WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Elementare Theorie nni Berechnnn eiserner

Dach- und Brücken-Constructionen.

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Elementare

Theorie und Berechnung eiserner

Dach- and Brtckeu-Coastrnctioneii.

Von

August Ritter, Dr. phil.

Geh. Reg.-Rath und Professor an der königl. technischen Hochschule zu Aachen.

Mit 495 Holzschnitten.

Fünfte unveränderte Auflage.

P cf: ’ -tlichin Arbeittn

Leipzig, 1894.

Baumgärtners Buchhandlung.

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KRAKÓW

11-3158

Akc. Nr.

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Die Bestimmung der Spannungen, welche

in den einzelnen Construedonstlieilen der Dach- und Brücken -Constructionen durch Belastungen derselben hervorgebracht werden, ist in neuerer Zeit, seit Einführung des Schmiedeisens als Baumaterials, eine der wichtigsten Aufgaben der Ingenieur-Mechanik geworden.

Das Gesetz des Hebels — in seiner allgemeineren Form: das Gesetz der statischen Momente — lässt sich auf einfache Weise zur allgemeinen Lösung dieser Aufgabe bénutzen. Die auf dieses Gesetz sich gründende Methode der statischen Momente leistet eben so viel als irgend eine andere der bisher bekannten Methoden, übertrifft sie aber an Allgemeinheit und durch den für Prac-tiker wichtigen Vorzug: dass sie so gut wie gar keine Vorkenntnisse voraussetzt und jene Aufgabe in eine der elementarsten Aufgaben der Mechanik ■ verwandelt.

Die Besultate dieser ungeftiein fru'ohtbaren Methode sind klar und scharf wie die Resultate der Geometrie und von unmittelbarer practischer Anwendbarkeit. Es giebt kaum einen anderen Zweig der Ingenieur-Mechanik, der für die practische Verwerthung eines geringen Maasses von Kenntnissen ein so lohnendes Feld böte, und der so geeignet wäre, den Anfänger mit dieser Wissenschaft zu befreunden, wie eine auf jene Methode gegründete Theorie der Dach-und Brücken-Constructionen.

Diese Gründe veranlassten den Verfasser, die nachfolgenden — ursprünglich für eine Reihe von Zeitschrift-Artikeln bestimmten — Anwendungen jener Methode in einem besonderen Werke zu veröffentlichen und damit einem grösseren Leserkreise zur Benutzung zu überweisen. .

Die beiden ersten Abschnitte, welche die Grundzüge jener Methode erklären, sind ihrem wesentlichen Inhalte nach schon früher veröffentlicht. ¹) Die Methode selbst ist so einfach, dass es für den

Kundigen nur eines Blicks auf Seite 5 bedarf, um den Geist derselben zu erfassen; es liegt daher in der Natur der Sache, dass Aufgaben-Berechnungen und Anwendungen auf ausgeführte Constructional den bei weitem grösseren Theil des Inhalts bilden.

Die in den Rechnungen vorkommenden Gleichungen sind fast ausschliesslich numerische Gleichungen vom ersten Grade, bei denen von Schwierigkeiten keine Rede sein kann; überhaupt beschränken sich die zum Verständniss dieses Werks erforderlichen Vorkenntnisse etwa auf dasjenige Maass, welches der Bauhandwerker von einer guten Baugewerkschule mitbringt.

Wenn die Rechnungen beim ersten Anblick weitläufig erscheinen, so erklärt sich das aus der grossen Ausführlichkeit und Vollständigkeit, mit welcher der Verfasser die Berechnung jedes einzelnen Constructionstheils mittheilen zu müssen glaubte, um auch ungeübte Rechner, namentlich Practiker, in den Stand zu setzen, die Aufgaben vollständig nachzurechnen. Wo gleichartige Rechnungs-Operationen mehrfach wiederkehren, sind dieselben mit kleiner Schrift gedruckt, um dem Geübteren das Ueberschlagen des für ihn Ueberflüssigen zu erleichtern.

Der Verfasser glaubt, dass in dieser Form das vorliegende Werk von dem ausführenden Ingenieur wie auch beim Unterrichte auf höheren und niederen technischen Lehranstalten als Hülfsbuch mit Nutzen wird gebraucht werden können, und darf sich dabei sowohl auf seine eigenen Erfahrungen, als auch auf diejenigen seines Collegen v. Kaven berufen; der in seinen Vorträgen über Eisenbahnbau die hier entwickelten Principien bereits anzuwenden Gelegenheit hatte, und dem der Verfasser für vielfache anregende Mittheilungen und nützliche Rathschläge zu grossem Danke verpflichtet ist.

Hannover, den 6. October 1862.

August Ritter.

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Bei der Bearbeitung dieser neuen Auflage hat der Verfasser durch Hinzufügung neuer Zahlenbeispiele die Brauchbarkeit des Buches zu erhöhen gesucht; daneben auch die Gelegenheit nicht unbenutzt gelassen, einzelne Lücken auszufüllen und Mängel, die sich inzwischen beim Gebrauche des Buches herausgestellt hatten, zu beseitigen.

Die Art und Weise, in welcher die Methode der statischen Momente in der ersten Auflage zur Berechnung von Dach- und Briicken-Constructionen benutzt wurde, konnte zu Zweifeln hinsichtlich der allgemeinen Anwendbarkeit dieser Methode Veranlassung geben. Es konnte der Einwand erhoben werden: dass die Anwendung derselben als eine aus „Construction“ und „Rechnung“ gemischte Operation sich darstellte, insofern bei der Berechnung der Spannungszahlen stets das Vorhandensein einer in grossem Maassstabe ausgeführten Zeichnung vorausgesetzt wurde, auf welcher die Lage der Drehpunkte und die Längen der Hebelarme hinlänglich genau abgemessen werden konnten. Als ein fernerer Mangel konnte der Umstand erscheinen: dass bei allen in der ersten Auflage gegebenen Anwendungen stets nur gezeigt wurde, wie man bei einem der Form nach bereits fertig gegebenen Träger die Spannungszahlen berechnet — nicht aber, wie man zum Auffinden jener Form selbst gelangt.

Diesen beiden Einwänden zu begegnen ist der Zweck des XI. Abschnitts in der neuen Auflage. Der erste Paragraph dieses Abschnitts zeigt, wie man in solchen Fällen, wo auf die Hülfe der Construction verzichtet werden muss, die Bestimmung der Spannungszahlen ausschliesslich auf dem Wege der Rechnung zu Ende führen kann, insofern die Drehpunkte und Hebelarme ebenfalls in sehr einfacher Weise auf dem Wege der Rechnung gefunden werden können. In den hierauf folgenden Paragraphen dieses Abschnitts ist alsdann gezeigt, wie man die Methode der statischen Momente auch zum Auffinden rationeller Constructionsformen be-

nutzen kann — solcher Formen nämlich, welche die Träger haben müssen, um gewissen vorgeschriebenen Bedingungen Genüge zu leisten.

Es sind ausserdem einige in der ersten Auflage etwas dürftig ausgestattete Abschnitte bei der neuen Bearbeitung in grösserer Ausführlichkeit behandelt worden, wie z. B. in der ersten Abtheilung die Berechnung der „Gitterbrücken“, und in der zweiten Abtheilung die Theorie der „combinirten Systeme“. Die letztere ist durch Berücksichtigung des Einflusses der Temperatur-Aenderungen vervollständigt, und überdies gieht der XYI. Abschnitt in der Berechnung einer „combinirten Gitter- und Hänge-Brücke“ eine Anwendung jener Theorie in grösserem Maassstabe.

Da in diesem letzten Abschnitte einige Sätze aus der „Biegungstheorie“ und der Theorie der „elastischen Linie“ zur Anwendung kommen, so erschien es zweckmässig, im XY. Abschnitte die betreffenden Hülfssätze einzuschalten, welche zum Theil des Verfassers „Lehrbuche der Mechanik“ entlehnt wurden.

Wenn in den letzteren beiden Abschnitten hier und da Anwendungen der Differenzial- und Integral-Rechnung Vorkommen, obwohl der Titel des Buches eine „elementare Theorie“ ankündigt, so glaubt der Verfasser sich mit der Voraussetzung entschuldigen zu dürfen: dass trotz jener kleinen Ungehörigkeit die Hinzufügung des im letzten Abschnitte berechneten umfangreichen Zahlenbeispiels dem grösseren Theile der Leser nicht unwillkommen sein würde, und hofft derselbe, dass das in seinen übrigen Theilen wiederum • ganz elementar gehaltene Buch auch in dieser neuen mannigfach veränderten Gestalt als nützlich sich erweisen wird.

Hannover, den 1. November 1869.

August Ritter.

—~*t——

Die vorliegende dritte Auflage ist — abgesehen von einigen unwesentlichen Verbesserungen und Berichtigungen — ein unveränderter Abdruck der zweiten Auflage und bedarf daher keiner weiteren Vorrede. Der Verfasser glaubt jedoch die ihm hier gebotene Gelegenheit benutzen zu müssen, um den Untersuchungen des sechzehnten Abschnitts an dieser Stelle einige erläuternde Bemerkungen beizufügen, zu welchen ihm eine inzwischen unter dem Titel; „Beiträge zur Theorie der combinirten Gitter- und Hänge-Brücken von Hugo B. Buschmann“ erschienene Broschüre Veranlassung giebt.

In der genannten Abhandlung wird die Zulässigkeit der Beweisführung angefochten, mittelst welcher in den Paragraphen 56 ... 61 die Gleichungen abgeleitet werden für die von der mobilen Last hervorgebrachten Spannungen des Gitterbalkens. Herr B. behauptet: dieselbe beruhe auf ganz willkürlichen Voraussetzungen, und glaubt die Unzulässigkeit derselben nachzuweisen, indem er hinzufügt: es würde aus jener Beweisführung folgen, dass bei gewissen Belastungszuständen — nämlich bei Belastung der beiden Endstrecken der Brückenbahn — in der Mitte des Gitterbalkens ein negatives Biegungsmoment hervorgebracht werde, d. h. eine solche Biegung, bei welcher die Convexität der Biegungscurve nach oben gerichtet ist; hierdurch werde aber für den mittleren Tlieil der hängenden Kette eine Vergrösserung des Krümmungshalbmessers, und damit zugleich eine Verkürzung des Kettentheiles selbst bedingt, von welcher letzteren doch vernünftiger Weise nicht die Rede sein könne.

Diese Schlussfolgerung beruht jedoch in ihrem letzteren Theile auf einem Irrthum. Herr B. übersieht, dass bei den unendlich kleinen Formänderungen der Kettenlinie — und von unendlich kleinen Formänderungen kann überhaupt nur die Rede sein — die Annahme von horizontalen Verschiebungen der Kettenpunkte durchaus nicht ausgeschlossen ist. Wenn die Krümmungshalbmesser

des mittleren Kettentheiles sämmtlich sich vergrösserten, und zugleich der Abstand zwischen den beiden Endpunkten dieses Bogenstückes dabei unverändert bliebe, dann würde allerdings ein solches Flacherwerden des zu jener unveränderlichen Sehne gehörigen Bogens zugleich eine Verringerung seiner Länge bedingen. Wenn jedoch die Endpunkte dieses Kettentheiles zugleich in horizontaler Richtung nach aussen hin ausweichen, so ist es sehr wohl möglich, dass mit jener Vergrösserung der Krümmungshalbmesser nicht nur keine Verkürzung, sondern sogar eine Verlängerung des Kettentheiles verbunden ist. Letztere findet in der That statt, nicht nur bei dem oben erwähnten, sondern überhaupt bei jedem Belastungszustande.

Aachen, den 1. November 1872.

August Ritter.

Inhalt.

Erste Abtheilung. Berechnung der Spannungszahlen.

Seite

Erster Abschnitt.

§ 1. Vorbemerkungen..................

§ 2. Methode der statischen Momente............

§ 3. Dach von hundert Fuss Spannweite. (Exercierhaus der Kaserne am

Weifenplatze in Hannover)..............

12

§ 4. Dach von 32m Spannweite..............

Zweiter Abschnitt.

§ 5. Anwendung der Methode auf die Berechnung der Brücken-Con-structionen

§ 6. Parabolischer Träger von 16m Spannweite mit einfachem Diago-

nalen-System...................

§ 7. Abgeleitete Formen.................

§ 8. Theorie der parabolischen Träger............

. 14

17

23

28

Dritter Abschnitt.

§ 9. Anwendung der Methode auf die Berechnung von Fachwerkbrücken

mit parallelen Gurtungen..............

§ 10. Fachwerkbrücke von 16m Spannweite mit einfachem Diagonalen-

System.....................

§ 11. Abgeleitete Formen.................

§ 12. Bemerkungen über die Zulässigkeit der in Bezug auf die Belastungsweise gemachten Voraussetzungen............

§13. Fachwerkträger mit gleichseitigen Dreiecken. {Trent-Brücke bei

Newark).....................

§14. Zusammengesetzte Fachwerkträger und Gitterbrücken.....58

33

38

41

47

50

Vierter Abschnitt.

§ 15. Sichelförmiger Träger von 208 Fuss Spannweite mit einfachem Diagonalen-System. (Dach-Construction der Centralbahnhofshalle in Birmingham)..................

Siebenter Abschnitt.

§ 25. Transformation der Spannungszahlen für veränderte Spannweiten

a.    Parabolische Träger..............

b.    Fachwerkbrücken mit parallelen Gurtungen.....

c.    Bogen- und Hänge-Brücken...........

Achter Abschnitt.

§ 26. Hängebrücke von 120m Spannweite der Haupt-Oeffnung und je

60m Spannweite der Neben-Oeffnungen.........

§ 27. Stabilität der Mittelpfeiler........'.....

i 28. Stabilität der Landpfeiler..............

Neunter Abschnitt.

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‘ O tH co

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V—I T—1 T—i

CO N OO

vH vH vH

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Abgeleitete Formen.....

Scheinbare Mängel der Methode . Theorie der sichelförmigen Träger

Seite

85

92

94

o

TH cm

ocr. zqo

Fünfter Abschnitt.

Hängendes Perron-Dach von 6m Vorsprungsweite Perron-Dach ohne Hängestange......

106

112

ZjOO GÖO GÖO GÔO

to to to to

►Ê*. CO to h-*-

Sechster Abschnitt.

Sprengwerkbrücke von 24m Spannweite Bogenbrücke von 40m Spannweite. (Theissbrücke bei Szegedin.) 126 Stabilität der Pfeiler ....

Theorie der Scharnier-Brücken

114

149

153

co> O cvi w co co co

OTj COO CQO jCTi

Kuppelförmige Dach-Constructionen .    .    .    .

Kuppel von 100m Spannweite.......

Yortheilhaftestes Krümmungsprofil der Kuppeln Kuppel mit gegliederten Kippen und Ringen .

189

190

203

205

Zehnter Abschnitt.

§ 33. Balken-Brücken mit mehreren Oeffnungen........

§ 34. Balken-Brücke von 160m Spannweite der Mittel-Oeffnung und je

130m Spannweite der Seiten-Oeffnungen.........

§ 35. Vortheilhafteste Eintheilung der Spannweite.......

214

219

230

Elfter Abschnitt.

§ 36. Bestimmung der Drehpunkte und Hebelarme auf dem Wege der

236

Rechnung ....................

§ 37. Anwendung der Methode der statischen Momente zur Ermittelung einer gewisse vorgeschriebene Bedingungen erfüllenden Form des Trägers ....................

Seite

245

§ 38. Schwedler’scher Träger § 39. Träger mit gleichen Maximalspannungen der Diagonalen . . . 251 § 40. Träger mit gleichen Spannungen im Bogen. (Pauli’scher Träger.) 257

Zweite Abtheilung.

Bestimmung der erforderlichen Qu er selmitts dimension en nehst Untersuchungen über die Elasticitätswiderstände belasteter Träger.

Zwölfter Abschnitt.

. 269

§ 41. Bestimmung der Querschnitte für die Theile der Haupt-Con-struction

GOO GOO

42.    Absteifung gegen Seitendruck des Windes und horizontale Stösse 271

275

43.    Berechnung der Zwischenträger

GOO GOO COO

Dreizehnter Abschnitt.

44.    Durchbiegung belasteter Träger.........

45.    Senkung des Scheitels bei parabolischen Trägern    . .

46.    Durchbiegung der Fachwerk- und Gitter-Brücken    . .

288

.    .    292

295

Goo Gno Goo

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CO 00

Vierzehnter Abschnitt.

. Theorie der zusammengesetzten Systeme . Fachwerk-Träger ohne Diagonalen . .

. Einfluss der Temperatur-Aenderungen .

05 O H

(M CO CO

O 05 OO

Fünfzehnter Abschnitt.

§    . Widerstand des prismatischen Balkens gegen Biegung .... 314

§    . Elastische Linie ....

. Widerstand gegen Zerknicken

324

338

Sechzehnter Abschnitt.

Berechnung einer combinirten Gitter- und Hänge-Brücke von 60m Spannweite.

§ 53. Voruntersuchung zur Ermittelung des vortheilhaftesten Höhenverhältnisses ..................

§ 54. Berechnung der durch Temperatur-Aenderungen hervorgebrachten

Spannungen .    .    .................

§ 55. Berechnung der von der permanenten Belastung hervorgebrachten

Spannungen ....................

§ 56. Berechnung der von einer ungleichförmig über die Brückenlänge

vertheilten Belastung hervorgebrachten Spannungen .... 353 § 57. Ermittelung der ungünstigsten Belastungszustände für den Gitterbalken .....................

§ 58. Berechnung der von der mobilen Last in den Gurtungen des Gitterbalkens hervorgebrachten Spannungen..........

343

349

352

358

XIY

Inhalt.

Seite

ttn> OOO C/7D CjOO ZGT* COO    Ooo    göo

59.    Berechnung der Maximalspannungen in den Gurtungen des Gitterbalkens ....................

60.    Berechnung der von der mobilen Last hervorgebrachten Abscheerungskraft .................

61.    Berechnung der Maximalspannungen in den Gitterstäben . . . 366

62.    Berechnung der Spannungen in den Windketten und Windstreben 367

63.    Einfluss der Dehnung der Spannketten

64.    Recapitulation der Rechnungs-Resultate

65.    Vortheilhafteste Aufhängungsweise für den Gitterbalken . . . 377

66.    Rechtfertigung der angewendeten Methode

364

365

371

374

Erste Abtheilung.

Berechnung der Spannungszahlen.

ERSTER ABSCHNITT.

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Vorbemerkungen.

Bei grösseren Dach- und Brücken - Constructionen ist richtige und möglich sparsamste Yertheilung des Materials Haupterforder-niss, nicht allein, weil die Kosten des Materials vergleichsweise gross sind gegen die Arbeitskosten bei solchen Bauwerken, vielmehr besonders deshalb: weil das verwendete Material eine todte Last bildet, von deren Kleinheit oft die Möglichkeit des ganzen Unternehmens abhängt. Eine gute Construction soll der Forderung genügen: dass überall die Widerstandsfähigkeit des Materials vollkommen ausgenutzt, und nirgends überflüssiges Material verwendet sei. Diese Bedingung lässt sich auch so formuliren: alle Theile der Construction sollen — ein jeder bei dem für ihn ungünstigsten Belastungszustande — das Maximum der für zulässig erachteten Spannung erreichen.

Bei Stäben, welche der Länge nach gezogen oder gedrückt werden, ist diese Bedingung erfüllbar, weil in allen Punkten der Querschnittsfläche eines solchen Stabes stets gleiche Spannung stattfindet. Bei Stäben, deren Biegungswiderstand in Anspruch genommen wird, hingegen nie, da die von der Biegung herrührenden Spannungen immer ungleichmässig im Innern des Stabes sich vertheilen. Eine gute Construction soll daher wo möglich aus Theilen zusammengesetzt sein, in denen nur Längsspannungen — keine Biegungsspannungen — Vorkommen, also aus gezogenen und gedrückten Stangen.

In der Praxis hat sich das Streben nach diesem Ziele bereits bemerkbar gemacht; in dem Maasse wie man zu immer grösseren

Bitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Unternehmungen vorschritt, hat man derartigen Construction en mehr und mehr sich angenähert. Das Streben, Material zu sparen, führte vom massiven rechteckigen Balken zum J- und JJ-förmigen Querschnitt, und indem man ferner die massive Blechwand durch einzelne Stangen ersetzen lernte, gelangte man schliesslich zu jenen Stangenverbindungen, in denen nur Längsspannungen Vorkommen. Die eisernen Dächer so wie die Gitter- und Fachwerk-Brücken der neueren Zeit sind Beispiele derartiger Constructionen.

Die oben genannte Bedingung erfordert: dass die Stangen in den Verbindungspunkten durch einfache Gelenkbolzen (Scharniere) verbunden werden. Wenn statt des einfachen Gelenkbolzens, welcher die Drehung der Stange um ihren Endpunkt nicht hindert, mehrfache Vernietung augewendet wird, wie man das noch gegenwärtig bei vielen Gitter- und Fachwerk-Brücken sieht, so wird der Zweck theilweise verfehlt, da in diesem Falle Biegungsspannungen unvermeidlich den Längsspannungen sich zugesellen. Abgesehen von der unvortheilhafteren Materialverwendung tritt dann noch der bei gröfseren, wichtigen Bauten nicht unerhebliche Uebelstand ein, dass die wirklichen Maximalspannungen der Contrôle mehr oder weniger sich entziehen, während bei theoretisch richtigen Constructionen die Spannung in jedem Th eile auf das Genaueste ermittelt werden kann. Es ist bemerkenswerth, dass gerade die den Anforderungen der Theorie entsprechenden Constructionen auch zugleich auf die einfachste Weise sich berechnen lassen.

Bei allen nachfolgend gewählten Beispielen wird durchweg vorausgesetzt, dass je zwei Stangen da, wo sie Zusammentreffen, durch einen Gelenkbolzen verbunden sind. Zugleich wird angenommen, dass diese Gelenkpunkte ausschliesslich die Belastungspunkte bilden. Eine solche Lastvertheilung kann immer verwirklicht werden durch Einschaltung besonderer Zwischenträger, welche gleichsam als kleinere Brücken die Abtheilungen zwischen den einzelnen Gelenkpunkten überbrücken. Wie weit es zweckmässig ist, diese Zwischenträger als gesonderte Teile zu construiren, oder vielmehr sie mit der Hauptconstruction nachher zu verschmelzen: diese Frage wird in einem späteren Abschnitt erörtert werden.

Was das Eigengewicht der Construction betrifft, so soll dasselbe wie eine gleichförmig über die ganze Spannweite ausgebreitete Belastung angesehen werden, welche ebenfalls nach dem obigen Gesetze auf die einzelnen Belastungspunkte sich vertheilt — eine Annahme, deren Zulässigkeit gleichfalls gelegentlich einer näheren Prüfung unterzogen werden soll.

§ 2.

Methode der statischen Momente.

Die Gewichte P, Q, R, S, T bilden die Totalbelastung der in Fig. 1 dargestellten Construction und sind als in den oberen Knoten-

Fig. 1.

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punkten resp. P, Cr, H, O, TJ aufgehängt zu betrachten. Diese fünf Belastungen erzeugen an den beiden Auflagerpunkten A und B die Gegendrücke D und K, welche zusammen so viel wie die ganze Belastung betragen und nach den bekannten Regeln der Statik leicht berechnet werden können. Wenn z. B. die ganze Spannweite AB durch die Verticalen der Belastungspunkte in 6 gleiche Theile zerlegt wird, so ergeben sich für diese Gegendrücke die Werthe:

+    +    + * <? + fP

K = ^ T + $-G + fP + f(? + s-P.

Trennt man durch einen Schnitt nach der Linie LL die ganze Stangenverbindung in zwei Theile, so wird jeder der beiden Theile,

Fig. 2.

in

z. B. der Theil A (Fig. 2), nur dann im Gleichgewichte bleiben, wenn bei jeder der durchschnittenen Stangen an der Schnittstelle eine Kraft hinzugefügt wird, welche die Wirkung des abgeschnittenen Theils genau ersetzt. Diese Kraft muss allemal mit der Richtung der Stange zusammenfallen, da sie sonst die Stange um ihren Endpunkt drehen würde; sie ist eben das, was man die Spannung der Stange nennt.

Die Spannungen X, F, Z der drei durchschnittenen Stangen sind also Kräfte, welche in Verbindung mit den übrigen Kräften D, P, Q den Theil A im Gleichgewicht erhalten. Die Richtungen sämmtlicher Kräfte liegen in einer und derselben verticalen Ebene, und für solche Kräfte gelten bekanntlich folgende drei Gleichgewichtsbedingungen: erstens, die Summe der vertical aufwärts wirkenden Kräfte muss gleich der Summe der vertical abwärts wirkenden Kräfte sein; zweitens: die Summe der nach rechts wirkenden Horizontalkräfte muss gleich der Summe der nach links wirkenden Horizontalkräfte sein; drittens: muss (indem das ganze Stück als ein Hebel angesehen wird, der an einer beliebigen Stelle in der Ebene seinen festen Drehpunkt hat) die Summe der statischen Momente der rechts drehenden Kräfte gleich der Summe der statischen Momente der links drehenden Kräfte sein. Diese drei Bedingungen lassen sich kürzer durch folgende drei Gleichungen ausdrücken:

2(fi)=o, 2(F)=°- 2«=°’

worin allgemein: H die horizontale Seitenkraft, V die verticale Seitenkraft, M das statische Moment einer Kraft bedeutet, und das Zeichen 2 ausdrückt: dass die Kräfte oder Momente mit Berücksichtigung ihrer Richtungen als positive und negative Grössen zu einer algebraischen Summe zusammengefasst werden sollen. Da auch jene unbekannten Spannungen zu diesen Grössen ihre Beiträge liefern, so lassen sich aus diesen drei Gleichungen die drei unbekannten Grössen X, F, Z berechnen. In gleicher Weise können durch andere Schnitte und Wiederholung desselben Verfahrens die Spannungen der übrigen Stangen bestimmt werden.

und das ist

Diese Methode führt zwar immer sicher zum Ziele, leidet aber an zwei wesentlichen Mängeln. Erstlich enthalten die Grössen H und V in jenen Gleichungen die Cosinus und Sinus der Winkel, welche die Stangen mit der Horizontalen einschliessen, und müssen diese Grössen also zuvor bestimmt werden. Zweitens der Hauptübelstand — muss man, um irgend eine der Spannungen zu bestimmen, im Allgemeinen allemal drei Gleichungen auflösen.

Es giebt eine einfache Methode von allgemeinster Anwendbarkeit, welche frei von diesen Uebelständen ist. Dieselbe besitzt ausserdem den Vorzug, dass sie nur das Gesetz des Hebels (in seiner allgemeineren Form das Gesetz der statischen Momente) als bekannt voraussetzt, somit von Jedem, der die Anfangsgründe der Mechanik kennt, mit Verständniss angewendet werden kann.

Diese Methode besteht darin, dass man von jenen drei Gleichungen ausschliesslich die dritte, nämlich die Gleichung der statischen Momente, zur Lösung der Aufgabe benutzt. Man kann nämlich die Freiheit der Wahl des Drehpunktes für die statischen Momente sich zu Nutze machen in der Weise: dass man zur Bestimmung der einen unbekannten Kraft allemal den Durchschnittspunkt der beiden anderen unbekannten Kräfte als Drehpunkt wählt. Dadurch fallen die statischen Momente der beiden anderen unbekannten Kräfte weg, weil ihre Hebelarme Null sind, und man erhält eine Gleichung, aus welcher die gesuchte Spannung als einzige unbekannte Grösse direct bestimmt werden kann.

Als Hülfsgrössen kommen in der Rechnung nur die Hebelarme der einzelnen Kräfte vor und diese brauchen nicht berechnet

zu werden, sondern lassen sich mit hinlänglicher Genauigkeit in der Zeichnung direct abmessen.

Die allgemeine Regel, welche sich hieraus ergiebt, lässt sich in folgenden Worten aussprechen:

Man denke sich die Construction in zwei Theile zerlegt durch einen Schnitt, welcher wo möglich nur drei Stangen trifft, und denke sich an den Schnittstellen die Kräfte X, X, Z angebracht, welche die Spannungen der drei durchschnittenen Stangen bilden. Man stelle für Einen jener beiden Theile die Gleichung der statischen Momente auf und wähle, wenn man X bestimmen will, den Durchschnittspunkt von Kund Z als Drehpunkt. Will man Y bestimmen, sowähle man den Durchschnittspunkt von X und Z als Drehpunkt. Will man Z bestimmen, so wähle man den Durchschnittspunkt von X und Y als Drehpunkt.

Fig. 3.

..........^ X

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Bei der oben gewählten Aufgabe würde man also z. B. zur Bestimmung der Kraft X den Durchschnittspunkt E (Fig. 3) der beiden Kräfte Y, Z als Drehpuukt wählen und erhielte dann die Gleichung:

yN

X-*-P-OF + ILiF = 0, P • CE — D • AE

oder X

Zur Bestimmung von Y wählt man den Durchschnittspunkt A der beiden Kräfte X, Z als Drehpunkt und erhält die Gleichung:

Y-y + P-AC + Q-AE= 0,

oder:

P-AC + Q-AE

//

Zur Bestimmung von Z wählt man den Durchschnittspunkt ff der beiden Kräfte X, Y als Drehpunkt und erhält die Gleichung:

— Z-z — Q • EL — P • CL -J- D • AL = 0,

oder:

Q • EL — P■ CL D ■ AL

Es ist überflüssig, nachzuweisen, dass in geicher Weise jede der übrigen Spannungen bestimmt werden kann.

Diese Methode führt direct zum Ziele bei allen solchen Stangenverbindungen, in denen jede einzelne Stange sich erreichen lässt durch einen Schnitt, welcher nicht mehr als drei Stangen trifft.

Bei complicirteren Constructionen, wie die in Fig. 4 dargesellte, kann der Fall eintreten, dass einzelne Stangen übrig

Fig. 4.

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bleiben, wie z. B. F G, DG, DE, welche nur durch Schnitte zu erreichen sind, die mehr als drei Stangen treffen. Auch in solchen Fällen kann man direct zum Ziele kommen, wenn es gelingt, den Schnitt — der nach Belieben geradlinig oder krummlinig geführt werden kann — so zu legen, das sämmtliche geschnittene Stangen bis auf die Eine, deren Spannung man bestimmen will, in einem Punkte Zusammentreffen.

So z. B. kann man die Spannung V in der Stange F G bestimmen , indem man um den Punkt ff herum den Schnitt a. ß y

führt und für das herausgeschnittene Stück (Fig. o) die Momentengleichung in Bezug auf H als Drehpunkt aufstellt:

Fig. 5.

— V-FH— R-r=0,

oder:

FH

a\ k

Fig. 6.

Ebenso die Spannung U in dem Stück D 6r, indem man den Schnitt a 5 y führt und für das herausgeschnittene Stück (Fig. 6) die Momentengleichung in Bezug auf II als Drehpunkt bildet:

U-u — R • r — 0,

oder:

Auf gleiche Weise sind KJ und LJ zu bestimmen. Die übrigen Stangen lassen sich sämmtlich erreichen entweder durch Schnitte, welche nicht mehr als drei Stangen treffen, oder durch Schnitte, welche vier Stangen treffen, darunter Eine, deren Spannung bereits vorher bestimmt

werden konnte. In beiden Fällen ist das frühere Verfahren anwendbar.

Fig. 7.

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P.

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tr

So z. B. nachdem U be-

ft

kannt ist, ergeben sich für die i    Spannungen X, F, Z der drei

, ! p? ' Stücke DF, DE, CE die Glei-

t'o T chuilgen 0- Fig- ?):

X-DË-f- Î7.© — Q-NO — P-MO+ W-AO = Q (Drehpunkt E) Y • AD -j- F • / + Ç • A X + P • M fff = 0 (Drehpunkt M)

‘W

XB

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— X- 2 • + IF. MiV— P • MN = 0 (Drehpunkt D).

Aus jeder dieser Gleichungen lässt sich die darin vorkommende Uubekannte direct bestimmen.

Die Vorzüge der angegebenen Methode machen sich somit auch bei den complicirteren Aufgaben, wie die zuletzt als Beispiel gewählte, noch geltend. Sie springen noch mehr in die Augen, wenn man erwägt, dass nur der Anfänger nöthig haben wird, für

die einzelnen Berechnungen besondere Figuren sich zu machen. Der Geübtere wird mit Leichtigkeit sämmtliche Gleichungen direct aus der Hauptfigur abschreiben lernen.

Nachdem an den obigen Beispielen die Methode in ihren allgemeinen Grundzügen erklärt worden ist, werden die Einzelheiten der Anwendung am besten an bestimmten Zahlenbeispielen zu erläutern sein. Zum Verständnis der nachfolgenden Rechnungen wird es ausreichen: wenn für einzelne Stangen, die als Repräsentanten anderer gleichliegender zu betrachten sind, die Construction und Berechnung ausführlich mitgetheilt, für die übrigen dagegen nur die allgemeine Momentengleichung aufgestellt wird.

Was die Bedeutung des Vorzeichens der Momente betrifft, so ist es zwar an sich gleichgültig, ob man den rechtsdrehenden oder den linksdrehenden Momenten das positive Vorzeichen giebt. Um Irrungen zu vermeiden, empfiehlt es sich jedoch, eine gewisse Consequenz in der Wahl des Vorzeichens zu beobachten, und sollen deshalb in den nachfolgenden Rechnungen durchweg die Momente der rechts herum drehenden Kräfte*) als positive, die der links herum drehenden Kräfte als negative Grössen aufgeführt werden.

Es sollen ferner — wie schon bei den vorigen Beispielen geschehen ist — sämmtliche Spannungen als Zug-Spannungen auf-gefasst werden. Positive Spannungen bedeuten also wirliche Zug-Spannungen. Negative Spannungen bedeuten Druck-Spannungen.

OOO

3.

Dach von hundert Fuss Spannweite.

(Exercierhaus der Kaserne am Weifenplatz in Hannover.)

Das Gewicht des ganzen Daches beträgt pro Quadratfuss der Grundrissfläche 11,3 &. Für Schnee- und Wind-Druck wurden 20 U pro Quadratfuss gerechnet. Die Totalbelastung beträgt demnach 31,3 U pro Quadratfuss.

Die Entfernung der einzelnen Binder von einander beträgt 15£ Fuss, die Spannweite 100 Fuss; auf jeden Binder kommen also: 15-J-100 Quadratfuss der Grundrissfläche,

folglich

15^ • 100 -31,3 U Druck

*) d. h. derjenigen Kräfte, welche das Stück so zu drehen streben, wie der Zeiger einer Uhr sich dreht.

oder in runder Summe 48000 U Totalbelastung. Tür jede der 8 Abtheilungen (s. Pig. 8) beträgt daher die Belastung 6000

Fig. 8.

6000

30 00

6000 6000 iß.

10'

15'

6000

c 6000

6000

o'

6000

30

00

'so' Z5 Sß

m&- 501 H

Wenn man sich — der in der Einleitung erwähnten Voraussetzung gemäss — in jeder Abtheilung diese 6000 mittelst eines besonderen Zwischenträgers zur Hälfte auf jeden der beiden angrenzenden Knotenpunkte übertragen denkt, so kommen auf jeden der 7 mittleren Knotenpunkte 6000 U Belastung, auf jeden der beiden Endpunkte 3000 ît, welche letzteren beiden Gewichte von den Auflagerpunkten direct aufgenommen werden. Jeder der beiden Auflagerpunkte trägt im Ganzen 24000??, und ist also mit Abrechnung der direct aufgenommenen 3000 U der Gegendruck derselben gegen die Stangenverbindung 21000 U.

Es wirken also überhaupt 9 äussere Kräfte auf die Stangenverbindung: 7 abwärtswirkende von je 6000 U auf die 7 mittleren Knotenpunkte, und 2 aufwärtswirkende von je 21000 U an den beiden Auflagerpunkten.

Um die Spannungen X, Y, Z im Mittelfelde (s. Fig. 9) zu bestimmen, denkt man sich durch einen Schnitt a ß den

Fig. 9.

60 00

Igo

00

60 00

60

00

6000

\ß

6000

60

00

21 000

Xi

TT

,21 000

Z E Z F ß]ZE

einen Theil (Pig. 10) von dem anderen getrennt und durch die an den Schnittstellen angebrachten Kräfte X, P, Z den Gleichgewichtszustand wieder hergestellt. Sieht man das ganze Stück

O = X-18,6 + 21000-50 — 6000-12,5 — 6000-25 — 6000-37,5, woraus sich ergiebt:

X= — 32 300 C

Um Y zu bestimmen, wählt man den Durchschnittspunkt A der beiden Kräfte X, Z als Drehpunbt und erhält die Gleichung: 0 = Y ■ 38,4 + 6000 • 12,5 + 6000 - 25 + 6000 - 37,5

r = — moo

Zur Bestimmung von Z dient die Momentengleichung in Beziehung auf den Punkt E:

0 = — Z -15 + 21000 37,5 — 6000 • 12,5 — 6000 - 25 X= + 37500 C

Um die Spannung V der angrenzenden Vertical-Stange zu ermitteln, legt man den Schnitt schräg in der Richtung y 6 (s. Fig. 11) und wählt den Durchschnittspunkt A der beiden mit durch-Fig. 11.

, 60 60l00

2lt000 i .

00

6000

21000/,

Fig. 10.

''6000

\ NS»

lö'VC²

>z

(Fig. 10) als einen Hebel an, der in D seinen festen Drehpunkt hat, so erhält man als Gleichung der statischen Momente in Beziehung auf diesen Drehpunkt²):

schnittenen Stangen als Drehpunkt. Man erhält dann die Momentengleichung :

0 = — 7-37,5 + 6000-12,5 + 6000 • 25 V = + 6000 C

Auf gleiche Weise erhält man für die gleichliegenden Stücke der übrigen Abtheilungen die Gleichungen:

0 —    . 13,-9 + 21 000 37,5 — 6000.12,5 — 6000.25 (Drehpunkt F)

Xi = — 40400 S'.

0=7.23,5 + 6000.12,5 + 6000 . 25 (Drehpunkt A)

7 = — 9570 S.

0 = — 7.10 + 21000.25 — 6000.12,5 (Drehpunkt G)

Z\ = d⁻ 4o000 S.

7.25 + 6000.12,5 (Drehpunkt A)

7 = + 3000 s'.

0 = X₂. 9,3+ 21000.25 — 6000.12,5 (Drehpunkt H)

X₂ = — 48400 S'.

O = F₂.9,3 -f- 6000.12,5 (Drehpunkt A)

Yi = — 8100 U.

0 = — Z₂.5 + 21000.12,5 (Drehpunkt J)

Z₂ — --J- 52 500 8.

Zur Bestimmung von X₃ endlich wäre der Schnitt nach der Linie X p. (s. Fig. 12) zu führen, welche ausnahmsweise nur zwei Stangen trifft. In solchen Fällen kann man einen beliebigen Punkt

Fig. 12.

21 000

in der Richtung der mitdurchschnittenen Stange als Drehpunkt wählen, z. B. hier den Punkt D; man erhält somit die Gleichung: 0 = X₃ -18,6 + 21000-50 X₃ = — 56500 8f.

Die einzige Stange, deren Spannung nicht unmittelbar nach der vorigen Methode bestimmt werden kann, ist die Yertical-Stange in der Mitte.

Um die Spanuung U zu berechnen, muss die Spannung einer der angrenzenden Stangen schon vorher bestimmt sein. Nachdem

nun X = — 32 300 8 be-

Fig. 13.

reits gefunden ist, kann man zur Bestimmung von U z. B. den Schnitt ç a (s. Fig. 13) führen und den Punkt ß als Drehpunkt wählen. Es führt dies g zu der Momenten-Gleichung:

0 = — 77- 50 — 6000 - 50 — (— 32300) • 37,2,

77= + 18000 ti.

6000

XI

50'_......

woraus sich ergiebt:

Die Resultate der obigen Rechnung sind in Fig. 14 übersichtlich zusammengestellt.

Fig. 14.

+18(00

^Uoii

+ 3000

to

+ C000

»00 0

Z.

4.

Dach von 32ra Spannweite.

Als Totalbelastung der in Fig. 15 dargestellten Dach-Construc-tion sind 32000 Kil., also für jeden Meter der Spannweite 1000 Kil.

Fig. 15.

4000

14000

4000

14000

0]4

32

angenommen. Man erhält demnach auf dieselbe Art wie an dem vorigen Beispiele gezeigt wurde, für jeden der 7 Belastungspunkte 4000 Kil. Belastung und an jedem der beiden Auflagerpunkte einen Gegendruck von 14000 Kil.

Bei der Berechnung der in Fig. 15 mit F, 77, X, Y, Z bezeichnten Spannungen würde die bei dem vorigen Zahlenbeispiele angewendete Methode nicht unmittelbar zum Ziele führen. Es ist hier daher das am Schlüsse des § 2 erklärte Verfahren anzuwenden.

Um die Spannung V zu berechnen, hat man sich den in Fig. 16 dargestellten Theil aus der ganzen Stangenverbindung herausgeschnitten zu denken und die Gleichung der statischen Momente aufzustellen in Bezug auf den Punkt C als Drehpunkt; man erhält dann die Gleichung:

0 = — V-4,308 — 4900-4,

V = — 3714 Kil.

Auf ähnliche Weise findet man

Fig. 16.

4000

4(7

Fig. 17.

4000

oder

3j2

die Spannung U, indem man für den in Fig. 17 dargestellten Theil die Gleichung der statischen Mo

mente aufstellt, nämlich aus der Gleichung:

0 = 77-3,2 — 4000 ■ 4 oder U= + 5000 K.

Nachdem die Spannung U gefunden ist, kann man nunmehr die Spannung X aus Fig. 18 bestimmen, indem man den Punkt E Fig. 18.

4000

14000

4000

\7u

= + 5000

als Drehpunkt wählt und für U den gefundenen Werth sub-stituirt, aus der Gleichung:

0 = X- 3,4465 + 14000 • 9,28 — 4000 (1,28 + 5,28)

+ 5000 • 3,2,

vr

oder:

•v

—34725 Kil.

Ebenso findet man die Spannung Y, indem man den Punkt A als Drehpunkt wählt, aus der Gleichung:

0 = — 7-6,4 + 4000 (4+ 8)+ 5000-3,2,

oder:

Y = + 10000 Kil.

Zur Bestimmung der in Fig. 15 mit Z bezeichneten Spannung würde man den Schnitt in schräger Richtung links an dem Punkte E vorbeizuführen haben und in Bezug auf den Punkt A als Drehpunkt die Gleichung erhalten:

0 = Z- 8,616 + 4000 (4 + 8) + 5000 - 3,2,

oder:

Z = — 7428 Kil.

Fig. 19.

Von den übrigen neun Stangen (der linken Hälfte) kann eine jede erreicht werden durch einen Schnitt, welcher nicht mehr als drei Stangen trifft. Die Spannungen derselben können daher ohne Weiteres mittelst des bei dem vorigen Zahlenbeispiele angewendeten Verfahrens berechnet werden. Die Resultate dieser Berechnung sind in Fig. 19 zusammengestellt. Da negative Spannungszahlen Druckspannungen bedeuten, so sind in der Figur diejenigen Stangen, deren Spannungszahlen negativ sind, durch Doppellinien als gedrückte Stangen gekennzeichnet, und dafür die Minus-Zeichen vor jenen Zahlen weggelassen.

s?

5000

ZWEITER ABSCHNITT.

§ 5.

Anwendung der Methode auf die Berechnung von Brücken-Constructionen.

Ein Hauptvorzug der empfohlenen Methode besteht, wie oben bereits hervorgehoben wurde, darin, dass man aus der Construction ein beliebiges Stück herausgreifen und sofort durch eine einzige Gleichung die Spannung in demselben bestimmen kann. Dazu kommt aber noch ein zweiter, welcher sie zu der Berechnung der Brückenträger ganz besonders geeignet macht. Jene eine Gleichung lässt nämlich aus ihrem Bau sogleich erkennen, welche von den Belastungen auf Vermehrung und welche von den Belastungen auf Verminderung der Spannung in dem betreffenden Stücke hin wirken. Um also das Maximum der Spannung zu finden, braucht man nur alle diejenigen Belastungen aus der Gleichung fortzulassen, welche auf Verminderung hinwirken. Um das Minimum zu finden (welches event, als negative Grösse Maximum der Druckspannung bedeutet), lässt man alle diejenigen Belastungen fort, welche auf Vermehrung der Spannung hinwirken. Selbstverständlich bezieht sich das lediglich auf die veränderlichen Belastungen.

Bei dem vorigen Beispiel kam dieser Umstand nicht in Betracht, weil bei jener Construction — wie man sich leicht überzeugen kann — das Hinwegnehmen irgend einer der Belastungen in keinem Constructionstheile eine Verstärkung der (Zug- oder Druck-) Spannung hervorbringen konnte. Bei solchen Construc-tionsformen dagegen, wie sie für Brückenträger meistens gewählt werden — auch bei manchen Dach-Constructionen, wie später gezeigt werden soll — ist es von Wichtigkeit, die Veränderlichkeit der Belastung³) zu berücksichtigen, weil nicht allemal bei voller

Belastung die stärkste Spannung in jedem Constructionstheile eintritt.

So z. B. erhält man zur Bestimmung der Spannung S in nebenstehender Construction (Fig. 20), wenn man den Schnitt M N

Fig. 20.

JL

__JL

--->

P 3f

x>

\« T \

U;

Üi

iVj

V ■*

Zulässigkeit der gemachten Voraussetzungen.

Fig.. 106.

§ 18.

SECHSTER ABSCHNITT.

V — 0,2

w=12(w+w)

KïFK

s' “ s

Um die Form des Trägers — anstatt durch Constructi

DREIZEHNTER ABSCHNITT.

2 P2P2/2

i + i.A.Ä.P.Al

4Ä5

§ 66.

¹

Zeitschrift des Architecten- und Ingenieur-Vereins für das Königreich Hannover, Band VII. Heft 4.

²

Die Bestimmung der Hebelarme auf dem Wege der Rechnung findet man im 11. Abschnitte dieses Buches.

³

Wie z. B. die temporären Belastungen, welche bei der Fahrt eines Bahnzuges über eine Eisenbahnbrücke oder für Dach-Constructionen bei einseitigem Schnee- und Wind-Druck eintreten.

V ■*

führt und 0 als Drehpunkt nimmt, die Momentengleichung:

+ p(*+t)⁼⁰-

setzt:

oder, wenn man für D seinen Werth —^ s

4    2    4 -

— P-

Das Glied, welches P enthält, ist negativ; die Glieder, welche Q und R enthalten, sind positiv. Man erkennt daran sofort: dass P auf Verminderung, Q und R dagegen auf Vermehrung der Spannung S hinwirken und findet, indem man das negative Glied, welches P enthält, fortlässt:

Q , -B 2X+ 4

S (max) =

als grösste Zugspannung, und indem man die positiven Glieder, welche Q und R enthalten, fortlässt:

S (min) =

als kleinste Zugspannung oder grösste Druckspannung.

Der Einfachheit wegen sind hier die Stangen selbst als gewicht-* los und die Gewichte P, Q, R als temporäre Belastungen angesehen. Die beiden Gleichungen für T und U:

— U-u + D~ = 0,

T • CD — P-

welche, wenn man für D seinen Werth setzt und sie auflöst, die Form annehmen:

— P-

CD

U=

P'Ül + Q'Y + B' 16

lassen sogleich erkennen, dass diese beiden Constructionstheile bei voller Belastung am stärksten in Anspruch genommen werden.

Ebenso erhält man für V die Gleichung (Schnitt oc ß, Drehpunkt OJ:

(y+\)-Q(?+\)-E(y+T) + w-y=Q’

— V •

oder, wenn man für W seinen Werth fP-1—^—j—substituirt, und sie für V auf löst:

IC

und hieraus ergiebt sich:

P-

V (max) = -f

— P-

als grösste Zugspannung,

V (min)

y+Y

(y±l)_Q(y_±l)

y + Y

als kleinste Zugspannung oder grösste Druckspannung.

Die Regel, welche sich hieraus ergiebt, lässt sich in folgenden Worten aussprechen:

Man nehme zunächst sämmtliche Punkte belastet an, stelle die Momentengleichung für den betreffenden Con-* structionstheil auf und ordne dieselbe so an, dass der Einfluss einer jeden Belastung durch ein einzelnes Glied von leicht erkennbarem Vorzeichen dargestellt wird. Man lasse alsdann von den temporären Belastungen das eine Mal alle diejenigen fort, welche negativ in der Gleichung Vorkommen, das andere Mal alle diejenigen, welche positiv darin Vorkommen.

Oder kürzer: in der Gleichung für die stärkste (Zug- oder Druck-) Spannung sollen die von den temporären Belastungen herrührenden Glieder immer einerlei Vorzeichen haben.

Nur in dem einen Falle, wenn es sich trifft, dass schon in jener allgemeinen Gleichung sämmtliche temporäre Belastungen mit einerlei Vorzeichen Vorkommen, führt die Auflösung derselben direct zu dem Werthe für die stärkste Spannung.

Nach dieser Kegel wird bei Berechnung des nachfolgenden Zahlenbeispiels verfahren werden. Für jeden Constructionstheil soll zunächst die allgemeine Momenten-Gleichung aufgestellt werden (d. h. für volle Belastung), sodann mit Weglassung der dem Maximum (oder Minimum), entgegenwirkenden Belastungen die Gleichung der stärksten Spannung.

§ 6.

Parabolischer Träger von 16m Spannweite mit einfachem Diagonalen-System.

Die Dimensionen des Trägers sind in Fig. 21 eingeschrieben. Als Eigengewicht der Brücke sind 1000k, als temporäre oder mobile

Fig. 21.

8¹⁷¹

< 2m x 2m x x x

Last 5000k pro laufenden Meter für ein Gleis angenommen, wovon auf jede der beiden Tragwände die Hälfte kommt. Da die Länge

Fig. 22.

50 00    50 00 50 00 50 00 50 00 50 00 50 00

Xi

looo lotoo looo io]oo ibjoo robo lboo

■Xg- v Xy 1* Xä

X,

y₃

Vi

Zz

Zs

Zt*

Z,

Z₆

jedes der 8 Felder 2 Meter beträgt, so kommen auf jeden Knotenpunkt 1000k permanente und 5000k mobile Belastung (s. Fig. 22).

Ritter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Um die Spannung Xx zu bestimmen, legt man den Vertical-sehnitt a ß durch das erste Feld und stellt für den Theil Fig. 23 Fig. 23.

die Momenten-Gleichung auf in Bezug auf den Punkt C als Drehpunkt:¹)

¹ i-Lx

w-

p cf -zi

0 = Xx • f + D. 2.

¹ Bei voller Belastung des Trägers ist der Gegendruck des Auflagerpunktes A:

D = 1000 (i + 1 + ê + l + S+f + i)

+ 5000 (g + f + f + g + f + f + g)

Die Substitution dieses Werthes ergiebt für Xx die Gleichung: 0 = Xx • I + 1000 Q + I + f + f +1- + I + l) • 2 + 5000 (i + t + t + | + $ + f + ¹)-2. Sämmtliche 7 Glieder, welche von den temporären Belastungen herrühren, haben schon einerlei Vorzeichen. Die Auflösung dieser Gleichung ergiebt also direct die stärkste Spannung, und man erhält:

Xx (min) = — 48000k.

Für Zx ergiebt sich (ebenfalls aus Fig. 23) als Momenten-Gleichung in Bezug auf den Drehpunkt B:

0 = — Zx ■ 0,8 + D ■ 2 oder nach Substitution des Werthes für I):

I. 0 = - Zt • 0,8 + 1000 a+ 1 + 1 + 14-1 + 1 + 1)- 2 + 5000 (! + f + f + f + f + f + -g) • 2.

Auch hier haben sämmtliche mit 5000 multiplicirten Glieder einerlei Vorzeichen, die Auflösung der Gleichung führt also direct zu dem Werthe der stärksten Spannung, nämlich:

Zx (max) = + 52500k.

Zur Bestimmung von Vx wird der Schnitt y 5 geführt und für den Theil Fig. 24 die Momenten-Gleichung aufgestellt in Bezug

Fig. 24.

DÎV

auf den Durchschnittspunkt R der beiden mitdurchschnittenen Stangen :

0 = — Vx • 2,8 — D • 0,8.

Die Substitution des Werthes für D

ergiebt:

0 — T' i • 2,8    1000 (i i~t + f + f + t + t + !)• 0,8

- 6000(i + | + | + 4 + | + i + J).0,8. Sämmtliche mit 5000 multiplicirten Glieder haben einerlei Vorzeichen; die Gleichung ist also direct für V₁ aufzulösen, und man erhält:

Vx (min) = — 6000k.

Fig. 25.

Zur Bestimmung von X₂, Y₂, Z₂ wird der Schnitt s £ geführt, und sind für den Theil Fig. 25 die Momenten-Gleichungen aufzustellen. Für X, wählt man E als Drehpunkt und erhält die Gleichung:

D 50,00 1000

ty'/m

ß4-M

0 = X₂ • 1,5 + 1) • 4 — 1000-2 —5000-2 oder nach Substitution des Werthes für D:

Ä'

0 = -V₂ • 1,5 + 1000 (I + f + ... I) 4 + 5000 (1 +1 + .. .|)4 — 1000-2 — 5000-2.

In dieser Gleichung äussert sich der Einfluss der Belastung 5000k des Punktes B in 2 Gliedern: das Eine + 5000 • | • 4 enthält den Beitrag zum Auflagerdruck, das andere — 5000 • 2 stellt die directe Einwirkung dar. Nach der oben gegebenen Regel sollen diese beiden Glieder zu einem einzigen, nämlich 5000 • (§ • 4 — 2) vereinigt werden, und ist der Gleichung folgende Form zu geben:

0 = X₂-1,5+ 1000 [(i+... |)4+(|-4-2)]

+ 5000 [(! + ..4)4 + (+4-2)].

Man erkennt nun sogleich, dass sämmtliche mit 5000 multiplicirten Glieder positiv sind, dass also die Gleichung direct aufzulösen ist, um die stärkste Spannung zu erhalten, woraus sich ergiebt:

X₂ (min) = — 48 000k.

Für P₂ nimmt man den Punkt R als Drehpunkt und erhält, wenn man sogleich für D seinen Werth einführt, die Momenten-Gleichung:

0 = Y₂ • 1,68 — 1000 (i + ... f) - 0,8 — 5000 (f + ... |) • 0,8 + 1000 • 2,8 + 5000 - 2,8,

welcher, um den Finfluss jeder Belastung durch ein einziges Glied darzustellen, folgende Form zu geben ist:

o = Y₂ .1,68 - 1000 [(i + ... I) 0,8 - (2,8 - f • 0,8)]

— 5000 (£ + ... f) 0,8    + 5000 (2,8 — | • 0,8).

Unter den 7 mit 5000 multiplicirten Gliedern, welche die Wirkung der temporären Last darstellen, befinden sich 6 negative und 1 positives. Man lässt also der oben gegebenen Eegel gemäss ein Mal das positive Glied fort und erhält dann:

0 = F₂ • 1,68 - 1000 [(* + ... f) 0,8 - (2,8 - | • 0,8)]

— 5000 (-H- ... t) • 0,8 Ya (max) = + 6250k.

Das andere Mal lässt man die 6 negativen Glieder fort und erhält :

0 = T₂ - 1,68 - 1000 [(* + ...$) 0,8 - (2,8 - | • 0,8)]

+ 5000 (2,8 — I • 0,8)

Y₂ (min) = — 6250k.

(Es ergiebt sich zugleich, dass Y₂ — 0 wird, wenn sämmtliche Glieder beibehalten werden, also hei voller Belastung, ein Umstand, welcher weiter unten in der Theorie der parabolischen Träger seine Erklärung finden wird.)

Für Z₂ wählt man den Punkt B als Drehpunkt und erhält, wenn man von vornherein die einzelnen Glieder in der eben erklärten Weise anordnet, die Momenten-Gleichung:

gcH

0 = — Z₂- 0,835 + 1000 (£ -f ...£)• 2 -f 5000 (£ + ... ). 2,

in welcher sämmtliche mit 5000 multiplicirten Glieder einerlei Vorzeichen haben. Die Gleichung ist also direct aufzulösen und giebt:

Z₂ (max) = 4- 50300k.

Fig. 26.

5000

Df

looo rz

Zur Bestimmung von V₂ ist der Schnitt yj ^ zu führen (s. Fig. 26) und der Punkt S als Drehpunkt zu wählen. Die allgemeine Momenten-Gleichung für V₂ erscheint, nachdem sie geordnet, in folgender Form:

0 = _ F,. 8- 1000 [(* + ... 4) 4-(6- j-4)]

- 5000 (i + ... |)4 +6000(6:—4-;4).

Von den mit 5000 multiplicirten Gliedern ist das eine Mal das positive Glied fortznlassen, man erhält dann:

0 = — V₂ ■ 8-1000 [(£ +.. I) 4-(6-f • 4)] -5000 (*+... f)4 V₂ (min) = — 7560k.

Das andere Mal sind die 6 negativen Glieder fortzulassen und man erhält:

0 V₂ ■ 8-1000 [(I + ... I) 4—(6—• 4)] +5000 (6-f • 4) V₂ (max) = + 560k.

Diese Beispiele werden genügen, um die Anwendung der oben gegebenen Regeln zu erklären, und scheint es nicht erforderlich, auch die ferneren Rechnungen mit gleicher Ausführlichkeit zu behandeln. Für diejenigen Leser, welche die Aufgabe vollständig nachzurechnen beabsichtigen, wird es ausreichen, wenn in Betreff der übrigen Stangen nur die Hauptgleichungungen und die Resultate zum Vergleich mitgetheilt werden.

o = x₃. 1,875 + 1000 [G + • • • $) 6 + (I • 6 - 2) + (f . 6 - 4)]

+ 5000 [(++ ... I) 6 + (f. 6 - 2) + (1.6 - 4)]

X₃ (min) = — 48000k.

0 = — Ys . 5.47 — 1000 [(i + ... I) 4 — (8 — f. 4) — (6 — l. 4)1

Y₃

— 5000 G + ... I) 4 + 5000 (8 — f . 4) + 5000 . (6 — f-. 4) (maximum) = + 6850k (minimum) = — 6850k.

0 = - za. 1,474 + 1000 [(* + ...$) 4 + (f.4-2)] + 5000 [(■§• + ... f ) 4 + G . 4    2)]

Z₃ (max) = + 48900k.

0 = — r₃.30- 1000 [(!+... 1)24-(28-1.24)-(26 -1.24)]

V₃

— 5000 G + ... -I) 24 + 5000 (28 — f . 24) + 5000(26 — f . 24) (max) = + 1500k (min) = — 8500k.

0 = X₄.2 + 1000 [(i+...|)8 + (|.8-2) + (f.8-4) + (1.8-6)]

+ 5000 [(-g- + . • • f) 8 + (f. 8    2) + (f . 8    4) + G . 8 — 6)]

X₄ (min) = — 48000k.

0 = P₄.21,2 — 1000 [G + ... 4) 24 — (30 — |.24) — (28— f . 24) —(26 —|. 24)] — 5000 G + ... -I) 24 + 5000 [(30—|. 24) + (28—f. 24) + (26—g-. 24)] (max) = + 7080k (min) = — 7080k.

0 —— Zi . 1,873 + 1000 [G + . •. i) 6 + (f • 6 — 2) + (f. 6 — 4)] + 5000 [(i + ... I) 6 + (f . 6 - 2) + G . 6 - 4)]

Z± (max) = + 48100k.

(Die nun folgenden Momenten-Gleichungen beziehen sich allemal auf den Theil der Figur, welcher rechts von der betreffenden Schnittlinie liegt.)

o = - r₄.32

+ 1000 [(|+t + t)24—(32 —f.24)—(30—f.24)—(28 —(26 —f .24)] + 5000 ($ + $ + I) 24

— 5000 [(32 — $ . 24) + (30 — $. 24) + (28 — $ . 24) + (26 — $ . 24)]

Vt

(max) = + 1800k (min) = — 8800*.

0 = - X₅ . 1,875 - 1000 [($ + ... $) 6 + (f . 6 - 2) + (f . 6 - 4)] -5000 [(* + ...$) 6 +($.6-2)+ ($.6-4)]

X₅ (min = — 48000k.

0 = Yö . 21,88 + 1000 [($ + ...$)24 —(80—$ . 24)- (28 - $.24) —(26-$.24)] + 5000 ($ + ...$) 24

-    5000 [(30 — $ . 24) + (28 — 1.24) + (26 — $ . 24)]

Y₅

(max) = + 6850k (min) = — 6850k.

0 = Z₅.1,996 - 1000 [($ + ... $) 8 + ($ . 8 - 2) + ($ . 8 - 4) + ($    .    8    - 6)]

-    5000 [($ + ... I) 8 + ($ . 8 - 2) + ($ . 8 - 4) + ($.    8    - 6)]

Z₅ (max) = + 48100k.

0 = - F₅. 10+ 1000 [($ + ...$₎₄-(₁₀-$.4) -₍₈-$.4) -(6-1.4)] + 5000 (I + ... $) 4 - 5000 [(10 - $. 4) + (8 - $. 4) + (6 - $. 4)] (max — + 1500k (min) = — 8500k.

0 = — X₆ . 1,5 — 1000 [($ ■+ ... f) 4 + ($.4 - 2)]

- 5000 [($+ ...$)4 + ($.4-2)]

X₆ (min) — — 48000k.

0 = r₆.6 + 1000 [($ + ...$) 4 - (8 - $ . 4) — (6 - $ . 4)]

+ 5000 ($ + ...$) 4 — 5000 [(8    $ . 4) + (6 — $ . 4)]

Y ! (max) — + 6250k 61 (min) — — 6250k.

0 = Z₆. 1,84 - 1000 [($ + ... $) 6 + ($ . 6 - 2) + ($ . 6 - 4)]

-    5000 [($+...$) 6+ ($.6-2)+ ($.6-4)]

Z₆ (max) = + 48900k.

0 = - F₆.4,8 + 1000 [($+...$) 0,8 - (4,8 - $ . 0,8) - (2,8 - $ . 0,8)]

r₆

+ 5000 ($ +...$) 0,8 - 5000 [(4,8 - $ . 0,8) + (2,8 - $ . 0,8)] (max) = + 560k (min) = — 7560 k.

0 = — X₇.0,875 — 1000 ($ + ... I) 2 — 5000 ($ + ...$) 2 X₁ (min) = — 48000k.

0 = F₇ . 1,92 + 1000 [($+...$) 0,8 - (2,8 - i . 0,8)]

+ 5000 ($+...$) 0,8    - 5000 (2,8 — $ . 0,8)

(max) = + 5470k (min) = — 5470k.

0 = Z₇.1,43 + 1000 [($ + ...$) 4 + ($ . 4    2)]-5000[($ + ...$) 4 + ($.4-2)]

Z₇ (max) = + 50300k.

0 = — F₇ . 2 — 1000.2 — 5000.2 F₇ (min) = — 6000k.

0 == — X₈.0,875 — 1000 G 4- ... I) 2 -5000 (* + ...$) 2

-48000

X₈ (min) — — 48000k.

0 = Z₈.0,8 — 1000 (I + •.. I) 2 - 5000 ($+... |)2 Zs (max) = -|- 52 500k.

Die Resultate sind in Fig. 27 übersichtlich zusammengestellt.

0009-

-48000

COj

0994

099 f-

-48000

cP

0091+

00Ç8-

Fig. 27.

-48000

+ 4S10Ü

0081+

0088-

-48000

+ 4S1U0

005T +

00S8-

-48000

OS

0994-09 9L-

-48000

0009'/

-43000

9

•A

Abgeleitete Formen.

Ein Rückblick auf die vorstehenden Rechnungen zeigt, dass namentlich in Betreff der Diagonal- und Vertical-Stangen die Befolgung der oben gegebenen Regel von Nutzen war, weil gerade diese es sind, welche bei partieller Belastung des Trägers am stärksten gespannt werden. Um sich das Gesetz zu veranschaulichen, nach welchem die Spannungen derselben von der Belastungsweise abhängen, braucht man nur die allgemeinen Momenten-Gleichungen zu betrachten und den Träger allemal in demjenigen Belastungszustande zu zeichnen, welcher dem Fortlassen der positiven oder negativen Glieder entspricht. Man erkennt alsbald, dass irgend eine Diagonal-Stange, z. B. Y₃ (im dritten Felde), am stärksten gezogen wird, wenn alle rechts liegenden Punkte belastet sind, am stärksten gedrückt dagegen, wenn alle links liegenden Punkte belastet sind, wie dies in Fig. 28 durch die Ueberschriften „Zug“ und „Druck“ angedeutet ist.

Wenn in demselben Felde statt der links ansteigenden eine rechts ansteigende Diagonale sich befände, so wären die Ueberschriften mit einander zu vertauschen. Denn: wenn man den Träger von der Rückseite (oder sein Spiegelbild) betrachtet, so

erscheint die Diagonale F₆ in der gleichen Lage, und für diese ergeben sich aus den Momenten-Gleichungen die in Fig. 29 eingeschriebenen Abtheilungen.

<-

Druck

-pX-

Js

Fig. 28.

Zug

Sind gleichzeitig beide Diagonalen vorhanden und sind die-selbenTals Zugbänder construirt, welche eine Druckspannung anzunehmen unfähig sind, so wird jede von beiden nur bei derjenigen

Fig. 29.

Zug

Druck

4-

-H"

Belastungsweise in Thätigkeit versetzt, welche Zugspannung in ihr erzeugt, während die andere gleich einem schlaff gewordenen Faden in spannungslosen Zustand geräth. Es kommen in diesem Falle also nur die Maxima der oben für die Grössen Y gefundenen Werthe zur Geltung, im dritten Felde z. B. für die links ansteigende Diagonale Y₃ (max), für die rechts ansteigende dagegen Y₆ (max) (s. Fig. 30). In gleicher Weise kann man in den übrigen Feldern die Spannungen der gekreuzten Diagonalbänder aus Fig. 27 abschreiben.

Fig. 30.

Für die Verticalständer eines solchen Trägers kommen dagegen nur die Minima der oben für die Grössen V gefundenen Werthe in Betracht, weil niemals Zugspannung in einem solchen entstehen kann, wenn jede der beiden oben angrenzenden Diagonalen unfähig ist, Druckspannung anzunehmen.

Ein Blick auf Fig. 31 zeigt sofort, dass dies unmöglich ist, da sonst die vertical abwärts gerichtete Kraft V durch ^ keine Gegenkraft aufgehoben würde. Dass aber jene Minima auch für einen Träger mit gekreuzten Diagonalbändern unmittelbare Geltung haben, folgt daraus, dass bei einseitiger Belastung eines solchen immer nur Eins der beiden Diagonalen-Systeme in gespanntem Zustande sich befindet, das andere also gleichzeitig als nicht vorhanden betrachtet werden darf.

Fig. 31.

'gv

-48000

'S

0009;

-48000

09S1-

-48000

SK

-48000

+48100

Fig. 82.

0088-,

-48000

+48100

00S8-

-48000

⁺48900

09SZ-

-48000

•#-

0009/

-48000

*o

Hiernach kann man, ohne erst eine neue Rechnung anstellen zu müssen, mit Hülfe der oben gefundenen Resultate sofort für einen solchen Träger mit gekreuzten Diagonal-Zugbändern die Grössen der stärksten Spannungen in die Figur hineinschreiben, wie das in Fig. 32 geschehen ist.

so führt eine

Wenn umgekehrt die Diagonalstangen so construirt sind, dass sie nur Druck-Spannung annehmen können — wie das z. B. bei Holz-Constructionen vorkommt der vorigen ganz ähnliche Beweisführung zu dem Ergebniss: dass für die Diagonalstangen nur die Minima und für die Verticalstangen eines solchen Trägers nur die Maxima der oben berechneten Werthe ihre Gültigkeit behalten. Was dagegen die Minima der letzteren betrifft, so überzeugt man sich durch den blossen Anblick eines der Belastungspunkte leicht, dass, wenn die Diagonalen nicht ziehen können, die unmittelbare Belastung des Punktes die einzige ist, welche Druckspannung in der Yerticalen erzeugen kann. Diese variirt zwischen 1000k und 1000k -f- 5000k; es ist also überall

V (min) = — 6000k zu setzen. In Fig. 33 sind die Spannungszahlen eines solchen Trägers eingeschrieben und ist die Unfähigkeit der Diagonalen, Zugspannung anzunehmen, durch Doppellinien augedeutet.

Bei Trägern mit einfachen Diagonalen-Systemen, welche aber von dem Schema Fig. 27 dadurch sich unterscheiden, dass sie symmetrisch in Bezug auf die verticale Mittellinie geformt sind, handelt es sich nur um die Spannung des mittleren Verticalständers; denn für die übrigen Stücke können die Spannungszahlen unmittelbar aus Fig. 27 abgeschrieben werden.

Fig. 38.

-48000

-4S000

-48000

-48000

-48000

■—6000

X⁹0

+ 560

0009-

//

so

+1500

0009-

+ 1800 -6000

0091 +

0009-

+4S900

+48100

+48100

Fig. 84.

-48000

-4-8000

-48000

-48000

-48000

00 09V

cS /

■î

£

c.

+ 560

-1560

+1500

-8500

0009-

0 0S1+

0018 —

⁺⁴«900

+48100

+ 48100

Fig. 85.

-48000

-48000

-48000

-48000

-48000

5V

⁺⁵«Ho

+ 560

-1560

+ 1500

-8500

-6000

+ 150 0

lO

oo

**S9o<)

+ 48100

+ 48100

Mijtte

Was nun den mittleren Yerticalständer zunächst in Fig. 34 betrifft, so braucht man nur den Fusspunkt desselben zu betrachten, um zu erkennen, dass seine Spannung ausschliesslich von den angrenzenden Parabel-Sehnen abhängt. Diese haben stets

7//

Abgeleitete i omen.

1<J

X-----

+ 6000

L£

+ 0000

Mitte

<**/

+ 6000

+ 4800 0

-481 0 0

+ 480 0 0

-48)00

*è

-I-

+ 8500

+ 8500

-1500

-1500

5*

JO

S'

+ 48000

Ö»

GO

*r

+ 48 0 00

<g

<5ł

cO

*"J'

*v;

+ 48000

! + 7560 -560

+ 7560

— 560

+ 7560 . -560

05

00

+48000

*/

+ 48000

<»

cfî \ ^Jp\

cP

\X

+ 48000

+ 8500 -1500

39.

+ 6000

+ 600<?

_&b

ti

%.

+ 48000

+ 8800 -1800

0018?-

cP

+ 48000

e>

+ 48000

2§

'S

+ 48000

+ 6000 -18 00

I %

+ 8800

*C

-r

+ 3500 -1500

-48100

*3

<x

+ 48000

00T8?-

+ 48000

1\ S

CP\

x'

+ 48000

+ 6000

-1500

+ 8500

ł/

<g

+ 7560 . “560

C>

cP

**

+ 48000

.\*X

%\ W

CO

+ 48000

+ 6000

l!5\ CtS>

x>

+ 48000

-56 0

+ 7560

«?

1+6000'

-505°°

+ 48000

cP

+ 48000

Fig. 36.

+ 48000

Fig. 37.

GO

CO

+G00(

-s3

ti

«< \ **

+ 48000

Zugspannung, können also in dem Verticalständer nur Druckspannung erzeugen. Am grössten wird dieselbe, wenn die volle Spannung von 48100k in den Sehnen eintritt, d. h. bei voller Belastung, wo jeder Verticalständer 6000k trägt. Also ist für den Mittelständer

V (min) = — 6000k

zu setzen.

Bei dem in Fig. 35 dargestellten Falle ist die Spannung des mittleren Yerticalständers noch leichter zu erkennen. Denn hier ist es offenbar nur die unmittelbare Belastung des Kopfes, welche überhaupt Spannung in dem Ständer hervorbringen kann, also Druckspannung. Mithin ist auch hier:

V (min) = — 6000k.

Wenn man endlich in dem Schema Fig. 27 überall die Plus-und Minus-Zeichen mit einander vertauscht, so erhält man die Spannungszahlen für einen parabolischen Träger, dessen convexe Seite nach oben gewendet ist (s. Fig. 36). Die ganze Beweisführung und Rechnung nämlich, aus welcher die Zahlen von Fig. 27 hervorgingen, lässt sich Zeile für Zeile auf diese neue Construction übertragen, sobald man consequent alle Kraftrichtungen umkehrt, dem entsprechend Plus- und Minus-Zeichen, Maximum und Minimum mit einander vertauscht und die ganze Figur auf den Kopf gestellt zeichnet. Man erhält damit eine neue schematische Figur (36), aus welcher dann durch eine der vorigen ganz analoge Betrachtung die vier abgeleiteten Formen Figg. 37, 38, 39 und 40 sich bilden lassen.

§ 8.

Theorie der parabolischen Träger.

An dem vorigen Beispiel ist gezeigt, dass man mittelst der Methode der statischen Momente einen gegebenen parabolischen Träger berechnen kann, ohne von der eigentlichen Theorie der parabolischen Träger Etwas zu verstehen. Zwei Eigenschaften derselben wurden bei dieser Berechnung auf empirischem Wege gefunden, erstens: die Spannungen der horizontalen Stangen sind bei voller Belastung am grössten und überall gleich; zweitens: die Spannungen der Diagonal-Stangen sind bei voller Belastung überall gleich Null. Letztere ist übrigens schon in der ersteren enthalten, denn, wenn X= Xx ist (s. Fig. 41), so folgt daraus, dass Y — 0 sein muss, weil sonst die Horizontalkräfte an dem Punkte P sich nicht aufheben würden.

Fig. 41.

Xx

Hy

Es ist nützlich zu untersuchen, von welchen Bedingungen jene Eigenschaften abhängen. Die Kenntniss dieser Bedingungen ist nöthig — zwar nicht um in einem gegebenen Träger die Spannungen zu berechnen — wohl aber um für einen erst zu construirenden Träger, der diese Eigenschaften besitzen soll, die richtige Form zu finden.

Zu diesem Zwecke denke man sich eine an den beiden festen Punkten A und B in ihrer Gleichgewichtslage hängende Kette (s. Fig. 42), deren Belastung gleichmässig über die Spannweite AB

Fig. 42.

vertheilt ist und pro Längeneinheit derselben q beträgt. An dem tiefsten Punkte S der Kette — also da, wo sie horizontal gerichtet ist — denke man sich die Kette durchschnitten und an der Schnittstelle eine Kraft H angebracht, welche den Gleichgewichtszustand wieder herstellt. Diese Kraft muss eine horizontale Richtung haben, weil sie sonst dem Ketten-Ende eine von der horizontalen abweichende Richtung ertheilen würde. An einer beliebigen

anderen Stelle P denke man sich die Kette ebenfalls durchschnitten und durch die Kraft T den Gleichgewichtszustand wieder hergestellt.

Das Stück SP (Fig. 43) wird von drei Kräften im Gleichgewicht gehalten: die erste ist H, die zweite T, die dritte ist die Mittelkraft sämmtlicher Gewichte, welche das Stück SP belasten. Letztere Kraft ist q • a?, wenn mit x die

Fig. 43.

f”"

•i

I y

X---->

> ii

Horizontal-Entfernung der beiden Endpunkte S und P von einander

oc

bezeichnet wird; sie wirkt im Abstande — von jedem derselben,

u

weil die Belastung gleichförmig über die Strecke x vertkeilt sein sollte.

Die Gleichung der statischen Momente in Bezug auf den Punkt P als Drehpunkt ist:

1) II-y = qx~•

Da der Punkt P beliebig gewählt war, so gilt diese Gleichung auch für jeden anderen, z. B. den Punkt A, für welchen l statt x und / statt y zu setzen ist, also:

2) H-f=ql‘Y'

Die Division der ersten Gleichung durch die zweite führt zu der dritten:

JL — El ö) / ~~ l*

Für den Theil SB gelten genau dieselben Bedingungen. Man kann also mittelst der Gleichung 3) die Lage sämmtlicher Punkte der Kette bestimmen, indem man für x beliebige Werthe substituât und die Gleichung allemal für y auflöst. Diese Punkte liegen in einer Parabel, deren Form nur von den beiden Grössen / und l abhängt.

Als weitere Folgerungen aus der obigen Untersuchung ergeben sich noch folgende Sätze; erstens: die horizontale Seitenkraft von T ist in allen Punkten = H, also auch an den beiden Aufhängepunkten A und B; zweitens: die verticale Seitenkraft von T ist gleich qx, an den Aufhängepunkten also gleich ql-, drittens: die Spannung T selbst ist allemal gleich ~\f H² -j- V².

Auch dann noch werden einzelne Punkte der Kette in der Parabel bleiben, wenn durch andere Belastungsweise bewirkt wird, dass für sie die Gleichungen 1) und 2) ihre Gültigkeit behalten. Dieser Fall tritt ein, wenn zu beiden Seiten des Punktes S die Belastungen in einzelnen Punkten concentrirt werden und zwar so, dass ein solcher Punkt von jeder der beiden angrenzenden Abtheilungen die Hälfte zu tragen bekommt (s. Fig. 44). Denn für den Theil SP (s. Fig. 45) wird auch jetzt noch die Belastung (oder die Mittelkraft der 4 Yerticaldrücke) — qx% und der Hebelarm dieser oc

Kraft = — sein, weil der Schwerpunkt in der Mitte liegt.

Li

Eine solche Belastungsweise kann durch Verticalständer bewirkt werden, welche steifen, gleichförmig belasteten Zwischen-

Fig. 44.

‘tel

fco

trägem als Stützen dienen und deren Drücke auf die Kette übertragenes. Fig. 44). Da ein unbelasteter Theil einer gespannten

Kette immer geradlinig ist, so nimmt die ganze Kette ASB die Form eines der Parabel eingeschriebenen Polygons an. Dies gilt auch noch für den Fall, wenn der Scheitelpunkt S nicht mit zu den Belastungspunkten gehört. Denn: denkt man sich aus Fig. 44 das Stück PP₁ herausgeschnitten (s. Fig. 46) und durch die Kräfte T, Ty den Gleichgewichtszustand wieder hergestellt, so erfordert das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt P, dass:

rri    U

ïl .p = ₂l*._t

und diese Gleichgewichtsbedingung wird dadurch nicht verändert, dass statt der Zwischenpunkte S und Q andere Punkte z. B. S₁ und Qy (s. Fig. 47) als Belastungspunkte angenommen werden.

Sollen die beiden Punkte A und B nur verticale Widerstände leiten, so müssen die beiden Horizontalkräfte H auf andere Weise, z. B. durch die Gegendrücke einer zwischen die Auflager gestemmten Horizontalstange, dargestellt werden, die übrigens auch aus einzelnen Stücken zusammengesetzt sein darf.

Fig. 45.

PP^

f*

Fig. 46.

TĄ

qu

'cd

P T,

So erhält man einen parabolischen Träger von der nebenstehenden Form (s. Fig. 48), der auch ohne Diagonalstangen eine gleich-Fig. 47.

förmig über die Spannweite vertheilte Belastung tragen kann.

-.1

1Ł

T,

Die Bedingung also, welche erfüllt sein muss, wenn der Träger die genannten Eigenschaften besitzen soll, lässt sich einfach in folgenden Worten aussprechen:

Die Stützpunkte der Verticalstangen müssen in einer Parabel liegen, deren Achse mit der verticalen Mittellinie der Construction zusammenfällt.

Fig. 48.

"i------~

Die ganze obige Beweisführung endlich lässt sich, wenn die;be-treffenden Figuren umgekehrt, und sämmtliche Kräfte in entgegengesetzter Richtung gedacht werden, unmittelbar übertragen aut einen parabolischen Träger, dessen Bogen nach oben hin seine convexe Seite kehrt (s. Fig. 49), und braucht daher für diesen nicht wiederholt zu werden.

Fig. 49.

ff:

. 'V

Eine weitere Fortsetzung und Verallgemeinerung der Theorie der parabolischen Träger findet sich weiter unten in der „Theorie der sichelförmigen Träger“.

DRITTER ABSCHNITT.

crsï

9.

Anwendung der Methode auf die Berechnung von Fachwerkbrücken mit parallelen

Gurtungen.

Die Methode der statischen Momente kann auch bei der Berechnung gewöhnlicher Fachwerkbrücken mit Rechteckfeldern angewendet werden. Es ist kaum nöthig, darauf hinzuweisen, dass die conséquente Durchführung des Princips auch dann noch zu richtigen Resultaten führen muss, wenn unter den durchschnittenen drei Stangen zwei parallele sich befinden, also der Drehpunkt für die Momenten-Gleichung der dritten in unendliche Ferne rückt. Zwar werden in diesem Falle die Hebelarme sämmtlicher in der Gleichung vorkommenden Kräfte unendlich gross, doch ist die hieraus entstehende Schwierigkeit nur eine scheinbare, da die unendlichen Grössen sogleich gegen einander wegfallen und die Auflösung der Gleichung dann den richtigen endlichen Werth für die zu bestimmende Spannung ergiebt.

Um z. B. die Spannung Y der Diagonalstange F G bei dem in Fig. 50 dargestellten Träger zu bestimmen, würde man nach

Fig. 50.

ha

12

'2

12

vz

l£

jZ

den früher gegebenen Regeln zunächst durch den Schnitt aß die Construction in zwei Theile zerlegen und nach Hinzufügung der

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Kräfte X, Y, Z dann für den einen Theil Fig. 51 die Momenten-Gleichung anfstellen in Bezug auf den Durchschnittspunkt der

beiden Kräfte X und Z als Drehpunkt. Diesen Punkt hat man sich auf der horizontalen Mittellinie in unendlicher Entfernung zu denken. Die Richtungen der Kräfte X, Z gehen durch den Drehpunkt selbst hindurch, also sind ihre Hebelarme Null. Für sämmtliche Verticalkräfte, welche auf das abgeschnittene Stück wirken, werden die Hebelarme unendlich gross. Die Kraft Y endlich würde, wenn der Drehpunkt 0 in der endlichen Entfernung x von der Schnittstelle läge, an dem Hebelarme x • sin 9 wirken. Denkt man sich den Punkt 0 immer weiter nach links bis ins Unendliche fortrückend, so wirda? = oc, der Hebelarm von Y also = 00 • sin 9.

Die Momenten-Gleichung zur Bestimmung von Y würde daher zunächst in folgender Gestalt erscheinen:

0 = Y’oo sin 9 —D *

und mit Weglassung des gemeinschaftlichen Factors 00 die Form annehmen:

Fig. 51.

,2

P

l)

'p

St

\ß

00+ (|- + 1-)oü + 0 + ₂)oo + (^ + ₂)-oo

0 = r- sin 9 — D + (Ą- + -f (p -f q) + (p + q).

Hierin bedeutet Y • sin 9 die verticale Seitenkraft der Kraft Y. Diese Gleichung drückt also nichts Anderes aus, als die Bedingung: es muss für das abgeschnittene Stück die Summe der vertical aufwärts wirkenden Kräfte gleich der Summe der vertical abwärts wirkenden Kräfte sein. Der Hauptzweck der Momenten-Methode — nämlich der: eine Gleichung zu erhalten, aus welcher die gesuchte Grösse als einzige Unbekannte direct bestimmt werden kann — würde also in diesem speciellen Falle auch durch unmittelbare Anwendung der Gleichung für die Verticalkräfte erreicht worden sein.

Es zeigt sich bei dieser Gelegenheit aufs Neue die allgemeine Brauchbarkeit des Princips, welches jener Methode zum Grunde liegt, sofern sie selbst in solchen vereinzelten Fällen, wo eine andere Betrachtungsweise die kürzeste Lösung der Aufgabe zu bieten scheint, ihre Dienste nicht versagt, vielmehr mit dieser zusammentreffend direct auf diesen kürzesten Weg hinweist.

Führt man in der obigen Gleichung für den Gegendruck des Auflagers seinen Werth:

D — (P + 2) [i + t+t + ł + t+t+ł + ł]

ein, und stellt man — wie bei den vorigen Beispielen schon geschehen — die von den einzelnen Belastungen zu dem Druck D gelieferten Beiträge mit den direct von ihnen hervorgebrachten Yerticalkräften an der gehörigen Stelle so zusammen, dass der Einfluss einer jeden Belastung durch ein einzelnes Glied von leicht erkennbaren Vorzeichen dargestelit wird, so erhält man die Gleichung :

0= V-sinç (P+?)[ł + l +1 + 1+1    (1 t) O- I)—(ł—I)]

oder endlich, wenn zur bequemeren Uebersicht die Glieder, welche die permanente Last p enthalten, von denjenigen, welche die veränderliche Last q enthalten, getrennt, und letztere wiederum in positive und negative Gruppen gesondert werden:

o=r-sin?—p[i+f+!+t+4—(i—D—(i—{)]

-î(i+14-l+f+f) +3[(i-l)+(i-J)],

woraus sofort wie früher durch Weglassen — ein Mal der positiven, ein Mal der negativen Gruppe, resp. Maximum und Minimum von Y bestimmt werden können.

Hinsichtlich der beiden mit durchschnittenen Stangen X und Z (Fig. 51 bietet dieser Fall zu keinen neuen Bemerkungen Veranlassung. Bezeichnet man die Länge eines Feldes mit X und die Höhe des Trägers mit /*, so ergeben sich, wenn einmal der Punkt G und ein anderes Mal der Punkt F als Drehpunkt gewählt wird, die beiden Momenten-Gleichungen:

0 = X-h+(j>+q) [(* + ! +1+4+4) • 3X+(S • 3X-X)+( J-3X-2X)] 0=-Z-h + (p + q) [(i+|+| + 4 + | + |) • 2X + (| • 2X-X)],

aus denen man sofort erkennt, dass diese beiden Stangen bei voller Belastung des Trägers am stärksten gespannt werden.

3*

0 = — F • ce — I) • 00

Was endlich die Spannung F des Fig. 52.

IhS **lw

—>    ->

'o*

rechts angrenzenden Ver-ticalständers betrifft, so führt der Schnitt y 5 (s. Fig. 52) und die Wahl des unendlich entfernt liegenden Durchschnittspunktes der beiden mit durchschnittenen zontalstangen als Drehpunktes zu einer Momen-ten-Gleichung :

Hori-

+ (- - + - -) ⁰⁰ + (F + S')⁰⁰+(!-> +S')⁰⁰ >

welche von der zuerst für Y -sin 9 aufgestellten offenbar nur dadurch sich unterscheidet, dass hier — F an die Stelle von -j- Y• sin 9 tritt. Man erhält folglich für F die Gleichung:

0 = -F-i>[i + t + f+ | + |-(l-|)-(l-f)]

— äd + f + t + t + f) +î[(l-t) + (l-i)].

Die Werthe -j- F-sin 9 und — F sind also identisch, und man kann daher die Berechnungen der Grössen Y und F in der Weise mit einander verbinden: dass man erst F berechnet, dann den gefundenen Werth durch — sin 9 dividirt gleich Y setzt. Diese Regel lässt sich auch so aussprechen: Diagonalstange und Verticalstange haben da, wo sie an einem unbelasteten Knotenpunkte zusammenstossen, Verticalspannungen von einerlei Grösse und entgegengesetztem Vorzeichen.

§ 10.

Fachwerkbrücke von 16m Spannweite mit einfachem Diagonalén-System.

Abgesehen von den durch die veränderte Form bedingten Abweichungen sind hier dieselben Maasse wie bei dem im zweiten Abschnitt berechneten parabolischen Träger gewählt, auch dieselben Belastungen, nämlich 1000k permanente und 5000k mobile Last für jedes Feld angenommen. Es ist ferner auch hier die Annahme gemacht, dass die Fahrbahn oben liegt, also die Belastungen unmittelbar auf die oberen Knotenpunkte wirken (s. Fig. 53).

Fig. 53.

2500    5000    5000    5000    5000    5000    5000    5000    2500

Nr

600    1000    1000 lOiOO KH)0 1000    1000    1000

500

YB

vD

uF

wff

iK

vM

vO

Sv

2m

Berechnung der Grössen V₀ und Zv

Da F₀ ^und D die einzigen in dem Punkte A angreifenden Verticalkräfte sind (s. Fig. 54), so ist immer:

F₀+D = 0, also F₀ =— D.

Fig. 54.

2500    5000    50 00    5000    5000    5000    5000    5000    2500

600

10V00 10*00 10*00 1000 101)0

-*7

:4

v₀\J,

F»\3 Wł

k-*Hk"

101)0 iovoo    5C b

jr ^—y

T^\ïff    Fs

ÎD

~Aj

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%■

Z5    %■

-Zj

An

Kilg., folg

Es erreicht demnach F₀ seinen grössten negativen Werth, wenn der Gegendruck des Auflagers am grössten wird, d. h. bei voller Belastung des Trägers. Für diesen Fall wird D lieh ist:

te (min) = — 2 4 000k.

Da ferner Zx die einzige in dem Punkte A angreifende Horizontalkraft ist, so bleibt bei jeder Belastungsweise :

Zx = 0.

Berechnung der Grössen X₈ und Fs.

In dem Punkte S greifen immer nur zwei Verticalkräfte an, nämlich erstens: die Belastung dieses Punktes, welche im Maximum 3000k beträgt und zweitens: die Kraft V₈. Es ist folglich:

Fg (min) = — 3000k.

Da ferner ausser X₈ keine Horizontalkraft in dem Punkte S angreift, so ist in allen Fällen:

X = 0.

Also ist:

Z₂ (max) = -f- 21000k.

eck

Die Gleichung der Verticalkräfte für den Theil Fig. 55 ist: 0 = — V₁ — 1000 (•§ + ... ) — 5000 (1 + ... I) und giebt für Vx den Werth:

Vx (min) = — 21000k.

Die Diagonale Yx bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 45°. Die verticale Seitenkraft von Yx oder

Yx • sin 45° = 1+

Berechnung der Grössen X,, Z₂, Flt Yx.

(Schnitt aß Fig. 55.)

Die Gleichung der statischen Momente für den Theil Fig. 55 in Beziehung auf den Punkt C als Drehpunkt ist:

0 = ^-2

+(1000+5000). (4 + f +...!)• 2, woraus sich ergiebt:

Xx (min) = — 21000k.

Wählt man den Punkt D als Drehpunkt, so erhält man die Momenten-Gleichung :

0 = — Z₂- 2 + (1000 + 5000) (à + ... 1) • 2.

Fig. 55.

^2500

'N

50Q

Bk

•»X,

T)

_L

1

ist gleich — Vx zu setzen, also:

Yx = — Vx • V~2 = + 21 000 • yi Yx (max) = -(- 29 700k.

Bestimmung der Grössen X₂, Zs, V₂, Y₂.

(Schnitt y 8 Fig. 56.)

Die Momenten-Gleichung des Stücks Fig. 56 in Bezug auf den Punkt E ist:

0 = Ą-2+ (1000+ 5000) [(* + ... f)4 + (|. 4 -2)], woraus sich ergiebt:

X₂ (min) = — 36 000k.

Zur Bestimmung von Zs wählt man den Punkt F als Drehpunkt und erhält:

0 = - £3 • 2 + (1000 + 5000) [(i + ... I) 4 + (I • 4 - 2)]

Zz (max) = + 36 000k.

Die Gleichung der Yerticalkräfte für das Stück Fig. 56 ist:

0 = — V₂— 1000    +    —(1—I)]

— 5000 (i+ ...£) +5000(1 -1).

Fig. 56.

+000

10W

2500

Yz

5ÖÖ

Ff

Wenn man in dieser Gleichung einmal das negative und einmal das positive von den beiden mit 5000 multiplicirten Gliedern fortlässt, so erhält man:

TS

I)

V₂ (max) = — 187 5k. V₂ (min) = — 15 625k.

Wenn man diese Werthe mit V 2 multiplicirt und mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versieht, so erhält man:

Y₂ (max) = + 22100k.

Y₂ (min) == + 2650k.

In gleicher Weise erhält man für die Stücke in den übrigen Feldern folgende Gleichungen:

0 = X₃.2 + (1000 + 5000) [(i + ..,|)6 + (f. 6-2) +(1.6-4)]

X₃ (min) = — 45 000 k .

0 = - X₄.2 + (1000 + 5000) [(i + . . . I) 6 + (f . 6 - 2) + (1.6 - 4)]

X₄ = + 45000k.

0 — — Vg —1000 [4 + ... I- (1 -I) - (1 -I)]

-5000 (4+. ..*) + 5000 [(1 —■§■) + (1-4)]

I (max) = +    375k

l (min) — — 10 875 k I (max) = + 15400 k 1 (min) = —    530 k .

0 = X₄.2 + (1000 + 5000) [(| + ... I) 8 + (|. 8-2) + (|. 8-4) + (4. 8-6)] X₄ = — 48 000 k.

0 — X₅.2 + (1000 + 5000) [(4 +... -f) 8 + (f. 8 — 2) + (f . 8 — 4) + (4.8 — 6)] X₅ = + 48 000 k.

0 = - f₄ —1000 [4 +... 4 — (i — I) — (i — I) — (1 — 4)]

-5000 (4 + ..+) +5000 [(1 — 4) + (1 —f) + (1—4)1

(max) = + 3250 k (min) = — 6750k f (max) = + 9550 k 1 (min) = — 4600 k.

Die nun folgenden Momenten-Gleichungen beziehen sich allemal auf den Theil der Construction, welcher rechts von der betreffenden Schnittlinie liegt.

0 = - X₅ . 2 - (1000 + 5000) [($+..,.$)6 + ($.6-2) + ($.6-4)]

X₅ (min) = — 4 5 000 k.

0 = Ze.2-(1000 + 5000) [($ + ,..$)« + ($. 6-2)+ ($.6-4)]

X₆ (max) = + 45000k.

0 — Y 1000 [$+...$    (1    $)    (1 — f)    (1    i)]

+ 5000 ($+...$) - 5000 [(1 - $) + (1 - $) + (1 -1)]

(max) = + 6750 k (min) = — 3250 k I (max) = +4600 k l (min) = — 9550k.

0 = - X₆.2 - (1000 + 5000) [($+...$) 4 + ($. 4 - 2)]

Xg (min) = — 36 000k.

0 = X₇ . 2 - (1000 + 5000) [($...$) 4 + ($. 4 — 2)]

Zu (max) = + 36 000 k.

0 =--F. + 1000 [$+... $-(l-$)-(i-$)]

+ 5000 ($+...$)    5000 [(1 f) + (1    $)]

(max) - + 10 875 k (min) = — 375 k (max) = + 530k (min) = — 15400k.

0 = — X₇.2 — (1000 + 5000) ($+... $). 2 X₇ (min) = — 21000k.

0 = X₈ . 2 — (1000 + 5000) ($ + ...$). 2 X₈ (max) = + 21000k.

0 = - ^7 + 1000 [$+...$- (1-1)] + 5000(1+ ...$) -5000 (1 -1) (max) = + 15 625 k (min) = + 1875k I (max) = — 2650k l (min) = — 22100 k.

Die Diagonale Y₈ trifft mit keinem Verticalständer an einem unbelasteten Knotenpunkte zusammen, da der Punkt R wegen des hier angreifenden Auflagerdrucks W als ein solcher nicht angesehen werden darf. Es ist folglich die bei der Bestimmung der übrigen Grössen Y befolgte Regel hier nicht anwendbar. Man erkennt indess leicht, dass die verticale Seitenkraft von F₈ also

ausser dem Gegendruck W des Auflagers und der Spannung

des letzten Verticalständers die einzige Verticalkraft ist, welche

Fig. 57.

0008-

+21000

S59SI+

an dem Punkte E angreift. Es ist folglich bei voller Belastung:

rs

f TP— 3000 = 0

und erreicht demnach Ys seinen grössten negativen Werth, wenn W am grössten wird, d. h. bei voller Belastung des Trägers, wobei wird. Es ist daher:

yr

48 00 0 k

-21000

+3G00Ü

r₈ (min) =— 21000 • V2 = — 29 700k.

ers -

51801+

gestellt.

Die Resultate sind in Fig. 57 zusammen

-36000

'W

0558-

+ 45000

0SI9 +

-45000

>>

0558 +

+ 48000

0SL9-

-48000

S1S +

+45000

SŁ80T-

-45000

»VA*

00098 +

S59ST-

- 36000

+21000

oooiz-

ootm-

§ U.

Abgeleitete Formen.

Die Betrachtung der oben gefundenen Momenten-Gleichungen und Vergleichung der dem Fortlassen der positiven und negativen Glieder entsprechenden Belastungszustände mit den Resultaten lässt erkennen: dass das früher bei der Berechnung des parabolischen Trägers gefundene Gesetz hinsichtlich der Diagonal-Spannungen auch für einen Fachwerk-Träger gültig ist. Die Spannung der Diagonale eines bestimmten Feldes wird immer dann ein Maximum resp. Minimum, wenn die eine Seite des Trägers (von diesem Felde an gerechnet) belastet ist.

Betrachtet man ferner den obigen Träger Fig. 57 von der Kehrseite, so erhält man die Spannungszahlen für einen Träger, dessen Diagonalen von links nach rechts ansteigen (statt von rechts nach links). Sollen die Diagonalen als Zugbänder construirt werden, welche unfähig sind, eine Druckspannung anzunehmen, so müssen in der Anordnung des Diagonalen-Systems folgende Aende-rungen vorgenommen werden: erstens, in allen den Feldern des obigen Trägers,

wo

die Diagonale immer gedrückt wird, muss dieselbe vertauscht werden mit einer Diagonale des entgegengesetzten Systems; zweitens: in allen den Feldern, wo die Diagonale abwechselnd gezogen und gedrückt wird, muss eine Diagonale des entgegengesetzten Systems hinzugefügt werden.

Um diese Aenderungen leicht übersehen zu können, sind in Fig. 58 und Fig. 59 zwei Träger mit entgegengesetzten Diagonalen-

Fig. 58.

NS

.X

Systemen übereinander gestellt und durch eingeschriebene Plus-und Minus-Zeichen die Arten der Spannungen angedeutet. Man

Fig. 59.

//

//

y/C 4

yy

erkennt sogleich, dass die Ausführung jener Aenderung zu der in Fig. 60 dargestellten Construction führt, in welcher sämmtliche

Fig. 60.

s+

<+

s+

Diagonalen nur Zugspannungen annehmen. Die grössten Werthe dieser Zugspannungen kann man aus den Figuren 58 und 59 sofort abschreiben, wenn man sich zu den betreffenden Plus-Zeichen allemal den Betrag des Maximum aus Fig. 57 hinzugefügt denkt.

Da in einem Vertical Ständer nur dann Zugspannung entstehen kann, wenn die an den unbelasteten Endpunkt (Fusspunkt) derselben anstossende Diagonale Druckspannung annimmt, letzterer Fall aber in Fig. 60 nicht vorkommt, so kann hinsichtlich der Ver-ticalständer in Fig. 60 nur von Druckspannungen die Rede sein. Es kommen also nur die Werthe V (min) in Betracht und zwar

diejenigen, welche der neuen Anordnung des Diagonalen-Systems entsprechen, d. h. für die linke Seite die Werthe aus Fig. 58, für die rechte Seite die Werthe aus Fig. 59.

Fig. 61.

OOOfS-

-21000

OUOIZ-

-36000

+ 21000

539SÏ-

°o

— 45000

+ 36000

S1801-

-48000

% S

+ 45000

vV.

0SŁ9-

+45000

là

SL80X-

--15000

+36000

SZ.9SX-

-36000

-21000

+21000

1-9

OOOIE-

oooxs-

Was endlich die horizontalen Stangen X, Z betrifft, welche bei voller Belastung des Trägers am stärksten gespannt werden, so ist leicht zu erkennen, dass auf der linken Seite die links ansteigenden, auf der rechten Seite die rechts ansteigenden Diagonalen bei voller Belastung in Thätigkeit gerathen und sind demnach für die linke Seite die Werthe aus Fig. 58, für die rechte Seite die Werthe aus Fig. 59 als die für den neuen Träger geltenden anzusehen.

Auf diese Weise kann man die oben gefundenen Resultate benutzen, um ohne neue Rechnung für einen Träger von der Form Fig. 60 die Spannungszahlen in die Figur einzutragen, wie das in Fig. 61 geschehen ist.

Wenn umgekehrt die Diagonalstangen so construirt sind, dass sie nur Druckspannung annehmen können — wie das z. B. bei Holz-Construction zu geschehen pflegt — so muss der Träger die Form Fig. 62 erhalten, für welche die Spannungszahlen auf eine der vorigen ganz ähnliche Weise aus Fig. 57 abgeleitet werden können.

Liegt die Fahrbahn unten statt oben, so kann man die unteren Knotenpunkte sowohl für die mobile als für die permanente Last als Belastungspunkte ansehen. Die Spannungszahlen der Horizontal- und Diagonal-Stangen werden dadurch nicht geändert. Nur für die Verticalstangen ergeben sich andere Werthe, welche mittelst des in § 9 gefundenen Satzes: „Diagonalstange und Ver-ticalstange haben da, wo sie an einem unbelasteten Punkte Zusammentreffen, Vertical-spannungen von gleicher Grösse und entgegen-

-21000

Fig. 62.

-36000

-45000

-45000

-3000

+15625

+10 875

+ 6750

+ 3250

S'

\*

ko.

+ 21000

+ 36000

+ 45000

+ 48000

+ 48000

-21000

-36000

Fig. 64.

-45000

-48000

'    -48000

-21000

-15625

-10875

-6750

'ko

ko

-3250

ko

+21000

+36000

+45000

!    +45000

-21000

Fig. 65.

-36000

-45000

-45000

'û>

+21000

ko

+15625

«2J80T +

kb

+ 6750

v.

ko

+21000

+ 36000

+45000

+ 48000

+48000

-21000

-36000

Fig. 67.

-45000

-48000

!    -48000

IOOOIS7

\Çl80Ty

■^6750

-24000

,-21000

15625

10S75

6750

+21000

+36000

+ 45000

+45000

Fig. 68.

-21000

-36000

-45000

-45000

+21000

4Î562&

|SL80l>

lOQiO^

ooos-1

<5S9Ql+

+10875

%>

0619+'

/|

06SS +

v.

ko

Fig. 63.

421000

421000

000IZ'

000984

41562 5

00098-

4 45000

410815

-315

-45000

448000

46150

-3250

-48000

445000

-6150

43250

-45000

000984

-10815

4315

-36000

421000

-15625

-21000

gesetzem Vorzeichen“ leicht bestimmt werden können. Die unbelasteten Punkte sind hier die oberen, also findet man in Pig. 63 die Spannungszahl irgend eines Verticalständers, indem man die Spannungszahl der rechts an-stossenden Diagonale durch y2 dividirt, und das Vorzeichen umkehrt. Aus Fig. 63 lassen sich dann gerade wie bei dem vorigen Fall die beiden abgeleiteten Formen Fig. 64 und Fig. 65 bilden.

Ist die Fahrbahn zwischen Kopf und Fuss an den Verticalständern befestigt, so kann man diese Zwischenpunkte als Angriffspunkte für die permanenten und mobilen Belastungen ansehen. Es sind dann die oberen sowohl als die unteren Knotenpunkte als unbelastete anzusehen, mithin hat jede Diagonalstange mit den angrenzenden Theilen der beiden benachbarten Verticalständer gleiche Verticalspannung, nur von entgegengesetzem Vorzeichen. In Fig. 66 hat z. B. die Diagonale des dritten Feldes^ die beiden Spannungszahlen

-j- 15400 und —530.

Diese Werthe durch y 2 dividirt und mit entgegengesetzten Vorzeichen versehen, geben

— 10875 und + 375

als Spannungszahlen für den oberen Theil des links angrenzenden und den unteren Theil des rechts angrenzenden Verticalständers. Die conséquente Befolgung dieser in § 9 gefundenen Begel führt, sowohl für diese, als auch für die beiden abgeleiteten Formen Fig. 67 und Fig. 68 ohne Schwierigkeit zu den richtigen Spannungszahlen der Verticalständer. Hinsichtlich der Horizontal-und Diagonalstangen aber macht es durchaus

Fig. 66.

-45000

-48000

Fig. 69.

- 45000

2-3000

5L8 +

-10875

%

°o

-6000

//

+ 21000

'Ä

+ 375

721000 a+15625

+45000

+ 45000

00098 +

-45000

Fig. 70.

-45000

15625 lgi+10875

00098-

%3

-3250

+ 6750

X'

+ 45000

XÄ

x\&+

° V

-3250

+ 6750

+ 45000

+ 48000

+ 48000

+ 45000

■10875

+ 6750

-375

-3250

Fig. 71.

-45000

/,

+ 48000

-45000

-480 0 0

-4.3000

-45000

6750

-6750

+ 3250

-6750

-6750 + 3250

+ 3250

+ 3250

+"

+ 45000

+ 45000

+ 45000

/6750

1-10873

+ 3250

A375

Fig. 72.

-45000

-45000

x.

00098 +

+10875

-375

+10875

+ 375

■j—15625

/Zf

xV

+ 6000

Ç>-

+ 1087 5 -375

+ 450 0 0

+ 48000

+ 48000

+ 45000

+ 21000

45625

1-21000

Fig. 78.

- 45000

XX

N&r

c= XV

+ 3250

08L9-

-48000

-48000

0Ç7Æ+

-67 5 0

-45000

«\8l

Esr⁼⁼*/

■421000

,-24000

JA

000

+ 45000

+ 45000

¹

Die Bestimmung der Hebelarme auf dem Wege der Rechnung findet man im 11. Abschnitte dieses Buches.

Zulässigkeit der gemachten Voraussetzungen.

47

keinen Unterschied, ob die Fahrbahn oben, unten oder in der Mitte liegt.

Fig. 74.

tk

5LC-n

ÇL80T T

- 45000

+6000

-45000

-375

F3250

410815 Loi 50

+ 45000

+ 48000

+48000

+ 45000

Endlich bei symmetrischen Trägern mit einfachem Diagonalen-System kommt nur der mittlere Yerticalständer in Frage, da für alle übrigen Stücke die Zahlen unmittelbar aus den Figuren 57, 63 und 66 abgeschrieben werden können. Es ist deshalb in den Figuren 69, 70, 71, 72, 73 und 74 allemal nur das Mittelstück des Trägers dargestellt. Man erkennt bei Betrachtung dieser Figuren leicht, dass die Spannungszahl für den mittleren Yerticalständer entweder 6000 oder 0 sein muss, je nachdem derjenige seiner beiden Endpunkte, an welchen keine Diagonale grenzt, ein Belastungspunkt ist oder nicht.

§ 12.

Bemerkungen über die Zulässigkeit der in Bezug auf die Belastungsvveise gemachten Voraussetzungen.

Es ist hier der Ort, einiger Bedenken zu erwähnen, welche gegen die obige Berechnungsweise erhoben werden könnten, und auf welche schon im Eingänge dieser Abhandlung hingewiesen wurde. Die den vorhergehenden Kechnungen zum Grunde gelegten Annahmen in Betreff der Wirkungsweise der Belastungen entsprechen der Wirklichkeit nicht ganz genau, vielmehr bedürfen streng genommen die Resultate noch einer kleinen Correction.

Erstens: wirkt das Eigengewicht des Trägers wie eine Last, welche über die oberen sowohl als die unteren Knotenpunkte vertheilt ist und nicht, wie oben angenommen wurde, ausschliesslich in denjenigen Knotenpunkten, welche in der Fahrbahn-Linie liegen.

Um den Einfluss des hiermit begangenen Fehlers zu ermitteln, hat man sich zunächst klar zu machen, dass die anzubringende

Correction nur auf die Verticalständer sich beziehen kann, weit die Spannungen aller übrigen Theile ganz unabhängig sind von der Höhenlage der Belastungspunkte. Fasst man einen solchen Verticalständer in Fig. 53 oder Fig. 54 ins Auge und denkt sich den von ihm zu tragenden Antheil an der permanenten Last in richtigem Verhältniss auf Kopf- und Fusspunkt desselben vertheilt, so überzeugt man sich leicht, dass anch in diesem Falle, bei der jetzigen Lage der Lasten, die unmittelbare Anwendung der Methode der statischen Momente auf einfache und sichere Weise zu den entsprechenden Werthen für die Spannungszahlen der Verticalständer führen würde. Einfacher ist es indessen, die Rechnung so zu führen, wie in § 9 und § 10 geschehen — also die in der Fahrbahnlinie liegenden Angriffspunkte der mobilen Last allemal auch als Angriffspunkte der permanenten Last anzusehen, und erst hinterher — wenn dies nöthig erscheint — in folgender Weise die Correction hinzuzufügen: Man denke sich unmittelbar zur Seite jenes Verticalständers noch einen Nebenständer, dessen Function es ist, die gemachten Annahmen in aller Strenge zu verwirklichen. Dieser Nebenständer muss also den vorher unrichtiger Weise zu der Belastung des Fahrbahnpunktes gerechneten Theil der permanenten Last nunmehr wirklich auf denselben übertragen. Er wird als Stütze fungiren, wenn diese Last von oben nach unten, als Hängestange dagegen, wenn diese Last von unten nach oben übertragen werden soll. Seine Spannung ist also negativ, wenn er über der Fahrbahn, positiv, wenn er unter der Fahrbahn liegt, und dem absoluten Werthe nach immer gleich dem zu übertragenden Gewicht. Denkt man sich nachher diesen Nebenständer mit dem Hauptständer zu einem Stück verschmolzen, so ist klar, dass die Hinzufügung der Spannungszahl des Nebenständers zu der vorher gefundenen Zahl des Hauptständers für die totale Spannung nunmehr den richtigen Werth liefern muss.

Um dies an einem Beispiel deutlich zu machen: sei die wahre Massen-Vertheilung in der Construction Fig. 57 so beschaffen, dass von den 1000k permanenter Last zwei Drittel auf den Kopfpunkt und ein Drittel auf den Fusspunkt jedes Verticalständers zu rechnen sind — während früher alle drei Drittel auf den Kopfpunkt gerechnet wurden, da die Fahrbahn oben liegt —. Der hinzu zu denkende Nebenständer hat die Aufgabe, diese frühere Annahme zu verwirklichen, muss also das unten befindliehe Drittel nach oben übertragen und bildet in diesem Falle eine Hängestange, an welcher 333k hängen. Es findet daher eine permanente Spannung von -f- 333k in demselben statt und diese wäre zu den vorher gefundenen Spannungszahlen der Verticalständer überall hinzu zu rechnen, um die genaueren Werthe zu erhalten. Der mit V₃ bezeichnete Verticalständer z. B. bekäme also nunmehr die Spannungszahlen :

V₃ (max) = + 375 + 333 = + 708k V₃ (min) = — 10875 + 333 = — 10542\

Wenn im entgegengesetzten Falle bei unten liegender Fahrbahn z. B. in Fig. 63 ein Drittel der permanenten Last auf den Kopfpunkt gerechnet werden soll — statt dass früher alle drei Drittel unten gerechnet wurden — so würde jeder fingirte Nebenständer eine Stütze bilden, welche das oben liegende Drittel unterstützt und nach unten überträgt, erhielte also die Spannungszahl — 333k, welche überall den Spannungszahlen der Verticalständer hinzuzufügen wäre. Für den mit V₃ bezeichneten Verticalständer z. B. ergäben sich dann die Werthe:

V₃ (max) = -f 3250 — 333 = + 2917k V₃ (min) = — 6750 — 333 = — 7083L

Für diesen Fall ist, wie man sieht, die Correction so unbedeutend, dass die oben gemachten Annahmen allenfalls sich recht-fertigen lassen. Bei grösseren Brücken dagegen, wo die permanente Last gross ist im Vergleich zur mobilen Last, würde diese Correction nicht überflüssig sein.

Ein zweiter Umstand, der zu Bedenken Veranlassung geben könnte, betrifft die Wirkungsweise der mobilen Last. Es ist im Eingänge dieser Abhandlung in Betreff der nachfolgenden Zahlenbeispiele die Voraussetzung angekündigt: dass jedes Feld durch einen besonderen Zwischenträger überbrückt sei, welcher die permanente Last der Fahrbahn und mit ihr die mobile Last trägt. Letztere wird durch den Zwischenträger auf die beiden Knotenpunkte an den Enden des von ihm überbrückten Feldes übertragen, und kommt also nur bei voller Belastung desselben die Hälfte davon auf jeden der Eudpunkte. Die Spannung der Diagonalen und Verticalen wurde nun oben unter der Voraussetzung berechnet, dass alle Knotenpunkte an der einen Seite ganz unbelastet waren, die an der anderen Seite dagegen sämmtlich ihre

Kitter, Dach- und Brücken-Construotionen. 5. Auflage.

volle Belastung hatten. Streng geuommen kann aber der Fall gar nicht eintreten, dass bei allmälichem Fortschreiten der mobilen Last ein Knotenpunkt schon seine volle Belastung hat, während der nächstfolgende noch ganz unbelastet ist.

jene Annahme

Wenn man indessen bedenkt, dass in der Wirklichkeit die mobile Last, wie z. B. ein über die Brücke' fahrender Eisenbahnzug, keineswegs eine continuirlich und gleichförmig vertheilte Belastung bildet, dass vielmehr an den Berührungsstellen zwischen Rad und Schiene der Druck sich concentrirt, und dass im ungünstigsten Falle — wenn nämlich der Radstand gerade gleich der Entfernung zweier benachbarter Knotenpunkte ist sogar in aller Strenge gerechtfertigt ist: so erscheint es, wenn die Zahl der Felder nicht gar zu klein ist, wohl motivirt, von der Genauigkeit ein klein wenig abzuweichen, in einer Richtung, welche höchstens hinsichtlich der Diagonalen und Verticalen zu anderen und zwar etwas grösseren Querschnitten führen kann, und jenen ungünstigsten Ausnahmefall als Regel zu betrachten.

. Vollends verschwinden die beiden hier erwähnten Bedenken in solchen Fällen, bei welchen einerseits durch die grössere Anzahl der Felder die Ungenauigkeit der letzteren Voraussetzung sich noch mehr vermindert, und wo ausserdem das Nichtvorhandensein der Vertical-ständer eine von der vorigen etwas abweichende, der Wirklichkeit mehr entsprechende Berechnungsweise von selbst mit sich bringt. Aus diesem Grunde erscheint die nachfolgend berechnete Construction vorzugsweise geeignet, um für die Anwendung der obigen Theorie als Beispiel gewählt zu werden.

§ 13.

Fachwerkträger mit gleichseitigen Dreiecken.

(Trent-Brücke bei Newark.)

Jede Tragwand hat, wie Fig. 75 zeigt, 27 Felder von der Form gleichseitiger Dreiecke, deren Spitzen abwechselnd nach oben

Fig. 75.

i—a

--------------------------359.'---------------

2    3    4 N 5    6    7.7    6

wm.

év

und nach unten gekehrt sind. Die Fahrbahn liegt unten und wird zur einen Hälfte direct durch die unteren Knotenpunkte unterstützt,

zur anderen Hälfte wird sie von den verticalen Hängestangen getragen, welche an den oberen Knotenpunkten aufgehängt sind. Es wird demnach von der permanenten sowohl als von der mobilen Last stets die eine Hälfte von den oberen, die andere Hälfte von den unteren Knotenpunkten getragen. Der ganze Träger ist aufgehängt an den beiden Bolzen A und B, deren jeder von "einem dreieckigen gusseisernen Bock getragen wird, welcher mit der Basis auf dem Landpfeiler ruht. Die Entfernung dieser beiden Aufhängepunkte beträgt 259 Fuss, die Seitenlange jedes Dreiecks also

259

14

18,5 Fuss. Die Höhe der Tragwand ist ^^-tg60° = 9,25-1,73.

Li

Wenn man also, wie im Folgenden geschehen soll, die Länge von 9,25 Fuss zur Längen-Einheit wählt, so ist die Seitenlange jedes Dreiecks = 2, die Höhe = 1,73, die ganze Länge des Trägers = 28 zu setzen.

Das Gewicht der ganzen Brücke beträgt 589 Tonnen, wovon

589

auf jede der vier Tragwände ^ = 147,25 Tonnen kommen. Die

mobile Last zu 1 Tonne pro laufenden Fuss für jedes der.^ beiden

129,5 Tonnen für jede Tragwand

2.259

Gleise gerechnet, würde —-—

4

betragen. Die totale Belastung eines Trägers ist also im Maximum: 147,25 + 129,5 = 276,75 Tonnen;

Tonnen, wofür in

,    ,    „ . ,    ^ Ł    276,75

davon kommen aut jeden Knotenpunkt —

runder Summe 10 Tonnen gerechnet sind. Von diesen 10 Tonnen wäre zwar genau genommen etwas mehr für die permanente als für die mobile Last zu rechnen — da diese beiden wie 147,25: 129,5 sich verhalten — doch ist im Folgenden der leichteren Kechnung wegen jede zu 5 Tonnen gerechnet — eine Annahme, welche hinsichtlich der horizontalen Stangen keine Aenderung bedingt, nur für die Spannungen in den Streben zu etwas grösseren Werthen führt und allenfalls gerechtfertigt erscheint, wenn man erwägt, dass die Grösse der mobilen Last nie so genau festgestellt werden kann und auf manchen Bahnen zu mehr als 1 Tonne pro laufenden Fuss angenommen wird.

Da die verticalen Stangen, wie oben schon erwähnt, nur als Hängestangen fungiren, welche die halben Lasten auf die oberen Knotenpunkte übertragen, so kann man bei der Berechnung der Spannungen dieselben ganz unberücksichtigt lassen und statt dessen

4*

die oberen Knotenpunkte direct belastet ansehen. Die Belastungsweise des Trägers gestaltet sich dann so, wie in Fig. 76 durch die Pfeile und eingeschriebenen Zahlen angedeutet ist.

Fig. 76.

45

lä

lä

lä

ls

Ca

Ca

Sr

iä

-5

,5

Berechnung der Spannungen X und Z in den oberen und unteren horizontalen Stangen.

Trennt man durch den Schnitt a ß den Theil Fig. 77 von

dem anderen Theile des Trägers und stellt man für das abgeschnittene Stück die Momenten - Gleichungen auf, indem man einmal den Punkt M und einmal den Punkt N als Drehpunkt wählt,

ÄL

Zl

Fig. 77.

6 X    /

I \a    /

J.5    U \ JS/ -yr

Zt

Zs.

•lä

45

lä

so erhält man die Gleichungen:

0 =    • 1,73    +    D    •    7    — 5 (1 + 2 + 3 + 4 +£5 + 6)

— 5(l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

0 = -Z±-    1,73    +    D    • 8 — 5(l + 2 + 3 + 4 + 5 +    6    +    7)

— 5(l + 2 + 3 + 4 + 5 +    6    +    7).¹

Substituirt man in diesen Gleichungen für D seinen Werth:

D — 5 (+ + TS “t" ' • • Tg) + 5 (gg + TJS • • ' Ił)

und stellt die von einer und derselben Belastung herrührenden Glieder allemal zusammen, so nehmen sie die Form an:

0 = Z₄-1,73

r)7+(« • 7-l)+(H • 7-2)+... (ff. 7-6)] )7+(fI • 7-1)+(ff • 7-2)+... (ff • 7-6)].

fcOjtO toifco

+ 5[(2¹8+¥²g+...

+ 5[(++++...

• • •

+⁵[(ï8 + 5S+ • • •

fcdt© toi to

CC|© CD)©

)8+(f 1-8-1)+(ff.8-2)+. . . (11*8-7)] )84(M-8-l)4(ff.8-2)4... (11*8-7)].

Man erkennt bei dem Anblick dieser Gleichungen sofort, dass alle von der mobilen Last herrührenden Glieder einerlei Vorzeichen haben, dass also das Weglassen irgend einer Belastung die absoluten Werthe von Xi und ZL nur verkleinern kann.

Wenn man sich auf diese Weise davon überzeugt hat, dass bei diesem Träger (wie überhaupt bei allen Fachwerkbrücken) die horizontalen Stangen bei voller Belastung am stärksten gespannt werden, so kann man nun auch kürzer, indem man für D seinen numerischen Werth bei voller Belastung, nämlich:

D = 10 (44 ^8 “h • • • f-g) =135 Tonnen

eiuführt, und die Glieder, welche die permanente und mobile Last enthalten, verschmilzt, den Gleichungen von vornherein die Form geben:

0 = X₄ • 1,73 4 135 • 7 — 10 (1 4 2 4 ... 6)

0 = — Z₄-1,73 4 135 • 8 — 10 (1 4 2 4 ... 7).

Die Auflösung dieser Gleichungen ergiebt die Werthe:

X₄ (min) = — 425 Tonnen Zé (max) = 4 462 Tonnen.

Auf gleiche Weise erhält. man für die übrigen X und Z folgende Gleichungen:

0 = Xx. 1,73 4 135.1

Xj (min) = — 78 Tonnen.

0 = —    . 1,73 4 135.2 — 10.1

X, (max) = 4 150 T.

0 = X₂.1,73 + 135.3 — 10 (1 4 2)

X₂ (min) = — 216 T.

0 = — X₂.1,73 4 135.4 — 20 (1 4 2 4 3)

X₂ (max) = 4 277 T.

0 = X₃ . 1,73 4 135.5 — 10 (1 + 2 4 3 4 4)

X₃ (min) = — 332 T.

0 — — Z₃. 1,73 4 135.6 — 10 (1 -f 2 4 3 + 4 4 5)

Z₃ (max) = 4 381 T.

0 = X₅ . 1,73 4 135.9 — 10 (l 4 2 4 ... 8)

X₅ (min) = — 494 T.

0 = — Z₅.1,73 4 135.10 — 10 (1 4 2 4 ... 9)

Z₅ (max) = 4 520 T.

0 = X₆ .1,73 + 135.11 — 10 (1 + 2 + ... 10)

X₆ (min) - — 540 T.

0 = — Z₆ . 1,73 + 135.12 — 10 (1 + 2 + ... 11) Z,g (max) = -j- 555 T.

0 = X₇. 1,73 + 135.13 — 10 (1 + 2 + ... 12)

X₇ (min) = — 564 T.

0 = — Z₇. 1,73 + 135.14 — 10 (1 + 2 + ... 13) Z₇ (max) — —)— 566 T.

Berechnung der Spannungen Y und U in den Streben.

Da die Streben einen Winkel von 60° mit der Horizontalen bilden, so sind die verticalen Seitenkräfte der Strebenspannungen respective :

Y• sin 60° und U- sin 60° oder: Y • 0,866 und U-0,866.

Fig. 78.

j,5

GO⁰/

1&

WÓ /

V*

Man erhält also beispielsweise für die beiden Stücke Fig. 78 und Fig. 79, indem man für jedes derselben die algebraische Summe der Y erticalkräfte gleich Null setzt, zur Bestimmung von Y₄ und U₄ die beiden Gleichungen :

O = Y₄ • 0,866 — D + 5- 6 + 5-6 0 = — U₄ • 0,866 — D + 5- 7 + 5-7,

Fig. 79.

welche, wenn man darin für D seinen Werth

5 GV “h    • • • f i)

+ 5 (ji-g -f-    ... ff)

substituirt und die von den einzelnen Belastungen zu dem Drucke D gelieferten Beiträge jedesmal zusammenstellt mit den direct von ihnen hervorgebrachten Yerticalkräften, die Form annehmen:

DA

IL

u.

U,

60“'

V5

l.

iö

u*

0=F₄.0,866-ô[*+A+...H-(l-îî)-(l-H)--(l-«)]

ft)+(i ft)4~’--(i II)] 0 =    L^-0,866 5[^-|-/g-}-...ff (1 fl) (1- !f)4~”-(l II)]

to co

L-jCC

-ö(A+A+...ft)    +5[(i-f|)+(i-||)+...(i-    )].

Die von der mobilen Last herrührenden Glieder haben nicht einerlei Vorzeichen in diesen Gleichungen; es kommt also die oben gegebene Kegel zur Anwendung: man lässt einmal die positiven und einmal die negativen Glieder (von den die mobile Last betreffenden) fort, und es ergeben sich dann folgende Gleichungen:

0 —■ ^4'0,866    5    +    +    — Yg /g—••• 2ïï)

-6(*+* + ...łł)

F₄ (max) == + 91 T.

• ■ • gg)

Il gg~rgg

F₄ (min) = —|— 39 T.

0 —    • 0,866    5 CTg-f-Tg ~h • • • II    gg

+ 5 (/g-+1¹« H⁻ • • • gg )

Tg • • • Tg)

UA (max) = —32 Ï.

0 —    • 0,866    5 (“f⁻4~ • • •

o (gg + te + •    )

toi to

c|x

gg gg • • • gg )

tO|fcO

O GO

Ï7₄ (min) = — 81 T.

Es zeigt sich, dass für F₄ nur das Maximum und für Ï7₄ nur das Minimum in Betracht kommt, und hätte also die Berechnung von F₄ (min) und UA (max) erspart werden können. Es ist jedoch im Allgemeinen rathsam: für jede Stange Maximum und Minimum der Spannung zu berechnen und erst dann, wenn man sich überzeugt hat, dass beide einerlei Zeichen haben, den kleineren der beiden absoluten Werthe unberücksichtigt zu lassen.

Genau auf dieselbe Weise wie liier an den beiden Stücken F₄ und Z74 als Beispielen gezeigt wurde, erhält man für die übrigen Y und U die nachfolgenden Gleichungen:

0 — F • 0,866 — 5 GV + A+ • • • Ił) 5 GV + -is • • • Ił)

Y\

/ (max) = -f- 156 T.

I (min) =+ 78 T.

0 = — Ux. 0,866 - 5 GV + * + ..• Ił - *) - 5 GV + łs + •••!!) + 5. *

/ (max) = —72 ï.

I (min) = — 144 T.

^ ⁼ ^2 • 0,866    5 (A + A + • • • ft — A — A) — 5 (A + • • • II)

+ ⁵ (A + Ts)

(max) =    133    T.

(min) =-J- 66 T.

^    ^2 • 0,866    5 (-gV 4~...ff    A A A) — 5 (A -f" • • • II)

+ 5 (A + A + A)

(max) — — 59 T.

(min) — — 122 T.

0=r,.0,866 -5 (*+...|i-irV-...-*)-5(TV)+ ••■«)

+ ⁵ (A + • • • A)

(max) = -(-112 T.

(min) = -j- 53 T.

0 =    U₃.0,866    5 (4g- 4- • • • Ił    Ts    • • • — A) — 5 (A 4- • • • Ił)

“f- 5 (A + • • • A)

(max) = — 46 T.

(min) = — 101 T.

0 — 15 • 0,866    5 (A +•••It — Ts ~ • • • — Vs) — 5 (ts “)“••• |f)

+ ⁵ (A + • • • A)

(max) = 4-71 T.

(min) =-(-24 T.

0 =    O'«. 0,866 - 6 (*4-... ff-A-...-*)-5 (* + ... Ił)

+ ⁵ (łs + • • • Ts)

(max) = — 17 T.

(min) = — 61 T.

0 — ^6 • 0,866    5 (A +•••II It • • • A) — & (tV + • • • II)

+ 5 (it 4- ••• A)

(max) = 4-52 T.

(min) = 4 9 T.

0 — Uq. 0,866    5    (A 4“ ••• if II • • ■ A) 5 (A H⁻ • • • lt)

-f* 5 (H -f- •. • A)

(max) = — 0,8 T.

(min) = — 42 T.

0 = Y₇.0,866    5 (A + • • • lt Ił • • • — A) — 5 (A "f* • • • II) _

+ ⁵ (Il + ... A)

(max) = 4-34 T.

(min) = — 7,4 T.

0 = U₇.0,866    5    (A + ••• Il — lt — ... — A) 5 (A -)-••• II)

+ ⁵ (if 4~ • • • A)

(max) = -|-16 T.

(min) = — 25 T.

r>{

u, {

U, j

y,,

u‘{

v, {

r,{

u, {

Da der Träger in Beziehung auf die verticale Mittellinie vollkommen symmetrisch geformt ist, so erhalten die gleichliegenden

Fig. 80.

Fig. 81.

+ 5 55

-555

-554

+ 566 Mitte

-5/88

-5G4

QO

CO

+ 555

in

in

iO “5/88

—540

+ 5,88

+ 520

520

-5,88

-404

CG

GO

+462

Stücke auf der anderen Hälfte genau dieselben Spannungen und brauchen deshalb nicht besonders berechnet zu werden.

Was die verticalen Hängestangen betrifft, so hat jede derselben ausser den 5 Tonnen mobiler Last noch ihren An-theil an der permanenten Last zu tragen, welche einen Theil des Eigengewichts bildet, liegt unten und stützt sich zum Theil auf die unteren

der Diagonalen, zum Theil auf die unteren Endpunkte der Ver-ticalstangen. Das Gewicht der Fahrbahn beträgt 24,75 Tonnen; davon kommt auf jede der 28 Abtheilungen

Die Fahrbahn,

Durchschnittspunkte

24,75

-425

4'

+425

28

0,88 Tonnen.

+ 5,SS

+ 381

n -5,88

-332

+ 332

+ 5,88

+ 277

ei -5.88

-210

+ 3,88

-78

+150

o

£-5,88

+ 210

•*-78

Jede Verticalstange hat also im Maximum 5 Tonnen -\- 0,88 Tonnen zu tragen, und ist daher die Spannungszahl überall == -f- 5,88.

Die Resultate der obigen Rechnungen sind zur bequemeren Uebersicht in Fig. 80 zusammengestellt.

Vertauscht man in Fig. 80 überall die Plus- und Minus-Zeichen, so gelten die Spannungszahlen für einen Träger von der umgekehrten Form Fig. 81, welcher unten aufliegt und in welchem die Vertical-stangen als Stützen wirken.

§ 14.

Zusammengesetzte Fachwerkträger und Gitterbrücken.

Um den Zusammenhang zwischen den einfachen Fachwerkträgern und Gitterträgern möglichst deutlich hervortreten zu lassen, soll den in diesem Paragraphen zu berechnenden Zahlenbeispielen als Grundform überall der in § 10 berechnete einfache Fachwerkträger von 16m Spannweite und 48000 Kil. Totalbelastung zum Grunde gelegt werden.

Die für diesen einfachen Träger gefundenen, in Fig. 57 zusammengestellten Spannungszahlen würden sämmtlich zu halbiren sein, wenn die Belastung nur halb so gross wäre, als bei der Berechnung oben angenommen wurde. Wenn man sich zwei solcher Träger mit halbirten Spannungszahlen — Einen mit links ansteigenden Diagonalen nach dem Schema Fig. 57, Einen mit rechts ansteigenden Diagonalen nach dem Schema Fig. 63 construirt und belastet — so hinter einander gestellt denkt, dass sämmtliche Stücke mit Ausnahme der Diagonalen einander decken; so erhält man einen Träger mit gekreuzten Diagonalen, die sowohl Zugais Druck-Spannung anzunehmen fähig sind, und die Spannungszahlen, welche man erhält, wenn man da, wo zwei Stangen zusammenfallen, die beiden Spannungszahlen jedesmal addirt, die der übrigen aber unverändert lässt, würden als für diesen neuen Träger gültig beizubehalten sein, wenn die Belastung zur Hälfte in den oberen, zur Hälfte in den unteren Knotenpunkten ihre Angriffspunkte hätte. Für jeden Verticalständer mit Ausnahme der über den Auflagern befindlichen würde sich dann die Spannungszahl Null ergeben, weil in jedem das Maximum des einen Trägers mit dem Minimum des Andern allemal zusammentrifft. Eine solche Lastvertheilung kann man sich durch Nebenständer verwirklicht denken, welche, wenn die ganze Last oben angreift, als Stütze die eine Hälfte nach unten übertragen und, wenn die ganze Last unten angreift, als Hängestangen die eine Hälfte nach oben übertragen. Wenn dagegen die ganze Last zwischen Kopf und Fuss angreift, so kann man sich den unteren Theil als Stütze, den oberen als Hängestange fnngirend denken. Jede Stütze erhält also — 3000, jede Hängestange 3000 als Spannungszahl. Auf diese Weise sind die in Figg. 82, 83, 84 eingeschriebenen Spannungszahlen entstanden. (Um die Figuren nicht unnöthig zu überladen, sind in Fig. 83 und Fig. 84 die Zahlen für die Horizontal-und Diagonal-Stangen weggelassen. Es gelten für sie dieselben Zahlen wie in Fig. 82.)

Mitte

—10500

-28500

-40500

-46500

— 4G 500

Fig. 82.

-13500

-3000

0008- /

0008" /

M

0008- /

-3000

+10500

+ 28500

+ 40500

+46500

+46500

Fig. 83.

-10500

+3000

0008 +

0008 +

+ 3000

0008 +

Fig. 84.

vl3500 «11-10500.

0008+1

+3000

00080

OOOS+i

+3000

4300 0

/3000

OOOS7

/-3000

OOO87

um

je nachdem

Wenn man zwei Träger mit halbirten Spannungszahlen — beide nach dem Schema Fig. 57 construirt und belastet eine halbe Feldlänge gegen einander verschoben hinter einander gestellt zeichnet und wiederum die Spannungszahlen von je zwei einander deckenden horizontalen Stangen addirt, so erhält man einen doppelten Fachwerkträger Fig. 85, für welchen die eingeschriebenen Spannungszahlen gültig bleiben, wenn der Träger so unterstützt ist, wie in Fig. 85 angegeben. Liegt die Fanrbahn unten oder in halber Höhe des Trägers, so sind resp. Fig. 63 und Fig. 66 in gleicher Weise zu benutzen und man erhält daraus Fig. 86 und Fig. 87, in welchen letzteren beiden die Zahlen für die Diagonal- und Horizontal-Stangen weggelassen sind, da für sie dieselben Zahlen wie in Fig. 85 gelten. Sollen bei einem solchen Träger die Diagonalen so construirt werden, dass sie nur Zugspannung annehmen können, so erhält derselbe

60

Fig. 85.

Dritter Abschnitt. § 14. Fig. 86.

Fig. 87.

-1500

fïïlSOO

-1500

"ST

<3-1500

+1812

+ 10500

+10500

+7812

Si

4P

Ol

+1812 i

+10500

+10500

+7812

o¹

r1.

«S

+ 5431 V; -181

+    +7812

+ 7812

I? y

+ 5437 -187

+ 5-131 -181

Sil

'W

-i

+    +7812

+ 7812

L

Igr

+ 5437 -187

+3315?

-1625

+    +5437

-187

+ 5437

-187

+3375

-1625

SI

+3315?

-1625

-H

+    +5437

-187

+ 5437 -187

+3375

-1625

-3315? +1625 ¹

?    +3375

-1625

+ 3375 -1625

la

-3375 + 162 5

-3315? + 1625

LD

CO

-5431

+187

-48000

?    +3375

-1625

+ 3375 -1625

,7f

-3375 + 1625

?    -3375

+ 1625

-3375 + 1625

-5437 + 187

-5437?

+181

?    -3375

+ 1625

-3375

+1625

-5137 + 187

-1812?

+    -5437

+ 187

-5437 + 187

-7812

ua

oo

—7812 ?

?    -5437

+ 187

- 5437 + 187

-7812

-10500?

+    -7812

-7812

-10500

00

—10500 I

+    -7812

-7812

-10500

<0/

-12000?

0    "10500

|0 -10500

«4-12000

es

die Fahrbahn oben, unten, oder in der Mitte liegt, die Form und Spannungszahlen der Figuren 88, 89 und 90, in welchen letzteren beiden für die Diagonalen und Horizontalen dieselben Zahlen gelten wie in Fig. 88.

-12000

(T

©

00061"

-10500

• C

co

er

o

-10500

g

co

-7812

it

t7812

T5437

--

-5137

—

oo

-3375

°3375

CO

t5437

Fig. 88.

3s

j-1050 0 t>

-10500 t>|

-7812    +

-7812 +

u-5

OO

-5437

-5437    ₊

0)

-3375 +

CT

-3375    +

c. '

-1625 +

O-

-1625

-3375 +

Fig. 89.

]-10500l>

-10500 Ml

I-

-7812

-5437

-5437

-3375

-3375

-1625

-1625

^3375

Fig. 90.

kooou-

kl 000ŁI-

-10500

-10500

-7812

-7812

-5137

-5437

-3375

-3375

-5431

Die in den letzteren 6 Figuren dargestellten Constructions-formen würden jedoch eine Länge des Trägers von 17 (statt von 16) Metern bedingen; auch würden die eingeschriebenen Spannungszahlen nur dann als gültig zu betrachten sein, wenn an jedem Ende des Trägers wirklich zwei Unterstützungspunkte vorhanden wären. Wenn die ursprüngliche Spannweite und Unterstützungsweise beibehalten werden soll, so kann man statt der obigen auch die in Fig. 91 dargestellte Form wählen, welche aus den beiden einfachen Systemen Fig. 92 und Fig. 93 sich zusammensetzt.

Die Spannungszahlen dieser Figuren beziehen sich auf den Fall, in welchem die oberen Endpunkte der Yerticalständer als Belastungspunkte, sowohl für permanente als mobile Belastungen

Cl

to

Dritter Abschnitt. § 14.

Fig. 91.

0    —13500

Fig. 92.

Fig. 98.

-1500

-12000

0009+    0009-

,- + 9156

+6000

+9156

0009+

+7812

/    +7812

—16500 —25500 —33000 —39000 -43500 —46500 -48000 —48000    —46500 — 43500    —39000 —33000 —25500 —16500

xv

JT

xv

.4

x*

X*

XV

— 6000

+15000

+6625

/+54S7 —187 V

/+4406 —906 /

/+337Ô —1625 /

+2500

-2500

"+1625

-3375

'+906

-4406

'+187

—5437

—6625

-7812

-9156

^10500

-12000

XV

—12000 V—24000

—10500

+5437

—187

—15000

+ 6625

00015t

T3

—18000

+4406

—906

lO

'X)

—22500

-24000

+3375

-1625

%r

+1625

—3375

vW

xv

—21000

—24000

JW

XS

+24000

+2500

—2500

x*

+24000

+906

-4406

-r

co

'

zD

+187

—5437

—7812

N>'

X>

$/ .

—10500

XV

—12000

+10500

00015-

—21000

—15000

0009—

/W

—6025

— 915G

—12000

-1-21000

+15000

0009+

—12000

0009-

angesehen werden dürfen. Unter dieser Voraussetzung findet man die Spannungszahlen für Fig. 92, indem man die in Fig. 57 angegebenen Zahlen durch 2 dividirt. Die Spannungszahlen für Fig. 93 dagegen würden unter Zugrundelegung halber Belastungszahlen, also von 4000 Eil. permanenter und 20000 Eil. mobiler Belastung neu zu berechnen sein.

Hinsichtlich dieser Berechnung, welche im Uebrigen ganz auf dieselbe Art wie in § 10 ausgeführt werden kann, ist nur das

Eine zu bemerken: dass hier abweichend von allen früheren Fällen für den ersten und letzten Verticalständer ausser der in dem unteren Theile stattfindenden Druckspannung auch noch eine Biegungsspannung sich herausstellt (weshalb diese beiden Stangen in den Figuren durch Doppellinien gekennzeichnet sind). Man erhält nämlich, wie aus Fig. 94 zu ersehen ist, für die drei Stangen im ersten Felde die Gleichungen :

0 = X - 2 -f 12000 • 1 (Drehpunkt P), X = — 6000 Eil.

L,— 12000, F=+ 16971 Eil.

Fig. 94.

Q-

->X

12 000

0 =Y-

0 = — Z- 2 — 12000 • 1 (Drehpunkt 0), F = — 6000 Eil.

Da X und Z beide negativ, also Druckspannungen sind, so wird der erste Verticalständer auf die in Fig. 95 dargestellte Art von den 4 auf ihn wirkenden Eräften im Gleichgewicht gehalten und befindet sich — abgesehen von der ausserdem noch in seiner unteren Hälfte stattfindenden Druckspannung von 12000 Eil. in demselben Zustande, wie ein an beiden Endpunkten unterstützter in der Mitte mit 12000 Eil. belasteter Balken. Dieselbe Figur veranschaulicht zugleich den Spannungszustand des letzten Verticalständers.

Um solche Biegungen zu vermeiden, kann man den Diagonalen des ersten und letzten Feldes auch die in Fig. 96 angegebene Stellung geben, in welchem Falle man z. B. für die drei Stangen des ersten Feldes statt der

Fig. 95.

600cT

6000

1697J

12 000

05

Fig. 96.

Fig. 99.

-1500

+9156

0009+

4-9156

—6000

+15000

+6625

—16500 -6000

Xi-7812

+33000 +25500 +16500 A

obigen die folgenden Gleichungen erhalten würde (s. Fig. 97 und Fig. 98):

0 = X- 2 -j- 12000-1 (Drehpunkt P),

X= —6000 Kil.

12000,

0 = Y-

-15000

+21000

y 2*-1-1

Y= + 13416 0 = — Z-2 (Drehpunkt «/), Z= 0.

+4406

-906

—21000

SW

+24000

+2500

-2500

—24000

+24000

+ 906

—4406

—24000

/iw

'■ł

+21000

— 6625

—21000

+15000

—9156

—15000

0009+

0009-

-12000

V#

-12000

-16500 —25500 —33000

-10500

—12000

+ 6000    +16500

■^—24000

Aehnliche Abweichungen ergeben sich hinsichtlich der Stangen des letzten Feldes. Die Stangen der übrigen Felder werden durch eine solche Lagenveränderung der ersten und letzten Diagonale in keiner Weise affi-cirt, behalten also dieselben Spannungszahlen wie in Fig. 93. Wenn man dieses System Fig. 96 dann wieder mit dem anderen einfachen Systeme Fig. 92 zusammenstellt, so erhält man die Figur 99, in welcher nur für die Stangen der ersten und letzten Felder die Spannungszahlen angegeben zu werden brauchten, da im Uebrigen die Zahlen mit denen von Fig. 91 vollkommen übereinstimmen.

Die beiden Figuren 91 und 99 kann man nunmehr wieder als Haupt-

figuren benutzen, um eine Reihe von anderen Figuren daraus abzuleiten je nach Verschiedenheit der Lage der Belastungspunkte

und der Diagonalen. So z. B. würde man auf gleiche Weise wie in § 11 erklärt wurde für den Fall, dass die Diagonalen als Zugbänder construirt sind, also keine Druckspannungen annehmen können, statt der beiden vorigen die Figuren 100 und 101 erhalten, in welchen wegen symmetrischer Form die eine Hälfte des Trägers weggelassen werden durfte, da die einander symmetrisch gegenüberliegenden Stangen der linken und rechten Hälfte gleiche Spannungszahlen erhalten.

Fig. 97.

Fig. 98.

■X

6000"

13416

12

ï ⁰⁰⁰ i -

12 000

Fig. 100.

-16300    —25500    —33000    -39000

—43500    —46500    —48000    —.48000 ; —48000

—12000

/'

<8X

—24000

-12000

—10500

9'.‘16 —,

SS99⁻/-

—4406

X4>

BLSg-y

/A —6000    +6000    +16500    +25500    + 33000 +39000    +43500    +46500 j +46500

Denkt man sich in Fig. 91 die Yerticalstangen durch Diagonalstangen ersetzt, welche von links nach rechts unter einem Winkel

Fig. 101.

—16500

—25500

—48000 i —48000

ooois—

—12000

—10500

+6000

+46500 i +46500

von 45° ansteigen, so gelangt man zu dem in Fig. 102 dargestellten Gitterträger, welcher als aus den 4 einfachen Fach werk-Systemen

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Fig. 103, Fig. 104, Fig. 105, Fig. 106 zusammengesetzt betrachtet werden kann.

Fig. 102.

V»

Fig. 103.

+3312,5

-7187,5

—11687,5

-10187,5

—2687,ö

Ç399-

\è

\h>

-5375

+3312,5

+10812,5

+12312,5

+7812,5

-2687,5

Fig. 104.

-2687,5

—10187,5

—11687,5

-7187,5

+3312,5

—5375

#x

-2687,5

+ 7812,5

+12312,5

+10812,5

+3312,5

Fig. 105.

-4625

—10625

-50625

-4625

-6000

V.

—6000

+9000

+12000

+ 9000

Fig.. 106.

— 9000

-12000

-9000

xW

%

va»

xv;

+5375

+11875

+11875

+5875

Der Berechnung der Spannungszahlen für diesen Gitterträger sollen dieselben Dimensionen (16m Länge und 2™ Höhe) und Totalhelastungen (8000 Eil. permanenter und 40000 Eil. mobiler Belastung) zum Grunde gelegt werden, wie bei den vorigen Fällen.

Es soll jedoch hinsichtlich der permanenten Belastung die von der vorigen abweichende und der Wirklichkeit besser entsprechende Annahme 'gemacht werden: dass dieselbe zur Hälfte auf die obere und zur Hälfte auf die untere Reihe von Belastungspunkten sich vertheilt, während die mobile Belastung wie bei dem vorigen Falle ausschliesslich auf die oberen Belastungspunkte sich vertheilt. Es ergiebt sich hiernach für jeden Belastungspunkt der unteren Reihe eine permanente Belastung von 250 Eil. und für jeden Belastungspunkt der oberen Reihe eine permanente Belastung von 250 Eil. nebst einer mobilen Belastung von 2500 Eil. (mit Ausnahme des ersten und letzten Belastungspunktes, welche in jeder von den beiden Reihen nur halb so grosse Belastungen bekommen). Wenn man die diesen Belastungen entsprechenden Spannungszahlen für. jedes der 4 einfachen Systeme nach der früher angegebenen Methode berechnet, und nachher diese 4 Figuren wiederum zu einer Figur zusammensetzt, so erhält man die in Fig. 107 angegebenen Spannungszahlen. Auch hier sollen die Doppellinien,

Fig. 107.

—4000

—14500    —23500    —31000    —37000    -41500    —44500    —46000 I -46000

0008 T—    0009-

v*J2

+6500    +17000    +20000    +33500    +39500    +44000    +47000    +48500 j +48500

durch welche die beiden Yerticalsfcangen an den Enden des Trägers in den Figuren 102, 103, 104, 107 gekennzeichnet sind, daran erinnern, dass in diesen Stangen ausser den Druckspannungen auch noch Biegungsspannungen stattfinden.

Bei einer Vergleichung der Spannungszahlen eines solchen 4 fach zusammengesetzten Gitterbalkens mit denen des für gleiche Totalbelastungen und Dimensionen berechneten 8 fach zusammengesetzten Gitterbalkens Fig. 108 erkennt man: dass, wenn es sich um die Berechnung eines Gitter-Systems höherer Ordnung handelt, es nicht erforderlich sein wird, die Rechnung für jedes einzelne der einfachen Systeme in dieser Vollständigkeit durchzuführen.

5*

Die Spannungszahlen der horizontalen Stangen nehmen i von£ der Mitte nach den beiden Enden hin allmälig ab, die Spannungs-

Fig. 108.

-«87,5    — 6812,5    —12062,5 —16937,5    —21437,5    —25562,5 —29312,5

—3000

— 9000    —15000    —21000

% A?

Ab

A +3687,5    +9312,5    +14562.5    +19437,5    +23937,5    +28062,5    +31812,5

zahlen der Diagonalstangen dagegen nehmen von der Mitte nach den beiden Enden hin allmälig zu, und zwar nach einem Gesetze, welches in den Zahlen des bereits berechneten Gitter-Systems um so genauer seinen Ausdruck findet, je höher die Ordnung desselben oder je grösser die Anzahl der schon gefundenen Spannungszahlen ist. Sobald daher die Berechnung bis zu einem gewissen Punkte durchgeführt ist, kann man den bisher eingeschlagenen Weg verlassen und die Bestimmung der noch fehlenden Zahlen auf dem weniger beschwerlichen Wege der Interpolation ausführen.

Die Spannungszahlen der Gitterstäbe sind der Verdoppelung ihrer Anzahl entsprechend in Fig. 108 durchschnittlich halb so gross als in Fig. 107, und die Spannungszahl jedes der neu eingeschalteten Stäbe ist überall fast genau das arithmetische Mittel von den Spannungszahlen der beiden benachbarten Stäbe. Jede von den für die Horizontalstangen in Fig. 107 angegebenen Zahlen ferner ist das arithmetische Mittel von den 2 Zahlen, welche in Fig. 108 ihre Stelle einnehmen. Es würde daher bei der Berechnung eines solchen 8 fach zusammengesetzten Gitter-Systems nicht unumgänglich nothwendig sein, dasselbe in die 8 einfachen Systeme zu zerlegen und jedes derselben einzeln zu berechnen, sondern man würde je nach dem Grade der verlangten Genauigkeit mit

der Berechnung des 4faeh oder 2fach zusammengesetzten Systems sich begnügen dürfen, und die gefundenen Zahlenreihen alsdann

Fig. 109.

durch Einschaltung der fehlenden Zwischenzahlen ergänzen können.

Fig. 110.

087.5

.1187,5

1125

.1188

1000

813

00

025

\t

yen

437

250

62

%5

750

3687,5

23937,5

Die Art und Weise, in welcher die Verticalstangen an den Enden eines solchen Gitterträgers auf Biegung in Anspruch genommen werden, zeigen Fig. 109 und Fig. 110. In er-sterer sind an den Schnittstellen der Gitterstäbe statt der Spannungen selbst deren horizontale und verticale Seitenkräfte angegeben, in letzterer sind von den auf die Verticalstange überhaupt einwirkenden Kräften lediglich die biegenden Horizontalkräfte angegeben. Die von den Yerticalkräften ausserdem noch hervorgebrachten Druckspannungen sind aus Fig. 108 zu entnehmen.

Bei dem 8 fach zusammengesetzten Gitterträger Fig. 108 waren für die Belastungspunkte der oberen sowohl als der unteren Reihe permanente Belastungen von je 125 Kil. und für die Belastungspunkte der oberen Reihe ausserdem mobile Belastungen von je 1250 Kil. in Rechnung gebracht. Hätte man statt dessen jede der permanenten Belastungen = Eins angenommen und die mobilen Belastungen = Null gesetzt, so würde man die in Fig. 111 eingetragenen Spannungszahlen erhalten haben. Diese Zahlen kann man auch als Spannungszahlen des vorigen Trägers — und zwar als die dem unbelasteten Zustande entsprechenden — betrachten, sobald man nur das Gewicht von 125 Kil. dabei als Krafteinheit ansieht. Um die Spannungen in Kilogrammen ausgedrückt zu erhalten, würde man sämmtliche Zahlen noch mit der Zahl 125 zu multipliciren haben.

Dieselben Zahlen können aber in gleicher Weise auch für jeden beliebigen anderen 8 fach zusammengesetzten Gitterträger, dessen Länge gleich der 8 fachen Höhe ist und dessen permanente Belastungen je ja Kil. betragen, als gültig betrachtet werden, sofern man nur diese Belastung von ja Kil. als Krafteinheit ansieht, oder

4-

=■

js

—

-p*

IO

- ■

■n

Cn

-ł-

x

oo

'+

■C

tn

r.

4°

Fig. 111.

—28    ■—-20    —12__■—4

V\

-3,25

4J

ox

*x

r%x

4X

<bx

;x

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Xx

4V

*x

*X

?o

Sr

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.V

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&p

4*,

o/

X*

Fig. 112.

—28    —20    —12    -4

sf

Mobile Last = Null. Permanente Last — Eins.

-17,75 -24,25 —30,25 -35,75 -40,75 -45,25 -49,25 -52,75 -55,75 -58,25 - 60,25 -61,75 - 62,75 — 63,25 ;—63,25 - 62,75 -61,75

+3/25 +10,75 +17,75 +24,25 + 30,25 +35,75 +40,75 +45,25 +49,2o +52,75 +55,75 +58,25 +60,25 +61,75 +62,75 +63,25

(4

c+x

é³

e>X

,x

4/

,xx

4&x

x,

^S*

x\£

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TSx'ÿ

«F X ^

Ä+

'x4'x4\

M m >

J.X

%*v

Permanente Last = Null. Mobile Last — Eins.

—17,75 —24,25 — 30,25 —35,75 —40,75 —45,25 —49,25 —52,75 —55,75 —58,25 — 60,25 — 61,75 — 62,75 — 63,25 ; - 63,25 —62,75 —61,75

— um die Spannungen in Kilogrammen ausgedrückt zu erhalten — sämmtliche Spannungszahlen noch mit der Zahl p multiplicirt.

Wenn man ein auderes Mal die Spannungszahlen berechnete unter der Voraussetzung: dass die permanente Belastung = Null und die mobile Belastuug = Eins ist für jeden Belastungspunkt der oberen sowohl wie der unteren Reihe, so würde man die in Fig. 112 eingetragenen Spannungszahlen erhalten. Für einen anderen Träger, welcher diesem geometrisch ähnlich ist, dessen mobile Belastungen aber oben und unten je m Kil. betragen, würde man diese Zahlen sämmtlich mit der Zahl m zu multipli-ciren haben, um die Spannungen in Kilogrammen ausgedrückt zu erhalten.

Die Spannungszahlen der Gitterstäbe in Fig. 111 repräsentiren gleichzeitige Spannungen, diejenigen der Figuren 112 und 108 dagegen ungleichzeitige Spannungen, insofern bei den letzteren beiden jede Spannungszahl einem besonderen Belastungszustande des Trägers entspricht. Die Functionen der Gitterwand bei einem solchen mehrfach zusammengesetzten Gitterträger sind daher am besten in Fig. 111 zu erkennen, deren Zahlen mit p -\-m multiplicirt zugleich die Spannungen eines voll belasteten Trägers repräsentiren. Denkt man sich durch diesen Träger zwei Verticalschnitte nebeneinander hindurchgelegt — einen durch das zweite, den anderen durch das dritte Horizontalstangen-Paar — und an dem zwischen diesen beiden Schnitten liegenden Theile des Gitterträgers die zur Herstellung des Gleichgewichts erforderlichen horizontalen und verticalen Kräfte an den Schnittstellen wieder hinzugefügt, so erhält man die in Fig. 113 angegebenen Kraftwirkungen. Man erkennt aus dieser Figur: wie die ganze in einem Verticalschnitte thätige Verticalkraft zu gleichen Theilen auf die einzelnen Kreuzungspunkte der Gitterstäbe sich vertheilt, dass die Differenz der beiden ganzen Verticalkräfte gleich der

Fig. 113.

10,T5

7,25

17,75

0,75

7/25

0,25 ;

7,25

. 0,25

7/25

c 0,75

< 10,75

AK

V

6;|75

0,25

0$75

J 0,25

6/75

0,75 ;

6,75

i 17,75

Totalbelastung des Stückes ist, dass ferner die Horizontalkräfte von der Mitte nach oben und unten hin proportional dem Abstande von der Mitte zunehmen. Diese Gesetzmässigkeit würde noch deutlicher hervorgetreten sein, wenn statt des 8 fachen ein 16 fach zusammengesetztes System gewählt wäre. Je grösser die Anzahl der Gitterstäbe ist, um so grösser wird die Aehnlichkeit zwischen den Functionen der Gitterwand und denen einer zwischen die obere und untere Gurtung eingeschalteten vollen Blechwand.

Die beiden Zahlenfiguren 111 und 112 kann man auf folgende Weise benutzen, um die wirklichen Spannungszahlen zu erhalten für irgend einen anderen 8 fach zusammengesetzten Gitterträger von gleichem Verhältnis der Höhe zur Länge, bei welchem an jedem Belastungspunkte der oberen sowohl als auch der unteren Reihe die permanente Belastung p Kil. und die mobile Belastung m Kil. beträgt:

Man multiplicirt sämmtliche Zahlen in Fig. 111 mit der Zahl p, sämmtliche Zahlen in Fig. 112 mit der Zahl m, und addirt nachher für jede Stange die 2 auf solche Weise erhaltenen Zahlen.

Wenn also für irgend eine Stange mit Zp die aus Fig. 111, mit Zm die aus Fig. 112 zu entnehmende Zahl bezeichnet wird, so ist die wirkliche Spannungszahl derselben:

Z p • Zp —}— 7)i • Zm.

Setzt man für einen solchen Gitterträger von 64m Länge und 8m Höhe die permanente Belastung _p = 1500 Kil. und die mobile Belastung m — 2000 Kil. für jeden Belastungspunkt der oberen und unteren horizontalen Reihe, so erhält man z. B. für den sechzehnten der von rechts nach links ansteigenden Gitterstäbe die Zahl:

Z = 1500 • 0,707 -f 2000 • 1,768 = + 4596 Kil. als das Maximum oder die grösste Zugspannung und die Zahl: • Z == 1500 • 0,707 — 2000 • 1,061 = — 1061 Kil. als das Minimum oder die grösste Druckspannung dieser Stange. Für die Spannungen der übrigen von rechts nach links ansteigenden Gitterstäbe — in der Reihenfolge vom linksseitigen Ende nach der Mitte hin — ergeben sich auf gleiche Weise die folgenden Zahlen: + 21036,    +    19799,    + 18562,    + 17324,    +    16175, + 15027,

+ 7513, + 6540,

die Zahlen:

11375, 37625, 62125, 84875, 105875, 135125, 142625, 158375, 172375, 184625, 195125, 203875, 210875, 216125, 219 625, 221 375,

welche positiv genommen die Zugspannungen der unteren, und negativ genommen die Druckspannungen der oberen Gurtung darstellen.

Setzt man ein anderes Mal p = 125 Kil. und m — 625 Eil., so erhält man für die links ansteigenden Gitterstäbe der linken Hälfte die Zahlen:

+ 4508, + 4243, + 3977, + 3712, + 3475 + 3237, + 3000,

+ 2762, + 2552, + 2342, + 2132,

1+ 1376 (+ 1193 (+ 1039 f+ 884 I— 447’ 1— 574’ l— 729’ 1— 884’

f+ 1922 f+ 1740 [+ 1558 1—    66 l— 193’l— 320’

und für die horizontalen Stangen in der Reihenfolge von den Enden nach der Mitte hin die Zahlen:

2437,5, 8062,5, 13312,5, 18187,5, 22687,5, 26812,5, 30562,5, 33937,5, 36937,5, 39587,5, 41812,5, 43687,5, 45187,5, 46312,5, 47062,2, 47437,5.

Diese Zahlen verglichen mit denen von Fig. 108 zeigen: welche Umwandlungen die Spannungszahlen erleiden, wenn die mobile Belastung — statt auf die obere Reihe von Belastungspunkten allein — zu gleichen Theilen auf die obere und untere Reihe sich vertheilt.

VIERTER ABSCHNITT.

§ 15.

Sichelförmiger Träger von 208 Fuss Spannweite mit einfachem Diagonalen-System.

(Dach-Construction der Centralbahnhofshalle in Birmingham.)

Als Längeneinheit für die in Fig. 114 eingeschriebenen Maasse ist die Länge von 16 Fuss gewählt. Sämmtliche Zahlen sind also mit 16 zu multipliciren, um die Längen in Fussen zu erhalten. Die ganze Spannweite beträgt demnach:

2 • 6,5 • 16 = 208 Fuss,

die Pfeilhöhe des oberen Bogens:

(1 -f- 1,5) • 16 = 40 Fuss, die Pfeilhöhe des unteren Bogens:

1 • 16 = 16 Fuss¹), die horizontale Länge jedes der 13 Felder:

1 -16 = 16 Fuss.

Die Ordinaten des oberen Bogens betragen das 2,5 fache von denen des unteren Bogens.

Als Belastung des Daches sind (inch Wind- und Schneedruck) 40 ft pro Quadratfuss der Grundrissfläche gerechnet. Die Entfernung der einzelnen Binder von einander beträgt 24 Fuss. Es,kommen also auf jeden Binder:

vO

X,

"O.

x.

Xy

V».

3Ł

$L

X|

Vl

xV/i

isf

S,

S3

kf

N°

iT>

<0"

er>

SI

00

N

208 -.24 = 4992 Quadratfuss Grundrissfläche

und

208-2440 = 199680 ïï Be

lastung.

Davon sind auf jedes der 13 Felder:

199680

13

= 15360 ft

oder in runder Summe 7,5 Tonnen zu rechnen.

Das Eigengewicht des Trägers ergiebt sich aus den gewählten Querschnittsdimensionen der einzelnen Stangen zu ungefähr 1,5 Tonnen für jedes Feld.

In den beiden Endfeldern

Fig. 114.

VO

£•

Y.

t>

. —x-

Np

g-\ 3-

i;ö

0/994_____P

VD

Si

rH

werden die halben Belastungen direct vom Auflager aufgenommen; auf jeden der 12 Yerticalständer kommen also:

1,5 Tonnen permanenter Belastung

\A

Pz?47____^j.

und

xi

\o

Xj

7,5 Tonnen veränderlicher Belastung.

>o    \o

*£ «"

A«?, x

In*

v-O    U5 \

t~-*    r-T , *

V3.

iLZ!SL^

1,5 X₃

\ >3

CO

l-i

V? \0.521 ^ v \ i

x\ W Vf h

28^

Berechnung der Spannungen X und Z in den oberen und unteren Bogenstücken.

Trennt man durch den Schnitt oc ß den in Fig. 115 dargestellten Theil von der übrigen Construction und wählt man das eine Mal den Punkt Jf, das andere Mal den Punkt N als Drehpunkt, so erhält man die beiden Mo-menten-Gleichungen :

0 = X₄- 1,205 + D • 4 — 1,5 (1 + 2 + 3) — 7,5 (1 + 2 + 3) . 0 = -Z±-1,055 + D • 3 — 1,5 (1 + 2) — 7,5 (1 + 2), welche, wenn man darin für D seinen Werth:

D — 1*5 (t3 + tïï + • • • t!) + (tV + ts + • • • tI)

Fig. 115.

■V*

7,5

X*

,to

Al

7h

ad

Xi

/»

substituirt und der im zweiten Abschnitt § 5 gegebenen Regel gemäss die von einer und derselben Belastung herrührenden Beiträge allemal in einem Gliede zusammenstellt, die Form annehmen: 0 = X₄ • 1,205

+1+ [(++t 3 + • • • T3 ) 4 + (tïï ‘4—1) +(H '4 — 2) -f- (If -4    3)]

+ 7,5(-+ + T²5...-+)4

+ 7,5[(B-4-l) + (H.4-2) + (|f.4-3)]

0 = — Z₄ • 1,055

+ 1)5 [(++ T¥ + ' • * T$) 3 + (|f *3    l)+(xt'^ 2)]

+ 7,5 (I3 + T3 + • * * T§) 3

+ 7,5 [(II -3    1) + (If • 3    2)].

Man erkennt sogleich, dass sämmtliche mit 7,5 multiplicirten Glieder positiv sind, dass also bei voller Belastung die Spannungen X₄ und Z± am stärksten werden. Die beiden Gleichungen können also unmittelbar aufgelöst werden und ergeben die Werthe: -X₄ (min) = — 134,4 Tonnen Z₄ (max) = + 128,0 Tonnen.

Wenn man sich auf die eben angegebene Weise einmal überzeugt hat, dass in diesem sowohl als in den übrigen Feldern die Spannungen X und Z bei voller Belastung am stärksten werden, so kann man auch, indem man für D den entsprechenden numerischen Werth:

(1,5+ 7,5) 12

- = 54

substifcuirt, die Gleichungen von vornherein in der einfacheren Form aufstellen:

0 = X₄ • 1,205 + 54 • 4 — 9 (1 + 2 + 3)

0 = ~Zi- 1,055 + 54 - 3 — 9 (1 + 2).

Diese letztere Form ist der Einfachheit wegen zu der Bestimmung der übrigen Grössen X und Z gewählt, für welche man genau auf dieselbe Weise die nachfolgenden Gleichungen erhält:

0 = X₇. 0,347 + 54.1 X, (min) = — 155,6 T.

0 = — Z₁.0,41 + 54.1 X! (max) = + 131,7 T.

0 = X₂.0,672 + 54.2 — 9.1 X₂ (min) = — 147,3 T.

0 = — X₂.0,415 + 54.1 Z₂ (max) = + 130,2 T.

0 = X₃.0,963 + 54.3 — 9 (1 + 2)

X₃ (min) = — 140,2 T.

0 = — Z₃.0,767 + 54.2 — 9 . 1 Zz (max) = + 129,1 T.

0 = X₆ . 1,382 + 54.5 — 9 (1 + 2 + 3 + 4)

X₅ (min) = — 130,2 T.

0 = — Z₅. 1,272 + 54.4 — 9 (1 + 2 + 3)

Zh (max) = + 127,3 T.

0 = X₆.1,481 + 54.6 — 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

X₆ (min) = — 127,6 T.

0 = — X₆ .1,419 + 54.5 — 9 (1 + 2 + 3 +4)

Zq (max) = + 126,9 T.

0 = X₇.1,491 + 54.7—9 (l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

X₇ (min) = — 126,7 T.

0 = — X₇. 1,491 + 54.6 — 9 (1 + 2 + 3 + 4 +5)

X₇ (max) = + 126,7 T.

0 = X₈.1,41+ 54.8 —9(1 + 2 + ... 7)

X₈ (min) = — 127,6 T.

0 = — £₈ .1,489 + 54.7 — 9 (1 + 2 + ... 6)

Z₈ (max) =+ 126,9 T.

0 = X₉ .1,244 + 54.9 — 9 (l + 2 + ... 8)

X₉ (min) = — 130,2 T.

0 = — Z₉.1,414 + 54.8 — 9 (1 + 2 + ... 7)

X₉ (max) = + 127,3 T.

0 = X₁₀.1,004 + 54.10 — 9 (1 + 2 + ... 9)

X₁₀ (min) = — 134,4 T.

0 = — X₁₀ .1,265 + 54.9 — 9 (1 + 2+ ...8)

Z₁₀ (max) = + 128,0 T.

0 = X„. 0,706 + 54.11 — 9 (1 + 2 + ... 10)

Xu (min) — — 140,2 T.

0 = — Zn . 1,016 + 54.10 — 9 (1 + 2 + ... 9)

Zu (max) = -f 129,1 T.

0 = Xu . 0,397 + 54.12 — 9 (1 + 2 + ... 11)

Xu (min) = — 147,3 T.

0 = — Zn . 0,76 + 54.11 — 9 (1 + 2 + ... 10)

Zu (max) = 4~ 130,2 T.

0 = Xu • 0,347 + 54.12 — 9 (1 + 2 -j- ... 11)

Xi3 (min) = — 155,6 T.

0 = — Zu . 0,41 + 54.12 — 9 (1 + 2 + ... 11)

Zi3 (max) = -j- 131,7 T.

Ans den Resultaten der obigen Rechnungen ist zu ersehen, dass die stärksten Spannungen in den symmetrisch einander gegenüberliegenden Bogenstücken der beiden Hälften gleiche Grösse haben. Da nun die Felder auf der rechten Seite nur durch die entgegengesetzt ansteigenden Diagonalen von den gegenüberliegenden Feldern der linken Seite sich unterscheiden, so folgt hieraus, dass die stärksten Spannungen der Bogenstücke unabhängig sind von der Richtung der Diagonalen. Es macht also bei der Bestimmung der Spannung eines Bogenstücks keinen Unterschied, ob man einen linken oder einen rechten Eckpunkt des Feldes als Drehpunkt für die betreffende Momenten-Gleichung wählt, d. h. einen in- oder ausserhalb der Diagonalen-Richtung liegenden Punkt. Das ist aber nur möglich, wenn die Spannung der Diagonale Null ist, weil sonst mit Verlegung des Drehpunkts ein neues Moment in die betreffende Momenten-Gleichung eintreten und das Resultat verändern würde. Es folgt hieraus: dass bei voller Belastung sämmtliche Diagonalen in spannungslosem Zustande sich befinden.

Diese schon hier empirisch gefundene Eigenschaft des Trägers wird bei der Berechnung der Diagonalen direct bestätigt und in der später folgenden „Theorie der sichelförmigen Träger“ theoretisch erklärt werden.

Berechnung der Spannungen Y in den Diagonalen.

Zur Bestimmung der Spannung Yé stellt man für den Theil Fig. 116 die Momenten-Gleichung auf und wählt den Punkt 0, in welchem die Richtungen X₄ und Z₄ einander schneiden, als Drehpunkt. Durch Construction²) findet man, dass dieser Punkt in der

Entfernung 2 links vom Punkte A liegt, und dass der Hebelarm der Kraft F₄ in Bezug'auf diesen Drehpunkt gleich 4,68 ist. Man erhält also die Momenten-Gleichung:

Fig. 116.

<p

VA

2,00

0 = K₄ • 4,68 — D • 2 -)- 1,5 [(3 + 2) + (2 + 2) + (1 + 2)] + 7,5 [(3 + 2) + (2 + 2) + (1 + 2)],

welche, wenn man darin für D seinen Werth:

D — 1,5 (+ + j3 +***tI)    ^,5 (tV 13

substituirt und die Gleichung so ordnet, dass die von einer und derselben Belastung herrührenden Glieder allemal zu einem einzigen Gliede zusammengefasst erscheinen, die Form annimmt:

o = IV 4,68 + 1,6 {[3 + 2 (1 - i|)] + [2 + 2 (1 - H)] + [1 ~f~ 2 (1    t!)] (tV ~b TÏÏ + ••• Ts) 2}

+ 7,5{[3 + 2(l-H] + |;2 + 2(l-H)]+[l + 2(l-H)]}

— 7fi (tV + T¥ + • • • A) 2

oder nach Zusammenziehung der in jedem solchen Gliede neben einander stehenden numerischen Theile:

0 - F₄ • 4,68 - 1,5 [(+ + ... *) 2 - (3 + 2 + 1) (1 + *)] - 7,5 (+ + ...*) 2 + 7,5 (3 + 2 +1) (1 + *).

Bei der Ausrechnung zeigt sich, dass das ganze mit 1,5 mul-tiplicirte Glied = Null ist, und bestätigt sich also das oben bei Berechnung der Bogenstücke gefundene Gesetz: dass eine gleichförmig über die Spannweite vertheilte Last, wie z. B. das Eigengewicht des Trägers, keine Spannung in den Diagonalen erzeugt.

Man kann also die Gleichung auch gleich in der einfacheren Form schreiben :

o = r₄ • 4,68 - 7,6 (* + ...*) 2 + 7,6 (3 + 2 + 1) (1 + *).

Man erhält hieraus, wenn man der im zweiten Abschnitte gegebenen Kegel gemäss einmal das positive und einmal das negative Glied fortlässt, die Werther

(max) = -f-ll,l T.

(min) = — 11,1 T.

An der Gleichheit der beiden absoluten Werthe erkennt man wiederum, dass F₄ den Werth Null annimmt, wenn beide Glieder beibehalten werden, d. h. bei voller Belastung des Trägers.

Auf gleiche Weise sind die Spannungen der übrigen Diagonalen berechnet, und ist, um überflüssige Weitläuftigkeit zu vermeiden , den Gleichungen sogleich die letztere einfachere Form gegeben, also das die permanente Last enthaltende Glied von vornherein fortgelassen.

o = r₂.0,92 - 7,5 (* + ... -B) 0,2 4- 7,5 (l 4-'

(max) = -)“ 8,3 T.

(min) = — 8,3 T.

0 = r₃.2,52 - 7,5 (+ 4- ... H) 0>?5 + 7,5 (2 + 1) 0 +

(max) = 4~ 9,5 T.

(min) = — 9,5 T.

0 = Y₆.8,3 - 7,5 (TV+ ... *) 5 + 7,5 (4 + 3 + 2 + 1) (1 + Ä)

(max) = 4~ 12,6 T.

(min) = — 12,6 T.

0=F₈.17,6-7,5 (* + ...*) 15 4-7,5 (5 4-44-3 + 24-l)( + łł)

\ (max) = + 13,8 T.

\ (min) = — 13,8 T.

Für die Diagonale des Mittelfeldes liegt der Drehpunkt in unendlicher Entfernung; es ist also nach der im dritten Abschnitt § 9 gegebenen Eegel zu verfahren. Der Sinus des Winkels, den die Diagonale F₇ mit der Horizontalen einschliesst, ist =0,831, man erhält also für Y₇ die Gleichung:

Yj • 0,,831 .oo 7,5 +3 +... Ą) oo + 7r5 (6+ 5 + 4 + 3 +2 +l)(l + ^)

oder, da das Endliche gegen das unendlich Grosse verschwindet:

0 = Yr,. 0,831 .oo 7,5 (4-g- +.... y⁶s)⁰⁰ 4- 7,5 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)

und hieraus, wenn man den gemeinschaftlichen Factor oo weglässt:

0 = Yr . 0,831 - 7,5 (* + ...*) -f 7,5(6 +... 1) +

(max) = + 14,6 T.

(min) = — 14,6 T.

r4

r‘[

r.

r4

rt

Für die nun folgenden Momenten-Gleichungen fällt der Drehpunkt auf die entgegengesetzte Seite, und wechseln daher sämmtliche Momente ihre Vorzeichen:

0 = -Y₈. 16,1 + 7,5 (TV + ... *) 28 - 7,5 (7 + ... 1) (ff - 1)

(max) - - -j- 15,0 T.

(min) = — 15,0 T.

0 = - 1+7,1 + 7,5 (+ + ...+) 18    -7,5 (8 + ...1) (tf-l)

(max) = -)- 14,6 T.

(min) = t— 14,6 T.

0 = - Fio . 3,68 + 7,5 (* + Ą + *) 15 -7,5 (9+ ... 1) (|f-1)

I (max) = + 14,1 T.

¹⁰ [ (min) = — 14,1 T.

/ 18 75

0 = - Yn . 1,82 + 7,5 (+ + +) 13,75 - 7,5 (10 + ... 1)

Yn

j (max) = + 13,0 T.

\ (min) = — 13,0 T.

13,2

--1

13

0 = — Yi2.0,65 + 7,5 . + • 13,2    — 7,5 (11 + .. . 1)

f (max) = + 11,6 T.

^¹²1 (min) = —11,6 T.

Berechnung der Spannungen V in den Verticalen.

Um V₁ zu bestimmen, stellt man für das Stück Fig. 117 die Momenten-Gleichung auf und wählt den Durchschnittspunkt von X± und Z₂ als Drehpunkt. Durch Construction findet man, dass dieser Punkt in dem Hori-z₂ zontal-Abstande 0,1 rechts von dem Punkte A liegt. Man erhält also die Gleichung:

Fig. 117.

7*

.Xi

0= — Ft • 0,9 -j- D • 0,1

oder nach Substitution des Werthes für D:

0 =.— Vx • 0,9 4-1,5 (y-f- t²3 -j-... tI) 0,1 -h 7 5 (t¹3 + TS +• • • łt) 1 • Fig. 118.

Sämmtliche mit 7,5 multipli-cirten Glieder sind positiv, die Gleichung ist also unmittelbar aufzulösen und ergiebt:

V₁ (max) = -j- 6 T.

Zur Bestimmung von V₂ construct man den Durchschnitts-

punkt von X₂ und Z₃ und findet,

o,og 0,94

dass derselbe in der Horizontal-Entfernung = 0,06 rechts von

dem Punkte A liegt. Die Momenten -Gleichung für das Stück Fig. 118 in Bezug auf diesen Punkt ist:

0 = — F₂ - 1,94 + D • 0,06 + 1,5.0,94 + 7,5 • 0,94

oder, wenn man für D seinen Werth substituirt und zugleich das Moment der Belastung des ersten Knotenpunktes mit dem Momente ihres Beitrages zum Auflagerdruck vereinigt:

0,06

+65

13 )'

v., • 1,94 + 1,6 [(* + ...+) 0,06 + (l -+ 7,5 (+ + ...+) 0,06 + 7,5(l

Auch in dieser Gleichung haben sämmtliche mit 7,5 multipli-cirten Glieder einerlei Zeichen, die Gleichung ist also unmittelbar für V₂ aufzulösen und ergiebt:

I)

V₂ (max) = —|— 6 T.

Für die nun folgenden Felder kommt der Drehpunkt links

von dem Punkte A zu liegen, und erhält dadurch die allgemeine Gleichung eine etwas veränderte Form. Die Momenten - Gleichung des Theils Fig. 119 in Bezug auf den Durchschnittspunkt 0 der Richtungen X₃ und Z4 wird:

Fig. 119.

k⁵ J'

1,5

Jär

X₃

0 = — V₃-3,214 — D ■ 0,214 -f 1,5 (1,214 -f 2,214)

+ 7,5 (1,214 + 2,214)

oder, wenn für D sein Werth substituirt, und zugleich die Momente der Belastungen in den Punkten B und C mit den Momenten ihrer Beiträge zum Auflagerdruck vereinigt werden:

0,214

0,214

13

— 4+3,214—1,5[(+ + ..+§)0,214 ^(2 + 1) (l-f 13 - 7,5(* + ..41)0,214 + 7,5(2 + 1)(h

Hier zerfallen die mit 7,5 multiplicirten Glieder in zwei Gruppen, von denen die eine negativ, die andere positiv ist. Um V₃ (max) zu bestimmen, ist die negative, um V₃ (min) zu bestim-

men, ist die positive Gruppe fortzulassen. Ausserdem soll — aus einem Grunde, der sich später ergeben wird — der Werth von F₃, welcher mit Beibehaltung beider Gruppen durch unmittelbare Auflösung der Gleichung sich ergiebt, also derjenige, welcher der vollen Belastung des Trägers entspricht, hinzugestellt werden. Man erhält die Wer the:

(max) = -f- 8,1 T. (min) = — 1,1 T.

F, = + 6T.

Auf gleiche Weise ergehen sich für die übrigen Felder die nachstehenden Gleichungen:

£(A + • • • A) — (3 A 2 A 1) ^1

— (A “h • • • A) 0,91 + 7,5 (3 + 2 + 1) ^1-|    ^

(max) == A 10,8 T.

(min) = — 3,8 T.

[(*+

-7,5 (* + ...    2,5 + 7,5 (4 + . . . 1) (l + ?|)

(max) = A 12,9 T.

(min) = — 5,9 T.

0 = — V₆ . 12,6 — 1,5

0 = — F₄.4,91 — 1,5

0 = — F,.7,5 —1,5

r, = + 6 T.

0,91

13

0,91

(■+§>]

[(* +

- 7,5 (* + •••*) 6,6 + 7,5 (5 + ... 1) (l’+ ^|)

(max) = -f- 14,5 T.

(min) = — 7,5 T.

0 = — V₇ . 31,5 — 1,5

. . . A) 6,6 - (5 + ... 1)

V₆ = + 6 T.

jjA + •

- 7,5 (A + . . . A) 24,5 + 7,5 (6 + . . . 1) (l + V₇ = + 6 T.

. . A) 24,5 - (6 + . .

(max) = + 15,4 T.

(min) — — 8,4 T.

Bei den nun folgenden Feldern fällt der Drehpunkt auf die entgegengesetzte Seite, und nehmen daher sämmtliche Momente das entgegengesetzte Zeichen an.

0= V₈ . 60 + 1,5 [(A + ... A) 68 - (7 + ... 1) (ff - 1)]

+ 7,5 (A + • • . A) 68 - 7,5 (7 + . . . 1) (ff _ 1)

(max) = A 15,8 T.

(min) = — 8,8 T.

0 — V₉ . 13,5 A 1,5

V₈ = A 6 T.

[(A + . . . A) 22,5 _ (8 A ... 1) ( ₁₈

+ 7,5 (A A . • • A) 22,5 _ 7,5 (8 A ... 1) ( ₁₃

(max) = A 15.6 T.

(min) = — 8,6 T.

V₉ = A 6 T.

22,5

22,5

)]

6*

0 — Fio . 6,43 + 1,5 A + y²^ + y³y) 16,43 — (9 + . . . 1) (i—

' IO

+ 7,5 (yV + y²3 + *) 16,43 - 7,5 (9 + . . . 1) (^f⁵

/ (max) — + 14,8 T.

Kl° \ (min) == — 7,8 T.

‘)

Fio = + 6 T.

0=F„.3,3+1,5 (tV + A) 14,3 — (10 + ... 1)    - 1

+ 7,5 (A + A) 14,8 —7,5 (10+ ... 1) (^-

(max) = + 13,5 T.

(min) = — 6,5 T.

0 = Fi2. 1,385 + 1,5

Fn {

‘)

Fu — + 6 T.

[a • 13,385 - (11 + ... 1) (1^_ _ + 7,5 . A • 13,385    - 7,5 (11 + ... 1) (Ä⁸⁵

Fi2 = + 6 T.

*)]

‘)

(max) = + 11,6 T.

(min) — — 4,6 T.

Im dritten Abschnitt § 12 wurde für die Berechnung der Verticalständer die Regel empfohlen: „man nehme zunächst die Angriffspunkte der mobilen Last auch als Angriffspunkte der permanenten Last an, denke sich diese Annahme verwirklicht durch Nebenständer, deren Function es ist, den nicht unmittelbar daselbst angreifenden Theil der permanenten Last auf jene Punkte wirklich zu übertragen, und füge dann die Spannungszahlen dieser Nebenständer den vorher für die Verticalständer gefundenen Spannungszahlen hinzu.“ Nach dieser Regel soll auch hier verfahren werden. Die eben gefundenen Zahlenwerthe der Grössen V entsprechen der Annahme, dass das ganze Eigengewicht des Trägers in den oberen Knotenpunkten seine Angriffspunkte hat. In Wirklichkeit wird nur ein Theil — und zwar der grössere Theil — des Eigengewichts unmittelbar oben angreifen, und etwa der dritte Theil desselben, also 0,5 T. für jedes Feld auf die unteren Knotenpunkte zu rechnen sein. Denkt man sich neben jedem Hauptständer noch einen Nebenständer, welcher (in diesem Falle als Hängestange wirkend) diese 0,5 T. auf die oberen Knotenpunkte überträgt, so wird die Spannungszahl desselben = -f- 0,5 T., und diese Zahl ist den vorher für die Grössen V gefundenen Werthen überall hinzuzufügen.

Als genauere Werthe für die Spannungszahlen der Verticalständer ergeben sich hiernach folgende Zahlen:

Ft (max) = + 6,5 T.

F₂ (max) = + 6,5 T.

[ (max) = + 8,6 T.

\ (min) = — 0,6 T.

F₁₂{

r₃

F₃ = + 6,5 T.

<b.

j/L

¥ h

/ / / "w

412.1/*

OT

C4

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,Y4>' p

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-6,0

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CVJ

+ 15,3

-7,3

1©

yi

OC

'c<t

+ 16/1

-8,1

2/ *

1/ ^

?o

+ 16,3

-8,3

ta

04

+ 15/9

+ 126,9

Fig. 120.

à

04

-7,9

%,

+15,0

-7,0

+ 126,7

+ 13,4 -5,4

+ 126,9

co

*4

+11,3

-3,3

CJ

+ 8 ,6

-0,6

er,

c=»

\\ 7

+ 6,5

<■£

A °>/ VS 4, «7 <\+ \ + \/+6.5 \

•p>

(max) = + 11,3 T.

(min) — — 3,3 T.

(max) = -f- 13,4 T. .

(min) = — 5,4 T.

(max) = -f- 15,0 T.

(min) = — 7,0 T.

(max) = + 15,9 T.

(min) — — 7,9 T.

(max) = -f- 16,3 T.

(min) = — 8,3 T.

(max) = + 16,1 T.

(min) = — 8,1 T.

(max) = + 15,3 T.

(min) = — 7,3 T.

(max) = + 14,0 T.

(min) = — 6,0 T. y f (max) = + 12,1 T.

¹²l(min)=— 4,1 T.

Die Resultate sind in Fig. 120 übersichtlich zusammengestellt.

§ 16.

Abgeleitete Formen.

Es hat sich bei der obigen Rechnung herausgestellt, dass die Diagonalen eines sichelförmigen Trägers mit einfachem Diagonalen-System beiderlei Spannungsarten annehmen, sowohl Zug- als Druckspannung. Ein Blick auf die allgemeine Momenten-Gleichung einer Diagonale und die Vergleichung derselben mit den Belastungszuständen, welche dem Fortlassen der positiven und der negativen Glieder entsprechen, zeigen: dass die Spannung der Diagonale das Maximum erreicht, wenn alle rechts liegenden, das Minimum, wenn alle links liegenden Knotenpunkte belastet sind. Bei einem Träger mit rechts ansteigenden Diagonalen findet das Umgekehrte statt. Um

yi = + 6,5 t.

Fb= + 6,5 T.

F₆= + 6,5 T.

v₇ = + 6,5 T.

F₈ = + 6,5 T.

n, = - 6,5 T.

4, = + 6,5 T.

y 12—+⁶>⁵ t.

die Spannungszahlen eines solchen zu finden, braucht man nur die Fig. 120 von der Kehrseite zu betrachten. Wenn in irgend einem Felde die. links ansteigende Diagonale durch eine rechts ansteigende ersetzt werden soll, so ist die Spannungszahl mit der des symmetrisch gegenüberliegenden Feldes zu vertauschen.

Nimmt man den Fall an: dass die links ansteigende Diagonale eines bestimmten Feldes aus einem Faden besteht, der nur Zugspannung annehmen kann, und dass gleichzeitig für solche Belastungszustände, welche sonst Druckspannung in dieser Diagonale erzeugen würden, eine rechts ansteigende von gleicher Beschaffenheit in diesem Felde angebracht ist, so wird diese zweite ihre Dienste leisten allemal dann, wenn die erste erschlaffend ihre Dienste versagt, und umgekehrt. Die beiden gekreuzten Fäden werden also dasselbe leisten, was sonst eine Stange leistete, und ihre Spannungszahlen erhält man aus Fig. 120, indem man ausschliesslich die positiven Zahlen auswählt: für die links ansteigende Diagonale die unmittelbar gefundene, für die rechts ansteigende die symmetrisch gegenüberliegende.

Um bei einem solchen Träger mit gekreuzten Zug-Diagonalen das Verhalten der Verticalständer zu prüfen, ist es nöthig, zuvor zu untersuchen, welches von den beiden Diagonalen-Systemen durch den jedesmaligen Belastungszustand in Thätigkeit versetzt wird, weil der Schnitt, welcher zur Momenten-Grleichung des Ver-ticalständers führt, immer der Richtung der gespannten Diagonalen folgen muss, um nur drei Stangen zu treffen. Bei voller Belastung des Trägers ist keins der beiden Diagonalen-Systeme in Thätigkeit, und wird zugleich die Zugspannung in den unteren Bogenstücken am stärksten. Hieraus folgt, dass auch die Zugspannung eines Verticalständers bei voller Belastung am stärksten wird. Denn ausser der permanenten Last p sind die Zugkräfte Z und Z' die einzigen an dem Fusspunkte des Verticalständers

Fig. 121.

|v

-2

+P '

angreifenden Kräfte, welche Zugspannung in ihm hervorbringen können (s. Fig. 121). Die beiden angrenzenden Diagonalen Y und Y' können, wenn sie gespannt werden, nur Druckspannung in dem Verticalständer erzeugen, da ihre verticalen Seitenkräfte stets aufwärts, also der Kraft V gleich gerichtet sind. Bei voller Belastung werden Z und Z' am grössten, folglich auch ihre abwärts gerichtete Mittel-

kraft, während Y und Y' Null sind. Also erreicht die Kraft V bei voller Belastung ihr Maximum.

Noch klarer tritt dies hervor, wenn man untersucht, welche Wirkung bei dem vollbelasteten Träger die Entlastung irgend eines Knotenpunktes hat. Die Entlastung eines Knotenpunktes ist gleichbedeutend mit dem Hinzufügen einer aufwärts wirkenden Kraft. Da bei vollbelastetem gleichwie bei ganz unbelastetem Zustande sämmtliche Diagonalen unthätig sind, so braucht man nur zu untersuchen, welche Wirkung auf den leer und gewichtlos gedachten Träger eine aufwärts wirkende Kraft K ausübt. Diese Wirkung lässt sich am besten übersehen, wenn man sich den Träger blos mit denjenigen Diagonalen, welche durch die Kraft K in Thätigkeit versetzt werden, • zeichnet und die übrigen ganz fortlässt. Derselbe gewinnt dann das Ansehen der Fig. 122, in welcher der besseren

Fig. 122.

Bl

:A

Uebersicht wegen alle gedrückten Theile mit Minuszeichen,'alle gezogenen mit Pluszeichen versehen sind. Die Kraft K erzeugt an den beiden festen Auflagerpunkten A, B die abwärts gerichteten Gegendrücke D, W. Um in irgend einem Felde diejenige von den beiden Diagonalen, welche durch die Kraft K in Thätigkeit gesetzt wird, zu finden, legt man einen Verticalschnitt durch dasselbe und bildet für denjenigen der beiden Theile, welcher die Kraft K nicht enthält, die Momenten* Gleichung in Bezug auf den Durchschnittspunkt 0 der beiden Bogenrichtungen (s. Fig. 123). Man erkennt dann sogleich, welche von den beiden Diagonalen dem Auflagerdruck D entgegenwirken muss, um das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt 0 herzustellen, dass es z. B. im 4ten Felde die rechts ansteigende Diagonale ist, für welche aus der Gleichung:

0 — D • d — Y ■ y oder Y — -f-

D-d

Weise die Richtung der gespannten Diagonale in z jedem Felde bestimmt hat, kann man dann durch ein gleiches Verfahren die Frage entscheiden, ob ein Verticalständer gedrückt oder gezogen wird. So z. B. erhält man für den 3ten Verticalständer (s. Fig. 124) die Gleichung:

0 = D-5+ V-v,

Fig. 124.

3)

aus welcher für V ein negativer Werth sich ergiebt. Nur für denjenigen Verticalständer, auf welchen die Kraft K unmittelbar wirkt, ist ein anderes Verfahren einzuschlagen; hier müssen die beiden angrenzenden Stücke des unteren Bogens zu Rathe gezogen werden. Da nun in dem ganzen unteren Bogen Druckspannung durch die Kraft K erzeugt wird, wie man

Fig. 125.

ein positiver Werth sich ergiebt (während die links ansteigende

einen negativen erhalten würde).

Fig. 123.

71

Sobald man auf diese

aus der Form der allgemeinen Momenten-Gleichung für Z, nämlich (s. Fig. 125):

0 = — Dl—Zz

sogleich erkennt, so wirken auf den Fusspunkt dieses Vertical-ständers (s. Fig. 122) von beiden Seiten her Druckkräfte, deren vertical aufwärts wirkende Mittelkraft auch in ihm Druckspannung hervorbringt.

Wenn man sich auf diese Weise davon überzeugt hat, dass die Entlastung irgend eines Knotenpunktes in jedem Verticalständer Druckspannung erzeugt, dass also, wenn die Zugspannung eines Verticalständers recht gross sein soll, nirgends eine Entlastung stattfinden darf, so kann man nun ferner die Frage entscheiden, wie weit mit der Entlastung fortgefahren werden muss, damit die Druckspannung eines bestimmten Verticalständers recht gross werde. Offenbar wird in dem 9 ten Verticalständer die durch Entlastung des 8 ten begonnene Druckwirkung eine fernere Steigerung erhalten durch Entlastungen des 7ten, 6ten . . . 2ten, lsten Verticalständers, da jede von ihnen für sich allein eine ähnliche Wirkung ausübt und überdies — worauf es hier hauptsächlich ankommt

in den beiden Nachbarfeldern des 9 ten Vertical-

Ständers das gleiche Diagonalen-System spannt (s. Fig. 126). Die

Fig. 126.

2.

10

11

12

Entlastung der acht ersten Verticalständer entspricht der Belastung der vier letzten. Wenn man noch weiter fortführe mit der Entlastung, so würde die Druckspannung des 9 ten Verticalständers sich wieder vermindern. Denn: da jetzt in den beiden Nachbarfeldern desselben nur ein Diagonalen-System (und zwar das links ansteigende) gespannt ist, so hat nunmehr die Momenten-Gleichung für F₉ (min) ihre Gültigkeit, und diese zeigt, dass jede Verminderung der Belastungen des 9ten, 10ten, Ilten und 12ten Verticalständers die Druckspannung in dem Stücke V₉ wieder verkleinert. Es behält also der oben für V₉ (min) gefundene Werth auch bei diesem Träger mit gekreuzten Zug-Diagonalen seine Geltung als Minimum. Nur ist zu berücksichtigen, dass noch ein zweites Minimum hier in Betracht kommt, nämlich dasjenige, zu welchem man auf ähnliche Weise gelangt, wenn man anfänglich irgend einen rechts von dem 9ten befindlichen Verticalständer entlastet annimmt, das hierdurch gespannte Diagonalen-

System in den Träger hineinzeichnet und dann die Entlastung von der rechten Seite her bis zu dem 9ten Yerticalständer fortschreitend sich denkt (s. Pig. 127). Man erkennt sogleich, dass

Fi g. 127.

4.

.TO

2,

11

[2

bei diesem Belastungtzustande der 9te Yerticalständer genau in derselben Lage sich befindet wie in dem Schema Fig. 120 der 4te, dass also F₄ (min) das andere Minimum für den 9 ten Vertical-ständer bildet. Man erhält also die negative Spannungszahl eines Yerticalständers, indem man diese beiden Minima mit einander vergleicht, nämlich das unmittelbar gefundene mit dem des symmetrisch gegenüberliegenden, und von diesen beiden dasjenige aus wählt, dessen absoluter Werth am grössten ist.

Was die Bogenstücke betrifft, so hat auf sie die Form des Diagonalen-Systems gar keinen- Einfluss, weil bei demjenigen Belastungszustande, welcher in ihnen die stärksten Spannungen hervorbringt, sämmtliche Diagonalen wirkungslos sind.

Auf diese Weise kann man die bereits gefundenen Zahlen benutzen, um ohne neue Rechnung die in Fig. 128 eingeschriebenen

cp

\>

r**

TU

CT

-12è/7

o:

Ca*

S'9+,

+6,5

G'L-

+6,5

-8,1

+6,5

CCI

— 8,3

-N* +

+6,5

CT.

XS

S'9+

___h»_.__

+

C 'l-

■i

Spannungszahlen eines sichelförmigen Trägers mit gekreuzten Zug-Diagonalen aus ihnen zu bilden.

Durch eine der vorigen ganz analoge'Argumentation gelangt man zu dem Resultate, dass für einen Träger mit gekreuzten

Druck-Diagonalen, d. h. solchen, die nur Druckspannung anzunehmen fähig sind (wie z. B. bei Holz-Constructionen Vorkommen kann), hinsichtlich der Verticalständer nur die Maxima der oben gefundenen Werthe Gültigkeit behalten, und dass von Druckspannung bei den Verticalständern eines solchen Trägers überall nicht die Kede sein kann, weil eine solche immer mit Zugspannung der angrenzenden Diagonalen verbunden sein würde.

Die in

Fig. 129 eingeschriebenen Spannungszahlen eines solchen Trägers bedürfen hiernach kaum einer weiteren Erklärung.

Fig. 129.

S'

l\%

®\ /Vyp

V/+14,0 Y

+15,3

1 '9T+

T:

er«**

+ 13/3    "y\

15

05

+15, n

05

''l

'X 05

4-15,9

CI

Nur das verdient hier noch bemerkt zu werden — eine Bemerkung, welche übrigens nicht nur die beiden letzteren Fälle, sondern überhaupt alle Träger mit gekreuzten Diagonalen betrifft — dass nämlich die gefundenen Spannungszahlen nur dann die richtigen sind, wenn keine künstliche Spannungen in das System hineingebracht sind. Solche künstliche Spannungen können in dem einfachen Systeme nicht Vorkommen, denn in einem solchen lässt jede Stange sich erreichen durch einen Schnitt, welcher nicht mehr als drei Stangen trifft. Wenn also keine äussere Kräfte auf das System wirken, so erscheint die Momenten-Gleichung einer beliebigen Stange Y in Beziehung auf den Durchschnittspunkt der beiden mit durchschnittenen Stangen* immer in der Form:

0 = Y-y.

In allen solchen Fällen aber, wo in einem Viereck zwei Stangen einander kreuzen, trifft der Schnitt vier Stangen, und die Spannungen der beiden gekreuzten Stangen haben in Beziehung auf den Durchschnittspunkt der beiden mit durchschnittenen

Stangen immer entgegengesetzte Drehungsrichtungen. Ihre Mo-menten-Gleichung erhält also die Form (s. Fig. 130):

Fig. 130.

'•X

0 = Y ■ y — Y' • y'. Diese Gleichung erfordert immer nur, dass:

Y'

y/

lässt übrigens die absoluten Werthe von F und Y' völlig unbestimmt.

Wenn also der einen Diagonale auf irgend eine Weise — etwa durch Anziehen von Schrauben oder Keilen

so nimmt sofort auch die

s»

x. /

künstlich eine

bestimmte Spannung F ertheilt wird andere die der obigen Proportion entsprechende Spannung F' an, und demzufolge entstehen dann auch in den Yerticalständern und Bogenstücken desselben Feldes Spannungen, welche mittelst der Momenten-Methode leicht bestimmt werden können, wenn F und Y' einmal bekannt sind.

Die obeh berechneten Spannungszahlen gelten ausschliesslich unter der Voraussetzung, dass in der unbelasteten Construction alle Stücke vollkommen spannungslos sind. In diesem Falle wird bei einem Träger mit gekreuzten Zug- (oder Druck-) Diagonalen in jedem Felde stets nur eine der beiden Diagonalen zur Wirkung kommen, während sonst der Fall eintreten könnte, dass beide zugleich in Thätigkeit gerathen.

§ 17.

Scheinbare Mängel der Methode.

Es kommen bei Anwendung der Methode der statischen Momente mitunter — so namentlich bei der zuletzt berechneten Construction — Fälle vor, bei denen es scheinen könnte, als ob die Methode, wenn sie überhaupt zum Ziele führt, doch nur einen äusserst geringen Grad von Genauigkeit und Zuverlässigkeit zu erreichen gestattete.

Um die Momenten-Gleichung einer Stange zu bilden, musste als Drehpunkt der Durchschnittspunkt der beiden mit durchschnittenen Stangen construirt werden. Wenn nun die Sichtungen der beiden letzteren nahezu parallel sind, so ist die genaue Bestimmung dieses Punktes und das Messen der betreffenden Hebelarme mit Schwierigkeiten verbunden. Die Folge davon wird sein, dass zwei verschiedene Rechner zu verschiedenen Resultaten gelangen werden, indem der Eine diese, der Andere jene Länge für einen bestimmten Hebelarm durch Construction findet.

Auf den ersten Blick scheint dies ein grosser Mangel der empfohlenen Methode zu sein. Bei näherer Ueberlegung verschwindet jedoch derselbe, und stellt sich vielmehr heraus, dass man noch Nutzen aus jenem Umstande ziehen kann.

Zunächst ist klar, dass man den Fehler in ganz bestimmte Grenzen einschliessen kann, indem man absichtlich den beiden Stangenrichtungen das eine Mal eine zu grosse, das andere Mal eine zu kleine Convergenz giebt und beide Male aus der betreffenden Momenten - Gleichung die gesuchte Spannung Y (s. Fig. 131)

Fig. 131.

/\

/\

berechnet. Man erhält dann zwei Werthe, von denen man behaupten kann, dass der wahre Werth jedenfalls zwischen denselben liegen muss. DieVergleichung dieser beiden Grenz-werthe mit den Grössen jener absichtlich gewählten Abweichungen lässt zugleich erkennen, in welchem Grade die Spannung der Stange durch Ungenauigkeiten in der practischen Ausführung modifient werden kann.

Jene Unbestimmtheit nämlich, wie sie dort dem Rechner in der Zeichnung entgegentrat, ist nichts Anderes als eine Abspiegelung der Schwankungen, denen in der ausgeführten Construction die wirkliche Spannung der Stange unterworfen sein kann. Je nachdem der ausführende Arbeiter von der ihm vorgezeichneten Werkzeichnung in der einen oder anderen Richtung abweicht: wird auch die Spannung der betreffenden Stange sich ändern und dem einen oder anderen der beiden Grenzwerthe sich nähern. Durch jene Methode werden also die Gefahren, welche eine ungenaue practische Ausführung mit sich bringen kann, gleichsam nachgeahmt und bildlich veranschaulicht in einem Grade, welcher von keiner anderen Methode erreicht wird.

Der andere Einwurf aber, welcher noch gemacht werden könnte, nämlich: dass die Methode der statischen Momente nicht ausschliesslich auf Rechnung, sondern zum Theil auf Construction und Messung sich gründet, kann noch weniger als begründet anerkannt werden. Denn rechnen soll man nur da, wo die Rechnung rascher zum Ziele führt als andere Methoden. Wo also die Construction als eine Abkürzung der Rechnung sich erweist, da ist kein rechter Grund einzusehen, warum man durchaus rechnen sollte, zumal da ein Versehen beim Messen viel weniger leicht Vorkommen kann als beim Rechnen.

¹

Bei der ausgeführten Dach-Construction in Birmingham beträgt diese Pfeilhöhe 17 Fuss, der leichteren Rechnung wegen sind hier 16 Fuss angenommen. Im Uebrigen stimmen die hier gewählten Dimensionen mit denen des ausgeführten Daches überein (m. vergl. Berl. Ztschr. f. Bauwesen, Jahrg. 1858). Die Rechnung ist zunächst unter Voraussetzung eines einfachen Diagonalen-Systems geführt worden. In der folgenden Nummer unter der Ueber-schrift „Abgeleitete Formen“ findet man die Berechnung eines solchen Trägers mit gekreuzten Zugbändern als Diagonalen, wie sie bei dem Dache in Birmingham angewendet wurden.

²

Die Bestimmung der Drehpunkte und Hebelarme auf dem Wege der Rechnung findet man im 11. Abschnitte dieses Buches.

§ 18.

Theorie der sichelförmigen Träger.

Das vorige Zahlenbeispiel bot abermals einen Beweis für die schon früher aufgestellte Behauptung: dass man mittelst der Methode der statischen Momente eine beliebige vorgelegte Construction berechnen könne, ohne in die eigentliche Theorie derselben vorher eine Einsicht gewonnen zu haben, und ist aus diesem Grunde absichtlich der Theorie vorangestellt. Um aber die Principien kennen zu lernen, nach welchen bei Auswahl der Constructionsform zu verfahren ist, muss man einen allgemeinen Ueberblick sich zu verschaffen suchen über die Gesetze, nach welchen die Spannungen in einem solchen Träger sich vertheilen. Zu diesem Zwecke soll die im zweiten Abschnitt § 8 begonnene „Theorie der parabolischen Träger“ hier weiter fortgeführt und vervollständigt werden.

Wenn man die im Eingänge jener Theorie betrachtete Figur (42) einer gleichförmig belasteten hängenden Kette um die horizontale Achse AB sich herumgedreht denkt, so nehmen sämmt-liche Verticalkräfte entgegengesetzte Richtungen an und man erhält die in Fig. 132 dargestellte Form einer nach oben hin gezogenen gespannten Kette, deren Belastungen man als negative Belastungen bezeichnen könnte. Die für Fig. 42 gefundene Gleichung:

Hf

pl²

ist ohne Weiteres als für diese neue Form ebenfalls gültig anzusehen, weil das obige Beweisverfahren unmittelbar auf diesen Fall sich übertragen lässt.

Ebenso gilt für eine zwischen zwei festen Punkten nach oben hin ausgespannte Kette, welche mit positiver Belastung P (pro

Fig. 132.

“BC-

-a

Längeneinheit der Spannweite) versehen ist und die Pfeilhöhe F hat (s. Fig. 133), die Gleichung:

PI²

HF

und man kann offenbar die Belastung P so wählen, dass die Horizontalkraft H in dieser letzteren Kette dieselbe Grösse hat

Fig. 188.

wie in der vorigen. Als Bedingung dieser Gleichheit ergiebt sich, wenn man die Werthe von H aus beiden Gleichungen einander gleichsetzt, oder kürzer, wenn man die eine durch die andere dividirt, die dritte Gleichung:

P ’

welche ausdrückt, dass die absoluten Werthe der Belastungen sich verhalten müssen wie die Pfeilhöhen der beiden Ketten.

Wenn man dieselben beiden Punkte A und B als gemeinschaftliche Stützpunkte für beide Ketten annimmt (s. Fig. 134),

so wird offenbar der von diesen Punkten zu leistende horizontale Gegendruck gleich Null werden, denn die eine Kette erfordert

Fig. 134.

Li

iff

; p?i

rntn

gerade so viel Gegendruck von innen als die andere von aussen her. Es wird also jeder der beiden Punkte nur noch einen ver-ticalen Gegendruck D zu leisten haben, welcher gleich dem Ueber-schusse von V über v ist; nämlich:

D = V — v = Pl — pl = (P — p)l.

Dieser Gegendruck ist also gerade so gross wie bei einem geraden Balken, dessen Belastung pro Längeneinheit gleich P— p ist.

Die negative Belastung der unteren Kette kann man durch Zugstangen hervorbringen, welche in den einzelnen Punkten der Kette befestigt sind, und nach oben hin gezogen werden mit Kräften, welche pro Längeneinheit der Spannweite p betragen.

Einen Theil der positiven Belastung der oberen Kette — und zwar einen Theil der ebenso viel beträgt — kann man sich in ähnlicher Weise durch Hängestangen hervorgebracht denken, welche an den einzelnen Punkten der oberen Kette befestigt sind und nach unten hin gezogen werden mit Kräften, welche pro Längeneinheit der Spannweite gleich p sind. Den anderen Theil P—p, welcher mit Tc bezeichnet werden soll, kann man durch äusserlich aufgelegte Belastung darstellen (s. Eig. 135).

Wenn man alsdann das obere Ende jeder Zugstange mit dem unteren Ende der darüber befindlichen Hängestange gehörig verbindet, so dass ein Stück daraus wird, so kann man die Kräfte p weglassen, indem sie alsdann durch die Spannungen der

auf solche Weise gebildeten Verticalstangen genau ersetzt werden. Man erhält damit einen sichelförmig parabolischen Träger ohne

Fig. 185.

k-p-p

.W'

UXUxi

In

■—.....-<-±^----------

Diagonalen, dessen gleichförmig über die Spannweite vertheilte Belastung pro Längeneinheit k beträgt und in dem oberen Bogen ihre Angriffspunkte hat.

Die Spannungen in den beiden Bogen sowie in den Verticalstangen lassen sich nun auf folgende Weise aus den gegebenen Grössen l, /, F, k berechnen. Es kann dabei der Einfachheit wegen angenommen werden, dass auf jede Längeneinheit der Spannweite nur eine Verticalstange kommt (s. Fig. 136); denn es ist im

Fig. 186.

Tt ip

\'

U-v-

zweiten Abschnitt § 8 bereits nachgewiesen, dass die parabolische Form auch dann noch die Gleichgewichtsform bildet, wenn die Belastungen auf einzelne Punkte sich concentriren, vorausgesetzt, dass auf jeden Belastungspunkt die halben Belastungen der angrenzenden Abtheilungen kommen.

Zur Berechnung der beiden Grössen P und p dienen die beiden Gleichungen :

Das Auflegen der Belastungen k auf den oberen Bogen er-

k

zeugt also in jeder Verticalstange eine Zugspannung = ———,

n — 1

um welche die Belastung des oberen Bogens noch vermehrt wird und welche zugleich die negative Belastung der unteren Kette bildet. Es zerlegt sich also gleichsam die Belastung k in die beiden Theile:

und k-\- p,

oder

und k

--T¹

n — 1

deren ersterer von dem unteren, letzterer von dem oberen Bogen aufgenommen wird.

Bei dem vorigen Zahlenbeispiel war

2    5

-, also n = y

Man erhält daraus, wenn man das Verhältniss _

F

mit

— be-

zeichnet:

F 2,5

Daraus ergiebt sich bei einer Belastung k eine Spannung in den Verticalstangen (oder negative Belastung des unteren Bogens):

5 _ 1

J ¹

und eine Belastung des oberen Bogens:

P=k p = %k.

Wenn also die äusserlich aufgelegte Belastung 7,5 Tonnen für jeden Knotenpunkt beträgt, so wird dadurch in den Verticalstangen eine Spannung von § • 7,5 = 5 Tonnen erzeugt, und der obere Bogen befindet sich in demselben Zustande, als wenn eine Belastung von f • 7,5 = 12,5 Tonnen auf jeden seiner Belastungspunkte wirkte (wobei der Träger selbst gewichtlos gedacht wird).

Wenn man die 1,5 Tonnen Eigengewicht des vorigen Beispiels als eine auf die oberen Knotenpunkte vertheilte Last ansieht, so ergeben sich als Wirkung dieses Gewichts f • 1,5 = 1 Tonne Zugspannung in den Verticalen (oder negative Belastung der unteren Kette) und f • 1,5 = 2,5 Tonnen Belastung der oberen Kette.

Endlich wenn man 7,5 -{- 1,5 = 9 Tonnen Totalbelastung in gleicher Weise wirkend annimmt, so erhält man 6 Tonnen für die untere und 15 Tonnen für die obere Kette.

Wenn dagegen ein Theil der Belastung unmittelbar an dem unteren Ende der Yerticalstange angreift, so kann man sich mittelst einer Nebenstange auch diesen Theil auf den oberen Endpunkt übertragen denken und die Spannung dieser Nebenstange zu derjenigen der Hauptstange hinzu addiren, um die ganze Spannung der Yerticalstange zu finden. So z. B. wurden bei der vorigen Construction 0,5 Tonnen des Eigengewichts auf die unteren Punkte gerechnet und diese wären also zu den 6 Tonnen hinzuzurechnen,

um unter dieser Voraussetzung die Spannungen der Verticalständer zu bekommen

ganz wie oben mittelst der Momenten-Methode gefunden wurde. Derjenige Theil der Yerticalstange, welcher die untere Kette spannt, also die Hauptstange, behält jene 6 Tonnen Spannung, und bleibt daher die Spannung in den beiden Ketten genau dieselbe, mag die äussere Belastung oben oder unten aufgehängt sein. Die horizontale Spannung der Ketten z. B. beträgt:

pl²

= 126,7 Tonnen

H=

6 • 6,5²

2/ 2.1

Zugspannung in der unteren und Druckspannung in der oberen Kette, wie früher mittelst der Momenten-Methode ebenfalls gefunden wurde.

Setzt man

= 0, so erhält man p = 0 und P =k, d. h. wenn

der untere Bogen in eine horizontale gerade Linie übergeht, so erzeugt eine oben aufgelegte Belastung gar keine Spannung in den Verticalen.

Wird ferner — negativ, so wird auch p negativ, d. h. wenn

Yl

der untere Bogen nach unten hin bängt, so erhalten die Verticalständer negative (oder Druck-) Spannung durch eine oben aufgelegte Last, so z. B. wenn —

P = — Fig. 137.

= — 1 gesetzt wird, ergeben sich:

fund P- + f

i*

d. h. in diesem Falle wird die Hälfte der oben    aufgelegten

Last auf den unteren Bogen    übertragen

(s. Fig. 137). Ueber-haupt gelten die eben gefundenen Sätze sowohl für negative als für positive Werthe der Pfeilhöhe / des unteren Bogens.

In allen diesen Fällen reichen also bei voller — oder überhaupt gleichförmig über die Spannweite vertheilter Belastung — die Verticalständer aus, um das Gleichgewicht der beiden Ketten zu erhalten. Nur bei ungleichförmiger Belastung tritt eine Tendenz zur Verschiebung ein, und dieser wird durch das einzuschaltende Diagonalen-System begegnet.*)

*) Auch für das Diagonalen-System eines solchen sichelförmigen Trägers lässt sich ein allgemeines Spannungsgesetz aufstellen, dessen Ableitung für diejenigen Leser, welche mit dem Gebrauche der Differentialrechnung vertraut sind, als Zusatz hier in der Kürze mitgetheilt werden soll.

Die Diagonalstangen bilden mit den Verticalstangen zusammen genommen ein Absteifungs-System, welches die beiden Ketten zu einem unverschiebbaren Ganzen verbindet. Gegen äussere Kräfte verhält sich dieses Ganze stets wie ein einfacher Balken, der an beiden Endpunkten unterstützt ist. Wenn also an irgend einer Stelle, z. B. in der Horizontal-Entfernung z, von dem rechten

Fig. 138.

jy

Q=lcdz

\y

<■

x_

-H

-X-

Auflager B ein Gewicht Q auf diesen Balken gelegt wird (s. Fig. 138), so ruft dasselbe an dem jenseitigen Auflager A einen Gegendruck hervor:

z

Z> = 0.—. v 21

Zerlegt man an irgend einer Stelle auf der linken Seite durch einen Verticalabschnitt MN den ganzen Träger in zwei Theile, so müssen bei jedem

Fig. 139.

N 43 .

derselben, z. B. dem Theil Fig. 139, um das Gleichgewicht wieder herzustellen, Kräfte an der Schnittstelle angebracht werden. Damit die algebraische Summe derVerticalkräfte in Fig. 139 gleich Null werde, muss eine Verticalkraft V angebracht werden, welche so gross als D ist und nach unten wirkt, also:

l-x

21

r=<?.£.

Die Kraft V allein würde das Stück um den Punkt A drehen, wenn nicht noch horizontale Kräfte hinzugefügt würden. Diese Horizontalkräfte müssen jedenfalls paarweise gleiche Grösse und entgegengesetzte Richtung haben, weil sonst die algebraische Summe der Horizontalkräfte nicht Null wäre. Wenn der Schnitt MN unmittelbar neben einem Yerticalständer vorbeigeht, so sind M und N die einzigen beiden Stellen, an denen Stangen von dem Schnitt getroffen werden. An diesen beiden Punkten sind also die Horizontalkräfte anzubringen. Die Grösse § jeder dieser beiden Kräfte bestimmt man aus der Gleichung der statischen Momente in Beziehung auf den Drehpunkt A, nämlich:

0 = V(l — x) — § . ML + § . NL.

Wenn die Pfeilhöhen der beiden Parabeln wie früher mit F und / bezeichnet werden, so sind die Gleichungen derselben:

_ _ y jF—p-T

Man erhält daraus für ML und NL die Werthe:

21L = F— Y

NL — / —

*=/(>-£)•

Wenn man diese Werthe so wie auch den für V gefundenen in die obige Momenten-Gleichung substituirt, so erhält man die Gleichung:

welche für § aufgelöst den Werth giebt:

Qlz

Es ist nun die Kraft § die durch das Gewicht Q an der Stelle M hervorgebrachte Horizontal-Spannung der Kette, und der nach x genommene Differential-Quotient:

Qlz

2 {F —/) (l + x)*

giebt die Grösse an, um welche diese Spannung pro Längeneinheit der Horizontalen zunimmt, wenn die Grösse x wächst, d. h. wenn der Punkt M weiter links angenommen wird.

Der absolute Werth dieser Grösse wird um so grösser, je mehr Gewichte Q rechts von dem Punkte 21 aufgelegt werden, am grössten, wenn die ganze Strecke von B bis M belastet wird. Für letzteren Belastungszustand

dH

bezeichnet

erhält man den zugehörigen Werth von —

werden soll (indem § dann in H übergeht), wenn man kdz statt Q setzt und zwischen den Grenzen z = 0 und z = l + x integrirt :

welcher mit —

dx

dH

dx

Pz = l -f- X

2 (F-f)(l + ^ JM=o

kl

zdz = —

___(z + g)²

2 (F-f)(l + xy 2

kl

dH

kl

dx

4 {F-/)'

Dass nämlich bei noch weiterem Fortsetzen der Belastung über den

Punkt M hinaus der vorher negative Werth von —— wiederum der Grösse

dx

Null sich nähern würde: davon überzeugt man sich leicht, wenn man auf ähnliche Weise wie oben untersucht, welchen Einfluss ein einzelnes links von dem Punkte in der Entfernung z vom Auflager A aufgelegtes Gewicht Q haben würde.

dx l>0sitiv

macht und dass dieser positive Werth am grössten wird, wenn alle Punkte links von M belastet werden. Diese Untersuchung würde zu den analogen Gleichungen führen:

Man findet dann, dass jede Belastung links den Werth von

21 '

o = -q4.

d$

dx

Qlz

2 (F-f) (l-x)

Qlz

2 (F —f) (l — xY

dH

dx

r*z — i—x

2 (F-f) (1-xY Jz = 0

kl

zdz —

kl

(i - xY

2 (F — f) (l-x)²'

dH

kl

dx

4 (F-f)

d H

Man kann daher der allgemeinen Gleichung für ——- auch die Form

geben: .

dH

maximum

kl

4 (F-f)

dx

minimum =

kl

4 (F-f)

Dieses Resultat lässt sich nun auf folgende Weise zur Bestimmung der Diagonalen-Spannungen benutzen.

Es war die Annahme gemacht worden, dass der Verticalschnitt unmittelbar neben einem Verticalständer Vorbeigehen sollte. Die Schnittstelle der Diagonale fällt dann mit der Schnittstelle eines der beiden Bögen, beispielsweise des unteren, zusammen (s. Fig. 140). Die drei Kräfte H, V, H vertheilen sich nun folgender Gestalt auf die drei Schnittstellen: Auf die Schnittstelle M kommt die Horizontalkraft H und so viel von der Verticalkraft V als nöthig ist, um eine Mittelkraft zu ergeben, welche mit der Richtung der Kette bei M zusammenfällt. Auf die Schnittstelle N der Diagonalstange kommt ein Theil der unten angreifenden Kraft H und so viel von der Verticalkraft V als nöthig ist, um eine Mittelkraft zu geben, welche mit der Diagonalen-Richtung zusammenfällt. Auf die Schnittstelle N der unteren Kette kommt der andere Theil von H und so viel von der Kraft V als nöthig ist, um eine Mittelkraft zu geben, welche mit der Richtung der Kette bei N zusammenfällt.

Hätte man den Schnitt um die Strecke dx weiter links gelegt, so würden

die Kräfte:

dH

HA-ff^dx und V-j d x

dV

dx

dx

statt der Kräfte H und V anzubringen gewesen sein. Wenn man gleichzeitig beide Schnitte führt und die Wirkung der Kräfte untersucht, welche auf das

MH

Fig. 140.

MH

Fig. 141.

H+ÿty.

dx

N II

herausgeschnittene Stück wirken, so findet man, dass der Ueberschuss der von links nach rechts wirkenden Horizontalkraft, also

dH dx

welche das obere Bogenstück nach rechts und das untere nach links zu verschieben trachtet.

Nimmt man als Breite des Stücks die kleine Grösse X (statt der unendlich kleinen Grösse dx), so wird annähernd auch jetzt noch:

dx die Kraft bildet,

dH

dx

d H

oder wenn man für ——den oben gefundenen Werth substituirt:

/,•/

4 (F-f) ‘ A

fiie Grösse dieser Yerschiebungskraft darstellen, welche je nach der Belastungsweise nach rechts oder nach links wirkt (s. Fig. 141). Diese Kraft vertheilt sich auf die Spitzen der einzelnen aus Ver-ticalständer und Diagonalstange gebildeten Dreiecke und bringt Spannungen in denselben hervor, welche leicht bestimmt werden können, wenn man die Richtungen der Diagonalen kennt (s. Fig. 142).

Wenn man mit X die horizontale Länge eines Feldes bezeichnet, so ist es nur ein solches Dreieck, welches die

. X aufnimmt, und diese kann dann in zwei Seitenkräfte

Fig. 142.

Kraft ±

kl

4 (F-f)

zerlegt gedacht werden, von denen die eine in der Diagonalstange, die andere in der Verticalstange Spannung hervorbringt (s. Fig. 148). Für die erstere erhält man:

kl

F=

Fig. 143.

kl \

\4 (F-f) cos oc,

oder weil

4 (F —/)    cos oc

gleich der Länge d der Dia-

gonale ist:

JlL. x

kl

4 (F-f)

.d.

k../*

Um also die stärkste Spannung einer Diagonalstange zu ermitteln, braucht man nur ihre Länge zu messen und diese mit dem

Ausdruck

kl

4 {F-f)

-r- zu multipliciren.

Für den in § 15 berechneten Träger z. B. wird:

kl

7,5 . 6,5

4 (F-f)    4 (2,5-1)

8,125.

Wenn man die Längen der einzelnen Diagonalen d₂ d₃ ... d₁₂ misst und sie mit dieser Zahl multiplicirt, so erhält man folgende Zahlen:

Y₂ — 8,125 . 1,018 = 8,3 Y₃ = 8,125 . 1,163 = 9,5 F₄ = 8,125 . 1.361 = 11,1 F₆ = 8,125 . 1,55 = 12,6 F₆ = 8,125 . 1,7 F₇ = 8,125 . 1,8 F₈ = 8,125 . 1,835 = 14,9 F₉ = 8,125 . 1,815 = 14,7 Fio = 8,125 . 1,735 = 14,1 Fu = 8,125 . 1,605 == 13,0 Fi2 = 8,125 . 1,426 = 11,6

= 13,8 = 14,6

d₂ = 1,018; d₃ — 1,163; dt = 1,861; d₅ — 1,55; d₆ = 1,7 ;

fZ₇ — 1,8;

d₈ = 1,835; d₉ — 1,815; dio — 1,735; du = 1,605; du = 1,426;

welche bis auf unerhebliche Abweichungen mit den in Fig. 120 eingeschriebenen Zahlen übereinstimmen.

kl

Das oben gefundene allgemeine Gesetz der Diagonal-Spannungen gilt nicht blos für sichelförmige Träger, sondern auch für solche parabolische Träger, deren unterer Bogen nach unten hin seine convexe Seite kehrt. Für diesen Fall ist — / statt =/ zu setzen und wird : dH

Ebenso gilt das Gesetz noch für die beiden speciellen Fälle, wenn entweder der untere oder der obere Bogen in eine horizontale Linie übergeht. Für den ersteren Fall ist in der letzten Gleichung /= 0, für den zweiten F=0 zu setzen und man erhält:

= 2500

dH kl 2500.8

dx 4/    4.2

Y₂ = 2500 . 2,5    = 6250

Ya = 2500 . 2,741 = 6850 = 2500 . 2,828 = 7070 rs = 2500 . 2,741 = 6850 U₆ = 2500 . 2,5    = 6250

Y₇ = 2500 . 2,183 = 5460

dH kl

clx 4 F dH kl

, wenn die Horizontale unten.

wenn die Horizontale oben liegt.

4/ '

Für den in § 6 berechneten parabolischen Träger z. B. wird:

und wenn man die Längen der Diagonalen d₂ d₃ . . . d₇ misst und mit 2500 multiplicirt, so gelangt man zu folgenden Zahlen: d₂ = 2,5; da — 2,741 ; d₄ = 2,828 ;

*5 = 2,741;

*6 — 2,5 ; d₇ = 2,183;

welche wiederum fast genau mit den in Fig. 27 eingeschriebenen Zahlen übereinstimmen.

Für die Yerticalständer könnte man zwar ebenfalls ein solches allgemeines Spannungsgesetz aufstellen, doch würde wegen ihrer doppelten Functionen — erstens als Glieder des Absteifungs-Systems, zweitens als Stützen oder Hängestangen, welche die Last von einem Bogen zum andern übertragen — dieses Gesetz eine complicirtere Form erhalten und deshalb von geringem praktischen Werthe sein. Auch dürfte man keine so genaue Uebereinstimmung erwarten zwischen den nach diesem Gesetze zu berechnenden und den mittelst der Momenten-Methode gefundenen Werthen. Denn solche allgemeine Gesetze gründen sich auf die der Wirklichkeit nicht genau entsprechende Voraussetzung einer stetigen Lastvertheilung und eines stetigen Fortschreitens der Belastung, während bei der Momenten-Methode ein sprungweise fortschreitendes Belasten angenommen wurde.

Aus diesem Grunde ist hinsichtlich der Verticalständer unter allen Umständen die Methode der statischen Momente vorzuziehen.

FÜNFTER ABSCHNITT.

§ 19.

Hängendes Perron-Dach von 6m Vorsprungsweite.

Als Totalbelastung incl. Wind- und Schneedruck sind 200 Kil. pro Quadratmeter der Grundrissfläche angenommen. Die Entfernung der einzelnen Binder von einander beträgt 4 Meter. Die Belastung für jeden einzelnen Binder ist demnach:

6 • 4 • 200 = 4800 Kil.,

wovon auf jedes der 6 Felder 800 Kil. kommen. Von den 7 Belastungspunkten erhalten daher der erste und letzte je 400 Kil., die übrigen je 800 Kil. als Belastung (Fig. 144). Wegen verhältnissmässig geringer Grösse des Beitrages, den die eigenen Gewichte der Stangen zu diesen Totalbelastungen liefern, dürfen dieselben ganz als „mobile“ Belastungen in Rechnung gebracht werden.

Fig. 144.

lom

400

801

800

800

800

lg

Berechnung der Spannungen H in den horizontalen Stangen.

Die Art und Weise, wie irgend eine einzelne Belastung Q durch die Widerstände W und P der beiden festen Unterstützungspunkte A und C aufgehoben wird, zeigt Fig. 145. Um die Spannung H in der Stange MN zu berechnen, würde man für den in Fig. 146 dargestellten Theil die Gleichung der statischen Momente in Bezug auf den Punkt 0 als Drehpunkt aufzustellen

haben. Wenn also, wie hier geschehen, der Belastungspunkt so gewählt wird, dass die Mittelkraft von Q und P durch den Drehpunkt 0 hindurchgeht, so wird die Spannung H— 0. Alle weiter links von dieser Stelle angebrachten Belastungen bringen negative, alle weiter rechts angebrachten Belastungen bringen positive Spannungen in der Stange MN hervor. Um also H (min) zu finden, hat man die Belastungspunkte der in Fig. 145 mit „Druck“ überschriebenen Abtheilung allein belastet

Fig. 145.

Druck--*

Zug-

Fig. 146.

anzunehmen ; um H (max) zu finden dagegen diejenigen der mit „Zug“ überschriebenen Abtheilung.

-Ł

Statt dessen kann man diese beiden Berechnungen auch in der Art mit einander verbinden, dass man sämmtliche Punkte zugleich belastet annimmt und nur eine Gleichung für H aufstellt, in welcher der Einfluss jeder einzelnen Belastung durch ein einzelnes

Fig. 147.

C\

iQ p

Glied dargestellt ist. Wenn man in dieser Gleichung das eine Mal die positiven, das andere Mal die negativen Glieder fortlässt, so erhält man ebenfalls die beiden gesuchten Spannungen.

BjP,

H% H₂ Ht A

Wenn das 4m von der Wand entfernte Gewicht Q die einzige Belastung bildete, so würde in der Stange BC eine Spannung P entstehen, deren verticale Seitenkraft gleich f Q ist (Fig. 147); denn wenn man die Gleichung der statischen

Momente in Bezug auf den Drehpunkt A aufstellt, so findet man, dass die verticale Seitenkraft von P stets genau so wirkt wie der Gegendruck des Stützpunktes B wirken würde, wenn AB ein auf

Fig. 148.

f£

ir,

zwei Stützen frei aufliegender Balken wäre. Da die Längen AB und AG wie 6 zu 3 sich verhalten, so ist die horizontale Seitenkraft von P stets

doppelt so gross als die verticale, in diesem Falle also

= £ Q. Hiernach erhält man

aus Fig. 148 für die Spannung H₃ die Gleichung:

0 = H₃ • § Q • 2 -f- § Q • 4    £ Q • § oder

H₃ • f = Q {% — § * 4 + £ • §}.

Der Beitrag, welchen die Belastung Q zu der Spannung H₃ liefert, setzt sich also aus drei Theilen zusammen, von denen der erste die directe Wirkung, die beiden anderen aber die mittelst der beiden Seitenkräfte von P ausgeübte indirecte Wirkung repräsen-tiren.

Wenn das Gewicht Q rechts von der Schnittstelle sich befände, so würde dagegen dieser Beitrag nur aus den zwei Theilen bestehen, welche den beiden Seitenkräften von P entsprechen, und man erhielte z. B. für den Beitrag eines 2m von der Wand entfernten Gewichtes Q die Gleichung:

-H,-f +-§-■- 4 — H.-I = <2U-4 —

Q • f oder

03 CO

Cc[bO

Hiernach nimmt die der vollen Belastung sämmtlicher Belastungspunkte entsprechende Gleichung für H₃ die folgende Form an:

H₃. f = 800(i.4— .|) + 800(|.4-M) + 800(i.4-l.f-l)

—    800 (2—f • 4 + £ • I) — 800(3 — £ • 4 + f • f)

—    400 (4—1-4 + 2-f).

Lässt man die negativen Glieder auf der rechten Seite fort, so erhält man:

Hs (max) = + 2000 Kil.

und lässt man das andere Mal die positiven Glieder weg, so erhält man:

H₃ (min) = — 2000 Kil.

Auf gleiche Weise erhält man für die übrigen horizontalen Stangen die Gleichungen :

Hx. 1 = — 800 (1 — \ . 6 + 1.1) — 800 (2 — 4 . 6 + £. 1)

—    800 (3 — | .6 + 1 . 1)—800 (4 —6 + 4.1)—800 (5 —f.6 + |.l)

—    400(6 —1 . 6 + 2 . 1)

Hx (max) = 0, Hx (min) — — 4800 Eil.

H₂. 4 — 800 (4 . 5 — 4. 4) + 800 (4*5 f • t 1)

—    800 (2 - 4.5 + 1 +) -800 (3 - 4 . 5 + I. I)

—    800 (4 - 4.5 + 4.4) -400 (5 — 1.5 + 2.4)

H₂ (max) = + 640 Eil., H₂ (min) = — 3040 Eil.

Hi.\ = 800 (4.3 — 4.4) + 800 (4.3 — 1.4) + 800 (4.3 — 1 .4)

+ 800 (4 . 3 — • 4    1)    800 (2    4.3 + f. 4)

—    400 (3 — 1 . 3 + 2.4)

Hi (max) — + 3733 Eil., iT₄ (min) = — 1333 Eil.

Ą.4 = 800 (4 .    2    -    4.4) + 800 (4    .    2 — 4.4) + 800    (4.2 —    1.4)

+ 800 (4.2    -    4.4) + 800 (I    .    2 - 4.4 - 1) -    400 (2 -    1    . 2 +    2 . J)

Hb (max) = + 5600 Eil., Hb (min) — — 800 Eil.

Ą.4 = 800 (4.1    -    4.4)'+ 800 (4.    i - 4.4) + 800    (4. i -    1.4)

+ 800 (4- •    1    -f • i) + 800 (f    .    1 -f    •    4) — 400    (1 — 1 .    1    + 2.4)

Hq (max) = + 8000 Eil., H₆ (min) = — 800 Eil.

Bei den übrigen Stangen fallen die Drehpunkte für die betreffenden Momenten-Gleichungen immer in die Horizontale HP, und ist daher die Möglichkeit ausgeschlossen, dass die stets nach dem Punkte A gerichtete Mittelkraft von dem Gewichte Q und der von demselben in der Zugstange BC hervorgebrachten Zugkraft P das eine Mal rechts, das andere Mal links an dem betreffenden Drehpunkte vorbeigehe. Folglich werden bei sämmt-lichen übrigen Stangen die (Zug- oder Druck-) Spannungen bei voller Belastung am grössten.

Die ganze Belastung beträgt 4800 Kil., und da der Schwerpunkt derselben über die Mitte von AB liegt, so ist die verticale Seitenkraft von P bei voller Belastung 4 • 4800 = 2400 Kil. Die horizontale Seitenkraft ist doppelt so gross, also = 4800 Kil. Die Mittelkraft von diesen beiden Kräften hat die Grösse:

P = y2400² -J- 4800² = 5367 Kil.

und ist die grösste Zugspannung, welche in der Stange BC überhaupt eintreten kann.

Nach Fig. 149 und Fig. 150 hat der Hebelarm der Spannung X₃ in Bezug auf den Drehpunkt M die Grösse:

= 0,n,4932.

Y 6² + 1²

LM • cos a = •

Fig. 119.

4800

400

800

800,

800

800

800

400

~X

±L

Man erhält also nach Fig. 150 zur Bestimmung von X3 die Gleichung:

24:00

kW

oder

0 = X₃ • 0,4932 -f 2400 -3 — 800 (0;+ 1 + 2 + f) Ą = — 7299 Eil.

Auf gleiche Weise ergeben sich für die übrigen Spannungen X die Gleichungen :

0 = Xi . 0,822 + 2400 .5 —800 {l + 2 + 3 + 4 + f} X₄ = — 2433 Kil.

0 = X₂ . 0,6576 + 2400.4 — 800 {l + 2 + 3 + |}

X₂ = — 4866 Kil.

0 = X₄ .0,3288 + 2400.2 — 800 {l + |}

X₄ = — 9732 Kil.

0 — X₅.0,1644 + 2400 . 1 — 400 . 1 X₅ = —12166 Kil.

0 = Xa . 0,1644 + 2400 . 1 — 400 . 1 X₆ = — 12166 Kil.

4800

B\

A \

■#>

Fig. 150.

800

800

800

Li

■p'M

Bei den Momenten-Gleichungen für die Spannungen der Diagonalen ist der Punkt B als Drehpunkt zu wählen.

yf -»S

^^Xz Der Hebelarm der Kraft Ys in Bezug auf den Punkt B ist nach Fig. 150:

s'

24 00''%,

BM-$ms=3-

CcItsS

lm,664.

— F₃-1,664 + 800 (1 + 2 + 3), F₃ = + 2884 Kil.

Man erhält also für die Spannung Y₃ die Gleichung: 0 =

Fig. 152.

0008 +

008-

<3*

3.

800

•V

0095+

—800

-1200

v,m.

ma -

% \s

v§> \ts

Für die übrigen Diagonalen ergeben sich auf dieselbe Weise die folgenden Gleichungen:

0 = — Fi . 3,536 + 800 (1 + 2 + 3 +4 + 5), Yi = + 3394 Kil.

0 = — r₂ . 2,561 + 800 (1 + 1 + 3 + 4), r₂ = + 3124 Kil.

0 = —Yi . 0,89 + 800 (1 + 2),

Yi — + 2700 Kil.

O — —Y5 . 0,316 + 800.1,

Y₅ = + 2530 Kil.

Bei den Momenten-Gleichungen für die Spannungen der Verticalstangen ist ebenfalls der Punkt B als Drehpunkt zu wählen. Nach Fig. 151 erhält man für F₃ die Gleichung:

0 = Fg • 4 + 800 (4 -+ 3 +|2 + 1),

Fg = — 2000 Kil.

Fig. 151.

800

800

800

—1000

1-2000

- 2000

i :

.50

ńf

—2000

- - 640

0t08-

-2400

-4800

.X*

to

-2400

Auf gleiche Weise erhält man für die anderen Verticalstangen die Gleichungen:

0 — Fi .6 + 800(f + 5 + 4 + 3 + 2+ 1+ Fi — — 2400 Kil.

0 = Vo . 5 + 800 (5 + 4 + 3 + 2 + 1),

F₂ = — 2400 Kil.

0 = Fi . 3 + 800 (3 + 2 + 1),

Vi = — 1600 Kil.

0 = F₅ . 2 + 800 (2 + 1),

F₅ = — 1200 Kil.

0 = Fe .1 + 800.1,

Fe = — 800 Kil.

Der Gegendruck TF des festen Stützpunktes A setzt sich aus den Seitenkräften Hx und Fi zusammen und hat im Maximum die Grösse:

TF = YlP Y Vf = y1800² + 2400

= 5367 Kil.,

also dieselbe Grösse wie die Zugspannung P.

Die gefundenen Spannungszahlen sind in Fig. 152 zusammengestellt.

§ 20.

Perron-Dach ohne Hängestange.

Die Dimensionen und Belastungen der in Fig. 153 dargestellten Construction sind dieselben wie für den vorigen Fall in Fig. 144 angegeben. Statt des Punktes B, in welchem beim

Fig. 153.

400 ;

800

800

xM

800

800

vorigen Falle das Dach durch die Hängestange B C unterstützt war, ist hier der Punkt E als zweiter Aufhänge-x punkt zu betrachten, und die an diesem Punkte befestigte Zugstange bildet die Verlängerung der Stangen B E, so dass dieselbe ganz in der Wand liegend von aussen nicht sichtbar ist.

Der Hebelarm der in dieser Zugstange hervorgebrachten Spannung X in Bezug auf den Drehpunkt A ist:

= 0,9864.

Y 6² —|— 1²

Man erhält also für die Spannung X als Gleichung der statischen Momente:

O = X- 0,9864 — 800 {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + f} oder X= + 14599 Eil.

Zur Bestimmung der Spannungen Xx ... X₆ können die betreffenden Gleichungen des vorigen Paragraphen benutzt werden, sobald darin die Kraft P und ihre Seitenkräfte überall gleich Null gesetzt werden. Man erhält dann die Gleichungen:

0 = X₁-0,822 —800(l + 2 + 3 + 4 + |), Xx = + 12166Eil. 0 = X₂ - 0,6576 —    800 (1 + 2 + 3 +    f), X₂ =    + 9732 Eil.

0 = X₃ • 0,4932 —    800 (1 + 2 + f),    X₃ = + 7299    Eil.

0 = X₄ • 0,3288 = 800 (1 + f). X₄ = + 4866 Eil. •

0 = X₅ • 0,1644 —    400 -1, X₅ = +    2433 Eil.

0 = X₆ • 0,1644 —    400 • 1, x₆ = +    2433 Eil.

In Betreff der Spannungen Hx ... H₆ gilt dasselbe. Setzt man in den betreffenden Gleichungen des vorigen Paragraphen die

AE • cos a — 1 •

Fig. 154.

00f&-

800

-4800

-1200

-Ï200

\% \S

—1600

0086—

—2000

-12000

—2100

-14400

,x₀

%

. \+

cs

.39

—2400

Seitenkräfte der Kraft P gleich Null, so erhält man die Gleichungen:

0=—Hi -1 — 800(1+2+3+4+5+1), Hx= — 14400 Kil.

0 = -Ą-$ — 800(l+2 + 3 + 4 + |), H₂ = — 12000 Kil.

0=—1 — 800(l + 2 + 3 + |), Ha=— 9600 Kil.

•    0 = — -Ö4+ — 800 (1 + 2 + 1),

£T₄= — 7 200 Kil.

800 (1+1),

1^5= — 4800 Kil.

0 = — #6 + — 400-1, i?₆= — 2400 Kil.

Für die Momenten-Gleichungen der Spannungen V₁ ... V₆ sowohl als der Spannungen Y₁ ... Y₅ würde — wie bei dem vorigen Beispiele — der Punkt B als Drehpunkt zu nehmen sein. Bei der vorigen Construction bildete der Punkt B zugleich den Angriffspunkt der Zugspannung P, welche mithin als durch den Drehpunkt hindurchgehend keinen Einfluss auf die Spannungen der Diagonal-und Vertical-Stangen haben konnte. Es bleiben daher die im vorigen Paragraphen für diese Stangen gefundenen Gleichungen in unveränderter Form auch für den gegenwärtigen Fall gültig.

Der Gegendruck W des festen Punktes A setzt sich aus den Seitenkräften V₁ und zusammen und hat die Grösse:

W — Ÿ VI + H\--= y2400² + 144002 = 14599 Kil.,

ist also eben so gross als die Zugkraft X.

Die Spannungszahlen der Stangen sind in Fig. 154 zusammengestellt.

0=-h₅-

«ICO

i

'cd

SECHSTER ABSCHNITT.

§ 21.

Sprengwerkbrücke von 24ra Spannweite.

Als mobile Last sind 4000k pro laufenden Meter für ein Gleis gerechnet, wovon auf jede der beiden Tragwände die Hälfte kommt. Da die Länge eines Feldes 3m beträgt, so kommen auf jeden Knotenpunkt 6000k oder 6 Tonnen (die Tonne zu 1000k gerechnet). Die permanente Belastung ist zu 1400k pro laufenden Meter veranschlagt oder zu 700k für jede der beiden Trägwände; das bringt 2100k oder in runder Summe 2 Tonnen für jeden Knotenpunkt.

Um die stärksten Spannungen der einzelnen Stangen zu ermitteln, muss zunächst untersucht werden, welche Wirkung ein einzeln aufgelegtes Gewicht auf die gewichtlos gedachte Brücke ausübt.

Die beiden Brückenhälften berühren einander ausschliesslich an der Stelle S (s. Fig. 155) und sind daselbst durch einen Gelenkbolzen mit einander verbunden.¹) Wenn an irgend einer Stelle auf der rechts liegenden Hälfte ein Gewicht Q aufgelegt wird, so erzeugt dasselbe in dem Scheitelpunkte S einen Druck R zwischen den beiden Hälften. Dieser Druck muss für die linke

Hälfte die Richtung SM haben, d. h. durch den Punkt A hindurchgehen, denn sonst würde derselbe eine Drehung um diesen

Fig. 155.

31 3

ill

1 B Xi Xa ²I ²1--X± Ol.Ci

u/¹

u7²

u/b

u3Ys^^z'₄

2,f

3,“

Z₃

^fi

Â,

I2m

P⁵

Punkt hervorbringen. In dem Punkte A entsteht ein Gegendruck P, welcher in der Sichtung von A nach S wirken muss, weil derselbe sonst das Stück MS um den Punkt S drehen würde. Auf die andere Hälfte wirkt im Scheitelpunkte der Druck R in der Richtung von A nach S; denn Druck und Gegendruck haben stets gleiche Grösse und entgegengesetzte Richtung. Denkt man sich den Durchschnittspunkt P der beiden Kräfte R und Q als Drehpunkt für diese rechte Hälfte (s. Fig. 156), so erkennt man leicht,

Fig. 15G.

ll<

SjhJ

s^rs

<F--> H

Qj .

ja

A d\ '

dass der in dem Auflagerpunkte A₁ erzeugte Gegendruck D noth-wendig die Richtung nach dem Punkte P hin haben muss, weil derselbe sonst eine Drehung um diesen Punkt herum hervorbringen würde. Dieser Druck D ist — weil die Kräfte R und Q mit ihm zusammen das Stück im Gleichgewicht halten — der Grösse nach gleich der Mittelkraft von R und Q, der Richtung nach entgegengesetzt.

Um also für irgend eine Belastung Q der einen Hälfte die Richtungen beider dadurch erzeugten Auflagerdrücke zu bestimmen,

zieht man von dem jenseitigen Auflagerpunkte eine Lime nach dem Scheitelpunkte, verlängert dieselbe bis zu der Verticalen des Belastungspunktes und zieht von der Durchschnittsstelle eine Linie nach dem anderen Punkte. Der Scheiteldruck hat für die unbelastete Hälfte immer die Richtung nach dem Auflagerpunkte hin.

Die Grösse des Scheiteldrucks R wird bestimmt, indem man sich denselben in verticale und horizontale Seitenkraft zerlegt denkt und die Gleichung der statischen Momente aufstellt für jede der beiden Hälften in Beziehung auf ihren Auflagerpunkt. So z. B. erhält man für die Seitenkräfte V und H des von dem Gewichte Q hervorgebrachten Scheiteldrucks die Gleichungen:

0 = F-12 + LT-4 — Ç • 3 0= V- 12 — iî-4,

welche, wenn man sie einmal addirt und einmal subtrahirt, für V und H die Werthe ergeben:

v=-~

cclw

Q-

Nachdem auf diese Weise die Wirkung bestimmt ist, welche durch irgend eine einzelne Belastung auf das Ganze ausgeübt wird, kommt es nun ferner darauf an, zu untersuchen, welchen Einfluss dieselbe auf die Spannung einer bestimmten Stange ausübt. Dies geschieht, indem man einen Schnitt durch die Stange hindurch legt, welcher höchstens drei Stangen trifft und für das zwischen diesem Schnitt und der Scheitelfuge liegende Stück die Gleichung der statischen Momente aufstellt. Als Drehpunkt wählt man wie früher den Durchschnittspunkt der beiden mit durchschnittenen Stangen. An der Drehungsrichtung der Kraft, welche durch irgend eine Belastung auf dieses Stück ausgeübt wird, erkennt man dann, ob dieselbe Zug- oder Druckspannung in der Stange hervorbringt, und kann somit diejenigen Belastungsstellen, denen Zugspannung entspricht, unterscheiden von denen, welchen Druckspannung entspricht. Das Maximum der Spannung erhält man, wenn man alle die ersteren, das Minimum, wenn man alle die letzteren belastet annimmt.

Berechnung der Spannungen X in den horizontalen Stangen.

Als Drehpunkt ist allemal der Fusspunkt der Diagonale zu wählen. Jede Belastung der linken Hälfte erzeugt einen Scheiteldruck in der Richtung von A₁ nach S hin, der sowohl für sich allein als auch mit dem Gewichte zu einer Mittelkraft zusammengesetzt eine Kraft liefert, welche um diesen Punkt links herum dreht. Die Kraft X dreht auch allemal links herum, erhält also durch jede solche Belastung einen negativen Werth.

Jede Belastung der rechten Hälfte erzeugt für die linke Seite einen Scheiteldruck, der durch den Drehpunkt selbst hindurch-

Fig. 157. 3    3

I-I H

fv

geht, hat also gar keinen Einfluss. Es kann daher in Betreff der Spannungen X nur von Druckspannungen die Rede sein. Um die

Fig. 158.

,11=48

jv=o

stärkste Druckspannung oder das Minimum zu bekommen, hat man diejenige Hälfte, welcher das Stück angehört, voll belastet anzunehmen; die andere Hälfte kann man belastet oder unbe-

beides führt zu demselben Resultate —.

lastet annehmen

Nimmt man der Einfachheit wegen beide Hälften voll belastet an, so ergeben sich für den Scheiteldruck die Gleichungen (s. Fig. 57):

0 = V- 12 -f H-4 — 4 • 12 — 8 (9 -f 6 + 3) 0 == F- 12 — H • 4 -f 4 • 12 + 8 (9 + 6 + 3)

F=0

#=48.

Hiernach erhält man zur Bestimmung von als Momenten-Gleichung für das Stück Fig. 158 in Beziehung auf den Punkt E als Drehpunkt:

0 = — Xx • 3,5 — 48 • 3 + 8 (3 + 6) -f 4 • 9 X (min) = — 10,29 T.

0 = — X₂ . 2,5 — 48.2 + 8.3 + 4.6 X₂ (min) = — 19,2 T.

Auf gleiche Weise erhält man für die übrigen horizontalen Stangen die Gleichungen :

0 = — X₃ .1,5 — 48.1 + 4.3 X₃ (min) = — 24 T.

0 = — Xi . 0,5 Xi = 0.

Bestimmung der Spannungen Y in den Diagonalen.

Die Diagonale Y₂ soll als Beispiel gewählt werden, um die Berechnungsweise daran zu erklären. Man kann die Belastungspunkte in drei Gruppen zerlegen: eine, deren Belastungen die Spannung Y₂ positiv zu machen streben, eine zweite, deren Belastungen dieselbe negativ zu machen streben, und eine dritte, deren Belastungen gar keinen Einfluss auf dieselbe haben, also für sich allein die Spannungen 0 hervorbringen würden.

In Fig. 159 ist dieses Verhalten der verschiedenen Belastungs-

Fig. 159.

A,

stellen zu der Spannung Y₂ durch die übergeschriebenen Zeichen +, —, 0 kenntlich gemacht.

Zu der ersten Gruppe gehören der dritte und vierte Punkt, denn ihre Belastungen geben mit den durch sie hervorgebrachten Scheiteldrücken Mittelkräfte, welche das zwischen der Scheitel-fuge und dem Verticalschnitt a ß liegende Stück in Bezug auf den Drehpunkt F links herum zu drehen streben. Die Kraft Y₂ hat entgegengesetzte Drehungsrichtung (vergl. Fig. 161), würde also durch diese Belastungen für sich allein positiv gemacht werden.

Zu der zweiten Gruppe gehört allein der zweite Punkt, dessen Belastung einen Scheiteldruck hervorbringt, welcher in der Bich-tung von Ax nach S auf das betreffende Stück wirkt. Dieser Druck wirkt in Beziehung auf den Drehpunkt F rechts drehend, macht also für sich allein die Spannung Y₂ negativ.

Die dritte Gruppe umfasst alle übrigen Punkte, denn ihre Belastungen erzeugen entweder gar keinen Scheiteldruck (lster und 9ter Punkt) und haben deshalb keine Wirkung auf das Stück,

Fig. 160.

16

|6

.,2

Iv

oder ihre Wirkung auf das Stück besteht in einem Scheiteldruck, welcher in der Richtung yon S nach A wirkt, also durch den Drehpunkt F hindurchgeht.

Fi g. 161.

w"

Um Y₂ (max) zu bestimmen, hat man also den dritten und vierten Punkt belastet anzunehmen,    den    zweiten    aber

V H=23 25 /V= 3.75

unbelastet.    (In    Betreff    der

\ß

übrigen ist es gleichgültig, ob sie belastet oder unbelastet angenommen werden, sie sollen hier unbelastet angenommen werden.)    Für    diesen    Belastungszustand ergeben    sich    die Seitenkräfte    des    Scheiteldrucks    aus    den    Gleichungen (s.    Fig.    160):

0 = — V-12 + H-i — 1 • 12 — 2(9 + 6 + 3)

0 = _ F-12 — H- 4 + 1.12 + 2 (9 + 6 + 3) + 6 (9 + 6)

V — 3,75

H= 23,25.

Hiernach findet man aus der Momenten-Gleichung für das Stück Fig. 161 in Beziehung auf den Punkt F:

0 = Y₂ • 6,72 -f 23,25 • 0,5 + 3,75 -1,5 — 1-1,5 — 8 (4,5 + 7,5) Y₂ (max) = + 11,94 T.

Um Y₂ (min) zu bestimmen, müssen der dritte und vierte Punkt unbelastet, der zweite belastet angenommen werden (die übrigen indifferenten Punkte sollen ebenfalls unbelastet angenommen werden). Die Seitenkräfte des Scheiteldrucks für diesen Belastungszustand ergeben sich aus den Gleichungen (s. Fig. 162):

Fig. 162.

<<N3

<-

—> CS*

0 = — F- 12 + H- 4 — 1 • 12 — 2 (9 + 6 + 3)

0 = — V-12 — H-4 + 1 • 12 + 2 (9 -j- 6 + 3) + 6 - 3

V = 0,75

11= 14,25.

Y£

iß

Fig. 163.

$>/

I¹ F

■+//H=14,25 / V= 0, 75

Als Momenten - Gleichung des Stücks Fig. 163 erhält man dann:

0 = Y₂ • 6,72 + 0,75 -1,5 + 14,25-0,5 —1-1,5 -2-(4,5+ 7,5)

Y₂ (min) = + 2,57 T.

Auf ähnliche Weise erhält man für die drei anderen F folgende Gleichungen :

Y₁ (max).

Bei voller Belastung wird V=0 und IT =48, also:

0 = Fi . 10,25 + 48.0,5 — 4.1,5 — 8 (4,5 + 7,5 + 10,5)

Fi (max) = + 15,8 T.

Fj (min) bleibt unberücksichtigt, weil durch keine Belastungsweise Druckspannung in dieser Diagonale hervorgebracht werden kann.

F₃ (max).

Der vierte Punkt allein ist belastet anzunehmen, dann wird:

V =■ 2,25

H= 18,75

0 = F₃.3,35 + 2,25 . 1,5 + 18,75.0,5 — 1 . 1,5 — 8.4,5 F₃ (max) = + 7,39 T.

F₃ (min).

Wenn die Punkte 2 und 3 allein belastet sind, wird:

H = 18,75

V = 2,25

0 = F₃.3,35 + 2,25 . 1,5 + 18,75.0,5 — 1 .1,5 — 2.4,5 F₃ (min) = — 0,67 T.

Das Maximum bleibt unberücksichtigt, weil durch keine Belastungsweise Zugspannung in dieser Diagonale hervorgebracht werden kann. Um das Minimum zu erhalten, sind die Punkte 2, 3, 4 allein belastet anzunehmen, dann wird:

11=25,5

V — 4,5

0 = F₄.0,738 + 4,5 . 1,5 + 25,5.0,5 — 1 .1,5 F₄ (min) = — 24,4 T.

Berechnung der Spannungen Z in den unteren Stangen.

Das Stück Z₃ soll als Beispiel dienen, um die Berechnungsweise daran zu erklären. Für die Momenten-Gleichung von Z3 wird der Punkt J den Drehpunkt bilden. Verlängert man die Richtungen A J und A₁ S bis zu ihrem Durchschnittspunkt G (s. Fig. 164) und legt durch diesen Punkt eine Verticale, so erhält

Fig. 164.

Zug

Druck

->

jMq

Z₃

An

man die Stelle, wo ein Gewicht aufgelegt werden muss, wenn es in dem Stücke Z₃ gar keine Wirkung hervorbringen soll. Denn ein Gewicht Q an dieser Stelle giebt in Verbindung mit dem dadurch hervorgebrachten Scheiteldruck D eine Mittelkraft i?, welche gerade durch den Drehpunkt J hindurchgeht. Jede Belastung rechts von dieser Verticalen erzeugt Druckspannung, weil sie für das Stück, dessen Momenten-Gleichung zur Bestimmung von Z₃ dienen wird, eine Kraft liefert, welche um den Punkt J rechts herumdreht (vergl. Fig. 166); Z₃ dreht auch rechts herum, wird dadurch also negativ gemacht. Jede Belastung links von der Verticalen erzeugt dagegen für das betreffende Stück eine links um den Punkt J kerumdrehende Kraft, macht Z₃ also positiv. Jene Verticale bildet folglich die Belastungsgrenze, welche alle diejenigen Punkte, deren Belastungen Druckspannung erzeugen, scheidet von denjenigen, deren Belastungen Zugspannung erzeugen. Um also (max) zu bekommen, hat man den Scheiteldruck aus Fig. 165 zu bestimmen:

Fig. 165.

so

CO

CO

to

IL J

²i

21

0 = — F- 12 + H-4 — 1 . 12 — 2 (9 + 6 + 3)

H= 18,75,

0 = — V-12 — II • 4 + 1 • 12 -f 2 (9 + 6 + 3) + 6 (6 + 3) V = 2,25

Fig. 166.

worauf dann Fig. 166 die Momenten-Gleickung für Z₃ (max) liefert:

= Z₃ • 2,37 — 2,25 - 6 -j- 18,75 - 0,5 + 1 • 6 + 2 - 3 Z₃ (max) = — 3,32 T.

Um Z3 (min) zu berechnen, ist der Scheiteldruck nach Fig. 167 zu bestimmen :

zt

i?

H=18,75

tO\

|V=2,26    ⁰

Fig. 167.

v2

TT E

41,25

0 = V-12 + H- 4 — 1 .12 — 2(9 + 6 + 3) — 3-12—16(9 + 6 + 3) 0 = F-12 — #• 4 + 1 • 12 + 2 (9 + 6 + 3) + 3 • 12 + 6 • 9 V = 2,25

und die Momenten-Gleichung nach Fig. 168 zu bilden:

0 = Z₃‘ 2,37 + 2,25 • 6 + 41,25 -0,5 + 4 • 6 + 8 • 3 Z₃ (min) = — 34,6 T.

Fig. 168.

Auf ähnliche Weise erhält man für die übrigen Grössen Z die folgenden Gleichungen:

Zł

rO\ "

" <H=4l,2S 25

Die Belastungsgrenze fällt mit dem ersten Punkt zusammen. Also kann nur von dem Minimum die Rede sein, welches hei voller Belastung eintritt. Für diese ergiebt sich:

11 = 48

F — 0

0 —Z,. 4,27 -f 48.0,5 + 4.12 + 8 (9 + 6 + 3) Zl (min) = — 50,6 T.

Zi.

(Belastungsgrenze zwischen den Punkten 2 und 3.)

Für das Maximum ist: F =0,75; 17=14,25

0 =    .3,32 — 0,75.9 + 14,25 . 0,5 -f 1 . 9 + 2 (6 + 3)

Z₂ (max) = — 8,25 T.

Für das Minimum ist: F =0,75; 17=45,75

0 = Za. 3,32 + 0,75.9 + 45,75. 0,5 + 4.9 + 8 (6 + 3) Z₂ (min) = — 41,45 T.

(Belastungsgrenze zwischen den Punkten 4 und 5.) Für das Maximum ist: F = 4,5; 17=25,5

0 = Z₄. 1,423 — 4,5 . 3 + 25,5.0,5 + 1 . 3 Z± (max) = — 1,58 T.

Für das Minimum ist: F=4,5; 17 = 34,5

0 =    . 1,423 + 4,5.3 + 34,5.0,5 + 4.3

Z₄ (min) = — 30,0 T.

Berechnung der Spannungen U in den verticalen Stangen.

Die Stange U₃ soll als Beispiel gewählt werden, um die Be-

Der Schnitt ist in der

rechnungsweise daran zu erläutern.

Richtung y 8 zu führen und der Punkt F (derselbe, welcher zur Bestimmung der Grössen Y als Drehpunkt diente) bildet den Drehpunkt für die Momenten-Gleichung. Auch hier zerfallen die Belastungspunkte hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Stange U₃

in drei Gruppen, welche in Fig. 169 durch die übergeschriebenen Zeichen +, —, 0 kenntlich gemacht sind. Um das Maximum

Fig. 169.

rx

Æ"

V

\+3

von U₃ zu finden, ist allein der 2te Punkt belastet anzunehmen und der Scheiteldruck nach Fig. 162 zu bestimmen. Man erhält (wie für diesen Belastungszustand dort schon gefunden wurde):

V = 0,75

Fig. 170.

H = 14,25.

Die Momenten-Gleichung für U₃ (max) ergiebt sich aus Fig. 170:

0 = —U₃ -7,5 + 0,75.1,5 + 14,25-0,5 — 1 -1,5 - 2 (4,5 + 7,5)

U₃ (max) = — 2,3 T.

Um U₃ (min) zu bestimmen, sind der 3te und 4te Punkt belastet anzunehmen und für den Scheiteldruck die für diesen Belastungszustand aus Fig. 160 schon berechneten Werthe V = 3,75

in Rechnung zu bringen. Man erhält dann aus Fig. 171 für U₃ (min)

die Momenten-Gleichung:

0 = — U₃ • 7,5 + 3,75 -1,5 + 23,25-0.5 — 1 . 1,5 -8 (4,5+ 7,5)

U₃ (min) =

Y,

i¹

><

Ü3

'*11=14,25 iv=0,75

s

Pf =23,25

Fig. 171.

“■O

U₃

H=23,25 V= 3, 7 5

8

10,7 T.

Auf ähnliche Weise sind die übrigen Grössen U berechnet wie folgt:

01-

Ui (max) bleibt unberücksichtigt, weil durch keine Belastungsweise Zugspannung in diesem Stück hervorgebracht werden kann.

Ui (min) kann für volle Belastung berechnet werden, also V = 0, H = 48 und:

0 = — Ui . 13,5 + 48 . 0,5 — 4.1,5 — 8 (4,5 + 7,5 + 10,5) — 4 . 13,5 Ui (min) = — 16,0 T.

U».

Auch hier ist das Maximum unberücksichtigt zu lassen. Das Minimum kann für volle Belastung berechnet werden, also:

V —0

H= 48

0 = —U₂. 10,5 + 48 . 0,5 — 4 . 1,5 — 8 (4,5 + 7,5 + 10,5)

U₂ (min) — — 15,4 T.

U.₄.

Das Maximum findet statt, wenn die Punkte 2 und 3 belastet sind und der Punkt 4 unbelastet. Dann ist:

H = 18,75

• V = 2,25 0 = — Ui . 4,5 + 2,25 . 1,5 + 18,75.0,5 — 1 . 1,5 — 2 . 4,5 Ui (max) = -f- 0,5 T.

Das Minimum tritt ein, wenn der Punkt 4 belastet, 2 und 3 unbelastet sind, wobei:

R— 18,75

V = 2,25

0 = — Ui . 4,5 + 2,25 . 1,5 + 18,75 . 0,5 — 1 . 1,5 — 8 . 4,5 Ui (min) = — 5,5 T.

U₅.

Der fünfte Verticalständer ist durch die Scheitelfuge halbirt, und jede der beiden Hälften kann höchstens 4 Tonnen Druckspannung annehmen. Denn der Kopf des Yerticalständers ist nur mit horizontalen Stangen in Berührung, und die einzigen Yerticalkräfte, welche daselbst angreifen, sind also die directen Belastungen dieser Stelle, welche für jede Hälfte nicht mehr als . 4 Tonnen betragen können. Also:

Ub (min) — — 4 T.

Die Resultate sind in Fig. 172 zusammengestellt.

Fig. 172.

-10,29

~19r2

-24

- 5,5

"Ii°

10,7

0,5

c<f

16,0

15,4

Fig. 178.

ÊÊÊ

fco

U'

c:;

KP

n\ l;a<! « \/ai

Lo\

.O

to

03

CD

«J

Cn

cix

bi xifx₂fx₃fx4²î⁴x₅f f T T t 4² T 4 4 4 4 4 ²J⁴ -4 4 v

21    41    4| ' 4i 4!    41    4|    41    4|    4|    2

2    14    14

§ 22.

Bogenbrücke von 40m Spannweite.

(Tlieissbrücke bei Szegedin.)*)

Als permanente Last sind 2400k, als mobile Last 4000k pro laufenden Meter für ein Gleis gerechnet, wovon auf jede der zwei Tragwände die Hälfte kommt. Da die Länge eines Feldes 2m beträgt, so sind für jeden Knotenpunkt 2400k permanente Last und 4000k mobile Last in Rechnung zu bringen, oder (die Tonne zu 1000k gerechnet) 2,4 Tonnen permanente und 4 Tonnen mobile Last.

Brückenhälften berühren einander ausschliesslich an der Stelle S und sind daselbst durch ein Scharnier mit einander verbunden. Im Ueb-rigen sind Constructionsform und Dimensionen aus Fig. 173 zu entnehmen.

Die beiden

Berechnung der Spannungen X in den horizontalen Stangen.

Das Stück X₃ soll als Beispiel gewählt werden, um die Methode

1    14

Mi

*) Abgesehen von dem Scharnier in der Mitte, dessen Bedeutung später in der „ Theorie der Bogenbrücken “ erklärt werden wird, und von der Abrundung einiger Maasszahlen stimmt die hier berechnete Construction mit der Theiss-brücke überein. Dass die Diagonalen der Mittelfelder bei der Theissbrücke zu Blechwänden ausgedehnt sind, welche die ganze Fläche des Feldes ausfüllen, kann kaum als eine Abweichung im Construc-tionsprincip bezeichnet werden.

der Berechnung daran zu erläutern. Man hat zunächst zu untersuchen, welche Belastungen Zugspannung und welche Belastungen Druckspannung in diesem Stücke hervorbringen. Zu diesem Zwecke ist diejenige Stelle aufzusuchen, an welcher ein Gewicht liegen muss, und gar keine Wirkung auf das Stück auszuüben, denn sie bildet die Grenze. Man findet diese Stelle, indem man die Bichtungen AL und AXS bis zu ihrem Durchschnittspunkt C verlängert (s. Fig. 174), denn ein an dieser Stelle aufgelegtes Gewicht

Fi g. 174.

Druck

“T

a!X₅

CG/

Q erzeugt einen Scheiteldruck D, welcher in der Richtung A₁S wirkt (da er als Gegendruck für die andere Hälfte durch den Punkt Ax gehen muss, um dieselbe nicht zu drehen) und giebt mit diesem zusammen eine Mittelkraft R, die nach dem Auflagerpunkte A gerichtet sein muss (weil sonst diese Hälfte um den Punkt A gedreht werden würde), also der Construction nach auch durch den Punkt L hindurchgeht. Da nun der Punkt L für die nachher zur Bestimmung von X₅ aufzustellende Momenten-Gleichung des zwischen der Scheitelfuge und dem Schnitt aß liegenden Stücks (vergl. Fig. 176) als Drehpunkt dienen wird, so hat das Gewicht an dieser Stelle gar keinen Einfluss auf die Spannung X₅. Jede Belastung rechts von der durch den Punkt C gelegten Verticalen erzeugt für das Stück SL eine Kraft, welche unterhalb des Punktes L vorbeigeht, d. h. rechts drehend wirkt; X₅ dreht links herum, wird also positiv gemacht durch eine solche Kraft.

Ein Gewicht links von jener Verticalen aber wirkt entgegengesetzt, entweder dadurch, dass die erzeugte Mittelkraft R oberhalb des Punktes L vorbeigeht oder — wenn das Gewicht ausserhalb des Schnitts aß liegt — dass der von ihm hervorgebrachte Scheiteldruck für sich allein eine solche links drehende Kraft bildet. Jene durch den Punkt C gelegte Verticale bildet also die Belastungsscheide, welche die ganze Brücke in zwei Abtheilungen scheidet, von denen die rechtsliegende belastet sein muss, wenn X₅ ein Maximum, die linke, wenn X₅ ein Minimum werden soll.

Für das Stück . X₅ fällt diese Belastungsscheide in die Entfernung 16m vom linken Auflager, also gerade mit dem Vertical-ständer U₉ zusammen.²) Um also X₅ (max) zu bestimmen, sind die Punkte 10, 11, 12 ... 21 belastet, die übrigen unbelastet anzunehmen, und für diesen Belastungszustand die beiden Seitenkräfte des Scheiteldrucks zu bestimmen. Aus Fig. 175 erhält man die beiden Momenten-Gleichungen:

Fig. 175.

2 4 4| ² 4 4 4 4

A 4J 4| 2

^²4⁴².j,2-ił24⁴²i²²i⁴²i⁴²4⁴²l‘% +M44²M²t²M⁴t-

2Ö

20

0 = F. 20 + H-5 — 2,4    + 18 + 16 + . . . + 4 + 2)

— 4 (rr + 18 -j- 16 -f- . . . + 4 -f- 2)

0 = F-20 —U-5 + 2,4(+ + 18 + 16+...+4 + 2) + 4(++18),

welche, wenn man sie einmal addirt und einmal von einander sub-trahirt, die Werthe ergeben :

V = 7,2, H= 99,2.

Man erhält dann aus Fig. 176 als Momenten-Gleichung in

Fig. 176.

a\

»TT

²|⁴ f ²|⁴    2Ï4 lj₂

1 75

11=99,2

fV=T,2

Beziehung auf den Drehpunkt L:

0 = —X₅- 1,75 — 99,2.1,25 + 7,2- 10 + 2,4 (+ + S + 6 + 4 + 2) + 4(^+8)

X₅ (max) = + 34,29 T.

Um X₅ (min) zu bestimmen, hat man die Seitenkräfte des . Scheiteldrucks für den in Fig. 177 dargestellten Belastungszustand zu berechnen:

0 = — F-20 +#.5 — 2,4 (¥ + 18+ ...2)

0 = — F- 20 — LT - 5 + 2,4 (+ + 18 + ... 2)+ 4(14+ 12+...2) V = 5,6

H = 70,4

Fig. 177.

2, 4 4| 4 41 4 4 4|

X *    2,j4 2,4 2,4 2,'4 2,|4 2,Ja 2,Ja 1,12

12 2,J4 2,J4 2|4 2,j4 2,j4 2,|4 2, 4 2,4 2,J4 1,|2

A<y

und dann für das Stück Fig. 178 die Momenten-Gleichung in Beziehung auf den Drehpunkt L zu bilden:

0=—X₅ • 1,75 —5,6 -10 —70,4 -1,25 + 2,4(14 + 8 + 6 + 4+2) + 4(4 + 2)

X₅ (min) = — 34,29 T.

Es zeigt sich hier, dass die absoluten Werthe von X₅ (max) und X₅ (min) einander gleich sind, und hieraus folgt, dass X₅ = 0

wird, wenn die Belastungen , welche das Maximum hervorbringen, mit denen, welche das Minimum hervorbringen, gleichzeitig wirken, weil dann die von beiden Belastungszuständen hervorgebrachten Spannungen in X₅ einander auf-heben. Bei voller Belastung ist also X₆ = 0 (denn die Belastung des neunten Yerticalständers für sich allein erzeugt ebenfalls die Spannung Null in dem Stücke X₅). Diese Eigenschaft lässt sich schon aus der in § 8 gegebenen „Theorie der parabolischen Träger“ leicht erklären. Es hat nämlich der Bogen die Form einer Parabel, und diese Form bildet, wie dort gezeigt wurde, die Gleichgewichtsform einer Kette, welche mit einer gleichförmig über die Spannweite vertheilten Last bedeckt ist. Sobald diese letztere Bedingung erfüllt ist, sind weder Diagonalen noch Horizontalstangen zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich, die freistehenden Yerticalständer allein, welche die oben aufgelegten Lasten auf die

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Fig. 178.

OC!

"VC

2,4    2,4 2,4 2, 4 2,14    1+

V_V_V_V_+_i

11=70,4

"V=Ö, 6

Kette übertragen, sind ausreichend, um die Kette im Gleichgewicht zu erhalten (s. Fig. 179).

Fig. 179.

'b □ p

I i i silili f ?•-? ? ? I-? f f

Auch die permanente Last bildet der Annahme nach eine solche gleichförmig über die Spannweite vertheilte Last, hat also auf die Spannung der horizontalen Stangen durchaus keinen Einfluss.

Es folgt aus dem eben Bemerkten zweierlei: erstens bei der Berechnung der horizontalen Stangen kann die permanente Last ganz unberücksichtigt gelassen werden; zweitens, von den durch die mobile Last hervorgebrachten stärksten Zug- und Druck-Spannungen der Horizontalen braucht allemal nur eine berechnet zu werden, denn die andere muss mit ihr zusammen Null betragen, ergiebt sich also aus ihr durch blosse Umkehrung des Yorzeichens.

Man hätte also der Berechnung von X₅ auch folgende einfachere Form geben können:

0 = — F-20 + .ff-ô

0 = _ y. 20 — H-5 + 4 (14 + 12 + ... 2)

H — 22,4

F =5,6

0 = — X₅ • 1,75 — 5,6 • 10 — 22,4 • 1,25 + 4 (4 + 2) X₅ =±34,29 T.

Diese einfachere Form ist für die nachfolgende Berechnung der übrigen Grössen X als Norm gewählt.

Xr (Belastungsscheide im 7 ten Felde.)

0 = — F. 20 + if. 5

0 = — F. 20 — H. 5 + 4 (12 + 10 + ... 2) F = 4,2

if =16,8

O = — Xl. 4,55 — 4,2 . 18 — 16,8.4,05 + 4 (10 + 8 + 6 + 4 + 2) X₁ = ± 5,20 T.

X₂.

(Belastungsscheide im 8 ten Felde.)

0 = — F.20 + 17.5

— F. 20 — H. 5 + 4 (14 + 12 + ...2)

F — 5,6

0 = — X₂.3,7 — 5,6 . 16 — 22,4. 3,2 + 4 (10 + 8 + 6 + 4 + 2) X₂ = ± 11,16 T.

H= 22,4

X₃.

(Belastungsscheide im 8 ten Felde.)

H— 22,4

0 = — X₃.2,95 — 5,6.14 — 22,4.2,45 + 4 (8+ 6+ 4 +2) X₃ = ± 18,06 T.

V = 5,6

A₄.

(Belastungsscheide im 8 ten Felde.) H= 22,4

0 = — X₄ . 2,3 — 5,6.12 — 22,4.1,8 + 4 (6 + 4 + 2) X₄ = ± 25,88 T.

V = 5,6

AV

(Belastungsscheide im 9 ten Felde.)

0 = — F. 20 + IT.5

0 = — V. 20 — H. 5 + 4 ( 16 + 14 + ... 2)

H = 28,8

0 = — X₆.1,3 — 7,2 . 8 — 28,8 . 0,8 + 4 (4 + 2) A₀==± 43,57 T.

V = 7,2

X₇.

(Belastungsscheide im 9 ten Felde.) H= 28,8

0 = — X₇ . 0,95 — 7,2 . 6 — 28,8 . 0,45 + 4.2 X₇ = + 50,70 T.

r= 7,2

X₈.

(Belastungsscheide im 10 ten Felde.)

0= — F.20 + JÎ.5 0 = — F. 20 — if . 5 + 4 (18 + 16 + ... 2) F = 9

H = 36

O = — X₈.0,7 — 9 . 4 — 36 . 0,2 + 4 . 2 X₈ = + 50,29 T.

X₉.

(Belastungsscheide im lOten Felde.) H= 36

0 = — X₉.0,55 — 9 . 2 — 36.0,05 X₉ = + 36,0 T.

9*

^loin diesem Stücke kann niemals Spannung entstehen, weil an dem rechts liegenden Endpunkte desselben keine Horizontalkräfte angreifen. Es ist also

*io = 0.

Berechnung der Spannungen Y in den Diagonalen.

Die mit F₅ bezeichnete Diagonale soll als Beispiel gewählt werden, um die Berecbnungsweise daran zu erläutern.

Für die nachher zur Bestimmung von F₅ aufzustellende Momenten- Gleichung wird der Punkt M (s. Fig. 180) den Drehpunkt

Fig. 180.

Druck

-------

<......

<x

-T R

' Np-J F --

}Q

17,3

->!

Ai

bilden. Verlängert man also die Richtungen AM und Ax S bis zu ihrem Durchschnittspunkte E, so bezeichnet die durch diesen Punkt gelegte Verticale diejenige Stelle, an welcher ein Gewicht liegen muss, um gar keine Wirkung auf das Stück Y₅ auszuüben. Denn hier bildet ein Gewicht Q mit dem durch dasselbe erzeugten Scheiteldruck D eine Mittelkraft R, welche gerade durch den Drehpunkt M hindurchgeht. Liegt das Gewicht weiter rechts, so wird entweder diese Mittelkraft R, oder, wenn es ganz auf der anderen Hälfte liegt, der Scheiteldruck, unterhalb des Punktes M Vorbeigehen, also auf das Stück Saß rechts drehend wirken, während F₅ auch rechts drehend wirkt, folglich negativ dadurch gemacht wird.

Liegt das Gewicht dagegen weiter links, so wird entweder die Mittelkraft Ä, oder — wenn es ganz jenseits des Schnitts a ß liegt — der durch dasselbe hervorgerufene Scheiteldruck D oberhalb des Punktes M Vorbeigehen, also auf das Stück S aß links drehend wirken, folglich F₅ positiv machen.

Die durch den Punkt E gelegte Verticale bildet also die Belastungsscheide, welche die ganze Brücke in zwei Abtheilungen scheidet, von denen die links liegende ganz belastet angenommen

Da schon bei Gelegenheit der Berechnung der horizontalen Stangen die Bemerkung gemacht und begründet wurde, dass bei gleichförmiger Belastung weder die Horizontal- noch die Diagonal-Stangen Spannung annehmen, so erscheint es überflüssig, hier noch einmal den Beweis zu führen, dass es hinsichtlich der Diagonalstangen keinerlei Unterschied macht, ob man die permanente Last mit berücksichtigt oder nicht. Es soll also der Einfachheit wegen bei der Berechnung der Grössen Y die permanente Last ganz aus dem Spiele gelassen werden. Ebenso soll von den beiden Werthen, Maximum und Minimum, immer nur Einer (und zwar ersterer) berechnet werden; denn wenn bei voller Belastung die Spannung

werden muss, um den grössten positiven Werth von F₅, die rechts liegende dagegen, um den grossen negativen Werth von Y₅ zu ergeben.

Fig. 181.

41 4

4| 4j 4'

1 I ^

j⁴?

II H

Null ist, so muss nothwendig die Belastung des einen Theils gerade so viel positive, als die des anderen negative Spannung erzeugen, und sind also Maximum und Minimum immer nur dem Zeichen nach verschieden.

Man erhält demnach zur Bestimmung von Y₅ (max) für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks aus Fig. 181 — indem man das Eigengewicht der Brücke

Fig. 182.

V=7/2

als nicht vorhanden ansieht — die Gleichungen:

0 = — F-20 + H-h

0 = — V- 20 — H-5 + 4 (16 -f 14 + . . . + 2)

H = 28,8

V— 7,2

und für Y₅ (max) selbst aus Fig. 182 die Momenten-Gleichung :

0 = r₅ • 5,51 — 7,2 • 3,64 -f- 28,8 • 0,5    .

— 4 (0,36 4- 2,36 + 4,36 + 6,36)

Y₅ (max) = -f- 11,9 T.

Da das Minimum seinem absoluten Werthe nach dieselbe Grösse hat, so kann man auch setzen:

F₅=±ll,9 T.

Auf ähnliche Weise erhält man für die Grössen Fi . . . F₆ die nachfolgenden Gleichungen :

Fi.

(Belastungsscheide im 7 ten Felde.)

H= 16,8 (wie hei der Bestimmung von Xi)

V = 4,2

0 = Fx . 10,6 — 4,2 . 8,42 + 16,8 . 0,5 + 4 .0,42

— 4 (1,58 + 3,58 + 5,58 + 7,58 + 9,58) F, =±12,92 T.

V — 5,6 0 = F₂ . 9,42 -

(Belastungsscheide im 8ten Felde.) jff=22,4 (wie bei der Bestimmung von X₂) 5,6 . 7,294 + 22,4 . 0,5 + 4 . 1,294 — 4 (0,706 + 2,706 + 4,706 + 6,706 + 8,706)

F₂ = ± 12,59 T.

(Belastungsscheide im 8 ten Felde.)

H = 22,4

V = 5,6

0 = F₃. 8,16 — 5,6.6,13 + 22,4.0,5 + 4.0,13 — 4 (1,87 + 3,87 + 5,87 + 7,87) F₃ = ± 12,3 T.

F₄.

(Belastungsscheide im 9 ten Felde.)

K— 28,8 (wie bei der Bestimmung von X₆)

F =7,2

0 = F* . 6,834 — 7,2 . 4,923 + 28,8.0,5 + 4.0,923 — 4 (1,077 + 3,077 + 5,077 + 7,077) F₄ = ± 12,07 T.

y₆.

(Belastungsscheide im 9 ten Felde.)

IT= 28,8

”V = 7,2

0 = F₆.4,24 — 7,2 . 2,223 + 28,8.0,5 — 4 (1,777 + 3,777 + 5,777) Y₆ = ± 11,07 T.

Bei der Bestimmung von F₇ findet es sich, dass der Drehpunkt N in das Mittelfeld hineinfällt, und dass hierdurch

eine Abweichung von dem bisherigen Verfahren bedingt wird (s. Fig. 183). Es bilden sich hier nämlich drei Abtheilungen, eine

Druck

Druck

Zug

D«.ji

Fig. 18B.

■*ć-

Ai

für Zugspannung und zwei für Druckspannung. Denn die Linie A₁ S geht hier links an dem Drehpunkte N vorbei, folglich auch der Scheiteldruck, den eine Belastung der linken Hälfte erzeugt. Ein Gewicht, welches links von der Schnittlinie Xp. aufgelegt wird, bringt also in Bezug auf das Stück 5Xp. eine Kraft D hervor, welche dasselbe um den Drehpunkt N rechts herum zu drehen strebt, folglich Y₇ negativ macht.

Die Schnittlinie X p. bildet hier demnach eine zweite Belastungsscheide , denn rechts von derselben bis zur Linie v p hin erzeugen die aufgelegten Gewichte wie früher eine (aus Gewicht und Scheiteldruck sich zusammensetzende) Kraft, welche links herum dreht, und noch weiter rechts — jenseits der Linie vp — erzeugen die aufgelegten Gewichte wiederum Kräfte, welche das Stück /SXp. rechts herum zu drehen streben.

Fig. 184.

X    _ IT__H.

Zur Berechnung von Y₇ kann man also entweder die beiden Druckabtheilungen oder die Zugabtheilung belastet annehmen. Im letzteren Falle erhält man aus Fig. 184 als Gleichungen für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks:

11= 19,2

0 = — V-20 + II • 5 0 = — V-20 — H-5 + 4 (18 + 16 + 14) V =4,8

Ai

drehende Kraft bildet. Die Berechnung ist also gerade wie bei dem vorigen Palle zu führen, und man erhält die Gleichungen:

0 = — F • 20 + JT- 5 0 = — F- 20 — H-5 + 4 (18 + 16) V = 3,4

sodann aus Fig. 185 die Momenten-Gleichung: Fig. 185.

0= F₇ -3,194 -4,8-0,571 + 19,2-0,5 — 4(1,429 + 3,429 + 5,429) Y₇ = ± 10,73 T.

Auch für Y₈ bilden sich drei Abtheilungen, indem der Drehpunkt F in das andere der beiden Mittelfelder hineinfällt (s. Pig. 186), der Scheiteldruck D also auch hier eine rechts

41 °+71 J Ni j.

-—1-"~

Pf

+11149,2

# F⁵

<■

Druck

r--

Fig. 186. Z,1Kv..........

Druck

->

|s

H= 13,6

0 = F₈ - 2,51 + 3,4 • 1,6 + 13,6 -0,5 — 4 (5,6 + 3,6) Ys =±9,8 T.

Pür F₉ fällt der Drehpunkt K so, dass sich wiederum nur zwei Abtheilungen bilden (s. Fig. 187). Hier ist die Schnittlinie

Fig. 187.

Druck

-Vf-

Zug

= ;T:

Yf

---

5,33

ex selbst die Belastungsscheide, denn jede Belastung links von derselben wirkt auf das Stück Sa t nur mittelst des Scheiteldrucks D, welcher rechts herum dreht, also F₉ negativ macht. Jede Belastung der rechten Hälfte erzeugt einen Scheiteldruck TF, der links herum dreht, und eine Belastung des Stücks S a z selbst erzeugt mit dem von ihr hervorgebrachten Scheiteldruck D eine Mittelkraft, welche ebenfalls links herum dreht.

Die Belastungsscheide liegt also im 9ten Felde, und für Belastung der Druckabtheilung findet man (wie früher bei der Bestimmung von X₆):

H= 28,8.

V = 7,2

Man erhält also für F₉ die Gleichung:

0 = F₉ • 2,47 + 7,2- 5,33 + 28,8 • 0,5 F₉ = + 21,4 T.

Für F₁₀ bildet ebenfalls die Schnittlinie selbst die Belastungsscheide, und ist daher die Rechnung ebenso zu führen, wie für F₉. Man erhält die Gleichungen:

0 = — F- 20 + FT • 5

0 = — V-20 — H- 5 +.4 (18 + 16 + ... 2)

H = 36

0 = F₁₀ • 5,324 + 9-20 + 36-0,5 F₁₀ = + 37,29 T.

Berechnung der Spannungen U in den verticalen Stangen.

Aus Fig. 179 ist zu erkennen, welche Wirkung die permanent^ Belastung auf die Yerticalständer ausübt. Sieht man die Punkte, welche in der horizontalen Fahrbahn liegen, als Angriffspunkte der einen Hälfte und die in dem Bogen liegenden als Angriffspunkte der anderen Hälfte des Eigengewichts an, so bekommt jeder Yerticalständer dadurch eine Druckspannung von 1,2 Tonnen (mit Ausnahme des lsten und Ilten, welche nur die Hälfte davon bekommen). Zu dieser permanenten Spannung kommt dann noch die wechselnde Spannung, welche durch die mobile Last in ihnen hervorgebracht wird.

Es sind also zunächst von dieser letzteren das Maximum und das Minimum zu berechnen und dann jene — 1,2 Tonnen hinzu zu addiren.

Die von der mobilen Last allein in dem Verticalständer U5 hervorgebrachte stärkste Spannung, welche mit U₅ bezeichnet werden

soll, findet man, indem man die permanente Last ganz unberücksichtigt lässt und zunächst diejenige Stelle aufsucht, an welcher ein Gewicht liegen muss, um gar keine Wirkung auf denselben auszuüben. Dies geschieht durch dieselbe Construction, welche in Fig. 180 bei der Berechnung von Y₅ angewendet wurde, indem man die Linien A M und Ax S bis zu ihrem Durchschnittspunkte E verlängert. Denn derselbe Punkt ilf, welcher den Drehpunkt der Momenten-Gleichung für Y₅ bildete, wird auch hier als Drehpunkt zu nehmen sein. Ein Gewicht Q, in der durch den Punkt E gelegten Yerticalen wirkend, erzeugt mit dem von ihm hervorgebrachten Scheiteldruck D für das Stück St\^ eine Mittelkraft R, welche durch den Drehpunkt hindurchgeht, also auf die Spannung U₅ keinen Einfluss hat. Diese Verticale bildet also die Belastungsscheide, alle rechts davon liegenden Gewichte erzeugen Zugspannung, alle links davon liegenden Druckspannung (s. Fig. 188). Um U₅ (min) zu finden, ist die Druckabtheilung be-

<r

V-

Druck

lE-

Fig. 188.

Zug

A,

Man erhält gerade wie bei der Bestimmung

lastet anzunehmen, von r₅ (max) als Seitenkräfte des Scheiteldrucks:

V= 7,2

H = 28,8.

Als Momenten-Gleichung des Stücks    ergiebt sich sodann

aus Fig. 189:

0 = — U₅ • 8,36 — 7,2 • 3.64 + 28,8 • 0,5

— 4 (0,36 -f 2,36 + 4,36 + 6,36 + 8,36)

U₅ (min) = — 11,84 T.

Das Maximum kann ohne neue Rechnung aus diesem Werthe abgeleitet werden, und zwar auf folgende Weise: Wenn ausser der Druckabtheilung auch noch die Zugabtheilung belastet wird, so muss die Spannung = — 4 Tonnen werden, denn so viel

U₅ (max) + U₅ (min) = — 4

oder, wenn man für U₅ (min) den gefundenen Werth substituirt und die Gleichung auf löst:

U₅ (max) = — 4 — (— 11,84) = + 7,84.

Die Werthe von U₅ (min) und U₅ (max) ergeben sich nun,

wenn zu den beiden eben gefundenen wird, also:

1,2 hinzu addirt

£7g (min) = — i 1,84 — 1,2 = — 12,04 T.

U₅ (max) = -f- 7,84 — 1,2 = + 6,64 T.³)

Auf ähnliche Weise findet man für die übrigen Verticalständer folgende Gleichungen:

Uv⁴)

0 = — Ul . 11,58 — 4,2 . 8,42 + 16,8 . 0,5 + 4 . 0,42

Ui (min) — — 15,82 üi (min) = — 17,02 T. Ui (max) = + 10,62 T.

beträgt die Spannung jedes Yerticalständers bei gleichförmig verteilter mobiler Last (s. Fig. 179). Daraus folgt, dass die Belastung der Zug-Abtheilung für sich allein genau so viel Spannung hervorbringt, als mit U₅ (min) zusammen — 4 beträgt. Es ergiebt sich hieraus die Gleichung:

Fig. 189.

<r

\s

41

H=28/8

F-7, 2

\-a>

— 4 (1,58 + 3,58 + 5,58 + 7,58 + 9,58 + 11,58) Ui (max) = + 11,82

U₂.

0 = — U₂ . 10,706 — 5.6.7,294 + 22,4.0,5 + 4.1,294

U₂ (min) = — 15,08

— 4 (0,706 + 2,706 + 4,706 + 6,706 + 8,706 + 10,706) U₂ (max) = + 11,08

U₂ (min) = — 16,28 T. U₂ (max) — -+ 9,88 T.

U₃.

0 — — U₃.9,87 — 5,6.6,13 + 22,4.0,5 + 4.0,13

U₃ (min) = — 14,2

— 4 (1,87 + 3,87 + 5,87 + 7,87 + 9,87) U₃ (max — -+ 10,2

U₃ (min) = — 15.4 T. U₃ (max) = -(- 9,0 T.

U₄.

0 = — U₄.9,077 — 7,2.4,923 + 28,8.0,5 + 4.0,923

11₄ (min) = — 13,1 U₄ (min) = — 14,3 T. U₄ (max) = + 7,9 T.

— 4 (1,07 + 3,077 + 5,077 + 7,077 + 9,077) U₄ (max) = -f- 9,1

U₆.

0 = — U₆ . 7,777 — 7,2.2,223 + 28,8.0,5 — 4(1,777 + 3,777 + 5,777 + 7,777)

U₆ (min) = — 10,03 C/₆ (min) = — 11,23 T. U₆ (max) = + 4,83 T.

U₆ (max) = + 6,03

u₇.

Schon bei der Berechnung der Diagonalen ergab sich, dass für das 7 te Feld ein abweichendes Verfahren einzuschlagen war, insofern für Y₇ drei Abtheilungen sich bildeten. In ganz analoger Weise sind auch für U₇ drei Abtheilungen zu unterscheiden, nur ist zu bemerken, dass, während sonst die Belastungsscheiden für U mit denen für Y zusammenfielen, bei diesem Felde die eine der Belastungsscheiden um eine Feldlänge weiter nach links rückt wegen der schrägen Richtung des Schnitts 9 + (s- Fig. 190).

Bei Belastung der Druckabtheilung ergeben sich für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks die Gleichungen:

0 = — F-20 + AT-5

0 = — F-20 — #.5 + 4(18 + 16-f 14 + 12)

V= 6

H= 24

und als Momenten-Gleichung des Stücks £9+:

0 = — U₇ • 7,429-6.0,571 + 24-0,5

U₇ (min) = — 8,38

— 4 (1,429 + 3,429 + 5,429 + 7,429) U₇ (max) = + 4,38.

<-

Zug

Druck

Fig. 190.

Zug

Hieraus erhält man wie in den vorigen Fällen: TJrj (min) = — 9,58 T.

Ui (max) = + 3,18 T.

Auch hier bilden sich drei Abtheilungen, und die Berechnung geschieht wie bei dem vorigen Falle:

0 = — V • 20 + ff.5

0 = — F- 20 — IT - 5 + 4 • (18 + 16 + 14)

V =4,8

11= 19,2.

0 = — U₈ • 7,6 + 4,8 • 1,6 + 19,2 -0,5 — 4 (3,6 + 5,6 + 7,6)

U₈ (max) = + 2,57

U₈ (min) = — 6,57 Us (min) = — 7,77 T. Us (max)= + 1,37 T.

u₉.

Wie für F₉ bilden sich wieder nur zwei Abtheilungen, nur rückt wegen der schrägen Kichtung des Schnitts die Belastungsscheide um eine Feldlänge weiter links (s. Fig. 191). Für Belastung der Zugabtheilung erhält man die Gleichungen:

0 = — F-20 + iï.5

0 = — V-20 — H-5 + 4 (14 + 12 + . . . 2)

F=5,6

H = 22,4.

0 = — U₉ • 9,33 -f 5,6 • 5,33 +.22,4 • 0,5

U₉ (max) = -(- 4,4 £7g (min) = — 9,6 T. U₉ (max) = -|- 3,2 T.

U₉ (min) = — 8,4

Zug

Fi g. 191.

Druck

T”

Uio-

Die Berechnung geschieht wie bei U₉. Die Belastungsscheide liegt im 9 ten Felde, der Drehpunkt für die Momenten-Gleichung wie hei F₁₀; man erhält also:

H= 28,8

V — 7,2

o = _ U₁₀ • 22 + 7,2.20 + 28,8 • 0,5

U₁₀ (max) = -f- 7,2    U₁₀ (min) = — 11,2 T.

U₁₀ (min) = — 12,4 T.

U₁₀ (max)= 6,0 T.

Oil-

Der Verticalständer in der Mitte wird durch die Scheitelfuge halbirt, und jeder der beiden Theile steht oben nur mit einer horizontalen Stange in Verbindung, kann also nur durch die direct auf liegende Belastung eine Spannung erhalten, nämlich Druck-Spannung. Die Belastung beträgt für jede Hälfte 0,6 T. permanenter und 2 Tonnen mobiler Last, also ist UX1 (min) = — 2,6 T.

Berechnung der Spannungen Z in den Bogenstücken.

Das Stück Zh soll als Beispiel dienen, um das einzuschlagende Verfahren daran zu erklären. Man legt einen Verticalschnitt durch das 5te Feld und stellt für das zwischen diesem Schnitt und der Scheitelfuge liegende Stück die Momenten-Gleichung auf in Bezug auf den Durchschnittspunkt 0 von Diagonale und Horizontale (s. Fig. 192).

Die Belastungsweise für Z₅ (max) und Z₅ (min) findet man, indem man zunächst die Belastungsscheide sucht, d. h. diejenige

Fig. 192.

Zug

Druck

OA i

M«

10/6

Stelle, wo ein Gewicht liegen muss, um weder Zug- noch Druck-Spannung in Zb zu erzeugen.

Wenn man die Linien AO und AXS bis zu ihrem Durchschnittspunkte F verlängert und durch diesen Punkt eine Verticale legt, so bildet diese Verticale die Belastungsscheide. Denn hier erzeugt ein Gewicht Q in Verbindung mit dem von demselben hervorgebrachten Scheiteldruck D eine Mittelkraft R, welche durch den Drehpunkt 0 hindurchgeht. Diese Belastungsscheide liegt für Z₆ in dem 6 ten Felde.

Nimmt man die Zugabtheilung belastet an, so sind — da

hier natürlich die permanente Last nicht unberücksichtigt bleiben darf — H=GO für die unbelasteten Punkte 2,4 Tonnen, für die belasteten 2,4 -f- 4 Tonnen in

Rechnung zu bringen. Man erhält also für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks die Gleichungen: ’

0 = — F-20 +JET-5 — 2,4 (^-f 18 + 16+ . . . )

0 = — F-20 — Lf.5 + 2,4(^ + 18+16 + ... )

₊ 4 (10 + 8 + .... 2)

II = 60.

Fig. 193.

2, 4    2,

-4-

2, 4    3.,|2

V V

to to

V = 3

Aus Fig. 193 ergiebt sich sodann die Momenten-Gleichung:

0 = Z₅- 2,218 — 3 -12 + 60 • 0,5 + 2,4 (Y + 10 + .. . 2) -}- 4 • 2 Z₅ (max) = — 39,86 T.

Bei Belastung der Druckabtheilung erhält man für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks die Gleichungen:

0 = y. 20 + H- 5 — 6,4 (+ _|_ 18 + ... 2)

V=3

0 = F- 20 — H-5 + 2,4 (+ + 18 + ... 2) +4(+ + 18 + ... 12) H= 116

und aus Fig. 194 die Momenten-Gleichung:

0 = Z₅- 2,218 + 3 • 12 + 116 • 0,5 + 2,4 (+ + 10 + ... 2) + 4(++10 + ...4)

Z₅ (min) = + 142,70 T.

Pig. 194.

2/

XO ! V

1—r=

4.    2,

4    2,

* 2,

TiT=116

i;

F=3

Zur Vergleichung soll hier noch derjenige Werth berechnet werden, den Z₅ annimmt, wenn die ganze Brücke mit der mobilen Last bedeckt ist. Es ergeben sich für diesen

Fall die Gleichungen:

0 = V-20 + H-5 — 6,4 (+ + 18 + ... 2)

0 = F • 20 — H • 5 + 6,4 (+ + 18 + ... 2)

V — 0

0 = Z₅- 2,218 + 128.0,5 + 6,4 (+ + 10 + ... 2) Z₅ = — 132,7 T.

H= 128.

Aus diesen Rechnungen lässt sich nun hinsichtlich der Spannungen Z in den Bogenstücken schon Folgendes entnehmen.

Erstens, dass die Druckspannung in den Bogenstücken bei einseitiger Belastung beträchtlich stärker werden kann als bei voller Belastung, dass es also auch hinsichtlich der Bogenstücke nothwendig ist, auf einseitige Belastungen Rücksicht zu nehmen. In diesem Punkte unterscheidet sich die parabolische Bog en-Brücke wesentlich von den früher untersuchten parabolischen Balk en-Brücken — d. h. solchen, deren Auflagerpunkte nur verticale Gegendrücke leisten — in welchen stets bei voller Belastung die Spannung der Bogenstücke am stärksten wird.

Zweitens erkennt man aus der obigen Rechnung, dass es eigentlich nicht erforderlich ist, auch die Maxima von Z bei dieser Brücke zu berechnen. Denn: sieht man einstweilen von dem Eigengewichte ab, so ist klar, dass die von der mobilen Last allein hervorgebrachte grösste positive Spannung zu der von ihr hervorgebrachten grössten negativen Spannung hinzu addirt diejenige Spannung ergeben muss, welche durch die mobile Last entsteht, wenn sie die ganze Brücke bedeckt. Diese ist aber immer negative Spannung, wie man aus der vorletzten von den obigen Gleichungen sofort erkennt (da im Vorzeichen von Zh keine Aenderung hervorgebracht wird, wenn man 4 statt 6,4 schreibt). Hieraus folgt, dass nothwendig die von der mobilen Last hervorgebrachte grösste Druckspannung stets grösser sein muss, als die von ihr hervorgebrachte grösste Zugspannung, während die permanente Last überdies noch eine permanente Druckspannung in den Bogenstücken erzeugt, also ebenfalls dahin wirkt, dass Z (min) überwiegt. Da nun Druckspannung ohnehin meistens einen grösseren Querschnitt erfordert als eine gleich grosse Zugspannung, so könnten bei dieser Construction die Maxima von Z ganz unberücksichtigt bleiben, da die Minima allein bei der Querschnitts-bestimmung entscheiden.

Nichtsdestoweniger soll auch hier das Maximum berechnet werden und zwar aus folgendem Grunde. Genau dieselbe Methode würde nämlich auch in dem Falle anzuwenden sein, wenn die convexe Seite des Bogens nach unten gekehrt wäre, und die horizontale Fahrbahn unter dem Bogen hinge, d. h. wenn die Brücke als Hängebrücke construirt wäre. In diesem Falle aber würde Minimum werden was hier Maximum ist und umgekehrt. Bei sehr geringer Grösse des Eigengewichts könnten diese Minima möglicher Weise negativ werden und trotz ihrer kleineren absoluten Werthe bei der Wahl des Querschnitts den Ausschlag geben. Für solche Fälle ist es also von Nutzen, auch die Berechnungsweise derjenigen Werthe von Z kennen zu lernen, welche hier als Maxima auftreten.

Für die Spannungen Z in den übrigen Feldern erhält man nach der obigen Methode folgende Gleichungen:

Die Belastungsscheide fällt mit dem ersten Verticalständer zusammen. Für die unbelastete Brücke ist:

0 = V . 20 + H. 5 — 2,4 (** + 18 + ... 2)

0= V . 20 — H. 5 + 2,4 (v + 18 + ... 2)

V— 0

H— 48

10

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

0 — Zy .4,968 + 48.0,5 + 2,4 (f + 18 + ...2) Zx (max) = — 53,14 T.

Bei voller Belastung wird:

V —0

128

0 = Zl. 4,968 + 128.0,5 + 6,4 {f + 18 + ... 2) (min = — 141,71 T.

z₂.

(Belastungsscheide im 2 ten Felde.)

V = 0,2

H = 48,8

0 = Za. 4,186 — 0,2 . 18 + 48,8.0,5 + 2,4 (f + 16 + ... 2) Z₂ (max) — — 51,41 T.

¹

Eine rationellere Constructionsform würde diejenige sein, bei welcher die horizontale Fahrbahnlinie durch den Scheitelpunkt S hindurch geht. Nur der grösseren Allgemeinheit wegen, weil in manchen Fällen — z. B. bei Holz-Constructionen — die Darstellung dieser Form mit Schwierigkeiten verbunden sein würde, ist hier die obige Form gewählt worden, aus welcher man die eben erwähnte leicht als speciellen Fall ableiten kann, indem man die Dimension SC — 0 (statt = 0,5) setzt.

²

Die Bestimmung der Drehpunkte und Belastungsscheiden auf dem Wege der [Rechnung findet man im 11. Abschnitte dieses Buches.

³

Man hätte zwar kürzer die Werthe von U₅ (min) und U₅ (max) aus dem früher schon gefundenen Werthe von Y₅ (max) ableiten können, dadurch, dass man einmal zu der verticalen Seitenkraft von Yb (max) negativ genommen die Grösse — (4 + 1,2), das andere Mal zu jener Seitenkraft positiv genommen die Grösse — 1,2 hinzufügte. Da indessen diese Methode nicht für alle Verticalständer passt, so ist hier der obige etwas längere Weg vorgezogen.

⁴

Der erste Verticalständer wäre streng genommen als halber zu betrachten, da angenommen wurde, dass die andere Hälfte seiner Belastung unmittelbar vom Auflager getragen wird. Indessen ist derselbe hier voll gerechnet, wie man das in der Praxis wohl immer vorziehen wird.

H= 127,2

V — 0,2

0 = Z₂.4,186 + 0,2 . 18 + 127,2.0,5 + 6,4 (f + 16 + ... 2) Z₂ (min) = — 139,89 T.

(Belastungsscheide im 4ten Felde.)

H =52,8

V    = 1,2

0 = Z₃.3,464 — 1,2 . 16 + 52,8. 0,5 + 2,4 (f + 14 + ... 2) + 4.2 Z₃ (max) — — 48,73 T.

H = 123,2

V    — 1,2

0 = Zt. 3,464 + 1,2.16 + 123,2.0,5 + 2,4 (f + 14 + ...2) + 4(f+ 14 + ...4) Z₃ (min) = — 139,3 T.

(Belastungsscheide im 5 ten Felde.) H = 56

V = 2

0 = Z₄. 2,805 — 2 . 14 + 56.0,5 + 2,4 (^ + 12 + ... 2) + 4.2 Z₄ (max) — — 44,77 T.

II = 120

V=2

0 = Z₄.2,805 + 2.14 + 120.0,5 + 2,4 (\⁴ + 12 + ... 2) + 4 (£ + 12 + ... 4) Z₄ (min) = — 140,3 T.

Zq< (Belastungsscheide im 7 ten Felde.)

H= 64,8

V— 4,2

0 = Za. 1,707 — 4,2.10 + 64,8.0,5 + 2,4 (f + 8 + ... 2) + 4.2 Z₆ (max) = — 34,21 T.

V = 4,2

H= 111,2

0 = Z₆. 1,707 + 4,2 . 10 + 111,2.0,5 + 2,4 (^ + ... 2) + 4    + ... 4)

Zq (min) ~ — 146,2 T.

Z₇.

(Belastungssclieide im 8 ten Felde.)

V = 5,6

H— 70,4

0 = Zj. 1,28 — 5,6 . 8 + 70,4. 0,5 + 2,4 (f + 6 + 4 + 2) + 4 . 2 Zr, (max) = — 28,74 T.

H— 105,6

0 = Z,. 1,28 + 5,6 . 8 + 105,6.0,5 + 2,4 (f + 6 + 4 + 2) + 4 (f + 6 + 4) Z₇ (min) = — 149,9 T.

V— 5,6

Z*.

(Belastungsscbeide im 8 ten Felde.)

H — 70,4

0 = Z₈. 0,943 — 5,6 . 6 + 70,4.0,5 + 2,4 (| + 4 + 2)

Z₈ (max) = — 24,6 T.

V=b,ß

0 = ZS. 0,943 + 5,6.6 + 105,6.0,5 + 2,4 (f + 4 + 2} + 4 (| + 4 + 2) Zs (min)^= — 152,8 T.

V = 5,6

H =105,6

Z*.

V — 7,2

(Belastungsscheide im 9 ten Felde.) H= 76,8

0 — Zÿ. 0,698 — 7,2.4 + 76,8.0,5 — 2,4 (| + 2)

Z₉ (max) = — 27,5 T.

H =99,2

0 = Z* . 0,698 + 7,2.4 + 99,2.0,5 + 2,4 (f + 2) + 4 (f + 2) Z₉ (min) = — 149,0 T.

V = 7,2

Sio-

Bei der Bestimmung von Z₁₀ findet zwar keine Abweichung von dem vorigen Verfahren statt, es ist nur zu bemerken, dass hier die Druckabtheilung allein vorhanden ist, und dass die andere — im Gegensätze zu den vorigen Fällen — nicht mit

Fig. 195.

Full

Druck:

D*------- B

KJ 3

„Zug“, sondern vielmehr mit „Null“ zu bezeichnen ist (s. Fig. 195). Denn die Richtung der Linie A₁ S fällt zufällig mit der Diagonale

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Fig. 196.

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+ 6,64

+ 13,o4

±34,2 9

— 13,04

⁻ 6,64

± 25,88

yy

Ot

c5

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*»

G>

Xs

+ 7,9

+14,3

-14,3

± 18,06

\T>>

*>_

ö»

«8

of.

-7,9

xN

+ 9,o

+ 15,4

±18,06-    ±25,83

-15,4

±1116

+ 9.SS

<35

cP

<ÿ

-9,0

6>

±1116

+ 16,2 8

CS

%Z>

+1

-16,28

+10,62

“9,88

<*

?»

^6',

T'

+17,02

-fl

-11,02

-10,62

des lOten Feldes zusammen, und jede Belastung links von der Schnittlinie s w wirkt daher auf das Stück S su nur mittelst des von ihr hervorgebrachten Scheiteldrucks _D, welcher durch den Drehpunkt P für die aufzustellende Momenten-Gleichung hindurch geht, folglich die Spannung Null in dem Stücke Z1Q erzeugt.

Wenn man consequenter Weise auch für Z₁₀ das Maximum und das Minimum bestimmen will, so kann man das eine Mal den Träger ganz leer (wenn man will, auch bis zum Punkte P hin belastet) und das andere Mal voll belastet (wenn man will, auch nur die rechte Seite bis zum Schnitt s u hin belastet) annehmen, und erhält dann die Gleichungen:

V=0

11= 48

tel to

0 = Z₁₀- 0,5498 + 48 • 0,5 + 2,4 •

Z₁₀ (max) = — 48,02 T.

V— 0

H= 128

KAtO

0 = Z₁₀- 0,5498 + 128 • 0,5 + 2,4 • § + 4 • Z₁₀ (min) = — 128,05 T.

Die Resultate der ganzen Rechnung sind in Fig. 196 übersichtlich zusammengestellt.

Wenn man in Fig. 196 statt eines jeden Plus-Zeichens ein Minus-Zeichen, statt eines jeden Minus-Zeichens ein Plus-Zeichen setzt, so gelten die Zahlen für dieselbe Brücke, wenn sie als Hängebrücke construirt ist, d. h. wenn sie in umgekehrter Lage an den beiden Punkten A und Ax aufgehängt ist. Die in Fig. 197 eingeschriebenen Zahlen sind also die Spannungszahlen für eine solche Hängebrücke, welche der Form nach mit der vorigen congruent ist.

§ 23.

Stabilität der Pfeiler.

Dieselbe Methode, welche bei den vorigen Rechnungen angewendet wurde, um die grössten Spannungszahlen zu finden, kann man auch benutzen, um die Stabilität der Pfeiler zu prüfen und zu untersuchen, bei welcher Belastungsweise die Gefahr des Umsturzes am grössten wird.

Die Kraft, welche den Pfeiler umzuwerfen strebt, ist die horizontale Seitenkraft des auf den Auflagerdruck ausgeübten Drucks. Begünstigt wird die Stabilität des Pfeilers durch die verticale Seitenkraft dieses Drucks. Beide werden bei voller Belastung der Brücke am grössten. Es entsteht also die Frage, ob nicht bei partieller Belastung der Ueberschuss des Momentes der Horizontalkraft einen grösseren Werth erlangen kann, als bei voller Belastung, und wie gross dieser grösste Werth des Umsturz-Momentes werden kann.

Die Antwort auf diese Frage findet man, indem man nach dem früher befolgten Princip zunächst diejenige Stelle der Brücke aufsucht, wo ein Gewicht liegen muss, um gar keinen Einfluss auf die Stabilität des Pfeilers zu äussern. Das Umkippen würde in einer Drehung um den Punkt F bestehen (s. Fig. 198). Soll

Fig. 198.

Umsturz

\R cs

eine Kraft diese Drehung weder befördern noch verhindern, so muss sie durch den Drehpunkt hindurch gehen. Verlängert man die Richtungen F At und A S bis zu ihrem Durchschnittspunkte 2, so erhält man die Stelle, wo ein Gewicht Q liegen muss, um mit dem von ihm hervorgebrachten Scheiteldruck I) zusammen eine Mittelkraft B zu erzeugen, welche gerade durch den Drehpunkt F hindurchgeht. Für ein weiter rechts liegendes Gewicht würde diese Kraft innerhalb, für eine weiter links liegende Kraft ausserhalb an dem Punkte F Vorbeigehen. Die durch den Punkt I gelegte Verticale theilt also als Belastungsscheide die Brücke in zwei Abtheilungen, von denen die links liegende allein belastet

sein muss, wenn das Umsturz-Moment seinen grössten Werth annehmen soll. Die Lage dieser Linie hängt ab von dem Ver-h

hältniss — der Höhe des Pfeilers (bis zum Auflagerpunkte A₁

gerechnet) zur Breite desselben.

Wenn beispielsweise angenommen wird, dass für die vorige Brücke dieses Yerhältniss

ï=²

ist, so fällt die Belastungsscheide in das 18te Feld und man erhält bei Belastung der Umsturz-Abtheilung für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks aus Fig. 199 die Momenten-Gleichungen:

Fig. 199.

<-

<-

--

■<-

<-

<-

<r

<■

<r

<■

<-

<r

MS*

A,

2,4(M + 18 +...2) —4(^-f-18+ ...6)

0 = — F-20 + PT-5 O = — F-20 — H.b + 2,4 (^ + 18 + ... 2) -f 4(^+18 + ... 2)

F = 0,6

H= 125,6.

Hiernach erhält man für den grössten Werth des Umsturz-Momentes die Gleichung:

= — 0,6 (b + 20) + 125,6 (h + 5)

— ^ [(—(18 + &) + ••• + (2 + &)+ 2]

- i [(^-) + (18 + b) + ... + (6 + b)

worin M das von der ganzen (aus zwei Tragwänden bestehenden) Brücke hervorgebrachte Moment bedeutet (s. Fig. 200).

Diesem Umsturz-Momente wirken entgegen: erstens das Stabilitäts - Moment des Pfeilers, zweitens, wenn derselbe als Mittelpfeiler zwei angrenzenden Brücken-Abtheilungen als Stütze dient, auch das Moment, welches von der anderen Brücken-

Oeffnung her auf den Pfeiler übertragen wird. Letzteres Moment, welches natürlich ebenfalls auf den Punkt F zu beziehen ist,

Fig. 200.

H=l25,Gf-

■1 J/ 'L si '1' J' i'

I I

iT=48

3łJF

WM"

Gh

wird dann am kleinsten, wenn diese andere Oeffnung ganz unbelastet ist, denn jedes dort aufgelegte Gewicht erzeugt für den Pfeiler eine Kraft, welche links an dem Punkte F vorbei geht. Die Gefahr des Umsturzes wird also am grössten, wenn die angrenzende OeffnuDg ganz unbelastet ist. Für diesen Fall wird, wie früher gefunden,    und dann erhält für das Gegen-

Moment die Gleichung:

48.(5 + 70-2,4 (+ + 18 + ...2),

worin Mx das ganze — zwei Tragwänden entsprechende — Gegen-Moment bezeichnet.

Die Bedingung also, welche erfüllt sein muss, wenn der Pfeiler nicht umkippen soll, lässt sich, wenn das Gewicht desselben mit G bezeichnet wird, durch folgende Ungleichung aus-drücken:

to Cs*

aus welcher, wenn darin für M und Mx ihre Werthe substituirt werden, die erforderlichen Dimensionen des Pfeilers bestimmt werden können.

§ 24.

Theorie der Scharnier-Brücken.

Obwohl es zur speciellen numerischen Berechnung einer vorliegenden Construction dieser Art keiner weiteren Theorie bedarf, wie die vorigen Zahlenbeispiele beweisen, so ist es doch nicht ohne Nutzen, über derartige Brücken von etwas allgemeineren Gesichtspunkten aus einige Untersuchungen anzustellen, um zu erkennen, worauf es bei der Construction einer solchen Brücke hauptsächlich an kommt.

Sobald die Richtungen der Auflagerdrücke bekannt sind, kann man für jede gegebene Stangenverbindung mittelst der Methode der statischen Momente die Spannungszahlen berechnen. Bei allen Balkenbrücken — wie die in den vier ersten Abschnitten berechneten Constructionen im Gegensätze zu dem in diesem sechsten Abschnitt untersuchten genannt werden können — fand hinsichtlich dieser Richtungen keine Unbestimmtheit statt, weil bei jenen Brücken die Auflagerung an den Stützpunkten so beschaffen ist, dass von den letzteren nur verticale Gegendrücke zu erwarten sind. Bei den Sprengwerk- und Bogenbrücken dagegen gesellen sich zu den verti-calen noch die horizontalen Gegendrücke der Auflagerpunkte, und nur dann, wenn auch diese bestimmbar sind, können die Spannungszahlen genau berechnet werden.

Diese horizontalen Gegendrücke sind aber nur dann bestimmbar, wenn an irgend einer Stelle die Continuität des Trägers unterbrochen und daselbst ein Scharnier (oder ein ähnliches bewegliches Verbindungsglied) eingeschaltet ist. Von der Richtigkeit dieser Behauptung kann man sich auf folgende Weise überzeugen.

Wie in der „Theorie der parabolischen Träger“ (s. § 8) früher nachgewiesen, bildet die parabolische Form die Gleichgewichtsform einer an beiden Endpunkten unterstützten Kette, welche mit einer gleichförmig über die Horizontal-Projection ver-theilten Belastung bedeckt ist. Die Stützpunkte derselben leisten verticale und horizontale Gegendrücke, deren Grösse genau bestimmt werden konnte. Sobald entweder dieses Belastungsgesetz oder diese Form der Kette die geringste Aenderung erlitte, würde die Kette sofort Zusammenstürzen, wenn nicht durch sonstige Mittel der Gleichgewichtszustand aufrecht erhalten würde. Solcher

r=Qir-

Fig. 202. — 21 —

______X_____

Mittel können zweierlei Arten unterschieden werden: sie können darin bestehen, dass man die Beweglichkeit der Kettenglieder aufhebt, indem man sie zu einem steifen Bogen verbindet, dessen Biegungswiderstand der Formänderung entgegenwirkt, oder darin, dass man der Kette die Beweglichkeit ihrer Glieder zwar lässt, aber durch Hinzufügung eines Absteifungs-Systems, d. h. eines aus horizontalen, diagonalen und verticalen Stangen gebildeten Systems von Dreiecken die Verschiebbarkeit auf hebt. In beiden Fällen wird das Ganze in einen steifen Balken verwandelt, der aber an seinen Stützpunkten nicht blos durch verticale, sondern auch durch horizontale Druckkräfte im Gleichgewicht gehalten wird.

Die verticalen Gegendrücke haben immer einen ganz bestimmten Werth, wie man sofort erkennt, wenn man z. B. für Fig. 201 oder Fig. 202 die Momenten - Gleichung in Beziehung auf den Stützpunkt B bildet:

0 = V • 21 — Qx

Fig. 201.

<r

27

AF

oder

Was dagegen die horizontalen Gegendrücke betrifft, so giebt es für sie unendlich viele verschiedene Werthe, welche der Bedingung des Gleichgewichts genügen, denn diese Bedingung besteht nur darin: dass der in dem Punkte A wirkende Horizontaldruck gleiche Grösse und entgegengesetzte Richtung mit dem in B wirkenden haben muss. Man kann diese Bedingung auch so ausdrücken: die Mittelkräfte D und W aus den horizontalen und verticalen Drücken müssen mit der Richtung von Q in einem Punkte P Zusammentreffen, damit ihre Mittelkraft durch die Kraft Q aufgehoben werde. Wo aber dieses Zusammentreffen erfolgt, das hängt von der Grösse der Horizontalkräfte ab. Der Punkt P wird oberhalb der Horizontalen AB liegen (s. Fig. 203), wenn die Horizontalkräfte nach innen, unterhalb, Train sie nach aussen wirken (s. Fig. 204); er

liegt in geringer Entfernung von der Horizontalen iB, wenn die Horizontalkräfte gross sind, in grosser Entfernung, wenn sie

klein sind, in unendlich grosser Entfernung, wenn sie Null sind.

Wie gross nun aber in Wirklichkeit diese Horizontalkräfte sind, das hängt ab: von der Art der Aufstellung und Befestigung, von der Widerstandsfähigkeit der Widerlager, von der Temperatur etc., kurz von mancherlei Umständen und Zufälligkeiten, welche zum grösseren Theile der Rechnung gänzlich sich entziehen. Nichtsdestoweniger

sind diese Umstände von der grössten Bedeutung für die Sicherheit der Construction. Sowohl durch sehr grosse als durch sehr kleine Werthe der Horizontalkräfte kann die Sicherheit der Construction gefährdet werden. Das erstere bedarf keines weiteren Beweises; das letztere aber ist leicht an einem Beispiele nachzuweisen.

Wenn die oben berechnete Bogenbrücke ohne Scharnier construit wäre und in Folge eines geringen Ausweichens der Wider-

Fig. 203.

I)

AD

Fig. 204.

X\

pT

Fig. 205.

lager die horizontalen Gegendrücke derselben ganz aufhörten zu wirken, so würde die Brücke als Balkenbrücke (s. Fig. 205) nach

den früheren Regeln zu berechnen sein und z. B. für das Stück Xl0 folgende Momenten-Gleichungen sich ergeben:

0 = X₁₀ • 0,5 + 6,4 [(* + ¥²ö + ... U) ²⁰ + (U • 20-2)

•+ (H • 20 - 4) + . .. + (U • 20 - 18)]

X₁₀ (min) = — 1280 T.,

während hei der Scharnier-Brücke die stärkste Spannung in den horizontalen Stangen nur + 50,7 T. (im 7 ten Felde nämlich) beträgt.

Ebenso würde für Z₁₀ die Gleichung sich ergeben:

0 — •    Z₁₀ • 0,5498 -j- 6,4 [(^V 4~ ^ s<j) ^ 4“ (łf ' ^    2)

+ (H-18-4) + ... + (**• 18-16)]

Z₁₀ (max) = -f- 1229 T.,

während früher nur — 128,05 T. als stärkste Spannung in diesem Stücke gefunden wurde. Es würde also die Spannung im Bogen stellenweise auf fast das Zehnfache und in den horizontalen Stangen auf mehr noch als das Zehnfache sich steigern können, wenn das Scharnier weggelassen würde.

Dass in dem umgekehrten Falle, wenn die Widerlager unbeweglich bleiben, während der Brückenkörper — fest eingeklemmt zwischen den beiden Punkten A und B — durch Temperatur-Erhöhung ausgedehnt wird, ebenfalls die Spannung einzelner Theile bis zum Uebermaass gesteigert werden kann, ist nicht schwer einzusehen. In diesem Falle liegt die Gefahr in dem Wachsen der Horizontalkräfte, wobei die Auflagerdrücke mehr der horizontalen Richtung sich nähern (s. Fig. 206).

Fig. 206.

"1

Diese Unbestimmtheit nun, so wie die Gefahr, welche dieselbe mit sich bringt, fällt gänzlich weg, sobald durch die Scheitelfuge und das Scharnier den Widerlagerdrücken eine ganz bestimmte Richtung angewiesen wird. Schon früher ist nachgewiesen, dass in diesem Falle der von einem Gewichte Q an der unbelasteten Hälfte hervorgerufene Widerlagerdruck W stets durch den Scharnierpunkt S hindurchgeht; dadurch wird der Punkt P und mit ihm die Richtung des anderen Widerlagerdrucks sofort festgelegt (s. Fig. 207). Beim Ausweichen der Widerlager wird die Fuge sich

Fig. 207.

ein wenig schliessen, bei Temperatur-Erhöhungen sich ein wenig öffnen, und niemals kann eine Steigerung oder Verminderung der von den Punkten A und B ausgeübten Horizontal-Drücke anders als durch Veränderung des Belastungszustandes bewirkt werden.

Schon in § 8 ist darauf hingewiesen und am Schlüsse von § 22 noch einmal hervorgehoben, dass hinsichtlich der Berechnungsweise gar kein Unterschied stattfindet zwischen der (bisher sogenannten) Bogenbrücke, d. h. einer solchen, deren Bogen seine convexe Seite nach oben kehrt, und einer hängenden Bogenbrücke, wie die in Fig. 208 dargestellte. Kehrt man erst die Figur und

Fig. 208.

B.

J)

yQ

nachher alle Kraftrichtungen um, so erhält man aus Fig. 207 die Fig. 208, und es ist leicht einzusehen, dass alles in Bezug auf die erstere Nachgewiesene auch für die letztere Gültigkeit behält.

Fig. 209.

/f

Fig. 210.

Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass das Princip der Scharnier-Brücken noch man* nigfacher Modificationen fähig ist, und sollen hier nur noch die in Fig. 209 und Fig. 210 dargestellten Formen erwähnt werden. Erstere kann als ein parabolischer Träger von der Form Fig. 39 angesehen werden, bei welchem das horizontale Zugband in der Mitte durchgeschnitten und statt dessen die Horizontalwiderstände der Auflagerpunkte als Ersatzkräfte in Anspruch genommen sind, und letztere als analoge Form mit hängender Kette. Die Berechnung solcher Brücken würde in ganz ähnlicher Weise, wie in § 21 und § 22 beschrieben, geschehen können.

SIEBENTER ABSCHNITT.

§ 25.

Transformation der Spannungszahlen für veränderte Spannweiten.

In den vorigen Abschnitten ist mit Absicht die Rechnung ganz ausführlich mitgetheilt, und für jedes einzelne Stück die Momenten-Gleichung angegeben worden, weil die einmal gefundenen Zahlen und Gleichungen noch auf mannigfache Weise ver-werthet werden können für Constructionen, welche den dort berechneten geometrisch ähnlich sind, d. h. für solche Constructionen, die nur darin von jenen abweichen, dass ihnen eine andere Längeneinheit, ein anderer Maassstab zum Grunde liegt.

Die gefundenen Gleichungen und Zahlen würden sogar unmittelbar gültig bleiben für Constructionen von grösseren oder kleineren Spannweiten, wenn nicht die Belastungen und namentlich die Verhältnisse der permanenten zu den mobilen Belastungen sich änderten. Denn ob die Längeneinheit Fuss, Meter, Klafter oder Buthe genannt wird, das macht hinsichtlich der Momenten-Gleichung und folglich auch hinsichtlich des Resultates gar keinen Unterschied, weil in den Gleichungen immer nur die Verhältnisse der Hebelarme, nicht aber deren absolute Längen, von Einfluss sind.

Wenn also bei Vergrösserung der Spannweite die permanente Last für jeden Belastungspunkt in demselben Verhältniss zunähme wie die mobilie Last, so braucht man nur sämmtliche Spannungszahlen mit dieser gemeinschaftlichen Verhältnisszahl zu multi-pliciren, um die neuen Spannungszahlen zu erhalten. Dies ist aber im Allgemeinen nicht der Fall, es wächst vielmehr bei zunehmender Spannweite die permanente Last meistens rascher als die mobile Last und in Folge dessen äussert sich der Einfluss der Vergrösserung des Maassstabes bei verschiedenen Constructions-theilen in verschiedener Weise. Die hier zu lösende Aufgabe besteht also darin, diese Unterschiede zu ermitteln und mit Berücksichtigung derselben auf möglichst einfache Weise die neuen Spannungszahlen aus den früher gefundenen abzuleiten.

Für die früher schon berechnete Construction sollen mit p und m resp. die permanente und mobile Belastung eines Belastungspunktes bezeichnet werden, für die neu zu berechnende mit px und Mj.

Jede Spannungszahl kann man sich in zwei Theile zerlegt denken, von denen der eine durch die permanente, der andere durch die mobile Belastung für sich allein hervorgehracht wird. Multi-

plicirt man ersteren mit der Verhältnisszahl —, letzteren mit der

p

so bildet die Vereinigung der beiden so erhal-

Verhältnisszahl

ni

m ’

tenen Zahlen die neue Spannungszahl.

Hinsichtlich ihres Verhaltens gegen den Einfluss der permanenten und mobilen Last zerfallen nun die Constructionstheile in drei verschiedene Gruppen:

Die erste umfasst alle diejenigen Theile, deren Spannungszahlen ganz allein von der mobilen Last abhängen; für sie erhält man die neuen Spannungszahlen, indem man die früher gefundenen

in

¹ multiplicirt.

mit der Verhältnisszahl

in

Die zweite Gruppe umfasst alle diejenigen Theile, deren Spannungszahlen ausschliesslich durch die Grösse der Totalbelastung bedingt werden. Für sie erhält man die neuen Spannungs-

zahlen, wenn man die alten mit der Verhältnisszahl plicirt.

multi-

Pi + mi p -j- in

In der dritten Gruppe endlich sind alle die Theile enthalten, welche den beiden vorigen nicht angehören, also diejenigen, bei welchen jede von den beiden Belastungen in besonderer Weise ihren Einfluss geltend macht. Für einen solchen Theil erhält man die neue Spannungszahl, indem man die von der permanenten Last

multiplicirt

hervorgebrachte Spannung mit —, den Rest mit

und die beiden Zahlen dann wieder zu Einer vereinigt.

Also nur die letzte Classe erfordert eine neue Berechnung — und zwar eine meistens sehr leicht auszuführende — für die ersten beiden dagegen lassen sich die beiden Zahlen auf eine sehr einfache Weise aus den früher gefundenen ableiten, wie dies jetzt an einigen Beispielen gezeigt werden soll.

a. Parabolischer Träger.

Hier gehören die Diagonalen der ersten, die Horizontalen und Bogenstücke der zweiten, die Verticalständer der dritten Gruppe an.

Um beispielsweise aus der Zahlen-Figur 27 die Spannungszahlen für einen ihr geometrisch ähnlichen Träger von 48m Spannweite abzuleiten, bei welchem die permanente Belastung 8000k, die mobile 12000k für jeden Knotenpunkt beträgt, hat man die 6 Diagonalzahlen mit der Zahl

2,4

12000

5000

zu multipliciren und erhält als neue Spannungszahlen:

±15000, ±16400, ±17000, ±16400, ±15000, ±13130.

Die gemeinschaftliche Spannungszahl der horizontalen Stangen — 48000 ist mit der Zahl

8000 + 12000 _ 10 1000 + 5000    “ 3

zu multipliciren und erhält als neue Spannungszahl

— 160000.

Ebenso sind die 4 Spannungszahlen der Bogenstücke mit + zu multipliciren, und man erhält als neue Spannungszahlen:

+ 175000, + 167700, + 163000, + 160300.

Die Spannungszahlen der Verticalständer sind zu zerlegen in den von der permanenten Last hervorgebrachten Theil, welcher für jeden

— 1000

beträgt und den Best, welchen man erhält, wenn man diese Zahl — 1000 von der ganzen Spannungszahl subtrahirt. Diese Zerlegung ergiebt folgende Zahlen:

für die Maxima

/— loooi r— ioooi /— ioooi /—10001

0 i 1+ 15601 1+ 25001 1+ 28001

— 10001 [— 1000 — 7500/ i— 7800

und für die Mmima (— 10001 f— 10001 / l— 5000/ 1— 6560/ l

Man erhält die neuen Spannungszahlen, indem man allemal den ersten Theil mit 8, den zweiten Theil mit 2,4 multiplicirt, also:

für die Maxima

} = —8000; I" *?“} = -4260;

!+D=-²⁰⁰⁰= (73=-™

und für die Minima — 20000; {

— 26000; {

/— 8000

[— 80001 i— 12000)

r— 8000)

l— 18000)

— 80001 — 15 7 OOJ

— 23700;

I = — 26 700.

Da bei den drei anderen Verticalständern dieselben Zahlen wiederkehren, so genügt die Transformation der Zahlen für die vier ersten.

8000

— 18700

b. Fachwerkbrücken mit parallelen Gurtungen.

Hier ist die erste jener drei Classen gar nicht vertreten, der zweiten Classe gehören sämmtliche horizontale Stangen an, der dritten die Diagonalen und Verticalständer.

Kitter, Dach- und Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Um also z. B. aus der Zahlenfigur 57 die Spannungszahlen für eine ihr geometrisch ähnliche Fachwerkbrücke von 48m Spannweite abzuleiten, bei welcher (wie im vorigen Falle angenommen wurde) die permanente Belastung 8000k, die mobile 12000k beträgt, hat man die vier verschiedenen Spannungszahlen der horizontalen Stangen mit

8000 + 12000 10

1000 + 5000    3

zu multipliciren und erhält die Zahlen:

70000, 120000, 150000, 160000,

welche negativ für die oberen, positiv für die unteren Stangen zu nehmen sind.

In Betreff der Diagonalen und Yerticalständer wird es zwar ungefähr gleich viel Zeit in /Anspruch nehmen, mag man die früher gefundenen Gleichungen nach Substitution der neuen Belastungszahlen noch einmal auf lösen, oder consequent die vorige Methode durchführend auch hier durch Zerlegung der Spannungszahlen die neuen berechnen.

Indessen hat der letztere Weg doch noch den Vorzug, dass man bei dieser Gelegenheit auch die Spannungszahlen, welche die permanente Last für sich allein, so wie diejenigen, welche die mobile Last für sich allein hervorbringt, kennen lernt, und überhaupt in die Rolle, welche diese Stücke bei dem Zusammenwirken der Constructionstheile spielen, einen besseren Einblick erhält. Es soll deshalb hier der letztere Weg eingeschlagen und die Berechnung an der Diagonale und dem Verticalständer des 3ten Feldes gezeigt werden.

Für Y₃ =— V₃ ■ y2 wurde in § 10 die Gleichung gefunden: 0= Y₈ • 0,707 — 1000 [(i + t + ...f)-(l -f)-(l-i)]

- 5000 Q + I + ... I) +5000[(1-f) + (!-!)].

Lässt man hierin einmal die beiden mit 5000 multiplicirten Glieder fort, und löst die Gleichung auf, so erhält man die der permanenten Belastung entsprechende Spannungszahl:

+ 2120

und wenn man ein anderes Mal die mit 1000 multiplicirten Glieder fortlässt, so erhält man die von der mobilen Last allein hervorgebrachten extremen Werthe:

+ 13260 und — 2650.

Die letzteren beiden sind mit der Verhältnisszahl 12000 1)000

= 2,4

zu multipliciren und hierauf mit dem ersteren, nachdem derselbe mit der Verhältnisszahl

8000 1000

multiplicirt ist, wieder zu vereinigen, woraus für Maximum und Minimum der neuen Spannungszahl folgende Werthe sich ergeben:

i+3?824l = + 48784;    l±¹⁶6360l = + ¹⁰⁶⁰⁰-

Für den rechts angrenzenden Verticalständer erhält man die

V2

Spannungszahlen, indem man die vorigen mit--multipli-

cirt, also:

/— 12000) — 33500* /— 12000\ 7500

1-22500/“ ddöüU’ Lf 4500/“

c. Bogenbrücken und Hängebrücken.

Zu der ersten Classe gehören hier die diagonalen und die horizontalen Stangen, die zweite ist gar nicht vertreten, zu der dritten Classe gehören die Bogenstücke und die Verticalständer.

Wenn also z. B. eine Hängebrücke von 120,n Spannweite zu berechnen wäre, welche der in § 22 berechneten Bogenbrücke geometrisch ähnlich ist, und bei welcher die Belastung eines jeden Feldes 20 Tonnen an permanenter und 12 Tonnen an mobiler Last beträgt, so würde man die in Fig. 197 für die horizontalen Stangen eingeschriebenen Zahlen nur mit der Verhältnisszahl

^ = 3

zu multipliciren brauchen, um die neuen Spannungszahlen zu erhalten :

± 15,61 + 33,48|±54,18|±77,641 + 102,871 + 130,711 + 152,1 + 150,871 + 108,0|0.

Sämmtliche für die Diagonalen eingeschriebenen Zahlen sind ebenfalls mit 3 zu multipliciren, man erhält also für die neue Brücke:

+ 38,76 I +37,77 | +36,9 | +36,211 +35,7 | +33,211 +32,19 | + 29,4 + 64,2| + 111,87.

Für die Verticalstangen können die früher gefundenen (für die Hängebrücke mit entgegengesetztem Vorzeichen zu nehmenden) Werthe von 1+ U₂ ... benutzt werden, welche den Einfluss der mobilen Last repräsentiren. Wenn man dieselben mit der Verhältnisszahl ~ — 3 multiplicirt, so erhält man:

für die Maxima

+ 47,46 I + 45,24 | + 42,6 | + 39,3 | + 35,52 | + 30,09 | + 25,14 + 19,71 |+25,2 | + 33,6 1 + 6, für die Minima

— 35,46 I — 33,24 | — 30,6 | — 27,3 | — 23,52 | — 18,09 | — 13,14

7,71 I — 13,2

21,6 I 0.

Die der permanenten Last entsprechende Spannungszahl betrug für jeden Verticalständer (mit Ausnahme des Ilten, welcher nur die Hälfte davon bekommt) + 1,2 und ist mit der Verhältnisszahl

20

2,4

= 8,33...

zu multipliciren. Für die neue Brücke ist also die der permanenten Last entsprechende Spannungszahl:

1,2 • 8,33 .. . = + 10

und, wenn man diese mit den oben gefundenen vereinigt, so erhält man folgende neue Spannungszahlen für die Verticalstangen:

+ 57,46    +    55,24    + 52,6    + 49,3    +    45,52    +    40,09    + 35,14

Bei der Berechnung der neuen Spannungszahlen für die Bogenstücke bietet die Methode der Zerlegung der Spannungszahlen ebenfalls Vorzüge vor dem anderen Verfahren; denn der eine Theil, welcher der permanenten Last entspricht, lässt sich, da dieselbe gleichförmig über die Horizontal-Projection vertheilt ist, einfach nach der Theorie der Kettenlinie (s. § 8) bestimmen. Den andern findet man durch Subtraction des Vorigen von der ganzen Spannungszahl. Die Resultate dieser Zerlegung der in Fig. 197 eingeschriebenen Zahlen sind folgende:

kO 00

O' to

kO 00

lO 00

Ol tH

kO 00

o' oT kO oo

JO CO

co'oo

OS CO

CO CO

ocT —T

^ o

"5H ^

OO

^ o

■H C5

oo ©

^ o

oo o

von denen die oberen der permanenten, die unteren der mobilen Last entsprechen.

Die ersteren sind mit der Yerhältnisszahl

20

2,4

= 8,33 .. .

die unteren mit der Yerhältnisszahl

12

zu multipliciren, woraus sich folgende Zahlen ergeben:

443

434,5

427

421

415

410

406

265

263

264

269

279

291

304

CO

CO CO

401

303

400

240

deren Vereinigung die neuen Spannungszahlen für die Bogenstücke liefert :

708 I 697,5 I 691 | 690 | 694 | 701 | 710 | 716 | 704 | 640.

ACHTER ABSCHNITT.

§ 26.

Hängebrücke von 120m Spannweite der Haupt-Oeffnung und je 60m Spannweite der Neben-Oeffnungen.

Die Vergleichung der Bogenbrücken und Hängebrücken hinsichtlich des Materialaufwandes ergiebt insofern für die letzteren ein ungünstiges Resultat, als bei ersteren die Befestigungspunkte tief liegen und durch den Horizontalschub gegen die Landseite hin gedrängt werden, während umgekehrt bei den Hängebrücken die Aufhängepunkte hoch liegen und überdies die Horizontalkräfte nach der Wasserseite hin die Pfeiler umzuwerfen streben •— also nach derjenigen Seite hin, für welche ihr Stabilitäts-Moment gerade am kleinsten sein würde.

Während also die Bogenbrücken — namentlich wo feste felsige Ufer als natürliche Landpfeiler benutzt werden können •— einen verhältnissmässig geringen Materialaufwand für letztere erfordern,

würde bei einer Hängebrücke dieser Aufwand eine übermässige Grösse erreichen, wenn man die Kette an den frei stehenden Landpfeilern aufhängen wollte.

Weniger ungünstig für Hängebrücken fällt der Vergleich aus, wenn mehrere solcher Brücken neben einander aufgehängt sind (s. Fig. 211). An den Mittelpfeilern A und B heben alsdann —

Fig. 211.

I«

ö""

lö”

bei voller Belastung wenigstens — die Horizontalkräfte einander auf, nur bei den Landpfeilern E und F würde der Uebelstand derselbe bleiben. In einer solchen Construction würden bei voller Belastung sämmtliche Horizontal- und Diagonalstangen in spannungslosem Zustande sich befinden, vorausgesetzt, dass die Ketten parabolische Form haben.

von

In letzterer Beziehung wird sich Nichts ändern, wenn man die Hälften CE und DF ganz weglässt und statt dessen die Punkte C und D befestigt. Es wird hierdurch der Vortheil erreicht, dass nun die Befestigungspunkte, welche dem Horizontalzuge widerstehen sollen, tiefer, also für die Stabilität der Landpfeiler günstiger zu liegen kommen. Wenn man überdies bei den Punkten A und B die Brücke an verticalen Hängestangen auf hängt, welche in den Punkten A₁ und Bt ihre Aufhängepunkte haben, so werden dadurch die Mittelpfeiler — auch bei einseitiger Belastung allem Horizontalzuge gänzlich befreit werden, weil alsdann in den Punkten Ax und Bl nur vertical abwärts wirkende Kräfte auf die

Fig. 212.

<r-

— 60_______>J

/______60

--X-------------------= A-------AQ.----->

Pfeiler übertragen werden können (s. Fig. 212). Für die Hauptbrücke AB dienen die angesetzten Hälften AC und BD als Spannketten, deren Material gleichzeitig für die Ueberbrückung der beiden Seitenöffnungen verwerthet wird.

Was die Art der Aufhängung in den 4 Punkten A, B, (7, D betrifft, so ist die in Fig. 212 dargestellte hier nur vorläufig gewählt worden, um die Aufgabe zunächst in ihrer einfachsten, übersichtlichsten Form erscheinen zu lassen. • Es wird sich später zeigen, dass die erwähnten Vortheile auch durch andere Art der Aufhängung erreicht werden können.

Eine solche Brücke kann, im Grossen und Ganzen betrachtet, als eine Verbindung von 4 Stangen angesehen werden, welche unter einander durch Gelenkbolzen verbunden, von den beiden festen Punkten (7, D und ausserdem in A und B durch verticale Hängestangen getragen werden (s. Fig. 213). Betrachtet man diese

Fig. 213.

!B

■R,

Q,

Stangen zunächst als gewichtlos und untersucht, welche Wirkung durch ein einzelnes irgendwo aufgehängtes Gewicht Q in dem System hervorgebracht wird, so überzeugt man sich leicht davon, dass bei einer unbelasteten Stange die an einem ihrer Endpunkte wirkende Kraft immer mit der Richtung der Stange zusammenfallen muss, weil sie sonst dieselbe um den anderen Endpunkt drehen würde. Ein Gewicht Q an der Stelle P kann daher an dem Auflagerpunkte C nur einen Widerstand R hervorbringen, welcher mit der Richtung AC zusammenfällt; ein Gewicht Q₁ an der Stelle P₁ erzeugt daselbst ebenfalls einen Widerstand, der in die Richtung AC fällt.

Wenn dagegen irgendwo an der Stange AC ein Gewicht Q aufgehängt wird, so erzeugt dasselbe in dem Punkte C nur einen verticalen Widerstand W (s. Eig. 214). Denn käme die geringste horizontale Seitenkraft hinzu, so müsste auch in dem Punkte A und folglich auch in dem Punkte S ein Horizontalzug stattfinden. Es kann aber in dem Punkte S bei diesem Belastungszustande überhaupt kein Zug wirken, denn da beide Stangen AS und BS unbelastet sind, so müsste dieser Zug — der oben er-

wähnten Bedingung entsprechend — mit beiden Stangenrichtungen zugleich zusammenfallen, was unmöglich ist. Eine Belastung der

Fig. 214.

Stange AC hat demnach durchaus keine Wirkung auf die drei anderen Stangen ASBD.

Es verhält sich also die Stange AC, wenn sie allein belastet wird, genau wie ein an beiden Enden unterstützter Balken, und die Stangen ASB, wenn sie belastet werden, befinden sich genau in demselben Zustande, wie wenn ihre Aufhängepunkte A und B feste Punkte wären.

a. Berechnung der Hauptbrücke AB.

Die beiden Hälften AS und BS der Hauptbrücke sind demnach ganz so wie die Zahlenfigur 197 zu berechnen. Für sie gelten also, da sie ihrer Form nach jener Figur geometrisch ähnlich vorausgesetzt werden, die am Schlüsse des vorigen Paragraphen für die neue Spannweite von 120m bereits transformirten Spannungszahlen.

b. Berechnung der Nebenbrücke A C (Fig. 215).

Auch die beiden Brückenabtheilungen AC und BD sind ihrer Form und Construction nach den beiden Hälften der in

Fig. 215.

-\"S

—■>

rn

§22 berechneten Bogenbrücke geometrisch ähnlich angenommen, und sind die gleichen Buchstaben für die Bezeichnung der gleich-

Bei der Berechnung der Spannungszahlen sind dieselben Principien zu befolgen, nach denen die Bogenbrüeke in § 22 berechnet wurde. Für jede Stange ist die Voruntersuchung zu führen: welche Punkte der ganzen Brücke belastet werden müssen, wenn Zugspannung, und welche Punkte belastet werden müssen, wenn Druckspannung in ihr hervorgebracht werden soll. Bei dieser Untersuchung sind die oben bewiesenen beiden Sätze zu benutzen, welche hier noch einmal wiederholt werden sollen:

liegenden Stangen gewählt. Die Belastungen sind für die ganze Brücke dieselben, wie in § 25 c. angenommen wurde, nämlich 20 Tonnen permanenter und 12 Tonnen mobiler Last für jedes Feld.

1)    Eine Belastung der Hauptbrücke erzeugt für das Stück A C an den Punkten A und C Gegendrücke B, welche in die Richtung A C fallen.

2)    Eine Belastung des Stücks A C selbst erzeugt an den beiden Punkten A und C verticale Gegendrücke.

Berechnung der Spannungszahlen X in den horizontalen Stangen.

Zur Bestimmung von X₅ ist der Schnitt a ß zu führen und entweder für das Stück Fig. 216 oder Fig. 217 die Momenten-

Fig. 217.

Fig. 216.

MV

\ß

Gleichung in Bezug auf den Drehpunkt J aufzustellen. Eine Belastung des Stücks Fig. 216 erzeugt für das Stück Fig. 217 einen Gegendruck TU, welcher links drehend wirkt. Xa dreht rechts herum, wird also positiv dadurch gemacht. Mithin gehört das Stück Ca ß zur Zugabtheilung.

Eine Belastung des Stücks Fig. 217 erzeugt für das Stück Fig. 216 einen verticalen Gegendruck D, welcher rechts dreht, X₅ dreht in dieser Figur links herum, wird also positiv dadurch gemacht. Mithin gehört auch das Stück A aß zur Zugabtheilung

Eine Belastung der Hauptbrücke erzeugt für das Stück Fig. 216 einen Gegendruck R, welcher links drehend wirkt, macht also X5 negativ. Die ganze Hauptbrücke gehört also zur Druckabtheilung.

Eine Belastung der anderen Nebenbrücke B D übt gar keine Wirkung auf die Abtheilung A C aus; es ist folglich die Abtheilung B D mit der Ueberschrift Null zu bezeichnen (s. Fig. 218).

Fig. 218.

Zug.

Druck

■*"

Null

Da bei gleichförmig über die ganze Brücke verteilter Belastung die Spannungen sämmtlicher horizontalen Stangen Null werden, so kann das Eigengewicht ganz unberücksichtigt bleiben, und muss die Belastung der Zugabtheilung gerade so viel positive als die der Druckabtheilung negative Spannung in dem Stück X₅ erzeugen. Es braucht also nur einer von den beiden Werthen X₅ (max) und X₅ (min) berechnet zu werden, und man kann nach Belieben entweder die ganze Hauptbrücke oder die ganze Neben-

briicke belastet annehmen. Im ersteren Falle erhält man für den von der mobilen Last allein hervorgebrachten Horizontaldruck im Punkte

Fig. 219.

JT

IC

60

IQ.

S die Gleichung (s. Fig. 219):

0 = — H-15 + 12 (^ 4- 54 -f 48 + ... + 12 + 6) 11= 240.

H =3 240 C

Genau so viel beträgt die horizontale Seitenkraft von R. Die

verticale Seitenkraft von R steht zu der horizontalen in dem Yerhältniss 15:60 oder 1:4; es ist also:

V =60.

Man erhält also für

Fig. 220.

5,25

\TX5

»V-en

X₅ aus Fig. 220 die Momenten-Gleichung:

0 = — X₅ • 5,25 + 240 • 3,75 — 60-30 X₅ (min) = — 171,4 T.

[Zur Gegenprobe kann man X₅ (max) berechnen, indem man das Stück A C allein belastet annimmt und dasselbe als Balkenbrücke behandelt. Man erhält dann die Gleichung:

o = — Xt • 5,25 + 12 [(* + •■■*) 30 + (A . 30 - 6)

+ (* • 30 - 12) + (A • 30 - 18) + (■& • 30 - 24)]

X₅ (max) = —j— 171,4 T.,

durch welche die Richtigkeit dieser Rechnungsweise bestätigt wird.]

Für die anderen horizontalen Stangen erhält man in ähnlicher Weise die nachfolgenden Gleichungen:

0 = — Xi. 13,65 + 240.12,15 — 60.54 X, = ± 23,7 T.

0 = — X₂. 11,1 + 240.9,6 — 60.48 X₂ = ± 51,9 T.

0 = — X₃.8,85 + 240.7,35 — 60.42 X₃ = ± 85,4 T.

0 = — X₄.6,9 + 240.5,4 — 60.36 X₄ = ± 125,2 T.

0 = — X₆.3,9 + 240.2,4 — 60.24 X₆ = ± 221,5 T.

0 — — X₇.2,85 + 240.1,35 — 60.18 X₇ — ± 265,3 T.

0 = — X₈.2,1 + 240.0,6 — 60.12 X₈ = + 274,3 T.

0 = — X₉ .1,65 + 240.0,15 — 60.6 X₉ = ± 196,4 T.

0 = — X₁₀. 1,5

x₁₀ = 0.

Berechnung der Spannungszahlen Y für die Diagonalen.

Auch hier kann die permanente Last unberücksichtigt bleiben und braucht von den beiden extremen Werthen nur einer berechnet zu werden, weil Maximum und Minimum zusammen gleich Null sind.

Zur Bestimmung von Y₅ ist der Schnitt a ß zu führen und die Momenten-Gleichung entweder für das Stück Fig. 221 oder für das Stück Fig. 222 aufzustellen in Bezug auf den Drehpunkt L.

Fig. 222.

Fig. 221.

<n

\

->d

"“Tf

|Z

■'S⁻!

Eine Belastung der Hauptbrücke erzeugt in dem Punkte C einen Gegendruck B, welcher links um den Punkt L dreht, also Y₅ positiv macht.

Eine Belastung des Stücks A aß erzeugt in dem Punkte C einen vertical aufwärts gerichteten Gegendruck D, welcher in gleichem Sinne mit Yb dreht, also Y₅ negativ macht.

Eine Belastung des Stücks Gaß erzeugt in dem Punkte A (Fig. 222) einen Gegendruck B⁷, welcher mit Y₅ gleiche Drehungs-

Fig. 223.

DrucŁ

Zug

INuU

A.

J)

Mithin bilden sich die in

richtung hat, also Y₅ negativ macht.

Fig. 223) angegebenen Belastungsabtheilungen und man hat

Y₅ (max) zu bestimmen, die Hauptbrücke belastet anzunehmen, wobei in dem Punkte

Fig. 224.

/'s

/ N

i«

um

B40 C

60

i x    C wiederum die Ge-

1^    gendrücke entstehen:

H = 240; V = 60.

Man erhält also aus Fig. 224 die Momenten-Gleichung: 0 = Y₅ • 16,53 — 240 • 1,5 — 60 • 10,92 Y₅ = ± 61,4 T.

Auf ähnliche Weise ergehen sich für die übrigen F folgende Gleichungen: 0 = Fi „ 31,8 — 240 . 1,5 — 60 . 25,26 Fi = + 59,0 T.

0 — F₂ . 28,26 — 240 . 1,5 — 60 . 21,88 F₂ = ± 59,2 T.

0 = F₃ . 24,48 — 240 . 1,5 — 60 . 18,39 Fs = ±59,8 T.

0 = F₄ . 20,5 — 240.1,5 — 60 . 14,77 Ft = ±60,8 T.

0 = F₆ . 12,72 — 240 . 1,5 — 60 . 6,66 . . .

F₆ = ± 59,7 T.

0 = F₇ . 9,58 — 240 . 1,5 — 60 . 1,713 F₇ = ± 48,3 T.

Für Ys kommt der Drehpunkt links von dem Punkte C zu liegen; in Folge dessen erhält der in dem Punkte C erzeugte verticale Gegendruck D hier die entgegengesetzte Drehungsrichtung und die Belastungsabtheilungen bilden sich daher — abweichend von den vorhergehenden Fällen — in der Weise, dass die Zugabtheilung über den Punkt A hinaus bis an die Schnitt-

Fig. 225.

Null

Druck _

oj

rf

linie y5 sich erstreckt, die letztere also zugleich die Belastungsscheide bildet (s. Pig. 225). Auch ist hier das Minimum einfacher

Fig. 226.

w=12(w⁺w)

zu berechnen, für welches aus Pig. 226 (oder Fig. 227) die Momenten-G-leichung sich ergiebt:

0 = - F₈ • 7,53 - 12 (TV + *) 64,8 Y₀ = + 31 T.

Für r₉ fällt der Drehpunkt noch weiter links, so dass nun

Fig. 227.

D=I2(+|)

V\

S/

** I l J 12 12

auch die durch Belastung der Hauptbrücke entstehende Kraft R die entgegengesetzte Drehungsrichtung erhält, und die Hauptbrücke dadurch zur Druckabtheilung wird (s. Fig. 228). Auch hier ist das Minimum am leichtesten zu berechnen, für welches aus Fig. 229 die Momenten-Gleichung sich ergiebt:

0 = Y₉ • 7,41 — 240 • 1,5 + 60-16 + 12 (22 — + -16) r₉ = + 93,3 T.

Für F₁₀ endlich fällt die Druckabtheilung zur Linken ganz

Druck Zug <->!<•------

-X-

Fig. 228. Druck

Null

Fig. 229. £>=12.+

weg, und entspricht das Minimum also der Belastung der Hauptbrücke für sich allein; im Uebrigen geschieht die Berechnung wie im vorigen Falle. Man erhält die Gleichung:

16 +

0 = Y₁₀ • 15,97 — 240 • 1,5 + 60-60 F₁₀ = ± 202,9 T.

Berechnung der Spannungszahlen U für die Yerticalständer.

Die Spannungszahl jedes Yerticalständers kann zerlegt werden in zwei Theile, von denen der eine durch die permanente, der andere durch die mobile Last allein hervorgebracht wird. Der erstere ist für alle Yerticalständer derselbe und beträgt + 10; denn auch hier soll angenommen werden, dass die permanente Last (20 Tonnen für jedes Feld) zur Hälfte auf die oberen, zur anderen Hälfte auf die unteren Knotenpunkte sich vertheilt.

Für den anderen Theil, der (wie in § 22) mit U bezeichnet werden soll, findet wie dort die Beziehung statt:

U (max) -}- U (min) = -f-12.

4*'

Denn hei voller Belastung der ganzen Brücke bringt die mobile Last in jedem Yerticalständer eine Zugspannung von 12 Tonnen hervor (weil dieselbe an den unteren Knotenpunkten angreift), und diese Wirkung setzt sich zusammen aus den Wirkungen aller derjenigen Belastungen, welche Zugspannung, und aus den Wirkungen aller derjenigen, welche Druckspannung in dem Yerticalständer erzeugen. Man braucht also nur einen der beiden Werthe, z. B. U (min) zu berechnen und findet den anderen dann aus der Gleichung:

U (max) = -{- 12 — U (min).

Hierauf erhält man dann die ganze Spannungszahl des Yer-ticalständers, indem man die permanente Spannungszahl hinzufügt, also:

U (max) = U (max) -(-10 U (min) = U (min) —10.

Die Drehpunkte für die Spannungen der Vertiealständer sind dieselben wie für die Diagonalen; es gelten daher im Allgemeinen die Belastungsabtheilungen für Y, nachdem bei ihnen die Ueber-schriften „Zug“ und „Druck“ mit einander vertauscht sind, auch für die Yerticalständer. Nur bei den letzten drei Feldern, wo die Schnittlinie selbst eine Belastungsscheide bildet, wird dieselbe für die Yerticalständer um eine Feldlänge nach rechts verschoben wegen schräger Lage der Schnittlinie.

Fig. 2B0.

Zug

Druck

35

So erhält man z. B. für U₅ die in Fig. 230 angegebenen Belastungsabtheilungen und aus Fig. 231 die Momenten-Gleichung:

0 = — tt₅ • 25,08 — 240 • 1,5 — 60 • 10,92 U₅ (min) = — 40,5.

Hieraus ergiebt sich nach den oben angegebenen Beziehungen :

U₅ (max) = -f 12 — (— 40,5) = + 52,5 T.

Ub (max) = + 52,5 + 10 = + 62,5 T.

Ua (min) = — 40,5 + 10 = — 30,5 T.

Fig. 281.

210

25,08

10,92 L

60

Auf ähnliche Weise erhält man für die übrigen Yerticalständer folgende Gleichungen :

0 — — Ui . 34,74 — 240 . 1,5 — 60 . 25,26 Ui (min) = — 54 Ui (min) = — 44 T.

0 = — U₂ . 32,12 — 240 . 1,5 — 60 . 21,88 U₂ (min) = — 52,1 U₂ (min) = — 42,1 T.

0 = — U₃ . 29,61 — 240 . 1,5 — 60 . 18,39 U₃ (min) = — 49,5 U₃ (min) — — 39,5 T.

0 = — U₄ . 27,23 — 240 . 1,5 — 60 . 14,77

U₄ (max) = + 57,8 Î7₄ (max) = + 67,8 T.

0 = — U₆ . 23,33 ... — 240 . 1,5 — 60 . 6,66 . . .

U₆ (min) = — 32,6 U₆ (min) = — 22,6 T.

0 = — U₇ . 22,29 — 240 . 1,5 — 60 . 1,713 U₇ (min) = — 20,8 U₇ (min) — — 10,8 T.

U₄ (min) = — 45,8 Z7₄ (min) = — 35,8 T.

Ui (max) = —j— 66 Ui (max) = + 76 T.

U₂ (max) — -}- 64,1 U₂ (max) =s + 74,1 T.

U₃ (max) —    61,5

U₃ (max) = + 71,5 T.

U₆ (max) — + 44,6 UQ (max) = + 54,6 T.

U₇ (max) = + 32,8 Ur, (max) = + 42,8 T.

Für die nun folgenden Yerticalständer ist allemal die Gleichung für U (max) aufgestellt, und U (min) daraus abgeleitet. Die Belastungsabtheilungen bilden sich wie bei den Diagonalen derselben Felder, nur rückt wegen schräger Lage der Schnittlinie die eine Belastungsscheide um eine Feldlänge nach rechts, und sind die Ueberschriften „Zug“ und „Druck“ mit einander zu vertauschen.

o = u₈ . 22,8 - 12 (XV + t²0 + T³«) 64,8

U₈ (min) = — 8,5 U₈ (min) — + 1,5 T.

U₈ (max) = + 20,5 U₉ (max) = -j- 30,5 T.

U9 (min) = — 19,2 U₉ (min) = — 9,2 T.

O = — U₉. 28 — 240.1,5 + 60.16 + 12 [(22 — Ą . 16) + (28 — & . 16)] U₉ (max = + 31,2 U₉ (max) = + 41,2

0 = — U« . 66 — 240.1,5 + 60.60 + 12 (66 — + . 60)

lt₁₀ (min) = — 39,3 Uio (min) = — 29,3 T.

U₁₀ (max) = + 51,3 Uio (max) = + 61,3 T.

In dem Ilten Verticalständer endlich kann nur durch die unten angehängte Last eine Spannung hervorgebracht werden. Diese beträgt im Maximum 6 Tonnen an mobiler und ~ Tonnen an permanenter Last, folglich ist:

Un (max) = + 11 T.

Berechnung der Spannungszahlen Z für die Bogenstücke.

Die drei Kräfte, von deren Drehungsrichtungen das Vorzeichen von Z₅ abhängt, sind Æ, D und W. Erstere entsteht durch Belastung der Hauptbrücke, letztere beiden werden durch Belastung der Nebenbrücke hervorgebracht.

Aus Fig. 232 erkennt man, dass B und Z₅ entgegengesetzte Drehungsrichtungen in Bezug auf den Drehpunkt 0 haben, dass also eine Belastung der Hauptbrücke Z- positiv macht.

Fig. 232.

Fig. 238.

Wa

Ai.->

Zs

.7) A

(H

P^'"L

■ß

Wenn das Stück A aß (Fig. 233) belastet wird, so entsteht dadurch in dem Punkte C ein verticaler Gegendruck Z>, welcher mit Z₅ in Fig. 232 gleiche Drehungsrichtung hat, also Z₅ negativ macht.

12

Ritter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

Wenn das Stück Caß (Fig. 232) belastet wird, so entsteht dadurch in dem Punkte A ein verticaler Gegendruck W, welcher mit Z₅ in Fig. 233 gleiche Drehungsrichtung hat, also Z₅ negativ macht.

Die grösste Zugspannung tritt also ein, wenn die Hauptbrücke, die grösste Druckspannung, wenn die Nebenbrücke allein belastet ist (s. Fig. 234).

Fig. 234.

Druck

-x-

Zug

-x-

Null

-o

Üm Z₅ (max) und Z₅ (min) zu bestimmen, hat man die Wahl zwischen folgenden zwei Wegen:

Einmal kann man unter Mitberücksichtigung der permanenten Last die directe Momenten-Gleichung für Z₅ aufstellen und hat dann für Z₅ (max) die Gleichung aus Fig. 235 zu bilden:

0 = Z₅ ■ 6,654 — H• 1,5 — F-36 + D-36-20 (6 + 12 + ...30).

Hierin bedeuten H und V die Seitenkräfte desjenigen Drucks

welcher in dem Punkte C durch die Total-Belastung der Zs Hauptbrücke entsteht. Die durch die mobile Belastung der Hauptbrücke allein hervorgebrachten

Werthe von H und V wurden früher schon resp. zu 240 und 60 gefunden. Diese Werthe sind mit der Yerhältnisszahl

20 + 12 8

Fig. 235.

D=

H=640

Vier io 10/

10

10

10

10

10

\<3»

>.10 vlO

W=160

10

10 1101.

:ß

12

zu multipliciren, um die hier zu substituirenden Werthe zu ergeben. Ferner bezeichnet D den in dem Punkte C durch die permanente Belastung der Nebenbrücke erzeugten verticalen Gegendruck.

Durch Substitution der in der Figur eingeschriebenen Zahlen-werthe erhält man die Gleichung:

0 = Z₅ • 6,654 — 640 • 1,5 — 160 -36 + 20 (+ + ... +) - 36 — 20(6 + 12 + ...30)

Zh (max) = + 794 T.

Für Z₆ (min) ist die Momenten-Gleichung nach Fig. 236 zu bilden, worin H und V die Seitenkräfte desjenigen Drucks R bedeuten, welcher in dem Punkte C durch die permanente Belastung der Hauptbrücke allein hervorgebracht wird, und D den durch die totale Belastung der Nebenbrücke in dem Punkte C hervorgebrachten verticalen Gegendruck bezeichnet. Man erhält also:

Fig. 236.

D=32/i

llO

H=400

Ê)

i» r

io |io

v₌100 fl2

jl2

|10

10

10

•Zs

io jic j N

12    {l2\ß

100-36 + 32 (+ + ...+) 36

iî = |o . 640 = 400 F = 1+160 = 100 0 = Z₅- 6,654 — 400 -1,5

32 (6 + 12 + ... 30)

Z₅ (min) = + 285 T.

Der zweite Weg besteht darin, dass man zunächst die Spannungszahl Z₅ zerlegt in den von der permanenten Last hervorgebrachten constanten Theil und den von der mobilen Last hervorgebrachten veränderlichen Theil, der mit ,ß₅ bezeichnet werden soll. Die Werthe von $ sind bereits im siebenten Abschnitt § 25 c. berechnet (denn bei gleichförmig über die ganze Brücke vertheilter Belastung befindet sich die Nebenbrücke genau in derselben Lage, wie eine der beiden Hälften der Hauptbrücke) und war z. B.

^5 — +■ 415

gefunden. Von den beiden Werthen (max) und $5 (min) braucht nur einer berechnet zu werden, denn beide zusammen müssen so viel betragen als die Spannungszahl, welche die über die ganze Brücke gleichförmig vertheilte mobile Last hervorbringt, und welche

12*

man erhält, wenn man mit der Verhältnisszahl = § multi-plicirt. Demnach ist :

ß₅ (max) + ß₅ (min) = f • 415 = + 249 ß₅ (min). = 249 — ß₅ (max).

Hierin ist ß₅ (max) auf die leichtere Weise zu bestimmen,

indem man nur aus Fig. 237 die Momen-ten-Gleichung zu bilden braucht) mit Substitution der früher bereits gefundenen, durch die mobile Be-

Fig. 237.

Zs

\Ç

ft

W=6o

Brücke hervorgebrachten Werthe von H und V):

lastung der Haupt-

0 = ß₅.6,654 — 240 • 1,5 -60-36 (max) = 379.

Wenn man diesen Werth in die obige Gleichung substituirt, so erhält man:

ß₅ (min) = 249 — 379 = — 130..

Die Vereinigung der Spannungszahlen ^ und ß ergiebt die

Werthe:

Z₅ (max) = 415 + 379 = + 794 T.

Z₅ (min) = 415:— 130 = + 285 T.

Beide Wege führen, wie man sieht, zu denselben'Resultaten, der letztere jedoch auf einfachere Weise. Es soll deshalb , bei den folgenden Rechnungen dieser letztere Weg eingeschlagen werden.

Man erhält dann für die übrigen Bogenstücke die folgenden Gleichungen :

0 = & . 14,904 — 240.1,5 — 60.60 Bi (max) — + 265,5 Bi (min) = 265,5 — 265,5 = 0

(max) = 443 -f 265,5 = + 708,5 T.

^i (min) = 443 + 0 = + 443 T.

0 = B2 • 12,56 — 240.1,5 — 60.54 B2 (max) = 286,5 B₂ (min) = 261 — 286,5 = — 25,5 Zt. (max) = 434,5 + 286,5 = + 721 T.

Z*i (min) = 434,5 — 25,5 = + 409 T.

0 = 83 .. 10,39 — 240 . 1,5 — 60 . 48 8s (max) = 312

83    (min) — 256 — 312 = — 56

Z₃ (max) = 427 + 312 = + 739 T. Z₃ (min) = 427 — 56 = + 371 T.

0 = 84.8,415 — 240 . 1,5 — 60.42

84    (max) — 342

84 (min) = 252 — 342 = — 90 Z₄ (max) = 421 + 342 = + 763 T. Z₄ (min) = 421 — 90 = + 331 T.

0 — 8e • 5,121 — 240 . 1,5 — 60.30 8e (max) = 422

8e (min) = 246 — 422 = — 176 Z₆ (max) = 410 + 422 = + 832 T. Zc (min) = 410 — 176 = + 234 T.

0 = 87 • 3,84 — 240 . 1,5 — 60 . 24 87 (max) — 469

87 (min) — 244 — 469 = — 225 Z₇ (max) = 406 + 469 = + 875 T. Z\ (min) = 406 — 225 = + 181 T. 0 = 8s • 2,83 — 240 . 1,5 — 60 . 18 8s (max) = 509

8s (min) = 242 — 509 = — 267 Z₈ (max) = 403+ 509 =+ 912 T. Z₈ (min) = 403 — 267 = + 136 T.

0 = 89 • 2,094 — 240 . 1,5 — 60 . 12 89 (max) = 516

89 (min) = 241 — 516 = — 275 Z₉ (max) = 401 + 516 = + 917 T. Z₉ (min) = 401 — 275 = + 126 T.

0 = 810 . 1,649 — 240 . 1,5 — 60.6 810 (max) = 437

810 (min) = 240 — 437 = — 197 Zio (max) = 400 + 437 = + 837 T. Z10 (min) = 400 — 197 = + 203 T.

Die Resultate der ganzen Rechnung sind in Pig. 238 zusammengestellt. Der besseren Uebersicht wegen sind auch noch die im siebenten Abschnitt § 21 c. aus Fig. 197 abgeleiteten Spannungszahlen für die Hauptbrücke in Fig. 239 daneben gestellt.

cT

o\

a*

t-^

Fig. 238.

+76

-44

+74,1

-42,i

+7Ł.5

-39,5

Fig. 239.

± 23,7

±“51,9

CT>N

CO

r^_

±85,4

+ 67,s - 35; $

±150,87    +108

eo'

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*>

çÂy

462,5

± 125,2

-30,5

*#

O*

£vV

\/+54,6

\ -22,6

A

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±17\A

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I -3,14

/\+35,i4

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7 -8,09 /\+-40,o9

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±130,71    ±152,1

+42,8

Jt2 21,5

Oiy

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_10,s

-13,52

4-45,02

±102,87

\ *?/

\fi\

sly

⁺ \A30,5

+912

X3;

C +837    +jJ0i-—rr^

±196/4    +2743    ±265,3

*3

£

*/

<o

-17,8

±77,64

-+4p

So

-20,6 + 52,6

+ 55,24 -23,24

*&>

+57,46

-2546

±64,18

± 33,48

±15,6

§ 27.

Stabilität der Mittelpfeiler.

Die eben gefundenen Spannungszahlen wurden unter der Voraussetzung berechnet, dass die vier Brückenabtheilungen so aufgehängt seien, wie in Fig. 212 dargestellt ist. Eine der Grundbedingungen ihrer Gültigkeit ist diejenige: dass in den Punkten A und B nur Verticalkräfte gegen die Brücke ausgeübt werden, dass also diese Punkte in horizontaler Richtung vollkommen freie Beweglichkeit haben. Bei dieser Art der Aufhängung wird die Stabilität der Mittelpfeiler gar nicht in Anspruch genommen. Die in Fig. 212 dargestellte Art ist indessen nicht die einzige, mit welcher dieser Vortheil verbunden ist; sie wurde vielmehr nur der grösseren Deutlichkeit halber gewählt, um die Grundlagen der Rechnung so weit als möglich zu vereinfachen. Derselbe Zweck kann auch durch andere noch vortheilhaftere Aufhängungsarten erreicht werden.

So z. B. können die festen Drehpunkte Ax und Bx für die verticalen Stangen AAX und BBX, an deren Endpunkten die Brücke hängt, auch nach unten hin verlegt werden, ohne dass die gemachten Voraussetzungen auf hören, erfüllt zu sein (s. Fig. 240).

Auch ist es nicht nöthig, dass an der Stelle A die beiden Brückenabtheilungen AC und AS an einem und demselben Punkte

Fig. 240.

Fig. 241.

Y_

'\6ä0\^

320

320

aufgehängt sind, man kann vielmehr, um an Spannweite zu gewinnen, ihre beiden Aufhängepunkte trennen, und zwei Punkte ax a₂, welche um die Pfeilerbreite von einander entfernt sind, dazu wählen. Die horizontale Beweglichkeit dieser beiden Punkte lässt sich dann anf verschiedene Arten hersteilen. Ein Mal dadurch, dass man aus den drei Stangen ax a₂, ax b₁ und a₂ b₂ ein verschiebbares Parallelogramm bildet, dessen vierte feste Seite bx b₂ durch den Kopf des Pfeilers dargestellt wird (s. Pig. 241). Die Spannungszahlen dieser drei Stangen ergeben sich unmittelbar aus den früheren Rechnungen und sind in Fig. 241 eingeschrieben.

Eine andere solche Aufhängungsart bestände darin, dass man die beiden Brückenabtheilungen an den Achsen zweier Frictions-rollen a₁ und a₂ aufhängte, denen die horizontale Oberfläche des Pfeilers als Unterlage und Rollbahn diente (s. Fig. 242); oder darin, dass man die Punkte a₁ und a₂ an einer Platte befestigte, deren horizontale Beweglichkeit durch untergelegte Walzen gesichert würde (s. Fig. 243). In allen diesen Fällen bleiben die

Fig. 243.

a2,640rt-_,

*______

Fig. 242.

\|

Voraussetzungen erfüllt, und behalten die oben berechneten Spannungszahlen ihre Gültigkeit.

Ungültig dagegen würden die gefundenen Zahlen, und aufgegeben würde der in Betreff der Pfeiler-Stabilität zu erstrebende

Fig. 244.

6;„

iÖ

:c

^-r'KP

YQ

Vortheil, wenn man die Endpunkte eines Winkelhebels als Aufhängepunkte wählte (s. Fig. 244). In diesem Falle würde zwar

bei voller Belastung der ganzen Brücke die auf den Pfeiler wirkende Kraft eine verticale Bichtung haben, nicht aber bei einseitiger Belastung.

Man überzeugt sich hiervon leicht, wenn man vorläufig untersucht, welche Wirkung durch das Auflegen eines einzelnen Gewichts Q auf die gewichtlos gedachte Brücke an dem festen Drehpunkte 0 des Winkelhebels hervorgebracht wird. Nach der in § 22 und § 26 angewendeten Methode findet man, dass die Kraft Kx in der Richtung ax P und die Kraft K₂ in der Richtung a₂ C wirkt. Diese beiden Kräfte halten den Winkelhebel im Gleichgewicht, folglich geht ihre Mittelkraft K durch den Drehpunkt 0 hindurch. Die horizontale Seitenkraft dieser Mittelkraft bildet einen Horizontalschub ^), welcher den Pfeiler umzuwerfen strebt. Dieser Schub wird um so grösser, je mehr Gewichte an solchen Stellen aufgelegt werden, wo sie eine ähnliche Wirkung

hervorbringen, und erreicht ein Maximum, wenn die Abtheilung ax S ganz belastet ist. In diesem Falle wäre Q = 120 Tonnen zu setzen, und man erhielte die Gleichungen (s. Fig. 245):

Hx = 120; V₁ = 90

0 = H₁-a+V₁

- n. I

oder, wenn man in letzterer Gleichung Vx — f Ht und V₂ = \ H₂ substituirt und . die Gleichung für H₂ auf löst:

⁸⁺l)

den Horizontalschub § mittelst der

Fig. 245.

IU

Xm h

•9«-

Vr

i,

i,

10

-\

tOI Cr-

h₃ = hx

Hieraus erhält man Gleichung :

# = H₂ — Hx = 2 Hx

— \ annimmt, so erhält man :

Wenn man hierin für Hx seinen Werth 120 substituirt und

beispielsweise —

a

2 • £ = 2 • 14,1 = 28,2 Tonnen als den von beiden Tragwänden zusammen hervorgebrachten Horizontalschub.

Ungefähr ebenso gross würde der nach der entgegengesetzten Richtung hin wirkende Horizontalschub werden, wenn die Abtheilung a₂ C allein die belastete wäre.

Die Kraft § — folglich auch die Gefahr des Umsturzes —

, und Null,

wird um so geringer, je kleiner das Verhältniss —

CL

t

wenn —= 0 wird, d. h. wenn die beiden Arme des Winkelhebels a

zusammenfallen und in einen einfachen Verticalhehel übergehen. Aus diesem Grunde ist die letztere Construction oder die dasselbe leistende in Fig. 241 dargestellte vorzuziehen. Der Yerticaldruck auf den Mittelpfeiler ist bei voller Belastung gleich dem Gewichte der beiden angrenzenden Brückenabtheilungen A S und A C, beträgt also in allen obigen Fällen im Maximum:

2 - (32 • 10 + 32 • 10) = 1280 Tonnen.

§ 28.

Stabilität der Landpfeiler.

Jede Belastung der Haupthrücke A B (s. Fig. 246) erzeugt in dem Punkte C eine Zugkraft Æ, welche den Landpfeiler CEFJ

Fig. 246.

Null

Umsturz

->

Ci

Ji

Hl um die Innenkante E zu drehen und zugleich auf seiner Basis E F nach innen zu verschieben strebt. Jede Belastung der Nebenbrücke hingegen erzeugt daselbst einen vertical abwärts gerichteten Druck D, welcher in Bezug auf Umkippen gar keine Wirkung ausübt, in Bezug auf das Schieben aber der Stabilität des Pfeilers zu Gute kommt.

Das Umsturz-Moment wird also am grössten, wenn die Hauptbrücke ganz belastet ist, in welchem Falle die horizontale Seitenkraft von R:

H (max) = 640 T.

wird. Die verticale Seitenkraft von R geht ebenso wie D durch den Drehpunkt E hindurch, hat also gar keine Wirkung in Bezug auf Drehung. Das Gewicht G des ganzen Landpfeilers muss gross genug sein, um dem von beiden Tragwänden zusammen hervorgebrachten Horizontalschube 2 H in Bezug auf Drehung um die Kante E das Gleichgewicht zu halten; es muss also:

1) G -|> 2 -640-h

u

sein, wonach die Grösse bestimmt werden kann, welche der Pfeiler wenigstens haben muss, um nicht umzukippen.

Es ist aber zweitens der Gleichgewichtszustand des Pfeilers in Bezug auf Verschiebung in Betracht zu ziehen.

Beide Seitenkräfte von R — sowohl die horizontale H als die verticale V — wirken auf Verschiebung des Pfeilers, erstere direct, letztere indirect, indem sie den Druck auf die Basis und damit auch den Beibungswiderstand vermindert. Diese Kräfte werden am grössten, wenn die Hauptbrücke ganz belastet ist.

Der Druck D, welchen eine Belastung der Nebenbrücke hervorbringt, vermehrt den ßeibungswiderstand und wirkt dadurch der Verschiebung entgegen. Die Gefahr des Schiebens wird also am grössten, wenn die Hauptbrücke ganz belastet und die Nebenbrücke ganz unbelastet ist, wobei D gleich dem halben Gewichte des unbelasteten Stückes A C wird (s. Fig. 247).

Man erhält für diesen Belastungszustand die Werthe:

H = 640,

V = 160,

D= 100;

welche doppelt zu nehmen sind, um die von beiden Tragwänden zusammen ausgeübten Wirkungen darzustellen.

Wenn also mit / der Reibungs- Coefficient bezeichnet wird,

so muss:

/(G + 2D — 2 F)>2 JT; oder 2) f{G + 2 • 100 — 2 • 160) > 2 • 640 sein, wenn der Landpfeiler nicht nach innen verschoben werden soll.

Wenn also weder ein Umkippen noch ein Verschieben des Landpfeilers eintreten soll, so muss das Gewicht desselben wenigstens so 'grösstem als der grössere von den beiden Werthen G, welche aus|den£beiden Ungleichungen 1) und 2) sich ergeben.

■4.. a juuiDvmo- «nu

’ Fig. 247.

V=160

—^S

H="640

W=f((rJr2D-~ \ ) J_

D-lOO

Es ist hierbei vorausgesetzt, dass der Punkt C, als Aufhänge-punkt der Brückenabtheilung CA, mit der ganzen Masse des Landpfeilers genügend verbunden ist. Dies kann mittelst einer Spannkette bewerkstelligt werden, welche von C aus in das Innere des Mauerwerks hineingeführt und unten an der Basis bei F gehörig verankert wird. Die Richtung dieser Spannkette darf bei dem Punkte C nicht horizontal sein, weil sonst der Punkt C sich heben würde, wenn die Hauptbrücke belastet und die Nebenbrücke unbelastet ist. Denn in diesem Falle ist die vertical aufwärts wirkende Kraft V (= 160 Tonnen) grösser als die vertical abwärts wirkende Kraft D (= 100 Tonnen). Die Spannkette muss vielmehr von dem Punkte C aus abwärts in das Mauerwerk hineingeführt werden in einer Richtung, deren Abweichung a von der Horizontalen auf folgende Weise bestimmt wird. Dieser Winkel a muss wenigstens so gross sein, als der Winkel, den die Mittelkraft S der beiden Kräfte B und D (oder der drei Kräfte H, V und D) bei jenem Belastungszustande mit der Horizontalen einschliesst. Die Tangente dieses letzteren Winkels ist:

A. = 0,09375.

Es muss also tg a 7> 0,09375 oder a 7> 5° 22' sein.

Für die Spannkette erhält man die Spannungszahl, indem man die horizontale Seitenkraft ihrer Spannung gleich dem Maximum des Horizontalschubes, also — 640 Tonnen setzt.

V — D 160 — 100

640

NEUNTER ABSCHNITT.

§ 29.

Kuppelförmige Dach-Constructionen.

sowohl mobile als permanente.

Bei allen früher berechneten Constructionen durfte ohne Bedenken für jeden einzelnen Belastungspunkt die Belastung gleich gross angenommen werden Wenn auch das Eigengewicht nicht immer eine ganz genau gleichförmig über die Spannweite vertheilte Belastung bildete, so brauchte man sich nur so viel an todter Last hinzugelegt zu denken, als nöthig war, um die etwaigen Ungleichförmigkeiten aufzuheben und die berechneten Spannungszahlen in aller Strenge richtig zu machen.

Bei kuppelförmigen Dach-Constructionen dagegen, in denen die einzelnen Träger nach der Mitte hin gleich den Radien eines Kreises gegen einander convergiren, ist diese Auffassungsweise nicht mehr zulässig, vielmehr muss man hier die Belastung als eine vom Auflager nach dem Scheitel hin allmälig abnehmende in Rechnung bringen.

Man kann die Oberfläche einer solchen Kuppel als eine durch Umdrehung irgend einer passend geformten Curve um eine verticale Drehachse entstandene Rotationsfläche, und die zwischen je zwei Meridian-Ebenen gelegenen Theile der Kuppel als Belastungen der Rippen ansehen, welche die Kuppel unterstützen. Wenn eine solche Rippe wie ein Fachwerkträger mit dreieckigen (gleich grossen) Feldern construirt ist, so wachsen die Belastungen der einzelnen Felder (oder der einzelnen Belastungspunkte) vom Scheitel nach dem Auflager hin nach demselben Gesetze, wie die Bogentheile der Parallelkreise, welche in jene Flächenstücke hineinfallen.

Diese Bogenlängen sind allemal proportional ihren Halbmessern oder den Entfernungen der Belastungspunkte von der verticalen Drehachse. Wenn also die Belastung desjenigen Knotenpunktes, dessen Drehungshalbmesser als Einheit gewählt wird, mit p bezeichnet wird, so ist p • p die Belastung eines Knotenpunktes, dessen Entfernung von der Achse gleich p ist. Es reicht also hin, die Belastungen irgend eines Punktes zu kennen, um danach die Belastungen aller übrigen Punkte durch Messung ihrer Drehungshalbmesser zu bestimmen.

Sobald man aber die Belastungen der einzelnen Punkte einmal bestimmt hat, so stehen nun der Anwendung der bereits früher erklärten Methode keinerlei Schwierigkeiten mehr entgegen. Es ist als ein weiterer Vorzug der Methode der statischen Momente her.vorzuheben, dass ihre Anwendbarkeit vollkommen unabhängig ist von der Art des Belastungsgesetzes.

Theils um diesen Vorzug in das rechte Licht zu setzen, theils einiger sonstiger bei der Berechnung auftretender Eigentümlichkeiten wegen, verdient das nachfolgende Zahlenbeispiel hier noch einen Platz zu finden.

§ 30.

Kuppel von 100m Spannweite.

Als äussere Oberfläche der Kuppel ist eine Halbkugelfläche von 51m Halbmesser und 16338 Q¹" Flächeninhalt angenommen. Jede der 8 Rippen trägt also einen Theil der Kuppel, dessen Oberfläche 2042 Q]"¹ enthält.

Als Belastung pro Quadratmeter der Kuppeloberfläche (Gewicht der Bedachung nebst Wind- und Schneedruck) sind 235k angenommen, also die Belastung für jede Rippe 2042 • 235 = 480 000k oder 480 Tonnen (die Tonne zu 1000k gerechnet). Diese ganze Belastung ist als eine veränderliche oder mobile Last in Rechnung zu bringen, nicht allein der Veränderlichkeit des Wind- und Schneedrucks wegen, sondern auch aus dem Grunde: weil es Vorkommen kann, dass ein Theil der Kuppel zeitweise seiner Bedachung entkleidet wird. Als permanente Last ist nur das eigene Gewicht der Rippe anzusehen, welches zu 60 Tonnen veranschlagt ist. Dieses Eigengewicht kann als eine gleichförmig über die äussere Bogenlänge der Rippe vertheilte Last angesehen werden. Jede Rippe besteht aus zwei concentrischen Bogen, deren Abstand von einander 2ra beträgt, und ist durch ein Diagonalen-System in 15 Felder von gleicher Länge getheilt (s. Fig. 248 und 249). Die permanente Last beträgt also für jeden Belastungspunkt 4 Tonnen.

Um das Gesetz zu ermitteln, nach welchem die mobile Last auf die einzelnen Belastungspunkte sich vertheilt, müssen die Ab-

Pig. 248.

.Ol

«o

50

O'

■ti

z¹

Pig. 249.

-rm

stände der Belastungspunkte von der verticalen Mittellinie zuvor gemessen werden, für welche sich folgende Zahlen ergeben: 015,3110,6 15,8 20,7 25,5 30 34,1 37,9 41,3j 44,2 46,6 48,5

Ol 1

49,9 I 50,7 51

10

11

12

Diesen Zahlen proportional sind die Theile der mobilen Last, welche auf die einzelnen Belastungspunkte kommen. Dividirt man also die ganze mobile Last 480 durch die Summe der obigen Zahlen (welche 512 beträgt) und multiplicirt den Quotienten dann der Reihe nach mit jeder der obigen Zahlen, so erhält man die Belastungen der 14 Zwischenpunkte:

5 9,9114,8 19,4 23,9 28,1 32 35,5 38,7 41,4 43,7 45,5

10

11

12

4    5

46,8:47,6

13

14

Um die Spannungszahlen der einzelnen Constructionstheile zu berechnen, muss die Art und Weise der Unterstützung oder Auflagerung an den Punkten A und B genau bekannt sein. Es soll hier angenommen werden, dass die Widerlager dadurch von allem Horizontalschube befreit sind, dass unten am Auflager um die Kuppel herum ein Spannring gelegt ist, durch dessen Spannung die horizontalen Gegendrücke an den Punkten A und B hervorgebracht werden, so dass die Auflagerpunkte selbst nur verticale Gegendrücke zu leisten haben. Die Rippen befinden sich dann genau in demselben Zustande, als wenn sie unten an festen Punkten befestigt wären.

auf den in § 22 behandelten Fall

Um sich unabhängig zu machen von den Spannungsveränderungen, welche durch Temperaturwechsel oder durch Aende-rungen in der Spannung des Ringes hervorgebracht werden könnten, ist es zweckmässig und soll deshalb hier vorausgesetzt werden, dass je zwei einander gegenüber liegende Rippen in dem Scheitelpunkte S durch ein Scharnier mit einander verbunden sind.¹) Dadurch wird zugleich dieser Fall — was die Methode der Berechnung anbelangt zurückgeführt.

Genau dasselbe Verfahren, welches dort z. B. zur Bestimmung des Scheiteldrucks führte, ist auch hier einzuschlagen. Man findet, dass bei voller Belastung sowohl, als bei ganz unbelastetem Zu-

stände der beiden Träger die verticale Seitenkraft dieses Scheitel-drucks gleich Null ist, letzterer also in beiden Fällen horizontale Richtung hat. Um die Grösse H dieses Horizontalschubes zu bestimmen, hat man das Moment desselben in Bezug auf den Punkt A gleich zu setzen der Summe der Momente aller einzelnen Belastungen in Beziehung auf denselben Punkt. Die Hebelarme der Belastungen erhält man, indem man die oben angegebenen Entfernungen der Belastungspunkte von der Mitte subtrahirt von der halben Spannweite 50:

50j44,7 39,4 34,2129,3 24,5 20 15,9 12,1 8,7 5,8 3,4 1,5

9    10 I 11 I 12

o I 1

0,1 —0,7

13

14

Wenn also die Bippen ganz unbelastet sind, so ergiebt sich für den Horizontalschub folgende Gleichung:

H-50 = 4 (+ _j_ 44,7 + 39,4 + . . . + 1,5 + 0,1 — 0,7) = 1056 H= 21,12.

Wenn dagegen beide Rippen voll belastet sind, so erhält man für den Horizontalschub die Gleichung:

II ■ 50 = 4 (+ -f 44,7 + 39,4 + ... + 1,5 + 0,1 — 0,7)

+ 5 • 44,7 + 9,9 - 39,4 + ... + 45,5 • 1,5 -f 46,8 • 0,1 -47,6-0,7.

Die letzteren Zahlen, welche die Momente der mobilen Lasten in Beziehung auf den Punkt A darstellen, werden bei den späteren Rechnungen mehrfach wieder gebraucht und sollen deshalb einzeln hier angegeben werden:

223,5 390 506,2)568,4 585,6 562 508,8)429,6 336,7 240,1

10

148,6)68,3 4,7 —33,3

11

12

13    14

Die Substitution dieser Werthe ergiebt für H die Gleichung: II. 50 = 1056 + 223,5 + 390 + ... + 68,3 + 4,7 — 33,3 = 5595 #=111,9.

Berechnung der Spannungszahlen Xfür die äusseren Bogenstücke.

Das zwischen den Punkten 5 und 6 liegende Stück des äusseren Bogens soll als Beispiel gewählt werden, um die Berechnungsweise zu erklären. Für die später aufzustellende Momenten-Gleichung dieses Stücks wird der Punkt M als Drehpunkt dienen. Man findet also die Belastungsscheide (vergl. § 22), indem man die beiden Bichtungen AM und BS bis zu ihrem Durchschnittspunkte E verlängert und durch diesen Punkt eine Verticale legt. Dieselbe liegt in dem Abstand 13m von der Mitte, fällt also zwischen den zweiten und dritten Belastungspunkt. Die Belastungs-Abtheilungen bilden sich also wie in Fig. 250 angegeben,

Fig. 250.

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s\

!< 13m ■

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K'0

Die Spannung X wird ein Maximum, wenn die Punkte 3, 4, 5, ... 14²) unbelastet, alle übrigen belastet sind. Statt dessen kann

man auch sagen: wenn die Punkte 3, 4, 5, . . . 14 entlastet sind, d. h. wenn an dem vollbelasteten Träger an diesen zwölf Punkten vertical aufwärts wirkende Kräfte — entsprechend den mobilen Belastungen dieser Punkte — angebracht werden.

Um die Seitenkräfte des Scheiteldrucks für diesen Belastungszustand zu finden, braucht man nur die Momenten-Gleichung für jede der beiden Rippen in Beziehung auf ihren Auflagerpunkt aufzustellen und für die linke Seite die zwölf Entlastungs-Momente 3, 4, 5, ... 14 als negative Zahlen zu der bereits gefundenen vollen Momenten-Summe hinzuzufiigen; man erhält dann die Gleichungen:

0 = 14-50-)- F-50 — 5595 (für die rechte Seite)

0 = — iï• 50 + F- 50 + 5595 — 506 — 568 — 586 —

. . . — 4,7 —J— 33,3 (für die linke Seite)

H — 72,7

F = 39,2.

Hiernach erhält man dann für X (max) aus Pig. 251 die Momenten - Gleichung :

0 = — X- 2 — 72,7 • 8,9 + 39,2 - 26,7

+⁴ (tt +21,4 +16,1 +10,9 +⁶ +⁴’²)

4-5-21,4-f9,9-16,l X(max) = 4- 470,9 Tonnen.

Fig. 251.

5-

26,7

s'

Um X (min) zu bestimmen, sind die Punkte 3, 4, 5, . . . 14 allein belastet anzunehmen. Man erhält die Seitenkräfte des Scheiteldrucks für diesen Belastungszustand, indem man für jede der beiden Seiten die Momenten-Gleichung aufstellt und für die linke Seite die zwölf Belastungs-Momente zu der Momenten-Summe der permanenten Belastungen hinzufügt:

0 = ÆT- 50 — V-50— 1056

0 = —ff-50—F-50 +1056 + 506 + 568 + 586 + ... + 4,7 — 33,3

H= 60,3

V = 39,2.

Die Momenten-Gleichung für X (min) ergiebt sich sodann aus Fig. 252:

0 = — X- 2 — 60,3 • 8,9 — 39,2 • 26,7

+⁴ (rir +²¹-⁴ +¹⁶’⁴ +¹⁰’⁹ +⁶ +⁴’²)

-f 14,8 • 10,9 + 19,4 • 6 + 23,9 • 1,2 X (min) = — 500,6 Tonnen.

Fig. 252.

çEMOa

F.3V

X,

Berechnung der Spannungszahlen Z für die Theile des inneren

Bogens.

Das von derselben Schnittlinie (7a getrolfene Stück des inneren Bogens, welches dem Punkte 6 gegenüberliegt, soll als Beispiel dienen. Für die später aufzustellende Momenten-Gleichung von Z wird der Punkt 6 den Drehpunkt bilden. Man findet also die Belastungsscheide, indem man den Durchschnittspunkt F der von A nach dem Punkte 6 gezogenen Linie mit der Richtung BS construirt, und durch diesen Punkt eine Verticale legt (s. Fig. 253). Die Belastungsscheide fällt in die Entfernung von 17m,3 von der Mitte, also zwischen den dritten und vierten Belastungspunkt. Wenn Z ein Maximum werden soll, müssen die Punkte 4, 5, ... 14 allein die belasteten sein, und man erhält für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks bei diesem Belastungszustande die Gleichungen:

0 = ff - 50 — F-50 — 1056

0 = — ff -50 — F- 50 -f- 1056 + 568 + 586 + ... + 4,7 — 33,3

ff = 55,3

F = 34,2.

Fig. 253.

Co'

fr

tu

Aus Fig. 254 erhält man dann für Z (max) die Momenten-Gleiehung:

0 — Z -2 — 55,3 • 8,74 — 34,2 - 30

+ 4 (M + 24,7 + 19,4 + 14,2 + 9,3 + 4,5) + 19,4 • 9,3 + 23,9 - 4,5 Z (max) = -f- 436,5 Tonnen.

Fig. 254.

aO

6N

30

Um Z (min) zu bestimmen, hat man die Punkte 4, 5, ... 14 allein entlastet anzunehmen und erhält für die Seitenkräfte des

Scheiteldrucks bei diesem Belastungszustande, indem man die Momente 4, 5,... 14 negativ zu der Momenten-Summe des vollbelasteten linken Trägers hinzufügt, die Gleichungen:

0 = ff • 50 + F-50 —5595

O = — If - 50 + F-50 + 5595 — 568 —586 —... — 4,7 +33,3

ff =77,7

F = 34,2.

Die Momenten-Gleichung für Z (min) ist dann nach Fig. 255 zu bilden:

0 = Z- 2 — 77,7 • 8,74 + 34,2 • 30

+ 4 (++24,7 + 19,4 + 14,2 + 9,3 + 4,5) + 5 • 24,7 + 9,9 • 19,4 + 14,8 • 14,2 Z (min) = — 610,5 Tonnen.

Pi g. 255.

+77,7

S¹

oo

vV- 34,2

6\

30

Berechnung der Spannungszahlen Y für die Diagonalen.

Von den beiden Diagonalen, welche zwischen den beiden Punkten 9 und 10 sich befinden, soll diejenige, welche mit dem Punkte 10 verbunden ist, als Beispiel dienen, um die Methode zu erläutern.

Bei der Berechnung der Diagonalen dieses Trägers tritt wiederum der schon im dritten Abschnitt § 9 ausführlich erörterte Ausnahmefall auf: dass der Drehpunkt für die Momenten-Gleichung in unendliche Ferne rückt. Die gerade Richtungslinie, in deren unendlich entferntem Endpunkte man sich den Drehpunkt zu denken hat, ist die an die Mittelkreislinie gelegte Tangente, welche dieselbe berührt an derjenigen Stelle, wo sie von der Diagonale geschnitten wird. Der Halbmesser dieses Punktes bildet mit dem verticalen Scheitelhalbmesser einen Winkel von 58£°, folglich bildet jene Tangente mit der Horizontalen einen Winkel von 58^-°.

Alle diejenigen auf das Stück $ß wirkenden Kräfte also, welche dieser Tangenten-Richtung parallel sind, hat man als durch den Drehpunkt hindurchgehend zu betrachten (s. Fig. 256), und ihre

Fig. 256.

'""4

faß // /

/ ■

10 /

j /«\ z

c'

40.8kl

Momente gleich Null zu setzen. Es unterscheidet sich dieser Fall nur dadurch von dem in § 9 behandelten Falle, dass die Tangenten-Richtung an die Stelle der dort horizontalen Richtungslinie tritt.

Es ist demnach jede auf das Stück S ß wirkende Kraft zu zerlegen in zwei Seitenkräfte, von denen die eine parallel, die andere normal zu dieser Tangenten-Richtung ist: und die algebraische Summe der letzteren Seitenkräfte ist dann gleich Null zu setzen.

Wenn von der Spannung Y diejenige Seitenkraft, welche normal zur Tangenten-Richtung ist, mit N bezeichnet wird, so werden alle diejenigen Kräfte, welche N positiv machen, auch Y positiv machen. Diejenigen auf das Stück S ß wirkenden Kräfte also, welche mit N gleiche Richtung haben, machen Y negativ, diejenigen, welche der Kraft N entgegengesetzte Richtung haben, machen Y positiv.

Man findet daher die Belastungsscheide — oder diejenige Stelle, wo ein Gewicht liegen muss, um keins von beiden zu thun — indem man durch den Punkt A eine Parallele zur Tangenten-Richtung legt und den Durchschnittspunkt J der Linie B S mit dieser Parallelen bestimmt. Ein Gewicht, welches in der durch den Punkt J gelegten Verticalen hängt, erzeugt nämlich mit dem von ihm hervorgebrachten Scheiteldruck zusammen für das Stück S ß eine Mittelkraft, welche in die Parallele hineinfällt, also gar keine Seitenkraft zu der Gleichung für N liefert. Alle rechts gelegenen Belastungen machen N negativ, alle zwischen der Schnittlinie C ß und der Belastungsscheide liegenden Belastungen machen N positiv, alle links von der Schnittlinie C ß liegenden Gewichte aber machen N wiederum negativ, denn sie wirken nur mittelbar auf das Stück S ß, nämlich mittelst des von ihnen hervorgebrachten Scheiteldrucks. Die Belastungsabtheilungen bilden sich also, wie in Fig. 256 angegeben ist.

Fig. 257.

kJ

.., TT-56/1 '

¹

Um an dem Gedanken an die mehrfach in dem Punkte S einander durchkreuzenden Scharnierverbindungen keinen Anstoss zu nehmen, braucht man sich nur statt des Bolzens eine Kugel oder ein beliebig geformtes Gehäuse eingeschaltet zu denken, welches den an dasselbe sich anlehnenden Rippen kugelförmig abgerundete Flächen darbietet.

²

Da die Verticale des 14ten Belastungspunktes links an dem Punkte A vorbeigeht (im Abstande von 0m,72), so bildet streng genommen dieser Belastungspunkt für sich allein wiederum eine „Zug-Abtheilung“, und da gegenüber bei dem Punkte B das Gleiche stattfindet, so sind eigentlich 4 Abtheilungen zu unterscheiden. Es soll jedoch — um durch eine solche pedantische Berücksichtigung zufälliger unwesentlicher Umstände die Uebersichtlichkeit der Figuren und der Rechnungen nicht zu beeinträchtigen — bei dieser wie bei den folgenden Berechnungen der 14 te Belastungspunkt stets mit zu der Gruppe seiner Nachbarpunkte gezählt werden — ein Fehler, der auf das Resultat einen verschwindend kleinen Einfluss hat.

KïFK

|y=35K

52U3;5^7J

‘k.

Y /C

âiè

Die Construction ergiebt, dass der Abstand des Punktes J von der verticalen Mittellinie 12ra beträgt. Die Belastungsscheide fällt also zwischen den zweiten und dritten Punkt. Die Kraft N und folglich auch Y wird also ein Maximum, wenn die Punkte 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 allein die belasteten sind. Bei diesem Belastungszustande ergeben sich für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks die Gleichungen:

0 = iT- 50 — V- 50— 1056

0 = — H- 50 — V • 50 -f 1056 + 506 -f 568 + 586 -f- 562 + 509 + 430 -f 337 V = 35.

JT = 56,1

Nach Fig. 257 ist alsdann die algebraische Summe aller derjenigen Seitenkräfte, welche bei der Zerlegung in die Richtung von N fallen, gleich Null zu setzen:

0 = N + 56,1 • cos 34° -f 35 • sin 34° — 4 - 9,5 - sin 34°

— (14,8 +19,4 + 23,9 + 28,1 + 32 + 35,5 + 38,7) sin 34°.

Die Auflösung dieser Gleichung ergiebt:

N (max) = 54,3.

Fig. 258.

''J

■*x.

Hieraus erhält; man, da Y einen Winkel von 52° 35' mit N einschliesst:

Y (max) —

54,3

= -j⁻ ^9,3 Tonnen.

cos 52° 35

Um Y (min) zu bestimmen, hat man die Punkte 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 als die allein entlasteten anzunehmen und erhält für die Seitenkräfte des Scheiteldrucks bei diesem Belastungszustande die Gleichungen :

11 = 77

0 = H-b0+ V-50— 5595

0 = — H-50 + V- 50 -f 5595 — 506 — 568 — 586 — 562 — 509 — 430 — 337 V = 35.

Aus Fig. 258 ergiebt sich dann für W(min) die Gleichung:

0 = JV-j- 77 • cos 34°— 35 sin 31i° — 4 • 9,5 • sin 31|°

— (5 + 9,9) sin 34°

N (min) = — 19,7.

Der entsprechende Werth von Y ist also:

— 19,7

F (min)

cos 52° 35'

— 32,5 Tonnen.

Diese drei Beispiele zeigen zur Genüge, wie man für jeden einzelnen Constructionstheil die Spannungszahlen berechnen kann, und ist es daher nicht erforderlich, dass auch für die übrigen Theile die Rechnungen (welche zu viel Raum in Anspruch nehmen würden) hier mitgetheilt werden.

Berechnung der Spannung S des Ringes.

Wenn die Zahl der Rippen wie in diesem Falle klein ist und

der Ring in Folge dessen eine polygonale Form erhält, so ergeben sich aus Fig. 259 für die Spannung S die Gleichungen:

2 S sin 224° — H 111,9 2-0,3827

Wäre dagegen die Anzahl der Rippen so gross, dass man die von innen her auf den Ring wirkenden

als stetig auf den Umfang desselben vertheilt ansehen dürfte, so würde man den auf die Längeneinheit desselben wirkenden Druck p zu berechnen haben und

Fig. 259.

fS

r~o

•221

EU 111,9

45Q-

= 146,1 T.

Horizontalschübe

,S

aus Fig. 2(i0 (worin 9 einen unendlich kleinen Winkel bedeutet, dessen Sinuszahl mit der Winkelzahl übereinstimmt), alsdann die Gleichung erhalten:

p • 2 r9 = 2 S9 oder S = pr.

Fig. 200.

In dem vorliegenden Falle würde z. B.

TU

111,9

51-0,7854

= 2,794

■_.r

P'

r’~i

zu setzen sein und man erhielte für die Spannung des Ringes

S = 2,794 • 51 — 142,5 Tonnen.

Der Unterschied ist, wie man sieht, so gering, dass es ziemlich gleichgültig ist, ob man auf die eine oder die andere Art die Spannung des Ringes berechnet.

§ 31.

Vortheilhaftestes Krümmungsprofil der Kuppeln.

Bei dem vorigen Zahlenbeispiel kam es nur darauf an, die Methode zu erklären, nach welcher bei einer gegebenen Kuppel-Construction die Spannungszahlen zu berechnen sind. Nur der leichteren Rechnung wegen wurde dort als Krümmungsprofil ein Halbkreis angenommen. Wenn man dagegen darauf ausginge, für die Rippen diejenige Form zu finden, mit welcher der geringste Materialverbrauch verbunden ist, so würde man die Gleichgewichtsform einer Kette zu untersuchen haben, deren Belastungsgesetz mit dem der Kuppelrippen übereinstimmt. Diese Form würde man den durch Scharniere verbundenen Hauptbogen der Rippen zu geben haben. Um den Wirkungen einseitiger Belastungen zu begegnen, würde man dem Hauptbogen einen durch Diagonalen-System mit ihm verbundenen Nebenbogen als Absteifung zur Seite geben. Bei voller Belastung würden alsdann Diagonalen und Nebenbogen ohne Spannung sein, bei einseitigen Belastungen würden ihre Spannungen nach der positiven und negativen Richtung hin um gleiche Grössen von der normalen Spannung Null sich entfernen (gerade so, wie dies bei der im § 22 berechneten Bogenbrücke in Bezug auf die Horizontalen und Diagonalen sich gezeigt hat).

Sehr einfach gestaltet sich die Lösung dieser Aufgabe bei Kuppeln, die so flach gekrümmt sind, und deren Rippenzahl so gross ist, dass man ohne zu grosse Ungenauigkeit die zwischen den Rippen liegenden Flächentheile als ebene Dreiecke ansehen darf, deren Flächen mit gleichförmig über dieselben verteilter Belastung bedeckt sind. In diesem Falle darf man den Schwerpunkt des Dreiecks SP als Angriffspunkt der Belastung ansehen, welche diesen Theil der Fläche bedeckt (s. Fig. 261, Fig. 262, Fig. 263).

k/i

Fig. 261.

J_......—*

.'v'.________

'T fb

ös;/

Fig. 262.

wa

Fig. 263.

Æ-

Wenn also Je die Belastung pro Flächeneinheit der Grund-

der sehr

2 TU

rissfläche und n die Anzahl der Rippen ist (folglich -

n

kleine Winkel, den zwei benachbarte Rippen in der Grundrissfläche mit einander einschliessen), so ist x •    ~ die Fläche des Drei-

71 u

ecks und man erhält als Momenten-Gleichung des Stücks SP in Bezug auf den Punkt P als Drehpunkt (s. Fig. 263):

1) H - y = k- x² • ——

J J    n 3

Diese Gleichung gilt auch für das Stück S A, für welches x = l und y—f zu setzen ist, also:

2) Hf=Tcl²

Die Division der ersten Gleichung durch die zweite führt zu der dritten Gleichung:

} f    l³

Wenn also der Hauptbogen die Form einer kubischen Parabel hätte, so würden bei voller Belastung sowohl Diagonalen als Nebenbogen die Spannung Null haben.

Bei dieser Ableitung ist das eigene Gewicht der Rippe, als entweder sehr klein, oder als nach dem gleichen Gesetze über die Bogenlänge vertheilt, unberücksichtigt geblieben. Wenn dasselbe als eine gleichförmig über die Horizontal-Projection der Bogenlinie vertheilte Belastung, welche pro Längeneinheit derselben p beträgt, mit berücksichtigt werden soll, so ergeben sich statt der vorigen die analogen drei Gleichungen:

1.) Hy — h

2.) Hf=k-

x x3 n 3 x Is n 3

3.

Um eine allgemeinere Lösung der vorliegenden Aufgabe zu erhalten, welche auch Kuppeln von grösserer Pfeilhöhe und kleinerer Rippenzahl einschlö3se, würde man nach den Principien zu verfahren haben, welche der „allgemeinen Theorie der Stützlinie“ zum Grunde liegen.

§ 32.

Kuppel mit gegliederten Rippen und Ringen.¹)

Das in Fig. 264 und Fig. 265 dargestellte Stangengerippe der Kuppel bildet im Aufrissprofil die Hälfte eines regelmässigen Achtzehnecks, im Grundriss ein regelmässiges Achteck. Es wird angenommen: dass die Stangen in den Knotenpunkten durch Kugelgelenke verbunden sind, und dass diese Knotenpunkte ausschliesslich die Belastungspunkte bilden. Diese Punkte liegen auf einer Halbkugelfläche vom Halbmesser r — 10m und vom Flächeninhalt 2r²:c = 2-10²-3,1416 = 628am, 32. Wenn also pro Quadratmeter dieser Fläche die totale Belastung p = 200 Kil. angenommen wird, so hat die Summe der Belastungen sämmtlicher Belastungspunkte die Grösse:

Fig. 264.

?’U

VA

\i\j

«.I

G =p-2r² tu = 200 • 628,32 = 125664 Kil.

Diese Totalbelastung vertheilt sich auf die den einzelnen 8-eckigen

Fig. 265.

Horizontalringen ange-hörigen Gruppen von Belastungspunkten auf solche Art, dass die Belastungssummen der einzelnen Hinge als den Halbmessern der umgeschriebenen Kreise ungefähr proportional angesehen werden dürfen — mit Ausnahme des untersten Binges, für welchen nur die Hälfte der betreffenden Zonenfläche, folglich auch nur die Hälfte der auf solche Weise zu bestimmenden Belastung in Bechnung zu bringen sein wird —. Die Halbmesser dieser 5 Kreise sind:

rx =    r •    sin 10° = 10    •    0,17365    =    lm,7365

r₂ —    r •    sin 30° = 10    •    0,5    =

r₃ =    r •    sin 50° = 10    •    0,76604    =    7“,6604

rA=r-    sin 70° = 10    •    0,93969    =    9 “,3969

r₅ —r • sin 90° = 10-1

Wenn mit x der Proportionaltheil bezeichnet wird, welcher dem Halbmesser Eins entsprechen würde, so ergiebt sich für x die Gleichung:

1,7365 • x —(— 5 • x —|— 7,6604 • x + 9,3969 • x oder

5“,0

= 10“.

= 125664,

x == 4364k,3.

Die Belastungen der einzelnen Ringe sind also:

x-r₁ = 4364,3 • 1,7365 = 7578\6²) x • r₂ — 4364,3 • 5 x-r₃ = 4364,3 . 7,6604 = 33432k,3 x • r₄ = 4364,3 • 9,3969 = 41010k,9 x • r₅ 4364,3 • 1

= 21821 \ 5

= 21821k, 5

und da jeder Ring 8 Belastungspunkte enthält, so hat man diese Zahlen noch durch 8 zu dividiren, um die Belastungen der fünf Belastungspunkte einer einzelnen Rippe zu erhalten.³) Es ist demnach:

Qi =

7578,6

= 947 Eil.,

Q₂ =

21821,5

== 2728 Eil..

Qs —

33432,3

= 4179 Eil.,

Q 4- —

41010,9

= 5126 Eil.,

Qs, —

21821,5

2728 Eil.

Berechnung der bei voller Belastung eintretenden Spannungen.

Denkt man sich durch Meridian-Ebenen zu beiden Seiten der Kippe A C F die Kuppel durchschnitten und an den Schnittstellen

der Ringe die zur Herstellung des Gleichgewichts erforderlichen Kräfte hinzugefügt (Fig. 266 und Fig. 267), so findet man, dass von dem obersten Ringe auf die Rippe in dem Punkte A eine Horizontalkraft

tragen wird, welche als die Mittelkraft der beiden Ringspannungen Xt sich darstellt und mit denselben durch die Gleichung: 2 sin z = R₁

oder X± =

Fig. 266.

2723

4179

>-ß3

512fi

Za

rE

F ix

047

'1

U₂

über-

2 sin s

verbunden ist, in welcher der Winkel e = 22°,5 zu setzen ist. Dieselbe Beziehung findet statt bei jedem der anderen Ringe zwischen den beiden Spannungen

desselben und ihrer horizontalen Mittelkraft.

Denkt man sich ferner die Stange A B durchschnitten und die zur Herstellung des Gleichgewichts an der Schnittstelle anzubringende Druckkraft Dl durch ihre horizontale und verticale Seitenkraft ersetzt (Fig. 268), so findet man, indem man einmal die algebraische Summe der Verticalkräfte, einmal die Summe der Horizontal-

•Ff fff •

Fig. 267.

X.

-.1/

£.....

IV

kräfte gleich Null setzt, die Gleichungen:

V₁ = 947 Kil. und Rt = —H,.

Aus dem in der Figur angedeuteten Kräfteparallelogramm ergeben sieb ferner die Gleichungen:

Fig. 268.

947

tg <x.₁ =

Vx

und sin a:x =

+Ri

A’

und da der Winkel ax = 20⁰ ist erhält man hieraus die Wer the:

so

947

tg 20°

Rx = — 2602 KU.,

= 2602 Kil., A

Xi = -

947

sin 200 2602

2770 Kil.,

2 • sin 22 °,5

— 3400 Kil.

Die Anwendung desselben Verfahrens auf den in Fig. 269 dargestellten Theil der Construction führt zu den Gleichungen:

Fig. 269.

947

V₂ = 947 -f- 2728 = 3675 Kil.

2728

2602

h₂ =

3675

4380K11.

tg40°

3675

sina₂ sin 40°

R₂ = 2602 — H₂ = — 1778 Kil.

tga₂

D2 =

= 5717 Kil.

X₂

1778

2-sin 22°,5

. =-2323 K.

Auf gleiche Weise erhält man aus Fig. 270 die Gleichungen:

V₃ = 947 + 2728 -f 4179 = 7854 Kil.

Fig. 270.

2728

<-

2602

Hs

7854

1778

lg «3.

= 4535 Kil.

tg60°

V₃

7854

sin a₃ sin 60 0 = 9069 Kil.

R₃ = 2602 —j— 1778 — H3 = — 155 Kil.

— 155

X,

2-sin 22°,5 = — 203 Kil.

Endlich aus Fig. 271 ergeben sich die Gleichungen:

Fig. 271.

F₄= 947 + 2728 + 4179 + 5126 = 12980 Kil. 12980

5126

Eli

4179

C/

155

2728

Bt

1778

<-

u\

2802

tg«4

tg 80°

= 2289 Kil.

12980

sin 80°

sin a₄

= 13180 Kil.

J?₄= 2602 + 1778 + 155 — iï₄= + 2246 Kil.

^4 =

2246

2-sin 22°,5 = + 2935 Kil.

Die Yerticalspannung F4 wird durch den Gegendruck der festen horizontalen Unterstützungsebene in der Stange FF hervorgebracht, während gleichzeitig durch den untersten Ring die Horizontalkraft H± auf dieselbe übertragen wird. Es ist also:

D4 ⁴

+ = Jf₄= + 2289 Kil.

2289

2-sin 22°,5

= + 2991 Kil.

Minima der Ringspannungen.

Behandelt man. die ganzen oben angenommenen Belastungen als zufällige (mobile) Belastungen, und denkt man sich die Belastung des obersten Ringes hinweggenommen, so erkennt man leicht, dass damit zugleich die Spannung des obersten Ringes selbst verschwindet. Wenn man dann auch noch die Belastungen des zweiten Ringes hinwegnähme, so würde auch dieser Ring spannungslos werden. Man überzeugt sich auf diese Weise leicht: dass überhaupt die Belastungen eines bestimmten Ringes in den sämmtlichen oberhalb desselben liegenden Stangen — sowohl der Rippen als der Ringe — keine Spannungen hervorbringen können. In dem Ringe selbst aber wird durch die eignen Belastungen desselben eine Druckspannung hervorgebracht und zwar die stärkste, welche überhaupt

eintreten kann, denn die Belastungen der höher liegenden Ringe würden für sich allein Zugspannung in demselben hervorbringen,

während die Belastungen der tiefer liegenden Ringe überhaupt keinen Einfluss auf die Spannung des Ringes haben. Diese Druckspannung muss zugleich so beschaffen sein, dass die von dem Ringe auf den Belastungspunkt übertragene Kraft mit der Belastung selbst eine Mittelkraft bildet, welche in die Richtung des nächst tiefer liegenden Theiles der Rippe hineinfällt. Aus Eig. 272 ergiebt sich also z. B. für den 3 ten Ring die Gleichung:

4179 tg 60°

Auf gleiche Weise erhält man für den 2 ten und 4ten Ring die Werthe:

Fig. 272.

if

L--»

Ii₃ (min) = —

Qa

tg a3

2413 Kil.

R₂ (min) = —

q₂

2728

CK3

tg40°

— 3251 Kil.

-ß₄ (min) = —

5126

tg80°

= — 904 Kil.

tga₄

Die Minima der Ringspannungen selbst sind also:

X₂ (min) — —

2251

2- sin 22°,5

4248 Kil.

X₃ (min) =

2413

2-sin22°,5

= — 3153 Kil.

X₄ (min) = —

904

— 1181 Kil.

2-sin 22°,5

Der erste und fünfte Ring kommen hier nicht in Betracht. Der letztere nicht, weil in demselben überhaupt nie Druckspannung eintreten kann; der oberste Ring aber aus dem Grunde nicht, weil in demselben stets Druckspannung stattfindet, und der für volle Belastung bereits gefundene Werth X₁ = — 3400 Kil.

zugleich die grösstmögliche Druckspannung dieses Ringes reprä-sentirt.

Maxima der Eingspannungen.

Die Spannung eines Ringes erreicht ihr Maximum, wenn die Belastungspunkte des Ringes selbst die allein unbelasteten sind, oder auch — da die Belastungen der tiefer liegenden Punkte überhaupt keinen Einfluss auf die Spannung des Ringes haben —: wenn ausschliesslich die höher liegenden Ringe belastet sind. Es würde also z. B. die Kraft i?₃ bei dem in Eig. 273 dargestellten Belastungszustande ihr Maximum erreichen, und zwar ist dasselbe nach Fig. 274 zu bestimmen aus der Gleichung:

v₃

tg a₂ tg a₃

R₃ = H₂ — H₃

Fig. 278.

947

2728

T4f

Fig. 274.

ÎJ

Kt

c,

Hg

> jFfa

K|

c,

ÏK

Rs

H.

Setzt man hierinjdie aus Fig. 273 sich ergebenden Werthe: V₂=V₃ = 947 + 2728 = 3675, so wird:

3675

R₃

3675

tg40° tg 60°

= -f- 2258 Kil.; es ist also:

+ 2950 Kil.

X₃ (max) = -{-

2258

2-sin 22°,5

Um für den 2ten Ring die Maximalspannung zu finden, würde man ausschliesslich die Belastungspunkte des obersten Ringes belastet anzunehmen haben. Dann wird:

1473

X₂ (max) =

+ 1925 Kil.

V₂ = V₁ = 947, also R₂ =

947

947

tg20°    tg40°

= + 1473, und

2-sin 22°,5

Zur Bestimmung von X₄ (max) endlich würde man ausschliesslich die drei oberen Binge belastet anzunehmen haben und die Gleichungen erhalten:

F₄ = V₃ = 947 + 2728 + 4179 = 7854, 7854    7854

- — tg 60'' _ tg80°

3150

R4 ~

= + 3150,

X₄ (max) = 4

2-sin 22°,5

+ 4116 Kil.

Bei der vorstehenden Berechnung wurden die Belastungen sämmtlicher Belastungspunkte eines und desselben Binges stets gleich gross angenommen, d. h. es wurde die vorhandene Belastung in Bezug auf die verticale Achse der Kuppel stets nach allen Seiten hin symmetrisch angeordnet vorausgesetzt. Da die Stangen in den Knotenpunkten durch Kugelgelenke verbunden sein sollten, so würde die geringste Abweichung von der symmetrischen Last-vertheilung das Zusammenstürzen der Construction zur Folge haben. Soll die Kuppel auch solchen unsymmetrisch vertheilten Belastungen gegenüber hinreichende Widerstandsfähigkeit besitzen, so muss entweder das die eigentliche Kuppelfläche bildende Deckmaterial genügende Steifigkeit besitzen, um das mit demselben verbundene Stangengerippe an jeder Lagenveränderung zu verhindern; oder es müssten die Gelenkverbindungen wegfallen und statt dessen die Stangen jedes einzelnen Binges, so wie jeder einzelnen Bippe zu einem continuirlichen bogenförmigen Balken vereinigt werden, der auch gegen Biegung hinreichenden Widerstand leistet. Die Bestimmung der Biegungsspannungen, welche in solchem Falle bei unsymmetrischer Belastung eintreten würden, ist indessen eine Aufgabe, welche der elementaren Behandlungsweise sich entzieht.

ZEHNTER ABSCHNITT.

§ 33.

Balkenbrücken mit mehreren Oeffnungen.

Wie bei den Bogenbrücken durch Einschaltung von Gelenkverbindungen die Spannungen der Constructionstheile innerhalb bestimmter, leicht controlirbarer Grenzen gehalten und den von Temperaturwechseln und Verschiebungen der Widerlager drohenden Gefahren gänzlich entzogen werden können, so lässt sich auch bei den Balkenbrücken — d. h. solchen Brücken, welche nur verticale Drücke auf die Pfeiler ausüben — zur Abwendung ähnlicher Gefahren das Princip der Scharnierbrücken mit Vortheil anwenden, besonders bei grossen Spannweiten und mehrfach neben einander liegenden Brückenöffnungen.

Es zeigt sich nämlich, dass man in solchen Fällen beträchtlich an Material ersparen kann, wenn man, anstatt jede Spannweite einzeln zu überbrücken, einen von Land- und Mittelpfeilern gemeinschaftlich unterstützten continuirlichen Träger anwendet, und dabei durch entsprechendes Heben und Senken der Stützpunkte zu erreichen strebt, dass die Maximal-Spannungen auf ein Minimum reducirt werden. Indessen würden bei solchen Constructionen ähnliche Uebelstände wie bei den ohne Scharnier construirten Bogenbrücken zu befürchten sein: dass nämlich sehr geringe Lagenänderungen der Stützpunkte schon beträchtliche Aenderungen in den Spannungen herbeiführen können — nur mit dem Unterschiede, dass, während bei den Bogenbrücken in den horizontalen, hier in den verticalen Lagenänderungen der Auflagerpunkte die Gefahr liegen würde —. Aehnliche Gründe also, wie sie in Betreff der Bogenbrücken bereits ausführlich (in § 24) erörtert wurden, sprechen auch hier für eine Unterbrechung der Continuität durch Einschaltung von Scharnieren, durch welche die Spannungen in den Constructionstheilen vollkommen unabhängig gemacht werden von etwaigen Höhenänderungen der Auflagerpunkte. Nur müssen hier die Gelenkpunkte eine andere Lage er-

halten: während bei den Bogenbrücken die Gelenke am zweck-massigsten in den Scheitel und die beiden Auflagerpunkte verlegt wurden, sind dieselben hier zu beiden Seiten jedes der Mittelpfeiler anzubringen in der Weise, dass die Endpunkte der über den Mittelpfeilern liegenden Brückenabtheilungen den Mittel- und Endstücken als Auflagerpunkte dienen (s. Eig. 275).

Fig. 275.

1-

-fc

-4-

Hi

Hi

WM

Jedes der über den Pfeilern liegenden Stücke ist als ein an zwei Punkten unterstützter Balken anzusehen, und, damit dasselbe durch einseitige Belastungen nicht zum Kippen gebracht werde, muss die Entfernung dieser beiden Punkte, oder die Pfeilerbreite, eine bestimmte Grösse haben, die sich leicht auf folgende Weise ermitteln lässt. Die in Bezug auf die Stabilität des Pfeilerstücks CD ungünstigste Belastungsweise ist offenbar diejenige, bei welcher die Strecken BC und CE allein belastet, die übrigen aber unbelastet sind. Für diesen Belastungszustand erhält man

Fig. 276.

4M™*

aus Fig. 275 und Fig. 276 als Momenten-Gleichung in Bezug auf den Punkt B als Drehpunkt die Gleichung:

Q = (pJrq)xz + (p-\-q)z~—px (zĄ

worin p die permanente, q die mobile Belastung pro Längeneinheit bezeichnet. Die Auflösung dieser Gleichung ergiebt, wenn

man das Verbaltniss — der mobilen zur permanenten Last mit n

p

bezeichnet, als Bedingung des Gleichgewichts: b — (x -j- 0) -f~ y (a? —}—    ² —1— 2 nz

Da die Zahl n im Allgemeinen um so grösser wird, je kleiner die ganze Brücke ist, so würden hiernach kleine Brücken sehr grosse Pfeilerstärken erfordern. Um dies zu vermeiden, kann man dem Kippen zum Theil auch dadurch entgegenwirken, dass man die über dem Pfeiler liegende Brückenabtheilung durch Zugstangen mit dem Mauerwerk des Pfeilers gehörig verankert. Bei einseitiger Belastung entsteht dann in einer solchen Zugstange eine Spannung K, deren Moment Kb dem Stabilitäts-Momente des Pfeilerstücks zu Hülfe kommt, und deren Grösse aus der Momenten-Gleichung:

o == (p + q) xz -f O + q) Y

px(z + b)—ptZ-rJl

Kb

berechnet werden kann. Dabei muss das Gewicht Q des Pfeilers selbst gross genug sein, um zu verhindern, dass das Ganze umkippt, nämlich die Bedingung erfüllt sein (s. Fig. 277):

+ b)+p(z 1)-^ >iv + q)*(x + y)‘

Fig. 277.

Wenn hiernach für das erforderliche Gewicht des Mauerwerks eine unerwünschte Grösse sich ergäbe, so könnte man, um Material zu ersparen, auch durch Anwendung von Doppelpfeilern die Entfernung b der beiden Stützpunkte des Stücks AB und damit den Stabilitäts-Hebelarm ver-

grossem.

Was die Constructionsformen der einzelnen

Brückenabtheilungen betrifft, so können die Mittelstücke — da sie in jeder Beziehung genau so wie gewöhnliche, auf zwei Endstützen ruhende Balkenbrücken sich verhalten — entweder als parabolische Träger (wie die im zweiten Abschnitt beschriebenen) oder als Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen (wie die im dritten Abschnitt behandelten) construirt werden. Den Pfeilerstücken kann man ebenfalls die letztere Form geben, doch wird im Allgemeinen — was Material-Ersparniss betrifft — einer anderen Form der Vorzug zu geben sein, welche aus der parabolischen Form in folgender Weise abgeleitet werden kann.

Wenn zwei oder mehrere symmetrisch gleiche (hängende oder gestützte) Ketten, welche mit gleichförmig über die Horizontal-Projection vertheilten Gewichten belastet sind, neben einander in

fortlaufender Reihe so aufgestellt sind, dass der zweite Stützpunkt der 'ersten Kette den ersten der zweiten bildet u. s. f., so heben an diesen gemeinschaftlichen Stützpunkten die Horizontalschübe einander auf, und nur ein verticaler Widerstand, wie z. B. der einer vertical herabhängenden Zugstange, ist an jeder dieser Stellen erforderlich. Statt des Endpunktes eines solchen einfachen Verticalhebels können, wie schon in § 27 erwähnt wurde, auch die durch eine horizontale Stange mit einander verbundenen Endpunkte A B eines Doppelhebels als Stützpunkte gewählt werden (s. Fig. 278 und Fig. 279).

>\\

tö'

Fig. 278.

î

kl

->

Fig. 279.

Trennt man durch einen Horizontalschnitt das Stück LABM von den beiden Scheitelstücken KL und MN, so können die an den Schnittstellen znr Wiederherstellung des Gleichgewichts anzubringenden Horizontalkräfte dadurch dargestellt werden, dass man die Punkte K und L, ebenso M und N, so wie auch die Punkte L und M paarweise durch eine horizontale Zugstange mit einander in Verbindung setzt. Die verticalen Kräfte aber haben für das Stück LABM einerseits und die Stücke KL und MN andererseits gleiche Grössen und entgegengesetzte Richtungen, können also in den Punkten L und M durch unmittelbares Auflegen der beiden Scheitelstücke KL und MN auf das Stück LABM dargestellt werden.

Da in dem Zustande jedes der Kettenstücke keinerlei Aende-rung hierdurch hervorgebracht wurde, insofern nunmehr der Gleichgewichtszustand, wie er vor dem Durchschneiden stattfand, wieder hergestellt ist, so wird eine, aus solchen parabolischen Stücken zusammengesetzte Brücken-Construction, wie die in Fig. 280 dargestellte, in welcher eine durchlaufende horizontale

Zugstange überall die Horizontalschübe aufnimmt, bei voller gleichförmiger Belastung keines Diagonalen-Systems zur Absteifung bedürfen. Da ferner die Gleichgewichts-Bedingungen der hängenden

Fig. 280.

mm

ca

A7I

und der gestützten Kette auf denselben Principien beruhen, so gilt, wenn man das Wort Zugstange mit dem Worte Druckstange vertauscht, das oben Gesagte auch von der in Fig. 281 dargestellten Brücken - Construction.

Fig. 281.

\/

LLA

—in

Was die Spannung der Kettenstücke betrifft, so sind dieselben ganz wie bei der in § 8 untersuchten an zwei Endpunkten unterstützten Kette zu bestimmen, und gelten die auf Seite 30 angeführten Gesetze auch hier, nämlich: die Verticalspannung an einer bestimmten Stelle ist gleich dem Gewichte des Brückenstücks zwischen dieser Stelle und dem Scheitel, die Horizontalspannung aber ist an allen Stellen gleich. Eine Aenderung der Pfeilhöhe bewirkt also nur eine Aenderung in der Horizontalspannung, nicht aber eine Aenderung der Verticalspannung.

Da die Mittelstücke in Pig. 280 und Fig. 281 ganz wie frei aufliegende parabolische Träger (von den Formen Fig. 27 und Fig. 36) zu betrachten sind, so können deren Pfeilhöhen für sich beliebig geändert werden, ohne dass dadurch etwas Anderes als ihre Horizontalspannungen (und damit zugleich die Spannungen ihrer Horizontalstangen) geändert würden. Die Spannungen in den Pfeilerstücken werden dadurch in keiner Weise geändert, denn die auf dieselben von den Mittelstücken ausgeübten Verticalkräfte bleiben dieselben. Die Horizontalspannungen in den Pfeiler-Abtheilungen hängen nur ab von den Pfeilhöhen derjenigen Parabeln, zu denen sie als Theile gehören.

Auch können die Lagen der Scheitelstücke in Fig. 280 und Fig. 281 mit einander vertauscht werden, ohne dass dadurch in den übrigen Stücken eine Aenderung hervorgebracht würde. Man erhält dann z. B. eine Construction wie die in Fig. 282 darge-

Fig. 282.

• stellte, welche in solchen Fällen, wo die Fahrbahn möglichst tief gelegt werden soll, den Vorzug verdient. Es bedarf kaum noch der Erwähnung, dass man auch gewöhnliche Fachwerk- oder Gitterbrücken statt der parabolischen Träger für die Scheitelstücke ein-

Fig. 288.

schalten kann, ohne# dass in den Pfeilerabtheilungen dadurch eine Aenderung hervorgebracht wird (s. Fig. 283).

§ 34.

Balkenbrücke von 160m Spannweite der iVlittelöffnung und je 130m Spannweite der

Seitenöffnungen.

Das Eigengewicht der Brücke ist überall zu 8000k für den laufenden Meter veranschlagt, wovon auf jede der beiden Tragwände die Hälfte kommt. Da die Länge eines jeden Feldes (innerhalb der Spannweiten) 10m beträgt, so kommen 40000k oder — die Tonne zu 1000k gerechnet — 40 Tonnen permanenter Last auf jeden Belastungspunkt. Die mobile Last ist zu 4000k für den laufenden Meter angenommen, beträgt also für jeden Belastungspunkt 20 Tonnen.

Die drei parabolischen Träger, welche zwischen den Pfeilern liegen (s. Fig. 284), haben jeder 100m Spannweite bei 12m,5 Pfeilhöhe und sind nach derselben Methode wie Fig. 39 im zweiten Abschnitt zu berechnen. Es ist also hier nur erforderlich, zu

zeigen, wie die über den beiden Pfeilern liegenden Brücken-Abtheilungen zu berechnen sind, und sollen dazu die in dem ersten

Fig. 2S4.

---------->j

Î) Ä

SS

130m

->

<-

160m

-> <-

130m

Felde neben dem Pfeiler befindlichen Constructionstheile als Beispiele gewählt werden.

Da der Punkt C (s. Fig. 284 und 285) einen der beiden Auflagerpunkte für den Träger CE bildet, so wird der von Seiten

Fig. 285.

X,

X,

x,

Z₂

A    ß Z,

= 300 Tonnen,

dieses Trägers auf ihn übertragene Druck 1) am grössten, wenn das Stück CE ganz belastet, am kleinsten, wenn das Stück CE ganz unbelastet ist. Im ersten Falle ist (40 + 20) 10

im zweiten Falle

40-10

- = 200 Tonnen

zu setzen. Es wird demnach für D der eine oder der andere dieser beiden Werthe zu substituiren sein, jenachdem diese Kraft auf Vermehrung oder Verminderung der Spannung eines Construc-tionstheils hinwirkt, und jenachdem Maximum oder Minimum der Spannungszahl desselben bestimmt werden soll. Im Uebrigen geschieht die Berechnung nach derselben Methode, welche früher angewendet wurde: man legt einen Schnitt aß durch das betreffende Feld und stellt dann für den Theil Cot ß die Momenten-Gleichungen auf (s. Fig. 286).

Die Momenten-Gleichung für Xx in Beziehung auf den Drehpunkt B ist:

' 0 = — Xx • 11,266 + 2). 30+ 40 (10 + 20-f-Y)

+ 20(10 + 20 + ^).

Man erkennt aus der Form dieser Gleichung, dass sowohl Dy

Fig. 286.

X,

'*&■

OJ

Oi

V-

Z, Y

ß MO

,20

•40

\20

20

i/o

als die Belastungen der Punkte F, G, C darauf hin wirken, X₁ positiv zu machen. Das Stück CE sowohl als die Punkte F, G, C sind also vollbelastet anzunehmen, wenn Xx (max) bestimmt werden soll, und man erhält nach Substitution des Maximalwerthes für Di

0 = — X, • 11,266 + 300 -30 + 60 (10 + 20 + ^)

Xx (max) = 1038,5 Tonnen.

Zur Bestimmung von Yx ist die Momenten-Gleichung in Bezug auf den Drehpunkt P aufzustellen. Die permanente Last braucht zwar nicht berücksichtigt zu werden bei der Bestimmung der Spannungszahlen Y, nachdem in § 33 bereits nachgewiesen wurde, dass eine gleichförmig vertheilte Last keine Spannung in den Diagonalen erzeugt; auch braucht von den beiden Werthen Y (max) und Y (min), die von der mobilen Last hervorgebracht werden, nur einer berechnet zu werden, denn beide zusammen müssen Null betragen, weil der teilen mobilen Belastung ebenfalls die Spannungszahl Null entspricht. Nur um zu zeigen, dass die Methode der statischen Momente unter allen Umständen zuverlässige Auskunft giebt und keinerlei dergleichen Vorkenntnisse voraussetzt, soll hier die Berechnung mit Berücksichtigung der permanenten Last für Maximum sowohl als für Minimum mitge-theilt werden. Die Momenten-Gleichung ist:

0 = — Yt • 15,852 + D • 4 + 40 (4 — 6 — 16)

+ 10-4—20 (6 + 16).

Wenn Yx gross werden soll, so muss D gross sein und die beiden negativen von der mobilen Last herrührenden Glieder müssen wegfallen; man erhält dann:

0 = — Yx - 15,852 + 300 • 4 + 40 (f — 6 — 16) + 10 • 4 Yx (max) = + 27,76 Tonnen.

Soll dagegen Yx klein werden, so muss I) klein sein, und das von der mobilen Last herrülirende positive Glied muss wegfallen, also:

0 ==■ — Yx • 15,852 + 200 • 4 + 40 (f — 6 — 16) — 20 (6 + 16) Yx (min) = — 27,76 Tonnen.

Zur Bestimmung von Zx dient die Momenten-Gleichung in Beziehung auf den Drehpunkt F:

0 = ZX- 7,692 + Z> • 20 + 40 (+ + 10) + 20 (+ + 10),

aus welcher leicht zu erkennen, dass alle Belastungen auf Druckspannung hinwirken. Um die stärkste Druckspannung zu erhalten, ist also D = 300 zu substituiren, und es ergiebt sich :

0 = Zx • 7,692 + 300 • 20 + 40 (+ + 10) + 20 (+ + 10)

Zx (min) = — 936 Tonnen.

Fig. 287.

10

8,4615 Q

\c

,uo

20

20

20

20

10

Zur Bestimmung von Vx ist der Schnitt y § zu führen und die Momenten-Gleichung in Bezug auf den Drehpunkt 0 aufzustellen (s. Fig. 287). Die permanente Last soll als zur Hälfte in den oberen und zur andern Hälfte in den unteren Knotenpunkten concentrirt angesehen werden. Als allgemeine Mo-

menten-Gleichung erhält man dann:

0 = F, • 18,4615 + D • 1,5385 + 40 (p^i — 8,4615 -

18,4615 \ ~2 /

+ 20 - !*““ — 20 (8,4615 + 18,4615).

Am grössten wird Vx, wenn D seinen kleinsten Werth an-nimmt, und der Punkt C unbelastet ist, also:

‘ ;o = Vx • 18,4615 + 200 • 1,5385 + 40 (ÎÇ5 — 8,4615 — 1M+

— 20(8,4615 + 18,4615)

Vx (max) = + 49,2 Tonnen.

Am kleinsten, wenn D seinen grössten Werth annimmt, und der Punkt C allein belastet ist:

1,5385

0 = Vx • 18,4615 + 300 • 1,5385 + 40 (

+ 20

8,4615 —    )

Vx (min) = + 10,8 Tonnen.

[Auch hier kann man sich davon überzeugen, dass die von der mobilen Last allein hervorgebrachten Sgannungszahlen, nämlich:

-j- 29,2 und — 9,2 mit der permanenten Spannungszahl

+ 20

vereinigt dieselben Werthe ergeben.]

Für die gleichliegenden Constructionstheile in den beiden anderen Feldern erhält man auf ähnliche Weise die Gleichungen:

0 = — X₂.7,1 + 300.20 + (40 + 20)    + 10)

X₂ (max) = + 1014 T.

8,4615)+ 20. i—⁵

0 = — X₂.6,138 + (200 + 100) 1,5385 + 40 (^-85 — 20.8,4615

(X)=±²⁷-57 T-

0 = Z₂. 3,526 + 300. 10 + 30.10 Z₂ (min) = — 936 T.

F₂ (min) = + 20 T.

0 = F₂.10 — 20.10 — 20.10 V₂ (max) = + 40 T.

0 = — X₃.3,325 + 300.10 + 30.10 X₃ (max) = + 992,5 T.

0 = Za. 3,526 + 300.10 + 30.10 Z₃ (min) = — 936 T.

In etwas abweichender Weise sind die Diagonale und die beiden Yerticalständer über dem Pfeiler zu berechnen, weil hier der Gegendruck W des Pfeilers mit in Rechnung kommt. Unter diesem Drück W ist hier der Gegendruck des festen Punktes B gegen die Construction zu verstehen, und dabei die Belastung, welche den Punkt B als Belastungspunkt trifft, als direct vom Pfeiler aufgenommen (also ohne Einfluss auf die Grösse des Drucks W) anzusehen.

Um die Grösse dieses Drucks zu bestimmen, hat man das

Fig. 288.

20

.20

200

Uo

300

12, b

+0

sAO

A Zo B

ico

vGO

430

ganze Stück CD als einen Hebel anzusehen, welcher in dem anderen Auflagerpunkte A seinen festen Drehpunkt hat (s. Fig. 288).

Man erkennt sogleich, dass, wenn W gross werden soll, alle Punkte rechts von A voll belastet sein müssen und erhält für den grössten Werth von W aus Fig. 288 die Momenten-Gleichung:

0 = — IF-12,5 + 20-12,5 + 60 (22,5 +32,5 -j- ±^)-f 300-42,5 — 40(10 + 20 + ^) — 200-30 *

IF (max) = 782 Tonnen.

Dass dieser Belastungszustand zugleich derjenige ist, bei welchem F₀ ein Minimum wird, davon überzeugt man sich leicht

durch einen Blick auf

Fig. 289.

Fig. 289, indem man erwägt, dass alle Belastungen dieses Theils zu dem Drucke IF Beiträge liefern, die erstlich grösser als die Belastungen selbst sind, und zweitens an längeren Hebelarmen wirken in Beziehung auf den Drehpunkt.

Man erhält demnach für F₀ (min) aus Fig. 289 die Momenten-Gleichung:

v„

L/

[782 ¹⁰

10

.,60

60

•200

f⁶!⁰⁰

,30

0 = F₀ - 26 + 782 - 26 + 300 • 4 + 30 • 4 — 60 (6 + 16)

F₀ (min) = — 782 Tonnen.

Bei demselben Belastungszustande wird ferner Y₀ ein Maximum. Denn für Y₀ geht wegen Parallelismus der Richtungen X0 und Z₀ die Momenten-Gleichung wiederum in die Gleichung der

Yerticalkräfte Die Differenz der Yerticalkräfte aber wird für das Stück Fig. 290 um so grösser, je mehr dasselbe belastet wird, weil alle Belastungen dieses Stücks an Grösse übertroffen werden von den Beiträgen, die sie zu dem Gegendruck IF liefern. Man erhält also für die verticale Seitenkraft von Y₀ (max) die Gleichung:

0 = 33 — 782 -f 20 + 60 -f 60 + 30 + 300 33 = 312

45/

Yo

'i----

20

782

Fig. 290.

über.

300

160

160

»30

und da die Diagonale einen Winkel von 45° "mit der Yerticalen einschliesst:

r₀ (max)

cos 45°

Schon früher wurde bewiesen, dass bei voller Belastung Y₀ = 0 wird, dass also das Minimum seinem absoluten Werthe nach mit dem Maximum übereinstimmen muss; es ist folglich:

312 • V2 = + 441,2 Tonnen.

Y₀ (min) ⁼ - 441,2 Tonnen-

Was den über dem Punkte A stehenden Verticalständer U0 betrifft, so ist die einzige Yerticalkraft, welche ausser der permanenten Belastung von 20 Tonnen an dem Kopfe desselben angreift, die verticale Seitenkraft der Bogenspannung, und diese ist immer gleich der Summe aller Belastungen von der betreffenden Stelle an bis zum Scheitel gerechnet, d. h. bis zur Mitte des Scheitelstücks. Sie wird, wie bei der Berechnung von Xx gefunden wurde und auch sonst schon bekannt ist, bei voller Belastung am stärksten; es ist also:

— U₀ = 20 -f [60 + 60 + 300]

U₀ (min) = — 470 Tonnen.

(Die Maxima der Spannungszahlen für die beiden Yertical-ständer sind ebenfalls negativ und kommen deshalb nicht in Betracht. Es wird nämlich, wie man leicht durch 'Umkehrung der Belastungszustände findet: V₀ (max = — 8 Tonnen und U₀ (max) = — 320 Tonnen.)

Die Spannungszahlen X₀ und Z₀ der beiden horizontalen Stangen über dem Pfeiler sind dieselben wie die aller übrigen horizontalen Stangen, nämlich gleich der Horizontalspannung der Kette bei voller Belastung, und zwar ist:

X₀ (max) = -f- 936 Tonnen,

Z₀ (min) = — 936 Tonnen.

Die Grösse dieser Horizontalspannung hängt, wie früher schon bemerkt wurde, nur ab von der Pfeilhöhe derjenigen gedachten Parabel, zu welcher die Bogen des Stücks CD als Theile gehören, nicht aber von der Form der wirklich vorhandenen Scheitelstücke. Der Scheitel der hier in Betracht kommenden Parabel liegt in der Entfernung 8m,0128 unter der Fahrbahnlinie, es ist also die Pfeilhöhe derselben:

f= 12,5 -f 8,0128 = 20,5128.

Die zugehörige Spannweite ist:

2 l = 160ra.

Man kann also die Horizontalspannung H auch nach der Gleichung berechnen:

= 936 Tonnen

Tr (p + q)l² (4+ 2). 802

2 • /    2 • 20,5128

= 600 Tonnen beträgt).

(während die Horizontalspannung für die zwischen den Pfeilern liegenden parabolischen Träger nur (4 + 2) 502 2-12,5

Die Spannungszahlen sind in Fig. 291 zusammengestellt. Wenn man in dieser Figur die Vorzeichen sämmtlicher Spannungszahlen

Fig. 291.

Ar+936 B,

-4

-⁷

L) -936 -936    -936 J -936 g -936    -936 -936 C

in die entgegengesetzten verwandelte, so würden — vorausgesetzt, dass die Punkte A und B immer noch die Befestigungspunkte blieben — die so erhaltenen Spannungszahlen für die umgekehrte Lage derselben Construction gelten. Man wird indessen bei dieser Lage statt der Punkte A und B die Punkte Ax und Bx als Auflagerpunkte wählen, und dadurch werden natürlich die Spannungszahlen der beiden Verticalständer über dem Pfeiler eine Aenderung erleiden, die man leicht entweder direct oder nach der früher mehrfach benutzten Methode der „fingirten Nebenständer“ berechnen kann (vergl. § 12). Die für diese Construction geltenden Spannungszahlen, welche hinsichtlich der übrigen Theile

Fig. 292.

P +936    +936+936 A +936 B +936    +936    +936 p

-4+1+-+1 c ++\    '^++0

⁹€i

+292

•>

82

B,

-936

nur durch die Vorzeichen von den vorigen sich unterscheiden, sind in Fig. 292 eingetragen.

Aus den beiden Figuren 291 und 292 lässt sich nun wiederum in ähnlicher Weise, wie dies früher bei den parabolischen und sichelförmigen Trägern geschehen ist, eine grosse Zahl abgeleiteter Formen bilden, von denen hier nur diejenigen als Beispiele aufgeführt werden sollen, welche auf veränderte Constructionen des Mittelfeldes Bezug haben.

Wenn statt der einen Diagonale zwei einander kreuzende Diagonalen in dem Mittelfelde sich befinden, die sowohl Zug- als Druckspannung anzunehmen fähig sind (s. Fig. 293), so theilen sich dieselben zu gleichen Theilen in die vorhin berechnete Spannungszahl der einen Diagonale, und die Spannungszahl jedes der beiden Yerticalständer wird das arithmetische Mittel der beiden früher gefundenen Zahlen (wie man sich leicht überzengt, wenn man sich zwei Träger mit halbirten Spannungszahlen, einen mit links, einen mit rechts ansteigender Diagonale hinter einander gestellt denkt).

Sind dagegen die beiden Diagonalen so construirt, dass sie

Fig. 293.

Fig. 296.

+ 936

+936

+936    +936

26

26

+49,2

\e>

x#+19,2

-196

+1

36

Y ■ 4 96 +i 36

-936

-936 A -936

A -936

Fig. 294.

+936

no

Fig. 297. +936    +936

+936

-7

⁸² X,^⁸² 4*,

+4 9/2

-936

-936

-936

-352

%-4 9/

l Xx^-3 52

A -936

Fig. 295.

Fig. 298.

+936

+936

+936

+936

x^-49,2 92 X .

entweder nur Zugspannung oder nur Druckspannung allein anzunehmen fähig sind, so gelten die Zahlen resp. von Fig. 294 und

-4

X#

70    -470

+4 9,2

A93B A -936 A _9B6

A -936

Pig. 295, in welcher letzteren durch Doppellinien die Unfähigkeit der Diagonalen, Zugspannung anzuuehmen, angedeutet ist.

In gleicher Weise sind aus dem Schema Fig. 292 die in Pig. 296, 297 und 298 dargestellten analogen drei Formen abzuleiten.

In allen diesen Fällen ist der Einfachheit wegen für die beiden Belastungspunkte über den Pfeilern ebenso viel Belastung gerechnet als für alle übrigen Belastungspunkte, obwohl streng genommen wegen der grösseren Weite des Feldes über dem Pfeiler eine etwas grössere Belastung für sie hätte in Rechnung gebracht werden müssen.

Wenn man nach der in § 33 angegebenen

Diese grössere Länge des Pfeilerfeldes ist nothwendig, weil sonst ein Kippen der Brückenabtheilung über dem Pfeiler zu befürchten wäre.

Formel:

b > — (x -j- z) + VC# + z)² + ^ n z (x + i)

die erforderliche Pfeilerbreite berechnet, indem man die Werthe

0 = 30,

x — 50,

substituirt, so ergiebt sich die Bedingung:

b > llm,38.

Die hier angenommene Pfeilerbreite von 12”, 5 ist also ein wenig grösser, als der Stabilität wegen nöthig wäre (um so mehr, als die permanente Last für die zwischen den Pfeilern liegenden parabolischen Träger in Wirklichkeit etwas geringer sein wird, als für die Pfeilerabtheilungen, während sie hier ebenso gross angenommen wurde).

Parallel-Träger.

Für den Fall, dass entweder die ganze Brücke (s. Fig. 299), oder auch nur die Abtheilung über dem Pfeiler, als Fachwerk-

Fig. 299.

^/IXlxrW^iXNXI/^i/l/l/^l/l/IXIXlXK^xIxKKlXl/l/l/rTIT]

D A B C

träger mit parallelen Gurtungen construirt ist, ergeben sich für letztere die in den Figuren 300, 301, 302, 303, 304 eingeschriebenen Spannungszahlen, welche nach derselben Methode berechnet sind, wie die vorige Construction. Um beide Constructions-formen hinsichtlich des Materialaufwandes besser mit einander vergleichen zu können, sind die Grundmaasse (nämlich Höhen und Spannweiten der Tragwände) beibehalten, doch beziehen sich die letzteren Figuren ausschliesslich auf den Fall, dass sowohl Fahrbahn als Scharniere unten liegen. Im Uebrigen ist zum Verständnis dieser Figuren nur das noch hinzuzufügen: dass Fig. 302 beide

Fig. 800.

Di O +261    +576 A, +936    B,±576    +264    0 C<

/<o

~ 10 3

⁵⁰A%

fjP-à 10' jjP-J 82^%>-d 70%^470

50    -10

o'

J) -261    -576

-936 A -93G A

-576

-261 c

Fig. 301.

D +264    +576    + 036 A +936 11 +936    +576    +26d C

\

+320

c-

70%+4 30 %:-20^ l³₂    30^+3 70

20

Di 0

-261

-576 ^ -936

B -576    -261

⁰ Gt

Fig. 302.

+576

+936

*576

71

*576

-4

w4

410%

-6

~—Ü36 A -036

Fig. 303.

+ 936    +576

F 71

-782    -782^-410

-4

^ -936

Fig. 304.

*576    +936

+ 576

lg

,o

I0ś

-470

\r~⁴

10 'k'~410

-936

~-936 a\

-936

"ZT

~-Ü36 a -Q3ß

Diagonalen des Mittelfeldes als zug- und druckfähig, in Fig. 303 beide Diagonalen als nur zugfähig, in Fig. 304 beide Diagonalen als nur druckfähig anzusehen sind.

§ 35.

Vortheiihafteste Eintheilung der Spannweite.

Eine Vergleichung der in Fig. 291 zusammengestellten Zahlen lässt Folgendes erkennen: erstens, dass die Spannungszahlen der Diagonalen und Verticalständer eine sehr geringe Grösse haben, verglichen mit den Spannungszahlen der Bogenstücke und der horizontalen Stangen; zweitens, dass die Spannungszahlen der Bogenstücke unter sich sowohl als von denen der horizontalen Stangen nur wenig abweichen. Da nun im Allgemeinen die Querschnittsflächen der Stangen wie ihre Spannungszahlen sich verhalten müssen, so darf man annehmen, dass die in dem Bogen und dem horizontalen Fahrbahnbalken enthaltene Materialmenge einen überwiegend grossen Theil des Ganzen ausmacht und annähernd zu gleichen Theilen auf beide sich vertheilt. Dieselbe Bemerkung gilt auch in Bezug auf diejenigen Abtheilungen der Brücke, welche die Scheitel der Parabeln enthalten, wie die im zweiten Abschnitt für die eigentlichen parabolischen Träger gefundenen Zahlenfiguren beweisen.

Man kommt also der Wahrheit ziemlich nahe, wenn man annimmt, dass die zu der ganzen Brücke erforderliche Materialmenge eine Grösse hat, welche proportional ist der in dem horizontalen Fahrbahnbalken enthaltenen Masse. Die hier zu lösende Aufgabe kann daher auch in folgender Form aufgestellt werden: es soll diejenige Eintheilungsweise der Spannweite gefunden werden, bei welcher die zu dem horizontalen Fahrbahnbalken verwendete Materialmenge am kleinsten wird.

Diese Aufgabe zerfällt wiederum in drei andere Aufgaben: erstens, die vortheiihafteste Lage der Scharniere in der Mittelöffnung zu bestimmen; zweitens, die vortheiihafteste Lage der Scharniere in den beiden Seitenöffnungen zu bestimmen: drittens, das vortheiihafteste Verhältniss von Mittelöffnung zu Seitenöffnung (oder die vortheiihafteste Stellung der beiden Mittelpfeiler) zu bestimmen.

a. Theilung der Mittelöffnung.

Wenn man sich aus Fig. 305 die Stücke CE und CA herausgeschnitten und durch Hinzufügung von Kräften an der Schnittstelle den Gleichgewichtszustand wieder hergestellt denkt, so ergeben sich als Momenten-Gleichung resp. in Bezug auf den Drehpunkt S in Fig. 306 und den Drehpunkt Ax in Fig. 307 die Gleichungen:

1)    H-h=px-x—p x • —

Li

2)    ^.h=px(l — x)-{-p(l — x)(^-j^y

~X”

Fig. 305.

—.....-z~-......x

A,

C/J

l,

~»j

px

■ir

A, C

Fig. 307.

•ooe^ïÆ

\h

■i/px

yyäi

Pß-Xj

Wenn ferner S die zulässige Spannungszahl bedeutet für eine Stange, deren Querschnittsfläche gleich der Flächeneinheit ist, so findet man die erforderliche Querschnittsfläche jeder der beiden horizontalen Stangen, indem man ihre Spannungszahl [durchs Ś dividirt. Wenn also F die Querschnittsfläche der Stange CE und $ die Querschnittsfläche der Stange CA bezeichnet, so "ist:

¹

Yergl. Berliner Ztschr. für Bauwesen, Jahrgang 1866: „Die Construction der Kuppeldächer“ von W. Schwedler.

²

Die für den obersten Ring in Rechnuug zu bringende Belastungszahl würde selbstverständlich entsprechend zu vergrössern sein, wenn derselbe noch das Gewicht einer aufgesetzten Laterne oder sonstige hier nicht schon berücksichtigte Belastungen zu tragen hätte.

³

Wenn die Anzahl der Rippen 16 statt 8 betrüge, so würden die obigen Zahlen durch 16 zu dividiren sein; im Uebrigen würde durch Annahme einer grösseren Rippenzahl die Rechnung durchaus nicht erschwert worden sein. Nur der besseren Uebersichtlichkeit der Figuren wegen ist hier eine kleinere Rippenzahl gewählt.

s' “ s

und man erhält nach Substitution der Werthe von H und Ę) aus den Gleichungen 1) und 2) die Gleichungen:

3) F =

p x²

Th~S

p (l² — x²)

2 h 8

Wenn man jede dieser Querschnittsflächen multiplicirt mit der zugehörigen Länge der Stange, so erhält man die erforderlichen Materialmengen:

Die ganze in der Stange A E enthaltene Materialmenge

ist also:

7)    (M+ ütt) =    (l³ — l²x — lx² + 2 x³).

2 ho

Wenn hierin unter x diejenige Grösse verstanden wird, welche MĄ-lD7 wirklich zu einem Minimum macht, so muss die Hinzufügung der sehr kleinen Grösse + A zu dem Werthe von x, also die Substitution von a? + A statt x, unter allen Umständen eine Vergrösserung von M-\- 3)7 zur Folge haben. Dies ist aber nur möglich, wenn von den drei zu dem eingeklammerten Ausdruck dadurch hinzugefügten Gliedern:

+ A (— l² — 2 l x -j- 6 x²) A² (6 x — l) + 2 A3 das erste für sich gleich Null ist, weil sonst durch geeignete Wahl eines sehr kleinen Werthes von A bewirkt werden könnte, dass das erste Glied — welches dann als überwiegend gross gegen die anderen den Ausschlag giebt — folglich auch der Inbegriff aller drei Glieder negativ würde, und damit dem Werthe von M noch eine weitere Verkleinerung ertheilt werden könnte. Es muss also die Bedingung

8)    —l² — 2 l x -f- 6 x² = 0

— die Werthe er-

erfüllt sein¹), aus welcher sich für X- und

t

geben :

0,6076

p x3 2hS

6) 9JÎ = ft • (l — x)—p

5) M = F ■ x

(7² — x²) (l — x)

2 hS

i+y7

10)

= 0,3924.

Annähernd also müssen die beiden Längen A C und C E wie 0,4 : 0,6 oder wie 2 : 3 sich verhalten.

Wenn man den für x gefundenen vortheilhaftesten Werth in die Gleichung 7) einführt, so erhält man für die zu dem Theile AE erforderliche Materialmenge die Grösse:

11) Jf-j-3Ä = 0,47184

p l³

2 Sh

b. Theilung der Seitenöffimngen.

Den Inhalt J des zu dem Theile D F (s. Fig. 305) erforderlichen Materials findet man aus der Gleichung 5), indem man z für x substituirt:

12) J =

p z³

2Ts‘

Den Inhalt $ des in dem Stücke ß D enthaltenen Materials erhält man aus der Gleichung 6) durch Substitution von lx statt l und von 0 statt x:

z²)(h—z)

P (h

2 h S

oder, wenn man a — 0 statt setzt:

p a {a — 2 z)2 2 h S

Der Inhalt des in dem ganzen Stück B G enthaltenen Materials ist also: |

14) 2 J + 3

Ą-r (a³ — 4 a² z -f- 4 az² + 2 z³). L u h

Wenn unter z derjenige Werth verstanden wird, welcher die Grösse 2 J-f- $ zu einem Minimum macht, so muss von den durchs Substitution von z± A statt 0 dem eingeklammerten Ausdruck hinzugefügten drei Gliedern:

± A (— 4 a² -f 8 a 0 -f 6 z²) + A² (4 a + 6 z) ± 2 A3 das erste Glied für sich allein gleich Null sein; es ist also die Bedingungsgleichung :

15) -4a² + 8«« + 62² = 0

für z aufzulösen, woraus sich für z und a — 2 z die Werthe er

geben:

16)    0 = § a (— 1 + V2,5) = 0,3874 a

17)    a —20 = 0,2252-a,

also für das Verhältniss

—-—oder ~ der Werth: a — 0 G

18)    y — 0,6324. n

Wenn man in die Gleichung 14) den gefundenen vortheil-haftesten Werth für 0 substituirt, so erhält man als gesammte in dem Stücke BG bei diesem Theilungsverhältniss enthaltene Materialmenge:

p a³

19)    2    = 0,16706-

c. Verhältniss der Seitenöffnung zur Mittelöffnung.

00    &

Die vorstehend gefundenen Zahlenwerthe von — und — geben

i    i1

für jede Oeffnung einzeln an: wie dieselbe einzutheilen ist, wenn das für sie erforderliche Material ein Minimum werden soll. Diese Zahlen sind vollkommen unabhängig von der Weite jeder einzelnen Oeffnung, also auch von dem Verhältniss:

a

2T n'

nach welchem die ganze Spannweite in die drei einzelnen Theile

zerlegt ist. Nicht aber darf dieser Satz umgekehrt werden; vielmehr muss bei der Bestimmung des vortheilhaftesten Werthes von n zuvor darüber entschieden sein: nach welchem Verhältniss jede einzelne Oeffnung eingetheilt werden soll, denn von diesem Theilungs-verhältniss hängt der Materialverbrauch für jede Oeffnung ab.

Die Aufgabe soll hier ausschliesslich unter der Voraussetzung gelöst werden: dass die drei Oeffnungen eben nach jenen vortheilhaftesten in den Gleichungen 9) und 18) angegebenen Verhältnissen eingetheilt sind.

In diesem Falle erhält man als erforderliche Materialmenge für die eine Hälfte L der ganzen Spannweitensumme durch Addition der beiden Gleichungen 11) und 19) den Werth:

2^- (0,47184 Is + 0,16706 • a³)

oder, wenn man hierin l — L — a setzt:

20) MĄ- Wl +2 J-I-3+    (0,47184 (L—a)³+0,16706 • a³).

Damit dieser Werth ein Minimum werde, muss die Bedingung erfüllt sein:

21) — 3 • 0,47184 (L — a)² + 3 • 0,16706 a² = 0. Die Auflösung dieser Gleichung ergiebt:

= 1,6806

(L-a)

0,47184 0,16706

oder, wenn man wieder l statt L — a und n statt 22) n = 0,8403.

to

setzt:

Wenn man nach diesen in den Gleichungen 9), 18) und 22) enthaltenen Regeln die hei dem vorigen Zahlenbeispiel angenommene ganze Spannweiten-Summe von 420m hätte eintheilen wollen, so würden sich die in Fig. 308 eingetragenen Längen für die einzelnen Abtheilungen ergeben haben.

Fig. 80S.

_102,02_

......______ßc_%

LdZbJ

-131,66-

------------156,68

131,66

Indessen würden bei dieser Anordnung die drei parabolischen Scheitelstücke nicht congruent werden, was die Kosten der Herstellung ein wenig vermehrt; zweitens würde die Folge der unsymmetrischen Anordnung und ungleichen Belastung der Scharnierpunkte schon bei gleichförmig vertheilter Belastung in den Feldern über den Mittelpfeilern eine Spannung der Diagonalen eintreten, wodurch ein geringer Mehraufwand von Material bedingt wird. Da ausserdem die ganze Rechnung nur auf Annäherung beruht, so konnte bei dem obigen Zahlenbeispiele ohne Bedenken eine den einfacheren Verhältnissen:

50

130    _50

160’ l~ 80’ lr 80 entsprechende, in Bezug auf die Mittelpfeiler symmetrische, Eintheilung vorgezogen werden.

Die Gleichungen 1) und 2) geben auch für Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen die Spannungen in den horizontalen Stangen an. Zwar nimmt bei solchen Trägern die Stärke der Gurtungen nach den Scharnierpunkten hin ab, doch wird diese Abnahme durch den Mehraufwand an Material zu den Diagonalen und Vertieal-ständern annähernd ausgeglichen.

Man darf deshalb annehmen, dass der Gesammt-Verbrauch an Material bei solchen Trägern nahezu derselbe ist, wie bei parabolischen Trägern — eine Annahme, die man bei Vergleichung der Fig. 27 mit Fig. 57, so wie der Fig. 291 mit Fig. 300 bestätigt findet —. Die Grundlagen und Ausgangspunkte der Rechnung würden also für diesen Fall dieselben bleiben; es können folglich die in den Gleichungen 9), 18 und 22) enthaltenen Regeln annähernd auch für Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen als gültig betrachtet werden.

ELFTER ABSCHNITT.

§ 36.

Bestimmung der Drehpunkte und Hebelarme auf dem Wege der Rechnung.

aus

Wenn auch anzunehmen ist, dass bei allen Berechnungen von demnächst wirklich auszuführenden Constructionen dem Rechner stets eine nach richtigen Maassverhältnissen ausgeführte Zeichnung zu Gebote steht, auf welcher derselbe die Lage der Drehpunkte und die Längen der Hebelarme am bequemsten und mit hinreichender Genauigkeit durch directe Messung bestimmen kann, so kommen doch auch Fälle vor, in denen es sich als nothwendig erweist, jene Bestimmung ohne Hülfe der Zeichnung auf dem Wege der Rechnung auszuführen. Dass auch dieser Weg keine Schwierigkeiten bietet, dass vielmehr bei allen Constructionen, die lauter geradlinigen Stangen zusammengesetzt sind, diese Bestimmung stets auf dem einfachen Wege der Vergleichung zweier ähnlichen Dreiecke ausgeführt werden kann, soll im Folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden. Diese Beispiele sollen den früher berechneten Constructionen in der Weise entnommen werden: dass die nachfolgenden Rechnungen — als Anhänge und Ergänzungen an die betreffenden früheren Paragraphen sich anschliessend — für diejenigen Leser, welche die Bestimmung der Spannungszahlen vollständig auf dem Wege der Rechnung durchzuführen beabsichtigen, die Lösung der Aufgabe zum Abschluss bringen.

Zur Berechnung der Dach-Construction des § 3.

Um den Hebelarm x der Kraft X in Fig. 10 zu berechnen, hätte man die aus der Aehnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke DMC und A DC sich ergebende Gleichung:

ÄTd

DC AC

Parabolischer Träger (§ 6).

Zur Bestimmung der Spannungen V₂ und Y₃ musste die

Fig. 310.

\H

;-c;

Lage des in Fig. 26 mit S bezeichneten Drehpunktes festgestellt werden. Hierzu bietet sich nach Fig. 310 die aus der Aehnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke SDE und SFG sich ergebende Gleichung dar :

x-f-2X a? —f- 3X

Nach den in Fig. 21 angegebenen Dimensionen ist hierin X = 2m, w = lm,5, £=lm,875 zu setzen; es ist also:

\ V — u /

Aus der Aehnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke SDH und GDF ergiebt sich ferner die Gleichung:

benutzen können (Fig. 309), in welcher nach den in Fig. 8 angegebenen Dimensionen CD = 20, AD — bO und AC — 1^50² -j- 20²

zu setzen ist; man erhält also für x den Werth:

20-50

* _ Y50²+ 202 Für den Hebelarm y der Kraft Y erhält man aus der Aehnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke ALD und

Fig. 809.

\L

18,6.

/y

'X

EFD die Gleichung:

y _ EF

AD ~ ED _

welche nach Substitution der Werthe AD = 50, EF = 15, ED = Y 12,5²—J—15² für y aufgelöst die Form annimmt

50 - 15

V ~~ V12,5²+15²

38,4.

tga.

_ 4m,

SD GD’

Sichelförmiger Träger (§ 15).

Der oben für x gefundenen Gleichung kann man auch die Form geben:

x + 2\

Bei einer Parabel von n mal so grosser Pfeilhöbe würden sämmtliche Ordinaten — so wie auch die sämmtlichen Vertical-stangen des nach dieser Parabel construirten parabolischen Trägers — die nfache Länge erhalten; es würde also n • v statt v und n • u statt u zu setzen sein. Da das auf der rechten Seite im

dadurch nicht geändert

V

n • u

wird, so ist die Lage des Durchschnittspunktes der Parabelsehne EG mit der Horizontalen der Auflagerpunkte unabhängig von der Pfeilhöhe der Parabel. Wenn also über einer und derselben

aus welcher man nach Substitution der Werthe SD = x 2X = 8m und GD = Y#² -j- X² = "j/"l,875²-j-2² für y den Werth erhält: '    _    8-1,875

V ~ Yi,875² + 2*

Endlich für den Hebelarm DJ = « (der Spannung Z₃ in Bezug auf den Drehpunkt D) erhält man aus Fig. 310 die Gleichung:

= 5m,47.

z = u • cos oc = u •

SD

SE

= 1,5-

Y 8²+l, 5²

= 1 m,474.

Nenner stehende Yerhältniss — =

Spannweite mehrere parabolische Träger construirt würden mit gleicher Feldertheilung und ungleichen Pfeilhöhen, so würde für ein und dasselbe Feld der Durchschnittspunkt der Parabelsehnen mit der Horizontalen der Auflagerpunkte bei allen jenen Trägern dieselbe Lage erhalten.

Hieraus folgt, dass bei dem sichelförmigen Träger (Fig. 311) die beiden Parabelsehnen HN und MJ in einem Punkte 0 sich schneiden, welcher in der Horizontalen des Auflagerpunktes A liegt. Die Lage des Punktes 0 kann daher auf gleiche Weise wie bei dem vorigen Falle bestimmt werden mittelst der Gleichung

x —f- 3 a    x—J— 4X

Setzt man hierin nach Fig. 114 die Werthe X = l, m=0,710, v = 0,852, so erhält man:

0,710

0,852 — 0,710

3 = 2.

Fig. 811.

\P

\N

s\

7'G

M\\

A..........X

I B......Ä.....'q"~"w.....L,

Auf dieselbe Weise kann auch die Lage des Punktes L bestimmt werden, nämlich aus der Gleichung:

w + \

u-\- z

, w , oder —

■v

u-\-z — v

in welcher 0 = 1,065 zu setzen ist (nach Fig. 114). Diese Gleichung ergiebt für w den Werth:

0,852

= 0,9231.

1,775 — 0,852

Zur Bestimmung des Hebelarms y (der Spannung F₄ in Fig. 116) ergiebt sich nunmehr aus der Aehnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke OPL und MQL die Gleichung:

OL ML

Hierin ist OL = 2 -f- 4 -f- 0,9231 = 6,9231 zu setzen, und ML =    0,852² -f- 0,9231² = 1,256. Man erhält dann für y den

Werth:

6,9231-0,852

= 4,7.

1,256

Nachdem die Lage des Punktes 0 bekannt ist, kann man den Hebelarm t (der Spannung ZJ aus der Aehnlichkeit der beiden

rechtwinkeligen Dreiecke JGN und JRN bestimmen mittelst der Gleichung:

t OR

OJ ’

welche nach Substitution der Werthe OR=h und OJ—~\ 5² -j- 0,712 für t den Werth giebt:

1,054.

5 • 1,065

y 5² -f- 0,71²

Wäre dagegen der Punkt 0 noch nicht bekannt gewesen, so würde der

JM

Hebelarm t einfacher zu bestimmen sein aus der Gleichung —

Den Hebelarm s (der Spannung X₄) kann man berechnen aus der Gleichung:

OQ

OH

in welcher r= 1,278, OQ = 6 und OH = y 6² -f- 2,132 setzen ist, worauf sich für s der Werth ergiebt:

6 • 1,278

zu

Y 6² -j- 2,13²

1,205.

Fig. 812.

Vo.

Wäre dagegen der Punkt 0 noch nicht bekannt gewesen, so würde der Hebelarm s einfacher zu bestimmen sein aus der Gleichung

fl

NH

Um die Spannung V3 zu berechnen, musste man zuvor den Durchschnittspunkt U der beiden Parabelsehnen

NF und MJ bestimmen. Nach Fig. 312 ist: NT=çtgcc = zJrçtgz, oder p =

MQ — JR

0,852 — 0,710

1,065

0,4725 — 0,142

= 0,4725

0,142, ferner tga

Hierin ist 0 = 1,065 und tg s

tgs = zu setzen, folglich ist:

t g a — tg s

oder (nach Fig. 114)

Q R

NR—FS

3,22.

Der Horizontalabstand des Punktes U von dem Punkte A hat also die Grösse:

a = 3,22 — 3 = 0,22.

Bogenbrücke (§ 22).

Die Lage des in Fig. 174 die Belastungsscheide bildenden Punktes C ist nach Fig. 313 zu bestimmen aus der Gleichung:

C N= (l + x) tg s = (l — x) tg a oder x = l(^

Fig. B13.

)•

tg a — tg s

tg a + tg £

7i

Setzt man hierin (nach Fig. 173) l — 20, tg £ = ^ = ^ = 0,25 und tg a so erhält man für x den Werth:

x — 20

0,375 — 0,25

LK 3,75

__    -0,375,

AK 10

= 4.

0,375 + 0,25

Der in Fig. 192 die Belastungsscheide bildende Punkt F kann ebenfalls mittelst der oben für x gefundenen Gleichung bestimmt werden ; es ist nur nöthig für a den Winkel, den die Linie A 0 mit der Horizontalen bildet, zu substituiren, also (nach Fig. 173):

tga =

5,5

= 0,6875 zu setzen, man erhält dann für x den Werth:

x = 20

0,6875 — 0,25

= 9,33 ...

0,6875 + 0,25

Die Durchschnittspunkte der Parabel-Sehnen mit der oberen Horizontallinie findet man auf dieselbe Weise wie bei den parabolischen und sichelförmigen Trägern. So z. B. erhält man für

Fig. 314.

t;

\u

R G ³⁰

den in Fig. 180 und Fig. 182 mit M bezeichneten Punkt aus Fig. 314 die Gleichung:

iv w -r a

oder w —

Hierin ist (nach Fig. 173) zu setzen:

X = 2, w=l,75, v — 2,ó;

2 • 1,75 2,3 — 1,75

Nunmehr kann man die Belastungsscheide E G wiederum aus der oben für x gefundenen Gleichung bestimmen, indem man darin

also ist: tv

= 6,36, und: A R = w -f 5 X = 16,36.

tga = Werth:

MB 5,5

AR

16,36

= 0,336 setzt; man erhält dann für x den

x = 20

0,336 — 0,25

0,336 -f- 0,25

= 2,9.

§ 37.

Anwendung der Methode der statischen Momente zur Ermittelung einer gewisse vorgeschriebene Bedingungen erfüllenden Form des Trägers.

Bei den bisher berechneten Constructionen wurde die Form des Trägers immer als gegeben angenommen, und die Methode der statischen Momente nur dazu benutzt, die von den Belastungen hervorgebrachten Spannungen zu berechnen. Im Folgenden soll an einigen Beispielen gezeigt werden, wie man jene Methode auch dazu anwenden kann, diejenige Form zu finden, welche dem Träger gegeben werden muss, wenn derselbe gewissen vorgeschriebenen Bedingungen Genüge leisten soll.

Der im § 6 berechnete parabolische Träger wurde seiner Form und seinen Dimensionen nach als gegeben angenommen, und bei der Berechnung der Spannungen stellte es sich heraus, dass bei voller Belastung des Trägers sämmtliche Diagonalstangen die Spannung Null annehmen — eine Eigenschaft, welche später in der „Theorie der parabolischen Träger“ als eine allgemeine Eigenschaft aller parabolischen Träger ihre Erklärung fand. Man hätte nun den Gang der Untersuchung auch umkehren können, nämlich von der erwähnten Eigenschaft als einer vorgeschriebenen Bedingung ausgehend sich die Aufgabe stellen, diejenige Form aufzusuchen, welche der Träger haben müsste, um die verlangte Eigenschaft zu besitzen. Nimmt man die Spannweite, die Felder-Eintheilung, so wie die Pfeilhöhe des Trägers als gegeben an,

womit zugleich die Lage der Punkte A, E, B, sowie der sämmt-lich in der Horizontalen A B liegenden Belastungspunkte festgelegt ist, so sind bei symmetrischer Form des Trägers die Höhen Ai, A₂, Jh die einzigen unbekannten Grössen, durch deren Bestimmung die Form des Trägers vollständig festgestellt wird (Fig. 315).

Fig. 815.

ha

1^2

Um die Grösse hx zu bestimmen, stellt man für den in Fig. 316 dargestellten Theil des Trägers die Gleichung der statischen Momente auf und wählt dabei den Durchschnittspunkt Ox der beiden

Fig. 816.

O,

«2?i

ä>

Y-o

Kräfte X und Z als Drehpunkt. Dieser Punkt soll eine solche Lage haben, dass die Diagonalspannung F=0 wird. Man erhält also die Gleichung:

0 — D xx -f- Q {{xx —F) —{— (a?i —J— 2 X) —{— (xx -f- 3 X)},

welche ausdrückt, dass die Mittelkraft von der Kraft D und den 3 Gewichten Q durch den Punkt Ox hindurchgehen muss, um daselbst von den beiden Kräften X und Z aufgehoben zu werden.

Setzt man in obiger Gleichung D = den Werth:

—, so erhält man für xx

Li

xx = 12 X.

Die Höhe hx kann nunmehr berechnet werden aus der Gleichung: Jix_xx —{— 3 X_ 15

h a?j -f- 4 X 16

Auf gleiche Weise erhält man nach Fig. 317 zur Bestimmung von x₂ die Gleichung:

0 = — Dx2 -f- Q {(x₂ -f- \) -)- (x₂ -f- 2 X)},

Fig. 817.

in welcher wiederum

7 <2

Xa

-----

Ä»

cf- zu setzen

u

ist; man erhält dann für x₂ den Werth:

x₂ = 2 X, worauf die Höhe h berechnet werden kann aus der Gleichung:

h₂ x₂ “I⁻ 2 X 4 hx x₂ -J- 3 X 5 ’

oder auch — mit Benutzung des für \ bereits berechneten Werthes — aus der Gleichung:

(OM

h₂ — f • t|- h — h.

Endlich nach Fig. 318 erhält man zur Bestimmung von xs und h₃ die Gleichungen:

0 = — Dx₃ + Q (x₃ -f- k) oder \ Qx₃ — Q (x₃ + k) xa = f X

X3 4~ ^ _ 7

h₂

xa —}- 2X    12

^3 - T2 ^2 - tV h-

Setzt man h — 2m, so erhält man ht = lm ,875, 7/₂ = lm ,5 und

Fig. 818.

Ç !

is

h₃ = 0m,875, also dieselben Grössen, welche in Fig. 21 als Längen der Ver-ticalstangen angenommen wurden. Wenn man ausserdem noch X = 2m setzt, so erhält man: xx — 24m, x₃ = 4m und x₃ = 0m ,8 ; also für die Durchschnittspunkte Ou 0₂, 0₃ ebenfalls dieselbe Lage, wie sie im § 6 bei der Berechnung der Spannungszahlen angenommen, und im vorigen Paragraphen bei der Bestimmung der Drehpunkte berechnet wurde.

§ 38.

Schwedler’scher Träger.

Vergleicht man den symmetrischen parabolischen Träger (Fig. 35) mit dem symmetrischen Parallelträger (Fig. 69), so erkennt man, dass hinsichtlich der Diagonalen-Spannungen folgender Unterschied zwischen beiden stattfindet: Bei dem parabolischen Träger sind Maximum und Minimum der Spannungszahl einer Diagonale stets gleich und entgegegesetzt, folglich die Minima sämmtlich negativ. Bei dem Parallelträger dagegen ist, wenn die Diagonalen von der Mitte nach den beiden Enden hin ansteigen, stets das Maximum überwiegend und das Minimum wird positiv in allen Feldern, mit Ausnahme der mittleren, in denen es indessen bei hinreichender Vergrösserung der permanenten Belastung ebenfalls einen positiven Werth annehmen würde. Es lässt sich daher erwarten, das es im Allgemeinen zwischen jenen beiden Formen eine mittlere Form geben wird, bei welcher das Minimum der Diagonalen-Spannung in allen Feldern den constanten Werth Null annimmt. Es soll bei der Berechnung der dieser vorgeschriebenen Bedingung entsprechenden Form (wie im vorigen Paragraphen) die Felderzahl = 8, die Pfeilhöhe = h und die Spannweite = 8 \ als gegeben, und der Träger als symmetrisch vorausgesetzt werden, wodurch die Zahl der noch zu bestimmenden unbekannten Grössen wiederum auf drei reducirt wird, nämlich die drei Höhen hx, h₂ und h₃ (Fig. 319).

Fig. 319.

Um die Höhe hx zu finden, hat man sich zunächst den Träger in demjenigen Belastungszustande zu denken, für welchen die Diagonalen-Spannung Y ein Minimum wird; hierauf für den in Fig. 320 dargestellten Theil die Gleichung der statischen Momente

Punktes so zu wählen, dass die Diagonalen-Spannung Y = 0 wird; man erhält also die Gleichung:

0 — — D . xx -j- (p -j- m) {(#! + k) -f- (xx + 2X) -f- {xx + 3X)}-

Setzt man in dieser Gleichung dem angenommenen Belastungszustande entsprechend: so nimmt dieselbe für x₁ aufgelöst die Form an:

I.

Xx =

in Bezug auf den Drehpunkt Ox, als Durchschnittspunkt der beiden Spannungen X und Z, aufzustellen und den Abstand x₁ dieses

Fig. 820.

xt

9    I m

A a ïp

i«::

7=0

24(p -f- m)X 2p — 3 m

Hiernach kann die Höhe hx berechnet werden aus der Gleichung:

hx xx —f~ 6 X h xx —|— 4X’

welche nach Substitution des für xx gefundenen Werthes die Form annimmt:

30p -f-15 m 32p -}- 12 m’

Fig. 321.

In dem zweiten Felde (von der Mitte aus gezählt) wird die Diagonalen-Spannung ein Minimum bei dem in Fig. 321 dargestellten Belastungszustande, für welchen

wird, und die Höhendifferenz in diesem Felde soll so beschaffen sein, dass dieses Minimum gleich Null wird. Man erhält also zur Bestimmung von x₂ nach Fig. 322 die Gleichung:

0 — — Dx₂ -j~ (p -f~ m) {(x₂ —f- X) —(x₂ -f- 2 X)},

Fig. 322.

welche für x₂ aufgelöst nach Substitutiondesobigen Werthes von I) die

ot

Form annimmt:

T 2 ~f~ 2 x

x₂ —J— 3 A

8 (p-j-m)X 4 p—m Die Höhe h₂ ist nunmehr zu berechnen aus der Gleichung:

II. x₂

oder nach Substitution des für x₂ gefundenen Werthes aus der Gleichung:

Ha-

16p -f- Qm 20p -f- hm ’

Fig. 823.

ÄS

Auf gleiche Weise erhält man zu Bestimmung der Grössen x₃ und li₃ aus Fig. 323 und Fig. 324 die Gleichungen:

Fig. 824.

0 = — D • a;₃ + (p + m) (x₃ -f X) n ⁷-P i ⁷

Ö = -i-+8’"

III. x₃

8 (p -f- m) X

20 p — m

x₃ 4- X

x₃ -f- 2X 48p -)- 6m ‘

in.. £

n₂

28p -J- 7m

Setzt man in den obigen Gleichungen überall m = 0, so führen dieselben wieder zu der Form des parabolischen Trägers, denn man erhält dann die

lix 15 ft₂ .4 h₃ 7

~h~ 16’ ^ —~5~’ ~h₃ Ï2* also dieselben Werthe, welche im vorigen Paragraphen für den parabolischen Träger gefunden wurden.

Wenn das Verhältniss —

Werthe: a;₁ = 12X, a?₂ = 2X, x₃=0,4:X und

so wird -y=72,    ^ —    *

also wenn z. B. h = 1    ,

= — ist,

P 2

und Äj_75    ^2_ 38    7*3_21

h 76’ hx 45’ h2 7b _ 5    _35

76’ ²“ 6’    ³ “68'

von der Horizontalen A B aus nach oben hin abgetragen werden (Fig. 825)

x₃_24

X — 39

34’

so wird =

Die gefundenen Höhen können auch

Fig. 825.

es|«i

o5|s?

oder zur Hälfte nach oben, zur anderen Hälfte nach unten hin (Fig. 326), immer bleibt die Bedingung erfüllt: dass die Diagonalen stets nur Zugspan-

Fig. 826.

.4

71

68

'.i.

nungen erhalten. Wenn man dagegen die in Fig. 327 angegebene Anordnung der Diagonalen wählte, so würden stets nur Druckspannungen in denselben stattfinden.

Fig. 327.

JL

75

Wenn — = ~ ist, sowird xx p o

hx    ,    m 2

— oo, —±- = l, und wenn -—> — h    p 3

ist,

so wird Xx negativ und hx>h. In diesem Falle müsste also die Höhe des Trägers in der Mitte kleiner genommen werden, als weiter nach den Enden hin. Wenn dies aus anderen Gründen nicht als zulässig gelten sollte, so würde man hinsichtlich der beiden mittleren Felder auf Erfüllung der vorgeschriebenen Bedingung verzichten müssen und dem Träger in diesem Theile überall dieselbe Höhe geben; durch Hinzufügung von Gegenstreben würde

man dann erreichen können, dass auch in dieseu Feldern die Diagonalen stets nur gezogen werden.

Wäre z. B. das Verhältnis — = Ą~ gegeben, so würde man (nach Glei-

p o

Äi

50

hi

chung I..) - = ₄₇

Die Gleichungen für h₂ und h₃ behalten ihre Gültigkeit. Nach Gleichung IIa.

wird ^ = ~ also h₂ = 0,9 h, und nach Gleichung IIIa. wird = nx 10    li₂

2

h₃ = — . 0,9 . h = 0,6 h zu nehmen sein.

ö

Man würde also z. B. für einen Träger von 8m Höhe und 64ra Länge, bei welchem die permanente Last p — 12000 Kil. und die mobile Last m = 16000 Kil. ist, die in Fig. 328 angegebenen Dimensionen erhalten. Die

Fig. 328.

erhalten, man würde aber statt dessen —- = 1 nehmen.

n

also

es-

es

ëoc

8™

Berechnung der Spannungszahlen kann auf dieselbe Weise wie bei dem im zweiten Abschnitte berechneten parabolischen Träger geschehen und führt zu denjin Fig. 329 zusammengestellten Zahlenwerthen. Liegt die horizontale

Fig. 829.

-211U3Û

-22-1000

-224000

+ 28000

+ 21000

-4000

+15000

-11000

*?•'

Xe»

v/\

+163333

+163333

+186670

+210000

+ 210000

Fahrbahnlinie oben — statt unten —, so erhält der Träger die in Fig. 330 angegebene Form nebst beigefügten Spannungszahlen.

Fig. 330.

-210000

-163333

-186670

-224000

-224000

*9.

°$0

-49000

-54670

-28000

+187600

+210000

+ 210000

Beide Zahlenfiguren entsprechen der Voraussetzung: dass die permanenten wie die mobilen Belastungen ausschliesslich in der horizontalen Fahr-

bahnlinie ihre Angriffspunkte haben. Soll statt dessen die der Wirklichkeit besser entsprechende Annahme gemacht werden, dass die permanenten Belastungen zur Hälfte auf die oberen, zur Hälfte auf die unteren Endpunkte der Verticalstangen sich vertheilen, so hat man (nach § 12) zu den Spannungszahlen der Verticalstangen in Fig. 329 überall die Zahl — 6000 hinzu zu addiren und erhält statt der in der Figur angegebenen Zahlen für die Spannungen der Verticalstangen — in der Reihenfolge von der Mitte nach dem Ende hin — die Werthe:

f — 17000 \ + 9000’

— 10000 + 18000’

In Fig. 330 dagegen würde man zu den Spannungszahlen der Verticalstangen überall die Zahl + 6000 hinzu zu addiren haben und die Werthe erhalten — 22000, — 42000, — 48670, — 43000.

— 12 000,

+ 22000.

Wenn — = 4 ist, so wird (nach Gleichung II.) x₂ = co und wenn

r

^ > 4 ist, so würde nach obiger Gleichung x₂ negativ und h₂ > werden.

In diesem Falle müsste man ausser lix auch die Höhe ii₂ gleich der Höhe h nehmen, also den 4 mittleren Feldern rechteckige Formen und Gegenstreben geben. Setzt man (wie für den in § 6 berechneten Träger) p = 1000 Kil. und m = 5000 Kil. und X == h = 2 m , so erhält man (aus Gleichung III.) xa = 6m,4 und (aus Gleichung llla.) 7?₃ = lm ,615. Der Träger würde alsdann die in Fig. 331 angegebenen Dimensionen und die Fig. 332 zusammengestellten

Fig. 331.

a“

„»ä

Spannungszahlen erhalten, welche in den 4 mittleren Feldern mit den in Fig. 61 gefundenen übereinstimmen.

Fig. 882.

-26000

—36000

-45000

-48000

— 48000

00091-

I / [/_

-15625

—10875

-6750

\X

+ 36000

+45000

Wäre endlich m > 20 p, so würde nach obigen Gleichungen xs negativ und h₃ >• h₂ werden. In diesem Falle würde also — wenn es nicht als

zulässig betrachtet wird, die Höhe des Trägers nach der Mitte hin kleiner werden zu lassen — die vorgeschriebene Bedingung für den Träger von 8 Feldern überhaupt nicht mehr erfüllbar sein bei der vorausgesetzten Anordnung des Diagonalen-Systems (vergl. § 39).

§ 39.

Träger mit gleichen Maximalspannungen der Diagonalen.

Die im vorigen Paragraphen gestellte Aufgabe, welche vorschrieb, dass das Minimum der Diagonalenspannung in jedem Felde den Werth Null annehmen sollte, bildet einen speciellen Fall der allgemeineren Aufgabe: den Träger so zu construiren, dass die Maximalspannungen der Diagonalen sämmtlich einem und demselben — übrigens aber beliebig grossen — vorgeschriebenen Werthe gleich werden sollen.

Da bei Umkehrung des Trägers die positiven Spannungszahlen negativ und die negativen positiv werden, also Maximum und Minimum ihre Bedeutungen mit einander austauschen, so ist es hinsichtlich der Erklärung des bei der Auflösung dieser allgemeinen Aufgabe anzuwendenden Verfahrens gleichgültig, ob die Minimalspannungen oder die Maximalspannungen ausgewählt werden als diejenigen, welche unter einander gleich werden sollen. Da die Minima in der Regel negative Zahlen sind, so erscheint es zweckmässiger, von den Maximalspannungen auszugehen. Es soll in diesem Paragraphen also diejenige Form des Trägers bestimmt werden, bei welcher die Maxi mal Spannungen der Diagonalen einem vorgeschriebenen Werthe gleich werden, und wiederum das anzuwendende Verfahren durchgehends an einem symmetrischen Träger mit 8 Feldern erklärt werden.

Fig. 333.

Zz

■y

'P

w77l

Die Spannung der Diagonale des zweiten Feldes wird bei dem in Fig. 333 dargestellten Belastungszustande ein Maximum und man erhält zur Bestimmung desselben aus Fig. 334 die Gleichung:

o =Y-y — D-x +p ( X + a).

Diese Gleichung nimmt nach Substitution des Werthes y = (x + 2 X) sin a die Form an :

O = Y • sin a (x -f- 2 X) — D x -f- p {x + X)

(zu welcher man auch gelangt sein würde, wenn man die Spannung Y in ihre horizontale und verticale Seitenkraft zerlegt und das statische Moment der letzteren statt des statischen Momentes von Y selbst genommen hätte). Die Grösse x muss so gewählt werden, dass Y den vorgeschriebenen Werth annimmt. Man hat also nach Substitution des dem angenommenen Belastungszustande entsprechenden Werthes:

=    — 3,5^ -J- ‘2,625 m

Fig. 384.

fv

°*'⁼S~A X

i^r

v

Fsina

die obige Momenten-Gleichung für x aufzulösen und erhält die Gleichung:

p-f- 2 Y sin a

2,bp -f- 2,625 m — F sin a Auf gleiche Weise erhält man nach Fig. 335 (indem man die 5*;Belastungspunkte rechts von der Schnittstelle belastet annimmt) die Gleichungen:

O = Y sin ax {x₁ -|- 3 X) — D₁ xY p {(a?₁ -J- X) -f- {xy -j- 2 X)}

Dt = 3,5p + 1,875 in

II.

3 p -f- 3 Y sin olx

1,5 p -f- 1,875 m — Y sin ax ’

Fig. 335.

Zi

.............

-----

Xx

■ff

Ysinor-i

und nach Fig. 336 (indem man die 4 Belastungspunkte rechts von der Schnittstelle belastet annimmt) die Gleichungen:

0= I"sina₂(^₂ -f-4X)—D₂x₂ -\-p{{x₂ +X)-J-(a?₂ —2 X) —j— (a?₂ -j-3X)| D₂ = 3,5 p 4- 1,25 m.

6 p 4- 4 Y sin a₂

0,5 p -f- 1,25 m — Y sin a₂

Die obigen drei Gleichungen können auf folgende Weise zur Construction des Trägers benutzt werden. Man nimmt, indem

Fig. 836.

æ₂

S*

Ysincta

man die Construction von dem Endpunkte A aus beginnt, zunächst für die Höhe 0 eine willkürliche Grösse an und berechnet nach Substitution des dieser Grösse entsprechenden Werthes

sin a =

yV+x²

z₁ kann alsdann bestimmt werden mittelst der aus Fig. 334 sich ergebenden Gleichung:

in Gleichung I. den Werth von x. Die Höhe

T XT    zx x -f- 2 X

1 * •    —    1 > 1

x X

V*:+x

worauf die Grösse xx nach Substitution des Werthes sin ax

in Gleichung II. ebenfalls berechnet werden kann. Hierauf kann man die Grösse z₂ nach der aus Fig. 335 sich ergebenden Gleichung: xx —J— 3 X

xx -{- 2X

berechnen, so wie auch die Grösse x₂ aus Gleichung III. nach

Substitution des nunmehr bekannten Werthes sin a₂

VK+y*

Zur Bestimmung der Höhe h endlich benutzt man die aus Fig. 336 sich ergebende Gleichung:

YI.

h x₂ -f- 4 X

z₂    x₂-f3X

Bei dem parabolischen Träger sind die grössten Zug- und Druckspannungen einer Diagonale immer gleich gross. Wollte man — in der Absicht die Druckspannungen der Diagonalen auf Kosten der Zugspannungen etwas zu verkleinern — den in § 6 berechneten Träger so construiren, dass jede Diagonale eine grösste Zugspannung von 8000 Kil. erhielte, so würde man zunächst in den obigen Gleichungen die Werthe:Xm = 5000, p = 1000 und Y = -f- 8000 zu substituiren haben. Setzt man alsdann willkürlich z — J, indem man die Feldlänge X als Längeneinheit wählt, so erhält man nach der eben erklärten Methode successive dieWerthe: sin a = 0,447, « = 0,677, Zi = 0,798, sin at = 0,625, «₁ = 3,06, ^ = 0,958, sin a₂ = 0,693, x₂ = 23,28,

Fig. 337.

0,5

0,798

0,958

0,996

.1

h = 0,996. Der Träger würde dann die in Fig. 887 angegebenen Dimensionen und die in Fig. 388 zusammengestellten Spannungszahlen erhalten.

Fig. 338.

—48030

—48030

+ 6000

-1630

0389+

om—

+7580

+3520

Xs

+42000

+42000

+45110

+46970

+46970

Setzt man Y = 0, so führen die obigen Gleichungen zu [einem Träger, dessen Diagonalen stets nur Druckspannungen erhalten. Wenn man zugleich

— = ~ setzt, so wird:

p    2

16

16

16

X₂

runä

Ci _ 138 z₂ _ 55 h _ 28

T-TT’    42’ ~z₂~~l5’

und wenn man die letzteren drei Gleichungen mit einander multiplicirt, so erhält man die Gleichung:

x er x

18 ’ X

_ 28    55    138 _ 92

V“ 25 ‘ 42 ' 77 “ 35 ’

nach welcher die Grösse z so gewählt werden kann, dass der Träger in der

Fig. 339.

15

22

25

28

92

mm

Mitte die vorgeschriebene Höhe h erhält. Soll z. B. h — 1 werden, so muss

85

*⁼92’ Zl = ~77

138    35    15    25    „«ON

• gg = ^2» «2=2g genommen werden (Fig. 339).

Die in Fig. 327 und Fig. 889 dargestellten Träger entsprechen beide in verschiedenerWeise der Bedingung : dass die Diagonalen stets nur Druckspannungen erleiden. In der umgekehrten Lage würden also beide Träger die Bedingung erfüllen: dass die Diagonalen stets nur Zugspannungen erleiden. Es ergiebt sich hieraus, dass die im vorigen Paragraphen gestellte Aufgabe im Allgemeinen immer auf zwei verschiedene Arten gelöst werden kann — je nach der gewählten Anordnung des Diagonalen-Systems —. Während jedoch hei der im vorigen Paragraphen vorausgesetzten Anordnung des Diagonalen-Systems es sich herausstellte, dass bei gewissen Werthen des Verhältnisses —--nämlich wenn

zwischen den Grenzen

CO JO

und 20 lag —

die gestellte Bedingung nur in beschränktem Maasse erfüllt werden konnte

und dass, wenn

— >20 war, dieselbe überhaupt nicht mehr erfüllbar war:

p

zeigt es sich, dass hei der hier gewählten Anordnung des Diagonalen-Systems die Bedingung stets erfüllbar ist. Denn selbst für den extremen Fall, wenn rn _

—oo oder p — 0 gesetzt wird, ergeben die obigen Gleichungen noch ein

bestimmtes Resultat. Die Grössen x, xx, x₂ werden dann alle drei gleich Null, und der Träger nimmt die in Fig. 340 dargestellte dreieckige Form

an

Fig. 340.

Sny

tali--.

SH

Sr¹

(welche ebenfalls in der umgekehrten Lage der Bedingung entsprechen würde,

dass die Diagonalen stets gezogen werden). Wenn dagegen — == oo oder

m

m = 0 gesetzt wird, so erhält man als anderes Extrem wiederum den parabolischen Träger. Im Uehrigen findet auch hier wieder die im vorigen Paragraphen in Bezug auf die Figuren 325 und 326 aufgestellte Behauptung ihre Anwendung, nämlich: dass es hinsichtlich der erstrebten Eigenschaft einerlei ist, oh man die gefundenen Höhen von der Horizontalen aus entweder ganz nach oben hin oder ganz nach unten hin ahträgt, oder ob man dieselben überall zu gleichen Bruchtheilen nach oben und unten hin vertheilt. Immer werden die Diagonalen hei der ursprünglich angenommenen Lage des Trägers stets gedrückt, bei der umgekehrten Lage aber stets gezogen.

Um endlich zu zeigen, welchen Einfluss eine solche Form des Trägers auf die Spannungszahlen desselben hat, soll derselbe Träger, welcher in Fig. 338 für gleiche Zugspannungen der Diagonalen, in Fig. 332 als Schwedler-scher Träger und in Fig. 39 als parabolischer Träger berechnet wurde, auch hier noch als Zahlenbeispiel vollständig durchgerechnet werden. Setzt man Y= 0, ^> — 1000, h — 5000 und h = \— 1, so erhält man aus den Gleichungen I. . . . VI. die in Fig. 341 oder die in Fig. 342 dargestellte Form. Wenn man alsdann für die Form Fig. 341 die Spannungszahlen berechnet, so

ergeben sich die in Fig. 348 znsammengestellten Zahlen, und wenn man diese Zahlen sämmtlich mit — 1 multiplicirt, so erhält man die Spannungszahlen

Fig. 341.

I*

35

44

Fig. 342.

J','

jm

11

44

für Fig. 344, welche einen Träger darstellt, dessen Diagonalen stets gezogen werden. Beide Zahlenfiguren entsprechen der Annahme: dass die in der hori-

Fig. 343.

05

oo

Ö009

£ 7,

+8730

+31260

+19640

+73710

+ 73710

+65140

+56570

+56570

Fig. 344.

—73710

-73710

-65140

-56570

-56570

\0009~

-8730

S,

-11260

-19640

-V

zontalen Fahrbahnlinie liegenden Belastungspunkte zugleich die Angriffspunkte der permanenten Belastungen bilden. Sollten die letzteren statt dessen zur Hälfte oben, zur Hälfte unten angreifend angenommen werden, so müsste zu den Spannungszahlen der Yerticalstangen in Fig. 343 überall die Zahl — 500, in Fig. 344 überall die Zahl -j~ 500 hinzu addirt werden.

Wenn in Fig. 333 die oberen Endpunkte der Verticalstangen statt der unteren die Belastungspunkte bildeten, so würden die in den Gleichungen I.

und II. vorkommenden Grösse T" sin oc und Y sin ax negativ genommen die Spannungen der rechts angrenzenden Verticalstangen bilden. Die obigen Gleichungen zeigen daher zugleich den Weg, welchen man einzuschlagen haben würde, wenn man einen Träger mit gleichen Druckspannungen der Verticalstangen construiren wollte, in welchem Falle man statt der Diagonalspannungen Y die verticalen Seitenkräfte derselben einer vorgeschriebenen constanten Grösse gleich zu setzen haben würde.

§ 40.

Träger mit gleichen Spannungen im Bogen.

Pauli’scher Träger.

Bei dem symmetrischen parabolischen Träger Fig. 34 nehmen die Spannungen in der unteren Gurtung von der Mitte aus nach den beiden Enden hin allmählich zu, bei dem symmetrischen Parallelträger Fig. 70 dagegen nehmen dieselben von der Mitte nach den Enden hin ab. Es muss daher zwischen beiden irgend eine Zwischenform geben, bei welcher weder 'ein Zunehmen noch ein Abnehmen stattfindet, bei welcher vielmehr die Spannungszahlen der unteren Gurtung überall gleich gross werden.

Da die Spannungen in der unteren Gurtung stets bei voller Belastung des Trägers ihr Maximum erreichen, so ist es bei der Berechnung dieser Zwischenform überflüssig, zwischen mobilen und permanenten Belastungen einen Unterschied zu machen; und wenn mit Q die Totalbelastung jedes der Belastungspunkte bezeichnet

Fig. 345.

h.

ß*

fk

fl 3

wird, so ist bei dem Träger mit 8 Feldern für den Gegendruck jedes ber beiden Auflagerpunkte stets der Werth D in Rechnung zu bringen (Fig. 345).

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

IQ

f = 3,5-0

17

Um die Spannung in einer der links von der Mitte liegenden Stangen der unteren Gurtung zu berechnen, würde man nach der früher erklärten Methode einen Verticalschnitt durch das betreffende Feld zu legen und für den links von dem Schnitte liegenden Theil die algebraische Summe der statischen Momente sämmtlicher Kräfte in Bezug auf den Durchschnittspunkt der Diagonale mit der oberen Horizontalen gleich Null zu setzen haben; oder man würde das statische Moment der gesuchten Spannung gleich der Momenten-summe der äusseren Kräfte, welche auf den links vom Schnitte liegenden Theil wirken, zu setzen haben. Nach Fig. 345 würde man also für die 4 links von der Mitte liegenden Felder die Gleichungen erhalten:

Zx -Pj =d-x

Z₂ • p₂ = D • 2k — Q . \

Z₃ ■ ç>₃ = D • 3\ — Q (2X -f"

Z± • p 4 = D • 4 X — Ç (3 X —I— 2 X —I— X).

Für die auf der rechten Seite dieser Gleichungen stehenden Mo-mentensummen ... 9J?₄ erhält man nach Substitution des oben für D gefundenen Werthes die Gleichungen:

= 3,5 Q\ Wl₂ = 6 Q\ SR, = 7,5 Q\ = 8 Q\.

Da die Spannungen Z₁ ... Z± sämmtlich einer und derselben vorgeschriebenen Grösse Z gleich sein sollen, so müssen die Hebelarme Pi ... p₄ den Bedingungsgleichungen entsprechen:

z-9l = m„ z-p₂ = $m₂, z-g₃ = m₃, z-p₄ = a»₄.

Setzt man X = 1 und Q = 6000 Eil., so wird 9DU = 21000, 9K₂ = 36 000, 5DÎ₃ = 45000, SD7₄ = 48000. Wenn also die Spannung in der unteren Gnrtung z. B. überall die Grösse Z— 36000 Eil. haben soll, sö ergeben sich für die einzelnen Hebelarme die Werthe:

_ 21000_

Pl — 36000 — 12 ’ Pa ~ 36000

36000

1) P3

45000    5

48000    4

r p*

Es ist also, um die Form des Trägers durch Construction zu finden, nur nöthig, mit diesen Hebelarmen von den betreffenden Drehpunkten aus Ereisbogen zu beschreiben und der unteren Gurtung alsdann eine solche Form und Lage zu geben, dass die Stücke derselben in den einzelnen Feldern als Tangenten an jene Ereisbogen sich anlegen. Wenn man mit dieser Tangenten-Construction von dem Punkte A aus beginnt, so gelangt man zu der in Fig. 846 dargestellten Form und kann nachher die Dimensionen des Trägers aus der Zeichnung durch Messung bestimmen, wobei man z. B. für die Höhen . . . A₄ die in der Figur angegebenen Grössen erhalten würde.

36000

36000    3

¹

Oder mit anderen Worten: Der erste Differential-Quotient der in Gleichung 7) enthaltenen Function von x muss gleich Null gesetzt werden.

Um die Form des Trägers — anstatt durch Construction — auf dem Wege der Rechnung zu bestimmen, hat man die aus

Fig. 346.

n,7l82|

1,0553

imt

1,3364

Fig. 34o für die Grössen cos ccx ... cos a₄ zu entnehmenden je 2 Werthe einander gleich zu setzen und erhält zunächst für das lste Feld die Gleichung:

(= cos aj, oder

V^²+'!n

o k=

f __ Pi__

’ x- pT

aus welcher die Grösse hx berechnet werden kann, da die Grösse

mx

pj = als gegeben zu betrachten ist. Für das 2 te Feld erhält

z

man auf dieselbe Weise die Gleichung:

²⁾ Ę

I (= cos a₂).

V"X² + (h₂ — hx)

Durch Auflösung dieser in Bezug auf h₂ quadratischen Gleichung erhält man den Werth:

TI K__9j__\ _

\ X!-pH

Auf gleiche Weise erhält man resp. für das 3te und 4te Feld die Gleichungen :

³⁾    t

III. ^

⁴⁾    K

yx²+(h₃—h₂)

?3

X X² — p3

= (= cos a₃),

yx² + (Ä₄-/,₃)

- (= cos a₄),

IV.

P4

17*

Wenn der für Z vorgeschriebene Werth so beschaffen wäre, 2»! _ Da

dass der Hebelarm —

fl

würde nach Gleichung I.

À

die. Grösse X erreichte, so Zj

= oc werden. Die vorgeschriebene

Bedingung ist also überhaupt nicht mehr erfüllbar, wenn

z

>x

oder Z < D ist.

Bei dem vorigen Zahlenbeispiele war — = D = 21000 und würde es

daher bei der dort angenommenen Belastungsgrösse Q — 6000 Kil. unmöglich sein, den Träger so zu construiren, dass die überall gleiche Spannung in der unteren Gurtung nur 21000 Kil. oder noch weniger beträgt.

Wenn der für Z vorgeschriebene Werth so beschaffen ist, dass

„ die Grösse X erreicht, so nimmt die Glei-

z

der Hebelarm p₂

cluing II. die unbestimmte Form an: —

A

Falle hat man die Grösse li₂ (anstatt aus Gleichung II.) aus der Gleichung 2) zu berechnen, welche nach Substitution des Werthes p₂ = X die Form annimmt:

— oc - 0. In diesem

A₂

Kx² + (h₂ - Ęy

und für h₂ aufgelöst als Resultat ergiebt:

X² -f- hl h2 -2h,- °der X =

Dieser Fall trat bei dem vorigen Zahlenbeispiele (Fig. 346) ein, inso-

$0?

fern Z = 36000 Kil. angenommen war und ebenfalls gleich 36000, also

p₂ =    = X = 1 wurde. Wenn man zunächst die Grösse aus Gleichung I.

berechnet und den gefundenen Werth hy = 0,7182 in Gleichung IIa. substituirt, so erhält man:

IIa. k

*(£+Y>

,'* = *(ôjÏ82+°’⁷¹⁸²)=¹’⁰⁵⁵³-

worauf dann aus Gleichung III. der Werth h₃ — 1,2811 und endlich aus Gleichung IV. der Werth ä₄= 1,3364 sich ergiebt.

Auf gleiche Weise würde man in Bezug auf irgend eins der übrigen Felder zu verfahren haben, wenn daselbst der dem vorgeschriebenen Werthe Z entsprechende Hebelarm die Grösse der Feldlänge X annähme.

Setzt man z. B. Z — 48000 Kil., indem man übrigens die im vorigen Zahlenbeispiele angenommenen Werthe X — 1 und Q = 6000 Kil. (also auch die denselben entsprechenden Momentenzahlen 2)1!= 21000, 30t₂ = 36000, = 45000, 30^4 = 48000) beibeliält, so ergeben sich für die Hebelarme die

48

P*=48 = 1-

w    21    7    36    3    45    15

Werthe: Pl = - = -,    P.= 4g=^.

Man erhält sodann zunächst aus den Gleichungen I., IL, III. successive die Werthe hx — 0,4865, h₂ = 0,7823, ä₃ = 0,951. Aus Gleichung IY. aber

würde wiederum der unbestimmte Ausdruck = oo . 0 sich ergeben. Man

hat daher die Grösse hA statt dessen zu berechnen aus der Gleichung:

0,951^

0,951

= 1,0013.

(S. Fig. 347.)

Fig. 347.

«y

0,7823

m.

0,951

p.too't

Wenn die Hebelarme p₁ . . . p₄ auf die Hälfte reducirt werden, so nimmt die Spannung Z die doppelte Grösse an; wenn aber gleichzeitig auch die Belastungen (Tauf die Hälfte reducirt werden, so erhält die Spannung Z wiederum die frühere Grösse. Es würden daher z. B. die in Fig. 348 angegebenen Dimensionen gelten, so-

Fig. 348.

0,3705

SIS

\ 0,4707

0,5002

wohl für den Fall, wenn Q — 6000 Kil. und Z= 96000 Kil., als auch für den Fall, wenn Q = 3000 Kil. und Z = 48000 Kil. gegeben wäre — überhaupt für alle Fälle, in denen Z = 16 Q ist —.

Wenn man die Lage eines Trägers umkehrt, so hat man, um die der neuen Lage entsprechenden Spannungszahlen zu finden, die der ursprünglichen Lage entsprechenden Spannungszahlen sämmtlich mit der Zahl — 1 zu multipliciren. Durch Umkehrung des Trägers Fig. 348 würde man also einen Träger Fig. 349 erhalten, bei welchem die Druckspannungen in der oberen Gurtung überall gleich gross sind, und zwar =48000 Kil., wenn die Belastung Q = 3000 Kil. ist.

Die in Fig. 349 und Fig. 350 eingetragenen Spannungszahlen entsprechen der Voraussetzung: dass bei jedem dieser beiden

Fig. 849.

—tóOOO.

"i,:;

-48000

⁺552s'"

sie—

—48000

+4265

— 832

—480U0

+2835

+46830

+46830

+474,30

+47800

Fig. 350.

—40830

—46830

-47430

—47800

Oo

#/

/—3000

iw

-3717

+ 373

fl

—4265

+832

—2835

+48000

Träger die Totalbelastung eines jeden Belastungspunktes im Betrage von 3000 Kil. sich znsammensetzt aus einer permanenten

5000

1000    .    ... m

— Kil. und einer mobilen —

Là    Là

Belastung ~

Denkt man sich die beiden Träger zu einem vereinigt, so erhält man einen Träger, bei welchem sowohl die Druckspannung in dem oberen als fauch die Zugspannung in dem unteren Bogen gleich gross, nämlich = 48000 Kil. ist (Pig. 351). Das Höhenverhältniss

Kil.

Fig. 851.

■S

+48000

CO

48000.

^'^548'-'

+48Öoo~

+3717

-873

-3717

+ 373

_48000

+ 4265

—832

-4265

+ 832

-48000

+2835

—2835

+48000

+48000

(1 : 8) und die Belastungen (permanente Last p= 1000 Kil., mobile Last m = 5000 Kil.) sind dieselben wie bei dem in § 6 berechneten parabolischen Träger. Die Spannungszahlen von je zwei mit einander zusammenfallenden horizontalen Stangen heben einander auf, und sind deshalb in Fig. 351 die horizontalen Stangen als überflüssig weggelassen. Die Spannungszahlen der Vertical-stangen entsprechen der Annahme, dass die Angriffspunkte der permanenten sowohl als der mobilen Belastungen in der horizontalen Mittellinie liegen.

Wenn der Träger statt der 2 halben Diagonalen, die am Ende des Feldes Zusammentreffen, in jedem Felde 2 ganze Diagonalen haben soll, die einander in der Mitte kreuzen, so wird man zwar die Höhen ht ... A₄ etwas verändern müssen; es lässt sich jedoch im Voraus erwarten, dass diese Aenderungen verhältnissmässig klein ausfallen werden und dass die obige Form bereits als eine Atinäherungsform für einen solchen Träger angesehen werden darf. Um die genau richtige Form desselben zu finden, hat man zunächst für den Träger Fig. 352, welcher als die untere Hälfte eines

Fig. 852.

■fD

U₂

\—u

v Uz

«4

"w⁰-

S3-¹

os

TS

solchen betrachtet werden kann, die Momenten-Gleichungen der Bogenspannungen aufzustellen :

5)    Zgt=D\

6)    Zg₂ = Da(\ + u₂) — Qu₂

7)    ZÇ)₃ = D (2k -J- Mg) Q {(X “J“ Mg) -J- Mg)}

8)    Zç± = D (3k -j- m₄) — Q {(2k -}- m₄) -f- (k -f- m₄) -f- m₄}.

Da hinsichtlich des ersten Feldes kein Unterschied stattfindet zwischen Fig. 352 und Fig. 345, so kann die Grösse \ wiederum nach Gleichung I. bestimmt werden, welche nach Substitution des für pj aus Gleichung 5) zu entnehmenden Werthes die Form annimmt :

V.

Y Z² — D²

Zur Bestimmung von m₂ und p₂ erhält man nach Fig. 353 die Gleichungen:

h₂

tg a₂

ÎI2 ^    U'2

x =tg$-

z₂ hx h₂ hx

u₂

Fig. 358.

A-i

<1

B®-..

Aus der ersteren Gleichung ergiebt sich fürj'w₂ der Werth: 9) u₂ =

\hx

~f" ^2

Die andere nimmt für z₂ aufgelöst nach Substitution des für u2 gefundenen Werthes die Form an:

2 h. ho

und man erhält für den Hebelarm p₂ nunmehr die Gleichung:

2/ hx h₂ cos s₂

K + K

— auflöst, so

À

Wenn man in Gleichung 6) die hier für u₂ und p₂ gefundenen Werthe substituirt und dieselbe alsdann für

erhält man die Gleichung:

Yi bi _

(2D —0 K

2 Zh₁ cos s₂ — D\

Aus dieser Gleichung würde man — nachdem zuvor hx aus Gleichung V. gefunden wurde — die Grösse h₂ berechnen^können, wenn der Winkel s₂ bekannt wäre. Es ist jedoch:

11) cos s₂ =

y\«+ (*,_*,)»

eine von h₂ abhängige noch unbekannte Grösse.

Da indessen

jedenfalls cos e₂

> COS Sj

ist, so kann man die Berechnung von h₂

in der Weise ausführen, dass man zunächst für cos e₂ irgend einen zwischen diesen beiden Grenzwerthen liegenden Werth, oder auch einen der Grenzwerthe selbst, z. B. den Grenzwerth 1 substituât und mittelst des auf solche Weise gefundenen Annäherungs-werthes von h₂ einen genaueren Werth für cos s₂ aus Gleichung 11) berechne^ worauf aus Gleichung VI. wiederum ein genauerer Werth für li₂ gefunden und das Verfahren dann wiederholt werden kann, so lange bis der für h₂ sich ergebende Werth den verlangten Grad von Genauigkeit erreicht hat.

Wenn man in den Gleichungen 9), 10), 11) den Index um Eins erhöht, so gelten dieselben für das dritte Feld. Also ist:

2 h₂ h₃ cos s₃

12) u₃ =

l/i ₂ —h3 14) cos s₃

yv+(Äs —\y

Nach Substitution dieser Werthe für u₃ und p₃ erhält man

h

aus Gleichung 7) für das Verhältniss y den Werth:

3 (D - Q) h₂ _____

2 Z h₂ cos £3 — (2D — Q) X

VII.

h₃

Für das vierte Feld erhält man durch abermalige Erhöhung des Index die Gleichungen:

^3    ^4

17) cos e₄ —

16) p₄

2 h₃ A₄ cos s4 h₃ -f- Ä₄

yi2 + {K + ,hy

und die Gleichung 8) giebt, wenn dieselbe nach Substitution der

h

obigen Werthe aufgelöst wird, für ~ den Werth:

À

VIII. ^

(4 D - 6 Q)h,

X 2 Z h₃ cos £₄ — 3 (D — Q) X

Setzt man wiederum X = 1 und Z= 16 Q wie bei dem vorigen Zahlenbeispiele (Fig. 348), so erhält man zunächst aus Gleichung V. wie dort den Werth A₄ = 0,2242. Wenn man diesen Werth in Gleichung VI. substituirt und zugleich provisorisch cos s₂ — 1 annimmt, so erhält man für A₂ zunächst als ersten Annäherungswerth 0,3661. Hiernach ergiebt sich aus Gleichung 11) für cos s₂ der genauere Werth 0,99, durch Substitution dieses Werthes in Gleichung VI. erhält man für 7i₂ den zweiten Annäherungswerth 0,3734. Eine nochmalige Wiederholung der Rechnung giebt die noch genaueren Werthe cos e₂ = 0,9889 und 7?₂ = 0,3742. Auf gleiche Weise erhält man aus den

Gleichungen VII. und 14) den Werth h₃ = 0.4745, endlich aus den Gleichungen VIII. und 17) den Werth 7^ = 0,4942 (s. Fig. 354).

Fig. 354.

/0,224 2

0,3742

0,4745

0,4942

Die in Pig. 3o5 und Fig. 356 für diesen Träger angegebenen Spannungszahlen entsprechen wiederum der (in Bezug auf Pig. 349

Fig. 355.

008+

+3000

-48000

— 48000

+ 46830

+ 48100

+47420

+48560

—46830

Fig. 356.

—48100

—47420

—48560

~r i80()o

3000

-3000

Sa

+48000

—3000

48000

+48000

und Fig. 350 gemachten) Voraussetzung: dass die Totalbelastung

Q 6000

jedes Belastungspunktes (von der Grösse ~ permanenten Belastung ~ =    ₀

Kil. besteht. Die Zusammensetzung dieser beiden

u

1000

Kil.) aus einer Kil. und einer mobilen Be-

lastung —

Figuren führt zu dem Träger Fig. 357, für welchen die Belastungen

Fig. 357.

-48000

—48000

-48000

S®

+3000

0008 +

•%

^■i8oo₀

+Î8ÔÔÔ"

«T

ÄX

—3000

+48000

(permanente Last p — 1000 Kil., mobile Last m = 5000 Kil.), so wie annähernd auch das Höhenverhältniss (0,9884: 8) wiederum dieselbe Grösse haben wie in Fig. 351 und wie bei dem in § 6 berechneten parabolischen Träger.

Zweite Afotheilnng.

Bestimmung der erforderlichen Querschnitts-

dimensionen nebst

Untersuchungen über die Elasticitätswiderstände belasteter Träger.

ZWÖLFTER ABSCHNITT.

§ 41.

Bestimmung der Querschnitte für die Theile der Haupt-Constructionen.

Jeder Constructionstheil kann betrachtet werden als ein Bündel von fest mit einander verbundenen Stangen, deren jede die Flächeneinheit zur Querschnittsfläche hat. Man erhält also die Anzahl der Flächeneinheiten, welche in der Querschnittsfläche eines Constructionstheils enthalten sein müssen, indem man seine Spannungszahl dividirt durch diejenige Zahl, welche für eine Stange von einer Flächeneinheit Querschnittsfläche als zulässige Spannungszahl gilt.

Zulässig sind solche Spannungen, bei welchen die Längenänderungen noch innerhalb der Elasticitäts-Grenzen bleiben. So kann z. B. für eine schmiedeiserne Stange von 1 Quadratmillimeter Querschnittsfläche eine Spannung von 15k (im Mittel) noch als zulässig betrachtet werden, weil erst bei grösseren Spannungen bleibende Längenänderungen eintreten würden. Wenn man also bis an die äusserste Grenze des Zulässigen gehen wollte, so würde man die in Kilogrammen ausgedrückten Spannungszahlen durch 15 zu dividiren haben, um die Querschnittsflächen in Quadratmillimetern zu erhalten. In der Praxis pflegt man indessen der Sicherheit wegen nur etwa 6 bis 8k pro Quadratmillimeter als zulässige Spannung für Schmiedeeisen anzunehmen und nur in Ausnahmefällen, wo es zweckmässig erscheint mehr zu wagen, jener Grenze noch näher zu rücken.

Hiernach würde man also die in der I. Abtheilung berechneten Spannungszahlen — auf Kilogramme reducirt, wo dies noch nicht geschehen — sämmtlich etwa durch 6 zu dividiren haben, um die erforderlichen Querschnittsflächen der Constructionstheile in Quadratmillimetern zu erhalten, wenn die Construction in Schmiedeisen ausgeführt werden soll.

Nach dieser Kegel würde man beispielsweise für die im dritten Abschnitte berechnete Fachwerkbrücke (Fig. 61) die folgenden Querschnittszahlen in Quadratmillimetern erhalten:

1)    für die oberen Horizontalstangen:

3500,    6000,    7500,    8000,    8000,    7500,    6000,    3500;

2)    für die unteren Horizontalstangen:

0, 3500, 6000, 7500, 7500, 6000, 3500, 0;

3)    für die Verticalständer:

4000, 3500, 2604, 1813, 1125, 1813, 2604, 3500, 4000;

4)    für die Hauptstreben:

4950,    3683,    2567,    1592,    1592,    2567,    3683,    4950;

5) für die 4 Gegenstreben:

88, 767, 767, 88.

Es ist jedoch nöthig, folgende zwei Punkte bei dieser Berechnung stets im Auge zu behalten: erstens, dass nicht in allen Fällen die Widerstände des Materials gegen Zug- und Druckspannung als gleich gross angenommen werden dürfen, dass vielmehr in manchen Fällen der Widerstand gegen Druckspannung beträchtlich geringer werden kann — namentlich bei langen dünnen Stangen, wo es sich um den Widerstand gegen Zerknicken handelt. Dieser Punkt wird später einer specielleren Untersuchung unterzogen werden (vergl. weiter unten: „Widerstand langer Stangen gegen Zerknicken“).

Zweitens ist zu berücksichtigen, dass die so gefundenen Zahlen nur für die Haupt-Constructionstheile als solche gelten, nicht aber schon als endgültige Querschnittszahlen der Construction zu betrachten sind, weil zu der Haupt-Construction noch Neben-Con-structionen hinzukommen, deren nachherige Verschmelzung mit der Haupt-Construction zu den Gesammt- Querschnittflächen fernere Beiträge liefert.

Es wurden nämlich die in der I. Abtheilung gefundenen Spannungszahlen berechnet unter den Voraussetzungen: 1) dass ausser den Gegendrücken der Auflagerpunkte die von den Belastungen herrührenden ver.ticalen Kräfte die einzigen äusseren Kräfte seien, welche auf die Construction wirken; 2) dass ausschliesslich die als Belastungspunkte angenommenen Knotenpunkte der Construction die Angriffspunkte dieser Verticalkräfte bilden.

Um diese Voraussetzungen mit der Wirklichkeit in Einklang zu bringen, kann man sich die Gesammt-Construction in drei

Gruppen von Constructionstheilen zerlegt denken: die erste Gruppe umfasst eben jene als Haupt-Constructionstheile bezeichneten Stücke, für welche die in der I. Abtheilung berechneten Zahlen die wirklich richtigen SpannuDgszahlen sind; der zweiten Gruppe gehören alle diejenigen Theile an, welche zusammen eine Absteifungs-Construction gegen Seitendruck des Windes und sonstige seitlich wirkende Horizontalkräfte bilden; die dritte Gruppe besteht aus einem Systeme von Zwischenträgern, deren jeder als kleinere Brücke die Länge eines Feldes zur Spannweite hat und seine Belastung auf die beiden angrenzenden Knotenpunkte überträgt.

Wenn man sich die letzteren beiden Neben - Constructionen in die Haupt-Construction eingeschaltet und je zwei einander deckende Theile nach Befinden entweder zu einem Stück verschmolzen oder getrennt bleibend neben einander gelagert denkt, so erhält man damit erst die endgültigen Gesammt-Querschnittszahlen.

§ 42.

Absteifung gegen Seitendruck des Windes und horizontale Stösse.

Wenn ein Bahnzug über eine Eisenbahnbrücke fährt, so können theils durch die Horizontalschwankungen der Locomotive und der Wagen, theils durch den Druck des etwa gleichzeitig wehenden Windes gegen die durch den Bahnzug vergrösserte Seitenfläche der Brücke, horizontale Kräfte hervorgebracht werden, denen das aus den sogenannten Windstreben nebst einem Theile der Gurtungen bestehende Absteifungs- System einen hinlänglichen Widerstand entgegensetzen muss.

Diese Windstreben bilden mit jenen Theilen der Gurtungen zusammen eine den verticalen Tragwänden ganz analog construirte horizontale Tragwand, für welche jene horizontalen Kräfte gleichsam als Horizontal-Belastungen anzusehen sind. Die Berechnung einer solchen horizontalen Tragwand, welche natürlich unter allen Umständen (wegen des Parallelismus der verticalen Tragwände) die Form eines Fachwerkträgers mit parallelen Gurtungen erhält, kann auf dieselbe Weise wie bei den im dritten Abschnitt berechneten Fachwerkbrücken ausgeführt werden. Auch hinsichtlich der Unterscheidung zwischen permanenter (gleichförmig vertheilter) und mobiler (zu Zeiten ungleichförmig vertheilter) Last findet eine vollkommene Analogie zwischen beiden Fällen statt, insofern bei allmäligem Fortschreiten des Bahnzuges und damit wachsender

Druckfläche des Windes hinsichtlich der Horizontalwirkungen nach und nach dieselben Belastungszustände auf einander folgen, wie sie hinsichtlich der verticalen Belastung für die Berechnung der Diagonalen und Verticalständer massgebend waren.

Man kommt der Wahrheit ziemlich nahe, wenn man annimmt, dass die horizontale Totalbelastung nach demselben Ver-hältniss in mobile und permanente Last sich zerlegt, wie die Belastung der verticalen Tragwand. Wenn also z. B. die Breite der horizontalen Tragwand eben so gross ist als die Höhe der verticalen Tragwand, so können ohne Weiteres die im siebenten Abschnitt für die Transformation der Spannungszahlen gegebenen Kegeln zur Anwendung gebracht werden.

Nur in einem Punkte weichen die Berechnungen der horizontalen und verticalen Tragwände von einander ab: Die Horizontalbelastungen können sowohl von links nach rechts als von rechts nach links wirken, die Verticalbelastungen dagegen immer nur von oben nach unten. Während also bei der verticalen Tragwand hinsichtlich der Grösse und Art der Spannung ein Unterschied zwischen „Oben“ und „Unten“ stattfindet, fällt bei der horizontalen Tragwand dieser Unterschied ganz weg, und wird dieselbe in Bezug auf die horizontale Mittellinie symmetrisch zu construiren sein. Es sind daher sämmtliche Spannungszahlen der Gurtungen — an der einen sowohl als an der anderen Seite — mit dem Vorzeichen + zu bezeichnen, weil die Tragwand bald nach der einen, bald nach der anderen Seite hin durchgebogen wird, und in Folge dessen jedes von den beiden in einem Felde einander gegenüber liegenden Stücken der Gurtungen abwechselnd Zug- und Druckspannungen von gleicher Grösse annehmen wird.

wie z. B. bei Fig. 61 — die Diagonalen als

Wo ferner

Zugbänder construirt werden sollen, da werden für die horizontale Tragwand in allen Feldern Gegenstreben anzubringen sein, während in Fig. 61 nur für die 4 Mittelfelder solche erforderlich waren. Auch wird hinsichtlich der Spannungszahlen kein Unterschied zwischen Haupt- und Gegenstrebe stattfinden, weil eine Diagonale, die bei einer Kichtung des Windes als Gegenstrebe fungirt, bei entgegengesetzter Richtung desselben zur Hauptstrebe wird.

Als verticale Totalbelastung der Brücke, für deren verticale Tragwand in § 41 bereits die Querschnittszahlen berechnet sind, wurden :

p -j- m = 6000k

für den laufenden Meter angenommen.

Tragwand

Rechnet man als totale Horizontalbelastung der horizontalen Vi H- mi — 857 k

857

für den laufenden Meter, so erhält man — unter Voraussetzung gleicher Höhe und Breite der Brücke — die Querschnittszahlen der horizontalen Tragwand, indem man die in § 41 berechneten Zahlen mit

p -f- m

6000    7

multiplicirt, und von den beiden symmetrisch liegenden Stücken eines Feldes jedesmal nur die grössere Querschnittszahl als für beide gültig auswählt. Es ergeben sich demnach folgende Zahlen:

1) für die Gurtungen (der einen und der anderen Seite)

Was endlich die in der quadratischen Seitenansicht der Brücke als Diagonalen erscheinenden Transversalstangen betrifft, welche den Zweck haben, eine Verschiebung dieses Quadrats zu verhindern, so kann man ihre Spannungs- und Querschnittszahlen auf folgende Weise bestimmen. Da die Fahrbahn oben liegt, und in Folge dessen die Horizontalwirkungen vorwiegend die obere der beiden horizontalen Tragwände direct treffen, so würde dieselbe allein die seitliche Durchbiegung erleiden, wenn nicht durch jene Transversalstangen die untere Tragwand gezwungen würde, dieser Bewegung zu folgen. Man kann allenfalls annehmen, dass die eine Hälfte der horizontalen Totalbelastung von der oberen Tragwand direct aufgenommen, die andere aber mittelst der Transversalstangen auf die untere übertragen wird. Durch eine einfache Zerlegung dieser Kraft ergiebt sich demnach für jede der beiden Transversalstangen (die als nur zugfähig vorausgesetzt werden) eine Spannung von

857 -Y2 = 1210k (s. Fig. 358),

folglich als Querschnittszahl:

= 202.

Jeder Verticalständer der verticalen Tragwand erhielte dadurch noch einen Zuwachs von 857k an Druckspannung, den man

18

Bitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

— obwohl diese Correction für die Praxis von keinem Belang ist — wenn man will, mit in Rechnung bringen kann. Dem Querschnitt jedes Yerticalständers würden alsdann noch:

^ =143

Quadratmillimeter hinzuzufügen sein (s. Fig. 359).

Fig. 358.

Fig. 359.

*1210

------K

/£Ą 857

\, 857

43

•> 1

%

43

Wenn man sich|die soeben berechneten horizontalen Tragwände alsdann mit den verticalen Tragwänden zusammengesetzt und die Querschnittsflächen von je zwei neben einander liegenden Theilen allemal zu einer Fläche vereinigt denkt, so erhält man

4000

Fig. 360. (Aufriss) 8571

6857

9143

9143

4143

fo

3643

2747

1956

1268

500

4357

7o7l

8643

8643

Fig. 361. (Grundriss)

571

500

372

ś&*

V-

259

161

durch Addition der betreffenden Querschnittszahlen die in den Figuren 360 und 361 zusammengestellten Zahlen, welche als endgültige Querschnittszahlen für diese Brücke betrachtet werden können unter der Voraussetzung, dass die Zwischenträger als von der Haupt-Construction gesonderte Theile construirt sind.

§43.

Berechnung der Zwischenträger.

Alle in der I. Abtheilung ausgeführten Constructions-Berechnungen gründeten sich auf die Voraussetzung: dass ausschliesslich die Knotenpunkte der Construction die Belastungspunkte bildeten. Wo dièse Voraussetzung nicht erfüllt ist, wo die Form der zu tragenden Belastung eine grössere Zahl von Stützpunkten erfordert, als ihr in den Knotenpunkten der Haupt-Construction geboten werden: da muss durch Einschaltung eines Systems von Zwischenträgern, deren jeder seine Belastung auf die Endpunkte der von ihm überbrückten Spannweite überträgt, für eine genügende Zahl von Zwischenpunkten gesorgt werden.

Diese Zwischenträger können — da sie ihrer eigenen Belastung gegenüber in ähnlicher Lage sich befinden, wie die Haupt-Construction dem System der belasteten Zwischenträger gegenüber — in ähnlicher Weise wie die Haupt-Construction als Stangenverbindungen construirt werden. Auch kann, wenn die durch einmalige Einschaltung hergestellte Zahl von Belastungspunkten noch nicht ausreicht, auf jeden Zwischenträger wiederum dasselbe Verfahren angewendet werden, und dann durch Einschaltung eines Systems von Zwischenträgern zweiter Ordnung eine Anzahl von neuen Zwischenpunkten gewonnen werden.

Diese Methode der Einschaltung kann dann so oft wiederholt werden, bis entweder die Zahl der Zwischenpunkte ausreicht, oder bis die Kleinheit der Zwischenträger letzter Ordnung eine fernere Einschaltung nicht mehr thunlich erscheinen lässt. Werden bei letzteren die dreieckigen Felder so klein, dass das durch die leeren Bäume zwischen den Stangen ersparte Material die Kosten von der Herstellung der letzteren nicht mehr decken würde, so wird man sie massiv construiren, und kann einen solchen massiven Träger betrachten als einen Fachwerkträger, in welchem die leeren Zwischenräume mit überschüssigem Material ausgefüllt sind (auch nach denselben Principien berechnen).

Wenn man der Reihe nach diese Systeme von Zwischenträgern in einander und in die Haupt-Construction einfügt, wenn man ferner die zwei- oder mehrfach nebeneinander gelagerten Theile zu einem Stücke sich verschmolzen denkt, so ergeben sich die

18*

Spannungszahlen dieser Stücke durch einfache Summation der Spannungszahlen ihrer Theile.

In manchen Fällen ist es thunlieh und rathsam, die Zwischenträger der Haupt-Construction geometrisch ähnlich zu con-struiren. Die auf solche Weise zusammengesetzten Constructionen können dann ungeachtet ihrer complicirten Form durch Zerlegung derselben in die constituirenden Systeme auf eine sehr einfache Weise berechnet werden — in manchen Fällen auf einfachere Weise als durch directe Anwendung der Momenten-Methode — wie dies an den. folgenden Beispielen gezeigt werden soll.

Die in Fig. 362 dargestellte Construction kann in die vier einfachen Systeme Fig. 363, Fig. 364, Fig. 365, Fig. 366 zerlegt

X«

Fig. 362.

'i 1

Fig. 363.

Xo

Zo

Fig. 364.

Fl

Fig. 365.

/K

v—> <

ts:

■v 4

aW

EL

Fig. 366.

W ^ i

werden. Die Grundform oder Haupt-Construction Fig. 363 kann als ein parabolischer Träger von der einfachsten Form — mit nur einem Belastungspunkte — angesehen und berechnet werden; denn das Gesetz der parabolischen Träger ist unabhängig von

V=p x

der Zahl der Belastungspunkte (wie früher bewiesen). Es können also die in § 8 gefundenen Gleichungen:

H

2/’

für die Bestimmung der Horizontal- und Yerticalspannung der (hier nur aus zwei Stangen bestehenden) Kette benutzt werden,

woraus sich, wenn x = ~ gesetzt wird, für Z₀ und X₀ die Werthe

ergeben :

•©

■ÿ'V'+(ÏÏ

to rö

— X₀ = Y H² + V² =

Da sämmtliche Zwischenträger der Haupt-Construction geometrisch ähnlich construirt sind, das Yerhältniss — also bei ihnen

L

denselben Werth hat, so erhält man die analogen Spannungszahlen für die Zwischenträger der ersten, zweiten, dritten Ordnung, indem man die Werthe von ZQ und X₀ resp. durch 2, 4, 8 divi-dirt. Wenn man sich alsdann die drei Systeme von Zwischenträgern successive in einander und in Pig. 363 eingefügt denkt, so dass Pig. 362 daraus entsteht, so ergeben sich beispielsweise für die Theile der Stangen AG und BC folgende Totalspannungen:

Ą = Ą(l + i)

X₂ = X₀ (1 + i + i)

Ą=-Xo(l + H-ł + i)

und für sämmtliche Theile der horizontalen Stange A B die Spannung:

Z = Z₀( 1 + ł + ł + i)

2/

(1 + ł + i + ł)-

Um die Spannungen der übrigen Stücke zu bestimmen, braucht man nur das gleiche Verfahren auf Pig. 365 anzuwenden, nachdem Fig. 366 in sie eingeschaltet wurde, sowie auf Pig. 364, nachdem in sie die beiden vorigen Figuren eingeschaltet wurden.

Setzt man 2 l = 32m, /= 6m,4, 2pl — 32000 Kil. und lässt man das letzte Zwischenträger-System Fig. 366 fort, so erhält man die in Fig. 367 zusammengestellten Spannungszahlen, welche — was die Yerticalstangen betrifft — der Voraussetzung entsprechen, dass sämmtliche Belastungspunkte in der Horizontalen A B liegen.

Fig. 367.

'+40001

0008+

pöf+j

00001 +

+ 5000 +10000 + 20000 + 35000

5000 10000 20000 + 35000

Denkt man sich die Zwischenträger und die Belastungspunkte so weit nach oben verschoben, bis die letzteren in die Hauptsparren A C und BC hineinfallen, so gelangt man zu der in Fig. 368 dargestellten Dach-Construction.

Fig. 368..

+2000

+8000

+2000

+12000

+5000

OOOZ+

+8000

+20000

+30000

+ 5000 + 10000 +20000 + 36000

In den beiden vorigen Fällen stimmten die eingeschalteten Systeme sowohl der Form als der Lage nach mit der Haupt-Construction überein. Die Figuren 369, 370, 371, 372 dagegen stellen einen Fall dar, bei welchem die eingeschalteten Systeme zwar der Form nach mit der Haupt-Construction übereinstimmen, aber der Lage nach von derselben abweichen, insofern es hier — statt der Seiten — die Grundlinien der gleichschenkligen Dreiecke sind, welche mit den Sparren der Haupt-Construction zu-

sammenfallen. Abgesehen von dem durch diese abweichende Lage bedingten Unterschiede, kann die Berechnung der Spannungszahlen auf dieselbe Weise wie bei dem vorigen Falle ausgeführt werden.

Fig. 369.

Fig. 370.

Fig. 371.

■Y

Fig. 372.

Man hätte also z. B. die in § 4 als Beispiel gewählte Dach-Construction auch auf folgende Weise berechnen können. Setzt man wiederum wie dort die Spannweite 2Z = 32ra, die Dachhöhe /= 6m,4, die Totalbelastung 'ip l — 32000 Kil., so erhält man zunächst für die Haupt-Construction Fig. 369 nach den oben für Fig. 363 gefundenen Gleichungen mit Beibehaltung der dort gewählten Bezeichnungen die Spannungszahlen: pl²_1000 • 16²

2/

2-6,4

= + 20000 Kil.

pi*

/v

2/

= — 20000

!/'+($

= — 21540K.

Nachdem alsdann für den Zwischenträger erster Ordnung Fig. 373 die von den drei äusseren Kräften in den Stangen desselben hervorgebrachten Spannungen nach der Methode der statischen Momente berechnet sind, erhält man durch wiederholte Halbirungen derselben successive die

Fig. 373.

4000

8000

4000

+10000

Spannungszahlen für die Zwischenträger der zweiten, dritten und folgenden Ordnungen. Durch Einfügung der Zwischenträger in die Haupt-Construction und Addition der Spannungen der nebeneinander liegenden Stangen erhält man dann — jenachdem man bis zu den Zwischenträgern der zweiten oder der dritten Ordnung fortgeschritten war, die Spannungszahlen für Fig. 371 und Fig. 372. Für die beiden an den Auflagerpunkt angrenzenden Stangen in Fig. 371 erhält man auf diese Weise die Spannungszahlen:

20000 + 10000 + 5000 = + 35000 Kil.

— (21540+ 10770 + 5385) = — 37 695 Kil.

In Fig. 372 dagegen würden die betreffenden beiden Spannungszahlen aus je vier Theilen sich zusammensetzen wie folgt:

20000 + 10000 + 5000 + 2500 = + 37 500 Kil.

— (21540 +*10770 + 5385 + 2692,5) = — 40387,5 Kil.

Man kann sich fdaher die früher in Fig. 19 gefundenen Spannungszahlen auch auf die in Fig. 374 angedeutete Weise

Fig. 374.

■%

+5000

V.

+10000

+20000

+30000

+20000

+ 5000

+10000

+20000

+35000

durch Zusammensetzung aus ihren einzelnen Theilen entstanden denken.

Anstatt den Zwischenträgern die symmetrische Form des gleich-schenkeligen Dreiecks zu geben, kann man auch unsymmetrische Formen wählen und hei der Zusammensetzung in der Weise verfahren, dass man von den zwei ungleichen Abtheilungen des Zwischenträgers allemal nur eine — und zwar die grössere — zur Einschaltung eines neuen Zwischenträgers nächst höherer Ordnung benutzt und damit so lange fortfährt, bis die ganze Spannweite in lauter gleiche Unterabtheilungen getheilt ist. Stellt man sich die von der Dach-Construction zu tragende Totalbelastung als einen oberhalb derselben befindlichen horizontalen Balken vor, der über jedem Belastungspunkte durchschnitten und durch eine von demselben getragene Yerticalstange unterstützt ist, so findet man, dass jeder Belastungspunkt immer die Hälfte von den beiden angrenzenden Balkenabtheilungen zu tragen hat, und kann die in jedem der eingeschalteten Zwischenträger von seiner Belastung hervorgebrachten Spannungen auf ähnliche Weise wie in Fig. 373 angedeutet berechnen.

Fig. 375.

Fig. 376.

Fig. 377.

Fig. 378.

Man würde auf solche Weise z. B. aus der Grundform Fig. 375 mittelst der Uebergangsformen Fig. 376, Fig. 377 zu der in Fig. 378

dargestellten Dach-Construction gelangen, und wenn man wiederum wie bei den vorigen Zahlenbeispielen 2 Z = 32m, /= 6m,4, 2pl = 32000 Kil. annimmt, so findet man die in Fig. 379 angegebenen Spannungszahlen.

Fig. 379.

-8000

-6000

-4000

-4- 5000 4- 5000 + 20000 + 30000

+20000

+ 5000 + 5000 + 5000 420000 -1-35000

Auch die § 3 als Beispiel gewählte Dach-Construction könnte man auf diese Weise berechnen und die in Fig. 14 gefundenen Spannungszahlen auf die in Fig. 380 angedeutete Art aus ihren einzelnen Theilen zusammengesetzt sich denken.

Fig. 380.

4- 5000

+20000

4-25000

+18B00

+6.0

00

+3000

-+ 7500

+• 7500

4- 7500

-+ 7500

4- 7500

+30000

+52500

+ 30000 +-45000

-+ 7500 + 30000 + 87500

In allen diesen Fällen werden die Theile der Haupt-Construction durch das Einfügen der Zwischenträger-Systeme einen Zuwachs an Querschnittsfläche erhalten, weil die Spannungen der mit einander zu verschmelzenden Theile gleicher Art sind, weshalb es auch nicht erforderlich war, zwischen permanenter und mobiler

Belastung zu unterscheiden. Vorteilhafter ist es — wo der Zweck der Construction dies gestattet — die Einfügung der Zwischenträger in der Weise auszuführen, dass die zusammenfallenden Theile von Haupt - Construction und Zwischenträgern Spannungen entgegengesetzter Art haben, weil alsdann bei dem Verschmelzen beider Theile die Spannungen teilweise einander neutralisiren, und das zu den betreffenden Theilen der Zwischenträger sonst erforderliche Material alsdann ganz gespart werden kann.

So z. B. würden bei der im zehnten Abschnitt berechneten Balkenbrücke mit drei Oeffnungen den Zwischenträgern des (zwischen den Pfeilerabtheilungen liegenden) parabolischen Trägers von 100m Spannweite am zweckmässigsten die in Fig. 381 dargestellte

Fig. 381.

■*

50w'

50™

Lage zu geben sein, bei welcher die horizontalen Druckstangen der Zwischenträger mit den horizontalen Zugstangen ‘der Haupt-Construction zusammenfallen. Die Spannung der letzteren beträgt bei voller Belastung:

-|- 600 Tonnen.

rr (P + q)l² _(4 + 2)502 2/    2 • 12,5

Die Zwischenträger bilden kleinere Brücken von 10m Spannweite und tragen ausser der ganzen mobilen Last noch etwa die Hälfte der permanenten Last. Wenn dieselben also beispielsweise als parabolische Träger nach dem Verhältniss:

Höhe

Spannweite 2 X ⁰

construirt würden, so betrüge die Spannung in ihren Horizontalstangen :

x²

(2+ 2) 5²

2f

= — 25 Tonnen.

Bei voller Belastung der Haupt-Construction würde also nach Vereinigung der Zwischenträger mit der Haupt-Construction die Spannung in dem horizontalen Fahrbahnbalken nur H -f- £) = 600 — 25 = 575 Tonnen

statt 600 Tonnen betragen.

Obwohl man nun deshalb den Fahrbahnbalken nicht um so viel schwächer machen dürfte — weil bei Entlastung eines einzelnen Feldes dieser günstige Fall des Zusammentreffens von Zug-und Druckspannung nicht mehr in der eben gefundenen Weise stattfinden würde, so kann doch wenigstens das sonst zu den horizontalen Balken der Zwischenträger erforderliche Material ganz erspart werden, und da die Bogen derselben nur wenig mehr Material erfordern als die Horizontalbalken, so würde der Materialverbrauch für das Zwischenträger-System zu dem Gesammt-Materialverbrauch ungefähr in demselben Yerhältniss stehen, wie die einfache Horizontalspannung im Zwischenträger zur doppelten Horizontalspannung der Haupt-Construction sich verhält, nämlich

25

2•600    48

Bei einem parabolischen Träger in der umgekehrten Lage Fig. 382 wird auch die Lage der Zwischenträger ’die umgekehrte

Fig. 382.

sein müssen, wenn derselbe Yortheil erreicht werden soll. Es ist kaum nöthig, zu bemerken, dass hier nur beispielsweise die parabolische Form für die Zwischenträger angenommen worden ist, und dass dieselben ebensowohl als Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen, oder — wenn wegen Kleinheit derselben die dreieckigen leeren Felder mit überschüssigem Material ausgefüllt werden — als Blechträger construirt werden können. In letzterem Falle nehmen dieselben die Form von Verstärkungsrippen an, welche die horizontalen Fahrbahnbalken vor Durchbiegung zu schützen haben, und ergiebt sich für diesen Fall hinsichtlich der vortheil-haftesten Lage solcher Yerstärkungsrippen die beachtenswerthe Regel: dass bei obenliegender Fahrbahn wo möglich die Rippe oberhalb, bei untenliegender Fahrbahn dagegen unterhalb des Fahrhahnbalkens anzubringen ist.

Bei Fachwerkträgern mit gekreuzten Diagonalen würde man eine erste Reihe von Zwischenpunkten auch dadurch gewinnen können, dass man die Kreuzungspunkte der Diagonalen mit als

Durch Einschaltung eines Systems dreieckiger Zwischenträger kann man dann abermals die Zahl der Belastungspunkte verdoppeln oder verdreifachen, und — falls eine noch grössere Zahl von Belastungspunkten gefordert werden sollte — dieses Verfahren beliebig wiederholen, gerade so wie oben in Bezug auf die dreieckigen Dach-Constructionen erklärt wurde. Auf solche Weise gelangt man von der Grundform Fig. 383 mittelst der Uebergangs-form Fig. 384 zu den in Fig. 385 und Fig. 386 dargestellten Brücken-Constructionen.

Belastungspunkte benutzt, indem man auf jeden dieser Kreuzungspunkte eine Yerticalstange setzt, welche dem oberhalb derselben liegenden Theile der Belastung als Stütze dient. (Für den Fall, dass die Angriffspunkte der Belastungen unten liegen sollen, würde man der ganzen Construction nur die umgekehrte Lage zu geben brauchen.)

Fig. 383.

Fig. 384.

Fig. 385.

II

.•

Fig. 386.

171

Was die Berechnung der Spannungszahlen derartiger Brücken-Constructionen betrifft, so würde man die Berechnung der Ueber-gangsform Fig. 384 direct nach der Methode der statischen

Momente ausführen können, indem man bei der Berechnung der Spannungen in den horizontalen Stangen die Kreuzungspunkte der Diagonalen als Drehpunkte für die Momenten-Gleichungen wählt, und bei der Berechnung der Diagonalen berücksichtigt, dass die in irgend einem Yerticalschnitte thätige Verticalkraft halb genommen die verticale Seitenkraft einer jeden von den beiden Diagonalen-Spannungen bildet.

Bei der Berechnung von Fig. 385 würde man sich zu erinnern haben, dass es rücksichtlich der am Schlüsse des § 12 besprochenen resp. vertheidigten Voraussetzungen einen Unterschied macht, ob man diese Construction als einen Träger mit 17 Belastungspunkten behandeln will — wie er es in Wirklichkeit ist — oder als einen Träger mit 9 Belastungspunkten — indem man nämlich das eingeschaltete Zwischenträger-System zu der von der Haupt-Construc-tion zu tragenden Belastung mit hinzu rechnet.

Da nämlich bei allmählichem Fortrücken der mobilen Last der bei allen früheren Berechnungen stets angenommene Fall: dass der am Vorderende der belasteten Strecke befindliche Belastungspunkt schon seine volle Belastung trägt, während der nächstfolgende noch ganz ohne Belastung ist, in Wirklichkeit gar nicht eintreten kann — wie in § 12 bereits erklärt wurde — so muss, Wenn man nichtsdestoweniger diese ungenaue Voraussetzung machen will, die daraus hervorgehende Ungenauigkeit des Resultates eine um so grössere werden, je kleiner die Anzahl der Belastungspunkte ist. Man wird daher verschiedene Spannungszahlen für Fig. 385 erhalten, jenachdem man 17 oder 9 Belastungspunkte annimmt und zwar die genaueren bei bei der Annahme von 17 Belastungspunkten. In diesem letzteren Falle hat man zu berücksichtigen: dass, wenn das Vorderende der belasteten Strecke mit der Mitte eines Zwischenträgers zusammenfällt, der nächstfolgende Belastungspunkt der Haupt-Construction bereits einen Theil seiner Belastung zu tragen hat, insofern derselbe jenem Zwischenträger als Stützpunkt dient; dass dagegen, wenn das Vorderende der belasteten Strecke mit dem Endpunkte eines Zwischenträgers zusammenfällt, dieser Punkt als Belastungspunkt der Haupt-Construction noch nicht seine volle Belastung trägt, insofern derselbe zugleich für den nächstfolgenden noch unbelasteten Zwischenträger einen Stützpunkt bildet.

Wenn man zur Vergleichung mit dem in § 10 berechneten Fachwerkträger die Dimensionen und Belastungen eben so gross wie dort annimmt, nämlich: Höhe = 2m, Länge — 16m, Totalbelastung des ganzen Trägers = 48000 Kil., permanente Last = 8000, mobile Last = 40000 Kil., so erhält man für Fig. 384 und Fig. 385 resp. die in Fig. 387 und Fig. 388 zusammengestellten Spannungszahlen.

Fig. 387.

-21000

-45000

oossi-

-6000

&As

'<§>

-3000

-6000

-3000

+ 45000

+ 21000

-24000

-21000

Fig. 388.

-48000

-48000

â?/

lOOOE-/

-13500

0009—/

Àf)

'è

-3000

+3000

-3000

k/—6000

'w

+3000

-3000

+45000

+ 21000

Eine Vergleichung der letzteren Figuren mit denen des § 14 zeigt, dass man bei einem solchen einfachen aus nur wenigen Stangen zusammengesetzten Fachwerkträger wie Fig. 383 auf zwei verschiedene Arten die Zahl der Belastungspunkte vergrössern kann. Die eine Methode besteht, wie in § 14 erklärt wurde, darin, dass man das einfache aus Diagonalen und Verticalstangen bestehende Absteifungssystem durch ein mehrfaches Gittersystem ersetzt; die andere Methode ist die hier erklärte mittelst Einschaltung von Zwischenträgern. Olfenbar würde die erstere Methode die vortheilhaftere sein, wenn gleich grosse Zug- und Druckspannungen stets gleich grosse Querschnitte erforderten. Denn in diesem Falle würde man durch Anwendung des Princips der mehrfachen Gittersysteme ohne neuen Materialaufwand die Zahl der Belastungspunkte bis ins Unbestimmte vergrössern können, während bei der anderen Methode die Einschaltung jedes neuen Zwischenträger-Systems stets neuen Materialaufwand bedingt.

Indessen wird dieser scheinbare Vorzug der Gitterträger durch den Nachtheil wieder aufgewogen, dass jin der Gitterwand die gedrückten Stäbe bei ihrer mehrfachen Zersplitterung und ver-hältnissmässig grossen Länge bei weitem ungünstiger situirt sind hinsichtlich ihres Widerstandes gegen Zerknicken und deshalb verhältnissmässig viel grössere Querschnitte erfordern als die gedrückten Stangen bei dem einfachen, in nur wenige Felder ein-getheilten Fachwerkträger — wie später in der „Theorie des Widerstandes gegen Zerknicken“ noch ausführlicher begründet werden wird.

Die Vorzüge und Nachtheile beider Constructionsweisen müssen in jedem einzelnen Falle gegen einander abgewogen werden, und lässt sich über die Frage: welche von beiden die bessere ist, kein allgemein entscheidendes Urtheil abgeben.

DREIZEHNTER ABSCHNITT.

§ 44.

Durchbiegung belasteter Träger.

portional.

Wenn man mit

Die Längenänderung einer Stange ist ihrer Spannung pro--4 das Verhältniss bezeichnet, in welchem eine

Querschnitt bei einer Spannung von 1 Kil. sich

Stange von 1 □

verlängert, so erhält man das Verlängerungs-Verhältniss, welches dieselbe Stange bei einer Spannung von S Kil. annimmt, aus der Gleichung:

L »-!•

Die Zahl E wird Elasticitätsmodulus genannt und ist beispielsweise für Schmiedeeisen gleich 20000 zu setzen. Eine schmiedeiserne Stange von beliebiger Länge und von beliebigem Querschnitt verlängert sich also um    ihrer ursprünglichen Länge,

wenn ihr eine Zugspannung von 1 Kil. pro Quadratmillimeter der

Yïïïïïïïï

Querschnittsfläche ertheilt wird. Wenn dieselbe Stange statt dessen eine Spannung von 6 Kil. pro Quadratmillimeter erhält, so verlängert sie sich in dem Verhältniss:

0 =

also um etwa gg¹^ i^rer ursprünglichen Länge.

Die Längenänderung selbst erhält man, indem man dieses Yerlängerungs-Verhältniss mit der ursprünglichen Länge l der Stange multiplicirt, also aus der Gleichung:

II. \ = l-h.

Eine schmiedeiserne Stange von 10ra Länge verlängert sich also bei einer Spannung von 6 Kil. pro Quadratmillimeter um die Grösse:

\ = 10000-

ïïïïïôô

Negative Spannungen erzeugen negative Verlängerungen, d. h. Verkürzungen von demselben Verhältniss. Es gelten deshalb die beiden Gleichungen I. und II. sowohl für Druckspannungen als für Zugspannungen.

also auch seiner Durchbiegung — eine rein geo-

Wenn man bei einem belasteten Träger die Spannung jedes Constructionstheils kennt, so ist hiernach die Bestimmung seiner Formänderung

metrische Aufgabe, die auch auf empirischem Wege, durch Construction, gelöst werden kann, indem man sich die ganze Stangenverbindung aus einander genommen denkt und von irgend einem Knotenpunkte ausgehend die einzelnen Stangenlinien mit ihren neuen Längen wieder an einander setzt in derselben Keihenfolge, wie sie früher verbunden waren.

In einzelnen Fällen, namentlich bei Combinationen mehrerer Constructions-Systeme, ist es von Interesse, die Durchbiegung eines Trägers bei gegebener Belastung zu kennen, um danach die Ver-theilung der Belastungen und der Spannungen auf die einzelnen Systeme beurtheilen zu können. Es soll deshalb hier an einigen einfachen Beispielen gezeigt werden, wie man die durch obige Sätze in eine rein geometrische verwandelte Aufgabe lösen kann. In Bezug auf alle nachfolgenden Beispiele soll vorausgesetzt werden, dass die Stärke jedes Constructionstheils seiner Spannung proportional gewählt ist, dass also die Verlängerungs- und Verkürzungs-Verhältnisse sämmtlicher Constructionstheile dieselbe absolute Grösse (S) haben.

Fig. 390.

Hl

Wenn in Fig. 389 durch Belastung des    Punktes C jede der

beiden Stangen um die Grösse ah verkürzt wird, so rückt der Punkt C nach einer Stelle C±, welche den Durchschnittspunkt der

beiden von A und B aus mit der Länge a — ah beschriebenen Kreisbogen bildet. Letztere können (wegen sehr geringer j    Grösse der Verkürzt    zungen) als gerade

i    Linien angesehen

werden, die rechtwinkelig zu den Linien AC und BC gerichtet sind.

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke CEC₁ und CDA ergiebt sich die Gleichung:

Fig. 389.

ill

->•

---

7,

V.

ccx

a

-y-, oder: h,

a ²

o

Wenn die Auflager durch eine die Endpunkte A und B verbindende Zugstange vom Horizontalschube befreit sind, so entsteht durch die Verlängerung dieser Stange und das Ausweichen jedes der Punkte A und B um die Strecke l h eine weitere Senkung s₂, die man für sich allein bestimmen kann, indem man zunächst die vorhin bestimmte Senkung als nicht vorhanden, also die Länge a als unverändert annimmt, und den Durchschnittspunkt C₂ der beiden von Ax und aus mit der Länge a beschriebenen Bogen bestimmt (s. Fig. 390). Aus der Aehnlich-keit der Dreiecke CFCa und CDA

ergiebt sich die Gleichung:

CC₂

S2

CF

Ih

y-, oder: h

2) S2~h h'

Die ganze Senkung des Punktes C ist in diesem Falle gleich der Summe der beiden eben gefundenen Senkungen, also:

₃) s = Sl + S2=₅(^i±ü).

Wenn die Belastung nicht direct an dem Punkte 0, sondern an dem Punkte D aufgebängt ist und mittelst der Hängestange Fi g. B91.

CD auf den Punkt

-------------?..--------

P*

Hängestange hinzurechnet (s. Fig. 391), also: 4) s' = s₁ + s₂ + a = 5(-2-J''î

C übertragen wird, so erhält man die totale Senkung s' des Punktes D, wenn man zu der vorher p gefundenen Senkung ^ noch die Verlängerung a — hh dieser

= 25 —• h

Dieselben hier gefundenen Gleichungen gelten auch für umgekehrte Lage der Construction.

Fig. 392.

f h)

Auf ähnliche Weise können bei der in Fig. 392 dargestellten Construction die Senkungen der Punkte C und D bestimmt werden, indem man ein Mal die aus den Längenänderungen der Stangen AC und BD hervorgehende Senkung:

Fig. 393.

V/

h\

f-->•-----

A

cl

■f

Xi)

-■k

\\

a/s

⁵ h ’

ein anderes Mal die aus der Verkürzung der Stange CD hervorgehende Senkung:

» bc

«i=

c    b    ö T T ~B

für sich allein bestimmt (s. Fig. 393) und beide Senkungen dann zusammen addirt:

5) 8 = g₁+g₈ = 5(-g-|'fec)»

Wenn die Punkte A und B durch eine Zugstange verbunden sind (s. Fig. 394), so kommt zu der vorigen noch die aus der

Fig. 394.

_D.

/%*-

Verlängerung dieser letzteren hervorgehende Senkung:

(b + c)c Cl ^ h hinzu, und man erhält als totale Senkung der Punkte C und D:

Wenn endlich die Lasten unten hängen und mittelst Hängestangen auf die Punkte C und D übertragen werden (s. Fig. 395),

Fig. 395.

T>

so kommt für die Punkte E und F noch die aus der Verlängerung: c₂ = hh

/■

entstehende Senkung zu der vorigen hinzu, und beträgt also deren Total-Senkung:

7) s =    -f- s₂ -f + o₂ —    i®² + bc -f- {b -f~ c) c -f- h²]

= ² y (a² -f- be).

§ 45.

Senkung des Scheitels bei parabolischen Trägern.

Auf ähnliche Weise wie im vorigen Paragraphen in Bezug auf eine aus zwei und aus drei Stangen zusammengesetzte Kette gezeigt wurde, kann man auch bei einer aus mehr als drei Stangen zusammengesetzten Kette die Senkung der Belastungspunkte bestimmen.

folglich für die Bogenlänge der im Verhältniss 5 verkürzten Parabel :

£(l-5) = 2î(l + |A!) oder, wenn man hierin B seinen Werth substituirt:

2j(¹ + §i²)⁽l-8) = 2z(l+§A^);

die Auflösung dieser Gleichung für fx ergiebt:

/i =

*) Aus der Gleichung der Parabel ^    ~ ergiebt sich ~ = 2/ —

j    l    dx    P ‘

Das Differenzial des Bogens ist:

Wenn bei immer wachsender Zahl der Belastungspunkte die polygonale Stangenverbindung in eine stetig gekrümmte parabolische Kette übergeht, so wird bei Verkürzung derselben die Pfeilhöhe / in die Pfeilhöhe f₁ übergehen und als Senkung des Scheitels ergiebt sich dann (s. Fig. 396):

8) h =

Fig. 396.

-f

f\

fr

\t

it

Upr

i

unverkürzten Parabel annähernd die Gleichung:

Wenn das Verhältnis

u i

Pfeilhöhe zur Spannweite klein ist, so gilt für die Bogenlänge der

der

dB

=dx\/i+(^y=dx\/

=dxf1 + VL*' */**•

4/² x²

-)

oder, wenn man nur die ersten beiden Glieder der eingeklammerten Pieihe beibehält, annähernd:

dB

= dx( î + lÇ-aA.

Hieraus erhält man durch Integration:

wofür man — da 8 eine sehr kleine Grösse ist, und trotz des

angenommenen grossen Werthes von -- das zweite Glied unter

dem Wurzelzeichen als verhältnissmässig klein angesehen werden darf, annähernd auch setzen kann:

I(1 + Î7î)]'

Die Substitution dieses Werthes in Gleichung 8) ergiebt für den Werth:

9) «^■ÇO+iA)

= 1— ⁴ /

so erhält man

s, = 18 (1    — 18mm,75 als Senkung des Scheitelpunktes der in § 22 be

rechneten Bogenbrücke unter Voraussetzung einer Belastung, welche in dem (schmiedeeisernen) Bogen eine Spannung von 6 Kil. pro Qmm des Querschnitts hervorbringt.

(Dieselbe Gleichung gilt auch für die Senkung des Scheitelpunktes einer hängenden parabolischen Kette, wenn unter ô das Verlängerungsverhält-niss derselben verstanden wird.)

Setzt man hierin l — 20000mm, f— 5000

loooui

Wenn die Punkte A und B durch eine Zugstange verbunden sind, die Auflagerpunkte also nur verticale Gegendrücke leisten, so entsteht durch Verlängerung dieser Zugstange eine fernere Senkung des Scheitels s₂, welche wie bei den vorigen Fällen gefunden wird, indem man untersucht: welche Aenderung die Pfeilhöhe erleiden würde, wenn bei unverändert bleibender Bogenlänge die Spannweite der Parabel um die Grösse 2 l 5 sich verlän-

Fig. 397.

ff.

if ! '2

\A

Ijl gerte (s. Fig. 397). Um die neue

Pfeilhöhe f₂ zu erhalten, setzt man die Bogenlänge der ursprünglichen Parabel gleich der Bogenlänge derjenigen Parabel, welche f₂ als Pfeilhöhe und 2 l (1 -J- 5) als Spannweite hat:

(MjCO

«*(! + »)

0-

Werth:

Die Auflösung dieser Gleichung ergiebt für f₂ annähernd den

Die Aenderung der Pfeilhöhe oder die Senkung des Scheitels ist demnach:

l²

10) S₂ =/ — f₂

Die totale Senkung des Scheitels ist gleich der Summe der

beiden einzeln gefundenen Senkungen, also:

/2 5-t-

tqco

11) s = 8₁+8a =

Wenn die Fahrbahn mittelst Hängestangen an dem Bogen aufgehängt ist, so entsteht durch Verlängerung dieser Hängestangen noch eine weitere Senkung der Belastungspunkte, welche für die Mitte gleich 8/ sein würde.

Da indessen die obigen Resultate aus der Annahme eines geringen Pfeilhöhenverhältnisses hervorgingen, so kann diese letztere Grösse als vergleichsweise klein vernachlässigt werden, zumal da bei wirklichen Brücken die Verticalstangen nur bei einseitiger, nicht aber bei voller Belastung ihre vollen Spannungen und Verlängerungen erhalten.

Die oben gefundene Gleichung 11) gilt auch für einen parabolischen Träger in der umgekehrten Lage.

Man erhält z. B für den im zweiten Abschnitt berechneten parabolischen Träger von 16m Spannweite und 2m Pfeilhöhe, wenn man § = ₂o|-öo setzt, als Senkung des Scheitels:

U mm,4<

3    6    8000²

2 ' 20000 * 2000

§ 46.

Durchbiegung der Fachwerk- und Gitterbrücken.

Bei Fachwerkträgern mit parallelen Gurtungen setzt sich die ganze Durchbiegung s (in der Mitte, ebenfalls aus zwei Theilen zusammen, von denen der erstere s± allein durch die Längen-Aenderungen der Gurtungen, der andere s₂ allein durch die Längen-Aenderungen der Diagonalen und Verticalständer hervorgebracht wird.

Um den ersteren Theil    zu bestimmen, nimmt man die

Mittellinie des Trägers als nach einem Kreisbogen vom Halbmesser p gekrümmt an und setzt nach der Gleichung des Kreises,

indem man die Differenz zwischen Bogenvernachlässigt (s. Fig. 398):

und Sehnen-Länge

Fig. 398.

'.4.

-#r~.....—

oder, da sx² als sehr klein gegen 2 p st vernachlässigt werden darf:

12) * =

Es ergiebt sich ferner, da die Längen des äusseren und mittleren Bogens sich verhalten wie ihre Halbmesser, die Proportion :

2 p*

Ti

tO

uO

und hieraus für p der Werth:

2 S’

13) p =

dessen Substitution zu folgender Gleichung für sx führt:

Ph

Fig. 399.

Um die Senkung s₂ zu bestimmen, betrachtet man die Längen der Gurtungen als unveränderlich und untersucht, welche Formänderung jedem der aus Yerticalständer, Diagonale und Horizontalstange gebildeten rechtwinkeligen Dreiecke durch Verlängerung der Diagonale und Verkürzung des Verticalständers ertheilt wird (s. Fig. 399). Diese Formänderung besteht z. B. für das Dreieck ABC darin, dass der Punkt C sich senkt um eine Grösse c, welche aus folgenden zwei Theilen sich zusammensetzt: der erste Theil s

entsteht durch Verlängerung der Diagonale um die Grösse c 8 und lässt sich aus der Proportion bestimmen (s. Fig. 400):

/’

Fig. 400.

»/(£+0-

der zweite Theil \ entsteht durch Verkürzung des Verticalständers um die Grösse /-8 und ist dieser gleich. Die Vereinigung beider Werthe ergiebt für a die Gleichung:

'    —v wofür man, da c² = f²a² ist, auch

setzen kann:

CT = £ “j- \ ⁼

Wenn n die Zahl der Felder zwischen Auflager und Mitte ist, so beträgt die Senkung s₂ das w-fache von a; man erhält also für s₂ die Gleichung:

s₂ — n- a — na-h' —

oder, da na — l ist:

15)    (ÿ + 2>

[-X(ÿ+²)ï

Die Vereinigung der beiden in 14) und 15) gefundenen Werthe ergiebt als totale Durchbiegung eines Trägers von der in Fig. 399 dargestellten Form:

16) s = l 8

Wenn die Felder quadratische Form haben, wird - = 1 und:

d

s = n(y+3).

Wenn zugleich die halbe Felderzahl oder — = 4 ist, so wird:

s = 7/8.

Nach dieser letzteren Formel erhält man z. B. für den im dritten Abschnitt berechneten Träger von 16m Spannweite unter der Voraussetzung, dass für alle Theile § = -50000 zu setzen ist, als Durchbiegung bei voller Belastung:

16mm,8.

■SÖFffö

s — 7 . 8000 .

Nimmt man den Fall an: dass die Verticalständer und Diagonalen sehr stark construirt, also ihre Längenänderungen als vergleichsweise klein gegen die Längenänderungen der Gurtungen zu betrachten seien, so darf man für diesen Fall die Senkung s₂ vernachlässigen und die totale Durchbiegung unmittelbar aus Gleichung 12) bestimmen nach Fig. 398, indem man annimmt, dass die Biegungscurve ein Kreisbogen ist, welcher wegen Kleinheit der Pfeilhöhe auch als Parabel angesehen werden darf. Annähernd tritt dieser Fall ein, wenn statt des Gittersystems eine massive Wand von überflüssiger Stärke die beiden Gurtungen verbindet, und darf man daher für einen solchen massiven Träger die aus Gleichung 14) sich ergebende Grösse als Näherungswerth für die Grösse der totalen Durchbiegung betrachten.

Setzt man in jene Gleichung für 8 den der Elasticitäts-grenze entsprechenden Werth (aus Gleichung I.), so enthält sie zugleich das allgemeine Gesetz der Biegsamkeit massiver Träger von constanter Höhe und symmetrischer Querschnittsform; denn grösser kann die Durchbiegung in der Mitte niemals werden, als wenn die Krümmung an allen Stellen ein Maximum, die Krümmungslinie also ein Kreisbogen wird. Eine solche Krümmung tritt wirklich ein, sobald die biegenden Kräfte an allen Stellen den Querschnittsstärken, oder umgekehrt die Querschnitte überall den biegenden Kräften in der Weise angepasst sind, dass die Spannung in allen Querschnitten das gleiche Maximum erreicht.

VIERZEHNTER ABSCHNITT.

§ 4L

Theorie der zusammengesetzten Systeme.

Die im vorigen Abschnitte gefundenen Gleichungen für die Durchbiegungen kann man nunmehr zur Beantwortung der folgenden zwei Fragen benutzen: erstens, wie bei Combination zweier verschiedener Träger-Systeme zu einer zusammengesetzten Construction die beiden einfachen Systeme einander angepasst werden müssen, wenn ein harmonisches Zusammenwirken derselben stattfinden soll; zweitens, wie bei einer solchen zusammengesetzten Construction die Belastung auf die beiden einzelnen Systeme sich vertheilt.

Wenn die gemeinschaftlichen Belastungspunkte zweier mit einander verbundener einfachen Systeme in Folge zunehmender Belastung allmählich sich senken, so wachsen gleichzeitig in jedem der beiden Systeme die Spannungen und Längenänderungen der einzelnen Constructionstheile. Sobald bei diesem Wachsen in einem der beiden Systeme die Elasticitätsgrenze erreicht ist, hört die fernere Tragfähigkeit des Ganzen sofort auf — ganz einerlei, wie weit in dem anderen Systeme die Spannungen noch von der Elasticitätsgrenze entfernt sein mögen. Ohne die Tragfähigkeit des Ganzen irgend zu beeinträchtigen, könnte man also entweder dieses andere System aus schwächerem weniger elastischen Material construiren, welches die Elasticitätsgrenze bei geringerer Spannung schon erreicht, oder könnte man noch besser dadurch, dass man einen Theil des in diesem Systeme enthaltenen Materials ganz wegliesse und den Best mit besserer Ausnutzung seiner Widerstandsfähigkeit verwendete, bewirken, dass nunmehr beide Systeme gleichzeitig die Elasticitätsgrenze erreichen. Alles in dieser Weise zu ersparende Material war vorher unnützer — und wegen seiner todten Last sogar schädlicher — Ballast für die Construction.

Für alle solchergestalt combinirte Systeme gilt demnach als oberste Constructions-Begeh die einzelnen Träger - Systeme müssen gleiche Durchbiegungsfähigkeit besitzen.

Man kann aber auch zweitens — mag diese Bedingung erfüllt sein oder nicht — mit Hülfe der im vorigen Abschnitt an mehreren Beispielen erläuterten Methode das Verhältniss bestimmen, nach welchem die ganze Belastung auf die beiden Systeme sich vertheilt. Dazu ist nur erforderlich, die Senkungen der Belastungspunkte für das eine und für das andere System einander gleich zu

g

Man erhält damit eine Gleichung für das Verhältniss ^

ö₂

•setzen.

Qi

das Verhältniss

der Längenänderungen in beiden Constructionen, nach welcher sich der entsprechenden Belastungen leicht be-

stimmen lässt.

Die Gleichung für die Senkung eines Belastungspunktes erscheint, wie die vorigen Untersuchungen zeigen, in der allgemeinen Form:

s = A 5,

worin A eine von der Constructionsform und den Dimensionen des Trägers abhängige Constante bezeichnet, welche für die in

dem vorigen Abschnitt behandelten speciellen Fälle aus den Gleichungen 1) ... 16) zu entnehmen ist.

Die Gleichsetzung der Senkungen A₁ = A₂ §2

ergiebt also eine Gleichung von der Form

m.

ö₂ A₁

Wenn man dann nach der in der I. Abtheilung erklärten Momenten-Methode untersucht, welche Belastungen erforderlich sind, um solche Spannungen in den beiden Systemen zu erzeugen, bei welchen die Längenänderungen in dem einen System 5X, in dem anderen 5₂ betragen, so kann man, da die totale Belastung als gegeben zu betrachten ist, hiernach die Vertheilung derselben auf die beiden Systeme bestimmen.

Wenn z. B. zwei aus gleichem Material construirte einfache Systeme — eines wie Fig. 389, eines wie Fig. 398 construirt — zu einer zusammengesetzten Construction von der Form Fig. 401 verbunden sind, so ergiebt sich durch Gleichsetzung der Werthe

Fig. 401.

40:—

von Ay und A resp. aus den Gleichungen 1) und 12) als Bedingung des harmonischen Zusammenwirkens die Gleichung: a²_ l²

T ⁼ 7

-man

oder für das vortheilhafteste Höhenverhältniss der beiden Construc-tionen der Werth:

a²*

¹⁷> T='²

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, und wenn ausserdem etwa die beiden Systeme aus verschiedenem Material construirt sind, so kann man aus der Gleichung III., welche für diesen Fall die Form an nimmt:

Sj Æ²

nach welchem die Belastung Q auf die beiden

Qi

das Verhältnis

Qt

Systeme sich vertheilt, auf folgende Weise bestimmen.

Ein Gewicht Qx erzeugt in den beiden Stangen AE und BE, deren Querschnitte mit Fx bezeichnet werden sollen, eine Spannung Sx pro Flächeninhalt des Querschnitts:

Q-. a 2 Fxh ’

folglich ist die Längen-Aenderung dieser beiden Stangen:

S₁

19) ⁶i⁼⁼^⁼2-ĘhĄ-

Wenn ferner F₂ der Querschnitt jeder der beiden Gurtungen des Trägers CD an der Stelle E ist, so beträgt die durch ein Gewicht Q₂ hervorgebrachte Spannung S₂ in diesem Träger:

s₂ =

Q2¹

2 F₂f'

folglich die Längenänderung §₂ in diesem Systeme:

²⁰⁾ E,

Q₂l

2 F₂f E₂ '

Die Substitution dieser beiden für und S₂ gefundenen Werthe in die Gleichung 18) führt zu der Gleichung:

l³ h² Fx Ex a³ V² ' F₂ ’ Ą*

21)

aus welcher, da die Summe Qx-\- Q₂ = Q als gegeben zu betrachten ist, ganz allgemein die Yertheilung der Last bestimmt werden kann. So z. B. ergiebt sich für eine Construction, welche überall aus gleichem Material und der in Gleichung 17) ausgedrückten

Fig. 402.

Bedingung gemäss construirt ist, für die Lastvertheilung die Gleichung:

22)

a Fx

IQ

Für eine Construction von der Form Fig. 402, welche aus den Figuren 391 und 398 zusammengesetzt ist, ergiebt sich in ähnlicher Weise durch Benutzung der

Gleichung 4) und 14) als Constructionsregel für den Fall, dass beide aus gleichem Material bestehen:

o₈₎ L-JL

h ~ 2 a¹

und als allgemeine Gleichung für die Lastvertheilung:

Qi __ , l³ h² Fx E1 Q₂~*' as '/² ' V V

welche für den der Gleichung 23) entsprechenden speciellen Fall die einfachere Form annimmt:

24)

25)

Qi

Qa

o ± Al

l ' f₂

Die letzten drei Gleichungen gelten auch für die umgekehrte Lage der Construction (s. Fig. 403).

Um die analogen drei Gleichungen für Fig. 404 abzuleiten,

können die Gleichungen 5) und 14) in ähnlicher Weise benutzt werden; jedoch ist in letzterer Gleichung der für die Senkung in

Fig. 408.

der Mitte gefundene Werth zuvor mit 1--- zu multipliciren,

l

da es sich hier um die Senkung der Punkte C, D handelt, und von der Mitte nach den Auflagern die Senkung dem Quadrate der Entfernung proportional abnimmt. Hiernach erhält man für das zweckmässigste Höh en-Verhältnis (vorausgesetzt, dass Alles aus gleichem Material besteht) die Gleichung: l² — b2 «² + 5c

Fig. 404.

1A

1!

Q

Nl/

-x-

-y-----

und als allgemeine Gleichung für die Lastvertheilung :

Qi

1! (l2 — b²)c Ą

f² a(a²-fic) F₂ E₂

welche letztere für den der Gleichung 26) entsprechenden speciellen Fall die einfachere Form annimmt:

to

oo

tH <M

O* O⁴

Ganz auf dieselbe Weise erhält man für Fig. 405 oder Fig. 406 mit Benutzung der Gleichungen 7) und 14) die analogen drei Gleichungen:

29)    /-

¹ h 2 (a³ -4- bc)¹

co

a-

to

to

te

Ci

^1 ^ to {>-*

t*i| tq

to |m

co

Fig. 405.

"7C

,D

'4' Q

Fig. 406.

Ej

u\

_v_

Bei allen diesen Fällen ist die Voraussetzung gemacht, dass in einer und derselben Construction 4p überall das gleiche H Längenänderungs-Verhältniss stattfindet, oder mit anderen Worten: dass in einem und -] B    demselben System

ip    die Stärke jedes

einzelnen Con-structionstbeiles seiner Spannung proportional gewählt wurde.

Wenn mehrere einfache Träger von verschiedener Biegsamkeit zu einer zusammengesetzten Construction verbunden sind, so wird bei wachsender Belastung des Ganzen immer eine ungleichförmige Spannungsvertheilung in demselben stattfinden, und von den einfachen Systemen sind dann diejenigen, welche wegen grösserer Biegsamkeit später als die übrigen die Elasticitäts-grenze erreichen, allemal zu stark construirt, insofern, als sie aus schwächerem Material construirt sein könnten, ohne dass die Tragfähigkeit des Ganzen dadurch vermindert würde.

Fig. 407.

Zg'_

Derselbe Tadel also, welcher gegen ein solches nicht harmonisches Zusammenwirken der einzelnen Systeme bereits im Anfänge dieses Paragraphen ausgesprochen wurde, trifft auch den massiven Träger, da man einen solchen betrachten kann als eine Combination unendlich vieler Gitter- oder Blechträger von ungleicher Höhe (also auch ungleicher Biegsamkeit), in denen paarweise je zwei einander symmetrisch gegenüberliegende Schichten die Stelle der parallelen Gurtungen vertreten, und die zugehörigen Gitter- oder Blechwände allemal durch das Material der weiter innen liegenden Schichten vertreten sind (s. Fig. 407).

X-------

>.c

Da nach Gleichung 14) bei gleicher Durchbiegung die Längenänderung der Gurtungen, folglich auch die Spannung derselben, proportional der Höhe des Trägers ist, so darf man annehmen, dass in einem solchen massiven Balken von symmetrischer Querschnittsform die Längenänderungen und Spannungen der einzelnen Schichten von der Mitte aus nach oben und unten proportional der Entfernung von der Mitte zunehmen, in der Weise, dass wenn die äusserste in der Entfernung w von der Mitte befindliche Schicht schon die Spannung S pro Flächeneinheit erreicht hat, eine andere in der Entfernung u liegende Schicht erst die Spannung :

IV

erlangt haben wird. Nach dieser Gleichung kann man, wenn die Spannung S in irgend einem Querschnitt bekannt ist, für jede andere Schicht die in derselben Querschnittsfläche stattfindende Spannung berechnen, und ist dabei für die gegenüberliegenden Schichten allemal das entgengesetzte Vorzeichen zu nehmen. Die Gesammtspannung einer solchen Schicht beträgt dann, wenn mit A ihre Höhe und mit ^ ihre Breite bezeichnet wird :

u

-S . z . A.

iv

Wenn ein solcher massiver Balken durch Kräfte Kx, K₂ . . ., welche rechtwinkelig zu seiner Achse gerichtet sind, in gebogenen Zustand versetzt ist, so kann man die von ihnen an irgend einer Querschnittsstelle P erzeugte Maximal-Spannung S mittelst der Methode der statischen Momente bestimmen, indem man sich an dieser Stelle einen Schnitt aß durch den Balken hindurchgelegt, die Wirkung der abgeschnittenen Schichten durch ihre Spannkräfte ersetzt denkt, und für das Stück B aß die Gleichung der statischen Momente

aufstellt (s. Fig. 408 und Fig. 409). Damit keine Drehung um den Punkt P herum stattfinde, muss die algebraische Summe der statischen Momente

Fig. 408.

Kr

aller äusseren auf das Stück B aß wirkenden Kräfte gleich sein der Momenten-Summe aller Spannungen, bezogen auf den Drehpunkt P.

Man erhält also die Gleichung:

Fig. 409.

"cd

worin das Summations-Zeichen 'S andeutet, dass für alle einzelnen Schichten-Spannungen die Momente in gleicher Weise gebildet und alle diese Momente dann addirt werden sollen.

Da der Quotient

ein gemeinschaftlicher Factor aller Glieder dieser Summe ist, so kann man der Gleichung auch die Form geben:

SR =

S (z A «²),

worin der mit dem Summations-Zeichen versehene Ausdruck die Bedeutung einer nur von Grösse und Form der Querschnittsfläche abhängigen rein geometrischen Grösse hat. Bezeichnet man diese Grösse, welche das Trägheitsmoment des Querschnitts genannt wird, mit dem einfachen Birchstaben £, so nimmt die obige Gleichung die Form an:

to

oder wenn man dieselbe für S auf löst:

Die Grösse % des Trägheitsmoments ist für jede Querschnittsfläche besonders zu berechnen, indem man dieselbe in sehr viele kleine Theile zerlegt, jeden Flächentheil mit dem Quadrate seines Abstandes von der horizontalen Mittellinie des Querschnitts multiplicirt und die Producte zusammen addirt.

Wenn die Querschnitts-Dimensionen und die äusseren Kräfte gegeben sind, so kann man mittelst der obigen Gleichung die Maximalspannung in jedem Querschnitt bestimmen.¹)

20

§ 48.

Fachwerkträger ohne Diagonalen.

In der „Theorie der parabolischen und sichelförmigen Träger“ wurde bereits nachgewiesen, dass das Diagonalen-System eines solchen Trägers nur bei ungleichförmiger Belastung in Wirksamkeit tritt, dann aber auch einen nothwendigen Bestandtheil der Construction bildet, wenn dieselbe aus einzelnen durch Gelenkbolzen verbundenen Stangen zusammengesetzt ist, die nur Längsspannungen anzunehmen fähig sind. Wenn das Diagonalen-System fehlt, so muss, um das Zusammenfallen (oder die Verschiebung) der Stangenverbindung zu verhindern, wenigstens eine der beiden Ketten mit einer durchlaufenden steifen Stange vertauscht werden.

Eine solche Aenderung aber hat Aenderungen in der Span-nungsvertheilung zur Folge, und darf alsdann der Träger — selbst für gleichförmig vertheilte Belastung, bei welcher die Steifigkeit jener Stange entbehrlich sein würde — nicht mehr als einfacher parabolischer Träger betrachtet werden; es ist vielmehr in diesem Falle der Träger als eine Combination zweier einfacher Träger-Systeme anzusehen, und die Vertheilung der Lasten auf diese beiden Systeme nach den im vorigen Abschnitte entwickelten Principien zu ermitteln.

Obwohl nun das Weglassen des Diagonalen - Systems als eine durchaus nicht zu empfehlende Abweichung von den Constructions-regeln bezeichnet werden muss, so soll — weil dergleichen theoretisch unvollkommene Constructionen trotzdem häufig Vorkommen —

Fi<r. 410.

'O-

der Einfluss dieser Abweichung ’an einigen einfachen Beispielen hier erläutert werden.

Fig. 411.

Ein regelrecht construirter parabolischer Träger von drei Feldern (s. Fig. 410) muss im Mittelfelde (wenigstens) eine Diagonale haben. Ohne diese Diagonale würde die in Fig. 411 angedeutete Verschiebung möglich sein. Diese Verschiebung kann — anstatt durch die Diagonale — auch da-

durch verhindert werden, dass die drei horizontalen Stangen A C, CD, DB durch einen durchlaufenden steifen Balken AB ersetzt werden, oder dadurch, dass ihnen ein solcher zur Seite gegeben wird (s. Fig. 412). Damit hört aber der Träger auf, in die Kategorie der einfachen Systeme zu gehören, denn nun wird auch bei voller Belastung in jenem steifen Balken Biegungsspannung erzeugt, und ein Theil der Last von ihm getragen werden, der andere Theil also, welcher mittelst der Vertical-ständer auf die (aus den drei Stangen AE, EF, FB gebildete) Kette übertragen wird, um so kleiner ausfallen, je steifer der Balken A B construirt ist.

Wenn man unter solchen Umständen die in den einzelnen Stangen stattfindenden Spannungen berechnen will, so muss man sich die Construction aus den beiden einfachen Systemen Fig. 413 und Fig. 414 zusammengesezt denken und nach der im vorigen

Fig. 412.

nQ

Ov

:nQ'

Fig. 41B.

(i-n) Q

HQ .

Mq

Fig. 414.

Paragraphen für diesen Fall abgeleiteten Gleichung das Verhältniss:

n Q

Q₂ (1 — n) Q

der beiden Belastungstheile bestimmen, welche für das eine und für das andere der beiden Systeme in Rechnung zu bringen sind.

Sobald auf diese Weise die Zahl n bestimmt ist, lässt sich dann auch leicht für ungleichförmig vertheilte Belastung die Spannung in den einzelnen Stangen bestimmen, denn dieselbe Zahl n ist auch bei diesem Belastungszustande maassgebend für

20*

die Lastvertheilung. Wenn z. B. allein der Punkt C mit dem Gewichte Q belastet ist (s. Fig. 415), so zerlegt sich diese Belastung auf folgende Weise in zwei Theile: der eine Theil, bestehend aus den beiden Gewichten

Q und

bildet die Belastung für das System Fig. 416, der andere Theil, bestehend aus den beiden Gewichten

o-?)«

bildet die Belastung des Systems Fig. 417.

to! 3

toi s

<2,

und

\Q-

Fig. 415.

<3

>>

■--7>

<c

so

fl|s

p“

*tä

e©

S|<N

o³

p-\>>

Fig. 416.

TP

3-

Fig. 417.

O³

“io

or

Dass eine solche Lastvertheilung wirklich stattfindet, davon überzeugt man sich leicht durch folgende Erwägung: Offenbar muss durch eine Belastung des Punktes D auf den Punkt C genau dieselbe Wirkung ausgeübt werden, wie sie eine Belastung des Punktes C auf den Punkt D hervorbringt (wegen Symmetrie der Construction). Da nun die Spannungen der beiden Vertical-stangen stets einander gleich sind (wegen Gleichheit der Horizontalspannungen in A E und B F) und das Hinzufügen einer Last Q an der Stelle D (Fig. 415) bewirkt, dass für jeden der beiden Lastpunkte in Fig. 416 die Belastung n Q beträgt, so muss nothwendig dieser Lasttheil halb so gross ausfallen, wenn nur einer der beiden Punkte C oder D in Fig. 415 — einerlei welcher — mit dem Gewichte Q belastet wird. Die Belastungen der beiden Punkte C, D in dem System Fig. 417 ergeben sich dann einfach durch

Subtraction der vorigen Lasttheile von den totalen Belastungen dieser Punkte.

Sobald man aber die äusseren Kräfte kennt, welche auf die Construction wirken, so lässt sich — worauf in § 24 schon hingewiesen wurde — mittelst der Momenten-Methode die Spannung jedes Constructionstheiles leicht bestimmen. Beispielsweise sind für die drei Stangen AE, EF, FB die bei einseitiger Belastung des Punktes C eintretenden Spannungen in Fig. 415 eingetragen. Diese Spannungen bleiben dieselben, wenn der Punkt D statt des Punktes C belastet wird, sie werden doppelt so gross, wenn beide zugleich belastet sind.

Die bei voller Belastung in diesen Stangen eintretenden Spannungen verhalten sich also zu denen, welche bei dem gewöhnlichen parabolischen Träger gleicher Form in diesen Stangen stattfinden würden, wie n : 1. Da nun die Zahl n wesentlich abhängt von dem Durchbiegungsverhältniss der beiden einfachen Systeme, also von der Steifigkeit des Balkens AB, und nur in dem Falle gleich Eins wird, wenn derselbe mit Gelenken versehen ist, so erkennt man leicht, dass der Fehler, den man begeht, wenn man die hier untersuchte Construction wie einen gewöhnlichen parabolischen Träger behandelt, um so grösser wird, je kleiner die Zahl w, oder je steifer der Balken AB construirt ist.

Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass bei der umgekehrten Lage der vorigen Construction die Spannungen ganz in derselben Weise bestimmt werden können (s. Fig. 418); ebenso auch für die in Fig. 419 dargestellte Construction, wenn man

bei letzterer aus der Gleichung, die für diesen Fall im vorigen Paragraphen abgeleitet wurde, die Zahl m auf gleiche Weise berechnet wie die Zahl n beim vorhergehenden Falle.

Fig. 418.

Ti

1q

Fig. 419.

§ 49.

Einfluss der Temperatur-Aenderungen.

Die in den vorigen Paragraphen in Bezug auf die combinirten Systeme gefundenen Resultate sind unmittelbar noch nicht für practische Anwendungen brauchbar, insofern als bei Ableitung derselben der Einfluss der Temperatur-Aenderungen unberücksichtigt geblieben ist. Sowohl bei der Berechnung der Vertheilung der Belastung auf die beiden einzelnen Systeme, als auch bei der Bestimmung des vortheilhaftesten Verhältnisses ihrer beiden Höhen, ist es nothwendig, auf die vorkommenden Temperatur-Schwankungen Rücksicht zu nehmen.

Der Wärme-Ausdehnungs-Coefficient für Schmiedeisen hat die

Grösse:

32) a — 0,000 012 2,

d. h. bei einer Erwärmung um 1 Grad (Celsius) verlängert sich eine schmiedeiserne Stange um Länge. Das Ausdehnungsverhältniss wächst proportional der Temperatur-Zunahme. Für das einer Temperatur-Zunahme von t Graden (Celsius) entsprechende Ausdehnungsverhältniss ergiebt sich hiernach der Werth:

12 2

10 000 000

ihrer ursprünglichen

33) A = a - t.

41 •

10 000 000

sich vergrössern; bei einer Temperatur-Ab-

1

400 0

Es würde also zum Beispiel bei einer Temperatur-Zunahme t = 41 Grad (C.) eine schmiedeiserne Stange sich verlängern um ₂₀\^ ihrer ursprünglichen Länge. In gleichem Verhältniss würde überhaupt jede Dimension eines schmiedeisernen Körpers sich vergrössern in der Weise: dass ein aus drei beliebigen Punkten des Körpers gebildetes Dreieck während der Ausdehnung stets seiner ursprünglichen Form ähnlich bleibt. Bei einer halb so grossen Temperatur-Zunahme t = 20°,b (C.) würde jede Dimension um

nähme von derselben Grösse um den gleichen Bruchtheil sich verkürzen.

Diese durch Temperatur-Aenderungen hervorgebrachten Form-Aenderungen der Körper geschehen unabhängig von den elastischen Form-Aenderungen. Es würde also bei gleichzeitigem Eintreten von Temperatur-Erhöhung und Zugspannung die Verlängerung der Stange gleich der Summe der beiden einzelnen Verlängerungen zu setzen sein. Da Temperatur-Abnahmen als negative Temperatur-Zunahmen, und Druck-Spannungen als negative Zug-Spannungen aufgefasst werden können, so gilt der obige Satz nicht nur für positive, sondern auch für negative Verlängerungen. Es würde also die wirkliche Verlängerung der Stange gleich der Differenz der beiden absoluten Längen-Aenderungen sein, wenn Temperatur-Erhöhung mit Druck-Spannung, oder Temperatur-Erniedrigung mit Zug-Spannung zusammentrifft.

Bei der in Fig. 389 dargestellten Stangen-Verbindung würde (nach den Gleichungen 1 und 33) eine Temperatur-Zunahme von t Graden (C.) für sich allein die Wirkung haben, dass der Verbindungspunkt C um die Grösse:

34) <s =

4

sich hebt, und bei der Temperatur-Abnahme von derselben Grösse würde der Punkt C um ebensoviel sich senken.

Die in § 22 Gerechnete Bogenbrücke (Fig. 17B) kann — was den Einfluss der Temperatur-Aenderung auf die Höhenlage des Scharnierpunktes S anbelangt — ebenfalls wie eine solche Verbindung zweier einfacher Stangen behandelt werden. Setzt man, den dort angegebenen Dimensionen entsprechend, 7;    5000, a20 0 00² -j- 5000², so erhält man z. B. für A = -j^Vö den Werth:

-j = 21,25 Millimeter.

a — TöVö •

20000² -f- 50002 5000

Es würde also der Scharnierpunkt S um 21,25 Millimeter sich heben, wenn die Temperatur um 20,5 Grad (C.) zunimmt, und um 21,25 Millimeter sich senken, wenn die Temperatur um 20,5 Grad (C.) abnimmt Bei Temperatur-Schwankungen von der doppelten Grösse t = 41 Grad (C.) würde die Hebung resp. Senkung des Scharnierpunktes 42,5 Millimeter betragen. Wenn eine solche Temperatur-Erniedrigung von 41 Graden zusammenträfe mit dem Belastungszustande, für welchen in § 45 nach Gleichung 9) die Senkung Sj = 18,75 Millimeter berechnet wurde, so würde die totale Senkung des Scharnierpunktes 18,75 -f- 42,5 = 61,25 Millimeter betragen.

Wenn mit das durch die Belastung des Punktes C hervorgebrachte elastische Verkürzungsverhältniss der beiden Stangen AC und BC in Fig. 401 bezeichnet wird, und mit A das einer gleichzeitig stattfindenden Temperatur-Erniedrigung entsprechende Verkürzungsverhältniss derselben, so hat die Senkung des Punktes C (nach Gleichung 1) im Ganzen die Grösse:

35) s = (5X -j- A) -jr—

Indem man die Grösse in Gleichung 18) dem für die Senkung

8 l²

des horizontalen Balkens gefundenen Werthe -y— gleich setzt, er-erhält man die Gleichung:

36)

(&i + Z»«²

M²

welche für das Höhenverhältniss aufgelöst nach Substitution des Werthes a² = l2Jrh² die Form annimmt:

37)

Y 5j + A/

l²

Setzt man hierin 8X = S₂ = ^oVVo (indem man annimmt, dass beide Systeme aus Schmiedeisen construirt sind, für welches stmjW als das der Elasticitätsgrenze entsprechende Längenänderungs-Verhältniss gesetzt werden h 1

kann), ferner — — — und A = -ffos (entsprechend der Annahme einer grössten vorkommenden Temperatur-Erniedrigung von 20,5 Graden), so erhält

Setzt man ein anderes Mal unter Beibe-

man

/=~( h 5 \

oder

21

-Ï

20/

haltung der übrigen Zahlenwerthe A = — 4öVö> so erhält man

oder

-£>

Das vortheilhafteste Höhenverhältniss —- variirt also

h

unter den angenommenen Umständen — je nach dem Stärkeverhältniss der beiden Systeme — zwischen den beiden Grenzwerthen f und f. Dem ersteren rückt dasselbe um so näher, je stärker die beiden Streben im Yerhältniss zu dem horizontalen Balken construirt sind, und je kleiner in Folge dessen der von letzterem übernommene Bruchtheil der Totalbelastung ausfällt. Dem andern Grenzwerthe dagegen nähert sich das vortheilhafteste Höhenverhältniss um so mehr, je schwächer die beiden Streben im Verhältniss zu dem horizontalen Balken construirt sind, und je mehr in Folge dessen der von letzterem übernommene Lasttheil überwiegt. Für A = 0, d. h. bei unverändert bleibender vortheil-

21

der Temperatur, würde dagegen — —^ocler ^ hafteste Werth sein.

Um den Einfluss der Temperatur-Aenderungen auf die Last-vertheilung zu bestimmen, hat man zunächst zu untersuchen, welche Spannungen in den beiden Systemen die Temperatur-Aenderung für sich allein — ohne das Vorhandensein irgend welcher Belastung — hervorbringen würde. Denkt man sich die Temperatur um t Grade abnehmend und bezeichnet man wiederum mit A das dieser Temperatur-Erniedrigung entsprechende Ver-kürzungsverhältniss der beiden Streben, so würde der Gelenk-

A “

punkt C (Fig. 401) um die Grösse —sich senken, wenn derselbe nicht mit dem horizontalen Balken fest verbunden wäre.

r)

Vermöge seiner Steifigkeit setzt der Balken dieser Senkung einen gewissen Widerstand P entgegen, welcher auf die beiden Stangen als eine in dem Punkte C an greifende Verticalkraft nach oben hin wirkt, folglich Verlängerungen in denselben erzeugt, welche von den durch die Temperatur-Erniedrigung hervorgebrachten Verkürzungen in Abrechnung zu bringen sind. Es ist also, wenn 8X das elastische Verlängerungsverhältniss ist, welches die Kraft P für sich allein in den Stangen hervorbringen würde, die wirkliche Senkung des Punktes C die Grösse haben:

38) * = ( A-&,)£.

Nach Gleichung 19) ist hierin §! = folglich ist:

2 Ex F₁ h

zu setzen,

___,')L.

2 Ex Fx h ) h

Für die Durchbiegung des horizontalen Balkens wurde in

M²

39) s = (a

. Pa

Gleichung 14) der Werth s —

oder nach Substitution des

aus Gleichung 20) zu entnehmenden Werthes S₂ = Grösse :

PI

2 E₂ P₂ f

die

PF

¹

Die Fortsetzung der Biegungstheorie massiver Balken folgt im fünfzehnten Abschnitte.

Kitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

²

A Ex Fx

2 P₂P₂/¹

gefunden. Die Gleichsetzung dieser beiden Werthe für s führt zu der Gleichung:

PF

\ a²

2 El Fx h) h

welche für die Kraft P aufgelöst die Form annimmt:

41) (a

Pa

2 E₂ P₂/¹’

(Weitere Anwendungen der Principien, welche der Theorie der zusammengesetzten Systeme zu Grunde liegen, folgen im fünfzehnten und sechszehnten Abschnitte.)

FÜNFZEHNTER ABSCHNITT.

§ 50.

Widerstand des prismatischen Balkens gegen Biegung.

Wenn man das eine Ende eines prismatischen Balkens in horizontaler Lage einspannt, und das andere freie Ende desselben

Fig. 420.

mm

peratur-Zunah me dagegen bewirkt, dass die beiden Streben dem horizontalen Balken den Theil P von seiner Belastung abnehmen.

Setzt man in obiger Gleichung — = 0,6 ,    — = 0,8,    -? = 3,

a    et    j

Ex = E₂ = 20000 (entsprechend der Annahme, dass beide Systeme aus Schmiedeisen construirt sind), ferner Ft = F₂ = 10000 □

(entsprechend einer Temperatur-Aenderung von 20,5 Grad C.), so erhält man

P= 10700 Kil. Nach Gleichung 21) wird für diesen Fall ^¹

mm

und A

Q‘i

= 4,608; also

wenn z. B. die Totalbelastung Q — 80000 Kil. ist, so wird Çi    . 80000

= 65 740 Kil. und Q₂ =

80000 5^08

ratur-Abnahme von 20,5 Graden die Lastvertheilung in der Weise sich ändern, dass die beiden Streben nur 65 740 — 10700 — 55040 Kil. zu tragen bekommen, und der Balken 14 260 + 10 700 = 24 960 Kil. erhält. Eine Temperatur-Zunahme von 20,5 Graden würde dagegen zur Folge haben, dass die beiden Streben den Lastantheil 65740 + 10700 — 76440 Kil. übernehmen, und der Balken nur 14260 — 10700 = 3560 Kil. zu tragen bekommt.

= 14 260 Kil. Es würde also bei einer Teinpe-

mit einem Gewichte belastet, so wird durch diese Belastung eine Biegung des Balkens hervorgebracht; der vorher geradlinige Balken nimmt eine krummlinige Form an, deren convexe Seite nach oben gerichtet ist (Fig. 420). Betrachtet man den Balken als ein Bündel |von^parallel neben einander liegenden, in unverschiebbarer Lage an einander befestigten Fasern, so findet man, dass

beim Eintreten dieser Biegung die oben liegenden Fasern sieb verlängern, die unten liegenden sich verkürzen müssen. Zwischen der obersten und untersten Fasernschicht muss irgendwo eine mittlere Fasernschicht sich befinden, welche weder eine Verlängerung noch eine Verkürzung erleidet; diese mittlere Fasernschicht A B (Fig. 421) wird die neutrale Faser genannt.

Die Verlängerungen der oberen und die Verkürzungen der unteren Fasern sind um so grösser, je weiter die Fasern von der neutralen Faser

Fig. 421.

entfernt liegen. Man darf annehmen, B    dass die einzelnen Querschnitts-

Ebenen des Balkens, welche vor dem Eintreten der Biegung rechtwinkelig K    zur geradlinigen Achse des Balkens

standen, annäherungsweise auch nach eingetretener Biegung noch ihre ebene Form und ihre rechtwinkelige Lage zu der nunmehr gekrümmten Achsenlinie des Balkens überall beibehalten. Die beiden sehr nahe bei einander

Fig. 422.

L,

fp

liegenden Querschnitts-Ebenen M und V, welche vorher einander parallel waren, nehmen beim Eintreten der Biegung die gegen einander convergirenden Lagen C D \    und E F an (Fig. 422). Die zwi-

/    sehen diesen beiden Querschnitts-

Ebenen liegenden Fasernabschnitte hatten vor dem Eintreten der Biegung sämmtlich die gleiche Länge MN. Die Längenänderungen, welche diesen Fasern-K    Abschnitten durch die Biegung

o'

ertheilt werden, kann man finden, indem man jene ursprüngliche Länge MN von der einen Ebene E F aus auf den Fasernricbtungen abträgt, oder indem man durch den Punkt M eine Ebene G H legt, welche der Ebene E F parallel ist. Die zwischen den beiden Ebenen C D und G Anliegenden Theile stellen die Längenänderungen der einzelnen Fasern-Abschnitte dar. Nach Fig. 422 ist:

V) Cq

43)

PQ

GC

Aus der obigen Annahme folgt also, dass die Längenänderungen der einzelnen Fasern-Abschnitte sich verhalten wie ihre Abstände von der neutralen Faser, und da nach dem Elasticitätsgesetze die Spannung der Längenänderung proportional ist, so verhalten sich auch die Spannungen der einzelnen Fasern-Abschnitte wie ihre Abstände von der neutralen Faser.

Wenn also mit s die Spannung (pro Quadratmillimeter des Querschnitts) für die im Abstande u von der neutralen befindliche

Faser L Q bezeichnet wird (Fig. 423), und mit S die Spannung (pro Quadratmillimeter des Querschnitts) für die im Abstande w befindliche Faser E C, so

Fig. 423.

Fig. 424.

s<-

K t-1

M-

ist:

u ,    ₀ u

= — oder s — o —

W    IV

Um die totale Spannung irgend einer Faser zu bestimmen, hat man die pro Quadratmillimeter ihrer Querschnittsfläche gefundene Spannung zu multipliciren mit der Anzahl der Quadratmillimeter, welche ihre Querschnittsfläche enthält. Denkt man sich die ganze Querschnittsfläche des Balkens zerlegt in unendlich schmale parallel zur neutralen Faserschicht liegende Streifen, und sieht man den Flächeninhalt / des in der Entfernung u von der Neutralen befindlichen Streifens als Querschnittsfläche jener im Abstande u von der Neutralen N N liegenden Fasernschicht an (Fig. 424), so erhält man für die totale Spannung derselben die Grösse:

44) s-f=S — -f. '    w J

Diese Spannung ist als eine Zug-Spannung (positive Spannung) anzusehen, wenn die betreffende Faser oberhalb der Neutralen liegt, d. h. wenn u positiv ist; als eine Druck-Spannung (negative Spannung) dagegen, wenn dieselbe unterhalb der Neutralen liegt, d. h. wenn u negativ ist. Der obige Ausdruck kann daher (für positive sowohl als für negative Werthe von u) als allgemein gültiger Ausdruck für die Spannung irgend einer im Abstande u von der Neutralen befindlichen Faser betrachtet werden.

Wenn man sich durch eine an der Stelle N hindurchgelegte Querschnittsebene den Balken in zwei Theile zerschnitten denkt, und untersucht, welche Kräfte zur Wiederherstellung des Gleichgewichtszustandes für das Stück B N an der Schnittfläche desselben angebracht werden müssten, so findet man: dass zunächst an der Schnittstelle jeder einzelnen Faser eine in die Längenrichtung derselben fallende Kraft anzubringen ist von gleicher Grösse mit der Spannung, welche vorher in der Faser an dieser Stelle vorhanden war (Fig. 425). Diese Spannungswiderstände der

Fig. 425.

wie vorausge-

einzelnen Fasern können, wenn die Biegung

SSf*

i fei

setzt werden soll — eine sehr geringe ist, als Horizontalkräfte angesehen werden. Ausserdem ist an der Schnittfläche noch eine vertical aufwärts wirkende Kraft V anzubringen, da jene Horizontalkräfte für sich allein nicht ausreichen würden, um der vertical abwärts wirkenden 'K Kraft K das Gleichgewicht zu halten. Diese Kraft V darf —

bei der vorausgesetzten geringen Abweichung der Schnittfläche von der Yerticalebene — als eine längs der Trennungsfläche aufwärts wirkende Widerstandskraft angesehen werden, welche einer Verschiebung des Stückes B N längst jener Fläche entgegenwirkt, und wird der Widerstand gegen Abschee rung genannt. Da die Kräfte V und K die einzigen Verticalkräfte sind, welche auf das Stück B N wirken, so ist nach den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen:

45) V=K.

In der Querschnittsfläche ist also ausser den Spannungswiderständen der horizontalen Fasern noch ein Widerstand gegen Abscheerung thätig von gleicher Grösse mit derjenigen Kraft (K), welche ohne das Vorhandensein dieses Widerstandes eine Ver

schiebung längs der Querschnittsfläche hervorbringen würde.

Die einzigen Horizoutalkräfte, welche auf das Stück B JV wirken, sind die Spannungswiderstände der einzelnen Fasern.

Oberhalb der Neutralen wirken diese Kräfte von rechts nach links, unterhalb derselben von links nach rechts. Die algebraische Summe dieser Horizontalkräfte muss gleich Null sein. Nach Gleichung 44) ist also:

46) 3 (£«/) = <>.

Wenn man die Grösse

s

— als gemeinschaftlichen Factor aller

unter den Summationszeichen vereinigten Glieder fortlässt, so erhält man die Gleichung:

47)    2(/m) = 0.

Diese Gleichung zeigt, dass die Momenten-Summe sämmtlicher Flächentheilchen der Querschnittsfläche (Fig. 424) in Bezug auf den in der neutralen Fasernschicht liegenden Horizontal-Durchmesser NN, welcher die neutrale Achse genannt wird, gleich Null ist. Nach der Lehre vom Schwerpunkte kann statt dieser Momenten-Summe auch das Product aus der ganzen Querschnittsfläche in den Abstand ihres Schwerpunktes von jener Achse gesetzt werden, und da dieses Product gleich Null ist, so folgt hieraus, dass der Schwerpunkt der Querschnittsfläche in der neutralen Achse N N selbst liegt. Durch Gleichung 46) wird also die Lage der neutralen Achse bestimmt; diese Gleichung drückt aus: dass die neutrale Fasernschicht diejenige ist, welche durch die Schwerpunkte sämmtlicher Querschnittsflächen hindurchgeht.

Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen erfordern ausserdem noch: dass die algebraische Summe der statischen Momente sämmtlicher auf das Stück B N wirkenden Kräfte in Bezug auf eine beliebige Achse, z. B. in Bezug auf die in Fig. 425 rechtwinkelig zur Bildfläche stehende neutrale Achse N, gleich Null ist. Es muss also das statische Moment der Kraft K, welche für sich allein eine von links nach rechts gerichtete Drehung hervorbringen würde, gleich der Summe der statischen Momente aller Spannungswiderstände sein, deren jeder für sich allein eine von rechts nach links gerichtete Drehung um die Achse hervorbringen würde. Das statische Moment des Spannungswiderstandes der im Abstande u von der Neutralen befindlichen Faser ist gleich

^Uf- • u; folglich ist: w

— K • x,

oder in Worten ausgedrückfc: das Widerstandsmoment der Fasernspannungen ist gleich dem Momente der biegenden Kraft.

S

Die Grösse — als gemeinschaftlicher Factor aller unter dem

Summationszeichen vereinigten Glieder kann auch vor das Summationszeichen gesetzt werden, also ist:

- 2 (fu²) = Kx. w

49)

In dieser Gleichung bedeutet 2(/w²) die Summe aller Pro-ducte aus den einzelnen Flächentheilchen der Querschnittsfläche in die Quadrate ihrer Abstände von der neutralen Achse, oder das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche in Bezug auf den horizontalen Schwerpunktsdurchmesser derselben. Wenn man dieses Trägheitsmoment mit X bezeichnet, so nimmt die obige Gleichung die einfache Form an:

50)    - % = Kx.

w

Für den Fall, dass ausser der Kraft K noch andere Vertical-kräfte auf das Stück B N wirken, würde man statt K x die Summe der statischen Momente aller dieser biegenden Kräfte zu setzen haben. Wenn man also allgemein mit die Momenten-Summe dieser biegenden Kräfte in Bezug auf die neutrale Achse des Querschnitts bezeichnet, so kann man der obigen Gleichung die noch einfachere und allgemeinere Form geben:

51)

m.

w

In dieser Gleichung bedeutet S die Spannung (pro Quadratmillimeter des Querschnitts) für die im Abstande w von der Neutralen befindliche Faser, also — wenn man, wie hier vorausgesetzt werden soll, unter w die Entfernung der am weitesten von der Neutralen entfernt liegenden Faser versteht — zugleich die stärkste Spannung (pro D""”), welche in der ganzen Querschnittsfläche vorkommt. Die obige Gleichung kann daher in der Form:

52)    s = ~m

Æ-

benutzt werden, um die Spannung der am stärksten gespannten Faser zu berechnen, sobald die Grösse

53)    X = 2 (/w²)

für die betreffende Querschnittsform bestimmt wurde.

42) P =

Für den rechteckigen Querschnitt ist nach Fig. 426 das im Abstande u von der Neutralen befindliche Flächentheilchen /=JA zu setzen, also ist £ = 6^(A?£²), oder nach der Bezeichnungsweise der Integralrechnung:

+ l: Ä

54)    % — b\u²du

Fig. 426.

Fig. 427.

Fig. 428.

*A

*

iE

ih

~m.......j

-i

~2

Die in Fig. 427 dargestellte Querschnittsfläche kann als Differenz der beiden Rechteckflächen B H und b h angesehen werden; das Trägheitsmoment einer solchen Querschnittsfläche in Bezug auf den horizontalen Schwerpunktsdurchmesser ist also:

B Ii³ bh³

⁵5) 1= ₁₂

12

Dieselbe Gleichung gilt auch für die in Fig. 428 dargestellte Querschnittsform. Auf ähnliche Weise können die Trägheitsmomente anderer Querschnittsflächen, welche auf die Grundform des Rechtecks sich zurückführen lassen, bestimmt werden, sobald dieselben symmetrisch in Bezug auf den horizontalen Schwerpunktsdurchmesser geformt sind. So z. B. erhält man für den in Fig. 429 dargestellten Querschnitt, welcher als Summe zweier Rechteckflächen betrachtet werden kann, den Werth:

Fig. 429.

Fig. 430.

V¹

Jr

56) I- ₁₂

bh³ . bx h

12 ’

und für das Trägheitsmoment der in Fig. 430 dargestellten Querschnittsfläche die Gleichung:

BH² 3 bh³

12

12

s: = |2(A²).

Für den kreisförmigen Querschnitt ist (nach Fig. 431) 2 (fu²) = 2 (fv²) zu setzen, und da u²-fv²=x² also 2 (/w²)-j-2! (fv²) = 2 (/æ²), so ist:

Fig. 431.

Fig. 482.

È"^

Die letztere Grösse 2 ( fx²) findet man nach Fig. 432, indem man für / die Fläche des unendlich schmalen Ringes von der Breite A, nämlich /=2æxA setzt; man erhält dann die Gleichung 2 {fx³) = 2x2 (æ³A), oder nach der Bezeichnungsweise der Integralrechnung:

Fig. 433.

^Ęgfśś

21

der Befestignngsstelle zusammenfällt. Setzt man x = l, so erhält man die Gleichung:

60) —Z = Kl,

¹ w

in welcher die Grösse S nunmehr die grösste in dem ganzen Balken überhaupt vorkommende Spannung bezeichnet.

Fig. 484.

Für einen Balken von rechteckigem Querschnitt (Fig.434) h

bh³

^2 zu setzen,

ist w = —, und nach Gleichung 54) X

+K

nimmt also die obige Gleichung die Form an:

61) Sh^ = KL

Wenn man z. B. K— 125 Kil., I-=800

,5 = 20

, h = 100mtn setzt,

so erhält man für die grösste in dem Balken vorkommende Spannung den

im

Werth:

6 Kl 6 . 125 . 800

= 3 Kil.

20 . 100²

Dieser Werth ist unabhängig von der Beschaffenheit des Materials. Bei einer Vergleichung desselben mit der für das betreffende Material als zulässig zu betrachtenden Spannung findet man alsdann: oh die Widerstandsfähigkeit des Balkens der biegenden Kraft gegenüber eine hinreichende Grösse hat, oder umgekehrt: wie gross die letztere höchstens sein darf, wenn jene Grenze nicht überschritten werden soll. So z. B. würde man für einen

schmiedeisernen Balken von den oben angenommenen Dimensionen finden, dass die Kraft K bis auf das Doppelte (also bis auf 250 Kil.) vergrössert werden kann, ohne dass die (für Schmiedeisen) als practisch zulässig anzunehmende Spannung von 6 Kil. pro □

Die grösste Spannung in einem an beiden Endpunkten unterstützten Balken BBt, der an irgend einem Zwischenpunkte A mit

einem Gewicht Q belastet ist (Fig. 435), kann ebenfalls nach Gleichung 60) berechnet werden, wenn mit K der Gegen-ijj§1    druck des einen Stützpunktes,

llllf und mit l die Entfernung des-

Fig. 435.

IQ

mm

überschritten wird.

selben von dem Belastungspunkte bezeichnet wird. Denkt man sich den Theil AB₁ in eine feste Wand eingeschlossen, so findet man, dass der Theil AB in demselben Biegungszustande sich befindet, wie der in Fig. 434

dargestellte Balken — nur mit dem Unterschiede, dass die biegende Kraft hier nach oben wirkt, und in Folge dessen die grösste Zugspannung in der unteren Faser stattfindet. Wenn man für den Gegendruck K alsdann den aus der Gleichung des Hebels: K (Z-Hi) = Qh sich ergebenden Werth substituirt, so erhält man die Gleichung:

(Da K₁l₁ = Kl ist, so gelangt man zu eben derselben Gleichung, wenn man die in dem Theile ABX stattfindende grösste Spannung aufsucht.)

Wenn die Belastung eines an beiden Endpunkten unterstützten Balkens gleichförmig über seine Länge L vertheilt ist, und mit p die auf jeder Längeneinheit enthaltene Belastung bezeichnet wird,

so ist K =

pL

der Gegendruck jedes der beiden Stützpunkte,

Li

und px die Belastung des Theiles BM—x (Fig. 436). Denkt

man sich den Theil AM in eine feste Wand eingeschlossen, so findet man, dass der aus der Wand hervorragende Theil BM angesehen werden kann als ein 11    Balken, der unter Einwirkung

|§|§    zweier biegenden Kräfte sich

Fig. 486.

L-x

M. x x

px

befindet, nämlich der aufwärts biegenden Kraft K und der abwärts biegenden Kraft px. Die in dem Querschnitte M hervorgebrachten Biegungsspannungen entsprechen also der Differenz der statischen Momente dieser beiden Kräfte, und in der allgemeinen Gleichung 51) ist für die Grösse 2DÎ in diesem Falle der Werth zu substituiren :

px²

pL

2'X

px^ =

Für die in der Entfernung x von dem einen Endpunkte stattfindende grösste Spannung ergiebt sich also die Gleichung:

63) — % = ^-x(L — x). w    2

Das Product der beiden Abschnitte x und L — x wird am grössten, wenn x = L — x — ^ gesetzt wird. Die grösste in dem

u

21*

Balken überhaupt vorkommende Spannung findet also in der Mitte des Balkens statt und ist zu bestimmen aus der Gleichung:

64)    =

w    8

Setzt man L = 21 und x — l — z, so erhält man als allgemeine Gleichung für das Biegungsmoment im Abstande z von der Mitte

65) ä)

welche für z — 0 die Form annimmt :

Fig. 437.

ändert, führt zu der Parabel Fig. 437.

66)    2»o = ^-

Die graphische Darstellung des Gesetzes, nach welchem SD7 mit z sich

§ 51.

Elastische Linie.

Die krumme Linie AB (Fig. 422), nach welcher die neutrale Faser eines gebogenen Balkens gekrümmt ist, wird die „elastische Linie“ genannt. Das unendlich kleine Bogenstück MN dieser elastischen Linie kann als ein Kreisbogen angesehen werden, dessen Mittelpunkt 0 mit dem Convergenzpunkte der beiden Normalen CD und EF zusammenfällt, und dessen Halbmesser ON— g den Krümmungshalbmesser der elastischen Linie für diese Stelle bildet. Aus der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke CGM und MNO er-giebt sich die Proportion:

CG _ MG MN ON

Der Quotient auf der linken Seite ist das Yerlängerungs-verhältniss derjenigen Faser, deren Spannung (pro Quadratmillimeter) mit S bezeichnet wurde, also (nach Gleichung I) gleich

S

Wenn man ferner MG = w und ON— g setzt, so erhält

man die Gleichung:

„_N S w , S E 67) -=r =— oder — = —

Eg    io g

S

Nach Substitution dieses Werthes für den Quotienten —

w

die allgemeine Gleichung 51) die Form an:

EZ

nimmt

68)

im.

Aus dieser Gleichung ergiebt sich für den Krümmungshalbmesser des unendlich kleinen Bogenstückes MN der elastischen

Linie A B (Fig. 438) der Werth : EZ

ff

Fig. 438.

Q l-a

69) p =

EZ

N \y

fl

im K(l—x) Bei der vorausgesetzten geringen Grösse der Durchbiegung kann in der Gleichung:

W'

MN = p 9 oder

MN

//

//

70)    9

K(l — x) A

statt des Bogens MN auch die Horizontal-Projection desselben M P = A gesetzt werden, und wenn man ausserdem darin den für p gefundenen Werth substituirt, so erhält man die Gleichung:

EZ

Denkt man sich die Horizontal-Projection A Q = x des ganzen Bogens A M in ihre unendlich kleinen Theile A zerlegt und in der obigen Gleichung statt x der Keihe nach die einzelnen Vielfachen von A substituirt, so erhält man durch Summation aller der auf solche Weise für die zugehörigen unendlich kleinen Winkelgrössen gebildeten Ausdrücke die Gleichung:

71)    =

Die auf der linken Seite stehende Winkelsumme ist gleich dem Winkel a, welchen der Krümmungshalbmesser O M mit der Verticalen (oder die elastische Linie an der Stelle M mit der Horizontalen) einschliesst. In dem Ausdrucke auf der rechten

Seite ist die Grösse •=r= (bei der vorausgesetzten prismatischen Ł Z

Form des Balkens ein gemeinschaftlicher Factor aller unter dem Summationszeichen vereinigten Glieder.

Gleichung:

Man erhält also die

[l 2 (A) — 2 {x A)].

X ^

Hierin ist 2 (A) = x und 2 (x A) = — zu setzen, also ist:

Li

nn\    K

73)    « =

72) o

EZ

2[(M A]

EZ

EZ

(«-£)•

Setzt man in dieser Gleichung x — l, so erhält man für den Winkel a, welchen die elastische Linie an dem Endpunkte B mit der Horizontalen einschliesst, die Gleichung:

Kl2 2 EZ'

In dem unendlich kleinen rechtwinkligen Dreieck MNP ist die verticale Kathete e = Atgo, oder — da wegen vorausgesetzter geringer Grösse der Durchbiegung statt tg w auch die Winkelzahl o selbst gesetzt werden kann —:

75) s = « • A.

Wenn man hierin für o den in Gleichung 73) gefundenen Werth substituirt, so erhält man die Gleichung:

Denkt man sich wiederum die Horizontal-Projection A Q des Bogens A M in ihre unendlich kleinen Theile zerlegt, so kann man die zu jedem dieser Theile gehörige Vertical-Projection des betreffenden Bogentheiles mittelst der obigen allgemeinen Gleichung bestimmen, indem man jedes Mal den zugehörigen Werth von x substituirt, und man erhält durch Summation aller auf solche Weise gefundenen Gleichungen:

77) 2(e)

74) a =

76) e

EZ

EZ

[7 2 (a; A) — ^-2 (x² A)].

Die auf der linken Seite stehende Grösse ist als Summe der Vertical-Projectionen aller Theile des Bogens A M gleich y. zu setzen ;

ferner ist 2 {x A) =

Gleichung:

78) y =

X^

— und 2 (x² A) = —; man erhält also die Ł    o

K rix²

EZ

/Ix²    arA

\2 TJ'

Setzt man — der Bezeichnungsweise der Differenzialrechnung entsprechend —

so nehmen die

_ dy_

dx

Gleichungen die Formen an:

A = dx, i—dy, w

ferner 9 = d w = d

(dy\

\ dx) ’

EZ

d²y

dx²

K (l — x),

EZ

{%)=*(

2/

x³\

6 )'

EZy = x[~

ist -also :

Für x = Z wird y = s, die Senkung

des Endpunktes B

79) 8 =

Kl³

3 EZ

hält man:

Wenn man diese letztere Gleichung durch Gleichung 60) dividirt,

so er

I«ł II

h setzt, so nimmt diese Gleichung

g

und wenn man hierin — = 5 ferner 2 w

E

für 's aufgelöst die Form an:

= |-5 ³ h

Denkt man sich in Fig. 485 das Gewicht Q in der Mitte hängend, so findet man, dass die obige Gleichung dann auch für diesen Fall gelten würde. Man kann dieselbe daher auch dazu benutzen, um die Formen zu finden, welche die für das zusammengesetzte System Fig. 401 gefundenen Gleichungen annehmen würde, wenn der horizontale Balken überall gleichen Querschnitt hätte. Man erhält nämlich statt Gleichung 18), indem man darin die Grösse 8₂ mit der Grösse § S₂ vertauscht, für diesen Fall die Gleichung:

|§2-'

5X «²

und auf gleiche Weise findet man, dass Gleichung 21) alsdann die Form annimmt :

₂ P_ 1P EA Fj 3,as>' E, F₂

Wenn der Balken an der Befestigungsstelle — anstatt in horizontaler Lage — in einer um den sehr kleinen Winkel o nach unten hin von der Horizontalen abweichenden Lage eingespannt ist (Fig. 439), so kann der Neigungswinkel a am Endpunkte B angesehen werden als zusammengesetzt aus zwei Theilen: der eine Theil ist derjenige Neigungswinkel,

Fig. 439.

}ltgco

Q1 =

Qi

fr

Kl³

JsEZ

7rv-;t

um welchen ohne das Vorhandensein einer Durchbiegung die Achse des Balkens bei B von der Horizontalen abweichen würde, also gleich o; der andere von der Durchbiegung herrührende Theil ist nach Gleichung 74) zu bestimmen. Man erhält also für diesen Fall die Gleichung:

80) a = « -j-

Kl²

2 EZ

Ebenso kann die Grösse s in diesem Falle angesehen werden als zusammengesetzt aus dem Theile l tg o (wofür wegen vorauszusetzender Kleinheit des Winkels w auch l w gesetzt werden kann), welcher ohne das Vorhandensein der Durchbiegung die Höhendifferenz der beiden Endpunkte bilden würde, und dem von der Durchbiegung herrührenden Theile, welcher aus Gleichung 79) zu bestimmen ist. Für diesen Fall gilt also die Gleichung:

81) s = lo-\-

KP

3 EX

Zu gleichem Resultate würde man gelangen, wenn man in Fig. 488 den Theil A M in eine feste Wand eingeschlossen ansähe, und für den Theil M B als einen schräg eingespannten Balken die Länge l — x mit l, die Höhendifferenz s — y mit s bezeichnete und die letztere aus den beiden Gleichungen 78) und 79) berechnete.

Die obigen Gleichungen behalten in Bezug auf die Lage des Punktes 5, sowie in Betreff der Kichtung der elastischen Linie an dieser Stelle ihre Gültigkeit auch dann noch, wenn der Balken über den Punkt B um die Strecke B C = a noch hinausreicht (Fig. 440). Wenn auf diesen letzteren Theil des Balkens keine

biegende Kräfte wirken — wie vorausgesetzt wird — so behält derselbe seine geradlinige Form bei. Es ist also der Winkel, welchen bei dem Endpunkte C die elastische Linie mit der Horizontalen einschliesst, ebenfalls gleich a. Die Ordinate oder Senkung des Punktes C erhält man, indem man zu dem für s gefundenen Werthe noch die Grösse a • tg a oder a-a hinzuaddirt. Es ist also:

KP

Fig. 440.

■;ö3t

a.tgcc

(P&l

82) a = 1 o

3 EZ

j- a • a.

Diese Gleichung nimmt nach Substitution des für a gefundenen Werthes die Form an:

83) a = (l -f- a) o -j-

if(2Zs+3aZ²)

6 EX

Wenn man statt dessen die in Fig. 441 gewählte Bezeichnung einfährt, also x statt l und l — x statt a und s statt a setzt, so

Fig. 441.

erhält man die Gleichungen:

Kx²

............T

___1"*_____

84) a — « -j-

85) s = l o -j

2 EX'

K(3lx²—x³)

G EX

Für den Fall, dass ausser der in dem Punkte B angreifenden Kraft K noch in dem Punkte C eine Yerticalkraft Q auf den Balken wirkt, hat man zu den vorigen Werthen der Grössen a und s noch die nach den

Gleichungen 74) und 79) zu bestimmenden Beiträge hinzuzu-addiren, welche die Kraft Q zu diesen Grössen liefert. Man

Fig. 442.

l-x

Ul

erhält also für den in Fig. 442

'<:W...... dargestellten Fall die Gleichungen :

Kx²

86) a = o -f

Ql²

2 EX 2 EX ’

87) s=lu-f

K(Zlx² — x³)

Ql³

3 EX *

Diese Gleichungen gelten nicht nur für positive, sondern auch für negative Werthe der Grössen K und Ç, d. h. für die Fälle, in denen diese Kräfte vertical aufwärts wirken.

Setzt man in den obigen Gleichungen o = 0, Q= 0 und y dx statt if, ferner da. statt a und ds statt s, so nehmen dieselben die Formen an:

6 EX

88) da—

p x² dx

2 EX ’

p (3 Ix² — x³) dx G~EX ’

und wenn man auf der rechten Seite zwischen den Grenzen xl und x₂ integrirt, so erhält man für den in Fig. 443 dargestellten Fall die Werthe:

89) ds

90) a

p{x\—x\)

91) s

GEZ

p [I (x\ —x\) — \ {x\ — ^)]

Fig. 448.

6 EZ

Für den Fall, dass die ganze Länge I mit der Belastung p pro Längeneinheit bedeckt ist, hat man ajj=0, x₂—l zu setzen, und es wird dann:

p(X-X)

^.......

92) a =

GEZ’ p E

m'

1st ausserdem noch die Neigung o an der Befestigungsstelle A und das Gewicht Q am Endpunkte C vorhanden, so wird:

p l³

TTZ t2 EZ'

94) a = « -f

93) s =

Ql

Ql³

SEZ ^ G EZ'

Die Gleichung 87) nimmt, wenn darin o = 0, ferner — K statt Q und — s statt s gesetzt wird, die Form an:

K(2l³ — Glx²-\-x³)

6 EZ

Denkt man sich in Fig. 444 die linksseitige Hälfte in eine feste Wand eingeschlossen, so findet man, dass alsdann die rechtsseitige Hälfte in demselben Biegungszustande sich befindet, wie der in Fig. 442 dargestellte Balken, sobald bei letzterem o = 0 und

96) s

Fig. 444.

l-x

K+

35

l-x

K*

Q — — K angenommen wird. Es ist daher für

Fig. 444 die Durchbiegung s nach Gleichung 96) zu bestimmen.

Setzt man in dieser Gleichung wiederum ds statt s und p dx statt K, so nimmt dieselbe die Form an:

p(2l³ — 3 l x² + #³) dx

97) ds =

und man erhält, indem man auf der rechten Seite zwischen den Grenzen xx und x₂ integrirt, für den in Fig. 445 dargestellten Fall die Gleichung:

GEZ

T(x-x)

98) s = Fig. 445.

æT~

P [W {x₂-xx)-l(xl -x\)+ \{x\-x\)\

6 EZ

~x-~

X'z

KW

Für den Fall, dass die ganze Länge des Balkens belastet ist, hat man xt = 0, x₂ — l zu setzen, und es wird dann:

5 P}L EZ

99) s —

Da zu der Durchbiegung in der Mitte die Belastung der linksseitigen Balkenhälfte denselben Beitrag liefert, wie die der rechtsseitigen, so ist, wenn eine von

Beiden fehlt, die Durchbiegung halb so gross. Für den in Fig. 446 dargestellten Fall ist also die Durchbiegung zu bestimmen aus der Gleichung:

Fig. 446.

-*2

------1-

KW

100) s =

Wenn man in Gleichung 87) die Werthe o = 0 und s = 0, ferner — Q statt Q substituirt, so nimmt dieselbe die Form an: K(3 lx* — x³) ü —    6 EX

und man erhält durch Auflösung derselben für Q den Werth:

12 EX

Ql³

3 EX'

X / r²

i°i) Q =

Nach dieser Gleichung kann man den Gegendruck jeder von den beiden Endstützen in Fig. 447 berechnen; denn wenn man

sich die linke Balkenhälfte in eine feste Wand eingeschlossen denkt, so ergiebt sich, dass die c rechte Hälfte genau in demselben Zustande sich

Fig. 447.

\

»/

____l-x

_____*

.....x_

IC

befindet wie der in Fig. 442 dargestellte Balken (wenn bei letzterem o = 0, s — 0 und Q negativ angenommen wird). Da die Gegendrücke der drei Stützen zusammen gleich 2 K sind, so ist der Gegendruck der Mittelstütze :

Zu diesem Gegendrücke liefert die Belastung der linken Seite denselben Beitrag, wie die der rechten Seite. Es ist also bei

dem in Fig. 448 dargestellten Falle der Gegen-X druck der Mittelstütze: 103) W = \ P—K— Q.

Nach Substitution des für Q gefundenen Werthes

Fig. 448.

U

Î

ZT

l-x

nimmt diese Gleichung die Form an: 104) W=K jl —

tqw

/y» 2 iAs    I

TsT “T

x³|

Die Gegendrücke der Endstützen können nunmehr wie bei dem Balken auf zwei Stützen nach dem Gesetze des Hebels bestimmt werden aus den Gleichungen:

l²

W A TT Tr(l~X\ W

t und u=Ky-ïr)

2“’

welche nach Substitution des für W gefundenen Werthes die Formen annehmen:

x³

l³l

105) V =

(0^,0

l²T + 3~F

106) TJ — —

Das Biegungsmoment an der im Abstande z vom Punkte A zwischen A und B gelegenen Stelle N hat die Grösse:

107) m = K(x — z) — V (l — z).

Wenn man hierin = 0 setzt und für V den in Gleichung 105) gefundenen Werth substituirt, so erhält man für 0 die Gleichung:

108) I

²?

welche nach Substitution der Werthe

== u und

die einfachere Form annimmt:

109) v =

5 — u²

Nach dieser Gleichung kann die Stelle N, wo das Biegungsmoment die Grösse Null hat, bestimmt, und das Gesetz, nach welchem das Biegungsmoment längs der ganzen Länge des Balkens sich ändert, auf die in Fig. 449 angegebene Art graphisch dargestellt werden. Auch kann man — wie in Fig. 450 und Fig. 451

Fig. 449.

angedeutet — die obige Gleichung in der fur u aufgelösten Form:

14,-i

' V

x-z B l-x

110) u =

m b

(max)

Fig. 450.

Fig. 451.

dazu benutzen, um diejenigen Belastungszustände zu finden, bei welchen an einer gegebenen Stelle N das Biegungsmoment resp. seinen grössten und kleinsten Werth annimmt.

Nachdem in den

Ob

Gleichungen 104), 105), 106) die Gegendrücke gefunden sind, welche ein einzelnes Gewicht K an den Stützpunkten hervorbringt, findet man die Wirkung, welche eine über die Strecke x₂ — xx gleichförmig vertheilte Belastung hervorbringt, indem man wiederum pdx statt K setzt v und zwischen den Grenzen

Fig. 452.

-----------X-—

-æï~]

TT

p(X-x)

Belastungszustande nach Gleichung 105) der Werth:

xx und x₂ integrirt. So ergiebt sich z. B. für den Stützendruck V bei dem

in Fig. 452 dargestellten

x? \    ,

Fi’0l3er

■»i

111) F=.i {!* (*; - x\) + l (x\ - x\) -i(<- *!)}•

Sind gleichzeitig mehrere solcher Strecken belastet, so ist der

betreffende Stützendruck gleich der Summe der Beiträge zu setzen, welche die einzelnen Belastungen zu demselben liefern.

Nach Gleichung 101) erhält man, indem man pdx statt K setzt und zwischen den Grenzen 0 und l integrirt, für den Gegendruck einer der beiden Endstützen den Werth Q — ^pl. Wenn also bei dem in Fig. 452 dargestellten Balken mit p die gleichförmig über die ganze Balkenlänge vertheilte Belastung pro Längeneinheit und mit m eine über die Strecke x₂ — xx gleichförmig vertheilte mobile Belastung pro Längeneinheit bezeichnet wird, so ergiebt sich für den Stützendruck V der Werth:

{V² (x\ — x\) -f l {x\—x\)—i O* —,x\)}.

Wäre in Fig. 453 die Mittelstütze nicht vorhanden, so würde

die Durchbiegung in der Mitte wie bei dem Balken auf zwei Stützen nach Gleichung 96) zu bestimmen sein, und man erhielte für dieselbe den Werth:

113) sx =

Für die nach oben gerichtete Durchbiegung, welche bei dem unbelasteten Balken die in der Mitte angreifende Kraft P für sich allein hervorbringen würde, erhält man ferner nach Gleichung 96), indem man darin x = 0 und 2 K=P setzt, den Werth:

112) r=§pi +

4Z³

Fig. 45B.

pl

j)L

pP

EZ

114) s₂

PP

QEZ

Die wirkliche Durchbiegung muss gleich der Differenz dieser beiden Grössen sein, ist also:

6 Pl

PP

115) s — s₁ s₂ —

Diese Gleichung kann man benutzen, um bei dem zusammengesetzten Systeme (Fig. 401) die Lastvertheilung zu berechnen für den Fall, dass die Belastung über die Länge des horizontalen Balkens gleichförmig vertheilt ist, und der letztere überall gleichen Querschnitt hat. Der Druck P bildet nämlich, in entgegengesetzter Richtung genommen, zugleich die Kraft, welchen dem Verbindungspunkte der beiden Streben die Senkung:

EX 6 EX

116) s

Pa³

2 E₁F₁h\

ertheilt, und man erhält, indem man wiederum die beiden Werthe von s einander gleichsetzt, eine Gleichung von der Form:

_ 5 SJl.

-

117)

Pas

PI³

2 Ex Fxh\

E₂ X₂ 6 E₂ Z₂

Wenn der Querschnitt des horizontalen Balkens ein Rechteck ist, und mit F₂ die Fläche, mit h₂ die Höhe desselben bezeichnet

wird, so ist (nach Gleichung 54) X.

E,h\

12

zu setzen und man

erhält aus obiger Gleichung für P den Werth:

118) P =

5 pl

hl Ą Ą

^ l*' h\ Ey Fy

Nach dieser Gleichung ist der von den beiden Streben übernommene Theil der Belastung zu berechnen, wenn vorausgesetzt wird, dass die Temperatur unverändert blieb, und dass vor Beginn der Lastwirkung die drei Punkte (7, E, D in einer Horizontalen lagen.

= 1 und —~ = 2 ist, so wird

Wenn z. B. -y = f, P= 1,128 pl. Für

lh l’ Ey

Fy

— 0 wird P=%pl, also ebensogross wie bei dem Balken auf drei gleich hohen Stützpunkten der Gegendruck der Mittelstütze.

Setzt man in Gleichung 115) p = 0 und — P statt + P, so erhält man für s den Werth:

PP

6 EX

Diese Gleichung kann man benutzen, um den Einfluss einer Temperaturänderung auf die Lastvertheilung in Fig. 401 zu bestimmen. Indem man (auf dieselbe Weise wie in Gleichung 41 geschehen) die beiden durch Temperatur-Abnahme hervorgebrachten Werthe von s einander gleichsetzt, erhält man die Gleichung:

Pa

pp

\ a²

y)hy

6 E₂ X₂ ’

welche für P aufgelöst, nach Substitution des Werthes X = die Form annimmt:

2 EyFyk

FM

2 A EyFy — a

¹

A Ex Fx

²

{fx²) = 2 x ix³ dx = ~- i?⁴ 5.

Jo    *

Es ist also, wenn mit D der Durchmesser des Kreises bezeichnet wird :

³

58) % =

⁴

'    4    64

Die Ringfläche (Fig. 433) kann als Differenz zweier Kreisflächen von den Durchmessern D und d angesehen werden. Das

⁵

rägheitsmoment derselben ist also:

59) % = ^{D±-d%

Aus Gleichung 50) ergiebt sich, dass die grösste in einem Querschnitte vorkommende Spannung an den verschiedenen Stellen des Balkens verschiedene Grössen hat; denn die Grösse S hängt ab von dem Momente der biegenden Kraft und wird am grössten da, wo der Hebelarm x seinen grössten Werth annimmt, d. h. in demjenigen Querschnitte, welcher mit

Bitter, Dach- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

i + i.A.Ä.P.Al

ł Ą F, «³ h\

Setzt man hierin Ex — E₂ = 20 000 , Ft = 10 000, F₂ = 20 000, = 3 und A = (entsprechend einer Temperatur-

to

— — 0,8, — = 0,6,

Abnahme von 20,5 Grad C.), so wird P= 5873 Kil. Wenn ausserdem die Belastung 2 pl wirkt, so wird P= 1,128 pl— 5873 Kil. bei einer Temperatur-Abnahme von 20,5 Grad, und P= 1,128 pl -f- 5873 Kil. bei einer Temperatur-Zunahme von 20,5 Grad.

Der allgemeine Ausdruck für den Krümmungshalbmesser der elastischen Linie (Fig. 438) hat nach Gleichung 68) die Form:

EZ

121) p =

äß ’

und zwar bedeutet darin ç den Krümmungshalbmesser an derjenigen Stelle des Balkens, an welcher das Moment der biegenden Kraft die Grösse 9ß, und das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche die Grösse Z hat. Wenn der Quotient ^ für alle Stellen des Balkens gleiche Wierthe annimmt, so ist auch der Krümmungshalbmesser an allen Stellen gleich gross, und die elastische Linie wird in diesem Falle ein Kreisbogen.

Bei einem Balken von constantem Querschnitte ist das Trägheitsmoment Z an allen Stellen von gleicher Grösse. Ein prismatischer Balken wird daher nur dann nach einer Kreislinie sich krümmen, wenn auch das Moment 9ß an allen Stellen des Balkens gleich gross ist, wie z. B. in dem Falle, wenn an dem freien Ende des Balkens (Fig. 422) statt der einzelnen Kraft ein Kräftepaar wirkte.

Wenn dagegen die Grössen und Z mit der Entfernung vom Endpunkte des Balkens sich ändern, und wenn mit 2^, 9ßx resp. die Werthe bezeichnet werden, welche die Grössen Z, 9ß an einer bestimmten willkürlich zu wählenden Stelle — z. B. an dem einen Endpunkte — des Balkens annehmen, so drückt die Gleichung:

Fig. 454.

122)

Z _ Z₁

oder

äß

éh

%x aßj die allgemeine Bedingung aus, unter welcher die elastische Linie

ein Kreisbogen wird.

Für den in Fig. 454 dargestellten Fall nimmt die allgemeine Bedingungsgleichung 122) die Form an:

Fig. 456.

K und wenn man ein anderes Mal u = h setzt, so wird:

125) I

.T

Setzt

Fig. 455.

ZU³ fl?

bl? ⁼ T‘

man z — b, so erhält man für den in Fig. 455 und

Fig. 456 dargestellten Träger von constanter Breite die Gleichung:

1241

^ ä»“ r

123)

fl?

z ’

und man erhält einen im Grundriss dreieckigen Balken von constanter Höhe (Fig. 457 und Fig. 458).

Fig. 457. M

»h

fl

■.....I

1K

z\

Fig. 455).

Fig. 458.

Die Senkung des Belastungspunktes kann für den Balken von constanter Krümmung (Fig. 459) nach der Gleichung der Kreislinie:

l² = 2 çs — s²

berechnet werden. Wegen vorauszusetzender Kleinheit der Durchbiegung darf in dieser Gleichung das Glied s² weggelassen und die Grösse l als Länge des Balkens angesehen werden. Hiernach er-giebt sich für die Senkung des Belastungspunktes B der Werth:

Wenn man hierin für p den aus Gleichung 67) zu entnehmenden Werth substituirt, so erhält man die Gleichung:

PS

127) s

2 wE

Für einen symmetrisch in Bezug auf die neutrale Axe geformten Querschnitt von constanter Höhe h ist 2 w = h zu setzen,

= 8 setzt, so wird:

und wenn man ausserdem

128) s =

,11 ⁸ h

Denkt man sich in Fig. 435 das Gewicht Q in der Mitte hängend und jede Hälfte des Balkens wie Fig. 457 und Fig. 458 geformt, so findet man, dass dieser Balken alsdann ebenfalls nach einem Kreisbogen sich biegen wird. Es würde daher hei dem in Fig. 401 dargestellten Falle die in Bezug auf den horizontalen Balken gemachte Voraussetzung: dass derselbe unter Einwirkung der Belastung nach einem Kreisbogen sich krümmt, auch dann zutreffen, wenn jede Hälfte desselben die in Fig. 457 und Fig. 458 dargestellte Form hätte.

Wenn man statt dessen in Gleichung 126) für p den Werth aus Gleichung 121) einführt, und für den constanten Quotienten

er

^ den Werth —■ substituirt, welchen derselbe an der Befestigungsstelle A annimmt, so erhält man die Gleichung:

_ KP S~~ 2 EX,'

Bei dem Träger von constanter Krümmung ist also die Senkung des Belastungspunktes 1,5 mal so gross als bei dem prismatischen Träger (Gleichung 79).

§ 52.

Widerstand gegen Zerknicken.

Wenn an den beiden Enden einer geradlinigen prismatischen Stange vom Querschnitt F zwei gleichförmig über die Endflächen vertheilte gleich grosse Druckkräfte K wirken, so entsteht in der Stange pro Flächeneinheit ihres Querschnitts eine Druckspannung:

129) St =

welche längs der ganzen Stange in jedem Querschnitte und in allen Theilen dieses Querschnitts eine und dieselbe Grösse hat (Fig. 460).

Angenommen: die Stange würde auf irgend eine Weise in eine gekrümmte Form gebracht, und die Krümmung so lange ver-

4-

cs

grössert, bis die Pfeil-K ß höhe der Biegungscurve *    ~i die -Grösse / erreicht

i£L

crcT ;

g i k

h*

(Fig. 461) ; angenommen . ferner: die Stange würde in diesem gebogenen Zustande der Wirkung der beiden Kräfte K ausgesetzt, und die letzteren würden so lange ver-grössert, bis dieselben für sich allein ausreichen, die Stange in einem solchen gebogenen Zustande zu erhalten, bei welchem die Pfeilhöhe der Biegungscurve gleich / ist. Die grösste Druckspannung, welche unter diesen Umständen in der Stange entsteht, lässt sich auf folgende Weise berechnen.

Die an irgend einer Stelle eines bestimmten Querschnitts stattfindende Spannung kann in diesem Falle angesehen werden als aus zwei Spannungen zusammengesetzt: nämlich aus der gleichförmig über die Querschnittsfläche vertheilten Druckspannung Sx, welche wie im vorigen Falle aus Gleichung 129) bestimmt werden kann, und aus der in Folge der Krümmung an dieser Stelle entstehenden Biegungsspannung, welche von dem Momente der biegenden Kraft abhängt und an der concaven Seite der Krümmung ebenfalls eine Druckspannung bildet. Das Moment der biegenden Kraft erreicht an der Stelle C seinen grössten Werth:

130)    m = Kf;

es wird daher die in Folge der Biegung hinzukommende Druckspannung ebenfalls an dieser Stelle (und zwar an der concaven Seite) ihren grössten Werth annehmen. Setzt man in der allgemeinen Gleichung 52) für 9JÏ den obigen Werth, so erhält man für diese allein von der Biegung herrührende grösste Druckspannung S₂ die Gleichung:

131)    S₂ = ~-K/.

Die grösste in der Stange überhaupt vorkommende Druckspannung S ist nunmehr zu berechnen aus der Gleichung:

132)    5 = ^ + 5₂.

Es ergiebt sich hieraus, dass die Elasticitätswiderstände der Stange auf zwei verschiedene Arten jenen Druckkräften K das Gleichgewicht halten können: das eine Mal auf die in Fig. 460 angedeutete Art, bei welcher die hervorgebrachte Druckspannung nur die Grösse S₁ erreicht; das andere Mal auf die in Fig. 461 angedeutete Art, bei welcher die grössere Druckspannung S₁-\-S2 entsteht. Wenn also diejenige Querschnittsgrösse F berechnet werden sollte, bei welcher die Widerstandsfähigkeit der Stange jenen Druckkräften gegenüber eine hinreichende Grösse besitzt, so würde zunächst die Frage entschieden werden müssen, ob jene Druckkräfte auf die erste oder auf die zweite Art die Widerstandsfähigkeit der Stange in Anspruch nehmen werden. Im ersten Falle würde in Gleichung 129) für S± die Grösse der zulässigen Druckspannung zu setzen, und die Grösse F unmittelbar aus dieser Gleichung zu berechnen sein. Im zweiten Falle dagegen würde man dem Querschnitt eine solche Grösse zu geben haben, bei welcher erst die Summe der beiden Spannungen Si und S₂ die Grösse der zulässigen Druckspannung erreicht.

jede Möglichkeit einer seit-

Bei langen dünnen Stangen reicht die geringste zufällige Krümmung schon hin, um zu bewirken, dass durch die Druckkräfte eine seitliche Ausbiegung hervorgebracht, und der Widerstand gegen Zerknicken in Anspruch genommen wird. Wenn also nicht durch besonders günstige Umstände — wie etwa durch feste Wände, welche die Stange von allen Seiten umgeben und die Form derselben geradlinig erhalten liehen Ausbiegung ausgeschlossen ist, so wird man bei der Querschnittsberechnung allemal die zweite Methode vorziehen und der Sicherheit wegen von der Voraussetzung ausgehen, dass jede Druckkraft ausser der direct hervorgebrachten Druckspannung S₁ noch eine Biegungsspannung S₂ erzeugt, entsprechend — nach Gleichung 131) — dem grössten Werthe, welchen der Hebelarm / im ungünstigsten Falle erreichen kann.

Für diese Grösse / lässt sich auf folgende Weise ein oberer Grenzwerth ermitteln, in Bezug auf welchen mit Bestimmtheit behauptet werden kann, dass bei genügender Stärke der Stange in Wirklichkeit niemals eine Biegung entstehen kann, bei welcher der Hebelarm der Kraft K jenen Grenzwerth erreichte. Denkt man sich nämlich die Stange an allen Stellen gleich stark gekrümmt — in welchem Falle also die Biegungscurve ein Kreisbogen wird — und denkt man sich zugleich diese Krümmung so stark,

dass die solcher Krümmung entsprechende BiegungsSpannung für sich allein schon die Elasticitätsgrenze erreicht, so würde offenbar bei dem Hinzutreten der gleichförmig vertheilten Druckspannung die Elasticitätsgrenze überschritten werden. Könnte durch die Druckkräfte K ein solcher Zustand der Stange jemals herbeigeführt werden, so würde die Stärke der Stange jedenfalls ungenügend zu nennen sein. Wenn man also die einer solchen Krümmung entsprechende Pfeilhöhe / in Gleichung 131) als Hebelarm der Kraft K in Rechnung bringt, so wird der aus jener Gleichung hervorgehende von S₂ jedenfalls grösser sein als die Biegungsspannung, welche bei genügender Stärke der Stange in Wirklichkeit durch die Kräfte K hervorgebracht werden kann, und die aus dieser Annahme sich ergebende Querschnittsgrösse F wird etwas grösser ausfallen als in Wirklichkeit erforderlich ist.

Wenn man in Gleichung I (§ 44) dem Buchstaben S die Bedeutung der „Druckspannung an der Elasticitätsgrenze“ giebt, so bedeutet 5 das Verkürzungsverhältniss, welches der Elasticitätsgrenze entspricht. Man kann also den gesuchten Werth von / aus

S

Gleichung 127) berechnen, indem man darin 5 statt und / statt s substituirt, woraus sich die Gleichung ergiebt:

in

2 w ’

Wenn man diesen Werth für / und ausserdem den aus Gleichung 129) für K sich ergebenden Werth in Gleichung 131) substituirt, so nimmt letztere die Form an:

.133) /

hl² F

und für die grösste Druckspannung in der Stange ergiebt sich nach Gleichung 132) der Werth:

135) S = S.(l+{^>

Wenn man die ganze Länge der Stange 2 1 = L setzt und

S

das Verhältniss — mit n bezeichnet, so erhält man für letztere bx

Zahl die allgemeine Gleichung:

136) n =

S_ _    _8 FIJ

Si ~    ' 8 % ’

In dieser Gleichung bedeutet Sx diejenige Druckspannung, welche ohne das Hinzutreten der Biegung in der Stange entstanden

sein würde, und die Verhältnisszahl n giebt an: wie vielmal die Druckspannung vergrössert werden kann durch das Hinzutreten der Biegung.

Die Zahl n giebt daher zugleich an: den wievielten Theil von der sonst zulässigen Druckspannung man als Belastung für jede Flächeneinheit des Querschnitts als zulässig in Rechnung bringen darf, wenn die Stange eine genügende Widerstandsfähigkeit gegen das Zerknicken besitzen soll.

Wenn man in obiger Gleichung für den Coefficienten 5 die der Elasticitätsgrenze entsprechenden Werthe substituirt, so erhält man die Gleichungen resp. für:

Gusseisen:

15

10000’

137) w = 1 -f

Schmiedeisen: 5

15

20000’

138) n= 1 +

1 FL2 5333 Z ’ 1 FL²

10666 Z ’

1 FL2 4444 Z '

In diesen Gleichungen bedeutet Z das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche in Bezug auf diejenige Schwerpunktsachse, welche rechtwinkelig zur Biegungsebene steht, d. h. rechtwinkelig zu derjenigen Ebene, in welcher eine Biegung der Stange am leichtesten hervorgebracht werden kann.

Wenn z. B. der Querschnitt ein Kechteck, und H die grössere, B die

—^2 zu setzen sein; wenn da-B H³

gegen II die kleinere, B die grössere Seite wäre, so würde Z =    — zu

F B H

setzen sein. Für letzteren Fall würde man also =

Z

substituiren haben und die Gleichungen erhalten resp. für:

Holz:

1,8

1000 ’

139) n= 1 +

kleinere Seite desselben ist, so würde % —

12

TV B H³ IF ZU

Gusseisen:

140) n = 1 + 0,002 25 l-~Jt

Schmiedeisen: 141) n = 1 -f 0,001 125

142) n = 1 + 0,002 7 (^ , aus denen sich z. B. die nachfolgenden zusammengehörigen Werthe ergehen:

Holz:

= 10

20

30

40

50

Gusseisen :

Schmiedeisen : n = 1,112 5

Holz:

n — 1,225    1,9    3,025

1,45    2,0125

2,08    3,43

n = 1,27

CO 00

6,625,

3,8125,

7,75.

Setzt man als zulässige Druckspannung für Schmiedeisen S = 6Kil., so würde z. B. eine parallelepipedische schmiedeiserne Stange, deren kleinere Querschnitts-Dimension H den zwanzigsten Theil der Länge L beträgt, nur mit dem Gewichte:

1,45

4,14 Kil.

für jeden Quadratmillimeter des Querschnitts belastet werden dürfen; und wenn z. B. H— 10

die Grösse

40mm ist, so würde die Druckkraft K (Fig. 461)

K=F.Sl = 400.4,14 = 1656 Kil.

nicht überschreiten dürfen, wenn noch hinreichende Sicherheit gegen das Zerknicken vorhanden sein soll.

Wenn die Querschnittsfläche in der Differenz zweier Rechteckflächen

BH—bh

tV bh³- t\ b h³

Schmiedeisen gefundene Gleichung 138) nimmt für diesen Fall die Form an:

(BH—bh) L2 B H³ — b h³ '

Hiernach ergiebt sich z. B. für eine quadratische schmiedeiserne Röhre, deren Wandstärke 4er äusseren Dicke beträgt, die Gleichung:

besteht (Fig. 427), so ist

143) n = 1 + 0,001 125

144)

n = 1 + 0,00062 I^J

zu

setzen, und die für

und wenn zugleich die äussere Dicke H gleich dem zwanzigsten Theile der Länge ist, so wird:

n — 1,248.

Eine solche Röhre würde also unter den obigen Voraussetzungen nur mit dem Gewichte :

St

4,8 Kil.

1,248

pro Quadratmillimeter ihres Querschnitts belastet werden dürfen.

Für eine runde schmiedeiserne Röhre vom äusseren Durchmesser D und

- (D² — d²)

4

sein, und ergiebt sich nach Gleichung 138) der Werth: n — 1-1- 0,0015 (

= 0,9 und

vom inneren Durchmesser d würde

145)

L²

D² + d²

16

D² + d²

zu setzen

Setzt man hierin Sx = 4,5 Kil.

Für d — 0 und -

= 20, so wird n = 1,3315 und

= 20 dagegen wird n = 1,6 und = 3,75 Kil.

Denkt man sich in Fig. 461 die eine Hälfte der Stange in eine feste Wand eingeschlossen, so findet man, dass dadurch in dem Spannungszustande der andern Hälfte — folglich auch in

der bei C stattfindenden grössten Druckspannung — keine Aen-derung hervorgebracht werden würde. Die allgemeine Gleichung 136) gilt daher auch für den in Fig. 462 dargestellten Fall, und wenn man wiederum L — Zl setzt, so erhält man für diesen Fall die Gleichung:

Fig. 462.

146) n — 1 +

Für eine massive runde schmiedeiserne Stange, deren Länge BC = l das Zwanzigfache des Durchmessers beträgt,

würde also in diesem Falle n = 3,4 und Sx — —- — 1,76 Kil.

3,-1

il

\\

NU

su setzen sein; und wenn der Querschnitt der Stange z. B. 100 Quadratmillimeter enthielte, so würde bei der in Fig. 462 dargestellten Befestigungsweise nur eineBelastung AT=176Kil. als zulässig zu betrachten sein (während dieselbe Stange hei der in Fig¹. 461 dargestellten Belastungsweise ein Gewicht üT= 375 Kil. mit hinreichender Sicherheit tragen würde).

Hiernach sind die im zwölften Abschnitte für die Querschnittsbestimmung gegebenen Regeln zu modificiren, und sind die dort für die gedrückten Stangen gefundenen Querschnittszahlen nur gültig unter Voraussetzung solcher Querschnittsformen, für welche die Zahl n einen nur wenig von 1 verschiedenen Werth erhält.

Aus den oben gefundenen Gleichungen ergeben sich überhaupt folgende allgemeine Regeln und Gesetze: erstens, gedrückte Stangen erfordern bei gleicher Spannung im allgemeinen grössere Querschnitte als gezogene Stangen; zweitens, die Querschnittsfläche einer gedrückten Stange ist um so mehr zu vergrössern, je grösser das Verhältniss ihrer Länge zur kleinsten Querschnitts-Dimension ist, und je ungünstiger in dieser Beziehung die Form des Querschnitts gewählt wird; drittens, bei gleicher Länge und Querschnittsform wird die erforderliche Vergrösserung des Querschnitts um so beträchtlicher werden, je geringer die Spannung der Stange und je kleiner in Folge dessen die kleinste Querschnitts-Dimension im Verhältniss zu ihrer Länge wird.

Aus der letzten Folgerung ergiebt sich die Constructionsregel : bei gedrückten Stangen sind Zersplitterungen in mehrere isolirte Theile womöglich zu vermeiden. In dieser Beziehung sind die einfachsten Constructionsformen die vortheilhaftesten, sind also z. B.

einfache Gittersysteme den mehrfachen, kleinere Felderzahlen den grösseren vorzuziehen; weil die Zahl n mit der Zahl der gedrückten Theile rasch zunimmt. Grössere Felderzahlen und mehrfache Gitter-Systeme haben dagegen — wie schon in § 43 bemerkt wurde — den Yortheil, dass wegen grösserer Zahl der Belastungspunkte an Material für die Zwischenträger gespart werden kann. Ebenso er-giebt sich hieraus, dass bei der Bestimmung des vortheilhaftesten Höhenverhältnisses der Träger auf den mit wachsender Höhe rasch abnehmenden Widerstand der gedrückten Theile gegen Zerknicken gehörig Rücksicht genommen werden muss.

Welche Felderzahlen und Höhenverhältnisse hinsichtlich des Materialaufwandes die vorteilhaftesten sind: diese Frage lässt sich überhaupt nicht allgemein beantworten, sondern muss in jedem einzelnen Falle durch vorläufige versuchsweise angestellte Rechnungen entschieden werden.

SECHZEHNTER ABSCHNITT.

Berechnung einer combinirten Gitter- nnd Hänge-Brücke von 60m Spannweite.¹) § 53.

Voruntersuchung zur Ermittelung des vorteilhaftesten Höhenverhältnisses.

Die Brücke sollte womöglich so construirt werden, dass ein jeder Constructionstheil unter den für ihn ungünstigen Umständen das Maximum der für zulässig erachteten Spannung erreicht. Es ist deshalb das Verhältniss:

Höhe des Gitterbalkens

Pfeilhöhe der Kette so zu wählen, dass bei allmählig wachsender Belastung die Spannungen in Kette und Gitterbalken gleichzeitig die zulässige

Grenze erreichen (Fig. 463). Hinsichtlich der Kette ist dabei zugleich Kücksicht zu nehmen auf den Einfluss einer etwa gleichzeitig stattfindenden Temperatur-Aenderung.

x.....:-

Ti

Fig. 468.

relxlxlxM

Wenn mit 6 das grösste Verlängerungsverhältniss bezeichnet wird, welches in der parabolischen Kette durch die Belastung allein hervorgebracht werden würde, so ist nach § 45 die demselben entsprechende Senkung des Scheitelpunktes der Kette:

147) ö =

wofür man wegen hier vorauszusetzender Kleinheit des Verhält-h

nisses — annäherungsweise auch setzen kann:

148) a =

⁵ h

Wenn ferner mit A das der grössten vorkommenden Temperatur-Erhöhung entsprechende Ausdehnungsverhältniss der Kette bezeichnet wird, so hat die grösste überhaupt vorkommende Senkung des Scheitelpunktes der Kette (s. Fig. 464) die Grösse:

149) « = |(5 + A)Ç.

Fig. 464.

Bei einem prismatischen Balken auf zwei Stützen ist die von einer gleichförmig über die Länge vertheilten Belastung hervorgebrachte Durchbiegung in der Mitte (nach § 51) zu bestimmen nach der Gleichung:

5 îl

in welcher q die Belastung pro Längeneinheit, das Trägheitsmoment der (in Bezug auf die neutrale Achse symmetrisch vor-

150)

ausgesetzten (Querschnittsääche, und Ex den Elasticitätsmodulus des Materials bezeichnet. (S. Fig. 465.)

Fig. 465.

2 gl

Die grösste Biegungsspannung im Balken (SJ ist (nach § 50) zu berechnen aus der Gleichung:

151)

₌il²

¹ 2‘

Wenn man den aus dieser Gleichung für zu entnehmenden Werth in der vorigen substituirt, so erhält man die Gleichung:

152) Sl =

»r.lo

SJ P_

Exhx'

S

welche, wenn die Grösse -J- als das grösste im Balken vorkommende -^1

Längenänderangsverhältniss mit bezeichnet wird, die Form annimmt:

153) st =

l²

⁵ ?> —.

T 01V

Durch Gleichsetzung der beiden für s und s₁ gefundenen Werthe erhält man die Gleichung:²)

154)

l²

l²

i(h + A)j- J-,

aus welcher für das vortheilhafteste Höhenverhältniss der Werth sich ergiebt:

¹⁵⁵> i

vT. |<0

'»i

t (» + a y

Wenn man annimmt, dass die Brücke bei mittlerer Temperatur aufgestellt wird, so ist die Grösse A zu berechnen nach dem Ueberschusse der höchsten möglicherweise vorkommenden Temperatur über jene mittlere Temperatur. Bei einer Temperatur-Erhöhung von der Grösse £ = 41° (Celsius) hat das Ausdehnungs-Verhältniss für Schmiedeisen die Grösse: A = -2ÏÏ¹ÏÏÏÏ; für t = 20,5° (Celsius) würde A =    zu setzen sein. Es ist ferner der

Elasticitätsmodulus für Schmiedeisen E = 20000 Kil. (pro Quadratmillimeter) und die zulässige Spannung variirt zwischen 5 und

10 Kil. (pro

liegen also zwischen den Grenzen für die Pfeilhöhe der Kette die Grösse h = 4“ als gegeben annimmt, so ergeben sich aus obiger Gleichung die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Zahlenwerthe:

Die für § und zu substituirenden Werthe

Wenn man

£•.

^Oööö

und —-¹-⁰-

20000"

(Kette.)

(Gitterbalken.)

(Temp.-Ausdehnung.)

2ÏÏÏÏÔÏÏ

2ÏÏÏÏÏÏÏÏ

(20,5° C.) (41° C.)

.5

2,424“

1,66 ...“

4ÏÏÏÏÏÏ

2Ö0Ö0

2"ÖÖ"ÖÖ

J,

20ÏÏÜ

(20,5° C.) (41° C.)

C|ji ©|t-e*|sa t-iIuj

-rH S

>0 GO © -H

CI rH

2ÏÏÏÏÔÔ

4ÏÏÏÏÔ

20ÔÏÏ

(20,5° C.) t⁵t°t 1,71“ (41° C.)    §f    1,234“

1_0

3J0 0 0 0

4ÏÏÏÏÏÏ

3L

2ÏÏÏÏÔ

(20,5° C.) (41° C.)

i o ^7"

T8

1,48“

*1,111“

Bei der Benutzung dieser Tabelle hat man zu berücksichtigen, dass, obwohl Kette und Gitterbalken aus demselben Materiale bestehen, doch uus verschiedenen Gründen für die Grösse Sj ein kleinerer Werth in Rechnung zu bringen ist als für die Grösse 8. Erstens: weil für die Biegungs-Spannungen im Gitterbalken die Grösse §! nach der grössten zulässigen Druck-Spannung zu bemessen ist, während in der Kette stets nur Zug-Spannungen Vorkommen; zweitens: weil die bei voller Belastung und höchster Temperatur in dem Gitterbalken eintretende Spannung noch nicht das überhaupt erreichbare Maximum bildet, insofern durch den Horizontaldruck des Windes und Ungleichförmigkeiten in der Verkeilung der mobilen Belastung jene Spannung noch eine weitere Vergrösserung erleiden kann; drittens: weil die vorläufig als unbeweglich betrachteten Aufhängepunkte der Kette in Wirklichkeit einander etwas näher rücken können in Folge des Ausreckens der Spannketten (was denselben Einfluss hat, wie wenn die Dehnbarkeit der Kette entsprechend vergrössert wäre).

Es erscheint hiernach, wenn die Ketten-Pfeilhöhe h = 4“ als gegeben angenommen wird, die Grösse hx = 1,5“ als ein passender zugehöriger Werth für die Höhe des Gitterbalkens, insofern dieser

Werth das arithmetische Mittel von den in der letzten Colnmne stehenden Zahlen bilden würde, wenn die ersten beiden fortgelassen worden wären.

Berechnung der durch Temperatur-Aenderungen hervorgebrachten Spannungen.

Bei abnehmender Temperatur verkürzt sich die Kette und der Scheitelpunkt derselben hebt sich; es entstehen dadurch in Kette und Gitterbalken Spannungen, welche mit den von den Belastungen hervorgebrachten sich summiren, aber zu berechnen sind, wie wenn gar keine Belastung vorhanden und das Ganze gewichtlos wäre.

Die Endpunkte Ax und Bx des Gitterbalkens dürfen als feste Punkte betrachtet werden, welche sowohl vertical abwärts als aufwärts gerichtete Gegendrücke zu leisten fähig sind.³) Die durch Abkühlung hervorgebrachte Verkürzung der Kette würde mit einer Durchbiegung des Gitterbalkens nach oben hin verbunden sein. (S. Fig. 466.) Vermöge seiner Steifigkeit setzt der Gitterbalken

Fig. 4(>6.

<r

<r

<—

-x-

dieser Durchbiegung einen gewissen Widerstand entgegen, welcher auf die parabolische Kette wie eine gleichförmig über die Horizontal-Projection derselben vertheilte Belastung Je pro Längeneinheit wirkt und den Scheitelpunkt der Kette verhindert, bis zu derjenigen Höhe zu steigen, welche derselbe ohne den Widerstand des steifen Balkens erreichen würde. Es ist daher die wirkliche Hebung s gleich dem Ueberschusse^der Hebung sx, welche durch

die Abkühlung allein hervorgebracht worden wäre, über die Senkung s₂, welche die Belastung k für sich allein hervorgebracht hätte, zu setzen.

Wenn mit A das der Temperatur-Abnahme entsprechende Ver-

für t — 41⁰ Celsius) bezeichnet

kürzungsverhältniss (A = wird, so ist:

Die der Belastung k entsprechende Horizontalspannung der Kette ist (nach § 8):

157) H =

kl²

2 h '

Wenn also mit E der Elasticitäts-Modulus des Ketten-Mate-

rials und mit F der Querschnitt der Kette im Scheitelpunkte (oder die Summe der Ketten-Querschnitte, wenn es mehre neben einander hängende Ketten sind) bezeichnet wird, so hat das von der Belastung k hervorgebrachte Yerlängerungsverhältniss die Grösse: H 1

F E ~ 2 FFh ’

158) 6 =

kl²

und dieser Verlängerung würde die Senkung des Ketten-Scheitel-punktes entsprechen:

1F.Qs _₃J²_s .kv 1o9) s₂ — T ^    — w

Die wirkliche Hebung desselben ist daher:

FFh² '

l²

160) s=s₁-s₂ = |At-

ii

, kV FFh² *

Ebensogross muss die nach oben hervorgebrachte Durchbiegung des Gitterbalkens in der Mitte sein, und da dieselbe durch die nach oben wirkende Belastung k pro Längeneinheit hervorgebracht wird, so ist:

< kV

E&

Durch Gleichsetzung der beiden für s gefundenen Werthe erhält man die Gleichung:

161) s —

l²

162) |AT-|

kV

kV

FFh²

E₁%₁

, oder

163) k —--rjj

<1 -SÏ

OCjtO

FFh²

F₁Z₁

Wenn mit Fx die Summe der Querschnitte der vier Gurtungen des Gitterbalkens bezeichnet wird (s. Fig. 467), so ist:

164) £, = 4(1 Fx){\hx)' =

Fxh\

und man erhält nach Substitution dieses Werthes die Gleichung:

2 A EFh

165) h =

l²

0+v-

E_ F h*\ EXFX h\)

E — Ex = 20000, Fx = 15000□ l = 30000mra, so wird k — 0,074 896 Kil. pro Millimeter oder circa 75 Kil. pro laufenden Meter.

Wenn die Grösse A negativ ist, so wird auch k negativ; die Wirkung einer Temperatur-Erhöhung besteht also darin, dass die Kette entlastet und der Gitterbalken belastet wird und zwar wiederum mit der Belastung k pro Längeneinheit. Wenn also die Brücke bei mittlerer Temperatur aufgestellt wird, und nachher die Temperatur um 41 ° (Celsius) von der mittleren sich entfernt — das eine Mal nach unten, das andere Mal nach oben hin — so wird im ersteren Falle die Kette dem Balken, im letzteren der Balken der Kette 75 Kil. pro laufenden Meter von der zu tragenden Belastung abnehmen.

Die Belastung Je, welche man die Temperatur-Belastung nennen könnte, — und zwar Kälte-Belastung für die Kette, Wärme-Belastung für den Gitterbalken — erzeugt in denselben Temperatur-Spannungen, welche zu den von den Belastungen hervorgebrachten nachher hinzugerechnet werden, müssen. Für die Kette hat diese Temperatur-Spannung nach Gleichung 157) die Grösse:

h = 4000

Setzt man hierin beispielsweise A = i F = 7500 □

mm

mm

Fig. 467.

jlA,

■X

166) S

kl²

1,1234 Kil. pro □mra,

2 Fh

und für den Gitterbalken erhält man nach den Gleichungen 151) und 164) die Temperatur-Spannung:

167) Sx

kl²

Fxhx

= 2,996 Kil. pro □mra.

§ 55.

Berechnung der von der permanenten Belastung hervorgebrachten Spannungen.

Wenn die Brücke mit einer gleichförmig über ihre Länge vertheilten Belastung von der Grösse p pro Längeneinheit belastet ist, und mit np der von der Kette, mit (1 — n) p der von dem Gitterbalken getragene Theil derselben bezeichnet wird (s. F. 468, 469 und 470), so hat nach Gleichung 159) die von solcher Be-

CKt

4-

Ci

00

iS«

"ä-

fca

Fig. 469.

Fig. 470.

( l — n)p

lastung hervorgebrachte Senkung des Ketten-Scheitelpunktes die Grösse :

168) s =

GC|io

npl⁴

EFh²’

und für die Durchbiegung des Gitterbalkens in der Mitte erhält man nach den Gleichungen 161) und 164) den Werth:

er.]:*

169) s =

(1 — n) pF

E₁Fihl

Die Gleichsetzung dieser beiden Senkungen ergiebt für den Lastvertheilungs-Coefficienten n die Gleichung:

171) n =

F₁

170)

OOfco

n p E _Ä (1 — n) p r

E Eh² ~ !i Ex Fx h\

, oder

Setzt man hierin wiederum

₌ oh- M

²’ A 4

, so er-

hält man für n den Werth:

172) n

0,887 656.

6 4ÏÏ

Wenn also die permanente Belastung 375 Kil. pro laufenden Meter beträgt (oder p = 0,375 ist), so vertheilt sich diese Belastung in der Weise, dass die Kette davon den Theil übernimmt:

173) np = 0,33287 Kil.p.mm (= 332,87Kil.p.Meter), und der Gitterbalken mit dem Reste, nämlich:

174) (1 —n)p — 0,042 13 Kil.p.mm(=42,13Kil.p.Meter)

belastet wird.

Gitterbalken die Spannungen:

Diese Belastungen erzeugen resp. in Kette und

npl²

!7o) S 2 Fll

= 4,993 Kil. p.

1,685 Kil. p. □mm.

176) Sx =

(1 — n) p l²

Fxhx

§ 56.

Berechnung der von einer ungleichförmig über die Brückenlänge vertheilten Belastung hervorgebrachten Spannungen.

selbst

Die parabolische Form der Kette bildet die Gleichgewichtsform ausschliesslich für eine gleichförmig über die Horizontal-Projection vertheilte Belastung, und da wegen geringer Grösse der Durchbiegung des mit ihr verbundenen steifen Gitterbalkens angenommen werden darf, dass die Kette ihre parabolische Form stets beibehält, so ist die fernere Annahme zulässig, dass — wie auch immer eine Belastung über die Brückenlänge vertheilt sein möge — die Kette unter allen Umständen an dem Tragen dieser Last in der Weise sich betheiligt, dass sie eine gleichförmig über die Horizontal-Projection vertheilte Belastung übernimmt

23

Kitter, Dach.- u. Brücken-Constructionen. 5. Auflage.

in" dem Falle, wenn jene Last in einem einzelnen, an irgend einem Punkte der Brückenbahn aufgehängten Gewichte bestände.

Denkt man sich in gleichen Abständen z von der Mitte an jeder Seite die unendlich kleinen Strecken dz mit den Belastungen 2‘pro^Längeneinheit belastet (Fig. 471), und bezeichnet man mit

dz

-X-

z_

dz

-v-x

HF

Fig. 471.

Ly

q . dz

q . dz

q \dn die dadurch für die Kette hervorgebrachte Belastung pro Längeneinheit der Horizontal-Projection (Fig. 472), so kann man

......X

Fig. 472.

«U

q. dn

die Grosse dn berechnen, indem man wiederum die Senkung des Ketten-Scheitelpunktes gleich der Durchbiegung des Gitterbalkens in der Mitte setzt. Nach Gleichung 159) hat erstere die Grösse:

₉ q dn • Z4 * EFh² ‘

Die Durchbiegung des Gitterbalkens ist gleich dem Ueber-schusse derjenigen Durchbiegung welche die beiden Gewichte q • dz für sich allein hervorbringen würden (Fig. 473), über die-

q . dz

177) s =

q . dz

Fig. 47B.

l:z

-X-

■X-

z.

■X-

l'Z

q . dz

q . dz

jenige nach oben gerichtete Durchbiegung s₂, welche eine nach oben wirkende Belastung q • dn pro Längeneinheit für sich allein

hervorbringen würde (Fig. 474). Für erstere ergiebt sich nach Gleichung 97) der Werth:

178) Sl =

q dz

6 Ex Zx

(2 Z³ — 3 lz² -j- z³),

q . dn

Fig. 474.

s₂|

q ein .1

q ein .1

für letztere nach Gleichung 99) der Werth:

179) g₂ = ^

Also ist die wirkliche Durchbiegung des Gitterbalkens:

q dz 6 Ex Zx

Durch Gleichsetzung der beiden für s gefundenen Werthe erhält man die Gleichung:

181)

180) s = sx — s₂ =

ab

qdn-l⁴ qdz

EFh²    6 Ex Zx

(27³—3^² + s³) —

₅ qdn-l⁴

oder

Ex Zx ’

182) dn =

(2 l³ — 3 lz² -j- z³) dz

EFh²

E' /<²

Setzt man wiederum nach Gleichung 164) Zx =    und

integrirt man zwischen den Grenzen zx und z₂ einerseits, und zwischen den Grenzen nx und n₂ andererseits, so erhält man die Gleichung:

(2 Z³ — 2,1z² Ą-z³) dz

«1

Sl 4

(i    ?L..ü.hi\

V    E F h²/

oder

184) n₂—nx —

W{z₂— zx)~ l(z\— zl)-\-\(z\— z\)

-i⁻ inr * ~w

Ex E\ hl\ E ' F 'h²J

Es würde also bei dem in Fig. 475 dargestellten Belastungszustande die Kette eine gleichförmig über die Horizontal-Projection

23*

vertheilte Belastung von der Grösse (n₂ — nt) q pro Längeneinheit zu tragen haben.

-K-

Fig. 475.

-----X

——-ic—    -----------

q (z₂ — zj

Setzt man0₁ = O, z₂ = l und ni = 0, n₂ — n, so erhält man:

ff o ₌ o,887 656,

q {z₂ — Zl)

¹

Biese Brücke wurde in einer deutschen Maschinenfabrik für Brasilien gebaut, und hat der Verfasser auf Wunsch des Fabrikanten die obige Berechnung dazu geliefert.

²

Vergl. § 49.

³

Die Zulässigkeit dieser Annahme wird in § 66 bewiesen.

185) n

4Ä5

E' F ' h²

als wiederum denselben Werth, welcher bereits in Gleichung 172) für eine gleichförmig über die ganze Brückenlänge vertheilte Belastung gefunden wurde.

Offenbar liefert zu der von der Kette zu tragenden Belastung (:n₂ — %) q (pro Längeneinheit der Horizontal-Projection) das auf der linken Brückenhälfte liegende Gewicht denselben Beitrag, wie

fr-

------>

Fig. 476.

-y --------

2JI

q {z₂ — Si)

das auf der rechten Seite liegende, folglich jedes von beiden die Hälfte. Es würde also bei dem in Fig. 476 dargestellten Belastungs-

Fig. 477.

rr^r

zustande die Kette mit der Belastung (^—² ^ q pro Längeneinheit der Horizontal-Projection belastet sein (Fig. 477); der Gitter-

balken aber würde eine Biegung erleiden, welche man betrachten kann als zusammengesetzt aus den beiden einzelnen Biegungen, welche einerseits die Belastung q (z₂ — zx) nach unten hin (Fig.478),

Fig. 478.

l-x

Æ--X......

an.

g («*—*1) «

Belastung 2 Längeneinheit nach oben hin erzeugen würde (Fig. 479). Es würde

Fi

andererseits die nach oben wirkende

q pro

FP *

Fig. 479.

11111Îm;

-far*""*

V₂ ²

-X-r

also z. B. das Biegungsmoment 3)7 im Abstande x links von der Mitte gleich dem Ueberschusse des aus Fig. 478 sich ergebenden Biegungsmomentes :

186) ,mx = D(l — x)

über das aus Fig. 479 sich ergebende Biegungsmoment:

ist)

zu setzen sein, folglich die Grösse haben:

188) 3»=SBl₁—a», = /)(«—a!)-(^=^L)Sr(l!=î!)î

und für die verticale Abscheerungskraft V an derselben Stelle er-giebt sich auf gleiche Weise der Werth:

qx.

189) F=F₁-F₂=U-(2i=-B-!-)

In diesen Gleichungen ist nach Fig. 478 für D der Werth zu sub-stituiren :

Als positive Richtungen für 907 und V sind hier diejenigen gewählt, bei welchen die entsprechenden Kraftwirkungen in demselben Sinne wie bei der vollbelasteten Brücke stattfinden.

§ 57.

Ermittelung der ungünstigsten Belastungszustände für den Gitterbalken.

Um diejenigen Belastungszustände zu finden, bei welchen resp. das Biegungsmoment 907 und die verticale Abscheerungskraft V an einer bestimmten Stelle ihre Maximalwerthe erreichen, hat man zunächst diejenigen Punkte aufzusuchen, an welchen eine Belastung angebracht werden müsste, um an jener Stelle resp. die Wirkungen 307 = 0 oder V = 0 hervorzubringen. Diese Punkte scheiden diejenigen Strecken, deren Belastungen positive Werthe resp. für 907 oder V hervorbringen, von den Strecken, deren Belastungen negative Werthe hervorbringen, und sind bei den späteren Berechnungen der Maximalspannungen als Grenzpunkte für die belasteten Strecken anzunehmen.

Die in den Gleichungen 188) und 189) für 907 und V gefundenen Werthe können betrachtet werden als zusammengesetzt aus den einzelnen Beiträgen, welche die unendlich kleinen Theile der Belastung q(z₂— zx) dazu liefern.

Wenn mit <7907 und d V resp. die unendlich kleinen Beiträge bezeichnet werden, welche die im Abstande z rechts von der Mitte angebrachte Belastung qdz zu den Grössen 307 und V liefert (Fig. 480), so ergeben sich — auf dieselbe Weise, wie oben in

Fig. 480.

fTiïïiïïl

qdz

Bezug auf die Belastung einer endlichen Strecke z₂ — zx gezeigt wurde — die Gleichungen:

qdz (l — z)(l — x)

qdn (l² — x²)

191) dm

qdz {l — z)

qdn

Hierin ist für dn der in Gleichung 182) gefundene Werth zu sub-

192) <ir= n

stituiren, und wenn man zugleich die Grösse (l — z) als gemeinschaftlichen Factor der alsdann auf der rechten Seite stehenden Glieder voranstellt, so nehmen diese Gleichungen die Formen an:

2{l+x) 2l²-\-2lz—s²)]

J

±x('2l² + 2lz — z²)

K⁵+⁹Ms)

193) cm =

194) dV =

qdz (l — z) (l— x)

21

q dz (l—z)

21

Setzt man zunächst den für dW gefundenen Ausdruck gleich Null, so erhält man durch Auflösung der daraus sich ergebenden quadratischen Gleichung für z denjenigen Werth z = u, welcher den Punkt bezeichnet, wo auf der rechtsseitigen Brückenhälfte ein Gewicht liegen muss, wenn dasselbe an der im Abstande x links von der Mitte befindlichen Stelle des Gitterbalkens das Biegungsmoment Null hervorbringen soll. Jene quadratische Gleichung erscheint zunächst in der Form:

K⁶+⁹M0

195)

= 2J* + 2Zw — u2 und man erhält durch Auflösung derselben, wenn man zugleich wiederum

2{l + x)

Fxh\

setzt, den Werth: 4

196) -£- =

l

Wenn man auf gleiche Weise mit der für dV gefundenen Gleichung verfährt, so erhält man für denjenigen Werth z = v, welcher den Punkt bezeichnet, wo auf der rechtsseitigen Brückenhälfte ein Gewicht liegen muss, um die Verticalkraft Null hervorzubringen an der im Abstande x links von der Mitte befindlichen Stelle, die Gleichung:

2 (/ + x)

198) -^-=1 — ]/3

L

Setzt man wiederum

197)

4a:

Ei

►wo

v²i oder

Ei Ą K\

Ë ' F h²J‘

1,5

—, so nehmen 4

die resp. für u und v gefundenen Gleichungen die einfacheren Formen an:

199) u — i 1/768*+ 471 } l    V 256 (l -f x) ’

200) ~ = 1 — I/3

721 -I 512 • x

Diese beiden Gleichungen beziehen sich auf den Fall, in welchem die Belastung rechts von der betreffenden Stelle sich befindet. Wenn mit und resp. die Abstände links von der Mitte bezeichnet werden, in welchen die Belastungen sich befinden müssen, um resp. Biegungsmoment und Yerticalkraft Null hervorzubringen an der weiter rechts im kleineren Abstande x links von der Mitte gelegenen Stelle, so ergeben sich für diese andern beiden Nullpunkte die Gleichungen:

201)

ux

47 -l — 16$-x

256 • (l — x) '

i /

J/3 +

721 1_

512* x ’

welche man aus den beiden vorhergehenden durch Vertauschung von -J- x mit — x erhält. Die letzteren 4 Gleichungen liefern die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Zahlenwerthe.

202)    -L=l_

ux

—    0,0612

— 0,2616 — 0,18

— 0,0594

— 0,2616 — 0,0594

+ 0,5715

+ 0,0612 4- 0,125 + 0,2 + 0,24 + 0,25 4- 0,4082 + 0,4694 + 0,5 + 0,7041 + 0,75

+ 0,5715 + 0,4118 + 0,29535 4- 0,1919 + 0,1464 ■+ 0,1358

+ 0,1358 + 0,1464 + 0,1919 -j- 0,29535

4- 0,4118

+ 0,5715

— 0,0594

+ 0,5715

— 0,18 — 0,2616

—    0,0594

—    0,2616

§ 58.

Berechnung der von der mobilen Last in den Gurtungen des Gitterbalkens hervorgebrachten Spannungen.

Die obige Tabelle zeigt hinsichtlich der Biegungsmomente, dass für alle Werthe von x, die zwischen den Grenzen 0,0612 • l und — 0,0612-/ liegen, immer zwei Nullpunkte vorhanden sind {wenn man abkürzungsweise den Punkt, wo das Gewicht liegen muss, um an der im Abstande x links von der Mitte befindlichen Stelle das Biegungsmoment Null hervorzubringen, den Nullpunkt nennt). Für alle übrigen Stellen giebt es allemal nur einen Nullpunkt.

Für x — Q), d. h. für die Mitte des Gitterbalkens, liegen die beiden Nullpunkte in den gleichen Abständen u — ux = 0,5715 • l rechts und links von der Mitte. Diese beiden Nullpunkte bilden die Grenzen zwischen den Strecken, deren Belastungen positive und den Strecken, deren Belastungen negative Biegungsmomente in der Mitte des Gitterbalkens hervorbringen. Man erhält also das grösste positive Biegungsmoment in der Mitte, wenn man ausschliesslich die ersteren, und das grösste negative, wenn man ausschliesslich die letzteren belastet annimmt. Es würde also z. B. bei dem in Fig. 481 dargestellten Belastungszustande das positive

0,5715.1    0,5715 . I

X-

X-

Fig. 481.

iùimiinnnwiiuw|i|

Biegungsmoment in der Mitte des Gitterbalkens seinen grössten Werth annehmen und die demselben entsprechende Biegungsspannung auf folgende Weise zu berechnen sein.

Man erhält zunächst aus Gleichung 183), indem man auf der linken Seite zwischen den Grenzen nl= 0 und n₂ = n, auf der rechten Seite zwischen den Grenzen zx = 0 und 2₂ = 0,5715 • / integrirt, den Werth:

2/³z — lz* + jg⁴

Ex Fx h\\ E F h² )

Nimmt man an, dass die Totalbelastung der vollbelasteten Brücke 0,575 Kil. pro Millimeter beträgt, und dass dieselbe aus einer permanenten p — 0,375 Kil. und einer mobilen m = 0,2 Kil. pro Millimeter sich zusammensetzt, so würde die von der mobilen Last allein in der Mitte hervorgebrachte Maximalspannung zu berechnen sein aus der Voraussetzung, dass ausschliesslich die in Fig. 481 bezeichnete Strecke mit dem Gewichte m — 0,2 Kil. pro Millimeter belastet ist, wobei die Kette eine Belastung von der Grösse n • m == 0,6983 • 0,2 = 0,1396 Kil. pro Millimeter ihrer Horizontal-Projection erhält. Das Biegungsmoment in der Mitte ist also:

204) SK =    — £K₂,

wenn mit SKj und SK₂ resp. die Biegungsmomente bezeichnet werden, welche den in Fig. 482 und Fig. 483 angedeuteten Biegungszuständen entsprechen. Diese Biegungsmomente sind:

Fig. 482.

mz

mz

müeü

2 mz

Fig. 483.

Î1LU-1L11

ikj-k-

n ml

n ml

205) SO?! — mz l —

mz

206) SK₂

nml²

Die hervorgebrachte Biegungsspannung Sm ist nunmehr zu berechnen aus der Gleichung:

207)

tqt-*

$k

8m-F₁hl

2 i oder: Sm

2 SK

und man erhält nach Substitution der oben angenommenen Zahlen-werthe:

0,0237 • 1²

Es wirkt also — wie Gleichung 176) zeigt — diese Belastung gerade so, wie wenn der Gitterbalken allein eine gleichförmig über seine ganze Länge vertheilte Belastung von 23,7 Kil. pro Meter zu tragen hätte (während bei Belastung der ganzen Brückenlänge diese äquivalente Belastung nur 22,5 Kil. betragen würde).

An der Stelle im Abstande x — -f- 0,0612 • l links von der Mitte würde (nach obiger Tabelle) bei dem in Fig. 484 dargestellten

0,4118. i

Fig. 484.

Belastungszustande das der mobilen Last entsprechende Biegungsmoment sein Maximum erreichen. Nach Gleichung 183) erhält man — indem man auf der rechten Seite einmal zwischen den Grenzen z — 0 und z = 0,4118 -l, ein anderes Mal zwischen den Grenzen z — 0 und z = l integrirt und die beiden auf solche Weise erhaltenen Werthe zusammen addirt — für diesen Belastungszustand den Werth n = 0,714, worauf dann auf ähnliche Weise, wie oben durch die Figuren 482 und 483 erläutert wurde, für die Spannung in den Gurtungen der Werth sich ergiebt:

209) Sm =

0,0245 • l²

Jx-K

0,98 Kil. pro □ mm.

Wenn man auf solche Weise für die verschiedenen Werthe von x die zugehörigen Werthe von Sm berechnet und das Gesetz, nach welchem Sm mit x sich ändert, graphisch darstellt, so erhält man eine Kurve, welche ungefähr die in Fig. 485 angegebene Form

K|-

tel-¹

Fig. 485.

1,344

1,344

hat und zeigt, dass für x = \l das der mobilen Last entsprechende Biegungsmoment seinen grössten Werth annimmt.

§ 59.

Berechnung der Maximalspannungen in den Gurtungen des Gitterbalkens.

Um die grösste in dem Gitterbalken überhaupt vorkommende Biegungsspannung zu finden, hat man zu berücksichtigen, dass die von der permanenten Belastung hervorgebrachte Biegungsspannung nach einem anderen Gesetze sich ändert. Es ist nämlich, wenn mit das dem Werthe x = 0 entsprechende, von der permanenten Last hervorgebrachte Biegungsmoment bezeichnet wird, das Biegungsmoment im Abstande x von der Mitte zu bestimmen nach der Gleichung:

und die graphische Darstellung des Gesetzes, nach welchem mit x sich ändert, führt zu der Parabel Fig. 486. Nach demselben

Fig. 4S6.

Gesetze ändert sich auch die diesem Biegungsmomente entsprechende Biegungsspannung Sp, und da nach Gleichung 176) dieselbe in der Mitte 1,685 Kil. beträgt, so ergiebt sich für Sp die Gleichung:

x² \

p)'

211)    £,= l,685 (l

Nach ebendemselben Gesetze ändert sich auch die Temperaturspannung St mit dem Abstande von der Mitte, und da nach Gleichung 167) dieselbe in der Mitte 2,996 Kil. beträgt, so ist St zu bestimmen aus der Gleichung:

x² \

P )'

212)    St = 2,996 (l

Hiernach ergeben sich für die Maximalspannungen an den verschiedenen Punkten die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Zahlenwerthe.

Diese Tabelle zeigt, dass die Spannung in den Gurtungen im Abstande x = ^l von der Mitte am grössten wird, und dass diese Maximalspannung 5,68 Kil. pro Quadratmillimeter des Querschnitts beträgt. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass diese Spannungen unter Umständen noch eine iveitere Vergrösserung erleiden können, einerseits durch den Druck des Windes gegen die Seitenfläche der Brücke, andererseits durch den Einfluss der Dehnung der Spannketten. Die von diesen beiden Ursachen hervorgebrachten Wirkungen werden in § 62 und § 63 noch näher bestimmt werden.

§ 60.

Berechnung der von der mobilen Last hervorgebrachten Abscheerungskraft.

Die Tabelle am Ende des § 57 zeigt hinsichtlich der vertiealen Abscheerungskräfte, dass zu jedem Werthe von x nur ein Nullpunkt gehört, d. h. es giebt allemal nur einen Punkt, dessen Belastung an jener Stelle die Yerticalkraft Null hervorbringt. Dieser Nullpunkt bildet die eine Belastungsscheide; es giebt jedoch noch eine zweite, und diese zweite wird allemal durch jene Stelle, für welche die Yerticalkraft bestimmt werden soll, selbst gebildet.

Für

Werthe

von

Spannungen in den Gurtungen des Gitterbalkens, hervorgebracht durch

Temperatur-Aend.

mobile Last permanente Last

alle 3 zusammen

Sm

sp

St    Sm-\- SpJr St

0,0612

0,125

0,95

0,98

1,07

1,685

1,68

1,66

0,2

1,15

0,24

1,20

1,62

1,59

0,25

1,22

1,58

0,408

0,5

1,34

1,40

0,6

1,344

1,26

0,75

1,28

1,08

0,74

^ to to to jo to to to to

CO

OOOOÛOWHOOOOÎ^

OiOiCiOOaooo^cMCiCOO

03    ^ O' C¹ O* O' O' O'

o "to bo "to 'ot Iji 05 05 'bi oi

So z. B. würde für die Stelle im Abstande x = 0,75 -l links von der Mitte bei dem in Fig. 487 dargestellten Belastungszustande die Yerticalkraft Vm ihr Maximum erreichen.

diesen Belastungszustand erhält man nach Gleichung 183) den Werth: n = 0,3688 und nach Gleichung 184) den Werth: Vm = D — nmx — 1250,8 Kil. Wenn man auf gleiche Weise

0,0594 . I

—"X—X-.....

Fig. 487.

0,75.1

für die übrigen Punkte die Werthe von Vm berechnet und das Gesetz, nach welchem Vm mit x sich ändert, graphisch darstellt, so erhält man eine Kurve von der in Fig. 488 dargestellten Form.

Fig. 488.

i*

■f

■*i

1103,9

2031,6

1500

2031,6

Diese Kurve zeigt, dass es für die von der mobilen Last hervorgebrachten verticalen Abscheerungskräfte Vm auf jeder Brückenhälfte 2 Maxima und 1 Minimum giebt. Das grössere Maximum beträgt 2031,6 Kil. und fällt auf den Endpunkt; das kleinere Maximum beträgt 1500 Kil. und fällt in die Mitte; das Minimum beträgt 1103,9 Kil. und fällt in den Abstand 11 von der Mitte.

§ 61.

Berechnung der Maximalspannungen in den Gitterstäben.

Von der permanenten Belastung übernimmt (nach Gleichung 174) der Gitterbalken auf seinen Antheil 42,13 Kil. pro Meter. Die von der permanenten Last hervorgebrachte Verticalkraft Vp ist in der Mitte Null und wächst nach den Enden hin, proportional dem Abstande von der Mitte, bis zur Grösse 30-42,13 = 1263,9 Kil. Es ist also im Abstande x von der Mitte:

Die Temperaturbelastung für den Gitterbalken beträgt (nach Gleichung 165) 75 Kil. pro Meter. Die von dieser Belastung hervorgebrachte Verticalkraft Vt ändert sich nach demselben Gesetze und beträgt an den Endpunkten 30 • 75 = 2250 Kil.; also ist:

214) F* = 2250~-

t

Hiernach ergeben sich die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Zahlenwerthe.

Werthe

von

Verticale Abscheerungskräfte, hervorgebracht durch

Temperatur-Aend.

mobile Last

permanente Last

alle 3 zusammen

vm

vt

vm+vp+rt

1500

1500

0,25

0,5

0,75

1419.5 1103,9 1250,8

2031.6

316,0

631.9

947.9 1263,9

562,5

1125,0

1687,5

2250

2298,0

2860,8

3886,2

5545,5

Wenn also die Gitterwände durch Verticalständer in quadratische Eelder eingetheilt sind, und in jedem Felde zwei Diagonalstangen sich kreuzen, welche nur Zugspannungen aufzunehmen fähig sind, so erhalten in jeder von beiden Tragwänden die

Verticalständer Druckspannungen, welche an den Enden

5545,5

= 2772,75 Kil. betragen und von da nach der Mitte hin bis auf -^*— = 750 Kil. abnehmen. Die Spannungen der Diagonalen

5545,5

aber betragen an den Enden

y~2

= 3921,3 Kil. und nehmen

nach der Mitte hin bis auf

1500

1060,7 Kil. ab.

§ 62.

Berechnung der Spannungen in den Windketten und Windstreben.

Die vortheilhafteste Pfeilhöhe der Windketten kann man nach Gleichung 155) berechnen, indem man darin / statt h (s.

Fig. 489), und indem man statt hx die Breite des Gitterbalkens /₁ = 2,25ra setzt, also aus der Gleichung:

! (5 + A)

215)    =

fl

C-.lv '

»1

(Grundriss)

Fig. 489.

Tfrrr

-x-

rrr-t r t-r~rU

-rrTn

ft

FLU'

■X

SC

Hierin ist für 5 das zulässige Verlängerungsverhältniss der Windketten zu setzen, für A das Temperatur-AusdeknungsVerhältnis derselben und für 8j das zulässige Verlängerungsverhältniss der Gurtungen des Gitterbalkens — und zwar unter Abrechnung des bereits durch die vertical wirkenden Belastungen hervorgebrachten Werthes. Setzt man /₁ = 2,25m, so ergeben [sich aus obiger Gleichung die in nachfolgender Tabelle zusammengestellten Werthe.

»i

Sïïücrïï

Soôïïïï

ïïïVïï

3,7125ra

Sïïïïïïô

TôVïïïï

Jïïïïïï

5,4m

Sïïïïïïïï

¥(7ïïô(y

2ÏÏÏÏÏÏÏÏ

r<

ÏÔÔÏÏÜ

Yïïoïïïï

YÖÖÖÖ

ïïïtrôô

ïôtôïï

ïôVïïô

ïôVoïï

4ÏÏÏÏÏÏ

ïïïoïï

2ÏÏOÏÏ

4ÏÏÜÏÏ

4,3875 m 4,725m 6,4125 m 6,075m

JL

ïïïïïïï

8,lm

Bei der Auswahl des passendsten Werthes für / wird es darauf ankommen, wie weit man das Zusammentreffen aller ungünstigen Umstände als möglich oder wahrscheinlich betrachten will. Wollte man durch die Annahme dieses allerungünstigsten Falles bei der Wahl sich leiten lassen, so müsste man einen der letzteren grösseren Werthe für / wählen.

Wenn man indessen bedenkt, dass nicht leicht das Maximum der Temperatur-Erhöhung mit einem Orkane Zusammentreffen wird, und dass selbst der Werth A =

(entsprechend einer

4ÏÏÔÔ

Temperatur-Erhöhung um 20,5° Celsius schon reichlich hoch gegriffen ist, so erscheint die Pfeilhöhe / = 4m für die Windketten als zur Noth genügend, wenn auch zugegeben werden muss, dass im Interesse der Widerstandsfähigkeit der Brücke eine grössere Pfeilhöhe wünschenswerth sein würde — falls die Breite der Landpfeiler dies zulassen sollte. Im Uebrigen ist hinsichtlich des letzterwähnten Punktes zu berücksichtigen, dass die beiden Windketten einander beliebig genähert werden können — im Noth-falle sogar bis über die Mitte hinaus, in welchem Falle die Brücke im Grundriss gesehen die in Fig. 490 dargestellte Form annehmen

(Grundriss)

Fig. 490.

><

-^r-rTTTT~i~i-

X4UJ_UX

würde — ohne dass dadurch in der Verkeilung des Winddrucks auf Gitterbalken und Windkette Etwas geändert wird.

Diese Vertheilung des Winddrucks kann man nunmehr nach Gleichung 171) berechnen, indem man darin / statt h und fx statt hx setzt, ferner 9 als Querschnitt der Windkette statt F und ^ Fx statt Fx — letzteres aus dem Grunde, weil nur die unteren beiden Gurtungen durch die Windstreben zu einer horizontalen Tragwand verbunden sind, welche den Horizontalkräften einen Widerstand entgegensetzt.

Man erhält demnach für n die Gleichung:

E 9 /²

Setzt man E— Ex, Fx — 15000Qrara, 9 = 1250Qmm, /= 4000m% /₁ = 2250mm, so erhält man für n den Werth:

216) n

217) n = 0,5393.

Wenn also der Winddruck w = 0,2 Kil. pro Millimeter der Brückenlänge gesetzt wird, so ergiebt sich nach Gleichmig~T75) für die Spannung der Windkette in der Mitte'der Werth:

218) S

9,7 Kil. pro Umm,

mvl²

und die in den unteren Gurtungen des Gitterbalkens durch Winddruck hervorgebrackte Spannung hat nach Gleichung 176) die Grösse:

= 4,9 Kil. pro D™”.

219) St =

(1 — ri) wl²

Es würde demnach bei unverändert bleibender Temperatur der Winddruck für die Windkette die Horizontal-Belastung:

220) n-w = 0,10 786 Kil.

und für den Gitterbalken die Horizontal-Belastung:

221)    (\ — n)w = 0,09214 Kil. pro Millimeter der Brückenlänge hervorbringen.

Zu diesen durch den Winddruck hervorgebrachten Horizontal-Belastungen würden bei etwa gleichzeitig stattfindender Temperatur-Aenderung von 41° Celsius noch die Temperatur-Belastungen hinzukommen, welche auf dieselbe Weise wie oben (nach Gleichung 165) zu berechnen sind. Man findet, dass für diesen Fall:

222)    k = 0,0512 Kil.

wird, d. h. bei einer Temperatur-Erhöhung von 41° (Celsius) würde der Gitterbalken der Windkette, und bei einer Temperatur-Erniedrigung von 41° würde die Windkette dem Gitterbalken 51,2 Kil. pro Meter von seiner Horizontal-Belastung abnehmen. Diesen Belastungsveränderungen entsprechen die Spannungsänderungen:

223)    S' = 4,608 Kil. pro □mm für die Windkette,

224)    $/= 2,73 Kil. pro □“ für den Gitterbalken.

Das Maximum der durch Winddruck bei gleichzeitiger Temperatur-Erhöhung erzeugten Horizontal-Belastung des Gitterbalkens beträgt:

225)    (1 — n) w -j- k — 0,14334 Kil. pro Millimeter. Also ist das Maximum der dadurch hervorgebrachten horizontalen Abscheerungskraft für dessen horizontale Tragwand:

226)    [(1 — n) w + 7c] l = 4300 Kil.

Nach der Tabelle des § 61 beträgt für jede von den beiden verticalen Tragwänden das Maximum der verticalen Ab-

5545,5

scheerungskraft

gleicher Anordnung der Gitterstäbe in der durch die Windstreben gebildeten horizontalen Gitterwand die Stäbe in dem Verhältniss

= 2773 Kil.

Es würden also bei

4300:2773 stärker gespannt werden, und hiernach die Querschnitte derselben zu wählen sein.

§ 63.

Einfluss der Dehnung der Spannketten.

Bei der Berechnung der Spannungen in den Hauptketten und in den Tragwänden des Gitterbalkens wurden die Aufhängepunkte A und B der Kette vorläufig als absolut feste Punkte betrachtet {s. Fig. 491). Wenn die Aufhängepunkte statt dessen durch die

Fig. 491.

TTr-r-r-r-rrrTTT

oberen Endpunkte der verticalen Stangen AA₁ und BBX gebildet werden, welche um ihre unteren End- und Stützpunkte drehbar, durch die Spannketten AC und BD in ihrer aufrechten Lage erhalten werden, so wird eine Dehnung dieser Spannketten zur Folge haben, dass die Punkte A und B eine Bewegung nach der Mitte hin ausführen, und der Scheitelpunkt der Kette sich senkt. Diese Senkung bedingt eine fernere Veränderung in der Lastvertheilung, welche auf folgende Weise berechnet werden kann.

Für die Horizontalver

schiebung des Aufhängepunktes A ergiebt sich aus Fig. 492 bei dem angenommenen Neigungswinkel von 45° und dem Verlängerungs-verhältniss 8 die Grösse A F = 2 5 a. Dieser Verschiebung entspricht (nach § 45) die Senkung des Kettenscheitelpunktes:

Fig. 492.

4V\

/    2§<X y'i

-\45°

C/X

227) s= |(2 8a) y.

Wenn mit A dasjenige Verlängerungsverhältniss der Hauptkette bezeichnet wird, welchem die gleiche Senkung des Kettenscheitelpunktes entsprechen würde, so ist:

228)    * = *AT.

Die Gleichsetzung dieser beiden Werthe für s führt zu der Gleichung:

229)    y = 2y.

Setzt man hierin a = 4ra, l — 30m, so wird:

230)    A-t*.

Es ist also nur nöthig, die früher bereits gefundene, durch Verlängerung der Hauptkette entstehende Mehrbelastung des Gitterbalkens mit der Zahl 1 -|- T\ zu multipliciren, um hiermit zugleich dem Einflüsse einer gleichzeitig stattfindenden ebenso grossen Dehnung der Spannketten Rechnung zu tragen. Diese Regel gilt sowohl für positive als für negative Werthe des Verlängerungsverhältnisses 8.

Aus Gleichung 165) ergab sich eine Belastung von 75 KiL pro Meter als die einer Temperatur-Erhöhung von 41° (Celsius) entsprechende Temperatur-Belastung des Gitterbalkens. Durch die gleichzeitig stattfindende Temperatur-Ausdehnung der Spannketten wird diese Mehrbelastung um TA. 75 = 20 Kil., also auf die Grösse (1 -f- r⁴g) • 75 = 95 Kil. pro Meter erhöht. Die entsprechende Temperatur-Spannung in den Gurtungen des Gitterbalkens betrug in der Mitte 3 Kil. Dieselbe wird um T⁴¥ • 3 = 0,8 Kil. vergrössert, nimmt also den Werth an:

231)    St' = (1 -f T\). 3 = 3,8 Kil.

Die von der Temperatur-Belastung an den Enden des Gitterbalkens hervorgebrachte verticale Abscheerungskraft betrug 2250 Kil. Dieselbe wird um T⁴F • 2250 = 600 Kil. vergrössert, nimmt also den Werth an:

232) VI = (1 -f TV) • 2250 = 2850 Kil.

Die Spannung der Spannketten ist bei dem angenommenen Neigungswinkel von 45° stets "fr2 mal so gross als die Horizontal-Spannung der Hauptkette. Wäre also der Querschnitt der Spannkette ebenfalls y2 mal so gross als der Querschnitt der Hauptkette im Scheitelpunkte, so würde auch die Spannung pro Flächeneinheit — folglich auch das Elasticitäts-Ausdehnungs-Verhältniss in beiden stets dasselbe sein. Es würde in diesem Falle z. B. bei einer Spannung S — 10 Kil. pro Quadratmillimeter — entsprechend

S

meinem Verlängerungsverhältniss — = yïïVW von derselben Grösse

JC/

wie das oben angenommene Temperatur-Ausdehnungs-Verhältniss — die Ausdehnung der Spannketten eine weitere Yergrösserung der Spannungen in den Gurtungen des Gitterbalkens um 0,8 Kil. zur Folge haben; d. h. es würde der Einfluss einer solchen Elasti-citäts-Ausdehnung der Spannketten einer abermaligen Yergrösserung der Temperatur-Belastung um 20 Kil. pro Meter gleichkommen.

sowohl in posi-

Jedoch findet zwischen den Wirkungen der Temperatur-Ausdehnung der Spannketten und denen der Elasticitäts-Ausdehnung derselben der wesentliche Unterschied statt, dass das Maximum der von ersterer herrührenden Mehrbelastung tivem als in negativem Sinne genommen — mit jedem beliebigen Belastungszustande der Brücke Zusammentreffen kann, während die Elasticitäts-Ausdehnung erstlich stets nur in positivem Sinne Yorkommt und ferner das Maximum der durch dieselbe erzeugten Mehrbelastung des Gitterbalkens stets nur mit dem Maximum der Kettenspannung zusammentrifft — und dieses tritt gerade bei dem Minimum der Temperatur ein. Es wird daher in Wirklichkeit die wegen Elasticitäts-Ausdehnung der Spannketten in Bechnung zu bringende Mehrbelastung des Gitterbalkens weniger als 20 Kil. pro Meter betragen und der genauere Werth derselben auf folgende Weise zu berechnen sein.

Da die Elasticitäts-Ausdehnung der Spannketten — wie oben gezeigt wurde — denselben Einfluss hat, wie wenn die Ausdehnung der Hauptkette im Verhältniss 1 zu 1 -j- T⁴g vergrössert, oder wie wenn deren Elasticitäts-Modulus im Yerhältniss 1 -f- T⁴g- zu 1 verkleinert würde, so findet man die unter Mitwirkung jener Spannketten-Yerlängerung stattfindende Lastvertheilung, indem man überall in den betreffenden Gleichungen die Zahl E durch die Zahl If E ersetzt. Man erhält dann nach Gleichung 171) für den Last-vertheilungs-Coefficienten der permanenten Last den Werth:

233) nt = 0,86184 (statt n = 0,887 656).

Es wird also der von dem Gitterbalken übernommene Theil der

permanenten Last im Verhältniss:

234) 4--—

1 — n

0,13816

1,23

0,11234

also um 23 Procent vergrössert, und in demselben Yerhältniss wachsen die dadurch hervorgebrachten Spannungen in den Gurtungen, sowie die verticalen Abscheerungskräfte. Die Spannung Sp

in den Gurtungen betrug in der Mitte 1,685 Kil. ; dieselbe nimmt nun den Werth an:

235)    SJ = 1,685 - 1,23 = 2,07 Kil.

Die verticale Abscheerungskraft Vp betrug an den Enden 1263,9 Kil. und erhält nunmehr die Grösse:

236)    VJ = 1263,9 • 1,23 = 1554,3 Kil.

Die Correction der Werthe für die von der mobilen Belastung hervorgebrachten Spannungen ist ebenfalls in der Weise auszuführen, dass man in den betreffenden Gleichungen überall die Zahl E durch die Zahl E ersetzt, wobei zu berücksichtigen ist, dass auch die ungünstigsten Belastungszustände nun nicht mehr dieselben bleiben. Statt des in Fig. 481 dargestellten (dem Werthe u = 0,5715 • l entsprechenden) Belastungszustandes ergiebt sich nun der dem Werthe u = 0,685 • l entsprechende Belastungszustand als derjenige, bei welchem die Spannung Sm in der Mitte am grössten wird. Man findet für diesen Belastungszustand n₁ — 0,7609 und:

237) S'm= 1,12 Kil. (statt Sm = 0,95 Kil.).

Ebenso würde man für x=--\l die zugehörigen Werthe nx =0,4082 und S'm= 1,445 Kil. finden. Das Maximum der verticalen Abscheerungskraft Vm betrug (nach der Tabelle des § 61) 2031,6 Kil. und ergab sich für den dem Werthe v =— 0,2616 -l entsprechenden Belastungszustand. Statt dessen erhält man nun die Werthe v — — 0,245 • l und:

238) V'm = 2373 Kil.

§ 64.

Recapitulation der Rechnungs-Resultate.

Für die Belastungen, Querschnitte und sonstigen Dimensionen wurden die nachfolgend zusammengestellten Zahlenwerthe angenommen:

iv

F-Y 2

375 Kil. pro Meter (permanente Last),

„ (mobile Last),

„ (Winddruck),

(Querschnittssumme der Hauptketten), 10600 „ (Querschnittssumme der Spannketten),

1250    „ (Querschnitt jeder der beiden Windketten),

200 „ 200 „ 7500 □

(Querschnittssumme der 4 Gurtungen des Gitterbalkens), h= 4m (Pfeilhöbe der Hauptketten), h₁=l,bm (Höhe des Gitterbalkens),

Fx= 15000 □

mm

/=    4m    (Pfeilhöhe der    Windketten),

/j =    2,25m    (Breite des    Gitterbalkens),

2Z = 60m (Spannweite der Brücke).

Die Zugspannung der unteren Gurtungen des Gitterbalkens in der Mitte der Brücke wird am grössten bei ungünstigstem Belastungszustande, höchster Temperatur, stärkstem Winddruck, und zwar an der dem Winde abgewendeten Seite. Dieses Maximum setzt sich (nach den Gleichungen 235, 237, 231, 219, 224) aus den folgenden einzelnen Theilen zusammen:

S'p = 2,07 Kil. pro □ Sm= 1,12 „

S't = 3,8    „

S'w= 4,9 + 2,73

mm

(permanente Last),

„    „    (mobile Last),

„    „    (Temperatur-Belastung),

„    (Winddruck bei    höchster Temperatur).

Durch Addition dieser Zahlen erhält man für dieses Spannungs-Maximum den Werth:

= 14,62 Kil. pro G"¹'".

(max)

239) S

Die gleichzeitig in den oberen Gurtungen in der Mitte der Brücke stattfindende Druckspannung setzt sich aus den ersteren drei Zahlenwerthen zusammen und beträgt 7 Kil. pro □n,m.

Das Maximum der verticalen Abscheerungskraft an den Enden des Gitterbalkens setzt sich (nach den Gleichungen 236, 238, 232) zusammen aus folgenden Theilen:

(mobile Last), (Temperatur- Belastung).

V'p = 1554 Kil. (permanente Last), V'm = 2373 F/ = 2850

Durch Addition dieser 3 Zahlenwerthe erhält man für das Maximum der von den Gitterstäben aufzunehmenden Verticalkraft den Werth:

240) F(max) = 6777 Kil.

Ebensogross ist auch das Maximum der Spannungssumme für die Hängestangen (AA₁ und BB₁ in Fig. 463), an welchen die Enden des Gitterbalkens aufgehängt sind.

Bei voller Belastung würde die von der mobilen Last allein an den Enden des Gitterbalkens hervorgebrachte Verticalkraft • 1554 = 829 Kil. betragen. Durch Subtraction der Zahl V',

von diesem Wertlie erhält man 829 — 2373 = — 1544 Kil. als Minimum der von der mobilen Last allein hervorgebrachten Ver-ticalkraft. Man erhält also für das Minimum der totalen Vertical-kraft an den Enden des Gitterbalkens den Werth:

241) F(min) = + 1554 - 1544 — 2850 = — 2840 Kil.

Es müssen also die betreffenden Hängestangen stark genug sein, um auch einen Druck von 2840 Kil. gelegentlich aufnehmen zu können.

Die Spannung der Hauptketten erreicht ihren grössten Werth bei voller Belastung der Brücke und niedrigster Temperatur. Die Totalbelastung der vollbelasteten Brücke beträgt 375 -f- 200 = 575 Kil. pro Meter, wovon die Kette (nach Gleichung 233) den Theil 0,862 • 575 = 495,56 Kil. pro Meter zu tragen hat. Hierzu kommt noch die Temperatur-Belastung (Kälte-Belastung), für welche im vorigen Paragraphen die Grösse 95 Kil. pro Meter gefunden wurde. Die Kette hat also im ungünstigsten Falle die Belastung 590,56 Kil. pro Meter ihrer Horizontal-Projection zu tragen. Dieser Belastung entspricht (nach Gleichung 166) die Spannung:

242) S =

= 8,86 Kil. pro □

mm

0,59056-300002 2 • 4000 • 7500

für den Scheitelpunkt der Kette. Nach den Aufhängepunkten hin nimmt — wenn der Querschnitt überall gleich gross ist — die Spannung zu bis zur Grösse:

243) 8,86 -V1 -f (ÏÏ⁸ÏÏ)² = 9,13 Kil. pro

Die Spannketten erhalten ebenfalls eine Spannung von 8,86 Kil. pro □ mm.

Wenn das Eigengewicht der Kette zu 4500 Kil. angenommen

wird, so haben die Hängestangen die Maximal-Belastung 590,56 • 60

— 4500 = 30934 Kil. zu tragen, erhalten also eine jede die Span-

30934 nung: .....-y —

, wenn ihre Anzahl = N ist.

Die Windketten würden bei stärkstem Winde und gleichzeitiger Temperatur-Erniedrigung um 41° Celsius (nach den Gleichungen 218) und 223) in der Mitte die Spannung erhalten:

9,7    4,6 = 14,3 Kil. pro

Für die von den Windstreben aufzunehmende grösste horizontale Abscheerungskraft wurde (in Gleichung 226) die Grösse 4300 Kil. gefunden.

Die horizontalen Stangen, welche den Gitterbalken mit einer der Windketten verbinden, erhalten (nach den Gleichungen 220 und 222) eine jede die Maximal-Spannung

(107,86 -f- 51,2)- 60 _ 9540

JVi

wenn die Anzahl derselben = ist.

§ 65.

Vortheilhafteste Aufhängungsweise für den Gitterbalkén.

Bei der Berechnung des Lastvertheilungs-Coefficienten n für die permanente Last wurde die Wirkung derselben auf eine Weise behandelt, welche nur bei einer besonderen Art der Aufstellung der Brücke gerechtfertigt sein würde. Es wurde nämlich angenommen, dass die leere Brücke in entlastetem Zustande — d. h. auch von der Wirkung ihres Eigengewichts gänzlich befreit — in vollkommen spannungslosem Zustande sich befunden hatte, und dass das Eigengewicht wie eine neu hinzukommende fremde Last erst nachher seine Wirkung auszuüben begann. Da in Wirklichkeit aber die Wirkung des Eigengewichts von Anfang an schon vorhanden war, so wird die gemachte Voraussetzung nur dann zutreffen, wenn die Aufstellung zufällig auf eine solche besondere Weise ausgeführt wurde, dass die Höhen-Differenz zwischen dem Mittelpunkte der Brückenbahn und deren beiden Endpunkten genau dieselbe Grösse erhielt, wie sie aus jener Voraussetzung sich ergeben würde.

Indessen auch dann, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, behalten die oben gefundenen Resultate ihre Gültigkeit, sobald man nur eine etwaige Abweichung von der genannten Aufstellungsweise als eine zu den bisher schon untersuchten Ursachen von Spannungen neu hinzukommende Spannungsursache mit in Rechnung bringt. Es würde also noch zu untersuchen sein, welche Aenderungen die bei einem gegebenen Temperatur- und Belastungs-Zustande bereits vorhandenen Spannungen erleiden würden durch das Anziehen der Schrauben an den Hängestangen, welche den Gitterbalken mit der Kette verbinden. Mit dieser Untersuchung lässt sich sodann noch eine zweite verbinden, die nämlich: auf welche Weise bei der Aufstellung jenes Anziehen der Schrauben erfolgen müsse, damit das beim Zusammentreffen aller ungünstigen

Umstände eintretende Maximum der Spannungen möglichst klein ausfalle.

Für die von der permanenten Last allein hervorgebrachte Senkung des Mittelpunktes der Brückenbahn erhält man nach Gleichung 169), wenn man darin, um die Dehnung der Spannketten zu berücksichtigen, die Zahl n durch die Zahl n₁ (Gleichung 233) ersetzt, den Werth:

5    0,13816- 0,375 -30000⁴

51,81 Millim.,

20000- 15000 - 1500²

244) S =

und für die einem solchen Biegungszustande entsprechende Spannung in den Gurtungen wurde der Werth S'p = 2,07 Kil. pro □ mra gefunden (Gleichung 235). Also nur dann, wenn der — im spannungsloserr Zustande geradlinig vorausgesetzte — Gitterbalken diese Durchbiegung nach der Aufstellung wirklich zeigte, würden die oben gefundenen Spannungen die wirklich eintretenden sein. Angenommen aber z. B., man hätte hinterher durch Anziehen der Schrauben an den Hängestangen bewirkt, dass der Gitterbalken seine ursprüngliche, dem spannungslosen Zustande entsprechende geradlinige Form wieder annahm, so würde damit der von der permanenten Last zu der Totalspannung (Gleichung 239) gelieferte Beitrag von 2,07 Kil. ganz in Wegfall gebracht und die Maximal-Spannung von 14,62 auf 12,55 Kil. reducirt. Zugleich würde da-¹ durch bewirkt, dass der bisher von dem Gitterbalken getragene Theil der permanenten Last im Betrage von 51,81 Kil. pro Meter nunmehr von der Kette mit übernommen wird.

Wäre man aber mit dem Anziehen der Schrauben noch weiter gegangen — hätte mau dasselbe z. B. soweit fortgesetzt, dass eine Durchbiegung nach oben hin eintrat von derselben Grösse s = 51,81 Millim., so würde eine weitere Abnahme jener Maximalspannung um 2,07 Kil., also eine Reduction derselben bis auf 10,46 Kil. erfolgen, während die Mehrbelastung der Kette auf die Grösse: 2 • 51,81 = 103,62 Kil. pro Meter der Horizontal-Projection gesteigert würde.

und

Um zu erfahren, wie weit man mit einer solchen, künstlich hervorzubringenden Veränderung in der Lastvertheilung Vorgehen darf, hat man zunächst zu untersuchen, wie gross bei der ursprünglichen vorausgesetzten Aufstellungsweise das einer Durchbiegung des Gitterbalkens nach oben hin entsprechende negative Biegungsmoment im ungünstigsten Falle werden konnte

zwar in der Mitte des Gitterbalkens. Denn die Tabelle des § 59 zeigt, dass es — obwohl im Abstande x = \l von der Mitte die mobile Last ihre Wirkung am stärksten äussert, doch wegen überwiegenden Einflusses der übrigen Biegungsursachen ausreicht, hierbei ausschliesslich die Biegungsspannungen in der Mitte zu berücksichtigen.

Für die bei voller Belastung der Brücke von der mobilen Last allein hervorgebrachte Spannung in den unteren Gurtungen erhält man nach Gleichung 235) den Werth:

245)    © = !££• 2,07 = 1,105 Kil.

Wenn man hiervon den in Gleichung 237) gefundenen Werth S'm — 1,12 Kil. subtrahirt, so erhält man:

246)    ©(min) = - 0,015 Kil.

als kleinste Zugspannung oder grösste Druckspannung, welche durch die mobile Last allein an dieser Stelle hervorgebracht werden kann. (Im Abstande x — -ljl würde man ©(min) =— 0,616 Kil. finden.) Zu dieser negativen Spannung kommt noch die dem Temperatur-Minimum entsprechende gleichfalls negative Temperatur-Spannung von — 3,8 Kil., sowie die vom Winddruck bei niedrigster Temperatur hervorgebrachte Spannung — (4,9 — 2,73) = — 2,17 Kil. Man erhält also mit Hinzurechnung der positiven Spannung SJ = -f 2,07 Kil. für die grösste negative Spannung, welche in der unteren Gurtung bei der früher angenommenen Auf-Aufstellungsweise eintreten konnte, den Werth:

247) S(niin).= + 2,07 — 0,015 — 3,8 — 2,17 = — 3,915 Kil.

Es erweist sich hiernach in der That als zweckmässig, die erwähnte Veränderung in der Lastvertheilung wirklich auszuführen, und zwar gerade in der Weise, wie sie oben als zweites Beispiel gewählt wurde: nämlich die Mitte des Gitterbalkens bis zur Höhe von 51,81 Millimetern über die natürliche, dem spannungslosen Zustande entsprechende Lage hinaufzuschrauben. Denn während bei der ursprünglich vorausgesetzten Aufstellungsweise die Spannung in der Mitte der unteren Gurtung zwischen den Extremen -f- 14,62 Kil. und —3,915 Kil. schwanken würde, erreicht man durch die erwähnte Veränderung, dass nunmehr diese Spannung zwischen den Grenzen -)- 10,48 Kil. und — 8,055 Kil. bleibt, während die Spannung in der Kette dabei nur auf -j- 10,41 Kil. in der Mitte, und auf -j- 10,73 Kil. in der Nähe der Auf hängepunkte gesteigert wird, entsprechend der Maximal-Belastung 590,56 -f- 103,62 = 694,18 Kil. pro Meter der Horizontal-Projection. Die Maximal-Belastung der Hängestangen würde dadurch auf 30934 -|— 60 • 103,62 = 37151 Kil., die Spannung jeder ein-37151

zelnen auf

vergrössert.

Die an den Enden des Gitterbalkens wirkende verticale Abscheerungskraft wird um die Grösse 30 • 103,62 = 3109 Kil. vermindert. Man erhält also nach den Gleichungen 240) und 241) die Werthe:

248)    Fmax = + 6777 — 3109 = + 3668 Kil.

249)    VmiD = — 2840 — 3109 = — 5949 Kil.

Es müssten daher die Verticalstangen (AAX und BBX in Fig. 463), an welchen die Enden des Gitterbalkens aufgehängt sind, stark genug sein, um gelegentlich eine Druckspannung von 5949 Kil. aufnehmen zu können.

d. h. diejenige Form, welche derselbe z. B. annehmen würde, wenn mail denselben auf

Da die Durchbiegung von 51,81 Millimetern einer Belastung von 51,81 Kil. pro Meter für den Gitterbalken allein, oder einer Belastung der Brücke mit 375 Kil. pro Meter entspricht, so würde bei der hier empfohlenen Aufstellungsweise die Hinzufügung einer fremden Belastung von 375 Kil. pro Meter jene Durchbiegung wieder zum Verschwinden bringen. Man kann daher der Vorschrift für die Aufstellung auch die folgende Form geben: der Gitterbalken soll so aufgehängt werden, dass derselbe beim Belasten der Brücke mit einer fremden Belastung von 375 Kil. pro Meter seine natürliche Form annimmt

die Seite legte auf horizontaler Ebene — und zwar bei einer Temperatur, welche das arithmetische Mittel bildet von höchster und niedrigster Temperatur.

Diese fremde Belastung kann auch durch eine Temperatur-Belastung dargestellt werden. Einer Temperatur-Erhöhung von 41° (Celsius) entsprach eine Belastung von 95 Kil. pro Meter für den Gitterbalken; daraus ergiebt sich für diejenige Temperatur-Erhöhung, bei welcher der Gitterbalken mit 51,81 Kil. pro Meter belastet wird, die Grösse:

250) ( = 41 • 5^1 = 21,24° (Celsius).

Man kann daher denselben Zweck auch durch eine solche Aufstellungsweise erreichen, bei welcher der unbelastete Gitter-

balken seine natürliche Form annimmt, wenn die Temperatur um 21,24° (Celsius) über die mittlere Temperatur sich erhebt.

§ 66.

Rechtfertigung der angewendeten Methode.

Gegen die angewendete Methode lassen sich noch einige Einwendungen erheben. Bei der Berechnung des Lastvertheilungs-Coefficienten n wurden verschiedene Grössen vernachlässigt, und Annahmen gemacht, welche nicht in aller Strenge zutreffend erscheinen. In Folge dessen sind die gewonnenen Resultate noch mit einigen Fehlern und Ungenauigkeiten behaftet. Es lässt sich indessen nachweisen: einerseits, dass die begangenen Fehler überhaupt klein sind, andererseits, dass dieselben einander zum Theil compensiren, in der Weise, dass ihr Einfluss auf das Resultat ohne alle praktische Bedeutung ist. Es reicht hin, diesen Beweis zu führen unter Vorraussetzung des einfachsten, in Fig. 463 dargestellten Falles, in welchem die Aufhängepunkte der Kette als feste Punkte behandelt wurden; auch ist es zulässig, die Differenz zwischen dem in Gleichung 172) gefundenen ungenauen Werthe des Lastvertheilungs-Coefficienten n und dem von Fehlern und Ungenauigkeiten befreiten genaueren Werthe dieses Coefficienten als Maassstab für die Beurtheilung des Einflusses der begangenen Fehler anzunehmen.

Die Berechnung der Lastvertheilung geschah in der Weise, dass die Senkungen in der Mitte einander gleich gesetzt wurden,, d. h. diejenigen Senkungen, welche jedes der beiden Systeme — Kette und Gitterbalken — für sich allein unter Einwirkung des von demselben übernommenen Lastantheils in der Mitte erleiden würde. Wenn man indessen bedenkt, dass die Linie, welche die unteren Endpunkte der verticalen Hängestangen nach eingetretener

•X'

Fig. 498.

;s

Verlängerung der Kette bilden würden, falls der Gitterbalken nicht vorhanden wäre, eine Parabel ist (Fig. 493), während die Linie, welche dieselben Punkte bilden würden, wenn ausschliesslich der Gitterbalken vorhanden wäre, eine elastische Linie ist (Fig. 494),

Fig. 494.

SIŁ__________________^

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......-Sk....... :V

dass also diese zwei Curven einander nicht decken können, so erscheint es richtiger — anstatt die Ordinaten s und a der Scheitelpunkte beider Curven einander gleich zu setzen — vielmehr die mittlere oder durchschnittliche Grösse der längs der ganzen Spannweite zu errichtenden Ordinaten für beide Curven einander gleich zu setzen und hiernach die Lastvertheilung zu berechnen.

Die mittlere oder durchschnittliche Grösse der Ordinaten einer solchen Curve ist zu definiren als die Höhe eines Rechtecks von gleichem Flächeninhalt und gleicher Breite mit der von der betreffenden Curve begrenzten Fläche. Da in beiden Figuren die Breite des Rechtecks dieselbe ist, nämlich = 21, so kann man statt dieser mittleren Höhen auch die beiden Flächeninhalte selbst einander gleich setzen. Die Parabelfläche abc (Fig. 493) hat den Inhalt:

251)    J=%'S-2l.

Nach Substitution des in Gleichung 168) für s gefundenen Werthes nimmt diese Gleichung die Form an:

252) J

npl4 2EFh* *

Die Pfeilhöhe der elastischen Linie ayß (Fig. 494) hat nach Gleichung 169) die Grösse:

253) g =

s (1 — n)pl*

F ExFth\ ’

und die Ordinate im Abstande x von der Mitte ist (nach der Theorie der elastischen Linie):

254) y

(1 —n)p

ExFxh\

Man erhält also für den Flächeninhalt der Fläche aß y die Gleichung :

X—l

255) J =

2 j'(c — if) dx

(1 — n) pF

A FJil •

x = 0

Die Gleichsetzung der beiden für J gefundenen Werthe führt zu der Gleichung:

256) n =

E F h²

Wenn man nach dieser Gleichung — anstatt nach Gleichung 171) — den Werth von n berechnet, so erhält man n = 0,88352 (statt 0,887656), und 1 —n = 0,11648 (statt 0,112 344). Es führt also diese Correction zu einem etwas kleineren Werthe für n; indessen beträgt der begangene Fehler selbst für die Werthe von 1 — n nur circa 3,7 Procent.

Die Bedenken gegen die früher angewendete Methode verschwinden aber vollends, wenn man berücksichtigt, dass gleichzeitig noch ein anderer Fehler begangen wurde, durch welchen der erstere zum Theil wieder aufgehoben wird, insofern die Correction dieses zweiten Fehlers für sich allein zu einem grösseren Werthe für die Zahl n führen würde.

Dieser zweite Fehler bestand darin, dass die Längen-Aende-rungen der verticalen Hängestangen unberücksichtigt geblieben sind. Wenn diese Hängestangen sämmtlich in dem Verhältniss § sich verlängerten, während die Kette ihre ursprüngliche Länge beibehält (Fig. 495), so würden die unteren Endpunkte der Hänge-

Fig. 495.

I

Lr......

TFiTiIüIÜTiTFfj"ï

I

\bh

stangen eine Parabel bilden von der Pfeilhöhe 5 • h. Da diese Parabel ihre convexe Seite nach oben wendet, so würde man diese Pfeilhöhe ö • h in Abrechnung zu bringen haben von derjenigen Senkung s, welche durch die Verlängerung der Kette entsteht. Man erhält also unter der Vorraussetzung, dass die Kette ebenfalls im Verhältniss 5 sich verlängert, für die wirkliche Senkung der Fahrbahnlinie in der Mitte den Werth:

257) s — hh = %h]j- — bh,

oder nach Wiederherstellung des früher unterdrückten Gliedes

JL ^

3 l²

(in Gleichung 147) den Werth:

258) s — 8/» = f5^(l + jÆ) — 8 A. Diese Gleichung nimmt nach Substitution des Werthes Ô

FE

npl²

2EFh

die Form an:

259) s — § h =

a;,o

nplA

l²

EFh²

und wenn man diesen Werth an die Stelle des in Gleichung 168) gefundenen Werthes von s setzt, so erhält man aus Gleichung 170) für den Lastvertheilungs-Coefficienten n den Werth:

260) n

■)'

2 h²

•(

Ex F 20 E F

Diese Gleichung liefert für n einen grösseren Werth als Gleichung 171), nämlich den Werth n = 0,88884 (statt 0,887656). Es wurde also durch den zweiten Fehler der erstere wenigstens zum Theil wieder aufgehoben.

Wenn man endlich beide Correctionen zugleich ausführt, so erhält man für den Lastvertheilungs-Coefficienten n die genauere Gleichung:

i+l-

i.

3 l²

261) n =

15 Ex Fx h\ 32 Jï F h²

3 l²

welche den Werth liefert n — 0,88474 (statt 0,887 656) und zeigt, dass die früher gefundenen Werthe für n nur um circa \ Procent — und selbst diejenigen der Zahl 1 — n nur um circa 2,6 Procent — von den genaueren Werthen abweichen. Es erscheint hiernach die oben angewendete einfachere Methode hinreichend gerechtfertigt.

Leipzig Druck von Grimme & Trömel.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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