WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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DIE

ELASTISCHEN BOGENTBAGER

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THEORIE UND BERECHNUNG

ENTSPRECHEND DEN BEDÜRFNISSEN DER PRAXIS

MIT BERÜCKSICHTIGUNG VON GEWÖLBEN UNI) BOGENFAOHWERKEN

VON

Dr. JAKOB J. WEYRAUCH

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN STUTTGART

ZWEITE VOLLSTÄNDIG NEU BEARBEITETE UND MIT ZAHLREICHEN BEISPIELEN

VERSEHENE AUFLAGE

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MÜNCHEN

THEODOR ACKERMANN

KÖNIGLICHER HOF-BUCH ! I ANGLER

1897.

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Vorwort.

I3ie Anwendung¹ von Boge nträgern hat in neuerer Zeit ausserordentlich zugenommen. Es rührt dies zum Theil daher, dass ästhetische Gesichtspunkte bei Ingenieurkonstruktionen überhaupt mehr Berücksichtigung finden. Sodann ist infolge der mannigfaltigeren Bedürfnisse eine Manigfaltigkeit der Anordnungen entstanden, durch welche der Bogen, sei es allein, sei es in Verbindung mit dem Balken, sehr verschiedenen Verhältnissen angepasst werden kann. Man braucht in dieser Beziehung nur an die Dour ob rücken und ihre zahlreichen Nachahmungen, an neuere Brückenkonkurrenzen und an bedeutendere Bahnhofshallen zu erinnern. Dass der Materialverbrauch für Bogen im Allgemeinen geringer als für Balken ist, hat ebenfalls mehr und mehr Beachtung gefunden.

Die Nothwendigkeit, sich mit der Theorie elastischer Bogenträger zu befassen, tritt also heute an viele Ingenieure heran. Schon die üblichen Belastungsproben mit Berechnung von Einsenkungen setzen eine gewisse Kenntniss derselben voraus. Die Ausbildung der Ge wölbe und ihre Verwendung bis zu immer grösseren Spannweiten drängen auf deren Berechnung als elastische Bogenträger, nachdem auch die verdienstvollen Versuche des Oesterreichischen Ingenieur- und Architektenvereins (S. 129) zu dem Schlüsse geführt haben, dass die erprobten Gewölbe sich im Allgemeinen wie elastische Bogenträger verhielten, und es daher zutreffend sein werde, Gewölbe mit ähnlicher Gestalt und gleicher Ausführung wie die Versuchsgewölbe als elastische Bogenträger zu berechnen.

Die vorliegende zweite Auflage meiner elastischen Bogen träger dürfte demnach zu gelegener Zeit erscheinen. Allerdings musste das Werk eine vollständige Neubearbeitung erfahren, da es in der ersten Auflage von 1S79 zunächst nur auf die Durchführung einer genügend vollständigen Theorie ankam. Von Weiterbildungen derselben in dieser Ausgabe sei hier nur auf die genaueren Formeln für den Horizontalschub und die Endmomente, die Berücksichtigung von Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten, von Bogen mit Zugstange und kon-tinuirlichen Bogen,die Formeln für die Einsenkungen, die Beziehungen für künstliche Ueberhöhung der Bogen und die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur hingewiesen (erstmals ausgeführt bei der

Cannstatter Neckarbrücke 1893, vergl. S. 290). Durch mühsame Kontroll-rechnungen ist die Zulässigkeit vereinfachender Annahmen geprüft, wobei sich mitunter wesentliche Abweichungen gegen bisherige Meinungen ergaben (§ 36).

Der Verfasser war bestrebt, durch geeignete Beispiele aus der Praxis die wichtigsten Berechnungen soweit zu zeigen, dass man auch ohne Verfolgung der allgemeinen Entwicklungen in ähnlichen Fällen danach Vorgehen kann. Es genügt meist, den einschlagenden Paragraphen des II. Abschnittes vorzunehmen, wo die häutigst gebrauchten Formeln nothwendige Verweisungen und für die Hauptfälle eine Anzahl Beispiele gegeben sind, während im Uebrigen das vollständige Inhaltsverzeichnis und die am Schlüsse des Werkes angefügten Wort- und Buchstabenregister (in mancher Hinsicht auch § 36) die Orientirung erleichtern können. Wenn für einzelne der berücksichtigten Konstruktionen überhaupt keine Beispiele aufgenommen wurden, so handelt es sich um Berechnungsmethoden, welche nicht speziell elastische Bogenträger betreffen und demgemäss anderwärts ausführliche Behandlung linden, oder um Bogen, für welche schon die gegebenen Beispiele ausreichen (Bogen mit Zugstange) oder schliesslich um Bogenarten, welche zunächst höchstens von solchen Ingenieuren angewandt werden, die keiner Beispiele mehr bedürfen (statisch unbestimmte kontinuirliche Bogen). Hier durfte also die Rücksicht auf den Umfang des Buches massgebend bleiben. Andrerseits ist den Wiener Bogenversuchen angesichts der bleibenden Bedeutung derselben besondere Aufmerksamkeit zugewandt worden (§§ 5, 19, Beispiele 33—37, 43, 44, auch 1, 27—29, Hauptresultate der Berechnung für ein Gewölbe in den Tabellen S. 151, 154, 156).

Auf die mathematischen Ableitungen mit Begründung von Vereinfachungen des III. Abschnitts einzugehen, mag bis zum Eintritt des Bedürfnisses verschoben werden. Eine Durchsicht des IV. Abschnitts

Den Studirenden ist zu empfehlen, in erster Linie die zwei ersten Abschnitte und den Anfangsparagraphen des JII. Abschnitts nebst möglichst viel Beispielen zu verfolgen. Beziehungen, welche selten oder nur unter gewissen Voraussetzungen nüthig werden, sind vielfach in Form von Aufgaben vorgeführt, die alsdann auch Gelegenheit zur Selbstthätigkeit bieten.

(Berechnung der Cannstatter Neckarbrücke) kann ausser weiteren Beispielen vorläufigen Einblick gewähren, wie umfassend und vielgestaltig die für praktische Zwecke erforderlichen Berechnungen unter Umständen ausfallen können. Daneben ist das Augenmerk auf die Reihenfolge der Ermittelungen und die Anordnung der Resultate zu richten, da je nach deren Wahl zahlreiche Fehler vermieden, bereits entstandene erkannt und der Zeitaufwand für die Berechnung bedeutend herabgesetzt werden können.

Schliesslich ersuche ich den Leser, vor der Benützung des Buches die am Schlüsse desselben angeführten Fehler berichtigen zu wollen.

Bei Beachtung der erwähnten Gesichtspunkte darf ich hoffen, dass das Gebotene sich möglichst vielseitig nützlich erweisen und auf einem schwierigen Gebiete praktischer Berechnungen die erwünschte weitere Klärung und Erleichterung schaffen werde.

Stuttgart, im Dezember 1896.

Der Verfasser.

Einleitung .

I nhalts verzeichniss.

Seite

I. Abfsołinitt.

Al 1 gemeine Beziehungen.

VA

VA

IO

VAVAVAVA CC' O' 4- CC

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ZA

Vorbemerkungen.............. .    .

Schnittkräfte. Schnittmomente...........

Aufgabe 1. Schnittkräfte und Schnittmomente bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte..........

Schnittlinie und Umhüllungslinie der Kämpferdrücke .    .    .    .

Aufgabe 2. Kämpferdrucklinie des Halbkreisbogens mit zwei Gelenken Beispiel 1. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Axforrn und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)

Biegungsformeln....... ........

Bemerkungen zu den Biegungsformeln .........

Wiener Versuche mit einem eisernen Bogen......

Krümmungsmoment und Trägheitsmoment. Vereinfachungen.

Biegungsarbeit.................

Aufgabe 3 mit Beispiel 2. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des Rechtecks.............

Aufgabe 4 mit Beispiel 3. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment der Rllipse..............

Aufgabe 5 mit Beispiel 4. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment von Figurendifferenzen (I-querschnitt u. s. w.)

Kleine Formänderungen. Naviersche Biegungsgleichung

Normalspannungen. Stützlinie. Kernlinien.......

Beispiel 5. Prüfung der vereinfachten Formel für die Normalspannungen (Cannstatter Neckarbrücke)........

Beispiel 6. Normalspannungen bei gleichmässig vertheilter Last

(Cannstatter Nekarbrücke)............

Aufgabe 6 mit Beispiel 7. Normalspannungen durch einen beliebigen Horizontalschub allein (Cannstatter Neckarbrücke) .

Längsschubspannungen und Querschubspannungen.....

Beispiel 8. Längsschubsspannungen und Querschubspannnngen (Cannstatter Neckarbrücke).............

LO LO

U— GO ■’“i

OC CC CC IO

to to to    to    to    LO

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CC CC CC 'CC CC

IO

Beispiel 11. Berechnung von Grenzwerthen mit Hülfe von Influenzlinien (Cannstatter Neckarbrücke).........

Beispiel 12. Verwendung gleiehmässig vertbeilter und koncenti irtor Eigengewichte (Cannstatter Neckarbrücke).....

§ 13. Berechnung der Gelenke § 14. Spezielle Belastungsarten

Allgemeines.....

Gleiehmässig vertheilte Last auf der ganzen Spannweite /    .    54

Verschiedene gleiehmässig vertheilte Lasten auf der ersten und zweiten Hälfte von /

37

. 38

38

39

39

39

40

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45

48

.    . 50

51

53

. 53

. 55

IX« ADsolin itt.

Besoi idere Boo-eiîarteii.

Vorbemerkungen......

§ 15. Einfache Bogen mit drei Gelenken

Allgemeines.......

Verschiedene Formen .... Verschiedene Belastungen .    .    .

Kämpferdrucklinie. Kernlinien . Grenzwerthe bei bewegter Last . Formänderungen......

ex et cc ~ c o« O'

OO ---- C 7. 7. GC

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Beispiel 13. Berechnung eines Bogens (Gewölbes) mit drei Gelenken

(r ruthbrücke bei Jaremcze) ...........

Beispiel 14. Einsenkungen eines Gewölbes mit drei Gelenken

(Donau-Brücke bei Munderkingen).........

Aufgabe 7. Ueber schätzungsweise Berechnungen von Eiusenkungen

Beispiel 15. Berechnung von Bogenlängen.......

Aufgabe 3. Stützenreakionen von Dreigelenkbogen bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte Ferner Beispiel 9 und Aufgabe 16.

16. Einfache Bogen mit zwei Gelenken

Allgemeines......... .

Verschiedene Formen.......

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CO

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Verschiedene Belastungen .    .

Kämpferdrucklinie. Kernlinien

^ Ol CC X

Grenzwerthe bei bewegter Last...........

Formänderungen................

Beispiel 16. Horizontalschuh eines parabolischen Bogens (Coblenzer

Brücke) ..................

Beispiel 17. Einfluss von Temperaturänderungen (Coblenzer Brücke) 87 Beispiel 18. Ausweichen eines Widerlagers oder Pfeilers (Coblenzer

Brücke).................

Beispiel 19. Influenzlinien und Grenzwerthe parabolischer Bogen

(Coblenzer Brücke)..............

Boispiel 20. Einsenkungen parabolischer Bogen (Coblenzer Brücke) 90 Aufgabe 9 mit Beispiel 21. Künstlicher Horizontalschub (Coblenzer

Brücke) ..................

Aufgabe 10 mit Beispiel 22. Reduktion der Normaltemperatur parabolischer Bogen aid' die mittlere Ortstemperatur (Coblenzer Brücke) 92 Beispiel 28. Horizontalschub eines Bogens mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal)

Beispiel 24. Kämpferdrucklinie eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal) .    ,    96

Beispiel 25. Einsenkungen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal)

Aufgabe 11 mit Beispiel 26. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur bei Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal)

Ferner Beispiele 5—8, 10 — 12, 81, 32, 38—42. Aufgaben 2, 7, 12—14 IV. Abschitt.

GC GC

86

88

89

90

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.    . 97

98

$ 17. Einfache Bogen ohne Gelenke..........

Allgemeines.................

Verschiedene Formen.............

Verschiedene Belastungen............

Kämpferdrucklinie. Umhüllungslinien. Kernlinien .    .    .

Grenzwerthe bei bewegter Last..........

Formänderungen...............

Beispiel 27. Stützenreaktionen eines parabolischen Bogens (auch

Gewölbes) ohne Gelenke..........

Beispiel 28. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines parabolischen Bogens (auch Gewölbes) ohne Gelenke H3 Beispiel 29. Einsenkungen eines parabolischen Bogens (auch Gewölbes) ohne Gelenke.............H3

Beispiel 30. Berechnung eines parabolischen Bogens (Gewölbes)

ohne Gelenke (Prutlibrücke bei Jaremcze).......H4

Beispiel 31. Einfluss von Temperaturänderungen (Coblenzer Brücke) 121 Beispiel 32. Einsenkungen parabolischer Bogen (Coblenzer Brücke) 122 Aufgabe 12. Stützlinie für Temperaturänderungen bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenke ....

Ferner Beispiele 1, 33—37, 43, 44, Aufgaben 1. 7.

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100

102

104

105

106

.    . 107

. . 123

§ 18. Gewölbe

124

Hierzu die Beispiele 1, 13, 14, 27-30, 33--37, 43, 44.

§ 19. Wiener Versuche mit Gewölben ..........

Beispiel 33. Stützenreaktionen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)

129

Beispiel 34. Beanspruchungen eines Bogens ohne Gelenke (Wiener

Bruchstein-Y ersuchsgewölbe)...........

Beispiel 35. Beanspruchungen bei Versuchen mit einem Bogen ohne

Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)......

Beispiel 36. Stützlinie eines Bogens (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe) ................

Beispiel 37. Aenderungen der Temperatur und der Spannweite eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)

§ 20. Bogen mit Zugstange.............

Allgemeines über Zweigelenkbogen mit Zugstange .... 157

159 159

144

149

153

. 154 . 157

Verschiedene Belastungen .    .

Formänderungen.....

Dreigelenkbogen mit Zugstange

IGO

Hiezu Aufgabe 15.

§21. Kontinuirliche Bogen

Allgemeines.....

Verschiedene Belastungen Stützenreaktionen .    .

161

161

164

165

165

Formänderungen...............

Gleiche Oeffnungen..............

§ 22. Bogenfachwerke...............

Allgemeines über Bogenfachwerke mit zwei Gelenken .    .

Ungünstigste Belastungen .............

Bogenfachwerke ohne Gelenke. Kontinuirliche Bogenfachwerke 175

175

166

. 167 . 167

172

Formänderungen.......

§ 23. Bogenfachwerke mit Horizontalgurt

Allgemeines.........

§ 24. Weiteres zur Berechnung von Bogen

Blechbogen.........

Fach werkbogen    . .....

175

175

177

178

. . 180

183

183

184

184

185

§ 25. Ketten

187

III. A1)soIinitt.

Ableitung statisch unbestimmter Grössen.

Vorbemerkungen...............

§ 26. Kleine Formänderungen im Allgemeinen.......

Allgemeines.................

Oeffnungen mit zwei Gelenken..........

Oeflnungen ohne Gelenke............

Oeffnungen mit drei Gelenken ...........

§ 27. Horizontalschub des symmetrischen Parabelbogens mit zwei Gelenken.................

190

190

190

192

193

194

§ 28. Bemerkungen zu den Formeln des $ 27

198

Aufgabe 13. Horizontalschub von Kreisbogen mit zwei Gelenken 200 Beispiel 38. Horizontalschub von Kreisbogen mit zwei Gelenken (Coblenzer Brücke)

Aufgabe 14. Horizontalschub des Halbkreisbogens mit Kämpfer-gelenken .................

§ 29. Horizontalschub und Endmomente des symmetrischen Parabel-

bogens ohne Gelenke.............

§ 30. Formänderungen symmetrischer Parabelbogen......

Allgemeines..................

Oeffnungen mit zwei Gelenken...........

Oeffnungen ohne Gelenke .

Oeffnungen mit drei Gelenken

£ 31. Horizontalschub von Zweigelenkbogen mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten.......

§ 32. Symmetrische Zweigelenkbogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten..............

. 201

202

. 204

207

207

209

209

. 210

211

214

Beispiel 39. Horizontalschub eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke

in Portugal)................

Beispiel 40. Zur Anwendung der Formeln für den Horizontalschub von Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobrücke in Portugal) 220 Aufgabe 15. Bogen mit Zugstange mit halbkreisförmiger sowie beliebiger symmetrischer Axe

§ 33. Formänderungen von Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen

Beispiel 41. Genauere Berechnung der Einsenkungen (vergl. Beisp. 25) eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal) . 228 Beispiel 42. Zur Anwendung der Formeln für die Einsenkungen von Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobrücke in Portugal) 231 Aufgabe 16. Einsenkungen beliebiger symmetrischer Bogen mit drei Gelenken................

§ 34. Horizontalschub und Endmomente des Bogens ohne Gelenke

mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten 233

Allgemeines.......

Verschiedene Belastungen . . .

Temperaturänderungen .    .    .

Bewegungen der Kämpfer .    .

§ 35. Genauere Formeln zur Berechnung des Horizontalschubs und der Endmomente des Bogens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten ....

Allgemeines..................

Verschiedene Belastungen............ .

Temperaturänderungen..............

Bewegungen der Kämpfer.............

218

. 222

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LO tO tO

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Beispiel 43. Genauere Berechnung (vergl. Beispiel 33) der Stützenreaktionen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe) .... 244 Beispiel 44. Einsenkungen eines Bogen ohne Gelenke mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versucns-gewölbe)........ .    .......25

t-m CO

§ 36.

Einige Ergebnisse der berechneten Beispiele......25

IV. Absolmitt.

Berechnung der König-Karls-Brücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt.

Vorbemerkungen................

A.    Vorläufige Berechnung..............

B.    Querschnittsverhältnisse. Horizontalschub........

C.    Belastungsverhältnisse..............

D.    Momente und Normalkräfte durch das Eigengewicht allein

E.    Künstlicher Horizontalschub............

F.    Ungünstigste Belastungen. Kämpferdrucklinie. Kernlinien .... 273

G.    Erste Grenzwerthe der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein 274

H.    Normalspannungen bei Vollbelastung und zweite Grenzwerthe der Nor

malspannungen durch die Verkehrslast allein........

J.    Resultirende Normalspannungen. Einfluss von Aenderungen der Tempe

ratur und der Spannweite..............

K.    Bemerkungen zu den resultirenden Normalspannungen. Belastung durch

die Strassenwalze. Knickwirkung. Winddruck........

L.    Kämpferdrücke. Auflager .    ............

M.    Einsenkungen...................

N.    Reduktion der Normaltemperatur auf die Stuttgarter mittlere Temperatur.

Ueberhöhung der Bogen...............

O.    Vertikalen der innern Bogen..............

P.    Vertikalen der Stirnbogen...............

Q.    Weitere Berechnungen................

ro rc rc

267

.    . 270

272

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279

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290

293

297

301

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Buchstabenbezeichnung'en Wortverzeichniss .    .

Einleitung.

Als materielles System bezeichnet man die Gesammtheit beliebiger verbundener oder getrennter Theile der Materie als Ganzes der Betrachtung unterworfen werden. Zwischen den Theilen des Systems unter sich können Kräfte wirken, sie heissen innere Kräfte; es können aber auch Kräfte zwischen Theilen des Systems und nicht zum letzteren gehörigen Ausgangspunkten wirken, diese werden äussere Kräfte genannt. Alle bei Untersuchung eines materiellen Systems auftretenden Kräfte sind also entweder innere Kräfte oder äussere Kräfte.

Jeder Theil s eines materiellen Systems S lässt sich als neues System betrachten, in welchem Falle alle Kräfte, welche von dem Reste S—s des ursprünglichen Systems auf das Theilsystem s wirken, in Bezug auf dieses äussere Kräfte darstellen, während sie in Hinsicht S innere Kräfte waren. In Fig. 1 sind für das ganze System S die im Schnitte angedeuteten Kräfte innere Kräfte (sie wirken zwischen Theilen des Systems), alle übrigen äussere Kräfte. Für das Theilsystem s sind die durchkreuzten und für das

welche

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Fig. 1.

Theilsystem^— s die niclit-durchkreuzten Kräfte als äussere Kräfte anzusehen.

Ist ein materielles System in sich und hinsichtlich seiner Umgebung in Ruhe, so müssen die in jedem Systempunkte angreifenden äusseren und inneren Kräfte (Fig. 2) im Gleichgewichte sein, und in jedem beliebig geformten Schnitte durch das System irgend welchen von einer Seite her angreifenden Kräften von der andern Seite her genau gleich grosse Kräfte von entgegengesetzter Richtung widerstehen (Fig. 1). Zu voller Bestimmtheit der Schnittkräfte ist also stets anzugeben, von welcher Seite des Schnittes her dieselben wirken, auf welche der beiden im Schnitte

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Fig. 2.

zusammenhängenden Flächen sie bezogen sind. Sodann müssen im Falle der Ruhe die am ganzen Systeme oder irgend einem Theilsysteme angreifenden äusseren Kräfte für sich im Gleichgewichte sein. Dies folgt

Weyrauch, Elastische Bogentriiger.

daraus, dass beim Ansätze der Bedingungsgleichungen für alle äusseren u n d inneren Kräfte des fraglichen Systems die inneren Kräfte wegen doppelten Auftretens in entgegengesetzten Richtungen (Fig. 1) ausfallen.

Ein Träger ist ein materielles System, welches zur Uebertragung von Lasten und anderen äusseren Kräften auf ausserhalb desselben gelegene Stützen dient. Unter dem Einflüsse jener zunächst angreifenden Kräfte (Aktivkräfte) und andrer Ursachen (Wärme) entstehen bei allen Trägern innere Kräfte und als weitere äussere Kräfte Stützenreaktionen. Die inneren Kräfte wirken auf gegenseitige Verschiebung der System-punkte und in beliebigen Schnitten zusammenhängenden Flächenelemente hin. Die Beanspruchungen per Quadrateinheit hierbei werden Spannungen genannt. Da man sich jede auf ein Flächenelement oder eine ebene Fläche wirkende Kraft in eine Normalkraft (normal der Fläche) und eine Tangentialkraft (tangential der Fläche) zerlegt denken kann

(Fig. 3), so pflegt auch von Normalspannungen und Tangentialspannungen die Rede zu sein. Die Normalkräfte suchen die

im Schnitte zusammenhängenden Flächen auseinander zu reissen oder gegen einander zu drücken, und werden deshalb in Zugkräfte und Druckkräfte unterschieden; die Tangentialkräfte streben die erwähnten Flächen längs einander zu verschieben und werden daher auch Schubkräfte genannt. Per

N,

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Pig. 3.

Flächeneinheit haben wir Zugspannungen, Druckspannungen und Schubspannungen.

Ein ebener Träger ist dadurch charakterisirt, dass alle äusseren Kräfte und die mit ihnen ins Gleichgewicht tretenden Resultanten der inneren Kräfte (z. B. die Stabkräfte eines Fachwerkes) beständig in der gleichen Ebene wirken. Alle Untersuchungen lassen sich dann aut diese Trägerebene beschränken, welche bei Auftreten von Lasten unter den äusseren Kräften, also z. B. schon bei Berücksichtigung des Eigengewichtes, nur eine Vertikalebene sein kann. In diesem Falle heissen die Horizontalabstände zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Stützpunkten Spannweiten oder Oeffnungen, die Zwischenstützen Pfeiler, die Endstützen Widerlager. Der Träger ist ein einfacher Träger oder ein kontinuirlicher Träger, je nachdem er sich ununterbrochen nur über eine oder aber über 2 bis öo viele Oeflnungen erstreckt.

Balk en träger oder kurz Balken nennt man solche ebene Träger, bei welchen durch Lasten und andere vertikale Aktivkräfte nur vertikale Stützenreaktionen entstehen; bei Bogen trägem oder Bogen kommen im gleichen Falle auch horizontale Stützenreaktionen hinzu. Einfache Balken und einfache Bogen haben nur eine Oeffnung, kontinuirliche Balken und kontinuirliche Bogen erstrecken sich ohne Unterbrechung über zwei und mehr Oeffnungen. Die Endauflager eines Bogens heissen Kämpfer und ihre Reaktionen Kämpferreaktionen. Diese Gegendrücke der Kämpfer sind von gleicher Grösse aber entgegengesetzter Richtung wie die Drücke des Bogens auf die Kämpfer (Kämpferdrücke). Je nachdem die Horizontalkomponenten der Kämpfer-

hat man es mit einem Sprengbogen oder mit einem H ä n g e b o g e n zu thun.

reaktionen bei Einwirkung- von Lasten nach innen oder nach aussen wirken (Fig. 4 u. 5), je nachdem sie die Bogenenden zu nähern oder zu entfernen suchen

Vielfach werden an den Bogenenden Gelenke angeordnet, sodass dieselben, abgesehen von der Reibung, frei drehbar sind. Man bezweckt durch

Fig. 4 u. 5.

solche Kämpf er ge lenke, die Kämpferdrücke an möglichst unveränderlichen Stellen auf die Kämpfer zu übertragen, die Berechnung dadurch einfacher und zuverlässiger zu gestalten, sowie günstigere Beanspruchungen zu erreichen.

Mitunter werden im Interesse jener Zuverlässigkeit und zur Fernhaltung gewisser zusätzlicher Beanspruchungen (durch Temperaturänderungen und kleine Aenderungen der Spannweite) auch Gelenke in den Oeffnungsmitten eingeschaltet (Zwischengelenke, Scheite Igel enke). Wir haben also einfache Bogen ohne Gelenke, mit zwei Gelenken und mit drei Gelenken zu unterscheiden. Die vollkommene Kette ist als ein Bogen mit stetig aufeinander folgenden Gelenken aufzufassen, wonach die Gleichungen beliebiger Kettenlinien aus dem allgemeinen Formeln für stabförmige Bogen erhalten werden können.

Als elastisphe Bogenträger pflegt man solche Bogenträger zu bezeichnen, deren Stützenreaktionen oder deren innere Kräfte mittelst der technischen Biegungstheorie, welche einen Theil der Elasti-citätslehre bildet, abgeleitet werden. Es gehören hierher in erster Linie die stabförmigen Sprengbogen, doch hat man bisher meist auch die Stützenreaktionen von Fachwerkbogen und Gitterbogen mit ausgesprochener Axe bis zu den Stützpunkten auf Grund der Formeln für elastische Bogenträger berechnet. Andere Fälle von Bogenfachwerken werden wir ebenfalls berücksichtigen.

I. Abschnitt.

Allgemeine Beziehungen.

6.

Die in diesem Abschnitte abzuleitenden Formeln betreffen beliebige stabförmige Bogenträger, deren Axe immer in einer vertikalen Ebene, der Träger ebene, bleibt, während diese zugleich Symmetrieebene des Bogens ist. Als St ab axe ist dabei diejenige Linie bezeichnet, welche im spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur die Schwerpunkte aller senkrecht zu ihr gedachten ebenen Schitte durch den Bogen, d. h. aller Querschnitte, enthält. Die Trägerebene wird auch Bogenebene oder, weil die Biegungen der Bogenaxe ip ihr erfolgen, Biegungsebene genannt. Eine Faserschicht durch die Axe senkrecht zur Biegungsebene heisst AxSchicht. Als Trägerlänge oder Bogenlänge s zwischen zwei Querschnitten gilt die Axlänge zwischen denselben (Fig. 6). Die Formänderungen werden so klein vorausgesetzt, dass die Aeuderungen der Stab-abmessungen gegen deren anfängliche, dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Werthe vernachlässigt werden dürfen.

§ 1. Schnittkräfte. Schnittinomente.

Wir betrachten einen Stababschnitt zwischen zwei aufeinander folgenden Stützpunkten, welcher bei einfachen Bogen den ganzen Stab darstellt. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit horizontaler x-Axe und vertikaler y-Axe sei in der Trägerebene in fester Lage gegen die dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Grup-pirung der Stabpunkte angenommen. Ursprung der Koordinaten im Ax-punkte des einen Endquerschnittes; die Querschnitte werden nach den anfänglichen Abscissen x ihrer Axpunkte bezeichnet. Für den Axpunkt des zweiten Endquerschnittes seien x — l, y = k; I heisst die S p a n n -weite. Bei gleicher Höhenlage der Endquerschnitte, also insbesondere in dem gewöhnlichen Falle, dass der Träger zur Vertikalen durch die Mitte der Spannweite symmetrisch angeordnet ist, wäre k = 0. cp bezeichne den Winkel der Stabaxe bei x mit der positiven Richtung der x-Axe.

Der Stab werde in der Trägerebene beliebig belastet und durch Wärme beeinflusst. Der Gesamintbelastung wird nur durch die Gegendrücke R, R‘ der Stützen und etwa angrenzender Stababschnitte (kon-tinuirliche Bogen) das Gleichgewicht gehalten (Fig. 7). Wir wollen der Kürze halber R, R‘ hier allgemein als Kämpferreaktionen be-

zeichnen, die Hori-zontalreaktion eines Kämpfers heisst der Horizontalschub daselbst. Lage,Grösse und Richtung    der

Stabaxg

----

Hx

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Kämpferreaktionen R' sind zunächst unbe-v    kannt. Denkt    man

Fig. 7.

sich jedoch im Schwerpunkt des Querschnittes 0 parallel    der

Kämpferreaktion if deren Grösse zweimal, in entgegengesetzten Richtungen, angetragen, wodurch am Gleichgewichte nichts geändert wird, so erkennt man, dass sich R immer ersetzen lässt durch eine im Axpunkte 0 angreifende Horizontalkraft H, eine ebendaselbst angreifende Vertikalkraft V, und ein Moment M (durchkreuztes Kräftepaar in Fig. 7) in Hinsicht des Axpunktes 0. Ebenso lässt sich die Kämpferreaktion R‘ ersetzen durch eine im Axpunkte l angreifende Horizontalkraft H¹, einer ebendaselbst angreifenden Vertikalkraft V und ein Moment—M‘ in Hinsicht des Axpunktes /.

H'

k"

Fig. 8.

Zwischen den Querschnitten 0 und x mögen bei Abscissen«!,^,... beliebige LastenP₁P₂,-. • auf den Träger kommen (Fig. 8), wobei die P und Differenzen der a auch unendlich klein sein dürfen (stetig vertheilte Lasten). Die resultirende Kraft, mit welcher der Trägertheil links des Querschnittes x auf den Trägertheil rechts von x wirkt, sei Rx. Dieselbe kann man in eine Normal kraft iVx (normal dem anfänglichen Querschnitt bei x) und eine Transversalkraft Tx (transversal der anfängliche Axe

r'-'

ML

Fig. 9.

bei x) oder auch in eine Horizontalkraft Hx und eine Vertikalkraft Vx zerlegen. Die Formänderungen werden so klein vorausgesetzt, dass JVX, Tx auch nach denselben als normal dem Querschnitt und der Axe gelten können (§ 7). Denken wir uns parallel der resul-tirenden Schnittkraft Rx deren Grösse zweimal entgegengesetzt im Axpunkte x angetragen (Fig. 8, 9), so lässt sich Rx ersetzen durch ein Moment Mx in Hinsicht des Axpunktes und zwei in letzterem angreifende Kräfte Hx, Vx oder Nx. Tx, wobei die längs der Axe wirkende Kraft

Nx auch Axialkraft genannt wird. Die positiven Richtungen von x, y, cp, H, iP, V, F', Mx, Hx, Fx, Nx, Tx sind in Fig. 7 angedeutet, die von der Fläche rechts von x her wirkenden Kräfte sind von gleichen Grössen, aber entgegengesetzten Richtungen wie die angeführten Schnittkräfte, sodass z. B. für x — l, Vx — — V, Hx = H¹, Mx — M‘.

Da Hx gleich der Summe aller äusseren Horizontalkräfte, Vx gleich der Summe aller äusseren Vertikalkräfte und Mx gleich der Summe der Momente aller äusseren Kräfte des Trägers links vom Schnitte x in Hinsicht des Axpunktes x, so ergeben sich folgende Gleichungen:

1)

Hx — H,

2)

Fx = F-SP,

o

3)

Mx = M 4~ Vx — Hy — SP (x—a).

o

Nach 1) ist die resultirende Horizontalkraft für alle Querschnitte eines beliebig belasteten Bogenträgers von gleichem Werth, nämlich gleich dem Horizontalschub H. Man hat also auch Hx — H = H. Gleichung 3) lautet für x — l :

M‘ = M+ VI— Hk —SP (l—a),

woraus die Vertikalreaktion bei 0:

[m — M + Hk -f SP(Z— a)J = V₀.

Substituirt man diesen Werth in 2), so folgt mit x — l wegen F, = — V die Vertikalreaktion bei l:

V—

4)

[m

— M‘— Hk -f SPaJ == —

Die Addition der beiden letzten Gleichungen liefert :

V-\-V‘ — SP= V₀— V\

o

wonach die Summe der Vertikalreaktionen gegen einen Bogenabschnitt gleich der Belastungen ist desselben ist. Mit 4) folgen aus 2), 3) :

^M‘ — M+Hk—kPa+VP(l—a) ]

— (y-jx) -ff 8)

Durch Zerlegen von Fx und Hx — H in Komponenten parallel und senkrecht der Stabaxe (Fig. 9) erhält man:

JVX — Vx sin cp 4- H cos cp,

Tx = Fx cos cp — H sin <?.

Für den Richtungswinkel der resultirenden Schnittkraft mit der positiven Richtung der x-Axe hat man:

F'=-4

Vy.

5)

6)

7)

Mx

9)

10)

tg<!* =

und ihren Absolutwerth bestimmt :

Fx

H,

11)

12)

R* = v -ff²+v/ = V^²+T‘.

Denken wir uns vom Schnitte x um die üxlänge ds entfernt vor dem folgenden P einen zweiten Querschnitt x-\- dx geführt, so ver-

w.

Jx

Fig. 10.

langt das Gleichgewicht (Fig. 10) :

Mx -}- Txds = Mx -|- dMx,

woraus

dMx

ds

T

x?

13)

und wegen dx = ds cos cp mit Rücksicht auf Gleichung 10):

dMx Tr TT,

-^ = vx-mg,,

14)

wonach für mathematische Maxima und Minima von Mx :

Fx = iTtgcp,

es wirkt an den betreffenden Stellen Px normal dem Querschnitt.

In 2) bis 8) bedeuten die Grenzen der Summen 2 Querschnitte, nicht Abscissen von Axpunkten, zwischen welchen die Lasten P auf den Träger kommen; nur bei Vertikalschnitten ist es gleichgültig, ob man die Querschnitte oder Abscissen darunter versteht. In letzterem Falle ergibt sich 14) und sodann 13) auch aus 3) durch unmittelbare Differentiation. Ueber spezielle Ausdrücke der Summenwerthe 2 für gleichmässig vertheilte Lasten siehe § 14. Alle abgeleiteten Gleichungen gelten auch für Balken, in welchem Falle darin H— 0 zu setzen ist.

Aufgabe 1. Schnittkräfte und Schnittmomente bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte.

Die in § 1 ausgedrückten Grössen für den Fall abzuleiten, dass nicht nur Lasten (vertikale Aktivkräfte), sondern beliebig gerichtete äussere Aktivkäfte in der Trägerebene am Träger wirken.

Die äusseren Aktivkräfte Rv P2j . . ., deren wirklichen, nicht nothwendig in der Bogenaxe liegenden Angriffspunkten die Abscissen av av . . . und Ordinaten b r b₂, ... entsprechen, mögen Vertikalkomponenten Pv P₂, ... und Horizontalkomponenten Qv Q₂, . . .

Positive Rieh-

erzeugen, tungen derselben denjenigen der Reaktionen V, H entgegengesetzt (Fig. 11). Ganz wie in § 1 ergeben sich die Horizontalk

M'

raft,

Vertikalkraft uud das Moment in einen beliebigen Querschnitt x:

h = h-Iq,

V'

1)

F=F-SP, 2)

Fig. 11.

M — M-\- Vx — Hy —ZP {x—a) -}-SQ (y— b), x 0 ° wobei die Grenzen der Summen wie oben S Querschnitte, nicht Axpunkte oder Abscissen, bedeuten.

Gleichung 3) liefert für x = l:

M‘ = M-Y VI-Hk - SP (l-a)-Y SQ (h—b),

o    o

woraus die Vertikalreaktion bei 0:

3)

V—

\m' — M -}- Hk + SP (Z — a) — SQ (k — è)]

L    o    o    -*

= Vo-

4)

Durch Substitution dieses Ausdruckes in 2) folgt mit x = l die Vertikalreaktion V = — Vx bei l :

V‘—

Die Addition der beiden letzten Gleichungen liefert :

V-\- F' = 2P= v₀— Fj

Hk 4- SP« 4- SÇ (k — b) 1= — Fi 0 0

5)

6)

O

wonach auch hier, wie selbstverständlich, die Summe der Vertikalreaktionen gegen einen Trägerabschnitt gleich der Summe der vertikalen Aktivkräfte an demselben ist. Gleichung 1) ergibt mit x—l wegen H' — H. analog 6):

Durch Zerlegung von Fx und Hx in Komponenten parallel und senkrecht der Stabaxe bei x folgen die Normalkraft und Transversalkraft daselbst (Fig. 9) : -Vx= Fx sin cp 4-Hx cos cp,

Tx = Fx cos cp — Hx sin cp,

während der Richtungswinkel der resultirenden Schnittkraft mit der positiven Richtung der tc-Axe und der Absolutwerth der Schnittkraft bestimmt sind durch :

7)

8)

9)

10)

Äx=vX²+Fx² = vX²+7y.

Schliesslich erhält man wie in § 1 durch Betrachtung eines Trägerstücks von der Axlänge ds zwischen zwei aufeinander folgenden Aktivkräften E:

dM

X

11)

ds

X)

dx

= Fx - Hxtg9,

12)

wonach für mathematische Maxima und Minima von Mx ;

Fx =

Tx = 0,

§ 2. Schnittlinie und Umhüllungslinie der Kämpferdrücke.

Auf einen beliebigen e infaclien Bogenträger (über kontinuir-liche Bogen siehe § 21) wirke eine Binzeilast P. Hierdurch werden gewisse Reaktionen R, R‘ der Kämpfer hervorgerufen, welche sich mit P ins Gleichgewicht setzen, sodass P, R, R' durch einen Punkt A gehen

(Fig. 12). Die Abscisse a des Schnittpunkts S ist diejenige des Angriffspunkts von P, die Ordinate b findet sich •wie folgt. In Bezug auf S ist das Moment von R gleich 0. Da aber R durch H, V und M ersetzt wird (§ 1), so hat man: M-\- Va — Hb — 0,

y \' ~    - -p

woraus :

■\X

xi

R’

Fig. 12.

b-=

V'

M.+ Va.

1)

Mit der Abscisse a der Last P ändert sich auch die Lage des Schnittpunktes S. Lässt man P nach einander alle Lagen von a = 0 bis a = l

durchlaufen, so beschreibt der Punkt S eine Linie S, welche Schnittlinie der Kämpferdrücke oder Kä in pferdrucklinie heisst.

Die Ordinaten derjenigen Punkte, in welchen die von der Einzellast P herrührenden Kam pferdrücke B, if' die Vertikalen bei 0 und l schneiden, seien w, w⁴ (Fig. 12). Da in Bezug auf den ersten dieser Schnittpunkte das Moment von B, in Bezug auf den zweiten das Moment von if' gleich 0 ist, während B durch H, V, M und if' durch H' — H, V', — M⁴ ersetzt wird (§ 1), so folgen :

M— Hw — 0.

und hieraus :

M⁴.

H’

w‘ = Je -j— w-

ü

2)

Für den Winkel, welchen die resultirende Schnittkraft ifx bei beliebigem x mit der positiven Richtung der x-Axe einschliesst, liefert § 1, 11) :

tg^= H

Demnach hat man in unserem Falle für die entsprechenden Winkel bei 0 und l mit V₀ — V, Vx — — V⁴ :

tg<Po =

V⁴

3)

t g<W =    ff

Die zweite Gleichung gilt auch für den Winkel der Richtung von B4 mit der negativen Richtung der x-Axe.

H’

Mit der Aenderung des Angriffspunktes der Last P ändert nicht nur der Schnittpunkt S seinen Ort, sondern es gerathen auch die Richtungslinien der Kämpferreaktionen B, B⁴ in andere Lagen. Lässt man von irgend einer Lage a aus die Abscisse a und d a wachsen, so ändern auch die erwähnten Richtungslinien ihre Lagen nur um unendlich wenig, wobei sich aber doch die vorige if-Linie und die neue if-Linie in einem Punkte u, v schneiden (Fig. 13), und ebenso die vorige B⁴-Linie und die neue B⁴ - Linie in einem Punkte u⁴, v⁴. Gehen wir wieder um d a weiter, so wird die zweite if-Linie von der dritten if-Linie, die zweite if'-Linie von der dritten if'-Linie geschnitten.

Fährt man so fort, dann entsteht in der Verbindungslinie der Schnittpunkte aller aufeinander folgender if-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpferdrücke if. Ebenso erhält man als Verbindungslinie der Schnittpunkte stetig aufeinander folgender if'-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpfer drücke if'. Wir wollen die erste auch kurz Li ni e U, die zweite Linie U⁴, die Kämpferdrucklinie Linie S nennen. Für Träger, welche zur Vertikalen durch

da 1 da

R'

Fig. 13.

U'

ihre Mitte vollständig symmetrisch angeordnet sind, liegen auch diese Linie zur Mitte symmetrisch, sodass es dann genügt, die Linie U zu bestimmen.

Es sollen mm für eine beliebige Lage a der Last P die Koordinaten des Schnittpunktes der zwei unendlich benachbarten if-Linien abgeleitet werden. Sind uu vt die laufenden Koordinaten der if-Linie für jene Lage (Fig. 12), so ist die Gleichung dieser Linie :

Vx — W-j-Ux tg'|₀.

Gehen wir nun mit P um da weiter, so ändert sich w um dw, tg<jj0 um d tgtyo> und die Gleichung der neuen if-Linie lautet, wenn u₂, v2 ihre laufenden Koordinaten :

v₂ = w-\-dw-\- u₂ (tg + d tg4>₀).

Für den Durchschnitt beider Linien sind % — u₂ = u, vt = v₂ = v, also durch Subtraktion :

0 = dw -{- ud tg4>

woraus :

TS

und damit nach der Gleichung für vx :

v — w — tg4j₀

d tg

dw .

dtg<K

Substituirt man in die beiden letzten Formeln die durch 2) 3) bestimmten Ausdrücke von w, tg und HdM—Md H,

dw = so folgen :

AP

<^tg 4»₀ =

Hd V— VdII\

HdM—MdH U - VdH— Hd V’

VdM— Md V VdH— Hd V’

worin H, V, M einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen und die Differentiale sich auf ein variables a beziehen.

4)

5)

Sind die Ausdrücke von H, V, M, bekannt, so kann man dieselben nach a differentiren und aus 4), 5) die Koordinaten des Schnittpunktes je zweier aufeinander folgenden if-Linien erhalten. Wird dann mittelst einer der beiden Gleichungen a aus der andern eliminirt, so erhält man in der entstehenden Beziehung zwischen v und u die Gleichung der Umhüllungslinie U (vergl. § 17). Es lassen sich jedoch H, V, M erst dann entsprechend ausdrücken, wenn Näheres über die Anordnung des Trägers bekannt ist.

Zur Ableitung der selten nöthigen Beziehungen für die Umhüllungslinie U‘ haben wir die Gleichung der Ä'-Linie für den Angriffspunkt a der Last (bei Beachtung, dass in Fig. 11 <|>i einen negativen Winkel darstellt):

v₁ = w‘ — (l —    tg

und für den Angriffspunkt a -f- d a :

v₂ = w‘ -j- dw' — (l — u₂) (tg4»i + dtgt^i)-Für den Durchschnitt beider Linien erhält man wegen ut — u₂ — u⁴ und vx — v₂ — v⁴ durch Subtraktion :

woraus und womit :

O — d w' — (I — u⁴) d tg ^

d w‘ j

dtg^

v‘ = w' — tg¹4»i

Substituirt man in diese Gleichungen w‘, tg^i nach 2), 3) und IId AT— M‘dH

dw‘ =

IP

dtgtj>

II d V⁴— V‘d //

H‘l

so ergeben sieli die Koordinaten des Durchschnitts der zwei benachbarten i?'-Linien für die Lage a der Last, d. h. die Koordinaten eines Punktes der Umhüllungslinie U⁴ :

?P = £

v‘ — k-\

Hd M‘ — M‘ d // V'dH—HdV⁴ ’ V'dM' — M'd V\

6)

7)

V⁴ dH — Hd V⁴

worin sich wieder H, V⁴, M⁴ auf eine bei a angreifende Einzellast P und die Differentiale auf ein variables a beziehen. Bezüglich der Elimination von a und der damit entstehenden Beziehung zwischen u⁴, v⁴ als Gleichung der Umhüllungslinie U⁴ gilt Analoges wie für die Umhüllungslinie U.

Sind für einen Bogen die Linien S, U, U⁴ bestimmt, so ist es leicht, die von einer Last P an beliebiger Stelle a herrührenden R, R⁴, V, V⁴ H graphisch zu ermitteln, wie dies in Fig. 14 angedeutet ist. Die entsprechenden M, M⁴ ergeben sich aus 2).

Es mag schon jetzt erwähnt werden, dass für frei drehbare Bogenenden (Bogen mit Kämpfergelenken in der Axe bei Vernach-

V.:

■V

lässigung der Reibungen) wegen M = M⁴ =0, d M = d M⁴ = 0 nach 4)—7) v = 0, v⁴ — k,

TT

u — 0, u⁴ — l,

die Umhüllungslinien der K ä m p f e r d r ü ck e sind dann Punkte, die Kämpferdrücke R, R4 gehen stets durch die Gelenkmittelpunkte bei 0 und l.

Pig. 14.

U’

R'

Aufgabe 2. Kämpferdrucklinie des Halbkreisbogens mit zwei Gelenken. Für einen Halbkreisbogen konstanten Querschnitts mit Kämpfergelenken in gleicher Höhe entstehen durch beliebige Belastung (vergl. Aufgabe 14);

V⁼⁼ -y 2 P (l — a),    H.    Pn (l — d).

Die Schnittlinie 8 der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Da im vorliegenden Falle M=Q und für eine Einzellast P bei a nach 1):

pLzP,

so liefert § 2, 1) die Gleichung der Linie S :

Vz=

4P

H==Pira(l~a\

2)

b = j l = 0,7854 l.

Die Kämpferdrucklinie ist also eine in der Höbe b über den Gelenkpunkten liegende Horizontale. Weitere Anwendungen obiger Beziehungen siehe u. a. §§ 15 bis 17.

Beispiel 1. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsge wölbe).

Für das im II. Abschnitte behandelte symmetrische Versuchsgewölbo des Oesterreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins yon l — 28,758 m Spannweite und / = 4,502 m Pfeil der Axe erzeugten Einzellasten P bei den in der unten folgenden Tabelle angeführten Abscissen a die in den Kolumnen 2—5 beigesetzten Werthe des Horizontalschubs H, der Vertikalreaktion V des Kämpfers 0 und der Endmomente M, M‘. Die Schnittlinie und Umbüllungslinie der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Für die Schnittlinie $ der Kämpferdrücke ist nach § 2, 1) die Ordinate b

71/-f- Va

bei Abscisse a:

1)

worin M, V, H einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Wir erhalten demnach mit den in der Tabelle gegebenen Werthen z. B. für a = 0,629 m:

- 0,5789 -\- 0,9988-0,629 0,0092

ln gleicher Weise s d die übrigen unten angeführten b berechnet. Da S symmetrisch zur Trägermitte liegt, so genügt die Berechnung für die erste Trägerhälfte.

Um die Umhüllungslmie U der Kämpferdrücke R verzeichnen zu können, genügt es, eine Anzahl R für geeignete Lagen der Einzellast P aufzutragen. Einen Punkt jedes dieser R hat man in dem Durchschnitt der betreffenden Last P mit der Schnittlinie S, man braucht also nur noch je einen zweiten Punkt der R zu ermitteln. Nach § 2, 2) ist die Ordinate des Durchschnitts vonl? mit der Ordinatenaxe beiü:

M

w =

5* o-

= 5,864 m.

II

2)

also beispielsweise für a = 0,629 m :

0,5789 _

0,0092 —

und für l — a — 0,629 m oder a — 23,129 m :

_ 0,0221

“ 0,0092

In gleicher Weise sind die übrigen angeführten w berechnet.

Man sieht, dass für kleine a die w so grosse negative Werthe annehmen können, dass die Durchschnittspunkte der R mit der Ordinatenaxe nicht mehr auf den Zeichenbogen fallen. Für solche Fälle kann man berücksichtigen, dass für die Abscisse z des Durchschnitts von R mit der Abscissen axe die Beziehung besteht (analog 2) in § 2): M-{- Vz = 0, woraus:

— 62,924 m,

= 2,402 m.

Z ~~ V

Beispielsweise erhalten wir für a — 0,629 m :

_ 0,5789 * “ 0,9988

In gleicher Weise sind die übrigen z der folgenden Tabelle berechnet.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle I.

= 0,580 m.

3)

für

für

in m

in m I in m

in in

IV

0,629

2,879

5,129

7,379

9,626

11,879

0,0092

0,1818

0,5242

0,9322

1,2652

1,3956

0,9988 —0,5789 0,9754 -1,8346 0,9101 -1,8990 0,8052 -1,0391 0,6634    0,2450

0,5000    1,3629

0,0221

0,4131

1,0952

1,7116

1,8768

1,3629

OT Ol Ol Ol ci Ol to CO CO tsD tD ^

in m -62,924 —10,093

-    3,623

-    1,115 0,194 0,977

z l— a w in m in ra in m

io r- o '03 co

GO OO 02 CO <M iq CO O

ö i-ö cff i-T o' of

j—cc j-i pyro jT 'bccPco i—'ocV' -3 tO tO -q InD CO CC CD

O I— t-J.JD to to 'co'A cc oto A —I 00 CC CC -CI o -q CO CD CD to to

co CC cc

0,

2,879    5,129    7,379    9,529    11,879    14,129

16,379 "’Ï8'629 ’ '20,879 \ 25^9

If

Pig. 15.

0 + 9 •),

Da eine bei a angreifende Last P — 1 zur Grösse G

8/

0 + H“2)

= 0,

= 1,010 1,455 1,359 1,308 1.291.

= 0,04800 0,04725 0,03200 0,01125

Fig. 88.

und nach § 18,8) die numerisch grösste Schubspannu

§ 20. Bogen mit Zugstange.

1)

J dx

îOTc [! P(l-2 a)3 - /2 + 7 ? Pa(l ^ +

5) im zweiten :

§ 35. Genauere Formeln zur Berechnung des Horizont

. so erhalten wir:

Tabelle V.

5)

si = '*W

17, 264, 301 51

¹

4kc. iNir-

Pig. 15.

Die Kämpferdrucklinie S konnte hiernach in Fig. 15 verzeichnet werden und ebenso genügend genau die Umhüllungslinie U, soweit sie interessirt (der Theil nach etwa dem ersten Viertel kommt nicht zur Verwendung, weil daselbst keine R berühren), während die Umhüllungslinie U‘ bezüglich einer Vertikalen durch die Trägermitte symmetrisch zur Linie U liegt. Die Linien 8, U, U' weichen im vorliegenden Falle nicht sehr bedeutend von den für den parabolischen Bogen ohne Gelenke gütigen ab. So wäre 8 für letzteren eine horizontale

Gerade der Ordinate b = -=-/ = 5,402 m, während die obigen b zwischen 5,359 und o

5,232 m variiren.

§ 3. Biegungsformeln.

In den bisherigen Gleichungen kommen als Horizontalschub H und Endmomente M, M' drei Grössen vor, welche im Allgemeinen weder unmittelbar gegeben sind, noch in allen Fällen aus den gegebenen Grössen allein auf rein statische Weise bestimmt werden können. Ihre Werthe sind alsdann von den Eigenschaften des Materials abhängig und auf Grund von Anschauungen und Erfahrungen der Elastizitätslehre zu ermitteln. Aber auch wenn sämmtliche in jenen Formeln auftretenden Grössen gegeben oder durch die gegebenen Verhältnisse statisch bestimmt sind, ist es nöthig, auf die Eigenschaften des Materials Rücksicht zu nehmen, sofern die Beanspruchungen des Stabes in den verschiedenen Elementen der Querschnitte und sonstigen Schnitte durch den Träger in Frage kommen.

Ein Stab mit einfach gekrümmter Axe werde durch irgendwelche Kräfte und Temperaturänderungen so deformirt, dass die Stabaxe in einer Ebene bleibt und in jeder Senkrechten zu dieser Biegungsebene überall gleiche Biegungs- und Beanspruchungsverhältnisse bestehen, sodass es genügt, die Untersuchung derselben in der Ebene der Stabaxe durchzuführen. Von den Annahmen und Bezeichnungen der §§1,2 wird zunächst abgesehen. AVir gehen von folgenden in der technischen Biegungstheorie üblichen Voraussetzungen aus, durch welche die Gültigkeit der entstehenden Beziehungen gewisse Beschränkungen erleidet :

d) Die Flächenelemente, welche vor der Biegung auf einem ebenen Querschnitte lagen, bilden auch nach der Biegung eine zur Stabaxe senkrechte Ebene.

b)    Für die Biegung kommen nur die Längenänderungen der zur Axe parallelen Fasern und für diese neben Temperaturänderungen nur die Zug- und Druckkräfte an den Querschnittselementen in Betracht.

c)    Die Elastizitätsmoduln für Zug und Druck sind innerhalb der Bi egungsgrenzen für alle unter b) erwähnten Fasern als gleich und konstant anzusehen.

Wir denken uns im spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur zwei Querschnitte geführt, den einen, welcher x heissen soll, um die Axlänge s von einem gewählten Ausgangspunkte entfernt, an der Stelle, wo r den Krümmungsradius der Stabaxe und cp den Winkel derselben mit einer von der Axschicht aus auf Seiten des Krümmungsmittelpunktes gegebenen Richtung bedeuten, den andern um die Axlänge ds weiter (Fig. 16 u. 17). Dann hat man :

*=r(-*p),r=-^ 1}

und die Länge der Fasern parallel der Stabaxe in Entfernung v von der letzteren, wobei die v nach der dem

Krümmungscentrum entgegengesetzten Seite als positiv gelten:

V ■

rC ił

',cA+df ..;J—

„V4C

i\P"

Hx

Fig:. 16.

/r

Fig. 17.

dsY — ds -v (— dcp) = ds ^1 -f~ ■

2)

Wirken nun äussere Kräfte ein und finden Temperaturänderungen statt, so ändern sich s, cp, sv um A s, A cp, A sv und wir haben nach dem Taylor’schen Lehrsätze mit As = f (s) die Aenderung der Entfernung s ds des zweiten Querschnitts von dem gewählten Ausgangspunkte :

dAs

/(s+4⁵

= As -f-

d²As ds²

ds -f

oder bei Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen zweiter und höherer Ordnung gegen solche erster Ordnung :

/ (s -f- <is) = A.s -{- dAs.

Die schliessliche Länge der Fasern in der Axschicht zwischen den angenommenen Querschnitten ist also :

.s 4" ds -f- As -f- dAs — (s -f- As) = d (s As).

In ganz analoger Weise ergibt sich die schliessliche Faserlänge bei v (anstatt der anfänglichen Faserlänge dsY) :

d (sv -j- Asv),

und die schliessliche Differenz der Richtungswinkel cp bei den zwei Querschnitten (anstatt der anfänglichen Differenz dcp) :

d (cp -{- A cp).

ds

Da aber die Querschnitte zufolge der Voraussetzung a) auch nach der Biegung als Ebenen gelten sollen, so hat man analog dem Ausdrucke 2) :

d (sv -f- Asv) = d (s -j- As) — (v -j- Av) d (cp -f- Acp), und durch Subtraktion jenes Ausdruckes unter Vernachlässigung von a v d Acp : dAsy = d as — v dAy — Avdy.

3)

Aenderungen Av wurden früher überhaupt nicht in Betracht gezogen, doch können sich alsdann bei steilen Bogen (Halbkreisbogen etc.) Ungereimtheiten bezüglich des Einflusses der Temperaturänderungen ergeben. Berücksichtigen wir letztere mit Müller-Breslau, indem wir unter Vernachlässigung sonstiger Aenderungen von v setzen, A v — tx.iv, worin a den linearen Ausdehnungskoefficienten, x die Temperaturänderung bedeuten, so wird aus der letzten Gleichung :

d A sv = dAs — vdAcp

4)

txxvdcp.

Wenn die Längenänderungen der Fasern bei v nur von Spannungen a parallel der Stabaxe herrührten, und diese als positiv angesehen werden, wenn sie Druck bedeuten, so hätte man :

dASy

dSy

fei Q

unter E den Elasticitätsmodul verstanden. Wenn dagegen nur eine Tem-peraturänderung x eingetreten wäre, so würde sein :

^Asv

dsY

xx.

Beim Zusammenwirken beider Ursachen haben wir :

dAsy

dSy

= ax

5)

und nach Einsetzen von 2), 4) : a — E

(„Bi

V ds

dAs

6)

r -j- v

Dies ist die Normalspannung bei v im Querschnitt x, das heisst auch die Zug- oder Druckkraft längs einer Faser vom Querschnitt 1 parallel der Stabaxe bei x, v. Einer Faser vom Querschnitt F entspricht eine c/A'-mal so grosse Kraft, und für sännntliche Fasern, welche im Querschnitt x von der Grösse F endigen, hat man die Kesultate dieser Kräfte, das heisst die ganze Normalkraft im Querschnitte x:

ds

Tc/Acp /’

L ds J r-\-v

wobei angenommen ist, dass wie E auch ax bei allen Elementen des Querschnitts als gleich gelten soll.

rv

dF-

dAs

ds

ax

)SrT^dli

Jede ein Flächenelement dF afficirende Kraft adF erzeugt hinsichtlich der Axschicht ein Moment adF.v, und da die in der Ebene des Querschnittes wirkenden Kräfte kein Moment in Bezug auf die Axschicht des letzteren ergeben, so ist das resultirende Angriffsmoment bei x:

dAs

rdAcp /' rv2 L ds J r -j- v

ax) /—j—

/ J r v

Dasselbe ist hierach als positiv angenommen, wenn es die ursprüngliche Krümmung zu vermindern strebt.

Die drei letzten Gleichungen wollen wir etwas umformen. Man hat :

Mx = f adF.v

dF

rv

ds

di] 8)

r -j- v

—j— — v--;—,

r -f- v    r-f-v

v²

r r -f- v

und damit nach 7), 8) :

K <**¥,. f

E ds    Jr-\-v

oder, wenn zur Abkürzung

r- \-v - dF —

dâs

dF)-( äs

d As

— ax

dF\

gesetzt und

T J r 4- v

-dF

9)

berücksichtigt werden :

v,

y d F = F

d\ cp jfT

r

J/x -

f v dF == 0

woraus :

Mx

EK

d\s ds

Ci? a cp    Fd\ s

~cte K ' '

^ - fa + ¥) +{*• + %)

«j (5 + F)

10)

H)

12)

E Fr

und durch Substitution dieser Ausdrücke in 6) :

AT Mx , Mx

0 = ^r +

13)

rv

l^K r -\-v Vereinfachungen dieser Formeln siehe § 6.

Fr

14)

§ 4. Bemerkungen zu den Biegungsformeln.

Die im vorigen Paragraphen angeführten Voraussetzungen der technischen Biegungstheorie nebst den darauf beruhenden Beziehungen haben sich in einzelnen Fällen auch nach der allgemeinen Elasticitätstheorie isotroper fester Körper als annähernd gültig erwiesen, und mancherlei Versuche und Beobachtungen wie Jahrzehnte alte Erfahrungen mit den auf Grund jener Beziehungen berechneten Trägern scheinen für ihre Zulässigkeit bei zahlreichen Ermittelungen über Balken und Bogen von rationeller Anordnung zu sprechen. In manchen Fällen jedoch genügte die gewöhnliche Biegungs- * theorie nicht. So konnten bei gebogenen Gusseisenstäben wesentliche Abweichungen gegen dieselbe festgestellt werden, was begreiflich ist, da für Gusseisen die Voraussetzung c), gleiche und konstante Elasticitäts-moduln für Zug und Druck, auch nicht annähernd erfüllt zu sein pflegt. Bei gewissen Ableitungen, z. B. bei Bestimmung des Elasticitätsmoduls aus Biegungsversuchen mit eisernen Balken, musste der Einfluss der Schubkräfte in den Querschnittselementen auf die Biegung berücksichtigt werden, welcher im vorigen § durch die Voraussetzung b) ausgeschlossen wurde, u. s. w.¹ Indessen werden elastische Bogenträger nicht aus Gusseisen, sondern stets aus Schweisseisen, Flusseisen oder Stahl hergestellt (über Gewölbe s. § 18, 19), und es kommt bei ihnen fast ausschliesslich der Ela-.sticitätsmodul für Druck in Betracht (s. z. B. die Tabelle in Abschnitt IV«/), während die Schubkräfte im Allgemeinen weit kleiner als bei horizontalen Balkenträgern sind, sodass sie bei der Berechnung vollwandiger Bogen gewöhnlich überhaupt nicht berücksichtigt wurden.²

Auch bezüglich der Biegungsfestigkeit scheinen die Verhältnisse für Bogenträger nicht ungünstiger als für Balkenträger zu liegen. Auf Biegung beanspruchte Balken brachen bei den sorgfältigsten der bisherigen Versuche meist infolge Nachgebens auf der Zugseite, oder sie verloren ihre Tragfähigkeit durch Strecken und Ausbiegen³, wobei die gewöhnlichen Biegungsgleichungen schon wegen Ueberschreitung der Elasticitäts-grenze nicht mehr zu gelten brauchen. Setzt man gleichwohl die grösste aus diesen Formeln folgende Normalspannung im Augenblicke des Nachgebens o — (3 z, unter z die durch Zerreissversuche ermittelte Zugfestigkeit des Gurtmaterials verstanden, so lässt sich vorläufig etwa setzen: für gewalzte Balken aus Flusseisen und Schweisseisen (3 = 1, für genietete Blech b alken aus Schweisseisen (3 = 0,9, für ebensolche aus weichem Flusseisen (3 = 0,8, wobei selbstverständlich nur bestes Material in Betracht gezogen ist. Bei Berechnung der a, aus welchen vorstehende nicht zu günstige (3 entnommen wurden, kam das Trägheitsmoment oder Widerstandsmoment mit Rücksicht auf Nietverschwächung zur Verwendung. Dem Nachgeben der Balken auf der Zugseite gegenüber könnte es als günstig erscheinen, dass bei Bogen keine oder nur geringe Zugspannungen a aufzutreten pflegen. Doch hat man umsomehr für gehörige Sicherheit gegen Einknickungen und seitliche Ausbiegungen zu sorgen, wie ja eine Reihe ungünstiger Erfahrungen bei eisernen Brücken in neuerer Zeit auf mangelhafte Druckglieder und ungenügende Querversteifungen zurückzuführen waren.

Tn § 3 wurde vorausgesetzt, dass in jeder Senkrechten zur Trägerebene gleiche Biegungs- und Beanspruchungsverhältnisse bestehen. Für den dabei angenommenen und soweit möglich zu realisirenden Fall, dass alle äusseren Kräfte in der Trägerebene wirken, folgt hieraus eine Bedingung für die Anordnung der Querschnitte. Da das Moment sämmt-licher Normalkräfte eines Querschnitts in Hinsicht der Trägerebene 0 sein muss, so hat man :

odF • u = 0,

unter u die positive oder negative Entfernung eines Querschnittselements iIF von der Trägerebene verstanden. Durch Substitution des Ausdrucks § 3, 14) folgt

ifSudF+7ïiudF+r-Trf

dF= 0,

uv

r-j- v

oder weil in Hinsicht der y-Axe als Schwerlinie des

Querschnitts das statische Moment / udF = 0:

A5L

ebene

; Schicht u

— dB = 0.

1)

J r -j- v

Dieser Bedingung wird z. B. genügt, wenn der Querschnitt symmetrisch zur Trägerebene angeordnet ist (Fig. 18). Werden alle v gegen r vernachlässigt, so liefert 1):

2)

Fig. 18.

uvdF = 0,

das Centrifugalmoment des Querschnitts hinsichtlich der Axen ?/, v soll verschwinden, diese müssen also die Hauptträgheitsaxen des Querschnitts sein, was ebenfalls zutrifft, wenn die y-Axe Symmetrielinie desselben ist. Selbstverständlich wird man den Querschnitt stets symmetrisch anordnen und danach trachten, dass auch die Schwerlinien anschliessender Glieder in der Symmetrieebene liegen (Vertikalen, Füllungsstäbe) oder darin zum Schnitte kommen (horizontale und vertikale Querverbände), entsprechend der allgemeinen Konstruktionsregel, dass sich die Schwerlinien zusammen-treffender Stäbe in einem Punkte schneiden sollen, eine Kegel, welche z. B. bei der Mönchensteiner Brücke bezüglich der Gurtungen und Füllungsglieder unberücksichtigt geblieben war.

§ 5. Wiener Versuche mit einem elastischen Bogen.

In neuester Zeit wurden von einem durch den Oesterreichisehen Ingenieur- und Architekten-Verein zur Prüfung von Gewölben gewählten Ausschuss (vergl. § 19) Versuche mit einem Bogen aus Martinliusseisen angestellt.* Das Eisen zeigte bei Zugversuchen mit 6 Probestäben aus Winkeleisen, Stehblechen und Gurtlamellen (je 2) folgende Eigenschaften: Elasticitätsmodul 2 080 000 bis 2 200 000, im Mittel 2 145 000 kg per qcm; Proportionalitätsgrenze 1 720 bis 1 840, im Mittel 1 770 kg; Zugfestigkeit 3 760 bis 4 210, im Mittel 4 040 kg; Bruchdehnung 19,5 bis 27,0, im Mittel 24,2 °/o ; Kontraktion 0,51 bis 0,60, im Mittel 0,55 °/o. Der Bogen bestand aus zwei Bogenträgern mit Kämpfergelenken, ohne Scheitelgelenk, von l = 23 m Spannweite und / = 4,556 m Pfeil der Axe, in Entfernung von 1,8 m, welche durch kräftige Querverbindungen vereinigt waren. Die Bogenaxe war einem Parabelbogen von den erwähnten /, / eingeschrieben und zwar so, dass die auf einer Bogenhälfte angeordneten Vertikalen (ohne Diagonalen) bei der Mitte beginnend, in Ent

Bericht des Gewülbeausschusses, Wien 1895. S. 1, 17, 37, 43, 70, 89, 98.

fernungen von 2,25 m auf die Bogenecken trafen. Bogenhöhe nur 0,36 in. Als Belastung neben dem Eigengewicht von etwa g = 270 kg per Meter Träger wurden über jenen Vertikalen Eisenbahnschienen bis zur Bogen-mitte aufgebracht. Die Querschnitte beider Bogenträger bestanden aus einer Vertikalplatte von 30/1 cm, vier Winkeleisen von 8/8/1 cm, und 1 bis 3 Horizontalplatten von 20/0,8 cm für jede Gurtung, derart, dass bei einer einseitigen Verkehrslast vonj? = 1500 kg per Meter Träger, einschliesslich der Vertikalen etc., rechnungsmässige Normalspannungen von ca. 750 kg per qcm entstehen und die Träger beim Auibringen der verfügbaren Schienen von 2p — 18000 kg per m sicher zerstört werden sollten.

Die Versuche ergaben :

Proportionalitätsgrenze für p =

Stauchgrenze

6410,

seitliches Ausknicken

7640 kg per m,

4350,

entsprechend grössten Normalspannungen nach der üblichen Berechnung, jedoch ohne den Beitrag des verhältnissmässig geringen Eigengewichts und ohne Rücksicht auf Nietverschwächungen : a =    1730,

wobei Zugspannungen bis zu ⁴/5 der Druckspannungen auftraten. Die genauen Erhebungen ergaben, dass der Bogen an keiner Stelle gerissen und keine Niete abgescheert war. Man würde also etwa, wie in § 4 für Balken aus weichem Flusseisen ß = 0,8 setzen können.

2550,

3030 kg per qcm,

Da nur die ganzen Formänderungen (elastische plus bleibende) gemessen wurden, so konnte der Elasticitätsinodul nicht berechnet werden. Bei Anwendung von Formeln für elastische Formänderungen auf die innerhalb der Proportionalitätsgrenze erhaltenen ganzen Formänderungen ergaben die vertikalen Verschiebungen E = l 860 000 kg, die horizontalen E = 1 793 000 kg^beide zusammen im Mittel E = 1 826 500 kg per qcm. Nach dem Berichte waren die bleibenden Verschiebungen gross genug, um die Differenz dieses Werthes gegen den durch Zugversuche erhaltenen Elasticitätsinodul E — 2 145 000 zu erklären.

Die Schlussfolgerungen aus den Versuchen fasst Professor Brick als einer der Berichterstatter wie folgt zusammen :

„1. Die durch unmittelbare Messungen erhobenen Verschiebungen einzelner Punkte der Bogenaxe erwiesen für die ersten Belastungsstufen die Giltigkeit des Proportionalitätsgesetzes zwischen Belastung und Verschiebung und bestätigen die auf Grund der Theorie des „elastischen Bogenträgers mit Kämpfergelenken “ berechneten diesbezüglichen Ergebnisse.

2.    Die aus den Diagrammen der Verschiebungen entnommenen Belastungen für die Proportionalitätsgrenze ergaben für die berechneten grössten Randspannungen in den gefährlichen Querschnitten Werthe, welche mit den Ergebnissen der Festigkeitsuntersuchung an Probestäben aus dem Materiale der Träger in guter Uebereinstimmung stehen.

3.    Das Widerstands vermögen der Versuchsträger wurde durch eine Belastung erschöpft, für welche die berechneten grössten Randspannungen der gefährlichen Querschnitte rund 3000 kg per qcm betrugen. Hierbei gaben die Untergurte der unbelasteten Seite durch seitliches

IC

Allgemeine Beziehungen.

Ausknicken nach ; die Glurtlamellen daselbst zeigten insbesondere zwischen den Nieten an den einspringenden Polygonecken, zunächst dem gefährlichen Querschnitte, starke Faltenbildung.

Durch diese Ergebnisse finden die auf Grund der Theorie des „elastischen Bogenträgers mit Kämpfergelenken“ berechneten Resultate eine praktische Bestätigung, womit der beabsichtigte Zweck des Versuches erreicht worden ist.“

§ 6. Krünimungsmoment und Trägheitsmoment. Vereinfachungen.

Biegungsarbeit.

Wir bleiben bei den Bezeichnungen des § 3. Das Trägheits-m o m ent des Querschnittes in Bezug auf die Axschicht, bekanntlich definirt durch

fv²dl,

1)

ist lediglich vom Querschnitte selbst abhängig, während die durch § 3, 9) eingeführte Grösse

K= r

v²

dl

auch vom Krümmungsradius der Stabaxe beim fraglichen Querschnitte abhängt und deshalb kurz Krümmungsmoment heissen soll. Für gerade Stäbe ist wegen r = oo das Krümmungsmoment gleich dem Trägheitsmoment.

Mit Rücksicht auf die Reihe

vA

können wir nach 2) das Krümmungsmoment auch ausdrücken :

■'S I

v²

dF,

3)

und speciell für den gewöhnlichen Fall zur Axschicht symmetrischer Querschnitte, weil die v auf beiden Seiten der Axschicht von verschiedenen Vorzeichen sind :

Setzen wir allgemein

r-/- (l + £ + £+-")

K= cp J,

dl.

4)

5)

und bezeichnet in der folgenden Zusammenstellung h die ganze Höhe eines Querschnittes (Fig. 19), so ergeben sich beispielsweise die folgenden cp (siehe die Berechnung in Aufgabe 2—4) :

Quadrat

und

Rechteck

Kreis

und

Ellipse

1,1452

1,0325

1,0141

1,0079

1,0050

1,0035

1,0026

1,0020

1,0015

1    1,0012

1    1,0006

)    1,0003

)    1,0000

Bei Bogenträgern für eiserne Brücken und Dächer pflegt r : h noch grösser als 50 zu sein, sodass dann jedenfalls J an Stelle von K gesetzt werden kann. Damit vernachlässigt man in 2) alle v gegen r. Geschieht dies auch in Gleichung 14) des § 3, so treten an Stelle der dortigen Gleichungen 12)—14) die folgenden :

(x 4-    ’

V x ^ r )EF

ot O CD 00 H 03 Ol W t\5

XI LC

1,1833

1,0393

1,0170

1,0095

1,0060

1,0042

1,0031

1,0023

1,0018

1,0015

1,0007

1,0004

1,0001

I-Querschnitt

mit

bt = 0,9 b, hx =0,9 h 1,2614 1,0541 1,0233 1,0129 1,0082 1,0057 1,0042 1,0032 1,0025 1,0021 1,0009 1,0005 1,0001

d\s

—— = a x

ds

5)

d \ cp Afx ds EJ

EFr ’

6)

Fig. 19.

Fr

+ -J V’

7)

Vielfach werden in diesen Gleichungen noch die Glieder mit r im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt, womit entstehen :

y _ d \s

= ax —

EF’

8)

EJ

0)

AE

‘V,

10)

doch beabsichtigen wir von den beiden ersten Formeln im Folgenden keinen Gebrauch zu machen, während die Zulässigkeit der letzteren mit Rücksicht auf praktische Fälle zu beurtheilen ist (vergl. Beisp. 5, S. 30).

Biegungsarbeit. Als Biegungsarbeit bezeichnet man diejenige Arbeit, welche zur UeberWindung der inneren Kräfte während elastischer Biegungen nöthig ist. Da wir von derselben keinen Gebrauch machen werden, so genüge es, ihren Ausdruck für den Fall anzugeben, dass wie in 8)—10) alle v gegen r und die Glieder mit r im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt werden, wie dies bis jetzt bei Verwendung der Biegungsarbeit stets geschehen ist. Man hat dann für ein Stabstück zwischen zwei beliebigen Querschnitten 0 und x :

kT:

^x*

2 EF

worin G der Schubelasticitätsmodul, k ein vom Querschnitt abhängiger Koefficient, welcher für Quadrat und Rechteck ,5/ö, für Kreis und Ellipse ,0/<), für den I-Querschnitt und zur Axschicht symmetrische Blechträgerquerschnitte näherungsweise :

2 GF

U)

hd

unter h die ganze Trägerhöhe, unter d die Dicke der Vertikalplatte verstanden.* Die virtuelle Biegungsarbeit ist die Biegungsarbeit, welche sich ergeben würde, wenn die erwähnten Verschiebungswiderstände konstant wie am Ende der Verschiebungen wären. Sie drückt sich im oben erwähnten Falle aus :

/■*/ ^x²

Jo \EJ

ąV

EF

wonach für N% — 0 (horizontale Balkenträger) oder x = 0:

S3 = 2 B.

Meist blieben bisher in 11), 12) die von der Transversalkraft Tx herrührenden Glieder unberücksichtigt, womit auch der Koefficient der Sch ubwirkung k überflüssig wurde.**

S3 =

kT^

GF

-f ai jVx ) ds,

12)

Rechtecks.

Aufgabe 3 mit Beispiel 2. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des

Es sollen J, K und das Verhältniss K.J für den rechteckigen Querschnitt der Seiten b, h berechnet werden, wenn die Axschicht parallel der Seite b liegt.

Wählen wir dF — bdv (Fig. 20), so hat man nach § 5, l ), 2) mit e = das Trägheitsmoment :

⁽' e

7₍'zvzvz7/////r////^/A

dv

v² d v,

-e

und das Krümmungsmoment :

dv — br

K — br

r-\-v

Die Ausführung der Integrationen ergibt:

r(«-'+4v

dv.

be³

bh³

Fig. 20.

K—br

8

re²

' L2

= 72-’

— rv

-f- r² logn (v 7 r\ -J-e

K—br³

(loSn 7

Mit Rücksicht auf die bekannte Reihe

r fl- e — e

2 e\

r /

2)

* Weiteres über k siehe : Lueger, Lexikon der gesammten Technik, Artikel Biegung I, Stuttgart 1895.

** Ueber die Biegungsarbeit und ihre Anwendung siehe: Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques etc., Turin 1880, pag. 141 (deutsche Ausgabe S. 135); Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 204—225, 247—258; Müller-Breslau, die neueren Methoden der Festigkeitslehre, Leipzig 1893, S. 70,

logn

kann man auch schreiben :

b e³

K —

sodass wegen 1) :

² [7 + 5 (7) + ¥ (7) + " ']

[>+4ay+y(7)¹+i(7)*+-]

>+t(7),+ 4(7)‘ + 4(7)* + -.

3)

J-

oder auch mit e — —

1 (hy /»y    j_ /hy . JL (Î.V _§_ fÄ W

+ 20 U ‘ 112 Vr/    192 \r) ⁺ 2816 G/ ' 18812 Vr/

T

Nach dieser Gleichung erhalten wir z. B. für — = 3:

4)

• 5)

— 1 4 0,016 667 4 0,000331 4 0,000007 = 1,01700.

Die Glieder vom fünften an haben liier keinen Einfluss mehr auf die ersten fünf Dezimalen. In gleicher Weise sind die übrigen in § 6 für das Quadrat und Rechteck gegebenen K: J berechnet.

Ellipse.

Aufgabe 4 mit Beispiel 3. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment der

Es sollen J, K und das Verhältniss K :J für den elliptischen Querschnitt der Halbaxen a, b berechnet werden, wenn die Axschicht durch die Axe 2b geht.

kr

a² y² -f b²v² = a²b²,

Bei den in Fig. 21 ersichtlichen Bezeichnungen ist die Mittelpunktsgleichung der Ellipse:

...i..;.

i'

wonach

y — — Va²—v²

und der Inhalt des schraffirten Flächenelements

dF

2b

Fig. 21.

Die Gleichungen 1) und 4) des § 6 liefern damit :

= 2ydv = — yja²—v² v2 dv-

2b

V«² — v² v² dv:

(1+5+5+--)

./ -a

dv.

Da für die zu integrirende Funktion in beiden Fällen / (— v) — f (v) ist so können wir anstatt des Integrals von — a bis a das Doppelte des Integrals von 0 his a setzen. Für beliebige gerade m hat man:

V a⁸ — v²vmdv =

•a

1    • 3 • 5 • • • (m — 1) Tz m-)-2.

2    • 4 ■ 6 • • • (m 4 2) 2 a

Es ergeben sich damit :

J— 2 —

2b 1

K-22b    1

A a 2r~\ 2

das heisst :

3_ cd 6 r²

⁷¹ «4 a2⁷42a-3 • 5 cd 6 • 8 r⁴

3-5-7 a6 6-8-10 r⁶

Ti b cd,

1)

Nach diesen Ausdrücken ist:

nba⁸ /    4 cd , fF5 cd c

4 v

-8-10

2)

oder mit a —

7/

^1 +

3 O* 6 r²

8-5 +

6 • 8 r⁴"

8 • 5 • 7

6 • 8 • 10

eil

3)

?=‘+ie),+Ä©‘+Ä^r+

Diese Gleichung liefert z. B. für ^ — 5 :

31

32768

4)

iT

= 1 H- 0,005 + 0,000 03 = 1,00503.

Die Glieder in 4) vom vierten an haben für dieses und für alle grösseren r : h entsprechenden K: J keinen Einfluss auf die fünf ersten Dezimalen, ln gleicher Weise wie hier sind die übrigen in § 6 für den Kreis und die Ellipse angeführten K : J berechnet.

Aufgabe 5 mit Beispiel 4. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment von Figurendifferenzen (I-Querschnitt u. s. w.).

Es sollen ./, K und das Verhältniss K : J für Querschnitte ausgedrückt werden, welche wie der 1-Quersclmitt und i_ die Blechträgerquerschnitte der Differenz verschiedener Figu- 7^7 reu entsprechen.    vZZyy

Es seien Jy Ky das Trägheitsmoment und Krümmungs- Yy/yZ/ moment der vollen Figur und Jh. Kh diejenigen des Hohlraums? yZyy durch dessen Abzug von der vollen Figur der Querschnitt entsteht (Fig. 22). Dann hat man das Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des letzteren :

J = J

V

und wenn gesetzt werden

Ky = cpjy,

L_ Î das verlangte Verhältniss:

ęJY - <\>Jh

K = K — K,.

v    h’

1)

2)

ÎTI

!h

3)

4—

■A Ai

Haben wir beispielsweise einen I-Querschnitt, [-Quer-I schnitt oder rechteckigen Ringquerschnitt (Fig. 23

ij......‘ bis 25), für welche 5, = m b, /q — n h gesetzt werden

mögen, dann gelten nach A3, 1): r bh\

* — 12

und damit zufolge 3):

Fig. 23.

r    b h³

Jh = m n³ ~J2

K cp — <pmns

Fig. 22.

jh,

1 — mn

r’

4)

T"

worin nach A 3, 5) :

-14- ³ (kŸ    ³

f-' + IO \r>

ßn* (h\’

<*l—1+2Ö 0)

112

"i

192

n⁶

3n⁴ /h \⁴

IÏ2 W

Handelt es sich dagegen um einen kreisförmigen oder elliptischen Ringquerschnitt (Fig. 26, 27), für welchen gesetzt werden bl = mb, a^ — na, so gelten nach A :4,1)

u b a³

Jy —

und damit zufolge 3) wieder Gleichung 4), worin jedoch jetzt nach A4, 3):

9=1 +

Fig. 24.

192

„7xb a3 ,/h = m n³ —-g—

ai

Fig. 26.

m²

~2

(r) ⁺ b (r) +■ â (f) ⁺ ' ' ’» ⁷⁾

/a \² . 5 m⁴ (a\⁴ i

⁺ ~W W ⁺ 32

7m° (++- 8)

a,

Fig. 27.

Bei constanter Dicke des Ringes würden freilich innerer und äusserer Umfang

nicht gleichzeitig genaue Ellipsen sein können, doch werden die Formeln im Allgemeinen auch für den elliptischen Ring genügen.

Es soll nun z. B. das Verhältniss K : J für einen I-Querschnitt von b{ =0,9 b,

0,9 h berechnet werden. Mit m = n — 0,9 erhält man für — — 4 nach 5), 6) :

und nach 4) :

cp = 1 -f- 0,009 375 + 0,000 105 = 1,009 48 4 = 1 -f 0,007 594 0,000068 = 1,007 66

K _ 1,009 48- 1,007 66-0,9⁴

= 1,0129.

1 - 0,9⁴

In gleicher Weise sind die übrigen in § 6 für den [-Querschnitt angegebenen K : J berechnet.

§ 7. Kleine Formänderungen. Naviersche Biegungsgleielmng.

Die in §§ 3, 4 abgeleiteten Gleichungen gelten unter den dortigen Voraussetzungen für beliebig grosse elastische Deformationen. Es handle sich nun aber wie schon in §§1,2 und in der Folge immer um so kleine Formänderungen, dass die Aenderungen der Stababmessungen gegen deren anfängliche, dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Werthe vernachlässigt werden dürfen. Wir wählen in der Trägerebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem in fester Lage gegen die anfängliche Gruppirung der Stabpunkte und verstehen unter den Koordinaten x, y eines Querschnitts die anfänglichen Koordinaten seines in der Stabaxe gelegenen Schwerpunktes, unter cp den anfänglichen Winkel der Stabaxe mit der positiven Richtung der Abscissenaxe bei x (Fig. 28).

■ yixux).

X + &X

Fig. 28.

Entsprechend der Ableitung in § 3 seien im anfänglichen Zustande zwei Querschnitte angenommen, der eine bei x, y, um die Axlänge s von einem beliebigen Ausgangspunkte entfernt, der andere bei x -J- d x, y ~j- d y, um die Axlänge d s weiter. Bezeichnen a x, a y, a s, a cp die mit der Deformation verbundenen Aenderungen von x, y, 8, cp, so sind die Aenderungen von x -Ą- d x, y -(- dy, s -}- ds nach dem Taylorschen Lehrsätze (vergl. S. 14) :

d (x -|- \ x), und man hat (Fig. 28) :

d (y + a y),

d {s -f- AS),

s) cos (cp -f A cp), s) sin (cp -f- a cp).

Werden die Deformationen so klein vorausgesetzt, dass cos a cp = 1, sin a cp = a cp gesetzt werden dürfen, so liefern vorstehende Gleichungen mit

dx dy

(x -f- \ x) = d (s ly + A y) = d (s

cos (cp —|— a cp)) = cos cp cos a cp — sin cp sin a cp =

A cp,

sin (cp —|- a cp) = sin cp cos a cp —J— cos cp sin a cp = nach Reduktion :

dy

ds d 8

A cp

dax = — Ay d y

d as

ds

dx —

d as

ds

dy ■ a cp,

d A y = a cp d x -f-

d as

ds

dy +

d as

ds

dx ■ Ay. •

Wegen der Kleinheit von a cp verschwinden die letzten Glieder dieser Gleichungen gegen die vorhergehenden, wir erhalten :

d AS

Ay dy +

ds

dx,

1)

dA ij= Aydx -f-

d AS

ds

dy,

worin, wenn die zwischen x und x -f- dx eintretenden Zunahmen d a cp, d as von a cp, as nur von den Spannungen und Temperaturänderungen zwischen jenen Querschnitten herrühren :

d AS

d's

= Y,

d a cp

ds

= Z,

3)

unter Y, Z die Ausdrücke § 3, 12) 13) verstanden, welche in § 6 vereinfacht wurden.

Naviersche Biegungsgleichung. Es handle sich um einen anfänglich geraden Stab. Wird die Abscissenaxe parallel oder so nahe einer Parallelen zur Stabaxe angenommen, dass ds — dx gesetzt werden darf, dann folgt aus § 3, 13) wegen r = oo, K = ,/:

d a cp

4)

ES

Werden die y im vorliegenden Falle auf die schliessliche Stabaxe bezogen (vor der Deformation wären bei einer der Stabaxe parallelen Abscissenaxe alle y gleich gross), dann hat man für die betrachteten kleinen Formänderungen :

dx

A cp = tgAcp =

8 l«s£

und damit nach 4) :

d- y _

d x² E J

Dies ist die Naviersche Biegungsgleichung, welche besonders in der Theorie der horizontalen Balkenträger eine Bolle spielt. Obige Ableitung zeigt, dass sie auch bei Auftreten von Axialkräften und Temperaturänderungen giltig bleibt, vorausgesetzt, dass letztere für je einen ganzen Querschnitt gleich gross sind.*

5)

§ 8. Norinalspannungen. Stiitzlinie. Kernlinien.

Die Gleichungen der §§ 3, 4 gelten unter den angeführten Voraussetzungen für beliebige Stäbe einfacher Krümmung, im Folgenden setzen wir die hier in erster Linie interessirenden Sprengbogen mit Krümmung nach oben voraus.

* Erweiterung mit Rücksicht auf ungleichmässige Temperaturänderungen und den Einiluss der Transversalkräfte siehe Lueger, Lexikon der gesammten Technik, Bd. II, Artikel Biegung I, Stuttgart 1895.

Die Resultante aller Normalkräfte adF auf die einzeln Flächen-elemente d F eines Querschnittes x wurde durch Nx bezeichnet. Da nun die ad F in Hinsicht der Axsehicht das Moment Mx liefern, so muss Nx hinsichtlich derselben das gleiche Moment ergeben; man hat, wenn c die Entfernung des Angriffspunktes von jVx von der Axsehicht bedeutet (Fig. 29) :

_ -K.

~ ^

c ist positiv, d. h. der Angriffspunkt von Nx liegt oberhalb der Axsehicht, wenn d/x und Nx von gleichen Vorzeichen sind, c ist negativ und der Angriffspunkt von A⁷X liegt unterhalb der Axsehicht, wenn Mx und Nx von verschiedenen Vorzeichen sind. Denkt man sich die Angriffspunkte der Nx für alle Querschnitte ermittelt, so hat man in ihrer Gesammtheit eine stetige Linie, welche Stütz linie genannt wird. Da Mx, Nx von der Belastung abhängen, so ändert sich mit der Belastung eines Bogens im Allgemeinen auch seine Stützlinie.

Die Normalspannung bei x, v ist nach § 6, 7) bei der hier stets zulässigen Vernachlässigung der v gegen den Krümmungsmodus r :

Ax , Mx . Mx “ Nx

+ irv =

Dieselbe ändert sich also proportional den Entfernungen v von der Axsehicht, welche nach oben positiv, nach unten negativ gerechnet wurden. Die äussersten Werthe in jedem Querschnitt ergeben sich also im obersten und untersten Querschnittselement, für welche mit v = e₀ und v = — e„:

=

Mx = cNx,

Fr

N*

Mx

Fr

1)

Hx

jöTQ

Fig. 29.

Mx

ßui

Ve

T*

2)

3)

iVx

Mx J/x

=

oder wenn Mx = c Arx und zur Abkürzung

K =

Fr

4)

Feu

gesetzt werden :

Fe₀ +

5)

_ ^ ( i    c \

a" F V¹    kJ-

Die Punkte, welche um v = kQ und v = — ku von der Bogenaxe entfernt in der Trägerebenei; liegen, heissen die Kernpunkte des Querschnitts; in der Gesammtheit der Kernpunkte aller Querschnitte erhalten wir zwei Linien, welche die obere und untere Kernlinie des Bogens heissen (Fig. 30). Dieselben sind nach 5) von den Abmessungen des Bogens, nicht von den Belastungsverhältnissen abhängig.

Sind die Grenzwerthe a₀, au von einerlei Vorzeichen, so gilt das

<?0 =

Fig. 30.

(i + -

ir

6)

nur

Gleiche für alle dazwischen liegenden a, sämmtliche Normalspannungen haben dann das gleiche Vorzeichen wie die resultirende Normalkraft Nx. Es ist aber nach 6)

a₀ mit Nx von einerlei Vorzeichen, wenn c >> — ku,

??    V    V    »    V ^    ^05

wir können anssprechen : Sämmtliche Nor mal Spannungen eines

Querschnittes haben unter sich und mit der Normalkraft Arx einerlei Vorzeichen, wenn bei diesem Querschnitte die Stützlinie zwischen den Kernlinien liegt. Andernfalls sind die Vorzeichen der Normal spann ungen verschieden und hat für c <V — K die Normalspannung a₀, für c >> k₀ die Normalspannung a„ das entgegengesetzte Vorzeichen wie iVx.

Für die Zwecke, welchen die Kernlinien elastischer Bogenträger dienen (§ 11), können in 5) stets die Ausdrücke mit r im Nenner vernachlässigt. werden (vergl. Beisp. 5), womit in 6) :

./

Fe₀

Feu

Geschieht dies, wie üblich und im Allgemeinen zulässig, auch in 2)—4), so folgen :

K =

¹

Näheres über die hier angedeuteten Fragen nebst entsprechender Literatur siehe Lueger, Lexikon der gesammten Technik, Artikel Biegung, Biegungs-elasticität, Biegungsfestigkeit, Blechträger, Elasticitätsmodul. Stuttgart 1895.

²

Am konsequentesten berücksichtigt ihren Einfluss Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications, Turin 1880. S. 141, 264, 418, 433 (deutsch von Hauff, Wien 1886, S. 135,261, 419, 434), wobei aber ebenfalls für praktische Zwecke Vernachlässigungen nöthig werden.

³

Vergl. Tetmajera Mittheilungen, Heft IV, Zürich 1890, S. 82,268; Tetmajer, Die Baumechanik, II. Theil, 1. Hälfte, Zürich 1889, S. 256.

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

-ATx

0 + 9 •),

Nx

°o —    +

G?

Nx Mx

a" F J

9)

und für den gewöhnlichen Fall, dass der Querschnitt zur Axschicht symmetrisch ist, mit e₀ = eu = e und der Bezeichnung

10)

w = —

einfacher :

W’

F‘

Mx

F W’

H)

12)

Der Quotient W aus Trägheitsmoment und Entfernung der äussersten Faser von der Axschicht heisst das Widerstandsmoment des Querschnitts.¹ Im Folgenden sollen auf Grund der Formeln 7)—9) noch einige weitere Beziehungen abgeleitet werden.

Nach 8) ist derjenige Theil der Normalspannung a, welcher vom

Moment i¥x herrührt, gleich

Mx

v, er liefert für ein Flächenelement

Mx

die Normalkraft ganzen Querschnitt ist

vdF, und die Summe aller dieser Kräfte für einen

v dF — O,

J .

weil das Integral als statisches Moment des Querschnitts in Bezug auf eine Axe durch den Schwerpunkt den Werth 0 hat. Denkt man sich alle oberhalb bezw. unterhalb der Axschicht wirkenden Normalkräfte der erwähnten Herkunft zu einer Resultante vereinigt (Fig. 31), so hat man für die erstere :

-¹⁷x feu

vdF,

oder, mit der Bezeichnung /Sn = / ° v dF =

'•°U

vdF 13)

Fig. 31.

einfacher :

So

A'F

14)

Die Resultante unterhalb der Axschicht ist nummerisch gleich Q, aber entgegengesetztem Vorzeichen, wobei für 2VX Druck als positiv gilt. Sind die Angriffspunkte dieser Resultanten um q von einander ent-fernt, so gilt :

von

woraus mit Q nach 14) :

My, — Q q,

15)

J.

16)

<1 =

Da J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts, S₀ das statische Moment des auf einer Seite der Axschicht gelegenen Querschnittstheils in Hinsicht der letzteren, so ist auch q nur von den Querschnittsverhältnissen abhängig.

Bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen (Gitterbogen etc.), wie in andern Fällen hat man sich oft unter Vernachlässigung der Füllung den ganzen Bogenquerschnitt F nur aus zwei getrennten Theilen, den

Querschnitten f₀ und fu des Obergurts und Untergurts zusammen gesetzt gedacht. Die Schwerpunkte derselben mögen um h von einander entfernt sein (Fig. 32). Da in diesen Fällen alle Elemente eines Gurtungsquerschnitts als gleich beansprucht zu gelten pflegen, so nimmt 15) die Form an :

Mx = Q h

(im Allgemeinen ist q <V h), während die ganzen Beanspruchungen O, V des Obergurts und Untergurts bestimmt sind durch die Gleichungen :

N _i_^ x H" h >

\\

Fig. 32.

O cos a

fo

So

17)

y 7VX + Q =

=

fu

18)

19)

U cos ß =

worin a, ß die Winkel der Gurtungsaxen mit der Stabaxe bei x bezeichnen,

welche bei parallel der Stabaxe liegenden Gurtungen 0 wären. Bedeuten ferner dann h₀, hu die Entfernungen der Gurtungsschwerpunkte von der Axschicht, so hat man :

fo K f\i Au>

und annähernd :

Fhu =/cÄ,

F h₀ = /„ h,

J = fo K +/uV,

oder mit Eiicksicht auf die erste der darüber stehenden Beziehungen J = /o Ä₀ (A₀ ~h K) = /u /G (A₀ -j- Au) = /o A₀ h = /„ //u ä.

Setzt man nun, da alle Elemente eines Gurtungsquerschnitts als gleich beansprucht gelten (abgesehen von Nebenspannungen), die Entfernungen der durch a₀, au beanspruchten Querschnittselemente von der Axschicht e₀ — h₀, eu = hu, so folgen aus 7) :

A„ =

fo A₀ A

FK

A₀,

fu Au A j

J.' 7.    ,*U*

foh

Fh₀

Bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen fallen die Kernlinien annähernd mit den Gurtungsschwerlin ien zusammen.

/»A

Beispiel 5. Prüfung der vereinfachten Formel für die Normalspannung (Cannstatter Neckarbrücke).

Aus der Formel § 6, 7) oder § 8, 2) für die Normalspannung hei x, v

V M M

—- -I--Ł J___x v

F ' Fr ^ J

entsteht durch Vernachlässigung des mittleren Gliedes die gewöhnlich verwendete Formel :

1)

.1/

2)

— 4- —- v.

F ' J

Wir wollen deren Zulässigkeit für den Fall der neuen Cannstatter Neckarbrücke (IV. Abschnitt) prüfen.

Die vorläufige Berechnung einer Oeffnung von 48 m Spannweite und 4,505 m Pfeil ergab bei den ungünstigsten Belastungen und normaler Temperatur die Beanspruchungen per qcm im obersten und untersten Querschnittselement auf Grund von 2) :

bei x    = 0    2,4    4,8    7,2    9,6    12,0    14,4    16,8    19,2    21,6    24,0 m

=776    800    722    840    891    907    808    859    747    914    859    kg

=776    852    762    869    918    890    881    800    740    880    858 „

Den betreffenden Belastungen entsprachen für ao und au, d. h. in 2) für v — e(> und v = — eu, Momente AQ, für welche beziehungsweise

-|- Mx = 0 21200 37400 48600 54700 54400 52100 43800 34100 26200 22800 mk während die vorläufigen Querschnitte waren:

F— 295,0 295,0    371,0    369,8    368,6    367,4    365,0    362,6 360,2    281,8 280,6 qcm

Da nun für die parabolische Bogenaxe die Krümmungsradien nach

r = Wf Î¹ +    0—2*)*]

mit l = 48 m, / = 4,505 m sich ergeben:

r =77,906 75,179 72,767 70,661 68,853 67,334 66,100 65,146 64,467 64,061 63,929 m so folgen weiter :

Fr = 22982 22178    26997    26130    25379    25106    24126    23662 23221    18006 17938q

0    0,956    1,385    1,860    2,155    2,167    2,159    1,851 1,468    1,455 1,271 kg,

oder in Prozenten der durch Zufügen dieser Werthe zu obigen oq, ou entstehenden genaueren Werthe der letzteren :

aQ

au

3)

dm.m

-4-

-Fr

SÖ

GO

= » «“IIpp

. er ® s⁻< rr 2 ü oo co

© % K

S'-² 3 ? O P

5    ? s JS to

Cf<3 g B £

2 “Cfq 2

~ O O

c ^ to 2-

I 0^1 PP

|!lr“

|©p.pPP

X tr-3 S CO to OD o> p n

PP

4^.118 8

|S II P

o 2.§ .. S S

mizz

Beispiel 6. Normalspannungen bei gleichmässig vertheilter Last (Cann-statter Neckarbrücke).

Für einen symmetrischen parabolischen Bogen mit Kämpfergelenken von l = 48 m Spannweite sind die Normalkraft und das Moment durch eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von g per Meter ausgedrückt:

x) tgcp -j- 68,093] g cos 9,

Mx = 0,00654 x (Z — x) g.    b)

Es sind die Normalspannungen a , au bei der Trägermitte zu berechnen, wo F — 373,0 qcm der Querschnitt und W — 11594 ccm das Widerstandsmoment ist.

iff = 3,76704 g.

Für beliebige Querschnitte gelten mit ä) b) die Gleichungen § 8, 11). Da nun bei x — 24 m wegen tg cp = 0, cos cp — 1 :

Wx = 63,093 g,

so erhält man daselbst per qcm:

°o ⁼

63,093

g +    g = o,20i 641 ,J,

- -TiSr ⁹ = °>¹³⁰⁰⁶⁹ g-

Die angegebenen Verhältnisse entsprechen den Bogen von Oeffnung IV der Cann-statter Neckarhrücke, (IV. Abschnitt) deren Eigengewicht ohne die sonstige feste Last g — 340 kg beträgt. Bei alleiniger Wirksamkeit desselben wären also :

au = 46,4 kg.

373

au

_ 63,093 373 g

v = ⁶⁸>6 kS’

Aufgabe (> mit Beispiel 7. Normalspannungen durch einen beliebigen Horizontalschub allein (Cannstatter Neckarbrücke).

Für beliebige symmetrisch zur Axschicht liegende Querschnitte diejenigen Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement auszudrücken, welche ein beliebiger und auf beliebige Weise entstandener Horizontalschub allein (ohne Endmomente) erzeugt.

Die Normalkraft und das Moment durch den beliebigen Horizontalschub H sind nach § 1, 9) 3) :

1)

Wx = H cos cp,    Mx — — Hy,

womit nach § 8, 11) die gesuchten Normalspannungen in beliebigen Querschnitten:

COS cp

°o ⁼

y\

w)

H,

2)

§ 9. Längsschubspannungen und Querschubspannungen.

Wir bemerken von vornherein, dass die Schubspannungen bei elastischen Bogenträgern von geringerer Bedeutung als bei horizontalen Balkenträgern sind, sodass sie bei Dimensionirung vollwandiger Bogen gewöhnlich gar nicht berücksichtigt werden. Für symmetrische parabolische Bogen, welche nur unter Einwirkung einer auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilten Last stehen, ergeben sich sogar unter gebräuchlichen, wenn auch nicht immer berechtigten Vernachlässigungen, die im Folgenden abzuleitenden Schubspannungen x, Ę gleich Null.

Es seien Normalkraft und Angriffsin ornent für einen beliebigen Querschnitt x wie bisher durch A4, Mx und für einen um die Axlänge d s von x entfernten Querschnitt vorübergehend durch N, M bezeichnet. Da nach § 3, 14) die Normalspannung bei x, v

AĄ rv

Fr

Der den angenommenen Temperaturänderungen Horizontalschub von H — -j- 2888 kg (IV J) :

um x

₌ -|- 25° entsprechende

ao = 4~ 104,5 kg,    °u = 4l 120,0 kg,

und der einer etwaigen Aenderung der Spannweite (Ausweichen der Widerlager) um M — -j- 1 cm entsprechende Horizontalschub von H = 4- 2093 kg (IV J) : °₀ = ± 75,7 kg,

au = 4- so.9 kS-

__    _5

K r-\-v

so folgt die Resultante sämmtlicher Normalkräfte des von v bis e₀ gelegenen Querschnittstheils bei x (Fig. 33) :

* h dF + p r- dF + p r f

' v    ¹ Fr' v    ' K J y r Ą-v

’eo

odF —

eo

l— dF

und mit den Bezeichnungen L=

r-\-v SY =

dF—Sv— /

J v

F v-

fe o

r-\-v

dF l)

-W-.

2)

v d F,

wenn AT die Querschnittsfläche von v bis e₀ vertritt :

tords,,

z.

Fr

Al

L.

Die Resultante sämmtlicher Normalkräfte für den entsprechenden Theil des zweiten Querschnitts ist N M

S = — F A-— F 4- —

F v ' Fr v ' K

Fig. 33.

Wäre nun genau S — Sx, so würde das Trägerelement von v bis e0 durch die S, Sx lediglich gedrückt oder gezogen, ein Bestreben desselben, sich längs des darunter liegenden Trägertheils fortzubewegen, wäre nicht vorhanden. Da jedoch durch Subtraktion mit Rücksicht auf N — Arx = d A4 und M — Mx = d 4/x :

_L (Fl _L_

dMx,

8 — Sx = ^ dNx

^ \Fr ^ KJ

welcher Werth im Allgemeinen von 0 verschieden ist, so sucht sich das fragliche, in Fig. 33 schraffirte Trägerelement mit dieser Kraft in der Richtung von 8 über die darunter liegende Fläche wegzubewegen, und es muss in dieser, weil Gleichgewicht herrscht, eine numerisch gleiche Kraft entgegen wirken. Wir bezeichnen diese im unteren Flächenelement, bei x, V wirkende Kraft durch x b d sv, unter b die Trägerbreite daselbst, unter dsY die Länge des Flächenelements verstanden, sodass x sich auf die Quadrateinheit bezieht, x soll die Längsschubspannung bei x, v heissen und als positiv gelten, wenn dieselbe von der Richtung von Nx ist. Wenn nun die beiden Querschnitte zwischen zwei auf einander folgenden Lasten Pliegen und tx den auf den Querschnittstheil von v bis e₀ wirkenden Theil der Transversalkraft Tx bedeutet, so drückt sich die Gleichgewichtsbedingung „Summe aller äusseren Kräfte parallel Sx gleich Null“ für das in Fig. 33 schraffirte Trägerstück aus :

x b dsY -f- Sx — S cos d cp -f- ix sin d cp = 0, oder mit cos dcp = 1, sin dcp = dy und dem in § 3, S. 14, erhaltenen Ausdrucke d sv — ds (l -f- —^ :

xb ds — 8 — $x — txdy,

r-\-v

und nach Einsetzen des oben ermittelten & —

r-\-v

^ \Pr ^ K)

Nach § 3, 1) und § 1, 13) 9) 10) 2) haben wir :

= T

-L X>

B\ dJ\'x

d cp

B ds

ds

ds '

3)

d cp

d Mx

ds

ds

Vx — V — ÎF,

Ax — Vx sin cp -f-II cos cp,

Tx — Vx cos cp — H sin cp,

wonach weiter folgt :

X

dAx = Vx cos^dcp -f- sincpćZJ4 — H sin cpcZcp — Txdy — sincpdNP,

0

oder weil von x bis x -f- dx kein P liegen soll :

dATx

ds

Wir erhalten damit aus 3) für die Längsschubspannung x :

r-\-v

4)

T 4- —

K x ' r

Werden in 4) entsprechend dem Vorgehen in § 6 die Entfernungen v der Querschnittselemente von der Axschicht gegen den Krümmungsradius der Axe r vernachlässigt, so folgt mit K — J (vergl. § 6) und dem aus 1) entstehenden Ausdruck

1 Po

L = SY — — r J v

FdF

5)

für die Längsschubspannung x : Weyrauch, Elastische Bogen träger.

3)

In den Bogenmitten von Oeffnung IV der Cannstatter Neckarbrücke (IV. Abschnitt) hat man mit y — 4,505 m, cos 9 = 1, F — 373 qcm, IF = 11594 ccm

= glg = 0,002681,

y _ 450,5

W ~ 11594

sodass wir durch ein beliebiges H per qcm erhalten :

0,036 175 H,

= 0,038856,

au = 0,041 537 H.

°o ⁼

Hiernach erzeugt insbesondere der zur Ueberhöhung der Bogen angewandte künstliche Horizontalschub von H — 1950 kg (IV E) :

au = 81,0 kg.

°₀ = — ⁷⁰,5 kg?

6)

bz J T* + r' und wenn auch liier, wie in § 6 als gebräuchlich erwähnt, die Glieder mit r im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt werden,

Jb

7)

Diese Gleichung ist um so genauer, je grösser r, für gerade Stäbe stimmt sie wegen r — oo vollständig mit 4) überein. In vorstehenden Gleichungen bedeutet J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts in Hinsicht der Axschicht, SY das statische Moment des Querschnittstheils von v bis c0 in Hinsicht derselben.

Nach 7) wie nach 6) und 4) ändert sich bz sowohl mit dem Querschnitt x als mit der Entfernung v von der Axschicht. Für einen bestimmten Querschnitt ergibt 7) den Werth von bz am grössten in der Axschicht, nämlich:

für v — 0

am kleinsten in der obersten und untersten Faser, nämlich wegen Av = 0 für v = e₀ und — en Bei konstantem Sv : J ändert sich b z proportional TXJ sodass mit den Grenzwerthen von Tx auch diejenigen von bz entstehen. Die Bedingung 9) ist selbstverständlich auch nach ß) und 4) erfüllt.

Es erübrigt uns noch, die Yertheilung der Transversalkraft oder Querkraft Tx auf die Querschnittselemente festzustellen. Als Querschubspannung £ bei x, v bezeichnen wir die Schubkraft auf die Quadrateinheit der Querschnittselemente daselbst, wobei die positive Richtung der £ mit derjenigen von Tx übereinstimmt. In dein durch die eben angenommenen Querschnitte zwischen zwei aufeinander folgenden P begrenzten Raum werde ein Körperelement der Dimensionen dv, d.sv,

1 ins Auge gefasst (Fig. 34). Dasselbe ist nach dem Bisherigen, abgesehen von unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung, durch die in Fig. 34 angedeuteten paarweise gleichen Kräfte ergriffen. Das Gleichgewicht gegen Drehung verlangt

Ę d v . dsY — z dsY . d v,

' ? =

An jeder Stelle x, v eines Bogenträgers ist die Q u e r s c h u b s p a n n u n g g 1 e i c h d e r L ä n g s s c h u b s p a n n u n g. Es genügt also für beide die Bezeichnung x.

Nachdem die Normalspannungen a für die Flächenelemente senkrecht der Axschicht und die Schubspannungen x für solche senkrecht und parallel derselben bestimmt sind, könnte man noch die Normalspannungen und Schubspannungen für beliebig gerichtete Flächenelemente ableiten. Da dieselben aber bei der praktischen Berechnung elastischer Bogenträger bisher keine Verwendung fanden, so genüge es, als selbstverständlich anzuführen, dass die grössten Absolutwerthe Her bei x, r vorkommenden Normalspannungen (Druck- oder Zugspannungen) und Schubspannungen ganz wie für horizontale Balkenträger ausgedrückt sind:

bz = ^ Tx =

X,

8)

bz = 0.

9)

Fig. 34.

TÎ3 V

x.

10)

a,

Vf+

t²,

11)

- ⁵ + 2

worin alle Grössen AbsolutAverthe (ohne Vorzeichen) bedeuten. Den grössten Absolutwerth der Spannungen bei x, v erreicht hiernach die Normalspannung’ AT, insbesondere dann, wenn a undt daselbst gleichzeitig gross werden, was z. B. bei Blechträgern am ehesten bei Beginn einer Gurtung ein-tritt. Doch ist zu beachten, dass an den Stellen der Grenz wer the von a (in den äussersten Fasern) x den Werth Null hat, während an anderen Stellen bei Bogen JV meist kleiner als das grösste im Querschnitte vorkommende a sein wird. Im Falle veränderlicher Belastungen kommt hinzu, dass die grössten a, x bei x, v nicht im gleichen Belastungsfalle eintreten (§§ 10, 11), sodass die Ausserachtlassung von WJ S bei Brückenbogen in vielen Fällen begründet werden konnte (vergl. § 24).

Die Gleichung 8) liefert die grösste Längsschubspannung und Querschubspannung, welche in der Axschicht, bei v = 0, eintritt, beispielsweise für rechteckige und quadratische Querschnitte (Gewölbe, vergl. Aufg. 3) mit

J =

bił

bił

12

3 rn

/ #    * X?

2 b/i

12)

sowie für elliptische und kreisförmige Querschnitte (vergl. Aufg. 4) der Halbaxen a, c

7t C(ł

N₀ —

2ccł 3 :

3 Tzac

13)

Beispiel 8. Längsschubspannungen und Querschubspannungen (Cann-statter Neckarbrücke).

Wird für einen Bogen die Belastung wenigstens von 0 bis x als gleich-massig vertheilt angenommen, so ist nach $ 1, 10) 2) die Transversalkraft bei x:

T = (V — ux — mg9) cos cp,    1)

unter u jene Belastung per Längeneinheit verstanden. Diese Gleichung drückt sieh für dis ersten Bogenhälften der im IV. Abschnitte berechneten Cannstatter Neekarbrücke bei normaler Temperatur aus: a) für Vollbelastung des ganzen Bogens

8480 x — 218359 tgcp) cos cp,

Tx = (82320

b)    für Verkehrsbelastung von 0 bis m (erste Bogenhälfte)

7\ = (73980 - 3430 x — 174509 tgcp) cos cp,

c)    für Verkehrsbelastung von m bis l (zweite Bogenhälfte)

Tx — (57300 — 2040 « — 174509 tgcp) cos cp.

Es sollen die grössten Längsschubspannungen und Querschubspannungen x in den unten angeführten Querschnitten x (bezeichnet durch ihre Abseissen) für «lie fraglichen Belastungen berechnet worden.

Die grössten Längsschubspannungen und Querschubspannungen von Blechbogen treten in der Axschicht ein und sind nach § 9, 9) :

Jb

2)

worin J das Trägheitsmoment des Querschnitts x in Hinsicht der Axschicht, SQ das statische Moment des oberhalb der letzteren gelegenen Querschnittstheils in Bezug auf dieselbe, b die Breite der Axschicht (Dicke der Vertikalplatte). Die Ax- und Querschnittsverhältnisse einschliesslich der Werthe J sind im IV. Abschnitte in der Tabelle unter B gegeben. Man hat danach z. B. bei x = 2,682 m :

3*

S₀ = 38-46,4 i|i - 18,8*45 y - 2-7,8*43,8 ^-2* 1,2*36

:T

* ;

98,684

= 5352,21 ccm,

_    5352,21

— 440150 -1,2 x

und bei x — 5,190 m :

S₀ = 38 • 47,6    _ 18,8 • 45    - 2 • 7,8 • 43,8 ^|’⁸

7495,41    _

T — 641690 - 1,2    * — 102,733'

ln gleicher Weise sind die übrigen Werthe der zweiten und dritten Kolumne nachstehender Tabelle berechnet.

36

2 • 1,2 * 36 ~ = 7495,41 ccm,

Weiter erhalten wir mit Rücksicht auf die im IV. Abschnitt unter B gegebene Tabelle bei x — 2,682 m im Belastungsfalle a) :

Tx = (82320 — 3430 • 2,682 — 218359 • 0,33346) 0,94865 = 290 kg.

= 3 kg,

290

im Belastungsfalle b) : Tx = (82320 -

T “ 98,684

3430 • 2,682 - 174509 • 0,33346) 0,94865 = 6251 kg, 6251 _ co u X — 98.684 ~ ’’ kg’

im Belastungsfalle c) :

r. = (57300 - 2040 ■ 2,682 — 174509 • 0,33346) 0,94865 = - 6036 kg.

6036

98,684 — hl kg; ferner bei x = 5,190 m im Belastungsfalle a) :

Tx = (82320 - 3430 • 5,190 - 218359 • 0,29423) 0,95934 = 269 kg,

269

X ~ 102,733

= 8 kft

im Belastungsfalle b) :

T = (73980 - 3430 • 5,190 - 174509 • 0,29423) 0,95934 = 4636 kg, x    4636

T = KE733 = 46 k«'

und im Belastungsfalle c) :

T — (57300 — 2041) • 5,190 — 174509 • 0,29423) 0.95934 = — 4445 kg, x    4445

102,733 —

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der sechs letzten Kolumnen der folgenden Tabelle berechnet. Die t bedeuten kg per qcm.

— 43 kg.

in m

So

in com

Jb

T Vollbelastung

V erkehrslast 0 bism

V erkehrslast mbisZ

2,682    5352,21

5,190    7495,41

7,698    7399,00

10,206    7302,89

12,714    7207,13

15,222    7016,36

17,730    6826,84

20,238    6638,52

22,746    6451,40

98,684

102,733

101,628

100.579

99,473

97,324

95,148

92,986

90,791

ot go to ca co to cê cc

r.o to to cc co

6251

4636

2981

1290

430

63

45

29

13

- 22

—    41

-    61 - 82

—    6036 — 61 _ 4445 — 43

—    2814 — 28

—    1148 — 11

587

2264 23 3996 42 5735 62 7473 82

Bemerkungen. Für Belastung durch das Eigengewicht allein ist bei rbrüeke (infolge eines künstlichen Horizontalschubes, vergl. IV E) in a

Querschnitten nahezu M = 0 und damit nach § 1, 13) auch nahezu T = 0, X — 0. Aus letzterem Grunde müssen die T , i in den Belastungsfällen b) und c) zusammen nahezu gleich den Werthen im Belastungsfalle a) sein.

§ 10. Grenzwerthe der Schnittkräfte und Schnittniomente.

In jedem Querschnitte x kann man sich 2 Flächen zusammen hängen denken. Suchen die Kräfte und Momente links von x die Fläche daselbst von derjenigen rechts von x zu trennen, so müssen von dieser aus solche Kräfte und Momente widerstehen, welche den ersteren numerisch gleich aber von entgegengesetzten Richtungen sind. Um nun bezüglich der Vorzeichen konsequent zu verfahren, werden wir wie in § 1 unter den Kräften und Momenten im Querschnitt x stets die von der Fläche links von x (Seite des Koordinatenursprungs) her wirkenden verstehen. Wir werden ferner für Sprengbogen die Normalkraft Nx dann als positiv bezeichnen, wenn sie Druck bedeutet, also gegen den Querschnitt gerichtet ist, die Transversalkraft Tx, wenn sie von unterhalb nach oberhalb der Ax-schicht wirkt, und das Moment Mx, wenn es wie der Zeiger der Uhr rechts herum dreht. Hält man hieran fest, so bietet es keine Schwierigkeit, die ungünstigsten Belastungen zunächst soweit festzustellen, als ohne bestimmte Annahmen über Art und Form des Bogens möglich ist. Für die Berechnung mit gleichmässig vertheilter Verkehrslast genügen diese Feststellungen, bezüglich der Berechnung mit bewegten Radlastzügen wird auf § 12 verwiesen.

Auf einen beliebigen Bogenträger wirke eine Einzellast P an beliebiger Stelle a. Derselben halten das Gleichgewicht gewisse Kämpferreaktionen R,R‘, deren Lagen und Richtungen durch die Tangenten vom Durchschnittspunkte S von P mit der Kämpferdrucklinie an die Umhüllungslinien U, U‘ bestimmt sind.

Bogen mit Kämpfergelenken mit den Mittelpunkten der Gelenke überein (§ 2). Als Schnitt X bezeichnen wir einen Schnitt durch den Bogen, welcher den Querschnitt x enthält und von dessen äussersten Elementen senkrecht nach oben und unten geht. Dann ist die von der Last P herrührende resultirende Schnittkraft: für P nach A (Fig. 35) Rx = R,

„ P vor X ( „ 36) R* = R'

Die Angriffspunkte und Richtungen von JVX, Tx ergeben sich

Letztere stimmen bei

Li

R/

//U

\/ /

Fig. 35.

U’

S.

-yi

u'

R'

durch Zerlegen von Rx in Komponenten senkrecht und parallel der Querschnittsebene (Fig. 35, 36) :

Normalkraft Æ. Der Beitrag einer Last P zu Æ würde gleich Null (Fig. 35, 36) :

1.    für    P    na cli X, wenn die Tangente von Punkt    S an    Linie    V

parallel der Querschnittsebene stünde ;

2.    für    P    vor X} wenn die Tangente von Punkt    S an    Linie    U‘

parallel der Querschnittsebene stünde.

Beide Fälle kommen aber praktisch gar nicht vor. Daher tragen alle Lasten auf dem Träger in gleichem Sinne zu JVX bei, es wird J\\ am grössten, und zwar positiv und Druck, bei möglichst starker Belastung (Vollbelastung) des ganzen Trägers, am kleinsten bei möglichst schwacher Belastung desselben (Eigengewicht allein).

Transversalkraft Tx. Der Beitrag einer Last P zu rL\ wird gleich Null (Fig. 35, 36) :

1.    für    P    nach X, wenn die Tangente von Punkt    8 an    Linie    JJ

senkrecht zur Querschnittsebene steht ;

2.    für    P    vor X, wenn die Tangente von Punkt    8 an    Linie    U‘

senkrecht zur Querschnittsebene steht;

3.    wenn der Angriffspunkt von P in X liegt, weil mit dem Uebergang von Fig. 35 zu Fig. 36 der Beitrag sein Vorzeichen wechselt.

Für die zwischenliegenden Angriffspunkte lassen sich die Richtungen oder

max.pos. rnax.ncg. Tx

Vorzeichen von 7\ nach Fig. 35, 36 beurtheilen, wonach sich die Belastungen für die Grenzwerthe wie folgt ergeben (Fig. 37, 38):

'90°

ü'

Fig. 37.

max.pos. Tx max. na?. Tx

<⁵£/

U’

l)

Fig. 38.

Man ziehe senkrecht z u r Q u e r s c h n i 11 s e b e n e eine Tangente an die-j e n i ge der Li n i e n U, U‘, an welche eine solche möglich ist, bis zum Du r ch sch ni tt m i t d e r K ä m pf e r d r u ck 1 i n i e 8; es ist einmal zwischen diesem Schnitt p u n k t und dem obersten Querschnittspunkt (bei unten liegender Fahrbahn dem untersten), das and re mal auf den übrigen Strecken der Spannweite m ö g -liehst stark zu belasten. Die erste Belastung liefert den positiven oder negativen Grenzwerth von Tx, jenachdem die Tangente an V oder U‘ gezogen wurde. — In Fig. 37, 38 bedeuten hiernach fette Striche Vollbelastung feine Striche Eigengewicht allein, was auch in der Folge gelten soll.

Moment Mx.

§ 8, 1) auch für eine Einzellast P:

Wie für eine Gesammtbelastung, so hat man nach

Mx = cNx,

worin Nx immer positiv (s. oben) und c die Entfernung des Angriffspunkts von Rx von der Axschicht, gemessen in der Querschnittsebene. Es ist also Mx positiv oder negativ, jenaclidem o positiv oder negativ, d. h. jenaclidem Px oberhalb oder unterhalb der Axschicht angreift. Greift Bx in der Axschicht an, so ist Mx = 0. Für die Grenzwerthe von Mx ergibt sich hiernach Folgendes (Fig. 39) :

Man ziehe durch den

max. pos. Mx max. my. Mx

Axpunkt des Querschnitts Tangenten an die Linie n U, U‘ bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für max. pos. Mx ist zwischen diesen Schnittpunkten für max. ne g. Mx a u f d e u übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Häufig treten einzelne der hier und im nächsten § erwähnten Durchschnitte mit der Linie 8 nicht innerhalb der Spannweite ein; diese liefern also auch keine wirklichen Verkehrslastgrenzen, womit jedoch an der Allgemeinheit der angeführten Konstruktionen nichts geändert wird.

Kommen neben Lasten noch andere unabhängig davon wirkende Einflüsse in Betracht, wie Temperaturänderungen, Winddruck u. s. w., so sind die durch letztere allein erzeugten Grenzwerthe mit den von der Belastung herrührenden Grenzwerthen so zu kombiniren, dass möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerthe im Ganzen entstehen.

x;

UN

Fig. 39.

$ 11. Grenzwerthe der Normalspannungen und Schubspannungen.

Es handelt sich darum, die Belastungen für die Grenzwerthe soweit anzugeben, wie dies im vorigen § bezüglich Nx, Tx, Mx geschehen ist.

Schubspannungen x. Da nach § 9, 7) die Längsschubspannungen und Querschubspannungen x proportional Tx gesetzt werden können, so liefern die Belastungen für die Grenzwerthe von Tx auch die Grenzwerthe der x in dem betreffenden Querschnitte x.

Normalspannungen a. Diejenigen Wertlie der Normalspannungen eines Querschnitts x, zwischen welchen alle andern in diesem Querschnitte auftretenden a liegen, treten als a₀ und au im obersten und untersten Querschnittselement ein. Es genügt also bei der Dimension innig des Trägers, die Grenzwerthe dieser a₀, au zu kennen. Nun wissen wir aus $ 8, dass nur solange a₀ mit Nx von einerlei Vorzeichen ist, als Rx oberhalb des unteren Kernpunktes Kn angreift, und nur solange au mit Nx das gleiche Vorzeichen besitzt, als Px unterhalb des oberen Kernpunktes K₀ angreift. Nx aber ist immer positiv. Wir erhalten daher folgende Regeln:

“sr:

ü'

max. druck min. druck 0₀

Fig. 40.

max. druck ß~u min. druck 6~u

U’

Fig. 41.

Grenzwerthe von a₀ (Fig.

40) : Man ziehe durch den unteren Kernpunkt des Querschnitts Tangenten an die Linien U, TJ‘ bis zu den Durchschnitten mit der Linie-S'; für max. druck a₀ ist zwischen diesen Schnittpunkten, für min. drucka₀oderinax. zug a₀ auf de’n übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Grenzwerthe von au (Fig.

41) : Man ziehe durch den oberen Kernpunkt des Querschnitts Tangenten an die Linien U, U' bis zu den Durchschnitten mit der.Linie S; f ü r min. druck au oder max. zug au i s t zwischen diesen Schnittpunkten, f ü r m a x. d ruck au a u f den übrigen Strecke n der Spannweite m ö g-lichst stark zu belasten.

Vereinfachungen. Je geringer die Entfernungen der Kernlinien von der Stabaxe unter sonst gleichen Verhältnissen, umsomehr nähern sich (EJg. 39—41) die angeführten Belastungsgrenzen für

max. pos. Mx,

sowie für

max. druck a₀,

min. druck au,

min. druck

max. neg. J/x, max. druck au.

Da nun der Einfluss der Lasten in der Nähe jener Belastungsgrenzen überhaupt verhältnissmässig klein ist (an den Grenzen selbst sind die Beiträge 0), so wird es in vielen Fällen genügen, die ungünstigsten Belastungen für die Mx auch als solche für die a₀, au zu verwenden, also die Kernlinien ganz aus dem Spiele zu lassen. Man erspart hierdurch nicht nur die Ermittelung der letzteren, sondern, was mehr ins Gewicht fällt, man braucht nur etwa halb soviel Belastungsfälle, als bei der genaueren Berechnung.

Im IV. Abschnitt unter F sind die nach obigen Verfahren ermittelten Belastungen für die Grenzwerthe max. druck a₀, max. pos. Mx und min. druck au einer Oeffnung der neuen Cannstatter Neckarbrücke (Oeffnung IV von Stuttgart aus) auf einem Blatte dargestellt. Um die Belastungen für min. druck a₀, max. neg. Mx, max. druck a„ zu erhalten, hat man sich nur fette Striche (Vollbelastung) und feine Striche (Eigengewicht allein) vertauscht zu denken. Man sieht, dass die Belastungen für die genauere

So,

I. Abschnitt. § 11.

und angenäherte Berechnung⁻ der a₀, au mehrfach nicht unwesentlich von einander abweichen. Um zu zeigen, in wieweit die Resultate der Berechnungen übereinstimmen, stellen wir in der folgenden Tabelle die auf beiden Wegen erhaltenen Grenzwerthe von a₀, au zusammen (Druck positiv), sowohl für Verkehrslast allein, als auch beim Zusammenwirken der verschiedenen Einflüsse (Eigengewicht, Verkehrslast, Temperaturänderungen, künstlicher Horizontalschub). Von wesentlicher Bedeutung sind indessen nur die Grenzwerthe max. druck a₀ und max. druck au. Die abgekürzte Berechnung muss die Grenzwerthe im Allgemeinen etwas zu günstig ergeben, da sie meist nicht genau die ungünstigsten Belastungen verwendet. Jedoch treffen die grössten Abweichungen gerade an diejenigen Stellen des Bogens (gegen die Mitte und Enden), wo ohnehin die Querschnitte nicht genau der Berechnung angepasst zu werden pflegen.

Werden bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen die Gurtungsschwerlinien als Kernlinien verwendet

Bezüglich der

Berücksichtigung von Nebeneinflüssen wie Temperaturänderungen, Winddruck u. s. w. gilt das am Schlüsse des vorigen § Gesagte. Vergl. im IV. Abschnitt unter J und K.

x 44 nn[.JS.LOu^) B

(§ 8), dann gelten die Grenzwerthe von a₀ und au für die ganze obere und untere Gurtung.

min. druck au

max. druck au

min. druck a₀

max. druck a₀

Verkehrsl. Gesammt-allein spann.

Gesammt-

spannungen

V erkehrslast allein

Gesammt- j Verkehrsl. Gesammt-spannungen allein spann.

Verkehrslast

allein

abgek.

(MOOOCO^OJOOOCO ooaooor-iDicoco^ ^ r_lc^cvL G —l'o

dTidTt—* o oT JO t- o DÎ'

t-H t-H r-H t-H CM CM

genau

kg/qcm i kg/qcm I kg/qcm J kg/qcm

genau

i abgek.

Ab-

weich.

% I kg/qcm kg/qcm | °jo

wÛcïi. genau jabgek.l^^ jgenau abgek. genau abgek. genau Jabgek.j w^'h genau jabgek. °/0 kg]qcm|kg/qcm °/o kg|qcm|kg|qcm kglqcm kglqcm kg|qcra|kg|q

■ IM

genau abgek.

kg/qcm|kg/qcni

x 44]iu[OSjon?) B

268

252

99

78

—    59

—    60 - 26

-    13

-    59

-    69

-    44

16

16

89

77

106

66

g I g I 3 S- S- S 5

il ilil! fi

>q 0_ DJ O 05^0^ CD^ CD

i-T DJ t-T o' o' dT o' t-T o'

OD 00 o o o o

00 t- L—

iiiiiiiii

^ ^ 'I o„ i> <» q_ q od' dT o' t-T od' o' co dT

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c^r^h-^oofiot^eTc^r

H t-H t—I r—I Cv] CM

Mittel

§ 12. Influenzlinien. Bewegte Radlastzüge.

Die in $§ 10, 11 gezeigten Ermittelungen der Belastungen für die Grenzwerthe interessirender Grössen genügen incht, wenn die Berechnung für bewegte Züge konzentrirter Lasten in festen Entfernungen durchgeführt werden soll, welche wir Radlastzüge nennen wollen. Es können alsdann bei elastischen Bogenträgern alle diejenigen Methoden zur Verwendung kommen, die im gleichen Falle auch bei anderen Trägern gebräuchlich sind.³ Wir wollen jedoch hier nur die Berechnung mit Anwendung von Inlluenzlinien andeuten, welche sich insbesondere für die Normalspan-nungen a₀, au empfiehlt, wenn man nicht zur Ableitung specieller Formeln für die Grenzwerthe übergehen will.

Als Influenzlinie einer Grösse G bezeichnet man diejenige Linie, welche entsteht, wenn an jeder Stelle a die Ordinate b gleich dem Beitrag gemacht wird, welchen eine bei a an greifen de Last P — 1 zu G liefert. Ist also der Ausdruck von G für beliebige Pbei beliebigen a gegeben, so erhält man die Gleichung der Influenzlinie von G, wenn man bei jeder Abscisse a die Ordinate b gleich dem Faktor macht, mit welchem P für diese Stelle a im Ausdruck von G multiplicirt ist. Wir wollen dies für einige Grössen betreffend den häutigst vorkommenden Fall symmetrischer Bogen mit Kämpfergelenken (ohne sonstige Gelenke) zeigen.

0),

Für Bogen mit Kämpfergelenken, welche zur Vertikalen durch die Mitte der Spannweite symmetrisch sind (womit in § IM — M‘ — 0, k hat man die Vertikalreaktion bei 0 allgemein :

ZP(l-a),

wonach die Gleichung der Influenzlinie von V (vergl. Fig. 42): l — a

,_i

Fig. 42.

l '

Der von einer beliebigen Belastung herrührende Horizontalschub lässt sich in wichtigen Fällen ausdrücken (§ 16, Aufg. 14): worin G unabhängig von a. Die Gleichung der Influenzlinie von H folgt daraus :

/(«)

2)

G

Für das Moment und die Normal kraft gelten bei beliebiger Belastung:

Mx = V x — Hy

«):

ZP(x 0

Nx = ( V— hP) sin cp -f- Hcos cp. 0

Mit Rücksicht auf die durch 1) 2) bestimmten Werthe von P = 1 erhalten wir die Gleichungen der Influenzlinien für a

l — a

V,

H für

x:

Mx =

A⁷x =

oder auch für a <C x :

fia)

r.V»

1^ sin cp -f-

cos cp

Mx =

fia)

A⁷X =

sin ^ —J—

fia)

3)

('

cos cp,

während für a x :

Mx =

fia)

tv- y,

4)

/(")

a .

— sin cp -J—

Setzt man in den allgemeinen Ausdrücken der Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement symmetrisch zur Axschicht liegender Querschnitte

A^ =

■— COS cp.

Arx __ Mx F W’

für Mx, Nx die aus 3) und 4) folgenden Werthe, so liefern diese Gleichungen 5) die ördinaten der Influenzlinien für a₀, au. Für unsymmetrische Querschnitte würden nur § 8, 9) an Stelle von 5) treten.

In analoger Weise wie hier für die Grössen V, H, Mx, Nx, a₀, au können die Influenzlinien auch für andere Grössen G ermittelt werden.

A⁷x , Mx i w ’

5)

Wird die Belastung nur in bestimmten Knotenpunkten auf den betrachteten Träger übertragen, so verläuft die Influenzlinie zwischen je zwei aufeinander folgenden belasteten Knotenpunkten geradlinig.    Denn von einer bei a

zwischen solchen Knotenpunkten der Abscissen c und d liegenden Bast P kommen unter der hier üblichen Voraussetzung frei drehbarer Zwischenträgerenden bei c und d auf den Träger (Fig. 43) :

[st nun m der Beitrag einer Last P = 1 bei c, und n der Beitrag einer solchen bei d, so folgt der Beitrag der an beliebiger Stelle a zwischen c und d wirkenden Last P — 1 : d —

,p

Fig. 43.

b --

a . a ~c ,n + d

—cn’

und dies ist bei variablem a die Gleichung einer geraden Linie. Es folgt hieraus auch, dass die Influenzlinie einer bestimmten Grösse G je nach der Uebertragungsart der in Frage kommenden Lasten etwas verschieden ausfallen kann.

der Verkehrslast, welche eindeutig bestimmt ist.

Gewöhnlich interessirt jedoch nur die Influenzlinie

¹

Die F, W u. s. w. der deutschen und österreichischen Normalprofile für Walzeisen sind in den betreffenden Normalprofilbüchern zusammengestellt. Für andere Fälle können Dienste leisten: Zimmermann, Trägheitsmomente, Widerstandsmomente und Gewichte genieteter Blechträgnr, Berlin 1885; Scliarowsky, Widerstandsmomente und Gewichte genieteter Träger, Leipzig 1890; Böhm und John, Widerstandsmomente, Trägheitsmomente und Gewichte von Blechträgern, Berlin 1895; Geusen und Miliczck, ,,Profile‘‘, Sammlung von Tabellen, Nürnberg 1895.

²

=

³

Vergl. Weyrauch, Theorie und Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, § 12. — Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888.

Da eine bei a angreifende Last P — 1 zur Grösse G den Beitrag b liefert, unter b die Ordinate der Influenzlinie bei a verstanden, so trägt eine beliebige Last P bei Pb, und für den Beitrag einer Lastenfolge von v bis w hat man:

6)

G = S Pb.

v

Ist die Belastung von v bis w stetig vertheilt und bezeichnet p — cp (a) die Belastung per Längeneinheit bei a, so folgt aus 6) mit P = pda:

r w

7)

G = pda . b.

! y

Speziell wenn die Belastung gleichmässig vertheilt, erhält man wegen des alsdann konstanten p:

8)

worin F die Influenzfläche von v bis w bezeichnet (Fig. 44). Der von einer gleichmässig vertheilten Last p auf der ganzen Spannweite herrührende Werth der obigen Vertikalreaktion V wäre also (vergl. Fig. 42) :

V =

+y

Fig. 44.

P g-

Der Beitrag einer Last und die Influenzfläche bei a sind positiv oder negativ, jenachdem die Influenzlinie daselbst auf der positiven oder negativen Seite der Abscissenaxe liegt (wo b positiv oder negativ). Die Durchschnittspunkte der Influenzlinie mit der Abscissenaxe bilden die Grenzpunkte der positiven und negativen Beitragsstrecken. Auf jeder Beitragsstrecke einerlei Sinns heisst derjenige Punkt i, bei welchem die Ordinate b und damit der Beitrag einer Last P grösser als an allen andern Orten jener Strecke ist, der Influenzpunk t für die betreffende Strecke. Ihm hat man in praktischen Fällen die Lasten von den Streckengrenzen aus zu nähern, wenn ihre Beiträge zu G wachsen sollen. Im obigen Falle von V beispielsweise würde es der Punkt 0 sein, für H ist in allen

später betrachteten Fällen i — ^ •

Ist die Influenzlinie einer Grösse G verzeichnet, so kann man mit Kücksicht auf obige Eigenschaften der Influenzlinien die Belastungen für die Grenzwerthe von G sehr leicht angeben und diese selbst ohne weitere Formeln berechnen, wie dies der Verfasser zuerst im Jahre 1873 gezeigt hat.¹ Man hat bei Berechnung jedes der beiden Grenzwerthe die Beitragsstrecken des betreffenden Sinnes möglichst stark und zwar derart zu belasten, dass alle Lasten, besonders die grössten derselben, möglichst nahe bei den Influenzpunkten ihrer Strecken liegen, während die Beitragsstrecken

entgegengesetzten Sinnes von Lasten möglichst frei zu lassen sind. Verkehrslasten, welche trotzdem auf dieselben gelangen, kann man auch einfach unberücksichtigt lassen, womit in immer zulässiger Weise etwas zu ungünstig gerechnet wird. Liegt die Influenzlinie einer Grösse ganz auf einer Seite der Abscissenaxe, dann tritt der obere Grenzwerth bei möglichst starker Belastung des ganzen Trägers (besonders in der Nähe des Influenzpunktes), der untere für Eigenwicht allein aus.

In vielen Fällen lassen schon die allgemeinen Formeln für G auf die Grenzen und Influenzpunkte der Beitragsstrecken, sowie auf die ungünstigsten Zusammensetzungen und Eichtungen der Lastsysteme schliessen. Nach der oben angeschriebenen Formel für V beispielsweise erhält man den grössten Werth von V bei Belastung durch Eisenbahnfahrzeuge, wenn ein Zug schwerster Lokomotiven vorwärts von l nach 0 fahrend mit dem Vorderrade der ersten Lokomotive bei a = 0 angelangt ist, den kleinsten Werth von V für Eigengewicht allein. Für ein gleichmässig vertheiltes Eigen wicht von y und eine ebensolche Verkehrslast von p per Längeneinheit wären nach dem bisher Gesagten mit Bücksicht auf Fig. 42 und q = y -J- p die Grenzwerthe von V:

V = —

2

Dieselben Grenzwerthe ergeben sich durch gleichmässig vertheilte Lasten y, p für die Vertikalreaktionen V, V in allen später betrachteten Fällen. Auch die Grenzwerthe des Horizontalschubs H treten für solche Lasten ein, wenn die ganze Spannweite einmal mit q — y ~f- p das andremal nur mit y belastet ist.

qt

33 =

fff

Beispiel 9. Influenzlinien und Grenzwerthe.

Für die symmetrischen Bogen mit drei Gelenken einer eingeleisigen Eisenbahnbrücke sei die Spannweite l — 24 m, der Pfeil der Axe / = 8 m, die gleichmässig vertheilt gedachte feste Last (Eigengewicht der Konstruktion) g = 7(X) kg Meter Spannweite. Zu bestimmen: a) die Influenzlinien für die Vertikalreaktionen V, V' der Kämpfer und den Horizontalschub, welcher für beliebige

per

Belastung mit m    durch

H =

i)

ausgedrückt ist (§ 15); b) die Grenzwerthe von V, V‘ H, welche beim Befahren

der Brücke durch Züge von Lokomotiven der in Fig. 45 angedeuteten Radanordnung entstehen.

. A    LAL ?- h-IjAJU

(pCpCDd) Cp

's *s t ‘st

Fig. 45.

a) Die Influenzlinie von V wurde bereits in § 12 festgestellt, diejenige von V' liegt bezüglich der Trägermitte symmetrisch zu ihr (Fig. 46). Nach 1) hat man zufolge § 12 die Gleichung der Influenzlinie von H :

für a <7 vn

2/ \

l—a

2)

H=w:

Die Linie liegt symmetrisch zur Trägermitte, und da die Gleichungen 2) für a —

24

= 2, so ist die Influenzlinie

in unserem Falle aber

liefern H — für H durch Fig. 47 dargestellt.

if.

4/    4-3

b) Da die drei Influenzlinien vollständig aut einer Seite der Abscissenaxè liegen, so treten die unteren Grenzwerthe von V, V', H für die feste Last allein ein. Ihre Werthe sind nach § 12, 8):

= 700 ²⁴₂ ¹

^2^ = 16800 „.

Der obere Grenzwerth von V ergibt sich hei der in Fig. 46 angedeuteten Belastung aus § 12, 6):

= 8400 kg,

H = 700

V = 8400 + ^

6000 (24 4 22,7 4 21,4 4 13 4 11,7 4 10,4 424 0,7) 4 4000 (20,2 4 9,2) 4 5 (17,2 4 6,2)] = 44650 kg.

Łł

4,2

1,3

__

4,2

1,3 u i; 3 m

14 m

fut v

ij

Fig. 47.

Fig. 4ß.

Derselbe Grenzwerth tritt für V ein, wenn der Zug in entgegengesetzter Richtung mit dem Vorderrad bei l steht. Den oberen Grenzwerth von H erhält man hei der in Fig. 47 angedeuteten Belastung :

H = 16800 4 i [6000 (12 4 10,7 4 2,3 4 1 4 10,7 + 6,7 -f 5,4 4 4,1) -f 4000 (9,5 + 2,9) 4 5 • 6,ö] = 83380 kg.

Siehe auch Beisp. 18.

Beispiel 10. Influenzlinien (Cannstatter Neckarbrücke).

Für einen symmetrischen parabolischen Bogen mit Kämpfergelenken von l — 48 m Spannweite und / = 4,505 m Pfeil der Axe ist der von einer Last P an beliebiger Stelle a herrührende Horizontalschuh für Meter als Längeneinheit ausgedrückt :

Pf(a)

o)

806 754

Die Verkehrslast wird durch Vertikalen in Abständen von 2,508 m hei den unten angegebenen Ahscissen a, welchen die heigesetzten f(a) entsprechen, auf die Bogen übertragen. Es sind die Influenzlinien für 4/., AQ, aQ, au in der Trägermitte zu ermitteln, wo der Querschnitt F — 373 qcm und das Widerstandsmoment W — 11594 ccm ist.

Die Gleichungen der Influenzlinien von M , N für beliebige Querschnitte x sind nach § 12, 3) 4) mit l = 48 m, C = 806 754, wenn die Abscisse a <[ x:

_ a __ y/(«)

48    8Ô6754’

(- ^ tgcp 4

M = x 48

= {^r

N =

X

wenn die Abscisse a x :

/(«)

806754

COS Cp,

x _ y/(g)

806754’

/(«)

o)

806753

COS cp.

Mit diesen Werthen von Mx, Arx sind die Gleichungen der Influenzlinien von aoj a für beliebige Querschnitte durch § 12, 5) bestimmt.

Für x = 24 m liegen die fraglichen Influenzlinien symmetrisch zur Trägermitte, sodass es genügt, die ersten Hälften zu ermitteln. Man erhält für dieselben mit l — x = 24 m, y = / = 4,505 m, t g cp = 0, cos cp = 1 nach b) :

(7,

/(«)

^ “ 2    179980’

_ /(«)

* ~ 806754’

und damit nach § 12, 5) per qcm :

1004/

---J

11594 Nx    100 M

878    71594

Ar

373

x-

Wir erhalten aus diesen Gleichungen beispielsweise für a — 0,174 m mit f{n) — 19212:

19212

179080 —    °’°203,

4/ — 0,087 —

*■ = = ⁰-⁰²³⁸’

0,0238    2,03 __    0,1113

1000 ’ 0,2389

373

11 594

0,0238    2,03

G>' ~    373    '    11594 “

und für a = 2,682 m mit f(a) — 294406:

Ï000

K = 1.341 -fm = - 0,9030, 294406

806754 _ 0,3649 °» “    373

0,3649

= 0,3649,

30,3 _    1,6351

11594 '    1000’

3,5917

30,3

378

11594

1000

Tn gleicher Weise sind die übrigen Ordinaten b der Influenzlinien für Mx, 3 o, au in folgender Zusammenstellung berechnet.

Für

au

/(«)

1000 b

l(XX) b

-    0,1113

-    1,6351

-    2,7526

-    3,1239

-    2,4525

-    0,4793 3,0076 8,1786

15,1585

24,0351

0,2389

3,5917

6,4780

8,5079

9,3399

8,6671

6,2766

1,9426

-    4,4689

-    13,0581

0,174 2,682 5,190 7,698 10,206 12,714 15,222 17,730 20,238 22.746

Zwischen je zwei aufeinander folgenden a verlaufen die Influenzlinien geradlinig. Die Influenzlinie für Arx ist gleichzeitig die Influenzlinie des Horizontal-

19 212 294 406 560 538 810 037 1036 264 1283 463 1396910 1522 804 1608 352 1651 601

-    0,0203

-    (',8030 0,5351

-    0,6743

-    0,6836

-    0,5308 - 0,1895

0,3615

1,1378

2,1503

0,0238 0,3649 0,6948 1,0041 1,2845 1,5289 1,7315 1,8876 1,9936 2,0472

schubs H (bei x = Influenzlinien verzeichnet.

symmetrischer Bogen). In Fig. 48 sind die ermittelten

•i

wt‘,

G/_i

V fùrl!

3j7S‘>

so,no

2»:j62

17,730 / 30,13»    23,700

Fig. 48.

rVT

Beispiel 11. Berechnung von Grenzwerthen mit Hülfe von Influenzlinien (Cannstatter Nekarbrücke).

Die Ordinaten b der symmetrisch zur Trägermitte liegenden Influenzlinien für die Normalspannungen ao, au in der

Schlüsse von Beispiel 10 ermittelt. Man soll mit Hülfe der Influenz-

a) Die Werthe von o , au für gleiche Lasten P = 4264 kg bei allen Knotenpunkten a, mit Ausnahmen der beiden

2

zunächst den Kämpfern gelegenen, wo nur -g- P angreifen;

Mitte eines Bogens mit Kämpfergelenken sind wie am linien bestimmen :

b)    die ungünstigsten yon einer Strassenwalze der in Fig. 49 ersichtlichen Lastanordnung allein herrührenden oq, au, wenn die einzelnen Bogen in Abständen yon 3,2 m liegen;

c)    den grössten von zwei der erwähnten Strassenwalzen allein herrührenden Druck au im gleichen Falle ;

d)    den grössten durch Verkehrslast erzeugten Druck aQ, wenn ausser der nach b) gewählten Belastung durch die Strassenwalze noch bei a = 15,222 m,

17,730 m und den symmetrisch dazu gelegenen Knotenpunkten Lasten P— 3486

e kommen; erkehrslast wenn ausser der

kg durch Menschengedräng( e) den grössten durch V Druck

5m

"oT V

2,9 m

0,6

"6t t6m ht

erzeugten

nach c) gewählten Belastung durch Strassenwalzen noch bei a = 2,682 m, 5,190 m, 15,222 m, 17,730 m Lasten P — 3486 kg sowie bei a = 0,174 m zwei Drittel soviel durch Menschengedränge kommen und Analoges für die symmetrisch dazu liegenden Punkte gilt.

a) Für die unter a) angeführte Belastung hat man bei beliebigen Pnach§ 12,6):

°° “ 1000

Fig. 49.

2F (- 0,1113 I - 1,6351 - 2,7526 — • • • -f 24,0351 ) = 0,0797244 P, 2 P ( 0,2389 I + 3,5917 -f 6,4780 + • • • - 13,0581 ) = 0,0550314 P,

°u — 1000

also speziell für P = 4264 kg, entsprechend dem konzentrirten Eigengewicht der Konstruktion (bezüglich des gleichmässig vertheilten Eigengewichts der Bogen selbst siehe Beispiel 6):

. °₀ = 339,9 kg,

b) Da die einzelnen Bogen um 3,2 m von einander entfernt liegen, so können von der 20 t schweren Strassenwalze höchstens folgende Lasten auf einen Bogen kommen (Fig. 50) :

2-6 M =

°u = 234,7 kg.

.1,6

3,2

9 t,

2-4Ï =

3,2

7,25 t.

5,2

5,2 m

Steht nun die Last von 9 t bei a =

25,254 m, wo ihr Beitrag zu o , ou am

grössten ist (Fig. 48), dann kommen auf die beiden

vorhergehenden Knotenpunkte (Fig. 51) :

bei a — 22,746 m

Fig. 50.

2,116 _

2,508 —

0,392 2,508

Mit Rücksicht hierauf erhält man nach § 12, 6) die numerisch grössten durch die Strassenwalze erzeugten Normalspannungen genügend genau :

bei a — 20,238 m

P = 7,25

P = 7,25

6,117 t,

2,9 m

= 1,133 t.

380,5 kg,

1,133 • 15,1585 -t- (6,117 + 9) 24,0351 = au = — 1,133 • 4,4689 — (6,117 -j- 9) 13,0581 = — 202,5 „ .

Die Berechnung der P bei den Knotenpunkten war übrigens nicht noting, da wir nach § 12, 6) mit den Lasten von 7,25 und 9 t und den unmittelbar darunter liegenden Ordinaten b direkt rechnen konnten, doch braucht man bei dem jetzt angewandten Verfahren (wie auch bei numerischer Interpolation der b unter 7,25 und 9 t) die Influenzlinie nicht zu verzeichnen. Bei einer grösseren Anzahl von Radlasten ist es natürlich bequemer, mit letzteren und den zugehörigen (abgegriffenen) b selbst zu rechnen.

c) Zur Erzielung eines möglichst grossen Drucks cu genügt es nach Fig. 48 zwei Strassenwalzen symmetrisch zur Trägermitte so zu stellen, dass die Lasten

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

Allgemeine Beziehungen.

Ct

von 7,25 und 9 t gleichweit vom Punkt 10,206 m abstehen, die Last von 9 t nach der Trägermitte hin. Man hat dann:

bei a = 7,698 m

1.45

a = 10,206 m

P — 7,25 2,508— ⁴’192 1 P = (7,25 + 9)

1,058

2,508

= 6,855 „

1.45

„ a —' 12,714 m

und für diese Belastung nach § 12,6) :

ou = 2 (4,192-8,5079 -f 6,855-9,3399 + 5,203-8,6671) = 289,6 kg.

Auch hier gilt das am Schlüsse von b Gesagte.

d)    Werden zur Erzeugung eines möglichst grossen Druckes ao die oben unter d) erwähnten Verkehrslasten angenommen, so ergiebt sich der Beitrag der Verkehrslast zu ao mit Rücksicht auf das Resultat unter b):

ao = 380,5 + 2 • 3,486 (3,0076 + 8,1786) = 458,5 kg.

e)    Werden ferner zur Erzielung eines möglichst groseen Druckes au die oben unter e) angeführten Verkehrslasten angenommen, so folgt der Beitrag der Verkehrslast zu o mit Rücksicht auf das Resultat unter c):

au = 289,6 + 2-3,486 (0,2389-f - + 3,5917 + 6,4780 -f 6,2766 + 1,9426) = 418,2 kg.

⁹ 2,508" ⁵’²⁰³ »

Bemerkungen•' Die angegebenen Verhältnisse entsprechen der Cannstatter Neckarbrücke. (IV. Abschnitt). Beim Zusammenwirken des bei derselben angewandten künstlichen Horizontalschubes (Beisp. 7), des gesammten Eigengewichts (Beisp. 6) und oben a) und der unter d) und e) angenommenen Verkehrslasten werden die grössten Drücke bei normaler Temperatur:

o₀ = — 70,5 4- 68,6 4- 339,9 4- 458,5 = 796,5 kg.

81,0 4- 46,4 -j- 234,7 + 418,2 = 780,3 „ und bei Berücksichtigung der in Betracht gezogenen Temperaturveränderungen von t = 4“ 25° (Beisp. 7):

ao = 796,5 4- 104,5 = 901 kg, ou = 780,3 4- 120,0 = 900 „

Mit den unter b) und c) erwähnten Verkehrslasten (ohne Menschengedränge) hätten sich ao = 823 kg, au = 771 kg ergeben.

Beispiel 12. Verwendung gleichmässig vertheilter und koncentrirter Eigengewichte (Cannstatter Neckarbrücke).

Bei der Cannstatter Neckarbrücke (IV. Abschnitt) kann das Eigengewicht der Bogen selbst mit g = 340 kg per Meter als gleichmässig vertheilt auf die Spannweite von 48 m gelten, während die in Abständen von 2,508 m liegenden Vertikalen je P — 4264 kg koncentrirt übertragen (die Endvertikalen nur ²/3 soviel) Es sollen mit den von dieser Belastung herrührenden Normalspannungen o , au im Scheitelquerschnitt diejenigen Werthe der letzteren verglichen werden, welche man erhält, wenn das ganze Eigengewicht der Konstruktion entweder gleichmässig vertheilt oder bei den Vertikalen koncentrirt angenommen wird.

Die fraglichen Normalspannungen durch das wirkliche Eigengewicht sind nach Beisp. 6 und Beisp. 9 a):

ao = 68,6 4- 339,9 = 408,5 kg, au = 46,4 4- 234,7 = 281,1 „

Hätten wir das ganze Eigengewicht als gleichmässig vertheilt angenommen, so

würden sich mit g — 340

4264

2,508

a₀ = 0,201 641 • 2040 = 411,3 kg a” = 0,136 659-2040 = 278,8 „

— 2040 kg nach Beisp. 6 ergeben haben :

d. i. mehr 0,69 °/o, weniger 0,82 „

Hätten wir dagegen das ganze Eigengewicht bei den Vertikalen koncentrirt angenommen, so würde man mit P — 4264 4“ 340 * 2,508 = 5117 kg nach Beisp. 9n erhalten haben :

gq = 0,079 7244-5117 = 407,9 kg d. i. weniger 0,15 °/o, a° = 0,055 0314-5117 = 281,6 „ „ „ mehr 0,18 „

Bemerkungen: Die Beiträge 68,6 und 46,4 kg des gleichmässig vertheilten Eigengewichts zu oq, au wurden in Beisp. 6 mitteist der genauen Formeln berechnet. Annähernd können dieselben auch mit Hülfe der in Beisp. 10 fest-gestellten Influenzlinien erhalten werden, welche nur durch die geradlinige Verbindung auleinander folgender Knotenpunkte von den jenem Eigengewichte entsprechenden abweichen. Bezeichnen bQ, bv b₂, . . 6₁₀, bn die Ordinaten der In-fluenzlinien bei a = 0, bei den am Schlüsse von Beisp. 10 angeführten a und bei a — 24 m, dann hat man den Inhalt der ganzen Influenzflächen:

F —2    0,174 +    2,508 +    2,508 +... +    2,508 +

V 2    2    2    2

1,254)

oder auch

F = [0,174 b₀ + 2,682 6, + 5,016 (6, + Ä, + . . + ö₉) + 3,762 bw + 1,254 6J, wonach speziell für die Influenzflächen von o , au mit den am Schlüsse von Beisp. 10 gegebenen b:

1000 Fo = [- 2,682 • 0,1113 + 5,016 (- 1,6351 -(3,762 + 1,254) 24,0351] = 200,022,

1000 Fu = L 0,682 • 9,2389 + 5,016 (    3,5917 + . . - 4,4689) -

(3,762 4- 1,254) 13,0581] = 137,461.

Normalspannungen durch ein gleichmässig vertheiltes Eigengewicht ■ Meter Spannweite ergeben sich damit zufolge, § 12, 8)

ao = 0,200022 g,    au = 0,137467 g,

d. i. um 0,80 °/o kleiner, bezw. 0,59 °/o grösser als in Beisp. 6, wo wir ao = 0,201641 g,    a(| = 0,136659 g

. . -]- 15,1585) 4-

I)ie

von

g per

erhalten hatten.

§ 13. Berechnung der Gelenke.

Während die Berechnung der Rollenlager und Tangentiallager auf Grund neuerer Formeln von Hertz gegenwärtig mit derjenigen Zuverlässigkeit möglich ist, mit welcher die allgemeine Elasticitätslehre isotroper fester Körper unter Vernachlässigung der Reibung für die Auflager gilt* (wenn auch Versuche bezüglich genauerer Bestimmung der zulässigen Beanspruchungen wünschenswerth bleiben), konnte eine entsprechende Lösung für zwei sich umschliessende Cylinderflächen oder Kugelflächen, wie sie bei Zapfengelenken und Kugelgelenken auftreten, bis jetzt nicht geliefert werden. Man geht daher, die Reibung ebenfalls vernachlässigend, von der Annahme aus, dass für die in Frage kommenden Körper und elastischen Formänderungen die Zusammendrückungen normal den ursprünglichen Berührungsflächen proportional den sie erzeugenden Normal Spannungen gesetzt werden dürfen.

Die beiden Körper von zunächst beliebiger Berührungsfläche seien durch eine äussere Kraft R normal der Berührungsfläche bei ihrem Angriffspunkte gegeneinander gedrückt (Fig. 52). An beliebiger Stelle wo

SG®,

,v

44

Fig. 52.

* Vergl. Wey rauch, Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 1894, S. 131, 569; Lueger, Lexikon der gesammten Technik, Bd. I,

Art. Auflager, Stuttgart 1895.

zu z₂ die normalen Eindrücknngen der zwei Körper, hat man nach obiger Annahme die Normalspannung

1)

jsr = ^

a

unter a, ß vom Material abhängiger Konstante verstanden. Bezeichnet a den Weg, um welchen die Körper bei der Deformation in der Richtung von R gegeneinander rücken und cp den Winkel der Normalen zur Berührungsfläche bei N mit der Richtung von R, so hat man (Fig. 52):

Z\ —z₂ = ci cos cp,

und nach Einsetzen von zu z₂ nach 1):

a cos cp

2)

N =

Die Normalspannung ist also am grössten unmittelbar bei R, wo cp = 0, und bezeichnet man sie daselbst mit s, so ist allgemein

3)

N = s cos cp.

Der Normaldruck auf ein Flächenelement dF bei N ist NdF} und die parallel R wirkende Komponente desselben:

dR = NdF. cos cp = s cos² cp. dF,

woraus

s j cos² cp d F.

4)

R =

Die Integration ist auf die ganze Berührungsfläche zu erstrecken.

Bezeichnet n den Hebelarm der Normalspannung N bezüglich des Angriffspunktes von R, so verlangt das Gleichgewicht gegen Drehung

NdF. n =

Für eine ebene Berührungsfläche lautet dieselbe wegen cp = 0

= 0,

R muss also alsdann im Schwerpunkte der Berührungsfläche angreifen.

Bei elastischen Bogenträgern kommen nur kreiscylindrische Zapfengelenke vor, r sei der Radius, l die wirksame Länge eines solchen. Wir wählen dF — Ir d cp (Fig. 53) und haben dann nach 4) :

R =

s j cos cp ndF

IndF

srl I cos² cp d cp,

uud wenn die Berührungsfläche auf der ganzen Länge l von cp = — rrn: bis cp = m 7t reicht:

R = srl (m 7t -f- sin ?mz cos mit), woraus bei einer zulässigen Druckbeanspruchuug s des wenigst widerstandsfähigeren der beiden Körper eine der Grössen r, l berechnet werden kann, wenn die andere gegeben ist. Gleichung 5) ist wegen n — r sin cp ebenfalls erfüllt. Für den gewöhnlichen Fall, dass genau

7C

oder genügend angenähert m 7t — •», würde aus 6) folgen :

6)

Fig. 53.

5)

2R r = -

7t S /

I)a jedoch auf eine Berührung längs der ganzen Fläche nicht zu rechnen

TC

ist, so kann man etwa setzen m n = T, womit abgerundet:

7)

4R

5 s i

Beispiel siehe IV L.

Mit Rücksicht auf die Art der Beanspruchung und um den Radius möglichst klein, also den Angriffspunkt von R möglichst bestimmt zu erhalten, kann man s in 7) je nach Material und sonstigen Umständen für Gusseisen gleich 600 bis 800, für Stahl gleich 1000 bis 1500 kg per qcm wählen.

§ 14. Specielle Belastungsarten.

Die bis jetzt abgeleiteten Gleichungen gelten für ganz beliebige Belastungen. Alle Formeln können in der jetzigen Form auch für stetig vertheilte Lasten verwendet werden, wenn man sich diese in einer Anzahl Punkte koncentrirt denkt, wie die graphische Statik gewöhnlich verfährt. Man kann jedoch auch specielle Formeln für stetig vertheilte Lasten erhalten. Je nach der Belastung ändern sich dann in unseren allgemeinen Gleichungen nur diejenigen Ausdrücke, welche eben die Lasten enthalten, das heisst die Summen 2.

Dabei ist zu beachten, dass eine stetig vertheilte Last von

1)

u — f (a)

per Längeneinheit für die Strecke d a eine unendliche kleine koncen-trirte Last ergiebt (Fig. 54):

2)

P — u da = f(a) da, und eine Summe solcher unendlich kleiner Summanden als Integral bezeichnet wird. Wir haben hiernach z. B. für

da

Fig. 54.

die Last 1) von 0 bis x:

•x

f (a) d a, 0

und speciell für eine gleichmässig vertheilte o Last wegen konstantem u :

da — u x,

X    /² x

2 P = u

2 P(x — a) — u I (x — a) da —

0    Jo

sowie für gleichmässig vertheilte Lasten u, iï von 0 bis z bezw. z bis x

P = u I da -f- u⁴ f da — uz -j- u⁴ (x — z).

In analoger Weise können andre gesetzmässig vertheilte Lasten behandelt werden. ²)

Da die Verkehrs last bei Bogen entweder aus koncentrirten Lasten besteht (durch Vertikalständer übertragen) oder im Allgemeinen am einfachsten durch eine Anzahl koncentrirter Lasten ersetzt wird, so sollen im Folgenden die erwähnten Summenwerthe nur für eine über die ganze

Spannweite Z gleichmässig vertheilte Last und für zwei verschiedene auf je eine Trägerhälfte gleichmässig vertheilte Lasten angegeben werden. Der erste Fall wird häufig für das Eigengewicht der Konstruktion allein und Vollbelastung des ganzen Trägers als zutreffend angenommen (vergl. Beisp. 12), der zweite pflegt besonders bei vorläufigen und sonstigen näherungsweisen Berechnungen in Betracht zu kommen.

I. Gleichmässig vertheilte Last auf der ganzen Spannweite Z. Dieselbe sei u per Längeneinheit Träger, sodass auf der Strecke d a bei konstantem u (Fig. 55):

P — u da.

Wir erhalten damit:

2 P — ux

2 Pa = Uf

wonach auch mit m = ~ :

2 Pa =

o    2

in

2 Pa =

0

Weiter ergeben sich:

h Pa (l—a) = ~

0    D

hPa (,l-df =

0

?    ^ - ln

V D/    x    U X³

2 P (x—a) = —v-

o    2

2 P (l—a) =

u (l—x)³

2 P(l—a) =

2 P(l—a) =

da

li

Fig. 55.

ul³

u Z³

u Z⁴

CM

2 P cP (Z—a)³ =

0

¹    z⁴

2    P a³ (Z—a) =

0 1

2 PaHl—a) = "

20

2 Pa (l—a) = 12 3 u Z⁵

2 Pa³(l—«)³ =

60

v p«⁶ (Z—«) =

320

2 Pa (1—af =

u Z⁵

64

in 2 Pa (3 Z³—4 P) =

2 P «³ (3 Z—4 «) =

o    10

2 Pd [I—a) (Z⁷-f Z«-«²—ß P) = ( l —

// Z°

2 P a, (Z—a f (5 a—2 Z—12 s Z) — — z u Z5 0

2 P à⁷ (l—a) (3 Z—5 «—12 s Z) = — s m Z⁵.

■>

Oft kann die Berechnung⁻ einer Summe durch Zerfällung⁻ in einfachere Ausdrücke umgangen oder abgekürzt werden. So hat man:

—i P ti (Z—ci) (Z —j— (i —(— 3 Ç Z) = ii P ci (Z—ci) (Z —(— ci) —j— 3 g Z 2 Pa (Z—ß) 0 0 0

_ ^I q r /u V _ n I 9 n u l*

— -4- + à Ç Z -g- — (1    2 0 ₄ .

Auch manche der obigen Summen hätten sich so auswerthen lassen.

II. Verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten auf der ersten und zweiten Hälfte von Z. Dieselben mögen per Längeneinheit betragen :

LC

bis a = l.

u' von a = m

u von a = 0 bis a — m

Dann hat man auf der Strecke da (Fig. 56, 57):

P = u d a von a — 0 bis m, P — u‘ d a von a = m bis Z.

U-

m » ^ a Fig. 56.

■q

El

u'

Fig. 57.

Die in Frage kommenden Summenausdrucke nehmen damit folgende Werthe an:

Für x m:

V 7^ /    ,    U P

2 P (x—a) = ₀

0    2

x    u rl

2 Pa =    ;

0 2

für x f> m :

u{l—xf

v P(7-a) =

5, r i    , u—ii

2 I = w' x -|---

0    Ü

u‘ xl , u—u‘

2~ "1 8 '

2 P(x—a) —

2 Pa =

2 P(Z- a) =

ti—u r,

ii x⁷ . u—ii , ,.

H---g— l(Ax—l)

ii (Z—xf.

Hiernach sind beispielsweise u H~ 3 u‘ p

2 Pa —

2 P(l—a) =

3 u -f- u‘ p

« Z⁷

Weiter erhalten wir:

2 Pff (Z—ff) =    Z³

0 12

11 u -f- 5 u‘

u -f- u‘

2 Pa (Z—af =

192

Hi P a (Z—ff)³ =

13 u -f- 3 u‘

320

7/ /'*

2 P (1—2 af =

o    b

Z⁵

2 Pa*{l—af = l⁴ 2 Pa² (Z-ff) =    /4

o    162

3 u -h 13 u‘ ^

-- I

Z⁵ 2 Pff³ (Z—ff) =

2 P (Z—2 «)³ =

( u —j— 9 ff' j j 64 L 9^ + 7 ff'

2 Pa (l a) (Z -j- ff) =

N Pa\ (Z—ff) (2 Z— ff) =

S Pff (Z-ff) (Z² -j- la—à²) =^t-Z⁵

64

60

320

u l⁴

S P (Z-ff) (Z²—8 Z « + 4 ff²) = -S Pff (Z²—5 Z « 4-4 ff²) =

o    lo

S Pa (Z-—-ff)² (5 ff—2 Z) =

Ś P«² (Z—ff) (3 Z—5 ff) = Z⁵

2 Pff (Z—ff) (Z² + Z ff-ff²-ß Z²) = (l —

4, ^ / 7    7 ff'—ff «    1 1 ff —I— 5 ff'

2 Pff (Z—ff)² (5 ff—2 Z—12 £ Z) = —Z⁵--4L---

o    o2    lu

2 P ff² (Z—ff) (3 Z-5 ff-12 £ Z) = Z⁵ - ~ ~L11W'

o    1 b

2 Pff (Z—ff) (Z —ff -j- 3 Ç Z) = ⁷ ¹¹ ^-V-- Z¹ + " U "

Auch hier lässt sich die Berechnung der Summen häufig in der am Schlüsse von I erwähnten Weise vereinfachen. In praktischen Fällen pflegt ff—ff' = + p zu sein, unter die Verkehrslast per Längeneinheit Träger verstanden. Sebstverständlich kann auch eine der Grössen ff, ff' gleich Null sein.

ff'—ff

32

16

Z⁵

£Z⁵

£Z⁵

II« Abschnitt.

Besondere Bogenarten.

Besondere Arten von Bogenträgern unterscheiden wir je nach der Anzahl und Anordnung der Auflager und Zwischengelenke (einfache Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk, kontinuirliche Bogen u. s. w.), besondere Formen je nach den Gesetzen der Bogenaxe und äusseren Begrenzung (Parabelbogen, Kreisbogen, Sichelbogen u. s. w.), besondere Systeme je nach der Gliederung der Füllung (Blechbogen, Fach werkbogen einfachen und mehrfachen Systems u. s. w.). Die Voraussetzungen des I. Abschnitts werden aufrecht erhalten. Obwohl die abgeleiteten Formeln auch für Balken gelten, und für nicht horizontale Balken unter Umständen zur Anwendung kommen müssen, so beschränken wir uns doch, dem Zwecke dieser Schrift entsprechend, im Folgenden auf Bogenträger *. Um die praktische Verwendung des Gegebenen nicht unnöthig zu erschweren, führen wir auf Grund der zur Ermittelung statisch unbestimmter Grössen (Horizontalschub H, Endmomente M, M', Einsenkungen e) nöthigen Integrationen zunächst nur die einfacheren Resultate an, und verweisen die Ableitungen selbst in den III. Abschnitt, wo man sie, wenn Zeit und Lust dazu ausreichen oder ein Bediirfniss dafür eintritt, verfolgen kann. Zu empfehlen ist wenigstens die Durchsicht von § 26. Wir berücksichtigen beliebige feste und bewegte Lasten, beliebige für den ganzen Bogen gleichmässige Temperaturänderungen⁸ und beliebige kleine Bewegungen der Widerlager und Pfeiler. Zwar sollen solche Bewegungen möglichst ausgeschlossen sein, und die eigentliche Berechnung der Bogen wird auch dementsprechend durchgeführt, doch ist es gut, sich vom Einflüsse unbeabsichtigter Ausweichungen der Stützpunkte von vornherein Rechenschaft zu geben. Auch kann dem Ingenieur die Frage gestellt werden, welchen Einfluss auf die Beanspruchungen eine thatsächlich eingetretene Bewegung eines Pfeilers oder Widerlagers ausgeübt hat (Beisp. 18 und 37). Aus diesen Gründen wurde der fragliche, übrigens nur bei statisch unbestimmten Bogenarten auftretende Einfluss schon in der ersten Auflage dieser Schrift in Betracht gezogen.

* Ueber die Behandlung von Balken auf Grund der vorausgegangenen Formeln siehe Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 86—158 (insbesondere A 54, 58).

§ 15. Einfache Bogen mit drei Gelenken.

Der Bogen habe in der Axe zwei Kämpfergelenke von gleicher Höhenlage und ein Zwischengelenk bei x = m — y — /. (Fig. 58.) Als-

*Ci

dann sind

M = AP = Mm = 0,

Für das Moment und die Yertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x liefern die Gleichungen § 1, 3) 8) und 2) 7):

k = 0.

1)

Mx = Vx — Hy

S P (x — a)

o

7» X    y» 1

- S Pa + ~ S P(l— a) - Hy,

0    i x

2)

Fx

= V—ÏP

to    i X

3)

Die Vertikalreaktionen der Kämpfer sind nach § 1, 4) 5)

F = 4 Si³«,

i 0

4)

während der Horizontalschub aus 2) mit x — m, y = / folgt:

IC

[s P a + SP (/ — «)].

L 0    m    J

5)

Bei verschiedenen Stützhöhen wurden AT durch § 25,

22) und V, V durch §1,4)

5) mit M = M⁴ — 0 bestimmt sein.

Für die Normalkraft im Querschnitt x gilt ohne Aen-derung :

Nx = Vx sin 'cp -f- H cos cp, 6) auch für die Transversalkraft Tx, die resultierende Schnittkraft Px, dieNorinalspannungen a, a₀, au u. s. w. bleiben die in §§ 1, 8, 9 abgeleiteten Formeln bestehen. Demnach hat man z. B. die Normalspannungen vollwandiger Bogen von symmetrisch zur Bogenaxe angeordneten Querschnitten im obersten und untersten Querschnittselement :

P, Vi

a» a,--- x ' «W

Fig. 58.

V’

Nx , Mx

•V* Mx

7)

Zu =

a° ~ F

unter F den nutzbaren Querschnitt , unter W das nutzbare Widerstandsmoment verstanden. Die Werthe aller übrigen a eines Querschnittes liegen zwischen den Werthen a₀, au.

W’

W’

Verschiedene Formen.

Obige Gleichungen gelten für beliebig geformte Bogen mit gleich hohen Kämpfergelenken und in der Mitte liegendem Zwischengelenk.

Die Ausdrücke für die Ordinate y und den Neigungswinkel cp der Bogen-axe hängen jedoch von der Form der letzteren ab. So hat man hei einer Spannweite l und dem Pfeile / für den Parabelbogen :

y =    —

4/

tgcp = -~(l — 2x),

8)

für den Kreisbogen:

y =

sin cp =

wobei der Radius

V (r — f)² + x{l — x) — (r —/),

r — f + y

9)

COS cp =

10)

L . /

8/ ' 2 ‘

11)

Für den Halbkreisbogen ergeben sich wegen / = r: /S    y =

m — x sin 9 = ——,

während für den Halbellipsenbogen gelten:

y = -f-

12)

y

COS cp —

13)

2/

y" x (i—x), 2Pl — 2x    fl—2x

'Sj x (l — x)

Für geradlinige Bogen (Fig. 59) hätte man auf der ersten Hälfte :

2/

y = -rx.

tgcp =

2/

14)

15)

16)

auf der zweiten Hälfte:

2/

(l-x),

y =

Mit tg cp sind bekanntlich auch sin cp und

tgcp = -

2/

17)

cos cp =

18)

y¹4- tg² cp

bestimmt, doch genügen stets sin cp, cos cp oder tg cp, cos cp, da man z. B. JVX anstatt durch 6) ausdrücken kann :

^Vx = (#+ K tg cp) cos cp.

Die Gleichungen 8)—18) gelten auch für Bogen mit zwei Gelenken, ohne Gelenke etc.

Häufig hat man der Bogenaxe aus statischen, ästhetischen oder anderen Gründen eine Form gegeben, welche sich durch kein einheitliches Gesetz ausdrücken lässt. Bei der älteren Coblenzer Brücke beispielsweise ist die Bogenaxe zwar von der Mitte bis 2,85 m horizontaler Entfernung von den Kämpfergelenken kreisförmig, von hier an jedoch folgt sie tangential anschliessenden Geraden. Bei den sichelförmigen Bogen der Maria-Pia-Briicke über den Douro (Fig. 67) wollte man die Gurtungen Parabeln einschreiben (womit auch die Axe

Fig. 59.

'i

parabelisch geworden wäre), es ergaben sich jedoch hierbei gegen die Enden hin zu geringe Höhen für die auftretenden Momente, und so änderte man die Form durch einen freien Linienzug mit Rücksicht auf gefälliges Aussehen ab. Bei Bogenträgern für Bahnhofshallen hat man sich durch Ansprüche an Raumentwicklung und monumentales Aussehen leiten lassen, bei Gewölbebogen ist die Vermeidung von Zugspannungen massgebend, u. s. w.

Verschiedene Belastungen.

Die bisherigen Gleichungen gelten für beliebige Belastung. Bezüglich stetig vertheilter Lasten ist nach der Anleitung in § 14 zu verfahren. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit ergeben sich:

19)

ul²

¹

Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873. Näheres und zahlreiche Anwendungen, auch zur Ableitung von Formeln für die Grenzwerthe enthalten die auf 8. 42 citirten Schriften. Vergl. auch Luegers Lexikon der gesammten Technik, Bd. III. Stuttgart 1896, Artikel: Einflusslinien.

²

Weiteres über verschiedene Belastungen siehe Luegers Lexikon der gesammten Technik, Band II, Art. Belastung, Stuttgart 1895.

³

Pa (Z—«) (Z—(—</) =

⁴

hPa (l—a) (Z³ —(— Z a—a³) = ^ o    5

⁵

2 P a (Z—a)³ (5 a—2 Z) = 0 2 Prf (l—a) (3 Z—5 a) = 0

⁶

2 Pa (l- -a) (21—a) =

7/

⁷

P (l—a) =

⁸

Bezüglich des Einflusses der Temperaturänderungen weichen die hier gegebenen Formeln von den durch den Verfasser in Luegers Lexikon, Bd. II, Stuttgart 1895, und in einem Aufsatze der Allgemeinen Bauzeitung 1895 angeführten etwas ab, was daher rührt, dass dort A v — a x v (vergl. § 3) der früheren Uebung gemäss nicht berücksichtigt wurde. Für die gewöhnlichen flachen Bogen liefern beiderlei Formeln nur wenig von einander abweichende Resultate.

8/

und damit für beliebige Querschnitte x :

VT =

u (2 - X)’

20)

21)

und speziell bei parabolischen Bogen wegen 8) :

Mx = 0.

Beträgt dagegen die gleichmässig vertheilte Last per Längeneinheit u auf der ersten, u‘ auf der zweiten Hälfte der Spannweite, so erhält man:

QC

l,

u -j— 3 u'

23)

u -f- u‘

16/

V²,

24)

womit für beliebige x von 0 bis m:

Vx — V— u x,

25)

, r    TT    TT    U X²

Mx = Vx — Hy--2“

26)

also speziell bei Parabelbogen wegen 8):

u — u‘

Mx =

27)

Für Querschnitte x von m bis l lassen sich ähnliche Formeln angeben, welche aber der Symmetrie wegen im Allgemeinen nicht zur Verwendung kommen. Selbstverständlich kann auch eine der Lasten u, u‘ gleich 0 werden. Bei praktischen Berechnungen pflegt u — u‘ = -Vp zu sein, unter p die Verkehrslast per Längeneinheit verstanden.

Für eine beliebige symmetrische Belastung entsprechen je zwei symmetrisch zur Trägermitte bei a, a‘ gelegenen Lasten P. P‘ :

P‘ = P,

a‘ = l— a,

sodass beispielsweise:

= PZ,

1    m

SP(/-a) = / S P.

0    0

b = 2f b = 2fy

von n = 0 bis m

31)

„ a = m „

Die Linie und ihre graphische Ermittelung sind in Fig. 60 angedeutet.

Die Kernlinien bleiben durch § 8 bestimmt, wonach z. B. bei symmetrisch zur Axschicht liegendem Querschnitt die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Axe:

TU

32)

Wir erhalten also für symmetrische Belastung- nach 4) 5):

1 m

H = -,^Pa

V — V'

28)

= S P,

0

Liegt gerade in der Mitte eine koncentrirte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie gemäss nur die Hälfte derselben in E P aufzunehmen. Für

eine Einzellast P bei m folgen also

P

V = V =

2’

n — p P-,

2/

29)

Kämpferdrucklinie. K e r n 1 i n i e n.

Die Umhüllungslinien U} U' der Kämpferdrücke sind bei allen Bogen mit Kämpfergelenken Punkte, sie fallen mit den Mittelpunkten der Kämpfergelenke zusammen (§ 2). Für die Schnittlinie S der Kämpferdrücke gilt nach § 2, 1) mit M = 0 die Gleichung:

7 F

o = jj a,

worin F, H einer bei a angreifenden Einzellast Pent-sprechen. Nun liefern 4) 5) :

von a = 0 bis a — m

30)

■ ■i

Fig. 60.

I — a,

2/

V=P

a — m „

Daher sind die Ordinaten der Schnittlinie S:

H= P

2/

K K pi

während die Kernlinien bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen (Gitterbogen, über Bogenfachwerke siehe § 22, 23) oder vernachlässigter Füllung mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

Grenz werthe bei bewegter Last.

Will man bei Belastung durch bewegte Radlastzüge möglichst genau rechnen, so ist nach § 12 zu verfahren (Beispiele 9,11). In anderen Fällen, insbesondere bei gleichmässig vertheilter, bewegter Last finden die in §§ 10,11 vorgeführten Methoden Verwendung. Die ungünstigsten Belastungen ergeben sich danach beispielsweise für die Normalspannungen in den obersten und untersten Querschnittselementen, welche bei der Dimenisionirung meist allein in Betracht kommen, wie folgt:

max. druck ß"a min. druck (T₀

./V

Fig. 61.

Grenzwerthe von a₀ (Fig. 61). Man ziehe aus beiden Kämpfergelenken Gerade durch den unteren Kernpunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für max. druck a₀ ist zwischen diesen Schnittpunkten, für min. druck a₀ auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Grenzwerthe von gelenken Gerade durch den oberen Kernpunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für min. druck au ist zwischen diesen Schnittpunkten, für max. druck au auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

(Fig. 62). Man ziehe aus beiden Kämpfer-

max. druck Vu min. druck 6~a

Fig. 62.

max. druck 60 min.druck 6^

max. druck 6~u

•G'

Fig. 63.

Vereinfachung (Fig. 63). Will man von der in §11 besprochenen Vereinfachung Gebrauch machen, durch welche die Bestimmung der Kernlinien vermieden und die Anzahl min.druck o~u zu berücksichtigender Belastungsfälle auf etwa die Hälfte reduzirt wird,so ist wie folgt vorzugehen : Man ziehe aus beiden Kämpfergelenken

Gerade durch den Axpunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für max. druck a₀ und min. druck au ist zwischen diesen Schnittpunkten (wie für max. pos. Mx), für min. druck a₀ und max. druck au auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten (wie für max. neg. Mx).

Für die Querschnitte unmittelbar bei den Gelenken treten die Grenzwerthe von a₀, au stets (auch nach der genaueren Bestimmung der ungünstigsten Belastungen) bei möglichst starker Belastung der ganzen Spannweite und für die feste Last allein ein.

Formänderungen.

Alle bis jetzt für den Bogen mit drei Gelenken erhaltenen Beziehungen ergaben sich rein statisch, ohne Rücksicht auf die elastischen Formänderungen. Es haben demnach auch für jenen Bogen, im Gegensätze zu Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk (vergl. §§ 16, 17), für je einen ganzen Querschnitt gleichmässige Temperaturänderungen und kleine Bewegungen der Widerlager keinen in Betracht kommenden Einfluss auf die Beanspruchungen. Da die angeführten Beziehungen für die Dimen-sionirung genügen, so braucht man bei Bogen mit drei Gelenken nur dann auf die Formänderungen Rücksicht zu nehmen, wenn die letzteren selbst interessiren. Dies trifft am ehesten bezüglich der Einsenkung in der Trägermitte zu.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem (mittlerem) c = ./cos cp ist nach der Ableitung in § 30 die von beliebiger Belastung herrührende Einsenkung in der Trägermitte (über £ siehe unten):

48 E

-\ïP(l-2af

C Lo

Ir 23 P (l — a) + y 23 P a (/ — af -f

o    L o

7 + 32 £

33)

5    "" I

Speziell für eine zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man:

34)

P a? (I — a) — -    P 23 P a .

L o    40 o J

Liegt gerade in der Mitte eine koncentrirte Last, so ist dem Be-

m

griffe der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in 23 auf-

0

zunehmen, wonach z. B. für eine Einzellast P in der Trägermitte:

35)

1 + 16 bPP e ~    480 Ec

Von 34) kann auch bei unsymmetrischer Belastung Gebrauch gemacht werden, wenn man berücksichtigt, dass die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so gross als durch eine mittelst Verdoppelung dieser Belastung (Uebertragung symmetrisch zur Trägermitte) hergestellte symmetrische Belastung ist. (Vergl. Beisp. 29 u. 44).

Die Werthe der Summenausdrücke 23 für stetig vertheilte Lasten sind aus § 14 zu entnehmen. Für eine auf die ganze Spannweite gleich-mässig vertheilte Last von u per Längeneinheit folgt dann aus 34) :

36)

£ uP E~c 60

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte aus Gleichung 33):

37)

£ u -j- u*

PTc Ï20

Diese Formel führt mit u‘ = u wieder auf 36), wie man auch umgekehrt von 36) auf 37) hätte schliessen können.

Eine Temperaturänderung x gegen die Normaltemperatur (bei Zunahme x positiv) bewirkt:

38)

während einer Aenderung A l der Spannweite (für Zunahme A l positiv) und einer Aenderung A k der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützpunkte (bei höherer Stütze l ist A k positiv) entsprechen würde :

39)

IM

4/

In 33)—37) wie auch stets in der Folge ist mit r nach 11) aus

gedrückt

15 y /r — A²

40)

worin

J COS Cf

F cos cf

das Yerhältniss der Mittelwerthe c, k von J cos cp und A cos cp bedeutet, wofür jedoch mit kaum geringerer Genauigkeit auch der Mittelwerth von J: F gesetzt werden kann (§ 27). Man erhält dann z. B. für den Fall, dass bei konstanter Entfernung h der Gurtungsschwerpunkte unter

F F    h²

Vernachlässigung der Füllung J — —gesetzt wird: y = und für

b ha

den rechteckigen Querschnitt (Gewölbe) mit J = -r^-, F — bh ebenso

1 Lj

41)

einfach :

h²

Ist der Bogen sehr flach, dann ergibt sich unter Vernachlässigung von / gegen r annähernd

T 12'

42)

15 y _ 15.7 £ — 8 f² ~~ 8 Ff2 Mit Biicksicht auf das zuvor Gesagte würden dann e für Brückenbogen

32 V f)

15

etwa zwischen

32 (/)’ liegelL

Weiteres über die Formänderungen parabolischer Bogen von konstantem Jcos cp enthält § 30. Bezüglich der letzteren Annahme siehe § 28. Ueber die Formänderungen von Bogen mit beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten geben die §§ 26, 33 Aufschluss. Die Gleichungen 38) 39) gelten auch für beliebige symmetrische Bogen mit drei Gelenken, einschliesslich der Gewölbe (§ 18) und Bogenfachwerke(§§22,23). Vergl. Aufg. 16 und § 33.

Beispiel 13. Berechnung eines Gewölbes mit drei Gelenken (Pruthbrücke bei Jaremcze).

Für das Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze (Fig. 82) beträgt die Spannweite l = 67,62 m, der Pfeil der Bogenaxe /= 18,1215 m (Lichtweite 65 m, Pfeil der Gewölbelaibung 17,9 m). Gewölbestärke im Scheitel 2,1 m, bei den Kämpfern 3,1 m, die Lagerfugen können als senkrecht zur Bogenaxe gelten. Brückenbreite

im Bahnplanum 4,5 m, Anlauf der Stirnmauern beiderseits ^20, sodass nach unten zunehmende Breiten der Lagerfugen entstehen. Radius der Gewölbelaibung 38,454 m, des Gewölberückens 42,792 m. Bei der Berechnung wurden die Bogen-axe ebenfalls kreisförmig und die in den Kolumnen 6 und 8 der Tabelle des Beispiels 30 angeführten festen Lasten angenommen.¹ Es sollen unter diesen Voraussetzungen, jedoch für den Fall, dass an den Kämpfern und im Scheitel Gelenke angebracht wären, (vergl. § 18) die Kämpferreaktionen und Beanspruchungen aQ, ou berechnet werden: a) für die feste Last allein; b) für Verkehrsbelastung des ganzen Bogens; c) für Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte; d) für Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälfte; e) für die ungünstigsten Belastungen.

Bezeichnen h, b die Höhe und Breite der Lagerfuge x, so hat man unter Voraussetzung genügender Widerstandsfähigkeit derselben gegen die auftretenden Normalspannungen die Werthe der letzteren im obersten und untersten Fugenelement nach § 18, 5) 6):

Hierin sind nun nach § 15 für beliebige Belastung mit

V = V — 1 P

X    "

°o =

°u ⁼

— (N — - M ). bh ¹ h x

1)

2)

die Normalkraft und das Moment bei x:

3)

Nx = V% sin cp -}- H cos 9,

4)

Mx — Vx — Hy — 2 P {x — a) — V% — Hy -j- 2 P

0    0

Die Vertikalreaktionen V, V der Kämpfer und der Horizontalschub H sind durch § 15, 4) 5) 28) bestimmt.

Da die Bogenaxe kreisförmig und die Lagerfugen senkrecht zu derselben

angenommen sind, so bat man nach § 15, 9) 10) mit m —    :

5)

m — x

sin cp = —--

r

worin nach § 15, 11) der Radius der Bogeaaxe:

cos 9 —

r — f+V

6)

/'

r - 87 + 2

7)

Mit den gegebenen l, f liefern diese Gleichungen r — 40,6010 m und

Y 505,3279 + x (l- x) - 22,4795 m,

sin cp =

33,81 — x

cos cp

_ 22,4795 — y ~    40,601    •

40,601 ’

Die Berechnung ist für alle Lagerfugen im Wesentlichen die gleiche. Es genügt also, dieselbe für die Fugen beim Kämpfer, beim Scheitel und an einer Zwischenstelle zu zeigen. Durch Berücksichtigung von 4 bis 8 weiteren Fugen einer Bogenhälfte könnte im vorliegenden Falle jedem Bedürfniss genügt werden. Nach vorstehenden Gleichungen hat man:

für

x —    0

y —    0

sin cp — 0,8327 cos cp — 0,5537

während der Veröffentlichung über die Brücke entnommen wurden:

20,81

15,9840

0,3202

0,9474

33,81 m = 18,1215 m

1,

6,60

4,95

4,75 m 2,1 m,

9,975 qm.

Bei der weiteren Berechnung machen wir von den in den Kolumnen 4, 5, 8, 9 der Tabelle des Beispiels 30 gegebenen Zahlen Gebrauch und nehmen auf die Symmetrie des Bogens Rücksicht. Die c , a werden in kg per qcm gegeben.

a) Feste Last allein.. Vertikalreaktionen der Kämpfer und Horizontalschub nach § 15, 28)

h = 3,1

womit b h = 20,460

2,24

11,088

F = V = 2216,9 t,

30836,14 _

“ 18,1215 “

Entsprechend dem oben Gesagten ergeben sich für die Kämpferfuge mit V = V, M = 0:

X

1701,61 t.

Vx = 2216,9.0,8327 -f 1701,63 0,5537 = 2788.20 t, 2788,20

204,6

= 13,628 kg,

für die Fuge x = 20,81 m :

Fx = 2216,9 - (114,8 + . . . + 101,9) = 562,(X) t,

V* = 562.0,3202 + 1701,63.0,9474 = 1792,08 t.

Mx = 562.20,81 - 1701,63 . 15,9840 -|- (243,66    2037,75) = 465,17 mt,

(1792,08 -f p4 465,17) = 27,400 kg,

°o - mm

(1792,08 — — 465,17) = 4,925 kg.

a» - Uä88

und für die Scheitelfuge mit 7VX = H, Mx — 0:

_ 1702,63 _

ao - °u —    99j75    —

17,059 kg.

b) Vollbelastung. Für die Verkehrslast allein ergeben sich nach den unter a angewandten Formeln die Kämpferreaktion en •.

V = V = 180 t,

3175,419 18,1215

Damit folgen für die Kämperfuge wegen V — V, M = 0:

,Vx = 180.0,8327 + 175,23X. 0,5537 = 246,91■ t,

246,91

o =■ a = --—

O    U

II —

= 175,23 t.

204.6

- 1,207 kg.

für die Fuge x — 20,81 m:

Mx = 72 . 20,81

Fx = 180 - 108 = 72 t,

Vx = 72.0,3202 + 175,23 . 0,9474 = 189,07 t,

— 175,23 . 15,9840 -j- (101,181 + ... 4- 179,997) = — 93,45 mt

93,45) = — 0,552 kg,

ao ⁼

110,88

au -

110,88

(189.07

(189,07 4-    93,45) =    3,963

2,24

für die Scheitelfuge mit N = H, M = 0:

175,23 99,75

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast erhalten wir :

V — V⁴ — 2216,9 4- 180 = 2396,9 t,

H — 1701,63 4- 175,23 1876,86 t,

33,81 m,

18,816 kg.

18,816 „ .

und bei x —

ao = 14,835 0“ = 14,835

= 1,757 kg.

20,81

26.848

8,888

c) Yerkehrslast von 0 bis w. Die Verkehrslast allein erzeugt nach § 15, 4), 5) die Kämpferreaktionen:

3175,419 _

67,62    —

F' =

46,96 t,

F = 180 - 46,96 = 133,04 t,

3175,419 2 . 18,1215

Damit ergehen sich für die Kämpferfuge wegen V = V, M = 0:

Nx = 133,04.0,8327 -f 87,61.0,5537 = 159,29 t,

_ 159,25

ao — °u —    204,6

= 87,61 t.

- 0,779 kg,

für die Fuge x = 20,81 m :

Vx = 133,04 - 108 = 25,04 t,

Nx = 25,04.0,3202 -j- 87,61 . 0,9474 = 91,02 t,

Mx = 25,04.20,81 - 87,61 . 15,9840 -f (101,182 + . . . -f 179,977) = 329,83 mt,

^ = Tüb<⁹¹'⁰²+Ä⁸²⁹’⁸³> =

(91,02

°“ ~ 1K\88

2,24

für die Scheitelfuge mit Nx = //, Mx = 0:

X87,61 99,75

8,789 kg,

|v 329,83) = - 7,147

= 0,878 kg.

o = a =

O    U

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast erhält man:

V    = 2216,9 + 133,04 = 2349,94 t,

V    = 2216,9 + 46,96 = 2263,86 t,

H = 1701,63 + 87,61 = 1789,24 t,

20,81 36,181 - 2,222

d) Verkehrslast von m bis l. Mit Rücksicht auf die unter c) gefundenen Kämpferreaktionen sind im vorliegendem Falle:

V = 46,96 t,

und bei x

33,81 m

o = 14.407 = 14,407

au

17,937 kg, 17,937 „ .

V' = 133,04 t,

H = 87,61 t,

Hiermit folgen für die Kämpferfuge, wo Vx == V, Mx — 0:

Nx — 46,96,0,8327 -f 87,61.0,5537 = 87,61 t, 87.61

0=0 = o    u

204,6

= 0,428 kg,

für die Fuge x = 20,81 m:

Vx = 46,96 — 0 = 46,96 t,

Nx = 46,96X 0,3202 + 87,61.0,9474 = 98,04 t, Mx = 46,96.20,81

1

TT0,88

87,61 . 15,9840 = - 423,12 mt,

(98,04 -    423,12) = - 9,337 kg,

⁼ 110788 ⁽⁹⁸’°⁴    2 V4 428,12)

und für die Scheitellüge mit A⁷x = 77, Mx = 0:

_ 87,61X

°o — °u - 99J5

Da die unter c) und d) verwendeten Verkehrshelastungen zusammen die Verkehrslast des ganzen Bogens ausmachen, so müssen die von der Verkehrslast allein herrührenden F, V', H, F", ATx, Mx, oq, ou in den Fällen c) und d) zusammen gleich den entsprechenden Werthon unter b) sein, was zur Abkürzung oder Kontrate der Rechnung dienen kann.

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast hat man mit Rücksicht auf die Werthe unter c) oder unmittelbar:

oo =

11,106

= 0,878 kg.

V = 2263,86 t, und bei x =

V‘ = 2349,49 t,

0 20,81 18,063 16,031

H — 1789,24 t, 33,81 m, 17,937 kg, 17,937

ao = 14,056 au = 14,056

e) Ung ünstigste Belastungen. Die Grenzwerthe von V, F', H sowie der Beanspruchungen aQ, au in den Bugen unmittelbar bei den Gelenken treten in

-r

X = 2Q,e:m

,1

Fig. 64.

3175,419 - 1100,158

67,62

3175,419 — 1100,158 _ 36,243

= 30,69 t,

den Belastungsfällen b) und a) ein. Für die oo, ou in Fuge x — 20,81 m entstehen nach dem auf S. 62 erwähnten vereinfachten Verfahren die Grenzwerthe, wenn einmal die 9 ersten Vorkehrslasten, das andremal alle übrigen Verkehrslasten auf den Bogen kommen (Fig. 64). Wir erhalten nach § 15, 4) 5) mit Rücksicht auf die Tabelle des Beispiels 30 und 238,477 +... + 296,977 = 1100,158 für die erste dieser Belastungen:

57,26 t,

V — 144 — 30,69 == 113,31 t,

Vx = 113,31 - 108 = 5,31 t,

JVX = 5,31 . (i,3202 + 57,26.0.9474 = 55,95 t,

Mx = 5,31 . 20,81 - 57,26 . 15,9840 -j- (101,182 + . . . + 179,977) = 404,36 mt.

(85,96 + älj «4,36) =

10,273 kg,

°o - um

= U(f88 <⁵⁵’⁹⁵ - 2I4 404>36) = " <J’²⁰⁴

und für die zweite derselben :

3175,419 -\- 1100,158 _ 36,243    ~

117,97 t,

V — 30,69 4- 4.9 = 66,69 t,

V = 216 - 66,69 = 149 31 t.

F = 66,69 — 0 = 66,69 t,

Nx = 66,69.0,3202 4- 117,97.0,9474 = 133,12 t, Mx = 66,69.20,81 — 117,97 . 15,9840 = - 497,81 mt,

(133,12 - 2^ 497,81) =- 10,825 kg, (133,12 4-

a« ~ 110,88

’6

au =

110,88

2,24

497,81) =    13,226 „ .

A uch für die jetzt betrachteten beiden Belastungsfälle müssen die der Verkehrslast entsprechenden V, V', H, V, Nx, Mx. ao, au zusammen gerade so gross, wie im Falle b) sein.

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast sind die Grenz

werthe :

ao = 27,400 4- 10,273 =    37,673 kg,

a” = 27,400 — 10,825 =    16,575

a° = 4,925 - 9,264 = — 4,339 0" = 4,925 -f 13,226 =    18,151 t.

Hätten wir die ungünstigsten Belastungen nach den genaueren Regeln auf S. 62 bestimmt, was bei Gewölben selten geschehen wird, so würden sich für die Grenzwerthe von au dieselben Belastungen wie nach dem einfacheren Verfahren

ergeben haben, womit auch die berechneten Grenzwerthe selbst gültig bleiben. Für die Grenzwerthe von aQ würden einmal die 10 ersten Verkehrslasten (anstatt wie oben die 9 ersten), das andremal alle übrigen Verkehrslasten auf dem Bogen wirksam anzunehmen sein. Man erhält in ganz gleicher Weise wie oben vorgehend für den ersten Fall : H = 64,24 t, V = 34,43 t, V = 118, 57t, Vx — 10,57 t, Wx = 64,25 t, Mx = 402,25 mt,

°° ~ 110,88

(64,25 +    402,25) =- 10,297 kg,

und für den zweiten Fall : H — 110,99 t, V — 61,43 t, V = 145,57 t, Vx — 61,43 t, Nx = 124,82 t, Mx = — 495,71 mt,

“ 110.88 (124,82

^ 495,71) = - 10,849 kg.

womit die Grenzwerthe für feste Last und Verkehrslast zusammen werden: 37,697 und 16,551 t anstatt wie ohen 37,673 und 16,575 t.

Bemerkungen. Werden die ungünstigsten Belastungen wie oben unter e) bestimmt, dann brauchen die Belastungsfälle c) und d) nicht durchgerechnet zu werden: Wir haben ihre Berücksichtigung gezeigt, weil die ungünstigsten Belastungen bisher bei Gewölben nicht ermittelt zu werden pflegten, und um eine Beurtheilung der hierbei möglichen Abweichungen zu erleichtern. Es haben sich die in der folgenden Tabelle eingetragenen Gesammtwerthe ergeben, wobei wie oben die Kämpferroaktionen in Tonnen, die Normalspannungen in Kilogramm per Quadratcentimeter ausgedrückt sind.

Grössen

a)

b)

c)

e)

Feste Last Vollbe- Verkehrs- Verkehrs- Ungünstigste Be-allein lastung last 0 bis m last m bis l    lastungen

} °**

cc=20,81

2216,90

2216,90

1701,63

13,628

13,628

27,400

4,925

17,059

17,059

SS®“ OR co oc oo oo

CDCOCD^r CO 00 OO 00

88

2349,94 2263,86 1789,24 14,407 14,407 36,189 - 2,222 17,937 17,937

2263,85

2349,48

1789,24

14,056

14,056

18,063

16,031

17,937

17,937

2396,90

2396,90

1876,86

14,835

14,835

37,697

18,151

18,816

18,816

2216,90 2216,90 1701,63 13,628 13,628 16,551 - 4,339 17,059 17,059

wo es

Zu beachten ist, dass die Fugen x — 0 und x — m nur zweimal bezw-einmal auftreten, während die Fuge x — 20,81 m als Representantin aller übrigen angelührt ist, und dass bei Bogen ohne Gelenk die Verhältnisse auch bei 0 und m ungünstiger liegen. So tritt in dem Beispiel 30 der grösste Druck, 41,136 kg. im Scheitel ein, während an den Kämpfern Zugspannungen von 10,074 kg ent‘ stehen können. Andrerseits ist die Verkehrslast im vorliegenden Falle, sich um eine Eisenbahnbrücke handelt, verhältnismässig gross, nämlich 1231 kg per qcm oberer Brückenfläche von 4,75 m Breite, im Ganzen ¹/i2,3 der festen Last, während sie für die in Beispiele 14 behandelte Strassenbrücke bei Munderkingen 400 kg per qm, gleich ¹/i6 der festen Last, angenommen war.

Die Stützlinie (Verbindungslinie der Angriffspunkte von B oder JV in allen Fugen, § 8) braucht bei der obigen Berecbnungsweise nicht verzeichnet zu werden, da sich die Beanspruchungen ohne dieselbe ergeben. Entsteht in irgend einer Lagerfuge Zug (a negativ, siehe in obiger Tabelle ou in den Fällen c) e)) so tritt die Stützlinie für den betreffenden Belastungsfall daselbst aus dem mittleren Drittel (§ 18). Uebrigens genügen die obigen Ermittelungen auch zur Verzeichnung der Stützlinien. Da ihr Durchgangspunkt in Fuge nach § 8, 1) as um

0,422 - ^ = 0,049 m

aus dem mittleren Bogendrittel getreten, ln don Fällen a) und b) liegt die Stützlinie symmetrisch zur Bogenmitte, für den Fall c) gibt der Fall d) die Stützlinie auf der zweiten Bogenhälfte und umgekehrt (durch Umklappen um die Vertikale bei cc = m).

Auch der Winkel 5 der resultirenden Fugenkraft Rx gegen die Normale zur Fuge kann aus

9)

mit

leicht ermittelt werden.

10)

7⁷x = Vx cos 9 — H sin cp

So hat man für die Gesammtbelastung im Falle c) H = 1701,63 + 87,61 = 1789,24 t, F = 562 -j- 25,04 = 587,04 t, W = 1792,08-f 91,02 = 1883,10 t,

Tx = 587,04.0,9474 - 1789,24.0,3202 = - 16,753 t,

tgö =

= - 0,008896, 8 = — 0 ⁰ 31',

was weit unter den gebräuchlichen Reibungskoefficienten und entsprechenden Reibungswinkeln liegt (ersterer wäre nach Buchet für glatt bearbeitete Steine einschliesslich Ziegel zwischen 0,67 und 0,75 anzunehmen). Die grössten Schubspannungen in den Fugen können wie in Beispiel 8 und noch einfacher nach der Formel § 9, 12)

11)

M

° = V

X

von der Bogenaxe entfernt ist, wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ zu rechnen sind, so gebt die Stützlinio für alle Belastungsfälle durch die Gelenke, während z. B. bei x = 20,81 m

in den Fällen c ==

Die Stützlinie ist also im Falle c) um

a)

b)

0,260    0,187

c)

0,422

d)

0,022 m.

x —    ³ T

X - 2 bh ²

berechnet werden (vergl. Beisp. 35 u. 36), die Bestimmung ihrer Grenzwerthe nach §§ 11, 12 ist für praktische Zwecke jedenfalls überflüssig.

Beispiel 14. Einsenkungen eines Gewölbes mit drei Gelenken (Donaubrücke bei Munderkingen).

Für die Betonbogen der Donaubrücke bei Munderkingen²) ist die Spannweite l = 50,6 m, der Pfeil der Axe f— 5,04 m (Lichtweite 50 m, Pfeil der Gewölbelaibung 5 m). Unter Voraussetzung voller Wirksamkeit der an den Kämpfern und im Scheitel angebrachten Gelenke (vergl. § 18) zu berechnen:

a) Die Scheitelsenkung durch Temperaturänderungen um x = -j- 25° C, wenn der Ausdehnungskoefficient des Betons wie bei der ursprünglichen Berechnung oc = 0,0000088 gesetzt wird;

b)    Die Scheitelsenkung durch eine Aendęrung der Spannweite um A l — 0,0027 m und eine Senkung des Kämpfergelenkes l gegen das Kämpfergelenk 0 um 0,0009, d. h. A k = — 0,0009 m, wie auf Grund der Drücke in den Widerlagern angenommen wurde;

c)    ferner die elastische Scheitelsenkung durch eine gleichmässig vertheilte Last von 6400 kg auf den Quadratmeter Horizontalprojektion des Gewölbes (wie sie die feste Last bei dem vorausgesetzten Gewichte des Beton von 2300 kg per Kubikmeter im Mittel ergeben würde), wenn der Bogen parabolisch und

Nun beträgt die angenommene gleichmässig vertheilte Last per qm ~ = 6400 kg.

Da ferner dio mittlere Höhe des Bogons genügend genau h = 1,2 m ist (bei einer Veränderlichkeit zwischen 1 und 1,4 m), so erhalten wir als Näherungswerth für jene Belastung bei parabolischer Axe:

= 0,0221 m = 22,1 mm.

6400.50,6⁴

e “ 32.220000.100². 1,2.5,04²

Aufgabe 7. Ueber schätzungsweise Berechnungen von Einsenkungen.

nn-

Es sollen diejenigen Einsenkungen in der Mitte symmetrischer Bogen bestimmt werden, welche lediglich durch eine gleichmässige Längenänderung der Bogenaxe, abgesehen von sonstigen Formänderungen, bei gleichbleibender Spa weite, bedingt sind, wenn die Axlänge vor wie nach der Einsenkung

¹

Hinsichtlich obiger Angaben siehe Kulka, Ueber die Berechnung grosser gewölbter Brücken, Zeitschr. d. östr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1894, S. 365, 377.

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

²

Siehe das betreffende Citât in § 18.

Cl)

der mittlere Elasticitätsmodul für die in Frage kommende Belastung per qcm E = 220000 kg wären. ¹

a) Nach § 15, 38) ist die Scheitelsenkung durch eine Temperaturänderung

um x⁰ :

(/ -f-    = - 0,0000088 T (ö,04 4-

50,6 a 4.5,04

= — 0,001162 x m = 25° e =

1,162 x mm,

29 mm (Hebung)

also speziell für x

,, x =— 25° e —    29 mm (Senkung).

b) Für die angeführten Lagenänderungen der Kämpfergelenke hat man nach § 15, 39):

Ul àk 50,6.2,7    0$ _ ₇2 mm

4/

4.5,04

c) Die elastische Scheitelsenkung durch irgend eine Belastung eines parabolischen Gewölbes von konstantem (mittleren) Jcos cp wäre nach derjenigen der Formeln § 15, 33)—37) zu berechnen, welche der fraglichen Belastung entspricht (vergl. Beisp. 29, 32, 42.) Bei beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten hätten die Formeln des § 33 zur Verwendung zu kommen (vergl. Beisp. 25, 41, 44). Im vorliegenden Falle lässt sich nach A 7, 14 (S. 73) näherungsweise setzen:

ul⁴

⁶ ~~ 32 Ebhfr

0 + H“²)

gesetzt werden kann (vergl. Beisp. 15). Auch ist für diesen Fall die Einsenkung durch eine Aenderung A l der Spannweite ohne Aenderung der Axlänge s oder sonstige Einwirkungen anzugeben.

Aus d) folgt durch Differentiation bei konstantem l

31

d f.

Diese Beziehung gilt unter obigen Voraussetzungen .auch für genügend kleine endliche Aenderungen von s. Setzen wir demgemäss A s und A f = — e an Stelle von d s und d/, so ergibt sich die zuerst verlangte Einsenkung :

31

A 6“.

b)

16/

Man hat diese Gleichung mitunter angewandt, um die Einsenkung durch Temperaturänderungen und gewisse Belastungen zu berechnen. So hätte man im Falle der Gültigkeit von b) für eine Temperaturänderung x mit As — a is:

“    16 /

ax (2 + Wf)’

und für eine gleiche und gleichmässige Druckbeanspruchung aller Bogenquerschnitte von a per Quadrateinheit mit As =— ~s:

_ 3 Zso_o// 3 Z²\ ⁶ ~ lßfE ~ E V2 ⁺ 16//'

d)

an

Gleichung c) ist schon desshalb nicht zuverlässig, weil mit Temperaturänderungon bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenke auch Biegungs-momente verbunden sind, während für Bogen mit drei Gelenken die obige Bestimmung von d s durch Differentiation wegen der Winkelbildung beim Zwischengelenk nicht berechtigt ist. Gleichung d) hat auch wenig Werth, weil eine Belastung, welche gleiche Normalspannungen in allen Querschnittelementen des ganzen Bogens erzeugt, nicht leicht vorkommt. Man pflegt hei dieser Annahme symmetrische Parabelbogen mit gleiclunässig auf die ganze Spannweite ver-theilter Last zu denken, und nur eine Schätzung der Einsenkung zu beanspruchen. Allein ohne künstliche Ueberhöhung der Bogen (A 9) treten auch bei jener Belastung Biegungsmomente auf (abgesehen vom Dreigelenkbogen).

Zur Ableitung der weiter verlangten Formel differentiren wir d) bei konstantem s und erhalten:

oo co

d -y.

oder

8/²

J d l.

und wenn A / —

e und A Z an

31

/'

df, dl treten :

AZ.

«)

16/    2 Z

Auch diese dem obigen üblichen Vorgehen entsprechende Formel ist desshalb praktisch kaum zu verwerthen, weil mit Aenderungen A Z der Spannweite hei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk auch Aenderungen der H, ATx, il/., a u. s. w. ein-treten, während für Bogen mit drei Gelenken wieder die Ableitung der Formel durch Differentiation unzulässig ist. Wir können also die Formeln b) bis e) für die Anwendung hei elastischen Bogenträgern nicht empfehlen.

Die Scheitelsenkungen für beliebige symmetrische und unsymmetrische Belastungen von Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk sind aus §§ 15—17, 30, 33 zu entnehmen (Beispiele 14, 20.25,29, 32,41,42, 44 undIV M); hier handelt es sich nur um Formeln für möglichst einfache Berechnungen, soweit die Beziehungen für symmetrische Parabelbogen von konstantem ./cos cp verwendbar sind.²

Durch eine auf die ganze Spannweite gleiclunässig vertheilte Last von u per Längeneinheit hat man (über c, e siehe am Schlüsse des § 15)

ul⁴

e “ £ WWc’

bei 3 Gelenken

1)

£    5 u l ⁴

e ~ T+ä 384Ed

£ Ul⁴

⁶ — 1 +6s 64~E~c

Durch eine in der Trägermitte wirkende Einzellast P entstehen

1 + 16 £ PZ8 “    480 Pc’

_ 3 + 128 £ P l8 £ “    1 + £    6144    E    &

_ l + 96s PI3 £ — 1 +6e m2 Ec'

» 2.

33

bei 3 Gelenken

4)

5)

6)

Für schätzungsweise Berechnungen kann in 1)—6) bei flachen Bogen c gleich einem mittleren Trägheitsmomente J gesetzt und oft noch s im Nenner vernachlässigt werden. Mehrere eng zusammenstehende konzentrirte Lasten lassen sich bei Schätzungsrechnungen mitunter als eine Last behandeln.

Eino Temperaturänderung x erzeugt die Einsenkungen:

bei 3 Gelenken

»(/+£) (/+ ²⁵

(/+ ¹⁶

Z²

128/ 1 + 8

7)

8)

„ o

Vielfach kann hierin £ vernachlässigt werden.

Durcli eine Aeuderung A Z der Spannweite (für Zunahme A Z positiv) und eine Aendernng der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützen um A k (bei höherem Stützpunkt Z ist A k positiv) ergeben sich

bei 3 Gelenken

64 / 1 + 6 s

9)

A I g 5 25 Z AZ A k

⁻ 128 / r+£ ~ 2“’

4/

10)

11)

15 Z

AZ

12)

~ 128 / 1 -f- 6 £    2 ’

worin ebenfalls häufig £ vernachlässigt werden darf. Die Einsenkung durch eine

Aendernng A Z der Spannweite wächst in allen drei Fällen mit —, sodass 'bei

flachen Bogen verliältnissmässig grosse e durch A Z bewirkt werden können.

Dabei Bogen vom Pfeile / = 0 durch eine Aenderung der Axlänge oder eine Axialkraft N keine Einsenkung entsteht, so müssen die für Bogen mit zwei Gelenken und ohno Gelenk gültigen Ausdrücke von e für / = 0 (womit £ =. oc ², vergl. § 15, 40) ) in die entsprechenden Gleichungen für einfache Balken mit beiderseits frei drehbaren bezw. festgespannten Enden übergehen. Dies trifft für unsere vorstehenden und in §§ 16, 17 gogebenenFormeln zu, nicht aber für b)—e).

In manchen Fällen lassen sich die erhaltenen Gleichungen noch weiter spezialisiren. So kann man für genügend flache Bogen rechteckigen Querschnitts (Gewölbe) mit Rücksicht auf § 15, 42) setzen:

c = J cos 9

5ä²

£ ~ 32 p’

13)

unter b, h Mittelwerthe der Breite und Höhe des Querschnittes verstanden. Damit gehen die Gleichungen 1)—3) in die folgenden über:

ul⁴

'    32 E bh fr

bei 3 Gelenken

14)

25

ul⁴

6 — l + £ 1024 Ebhf* u l⁴

- 1 + (U 512 Eb"hf¹' und im Falle der Vernachlässigung von e im Nenner, welches z. B. für die in Beisp. 14 betrachtete Munderkmger Brücke den Werth 0,0088 hat, abgerundet:

ul⁴

e ~ 41 Ebhf ul⁴

“ MËbhf

d. i. S2/4i und aa/s4 mal so gross als bei drei Gelenken.

bei 2 Gelenken

15)

15

16)

17)

18)

Beispiel 15. Berechnung von Bogenlängen.

Es sollen die Längen symmetrischer Parabelbogen und Kreisbogen von

f

der Spannweite Z und dem Pfeile / verglichen werden für y =

1 1 1

10’ 5’ 2'

Sodann

sind die Bogenlängen der älteren Coblenzer Brücke, für welche 7 = 11 f = 98,0775 in ist, für boide Fälle zu berechnen.

Genau genommen hat man (Fig. 65) für den Parabelbogen :

* = ît/i! + i6r+

7- -f-16p -|- 4/

16/

logn

Z² 4- 16/* — 4/

und für den Kreisbogen:

« = 2 r cp₀

mit

sincp₀ =

r²

2)

’ V ~ 8/ + 2‘ ^

Für genügend flache Bogen kann man in beiden Fällen setzen :

= 7 4"

3)

Fig. 65.

Pfeilverliältniss den Parabelbogen:

- Tö-

Man erhält für

1,16 4-

logn

\f 146 + 0,4 v __= 1,02606 7.

1,16 - 0,4

für den Kreisbogen mit r = 1,3 7 und sin cp₀ =

22,62.3,14159 180

a = 2 . 1,3.0,394793 7 = 1,02646 7,

<P₀ = 22 ⁰ 37' 12" =

= 0,394793,

während nach 3) näherungsweise:

8=1

(1 + Jo) = 1,02667 l.

Es liefern hiernach beispielsweise

für

Gleichung 1

25

50

100

Ol CO

200 m :

25.65    51,31    102,61    205,21    „    t,Parabel)

25.66    51,32    102,65    205,29    „    (Kreis)

s =    25,67    51,33    102,67    205,33    „

Pfeilverliältniss

6*

Es ergeben sich für den Parabelbogen:

G 1,64 +

57

15

logn

1,64 + 0,8

= 1,09823 7,

1,64 - 0,8

für den Kreisbogen mit r = 0,725 7, sin cp₀ .= f45'

43,6028.3,14159

und näherungsweise :

cp₀ = 43° 36' 10" =

s = 2.0,725.0,761012 7 = 1,10347 7,

180

= 0,761012,

0 + Ä)

= 1,10667 7.

Es liefern demnach beispielsweise

für

50

Gleichung 1)

2)

3)

100

Pfeilverhältniss

200 m :

109,82    219,65    „    (Parabel)

110,35    220,69    „    (Kreis)

110,67    221,33    „

— Wir erhalten für den Parabelbogen:

VB+2

Wb-2

= 1,47894 Z,

für den Kreisbogen mit r — 0,5 Z, sin cp₀ = 1 (Halbkreis) :

90.3,141592

während 3) liefert:

= 1,57096 ,

cp₀ = 90" =

a = 2.0,5 . 1,57096 Z = 1,57096 Z,

180

(l + D = 1,66687 l.

Es ergeben somit beispielsweise :

Z =' 25 6- = 36,97 s = 39,27 s = 41,67

für

50

100

200 m:

73,95    147,89    295,79    „    (Parabel)

78,55    157,10    314,19    „    (Kreis)

83,33    166,67    333,33    „

Coblenzer Brücke: Es folgen mit/= Ij 11 =    8,91614 m aus Gleichung 1).

Gleichung 1)

2)

3)

s = 4,45807

137 -f

11

16

98,0775 logn -

y 137 + 4

= 100,198 m,

137 — 4

und aus den Gleichungen 2) :

(lT +    ⁸>⁹¹⁶¹⁴ = 139,314 m,

98,0775 2 . 139,314’

20,6097.3,1416

sin 9₀ =

= 0,35971

a = 2. 139,314.0,35971 = 100,225 m, während die Näherungsformel 3) liefert:

7— 20 "36'35" =

180

s = 98,0775

( 1 + 3(33} — 100,239 m,

das ist 0,041 u/n mehr als im ersten und 0,014 °/o mehr als im zweiten Falle. Häufig liegt

/'

und fast immer unter

dann die Resultate der Formeln 1), 2), 3) genügend überein, um in vielen praktischen Fällen eine an Stelle der andern verwenden zu können.

in der Nähe von

5*

Bis stimmen

Aufgabe 8. Stützenreaktionen von Dreigelenkbogen bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte.

Die Yertikalreaktionen V, V‘ und Horizontalreaktionen H, H‘ der Kämpfer symmetrischer Bogen mit drei Gelenken für den Fall anzugeben, dass nicht nur Lasten, sondern beliebig gerichtete äussere Aktivkräfte in der Trägerebene wirken.

Es gelten die Gleichungen der Aufgabe 1 (S. 7), worin nun wie in § 15:

k — 0,

M — 0,

m    ‘

- i)

sodass die Vertikalreaktionen der Stützen (vergl. Fig. 11 auf S. 7):

[~2 P (l—a) + Ś Qè

■-O    0

i r¹

p = ibpa

während ohne Aenderung hleiben:

V -f V‘ — 2 P,

3)

H — H‘ =

-Mo

Q.

4)

Gleichung A 1, 3) liefert für x —

= m, wo y — f:

m /1

-*/-?*(*

° = V2

woraus die Horizontalreaktion bei 0:

2/

² Q (f—b),

5)

und nach Einsetzen von 2) sowie mit Rücksicht auf 4) beide Horizontalreaktionen :

l    m    1

2 P a + S P (l—a)    2 Q (2 f—b) -|-ZQb

II =

~m

2/ L;o i r™

6)

•m

Z Pa -fS P (l—a) — 2 Q b — 2 Q (2 f—b)

7)

H‘ 2/

Sind die Ç nach Grösse und Richtung symmetrisch zur Trägermitte angeordnet (Erd-

1    m    1

druck etc.), dann ergeben obige Formen wegen 'ZQb =— 2 Çè und 2 Q — 0:

-o

₇2P (l—a) l o

//= H‘ — ~

2 Pa,

8)

y/ = j*

l o

r m    1    m

2 Pa 4- 2 P(l-ä) — 22 Q (f—b)\

*-0    m    0    J

und wenn auch die P symmetrisch zur Trägermitte liegen, wegen 2 P a —

o

2 P (l—a) (vergl. S. 60 unten) :

2/

9)

m

V' — 2 P,

40)

r m    m

|2Pa 4-SQ(/-6)J.

Lo    o    J

11)

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrirte Last, so ist dem Begriffe der Symmetrie

m

entsprechend nur die Hälfte derselben in die Summen 2 P von 10) 11) aufzunehmen.

Es wirke nur auf eine Trägerhälfte ein nach der Mitte gerichteter Horizontaldruck von v per Höheneinheit von f, während H den von der Vertikal-

r    j 7    p

belastung allein herrührenden Tlieil der Horizontalreaktionen darstellt, hat man nach 2) 3) 6) 7) bei Wirkung der v auf die zweite Trägerhälfte (vergl. § 14) :

vf²

Dann

■f

2Qi=2Ç6=e

b db —

2 Q (2 f—b) = v

'f

(2f—b) db

— -j 2 P (l—a) 4-

' H + V p ¹    4 ’

v/²

Tr

21

12)

13)

14)

H — H‘ — vf.

Wenn dagegen der Horizontaldruck auf die erste Trägerhälfte, also in negativer Richtung wirkt, so erhält man :

Sf-lo

bdb = —

= Q b = — «

m    /*f

2 Q (2 /—ft) = — v / (2 /— 6) d b — —

o    Jo

F = 4 2 P (Z—a)

Z o

H = H

3-ü/

vf

t2Pö -p fr o

= +î/. p ¹    4

v/2 2Z">

15)

16)

H — H‘ =— vf.

In diesen Gleichungen hat man nach 6) 7) bei beliebiger Belastung:

17)

//

[2 Pa + 2P(Z-a)l

L 0    m    J

p — 2 /

und speziell bei symmetrischer Belastung :

1 m

H = 4 2 Pa;

18)

i¹

19)

ferner mit Rücksicht auf § 14 für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit :

//

u Z²

20)

p 8/’

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

TT _ u + u‘

~~ 16/

Der durch die Gleichungen 12)—17) berücksichtigte Fall kann z. B. bei Dachbindern nach Art von Fig. 59 (S. 59) bei Berücksichtigung schiefen Winddrucks Vorkommen.

Z².

21)

§ 16. Einfache Bogen mit zwei Gelenken.

Der Bogen habe nun zwar Kämpfergelenke in gleicher Höhe, aber kein Zwischengelenk (Fig. 66). In diesem Falle gelten :

k = 0.

Die Vertikalreaktionen der Kämpfer werden nach § 1, 4)5) wie bei Bogen mit drei Gelenken :

M = M⁴ = 0,

1)

lïPa’

l 0

2)

während der Horizontalschub H durch die statischen Gleichungen des § 1 nicht bestimmt ist, sondern aus Beziehungen für die elastischen Deformationen ermittelt werden muss. Er zeigt sich dann von der Form der Bogenaxe und Veränderlichkeit des Querschnitts abhängig(s. S. 78).

Das Moment und die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x lassen sich nach § 1, 3) 8) und 2) 7) wie bei Bogen mit drei Gelenken ausdrücken :

.--Ff:

1T“V

Fig. 06.

Afx = V x — Hy —    (x—a)

-lPa -f ^P(Z-ö)

0    Z x

Hy,

3)

Vx = V — ST

=-i!Pa+i?p^>

und für die Normalkraft bei x gilt wie immer:

Nx = Vx sin cp —J- H cos cp.

Auch für die in §§ 1, 8 gegebenen Ausdrücke der Tranversalkraft Tx, resultirenden Schnittkraft Bx, Normalspannungen o, a₀, au u. s. w. treten keine Aenderungen ein. Man hat also z. B. bei vollwandigen Trägern mit symmetrisch zur Axschieht angeordneten Querschniten die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement (zwischen welchen die Werthe aller übrigen a des Querschnitts liegen) :

i/x

= T +

4)

5)

_ 4c _ Mx a° F W

unter F den nutzbaren Querschnitt, unter TF das Widerstandsmoment desselben verstanden.

6)

Verschiedene Forme n.

Bezüglich der Gleichungen der Bogenaxe und deren Bichtungs-winkel wird auf das im vorigen Paragraphen Gesagte verwiesen (S. 59). Wir fassen hier nur symmetrische Parabelbogen mit konstantem (mittlerem) J cos cp und Bogen mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten spezieller ins Auge. Inwiefern diese Fälle genügen, ist in § 28 besprochen, während die Ableitungen der gegebenen II in § 27, 31, 32 zu finden sind. Ueber Kreisbogen siehe auch die Aufgaben 13, 14.

Für symmetrische parabolische Bogen vom Mittelwerthe c des Ausdrucks Jcos cp hat man nach § 28, 18) den durch eine beliebige Belastung erzeugten Horizontalschub:

(1 + 3)8/7

3 S Pa (Z—n) (Z² + la — a² — ß Z²),

7)

während eine beliebige Temperaturänderung x bewirkt (für Zunahme x positiv) :

8)

a x,

15 Ec

(1 +e)8/*

und eine Aenderung der Spannweite um A / bedingen würde (für Zunahme AZ positiv):

9)

15 E c AZ

(1 + e) 8/* Z •

In diesen Ausdrücken wie in der Folge gilt für e die Gleichung § 15, 40), während mit r nach § 15, 11)

10)

doch kann ß fast immer vernachlässigt werden (§ 28).

Bei vorläufigen und überschlägischen Berechnungen lässt, sich in 6) neben ß meist auch s vernachlässigen, womit entsteht:

ZJJ-Ą p« (*-«)(*’ + la~

«²).

11)

Hierin ist

für

a=0

19

r>

19

Z².

Z²

Z² -f la — a* = l*

Wird statt der letzteren, nicht sehr veränderlichen Grösse deren durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmter Mittelwerth:

a²) da =

in 11) eingeführt, so folgt die Näherungsformel:

3o Pa (Z—a).

Bogen mit beliebiger Axform und beliebiger Veränderlichkeit des Querschnitts denken wir uns durch Querschnitte oder sonst geeignete Schnitte in eine genügende Anzahl gleich oder verschieden langer Felder getheiit, welche z. B. bei der in Fig. 67 angedeuteten Maria-Pia-Brücke über den Douro in Portugal natürlich mit den Fachwerkfeldern über-

16

16

48/Z

Z²

12)

nach Lissabon

nach Porto

-K-W-

WW_

*--⁸**-*-

iirXa

rrri

il

/ tryttuhuitgs -

111

Mt¹ * I f f I

______________________SÄ.______i»_. J&tewst . J

--------

Jjini*.

iłUpiM m

Fig. (37.

einstimmen würden. Die Axlänge a und die Mittelwerthe von x, y, J für die einzelnen Felder (z. B. die Werthe in den Feldermitten) mögen wie in Fig. 68 angedeutet bezeichnet sein, sich dann in den folgenden Gleichungen die Summen 2 auf alle Felder zwischen den angesetzten Summengrenzen, ~h \ so haben wir nach § 31, 13) den von einer beliebigen Belastung herrührenden Horizontalschub:

Beziehen

-T X x vT

■ÇT

IC

Fig. 68.

Sxj mit Sx — N P (x—a)

13)

den Beitrag einer beliebigen Temperaturänderung x

— E a x, w

und den Einfluss einer Aenderung der Spannweite um A 1 :

H — — — AZ.

15)

In diesen Gleichungen sind nur von der Axform und den Querschnitten abhängig, also für alle Belastungen u. s. w. gleichbleibend :

ay²

v a x y

v = \ Z,

o J

wenn jedoch, wie gewöhnlich, die Feldertheilung und Querschnitte zur Trägermitte symmetrisch angeordnet sind, auch :

10)

v = iï°y

0 J

17)

In §§ 31, 32 sind noch genauere Formeln für den Horizontalschub von Zweiggelenkbogen von beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten abgeleitet. Die in § 32 vorgenommene Vergleichung der betreffenden Resultate für die Maria-Pia-Brücke mit den Resultaten der obigen einfacheren Formeln ergab Abweichungen von 0 bis 0,44 °/o.

Verschiedene Belastungen.

Die bis jetzt angeführten Gleichungen gelten für beliebige Belastung. Eine Spezialisirung derselben für stetig vertheilte Lasten kann nach der Anleitung in § 14 erfolgen, wo die Werthe der Summenausdrücke S für die wichtigsten Fälle gegeben sind.

Für eine auf die gauze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit erhält man:

V' = — 2

18)

U ( — *):

tci

19)

20)

M* = \ x {l—x) — Hy, worin für Parabelbogen von konstantem J cos cp :

Z²

21)

und für Bogen von beliebiger symmetrischer Axform und beliebigen Querschnitten :

22)

l v—z

--u.

2 iv

In 23) kann ß fast immer, e jedoch im Allgemeinen nur für vorläufige Berechnungen vernachlässigt werden (§ 28). In 22) sind iv, v durch 17) oder 16) bestimmt und

CT y X ²

23)

bei symmetrischer Feldertheilung und symmetrischen Querschnitten hat man jedoch auch unmittelbar:

l v —z

v a y x2 o ~JT’

24)

und daneben w nach 17). Dies gilt auch in den folgenden Formeln.

Wirken auf der ersten und zweiten Trägerhälfte verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit, dann er-geben sich :

3 u -f- u‘

u -f- 3 u‘

l,

25)

und für Querschnitte x auf der ersten Trägerhälfte (die Behandlung dieser genügt für praktische Berechnungen) :

Vx — V — u x,

2(1)

1 r    Tr    TT    U X 2

Mx = x x — Hy — -g-.

Hierin gelten für Parabelbogen von konstantem .7 cos cp :

27)

u -j- u‘ T-f e    1(1/

28)

und für vollständig symmetrische Bogen mit beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten :

1 v — z u -1- u‘

29)

Der Beitrag einer Einzellast P an beliebiger Stelle a zum Horizontalschub H ergibt sich für den Parabelbogen von konstantem ./cos cp, wenn man einfach in 7) das Summenzeichen 2 weglässt. Für Bogen von beliebiger symmetrischer Axform und beliebigen Querschnitten hat man:

(*, CT x y

l ic

a    fj    l

30)

Ist die Anordnung der Querschnitte und Feldertheilung symmetrisch zur Trägermitte, dann wird bequemer:

H = - [s

w Lo

i (y ° y

+« i? --

also insbesondere :

für a < 2

. I

v G    g

Alle drei Gleichungen liefern :

für a = ~

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

P

w Vo

r-m

+aî°3

- " ! -n

P v er x y

31)

32)

33)

34)

Für eine beliebige symmetrische Belastung ist bei Parabelbogen

1    m

in 7)2 = 2 2, während alsdann bei vollständig symmetrischen Bogen 0    0

von beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten nach §32,4):

— 2 IK (xV — S ) = — TV 0X--

w o J {XV °xj iv l o

und in beiden Fällen gesetzt werden können :

xV —

0 J VT

35)

= ZPa + x^P,

0    x

doch ist im zweiten Ausdruck 36) zu beachten, dass eine etwa gerade

36)

bei a — x angreifende Last P nur in einer der Summen 2 und 2 be-

0    x

rücksichtigt werden darf (in einer beliebigen).

Falls die Bogenaxe wirklich parabolisch ist, nicht nur so annähernd, dass man die für parabolische Bogen gültigen Ausdrücke des Horizontalschubes verwendet, so folgt aus 20) mit 21) und § 15, 8) für eine gleich-massig vertheilte Last u auf der ganzen Spannweite:

Mx =

IO CO

37)

i H“£

und aus 27) mit 25) 28) und § 15, 8) für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

Ms =

X (l—x) -f-    £ u

X(2

Xs'.

38)

Bei Vernachlässigung von ß, s liefert die erste Gleichung:

¹

Bezüglich neuerer Versuche mit Beton siehe: Bach, Versuche über die Elasticität von Beton, Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1895, S. 489; Bericht des Gewölbeausschusses, Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins, 1895, S. 40; Luegers Lexikon der gesammten Technik, Bd. III, Stuttgart 1896, S. 452.

²

Die Einsenkungen sind wesentlich durch die Momente J/. bedingt, welche ihrerseits stark von der Axform abhängen. Siehe die Bemerkungen am Schlüsse des Beispiels 27 und die Vergleiche in oben citirten Beispielen, sowie § 36.

= 0,

u — u⁴ (l \

T~X\2~XP

und die zweite Gleichung :

Mx =

wonach die Stützlinie (§ 8) im ersten Falle nahe der Stabaxe liegt und im zweiten die letztere annähernd in der Trägermitte scheidet.

Kämpferd r u c k 1 i n i e. K e r n 11 n i e n.

Die Umhüllungslinien U, U⁴ der Kämpferdrücke sind Punkte, sie fallen mit den Mittelpunkten der Kämpfergelenke zusammen (§ 2). Für die Schnittlinie S der Kämpferdrücke ist nach § 2, 1) mit M — 0 die Ordinate b bei Abscisse er.

39)

b = jja,

worin V, H die durch eine Einzellast P bei a erzeugten Werthe der Vertikalreaktion bei 0 und des Horizontalschubes bedeuten.

5 Pa (l—a) (l* + la —a² - ß P) (1+4)8 fl*

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp hat man nach 2) 7):

V = P

und, wenn die Feldertheilung und Querschnitte zur Mitte symmetrisch angeordnet sind, auf der ersten Trägerhälfte:

a (l — a)

43)

v a x y . v a y I. i 4- a i •;

0 J    ft J

Selbstverständlich verläuft die Kämpferdrucklinie im letzteren Falle symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte.

Für die Kernlinien gilt das in § 8 Gesagte. Man hat also z. B. bei symmetrisch zur Axschicht liegenden Querschnitten die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Stabaxe:

44)

F’

Die Gleichung’ der Schnittlinie S wird damit:

h===S    (1 + s)/Z²

40)

5 P + la — a² — $P worin fiP jedenfalls wegbleiben darf. Für die Zwecke, welchen die Kämpferdrucklinie dient (§ 11), kann jedocli oft auch s vernachlässigt werden, sodass dann:

fP

41)

und beispielsweise (Fig. 69) : für a =    0

j = 1,600    1,442

Bei Berücksichtigung von s sind diese Werthe mit 1 —)— s zu multiplizieren.

Für Bogen von beliebiger symmetrischer Axform und beliebigen Querschnitten hat man ~H in 39) F wie im vorigen Falle und H durch 30)—33) bestimmt, wonach allgemein:¹

DC

1,347    1,296

1,280

1.6 i

•1,2» f

Fig. 69.

w a (l—a)

(l —

a)i°¹ V + ai

0 J    a

o(l-x) y,

42)

K = K =

während die Kernlinien bei vernachlässigter Füllung (Gitterbogen etc.) mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

Grenz werthe bei bewegter Last.

Es gilt ohne Aenderung das im vorigen § für Bogen mit drei Gelenken Gesagte. Da jedoch jetzt die Kämpferdrucklinie S einen andern

Verlauf hat, so gewinnen die angeführten Konstruktionen der ungünstigsten Belastungen ein etwas andres Aussehen, Fig. 70—72 treten an Stelle von Fig. 61—63 (S. 62).

Bei Bogen mit zwei Gelenken haben nun aber auch d i e Temperaturänderungen einen Einfluss auf H und damit auf die Beanspruchungen in allenQuerschnitten.

Es pflegen Abweichungen gegen die Normaltemperatur bis etwa t = + 30° C berücksichtigt zu werden.

Ein beliebiger Horizontalschub allein erzeugt nach 3) 5) bei x ein Moment und eine Normalkraft:

Mx =

Nx — H cos cp.

Die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement sind in dem gewöhnlichen Falle symmetrisch zur Axschicht liegender Querschnitte nach 6):

max druck 6~0 min. druck ĆT₀

Fig. 70.

-"S

druck (Tu min. druck (Tu

max.

Hy,

45)

Fig. 71.

(cos^p JQ H.

Die Grenzwerthe derselben entstehen also mit den Grenzwerthen von H, d. h. für Temperaturänderungen mit H nach 8) 14) und den Grenzwerthen von x, bei obiger Annahme mit x = 30° und x = - - 30°. Diese Grenzwerthe von sind mit den

o„

cos cp

y_ \ Tr

' w)H ’

46)

<Ju

von der Belastung herrührenden Grenzwerthen von

min.druck (T~u max druck (Tu

max.druck ö~? min. druck

6,

a₀, au so zu kombi-niren, dass möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerthe im Ganzen entstehen.

Durch 45) 46) sind auch die durch eine Aenderung A l der Spannweite (Ausweichen der Widerlager) bewirkten Aenderungen der Beanspruchungen bestimmt, wobei H aus 9) oder 15) folgt.

Fig. 72.

F o r m ä n d e r unge n.

Wir führen wie bei Bogen mit drei Gelenken nur die Einsenkung parabolischer Bogen von konstantem J cos cp in der Trägermitte an, und verweisen bezüglich der sonstigen Formänderungen parabolischer Bogen auf § 30, bezüglich der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten auf §§ 26, 33.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp ist nach der Abtheilung in § 30 unter Vernachlässigung von ß die von einer beliebigen Belastung herrührende Einsenkung in der Mitte:

2 a)³

5 fi/Z⁸],47)

r¹¹¹

F Pa

2P(/-a)(Z⁸-8Za-f 4 a⁸)

worin H durch 7) mit ß = 0 bestimmt. Speziell für eine zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man:

48 Ec

24 E c

[SP« (3Z⁸-4a⁸)—|fi/Z⁸].

48)

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrirte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in 2 aufzunehmen.

Für eine Einzellast P in der Trägermitte folgt hiernach beispielsweise

3 -(-128s PP 1 —j— s 6144 Ec '

Von 48) kann auch bei unsymmetrischer Belastung (jebrauch gemacht werden, wenn man berücksichtigt, dass die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so gross als durch eine mittelst Verdoppelung dieser Belastung hergestellte symmetrische Belastung ist (vergl. Beisp. 42, auch 25, 29, 41, 44).

Die Werthe der Summenausdrücke 2 für stetig vertheilte Lasten sind aus § 14 zu entnehmen. Für eine auf die ganze Spannweite gleich-massig vertheilte Last von u per Längeneinheit folgt dann aus 48) mit 21) :

s 5 ul ^

49)

50)

1 -j-e 384Ec’

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte nach 47) mit 28):

'■    _ £    u-f- u⁴ 5 l⁴

e ~~ 1 —j— £ 708 E r '

Selbstverständlich war auch in diesen Fällen ß zu vernachlässigen. Gleichung 51) führt mit u⁴ = u wieder auf 50) und hätte umgekehrt aus 50) erhalten werden können.

51)

Gleichung 48) liefert für H — 0 und Gleichung 49) sowie 50) für / = 0, £ = oo ² bekannte Ausdrücke für einfache Balken mit frei drehbaren Enden.

Bei Vernachlässigung von £ würde diese nothwendige Uebereinstiuimung wegfallen und z. B. bei beliebiger auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilter Last überhaupt keine Einsenkung sich ergeben (vergl. auch § 17 und S. 73).

Eine Temperaturänderung t (bei Zunahme t positiv) erzeugt die Einsenkung :

5/P 48 Ec

H — a i /,

52)

* Vergl. Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuir-lichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 78, 80; Lueger, Lexikon der gesummten Technik, Band I, Stuttgart 1895, S. 766.

mit H nach 8). Durch Einsetzen des letzteren Ausdrucks folgt:

(/+ ²⁵

l²

128 / 1 + £/

Durch eine Aenderung A l der Spannweite (bei Zunahme A / positiv) und eine Aenderung A k der anfänglich gleichen Höhenlage der Stützen (bei höherer Stütze l ist A k positiv) würde entstehen:

54)

Mi IH

48 Ec

Hierin ist H durch 9) ausgedrückt, sodass auch:

55)

25 l A l 128/ 1 4" £

Für Näherungsrechnungen kann s in 53), 55) häufig vernachlässigt werden.

Beispiel 10. Horizontalschub eines parabolischen Bogens (Coblenzer Brücke). Bei Berechnung der älteren Coblenzer Brücke wurden für die symmetrischen

Bogen mit Kämpfergelenken von l — 98,0775 m Spannweite und f — — = 8,91614 m

A²

Pfeil der Axe die letztere parabolisch, die Entfernung der Gurtungsschwerpunkte konstant h = 2,97214 m, und das Trägheitsmoment des veränderlichen Bogenquerschnitts F unter Vernachlässigung der Fachwerkfüllung

J — F

angenommen. Unter Aufrechterhaltung dieser Annahmen, den Horizontalschub für beliebige Belastung und speziell für eine auf die ganze Spannweite gleich-massig vertheilte Last wie auch für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u' auf der ersten und zweiten Trägerhälfte auszudrücken. — Schliesslich ist der Horizontalschub für beliebige Temperaturänderungen x und für kleine Aender-ungen M der Spannweite anzugeben, wobei der Elasticitätsmodul E = 2(KX)OOOkg per qcm, der Ausdehnungskoeffizient a = 0.000012 und der Mittelwerth von ./cos cp für Meter als Längeneinheit c — 0,36497 einzuführen sind.²

Unter obigen Annahmen erhält man für Meter als Längeneinheit nach § 15, 41):

Ï = t = M™²? = 2,30840,

während mit l:f — 11 nach § 15, 11):

l = 139,314 m.

__ D / _ 125 ~ 8/⁺ 2 —

Nun liefern die Gleichungen § 15, 40) und § 16, 10):

15.2,2084

_    g—

(Ä)! = «

= 0,004992,

6,57498

•    = ^ f/f

8    /    _ 8.8,91614.0,04563

*    — 5 r -f s “    5.130,398

5.11

womit weiter folgt :

(1 4-s)8fla ~ 1,04563.8./4 — und nach § 16, 7) der Horizontalschub durch beliebige Belastung :

H — ⁶4-'°° VP a (l—a) (0,995 Z² 4-la —a²), l o

Beispiel 17. Einfluss von Temperaturänderungen (Coblenzer Brücke).

Für die Coblenzer Brücke (vergl. Beisp. 16) seien angenommen: Normaltemperatur 10° C, grösste Abweichungen von derselben x = + 30°. Den Einfluss der Temperaturänderungen auf die Momente M^, Normalkräfte AQ, Transversalkräfte 7⁷x und Gurtungsbeanspruchungen O, U der mittleren (ein Geleise tragenden, s. S. 86) Bogen festzustellen und speziell für den Scheitelquerschnitt zahlenmässig anzugeben.

Nach Formel d) des vorigen Beispiels ist der Horizontalschub durch die Temperaturänderung x = -(-30°:

H — 1975,78 x = + 59273 kg,

während die Vertikalreaktionen der Kämpfer durch x keine Aenderung erleiden.

Nach § 16, 3)—5) und § 1, 10) entstehen durch ein beliebiges H und spezioll für x = 30° folgende weitere Aenderungen:

Mx Hy

N =

mk.

Für eine gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit hat man nach § 16,21): _ 1 - 5/6 ßwZ²_ 0,99584 11.98,0775 1 —{— e 8/    1,04563    8 U’

b)

H = 128,436 u,

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, zweiten Trägerhälfte nach § 16, 28) :

H =    ~Wf ¹² = ¹²⁸’⁴³⁶

H == 64,218 (u -j- u¹).

Wie schon in § 16 erwähnt, lässt sich im Allgemeinen ß vernachlässigen (vergl. § 28). Dies trifft auch im vorliegenden Falle zu. Es treten dann in a), b), c) Ï l>ezw. 128,973 und 64,486 an Stelle von 0,995 bezw. 128,436 und 64,218.

Zur Ermittelung der Beiträge von x und AZ nach § 16, 8) 9) haben wir: 15.2000000.100².0,36497 ~    1,04563.8.8,91614²    ~

womit der Horizontalschub durch eine beliebige Temperaturänderung x:

H — 164648000.0,000012 . x = 1975,78 x kg, und der Horizontalschub durch eine kleine Aenderung AZ der Spannweite:

164648000

u‘ auf der ersten und

°)

lhEc

(l+e)8/²

164648000.

AZ = - 1678754 AZ kg.

98,0775

In b) c) sind u, u‘ per Meter, in e) ist A Z in Metern einzusetzen.

Bemerkungen. Unter Voraussetzung eines Kreisbogens Querschnitt hätten wir anstatt d) und e) erhalten (Beisp. 38):

II = 1963,16 x,    H — — 1668074 A Z,

d. i. 0,64 °/o kleiner als oben für den Parabelbogen von konstantem J cos cp gefunden wurde.

Wenn wir dagegen die Formeln § 16, 8) 9) mit der nähme s = 0 verwendet hätten, so würden sich ergeben haben:

H — 2065,93 x, d. h. um 4,56 °/o grösser als oben.

Ueber den Horizontalschub parabolischer Bogen siehe auch Beisp. 40.

von konstantem

gebräuchlichen An-

H = — 1721609 AZ,

= - 59273 y

H cos cp =    59273 cos cp kg,

T^ — — H sin cp = — 59273 sin cp kg.

Von den Kämpfern an bis zum Scheitel hin nimmt also M proportional y von 0 bis — 59273/numerisch zu, Nx wächst von 59273 cos 9₀ bis 59273 kg, während Tx von — 59273 sin cp₀ bis 0 numerisch abnimmt.

Boi Berechnung der Gurtungsbeanspruchungen für die Coblenzer Brücke wurden die Gurtungsquerschnitte unter Veraclilässigung der Füllung gesetzt f₀ = fu — -g. Da man alsdann zufolge § 8, 18) 19) für Bogen mit durchbrochenen Wandungen hat :

■N

X

XI    X

_ + —,

so folgen mit obigen allgemeinen Ausdrücken die von einem beliebigen Horizontalschub H allein herrührenden Gurtungskräfte:

/COS cp \~2

F’

(T+0*

und in unserm Falle mit h = 2,97214 m, x = 90°:

0 = 29636 cos cp — 19943 y kg,

U = 29636 cos cp -f 19943 y „ .

Die grösste Gurtungsbeanspruchung durch Temperaturänderungen tritt hiernach im Scheitel für den Untergurt ein. Man hat im Scheitel mit cp = 0, y — f — 8,91614 m:

U = 207451 kg,

und da die Gurtungsquerschnitte daselbst f\x — / — 768,13 qcm, so sind die entsprechenden Beanspruchungen per qcm:

1.48179 inon ,    ,

~ Tßg jg — — 192,9 kg (/ug),

(Druck).

0 = - 148179 kg,

im Obergurt

207451 763.18 -

270,1 „

im Untergurt

Für x = — 30° wechseln mit H (siehe oben) auch alle weiter genannten Beanspruchungen einfach ihr Vorzeichen.

Beispiel 18. Ausweichen eines Widerlagers oder Pfeilers (Coblenzer Brücke).

Infolge Nachgebens eines Widerlagers oder Pfeilers der älteren Coblenzer Brücke (vergl. Beisp. 16, 17) möge die Spannweite l = 98,0775 m eines der mittleren (ein Geleise tragenden) Bogen um 0,02 m zugenommen haben. Es sind die hierdurch eingetretenen Aenderungen der Momente, Normalkräfte, Transversalkräfte und Gurtungsbeanspruchungen festzustellen und speziell für den Scheitelquerschnitt und die Kämpferquerschnitte zahlenrnässig anzugeben.

Durch das Nachgehen des Widerlagers um M — 0.02 m tritt nach der Gleichung e) des Beispiels 16 eine Aenderung des Horizontalschubs um H — — 1678754 Al — — 33575 kg

ein, während die Vertikalreaktionen der Kämpfer ungeändert bleiben. Die Aenderungen der Momente, Normalkräfte, Transversalkräfto und Gurtungsbeanspruchungen beliebiger Querschnitte sind (vergl. Beisp. 17):

33575 g,

33575 cos cp kg,

33575 sin cp

-    Hy

H cos cp —

—    H sin cp =

.Y

.1/

V4-J 2    ' h

N M

x    :

- 16788 cos cp -\- 11297 y kg,

— = - 16788 cos cp - 11297 y „ .

h

Speziell für den Scheitelquerschnitt hat man wegen y 299359 mk,

83938 kg,

und, mit den Gurtungsquerschnitten /

83938 _    .

768,13 ~ 109 kg’

^fx

/■

33575 kg, U. -r=— 117514 kg,

/u = 768,13 qcm, per qcm: 117514

“■768:13    158 kg’

8,91614 m, cp — 0:

0,

0. Wird der Bogen

Bei den Kämpfern hat man y — 0 und damit M wie bei Berechnung der Coblenzer Brücke, parabolisch vorausgesetzt, so hat man mit Rücksicht auf § 15, 8) für x

tgcp

0:

4/    4_

l — 11’ 0,34174,

N = — 31553 kg,

sin cp

19 ⁰ 58'59".

cp =

cos cp - 0.93979,

11474 kg,

und für x — Z:

tgcp =

_ iZ

sin cp =— 0,34174, — 31553 kg,

Cf = — 19° 68'59",

cos cp = 0,93979,

Tx =- 11474 kg,

also an beiden Kämpfern:

0 = - U — — 16788.0,93979 — - 15777 kg,

und mit den Gurtungsquerschnitten /

/ — 8(X),624 qcm per qcm :

15777 _    9n.

800,624 ' -    20 kg-

Brücke).

Beispiel 19. Influenzlinien und Grenzwerthe parabolischer Bogen (Coblenzer

Für die Bogen der Coblenzer Brücke (vergl. Beisp. 16) die Influenzlinien der Stützenreaktionen V, V', H anzugeben und und die Grenzwerthe dieser Grössen festzustellen, wenn eine gleicbmässig vertheilte feste Last von g = 3983 kg, eine ebensolche Verkehrslast von p = kg per Meter (Annahmen bei der ursprünglichen Berechnung) und daneben Temperaturänderungen bis x = + 30° C gegen die Normaltemperatur in Betracht- gezogen werden, auch infolge Nachgebens eines Widerlagers eine Aenderung der Spannweite um AZ — 0,02 m eingetreten ist.

Die Influenzlinie von V wurde bereits in § 12 ermittelt, diejenige von V“ liegt bezüglich der Trägermitte symmetrisch zu ihr. Da die Influenzflächen in

l

beiden Fällen den Inhalt haben und ganz auf einer Seite der Abscissenaxe

liegen, so sind zufolge § 11 die Grenzwerthe beider Vertikalreaktionen mit 9 + P

7169 kg :

<ll

= 3584,5.98,0775

351559 kg,

f/J

1991,5.98,0775 = 195321 „ .

V'=S2

Der allgemeinste Ausdruck des Horizontalschubs für die fraglichen Bogen ist nach den Formeln a), d), e) des Beispiels 16:

6 ü7ö ¹

EP a (l--a) (l* +la—a *) + 1888,68 x Z o

1678754 AZ.

Die Gleichung der Influenzlinie von H folgt daraus nach § 12 :

6,575

Z⁴

a (Z—a) (Z² -f- Z n — a'²),

oder mit Z

n X, a — mX:

6 575

- m (n—m) ( nz -|- m in—m) ),

wonach bei

31

mit n = 8 und die Ordinate

0,798    1,464

1,902

2,055

Die Linie ist in Fig. 73 dargestellt, sie zeigt (wie schon der Ausdruck von H), dass die Grenzwerthe von LZ für Vollbelastung der ganzen Spannweite und Eigengewicht allein eintreten. Da für eine beliebige auf die Spannweite gleicbmässig vertheilte o Last von u per Längeneinheit mit Rücksicht auf § 14 der Beitrag der Belastung zu H nach obiger Formel :

2:055

Jnfluer.iVtfA⁶ ^

6,575 u V'

g- = 128,972 u,

so ergeben sich mit Berücksichtigung von x AZ die Grenzwerthe von LT im Ganzen:

Z⁴

Fig. 73.

H = 128,972.7169 + 1975,78.30 - 1678754.0,02 = 950299 kg,

II = 128,972.3983 - 1975,78.30 - 1678754.0,02 = 420847 „ .

Ueber Influenzlinien und Grenzwerthe parabolischer Bogen siehe auch B 10, 11 und IV. Abschnitt.

Beispiel 20. Einsenkung parabolischer Bogen (Coblenzer Brücke).

Für die Bogen der Coblenzer Brücke (vergl. Beisp. 16) wurden per Meter Spannweite angenommen: Feste Last g — 3983 kg, Verkehrslast p — 3186 kg. also Gesammtlast q — g -}- p = 7169 kg. Es sind die Einsenkungen in der Trägermitte zu berechnen: a) für die feste Last allein; b) für Vollbelastung des ganzen Trägers; c) für feste Last auf der ersten oder zweiten, Vollbelastung auf der zweiten oder ersten Bogenhälfte; d) für eine Temperaturänderung x und speziell für x = +30°; e) für eine Aenderung A 1 der Spannweite und speziell für A 1 = 0,02 m.

Für eine beliebige auf die ganze Länge gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit ist nach § 16, 50) die Einsenkung in der Trägermitte:

s 5 ul*

⁶ ~ 1 + s 384Ec'

also im vorliegenden Falle mit l = 98,0775 m, c — 0,36497 für Meter als Längeneinheit, £ == 0,04563, E = 2000000 kg per qcm:

_ 0,04563

⁶ ~~ 1,04563 384 .' 2000000 . lOÖ².0,36497 Hieraus folgt für die feste Last (Eigengewicht der Brücke) allein mit u = 3983 kg :

e = 2,869 cm.

und für Vollbelastung des ganzen Bogens mit u — 7169 kg:

e = 5,164 cm.

Für Belastung der ersten Trägerhälfte mit u, der zweiten mit u‘ per Längeneinheit hat man nach § 16, 51):

1)

5 .n. 98,0775⁴

= 0,0000072028 u m = 0,00072028 u cm.

a)

b)

£ u -f- u‘ 5 l 4 “    ~768~ E~c

2)

also in miserai F alle c) :

e = 0,00072028

3983 4- 7169

= 4,016 cm.

o)

das ist das Mittel der Werthe a) und b).

Durch eine Temperaturänderung x entsteht nach § 16, 51):

3)

25__

128 / 1 +

und mit l = 11/ = 11.8,91614 m, a = 0,000012 in Meter:

O’⁰⁰⁰⁰¹²-    +

e —— 0,2525 x cm,

also beispielsweise für x = —30⁰ :

e — _|_ 7,575 cm.

Eine Aenderung der Spannweite um A l hat nach § 16, 55) zur Folge :

251 AZ 6 — 128/ 1 £ ’

5)

und im vorliegenden Falle:

25.11 AZ

128    1,04563

= 2,0547 A l,

e)

wonach für A Z = 0,02 m — 2 cm:

e = 2,0547.2 = 4,109 cm.

Ueber die Einsenkung parabolischer Bogen siehe auch Beisp. 42 und IV M.

Aufgabe 9 mit Beispiel 21. Künstlicher Horizontalschub (Coblenzer Brücke). Für einen symmetrischen Parabelbogen mit Kämpfergelenken soll durch Erzeugung eines künstlichen Horizontalschubs bewirkt werden, dass bei normaler

Temperatur und Belastung durch eine gleiclimässig vertheilte Last allein keine Momente entstehen, also die resultirenden Schnittkräfte in der Axe angreifen, und alle Querschnittselemente gleiche und möglichst kleine Normalspannungen erleiden.

Für beliebige symmetrische Bogen mit Kämpfergelenken hat man i • ch § 10, 20) bei gleiclimässig vertheilter Last von u per Längeneinheit das Moment i-oi x:

— ~ x (l—x) — H //,

also speziell für symmetrische Parabelbogen vom Pfeile / wegen § 15, 8):

ul* )

Mx — x {l—x) (l

1)

2)

Wäre nun der von der angenommenen Belastung herrührende Horizontal 'mb

3)

u l -

-T?

(wie man ihn bei Vernachlässigung von s, ß annimmt), so würde ohne küns che Mittel bei normaler Temperatur nach 2) :

K = o.

Genauer ist jedoch nach § 10, 21):

ul*

1-t-e    8/ ’

welcher Werth etwas unter dem Horizontalschub 8) liegt, sodass nach 2) Momente entstellen. Sollen dieselben durch einen künstlichen Horizontalschub K aufgehoben werden, so ist dieser so zu bemessen, dass der Horizontalschub 4) auf den Werth 3) ergänzt wird, d. h. wir müssen wählen:

das heisst auch:

(■

ul*

8/ ’

5)

6)

Nach 5) 0) ist der künstliche Horizontalschub proportional u. Es wäre also ein andrer Werth von K zu wählen, wenn die M bei Vollbelastung ties ganzen Trägers aufgehoben werden sollten, als wenn dies für Eigengewicht allein beabsichtigt ist. Da die wirkliche Belastung fast immer der Belastung durch Eigengewicht allein nahe kommt, so ist letzteres vorzuziehen, also u <j zu setzen, lieber den künstlichen Horizontalschub bei nicht gleiclimässig vertheilter Last siehe IV E.

Für die in Beisp. 16 betrachteten Bogen der Coblenzer Brücke erhält man nach 6) mit l — 98,0775in = 11 /, s = 0,04563, ß = 0,004992, g — 3983 kg:

_    0,04979 3983 Qön77_    ,,r-₇₇ ,

K — 104562 ~T~ 98,0775 • 11 = 25oli k^'

Bei Vernachlässigung von ß hätte man K — 23440 kg oder um 8,36 °/o zu klein erhalten (vergl. lv E).

Ein künstlicher Horizontalschub kann auch aus anderen Gründen und mit anderm Werthe als oben angewandt werden. Bei der 1893 dem Verkehr übergebenen Stuttgart— Cannstatter Neckarbrücke war er vorgeschrieben, um ein Durchhängen der Träger bei niedriger Temperatur zu verhüten (IV E). Ist der künstliche Horizontalschub einmal hergestellt, so tritt sein Werth dom aus andern Ursachen herrührenden Horizontalschub für alle Belastungs- und Temperaturfälle hinzu. Der Einfluss des künstlichen Horizontalschubs auf die Beanspruchungen lässt sich ganz wie derjenige des Horizontalschubs durch Temperaturänderungon und Aenderungen der Spannweite ermitteln (Aufg. 6, Beisp. 7, 17, 18).

Aufgabe 10 mit Beispiel 2'2. Reduktion der Normaltemperatur parabolischer Bogen aut die mittlere Ortstemperatur (Coblenzer Brücke).

Es soll bei Herstelung eines künstlichen Horizontalschubes fvergl. Aufg. 9) die Normaltemperatur parabolischer Bogen auf die mittlere Ortstemperatur reduzirt werden. Als Normaltemperatur ist diejenige Temperatur anzusehen, für welche ohne Belastung bei normaler Spannweite der spannungslose Zustand eintreten würde.

Für einen parabolischen Bogen von konstantem ./cos cp entsteht nach § 16, 7) 8) 9) durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung x und eine Aenderung der Spannweite um A l (für Zunahmen x, A Z positiv) ein Horizontalschub :

2 Pa (l—a)    a — a² —-ß Z²) —J

15 Ec

(l + s)8/²

oc x

(l + e)8/Z³ö

Die zur Erzeugung eines beliebigen künstlichen Horizontalschubs K nöthige Verminderung der Spannweite folgt hieraus:

„ _ (l + e)8Z/»

15 Ec

Die Temperatur t₁ bei Herstellung von K differiere um d° von der gewünschten Normaltemperatur, welche im Allgemeinen die mittlere Ortstemperatur sein wird. Behufs der verlangten Reduktion fügen wir dann vorstehender Verringerung die weitere zu :

K.

v — oc / d,

sodass die ganze (z. B. durch Anziehen von Keilen herzustellende, vergl. indessen IV N) Verringerung der Spannweite beträgt :

(1 + s)8Z+

IbEc

K+olIiI,

2,

d hat einen positiven oder negativen Werth, je nachdem die Montirungstemperatur t{ (bei Herstellung von K, v) über oder unter der gewünschten Normaltemperatur (mittleren Ortstemperatur) liegt.

Ist nun in der Folge xJ die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die Montirungstemperatur^ (Fig. 74) und AZ eine etwaige weitere Aenderung

der Spannweite, dann hat man nach 1) den ganzen von der Temperaturänderung und den Längenänderungen v, A 1 herrührenden Horizontalschub :

15 Ec

♦.....

N «■

Fig. 74.

oder mit v nach 2):

x,

(1 -f s) 8 p

(oc

Ti-

A/ —

-)

15 E c

d+e)8 P

K.

Bezeichnet x die Abweichung der wirklichen Temperatur x gegen die gewählte Normaltemperatur, so ist in vorstehendem Ausdrucke:

x = d + xx ^

und wir erhalten bei Hinzukommen einer beliebigen Belastung, d. h. im allgemeinsten Falle:

3)

15 Ec

(ocx —y) + K. 4)

SPa(l-œ) (Z*+ia —

Der Horizontalschub und alle Spannungen hängen ausser von der Belastung und dem festgesetzten künstlichen Horizontalschub K nur noch von der 1 emperatur-änderung x gegen die gewählte Normaltemperatur und etwaigen Acnderungen A / der Spannweite nach Erzeugung von K, v ab.

Der künstliche Horizontalschub, welcher bei Herstellung der Ueberhöhung nach 1) mit Rücksicht auf 2) den Werth

„__    15 E c

A i (1 + s) 8/- T

(1+3)8 +

15 E c

(1 + 3)8/

■₂ a d

5)

hatte, erreicht nach 4) bei normaler Temperatur den vorausbestimmten Werth K, da sich ohne Belastung mit x = 0 und M = 0 H = K ergibt. Bei Rückgängigmachung von v würde auch K wegfallen.

Will man die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur ohne eine sonstige Ueberhöhung des Bogens vornehmen, so hat man mit K — 0 nach 2) 5):

v = tx l d.

15 Ec

oc d.

6)

Will man dagegen einen künstlichen Horizontalschub K ohne Reduktion der Normaltemperatur erzeugen, d. h. die Montirungstemperatur als Normaltemperatur belassen, so liefern mit d — 0 dieselben Gleichungen:

_ (1 + 3)8 ip 15 Ec

K,

= K-

7)

Angenommen für die Coblenzer Brücke sei ein künstlicher Horizontalschub K = 25777 k

g herzustellen gewesen (Aufg. 9), während die gewünschte Normaltemperatur 10° und die Montirungstemperatur 25° betrugen. Dann ist d — 25 — 10 = 15°, und da nach Beisp. 16 für Meter als Längeneinheit:

15 Ec

(1+2)8 +

— 164 648 (XX),

so ergeben 2) 5) mit 1 = 98,0775 m, a = 0,(XXX)12 :

25777

164648000

+ 0,000012. 15) 98,0775 m = 3,301 cm,

Kl = 25777 + 164648000.0,000012.15 = 55414 kg. Für K 0 hätten wir erhalten :

v — 1,765 cm,

Kl = 29637 kg.

Die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur wurde zum erstenmal 1893 bei der König-Karlsbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt vorgenommen (IV N).

Beispiel 23. Horizontalschub eines Bogens mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Für den Bogen der Maria-Pia-Brücke über den Douro, welchem die in Fig. 75 und Tabelle S. 95 ersichtlichen Verhältnisse entsprechen, ist der Horizontalschub H zu berechnen : a) für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Meter; b) für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte; c) für beliebige Einzellasten P bei a = 23,75 m, 26,75 m, 54 m, 64,4 m, 74,8 m, 80 m; d) für gleichzeitig wirkende Lasten von 63400 kg, 634(X) kg, 62400 kg, 47000 kg, 40500 kg bei den fünf ersterwähnten a und den symmetrisch dazu gelegenen Stellen (der Verkehrslast bei Vollbelastung entsprechend); e) für eine beliebige Temperaturänderung x; /) für eine Aenderung der Spannweite um M.

Mit Rücksicht auf die in der Tabelle S. 95 für den halben Bogen gegebenen Werthe und l — 160 m erhält man nach § 16, 17) 24):

v = l 2 Q-\ = 160 . 1000,92 = 160147,

0 J

= 2 . 25643 = 51286,

I oxy —

o J

~ I' 5

— 160.34066-1714494 = 3736066.

Weiter folgen der Horizontalschub durch eine auf die ganze Spannweite gleicli-mässig vertheilte Last von u per Längeneinheit nach $ 16, 22):

.    ~    _ 3736066    _70R.R

2 w ¹¹ - u - ⁷“’848 Uj

Iv — z

Derselbe durch verschiedene gleichmässig verthedte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte nach § 16, 29):

ZZ>

Hr»

Besondere Bogenarten.

tL

Nach Forto

____________+____________

SZ9‘Ö?. &S‘#J

GO

03

5?

co

-X-

Bä

ia

98,75

bis&OJÜ.

-x-

Fig- 75.

9.8,15___,    98,75

PS|

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"5_ Hochwasser_____

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62,1-

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Cu + u‘) — 36,424 (u + u‘).

C

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-+

37,315

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Iv — z u + u' 3736066

"©

11?

CM

'-t*

11

-i'

03

"3

MS

X-

37,315

/N"

32,335

Nach I.issabon

-<r

86, 635 __

15,135

Der Horizontalschub durch eine

”5

Wir erhalten danach, mit Rücksicht auf die rabellenwerthe S. 95, für a — 23,75 m :

0,36012 P,

(4758 + 23,75.577,32)

(5701 + 26.75 . 539,98) = 0,39281 P,

0,60038 P,

(17469 + 54.246,711

51286

ISB

CL, I cm CL, I CM

für a — 26,75 in :

o4 m :

für a

‘O

132

Feld

ay

GJll

a x y a y x ‘J

2,80

8,40

3,00

9,00

14.10

20,40

25,25

31,00

39,75

49,15

59,20

69,60

80,00

14,55

20,42

24,20

28,30

32,75

36,85

40,35

42,25

42.65

2.5,25    4,696    2.47,68    2.2034

1450

1984

943

3003

3753

5012

6085

6698

2.3814

773

8803

20445

40474

23811

93093

149182

246340

360232

466181

2.305160

Für eine Bogenhälfte³

93,75

1000,92    25643    34066 ! 1714494

für a — 64,4 ni.

für a = 74,8 m:

für a — 80 m :

51682

51286

(23554 + 64,4 . 143,92) == 0,63999 P,

(30252 + 74,8 . 47,68) = 0,65941 P,

= 0,66424 P,

34066

51286

Im vorliegenden Falle kann übrigens bei a = 80 m keine koncentrirte Last angreifen, weil sich daselbst kein Knotenpunkt befindet. Auch die unter b) erwähnte Belastung kann nicht wohl ein treten, weil der über den fünf mittleren Feldern liegende kontinuirliche Balken (Fig. 75) auch die Belastung einer Brückenhälfte über die Brückenmitte hinaus vertheilt. Für die Belastung d) ist der Horizontalschub mit Rücksicht auf die zuletzt berechneten Pf:

H = 2 (0,36012.63400 + 0,39281 . 63400 -j- 0,60038.62400    0,63999.47000 +

0,65941 . 40500) = 283969 kg.

Für eine beliebige Temperaturänderung x wird nach § 16, 14) :

160

E a x 32ä537

und für eine Aenderung der Spannweite um M nach § 16, 15):

EM

51286

H =. — — M =■—

IC

51286'

Wenn beispielsweise E = 2000000 kg per qcm, a = 0,000012, dann liefert die erste Gleichung:

und die zweite :

2000000.100².0,000012

320,537

= 748,744 x kg,

2000000 . 100²

51286

M = - 389970 A l kg,

worin A l in Meter einzusetzen.

Ueber die Genauigkeit vorstehender Berechnung siehe § 32 und Beisp. 39. Vergl. auch Beisp. 40.

Beispiel 24. Kämpferdrucklinie eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Die Kämpferdrucklinie der in Beisp. 23 betrachteten Dourobrücke festzustellen.

Nach § 10, 43) hat man bei vollständig symmetrischen Bogen auf der ersten Bogenhälfte für beliebige Abscissen a) die Ordinaten der Kämpferdrucklinie S:

a (l—a)

1)

t O X 7/    .

S-/ + «

0 'J

also mit l = 100 m und dem im vorigen Beispiel berechneten w — 51280 wegen

= 320,537

51280 l ~~    100

speziell für den Dourobogen:

b —

a (100 — a)

ay

320,537.

Diese Gleichung liefert mit Rücksicht auf die in der Tabelle S. 95 gegebenen Werthe : bei o = 0 m :

0.100

bei a — 20 m :

0    + 0 • 1000,92

320,537 = 51,239 m,

20 . 140

bei « = 40 m :

2774 -f 20.074,50

320,537 = 55,179 in,

40.120

bei a = 00 m :

12457 + 40.348,09

320,437 = 58,209 m,

00.100

bei a = 80 m:

23554 + 00.143,92

320,537 = 59,747 m,

80.80

-₍₎ — 320,537 = 00,219 m.

Da sich alle Ordinaten symmetrisch zur Mitte übertragen lassen, so konnte die Linie S hiernach verzeichnet werden (Fig. 70).

Bemerkungen. Für einen symmetrischen Parabel bogen von konstantem J cos cp hat man nach § 10, 40):

34000 -j- 80 .

h _    _(i±iLO!_

5 VA-la-a² — ßZ*’

2)

G    Parabel;Bogen

41135,0 7 ~ 25400 -f. a (160 - aY

und mit den dem Dourobogen entsprechenden Werthen / = 100 m, s = 0,004287, ß = 0,005447 (vergl. Beisp. 39):.

Wir stellen die hieraus folgenden Werthe mit den oben erhaltenen zusammen

Für

20

40

00

80 m:

Dourobogen

Parabelbogen

= 1,201    1,294    1,300    1,401    1,412

¹

Formel 42) wie manche andre den Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten betreffende wurde erstmals publicirt und angewandt in dem Aufsatze: Weyrauch, Ueber die Berechnung der Dourobrücke, Zeitschr. f. Baukunde 1879, S. 421.

²

Letztere Angabe gilt für dio mittleren (ein Geleise tragenden) Bogen, während für die ihnen parallelen äusseren Bogen (auf welche nur je eine halbe Geleiselast, gerechnet wurde) c geringer ist.

³

Alle Zahlen gelten für Meter als Längeneinheit. Weiteres über die Verhältnisse des Dourobogens enthält die Tabelle in Beisp. 39, doch genügt das hier Gegebene für die Berechnung nach den Formeln für ff in § 16.

= 1,010    1,455    1,359    1,308    1.291.

Die Kämpferdrucklinie ist also im ersten Falle etwas konkav, im zweiten etwas konvex gegen die Verbindungsgerade der Stützpunkte. Tn Fig. 70 ist die Linie 8 für den Parabel bogen ebenfalls angedeutet.

Beispiel 25. Einsenkungen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (I)ourobrücke in Portugal).

Die Einsenkungen in der Mitte des Bogens der in Beisp. 23 betrachteten Üourobrücke sollen berechnet werden: a) für eine gleichmässig vertheilte Last von u per Meter auf der ganzen Spannweite, und speziell für u = 4800 kg; b) für die in Beisp. 23 unter d) erwähnte Verkehrslast; c) für eine Temperaturänderung T und speziell für x = + 30°; d) für eine Aenderung A l der Spannweite und speziell für A 1 = 0,02 in.

a) Für eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit hat man nach § 30, 9):

2 II a x y \ u 7    ./ /

™ o x³

1)

also im vorliegenden Falle mit l = 100 m, E = 2(XX)000 kg per qcm, H nach Beisp. 23 und den aus der Tabelle des Beispiels 39 zu entnehmenden Summen-werthen 2:

c = J (80.47251 — 1287244 - 72,848.34066)

⁼ 2000000.1002 m = 0’⁰⁰⁰⁰⁵⁶? U wonach beispielsweise für u = 4800 kg:

cm.

e = 0,269 cm,

bei

b) Für die unter B. 23, d) erwähnte symmetrische Verkehrsbelastung liât man a = 23,75    26,75    54    64,4    74,8 m

P = 63400    63400    62400    47090    40500 kg.

Die hierdurch erzeugten Vertikalreaktionen der Kämpfer sind:

V = 2.63400 + 62400 -j- 47000 -f- 40500 = 276700 kg, während der entsprechende Horizontalschub in Beisp. 23 berechnet wurde :

H = 283969 kg.

Die Einsenkung in der Trägermitte durch eine beliebige symmetrische Belastung ist nach § 30, 8):

x'

2)

worin nach § 16, 3):

3)

M t= V x — H y — 2 P (x—a), x    ' o

und im vorliegenden Falle für die Felder 1 bis 11 mit den aus der Tabelle S. 95 zu entnehmenden Koordinaten x, y:

M    276700. 2,80- 283969. 3,00    =- 77147

x    276 700. 8,40 - 283969 . 9,00    = - 231441

276700.14,10    283969.14,55 = - 230279

276700.20,40 - - 283969.20,42 = - 153967 2767(H). 25,25 - 283969.24,20 - 63400.150 = 19525 276700.31,00 — 283969.28,30 — 63400 ( 7,25 + 4,25)=- 187723 276700.39,75 - 283969.32,75    - 63400 (16,00    +    13,00)    = — 139760

276700.49,15 - 283969.36,85    - 63400 (25,40    +    22,40)    :    -    105021

276700.59,20 - 283969.40,35 - 63400 (35,45 + 32,45 )    62400.5,2'= 293151

276700.69,60 - 283969.42,25 - 63400 (45,85 + 42,85) — 62400.15,6 47000.5,2 = 419210

276700.80,00 - 283969.42,65 - 63400 (56,25 + 53,25) - 62400.26,0 -47(XX). 15,6 — 40500.5,2 = 516222.

Weiter erhalten wir nun mit Rücksicht auf die Tabelle des Beispiels 39 für Feld 1 bis 11 :

M =— 92,20. 77147 =- 7112953

-    116,43.231441 =- 26946676

-    99,66.230279 =- 22949605

-    97,14.153967 =— 14956354

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

Aufgabe 11 mit Beispiel 26. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur hei Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Die in Aufgabe 10 verlangte Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur soll nun für symmetrische Bogen von beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten vorgenommen werden.

Wir gehen wie in Aufgabe 10 vor und ziehen wieder die gleichzeitige Erzeugung eines beliebigen künstlichen Horizontalschubes K in Betracht (vergl. am Schlüsse von Aufg. 9. S. 91) :

Durch eine beliebige Temperaturänderung x und eine Aenderung A l der Spannweite entsteht nach § 16, 14) 15) der Horizontalschub:

E.

1)

oc x / — A /

Zur Erzeugung eines künstlichen Horizontalschubes Wist also eine Verringerung der Spannweite um

v — rxl d,

38,96. 19525 =

760694

- 106,11. 187723 = - 19919288 - 114,60.139760 = - 16016496 14283672 44201308 66465746 46170896

136,00.105027 = 150,78.293151 = 158,55.419210 == 89,44.516222 =

2 ~M = o J x

also nach 2) die Einsenkung durch die fragliche Belastung :

_    63980944    n Qon

* ~~ 2000000.10054 m °',U Cm‘

63980944,

c) Die Einsenkang durch eine beliebige Temperaturänderung x liefert § 30, 10):

e=-ëz ÏSH Eo J

Wir erhalten mit H nach Beisp. 23 und / = 42,65 m :

a T 34066 - 42,65 o t == — 148,928 a x,

— a x/.

4)

also für a — 0,000012:

320,537

und beispielsweise für x = -f- 30 ⁰ :

e — — 0,001787 x m = - 0,1787 x cm,

e =    5,361 cm.

d) Die durch eine Aenderung der Spannweite um A I bewirkte Einsenkung ist nach § 30, 11):

, = _

E o J ’

wonach in unsorm Fall bei Beachtung von Beisp. 23:

5)

A/

und speziell für A l — 2 cm:

51286

34066 = 0,6642 A I.

e — 1,328 cm.

Bemerkungen. Nach den Formeln für Parabelbogen von konstantem J cos cp hätten wir erhalten (Beisp. 42, vergl. indessen Beisp. 41):

e — 0,316 cm anstatt e — 0,269 cm. e = 0,299 „ e — 5,739 „ e = 1,459 „

im Falle n)

b)

c)

d)

nöthig. Wir fügen derselben hei

unter d = tl — Zn die Differenz der Montirungstemperatur tL und gewünschten Normaltemperatur t verstanden, womit die ganze vorzunehmende Verminderung der Spannweite beträgt:

v = ~ K+*ld.

Ist dann in der Folge -q = t — tl die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die Montirungstemperatur £ (vergl. Fig. 74), und AZ eine etwaige weitere Aenderung der Spannweite, dann liefert 1) den ganzen von der Temperaturänderung und den Längenänderungen v, AZ herrührenden Horizontalschuh:

a x l — (A Z — v)

2)

II =

oder mit 2), wenn wieder

T = ł - łn = d + Ti    ³)

die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die gewählte Normaltemperatur Zn bezeichnet (Fig. 74) :

a x Z — AZ

E+K,

4)

wozu in jedem Falle noch der Horizontalschuh durch die Belastung kommt, für welchen die Formeln § 16, 13) 22) 28) u. a. gelten. Es hängt also H nur von der Belastung, der Temperaturänderung t gegen die gewünschte Normaltemperatur und etwaigen Aenderungen AZ der Spannweite nach Erzeugung von K, v ab.

Der künstliche Horizontalschub, welcher bei Herstellung der Ueberhöhung nach 1) mit Rücksicht auf 2) den Werth:

K, = r E=Kjr^ME

¹ IV    w

5)

hatte, erreicht nach 4) für t = 0, A Z = 0 den verlangten Werth K. Mit Verschwinden der Verringerung v würde auch K wegfallen.

Will man die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur ohne sonstige Ueberhöhung des Bogens vornehmen, so hat man mit K = 0 nach 2) 5):

_ a Id

— iv

v = a Z d,

Will man dagegen einen künstlichen Horizontalschub K ohne Reduktion der Normaltemperatur erzeugen, so liefern jene Gleichungen mit d — 0:

- E.

6)

Kx = K.

7)

Dem Bogen der Dourobrücke von Z = 160 m entspricht nach Beisp. 23 für Meter als Längeneinheit w — 51286. Ist nun die gewünschte Normaltemperatur 10°, die Montirungstemperatur tx — 25°, so hat man d = 25 — 10 = 15⁰ und mit E — 2000000 kg per qcm, % — 0,000012 :

a Id = 0,000012 . 160 . 15 = 0,02880 m,

2000000.100 *

51286

= 386970,

sodass wir nach 2) 5) erhalten :

V ~~ 389970 + 0,0288 m' K. = K-\-\ 1231 kg.

Für K — 0 würden:

v = 2,88 cm,

Kv = 11231 kg.

§ 17. Einfache Bogen ohne Gelenke.

Der Bogen besitze keine Gelenke, doch liegen die Axpunkte der Endquerschnitte in gleicher Höhe, sodass k = 0 ist (Fig. 77, 78). Wir haben dann nach § 1, 4)—6) für die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

Im' — M +SP(Z-a)]

[i/

V+ V' = 2 P,

0

1)

2)

3)

während der Horizontalschub Hund die Endmomente M} M‘ durch die Statik allein nicht bestimmt sind und mit Rück-\    sicht auf die Formänderungen

ermittelt werden müssen. Sie Ą werden dann von der Form der Bogenaxe und der Veränderlichkeit des Querschnittes abhängig (s. unten).

Das Moment und die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x sind nach § 1, 3) 8) und 2) 7):

TT

Fig. 77.

Mx = Vx — Hy — 2 P{x—a)

\m -f 2 P a] +    +    (l-a) ]

l—x

Hy,

4)

Vx = F-2P

\m‘ - M— 2 Pa + 2 P(l—a)] ,

während die Normalkraft bei x wie immer ausgedrückt ist:

Nx — Vx sin cp -f■ Hcos cp.

5)

6)

Auch die in §§1,8 gegebenen Ausdrücke der Trans-

versalkraft Tx, resultirenden H Schnittkraft Px, Normalspannungen a, a₀, au bleiben ungeändert, sodass z. B. bei vollwandigen Bogen von symmetrisch zur Axschicht liegenden Querschnitten die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement (zwischen welchen die Werthe aller übrigen a des Querschnitts liegen) :

.Vx , Mx

Fig. 78.

V’

a" p w ’

unter F den nutzbaren Querschnitt bei x, unter W dessen Widerstandsmoment verstanden.

Co

7)

Verschiedene Formen.

Bezüglich der Gleichungen und Richtungswinkel der Bogenaxe in den wichtigsten Fällen wird wieder auf § 15 verwiesen. Da bei Bogen ohne Gelenke eine so weitgehende Veränderlichkeit des Querschnitts wie

bei Bogen mit Kämpfergelenken nicht vorkommt (Sichelbogen sind ausgeschlossen), und dieselben, abgesehen von Gewölben, überhaupt seltener ausgeführt werden, so geben wir in diesem § die speziellen Formeln nur für symmetrische Parabelbogen von konstantem (mittleren) J cos cp. Die betreffenden Ableitungen sind in §§ 29, 30 zu finden. Ueber Bogen ohne Gelenke von beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten siehe §§ 33, 34, 35, über Gewölbe §§ 18, 19.

Für symmetrische Parabelbogen vom Mittelwerthe c des Ausdrucks J cos cp hat man nach § 29, 24)—26) die durch eine beliebige Belastung erzeugten Werthe von ff, M, M' :

ff =

15

2 Pa² (Z—a)²,

' (1-f 6 £) 2 Z;i o

(1 + 6Q4/Z³

, 2 Pa (Z - aY (5 a - 2 Z—12 £ Z),

8)

9)

if' =

S Pa² (Z-a) (3 Z—5 a - 12 s Z).

(1 4- 6 s) 2 Z

An Stelle der beiden letzten Formeln kann man auch schreiben :

10)

2/ 1

SP« (l —a)"², 2 Pa² (Z -«),

o

11)

= H~t

= ^T

während nach 1) 2) die Vertikalreaktionen der Kämpfer sich mit 11) 12) auch ausdrücken lassen :

M'

Z³

r²

2/ 1

12)

2 P (Z 2 a) (I—af, 2 P (3 Z — 2 a) a².

13)

14)

Z ³ 0

Eine beliebige Temperaturänderung x bewirkt (für Zunahme x positiv) :

Ec 45

ff =

Jf = M‘ =

1 -f6e4/2 Ec 15

a x,

15)

2/

16)

Durch kleine Verrückungen und Verdrehungen der Bogenenden, mit welchen jedoch kein Abheben der Endquerschnitte von den Kämpfern verbunden sein darf, würden entstehen :

15 Ec

if =

ii

(l+6e)2Z/( 2/ + Ac?0 Acp1)’

3 Ec /5 A Z 2 AÄ . 0 A

3 A cp₀ — A ©i -

( 1 -j- 6 s) Z V 2 /

2 A cp₀

A*0)

17)

18)

i/' = -

(1 + 6 £) Z

19)

Wenn jedoch nur eine Aenderung A l der Spannweite (bei Zunahme A / positiv) oder doch sonstige Bewegungen der Stützen nur derart stattist (vergl. Bemerkungen zu

gefunden haben, dass A cp₀ = A = § 29, 21)), so werden einfacher:

20)

Ec 45 A l 1 + 6 s p l ’

21)

2/

1+6 e2/ l

In vorstehenden Gleichungen wie im Weiteren gilt für e das am Schlüsse von § 15 Gesagte, während die in § 16 noch berücksichtigte, aber auch dort fast immer zu vernachlässigende Grösse ß angesichts der bei Bogen ohne Gelenke geringeren erreichbaren Genauigkeit weggeblieben ist. Zur Berücksichtigung derselben wären die Gleichungen § 29, 21)—23) anstatt der vorstehenden zu verwenden. Mit / = 0 wird s = ooa, H = 0 und gehen alle obigen Gleichungen in die für horizontale Balken mit eingespannten Enden gültigen über.

Nach 15) ist der von einer Temperaturänderung x herrührende Horizontalschub bei Bogen ohne Gelenke im Allgemeinen etwa sechsmal so gross als bei Bogen mit Kämpfergelenken allein, während bei Dreigelenkbogen überhaupt kein Horizontalschub durch Temperaturänderungen entsteht. Analoges gilt für eine Aenderung A I der Spannweite.

Verschiedene Belastungen.

Die bis jetzt abgeleiteten Formeln gelten bei beliebiger Belastung. Eine Spezialisirung derselben für stetig vertheilte Lasten kann mit Ktick-sicht auf § 14 erfolgen.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit erhält man:

22)

V' = — 2

Mx

Vx = u( — x)

^ lc\l

23)

II

— M— Hy -j- x (l—x),

Li

24)

worin für Parabelbogen von konstantem J cos cp:

ul²

1 + 6 e 8/

25)

uP

1 -f- 6 £ 2

Wirken dagegen auf die erste und zweite Trägerhälfte verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit, so gelten für Querschnitte x auf der ersten Trägerhälfte (die Behandlung dieser genügt für praktische Berechnungen) :

M = M' =

= - 4 ef H

26)

Vx = V— U X

27)

Mx = 3 / + F.r - Hy

28)

während für Parabelbogen von konstantem «7 cos cp: 13 u -j- 3 u‘

3w + 13 u'

32

32

29)

u -f- u‘

l²

1 -f- 6 s 16/’ u‘ — u — 2 £ (11 u -J- 5 u‘) l ²

30)

1 -f- 6 £

u — u‘ — 2 £ (5 u -J- 11 u‘) l²

64’

31)

64

32)

Für eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung erhält man aus 1) 2) mit M = M‘ und 8) 11) 12) auf dem in § 15 (S. 60) gezeigten Wege:

H = TT

15

M = M‘ =

(1 -f 6e)2 fl

2/ 1 2

m

if P«² (l—a)²,

T S Pa (l—a). i o

33)

34)

35)

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrirte Last, so ist dem Begriffe

der Symmetrie zufolge nur die Hälfte derselben in S aufzunehmen.

Ist die Bcgenaxe wirklich parabolisch, nicht nur so annähernd, dass man die für parabolische Bogen gültigen Ausdrücke von H, M, M' verwendet, dann folgt aus 24) mit 25) 26) und § 15, 8) für eine gleich-massig vertheilte Last u auf der ganzen Spannweite :

3 tu

Mx =

[x (i—x)—y

36)

1 +6£

und aus 28) mit 29)—32) und § 15, 8) für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

Mx =

u‘ — u — 12 £ u

(l—2 x) (l—8 x) —

(U —(-    £ /

(5 l—18 x), 37)

(1 -f- 6 e) 64

worin die Brüche konstante, für alle x gültige Werthe haben. Bei Vernachlässigung von £ würde aus 36):

( 1 —j— 6 e) 32

Mx = 0,

und aus 37) auf der ersten Trägerhälfte:

u' —

M, =    Sx)

sodass die Stützlinie (§ 8) im ersten Falle der Stabaxe nahe liegt und

schneidet

im zweiten Falle die letztere nahe bei x =

7/

8’ 2

Kämpferdrucklinie. U m h ü 11 u n g s 1 i n i e n. K e r n 1 i n i e n.

Die Gleichung der Kämpferdrucklinie 8 ist nach §2, 1) allgemein:

38)

M-\-Va

worin H, M, V einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Für symmetrische Parabelbogen von konstantem ,/cos cp hat man nach 8) 9) 13):

a² (l—af,

15 P

(1 -f 6e) 4 /Z³

(1-1- 6 e) 2 Z

3 a (Z—a)² (5 a

Z³

(Z -f 2 a) (Z—a)².

Durch Substitution dieser Ausdrucke in 38) ergibt sich die Gleichung von £ für den vorliegenden Fall :

39)

3+8e 5 ~~ ~ ''

Die Linie ist also eine horizontale Gerade, welche für die gewöhnlichen

f

kleinen e nur wenig höher als ~ über dem Scheitel der Bogenaxe hinläuft.

Für die Abscisse u und Ordinate v eines Punktes der Umhüllungslinie U der Kämpferdrücke R hat man nach § 2) 4) 5): HdM—MdH

//

VdM - MdV

VdH—HdV’

VdH — H d V'

40)

worin wieder H, M, V, einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen, und die Differentiale sich auf ein variables a beziehen. Für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp sind die Ausdrücke von H, M, MJ oben vor 39) angeschrieben, sie liefern :

15 P

(1-f67)2/7»

(Z — a) (Z² — 8 Z a -f- 10 a² -J- 6 e Z (Z — 3 a)) d a

dH =

15 P

(1 -f-6e)2/Z³

a (Z—a) (Z — 2 a) d a,

dV = —

a (Z—a) da.

Wir erhalten damit aus 40) für den der Lastlage a entsprechenden Berührungspunkt der Umhüllungslinie U (vergl. Fig. 13 auf S. 9):

a l

Z -j- a 2 ’

(1-f 6e) Z² —5 a(Z-f a) 2/

41)

a (Z -f a)

15'

42)

Eliminirt inan mittelst der ersten dieser Gleichungen a aus der zweiten, so ergibt sich die Gleichung der Umhüllungslinie U in gewöhnlicher Form, als Beziehung zwischen den beiden Koordinaten:

2/    1 -f ⁽>£ f

15 l u

(Z— 2 «)².

43)

Die Linie ist eine Hyperbel, und da nach 43):

1+fie

15

h;-4)

44)

so erhält man:

für

loi

00

00

3 —2c 5    '

1 -f 6 e 4 /

CO L O

3 - 2 s 5    !

l+_6e/ 5 V

Indessen wird die Linie nur von u = 0 bis u — -r gebraucht, da nach 41 )

der Berührungspunkt des Kämpferdrucks R für n = 0 bei u = 0 und

für a = Z bei u = -r liegt. Die Umhüllungslinie U' der Kämpferdrücke R'

liegt bezüglich der Vertikalen durch die Trägermitte symmetrisch zur Umhüll ungslinie U, mit horizontaler Tangente in dieselbe übergehend (Fig. 79).

Mit Bücksicht auf den Zweck der Linien S, U, U' und den geringen Einfluss (1er Lasten in der Näheder Grenzpunkte positiver und negativer Beitragsstrecken könnte, falls die Berechnung damit erleicK tert wird, häufig e in 39)—44) vernachlässigt werden. Für/= 0 jedoch hat man nach § 15, 40) e — cc² und damit:

b =

i⁵

u'

Fig. 79.

GO ,

OO,

d u    ²⁰ ’

die Stützenreaktionen sind vertikal (vergl. Fig. 13, S. 9).

Bezüglich der Kernlinien gilt das in § 7 Gesagte, sodass z. B. bei symmetrisch zur Axschicht liegenden Querschnitten die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Axe :

K = K =

während die Kernlinien bei vernachlässigter Füllung (Gitterbogen etc.) mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

45)

G r e n z w e r t h e bei bewegter L a s t.

Es gilt das in § 15 Gesagte, nur dass an Stelle der Geraden aus beiden Kämpfergelenken Tangenten an die Umhüllungslinien U, U‘ und an Stelle der Fig. 61—63 die Fig. 40, 41, 39 treten. Bezüglich des Einflusses der Temperaturänderungen ist wie in §16 zu verfahren, doch hat man zu

berücksichtigen, dass jetzt durch Temperaturänderungen neben einem Horizontalschub H auch Endmomente M, M‘ entstehen.

Durch beliebigen H, M, M' allein werden nach 4) 6) bei x erzeugt :

J\rx = H cos cp.

Die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement sind in dem gewöhnlichen Falle symmetrisch zur Axschicht liegender Querschnitte nach 7) :

Mx — M — Hy,

46)

/ COSJP _ y-H\ H

\ F W ) ’

M

(T-Nr'V/.

Bei Ermittelung des Einflusses der Temperaturänderungen ist hierin nach ¥

16) und § 34, 34)

a₀, au zugleich mit den Grenzwerthen von H, d. h. nach 15) und § 34, 33) zugleich mit den Grenzwerthen von x ein treten.

Die Gleichungen 46)—48) bestimmen auch die durch Lagenänderungen der Trägerenden bedingten Beanspruchungen. Treten nur eine Aenderung A Z der Spannweite und eine Aenderung A k der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützen, keine sonstige Drehung der Endquerschnitte und kein Abheben derselben von den Widerlagern ein, dann sind nach 21) und M

§ 34, 39) wieder Tr konstant und a₀, au proportional H oder A Z.

Formände r unge n.

Wie bei Bogen mit zwei Gelenken führen wir nur die Einsenkungen parabolischer Bogen von konstantem ,/coscp in der Trägermitte an, und verweisen hinsichtlich der sonstigen Formänderungen parabolischer Bogen auf § 30, bezüglich der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten auf die §§ 26, 33.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp erhält man nach der Ableitung in § 30 mit Beachtung von 11) und 12) die von einer beliebigen Belastung herrührende Einsenkung in der Mitte:

[s P (Z—2 af — S P(l—a) (Z* — 5 / a + 4 a Q — Hf Z*] 49)

So

47)

48)

von H unabhängig, sodass die Grenzwerthe von

48 Ec

worin H durch 8) bestimmt. Speziell für eine zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man :

_ 1 e ~ 24Ec

Liegt gerade in der Mitte eine koncentrirte Last, dann ist dem Begrifle

m

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in 21 aufzunehmen,

wonach z. B. für eine Einzellast P in der Trägermitte:

1+9 6s PP 1 -j- 6 s 3072 E c

50)

51)

Von 50) kann auch bei unsymmetrischer Belastung Gebrauch gemacht werden, wenn man berücksichtigt, dass die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so gross als durch eine mittelst Verdoppelung dieser Belastung hergestellte symmetrische Belastung ist (vergl. Beisp. 29, auch 41, 42, 44).

Die Werthe der Summenausdrücke 2 für stetig vertheilte Lasten sind aus § 14 zu entnehmen. Wir erhalten dann für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit aus 50) mit Rücksicht auf 25) :

e u Z⁴

* — T+ülÖÄWc’

52)

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte aus 49) mit Rücksicht auf 30):

£ U -j- U‘ l⁴

1 Os ~T28~ üc ’ welche Gleichung mit u‘ = u wieder auf 52) führt und auch aus dieser Gleichung hätte erhalten werden können.

Formel 50) liefert für H — 0 und Formel 51) sowie 52) für/ = 0, £ = oc ² bekannte Ausdrücke für Balken mit eingespannten Enden (s. Citât S. 85). Bei Vernachlässigung von e würde diese nothwendige Ueberein-stinnnung wegfallen und z. B. in den Fällen 52) 53) e = 0 werden.

Eine Temperaturänderung x (bei Zunahme x positiv) erzeugt die Einsenkung :

53)

Z²

(b Hf — 6 M) — ax/

48 Ec

mit //, M nach 15) 16). Durch Einsetzen dieser Ausdrücke folgt :

54)

(/+ ¹⁵

Z²

55)

64/ 1 -j- 6 £/

Durch irgendwelche Verrückungen und Verdrehungen der Bogenenden (ohne Abheben von den Kämpfern) würde entstehen:

(M + M'-^Hf)

Z²

56)

16 Ec

mit H, M, M' nach 17)—19). Wenn jedoch nur eine Aenderung A Z der Spannweite (bei Zunahme A Z positiv) und eine Aenderung A k der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützen stattgefunden hat (bei höherer Stütze Z ist A k positiv), so folgt mit 20) 21):

15 Z AZ 64 / 1 -I- 6 e

Für Näherungsrechnungen kann in 54)- -57) vielfach e vernachlässigt werden.

Beispiel 27. Stützenreaktionen eines parabolischen Bogens (auch Gewölbes) ohne Gelenke.

Für einen parabolischen Bogen ohne Gelenke seien die Spannweite l = 28.758 m, der Pfeil der Axe / ~ 4,502 m und in den Formeln für den Horizontalschub H und die Endmomente M, M\ s = 0,002590, sowie für Meter als Längeneinheit c =0,035780. Es sind H, M, M‘ und die Vertikalreaktionen V, V der Kämpfer zu ermitteln : a) für das Eigengewicht des Bogens allein, welchem die in der

57)

folgenden Tabelle 1 eingetragenen Lasten P bei den angeschriebenen Abscissen a und symmetrisch zu diesen Stellen (bezüglich einer Vertikalen durch die Trägermitte) entsprechen; b) durch beliebige Lasten P bei Abscissen a — 0,629 m, 2.879 m. 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m, 11,879m, c) durch beliebige Verkehrsbelastungen, zusammengesetzt aus Einzellasten an den unter b) angeführten und symmetrisch zu denselben gelegenen Stellen; d) durch eine beliebige Temperaturänderung x ; e) für eine Aenderung A Z der Spannweite ohne sonstige Bewegungen der Kämpfer, oder

A k

doch nur solche, für welche A cp₀ = Acpj — — ist.

a) Eigengewicht. Für eine beliebige zur Mitte symmetrische Belastung hat man nach § 17, 34) 35) :

H =

15

m

(l+6s)2/Z» o Pal 2 f 1 m

M = M‘ —    - 4 2Pa(l—a),

o l 0

m

F=F = SP,

1)

2)

3)

worin im vorliegendem Falle:

15

(1 +6 s) 2/Z ~ 1,01554.2.4,502.23,758    14.4828'

Mit Rücksicht auf die in der folgenden Tabelle I angeführten Werthe ergeben sich also durch das Eigengewicht allein:

(897048

14,4828

M — M‘ = 25882 “ ' ⁴';)°²

”+w) = ²'^

=- 6026 rak,

— 121464+

V — V¹ = 24095 kg.

"3

Parabolischer Bogen ohne Oelenke. Tabelle I. Eigengewicht.

a in m

P in kg

Pa²

Pa³

Pa*

0,314

1,192

2,317

3,442

4,567

5,692

6,817

7,942

9.067

10,192

11,317

2117

3339

2898

2571

2296

2081

1923

1818

1739

1676

1637

24095

665

3980

6715

8849

10486

11845

13109

14439

15768

17082

18526

121464

209

4744

66

15559

30458

47890

67422

89364

114675

142968

174100

209659

897048

5655

21 I

36050

104836

218714

383766

609194

910749

1296291

1774427

2372711

7712459

6741 83528 ; 360846 998867 2184396 4152875 7233169 11753470 18084960 26851970

77710843

b) Beliebige Einzellasten. Nach § 17, 8) 11) 12) 1) 3) gelten für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a :

15

P (1 -f-6s)4/Z® a (Z-a)³,

n³ (Z-a²),

M‘ H 2 /    1

P ⁼p TT*

a² (Z-a),

4)

5)

S'

oc ooo

0,5000

12

CO^

0,9979

0,9595

0,8803

0,7705

0,6404

0,5000

11

j5

'U

M‘

16349'

r—

§3

00

CM

⁰⁰

i£5

To

co

4~

worin in unserm halle:

Mit Rücksicht auf die in der nachstehenden Tabelle II zusammengestellten

= 0,01296,

== - 0,55723,

0.02267,

211,84

16349

336,48

2.4,502

23,758

23,758²

= 0,9979,

0,0021.

CO

0,01296

2.4,502

>R

CO CM

CO

CM

1 - 0,9979

= 0.01296

8|cg S» :Cn

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 8 bis 12 von Tabelle II berechnet.

Parabolischer Bogen ohne Gelenke. Tabelle II. Einzellasten.

a² {l—a)²

a² (l—a)

(l—a)² ; a (I—a)²

l—a in m

in m

-    0.5572    0,0227

-    1,5602    0,3567

-    1,4775    0,8078

-0.8255    1,1015

-    0,0077    1,0770

0,6857    0,6857

10

8    33 CO CM G

OCMÎ882S « CTdOCTHrH“

211,84

3613,45

9129,58

14607,41

18509,20

19912,31

9,16

173,07

490,07

891,84

1310;01

1676,26

^8^ąą

CO 10 05 Ci CM CC

00 oi 7 05 8 8

SIJaIĘ

SS§1IS

COdCOT)<l>TH

o~oo's¥g%'

pppppp

HOCCOKHQO

tigged

0,629

2,879

5,129

7,379

9,629

11.879

lO

'■t

CO

CM

c) Beliebige Verkehr s bel a st ungen. Um die H, M, M\ V, V' für irgendwelche gleichzeitig wirkende Lasten P zu erhalten, braucht man nur deren Wertlie für die einzeln P zu addiren. Wirken z. B. auf der ersten Trägerhälfte hei a — 0,629 m

P

bei den übrigen in Tabelle II angeführten a

und a = 11,879 m gleiche Lasten

2’

gleiche Lasten P, so erhält man aus Kolumne 8 der Tabelle:

1.2179

/0.0130

V 2

+ 0,2210 4- 0,5584 -f 0,8935 + 1,1321 4-

) = 3,4204 P,

und in analoger Weise aus den Kolumnen 9 bis 12: M-— 3,8067 P,

V =

also beispielsweise für P — 3430 kg :

H = 11732 kg,

3,9996 P,

M‘ = 3,6972 P, V = 1,0004 P,

M —— 13057 mk,

M‘ = 12681 mk,

V = 13719 kg,    V = 3431 kg.

Liegen die besprochenen Lasten, symmetrisch zur Trägermitte übertragen, auf der zweiten Trägerhälfte, so gelten :

II = 3,4204 P,

M‘ — - 3,8067 P,

V =    3,9996 P,

auf beiden Bogenhälften, womit erlangt, dann folgen:

M = 3,6972 P,

V = 1,0004 P,

und wirken die erwähnten Lasten gleichzeitig auch die Last in der Bogenmitte den Werth P

PL — 2.3,4204 P = 6,8408 P,

M = M‘ = — 3.8067 P 4 3,6972 P = - 0,1095 P,

V = V = 3,9996 P 4- 1,0004 P = 5P.

Sind die betrachteten Grössen für die angenommenen Verkehrsbelastungon und das Eigengewicht zusammen zu bestimmen, so hat man den jetzt berechneten Werthen die unter a) erhaltenen zu addiren.

Anstatt wie hier aus den Beiträgen der Einzellasten hätte man die PI, 3f, M\ V V auch wie unter a) sofort für die ganze angenommene Belastung ermitteln können, wobei im Falle symmetrischer Belastung wieder die Formeln 1 ) —3), im Falle unsymmetrischer Belastung aber die Formeln§ 17, 8) 9j 10) 1) 3) zu verwenden gewesen wären. Wenn es sich jedoch um Berechnung von Grenzwerthen auf Grund der ungünstigsten Belastungen handelt (§§ 10, 11), so ist das obige Vorgehen oft bequem, weil eben die Beiträge aller für die verschiedenen Grenzwerthe massgebenden Belastungen aus den Beiträgen der einzeln P rasch erhalten werden können. Vergl. auch das Vorgehen im IV. Abschnitt. Ueber die Ermittlung der Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke siehe Beisp. 28.

d) Temperaturänderungen. Für eine beliebige Temperaturänderungx hat man neben V = V — 0 nach § 17, 15) 16) :

t,'    45c

- (1 4* 6 s) 4/*

M — M‘ — H

E «T,

—-i

to

cc

woraus in vorliegendem Falle:

45.0,03578

1,01554 . 4.4,502

- E ax =

E a x

51435’

M — M‘ — 3,0013 H =

17.037

und beispielsweise mit E — 175000 kg per qcm, a = 0,0000118 (Bruchsteingewölbe), da alsdann für Meter als Längeneinheit E % — 175000.100².0,00001118 = 20650: H — 404 x kg,

Für x = 4" 25° werden H — -{- 10100 kg, M — M‘ =    30300 mk.

M = M = 1212 x mk.

e) Bewegungen der Kämpfer. Durch eine Aenderung der Spannweite um A l ohne andere als die in der Aufgabe zugelassene Bewegung der Kämpfer entsteht nach § 17, 20):

E A l

( 1 -f- 6 e) 4/² l y

45 c

9)

In unserm Falle er-

während M, M' durch 8) bestimmt und V — V' — 0 sind, geben sich mit Rücksicht auf die Berechnung unter d):

EM

51,135.23,758 —    1214,86’

EM 404,77'

und beispielsweise mit E — 175000.100² kg per qcm, wenn A l in cm eingesetzt werden soll, in welchem Falle nach Einsetzen des vorstehenden E noch mit 100 zu multiplizieren ist :

M—M — 3,0013 H =

EM

M = M‘ = - 43234 A l mk.

H = — 14405 A l kg,

Für A l — 1 cm werden H = — 14405 kg, M — M‘ = — 43234 mk.

Für andere als die oben angenommenen Bewegungen der Kämpfer wären anstatt 8) 9) die Formeln § 17, 17) 18) 19) anzuwenden gewesen, wobei nach § 17, 1) 2) im Allgemeinen auch V, V beeinflusst werden.

Bemerkungen.

Wir haben oben die Werthe e, o als gegeben angenommen, weil ihre Berechnung je nach Umständen verschieden erfolgen kann, während vorstehendes Beispiel für beliebige parabolische Bogen ohne Gelenke gelten soll. In Wirklichkeit entsprechen die gegebenen s, c dem in den Beispielen 33 bis 37 behandelten Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe und ihre Berechnung ist am Schlüsse des Beispiels 43 gegeben. Auch die übrige Berechnung hängt etwas von dem System des in Frage stehenden Bogens ab, bietet aber nach Ermittelung der Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke (Beisp.28 und 1) gegenüber der Berechnung von Bogen mit Kämpfergelenken nichts Neues. Ueber die Berechnung parabolischer Gewölbe ohne Gelenke siehe auch Beisp. 30.

Hätten wir in obigen Gleichungen s = 0 gesetzt, was der üblichen Vernachlässigung des Einflusses der Axialkraft und der Glieder mit r im Nenner (S. 21) oder der Vernachlässigung von X₂, Yr Z., in § 26 entspricht, so würden sich die Wertlio ergeben haben, welche mit den oben berechneten in der folgenden Tabelle 111 zusammengestellt sind.

Die Abweichungen können hiernach für die Momente schon bei dem kleinen s = 0,00259 erheblich werden. Nun pflegen aber für eiserne Bogen wesentlich grössere e als für .Gewölbe einzutreten, z.'B. für die Dourobrücko 0,004287, für die Oeffnung IV der Cannstatter Brücke 0,012063, für die Coblenzer Brücke 0,04563 und da der Horizontalschub bei Vernachlässigung von 3 allgemein 1 +6s mal so gross als nach den genaueren Formeln resultirt (bei Bogen mit Kämpfet-gelenken nur 1 + s mal so gross), so würde er sich in den letzterwähnten Fällen alsdann um 2,57 °/o bezw. 7,24 °/o und 27,38 °/o zu gross ergeben, während für die Momente noch weit grössere Differenzen entstünden.

Da für eine Einzellast P bei a nach § 17, 9):

-g a (l—a)² (5 a —2 l — 12 s /),

(l + 6s) 21

oder mit p =

PI

= fl (1—fl)

so folgen z. B.

5 [x — 2— 12s

1+61 ’

für

0.1

mit s — 0,015

mit s = 0

M

~ j = - 0,06242 = - 0,06075

0,2

0,3

0,4

0,5

— 0,06928

- 0,04585

-0,01189    0,01834

PI

- 0,06400    - 0,03675

0,03125

Abweichungen in °/o =

2,68

7,62

19,85

100

70,39

Parabolischer Bogen ohne Gelenke. Tabelle III. Vergleiche.

Für

Grösse

Mit s = 0 berechnet

genauer

berechnet

Abweichung J in °/o

; Eigengewicht allein

26284

4819

24095

25882

6026

24095

1,55

20.08

()

! Verkehrsbelastung [der ersten Bogen-hälfte allein

V erkehrsbelastung beider

Bogonhiilften

Vi ^ "tij V! ¹ ti| ^    ^ vj Et;

3,4786

3,4204

1,55

- 3,6472

- 3,8067

4,19

3,8566

3,6972

4,31

3,9996

3,9996

0,00

1,0004

1.0004

0,00

6,9472

0,2094

6,8408

1,55

- 0,1095

291,23

i!

1.55

eine Temperaturänderung um x°

E IT

50,352

16,776

51,135

_ 1

‘17,037

1,55

eine Aenderung der Spannweite um A l

EM EM V= V'

1196,27

1

“ 398Ä8

1214,86

1

~ 404.77

1,55

1.55

für

0,6

0,7

0,8

0,9

mit s = 0,015

PI

= 0.03611    0.03815    0,02672    0,(X)958

¹

3.23,758.897048 - 4.7712459 — 25882.2,251.22,758²) 234938

²

und für E — 175000 kg per qcm (Bruchsteingewölbe'): Weyrauch, Elastische Bogenträger.

mit s = 0

= 0,04800 0,04725    0,03200    0,01125

Abweichungen in °/o    = 32,93    23,85    19,76    17,43.

Aehnliche Abweichungen können für die übrigen Momente entstehen. Wenn sich dieselben nun aucli nicht in gleichem Maasse auf die Normalspannungen durch die Gesammtbelastung fortzupflanzen brauchen (vergl. am Schlüsse der Beispiele 33 und Beispiel 35, so erkennt man doch, dass gerade bei Bogen ohne

Gelenke e im Allgemeinen nicht zu vernachlässigen ist, wie es auch bei Berechnung der Einsenkungen durch die Belastung niemals unberücksichtigt bleiben darf, da sonst z. B. Bei gloichmässig vertheilter Belastung auf die ganze Spannweite für parabolische Bogen ohne Gelenke wie mit zwei und drei Gelenken die Einsenkung Null sich ergeben würde.

Beispiel 28. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines parabolischen Bogens (auch Gewölbes) ohne Gelenke.

Für den im vorigen Beispiel betrachteten Bogen die Schnittlinie 8 und die Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Nach § 17, 39) hat man als Gleichung der Kämpferdrucklinie S:

1)

b - ®±i^2 /.

wonach in unserm Falle:

_ 3 -f 8.0,00259

2.4,502 = 5,440 m.

Die Kämpferdrucklinie ist eine in der Höhe 5,440 m über den Axpunkten der Auflager liegende Gerade. Vergl. S. 104.

Die Gleichung der Umhüllungslinie

v Ordinate):

U ist nach § 17, 43) (u als Abscisse,

2/ l + 6e4//Z

ü “T“ 15F7 \2 "

u) ²

2)

und im vorliegendem Falle mit l — 23,758 m, / = 4,502 m, s — 0,00259:

(11,879 — u)¹ 2

v — 1,0013 —

19,4868 u ’

wonach beispielsweise: u —

für

0    0,629

v — — oo — 9,324

Da die Linie nur bis u —

2,879    5,129    7,379    9,629    11,879 m:

- 0,468    0,545    0,860    0,974

gebraucht wird, so genügt ihre Verzeichnung bis

1,001 m.

= 11,879 m. Die Umhüllungslinie TJ‘ liegt bezüglich der Trägermitte

symmetrisch zur Umhüllungslinie U und wird nur im letzten Viertel der Spannweite gebraucht. Vergl. S. 105.

Die in Beispiel 27 angenommenen Verhältnisse entsprechen dem Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe (§ 19, Beispiele 33 bis 37), welches in Wirklichkeit nicht parabolisch ist und dessen Linien S, U, TJ‘ mit der den Resultaten des Beispiels 33 entsprechenden Annäherung in Beispiel 1 ermittelt wurden.

Beispiel 29. Einsenkungen eines parabolischen Bogens (auch Gewölbes) ohne Gelenke.

an-

Für den in Beispiel 27 betrachteten Bogen ohne Gelenke die Einsenkungen e in der Mitte durch das Eigengewicht allein, durch die dort behandelten Verkehrsbelastungen, durch eine Temperaturänderung i und durch die in Beispiel 27 genommenen Aenderungen M, \k der Spannweite und Stützhöhen zu berechnen.

a) Für eine beliebige symmetrische Belastung hat man nach § 17, 50) :

1)

24 Ec

woraus in unserm Falle mit Rücksicht auf die Tabelle I in Beispiel 27 (S. 108) und das dort berechnete H für Eigengewic it allein:

p Pa² (Sl—4 a)

24.0,03578 E

⁶    24 Ec

234938 „_nmo_

⁶ ~ 175CXX). 1002 m “ 0,013 Cm-b) Gleichung 1) lässt sich auch schreiben:

r m    in    f 1 -r\

(l—a) -ZS Pa²- HJ~ . L o    o    S J

Für die in Beispiel 27 unter c) behandelte symmetrische Verkehrsbelastung hat man mit Rücksicht auf die dortige Tabelle II (S. 109):

2 Pa² (Z —a) = P -f 173,07-f 490,07 + 891,84-f 1310,01 -f    = 3707,70,

SP a² = P (0,‘j ⁶ + 8,289 -f 26,307 + 54,450 4- 92,718 -f —= 252,5175, und mit dem dort berechneten H:

⁶ “ 24.0,03578 E

(d . 3707,70 — 23,758.252,5175 = 1327,39

6,8408.2,251 . 23,758² )

Ë’

also beispielsweise für P = 3430 kg, E == 175000.100² kg per qm:

1327,39.3430 e ~ 175000.1002 m

c)    Da bei symmetrisch zur Trägermitte liegender Belastung die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beitragen, so liefert die in Beispiel 27 unter c) erwähnte (S. 110) einseitige Belastung:

— 0,130 cm.

d)    Die Einsenkung in der Trägermitte durch eine beliebige Temperaturänderung - ist nach § 17, 55):

also im vorliegendem Falle:

(4,502 4

= 0,260 cm.

_ 0,260 P ~ 2

a x (/ -f-

15 Z2 64/1+6

15.23,758²

64.4,502.1,01554

3>

3)

- 34,437 a X

und für a = 0,0000118:

e = — 0,000406 x m = — 0,0406 x cm, beispielsweise für x = 4" 25°: e = + 1,015 cm.

e) Durch die in Beispiel 27 angenommenen Aenderungen A l, \/> der Spannweite und Stützhöhen ergibt sich nach § 17, 57):

— lbl

⁶ ~ 64 /1 4* 6 s ' 2 ’

also in unserm Falle :

15.23,758 A Z 64.4,502 1,01554    2

und beispielsweise für AZ — 1 cm, A Är = 0: e — 1,218 cm.

= 1,218 AZ — 0,5 AÄ\

Beispiel 30. Berechnung eines Bogens (Gewölbes) ohne Gelenke (Pruth-brücke bei Jaremcze).

Für das Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze (S. 128, vergl. Beisp. 13) beträgt die Spannweite Z — 67,62 m. der Pfeil der Bogenaxe / = 18,1215 m, die Lagerfugen können als senkrecht zur Bogenaxe gelten. Es sollen für die bei der Berechnung angenommenen, in Kolumne 6 und 8 der folgenden Tabelle eingetragenen Lasten, jedoch unter der Voraussetzung, dass es sieli um einen Parahelbogen von konstantem Vcoscp handle, (s. Bemerkungen am Schluss), die Kämpferreaktionen und Beanspruchungen aQ, a₍ berechnet werden: a) für die feste Last allein; b) für Verkehrsbelastung des ganzen Bogens; c) für Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte; d) für Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälft0.

Die Normalspannungen im obersten und untersten Element der Lagerfuge x von der Höhe h und Breite b sind unter Voraussetzung genügender Widerstandsfähigkeit der Fuge (eventuell auch gegen Zug) nach § 18, 5) 6):

°° bh

W+l^)

1)

worin nach § 17 für beliebige Belastung mit:

V = V — I P

x    n

die Normalkraft und das Moment bei x :

= (H + Vx % ?) cos

Mx = M-\-Vx x — Hy P a. Für parabolische Axe hat mannach § 15, 8):

y — p x il~x)

m'

t'gcp — -yr (Ï —2 *)>

io

und für beliebige Axe:

cos cp —

0)

yi+tg²cp

Die Gleichungen 5) liefern mit den gegebenen l, f für beliebige x :

33,81 — x 31,5403 '

Da die Berechnung für alle Lagerfugen im Wesentlichen gleich ist, so zeigen wir dieselbe wie in Beisp. 13 für die Kämpferfuge, die Scheitelfuge und eine Zwischenfuge der ersten Bogenhälfte. Nach vorstehenden Gleichungen ergehen sich :

__ x (67,62 — x) y —    63,0807

für

20,81

1,0720

0,6821

tg cp cos cp

während nach Beispiel 13 :

h = 3,1 b h = 20,460

15,4424

0,4122

0,9245

2,24

33,81 m = T) : 18,1215 m,

2,1

m.

9,975 qm.

11,088

Zur Ermittelung der Yertikalreaktionen V, Wund der statisch unbestimmten Grössen H, M, M‘ haben die in § 17 gegebenen Formeln zu dienen. Da h ² von 3,1 ² = 9,61 bis 2,1 ² = 4,41 variirt, so setzen wir den Mittelwerth

J hP _ Tfil

F    12    12 ’

und erhalten mit

l-

40,6010 m

nach § 15, 40) in jenen Gleichungen:

15.7,01 /

£ “ 8.12 l

22,4795

)² = 0,00102,

40,601.18,1215 1 +68 = 1,00612.

Man sieht liier, dass s bei steilen Gewölben rechteckigen Querschnitts (vergl. am Schlüsse von § 15) am ehesten vernachlässigt werden kann, doch macht die Berücksichtigung keine Schwierigkeit. Wir erhalten :

15

(1 + 6 s) 2/Z³    751637'

Die weitere Berechnung hat auf Grund der in nachstehender Tabelle gegebenen Zahlen zu erfolgen. Die a , drücken wir per qcm aus.

co

Besoudere Bogenarten.

* Die Längen sind in Metern, die Lasten in Tonnen gegeben.

Für das halbe Gewölbe

2,1225    65,4975

3,7475    63,8725

5,3725    62,2475

6,9975    60,6225

8,6225    58,9975

10.2475    57.3725

11.8725    55^7475

13.4975    54,1225

15.1225    52,4975

16.7475    50,8725

18.3725    49,2475

19.9975    47,6225

21,6225    45,9975

23.2475    44,3725

24.8725    42,7475

26.4975    41,1225

28.1225    39,4975

29.7475    37,8725

31.3725    36,2475

32.9975    34,6225

km^mOOOCCDCCCC-I^KSCTCWiMMKJh* ^COKJ^OOOCOCOO'COiOCOOJOCOtCCOCOO: JN3 —1 OijD^CD CO^rf^-tO^H-COO >-* j<l,00

7^4-4o~~i7rD4\3^Pci7w4»4o4»1^1»4o^Fto7i4g?'o CO —-1 I—‘-'l^tÊ-OlOOCOOCOCOtOOtOH-n-^tOCStO

10

11

12

13

2216,91 30836,14 1475487 J 1223009092    180    3175,419 I 143043,5 I 3029869 | 6642733 j 131093893

t—*■ i—¹    to lO CO »—*■

CTOiCDOTCD-^OOępO^ł^-attOCSCDCD-^OOOOi— ^I CC'J-»    jOjWjOpOJsOpOj^.

'bs^-a'o'fe'bo'co'bo'co'cD'^-a'bx'V'^'bo'bs'bT'to'to'^'bo

243,66

1454,40

441,62

547.20

2504.84

672.24 715,91

3032.89

792,42

812.25 2713.62 2037,75 1965,49 1890,02 1848,03 1807,13

1799.84 1814,60 1841,57 1900,66

15959

92896

29496

33173

147780

38568

39910

164148

41600

41322

133639

97042

90407

83865

78999

74313

71089

68723

66752

65806

2218620 22235587 9864052 140723 L8 75177164 22674899 26414833 119913397 33025824 35205931 120916567 92416008 89916994 86510941 83994897 80974417 78963529 77424019 75908372 75180723

COCOCOCOCOCCCOCOCOOO

330,705    16286,4    299222    802064    14735935

179.977    8571,0    171399    408172    8162420

194,602    8951,2    193547    411733    8902684

209,227    9283,9    215827    411950    9576807

223,852    9569,2    238010    409059    10174356

238,477    9806.8    259856    403280    10685882

253,102    9996,9    281138    394853    11104257

267,727    10139,5    301625    384008    11423262

282,352    10234,6    321085    370979    11638480

296.977    10282,1    339284    355992    j 11746888

l—a a (l—a) P

Pa

\Pa(l—a)\ Pa*(l—a)²

Feste Last

to

rc

364,432 J 19724,0 | 266225 | 1067512    14408776

232,807 I 13735,2    118432    810342    6987234

101,182    6462,7 |    24219 j 412789    1546912

Pa

;₈(®—7)g© j L(ü— l)vj\(v— i)zvj (®—i)vj

Verkehrslast

Pruthbrücke bei Jaremcze.*

a) Peste Last allein. Vertikalreaktionen der Kämpfer und Horizontalsehub nach § 17, 33) 34):

V=V' = 2216,9 t, 1223009092 751637

= 1627,13 t,

Endmomente nach § 17, 35):

M = M = 1627,13.12,081

1475487 _ 67,62    “

- 2162,19 mt.

Für s = 0 hätten sich anstatt der beiden letzten Werthe 1637,09 und 2042,59 ergeben.

Wir erhalten nun entsprechend dem oben Gesagten für die Kämpferfuge mit P = P, M — M:

= (1627,13 + 2216,9.1,0720) 0,6821 = 2730,89 t, =    (2730,89 - ^ 2162,19) = - 7,106 kg,

=    (2780,89 +    2162,19) =    33,801 „ .

oo

Ou

für die Fuge x = 20,81 m:

Px = 2216,9 - (114,8 +... + 101,9) = 562,00 t, N*= (1627,13 -I- 562.0,4122) 0,9245 = 1718,45 t, M*= - 2162,19 - 562.2081 - 1627,13.15,4424 + (243,66 +. .. +2037,75) = 375,04 mt,

°o = iiö^88 (1718,45 ~ m³⁷⁵’⁰⁴)= 24’558 kg’ (l718,45 + 2I4 375,04) = 6,438

°u ~ 110,88

und für die Scheitelfuge mit Px = 0, Wx = H:

Jf = — 2162,17 - 1627,13.18,1215 + 30836,14 = - 812,09 mt,

( 1627,13 — ^ 812,09) = - 6,949 kg, (1627,13 + ^-812,09)

“ 99.75

99 9

39,573 „ .

_ 99,75

b) Vollbelastung. Durch die Verkehrslast allein ergeben sich nach den unter a) angewandten Formeln die Kämpferreaktionen:

V=V'= 180 t,

131093893

751637

= 174,41 t,

und die Endmomente:

M—M

= 174,41 . 12,081 -    = - 8,36 mt.

Damit folgen weiter für die Kämpferfuge wegen Px = P, M% = M:

= (174,41 + 180.1,0720) 0,6821 = 250,58 t,

= 2+ (260,58 - £ 8,36) = 1,146 kg, ('250,58 + ~ 8,86) = 1,304

oo

a“ ~ 204,6

für die Fuge x = 20,81 m :

99 9

Px = 180 - 108 = 72 t,

Nx = (174,41 + 72.0,4122) 0,9245 = 188,68 t,

Mx = - 8,36 + 72.20,81 - 174,41.15,4424 + (101,182 + ....+ 179,977) = 5,75 mt,

= npg(l⁸⁸,⁰⁸-t-p₃ 5,75) = 1,841 kg,

(188,68 - gL 5,75) = 1,563

<JQ

~ 110,88

99 9

und für die Scheitelfuge mit Fx — 0, Nx — H :

8,86 - 174,41.18,1215 -f- 3175,419 = 6,49 mt,

°o ~

^ ( 174,41    6,49) = 1,934 kg,

99,75

(174.41 — ~ 6.4») = 1,563

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast erhalten wir:

und bei

F — V = 2216,9 + 180 = 2396,9 t,

H= 1627,13+'174,41 = 1801,54 t,

M = M = — 2162,19 - 8,36 = - 2170,55 mt, 20,81 26,399

0₀ = — 5,960 35,105

8,001

33,81 m : — 5,015 kg, 41,136 „ .

a =

U

c) Verkehrslast von 0 bis m. Die Verkehrslast allein erzeugt nach § 17, 8) 11) 12) den Horizontalschub und die Endmomente:

131093893

2.751637

= 87,21 t,

M — 87,21 . 12,081

6642733

M‘ — 87,21 . 12,081 —

67,62* 3029869 67,62² “

= — 399,19 mt,

390,95

womit nach § 17, 2) 3) die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

67,62

(- 399,19 - 390,95 ■+■ 3175,419) = 35,27 t,

F = 180 — 35,27 = 144,73 t,

Wir erhalten nun für die Kämpferfuge wegen V — V, M — M: Nx — (87,21 + 144,73.1,0720) 0,6821 = 165,31 t,

= 20^6 (¹⁶⁵’³¹ - Ęi ³⁹⁹»¹⁹) = - ²>968 kg»

( 165,31 -f- — 399,19) =    4,584

~ 204,6 für die Fuge x = 20,81 m :

Fx = 144,73 - 108 = 36,73 t,

Vx = (87,21 + 36,73.0,4122) 0,9245 = 94,62 t, M% — - 399,19 + 36,73.20,81 - 87,21 . 15,4424 + (101,182 + ... + 179,977) = 227,53 mt,

(94,62 + i 227,53) =    6,350 kg.

(94,62    227,53) = - 4,643

°u ⁼

110,88

und für die Scheitelfuge mit Nx = H :

F = 144,73 — 180 = — 35,27 t,

Mx=- 399,19 — 35*28.33,81 — 87,21.18,1215 4- 3175,419 = 3,37 mt, (87,21 + ^ 3,37) = 0,965 kg,

(87,21-^ 3,37) = 0,784 „.

°° ~ 99,75 1

_ 99,75

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast ergeben sich: F =    2216,9    4-    144,73    =    2361,63 t,

V —    2216,9    4-    35,27    =    2252,17 t,

H —    1627,13    4-    87,21    =    1714,34 t,

M — - 2162,19 -    399,19    = - 2561,38 mt,

M =- 2162,19 4-390,95 = — 1771,24

?? J

und bei

33,81 ra :

— 5,988 kg,

40,360 „ .

d) Ver kehr s last von m bis /. Mit Rücksicht auf die im vorigen Falle gefundenen Werthe hat man, von der Verkehrslast allein herrührend:

H = 87,21 t,

ao

au

I! 1! II

- 10,074

38,385

20,81

30,908

1,795

M‘ =

M — 390,95 mt,

V = 35,27 t,

Damit folgen für die Kämpferfuge wegen V — V, M = M:

Nx = (87,21 +35,27.1,0720) 0,6821 = 85,28t,

= âb(8B’²⁸⁺ê⁸⁹⁰’⁹⁶)

Jp(86,28-—390,95) =- 3,282

V = 144,73 t.

399,19 mt,

ao

4,115 kg.

für die Fuge x = 20,81 in :

F = 35,27 — 0 = 35,27 t,

N~x = (87,21 4- 35,27.0,4122) 0,9245 == 94,07 t,

Mx — 390,95 + 35,27 * 20,81 — 87,21 • 15,4424 = — 221,81 mt,

(°4,⁰⁷ “pi ²²¹>⁸¹) =“ ⁴.BI° kK-

(94,07+ pj 22!,⁸¹) =    6,207 kg,

G° “ 110,88

110,88

und für die Soheitelfuge mit Nx — H\

Vx = 35,27 — 0 = 35,27 t,

Mx = 390,95 + 35,27 • 33,81 — 87,21 • 18,1215 = 3,05 mt,

(87,21 + g| 3,0f>) = 0,962 kg,

(87,21 - 4L 3,05 ) = 0,787 „ .

Da die unter c) und d) verwendeten Verkehrslasten zusammen die Verkehrslast unter b) ausmachen, so müssen die von der Verkehrslast allein her-rührenden V, V‘, H. M, M‘, Vx, Nx, Mx. a₍₎, ou in den Fällen c) und d) zusammen gleich den entsprechenden Werthen unter b) sein (abgesehen vom Einfluss vernachlässigter Dezimalen, der sich im vorliegendem Falle bemerkbar macht), was zur Abkürzung der Rechnung oder zur Kontrolle dienen kann.

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast hat man direkt oder mit Rücksicht auf die unter c) berechneten Werthe:

ao —

99,75

°" “ 99,75

und bei

V = 2252,17 t,

M — — 1771,24 mt,

V = 2361,62 t,

ao = -2,991 30,519

20,81

20,048

12,645

H = 1714,34 t, M‘ = — 2561,38 mt,

33,81 m :

— 5,987 kg, 40,360 „ .

Grenzwerthe. Dieselben haben sich bei den berücksichtigten Belastungsfällen wie folgt ergeben (bei jedem Werthe ist der betreffende Belastungsfall angedeutet) :

V, V

2396.9    (b)

2216.9    (a)

M'

-    2561,38 (d)

-    1771,24 (c) 33,81 m:

- 5,015 (b)

— 6,949 (a)

41,136 (ô)

39,573 (a).

-    2561,38 (o)

—    1771,24 (d)

20,81

30,908 (c)

20,048 (d)

12,645 (d)

1,795 (c)

Der grösste rechnungsmässige Druck für die betrachteten Fugen tritt also mit 41,136 kg per qcm bei Vollbelastung der ganzen Brücke im Scheitel, der

und bei

1801,54 (6) 1627,13 (a)

a₀ — — 2,991 (d) - 10,074 (c) 38,385 (c) 30,519 {d)

grösste rechnungsmässige Zug mit — 10,074 kg bei Verkehrsbelastung einer Brückenhälfte beim anliegenden Kämpfer ein. Da nicht genau die ungünstigsten Belastungen gewählt wurden, auch Temperaturänderungen u. s. w. gewisse Beiträge liefern können, so müssen die wirklichen Grenzwerthe noch etwas ungünstiger geschätzt werden (vergl. S. 69).

Bemerkungen. Man hat mitunter kreisförmige Bogen nach den Formeln für Parabelbogen berechnet. Ist der Bogen so flach, dass seine Axe mit einem Parabelsegment von gleichen 7, / nahezu zusammenfällt, so kann dies zulässig sein. Es lässt sich jedoch leicht zeigen, dass ein solches Vorgehen z. B. für den Bogen der Pruthbrücke nicht genügt hätte.

zu

Verwenden wir die für den Parabelbogen gefundenen M, H, indem wilder Berechnung im Uebrigen die in Beisp. 18 ermittelte kreisförmige Axe Grunde legen, so ergeben sich für den Belastungsfall a) die Vx wie oben, und in der Lagerfuge x = 20,81 m mit Vx — 562 t.

Nx — 592 • 0,3202 + 1627,13 • 0,9474 = 1721,50 t,

Mx=- 2162,19 4- 562 • 20,81 - 1627,13 • 15,9840 -f (243,66    ... 4- 2037,75) = - 506,22 mt,

“ 110,88

( 1721,50 - ~ 506,22) = 3,297 kg,

°u ~ 110,88

( 1721,50 +    506,22) = 27,765

während oben erhalten wurden : iVx = 1718,45 t, Mx — 375,04 mt, oq = 24,558 kg. ou = 6,438 kg. Die Abweichung von Nx beträgt hiernach nur 0.18 °/o, dagegen ist infolge des um 15,9840 — 15,4424 = 0,5416 m grösseren y eine Aenderung des Moments um — 1627,73 • 0,5416 — — 881,26 mt eingetreten, der Angriffspunkt von Nx liegt zufolge § 8, 1) im ersten Falle um

0,218 m

375,04 1718.75 ~

oberhalb, im zweiten um

506,22

1721,50

= 0,294 m

unterhalb der Bogenaxe, wodurch sich die Vertheilung von Nx auf die Fuge vollständig geändert hat.

Nun sind aber auch die verwendeten M, H für den Kreisbogen nicht genau, und da eine Verkleinerung von H um

= 3,39 °/o

881,26 • 100

1627,13 • 15,984

die ganze Aenderung wieder rückgängig machen würde, so erkennt man, dass es sich empfiehlt, für nicht ganz flache Bogen die Berechnung auf Grund der wirklichen Axform durchzuführen, was nach den in §§ 34, 35 gegebenen Formeln für beliebige Querschnitte und beliebige Axe keine Schwierigkeiten bietet (Beisp. 34—37 und 1, 43, 44). Für Gewölbe kommt dabei besonders in Betracht, dass man die Druckvertheilung behufs Vermeidung grösserer Zugspannungen genügend genau kennen muss. Nachdem die Axverhältnisse und Grössen H, M, M‘ bekannt sind, kann die übrige Berechnung natürlich ganz wie oben durchgeführt werden, doch thut man besser, die ungünstigsten Belastungen zu ermitteln (§ 17). Dabei können die für Parabelbogen gültigen Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke mitunter auch dann verwendet werden, wenn inan die Berechnung im Uebrigen für eine etwas andere Axform durchzuführen hat, da die Lasten in der Nähe der Belastungsgrenzen nur wenig beitragen, kleine Aende-rungen der letzteren also ohne wesentlichen Einfluss sind. Bezüglich der Ermittelung jener Linien für Bogen von beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten siehe Beisp. 1. In Betreff der Stützlinie und Schubkräfte vergl. die Bemerkungen zu Beispiel 13.

Beispiel 31. Einfluss von Temperaturänderungen (Coblenzer Brücke).

Den Einfluss von Temperaturänderungen bis x = -j-30°auf die in Beisp. 17 betrachteten Bogen der Coblenzer Brücke unter der Annahme zu ermitteln, dass bei gleichen Dimensionen und parabolischer Axe anstatt der Kämpfergelenke festgespannte Enden angeordnet wären.

Unter den erwähnten Voraussetzungen hat man nach § 17, 16):

Ec 15 1 4- B s 2 /

« X :■

H¹?

1)

Im vorliegendem Falle ergeben sich mit / s = 0,04563, E= 2000000

M =

08,0775 m, / = 8,91614 m, c — 0,36497 m ł, kg per qcm, « = 0,000012 (Beisp. 16):

2000000.100-. 0,36497 . 15.0,000012 1,27378.2.8,91614    ' T

und für x = —f- BO ⁰ :

1313892 — 22,7144 _ 57844,01.3 H ~ 8,91614.2 T

57844,01 x mk,

= 9731,33 x kg,

H — -j- 291940 kg.

Bei Vernachlässigung von s hätten sich M, H 1,27378 mal so gross wie hier, das heisst um 27,38 °/o zu gross ergeben.

Nach § 17, 1) 2) 16) ist die Temperaturänderung auf die Vertikalreaktionen der Kämpfer ohne Einfluss, wogegen nach § 17, 4) 6) und § 1, 10) allgemein und für x = 30° mit vorstehendem M, H:

Mx — M— Hy — 1735320 — 291940 y mk,

Nx — H cos <p — 291940 cos cp kg,

Tx = — 77 sin cp =— 291940 sin <p kg.

Das Moment M ändert sich also von M = 1735320 mk an den Kämpfern bis 1735320 — 191940 ' f— — 867658 mk im Scheitel, während auf der gleichen Strecke 7Vx von 291940 cos <p₀ bis 291940 kg wächst und Tx von —291940 sin <p₀ numerisch bis 0 abnimmt.

Für die Beanspruchungen des Obergurts und Untergurts durch Temperaturänderungen gelten wie in Beisp. 17 :

N M

-iJ--i

2    ' A ’

M = + 1 735320 mk,

2)

TT — —A

2

also in unserm Falle für x = 30° mit obigen Ausdrücken von N , M und h = 2,97214 m:

O = 145970 cos cp -f- 583862 - 98226 y kg.

U = 145970 cos cp - 583862 + 98226 y „ !

Man erhält z. B. im Scheitel mit cp = 0, y — f — 8,91614 in:

O — — 145965 kg,

und, weil die Gurtungsquerschnitte daselbst / = /u = 768,13 qcm sind, per qcm:

145065

imi = - u,0’° k^r

437605 768,13 ~

ü = 437605 kg.

im Obergurt

„ Untergurt Bei x = 0 hat man y = 0 und nach § 15, 8):

{s% = x ~ n

coscp₀ 0,93971,

569,7 „ (Druck).

19°58' 59" sin qp₀ = 0,34193,

womit die ganzen Beanspruchungen des Obergurts und Untergurts an den Kämpfern: 0 — 721081 kg,

und wegen / = fu — 800,624 qcm per qcm:

721031

800.624    ~~

446693

800.624    ~

U = - 446693 kg.

im Obergurt

900,6 kg (Druck)

- 557,9 „ (Zug).

„ Untergurt

Für z —— 30° wechseln alle Beanspruchungen ihr Vorzeichen.

Da hei der Berechnung der Coblenzer Brücke die höchste zugelassene anspruchung per qcm (für Zusammenwirken von Lasten und Temperaturänderungen) nicht über 783 kg betrug, so würden die jetzigen Querschnitte der Coblenzer Brücke bei eingespannten Enden nicht einmal zur Uebertragung der von den Temperaturänderungen bis x = -f- 300 allein h errührenden Be anspr u chungen mit der vorgeschriebeneu Sicherheit genügen.

Be-

lieispiel 32. Einsenkungen parabolischer Bogen (Coblenzer Brücke)

Die in Beispiel 20 verlangten Einsenkungen für den Fall zu berechnen dass anstatt der Kärnpfergelenke festgespannte Enden angeordnet wären.

Eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit erzeugt nach § 17, 52) die Einsenkung:

_ s ul*

e ~ 1 -f 6e 64 Ec

also im vorliegendem Falle mit / = 98,0775 in, c =■ 0,36497 m⁴, e = 0,04563, E — 2000000 kg per qcm:

0,04563    u . 98,0775⁴

⁶ “ 1,27378 64.2000000.100*.0,36497

1)

= 0.0000070075 u m == 0,00070075 u cm,

beispielsweise für die feste Last von u = 3983 kg:

e — 2,791 cm,

und für Vollbelastung des ganzen Bogens mit u = 7169 kg:

e — 5,024 cm,

während sich für den gleichen Bogen bei Anwendung von Kämpfergelenken 2,869 und 5,164 cm ergeben haben.

Durch Belastung der ersten Trägerhälfte mit u, der zweiten mit u' entsteht nach § 17, 53) :

a)

b)

wonach in miserai Falle:

e = 0,CXX3 70075

s u -)- u‘ l*

1 -(-6 s 128 EcJ

3988 -f 7169

2)

— 3,906 cm,

c)

wie auch aus a) und b) zu entnehmen war (Mittel).

Eine Temperaturänderung x liefert nach § 17, 55) :

3)

und mit l — 11 f — 11.8,91614 m, a == 0,(XX)012 in Meter:

15 . 11* 64.1,27378

- 0,(XXX)12.8,91614 x ( 1 -f

).

und speziell für x = -)-80⁰:

e — — 0,2489 x cm,

d)

gegen 7,575 cm bei zwei Gelenken.

7,467

cm,

Eine Aenderung der Spannweite um A 7 ohne sonstige Bewegung der Bogon-enden hätte nach § 17. 57) zur Folge :

15 7 A 7 64/ r-f 6 s’

4)

also mit den jetzt geltenden Zahlen:

15.11 A 7 64    1,27378

= 2,0240 A 7,

e)

und beispielsweise für A 7 = 2 cm:

e = 4,048 cm.

gegen 4,109 cm bei zwei Gelenken.

Während also für gleiche Dimensionen und Einwirkungen die Beanspruchungen ohne Gelenke bedeutend grösser als bei zwei Gelenken werden können, (Beisp. 31), sind die Einsenkungen im ersten Fall zwar etwas geringer, aber nicht so bedeutend, dass darin ein ausschlaggebender Grund für die Vermeidung von Kämpfergelenken läge.

Aufgabe 12. Stützlinie für Temperaturänderungen bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenke.

Es sind die dem Einflüsse der Temperaturänderungen allein entsprechenden Stützlinien zu ermitteln : a) für den symmetrischen Bogen mit Kämpfergelenken : b) für den symmetrischen Bogen ohne Gelenke.

Die Stützlinie ist die Verbindungslinie der Angriffspunkte der resultirenden Schnittkräfte R , und damit auch der Normalkräfte N und Transversalkräfte T in allen Querschnitten. Man hat nach § 8, 1) im Querschnitt x für die Entfernung dieses Angriffspunktes vom Axpunkte in der Ebene des Querschnitts gemessen :

wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ gerechnet werden.

a) Bogen mit zwei Gelenken. Für diesen Fall hat man (vergl. Beisp. 17) von der Temperaturänderung allein herrührend:

K =- Hy,

odass nach 1):

jVx = H cos cp,

2)

cos cp‘

3)

Dies Resultat war vorauszusehen, da durch Temperaturänderung bei Bogen mit zwei Gelenken nur ein in den letzteren angreifender Horizontalschub, keine Vertikalreaktionen und keine Endmomente, entstehen, sodass nach § 1, 11) 12) mit V — 0 für den Richtungswinkel und die Grösse der resultirenden Schnittkraft bei x:

tg <!> = 0,

Die Stützlinie ist nach 3) die horizontale Verbindungsgerade der Gelenkpunkte (Fig. 80).

R ~ H.

X

4)

b) Bogen ohne Gelenke. Für solche sind die Momente und Normalkräfte durch die Temperaturänderung ausgodrüekt (vergl. Beisp. 31):

= H cos cp, 5)

Ho

V C-

Stützlinie

Fig. 80 M

wonach Gleichung 1) mit der Bezeichnung v = ^ für die Stützlinien liefert:

v-y

COS cp

Mx — M— Hy,

.2

CD

ST.

.2

Ct-

.2

2.

CD

.9

Crt\

£T:i

li

H ig. 81,

Höhe V über den Axpunkten der Endquerschnitte hinlaufende Gerade (Fig. 81). Für Parabelbogen von konstantem J cos cp hat

2

man nach § 17, 16) v — -g-/, für symmetrische Bogen von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten nach § 34, 34) v — B : A. Die Gleichungen 4) gelten auch für Bogen ohne Gelenke.

§ 18. Gewölbe.

Die Berechnung von Gewölben kann hier nur soweit besprochen werden, als sie mit der Theorie elastischer Bogenträger in Beziehung steht. Es kommen also nur Tonnengewölbe in Betracht. Schon vor Anwendung jener Theorie auf diese Gewölbe wurde für letztere das gleiche (Naviersche) Vertheilungsgesetz der Normalkraft auf die Lagerfugen angenommen, welches die Theorie elastischer Bogenträger als näherungsweise gültig für die Stabquerschnitte nachweist. Dasselbe lantet nach § 6, 10) :

ATx

Mx

“ -¥ + -7

1)

oder wenn entsprechend § 8, 1)

Mx = c A\

2)

gesetzt wird:

(' +

3)

Diese Gleichungen erlangten für Gewölbe aus einzeln Steinen nur insofern eine andere Auffassung, als die Lagerfugen x an Stelle der Querschnitte x traten, sodass Nx, Tx die Komponenten der resultierenden Fugenkraft Rx senkrecht und längs der Lagerfuge x und Mx das Moment von Rx oder Wx in Bezug auf den der Bogenaxe angehörigen Punkt x, y der letzteren bezeichnen (Fig. 82). Die in §§ 1, 2 abgeleiteten rein statischen Beziehungen für Nx, Tx, Mx u. s. w. bleiben ebenfalls gültig, wenn die

Grenzen der. Summen 2 Lagerfugen und cp den Winkel der Normalen zur Lagerfuge x mit der horizontalen x-Axe bedeuten, als Bogenaxe aber die Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Lagerfugen angesehen wird. Für Gewölbe mit Lagerfugen senkrecht zur Bogenaxe und für sogenannte homogene Gewölbe (Betonbogen, Monierbogen etc.) bestellt in den erwähnten Beziehungen überhaupt kein Unterschied.

Die Grenzwerthe der Normalspannungen a einer Lagerfüge treten nach 1) im obersten und untersten Elemente derselben ein, sie sind in § 8 ausgedrückt, wonach für den wichtigen Fall symmetrisch zur Axschickt angeordneter Lagerfugen:

Wx Mx

°° Œ T +

N./

Fig. 82.

W’

Mx

— F W’

4)

und speziell für rechteckige Lagerfugen von der Breite b und Höhe h mit

F — b h,

W = - -

6

bei Beachtung von 2) :

(>+¥).

Diese Gleichungen gelten auch bei homogenen Gewölben, für welche die Querschnitte hier als Lagerfugen bezeichnet werden. Sollen a₀, au von gleichem Vorzeichen wie iVx sein, also Druck bedeuten (§ 8), so muss

\ und d. h. die

O    D

Stützlinie (Linie der Angriffspunkte von Bx, JSfx in allen Lagerfugen) im mittleren Drittel des Gewölbebogens liegen. Bei beliebigen Lagerfugen hätte nach § 8 c zwischen k₀ und — ku oder die Stützlinie zwischen den Kernlinien zu bleiben, welche eben in jenem Falle mit den Grenzlinien des mittleren Drittels übereinstimmen.

Eine möglichst genaue Berechnung von Tonnengewölben hätten nun den Nachweis zu führen, dass auch bei den ungünstigsten Belastungen und sonstigen Einwirkungen die eintretenden a₀, au nicht über die zulässigen Grenzen hinausgehen (vergl. Beisp. 13). Man hat sich jedoch bisher gewöhnlich darauf beschränkt, die a₀, au nur in einzelnen Lagerfugen für wenige im Voraus angenommene Belastungsfälle zu berechnen und von sonstigen Einwirkungen eventuell allein den Erddruck zu berücksichtigen. Daneben wird bei Gewölben aus einzeln Steinen im Allgemeinen verlangt, dass der Transversalkraft Tx durch die Leibung in der Lagerfuge widerstanden werde, also

So

~ bh

bh

bh

bh

bei rechteckigen Lagerfugen nach 5) 6) c zwischen

tgS =

JVx

5)

6)

7)

unter dem Reibungskoefticienten von Mauer auf Mauer oder o unter dem Reibungswinkel bleibe, nnr ausnahmsweise soll auf die Schubfestigkeit des Bindemittels Rücksicht genommen werden. Da aber im eigentlichen Gewölbe (abgesehen von den Widerlagern) die Bedingung für 5 bei Einhaltung der zulässigen Grenzen von a₀, au fast immer erfüllt ist (vergl. Bemerk, zu Beisp. 13), so werden bei Berechnung des Gewölbebogens meist nur die a₀, aü in Betracht gezogen. Eventuell könnten jedoch die Längs- und Querschubspannungen nach § 9, also beispielsweise ihre grössten Werthe bei rechteckigen Lagerfugen aus

8)

x = —-— T 2 b h *

berechnet werden (Beisp. 8, 34, 35).

Es handelt sich nun um die Berechnung der Mx, Nx, Tx in obigen Gleichungen. Damit wird nach 2) auch die Stützlinie bekannt, doch ist diese zur Ermittelung der a₀, au und sonstigen Beanspruchungen bei Gewölben ebensowenig wie bei eisernen Bogen nothwendig. Die Beziehungen des § 1 für die Schnittkräfte und Schnittmomente enthalten drei Grössen, zu deren Ermittelung die Gesetze der reinen Statik bei gewöhnlichen Gewölben nicht ausreichen, den Horizontalschub Hund die Endmomente M, M'. Um dieser statischen Unbestimmtheit zu begegnen, machten alle älteren Gewölbetheorien willkürliche Annahmen über die Lage der Stützlinie. Brauchbare Begründungen dieser Annahmen wurden zwar gesucht, aber nicht gefunden. Trotzdem wird noch heute meist so gerechnet, als ob ein Gewölbe genügende Sicherheit böte, wenn irgend eine statisch mögliche Stützlinie ohne Ueberschreitung der zulässigen Beanspruchungen eingezeichnet werden kann. Culmann hat dies Verfahren durch ein Raisonnement zu stützen gesucht, nach welchem von allen statisch möglichen Stützlinien diejenige die richtige wäre, bei welcher der Druck in der stärkstgedriickten Fugenkante ein Minimum erreicht, sodass jede den statischen Bedingungen entsprechende Stützlinie entweder die richtige oder eine ungünstigere sein müsste.³ ⁴ Allein das Raisonnement gipfelte in der Annahme: wenn nur eine Stützlinie ohne Ueberschreitung der augenblicklichen Widerstandsfähigkeit möglich sei, so müsse diese auch verwirklicht werden, durch Zunahme der Widerstandsfähigkeit aber (etwa infolge Erhärtens zunächst weich gedachten Materials) trete keine Aenderung der Stützlinie ein ; es setzte also gerade das voraus, was bewiesen werden soll, und Cu 1 mann selbst ist später nicht mehr darauf zurückgekommen. Ebensowenig Erfolg hatten andere Auskunftsmittel.

(vergl. S. 128).

Bei der üblichen Feststellung der Stützlinie wurden meist drei Punkte derselben, und zwar die Durchgangspunkte in Scheitelfuge und Kämpferfügen, frei gewählt, womit drei neue Bedingungen gegeben waren, welche die Grössen H, M, M‘ bestimmten. Wählte man die Durehgangs-

Es kann hiernach keinem Zweifel unterliegen, dass die übliche Methode der Stabilitätsuntersuchung von Gewölben einer genügenden theoretischen Grundlage entbehrt. Wenn die darnach berechneten Gewölbe dennoch gehalten haben, so findet dies meist schon in der grossen Sicherheit, mit welcher man zu rechnen pflegt, eine ausreichende Erklärung. Bei Einhaltung dieser Sicherheit mag die fragliche Berechnungsweise in manchen Fällen, insbesondere in solchen, für welche kein besseres Verfahren existirt, als empirische Methode vorläufig eine gewisse Berechtigung behalten. Wenn man jedoch zu Ausführungen übergehen will, für welche noch keine Erfahrungen vorliegen, so macht sich die Mangelhaftigkeit der "Theorie in störender Weise geltend. Gewiss liegt hierin ein Hauptgrund, dass gewölbte Brücken bei Weitem noch nicht diejenigen Spannweiten erreicht haben, bis zu welchen sie im Interesse der Solidität und selbst der Schönheit unter Umständen Verwendung finden könnten. Die grössten Lichtweiten von Brückengewölben betragen gegenwärtig 67,1 m für den Cabin-John-Aquaeduct und 65 m bei 17,9 m Laibungspfeil für die Pruthbrücke der österreichischen Staatseisenbahn bei Jaremcze

punkte, in der Bogenaxe, so waren ganz wie bei eisernen Bogen mit drei Gelenken die Endmomente M — M‘ — 0, und der Horizontalschub H durch Mm — 0 bestimmt. Die Berechnung hätte sich dann einfach nach § 15 durchführen lassen (Beisp. 13).

Die blose Annahme ist jedoch noch keine Rechtfertigung. Wie verschieden die Resultate je nach den Lagen jener Durchgangspunkte werden können, zeigen schon die Beispiele 13 und 30, nach welchen für die Belastungsverhältnisse der Pruthbrücke beim Durchgänge der Stützlinie durch die Mitten der Scheitelfuge und Kämpferfügen in ersterer bei beliebiger Axe Drücke von 18,8 kg, ohne solche Festlegung aber bei parabolischer Axe Drücke von 41,1 kg per qcm entstehen würden. Bei den Kämpfern sänke im ersten Fall der Druck nicht unter 13,6 kg, während im zweiten selbst Zug bis 10,0 kg ermittelt wurde.

Unter solchen Umständen ist es begreiflich, dass man bei Brücken grösserer Spannweiten, für welche genügende Erfahrungen nicht Vorlagen, (z. B. Betonbrücken), den üblichen Annahmen durch (lie Wirklichkeit zu entsprechen suchte. Auf diese Weise sind die Gewölbe mit mehr oder weniger ausgebildeten Kämpfergelenken und Scheitelgelenk entstanden, deren grösstes gegenwärtig die von Präsident v. Leibbrand erbaute Betonstrassenbrücke über die Donau bei Munderkingen in Württemberg aufweist.⁵ Spannweite 50 m, Laibungspfeil 5 m, Gewölbestärke im Scheitel 1,0 m, bei den Kämpfern 1,1 m, dazwischen aber entsprechend den Abweichungen der Stützlinie von der Bogenaxe bis 1,4 m, Gelenke bei 7,5 m Gewölbebreite aus 12 Theilen von 0,5 m Länge in Stahl ausgeführt. Die Einschaltung der Gelenke ergibt den weiteren Vortheil, dass das Setzen sowie kleine Ausweichungen der Widerlager und Temperaturänderungen nur verschwindende Aenderungen der Beanspruchungen zur Folge haben und nicht leicht zu Rissen führen. Nachtheile sind bis jetzt nicht hervorgetreten.

Ein Gewölbe dieser Art ist bei wirksamen Gelenken nach der Anleitung in § 15 zu berechnen (Beisp. 13). Der Einfluss eines in Betracht kommenden Erddrucks kann wie in andern Fällen nachträglich zugefügt werden (s. übrigens Aufg. 8). Bei der Munderkinger Brücke wurden die Gelenke in Cementmörtel eingeschlossen, sobald das Gewölbe unter der Einwirkung des Eigengewichts zur Ruhe gekommen war (Gewölbeschluss 7. August, Ausschalung4. September, Umhüllung 26. Oktober 1893). Dies sollte Gewähr dafür bieten, dass die Gelenke unversehrt erhalten bleiben, insbesondere nicht durch Rost leiden, nachdem sie dem überwiegenden Einflüsse des Eigengewichts gegenüber ihre Dienste geleistet haben. Der Einfluss des Eigengewichts ist auch bei Umhüllung der Gelenke nach § 15 zu berechnen. Bezüglich der Beiträge der Verkehrslast und nachträglicher Tempe-raturänderungen oder Widerlagerbe wegungen kommt es darauf an, in welchem Maasse die Gelenkwirkung als aufgehoben anzunehmen ist. Bei vollständig aufgehobener Wirkung wären die Beziehungen für Bogen ohne Gelenke (§§ 18, 34 35), bei vollständig bleibender Wirkung diejenigen für

Bogen mit drei Gelenken (§ 15) massgebend. Man würde also am sichersten gehen, wenn man nach beiderlei Formeln rechnen und stets die ungünstigsten Resultate berücksichtigen wollte. Die Beanspruchungen durch Verkehrslast u. s. w. wären den nach § 15 erhaltenen Beanspruchungen durch Eigengewicht allein einfach zu addiren. Uebrigens wurden neuestens durch Landesbaurath Leibbrand in Hohenzollern auch Gewölbe mit offenen Gelenken ausgeführt (bei Inzigkofen und Imnau).

Andere Bestrebungen im Gebiete des Gewölbebaues sind darauf gerichtet, die Gewölbe den Voraussetzungen der Bogentheorie soweit nahe zu bringen, dass dieselben mit genügender Genauigkeit als elastische Bogenträger ohne Gelenke berechnet werden können wie dies für eine Anzahl der grössten Gewölbebrücken bereits geschehen ist.⁶ Man hat also darauf zu achten, dass das Gewölbe bis zu den Kämpfern einen Bogen von angebbarer Axe mit Lagerfugen annähernd senkrecht zu derselben darstellt, dass es bis zum Ausrüsten möglichst spannungslos bleibt oder auf sonstige Art möglichste Uebereinstimmung des spannungslosen mit dem belastungslosen Zustand erreicht wird, dass die Widerlager möglichst wenig nachgeben, aber auch nach etwa eintretenden kleinen Bewegungen keine Zugspannungen oder höchstens so kleine entstehen, welche auch in den Lagerfugen mit Sicherheit übertragen werden, dass imolge geeigneter Wahl des Materials und sorgfältiger Behandlung der Fugen im ganzen Gewölbe innerhalb der Beanspruchsgrenzen ein mittlerer Elasticitätsmodul für Druck angenommen werden darf u. s. w. Der Zahlenwerth dieses konstanten Elasticitätsmoduls kommt für die Beanspruchungen nur bei Berücksichtigung der Temperaturänderungen und Widerlagerbewegungen und daneben bei Ermittelung der Formänderungen (Einsenkungen etc.) in Betracht. Wenn jene Bedingungen möglichst eingehalten werden, ⁷ dann ercheint die Berechung von Bogen ohne Gelenke

Wz

•11,9 rti

\N

6bA

¹

3.23,758.897048 - 4.7712459 — 25882.2,251.22,758²) 234938

²

und für E — 175000 kg per qcm (Bruchsteingewölbe'): Weyrauch, Elastische Bogenträger.

³

Cu lii) an n, Die Graphische Statik, Zürich 1866, S. 444. C ulmann spricht von der Drucklinie; aber die Drucklinie und Stützlinie, welche das Druckminimum ergeben, bedingen einander.

⁴

Hu ss, Die grossen gewölbten Brücken der K. K. Staatsbahn Stanislau-Woronienka. Zeitsehr. d. österr. Ing.-u. Arch .-Vereins 1893, S. 545 und 1894, S. 533.

⁵

v. L e i b b r a n d , Betonbrücke über die Donau bei Munderkingen, Stuttgart 1894 (auch Zeitschr. f. Bauwesen 1894). Vergl. Köpke, Ueber die Verwendung von drei Gelenken bei Steingewölben, Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1888, S. 373. Winkler, Lage der Stützlinie im Gewölbe, Deutsche Bauzeitung 1880, S. 59, 60.

⁶

Siehe z. B. Kulka, lieber die Berechnung grosser gewölbter Brücken, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1894, S. 865, 377.

⁷

Vergl. Huss, Vorschläge in Betreff der Ausführung grosser Gewölbe. Bericht des Gewölbeausschusses S. 92, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Ach.-Ver-eins 1895. Deutsche Bauzeitung 1879, S. 117, 127; 1880, S. 58, 184. 210, 243.

Fig. 88.

auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger jedenfalls zuverlässiger als die ganz willkürlichen älteren Methoden. In neuerer Zeit hat man Gewölbe von grosser Spannweite auch hinsichtlich der Lastübertragung und des Aeusseren den eisernen elastischen Bogen näher gebracht, wovon die in Fig. 83 angedeutete Pruthbriicke bei Jaremcze ein Beispiel gibt.

T =

Bei ähnlicher Anordnung und sorgfältiger Durchbildung könnten gewölbte Brücken unter günstigen Verhältnissen bis zu weit grösseren Spannweiten als bisher denjenigen Zwecken dienen, für welche sich seit etwa zwanzig Jahren eiserne Bogen nach Art der Dourobriicken bewährt haben. Durch die Pfeiler über den Widerlagern (Fig. 75, 83) wird die Stabilität der letzteren und damit des ganzen Bauwerks wesentlich erhöht.

Soll die Berechnung von Gewölben ohne Gelenke auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger erfolgen, so ist nach §§ 17, 34, 35 mit Berücksichtigung der obigen Beziehungen vorzugehen (Beisp. 27—30, 33— 37 u. s. w.). Der Einfluss der Temperaturänderungen und etwaiger Widerlagerbewegungen ist in §§ 17, 34, 35 ebenfalls festgestellt; er wurde bisher bei den Beanspruchungen von Gewölben kaum berücksichtigt, ist aber behufs möglichster Vermeidung von Zugspannungen und Bissen immerhin im Auge zu behalten (vergl. Beisp. 37). Bei Gewölben, welche nach den Formeln für Parabelbogen berechnet werden (§ 17), kann der im Ausdrucke von s vorkommende Werth y nach § 15, (S. 64) für die gewöhnlichen rechteckigen Querschnitte gesetzt werden:

J _ /i*

F ~ 12

2)

mit einem Mittelwerthe von h².

Es empfiehlt sich, die ungünstigsten Belastungen von Gewölben ebenso wie für eiserne Bogen zu bestimmen (§§ 10—12, 17, Beisp. 13 und I, 9, 10, 11, 28, sowie IVA¹, G, H). Das Vorgehen nach § 11 erfordert besonders dann keinen übermässigen Zeitaufwand, wenn die Verkehrslast nur an wenigen Stellen auf den Bogen übertragen wird (Fig. 83). Die Verkehrslast ist bei gewölbten Brücken im Vergleich zur festen Last kleine]- als bei eisernen Brücken, sie wurde z. B. bei der Jaremczer Eisenbahnbrücke gleich 1231 kg, bei der Munderkinger Strassenbriicke gleich 400 kg per qm Fahrbahn angenommen, was etwa Vis,3 bezw. J/i« der festen Last ausmacht. Will man mit Rücksicht auf den somit geringeren Einfluss der Verkehrslast nur einige im Voraus gewählte Belastungsfälle behandeln, so bleibt man nicht hinter den bisherigen Anforderungen zurück, wenn bei der (allein nöthigen) Berechnung der ersten Bogenhälfte nebst Widerlager symmetrischer Gewölbe behandelt werden: 1. Feste Last allein; 2. Verkehrbeslastung des ganzen Bogens ; 3. Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte ; 4. Verkehrsbelastung der zweiten ßogenhälfte (vergl. Beisp. 13,30). Für gleich -mässig vertheilte Last (die Verkehrslast wird meist als solche angenommen) auf dem ganzen Bogen oder einer Bogenhälfte sind in §§. 15—17 besonders einfache Formeln gegeben. Wenn man sich bisher mitunter selbst bei wichtigen Objekten auf die Durchrechnung nur eines Belastungsfalles beschränkte, z. H. Verkehrsbelastung des ganzen Bogens oder einer Bogenhälfte, und nebenbei nur einzelne Fugen ins Auge fasste, so muss dies als gänzlich ungenügend bezeichnet werden (vergl. Beisp. 13, 30).

§ 19. Wiener Versuche mit Gewölben.

In neuester Zeit hat der österreichische Ingenieur- und Architekten-Verein durch einen Ausschuss von geeigneter Zusammensetzung umfassende Versuche über die Formänderungen und Widerstandsfähigkeit Weyrauch, Elastische ßogenträger.

vor Gewölben anstellen lassen.¹ Neben je 7 Hochbaugewölben von 1,35 und 2,70 m Lichtweite, 3 solchen von 4,05 m Weite und 2 Unterbaugewölben von 10 m Weite wurden 4 grössere Objekte von 23 m Lichtweite, 4,6 m Pfeil der Laibung und 2 m Breite erprobt, nämlich :

a)    Ein Bruchsteinmaiperwerkgewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung, Stärke im Scheitel 0,60 m, an den Kämpfern 1,10 m. Versuche mit dem verwendeten Sandstein ergaben: Gewicht per cbm 2580 bis 2620 kg, im Mittel 2590 kg; Elasticitätsmodul für Druck 137000 bis 271000, im Mittel 174000 kg per qcm ; Druckfestigkeit 610 bis 920 im Mittel 770 kg. Für Mörtelwürfel aus dem abgebrochenen Mauerwerk wurde das Gewicht per cbm von 1790 bis 2030, im Mittel 1950 kg, die Druckfestigkeit von 56 bis 132, im Mittel 80 kg, gefunden. Inhalt des Gewölbemauerwerks 45 cbm.

b)    Ein Ziegelmauerwerkgewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung Stärke im Scheitel 0,60 m, än den Kämpfern 1,10 m. Für die verwendeten Ziegel wurden festgestellt: Gewicht des cbm 1420 bis 1700, im Mittel 1580 kg; Elasticitätsmodul für Druck 45000 bis 162000 kg, im Mittel 111000 kg per qcm; Druckfestigkeit 100 bis 290, im Mittel 200 kg. Das Mischungsverhältnis des Mörtels war dasselbe wie im vorigen Falle: ein Raumtheil langsam bindender Kirchdörfer Portland-cement auf ca. 2,6 Raumtheile Sand. Inhalt des Gewölbemauerwerks 45 cbm.

c) Ein Stampfbetongewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung und konstanter Stärke von 0,70 m. Für Betonkörper der drei verwendeten Mischungsverhältnisse wurden folgende Zahlen ermittelt:

1 Portland- 1 Portland-cement    cement

3 Sand 2 Sand 5 Schotter 3 Schotter 2170    2100

74100

1 Portland-cement 1 Sand l Schotter 2220 kg 264000

Gewicht per cbm Elasicitätsmodul f. Druck per qcm Druckfestigkeit    ,,

Elasticitätsmodul f. Zug Zugfestigkeit

Der Kern des Gewölbes war aus Beton von 1:3:5 gebildet, die Mischungsverhältnisse 1:2:3 und 1:1:1 kamen an denjenigen Stellen des Rückens bezw. der Laibung zur Verwendung, an welchen infolge der einseitigen Belastung Zugspannungen zu erwarten waren. Mittelbindender Radotiner Portland cement. Inhalt des Gewölbemauerwerks 38 cbm.

d) Ein Moniergewölbe mit parabolischer Laibung, Stärke im Scheitel 0,35 in, an den Kämpfern 0,60 m. Betonkörper desselben, aus einem Raumtheil mittelbindendem Podoler Portland cement auf 3 Tlieile Sand, ergaben folgende Eigenschaften im Mittel: Gewicht per cbm 2310 kg, Elasticitätsmodul für Druck 364000 kg per qcm, Druckfestigkeit 200 kg, Elasticitätsmodul für Zug 400000 kg, Zugfestigkeit 17 kg. Die beiden Einlegegitter bestanden aus Rund ei sen Stäben von 28,2 m Länge, 1,4 cm

107

260

156

98000

280000

25

250000 „ 18 „

Dicke in der Längsrichtung- und 2 m Länge, 0,7 cm Dicke in der Querrichtung. Die Verbindung der Stäbe erfolgte mit doppeltem Draht, Maschenweite 0,5 cm. Inhalt des Gewölbemauerwerks 38 cbm.

Aus den von Professor Brik als einem der Berichterstatter auf Grund des gesummten Versuchsmaterials gezogenen Schlussfolgerungen lieben wir folgendes hervor :

I. Die Formänderungen der Bogenaxe der Versuchsgewölbe während der ersten Belastungsstufen wuchsen nahezu proportional der Belastung.

IT. Nach Ueberschreiten gewisser Belastungsgrenzen, hier „kritische Belastungen“ genannt, entstanden, meist an mehreren Orten der Gewölbe, Risse, welche bei den mit Fugen gemauerten Gewölben durch Ueberwinden des Adhäsionswiderstandes der Mörtelbänder, bei dem Betonbogen und Monierbogen durch Ueberwinden der Zugfestigkeit des Betons hervorgebracht worden sind (vergl. die folgende Tabelle). Es ist also im Einklänge mit den bisherigen Anschauungen rathsam, die Querschnittsabmessungen so zu treffen, dass bei den mit Fugen gemauerten Gewölben Zugspannungen überhaupt nicht oder nur in geringem Maasse auftreten.

III.    Das Entstehen der ersten Risse erfolgte unmerklich und ohne Begleitung von plötzlichen Formänderungen der Bogenaxe. Die Diagramme der Verschiebungen zeigen vor und nach den ersten Rissebildungen in der Regel keine Unterbrechung ihres stetigen Verlaufes. Die Risse in den mit Fugen gemauerten Gewölben folgten dem Verlaufe der Lagerfugen und bildeten wirkliche „Bruchfugen“. In dem Betonbogen und Monierbogen war die Gestalt und Lage der Risse unregelmässig und lief in Verästelungen aus. Nach Entlastung der Gewölbe schlossen sich die Risse mehr oder weniger vollständig; nach erneuter Belastung kamen dieselben jedoch sogleich wieder zum Vorschein, erweiterten sich, auch kamen neue hinzu.

IV.    Die Orte der Rissebildungen befanden sich in den Strecken zwischen ¹/ą und ¹/s bezw. und ³/4 der Stützweite und an den Kämpfern. Sie entsprachen im Allgemeinen den Orten der durch theoretische Untersuchungen ermittelten „gefährlichen“ Querschnitte. Nachstehende Tabelle enthält die von den Professoren Melau und Neumann auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger berechneten Randspannungen in den Kämpferquerschnitten und gefährlichen Querschnitten (negative Werthe bedeuten Zug). Hierbei wurden für den Monierbogen ein ideelles gleich-inässiges Material vorausgesetzt, für den Betonbogen aber, welcher mit ebenen Flächen auf Asphaltplatten zwischen Bogenenden und Kämpferquadern ruhte, die arithmetischen Mittel der mit und ohne Kämpfergelenke erhaltenen Werthe angegeben.

V.    Durch das Entstehen der ersten Risse war jedoch der Widerstand der Gewölbe noch nicht erschöpft. Wie die Tabelle zeigt, lag die Bruchbelastung höher als die kritische Belastung: beim Bruchsteingewölbe um 30°/o, beim Ziegelgewölbe um 59 °/o, beim Betonbogen um 31 °/o, beim Monierbogen um 8()°/o. Nach Ueberwindung des Zugwiderstandes ge-gelangt nämlich im zusammenhängenden Theile des Gewölbes der weit grössere Druckwiderstand allein zur Geltung. Diese Eigenschaft der

9*

00

IC

Besondere Bogenarten.

An Stelle von 35075 und 56511 kg ergaben sich nach Abschluss der Berechnung genauer 34300 und 55736 kg. Auch andere Belastungen wurden nachträglich etwas abweichend von den hei der Berechnung verwendeten gefunden. Vergl. Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1805. Anmerkungen S. 48, 55, 65.

Monier

bogen

Beton

bogen

Ziegel

gewölbe

Bruchstein

gewölbe

Gewölbeart

56693

Ol

OS

"c

35075 ; a₀

35075

Einseitige Belastung ll,5p in kg

"L

°D

Randspannungen in kg per qcm

4- CC cc o

4- äs

40 Ol OI QC

b.

37,0!    36,81 78525

49,8 — 27,7

Oi 4—

OS -I

OS —1

co oc

bo o

52,0    51.2 146120

68.4 -40,0

—iISI

4,7!

O' Ol

bç> -r—

Kämpferquersch.

*-*■ IO OI 0°

CGC

IO

OS 04

fobs

63250

- 17.0

31,5

IO i—

00 o

4- 4—

83275

OI O' JO 4— os bo bs io

Gefährl. Quersch.

belastete

Seite

O O'

to Ol co 00 b-

po CD

JO

- I to

4^

IO

56511 *

Q Ct s c

OS Ol

bobo

-1 GO

c b>

JO cc bob'

bP

4- CD

67540

to

CD

4^

ro

pp *-1 bo

21,91

-i - i

4-0

74022

Gefährl. Quersch.

Kämpferquersch.

unbelastete

Seite

Proportionalitäts-Grenze

Einseitige Belastung 11,5 p in kg

Randspannungen in kg per qcm

Kämpferquersch.

Gefährl. Quersch.

Gefährl. Quersch.

Kämpferquersch.

Wiener Versuche mit Gewölben.

belastete

Seite

Kritische Belastung

Seite

CD

Einseitige Belastung 11,5 p in kg

Bruch

Gewölbe, bei gefährlichen Anlässen die schwächste Seite ihres Widerstands aufzugeben und dafür ihren grössten Widerstand in Wirksamkeit treten zn lassen, ist von hervorragender Bedeutung für den Bestand der Gewölbe.

VI. Bei weiteren Erhöhungen der Belastung wachsen die Deformationen rascher und die Stützlinie nähert sich mehr und mehr den gedrückten Kanten, wodurch die spezifischen Pressungen daselbst immer mehr gesteigert werden, bis der Druck- oder Schubwiderstand des Mauerwerks erschöpft ist und infolge der dadurch bewirkten örtlichen Zerstörungen der Zusammenbruch des ganzen Gewölbes eintritt. Die zulässige Beanspruchung auf Druck ist naturgemäss sowohl von der Qualität der Wölbesteine als von derjenigen des Mörtels abhängig. Zuverlässige Anhaltspunkte können jedoch nur Druckversuche mit gemauerten Versuchskörpern von der Zusammensetzung und Beschaffenheit der auszuführenden Gewölbe bieten.

VII Aus den vertikalen Verschiebungen von Duldeten der Bogen-axen wurden als Näherungswerthe der entsprechenden mittleren „Elasticitäts-moduln“ E per qcm berechnet (vergl. S. 19): für das Bruchsteingewölbe 60400 kg, für das Ziegelgewölbe 27800 kg, für den Betonbogen 246000 kg, für den Monierbogen 333800 kg. In wieferne durch diese Zahlen auch das Gesetz des elastischen Verhaltens dieser Gewölbe zum Ausdruck kommt, entzieht sich der Beurtheilung, weil nur die totalen Verschiebungen erhoben und in Rechnung gezogen wurden. Die Anwendung jener Elasticitätsmoduln auf näherungsweise Berechnung der Verdrehungswinkel der Scheitelquerschnitte aller Versuchsgewölbe für ein und dasselbe Belastungsintervall ergab befriedigende Uebereinstimmung mit den gemessenen Ausschlagwinkeln.

VIII. Alle Ergebnisse, insbesondere jedoch das nachgewiesene Gesetz der Proportionalität von Belastung und Formänderung, führen zu dem Schlüsse, dass die erprobten Gewölbe sich im Allgemeinen w i e elastische Bogenträge r verha 11e n h aben. Es wird daher zutreffend sein, Gewölbe mit ähnlicher Gestalt und gleicher Ausführung wie die Versuchsgewölbe auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger ohne Gelenke zu berechnen.

Beispiel 33. Stützenreaktionen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das vom Gewölbeausschuss des Oesterreichischen Ingenieur- und Architektenvereins erprobte Bruchsteingewölbe² betrugen die Spannweite l — 2 in — 23,758 in, die konstante Breite 2 in, der Pfeil der Bogen axe /' = 4,502 ui (Lichtweite 23 m, Pfeil der Laibung 4,6 m). Gewölbestärke im Scheitel 0,6 m, an den Kämpfern 1,1 m. Die senkrecht zur Laibung gerichteten Lagerfugen können für die Berechnung als senkrecht zur Bogenaxe gelten. Es sollen nach den einfacheren Formeln für symmetrische Bogen ohne Gelenke von beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten (s. Bemerkungen am Schlüsse) der Horizontalschub H, die Endmomente M, M‘ und die Vertikalreaktionen V, V⁴ berechnet werden, welche durch folgende Einwirkungen entstehen: a) Durch das Eigengewicht des Gewölbebogens, b) durch beliebige Lasten P bei Abscissen a — 0,629 m, 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m, 11,879 m (wo weitere Versuchslasten angebracht waren,

Fig. 84) und symmetrisch zu dieses Punkten, c) durch beliebige Verkehrsbelastungen, zusammengesetzt aus Einzellasten an den unter b) angeführten Stellen d) durch eine Temperaturänderung x, e) durch eine Aenderung AZ der Spannweite ohne Aenderungen der relativen Höhenlage der Kämpfer und Verdrehungen der

A k .

Endquerschnitte, oder doch nur solche, für welche A cp₀ = A = —- ist.

Wir haben den Bogen zunächst in eine genügende Anzahl Felder zu theilen, was durch Vertikalschnitte (Beisp. 23, 30) oder Lagerfugen (Querschnitte) geschehen kann. Die Feldergrenzen mögen im vorliegenden Falle Lagerfugen durch die Punkte der Bogenaxe unter den oben erwähnten P und mitten zwischen denselben sein (Fig. 84). Die Abscissen x, Ordinaten y und Gewölbestärken h in den Mitten dieser Felder sind in den Kolumnen 2, 3, 4 der Tabelle II auf S. 135 für die erste Bogenhälfte angeführt, während Kolumne 5 die Längen a der

0 0,629    2,87?    5,129    7,379    9,629    11,879

'25,758 m

1,754

4,004

6,254

8,504

10,754    !

■y.

f 8 4,502 m

."-.Os

v. 'I

mp»

.......4,567....... 6,617.......9,061.......

5,442    5,632    7,942    11,192

k\

ÔH

v'l

Fig. 84.

Bogenaxe in den fraglichen Feldern enthält (s. Bemerkungen am Schlüsse). Die entsprechenden Grössen für die zweite Bogenhälfte sind damit der Symmetrie halber ebenfalls bestimmt. Wir führen die Berechnung für die Gewölbebreite b = 1 m durch, dann folgen aus den h der Kolumne 5 unserer Tabelle II die Träg-b h³

heitsmomente J = ^

der rechteckigen Lagerfugen in Kolumne 6. Die in den

übrigen Kolumnen angeführten Werthe ergeben sich ohne Weiteres aus den vorausgegangenen. Alle gelten für Meter als Längeneinheit. Mit A — 407,60, B — 1464,16, C — 5718,93 erhalten wir nach § 34, 7):

D — 407,60 • 23,758² - 2 • 23,758 • 2975,54 -j- 2 • 25670,62 = 140022,45,

und weiter :

A C — B² = 187271,

D — Al = 2102,63.

à) Eigengewichtt.

Die Abscissen a der Angriffspunkte und die Werthe P in den einzelnen Feldern sind in den Kolumnen 1 und 2 der eingetragen, womit sich auch die Pa in der dritten Kolumne nach § 34, 15) 16) für beliebige symmetrische Belastung:

des Eigengewichts Tabelle III (S. 136) ergeben. Da nun

A C - B- [

-04

1)

M = M‘

fi y ⁰ (X

04

2)

A C — B‘²

worin nach § 34, 17) gesetzt werden kann:

x    m

= 2 Pa Ą- x 2 P,

0    x

3)

fi x c

0,69

0,60

Ax- und Querschnittsverhältnisse.

fi d

ZX D

19,88 85,09 214,56 427,26 739.87 1134,99 1582,85 2073,06 1122,39    2586,96

1233,01    3105,74

11970,95

12

cr

z

©

16,13

63,82

149,12

275,35

441,93

628.04

809,96

978,58

fï

16,68

36,72

62,34

93,56

129,98

166,50

199,30

228:64

253.42

274.43

5718,93

II

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle II.

h³

12

Feld

8,06    2,53    0,79    2,19

17,25    20,56    24,50

48,96    113;44

89.70    308,75

145,18    663,04

217,61 I 1238,64 300,90 i 2051.24 389,48    3093,25

484,36    4391,69

585,02    5962,52

691,24    7822,76

21.13 26,06 31,79 38,23

44.14 49,04 53,42 57,40 61,08

0,825 : 0,10237 1,403    0.08135

1,327    0,06280

1,278    0,04904

1,233    0,03879

1,199    0,03136

1,172    0,02655

1,154    0,02353

1,140    0,02134

U29    0,01967

1,127    0,01845

1,071

0,992

0,910

0,838

0,775

0,722

0,683

0,656

0,635

0,618

0,605

06885883888

CM CD L' CO CD TjH t— O CM ^ Tf

cTcTt-Tofcsf.co"cc    •*£•*£

!..

sąslIlsJsSs :

O *— CM⁻ cri Tf 10 CC t— CD O —’'

(MCO-tflOCOL—OOCDO

25670,62    1464,16

2975,54

407,60

12,987

Summe :

10

-r

cc

Cl

tsj

24094 kg,

21978 kg,

_c

rG

<b

"C

0 - 96096 = d Z

7566 ink.

24095 - 2117

26863 rrik.

GQ

0    + 0,314.24095

65 + 1,192.21978

.=

;s

SQ*

I.

5?

‘0 :    '>d Ä

CQ

1î

c cc ~ cr.

cc

■g

•J?S

fur x — 0.314:

1.192 ni :

lune Tabelle für dies Gewölbe ist bereits S. 12 gegeben.

CO

Bogenarten.

Summe :

I-¹ O CO -J OC OT £» CO to i— o

2£g£2§^£2?£2

-i to ~i to -;i to —i to to 4^

24095 ; 121464

III11II1I!

8115111151«

05 IO C/j O

r- o cc—l 05 Ot 4^03 IOhO 'gûô-l'Wcc oo'oct V'tc ">-l'oo i—k CO OT 4^- ¹—¹ CO OT 4^ CC ' --1 IO ~T [O [O - I IO —1 IO 4-

82?3§!feggE*-

00 05 00 CO O

cn O

ssss2s§S§ii|

00 h-> OT —1 CO -d -4 CO -4 CO

—I CO to O 05 4^ O >—. cc 00 ot

7566

26863

47882

65541

80356

92590

102482

110211

115894

119622

121464

a in m j P in kg

Pa

x in m i

* Mg

39741790

60980

468890

1010690

1707800

2554520

3539720

4523560

5404750

6191060

6866300

7419020

2Q

Oq

«

Hr-sï

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle III. Eigengewicht.

Multiplikation mit den in Tabelle II für die betreffenden x gegebenen

sl w

155081280

ggg!S£23S-^ S^ê§882S5fc-S^è&SSggÆg;1 8gê8SSSSS88

02

0q

«

10

324445191

19142

552303

2341855

5879028

11666084

20148510

30836834

42924980

56134418

69981262

83960775

-8

|(*

und der so entstehenden W erthe mit den y der

und in gleicher Weise die übrigen Werthe. Die in Kolumne 8 und 9 der Tabelle III eingetragenen Zahlen ergaben sich dann durch

ÖQ

8 = 11360 + 3,442.15741 = 65541 mk,

iür X

für X

3,442 m:

2,314 m:

4645 + 6715 = 11360.

2 P = 18639 - 2898 = 15741 kg,

o*wl

Ö5

4645 4- 2,314 • 18639 = 478.82 mk,

665 + 3980 = 4645,

2 P = 21978 - 3339 = 18639 kg,

Tabelle II. Die Werthe der letzten Kolumne in Tabelle III, welche sich durch Multiplikation der Zahlen in Kolumne 7 mit den

in Tabelle II ergaben, wurden

im Hinblick auf ein späteres Beispiel beigesetzt.

Mit Rücksicht auf die Summen der Kolumnen 8 und 9 von Tabelle III erhalten wir aus 1) 2) den Horizontalschub und die Endmomente durch das Eigengewicht allein :

II =

407,60.155081 280 - 1464,16.39741790

187271

= 26821 kg,

M = M‘ —

— — 1157 rak

1464,16.155081280 - 5718,93.39741790 187271

während mit Rücksicht auf Kolumne 2 unmittelbar oder nach $ 17, 33) die entsprechenden Vertikalreaktionen der Kämpfer sind:

F=F = 2P = 24095 kg.

Anstatt wie hier für das gesummte Eigengewicht gleichzeitig hätte man II, M, M\ V, V auch wie unter b) c) aus den Beiträgen der einzeln P oder aus den unter b) bestimmten Influenzlinien (Fig. 85) erhalten können.

b) Beliebige Einzellasten.

Nach § 34, 28)—30) hat man für eine beliebige Einzellast P an beliebiger

Stelle a:

II =

1    P

2    AG — B²

[a (ß

A C — B* I 2 PI

~~ 2D-AP während § 17, 2) 3) liefern:

a (c

■ v7>

-Bim

o J !

2 a xy

4)

P a, 5)

oMs

G X\

2~

Pa,

6)

(Pa + M—M%

V = P — V.

7)

V< - 1

Für a — m können auch die Gleichungen § 34, 35) Verwendung linden.

In Tabelle IV, S. 138, sind zunächst gegeben die den Einzellasten P entsprechenden Abscissen a und sodann die nach Tabelle II erhaltenen Werthe der Summen 2 in 4)—6) für die Felder von 0 bis a (d. h. für die Felder, deren x kleiner als das jeweilige a sind, vergl. Fig. 84), beispielsweise:

a G

S 4 = 8,06, o J

für a — 0,629 m

^ = 8.06 -f 17,25 -j- 21,13 = 46,44. o •>

2 7 = 46,44 -f- 26,09 + 31,79 = 104,29. o J

a = 2,879 m

„ a — 5,129 m Damit folgen nach 4)—7) für a — 0,629 m:

II =

374542

[0,629 (1464,16.8,06 - 407,60.2,19) - 1464,16.2,53 + 407,60.0,69] = 0,0092 P,

i/4- M‘ = f₈%7Y[°’629(5718,93.8,06 - 1464,16.2,19) - 5718,93.2,53 4-1464.16.0,69]

- 0,629 P — — 0,5568 P,

M-W - 2ïô2)63 (Fortsetzung S. 138 unter der Tabelle).

[0,629 (11,879.8,06 - 2,53) - 11,879.2,53 4-0,791 - 0,629 P

= - 0,6010 P,

für

23,758

In gleicherweise sind die übrigen Wertîie der Kolumnen 7 bis 13 der obenstehenden Tabelle IV berechnet.

Für die zu den obigen Angriffspunkten a der Lasten P hinsichtlich der Bogenmitte symmetrisch gelegenen Lastangriffspunkte ergeben sich die verlangten Grössen nun ohne Rechnung, nämlich :

16,379 0,9322 1,7116 - 1,0391 0,1948 0,8052

Indem die Wertbe H, J/, M‘. V, V' für P = 1 bei allen jetzt berücksichtigten a in Fig. 85 als Ordinaten aufgetragen wurden, entstunden die verzeichneten Influenzlinien dieser Grössen (§ 12), aus welchen die Beiträge zu letzteren auch für zwischenliegende a entnommen werden können.

I—i CO ■—1 Ot LO O

CO O ce co ce ce

in m :

a — 14,129 H : P — 1,2652 M : P — 1,8768 M‘ : P = 0,2450 V : P = 0,3366 V‘:P = 0.6634

18,629 0,5242 1,0952 - 1,8990 0,0899 0,9101

20,879 0,1818 0,4131 - 1.8346 0,0266 0.9734

23,129 m : 0.0092 0,0221 0,5789 0,0012 0,9988

46,44

104,29

186,66

289,12

407.60

8,06

o MP

V‘ --

CD

M = - 0,5789 P,

P (0,629 - 0,6010) = 0,0012 P,

M‘ = 0,0221 P,

V = P - 0,0012 P = 0,9988 P,

10

11

12

13

tO t—

-I Ci

-1CO®OH O* CO O* Ci LO IO

£¥£¥SfS

LO

Or i—* >£. i—i Ci 00 0^ t-i i—i■

-1 X C ^ C« pppp.pop "ci'bc +- ’c -i -i LO 4^ O to CO CD

1464,16

||Ë

Or

pr LG CD'cdT^'cPh-*. h— -J CO CO CD

2622,34

6278,25

11970,95

— l i—»

^ O -IQ’P

Tt^'cGoi 00 Ci CD

-0,5568    -0,6010    0,0092    -0,5789    0,0221

— 1,4215    —2,2477    0,1818    — 1,8346    0,4181

-0,8039    -2,9942    0,5242    — 1,8990    1,0952

0,6725    -2,7507    0,9322    — 1,0391    1,7116

2,1219    - 1,6318    1,2652

2,7259    0

0,9988

0,9734

0,9101

0,8052

0,24501 1,8768 ! 0,6634 1,3956 !    1,3629    1,3629 | 0,5000

0,0012

0,0266

0,0899

0,1948

0,3366

0.5000

O HS

a? o

s’

O IMS

i«sg

o H⁵⁵

oxj/ I J/ -j- M‘

d_

sL

d_

M—M H

,K

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle IV: Einzellasten.

c) Beliebige Verkehrsbelastungen.

Um die H, M, M\ V, V für irgend welche bei beliebigen a gleichzeitig wirkenden Lasten P zu erhalten, bat man deren Werthe für die einzeln P einfach zu addiren. Wirken z. B. auf der ersten Trägerhälfte bei a = 0,629

und a — 11,879 m gleiche Lasten

gleiche Lasten P, wie dies bei den Wiener Versuchen der Fall war, dann erhält man aus Kolumne 9 der Tabelle IV:

2’

bei den übrigen in Tabelle IV angeführten a

(a<Kf² -f 0,1818 + 0,5242 + 0,9322 + 1,2652 -f ) = 3,6058 P,

und in gleicher Weise aus den KolumnenlO bis 13:

<?•

r%

0,1529    2;:879 _5,529

7/579 \ 9,529    11,359    IV, 12 S/    16,375

18,:523    20,1879 23,133(1

für V

fur V’

j für

tt

Fig. 85.

M = 5,7892 P, V' = 0,8985 P,

M — - 4.1357 P,

4.1015 P,

also beispielsweise für P = 3430 kg (Proportionalitätsgrenze, vergl. S. 132) :

H = 12368 kg,

M = — 14185 mk, M‘ = 19857 mk,

14068 kg, V' = 3082 kg.

Liegen die angeführten Lasten, symmetrisch zur Mitte übertragen, auf der zweiten Trägerhälfte, so hat man:

V =

H = 3,6058 P,

M‘ = - 4,1357 P, V —    4,1015 P,

M = 5.7892 P,

V = 0,8985 P,

und wirken die Lasten gleichzeitig auf beiden Bogenhälften, wobei also auch die Last in der Bogenmitte den Werth P erlangt, dann folgen:

H — 2.3,6058 P = 7.2112 P,

M = M = — 4,1357 P + 5,7892 P = 1,6535 P,

V — V —    4,1015 P + 0,8985 P = 5 P.

Wären die berechneten Grössen für die jetzt berücksichtigten Belastungen und das Eigengewicht zusammen zu bestimmen, so hätte man den vorstehenden Werthen die unter a) erhaltenen zu addiren.

Anstatt wie hier aus den Beiträgen der Einzellasten hätte man die H, M, M‘, V, V‘ auch sofort für die ganze angenommene Verkehrsbelastung berechnen können. Es wären die Formeln §34, 12)—14) zu verwenden gewesen, wozu sich die 8 enthaltenden Summen 2 wie in Beisp. 43 gefunden hätten. Doch ist die Bestimmung der Beiträge der Einzelverkehrslasten besonders dann vorzuziehen, wenn man behufs Ermittelung der ungünstigsten Belastungen auch die Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke erhalten will (Beisp. 1), ohne hierbei von den in § 16 gegebenen Gleichungen für Parabelbogen Gebrauch zu machen.

d) T emperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung x gelten neben V = V‘ — 0 nach § 34, 36) 37):

II =

AG — B*

m E a x,

8)

H,

9)

also im vorliegenden Falle:

H =

407,60.11,879 187271

rr _ ECLZ

38)677 H = 3,5921 H =

1464,16 407,60

und beispielsweise für E — 175000 kg per qcm, a = 0,0000118, mit E a. — 175000.100 V 0,0000118 = 20650:

TI = 534 x kg.

E a x 1(1,767

M — M‘ — 1918 x mk.

e) Bewegungen der Kä m p f e r.

Für eine Aenderung der Spannweite um A /, ohne andre als die in der Aulgabestellung zugelassenen Bewegungen der Kämpfer, hat man nach § 34, 41) 42) neben V = V* -- 0;

10)

11)

also im vorliegenden Falle:

407,60 EM _ EM

187271 2    “    918,90’

EM 255,81’

und beispielsweise mit E — 175000.100² kg per qm, wenn A / in cm eingesetzt werden soll, in welchem Falle nach Substitution vorstehenden Werthes von E in unsere für m als Längeneinheit geltenden Gleichungen noch mit 100 zu dividiren ist: E =- 19045 A / kg,    M = M = — 68410 A l mk.

Für andere als die oben angenommenen Bewegungen der Kämpfer würden anstatt 10) 11) die Formeln §34, 38) --40) anzuwenden sein, wobei nach § 17, 1)2) im Allgemeinen auch die V. V' beeinflusst werden.

M — M‘ — 3,5921 H —

Bemerkungen betreffend die Herbeileitung verwendeter

Grössen.

Wir haben oben die Werthe der y, h, o als gegeben angenommen, da die Anwendung von Formeln für beliebige Axform und beliebige Querschnitte gezeigt werden sollte, ln Wirklichkeit war jedoch die Gewölbelaibung nach einem Kreisbogen von der Sehne 23 m und dem Pfeile 4,6 m gekrümmt, während der Gewölberücken einem Kreisbogen durch die Enden der zur Laibung senkrechten Lagerfugen an den Kämpfern und im Scheitel entsprach (Gewölbestärken daselbst 1,1 und 0,6 m), und die Bogenaxe als ein Kreisbogen durch die Mitten dieser Lagerfugen betrachtet wurde.

Nach § 15, 11) hat man für die Radien dieser Kreisbogen

l-

~~ 8/

woraus für die Laibung mit l — 23 m, / — 4,6 m folgt: r — 16,675 m. Da ferner nach § 15, 10) für letztere 11,5

r —/ _ 12,075 _ 16,675 '

sin = 27 ⁼

also für die Horizontalprojektion und Vertikalprojektion der Kämpferfugen d■ unter Voraussetzung von Lagerfugen senkrecht zur Laibung:

11,5

16,675 ’

cos

?<> -

do sin ?0 = M

16,675

— 0,758 m,

12,075 __ „_Qfi

d₀ cos cp₀ = 1,1    — U,79b m,

so folgen für den Gewölberücken / = 23    2.0,758 = 25,510 m, f — 4,6 -f- 0,6

die

0,796 = 4,404 m, r = 19,261 in. Der Bogenaxe aber, auf welche wir in der Folge Bezeichnungen l, f, r allein beziehen, entsprechen :

die Spannweite l = 23 -f- 0,758 — 23,758 in, der Pfeil    / = 4,6 + 0,3 - 0,398 = 4,502 m

= 17,923 m.

,    _ ..    23,758²    4,502

der Kaciius    r — g ^ ^ “r —g

Für beliebige Abscissen x der Bogenaxe sind nach § 15, 9) die Ordinaten:

y = y (r — ff + x {l — x) - - (r — /),

während nach § 15, 10) dem Neigungswinkel cp entsprechen: m — x

sin cp —

cos cp =

Nach Einsetzen der Werthe von l = 2 m, f, r folgen:

r-f+y

= y 13,421² tf-f (237,58 - x) — 13,421,

13,421 -f y T    ! 7,923

sin cp

11,879 - x 17,923 ’

Diese Formeln haben sowohl die y der Feldermitten in Tabelle II als die y, sin cp, cos cp und cp der Feldergrenzen in Tabelle V geliefert.

Nachdem der Gewölbebogen auf Grund der angeführten l, f, r in grossem Maassstahe verzeichnet und die Eintheilung in Felder vorgenommen war, Hessen sich die Gewölbestärken in den Mitten wie an den Enden der letzteren am einfachsten aus dieser Darstellung entnehmen (Tabellen II, V). Auch die Axlängen a in den einzelnen Feldern hätten sich bei der geringen Krümmung der Axe in denselben graphisch ermitteln lassen. Indessen wurden sie aus

a = r (cp — cp')

berechnet, worin r den Radius der Bogenaxe und cp, cp' die Neigungswinkel der letzteren am Anfänge und Ende des betreffenden Feldes in Bogenlängen bezeichnen. So ergab sich z. B. für Feld 1 (vergl. Tabelle V):

a = 17,923 (0,724603-0,678595) — 0,825.

Die Axlänge für den halben Bogen findet sich :

;y = r cp₀ = 17,923.0,724603 = 12,987 m, sie muss natürlich mit der Summe der o für denselben übereinstimmen.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle V. Feldergrenzen.

x in m

y in m

sin cp

COS Cp

9°

1B5

h in m

0,629 1.754 2,879 4,004 5,129 6.254 7,379 8,504 9,629 ¹    10,754

11,879

0,531

1,368

2,077

2,679

3,182

3,596

3,928

4,181

4,360

4,467

4,502

0,6628 0,6277 0,5649 0,5023 0,4394 0,3766 0,3138 0,2511 0,1883 0,1255 0.0628

0,7488

0,7784

0,8251

0,8647

0,8983

0.9264

0.9495

0,9680

0,9821

0,9921

0,9980

41,5167 38,8806 34,3953 30,1522 26,0656 22; 1233 18,2883 14,5425 10,8536 7.2097 3,6006

0.724603

0,678595

0.600311

0,526255

0,454931

0.386125

0,319191

0,253815

0,189431

0,125833

0,062842

1,100

1.035

0,948

0,872

0,805

0,748

0,700

0,668

0,645

0,627

0,611

0,600

Das Gewicht des Gewölbemauerwerks betrug 2400 kg per cbm. Es wurden demgemäss die Belastungen durch das Eigengewicht des Gewölbes in den einzelnen Feldern anf die Breite 1 gesetzt:

unter A , //, A die Gewölbestärken am Anfang, in der Mitte und am Ende des betreffenden Feldes verstanden. Doch hätte es auch genügt, einfacher anzunehmen:

P — 2400 a h.

So erhält man nach beiden Gleichungen für das erste Feld:

P = 600.0,825 (1,1 + 2. 1.071 + 1,035) = 2117 kg, P = 2400.0,825.1,071 =2121 kg, und für das letzte Feld der ersten Bogenhälfte:

P = 600.1,127 10,611 + 2.0,605 -f 0,600) = 1637 kg, P — 2400,1,127.0,605 = 1636 kg.

Bemerkungen betreffend

Gr

P = 2400 a

ha -j- - h + h\,

— 600 a (Äft -f 2 h 4- kJ,

Genauigkeit berechneter e n.

Die in § 34 abgeleiteten Formeln zur unmittelbaren Berechnung von H. M, M‘, welche oben verwendet wurden, beruhen auf den gewöhnlichen Vernachlässigungen des Einflusses der Axialkraft N und der Glieder mit r im Nenner (d. h. auch der Ausdrücke X₂, Ya, Z₂ in §26, entsprechend der Vernachlässigung von s, ß bei Parabelbogen). Sie liefern also für Bogen von beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten diejenigen Werthe, welche man sonst auf umständlichere Weise zu berechnen gewohnt ist. Dass jene Vernachlässigungen für Bogen mit zwei Gelenken zulässig sein können, ist in § 32 bewiesen und gehl auch daraus hervor, dass der fragliche Einfluss für Halbkreisbogen mit zwei Gelenken verschwindet (wegen / — r). Inwieweit die Vernachlässigung bei Bogen ohne Gelenke gestattet ist, können nur Proberechnungen lehren. Wir haben in § 35 auch genauere Formeln für Bogen von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten abgeleitet, und nach diesen in Beisp. 43 die wichtigsten der oben verlangten Grössen berechnet. Die Resultate beider Berechnungen sind in der folgenden Tabelle VI zusammengestellt.

Hiernach können besonders bezüglich der Momente durch Belastung sein-grosse Abweichungen gegen die genaueren Werthe eintreten. Da nun z. B. die Einsenkungen wesentlich durch die Momente bedingt sind, so wird man bei Berechnung derselben unter den oben erwähnten Vernachlässigungen im Allgemeinen keine genügend genauen Resultate zu erwarten haben, was denn auch entsprechende Berechnungen bestätigen (Beisp. 44). Bei Parabelbogen würde bei Vernachlässigung von e, ß für eine beliebige auf die Spannweite gleichmässig vertheilte Last mit = 0 auch die Einsenkung in der Trägermitte e = 0. Vergl. S. 72). Indessen kommt es bei der Berechnung von Bogenträgern in erster Linie auf die Beanspruchungen des Materials an, vor allem auf die Normalspannungen ao. ou in den obersten und untersten Querschnittselementen. Wie diese durch jene Vernachlässigungen beeinflusst werden, muss die Fortsetzung vergleichender Berechnungen ergeben, weshalb in den Tabellen der folgenden Beispiele 34, 35 den mit den genaueren II, M. M‘, V, V' berechneten Spannungen die mit den obigen in ganz gleicher Weise erhaltenen in kleinem Drucke beigesetzt sind. Die wichtigsten Resultate enthält die Tabelle des Beisp. 35, welche zeigt, dass die von der gesammten Belastung herrührenden Spannungen aQj a(j, x weit weniger ungünstig als die M, M‘ durch die fraglichen Vernachlässigungen beeinflusst werden. Vergl. auch die entsprechenden Stützlinien in Beisp. 36.

Man könnte noch fragen, ob in Fällen wie dem vorliegenden die einfacheren Formeln für parabolische Bogen von konstantem (mittlerem) J cos 9 zur Berechnung von H, M. M, V, V' verwendet wrerden dürfen. Wir haben deshalb in Beisp. 27 alle oben verlangten Grössen nach diesen Formeln berechnet und die wichtigsten Resultate in einer der Tabelle VI (S. 143) ganz entsprechenden Tabelle zusammengestellt (S. 112). Der Vergleich zeigt, dass die Berechnung nach jenen Formeln im vorliegenden Falle nicht genügend gewesen wäre. Die in Beisp. 27 vewendeten Werthe von c, s ergaben sich wie folgt. Nach § 15 oder §§27,29 sind Mittel werthe für den Bogen

c — J cos 9,

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle VI. Vergleiche.

Für

Grösse

oben

berechnet

genauer

berechnet

Abweichung

in °/o

Eigengewicht

allein

M = M‘ V = V'

26821

1157

24095

25796

4902

24095

3,97

76.40

3,6058

3,8836

7,15

- 4,1357

- 3,1460

31,46

V erkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte allein

5,7892

6,8320

15,26

4.1015

4,1038

0,06

0,8985

0,8962

0,26

7.2112

7,7672

7,15

beider

Bogenhälften

1.6535

3,6860

55,14

eine Temperaturänderung um x°

Eclx ~ E V = V

38.677

1

10.767

39,993 _ 1 _

11.140

^    ^ o

cd cd

eine Aenderung der Spannweite um A l

E A /

I EM - EM V = V'

~ 918,90

255,81

950.10 1

' 264.68

cc cc

° è ë

während

8 Ir//

mit r —

r-

87 + 2-

Da nun für rechteckige Querschnitte längen Àr X.„

die Mittelwerthe

1 ¹¹¹

■ = «?***.

h-

¹ 12'

so hat man bei beliebigen Feld-

Verwendet man hierin (he in Tabelle 11 (8. 135) gegebenen h, J für die Feldermitten und mit den dortigen y

cos cp —

13,421 + y

17,923    ’

so folgen:

[0,629.1,07 P 4-1.125 (0,982* 4*... 4- 0,005-) ] = 0,049922,

6.23,758

[0,629.0,10287.0,7640 -f- 1,125 (0,08135.0,8028 -f ... -f- 0,01845.09995) | = 0,035780,

_ 15.0,049922 117,923-4,502P _ q s —    8 V 17,923.4,502 / — 0,J02590.

Anstatt wie hier hätten wir c, y auch wie am Schlüsse des Beispiels 37 berechnen können.

11,879

Beispiel 34. Beanspruchungen eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruch-steiu-Versuchsgewölbe).

Für das im vorigen Beispiel behandelte Versuchsgewölhe des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins sollen die Momente M%, Normalkräfte AT Transversalkräfte Tx, nebst den davon herriihrenden Normalspannungen a und Schubspannungen x in den unten angeführten Querschnitten x (Lagerfugen, s. Tabelle V und Fig. 84) bestimmt werden : a) für Belastung Jurch das Eigengewicht des Gewölbebogens allein ; b) für beliebige gleiche asten P bei a =

2.879    m, 5,129 tn, 7,379 m, 9,629 m und halb so grosse Lasten bei a — 0,629 m,

11.879    m, wie solche bei den Versuchen wirksam waren.

Nach § 17 hat man die Vertikalkraft, das Moment und die Trasversalkraft

x'

bei x:

m

= V-^P,

0

M — MVx — Hy — 2 P(x—a) = M x    o

Arx = V. sin cp -f H cos cp. 7⁷x = Vx cos cp — H sin cp. Speziell für symmetrische Belastung sind:

m

H y 4- V x -f 2 Pa.

o

V Z-., 2 P.

X

5)

für x <[ m

Die y, sin cp, cos cp zu den in Frage kommende n x (Feldgrenzen) sind in Tabelle V des Beispiels 33 (S. 141) gegeben.

Werden vorstehende Grössen wie im vorigen Beispiel auf die Gewölbe-breite b = 1 m = 100 cm bezogen, so hat man nach § 18, 5) 6) die Normalspannungen o , au im obersten und untersten Querschnittselement, welche alle übrigen a ein-schliessen, per qcm :

6)

au ⁼

10000Ä

(^X

7)

¹

Bericht des Oewölbeaussclnisses. Wien 1895.

²

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 1, 13, 20, 26, 42, 46, 82.

und nach § 18,8) die numerisch grösste Schubspannung, welche in der Axschicht auftritt, per qcm:

8)

_

T ” l(XXX) h

In diesen Formeln ist, wie schon im vorigen Beispiel, h in Metern auszudrücken.

Wie schon anderwärts erwähnt (§ 9 mit Beisp. 8) braucht man die Schubspannungen x bei vollwandigen Bogen gewöhnlich nicht zu berücksichtigen, was durch die hier beabsichtigte Berechnung und die sich anschliessende des Beispiels 35 insbesondere für Gewölbe bestätigt werden soll.

Bei den folgenden Angaben bezüglich des Gangs der Berechnung verwenden wir die in den Schlussbemerkungen zum vorigen Beispiel angeführten genaueren H, M, V, während in den Tabellen die in ganz gleicher Weise mit den im vorigen Beispiel erhaltenen H. M, V berechneten Werthe in kleinerem Drucke beigefügt sind.

a) Eigengewicht.

Die Werthe a, P, P a sind entsprechend den Angaben des Beispiels 33 (S. 136) in der folgenden Tabelle VII angeführt. Mit V = 24095 kg, H — 25796 kg, M —— 4902 mk erhalten wir für x = 0:

= — 4902 mk,

35286 kg,

V — V = 24095 kg,

Mx =

Nx = 24095.0,6628 + 25796.0,7488 Tx = 24095.0,7488 — 25796.0,6628

945

Gq —

11000

35286 -

= 0,77 kg,

^35286 4- y } 4902 j = 5,64 „ ;

11000

_ 1,5.945 T “ 11000

= 0,13 kg;

hei x — 0,629 m :

2 P a — 665 mk,

Fx = 24095 — 2117 = 21978 kg,

Mx = — 4902 — 25796.0,531 + 21978.0,629 + 655 = — 4110 mk, Arx = 21978.0,6277 4- 25796.0,7784 = 33875 kg,

Ti = 21978.0,7784 — 25796.0,6277 =    916

(33875 -    4110^ = 0,97 kg,

°» - IÖ35Ö

(888I5+îb

4110

) = 5,57

_ 1,5.916 _ T ~    10350 ~

0,13 kg ;

hei x — 1,754 m:

F = 21978 - 3339 = 19639 kg,

Mx = - 4902 - 25796.1,368 + 18639 . 1,754    4645 = — 2853 mk,

Nx = 18639.0,5649 + 25796.0,8251 = 31813 kg,

T = 18639.0,8251 - 25796.0,5649 =    807

2 P a = 665 -j- 3980 = 4645 mk

9489

31813 -

9480

(3I813 + 0,948 ²⁸⁵³)

= 5,26

,, ,

_ 1,5.807 T “    9480

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Tabelle VII berechnet. b) Einseitige Belastung.

Die Abscissen a der Lastangriffspunkte sind in der ersten Kolumne der nachstehenden Tabelle VIII eingetragen (vergl. Fig. 84). Aus den Schlussbemerkungen des Beisp. 33 entnehmen wir F = 4,1038 P, H — 3,8836 P, M = — 3,1460 P. Es folgen damit nach 1)—8) bei Beachtung der Tabelle VIII für x = 0:

— 0,13 kg.

F = F = 4,1038 P, 2 P a = 0, M — M — — 3,1460 P,

X    _    X

y = 4,1038.0,6628 -f 3,8836.0,7488 = 5,6280,

= 4,1038.0,7488 - 3,8836.0,6628 = 0,4988, Weyrauch, Elastische Bogenträger.

4-*

cc

Besondere Bogenarteii.

für x

- — 3,1460 — 3,8836.0,531 + 4,1038.0,629 = - 2,6269,

10000X _ 1,5.0.4988 _

1,1 _

0,629 m, wobei zu beachten, dass die erste, bei a = 0,629 m wirkende Last nach dem Querschnitt x angreift:

V = V = 4,1038 P,

: 0890

°D 00001

Bi

( 5,6280 - yï 3,1460 ) = - 10,484,

1,1

I ”c 00001

(o9H‘8 -₍y + 08S9‘q)

‘9 u‘os

0,314    2117

1,192 ;    3339

2.317    2898

3,442    2571

4,567

5,692

6,817    1923

7,942

9,067    1739

10,192    1676

11.317    1637

2296 I 10486 2081    !    11845

13109 1818 I 14439 15768 17082 18526

a in m P in kg

8849

6715

3980

665

0,629

1.754

2,879

4,004

5,129

6,254

7,379

8,504

9,629

10,754

11.879

Pa I x in m

1637

3813

5052

0870

87! 1: ;

10874

10170

15741

I SI,. !! I

21978

24095

70088

85856

102938

121464

55649

11360

20209

30695

42540

4645

665

2 Pa

69t

428

Ul

410

: I"

385

21 !

295

:-'i

114

74

133

517

69

-4902

—    1157

-4110

—    910

—    2853

—    510

—    1802 - 166 - 1068

35286

36054

33875

34673

31813

32659

30212

31099

28828

29748

27992

28942

27252

28226

26696

27688

26286

27292

26008

27025

25847

26872

25796

26821

5 gjg £g P-“    -°

'-©iKOWMCOCOtW^' I

ES o»S ot« ctS 02“ oc^ gf⁵ g® en» 00 3 gæ o<$ od

• off-IfI|«|l glfS-|l£f£f £12

Wiener Bruchstein-Yersuchsgewölbe. Tabelle VII. Eigengewicht.

tl

10000X

__d

0,680

i ,097

1.5 16

1,234

1.479

2,005

2,241

1,178

1,402

1.904

2,110

0,652

1,296

0.834

1.448

- 0,322

—    0,205

0,267

0,345

—    1,569

— 1,532

-0,990

966*0 —

Wiener Bruchstein-Versuehsgewölbe. Tabelle VIII. Einseitige Verkehrslast. Belastete Seite.

D=

D°!

~P

X in ni

Last

tu ui p

—    14,240

—    6,645

—    10,985

2,494

—    1,781

6,393    ^.

3,724    7,163

17,325    —    5,083

15,719    —    4,167

21,186    —    9,213

20,716

25,433

20.123

24,638

17,700

9,359

13,081

5.117

2 1.554

0,4988    - 10,484

— 15,582

0.7567 I - 9,304

0,9290

0,7797

0,9347

1,1655

1,3030

0.6813

-    3,1460 I 5,6280

—    4,1357

185

5,5990

5,3813

, -2,6269

— 3,4706

4,1038

4,1038

4,1015

20,745    — 9,527

29,843    - 17,382

.    — 18,923

26,814 j — 14,635

30.577

28,818    I — 17,483

28,198 ! —15,665 27952 6,572

0,6325 I

0,7525

0.9496 j

1,0521

0.3041

0,3891

0,5773

0,0449

-    0,1383

—    0,0883

0,1116

—    1,8232 I 5,2402

—    2,4369

—    0,5220

—    0,9417

5,0096

5,1683

4,9269

0,0689 !    4,6327

4,3822

— 0,1857

1,0448 !    4,5784

4,3201

0,9272

4,1015

— 19.148

T.o 4 t

2,215

30,799

15,556

18.742

6,372

9,805

ZffVo

—    0,6393

—    0,6241

—    0,3962

— 0,3985

1,2413 :    4,1908

!    3,9263

1,7561    4,1620

1,8407    3,8925

1,4529    3,9278

1,6052    3,6556

1,4370    3,9287

1,6363    3,6528

0,5758    3,8509

0,8022    3,5736

- 0:0060    3,8836

1,2361

3*6058

0,2277

3.6038    ;    0.3145

3.6038    0,3145

3.6015    ”

2.6038    3,1935

2.6038    3,1935

1.6038    8,3225

1.6015    ”

1,6038    8,3225

1,6015    ”

0.6038    15,7015

0.6038    15,7015

10,754    —    0,3962    25,3305

11,879    —    0,3962    25,3305

— 0,3985

3,6015

2,6015

2,6015

0,00X5

0,6015

0,629

1,754

2,879

4,004

5,129

6,254

7,379

8,504

9,629

CL, ]<m

0,629

2,879

5,129

= 4,1038.0,6277 + 3,8836.0,7784 = 5,5990

0,7567,

= 4,1038.0,7784 — 3,8836.0,6277

2,6269 j = — 9,304,

CO

1.035

CD

iO

»o"

20,123,

(⁵’⁵⁹⁹⁰+tJ^2,⁶²⁶⁹)

lO

-8-

1,035

10000 a

10000 a

CL CL, ^ l<M

7,379

9,629

11,879

10000t _ 1,5.0,7567 _

P "    1,035    —

für x — 1,754 in, da vor x bei a — 0,629 m eine Last ~ angreift :

Fx = 4,1038 P - ^ = 3,6015,

- 3,1460 - 3,8836 . 1,368 + 3,6015.1,754 + 0,3145 = - 1,8232,

1,097;

«■

0,629 = 0,3145,

31

= 3,6015.0,5649 + 3.8836.0,8251 = 5,2402,

=: 3,6015.0,8251 - 3,8836.0,5649 = 0,7797,

(b,2402 - pg 1,8232) = ~ (1,646, (6,2402 -H pg 1,8232) =    17,700,

1,234.

P ~~ 0,948 10000 0u

— 0,948

10000t _ 1,5.0,7797 _

“    0,948    “

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Tabelle VIII berechnet.

Zur unbelasteten Bogenhälfte übergehend, die wir nun als erste Bogenhälfte ansehen, entnehmen wir den Schlussbemerkungen des Beispiels 33 V — 0,8962 P, H — 3,8836 P, M — 6,8320 P, und haben dann für alle Querschnitte

(Lagerfugen) Vx = V, 2 Pa = 0, während die Hy, Hsin cp, Hcos cp wie bei der

Berechnung der belasteten Bogenhälfte bleiben und demgemäss vorgemerkt wurden. Wir erhalten damit bei x — 0, wo Mx = M:

3,5020,

~ = 0,8962.0,6628 + 3,8836.0,7488 =

= 0,8962.0,7188 - 3,8836.0,6628 = - 1,9030,

10000 ao

10000 Ou

1,1

/    «    v

( 3,5020 + ~ 6,8320 j = (3,5020 -    6,8320^

37,061,

= - 31,368,

10000 t _    1,5.1,9030 _

P    -    1,1

2,595,

und bei x — 0,639 m:

= 6,8320 - 3,8836.0,531 -f- 0,8962.0,629 = 5,3335,

3,5855,

-5T = 0,8962.0,6277 + 3,8836.0,7784 =

= 0,8962.0,7784 - 3,8836.0,6277 = - 1,7401.

10000 ao

10000 au

~ 1,035

(3,5855 -|- 2 035 5,3335^ — (3,5855 -    5,3335 ) =

33,337,

26,409,

- QÖ35

10000t _

In derselben Weise sind die übrigen Werthe der Tabelle IX berechnet.

1,5.1,7401

1,035

= - 2,522.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle IX. Einseitige Verkehrslast.

Unbelastete Seite.

x in m

10000 ao j 10000 xu

10000 X

0,8320

3,5020

0,629

1,754

2.879 4,004 5,129 6,254 7,379 8,504 9,629 10,754

11.879

liilliIllÉIiï

3,2955

3,5855

3,«708

3,7107

3,4827

3,8083

«12

3,8824

3,9353

:s,5<

3,633»

3,6788

3,9687

7056

3,9843

3,7160

3,9829

7105

3,9654

1901

3,9321

.550

3,8836

»,

o’

3,6058

-    1,9030

—    1,7171

- 1,7401

37,(F) I

31,703

33,337

— 1,5642

28,124

-    31,368

—    25,711

— 26.409

- 1,4543

— 1,2955

- 1,1758

,0343

0,9014

— 0,7773

- 0,6324

24,551

19,914

14,988 4,973

1,986

- 4,701

11,091

21,610 16,723

— 12,566

-    6,254

—    2,904

— 2,595

— 2,341

2,522

— 2,267

- 2,301

— 2,050

2,023

— 1,779

— 0,5255

- 0,3678

— 0,2784

0,1077

— 0,0357

0,1489

0,203 1

0,4017

0,4389

0,6505

0,6703

0,8962

0,8985

6,622

-    13,048

—    13,785

18.369

— 17,893

19,554

— 17,983 — 16,126

— 13,656

- 7,681 6,372

4,552

9,830

4,673

7,043

15,224

16,458

24.387

o'

372

30,298

29,018

31,904

2 . 89

2 ,775

.427

20,552

16,516

6,572

2,190

- 1,680 — 1,448

- 1,268

— 1,054

0,788

— 0,597

0,242

0,080

0,346

0,473

0,961

1,050

1,597

1,645

2,260

2,246

In der Mitte müssen sieli auf der belasteten und unbelasteten Bogon-liälfte die gleichen M , N , o , a ergeben, was bei der genaueren Berechnung vollständig (Tabellen VIII und IX grosse Zahlen) bei der einfacheren Berechnung (dieselben Tabellen, kleine Zahlen) soweit bei Vernachlässigung von Dezimalen zu erwarten, ebenfalls zutrifft.

Beispiel 35. Beanspruchungen bei Versuchen mit einem Bogen ohne Gelenke Wiener (Bruchstein-Versuchsgewölbe).

wuchsen

Bei den Gewölbeversuchen des österreichischen Ingenieur-und Architekten-Vereins wurde das in Beisp. 33,34 behandelte Bruchsteingewölbe durch sein Eigengewicht und einseitige Belastung bis zur Bogemnitte, bestehend aus gleichen Lasten P bei a — 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m und halb so grosse Lasten hei a = 0,629 m, 11,879 m zum Bruche gebracht (§ 19). Bis P = 3430 kg die Formänderungen der Bogenaxe nahezu proportional der Belastung durch die P (Proportionalitätsgrenze), während bei P = 5574 kg die ersten Risse in einer der Stirnflächen konstatirt wurden (kritische Belastung, vergl. Fig. 86), und für P = 7402 kg der Bruch eintrat (Bruchbelastung).¹ Die ungünstigsten Norrnal-spannungen a und grössten Schubspannungen x in den unten angeführten Querschnitten X (Lagerfugen, s. Tabelle V, S. 141, und Fig. 84, S. 134) für die zwei ersterwähnten Belastungsstufen zu berechnen.

In Beispiel 34 haben wir bereits die a₍₎, ou, x durch das Eigengewicht allein erhalten und für eine einseitige Belastung durch beliebige P allein die Werthe 10000 ao

10000 au

=

U'

10000x

= Z.

iP

0,629 ' '2,579    5²129.....7,379“ “ 9,629' ' ' ' Vl'879' m

Fig. 86

Die Zahlen ZQ, Zu, Z sind obigen Ausdrücken zulolge für die belastete Bogenhälfte aus den drei letzten Kolumnen der Tabelle VIII, für die unbelastete Bogenhälfte aus den drei letzten Kolumnen der Tabelle IX zu entnehmen, während die o , au, x durch das Eigengewicht allein nach den drei letzten Kolumnen der Tabelle VII in der folgenden Tabelle X, S. 151, wiederholt sind.

Wir erhalten nun die Gesammtspannungen durch Eigengewicht und einseitige Belastung im Falle P — 3430 kg z. B. x = 0 auf der belasteten Seite :

ao = 0,77 - 0,3430.10,484 = -    2,83 kg,

12,75

0,36

Hierbei bedeuten a , o die Normal Spannungen im oberen und unteren Querseimittselement, wo die Grenzwerthe der Normalspannungen eines Querschnitts ein-treten, und x die Quershubspannung und Längsschubspannung bei der Axschicht, wo diese Schubspannungen ihre grössten Zahlenwerthe erreiclien. Demnach erhalten wir als Beiträge der einseitigen Belastung für P — 3480 kg:

ao = 0,3430 Z₀, und für P — 0,5574 kg:

ao = 0,5574 ZQ,

°u - 0,3430 Zu,

ou — 0,5574 Zu,

PPPP

i L_1

x == 0,3430 Z,

x — 0,5574 V.

>>

"VGS,

au = 5,64 + 0,3430.20,716 = x = 0,13 4- 0,3430. 0,680 =

auf der unbelasteten Seite :

ao =    0,77 4- 0,3430.37,061 =    13,48    kg,

ou =    5,64 - 0,3430.31,368 =    -    5,12

i =    0,13 - 0,3430. 2,595 =    -    0,76    ., .

In gleicher Weise sind die übrigen Wertlie der Tabelle X für P — 3430 kg berechnet. Für P — 5574 kg tritt in vorstehenden und den übrigen Ansätzen nur 0,5574 an Stelle von 0,3430. Den Fall P — 7402 kg (Bruchbelastung) in gleicher Weise zu verfolgen, bietet kein Interesse, weil infolge der eingetretenen Risse und des Aufhörens der entsprechenden Zugwiderstände die angewandten Formeln nicht mehr zutreffend sind, auch abgesehen davon, dass ihre Voraussetzungen überhaupt nie bis zum Bruche Gültigkeit behalten.

Wir haben oben die Spannungen bis zu den ersten Rissebildungen auf Grund der Elasticitätslehre berechnet, wobei man sich einen mittleren Elastizitätsmodul eingeführt zu denken hat,² welcher jedoch aus den Formeln für den Einfluss der Belastung wegfällt. Unter Voraussetzung der Zulässigkeit dieses Vorgehens und abgesehen von Einflüssen der Temperatur und Widerlagerbewegungen ( s. über dieselben Beisp. 37) zeigt sich nun zunächst, dass die Schubspannungen x für das Eintreten von Rissen nicht in Betracht kommen, da sie auch an den

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle X. Beanspruchungen, kg per qcm.

7,379 j 8,504 j 9,629 i 10,754    11,870

i i    Scheitel

5.01

3,73

3,59

5,21

7.20

7,09

5.84 :

0,84

7.20

7,10

5.84

5,96

0.78

0,77

8,56

9,20

7,25

6,44

—    0,55

—    0.56

8,56

TS‘6

9ŹL

6,43

1.26

1,25

4.89

3,72

3.57

80‘Ç

000

— 0,01

10.23

^7

10,15

2.56

2,66

-0,54

— 0,56

2,16

10,62

10,74

0.55

0,55

13,56

14,17

1,92

1,15

- 0.87

— 0,86

4.74

3,79

3,56

'J

4,83

100

— 0,02

ivn

14,35

— 1.81

010

w, -0,10

4.50

3,88

3.65

4,58

S0’0

— 0,02

13.70

13,76

- 1.37

— 1,42

600 -

-r 0,09

-2,211-0,79

— 2,29 I - 0,89

14,591 13,43

13,55

0,34

0,34

4.15

r.K s

3.84

4,37

0.04

— 0,02

14,391

14,41

— 2,12

— 2;12

0.48

0,48

14,69

010

w, -

0,14

19,451 20,35

20,96

-5,17

19,94

4,51

— 5.84

910

0,17

— 4,25 0,61

Ms

— 3,82

19,60 15,03

19,00 I 14,29

0,56 i 0,89

---    0,91

0,57

-    2,15

—    2,22 14,23

14,02

- 0.04

20,78

20,96

- 5,85

Risse

910-920

il¹« — I 81 9 —

-

— 0,13

0.79

-    6,09|— 6,40

Risse

—    6,05 I — 6,14

20,73| 21,43

Ô0‘lt.

20,54

0,17|    0.21

0,24

0,02

4.004 ! 5,129 6,254 |

3.73

3,94

4.06

4,12

900

0011

90 1 .1, ■

060

0,85

0.28

v,-

0,28

—    0,74

-    0,79

12,42

12,48

-0,21

— 0,21

15,54

15,50

- 1,08

0,42

- 3,54

— 3,74    !

17,65

17,70

- 0.38

618

88‘S

2,59

4.30

3,63

3,91

100

— 0,01

816

?

9,22

2,56

2,48 #

0,72

v ? 0,71

1.58

,56

t— CO ; lo

§ p 1 ^

0,14

12,79

¹³A°i

— 0,60

4,57

3,76

0.09

0,01

4.78

4.91

6,33

6,22

0,49

v^, -

0,49

08T

4,31

6.17

^7

6,18

— 0.49

— 0,49

6,15

7,42

7,7.7

0,75

0,79

5,36

4,74

7,17

7,69

-    0,85

—    0,80

2,879 !

2.04

3,46

4.89

3,68

no

^7 Ł 0,02

2,90

2,85

8,10

8,17

0.80

0,79

7.18

9S‘i

2.74

2,68

-    0,58

—    0,59

3,43

2,47

i roi

10,97

1,28

1,27

68‘0I

9,64

1,40

2,04

- 1.02

16*0 — I

0 j 0,629 1,754 Kämpfer j

1.45

3,10

0,97

5.26

2,83

3,79

810

0,04

5.57

3,86

810

*

0,04

- 2.22 - 0.83

— 0,67

— ?“

— 2,05

12.47    11,33

0,51    0,55

0,55

9.87

9,93

—    0,48

—    0,52

- 0,66

— 0,66

0,50

Sj&Ä* &

O »I IC « O ®    j I r— ”

is

O o'

13,48    12,40

13,57    12.48

-5.12 -3,49

— 3,55

A«‘t -

T

-0,76 !— 0,74

— 0,76

- 0,74

5,07 1-4,22-2,25 Risse

— 3,02

- 5,11

5.99

16,79 15,13

17.19

15.80

0.74i    0,82

0,8«

17,59

0,79

18,03

0.51

0,56

19,55 15,13

21.43

OS’tl

18.51

-4,06

20,37

- 11.84 (-9,15 (Risse)

«18 —

— 10,48

-    1,32 1-1,28

—    1,26 ! - 1(22

in m

O -    1»

D D

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O^Stqeq 9l9|St?[9qun

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949}s«[9qun

Belastungs-

stnfe

P — 0. Eigengewicht allein

P = 3430 kg. j Proportionalitätsgrenze

P = 5574 kg. Erste

Rissebildungen

ungünstigsten Stellen (bei der Axschicht, vergl. § 9) nicht über 1,82 kg hinaus gehen. Die durch

tg3 —

besimmten Winkel 3 der resultirenden Kräfte R in den Querschnitten (Lagerfugen) mit den Normalen zu letzteren bleiben weit unter dem Reibungswinkel von Mauer auf Mauer (s. die AQ, T in Tabelle VII, VIII, IX), sodass die Reibung allein, ohne jedes Bindemittel, genügt hätte, den Transversalkräften 1 x zu widerstehen. Auch die berechneten Druckspannungen erklären nicht den Eintritt von Trennungen, da sie noch nicht 22 kg per qcm erreichen, während Würfel aus dem verwendeten Sandstein und Mörtel Druckfestigkeiten von etwa 850 kg bezw. 78 kg auswiesen.³

Die ersten Risse entstanden denn auch an denjenigen Stellen, an welchen sich für P — 5574 kg die grössten Zugspannungen ergaben (vergl. Tabelle X und Fig. 86). Wenn diese feinen Haarrisse zunächst nur an einer Stirnfläche beobachtet wurden, so lässt sich dies durch Ungleichmässigkeiten des Materials und der Druckübertragung genügend erklären, vollständig radiale Bruchflächen von einer Stirnfläche bis zur andern wird hier Niemand erwarten. Von diesem Standpunkte aus sehen wir auch die sonst schwer erklärlichen Längsrisse nächst dem Gewölberücken beim Kämpfer der unbelasteten Seite (Fig. 86) als sekundäre Erscheinungen an, hervorgerufen durch Risse von der Laibung aus und dementsprechende Concentration des Druckes im oberen Theil der Fugen, da letzterwähnte Risse bis zum Bruche auch an den Stirnflächen aufs Kräftigste hervortraten (Fig. 88), für die andern Versuchsgewölbe schon bei der kritischen Belastung. Ueber alle Risse in der Nähe der Kämpfer (Fig. 87,88) kann die ältere Berechnungsweise der Gewölbe keinen Aufschluss geben, da sie die Stützlinie durch das

SS

Łp

Fig. 87

Fig. 88

mittlere Drittel der Kämpferfugen gehen lässt und damit Zugspannungen bei letzteren willkürlich ausschliesst. Die verdienstvolle Feststellung des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins, dass auch bei den Kämpfern erhebliche Zugspannungen auftreten können, welche mit den übrigen Zugspannungen allein für den Beginn der Zerstörung massgebend sind, und nur durch die Theorie der elastischen Bogenträger rechnerisch nachgewiesen werden können, sollte dahin führen, alle wichtigeren Gewölbe als elastische Bogenträger zu berechnen. Selbstverständlich sind dann auch die Voraustetzungen der Theorie elastischer Bogenträger soweit erreichbar zu erfüllen, und durch sorgfältige Formgebung und geeignete Ausführung Zugspannungen möglichst zu vermeiden. Da dies durch Anordnung von Gelenken (§ 18) erleichtert wird, so ist zu wünschen, dass sich die letzteren auch ferner bewähren möchten.

Bei den obigen Ermittelungen kam die Lage der Stützlinie des Gewölbes überhaupt nicht zur Sprache da ihre Feststellung für die Beurtheilung der Standsicherbeil ' desselben überflüssig ist. Das gewöhnliche Verfahren, die Beanspruchungen nur an den Stellen zu berechnen, wo die Stützlinie den Gewölbegrenzen am nächsten kommt (Bruchfugen), ist nebenbei insofern nur annähernd richtig, als die Beanspruchungen auch von der Höhe der Lagerfugen und den ganzen Werthen der Normalspannungen JV abhängen, welche im Allgemeinen von Fuge zu Fuge veränderlich sind. Will man jedoch aus irgend einem Grund, z. B. der Anschaulichkeit halber, die Stützlinie auftragen, so kann dieselbe auf Grund der für obige Berechnung ermittelten Grössen sofort erhalten werden (Beisp. 36).

Die in Tabelle X klein gedruckten Zahlen haben sieb in gleicher Weise wie die darüber stehenden mit den in den Tabellen VII, VIII, IX klein gedruckten o , 3U, T ergeben, sie entsprechen also den am Schlüsse des Beispiels 33 erwähnten gebräuchlichen Vernachlässigungen. Die Uebereinstimmung ist für die Gesammtspannungen durch Eigengewicht und Verkehrslast weit besser, als nach den grossen am Schlüsse jenes Beispiels und in den Tabellen des Beispiels 34 bezüglich der Momente nachgewiesenen Abweichungen vermuthet hätte werden können (vergl. Beispiel 36). Jedenfalls ist auch die Berechnung mit jenen Vernachlässigungen dem ganz willkürlichen gewöhnlichen Verfahren bei Weitem vorzuziehen.

Beispiel 3<». Stützlinie eines Bogens (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das in den Beispielen 33,34,35 behandelte Versuchsgewölbe des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vercins die Stützlinie durch diejenige Belastung zu ermitteln, bei welcher die ersten Risse beobachtet wurden (einseitige Verkehrsbelastung bis P — 5574 kg). Vorausgesetzt sei, dass die Beziehungen der Theorie elastischer Bogenträger bis dabin als gültig angesehen werden können.

Nach $ 8, 1) hat man die Entfernung der Stützlinie von der Bogenaxe beim Querschnitt x, gemessen in der Ebene des letzteren:

1)

N ’

X

wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ zu rechnen sind. Wir machen nun von den Resultaten des Beispiels 34 Gebrauch.

Bezeichnen M

N die Werthe von M%, AQ durch das Eigengewicht allein (Tabelle VII), M — m P„ N — nP ihre Werthe durch die einseitige Verkehrslast allein (Tabellen VIII und IX), so erhalten wir beim Zusammenwirken von Eigengewicht und beliebigen Werthen der P :

M -4- m P C * uV -\- n P'

C ¹

Speziell für die oben erwähnte Belastung mit P — 5574 kg wird auf der belasteten Seite bei x — 0:

bei x

0,629 m :

- 4902 — 3,1460.5574 _

" 35286 + 5,6280.5574 —

- 0,368 m,

- 4110 - 2,6269.5574 _

33875 + 5,9990.5574 auf der unbelasteten Seite bei x — 0:

0,315 m :

- 4902 + 6,8320.5574 _ 35286 -f- 3,5020.5574 ~

0,578 m,

bei x — 0,629 m:

- - 4110 + 5,3335.5574

0,557 m.

In gleicher Weise sind die übrigen c der folgenden Zusammenstellung berechnet. Die entsprechende Stützlinie ist in Fig. 86 (S. 150) gestrichelt eingetragen.

33875 -f 3,5855.5574

4-

Besondere Bogenarten.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XI. Stützlinie (Fig. 86).

6,254 : 7,379    8,504 ; 9,629 ' 10,754 (11,897 m

0,629 I 1,754 j 2,879 ! 4,004    5,129

! Für die Fuge x =

0.077 I 0,008 m

0,018 m

0,087

— 0,094 j 0.008 m

0,018 m

— 0,086

-0.2131-0,080 - 0,013    0,099    ;    0,134    0,198    0,174    0,175

— 0,092 I — 0,020    !    0,097    |    0,136    |    0,204    0,183    0,185

Risse unten

— 0,233

- 0,288 — 0,313

oben

-    0,837

—    0,365

Risse

Belastete

Bogenhälfte

-0.1991-0.162

— 0,157

— 0,196

oben

-0.114 -0,175 -0.204

0,204

Risse

r,ru‘o --

T in

0.274    0.111 '-0,019

— 0,032

0,094

0,251

0,476

0,446

unten)

0,605

0,572

(Risse

Unbelastete

Bogenhälfte

Die in Tabelle XI klein gedruckten Zahlen haben sich in gleicher Weise wie die darüber stehenden mit den in den Tabellen VII, VIII, IX, klein gedruckten Jfx, AQ ergeben, sie entsprechen also den am Schlüsse des Beispiels 33 erwähnten Vernachlässigungen und bestätigen das am Schlüsse des vorigen Beispiels    bezüglich der letzteren Gesagte.

Um" die Stützlinie für P = 3430 kg (Proportionalitätsgrenze, vergl.    S. 149. 131) zu erhalten, hätte man    nur    in    obigen

Ansätzen auf Grund von 2) 3430 an Stelle von 5574 zu setzen gehabt. Die Stützlinie für Eigengewicht    allein    würde    sich

unmittelbar nach 1) mit den in Tabelle VII angeführten Werthen von    NQ ergeben haben.

Beispiel 37. Aenderungen der Temperatur und der Spannweite eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-

Versuchsgewölbe).    ,    . , .    , T .

Für das in den Beispielen 33—36 behandelte Versuchsgewölbe des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins den Einfluss von Temperaturänderungen x des Bogens und kleiner Aenderungen M, \k der Spannweite und Stützhöhen (ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte) auf die Normalspannungen c?o, ou in den obersten und untersten

Elementen der Querschnitte (Lagerfugen, vergl. Beisp. 33) festzustellen.

Für die Normalspannungen o , au durch einen beliebigen Horizontalsehub H und beliebige Endmomente M, M‘ hat man nach § 17, 47) 48):

fl

(z

M\

H ) H. W /

\w

COS cp

cos cp

_ II

und im vorliegendem Falle für den rechteckigen Querschnitt der Breite 6=1 und Höhe h mit F = h, W =

Tb’

°u ⁼

I (* - D J

cos, + !(,/ - f)l

COS c{j —

3)

h'

4J

Hierin ist unter obigen Voraussetzungen nach der genaueren Berechnung in Beispiel 43 M : H — 3,5899, während die Berechnung in Beispiel 33 M:H — 3,5921 ergab. Wir erhalten mit den genaueren Werthen bei Beachtung der Tabelle V des Beispiels 33, wenn die a , au auf qcm bezogen werden, für x — 0:

10000 oo = (o,7488 - 6 —) ~ —

10000 au = (ö,7488 + 6 ° ~ -³^⁵⁸⁹⁹) ~ =- 17.12 H,

18,48 77,

und für x — 0,629 m :

10000 ao = (o,7784 - 6    )

10000 ou = (0,7784 + B^⁵—

17,89 77,

3,5899

1,035

1,035 “

) ms = - ¹⁰’³⁸ "•

der folgenden Tabelle XII berechnet.

Nach der Zusammenstellung am Schlüsse des Beispiels 33 hat man mit dem Elasticitätsmodul E — 175000.100² kg per qm und dem Ausdehnungs-koeffîcienten oc = 0,0000118 den Horizontalschub durch eine Temperaturänderung x:

In gleicher Weise sind die übrigen

H’ H

„__E a x

“ 394)93

und den Horizontalschub durch die Vorausgesetzen AZ, A k wenn AZ in cm eingesetzt worden soll:

= 516 t kg,

II =

■ ®iî = _ 18418 4¹ ^

während die weniger genaue Berechnung des Beisp. 33 bezw. 534 x und — 19045 A l ergeben hatte.

Will man nun die Einflüsse der Kämpferbewegungen weiter verfolgen, so fehlen die entsprechenden Messungen. Bei den übrigen erprobten Gewölben waren z. B. für die Belastungsstufe P — 3430 kg A l — 0,075 cm (Ziegelgewölbe), 0,065 cm (Stampfbetongewölbe), — 0,035 cm (Moniergewölbe). Dem Mittelwerthe 0,035 dieser Zahlen würde entsprechen H — — 18418.0,035 =— 645 kg. Nun können aber auch Verdrehungen der Endquerschnitte stattgefunden haben, welche 77, M, M‘ beeinflussen würden (§§ 17, 34, 35), aber ebenfalls nicht bekannt sind.

raturänderung gegen die dem spannungslosen Zustande entsprechende Normal-temperatur in Betracht gezogen werden kann, lässt sich nicht sagen, da weder der SpannungszusL.nd des Gewölbes vor der Ausschalung noch die Temperaturen des Gewölbeinnern am Anfang und Ende des Versuchs genau bekannt sind. Setzen wir jedoch x = — 6,125°, so folgen

Unter diesen Umständen kann auch die Berücksichtigung des Einflusses der Temperaturänderungen kaum neue Aufklärung bringen, umsomehr, als die wirksame Temperaturänderung nicht genau angebbar ist. Die Temperatur der Luft betrug am 26. 9. 91 vor der Ausschalung 19° R. am 28. 9. 91 nach der Ausschalung 18° R, am 12. 10. 91 bei der kritischen Belastung (P = 5574 kg, erste Rissebildungen) 14,1⁰ R. Ob nun die Differenz von 4,9° R -- 6,125° Cals Tempe

H = - 516.6,125 = - 3160 kg,

und aus den in Tabelle XII für beliebige Hgegebenen Ausdrücken die entsprechenden Normalspannungen bei x — 0:

au = 17,12.0,316 = 5,41 kg,

aQ = — 18,48.0,316 = — 5,84 kg,

inip

® 4 ® s p-

®. © 2. er 2    ?.

S Ci ^2 ï.2.rt 3. »_ PL 3 <W ST. S3 Ł|»cg$|=

feès.Ê'gsî'

«nln

1 If II I

6,125°

die kritische Belastung und

— 6,125° H =

— 3160 kg

beliebige ! T, A /

Für

un

belastete

belastete

beide

beide

Bogen

hälften

EßCfQ o:Cfq ß 2-

l = |g.p

•—' M cd _

no © ^    ^ Q

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MIPS

h.:2p®

co ^ ö 2 ~ ^

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S-ISg-Se

i %-UïïI

dS ^c= ß £

S-B| g£ -

? »'S ^EP

I0000ao 10000 au

15,59    13,90

- 6,43    - 3,97

(Risse ¹ unten)

Iss

Cl OT

10,17 - 0,35

oben

21.97

- 9,87

7,21    — 0,66

19,54    13,57

OT Ol

oc *8î j

4,41

- 4,96

- 17,12 ! - 16,38 j - 13,96

18,48

17,89

15,70

0    ; 0,629

Kämpfer

1,754

Ü2.f-

sIlwB’l

I !•§ §§£

PC <1 CfQ ß- CD ,

§S§f|-|

Pß- ^ ß Cfq ®

Sg-^S-g.

s»?s« =

®.2P g 2.

Ill PI Ifllfs

<s!3ę<?

S*Bf!l

C QCP5 g-ß P

§■§ |1 SS

111! II

o: p * ^ od ß

rp§?s§

w pß f CL © ß

00 ł-¹

co o

-3,94-5,11 -4.19 — 1,04 17,20 18,83 18,25    15,38

Risse oben

4,55

10,06

1,92

12,84

pp

co co

— 4,09 1—3,02 3,46    2,31

- 10,95

: 12,93

15,14 21,76 21,66    23,56    17,50

— 1,53 — 7,75 — 7,69 - 9,39    — 3,05

Risse unten

- 1.77 -0,401    0,98    2,21

0,99 - 0,45 — 1,90 - 3,18; - 4,22

3,21

- 4,97

f6‘9

5,61 1,28 I— 3,10 — 7,00 -10,17    —12,46

-7,32|—3,14 1,43 j 6,00 10,05    13,34    15,73

9,55

2,879    ¹ 4,004 j 5,129 6,254 7,379 8,504

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XII. Temperaturänderungen etc.

5,84 + 21,43 = 15,59 kg.

In gleicher Weise sind die übrigen a , au der folgenden Tabelle berechnet.

auf der unbelasteten Seite:

o ='5.41 — 11,84 = — 6,43 kg,

1,92

12,84

- 5,33

4,28

16,87

13,53

9,629    ! 10,754    11,879 m

! Scheitel

also einsschliesslieh der in Tabelle X gegebenen Normalspannungen durch die kritische Belastung auf der belasteten Seite: oo = — 5,84 - 5,07 = — 10,91 kg,    o = 5,41 + 17,19 = 22,60 kg,

¹

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 87, 88. Bezüglich der Zahlen 3430 und 5574 kg siehe die zweite Fussnote auf S. 48 des Berichts.

²

Vergl. in Luegers Lexikon der gesummten Technik, Bd. HI, Stuttgart 1896, Artikel Elasticitätsmodul und Druckelasticität.

³

Bericht des Gewölbeausschusses Wien 1895. S. 42.

§ 20. Bogen mit Zugstange.

Als Dachbinder hat man mitunter einfache Bogen mit zwei Gelenken ausgeführt, bei welchen der Horizontalschub nicht durch die Widerlager, sondern durch eine die Endgelenke verbindende Zugstange aufgenommen wurde (Bahnhofshallen in Metz, Genua u. s. w.). Der so aus Bogen und Zugstange kombinirte Träger (Fig. 89, 90) bildet einen Balken, da er bei beliebiger Belastung nur vertikale Drücke auf die Stützpunkte aus-

H ~ft

Iv*

Da

Fig. 89

übt (S 2). Hierin kann ein statischer Grund seiner Anwendung liegen, man wird horizontale Drücke auf die Stützen im Interesse der Stabilität der letzteren und mit Rtick-sicht auf die Widerstandsfähigkeit des Fundamentbodens vermeiden wollen, dies aber auch durch Balkenfachwerke, z. B. von Segmentform oder Sichelform, erreichbar ist, so müssen bei Wahl der fraglichen Trägerart noch andere Gründe mitsprechen, im Allgemeinen werden konstruktive oder ästhetische Gesichtspunkte den Ausschlag geben.

Der Bogen für sich ist ein Zweigelenkbogen (§ 16) mit nicht vollständig festliegenden Enden. Da aber bei der Betrachtung des Bogens mit zwei Gelenken kleine Aenderungen A / der Spannweite zugelassen wurden, so bleiben die erhaltenen allgemeinen Gleichungen gültig; wir wollen dieselben mit Rücksicht auf den eintretenden besonderen Werth von A l spezialisiren.

Ist die Zugstange vom Querschnitte % und horizontal, dann bewirken der Horizontalschub H und eine Temperaturänderung x' der Zugstange die Längenänderung:

Al =

/.

1)

Dabei ist vorausgesetzt, dass keine Aenderung der Spannweite durch Einsenkung der Zugstange in Betracht kommt, was man durch Aufhängen der letzteren in der Mitte (Fig. 89) und nach Bedürfniss noch an weiteren Stellen zu erreichen sucht.

Ist die Zugstange vom Querschnitt % selbst gesprengt (Fig. 90)

■1

und bezeichnen vorübergehend Ç, q, Z ihre Länge, Horizontalprojektion und Beanspruchung in einem beliebigen Felde, dann ist die Längenänderung dieses Stangenabschnittes

+ a x') Ç,

Fig. 90

was eine horizontale Verlängerung im betreffenden Felde um

E%

■r ;

(j| + aT')

ergibt. Da aber das Gleichgewicht gegen horizontale Verschiebung der einzelnen Zugstangenknotenpunkte verlangt, dass die Horizontalkomponenten aller ź? von gleichem Werthe und also gleich H seien, so lässt sich vorstehende Verlängerung auch ausdrlicken :

Ag ?

Die Summe aller dieser Verlängerungen für den ganzen Träger ergibt sich, wenn z die Gesainmtlänge der Zugstange bedeutet:

Hz

+ «*')?■

2)

E%

+ a V Z.

Für eine starre Zugstange würden die Gleichungen 1) 2) wegen E = oo , a = 0 die Aenderung der Spannweite A Z = 0 ergeben, woraus schon folgt, dass ein Bogen mit starrer Zugstange sich wie ein Bogen ohne Zugstange mit absolut unnachgiebigen Widerlagern verhielte. Wir wollen jedoch im Folgenden für Bogen und Zugstange gleiche E, a ( gleiches Material) voraussetzen, während die Temperaturänderung x' der Zugstange von derjenigen x des Bogens verschieden sein darf. Da die Zugstange vor unmittelbarer Einwirkung der Sonne geschützt zu sein pflegt, so können solche Verschiedenheiten leicht eintreten. Im übrigen fassen wir wieder den einfachsten Fall parabolischer Bogen ins Auge, für Bogen mit beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten kann auf Grund der in §§ 16, 32 angeführten Ausdrücke von H ganz in gleicher Weise vorgegangen werden. (Vergl. Aufg. 15). Da die Berechnung abgesehen von dem Ausdrucke des Horizontalsehubs ganz wie in § 16 bleibt, so stellen wir unter Beibehaltung der dortigen Bezeichnungen nur fest, inwiefern sich Abweichungen gegen das daselbst Gesagte ergeben.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp hat man nach § 27, 18) im allgemeinsten Falle:

(l+e)8 fP

2 Pa (Z—ä) (Z² + Za —«² —ßZ²) + IhEc

(1+6)8/*

3)

worin ß fast immer vernachlässigt werden kann (§ 28). Führen wir nun A Z entsprechend 1) 2) ein und setzen zur Abkürzung bei horizontaler Zugstange:

15 c % ’

4)

h = (l+e)8/² +

bei gesprengter Zugstange:

h = (1 + e) 8/² +

15 cz

5)

so ergibt sich der von einer beliebigen Belastung herrührende Horizontalschub :

5/

h Z³

2 Pa (Z—a) (Z² -{-la— a* — ß Z²)

6)

und der von beliebigen Temperaturänderungen x, x' herrührende Horizontalschub :

7)

15 c

speziell für x' — x also H — 0.

Nach 4) 5) nähert sich h umsomehr dem für Zweigelenkbogen ohne Zugstange geltenden Werthe (l-f-e)8/², je grösser % ist, für % — gc würde jener Werthe und damit derselbe Horizontalschub wie beim gewöhnlichen Zweigelenkbogen erreicht. Dass für vorläufige Berechnungen ganz wie in § 16 neben ß = 0 meist s = 0 und in 3) mitunter anstatt

Z² -}- Z a — al sein Mittelwerth — Z² gesetzt werden können, bedarf keiner

Erwähnung. Bei Berechnung von % kann man h mit % = oo verwenden, womit man die Beanspruchung der Zugstange etwas zu gross erhält.

Verschiedene Belastungen.

Für stetig vertheilte Lasten lassen sich die allgemeinen Formeln wieder mit Rücksicht auf § 14 spezialisiren. So erhält man für eine auf der ganzen Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit:

O-jjp)

fl²,

8)

und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

5 \ u -}- u‘

ff'²,

9)

während für die Stützenreaktionen V, V\ die Vertikalkraft Vx und das Moment Mx in beliebigen Querschnitten des Bogens im ersten Falle die Gleichungen § 16, 18)—20), im zweiten Falle die Gleichungen § 16, 25)--27) gültig bleiben.

Auch bezüglich der Kernlinien und der Grenzwerthe bei bewegter Last bleibt es bei dem in § 16 Gesagten, nur dass die Kämpferdruck-linie S eine etwas andere Lage hat. Da nämlich jetzt nach § 16, 2) und obiger Gleichung 6) für eine bei a angreifende Einzellast P:

Z—a

~T~}

5/

H =    (l~a) {f'2Jrfa

«² —ßZ²),

so liefert die allgemeine Formel § 16, 39) für unsern Fall :

/ = h

5 / Z² -|- l a — a¹ — ß Z²‘

Der Vergleich mit § 16, 38) zeigt, dass sämmtliche Ordinaten b jetzt

Z²

11)

in gleichem Verhältnisse

grösser sind, als bei Zweigelenkbogen ohne Zugstange, was von der Verkleinerung des Horizontalschubes herrührt.

(l+e)8/

F o r m änder u n g e n.

Die Formänderungen dürften im vorliegendem Falle selten inte-ressiren, da es sich im Allgemeinen um Dachbinder handeln wird. Doch gelten die in § 30 für Oeffnungen mit Endgelenken abgeleiteten Beziehungen wonach auch die Einsenkungen in der Trägermitte durch beliebige Belastung, symmetrische Belastung und beliebige Temperaturänderungen

nach § 16, 47) 48) 52) bestimmt bleiben. In letzteren Formeln ist jedoch jetzt H für beliebige Belastung durch 6), für beliebige Temperaturänderungen durch 7) bestimmt, womit der Einfluss von A l schon berücksichtigt ist.

Wir können demnach die Einsenkung in der Trägermitte, entsprechend dem Vorgehen in § 16, auch wie folgt ausdrücken. Für eine Einzellast P in der Bogenmitte:

PP

5 P\

16 h ) 48 Ec

12

11)

für eine gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit auf der ganzen Spannweite :

(i-¥)

5 m/4 384 Ec

für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u⁴ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

/    8 f²\ u-\-u‘ 5 uP

V ~ h ) "768" ËY

für Temperaturänderungen x, x' von Bogen und Zugstange : e = — a x/ —

speziell für x' = x also e =— a x/, und für eine Erhöhung A k von Stütze / gegen Stütze 0:

25 fP

16 h

a (x......x'),

12)

13)

14)

15)

Die Formänderungen für beliebige Axform und beliebige Querschnitte würden sich aus § 33 ergeben.

Dreigelenkbogen mit Zugstange.

Wird in dem betrachteten Bogen noch ein Zwischengelenk angeordnet, (Fig. 91, 92), so entsteht eine statisch bestimmte Trägerart. Die Berechnung des Horizontalschubs wie sämmtlicher Schnittkräfte und Beanspruchungen

•1

V'

Fig. 92

Fig. 91

bleibt vollständig wie für gewöhnliche Dreigelenkbogen (§ 15). Den so bestimmten Horizontalschub hat die Zugstange aufzunehmen, wonach sich deren Querschnitt ohne Rücksicht auf die Formänderungen ergibt. Die Einsenkungen lassen sich ebenso aus $ 15 entnehmen, wie sie im obigen Falle aus § 16 folgten. Wir können jedoch umsomehr auf ihr Anschreiben verzichten, als Dreigelenkbogen mit Zugstange bis jetzt nicht ausgeführt wurden.

§ 21. Kontiiniirliche Bogen.

Bogenträger, welche ungetrennt über zwei und mehr Oetfnungen reichen, können verschieden angeordnet werden. Im Falle der Fig. 93 lassen sich von den angedeuteten Komponenten der Sützenreaktionen

Fig. 93

durch welche diese selbst vollständig bestimmt sind, drei nicht aus rein statischen Gleichungen ermitteln. Bet n Oeffnungen wären n nothwendige Reaktionskomponenten statisch unbestimmt. Im Falle von Fig. 94, 95

Fig. 94

Fig. 95

ist. nur der Horizontalschub nicht aus rein statischen Gleichungen bestimmbar. Im Falle von Fig. 96 schliesslich können die Stützenreaktionen aus rein statischen Beziehungen, also ohne Hülfe der Elasticitätslelire,

r~

Fig. 96

vollständig bestimmt werden, wir haben eine statisch bestimmte Trägerart.

Ausgeführt ist bis jetzt keine der angeführten Bogenarten, sodass ein dringendes Bedürfniss zu ihrer rechnerischen Behandlung nicht vorliegt. Dagegen ist der Träger Fig. 94, 95 mehrfach zur Ausführung empfohlen worden,¹ und es lässt sich nicht leugnen, dass er unter Umständen gewisse Vortheile bietet. Balken gegenüber kann besonders der aesthetische Gesichtspunkt neben geringerem Materialverbrauch, mehreren einfachen Bogen gegenüber aber der Umstand in Betracht kommen, dass die Zwischenstützen nur vertikalen Druck aufzunehmen haben, womit dieselben schlanker gehalten werden können und geringere Beanspruchungen des Fundamentbodens der Pfeiler entstehen. Durch Einschalten eines Zwischengelenkes lässt sich aus der Trägerart Fig. 94, 95 eine statisch bestimmte Trägerart hersteilen (Fig. 97, 98), welche als Fachwerk (feste Hängebrücke, Fig. 98) mehrfach Verwendung gefunden hat, aber nicht

Fig. 97

Fig. 98

zu den elastischen Bogenträgern gehört (S. 3) und an anderer Stelle ausführlich behandelt worden ist.²

Wir wollen nun den Bogen Fig. 94, 95 mit gleich hohen Stützen und beliebig vielen Oeffnungen ins Auge fassen. Tn jeder Oeffnung / hat man :

M = M' = 0,

1)

k = 0,

womit für die Schnittkräfte und Schnittmomente (§ 1) dieselben Ausdrücke wie bei einfachen Bogen mit Kämpfergelenken entstehen und z. B. die Gleichungen § 16, 1)—6) gelten. Da die Reibung gegen horizontale Verschiebung des Trägers über den Zwischenstützen (wo Rollenlager oder Flachrollenlager anzuordnen sind) mit dem gleichen Rechte wie bei kontinuirliehen Balken vernachlässigt werden kann, so ist die resultirende 1 forizontalkraft in allen Querschnitten aller Oeffnungen gleich dem Horizontalschul)H (5$ 1), welcher mit Rücksicht darauf zu ermitteln ist, dass zwar die einzelnen Spannweiten bei Einwirkung von Lasten und Tempe-rat uränderungen kleine Aenderungen A/ erleiden können, die Gesammt-länge derselben

1)

aber ungeändert bleiben soll, einfachen Bogen, etwaige unbeabsichtigte Aenderungen A L mit in Rechnung ziehen. Es genüge vorläufig, bei Ableitung von H in den einzeln Oeffnungen symmetrische Parabelbogen

Wir werden indessen auch hier, wie bei

von

konst antem J cos rp

vorauszusetzen, für beliebige Axform und beliebige Querschnitte könnte die Ableitung auf Grund von § 31, 32 in ganz analoger Weise erfolgen wie im Folgenden aut Grund von § 27. Die in § 16 verwendeten Bezeichnungen werden beibehalten, wie überhaupt das für einfache Bogen mit Endgelenken gegebene nur mit Bücksicht auf die Kontinuität zu ergänzen ist.

Nach § 24, 15) mit den dortigen Bezeichnungen 16) ¹7) hat man für eine beliebige Oeffnung l im allgemeinsten Falle:

S Pa (l—a) (Z² -f l a — a* — ß Z²) -f a t Z -H (1 -f~ e)

8 Z/²

15 EP

3)

wofür wir mit

cP

2 Pa (l—a) (Z² + Z a — a² — ß Z²), T = xl,

u = a+«) 4

4)

Ci O»

auch schreiben können :

AI =

-ł-ocT-H

7)

15 E‘

Hiernach gelten in den Oeffnungen /,, /₂,.. . Zn, wenn gleiche E, a (gleiches Trägermaterial) in denselben vorausgesetzt werden:

AZ,

+ a I\ - ET

A la -

-f a To — H

8 h, 15 E’ 8 h2 WlJ’

Aln =

.An

8 hn

15 E'

Die Addition dieser n Gleichungen ergibt:

2 A -f a .S T —■

8H 15 E

r-,2 Ä,

8)

woraus der gesuchte Horizontalschub im allgemeinsten Falle :

CO -

2Ä

b^A + SEaZT -3E AL H — ₈

Die Summen S sind auf sämmtliche Oeffnungen zu erstrecken. Ist hiernach H bestimmt, so kann aus 3) oder 7) auch die Aenderung A / jeder einzelnen Spannweite ermittelt werden, was jedoch für die Dimensionenfeststellung ohne Interesse ist. Nach 9) ist der Einfluss beliebiger Belastung aller Oeffnungen, beliebiger Temperaturänderungen der letzteren und einer Aenderung der Gesammtlänge AL allein:

löEocZT

52 A 8 2//'

II = -

15 EAL 8 2 h '

il*

Stützenreaktione n.

Als Vertikalreaktionen der Endstützen hat man natürlich das V der ersten und das F der letzten Oeffnung (S. 77), deren Grenzwerthe stets leicht anzugeben sind (§ 12). Dagegen ist die Vertikalreaktion einer Zwischenstütze gleich dem V' der vorhergehenden, plus dem V der folgenden Oeffnung, d. h. nach § 16, 2) im allgemeinsten Falle:

ZPa + j-ZPil-a),

n

14)

I y V

wenn die Summen 2, 2 sich auf alle Lasten in der vorhergehenden und

nachfolgenden Oeffnung beziehen. Die Influenzlinie von R (vergl. $ 12) verläuft hiernach wie in Fig. 1)9. Der untere Grenzwerth »i tritt stets

bei Belastung durch das Eigengewicht der Konstruktion allein ein, er hat für ein gleichmässig vertlieiltes Eigengewicht von g per Längeneinheit nach 14) mit Rücksicht auf § 14 oder nach $ 12 mit Rücksicht, auf Fig. 99 den Werth :

l,

Fig. 99

Cs VI

3t = (/,+ /„) •

Der obere Grenzwerth entsteht, wenn die beiden anliegenden Oeffnungen möglichst stark belastet sind, wobei jedoch die einzelnen Lasten umsomehr beitragen, jemehr sie sich der fraglichen Stütze selbst nähern. Man erhält ihn bei gleichmässig vertheilter Verkehrslast von g per Längeneinheit:

R — di -f- (ly -f- ln) ~

und bei bewegten Kadiastzügen, wenn ein Zug mit möglichst grossen Lasten möglichst dicht um ein Rad 0 mit diesem Rade über der fraglichen Stütze beide anliegenden Spannweiten belastet :

15)

16)

17)

R = 9t +    ^ Pa -f - 2 P(l—a),

ly V    tn n

worin sich die Summen 2 nur noch auf die Radlasten beziehen

Der grösste Horizontalschub H entsteht bei Vollbelastung (Eigengewicht plus Verkehrslast) aller Oeffnungen und höchster Temperatur, wobei im Falle bewegter Radlastzüge die grössten Lasten den Oeffnungs-m i 11 e n möglichst zu nähern sind, der kleinste Horizontalschub tritt für Eigengewicht allein und bei niederster Temperatur ein.

F o r m ä n d erunge n.

Für die Formänderungen in jeder Oeffnung l gelten die in § 30 für Oeffnungen mit zwei Gelenken abgeleiteten Gleichungen, worin jedoch jetzt H durch 9) bestimmt ist. Die Einsenkungen in der Mitte einer Oeffnung / durch beliebige Belastung und beliebige Temperaturänderungen aller Oeffnungen, sowie durch symmetrische Belastung der betrachteten Oeffnung bei beliebiger Belastung der übrigen Oeffnungen, bleiben demnach durch § 16, 47) 52) 48) mit II nach obigen Gleichungen 10) bestimmt (wobei ß in A zu vernachlässigen ist, wie es bei Angabe der Einsenkungen in 8 16 geschah). Man erhält also z. 15. für eine Einzellast P in der Mitte von Z nach § 16, 48):

18)

_ Pl 5 Hf,

48 Ec ¹

für eine gleichmässig vertheilte von u per Längeneinheit auf der ganzen Spannweite nach § 16, 48) mit Rücksicht auf $ 14:

5 Z²,

19)

u Z² — 8 Hf 384 Ec

für verschiedene gleichmässig vertlieilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit. auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite nach § 16, 47) mit Rücksicht auf § 14:

5Z².

(u -j- u') Z² — 16 H f

768 Ec

Hierbei können die andern Oetfnungen noch ganz beliebig belastet sein. Soll jedoch auch H nur von der angeführten Belastung herrühren, so hat man nach 4) 10) im Falle von 18):

25P/Z²

im Falle von 19):

ufP

SöYTi-

und im Falle von 20):

u -j- u‘ f /³

16 CÏ, li

Eine Temperaturänderung t in der betrachteten Oeffnung l (für Zunahme i positiv) erzeugt nach § 16, 52) mit LT nach 10) 5):

/(i 4

21)

25 Z³

128 c S h

und eine Aenderung A L der Gesammtlänge aller Oetfnungen (für Zunahme A L positiv) nach § 16, 54) mit 10):

22)

_ 25/Z² AP C ~ 128 c S h ¹

während eine Aenderung der relativen Höhenlage der Stützen, welche die Oeffnung Z begrenzen (bei höherem Stützpunkt Z ist AP positiv) ergibt:

23)

Sonstige Höhenänderungen der Stützen sind ohne Einfluss auf e. Gleiche Oeffnungen.

Werden die Bogenabschnitte in allen Oeffnungen mit gleichen Z, / und gleichen Dimensionen (Querschnitte etc.) hergestellt, dann erhält man mit der Bezeichnung

Ei?

nach 4)    12) den Horizontalschub durch beliebige Belastung aller Oeft-

liungen :

2öj

B = I P a (l—a) (/- + la cP — ß P) = A -

cP

/'

24)

(1+e)'8fP n

und speziel 1 für beliebige gleichmässig vertheilte Lasten u in den einzelnen Oeffnungen:

LO ICC

P E u I —|—£ 87 n

Der Horizontalschuh durch beliebige Temperaturänderungen x in den einzelnen Oeffnungen ist:

26)

U _ Ec a 15 Ex.

~~ 1 --}-£ 8/:* H ’

und der Horizontalschub durch eine Aenderung AYv ihrer Gesammtlänge L:

27)

28)

E c ISA L 1 -f £ 8/- n I

Diese Ausdrücke ergeben bei Belastung und Temperaturänderung nur einer Dehnung sowie für eine bestimmte Längenänderung A L gerade 1/5/ so grosse Wert he als bei gleicher Belastung, Temperaturänderung, und Längenänderung eines einfachen Bogens mit Endgelenken von den Verhältnissen der Bogenabschnitte in den einzelnen Oeffnungen. Sind jedoch die Belastungen und Temperaturänderungen in allen Oeffnungen dieselben, dann hat man in 25)—28):

EYi

ii

B.

= u,

Ex

AZ = a/,

n

(die letzte Gleichung mit Rücksicht auf 8)), womit die Gleichungen 25)—28) vollständig mit den entsprechenden für den einfachen Bogen mit zwei Gelenken übereinstimmen.

§ 22. Bogenfach werke.

B oge nfa ch werke sind als Fachwerke gegliederte Bogen. Man kann also einfache und kontinuirliche Bogenfach werke (S. 2), verschiedene Formen derselben, Bogenfachwerke einfacher und mehrfacher Systeme unterscheiden (S. 57). Bereits in der Einleitung wurde darauf hingewiesen, dass bisher die Stützenreaktionen von Fachwerkbogen und Gitterbogen mit ausgesprochener Axe bis zu den Stützpunkten meist nach Formeln für elastische Bogenträger berechnet wurden (andere Berechnung s. in $ 28 u. (Jitat S. 175). Nach Ermittelung der Stützenreaktionen können natürlich die gewöhnlichen Berechnungsmethoden für Fachwerkträger und Gitterträger zur Verwendung kommen, welche hier zu behandeln zu weit führen würde. Wir wollen deshalb nur einige Formeln in Erinnerung bringen und auf gewisse Modifikationen aufmerksam machen, welche bei Bogenfachwerken einfachen Systems bezüglich der in § 11 gegebenen Hegeln für die ungünstigsten Belastungen nöthig werden.

Es handle sich um die Beanspruchung ß irgend eines Stabes eines beliebigen Fachwerkes einfachen Systems, wobei Zug als positiv gilt. Wir legen einen beliebig geformten Schnitt s so durch den Träger, dass Letzterer in zwei Theile I und II zerlegt erscheint (Fig. 100) und der fragliche Stab mit nicht mehr als zwei andern getroffen wird. Bezeichnet dann T/s das statische Moment der äusseren Kräfte des Trägers (Aktivkräfte und Stützenreaktionen) am Trägertheil I in Bezug auf den Durchschnittspunkt der Axen beider mitgetroffenen Stäbe und b das Perpendikel aus diesem Durchschnittspunkt auf die Richtungslinie von B (den Hebelarm von B), dann hat man bei beliebigen Einwirkungen :

Ma

1)

Fig. 100

Ms + Bb = 0,    £=+--

worin das obere oder untere Vorzeichen gilt jenach-dem die vom Trägertheil I weggerichtete (als Zug eingeführte, vergl. Fig. 100) Kraft B wie der Uhrzeiger rechts um den Momentendrehpunkt (Fig. 100) oder aber links uni denselben wirkt. Das Moment MA kann in jedem einzelnen Falle numerisch berechnet werden, es lassen sich aber auch allgemeine Ausdrücke für dasselbe ableiten, welche Verallgemeinerungen der in § 1 gegebenen Formeln für ebene Querschnitte x sind.³ Auf Grund dieser Ausdrücke von Ms und der zugehörigen Werthe von b können unmittelbar verwendbare Gleichungen für die Stabkräfte aufgestellt werden, von welchen wir diejenigen für den gewöhnlichsten und wichtigsten Fall anführen wollen (Anwendungen von 1) siehe z. 13. II, Aufg. 20—23, Beisp. 18—22).

Der Träger sei zwischen zwei aufeinander folgenden Stützpunkten durch Vertikalen in n Felder von gleichen Längen À getheilt, / — n À. In jedem Felde befindet sich eine wirksame Diagonale, die aber zweierlei Stellungen haben kann. Es werden die in Fig. 101, 102 ersichtlichen Bezeichnungen eingeführt (wonach diejenige Gurtung als W-Gurtung bezeichnet ist, welche man einer Diagonale nach der Seite vom Auflager 0 hin folgend trifft). xm, zm, dm, hm seien die Längen derjenigen Stäbe, welche durch ATm, Zm, Dm, Vm beansprucht sind, während für ein recht³ winkeliges Koordinatensystem mit Ursprung der Koordinaten im Auflager 0 und horizontaler Abscissenaxe rm, die Koordinaten der Knotenpunte nt d. b. auch der Knotenpunkte für die Abscisse m X in AT-Gurtung und ŹT-Gurtung bedeuten. Dann gelten in allen folgenden Gleichungen die oberen Vorzeichen bei obenliegender AT-Gurtung (Fig. 10.1, 115), die unteren Vorzeichen bei unten liegender AT-Gurtung (Fig. 102, 120).

Bei beliebig’ gerichteten Aktivkräften in der Trägerebene (Lasten, Winddruck u. s. w.) hat man:

z.

xm

dm

s Xhm_7

mM

zm = + M.

Vm =+Ms

(obere Vorzeichen)

.n-1

2)

3)

•2m

2m

Y ^

Am

m-M

V. At

Vn

IH

(untereVorzeichen /

v„

Xi

Fig. 101, 102

worin sich I/s dem zu 1 ) Gesagten entsprechend, für Al,,,, Zm, Dm auf einen Schnitt s durch die Stäbe xm, zm, dm, für F„, auf einen solchen durch xm, /?,,,. zm , t bezieht, und allgemein:

4)

hm — hm_7

ÏUI

3m

£m 1 3m Ln — 1

speziell bei horizontaler Af-Gurtung:

3m+ 1

5)

.r„, X,

dm

und l)ei horizontaler ^-Gurtung:

£.

Gn ⁼⁼ X,

Die Formeln für Xm, Zm, Dm gelten auch, wenn die Stellung der Diagonalen (und damit die Lage der W-Gurtung) wechselt, während die Formeln für Vm an die Bedingung geknüpft sind, dass sich zu beiden Seiten der Vertikale m Felder mit Diagonalen gleicher Stellung befinden, wobei jedoch eine Diagonale mit einem Gurtungsstabe zusammenfallen darf (Fig. 103, 104). Trifft dies nicht zu (Endvertikalen, Mittelvertikalen), so führen meist die Gleichgewichtsbedingungen für die äusseren Kräfte und Stabkräfte an begrenzenden Knotenpunkten rasch zum Ziel (siehe S. 171 und II A 39, 42, auch A 19, 24, 28. Näheres über vorstehende Gleichungen s. 1 §§ 16, 17, Anwendungen beispielsweise 11 B 50, 58, 86).

zur Be-

mal

Wie bei einfachen Bogen (§ 16), so kann auch im vorliegendem Falle ß fast immer vernachlässigt werden. Für vorläufige Berechnungen darf meist auch £ in 6) unberücksichtigt bleiben und in 4) an Stelle von P-f-1 a — a-

der Mittelwerth ^ / - gesetzt werden.

y e r s ch i e <1 e n e Belastunge n.

Für stetig vertheilte Lasten können die allgemeinen Formeln mit Rücksicht auf § 14 spezialisirt werden. So gelten in einer Oeffnung, welche mit u per Längeneinheit überall gleichmässig belastet ist:

ufP

11)

und die Gleichungen § 16, 18)—20), in einer Oeffnung mit verschiedenen gleichmässig vertheilten Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Hälfte:

uA-v/ fl³

O-l»)

10

12)

und die Gleichungen § 16, 25)—27).

Bezüglich der Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrücke und der Kernlinien in jeder betrachteten Oeffnung l bleibt es bei dem in § 16 für einfache Bogen mit zwei Gelenken Gesagten (S. 82). Um die Schnittlinie S der Kämpferdrücke zu erhalten, berücksichtigen wir, dass für eine bei a in l angreifende Einzellast P nach $ 16, 2) und obigen Gleichungen 4) 9) :

l—a

8 2// cP

Pa (l—a:) (1⁴ 5-(- 1 a — a⁵ — ß P),

womit nach § 16, 39) die Gleichung der Kämpferdrucklinie $ in der Oeffiiung / :

Pf'

5 fP + la — a⁵ Der Vergleich mit § 16, 40) zeigt, dass alle Ordinaten b

13)

Wir wollen nun speziell Bogenfachwerke des besprochenen Systems ins Auge fassen, welche an den Enden der betrachteten Oeffhung l Gelenke haben und nur durch vertikale Aktivkräfte (Lasten) ergriffen

sind. Bezeichnen dann 8, 8‘ die statischen Momente der Knotenpunktslasten von Auflager 0 bis Schnitt s in Hinsicht des Auflagers 0 bezw. von Schnitt s bis Auflager / in Hinsicht des Auflagers l, so folgen aus 2) 3) :

X,

Z;

Z₂

Fig. 103

Z,

X,

Fig. 104

— -f- [ (>> — tu) 8 -|- tu 8' — Hu gm]

■En

IK

Zm — -j- I (n—tu —j— 1) 8 -j- (in — 1 ) 8' — H n £ m _ J Dm = -f- [ (u—m —f— £} aS’ —|— ( t/i — s) 8' — Hu wdJ —y-X

£ l Um

E„

lhm_

8)

1 „i — -f- I (n—tu —j— v) 8 —(— (tu—v) 8'

H u wy I

v/’

worin allgemein die ürdinaten der Uurchschnittspunkte von xm, zm und von xm, zm+l:

U)

U d    Ln    2 lfm    Ln —i)    5m    ® (5m ' 5m — 1 b

Wy    Ln    ^ (Ln    Ln — l)    5m (5m-f-l    ” 5m b

und speziell bei horizontaler X-Gurtung oder horizontaler XGurtung:

wd = u\ = h₀

10)

unter h₀ die Länge der Vertikale bei Auflager 0 verstanden.

Für eine auf die ganze Spannweite / gleiclnnässig vertheilte Last von u per Längeneinheit , wovon ux auf die Knotenpunkte der X-Gurtung und u₇ auf diejenigen der X-Gurtung kommen, liefern vorstehende Gleichungen bei beliebigem (nicht nothwendig nur von dieser Belastung her-riilirendem) Horizontalschub H\

Xm = + [m (u — tu) ~~

H 5 m]

En

XhJ

Zm — -f- I (in — 1) (n—tu -j- 1) ₉

/ i r r / n — tn    ,, u X²

Dm — + £ (tu-- — n -f- 2 in — 1) —~

£    z

Vm = -j⁻ Lv (m

■—111

X hm

-1

H wA j

dm

12)

£ X hm _ ! ’

u^yu^_Hw]

n—m

—    — n 4- 2 tu —

v

Für einen beliebigen Horizontalschub allein, also z. B. für die Beiträge durch Temperaturänderungen, unbeabsichtigte Aenderungen der Spannweite und, bei kontinuirlichen Bogenfach werken, der angrenzenden Oeffnungen folgen aus 8):

VA

X)U = + H

Eil 5m

Xhm’

Zm=~+H

13)

Fm = + H-i v X

14)

Wenn sich die beiden Gurtungen in den Endgelenken treffen, ergeben die Gleichungen 8) 12) 13) für m — 1 wegen h₀ — 0, x₀ — 0, den unbestimmten Ausdruck Z{ — 0:0. Da jedoch fürs Gleichgewicht gegen horizontale Verschiebung des Knotenpunkts 1 im Z-( furt (Fig. 103, 104) :

x

so gilt allgemein:

15)

Für die Endvertikalen hat man: im Falle von Fig. 105: „ ,, „ „ 106:

F₀ = Ka — V+H^, Vo = -

10)

17)

und für die Mittel vertikale zur Mitte symmetrischer Fachwerke, mit a =

1 a

9’

t'a — 15

im Falle von Fig. 107:

Va=- Ko

Ko

18)

108:

Vr

19)

worin K₀, Ka die in den betreffenden Figuren (105    108) angedeuteten

Knotenpunktslasten bezeichnen.

Weiteres über die Gleichungen 8)—14) und Ausdehnung derselben auf Bogen mit ungleichen Stützhöhen und mit Endmomenten s. I §$ 18, 10.

Wird die Fahrbahnlast bei allen Vertikalen auf die Bogen übertragen,

(was z. B. im Falle der Dourobrücke S. 04 nicht zutrifft), so gelten für beliebige Belastung neben 8) und 2) 3) noch andere Gleichungen, welche mitunter bequemer sind und im nächsten § für die wichtigsten hierher gehörigen Träger gegeben werden sollen. Für sonstige Fälle siehe I, § 18.

Obige Gleichungen lassen sich zum Theil für besondere Gurtungsformen vereinfachen, indem man die betreffenden speziellen Werthe von s, v, hm, rm, eingesetzt (siehe dieselben I § 17). So hat man für Sichelträger, deren Gurtungen Parabeln der Pfeile /x,/z eingeschrieben sind,

K₀

V₀

Fig. 105

Fig. 106

Ko

x,

•ii

......... ^

VKU

Fig. 107

Fig. 108

I'm = m (n—nr)

m {n—m) n — 2 m ~P 1 ’

4—

n² ’

womit nach 9) tvd = 0, sodass der Horizontalschub nach 8) oder 14) keinen Einfluss auf die Beanspruchungen der Diagonalen ausübt. Infolgedessen wird für solche Träger nach 12) mit vorstehendem s durch beliebige auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last Dm — 0.

In allen bis jetzt angeführten Formeln ist der Horizontalschub H im Allgemeinen von der Träger art abhängig. Derselbe kann aus rein statischen Bedingungen (§ 15) oder nach den abgeleiteten Formeln für elastische Bogenträger (§§ IG, 20, 21) oder auch auf Grund der Theorie statisch unbestimmter Fachwerke (§ 23) zu bestimmen sein. Für einfache Bogenfach werke mit drei Gelenken und statisch bestimmte konti-nuirliche Bogen (§ 21, I § 78) ist derselbe nur von der Belastung abhängig und ohne Rücksicht auf die Formänderungen bestimmt. Die ungünstigsten Belastungen einfacher Bogenfachwerke mit drei Gelenken können zwar ganz wie unten für Bogenfach werke ohne Zwischengelenk ermittelt werden, wobei die Schnittlinie S der Kämpferdrücke wie in § 15 durch die Verbindungsgeraden der Gelenke bestimmt ist, doch lassen sich für Bogenfachwerkę mit drei Gelenken und statisch bestimmte kon-tinuirliclie Bogenfach werke auch leicht direkt verwendbare Formeln für die Grenzwerthe der Stabkräfte bei gleichmässig vertheilter bewegter Last und bewegten Radlastzügen ableiten. Da wir dies an anderer Stelle gezeigt und durch Berechnung einer ganzen Reihe statisch bestimmter Bogenfachwerke erläutert haben (I §§ 66—75, 78—81; II JJ 84—91, 93—404, A 41—43), auch statisch bestimmte Fachwerke nicht zu den elastischen Bogenträgern gerechnet zu werden pflegen (S. 3), so sollen hier in erster Linie statisch unbestimmte Bogen fach werke berücksichtigt werden, wobei es sich im Wesentlichen um Regeln für die ungünstigsten Belastungen entsprechend den in § 11 ür vollwandige Träger gegebenen handelt (für bewegte Radlastzüge siehe auch § 12).

Ungünstigste Belastungen. Für einfache Bogenfachwerke mit Kämpfergelenken und ausgesprochener Axe durch die letzteren kann die Kämpferdrucklinie S häufig nach den Gleichungen für vollwandige Träger verzeichnet werden (§ 16). In anderen Fällen finden sich die Ördinaten b für beliebige Abscissen a entsprechend § 2, 1) aus

a (Z—a)

Hl

worin H einer bei a angreifenden Einzellast /J = 1 entspricht. Bei Feststellung der ungünstigsten Belastungen ist das in § 10 bezüglich der Kämpferdrücke if, P' durch eine Einzellast P Gesagte zu beachten, wonach jetzt die von P herrührende resultirende Schnittkraft in unserm beliebig geformten Schnitte s:

Ps = Ä,

P* = P-

für P nach s „ P vor ,s-

Die P bedeuten hierbei am Träger selbst angreifende Lasten, d. h. Knotenpunktslasten. Man hat ferner zu beachten, dase Ms in 1) das Moment dieser vom Trägertheil 1 (Fig. 100) her wirkenden Schnittkraft i?s und positiv oder negativ ist, jenachdem es rechts oder links um den be-

treffenden Momentenddrehpunkt wirkt, während positive Stabkräfte B Zug-, negative Druck bedeuten. So ergeben sich die folgenden Regeln für Fachwerke mit Vertikalen und gleich oder verschieden langen Feldern, welche leicht auch auf Fachwerke ohne Vertikalen übertragen werden können. Doch halten wir die Anwendung von Vertikalen in fast, allen bei diesen Ermittelungen für einzelne Stäbe in Betracht kommenden Fällen für zweckmässig. Tn Fig. 109 — 112 deuten wie früher fette Striche möglichst starke Belastung (Eigengewicht plus Verkehrslast), feine Striche möglichst schwache Belastung (Eigengewicht allein) der Knotenpunkte auf den betreffenden Strecken an.

Gurtungen (Fig. 109, 110, 116, 117, 121, 122). Bei Berechnung eines beliebigen Gurtungsstabes ziehe man aus den Endgelenken 0 und / Gerade durch den Schnittpunkt der beiden übrigen Stäbe des gleichen Feldes bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Für die eine Grenzbeanspruchung sind die Knotenpunkte zwischen diesen Durchschnitten, für die andere die übrigen Knotenpunkte möglichst stark zu belasten. Im Falle beide Gurtungen in den Endgelenken Zusammentreffen , gelten für die Grenzwerthe von Zx dieselben Belastungen wie für die Grenzwerthe von Z% (siehe S. 171).

Diagonalen (Fig.

111, 118, 123.) Bei Berechnung einer Diagonale dm ziehe man aus den Endgelenken 0 und /

Gerade B, B' durch den Schnittpunkt der beiden Gurtungsstäbe xm, zm ihres Feldes bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Es sind dann Belastungsgrenzen : 1. Der Durchschnitt von S, B\ wenn er zwischen 0 und Vertikale hm_t liegt; 2. der Durchschnitt von S, B, wenn er zwischen Vertikale hm und / liegt; 3. der Schnitt s durch das Feld m selbst, wenn eine Kraft vom Gelenk 0 in der Richtung auf den Durchschnitt von S, hm (Fig. 111) in andrem Sinne um den Schnittpunkt von xm, zm dreht, als eine Kraft vom Durchschnitt der Linien S, hm_x in der Richtung auf das Gelenk / (Fig. 111).

max.zuy Xm max. druck JC,n

X,

Fig. 109

Fig. 110

rnajt zu y Z ,n max. druck Z

Vertikalen (Fig. 112, 119, 124).

Bei Berechnung einer Vertikale hm ziehe man aus den Endgelenken 0 und / Gerade B, B‘ durch

den Schnittpunkt der Gurtungsstäbe xnv ^m + t in den anliegenden Feldern bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Fs sind dann Belastungsgrenzen :

max zuDm max. druck Dm

,P.(

1. Der Durchschnitt von S, R\ wenn er zwischen 0 und dem letzten Angriffspunkte der Verkehrslast (Fahrbahnlast) vor dem Schnitte s durch xm, hm, zm+1 liegt; 2.

R’

Fig. 111

max. zu ç V„, max. druck Vm

'v.

l\

DO

Fig. 112

der Durchschnitt von S, R, wenn er zwischen dem ersten Angriffspunkte der Verkehrslast nach jenem Schnitte s und / liegt; und der Schnitt s selbst, wenn eine Kraft vom Gelenk 0 in der Richtung auf den Punkt von S senkrecht über dem ersten Angriffspunkt der Verkehrslast nach « in anderem Sinne um den Schnittpunkt der Gurtungsstäbe xm, zm+t dreht, als eine Kraft von dem Punkte senkrecht über dem letzten Angriffspunkte der Verkehrslast vor s in der Richtung auf das Gelenk l. — Für die Kämpfervertikale 0 trifft der Schnitt s nur die Stäbe h₀, zy und tritt dann im Falle von Fig. 105 der Knotenpunkt 1 des Untergurts an Stelle des Schnittpunktes von xm, zm+lj während im Falle von Fig. 106 die Grenzbeanspruchungen zufolge 17) bei möglichst grossem und möglichst kleinem Ä ₀ entstehen. Wenn bei Mittelvertikalen symmetrischer Bogenfachwerke A = x₀ — x₀_! — 0 ist ( horizontale AT-Giir-tung), dann führen nach 18) 19) im Falle von Fig. 107 die Grenzwert he von K₀, im Falle von Fig. 108 die Grenz werthe von Ku zu den Grenzbeanspruchungen Va Ist A von 0 verschieden, so kann man die Grenzbeanspruchungen Ua (eventuell etwas zu ungünstig) aus 18) 19) mit den Grenzwerthen von K₀, Xa bezw. Ku, Xa ohne Rücksicht aut gleichzeitiges Eintreten dieser Grenzwerthe berechnen (genaueres Vorgehen II A 28).

Durch vorstehende Regeln sind für jeden Stab zwei Belastungen bestimmt, welche die Grenzbeanspruchungen desselben liefern. Welche der beiden Belastungen den grössten Druck (oder kleinsten Zug) und den grössten Zug (oder kleinsten Druck) bedingt, ergibt sich natürlich bei der Berechnung von selbst, es kann jedoch auch aus den S. 172 erwähnten allgemeinen Gesichtspunkten im Voraus testgestellt werden. Dabei genügt es, den Sinn des Beitrags einer Last P auf irgend einer der Beitragsstrecken zu ermitteln, da bei allen Grenzpunkten der letzteren Zeichenwechsel des Beitrags stattfinden. Die Grenzwerthe der Stützenreaktionen treten wie bei vollwandigen Bogen bei möglichst starker Belastung des ganzen Trägers ein. Alit den von der Belastung herrührenden Grenzwerthen sind in allen Fällen die durch andere Einwirkungen (Temperaturänderungen u. s. w.) bedingten so zu kombiniren, dass möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerthe im Ganzen entstehen.

Bogen fachwerke ohne Gelenke. Kontinuirlic h e B o g enfachwerk e. Die gegebenen Regeln, eventuell mit Berücksichtigung von § 12, genügen für einfache Bogenfachwerke mit zwei und drei Gelenken bei gleich oder verschieden langen Feldern. Für einfache Bogenfachwerke ohne Gelenke tritt nur insofern eine Modifikation ein, als alle Linien, welche oben durch die Kämpfergelenke 0 und / zu ziehen waren, nun tangential den Umhüllungslinien U, U‘ zu ziehen sind (§ 2). Die Linien S, U, U‘ wurden übrigens in den bisher praktisch gewordenen Fällen entweder nicht verwendet oder auf Grund von Gleichungen für vollwandige

Bogen verzeichnet (§ 17), doch steht nichts im Wege, Tf, B‘ für eine genügende Anzahl Lagen der Last P nach Beziehungen für das Fachwerk⁶ zu ermitteln, und U als Umhüllungslinie dieser B, wie U' als Umhüllungslinie dieser B' zu erhalten (vergl. Beisp. 1 ).

Fig. 113

Fig. 114

Für die in § 21 behandelten kontinuirlichen Bogen, angeordnet nach dem 8. 168 besprochenen Fachwerksystem, liefern obige Regeln die von der Belastung innerhalb einer betrachteten Oeffnung / herrührenden Grenzwerthe ihrer Stabkräfte, mit welchen die von der Belastung ausserhalb / und durch Temperaturänderungen erzeugten Grenzwerthe, ausgedrückt durch 13) 14) mit den betrefienden Grenzwerthen von II so zu kombiniren sind, dass möglichst ungünstige Grenz-werthe im Ganzen entstehen (§ 21). Bezüglich der Stützenreaktionen bleibt es bei dem in $ 21 Gesagten. Ueber kontinuirliche Bogenfaehw erke von statisch bestimmter Art siehe S. 172.

Formänderungen. Die Einsenkungen und sonstigen Formänderungen von Bogenfach werken mit ausgesprochener Axe hat man bisher nach Formeln für entsprechende vollwandige Bogen berechnet. Genauer ist wie am Schlüsse des nächsten Paragraphen angegeben zu verfahren.

§ 23. Bogenfaeh werke mit Horizontalgurt.

Während bei Bogenfachwerken mit ausgesprochener Axe durch die Stützpunkte die endgültige Berechnung des Horizontalschubes und der

Endinomente häufig nach den Formeln für elastische Bogenträger erfolgt, und nicht selten auch die Stabkräfte aus den Schnittkräften und Schnitt-momenten vollwandiger Bogen ermittelt wurden, ist dies für Bogenfachwerke mit Endgelenken und horizontalem Obergurt im Allgemeinen nicht der Fall. Hier sind jedenfalls die Methoden für statisch unbestimmte Fachwerke zu verwenden, welche auch bei der gewöhnlich geringen Stabzahl keinen allzugrossen Zeitaufwand erfordern. Da wir uns nicht mit der Theorie der Fachwerke zu beschäftigen haben, so sollen die betreffenden Formeln für den Horizontalschub von Bogenfach werken einfachen Systems mit Endgelenken nur kurz angeführt werden, wobei wir gleiches Material aller Stäbe, oder doch gleiche Elasticitätsmoduln E und Ausdehnungskoefflcienten a derselben voraussetzen. (Näheres s. Citât S. 175).

Für irgend einen Stab mögen bezeichnen s die Länge, F den Querschnitt, n die Beanspruchung durch einen Horizontalschub H — 1 allein, und A diejenige Beanspruchung, welche durch die in Frage kommende Belastung im Falle H = 0 entstehen würde (d. h. für ein B a 1 k e n fachwerk der gewählten Anordnung). Dann hat man mit der Bezeichnung

¹

Zuerst von Schmidt, Die kontinuirlichen Bogen, Wien 1878.

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

²

VV e y r auch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer. Leipzig 1887. S. 872 288. Derselbe, Beispiele und Aufgaben rechnung der statisch bestimmten Träger, Leipzig 1888, S. 412—494.

³

Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, §§ 7—10. — Derselbe, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, A 4. 5. — Wir werden diese beiden Werke in §§ 22, 23 mit I und II eitiren.

⁴

f~ 1 + £

so gross sind, als wenn die betrachtete Oeffnung einen einfachen Bogen mit Kämpfergelenken bildete. Für einen solchen geht 13) mit 2 h = h und 6) in § 16, 40) über.

⁵

Bei bewegter Last sind die Grenzwerthe der Beanspruchungen in jeder bestimmten Oeffnung / durch die Belastung der letzteren ganz so zu berechnen, als wenn der Trägerabschnitt dieser Oeffnung ein einfacher Bogen mit zwei Gelenken wäre (§ 16), selbstverständlich unter Verwendung der nun gültigen Kämpferdrucklinie 13). Mit diesen Grenz-werthen sind die durch die Belastung ausserhalb / und die Temperaturänderungen erzeugten Grenzwerthe, welche durch die Gleichungen $ 16, 46) mit den betreffenden Grenzwerthen von //nach 10) ausgedrückt sind, so zu koinbiniren, dass möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerthe im Ganzen entstehen.

⁶

Luegers Lexikon der gesammten Technik, Bd. IV, Stuttgart 1897, Art. Fachwerke, statisch unbestimmte. Die dort gegebenen Formeln genügen für alle hier nicht behandelten statisch unbestimmten Bogenfachwerke. Ueber statisch bestimmte Bogenfachwerke s. oben S. 172 uud Citât S. 168.

1)

durch beliebige Belastung allein :

2)

Z e tc A

ZTn²'

durch ein beliebige Temperaturänderung x allein (bei Zunahme x positiv):

3)

IE ca. i

Zen

und durch eine Aenderung der Spannweite um A 1 allein (bei Zunahme A l positiv) :

4)

Zen²’

In diesen Gleichungen sind die Summen Z auf sämmtliche Stäbe zu erstrecken, doch ist der Beitrag der Füllungsglieder meist klein, sodass er oft vernachlässigt wurde. Der Nenner von 2)—4) ist nur von der Anordnung des Fachwerks und den s, F der Stäbe abhängig, bleibt also für alle Belastungen, Temperaturänderungen und A l derselbe. Ist das Fachwerk vollständig symmetrisch zur Trägermitte, dann sind die e, n symmetrisch liegender Stäbe gleich gross, sodass sich Zen² aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte berechnen lässt. Nachdem der Horizontalschub bekannt ist, erhält man die ganze Beanspruchung eines beliebigen Stabes:

5)

B = A -\- Hn,

worin A, n die angeführten Werthe für diesen Stab bedeuten. Bei Ermittelung der Beiträge x, A l allein ist A = 0.

Die Gleichungen 1)—5) gelten für beliebige Bogenfach werke einfachen Systems mit Endgelenken (ohne Zwischengelenk). Setzen wir jedoch das in § 22 besonders betrachtete einfache System mit Vertikalen und gleich langen Feldern voraus, dann sind die n durch § 22, 13) 14)

II. Abschnitt. § 23.

mit H = 1, die A durch § 22, 8) mit H = 0 und speziell für eine auf die ganze Spannweite gleich-massig vertheilte Last durch § 22, 12) mit H — 0 bestimmt, abgesehen von den Ausnahmefällen, für welche die Gleichungen 15)—19) (S. 171) gelten und also auch die tz, A liefern. Wir fassen nun speziell Fachwerke mit horizontalem Obergurt ins Auge, wobei sich in dem gewöhnlichen Falle symmetrischer Anordnung die Formeln auf die allein zu berechnende erste Trägerhälfte beziehen.

x,__L

A v₂

x₆

<>

h.

Ji

Fig. 115

Die Ä-Gurtung ist horizontal (Fig-. 115).

Dann gelten in den Gleichungen des vorigen § die oberen Vor

zeichen und

xm X,

6)

Im = Wd = u\, = h₀,

während e, v durch § 22, 4) 6) bestimmt sind. Für die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikale hat man nach § 22, 16) 18) ausnahmsweise:

T)

V    =-- K

Y    a    JV0"

Demgemäss folgen aus § 22, 13) 14) mit H = 1 die tx für die X-Gur-t.ung, ^-Gurtung, Diagonalen und Vertikalen, welchen wir zur Unterscheidung die Indices x, z, d, v geben:

Im

7lz =

0    '“'in

8)

max. zuy Xm max. druck J6,n

X hm ho dm s X hm_x

-i

9)

TCv = -

jedoch ausnahmsweise für die Kämpferverti-kalen und Scheitelvertikale aus 7):

_ ÂL

Fig. 116

max zu ff Z,n max. druck Zm

X 10)

O = 0.

Ist der Untergurt beispielsweise einem Parabelbogen vom Pfeile f eingeschrieben, dann hat man nach Weyrauch, Elastische Bogenträger.

VS-

Fig. 117

15, 8) mit l — nX, x = m X :

Besondere Bogenarten.

(3 m = nt ( n—m )

Bei Bogenfach werken mit Horizontalgurt wrerden fast immer die Fahrbahnlasten bei allen Vertikalen auf die Bogen übertragen (Fahrbahnträger von Feldlänge). Alsdann gelten für beliebige Lasten Pu P>,..., welche bei irgendwelchen Abscissen au a₂,. . ■ auf die Fahrbahn oder auf die Knotenpunkte kommen, neben Werth en 6) diefolgenden Gleichungen, in welchen die Grenzen derSunnnen 1 Vertikalennummern bedeuten :

Hn ln

max. zag 1) max druck D„,

X = -‘*-111

Zm =

Dm =

vm =

TA

,.r'

m.-il

<R’

.--""R

Fig. 118

irr:

H n 3m

(c—/,/ S P{1—a)

S / ll

22, 8) mit obigen

11)

^111

ih

ni—i

12)

n)a)

13)

m—1

m—1

(n—m-j-v) 21 Pa-\- 21 P((m—1 ) v /—(n v—v -\- m n)a)

0    m—1

»1,V

14)

-- (v—m) 21 P ( l—a) — H n h

m

Diese Formeln und 7) können also mit H = 0 auch zur Berechnung der A in 2) 5) für die betreffenden Belastungen dienen (vergl. S. 177 oben).

Bezüglich der ungünstigsten Belastungen bleibt es bei den in § 22 gegebenen Regeln (Fig.

11(3    119). Die Grenz

beanspruchungen der Scheitelvertikale treten nach 7) zugleich mit den ( i renzwerthen der dai über liegenden Knotenpunktslast ein.

max. zug V,„

max. druck Vm

■r"

!"

Fig. 119

Die Z-G u r t u n g ist h o r i z o n t a 1 (Fig. 120).

Der Fall ist weniger wichtig, da auch bei Berechnung doppelter Systeme auf Grund der Zerlegung in einfache Systeme bequemer gegangen werden kann (a. a. 0.1 S. 307, 352). Es gelten die Gleichungen des vorigen § mit den unteren Vorzeichen und

vor-

Sm    h₀,

-'m - V

15)

während e, v durch § 22, 4) 7) bestimmt sind. Für die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikale jedoch hat man nach §22, 17) 19) ausnahmsweise:

V₀ = — K₀,

Va = Kn + 2Xa

ha~i — ha

16)

Aus § 22) 13) 14) mit H = 1 folgen die iz für die X-Gurtung, Z-Gurtung, Diagonalen und Vertikalen, welche wieder zur Unterscheidung die Indices x, z, d, v erhalten:

K

a hm

w,

F Vf X » A 2

Ho

~x

£m—1 ^ in—1

17)

Li

lg ..Vs

■■n

Fig. 120

max.zug X max. druck Jtm

£ À II

18)

7TV

£ X

Für die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikale sind ausnahmsweise nach 16) mit 17):

Xm

Fig. 121

2 h₀ /z₀_i ha

19)

=

1st der Untergurt beispielsweise einem Parabelbogen vom Pfeile f eingeschrieben, dann hat man nach § 15, 8) mit I = n 1, x = ml:

Fm

4/

= m (n—m) —4.

max.zug Zm

max.drurk Zrn

Fig. 122

Wird die Fahrbahn last, wie bei BogenfachwerKen mit Horizontal -gurt gewöhnlich, bei allen Vertikalen auf den Bogen übertragen (Fahrbahnträger von Feld-länge), dann gelten für beliebige Lasten Pu P.,..., welche an irgend-welchenStelleiirti, a₂.. auf die Fahrbahn oder auf die Knotenpunkte kommen, neben § 22, 8) mit obigen Werthen 15) die folgenden Gleichungen, in welchen die

Grenzen der Summen 2 Vertikalennummern bedeuten :

I    m    n

I (n—m) SPa-j- m 2 P(7—a)

Hnh"\ihj

.u,n

20)

m—I

Zm =— I (n—m -f- 1 ) - Pa + (m—1) 2 P(l-a)-

I    0    m—X

A. =

Vm =

Hn rm_, J

21)

m—1

m—1

(n—m -f- e) S Pa -f- 2 P((m—1) £ / — (n s

22)

23)

Diese Formeln und 16) können mit H = 0 auch zur Berechnung der A in 2) 5) für die betreffenden Belastungen dienen (vergl. S. 177 oben).

Bezüglich der ungünstigsten Belastungen bleiben die in § 22 gegebenen Regeln bestehen (Fig. 121 —124). Die Grenzbeanspruchungen der Kämpfervertikalen treten nach 16) zugleich mit den Grenzwerthen der darüber liegenden Knotenpunktslast, diejenigen der Scheitelvertikale (weil Ku in 16) immer den gleichen Werth hat) zugleich mit den Grenzwerthen von Xa ein.

___

max\ m y I) max: druck D„,

hm-,

Sv •

Fig. 123

V o r 1 ä u fige B erechnunge n.

—    max.tuy V,n

—    max: druck y,H

Gr

Fig. 124

Tn den obigen Gleichungen treten zufolge 1) die Stabquerschnitte auf. Dieselben sind durch eine vorläufige Berechnung annähernd festzustellen, z. B. auf Grund der Formeln für Bogenfachwerke mit drei Gelenken, für welche wir direkt verwendbare Ausdrücke der Grenzbeanspruchungen für alle Fälle und entsprechende Beispiele gegeben haben (Citât S. 168, IV. Abschnitte).

Für Scheitelvertikalen wären die obigen Gleichungen 7) 16) verwendbar. Man kann jedoch auch beabsichtigen, bei der vorläufigen Berechnung nur einige im Voraus bestimmte Belastungsfälle zu berücksichtigen, z. B. Eigengewicht allein, Vollbelastung des ganzen Bogens und einseitige Belastung bis zur Trägermittewomit man bei symmetrischen Trägern für jeden Stab vier Beanspruchungen erhält. Bei solchen Bechnungen ist die Verwendung vereinfachter Formeln für den Horizontal schuh zulässig.

Wenn beispielsweise in 2)—4) der Einfluss der Füllungsglieder vernachlässigt, ein mittlerer Querschnitt /u des Untergurts eingeführt und das Verhältniss der Querschnitte des Untergurts und Obergurts konstant

fo

24)

gesetzt wird,¹ dann hat man nach 1)—4) bei beliebigem einfachem System durch beliebige Belastung:

E S TZ A -j- ß 2 s TZ A

25)

ll    o

2 s t:² -j- ß 2 s Tw²

durch eine beliebige Temperaturänderung x:

⁷    = Est:²-fß 2 st?’

//„ Eat

26)

und durch eine Aenderung A l der Spannweite:

H =-

f.EU

worin die Summen 2, 2 sich auf alle Stäbe des Untergurts bezw. Ober-

ll O

gurts beziehen. Für symmetrisch zur Mitte angeordnete Machwerke sind die s, rc je zweier symmetrisch gelegener Gurtstäbe gleich gross. In 25) kommt überhaupt kein Querschnitt mehr vor. Das Verhältniss ß liegt für Bogen mit ausgesprochener Axe nahe bei 1 und im Allgemeinen etwa zwischen 1 und 3.

Die angeführten Voraussetzungen hat man häufig selbst für definitive Berechnungen beibehalten. Auch wurden bei letzteren oft die ungünstigsten Belastungen nicht bestimmt und nur wenige Belastungsfälle berücksichtigt, so bei den Sichelbogen S. 94 von 160 m Spannweite der Dourobrücke vier Fälle (Eigengewicht allein, Vollbelastung des ganzen Bogens, einseitige Belastung bis zur Trägermitte, Belastung der mittleren Strecke von 80 m Länge), bei den Bogenfach werken von 36,75 m Spannweite mit Horizontalgurt ohne Gelenke der Frankfurter Neue-Mainzerstrasse-Brticke nur zwei Fälle (Vollbelastung des ganzen Trägers und einseitige Belastung bis zur Trägermitte). Bei der letzteren Brücke war das Verhältniss des Eigengewichts zur Verkehrslast g : p — 3,25.

Man kann beabsichtigen, für vorläufige Berechnungen noch bequemere Formeln als 25) zu verwenden, umsomehr als ß im Voraus nicht

Summe

Mittel

P 00 p 4- IC O ( J- CC LC —

111 m

HOOP ce b oo co te 4- rc ce

TJO

le

Le

H-i 0<

bie

Ot oc

CO oc

PP

b< P P P p

—i O O Ot 00

ce o o

-ci 4-*-

5.581

1.116

J- J“⁴ p p - I ”4- b- P p O ce -d o p oc oc 4^ ^

o>

i—i o<

P P et oc 4- 00

-1 Ot Le GO 4^ -1 4— te —i c co oc

Le h-

P P PP ce PP '00 P 00 o ie ce ot

4- GO 4- OC 05

H nach 25) mit

48 fl

oder noch einfacher nach § 16, 12):

35

1—* et H- P ie 4-ce oc

OP PP p P CO 00 o te ot -3 Le oc ce oc oc

je pp o o bieœV h- ce —14e te -1 e o -1 w

1—¹ e»

H-*■ OC

oc et H-* oc

j—‘j—¹ 00

P PPPP

O -ci oc 00 oc 1- ot c e oc

ppc

00 oc w ©ot o ot oo ce te

»-‘©eotM

i—¹ et

o P

00 oc

-ci -3

pop 4- P P P P 00 00 00 ce ce co 4*- oc 04-

h-* t—¹ I—¹ >—¹ O

ocbtocbot oc et oc o ot 00 —t 4^ >—¹ oc

/ = 2,79]/ = 2,48]/=2,79j/=2,48]/ = 2,79]/=2,48

H = nach 28) mit] ÆT = nach 29) mit H — nach 30) mit

2 Pa (l—a), 0

und näh erungs weise für vollwandige Zweigelenkbogen nach § 16, 11):

// =

Iz

[(»—/) d S + ®cT Ë]

(03

29)

28)

genau bekannt und also grosse Genauigkeit nicht zu erwarten ist. Bei beliebiger Belastung hat man nach § 15, 5) für Dreigelenkbogen mit m = ,/

Hierin bedeutet/ für 28) die Ordinate des Scheitelgelenks, für 29) 30) den Pfeil der Bogenaxe; es fragt sich, was bei näherungsweiser Berechnung von Bogenfach werken ohne Scheitelgelenk mit Horizontalgurt dafür zu setzen wäre. In der folgenden Zusammenstellung, welche sich auf die von Engesser berechnete Itterbrücke bei Eberbach in Baden bezieht (Fig. 125), ist

tXL<4

2,46 : m

21,1 m

Fig. 125

für/ einmal die Ordinate der Mitte zwischen Obergurt und Untergurt im Scheitel (2,79 m), das andremal der Pfeil des Untergurts gesetzt (2,48 m). Die Zahlen geben den Horizontalschub H für eine Last P = l in den angeführten Entfernungen a von einem der Kämpfer.

K o n t i n u i r 1 i c ii e B o g e n f a c h w e r k e.

Alle anfgestellten Beziehungen gelten zunächst für einfache Bogenfachwerke mit Endgelenken. Für kontinuirliche Bogenfachwerke der in § 21 behandelten Art gelten die Gleichungen 1)—5), 24)—27) ebenfalls, wenn L, A L an Stelle von /, A l gesetzt werden, unter L die Summe der Spannweiten verstanden, während die S sich auf die Stäbe aller Oeffnungen beziehen. Die Gleichungen 6)—23) bleiben für jede Oetthung des Bogens der Systeme Fig. 115, 120 mit Horizontalgurt gültig. Die im vorigen § gegebenen Regeln für die ungünstigsten Belastungen dagegen liefern nur die von der Belastung innerhalb der betrachteten Oeffnung l (in welcher der zu berechnende Stab liegt) herrührenden Grenzwerthe, der Stabkräfte, mit welchen die durch $ 22, 13, 14) mit obigen Werth en 6) oder 15) bestimmten, von der Belastung ausserhalb l und den Temperaturänderungen herrührenden Grenzwerthe so zu kombiniren sind, dass möglichst ungünstige Grenzwerthe im Ganzen entstehen. Die vorläufige Berechnung kann auf Grund der Formeln für die Grenzbeanspruchungen entsprechender statisch bestimmter Fachwerke (a. a. O. I §§ 78—81, II B 96—103) oder mit Hülfe der einfachsten in § 21 gegebenen Formeln (s == 0 im Ausdrucke von h, u. s. w.) erfolgen.

F o r m ändern n g e n.

Für die Verrückung eines beliebigen Knotenpunkts A eines Fachwerks in beliebiger Richtung <j bei beliebiger Belastung und beliebigen Temperaturänderungen der einzelnen Stäbe hat man;

S (^+ax)

S 7t,

31)

worin sich die Summe A bei einfachem Systeme auf alle Stäbe bezieht. Für letztere bedeuten s, B E, a die Längen, Querschnitte, Elasticitäts-moduln und Ausdehnungkoefficienten, B die Beanspruchungen in dem Belastungs- und Temperaturfall , für welchen die Formänderung gesucht wird, und 7t diejenigen Beanspruchungen, welche durch eine Kraft

Q = 1 an yi in der Richtung¹ g allein hei Wegfall statisch unbestimmter Reaktionen (also mit H — 0 für die oben betrachteten Bogen) entstehen würden. Bei senkrecht nach abwärts gerichtetem g ist y die Einsenkung des betreifenden Knotenpunktes. Näheres siehe Wey rauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 242; Luegers Lexikon der gesammten Technik, Art. Einsenkung, Gegenseitigkeit.

§ 24. Weiteres zur Berechnung von Bogen.

Wir haben uns bis jetzt im Allgemeinen darauf beschränkt, diejenigen Berechnungen zu begründen und vorzuführen, welche die Bogenträger speziell betreffen, da es nicht möglich ist, bei Betrachtung aller besonderen Trägerarten die allgemeinen Fragen immer von Neuem zu behandeln. Wir werden also auch hier nicht die Berechnung der Querträger und sonstigen Fahrbahnträger, des Windverbandes, die Art der Dimensionirung, der Berücksichtigung von Knickspannungen, excentrischer Druckbelastung, Nebenspannungen aller Art zur Darstellung bringen. Auf Einiges hievon wird im TV. Abschnitt einzugehen sein. Dagegen sollen noch einige Punkte berührt werden, welche bei Bogen im Besonderen interessiren könnten.

Blechbogen.² Es empfiehlt sich, die Querschnitte symmetrisch zur Axschicht anzuordnen, da andernfalls die Bogenaxe nicht die vorausgesetzte regelmässige Form hat, und die Konstruktion an Einfachheit verliert, ohne dass man sicher wäre, die Gurtungsquerschnitte mit den thatsächlichen Beanspruchungen genauer als bei symmetrischen Querschnitten im Einklang zu bringen.

Die Stärke der Vertikalplatte pflegt von vornherein angenommen zu werden, meist 1 bis 1,2 cm, da dieselbe auch horizontalen Einwirkungen widerstehen soll und stellenweise Schwächungen durch Rost auf die Dauer nicht mit Sicherheit zu vermeiden sind. Bei Versuchen mit Blechträgern haben sich diejenigen am besten bewährt, welche kräftige Vertikalplatten und solide Querversteifungen besassen. Eine in diesen Beziehungen genügende Vertikalplatte wird meist auch den Kräften in der Wandebene widerstehen.

Indessen lassen sich die grössten Quer- und Längsschubspannungen für jeden Belastungsfall nach § 9, 8), die grössten schielen Spannungen nach § 9, 11) bestimmen, die sogenannten reduzierten Hauptspannungen wurden bei praktischen Berechnungen dieser Art bisher nicht in Betracht gezogen. Gegenüber den Querschubspannungen und Längsschubspannungen beispielsweise würde nach § 9, 8) 10) bei x eine Plattendicke genügen :

1)

So

worin Tx die grösste Transversalkraft daselbst und x die zulässige Schub-beanspruchung per Quadrateinlieit bedeutet, welch letztere meist gleich ⁴/f, der entsprechenden Zugbeanspruchung z angenommen wird. Unter Mitberücksichtigung der schiefen Wandspannungen kann man statt 1) einstweilen etwa setzen :

2)

5 7\

3 hz’

unter h die Entfernung der Gurtungsschwerpunkte verstanden.

Die grösste zulässige Niettheilung zur Verbindung der Vertikalplatte mit den Gurtungswinkeleisen (Fig. 126) lässt sich setzen:

3)

2 b d h z

wenn d den Nietdurchmesser bezeichnet, doch pflegt diese Formel zu grosse t zu liefern, da man nicht leicht über 6 d bis 8 d hinausgehen wird. Die Niettheilung zum Anschlüsse der Deckplatten könnte im Allgemeinen grösser als 3) sein, pflegt jedoch derjenigen im Stehblech zu entsprechen (Fig. 126). Zum Stosse der Vertikalplatte genügen bei den stets angewandten doppelten Laschen auf jeder Seite der Stossfuge jedenfalls

4)

2 (V

Niete, worin hn die nutzbare Höhe der Vertikalplatte (in der äussersten Nietreihe nach dem Stosse hin) bedeutet.

XU

0-Y-0-T--0

Fig. 126

Bei Wahl der zulässigen Normalspannungen a (§ 8) berücksichtige man die Bemerkungen in §§ 4, 5 und zu IV A. Selbstverständlich ist mit den angenommenen Mittelwerthen nicht sehablonenmässig zu verfahren, sondern allen besonderen Einflüssen soweit möglich Rechnung zu tragen. Wenn es beispielsweise keiner Erwähnung bedarf, dass gedrückte Glieder mit Rücksicht auf Zerknickung zu berechnen sind, so hat man bei den Vertikalständern von Blechbogen (ohne Diagonalen) weiter zu beachten, dass diese Glieder Erschütterungen und Stössen mehr als andere ausgesetzt sind, sodass die gewöhnlichen Sicherheitskoefficienten hier nicht ausreichen (IV 0). Auch excentrische Druckbeanspruchungen können für dieselben, wie für manche Druckstäbe von Fachwerken, in Rechnung zu ziehen sein (IV P). Für den Bogen selbst ist festzustellen, dass genügende Sicherheit gegen seitliches Einknicken durch die Normalkraft iVx besteht (IV K). Bei allen diesen Berechnungen auf Grund von Knickformeln, wie in andern Fällen, für welche Theorie und Erfahrung noch nicht zu allgemein gesicherten Resultaten geführt haben, ist besondere Rücksicht auf etwa vorliegende Versuche unter ähnlichen Verhältnissen wie die in Frage stehenden zu nehmen (IV O, P).

Fachwerkbogen. Bezüglich der Stabkräfte von Bogenfachwerken einfachen Systems wurden in §§ 22, 23 Berechnungsmethoden auf Grund der gewöhnlichen Fachwerkstheorie vorgeführt. Der Horizontalschub II und etwaige Stützenmomente M, M‘ können dabei aus der Theorie vollwandiger Bogenträger oder aus der Theorie statisch unbe-stimmtet Fachwerke entnommen sein. Die Stabkräfte von Bogenfach -vverken mehrfachen Systems wurden in praktischen Fällen meist auf Grund der Zerlegung¹ in einfache Systeme berechnet, so neuerdings wieder bei der Levensauer Brücke über den Nordostseekanal. Die schärfere Berechnung bietet zwar theoretisch keine Schwierigkeit,* ist aber bei einer grösseren Anzahl überzähliger Stäbe praktisch kaum durchführbar, während die Berechnung auf Grund der Mx, Nx, Tx vollwandiger Bogen, soweit die Füllungsglieder in Frage kommen, ebenfalls wenig Befriedigung gewährt. Da letztere jedoch häufig angewandt wurde (( Joblenzer Brücke, Dourobrücke u. s. w.), so mögen noch einigeWorte darüber folgen.

Man nahm gewöhnlich an, dass die Gurtungen den Ax, Mx, die Füllungsglieder den Tx allein zu widerstehen haben. Für erstere gelten dann die Gleichungen § 8, 18) 19) mit F — f₀ -f /„. Bezüglich der Füllungsglieder kommen Stellung und Systemzahl in Betracht, es genüge hier, die gegenwärtig fast allein vorkommenden Fälle ins Auge zu fassen.

Bei einfachem System verlangt das Gleichgewicht im Querschnitt x für einen Füllungsstab, welcher wie in Fig. 127 vom Querschnitt abliegt:

7TX — 8 cos o = 0,

5)

COS 0

und für einen Füllungsstab, welcher wie in Fig. 128 vom Querschnitt abliegt (beispielsweise eine Vertikale auf der ersten Trägerhälfte):

Tx -}- 8 cos y = 0,

worin positive Stabkräfte 8 Zug bedeuten.

Bei doppeltem System mit gekreuzten Diagonalen kommen beide erwähnten Fälle gleichzeitig vor. Man hat dann (Fig. 129, worin jedoch y, o zu vertauschen sind):

Tx — -S cos o -f- 8' cos y = 0,

und wenn, analog der Zerlegung in einfache Systeme angenommen wird, dass beide Systeme gleiche Theile von Tx übernehmen:

cos y

6)

T)

Tx

Fig. 127

rl\

*SY/ =

8)

2 cos y

Etwaige Füllungsglieder an den Feldergrenzen des doppelten Systems (z. B. Vertikalen) lassen sich aus den Bedingungen für das Gleichgewicht der äusseren und inneren Kräfte (Lasten, Stabkräfte etc.) an den begrenzenden Knotenpunkten berechnen. Es kommt dabei weniger auf genaue als auf nicht zu günstige Resultate an, sodass man zur Ermittelung von Grenzbeanspruchungen auch Werthe als gleichzeitig eintretend einführen darf, welche nicht genau

2 cos 5 ’

Nx

Fig. 128

v Luegers Lexikon etc*., Art. Fachwerke, statisch unbestimmte.

dem gleichen Belastungsfalle entsprechen.

Uebrigens wurden bei Berechnungen wie die hier erwähnten immer nur eine Anzahl voraus-gewählter Belastungsfalle berücksichtigt (ähnlich wie in Beispiel 13, 80 und IVA, vergl. S. 181) wobei sich jene Grenzbeanspruch-ungen mit den übrigen ergaben.

Fig. 129

Bei der Dourobrücke hat man sowohl für die Berechnung der Gurtungen als für diejenige der Füllungsglieder angenommen, dass auch letztere an der Uebertragung von Ny. theilnehmen, was für die stets gedrückten Gurtungen etwas günstiger, für die Füllungsglieder etwas ungünstiger als obige Annahme war.

Unmittelbar verwendbare Formeln für Fachwerke doppelten Systems mit Vertikalen und gleichlangen Feldern siehe Citât S. 108 §§ 87, 88. Bei Bogen mit Endgelenken sind darin M = M‘ == 0, bei gleichen Stützhöhen k — 0 zu setzen. Ueber Nietverbindungen von Fachwerkträgern s. Citât S. 184, §§ 38—40, 43—45.

§ 25. Ketten.

1)

Auch die Ketten können zu den Bogenträgern gerechnet werden. Eine vollkommene Kette ist ein B ogen in it stetig a u f-einander folgende n (reibungslosen) Gelenken. Wir haben also für dieselben in allen Querschnitten:

Mx = cNx = 0,

und damit nach $ 1, 13) auch:

2)

dx

= Tx = 0.

Die Transversalkräfte sind gleich Null, die resultierenden Schnittkräfte wirken normal den Querschnitten oder tangential der Kettenaxe und greifen nach 1) in der letzteren an. Selbstverständlich sind auch die

PC

p-T

Fig. 180

Momente M, M' bei den Stützen gleich Null. Mit Rücksicht hierauf und 1) folgt aus § 1, 8) die allgemeinste Gleichung der Kettenlinien, d. h. die Gleichung der Kettenaxe für beliebige Belastung:

Vx —

N P (X—a) J ,

3)

oder auch nach § 1, 8):

und wenn

5)

Hl

£(/— X) 2 P a -f- x 2 P (/—a) J,

3)

Y = y — j x

gesetzt wird, die vertikale Abweichung der Kettenlinie gegen die Verbindungsgerade der Stützpunkte :

Hl

[(/-x) 2 P a + x 2 P (/- a) J

6)

In diesen Gleichungen wie in allen Beziehungen für Ketten wollen wir die y nach unten, die H nach aussen (Fig. 130) und ziehende vVx als positiv ansehen, was nach § 1 ohne Aenderung der dortigen Formeln zulässig ist. Für gleiche Stützhöhen sind k — 0, I = y.

Kennt man für irgend einen Punkt x, abgesehen von den Stützpunkten, die Ordinate y oder den Werth Y. so liefern vorstehende Glei-

chungen auch den Horizontalschub H. Wird beispielsweise für x = _ = rn Y — f gesetzt, so folgt aus 6) :

H =

2/

[ŚP« + 2P«-a>]

Für stetig vertheilte Lasten lassen sich vorstehende Gleichungen mit .Rücksicht auf $ 14 spezialisieren. Ist beispielsweise die Belastung mit // per Längeneinheit auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilt, so sind nach § 14:

2Pa =

U X-~2

womit nach ()) :

Y = x {l—x) Yg wir haben in diesem Falle die parabolische Ivettenlinie. Wird für x = [ wieder Y — f gesetzt, so drückt sich zufolge 8) der Hori-zontalsehub aus:

8)

8/’

9)

womit wir anstatt 8) auch schreiben können:

Y = x (l—x)

Wie hier die Gleichung der parabolischen Kettenlinie, so können auch die Gleichungen anderer Kettenlinien aus 3>—6) erhalten werden. Die häufig in der höheren Analysis behandelte gemeine Ketten linie entsteht, wenn die Belastung nicht wie bei der parabolischen Kettenlinie auf die Horizontalprojektion der Kette, sondern auf die Kettenlänge gleich-mässig vertheilt ist. Dies triât z. B. bei homogenen Ketten von konstantem

4/

10)

Querschnitt zu, wenn dieselben nur ihr eigenes Gewicht tragen. Uebrigens ist die gemeine Kettenlinie ohne praktische Bedeutung. Bei der Navi ersehen Kettenbrück en linie werden ausser dem näherungsweise berücksichtigten Eigengewicht der Kette (einem Parabelbogen von konstantem Querschnitt entsprechend) eine auf die Horizontalprojektion gleich-massig vertheilte Last (Fahrbahnlast) und eine nach den Stützpunkten hin zunehmende Last (Eigengewicht der Tragstangen) angenommen. Hätten wir neben beliebigen koncentrirten Lasten eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit, so würde aus Gleichung 6) nach Ausscheiden der letzteren (welcher die nach 7) angeschriebenen Werthe der 2 entsprechen):

Hl

[, {l—x)    -J- (/—x) 2 Pa -j- x 2 P (l—ß)l

11)

worin die 2 nur noch die koncentrirten Lasten umfassen. Wird für

x —    = m gesetzt Y — /, so folgt:

12)

2/

Dt + ? Pa + !

Je flacher die Kette, desto eher wir das Eigengewicht als gleichmässig vertheilt auf die Spannweite angesehen werden können.

Während Drahtseile als vollkommene Ketten berechnet werden, kommen bei Hängebrücken auch Ketten vor, welche aus gelenkartig verbundenen geraden Stäben von endlichen Längen bestehen (Fig. 131).

V'

Fig. 131

Alsdann ist nur in den betreffenden Gelenkpunkten Mx — 0, sodass auch die abgeleiteten Ausdrücke von //, Y genau nur für diese gelten.

Da die Ketten und Kettenlinien in der Theorie der Hängebrücken eine besondere Behandlung zu erfahren pflegen, so haben wir keinen Grund, hier weiter darauf einzugehen.³

III. Absclmitt.

Ableitung statisch unbestimmter Grössen.

Es erübrigt noch die Ableitung derjenigen Formeln, auf welche im Eingang zum II. Abschnitt hingewiesen wurde. Die wichtigsten derselben sind bereits bei den betrachteten Trägern angeführt und in bisherigen Beispielen verwendet ; doch muss ihre Begründung zur Be-urtheilung ihrer Zuverlässigkeit und des Gültigkeitsbereichs eingesehen werden können. Andere Beziehungen betreffend die Formänderungen und daraus folgende Grössen werden erst in diesem Abschnitte gegeben, weil sie weniger oft zur Verwendung kommen. Im Ganzen beschränken wir uns auch hier auf das praktische Nöthige oder zur Aufklärung des Bedürfnisses dienende. Es können zweifellos Fälle elastischer Bogenträger oder Berechnungen in Betreff solcher Vorkommen, welche auch in diesem Spezialwerke nicht besonders behandelt sind. Dieselben werden entweder leicht an der Hand der gegebenen Beziehungen zu erledigen sein, oder ihre allgemeine Behandlung würde so weit führen, dass es sich empfiehlt, gegebenen Falls auf die besonderen Verhältnisse Rücksicht zu nehmen. Bei ausnahmsweise schwierigen Problemen werden ohnehin entsprechend durchgebildete Ingenieure oder Docenten zur Verfügung sein.

§ 26. Kleine Formänderungen im Allgemeinen.

k"

Fig. 132

Wir haben in ^ 7 in der Trägerebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem von fester Lage gegen die anfängliche, dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Gruppirung der Stabpunkte angenommen (Fig. 132), und unter den Koordinaten x, y eines Querschnitts die anfänglichen Koordinaten seines in der Stab-axe liegenden Schwerpunktes, unter cp den anfänglichen Winkel der Stab-axe bei x mit der positiven Richtung der Abscissenaxe verstanden. Die den betrachteten Formänderungen entsprechenden Aenderungen von x, y, cp

wurden durch A x, A //, A cp bezeichnet. Nach § 7, 1) 2) hat man für kleine Formänderungen :

d A .s

1)

dix = — A cp d y -f-

d A y = A cp d x 4

dis

dy,

2)

worin, wenn die Zunahmen <7 A s, d 1 cp von x bis x-f-rix nur von den in den £§ 3, 4, 6 betrachteten Spannungen und Temperaturänderungen herrühren nach § 6, 5) 6) :    f] if) j

l,

= * - f)+(^ + v)

3)

N**'*“

EFr’

4)

Fig. 133

Die zuletzt erwähnte Voraussetzung trifft in den hier in Betracht kommenden Fällen nur dann nicht zu, wenn sich Zwischengelenke innerhalb einer Spannweite befinden, in welchem Falle die Aendernngen A cp unmittelbar nach und vor dem Gelenke um einen endlichen Werth co = A cpn — A cp y verschieden sein können. Denn selbst wenn die Tangente an die Bogenaxe beim Zwischengelenke anfänglich horizontal war, wird sie im Allgemeinen nach der Deformation daselbst einen endlichen Winkel überschlagen (Fig. 133). Wir wollen jedoch diese Ausnahme unten bei Bogen mit drei Gelenken behandeln und setzen zunächst auch die Gleichungen 3) 4) als gültig voraus.

Mit Rücksicht auf die Ausdrücke der Differentiale von Produkten d (y A cp) = A cp dyĄ-y d Acp, d (x A cp) = Acprfx-j-xrfA cp,

und die Bezeichnung 4) können wir in den Gleichungen 1) 2) setzen :

CD OI

A cp dy = d (y 1 cp) — y Z d s,

1 cp d x = d (x A cp) — x Z d s, womit dieselben bei Beachtung von 3) folgende Formen annehmen :

d (x A cp) — x Z d s -f- Yd y.

dix — — d (y 1 cp) -j- y Z ds-f- Y d x, dly =

Da hierin nach § 3, l)

d s = — r d cp,

so erhalten wir durch Substitution von 3) 4) :

d 1 x = — d (y 1 cp) -f-

Mx

x d cp

EJ

-j-air/x,

Mx

8)

14)

Mx = M + Vx - H y — S P (x-a),

15)

Xx = Vx sin cp -\- H cos cp,

worin nach § 1, 4) 2) die Vertikalkraft bei 0 und x \

16)

[ J/' — M -j- Hk -f S P il—a)J,

17)

dl cp =

EJ

ds

+ K + “)

E Fr'

Bei der Integration dieser Gleichungen treten bestimmte Integrale welche wir im Allgemeinen wie folgt bezeichnen :

5' 's

'x Mx

EJ

y d ft,

r,

M.

EJ

x d s,

r₂ =

/>.+£)'--*

/>■+£)

ii)

x d cp

, 12)

13)

Ed.s\

EFr’

während ihre Werthe speziell für x — l in der Folge durch die entsprechenden Buchstaben des grossen deutschen Alphabets mit gleichen Indices bezeichnet werden sollen.

Es mögen nun die Voraussetzungen und Bezeichnungen des § 1 gelten. Für alle betrachteten Bogen hat man bei beliebiger Belastung und beliebiger Temperaturänderung das Moment und die Normalkraft im Querschnittt x nach § 1, 3) 9):

EJ

Vx = V— s p.

0

Tn dem gewöhnlichen Falle gleichhoher Stützpunkte, welche stets in der Stabaxe zu denken sind, ist bei x — l die Ordinate y — k — 0.

Die Gleichungen 8)—10) haben sowohl zur Ableitung der Formänderungen selbst, wie zur Bestimmungen derjenigen in 14)—17) auftretenden Grössen zu dienen, welche nicht aus rein statischen Gleichungen folgen, also bei Bogen mit zwei Gelenken des Horizontalschubs //, bei Bogen ohne Gelenke des Horizontalschubs H und der Endmamente M, M‘. Die integrale 11)—13) sind jedoch erst ausführbar, wenn die Form der Bogenaxe und die Veränderlichkeit des Querschnitts angenommen sind. Damit werden auch jene statisch unbestimmten Grössen und durch diese alle Beanspruchungen von der Bogenaxe und den Querschnitten des Bogens, sowie nach 11)—13) von der Temperaturänderung und, wie sich zeigen wird, von etwaigen Bewegungen der Stützpunkte abhängig.

Wir ziehen nun die im zweiten Abschnitte betrachteten Bogenarten in Betracht. cp₀, cpi mögen die Winkel cp für x = 0 und x—l bedeuten. E und ax sollen für je eine betrachtete Oeffnung als gleich gelten.

Oeffnungen mit zwei Gelenken.

Für Oeffnungen mit Endgelenken allein sind M — M‘ — 0, H aus den Formänderungen zu berechnen. Da der Ursprung der Koordinaten

immer im Schwerpunkt eines Endquerschnitts bleibt, also für x = 0 A x — 0, A y = 0 sind, so liefern die Gleichungen 8)—10) mit 11)—13) für beliebige x :

I x — — y A cp —f- Xi — AQ -f- ocx x,

x A cp — 1 i — Yo -j- a x y,

A cp₀—f— Z^ -f- Z2,

18)

Xy =

A cp =

wonach für x — l zur Bestimmung von H, A cp₀, A cpt bei unveränderlicher Lage der Endgelenke :

A I = O = — k A cp! -f-    - X₂ a x Z,

AA: = O =

l A cp! —    — $₂-f- «TÄ,

A cp! =

A <p0 + 3l 4“ ^2-

Wenn jedoch wie bei den in §§ 20, 21 betrachteten Bogen mit Zugstange und kontinuirlichen Bogen, und unbeabsichtigt auch bei gewöhnlichen einfachen Bogen mit Kämpfergelenken, Aenderungen A l von l oder A k von k eintreten, dann sind in 19) deren Werthe an Stelle von 0 zu setzen, was durch die Vorausstellung angedeutet ist. Bei Oeffnungen mit gleich hohen Endgelenken genügt wegen k — 0 die erste Gleichung 19) allein zur Bestimmung von H, wonach A cpi aus der zweiten und schliesslich A cp₀ aus der dritten folgen. Damit werden auch die Gleichungen 18) für beliebige x verwendbar.

Oeffnungen ohne Gelenke.

Für solche sind H, M, M‘ mit .Rücksicht auf die Formänderungen zu bestimmen. Bei unveränderlich fest gespannten Endquerschnitten liefern die Gleichungen 8)—13) für beliebige x:

Ix — — y A cp -j- Xt — X₂ -j- a t x,

a; A cp — Y i — Y>-\- ocx y,

A cpo -j- Z{ -}- Z₂ mit A cp₀ = 0,

20)

a y =

= 0 = — k A cp! -f- Xi — -L -j- a x / mit A cpt = 0,    \

A k = 0 = l Acpi — 2),-g)₂+axÄ: „ A cpi = 0,    )    21)

a rfo + 3i +

A cp =

wonach für x — l zur Bestimmung von H, M, M‘ :

„ A cpo = 0.

A cpi = 0 =

Treten Verrückungen und Verdrehungen der Endquerschnittte, jedoch ohne Abheben von den Kämpfern, ein, so sind die betreffenden AŻ, AA;, A cpo, A cp, in 21) an die Stelle der 0 zu setzen, was durch den gewählten Ausdruck der Gleichungen angedeutet ist. Da für eine Aenderung A k der relativen Höhenlage der Stützen ohne andere als die hierdurch bei senkrecht zur Axe bleibenden Querschnitten bedingten Verdrehungen der Endquerschnitte :

A cpo = Acpi = -j-,

13

so fallen auch für diesen Fall A A-, A cp₀, A cp, aus den Gleichungen 21), wonach eine solche Bewegung der Stützen keinen Einfluss auf H, M, M' Weyrauch, Elastische Bogenträger.

ausübt. Wohl aber würde A k allein, d. h. mit Acp₀ = A== 0, Aen-derungen von H, M, M‘ bedingen, wie dies auch stets für A / gilt, Nach Ermittelung von H, M, M‘ werden auch die. Gleichungen 20) für beliebige x anwendbar.

Oeffnungen mit drei Gelenken.

Für Oeffnungen mit Endgelenken und einem an beliebiger Stelle x — m, y — f der Bogenaxe liegenden Zwischengelenke sind M — M‘ — 0, H wegen Mm = 0 aus 14) 16) oder § 1, 8) mit x — m statisch bestimmt :

[(/—m) S Pa -f m 2 P (/—«)]

22)

if — m k

sodass man auf die Formänderungen nur Rücksicht zu nehmen hat, wenn letztere selbst interessiren.

Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass bei x — m eine LTn-stetigkeit der Winkeländerung A cp eintreten kann (S. 191). Zwischen Ound m wie zwischen m und / hat jedoch auch hier d A cp den durch 4) ausgedrückten unendlich kleinen Werth. Demgemäss haben wir von x — 0 bis x — m ganz wie bei Oeffnungnn mit ztvei Gelenken:

A x — — y A cp -f- X\ — X%-\- uz x,

X Acp — rt — Y.> -f at y, A cp,, -\- Zv ~\- Z2,

23)

A y =

Acp =

während zwischen x — m und x = l zunächst nach 1) 2) mit 8) 5) 6) gesetzt werden kann :

— x Z d s]

+ /o Y d y,

wozu nach 4) kommt, wenn A cpv, A cpn die Werthe von A cp unendlich wenig vor und nach m bezeichnen:

A cp = A cp₀ —}- ! Z d s    A cp„ — A cpv —|- / Z d s.

Diese Gleichungen können wir auch wie folgt schreiben :

\x =

“ / A 'G — y A cp +/A cpn -f / yZds-j-l Yd x,

J o    Jo

m A cpT -f- x A cp — m A cpn — / x Z d s 4- / Y d y,

Jo    Jo

Acp = A cp₀ —(— A cpn

A cpv + I Zd .V,

J o

wonach, wenn

24)

A cpv

w = Acp„

den Sprungwerth von A cp beim Gelenk bedeutet (Fig. 133), nach Einsetzen der Ausdrücke 3)4) mit den Bezeichnungen 11)—13) von x = m bis x — l\

A x — — y A cp -}- X

A y =

A cp =

X,Ą-axx + w/,

i

xAcp — Yx — Y₂ -|- <xxy — oo m,

A <Po+ 4“ ^2 -f- w, und speziell für x— I zur Bestimmung von co, A cp„, A cp! bei unveränderlicher Lage der Endgelenke;

25)

A / — 0 = — Ac A cp! —j— Xi — X₂ -j- a x l w /, 1k = 0 =

26)

l A cp! — Di — ÿ)₂ -f- oc x k — co m,

A cp! =

a To + 3i + 32 4-w-

Wenn jedoch Aenderungen AZ, A k von l, k eintreten, dann sind in 26) deren Werthe an Stelle von 0 zu setzen, was durch die Vorausstellung angedeutet ist. Die Gleichungen 25) 26) unterscheiden sich von den Gleichungen 18) 19) für Oeffnungen ohne Zwischengelenk nur dadurch, dass in letzteren co = 0 ist. Bei Oeffnungen mit gleich hohen Endgelenken genügt wegen k — 0 zur Bestimmung von co die erste Gleichung 26), worauf die zweite A cpx und schliesslich die dritte A cp₀ liefert. Die Gleichungen 23) 25) für beliebige x werden dann ebenfalls verwendbar.

Durch die vorgeführten Beziehungen ist das die Ermittelung der statisch unbestimmten Grössen H, M, M‘ und der Formänderungen betreffende Problem vom Standpunkte der Mechanik aus als gelöst zu betrachten. Die Ausführung der Integrale bietet für den Ingenieur im Allgemeinen nur insofern Interesse, als die dabei gemachten Voraussetzungen und zugelassenen Vernachlässigungen die Gültigkeitsgrenzen und Genauigkeit der Resultate beeinflussen. Wir fassen zunächst den einfachsten und praktisch wichtigsten Fall ins Auge.

§27. Horizontalschub des symmetrischen Parahelbogens mit

zwei Gelenken.

Nach § 26, 18) haben wir die Aenderung der Abscisse eines beliebigen Querschnitts x :

1)

Ix — — y A cp -f- W) — X₂ -}- a. xx,

worin nach § 26, 11) wenn d x = d s cos cp berücksichtigt und ein konstanter Mittelwerth

eingeführt wird :

-X,

c — J cos cp

2)

^ Mx y d x.

Handelt es sich nun um einen zur Trägermitte symmetrischen Parabelbogen von der Spannweite l und dem Pfeile /, so hat man :

Ec

3)

13*

rf-

J x ( l—x ).

Mit diesem Werthe und dem allgemeinen Ausdrucke des Momentes bei x,

Mx = M + Vx — Hy — ÏP{x—a),

liefert die Integration von 3) (bezüglich der Integration von Summen 2 s. Luegers Lexikon der gesummten Technik II, Stuttgart 1895, Art. Belastung :

5)

Xx =

3 EcP

[2 M x² (3 1—2 x) -f- V x³ (4 1—3 x)

h*L

x³(10P — 15 Ix + ttx*)

^P(x—a)²(4lx—3a;ä +

0

6)

und für Oeffnungen mit Endgelenken in gleicher Höhe wegen

\ZP(1—a)

l 0

speziell bei x = /, wo wie in § 26 die Werthe von X mit deutschen Buchstaben bezeichnet werden :

ff HP__

1 öEc^SEcP Bei Ausführung des Integrals

welches häufig vernachlässigt wird, gestatten wir uns anstatt des Parabelbogens einen Kreisbogen von gleichen l, f ( Big. 134), also dem Radius

M = 0,

7)

S Pa (/—a) (P -4- l a—<P).

0

Fig. 134

8)

J!> /

8/ ' 2

9)

zu Clrunde zu legen. Dies ist umsomehr berechtigt, als. in jenem Ausdrucke der Beitrag von Nx bei Weitem überwiegt, gerade Nx aber durch die Vertauschung selbst bei steilen Bogen nur wenig beeinflusst wird (vergl. z. B. Bemerk, zu BeDp. 30, S. 120). Da für den Kreisbogen (Fig. 135)

x — r (sin y₀ -- sin cp), y = r (cos cp — cos cp₀),

r —

/QX

r\

il

"r

sin cp =

l—2x

ri

CM

cos cp =

so erhalten wir

Fig. 135

;• cos cp d cp,

d x-j- y d cp =

r cos cp₀ d cp ==: cos cp„ d s =

r/ .s,

und wenn wieder dx — ds cos cp gesetzt und ein konstanter Mittel werth N    k — F cos cp

10)

eingefiihrt wird :

X, =

iw?!*.

11)

worin nun r den durch 9) bestimmten konstanten Werth hat. Da nach $ 1, 9) 2) in miserai Falle

— Vx sin cp —j- di cos cp = (

1—2 x

+ H— i±ü

r

so folgt:

' c-i

(Z X—X*)

; 2 P(x—a) ( I x—a) -f-H fx

+ r.L»d*>

nl: y d x

2/

Hx

während mit 5):

l *Mx d x = Mx^-V~

Wir erhalten demnach aus 11) allgemein:

1-2 Mx -j- VI x -j- 2 Hx (r—-/)    S P(x—a) (1—2 n) j 12)

und für Dehnungen mit Endgelenken wegen 7) speziell bei x = Z:

X₂ =

r—f

2 E k r-

x₂ =

r—f

2~

XP(x af. 1 0

[■Hl(;r-f) + \pa(l-a)].

13)

Nach Gleichung 1) hat man für x = / wegen y — k = 0: AZ = 3t,

—j— 7 X Z,

worin bei unveränderlicher Spannweite (Horizontalentfernung der Knt-gelenke) AZ = 0 wäre. Werden die Ausdrücke 8) 13) eingesetzt, so folgt für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp:

15 c

14)

AZ =— H

8 lp

15 E c

[H-

Sk ( rf) ] + ZEcl^Pa^1 a^llJrla a") S Pa (Z—a) 4- 7 x Z.

o

r—f

E k r²

15)

Hieraus folgt mit den abkürzenden Bezeichnungen :

J cos cp F cos cp ’

16)

_ §1 TuL

f r² ’

als Ausdruck des gesuchten Horizontalschubes im allgemeinsten Falle (für beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung - und beliebige kleine Aenderung AZ der Spannweite):

17)

^ P a (il—a) (Z² -f- Z a — a² — ß Z²)

15 Ec

¹ (1 + £) 8/

Für y nach 16) kann man entweder wie bei der obigen Ableitung von H den Quotienten der Mittelwerthe von c und k oder aber den Mittelwerth

von A verwenden, da wir in 11) auch

(1 + e) 8/Z³

AZ

at--T-

)•

¹

Vergl. Engesser, Theorie und Berechnung der ßogenlachwerkträger ohne Scheitelgelenk, Berlin 1880, S. 10 (Beispiel: Itterbrücke bei Eberbach).

²

Vgl. Weyrauch, Die Festigkeitseigenschaften u. Methoden der Dimensionenberechnung von Eisen- und Stahlkonstruktionen, Leipzig 1889, §§ 32, 42, 45. Luegers Lexikon etc., Art. Blechträger, Dimensionenberechnung ; bezüglich der reduzirten Hauptspannungen s. Art. Festigkeitsbedingung.

³

Man sehe: Schwend, Lieber Berechnung und Konstruktion von Hängebrücken, Leipzig 1887; Handbuch der Ingenieurwissenschaften, zweiter Band: Der Brückenbau, IV. Abtheilung: Eiserne Bogenbrücken u. Hängebrücken, Leipzig 1888.

J dx

F cos cp F J cos cp

/’

setzen und neben dem Mittelwerth c = ./cos cp einen zweiten, y =

einführen durften. Theoretisch erscheint die erste Annahme desshalb etwas genauer, weil mit ihr in AG nur ein Mittel werth zur Verwendung kommt. In praktischen Fällen führen beide Annahmen im Allgemeinen zu kaum von einander abweichendenden Resultaten. So erhielten wir für die Oeffnungen I—V der im TV. Abschnitt betrachteten Cannstatter Neckarbrücke nach der ersten bezw. zweiten Annahme (vergl. TV B) :

1368,86    1504,42    1637,92    1504,74    1365,06,

1365,28    - 1504,31    1637,25    1504,31    1365,28.

§ 28. Bemerkungen zu den Formeln des $ 21.

Die in den Gleichungen des vorigen Paragraphen auftretenden Grössen e, ß sind mit y nach § 27, 16) wie folgt, ausgedrückt :

15 y (r—fV _ 15 y / Z² — 4/²\2 £ ~    8 \ rf 7    8/²''G-}-4/²‘

Z² —4/²

(F+4'7²)²’

1)

r~f

fr²

= 24 y

2)

wonach dieselben in der Beziehung stehen:

3)

64    /²

— 5 r_/ — 5 /- —4/²‘

Bei Betrachtung symmetrischer Parabelbogen ohne Gelenk kommt hinzu:

r²

8/

.)•

4)

/²+4/

Es fragt sich, welche dieser Grössen vernachlässigt werden können. Da

für / = 0 mit r = oo, cos cp = 1, y =

15 J 2 £    8 F ⁰⁰

* — AZ⁸^’

24,/

F/²’

so ist klar, dass e nicht bis zu beliebig flachen Bogen unberücksichtigtbleiben darf. Zur weiteren Beurtheilung müssen praktische Fälle herangezogen werden. Für die ältere Coblenzer Brücke von Z = 98,0775 m = 11/ hat man (Beisp. 16, S. 86):

Hiernach kann £ wohl in allen praktischen Fällen und ß meist ebenfalls vernachlässigt werden, während e im Allgemeinen zu berücksichtigen ist,. In letzterer Hinsicht kommt in Betracht, dass eine geringe Aenderung des Horizontalschubs wesentliche Aenderungen der Momente und Beanspruchungen hervorbringen kann (Vergl. Bemerk, zu Beisp. 30). Für H selbst würden z. B. bei der Ooblenzer Brücke durch Vernachlässigung von e Differenzen von etwa 4,56 °/o (Beisp. 16), ohne Vorhandensein der Kämpfergelenke aber solche von 27,38 °/o entstehen (Bemerk, zu Beisp. 27). Für die Momente und Normal Spannungen könnten noch grössere Abweichungen eintreten (Bemerk, zu Beisp. 27 und zu Beisp. 30).

Die Unzulässigkeit einer allgemeinen Vernachlässigung von e zeigt sich auch in den Konsequenzen derselben. So würde danach bei Belastung der ganzen Spannweite durch eine beliebig grosse gleichmässig vertheilte Last keine Einsenkung entstehen (§§ 15, 16, 17 und Aufg. 7), während doch z. B. für /==0 bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk dieselben Einsenkungen entstehen sollten, wie bei Balken mit beiderseits frei drehbaren und beiderseits festgespannten Enden. Nebenbei ergibt die Annahme e = 0 im Falle f— 0 für Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk H— oc anstatt H— 0, womit bei letzteren auch ganz unrichtige M, M‘ verbunden sind (vergl. S. 85, 102, 107).

Man könnte es auffallend finden, dass im Allgemeinen zwar ß aber nicht e vernachlässigt werden soll, während doch nach 3)

für

ß>s

t = 0,045633, ß = 0,004992, Ç = 0,000114,

und für die im IV. Abschnitt behandelte Neckarbrücke zwischen Stuttgart und Cannstatt :

in Oeffnung

II

III

IV

mit

48

und

50,48    48

4,855    4,505

/= 45,51 /= 4,375

£ = 0,011523 0,010767 0,010464 0,012063 0,016870 ß = 0,001415 0,001395 0,001287 0,001411 0,001462 - = 0,000036 0,000038 0,000033 0,000034 0,000026

4,735

45,51 m 3,695 m

L>±

- "    13 ist. Allein bei so steilen Bogen ergibt sich nicht etwa ß so gross, dass es wie £ berücksichtigt werden muss, sondern umgekehrt £ so klein, dass es wie ß vernachlässigt werden kann. Für die Bogen der Dourobrücke (8. 94) von l = 160 m, /= 42,65 m beispielsweise hat man (Beisp. 40):

£ = 0,004287, ß = 0,005447, Ç = 0,001442,

während für /= r nach 1) 2) £ und ß gleich 0 werden. Uebrigens würden wrir für den Bogen der Dourobrücke die Formeln für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp nicht zur Verwendung bringen (Vgl. Beisp. 40).

Die Annahme eines konstanten (mittleren) J cos cp bei der Berechnung statisch unbestimmter Grössen parabolischen Bogenträger entspricht der Annahme eines konstanten J bei Ermittelung entsprechender Grössen von Balkenträgern, sie erscheint oft berechtigter als diese. Während der Verfasser durch vergleichende Berechnungen nachweisen konnte,¹) dass bei einem kontinuirlichen Balken von den Dehnungen 52, 65, 65. 52 m und einer Veränderlichkeit von J zwischen 1 und 2,17 die Annahme eines konstanten J bei den Vertikalkräften Vx kaum merkliche, bei den Momenten Mx im Allgemeinen unter 3 °/o bleibende Abweichungen ergab (jedoch an einer Stelle 6 °/o) schwankt J cos cp z. B. bei der älteren Coblenzer Brücke zwischen 1 und 1,19, bei der oben erwähnten Neckarbrücke in der ungünstigsten Oeffnung zwischen 1 und 1,50, die Mx aber sind bei Bogen weit kleiner als bei Balken unter sonst gleichen Verhältnissen.

Es gibt jedoch Fälle, in welchen die Annahme eines konstanten J cos 9 nicht ohne weiteres zulässig ist. Hierher gehören insbesondere die steilen Sichelbogen nach Art des Bogens der Dourobrücke (S. 94), wie sie in neuerer Zeit mehrfach ausgeführt wurden. Bei diesen nehmen von den Kämpfern bis zum Scheitel gleichzeitig J und cos 9 sehr bedeutend zu, sodass z. B. beim Dourobogen in den Feldermitten J zwischen 1 und 19,09, Jcos 9 sogar zwischen 1 und 27,62 schwankt (Beisp. 39). Hit Rücksicht auf solche Fälle und auf nicht parabolische Bogenaxe sollen in §§ 31, 32 auch Formeln für symmetrische Zweigelenkbogen von beliebiger Axform und beliebigen Querschnitten abgeleitet werden ( Vergleich der B.esultate mit denjenigen für den Parabelbogen s. Beisp. 40, 42). Dieselben können auch für Kreisbogen zur Verwendung kommen (s. über diese Aufg. 13, 14). Uebrigens ist für die gewöhnlichen Hachen Brückenbogen die Parabelform auch abgesehen von der einfacheren Berechnung der Kreisform vorzuziehen, weil für sie bei gleichmässig vertheilter Belastung (annähernd für Eigengewicht allein und Vollbelastung) die günstigsten Beanspruchungen erreicht werden können (vergl. Aufg. 9 und IV L).

Aufgabe 13. Horizontalschub von Kreisbogen mit zwei Gelenken.

Es soll der von einer Temperaturveränderung x und einer Aenderung A / der Spannweite herrührende Horizontalschub des Bogens mit kreislörmiger Axe‘ konstantem Querschnitt und Kämpfergelenken in gleicher Höhe berechnet werden.

Der verlangte Horizontalschub ist zufolge § 26, 19) aus \ 1 — 1

1)

1₂ -p a x Z

zu berechnen, worin die 1 die Werthe X nach § 26, 11) für x = Zhedeuten. hat also bei konstanten F, J. E, a x :

*1 =

= wrf!{^ + ~){dx+!i"v-

2)

3)

Da hierin für den Einfluss von x, A / allein (d. h. wenn alle Lasten P gleich 0 gesetzt werden) nach § 16, 2)—5) :

= — H y,

ATx — H cos y.

d x -|- y dy — — r cos cp₀ d cp.

und neben ds —— rdcp (S. 14) speziell für den Kreisbogen (vergl. § 27): y— r (cos cp — cos cp₀),

so erhalten wir :

H f¹    Hrs 1¹

=-Ëj\/ds = -ëjJ'«*»*-™ *.)'**'

und bei Beachtung von cp, = — cp₀ :

H rs

T, = -jjjj (3 sm <p₀ cos cp₀ — 2 cp₀ cos- cp₀ — <p₀).

W egen

.1/

2VTx -|- ~ * = H cos <po

folgt weiter

H r    li r

= - ~Ë~F COs2cpo )nd* = EF ² 7₀ C0SV

Die Substitution der gefundenen 3E in 1) ergibt : H rs

= -ßj (3 sin <p₀ cos cp₀ — 2 ç₀ cos² ç₀ — ?₀) woraus der gesuchte Horizontalschub:

II r

E F 2 cp₀ cos² cp₀ -h « T Z,

-1)

TZ =

EJ

Da hierin (vergl. § 27) :

2 r cp₀ = s, so können wir auch schreiben :

3 sin cp₀ cos + (l +    ) 2 cp₀ cos² cp₀

sin cp₀ =

2 z-'

% x / — AZ

3 Z /• ( /' /) + 2 s (/■—/)² (l 4

ZV²

r³ '

r-f

IE J.

5)

6)

7)

Um den Einfluss von x oder A Z allein zu erhalten, hat man A Z bezw. x gleich 0 zu setzen. Bezüglich der Berechnung von s siehe auch Beisp. 15.

Speziell für den Halbkreisbogen wird aus 7) mit f—r —

a x Z — AZ

s r²

2 EJ --

71 Z³

16 E J

8)

(vergl. Aufg. 14).

Die Ausdrücke des Horizontalschubs durch beliebige Belastung, welche sich für den Kreisbogen ergeben, sind im Falle genügender Genauigkeit zu umständlich für die Anwendung, abgesehen vom Halbkreisbogen (s. Aufg. 14), wesshalb wir für Kreisbogen, welche nicht so flach sind, dass sie nach den Formeln für Parabelbogen berechnet werden können (vergl. § 36), abgesehen vom Halbkreisbogen, die Formeln für beliebige Axe und beliebige Querschnitte empfehlen (Beisp. 23-26, 39, 41).

Beispiel 38. Horizontalschub von Kreisbogen mit zwei Gelenken (Coblenzer Brücke).

Für die in Beisp. 16 betrachteten Bogen der Coblenzer Brücke den Hori-zontalscliub durch Temperaturänderungen und kleine Aenderungen der Spannweite nach den Formeln für Kreisbogen konstanten Querschnitts mit Kämpfergelenken zu berechnen. Mittelwerthe des Querschnitts und Trägheitsmoments F = 0,16910 qm, J — 0,37344 mb

Nach Gleichungen 7) der vorigen Aufgabe hat man :

a x Z — AZ

s r² — 3 Z r {r

/) + 2S(r-/f(l+-4r!)

2 EJ,

1)

worin mit Z = 98,0775 m, /= 8,91614 m, r — 139,314 m, s — 100,225 m (Beisp. 15):

und wenn wieder E — 2(XXX)00 kg per qcm, a —0,000012 gesetzt werden:

H ~ (0,000012.98.0775 x — A /)

2.2000000. 100*. 0,37344

'8860

H = (0,0011769z —Al) 1685960 kg. Diese Gleichung liefert für eine Temperaturänderung x allein:

H— 1984,21 x kg.

und beispielsweise für x = -j- 30⁰ :

H = + 59526 kg;

ferner für eine Aenderung der Spannweite um A l allein :

H — — 1685960 A l kg,

und beispielsweise für AZ = 0,02 in:

H- — 33719 kg.

Vergl. Bemerk, zu Beisp. 16.

Hätten wir ÿ-.; = 0,000114 gegen 1 vernachlässigt (Einfluss vom i'₂ in Aufgabe 13), so würde sich

(0,0011769 x — A l) 1763173 kg

oder 4,58 °/o grösser als oben gefunden haben. Dieser verhältnissmässig grosse Einfluss eines so kleinen Gliedes zeigt, dass bei Anwendung von 1) Genauigkeit erforderlich ist. Bezüglich parabolischer Axe s. Beisp. 16 (S. 86).

Aufgabe 14. Horizontalschub des Halbkreisbogens mit Kämpfergelenken. Den Horizontalschub des Halbkreisbogens konstanten Querschnitts mit Kämpfergelenken in gleicher Höhe für alle Fälle zu berechnen.

Es gelten die Gleichungen 1)—4) der vorigen Aufgabe, worin aber nun (vergl. Fig. 136):

x — r (1 — sin cp),

2 s (r—

s r* — 100,225.139,814-' = 1945206,

3 l r (/•-/) = 3.98,0775.139,314.130,398 == 5345106, 0,37344

Fr* ~ 0,1691.139,314*

= 2 . 100,225.130,398*. 1,000114 = 3408855,

= 0,000114,

/2) ( ' + Fr )

y = r cos cp, 1) d x = — r cos ç d cp, d y — — r sin cp rfcp,

d cp == —

r cos cp yds—— y r d y — r dx-\- y dy — 0,

5s Xi:

0,26541

sodass wir erhalten :

¹ ~ ejInMx,lx>

Da nun für Bogen mit Kämpfergelenken nach § 16, 3) allgemein :

H y — 2 P {x—a), o

worin bei gleichen Stützhöhen:

M —Vx

X

2)

Afi.

\r

0,51

ri.........if

Fig. 136

Al P (l—a)

so folgt (bezüglich der Integration von Summen 2 siehe Luegers Lexikon der gesummten Technik II, Stuttgart 1895, Art. Belastung) :

M dx = v\r-\-Hr'il cos² cp d cp — 2 P I (x—a)dx ¹ Jo    ⁰ Jo

= FA — H

7i ra ~2~~2 o

2 P(l—aP

=    Pn (l—a) — Pt

Ti r²

IP

und damit nach 2):

ri.?Lo

2 P a (Z—a) — Hn r²

a T /,

woraus wegen 2 r = / der gesuchte Horizontalschuh:

16 E^J

7t/³

Wir haben hiernach durch beliebige Belastung allein :

H — ±-XPa{l-a),

7t <    ((

und mit Rücksicht auf § 14 für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vortheilte Last von u per Längeneinheit :

(at / — AZ).

3)

4)

Br.

5)

für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten w, auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

_ «■ -j- w'

^ " PP“

Durch eine beliebige Temperaturänderung x entsteht:

WEJ

n P

und durch eine Aenderung der Spannweite um AZ:

16EJ

TC P

Ucber die Kämpferdrucklinie von Halbkreisbogen siehe Aufgabe 2 (S. 11).

Z.

6)

AZ,

8)

Bemerkungen. Beim Parabelbogen von konstantem Jcos cp hat man in dem Falle 2f—l wegen s = ß — 0 (§ 28) für eine gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit nach § 16, 21) :

für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u. u‘ auf beiden Trägerhälften nach § 16, 28) :

für eine Temperaturänderung x nach § 16, 8) :

15 E_c 2P

und für eine Aenderung der Spannweite um A Z nach § 16. 9) :

15 E c

H —--gys- A Z,

l,

a x,

Die Formeln für Parahelbogen sind also für Halhkreisbogen nicht genügend genau.

§ 29. Horizontalscliub und Eudinomente des symmetrischen Parabelbogens ohne Gelenke.

Wir betrachten symmetrische Bogen ohne Gelenke von parabolischer Axe der Gleichung

4/

x (l—x)

1)

unter den in § 27 gemachten Voraussetzungen. Demgemäss wird ein konstanter M ittelwerth

c = J cos cp

eingeführt, und bei Ausführung der durch § 20, 11)—13) bestimmten, gewöhnlich vernachlässigten Integrale X,, F₂, neben einem Mittelwerth

k = F cos cp

anstatt des Parabelbogens ein Kreisbogen von gleichen l, f wie der Parabelbogen, also dem Radius

2)

3)

l+L

^ 2

4)

zu Grunde gelegt. Ueber die Zulässigkeit dieses Vorgehens s. S. 196, 199.

Die Werthe der Integrale Xu X₂ in den Ausdrücken § 2(5, 20) für die Formänderungen von Bogen ohne Gelenke wurden bereits in § 27 unter vorstehenden Voraussetzungen abgeleitet. Die betreffenden Ausdrücke § 27, 6) 12) liefern im vorliegenden Falle mit dem durch § 17, 1) bestimmten

speziell für x — l :

fl

[m‘ —M+i P{l—a)]

\m + M‘ -H*l + \Ąpa (l—a) (P + / « -«>)] \m + M‘ 4- 2 Hir—f) + “r s P a (,l - a) 1.

5)

6)

3 Ec (r—f ) l 2Ekr²

Jezt werden auch die übrigen Integrale §26, 11)—13) nöthig. Für die Ermittelung von H, M, M‘ würde es allerdings genügen, dieselben speziell für x — l abzuleiten, da wir jedoch zur Berechnung der Formänderungen ihre Werthe auch für andere x brauchen, so sollen die Ausdrücke, wie im vorigen §, zunächst allgemein gegeben werden.

Nach § 26, 12) 13) haben wir mit Rücksicht auf dx—ds cos cp bei Einführung des Mittelwerths

J J/x x d x .

Diese Gleichungen liefern mit

Ec

* = Ëc,

/ Mx d x.

! o

7)

8)

MX = M+Vx — Hy - S P(x—a)

0)

und 1) für beliebige x:

Pi

6 Ec

2/

2 Er

[31fx²4-2Fx³ — H N P{x—«)² (2 x -j- a) j, |^2 M X -f- Vx² —

5 P(x —a)²],

Z²

P (4 7 — 3x) -

10)

4/

3 Z²

x² (3 Z — 2 a?) —

11)

wonach für x = I :

2)i =

Z²

6 Pc

2 Ec

[j/+2

[ )f+    •• //    + ' 2 Pa (/—«)].

if' ~

12)

13)

Wird in § 26, 12) 13) dem Kreisbogen vom Kadius 4) entsprechend gesetzt (vergl. § 27, 8. 196):

x d rp — — r sin cp₀ d cp = sin cp₀ d s — d s,

ferner d x — d s cos cp berücksichtigt, und der Mittelwertli 3) eingeführt, so hat man :

y₂ =

2 Ekr

oder wegen § 27, 11):

s. \

14)

z a;

2 r—f

das heisst zufolge § 27, 12) für beliebige x :

y₂ =

z₂ =

X*

r-V

15)

4 E k r²

^2 M x    VI x -f- 2 Hx (r—f) — N P{x—a) (Z—2 e?)J, 16)

[2 if x -f- FZ x -f- 2Hx(r—-f) — 2 P(x—a)(l—2a) j

17)

2 Ek r³

und speziell für x = 1 nach Einsetzen von 5) oder einfacher nach 15) mit 7) :

[.¥ + M‘ + 2 H (r—f ) + ²2 P <? (/—a) 1,

“ 2Wk:FilM+M‘ + 2H(r~f) + ‘lPa{l~a)\

Nach § 26, 21) hat man für Oeffnungen ohne Gelenke wenn k = 0 : AZ = atZ-f“Xi — X25 A k = l A cp! —

A cp, = A cpo -f- 3, + 3-2,    )

2)* =

Z²

4 P/r/*²

18)

19)

worin bei unveränderlich festliegenden Endquerschnitten A /, A k, A cp₀, A cp, gleich Null wären. Durch Substitution der Ausdrücke 6) 7) 12) 13) 18) 19) nehmen die Gleichungen 20) mit den Bezeichnungen § 28 1) 2) 4) folgende Formen an :

A / = a T

if

»Erp \p* («-»)    + la + a* - § P),

8 IP 15 Ec

21)

A A* = / A cp, - 47 ( 1 4- ’*/) H (! ~~ f) 3\Wc

fl²

(1 + X)3^ +

öfffZ ^ P(l (l~a) (l + a -f- 3 Ç Z),

6Ec

AP

22)

A cp, = A cpo -f⁻ (Af 4" AP) (1 4“ O

2 Ec

h{ i

27/ 3 Ec

4-

14-2Ç¹

2 Ec

Aus diesen drei Gleichungen können die drei Unbekannten 7/ 47, 47' für Bogen ohne Gelenke berechnet werden. Gleichung 21) würde mit 47 — AP = 0 wieder auf den Horizontalschub des symmetrischen Parabelbogen mit zwei Gelenken führen (§ 27).

Nun wurde aber in § 28 nachgewiesen, dass Ç für elastische Bogen stets verschwindend klein ist. Vernachlässigen wir es, so gehen die Gleichungen 21) bis 23) in die folgenden über :

2 Pa (l- a). 0

23)

A / = a T / 4~ (Af 4“ AP)

6 Ec

77(1 4- e)

sc

15 Ec

4-

2 P a, (Z—a) (l~ -\- l a AP— / A cp, — (47 4~ 2 4P)

a’-ß/²),

24)

4-TT

2 — ß/Z*

6 Ec

25)

A cp, = A cpo 4~ (A7 4" 4P)

— 77

2-14/

SPff(Z-ff). 26) 0

4-

2 Ec

Aus diesen Gleichungen wären 77, 47, 47' zu bestimmen, wenn man ß berücksichtigen wollte.

Aber auch ß pflegt in praktischen Fällen so klein, dass man es im Allgemeinen vernachlässigen kann (§ 28). Alsdann ergeben sich aus 21)—23) für einfache Bogen ohne Gelenke :

3 Ec

2 Ec

15

15 Ec

(14-6e)2 lf

(14_6e)4 fl^Pa2{l a)2Jr

A cpo 4~ A cp, J

27)

M ==

(1 + 6 e) 2 Z3 ax l — A /

SP«(/ a)- (5 a

o

2 A k

21 — 12 s /) -f-

(14-6 s) Z

2/

3 A cpo 4” A cpi +

4e(

3 A Zr

— 2 A cp₀ — A cpi) J,

28)

(l+6e)2Z* 0

3 Ec

(1+ 6 e) Z

TaxZ — AZ _

L 2/ ⁵

S Pa² 3 (Z—a) (3 Z — 6 « — 12 e Z) + 21k

+ 3 A cpx — A cp₀

— 2Ap, — A cp₀ ) J.

29)

Der Einfluss der Belastung⁻ allein ist in den ersten Zeilen dieser Formeln angesetzt.

§ 30. Formänderungen symmetrischer Parabelbogen.

Nach $ 26 mit den in 27, 29 berechneten Ausdrücken der Integrale § 26, 11)—13), also mit 6) 12) in § 27 und 10) 11) 16) 17) in § 29 können die Aenderungen A x, l y, 1 cp von x, y, cp für jede Stelle des Bogens berechnet werden. Am häufigsten interessirt die Aenderung ly in der Bogenmitte, welche wir desshalb hier spezieller ins Auge

fassen wollen. Wird bei x = m

so

2 gesetzt l y = 1 f =

bedeutet e die Einsenkung (Durchbiegung) in der Bogenmitte. Neben dem allgemeinem Ausdrucke derselben werden wir ihren Werth für beliebige zur Bogenmitte symmetrische Belastungen ableiten, da die betreffenden Formeln einfacher sind und selbst bei unsymmetrischer Belastung Verwendung finden können (S. 63, 85, 107), während z. B. auch das Eigengewicht im Allgemeinen eine symmetrische Belastung ist.

Die Einsenkung in der Trägermitte ist nach § 26, 18) 20) 23) im allgemeinsten Falle

e = Fx+ Y

1)

4 T„i —    + cp₀,

und alle Y, Z für x == m gelten. Wir haben also bei Berücksichtigung von

20

[if — Af + 2P(Z—a)J

nach § 29, 10) 16):

F, =

l*

24 K

F, =

Z²

[2 M 4. M‘ — H E P (I—2 a)² (Z 4«) J,

\m 4 M' 4 2 H(r-f) 4 SP(Z—a) — \lpil-2ay4

Z² 0

8 Ekr²

5/

und nach § 29, 11) 17):

[g if 4 M' — H -J- 4 S P(l—a) — * I P (Z—2 4²1,

[1/4 .1/' 4 2 H (r—f ) 4 S P {l—à) — ‘ S P{1—2 a)²] ,

Durch Substitution dieser Ausdrücke in 1) 2) ergeben sich mit den Bezeichnungen § 28, 1 ) 2) 4) :

_ Z2 * “ 24 E c

(1 43 Q2P(M

4 E k r²

(>-¥)¥"+

S Pa (Z—2a)² J -

[(2 4 3 ;) 4/ 4 f 1 4 2 Ç)

¹ +³isp(/_2«)a~

0

«t/—p.

8 k D³ + ² 0 ^ + (1 + 2 0 M‘ - (l -1) */ ff +

I P(/—2 «)=] + A

und durch Verwendung des letzten Ausdrucks im vorletzten :

- ["4 S P (7—2 df — SP (/—r/) 4- 3 Hf — b M — J7 1 c L/ 0    0    ■    J

at/ — 2 A cp₀.

Speziell für symmetrische Belastung kann man wegen (S. 60):

Acpm =

(142Ç)SP(/—«)-

142 “

Z²

3)

/²

* - 48P

4)

SP(M = /sp

0    0

nach dem vorletzten Ausdruck für e auch schreiben:

12ï|p„a-«^(i-t4/ff

gj-^[isp«(8C-⁴«) +

+ (2 + 3Ç)jU+(l+8ï>Jr‘]

5)

/ “ 2 ^

Tm Folgenden denken wir uns das für elastische Bogenträger gegen 1 wohl immer verschwindend kleine Ç vernachlässigt (vergl. § 28 und IV M).

Oeffnungen mit zwei Gelenken.

Für Oeffnungen mit Endgelenken haben wir M = M’ = 0 und nach 29, 25) ;

A cp, =

6 Ec 6 E cl

womit nach § 29. 26): A cpo =

6)

Al P a (l—a) (Z a),

Al Pa (Z—«0 (2 / «).

o

2zÏLL

6 Ec 6 Ecl

Die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung und kleine Bewegungen der Stützpunkte folgt nun aus 4):

\~H

7)

Pm    1

s P(Z—2 af — Al P(l-a) (P—8 l a + 4 a*) —

L»    '    o

(5—4 ß) #/Z²]

worin H durch § 27, 18) bestimmt. Speziell für symmetrische Belastung erhält man in der bei Ableitung von § 15, 28) erwähnten Weise :

e    48 Ec

— a xf

8)

ill

Al P(l—a) (P—8 I a. + 4 a²) = — I2 P(Z²—12 Z a + 12 a²) und damit einfacher :

p Pa (3 P-4 a²)

9)

24 Er

wie wir auch aus 5) entnehmen konnten, da bei symmetrischer Belastung A cpm nur von A k abhängt und gleich ist.

Oeffnungen ohne Gelenke. Für diesen Fall erhalten wir aus § 29, 25) :

A cpi =

-f- (M -f- 2 M')

6 Ec

2-ß/Z 6 Ec

6P cl

und hiermit nach § 29, 26):

Al Pa (l—a) (Z-]- ca),

10)

A cpo =

— (AP + 2 Af )

2—ß fj_

6 Ec

Al Pa (/—«) (2 /—a).

Durch Substitution des letzteren Ausdrucks in 5) ergibt sich die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung und kleine Bewegungen der Stützen :

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

6 Lei

11)

14

rm    1

iS P (1—2 af — SP (l—d) (/²-8 la+ 4 a²) —

(5—4 ß) Hf Z² + (M + M') 3l²J

worin H, M, M‘ durch § 20, 24)—26) und bei Vernachlässigung von ß durch § 29, 27)—29) bestimmt. Speziell bei symmetrischer Belastung folgt aus 12) mit dem über 9) angeschriebenen Summenwertli :

[S Pa (3 l²—4 a²) - Hfl² -f (M -f M') | /²]

— a x f

Mit M—M‘ — 0 gehen die Gleichungen 10)—13) in 6)—9) über.

24 Ec

24 E r

— ocxf —

13)

Oeffnungen mit drei Gelenken.

Nach § 26, 26) hat man zur Berechnung von Acp₀, A cp, und des Sprungwerths to = A cp„ — A cpv von A cp beim Zwischengelenk wegen /,• = ():

A / = a 11 + X, — X₂ + w /,

A k = / A cp, —    — 9)₂ — w -,

A cp, = A cp₀ 4~ 3i H⁻ <3a 4"w-

Diese Beziehungen, abgesehen von den mit to behafteten Gliedern wurden für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp durch § 29, 24)—26) ausgedrückt. Denken wir uns den rechten Seiten letzterer

l

to xy bezw. to beigefügt, so liefert bei Beachtung

Formeln to / bezw. von M — M‘ — 0 die erste derselben :

tl)

4- H(\ 4-e)

8//

15 Er

NPa. (7—a)

3 ~Ec P » Pn (/~n) V‘+!n-a*) +

Cf. X l

14)

damit die zweite:

A <pi =

A Je

IC

ri U /ki4 £

....... V 15

Ec

□GL

N Pa (l—a)

Cf. X l

■ff

15)

und hiermit die dritte :

A cpu —

"1 CM

nr e)

6 E c l² o

S Pa(/—a)s —

Cf X l

16)

6EcXPa(-l~a) +

Substituiren wir den letzten Ausdruck in 5), so folgt die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung und beliebige kleine Bewegungen der Stützpunkte :

2/‘

¹

Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 129.

²

x/ —2

³

worin nach denselben Gleichungsgruppen die Aenderung der Winkels cpm in der Bogenmitte (bei Oeffnungen mit drei Gelenken unmittelbar vor dem Scheitelgelenk) :

îOTc [! P(l-2 a)3 - /2    + 7 ? Pa(l ^ +

4 ß /2 Pa {l—a) + (⁷i³- s

f4 p)ff/p]-«t(/+^)

A A:

17)

/A/

4/

2 ’

worin H durch § 15, 5) . bestimmt, also nur von der Belastung abhängig. Speziell bei symmetrischer Belastung erhält man in der bei Ableitung von g 15, 28) erwähnten AVeise :

in

2 P(l—a) = nP, 0 ' 0

2 P a (/—a) = 2 2 Pß(/-4 0 0

2 Pa (/—a)³ =2 Pa (/³—3 /² ff -j- 4 / ff²

womit bei gleichzeitiger Verwendung von g 15, 28) aus 17) die einfachere Gleichung entsteht :

2 ff³)

rm

I 2 PaHl-a)

3 32 £ /³ 2 P a -f ß /² £ P a (/—ff)]

40

(/+!/)+

IM A k

Liegt gerade bei der Mitte eine konzentrirte Last, so ist in den

m

Summen 2 von 9) 13) 18) dem Begrilfe der Symmetrie entsprechend nur

die Hälfte derselben aufzunehmen.

Die nunmehr mit Berücksichtigung von e, ß erhaltenen Gleichungen lassen im Hinblicke auf g 28 erkennen, dass bei der praktischen Berechnung der Formänderungen elastischer Bogenträger im Allgemeinem ß = 0 gesetzt werden darf, was bei Anführung obiger Gleichungen im zweiten Abschnitte geschehen ist.

18)

§ 31. Horizontalschub von Zweigelenkbogen mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten.

Entsprechend dem auf S. 200 Gesagten drücken wir nun den Horizontalschub von Bogen mit gleichhohen Endgelenken ohne Zwischengelenk für beliebige Querschnitte und beliebige Axform aus. Den Ausgangspunkt bildet die erste Gleichung 19 des g 26 mit k = 0 und g 26, 11):

at/.

Mx

j.’fo+T)—

1)

0 EJ

in welcher bei unveränderlicher Spannweite A / = 0 ist. Bei Ausführen des häufig vernachlässigten zweiten Integrals denken wir uns anstatt der wirklichen Bogenaxe einen Kreisbogen von gleicher Spannweite / und gleichem Pfeile / wie jene, also vom Radius

l-

⁼ 8/+ 2

2)

14*

zu (Grunde gelegt (über die Zulässigkeit dieses Verfahrens siehe S. 196) womit wie im analogen Falle des § 27

d X -f- y d cp =

zu setzen ist und bei gleichen E und a x für den ganzen Bogen (Gleichung 1) zunächst in folgende übergeht:

f\M.

Jo J

Wird nun der Bogen in eine genügende Anzahl gleich oder verschieden langer Felder gelheilt (z.

B. durch Querschnitte oder Vertikalebenen), für welche die Axlänge a, deren horizontale und vertikale Projektion À, und die Mittelwerthe von x, y, F, J (z. B. die Werthe in 0 den Feldermitten) wie in Fig. 137 bezeichnet sind, und beziehen sich die Summen 2 in den folgenden Gleichungen auf alle Felder zwischen den angesetzten Summengrenzen, so liefert 3) zunächst :

EM = 2 -f Mx

Nach § 16, 3)—5) hat man in jedem Felde :

Mt = Vx —Hy-i P(x—r/.),

(F_|p)a₊.ff

EM =

¥./>■+

r—f

ds

n, iji

M* d s . —,

~r ) T ~T~ E a X'

3)

njr

Fig. 137

Hat*+tH+æ/

a x.

4)

womit aus 4) :

oy ö J

EM S

r—f

F]

[ Vx -Hy-i P(x-a)] -

jJvx - Hy - 2P(a>—a)J + El

À r—f

y »2

V—

a x.

Durch Auflösen dieser Gleichung nach H ergibt sich mit den abkürzenden Bezeichungen

a x y r—f

° v '¹ , f—f J + r

r—f ^ a x

r² o F ’

r—f Ivy

r² ' » F"

5)

6)

7)

ZP(x-a) = Sx

0

der gesuchte Horizontalschub bei beliebiger Belastung beliebiger Temperaturänderung x und beliebiger kleiner Aenderung A/der Spannweite:

L<

r²

PA/]

8)

El ax —

Wie ersichtlich sind g, «; nur von der Bogenform und den Querschnitten abhängig, sodass sie nur einmal berechnet zu werden brauchen, während in V, I\, die Lasten auftreten. Es bedeuten

9)

die Vertikalreaktion bei (), I\ die angenommene Gesammtlast von 0 bis x, *S'X das statische Moment dieser Gesammtlast in Bezug auf Punkt x.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit hat man nach § 14:

V = “

Px = U X,

und damit nach 8) den von dieser Belastung allein herrührenden Horizontalschub :

l v—z

-75-u

2 w

10)

worin nur von der Axform und den Querschnitten abhängt: ₌ ^ ayx?

/ v o F

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle n allein hat man in 8)

7'

r—/ a x-v² o F '

M-

H)

von

x = 0 bis x — a\ a „ x = l :

womit zunächst folgt:

Px = 0,

-Px = P, #x = P(*-«),

ox y

r—f v ri _ rSlL « F

aî|

Pj {x~a) + Lr^ F⁺

r—f

CS

und mit Rücksicht auf S == 23 4- S :

o    o a

yOXiy

M- ?

[<*-«> (I

r _.Z v ) i

r² o

r~f ? (ÿ^)1

+ r a P

Im nächsten § wird gezeigt, dass bei wichtigen hier in Frage stehenden Bogen trägem (S⁻ 200) alle Summen S, welche F im Nenner enthalten, vernachlässigt werden dürfen, womit nach 8) im allgemeinsten Falle:

—S ^ Sx + FUt~ em)

<> (

\ a

i (l—x) y

r-

12)

13)

mit

3 y²

V = 2

O 1/

Speziell für eine gleichmässig vertheilte Last von w per Längeneinheit auf der ganzen Spannweite gilt nach wie vor 10), jedoch jetzt mit

* = v

./

15)

während für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a nach 12):

7/ =

* M-

3 (/— x) y

16)

Aus diesen Gleichungen sind alle Glieder, bei deren Berechnung die Bogen-axe kreisförmig angenommen wurde (S. 211), weggefallen.

§ 82. Symmetrische Zweigelenkbogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten.

Wir wollen zunächst die Beziehungen des vorigen $ für den Fall spezialisieren, dass die Anordnung des Trägers einschliesslich der Felder-theilung vollständig symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte ist. Man hat dann für je zwei symmetrisch zur Mitte liegende Fel- / der (Fig. 138) gleiche Feldlängen X [ und Axlängen a, nummerisch gleiche ⁵ - x aber dem Vorzeichen nach entgegen-gesetz te V ertikal projek ti onen Vj = a sin cp der letzteren, gleiche Ordinalen y und gleiche Entfernungen x, l—x von den nächstgelegenen Stützpunkten. Mit Rücksicht hierauf ergibt sich

a x y _ ïg a x y

J - O J

Fig. 138

= M3

a (/—x) y

;a

1-x

v a y O J¹

v a x y o J ⁼

während unmittelbar oder in analoger Weise weiter folgen im Ausdrucke § 31, 5) von v :

= /2

m _

= /S

o F

im Ausdrucke § 31, 6) von w:

V « y- 9 V O y2 o «y    o «y

>1

14-

7^

und im Ausdrucke § 31, 11) von z: a y x¹

v a y x¹

_₂/S^

0 J

1 vi 'y»    Ü1 Yi 'y*    Ü1 y

V ^ ₌ 2 S — / S ^

= M3

«7*

M-

a x-

— 2/2 -j

o b ¹¹¹ a

Damit lassen sich bei gerader oder ungerader Felderzahl aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte allein berechnen:

1)

v y a y    r—f    a

I ~ 7 ~J    F’

2)

- = 1^4- r~/ 2 A __ r~f s a_l

2    o J ' T o F    r² o F

y a x y y a y x²

» J

r-f

r-f

o x²

OH--*?¥)

Mit diesen Ausdrücken von v, w, Lv—z gelten also jetzt die Gleichungen 8) 10) des vorigen §.

Speziell bei beliebiger symmetrischer Belastung hat man für 2 symmetrisch zur Trägermitte bei x, x‘ gelegene Felder nach §§ 84, 35 :

M3

M3

)■

3)

in

P\-P, = 2 SP,

und damit nach § 31, 8) durch jene Belastung allein:

h =² rs (

w; Lo ty V

r-i ?

!»(?«-*)]

, 4)

worin auch gesetzt werden kann:

ill

jS—8x = 2 Pa + xQx

doch ist dann zu beachten, dass eine etwa gerade bei a — x angreifende Last P nur in einer der beiden Summen von 0 bis x bezw. von x bis m aufgenommen werden darf. Gleichung 4) hätte sich auch aus § 35, 15) 17) mit M — 0 ergeben.

Hätten wir auf der ersten Trägerhälfte eine gleichmässig vertheilte Last von u, auf der zweiten eine solche von u‘ per Längeneinheit, so würde nach § 14 aus § 31, 9)

mit Qx = 2 P

5)

l.

8 u —J- ué

und für x zwischen 0 und m bezw. zwischen tu und / aus § 31), 7):

Px

u x.

y _ U X²

f x — ~2~ ’

u l . u‘

~2—ł⁻ 2" (- x—

Durch Substitution dieser Ausdrücke in § 31, 8) unter Beachtung von

ol    m 1

2 = 2 -j- 2 und des oben einleitend Gesagten erhält man den Horizontal-0 111

Schub durch die erwähnte Belastung :

/S

()

⁰M>

Q

AS

S ax

v a (Z —x)

Diese Gleichung führt mit u‘ = u wieder auf § 31, 10), wie man aus letzterer Formel umgekehrt bei der jetzt vollständig symmetrischen Anordnung des Trägers auf 6) hätte schliessen können.

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a gilt die Gleichung § 31, 12), worin jetzt:

1 (Z—x) y

M-

? (Z—x) y _

o (Z—x) y

= 21

v ? (Z—x) y

t" r

V g ( I—x) y

O 14 5

=¹ M-

Ail-^

® M -bcri|-=5

^1-=¹ C

id O

a (Z—x)

a (Z—x)

v a (Z—x)

v a (Z—x )

sodass wir erhalten :

-[

w L"

rjzL ji.

0 F

O y “a y r—f J » J ~

ox y

r—f a x r² 0 F

IV -

4-

r²

i₊r^f

F ' r² 0

und beispielsweise für a — m:

ß axy V 0

8)

r²

Il 1

» F

Es handelt sich nun darum, zu entscheiden, welche Glieder in den oben und in § 31 gegebenen Gleichungen unter Umständen (für steile Bogen etc.) vernachlässigt werden dürfen. Dies kann mit Zuverlässigkeit nur durch vergleichende Berechnungen geschehen. Hierzu eignet sich ganz besonders die mehrerwähnte Dourobrücke (Fig. 139), weil für sie alle in Betracht kommenden Grössen nach Angaben von Seyrig¹ sehr genau berechnet werden können. Seyrig hat für die durch Vertikalen begränzten Felder des Dourobogens die Längen À und unter Berücksichtigung der Axkrümmung in den einzelnen Feldern die Axlängen <1 wie auch die x, y in den Feldermitten und die F, J der wirklichen Querschnitte daselbst einschliesslich der Beiträge der Füllungsglieder angegeben. Dieselben sind in den Kolumnen 2—8 der Tabelle des Beisp. 31 mit den ebenfalls aus Seyrigs Aufsatz entnommenen Projektionen 7j zusammengestellt, während die in den übrigen Kolumnen angeführten Grössen aus denjenigen der Kolumnen 2—8 berechnet wurden. Alle Grössen betreffen beide die Brücke tragenden Bogen zusammen und gelten für Meter als Längeneinheit.

Man erhält nun nach §31,8) 10) 12) und obigen Gleichungen (Beisp. 39) beziehungsweise bei Vernachlässigung sämmtlicher Glieder mit F im Nenner (Beisp. 23) folgende Werthe des Horizontalschubs LT und die entsprechenden Differenzen im zweiten gegenüber dem ersten Falle.

Beisp. 39 Beisp. 23

Differenz

durch eine gleichmässig vertheilte Last von u per Meter Spannweite durch verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Bogenhälfte durch eine Einzellast P bei

72,111 u 72,848 u

36,056 (u -f- u‘)

36,424 (u

4- u‘)

1,02 «/o

te

a =

a = 23,75 m a = 26,75 „ a = 54    „

a = 64,4 ,, a = 74,8 „ a = 80    ,,

durch eine Temperaturänderung x des Bogens

durch ein Ausweichen der Widerlager um A l

0,35656 P    0,36012 P

0,38888 P    0,39281 P

0,59425 P    0,60038 P

0,63342 P    0,63999 P

0,65263 P    0,65941 P

0,65742 P    0,66424 P

Fax 320,537 Eli 51286

322,125

A_Z_

51540

0,50 „

0,50 „

Wir fügen diesen Wer then bei die in analoger Weise berechneten Grössen :

=    159787    160147    0,22 °/o

51540    51286    0,49 „

=-    18132662 18151388    0,10 „

3716629    3736066    0,52 „

Beim Dourobogen kommen nur an den vorstehenden berücksichtigten Stellen a, mit Ausnahme von a — 0 und 80 m, Verkehrslasten auf den Träger (Fig. 139).

Nach allen diesen Resultaten können in obigen Gleichungen und denjenigen des § 31 die Glieder mit F im Nenner für steile Bogen (§ 28) häufig vernachlässigt werden. Wir haben demgemäss im vorigen § die einfacheren Gleichungen 13)—16) gegeben und können nun beifügen, dass sich nach denselben für Bogen , welche zur Trägermitte vollständig symmetric!! angeordnet sind, zufolge 1)—3) aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte allein berechnen lassen:

o M3

9)

I v—z    ₁ y ixy y a y x²

——- — I ^ —j--—y ■

A    o J    o j

Diese Wertlie sind natürlich auch in § 81, 10) und obiger Gleichung 6) zu verwenden, während aus 5) für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a folgt:

H = — fS QXlJ

W Lo

M2

11)

und aus 4) durch eine beliebige symmetrische Belastung:

12)

Beispiel 39. Horizontalschub eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Für den Bogen mit Kämpfergelenken der Maria-Pia-Brücke über den Douro, welchem die in Fig. 139 und der unten folgenden Tabelle ersichtlichen Verhältnisse entsprechen, ist der Horizontalschub nach den in §§31, 32 gegebenen möglichst genauen Formeln zu berechnen: a) Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit ; b) für verschiedene gleich-massig vertheilte Lasten von u, u⁴ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Bogenhälfte; c) für beliebige Einzellasten P bei a = 23,75 m, 2b,75 in, 54 m, 1)4,4 m, 74,8 m, 80 m; d) für eine beliebige Temperaturänderung x; e) für eine beliebige kleine Aenderung der Spannweite um A l.

Mit l — 160 m und f = 42,65 m erhält man nach § 31, 2) r = 96,354 m, also r—/ — 53,704 m, worauf mit Rücksicht auf die für den halben Bogen summirten Wertlie der nachstehenden Tabelle nach § 32, 1) 2) 3) weiter folgen:

160 (l000,92 -    389,07) = 159787,

w = 2 • 25643 +    2.335,59 -    2.10369,3 = 51540,

(160.170,83 — 2.4663,87) -

= 160.34066 — 1714494 —

53,704 ’

96,354

53,704 96,354-

Damit liefert § 31, 10) für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last :

(160.15135,3 - 796257) = 3716629.

3716629    70 111

-Bl64Ö-“ = ⁷²’nl”’

und § 32, 6) für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

„    3716629.    .    A

H ~ 2 "51540 U + U ) — 36,056 (u + u⁴).

Die Gleichung § 32, 7) können wir für a < m auch wie folgt schreiben: r oF r² o F

Sie liefert mit den betreffenden Tabellenwerthen für eine Einzellast P bei a — 23,75 m:

Ł [I oxu

W l-o J

/»I V a

£i|_r=rs°)].

r²

b)

o)

51540

[4758 - 2|~ 85,09 -    1472,0 + 23,75 (577,32

266,04) J = 0,35656 P,

53,704

96,354²

Nach Porto

Ü6,6ZS

-X-

I!

iX'ieäerwassep

Ili

fei

sri

Sfi.....A

X-

t/ÓO^/Ą I l|| !

ss.m-% •™

e&r#

Hochwasser

250,34) J = 0.38888 P, 117,29)] = 0,59425 P, 69,08) I = 0,63342 P,

X-

-----600'te-—

53,704

96,354-

53.704

“,96,35p

53.704

96,354-

siz'oa—Ą,

-‘U

-X—

il

6U'6

28fló _

,SiS'6

.9Vo'G

06i'S

W'i

& Hi

Fig. 139

1868,4 -f 26,75 (539.98

7234.1    +54 (246,71

10088.1    + 64.4 (143,92 —

W,7S

S4t'P

ß i

t il

! j:jj

S,*| l|

53,704

96,354-

53,704

96,354‘²

53,704

96.354-

¥~

mm

94,39 -

152.53 —

164,91 -

gi

a

:i

M.335

=0.

i'l

it

53,704

96,354

53,704

96,354

53,704

96,354

►a

<-

V?l

03,385

?!

U!

^i¹

[57OI

17469 -

23554 —

Nach Lissabon

X-

OfrSlQ _ Jr

tl

H 51540

H - 5Ï540

S$625

raf y/

bei a — 26,75 m:

bei a = 54 m :

bei a — 64,4 m :

Maria-Pia-Brücke über den

Douro in Portugal.*

Feld

y, x

a x-

a x'²

./ J ./

'//

a i/² a y x

a ij x '²

Fl* .7 Xs

./

2,80

8,00

8.40

9,00

14,10

20,40

25,25

31,00

39,75

49.15

59,20

69,60

80.00

14,55

20,42

24,20

28,30

32,75

36,85

40,35

42,25

42,65

5.00

5,55

5,95

6,65

0,01 5.67 5,64 5,70 8,00    2.25

.5,20 + 0,202

8,10

8,15

8,15

8,80

8,80

9,80

10,05

10,40

10,75

O o 000 o' o 0 0 o ö

0,246 1    19,11    20,511    27,64    57,43

0,588    20,26    20,69!    29,74    173,80

1,158 i    22,54    21,86    30.87    301.18

1,848 !    26,28    22,53    34,78    459,61

2,463    12,40    9,30    15,70    237,34

2,863    35,81    21,91    41,53|    679,21

3.486 ;    40,44    19,07    44,67    758.03

3,758    43,69    17,16    46,85    843,41

4,220    46.64    12.38    48,21    732,90

4,609    45,61    5,04    46,05    350,78

4,696 2.22.81 + 0.88 2.23.03 + 70,18

2802.7 2854,0 8205,1 . 1842,1

2.147868 2.223,9 2.1,118

2.89,44 2.7155 2.572416 2.47,68 2.2034

778

1,134

0,95

2.3814 2.3051601.1,1742.

2,22

5,01

9,29

5,83

20,86

28,72

34,00

42.46

47.48

24,19

~7

Für den halben Bogen

80    42,65 93,75

335,59 170,83 j 389,07 4663,87

15135,3

796257 10369,3

75,177 1119,87

47251 2574488 1000,921 25643

34066 1714494 16,509 221,01

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

hoi a = 74,8 m :

51540

30252 —

53,704

96,354

53,704

96,354²

169,95 -    13293,2 + 74,8 (47.68

23,03) I = 0,65263 P,

Mit Rücksicht auf die in der obigen Tabelle gegebenen Werthe sind die Mittel werthe von J cos cp und jPcosç ausgedrückt:

2 ¹¹¹ _ X = 4 2 J -

0 m

To

ÖX’

bei a = 80 m :

wonach mit den in Kolumne 25 und 24 für den halben Bogen gegebenen Summen : c =    = 2,76265 m⁴,    k = l6^ = 0,20636 qm,.

53,704

96,354

53,704 96,354*

Im vorliegendem Falle kann übrigens bei a = 80 m keine konzentrirte Last greifen, weil sich daselbst kein Knotenpunkt befindet.

Aus § 31. 8) folgt für eine Temperaturänderung x:

H ~ 51540

[34066

170,83 -

15135,3] = 0,65742 P.

an-

160

E ix ~

51540

und für eine Aenderung A / der Spannweite:

EM 51540’

E a x

~ 322,125’

d)

0)

ln a) b) sind u, u' per Meter, in </) p) ist E qer Quadratmeter einzusetzen. Vergleiche mit den Resultaten der einfacheren Formeln siehe S. 217.

Beispiel 40. Zur Anwendung der Formeln für den Horizontalschub Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobrücke in Portugal).

Für den im vorigen Beispiel betrachteten Bogen der Dourobrücke sollen die dort verlangten Werthe des Horizontalschubs nach den Formeln für trische Parabelbogen von konstantem ./cos<f berechnet werden.

von

symme-

* Alle Zahlen der Tabelle sind für Meter als Längeneinheit gegeben.

g _ 221,01 _

k ~~ 16,509 —

Weiter erhalten wir nun nach den bereits in Beisp. 16 verwendeten Formeln:

160    , 42,65 _

¹ ~~ 8.42,65    2    ' ),rW m’

15.13,3872

13,3872 qm.

53,704

96,354.42,65

) = 0.004287,

8.42,65 ,

5.53.704 ³

also für eine gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit :

0,995461    160-

H ~ 1,004287 8.42,65 M und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte :

f» =

II

= 1,27067 s = 0,005447

= 74,370 n,

=    74,370 = 37,165 (w + u%

in beiden Fällen 3.13 °/o grösser als die im vorigen Beispiel berechneten möglichst genauen Werthe.

Durch beliebige Belastung ergibt sich mit

5.160

(1-j-s) 8/Z⁸ — 1,004287.8.42,65.^4 —

_ 2,33466

/⁴

der Horizontalschub:

// =

2,33466 SP« (l—a) (0,99455 P — n%

worin im Allgemeinem P anstatt 0,99455 P gesetzt werden kann. Ohne diese Vernachlässigung von ergeben sich für Einzellasten P

H = 0,33080 P,

H = 0,36856 P,

H — 0,63589 P,

H = 0,69344 P,

H — 0,72272 P,

H = 0.72640 P,

bei

a — 23,75 m a = 26,75 „ a = 54    „

a = 64,4 „ a — 74,8 .,

« = so

gegen Beisp. 39 — 7,22 °/<> - 5,23 7,01 „ 9,48 „ 10,74 „ 10.49 .,.

Da ferner

15.2,76265

15 c

(1 4-s)8/² ~ 11)04287.8.42,65^ “ 35A6705 so liefert § 16, 8) für eine Temperaturänderung x:

352,670

und § 16. 9) für eine Aenderung der Spannweite um A 1 :

EM

EM

352,670.160 ~    56427'

in beiden Fällen 8,66°/o kleiner als im vorigen Beispiel.

Die hier und in Beispiel 23 nachgewiesenen Differenzen sind für definitive Berechnungen zu gross (siehe z. B. die Bemerkungen zu Beisp. 30, S. 120), wess-halb man in ähnlichen Fällen, wenn es auf Einfachheit ankommt, zweckmässiger wie in Beisp. 23 rechnen wird. Siebe die Vergleiche S. 217.

Aufgabe 15. Bogen mit Zugstange und halbkreisförmiger sowie beliebiger symmetrischer Axe.

Den Horizontalschub eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit Zugstange auszudrücken : a) für den Halbkreisbogen von konstantem Querschnitt : b) für Bogen von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten.

a) Für Halbkreisbogen von konstantem Querschnitt mit Endgelenken hat man nach Aufgabe 14 im allgemeinsten Falle:

4 ¹

Hierin ist A / bei horizontaler Zugstange durch § 20, 1), bei gesprengter Zugstange durch durch § 20) 2) ausgedrückt. Setzen wir nun im ersten Falle:

*= l + JM

^ 71 g Z²’

16 EJ

(a x / — A /).

1)

im zweiten :

.    , , 16 Jz

n — 1 -j--=-= ,

n $ ;

so folgt in beiden Fällen für beliebige Belastung:

nhP ^Fa(l~a)’

und durch beliebige Temperaturänderungen x, x' von Bogen und Zugstange:

2)

3)

16 EJ

b) bür symmetrische Zweigelenkbogen von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten ist nach § 31. 13) im allgemeinsten Falle:

H = — ( Vv iv V

a//

Sx + £7ax — E\l),

worin nun wieder A l bei horizontaler Zugstange durch § 20, 1), bei gesprengter durch § 20. 2) ausgedrückt ist. Setzen wir im ersten Falle:

¹

Seyrig, Le pont sur le Douro. Mémoires et Compte rendu des travaux de la société des ingénieurs civils 1878, p. 741.

5) im zweiten :

8)

* = 1 + ts

so gilt in beiden ballen für beliebige Belastung:

(Vv

>.>

h iv

und für beliebige Temperaturänderungen x, x' von Bogen und Zugstange:

El

H — z— a (x—x'). h iv

8)

Sollte anstatt der oben verwendeten Formel für H die genauere Formel § 31. 8) Verwendung finden, so würde nur an Stelle von 7) treten:

H ==

Fu —

2 - ¹¹ s -4- r~— 2 — P 4- r f 2 — 8 ) o J x' r o F x' r² o F */

9)

mit c, ic nach § 32, 1) 2) anstatt § 32, 9) oder nach § 31, 5) 6) anstatt § 31, 14). Die Ausdrücke 5) fi) 8) würden mit dem jetzt gültigen w bestehen bleiben.

In den Gleichungen unter a) und b ) bedeuten g- den Querschnitt der Zugstange und bei gesprengter Zugstange z die Gesammtlänge derselben. Für z — l gehen die Ausdrücke 2) 6) in 1) 5) über. Durch gleiche Temperaturänderung x = x' von Bogen und Zugstange entsteht nach 4) 8) kein Horizontalschub. A 3) folgen mit Rücksicht auf § 14, aus 7) wie in §§ 31, 32 auch unmittelbar die H für eine gleichmässig vertheilte Last u auf der ganzen Spannweite und für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Hälfte derselben.

:en

US

g 83. Formänderungen von Bogen mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten.

Das Allgemeine über die Berechnung der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten ist in § 26 gegeben. Im Folgenden denken wir uns wie in §§ 31, 32 eine Eintheilung in Felder vorgenommen, für welche die Mittelwerthe von x, y, J, F, J/x, in Rechnung gezogen werden. Der Fall, dass ein Zwischengelenk vorhanden ist (Bogen mit drei Gelenken) bleibe zunächst ausgeschlossen, er wird unten seine Erledigung finden.

In den Gleichungen 18) 20) des § 26 können nach § 32 für gewisse Fälle die Werthe

X₂ =

r₂ =

Z₂ =

/’7 tu i MA dx + ydy r) EF ’

/>.+^

/>■+£)

El

x d cp

E Fr

vernachlässigt werden. Wir wollen zunächst keinen Gebrauch hiervon machen, jedoch wie in §§ 27—32 der Berechnung dieser Integrale auch dann einen Kreisbogen vom Radius

8/

1)

zu Grunde legen, wenn der Bogen nicht kreisförmig sein sollte (vergl. S. 196). Alsdann hat man nach § 27 (S. 196) in obigen Ausdrücken:

(l s,

und demgemäss nach §26, 18) 20) mit § 26, 11)—13) und der Bezeichnung

d x -f- y d cp =

r—f

d s,

d y — xd cp =

W, =

2)

die Aenderungen von x, y, cp allgemein:

2 - y M -E o J x

1 £ a x

/f l

~rg Wx-\-xzx,

3)

Av/ =

./

Wx + «xy,

4)

W"x-

5)

Acp =

Die hierin auftretende Aenderung A cp„ des Winkels cp„ (Winkel cp bei x = 0) ergibt sich aus 5) mit sc = /, nachdem die Aenderung A cp, des Winkels cp, (Winkel cp bei x — l) aus 4) mit x — 1 bestimmt ist. Die Ausdrücke lauten, wenn

ux<

6)

gesetzt wird:

A cpo =

a (l—x)

l IE

2 r E’

7)

A Cp! =

IE « J

Mx -f-

8)

2 r E

Jedoch ist A cp₀ für einfache Bogen nur dann zu berechnen, wenn Kämpfergelenke vorhanden sind, da für Bogen ohne Gelenke unter Voraussetzung vollkommen festliegender Endquerschnitte Acp₀, A cp, den Werth Null haben, und ohne jene Voraussetzung die angenommenen A cp₀, A cp, einzusetzen wären. Wenn die Stützen in gleicher Höhe bleiben, ist natürlich für Bogen mit und ohne Gelenke A k — 0.

Wir wollen wie in § 30 noch besonders die Einsenkung in der

Bogenmitte, d. }\. e —— A y ==— A/ bei x — ^ = m ausdrücken. Nach 4) hat man für dieselbe :

47* -f-

1 'ÿax

T3 7~J

2 r E

worin nach 5) die Aenderung von cp bei m :

xzf,

1 m a

W

YY m?

A cpm = A To “I“ -ja ^ -j -f-sodass man auch schreiben kann :

9)

Mx — ₂ A cp₀ — a x/.

Hierin ist für Bogen ohne Gelenke bei vollkommen festsitzenden End-querschnitten A cp₀ — 0, während allgemein A cp„ durch 7) ausgedrückt

ist, womit bei Beachtung von 2 = H 4- S folgt:

0    0 m

m

⁶ ~ 2E

o MS

a ( l—x)

Mx

IW

4 rE

— a x /.    10)

Setzen wir den gewöhnlichen Fall voraus, dass nicht nur die Bogen-axe, sondern die ganze Anordnung des Trägers einschliesslich der Felder-

a (l—x)

theilung zur Trägermitte symmetrisch ist. Dann sind in 10) die

für die Felder von m bis l gleich den ~ der symmetrisch dazu liegenden Felder von 0 bis m, womit sich die Berechnung besonders dann vereinfacht, wenn symmetrisch zur Trägermitte auch gleiche Momente Mx auftreten. So erhält man aus 10) die Einsenkung durch eine beliebige symmetrisch zur Mitte liegende Belastung allein:

1 v a X 1 i I

* “ Ë ? ~J M* + was, weil in diesem Falle A cpm = 0 und W

— = W =

2

auch unmittelbar aus 4) zu entnehmen war. Berücksichtigt man, dass nach § 1, 3) allgemein:

4 rE’

11)

O MB

12)

Mx = M + Vx

Hy — Sx mit Sx — 2 P(x—a),

13)

so lässt sich anstatt 11) setzen:

S a x²

/ m,r    m

(j/2 2-Ï + FS

\ 0 J    0

, 14)

y a x y

welche Formel mitunter für die Anwendung bequemer ist.

Die Gleichungen 11) 14) können auch bei unsymmetrischer Belastung zur Verwendung kommen, wenn berücksichtigt wird, dass die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so gross ist als durch eine mittelst Verdoppelung dieser Belastung (Uebertragung symmetrisch zur Trägermitte) hergestellte symmetrische Belastung. Formel 12) drückt W bei symmetrischem Träger immer dann aus, wenn die Mx, Vx zur Mitte symmetrisch liegen, also beispielsweise auch bei Berechnung des Einflusses von x oder A l allein, doch sind in § 35 noch andere Ausdrücke von W gegeben.

Weyrauch, Elastische Bogen träger.

Da die Glieder mit W, Wx in obigen Gleichungen durch Berücksichtigung von X₂ F₂, Z₂ in § 26, 18) 20) entstanden sind, so hat man sie selbstverständlich gleich Null zu setzen, wenn bei Berechnung von H für Bogen mit zwei Gelenken bezw. von H, M, M‘ für Bogen ohne Gelenk die X₂, bezw. X₂, Y₂, Z» vernachlässigt werden (§§ 32, 34).

Es ist nun noch festzustellen, welche Abweichungen gegen vor-

I

stehende Formeln eintreten, wenn sich bei 05 = m — ^ ein Zwischengelenk

befindet. Alsdann bleiben mit den Bezeichnungen 1) 2) die Ausdrücke 3) bis 5) zwar für x zwischen 0 und m ungeändert, für x zwischen m und Z dagegen wären zufolge § 26, 25) den rechten Seiten von 3)—5) bezw. Z

w/, —w -ÿ w beizufügen, womit anstatt 7)8) folgen:

A cp o =

Ik

a (Z—x)

I E^ J

O)

Acpi =

2 rE 2’

M J__?— O- -

2rE^ 2’

15)

16)

+ Z E ? J J

worin der Sprungwerth to = A cpu — A cpv der Winkeländerung A cp bei m nacli 3) mit x — l unter Berücksichtigung von to/:

W — a T

(0

AZ

ay

17)

r/E

Gleichung 9) gilt auch für Bogen mit Zwischengelenk, während mit 15) 17) aus 9) an Stelle von 10) folgt ;

Ef J

f 2

L<> G    rn

a (Z—05)

Jt,-

2/

IM A k

47

(/ +

4 f>'

18)

4 f E

Bei vollständig symmetrischer Anordnung des Trägers sind hierin wieder a (Z—o?)

die

auf der zweiten gleich den

a 05

auf der ersten Trägerhälfte,

sodass dann die Einsenkung durch eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung allein anstatt durch 11) ausgedrückt ist:

S, a 05

0+

2 f » J

worin W durch 12) oder § 35 bestimmt. Durch Einsetzen von nach 13) kann auch die 14) entsprechende Gleichung gebildet werden. Beide Ausdrücke sind in der zu 13) 14) angegebenen Weise auch bei unsymmetrischer Belastung verwendbar.

Im Folgenden sollen noch einige speziellere Formeln angeführt werden. Bei Vernachlässigung des Einflusses von W, Y₂, Z, wäre auch in diesen W = 0 zu setzen.

[-

Mx-

4 f E'

10)

Bogen ohne Gelenke.

Es gelten die Gleichungen 1) bis 14). Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit sind

Hierin sind iw, Ti, TT durch § 35, 19)—21) und wenn Tr vernachlässigt wird, M, H auch durch § 34, 18)—21) bestimmt. Eine Temperaturänderung T allein bewirkt nach 10) mit Mx = M—Hy:

21)

— ax/,

G X H™ G X y

E o J El J 4rE worin M, H, TV durch § 35, 32)—34) und bei Vernachlässigung von TV, M, H auch durch § 34, 36) 37) bestimmt. Durch Aenderungen A l, A k der Spannweite und Stützhöhen ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte folgt ebenfalls nach 10) mit Mx = M—Hy\

IW A k 4r E 2

22)

ul

V = A-

U XT

sodass man nach 14) die Einsenkung durch eine solche ausdrücken kann :

2 H

2 M o X

2j y

U 0 J

+ *?

U* a x~

wy

U 0 J

SW =

a xA

)+

l w

4 rE

20)

M G X e = ~J

worin M, H, W durch § 35, 39) 40) 34) und bei Vernachlässigung von W M, H durch § 34, 41) 42) bestimmt. Bei beliebigen A cp₀, A cpx würde Mx für symmetrisch zur Trägermitte liegende Querschnitte nicht gleich sein, sodass alsdann 10) mit Mx = M—Hy und M, H} TV nach § 35, 35)—38) bezw. § 34, 38)—40) zu verwenden wären (Beisp. 44).

Bogen mit zwei Gelenken.

Es gelten die Gleichungen 1) bis 14) und für gleichmässig vertheilte Last auf der ganzen Spannweite, -eine Temperaturänderung x und beliebige kleine Bewegungen der Stützen die Gleichungen 20) bis 22), sämmtlich mit M = 0, wie auch in den aus § 35 angeführten Ausdrücken von TV die Stützenmomente M = M‘ — 0 zu setzen wären. Wenn jedoch, wie für Bogen mit zwei Gelenken bei Berechnung von H oft zulässig, die TV enthaltenden Glieder auch bei Ermittelung von e vernachlässigt werden (Glieder mit F im Nenner, vergl. 217), dann folgen für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit allein :

G X'²

y g xy U « J

S a xA \ 0 -j)

23)

mit H nach § 16, 22), ferner für eine Temperaturänderung x allein:

24)

mit iLnach ^ 16, 14), und für kleine Bewegungen der Kämpfer, durch welche die Spannweite um A l vergrössert (bei Verkleinerung A l negativ) und der Stützpunkt / gegen den Stützpunkt 0 um A k erhöht wird (bei Erniedrigung A k negativ :

Hy g x y

mit H nach § 16, 15). Inwiefern die erwähnten Vernachlässigungen Berechtigt sind, müssen Proberechnungen zeigen (Beispiele 25 u. 41).

Bogen mit drei Gelenken.

Die allgemeinen Gleichungen sind oben nach Formel 14) gegeben. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit liefert 19) mit Mx nach § 15, 21).

P % a x 4/ o ~J

aj/-

4/ o J

S a aP

o ~T

v a x y v a y x¹

KB

4 fE

worin W durch § 35, 21) mit M = 0, H —

KB

)+

4fE’

26)

bestimmt (§ 15). Speziell

bei parabolischer Axe wäre nach § 15, 21) 4/x = 0 und damit nach 19):

l W

e ~ 4fir

Durch eine Temperaturänderung x allein entsteht nach 18) wegen = 0, W = 0:

(/ + b)

27)

und durch kleine Bewegungen der Stützpunkte allein, welchen die zu 25) erwähnten Aenderungen A /, A k entsprechen :

28)

IM

c — 4/

Beispiel 41. Genauere Berechnung (vergl. Beisp. 25) der Einsenkungen eines Zweigelenkbogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Douro-briicke in Portugal).

Für den Bogen der in Beisp. 39 behandelten Dourobrücke die Einsenkung e in der Mitte möglichst genau zu berechnen: a) für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit ; b) für verschiedene gleich-massig vertheilte Lasten von u, u‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte ; c) für eine zur Mitte symmetrische Belastung, welcher bei den Abs-cissen a — 23,75 m, 26,75 m, 54 m, 64,4 m, 74,8 m die Lasten P — 63400 kg, 63400 kg, 62400 kg, 47000 kg, 40500 kg entsprechen; d) für eine einseitige Belastung gleich der im Falle c) auf einer Trägerhälfte angenommenen; e) für eine Temperaturänderung x — -["SO⁰) f) für eine Aenderung der Spannweite um M = 0,01 m und eine Senkung des Stützpunktes 0 gegen den Stützpunkt l um Ak = 0,01 m.

a) Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von n per Längeneinheit hat man nach § 33, 20) mit M — 0:

a

u /

⁶ - 2E y

wTorin nach § 35, 21):

m a XS

T~*~T

JL 2 —1)

u o J '

1)

SH«

H U1 a u ,    ¹¹¹

--S -4 + uZ

r o F ¹ o

“ vj [m—x) . u ox(l—x)

o L<5

2)

~2 -

Mit Rücksicht auf r = 96,354 m, die Tabelle S. 220, 221 und den in Beisp. 39 erhaltenen Horizontalschub H= 72,111 u liefert 2):

Bei den in Beisp. 25 zugelassenen Vernachlässigungen (von X₂, Yv Z₂ in § 26) hätte 1) mit H = 72,848 u und W — 0 wie in Beisp. 25 ergeben e — 0,269 cm, um 82,59 °/o zu klein.

b) Da bei gleiclxmässig vertheilter Last auf der ganzen Spannweite die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beitragen, so hat man für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, n‘ per Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte mit Rücksicht auf das Resultat unter a) :

u -j- u‘

Ë '

Ę- = 72,111 u (335,59

10369,3 96,354 80.15135,3

) -1- u (80.170,83 - 4663,87 +

796257 " 2.96,354

= u (24200 - 7833 + 13666 - 4664 + 12566 - 4132) = 33803 »,

96,354

und bei Beachtung der Tabelle S. 220, 221 Gleichung 1) :

~ (80.47251 —1287244 - 72,111 .34066)

e = 36303 J + 28066 J = 64369 J,

also beispielsweise für u — 4800 kg, E — 2000000 kg per qcm: 64369.4800

80.33803

96,354 E

2(XX)000.100²

— 0,01545 m = 1,545 cm.

e = 32184

c) Für die unter ç) vorgeschriebene symmetrische Belastung hat man nach § 33, 14) mit M — 0‘.

e - E worin nach § 35, 17) 18):

(vZax

^ 0

HZ

'n a x

4 r E’

3)

4)

~2~

Im vorliegenden Falle sind die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

V — 2.63400 + 62400 + 47000 + 40500 = 276700 kg, und der Horizontalschub nach Beisp. 39:

H = 2 (0,35656.63400 -f 0,38888.63400 -f 0,59425.62400 ■+ 0,63342.47000 4-0,65263.40500) = 281089 kg,

während die Gleichungen

F = 276700 kg 276700 276700 276700 213300 149900 149900 149900 87500

40500

5)

o 000

V = V-ZP,

x    0

für die einzelnen Felder liefern: hei x = 2,80 m

8,40 14,10

20,40 25,25 31,00 39,75 49,15 59,20

69,60

8 — Z P (x—a) x 0

63400.1,5 == 95100 mk 63400 ( 7,25 + 4,25) = 729100 mk 63400 (16,00 4- 13,00) = 1838600 „ 63400 (25,40 + 22,40) = 3030520 „ 63400 (35,45 -4- 32,45) + 62400.5,2 = 462934Ö kg

63400 (45,85 + 42,85)4-62400.15,6 -j-470(X). 5,2 = 6841420 kg 63400 (56,25 + 53,25)+62400.26,0+ 47000.15,6 + 40500.5,2 = 9508500 kg.

80. 132514990

= ~ (276700.47251 - 281089.34066 - 3337083443) +

161690383    110023447    271713830

E ' E

96,354

e =

also mit E = 2000000 kg per qcm :

cm = 1,359 cm.

Mit Rücksicht auf die Tabelle S. 220, 221 erhalten wir weiter :

8 =

X

— F = 5675117 F *

>>ji a

5724923

5910312

6234051

1983690

3284309

2858593

2572284

1083250

204120

-y S =

J *

1493070

20279523

82130262

141979862

223180481

315047391

218980755

3705096

77364801

210703560

412150720

698011885

1084707141

850440240

Summe

35510649

1013091344

3337083443

Aus 4) ergibt sich nun :

W = 281089 (335,59 - ^3^4) - 35510649 4

= 64054530 4-35510639 + 43464075 - 10514264 = 132514990 und damit nach 3):

276700

2“

96,354

15135,3 - -

1013091344

96,354

271713830.100 2000000.100²

Bei den in Beispiel 25 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir aus 3) mit H — 283969 kg und W — 0 erhalten e = 0,318 cm (in Beisp. 25 bei anderem Vorgehen 0,320 cm), um 76,60 °/o weniger.

d) Da bei symmetrisch zur Trägermitto liegender Belastung die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beilragen, so hat man für die unter d) erwähnte einseitigo Belastung:

135856915

e) Durch eine beliebige Temperaturänderung x entsteht nach § 33, 21) mit M = 0 die Einsenkung:

IW

Ar E

a x/,

6)

worin nach § 35, 34):

7)

Mit Rücksicht auf die Tabelle S. 220, 221 und den in Beispiel 39 berechneten

Horizontal schub H—

322,125

ergibt sich:

2 ~ 322,125

(®’⁶⁹~fg3) =

E a x +4Ï30

also nach 6):

80 a x

a x. 34066

322,125 "H 96,354.1,4130 und mit a = 0,000012, x — + 30°:

42,65 %z — — 147,816 a x,

e =+ 5,321 cm.

mit H —

Bei den in Beisp. 25 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir nach 6) E a T

0,75 °/o mehr.

320,537

und W — 0 wie in Beisp. 25 erhalten e = _j_ 5,861 cm, um

/) Durch eine Aenderung der Spannweite um A Z und eine Erhöhung des Stützpunktes Z gegen den Stützpunkt 0 um A k hat inan nach § 33, 22) mit M = 0 :

axy

IW A k

4rE 2 ’

8)

worin nach § 35, 38) W durch 7) bestimmt. Da nach Beisp. 39 durch A l entsteht H = —

E AZ

51540

, während A k keinen Horizontalschub erzeugt, so folgt:

E Ot T

IT ~ 51540

( 335 59 1Q369’³) -Vdd    96,354 ) —

E QL X

226,079

und nach 8) :

AZ. 34066

80. AZ

51540    96,354.226,079    2

e = 0,6573 A Z - 0,5 A k,

und speziell für A Z = 2 cm e — 1,3146 cm.

Bei den in Beisp. 25 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir nach 8) E A Z

~ “M286

mit H —

, W — 0 wie in Beisp. 25 erhalten e — 1,3284 cm, um 1,05 °/o

zu gross.

Die obigen Vergleiche zeigen, dass die in Beisp. 25 zugelassenen Vernachlässigungen zwar bei Berechnung der Einsenkungen durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen, nicht aber bei Ermittelung der Einsenkungen durch Belastung berechtigt waren. Ebensowenig sind die Formeln zur Berechnung der Einsenkung von Parabelbogen mit konstantem Jcos cp für den Dourobogen genügend (Vergl. Beisp. 42).

Beispiel 42. Zur Anwendung der Formeln für die Einsenkungen von Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobrücke in Portugal).

Die in Beisp. 25, 41 verlangten Einsenkungen, welche dort nach den Gleichungen des § 33 berechnet wurden, für den Fall festzustellen, dass die Formeln für Parabelbogen von konstantem Vcoscp zur Verwendung kommen sollen.

a) Für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last per Längeneinheit ist die Einsenkung in der Trägermitte nach § 16, 50):

s 5 ul4 ~ T+^ 384 E c ’

wonach im vorliegendem Falle mit Z = 160 m, c = 2,76265 m⁴, s = 0,004287 (Beisp. 40):

von u

1)

_ 0,004287

* _ 1,004287 384.2,76265 E 13185 u

~ 2000000.100²

5 u 160⁴

= 18185 ~

m — 0,0000659« cm,

und für u — 4800 kg:

e — 0,316 cm,

d. i. 17,47 °/o grösser als in Beisp. 25, aber 78,55 o/o kleiner als in Beisp. 41.

b) Durch eine beliebige symmetrische Belastung entsteht nach § 16, 48) :

öfJl1

2 J

pS ZJa(3Z² — 4aL) — H i~0

e = 4~ 5,739 cm,

7,02 °/o grösser als in Beisp. 25 und 7,83°/o grösser als in Beisp. 41.

d)Durch eine Aenderung der Spannweite um A l ergibt sich nach § 16, 55):

5)

25 l A l ~~ 128/1 4-e’

also in unserm Falle:

worin zufolge § 16, 7) mit ß = 0;

K f J 2    1    Hl

= mim o Pa {l~a) {ri+l a~ai)-

2 Pa(3 P-4 a* - (^-a) o \    51,4195    '

und in unserm Falle:

Wir können damit schreiben :

66,3036 E Da nun angenommen sind:

a — 23,375 P = 63400 so liefert die letzte Gleichung:

bei

25

26,375

63400

54

62400

64,4

47000

74,8 m 40500 kg.

e = gg 3Q36    (- 63400.23,75.1865 - 63400.26,75.1639 + 62400.54.562 -f

59870000

~ 2000000.100:-m

47000.64,4.1169-f- 40500.74,8.1442) =

59870000

e = 0,299 cm,

6,56°/o kleiner als in Beisp. 25 und 78,00°/o kleiner als in Beisp. 41.

§ 16, 53):

c) Die Einsenkung durch eine beliebige Temperaturänderuiig x ist nach

-(/4 ²⁶

woraus mit / = 42,65 m:

__L.)

128/1 + J

4)

oc x (42,65 4

25.160²

128.42,65.1,004287

^ — — 159,383 a x,

und mit a = 0,000012:

e —— 0,001913 x m = — 0.1913 x cm,

beispielsweise für x =+ 30°:

= 0,7296 A l,

und für A l — 2 cm :

25.160 ~ 128.42,65 1,004287

e — 1,459 cm,

9,86°/o grösser als in Beisp. 25 und ll,00°/o grösser als in Beisp. 41.

Aufgabe 16. Einsenkungen beliebiger symmetrischer Bogen mit drei Gelenken.

Die Einsenkungen des Zwischengelenks beliebiger symmetrischer Dreigelenkbogen durch beliebige Temperaturänderungen x, kleine Aenderungen A l der Spannweite und Aenderungen A&der Stützhöhen zu ermitteln.

Bezeichnen l, /, L die Spannweite, Ordinate des Zwischengelenks und Entfernung des Letzteren von den Kämpfergelenken im normalen Zustande, so hat man (Fig. 140):

Tritt eine unendliche kleine Änderung von L bei konstantem l ein, so

liefert 1):

P — TJ —

4-

1)

2 fdf — 2 Ld L.

Diese Gleichung gilt auch noch für genügend kleine endliche Aenderungen,, wofür also:

A/ = y AZ.

Einer Temperaturänderung x entspricht A L = a x A und da die Einsenkung 0 = — A/, so folgt:

CF

L-

Fig. 140

2)

Eine unendlich kleine Aenderung der Spannweite bei konstantem L ergibt nach 1) :

-fdf —

2 Idl 4 ’

wonach bei genügend kleiner endlicher Aenderung mit e — — A/:

3)

ZAZ

e — 1/'

Dass eine Aenderung der Stützhöhen um AA, d. h. eine Senkung der Stütze!) gegenüber der Stütze Z um A k bei symmetrischem Träger in der Mitte eine Einsenkung: liefert, ist unmittelbar ersichtlich.

Die erhaltenen allgemeinen Resultate stimmen natürlich mit den in § 30 speziell für den parabolischen Dreigelenkbogen von konstantem Jcos cp und in § 33 für beliebige Axe und beliebige Querschnitte erhaltenen überein.

§ 34. Horizontalschul) und Endmomente des Bogens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten.

Nach § 33, 3)—5) hat man für x — l mit Rücksicht auf y == k = 0 bei Vernachlässigung von Wx (siehe S. 238 unten):

Mx,

A I = oc z I -]—

L o J

A cp! — A cp₀ -|- -J-, -j M

und durch Substitution von

Mx = M -f- Vx - H y — S P (x—a) mit der schon in § 31 angewandten Bezeichnung:

1)

Sx = 2 P(x—a)

im allgemeinsten Falle (für beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung und beliebige Bewegungen der Stützen) :

ÆZAZ = Elocz

+ M i -| + V 2    / - h 2 - £

0 J    0    ,/    0 J

oxy

2)

4- 7/2

0

E Ak = El AyY —MEZ

= ^7 A cp« + Jf 2-^ 4-FS Diese drei Gleichungen liefern 77, F, if. womit wegen

E Ay j

F = y (4/'

o ,7

S„ 3)

a a?

vy

J7 -f £) mit £ = 2 P (Z—a)

5)

auch M‘ bestimmt ist. Für M = 47 genügen die beiden ersten Gleichungen. Dies trifft insbesondere für den Einfluss symmetrischer Belastung, einer Temperaturänderung x und einer Aenderung A l der Spannweite zu. Wenn die Endquerschnitte als unwandelbar festliegend gelten, dann hat man in 2)—4):

A Z = 0.

A k = 0,

A cpL = 0.

6)

A cp₀ = 0,

Soll jedoch der Einfluss irgendwelcher Aenderungen von Z, k, y₀, yt berücksichtigt werden einzusetzen (§ 26).

Im Weiteren wollen wir voraussetzen, dass nicht nur die Bogen-axe, sondern die ganze Anordnung des Bogens einschliesslich der Felder-theilung zur Mitte symmetrisch ist. Dann treten die zu Beginn des § 32 erwähnten Vereinfachungen ein, sodass

dann sind die betreffenden Werthe derselben

vxy

V TI²

0 J

= 22

s £ = 2 2 —

o ,7    ^ 0 J’

Setzen wir zur Abkürzung:

111 _

S °

0 J’

o ,7

_ Z 2JL

~ 0 J ’

t m rj

= F 4

fr o J

Ul g

V -y-0 ,7

7)

+ 22 ¹ 0

S a x-

H)

0 J

welche Werthe nur von den Querschnitten und der Axform abhängen, während Sx, S nach 1) 5) Funktionen der Belastung sind, so gehen die Gleichungen 2) und 4) in die folgenden über:

S'

E Al = (47+47 + £) B — 2 TZ C— Vjr S^ + Elzx,

E Ayl = (47 + 47+ + A — 2 77 TZ — 2 ~ + + P Ay₀,

0 ts

während durch Addition der mit Z multiplicirten Gleichung 4) zu der mit 2 multiplicirten Gleichung 3) folgt :

E(2 Ak — ZAcpo — ZA<ft) = (47 — M + 8) (A l\ — 2 J2) +

^ j(2 x-l)Sx.

9)

10)

11)

Aus diesen drei Gleichungen können H, M, AP berechnet werden. Wir wollen daraus einige direkt verwendbare Spezialformeln ableiten.

Verschiedene Belastungen.

Für eine beliebige Belastung allein erhält man mit x — 0, Al — A k = 0, A cpn = A cp, = 0 :

2 AG —

M + AP 4- A =

M — J/' - V =

^yjSĄB-Ay), --^SAC-ßy), 2 ~ ÄTX {l — 2x).

12)

13)

14)

2 I) — A G

Die Summen auf der rechten Seite können nach Bedürfniss zerfällt werden, sodass z. B.

jAAß-Äy) =

Für eine beliebige symmetrische Belastung genügt zur Bestimmung der Momente M — M' die Gleichung 13) allein. Da jedoch

=> LC

tc

Sv

Sx = 2 P(x—a) = x 2 P — 2 Pa

I»    O    0

= x (2P - 2 p) — (2 Pa — 2 Pa)

</ = 2 P (l — a) - (l—x) 2 P+(l — x) 2 P— 2 pfl—a),

so hat man alsdann für zwei symmetrisch zur Mitte bei x und x‘ liegende Felder wegen

5 = 2 P(l—a) = Z2P: 0 0

S4 4-SV = Sx + S — x ZP+xZP— 2 Pa

0    —d- __0 ; '

S + ip(x—a)

l — x‘ = x,

x' =? l — x,

—    4~ A = 2S44

und damit aus 12) 13) bei Beachtung von 7) für beliebige symmetrische Belastung :

? J ( / Ä >S’X) ( A y B)j

A G—B² J (lB ) (B y ~ C)'

in diesen Gleichungen kann man auch setzen :

A C—B*

15) I

M = AP =

= MS

Ill

doch ist zu beachten, dass eine etwa gerade bei a = x liegende Last P nur in einer (beliebigen) der beiden Summen rechts aufgenommen werden darf. Aus 15) 16) ergeben sich beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit mit

~ u x²

,Sx ~ 2

ul²

s=-⁼i

(§ 14) der Horizontalschub und die Endmomente:

„.    in

H =__—__S —

2 (AC — B²) « J

u y a 2(4 6 - ß²) « wofür man, die Summen 2 zerfallend, auch setzen kann:

x (l—x) (.A y — B),

18)

M = M* =

J⁻

x (l—x) (.B y — C),

19)

2 (H C — ß²)

3/ = i¥' =

(Z—xH

of J’

I y , ox JZ—x) y __ ^, v a x (Z—x)"| ₉₁

L    J    o if il

o Ms

a x (/—x) y

⁷ ß2

20)

2 {AC- B²)

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a hat man in 12)—14) nach 5) S — PC—a), und nach 1)

von x = 0 bis x =

„ x — a „ x —

womit wir zunächst erhalten :

= 0,

Sx = P(x—a),

1    P

2    AC—B²

a (x—a)

(B-Ay),

22)

i¥+i/' + P(Z—a) =

a (x—a)

H C — ß²

('C-By),    23)

M — M⁴ - P (Z—a) =

PI

2D —Al²

» M-

a (x—a)

J*

(Z—2 x).

24)

Hierfür können wir auch schreiben:

2 AC—B²

25)

M + M⁴ + P(l—a) =

AC—B²

26)

4/ - 3/' — P(l -a) =

PI

2D —Al²

(Z — 2 x) —

2 x)]

V ^

a : .7

Weiter erhält man bei beliebigem a in 25) :

(I

a J?

°h>

(B-Ay) = S2f 0 J

(B - A y) -f i - V~X)

111 _    111 ^7/    a _ y,

= /    I    (B — Ay)

0 J    0 J    o J v    ,y

₌ _

a fT 7»

(B-4î,)-ï”(B-lÿ)

(■B-Ay),

Yj(B-Ay) =    -

m —    a —

2 2Ï(S-Xj)-2h£-^) =

(B—Ay) =

o ,y    o t/

fï(*-Ay)=-2$(B-Ay), und in analoger Weise in 26):

(G-By) = l(AC-B*)-&j(ß-By),

2^r(C—By) = 2 (AC— P²) — 2-,(6Y — P y),

a t/    0 J

sowie in 27) :

2x) = AP —2D—2 ~ (1—2 x),

» J    ° ^

2 j(l--2x) = - ! j(f—2x).

Die Gleichungen 25)—27) für eine Einzellast P an beliebiger Stelle r/ nehmen damit folgende Formen an:

H ~~ 2 A G — B*

M+M' + Pa =

o ,y

28)

LO

M— M'+Pa =

PZ

2D —AP

A C — P-

aaj(C'-^4 [a ?    2;c) ■

29)

(Z —2x)J. 30)

Die Summen 2 in den Klammern kann man wieder nach Bedürfniss zerfallen oder vereinigen. In letzterem Falle erhält man:

a (a— x)

H ~ 2 AC—B² o

M + M' + Pa =

(B-Ay),

a (a—x)

A C— B² o J

{O-B y),

31)

32)

PI

2D —

_2

AP o

y a (a—x)

(Z—2 x).

33)

Die Gleichungen 22) — 33) ergeben natürlich für a = 0 und a — l II =0, M — M‘ — 0, und beispielsweise für eine in der Trägermitte

angreifende Last P mit a —    = m bei Beachtung von 7) 8) :

II

'A a x

2 (a C — B*)

24)

M = 4P =

2(4 C — /7²)

sw®

JV

35)

Temperaturänder u ii g e n.

Für eine beliebige Temperaturänderung x (bei Zunahme x positiv) des Bogens ergeben die Gleichungen 9) 10) mit S — Sx = 0, A l = A k — 0, A cpo = A cpi = 0 :

AEl a x — AC—B*Y BEI ax _ “ AC—B* 2

II =

36)

H.

37)

B ewegungen der K ä m p f e r.

Für irgendwelche kleine Bewegungen der Bogenenden ohne Abheben der Endquerschnitte von den Kämpfern folgen aus 9)—11) mit S = Sx — 0 und x — 0 :

II = -

M+M' =

A A / 4- B (A cp« — A cp,) E

2 ’

B A /-f- C (A cp₀ — A cpi) AC—ÎP

A C- B*

38)

E,

39)

2 A A* — / (A cpo —j- A cpi)

2 I) — A P

E.

40)

Wenn jedoch nur eine Aenderung A I der Spannweite (für Zunahme A / positiv), keine Höhenänderung' der Stützen und keine Verdrehungen der Endquerschnitte stattgefunden haben, oder doch nur solche, für welche (vergl. S. 193):

Acpo = Acpi =

dann sind einfacher ausgedrückt :

41)

EM

AG— B² 2 ’

EM

AC—B²    2

,!

42)

Die in diesem § zugelassene Vernachlässigung von Wx, d. h. von X₂, Y₂, Z₂ in § 26, welche sich in § 32 für die Berechnung des Horizontalschubs H gewisser Zweigelenkbogen als zulässig erwiesen hat, entspricht der Vernachlässigung von t bei Parabelbogen (vergl. §§ 28, 36).

§ 35. Genauere Formeln zur Berechnung des Horizontalschubs und der Endmomente des Bogens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Axe und beliebigen Querschnitten.

Im Folgenden soll von den im worigen § zugelassenen Vernachlässigungen abgesehen werden. Nach § 33), 3)—5) hat man für x — l mit y = k — 0 :

1 A a y El J

A/, — W

AZ — ot x l —j—

A k = l A «pi —

Mx — W

A cpi = A cp„ -f'    ~J^

o G> + w)7

Substituiren wir in diese Gleichungen entsprechend § 17, 4) 5) 6):

worin

-w

Mx = M-\-Vx — Hy-2 P{x—a),

Nx = 2 PFc—«)

0

für beliebige Belastungen, eine beliebige Temperaturänderung x und beliebige kleine Bewegungen der Stützen (selbstverständlich ohne Abheben • der Endquerschnitte von den Kämpfern) :

1)

Nx = 7xsincp+#coscp==(F-:sP)^ + #^, so folgen mit den bereits in § 31 angewandten Bezeichnungen: P* =?P,

oy

EM = P/ax-fAfS

o

s °JL s — w

0 J

r—f

Xlf

2)

E A £ = PZAcpj — ATS ^ 0

— V 2^4- P2 a-oj    0

./

3)

mit

17

= FS-I+- +

o F ' r o F ' o

si-Px—~ s ~sx.

o F r 0 E

O I**)

Die Gleichungen 2)—4) liefern H, V, M, womit wegen

mit 8 = S P(l—a)

0

auch M⁴ bestimmt ist. Für M⁴ — M, also beispielsweise für den Einfluss symmetrischer Belastungen, einer Temperaturänderung x und einer Aenderung A Z der Spannweite genügen die Gleichungen 2) 3). Wenn die Endquerschnitte unwandelbar festliegen, hat man in 2)—4) :

A cp₀ = 0.

Soll jedoch der Einfluss irgendwelcher Aenderungen von Z, k, cp₀, cpt ermittelt werden, dann sind die betreffenden Werthe von A Z, A k, A cp₀, A cp! einzusetzen (§ 26).

Im Weiteren wollen wir wieder voraussetzen, dass nicht nur die Bogenaxe, sondern die ganze Anordung des Bogens einschliesslich der Feldertheilung zur Bogenmitte symmetrisch ist. Dann treten die zu Beginn des § 32 erwähnten Vereinfachungen ein, wonach wir mit den Bezeichnungen § 34, 7) 8) und

oz/yl 2 H^oy,M+M' + S a ^ rj p

" o F^~ r o F '    r    F » F *

V = T (M⁴ — M+ 8)

AZ = 0,

Ak = 0,

Acpi = 0,

c HB

H⁰⁰

oo

aus 2) 4) erhalten :

(/■—/) -f- AZ Z a x, 9)

EM = {M+M‘ + 8)B — 2HC

10)

A'Acp, = (If+A/'-f S)a1 — 2AZh£

während durch Addition der mit Z multiplicirten Gleichung 4) zu der mit 2 multiplicirten Gleichung 3) folgt :

11)

Mc — A<?o — ZAcpx) = (M-~A1⁴~8)(2D — AF)-l 2 - (1—2 x) 8X.

0 l/

Aus den Gleichungen 9)—11) können H, M, M‘ für alle Fälle berechnet werden, während für M‘ = M die Gleichungen 9) 10) genügen.

Wenn ausser einer Aenderung A / der Spannweite keine Bewegungen der Stützen oder doch nur solche eintreten, für welche

v    * A k

Acpo = Acpi = -J-

ist, dann fallen A k, A cpt aus den Gleichungen 10) 11), wonach die erwähnten Aenderungen keinen Einfluss auf H, M, M‘ ausüben, wie sich dies schon beim Parabelbogen ergab (S. 102, vergl. S. 193).

Verschiedene Belastungen.

Aus 9)—11) ergeben sich für eine beliebige Belastung allein mit x = 0, AZ = A k — 0, A cpn = A cpi = 0 :

v ? y O J

(M — M‘ — S) (2 D — AP) —12 -r (1—2 x) Sx

o J

worin W durch 8) bestimmt. Speziell für eine beliebige symmetrische Belastung ergeben sich bei Beachtung von M‘ — M und des im vorigen $ (S. 285) bezüglich der Sx Gesagten, sowie der Bezeichnungen § 34, 7):

M B H C + 2 'Vjr (IS — Sx)

MA-- HB+2 2 worin nach 8», da für zwei symmetrisch zur Mitte bei x, x' gelegene

ni

Felder r/ =— rt und P‘x—- Px == 2 2 P = 2FX ist:

*JZ i

« F

(r—f) = 0,

12)

= 0,

13)

= 0.

14)

TF

{r—f) = 0,

15)

= o,

10)

in

r = H2

2    o

= M2

/■

17)

Wie im vorigen $ bei symmetrischer Belastung kann in 15)—17)

T S — Sx

= V,

= ^ P(iA-xVx mit Vx 0

in

18)

gesetzt werden.

Aus 15) 16) ergeben sich beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von u per Längeneinheit mit den im vorigen $ (S. 236) für diesen Fall verwendeten S, Sx :

a x ( l—x) y

= M5

j, 1»

MA — HB Ą~ ~2 worin nach 17) mit Vx — u (m—x):

a x (/—x)

(r—f) = o,

+ 27“°’

10)

20)

2 s\ -

/•

M2

■> o

-J— If —

o

y ( m—x) . u o F ^

a x (Z—x)

21)

Die Werthe von SX7 Px für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten von u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte sind in § 32 angeführt ('S. 215).

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a hat man in 12)—14) und 8)—11) neben = P(Z—a) :

von x = 0 bis x — a x — 1

Px - 0, Px = P,

sx = o,

Sx — P(x -ft),

womit nach 12)—14) für die von P allein herrührenden TL M, M‘: Weyrauch, Elastische Bogenträger.

16

(M -f M' + P(.I—a)) B — 2 HO— p(

(r-f) = 0,

- M-

v M-

LC

IC

'l X

O iS

->] 3

IC

'S

= 0, 28)

(M— M‘ P{1—a)) (

a (2 x—f

A /) -f P

= 0.

v a x (2 x—/)

24)

IF ist nach 8) bestimmt durch

to

's

* M2

>•

A'c;

' 'S

'S

-W\ *

^1-=$

- M-

a (/—x)

m    1 — \

M)4+Mn)

25)

—

ü=

. ist, .. sw =

— (/—a) 2

tr> A

5 IX*

C>

Die Gleichungen 22)—25) gelten zwar für beliebige a, würden aber be-sonders für « > m zu verwenden sein, während sich für a <C w wie folgt bequemere Formeln ableiten lassen.

Mit Rücksicht auf die vollständige Symmetrie des Trägers und die Bezeichnungen § 84, 7) 8) hat man in 22)—25) :

a (/--xi y

v a x y ÿ axÿ

*--r — ^ -T"

a P    0    J

v a » y

? J

va y 2

0 P

o ./

5 wy i g

0 J ' o

= Bl —

v a x y o A7’

und in analoger Weise (vergl. auch § 84, S. 137): 2= 2 B —2

« .y    « • j

= Al —2

î,ax

- M~-

m «

tc

o M»

m *

CM

2D — A P — 2

CM

v a (2 x— Q

° M*

“> -'S

₇ V a v a x

"p ~ .FÎT’

Mit diesen Ausdrücken folgen aus 22) , Einzellast P:

IC

» M-

? A«

LC

a>

Ss

S'

*il

a> ■

©'

'•i

(M+ M⁴ +• Pd) B — 2HC -\- p(

(M+ M⁴ -{-Pa) A - 2 HB + p(| a x (M-M' + Pa

2D

M*

fr

wy „ *y\

~ ".../1

a) fr » .// '

a x (l—2 x)

a(l—2x)\ 0 J )

und zur Bestimmung von W nach 25) :

Wr =

2 h(t

Ms

Mp

= 0.

28)

c Ms»

= 0.

29)

^-ï°B)+(M+MÂ*+p(rH+

ni _

-f- « ^ Tr' — a ¹ ü P

Mp

F'

30)

o F

Diese ebenfalls für beliebige a geltenden Gleichungen sind für a <7 m bequemer als 22)—25) und man hat in diesem Falle in 30):

V 3

— a

« F

* MS

31)

1 emperaturä n d e r u n g e n.

Für eine beliebige Temperaturänderung x folgen aus 9) 10) mit = A k = 0, A cp,, = A cp! = 0 zur Bestimmung von

8 = Sx = 0, H und M =

MB

MA

— HC —

-HB +

(r—f) E m a x = O,

= O,

32)

33)

worin nach 8):

° Ms *sgl ^

34)

B e w e g u n g e n der Kämpfe r.

Für beliebige kleine Bewegungen der Kämpfer, bei welchen jedoch die Endquerschitte vollständig mit den Kämpfern in Berührung bleiben müssen, hat man aus 9)—11) mit S — Sx = 0 für H, M, M⁴ :

E A / = (M + M⁴) B —2 HC—^(r—f),

= (M + M⁴) A — 2HB+W,

A cp₍₁ — A cp/) = (M — M⁴) |2y-4l),

E (A cpj — A Cpo)

E( 2

35)

■ 36)

37)

16*

worin mich 8):

i ij M -}- M' rs F +......r ■■ F

m ■)

= 2HZ 4“

0 t

Wenn jedoch nur eine Aenderung A l der Spannweite, keine Aenderung der Stützhöhen und keine Verdrehungen der Endquerschnitte entstanden sind, oder doch nur solche, für welche

A <p₀ — A cp, =

»Ms

A/j

dann hat man zur Bestimmung von H und M — M‘ nach 35) 3ß) :

, E A l (r /)--2~

= 0,

M B - HG

= ü,

39)

MA —HB-f-worin W durch 34) ausgedrückt.

40)

Beispiel 43. Genauere Berechnung der Stützenreaktionen eines Bogens von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das vom Gewölbeausschuss des österreichischen Ingenieur- und Arehi-tekten-Vereins erprobte Bruchsteingewölbe von l = 2 m = 23,758 m Spannweite und/= 4,502 m Pfeil der Axe (vergl. Beisp. 33, S. 133) sollen der Horizontalschub H und die Endmomente M, M‘ nach den genaueren Formeln für symmetrische Bogen ohne Gelenke mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (§ 35) berechnet und auch die Vertikalreaktionen V, V‘ der Kämpfer beigefügt werden: a) für das Eigengewicht des Gewölbebogens; b) für eine einseitige Belastung bis zur Bogenmitte durch beliebige Lasten P hei a = 2,870 m. 5.129 m 7,370 m, 0,620 m und halb so grosse Lasten hei a = 0,620 m, 11,879 m, wie sie bei der Probobelastung angebracht waren; c) für eine bezüglich der Bogenmitte

0 9,629    2,679    5,129    7,379    9,629_ty>79

23,758 m

1,754

4,G04

6,254

8,504

fi-4,502 m

-,C

" 2,317.......4,567

192    3,442    5,692    7,942    11,192

6,8 ii.......9,067*

11,317

V¹

Fig. 141

symmetrisch hiezu gelegene Belastung auf der zweiten Bogenhälfte und für diejenige symmetrische Belastung, welche durch Zusammenwirken der beiden letzterwähnten Belastungen entsteht; d) für eine Temporaturändehing -; e) für eine Aenderung A/ der Spannweite ohne Aenderung der relativen Höhenlage der Kämpfer und ohne Verdrehungen der Endquerschnitte, oder doch nur solche," für

ist.

welche A cp₀ = A cpt =

Wir verfahren zunächst ganz wie einleitend zu Beisp. 33 angegeben, doch kommen jetzt für die Berechnung der H. M. M‘ anstatt der Formeln des § 34

Wiener Bruchstein-Versuchsgowölbe. Tabelle XIII.

Feld

•S

Yj X

oœcc-

'î—Ł h-i M m'w'm M H-I

fecncncncncncnotofcncc

s!I§!3iiSs§

dedooe' o"o o' cTo

1.278

1,283

1,199

1,172

1,154*

1,140

1,129

1,127

[Sa. 11,879 4,502 12,987

1,071

0,992

0,910

LO en oc

0,688

0,656

0,635

0,618

0.605

0,587 0,496 1,134 0,844 1.236 0,779 1,342 0,718 1,452 0,649 1,558 0,573 1,647 0.486 1,715 0,386 1,772 0,282 1,820 0,173 1,859 0,058

0,770

1,414

1,458

1,525

1,578

1,661

1,716

1,759

c^ôo

o r-Tco' idr-’ 'aT-HcdcDoćd-r

T-H r—I 1-H r-H Oil

OO OCr^-3 CD COJSO^- p OCDCOCDCO-l^G

0,158 11951 1,006 18549 1,805 14520 2,471 11302 2,964    8547

0,656

95

5826

37984

69739

99950

126802

153792

175859

193861

208030

218549

226287

16,122 5,444 17,366

108,863 55,803 23,021 80118

1516679

ro

13

diejenigen des § 35 zur Verwendung. In Tabelle XIII sind aus den in Tabelle V jenes Beispiels (S. 141) gegebenen x, y an den Feldergrenzen der ersten Trägerhälfte zunächst die Horizontalprojektionen X und Vertikalprojektionen r; der Ax-längen a jener Felder angeführt, also beispielsweise

für Feld 0

?? l

2

» » a

wonach sich mit Hülfe der aus Tabelle II desselben Beispiels (S. 135 )entnomrnenen Querschnitte F = h und Koordinaten x, y in den Feldermitten die Wertlie der Kolumnen 6—11 ergaben.

X = 0,629 m,

X = 1,754 — 0,629 = 1,125 m, X = 2,879 - 1,754 = 1.125 m,

rj = 0,531 m,

rt = 1,368 - 0,531 '= 0,837 m. rt == 2,077 - 1,368 = 0,709 m,

a) Eigengewicht.

Für eine beliebige symmetrische Belastung hat man nach § 35, 15) 16) :

-HO + 1^ Qs-O= 0,

MA-HB + S^S-ßJ + ^^O,

MB

l)

2)

worin nach § 35, 17) :

(t *-«,)■

Fx und X. S-—Sx für Eigengewicht sind bereits in Beisp. 33 ermittelt und in der

dortigen Tabelle III eingetragen. Damit folgen die Werthe in Kolumne 12 und 13 der obigen Tabelle. Die Gleichungen 1) 2) ergeben mit Rücksicht auf die Tabellen II und III des Beispiels 33 und r = 17,923 m (s. Bemerk. S. 140):

1« X o F r o

il

3)

1464,16 M - 5718,93 H -f 155081280 -

407,60 M - 1464,16 H + 39741790 -j-

17,923

W

17,923

13,421 =: 0,

— 0,

Bei Vernachlässigung von W würden diese Gleichungen die in Beisp. 33 unter n) gefundenen Werthe von H, M liefern. Nach 3) ist

55,803    17,366

17,923 "•    17,923

= 164740 + 13,009 H -f 0,969 M.

Damit gehen die beiden vorhergehenden Gleichungen über in die folgenden : 1463,43 M - 5728,67 H + 154957821 = 0,

407,65 M — 1463,43 7/+ 39750986 = 0,

~2

= H. 16,122 - H

-f 80118 +

1516679

17,923

woraus :

M — — 4902 mk.

H — 25796 kg,

Die in Beisp. 33 erhaltenen Werthe 26821 und — 1157 weichen gegen vorstehende genauere um 3,97 °/o und 76,40°/o ab. Wie in Beisp. 33 sind die Vertikalreaktionen (1er Kämpfer:

V = V' — 2 P — 24095 kg.

0

b) Einseitige Belastung von 0 bis m.

Nach § 35, 12)—14) hat man für eine beliebige Belastung zur Bestimmung von H, M. M‘:

(MĄ-M + S) B - 2 H C —    —    (r~f) = 0,

{MM‘ -\- 8) A —    —

/Ti A 1\ m n

(M M‘ — S) (±j- -    - 2 l    8x = 0,

worin nach § 35, 8):

VT = 2 HZ A - ²JL Z °4 + ë±Æ±l l ° _ i l p n P T o P    r o P o P *

und nach § 35, 1) 6):

S = 2 P (x—a) —

x o

41

CD 'Ci

^—'    "—"

T)

P. =

xP

8)

9)

S — 2 P (l—a) = l P. — 2 P a. o    ¹ o

Mit Rücksicht auf die in den zwei ersten Kolumnen der folgenden Tabelle XIV angeführten a, P und der Abscissen x der Feldermitten in Kolumne 4 ergeben sich nach 8) für Feld 1 mit x — 1,192 m:

P =

0,629 = 0,3145 P,

sx = 1,192 ! - 0,3145 P = 0,2815 P;

für Feld 2 mit x = 2,317 m:

2 P a = 0,3145 P,

= 2,317 ~ - 0,3145 P = 0,8440 P;

für Feld 3 mit x — 3,442 m : 3 P

2 Pa — 0,3145 P +2,879 P = 3,1935 P, ⁰

Q P

£x = 3,442 ^ - 3,1935 P = 1,9695 P;

für held 4 mit x = 4,567 rn:

2 Pa = 3,1935 P,

Px = 4,567 ~ - 3,1935 P = 3,6570 P;

für Feld 5 mit ^ — 5,692:

p

x —    2 ’

2Po = 3,1935 P-f 5,129 P = 8,3225 P,

o

5 P

Äx = 5,692    - 8,3225 P = 5,9075 P.

ln' gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 6 bis 8 von Tabelle XIV (S. 248) berechnet, worauf sich diejenigen der Kolumne 9 durch Multiplikation der Werthe in Kolumne 8 mit den in Tabelle II (S. 135) des Beispiels 33 angeführten

j, die Werthe der Kolumnen 10 und 11 durch Multiplikation der Werthe in

' Kolumne 9 mit den x, y derselben Tabelle des Beisp. 33, diejenigen in Kolumne 12 durch Multiplikation der Werthe in Kolumne 9 mit m—x, und diejenigen der Kolumnen 13 und 14 durch Multiplikation der Werthe in Kolumne 5 und 8 mit den

aus obiger Tabelle XIII (S. 245) entnommenen ~ ergaben.

Man hätte für alle Felder des ganzen Trägers wie zuletzt angegeben verfahren und alsdann die in 4)—7) auftretenden Summen 2 mit 8 , Px einfach durch Addition erhalten können, Da aber die zweite Bogenhälfte unbelastet ist, und .für alle Felder derselben

8 — xP — 2Pa -- b P x — 31,27 P,

x    x 0

2 P = 5 P, o

so kann man berücksichtigen, dass den x, y, o, yj, J, Peines Feldes auf der zweiten Trägerhälfte die \l—x, y. o, — yj, J, F des symmetrisch dazu gelegenen Feldes auf der ersten Trägerhälfte gleich sind, wonach mit Rücksicht auf die oben erwähnten Tabellen II, XIII, XIV (S. 135, 245,' 248):

_^-3l,27P2⁰f

m J    m

a (l—x) y

2    8 = 2    8 -f 5P2

o J ¹ o J x^

31.27 P 2

= 2 S + 5 P

o J x

= 21032,87 P-f 5 P (23,758.1464,16 - 11970,95) - 31,27 P. 1464.16 = 89321,39 P,

= 4992,68 P -f 5 F (23,758.407,60 - 2975,54) - 31,27.407,60 = 25788,13 P,

oM-

a (m—x)    __ ® g (m—x)

8 -f 5 P 2

a (m—a?) x

-- 31.27 P 2

g (m—x)

”l g (2 m¹—3 m x -f- a?²)

™ g (m—x)

= f ^Sx + 5 P2 ^0 - 31,27 P2 j — 169,19 P -f 5 P (23,758.17,366 - 108,863) - 31,27 P. 17,366 = 1144,75 P,

4-31,27 P 2 0

cc

ot

10

Summe: 4992,68 46846,16

11

12

13

9i8'8 . ; IW'lOtSI i i8W)l6

14

061‘691

628‘ïl

IC -, -*

J.

0690 I

7,379

; 0,6291 X I 2,879    1

X CC CC -I C¹ Ot tt* 00 IO

co to — oco-acsoi^cotG-i— o

11 Vss8 £ £Ist ss £

C. IC —I IC -1 1C —1 1C 1C -*1 1C 4-

«[•i w|<o m|m N»!*., <*!-' w|o* ł*jw frsji» *i{—■ w[—    - •

0,5960

1,1585

5,1630

6,8505

14,2300

17,0425

27,7970

31,7345

45.8640

50,9265

Feld x in m

31,2700 ox—31.27

0,3145    0,2815

0,3145    0,8440

3,1935    1,9695

3,1935 !    3,6570

8,3225 !    5,9075

8,3225    8,7200

15,7015    12,0955

15,7015    16,0330

25.3305    20,5335

25.3305    25.5960

17,83 I 51,33 !

116,26

225,84 ! 1285,48 384,90    2623,86

593,16    4710,88

856,48 I 7765,70 1178,62 ; 12012,50 1563,40 ! 17693.00

98h

5,79

41,31

176,68

530,96

4,70    51,94

30,99    J    170,49

122,78    I    433,07

342,15    850,09

767,86    !    1397,27

1451,84    1948,36

2410,60    2335,27

3665,73    :    2408,42

5211,86    1988,33

7024,36    i    878,63

OOOl—if-*!—‘O^OO h- oo h M ot * oo h © rc

i*i“oo!^^cDüt'do^*o

COCHCD03tObOh*CÓMOO

X    __ >

x p    p¹¹

2 Pa

JP J P

*S £

____ Ji£_

xo (a?—w) o I â o

3    8

3 X

./ P F P F~P

y P

'i X

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XIV.

Y, X

A p 0 F *

= s|p - 5 P2    4- 31,27 P 2

= 8,870 P - 5 P (23758.5,441 — 23,021) + 31,27 P . 5,444 = — 352,480 P.

Mit diesen Werthen und dem aus 9) folgenden

S == 23,758.5 P 31,27 P = 87,520 P

nehmen die Gleichungen 4)—0) folgende Formen an (bezüglich 2102,63 s. S. 134):

W

13,421 = 0,

l'.=

■=- — 31,27 P 2 F    m

w-"*

( M 4- M⁴ + 87,52 P) 1464,16 - 2.5718,93 H - 89321,39 P -

(M 4- M‘ 4- 87.52 P) 407,60 - 2 . 1464,16 H - 25788,13 P IM — M - 87,52 P) 21f^⁾³ -j- 102501,13 P = 0.

17,923

W

17,923

= o,

Bei Vernachlässigung von W würden diese Gleichungen die in Beisp. 33 unter c) für dieselbe Belastung gefundenen H, M, M⁴ liefern. Setzen wir jedoch nach 7) :

W = 2 H. 16,122 — 2 H

55,803 M 4- M⁴ 4~ 87,52 P

17,923

17,923

17,366 4- 352,480 P ~

1144,75 17,923

so erhalten wir zunächst:

P = 26,017 H 4- {M 4- M⁴)

17,366

17,923

- 373,410 P,

(M 4- M‘) 1463,43 - 11457,34 H39101,50 P = 0, (M+M*) 407,65 - 2926,87 H + 9864,19 P ^ 0, (M - M‘) 1051,31 4- 10490,04 P = 0,

woraus :

H 3,8836 P,

M = - 3,1460 P,

gegen welche Werthe die in Beisp. 33 erhaltenen 3,6058 P, abweichen um 7,15 °/o, 31,46 °/o und 15,26 °/o

Für die Vertikalreaktionen der Kämpfer hat man nach § 17, 2) 3):

M‘ = 6,8320 P

4,1357 P, 5,7892 P

V‘

— j fiPa 4- M— m\,

V = 2 P — V‘.

10)

Hierin ist nach den beiden ersten Kolumnen von Tabelle XIV (S. 248):

₌ p    2,879 4-5,129 4-7,379 4-9,629 4-= 31,270 P,

womit :

31,270 - 3,1460 - 6,8320 " 23,758 V — 5 P - 0,8962 P

V⁴ =

P = 0,8962 P

= 4,1038 P,

während sieli bei der weniger genauen Berechnung in Beispiel 33 0,8985 P und 4,1015 P, also um 0,26 °/o und 0,06 °/o abweichende Werthe ergaben.

Anstatt wie hier sofort für die ganze angenommene Verkehrsbelastung hätte man die //, M, M⁴, V, V⁴ auch wie in Beispiel 33 aus den Beiträgen der einzeln P berechnen können, wobei die Gleichungen § 35, 27)—31) nebst vorstehenden Formeln 10) mit Weglassen der Summenzeichen 2 zu verwenden gewesen wären. Dieser Weg ist besonders dann am Platze, wenn man die ungünstigsten Belastungen entsprechend §§ 10, 11 möglichst genau feststellen und zu diesem Zwecke auch die Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke genauer als nach den Formeln für Parabelbogen oder nach § 34 bestimmen will, was ganz wie in Beisp. 1 (S. 12) zu geschehen hätte.

c) W e i t ere Verke h r s b e 1 a s t u u g e n.

Ist die zweite Bogenbälfte so belastet, wie unter b) l'iir die erste angenommen wurde, so ergeben sieh mit Rücksicht auf die dort erhaltenen Werthe:

H = 3,8836 P,

M‘ — - 3,1460 P,

M — 6,8320 P,

V — 0,8962 P,

Wirken gleichzeitig die soeben und die untbr b) angenommenen Lasten, so gelten für die resultirende symmetrische Belastung:

H = 2.3,8836 P = 7,7672 P,

V =    .4,1038 P.

M = M‘ — - 3,1460 P + 6,8320 P = 3,6860 P. V — V —

4,1038 P +- 0,8962 P = 5 P,

gegen welche Werthe die in Beisp. 33 für die gleiche Belastung erhaltenen 7,2112 P, 1,6535 P und 5 P um 7,16°/o, 55,14 °/o und 0°/o abweichen.

d) Temperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung x hat man neben V = V‘ — 0 nach § 35, 32) 33):

IL

= 0,

11)

MA

. 12)

worin zufolge § 35, 34):

= H'H~HrV-J + Mr T

Mit Rücksicht auf die bereits mehrfach verwendeten Werthe nehmen 11) 12) die Formen an:

* MS

13)

1464,16 M — 5718,93 H

iv

17.923

13,421 -f 11,879 E

= 0,

407.60 M - 1464,16 M +

= 0.

17,923

Bei Vernachlässigung von W liefern diese Gleichungen die in Beis]>. 33 unter </) erhaltenen //. M, während sie jetzt mit

55.803

/ / _ _

17,923

r, = H. 16,122 -

zunächst in die folgenden übergehen:

4- M

17,366

17,923

= 13,009 H 4- 0,969 M

1463,43 M - 5728,67 H -f 11,879 E a - = 0, 407,65 M - 1463,43 H = 0,

woraus :

E y. i

TU4ö;

Die in Beispiel 33 gefundenen Werthe, mit 38,677 und 10,767 in den Nennern, sind um 3,40°/o une 3,46 °/o grösser.

e) Bewegungen der Kämpfer.

Für eine beliebige kleine Aenderung A l der Spannweite, ohne andere als die in der Aufgabenstellung zugelassenen Bewegungen der Kämpfer hat man nach § 35, 39) 40) neben V = V‘ = 0 :

MB-HC- ~ (r-f) -

w

HB + Tt = °

worin W durch 13) ausgedrückt ist. Da in 14) 15) gegenüber 11) 12) lediglich V l an Stelle von 2 m a x getreten ist, so erhalten wir nach Einsetzen von W\

39,993 ’

MA

M — M‘ — 3,5899 H —

“2

A l = 0,

14)

15)

und hieraus:

1463,43 M — 5728,67 H -407,65 M — 1463,43 H — 0,

A l = 0,

EM ” '950, i6

Die in Beisp. 33 bei Vernachlässigung von W erhaltenen Werthe, mit 918,90 und 255,81 in den Nennern, weichen um 3,40°/o und 3,46 °/o von den vorstehenden genaueren ab.

M M‘ = 3,5899 H =

E\l 264,68

Beispiel 44. Einsenkungen eines Bogens ohne Gelenke mit beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe). ,

Die Einsenkungen in der Mitte des in Beisp. 33 behandelten Bruclisteigewölbes nach den bei beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten gültigen Formeln des § 33 zu berechnen: a) Für das Eigengewicht des Gewölbebogens allein; b) für eine einseitige Belastung durch beliebige gleiche Lasten P bei a — 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m und halb so grosse Lasten bei a = 0.629 m und 11,879 m; c) durch eine Temperaturänderung x; d) durch eine Aenderung AZ der Spannweite und eine Senkung A k des Kämpfers 0 gegen den Kämpfer Z ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte.

a) Für ein beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man nach § 33, 14j mit S = V l \

— . M2 —

El o J

Die in der Klammer auftretenden Summen 2 wurden bereits in Beisp. 33 berechnet (S. 135, 136), während nach dem vorigen Beispiel für Eigengewicht allein:

M — — 4902 mk

= 164740 + 13,009 H -f 0,969 M — 495570. sodass die Einsenkung durch das letztere:

(— 4902.2975,54 — 25796 . 11970,95 + 324445191) -)

1384922

Ar Ei

1)

H — 25796 kg,

23,758 . 495570 2 17,923 E ’

und beispielsweise für E — 175000 kg per qcm :

1384922    _ .,mo

e “ 175000 . 1002 m ~ 0,079 cm-

Bei der gebräuchlichen Vernachlässigung des Einflusses von Xÿ Yt„ ZL> hätten wir mit 1/ =— 1157 mk, H — 26821 kg (Beisp. 33), W — 0 erhalten:

70359

b) Wäre die zweite Bogenhälfte ebenso belastet wie in der Aufgabe unter b) für die erste verlangt, so hätten wir eine symmetrische Belastung und würde Formel 1) oder auch nach § 33, 14) gelten :

1    / Dl g    Hl f-r rp'2

e = 4 (M2--\-V2aX Ja \ o J o

Da aber alsdann die Belastungen beider Bogenhälften der Symmetrie halber gleichviel zur Einsenkung in der Bogenmitte beitragen, so ist die wirkliche Einsenkung bei der unter b) verlangten Belastung halb so gross. Nun ergaben sich für die angeführte symmetrische Belastung im vorigen Beispiel:

ArE'

2)

M — 3,6860 P,

H = 7,7672 P,

womit nach der dortigen Gleichung 3) und den dortigen Tabellen wegen V — V —

lp =

— 7.7672 P . 16,122 —

8.876 P +

7,7672 P 17,923

5 P. 108,863 - 169,190 P

55,803 -f-

3,6860 P 17,923

17,366 -f 5 P . 5,444 -

143,885 P.

17.923

Demgemäss erhalten wir nach 2) die Einsenkung durch die verlangte einseitige Verkehrsbelastung allein :

/T (3,6860.2975,54 -f- 5.25670.62 — 7.7672 . 11970.95    46846,16) -f

23,758 . 143,885 P

4 . 17,923 . E

e — — 205.309

und beispielsweise für P — 3430 kg und E — 175000 kg per qcm :

— 0,040 cm.

205,309.3430 175000.1002 m —

Bei Vernachlässigung des Einflusses von X„, F„, Z, (§ 26) hätten wir mit M — 1,6595 P, H — 7,2112 P (Beisp. 33) und IV — 0 erhalten: e — — 1880,066

e) Durch eine beliebige Temperaturänderung x entsteht nach § 33, 21);

l W

H "J a X y

worin im vorliegenden Falle nach Beispiel 43:

E a x

TU 40:

a x/,

E ax

39.993

3)

~2

== 13,009 H 4- 0,969 M,

sodass wir erhalten :

2975,54 11970,95 11,140    39,993

23,758 /13,009 . 0,969 \ 2.17,923 V39.993 ⁺ 11,140/ e = — 36,451 a x,

) 4- *x

— XX

• 4,502

und beispielsweise für % = 0,0000118:

£ = — 0,000430 x m = — 0,0430 x cm.

Mit den in Beispiel 33 unter Vernachlässigung von X.„ F„, Z₂ berechneten M, II und IV = 0 hätte sich ergeben: e ■= —¹ 37,656 a x.

d) Die unter d) angenommene Bewegung der Stützen bewirkt nach ij 33, 22):

l W _ \Jc 4 rE' 2 '

M a x H a x y

Eïir~E»^~f

Da hierin nach Beispiel 43 in unserm Falle

E A l ~ 264,68’

e =r

EM 950.1( i ’

JE

== 18,009 // + 0.969 v¥.

. so erhalten wir:

13,009 “ 950716

0,969 i 2154.68/

/ 2975,54 11970,95\ . . . 23,758 , l “ 264458 ⁺ '950,16 / + A ¹ 2ÄT}m (

■ e — 1,345 A 7 — 0,5 A k.

Mit den in Beisp. 33 unter Vernachlässigung von A’₂, Y₂, r/„ berechneten M, H und W — 0 hätte sich ergehen : e — 1,396 AZ — 0,5 A k.

td

Bemerkungen. Die obigen Resultate zeigen, dass die durch Belastung bewirkten Einsenkungen in der Trägermitte sehr gering sind und durch Einflüsse von Temperaturänderungen und kleinen Bewegungen der Kämpfer leicht aufgewogen werden können. Bei den angenommenen E, oc würde die rechnungs-mässige Einsenkung durch das Eigengewicht und einseitige Belastung bis P — 3430kg (Proportionalitätsgrenze, s. 8. 132, 149) e — 0,079 — 0,040 = 0,039 cm, dagegen die Einsenkung durch eine Temperaturdifferenz x = — 6,625 ⁰ C, wie sie die Luft bei P — 3430 kg gegen den Anfang des Versuchs aufwies (13,7° R am 12. 10. 91 gegen 19° R am 26. 9. 91*) e — 0,043.6,625 = 0,285 cm. Die am Schlüsse des Versuchs bis P — 3430 kg gemessene Einsenkung betrug 0,165 cm. Wieviel davon elastisch, wieviel bleibend war, welche Bewegungen der Kämpfer eingetreten waren (beim Ziegelgewölbe ergaben sich A 7 = 0,075 cm, A k — — 0,070 cm, dagegen beim Moniergewölbe AZ— — 0,035 cm, A k = 0,070 cm) wurde nicht fest-gestellt, wie auch die jeweiligen Temperaturen des Gewölbeinnern nicht zweifellos angegeben werden können. Beim Zusammenwirken der oben in Betracht gezogenen Einflüsse, zu welchen beliebige Verdrehungen A cp₀, A ç der Kämpferquerschnitte nicht gehören, wäre in Centimeter ausgedrückt:

13849,22 - 2,05309 P

- 3645,1 a X 1,345 A 7 - 0,5 A k,

worin auch AZ, A k in cm. P in kg, E in kg per qcm einzusetzen sind. Aus dieser Gleichung könnte beispielsweise der Elasticitätsmodül E bei bekannten Werthen aller übrigen Grössen berechnet werden, was im vorliegendem Falle nicht möglich ist. Uebrigens werden die Vertikalbewegungen der Bogenmitte durch die Belastung meist zu klein, um verlässige VVerthe von E daraus zu entnehmen. Nach obigen Vergleichen mit den bei Vernachlässigung der AT.„ Y₂, Z„ erhaltenen Werthen (s. am Schlüsse von a) b)) können auch Vernachlässigungen bei der Berechnung die Resultate vollständig ändern. Weitgehende Schlüsse lassen sich also aus solchen Einsenkungsmessungen im Allgemeinen nicht ziehen. Doch zeigt der vorstehende Ausdruck von e, dass im obigen Falle durch [genügend grosse P auch negative Einsenkungen (Hebungen) des Bogenscheitels gegen dessen Lage vor Einwirkung von Lasten (vor der Ausschalung) entstehen konnten, was die Beobachtung bestätigte. Nach dem Ausdruck von e sollten abgesehen von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen die negativen e bei

13849,22 _

2,05309 ~~

beginnen, doch liegt dies schon oberhalb der Proportionalitätsgrenze. Gemessen wurde bei P = 5574 kg, e ' — 0.145 cm, bei P — 7402 kg e — — 0,945 cm.

Die Einsenkungen, welche sich für das betrachtete Gewölbe durch die oben angenommenen Einwirkungen ergeben würden, wenn die Axe parabolisch und ./cos 9 konstant wären, sind in Beisp. 29 berechnet. Sie bestätigen, dass die Berechnung nach den einfacheren Formeln für Parabelbogen von konstantem ./cos 9 in Fällen wie dem vorliegendem nicht zulässig ist.

6746 kg

§ 36. Einige Ergebnisse der berechneten Beispiele.

Bezüglich verschiedener Punkte, welche bei der Berechnung elastischer Bogenträger in Betracht kommen, lassen sich nur durch numerische Berechnungen unter praktisch vorkommenden Verhältnissen genügende Aufschlüsse erlangen. Bei der Umständlichkeit mancher dieser

* Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 27.

Berechnungen und den durch die Mängel der Theorie sowie ungenügende [Tatsächliche Unterlagen bedingten Schwierigkeiten waren jene Feststellungen bisher durchaus unzureichend, und auch für die Folge bleiben vergleichende Berechnungen zur Anbahnung von Vereinfachungen und Begründung von Verbesserungen sehr wünschenswert!]. Es zeigt sich, dass manche gebräuchliche Vernachlässigungen keineswegs allgemein zulässig sind, während andrerseits gewisse Erschwerungen entbehrt werden können. Die folgenden Schlüsse stützen sich auf die in vorliegender Schrift berechneten Beispiele, sie können also, soweit sie nicht Bekanntes bestätigen, zunächst nur unter ähnlichen Verhältnissen Gültigkeit beanspruchen. In erster Linie haben wir Brücken- und Dachkonstrüktionen im Auge. Bei den angefügten Hinweisen werden Aufgaben und Beispiele durch A und B bezeichnet. Die Verweise auf IV' beziehen sich auf den IV. Abschnitt.

Bogenlängen. Dieselben können für die gewöhnlichen f\l (l Spannweite , / Pfeil) mitunter zweckmässig nach der Näherungsformel

(> + !£>

erhalten werden; doch bietet auch die genauerere Berechnung keine Schwierigkeit. S. 73. Ueber s='2a siehe S. 95, 135, 141. B 15.

Trägheitsmoment und Krümmungsmomente. Die bei elastischen Bogenträgern übliche Verwendung des Trägheitsmoments J anstatt des Krümmungsmoments

r)

V²

r -f v

ist berechtigt. Vergl. § 6 und A 4, 5, 6 mit B 2, 3, 4.

Ausdruck der Normalspannungen. Die Verwendung der einfacheren Formel für die Normalspannungen a

Mx

anstatt der theoretisch genaueren

Fr

J — F +

(S. 21) ist bei Berechnung der Materialbeanspruchungen zulässig. Vergl. B 5 (S. 30). Zur Ableitung der statisch unbestimmten Grössen H, M, M‘ und der Formänderungen empfiehlt sich die Verwendung des genaueren Ausdrucks, entsprechend dem Vorgehen im III. Abschnitt.

zu

Schubspannungen. Die Querschubspannungen und Längsschubspannungen (§ 9), welche bei der Dimensionirung vollwandiger Bogen gewöhnlich unberücksichtigt bleiben, ergeben sich bei Gewölben und eisernen Bogen so gering, dass sich gegen die übliche Dimensionirung auf Grund der Normalspannungen a allein vorläufig nichts einwenden lässt. B 8, 34, 35. Doch ist bei Wahl der zulässigen Beanspruchungen auf die aus Biegungsversuchen unter ähnlichen Verhältnissen erhaltenen a Rücksicht nehmen. §§ 4, 5, 19, 24, IV A ; B 35, 37. Bezüglich der in andern

Fällen bei verschiedenen gleichzeitigen Einwirkungen in Rechnung gezogenen „reduzirten Hauptspannungen“ s. Luegers Lexikon der gesummten Technik, Bd. TV, Stuttgart 1897, Art. Festigkeitsbedingung.

Koncentrierte und gleich massig verlheilte Lasten. Zur Vereinfachung mancher Berechnungen kann an Stelle einer Anzahl in gleichen Abständen angreifender gleichgrosser koncentrierter Lasten eine entsprechende gleiehmässig vertheilte Last (§ 14) eingeführt werden; in andern Fällen kann das Umgekehrte vorzuziehen und zulässig sein {B 12). Bei grösseren Berechnungen, für welche sich der Einfluss solcher Vereinfachungen nicht nach allen Richtungen übersehen lässt, rechnet man am besten mit den wirklichen Lasten (IV. Abschnitt).

Ungünstigste Belastungen. Die Verwendung der Bogenaxe anstatt der Kernlinien bei Bestimmung der Belastungen für die Grenz-werthe der Normalspannungen a (S. 40, 62, 84), durch welche die Anzahl zu berücksichtigender Belastungsfälle auf etwa die Hälfte reduzirt wird, ergibt für vollwandige Bogen in vielen Fällen hinreichend genaue Resultate. Vergl. B 18 (S. 68) und die Tabelle S. 41 auf Grund der einfacheren Berechnung im IV. Abschnitt und der genaueren : Weyrauch, Berechnung der neuen Bogenbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt, Allgemeine Bauzeitung 1895. Eventuell kann man bei diesem Vorgehen die Verkehrslast per Längeneinheit etwas nach oben abgerundet einführen. Siehe auch das unten über Gewölbe Gesagte.

Temperaturänderungen. Die Berücksichtigung gleicher Temperaturänderungen nach oben und unten, z. B. x = -f- 30°, gegen eine dem spannungslosen Zustande entsprechende Normaltemperatur ist willkürlich, wenn letztere in üblicher Weise gleich der Montirungstemperatur angenommen wird. So wären für x =-f- 30° bei 0° Montirungstemperatur Temperaturen von — 30° bis 30°, bei 30° Montirungstemperatur jedoch solche von 0 bis 60° berücksichtigt (vergl. auch IV N). Diese Willkür lässt sich vermeiden durch Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur, wie dieselbe bei der neuen Neckarbrücke zwischen Stuttgart und Cannstatt in Verbindung mit der ohnehin beabsichtigten Ueberhöhung der Bogen (IV E) ohne jede Mehrarbeit vorgenommen worden ist. A 10, 11 mit B 22, 26; IV N.

Die Beanspruchungen durch Temperaturänderungen und demgemäss auch durch kleine Stützenbewegungen können bei flachen eisernen Bogen ohne Gelenke so gross ausfallen, das dieser Umstand bei Wahl der Bogenart besonders in Betracht zu ziehen ist (B 31). Jedenfalls sollten für die Vermeidung von Kämpfergelenken bei flachen eisernen Bogen Gründe angeführt werden können, welche jenen Nachtheil aufwiegen. Auch bei Gewölben ohne Gelenke kann der Einfluss von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen auf die Beanspruchungen erheblich werden (B 37).

Einsenkungen. Die mitunter vorgenommene Berechnung der Einsenkungen von Bogen auf Grund einer vorausgesetzten gleichmässigen Längenänderungen der Bogenaxe (A 7) entbehrt einer zuverlässigen Grundlage und kann zu ganz falschen Resultaten führen. Sie ist umso weniger zu empfehlen, als die-EinsenKungen schon durch geringe Aenderungen

der Bogenaxe, Belastungen u. s. w. stark beeinflusst werden können. Sielje A 7 und diese Vergleiche in B 41, 42, 44 (auch die Bemerkungen zu B25, und die Verschiedenheit der Resultate von B 29 und 44).

Bogenform. Die Berechnung parabolischer Bogen von konstantem (mittlerem) t/cos:p mit zwei Gelenken und ohne Gelenk ist bei gleicher Genauigkeit wesentlich einfacher als die Berechnung anders geformter Bogen dieser Arten. Vergl. B 40 mit 89, 27 mit 43, 42 mit 41, 29 mit 44 etc. Eine Ausnahme macht nur der Halbkreisbogen mit Kämpfer-gelenken (A 1, 14, 15), während für andere Kreisbogen mit Kämpfer-gelenken zwar der Horizontalschub durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen verhältnismässig einfach ausgedrückt ist (A 13, B 38), die der Belastung entsprechenden Ausdrücke aber so unbequem verwendbar ausfallen¹), dass auch für Kreisbogen im Allgemeinen die Formeln für beliebige Axe vorzuziehen sind, umsomehr als diese auch der Veränderlichkeit des Querschnittes Rechnung tragen. Da sich zudem die Beanspruchungen parabolischer Bogen nicht ungünstiger, sondern in wichtigen Fällen günstiger als für andere Bogen ergeben (weil in jenen Fällen annäherd Mx = 0 und damit die Querschnitte annähernd gleich-massig beansprucht sind; vergl. S. 60, 82, 103 und A 9, 10 mit B 21, 22, IV E), so wird man häufig zu parabolischen Bogen greifen. Selbstverständlich können andere Gründe gegen diese Wahl den Ausschlag geben (S. 59).

Bei Anwendung der Formeln für parabolische Bogen auf Bogen mit anderer Axform ist mit Vorsicht zu verfahren, in Zweifelsfällen empfehlen wir, davon abzusehen. Wenn auch die Abweichungen gegen die genaueren Wertlie für manche Grössen wie die Stützenreaktionen H, V, V', die Vertikalkräfte lrx und die Normalkräfte A⁷X in vielen Fällen gering oder gleich Null sind, so können sie doch für andere Grössen wie die Momente Mx, die Normalspannungen a und die Einsenkungen e so gross ' ausfallen, dass die ganze Berechnung damit unbrauchbar wird. Siehe die Bemerkungen zu B 24, 30, 33, A 14, sowie die Vergleiche in B 40, 42, die Verschiedenheit der Resultate von B 29 und 44 u. s. w.

Parabolische Bogen. Bei der Berechnung parabolischer Bogen von konstantem (mittlerem) J cos tp mit zwei Gelenken darf in dem Ausdrucke des Horizontalschubs

II =

2 Pa {l—a) (/² 4-la — a² 4 ß Z²) -f

15 E c

(14e)8/

und den daraus folgenden Spezialformeln zwar fast immer ß, aber im Allgemeinen nur für vorläufige Berechnungen s vernachlässigt werden. § 28, M 7, 9, jR 16, 20. Mit e = 0 würde für f = 0 der Horizontalschul) H — oo, während in diesem Falle wegen s = oc ² (S. 198) wie für Balken H = 0 ist. Der Einfluss von s ist jedoch um so geringer, je steiler der Bogen und für / = Z/2 hat man e = 0.

Noch weniger darf in den Formeln für den Horisontalschub H und die Endmomente M, M‘ parabolischer Bogen ohne Gelenke (S. 101) die übliche Vernachlässigung des Einflusses der Axialkraft etc. (der Integrale X₂, r₂, Z₂ auf S. 192) und damit des hier mit 6 multiplizirten s vorgenommen werden. B 27 (Bemerk. S. 111, 120) und 31. In dem Grenzfalle / = 0 würde auch hier H = oo, während sich mit dem richtigen Werthe H — 0 die Endmomente wie beim beiderseits eingespannten Balken ergeben (S. 101). Doch nimmt wieder e mit der Steilheit des Bogens ab und ist für / = Z/2 e = 0. Ferner ist e für Gewölbe wesentlich kleiner als für eiserne Bogen (S. 64, 115, 144).

Bei Berechnung der Formänderungen parabolischer Bogen würde die Vernachlässigung von e im Allgemeinen zu unbrauchbaren Resultaten führen, so z. B. für beliebig grosse gleichmässig vertheilte Last zu einer Einsenkung in der Trägermitte gleich Null, während sich bei Berücksichtigung von s im Falle / = 0 für den Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk dieselben Einsenkungen wie für den beiderseits frei drehbaren bezw. beiderseits festgespannten Balken ergeben müssen. Vergl. §§ 15, 16, 17, 23; A 7, B 20, 29, 32, 42.

Bogen mit beliebiger Axe. Für so steile Bogen mit Kämpfergelenken, wie sie nach dem Vorgänge der Dourobrücke (8. 94) in neuerer Zeit vielfach zur Anwendung kamen, kann bei Ermittelung des Horizontalschubs H nach den Formeln für beliebige symmetrische Axe und beliebig veränderlichen Querschnitt in vielen Fällen von dem bei Parabelbogen von konstantem Jcos cp durch e, ß berücksichtigten Beitrag der Axialkraft etc. (dem Beitrag der Integrale X₂, V₂,    8. 192) abgesehen und

also nach § 16, 13)—17) gerechnet werden § 32, B 23, 39.

Für Bogen ohne Gelenke kann der Einfluss der Vernachlässigung jenes Beitrags in den Ausdrücken von H, M, M‘ bei beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten bedeutend werden, selbst in dem günstigsten Falle rechteckigen Querschnitts (Gewölbe, S. 143). Zu beachten ist jedoch hier wie bei parabolischen Bogen, dass sich die Abweichungen nicht in gleichem Maasse auf die bei der Dimensionirung in Frage kommenden Beanspruchungen fortzupflanzen brauchen. B 34, 35, 36.

Auch wenn bei Berechnung der Stützenreaktionen und Beanspruchungen die einfacheren Formeln der §§ 16, 34 zur Verwendung kommen, sind die Einsenkungen im Allgemeinen möglichst genau zu berechnen, da diese durch Vernachlässigungen selbst dann bis zur Unbrauchbarkeit beeinflusst werden können, wenn die erhaltenen Beanspruchungen für praktische Zwecke noch genügend genau sind. Siehe die Vergleiche in B 41 und 44.

Gewölbe. Die durch die Wiener Versuche (§ 19) als zutreffend bewiesene Berechnung von Tonnengewölben als elastische Bogenträger bestätigt zugleich die Willkür der gewöhnlichen Berechnung. Die freie Wahl gewisser Durchgangspunkte der Stützlinie in einzelnen Fugen kommt auf die Annahme von Gelenken in den betreffenden Punkten hinaus, während bei eisernen Bogen Niemand Gelenke annimmt, wo keine sind, und auch bei Gewölben, je nachdem Gelenke angewandt werden oder nicht, ganz verschiedene Beanspruchungen entstehen können. Vergl. die

17

Weyrauch, Elastische Bögenträger.

Resultate der Beispiele 13, 30 und die Bemerkungen S. 127. Gewölbe sind nicht weniger genau zu berechnen als eiserne Bogen, da für sie die Vermeidung grösserer Zugspannungen von Wichtigkeit ist ($ 10). Alan hat also entweder wirklich Gelenke anzuordnen (§ 18), oder die Gewölbe bei entsprechender Ausführung als elastische Bogen ohne Gelenk zu berechnen. B 13, 27—30, 33—37, 43—44. Abgesehen ist hierbei von solchen Gewölben, für welche auf Grund genügender Erfahrungen das bisherige Vorgehen mit den üblichen geringen reehnungsmässigen Beanspruchungen als empirische Methode gelten kann.

Während die Berechnung von Gewölben mit drei Gelenken nach $ 15 erfolgen kann (B 13) nud nur für die Einsenkungen bei nicht parabolischer Axe nach § 33 zu greifen ist, wären Gewölbe ohne Gelenke nach § 17 zu berechnen {B 27—30, 33—37, 43—44), wozu sich bei nicht parabolischer Axe die 7/, M, M‘ am genauesten aus § 35 ergeben. (B 43). Aber selbst bei Ermittelung der H, M, M‘ nach den unter Vernachlässigung der Axialkraft etc. entstandenen Formeln des § 34 (B 33) wäre die Berechnung des Gewölbes als elastischer Bogenträger dem willkürlichen gewöhnlichen Verfahren vorzuziehen. Für das Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe gestatten die Tabellen der Beispiele 35, 36 (S. 151, 154), in welchen die grossen Zahlen die genaueren, die kleinen die weniger genauen Werl ho bedeuten, Vergleiche der schliesslichen Rechnungsergebnisse ohne und mit jenen Vernachlässigungen. Auch die kleinen Zahlen stehen mit den Versuchsresultaten noch verhältnissmässig gut im Einklang, während das gewöhnliche Verfahren über dieselben überhaupt keinen Aufschluss geben kann (S. 152).

Das besonders bei Gewölben nicht seltene Vorgehen, der Berechnung nur einen Belastungsfall zu Grunde zu legen (z. B. einseitige Verkehrsbelastung bis zur Bogenmitte oder Vollbelastung des ganzen Bogens), ist für Brücken durchaus ungenügend. 77 13, 30.² Dagegen ist die Verzeichnung der Stützlinie zur Berechnung von Gewölben ebensowenig nöthig wie bei eisernen Bogen. Sie kann jedoch behufs grösserer Anschaulichkeit für einzelne Belastungsfälle beigefügt werden. Vergl. S. 69 und /> 36.

IV. Abschnitt.

Berechnung der König-Karls-Brücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt.

Die im Jahre 1893 dem Verkehr übergebene Strassenbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt ist 1891—93 durch die Württembergische Ministerialabtheilung unter Präsident von Leibbrand erbaut worden. Bezüglich eingehenden Studiums aller Verhältnisse der Brücke wird auf dessen Schrift ..die König Karlsbrücke“ Berlin 1895, verwiesen.

Die Lieferung der Eisenkonstruktion aus basischem Martinflusseisen, Niete aus Schweisseisen, wurde infolge engeren Wettbewerbs der Esslinger Maschinenfabrik übertragen. Die Konstruktion sichtlichkeit und bequeme Zugänglich (Fahrbahn 11 m, Fusswege je 3,5 m) wird in jeder Oeffnung durch sechs parabolische Blechbogen mit Kämpfergelenken, ohne Scheitelgelenk, in Abständen von 3,2 m getragen. Infolge der Bedingungen für das Längenprofil, die Licht weiten, Höhenlage der Kämpfergelenke u. s. w. ergaben sich folgende Spannweiten und Pfeilhöhen der Bogenaxen in der Oeffnungsfolge von Stuttgart nach Cannstatt :

Für Oeffnung I =

zeichnet sich durch Einfachheit, Ueber-keit aus. Die Brückenbahn von 18 m Breite

II

48

III

IV

50,48

4,855

48

45,51 in. 3,695

45,51 4,375

Es sind also nicht zwei Oeffnungen vollständig übereinstimmend.

Die erste Berechnung einer Oeffnung wurde durch Oberingenieur Kübler von der Esslinger Maschinenfabrik vorgenommen und den Plänen der letzteren beigefügt. Ihr allgemeiner Gang ist aus der oben citirten Schrift ersichtlich, wenn auch die Durchführung für letztere nachträglich auf Grund der definitiven Querschnitte widerholt und in einzelnen Punkten modifient wurde. Unter Beiziehung jener Berechnung fand eine Prüfung der Pläne an der Hand der Lieferungsbedingungen statt, worauf im Einvernehmen der Bauverwaltung, der Esslinger Maschinenfabrik und des Verfassers vorliegenden Werks eine Anzahl Aenderungen beschlossen wurden (Verstärkung der Stirnbogen und der Horizontalplatten aller Bogen, Wegfall der Unterbrechung der zweiten Horizontalpatten um die Bogenmitten. Ergänzung der Windkreuzverbände, Verstärkung der Vertikalständer und des Zoreseisenbelags). Auf Grund der so erhaltenen Querschnitte und Gewichte wurde die definitive Berechnung durch den Verfasser entsprechend den Bauvorschriften für alle fünf Oeffnungen getrennt durchgeführt. Die vollständige Berechnung ist in der Wiener „Allgemeinen Bauzeitung“ 1895 veröffentlicht. Sie gestattet interessante Vergleiche und insbesondere auch Schlüsse darüber, inwieweit man in ähnlichen Fällen von vollständiger Berechnung der verschiedenen Oeffnungen absehen kann. Selbstverständlich ist jedoch der Gang der Berechnung für alle Oeffnungen derselbe.

Im Folgenden geben wir die Berechnung von Oeffnung IV mit folgenden Aenderungen: 1) Entsprechend dem Zwecke dieses Buches ist eine vorläufige Berechnung zur Ermittelung der Querschnitte beigefügt; 2) anstatt des genaueren Verfahrens zur Bestimmung der Grenzwerthe der Normalspannungen ist das in

4,735

4,505

§ II erwähnte einfachere Verfahren verwendet, da letzteres in der Praxis meist vorgezogen worden wird, ersteros aber in dem erwähnten Aufsatze verfolgt werden kann (vergl. S. 278 oben) ; 8) der Eintluss der Temperaturänderungen ist etwas anders als in diesem Aufsatze berücksichtigt (vergl. S. 15), Uebereinstimmung würde erreicht, wenn in letzterem X = 1 gesetzt würde, während mit X = 0,958021 gerechnet ist. — Bei der eingehaltenen Genauigkeit der Berechnung kommt es lins keineswegs immer auf den Werth der berücksichtigten Dezimalen für die Schlussresultate an, so wenig, wie dem Kaufmann, welcher seine Bücher auf den Pfennig genau führt, dieser Betrag von Bedeutung ist. Rechnet man aber bei umfassenderen Ableitungen zu ungenau, so wird nach und nach jede Kontrolle unmöglich, es entstehen Widersprüche, bei welchen nicht mehr gesagt werden kann, ob sie in Fehlern oder in Vernachlässigungen ihren Grund haben. In der Praxis wird denn auch oft genauer gerechnet als auf der technischen Hochschule.

Bemerkt sei noch, dass in der folgenden Darstellung manche Berechnungen Vorkommen, welche häufig wegfallen (künstlicher Horizontalschub, Reduktion der Normal temperatur u. s. w.). Sodann rechnen wir mitunter desshalb genauer als unbedingt nöthig wäre, um die Zulässigkeit gewisser Vereinfachungen (Vernachlässigung von ß, Zusammenfassung des Eigengewichts u. s. w.) wie in früheren Beispielen hervortreten zu lassen. Auch soll auf gewisse Modifikationen der Berechnung hingewiesen werden. Die praktische Berechnung einer Bogenbrücke wird also oft wesentlich kürzer als hier ausfallen. Besonders trifft dies dann zu, wenn man auf die Bestimmung der ungünstigsten Belastungen verzichtet, und sich wie in den Beispielen 18, 30 auf die Durchrechnung einiger im Voraus gewählter Belastungsfälle beschränkt, was bisher sehr häufig geschah. In diesem Falle wäre nach der vorläufigen Berechnung unter A für die Bogen selbst meist nicht viel mehr erforderlich, als eine nochmalige Behandlung der gleichen Belastungsfälle mit Verwendung der in IV B, C erhaltenen genaueren Wert he, und Feststellung der entsprechenden aQ, ou. Der Einfluss der Temperatur könnte wie in J nachträglich berücksichtigt werden.

A. Vorläufige Berechnung.

Da es sich um parabolische Bogen von l = 48 m Spannweite und /= 4,505 m Pfeil der Axe handelt , so hat man nach § 15, 8) 18) an jeder Stelle x der Bogenaxe:

y = jfx(l-x) = 0,00782118 * (48-æ), tg cp = ^ (1—2 x) — 0,01564286 (24—£c),

cos Cp =

y i+tga cp

0_

10

12    13 n 15    16    17    18    19

L^^70lea i ąnm    ; j§

' [ i i i i r

48,n

ojl'/ '$182 ZWO ~j;eWVÖJÖ6 -ifiîï isjsżż' ''nfśO 20.238 22.746

Fig. 142

Die Vertikalen, welche nach dem Bauprogramm ohne Diagonalen in Abständen von 2.5 m anzunehmen waren, gelangten mit Rücksicht auf die Anordnung der Bogenenden, Fahrbahn, Geländer u. s. w. an die in Fig. 142 ersichtlichen Stellen symmetrisch zur Trägormitte. Obige Gleichungen ergeben auf der ersten Trägerhälfte unter den Axen der Vertikalen sowie am Kämfper und Scheitel die in Kolumne 2—1 der Tabelle II (S. 205) eingetragenen Werthe.

Als Verkehrslast waren (abgesehen von Fuhrwerken etc., vergl. unter IV K) 4(X) kg. per qm Fahrbahn und 500 kg per qm Fusswege vorgeschrieben, also für jeden der sechs Bogen durchschnittlich per m Spannweite:

— 1387 kg,

400.11 —j—560.7

wofür hier rund 14(J0 kg gesetzt wird. Das Eigengewicht der Brücke sei auf Grund von Erfahrungen, empirischen Formeln oder überschlägischen Ermittelungen zu 2100 kg per m angenommen, wonach als grösste Gesammtlast 8500 kg per m Spannweite in Rechnung zu stellen ist.

Für die vorläufige Berechnung der Bogen ziehen wir nur gleichmässig vertheilte Lasten in Betracht und zwar: a) Vollbelastung des ganzen Bogens: b) Ver-kohrsbelastung der ersten Bogenhälfte; c) Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälfte. In den für diese Belastungen beim Parabelbogen von konstantem (mittlerem) J cos cp gültigen Formeln könnte vorläufig neben ß = 0 auch s = 0 gesetzt werden. Da wir jedoch übersehen, dass die mittlere Entfernung der Gurtungsschwerpunkte etwa h — 0,8 m bei ragen wird, so lässt sich entsprechend dem zu § 15, 40) Gesagten (S. 04) setzen:

_ P . r - 8? ⁺

= 00,181 m,

h* 0,04

y — Ï2 ~ ~nrqn1’

und damit nach § 15, 40) :

r—,

rf

Für eine auf die ganze Span Längeneinheit hat man nach § 10,

= 0,012.

iclimässig vertheilte Last von u per § 10, 21) und ß = 0:

x (l—x),

1 “h s

• *) « tg 9 4- (S/J

während für verschiedene gleichmässig vertheilte Lasten zweiten Bogenhälfte nach § 10, 25) 28) :

_ 3 u -f- u*

— ö 0

1)

= [(

2)

cos cp,

u, u‘ auf der ersten und

Tj u-\- u‘ P

H “ T+7 Wf'

und damit nach § 10, 27) 5) 20) auf der ersten Bogenhälfte:

u x2 ~2~’

Mx — V x Hy

3)

4)

5)

Nx — [ ( V — u x) tg ip -f- H] cos 9.

Da l — 48 m, f — 4,205 m, s = 0,012, so erhalten wir für Vollbelastung, mit n — 3500 kg:

o)

Mx = 20,25 £c (48 — x),

Nx — I (84000 — 3500 x) tg cp 245938] cos cp

für Verkehrslast von 0 bis m, mit u — 3500 kg, u‘ — 2100 kg, wegen V — 75000 kg H — 170878 kg :

Mx = 75000 x - 170878 y — 1750 x\ > =:X 1(75000 - 3500 x) tg cp + 170878] cos cp, /

für Verkehrslast von m bis l, mit u — 2100 kg, u‘ — 3500 kg, wegen V = 58800 kg, H = 176878 kg:

0)

Mx — 58800 cc — 170878 y — 1050 x\

Nx — 1(58800 — 2100 x) tg cp ~\~ 176878] cos cp. ,

Mit Rücksicht auf die y, tg cp, cos 9 in Tabelle II erhalten wir z. B. bei x = 12,714 m wegen y — 3,5088 m, tg 9 — 0,17054, cos 9 — 0,98477 im Falle a):

im Falle b):

im F alle c) :

M = 9809 mk,

X

Mx — 57668 mk,

Nx = 249060 kg, Nx = 179592 kg,

Nx = 179765 kg.

ilf = - 42775 mk,

ln gleicher Weise sind die übrigen Werthe der folgenden Tabelle 1 berechnet.

Tabelle I.

a.

b.

c.

Quer

schnitt

V olibelastung

Verkehrslast von 0 bis rn

Verkehrslast von rn bis /

.1/

.1/

.V

X

mk

kg-

mk

kg

1)1 lv

kg

2,682

5,190

7.698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22.746

2522

4610

6437

8004

9309

10358

11136

11658

11919

256911 ^ 254522 I ! 252410 250587 249060 ! 247831 246904 246286 245977

22081

37865

4!X)49

55668

57668

55043

47825

35978

19521

188741 185898 183416 181310 179592 178270 177354 176853 176765 ;

-    17992 30472

~ 38757 42880

-    42775

-    38489 ...... 29992

17317

445

184618 183207 181928 180780 179765 178884 178316 177529 177060

Bei Belastung durch Eigengewicht allein stehen alle Mx, N im Verhältniss

21 (X)

g

3500

= zu den unter a) angeführten.

Auf Grund vorstehender Tabelle hat nun die vorläufige Bestimmung der Querschnitte zu erfolgen. Einige Anhaltspunkte pflegen von vornherein gegeben zn sein. Bei Wahl der Höhe kommt neben statischen Gesichtspunkten (je höher die Vertikalplatte, desto kleiner die Gurtungsquerschnitte) das Ansehen in Betracht. Vielfach wurde die Höhe konstant angenommen. Für die Cannstatter Brücke war, wie ebenfalls häufig geschieht, eine Zunahme der Höhe nach den Kämpfern vorgeschrieben; die Veränderlichkeit der Vertikalplattenhöhe wird dann nach Ermittelung der statischen Bedürfnisse für einige Querschnitte am besten graphisch festgestellt. Die Querschnitte der Cannstatter Brücke wurden symmetrisch zur Axsehicht und die Dicke der Vertikalplatte gleich 1,2 cm gewählt (vergl. S. 184).

Bei den weiteren Ermittelungen können Profiltabellen, graphische Darstellungen und anderes Erfahrungsmaterial gute Dienste leisten. Wird z. B. bei x = 12,714 m ein Profil vom Querschnitt F — 382,6 qcm und Widerstandsmoment W — 12959 ccm angenommen, so liefern die nach § 8, 11) bei symmetrischem Querschnitt gültigen Formeln

.V

6.)

die Normalspannungen des obersten und untersten Querschnittselements per qcm im Belastungsfalle a) :

ao ⁼

249060    9309.100

382,6 +    12959'

249060    9309 . 100

= 723 kg,

a-> ⁼ 382,6

12959

== 580 kg.

— 140 kg.

179705    4277500

³<> ~ 382,6 “ 12959”

179705 . 4277500 unf. .

= 38p + 12959” = 80(3 kg-

Bei Beurtheilung dieser Zahlen kommt es in erster Linie darauf an. welche Beanspruchungen unter den gegebenen Verhältnissen (Material etc.) zugelassen werden sollen. Für die (Jannstalter Brücke (Martinflusseisen) waren Beansprueh-

^ gestattet, doch durfte unter Hinzu

ungen durch Belastung bis 800 ^1

min a 2 max a

rechnung der Temperatureinflüsse die Grenze von 1000 kg nicht überschritten werden. Hiernach wäre die Normalspannung co = 914 kg zu hoch, da wir nicht genau «lie ungünstigsten Belastungen berücksichtigt haben, während nach obigen Zahlen die Normalspannung im obersten Querschnittselement nicht über

140

™ (‘ +■ ou) = 882 kK

betragen sollte. Für die hinzukommenden Temperaturspannungen bliebe auch bei 914 kg genügend Spielraum. Im vorliegendem Falle ist jedoch zu beachten, dass ein künstlicher Horizontal schuh (vergl. Aufgabe 9) vorgesehen war, durch welchen der Druck im Obergurt vermindert wird. Da nun das Eigengewicht für die vorläufige Berechnung absichtlich etwas hoch gewählt wurde, und bei Zweigelenkbogen von weniger veränderlicher Höhe die Normalspannungen erfahrungsgemäss um die Grenzen der äussersten Viertel am ungünstigsten ausfallen, so kann der angenommene Querschnitt vorläufig belassen und zu andern Stellen übergegangen werden.

im Belastungsfalle b):

179592    5700800

J‘> ” 382,6 ⁺ 12959 179592    5700800

“ 382.0    12959”

24 kg,

im Belastungsfalle c):

Im Allgemeinen ist bei diesen vorläufigen Ermittelungen Folgendes im Auge zu behalten: 1. Die grössten zugelassenen Beanspruchungen sind nicht für alle Tlieile vollständig auszunützen. Auf besondere Umstände und rechnerisch nicht verfolgbare E nflüsse kann schon bei der vorläufigen Berechnung Rücksicht genommen werden. 2. Die Querschnitte lassen sich nicht überall gleich-massig den Beanspruchungen anpassen, besonders dann nicht, wenn die Winkeieisen in gleicher Stärke durchlaufen und die Veränderlichkeit der Querschnitte nur durch die Höhe der Vertikalplatte und Auflegen von Horizontaiplatten bewirkt wird, was meist zu empfehlen ist. 3. Der ungünstigere Einfluss koncen-t rierter Lasten (Strassenwalze u. s. w.) gegenüber der Belastung durch Menschengedränge macht sich besonders um die Bogenmitte und an den Bogenenden geltend (IViTund Beisp. 11). Es ist also gut, die Beanspruchungen durch Menschengedränge allein hier nicht bis zur zulässigen Grenze gelangen zu lassen. 4. Der Einfluss der Temperaturänderungen nimmt von den Kämpfern nach der Mitte hin zu, sodass ohne Berücksichtigung der Temperaturänderungen besonders nach der Mitte hin genügend Spielraum für ein Anwachsen der Beanspruchungen bleiben muss. Uebrigens können die Temperaturspannungen (bei Parabelbogen unter Einführung eines Schätzungswerthes von c, vergl. Beisp. 16) schon bei der vorläufigen Berechnung berücksichtigt werden. 5. Auch der Einfluss eines künstlichen Horizontalschubs lässt sich übersehen (Aufg. 6) und in dem Falle, dass er die Momente durch eine gleichmässig vertheilte Last (Eigengewicht) aufheben soll, im Voraus annähernd berechnen (Aufg. 6, 9). 6. Etwaige Bewegungen der Widerlager üben von den Kämpfern nach dem Scheitel hin wachsende Einflüsse aus (Beisp. 18).

Nachdem die vorläufige Ermittelung der Querschnitte in der angedeuteten Weise beendigt ist, findet eine Revision, Ausgleichung und Berichtigung der Bogen nach konstruktiven, aésthetischen und statischen Gesichtspunkten statt. Das Endergebniss war für die Cannstatter Brücke, dass sämmtliche Bogenquer-

schnitte entsprechend Fig. 148 durch eine Vertikalplatte von 1,2 cm Dicke und wechselnder Höhe h, vier Winkeleisen von 9/9/1,2 cm und zwei Horizontalplatten von 38/1,4 cm gebildet sind, wozu von den Mitten zwischen den zweiten und dritten Vertikalen noch horizontale Verstärkungsplatten von 38/1,2 cm kommen. Die entsprechenden h und halben Querschnittshöhen e (Entfernungen der äussersten Fasern von der Ax-sehicht) sind in Kolumne 5 und 6 der Tabelle II (S. 265) eingetragen.

B e m erku n gen. Man hätte beabsichtigen können, die Gurtungsquerschnitte nach den Formeln §8, 18) 19) zu berechnen, welche mit einer vorläufigen zulässigen Beanspruchung a und O — o / , V = o / unter Vernachlässigung der Füllung liefern:

[ ^9l9/l2cm

Z)1f2ent

1,2 cm

fo =

V2“⁺ h)

“ äV2 h)’

7)

iE

\ jiil

doch pflegen diese Formeln für Blechträger des vernachlässigten Widerstands der Vertikalplatto wegen zu grosse Werthe zu liefern. So würden sich oben hei

12,714 m mit a = 900 kg ergeben haben im Belastungsfalle b) :

) = 173 qcm,

<----

-----Wen----

Fig. 143

im Belastungsfalle c) :

_    1    /179592 . 57668

0,87

während man thatsächhch mit / — fn — 189 qcm ausreichte. Bei Verwendung der Formeln 7) wäre also hierauf Rücksicht zu nehmen.

Bezüglich der zulässigen Beanspruchungen von Bogen ist zu beachten, dass bei den meisten praktischen Ausführungen eine Nietverschwächung nicht gerechnet wurde, wie dies für gedrückte Theile bei vollkommener Ausfüllung der Nietlöcher theoretisch berechtigt erscheint. Wird nun beim Ausschreiben eines Bauwerkes mit elastischen Bogenträgern eine gewisse zulässige Beanspruchung vorgeschrieben, so rechnet entweder keiner der Bewerber eine Nietverschwächung, oder diejenigen, welche eine solche rechnen, befinden sieh den Uebrigen gegenüber im Nachtheil. Dies gilt auch, wenn die Nietverschwächungen für das Bauwerk im Allgemeinen in Rechnung zu ziehen sind, da man eben für die Bogen keine annehmen zn müssen glaubt. Berücksichtigt man nun, dass das Maass der thatsächlichen Schwächung allerdings zweifelhaft ist und jedenfalls von der Güte der Arbeit abhängt, so empfiehlt es sich, bei Auschreibung von Bogenträgern entweder genau anzugeben, welche Nietverschwächung zu rechnen ist (wie bei gezogenen Theilen, halb soviel, u. s. w.), oder die zulässige Beanspruchung für den Bogen so festzusetzen, dass eine Nietverschwächung überhaupt nicht mehr gerechnet zu werden braucht. Letzteres Vorgehen hat den Vortheil, dass alsdann bei Berechnung der Beanspruchungen und der Formänderungen die gleichen F, J, W verwendet werden können, während andernfalls für die Beanspruchungen die verschwächten, für die Formänderung und daraus folgende statisch unbestimmte Grössen (H, M, M‘ u. s. w.) die unverschwächten Querschnitte in Betracht zu ziehen sind. Im Folgenden gelten die erwähnten zulässigen Beanspruchungen ohne besondere Berücksichtigung von Nietverschwächungen.

B. Querschnittsverhältnisse. Horizontalschub.

Die Bogenquerschnitte sind wie am Schlüsse von IV A angegeben bestimmt (S. 264. Fig. 143).

Da die vier Winkeleisen und zwei durchgehenden Horizontalplatten zusammen den Querschnitt

2 . 16,8 . 1,2 + 2.38. 1,4 = 187,04 qcm, und die zwei Verstärkungsplatten den Querschnitt

2.38.1,2 = 91,2 qcm

haben, während das Trägheitsmoment eines Rechtecks der Seiten a. b in Hin-

sicht einer der Seiten a durch

ci b'^

—g— ausgedrückt ist (vergl. Aufg. 3), so ergehen

sich der ganze Bogenquerschnitt und das Trägheitsmoment desselben hinsichtlich der Axschicht hei x = 0,174 m, wo h — 90 cm, e — 46,4 cm (Tab. II):

F — 90.1,2 -f 187,04 = 295,0 qcm,

(38.46,4³ — 18,8.45³ - 15,6.43,8³ — 2,4.36⁸) = 440150,

und bei x — 22,746 m, wo h — 79 cm, e = 42,1 cm:

F — 79 . 1,2 -f 187,04 + 91,2 = 373,0 qcm,

(38.42,1³ - 18,8.39,5³

In gleicher Weise sind die übrigen J, F der Tabelle II berechnet, worauf auch die in Kolumne 9 eingetragenen W = J : e und mit den cos 9 der Kolumno 4 die in Kolumne 10 und 11 enthaltenen F cos cp und J cos cp folgen.

,1 —

'M !ro

15,6.38,3³ - 2,4.30,5*) 3= 488110.

Tabelle II.

y j tgç «os cp

cm

qcm

cm⁴

\Fcosqp Jcos cp

cm4

q cm

cm

0    0    0,37542 0,93620

0,174 ! 0,0651 0,37269¹0,93688 0,9506 0,33346 ! 0,94865 1,7377 0,29423 j 0,95934 2,4264 0,2550010,96899 3,0169 0.21577 0,97750 3,5088 0,17654 0,98477 3,9024 0,13731 0,99070 4,1975 0,09808 0,99522 4,3943 0,05885 0,99827 4,4927 0,01962 0,99981

2,682 5,190 7,698 10,206 12,714 15,222 17,730 20,238 22,746 24.000! 4,5050

88^8888

Mittel Al —

358,75

539827

10

11

12

für x — 0 bis x = ^ sprechenden Mittelwerthe für den ganzen Bogen:

Wenn zQ, zv z₂, . . zn die in einer der Kolumnen 2 bis 10 dieser Tabelle angeführten Zahlen bezeichnen, dann hat man die ent-

oder auch:

0,174 +

Zl~\-Z2

~2

2,508 + . . . +

1,354)24

- 2,5084-

M = (0,087 z₍₎ + 1,341 ^ + 2,508 (z₂ + ... z₉) + l.«81 z₁₀ + 0,627 zj

Dieser Ausdruck wurde für die der Tabelle II beigefügten c, k verwendet: (Auch die am Schlüsse von § 27 erwähnten Mittelwcrthe von J: F sind in analoger Weise berechnet).

Nach § 15, 7) bat man den Horziontalschub durch beliebige Belastung:

(1 -Hs) 8fP 0

-₈ 2 P fia)

mit

/'(a) = a (l—a) (Pla — a- — ß P),

und nach § IG, 21) speziell durch eine auf die ganze Spannweite gleiclunässig vertheilte Bast von (j per Längeneinheit:

1 - 5/6 ß g P

T+3    8 /•

3)

Durch eine beliebige Temperaturänderung x entsteht nach § 16. 8):

15 c

H ==

“ ( 1 -j— s) 8 p

4)

während eine Aenderung \l der Spannweite nach $ 16, 9) bewirken würde:

15 c

E A l

~ (1 + 3)8/* ~T~‘

In diesen Ausdrücken sind mit / — 48 in, / = 4,505 in :

8/² M ,1ß. 8

^ — 11,4164 qm,

= 68,926 m.

= 797188 m⁴.

5)

8?+ 2

= 66,181 m,

(“/) = 2*388 qm,

und mit c — 589827 cm⁴, k — 858,75 qcm:

-j- — 1504,74 qcm,

wonach mit Rücksicht auf § 15, 40) und § 16. 10) weiter folgen:

15 y / T—A2 S “    8 ' V rf )

_ 8 y r — f

15.1504.74 ' 8.288880

— 0,012063

8. 1504,74

r* /    — 6618,P. 4,505

1-5/6 ß 0,998824 1 —|— 3 — 1,012063 “

= 0,001411.

0,98692,

LJlßl oV. = 0,98692.68,929 = 63,093 m. ¹ 1 £    8/

II + s)8 fP

— = 1,012063.797138 = 806754 m 539827

11 + e) 8 f- ~ 1,012063.114,164

15 c

= 4,6722 qcm.

Wir erhalten damit nach 1)    5) den Horizontalschuh für beliebige Belastung:

I P f (a\

806754 ’

für eine gleichrnässig vertheilte Last von g per Längeneinheit:

H = 63,093 g,

für eine beliebige Temperaturänderung x:

H = 4,6722 E * x, und für eine Aenderung der Spannweite um A /:

H = - 4,6722 E

worin E per qcm in Einheiten von P, H einzusetzen ist; wir werden dieselben in kg ausdrücken.

Wird wie bei der Cannstatter Brücke ein künstlicher Horizontalschub K angewandt, so tritt dieser den aus andern Einflüssen herrührenden Werthen von H bei jeder Belastung hinzu.

A/

C. HelJislitngsVerhältnisse.

b)

c)

d)

e)

Die Vertheilung der Fahrbahnlast auf die einzelnen Bogenträger lässt sich mit Rücksicht auf die Continuität der Querträger (welche alternirend über die 4 innern bezw. über alle 6 Tragwände weglaufen) und andere Umstände nicht genau ermitteln, es wurden die feste Last und die grösste Verkehrslast für die 6 Bogen jeder Oelfnung als gleichgross angenommen. Auf Grund der vorgeschriebenen Belastungen durch Menschengedränge (400 kg per qm Fahrbahn, 560 kg per qm Fusswege) und die Anordnung der Konstruktion würden allerdings die Stirnbogen etwas mehr als die mittlere Verkehrslast neben etwas weniger als der mittleren festen Last erhalten, da aber auch jene Vorschriften einer gewissen unvermeidlichen Willkür nicht entbehren, so konnte man sich mit der angenommenen Vertheilungsweise umsomehr zufrieden geben, als damit die Berechnung vereinfacht wurde und alle 6 Bogen gleiche Querschnitte erhielten.

Nachdem Bauprogramm sollten als Eigengewicht von 1 cbm Material gelten : für Holz „ Asphalt „ Beton „ Flusseisen

Mit Rücksicht hierauf und die Anordnung der Brückenbahn setzte sich das Eigengewicht per Meter der letzteren, einschliesslich der zum Belage verwendeten Zoreseisen wie folgt zusammen.

F a h r b a h n.

41 Zoreseisen von 1 m Länge und 24,2 qrn Querschnitt (D N F Nr. 11)

Betonirung auf 11,4 m Breite und 0,15 m Höhe, abzüglich des Raums

für die Zoreseisen

llqm Holzpflaster von 0,15mHöhe tusswege.

8 Zoreseisen von 3,35 m Länge und 10,1 qcm Querschnitt Betonirung auf 2.3,35 m Breite und 0,11 m Höhe, abzüglich des

Raums der Zoreseisen

Asphaltirung auf 2.3,35 rn Breit e und 0,03 m Höhe 2 Randsteine von 124 kg per m 2 Geländer von 150 kg per m

1000 kg.

2200

2500 7850 „ .

(l 1,4.0,15 - 41 .0,11

41.0,00242.7850 — 777 kg

0,244-0,063

) 2500 = 2567 „ U . 0,15.1000 = 1650 „

8.3,35.0,00101.7850 — 212 „

6,7 (o, 11 —4.0,06

0,16 4-0,042

\ 2500 = 1436 „

6,7.0,03.2200 = 442 „ 2.124= 248 „ _2.150 = 800 „

zusammen per m 7632 kg.

Das Fahrbahngewicht per m beträgt also für jeden der 6 Bogen nach oben ab-

777 + 212

gerundet 1280 kg. wovon

= 165 kg auf die Zoreseisen kommen.

Das Eisengewicht der hier betrachteten Brückenöffnung ohne Zoreseisen und Auflager ergab sich auf Grund der vorläufigen Berechnung und Konstruktion mit Berücksichtigung der nachträglich vorgenommenen Aenderungen (vergl. S. 259) per Meter Bogen 756 kg. Da jedoch die Vertikalplatten der mittleren Oeffnung 0,04 m höher, also bei 1,2 cm Dicke per m um 0,04.0,012.7850 = 4 kg schwerer sind, so wurde das fragliche Eisengewicht per m für alle Bogen der Brücke gleich 760 kg gesetzt, wovon 340 kg auf das Eigengewicht der Bogen selbst entfallen.

Als Verkehrslast war für die Berechnung der Bogen Menschengedränge anzunehmen (über die Belastung durch eine Strassenwalze siehe IV K), und zwar nach den Vorschriften des Bauprogramms 400 kg per qm der 11 in breiten Fahrbahn und 560 kg per qm der zwei 3,5 m breiten Fusswege. Bei gleich massiger

400.11 + 560.7

6

Vertheilung auf alle 6 Bogen macht dies per m Bogen

= 1387 kg.

was auf 1390 kg abgerundet wurde.

Für jeden Bogen kamen also per m Spannweite in Rechnung:

Eigengewicht der Brücke G — 1280 + 760 = 2040 kg,

Eigengewicht des Bogens allein g — Eigengewicht ohne Bogen Verkehrslast

340

1700

P = 1390 „ .

Das Eigengewicht der Bogen selbst kann als gleichmässig vertheilt auf dieselben gelten, (y per m Spannweite), während das übrige Eigengewicht der Brücke und die Verkehrslast durch die Vertikalständer konzentrirt auf die Bogen übertragen werden. Da die Entfernungen der Vertikalständer 2,508 m betragen, so sind die übertragenen Lasten für das Eigengewicht:

P = 1700.2,508 = 4264 kg,

für die Verkehrslast :

P = 1390.2,508 = 3486 kg,

für das Eisengewicht einschliesslich Zoreseisen, ohne sonstige Fahrbahn und Geländer :

P = (760 — 340 — 165) 2,508 = 1467 kg.

Die Vertikalständer bei den Kämpfern erhalten zwar mit Rücksicht auf die Anordnung der Fahrbahnauflager über den Pfeilern u. s. w. nur ²/s dieser Lasten, doch kann man mit lauter gleichen P rechnen, wenn bei den Kämpfervertikalen der jeweilige Faktor von P nur mit */s seines Werthes in Rechnung gezogen wird.

Die Abscissen a der Vertikalständer und damit der Angriffspunkte konzen-trirter Lasten am Bogen nebst einigen davon abhängigen Grössen sind in Tabelle III (S. 269) zusammengestellt. Da wegen 1 = 48 in, ß = 0,001411:

P + / a - a² — ß P = «(*-«) + 2300,75,

sowar die letzte Zahl zu den Werthen der vierten Kolumne zu addiren, um diejenigen der fünften zu erhalten. Bei Vernachlässigung von ß wäre 2304 an Stelle von 2300,75 getreten, was keine nennenswerthen Unterschiede bedingt hätte (abgesehen etwa von der Berechnung eines künstlichen Horizontalschubs, vergl. Aufg. 9 und IV E). Durch Multiplikation der Zahlen in der vierten and fünften Kolumne ergaben sich zufolge IV B 2) die f ( a) in der fünften. Die a {l—a), P-\-la ßZ², f{a) haben für zwei symmetrisch zur Mitte liegende Lastangriffspunkte gleiche Werthe, sodass die in der Tabelle angeführten Werthe nicht nur für die danebenstehenden a, l—a, sondern auch bei deren Vertauschung gelten. Entsprechend dem oben Gesagten sind die l—a, a(l—a), f(a) und a(3P—4a²) der Kämpfervertikale in zwei Faktoren eingesetzt, deren erster */a ist, während der zweite ²/s des ganzen Werthes beträgt. Bei der Addition sind nur die zweiten Faktoren berücksichtigt.

a² —

Tabelle III.

3 Z²—4 a¹ n( 3/ ’- 4«-)

/(«)

-vj-f *2

a (l—a)

cbm I

qm

ui

o»

qm

Ulf)

1-802

18461

35314

51384

66292

79658

91106

100256

106729

110147

6911,88

6883.24

6804.24 6674,96 6495,36 6265,40 5985,16 5654,60 5273,68 4842,48

ąiiUMitl i

t>. co co ccco co cd id »o in' j

IfsssSgüæi

raSsssSsäs

«|o»    r-H r—I r-H t-H t—I t—

r-Hs COO^O^1L—^^CCOI_

OlCqHCQQQIXMiO O (M (N t-h OC CS CO L— CO -f io CO CO L— 00 00 X Ol Ol Ol Ol Ol Ol Ol Ol Ol Ol

M2

T-HOlCOCO^t^iC »CiC

eo|w

mmmm

« ^ ^ 3 CO TO CO 8oi ™

cc|oł

2 8888281888$

T-^ CO_ < CD_ Ol l-OII- Oll-

o' of io" t- o'of io i-öoi

r-H t-H t-H t-H Ol Ol

6t1099

10127183

3665,79

349,418

Summe :

Knoten

punkte

o i-HOicc^ioccr^ooco

Mit Rücksicht auf die S. 267 gegebenen Formeln c) b) und § 16, 18) 36) hat man den Horizontalschub und die Vertikalreaktionen der Kämpfer durch die feste Last allein :

H = 63,093.340 + 4264

24+4264 (1 + 9)    8160 + 41219 = 49379 kg,

und durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung des Bogens:

1390

1700

= 21439 + 107052 = 128491 kg,

2 . 10127183

806754

V = 340.

1390

41219 17U) = 33703 kg.

= 87531 kg

H = 107052

I). Momente mul Norinalkräfte durch das Eigengewicht, allein,

Für eine auf die ganze Spannweite gleiehmässig vertheilte Last von y per Längeneinheit hat man nach § KL 20) 21) 5) .19) mit § 15, 8):

M =

X

1)

[(

1 - 5/6 ß P_

1 4" ß 8/

wonach mit den unter IV G festgestellten Werthender Brüche für das gleiehmässig vertheilte Eigengewicht der Bogen allein von g = 840 kg:

J/x — 2,2286 x (l—x),

AQ = |(24—x) tg cp -|- 63,0931 340 cos cp.

Durch beliebige Belastung entstehen nach § 16, 3)—5):

g cos cp,

2)

ft)

M = Vx — Hy — I P (x—a), x ' 0

S J?) tg cp -f h\

3)

[(

N --

X

wonach für das koncentrirte (durch die Vertikalen übertragene) Eigengewicht mit den am Schlüsse von IV C bestimmten V, H:

cos cp,

4)

2 P (x—a), o

2 P ) tg cp -f 107052J

Liegt eine koncentrirte Last P gerade hei a — x (Eig. 1-14)

X

Berechnung von M nach 3) gleichgültig, ob man dieselbe in 2 P (x—a) berüok-x    o

sichtigt oder nicht, da sich auch im ersteren Falle wegen x— a — 0 ihr Beitrag gleich Null ergibt. Dagegen kann es sich bei Berechnung

X

von N fragen, ob eine solche Last in 2 P auf-x    o

zunehmen ist. Die Frage ist für die allein nöthige Berechnung der ersten Trägerhälfte zu verneinen, da die Summengrenzen von

X

2 P g-enau genommenen nicht Punkte oder o

Abscissen, sondern Querschnitte bedeuten (§ 1) und auf der ersten Trägerhälfte eine Last P bei Abscisse a — x nach dem Querschnitte auf den Träger kommt (Fig. 144).

Die Werthe der y, tgcp, cos cp für die in der folgenden Tabelle IV angeführten Quer-schgitte x sind in Tabelle II gegeben, die x (l—x) stimmen mit den in Tabelle III enthaltenen a (l—a) überein, bezüglich der durch die Vertikalen übertragenen Lasten P wurde in IV Odas Nöthige festgestellt. Wir erhalten z. B. hei x — 2,682 m für das gleiehmässig vert heilte Eigengewicht :

Mx = 2,2236.121,54 = 270 mk,

Vx = (21,318.0,33346 + 63,093)340.0,94865 = 22643 kg,

für das koncentrirte Eigengewicht:

Mx 4121 a. 2,682 — 107052.0,9506 — 4264.2,508 . “

Nx — (38376.0,33346 + 107052) 0,94865 = 113695 kg.

Mk — 41219 ./• - 107052 y [(41219

cos cp.

Grenie

c)

d)

so ist es bei

2i ?

a= ar"

Fig. 144

= 1656 mk,

also für das gesammte Eigengewicht :

270 -f 1656 — 1926 mk,

Nx = 22648 + 113695 = 186338 kg; ferner bei x = 5.190 m für das gleichenässig vertheilte Eigengewicht:

Mx 2,2236.222,18 = 494 mk,

Nx = (18,810.0,29423 + 63,093) 340.0,95934 = 22384 kg. für das koncentrirte Eigengewicht:

.1/

Mx = 4121t) . 5,190

107052 . 1.7377 - 4264 .

2,508 2-flj

= 2950 mk.

Arx = (34112.0,29423 + 197052) 0,95934 = 112328 kg, und für das gesammte Eigengewicht :

3/ —

Nx = 22384+ 112328 = 134712 kg.

In gleicher Weise sind die übrigen M , Nx der Tabelle IV berechnet.

Mit den gegebenen il/x, Nx durch das gesammte Eigengewicht und den aus Tabelle II (S, 265) zu entnehmenden W, F erhält man aus

494 +    2950 =    3444 mk:

.1/

5)

X I    X

°o F W’

die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Qnersehnitts-element. Per qcm ergeben sich bei x — 2,682 m:

136338 . 196200 °o - 295+* + +486'_

136338 _ 196200 ~ 295.0 '    9486

= 482,9 kg.

= 441,5 „ ,

und bei x = 5.190 m:

134712    3444«)

386,2 ⁺ 13481 134712    3444«)

""    386.2    13441

— 874,3 kg.

= 323,8    .

Tabelle IV.

..lässig vertheilte tîh-t°E?ffenffevHoîitl durch das g^ammte Eigengewicht. Eigengewicht    ö ö

.1/

c?o

a(j

mk

kg

mk i

mk

kg'

kg

kg

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20.288

22.746

o -t

690

858

998

1110

1198

1249

1277

22643

22384

22156

21959

21792

21658

21557

21490

21456

1656

2950

4088

5034

5846

6488

6980

7301

7462

113695 112328 111107 110039 109128 108877 107789 107368 107116

1926

3444

4778

5892

6844

7598

8173

8550

8739

136338

134712

133268

132098

130920

130035

129346

128858

128572

CDCOrSHOWC^-

mmimM

441,5

323.8

310.8

299.3

289.4

281.8    : 275,8 271,7 269,3

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der beiden letzten Kolumnen der Tabelle IV berechnet.

Bemerkungen. Hätten wir das ganze Eigengewicht als gleichmässig vertheilt angenommen, so würde unter Wegfall der Berechnungen nach 3) 4)

die Mx, Nx, a , a ₍ durch das gesammte Eigengewicht nach 1) 2) 5)

so gross als oben durch das gleichmässig vertheilte Eigengewicht. Hätten wir dagegen das Eigengewicht der Bogen in den koncentrirten Lasten eingeschlossen, so würden unter Wegfall der Berechnungen nach 1) 2) die Mx, ATx, ao, ou nach 2040 1700

(vergl. Beisp. 12).

3) 4) 5)

2040

340”

= 6 mal

— 1,2 mal so gross, als oben durch das koncentrierte Eigengewicht

E. Künstlicher Horizontalschub.

Während bei Vernachlässigung von s, ß im Ausdrucke für den Horizontalschub für beliebige auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Lasten in allen Querschnitten Mx — 0 wäre, haben sich in IV D durch das Eigengewicht allein Momente ergeben, welche keineswegs ohne Weiteres zu vernachlässigen sind. Seitens der Esslinger Maschinenfabrik war die Beseitigung der vom Eigengewicht herrührenden Momente durch künstliche Ueberhöhung der Bogen vorgeschlagen worden.

Nach den „besonderen Bestimmungen“ für die Lieferung der Eisenkonstruktion sollte eine Ueberhöhung der Bogen derart stattfinden, dass auch bei der grössten Kälte kein Einschlagen der Längsträger (Obergurten der Tragwände) unter eine Gerade stattfinden könne. Die Ueberhöhung hat durch einen künstlichen Horizontalschub zu erfolgen, welcher bei vollständig gleichmässig vertheilter Last so gewählt werden kann, dass alle durch die letzteren erzeugten M aufgehoben werden (Aufgabe 9). Damit würde für die betreffende Belastung die resultirende Schnittkraft gleich der Normalkraft Nx und in der Axe angreifend, sodass die kleinstmöglichen Spannungen a , a entstünden. In unserm Falle lässt sich dies zwar wegen des theilweise konzentrirten Eigengewichts nicht für alle Querschnitte vollständig, aber doch annähernd erreichen (siehe die Tabelle S. 281).

Die Mx durch das gesammte Eigengewicht allein sind positiv. Durch einen beliebigen Horizontalschub H allein dagegen wird nach § 16, 45):

Mx=- H y.

Dividirt mail also die in Tabelle IV (S. 271) zuletzt angeführten Mx durch die in Tabelle II (S. 265) gegebenen y der zugehörigen Querschnitte, so erhält man diejenigen H, durch welche jene Momente aufgehoben werden könnten. Beispielsweise folgen für x = 2682 m und 5„190 m:

1926 0,9506

= 2026 kg,

3444

1,7377

1982 kg.

Die so berechneten Werthe sind in Kolumne 2 der Tabelle V eingetragen. Rücksicht auf diese Werthe wurde der künstliche Horizontalschub gewählt:

K — 1950 kg,

1)

Mit

womit die Momente gerade da fast vollständig beseitigt werden, wo ohnehin die grössten Beanspruchungen entstehen (Tabelle S. 281).

Ein beliebiger Horizontalschuh H allein erzeugt nach § 16, 46) die Normal

spannungen :

-. = (T-+-£)"■

Die Werthe y, cos 9, F, W sind aus Tabelle II (S. 265) zu entnehmen. Wir erhalten als Beitrag des künstlichen Horizontalschubs allein bei x — 2,682 tu:

2)

j H = - 0,006805.1950 = - 13,3 kg,

0,013237.1950 =    25,8

CmSr ~ fögl)    0,010406. I960 = - 20,3 kg,

/0,95934 (“38672“ ■*

In gleicher Weise sind die übrigen a , o(j der folgenden Tabelle V berechnet.

Die Werthe der Klammerausdrücke wurden in den beiden letzten Kolumnen vorgemerkt, weil sie auch bei Ermittelung der Einflüsse von Aenderungen der Temperatur und der Spannweiten zur Verwendung kommen.

und bei x — 5,190 m :

oo —

173,77

13481

H =    0,015374.1950 =    30,0 „ .

¹

Vergl. Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II. Bd. : Der Brückenbau, IV. Abth. : Eiserne Bogenbrücken und Hängebrücken. Leipzig 1888, S. (59, 73, 87, 93, sowie erste Auflage dieser Schrift, S. 03.

²

Siehe in dieser Beziehung auch: Leib brand. Donaubriick'e bei Inzig-kol'en in Hohenzollern, Zeitschrift für Ban wesen IHbti, S. 27!) (Gewölbe mit drei Gelenken ).

Tabelle V.

Tli

kpr

durch K allein

cos cp y ~F W

cos 9 I y

kg

kg

2,682

5,190

7,698

10.206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

2226

1982

1967

1953

1950

1947

1947

1946

1945

13,3

-    20,3 -30,7 -39,8 -47,8

- 70,3

25,8

30,0

40,5

49.8

57.8

65,4

71,8

77,0

80,8

—    0,006805

—    0,010406

—    0,015721

—    0,020421

—    0,024502

—    0,028324

—    0,031564

—    0,034159

—    0,036070

0,013237

0,015374

0,020755

0,025515

0,029650 1

0,033536

0,036832

0,039477

0,041430 !

Bemerkunge n. Bei vollständig gleichmässig vertheiltem Eigenwicht wäre nach Formel 5) der Aufgabe 9 mit Rücksicht auf IV B (S.265j und u = 2040 kg der künstliche Horizontalschub K — 1705 kg oder 14,5 °/o kleiner als oben geworden. Unter Vernachlässigung von ß würde sich im gleichen Falle K — 1554 kg oder 25,5°/o kleiner als oben ergehen haben. Wenn keine künstliche Ueberhöhung stattfinden soll, so fällt natürlich die ganze K betreffende Berechnung weg. Die Berücksichtigung von ß kann dann um so eher unterbleiben.

F. Ungünstigste Belastungen. Kämpferdrucklinie. Kernlinien.

Zur Bestimmung der Belastungen für die Grenzwerthe der Normalspannungen o , o in beliebigen Querschnitten x haben wir in §§ 15, 16 (S. 62, 84) ein genaueres und ein einfacheres Verfahren angeführt. Beide erfordern die Ermittelung der Kämpferdrucklinie.

Die Gleichung der letzteren ist nach § 16, 40):

8/Z²

Z² -f Z a - a² — ßZ² 5

b —

18

und in unserm Falle mit Rücksicht auf IV B (S. 265): Weyrauch, Elastische Bogenträger.

16808

p + la — a* — M²’ worin l = 48 m, 1- — ß l- — 2300.75 qm (S, 268). Hieraus folgen z. B.

für

a = 0 n — 24 m

b — 7,306 m, b — 5,843

während die übrigen Ordinaten b bereits in Tabelle III (S. 269) eingetragen sind. Die Kämpferdrucklinie konnte hiernach auf der beigegebenen Tafel verzeichnet werden. Selbstverständlich hätten wir ß und selbst s in 1) vernachlässigen können.

Die Kernlinien sind nur für die genaueren Bestimmungen der ungünstigsten Belastungen noting. Sie liegen im Falle symmetrisch zur Axschicht angeordneter Querschnitte zufolge § 16, 44) um

2)

k - F

oberhalb und unterhalb der Bogenaxe. Diese Werthe k sind bereits in Kolumne 12 der Tabelle II (S. 265) enthalten. Die Kernlinien wurden darnach auf der beigegebenen Tafel durch die punktirten Linien oberhalb und unterhalb der ausgezogenen Bogenaxe angedeutet.

Auf der gleichen Tafel sind die Belastungen für die die Grenzwerthe max. druck oo, max. pos. Mx, min. druck 0u in den Querschnitten unter den Axen der Vertikalen zusammengestellt. Um die Belastungen für min. druck aQ, max.neg. Mx max. druck er zu erhalten, hat man nur feine Striche (Eigengewicht allein) und fette Striche (Vollbelastung) vertauscht zu denken. Bei der genaueren Berechnung der Grenzwerthe von o , o ist die Ermittelung der Belastung für die Grenzwerthe von My, bei der einfacheren Berechnung die Ermittelung der übrigen Belastungen überflüssig. Ueber die Resultate beider Verfahren siehe am Schlüsse von § 11 (S. 41).

Wir haben bereits S. 259 erwähnt, dass die genauere Berechnung der o , ou in der Allgemeinen Bauzeitung von 1895 mitgetheilt ist, während hier das einfachere Verfahren vorgeführt werden soll. Bei diesem sind für max. druck o und min. druck o die Belastungen für max. pos. Mx, für max. druck o(] und min-druck ao die Belastungen für max. neg. M% zu verwenden.

G. Erste Grenzwerthe der Norimilspanniingeii durch die Verkehrslast allein.

—JZ

gl. Fig. 142, S. 260),welche sich durch die am iktion für die max. druck aQ und min. druck o(i

Schlüsse von

als vollbelastet ergaben (s. Tafel), sind in der zweiten Kolumne von Tabelle VI (S. 277) bei den betreffenden Querschnitten angeführt. Im Folgenden ist bezüglich der Kämpfervertikalen, welche nur zweidrittel so grosse Lasten wie die übrigen Vertikalen übertragen, das unter IV 0 Gesagte (S. 268) zu beachten.

Da im Falle beliebig vieler gleicher Lasten P die Vertikalreaktion des Kämpfers 0 und der Horizontalschub zufolge § 16, 2) und S. 267):

P I V ~~ 48 «

8Ö6764 o/(a),

a)

und speziell für die Verkehrslasten P — 3486 kg:

b)

V = 72,625 2 (l—a),

2/(«)

l_

231425’

so wurden zunächst die hierin aultretenden Summen x für die in Frage kommenden Belastungsfälle auf Grund von Tabelle III berechnet. Man erhält für x — 2,682 m:

2 (l-a) = 81,884 + 45,318 -j- 42,810 + 40,302 + 37,794 + 35,282 + 32,778

= 266,172 m,

2 f(a) = 12808 + 2944(06 + 560538 + 810037 + 1036264 + 1233463 -f 1396910

>■

= 5344426 m⁴,

für x — 5,190 m, x — 7,698 m, x — 10,206 m:

2 (l-a) = 266,172 +30,270 = 296,442,

2 f(a ) — 5344426 + 1522804 = 6867230,

für x = 12,714 m :

2 (Z— a) — 296,442 + 27,762 = 324,204,

■■

2 / (a) = 6867230 + 1608352 = 8475582,

für ,t = 15,222 m, x — 17,730 m :

2 (l-a) = 324,204 + 25,254 = 349,458,

2 f(a) — 8475582 + 1651601 = 10127183, »

für x — 20,238 m :

2 (l-a) = 40,302 + 37,794 + 35,286 + 32,778 + 30,270 + 27,762 + 25,254 + 22,746

= 252,192,

2 / (a) = 810087 + 1036264 + 1233463 + 1396910 + 1522804 + 1608352 + 1651601.2

= 10911032,

und für x — 22,746 m: 2 (l-a) — 32,778 + 30,270 + 27,762 + 25,254 + 22,746 + 20,238 = 159,048, 2 />,) = 1396910 + 1522804+ 1608352.2 + 1651601 . 2 ^ 9439620.

Mit diesen Summen, welche in der dritten und vierten Kolumne von Tabelle VI (S. 277) aufgeführt sind, ergaben sich nach /;) die in der fünften und sechsten Kolumne eingesetzten V, H.

Für die

gleichen Belastungsfälle erhalten wir bei den neun in der Tabelle angeführten Querschnitten der Reihe nach:

V = F— 2 P = 19331 — 3486 . x    o

21529 - 3486 . °

Oi[ CX> COj

= 17007 kg = 15719

21529 - 3486 .    = 12233

8747

21529 - 3486 . 11 23545 - 3486.    = 7277

18*

und ebenso :

S P (x—a)

folgen nach

25880 - 8486 .

17

-g- = 5626 kg ²⁰ = 2140

25880 - 8486 .

18315 — 3486. 5 11551 - 3486 . 3 = 1098,

— 8486.2,508 . ²

= 5829 mk

885

*3 “

3486.2,508 (| 2 + l)

3486.2,508 (| 3 + 2 +A = 43714 3486.2,508 (|-4 + 3 + 2+ l) = 75772 3486.2,508 (|-5 +4+3+2+1) = 116572 3486.2,508 (|-6 + 5 + 4 + 3 + 2+A = 166115

= 20400

= 224401

3486.2.508    (5 + 4 + 3 + 2+1) = 131143

8486.2.508    (3 + 2 + 1) = 52457.

Mit den nun bekannten, in Tabelle VI (S. 277) zusammengestellten Wertben

M = Vx - H y — 2 P (x—a), x    o

7Vx = ( F. tg cp + H) cos 9,

unter Verwendung der in Tabelle II (S. 265) gegebenen y, tg 9, cos 9, für die von der Verkehrslast allein herrührenden max. druck ao und min. druck 0 die Momente :

1)

2)

5829 = 24064 mk

M = 19331. 2,682 - - 23094.0,9506 x 21529 . 5,190 — 29674.1,7377 — 20400 = 39771 21529 . 7,698 - 29674.2,4264 - 43714 = 50015 21529.10,206 - 29674.3,0169 — 75772 = 54430 23545.12.714 - 36623.3,5088 - 116572 = 54276 25380.15,222 - 43760.3,9024 - 166115 = 49450 25380.17,730 — 43760.4,1975 18315.20,238 - 47147.4,3943 11551.22,746 - 40789.4,4927 — 52457 = 27029.

224401 = 41908 131143 = 32338

und die Normalkräfte :

wonach sich aus

V = (17007.0,33346 + 23094) 0,94865 = 27288 kg (15719.0,29423 + 29674) 0,95934 = 32904 (12233.0,25500 + 29674) 0,96899 = 81776 ( 8747.0,21577 + 29674) 0,97750 = 30851 ( 7277.0,17654 + 36623) 0,98477 = 37331 ( 5626.0,13731 + 43760) 0,99070 = 44119 ( 2140.0,09808 + 43760) 0,99522 = 43760 ( 885.0,05885 + 47147) 0,99827 = 47117 ( 1093.0,01962 + 40789) 0,99981 = 40802,

I-

a_

i.

Ct-

G.

277

3)

³u F

mit den in Tabelle III (S. 269) angeführten F. W auch die betreffenden Grenzwerthe selbst ergeben. Beispielsweise erhält man in kg per qcm bei x = 2,682 m :

Ai

N M

x 1 x

°o ' F W ’

2406400 ~W “ 9486

au = 92,5 - 253,7 = - 161,2

= 253,7

_ _ 27288 _

F ~ 295,0 -a₀ = 92,5 4- 253,7 = 346,2

92,5.

AT

und bei x — 5,190 m:

_ 3977100 W ~~ 9486

3u = 85,2 — 295,0 = — 293,4.

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 11 bis 14 der Tabelle VI berechnet.

= 295,0

Tabelle VT.

85.2

_ _ 32904 _

F ~ 295,0 "" ao = 85,2 -f 295,0 — 380,2

au

Go

kg

kg

Ai

kg

teTh*

kg

mk

0

; (n-x) jz

X

Î-

2(Z—a)    2 f(a)

mk

-it

1114

IU

Belastete

Knoten

punkte

- 161.2 : -209.8 !

—    293,4

—    334:0

—    321.2

—    275.9

-    225!6

—    145,5

-    123.7

346.2

380.2

458.4

494.4

516.4 507,9

457.2

396.5

342.5

253.7 295,0 375,9

414.4

418.8

391.9

341.4 271,0 233,1

lOjDp ^ '3p©©, oo »o ^ of »o' oi o' t>-' ©'»o' »o' o

0500 0CGC05<-Hf-H010

27288

32904

31776

30851

37331

44119

43760

47117

40802

24064

39771

50015

54430

54276

49450

41903

32338

27029

5829

17007

20400

43714

75772

116572

166115

224401

131143

52457

riTO^t-wicoœ t-(Mt-!MCCT-iCOO »J5 CM 00 I " lO CM

rH t-H

iO CO

28094

29674

29674

29674

36623

43760

43760

47147

40789

•»-h ct> œ ot¹ ic CO <M CM Ol CO O IO iO lO Ot> »-H r—I T—* CO ^ Ol Ol OJ O)

25380

25380

18315

11551

266.172    5844426

296.442    I 6867230

296.442    j 6867230

296.442    6867230

324,204    8475582

349.458    10127183

349.458    10127183

252.192 ; 10911032 159.048    9439620

CD I — t — l— 00 05 05' ©

ooooooooo

CO r-» CO O] t- ca t- oi r-

of > o' t-"'o' of »o' r-'ooj

Bemerkungen. Hätten wir das genauere Verfahren zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungen gewählt (vergl. S. 278), so würden zwei Tabellen wie die vorstehende zu berechnen sein.* indem dann die Belastungen für max. druck o (bei deren Ermittelung die untere Kernlinie anstatt der Bogenaxe zu verwenden ist) mit den Belastungen für min. druck a (bei deren Ermittelung die obere Kernlinie an Stelle der Bogenaxe tritt) nicht mehr übereinstimmen. Die weiter folgenden Ermittelungen würden jedoch keinerlei Aenderung erfahren.

H. Normal Spannungen bei Vollbelastung und zweite Grenzwert!) e der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein.

a , au durch die Verkehrslast bei Vollbelastung der ganzen

Die M

Oeffnung stehen zu den entsprechenden Werth en durch das koncentrirte Eigengewicht im Verhältniss

x'

,V

x’

1890

= 0,81765

vergl. S. 268). Mit Rücksicht auf Tabelle IV (S. 271) und 11 (S. 265) erhält man also bei Vollbelastung für x = 2,682 m per qcm:

113695    165600

295,0 ⁺ 9486

1700

an ~

und für x — 5,190 m:

/118695 ^ 295.0

165600

9436~

) 0,81765 = 829,4 kg. ) 0,81765 = 300,8 „

/112328 "" V 386,2

295000

j 0,81765 = 255,8 kg, j 0,81765 =

ln gleicher Weise sind die übrigen Werthe der zweiten und dritten Kolumne nachstehender Tabelle VII berechnet.

ao

a|(

/112328 r" V 386,2

13481

295000

13481

219,9 „ .

Tabelle VII.

bei Vollbelastung

Grenz wer the

ni

l<K

kf,-

In

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

329,4

255,8

261,1

265;7

270,1

275,1

279.8

283.9 287,5

300.8

219.9

210.9 203,4 196,8

191,1

186,8

183,8

182,2

16,8

-    246,3 - 232,8

177,2

■- 112,6

-    55,0

462,0

429,7

504.3

537.4

517.5 467,0 412,4 329,3 305,9

Siehe dieselben Allgemeine Bauzeitung 1895, S. 76 (Tab. XV).

Dio Beiträge der Verkelirslast allein zu den ersten Grenzwerthen der Normalspannungen ao, au nämlich zu max. druck oq und min. druck a₍, wurden in Tabelle VI(S. 277) gegeben. Subtrahirt man diese Werthe von den soeben erwähnten Nornialspannungen durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung, so ergeben sich die Beiträge der Verkehrslast zu den zweiten Grenzwerthen der Normalspannungen a^, o(i, nämlich zu min. druck ao und max. druck a(|. Man erhält z. B bei x — 2,682 m:

846,2 — — 16,8 kg.

ao = 329,4 ou = 300,8 -f 161,2 =    462,0

und bei x — 5,190 m:

429.7

ao = 255.8 — 380,2 = — 124,4 kg, a" = 219,9 + 209,8 =

ln dieser Weise wurden auch die übrigen Werthe der beiden letzten Kolumnen von Tabelle VII berechnet.

J. Hesultirende Normalspaimungeii. Einfluss von Aenderungen der Temperatur und der Spannweite.

Die durch das gesammte Eigengewicht allein erzeugten Normalspannungen sind in Tabelle IV (S. 271) zusammengestellt. Zugleich mit dem Eigengewicht wie mit jeder Belastung wirkt im vorliegendem Falle der künstliche Horizontal-sclmb. dessen Beiträge zu ao, o in Tabelle V (S. 273) gegeben sind. Mit Rücksicht hierauf erhalten wir die ganzen Normalspannungen bei Belastung durch das Eigengewicht allein für x = 2,682 m:

ao = 482,9 - 13,3 = 470 kg, ou = 441,5 + 25,8 = 467

und für x — 5,190 m :

oo == 374,3 - 20,3 == 354 kg, a" = 323,3 -f 30,0 — 353 „ .

Auf gleiche Weise sind die übrigen Werthe der zweiten und dritten Kolumne von Tabelle VIII (S. 281) berechnet werden.

Man sieht an der Gleichheit der a , au, dass infolge der getroffenen Wahl des künstlichen Horizontalschubs fast auf der ganzen Länge des Bogens gleich-massige Vertheilung der Beanspruchungen auf die Querschnitte ereicht ist.

In Tabelle VII wurden die Normalspannungen durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung der ganzen Oeffnung gegeben. Addirt man zu diesen Werth en die Normalspannungen bei Belastung durch das Eigengewicht allein, einschliesslich der Beiträge des künstlichen Horizontalschubs, so ergeben sich die ganzen Normalspannungen bei Vollbelastung. Wir erhalten für x = 2,682 m:

oo = 329 -)- 470 = 799 kg, o" = 301 4- 467 = 768 „ .

und für x — 5,190 m:

ao — 256 -(- 354 — 610 kg, o" = 220 + 353 = 573 „ .

ln gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 4 und 5 von Tabelle VI H (8. 281) berechnet.

ge-

der

Die Grenzwerthe der Normalspannungen bei normaler Temperatur im Ganzen finden sich, wenn man zu den in Tabelle VI und VII (S. 277, 278) — gebenen Grenzwerthen durch die Verkehrslast allein die in Kolumne 2 und 8 Tabelle VIII enthaltenen Normalspannungen für Eigengewicht allein addirt. Es folgen so bei * — 2,682 m :

In derselben Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 6 bis 9 nebenstehender Tabelle VIII berechnet.

Der von einer Temperaturänderung um x° gegen die Normaltemperatur herrührende Horizontalschub ist nach Formel d) auf S. 267 :

H = 4,6722 E cc x.

Elasticitätsmodul und Ausdehnungskoefficient des verwendeten Flusseisens (welches in Längs- und Querrichtung mindestens 3700 kg und höchstens 4400 kg per qcm Zugfestigkeit bei mindestens 20 °/o Dehnung aufweisen musste) wurden nicht besonders festgestellt. Indem man auf Grund sonstiger Erfahrungen annahm :

a = 0,0000115 für Grad C,

E — 2150000 kg per qcm ergab sich mit E <x — 24,725 :

H— 115,520 t.

Nach dem Bauprogramm waren als Grenzen der Temperaturänderungen T = -J- 25° anzunehmen, für die in den Brückenstirnen gelegenen Bogen jedoch -j-5° mehr. Die Berechnung wurde jedoch für alle Bogen mit x = -f- 25° durchgeführt, wonach zunächst für die sechs Bogen jeder Oeffnung gleiche Querschnitte resultirten (vergl. S. 267). Dem für die Stirnbogen um ¹/ö grösseren Einfluss der Temperaturänderungen ist durch aufgenietete Winkeleisen von 10/10/1 cm, welche zur Befestigung der Vertikalständer an den Stirnbogen dienen, mehr als genügend Rechnung getragen.

Mit t =-{-25° liefert die letzte Gleichung

H=-1- 2888 kg,

während die entsprechenden Normalspannungen aus den auf S. 272 angeführten Formeln 2) folgen. Da die Klammerausdrücke dieser Formeln bereits in Tabelle V (S. 273) vorgemerkt wurden, so erhalten wir z. B. bei x = 2,682 m:

>> i

°₀ = + 0,006805.2888 = + 20 kg, au = + 0,013237.2888 = ± 38

und bei x = 5,190 m :

⁰o =+ 0,010406.2888 = + 30 kg, ou = -f 0,015374.2888 = + 44 „ .

In gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 12 und 13 von Tabelle VIII berechnet.

und bei x = 5,190 in:

oo = 470 + 346 = 816 kg, = 470 — 17 = 453 on = 467 — 161 = 301)

467 -f 462 = 929

ao

au

ao = 354 -f- 380 = 734 kg.

= 354 - 124 = 230 au = 353 — 210 = 143 au = 353 -f 430 = 783 „ .

ao

Fügt mau den in Kolumne 6 und 8 der Tabelle VIII gegebenen grössten Grenzwerthen der Normalspannungen bei normaler Temperatur die Normalspannungen gleichen Sinnes durch eine Temperaturänderung x = -f- 25° bei, so ergeben sich die grössten Gesammtspannungen. Wir erhalten bei x — 2,682 m :

ao = 816 + 20 = 836 kg, on = 929 + 38 = 967 „ ,

und bei x — 5,190 m :

Quer

schnitt

2,682

5.190

7.698

10.206

12,714

15,222

17,730

20,238

22.746

18

Tabelle VIII. Resultirende Normalspannungen in kg per qcm (Einfluss der Strassenwalze siehe S. 283).

für eine Aenderung der Spannweite um i + 1 cm

Grösste

Gesammt-

spannungen

für eine Temperatur-änderung um + 25°

hei normaler Temperatur

Go

au

ao

ou

ao

4-

Grenzwerthe

(Druck)

für Vollbelastung

für Eigengewicht allein

Quer

schnitt

Gu

ao

³o

i Ui

1+ !+ 14" 1+ 1+ !+ 1+ 1+ !+

CM CO CO t—I 05 CO    '—il©

'-H<MC©'tflOl©COt-b-

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +! +!

sssissiSÊ

1I21IIISI

17

CO

)0

+ 20 + 38 + 30 + 44 + 45 |+ 60 + 59 + 74 + 71 ± 86 + 82 ± 97 + 91 +106 + 99 +114 + 104 +120

12    13

CSOOOOOOOOOOOOCSCS

453 ¹ 929    306    1022

230    783    143    925

154    855    58    876

120    886    15    857

847 853

ilia

101 865 : 26 114 814    71

CM CO CC CM O CM    Oï

CM CM

^po^+coioo^a? CO GCt-GOGOOOoOOOt-CO

535

2,682 J 470    467    799    768

5,190    354    353    610    573

7,698    351    351    612    j    562

10,206    349    349    615    |    552

12,714    347    347    617    543

15,222    347    347    ;    622    538

17,730    347    348    627

20.238    348    349    632    I    533

22,746    350    350    ,    637    532

oo — 784 -f 80 — 766 kg. oti == 783 + 44 = 827

!n derselben Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnon 14 und 15 der Tabelle VIII berechnet.

Die unteren Grenzwerthe der Gesammtsspannungen pflegen selten zu inte-ressiren, sie würden sich ergeben, wenn man zu den in Kolumne 7 und 9 der Tabelle VIII enthaltenen unteren Grenzspann ungen bei normaler Temperatur die in Kolumne 12 und 13 gegebenen negativen Beiträge der Temperaturänderungen addirte. Die betreffenden Werthe sind übrigens in den Kolumnen 11 und 21 der Tabelle des § 11 (S.41) eingestellt.

Aenderungen der Spannweite sollen natürlich nicht eintreten. Indessen erschien es doch zweckmässig, über den eventuellen Einfluss derselben Rechenschaft zu geben. Der durch eine Aendernng A 1 der Spannweite l bewirkte Horizontalschub ist nach der auf S. 267 erhaltenen Formel e) :

H = - 4,6722 E

Dieser tiorizontalschub wie nach 2) auf S. 272 die davon herrührenden Normalspannungen sind also innerhalb der Gültigkeitsgrenzen unsrer Formeln proportional A l und wir wollen dieselben für A l — -)- 1 cm ausdrücken. Mit E — 2150000 kg per qm und l — 4800 cm wird dann :

H — + 2093 kg,

wonach bei Beachtung von Tabelle V⁷ (S. 273) für x — 2,682 m :

ao

+ 0,006805.2093 =_ -f 14 kg,

— + 0,013237.2093 — -f 28

und für x — 5,190 m:

+ 0,010406.2093 = ± 22 kg,

% ₌ -|- 0.015374.2093 — + 32

ln gleicher Weise sind die übrigen Werthe der Kolumnen 16 und 17 von Tabelle VIII berechnet.

K. Bemerkungen zu den resultirenden Normalspannungen. Belastung durch die Strassenwalze. Knickwirkung. Winddruck.

Die wichtigsten Ergebnisse betreffend die resultirenden Normalspannungen sind in Tabelle VIII (S. 281) zusammengestellt.

Nach dem Bauprogramme sollte die Dimensionirung der Eisenkonstruktion auf Grund einer zulässigen Beanspruchung von

I» = 800 (l -1- I) = 800 + 4(M) '4 kg

per (]cm jnit der oberen Grenze 1000 kg erfolgen (4 Verhältniss der numerisch kleineren zur numerisch grösseren Grenzspannung mit Berücksichtigung der Vorzeichen). Aus diesem Grunde sind den Grenzspannungen bei normaler Temperatur in den Kolumnen 10 und 11 die entsprechenden 800 (l + 9) beigesetzt, also z. B. bei x — 2,682 m :

für

800 -j- 400

453

816

1022 kg.

8( w;

» °u

800 -100 — 082 ,, .

Man sieht, dass die Grenzspannungen nur an wenigen Stellen etwas grösser als

(j    sind, worüber um so eher weggesehen werden konnte, als der Ein-

fluss der Spannungswechsel bei Strassen brücken der langsamen Bewegung der Lasten wegen jedenfalls weit geringer als bei Eisenbahnbrücken ist. Die ebenfalls in der Tabelle angeführten grössten Gesainmtspannungen, mit Einschluss des Beitrags der Temperaturänderungen überschreiten den vorgeschriebenen Maximalwerth von lütK) kg an keiner Stelle. Die vereinbarten, unserer Berechnung zu Grunde gelegten Dimensionen (vergl 8. 259) wurden demnach in der hier betrachteten Oeffnung beibehalten.

Nach dem Bauprogramm war für die Berechnung der Eisenkonstruktion „als grösste Einzellast eine Dampfwalze mit 20 Tonnen Dienstgewicht“ entsprechend Eig. 145 anzunehmen, wenn durch dieselbe eine grössere Beanspruchung als durch die vorgeschriebenen Belastungen durch Menschengedränge erzeugt werden sollte. Bei der vorläufigen Berechnung wurden die Fahrbahn-tlieile und Vertikalständer für Belastung durch die Strassenwalze, die Bogen für Belastung durch Menschengedränge berechnet. Für die definitive Berechnung bedarf letzteres Verfahren einer Begründung.

800

S.?m_

TT

Jsi

?,Ï3

i.

Nach der Lastvertheilung der Strassenwalze und der Entfernung der Hauptträger von 3,2 m können durch erstere ungünstigstenfalls 2 Lasten von 9 und 7,25 / in Entfernung von 2,9 m auf einen Bogen kommen (Beisp. 11). Die der Berechnung zu Grunde gelegte Verkehrslast durch Menschengedränge beträgt 1390 kg per m. Die Belastung eines Bogens durch die Strassenwalze entspricht also, abgesehen von der Koncentration der Lasten 16250 1390

für die Grenzspannungen meist weit grösser sind (vergl. die Tafel), so konnte die übliche Berechnung der Hauptträger für Menschengedränge im Allgemeinen beibehalten werden. Nur für die a₍₎, an an den Trägerenden und besonders um die Trägermitte kommen kleinere Belastungsstrecken vor, welche gleichwohl noch eine Strassenwalze aufnehmen können. Hier wurden aber auch die Querschnitte auf Grund der vorläufigen Berechnung so gewählt , dass die grössten Gesammt-spannungen wesentlich unter der zulässigen Grenze von 1000 kg bleiben. Die Berechnung der grössten Gesainmtspannungen in der Trägermitte ergab (Beisp. 11) für die Strassenwalze ohne Menschengedränge o — 823 kg, o = 771 kg, für die Strassenwalze mit Menschengedränge (soweit der Raum reicht) a₍ = 901 kg, a = 900 kg. Da auch kleine Aenderungen der Spannweite in der Mitte am meisten zur Geltung kommen, so erkennt man, «lass die ursprünglich beabsichtigt gewesene Unterbrechung der horizontalen Verstärkungsplatten auf eine Strecke von 6,6 m um die Bogenmitten (S. 259) nicht berechtigt gewesen wäre (in Oeffnung V können selbst mit diesen Platten grösste Gesainmtspannungen bis 1000 kg in der Mitte entstehen).

Dem Bauprogramm zufolge waren die Querschnitte von Stäben mit axialem

\it .?,>"■ Axäny.rh

Fig. I45

= ca. 12 m Belastung durch Menschengedränge. Da die Belastuugsstrecken

Druck aus

F = G. + iQ Fa

zu berechnen, worin Fd — ' der dem Maximaldrucke D bei einer zulässigen

Beanspruchung ohne Rücksicht auf Knickwirkung von d per Quadrateinheit entsprechenden Querschnitt und

F /-

Jo

mit I Stablänge, ./ Trägheitsmoment, a = 24000.* Bei Brückenbogen pflegte allerdings bisher eine Zerknickungsgefahr nicht angenommen zu werden. Da jedoch die Axialkraft Arx bedeutende Wer the annehmen kann, so wurde (schon bei der ursprünglichen Berechnung) ein seitliches Einknicken in Betracht gezogen.

Da nach S. 285 die grösste Horizontalreaktion und Vertikalreaktion :

H — 235970 kg,

V — 83082 kg,

so wird im ersten Felde die grösste Vertikalkraft (vergl. S. 268 und Fig. 146):

2.2,508

Fx = 83082 — (2040 + 1390) -

== 77347 kg,

und nach

die grösste Axialkraft:

Nx — ( Vx tg cp -j- H) cos cp-( 77847    + 23697°)

2,508

2^660

= 248219 kg.

Für reinen Druck wäre mit dem hier massgebenden Grenzwerth d = 1000 kg (vergl. S. 282):

j, _ 248219 _ ₀,Q010 1 d — -jQQQ---.48,21 J qcm.

Weiter hat man nach S. 265:

I (2 . 1,4.19³ 4- 2 . 1,2.9,6³ -j- 2 . 7,8 . 1,8³ +

F — 295 qcm

255970

..

0,585 m

72.0,6³) = 14290,

295.2662 14290.24000

sodass der verlangte wirkliche Querschnitt (S. 283) :

F = 1,06086.248,219 = 263,33 qcm,

während der thatsächliehe Querschnitt mindestens 295 qcm, durchschnittlich aber wegen der nach den Auflagern bin angebrachten Verstärkungen noch grösser ist.

Man könnte noch fragen, ob nicht durch die Transversalkraft T übermässige Beanspruchungen entstehen. Dies pflegt für Bogenträger nicht der Fall zu sein, weshalb man T hier gewöhnlich unberücksichtigt lässt. Wollte man sich jedoch durch Rechnung davon überzeugen, so würde die Untersuchung einzelner geeigneter Belastungsfälle genügen. In Beisp. 8 sind die grössten Längsund Querschubspannungen x der Neckarbrücke berechnet a) für Vollbelastung des ganzen Bogens, b) für Verkehrslast auf der ersten Bogenhälfte, c) für Verkehrslast auf der zweiten Bogenhälfte. Die erhaltenen x (in der Axschicht) schwanken .zwischen 0 und -f-82 kg per qcm (Tabelle S. 36).

Der Winddruck, welcher nach dem Bauprogramm zu 150 kg per qm getroffener Fläche anzunehmen war, blieb bei Berechnung der Bogen ausser Betracht. Da zwei Horizontalverbände der in Fig. 147 angedeuteten Art in Höhe der Fahrbahn und des Obergurts der Bogen die sechs Tragwände verbinden, und der Zoreseisenbelag der Brücke eiuen dritten Horizontalverband bildet, so sind die Beanspruchungen der einzelnen Bogen durch den Winddruck gering. Am

= 0,06086,

it

83062 kg

Fig. 146

/\

/\

s/

/\

,/

Fig. 147

* Vergl. Weyrauch, Die Festigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenberechnung von Eisen- und Stahlkonstruktionen, Leipzig 1889, S. 31 33. — Andere Berücksichtigung der Knickspannungen siehe IV O, P:

ehesten kommen sie für die Stirnbogen in Betracht, welche aber durch die Winkeleisen von 10/10/1 cm zur Befestigung der Vertikalen eine bei Berechnung der obigen Normalspannungen nicht berücksichtigte Verstärkung erhalten haben. Audi dürften stärkste Winddruckfälle kaum jemals mit ungünstigsten Belastungsfällen und Temperaturfällen gleichzeitig eintreffen.

L. Kämpferdrücke. Auflager.

In IV G (S. 269) ergaben sich die Vertikalreaktionen und Horizontalreaktionen der Kämpfer durch die gesammte feste Last:

H — 128491 kg,

und durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung des Bogens:

V = 49379 kg,

V ~ : • 33703 kg,

H — 87531 kg.

Nach S. 272 beträgt der künstliche Horizontalschub K — 1950 kg und nach S. 280 können durch die in Betracht gezogenen Temperaturänderungen bis -|- 25° Horizontalschübe von H = 4 2888 kg entstehen.

Demnach erhalten wir die grösste Vertikalreaktion im Ganzen, bei Vollbelastung :

V = 49379 -f 33703 = 83082 kg, die kleinste Vertikalreaktion, für Eigengewicht allein :

V = 49379 kg,

den grössten Horizontalschub, bei Vollbelastung und Temperaturänderung um x — 25 ⁰ :

H == 128491 4- 87531 + 1950 + 2888 = 220860 kg,

den kleinsten Horizontalschub, für Eigengewicht allein und Temperaturänderung um x —— 25°:

H = 128491 -f- 1950 — 2888 = 127553 kg, und den Horizontalschub für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

H = 128491 -f 1950 = 130441 kg;

ferner die grösste resultirende Kämpferreaktion, bei Vollbelastung und Temperaturänderung um x = 25°:

= Y 83082² + 220860² = 235970 kg,

die kleinste resultierende Kämpferreaktion, für Eigengewicht allein und Temperaturänderung um t = — 25°:

R -

Y 49379² 4 127553² = 136777 kg,

und die resultirende Kämpferreaktion für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur :

y 49379* 4 130441² = 139470 kg.

Die Auflager sind entsprechend Fig. 148, 149 auf S. 286 angeordnet. Gelenkstück, Keile und oberer Theil des Lagerstuhls bestehen aus hartem Martinstahl, der untere Theil der letzteren aus Gusseisen. Die Gelenkstücke haben l = 25 cm wirksame Länge und 12 cm Durchmesser. Mit Rücksicht auf die soeben berechneten Kämpferdrücke R erhält man die mittlere Beanspruchung per qcm Längsschnitt des Gelenkstückes aus

°m 2 r l

im Maximum:

_ 235970 “ 12.24;

- 819 kg,

'te

Yf

Pi

Ar'\

\ 7A

-"A /

*\

r*,s

Fig. 148

A«

'x

Fig. 149

,~x

\    \\ x    ^    \3^_

mMwf

\\ \\

a

\-

im Minimum :

\3hS

186777

%,s

L_

= 475 kg.

°m “

für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur ;

288

189470

= 484 kg.

°m =

Die Beanspruchung am bleibt unter der grössten Beanspruchung des Gelenkstücks. Diese tritt in der Richtungslinie von R ein und lässt sich unter den Voraussetzungen des § 13 nach § 13, 7) setzen:

AR °    5 r l

wonach ermittelt wurden : als Maximum :

288

2)

4.235970

5.6.24

= 1311 kg.

als Minimum:

136777

180

= 760 kg,

für Eigengewicht allein hei normaler Temperatur:

¹³⁹⁴⁷⁽- — 775 kg.

180

Da die Richtung der grössten resultirenden Kämpferreaktion fast genau mit der Richtung der Bogenaxe beim Kämpfer zusammenfällt (Tangenten der Richtungswinkel gegen die Horizontale 0,3764 und 0,3754), so erscheint bei der geringen Höhe des Auflagers in unserm Falle (vom Gelenkmittelpunkt bis Grundfläche etwa 30 cm) die übliche Annahme gleichmässiger Vertheilung des grössten Kämpferdrucks auf die getroffene Fläche des Auflagersteins gerechtfertigt. Das gleiche gilt für den kleinsten Kämpferdruck, und da sich übersehen lässt, dass auch bei andern Belastungen keine ungünstigere Beanspruchung des Auflagersteins entstehen, so erhalten wir, bei 90/70. cm Grundfläche des Lagerstuhls (Fig. 149) den Druck per qcm Auflagerstein im Maximum:

235970 6300

= 37,5 kg.

im Minimum:

136777

6300

= 21,7 kg.

für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

139470

6300

= 22.1 kg.

M. Einsendungen.

Zur Berechnung der Einsenkungen symmetrischer Parabelbogen mit Kämpfergelenken reichen im Allgemeinen die entsprechenden Formeln des § 16 aus (vergl. Beisp. 20, 42) für welche im Gegensätze zu den dort gegebenen Ausdrücken des Horizontalschubs die Grössen ß, Ç (§ 28) vernachlässigt wurden. Wir wollen jedoch hier mit möglichster Genauigkeit Vorgehen. Die Zulässigkeit jener Vernachlässigungen für die meisten Fälle (§ 28) wird dabei umso sicherer hervortreten.

Sollte zwar nicht ß, aber doch £ vernachlässigt werden, so wären von den Formeln § 30, 8) 9) auszugehen. Wir werden jedoch auch 7 berücksichtigen, und demgemäss die Gleichungen § 30) 4) 5) zur Verwendung bringen, in welchen für Bogen mit Kämpfergelenken M — \1‘ = 0 ist.

Nach § 30, 5) ist die von einer beliebigen zur Trägermitte symmetrischen Belastung herrührende Einsenkung des Bogenscheitels wegen A cp = 0:

pin    m

2 P a (3 P — 4 a²) -f 12 Ç / 2 P a (/—a)

Lo    o

24 Ec

0-t)

i)

worin H durch § 16, 7) bestimmt. Speziell für eine auf die ganze Spannweite gleichmässig vertheilte Last von g per Längeneinheit hat man nach §4 in 1):

5 fj l*

2 P a (3 P--1 (i²) = 1ß

o    ln

m    a Is

2 Po (l—a) =

2)

sodass wir auch schreiben können;

V ^ 5 /384Ec V

4ß\ 5 fP 5 / 48Ec '

3)

während H durch § 16, 21) ausgedrückt ist.

Weiter liefert § 30, 5) für eine beliebige Temperaturänderung x allein: /b 4ß\;5 fP V 5 / 48 Ec

H — a t/

4)

mit Pf nach § 16, 8), und für einen beliebigen Horizontalsehub H allein:

5)

Diese Gleichung gilt also beispielsweise auch für den künstlichen Horizontalschuh H — K, sowie für den durch eine Aenderung der Spannweite um A l bedingten Horizontalschub, welcher durch § 16, 9) bestimmt ist.

Da im vorliegenden Falle nach IV B (S. 266) ß = 0,001411 und mit y = 1504,74 qcm r — 6618,1 cm:

_ y _ 1504,74 _

t — r-2 — 6618,1² ~

so erkennt man schon, dass in ähnlichen Fällen ß und ganz besonders Z, vernachlässigt werden dürfen. Weiter erhalten wir für cm als Längeneinheit und kg als Gewichtseinheit (vergl. IV B, J) :

24 E c — 24.2150000.539827 = 278551 . 10®,

12 . 1504,74.4800

2 E c~ 6618,P . 278551.10⁸    ~ 140763.10⁸

/.    4 ß\ 5 /Z² _ 0,99887.5.450,5 . 4800

V 5/48 Eoz~ 48.2150000.539827

- Ł 4800⁴ =

0,000034,

ZI

— 0,00093051,

1658880 . 10⁸

1 16

Mit diesen Werthen folgt aus symmetrische Belastung:

Is _ 48(X)8 T? - ~12~

1) die Einsenkung durch eine beliebige

= 9216 . 10,;.

S P a (3 P — 4 a r)

S P a (Z—a)

140763 . 10⁸

- 0,0(X)93051 Pf.

278551 . 1Ö⁸

Für lauter gleiche Lasten P hei den Vertikalen (bei den Kämpfervertikalen ²/a P, vergl. S. 268) ist mit Rücksicht auf Tabelle III (8. 269) zufolge der S. 267 erhaltenen Formeln ft) der Horizontalschuh:

2.10127183 806754

== 25,1060 P,

und die Einsenkung

<■ = p-e = (2,36994-1-0,00026 — 2,33614)

UX)

= 0,03406

100'

Beispielsweise erhält man durch das koncentrirte Eigengewicht mit P — 4264 kg: e = 0,03406.42,64 = 1,452 cm.

und durch die Verkehrslast bei Vollbelastung des ganzen Bogens mit P — 3486 kg : e = 0,03406.34,86 = 1,187 cm.

Eine beliebige gleichmässig vertheilte Last von (] per Meter, oder ]>er Centimeter Spannweite erzeugt nach 1) 2) mit Rücksicht auf Formel c) auf S. 267 : 1658880 q , 92.16 g n(VVVmM ,,orvno e - “278551 IÖÖ⁺ 140763 1ÖÖ ' KX 8°    ' K ’0 {h

e = (5,95539 + 0,00065 - 5,87087) ^ = 0,08517 also beispielsweise das Eigengewicht der Bogen allein von g — 340 kg :

e — 0,08517 . 8,4 = 0,290 cm.

Bei Vernachlässigung von Ç wären in den vorstehenden Klaininerausdrücken für koncentrirte und gieichmässig vertheilte Lasten die Summanden 0,00026 und 0.00065 weggefallen, womit sich in beiden Fällen v um 0,76 °/o kleiner ergeben hätte. In den Ausdrücken von e durch Temperaturänderungen und einen beliebigen Horizontalschub, also auch durch Aenderungen der Spannweite, kommt " überhaupt nicht vor.

Für eine beliebige Temperaturänderung allein erhält man nach 4) mit Rücksicht auf S. 280:

e = — 0,00093051.115,520 x — 0,0000115.450,5 x = — 0,11267 x, woraus für x = + 25 ⁰ :

e —    2,817 cm.

Durch einen beliebigen Horizontalschub H entsteht :

e = — 0,00093051 H,

also beispielsweise durch den künstlichen Horizontalschub H — K — 1950 kg:

e — — 1,814 cm,

und durch eine Aenderung der Spannweite um AZ wegen Formel e) auf S. 267:

e = 0,00093051 .4,6722

A Z = 1,9473 A Z,

2150000

4800 das heisst für jeden -Millimeter Vergrösserung oder Verkleinerung der Spannweite (A Z positiv oder negativ) 1,947 mm Einsenkung oder Erhebung des Bogenscheitels. Dieser verhältnissmässig grosse Einfluss kleiner Aenderungen der Spannweite erklärt die Empfindungen des Schwankens, welche auf manchen ßogenhriicken mit mehreren Oeffnungen heim Ueberfahren von Lasten für den Fussgänger eintreten. Die Bewegungen e für bestimmte A Z wachsen mit dem Verhältnis l :f, sind also umso grösser, je flacher der Bogen, während die Grösse der Trägheitsmomente bei Bogen mit drei Gelenken gar keinen, bei Bogen mit zwei Gelenken einen unwesentlichen, bei Bogen ohne Gelenk einen etwas grösseren Einfluss auf Verringerung der e ausübt (vergl. die Formeln 10)—12) der Aufg. 7 in welchen die Trägheitsmomente zufolge § 15, 40)—42) durch s zur Geltung kommen), lieber den Einfluss von AZ auf die Beanspruchungen in unserm Falle siehe S. 281, 282.

Die resultierende Einsenkung ist bei Belastung durch das Eigengewicht der Konstruktion allein und normaler Temperatur:

e 1,452 + 0,290 — 1,814 = — 0,072 cm,

für Eigengewicht allein bei x = — 25°:

e = - 0,072+ 2,817 = 2,74 cm ;

sie erreicht ihren kleinsten Werth für Eigengewicht allein Lei x = 25":

e = - 0,072 - 2,817 = - 2,89 cm, ihren grössten Werth für Vollbelastung bei x = — 25°:

e = - 0,072 + 1,187 + 2,817 = 3,93 cm.

Bei Beurtheilung dieser resultirenden Einsenkungen ist zu beachten, dass Vollbelastung einer Oeffnung (grösste Verkehrslast auf der ganzen Länge) nur selten vorkommt, und kaum jemals zugleich mit der niedrigsten Temperatur, dass ferner jede Verkehrslast nur vorübergehend wirkt. Von wesentlichem Interesse dagegen sind die Scheitelbewegungen für Eigengewicht allein, da die wirklichen Belastungen meist nicht viel von letzterem abweichen. Infolge des gewählten künstlichen Horizontalschubes liegt der Bogenscheitel für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur nur um 0,072 über der dem spannungslosen Zustande entsprechenden Bogenaxe (für geringe Verkehrshelastungen etwa in derselben) und er bewegt sich bei höherer und niederer Temperatur um nahezu gleichviel nach oben und unten gegen diese Lage.

19

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

Ohne künstlichen Horizontalschub wäre dessen Beitrag e — — 1,814 cm weggefallen, und damit für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur e = 1,742 cm, bei x =1(1 25° e — 4,56 cm, bezw. e — 1,07 cm geworden, die Bogen-axe wäre also immer unter ihrer normalen Lage geblieben. Bei Vollbelastung und x =— 25" hätten wir e —— 5,75 cm erhalten. Die Anwendung eines künstlichen Horizontalschubs ist also sowohl mit Rücksicht auf die Beanspruchungen (vergl. IV E, J) als auf die Einsenkungen zu empfehlen.

X. Reduktion der Normaltemperatur auf die Stuttgarter mittlere Temperatur. Ueberhöhung' der Bogen.

Die Bogen wurden an Ort und Stelle in möglichst spannungslosem Zustande montirt, wobei alle Theile gehörig Unterstützt und die Keile unter den Gelenkstücken der Aullager leicht angezogen waren. Es sollte dann die künstliche Ueberhöhung der Bogen entsprechend dem gewählten künstlichen Horizontalschuh K (vergl. IV E) durch weiteres Vorrücken der Keile stattfinden. Die zur Erzeugung eines künstlichen Horizontalschuhs K nötliige Verminderung — AZ der Spannweite ist nach Aufgabe U) (S. 92:

_ (l + s)8 ip 15 Ec

Hätte man sich nun hiermit begnügt, so würde die Temperatur hei Erzeugung des künstlichen Horizontalschuhs als Normaltemperatur der Bogen zu betrachten gewesen sein, wie ja bis jetzt immer die Montirungstemperatur der Bogen als Normaltemperatur derselben gegolten hat. Als späteste Aufstellungszeiten waren vorgeschrieben:

K.

1)

für die Oeffnungen Beginn* Beendigung

1. 10. 92 1. 11. 92

IV

1. 11. 92 1. 12. 92

III

1. 3. 98 1. 4. 93

1.    93

1.    93

1. 5. 93 1. 6. 93

Angenommen demgemäss, man hätte als Temperaturen hei Herstellung des künstlichen Horizontalschuhs K gehabt

5°

0°

5°

15"

25° C,.

so würden durch die vorgenommene Berechnung mit Temperaturänderungen bis x = —J- 25” die Temperatureinflüsse berücksichtigt sein:

— 20°

-j- 30"

von

— 10° + 40°

0° (

25"

20"

+ 50» „ .

-f 25⁰

Um solche für die wirklichen Beanspruchungen ungünstige Zufälligkeiten zu vermeiden, wurde nach dem Vorschläge des Verfassers hei der ohnehin vorgeschriebenen Ueberhöhung der Bogen (IV E) die Normaltemperatur der letzteren in allen Oeffnungen auf die Stuttgarter mittlere Temperatur reduzirt, welche zufolge Mittheilung der meteorologischen Centralstation in Stuttgart nach fünfzigjährigen Beobachtungen rund 10° ist (genau 9,8").

Die für die fragliche Reduktion nöthigen Beziehungen sind für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos q: in Aufgabe 10.

S. 92, abgeleitet. Die Temperatur tv bei Erzeugung des künstlichen Horizontalschubs differire um r/n von der gewünschten Normaltemperatur (für welche ohne künstlichen Horizontalschub und ohne

bis

4-30°

Norm'll,, d

temperatur

Fig. 150

* Die Eisenkonstruktion sollte ursprünglich unter Verwendung des gleichen Gerüstes für alle Oeffnungen aufgestellt werden. Wegen der alsdann nöthigen Vorkehrungen gegen die einseitigen Horizontalschübe auf die Pfeiler wurden jedoch alle Oeffnungen vor Beginn der Aufstellung eingerüstet, womit auch die obigen Aufstellungszeiten im Einzelnen nicht mehr eingehalten zu werden brauchten. Die Horizontalschübe aller Bogen liess man möglichst gleichzeitig zur Wirkung kommen. Siebe S. 292.

Belastung, d. h. auch bei normaler Spannweite ohne Belastung der spannungslose Zustand eintreten würde). Anstatt der Veringerung 1) der Spannweite ist dann eine solche

o +»)s*r

15 E c

K + a / </.

2)

vorzunehmen, womit nach S. 92 zwar der künstliche Horizontalschuh hei Herstellung der Ueberhöhung den Werth

15 o

Kl - *r+(14-,)8/i

E j. d

•!)

erlangt, hei normaler Temperatur aber den vorausbestimihten Werth K hat.

In unserm Falle erhält man mit Rücksicht auf K — 1950 kg und die schon in TV E und M verwendeten Werthe nach 2):

+ 0,0000115.4800 d,

4800. 1950 v ~~ 4,6722.2150000

V — 0,982 -f- 0,0552 d cm.

Während dieser Verringerung der Spannweise entsteht nach 3) ein künstlicher Horizontal schuh:

Kt — 1950 + 4.6722.24,725 d = 1950 + 115,520 d kg.

Derselbe bewirkt nach S. 289 eine negative Einsenkung, d. h. Hebung. des Bogenscheitels :

& = — 0.00093051 (1950 + 115,520 d) — — 1,814 — 0,1075 d cm.

Diese Einsenkung kombinirt sieb mit derjenigen durch das Eigengewicht der Konstruktion, welches mit dem Abheben der Bogen von den Unterstützungs-fliiehen wirksam zu werden beginnt. Bezeichnet P das alsdann durch eine Vertikale auf den Bogen übertragene Eigengewicht, so hat man nach den vorstehend und S. 288, 289 erhaltenen Wert lien die resultirende Einsenkung hei Herstellung der Ueberhöhung:

e = 0,290 + 0,0003406 P — 1,814 — 0,1075 d cm.

Im vorliegenden Falle war während der letzteren das Eigengewicht der Konstruktion mit Belag durch Zoreseisen, aber ohne die übrigen Theile der Fahrbahn wirksam, also nach S. 268 P = 1467 kg, womit wir erhalten:

II

e = — 1,024 — 0.1075 d cm.

Vor Herstellung der Ueberhöhung war die Eisenkonstruktion in möglichst spannungslosem Zustande soweit zu montiren, dass ein seitliches Ausweichen der Bogen nicht mehr stattlinden konnte, und andrerseits unkontrolirbare Spannungen in den Vertikalen und Obergurten der Tragwände durch die Ueberhöhung nicht in Betracht kamen. Sollte nun die Ueberhöhung für eine Oeffnung vorgenommen werden, so war zunächst die augenblickliche Temperatur /{ und deren Differenz gegen die Stuttgarter mittlere Temperatur festzustellen. Die <1 sind positiv, je nachdem ty über oder unter der mittleren Temperatur liegt.

Die Ueberhöhungen batten alsdann für alle Bogen einer Oeffnung möglichst gleichzeitig bis zu denjenigen Verringerungen der Spannweiten und Erhebungen (negative Einsenkungen) der Bogenscheitel zu erfolgen, welche durch die Gleichungen I, II und entsprechende Gleichungen für die übrigen Oeffnungen im Voraus bestimmt waren. Für d — 15° beispielsweise liefern die obigen Gleichungen :

v — 1,760 cm,

K — 3683 kg.

e — — 2,636 cm,

Bei Differenzen d bis 20° waren Verringerungen v bis etwa 2 cm zu erwarten, was bei Anordnung der Auflager von Interesse sein kann, da der Anlauf dar Keile mit Rücksicht auf Erleichterung des Anziehens und Erschwerung des Zuriickgehons nicht grösser als nüthig sein soll. Es empfiehlt sich, die Keile

zu gradieren und im Voraus zu ermitteln, welche Verringerung der Spannweite dein Vordringen der Keile um einen der betreffenden Grade entspricht, auch die schliessliche Steilung der Keile zu markiren, sodass deren richtige Stellung jederzeit kontrolirt und eventuell wieder hergestellt werden kann.

Die Herstellung der Ueberhöhung erfolgte für affe Bogen im Sommer 1893 unter Leitung des Oberingenieurs Kühler von der Esslinger Maschinenfabrik, und zwar durch die Arbeit der Sonnen wärme. Wenn sieh in der wärmsten Tageszeit (Nachmittags) die Bogen infolge der Temperaturerhöhung von den als Unterlagen dienenden Holzkeilen abgehoben hatten, wurden die letzteren angezogen. Nachdem durch die Kühlung der Nacht eine Verkürzung der Bogen eingetreten war, wurden die Stahlkeile an den Auflagern nachgeschoben. Diese Procedur war so oft zu wiederholen, bis affe Bogen die den augenblicklichen 1 (l entsprechenden v, e erreicht hatten, was bezüglich v durch Feststellung der Verschiebung der Stahlkeile, bezüglich e durch genaue Nivellements und Entnahme der entsprechenden e‘ in geeigneten Zeitabschnitten kontrollirt wurde. Da der Anlauf der Keile !/¹² betrug, so war für jede Verringerung der Spannweite

um 1 cm ein Eintreiben der Keile an beiden Auflagern xxm 12 — 6 cm noting.

Das Ablassen der Bogen aller Oeffnungen erfolgte am 5. und 7. August 1893, wobei die Holzkeile unter den sechs Bogen einer Oeffnung von den Kämpfern gegen die Scheitel fortschreitend gelöst wurden, was ohne besondere Schwierigkeiten vor sich ging. Die Senkung des Bogenscheitels während des Ablassens hätte nach obigen Gleichungen bei konstanter Temperatur für Oeffnung IV betragen soffen :

e — e‘ = — 1,024 -f 1,814

0,79 cm,

Die erzeugte

Die Beobachtung ergab 0,6 cm. Diese Abweichung ist am einfachsten dadurch zu erklären, dass das Eigengewicht zum Tlieil schon vor dem Ablassen gewirkt hatte. Man ersieht daraus, dass die genaue Kontrolle der Verringerungen v der Spannweite wichtiger als diejenige der Scheitelsenkungen ist.

Ueberhöhung war auch nach dem Ablassen der Bogen in der Flucht der Zores-eisen deutlich sichtbar.

Bemerkungen. Die von Kühler erdachte Verwendung der Sonnenwärme zur Herstellung der Ueberhöhung dürfte auch in Zukunft zu empfehlen sein. Unter Umständen (kleine Bogen, ungünstige Jahreszeit u. s. w.) kann in Frage kommen, die Ueberhöhung lediglich durch Eintreiben der Auflagerkeile herzustellen. Der hierbei zu überwindende Kämpferdruck ist umso grösser , je grösser das bereits wirksame Eigengewicht. Sein Werth per Bogen würde für die oben betracht etc Oeffnung zu Beginn des Anziehens wegen

22341 kg,

V = 8160 + 41219

1467 4264

1467

21439 -f 107052    - 5827t) .,

(vergl. S. 2(>8, 269) betragen haben:

K =

Y 22341² + 58270* = 62403 kg.

Mit dem Vorrücken der Keile wäre der zu überwindende Kämpferdruck um etwas weniger als den entstehenden künstlichen Horizontalschuh gewachsen, im Falle (1 — 15° beispielsweise, mit H = 58270-j- Kl = 61953 kg. auf

R — y 22341² -f- 61953- = 65858 kg.

Angesichts der bedeutenden Kräfte zum Eintreiben der Keile könnte man das letzterwähnte Verfahren durch Mitwirkung hydraulicher Pressen zu modifi-ciren suchen, welche in    ogenmitten einen Druck T) von unten nach oben

ausüben, doch gibt dann die Möglichkeit lokaler Schwächungen zu Bedenken Anlass. Wir bemerken desshalb nur, dass die Aenderung keinen Einfluss auf die oben fest-gestellten Verringerungen v der Spannweiten und Einsenkungen e der Bogen-

Scheitel nach dem Absetzen der Pressen hätte, dass aber die Einsenkungen während des Wirkens von D um den diesem Drucke allein entsprechenden (negativen) Werth der Einsenkung geändert würden, während die Kämpferdrücke abnehmen, sodass das Eintreiben der Keile erleichtert wird. Für den oben betrachteten Fall ergab eine Berechnung die Scheitelsenkung unter Mitwirkung von Z):

e = - 1,024 - 0,1075 d - 0,007416

cm

100

und die Aullagerreaktionen hei Beginn des Anziehens in kg

H = 58270 — 2,0539 D,

V = 22341 —

1)

wonach zur vollständigen Aufhebung von H nöthig wäre:

= 28370 kg.

58270 “ 2,0539

und alsdann zu überwinden bliebe:

000^1    ²⁸⁸⁷⁰ U1K,. ,

= 22341 ---çj— = 8156 kg.

0. Vertikalen der innern Bogen.

Zu den wichtigsten Konstruktionstheilen der Brücke gehören die Vertikalen (Vertikalständer), welche die Fahrbahnlast auf die Bogen übertragen. Bei ihrer Berechnung sind die auf S. 185 erwähnten Gesichtspunkte zu beachten. Die Vertikalen der Stirnbogen sollen im nächsten Paragraphen behandelt werden, während wir uns hier mit den Vertikalen der 4 innern Bogen beschäftigen.

Die ungünstigste Belastung einer solchen Vertikale tritt ein, wenn eines der beiden Hinterräder der Strassenwalze (Fig. 145, S. 288) gerade über die Vertikale gelangt. Der Druck durch die Strassenwalze ist alsdann, bei 3,2 m Entfernung der Tragwände:

tores

6000 + 6000 -    = 0000 kg.

3,

Da vom Eigengewicht der Brücke auf eine Vertikale im Allgemeinen 4264 kg, für die Kämpfervertikalen jedoch ²/s soviel kommt (S. 268) so beträgt die grösste Gesammtbelastung für eine Kämpfervertikale :

9000 + I 4264 = 11842 kg,

für eine der übrigen Vertikalen:

9000 + 4264 = 13264 kg.

Indem jedoch diese Belastungen nur ganz ausnahmsweise und allmälig ein-treten, kann die sonst vorgeschriebene (S. 282) Berücksichtigung der Spannungswechsel in diesem Falle unterbleiben.

Dagegen soll die Berechnung hier auf Grund neuerer Versuchsresultate von Tetmajer durchgeführt werden, wozu bemerkt sei, dass die Dimensionen auch nach der unter IV K erwähnten Berücksichtigung der Zerknick u i igsgefahr reichlich genügen. Die Tetmajerschen Versuche führten für Flusseisenstäbe von etwa 4150 kg Zugfestigkeit zu folgenden Formeln für die Knickfestigkeit¹, abgerundet :

wenn

- < 105 r

> 105

k = 3200 —

11,6 — per qcm,

1)

;•

k — 222000(H)

er, .

worin l die „freie Knicklänge“ und

r=V

z____

3)

CI

der kleinste in Betracht kommende Trägheitsradius für Axen durch den Schwerpunkt des Querschnitts he-l

deuten. Unter — = 20.4 traten r

überhaupt keine Knickerscheinungen ein. Gleichung 2) entspricht der E u 1 e r sehen Knickformel.

Die Vertikalen der 4 inner n Tragwände bestehen je aus 2 Winkeleisen , angeordnet nach Fig. 151, welche nach der Querrichtung der Brücke durch viermalige Zwischenplatten in Abständen von 76,5 cm verbunden sind (Entfernung zwischen den äussersten Nieten 66,5 cm, lichte Entfernung 58,5 cm). Die Verbindung mit den Obergurten der Tragwände bewirken je 4 Nieten in Anschlussblechen nach der Längsrichtung der Brücke (Fig. 152), wozu unten noch je 6 Niete in den Anschlussblechen der vertikalen Querkonstruktionen kommen (Fig. 153). Auch sitzen die Vertikalen

Längs-

ji cm yicAtung

der

■Brücke

Fig. 151

Fig. 152

Q ,-Q iPllilQ. O

...

'S

c*p

dito

-1 Qi

/j

50

<> J -

\dk;jo.

\p\i

\°! Q

//O

20/

0/

0-

iOOlOt

1)0

jo P J

c>

PO

ojb (Kpl'" /

Fig. 153

beiderseits auf. Für diese Endenhaltung werde die freie Knieklänge, welche bei frei drehbaren Enden gleich der Stablänge, bei vollkommen festgespannten Enden gleich der halben lichten Länge des Stabes wäre, gleich 0,75 der Totallänge zwischen den anschliessenden Gurtungsplatten, gemessen in der Vertikalenaxe, gesetzt, was mindestens 0,88 der Entfernung zwischen den äussersten Anschlussnieten und mindestens 0,85 der Entfernung zwischen den äussersten Kanten der Anschlussbleche ausmacht. Zur Bildung der Vertikalen sind 4 Winkeleisehsorten verwendet und zwar (vergl. Fig. 142, S. 260).

für die Vertikale

CC (X - I CC I C

Gesamintlänge

429.6    m

339.6

258.1

187.1 210,9 286,3

370.2

Winkęleisen 10/10/1,4 cm 10/10/1.2 10/10/1,0 9/ 9/1,0 9/ 9/1,0 10/10/1,0 10/10/1,2

Alle übrigen Vertikalen bestehen aus Winkeleisen von 9/9/1 cm. Die grössten Ge-sammtlängen für die verschiedenen Querschnitte sind aus vorstehender Zusammenstellung zu ersehen.

Bezeichnen für eine beliebige ebene Figur +, J die Trägheitsmomente in Hinsicht zweier zu einander senkrechter Axen x, //. und L das Centrifugalmoment in Hinsicht der letzteren, so ergeben sich bekanntlich die Winkel cp der entsprechenden Haupt trägheitsaxen mit der x-Axe aus

tg 2 cp = —

J — ./

x    ;

4}

ii

und mit

.7 —J

D =    ’

die Hauptträgheitsmomente selbst :

J 4-J

Wp + A

Für den in Fig. 254 angedeuteten Querschnitt sind hinsichtlich der ersichtlichen Axen x, y.

— cos 2 9 — L sin 2 cp

5)

1!

1/1,4

■I

6)

— I).

Fig. 154

Jx - 3 [(Z - d) (³ + f) + ³ 0 + I) ~ ¹ (I) ]’

y = I \Sl - ³⁾ (³ + 2) + ⁸ 0+1) “*(!)]’

f(7 ~f" d) (³ ~t~ b) G -f- b) (5 -f- d) —    (5 + b) (8 + <7)J.

./

“2

R/--

8)

0)

Man erhält beispielsweise für die Vertikalen aus Winkeleisen von 10/10/1,4 cm:

(8,6.2,9³ + 1,4 . 11,5® - 10.1,5») = 1537, (8,6 . 1,9³ + 1,4 . 10,5³ — 10.0,5³) = 1119/

L = -J —J

X    y

-A+⁴ (13. 2,4 + 11 . 4,4 — 0,14.2,4.4,4) = 547,

J +J

x I y

= 209,

— 1328,

tg 2 cp =

547

2 cp = — 69° 5' 20",

209/

D = 209 cos 2 9 — 547 sin 2 9 = 586,

Hauptträgheitsmomente für die Richtungen 9 und 9 + 90°: ./, — 1328 + 586 = 1914,

586 = 742.

Weiter folgen nun der Querschnitt:

F = 2 . 1,4 . 18,6 = 52.08 qcm

der kleinste Trägheitsradius :

742

52.08    3,71

und mit der freien Knicklänge 0,75.429,6 das massgebende Vorhültniss / :/■ :

3.429,6 r “ 4 . 3,77

Die Knickfestigkeit (mittlere Tragkraft mit Rücksicht auf Zerkniokungsgefahr) liefert 1) per qcm:

= 85,4.

k = 3200 - 11,6.85,4 = 2209 kg. Da nun die wirkliche mittlere Beanspruchung höchstens

11842 52,08

- 227 kg,

so ist der Sicherheitsgrad:

²²⁰⁰ = 9 7 227

In gleicher Weise wie hier sind die übrigen Zahlen der folgenden Zusammenstellung berechnet, wobei jedoch als Belastung der Vertikalen 13294 kg anstatt 11842 kg anzunehmen war (siebe S. 295.)

10/10/1,4 429,6 52.08 742 3,77

85,4 2209

Vertikalen aus 1 dinge Querschnitt T r äghe i ts m om en t Trägheitsradius

10/10/1,2

339.6

45.12

656

10/10/1

286,3

38

34

3,81

403

562

3,85

55,8

2553

349

3,44

cm

cm

Massgebendes / : r

Knickfestigkeit Mittl. Beanspruchung Sicherheit

Für die Endvertikalen 19 (Fig. 142) aus Winkeleisen von 10/10/1,2 cm ist zwar die

Länge grösser als 339,6 cm, nämlich 370,2 cm, womit ⁷ — 72,9, k — 2354 kg:

allein da die Belastung derselben nur 11842 kg erreicht, so werden die mittlere Beanspruchung und Sicherheit noch etwas günstiger als 294 kg und 8,2, nämlich 262 kg und 9,0. Durch die grosse Sicherheit der Endvertikalen ist auch den Erschütterungen beim Uebertritt konzentrirter Lasten von den Pfeilern auf die Eisenkonstruktion Rechnung getragen, welche allerdings bei chaussirten Strassen-brücken weit geringer als bei Eisenbahnbrücken sind.

Bemerkungen. Nach neueren Versuchen Tetmajera² mit Krouz-streben ähnlich den hier verwendeten, dürfte die Annahme des Zusammenwirkens der beiden Winkeleisen in Verbindung mit der hier getroffenen Wahl der freien Knicklänge den thatsächlichen Verhältnissen entsprechen.³ Wenn die Winkel-

227

9.7

66,8

2425

294

8.2

7.3

46

2666 kg

390 kg

6,8.

eisen ganz für sich wirkten, wie dies ohne Verbindung durch Zwischenplatten zuträfe, wäre ein Einknicken senkrecht zu den Axen für die kleinsten Trägheitsmomente der einzeln Winkeleisen 'zu berücksichtigen (Fig. 155). Aber selbst in diesem hier jedenfalls nicht massgebenden Falle würden, wie ebenfalls rech-lgsmässig festgestellt wurde, für die vier oben behandelten Vertikalen noch \

um

rj

Sicherheiten von 3,6, — 4,3, — 5,4, — 5,6 —^ bestehen, ein Einknicken also nicht zu befürchten sein.

Fig. 155

Fig. 156

Für d — b wäre bei gleichschenk-ligen Winkeleisen das kleinste Haupt- ^ trägheitsmoment J des Gesammtquer-schnitts geich dem Doppelten des grössten Hauptträgheitsmoments jedes der beiden Winkeleisen (Fig. 156). Wir hätten in diesem Falle

für l — 10 cm und 8 = 1,4 nach dem deutschen Normalprofil buch :

J = 756

1,2

1,0 cm

666

570,

während sich oben im Falle d — 3 cm, b = 1 cm ergaben :

562.

In vielen Fällen wird man sich also die Ableitung der Hauptträgheitsmomente auch bei verschiedenen d. b ersparen können.

J = 742

656

F. V ertikalen der Stirnbogeii.

Die Vertikalen der Stirnbogen bestehen aus einer von Aussen allein sichtbaren Vertikalplatte von 30/1 cm und einem Winkeleisen von 12/8/1 cm, welche entsprechend Fig. 157 angeordnet und durch Niete in Abständen 15.5 cm miteinander verbunden sind, sodass dieselben jedenfalls als Ganzes wirken. Die Befestigung erfolgt unten an Anschlussblechen in Quer- und Längsrichtung, oben an Anschlussblechen in der Querrichtung und den längslaufenden Obergurten der Tragwände derart, dass die Einspannung unten etwa ebenso günstig, oben etwas günstiger als bei den innern Bogen ist.

Indessen soll die freie Knicklänge nur gleich 0,75 der Gesammtlänge bis zum Ende der Einspannung in der Quer-riclitung gesetzt werden, was mindestens 0,85 der Entfernung zwischen den äussersten Nieten oder 0,86 der Entfernung zwischen den nächstgelegenen Kanten der Anschlussldeche ausmacht.

Wird das auf die Vertikalen kommende Eigengewicht für die Stirnbogen ebenso gross wie für die innern Bogen, und die Verkehrslast entsprechend Menschengedränge von 560 kg per qm auf die ganze Breite vom Brückengeländer bis zur Mitte zwischen den zwei äussersten liegen angenommen (vergl. S. 268), so kommt auf eine Vertikale im Ganzen :

von

Jrm

JkM

1%

m?

/2cm.

!■*

Fig. 157

4264 + 560.2,508,2,7 = 8056 kg. auf die Kämpfervertikalen jedoch (vergl. S. 268):

cm

Schlusswmkein der letzteren) gleich der halben Stablänge zwischen jenen Nieten. Die Zwischenplatten folgten hei Tetmajer kreuzweise in Entfernungen von 110 cm (hier gleichgerichtet in Entfernungen von 76,5 cm), Totallänge hei Tetmajer 744 cm (hier bis 430 cm), Winkeleisen bei Tetmajer 10/10/1,4 cm (hier 10/10/1,4 bis 9/9/1 cm), bei Tetmajer d — ,i> ;=s:-l cm (hier d = 3 cm, b = 1 cm).

'S! CC

8056 = 5370 kg.

Für reinen Druck würde bei Wechseln zwischen 4204 kg und 8050 kg

die Beanspruchung 800    grösser als 1000 kg, sodass letztere Zahl die

lässige Grenze wäre (S. 282) und die Spannungswechsel bei Berechnung der Vertikalen ausser Betracht bleiben können, wie dieselben ja auch hei Belastung durch Menschengedränge nur langsam vor sich gehen.

Im Folgenden ist der Nachweis genügender Querschnitte auf Grund neuerer Tetmajer scher Versuche über excentrische Druckbelastung von Stäben aus schmiedbarem Eisen durchgeführt. Auf Grund derselben setzt Tetmajer die zulässige mittlere Beanspruchung für excentrischen Druck* :

zu-

³i<

1)

i -K —

w

worin ak die zulässige mittlere Beanspruchung für centrisclien Druck mit Rücksicht auf Zerknickungsgefaln*. Bezeichnen c die anfängliche Excentricität der parallel der Stabaxe wirkenden Druckkräfte P, I die freie Knicklänge, F den Stabquerschnitt, e die Entfernung des am weitesten nach Innen (auf der Seite von P) gelegenen Querschnittselements von der Stabaxe, J das Trägheitsmoment des Querschnitts hinsichtlich der zur Biegungsebene senkrechten Axe durch den Schwerpunkt, und E den Elasticitätsmodul, dann hat man weiter:

EJ

P ’

mit

et² =

cos

2)

3)

W — F e

£ ist ein Erfalirungskoefficient, welchen Tetmajer für schmiedbares Konstruktionseisen ausdrückt :

wenn

- < 112 r

- > 112 r

Ç = 0,877 - 0,0028

Ç = 7158

|‘ + 5,87 j - 0,058,

4)

5)

worin

6)

Denkt man sich gegen centrische Knickung und excentrischen Druck die gleiche Sicherheit m gewählt, so entspricht zufolge 1) der centrischen Knickfestigkeit k — m ak eine r.echnungsmässige mittlere Festigkeit gegen excentrischen Druck:

d = m o —

e    e

l+.C

7)

Im vorliegenden Fdille (Füg. 157) hat man den Gesammtquerschnitt F — 40 qcm. Entfernung e des Schwerpunkts von der 12 cm-Kante des Winkeleisens aus

Fe = 30.0 4- 8.4 + 11 .0,5 = 37,5 ccm : 37,5 * ⁼ 40

= 0,77 cm.

* Tetmajer, Mittheilungen etc., 4. Heft, Zürich 1800, S. 179.

Entfernung e des Schwerpunktes von der 8 em-Kante des Winkeleisens aus F c = 7.0,5 + 12.6 - 30.0,5 = 60,5 ccm :

c — W

^ = 1,23 cm.

Trägheitsmomente des Gesammtquerschnitts in Hinsicht dieser Kanton als Axon: 1 . 15®    1 . 8»    11 . 1®

~~lT'⁺~3_ + ~8

30 . Is , 7_. I³ i .

3    '    3 ⁺ c

Trägheitsmomente für Axen, parallel den soeben verwendeten, jedoch durch den Schwerpunkt :

= 2424,

588.

Jx = 2424 — 49.0,77² = 2395,

588 - 49 . 1,23² = 514.

Centrifügalmoment hinsichtlich dieser letzten Axen, mit Rücksicht auf den Ausdruck desselben für ein Rechteck (Fig. 158):

./

1(10,77-

4 (V-xd(%*-Vi)'■ l,23a) (0,23- - 0,77Ô -f (0,28- — 1,23-) (7,23* - 0,28-) +

(1,23² - 2,23‘-) (14,23² - 15,770 I = 0,45.

Für die Richtungen der Hauptträgheitsaxen nach Formel 4) auf S. 295:

2.0,45 2395 — 514’

2 9 = — 0⁰ O' 49",

t g 2 cp =

wonach dieselben ( wie vorauszusehen war) fast genau mit den zuletzt angenommenen Axen durch den Schwerpunkt zusammenfallen und J — 514 als kleinstes Trägheitsmoment gelten kann (die Berechnung ergibt 514,01).

Wir erhalten damit den kleinsten Trägheitsradius:    .

Ał

r = A/514 V 49

= 3,24 cm.

Der Mittelpunkt der Druckbelastung liegt zufolge der konstruktiven Anordnung in der Ecke zwischen !/} Winkeleisen und Platte, inmitten der letzteren, d. h. in Entfernung

y,

Fig. 158

y 1,23² + 0,77²

vom Schwerpunkt des Gesammtquerschnitts. Die Verbmdungsgerade der beiden Punkte fällt nicht mit der Richtung des kleinsten Trägheitsradius, r zusammen, sodass eine einfache Biegung in der Vertikalebene durch letzteren nicht zu erwarten ist. Wir rechnen jedoch jedenfalls zu ungünstig, wenn wir unter Zugrundelegung einer solchen die anfängliche Excentncität setzen :

c = 1,45 cm.

= 1,45 cm

Nach 3) haben wir:

4,70 cm.

514

W “ 49.2,28

Im Weiteren sind der verschiedenen Längen und Belastungen wegen die Kämpfer-vertikalen von den übrigen Vertikalen getrennt zu behandeln.

K ä m p f e r v ertikale n. Die längste Kämpfervertikale hat 4,60 cm Länge. Freie Knicklänge /    0,75.460    845 cm. Massgebendes Verhältniss Ijr:

¹

Tetmajer, Mittheilungen der Anstalt zur Prüfung von Baumaterialien am eidgen. Polytechnikum in Zürich, 4. Heft, Zürich 1890, S. 167.

²

Tetmajer, Die Knickfestigkeit der mittleren Streben und der Giite-werth des Materials der Mönchensteiner Brücke. Schweizerische Bauzeitung 1893 I, S. 99.

³

Beim Vergleiche mit den Resultaten Tetmajers ist zu beachten, dass derselbe die freie Knicklänge bei günstigster Endenhaltung (kreuzweise Anschluss-bleche, Vernietung der Vertikalen auch mit den Anschlusswinkeln dieser Bleche) gleich der halben Stablänge zwischen den äussersten Nieten setzte, bei ungünstiger Endenthalung (einfache Anschlussbleche, keine Vernietung mit den An-

si = '*W

■Knickfestigkeit nach Formel 2) auf S. 293:

22200000

1Ö6~5²

Aus 4) 2) folgen, mit P — 5370 kg (vergl. S. 298 oben):

Ç = 0,877 — 0,0028.100,5 = 0,579, /2l50fM5Ï4

= 1957 kg.

5370

— 453,0,

cos

cos

345

2T45p

— cos

345 180" 907,2 7t

= 0,9280,

,    1,45    , rn

h - 0,9280 - ¹’56 om-

Die reeluiungsmässige mittlere Druckfestigkeit gegen oxcentrischen Druck ist nach 7):

1957

= 1042 kg.

1,50 4,70

Da nun die wirkliche mittlere Druckbeanspruchung:

1 +0,579

5370

49

= HO

so folgt die Sicherheit :

1042    ₁,₍.

= Tiö = ¹⁴’a

Bei Berechnung auf Zerknickung ohne Rücksicht auf Fxcentricität hätte 1957

= 17,8 ergeben, bei Berechnung auf reinen Druck unter Annahme einer Druckfestigkeit von 4150 kg (gleich der vorgeschriebenen mittleren Zugfestigkeit, vergl. S. 280)

sich die Sicherheit

110

4050

= 30,8.

ÏÏÏÏ

Z w i s ch e n v e r t i kal e n. Grösste Länge 3,70 cm. Massgebendes Ver-hältuiss Ijt' bei l — 0,75.370 = 277,5 cm freier Knicklänge :

l _ 277,5 _

“ 3,24 ~

Knickfestigkeit nach Formel 1) auf S. 293:

k = 3200 - 11,6.85.0 = 2207,

Weiter folgen aus 4) 2), mit P — 8050 kg (vergl. S. 297 unten):

Ç = 0,877 — 0,0028.85,6 = 0,637 kg.

/ 2I5ÖÖÖ0.514 _

8050    " - 6l()A

277,5 180"

740,8 *

85,0.

cos

cos

277,5 2.370,4

= cos

= 0,9307,

1,45

0,9307 -

= 1,56 cm.

Rechnungsmiissige mittlere Festigkeit gegen excentrischen Druck nach 7):

2207

de =

1 + 0,037

1,50

1822 kg.

4,70

Wirkliche mittlere Druckbeanspruchung:

Sicherheit

8056

49

164 kg.

ni —

J822 - H 1 164 ~    •

Ohne Rücksicht auf Exzentricität hätte sich die Sicherheit

2207

hei Berechnung auf reinen Druck mit 4150 kg- Druckfestigkeit

4050

164

=: 18.5 und

164

= 24,7 ergeben.

Q. Weitere Berechnungen.

Neben den bis jetzt mitgetheilten Berechnungen waren noch manclie andere vorzunehmen, welche jedoch im Allgemeinen auch bei andern Konstruktionen Vorkommen, sodass wir sie hier übergehen können. Nur bezüglich der Querträger und der

Obergurten der Haupttragwände sei noch Einiges beigefügt.

Für die Abschnitte dieser Obergurten zwischen zwei benachbarten Vertikalen (Fig. 159) ist in der Mitte eine durch einen Querträger übertragene feste Last von 2000 kg und ungünstigstenfalls eine Verkehrslast durch die Dampfwalze von 9000 kg anzu-    J

r=2.5~m i

nehmen (S. 293). Da die Obergurten durchlaufen A und mit den Vertikalen, Querverbänden und Querträgern vernietet sind, so können sie nicht als frei aufliegend, aber auch nicht als vollkommen festge-jspannt gelten; die Wahrheit liegt zwischen diesen Extremen.

In dem ungünstigsten Falle freier Auflagerung würde, abgesehen von dem geringen Eigengewicht der fraglichen Gurten selbst, das grösste Biegungsmoment :

11000.2.5

— 6875 mk,

Fig. 159

während dasselbe bei vollkommener Festspannung halb so gross wäre. Da nun für den gewählten Gurtungsquerschnitt (Fig. 160) das Trägheitsmoment :

2.2.3. 11¹ — 10204,

I (16.15³ - 13 . 1 Is — 2.7,50

und das Widerstandsmoment:

10204

680 ccm,

__

so würde die grösste Beanspruchung per qcm bei freier Auflagerung :

—

■t'~k'iZZ2ZZ',XPZZZZZdQ

JJŁ| yd7,5/7S/l

M 6875 . 100

= 1011 kg,

⁰ — pp —

bei absoluter Festspannung

1011 rrr .

2    — ⁵⁰° kF-

und in Wirklichkeit angesichts der guten Einspannung wohl eher kleiner als

680

Urm.

1, cmmviifefojmbi

Fig. 160

2000 11000

800 4- 400

'== 873 kg.

Die Obergurten sind hiernach ausreichend dimensionirt.

Eine weitergehende Berechnung wäre zwar möglich, aber schon der Art der Einspannung wegen kaum zuverlässiger gewesen. Will man in Zweifelsfällen ganz sicher gehen, so braucht man nur die Querschnitte u. s. w. dem jeweils ungünstigsten der beiden Extreme anzupassen, besonders wenn aus konstruktiven Gründen ohnehin etwas kräftiger als nöthig dimensionirt werden soll (siehe den folgenden Fall).

Die Querträger liegen über den soeben betrachteten Gurtungen und laufen alternirond über 6 und 4 Hauptträger weg (Fig. 161, 162), sind also kontinuirliehe Balken mit nicht ganz festliegenden Stützen und nicht ganz frei drehbaren Enden.

r------ir-

-----st-----

"4F"

-4

zjr

K----

“p-------^-----

Fig. 162

Die Trägerhöhe wechselt zwischen den vier innern Bogen, entsprechend der Wölbung der Fahrbahn, zwischen 25 und 41 cm.

Wird ein Abschnitt zwischen zwei Haupträgern als einfacher Balken von / = 3,2 m Spannweite angesehen, so entstehen die numerisch grössten Momente durch zwei Lasten P — 4000 kg der Strassenwalze (S. 283), deren ungünstigste Stellung zu berücksichtigen ist. Das grösste positive Moment ergibt sich in der Trägermitte bei der in Fig. 163 angedeuteten Belastung, und zwar unter Voraussetzung frei aufliegender Enden:

570.3,2-

■Ç + Pa =

+ 4000 . 1,3 — 730 4- 5200 == 5030 ink,

unter Voraussetzung vollkommen festgespannter Enden:

a-

= 243 4- 2113 = 2356 mk.

'WOO

ttoouTy

<4

»!

7,3

-----

Fig. 163

V—^₇—------------333**---------*

Fig. 164

i?

Das grösste negative Moment entsteht an den Enden, es ist für frei aufliegende Enden gleich Null bei vollkommener Festspannung aber (Fig. 164)

[a (,1-aY- 4- (a -f d) (7 - a - rf)*J,

9 l* P

- 12 “ ¥

worin d die Entfernung der beiden gleichen Lasten P und

3 d —

Im vorliegenden Falle erhält man mit l = 3,2 m, d = 0,6 m zunächst a = 0.810 m und sodann:

(0,81.2,39² + 1,41 . 1,79²) = — 486 - 3572 — 4058 mk.

570^_3,2² _ 4000 12    3,2²

Nun besteht der Trägerquerschnitt aus 4 Winkeleisen von 7,5/7,5/0,8 cm und einer Vertikalplatte, welche in der Mitte der betrachteten Trägerabschnitte mindestens die Höhe 35 ein hat. Daher entspricht den grössten positiven Biegungsmomenten, mit Rücksicht auf die Verschwächung durch zwei Nieten von 2 cm Durchmesser ein Trägheitsmoment:

.7 = I (15.8 . 17,5³ — 13.4 . Iß,7» — 1,6 . 10») — 2.2 . 2.4 . 14- = 12531. und ein Widerstandsmoment

— 716 ccm.

12531

17,5

wonach die grösste Normalspannung, selbst unter Voraussetzung frei aufliegender Enden :

593000

716

= 828 kg.

während alsdann zulässig wären :

730

800 -j- 400    — 849 kg.

Gegenüber den negativen Momenten wären im angenommenen Falle die schwächsten Stellen über den zwei innern Bogen zunächst den Stirnbogen (Fig. 161, 162) wo die Querträgerhöhe nur 27 cm beträgt. Hier ergibt sich jedoch das Trägheitsmoment:

(15,8.13,5² - 13,4 . 12.7» - 1.6.6») - 2 . 2.2,4. 10² = 6427,

das Widerstandsmoment :

= 476 ccm,

_ 6427

W - 1p.

sodass die grösste Normalspannung,

7070 j U, =lf)(Ktly ;

_j._^..........................r.......

selbst unter Voraussetzung voll- ! u,--2too \    ! uyS7o

kommen festgespannter Enden:    l J........

405800 ° “    476

während alsdann zulässig wären :

— 852 kg,

Fig. 165

800 + 400    = 848 kg.

Die vorstehende Berechnung liefert ungünstigere Werthe, als wenn man die Querträger als gewöhnliche kontinuirliche Balken mit 5 Oeffnungen und festen Stützen berechnet hätte. Für solche würde die schwächste Stelle über dem zweiten Bogen liegen, und das numerisch grösste Moment daselbst bei der in Fig. 165 angedeuteten Belastung eintreten',², unter den u gleichmässig vertheilte Lasten per m Träger verstanden. Es ergibt sich dann³

M — -.735 — 1988 = - 2723 mk.

womit die grösste Normalspannung nur

1011 + 505

272800

470

= 572 kg.

■Für die Endabsohuitte der Querträger (Fig. 101) von 25 ein Höhe sind die gewählte Querschnitte, selbst unter Voraussetzung frei aufliegender Enden, mehr

»xt ™v„r -icM WAmwwmm

q .= 2,5 (400 -f 560) — 2400 kg )

(vergl. S. 268) das Maximalmoment : M = H =

8072 ink,

während J = 5324, W = 426. Die entsprechende Normalspannung ist

— 720 kg.

307200

426

Für die überragenden Enden (Fig. 166) der kürzeren Querträger ergibt sich, selbst wenn man sich die ganze Belastung von

!<-

nr

„..HL..

' i - o.o¹’¹'

Fig. 166

1,25 (400 4- 560) 1,6 = 1920 kg = eisen koncentrirt angreifend denkt, das grösste Moment M — - PI— — 1920.0,9 = — 1728 mk. und damit die grösste Normalspannung a = 368 kg.

unter dem

IJBUOTEÜ PÖLiTCBHHlöZRfi

UAtCÓ w

■*j

Buchstabenbezeichnuntren.

(Bezeichnungen, welche nur in einem Paragraphen, einer Aufgabe oder einem Beispiele Vorkommen, sind im Allgemeinen weggelassen. Die Seitenzahlen beziehen sich in der Regel auf das erste Auftreten der Bezeichnungen mit der angegebenen Bedeutung).

Seite

(i Abscisse des Angriffspunktes einer Last P av a., . . . Abseissen der Angriffspunkte von Lasten P, P„, . . . a Abseissen von Influenzlinien (Einflusslinien)

n Abseissen der Kämpferdrucklinie (Schnittlinie der Kämpferdriicke)

a,    b oder a, c Halbaxen einer Ellipse b Ordinate des Angriffspunkts einer East P b{, b₂, . . . Ordinaten der Angriffspunkte von Lasten Pv P, . . . b Ordinaten von Influenzlinien (Einflusslinien)

b Ordinaten der Kämpferdrucklinie (Schnittlinie der Kämpferdriicke) b Breite eines Querschnitts, in Entfernung v von der Axschicht

b,    a oder c, n Halbaxen einer Ellipse c Mittelwerth von ./ cos 9 bei parabolischen Bogen

<1 — l{ — / Differenz der Montirungstemperatur tl und der gewünschten Nor-maltempêratur /

d Länge der Diagonale im m-ten Eelde eines Ständerfachwerks e Einsenkung der Bogenaxe in der Bogenmitte

e , e absolute Entfernungen des obersten und untersten Querschnittselements von der Axschicht, für symmetrisch zu letzterer angeordnete Querschnitte e — e — e

Ł    O    II

/ Pfeil der Axe eines Bogens, für symmetrisch zur Bogenmitte liegende Bogen Ordinate y für x = m = //2 / Ordinate eines Zwischengelenks

/ , / Querschnitte des Obergurts und Untergurts eines Bogens, für gleiche Gurtungsquerschnitte Jo — fu — f

/(«) Abkürzende Bezeichnung beim Ausdrucke des Horizontalschubs in gewissen Fällen

<j Gleichmässig vertheiltes Eigengewicht per Längeneinheit eines Trägers h Ganze Höhe eines Querschnitts, z. B. eines Rechtecks h Entfernung der Gurtungsschwerpunkte

h Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit Zugstange und bei kontinuirlichen Bogen

/* Länge der Vertikale eines Ständerfachwerks am Ende des m-ten Feldes /«• Ordinate des Endpunktes der Bogenaxe in einer Oeffnung, für x — l ist y — k

k Koefficient der Schubwirkung k Mittelwerth von F cos cp bei parabolischen Bogen

k o, /k'u absolute Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes eines Querschnitts von der Bogenaxe, für symmetrisch zu letzterer angeordnete Querschnitte kQ = A⁻n = k    27, 28, 30

Weyrauch, Elastische Bogenträger.

42

23. 35

42

21, 33 23, 35 03, 195, 221

92, 99

108

63

22, 27

30, 45, 187 58. 194

29

42

19

20

29

158, 222, 103

108

22

64, 197, 221

20

1 Spannweite, Abscisse x des Endpunkts der Bogenaxe in einer Oeffnung l Wirksame Länge eines Zapfengelenkes nt — 7/2 Abscisse der Bogenmitte für symmetrische Bogen m Abscisse eines Zwischengelenks

m Index eines beliebigen Feldes oder einer beliebigen Vertikale eines Ständerfachwerks und damit auch der betreffenden Stablängen und Stabkräfte

n Felderzahl eines Ständerfachwerks innerhalb einer Oeffnung, l = n X o Index von Grössen, welche sieli auf den Obergurt u. s. w. beziehen p GJeichmässig vertheilte Verkehrslast per Längeneinheit Träger q — (/ -J- p Gleichmässig vertheilte Gesammtlast (Eigengewicht plus Verkehrslast) per Längeneinheit Träger

q Entfernung der Resultanten der positiven und negativen vom Momente ilix allein herrührenden Normalkräfte eines Querschnitts r Krümmungsradius der Staltaxe, bei kreisförmiger Axe Halbmesser derselben 18, 59 r Radius eines Zapfengeienkes r Abkürzende Bezeichnung s Bogenlänge, in der Axe gemessen

s Grösster Normaldruck per Quadrateinheit auf ein Gelenk / Temperatur (nach Celsius)

/ ! Montirungstemperatur eines Bogens I Normaltemperatur eines Bogens

u, u‘ Ahscissen der Umhüllungslinien U, U' der Kämpferdrücke R, R‘ n. u‘ Gleichmässig vertheilte Lasten per Längeneinheit der Spannweite eines Trägers

u Index von Grössen, welche sich auf den Untergurt u. s. w. beziehen V Entfernung (positive und negative) eines Querschnittselements von der Axschicht

r Index von Grössen, welche sich auf die soeben erwähnte Entfernung bez'ehen

V, v‘ Ordinaten der Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrücke R. R‘ v Verminderung der Spannweite bei künstlicher Ueberhöhung der Bogen

und Reduktion der Normaltemperatur aut die mittlere Ortstemperatur 92. 99 v Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe    80, 212, 214, 218

tv, w‘ Ordinaten der Durchschnittspunkte der Kämpferreaktionen R, R‘ mit den Vertikalen 0 und 1

ic Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe iriV ic Abkürzende Bezeichnungen (Ordinaten gewisser Durchschnittspunkte) bei Bogenfachwerken x Abscisse des Axpunktes eines Querschnitts, Bezeichnung des Querschnitts 4. 25 x Index von Grössen, welche sich auf den Querschnitt x beziehen xv a?, . . . Mittelwerthe der Ahscissen x in den Feldern 1.2,... bei Bogen mit beliebiger Axe

x m Länge des Stabs der A-Gurtung im m-ten Felde eines Ständerfachwerks y Ordinate des Axpunktes eines Querschnitts

y , y.,. . . . Mittelwerthe der Ordinaten y in den Feldern 1.2.... Lei Bogen mit beliebiger Axe

r Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe z Länge der Zugstange bei Bogen mit Zugstange, für horizontale Zugstange z — /

z Länge des Stabs der /f-Gurfung im m-ten Felde eines Ständerfaohwerks

52

45

58, 194

108

1(58

27, 29

19

•45

29

52

59. 19(5 4, 14 52 92, 99 92, 99

99

58

27, 29

14

14

80, 212, 214. 218

170

79, 212

1(58

4, 25

79 212 81, 218, 214’. 218

158. 222

1(58

öd tc ic 2-

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51

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lg g

C Abkürzendo Bezeichnung hei Bogen mit beliebiger Axe C Abkürzende Bezeichnung beim Ausdrucke des Horizontalschubs in gewissen Fällen

Seite

234

42

284

168

15

15

44

183

1) Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe

l) t Beanspruchung der Diagonale eines Ständerfachwerks im ///-ten Felde

E Blasficitiitsniodul

F Querschnitt eines Bogens F Inlluenzfläche (Einflussfläche)

. . Mittwerthe der Bogom|uersclmitte in den Feldern I, 2, . . .

2? ’

eines Bogens mit beliebiger Axe G Schubelasticitätsmodul

F Querschnitt eines Fachwerkstabes F F

212

22

44

6, 8

G Bezeichnung einer beliebigen Grösse

5, 6

5,    6, 7

6,    7, 8

H Horizontalschub, eventuell auch nur von einer Binzeilast F herrührend 11. H' Horizontalreaktionen hei 0 und l (Horizontalkomponenten von fl, R‘), wenn nur vertikale Aktivkräfte wirken ist H‘ — 11 H Horizontalkraft im Querschnitt x, d. h. Horizontalkomponente der resultierenden Schnittkraft R

//„, Hy Werthe von Hx für x = 0 und l, H₀ = H. //, = H‘

20

J Trägheitsmoment

Jy J , . . . Mittelwerthe der Trägheitsmomente in den Feldern 1, 2, . . .

79, 212 16, 20 91, 98

eines Bogens mit beliebiger Axe K Krümmungsmoment K Künstlicher Horizontalschub

92, 99

1(52

Künstlicher Horizontalschub bei der Herstellung desselben im Falle einer Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur L Summe der Spannweite kontinuirlicher Bogen

5, 6, 7

M, M‘ Endmomente (Stützenmomente) in einer Oeffnung, Werthe von M für x — 0 und /

Mx Schnittmoment oder Angriffsmoment im Querschnitt x, d, h. Moment der resultirenden Schnittkraft R oder der Normalkraft N in Hin-

X    X

5, 6, 7, 15

5, 6, 7, 15

rb

29

—I CT cc

sicht des Axpunktes des Querschnitts Normalkraft im Querschnitt x, d. h. Komponente der resultirenden Schnittkraft Rx normal dem Querschnitt 0 Ganze Beanspruchung des Obergurts F Binzeilast (koncentrirte Bast)

P , P , . . . Folge beliebiger Einzellasten

Pv R,

Vertikalkomponenten beliebig gerichteter Aktivkräfte Rv R.,, . . .

212. 215

29

215

Px Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe Q Vom Momente allein herriihrende Theile der Gurtungsbeanspruchungen Qv Q₂, . . . Horizontalkomponenten beliebig gerichteter Aktivkräfte Ry R.„ ■ ■ .

Qx Abkürzende Bezeichnung hei Bogen mit beliebiger Axe

R.    R‘ Reaktionen bei 0 und / (der Stützen und etwaiger angrenzender

51

Stababschnitte), eventuell auch nur von einer Einzellast P herrührend 4, 8 R Resultirender Druck auf ein Gelenk Rv R₂, . . . Aktivkräfte beliebiger Richtungen Rx Resultirende Schnittkraft im Querschnitt x

215, 234

S Bezeichnung der Kämpferdrucklinie (Schnittlinie der Kämpferdrücke)

F Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe

S,    Statisches Moment des oberhalb oder unterhalb der Axschichl gelegenen

29

79. 212

5, 6, 7

Quersehnittstheils in Bezug auf die Axschicht S Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe 7'x Transversalkraft (Querkraft) im Querschnitt x, d. h. Kompenente der resultirenden Schnittkraft R längs dos Querschnitts

29

U Ganze Beanspruchung des Untergurts

U,    U‘ Bezeichnungen der llnihüllungslinien der Kantpferdrücke B, B'

V,    V‘ Yertikalreaktionen hei 0 und l (Vertikalkomponentein von B. B‘)

V    Yertikalkraft im Querschnitt x, d. h. Vertikal komponento der resul-

tirenden Schnittkraft B

V₀, Uj Werthe von Ux für x — 0 und /, F₀ = V, V{ —

F Beanspruchung der Vertikale eines Ständerfachwerks am Endo dos m-ten Feldes

TV Widerstandsmoment eines Querschnitts

TU Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe, Werth von ll\

für x — l (spezielle Ausdrücke in § 35)    224. 225, 240

TU Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe, Werth von TU für x — II2 = m

IV Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Axe

A'j, X„ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Grössen (specielle Ausdrücke in § 27)

Arm Beanspruchung eines Gurtungsstabes (der W-Gurtung) im m-ten Felde eines S t än d er f ach w er ks

Y    Abkürzende Bezeichnung bei den Biegungsformeln

Y\, Y, Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Grössen (spezielle Ausdrücke in § 20)

Z Abkürzende Bezeichnung bei den Biegungsformeln

Z Beanspruchung der Zugstange bei Bogen mit Zugstange, für horizontale Zugstange Z — H

Zv Z„ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Grössen (spezielle Ausdrücke in § 29)

Z Beanspruchung eines Gurtungsstabes (der ^-Gurtung) im wt-teu Felde ein es 8t än d er fach w e r k s

5, 6, 7

V‘

5, 0, 7 G, 7. «3

Ki(S

23

225

224

192

103

10

192

10

157

192

103

Virtuelle Biegungsarbeit

% Querschnitt der Zugstange bei Bogen mit Zugstange £ Ordinate des Knotenpunkts in der AT-Gurtung eines Ständerfachwerks 3fj, Abkürzende Bezeichnungen, Wer the von A7, für x — 1 (spezielle Ausdrücke in §§ 27, 29) s4)₍, ^)., Abkürzende Bezeichnungen, Werthe von Yv Y„ für x — 1 (spezielle Ausdrücke in § 29)

g Ordinate des Knotenpunkts m der j^-Gurtung eines Ständerfachwerks 3,, 3₂ Abkürzende Bezeichnungen, Werthe von Zv Z„ für x — 1 (spezielle Ausdrücke in § 29)

22

157, 222

103

192. 193

192, 193

103

192, 193

a Ausdelmungskoefficient (linearer)

ji Verhältnis» der Biegungslestigkeit zur gewöhnlichen Zugfestigkeit ß Abkürzende Bezeichnung bei Parabelbogen y Abkürzende Bezeichnung bei Parabelbogen A x, A y, A s, A    cp, . . . Aenderungen von x, y,    s,    cp, . . .

£ Abkürzende    Bezeichnung    bei    Parabelbogen

£ Abkürzende    Bezeichnung    bei    Ständerfachwerken

£ Abkürzende    Bezeichnung    bei    Parabelbogen

Yj v rh, . . . Vertikalprojektionen der Axlängen av ov . . . in den Feldern 1, 2, . . . eines Bogens mit beliebiger Axe X Feldlänge, zwischen zwei Vertikalen, eines Ständerfachwerks, / = nX Äj, X₂, . . . Horizontalprojektionen der Axlängen a.„ : . . in den Feldern 1, 2, . . . eines Bogens mit beliebiger Axe

14

17

55, 73. 197. 193 04. 197

14

55, 04, 197, 193. 250

109

55, 198, 280

212

108

Seite

169

v Abkürzende Bezeichnung bei Fachwerken

re Stabkräfte eines Faohwerks durch einen Horizontalschul) U = 1 allein (spezielle Ausdrücke in § 23)

a Normalspannung hei x, v (im Querschnitt x in Entfernung v von der

Axschiclit)    15, 16, 21, 27

oo< o(| Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittelernent 27, 28 Op oa, . . . Axlängen in den Feldern 1, 2, . . . eines Bogens mit beliebiger Axe

2 Suinmenzeichen, die unten und oben beigesetzten Grössen deuten an, zwischen welchen Grenzen die Summen zu nehmen sind x Eängsschubspanming und Querschubspannung bei x, v (im Querschnitt x in Entfernung r von der Axschiclit) x Temperaturänderung gegen die dem spannungslosen Zustande entsprechende N or maltem peratur xt Abweichung der wirklichen Temperatur gegen die Montirungstemperatur 92. 99 x" Temperaturänderung der Zugstange bei Bogen mit Zugstange gegen die dem spannungslosen Zustand entsprechende Normaltemperatur cp Winkel der Stabaxe bei x mit der positiven Richtung der a?-Axe cp Winkel der Stabaxe mit einer von der Axschiclit aus auf Seiten des Krümmungsmittelpunktes der Axe gegebenen Richtung cp Verhältniss des Krümmungsmoments zum Trägheitsmoment cpm Werth des Winkels cp bei x — m — lj2 (für Hoffnungen mit 3 Gelenken unmittelbar vor dem Scheitelgelenk)

cpy- cpn Werthe des Winkels cp unmittelbar vor und nach einem Zwischengelenk

cp₀, cpj Werthe des Winkels cp für x

cp Winkel der resultirenden Schnittkraft Rx (eventuell aucli von einer Einzellast P lierrülirend, S. 9) im Querschnitt x mit der positiven Richtung der æ-Axe

0 und /

176

79. 212

(i

33. 34

14

158. 222

25

207

ic r

3 -e

0’

0 und l

ck Werthe von 4 für x

A cpv Sprungwerth der Winkeländerung beim Zwischengelenk

A 7n

in Oeffnungen mit drei Gelenken

Wortverzeichniss.

(Die Seitenzahlen beziehen sieli im Allgemeinen auf das erste Auftreten der Bezeichnungen. A, 1! in Klammern sind Abkürzungen fär Paragraph, Aufgabe, Beispiel, IV mit einem Buchstaben entspricht dem betreffenden Theile des IV. Abschnitts).

Seite

Seite

Aeussere Kräfte Aktivkräfte Auflager (§ 13, IV L)

Ausweichen der Widerlager s. Stützenbewegungen

Axialkraft (bezüglich der Vernachlässigung ihres Einflusses s. über die Vernachlässigung von s, ß, Ç und X₂, Y₂, Z, in §§ 28, 36 und IV A, M) vergl. Normalkraft Axlänge s. auch Bogenlänge Axschicht

Balken, Baikenträger Balken, einfache Balken, gewalzte Balken, kontinuirliche Beanspruchung, zulässige

Belastung s. gleichmässig vertheilte Last, koncentrirte Lasten, Eigengewicht, Verkehrslast Belastung kritische Belastungsarten Biegungsarheit Biegungsarbeit, virtuelle Biegungsebene

Biegungsfestigkeit (§§ 4. 5, 19) Biegungsformeln (§§ 3, 4, 6, 7, 26) Biegungsgleichung, Naviersclie Biegungsversuche (§§ 4, 5, 19) Blechbalken

1    Bogen mit drei Gelenken (§§ 15, 18

2    20, 22, 26, 30, 33, 36; A 7, 8, 16;

51 B 9, 13, 14)

Bogen mit Zugstange (§ 20, A 15)    157

6 Bogen mit zwei Gelenken (§§ 5, 12,

16, 20,    22,    23,    26,    27, 28, 3Ô, 31, 33,

36; Ä    2, 7, 9,    10,    11, 12, 13, 14. 15;

B 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12, 16, 17. 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 38, 39,

40, 41. 42; IV. Abschnitt)

Bogen mit beliebiger Axe (§§ 16, 31,

32, 33,    34,    35,    36,    auch 15, 17, 18,

19,    20,    21,    22,    23,    24, 25 und I. Ab

schnitt; All, 15, auch 12, 16 etc.;

i B 1, 23, 24. 25, 26, 33, 34, 35, 36,

37, 39, 40, 41, 42, 43, 44, auch B 13, 15, 17, 18 u. s. w.j

185, 263, 264, 282 Bogen ohne Gelenke §§ 17, 18, 19 ’    ’    ’    26, 29. 30, 33, 34, 35, 36; A 7, 12;

/>’ 1, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,

35, 36, 37, 43, 44)

131 i Bogen, parabolische (§§ 5, 15, 16, 17,

20,    21, 25, 27, 28. 29, 30, 36; A 7,

2i 9. 10; B 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

90    21, 22, 27, 28, 29. 30, 31, 32, 40, 42.

auch 5, 6, 7, 8, 10, 11. 12: IV. Abschnitt; vergl. S. 96, 120, 142)

13 Bogenarten 25 Bogenaxo 16 Bogenebene

57 I Bogenfachwerke (§§ 22, 23, 24)    57. 167

j Bogenformen    57, 59, 256

184 Bogenlänge (B 15, auch S. 95, 135,

254)

Bogensysteme 59 Bogenträger, elastische 2 Bruchversuche (§§ 4, 5, 19), s. auch Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe

Bruchsteingewölbe (§ 19) s. Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe

17.

Blechbogen Brücke Bogen, Bogenträger Bogen, einfache Bogen, geradlinige Bogen, kontinuirliche (§8 21,22, 23) Bogen, kreisförmige (A 2, 13, 14. 15; B 13, 15, 38; s. auch Bogen mit beliebiger Axe, vergl. Bemerk S. 120. 140, 200, 255)

s. auch Cannstatter

IO -I LO IO J- O* ~

59

53 i

17

59

57

4, 59

VI -VI

57

17

59 !

130

Seite

Seite

Cannstatter Neckarbrücke (B 5, 6,

7, 8,10, 11, 12; IV. Abschnitt; auch S. 41, 111, 198, 199. 200, 255) Centrifugenmoment (IV O, P)

Coblenzer Rheinbrücke (B 15, 16, 17,

18, 19, 20, 21, 22. 31, 32, 38; auch S. 111. 198, 200)

Diagonalen (§§ 22, 23, 24)

Dourobrücke in Portugal (7? 23, 24,

25, 26, 40, 41, 42; auch S. 79, 111,

181, 187, 199, 200. 216; Fig. 75) Drahtseile

Dreigelenkbogen, s. Bogen mit drei Gelenken

Druck, excentrischer (IV P)

Druckkräfte, s. auch Knickfestigkeit, Gurtungsbeanspruchungen Druckspannungen, s. auch Normalspannungen

Durchbiegung s. Einsenkung Ebene Träger

Eigengewicht, feste Last (§§ 10, 11,

12 etc.: B 9, 12, 13, 20. 23, 25, 27^

29,    30, 32, 33, 34, 35, 36, 39. 40, 41,

42, 43. 44; IV A. C, D, .7, L, AI,

O, P, Q; vergl. S. 54, 129, 130) s. auch gleiclunässig vertheilte Last, koncentrierte Lasten

Einfache Träger, einfache Bogen und Balken

Einflussfläehe, Einflusslinie, Einflusspunkt s. Influenzfläche, Influenzlinie. Influenzpunkt Einsenkungen (§§ 15, 16, 17, 20, 21.

23, 26. 30. 33, 36; A 7. 16: B 14 20. 25; 29, 32. 41, 42, 44; IV M. N) Elasticitätsmodul (§§ 4. 5. 19: vergl.

S. 128, 253, 280) ' '

Elastische Bogenträger Elipsenbogen

Endmomente (§§ 17, 26, 29. 34. 35 36 etc.; B 27, 30, 31, 33, 43. auch 1. 34 und IV Q\ vergl. S. 126, 199) Endvertikalen iS. 171, 174, 177. 179,

180, 293, 287, 299)

Fachwerkbogen s. Bogenfachwerke Feste Last s. Eigengewicht F estigkeitsbedingung Formänderungen (§§ 3, 4, 5.    25

30,    33, sowie A 10, 11 mit 2 26; IV 7)7, AT; vergl. 8. 19, V ). auch Einsenkungen

Frankfurter Neue-Mainzerstrasse-Brücke

Gelenke (§§ 13, 15, 16, 18.20,21. 22.

23, 25, 26, 27, 30, 31. 32; IV L) 3 Gewölbe §§18, 19, 36; 77 1. 13, 14, 27,

28. 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 43, 44), s. aueb Bogen mit drei Gelenken und ohne Gelenk    124

X JO c

Gitterbogen (§§8, 24), s. auch Bogenfachwerke

Gleichmässig vertheilte Last (§§ 12.

14, auch §§ 15, Iß, 17, 20, 2Ï, 22,

25, 31, 32, 33, 34, 35; A 7, 8, 9, 14;

B 6, 8, 12, 14, 19, 20, 32, auch 16,

86 ;    21, 23, 25, 39, 40. 41, 42: IV A, C,

168'    7), M, P, Q; vergl. S. 255, 258)

Grenzpunkte der positiven und negativen Beit ragsstrecken 93 Grenzwerthe Lei veränderlicher Be-189 lastung etc. (§§ 10, 11, 12, 15, 16,

17, 22, 23; 77 9, 11,.13, 19, auch 30:

IV F,G, 77, ,/, K,L, M, O, P, Q;

185 vergl. S. 129, 159, 164, 172,181, 187.

255, 258)

2 Gurtungen

Gurtungsbeanspruchungen (§§ 8, 22,

2    23, 24; B 17, 18, 31 ; IV Q; vergl.

8. 264), s. auch Normalspannungen 29 2 Hängebogen (§§ 21, 25)

Hängebrücke, feste Hauptspannungen reduzirte Horizontale Aktivkräfte (A 1, 8; vergl. S. 127)

Horizontalkraft in einem Querschnitt x (§ 1. A 1.8), s. auch Horizontal-38 schuh

Horizontalreaktionen der Kämpfer,

2    s. auch Horizontalschub Horizontalschub (§§ 1. 2, 12, 15, 16,

17, 20, 21. 23, 25,' 26. 27, 28, 29, 31,

32, 34, 35, 36; A (i, 8, 13, 14, 15;

B 6, 9, 13, 16, 23, 27, 30, 31, 33,

37, 38, 39, 407 43; IV A. B, G. .7, L 63    717, TV; vergl. S. 126, 155, 172, 185),

s. auch Horizontalschub, künstlicher 5 14 Horizontalsehub. künstlicher (A 9, 10

3    11 ; B 21, 22, 26: IV E, .7, M. TV) 90 59 Influenzfläehe (§ 12. B 12. 19), s. auch

Influenzlinie Influenzlinie (§ 12. B 9, 10. 11, 12, 33) 42 5 Influenzpunkt, s. auch Influenzlinie 44 Innere Kräfte

169 Itterbrücke bei Eberbach Kämpfer

Kämpferdrücke, s. auch Kämpfer-255 reaktioneil

Kämpferdrueklinie, Schnittlinie der Kämpferdrücke (§§ 2. 10, 11, 15, 16,

17, 20, 21, 22, 23; A 2; 77 1. 13,

13    24, 28: IV F)

Kämpfergelonke (IV L), s. auch Ge-181 lenke

Kämpferreaktionen (§§ 1, 2, 10, 13,

22 ; A 1 : B 1 ; IV L), s. auch Horizontalsehub , Verl ikalreaktionen, Endmomente

Kämpfervertikalen s. Endvertikalen 177 Kernlinien (§§ 8, 11: IV 7; vergl.

S. 61, 82, 1()4, 125, 159, 164)

258

295

29

53

44

37

29, 168, 301

162, 172 184, 255

44

181, 183

2, 4

Kernpunkte (§§ 8, 11; IV F)

Ketten (§ 25)

Ketten aus Stäben (Stabketten) Ketten, vollkommene Kettenbrückenlinie, Naviersehe Kettenlinie, gemeine Kettenlinie, parabolische Knickfestigkeit, Knickwirkung (IV K, O, P)

IS!)

57

131

20

261

169

26

189

124

37)

. S. 64,

70, 127. 129

185, 187

Seite

27 Nietverschwächung

Normaldruck auf ein Gelenk (§ 13,

IV L)

Normalkraft (§§ 1, 5, 8, 10, 12, 25 etc.; A 1. 12 etc.: /> 10. 13. 17. 18.

188    30, 31, 34, 35, 37; IV A. />. G. H.

188 ! vergl. S. 58, 78, l(M), 124)

Normalspanmmgen (§§ 3, 4, 8,11 etc. :

A 0, 0; B 5, 0, 1(5,' 11, 12, 13, 30.

34, 37; IV A, 1), G, H, B, K, L,

Q\ vergl. S. 21, 34, 58, 62, 78, 84,

100, 185, 254); s. auch Gurtungsbeanspruchungen, Grenzwerthe 2, 26 Normaltemperatur, s. auch Reduktion

5, 53 Oeffnungen

2 Parabelbogen (/> 15; IV A ; vergl.

S. 115), s. auch Bogen, parabolise!

2 Pfeiler

Proportionalitätsgrenze (§§ 5, 19;

35)    _    18, 1

2 Pruthbrücke bei Jaremcze, Gewöll (B 13, 30; vergl. S. 128, 129 Querkraft, Transversalkraft in einem Querschnitt x (§§ 1. 9. 10, 24, 25 etc. ; A 1; B 8, 17, 31, 34; vergl.

• S. 70, 125, 152, 187)

Querschnitt, elliptischer und kreisförmiger (A 4 mit B 3; vergl. S.

21, 22)

Querschnitt, rechteckiger und quadratischer (A 3 mit B 2; vergl. 8.

21, 22, 35, 64, 125, 129. 299 u. s. w.)

124 ; Querschnitt, I-förmige etc. (A 5 mit

B 4; IV O, P. Q; vergl. S. 21. 22)    21

Querschnitt x

33 Querschnitt von Blechträgern (§ 24:

IV A, B, Q; vergl. S. 19, 22) (Querschnitte, s. auch die vorhergehenden Stichworte

9 Querschnitte,Bedingungfiirdieselhen 17 Querschubspannungen (§§ 9, 11; B 8, 34, 35; vergl.S. 70, 125, 184. 254)    34

Querträger (IV Q)    184

17, 184

42

3, 188 3, 187

189

20, 184, 185 Koncentrirte Lasten (§§ l, 2, 10, 12,

15, 16, 17, 20. 21, 22,23,25,20,27,

29, 30, 31, 32, 34, 35 ; A 1, 2, 7, 8.

14, 15; B 1, 9, jO, II, 12, 13, 16,

23. 25, 27 . 29, 30, 33, 34. 35, 36, 39,

40, 41. 42, 43, 44 : IV C, J), G. K. 1/,

O, P, Q. vergl. S. 255)

Kontinuirliehe Balken

Kontinuirliehe Bogen (§21. auch S. ^ 172, 175, 183)

Kontinuirliehe Bogenfach werke (162, 172, 175, 183)

Kontinuirliehe Träger Kräfte, äussere Kräfte, innere

Kreisbogen (B 5. vergl. S. 65, 140) s. auch Bogen, kreisförmige Kritische Belastung (§ 19. B 35, 36,

Krümmungsmoment (§§ 3, 6; A 3, 4, 5: ß 2, 3, 4: vergl'. S. 254) Künstlicher Horizontalschub s. Hori-

zon falsch ob, k ünstlicher Lagerfugen (§§ 18, 19: vergl 114,133)

Längsschubspannungen (§§ 9, 11 ; B 8, 34. 35; vergl. S. 70, 125. 184, 254)

Lasten s. koncentrirte Lasten, gleich-massig vertheilte Last, stetig vertheilte Last, Radlastzüge Linie 8 s. Kämpferdrucklinie Linien U, Ir< s. Umhüllungslinien der Kämpferdrücke /(, IL Materielles System Menschengedränge (B 11 ; IV 4, G, K etc.), s. auch gleich massig vertheilte Last

Mittelvertikalen (S. 171. 174. 177, 178, 179)

Moment in einem Querschnitt x (§§ 1, 3, 8, 10,12, 15, 16, 17, 21, 25 etc.': A 1, 9, 12 etc.; B 10, 13, 17, 18. 25, 30, 31, 34, 36 u. s. w.; IVA. D, E, G, Q; vergl. S. 26, 40, 124. 187), s. auch Endmomente Moniergewölbe (§ 19)

Munderkinger Donaubrücke (B 14)

Na v i er sch e Bi egungsglei oh ung Naviersehe Kettenbrückenlinie Naviersches Vertheilungsgesetz Niettheilung

¹

758 kg,

während nach dem Bauprogramm zugelassen waren (S. 282):

²

Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuirliehen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 40.

³

Siehe die Formeln für M, : Luegers Lexikon der gesammten Technik, 1. Stuttgart 1895. Art. Balken, kontinuirliche, Gleichungen 29, 33.

17, 264, 301 51

2, 5

4. 14. 255. 290

59

131 64

23

184

Querversteifungen

Radlastzüge (§ 12; B 9, 11; IV K) s. auch koncentrirte Lasten Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur (A 10, 11 mit LI 22, 26; IV N\ vergl

S. 255

Resultirende Schnittkraft (§§ 1, 2,

22; A 1, 9; IV L; vergl. S. 37, 70 123, 124, 152, 172, 187)

Scheitelgelenk s. Zwischengelenke Scheitelvertikalen s. Mittelvertikalen 177 Schnittkräfte (§§ 1, 3, 8, 9, 24 etc.;

A 1, 6 etc.) s. auch Normalkraft, (Querkraft, Moment, resultirende Schnittkraft

Schnittlinie der Kämpferdrücke s. Kam pferdr uc kl ini e

Seite

Seite

Schnittmomente, s. auch Moment in einem Querschnitt x, Endmomente

Trägerlänge, s. auch Bogenlänge Trägheitsmoment (§8 6, 8; A 3, 4,

5 mit B 2, 3, 4; IV B, ./, O, P, Q vergl. S. 35, 65, 254 u. s. w.)    20

Transversalkraft s. Querkraft Transversalspannungen s. Querschubspannungen

Ueberhöhung cler Bogen (IV E, V), s. auch Horizontalsehub, künstlicher, Reduktion

Umhüllungslinien der Kämpferdrücke (§§ 2, 10, 11; B 1, 28; vergl. S.

175)

Ungünstigste Belastungen s. Grenzwerth e

Verkehrslast (§§ 10, 11, 12 etc.; B 8,

9, 11, 13, 19. 20, 23, 25, 27, 29, 30,

32. 33, 34. 39, 40, 41, 42, 43, 44;

IV A. C, G, H. O, P. Q; vergl. S.

53, 129, 255), s. auch gleichmässig vertheilte Last, koncentrirte Lasten 37 5, 53 Versuche (§§ 4,5, 19; B 35, 36, 37;

IV O. P; vergl. 8. 71, 185, 253)

283 Vertikalen (§§ 22, 23, 24; IV O, P) 168 Vertikalkraft (§§ 1, 15, 16, 17, 35 etc.

A 1 ; B 13, 30, 34, 4L 43; IV G. K), s. auch Vertikalreaktionen Vertikalreaktionen (§§ 1, 12, 15, 16,

17, 34, 35 etc.; A 1} 8: B 9, 13, 19,

25. 27, 30, 33, 34, 41, 43; IV A G, L, N)

5 Vertikalplatte bei Blechbpgpn (IV Ä) 184 Vorläufige Berechnungen (IV A;

vergl. S. 180, auch 159, 183) j Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe 2    (§ 19; B 33, 34, 35, 36, 37, 43, 44,

auch 1, 27. 28, 29)

Wiener Versuchsgewölbe (§ 19)

27 Wiener Versuchs-Eisenbogen (§ 5)    18

1    Widerlager

2    Widerlager, Ausweichen derselben, s. Stützenbewegungen

Widerstandsmoment (§ 8; IV B. U,

Q ; vergl. S. 125) s. auch Trägheits-2 moment

5, 168 2, 17

Schubkräfte, s. auch Querkraft Schubspannungen (§§ 9, 11) s. auch Querschubspannungen, Längsschubspannungen

Schwanken, (Gefühl des Schwankens) 288 Spannungen, s. auch Normalspannungen, Schubspannungen    2

Spannungen, schiefe, s. auch Hauptspannungen reducirte Spannweite Sprengbogen Stabaxe

Stabkräfte (§§ 22, 23, 24: IV O, P) 168 Stampfbetongewölbe (§ 19)

Statisch unbestimmte Grössen (III. Abschnitt, s. auch Horizontalschub, Endmomente

Stetisch vertheilte Lasten, s. auch gleichmässig vertheilte Last Strassenwalze (ß 11; IV K, O, P, Q), s. auch koncentrirte Lasten Stützenbewegungen (§§ 16, 17, 20,21,

26, 27, 29, 30, 31, 33, 34. 35; A 6,

7, 13, 14,' 15, 16 : B 7, 14, 16. 18,

19, 20. 23, 25, 27. 29, 32, 33, 37, 38,

39, 40, 41, 42, 43, 44; IV M, vergl. S. 64. 127, 129, 176. 216. 253,

255)

Stiit zenmomente s. Endmomente Stützenreaktionen (§§ 1, 2, 10, 13.

21 etc.; A. 1, 8; IV L. N) s. auch Horizontalschub, Vertikalreaktionen, Endmomente Stützlinie (§§ 8, 18: A 12 ; B 36 ; vergl. S. 69 und S. 153 am Schlüsse von B 35)

System, materielles Tangentialkraft, s. auch Querkraft Tangentialspannuugen, s. auch Schubspannungen, . uersehub-spannungen Längss mhspann-

5, 34

34

272

2,

-r rc

37

130

13, 56

17

57

79

130

130

57

ungen

Temperaturänderungen (§§ 4, 16, 17,    ; Windverband (IV K)

20, 21, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 34,    A’-Gurtung bei Ständerfachwerken

35,_36 ; A 6. 7. 12, 13, 14, 15, 16; I (§§ 22, 23)

B 7, 14, 16, 17, 19, 20, 23, 25, 27,    Z-Gurtung bei Ständerfachwerken

29. 31, 32. 33, 37, 38, 39, 40, 4L 42,    ■    (§§ 22, 23)

43, 44; IV 4/, vergl. S. 64, 127,    Ziegelgewölbe (§ 19)

129, 216, 253, 255) s. auch Reduk-    Zugkräfte

tion    14, 57 Zugspannugen

Theilsystem    1    Zugstange (§ 20,    A    15)

Träger, s. auch Balken, Bogen, Kette 2    Zweigelenkbogen    s.    Bogen mit    zwei

Träger, ebener    2    Gelenken

Träger, einfacher    2    Zwischengelenke    (§§ 13,    15,    20,    21,

Träger, kontinuirlieher    2    26, 30, 33), s. auch Bogen mit drei

Trägerebene    2, 41 Gelenken

29

184

168

168

130

F ehlerverzeichniss.

s.

5. Das letzte Wort des ersten Absatzes soll ein, nicht aus heissen.

S. 69. In der letzten Zeile soll x nicht nach § 8, 1). sondern vor dem Worte F u g e stehen.

S. 73. In Formel 12) ist 128 durch 64 zu ersetzen.

S. 80. Zeile 15 von oben ist 1,04°/o für 0,44°/o zu setzen.

S. 85. Formel 52) hat vor dem ßrnch ein Minuszeichen zu erhalten.

S. 87. In Zeile 3 der Bemerkungen zu Beisp. 16 haben 1984,21 und 1685960 an Stelle von 1963,16 und 1668074 zu treten; in der nächsten Zeile ist 0,64 °/o kleiner durch 0,43 °/o grosse r zu ersetzen.

S. 111. Zeile 6 der Bemerkungen ist Beisp. 33 anstatt Beisp. 43 anzuführen.

S. 112. In der letzten Zeile ist die Klammer nach 35 zu schliessen.

S. 117. In den Ausdrücken von ao, au Zeile 23 und 24 sind die Zeichen — und -\-vor den Brüchen zu vertauschen.

S. 127. Letzte Zeile vor der Fussnote ist §$ 17, 34. 35 für §§ 18. 34, 35 zu setzen.

S. 149. Zweite Zeile von Beisp. 35 ist die Klammer v or Wiener statt nach Wiener einzufügen.

S. 151 soll die letzte Kolumne der Tabelle mit 11,879 statt mit 11,870 überschrieben sein.

S. 179. Zeile 4 von oben hat das erste K den Index o, nicht 0, zu erhalten.

S. 183. Vierte Zeile von oben, ist nebenstehende für folgende zu setzen.

S. 187. Fig 129 ist irrthümlich auf den Kopf gestellt.

<1 .1/

- anstatt mit

- beginnen.

S. 256. In Zeile 2 ist die Vergleiche für diese Vergleiche zu setzen.

S. 187. Formel 2) soll mit

W<Mf

ÇIl,4«4 6,

W9

u.

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