Ausführung beim Erhärten des Betons zwischen diesem und den Eiseneinlagen auftritt, entsteht gewissermaßen ein neues Material, dessen Festigkeitseigenschaften von denen des reinen Betons wesentlich verschieden sind.

Die Zugfestigkeit des reinen Betons (ohne Eiseneinlagen) ist gegenüber der Druckfestigkeit nur verhältnismäßig gering, so daß bei auf

Biegung beanspruchten Konstruktionsteilen die auftretenden Zugspannungen in den unteren Fasern unzulässig hoch ausfallen und zu Rissen bezw. Brüchen führen können⁵). Der Eisenbeton bietet dagegen den großen Vorteil, daß nun die Zugspannungen zum größten Teil von den Eiseneinlagen aufgenommen werden.

Die Bruchfestigkeit des Betons gegen Druck, Zug und Schub ist abhängig von Zusammensetzung und Verarbeitung desselben, vom Wasserzusatz und vor allem von der Erhärtungsdauer. Aus den z. Z. zahlreich vorliegenden Versuchsergebnissen kann wohl geschlossen werden, daß bei den in der Praxis gebräuchlichen Betonmischungen⁶) nach einer Erhärtungszeit von etwa 1 bis 3 Monaten folgende Mittelwerte als zutreffend angenommen werden dürfen (nach Saliger):

1.    für Druckfestigkeit: 180—250 kg/qcm

15—20 kg/qcm

2.    für Zugfestigkeit:

3.    für Schubfestigkeit: 20—35 kg/qcm

Besonders guter Beton zeigt noch höhere Festigkeitszahlen. Wie groß für statische Berechnungen die zulässigen Beanspruchungen nur zu wählen sind, wird noch anzugeben sein.

Durch Versuche hat sich weiter ergeben, daß — tut Gegensatz zu anderen Materialien — nicht nur die Elastizitätsmodul B für Druck und Zug voneinander verschieden sind und zwar erheblich voneinander abweichen, sondern daß auch der Elastizitätsmodul für Druck bezw. derjenige für Zug selbst keine konstante Größe ist. Die Werte für B sind wie die Bruchfestigkeit abhängig von den schon oben angegebenen Umständen.

Wenn nicht durch direkte Versuche mit deut zu verwendenden Materiale die betr. Werte für E ermittelt werden, wobei der Elastizitätsmodul für Zug von geringerer Bedeutung für die statische Berechnung ist, so muß man sich mit Einführung eines Mittelwertes für den Elastizitätsmodul für Druck begnügen. Im Interesse größerer Sicherheit wird dieser Wert zweckmäßig verhältnismäßig nur niedrig anzunehmen sein. Nach den sog. „Preußischen Bestimmungen"⁷) ist das Elastizitätsmaß des Eisens zu dem 15sachen von dem des Betons anzunehmen. Da der Elastizitätsmodul für Flußeisen (das hier wohl meistens in Betracht kommt) Ee = 2100000 angenommen werden kann, so entspricht die obige Bedingung einem Elastizitäts-

maß des Betons (für Druck) Eb =

Ebenso ist durch Versuche festgestellt, daß das Proportionalitätsgesetz (siehe S. 6 Sinnt.), welches für die anderen Materialien (z. T. jedoch

= 140000.

2100000

15

auch nur innerhalb gewisser Grenzen) angenommen werden kann, für Beton keine Gültigkeit mehr besitzt. Während nach diesem Gesetz die austretenden Dehnungen s sich Verhalten wie die Spannungen, also nach Gl. (2) S. 6:

s — y-; wird das elastische Verhalten des Betons zum Ausdruck gebracht

durch das sog. Potenzgesetz (Bach-Schüle):

km

. (142)

Darin bedeutet m eine Zahl >1; d. h. die Dehnungen s beim Beton wachsen nicht proportional den Spannungen k wie nach Gl. (2), sondern schneller als diese. Die Größe von m ist abhängig von Zusammensetzung des Betons und hat sich für die gebräuchlichen Mischungen für Beanspruchung auf Druck ergeben zwischen: m = 1,1 bis 1,2.

Aus den schon vorhin angeführten Gründen werden Konstruktionen aus reinem Beton (d. h. ohne Eiseneinlagen), welche auf Biegung beansprucht werden, für wichtigere Zwecke kaum oder gar nicht in Frage kommen. Trotzdem möge zum leichteren Verständnis der Berechnung von Eisenbeton-Konstruktionen zunächst auf die Berechnung des einfachen Betonbalkens oder Betonplatte eingegangen werden.

2. Der einfache Betonbalken oder Betonplatte.

In Fig. 129 sei die eine Hälfte eines Betonkörpers auf zwei Stützen, an beliebiger Stelle durch eine Kraft P belastet, dargestellt. Mit Rücksicht auf die geringen Durchbiegungen soll auch hier (tote in Fig. 11 S. 16) das betrachtete Balkenstück als wagerecht vorausgesetzt werden.

Die auftretenden Verlängerungen bezw. Verkürzungen der einzelnen Fasern (siehe Fig. 10 S. 15) und damit auch die entsprechenden Dehnungen s verhalten sich nun wie ihre Abstände von der neutralen Faserschicht ISHST. Letztere fällt hier nicht mit der Schwerachse zusammen.

Werden die Dehnungen in den äußersten Fasern oben und unten mit s₀ und su bezeichnet, sowie die Dehnungen an beliebiger Stelle mit sx und sx„ so gilt für den oberen, gedrückten Teil der Querschnittsfläche:

\*0

X

-T--

-t-

Xi

-J

So

X₀

Sx

Ebenso für den unteren, gezogenen Teil:

eu

xu

Nach Tab. S. 28 ist für Profil Nr. 14:

F = 20,4 W= 86,4

Folglich Druckspannung:

/ 8000    ,    96000 \    ... .

(¥7204 + 2786,4 J ⁼ -751kg

Das nächst kleinere Profil Nr. 12 würde eine Beanspruchung von über 1000 kg ergeben; das L-Eisen Nr. 14 ist daher beizubehalten.

2. Biegung und Verdrehung.

Wirken auf einen prismatischen geraden Stab Kräfte, welche denselben um seine Längsachse zu verdrehen streben und zugleich Kräfte, welche rechtwinklig zur Stabachse gerichtet sind, also eine Biegung hervorrufen, so treten infolge der Verdrehung Schubspannungen und zugleich infolge der Biegung Zug- und Druckspannungen auf, welche sich in jedem einzelnen Punkte zu einer Gesamtspannung vereinigen lassen.

Die Abmessungen des Stabes sind so zu bestimmen, daß die größte Gesamtspannnng höchstens gleich der zulässigen Inanspruchnahme des Materials wird.

Wird für irgend einen Querschnitt des Stabes das durch die rechtwinklig zur Stabachse gerichteten Kräfte hervorgerufene Biegungsmoment mit Ms, die dabei auftretende größte Zug- bezw. Druckspannung mit s; ferner das auf Verdrehung wirkende Moment (Torsionsmoment) mit 99?t, die dabei auftretende größte Schubspannung mit t bezeichnet, so ergibt sich für die Gesamtspannung (sog. ideale Hauptspannung)⁸ ⁹):

k = |s + - ys⁸ + 4t²    . .

QOi cn

. . (135)

Für kreisförmigen Querschnitt vom Durchmesser d, dem Widerstandsmoment W und dem polaren Trägheitsmoment Jc gilt für s bezw. t:

32 TOb

M«

d³x

Mr-d

16 W⁸)

2 Jc

d³x

Durch Einsetzung dieser Werte in Gl. (135) folgt:

³² ( 9Hn-r W + Wj •

d³7U

. (136)

oder (für

-0,1):

OZkd^^MB^ -jj- VMb² + Mt² .

- (137)

Die entsprechenden Spannungen seien:

ko j ku , kx uitb kx^

Nach Gl. (142) ist dann:

So

km

und:

sx

k“

Also ist auch:

So

vm

X₀

Sx

k“

(143)

In gleicher Weise ergibt sich:

Su

k™¹

Xu

ex,

k“¹

xi

(144)

Dabei entspricht der Exponent nix dem Elastizitätsmodul für Zug.

Würde man mit Hilfe dieser Gleichungen die Spannungen k für sämtliche Punkte der Querschnittsfläche berechnen und graphisch auftragen, so ergibt sich die in Fig. 129 angedeutete Spannungsverteilung. Der obere schrafsierte Teil stellt die Summe aller Druckspannungen, der untere die Summe aller Zugspannungen dar.

Für die Bedürfnisse der Praxis ist jedoch eine solche genaue Rechnungsweise auf Grund der wirklichen Spannungsverteilung zu umständlich. Man begnügt sich daher mit einem Annäherungsverfahren, indem man die vereinfachende Voraussetzung macht: ni = m₁ = l; d. h.: man nimmt wieder die Gültigkeit des Proportionalitätsgesetzes an.

Die obigen Gl. (143) und (144) gehen nun über in:

Xq .

Fig. 130.

k₀

ku

xu

kx

kxi

xi

JSs

Jl

\xu

Es sei:

Die Spannungsfiguren werden infolgedessen Dreiecke (Fig. 130), in deren Schwerpunkten die Gesamtdruckspannung D und Gesamtzugspannung Z angreifen. Aus der Figur, in welcher außerdem die richtigen Spaunungskurven angedeutet sind, geht hervor, daß bei dem Annüherungsverfahren die größten Spannungen oben und unten sich noch etwas größer ergeben. Das Annäherungsverfahren bietet daher auch eine entsprechend größere Sicherheit.

Ed der Elastizitätsmodul des Betons für Druck,

Ez der Elastizitätsmodul des Betons für Zug.

Ä \ih

*u

Das Verhältnis beider Elastizitätsziffern werde mit n bezeichnet.

Ed

EZ

Es sind zunächst die vier unbekannten Größen: k₀; ku; x₀; xu zu bestimmen.

Aus der Figur ergibt sich die ganze Balkenhöhe:

(145)

h = x₀ + xu Ferner ist nach Gl. (142) für in — 1:

£₀ -

k₀

S.l

ku

Ed'

Ez k₀ 1 £u Ed ku

Da die Dehnungen sich verhalten wie die Abstände von der neutralen Faser NN, also:

oder:

Ez

So

rr

So

Xo

so folgt:

Su

ko

ku

Xu

(146)

Nach Gleichgewichtsbedingung (2) S. 16 ist:

1) = Z

also nach Fig. 130 für eine Balkenbreite — 1 cm:

kuxu

ko x₀

oder:

k₀

Xu

ku

X₀

(147)

Nach Gleichgewichtsbedingung (3) S. 16 ist das Moment der äußeren Kraft P gleich dem Moment der inneren Spannungen; also:

d4'=!4'

oder nach Einsetzung der obigen Werte für D und Z:

M = k₀x₀ •

. . (148)

i h

= kU XU • -g

zunächst:

Es ergibt sich nun für die vier Unbekannten aus Gl. (146) und (147)

xu ,/-

- =Vn

also:

Xo

xu=:x₀ Vn

(149)

Der Wert n — ,, , sowie die zulässigen Beanspruchungen sind ab-

Ed

-I^Z

hängig von der Güte des Betons. Es kann gewählt werden:

für guten Beton: für mittleren Beton: für gewöhnlichen Beton: n—25

Ferner nach Gl. (145):

oder:

x₀ = h — x₀ Vn

x₀

Nach Gl. (148):

l+ys

ko =

3M 3M

x₀h h2 Ebenso nach derselben Gleichung:

(1 + Vn) .... (151)

ku =

xuh

oder mit Berücksichtigung der Gl. (150):

x₀ ynh

ku

3M

h²

(152)

n = 9 (mindestens); n — 16

Für die Sicherheit der betr. Konstruktion ist hier nur die Beanspruchung auf Zug maßgebend, welche mit Rücksicht auf die geringe Zugfestigkeit des Betons (siehe S. 156) höchstens ku = 1,5 — 2 kg/qcm angenommen werden darf, was etwa einer 10 fachen Sicherheit entspricht.

Für guten Beton mit n —9 und einer zulässigen Zugspannung ku — 2 kg ergibt sich aus Gl. (152):

h² =

oder:

?('+!)

(153)

Für gewöhnlichen Beton mit n —25 und einer zulässigen Zugspannung von nur ku = 1,5 kg würde sich ergeben:

tH lO

h² =

3M

oder:

1,5

h^V2,499t

(154)

(Dabei ist M als Biegungsmoment für 1 cm Balkenbreite zu verstehen.) Die Druckfestigkeit des Betons, die ja bedeutend höher ist als diejenige auf Zug, wird aber dabei nur ungenügend ausgenutzt, so daß die Unzweckmäßigkeit reiner Betonkonstruktionen — wie auch aus folgendem Beispiel hervorgeht — sich von selbst ergibt.

Bei der Ermittlung der Biegungsmomente M soll in Übereinstimmung mit den bereits erwähnten „Preußischen Bestimmungen" als Stützweite in Rechnung gestellt werden:

1.    bei frei ausliegenden Platten die Freilänge, vermehrt um die Plattendicke in der Mitte;

2.    bei Balken die um eine Auflagerlänge vergrößerte freie Spannweite, also Entfernung von Mitte bis Mitte Auflager.

Ebenso soll, da auf eine wirksame Einspannung an den Enden in den wenigsten Fällen gerechnet werden kann, dieselbe im Interesse größerer Sicherheit unberücksichtigt bleiben. Platten oder Balken sind daher als Träger auf 2 Stützen zu berechnen.

Aufgabe 77. Für eine Betondecke sei gegeben: Stützweite 1 = 2,1 m und Belastung (einschließlich Eigengewicht und Fußbodenbelag) — 590 kg/qm. Die Deckenstärke ist zu berechnen unter Annahme einer zulässigen Zugspannung ku = 2kg/qcm.

Auflösung. Für einen herausgeschnitten gedachten Streifen von der Breite = 1 cm ergibt sich eine gleichförmig verteilte Belastung von:

pl =

= 12,4 kg

590 - 2,1

100

Das größte Biegungsmoment beträgt nach Gl. (56) S. 70:

325 kgcm

l __ 12,4 - 210

Hierfür ergibt sich nach Gl. (153):

nur zu:

h> "|A2 • 325 = 25,5 cm

Die größte auftretende Druckspannung ermittelt sich nach Gl. (151) für n = 9 3-325

ko

oder für n = 25:

650

(1+ V"9) = 6kg

ko

3-325

650

(1+ /25) = 9kg

Zulässig dagegen ist eine Druckspannung k₀ = 30—40kg/qcm.

Bei Ausführung der Decke in Eisenbeton ist nach Aufgabe 80 S. 170 nur eine Deckenstärke h = 10 cm erforderlich.

§ 19.

Berechnung der Eisenbeton-Konstruktionen.

Werden beide Baustoffe (Beton und Eisen) zu Tragkonstruktionen miteinander verbunden, so entstehen unter der Einwirkung äußerer Kräfte infolge der großen Adhäsion zwischen Beton und Eisen in beiden Körpern gleiche Formänderungen. Einem auf Biegung beanspruchten Balken kann man nun größere Zugspannungen zumuten, die von den in der Zngzone liegenden Eiseneinlagen (meistens Rundeisen) zum größten Teile aufgenommen werden. Wie weit der Beton selbst infolge seiner Adhäsion an Aufnahme der Zugspannungen mit teilnimmt, soll unerörtert bleiben; denn im Interesse einer erhöhten Sicherheit und einer einfacheren Rechnung wird

11

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

zweckmäßig auf Berücksichtigung der Zugspannungen im Beton verzichtet. Dem Beton werden daher bei der statischen Berechnung nur Druckspannungen zugemutet, während die auftretenden Zugkräfte nur von den Eiseneinlagen aufzunehmen sind.

Im folgenden ist die statische Berechnung von Eisenbeton-Konstruktionen für verschiedene einfache Fälle durchgeführt und zwar unter Zugrundelegung der neuen „Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten", Runderlaß des preußischen Ministers der öffentlichen Arbeiten vom 24. Mai 1907¹⁰). Aus diesen Bestimmungen sind hier nur die „Leitsätze für die statische Berechnung" im Auszuge angeführt. Auf die Wiedergabe der allgemeinen Vorschriften, die sich auf Prüfung, Ausführung und Abnahme beziehen, muß verzichtet und auf die „Bestimmungen" selbst bezw. auf die am Schluß dieses Abschnitts angegebenen Spezialwerke für Eisenbeton verwiesen werden.

1. Leitsätze für die statische Berechnung. (Auszug.)

A.    Eigengewicht. Das Gewicht des Betons einschl. Eiseneinlagen ist für 1 cbm mit 2400 kg anzunehmen, wenn nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird. Bei Decken ist außerdem das Gewicht des eigentlichen Fußbodens zu berücksichtigen¹¹).

B.    Ermittlung der äußeren Kräfte. (Biegungsmomente, Auflagerkräfte.) Die betr. Bestimmungen sollen im Auszug bei Berechnung der einzelnen Konstruktionen angegeben werden.

C.    Ermittlung der inneren Kräfte.

Das Elastizitätsmaß E des Eisens ist zu dem 15fachen von dem des Betons anzunehmen, wenn nicht ein anderes Elastizitätsmaß nachgewiesen wird.

Die Spannungen im Querschnitt des auf Biegung beanspruchten Körpers sind unter der Annahme zu berechnen, daß sich die Dehnungen s wie die Abstände von der neutralen Faser (Nullinie) verhalten und daß die Eiseneinlagen — wie schon oben angeführt — sämtliche Zugkräfte aufzunehmen vermögen.

Schubspannungen sind nachzuweisen, wenn Form und Ausführung der Bauteile ihre Unschädlichkeit nicht ohne weiteres erkennen lassen. Sie müssen gegebenenfalls durch entsprechend gestaltete Eiseneinlagen aufgenommen werden.

Ebenso ist die Haftspannung stets rechnerisch nachzuweisen.

Die Berechnung der Stützen auf Zerknicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das 18fache der kleinsten Querschnittsabmessung beträgt. Durch Querverbände ist der Abstand der eingelegten Eisenstäbe gegeneinander festzulegen. Dabei soll der Abstand der Querverbände annähernd der kleinsten

Abmessung der Stütze entsprechen; darf aber nicht das 30fache der Stärke der Eisenstäbe überschreiten.

Zur Berechnung der Stützen ist die Eulersche Gleichung (siehe Gl. (109)

S. 128) anzuwenden.

D. Zulässige Spannungen.

Bei auf Biegung beanspruchten Bauteilen soll die Druckspannung des Betons V₆ seiner Druckfestigkeit; die Zug- und Druckspannung des Eisens 1000 kg/qcm nicht überschreiten.

Dabei ist als Belastung anzunehmen:

1.    bei mäßig erschütterten Bauteilen (z. B. Decken von Wohnhäusern, Geschäftsräumen u.bergt.): die wirklich vorhandene Nutzlast-s-Eigen-gewicht;

2.    bei Bauteilen mit stärkeren Erschütterungen oder stark wechselnder Belastung (z. B. Decken in Versammlungsräumen, Tanzsälen, Fabriken, Lagerhäusern): Eigengewicht-s-die bis 50°/₀ erhöhte Nutzlast;

3.    bei Belastungen mit starken Stößen (z.B.Kellerdecken unter Durchfahrten und Höfen): Eigengewicht + die bis 100% erhöhte Nutzlast.

In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als ¹/₁₀ seiner Druckfestigkeit beansprucht werden. Die Eiseneinlagen sollen 5fache Sicherheit gegen Zerknicken besitzen.

Die Schubspannung des Betons darf 4,5 kg/qcm nicht überschreiten.

Dasselbe gilt für die Haftspannung des Betons.

2. Berechnung von Eisenbetonbalken mit einfacher Eiseneinlage

(ohne Berücksichtigung der Zugspannungen im Beton).

Fig. 131.

Nach den obigen „Leitsätzen" (C) ist anzunehmen, daß die Dehnungen s sich verhalten wie die Abstände von der neutralen Faser; also auch hier wird — wie auf S. 158 — die Gültigkeit des Proportionalitätsgesetzes wieder vorausgesetzt. In Fig. 131 bezeichne:

p~

D — Gesamtdruckspannung, angreifend im Schwerpunkt des Spannungsdreiecks.

jr

~ \h-te

Z — Gesamtzugspannung, aufzunehmen allein von den Eiseneinlagen.

R<

Außerdem mögen folgende Bezeichnungen eingeführt werden:

Bb — Elastizitätsmodul des Betons.

Ee — Elastizitätsmodul des Eisens.    --

kb — größte Druckspannung des Betons.

ke — Zugspannung der Eiseneinlagen unter Annahme gleicher Spannungsverteilung.

11*

fe = Querschnitt derselben in qcm. sb; ge — Dehnungen für Beton bezw. Eisen.

Nach den „Bestimmungen" ist für kb höchstens ^ der Bruchfestigkeit

des Betons zulässig; für ke höchstens 1000 kg/qcm. Ferner wird verlangt, daß das Verhältnis der beiden Elastizitätsmaße mit:

Ee

Eb

15

in die Rechnung eingeführt wird*). Es verhält sich:

Sb

h — x

Für die Dehnungen gilt in gleicher Weise wie auf S. 159:

se

kb

ke

also ist auch:

£b Eb

Se E

Sb

E,. . kb Eb * ke

. . (155) E

oder für -^- = n ergibt sich der Abstand der Oberkante von der neu-Eb

traten Faser:

£e

! nkb x —Ii ,    .    ,

ke + nkb

Die Höhe h ist noch unbekannt. Auch hier ist wie auf S. 159:

(156)

oder für eine Balkenbreite = 1 cm:

kb.y = ke fe

(157)

und:

W = kb~(h-^j = kefe(h- j

Nach Einsetzung des Wertes x aus Gl. (156) in den ersten Ausdruck ergibt sich dann:

M —b- h nkt.    /,    h

_ b 2 ke + nkb \    3 ke + nkb

nkb

oder durch Auflösung nach h:

h=^+*j/

i _ke -f- 15kb

¹¹    2,74 k

oder für n — 15:

*) Siehe „Bestimmungen" (Leitsätze

6M

n (3ke + 2nkb)

ke -f-10 kb

. . (158)

C u. D).

Ist h nach Gl. (158) und x nach Gl. (156) berechnet, so ergibt sich der erforderliche Querschnitt der Eiseneinlagen für eine Balkenbreite — 1 cm aus Gl. (157) zu:

f _ kb x

e _ ke 2

Nach den allgemeinen Vorschriften der „Bestimmungen" über Ausführung muß unterhalb der Eiseneinlagen in Balken noch eine Betonstärke von mindestens 2 cm, in Platten von mindestens 1 cm vorhanden sein.

Bezeichnet d den Durchmesser der Rundeiseneinlagen, so folgt für die Gesamthöhe des Balkens:

(159)

H^h + y + 1 bis 2 cm

Die beiden Gl. (158) und (159) beziehen sich auf cm bezw. qcm. Wird — wie meistens gebräuchlich — das Biegungsmoment M angegeben für eine Balkenbreite — 1 in — 100 cm, so geht Gl. (158) über in:

ke + 15kb 2,74 kb

100 (ke + 10kb)    •

. (158 a)

Ebenso folgt aus Gl. (159) der Gesamtquerschnitt der Eiseneinlagen für 1 m Breite:

Fe = lOO^.

Ke

(159 a)

Für Bestimmung der Biegungsmomente und Auflagerkräfte gilt das bereits auf S. 161 gesagte. Ebenso darf ein Einspannungsmoment an den Enden nach den „Bestimmungen" nur dann in Rechnung gestellt werden, wenn besondere bauliche Vorkehrungen eine sichere Einspannung nachweislich gewährleisten. Also in den meisten Fällen werden Platten und Balken als Träger auf 2 Stützen zu berechnen sein. Die rechnungsmäßig sich ergebende Plattendicke ist für die Ausführung auf mindestens 8 cm zu bringen.

Aufgabe 78. Für eine frei aufliegende Eisenbetonplatte (Fig. 132) betrage die Freilänge — 200 ein. Die Plattendicke werde einstweilen geschätzt zu H = 15 cm. Also ist die in Rechnung zu stellende Stützweite nach S. 161: l = 200    15 = 215 cm.

—1000 kg/qm

Die Nutzlast betrage

Eigengewicht¹²) — 0,15 • 2400 — 360 kg/qm also Gesamtlast — 1360 kg/qm Auflösung. Die Belastung für 1 m Breite beträgt:

pl = 1360.2,15 = 2924 kg

Danach nach Gl. (56) S. 70:

a»-pi.-i=

2924.215

oo 78 600 kgcm

Nach S. 164 ist dann:

CO

und daraus folgt durch Auflösung nach h:

■\'!W = r Mt

Wird eine Druckspannung des Betons von kb — 30 kg zugelassen, so folgt hierfür, sowie für ke = 1000 kg nach Gl. (158 a):

1000 + 15-30 ~    2,74 - 30

78 600

nach Gl. (156):

100 (1000 + 10 • 30)

13,7 cm

13,7 15-30

1000 + 15-30

4,25 cm

und nach Gl. (159 a) Eisenquerschnitt für 1 m Breite:

100 • 30 - 4,25 1000.2

Fe

— 6,4 qcm

Fig. 132.

200

Werden Rundeisen von cl — 0,9 cm gewählt, so ergibt sich die erforderliche Anzahl derselben für 1 m Breite zu:

6,4

10

0.9' !

Die Gesamthöhe der Platte bestimmt sich dann zu mindestens:

H — 13,7 + 0,45 + 1 — 15,2 cm.

Die vorstehenden Ausdrücke für x, h und fe bezw. Fe lassen sich in folgender Weise vereinfachen.

Wird in Gl. (156):

nkb

ke + nkb

s gesetzt, so ergibt sich zunächst:

1 / ²

J/ s • kb • ^1 — j

oder für eine beliebige Balkenbreite b in cm:

Ebenso ergibt sich nach S. 164:

ke li

ke r ya» —

CO CO

- r VM

kes U —

co CO

fe = t/DZ

oder allgemein:

bezw. für eine beliebige Balkenbreite b in cm:

Fe = ty$iZ.b

Durch Berechnung der Werte für s, r und t für verschiedene Spannungen ke und kb ergibt sich dann folgende Zusammenstellung, welche sich beliebig würde vervollständigen lassen¹³).

Spannungen in kg/qcm

Zugehörige Werte von:

ke

kb

vs

1000

40

0,375 h

0,390

1000

38

0,363 h

0,406

1000

36

0,351 h

0,423

1000

34

0,338 h

0,443

1000

32

0,324 h

j0,465

1000

30

HM HM HM HM s

0,00293/9K-b

0,00280/M-b

0,00268/M-b

0,00254/M - b

0,00241 /M - b

0,00228/M - b

0,490 y b

Biegungsmoment M bezieht sich dabei auf eine beliebige Balken- oder Plattenbreite b, welche in cm einzusetzen ist.

0,310 h

Aufgabe 79. Die in voriger Aufgabe S. 165 angegebene Eisenbetonplatte ist für eine zulässige Druckspannung kb = 40 kg zu berechnen.

Auflösung. Biegungsmoment für 1 m Breite nach S. 165:

M —78 600 kgcm

Nach Tabelle ergibt sich dann:

h = 0,390 j/

78 600

100

10,9 cm

x — 0,375 • 10,9 — 4,1 cm F — 0,00293 • -/7860Ö • 100 — 8,2 qcm

8,2

Werden Rund eisen von d = 1 cm gewählt, so ergibt sich die erforderliche Anzahl derselben für 1 m Breite zu:

= OO 11

0,785

d. h.: mit zunehmender Druckspannung kb verringert sich h; aber es wächst Fe (vergl. Aufg. 78).

Die Gesamthöhe der Platte ermittelt sich nach S. 165 zu mindestens: H = 10,9 + 0,5 + 1 = 12,4 cm¹⁴)

Häufig liegt umgekehrt die Aufgabe bor, einen Betonbalken oder -Platte von gegebenen Dimensionen auf Zulässigkeit der auftretenden Spannungen zu prüfen.

Es ist zunächst die Lage der neutralen Faser, also der Abstand x von oben zu bestimmen (Fig. 131 S. 163). Für eine Balkenbreite b allgemein ergibt sich aus Gl. (159 a) S. 165:

2 Fe ke b kb

Nach Gl. (155) S. 164 ist:

_ Ee h — X

kb Eb

und nach Einsetzung in die obige Gleichung:

2 ii. Fe h — x

Hieraus folgt durch Auflösung der quadratischen Gleichung:

tHV/1+ nF.

2bh

. . (160)

Ferner ergibt sich für die auftretenden Beanspruchungen nach S. 164,

F

und anstatt fe: allgemein ^

wenn gleichzeitig anstatt M: allgemein eingesetzt wird:

kb

2M

bx h —

(161)

und:

k,

Fe h-

• (162)

Außer der Druckspannung kb des Betons und der Zugspannung ke des Eisens kommen noch in Frage die Schubspannung des Betons und die Haft- oder Adhäsionsspannung zwischen Beton und Eisen.

Schubspannung. Nach § 14 S. 124 treten in einem auf Biegung beanspruchten Balken in der Längsrichtung auch Schubspannungen auf, die bestrebt sind, den einen Teil des Balkens über den anderen hinwegzuschieben. Die größte Schubspannung findet sich in der neutralen Faser und zwar über dem Auflager.

Die Differenz der Momente ist nach S. 126:

l-l = ^Ax

Also auch Schubspannung an beliebiger Stelle:

¹

Siehe Lauenstein, Mechanik, 7. Aufl., § 18. Gl. (164) S. 128.

²

Siehe Keck, Vorträge über Mechanik, T. II 1897 S. 69.

³

Für Flußstahl würde k — cvjßOOkg zulässig sein.

⁴

Für ein weitergehendes Studium sei ans die am Ende dieses Abschnitts angegebene Fachliteratur verwiesen.

⁵

Vergl. Aufgabe 77 S. 161.

⁶

Das Mischungsverhältnis (nach Raumteilen) ist meistens —1:3 bis 1:2:4 (b. h.: 1 ß.-T. Zement -s- 3 R.-T. Sand und Kies bis 1 R.-T. Zement + 2 R.-T. Sand + 4 R.-T. Kies).

⁷

Siehe S. 162.

⁸

Vergl. Grashof, Theorie der Elastizität und Festigkeit, 2. Stuft. S. 215 und 216.

⁹

Nach Gl. (127) S, 145.

¹⁰

Die älteren „Bestimmungen" vom 16. April 1904 sind damit außer Gültigkeit. Sonderabdruck der neuen „Bestimmungen" z. B. bei I. Längs Buchhandlung, Karlsruhe 1907 (60 Pf.).

¹¹

Vcrgl. Aufgabe 80 S. 170.

¹²

Gewicht von 1 cbm Eisenbeton — 2400 kg.

¹³

Siehe „Bestimmnngen".

¹⁴

Die auftretende Schub- und Haftspannung würde noch auf Zulässigkeit zu prüfen sein. (Bergt. Aufgabe 81 S. 171).

Sx

Wird — in gleicher Weise wie in Fig. 108 S. 125 — ein Balkenstück von der Länge Ax betrachtet, so ist auch hier Dx— D diejenige Kraft, die für das Abscheren in Frage kommt (Fig. 133).

Bezeichnet man die Schubspannung wieder mit t, so gilt Gl. (105) S. 125:

Dx — D = b • /\x • t

Die Druckkräfte ergeben sich als Inhalte der Spannungskeile; also: D1 = kbl-|.b

D=kb-|.b;

Da nach Gl. (161) S. 168: kb| -b

h-4

Fig. 133.

kb

kh

Lt.r

bezw.: kbl

h-4

so folgt:

: a-T-

D, —B =

M.—M

Ax

Tx

Sx- Ax

h—

b - Ax

b h-4

Die größte Schubspannung ergibt sich am Auflager, wo die größte Schubkraft Smsx — Auflagerdruck A. wird. Wird dieselbe hier mit t₀ bezeichnet, so folgt:

(163)

t₀ -

b(h-f)

Haftspannung. An dem in Fig. 133 dargestellten Balkenstück von der Länge Ax treten auch in den Eiseneinlagen Zugkräfte Zx und Z von verschiedener Größe auf. Der Unterschied derselben Z₁ — Z würde bestrebt sein, das Eisen aus dem Beton herauszuziehen. Diesem Bestreben wirkt die Haftfestigkeit oder der Gleitwiderstand des Betons am Umfange der Eiseneinlagen entgegen.

Wird der Umfang der Eiseneinlagen allgemein mit U und die zulässige Haftspannung mit bezeichnet, so ist:

zt—z = • u • Ax

Da die inneren Kräfte sich im Gleichgewicht befinden müssen, so ist: Zt— Z = D₁ — D

und in derselben Weise wie vorhin ergibt sich die größte Haftspannung am Auflager:

t>to

TJ

M)

(164)

Zur weiteren Sicherung gegen Herausziehen werden die Enden der Eiseneinlagen umgebogen (siehe Fig. 132 und 136).

Aufgabe 80. Eine Wohnhausdecke von 2 m Spannweite ist ausgeführt mit H — 10 cm und mit 10 Rundeisen von 0,8 cm Durchmesser auf 1 m Breite. Der Abstand von Mitte Rundeisen bis Unterkante Decke beträgt 1,5 cm.

Die Gesamtbelastung der Decke setzt sich zusammen aus:

Eigengewicht — 0,1 - 2400

—    240 kg/qm

dazu Uberschüttung mit Schlacke, Holzfußboden und Putz —100 kg/qm

—    250 kg/qm

Nutzlast

590 kg/qm*)

Gesucht: die auftretenden größten Spannungen im Beton und Eisen.

Auflösung. Belastung für 1 m Breite bei einer Stützweite 1 = 2 + 0,10 — 2,1 m:

pl = 590 • 2,1 = cvd 1240 kg 1240 - 210

er oo

cxd 32 500 kgcm

= 10 — 1,5 = 8,5 cm Fe = 10 • 0,8² ™ — 5 qcm

Also Abstand der neutralen Faser von oben nach Gl. (160) S. 168 für n = 15 und b = 100 cm:

15-5

Nach Gl. (161):

100

(|/h

2 -100 - 8,5

15-5

— 1 j = 2,9 cm

kb

2 - 32500

und nach Gl. (162):

ke

100 - 2,9 (8,5 — 32500

oo 30 kg/qcm

863 kg/qcm

Der Auflagerdruck ergibt sich:

pl

A = Y = 620 kg

Also Schubspannung nach Gl. (163): ^

to

620

100 (8,5- +

*) Aus den „Bestimmungen". (Beispiel 1.)

cx3 0,8 kg/qcm

Umfang der Eiseneinlagen:

U = 10 • 0,8 tu = 25 cm

Also Haftspannung nach Gl. (164):

3,2 kg/qcm

100 - 0,8

25

Die Druckspannung des Betons kb —30 kg ist zulässig, wenn der zur Verwendung kommende Beton, den „Leitsätzen" (D) entsprechend, mindestens eine Druckfestigkeit von

6 - 30 — 180 kg/qcm

besitzt.

Die übrigen auftretenden Beanspruchungen bleiben in zulässigen Grenzen.

Zu beachten ist noch, daß bei gewöhnlichen Eisenbetonbalken und -Platten die Schubspannungen — wie auch aus folgender Aufgabe hervorgeht — wohl immer verhältnismäßig niedrig ausfallen und daher von keiner Bedeutung sind. Anders liegt der Fall indessen bei den sog. Plattenbalken (Fig. 134 S. 172).

Aufgabe 81. Gesucht: die auftretende Schub- und Haftspannung für die Eisenbetonplatte in Aufgabe 78 S. 165.

Auflösung. Auslagerdruck:

pl

A —    — oo 1460 kg

Also Schubspannung nach Gl. (163):

1460

to=—-—

100-113,7

f)

CV51,2 kg

Umfang der Eiseneinlagen:

U — 10.0,9 7c — 28 cm

Also Haftspannung nach Gl. (164):

100 -1,2

oo 4,3 kg

Zulässig würde nach den „Leitsätzen" (D) sein bis tq — 4,5kg.

28

3. Berechnung von Plattenbalken.

Ein sog. Plattenbalken entsteht aus einer eisenarmierten Betonplatte, indem die für eine bestimmte Plattenbreite erforderlichen Rundeisen möglichst nahe nebeneinander in einer besonderen Längsrippe unter der eigentlichen Platte angeordnet werden (Fig. 134).

Die auftretenden Druckspannungen sollen von der Betonplatte, die Zugspannungen auch hier nur von dem gesamten Eisenquerschnitt aufgenommen werden.

Man hat 2 Fälle zu unterscheiden:

1. Die neutrale Faserschichtliegt oberhalb der unteren Platten-kante oder füllt mit ihr zusammen. Die Berechnung ist dann dieselbe wie für gewöhnliche Eisenbetonbalken, und die im vorhergehenden Abschnitt hierfür angegebenen Formeln sind auch für diesen Fall anzuwenden.

2. Für den Fall, daß wie in Fig. 134 die neutrale Faserschicht unter der unteren Plattenkante liegt, wird auch die Rippe Druckspannungen erhalten, welche jedoch der Einfachheit halber vernachlässigt werden. Als Spannungsfigur wird daher in die Rechnung nur das Trapez eingeführt, in dessen Schwerpunkt die Gesamtdruckspannung D angreift.

Mg. 134.

1)

\y

7i

X"

4'

• SS

-N

y sei der Abstand derselben von der neutralen Faser NIST; ku die Druckspannung an der unteren Plattenkante. Die übrigen Bezeichnungen sind dieselben wie früher. In ähnlicher Weise, wie auf S. 164 durchgeführt, lassen sich folgende Hauptgleichungen ermitteln¹):

4M > M2

. . (165)

nt; + M •

d²

. . (166)

6 (2 x — d) '

| +

ke =

kb

fe (k — x + y)

x k

n (h — x) e

(167)

. . (168)

Bei einem Träger auf zwei Stützen treten in der Längsrichtung Schubspannungen auf. Während letztere bei gewöhnlichen Eisenbetonplatten wohl stets in zulässigen Grenzen bleiben²), liegt dagegen bei Plattenbalken die Gefahr vor, daß wegen der verhältnismäßig geringen Breite b¹ der Rippe bei zu großen Schubspannungen ein Abschieben der Platte im Querschnitte ab (Fig. 134) über die Rippe hinweg stattfinden kann.

Als zulässige Schubspannung des Betons darf bis 4,5 kg/qcm gewählt werden.

Die größte Schubspannung tritt wieder auf in der neutralen Faser über dem Auflager und Gl. (163) S. 169 geht hier über in:

to

(169)

bi (h — x + y)

(Für den Fall, daß die neutrale Faserschicht NN mit der unteren Platten-

2

kante zusammenfällt (für x—d), wird in den obigen Gleichungen y—-^-x.)

Ergibt die Rechnung eine zu große Schubspannung, so ist entweder die Rippenbreite bx zu vergrößern, oder der Beton erhält besondere, zur Aufnahme der Schubspannungen geeignete Eiseneinlagen. Zu diesem Zweck wird ein Teil der Eiseneinlagen nach oben (meistens unter 45° wie in Fig. 136) abgebogen, oder es werden besondere vertikale Rundeisenbügel eingelegt. Zweckmäßig erscheint die Anwendung beider Mittel.

Für die auftretende Haftspannung gilt entsprechend Gl. (164) S. 170:

(170)

U (h — x + y)

Für Biegungsmomente und Auflagerkräfte gilt auch hier dasselbe wie früher (siebe S. 161 und 165). Dabei ist zu beachten, daß nach den „Bestimmungen" die Breitel) des plattenförmigen Teils von Balkenmitte ab nach jeder Seite mit nicht mehr als % der Balkenlänge (Stützweite) in Rechnung gestellt werden darf. In den meisten Fällen wird b geringer sein. (Vergl. Aufgabe 82 und 83.) Ferner ist auch hier die durch Rechnung ermittelte Dicke d des plattenförmigen Teils auf » mindestens 8 cm zu bringen.

Fig. 135.

130 cm

Aufgabe 82. Gegeben für einen Plattenbalken in einem Geschästshause (Fig. 135).

Lichte Weile — 9,6 m Stützweite l = 10 m 8 Rund eisen von 2,3 cm Durchmesser.

rru

Die Gesamtbelastung beträgt für 1 m Länge: Eigengewicht = (0,1 • 1,5 + 0,5 • 0,25) 2400 . = 660 kg dazu Überschüttung mit Schlacke, Holzfußboden und Putz: 90 kg/qm; also: 1,5 - 90 . . . = 135 kg

— 500 kg

Nutzlast

r*!

23

1295 — cxd 1300 kg für 1 m Länge.

Gesucht: Die austretenden Beanspruchungen im Beton und Eisen.

Auflösung. Die Gesamtbelastung für 10 m Länge beträgt:

pl= 10-1300 = 13000 kg

Moment für 150 cm Breite:

2K = pl-

l 13000 -1000

1625000

fe = 8 • 2,3² - ~ — 33,2 qcm

Eisenquerschnitt für 150 cm Breite:

Aus Gl. (165) folgt für n = 15 und h = 56 cm (als Mittelwert):

150 - 1Ö²

15.33,2 - 56 -f

Nach Gl. (166):

15 - 33,2 + 150 • 10

17,7 cm

y = !7,7

10

10²

Nach Gl. (167):

6 (2 -17,7 — 10)

13,4 cm

ke =

1625000

Nach Gl. (168):

33,2 - (56 — 17,7 + 13,4)

— 947 kg/qcm

kb

17,7

Stützenwiderstand:

15 (56—17,7)

. pl 13000

A —---— —'-

. 947 — 29,2 kg/qcm

6500 kg

Also nach Gl. (169) Schubspannung:

t₀

6500

25 (56 — 17,7 + 13,4)

oo 5 kg/qcm

Fig. 136.

Da die zulässige Schubspannung — 4,5 kg überschritten wird, ist die Rippe oben — wie in Fig. 135 schon gezeichnet — breiter auszuführen, bezw. die vier oberen Rundeisen sind durch Abbiegen nach oben bis in die Platte hineinzuführen, wie in Fig. 136 schematisch angedeutet.

Die Haftspannung der 4 unteren Rund eisen ist nach Gl. (170):

6500

ti =

4 - 7,2 - (56 — 17,7 + 13,4)

— 4,4 kg/qcm

Bei Berechnung von Plattenbalken nimmt man entweder die Abmessungen zunächst an und untersucht wie in voriger Aufgabe die auftretenden Beanspruchungen in bezug auf ihre Zulässigkeit, oder man geht umgekehrt von den gegebenen Beanspruchungen kb und ke aus.

Für den letzteren Fall läßt sich zur Bestimmung der Trägerhöhe h folgende Gleichung ableiten³):

57 v/a

ET Q-

kb

tA

(171)

oder allgemein (wie auf S. 166):

1 /M

Ft

h =

worin r dem Wurzelausdruck in Gl. (171) entspricht.

Wird für verschiedene zulässige Spannungen kb, sowie für verschiedene

(1    X

Werte von und ^ die Trägerhöhe h berechnet, so ergibt sich folgende

Tabelle, die zur Bestimmung der Hauptabmessungen dient.

fe = t y ÜR • b

Die den verschiedenen Werten von r entsprechenden Werte von t sind ebenfalls in folgender Tabelle zusammengestellt.

In ähnlicher Weise, wie auf S. 167 für den gewöhnlichen Eisenbetonbalken durchgeführt, läßt sich auch hier der erforderliche Eisenquerschnitt allgemein ausdrücken durch:

Für ke — 1000 kg/qcm*)

kb

fe

t /M'b

20

0,231

30

0,310

40

0,375

ooooo ooooo ooo o p popp PPP p

!§?««« Z8LK8 SS KESS Sogs ggss

opppp pppp popp

rfb. ^ Qx Oi    Oi 05    0505-000

^ 05 00 h-¹- Oi    CO CO H ^    GOCOCOt-¹

05 W Of W O    O O 00 Oi    05 O Cn 00

Ä ^ ^ o o    CO CO CO CO CO

o © cT © ©    cT o o ©" o

CM CM

CD TH

0,00129

0,00148

0,00157

0,00159

0,00163

0,00212

0,00228

0,00228

0,00191

0,00207

0,00221

0,00233

0,00244

0,00253

0,00262

0,00270

0,00276

0,00282

0,00286

0,00289

0,00292

0,00292

0,00292

Die Benutzung der Tabelle werde an folgendem Beispiel gezeigt. *) Auszug aus Tabelle in: Saliger, a. a. O. S. 280.

Aufgabe 83. Für einen Plattenbalken von h = 150 cm Breite, von 7,5 m Spannweite und einer in Rechnung zu stellenden Stützweite 1 — 7,8 m betrage die gesamte Belastung (einschl. Eigengewicht) — 1200 kg für 1 m Balkenlänge. Die Hauptdimensionen des Balkens sind zu bestimmen für eine zulässige Druckspannung des Betons kb — 32 kg/qcm.

Auflösung. Wird das Verhältnis gewählt — 0,30, so wird der Wert r liegen

zwischen 0,490 (für kb — 30) und 0,397 (für kb — 40); ebenso der Wert t zwischen 0,00228 und 0,00286.

Durch Interpolation findet man zunächst die Zwischenwerte, entsprechend der zulässigen Druckspannung kb—32:

r = 0,471 bezw. t = 0,00240.

Moment für 150 cm Breite:

= 1200 - 7,8 -

780 _ 1200 - 7,8² -100

912600 kgcm

Die Trägerhöhe h (als Mittelwert, vergl. Fig. 135 S. 173) ergibt sich dann:

Plattenstärke:

n 1 / M

h==rKir ⁼

0,471

]/912 600 X 150

36,7 cm

d = 0,30 - 36,7 — 11 cm

und der erforderliche Eisenquerschnitt:

fe — t y®£-b = 0,0024 • 100 V 9126 • 1,5 — 28,1 qcm Für 6 Rundeisen ergibt sich der Durchmesser derselben aus:

cxd4,7

_ 28,1

zu:

5 = cxd 2,5 cm

Die auf diese Weise vorläufig ermittelten Maße für h und d könnten gegebenenfalls für die Ausführung abgeändert werden, und die wirklich auftretenden Beanspruchungen würden dann wie in Aufgabe 82 S. 173 genau zu bestimmen sein.*)

4. Berechnung von Eiseubetonstützen.

a) Druck.

Für Beanspruchung auf Druck allein (bei kurzen Stützen) durch eine zentrische Druckkraft P gilt, wenn fb den Betonquerschnitt, fe den gesamten Eisenquerschnitt bezeichnet:

(172)

P = fbkb + feke

Die entsprechenden Zusammendrückungen sind:

kb

Se

ke

_ Sb-Eb

*) Vergl. „Bestimmungen", Beispiel 6, wo derselbe Plattenbalken für h — 36cm und d —10 cm untersucht ist. Die Druckspannung des Betons berechnet sich hierfür zu kb — 32,3 kg/qcm.

Ee

Da beide Körper gleiche Formänderungen erleiden (eb = se), so ist:

ke

kb

oder:

kb

Eb Ee Eb 1

ke E,

also Druckspannung im Eisen:

ke = nkb......

Durch Einsetzen in Gl. (172) ergibt sich:

P = kb (fb + nfe).....

Bei einer Betonstütze ohne Eiseneinlagen würde sein:

P — kb - fb

(173)

(174)

d. h. eine Eisenbetvnstütze, die nur auf Druck beansprucht wird, ist zu berechnen wie ein einfacher Betonkörper mit der gesamten Querschnittsfläche:

fb 's- Ufe

Nach Gl. (174) ist auch:

Daraus folgt der Betonquerschnitt:

fb =

(175)

kb (l+»-^)

Der Eisenquerschnitt fe ist im bestimmten Verhältnis zum Betonquerschnitt anzunehmen; dieses Verhältnis liegt im allgemeinen zwischen:

0,01 — 0,02; (1—2«/» Armierung).

Für die auftretenden Beanspruchungen ergibt sich nach Gl. (174):

kb —

und nach Gl. (173):

fb -f- nfe

(176)

nP

(177)

ke fb + nfe

Nach den „Bestimmungen"*) darf die Druckspannung des Betons kb höchstens — ¹I₁₀ der Druckfestigkeit sein. Wird eine solche von 250 kg/qcm für guten Beton vorausgesetzt**), so könnte die zulässige Druckspannung bis kb — 25 kg/qcm gewählt werden.

*) Siehe S. 163.

**) Bergt. S. 156.

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

12

Z. B.: wird das Verhältnis ^

0,01 angenommen (1 % Armierung),

fb

so ergibt sich für kb — 25 und n —15 nach Gl. (175) der erforderliche Betonquerschnitt:

fb

= 0,0348 P

25 (1 + 15- 0,01)

Für — 0,02 (2 °/₀ Armierung) würde sich ergeben:

0,0308 P

fb

fb

25 (1 + 15 • 0,02)

Aufgabe 84. Gegeben: für einen Eisenbetonpfeiler von quadratischem Querschnitt eine zentrische Druckkraft P —30000 kg. Gesucht: erforderlicher Beton- und Eisenquerschnitt bei kb =25 kg/qcm Mg. 137).

Fig. 137.

Auflösung. Bei 1 °/₀ Armierung ergibt sich: fb — 0,0348 - 30000 = 1044 qcm oder Seite des quadratischen Querschnitts:

.1.

a = is1044 = 32,4 cm fe = 0,01 • 1044 = 10,4 qcm

-4~±

oder:

Bei 4 Rund eisen:

d²ir_ 10,4

2,6 qcm

Bei 2% Armierung erhält man:

d = cx31,8 cm

fb — 0,0308 • 30000 = 924 qcm = /924 = 30,4 fe = 0,02 • 924 = 18,5 qcm d²7r_ 18,5

cm

4,6 qcm

d = 2,4 cm

Je stärker die Armierung, desto kleiner wird a.

b) Zerknicken.

Für Beanspruchung auf Zerknicken gilt dasselbe wie früher (§ 15 S. 127), wobei zu beachten, daß nach den „Bestimmungen" für die Berechnung die Eulersche Formel (Gl. (109) bezw. (110) anzuwenden ist.

Für Eisenbetonstützen geht letztere, dem Einspannungsfall I entsprechend (bergt Fig. 114 S. 129), über in:

oder:

p=Vi^(EbJb+BeJe)

TZ² /T , Ee y \

lJb+ Eb JV •

. . (178)

. c d⁴7C

als verhältnismäßig klein gegenüber dem anderen Wert ver-

d²7U

oder, da w

nachlässig) werden kann und 4    - = dem gesamten Eisenquerschnitt k« ist:

Je = fe

Der Abstand der Eiseneinlagen voneinander kann etwa angenommen

werden:

Darin bezeichnet den Sicherheitsgrad, welcher hier — 10 anzunehmen ist; Jb und Je sind die bett. Trägheitsmomente, bezogen auf die Hauptachsen.

Für Eb = 140000;

u—15; t:²=~10 unb toemt Jb+nJe=J

als Trägheitsmoment des gesamten armierten Querschnitts eingeführt wird, folgt aus Gl. (178):

140000

l²

•J

oder erforderliches Trägheitsmoment:

PI²

140000

(dabei P in kg, l in cm)

(179)

Wird auch hier — wie auf S. 130 — die Belastung P in Tonnen (1 t= 1000 kg) und die Länge l in m angegeben, so ergibt sich:

1000-10000 140000

PI²

oder:

71P1²

(180)

Das gesamte Trägheitsmoment J für einen quadratischen Querschnitt (Fig. 137) bestimmt sich folgendermaßen.

Trägheitsmoment des Betonquerschnitts:

a⁴

jb-₁₂

Trägheitsmoment der 4 Rundeisen, bezogen auf die Hauptachsen, nach

d²7C

Gl. (20) S. 20:

Je =

f d⁴ic 4 —,.

2]

64

b — 0,8 a

Wird ferner der Betonquerschnitt fb = a² eingeführt, so ist auch:

j,=

fe

0,8

fb

•»’i

= 0,16-/ -a⁴

fb

12*

Also gesamtes Trägheitsmoment:

<,2+i5 0-¹⁶ f,;)    •    • <isi>

J = fl h —j— ii 1 = :i

d. h.: J ist abhängig von Stärke der Armierung.

f,

Für 1% Armierung ^

0,01 j ergibt sich:

J = a⁴ (0,083 + 0,024) = 0,107 a4 Für 2% Armierung ^- = 0,02^:

J = a⁴ (0,083 + 0,048) = 0,131 a⁴

Außer der Knickbeanspruchung der ganzen Stütze ist noch zu beachten, daß die Gefahr vorliegt, die einzelnen Rundeisen können für sich ausknicken; sie sind daher durch geeignete Querverbindungen (Rundeisenbügel) miteinander zu versteifen. Die Entfernung l, dieser Querverbindungen voneinander berechnet sich wie folgt:

Nach Gl. (122) S. 131 ist:

Nun ist:

P = 4ke •

d²7U

l?=A.2EeJ,

Je

d⁴;:

64

Ee = 2100000

und nach Einsetzung dieser Werte:

-d~ 2100000 2.-^

d²

, d²iu

ke V

oder Entfernung der Querverbindungen in m:

5d ⁴)

rsj -    — ' .

= 262500-™

(182)

Aufgabe 85. Ein quadratischer Eisenbetonpfeiler (Fig. 137 S. 178) soll ausgeführt

werden mit:

a = 30 cm; b — 24 cm; d — 2,3 cm; l = 4 m

und ist mit P = 30000 kg zentrisch belastet⁵). Der Pfeiler ist (unter Voraussetzung des Einspannungssalles I) auf Zerknicken zu untersuchen.

Auflösung.

fb = a⁴ = 900 qcm

4 • 4,1 = oo16 qcm

r A d²TC

fe=4-x

Der entsprechende Eisenquerschnitt ist:

fe — 0,02 • 1154 = cvd 23 qcm

d²7c 23

Bei 4 Rund eisen:

— 5,75 qcm

oder:

d — 2,7 cm

Die Druckspannung im Eisen ergibt nach Gl. (173) S. 177 nur zu:

ke — 15.20 — 300 kg/qcm.

Die Untersuchung des Pfeilers aus Zerknicken würde in derselben Weise wie in Aufgabe 85 durchzuführen sein; erübrigt sich aber auch hier, da nach den „Bestimmungen" dieses erst erforderlich ist bei einer Pfeilerhöhe: l > 18 • 34 ^ 612 cm.

Ebenso würde nach den „Bestimmungen" der Abstand der Querverbindungen zu: lx — ca. 34 cm anzunehmen sein.

Liskilbeton-Literatur.

„Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten", Runderlaß des preußischen Ministers der öffentlichen Arbeiten vom 24. Mai 1907. Förster, Das Material und die statische Berechnung der Eisenbetonbauten. 1907. Jöhrens, Hilfsmittel für Eisenbeton-Berechnungen. 1908.

Koenen, Grundzüge für die statische Berechnung der Beton- und Eisenbetonbauten.

3.    Ausl. 1906.

Kersten, Der Eisenbetonbau. I. Teil: Ausführung und Berechnung der Grundformen.

4.    Ausl. 1907.

—    Der Eisenbetonbau. II. Teil: Die Anwendungen im Hoch- und Tiefbau. 3. Ausl. 1907.

Pilgrim, Theoretische Berechnung der Betoneisen-Konstruktionen. 1906.

Ramisch und Göldel, Bestimmung der Stärken, Eisenquerschnitte und Gewichte von Eisenbetonplatten. 1906.

Schöler, Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues. 1905.

Saliger, Über die Festigkeit veränderlich elastischer Konstruktionen, insbesondere von Eisenbeton-Bauten. 1904.

—    Der Eisenbeton in Theorie und Konstruktion. 2. Ausl. 1908.

Turley, Formeln, Tabellen und Grundsätze zum Gebrauch für die Berechnung von Eisenbeton-Bauausführungen. 1906.

Weder, Leitfaden des Eisenbetonbaues. 1906.

Weiske, Die Berechnung von Eisenbetonbauten. (Heft I: Platten, Plattenbalken und Säulen.) 1907.

§ 20.

Zusammenstellung der wichtigste» Formeln.

Widerstand gegen Zug oder Druck.

. (1) S. 6 . (3) S. 6

(9) S. 14 (15) S. 17 (17) S. 18

P = Fk .....

PI

Widerstand gegen Biegung. J = 2(fy²) . . .

W = —. e

= kW

oo 89,8 Tonnen.

Trägheitsmoment des Gesamtquerschnitts nach Gl. (181):

15 - 0,16 -16

J = 30⁴

12

900

■)=

102060

Also Tragfähigkeit auf Zerknicken nach Gl. (179) S. 179: 140000 -102060

160000

89300 kg⁶)

Der Pfeiler ist jedoch nur mit 30000 kg belastet; eine Knickgefahr für den Beton ist daher ausgeschlossen.

Die Druckspannung des Betons ermittelt sich nach Gl. (176) S. 177 zu:

30000

900 + 15-16

Da nach den „Bestimmungen" die Druckspannung nur ¹/₁₀ der Druckfestigkeit betragen darf, so müßte der zur Verwendung gelangende Beton mindestens eine solche von 263 kg/qcm besitzen.

Die Druckspannung des Eisens ergibt nach Gl. (173) bezw. (177):

kb

26,3 kg/qcm

ke = 15 • 26,3 — cx3 395 kg/qcm

und die größte zulässige Entfernung der Querversteifungen nach Gl. (182):

5-2,3

<395

cxd 0,58 m = 58 cm

Bei einer Pfeilerhöhe von l — 400 cm würden daher 6 Querverbindungen einzuschalten sein. Da aber nach den „Bestimmungen" der Abstand lx annähernd der kleinsten Abmessung der Stützen (also hier — 30 cm) entsprechen soll, so beträgt hiernach die Anzahl der Querverbindungen = 12.

(Der weiteren Bedingung l₁<30d wird genügt.)

Je größer die Anzahl der Querverbände, desto größer wird die Sicherheit gegen Ausknicken der Eiseneinlagen, wodurch gleichzeitig die Knickfestigkeit der ganzen Stütze erhöht wird.

Wenn umgekehrt für eine gegebene Belastung P unter Zugrundelegung einer bestimmten zulässigen Druckspannung des Betons die Abmessungen des Pfeilers erst zu bestimmen sind, so ist der Gang der Rechnung folgendermaßen.

Aufgabe 86. Derselbe Pfeiler wie in Aufgabe 85 ist zu berechnen, wenn eine Armierung von 2°/₀ angenommen wird bei einer zulässigen Druckspannung des Betons von nur: kb — 20 kg/qcm.

Geg.: P = 30000 kg; 1 = 4 m;

fe

ftT ~ °'⁰²'

Auflösung. Nach Gl. (175) S. 177 ist der erforderliche Betonquerschnitt:

30000

fb

oder:

20 (1 + 15-0,02)

1154 qcm

a = yil54r=34 cm

Trägheitsmomente und Widerstandsmomente.

Tabelle für die wichtigsten einfachen Querschnitte S. 26 und 27. In bezug auf eine der Schwerachse parallele Achse (Abstand a) ist:

Jg³⁼³ Js “l⁻ Fa²

Annäherungsformel für genietete Träger:

F_W F^

(20) S. 20

ho

(27) S. 25

Krümmung und Durchbiegung belasteter Balken.

. . (29) S. 43 . . (32) S. 44

EJ

. (M-Fl8che) .

tg<P⁼EJ

(Moment der M-Fläche) . . (34) S. 45

Der an einem Ende eingespannte Träger. Belastung durch Einzelkraft P.

(35)    S. 46

(36)    S. 47

PI = kW......

PI³

3EJ

tg a =

Durch das Moment M entsteht:

PI²

2EJ

(38) S. 48

Ml²

2EJ

(40) S. 48

Ml

tSa~ KJ

(39) S. 48

Für a

Streckenbelastung.

i ¹

pl-2

= kW

(41) S. 49

pl⁴

8JEJ

pl³

tga —

6EJ

Der Träger auf zwei Stützen. Belastung durch Einzelkraft P.

Pb

Pa

. . (42) S. 50

(44) S. 50

. . (47) S. 60

. . (48) S. 60

ab

kW

. . (49) S. 61

= b = ⁴/₂l:

Pl

kW

(50) S. 62

12

KJ!

(51) S. 62

Streckenbelastung.

pl

A = B= 2

$1,=

(54) S. 69

x (l — x).....(55) S. 69

, l pl²

= Pl8 ⁼

pl. 1 = kW

. . (56) S. 70

(57) S. 71

48

(58) S. 72

Der Träger auf drei Stützen. Streckenbelastung p bei gleichen Spannweiten.

pl

. . (66) S. 93

10

pl =

00 Ol

2pl

. . (67) S. 94

Mo

pl²

— kW

(68) S. 95

Streckenbelastung p bei ungleichen Spannweiten.

. . (73) S. 98

plt Mo

B-pl

Mo

. . (74) S. 98

. . (75) S. 98

Mo

8(l! + l₂)

. . (76) S. 98

Der an beiden Enden eingespannte, gleichmäßig belastete Träger.

Mo - pV

24

(86) S. 106

12

(87) S. 106

Träger von gleichem Biegnngswiderstand. _ Wx

M “ W

. . (92) S. 111

Für kreisförmigen Querschnitt:

,/Mx

| M

. . (93) S. 112

und für eingespannten Träger von der Länge l, am freien Ende durch P belastet:

(94) S. 112

Für Rechteckquerschnitt mit unveränderlicher Höhe h (eingespannter Träger, am freien Ende durch P belastet):

. . (95) S. 112

k V JE t

(98) S. 113

6PI

kh²

(99) S. 114

Die auf Doppelbiegung beanspruchten Träger. Mi -s- eMz

Wx =

. . (101) S. 117

Wx

wobei c

Wy

Für Rechteckquerschnitt ist o — ^ und

h³

6c

™ tfWi + c9Jl₂) . . . (102) S. 118

Widerstand gegen Abscherung.

P = Ft

(103)    S. 121

(104)    S. 121

Abscherwiderstand in der Längsrichtung von Trägern.

tmax —%hk • ⁻ ’ Widerstand gegen Zerknicken. P= — -~EJ .

ii l²

. . (107) S. 126

. . (114) S.129

Sind beide Stabenden frei (nicht eingespannt) und in der ursprünglichen Achse geführt, so wird für P in t und l in m:

J = 2,5PV für Schmiedeisen . . . (119) S. 130

J = 8Pl² für Gußeisen.....(120) S. 130

J = 100P1² für Holz und Stein . (121) S. 130

Bei zusammengesetzten Querschnitten sind die einzelnen Eisen zu verbinden in Abständen:

p 2Ei .... (122) S. 131

Für Ringquerschnilt ist angenähert:

. . (123) S. 133

J = 0,4D?5    . . .

. . (125) S. 144 . . (126) S. 145

Widerstand gegen Verdrehung. Ex = 0,4 E . . .

Je

Für Kreisquerschnitt:

d³7C

16 *

991 = P R = 71620

. . (127) S. 145

. . (130) S. 146

Für t —365 (Schmiedeisen):

oder:

d = 0,24 y'P ft

(129) S. 146

d = 10

l/l

(131) S. 146

Für gleichzeitige Beanspruchung auf Biegung:

d = 12

(132) S. 146

für lange dünne Wellen (Transmissionswellen):

d = 12

4

1/

(133) S. 147

(134) S. 148

Zusammengesetzte Widerstände. Biegung und Zug oder Druck. P . M

F W ' ' '

Biegung und Verdrehung.

k =•

00 CO

prs² + 4t²    . .

(135) S. 151

Für kreisförmigen Querschnitt:

0,1 kd³ =

|-1b + {V1b² + 1t² .

(137) S. 151

Eisenbetonbau. Eisenbetonbalken auf Biegung.

,    nkb

x = h    -—,    . .

ke + ukb

Für n — - ——15 und eine Balkenbreite — 1 cm:

(156) S. 164

und:

2,74 kb

V-

k(. -j- 10 kb

(158) S. 164

l\3 X

(159) S. 165

Für eine Balkenbreite — b:

(| /l+ »F.

2 bh

(160) S. 168

kb

2M

(161) S. 168

t>x h —

F. h *

(162) S. 168

Schubspannung:

to =

(163) S. 169

Haftspannung:

tx =

M₀

(164) S. 170

Eisenbetonstützen auf Druck. ke = nkb .    .    .    .

F — kb (fb -|- nf₆) .

(173)    S. 177

(174)    S. 177

Eisenbetonstützen auf Zerknicken.

PI2 140000

(179) S. 179

oder:

(P in kg; l in cm)

J = 71 PI²

P in t; l in m)

(180) S. 179

Anhang.

1. Tabelle der

Potenzen, Wurzeln, Lreisumfänge und Lreisinhalte der Zahlen 0,0 bis 100,0.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2.2

2.3

2,4

2.5

2.6

2,7

2.8

2,9

3,0

3,1

3.2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5,0

n²

n³

0,00

0,01

0,04

0,09

0,16

0,25

0,36

0,49

0,64

0,81

1,00

1,21

1,44

1,69

1,96

2,25

2,56

2,89

3,24

3,61

4,00

4,41

4,84

5,29

5,76

6,25

6,76

7,29

7,84

8,41

9,00

9,61

10.24 10,89 11,56

12.25 12,96 13,69 14,44 15,21

16,00

16,81

17,64

18,49

19,36

20.25 21,16 22,09 23,04 24,01

25,00

0,000

0,001

0,008

0,027

0,064

0,125

0,216

0,343

0,512

0,729

1,000

1,331

1,728

2,197

2,744

3,375

4,096

4,913

5,832

6,859

8,000

9,261

10,648

12,167

13,824

15,625

17,576

19,683

21,952

24,389

27,000

29,791

32,768

35,937

39,304

42,875

46,656

50,653

54,872

59,319

64,000

68,921

74,088

79,507

85,184

91,125

97,336

103,823

110,592

117,649

125,000

0—5

-j/n

3

/n

n • Tz

n²7c

0,0000

0,3162

0,4472

0,5477

0,6325

0,7071

0,7746

0,8367

0,8944

0,9487

1,0000

1,0488

1,0954

1,1402

1,1832

1,2247

1,2649

1,3038

1,3416

1,3784

1,4142

1,4491

1,4832

1,5166

1,5492

1,5811

1,6125

1,6432

1,6733

1,7029

1,7321

1,7607

1,7889

1,8166

1,8439

1,8708

1,8974

1,9235

1,9494

1,9748

2,0000

2,0248

2,0494

2,0736

2,0976

2,1213

2,1448

2,1679

2,1909

2,2136

2,2361

gilll Hill tllls Illil 11111 Itlil lliii lllll IIIII Illil I

0 © ©"© © ©“©'‘©"©"©" i-Tt-Ti-T i-Ti-Tr-T t-Tt-T    ^    r ■ ■ ¹ "................£■'

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5,0

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

5,7

5,8

5,9

6,0

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

6,7

6,8

6,9

7,0

7,1

7,2

7,3

7,4

7,5

7,6

7,7

7.8

7,9

8,0

8,1

8,2

8,3

8,4

8,5

8,6

8,7

8,8

8,9

9,0

9,1

9,2

9,3

9,4

9,5

9,6

9,7

9,8

9,9

10,0

n²

n⁸

8SS82 Sc833oq 83388 88835 83.588 88833. 85388. 88,833 83 528 8.2833 8

iO CO O 00 oT o" H <m" co" CO CO 02 © 04 CO CO" O 05 O H ^ rjl" CO O 02 © 04 ^lOC^QOO 04 CO"iO O*" 02 r-7 O4 r$T CO CG Ö" 04" tjT CO CG Ö" 0404040404 CO CO CO CO CO CO CO CO CO ^    r* rtfl ^ x^iOxCiQiC lO tO iC CO CO COCOCOCOt> t> I> I> I> l> CO 00 CO GO CO 0202020202 O

co co co oo oo o ü* co O § § §2 ^ co S o* oo 2    ^    to ^ O w ^ 02 oo co 1:0

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i iiiäi !¥§§§ isiis nwi iiiis l'iisl will eBisi Will isisl

5—10

/n

3

/n

n - tc

um ml! mm Hill iiüi tiiit lim um um mm

04 04 04 04 04 CM CM CM CM CM CM 04 CM (M CM CM CM CM CM CM" CM CM CM CM CM CM 04 CM CM CM 0404040404 04 04 04 04" o7 CO CO" CO CO CO CO CO CO*" CO CO⁻ CO

S2883    S88S8    5£588    ZZ28L    £5SS?2    888^8    8ZL23    S®,o§o    S3S8S    5

SSSSe    s SSSS    3_£883.    §8qqq    qqqSq    §§§SS    SSSS3    2

HHHHH    HHHHH    HHHHH    HHHHH    HHHHH    HHHHrl    04 04 Os 04    CM CM C<T CvT of    CM" CM" C<f CM" G<f    <m" CM" CM" 04 of    of

15,708

16,022

16,336

16,650

16,965

17,279

17,593

17,907

18,221

18,535

O ^ GC CM CD i-O CO t> 02 O

G0^r-^'d^I> rH_

cg 02" 02" 02" cT

T—I T—I T—I T—I 04

20,420

20,735

21,049

21,363

21,677

21,991

22,305

22,619

22,934

23,248

23,562

23,876

24,190

24,504

24,819

25,133

25,447

25,761

26,075

26,389

26,704

27,018

27,332

27,646

27,960

28,274

28,588

28,903

29,217

29,531

29,845

30,159

30,473

30,788

31,102

31,416

19,6350

20,4282

21,2372

22,0618

22,9022

23,7583

24,6301

25,5176

26,4208

27,3397

28,2743

29,2247

30,1907

31,1725

32,1699

33,1831

34,2119

35,2565

36,3168

37,3928

38,4845

39,5919

40,7150

41,8539

43,0084

44,1786

45,3646

46,5663

47,7836

49,0167

50,2655

51,5300

52,8102

54,1061

55,4177

56,7450

58,0880

59,4468

60,8212

62,2114

63,6173

65,0388

66,4761

67,9291

69,3978

70,8822

72,3823

73,8981

75,4296

76,9769

78,5398

n²

n³

10—15

Yn

3

/n

n • 7C

n²zz

10,0    100,00

10,1    102,01

10.2    104,04

10.3    !    106,09

10.4    108,16

10.5    I 110,25

10.6    112,36

10.7    114,49

10.8    116,64

10.9    118,61

11,0    121,00

11.1    123,21 125,44

11.3    127,69

11.4    129,96

11.5    132,25

11.6    134,56

11.7    136,89

11.8    139,24

11.9    141,61

12,0    144,00

12.1    146,41

12.2    148,84

12.3    151,29

12.4    153,76

12.5    156,25

12.6    158,76

12.7    161,29

12.8    163,84

12.9    166,41

13,0    169,00

13.1    171,61

13.2    174,24

13.3    176,89

13.4    179,56

13.5    182,25

13.6    184,96

13.7    187,69

13.8    190,44

13.9    193,21

14,0    196,00

14.1    198,81

14.2    201,64

14.3    204,49

14.4    207,36

14.5    210,25

14.6    213,16

14.7    216,09

14.8    219,04

14.9    222,01

1000,000 1030,301 1061,208 1092,727 1124,864

1157,625 1191,016 1225,043 1259,712 1295,029

1331,000 1367,631 1404,928 1442,897 1481,544

1520,875 1560,896 1601,613 1643,032 1685,159

1728,000 1771,561 1815,848 1860,867

1906.624

1953,125 2000,376 2048,383 2097,152 2146,689

2197,000 2248,091 2299,968 2352,637 2406,104

2460,375 2515,456 2571,353 2628,072 2685,619

2744,000 2803,221 2863,288 2924,207 2985,984

3048.625 3112,136 3176,523 3241,792 3307,949

15,0    225,00    3375,000    |

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

11,2

3,1623

3,1780

3,1937

3,2094

3,2249

3,2404

3,2558

3,2711

3,2863

3,3015

3,3166

3,3317

3,3466

3,3615

3,3764

3,3912

3,4059

3,4205

3,4351

3,4496

3,4641

3,4785

3,4928

3,5071

3,5214

3,5355

3,5496

3,5637

3,5777

3,5917

3,6056

3,6194

3,6332

3,6469

3,6606

3,6742

3,6878

3,7014

3,7148

3,7283

3,7417

3,7550

3,7683

3,7815

3,7947

3,8079

3,8210

3,8341

3,8471

3,8601

3,8730

JO CO JO JO CO JO CO CO CO CO JO CO CO CO CO CO JO JO CO JO JO CO IO CO CO CO CO CO CO cojo CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO © oi tft OJ qj    OcD©§o'§o    'w oo'oo'cg'cg    CO CO "co CO "co "colo CO colo mIdVmh 1-i.l-tl-i.l-i.l-L

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8 oroSScS    8VZZUL SSggg    EggSS    3g£g£

78,540

80,119

81,713

83,323

84,949

86,590

88,247

89,920

91,609

93,313

95,033

96,769

98,520

100,287

102,070

103,869

105,683

107,513

109,359

111,220

113,097

114,990

116,899

118,823

120,763

122,718

124,690

126,677

128,680

130,698

132,732

134,782

136,848

138,929

141,026

143,139

145,267

147,411

149,571

151,747

153,938

156,145

158,368

160,606

162,860

165,130

167,415

169,717

172,034

174,366

176,715

15,0

15,1

15,2

15,3

15,4

15,5

15,6

15,7

15,8

15,9

16,0

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

16,6

16,7

16,8

16,9

17,0

17,1

17,2

17,3

17,4

17,5

17,6

17,7

17,8

17,9

18,0

18,1

18,2

18,3

18,4

18,5

18,6

18,7

18,8

18,9

19,0

19,1

19,2

19,3

19,4

19,5

19,6

19,7

19,8

19,9

20,0

n*

n³

225,00

228,01

231,04

234,09

237.16

240.25

243.36

246.49

249.64

252.81

256,00

259.21

262.44

265.69

268.96

272.25 275,56

278.89

282.24

285.61

289,00

292.41

295.84

299.29

302.76

306.25

309.76

313.29

316.84

320.41

324,00

327.61

331.24

334.89 , 338,56

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30—35

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3

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3,1107

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39,9

40,0

n²

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35—40

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3,4200

II

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n²

n³

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40—45

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n - Tz

ii²tc

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45,1

45,2

45,3

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45,9

46,0

46,1

46,2

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::

/n

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60—65

/n

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n²

n⁸

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n • zz

n²TU

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71A

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75,7

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n²

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75—80

3

Yn

n • TZ

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8,7864

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n³

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592 704,000 594 823,321 596 947,688 599 077,107 601 211,584

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80—85

yv

3

-j/n

n - iz

n²7c

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88,7

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n²

n³

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85—90

Yn

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9,2250

9,2304

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n²

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95,0    9025,00    857 375,000

Lauenstein, Festigkeitslehre. 10. Ausl.

90,0

90,1

90,2

90,3

90,4

90,5

90,6

90,7

90,8

90,9

91,0

91,1

91,2

91,3

91,4

91,5

91,6

91,7

91,8

91,9

92,0

92,1

92,2

92,3

92,4

92,5

92,6

92,7

92,8

92,9

93,0

93,1

93,2

93,3

93,4

93,5

93,6

93,7

93,8

93,9

94,0

94,1

94,2

94,3

94,4

94,5

94,6

94,7

94,8

94,9

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90—95

Ya

/n

n • tz

n²Tr

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9,4921

9,4974

9,5026

9,5079

9,5131

9,5184

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9,5289

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9,5394

9,5446

9,5499

9,5551

9,5603

9,5656

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9,5760

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290,91

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292,17

292,48

292,80

293,11

293,42

293.74 294,05

294.37 294,68 295,00

295.31 295,62

295.94 296,25

296.57

296.88 297,19

297.51 297,82

298.14

298,45

6361.73

6375.87 6390,03

6404.21

6418.40

6432,61

6446.83 6461,07

6475.33

6489.60

6503.88

6518.18 6532,50

6546.84

6561.18

6575,55

6589,93

6604.33

6618.74 6633,17

6647.61 6662,07

6676.54 6691,03

6705.54

6720,06

6734,60

6749.15    . 6763,72 6778,31

6792,91

6807.52

6822.16

6836.80 6851,47

6866.15

6880.84

6895.55 6910,28 6925,02

6939,78

6954.55

6969.34

6984.15 6998,97

7013.80 7028,65

7043.52

7058.40 7073,30

7088.22

n²

95,0    9025,00

9044,01

95.2    9063,04

95.3    9082,09

95.4    9101,16

95.5    9120,25

95.6    9139,36

95.7    9158,49

95.8    9177,64

95.9    9196,81

96,0    9216,00

9235,21

96.2    9254,44

96.3    9273,69

96.4    9292,96

96.5    9312,25

96.6    9331,56

96.7    9350,89

96.8    9370,24

96.9    9389,61

97,0    9409,00

9428,41 9447,84

97.3    9467,29

97.4    9486,76

97.5    9506,25

97.6    9525,76 9545,29

97.8    9564,84

97.9    9584,41

98,0    9604,00

9623,61

98.2    9643,24

98.3    9662,89

98.4    9682,56

98.5    9702,25

98.6    9721,96

98.7    9741,69

98.8    9761,44

98.9    9781,21

99,0    9801,00

99.1    9820,81

99.2    9840,64

99.3    9860,49

99.4    9880,36

99.5    9900,25

99.6    9920,16

99.7    9940,09

99.8    9960,04

99.9    9980,01

95,1

96,1

97.1

97.2

97,7

98,1

857 375,000 860 085,351 862 801,408 865523,177 868 250,664

870 983,875 873 722,816 • 876 467,493 879 217,912 881 974,079

884 736,000 887 503,681 890 277,128 893 056,347 895 841,344

898 632,125 901 428,696 904 231,063 907 039,232 909 853,209

912 673,000 915 498,611 918 330,048 921 167,317 924 010,424

926 859,375 929 714,176 932 574,833 935 441,352 938 313,739

941 192,000 944 076,141 946 966,168' 949 862,087 952 763,904

955 671,625 958 585,256 961 504,803 964 430,272 967 361,669

970 299,000 973 242,271 976 191,488 979 146,657 982 107,784

985 074,875 988 047,936 991 026,973 994 011,992 997 002,999

95—100

3

/n

II

n • Tz

O z£> ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD    ZD ZD ZD ZD ZD

8 Sig'gigS    Sisgfg'S    L88KK    g'jsgggg    ggggsSS    §sgsgfgf£    LLVKK    ÄÄÄrir!    gSä'sfö

O gogog    g&ggg    feg&gö    sfeg&g    fcgfegife    Stggg    8LZNL    £££§£$    ÄKsLZ

00 00

4,5629

4,5645

4,5661

4,5677

4,5693

4,5709

4,5725

4,5741

4,5757

4,5773

4,5789

4,5804

4,5820

4,5836

4,5852

4,5868

4,5884

4,5900

4,5915

4,5931

4,5947

4,5963

4,5979

4,5994

4,6010

4,6026

4,6042

4,6057

4,6073

4,6089

4,6104

4,6120

4,6136

4,6151

4,6167

4,6183

4,6198

4,6214

4,6229

4,6245

4,6261

4,6276

4,6292

4,6307

4,6323

4,6338

4,6354

4,6369

4,6385

4,6400

298.45 298,77 299,08

299.39 299,71

300,02

300,34

300.65

300.96 301,28

301.59 301,91

302.22 302,54

302.85

303.16 303,48 303,79 304,11 304,42

304,73

305,05

305,36

305,68

305,99

306,31

306,62

306,93

307,25

307,56

307,88

308,19

308,50

308,82

309,13

309.45 309,76 310,08

310.39 310,70

311,02

311,33

311.65

311.96 312,27

312.59 312,90

313.22 313,53

313.85

314.16

7088.22

7103.15 7118,09 7133,06 7148,03

7163,03

7178,04

7193,06

7208.10

7223.16

7238.23

7253.32 7268,42 7283,54 7298,67

7313,82

7328,99

7344.17

7359.37

7374.58

7389.81 7405,06

7420.32

7435.59 7450,88

7466,19

7481,51

7496,85

7512.21 7527,58

7542,96

7558.37 7573,78

7589.22 7604,66

7620.13

7635.61

7651.11

7666.62

7682.14

7697,69

7713,25

7728.82 7744,41 7760,02

7775,64

7791.28 7806,93

7822.60

7838.28

¹

Ableitung derselben siehe z. B. Schüler, Die Statik usw. S. 212.

²

Vergl. Aufg. 80 und 81.

³

Ableitung siehe: Saliger, Eisenbeton. 2. Auflage. S. 61.

⁴

Uber Abstand lt siehe auch S. 162—163.

⁵

Siehe: „Bestimmungen" (Beispiel 9).

⁶

Eine Berechnung auf Zerknicken würde nach den „Bestimmungen" nicht erforderlich sein, da die Höhe l < 18a < 540 cm ist. Nach Gl. (180) S. 179 würde sich ergeben:

102060 71-16

2. Tabelle der

Cluadrat- und Kubikwurzeln der Zahlen 100 bis 1000.

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

/n

10,0000

10,0499

10,0995

10,1489

10,1980

10,2470

10,2956

10,3441

10,3923

10,4403

10,4881

10,5357

10,5830

10,6301

10,6771

10,7238

10,7703

10,8167

10,8628

10,9087

10,9545

11,0000

11,0454

11,0905

11,1355

11,1803

11,2250

11,2694

11,3137

11,3578

11,4018

11,4455

11,4891

11,5326

11,5758

11,6190

11,6619

11,7047

11,7473

11,7898

11,8322

11,8743

11,9164

11,9583

12,0000

12,0416

12,0830

12,1244

12,1655

12,2066

100—200

4,6416

4,6570

4,6723

4,6875

4,7027

4,7177

4,7326

4,7475

4,7622

4,7769

4,7914

4,8059

4,8203

4,8346

4,8488

4,8629

4,8770

4,8910

4,9049

4,9187

4,9324

4,9461

4,9597

4,9732

4,9866

5,0000

5,0133

5,0265

5,0397

5,0528

5,0658

5,0788

5,0916

5,1045

5,1172

5,1299

5,1426

5,1551

5,1676

5,1801

5,1925

5,2048

5,2171

5,2293

5,2415

5,2536

5,2656

5,2776

5,2896

5,3015

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

ZLZZZ LZLZZ SSSSS SSSSg ZÄZZZ ZZLZ8Z ZÄZZZ ZZLZZ §

T-l 1—1 1—i 1—1 T—I T—1 1—1 1—1 1—1 rH 1—1 1—1 1—1 1—1 1—I tH 1—1 1—1 1—1 ^ 1—1 1—1 T-1 1—1 yH 1—1 T—1 1-H T—I T—I 1—1 1—1 1—1 1—I 1—1 T—1 1—1 1—I Oi

y*n

3

Yn

12,2474

12,2882

12,3288

12,3693

12,4097

12,4499

12,4900

12,5300

12,5698

12,6095

12,6491

12,6886

12,7279

12,7671

12,8062

12,8452

12,8841

12,9228

12,9615

13,0000

13,0384

13,0767

13,1149

13,1529

13,1909

13,2288

13,2665

13,3041

13,3417

13,3791

13,4164

13,4536

13,4907

13,5277

13,5647

13,6015

13,6382

13,6748

13,7113

13,7477

13,7840

13,8203

13,8564

13,8924

13,9284

13,9642

14,0000

14,0357

14,0712

14,1067

5,3133

5,3251

5,3368

5,3485

5,3601

5,3717

5,3832

5,3947

5,4061

5,4175

5,4288

5,4401

5,4514

5,4626

5,4737

5,4848

5,4959

5,5069

5,5178

5,5288

5,5397

5,5505

5,5613

5,5721

5,5828

5,5934

5,6041

5,6147

5,6252

5,6357

5,6462

5,6567

5,6671

5,6774

5,6877

5,6980

5,7083

5,7185

5,7287

5,7388

5,7489

5,7590

5,7690

5,7790

5,7890

5,7989

5,8088

5,8186

5,8285

5,8383

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

00 02

219

220

221

IC IC

224

11111111111111111111111111

/n

14,1421

14,1774

14,2127

14,2478

14,2829

14,3178

14,3527

14,3875

14,4222

14,4568

14,4914

14,5258

14,5602

14,4945

14,6287

14,6629

14,6969

14,7308

14,7648

14,7986

14,8324

14,8661

14,8997

14,9332

14,9666

15,0000

15,0333

15,0665

15,0997

15,1327

15,1658

15,1987

15,2315

15,2643

15,2971

15,3297

15,3623

15,3948

15,4272

15,4596

15,4919

15,5242

15,5563

15,5885

15,6205

15,6525

15,6844

15,7162

15,7480

15,7797

200—300

-j/n

-j/n

5,8480

5,8578

5,8675

5,8771

5,8868

5,8964

5,9059

5,9155

5,9250

5,9345

5,9439

5,9533

5,9627

5,9721

5,9814

5,9907

6,0000

6,0092

6,0185

6,0277

6,0368

6,0459

6,0550

6,0641

6,0732

6,0822

6,0912

6,1002

6,1091

6,1180

6,1269

6,1358

6,1446

6,1534

6,1622

6,1710

6,1797

6,1885

6,1972

6,2058

6,2145

6,2231

6,2317

6,2403

6,2488

6,2573

6,2658

6,2743

6,2828

6,2912

DO tO DO DOM    00 00 00 00 00 00 00 00 00 00    ^ ^ ^ ^ ^    DO DO DO    DO IO    KO DO KO DO KO    C2 C2 02 02 CS    DO DO DO DO    DO

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DO DO DO

Z£) zD ZD ZSD CD

CD 00 ^3 02 O*

03 CM

15,8114

15,8430

15,8745

15,9060

15,9374

15,9687

16,0000

16,0312

16,0624

16,0935

16,1245

16,1555

16,1864

16,2173

16,2481

16,2788

16,3095

16,3401

16,3707

16,4012

16,4317

16,4621

16,4924

16,5227

16,5529

16,5831

16,6132

16,6433

16,6733

16,7033

16,7332

16,7631

16,7929

16,8226

16,8523

16,8819

16,9115

16,9411

16,9706

17,0000

17,0294

17,0587

17,0880

17,1172

17,1464

17,1756

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Alfred Krörrer U er. lcrg in Leipzig

Die graphische Statik

Elementares Lehrbuch

für den Schul- und Selbstunterricht sowie zum Gebrauch in der Praxis

von

R. Eauenstein

Zehnte Auflage. Mit 287 Abbildungen.

Bearbeitet von p. Bastme.

Preis geheftet 5 M. 40 Pf. In Leinwand gebunden 6 Mark.

Die Festigkeitslehre

Elementares Lehrbuch

für den Schul- und Selbstunterricht sowie zum Gebrauch in der Praxis

von

R. Eauenstein

Zehnte Auflage. Mit 137 Abbildungen.

Bearbeitet von C. Hbrcns.

Preis geheftet 4 M. 40 Pf. In Leinwand gebunden 5 Mark.

Die Mechanik

Elementares Lehrbuch

für den Schul- und Selbstunterricht sowie zum Gebrauch in der Praxis

von

R. Eauenstein

Siebente Auflage. Mit 218 Abbildungen.

Bearbeitet von C. Hbrens.

Preis geheftet 4 M. 40 Pf. In Leinwand gebunden 5 Mark.

Die Eisenkonstruktionen des einfachen Hochbaues

Für den Schul- und Selbstunterricht sowie zum Gebrauch in der Praxis

von

R. Eauenstein

Erster Teil:

Das Eilen und feine Verbindungen.

Vierte Auflage. Mit 206 Abbildungen.

Bearbeitet von p. Bastine.

Preis geheftet 3 Mark. In Leinwand gebunden 3 M. 60 Pf. Zweiter Teil:

Hnwendung und Husf übrung der Konstruktionen.

Dritte Auflage. Mit 362 Abbildungen.

Preis geheftet 4 M. 40 Pf. In Leinwand gebunden 5 Mark.

Zn beziehen durch alle Buchhandlungen

Hlfred Kröner Verlag in Leipzig

Handbuch des Maschineniechmkers

Vrrno ullis Vademekum des Mechanikers.

Nachschlagebuch für Techniker, Gewerbetreibende und technische Lehranstalten.

Vierundzwsnzigsie Auflage.

Bearbeitet von R. Vaumann

Ingenieur, Privatdozent an der Technischen Hochschule in Stuttgart.

Mit Mhlveichrn -Abbildungen. Preis in Weinwsnd gebunden 6 Markt.

Das Buch gibt eine einfache und leicht faßliche Darstellung der wissenschaftlichen Grundlagen des Maschinenbaues und zeigt die Anwendung derselben bei der Ausführung von Konstruktionen. Durch die systematische Anordnung des Stoffes, die Ableitung der Formeln, die durch zahlreiche -- Beispiele unterstützten Erläuterungen eignet sich das Buch als Lehrbuch für den angehenden, ebenso wie als Nachschlagebuch für den in der Praxis stehenden Maschinentechniker.

In der neuen, vierundzwanzigsten Auflage haben die grundlegenden Abschnitte „Mathematik" und „Allgemeine Mechanik" eine durchgreifende Neubearbeitung erfahren. Die übrigen Teile des Buches sind entsprechend der fortschreitenden Entwicklung der Technik ergänzt und an vielen Stellen erweitert worden. Ein neu hinzugefügtes alphabetisches Sachregister erleichtert die Benutzung.

—•>- Zu beziehen durch alle Buchhandlungen. —

Hlfred Kröner Verlag tn Leipzig

Uhlands

Kalender für Mafchinen-Ingenieure

Begründet von

Wilhelm Heinrich Uhland

weil. Ingenieur und Patentanwalt in Leipzig.

Erscheint seit 1875 alljährlich tut Herbst mit gegen 1000 Abbildungen.

In zwei Teilen:

Erster Teil: Taschenbuch.

Zweiter Teil: Für den Konstruklionslisch.

Preis in Wrinenband 3 Mark, in Mrdevkand 4 Mark, in Wrirftafchenlederkan- 5 Mark.

Uhlands Kalender für Mafchinen-Ingenieure erfreut sich einer von Jahr zu Jahr wachsenden Beliebtheit und zunehmenden Verbreitung. Redaktion und Verlag sind unablässig bemüht, durch fortgesetzte Revision" und Neubearbeitung des Textes und Jllustrationsmaterials in jedem neu erscheinenden Jahrgang den neuesten Stand der maschinentechnischen Wissenschaften wiederzugeben. Auf diese Weise ist aus dem Kalender allmählich ein unentbehrliches Vademekum geworden, gleich wertvoll als Unterrichtsmittel wie zum Gebrauch in der Praxis.

—Zu beziehen durch die meisten Buchhandlungen. -«■—

KRAKOW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiei

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