WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Zur Eisenbetontheorie

Eine neue Berechnungsweise von

W.L. ANDRÉE

Mit 60 in den Text gedruckten Abbildungen

öffentlichen Arbeite³¹ JE

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München und Berlin

Druck und Verlag von R. Oldenbourg 1909

bIBLIITEKä PÜUTECHÜIHM

K R A K Ö w

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A Ir e. Nr,

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Vorwort.

Man wird sich gegenüber den in diesem Buche dargelegten Auffassungen nicht verschließen können, daß sie innerhalb regulärer Spannungswerte im Beton annehmbar sind. Die vorausgesetzte Gleichheit und Proportionalität der Dehnungen des Beton bei Zug und Druck erscheint unmöglich, berechtigt aber doch, wenn man bedenkt, daß sie nur als Theorem für die Formelentwicklung eingeführt werden ; der Spannungsgrenze, wo die Gesetzmäßigkeit aufhört, bewegen wir uns zwar zu, erreichen sie aber nicht, sofern die Eisenarmierung genügend stark ist. Selbstverständlich fallen die aufgestellten Formeln (wie überall) in sich zusammen, sobald durch Überbelastung eine Deformation des Baustoffes herbeigeführt wird; was hiernach eintritt, kann nur auf dem Wege der Versuchspraxis erwiesen werden. Jedenfalls dürfen wir von unserm Berechnungsverfahren sagen, daß es der Wirklichkeit näher kommt als die gebräuchlichen Näherungstheorien, weil es die natürlichen Funktionen der Formänderung der Baustoffe wenigstens einigermaßen aufgreift und verarbeitet. Dann auch haben die Formeln den Vorteil überaus großer Einfachheit in der Anwendung, eine Eigenschaft, die dem Praktiker erwünscht ist, die er aber bei den üblichen Methoden nicht so recht findet.

Es liegt auf der Hand, daß eine exakte Theorie sich nur innerhalb der Grenzen aufstellen läßt, wo der Baustoff noch keinen Bruchschaden erleidet. Darüber hinaus muß jede Theorie versagen; hier kann nur die Versuchspraxis Aufschluß geben. Die bestehenden Berechnungsweisen, die versuchen, eine Mittellinie zwischen Theorie und Erfahrung herzustellen, sind schon jetzt recht kompliziert und werden es noch mehr, wenn man die Richtung fortsetzt.

Es darf hier noch besonders auf die in dem Buche berührte Frage, betreffend die Möglichkeit einer vollständigen Aufhebung der Zugspannung im Beton, hingewiesen werden. Es kann dieser ideale Zustand herbeigeführt werden dadurch, daß man die Eiseneinlage vorher anspannt oder dehnt, sie dann einbetoniert und nach vollständigem Erhärten des Beton freiläßt. Diese Manipulation erscheint dem Leser logisch und durchführbar, nachdem ihm das Wesen der Haftspannung bekannt geworden ist.

Zum Schluß wird noch erwähnt, daß in dem Buche einige weiterliegende Erscheinungen, wie z. B. die Scherbeanspruchung des Beton, ferner die Berücksichtigung des Biegungswiderstandes geeigneter Eiseneinlagen nicht erörtert sind, ein Umstand, der darauf hinweist, daß die vorliegende Arbeit zunächst nur als ein Entwurf zu einer nach Ansicht des Verfassers weitgreifenden Berechnungsweise anzusehen ist.

Duisburg im Oktober 1909.

W. L. Andrée.

5»

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Vorbesprechung.................

Grundsätzliche Entwicklung des Verfahrens......

1. Zahlenbeispiel..............

Der armierte Beton. Die Haftspannung. Längshaftung und

konzentrierte Endbefestigung..........

Entwicklung der Formeln.............

Entwicklung der Formeln für einen einseitig eingespannten

Balken...................

Last am Ende. Eiseneinlage nur in der Zugzone .    .    . .

11

12

13

14

2. Zahlenbeispiel..............

Betrachtungen über die Festigkeit des Balkens. Vorherige

Anspannung der Eiseneinlage..........

Derselbe Balken, nur von mehreren Lasten angegriffen

Die Belastung ist gleichmäßig verteilt........

Zwei Sätze über die Haftspannung bzw. Eisenspannkraft . Der einseitig eingespannte Balken mit doppelter Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der Formeln.....

tsi

to

23

3.    Zahlenbeispiel..............

Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone. Entwicklung der

Formeln...................

4.    Zahlenbeispiel..............

Der Balken auf zwei Stützen. Last P in der Mitte. Eiseneinlage nur in der Zugzone ...........

Bemerkung über die Haftspannung.........

Derselbe Träger, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone 28 Doppelte Eiseneinlage in der Zugzone . .

24

26

26

28

Seite

Der Balken auf zwei Stützen mit wandernder Last. Das

Verhalten der Haftspannung bzw. der Eisenspannkraft 30

31

5.    Zahlenbeispiel..............

32

Die Belastung des Balkens ist gleichmäßig verteilt . .    .

33

6.    Zahlenbeispiel. (Eine Wohnhausdecke.) ....

34

Der Balken auf zwei Stützen mit einer Gruppe von Einzellasten ...................

35

7.    Zahlenbeispiel..............

Ein an beiden Enden eingespannter Balken. Die Last Pin

der Mitte. Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone .    36

38

8.    Zahlenbeispiel..............

Der Balken mit Kragarm. Eiseneinlage in der Zug- und

40

Druckzone .................

41

42

Derselbe Balken, Eiseneinlage nur in der Zugzone . . . Derselbe Balken, Belastung gleichmäßig verteilt ....

Der Plattenbalken. Die Unsicherheit seiner Festigkeit . .    43

44

9.    Zahlenbeispiel..............

45

Bemerkungen über das Verhalten der Plattenbalken . . .

Die zentrisch belastete Säule. Ausnutzung der Eisenbewehrung durch Endbefestigung. Herleitung der Formeln .    46

47

10.    Zahlenbeispiel..............

Die Unzweckmäßigkeit des gewöhnlich eingelegten Eisens 48

49

Eine ähnliche unrationelle Bewehrung........

50

Die exzentrisch belastete Säule. Rationelle Eisenarmierung 50 Herleitung der Formeln..............

51

11.    Zahlenbeispiel...............

Dieselbe Säule, unzweckmäßige Einbringung der Eisenlage 54 Die exzentrisch belastete Säule (weit ausladende Last) . 55 Eiseneinlage nur in der Zugzone. Herleitung der Formeln 55

57

12.    Zahlenbeispiel..............

Anwendung des Verfahrens auf ein eingespanntes Portal.

58

Ermittlung der statisch unbestimmten Auflagergrößen. Einfluß der Bewehrung auf den Spannungszustand des Betonkörpers................

61

13.    Zahlenbeispiel..............

66

Die Durchbiegung eisenarmierter Betonbalken.....

Ein Balken auf zwei Stützen. Last P in der Mitte. Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der Formel für die Durchbiegung...............

14. Zahlenbeispiel..............

Seite

67

68

69

70

70

71

71

71

71

71

Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone.

Entwicklung der Formel für die Durchbiegung .    .    .

Ein Balken auf zwei Stützen. Belastung gleichmäßig verteilt. Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der

Biegungsformel................

Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Derselbe Balken, doppelte Eiseneinlage in der Zugzone Einseitig eingespannter Balken. Last P am Ende. Eiseneinlage in der Zugzone. Herleitung der Formel für die

Durchbiegung................

Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Derselbe Balken, Belastung gleichmäßig verteilt. Eisen in

der Zugzone .................

Derselbe Balken, Bewehrung in der Zug- und Druckzone Verbiegung eines Auslegerständers. Eiseneinlage in der Zugzone. Herleitung der Formel für die Senkung des

Auslegers..................

Wagerechte Ausweichung einer zentrisch belasteten Säule mit einseitiger Eiseneinlage. Entwicklung der Formel

/

I Tnsere Eisenbetontheorien stützen sich auf Annahmen, die ^ nicht der Wirklichkeit entsprechen, können daher keinen Anspruch auf Genauigkeit erheben. Die Vernachlässigung der Zugspannung im Beton ist z. B. ganz willkürlich; der Baustoff wird im Gegenteil an den ihm naturgemäß zugewiesenen Spannungseigenschaften festhalten, und diese bestehen nicht nur in Druck- sondern auch in Zugspannungen.

Die folgenden Entwicklungen beruhen darauf, daß zwei zusammengelegte Stäbe (Fig. 1 u. 2), wenn sie von Kräften angegriffen werden, sich gegeneinander verschieben, und daß die Verschiebung aufgehoben werden kann durch Längsschubkräfte zwischen den Berührungsflächen. Die Schubkräfte bestehen als innere Spannungen in jeder Längsschicht eines Balkens, oder können bei zusammengelegten Stäben durch Adhäsion, Haftung oder sonst eine Verbindung erzeugt werden.

Ein eisenarmierter Betonbalken ist ein Gefüge aus zwei Teilen. Wären die Festigkeits- und die elastischen Eigenschaften des Eisens wie die des Betons, dann hätten die in Frage stehenden Schubkräfte nur beschränktes Interesse, so aber beeinflußt das anders geartete Eisen in erheblichem Maße den Spannungszustand des Betonbalkens.

Die Entwicklungen gehen ferner aus von den Elastizi-tätszahlen Eb des Betons und Ee des Eisens, und es wird vorausgesetzt, daß die Zahlen bei Druck und Zug dieselben sind. Dies trifft bei Eisen zu. Der Beton jedoch verhält sich weniger gesetzmäßig. Die Erfahrungen lehren, daß seine Änderungen bei Zug und Druck verschieden sind und daß die Unterschiede mit dem Alter und der Art des Betons

Andrée, Eisenbetontheorien.

sich ändern. Dann auch halten die Änderungen nicht gleichen Schritt mit den Anspannungen des Stoffes. Zugleich haben aber die Versuche der Materialprüfungsanstalten gezeigt, daß diese Erscheinungen erst wesentlich sind bei höheren Inanspruchnahmen des Betons, und daß die Unterschiede der Formänderung und die Proportionsfehler innerhalb derjenigen

:h

Fig. 1.

Spannungsintervalle, die als äußerste Beanspruchungen zugelassen werden, eine größere Bedeutung nicht haben.

Diese wenn auch nicht ganz sicheren Erfahrungen dürfen wir als Tatsache betrachten und sie einer Rechnung, die an.

Fig. 2.

und für sich einwandfrei ist, weil sie die natürlichen Funktionen der Materialien aufgreift, ohne Bedenken unterlegen. Die Ergebnisse mögen dann infolge der vorausgesetzten nicht ‘ganz zuverlässigen Annahmen eine Verschiebung erfahren, liefern aber eine Annäherung, wie sie von anderen Formeln nicht erreicht werden kann.

In Wirklichkeit ist die Dehnung des Betons bei Zuginanspruchnahme größer als die Zusammendrückung bei Druckinanspruchnahme. Dadurch erfährt der Wendepunkt der inneren Spannungen des Balkens (neutrale Faser) bei Biegung eine Verschiebung nach der Seite der Druckzone hin. Die Dichtigkeit der Druckspannungen ist deshalb größer als die Dichtigkeit der Zugspannungen. Unsere in Aussicht genommenen Entwicklungen sind nun derart, daß es da&

richtigste ist, diesem Umstande durch Vergrößerung des Elastizitätsverhältnisses vom Beton zum Eisen bei allen auf Biegung beanspruchten Balken Rechnung zu tragen. Wir wählen statt bei unseren Formeln das Verhältnis

Eb

86000 1 Ee~ 2 150000 — 25 ‘

(Es ist Aufgabe der Versuchspraxis, dieses vielleicht etwas zu hoch gegriffene Verhältnis zu präzisieren.) Wir schreiben dadurch der Eiseneinlage eine größere Anspannung zu, als tatsächlich besteht. Mit der Anspannung des Eisens aber

-----!

JC_

Fig. 3.

hält gleichen Schritt die Haftspannung des Eisens im Beton, und wenn letztere sich als sehr gering ergibt, haben wir eine Garantie für die Tragfähigkeit der berechneten Konstruktion.

An dieser Stelle sei bemerkt, daß nach unserer Ansicht hinsichtlich der Haftspannung gemeinhin nicht zutreffende Vorstellungen bestehen; die Haftspannung zeigt sich in Wahrheit so niedrig, daß ihr Nachweis nur in seltenen Fällen notwendig erscheint.

Um den Grundgedanken unserer Entwicklungen möglichst ausführlich darzulegen, behandeln wir zunächst einen einseitig eingespannten Balken unveränderlichen Querschnittes mit der Last P am Ende (Fig. 3).

Wie bekannt, ist die Biegungslinie eines Trägers in der Schwerlinie = Null, und man nennt diese Schicht die neutrale Faser. Durchschneidet man den Balken irgendwo parallel zur Schwerachse, dann entstehen zwei getrennte Träger, deren Widerstand gegen die Belastung P bedeutend herabschnellt. Die Folge ist eine erhebliche Senkung des Trägers, und es tritt, wie Fig. 4 erkennen läßt, eine wagerechte Verschiebung des oberen gegen den unteren Stab ein. Um den Balken wieder in seinen anfänglichen Zustand zu versetzen, das heißt, die beiden Teile wieder zu einem einzigen zu vereinigen, müssen bestimmte wagerechte Kräfte in der Schnittschicht wirksam sein. Diese Kräfte bestanden ursprünglich in den inneren Schubspannungen, müssen aber jetzt in irgend

So

■-4

it

•v

Fig. 4.

einer Weise (wie schon eingangs gesagt) durch Adhäsion, durch Haftung oder sonstwie aufgebracht werden.

Die Bezeichnungen zu dem in Fig. 3 u. 4 dargestellten Fall sind folgende:

Balken I. s₀ = Abstand der Schwerlinie von der Berührungskante.

Balken II. su — Abstand der Schwerlinie von der Berührungskante

Balken I. J₀ — Trägheitsmoment, F₀ — Querschnitt. Balken II. /« = Trägheitsmoment, Fu = Querschnitt. Die in Frage stehende unbekannte Schubkraft zwischen den Berührungsflächen ist für jede Längeneinheit dieselbe. Wir verfolgen die Wirkung der Einheitsspannungen, die mit

Es leuchtet

X

-j bezeichnet sein mögen, vom Balkenende an. ein, daß die Spannungen nach rechts zu sich addieren und

daß an der Einspannstelle insgesamt ^

■ l = X wirksam sind.

Diese Schubkräfte geben die Träger selbst infolge der Verbindung gegeneinander ab. Sie führen zugleich die wagerechte gegenseitige Verschiebung der beiden Balken auf Null zurück, und dieser Umstand liefert den Ausgangspunkt zur Aufsuchung der Unbekannten X.

Die Bedingungsgleichung, nach der wir diese sowie alle späteren Aufgaben lösen, lautet

dx+$m lirdx=0 • • • (I)

Es wird damit ausgedrückt, daß die Summe aller an dem Balken geleisteten Formänderungsarbeit Null sein muß. Das erste Glied bezieht sich auf die Arbeit aus der Biegung, das zweite Glied auf die Arbeit aus der Normalkraft.

Wir erkennen, daß die Last P in zwei bestimmte Teile zerfällt und zwar P₀ auf den oberen und P„ auf den unteren Balken.

H\

X‘~

Fig. 5.

Betrachtung des Balkens 1 (Fig. 5). Arbeit bei der wagerechten Bewegung.

Mx — Po ■ x — X •

• So

bMx

bX — l

* So

ÇMx m

J JE bX

? • dx =

x²

— Po • -J • So X • j2

• s₀²|r/a:

Po • /² • So . X • / • So2 JjoE +" ZjoE~ bN_ x bX~ l

N bN

FE ' bX

• dx —

E₀E

\x-^dx =

x²

X-l

iF₀E

Betrachtung des Balkens II (Fig. 6). Arbeit bei der wagerechten Bewegung. Wie vorher ergibt sich Pu’ P’ Su . X • / ■ S² u

und

3ju E

3 JuE

XI

3 Fa E

Es muß sein

— Formänderungsarbeit = 0

Also Po ■ P ■ So 3 JoE oder

Pu • l²- Su

3 JuE

Po ' P So

Pu’ E Su

Jo

Ju

Xl-So² X-l-Su² XI XI 3J„E + 3 JuE ⁺ ZEoE + 3FuE ~ °

• (O

$IL

U—«..hJ

•    I

U.------

Fig. 6.

Die Gleichung enthält außer X noch die beiden Unbekannten P₀ und Pu- Die nötigen weiteren Bedingungsgleichungen lassen sich aufstellen mit

Po + Pu = P

und mit Hilfe des Satzes, daß auch die Summe der Arbeiten auf dem Wege der senkrechten Bewegung des Balkens gleich Null sein muß.

(2)

Senkung.

Betrachtung des Balkens I (Fig. 7). Arbeit bei der

*MX

Mx — — Po ’ X -f- X • y • So    ^ p —

ÇMx MI. 3 JE' bP₀

*clx—

P₀-x²—X-

■s₀( dx

Po-P X-P-So 3 JoE 3 JoE

Betrachtung des Balkens II (Fig. 8). Arbeit bei der Senkung. Wie vorher, jedoch mit entgegengesetzten Vor-Pu-P X-P-Su 3 Ju E 3 JnE

Zeichen :

so

Fig. 7.

Es muß wieder sein

•oder

Formänderungsarbeit = 0 P „-P Pa • P X-P-Sp , XP-S" 3J₀E ZJuE    3 Jo E

3 JuE

Po-l Pul

Jo Jll

(3)

Hu

x-æ

S10

A...

Fig. 8.

Wir schreiben die drei Gleichungen noch einmal unter

einander :

Po • l • So

Pu ’ l • Su

Jo

J“

=x{j;+f.+k+k)-

• (O

(2)

PO -f- Pu -

Po-l Pu-l

Jo

/«

(3)

Durch Division der ersten und der letzten Gleichung ^ergibt sich

Po ‘ l ' So

Pu'l‘Su

Jo

Ju

TXf.+k+k

So²

Po-l Pu-l

Jo

Ju

oder

Jo ■ J u

_Fo ■ F„

So 'Ja — Su Jo

Po ' So • Ju “I⁻ Pu • Su •Jo    So² • Ja ~j~ Su~ • Jo -j~

Po' Ja — Pu' J o

Wegen

Pu = P-Po

(Fo+Ftly

folgt schließlich

■j/⁵o (So • Ju — Su ’ Jo) —(~ P ' Su • ./o j (So ' Ju — Su ' Jo) —

[sf-Ju + sf-Jo+j^Jfo + Fu^ ■ [PoUo+Ju) ~ P'Jo\

Jo Su(So'Ju—Su'Jo)Jr^S₀~-JuJrSu~'JoJr'J? -p-^FoĄ-F«) |

( Fo — Fu)    (Soju Sir Jo)“

Hieraus ermittelt sich

Po = P-

C/o+/«)U² Ju + Su² -Jo +

Jo Ju

F₀ • F u

Setzt man endlich für einige Teile der Gleichung einfache Buchstaben, dann schreibt sich der Wert

Po =

Jo SuV+W P'(Jo+Ju)W-V+

■ ■ (4)

■ (5)

Hiermit ist auch der Wert Pu gegeben und zwar mit

Pu = P - Po

X=l-

. . (6)

Nunmehr liefert die Gleichung 1 nach Einführung der ermittelten P₀ und Pu die gewünschte Schubkraft Po ' So • Ju~\~ Pu'Su'Jo

IV

Die weitläufig entwickelten Formeln lassen sich anders erheblich einfacher finden, es erscheint jedoch nötig, sie in dieser Weise herzuleiten, einmal wegen der Kenntnis der Teilkräfte P₀ und Pu, dann auch, um den Weg zu zeigen, auf dem sich die späteren Aufgaben am leichtesten lösen lassen.

Sodann wird bemerkt, daß die entwickelten Arbeitswerte eine kleine Unrichtigkeit enthalten; sie besteht in der Zahl 3 bei den Nennern aller Glieder; richtig ist 2, Seite 5, 6 u. 7. Der Fehler wurde im Interesse der Einfachheit der Entwicklungen zugelassen und hat, da sich diese Faktoren alle herausheben, keinen Einfluß auf die Richtigkeit des Resultates.

Es dürfte angebracht sein, die Richtigkeit der ermittelten Formeln an einem Beispiel zu zeigen.

1. Zahlenbeispiel.

Gegeben ein Freiträger nach Fig. 9 u. 10 mit folgenden Verhältnissen :

Balken I. s₀ = 3 cm, Jo — 180 cm⁴, F₀ = 60 cm², W₀ — 60 cm³.

Balken II. su = 6 cm, Ju — 1440 cm⁴, Fu = 120 cm², Wu = 240 cm³, P — 2 ton, / = 270 cm.

Die Gleichung 4 liefert nach Einführung der Zahlen-

180-1440

werte :

Po = 2 •

180 6(3-1440-6 -180)^9-1440+36-180

60-120

•180

162019-1440 + 36-180+

180-140 60 120

180 j'— (3 • 1440 -6-180)²

-F-

JT

w-

10 cm.

Fig. 9.

Fig. 10.

360-45360

31492800

p _₂    180 [6-3240 + 25920]

’ 1620 ■ 25920 — 324Ö2 Weiter berechnet sich

Pu = P — P₀ — 2,000 — 0,5185 = 1,4815 ton

- = 0,5185 ton

Endlich îindet man

0,5185-3-1440+ 1,4815-6 180

W=270-

270-3839,94

25920

25920

= 40ton

Beanspruchung der oberen Faser des Balkens 1 an der Einspannstelle (Fig. 11).

Po

~A

M° = Po-l — X-So = 518,5 -270 — 40000-3

= 139995 — 120000 = 19995 cmkg

Normalkraft N = X— 40000 kg

Beanspruchung o₀ —

M°

Wo

19995    40000

”60 ^ 60 = 333 4- 666 = cc 1000 kg/cm²

Beanspruchung der unteren Faser des Balkens II an der Einspannstelle (Fig. 12).

Mo = Pu-l — X-s»= 1481,5-270 — 40000-6

= 400005 — 240000 = 160005 cmkg

Normalkraft N — X — 40000 kg

„    ,    M° , X 160005 . 40000

Beanspruchung    - + p~ =

w u r a

240

120

= 666 + 333 = ce 1000 kg/cm²

JL

-►

Fig. 12.

Der Schub X wird durch eine gleichmäßig verteilte Verbindung der beiden Balken aufgebracht. Dann wirken die Querschnitte als eine einzige Masse, und das Moment des Balkens ist einfach

M° — P-l= 2000 • 270 = 540000 cmkg.

Nach Fig. 10 besitzt der gesamte Querschnitt ein Widerstandsmoment von

W~ 540 cm⁸.

Die Beanspruchung der äußersten Faser berechnet sich

somit zu

M° 540000

— 1000 kg/cm².

Durch die Übereinstimmung dieses Ergebnisses mit den obigen Werten a₀ und au ist die Richtigkeit der abgeleiteten Formeln erwiesen.

540

sich ebenfalls auf dem gezeigten Wege ermitteln läßt. Es leuchtet ein, daß diese Kraft kleiner ausfällt, als jene an der Einspannstelle des Balkens zum Ausdruck kommende größte Anhäufung X des Einheitsschubes X'. Es hängt dies mit der Formveränderung zusammen: Eine unveränderlich auf die Stäbe wirkende Anspannung vermag die Stäbe mehr zu dehnen als eine Anspannung, die mit Null am Ende beginnt und geradlinig zunimmt bis zur Einspannstelle. Diese Betrachtung führt zu dem Schluß, daß für den Fall, wo außer der durchlaufenden Längsverbindung (Haftung) noch eine konzentrierte Endbefestigung besteht, diese gar keinen Zweck hat, weil ihre Wirkung von der Wirkung der Längsverbindung überholt wird.

Dieser Tatbestand läßt sich auch mit Hilfe der Arbeitsgleichung I nachweisen.

Wir denken uns den Balken auf der Rückseite, die wir Zugzone nennen, mit einer Eiseneinlage armiert. Die Bezeichnungen sind folgende:

Fb = Querschnitt, Jb — Trägheitsmoment, Eb — Elastizitätszahl.

Eiseneinlage /^ — Querschnitt,

Ee — Elastizitätszahl.

Balken

ln Fig. 14a ist die Wirkung der gleichmäßig über die ganze Eisenlage verteilten Haftspannung dargestellt. Die Einheit der Haftspannung sei r pro cm Eisenlänge. Ihre Wirkung ist vom Ende nach der Einspannung gerichtet. Mit anderen Worten: die Einheitsspannungen r addieren sich von links nach rechts, und ihre größte Anhäufung besteht an der Einspannstelle mit

Xx

Xx

X ■ /, WO X= j

Bedingung für diese Wirkung ist, daß die Eisenlage an der Einspannstelle des Balkens konzentriert durch Umbiegen oder Einklammern mit dem Beton verbunden wird. Diese Befestigung muß sorgsam sein, denn sie hat der größten Anhäufung der Haftspannung stand zu halten.

Weiter zeigt Fig. 14b den Verlauf der durch die konzentrierte beiderseitige Endbefestigung erzeugten Anspannung X₂ des Eisens. (Die Anspannung wird zunächst als

Erheblich einfacher gestaltet sich die Gleichung 6, wenn die Schnittlinie durch die neutrale Achse geht und wenn

So ⁼ Su —- S

Jo = Ju=J

dann ist

f₀ = fn = F

Po=Pu =

IO

und es wird

PI

P-l

s- Fi

²(s2+f)

MdI . . (7)

Die Aufgabe gestaltet sich bedeutend einfacher, wenn der mit I bezeichnete Stab sehr dünn wird und sein Anteil an der unmittelbaren Aufnahme von P verschwindet. Dann

JP

.z

Fig. 13.

wird die Last ganz von dem Balken II aufgenommen. Berücksichtigt man sodann die verschiedenen Elastizitätszahlen von 1 und II, dann stehen wir vor der Aufgabe eines armierten Betonbalkens, wo der Stab I als Eiseneinlage nur noch Zugspannung erhält.

Um in der Folge Aufgaben dieser Art lösen zu können, müssen wir uns klar sein über das Prinzip, wonach die Schubkräfte, die zwischen den Berührungsflächen der Baustoffe auftreten und mit Haftspannung bezeichnet werden, sich verteilen.

Bei dem eingangs behandelten Fall könnte man sich nach Fig. 13 auch eine konzentrierte Endbefestigung denken. Dann tritt an Stelle der Schubkräfte zwischen den Berührungsflächen eine unveränderliche Anspannung X der Stäbe, die

Der Balken.

Mx = P-x—X₁-j-s—Xz-s

bMx

tatsächlich bestehend eingeführt; die Rechnung ergibt, daß sie Null wird.)

Die Aufgabe enthält zwei Unbekannte, nämlich Xx und Xo. Danach muß sein

CMX bMx , CN bN J JE ' bXjdx ' YpE 'bX\

CM* bMx f‘N_ bN ) JE' bX₂’ax^~ )pE bX₂

■ dx — 0

und

■ dx — 0

’r

irrri;

y-

Fig. 14 a.

Fig. I4b.

Das Eisen.

N=Xl--l+X.,

bN x    bN

Ç N bN )fE bXx

■ clx

kl

XV

bXy ~ /

r*+xn\

bX₂

x¹

dx

Xvl Xo-l

ZFeEe^ 2FeEe

N_ bN FE bX₂

■dx

FeEe

XiXt+x^

Ö

dx —

Xvl

Xo-l

2FeEe ' FeEe

bMx

bX, ~ '

A/.r bM

J JE ' <>v;

r dX =

JbEbJ

0

-P-

X]f+x₂-

x-s²

dx

PP-s

Xyl-S² . Xoyl-S²

Zjhtb ¹ 3JbEb ^ 2JbEb

- Formänderungsarbeiten = 0

mithin

Xyl    Xyl Xyl    Xyl    Xyl-S²    Xyl-S² _ PPs _

3 Fe Ee    2 Ee Ee ⁺ 3 EbEb ⁺    2 EbEb 3Jb E„ ⁺ 2/:>,    3 /»£» ■

(nach AV

XjL^P    Xyl_ Xyl    Xyl    Xyl-S*    Xyl-S*    P-/²^

2FeEe    EeEe ⁺2FbEb⁺    EbEb ⁺ 2JbEb '    JbEb    2JbEb ~ °

(nach X₂)

3

Multipliziert man die obere Gleichung mit ^ dann folgt durch Subtraktion der beiden Gleichungen

X₂ = 0

Setzt man X₂ = 0, dann liefert eine der beiden Gleichungen ohne weiteres die gesuchte Anhäufung der Haftspannung an der Einspannstelle, nämlich

Xr — X=P-l-

CM,- _

yjE'ix.o

bM,

JbEb)

O

-P-x-s+Xy*

■ s² -f- ^f₂ •    1 dx

P-P-s Xyl s² , AV/-s²

2JbÈb'r2jbEb' JbEb

Die Formänderungsarbeiten aus den Normalkräften lassen sich nach oben abschreiben:

■ l . X‘2 • /    , y .

2>FbEb^~2EbEb (nach Xl)

Xyl Eb Eb

Xyl

2 Fb Eb

~b

(nach Af₂)

Es muß sein

c^hJXLEb ' Fb + Ee-Ee

Utn die Einfachheit der Herleitung von X zu zeigen, sei die Entwicklung noch einmal unter Ausschaltung von X2 vorgenommen (Fig. 15).

Die Eiseneinlage.

bN_ x bX~ l

tV àN EE' bX

• dx =

EeEe

• dx —

X-l

3 Fe Ee

Der Balken.

1Ô

Öd/.r

[Mx àMx

j JE bX

■ clx —

Jb Eb

-P-

x²

• s + X-

■ s²\dx

P I² s Xis2 3 Jb Eb ' 3 Jb Eb

X'=X P

ir

----i-

rJC

X'

JZ

Fig. 15.

X

Aus der Normalkraft N = X- , wie oben

Es muß sein

3 Fb Eb

also

Hieraus

Formänderungsarbeit — 0

P-P-s Xis²    XI XL

ZJbEb'SJbEb ' 3 Fb Eb' 3 Fe Ee

X=Pl•

= P-l-9l . • • (8)

c2 I Ä I JpiËï

^ Fb^ Fe Ee

Hiernach ist das wirkliche Biegungsmoment des Betonbalkens für eine beliebige Stelle im Abstande x vom Ende sehr einfach

Mx = P ■ x — X ■

und an der Einspannstelle

M° — P ■ l — X • s = M

max

(1 — dl -s)

Die Normalkraft auf einen beliebigen Querschnitt beträgt N==X-~

An der Einspannstelle

N — X

Es darf betont werden, daß gegenüber den üblichen verwickelten Berechnungsmethoden unser Verfahren ein überaus einfaches und klares ist.

sind :

2. Zahlenbeispiel.

Fig. 16 zeigt den Querschnitt des Balkens. Die Zahlen

P = 1000 kg Jb = 97200 cm⁴ Wb — 5400 cm:; Fb — 900 cm-Fe — 20 cm²

/ = 200 cm

5—15 cm

Fe

h -3/fern.

Fig. 16.

Das Elastizitätsverhältnis von Beton zu Eisen sei aus dem früher dargelegten Grunde mit

86000

n~~ Fe ~ 2150Ö0Ö⁻25

Fb

angenommen.

Æ!

Fig. 16a.

X=Pl-W = 1000-200-

15

15² +

X = 5680 kg

97200

97200 • 1 20 - 25

Die Beanspruchung der oberen Faser an der Einspannstelle berechnet sich zu

Mo X PI — X ■ s Wb~Fb~

5680

(J₀ —

Wb

1000-200 —5680- 15

5400

900

= 21,2 — 6,3 = 14,90 kg/cm² Zug.

Die der unteren Faser

M°

ou =

Der größte Zug der Eiseneinlage an der Einspannstelle des Balkens war

X = 5680 kg

Danach erleiden die Stäbe eine größte Beanspruchung von

(je =

5680    ₍

= ~2q- = 284 kg/cm₂

Die Einheit der Haftspannung ist

X 5680    ,

y ⁼⁼'2qq^ — 29 kg pro cm Eisenlänge.

Bei einer Haftfläche von fe = 38 cm² auf die Längeneinheit ergibt sich die niedrige Haftspannung des Eisens im Beton

29

Te —

y;=3g = °,⁷⁷ kg/cm²

Im Gegensatz hierzu liefern die bekannten Formeln, die den Beton nur auf Druck beansprucht wissen wollen, einen Maximalzug im Eisen von

X — 7460 kg

Sodann ergeben die Formeln als größte Beanspruchung der gedrückten Faser des Betonbalkens ob = 33 kg/cm²

Es ist klar, daß diese Werte nicht zutreffen, daß vielmehr die von uns ermittelten der Wirklichkeit näherkommen.

Wenngleich nicht verkannt werden soll, daß ein Fehler in der eingangs besprochenen Annahme gleicher Dehnung für Zug und Druck liegt. Genau genommen, wird die Zugzone des Betonbalkens sich nicht ganz mit dem ermittelten Wert an dem Spannungszustand beteiligen, woraus folgt, daß die Druckzone mehr aufnimmt und das Eisen einen etwas größeren Zug erhält.

Andrée, Eisenbetontheorien.

Bei dem vorliegenden Fall, wo die Beanspruchung der Zugzone allerdings die Zugfestigkeit des Betons zu übersteigen scheint, ist die Möglichkeit des Zerreissens der äußersten Faser gegeben. Die Deformation kann ganz unscheinbar sein, sie verändert aber sofort den Spannungszustand des Balkens und des Eisens. Wollte man Genaues darüber aufstellen, dann müßte schon eine vollkommene Spalte von bestimmter Tiefe erkannt werden. Dies ist aber nicht möglich, weil die Deformation neben anderen Ursachen auch von der Erschütterung der Masse entwickelt wird.

Um ein Zerreissen der Zugzone zu vermeiden, ist es notwendig oder doch zu empfehlen, die Eisenarmierung unseres Balkens zu verstärken. Wählen wir statt 20 cm²

einen Querschnitt von Fe = 40 cm², dann berechnen sich folgende Beanspruchungen

o₀ = 9,8 kg/cm² Zug d« = 25,4 kg/cm² Druck.

Doch dürfte selbst bei der ersten Armierung mit Fe = 20 cm² der Träger genügende Sicherheit an den Tag legen, und zwar aus dem Grunde, weil die Haftspannung längst nicht die zulässige Grenze erreicht. Wir können versuchen, den Eisenzug bzw. die Haftspannung durch einen Eingriff in die Formel für 9? auf den denkbar größten Wert zu treiben. Ergeben sich dabei noch zulässige Zahlen, dann kann der Balken unbedenklich der Belastung unterworfen werden. Wir nehmen an, die Betonmasse sei vollkommen elastisch, oder, was zu demselben Ergebnis führt, die Eiseneinlage sei vollkommen unelastisch. Dann geht die Formel über in

und es wird

9Ï =

15

s² +

15

15

97200    225 4-108    333    ⁰’⁰⁴°⁰⁵

I5²4

Der größte Eisenzug berechnet sich sodann zu X= M-9Î = 1000 • 200 • 0,04505 = 9010 kg wonach die größte Beanspruchung des Eisens beträgt X 9010    ,    ₀

°e = Ye = -2Ö“ = 450 kg/cm

900

Ferner ergibt sich als größte Einheit der Haftspannung 1000 0,04505 = 45,0 kg pro cm Länge.

Und schließlich ermitteln wir die größte Haftspannung des Eisens im Beton zu

45

— 1,18 kg/cm-

, C " Je 38

Der Wert ist sehr gering und bejaht unsere Auffassung hinsichtlich der Festigkeit des Balkens.

Hieran anschließend sei bemerkt, daß mit zunehmender Eisenstärke die Nullinie immer mehr nach oben rückt und daß schließlich bei einem unendlich großen Eisenquerschnitt die Zugspannung im Beton ganz verschwindet.

Ein praktisch durchführbares Mittel, um die Zugspannung im Beton zu vermindern, besteht darin, daß man die Eisenlage durch eine Zugpresse vorher anspannt oder sonstwie längt und dann einbetoniert. Geben wir dem Eisen etwa die herausgerechnete Spannung X, dann dürfte nach Erhärten des Betons bei der Belastung sich ungefähr der günstigste Zustand (keine Zugspannung im Beton) einstellen (Fig. 16a).

Die Frage der vorherigen Anspannung oder Dehnung der Eiseneinlage erscheint geeignet, die Verbundpraxis einen Schritt weiter zu führen.

Die Gleichung 8 kann auch angewendet werden, wenn der Balken nach Fig. 17 von mehreren Lasten angegriffen wird. Der größte Zug der Eisenlage an der Einspannstelle des Balkens ist dann

X=--Mx

nax

nax *

s² -j-

Jt-

• • (9)

Fe'

wo Mm&x sich zusammensetzt aus

A/max = P' l' + P'' ■ l" -f P'" • /'"

Danach betragen die größten Balkenbeanspruchungen

wieder

Oo

Ou

Mmax — X • S _ X

⁺ Fb ‘ *

Wb

. . (10)

Die Haftspannung bzw. die Einheit derselben wird am größten für die Strecke zwischen der Last P"' und der Ein-

Spannung des Balkens.

Schreiben wir die Wirkung der

Einzellasten getrennt, dann folgt als Einheit der größten Haftspannung für diese Strecke

X"

Tmax —

X"’

V"

= (p + P" + P'”) •«R

oder allgemein für eine Lastenreihe

Ima X=IPM

(11)

T’

p'"

irrt³.

1"'

l"

•»-I

<<e-

Fig. 17.

Schließlich kann die Belastung des Balkens eine gleichmäßige sein; sie sei p pro Längeneinheit. Die gesamten an der Einspannung gehäuften Haftkräfte (Zug im Eisen) ergeben sich zu

max *

«R —    • SR

Hj

L_Hj

CN

VT"

Fig. 18.

Die Beanspruchungen des Betonbalkens sind wie oben Mmax — X • S X

~ ⁺ Tb

Die Einheit der größten Haftspannung ist Tmax=^-SR=/>-/-SR

(To

<*n

Wb

Der Zug im Eisen an einer beliebigen Stelle im Abstande X von der Einspannstelle beträgt

X' = Mx.^l =

Tmax=Ç-9l = (i4— Pi) -97 .... (27)

-2 Xn

HMinu

P U — x) ²

X' = Mx.^l =

Hieraus erhellt, daß die Einheit der Haftspannung für jede Stelle eine andere ist; die Intensität derselben nimmt vom Ende des Balkens nach der Einspannung hin zu, und zwar gleichmäßig. Es ist dies die Bedingung dafür, daß die Parabelfunktion des Wertes Xr zustande kommt. Die Einheit der Haftspannung für die Stelle x ist tx = p (/ — x) ■ SJÎ

Als wichtiges Ergebnis unserer Untersuchungen lassen sich schon jetzt zwei Sätze aufstellen:

1. Die Einheiten der Haftspannungen verlaufen wie die Querkräfte des Balkens:

(12)

r =Q-W

rs2 *

■<

Fig. 19.

2. Die Anhäufung der Einheiten der Haftspannungen (Zug im Eisen) figuriert nach den Momenten:

(13)

X' = MXfl

wo s)c einen von Q und M unabhängigen Bruchfaktor bedeutet.

Diese Sätze erfahren später eine Erweiterung und gelten zunächst nur für gewöhnliche Balken mit senkrechten Lasten.

Unser Verfahren führt auch zur Lösung eines in der Zugzone durch zwei übereinanderliegende Eisenlagen armierten Balkens (Fig. 19). Zu ermitteln sind die Eisenzüge an der Einspannstelle, nämlich X₁ der oberen und X₂ der unteren Lage. Die übrigen Bezeichnungen sind in der Figur angegeben.

Die obere Eiseneinlage.

N = X'₁=X₁.

Nach früherem war

3 F.’-E,

<W

J FE bXj_

Die untere Eiseneinlage.

FE bX₂dx~

X₂-l 3 Fe"-Ee

Der Balken.

Mx — P ■ X — Xi • y • Sj -X₂-

•S₂

bMs

i-S 1

• s₂

clx =

JbEb

'■Sl + ^D ■ j2 'Sl²-\-X₂-

■Sx-sXc/x

PPsx . X^PsJ 3 JbEb 3 JbEb

X₂ ' l s± s₂

3 Jb Eb

nach Xd)

f Mx à Mx , }JE t>X₂ ax~

JbEb

X²

X²

X²

P s‘₂ “r X\ ■ p Sj - s₂ -|- X² ■ jÄ ■ s₂² ■ |

ö. '

PPs₂ Xi l ‘ S] ’ s₂ . X₂ • / • s₂²

3 JbEb

3JbEb ' 3 JbEb

JV = X₁-j + Xt~

()N

bxi ~

* i-«*

ÜX₂~

nach XJ)

Ç N <W J FE bX₁

■ dx =

x²

X²

FbEbl

¹’ P

+ ^2'/2

dx

X\ ■ /    ^T₂ • /

3 Fb Ëb ' 3 Fb Eb

nach X₂)

• dx —

AW 3 Fb Eb

X₂ ■ l 3 Fb Eb

Es muß sein

Formänderungsarbeit = 0

nach XJ)

X\ -1- Sj² X₁ ■ l Xi ■ l 3 Jb Eb ' 3 EbEb 3 Fe Ee '    3 Jt, Eb

X‘2 ' l'S\ So

_SJ P F SX 3 EbEb 3 Jb Eh

nach X₂) Xj ■/•Si s₂

___. X\ ■ l X‘2 ■ 1    X<2 • l • So² . X<2 ' l PPs₂ _

3 Jb Eb ' SEbEb' SEe'Ee' 3}b Eb    3 EbEb    3 Jb Eb

oder

Fe ' Ee

X₂-(s2²4

Jb , Jb Eb

Eb ¹ Ee" Ee

) + X₂(Sl.s₂ + g)_

) "I⁻bi ■ «2 "f-    ^ —    .    . (14a)

P ■ l ■ sx .

.    .    (14)

Die allgemeine Auflösung dieser beiden Gleichungen nach Xx und X₂ führt zu unbeholfenen Ausdrücken, weshalb man besser die Zahlenwerte eines zur Aufgabe gestellten Falles einsetzt.

Æ.

Fe'

sii

30

F¹"

S2

3Q_

Fig. 20.

3. Zahlenbeispiel.

Art und Belastung des Balkens wie Zahlenbeispiel 2, nur mit doppelter Eisenarmierung (Fig. 20).

/ = 200 cm

Jh = 67400 cm4 Fe — 40 cm²

P = 1000 kg

Wb = 4500 cm³

Fe" — 20 cm²

= 12 cm

Fb = 900 cm²

s₂ = 8 cm

Eb 1

n~ Ee~25

fl2²+

67400 67400-1 900 ⁺ 40-25 67400 67400 1 900 : 20-25

j+X₂(l2-8+^~j=1000-200 12 (14) ■)+*i(l2 8+⁶^^°j= 1000-200-8 (14a)

Ax ■ 286 + A₂ ■ 171 = 2400000 Ai - 171 -f- A₂ ■ 274 = 1600000

• 458 + A₂ • 274 = 3844800 Xx ■ 171 -1- A₂ • 274 = 1600000

durch Subtraktion

oder

Ai •287 = 2244800

2244800

287

— 7822 kg

und

+> =

262438

274

= 958 kg

Sj o

-H

'1 I

'o

Fig. 21.

Das größte Balkenmoment an der Einspannstelle beträgt

M° = P • / — X\ • S] — A₂ • S‘>

= 1000 • 200 — 7822 • 12 — 958 • 8 = 98472 cmkg. Die Beanspruchung der oberen Faser des Betonbalkens berechnet sich zu

<y₀ =

M° Aj —|— A₂

Wb Tb~

_ 98472    7822 + 958

— 4500 Die untere Faser erleidet M° . Ai + A₂

900

21,9 — 9,8 — 12,10 kg/cm² Zug.

Ft

= 21,9 + 9,8 = 31,7 kg/cm² Druck.

In ähnlicher Weise behandeln wir den Balken, wenn er nach Fig. 22 mit einer Eisenlage in der Zugzone, wie auch in der Druckzone versehen ist. Die Querschnitte der oberen und unteren Armierung seien gleich groß und liegen in denselben Abständen s von der Schwerlinie des Balkens. Die übrigen Bezeichnungen sind wie früher.

Bei diesem Fall findet außer der Zuginanspruchnahme des oberen Eisens eine Druckbeanspruchung des unteren statt. Im übrigen gelten hier dieselben Leitsätze wie bisher. Die Einheit der Haftspannung ist

und für eine beliebige Stelle im Abstande x vom Ende besteht der Haftschub

X' = X.

gleich.

Zug und Druck der beiden Eisenlagen sind einander

iTTTrn

■Ï

____UiLLUj

r<-

>n

Fig. 22.

x'

X!

|«e-

Die obere Eiseneinlage:

N = X’ = X-

‘ N hN FE bX

dx

XI

3 Fe Ec

Für beide Eisenlagen:

2    XI

3    Fe ■ Ee

Der Balken:

Mx = P • x — 2 X ■ 4

àMx

l ' ⁵ Î>X ~

3 Jb Eb

3 Jb Eb

ÇMx mx

J JE ' bX dx ~

JbEb

— 2 P-

x²

•s + 4X-

x-

/-

■ S² r- dx

2 ■ P ■ l² ■ s

4 ■ X I -s²

Die Arbeiten aus den beiden entgegengesetzt gerichteten Normalkräften werden zu Null.

Es muß sein

X Formänderungsarbeit = 0 4 X i s². 2X I 2PP-s

3 Jb Eb    3 FeEe 3 Jb Eb

Hieraus

X=P l

2 ■ s² +

JbEb

Fe Ee

4/max-9i .    •    .    (15)

4. Zahlenbeispiel.

Dieselben Verhältnisse wie bei dem vorhergehenden Zahlenbeispiel.

P= 1000 kg

/ = 200 cm

Jb — 67400 cm⁴

Ee unten — Fe oben = 30 cm²

Wb = 4500 cm³

Eb = 900 cm2 5=12 cm

Eb 1

n~ Ee~ 25

1000-200

12

2- Ï2²

67400 ■ l

= 6350 kg

30-25

Die Zuginanspruchnahme der oberen Faser des Betonbalkens an der Einspannstelle ist M° P • / — 2 X ■ s

n°~wb

IVi

= 10,6 kg/cm² Zug

1000-200 —2-6350- 12

4500

Die Druckinanspruchnahme der unteren Faser ist ebenso

groß.

Wir wenden uns jetzt dem praktisch bedeutsameren Balken auf zwei Stützen zu. Die Eiseneinlage befindet sich nur in der Zugzone (Fig. 23). Es sei ein Träger mit einer Einzellast P in der Mitte zur Aufgabe gestellt.

Nach unserem Satz 2, wonach die Anhäufung der Haftspannungen (Zug im Eisen) nach den Momenten figuriert, ergibt sich die größte Eisenspannkraft in der Balkenmitte zu

X — A/max '

Für den speziellen Fall einer einseitigen Bewehrung liefert die Gleichung 8 den Bruchfaktor 9L Danach ist PI

Die Einheit r der Haftspannung ist nach Satz 1 Gleichung 12

r = Q • «R

somit

. . (16)

HT-

IO, >3

■«R =

⁺ Ft^F,Ee

• (17)

~2

-X

Fig. 23.

Die Einheit der Haftspannung ist für jede Stelle des Trägers dieselbe. Die Summe der Einheitsspannungen vom linken Auflager bis zur Mitte bzw. vom rechten Auflager bis zur Mitte stellt den größten Zug im Eisen unter der Lastangriffsstelle dar.

Das Balkenmoment für einen Querschnitt im Abstande x vom Ende ermittelt sich zu

2x

ln der Mitte besteht

M°

PI

max

t — Xs

4

Jb . Jb Eb

Pb ' Fe' Ee

Wie bei dem einseitig eingespannten Balken hätte auch hier ein Umbiegen der Eisenlage bzw. eine konzentrierte Befestigung an den Balkenenden keinen Zweck, weil, wie schon früher festgestellt, die Wirkung aus der Endbefestigung von der Wirkung aus der Längshaftung überholt wird. Natürlich gilt dieses nur solange, als keine Deformation des Betons eintritt.

Im Gegensatz zu den üblichen Auffassungen darf betont werden, daß die Einheiten der Haftspannung des Eisens im Beton verschwindend gering sind, woraus hervorgeht, daß irgendwelche Verklammerungen und Einzackungen, wie sie vielfach ausgeführt werden, nicht die ihnen zugeschriebene Bedeutung haben. Wohl spricht für ihre Anordnung der Umstand, daß sie geeignet sind, die Betonmasse zusammenzuhalten und sie zu zwingen, den ihr in unserer Rechnung vorgeschriebenen Spannungsgesetzen Folge zu leisten.

Besteht nach Fig. 24 die Armierung unseres Trägers aus einer Eisenlage sowohl in der Druck- als auch in der Zugzone, so gilt ohne weiteres wieder für den größten Eisenzug bzw. Eisendruck in der Balkenmitte X—M

wo für Ü)? der Bruchfaktor der Gleichung 15 einzusetzen ist.

PI 2S'1 + Fe~Ee

Die Einheit der Haftspannung für jeden cm Eisenlänge

beträgt

•9ł

max

■ • (17)

2S

oder

Mo

PI

PI

max

■sXl

PI

₄ (1 ~^s)

Pi

2s‘-4-

Jb • Eb Ee ■ Ee

• • (18)

Das Balkenmoment in der Mitte ergibt sich zu

%-2 X;

4

M° =

max

Bei dem Beispiel der Fig. 19 wurde die Wirkung einer doppelten Eiseneinlage Fe' und Fe" nur in der Zugzone untersucht. Auf den vorliegenden Träger angewendet, schreiben sich die beiden Gleichungen für die größten Eisenzüge einfach

Xx • 9F + Wo • fl

•4/max ‘ Si —

P-l 4 ^

.    .    (19)

X<i • 9Fr -j- Xi ⁴    — T/iuax ‘ Ä2 —

oder ausführlich

Ai L* +

• Eb\

P-l

• • (20)

Xo (si² -f-

■Et

Fe" Fe

\ + X₁(svs₂+p] = P₄l

■s₁ .    .

■S-> .    .

.V

•5*/

.S

FJ

Fig. 24.

Fig. 25.

Wie bereits gezeigt, lassen sich die Unbekannten nach Einführung der Zahlenwerte leicht ermitteln.

Das Moment des Balkens in der Mitte beträgt

PI

Die Einheit der Haftspannung der ersten Eiseneinlage hat den Wert

Ai

Io

_2₁X1 ~ l

die der zweiten Eiseneinlage

2 Wo

Es entsteht die Frage, wie verhält sich der Eisenzug bzw. die Haftspannung, wenn die Last P wandert. Die Antwort geben die allgemeinen Gleichungen 12 und 13.

X=M t — Q - X

Für eine beliebige Stelle der Last im Abstande x vom Auflager A (Fig. 26) beträgt das Moment

P (l — x) ■ x

und

Mx

max

■X

Infolgedessen berechnet sich die unter der Lastangriffsstelle bestehende Anhäufung der Einheiten der Haftspannung zu

P ■ (/ — x) ■ x

• • (21)

■X . .

Diese Anhäufung summiert sich aus den Einheiten der Haftspannung vom linken Auflager bis zur Last. Dasselbe

'V

Fig. 26.

gilt für die rechte Balkenseite. Die Anhäufung (Spannkraft des Eisens) nimmt ab, je näher die Last dem Auflager kommt. Steht sie über dem Auflager, dann wird X— 0 Die Einheit der Haftspannung war allgemein r=QX

Für den Balkenteil vom linken Auflager bis zur Last ist P(l-x)

Ta =

■Xi

(22)

Für den Balkenteil rechts P x

Tb —

■X

(23)

Hieraus folgt, daß die größte Einheit der Haftspannung

am Trägerende besteht, wenn die Last gerade über das Auf lager tritt.

5. Zahl en bei spiel. Siehe Fig. 27.

/ = 400 cm

Jb = 106667 cm⁴

P = 2500 kg

Wb — 5334 cm³

Fb = 800 cm²

Fe — 38 cm²

s = 18 cm

Eb _ 1 ~Ee ⁼ 25

JP

__

V-

\Wcrru

Wcnr

Fig. 27.

Der größte Zug im Eisen findet statt, wenn die wandernde Last in der Mitte des Trägers steht.

X — 71/max ■ 9Î

Der Bruchfaktor war nach Gleichung 8

=

S" —|—

Jb • Eb

Die Zahlenwerte liefern

Fe ' Ee

18

18² —j—

106667 , 106667 1

800

38-25

18

18

Sodann ist

324 + 133,34 + 112,³    569,64

= 0,0316

PI 2500-400

250000 cmkg

Es ergibt sich

250000 • 0,0316 — 7900 kg Nun beträgt das Maximalmoment des Betonbalkens in der Mitte

Mo

PI

max

= 250000 — 7900• 18

--r — Xs

4

250000— 142200

107800 cmkg

Die Materialbeanspruchungen sind folgende: Untere Faser

M°

(J₀ =

max

wb

107800    7900

5334    800

= 20,25 — 9,9 = 10,35 kg/cm² Zug

Obere Faser

max

Ou = —,

Länge.

20,25 -f- 9,9 = 30,15 kg/cm² Druck

Fb~

Die Inanspruchnahme des Eisens ist X 7900 Fe 38

Die Haftfläche der Eisenlage war fe — 56 cm² pro cm

Wb

Oe =

208 kg/cm²

Bei der Laststellung in der Mitte beträgt die Einheit der gleichmäßig verteilten Haftspannung nach Gleichung 12

t = Q • 97 = — ■ 9c = 1250 • 0,0316 = 39,5 kg pro cm

Die Haftspannung pro cm² der Eisenfläche berechnet sich danach zu

- 0,71 kg/cm²

t 39,5 T‘~ fe~ 56

Mit der Bewegung der Last nach dem Auflager hin nimmt jedoch die Einheit r der Haftspannung zu und erreicht den größten Wert, wenn P über der Stütze steht. Dann ist

und

t = Q ■ 97 = P ■ 97 = 2500 0,0316 = 79 kg pro cm

<nj 1,41 kg/cm²

79

Tß fe 56

Fig. 28 zeigt einen Balken auf zwei Stützen mit der gleichmäßig verteilten Belastung p pro Längeneinheit.

Nach dem Satz 1 verlaufen die Einheiten der Haftspannungen wie die Querkräfte. Diese sind in Fig. 28a angedeutet. An einer Stelle im Abstande x vom Auflager ermitteln wir die Einheitsspannung

• • (25)

tx — Q ■ 9Î = p ■ (

6. Zahlenbeispiel.

Eine 2,1 m weit gespannte Decke von 10 cm Stärke ist zu berechnen. Die Eiseneinlage Fe befindet sich nur in der Zugzone und beträgt 5 cm² auf 1 m Deckenbreite. Der Abstand der Bewehrung von der Deckenschwerachse ist s = 3,5 cm. Die gleichmäßig verteilte Belastung wird mit P= 1240 kg pro 1 m Deckenbreite angenommen.

Die Zahlen sind folgende bei 100 cm Deckenbreite:

Jb = 8334 cm⁴ Wb — 1667 cm⁸ Fb— 1000 cm2 Fe = 5 cm² s = 3,5 cm P — 1240 kg

Fb

Die Summierung oder Anhäufung der Einheitsspannungen liefert die Parabelfunktion der Fig. 28b, die mit

p • /²

91 =

in der Trägermitte ihr Maximum erreicht. (Größte Eisenspannkraft.)

Der Bruchfaktor Ü)i hängt wie immer von der Art der Eisenarmierung ab. Für die in Fig. 28 angenommene Bewehrung gilt für 9Î der Wert der Gleichung 8.

max •

•91

7¹

_Fig. 28.

Fig. 28 a.

Gr

Fig. 28b.

Das größte Moment des Balkens ist wie immer

p l²

M°

rnax

max

— Xs

X-s

p /2

■ 00

Ee 25

Andrée, Eisenbetontheorien.

32500 cmkg Der Bruchfaktor war nach Gleichung 8

Das äußere Maximalmoment ist PI 1240-210

3,5 +

3,5

². 8334

1000

s2 + >,+

■Pb

Ee

3,5

8334-1    12,25 -f 8,34 + 6,67

5 25

= 0,1284

Die größte Anhäufung der Einheiten der Haftspannung (Zug im Eisen) ist

X= MW — 32500 • 0,1284 = 4170 kg Danach ergibt sich eine Eisenbeanspruchung von X 4170

(Te —

834 kg/cm²

Fe 5

Das wahre Moment des Betonquerschnittes in der Mitte hat den Wert

M° — M— X • s = 32500 — 4170 • 3,5

= 32500 — 14600 = 17900 cmkg Es ergeben sich somit folgende Betonbeanspruchungen : Obere Faser

Untere Faser

_ 17900    4170

— 1667 ' 1000

= 10,7 + 4,2 = 14,9 kg/cm² Druck

- 10,7 — 4,2 = 6,5 kg/cm² Zug

Die größte Einheit der Haftspannung bestimmt sich nach

r = QW =    • 0,1284 = ^ 80 kg pro cm Länge

Die Eisenfläche ist bei 10 Drähten je 0,8 cm <j> fe = 25,1 cm²

Somit ermittelt sich die noch niedrige Haftspannung

= 3,18 kg/cm²

w„

TC =

80

25,1

Fig. 29 stellt den Fall einer beliebigen Gruppe von Einzellasten dar. Das Querkraftdiagramm ist in Fig. 29 a aufge-

rissen. Danach erscheinen die Einheiten der größten Haft-spannung zwischen dem Auflager A und der ersten Last P₁.

Trnax = Q ■ 9l = A ■ 9Î

Die Einheiten in den übrigen Feldern sind entsprechend dem Diagramm geringer.

Die Anhäufung aller Einheitsspannungen verläuft wie die Momentenlinie Fig. 29b. Das größte Moment besteht unter der Last P₃. Infolgedessen beträgt die größte Eisenspannung X = A/max ' 9£

Pl

Pz P₃

Fig. 29.

-Ai

Fig. 29 a.

Fig. 29 b.

7. Zahlenbeispiel. (Fig. 30.) 1000 kg Jb = 160000 cm4 Fe = 38 cm²

Pi

P₂= 1500 kg 8000 cm³

Wb

s = 18 cm

Pz= 1000 kg Fb = 1200 cm2 fe — 56 cm²

Fb

Fe 25

Der Bruchfaktor 91 ist nach der Gleichung 15 zu be

stimmen.

18

Jb - Eb Fe - Ee

Der Auflagerdruck A berechnet sich zu A = 1812,5 kg

2s² +

2 ■ 18²

160000 • 1

= 0,02205

38-25

3*

Das größte Moment unter der Last P₂ beträgt Mmax — 262500 cmkg

Der größte Zug im Eisen an dieser Stelle hat den Wert

■dl

nax

X=Mi

Danach besteht für den Betonhalken ein ungünstigstes Moment von

M°

max

2 Xs

— M

= 1%

= 262500 (1 — 2 • 0,02205 ■ 18) = 54100 cmkg

max

(1 — 2 • dl • s)

P Pf 3

i- J-l

~t-----

-►

s.

00 cm,

b__i_

r TT i

200

275

*1

Z = 000 crń

u*----

130 cjtl\

-»i

Fig. 30.

54100

i?= 800Ö = ~⁶’⁷⁸kS/cm2

Die Beanspruchungen des Materials sind folgende (>₀ = M°

=

Die Einheit der größten Haftspannung im ersten Feld links ergibt sich zu

rmax = Q • dl = A • dl

— 1812,5 ■ 0,02205 = 40 kg pro cm Länge Hieraus folgt als größte Haftspannung für den cm² der Eisenfläche

rmax 40

Te =

fe 56

0,715 kg/cm²

Wir betrachten jetzt einen an den Enden eingespannten Balken und lassen nach Fig. 31 auf ihn das durch die Einspannung erzeugte Moment M wirken.

Wir erinnern uns des Satzes 1, wonach die Einheiten der Haftspannung nach den Querkräften figurieren. r=Q dl.

Sind keine Querkräfte vorhanden, dann bestehen auch keine Haftspannungen, und diese Eigenschaft zeigt der vorliegende Träger. Die Bedingung für diesen Zustand ist jedoch, daß die Eiseneinlage an den Einspannstellen des Balkens konzentriert befestigt sein muß. Dann wird tatsächlich die Wirkung aus der Längshaftung durch die Wirkung aus der konzentrierten Endbefestigung überholt.

—-i

Pit

rmrrt

L_ _

r<-

Fig. 31.

Damit nun die Sätze 1 und 2 ganz allgemeine Gültigkeit haben, ist ihnen die Bedingung voranzusetzen : Bei Trägern, auf die keine Querkräfte wirken, muß die Eisen-

TT7TTV⁻

-±

Fe

ï-rnrü

Fig. 32.

einlage außerhalb des Feldes konzentriert befestigt werden.

Wenngleich die Eisenspannkraft X für diesen Träger ohne weiteres nach früheren Gleichungen abgeschrieben werden kann, so sei seine Herleitung für die in Fig. 32 gezeigte Bewehrung doch noch einmal gezeigt. Die Eisenspannung ist unveränderlich über den ganzen Träger.

Die obere Eiseneinlage.

N=X

Der Arbeitswert ist

XI

Fe- Ee

Für beide Eiseneinlagen

Der Balken

2 XI Fe ' Ee

Mx = M-2X-s

bMx

Ç Mx

)j-E bX

bMx

• dx —

Jb • Eb

— 2 s M ■ 2 ■ s + 4 • X ■ s²J- dx

bX ~

2 Mis

A - X i s²

Jb-Eb

Jb-Eb

Die Arbeit aus den entgegengesetzt gerichteten Normalkräften X wird zu Null.

X Formänderungsarbeit = 0 A-X-l s² . 2X1 2M l s

oder

Jb ■ Eb

Fe- Ee

Jb • Eb

X=M-

2-s²J

Jb - Eb

= M-9l . . . . (26)

Fe ' Ee

Das Moment des Betonbalkens ist für jede Stelle dasselbe Mo =M-2-X-s

max

= M(\ — 2 •    • s)

Mitte :

8. Zahlenbeispiel. (Fig. 33.)

Beiderseitig eingespannter Balken mit der Last P in der

Jb = 160000 cm4 Fe — 38 cm²

P = 4000 kg

/ = 500 cm

Wh = 8000 cm"

5=18 cm

Fb — 1200 cm2 fe = 56 cm²

Eb

Ee 25

Ohne Berücksichtigung der Einspannung besteht in der Mitte des Balkens das positive Moment

. P-l

Der Verlauf der Momentenlinie wird durch das Dreieck 1—2—1' dargestellt.

Das Einspannmoment ist entgegengesetzt gerichtet und erstreckt sich unveränderlich über den ganzen Träger: Rechteck l — 3 — 3' — l. Es hat den Wert

PI

Die tatsächlichen Momente des Balkens ergeben sich durch Vereinigung der beiden Umrisse und sind in der Fläche (Fig. 33) dargestellt.

-'ï

«5*

hvrrr

rn

7)

-------Uù cnh —f

i # ¹

K-----*-j

¹30crriy '

_.t

^A^LL-------

__.xi

~T~~

r_

Af=P1

(-)

(-)

3'

(+)

i.

Fig. 33.

Hiernach funktionieren auch die Anhäufungen der Haftspannungen bzw. die Spannkräfte in den Eisenlagen.

Der Bruchfaktor war nach oben

Jb ■ Eb

Fe ‘ Ee

= —

und wegen derselben Verhältnisse wie bei dem 7. Zahlenbeispiel

s)l = 0,02205

Die Zahlen ergeben weiter

Mnax — Jl

= dl 250000 cmkg

P I 4000 • 500 8 — 8~”

Es berechnet sich danach die größte Eisenspannkraft zu x= ± 4/nnax • 9? = ± 250000 • 0,02205 = +_ 55IO kg

Die Sätze 1 und 2 geben auch die Lösung für den in Fig. 34 dargestellten Balken mit Kragarm.

Es wird eine durchlaufende Eisenlage vorausgesetzt. Der Bruckfaktor 97 richtet sich nach der Art der Bewehrung und wurde für die verschiedensten Fälle bereits hergeleitet.

Fig. 34a liefert die Querkraftlinie, wonach auch die Einheiten der Haftspannungen verlaufen. Die größte Haftspannung besteht im Mittelfeld zwischen dem Auflager A und der Last P₂.

Tmax=Ç-9l = (i4— Pi) -97    ....    (27)

X' = Mx-W

Fig. 34b liefert die Momentenlinie und zugleich die Anhäufung der Haftspannungen (Eisenspannkraft) für jede Stelle des Trägers.

Die größte Anspannung (Zug in der oberen, Druck in der unteren Lage) erleiden die Stäbe über dem Auflager^ mit

(28)

Xa = Ma- 97

Unter der Last P₂ wechseln die Kräfte, sie betragen

■ (29)

Weiter ermittelt sich das wahre ungünstigste Moment des Betonbalkens zu Mo = + (71/,

max — v

= + 71/

-2-X-s)

(1—2 -97-s)

= + 250000 (1 — 2 • 0,02205 • 18) = + 51600 cmkg

max

folgende

Die Beanspruchungen der äußersten Balkenfasern sind

51600

°o — Ą M°n

--f- Wb ⁼ 8000

Man erkennt, daß die Eisenlagen an den Einspannstellen oben gezogen und unten gedrückt werden; umgekehrt in der Mitte des Balkens.

6,45 kg/cm²

Xm = Mm • 97

Das größte Moment des Betonquerschnittes über dem Auflager A ist

M° = M (1—2-97-s)

a    a v    7

Zur besseren Vorstellung des inneren Spannungszustandes ist in Fig. 34c die Biegungslinie des Balkens angedeutet. Im Wendepunkt derselben wird die Eisenspannung zu Null.

Die Pfeile geben die Richtung der Haftkräfte an; ihre Summe über dem ganzen Balken ist ebenfalls gleich Null; Gleichgewichtsbedingung; entsprechend dem Querkraftdiagramm, deren positive und negative Flächen sich gegenseitig aufheben.

P,

'S

-f    a

C+)

i rr

?z

Fig. 34.

(-)

(-)

ß Fig. 34a.

^Kn,

Fig.34b.

(■»

J%n,\

F fl

Mi

t-r-t

Fig. 34c.

Die Armierung des vorigen Balkens kann auch anders gewählt werden, und zwar nur Eisen in den Zugzonen (Fig. 35). Die obere Eiseneinlage des Kragarmes braucht nicht im Nullpunkt w der Momentenlinie konzentriert befestigt zu werden. Dasselbe gilt von der unteren Bewehrung im rechts liegenden Trägerteil.

Im übrigen gilt bezüglich der Diagramme, der Haft- und der Eisenspannung dasselbe wie vorher. Die Eisen erhalten nur Zugkräfte. Es ist

fmax — Q ‘ 9t — (A — P1) • ilf Xa = Ma W

weiter

Xm = M,n ■ Tc

und

Das größte Moment des Balkenquerschnittes über dem Auflager A ist

M° = M (1 — Al-s)

a    a x    7

Das Moment unter der Last P₂

M° = M ( 1 — 9Î ■ s)

m    m x    '

Den Bruchfaktor S)Z liefert die Gleichung 8.

F,

Pi

Fig. 35.

Ähnlich ist der Vorgang bei dem in Fig. 36 abgebildeten, gleichmäßig mit p pro Längeneinheit belasteten Balken mit Kragarm.

Die Maximalmomente betragen :

Ma = P

Mm=sPp(P-a*)*

Die größten Züge im Eisen sind:

Xa — Ma- 9Z und Xm — Mm • 9Î Die ungünstigsten Momente des Betonquerschnittes berechnen sich danach zu

M⁰ = M ( l — Sft • s)

a    a v    7

und

M° — M (l — sR-s)

m    m x    7

Um die größten Einheiten der Haftspannungen ermitteln zu können, bedarf es der Kenntnis der Auflagerdrucke. Diese sind

A = Pl(l + aT-und B = yAI-—a-)

Der Momentennullpunkt, bis wo die Eiseneinlagen gehen, ö²

liegt im Abstande b

und

Dann betragen

ra

= Q . 9? = (A — p ■ a) ■ 9Î = ^ (/² + a²) • 9cv = Q.W₌₌P- (/2 _ ö2) . SJf

vom Auflager A.

7¹

_a

(->

(-)

■“i

-f-

Mcl

TV

(+)

Fig. 36.

m /Afrn ,

Fig. 36a.

(-)

Fig. 36b.

Die sogenannten Plattenbalken (Fig. 37) sind wegen ihrer ungleichmäßigen Querschnittsverteilung ein schlechtes statisches Objekt. Die Eisenarmierung muß, um erträgliche Spannungen im Beton zu erzielen, unverhältnismäßig stark sein. Behandeln wir zunächst versuchsweise einen solchen Balken nach dem Vorbild der Balken von rechteckigem Querschnitt. Man hat dabei notwendig, die Schwerlinie x—x des Querschnittes festzustellen. Auf diese bezieht sich dann das Maß s bis zur Eiseneinlage. Daran anschließend erfolgt die Ermittlung des Trägheitsmomentes Jb und der Widerstandsmomente, diese einmal bezogen auf die obere Faser (Wo), das anderemal auf die untere Faser (Wu).

9. Zahlenbeispiel. (Fig. 37.)

Es ergeben sich folgende Werte, . s₀ = 18,64 cm

Jb = 886500 cm⁴

Wo =

su = 41,36 cm

s 37,36 cm

Fb = 2750 cm²

886500

Wtt =

18,64

886500

41,36

47550 cm³

= 21430 cm³

Eb

Ee 25

Der Eisenquerschnitt sei Fe = 30,4 cm2 750 cm

U-

70cm

jc---

--------------ï

------

\60cttl

1.«

re {*---*■> '25cnv

Fig. 37.

Für eine einseitige Armierung war nach Gleichung 8

9t

Die Zahlen liefern

9Î = -

o2 I h \Jb ' Eb

^ Fb^Fe Ee

37,36    .

37,36² +

886500    886500 • 1

2750 + 30,4-25

37,36

0,01297

~ 1393 + 323+ 1167 Der Balken hat eine Länge von /= 10 m und sei gleichmäßig mit P — 13000 kg belastet.

Das Maximalmoment beträgt P- /_ 13000 • 1000 ~8~~

1625000 cmkg

Der größte Zug im Eisen bestimmt sich zu

1625000 - 0,01297 = 21050 kg

Mmax =

X=M

max

Die Eisenbeanspruchung ist

X_21050

Fe~ 30,4

Das größte Balkenmoment hat den wahren Wert von

M (1— W-s)

max v    7

= 1625000 (1 — 0,01297 • 37,36)

= 1625000 • 0,5155 = 838000 cmkg

Es ergeben sieli folgende Betonbeanspruchungen

(Te =

= 693 kg/cm'²

Mo

max

max

— Xs

Mo

max

(J₀ = -

Wo

Fb

838000

47550

21050

2750

17,6 -j- 7,7 = 25,3 kg/cm² Druck

M°

Ou = -

max

Fb

Wu

39,1 — 7,7 = 31,4 kg/cm² Zug

838000    21050

~ 21430 — 2750

Es ist selbstverständlich, daß die Spannungsgesetze, die wir der benutzten Formel zugrunde legten, bei dieser hohen Zuginanspruchnahme des Betons eine erhebliche Verschiebung erfahren. Hier wird ohne Frage ein Bruch der Zugzone eintreten, womit eine erhebliche Erhöhung der Eisenspannung und zugleich eine Veränderung der Druckbeanspruchung des Betons verbunden ist. Infolge der Deformation des Betons versagen weiterhin die Gesetze, nach denen die Haftkräfte innerhalb regulärer Spannungswerte verlaufen. Das Resultat ist schließlich so, daß wir nicht wissen, wie die Sachlage nun eigentlich ist, ob die Gefahr besteht, daß der Balken bricht, oder ob er noch einige Sicherheit bietet.

Die Versuche haben ergeben, daß dort, wo durch Deformation des Betons die Haftspannungen versagen, weitere Befestigungen der Eiseneinlagen einen sehr günstigen Einfluß auf den Spannungszustand des Balkens haben. Es ist daher in diesem Falle geboten, die Eisenlage an den Enden kräftig umzubiegen, das heißt, für eine gründliche Endbefestigung Sorge zu tragen. Erfolgt dann Mitte Balken ein Bruch im Steg des Betonquerschnittes und nimmt man ihn ungtinstigenfalls an bis zur Deckenplatte, dann schreiben wir

dem Eisen den denkbar größten Zug und dem Plattenquerschnitt den denkbar größten Druck zu.

Für die Ermittlung der nunmehr auftretenden Spannungen ist die Annahme zulässig, daß die Druckkraft sich gleichmäßig auf den Plattenquerschnitt verteilt. Die Druckkraft ist gleich der Eisenspannkraft und beträgt in der Mitte des Balkens

Mm ax    Ql 1625000

h ' ~ 8 h

wo h den Abstand der Eisenlage von Mitte des Plattenquerschnittes bedeutet. Die Beanspruchung des Eisens berechnet sich danach zu

46

35350 kg

X 35350    ,    ,    ₀

¹⁶ g/c

Der Querschnitt der Platte ist

Fb — 1500 cm²

23,6 kg/cm²

Ob —

Die Druckbeanspruchung des Betons ergibt sich somit zu 35350 1500

Die beste Sicherung des Balkens ist aber eine vorherige Anspannung oder Dehnung der glatten Eiseneinlage. Gibt man ihr z. B. die zuerst ermittelte Anspannung X = 21050 kg, dann wird sich ungefähr der günstigste Zustand (keine Zugspannung im Beton) einstellen. Bei der sehr niedrigen Haftspannung kann die Frage, ob die Anspannung des Eisens im Laufe der Zeit eine Verminderung erfährt, verneint werden.

Fig. 38 zeigt eine durch P zentrisch belastete Betonsäule viereckigen Querschnittes. Die Eisenarmierung sei symmetrisch und betrage Fe für jede Seite.

Ist es möglich, eine sichere konzentrierte Endbefestigung der Eisenlage am Kopf wie auch am Fuße der Säule zu erzielen, dann würde die Längshaftung wirkungslos sein, weil keine Querkräfte vorhanden sind.

r=(>.SR = 0- SR = 0

Es erscheint dann in der Eisenlage auf jeder Seite die unveränderliche Anspannung X, die von oben bis unten stetig entlastend auf die Säule wirkt (Fig. 38).

Für beide Eiseneinlagen.

2Xh Ee ■ Ee

Die Säule.

Die Ermittlung der Anspannung X erfolgt wieder aut dem bekannten Wege mit Hilfe der Arbeitsgleichung ' N_ ÙN FE' bX

• dx = 0

Das Eisen.

«y

jTX'

Q/i O/

• dx =

X- h

Ee ' Ee

N=P—2X

FE

■ dx =

Fb ■ Eb.

«

U-2-P + 4 X^dx

0

Fb - Eb

4 Xh

Fb ■ Eb

Fc - Ee

Fb ■ Eb

Formänderungsarbeit = 0 ■ X ■ h , 2 Xh 2 P-h Eb ■ Eb

oder

X=P-

Fb-Eb

Fe-Ee

PX)l

■ • (31)

10. Zahlenbeispiel. P = 30000 kg

Fb = 30 • 30 = 900 cm²

Eb

Ee~ 15

Fe = 8 cm²

91 =

= 0,1052

900 • 1 “ 2 +~7^

8- 15

X = 30000 • 0,1052 = cvi 3156 kg

Diese Kraft muß von der konzentrierten Endbefestigung aufgenommen werden.

395 kg/cm²

ne =

Die Druckbeanspruchung des Eisens ist 3156 Fe~ 8

Die Druckbeanspruchung des Betons berechnet sich zu P— 2 ■ X

Ob =

Fb

30000 — 2-3156    23868

900

900

= cv; 26,5 kg/cm²

Die gewöhnliche Einbettung des Eisens (Längshaftung) ohne konzentrierte Endbefestigung ist unrationell, um nicht

~~T~

7i

—« -, !E 3

.A.

i    i

Ll_____Jj

Fe

i________j

Fig. 38.

Fig. 39.

zu sagen zwecklos. Die Anhäufung X' der überall gleichen Einheiten r der Haftspannung beginnt dann nach Fig. 39 mit Null an den Säulenenden und nimmt geradlinig zu bis zum Werte X in der Mitte der Säule. Am Kopf und am Fuß hat somit das Eisen überhaupt keinen Einfluß auf den Betonquerschnitt; hier ist die Beanspruchung P 30000 900

ab~Fb

33,3 kg/cm²

Der Anteil des Eisens an der Aufnahme von P beginnt allmählich und erreicht seinen größten Betrag X in der Mitte des Ständers. Hier ist

Ob =

P — 2-X

Pb

Die Herleitung ergibt

3 P _

² 2 +

Pb Pb Pe ■ Ee

Die Einheit der Haftspannung ist

• • (32)

r9î

(33)

,C Hi !C 3\

_L

Fig. 40.

Ebensowenig hat eine konzentrierte Endbefestigung der Eiseneinlage nur am Fuße des Ständers den erwünschten Erfolg (Fig. 40). Die Anhäufung der Einheiten der Haftspannung beginnt hier ebenfalls mit Null am Kopf der Säule und wächst geradlinig nach unten bis zum Werte X (größte Eisenspannung) am Fuße.

Die Beanspruchung des Betonquerschnittes am Kopf ist P 30000

wie oben

33,3 kg/cm²

Pb

wird demnach durch die Eiseneinlage nicht verringert.

Andrée, Eisenbetontheorien.

900

und

(-)

Am Fuße beträgt die Beanspruchung P-2-X

Ob =

Fe

Der Faktor üft ist wie oben

=---

X=~

Fb • Eb

Fe * Fe

Pl-<

(+)

£ 3«

T ł

iT._j._ii

Ptl

iF

3i

-Prn,

Fig. 42.

Fig. 41.

Wir lassen nach Fig. 42 die Last P jetzt außerhalb der Ständerachse im Abstande a angreifen. Auch hier müssen, um eine rationelle Wirkung zu erzielen, die Eiseneinlagen am Kopf und am Fuß der Säule konzentriert befestigt werden.

Wir betrachten zwei Folgewirkungen der Last P getrennt, und zwar einmal ihre Wirkung als Normalkraft, das andere Mal den Einfluß des durch sie erzeugten Momentes auf den Ständer.

1. Wirkung der Normalkraft.

Der Druck im Eisen war nach Gleichung 31

= P • 9Î (vgl. Fig. 41)

Fb • Eb Fe ‘ Fe

Xn = P '

2. Wirkung des Momentes. Die Eiseneinlage.

• r/.r =

Zwei Eisenlagen.

2 ■ Xm ■ h

Fe ■ Ee

Der Ständer.

àMx

Mx = P ■ a — 2 • Xm • s

Mx *Mx

)j E "bX Jb Eb

2 • P ■a-h s

4 Xm h- s²

Jb ■ Eb

Jb • Eb

oder

\Xmh• s²

- Formänderungsarbeit = 0

2 • P ■ a ■ hs

2 Xm h

Fe - Ee

Jb ■ Eb

Xm — P ■ a

2 • s²

Jb - Eb

=    .    .    (34)

Fe • Ee

kt----

P--1

--•

Fo

FJ \25cm

____«_

Fig. 43.

11. Zahlenbeispiel (Fig. 43). P = 5000 kg Fe = 6,28 cm²

Z⁷* = 25 • 25 = 625 cm²

Ifö = 2604 cm3 Jb = 32550 cm⁴

Fb • Eb Fe ■ Ee

= 0,1158

a = 10 cm

h = 2,50 m 1. Bestimmung von Xn-

s = 9,o cm

— »o

625~ 1 — 2 + 6,635 6,28 • 15“

Xn = P-W = 5000 • 0,1158 = ~ 580 kg Druck.

2. Bestimmung von Xm.

3fc =

2 • s² -f

Jb ■ Eb

Fe-Ee

9,5

9,5

= 0,01806

325 50 • 1 — 180,5 + 345,6 6,28 • 15

Xm — P ■ a ■    = 5000 • 10 • 0,01806 = oo 903 kg Zug und Druck.

2-

nr? tc

CL

~i

(r)

IL

(+)

Ie

I

J^TTL'^rb

Fig. 44.

Wie Fig. 44 zeigt, addieren sich die Spannkräfte Xn und Xm auf der linken Seite, während sie sich auf der rechten Seite subtrahieren.

Die Spannung der Eiseneinlage rechts wird zu Null, wenn Xn — Xm, oder wenn

2si+hiäi

Fe • Ee

Fb-Eb

Fe • Ee

Die Normalkraft auf den Betonquerschnitt ist

N^P-2-Xn

= 5000 — 2 • 580 = 3840 kg

Das Moment beträgt

Mo = P ■ a — 2 • Xm • s

= 5000- 10— • 903 • 9,5 = 50000 — 17157 = 32843 cm/kg

-X-TL 7Tb

=i

3:

-%TTL

Fig. 45.

Die Beanspruchungen berechnen sich wie folgt MQ ■ N_

Wb~^ F b 32 843 . 3840 2604 ⁺ 625 M° N

iy- — Pb = 12,6 — 6,2 =. 6,4 kg/cm² Zug.

Die größte Eisenspannkraft war

X = Xn + Xm = 580 + 903 = 1483 kg

Cfa —

r>o =

12,6 -f- 6,2 = 18,8 kg/cm² Druck

wonach sich ermittelt

(Te =

1483

6,28

236 kg/cm² Druck.

Wir betrachten nun dieselbe Säule, jedoch mit dem Unterschied, daß die Eiseneinlage nur am Fuße konzentriert befestigt wird. Dann beginnt die Anhäufung der Einheiten der Haftspannung wieder mit Null am Kopf des Ständers, wächst geradlinig nach unten und endet mit dem größten Wert X (Eisenspannkraft) an der Einspannstelle (Fig. 45).

Wir verfolgen die Wirkung aus der Normalkraft und die Wirkung aus dem Moment wieder getrennt. Die Werte ergeben sich zu

Xn =

3P

und

Fb-Eb 2 Fe ■ Ee

•9?

.    .    (35)

Xm =

3-P

2T'a

2 • s² -j-

Jb ■ Eb 2 Fe ■ Ee

■ a ■ 9? .    .    (36)

Auf die Beanspruchung des Betonquerschnittes am Kopf des Ständers hat die Eisenarmierung noch keinen Einfluß. Dort ist

ab = Fb —

P Pa

Wb

und

Die geringste Beanspruchung erscheint am Fuß. Hier ist M° = P ■ a — 2 • Xm • s N = P — 2 ■ Xn

Sodann folgt

a“⁼ Wi,'

(Druck)

und

M° N Wb~ Fb

Die größte Einheit der Haftspannung ermittelt sich zu

Xm H⁻ Xn

<T₀ =

(Zug)

T —

Die Zahlen des vorhergegangenen Beispiels liefern folgende Werte:

•» =

• a • SJÏ =

3 5000

2— • 0,1158 = cw 870 kg Druck 3•5000

• 10 • 0,01806 = cw 1355 kg Zug bzw.

Druck.

*- = "-2

Am Fuße:

M° — P ■ a — 2 ■ X« • s

= 5000 • 10 —2- 1355 -9,5 =

N=P—2Xn

= 5000 — 2 • 870 = 3260 kg

50000 — 25745 = 24255 cm/kg

Mo

24255

2604

3260

625

= 9,32 + 5,22 = 14,54 kg/cm² Druck

Mo

n°~Wi

= 9,32 — 5,22 = 4,10 kg/cm² Zug

8,90 kg pro cm Eisenlänge

Die größte Einheit der Haftspannung ist Xm+Xn 1355 + 870

250

Die Eisenstäbe haben einen Durchmesser von 2 cm, somit einen Umfang von

fe = 2-2-3,14= 12,56 cm²

Danach beträgt die Haftspannung

r“+⁼⁼^⁼⁼⁰’7lkg/cm2

Die größte Beanspruchung der Eisenlage ist

oe =

Pc

Xm + X„ _ 1355 + 870

6,28 = 354 kg/cm² Druck

Ladet die Last weiter aus, dann bewehrt man den Ständer zweckmäßig nur in der Rückenseite (Zugzone). Die Befestigung der Eiseneinlage hat konzentriert am Kopf uud am Fuß zu erfolgen (Fig. 46). Bei diesem Fall, wo das Moment einen überwiegenden Einfluß hat, wählt man das Elastizitäts-

Eb 1

1. Wirkung der Normalkraft. Die Eiseneinlage.

N=Xn

(' N bN Xn h J FE bX~ Ee-Ee

cl

P L«'-.

UL

L.

Os

-J

3!

3!

X Xr,

20cni>

-------1

Fig. 46.

^3û\m ¹

Fig. 47.

Der Ständer.

N=P — Xn

bN

bXn

N bN

F E bX'dx~

P-k Xn-h F t> Et 'Fb-Ë

Mx

Xn-S

bMx

bxn

■ dx =

NWx bMx I JE'bX

Xn h ■ S¹

Jb ■ Eb

oder

2: Formänderungsarbeit = 0 Xn- h - s² , Xn- h , Xn - h _ P ■ h

Jb ■ Eb Pb ■ Eb

Fe- Ee

Eb • Eb

Xn = P-

1-fs²-

Eb • Eb Ee ' Ee

P-W. .    .    (37)

2. Wirkung des Momentes. Die Eisenlage.

N=Xm

• dx =

Xm • h

Fe • Ee

Der Ständer.

N= Xm

N ÖW E El X

■ dx =

Xm-h

Eb ■ Eb

Mx — P - ci — Xrti - s

bMx

bXm

( Mx *MX-)j• E ÖW

dx =

Jb ■ Eb.

— P ■ a ■ S -j- Xm • S²> clx

Xm ■ h • s²

Jb ■ Eb

Jb ■ Eb

X Formänderungsarbeit = 0 Xm ■ k ■ S² , Xm ■ h , Xm • h P ■ d ■ fl ■ S

oder

Jb • Eb

Eb • Eb

Ee-Ee

Jb • Eb

Xm

Pa-

P a Xfl .    .    (38)

Jb

Jb • Eb Ee-Ee

Die gefundenen Spannkräfte sind entgegengesetzt gerichtet. Es verbleibt ein Eisenzug von X=Xm — Xn

s² +

Eb

12. Zahlenbeispiel.

Der Ständerquerschnitt ist in Fig. 47 aufgezeichnet.

s = 13 cm Jb = 45000 cm4 Wb = 3000 cm³

P = 3000 kg Fb = 30 • 20 = 600 cm²

a - - 40 cm

Ec = 20 cm²

Eb

Ee 25

Die Zahlen ergeben (nach Gleichung 37) : Xn = PW = 3000 •

-² 600 . 600-1 45000 ■ 20-25

14-13-

= 3000 •

1+2,253+ 1,2

- 3000 •

4,453

674 kg Druck

(Gleichung 38) : Xm — P a - 9Î

= 3000 • 40 •

13

13

45000 , 45000■ 1

600

20-25

= 120000 •

13

daher

169+ 75 + 90

= 120000-

13

334

— 4675 kg Zug

X — Xm — Xn = 4675 — 674 = oo 4000 kg Zug

f;—25—200ks/cm2

Die Beanspruchung des Eisens beträgt X 4000

oe =

Die Normalkraft auf den Ständer ergibt sich zu N= P-\- X = 3000 + 4000 = 7000 kg Das angreifende Moment ist M° — P ■ a — X ■ s

= 3000 • 40 — 4000 • 13 = 68000 cm/kg Danach berechnen sich folgende Beanspruchungen

M°

Wb

Pb

<?u =

O₀

68000 , 7000

3000

600

22,7 + 11,7 = 34,4 kg/cm² Druck

Wb Pb

22,7 — 11,7 = 11,0 kg/cm² Zug

UnserVerfahren gestattet, den Einfluß der Eisenbewehrung auf den inneren Spannungszustand auch bei statisch unbestimmten Konstruktionen nachzuweisen. Die Berechnung der statisch nicht ermittelbaren Größen (des Bauwerks als solches) darf ohne Berücksichtigung des verschwindend geringen Einflusses, den eine ungleichmäßig verteilte Armierung ausübt, durchgeführt werden.

Es sei ein eingespanntes Portal nach Fig. 48 mit der Last P in der Mitte des wagerechten Balkens zur Aufgabe gestellt. Die Bezeichnungen sind wie folgt:

Ständer.

W\ — Widerstandsmoment Fx = Querschnitt sx = Abstand der Eiseneinlage von der Querschnittsschwerachse

Ji — Trägheitsmoment

Fe' = Querschnitt der Eiseneinlage h = Portalhöhe

-1-

JC

.J

■H

Fig. 48.

Balken. Dieselben Bezeichnungen mit der Ziffer 2 F" = Querschnitt der Eiseneinlage / = Länge des Balkens

Als statisch nicht bestimmbar erscheinen die wagerechten Schübe H an den Füßen sowie die Einspannmomente M daselbst.

Die Größen lassen sich leicht mit Hilfe unserer Bedingungsgleichungen

■ dx — 0

' Mx bMx

und

• dx = 0

)j-E' bM

ermitteln, wobei die verschwindend geringe Wirkung der Querkräfte vernachlässigt werden darf.

Der Ständer links.

bM

MX = M — Hx x.=\

bMx

ö//

( Mx b Mx ) JE bff

— M■ x -Ç- H■ x²jr/x

M ■ h²

2 Ji ■ Eb

HIP

3 ■ Ji • Eb

C Mx _

}j-E bM

bMx

■ dx

Der Balken.

Ji-Eb

Mh

h E„

M— H ■ x\dx

Hh²

2 Ji-Eb

Mx = ~-X + M—H-h

bMx

bM,

bM

bH

CM.r

/./•/:' ' ö//

Öd/r

■ dx =

Phx

Jl'Eb

M • h-\- H • h²dx

Phi²

Mhl

Hh²l

IÖ '/jj¹ Eb 2 • J2 ■ Eb 2 y₂ • Eb

(Mx ME

) J E bM

■ dx =

■1

J- ■ Eb,

IO "tj

11 - • x -j- M— H • A j- dx

PP

Ml

16 /₂ • Eb 2 • Jo ■ Eb 2 /₂ • Eb E Formänderungsarbeit = 0 (nach H)

_ M-h l . H - A² ■ l

2 •/i • i?* ¹ 3 ■ J\- Łb 2 /₂ • Eb 2 • Jo, - Eb

M ■ h²

H• A³

\b-h-Eb

H IP

(nach M)

Ml

PP

/i • E„

oder

7 ^ W ^ to

7 SC roi 5C _!

5r-

Setzt man ^ — n, dann folgt

Ji

H-h

CM

<N ^ CU

16 h

PP

1672

(h+L\ M(₂.h + 1\

\ n \    n

8 • n PP

Die Gleichungen liefern

und

8 ■ h (h - n

(39)

M= H ■

(40)

13. Zahlenbeispiel (Fig. 49).

P — 2,0 ton Ständer.

/ = 4m

Ji = 45000 cm4 Si = 13 cm Balken.

J₂ = 106667 cm4 s₂ — 18 cm Jo 106667 45000

W₁ = 3000 cm³

W.o = 5334 cm³

= 2,37

Nach Gleichung 39 berechnet sich 3 PP

8 • h (h ■ n + 2 • /)

3-2-4

96

Fi — 600 cm²

Fo — 800 cm²

und

8-3(3-2,37 + 2-4)

362,64

0,265 mt

0,265 ton

Der Rahmen wird somit von folgenden Momenten angegriffen :

Am Fuße

Mf = M = -)- 0,265 mt

ln der Ecke oben

Me = M — H - h — 0,265 — 0,265 • 3 = — 0,530 mt In der Balkenmitte

2-4

— Hh

= M +

— 0,265

0,265 • 3 = l,47 mt

20 cm

20cm

30cm./

'MO oh

îf*ïIr

M,

Fig. 49.

Die Eintragung der geradlinigen Momentenflächen ergibt auch die Nullpunkte (Fig. 50). Hier bestehen die Wendepunkte der elastischen Linie des Rahmens,

Ermittlung des Einflusses der Armierung.

I. Der Ständer.

Die Armierung sei doppelt.

a) Aus dem senkrechten Auflagerdruck

Wegen der Normalkraft ist zu wählen

Eb

Ee 15

Die Eisenstäbe müssen am Kopf und Fuß konzentriert befestigt werden. Druck Xn im Eisen unveränderlich.

Nach Gleichung 31 ist

Fb ■ Eb

Ee- Ee

1000 •

1000

„    600-1    2 + 3,08

² + 13-15

197 kg Druck

Eb 1 Ee 25

Die Anhäufung der Einheiten der Haftspannungen figuriert nach den Momenten. Der Bruchfaktor 97 bei doppelter Eiseneinlage war nach Gleichung 15

97 =

b) Aus den Momenten (Fig. 52).

r“

2 • s~ —j—

Jb Eb

Ee • Ee

-Hl—

99ZV

053 ml

r-n

FH

I I l

£9 0

7l

7,97

itl 3

il ; -J

0,265

Q,SS,m

\ ! !

ZO\ CTTL -----i_..Ä

Fig. 50.

Fig. 51.

Die Zahlen liefern

97 =

13

13

0,0273

45000-1    338 -f 138,5

13 • 25

Die größte Anhäufung der Einheiten der Haftspannung besteht in der Ecke oben mit

Xm = Me-%1 = 53000 • 0,0273 = 1447 kg Zug und Druck

2-“l3² +

Am Fuße linden wir

Xm — Mf • 9Ê = 26500 • 0,0273 = 724 kg Zug und Druck Nunmehr lassen sich die Beanspruchungen des Betonquerschnittes bestimmen.

In der Ecke oben, a) Aus der Normalkraft.

1000 — 2 • 197

-2 Xn

Ex

600

b) Aus dem Moment.

Das wirkliche Moment des Betonquerschnitts ist M° = Me — 2 ■ Xm ■ s

53000 — 37596 = 15404 cmkg

= 53 000 —2 • 1447 • 13

TTThTTI

rrrpri

5:

Fnrfr

feÿjjüiJ

0,265mi

Fig. 52.

Die Beanspruchung der äußersten Fasern berechnet

M° _ 15404 W\ '    3000

Die Eisenbeanspruchung ist ebenfalls sehr gering.

2. Der Balken.

Es wird eine einseitige doppelte Bewehrung in der unteren Seite gewählt. Wegen des konstanten Momentes M ist die Eisenlage am Ende konzentriert zu befestigen. Das

ist mit 2g einzuführen (Fig. 53).

sich zu

Verhältnis

Eb

Ee

= 5,14 kg/cm² Zug und Druck.

Zur Ermittlung der größten Anhäufung der Einheiten der Haftspannung (Spannkraft des Eisens) benutzen wir die Gleichungen 14 und I4a. Sie lauteten

X\ (•Sj²    fb~f"    '. ß^j 4" X₂ f'S'l ■ s₂ -f-    — Mm ■ s₁

X% (so² + pr pn _    -f" Xi (si ■ S₂ ~f-    — Mm • S₂

,---—

r"rr—r—fc-T—t"

-1*-"i r

cm,

s2 = 15 cm

p \s₇=18 cm,

u⁵

li

= 13 qvrrb

PS

7//

+ sl

c-x

= 0,53mt

__l__

-"t—i

Fig. 53.

Xi ( 18² -f-

Wir setzen die Zahlenwerte ein:

106667    106667

800 "f“ 13 25 106667    106667

800 + 9j5 ;y₅

Ax (324 -f 133 + 328) -f X₂ (270 -f- 133) = 2646000 X₂ (225 4- 133 + ⁴49) + Xx (270 -f 133) = 2205000 Xj • 785 + X₂ ■ 403 = 2646000 Ai • 403 + X₂ • 807 = 2205000 Xx • 1572 + A₂- 807 = 5298615 X₁- 403 4- A₂ • 807 = 2205000

X₂(l5² +

) + ^(.8..5 + ^) =

)+xMs,s+™m

147000-18

14 = 7000-15

durch Subtraktion

X\ =

3093615

1169

2647 kg

und

^2 =

1138259

807

= 1411 kg

Andrée, Eisenbetontheorien.

Nunmehr läßt sich das wahre Moment in der Mitte des Balkens berechnen. Es beträgt

A4⁰ == Mm — Xi • Si — Xo • S₂

= 147000 — 2647 • 18 — 1411 • 15 = 147000 — 47646 — 21165 = 78189 cmkg Die Normalkraft ist

o₀ =

= 14,7 —J— 5,1 = 19,8 kg/ cm² Druck

N= Xi + X₂ = 2647 -f’1411 = 4058 kg Danach bestehen folgende Beanspruchungen M° N W+ F2 78189 . 4058

800

5334

M° N

Ou —

IV₂ P₂

~ft — 14,7 — 5,1 = 9,6 kg/cm² Zug

Im Falle einer gleichmäßig verteilten Belastung G des Balkens betragen die eingangs ermittelten Auflagergrößen des Portals

G ■ /²

8 ■ //

(V+'l

und M=H-

Von Wichtigkeit ist ferner die Kenntnis der Durchbiegung eines eisenarmierten Balkens und soll versucht werden, sie an einigen Fällen nachzuweisen.

1. Ein Träger auf zwei Stützen, mit der Last P in der Mitte.

Die Eisenarmierung liege nur in der Zugzone.

Denkt man sich die Armierung fort, dann erleidet der Balken in der Mitte bekanntlich die Durchsenkung

fb =

PP

48 Jb-E~b

Durch die Anspannung der Eisenlage wird jedoch der Balken wieder gehoben; es wirkt auf jeden Querschnitt das Moment aus der Anhäufung der Einheiten der Haftspannung, und zwar mit

Mx = X'-s = 2X-

Setzen wir für X den allgemeinen Wert X=MX)l (Gleichung 8)

ein, dann folgt

Mx = 2 • 71Z • 9Î •

t\J

■PI 9Î • x •

>-

Der Weg, den die Last P unter dem Einfluß von Mx zurücklegt, ist

Nach oben ist

f=ÇJk._

/e JJ E' ÖZ³

bMx

■ clx

'öMx 9i • x ■ s

ÖZ³

IX

-X'

Fig. 54.

Somit

'Z⁵ • 9t • ,r² • s²

Jb ■ Ebt

■ clx

2 ■ Jb ■ Eb

j:² • cLr

P • 9t • s² Z³

Z³ ■ 9i • s² • /³

48 Jb ■ Eb

Die tatsächliche Senkung der Balkenmitte ist somit

2 Jb -Eb 24

f=fö-fe

Z³-/³

48 Jb • Eb

PP

48 Jb-Eb

Z³ • 9t • P • s2 48 ■ Jb ■ Eb

(1 — 9t* s²)    . . . (41)

14. Zahlenbeispiel. P = 2000 kg Jb = 67400 cm4 Fe — 40 cm²

/ = 400 cm Eb = 900 cm2 s = 12 cm

Eb

Ec 25

Eb — 86000 kg/cm²

Es berechnet sich der Bruchfaktor 9? nach Gleichung 8 zu

91 =

12

12

-2

12 -f

67400 , 67400    277

900    ¹ 40-25

Sodann folgt nach Gleichung 41

/=

2000 ■ 400

12 \²

-2'

48 • 67400 • 86000 20736

277

• 12

= 0,46 (l

76729

0,46 ■ 0,73 = 0,336 cm

30\crrb

cm

V. ■ J

Fe ⁼ i dü cttĆ

fe

Fig. 55.

Fig. 56.

2. Derselbe Träger, nur mit doppelter Eiseneinlage. Die Durchbiegung ohne Berücksichtigung der Bewehrung ist wieder

ft

P- P

Moment

48 -Jb-Eb

Die Bewehrung erzeugt für jeden Balkenquerschnitt das

Mx=2X's

4-X-4

T's

ergibt

Für X den allgemeinen Wert Gleichung 15 eingesetzt, Mx = P ■ 9f • x ■ s

Wie vorher ist

fe

CMx

)j E' KP

•J J

= 9t • x ■ s

ÜMX

■ clx

Wir erhalten

P • 9Ć ■ v² • s² • dx =

12 • Jh ■ Eb

Als wirkliche Durchbiegung verbleibt daher

P M-P- S²

PP

(1—4-^-s²) .    .    .    (42)

48 Jh • Eb

48 JbEb

12 • Ji) ■ E b

-2

3. Ein Träger auf zwei Stützen mit der gleichmäßig verteilten Belastung p pro Längeneinheit. P—p l Es ist eine einseitige Armierung in der Zugzone vor

gesehen.

beträgt

Die Durchbiegung bei Außerachtlassung der Bewehrung

fb —

5-P P

384 Jb-Eb

H-H

r-o

TT

---_j--

ĆN

Fig. 57.

Das Moment aus dem Zug der Eiseneinlage für jeden Querschnitt des Balkens ist

Mx — X'-s

Wie unser Satz 2 sagt, figurieren die Werte X’ nach einer Parabel :

X' = P-.X{1 — x) -ÏIÏ Infolgedessen schreiben wir

= \ x (l—x) • 9Î • s

Um die Durchbiegung in der Mitte des Balkens aus der Wirkung von Mx zu finden, bringen wir daselbst die senkrechte provisorische Last Pn an. Dann ist

fe

• dx

% Mx *MX \J E' <)Pn

Das Moment des Eisenzuges, entstanden aus der Last Pn, hat für jeden Balkenquerschnitt den Wert (vergleiche

Pn ■ 9c • x ■ s

Fall 1)

Mx

Das gesamte Moment des Eisenzuges besteht daher in

Mx =

■ X (/ — x) ■    ■ -f

Pn ■ dl ■ x ■ s

bMx

' Mx bMx IJ E' *Pn

DPn

• dx

KJl^S

• x (/ — x) ■ 9? • s

Jb • Ëb

Wegen Pn~o folgt

Pn ■ dl ■ X ■ S |    • X ■ S

• dx

n \    dl-X- S

• x (/— X) ■ 9c • s • —2—

• dx

p ■ 9t² • s²

oder

fe

2-Jb-tbJ

O

pdl²-s² 5 • P

■ x² — x³) dx

384 Jb-Eb

2 Jb -Eb 192

Wir ermitteln somit schließlich als tatsächliche Durchbiegung des Balkens in der Mitte

f=fb—fC =

5 • PP

5 • PP

384 Jh ■ Eb 5 ■ P ■ P

384 • Jh ■ Eb

■ di² • s²

384 Jb-Eb

(1 -dV²-s²)    .    .

■ • (43)

4. Derselbe Träger, nur mit doppelter Eisenlage. Auf demselben Wege wie oben ergibt sich 5 -PP

(1— 4-9i²-s²)    .    .    .    .    (44)

384 Jb-Eb

5. Die Eisenarmierung sei doppelt, aber nur in der Zugzone.

Man kann, ohne einen nennenswerten Fehler zu begehen, den Gesamtquerschnitt

Fe = Fe + Fe"

einführen, mit dem mittleren Abstand s von der Schwerachse des Balkens. Dann gelangen wir zu der Durchbiegung des 1. und 3. Falles.

Fig. 58.

6. Ein einseitig eingespannter Balken mit der Last P am Ende. Die Eisenarmierung befinde sich nur in der Zugzone.

Aus den vorstehenden Herleitungen können wir den Schluß ziehen, daß die Durchbiegung am Ende folgenden Wert hat

f=fb-/e =

PP

PP

3 Jb -Eh 3-Jö-Eb

(1 — 9?s²)    . .

PP

3 - Jb-Eh

• • (45)

7. Bei doppelter Eisenlage oben und unten schreiben wir

(1 — 4-9î²-s²)    .... (46)

3> Jh ■ Eb

8. Ist die Belastung gleichmäßig verteilt und die Bewehrung einseitig, dann ergibt sich

f=

PP

(1—9?²-s²)    . .

. .    (47)

8 • Jb • Eb

9.    Bei doppelter Armierung oben und unten

PP

8 Jb • Eb

10.    Es ist die senkrechte Bewegung des Lastangriffspunktes an dem in Fig. 59 dargestellten Auslegerständer zu ermitteln. Die Eiseneinlage befindet sich nur in der Zugzone.

Die Wirkung aus den Normalkräften ist verschwindend gering und kann vernachlässigt werden.

Die Senkung ohne Berücksichtigung der Armierung be-stimmmt sich wieder mit

/=

(1— 4-9l²-s²)    . .    .    .    (48)

(Jk___

/b~~) JE bP

bMx

• dx

Mx — P ■ a

bMx

bP^a

P a² • dx =

P • cP-ji

J h • Eh

J b • Eh J

Der Zug Xm der Eiseneinlage übt auf jeden Querschnitt des Ständers das Moment Mx — Xm • s aus.

cc

7i

7h

\\

=?!

__i

Fig. 59.

Fig. 60.

Nach Gleichung 38 war

Xm =

■ a-dl

Somit folgt

bMx

DP

a ■ dl ■ s

Die Verschiebung des Lastangriffspunktes liefert wieder die Gleichung

fe

_(* Mx Mx

J J E bP ‘

dx

fe =

h-EK

P a² • 9t² ■ s² ■ dx

P ■ a² ■ h ■ dl ■ s²

Jh • Eh

Es ergibt sich somit als größte Senkung der Stelle

Pa?-h

Ptf-hW-s*

dann ist

/=

Jb ■ Eb

Pa² • h

Jb ■ Eb

(4h)

Jb • Eb

11. Besteht außerdem eine Armierung in der Druckzone,

/=

Pa²- h

Jb ■ Eb

(1 — 4-^2-s²) .    .    .    .    (50)

12. Bei einer zentrisch belasteten Säule mit einseitiger Eiseneinlage tritt eine wagerechte Ausweichung des Kopfes ein. Diese Ausweichung läßt sich folgendermaßen ermitteln (Fig. 60).

Man bringt in der Richtung der Verschiebung die provisorische Last Pn an. Dann wirkt an jedem Querschnitt des Ständers das Moment aus der Eisenspannung, und zwar mit

Mx

wo Xn die Spannkraft aus der Last P und X die aus der provisorischen Kraft Pn bedeuten.

Nach der Gleichung 37 ist

Xn = P• 9Î

daher

Mx=P -yi- s-Y X- s

Gleichung 8 liefert die Eisenspannkraft aus dem Angriff von Pn zu

X—Pn-h-W

Es wird also

Mx

P XI- s + Pn- h- s- 9Î'

Wegen Pn — Q folgt

,CMX ) JE bPn

mx

■ dx —

jb-Eby

o

P -h -s² Xl XV -dx

i) =

Jb • Eb

(51)

•4

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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