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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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GRUNDZÜGE

DER

GRAPHISCHEN STATIK

UND DEREN ANWENDUNG AUF DEN

CONTINUIRLICHEN TRÄGER

VON

Dr. KARL STELZEL,

A. Ö. PROFESSOR DER BATTMECHANIK UND GRAPHISCHEN STA.TIK AN DER K. K. TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN GRAZ.

MIT 57 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN UND 3 LITHOGRAPH. TAFELN.

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GRAZ 1882.

VERLAG VON LEUSCHNER & LUBENSKY

K. K. UNIV.-BUCHHANDLUNG.

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Alle Rechte Vorbehalten.

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DKUCK VON B. G. TEÜBSER IN LEIPZIG.

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Vorwort.

Die Grundzüge der graphischen Statik sind im Folgenden soweit entwickelt, als zur Bestimmung der äusseren Kräfte an Dach-und Brückenconstructionen erforderlich ist. Den Ausgangspunkt bildet der Satz vom Kräfteparallelogramme; wird der Begriff der algebraischen Summe zweier Strecken bekannt vorausgesetzt, so lässt sich der Satz etwas kürzer aussprechen; ich habe die angegebene Fassung vorgezogen.

Anschliessend wurde der continuirliche Träger behandelt, der eine der schönsten Anwendungen der graphischen Statik bietet. Alle benützten Quellen habe ich gleich an den betreffenden Stellen gewissenhaft angegeben und dadurch dem historischen Momente wenigstens theilweise Rechnung getragen. Es wäre zu wünschen, dass dieser Vorgang allgemeiner beliebt würde, um ein Eingehen auf die Originalarbeit'en zu erleichtern.

Dem sehr geehrten Herrn Verleger spreche ich für die splendide Ausstattung meinen verbindlichsten Dank aus.

Graz, im Mai 1882.

Der Verfasser.

Grundziige der graphischen Statik.

Kräfte in derselben Ebene.

§ 1. Das Kräfteparallelogramm. Trägt man vom gemeinschaftlichen Angriffspunkte zweier Kräfte auf die Richtungen derselben Liniensegmente auf, welche die Kräfte der Grösse und Richtung nach darstellen, und ergänzt diese zu einem Parallelogramme, so ist die durch den Angriffspunkt der Kräfte gehende Diagonale des Parallélogrammes der Grösse und Richtung nach die Resultirende der beiden Kräfte.

voraus.

Diesen Satz vom Parallelogramme der Kräfte setzen wir bekannt Wir bezeichnen den Angriffspunkt einer Kraft mit A, die Kraft mit 6r; verschiedene Angriffspunkte und verschiedene Kräfte unterscheiden wir durch Zeiger, welche wir den Buchstaben A und G anhängen. Bei der Darstellung von Kräften durch Liniensegmente (Strecken) setzen wir den Buchstaben A an den Anfang, G an das Ende derjenigen Strecke, welche der Grösse und Richtung nach die Kraft repräsentirt; der Sinn der Kraft ist dann durch A — G gegeben und in manchen Fällen durch einen auf oder neben gesetzten Pfeil angezeigt.

Sind, Fig. 1, Gx und G₂ die beiden Kräfte, welche den Punkt A in Angriff nehmen, so ist ihre Resultirende 6ri_₂ durch die durch

den Punkt A gehende Diagonale AGi_₂ j des Parallélogrammes AGxGi-zG₂ dargestellt, welches durch die beiden Strecken AGX und AG2 bestimmt ist. Da 6r₁6ri_2 # AG₂ (G₂Gi—2 # AGx), so ergiebt sich der Endpunkt 6ri_₂ derjenigen Strecke, welche die Resultirende G

p,

Fig. 1.

1—2

repräsentirt, auch dadurch, dass man an die Strecke A Gx (A G₂), welche der Grösse, Richtung und Lage nach der Kraft 6r₁(G₂) entspricht, die Strecke anreiht, welche der Grösse, Richtung und Lage der Kraft G₂ (Gx) entspricht. Wie man sieht,

ist es für die Bestimmung der Resultirenden 6ri_₂ gleich gilti g, ob man — vom Punkte A ausgehend — auf die Kraft Gx die Kraft 6t₂ folgen lässt, oder umgekehrt Gx auf Cr₂; eine Bemerkung, von der wir wiederholt Gebrauch machen werden.

Das Dreieck AGxGi—2, dessen beide Seiten AGX und GXG\~2 die den Punkt A in Angriff nehmenden Kräfte repräsentiren, dessen dritte Seite AG1 — 2 die Resultirende derselben darstellt, heisst Kräftedreieck. Bei diesem „repräsentiren“, „darstellen“ hat man zu beachten, dass jede Seite im Sinne des auf sie gesetzten Pfeiles zu nehmen ist. Denkt man sich die Dreiecksseiten erzeugt durch die Bewegung eines Punktes von A über Gx und 6ri_₂ zurück nach A, so werden zwei Seiten im Sinne des auf sie gesetzten Pfeiles, die dritte dem Sinne des auf sie gesetzten Pfeiles entgegen durchlaufen. Der Umfahrungssinn ist unterbrochen, discontinuirlich. Hiernach kann man sagen: In einem Kräftedreiecke mit disconti-nuirlieliem Umfahrungssinne ist die Kraft, welche den Umfahrungssinn der beiden anderen unterbricht, die Resultirende dieser beiden Kräfte.

Nimmt man die Kraft 6ri_₂ im entgegengesetzten Sinne, so hält sie den beiden Kräften Gx und 6r₂ Gleichgewicht. Denkt man sich wieder die Dreiecksseiten erzeugt durch die Bewegung eines Punktes von A über Gx und 6ri_₂ zurück nach A, so werden alle Dreiecksseiten im selben Sinne durchlaufen. Der Umfahrungssinn ist ununterbrochen, continuirlich. Somit kann man sagen: Ist der Umfahrungssinn eines Kräftedreieckes ein continuirlicher, so sind die Kräfte im Gleichgewichte.

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§ 2. Resultirende beliebig vieler Kräfte an demselben Angriffspunkte. Es sei die Resultirende der den Punkt A, Fig. 2, in Angriff nehmenden Kräfte Gx, 6r₂, G₃ und G4 zu bestimmen. Die Aufgabe lässt sich auf das Kräfteparallelogramm zurückführen, indem man zunächst die ersten zwei Kräfte zusammensetzt, \    ³ die Resultirende derselben mit der dritten ver-

GA

G/-3 Fig. 2.

\ einigt u. s. w. Zu dieser Zusammensetzung bedient man sich zweckmässig des Kräftedreieckes.

Zieht man GxG\—2 AG₂, so ist AGi_2 (in der Figur nicht ausgezogen) die Resultirende der beiden Kräfte Gx und G₂. Macht man ferner 6ri_₂6ri_3 # AGa, so ist AG1—3 die Resultirende der beiden Kräfte G^~2 und GS} also die Resultirende

der drei Kräfte G1} G₂ und Gz. Ist schliesslich (ri_₃(ri_4 # AGV so ist AGi—4 die Resultirende der vier gegebenen Kräfte. Dabei wurden die Kräfte in bestimmter Aufeinanderfolge zusammengesetzt. Es fragt sich nun, ob nicht eine andere Aufeinanderfolge der Kräfte eine andere Resultirende ergeben hätte. Dies lässt sich leicht in ₀ folgender Weise entscheiden:

Jede beliebige Aufeinanderfolge der Kräfte lässt sich aus einer anderen allmählich durch Vertauschen von zwei unmittelbar aufeinander folgenden Kräften ahleiten. Es ist daher die Resultirende gewiss dann unabhängig von der Aufeinanderfolge, in welcher die Kräfte zusammengesetzt werden, wenn sie durch Vertauschen von irgend zwei unmittelbar aufeinander folgenden Kräften nicht geändert wird. Nun haben wir im vorigen Paragraphen gesehen, dass die Resultirende dieselbe bleibt, ob wir G₂ an Gl oder umgekehrt Gt an G₂ reihen. Wir erhalten somit stets dieselbe Resultirende, in welcher Aufeinanderfolge auch die Kräfte zusammengesetzt werden.

Der polygonale Linienzug AG₁Gi—₂Gi—3 .., dessen Seiten die einzelnen Kräfte der Grösse und Richtung (aber nicht der Lage) nach darstellen, heisst Kräftepolygon. In jeder Seite liegt wieder ein bestimmter Sinn, der durch einen auf sie gesetzten Pfeil angezeigt ist. Denkt man sich das Kräftepolygon durch Bewegung eines Punktes von A über G1} Gi—₂ • • zurück nach A erzeugt, so werden die den gegebenen Kräften parallelen Seiten des Polygones im Sinne des auf sie gesetzten Pfeiles, die Resultirende aber im entgegengesetzten Sinne durchlaufen; der Umfahrungssinn ist unterbrochen. Nimmt man die Resultirende 6ri_₄ im entgegengesetzten Sinne, so hält sie den gegebenen Kräften Gleichgewicht. Ein Punkt, der sich von A über Gt . .. zurück nach A bewegt, durchläuft sämmtliche Seiten im selben Sinne; der Umfahrungssinn ist con-tinuirlich. Man kann daher sagen: Ist der Umfahrungssinn eines Kräftepolygones ein continuirlicher, so sind die Kräfte im Gleichgewichte. Ist aber der Umfahrungssinn eines Kräftepolygones unterbrochen, so ist die Kraft, welche den Umfahrungssinn der übrigen an demselben Angriffspunkte wirkenden Kräfte unterbricht, die Resultirende derselben.

§ 3. Zerlegung einer Kraft in Componenten, die mit ihr an demselben Angriffspunkte wirken. Die Aufgabe: eine Kraft in zwei oder mehrere Componenten zu zerlegen, ist im allgemeinen eine unbestimmte. Es kommt ja nur darauf an, einen Linienzug zu con-

struiren, dessen Anfangspunkt mit dem Angriffspunkte und dessen Endpunkt mit dem Endpunkte der gegebenen Kraft zusammenfällt.

Handelt es sich insbesondere um die Zerlegung einer Kraft in zwei Componenten — was auf die Construction eines Dreieckes liinausläuft — so ist die Aufgabe unter denselben Bedingungen bestimmt, unter welchen sich ein Dreieck construiren lässt. Es müssen entweder beide Componenten der Grösse nach, drei Seiten des Dreieckes; oder beide Componenten der Richtung nach, eine Seite des Dreieckes und die beiden anliegenden Winkel; oder eine Componente der Grösse und Richtung nach, zwei Seiten des Dreieckes und der eingeschlossene Winkel; oder eine Componente der Grösse, die andere der Richtung nach, zwei Seiten und der der grösseren Seite gegenüberliegende Winkel, gegeben sein. In allen übrigen Fällen ist die Aufgabe nicht bestimmt.

§ 4. Zwei Kräfte in derselben Ebene an verschiedenen Angriffspunkten. Kräfte- und Seilpolygon. Wenn der Schnittpunkt S der beiden Kräfte 6rx und G₂, die an den Punkten Ax und A₂ angreifen, auf die Zeichenfläche fällt, so lässt sich die Resultirende derselben nach dem Satze vom Kräfteparallelogramme leicht construiren. Da es nämlich gestattet ist, den Angriffspunkt einer Kraft in ihrer Richtung zu verschieben, so verlegen wir die Angriffspunkte der beiden gegebenen Kräfte in den Schnittpunkt S. Wir haben dann zwei Kräfte an demselben Angriffspunkte, deren Resultirende auf bekannte Weise gefunden werden kann.

Fällt jedoch der Schnittpunkt der beiden Kräfte nicht auf die Zeichenfläche — wie dies z. B. bei parallelen Kräften immer der Fall ist — so führt ein kleiner Kunstgriff zum Ziele. In der Verbindungslinie der Angriffspunkte At und A₂ der beiden gegebenen Kräfte (welche Punkte At und A₂ man beliebig in den Kräften gelegen annehmen kann) denkt man sich nämlich zwei gleich grosse, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte AXG\ und A₂G'i (Fig. 3)^ wirkend und fasst sie als Componenten der beiden j/, \jg,    gegebenen Kräfte AxGl und A₂G₂ auf; die noch

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Fig. 3.

G'[Gl und

fehlenden Componenten dieser letzteren ergeben sich durch Construction der betreffenden Kräftedreiecke A₁G[G₁ und A₂G’zG₂, es sind AtGi und Gr[G₁ die Componenten von Gx\ A₂G'ź und G'ŹG₂ die Componenten von (r₂; u. z.

G2 G₂ der Grösse und Richtung, A₁ G’l und A₂ G'i der Grösse, Richtung und Lage nach. Lässt man in A₁ und A₂ bezüglich die Kräfte

AlG'i # Gi6tj und A₂G'₂ # G₂G₂ wirken, so kann die Kraft Gt durcli ihre Componenten Al G\ und A₁Gi, G₂ durch A₂G₂ und A₂G2 ersetzt werden. Es haben dann die zwei gegebenen Kräfte dieselbe Resultirende, wie die vier Kräfte: A₁G[, AxG'i, A₂G₂ und A₂G₂. Von diesen vier Kräften heben sich A₁GÏ und A₂G₂ gegenseitig auf; die übrigen zwei A₁G'₁ und A₂G₂ haben somit dieselbe Resultirende, wie alle vier, also dieselbe Resultirende, wie die gegebenen zwei Kräfte. Wir haben somit die zwei gegebenen Kräfte durch zwei andere von verschiedener Grösse und Richtung ersetzt. Durch passende Wahl von A₁Gi kann man es nun immer dahin bringen, dass der Schnittpunkt dieser beiden Ersatzkräfte auf die Zeichenfläche fällt, wodurch dieser Fall auf den oben behandelten zurückgeführt ist.

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Die hier geforderte Zerlegung der beiden gegebenen Kräfte führt man am besten seitwärts mit Hilfe einer neuen Figur durch. Yon einem beliebigen Punkte 0 an reihe man die Kräfte ihrer Grösse und ihrer Richtung entsprechend aneinander; dabei setzen wir blos den Zeiger der Kraft an das Ende der betreffenden Strecke; wir machen 0Ï # A₁Gl) 12 #

A₂G₂, gehen also so vor, wie bei der Construction des Kräftepolygones für zwei Kräfte Gl und G₂, die denselben Punkt 0 in Angriff nehmen. Die Kraft Gt in zwei Componenten zu zerlegen, verbinden wir einen willkürlich gewählten Punkt P mit den Punkten 0 und 1; dann sind OP und PI (im Sinne der nebengezeichneten Pfeile wirkend) Componenten von Gv Diese denken wir uns in zwei Geraden 01 und III wirken, die beziehungsweise zu OP und PI parallel sind und sich auf Gt schneiden. Nach obigem ist dadurch zunächst die eine Componente von G₂ der Grösse, Richtung und Lage nach vollkommen bestimmt; denn sie muss in der Geraden III wirken, der Componente von G1} die in diese Gerade fällt, der Grösse nach gleich aber entgegengesetzt gerichtet sein; die Lage derselben ist also durch III, Grösse und Richtung durch 1P gegeben. Damit ist aber auch die zweite Componente von G₂ vollkommen bestimmt; denn Grösse und Richtung derselben liefert die Strecke P2; und da sie durch den Punkt II gehen muss, so ist auch ihre Lage IIIII// 2 P gegeben. Wir können somit die zwei Kräfte 6rx und G₂ durch vier Kräfte ersetzen, welche

in den Geraden 01, III und II III wirken. Von diesen sind die beiden in III wirkenden gleichgross aber entgegengesetzt gerichtet; sie heben sich daher gegenseitig auf. Somit können die beiden übrigen in 01 und IIIII wirkenden Kräfte allein die beiden gegebenen Gx und 6r₂ ersetzen; d. h. sie haben dieselbe Resultirende wie diese. Der Schnittspunkt S von 01 und IIIII ist daher ein Punkt der Resultirenden von Gx und G₂. Grösse und Richtung derselben ist durch 02 gegeben; wie leicht einzusehen, wenn man sich die beiden in 01 und IIIII wirkenden Kräfte OP bezüglich P2 im Punkte S angreifend denkt. Die Resultirende ist somit vollständig bestimmt.

Durch eine entsprechende Wahl des Punktes P und der Lage der Geraden 01 wird man es immer dahin bringen, dass der Punkt S auf die Zeichenfläche fällt, die Resultirende also gezeichnet werden kann.

Man nennt den polygonalen Linienzug OL IIIII ein Seilpolygon der Kräfte Px und P₂; die einzelnen Geraden 01, III, IIIII heissen Seiten des Seilpolygones; 012 heisst das Kräftepolygon, P der Pol des Kräftepolygones, 0 der Anfangspunkt; OP, IP, 2P heissen Strahlen des Kräftepolygones.

Hiernach lässt sich das oben erklärte Verfahren, die Resultirende zweier Kräfte zu bestimmen, in folgender Weise angeben: Man construire den gegebenen Kräften entsprechend Kräfte und Seilpolygon; das Kräftepolygon, indem man von einem beliebigen Anfangspunkte 0 an die Kräfte ihrer Grösse, Richtung und ihrem Sinne nach aneinander reiht; also 01 # A₁Gl, 12 # A₂G₂ macht; und von einem willkürlichen Pole P Strahlen zu den Ecken 0, 1, 2 des Kräftepolygones zieht. Parallel diesen Strahlen zieht man die einzelnen Seilpolygonseiten; die erste 01//OP der Lage nach beliebig; durch den Schnittpunkt I derselben mit der Kraft G₁ ziehe man 1II//1P; durch den Schnittpunkt II von III und Ä₂ G₂ schliesslich//III// 2 P. Durch den Schnittpunkt S der äussersten Seilpolygonseiten, d. i. der Seite 01, welche der ersten Kraft vorangeht, mit derjenigen Seite IIIII, welche auf die zweite Kraft folgt, geht die Resultirende der beiden Kräfte Gx und Cr₂; Grösse, Richtung und Sinn derselben ist durch 02 gegeben.

Man bemerke nochmals: In den einzelnen Seilpolygonseiten wirken Kräfte, deren Grösse bestimmt ist durch den Strahl des Kräftepolygones, zu dem die betreffende Seilpolygonseite parallel gezogen wurde; in der mittleren Seilpolygonseite wirken zwei gleichgrosse Kräfte, die sich aufheben; in den äussersten Seilpolygonseiten zwei Kräfte, welche die gegebenen ersetzen; hierin liegt der Grund, dass durch den Schnittpunkt dieser äussersten Seilpolygonseiten die Resultirende der gegebenen Kräfte hindurchgehen muss.

Dass zu zwei gegebenen Kräften unendlich viele Seilpolygone construirt werden können, ist nach Vorhergehendem selbstverständlich.

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Fig. 5.

Bei der Construction des Kräftepolygones haben wir auf die Kraft G± die Kraft 6r₂ folgen lassen und dementsprechend auch das Seilpolygon construirt. Es fragt sich nun, ob sich bei der noch möglichen Aufeinanderfolge Gx auf 6r₂ nicht eine andere Resultirende, wenigstens der Lage nach, ergeben hätte. Dass Grösse und Richtung der Resultirenden ungeändert bleiben, zeigt ein Blick auf das der zweiten Aufeinanderfolge entsprechende Kräftepolygon 0 2' 1', Fig. 5. Dass auch die Lage nicht geändert wird, ergiebt sich auf folgende Weise: Für die erste Aufeinanderfolge ist 01IIIII das zugehörige Seilpolygon; durch den Schnittpunkt S von OP und IIIII geht die Resultirende parallel zu 02. Die erste Seite des der zweiten Aufeinanderfolge entsprechenden Seilpolygones ist, wie 01, parallel zu OP; wir lassen sie mit OL zusammenfallen; ihr Schnittpunkt mit G₂ sei II ] durch II' ist II'1’ //2'F gezogen; I' ihr Schnittpunkt mit AXG{-, schliesslich ist TIII'//2P//IIIII- somit 0II'I'III' das Seilpolygon für die zweite Aufeinanderfolge der Kräfte. Durch den Schnittpunkt S' der beiden Seiten 0II' und TIII' muss die Resultirende hindurchgehen, andererseits aber soll sie auch durch den Punkt S gehen; sie muss daher, wenn S' von S verschieden ist, ganz in die Gerade 01 fallen; das ist aber nicht möglich, da die Resultirende zweier Kräfte durch den Schnittpunkt derselben hindurchgehen muss, nicht aber beide Kräfte in verschiedenen Punkten schneiden kann. Es muss daher S' mit S zusammenfallen; d. li.: die Resultirende ändert auch ihre Lage nicht. Da T S' III' //IIIII und S' mit S zusammenfällt, so fällt auch IT 111' mit IIIII zusammen. Wenn wir also die ersten zwei Seiten der beiden Seilpolygone, welche den Annahmen über die Aufeinanderfolge der Kräfte entsprechen, zusammenfallen lassen, so fallen auch die letzten zwei Seilpolygonseiten zusammen; nur die mittleren haben verschiedene Lagen.

Mit Hilfe des Kräfte- und Seilpolygones kann man somit in allen Fällen auf gleiche Weise Grösse, Richtung und Lage der Re-sultirenden zweier Kräfte in einer Ebene finden. In Fig. 6 ist die

Kg. 6.

Construction für zwei parallele gleichgerichtete Kräfte durchge-dz/'Jiï führt. Das Kräftepolygon geht hier in eine gerade Linie, Kräftelinie, über; die Resultirende ist der Grösse, Richtung und dem Sinne nach durch die Strecke 12 dargestellt. Ihre Lage zu bestimmen, wurde das Seilpolygon 01IIIII für den willkürlich gewählten Pol P construirt; es ist OL//OP, IIIH IP, IIIII//2P. Der Schnittpunkt &_₂ der beiden Seilpolygonseiten OJ und IIIII ist ein Punkt der Resul-tirenden, welche parallel zu 02, somit vollkommen bestimmt ist.

In Fig. 7 haben wir zwei parallele, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte Ax Gy und Ą6r₂. Vom Punkte 0 aus sind die Kräfte

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ihrem Sinne und ihrer Grösse entsprechend aneinander gereiht ; es ist 01 H At Grx ; 12 # A₂G₂. Bei der gewähl-\    ten Bezeichnungsweise ist in

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Kg. 7.

diesem Falle Grösse, Sinn und Aufeinanderfolge der "Jjïg Kräfte nur dann aus dem Kräftepolygone unzweideutig zu entnehmen, wenn man festsetzt, die Kräfte der Rangordnung ihrer Zeiger entsprechend aneinander zu reihen; dies setzen wir für die Zukunft immer voraus. Die Resultirende ist der Grösse, Richtung und dem Sinne nach durch 02 dargestellt; sie liegt auf der Seite der grösseren Kraft, wie die Construction des Seilpolygones 0 III III zeigt.

In Fig. 8 haben wir endlich zwei parallele, entgegengesetzt gerichtete, gleichgrosse Kräfte, ein sogenanntes Kräftepaar; die Resultirende derselben ist Null. Construirt man für eine beliebige Lage des Pôles P das Seilpolygon 0 IIIIII, so werden, da der Endpunkt des Kräftepolygones auf den Anfangspunkt fällt, die beiden äussersten Seilpolygonseiten zu einander parallel; ihr unendlich ferner Schnittpunkt ist ein Punkt der Resultirenden. Für eine an-

dere Lage des Pôles P wird man, im allgemeinen, einen anderen unendlich fernen Punkt erhalten; aber jeder solche Punkt ist ein Punkt der gesuchten Resultirenden. Diese geht also durch särnnit-liche unendliche⁻ferne Punkte der Ebene, d. h. sie liegt in der unendlich fernen Geraden der Ebene. Zwei parallele, gleichgrosse, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte haben daher eine Resul-tirende Null, die in der unendlich fernen «

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Fig. 8.

Geraden der Ebene liegt.

In den äussersten Seilpolygonseiten haben wir wieder zwei Kräfte wirkend zu denken, welche die gegebenen ersetzen; die Grössen dieser Kräfte sind bestimmt durch die Strahlen des Kräftepolygones, zu welchen die Seilpolygonseiten parallel sind; der Sinn der Kräfte ergiebt sich auf bekannte Weise.

Im vorliegenden Falle sind beide äusserste Seilpolygonseiten dem Strahle OP parallel; es wirken also in beiden gleichgrosse Kräfte. Wie man leicht sieht, sind diese Kräfte entgegengesetzt gerichtet; in 01 wirkt OP, in IIIII wirkt PO; diese beiden Kräfte bilden also ein Kräftepaar. Je nach der Lage des Pôles werden diese, in den äussersten Seilpolygonseiten wirkenden Kräfte verschiedene Grösse und verschiedene Richtung haben; immer aber werden sie die beiden gegebenen, parallelen, gleich grossen, aber entgegengesetzt gerichteten Kräfte ersetzen. Hieraus folgt, dass man ein Kräftepaar durch unendlich viele andere ersetzen kann. Welche Beziehung dabei zwischen diesen Kräftepaaren stattfindet, wollen wir sogleich etwas näher untersuchen.

Ia — 12 (Fig. 8) und zieht aO/jPI//III, so ist AO Ja çv AP01,

Jedes Kräftepaar strebt die Ebene, in der es liegt, in einem gewissen Sinne zu drehen. Man sieht, der Drehungssinn des Paares OP und PO ist derselbe, wie der des gegebenen Kräftepaares. Macht man

daher 01= OP. Verbindet man nun den Punkt II mit 0 und a, so ist A alll ein Dreieck, dessen Basis al gleich ist einer Kraft des gegebenen Kräftepaares und dessen Spitze II in der anderen Kraft liegt. Ebenso ist AOIII ein Dreieck, dessen Basis OJ gleich ist der in der ersten Seilpolygonseite wirkenden Kraft OP und dessen Spitze II in der letzten Seilpolygonseite liegt. Diese beiden Dreiecke A lall und A/OJJ haben gleichen Flächeninhalt; denn sie haben dieselbe Grundlinie III und ihre Spitzen liegen in einer zur Grundlinie Parallelen Oa. Was hier für das Kräftepaar OP und PO bewiesen wurde, gilt in gleicher Weise für jedes andere, welches das gegebene AXGX und A₂G₂ ersetzen soll. Man kann daher sagen: Ein Kräftepaar kann durch unendlich viele andere, welche denselben Drehungssinn haben, ersetzt werden, wenn der Flächeninhalt des Dreieckes, dessen Basis die eine Kraft ist uud dessen Spitze in der anderen Kraft liegt, ungeändert bleibt.

§ 5. Beliebig viele Kräfte in einer Ebene an verschiedenen Angriffspunkten. Wir führen diesen Fall auf den im vorigen Paragraphen behandelten zurück, indem wir zuerst die Resultirende zweier Kräfte bestimmen; diese mit der dritten Kraft zusammensetzen u. s. w.

Es seien, Fig. 9, die vier Kräfte Gx, G₂, G₃ und Gx, die an den Punkten Ax, A₂ ... AL angreifen, zusammenzusetzen. Wir be-

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Fig. 9.

stimmen zunächst die Resultirende der beiden Kräfte Gx und G₂. Dazu tragen wir; von einem beliebigen Punkte 0 an, die beiden Kräfte Gx und G₂ ihrer Richtung und Grösse entsprechend nacheinander auf; nehmen den Pol P willkürlich an, ziehen die Strahlen OP, 1P, 2P und Die Resultirende Gi

zu

diesen bezüglich OJ, III, IIIII parallel, der beiden Kräfte Gx und G₂ ist dann ihrer Grösse und Richtung nach durch die Diagonale 02 des Kräftepoly-gones, ihrer Lage nach aber dadurch bestimmt, dass sie durch den Schnittpunkt $i_₂ der beiden Seilpolygonseiten OJ und IIIII hindurchgehen muss. In der mittleren Seilpolygonseite III wirken zwei Kräfte, die sich gegenseitig aufheben; in den Seiten 01 und IIIII zwei Kräfte, welche die beiden gegebenen Gx und G₂ ersetzen. Nun construirai wir die Resultirende der beiden Kräfte 6ri_2 und G₃. Das zugehörige Kräftepolygon ergiebt sich, wenn man 23 # A₃G3 macht; als Pol behalten wir den oben gewählten Punkt P; dann können wir auch für das den beiden Kräften G1-2 und G₃ entsprechende Seilpolygon die beiden Seiten 0/$i_2 und S1—2IIIII

des früheren beibehalten. Parallel 3 P ziehen wir IIIJF; somit ist OS1—2IIIIV das Seilpolygon für die beiden Kräfte Cri_₂ und 6r₃. Grösse und Richtung der Resultirenden 6ri_3 dieser beiden Kräfte ist durch die Diagonale 03 des Kräftepolygones bestimmt, die Lage derselben aber dadurch, dass sie durch den Schnittpunkt S1—3 der beiden Seilpolygonseiten OIS1—2 und IIIIV hindurchgehen muss. In diesen beiden Seiten wirken wieder zwei Kräfte, welche G1 — 2 und 6r₃, daher auch G1} 6r₂ und G₃ ersetzen; in der Seite S1—2IIIII zwei Kräfte, die sich gegenseitig aufheben. Kommt noch die Kraft Cr₄ hinzu, so ziehen wir 34 # A₄Gà und IV V// 4P. Die Resul-tirende der Kräfte 6ri_₃ und (x₄, also auch der Kräfte 6r₄, 6r₂, 6r3 und Cr₄ ist dann der Grösse und Richtung nach durch die Diagonale 04 des Kräftepolygones, der Lage nach durch den Schnittpunkt $1—4 der beiden Seiten OIS1—4 und S1—4IVV bestimmt. In diesen beiden Seiten wirken zwei Kräfte, welche (xi_₃ und 6r₄, also auch die gegebenen vier Kräfte ersetzen. Grösse und Richtung dieser Kräfte geben die Strahlen des Kräftepolygones, zu welche« die betreffenden Seilpolygonseiten parallel gezogen wurden. In 0J/S'i_4 wirkt OP; in S^IVV die Kraft P4.

Beliebige Kräfte in einer Ebene zusammenzusetzen, wird man daher so Vorgehen: Yon einem beliebigen Punkte 0 an reiht man die Kräfte ihrer Richtung und Grösse entsprechend aneinander; man construirt das Kräftepolygen 01234... Die Ecken desselben verbindet man mit einem willkürlich gewählten Punkte P, dem Pole des Kräftepolygones. Zu diesen Verbindungslinien (Strahlen) zieht man zwischen den einzelnen Kräften parallele Gerade; man construirt das Seilpolygon. Die erste Seite desselben 01//OP ist der Lage nach willkürlich; durch ihren Schnittpunkt I mit AtGt wird 7J///1P; durch den Schnittpunkt II von III und A₂G₂ wird IIIII// 2P u. s. w. gezogen. Grösse und Richtung der Resultirenden aller Kräfte ist gegeben durch die Diagonale des Kräftepolygones, welche den Anfangspunkt 0 mit dem Endpunkte verbindet (sämmt-liche Kräfte unterspannt); ihre Lage ist bestimmt durch den Schnittpunkt der äussersten Seilpolygonseiten; d. i. derjenigen Seite 01, welche der ersten Kraft vorausgeht, mit derjenigen IV V, welche auf die letzte Kraft folgt. In diesen beiden Seilpolygonseiten wirken zwei Kräfte, welche die sämmtlichen gegebenen ersetzen; hierin liegt eben der Grund, dass durch ihren Schnittpunkt die Resultirende sämmtlicher Kräfte hindurchgehen muss. Die Richtung und Grösse der in der ersten Seite wirkenden Kraft ist bestimmt durch den Strahl des Kräftepolygones, der vom Anfangspunkte 0 zum Pole P gezogen; Richtung und Grösse der in der letzten Seilpolygonseite wirkenden Kraft aber durch den Strahl, der vom Pole P zum Endpunkte des Kräftepolygones gezogen ist. In allen mittleren Seiten wirken zwei gleichgrosse aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte, die sich gegenseitig aufheben.

Bei dieser Zusammensetzung der Kräfte wurde eine bestimmte Aufeinanderfolge derselben vorausgesetzt. .Es erübrigt nun noch zu zeigen, dass Grösse, Richtung und Lage der Resultirenden von der Aufeinanderfolge der einzelnen Kräfte unabhängig ist.

Jede beliebige Aufeinanderfolge kann aus einer anderen durch allmähliches Vertauschen von zwei unmittelbar aufeinander folgenden Kräften abgeleitet werden. Daher ist, wenn Grösse, Richtung und Lage der Resultirenden durch das Vertauschen von zwei beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden Kräften nicht geändert wird, die Resultirende von der Aufeinanderfolge der Kräfte unabhängig. Dass durch Vertauschen von irgend zwei unmittelbar aufeinander folgenden Kräften Grösse und Richtung der Resultirenden nicht geändert wird, ist nach dem in § 2 Gesagten sofort klar. Dass aber auch die Lage der Resultirenden nicht geändert wird, ergiebt sich ohne weiteres nach § 4, Seite 7. Damit ist auch bewiesen, dass die Aufeinanderfolge der Kräfte ohne Einfluss auf Richtung, Lage und Grösse ihrer Resultirenden ist.

§ 6. Gleichgewicht beliebig vieler Kräfte in einer Ebene. Auf die im vorigen Paragraph angegebene Weise kann man in jedem Falle die Resultirende gegebener Kräfte finden. Lässt man sie in entgegengesetzter Richtung wirken, d. h. fügt man den gegebenen Kräften eine neue hinzu, welche ebenso gross wie die Resultirende der gegebenen ist, mit dieser in derselben Geraden aber in entgegengesetztem Sinne wirkt, so herrscht Gleichgewicht. Der Endpunkt des Kräftepolygones, das aus den ursprünglich gegebenen und der hinzugefügten Kraft construirt ist, fällt dann mit dem Anfangspunkte desselben zusammen; das Kräftepolygon schliesst sich; die Resultirende aller Kräfte ist Null. Also: wenn Gleichgewicht herrscht, dann ist die Resultirende aller Kräfte Null. Nicht aber umgekehrt; wenn die Resultirende allei* Kräfte Null ist, so herrscht im allgemeinen noch nicht Gleichgewicht; dazu muss noch eine weitere Bedingung erfüllt werden, die sich auf folgende Weise ergiebt.

Schliesst sich das Kräftepolygon, d. h. fällt der Endpunkt desselben mit dem Anfangspunkte zusammen, so fällt auch der letzte

Strahl des Kräftepolygones mit dem ersten zusammen. Die erste und letzte Seilpolygonseite, welche parallel zu diesen Strahlen gezogen werden, sind daher auch zu einander parallel. In der ersten Seilpolygonseite wirkt eine Kraft, deren Grösse durch die Länge des ersten Strahles im Kräftepolygone, deren Richtung durch die Richtung vom Anfangspunkte 0 zum Pole P gegeben ist. In der letzten Seilpolygonseite wirkt eine »Kraft, deren Grösse gleichfalls durch die Länge des ersten Strahles im Kräftepolygone, deren Richtung durch die Richtung vom Pole zum Anfangspunkte 0 bestimmt ist. In den beiden äussersten Seilpolygonseiten sind daher — wenn das Kräftepolygon sich scliliesst — zwei parallele, gleichgrosse aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte thätig. Soll nun Gleichgewicht sein, so müssen diese beiden Kräfte sich aufheben. Dies ist aber nur möglich, wenn sie in derselben Geraden wirken; also wenn die beiden äussersten Seilpolygonseiten aufeinander fallen, das Seilpolygon sich scliliesst. Kräfte in einer Ebene sind im Gleichgewichte, wenn die ihnen entsprechend constru-irten Kräfte und Seilpolygone sich scliliessen.

Scliliesst sich das Kräfte- nicht aber das Seilpolygon, so haben wir sämmtliche Kräfte auf zwei parallele, gleichgrosse aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte (auf ein Kräftepaar) zurückgeführt, die sich nicht weiter vereinigen lassen. Scliliesst sich das Seilpolygon, nicht aber das Kräftepolygon, so haben wir in den äussersten aufeinanderfallenden Seilpolygonseiten, also in derselben Geraden, zwei Kräfte thätig, die mit einander vereinigt die Resultirende sämmt- ** lieber Kräfte darstellen. Dieser Fall kann eintreten, wenn der Pol auf der Verbindungslinie des Anfangspunktes des Kräftepolygones mit dem Endpunkte desselben liegt.

§ 7. Zwei Seilpolygone für dasselbe Kräftepolygon aber verschiedene Pole. Die gleichvielten Seiten zweier Seilpolygone, welche für dasselbe Kräftepolygon aber verschiedene Pole construirt sind, schneiden sich auf einer Geraden, die zur Verbindungslinie der beiden Pole parallel ist. Der Beweis dafür lässt sich z. B. auf folgende Weise führen. Seien Fig. 10 Ax Gx, A₂ Cr₂, A₃ G₃ die gegebenen Kräfte; 0 12 3 das Kräftepolygon. Für den Pol P ergebe sich das Seilpolygon OJII IIIIV] für den Pol P das Seilpolygon GI' II' III' IV., Der Schnittpunkt der beiden Seiten 0J und 0T sei Slx der Schnittpunkt von III und 1' IT sei S₂. Die Kraft Gx kann man nun ersetzen durch zwei Kräfte, welche in den beiden Geraden 01 und III wirken; Grösse und Sinn dieser Kräfte geben bezüglich

die Strahlen OP und PI. Andererseits kann man die Kraft G₁ aber auch ersetzen durch zwei Kräfte, welche in den beiden Geraden 0 T und T IT wirken; diese Kräfte sind der Grösse und dem Sinne nach durch OP' und P'l gegeben. Kehrt man den Sinn der letzten beiden Kräfte um, nimmt man also in den beiden Geraden 0' T und FIT zwei Kräfte wirkend an, deren Grösse und Sinn bezüglich durch P'O und 1P' bestimmt sind, so halten sich die vier Kräfte: OP (in 01), PI (in III), P'O (in O'P) und 1P' (in FII') Gleichgewicht. Der Sinn dieser vier Kräfte ist im Kräftepolygone durch

Ir

<p

f^.7

- jr

TV* 3

in*

JitT

Fig. 10.

Pfeile besonders angezeigt. Die Resultirende von zweien muss daher ebenso gross sein, wie die Resultirende der beiden übrigen Kräfte; mit dieser in derselben Geraden, aber im entgegengesetzten Sinne wirken. Wir setzen nun die beiden in O'P und 01 wirkenden Kräfte P'O und OP für sich, ebenso die beiden in III und T IT wirkenden Kräfte PI und 1P' für sich zusammen. Die Resultirende der beiden ersten P'O und OP ist — wie man aus dem Kräftepolygone sieht — der Grösse und Richtung nach P'P; die der beiden letzten PI und l’P' der Grösse und Richtung nach PP'. Diese beiden Resultirenden haben also, wie es sein muss, dieselbe Grösse, aber entgegengesetzte Richtung. Die erste geht durch den Schnittpunkt Sy von 01 und O'P' 5 die zweite durch den Schnittpunkt S₂ von III und TIT. Beide wirken in Geraden, welche bezüglich durch S₁ und S₂ parallel zu PP' gezogen sind. Sollen diese beiden parallelen, gleichgrossen aber entgegengesetzt gerichteten Kräfte sich aufheben, so müssen sie in derselben Geraden wirken; es muss also die Gerade, die durch St parallel zu PP' gezogen ist, zusammenfallen mit der Geraden, die durch S₂ parallel zu P'P gezogen wurde, d. h. es muss die Verbindungslinie von Sy und S₂ zu PP' parallel sein.

Ebenso kann man beweisen, dass die Verbindungslinie von S₂

und $3 zu PP parallel ist. Die beiden Geraden StS₂ und S₂S& gehen aber durch denselben Punkt S₂ zur selben Geraden parallel; sie fallen daher zusammen; etc. Damit ist der oben aufgestellte Satz bewiesen.

Als erste Anwendung dieses Satzes lösen wir die Aufgabe: für eine einzige Kraft G (z. B. die Resultirende eines gegebenen Ivräfte-systemes) ein Seilpolygon zu zeichnen, welches durch zwei bestimmte Punkte F und J geht, wenn die Poldistanz P gegeben ist.

°r

pJ

\>

ys

*---3--*

Fig. 11.

01 sei das Kräftepolygon; der Pol liegt in einer zu 01 im Abstande B parallelen Geraden; wir nehmen an, er liege in C'. Die erste Seilpolygonseite ziehen wir durch F parallel zu 0(7'; durch ihren Schnittpunkt S' mit der gegebenen Wirkungslinie der Kraft G ist die zweite Seite parallel zu 10" zu ziehen; sie wird im allgemeinen nicht durch den Punkt J gehen. Die erste Seite des zu suchenden Seilpolygones muss gleichfalls durch Pgehen; die gleichvielten Seiten beider Seilpolygone müssen sich daher auf einer Geraden Fa schneiden, die durch F parallel zu 01 geht; denn wegen der gegebenen Poldistanz ist die Verbindungslinie der Pole (für das eben construirte und das zu suchende Seilpolygon) zu 01. parallel. Die zweite Seite des eben con-struirten Seilpolygones schneidet diese Gerade Pa in a; durch diesen Punkt muss (nach dem obigen Satze) auch die zweite Seite des zu suchenden Seilpolygones hindurchgehen, und da auch J ein Punkt der zweiten Seite sein soll, so ist aJ diese zweite Seite; ihr Schnittpunkt S mit G giebt einen zweiten Punkt der ersten Seite des gesuchten Seilpolygones FSJ. Zieht man zu FS und SJ durch 0 und 1 Parallele, so müssen sich diese in der Entfernung B von 01 im zugehörigen Pole C schneiden.

§ 8. Seilpolygon durch drei gegebene Punkte. Bei Untersuchungen über die Stabilität von Bogenträgern handelt es sich darum, ein Seilpolygon zu zeichnen, welches durch drei gegebene Punkte geht. Diese Aufgabe kann man mit Hilfe des im vorigen Paragraphen bewiesenen Satzes lösen.

Es sei für die beiden Kräfte A₁G₁ und A₂G₂ ein Seilpolygon zu construiren, dessen drei Seiten durch die drei gegebenen Punkte B, C und B hindurchgehen, u. z. soll B auf der ersten, C auf der zweiten, D auf der dritten Seite liegen. Es kommt da darauf an, die Lage des Pôles im Kräftepolygone zu bestimmen; denn die Seilpolygonseiten müssen zu den Strahlen des Kräftepolygones parallel sein. Ein Seilpolygon, das durch die beiden Punkte JB und G, Fig. 12, hindurchgeht, lässt sich leicht zeichnen. Wir ziehen durch den Punkt JB die erste Seite 0'T beliebig und durch den Anfangspunkt 0 des Kräftepolygones dazu eine Parallele OP'. Als zweite Seilpolygon-•P Seite nehmen wir die Eine

o’

ÖJD

/m'

\\

Linie TCIT.

fr,

Fig. 12.

zu dieser durch die Ecke 1 parallel gezogene Gerade schneidet OP' in dem Pole P', welcher dem Seilpolygone entspricht, das durch die beiden Punkte JB und G geht und dessen erste Seite 0 ' T angenommen wurde. Die letzte Seilpolygonseite ist durch den Punkt IT parallel zu 2P' zu ziehen; sie wird im allgemeinen nicht durch den Punkt D gehen.

Die beiden ersten Seiten des zu suchenden Seilpolygones schneiden die beiden ersten Seiten des obenbezeichneten in den Punkten JB und G, also auf der Geraden PG; es müssen sich daher nach dem vorigen Paragraphen auch die dritten Seiten dieser beiden Seilpolygone auf der Geraden JBC schneiden. Ist D' der Schnittpunkt von ITIII' und JBC, so ist DD' die dritte Seite des zu suchenden Seilpolygones; denn diese muss durch die beiden Punkte JD und JD' gehen. Jetzt kann man das Seilpolygon leicht fertig zeichnen. Der Durchschnittspunkt von JDD' und A.₂G₂ bestimmt nämlich einen Punkt II der mittleren Seite; ein zweiter Punkt derselben ist G; also ist IICI die mittlere Seite des gesuchten Seilpolygones. Damit ist auch die erste JB1 gegeben. Zieht man durch P' eine Parallele zu BC und durch die Punkte 0,1,2 Parallele zu DI, ICH, HD, so müssen sich diese vier Geraden in demselben Punkte, dem gesuchten Pole P, schneiden.

Die Aufgabe wäre somit gelöst; es hat sich dabei darum gehandelt, zuerst ein Seilpolygon durch zwei der gegebenen Punkte zu legen. So gut wir als diese Punkte D und G genommen haben, konnten wir auch G und D wählen. Wir gelangen dadurch zu einer einfacheren Lösung.

und 1P' der Pol, der dem Seilpolygone durch die beiden Punkte C und D entspricht. Die erste Seite dieses Seil-

//

Fig. 13.

polygones geht parallel zu P"0. Der Pol P des gesuchten Seil-polygones (durch alle drei Punkte P, C und D) muss nun nach obigem auf einer Geraden, die durch P" parallel CD gelegt ist, liegen. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der durch P' parallel zu. PC gezogenen giebt den Pol P.

Hiernach ergiebt sich folgende Construction für das Seilpolygon, das den beiden Kräften A₁ G-l und A₂ G₂ entspricht und durch die drei Punkte P, C und D geht. Man zeichne das Kräftepolygon 0 1 2 ; ziehe PI' beliebig und OP'//PP; hierauf 1 P'//PCII' und durch den Punkt P' eine Parallele zu PO; dann 2P” ff IP D uhd durch P" (Schnittpunkt von 1P' und 2P") eine Parallele zu CD. Der Schnittpunkt der durch P' zu PC Parallelen mit der durch P" zu CD Parallelen giebt den Pol P, mit dem das gesuchte Seilpolygon construirt werden kann.

-J,

\X

Etwas eleganter wird die Lösung, wenn man zur Construction des Pôles P' als mittlere Seite des Seilpolygones die Y erbindungslinie von 0 und P; zur Construction des Pôles P" als mittlere Seite die Linie PC nimmt.

Fig. 14.

Der Pol P liegt auf einer Geraden, die durch den oben erhaltenen Pol P' parallel zu PC gezogen ist. Wir construirai nun ein Seilpolygon, das durch die beiden Punkte C und D geht. Die durch C gehende Seite soll, wie früher, I CH' sein; dann ist die letzte Seite II'D. Zieht

\\

2P" HII' D, 1P'

man

UPC II' so ist der Schnitt P" von 2P"

C\#

(//

//

o.

Die Lösung gestaltet, Fig. 14, sich dann so: Man bringe die Verbindungslinien PC und CD bezüglich mit A₂G₂ und At Gx zum Schnitt in II' und I', ziehe

dann OP //BI, IP jjl CB, \P"//JBCIT, 2P"j/II'P; schliesslich

P'P/IBC/f 1P" und P"P//CB //1P'; dann ist P der gesuchte Pol. Das gesuchte Seilpolygon ergiebt sich so: man ziehe

X-

bff

7/—-

ff

\ff

(Gz

Fig. 15.

BI//0P, III //1P; (111 durch C gehen)*,

muss

IIHIh 2P (IlIII muss durch den Punkt D gehen).

§ 9. Die Mitteldrucklinie. Die Lage des Pôles ist im allgemeinen willkürlich. Für gewisse Untersuchungen, z. B. über Stabilität von Gewölben, ist es zweckmässig, dem Pole eine besondere Lage zuzuweisen u. z. ihn in den Anfangspunkt des Kräftepolygones zu verlegen. Dann werden die einzelnen Strahlen des Kräftepolygones zum Theil Seiten, zum Theil Diagonalen des Kräftepolygones. Jeder Strahl repräsentirt dann die Resultirende der Kräfte, welche er unterspannt. Die Seiten des entsprechenden Seilpolygones sind dann theils Seiten, theils Diagonalen des Kräftepolygones parallel, ln jeder Seilpolygonseite sind aber Kräfte wirkend zu denken, deren Grösse der Strahl des Kräftepolygones giebt, zu dem die Seilpolygonseite parallel ist. Da nun jeder Strahl die Resultirende der Kräfte, welche er unterspannt, darstellt, so ist in der zu dem Strahl parallelen Seilpolygonseite, welche auf die letzte der unterspannten Kräfte folgt, die Resultirende der Kräfte wirkend zu denken, welche der zur Seilpolygonseite parallele Strahl des Kräftepolygones unterspannt. Aus diesem Grunde heisst das Seilpolygon, das für den Anfangspunkt des Kräftepolygones construirt ist, Mittelkraft- oder Mitteldrucklinie.

Wir haben früher gesehen, dass man die sämmtlichen Kräfte durch zwei ersetzen kann, welche in den äussersten Seilpolygonseiten wirken und dass deshalb die Resultirende sämmtliclier Kräfte durch den Schnittpunkt der äussersten Seilpolygonseiten hindurchgehen muss. Im vorliegenden Falle hat die erste Seilpolygonseite eine ganz willkürliche Lage und die in ihr wirkende Kraft ist Null; es ist daher jeder Punkt der letzten Seilpolygonseite ein Punkt der Resultirenden sämmtlicher Kräfte; die in der letzten Seite wirkende

§ 10. Zerlegen einer Kraft in zwei Componenten.

19

Kraft muss allein sämmtliche Kräfte ersetzen; d. h. sie ist die Re-sultirende derselben.

Für eine bestimmte Lage des Pôles erhalten wir im allgemeinen unendlich viele Seilpolygone; nur wenn ein Punkt einer Seilpolygonseite angenommen wird, ist das ganze Seilpolygon bestimmt. Fällt der Pol mit dem Anfangspunkte des Kräftepolygones zusammen, so erhalten wir immer nui ein Seilpolygon, eine Mitteldrucklinie. Es hat dies darin seinen Grund, dass mit dieser speciellen Lage des Pôles auch eine Ecke (II) des Seilpolygones bestimmt ist.

§ 10. Zerlegen einer Kraft in zwei Oomponenten. Sehr oft handelt es sich darum, eine Kraft in zwei Componenten zu zerlegen, die in bestimmten Geraden wirken. Diese Aufgabe ist nur dann lösbar, wenn die bestimmten Geraden sich in einem und demselben Punkte der gegebenen Kraft-Resultirenden schneiden. Fällt dieser Schnittpunkt in endliche Entfernung — wenn auch nicht auf die Zeichenfläche — so erhält man Grösse und Richtung der Componenten mit Hilfe des Kräftedreieckes. Dieses allein führt aber dann nicht mehr zum Ziele, wenn der Schnittpunkt der drei Kräfte in unendliche Entfernung fallt, also eine Kraft in zwei zu ihr parallele Componenten zerlegt werden soll. In diesem Falle kann man auf folgende Weise Vorgehen:

--yu:

Wir zerlegen, Fig. Iß, zunächst die Kraft 6ri_₂ in zwei beliebige Componenten, die sich auf der Zeichenfläche in S1—2 schneiden. Diese Zerlegung führen wir seitwärts mit Hilfe des Kräftedrei-eckes 0P2 durch. Zieht man 0&_₂//0P und Si^III//2P, so , kann man die gegebene Kraft durch zwei Kräfte ersetzen, welche in den beiden Geraden 0$i_2 und *

Fig. 16.

$i_₂.ZTJ wirken, deren Grösse und Richtung bezüglich durch OP und P2 bestimmt ist. (Wir construiren also zur gegebenen Kraft Ivräfte-und Seilpolygon.) Diese zwei Kräfte sollen wieder durch andere ersetzt werden, welche in den beiden Geraden A₁G₁ und A₂G2 wirken. Dazu fassen wir OP als die eine Componente der zu suchenden Kraft Gl} P2 als die eine Componente der zu suchenden Kraft G₂ auf. Da nun diese beiden Componenten die Kräfte Gl und G₂ ersetzen sollen, so müssen die beiden anderen noch zu be-

stimmenden sieli gegenseitig auf heben; also in derselben Geraden wirken, gleiche Grösse aber entgegengesetzte Richtung haben. Die eine Componente von G₁, welche in 0/Si_₂ hegt, geht durch den Schnittpunkt I von 0$i_₂ und AxGx] ebenso geht die eine Componente von G₂ durch den Punkt II. Es müssen daher auch die anderen

zu suchenden — Componenten dieser beiden Kräfte bezüglich durch die beiden Punkte I und II gehen. Da aber beide Componenten in derselben Geraden wirken sollen, so müssen beide Componenten durch die Punkte I und II gehen, also in der Verbindungslinie III wirken.

Wir kennen somit von jeder der beiden Kräfte Gx und 6ra, deren Lagen gegeben sind, eine Componente der Grösse, Richtung und Lage nach, die zweite der Richtung und Lage nach; dadurch sind die beiden Kräfte selbst bestimmt. Man hat nur entsprechend

den gegebenen Richtungen der Kräfte und den vollkommen be-dz/'JK stimmten Componenten Kräftedreiecke zu construiren. Zieht

p P'

man P1//J7J, so sind -— wie man sofort sieht — OP und PI die beiden in 01 und III wirkenden Kräfte, welche die in AlG₁ wirkende Kraft 01 ersetzen. Ebenso sind 1P und P2 die beiden in III und IIIII wirkenden

G,

SfZ

Fig. 17.

Kräfte, welche die in A₂G₂ wirkende Kraft 12 ersetzen. Von diesen Kräften heben sich die in III wirkenden auf, denn sie haben gleiche Grösse, aber entgegengesetzte Richtung. Es ersetzen daher die beiden in 01 und IIIII wirkenden Kräfte, deren Resul-tirende G

ist, für sich die in A₁G₁ und A₂G₂ wirkenden 01 und 12; umgekehrt sind die in AXG₁ und A₂G₂ tliätigen Kräfte 01 und 12 die Componenten von G

Der Vorgang, eine Kraft 6ri_₂ in zwei zu ihr parallele, in bestimmten Geraden AlG₁ und A₂G₂ wirkende Componenten zu zerlegen, ist demnach folgender: Man construire für die gegebene Kraft Kräfte- und Seilpolygon, bezüglich 0P2 und 0$i_₂ UJ; die erste Seilpolygonseite schneide AXGX in /, die zweite A₂G₂ in PT; die zu III durch den Pol P Parallele PI bestimmt auf der Kräftelinie die gesuchten Componenten 01 und 12; u. z. wirkt 01 in AxGx; 12 in A₂G₂, da die auf einer Kraft sich schneidenden Seilpolygonseiten parallel sind den Strahlen des Kräftepolygones, welche die Kraft unterspannt.

1—2

1—2 •

Nimmt man die beiden in den Geraden AXGX und A₂G₂ wirkenden Kräfte in entgegengesetzter Richtung, so halten sie der gegebenen Kraft 6ri_2 = 02 Gleichgewicht. Kräfte- und Seilpolygon, welche diesen drei Kräften entsprechend construirt sind, müssen sich daher schliessen. Wir nehmen auf die in A

wirkende

Gl—2

Kraft 0 2 die Kraft 21 (in A₂G₂), auf diese die Kraft 10 (in A₁G₁) folgend an. Das entsprechende Seilpolygon ergiebt sich so: Parallel zu OP ist die erste Seilpolygonseite 0/S'i_2| die zweite S1—2II ist parallel zu 2P; die dritte III// 1P; die vierte 10// OP; sie fällt mit der ersten zusammen. Hat man also für die gegebene Kraft Gx—2 Kräfte-und Seilpolygon construirt, so schliesst die Seite III das Seilpolygon, welches der gegebenen Kraft G1—2 und den beiden in den Geraden Ax Gx und A₂ G₂ wirkenden, der Kraft G haltenden Kräften entspricht. Aus diesem Grunde heisst die Linie III Schlusslinie des Seilpolygones.

1—2

1—2

Gleichgewicht

§ 11. Horizontaler Träger, der an den Enden frei aufliegt. Der Träger AB, Fig. 18, liegt an den Enden frei auf und ist mit den Lasten GX,G₂ . . . Gx belastet; es sind die Drücke bezüglich

Çff

tr_

<L_JL

(fz Ç3

fr

mß-----

SL

n’.'lV

•h³

Fig. 18.

die ihnen gleichen Widerstände, Auflagerreactionen, zu bestimmen, welche auf die Auflagerpunkte wirken, bezüglich dieselben ersetzen.

Gi—i

Wir denken uns die Auflagerpunkte weggenommen und sie durch die vorläufig noch unbekannten Auflagerreactionen Ra und P* ersetzt; es müssen dann Ra und Bb mit den gegebenen Kräften im Gleichgewichte sein. Da diese letzteren zu einander parallel und vertical gerichtet sind, also in keiner anderen Richtung eine Verschiebung des Trägers anstreben, so müssen auch Ra und Bb vertical gerichtet sein. Es kommt nun darauf an, der Resultirenden der Kräfte Gx bis G₄ durch zwei Kräfte Gleichgewicht zu halten, welche in den durch die Auflagerpunkte gezogenen Verti-

calen, den Pfeilerverticalen, wirken. Dazu construiren wir, den gegebenen Kräften entsprechend, das Kräfte- und Seilpolygon; 01234 und 01II... V. Durch den Schnittpunkt $1—4 der äussersten Seilpolygonseiten geht die Resultirende G

Sind nun Ä und B'

1—4.

1—4

die Schnittpunkte von 01 und IW mit den Pfeilerverticalen, so ist AB' die Schlusslinie des Seilpolygones, welches der Kraft G (also auch den Kräften Gt bis 6r₄) und den in den Pfeilerverticalen wirkenden, den Kräften 6ri_4 Gleichgewicht haltenden Kräften Bb und Ba entspricht. Eine durch den Pol P zu dieser Schlusslinie Parallele Pb bestimmt auf der Kräftelinie zwei Segmente: 4b und b 0, welche nach dem vorigen Paragraph die Auflagerreactionen Bb und Ba repräsentiren.

Durch den Schnittpunkt zweier Seilpolygonseiten geht immer die Resultirende derjenigen Kräfte, welche die Strahlen des Kräfte-polygones unterspannt, zu welchen die Seilpolygonseiten parallel gezogen sind. § 4. Hieraus folgt leicht: Durch den Schnittpunkt der von einer Querschnittsverticalen getroffenen Seilpolygonseite geht die Resultirende der auf einer Seite des Querschnittes wirkenden Kräfte, d. i. die Transversalkraft. Zu diesen Kräften gehören auch die Auflagerreactionen. Die Grösse der Transversalkraft ist gegeben durch das Segment, welches die Parallelstrahlen im Kräftepolygone zu den von der Querschnittsverticalen getroffenen Seilpolygonseiten auf der Kräftelinie abschneiden.

§ 12. Bogenträger mit drei Gelenken. Der Träger besteht aus zwei Theilen, die mit einander gelenkartig durch ein sogenanntes Scheitelgelenk (bei C) verbunden sind; jeder Theil ist mit einem

G,

o Auflager gleichfalls durch ein Gelenk — Käm-/ pfergelenk bei A und B — in fester

Verbindung. Wir setzen die beiden Kämpfergelenke

Fig. 19.

in einer Horizontalen und den Träger gegen das Scheitelgelenk symmetrisch voraus.

Der Träger sei in beliebiger Weise belastet; die Resultiren-den der zu beiden Seiten des Scheitels befindlichen Lasten seien G (links) und G₁ (rechts); es sollen die Auflagerreactionen Ba

§ 13. Verlegung einer Kraft in drei Componenten, etc.

23

und II stimmt werden.

0)

die in Geraden durch die Kämpfergelenke wirken, be-

Wir denken uns den Träger ins freie Gleichgewicht gebracht? die Auflager also durch die Auflagerreactionen Ra und Rb ersetzt. Die Grösse und Richtung derselben ist jetzt derart zu bestimmen, dass Ra und Rb im Vereine mit G und G₁ den Träger als Ganzes, sowie seine Theile im Gleichgewichte halten. Fürs Gleichgewicht des Trägers als Ganzes ist es nothwendig und hinreichend, dass die Resultirende von Ra und G und die Resultirende von Rb und Gl in derselben Geraden wirken, gleiche Grösse, aber entgegengesetzten Sinn haben. Fürs Gleichgewicht eines Trägertheils, z. B. des linken, muss die Resultirende von Ra und G durch das Scheitelgelenk gehen; zufolge der ersten Bedingung also auch die Resultirende von Rb und Gx\ man kann auch sagen: es muss die Auflagerreaction Ra und die Einwirkung des rechten Theiles auf den linken (d. i. die Resultirende von Rb und Gx) der Kraft G das Gleichgewicht halten; analoge Bemerkungen gelten für den rechten Theil. Es muss also eine Componente von G durch das Kämpfergelenk von A gehen und Grösse und Richtung von Ra haben; eine Componente von Gt mit der Grösse und Richtung von Rb muss durch das Kämpfergelenk R gehen, die anderen Componenten von G und G₁ müssen durch das Scheitelgelenk gehen und sich gegenseitig aufheben.

Zerlegt man G und Gt in Componenten, von denen die

II. Der continuirliche Träger mit constantem Querschnitte bei gleich hohen Stützen.

Fl. ACBB = m = AABK = ^ LKxl; \ m =

v, = N'Kj = Ÿ-^r-CD

Coiilinuirlicher Traf er mit constantem Querschnitte,

Continuirlicher Träger mit constantem Querschnitte.

Zerlegt man G und Gt in Componenten, von denen die ersten bezüglich durch A und B gehen, die zweiten durch das Scheitelgelenk C und sich gegenseitig aufheben, so sind — nach dem oben Gesagten — die ersten Componenten in entgegengesetzter Richtung genommen, die gesuchten Auflagerreactionen. Wie man sieht, kommt die Aufgabe darauf hinaus, für die beiden gegebenen Kräfte ein Seilpolygon durch die drei Punkte A, B und C zu construiren. In Fig. 19 ist dies nach § 8 geschehen. Es stellen 2 P und PO die gesuchten Auflagerreactionen dar.

§ 13. Zerlegung einer Kraft in drei Componenten, die mit ihr in derselben Ebene liegen. Die Lösung dieser Aufgabe ist nur dann möglich und bestimmt, wenn die Geraden, in welchen die drei Componenten wirken sollen, sich in drei verschiedenen Punkten schneiden, von denen keiner in der gegebenen Kraft liegt. Dann aber lässt die Aufgabe eine äusserst einfache Lösung zu, wenn der Schnitt der gegebenen Kraft mit einer der Geraden, sowie der Schnitt der beiden anderen Geraden auf die Zeichenfläche fällt.

\y

Es sei, Fig. 20, die Kraft Cri—3 in drei Componenten zu zerlegen, welche in den drei Geraden Gx, G₂ und G₃ wirken. Der

0 Schnittpunkt der Geraden Gx und G2 sei 77; der Schnittpunkt der Kraft Gi _3 und der Geraden G₃ sei 777. Wir zerlegen zunächst die Kraft Gi_3 - in zwei Componenten, von welchen die eine in die Gerade G₃, die andere in die Gerade IIIII fällt. Ist 03 die

-h-

'üîgI \

Fig. 20.

gegebene Kraft G1—3 und 32//G₃, 02 // IIIII, so sind 02 und 23 die in den Geraden G₃ und IIIII wirkenden Componenten von Gi—3 der Grösse und Richtung nach. Zerlegt man 02 weiter in zwei Componenten 01 und 12, die zu Gx und G₂ parallel sind, so hat man in Öl, 12 und 23 die gesuchten Componenten gefunden.

Nach dem in § 9 Gesagten ist sofort klar, dass G₁77777Gi_3 die Mittelkraftlinie für die in den Geraden Gx, G₂, G₃ wirkenden Kräfte 01, 12 und 23 ist. Wie man mit Hilfe eines allgemeinen Seilpolygones diese Zerlegung vornehmen kann, überlassen wir dem Leser zur Uebung.

§ 14. Das Seilpolygon als Momentencurve. Mit Hilfe des Seilpolygones kann man leicht das. Moment einer Kraft um einen gegebenen Punkt, d. i. das Product aus der Intensität der Kraft in die Entfernung des Punktes von der Kraft angeben. Es ist nämlich dieses Moment gleich dem Producte aus der Poldistanz in das Segment, welches die auf der Kraft sich schneidenden Seilpolygonseiten auf der durch den Momentenpunkt zur Kraftrichtung parallelen Geraden abschneiden.

Ist, Fig. 21, G die Kraft, e die Entfernung des Punktes C von , der Kraft, so ist eG das Moment. Wir " ¹¹ zeichnen nun Kräfte- und Seilpolygon OGP ' ^ und 0III] das Segment, das die Seilpolygonseiten 07 und 777 auf der durch den Momentenpunkt C zur Kraftrichtung Parallelen abschneiden, sei mn — s: dann ist Almn 00 A PO G ; daher

m : e = ÖG : B — G : B]

o\

e-

(r

's

71

Fig. 21.

also

eG = sB, w. z. b. w.

Ob man dabei mn auf dem Kräftemassstab, B auf dem Längenmass-

stab misst, oder umgekehrt, ist gleichgiltig. Denn ist der Längenmassstab loentimeter _ ^meter . ₍]er KräftemaSSStab 1 cent _ ^tonnen .

Poldistanz Jgcentimeter un(j das Segment mn gleich sccntimeter, so ist, wenn die Poldistanz am Längen-, das Segment mn am Ivräftemassstabe gemessen wird, das Moment gleich:

rtonnen

AJ3 X [is = Aji2?sQMete

wird aber die Poldistanz am Kräfte-, das Segment s am Längen-massstabe gemessen, so ist das Moment gleich:

X As = A^#saMetertonnen,

wie früher.

Ist nun G die Resultirende beliebig vieler aufeinander folgender Kräfte eines Kräftesystemes, sind 0 2 und III die entsprechenden äussersten Seilpolygonseiten, B die Entfernung des Pôles im Kräftepolygone von derjenigen Diagonale desselben, welche die betreffenden Kräfte unterspannt, und ist mn parallel zu dieser Resultirenden, so ist das Moment derselben um C durch Bs bestimmt.

Von besonderer Wichtigkeit ist die oben bewiesene Eigenschaft des Seilpolygones für parallele Kräfte; das Kräftepolygon wird dann eine Gerade, der Pol hat von allen Kräften dieselbe Entfernung. Dadurch wird es möglich, die Momente einzelner Kräfte oder beliebig vieler aufeinander folgender eifles Kräftesystems auf die einfachste Weise mit einander zu vergleichen.

Es sei AB ein horizontaler, an den Enden frei aufliegender Träger, mit G₁...Gà belastet; ÄI...B' das Seilpolygon, B'Ä die Schlusslinie. Die Resultirende V der auf einer Seite eines beliebigen Querschnittes C wirkenden Kräfte geht durch den Schnittpunkt S der von der Quersclmittsverticalen getroffenen Seilpolygonseiten.

0's

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y___

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^‘1 — ■>

//'

///

Fig. 22.

Die Grösse dieser Resultirenden ist bestimmt durch das Segment, das die Strahlen des Kräftepolygones auf der Kräftelinie abschneiden, zu welchen die von der Querschnittsverticalen getroffenen Seilpolygonseiten parallel gezogen sind; im vorliegenden Falle bl. Ist v der Abstand der Resultirenden von C, so ist Vv das Moment derselben um C. Dieses Moment erhält man nun auch nach dem obigen Satze durch das Product mn X B, wie sich auch sofort wieder aus der Aelinlichkeit der Dreiecke Smn und Pb 1 ergiebt. Für irgend einen anderen Querschnitt C' ist das Moment mn X B. Es repräsentiren also die Ordinaten des Seilpolygones, von der Schlusslinie in verticaler Richtung gemessen, die Momente an allen Querschnitten. Man erhält so auf die einfachste Weise ein Bild vom Verlaufe der Momente.

Werden die einzelnen Kräfte unendlich klein, ihre Anzahl aber unendlich gross, und rücken dabei die Kräfte einander unendlich nahe, so werden die einzelnen Seilpolygonseiten unendlich kurz, wir erhalten eine stetig vertheilte Belastung; das Seilpolygon geht in eine stetig gekrümmte Linie, in die Seilcurve über; an die Stelle einer Seilpolygonseite tritt die Tangente an die Seilcurve.

Sei MN die Belastungscurve, die Ordinate derselben giebt die Last pro Längeneinheit. Die Seilcurve zu zeichnen, zerlegen wir die Belastungsfläche AMNB durch passend gewählte Ordinaten (so dass man die Schwerpunkte der einzelnen Theile sowie ihre Grösse

.i

\ß.

/\B'

Sr

Tg

Fig. 23.

leicht angeben kann) in mehrere Theile und construiren für die so erhaltenen Einzelkräfte das Seilpolygon; die Seilpolygonseiten sind Tangenten an die Seilcurve, die Berührungspunkte liegen in den Trennungsordinaten der einzelnen Flächen; hiernach lässt sich die Seilcurve selbst so genau man nur immer will zeichnen.

Für eine totale gleichmässige Belastung ist die Belastungscurve eine zur Abscissenaxe parallele Gerade. Zerlegt man die Belastungsfläche durch eine Ordinate in zwei Theile AC und CB, so liegt der Schwerpunkt eines jeden in seiner Mitte; entspricht den beiden Einzelkräften AC und CB das Seilpolygon A'SS'B', so sind die Seiten A'S, SS' und S'B' Tangenten an die Seilcurve, Ä, C und

B' die Berührungspunkte. Die Verticale durch den Sclmjitpunkt Si der Tangenten ÂSx und S B halbirt die BMinii«llBlillHlH^

Sehne Ä B', da der Schwerpunkt der gan- A\

Tc?

Belastung in der Mitte von A B liegt.

zen

y Si

Fig. 24.

Denkt man sich die zerlegende Ordinate bewegt, so bewegen sich auch die Schwerpunkte der einzelnen Theile u. z. so, dass die Punkte S und S' auf den Tangenten Äund SXB' projectivisch ähnliche Punktreihen beschreiben; die Verbindungslinie zweier entsprechender Punkte ist immer wieder Tangente an die Seilcurve; in Verbindung mit dem oben Gesagten folgt hieraus:

Bei gleich massiger Belastung ist die Seilcurve eine Parabel mit verticaler Axe. Man kann somit für alle vorkommenden Belastungen das Seilpolygon zeichnen.

Der continiiirliche Träger¹).

I. Die elastische Linie.

§ 15. Einleitung. Erklärungen und Voraussetzungen. Ein

gerader Stab, der an den Enden gestützt oder eingeklemmt, überdies an mittleren Stellen gestützt ist, heisst ein continuirliclier Träger. Ein Theil des Trägers zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Stützen heisst ein Feld oder eine Oeffnung; die horizontale Entfernung zweier unmittelbar aufeinander folgenden Stützen bestimmt die Länge des Feldes. Die aufeinander folgenden Stützen bezeichnen wir mit: 0,1,2 . . ., A, B, C. . ., n — 1, n\ die Feldlängen mit llf l₂ . . . ln.

Wir denken uns einen solchen Träger nur von verticalen Kräften, die alle in derselben verticalen Ebene — der Kraftebene — wirken, in Angriff genommen; zu diesen verticalen Kräften gehören die Belastungen, das Eigengewicht — das in jedem Querschnitte im Schwerpunkte desselben angreifend zu denken ist — inbegriffen, und die Stützenreactionen. Die Axe des Trägers sowie sämmtliche Unterstützungsstellen werden also in der Kraftebene liegend vorausgesetzt. Den Träger denken wir uns mit den Stützpunkten derart verbunden, dass er an denselben reibungslos gleiten und sich drehen, nicht aber von den Stützpunkten abheben könne. Wird durch irgend welche Belastung •ein solches Abheben von einer Stütze angestrebt, so kommt dies dadurch zum Ausdrucke, dass der betreffende Stützendruck negativ ausfällt; die Reaction der Stütze hat dann nicht die Richtung von der Stütze zum Träger, sondern die umgekehrte, vom Träger zur Stütze.

Kommt eine ungleiche Höhenlage der Stützen in Frage, so ist diese nur insofern zulässig, als die Grundhypothese gerader Stäbe, nämlich dx — ds erhalten bleibt. Die Höhendifferenz zweier aufeinander folgender Stützpunkte ist also verhältnissmässig sehr klein, abhängig von ihrer Entfernung.

1) Die Theorie der elastischen Linie wird als bekannt vorausgesetzt.

Wir nehmen ferner an, dass eine Hauptaxe des Querschnittes — eine Axe, für welche das Trägheitsmoment des Querschnittes ein Maximum oder Minimum wird, z. B. eine Symmetrie-Axe — in der Kraftebene liege; es ist dies die Bedingung dafür, dass auch nach der Biegung des Stabes die Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querschnitte — die elastische Linie — in der Kraftebene bleibe.

Im Folgenden lösen wir nun die Aufgaben: einerseits bei gegebener Belastung für irgend einen Querschnitt Transversalkraft und Moment zu bestimmen, sowie diejenigen Querschnitte zu finden, für welche Transversalkraft und Moment am grössten werden; andererseits ist diejenige Belastung aufzusuchen, welche für einen gegebenen Querschnitt die grösste Transversalkraft, beziehungsweise das grösste Moment zur Folge hat.

Wir nehmen dabei die Transversalkraft V — d. i. die Re-sultirende der auf der einen Seite des Querschnittes wirkenden äusseren Kräfte — positiv (negativ), wenn sie als Resultirende der links vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte nach aufwärts (abwärts) gerichtet ist. Da wegen des Gleichgewichtes aller äusseren Kräfte am ganzen Träger die auf beiden Seiten eines Querschnittes ivirkenden äusseren Kräfte im Gleichgewichte sein müssen, so wird die Resultirende der rechts vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte nach abwärts (aufwärts) gerichtet sein, je nachdem die Resultirende der links vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte nach aufwärts (abwärts) gerichtet ist. Die Transversalkraft als Resultirende der rechts vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte ist daher positiv (negativ) zu nehmen, wenn diese Resultirende nach abwärts (aufwärts) gerichtet ist.

Das Biegungsmoment M, kurz das Moment, wird positiv genommen, wenn die Resultirende der links vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte im Sinne der Uhrzeigerbewegung, oder wenn die Resultirende der rechts vom Querschnitte wirkenden äusseren Kräfte dem Sinne der Uhrzeigerbewegung entgegen zu drehen, den Träger also nach oben concav zu biegen strebt.

Kräfte

Bei gegebener Belastung die Transversalkraft und das Moment für einen beliebigen Querschnitt zu finden, denken wir uns den Träger ins freie Gleichgewicht gebracht; statt der Stützen also Stützenreactionen — thätig, welche die Wirkung der Stützen ersetzen. Wären diese Kräfte — unter welchen auch parallele, gleich grosse, aber entgegengesetzt gerichtete Vorkommen können — bekannt, so Hesse sich ihnen und der gegebenen Belas-

tung entsprechend das Seilpolygon construiren und nach früher bewiesenen Eigenschaften desselben die Aufgabe lösen.

Von vorne herein sind jedoch nur die Lage der Stützen und die Belastungsverhältnisse des Trägers gegeben; das Seilpolygon für die Belastung des Trägers kann demnach construirt werden. Die Stützenreactionen sind allgemein durch die Bedingung bestimmt7 dass sie im Vereine mit der Belastung den Träger im freien Gleichgewichte halten müssen. Es ist klar, dass einer bestimmten Belastung des Trägers unzweideutig bestimmte Stützenreactionen entsprechen; diese aber lassen sich beim continuirlichen Träger nicht bloss mit Hilfe statischer Gesetze finden, da die Aufgabe: eine Kraft in mehr als zwei zu ihr parallele Kräfte zu zerlegen, nicht nur eine Lösung zulässt; zur Ermittelung der Stützenreactionen kommen jetzt die Elasticitätsverhältnisse in Betracht. Es sind nun die Beziehungen zwischen den Elasticitätsverhältnissen und dem Seilpolygone für die Belastung des Trägers aufzusuchen, welche nothwendig, aber auch hinreichend sind, die Stützenreactionen zu finden und damit die Aufgabe zu lösen.

In Folge der Belastung und seiner Continuität wird sich der Träger im Allgemeinen an jeder Last nach oben concav, an jeder Stütze nach oben convex biegen; es treten also im Allgemeinen an den Stützen negative Momente auf. Wir ziehen nun den Gleichgewichtszustand eines beliebigen Feldes, das in nebenskizzirter Weise belastet sein mag, in Betracht¹); dazu denken wir uns den Träger unmittelbar links von der Stütze A und rechts von der Stütze B geschnitten. Der Belastung des Trägers müssen dann die beiden Stützenreactionen Ba und Bb und die Momente Ma und Mb, welche an den Schnittstellen wirken, Gleichgewicht halten; die beiden Momente werden im negativen Sinne drehend angenommen, das Moment Ma dem Sinne der Uhrzeigerbewegung entgegen, Mb im Sinne der Uhrzeigerbewegung; wir setzen diese beiden Momente bekannt voraus, gegeben durch die beiden Kräftepaare -j- G und + G', von welchen die Kräfte — G und — G' in den Vertical en durch die Stützpunkte A und B wirken sollen.

Das Seilpolygon für die Kräfte -f- G, — G . .. Gx .. . GA, — G' und -f- G', welchen die Stützenreactionen Ba und Bb Gleichgewicht halten müssen, lässt sich construiren; es ist OaAI. . . IVBßy ; die Stützenreactionen Ba und Bb ergeben sich nun auf bekannte Weise: verlängert man die äussersten Seilpolygonseiten Oe: und ßy bis zu ihren Schnittpunkten Ä und B' mit den Pfeilerverticalen, und zieht durch den Pol P die Gerade Ps // ÄB', so ist 4s = Bb und sÖ

= Ba •

Bei derselben Belastung ist für den an den Enden frei aufliegenden Träger AIII... B das Seilpolygon, AB (in der Figur

°Z-

5c-

—95

o/

95~

rr

ns*

Wr>

/>

^ 1

-l-

/:

v’

Ba' X*

Fig. 25.

nicht ausgezogen) die Schlusslinie; das Seilpolygon für ein Feld des continuirlichen Trägers unterscheidet sich daher von dem des entsprechenden einfachen Trägers nur durch die Lage der Schlusslinie. Hat man das Seilpolygon für die Belastung des Feldes gezeichnet und sind die Längen AA' und BB' bekannt, so ist damit schon das Seilpolygon für das Feld des continuirlichen Trägers bestimmt, Ra und Bb gefunden und die obige Aufgabe gelöst anzusehen.

Diese Längen AÄ und BB' sind aber nichts anderes, als die auf die Poldistanz als Momentenbasis reducirten Momente Ma und Mb, die oben als bekannt vorausgesetzt wurden; es kommt somit Alles darauf an, zunächst diese sogenannten Normalmomente kennen zu lernen. Sie stehen, wie die Näherungsgleichung der elastischen d²v M

Linie    erkennen lässt, in innigem Zusammenhänge mit

der Krümmung der elastischen Linie an den betreffenden Stellen; je grösser die Momente, desto grösser die Krümmung, desto kleiner die Krümmungshalbmesser. In welcher Weise die obige Gleichung zur Construction der elastischen Linie und diese wieder zur Bestimmung der Normalmomente verwerthet werden kann, hat Mohr¹) gezeigt.

§ 16. Construction der elastischen Linie. Es sei AB ein Stück eines Seiles, dessen veränderliche Belastung pro Längeneinheit der Horizontalprojection gleich q ist; A sei der tiefste Punkt, B mit den Coordinaten x, y ein beliebiger Punkt des Seiles. An den Schnittstellen hat man in Richtung der Tangenten Kräfte H und T anzubringen, um das Gleichgewicht, das vor dem Herausschneiden von AB aus dem ganzen Seile bestand, zu erhalten. Diese beiden Kräfte H und T müssen mit der

S/d-

Belastung des Seilstückes AB, d. i. mit f qdx,

wenn das Integral sich auf die Horizontalpro-T jection von AB bezieht, i sein :

3?ig. 26.

im Gleichgewichte die drei Kräfte H, T und f qdx müssen sich daher in einem Punkte S schneiden. Zerlegt man T in die Componenten H' (horizontal) und V (vertical), so hat man für die an einem Punkte angreifenden Kräfte die Gleichgewichtsbedingungen:

H= H' und V = f qdx.

Es ist also die Horizontal-Componente der Seilspannung constant. Da aber T die Richtung der Tangente an den Punkt B der Seilcurve hat, so ist

dy

V V f qdx ~dx ~ IT ⁼ dl ~ ~AT~ ’

woraus als allgemeine Differentialgleichung der Seilcurve

q

dx²    H

sich ergiebt. Vergleicht man diese Gleichung mit der für die elastische Linie:

d*y __ M dx² ~~ EJ}

beachtet dabei, dass H und E constant, q, M und im Allgemeinen auch J veränderlich sind, so folgt, dass die elastische Linie eine Seilcurve ist, deren constanter Horizontalzug durch E, deren veränderliche Vertiealbelastung pro Längeneinheit

der Horizontalprojection durch ~ dargestellt wird²).

Ist in einem gegebenen Falle J constant, so kann man auch sagen: die elastische Linie ist eine Seilcurve, deren constanter Horizontalzug durch EJ, deren veränderliche Last pro Längeneinheit der Horizontalprojection durch M dargestellt wird; also eine Seil-curve construirt mit der Poldistanz EJ, wenn man die Momenten-fläche als Belastungsfläche nimmt. Die Lage des Pôles in der Entfernung EJ von der Kräftelinie ist dadurch bestimmt, dass die elastische Linie durch gegebene Punkte hindurchgehen muss.

Die elastische Linie zu construiren, handelt es sich um die

Massstäbe für

~J

und E, bezüglich für M und EJ. Wir nehmen

zunächst J constant an; dann ist die Seilcurve für die Momenten-fläclie als Belastungsfläche nach § 14 zu construiren. Ist die Längeneinheit das Meter, die Krafteinheit die Tonne, so haben die Elemente der Belastungsfläche den Namen Quadratmetertonnen. Mit Beziehung auf die eben angegebenen Einheiten sind E Tonnen pro Quadratmeter, J Biquadratmeter oder Quadratmeterquadratmeter; EJ daher auch Quadratmetertonnen. M und EJ sind daher an demselben Massstahe abzugreifen; dieser kann entsprechend angenommen und die elastische Linie gezeichnet werden.

Die Ordinaten der elastischen Linie sind am Längenmassstabe abzugreifen ; in der Regel sind die EJ (Poldistanz) gegen die M (Kräfte) so gross, dass die Ordinaten der elastischen Linie unbrauchbar klein

sich ergehen. Nimmt man die Poldistanz nicht EJ, sondern ~ EJ,

so werden die Ordinaten der elastischen Linie im seihen Verhältnisse grösser, also wmal so gross; dies folgt aus den bekannten Eigenschaften des Seilpolygones (§ 14), wie aus der Gleichung:

— nEJ'

d²y _ M dx2 -EJ

Man erhält ein verzerrtes Bild der elastischen Linie, in welchem der Massstab für die Ordinaten wmal so gross ist, wie der Massstab für die Abscissen; eine Ordinate am Massstahe der Abscissen gemessen, ergiebt sich wmal so gross, als an dem ihr entsprechenden Massstahe. Wählt man das Verhältniss der Massstäbe für EJ und M gleich dem Verhältnisse, in welchem die Abscissen der Zeichnung zu den wirklichen Längen stehen, so erhält man die Ordinaten der elastischen Linie in natürlicher Grösse³). Ist z. B. der Massstab für die Abscissen lcentim- = lm? also 1 : 100 gewählt, so ist der Massstab für die Kräfte (M) 100 mal so gross zu nehmen, wie für die Poldistanz (Horizontalzug EJ); also wenn für die Kräfte lmm = 100 Quadratmetertonnen genommen wird, so ist für die Pol-= 10000 Quadratmetertonnen. Die Ordinaten der elastischen Linie erhält man daher lOOmal so gross, als dem angenommenen Längenmassstabe entspricht, also in natürlicher Grösse.

distanz (EJ) 1

mm

graphisch darstellen und mit dem constanten

Horizontalzuge (Poldistanz) E die elastische Linie construiren. Ein bequemeres Verfahren werden wir später kennen lernen.

Bei veränderlichem J sind E und y von derselben Dimension; beide bedeuten Kräfte pro Flächeneinheit. Man kann nach Wahl des Massstabes M

§ 17. Bestimmung der Durchbiegung von belasteten Trägern.

Die im Allgemeinen angegebene Construction der elastischen Linie wird man nur dann anwenden, wenn sie schneller als die Rechnung zum Ziele führt. In den meisten Fällen handelt es sich nur um die Kenntniss der grössten Einsenkung. Diese aber erhält man immer dann bequemer durch Rechnung, wenn man den Ort derselben leicht angeben kann. Die elastische Linie ist nichts Anderes, als die Momentencurve für eine gegebene Belastungsfläche; der Ort der grössten Einsenkung fällt also mit dem Orte des grössten Momentes zusammen; dieses wieder ist bestimmt durch den Vertikalschnitt, welcher die Belastungsfläche in zwei den Auflagerdrücken gleiche Tlieile zerlegt; an dem Orte des grössten Momentes wird die Tangente an die Seilcurve zur Schlusslinie parallel. Zieht man den Gleichgewichtszustand des auf der einen Seite dieses Vertikalschnittes liegenden Theiles der elastischen Linie — als Seilcurve — in Betracht, und stellt für diesen Theil die Bedingung fürs Gleichgewicht gegen Drehung um den Stützpunkt auf, so hat man eine Gleichung, in welcher nur die gesuchte grösste Einsenkung als Unbekannte auftritt und hieraus leicht gefunden werden kann¹). Wir wollen das Verfahren an einigen Beispielen zeigen.

Durchbiegung eines an den Enden frei aufliegenden Trägers mit constantem Querschnitte, der seiner ganzen Länge nach mit q pro Längeneinheit belastet ist. Wir denken uns die elastische Linie mit dem Horizontalzuge EJ construirt; in Fig. 27 ist die Hälfte gezeichnet; die Belastungsfläche ist eine Parabelfläche, deren

Ordinate in der Trägermitte gleich ygZ², deren Grösse gleich

y qXl X y l ⁼⁼"Ï2~    der Symmetrie der Anordnung

1) Mohr a. a. O. Seite 2G.

werden di£ beiden Auflagerdrücke einander gleich; die grösste Einsenkung ergiebt sich in der Mitte des Trägers; es kommt das Gleichgewicht des Seilstückes ÄH in Betracht. Auf dieses Seilstück wirken drei Kräfte: in Ä die Seilspannung T, in H der Horizontalzug EJ und auf ^ die Länge ÄH stetig vertheilt die halbe Momenten-fläche, deren Schwerpunkt

von Ä um —— l absteht.

16

Die Bedingung fürs Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt Ä ist:

n—

xÄqls

s<rl%

e

J.

Fig. 27.

±gPx-Hr I-CXEJ-0,

woraus

5 ql* 3M EJ

folgt.

Durchbiegung eines an den Enden frei aufliegenden Trägers mit constantem Querschnitte, der im Abstande a von der linken Stütze mit einer Einzellast Gr belastet ist. Hier ist zunächst der Ort der grössten Einsenkung aufzusuchen. Zu dem Zwecke bestimmen wir die Auf-

lagerdrücke, welche der einfachen Momen-tenfläche als Belastungsfläche entspre- A* chen. Die einfache Momentenfläche ist in diesem Falle ein Drei-eck; sie sei durch ABC (Fig. 28) dargestellt; die Ordinate an der Stelle der Last sei b, also BC = b. Wir zerlegen das Dreieck ABC in die beiden Dreiecke ABC — Ai und BBC— A₂, deren

Schwerpunkte bezüglich um

- uh-A

-JTÄ-

— a und

O

E'

r"

Fig. 28.

ZA

■<-

-p —>

//

y ß von CB abstehen, und

CO

CO '

denken uns diese in Rechtecke von der Basis b verwandelt; die Höhen derselben sind ~ a und' ~ ß. Mit diesen auf die Basis b

reducirten Dreiecksflächen construiren wir das Kräftepolygon 012 und das Seilpolygon A'IIIJBdie Poldistanz ist EJ; die Lage des Pôles P so gewählt, dass die Schlusslinie A B' horizontal wird. Zieht man Ps // ÄB', so sind die beiden Auflagerdrücke gegeben durch Ba — sOxb — hxb (wenn sO = h) und Bb = 2sxb. Man scliliesst hieraus sofort, dass die grösste Einsenkung immer zwischen der Last und der ihr ferneren Stütze auftritt.

Der Auflagerdruck Ba ist durch das Rechteck bh oder durch ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten b und 2Ji z. B. AHF gegeben. Man hat, um den Ort der grössten Einsenkung zu finden, vom A ABC durch eine Vertikale ein Dreieck gleich AHF abzuschneiden. Beschreibt man über AB als Durchmesser einen Halbkreis, der die Gerade HF in J schneidet, macht AE = AJ, EE' A AE, so ist

—    wie man leicht findet — AAEE' — A AHF, also in E die grösste

2 Z — ££

Einsenkung. Wie gleichfalls leicht zu beweisen, ist 2h —

—    somit AE — Y2h • a =    • « ;

EE' =

Zur Bestimmung der grössten Einsenkung e hat man nun die Gleichung:

EJxe - AAEE'x -f- AE = 0

o

EJxe —

<N US

= 0,

woraus

C 9.E/

i |/(» + ßr «

oder, mit Rücksicht auf die Bedeutung und den Werth von b:

aß G

9 EJl

j/(¹ + ß)³ «

Liegt die Last in der Mitte, so a — ß — und

Gl³

C ~~ 48 EJ '

Durchbiegung eines an den Enden frei aufliegenden Trägers mit constantem Querschnitte, der mit zwei Lasten CL und 6r₂ in

den Entfernungen a₁ und a₂ von der linken Stütze belastet ist.

Die Belastgngsfläche setzt sich aus den Dreiecken AFC und HBB und dem Trapeze F HB G zusammen. Die entsprechenden Auflagerdrücke zu bestimmen, zerlegen wir das Trapez in die beiden Dreiecke CFB = A₂ und BFH = A₃, verwandeln alle Dreiecke in Rechtecke von derselben Basis (in der Figur 29 gleich der Höhe FH des Trapezes) und construiren das Ivräftepolygon 01234; dadurch ist der Massstab für die Poldistanz EJ schon bestimmt. Wir construiren nun das Seilpolygon ÂI...B': die durch den Pol P

\k

—S?

__u_

69 i

+-

b)/

Fig. 29.

zur Schlusslinie Ä B' parallel gezogene Gerade Ps bestimmt auf der Kräftelinie die Segmente: 4s = Bb und sO — Ba. Fällt der Punkt s in eine der Strecken 01 oder 34, so ist der Ort der grössten Einsenkung nach der vorigen Aufgabe zu bestimmen. Liegt aber s auf der Strecke 13, so ergiebt sich die grösste Einsenkung zwischen den beiden Lasten; es handelt sich darum, das Trapez F HB G durch eine vertikale Ordinate in zwei Theile zu zerlegen so, dass der an FG liegende zum andern sich verhält, wie ls : s3, allgemein wie m : n. Ist FC = a, HB = b, FH —h, y die Ordinate, x der Abstand derselben von F'C, so dienen zur Bestimmung von y und x die Gleichungen:

a? — y² —

(<a² — b²) ; x —

m -j- n

Schreibt man die erste Gleichung in der Form:

h.

yv-/r

so hat man folgende Construction: Der über CF als Durchmesser beschriebene Halbkreis K₁ wird von F aus mit dem Radius b in y

Macht man endlich Fv = y und zieht durch v eine Horizontale, welche die Gerade CF in E' schneidet, so ist vE' — x = FE. Die grösste Einsenkung selbst ergiebt sich nun auch leicht. Zerlegt man das Trapez FEE'C (im Kräftepolygone durch ls bestimmt) in die zwei Dreiecke CFE' und E'FE und construirt für die drei Kräfte A1? CFE' und E' FE das Seilpolygon, wobei man die erste Seite AI des oben construirten Seilpolygones beibehält, so ist der Abstand der auf E' FE folgenden Seilpolygonseite von der zu ihr parallelen Schlusslinie ÄE' das gesuchte e.

geschnitten; dann ist Cy — ya² — &²; auf CF trägt man zwei Strecken Cd und Cs auf, so dass Cd : Cs — m : (m -f- n), zieht

dTc//sy, so ist CJc — —n V— &²- Der über Cy als Durchmesser

beschriebene Halbkreis wird von der Senkrechten 1c X _L Cy in X geschnitten; daher ist CX =]/C1cx Cy = ]/a² — y². Schneidet man den Halbkreis Kx von C aus mit dem Radius CX in ft, so ist F(i =?= Y a² — CX² = y.

Den Ausdruck für e aufzustellen bestimme man auf bekannte

Weise Ra; aus der Grösse von Ea kann man leicht erkennen, ob die grösste Einsenkung zwischen beiden Lasten, oder zwischen einer Last und der ihr nächstliegenden Stütze zu suchen ist. Ist ersteres der Fall, so dienen zur Bestimmung von y und x die Gleichungen:

• ll.

Die Bedingung fürs Gleichgewicht des Stückes der elastischen Linie zwischen der linken Stütze und dem tiefsten Punkte derselben ist nun:

EJe

—- AAFC-~ct — A FE' C (a + ^ x) — A FE' E (« + | x) = 0,

aus welcher e gerechnet werden kann.

Wie man für einen an den Enden frei aufliegenden Balken mit constantem Querschnitte, der ein System von Einzellasten trägt, die grösste Einsenkung finden kann, ist nach dem oben Gesagten ohne weitere Bemerkung klar.

Construction der elastischen Linie für ein Feld eines con-tinuirlichen Trägers mit veränderlichem Querschnitte. Wir setzen den Querschnitt sprungweise veränderlich voraus. Nach dem im

man

M

Allgemeinen Gesagten ist -j- als Belastungsfläche anzusehen;

kann diese der Veränderlichkeit des Querschnittes und des Momentes entsprechend construiren, die so erhaltene Fläche durch vertikale

Ordinaten in Lamellen zerlegen und mit dem constanten Horinzontal-zuge E das Seilpolygon (die elastische Linie) zeichnen.

Die einzelnen Seilpolygonseiten; die sich auf den Schwerpunkts-Vertikalen der Lamellen schneiden, sind dabei Tangenten an die elastische Linie; die Berührungspunkte liegen in den Grenz-Ordinaten der einzelnen Lamellen. In dieser Weise kann man auch vorgelien, wenn für einen Träger mit stetig veränderlichem Querschnitte die elastische Linie zu zeichnen ist.

Zerlegt man die Momentenfläche M durch dieselben Ordinaten M

von

wie die Belastungsfläche -j- in Lamellen, innęrhalb welcher J constant ist, so haben die einzelnen Lamellen der beiden Flächen dieselben Schwerpunkts vertikalen; denn alle Ordinaten einer Lamelle M

-j- werden im selben Verhältnisse verändert. Es sei nun für

eine beliebige Lamelle (Fig. 30) ab — M-} P der Pol des Kräfte-

polygones; die auf der Schwerpunktsvertikalen der Lamelle sich schneidenden Seilpolygonseiten sind    a

zu

—EJ

P'

aP und bP parallel; die Rieh- f ^ tung von bP erhält man offenbar ÀL \

%ß (r

—E

ir

Fig. 30.

aber auch durch b'P', wenn man von a aus ab' — M aufträgt, auf der Geraden aP den Punkt P' in der Entfernung EJ von ab nimmt. Hält man sich gegen-

M

wärtig, dass bei passender Wahl der Lamellen für M und -j- die

Schwerpunktsvertikalen derselben zusammenfallen, dass durch das Kräftepolygon nur die Richtungen der Seilpolygonseiten festgelegt sind, mit Annahme der ersten Seite das ganze Seilpolygon bestimmt ist, so ergiebt sich zur Construction der elastischen Linie das aus folgendem Beispiele ersichtliche Verfahren⁴).

Die Curve AE CEE Fig. 31 giebt die Momente im Massstabe Imm _ go Metertonnen; die Längen sind im Verhältniss 1:1000; die stufenförmige Linie J stellt der Verlauf der Trägheitsmomente dar. Wir zerlegen die Momentenfläche in Lamellen, so dass innerhalb jeder das Trägheitsmoment constant ist und das Zeichen des Momentes sich nicht ändert. Wir bestimmen nun näherupgsweise die Schwerpunktsvertikalen 1... und die Grössen der einzelnen Lamellen und tragen von einem beliebigen Punkte 0 aus die Grössen der-= 100 Quadratmetertonnen auf; positive Momentenflächen nach abwärts, negative nach aufwärts. Den Pol P₁

selben im Massstabe 1

== 100 000 Quadratmetertonnen; die

nehmen wir in der Entfernung EJ₁ beliebig; den Massstab für die Poldistanzen wählen wir 1

ersten zwei Seilpolygonseiten sind nun parallel den Strahlen 0Px und 11\ zu ziehen; die zweite Seilpolygonseite trifft die Schwerpunktsvertikale 2 in II] die Richtung der nächsten Seilpolygonseite zu

t*.

-K

■»!-

V,

HP

/*■

oo

JM

EJs

e .rri

EJ,

>EJ₈

Fig. 31.

bestimmen, wählen wir auf der Geraden 1P₁ einen Pol P₂ in der Entfernung EJ₂ von der Kraftlinie und ziehen IIIII// 2 P₂ ; auf 2P₂ nehmen wir P₃ in der Entfernung EJ₃ ... u. s. f. Die Grenz-ordinaten der Lamellen treffen das Seilpolygon in Punkten, deren Abstände von der .Schlusslinie A B' in vertikaler Richtung gemessen, die Durchbiegung des Balkens an den betreffenden Stellen in natürlicher Grösse geben.

Bei der willkürlich gewählten Lage des Pôles wird die Schlusslinie Ä JB' nur zufällig die Richtung der Verbindungslinie der beiden

Stützen haben. Soll dies der Fall sein, will man also die elastische Linie wirklich zeichnen, nicht blos deren Ordinaten an verschiedenen Stellen richtig erhalten, so hat man nur die Ecken III... entsprechend zu übertragen. Man erhält dann ein Polygon, dessen Seiten Tangenten an die elastische Linie sind ; die Berührungspunkte liegen in den Grenzordinaten der Lamellen.

Hieraus ist ersichtlich, wie man in allen Fällen bei gegebener Momentenfläche und gegebenem Querschnitte die elastische Linie zeichnen kann. Umgekehrt, kennt man die elastische Linie, so kann man — zufolge der bekannten Eigenschaften des Seilpolygones — sofort die Grösse gewisser Momentenflächen angeben. Soll die elastische Linie, wie sie irgend einer Belastung des continuirlichen Trägers entspricht, zur Bestimmung zugehöriger Momentenflächen verwendet werden, so ist sie unabhängig von diesen zu eonstruiren nach Bedingungen, die wir nun aufsuchen wollen. Wir setzen dabei zunächst constanten Querschnitt und gleich hohe Stützen voraus.

¹

Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenconstructionen vom Professor Mohr am Polyteclinicum zu Stuttgart. Zeitschrift des Architecten- und Ingenieur-Vereines zu Hannover. Band XIV. 1868. Seite 19—51.

²

Mohr a. a. 0. Seite 21.

³

Mohr a. a. 0. Seite 23.

Stelze 1, Grundzüge.

⁴

Mohr a. a. O. Seite 27 und 28.

II. Der continuirliche Träger mit constantem Querschnitte bei gleich hohen Stützen.

§ 18. Allgemeines. Das zweite Seilpolygon. Zufolge der Voraussetzung, dass sich der Träger bei keiner Belastung von den Stützen abheben könne, muss die elastische Linie bei jeder Belastung durch sämmtliche Stützen hindurchgehen; die äussersten Seiten des Seilpolygones, das wir mit der Momentenfläche als Belastungsfläche und der Poldistanz EJ zeichnen, müssen die elastische Linie in den Stützpunkten berühren; diese äussersten Seiten heissen daher auch Pfeilertangenten. Da wir zur Construction der elastischen Linie immer ein ihr umschriebenes Polygon benützen, so führt die eben angegebene, nur allein bekannte Bedingung für die elastische Linie zur Aufgabe: die Pfeilertangenten zu eonstruiren. Wir fassen zunächst ein Feld ins Auge.

Die Belastungsfläche A Ä CE DB' 13 eines Feldes setzt sich im Allgemeinen aus drei Theilen zusammen; der erste AÄC und der dritte BB'B entsprechen negativen, der zweite GEB positiven Momenten; das Polygon A'CEDB' kann für die gegebene Belastung gezeichnet werden; die Lage der Schlusslinie AB für den continuirlichen Träger ist durch die Segmente AÄ und BB’, welche die gesuchten Stützenmomente repräsentiren, bestimmt; da es sich jetzt nur um die äussersten Seiten des für die Momentenfläche als

Belastungsfläclie construirten Seilpolygones handelt — also gleichsam um die Lage der Resultirenden von Kräften, Avobei man von der Aufeinanderfolge der einzelnen Kräfte unabhängig ist — so theilt man sie zweckmässig¹) in die negative: das Trapez AÄB'B und in die positive ÄCEDB'; das Trapez zerlegt man wieder in die Dreiecke AÄB und BÄB'. Construirt man diesen Flächen entsprechend mit der Poldistanz EJ ein Seilpolygon, das durch die Stützen geht, so sind nur die äussersten Seiten desselben Tangenten an die elastische Linie; dafür ergeben sich andere wesentliche Vortheile.

Während die Grösse und die Lage der Schwerpunktsvertikalen jeder der Flächen AA'C, GED, DB B abhängig ist von beiden

Stützenmomenten und der Belastung des Feldes, hängt die Grösse des Dreieckes AÄB nur vom Stützenmomente links (AÄ), des Dreieckes BÄB' nur vom Stützenmoment JL rechts, die Grösse der Fläche ÄCEDB' nur von der Belastung des Feldes ab; überdies ist die Lage der Schwerpunktsvertikalen jeder Fläche bekannt; die Schwerpunkte der beiden Dreiecke sind 4- l

bezüglich von der linken und rechten Stütze entfernt; sie liegen auf den sogenannten Drittel vertikalen; die Schwerpunktsvertikale der positiven Mo-mentenfläche lässt sich in einem gegebenen Falle leicht finden. Unbekannt sind nur die Grössen der Dreiecke AÄ B und B A B', nach deren Bestimmung die gesuchten Stützenmomente AÄ und BB' und damit alle gesuchten Grössen angeben lassen. Wir setzen

AAÄB = i AÄ xl = ~MJ=U\ ABÄB'—i BKxI=\m>1=W

fi. äcedb’ = m = r.

<—jl—>-

B'

TT

und

in

17

w'

ir

u'

V

l-

Fig. 32.

1) Mohr a. a. 0. Seite 29.

jlS a“ ■>

■<

Das aus diesen drei Kräften construite Seilpolygon heisst das zweite Seilpolygon¹); die äussersten Seiten desselben für die Poldistauz EJ sind die Pfeilertangenten. Hat man das zweite Seilpolygon gezeichnet und zieht durch den Pol des Kräftepolygones zu den auf den Drittelvertikalen sich schneidenden Seilpolygonseiten parallele Strahlen, so bestimmen diese auf der Kräftelinie die

Flächen y Mal und — Mbl. Wird die Poldistanz nicht EJ, son-EJ

dern -y- genommen, so erhält man auf der Kräftelinie direct die Segmente y Ma und y Mb. Es empfiehlt sich daher

Poldistanz b —

zu setzen und wenn möglich X = l zu wählen. Es handelt sieli nun darum, das zweite Seilpolygon zu zeichnen.

Von den zur Construction des zweiten Seilpolygones in einem

T>

T>

U == I Ma \, W=±-Mb

1    A    u

Felde nothwendigen Kräften ist nur eine: V — 9JÎ — der Grösse, Richtung und Lage nach bekannt ; von den beiden übrigen U — y Ma j und W— y Mb y sind nur die Wirkungslinien gegeben; ihre Grösse und Richtung ist so zu bestimmen, dass das zweite Seilpolygon durch die Stützpunkte des Feldes hindurchgeht. Für eine bestimmte Belastung ist die Grösse der positiven Momenten-fläche sowie die Lage der Schwerpunktsvertikalen derselben bekannt anzusehen. Wir verwandeln die positive Momentenfläche in ein

Rechteck von der Basis l, der Höhe ÏÏR und tragen ütk y auf der

Kräftelinie als V — 12 auf; der Pol liegt in der Entfernung --

in einer zur Kräftelinie parallelen Geraden, seine Lage in dieser Geraden ist nicht bekannt; wir nehmen an, sie sei P. Die beiden auf der Schwerpunkts vertikalen von V sich schneidenden Seilpolygon-seitën — die mittleren Seilpolygonseiten genannt — sind dann parallel zu 1P und 2P; sie treffen die Drittelvertikalen in den Punkten U und W, durch welche auch die Pfeilertangenten hindurchgehen müssen. Beachtet man, dass — bei gegebener Poldistanz, sonst aber beliebiger Lage des Pôles — die mittleren Seiten des

1) Winkler, Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Yereins 1872. Seite 27—32 und 61—65. Im Folgenden citiren wir immer das mehr zugängliche Werk Winkler’s: Theorie der Brücken. Aeussere Kräfte gerader Träger. 2. Aufl. 1875.

zweiten Seilpolygones auf den Drittelvertikalen constante Segmente UU' und WW abschneiden (jedes Segment repräsentirt das Moment von V in Bezug auf einen Punkt der betreffenden Drittelvertikalen), so sieht man sofort ein, dass das zweite Seilpolygon gezeichnet werden kann, sobald die Pfeilertangenten gegeben sind.

§ 19. Construction des zweiten Seilpolygones bei gegebenen Pfeilertangenten.- Es seien AU und WB die Pfeilertangenten; durch die Punkte U und W müssen die mittleren Seilpolygonseiten hindurchgehen; ihre Abschnitte auf den Drittelvertikalen zu be-

EJ

stimmen, ziehen wir im Abstande b — —r— von der Schwerpunktsvertikalen von V zwei zu ihr parallele Gerade, tragen auf diesen

Segmente gleich 9JÎ y = 12 auf und verbinden deren Endpunkte

durch zwei sich kreuzende Linien uw' und ' uw, die sogenannten Kreuzlinien¹). Die Kreuzlinien sind nichts anderes als ein Seilpolygon für die positive Momentenfläche; ■JL sie bilden auf den Drittelvertikalen die >j Segmente uu und w w' ; trägt man diese von U und W aus auf, macht also üU' = uu, WW' — ww, so sind UW und U' W die mittleren Seilpolygonseiten, welche sich offenbar in Punkte der

AL

B’

JJ

N. .

■fr

\ir

W'

TT

Fig. 33.

.7

-j.

eine m

Schwerpunktsvertikalen von V schneiden, also mit dem Schnittpunkte der Kreuzlinien in derselben Vertikalen liegen müssen. Das zweite Seilpolygon ist daher AUVWB. Die Normalmomente ergeben sich so: Zieht man durch 1 und 2 im Kräftepolygone Strahlen bezüglich parallel zu UV und VW, so schneiden sie sich

1) Ritter, Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den contmuir-lichen Balken. Zürich 1871. Seite 14. — Winkler a. a. 0. Seite 197.

45

§ 20. Construction der Normalmomente.

im Pole P, wird durch' diesen PO H AU und P3 // WB gezogen, dann ist 01 =

\Ma

T’

§ 20. Construction der Normalinomente¹). Diese Momente kann man auch aus dem Seilpolygone erhalten. Verlängert man die mittleren Seiten UV und VW bis zu ihren Schnittpunkten Ä und B' mit den Pfeilervertikalen, so ist zufolge der Construction:

AAÄ U ~ A01 P; ABB'W~ A32P,

daher:

AÄ :

1 -n /r / E J -j j . w 1,    7    1 -m *- l E J

Ï M° 1 ■■ T i BB : ?¹ ~ ²³■-h ~ äMn ■■T

AA

EJ

6W ’

P# =

EJ

V

Gbl ;

d. h.: Die einer Stütze zunäclistliegenden Seiten des zweiten Seilpolygones bestimmen auf der Vertikalen durch dieselbe ein Segment, welches dem betreffenden Normalmomente proportional ist.

distanz b =

Nimmt man — bei unverändertem Kräftemassstabe — die Pol-~ so werden im Allgemeinen sämmtliclie Ordinaten

des Seilpolygones in demselben Verhältnisse vergrössert oder verkleinert; die äussersten Seiten sind dann nicht mehr Tangenten an die elastische Linie; man gewinnt dafür den Vortlieil, dass die einer Stütze zunächst liegenden Seiten des zweiten Seilpolygones auf den Pfeilervertikalen Segmente abschneiden, aus denen die Normalmomente leicht gefunden werden können; denn

für b = ~ X wird ZZ = M. ({)' und BB = M„ (i)',

also

Ma = ZZ (j)² ; Mt = BB' (j)².

In der Regel sind die mittleren Felder eines continuirlichen Trägers gleich lang, die äusseren davon verschieden; man nimmt

dann b = y l, wenn l die Länge eines mittleren Feldes bezeichnet,

und erhält, wie wir später sehen werden, alle Normalmomente direct.

1) Ritter a. a. 0. Seite 19. — Vergl. auch Lippich, Theorie des continuirlichen Trägers constanten Querschnittes etc. Separat-Abdruck aus der allgemeinen Bauzeitung. Wien 1871. Seite 18 und 19.

§ 21. Der einfache an den Enden eingespannte Träger. Eigenschaften der Kreuzlinien. Der einfache an den Enden eingespannte Träger bietet ein Beispiel für den oben behandelten Fall, dass die Pfeilertangenten gegeben sind. Wir ziehen hier noch besonders den an den Enden horizontal eingespannten Träger in Betracht. Die Grösse ÏÏRI der positiven Momentenfläclie, sowie die Lage ihrer Schwerpunktsvertikalen sei bestimmt. Zur Construction des zweiten

Seilpolygones nehmen wir (Fig. 34) b == ~ lj in der Enfernung b

von der    Schwerpunkts vertikalen

ff ziehen wir zwei zu ihr parallele Gerade, tragen auf diesen die Seg-^ mente 3)? auf und ziehen die Kreuzlinien; diese bestimmen auf den ^ Drittel vertikalen die Segmente u u und ww'i macht man nun U₀ UÓ W₀ WÓ =

il

71

t'

44:

— u u ;

A U₀ VW₀B das zweite Seilpolygon; werden die mittleren Seiten bis zu

so ist

< b >k b >

Fig. 34.

ihren Schnittpunkten Ä und B' mit den Pfeilervertikalen verlängert, so sind AÄ und BB' die Momente an den Einmauerungsstellen.

Man kann nun wie früher das Kräftepolygon zeichnen; da die Pfeilertangenten parallel sind, so fallt der letzte Strahl im Kräftepolygone mit dem ersten zusammen; daraus folgt sofort, dass die Summe der negativen Momentenfiächen gleich der positiven Momentenfläclie ist; oder dass der oberhalb der Schlusslinie liegende Theil der Belastungsfläche gleich dem unterhalb liegenden ist.

Man beachte, dass es bei allen diesen Constructionen darauf ankommt, die Kreuzlinien genau zu zeichnen, um die Segmente uu und ww richtig zu erhalten, da von diesen die Momente AÄ und

BB' abhängen; für b = -~l stellen ww und uu diese Momente

selbst vor ; denn da U₀ UÓ = uu' und wegen A U₀ UÓ W₀ ^ W₀ BB' : U₀ UÓ = BB', so

uu = BB' und ww' — AÄ .

Man kann daher auch sagen: Die Kreuzlinien bestimmen auf den Drittelvertikalen Segmente, welche die Momente eines horizontal eingespannten Trägers von derselben Länge bei derselben Belastung repräsentiren.

§ 21. Eigenschaften der Kreuzlinien.

47

Die Kreuzlinien genau zu construiren, bestimmt man deren Abschnitte auf Geraden, die von der Schwerpunktsvertikalen der positiven Momentenfläche V so weit als möglich abstehen; am besten eignen sich dazu die Pfeilervertikalen. Man wird diese Abschnitte bei gleichmässiger Belastung am bequemsten rechnen¹), indem man beachtet, dass jeder solche Abschnitt das auf die Basis b reducirte

3R j) in Be-

Moment der positiven Momentenfläche (bezüglich von

zug auf einen Punkt der betreffenden Pfeilervertikalen darstellt.

Eine andere Bedeutung der Abschnitte, welche die Kreuzlinien auf den Pfeilervertikalen abschneiden, ergiebt sich auf folgende Art²): Zufolge der Construction schneiden die mittleren Seiten auf den Pfeilervertikalen ebenso grosse Segmente Ä P und B'Q ab, wie die Kreuzlinien. Yerlängert man die Gerade XJqWq bis zu ihren Schnittpunkten B, S mit den Pfeilervertikalen, so ist:

A'P=ÄR + RP = 2U₀U,₀ + W₀W0 = 2BB' + AÄ B'Q = B'S + SQ = 2W₀WÓ + U₀Ü0 = 2AÄ + BB'.

Werden die Momente an den Stützen eines horizontal eingespannten Trägers von derselben Länge bei derselben Belastung mit 9)?a und

SJh, bezeichnet, so ist unter der Voraussetzung b = — X:

ÄP = (|)S (2SR, + äR„); B'Q = ({)’ (23R„ + SR»);

für 1 = 1 wird ÄP — SR» + 23R»; B’Q = 2ffli„ + SR».

Endlich bestimmen die Abschnitte der Kreuzlinien auf den

Pfeilervertikalen die trigonometrischen Tangenten der Neigungswinkel v₁ (links) und v₂ (rechts), welche bei einem einfachen an den Enden frei aufliegenden Träger von derselben Länge mit derselben Belastung (wie das fragliche Feld) die geometrischen Tangenten an die elastische Linie mit der Horizontalen einscliliessen³). Die Kreuzlinien schneiden nämlich auf den Pfeilervertikalen ebenso grosse Strecken ab, wie die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones. Beim einfachen an den Enden frei aufliegenden Träger sind die Momente an den Stützen Null; es fallen daher die mittleren Seiten mit den Pfeilertangenten zusammen und diese bilden auf den Pfeilervertikalen die Segmente A'P und B'Q] daher hat man für b — EJ

I tan = B'Q]

l tan v₂ — A'R.

1)    Lippicli    a.    a.    0.    Seite 10—12.    — Ritter a. a. 0. Seite 24.

2)    Winkler    a.    a.    0.    Seite 199.

3)    Lippicli    a.    a.    0.    Seite 10—12.

Ist b — lcEJ und die zugehörigen Segmente ÄP' und B Q',

so wird

tan =

kB' Q' m

tan v₂ —

kA'P'

§ 22. Ergebnisse der bisherigen Untersuchungen. Wir fassen die Hauptergebnisse der bisherigen Untersuchungen zusammen. Bei gegebener Belastung kann das Seilpolygon für den continuirlichen Träger gezeichnet und damit jede bei gegebener Belastung in Frage kommende Aufgabe gelöst werden, sobald man die Momente au den Stützen, die Normalmomente, kennt. Diese kann man sofort angeben, wenn das zweite Seilpolygon gezeichnet vorliegt; dieses aber lässt sich construiren, wenn die Lage der Pfeilertangenten bekannt ist. Die Lage der Pfeilertangenten ist mit der richtigen Lage der mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones bestimmt. Nach dem oben Gesagten können die mittleren Seiten gezogen werden, sobald man von jeder einen Punkt — ihren Schnittpunkt ausgenommen — kennt.

Wir entwickeln zunächst im Folgenden die von Mohr¹) gefundenen Eigenschaften des zweiten Seilpolygones, welche in jedem Felde des continuirlichen Trägers von jeder mittleren Seite einen Punkt finden und damit alle bei gegebener Belastung auftretenden Aufgaben lösen lassen. Wir befolgen dabei den zuerst von Lippich²) eingeschlagenen Weg.

an, so

§ 23. Ein nicht belastetes Feld des continuirlichen Trägers. Es sei ein Feld nicht, die übrigen in beliebiger Weise belastet. An den Stützen des nicht belasteten Feldes kann der Träger entweder in gleichem (an beiden Stützen nach oben convex oder concav) oder in verschiedenem Sinne gebogen sein (an der einen Stütze nach oben convex, an der andern concav); die Momente an den Stützen des nicht belasteten Feldes haben dann entweder gleiches oder ungleiches Zeichen; wir setzen letzteres voraus. Von den zur Construction des zweiten Seilpolygones nötliigen Kräften U, V, W ist — da die positive Momentenfläche für ein nicht belastetes Feld Null ist — V = 0; die beiden Kräfte U und W wirken in den Drittelvertikalen nach entgegengesetzten Richtungen. Nehmen wir U positiv (nach abwärts), also W negativ, nach aufwärts gerichtet hat das zweite Seilpolygon den hohlen Winkel bei U nach

oben (wenn wie nun immer vorausgesetzt wird, der Pol rechts von der Kräftelinie angenommen wird), bei W nach unten, das Seilpolygon also beiläufig die Gestalt AU WB (Fig. 35); die zwei mittleren Seiten fallen in eine zusammen, welche bis zu den Schnittpunkten Ä und B' mit den Pfeilervertikalen verlängert (nach § 20) die den Stützenmomenten proportionalen Segmente AÄ und BB' liefert. Trägt man von den Schnittpunkten C und D einer belie-bigen Geraden CB mit den Pfeiler- C vertikalen die Stützenmomente nach CC' und DB' auf, so kann ⁽

a;

<r- Il-

7)’

Fig. 35.

CC'D'D als Momentenfläche für

das nicht belastete Feld angesehen werden; der Schnitt 0 von CD und C D' bestimmt den Punkt, an dem das Moment Null ist, d. i.

den Wendepunkt oder Inflexionspunkt der elastischen Linie; dieser

AÄ

CC

Punkt liegt mit dem Schnitt J von AB und A B', wegen

in einer Vertikalen. Wir haben somit gefunden: Die mitt-

B’B ~ D'D

lere Seite des zweiten Seilpolygones in einem nicht belasteten Felde schneidet die Verbindungslinie der Stützen in der Vertikalen durch den Inflexionspunkt³).

Haben beide Momente gleiche Zeichen, so liegen 0 und J ausserhalb des Feldes in einer Vertikalen; es soll J auch dann ein Inflexionspunkt heissen.

zur Construction des zweiten Seil-

§ 24. Zwei aufeinanderfolgende nicht belastete Felder. Es seien AB und BC (Fig. 36) die beiden nicht belasteten Felder, l und ihre Längen; die übrigen Felder -seien wieder in beliebiger Weise belastet. Die Kräfte

polygones sind U = ~Mal, W = * Mb l ; Ul — l Mb ^ und W.

— --Meli, wenn Ma, Mb, Mc die Momente an den Stützen A, B, C

bezeichnen. Wir nehmen im ersten Felde U positiv (nach abwärts), W negativ (nach aufwärts) gerichtet an; AUWB sei das zugehörige zweite Seilpolygon; dann ist, wie wir gleich sehen werden, das Seilpolygon im nicht belasteten Nachbarfelde vollkommen bestimmt. Die Kraft Ul wirkt in der linken Drittelvertikalen des Feldes BC;

die ihr vorhergehende Seilpolygonseite ist WB; sie trifft die linke Drittelvertikale von BC im Punkte U₁, durch welchen die auf die Kraft Ux folgende Seilpolygonseite UXWX, deren Richtung zu bestimmen ist, hindurchgehen muss. UW und UXWX — als äusserste

Seiten des Seilpolygones für die beiden Kräfte W = y Mbl und

— Mblx — schneiden sich auf der Resultirenden von W und

0i“

Ulx die Lage dieser Resultirenden ist bloss vom Verhältniss W : Ux

— l :lx auch = y l : y lx abhängig, also bestimmt; die Resultirende

. . 1 1 wirkt in der Entfernung — l von U₁ oder y lx von W, da dann

nach dem bekannten Momentensatze WX~lx==UxX^l ist; ihr

O A    X    O    ¹

Schnittpunkt mit UW sei JR; dann ist BUX die auf die Kraft Ux folgende Seilpolygonseite. Die weitere Construction des zweiten

AR

W'

mW

c/

ly

w"

ŚI

Fig. 36.

Seilpolygones im Felde BC.ist selbstverständlich. Die im Abstande y l von Ux (y lx von w) gezogene Vertikale nennt Winkler die

verschränkte Pfeilervertikale⁴). Wir können somit sagen: Die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones in zwei aufeinander folgenden nicht belasteten Feldern schneiden sich auf der verschränkten Pfeilervertikalen der beiden Feldern gemeinsamen Stütze⁵).

Man sieht, mit der Lage einer mittleren Seite des zweiten Seilpolygones in einem Felde ist hier das zweite Seilpolygon in beiden Feldern vollkommen bestimmt. Vergl. § 22.

Die Schnittpunkte von AB und UW (J) sowie von BC und Ux Wx (Jj) entsprechen nach dem vorigen Paragraphen den Wendepunkten der elastischen Linie. Es liegt die Frage nahe, in welcher Weise die Lage des einen von der des andern abhängt. Dazu suchen wir eine Beziehung zwischen den Entfernungen der Punkte J und Jx von gegebenen Geraden. Wie leicht zu sehen, ist Fig. 37:

WW : RR' = JW' : JE ; RE : Ux U[ = JXE : Jx U[ ;

U, TJ[ : WW = I l, : 4

daher

JW

l.

JE

BW jir

Setzt man hierin JW' — JE--^ lx und JXU[ = -Jl — JxR,

ô    o

so sieht man sofort, dass mit der Lage von J die von Jx bestimmt ist; mit der Lage des Inflexionspunktes in einem nicht belasteten Felde ist die Lage des Inflexionspunktes im benachbarten nicht belasteten Felde gegeben.

Man denke sich die Sache so: Für eine bestimmte Belastung der übrigen Felder habe sich für die zwei nicht belasteten Felder das oben gezeichnete zweite Seilpolygon und damit die Wendepunkte J und Jx ergeben. Nun ändere sich die Belastung, aber so, dass im Felde AB die mittlere Seite des zweiten Seilpolygones, welches der neuen Belastung entspricht, wieder durch den Punkt J gellt; dann geht die mittlere Seite Ux Wx im benachbarten nicht belasteten Felde wieder durch den Punkt Jv Während sich also die Seite UW um J dreht, dreht sich die Seite ÜXWX und Jx. Mit der Lage eines Punktes der mittleren Seilpolygonseite in einem Felde ist somit ein Punkt der mittleren Seite im Nachbarfelde gegeben; zieht man durch ihn eine mittlere Seite willkürlich, so ist das zweite Seilpolygon in beiden Feldern vollkommen bestimmt.

Zufolge der oben gezeigten Construction liegen immer J} TF, R und II⁷, B, Ux je in einer Geraden; während UW um J sich dreht, beschreiben W und R sowie Wund Ux perspectivische Punktreihen; daher sind R und Ux projectivisch, und da sie den unendlich fernen Punkt entsprechend gemein haben, in perspectivisclier Lage; die Verbindungslinien aller entsprechenden R und Ux gehen somit durch • einen festen Punkt, der auf JB liegen muss, da W', E, U[ einander entsprechende Punkte sind.

Es sei nun F ein beliebiger Punkt auf der mittleren Seite UW des zweiten Seilpolygones, das einer bestimmten Belastung des Trägers

4*

entspricht. Die Belastung ändere sich, aber so, dass die mittlere Seite UW des zur neuen Belastung gehörigen Seilpolygones in den nicht belasteten Feldern immer wieder durch F gehe; dann folgt aus dem Beweise des vorigen Absatzes sofort, dass die mittlere Seite Ux Wx immer durch einen bestimmten Punkt Fx der Geraden FF hindurchgehen muss. Der Wichtigkeit des Satzes wegen beweisen¹) wir ihn für den Punkt F auch so, wie zuerst für den Punkt J. Aus Fig. 37 erhält man leicht:

WW" : FF' = FW" : FF" ; FF" : Ux U[' = FXF" : Fx ü'l ;

TJ.U'i-. =

daher

FW” j _ Fx V"

B”FX

H" f h

welche Gleichung wieder erkennen lässt, dass mit der Lage des Punktes F die von Fx fixirt ist. Weiter folgt aus dieser Gleichung

tö

-d

ii

u—4— u*—*

łu

i¹ >

Fig. 37.

was man auch so ausdrücken kann: Bewegt sich der bewegt sich auch der Punkt Fx

leicht: Nimmt man auf der Vertikalen durch F einen Punkt F' als einen Punkt der mittleren Seite UW an, so ist der Schnittpunkt von F F mit der Vertikalen durch Fx ein Punkt der mittleren Seite UXWX'X

Punkt F auf einer Vertikalen, so auf einer Vertikalen.

Kennt man also einen beliebigen Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones in einem nicht belasteten Felde, so kann man sogleich einen Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones im benachbarten nicht belasteten ;Felde angeben; entspricht der erste einem Wendepunkte der elastischen Linie, d. h. liegt er mit * dem Punkte, an dem das Moment Null ist, in einer Vertikalen, so entspricht auch der zweite einem Wendepunkte¹). Der zweite Theil des Satzes gilt — es sei dies ausdrücklich betont — nur für gleich hohe Stützen.

§ 25. Beliebig viele unbelastete Felder. Die Fixpunkte des continuirliclien Trägers. Wir setzen vom linken Ende angefangen eine Reihe von Feldern nicht, belastet voraus. Nach dem vorigen Satze sind wir im Stande, in jedem dieser Felder einen Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones anzugeben, wenn nur in einem Felde ein Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones bekannt ist.

Liegt der Träger am linken Ende frei auf, so ist daselbst das Moment Null; das zweite Seilpolygon im ersten Felde ist nur aus der Kraft W zu construiren; die mittlere Seite desselben fällt daher mit der Pfeilertangente an 0 zusammen; der Punkt 0 ist somit ein Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones im ersten Felde.

Ist der Träger am linken Ende eingespannt, so ist damit die Pfeilertangente gegeben; ihr Schnittpunkt mit der linken Drittel-fis

Fig. 38.

vertikale des ersten Feldes ist ein Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones in demselben. Es ist also immer ein Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones im ersten Felde bekannt. Im Folgenden nehmen wir das linke Trägerende frei aufliegend an.

Einen Punkt der mittleren Seite des zweiten Feldes zu finden, ziehen wir durch 0 eine beliebige Gerade 0 Wx und fassen diese als mittlere Seite eines zweiten Seilpolygones auf; durch ihren Schnittpunkt B₁ mit der verschränkten Pfeilervertikalen der Stütze 1 geht die mittlere Seite zweiten Feldes; 1 ist die zugehörige Pfeilertangente; ihr Schnittpunkt U₂ mit der linken Drittelvertikalen des zweiten Feldes giebt einen Punkt der mittleren Seite des zweiten Seilpolygones, dessen mittlere Seite im ersten Felde OTI^ ist; somit ist jBj U₂ die mittlere Seite im zweiten Felde; sie trifft die Ver-

bindungslinie der Stützen im Punkte F₂, durcli welchen nach dem vorigen Paragraphen die mittleren Seiten aller bei Nichtbelastung der ersten zwei Felder möglichen zweiten Seilpotygone hindurchgehen müssen. Auf dieselbe Weise erhält man von _F₂ ausgehend F₃ u. s. f. und indem man die Belastung noch ausserhalb des letzten Feldes sich denkt, im letzten Felde Fnx) (hier F₄). Die Lage dieser Punkte ist unabhängig davon, welche der rechts liegenden Felder und wie dieselben auch belastet sind; nur abhängig von den Feldlängen. Eine zweite Reihe solcher Punkte F' ergiebt sich, wenn man vom rechten Ende aus eine Anzahl Felder nicht belastet annimmt, die Belastung noch ausserhalb des ersten Feldes denkt. Die Punkte liegen, wie die Construction deutlich zeigt, stets in den äussern Dritteln. Wenn man beachtet, dass in den Punkten F₂, F₃ . . . bei Belastung irgend eines rechts gelegenen Feldes das Moment Null ist, also ein in diesen Punkten von einer andern Ursache herrührendes Moment nicht geändert wird, so kann man sagen:

In jedem Felde eines continuirlichen Trägers giebt es zwei nur von der Form, nicht von der Belastung des Trägers ’ abhängige Punkte F und F', welche im ersten und letzten Drittel des Feldes so liegen, dass das Moment im ersten durch beliebige Belastung aller folgenden, das Moment im zweiten aber durch beliebige Belastung aller vorhergehenden Felder nicht geändert wird²). Diese Punkte heissen Fixpunkte³), Fundamentalpunkte⁴), auch Inflexionspunkte⁵).

Aus der Construction der Fixpunkte geht ganz klar hervor, dass mit der Entfernung a₂ des Punktes F₂ von der Stütze 1 die Entfernung des Punktes F₃ von der Stütze 3 zunimmt; das Yerhältniss

Fs U*

Voraussetzung gleich langer Felder lx = l₂ = ... = l lassen

ist durch die Gleichung

f₂w₂

\==

l₂ bestimmt. Unter der

sich leicht Grenzlagen für diese Punkte finden. Liegt der Träger am linken Ende frei auf, so ist ax = 0 und zufolge der Gleichung F,Wt ,    F₂U₂ 7    1 ₇

B₁F₁ ² “ BxF₂ -l} a'²    5 L

Ist der Träger am linken Ende eingespannt, so ist ax = y l

1)    Mobr a. a. 0. Seite 33—34. — Lippich a. a. 0. Seite 17.

2)    Culmann a. a. 0. Seite 283.

3)    Mohr a. a. 0. Seite 34.

4)    Lippich a. a. 0. Seite 17.

5)    Culmann a. a. 0. Seite 283.

2 ... 1 und ß₂ = -g-1. Während also 'der eine Fixpunkt die Strecke — l

l bis

durchläuft, macht der im Nachbarfelde den Weg von ~

Da nun unzweideutig jeder Lage des einen Punktes nur eine Lage des anderen entspricht, so muss es eine Lage geben, bei welcher die Entfernung des einen Punktes von der linken Stütze des betreffenden Feldes gleich ist der Entfernung des anderen von der linken Stütze des Nachbarfeldes. Beachtet man, dass bei gleichen Feldlängen die verschränkten Pfeilervertikalen mit den Pfeilervertikalen seihst zusammenfallen, so kann man in der obigen Gleichung 2    1

(§ 24) —l — a, l — a, — l — a und a beziehungsweise statt

o    o

FW", B" F, F₁ Ui und B" Ft setzen und hat zur Bestimmung von a die Gleichung

woraus

oder

1 = 3 4-1/3

a    ' r

= 2 + V3

folgt.

Für den am Ende frei aufliegenden continuirlichen Träger ist

dieses a die grösste, für den am Ende eingespannten Träger die kleinste Entfernung des Fixpunktes von der linken Stütze. Die. Entfernung des Fixpunktes von der Stütze schwankt also zwischen sehr engen Grenzen; bei dem am Ende frei aufliegenden Träger zwischen 3—]/3

1 l == 0,2 l und

O

l — 0,211 l. Hat in einem Felde der Fixpunkt F diese Entfernung von der linken Stütze, so haben in allen folgenden und in allen vorhergehenden Feldern die Punkte F dieselbe Entfernung von der linken Stütze des betreffenden Feldes; daraus folgt, dass diese Entfernung nur bei einer unendlich grossen Anzahl von Feldern erreicht werden kann.

§ 26. Momente und Transversalkräfte in den nicht belasteten Feldern. Es seien wieder vom linken Trägerende an eine Reihe von Feldern nicht belastet. Mit der Annahme einer Seite des zweiten Seilpolygones in einem dieser Felder ist das zweite Seilpolygon in allen vollkommen bestimmt.

Ist z. B. die mittlere Seite Ul WT gegeben, die nach dem letzten Paragraphen durch den linken Fixpunkt des Feldes gehen muss, so sind durch ihre Schnittpunkte Ut und Wx mit den Drittelvertikalen und durch die Stützpunkte B und C die Pfeilertangenten B Ux und Wx C bestimmt; diese schneiden die nächsten Drittelvertikalen der nicht belasteten Nachbarfelder in den Punkten W und Z7₂ (in der Figur nicht angegeben), durch welche die mittleren Seiten in den Nachbarfeldern gehen; andere Punkte dieser mittleren Seiten sind die Fixpunkte F/j und (nicht angegeben) Fd, auch die Schnittpunkte von Ux Wx mit den verschränkten Pfeilervertikalen der Stützen B und (7; daher . . . Hieraus ist aber auch sofort klar, dass mit der Annahme einer Pfeilertangente das ganze Seilpolygon in den nicht belasteten Feldern bestimmt ist. Vergl. § 24.

Die mittlere Seite in irgend einem Felde bestimmt (§ 20 Seite 45) auf den Pfeilervertikalen den Momenten proportionale Segmente;

TV

S?

sie trifft die Verbindungslinie der Stützen cy im linken Fixpunkt, der 'i    zwischen beiden Stützen

i    im linken Drittel des

Fig. 39.

Feldes liegt; die den Momenten proportionalen Segmente liegen daher auf verschiedenen Seiten von BG u. z. ist das Segment auf der rechten Pfeilervertikalen mehr als doppelt so gross, als das auf ff er linken; hieraus schliesst man¹):

Ist von einem Trägerende an eine Reihe von Feldern nieht belastet, so sind die Momente an den Stützen der nicht belasteten Felder abwechselnd positiv und negativ; sie nehmen — ohne Rücksicht auf das Zeichen — gegen das belastete Feld hin zu u. z. ist jedes folgende Moment mehr als doppelt so gross als das vorhergehende.

In den nicht belasteten Feldern ist das erste Seilpolygon bloss aus den Stützenreactionen zu construiren; es ist daher ein polygonaler Linienzug, dessen Ecken auf den Pfeilervertikalen liegen; die einzelnen Seiten desselben müssen von der Schlusslinie in den Fixpunktvertikalen — also zwischen zwei Ecken getroffen werden,

1) Beiträge zur Theorie der continuirlichenBrückenträger vouDr.E.Winkler. Der Civilingenieur. Neue Folge. Achter|Band. 1862. Seite 141. — Culmann a. a. 0. Seite 282.

da in den nicht belasteten Feldern die Fixpunkte den Stellen entsprechen, wo die Momente Null sind; die Ecken des Seilpolygones liegen daher abwechselnd ober und unter der Schlusslinie, woraus dann wieder der obige Satz gefolgert werden kann.

Nach bekannten Eigenschaften des Seilpolygones erhält man Grösse und Sinn der Resultirenden paralleler Kräfte, indem man zu den äussersten Seiten des entsprechenden Seilpolygones durch den Pol des Ivräftepolygones parallele Strahlen zieht und deren Segment auf der Kräftelinie bestimmt. Ist a (b) der Schnittpunkt des Strahles, welcher zu der der Kraft vorausgehenden (nachfolgenden) Seilpolygonseite parallel gezogen wurde, mit der Kräftelinie, so stellt ab der Grösse und Richtung nach die Kraft vor. Für einen beliebigen Querschnitt des Trägers erhält man daher die Transversalkraft als das Segment, welches auf der Kräftelinie die Strahlen abschneiden, die durch den Pol zu den von der Querschnittsvertikalen getroffenen Seilpolygonseiten parallel gezogen sind. Der eine Parallelstrahl ist für alle Querschnitte derselbe, parallel zur Schlusslinie; der andere kommt, indem man von einem Felde zum benachbarten übergeht, abwechselnd über und unter den ersten zu liegen; in einem Felde, an dessen linker Stütze ein positives (negatives) Moment auftritt, ist die Transversalkraft negativ (positiv); daraus schliesst man: Die Transversalkräfte in den aufeinanderfolgenden nicht belasteten Feldern sind abivechselnd positiv und negativ. Aus dem oben Gesagten folgt ferner: Die Stützenreactionen sind abwechselnd positiv und negativ¹). Ueber das Grössenverliältniss der Transversalkräfte in den aufeinanderfolgenden Feldern sowie der Stützenreactionen, kann man im Allgemeinen, ohne für die Feldlängen nähere Voraussetzungen zu machen, nichts angeben.

§ 27. Ein belastetes Feld. Wir nehmen jetzt ein Feld belastet, alle übrigen nicht belastet an. Das zweite Seilpolygon ist im belasteten Felde aus den Kräften U, V und W, in den nicht belasteten Feldern blos aus den Kräften U und W zu construiren. Ganz so wie in § 24 folgt, dass die einer Stütze 13 zunächstliegenden mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones im belasteten Felde und im benachbarten linken nicht belasteten Felde sich auf der verschränkten Pfeilervertikalen der Stütze schneiden müssen.

Da wir nur ein einziges Feld belastet annehmen, so gehen in allen nicht belasteten Feldern die mittleren Seiten durch die Fixpunkte derselben; aus der Construction der Fixpunkte in Verbindung mit dem eben ausgesprochenen Satze folgt¹): Ist nur ein Feld belastet, so gehen die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones im belasteten Felde durch die Fixpunkte dess eiben.

Damit kann man — sobald die Fixpunkte bestimmt sind — das zweite Seilpolygon im belasteten Felde construiren; die mittleren Seiten schneiden nämlich auf den Fixpunktenvertikalen ebenso grosse

B’

VC'

F/

ö~

J)

JT m

Fig. 40.

Segmente ab, wie die Kreuzlinien. Zeichnet man also die Kreuzlinien und trägt die Abschnitte, welche sie auf den Fixpunktvertikalen bilden, von F und F' nach abwärts auf, so kann man die mittleren Seiten UV und VW ziehen. Verlängert man diese bis zu ihren Schnittpunkten B' und C' mit den Pfeilervertikalen, so sind BB' und CC den Momenten an den Stützen B und C proportional; es lassen sich die Momente selbst bestimmen, das erste Seilpolygon im belasteten Felde und nach dem vorigen Paragraphen auch in allen nicht belasteten Feldern zeichnen und somit Momente und Transversalkräfte für alle Querschnitte finden.

Zufolge der Construction liegt U rechts von F unter BF; die der Kraft U folgende Seilpolygonseite UV steigt daher steiler an, als

i(N

die ihr vorhergehende B U\ die Kraft U — - - Mb ~ ist daher nach

aufwärts gerichtet; analoge Bemerkungen gelten für die Kraft TF; daraus folgt: Ist nur ein Feld belastet, so sind die Momente an den Stützen des belasteten Feldes stets negativ.

Es lässt sich das auch leicht einsehen. Jede Belastung eines Feldes strebt sämmtliche Punkte der Trägeraxe herabzudrücken; dies wird zunächst an den Stützen des belasteten Feldes verhindert; demzufolge und wegen der Continuität des Trägers wird derselbe über den Stützen nach oben convex gebogen; einer solchen Biegung entspricht »aber ein negatives Moment.

§ 28. Zwei aufeinanderfolgende belastete Felder. In jedem der beiden Felder ist das zweite Seilpolygon aus den Kräften U, V und W zu construiren. Auf dieselbe Weise wie in § 24 lässt sich zeigen: Die der gemeinsamen Stütze der beiden Felder zunächstliegenden mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones schneiden sich auf der verschränkten Pfeilervertikalen der gemeinsamen Stütze¹).

Daraus folgt sofort wieder: Mit der Lage einer mittleren Seite in einem Felde ist die Lage der derselben Stütze zunächstliegenden mittleren Seite schon bestimmt; so sind mit der Annahme von VW im Felde AB die Punkte B und £7, der mittleren Seite U₁V₁ im Felde BC, also diese selbst gegeben. Substituirt man in den Ausführungen des § 24 an Stelle der mittleren Seiten hier die der Stütze B zunächstliegenden mittleren Seiten VW und TJ₁Vl, so ist klar, dass mit der Wahl eines Punktes F auf VW ein Punkt Fx auf U₁V₁ festgelegt ist. Es ist dies wieder so zu verstehen: Geht bei einer bestimmten Belastung die der Stütze B zunächst liegende mittlere Seite VW des zweiten Seilpoly gones im Felde AB durch

F,

Fig. 41.

den Punkt F, die der Stütze B zunächst liegende mittlere Seite UXVX im Felde BC durch den Punkt Fx, so geht bei jeder andern Belastung, bei welcher VW durch F geht, UlV₁ durch Flx während sich VW um F dreht, dreht sich UXVX um Fx, gleichzeitig WL\ um B. Liegt der Punkt F in der Vertikalen durch den linken Fixpunkt des Feldes AB, so liegt Fx in der Vertikalen durch den linken Fixpunkt des Feldes BC und wird nach § 24 gefunden als der Schnitt dieser letzten Fixpunktvertikalen mit FB.

Ihrer besonderen Wichtigkeit wegen stellen wir die im Vorhergehenden gefundenen Eigenschaften des -zweiten Seilpolygones kurz zusammen.

Die einer Stütze zunächst liegenden mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones schneiden sich auf der zur Stütze gehörigen Pfeilervertikalen. Eine Folge davon ist: Dreht sich die einer Stütze B zunächstliegende mittlere Seite des zweiten Seilpolygones um einen festen Punkt F, so dreht sich die derselben Stütze JB zunächst liegende mittlere Seite im Nachbarfelde gleichfalls um einen festen Punkt Ft\ liegt F auf der linken Fixpunktvertikalen des einen Feldes, so liegt Ft auf der linken Fixpunktvertikalen des andern und ist der Schnitt dieser mit.der Geraden FJB.

§ 29. Construction des zweiten Seilpolygones hei gegebener Belastung. Bestimmung der Stützenmomente. Der Gang der Construction ergiebt sich aus folgender Ueberlegung: In allen Feldern liegen die Ecken U und W des zweiten Seilpolygones auf den Drittelvertikalen; die derselben Stütze zunächst liegenden mittleren Seiten schneiden sich auf der verschränkten Pfeilervertikalen; es sind daher 1) alle Drittel- und verschränkten Pfeilervertikalen zu ziehen.

Im ersten Felde ist das zweite Seilpolygon nur aus den Kräften V und W zu construiren; die erste mittlere Seite fällt daher mit der Pfeilertangente zusammen; 0 Fig. 42 ist also ein Punkt der ersten mittleren Seite; da die mittleren Seiten auf den Pfeilervertikalen dieselben Segmente abschneiden wie die Kreuzlinien, welche bei gegebener Belastung gezeichnet werden können, so ist damit der Punkt b[ der zweiten mittleren Seite im ersten Felde auf der linken Pfeilervertikalen bestimmt; diese ist aber die linke Fixpunktvertikale; nach Obigem ist somit auch ein Punkt a₂ der ersten mittleren Seite im zweiten Felde auf der linken Fixpunktvertikalen desselben gegeben; mit diesem lässt sich wieder der Punkt b'₂ der zweiten mittleren Seite .finden u. s. f.; man hat daher 2) die Fixpunkte, ■ 3) die Kreuzlinien, 4) Punkte der mittleren Seiten auf den Fixpunktvertikalen zu bestimmen.

In Fig. 42 sind die Fixpunkte nach § 25 construirt; die Kreuzlinien wurden beliebig angenommen; (doch muss ihr Schnittpunkt im mittleren Drittel liegen); für specielle Belastungsweisen werden wir die Construction der Kreuzlinien besonders besprechen; die Abschnitte der Kreuzlinien auf den Fixpunktvertikalen sind mit ab und cd bezeichnet und mit den Zeigern des betreffenden Feldes versehen.

d₂b'₂ — a₂b2} b'₂ ein Punkt der zweiten

wenn

Die punktweise Construction des zweiten Seilpolygones ist nun folgende: Im ersten Felde ist 0 ein Punkt der ersten mittleren Seite; daher wenn 0b[ — at bl7 b\ ein Punkt der zweiten; die Gerade b\ 1 schneidet die linke Fixpunktvertikale des zweiten Feldes im Punkte a₂ der mittleren Seite des zweiten Feldes, welche der Stütze 1 zunächst liegt; somit ist, mittleren Seite; b'₂2 giebt den Punkt a'ä u. s. f. Man erhält so in

ZST

jedem Felde von jeder mittleren Seite einen Punkt. Geht man in gleicher Weise vom rechten Ende gegen das linke vor, so erhält man von jeder mittleren Seite einen zweiten Punkt; in jedem Felde

Ä' ₂ F*

<f-7k—9-

lY

",

a3

d>3

d*

ją

y fl

d\

Fig. 42.

sind a ćt und b'c die mittleren Seiten; ihre Schnittpunkte mit den Drittelvertikalen (bezüglich links und rechts) sind TJ und Wj damit sind auch die Pfeilertangenten, somit das ganze zweite Seilpolygon bestimmt.

Diese Construction des zweiten Seilpolygones hat Culmann¹) angegeben; sie ist mit der grössten Sorgfalt durchzuführen, da Zeichenfehler von einem Felde ins andere übertragen werden; als Controlen hat man: 1) In jedem Felde liegt der Schnittpunkt der mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones mit dem Schnittpunkte der Kreuzlinien in einer Vertikalen. 2) Die einer Stütze zunächst liegenden mittleren Seiten schneiden sich auf der verschränkten Pfeilervertikalen der Stütze. 3) Die Durchschnittspunkte der einer Stütze zunächst liegenden mittleren Seiten mit den entsprechenden Drittelvertikalen liegen mit der Stütze auf einer Geraden.

Verlängert man in irgend einem Felde, z. B. im zweiten, die mittleren Seiten U₂ V₂ und V₂ W₂ bis nach 1' und 2', so ist nach § 20,

1 » h = — 1 vorausgesetzt,

Die Momente selbst kann man hieraus erhalten, wie in Fig. 43 angedeutet. In der Regel sind alle mittleren Felder gleich lang; man nimmt dann zweckmässig A gleich der Länge eines mittleren Feldes; dadurch erhält man die Momente an allen Stützen direct, indem die Momente an der rechten Stütze des ersten Feldes sowie an der linken Stütze des letzten Feldes durch das zweite Seilpolygon im zweiten bezüglich vorletzten Felde bestimmt sind. Durch die Stützenmomente sind in den einzelnen Feldern die Schlusslinien der positiven Momentenflächen festgelegt; das erste Seilpolygon selbst kann demnach auf bekannte Weise der Belastung entsprechend eingezeichnet und für jeden Querschnitt Moment und Transversalkraft angegeben werden.

Fig. 43.

Es erübrigt noch für die wichtigsten Belastungsweisen die Kreuzlinien zu construiren.

§ 30. Kreuzliuien für totale gleiclimässige Belastung. Bei gleichmässiger Belastung erhält man die Kreuzlinien am bequemsten, indem man die durch Rechnung gefundenen Segmente, welche die Kreuzlinien auf den Pfeilervertikalen abschneiden, daselbst aufträgt und deren Endpunkte kreuzweise verbindet. Diese Segmente sind

die auf die Basis b =

A reducirten Momente der positiven Mo-

mentenfläche bezüglich von 9JÎ j in Bezug auf die Pfeilervertikalen.

■ \ i? ■ l ~ ~ q.P \ daher 3R [

1    / l\³

weim 0. die Last pro Längeneinheit be-

Die positive Momentenfläche ist ein Parabelsegment, die Axe der Parabel vertikal; ihre Schwerpunktsvertikale geht durch die Trägermitte; ihre Grösse ist 9JU =

12 ^ X

zeichnet. Sind und die Segmente, welche die Kreuzlinien bezüglich auf der linken und rechten Pfeilervertikalen abschneiden, so hat man:

%    = 1Ï * T • T ¹ = 4t £

welche Strecken auf dem Momentenmassstabe abzugreifen sind.

=    * -f A,

also

§ 31. Der continuirliche Träger hei totaler gleichmässiger Belastung. Es seien für einen continuirlichen Träger mit drei Feldern die Momente und Transversalkräfte zu bestimmen. Das Verhältnis der Trägerlängen sei \ : l₂ : \ — 8 : 10 : 8. Nach dem in § 29 angegebenen allgemeinen Vorgänge sind auf Tafel II die Drittelund verschränkten Pfeilervertikalen gezogen, und die Fixpunkte bestimmt. Zur Construction der Kreuzlinien braucht man A, sowie den Momentenmassstab. Wir nehmen A = l₂ und gk² — 20 Centi-meter, setzen auch gk — 4 Centimeter. Es ist nämlich hier zweckmässig, nicht den Kräftemassstab und die Poldistanz anzunehmen und darnach den Momentenmassstab zu construiren, sondern den Kräfte- und Momentenmassstab zu wählen und die Poldistanz entsprechend zu bestimmen. Man kann dann für alle continuirlichen Träger mit drei Feldern und dem Verhältnisse lt : Z₂ : l₃ = 4 : 5 : 4 dieselbe Zeichnung benützen.

Sind gk² und gk durch die Längen m und n dargestellt, so repräsentirt bei der Poldistanz a — diese mit derselben Einheit wie k gemessen — gk das Moment agk und ist für den Momentenmassstab agk = n zu nehmen; wegen gk² = m somit a = ^ k.

Im zweiten Felde sind die Abschnitte der Kreuzlinien auf den

Pfeilervertikalen (wegen k = 7₂) gleich 9L, = 9ia = ~ gk² = 0,25#?₂²; im ersten 91& = $la = ~ g k² = 0,1024#Z₂².

Hat man diese

Segmente entsprechend aufgetragen, so wird das zweite Seilpolygon nach § 29 construirt; die Bezeichnung ist dieselbe wie in § 29, der Gang der Construction ohne weiteres klar. Die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones im zweiten Felde bestimmen auf den Pfeilervertikalen die Momente    und ilf₂; wegen der Symmetrie

der Anordnung sind sie gleich;    — M₂ — 0,082#?₂²; damit sind

die Schlusslinien der positiven Momentenflächen in den einzelnen Feldern festgelegt.

Das erste Seilpolygon selbst zu zeichnen tragen wir (Tafel II Figur Momente) von der Horizontalen durch die Stützen auf den Vertikalen durch 1 und 2 die Momente auf; (wir nehmen also die Schlusslinie des Seilpolygones für den continuirlichen Träger horizontal an); die Schlusslinien der positiven Momentenflächen in den Feldern sind 01', 1'2' und 2'3. In jedem Felde ist das erste Seilpolygon eine Parabel mit vertikaler Achse; der Pfeil in der Mitte

des Fejdes gleich ~ gl²] für das zweite Feld also ^ gl₂² = 0,125#7₂²;

für das erste und dritte Feld gleich * gl² = y g k² = -

rwV

man diese auf der Vertikalen durch

= 0,08 g k² = 0,08# l². Trägt die Feldmitte von der Schlusslinie der positiven Momentenfläche des Feldes nach abwärts doppelt auf, so sind damit in jedem Felde die Tangenten an die Punkte der Parabel in den Pfeilervertikalen bestimmt; im ersten Felde 0fx und l'/j; im zweiten 1'f₂ und 2Y₂. Die Parabeln selbst können nun leicht gezeichnet werden.

Die Transversalkraftcurve ist in jedem Felde eine Gerade; sie zu bestimmen suchen wir zwei Punkte derselben, d. h. für zwei Querschnitte die Transversalkräfte auf bekannte Weise. Es seien (in Figur Transversalkräfte Tafel II) die Transversalkräfte von der Horizontalen durch die Stützen aus aufzutragen; nimmt man auf

dieser in der Entfernung a— y k — y l₂ von 0 einen Punkt und zieht

durch ihn zu 01 und 0fx (Figur Momente) parallele Strahlen, so bestimmen dieselben auf der Vertikalen durch 0 die Transversalkraft für den Schnitt unmittelbar rechts von der Stütze 0, d. i. zugleich die Auflager-Reaction JR₀. In derselben Weise erhält man die Transversalkräfte für die Schnitte unmittelbar links und rechts von den Stützen 1, 2 und 3 und damit die Darstellung der Transversalkräfte, wie sie die Figur zeigt. An den Stellen, wo die Transversalkraft Null ist, treten die grössten Momente auf.

§ 32. Kreuzlinien für partielle gleichmässige Belastung. Das Feld sei auf die Strecke ß von der rechten Stütze an gleichmässig

HL-,

/*

.v

łfi

Fig. 44.

mit p pro Längeneinheit belastet. Die positive Momentenfläche setzt sich ß aus dem Dreiecke ACB und dem Parabelsegment CI)JB zusammen; dabei berührt AC die Parabel, deren Achse vertikal ist, im Punkte C. DigSchwer-punktsvertikale des Parabelsegmentes geht durch den Halbirungspunkt M B von CB, sie trifft die Parabel und deren Tangente A Cbeziehungsweise in den Punkten JD und E so, dass MB = BE wird

von der linken

und BE die Parabel in B berührt. Ist AH = HB und SH = y CH, so ist S der Schwerpunkt des Dreieckes ACB; seine Entfernung von der rechten Pfeilervertikalen ist : y ^ + y (ß

y Q + “)•

Wir bestimmen zunächst die Grösse der einfachen Momenten-fläche SOn und die Lage ihrer Schwerpunktsvertikalen durch Construction. Bekanntlich ist Fl. CBB = -| ACEB = ACBJ= ACB IC wenn .E^/ = y EM und JK// BC. Es ist daher

%

¹

   Mohr a. a. 0. Seite 32—34.

²

   Lippich a. a. 0. Seite 12—24. — Winkler a. a. 0. Seite 199—20G.

³

Mohr a. a. Q. Seite 40. — Lippick a. a. 0. Seite 12 und 13.

S t e 1 z e 1, Grundzüge.

⁴

   Winkler a. a. 0. Seite 200. — Culmann nennt sie das „verschränkte“ Drittel (Ritter a. a. 0. Seite 14).

⁵

   Mohr a. a. 0. Seite 32. — Lippich a. a. 0. Seite 15.

Fl. ACBB = m = AABK = ^ LKxl; \ m =

Da FL = ~ FB, so kann man LK leicht finden.

Die Schwerpunktsvertikale der positiven Momentenfläche zu bestimmen , denken wir in den Vertikalen durch S und M gleichgerichtete Kräfte wirken, welche den Flächen ACB und BCK proportional sind. Nun hat man, wenn NKJ/ AB,

A ACB : Fl. CBB = AC : CK = FC : CN = y FC:~CN

= OM : 4- CN.

£

Macht man auf der Vertikalen durch S : BQ — ~CN, so schneiden

sich MQ und BO in einem Punkte der gesuchten Schwerpunktsvertikalen. Die Kreuzlinien lassen sich jetzt construiren, indem man

in der Entfernung ~ A zur Schwerpunktsvertikalen zwei Parallele

zieht, auf diesen 9JÎ ~ = y LK • y aufträgt und die Endpunkte der

so erhaltenen Strecken kreuzAveise verbindet.

Bequemer und genauer erhält man die Kreuzlinien wieder, wenn man die gerechneten Abschnitte, die sie auf den Pfeilervertikalen bilden, aufträgt und ihre Endpunkte kreuzweise verbindet.

Sind OL und OL die Abschnitte, welche die Kreuzlinien bezüglich auf der linken und rechten Pfeilervertikalen abschneiden, so hat man zu deren Berechnung die Gleichungen:

l = {■ (l + «) AABC + (« + y ß) pl- GBB,

¹ V%,°=±-(l + ß)AABC+±ß Fl .CBB,

Stelzel, Grundzüge.

worin

-^Puß²,

A ABG = \FGxl=\-\^~

Fl. CBB = ^MBxß = \- (OB — OM) ß = ~(0B — ~Fc)ß

T (t~t~ (a + Y^)    —

(1 « + Tß—-l)ß-jiPp.

_ 1 jo ^3²

y ~r~

Damit wird:

ß²

4^T

«) z³

^    = y (7 + a)    + (a + y ß) ^Pß³ = ^-^±_a)-

2?ß² (2Z — ßY 24    24

r -l²«« = T 0 + ß) ^P«ß* + 4-/S • 4-^³ = Ai>0! (2? - «•

1) (P — a²)²

Setzt man ß = kl, wo h 1, so wird: Æ² (2 — Æ)² Z⁴

%=p

&² (2 — &²) Z⁴

Ist die Belastung eine linksseitige, von der linken Stütze an die Länge ß — hl belastet, so hat man 9t* mit 9i« zu vertauschen. Bezeichnet 9t*, r den Abschnitt, den die Kreuzlinien auf der linken Pfeilervertikalen bilden, wenn das Feld von der rechten Stütze an auf die Strecke ß — Jcl belastet ist; 9t*, * den Abschnitt bei linksseitiger Belastung auf die Strecke 7c 7; 9t*,T* den Abschnitt auf der linken Pfeilervertikalen bei linksseitiger Belastung auf die Strecke

9i«, ik die entsprechenden Abschnitte auf der rechten Pfeilervertikalen; endlich 9i? = 91? die Abschnitte bei totaler Belastung, so folgen aus dem Begriffe dieser Abschnitte als Momente um Punkte der Pfeilervertikalen sofort die Beziehungen :

l ß = (1 _ Je) l

u. s. w.

• 9t*

1    r y

a, l ;

woraus

b, r

Kr = Kt ; KK + Kr- K

Ki-K

wegen 9îJ,7* = 9ti~l

Kr + Kt* = K

folgt. Ebenso

Kr+K7*-K-

die 9ta und 97& bios bei rechtsseitiger Belastung für eine Trägerhälfte besonders zu berechnen braucht, um sie für den ganzen Träger bei rechts- und linksseitiger Belastung zu erhalten. Die nachstehende Tabelle¹) wird in vielen Fällen sehr gute Dienste leisten.

Diese Gleichungen lassen erkennen, dass man

kl

fr : -£

kl

kl

Abschnitt auf der Pfeilervertikalen

links

rechts

links

rechts

0,0

0,1

0,2

0,25

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,75

0,8

0,9

1,0

0,009025

0,032400

0,047852

0,065025

0,102400

0,140625

0,176400

0,207025

0,219727

0,230400

0,245025

0,250000

0,004975

0,019600

0,030273

0,042975

0,073600

0,109375

0,147600

0,184975

0,202148

0,217600

0,240975

0,250000

0,250000

0,240975

0,217600

0,202148

0,184975

0,147600

0,109375

0,073600

0,042975

0,030273

0,019600

0,004975

0,250000

0,245025

0,230400

0,219727

0,207025

0,176400

0,140625

0,102400

0,065025

0,047852

0,032400

0,009025

G)>

(})>

(t)

({)>

Diese Abschnitte sind auf dem Momentenmassstabe abzugreifen. Hat man hiernach die Kreuzlinien und das zweite Seilpolygon construirt, mit diesem die Stützenmomente gefunden, so erübrigt * noch das erste Seilpolygon zu zeichnen. Am bequemsten geschieht dies²), wenn man den Abschnitt Bll sucht, den die Tangenten AE und BE auf der rechten Pfeilervertikalen bestimmen. Zieht

man

Vertikalen zwei Strahlen parallel zu AE und EB, so schneiden diese auf der Geraden ein Segment ab, das offenbar die Belastung pß repräsentirt; daher ist

durch einen Punkt B in der Entfernung a = ~ A von einer

und weil die Strecke, welche pß darstellt, sowie ß und a bekannt sind, so lässt sich hiernach JBH leicht finden. Wie die Anordnung zu treffen ist, wenn für mehrere Querschnitte diese Längen zu bestimmen sind, zeigt Fig. 45. Die beiden Geraden 04 und P₄P₄

A sind in den Abständen a und y l von einem beliebigen Punkte P zu einander parallel ge-^ zogen; wird auf die erste das Segment 04 =pl _w aufgetragen und von P aus auf die zAveite

«4

IL

ff,

i»

nach P₄P₄ projicirt, so ist P₄P₄ = pl --

das Segment auf der Pfeilervertikalen bei to-taler Belastung. Ist P₃P₃ im Abstande — l von P zu 04 parallel

~pl, so ist P₃P₃ = yi^-^

Fig. 45.

i-i

und 03 ==

das Segment auf der rechten Pfeilervertikalen, wenn der Träger von der rechten Stütze auf — seiner Länge belastet ist

einer Parabel, als Erzeugniss eines Strahlenbüschels P mit einem ihm projectivischen Parallelstrahlenbüschel.

u. s. w.

Die Punkte P liegen auf

§ 33. Contiimirlicher Träger hei partieller gleiclnnässiger Belastung. Der Träger habe zwei Felder, das rechte Ende sei horizontal eingespannt, das linke überragend. Für die aus Tafel I ersichtliche Belastung die Momente und Transversalkräfte zu bestimmen.

Zur Construction der Fixpunkte bemerke man: Die verschränkte Pfeilervertikale der Stütze 1 fällt mit der Pfeilervertikalen selbst zusammen, weil die Felder gleiche Länge haben. Der linke Fixpunkt Ft des ersten Feldes fällt mit der Stütze 0, der rechte Fixpunkt FŹ des zweiten Feldes mit dem Schnittpunkte der Pfeilertangente und rechten Drittelvertikalen zusammen. Die Fixpunkte Fi und F% werden nun auf bekannte Weise construirt.

Im ersten Felde sind die Abschnitte der Kreuzlinien auf den Fixpunktvertikalen Null; im zweiten Felde sind sie, da Je — 0,4 zu setzen ist, nach der vorigen Tabelle auf der linken Pfeilervertikalen gleich 0,14760p ü², auf der rechten 0,17640p l², wenn man l — l nimmt. Jetzt ist das zweite Seilpolygon zu construiren.

In Folge der Belastung des überragenden Theiles entsteht an der Stütze 0 ein negatives Moment, dessen Grösse sich leicht — graphisch oder durch Rechnung — bestimmen lässt; trägt man

das entsprechende Segment — ~p/² = 0,03125pl² — von 0 nach

a'i nach aufwärts (weil negativ) auf, so ist a\ ein Funkt der mittleren Seite im ersten Felde (§ 20), da X — l gewählt wurde. Die Gerade nil giebt mit der linken Fixpunktvertikalen des zweiten Feldes den Schnitt a₂; «2^2 = a₂?>₂ aufgetragen ist K2F2 eine mittlere Seite im zweiten Felde u. s. w. — 0 Ut Wx 1 7/₂F₂IF₂2 ist das zweite Seilpolygon; die mittleren Seiten bis zu den Pfeilervertikalen verlängert erhält man die Stützenmomente 11' und 22'.

Die Segmente Oai, 11' und 22' tragen wir — um die Momenten-curve zu zeichnen — (in Figur Momente) entsprechend auf. Im überragenden Tlieile ist die Momentencurve eine Parabel, die auf bekannte Weise gezeichnet wird; da das erste Feld nicht belastet ist, so ist die Momentencurve in diesem eine Gerade, welche durch die Punkte a'i und 1' gehen muss. Im zweiten Felde ist die Momenten-curve nach dem vorigen Paragraphen zu construiren; dazu wurde in Fig. a der Abschnitt 1 ’ T, welchen die Tangenten auf der linken Pfeilervertikalen bilden, bestimmt; die Aveitere Construction bedarf keiner Erläuterung. Mit Hilfe der punktirten Linie a\F[ 1"jF₂2" erkennt man leicht den Einfluss der Belastung des überragenden Theiles für sich, sowie der Belastung des zweiten Feldes. Wie aus der Momentencurve die Transversalkräfte erhalten werden, ist bekannt.

§ 34. Kreuzlinien für eine Einzellast. Die Entfernung der

Last von der linken y Stütze sei a, von der rechten ß. Die positive Momentenfläche

/•

h—U-

-x> ist ein Dreieck AD F

= m = \cDxi,

Fig. 46.

wenn CD das Moment an der Stelle der Last repräsen-tirt. Ist AH= HB und SH = y DH, so ist S der Schwerpunkt des Dreieckes; wie

Pfeilervertikalen gleich a -f- y l — a)

man sofort aus der Figur sieht, ist sein Abstand von der linken

von der

4 a + «);

rechten gleich ~ Q + ß)- Der Schwerpunkt des Dreieckes liegt

immer im mittleren Drittel; daraus folgt, dass der Schwerpunkt jeder positiven Momentenfläche im mittleren Drittel liegen muss, also der Schnittpunkt der Kreuzlinien nicht ausserhalb fallen kann.

Sind wieder und die Abschnitte der Kreuzlinien auf der linken und rechten Pfeilervertikalen, so hat man zu deren Bestimmung

— b = -i- A angenommen — die Gleichungen:

4- m = sw

O

x • 4 (*+a)

ebenso

Wir führen die Construction unter der Voraussetzung A = l durch; also

CD;

= ³-±L CD.

Macht man BE — AC\ FA = CB und sind L und K die Schnitte von ED und FI) mit den Pfeilervertikalen, so ist

l a

AL = CD

= 9t₆;

BK = CD

1+ ß

= 91«.

Diese Construction hat Lippich³) angegeben. Verschiebt man

das Dreieck F CD so, dass FC in sich Ä selbst verschoben wird, so hat es, wenn F nach A gekommen ist, die Lage ABN (Fig. 47), wo DN//CB, und es ist offenbar DK// AN. Hiernach kann man und 97a auch so construiren⁴): Man ⁷⁾¹ ziehe durch D die Gerade MN// AB\ ferner DK// AN und DL // BM, dann ist AL = ÿl₆ und BK = und AK und BL sind die Kreuzlinien.

Fig. 47.

§ 35. Kreuzlinien für ein Einzellastensystem. Die Entfernungen der Lasten von der linken Stütze seien cc1} a₂ . . ., von der reckten ß₁₇ ß₂ ... ; G₁D₁, G₂D₂ .. . sollen die Momente an den Stellen der Lasten darstellen, wenn jede Last allein am einfachen Träger liegt; dann ist — A — l vorausgesetzt —

% = C₁D₁

+ G₂JD

g + «i)

= ClDl + C₂D₂ + • * • +

C₇ D₁xa₁ -f- C₃ D, x o;₂ -j~ • • •

Wa = CXDX 4- C₂D₂ + • • • 4-

QAxft -f- C₂ J>₂xßa -j— •

Die ersten Summen in diesen Ausdrücken sind unmittelbar ge

geben anzusehen; die zweiten sind nichts anderes als die auf die Basis l reducirten Momente der Kräfte CD, die in den Abstän- a den a, ß von einem gegebenen Punkte wirken; sie werden durch Construction eines Seil-polygones mit der Poldistanz °i l gefunden. Wir zeigen das Verfahren für drei Kräfte. ³

rar

.... V

A~

t'x..

B'

AD₁D₂D₃B sei die posi-tiveMomentenfläche ; verlängert L man die auf einer Kraft sich schneidenden Seilpolygonseiten bis zu ihren Schnittpunkten mit den Pfeilervertikalen und verbindet diese Schnittpunkte durch je eine Gerade, so erhält man die Momente ClD₁, C₂D₂, C₃Dä; mit diesen construirai wir das Kräftepolygon 0123 und für den Pol P das Seilpolygon A' ElE₂E₃B'. Verlängert man die äussersten Seilpolygonseiten A'₁E₁ und E₃B' bis nach K und L, so ist

Fig. 48.

CD

B'K= 2

% = 03 4- A'L-,

Diese Construction hat-'Lippich⁵) angegeben. Wir sind hier

97a = 03 4- B'K.

mit in der Lage für jede Belastung die Kreuzlinien zu construiren und damit nach § 29 für jeden Querschnitt Moment und Transversalkraft zu bestimmen.

§ 36. Momente und Transversalkräfte im belasteten Felde bei Belastung des continuirliclien Trägers mit einer einzigen Last. Es sei das Feld AB mit einer Last belastet, die übrigen Felder aber nicht belastet; F und F' seien die Fixpunkte. Die Momente an den Stützen ergeben sich leicht, wenn man bemerkt, dass bei der angenommenen Belastungsweise die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones durch die Fixpunkte gehen. Nach § 34 wurden in Fig. 49 die Kreuzlinien MN und N' L construirt; die Abschnitte derselben auf den Fixpunktvertikalen sind ab und cd; macht man Fb' = ab und F'd' — cd, so sind Fd' und F'b' die mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones; sie bestimmen die Momente AÄ und BB'. Das erste Seilpolygon selbst kann man leicht zeichnen, indem man vom Schnittpunkte von A'B' mit der Kraftlinie CD aufträgt und D mit A' und B' verbindet.

man

kann daher auch M'DN' als Mo-

Legt man die Kreuzlinien durch die Punkte Ä und B', so fallen sie mit den mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones zusammen; daraus folgt, dass die Gerade ac die Pfeilervertikalen in den Punkten M und N so trifft, dass MM' = AÄ und NN' — BB']

ML

- Yi

' mentencurve nehmen, wenn man fCN*' lg deren Ordinaten in vertikaler.Rich-| tung von MN an misst. Aus der Construction der Kreuzlinien sieht man sofort, dass für alle möglichen Lagen der Last im Felde der Strahl N’ N' D stets unter N'L, ebenso der Strahl M'D stets unter M N liegen J’    muss. Die Schnittpunkte J und J' der

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3?ig. 49.

Geraden ac mit M D und N'D — das sind die Punkte, an welchen bei gegebener Lage der Last gleichzeitig das Moment Null wird, wel-K chen also Wendepunkte, Inflexionspunkte der elastischen Linie entsprechen — liegen daher der erste links von a, der zweite rechts von c. Die Lage dieser Punkte ist dabei unabhängig von der Grösse der Last, da man ja, wenn die Last sich ändert, den Kräftemassstab oder die Poldistanz so wählen kann, dass CD dasselbe bleibt, somit an der Figur sich nichts ändert.

Die Punkte M' und N liegen stets über, der Punkt D stets

(d. h. für jede Lage der Last im Felde) unter ac\ das erste folgt unmittelbar daraus, dass die Momente an den Stützen des belasteten Feldes, wenn nur ein Feld belastet ist, immer negativ sind, § 27. Das letzte zu zeigen suchen wir, in welcher Weise sich die Lage der Punkte a und c auf den Fixpunktvertikalen ändert, während die Last von rechts nach links das fragliche Feld überschreitet.

Tn Fig. 50 sind für sechs verschiedene Lagen der Last die Linien ac die Schlusslinien des Seilpolygones für den continuirlichen Träger construirt; dabei ist angenommen, dass die Grösse der Last sich so ändere, dass das m’

Moment CD an Stelle der Last ungeändert bleibt. Diese Darstellung zeigt aber deutlich:

Während die Last das fragliche Feld über- ^    \

schreitet, bewegen sich die Punkte a und c nach entgegengesetzten Richtungen stetig auf den Fixpunktvertikalen; dabei bleibt D stets unter ^ ac. Hieraus schliesst man: An der Stelle ^ der Last ist das Moment stets positiv, und da zwischen den Lu Fixpunkten das Moment nie Null werden kann: Zwischen den Fixpunkten ist das Moment bei jeder Lage der Last im Felde positiv.

Ferner folgt aus der obigen Darstellung¹): Bewegt sich eine Last von einer Stütze zur andern, so beschreiben die Inflexionspunkte des die Wirkungen dieser Last darstellenden Seilpolygones in demselben Sinne wie die Last die äusseren Strecken zwischen den Stützen und den Fixpunkten F und F'.

In den äusseren Theilen des Feldes, zwischen einer Stütze und dem ihr zunächst liegenden Fixpunkte, wird also das Moment, je nach der Lage der Last, bald positiv, bald negativ.

1) Culmann, Graphische Statik. 1. Auflage. Seite 284.

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Fig. 50.

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Zieht man durch den Pol des Kräftepolygones Strahlen parallel zu M' D und DN' und zur Schlusslinie MN, so muss, weil D zwischen M' und N' unter MN liegt (Fig. 49), der Parallelstrahl M'D ober, der zu N'D unter dem Parallelstrahl zur Schlusslinie liegen; daraus folgt: Für alle Querschnitte links von der Last ist die Transversalkraft positiv; für alle Querschnitte rechts negativ.

zu

Die hier gefundenen Ergebnisse gestatten, diejenige gleichmässige Belastung anzugeben, welche in einem bestimmten Querschnitte die grösste Transversalkraft oder das grösste Moment zur Folge hat.

§ 37. Bestimmung der gleiclimässigen Belastung für die Maximal-Transversalkräfte. Da die Belastung eines Feldes auch auf die Transversalkräfte und Momente der übrigen Felder Einfluss übt, so ist nicht blos die Belastung im Felde, wo der Querschnitt liegt, sondern auch die der übrigen Felder zu bestimmen.

Belastung des fraglichen Feldes. Nach dem vorigen Paragraph ist die Transversalkraft positiv oder negativ, je nachdem die Last rechts oder links vom Querschnitte liegt; die grösste positive (negative) Transversalkraft wird sich daher ergeben, wenn wir so viele Lasten als möglich rechts (links) vom Querschnitte ins fragliche Feld bringen; unter der Voraussetzung einer gleichmässigen Belastung also das Feld vom Querschnitte bis zur rechten (linken) Stütze total belasten. Für die Maximal trans versalkraft ist somit die Belastung des Feldes dieselbe, wie die eines einfachen Trägers.

Belastung der übrigen Felder. Die Belastung eines Feldes hat in allen Querschnitten des linken Nachharfeldes eine negative, in allen Querschnitten des rechten Nachbarfeldes eine positive Transversalkraft zur Folge; in den weiteren Feldern ist die Transversalkraft abwechselnd positiv und negativ. Eine Last im Felde unmittelbar rechts (links) vom fraglichen liefert daher für alle Querschnitte desselben eine negative (positive) Transversalkraft. Für die grösste positive (negative) Transversalkraft in einem Felde darf daher das Feld unmittelbar rechts (links) davon nicht belastet sein, während das Feld links (rechts) vom fraglichen belastet sein muss; die übrigen Felder müssen abwechselnd belastet und nicht belastet sein. Wir können hiernach sagen¹):

In einem gegebenen Querschnitte erhält die Trans-

versalkraft den grössten positiven (negativen) Werth, wenn das fragliche Feld vom Querschnitte bis zur rechten (linken) Stütze total, der übrige Theil des Feldes nicht belastet ist; die anstossenden Felder müssen abwechselnd belastet und nicht belastet sein u. z. so, dass auf den belasteten Theil des fraglichen Feldes ein nicht belastetes Feld, auf den nicht belasteten Theil des fraglichen Feldes ein belastetes Feld folgt.

Für die Querschnitte unmittelbar links und rechts von einer Stütze fallen die nicht belasteten, bezüglich belasteten Theile unendlich klein aus.

§ 38. Bestimmung der gleichmässigen Belastung für die Maximal-Momente. Zwischen den Fixpunkten im mittleren Trägertheile treten immer nur (bei alleiniger Belastung des betreffenden Feldes) positive Momente auf; in den äusseren Theilen aber, zwischen einer Stütze und dem ihr nächstliegenden Fixpunkte, wird das Moment bald positiv, bald negativ; dementsprechend unterscheidet man, ob der fragliche Querschnitt im mittleren, oder in einem äusseren Theile liegt.

1)    Mittlerer Theil. Belastung des fraglichen Feldes. Da für jede Lage der Last im Felde in jedem Querschnitte zwischen den Fixpunkten das Moment positiv ist, so erhält man in allen Querschnitten zwischen den Fixpunkten die grössten positiven Momente gleichzeitig bei totaler Belastung des ganzen Feldes; die grössten negativen Momente, wenn das Feld gar nicht belastet ist.

Mittlerer Theil. Belastung der übrigen Felder. Bei Belastung eines Feldes treten in allen Querschnitten der mittleren Theile der beiden benachbarten Felder negative Momente auf; in den weiteren Feldern abwechselnd positive und negative Momente. Die grössten positiven oder negativen Momentp für alle Querschnitte des mittleren Theiles eines Feldes erhält man daher, wenn die Nachbarfelder gar nicht oder total, die weiteren abwechselnd belastet sind. Am ganzen Träger wechseln also belastete und nicht belastete Felder regelmässig miteinander ab.

2)    Aeussere Theile. Belastung des fraglichen Feldes. Der Querschnitt liege zwischen der linken Stütze und dem linken Fixpunkte F. Man denke sich die Lage einer Einzellast gefunden, bei welcher im fraglichen Querschnitte C das Moment Null wird, C also

§ 38. Gleiehmässige Belastung für die Maximal-Moraente.

76

ein Inflexionspnnkt der elastischen Linie ist. Der Punkt, an dem die Last liegt, heisse der Neutralpunkt für den Querschnitt G. Rückt die Last vom Neutralpunkte nach rechts, so rückt der Inflexionspunkt gleichfalls nach rechts; da aber an der Stütze das Moment stets negativ, an der Stelle der Last das Moment stets positiv und die Momentencurve zwischen der Stütze und Last eine Gerade ist, so ist für die neue Lage der Last das Moment im fraglichen Querschnitte G negativ. Jede Last rechts vom Neutralpunkte für den fraglichen Querschnitt hat in diesem ein negatives Moment zur Folge.

Rückt die Last vom Neutralpunkte nach links, so rückt der Inflexionspunkt gleichfalls nach links; so wie oben schliessen wir, dass der neuen Lage der Last ein positives Moment im fraglichen Querschnitte entspricht. Jede Last links vom Neutralpunkte für den fraglichen Querschnitt hat in diesem ein positives Moment zur Folge.

Analoge Sätze gelten für Querschnitte zwischen dem rechten Fixpunkte und der rechten Stütze. Hieraus schliesst man¹): In einem gegebenen Querschnitte G tritt das grösste Moment auf, wenn das fragliche Feld vom Neutralpunkte für den Querschnitt C bis zur linken oder rechten Stütze belastet, der übrige Theil des Feldes nicht belastet ist. Fürs positive Maximum ist der Querschnitt von der Last überdeckt, fürs negative nicht.

Für einen Querschnitt zwischen den Fixpunkten sind die Stützen des Feldes die Neutralpunkte; damit erhält man aus dem letzten Satze den unter (1) ausgesprochenen.

so

Kennt man also den Neutralpunkt für einen Querschnitt, ist damit die gefährlichste Belastung bezüglich der Momente für den Querschnitt auch schon gegeben. Der Neutralpunkt Avird gefunden, wenn man (Fig. 50) die Querschnittsvertikale mit dem geometrischen Orte der Punkte J — d. i. als Erzeugniss zweier entgegengesetzter projectivischer Strahlenbüschel eine Hyperbel, welche, wie sich aus dem Pascal’schen Satze ergiebt, die Fixpunktvertikale berührt — soweit dieser allen Lagen einer Einzellast im Felde entsprechend zu zeichnen ist, in J schneidet, und die Gerade M' J (in der Figur nicht gezogen) mit DÖD₀ zum Schnitt bringt.

Einfacher aber ist zu einem angenommenen Neutralpunkte, also

§ 38. Gleichmässige Belastung für die Maximal-Momente.

77

einer angenommenen Belastung, den entsprechenden Querschnitt zu suchen; es kommt nur darauf an, für eine gegebene Lage der Last die Inflexionspunkte zu construiren nach § 36. Hat man für mehrere Neutralpunkte die Inflexionspunkte zu bestimmen — d. i. für mehrere angenommene gefährlichste Belastungsweisen die entsprechenden Querschnitte zu suchen — so wird das Verfahren unmittelbar aus Figur 50 klar. Zwischen den Pfeilervertikalen construire man ein Rechteck M'N'D₀D₆ von beliebiger Höhe; die Diagonalen M'D₀ und F' D₅ schneiden die Vertikalen durch die Fixpunkte F und F' in den Punkten a₀ und c₅; man mache a₀a₆ = Fa₀ und c₅c₀ = F'c₅ und tlieile die Strecken D₀Dr>, a₀a& und c₆c₀ in eine gleiche Anzahl gleicher Theile (in der Figur 5); die Theilungspunkte versehe man mit Zeigern aufsteigend: bei D von rechts nach links, bei a von oben nach unten, bei c von unten nach oben; verbindet man nun einen Punkt a mit dem gleichbezifferten c und schneidet ac die Verbindungslinien von M' und N' mit dem gleichbezifferten _D in den Punkten J und J', so sind diese die Inflexionspunkte für den Neutralpunkt D⁶).

Belastung der übrigen Felder. In Folge der Belastung eines Feldes treten im linken Theile des linken Nachbarfeldes positive,' im linken Theile des rechten Nachbarfeldes negative Momente auf; in den darauffolgenden Feldern wieder abwechselnd positive und negative. — Daraus folgt⁷): Für einen Querschnitt im linken Theile eines Feldes ergiebt sich das grösste positive (negative) Moment, wenn das rechte (linke) Nachbarfeld total, das linke (rechte) gar nicht belastet ist; die darauffolgenden Felder müssen abwechselnd belastet und nicht belastet sein. Für einen Querschnitt im rechten Theile eines Feldes erhält man das grösste positive (negative) Moment, wenn das linke (rechte) Nachbarfeld total, das rechte (linke) gar nicht belastet ist, während die übrigen Felder wieder abwechselnd belastet und nicht belastet sind.

Geht man von der Belastung des fraglichen Feldes aus, so sieht man, dass an den belasteten Theil ein nicht belastetes Feld, an den nicht belasteten Theil ein belastetes Feld anstösst. Für alle Querschnitte in einem der drei Theile eines Feldes ist die gefährlichste Belastung der übrigen Felder dieselbe.

§ 39. Maximal-Trans versalkräfte und Maximal-Momente bei gleiclimässiger Belastung. Nach dem Vorhergehenden kann man für jeden einzelnen Querschnitt diejenige gleichmässige Belastung angeben, welche das grösste Moment oder die grösste Transversalkraft zur Folge hat, und auch diese selbst bestimmen. Sollen die Curven der Maximal-Transversalkräfte und -Momente gezeichnet werden — Curven, deren Ordinaten an jeder Stelle das daselbst auftretende grösste Moment bezüglich die grösste Transversalkraft darstellen — so bestimmt man für eine hinreichende Anzahl von Querschnitten die Maximal-Transversalkraft und das Maximalmoment, trägt sie entsprechend als Ordinaten auf und verbindet deren Endpunkte durch eine stetige krumme Linie. Wir zeigen das Verfahren an einem Träger mit drei Feldern; das Verhältniss der Feldlängen sei lx:l₂:l3 — 8 : 10 : 8. Für diese Annahme wurden zunächst auf Tafel III die Fixpunkte construirt.

Maximaltransversalkräfte. Wir bestimmen zunächst für sechs Querschnitte a, b, c, d, e und 0 im zweiten Felde die grössten positiven Transversalkräfte. Die entsprechende Belastung (Fig. C) reicht immer vom fraglichen Querschnitte bis zur rechten Stütze; dabei ist für alle sechs Querschnitte das erste Feld total, das dritte gar nicht zu belasten.

Für diese sechs Belastungsfälle sind nun die Kreuzlinien zu con-struiren; wir benützen dazu die Tabelle auf Seite 67, wählen A — l2}

-^-A; dann sind fürs zweite Feld die Zahlen der Tabelle direct gebrauchen, fürs erste a4>er mit (jj —    — 0,4096 zu mul-

b =

zu

tipliciren.

Wir wählen für den Momentenmassstab pAa = pZjjj = 24 Centi-meter; für den Kräftemassstab pA — pZ₂ = 4 Centimeter; dann ist

h-

die Poldistanz a für das erste Seilpolygon gleich a —    = -^A =

die mittle-

Diesen sechs Belastungsfällen entsprechend ist das zweite Seilpolygon zu zeichnen, nur soweit als zur Bestimmung der betreffenden Normalmomente nöthig ist; also für jede Belastung nur ren Seiten des zweiten Seilpolygones im zweiten Felde. Bringt man a 1 (im ersten Felde) mit der linken Fixpunktvertikalen des zweiten Feldes (Fig. Zweites Seilpolygon) in A zum Schnitt, so ist A ein allen sechs Belastungsfällen entsprechenden zweiten Seilpolygonen gemeinschaftlicher Punkt; ein zweiter solcher Punkt ist F'Ź. Von A und Fź trägt man die Segmente der Kreuzlinien auf den Fixpunkt-

§ 39. Maximal-Transversalkräfte und -Momente bei gleichm. Belastung. 79

vertikalen nach abwärts auf, nach a, b ... e. Verbindet man A und F'l mit den Punkten a, b ... e beziehungsweise auf der rechten und linken Fixpunktvertikalen, so schneiden diese Verbindungslinien auf den Pfeilervertikalen die betreffenden Normalmomente ab; die Schnittpunkte sind wieder mit a, b ... e bezeichnet, rechts von der linken, links von der rechten Pfeiler vertikal en. Zur Bestimmung der Transversalkräfte selbst handelt es sich jetzt um die Construction der Endtangenten an die Momentencurven. Die Segmente, welche diese auf der Vertikalen durch die Stütze 2 abschneiden, wurden in Fig. A nach § 32 construirt und auf die Pfeilervertikale (Stütze 2) nach aa, bb . .. übertragen; die Bezeichnung steht links von der Vertikalen. Verbindet man die Punkte a,b. .. auf der Vertikalen links mit den unteren Punkten a, b . . . auf der Pfeiler vertikalen rechts und zieht (Fig. Transversalkräfte) zu diesen Verbindungslinien parallele Strahlen durch Punkte, die in der Entfernung a von den betreffenden Querschnittsordinaten auf der Horizontalen durch die Stützen liegen, so bestimmen diese Parallelstrahlen auf den Quer-sclmittsordinaten Segmente, welche die gesuchten‘Maximäl-Transver-salkräfte darstellen. (Für den Querschnitt 0 ist der Strahl parallel Fź A zu ziehen.) Die Verbindung der Endpunkte dieser Segmente durch eine stetige krumme Linie giebt die Curve der positiven Maximal-Transversalkräfte im zweiten Felde.

Beachtet man, dass die beiden Belastungen für die positiven und negativen Maximal-Transversalkräfte sich zur totalen ergänzen, so erhält man aus der Transversalkraft bei totaler Belastung und der positiven Maxiinal-Transversalkraft für einen Querschnitt leicht die negative Maximal-Transversalkraft. In Fig. Maximal-Transversalkräfte entspricht die punktirte Gerade der totalen Belastung; misst man von dieser Geraden an die Ordinaten der positiven Maximal-Transversalkräfte, so hat man sofort die negativen Maximal-Transversalkräfte für die betreffenden Querschnitte; sie sind von der Horizontalen aus nach abwärts aufgetragen.

In einem Querschnitte des ersten Feldes tritt die grösste positive Transversalkraft auf, wenn das erste Feld vom Querschnitte bis zur rechten Stütze, das zweite gar nicht, das dritte total belastet ist. Für die angenommenen sechs Querschnitte, Fig. C, wurden wieder die zweiten Seilpolygone im zweiten Felde soweit als nothwendig construirt; da das zweite Feld nicht belastet ist, so handelt es sich nur um die mittleren Seiten. Der Punkt B auf der rechten Fixpunktvertikalen ist allen gemeinschaftlich; einen zweiten jeder mitt-

leren Seite findet man auf bekannte Weise auf der linken Fixpunktvertikalen; sie sind für die Querschnitte a} b, c, d, e des ersten Feldes mit ax (fällt mit A zusammen), bl} cx ... bezeichnet; der Buchstabe wird von dem Strahle durchschnitten, der mit der Fixpunktvertikalen den Punkt bestimmt. Die Geraden BA, Bbx, Bax... schneiden auf der Vertikalen durch 1 die den angenommenen Belastungen im ersten Felde entsprechenden Momente ab; die Endpunkte der betreffenden Segmente sind wieder mit a,J)... bezeichnet : die Buchstaben fürs erste Feld stehen links von der Vertikalen durch 1. Die Segmente der Endtangenten auf der Vertikalen durch 1 wurden in Figur B construirt. Die Bestimmung der Transversalkräfte selbst bedarf nach dem oben Gesagten keiner weiteren Erklärung.

In gleicherweise wurden die positiven Maximal-Transversalkräfte im dritten Felde construirt. Aus den Curven der positiven Maximal-Transversalkräfte erhält man die der negativen, wenn man die Figur um eine Axe durch die Mitte des Trägers senkrecht auf der Zeichenfläche um 180® dreht.

Maximalmomente. In allen Querschnitten zwischen den Fixpunkten treten die grössten Momente gleichzeitig auf; die positiven bei totaler Belastung, die negativen bei Nichtbelastung des fraglichen Feldes, während die übrigen abwechselnd belastet sind. Bei totaler Belastung des ersten und dritten Feldes, Nichtbelastung des zweiten, hat man die grössten positiven Momente im linken (zugleich mittleren) Theile des ersten und im rechten Theile des dritten Feldes, gleichzeitig die grössten negativen Momente im mittleren Theile des zweiten Feldes; bei Nichtbelastung des ersten und dritten Feldes, totaler Belastung des zweiten, hat man die grössten negativen Momente im mittleren Theile des ersten und dritten Feldes, gleichzeitig die grössten positiven im mittleren Theile des zweiten. Für diese beiden Belastungsweisen kann man die Momente an den Stützen 1 und 2 sofort aus Fig. Zweites Seilpolygon entnehmen. Für die erste Belastungsweise sind diese Momente F%A — F'%B\ für die zweite 11. Diese wurden nach Fig. Maximal-Momente übertragen und dann auf bekannte Weise die positiven und negativen Maximalmomente zwischen den beiden Fixpunkten construirt.

Für die Querschnitte in den äusseren Theilen der Felder ändert sich die gefährlichste Belastung von einem Querschnitte zum andern; sie reicht vom Neutralpunkte des Querschnittes bis zu einer Stütze, wobei fürs positive Maximum der Querschnitt von der

Last überdeckt, fürs negative nicht überdeckt ist. Im ersten Falle ist das Moment im Querschnitte durch die Ordinate einer Parabel, im letzten durch die Ordinate einer Geraden gegeben; wir bestimmen deshalb für die Querschnitte in den äusseren Theilen der Felder die negativen Maximal-Momente direct, die positiven wieder nach der Bemerkung, dass die beiden Belastungen fürs positive und negative Maximum in einem Querschnitte sich zur totalen ergänzen. Dabei nimmt man die Belastung, die Neutralpunkte an und sucht nach § 38 die zugehörigen Querschnitte.

In Fig. Gefährlichste Belastungen sind die Querschnitte des zweiten Feldes bestimmt, in welchen die Momente für die zur Construction der positiven Maximal-Transversalkräfte angenommenen Belastungen am grössten werden. Im nicht belasteten Trägertheile ist dabei die Momentencurve eine Gerade, eine der schon früher construirten Tangenten; die Ordinate derselben am betreffenden Querschnitte gemessen giebt das daselbst auftretende grösste negative Moment; z. B. die Ordinate cc der Tangente cc das grösste negative Moment für den Querschnitt Jc etc. In Figur Maximal-Momente sind diese Ordinaten an den entsprechenden Querschnitten aufgetragen und deren Endpunkte durch eine continuirliche krumme Linie verbunden. Wegen der Symmetrie der Anordnung braucht man die Momente für den rechten Theil nicht besonders zu con-struiren. Die positiven Maximal-Momente wurden wie oben angedeutet bestimmt.

In gleicher Weise wurden die negativen Maximal-Momente im linken Theile des dritten Feldes construirt. Das erste Feld ist nicht, das zweite total belastet; für die angenommenen Belastungsfälle des dritten Feldes wurden die Momente an der Stütze 2 wieder mit dem zweiten Seilpolygone im zweiten Felde bestimmt; es handelt sich da nur um die der Stütze 2 zunächst liegenden mittleren Seiten für die oben angegebenen Belastungen. Der Punkt C auf der linken Fixpunktvertikalen ist allen gemeinschaftlich; auf bekannte Weise findet man von jeder einen zweiten Punkt b₃, c₃ ... auf der rechten Fixpunktvertikalen; die Linien Cbs, Cc₃ schneiden auf der Vertikalen durch 2 die gesuchten Stützenmomente ab; die Endpunkte der betreffenden Segmente sind wieder mit a,b . . . bezeichnet; die Buchstaben stehen rechts von der Pfeilervertikalen durch 2 und sind von den zugehörigen Strahlen geschnitten. Die weitere Construction ist selbstverständlich.

§ 40. Inflnenzcurven. Den Einfluss der Lage einer Einzellast auf Transversalkraft und Moment in einem gegebenen Querschnitte haben wir bisher nur insofern in Betracht gezogen, als das Zeichen der Transversalkraft oder des Momentes in Frage kam; es war dies auch vollständig ausreichend, diejenige gleichmässige Belastung zu bestimmen, welche für einen gegebenen Querschnitt die Transversal -kraft, beziehungsweise das Moment am grössten macht. Bei gleich-massiger Belastung sind irgend zwei Lastelemente gleichwerthig ; d. h. durch Vertauschen von irgend zwei Lastelementen ändert sich nichts. Anders verhält sich im Allgemeinen die Sache bei einem Systeme von Einzellasten. Die Wirkung eines Einzellastensystems auf Transversalkraft und Moment in einem Querschnitte lässt sich leicht beurtheilen, wenn man den Einfluss der Lage einer Einzellast auf das Zeichen und die Grösse der Transversalkraft beziehungsweise des Momentes anschaulich macht durch Curven, deren Ordi-naten an der Stelle der Last gemessen die an einem Querschnitte auftretende Transversalkraft beziehungsweise das Moment darstellen. Solche Curven heissen Influenzcurven.

man

Transversalkräfte. Wir bestimmen zunächst bei gegebener Lage der Last die Transversalkräfte an allen Querschnitten des Feldes, in dem die Last liegt, Fig. 51. Es seien 7 und J' die der Last im Felde entsprechenden Inflexionspunkte. Der Theil des Feldes zwischen den beiden Punkten J und J' verhält sich für die unveränderlich angenommene Belastung wie ein an den Enden frei aufliegender Träger; denn da in J und J' keine Momente auftreten, so muss wenn der Trägertheil JJ' herausgeschnitten wird — die Belastung desselben durch zwei vertikale aufwärts gerichtete Kräfte im Gleichgewichte halten können, die Theile AJ und J'JB durch

A J G

fFT

zwei bezüglich gleich grosse nach abwärts gerichtete Kräfte. Macht

man JG = J'G' = G,

so sind

cv .....

Fig. 51.

CC' und C" C die gesuchten Kräfte; zugleich ist, wie leicht einzusehen, CC' die Transversalkraft für alle Querschnitte links, CC" die Transversalkraft für alle Querschnitte rechts von der Last. So lange daher die Last rechts (links) von einem gegebenen Querschnitte liegt, ist die Transversalkraft für denselben gleich derjenigen Va für den Schnitt unmittelbar rechts (links)

von der linken (rechten) Stütze. Die Influenzcurve für einen beliebigen Querschnitt erhält man somit aus den Influenzcurven für die Querschnitte unmittelbar neben den Stützen. Da aber Vb = Va — Cr, so braucht man nur eine Influenzcurve zu construiren.

Bewegt sich die Last von der rechten Stütze nach links über den Träger, so rückt auch J vom linken Pixpunkte des Feldes nach links, aber langsamer; denn während die Last das Feld überschreitet, rückt J vom linken Fixpunkte bis zur linken Stütze; es kommt daher die Last dem Punkte J immer näher und da, wenn auch die Länge JJ' im Anfänge abnimmt, ihre relative Längenänderung immer kleiner bleibt, als die relative Änderung der Entfernung der Last von J (vgl. Fig. 50), so wird GG\ d. i. Va immer grösser. In Verbindung mit dem oben Gesagten folgt hieraus⁸): Für einen gegebenen Querschnitt wird die Transversalkraft am grössten positiv oder negativ, je nachdem die Last unmittelbar rechts oder links vom Querschnitte liegt.

In Fig. 52 ist für sechs Lagen der Last nach dem hier gezeigten Verfahren Va bestimmt⁹); die Inflexionspunkte 0, 1 ... 5 wurden nach,Fig. 50 gefunden; es ist DQ C₁C₂ . .. Cb die Influenzcurve für die Transversalkraft Va im Querschnitte unmittelbar rechts von der linken Stütze; die Ordi- ó nate derselben von D₀D5 gemessen giebt die Transversalkraft für die betreffende Lage der Last.

C"

Fig. 52.

Misst man die Ordinaten dieser Curve von der ą. rechten Stütze bis zu einem beliebigen Querschnitte C von D₀D₅ an, vom Querschnitte bis

zur linken Stütze aber von C"5 an, so hat man offenbar die In-

' m

fluenzcurve für den Querschnitt G, woraus dann sofort wieder der oben ausgesprochene Satz folgt.

Es erübrigt noch in den übrigen Feldern die Influenzcurve für die Transversalkräfte in einem Querschnitte zu zeichnen. Liegt die Last nicht im Felde, wo der Querschnitt liegt, so ist die Transversalkraft, also auch die Influenzcurve, für alle Querschnitte des fraglichen Feldes dieselbe; sie wird auf bekannte Weise mit Hilfe der

Momentencurve (des ersten Seilpolygones für eine bestimmte Lage der Last) erhalten; es kommt nur darauf an, das Moment an der dem fraglichen Felde zunächst liegenden Stütze des Feldes, in dem die Last liegt, zu bestimmen. Man sieht leicht ein, dass die Influ-enzcurve in jedem Felde den höchsten oder tiefsten Punkt bei derjenigen Lage der Last hat, für welche dieses Stützenmoment am grössten wird. Ueber die Construction selbst ist nichts weiter zu bemerken.

Momente. Die Influenzcurve zu zeichnen, bestimmt man für verschiedene Lagen der Last das Moment am fraglichen Querschnitte, trägt dasselbe an der Stelle der Last als Ordinate auf und verbindet die Endpunkte der Ordinaten durch eine stetige krumme Linie.

Wir fassen zunächst die Influenzcurve für einen Querschnitt zwischen den Fixpunkten eines Feldes ins Auge, während die Last das Feld — in dem der fragliche Querschnitt liegt — von rechts nach links überschreitet. Sowie die Last die rechte Stütze des Feldes überschritten hat, tritt im fraglichen Querschnitte C ein positives Moment auf. Der Theil des Feldes zwischen den der Lage der Last entsprechenden Inflexionspunkten J und J' kann als einfacher Träger angesehen und das Moment in C demgemäss bestimmt werden. Rückt die Last weiter nach links gegen den Querschnitt, so rückt auch J weiter nach links, das Moment im Querschnitte wird grösser, weil einerseits der Auflagerdruck in J, andererseits die Entfernung desselben vom Querschnitte grösser wird. Es wächst also mit der Annäherung der Last an den Querschnitt das Moment, und zwar um so rascher, je näher die Last dem Querschnitte bereits liegt; denn beide auf das Wachsen des Momentes wirkenden Fac-toren werden immer grösser. Daraus kann man schliessen, dass die Influenzcurve beständig ihre erhabene Seite der Abscissenaclise zukehrt, das Moment im Querschnitte am grössten wird, wenn die Last am Querschnitte liegt. Ueberschreitet die Last den Querschnitt, so wird das Moment kleiner; da für die Influenzcurve von der linken Stütze gegen den Querschnitt offenbar dasselbe Gesetz gilt, wie von der rechten gegen den Querschnitt, so hat die Influenzcurve im Querschnitte eine Spitze.

Durch ähnliche Betrachtungen kann man für einen Querschnitt in einem äusseren Theile des Feldes z. B. zwischen dem linken Fixpunkte und der linken Stütze Aufschlüsse über die Gestalt der Influenzcurve erhalten. Sowie die Last über die rechte Stütze ins fragliche Feld eintritt, wird im Querschnitte ein negatives Moment entstehen, das — absolut genommen — beim Weitersclireiten der Last bis zu einer gewissen Grösse wächst, dann aber abnimmt, weil es wieder Null sein muss, wenn die Last im Neutralpunkte des Querschnittes angelangt ist. Vom Neutralpunkte an verhält sich die Sache wieder so, wie für einen Querschnitt zwischen den beiden Fixpunkten; für jede Lage der Last links vom Neutralpunkte ist das Moment im fraglichen Querschnitte positiv und wird am grössten, wenn die Last am Querschnitte liegt.

Für einen Fixpunkt fällt der Neutralpunkt mit der dem Fixpunkte ferneren Stütze des Feldes zusammen, woraus folgt, dass die Influenzcurve für einen Fixpunkt die Abscissenaxe tangirt.

Die Lage der Last, bei welcher das negative Moment in einem Querschnitte in einem äusseren Theile eines Feldes am grössten wird, kann man durch die oben angedeutete Construction der Influenzcurve angenähert finden; eine genauere Bestimmung derselben hat keinen Werth.

Von besonderer Wichtigkeit sind die Influenzcurven für die Momente an den Stützen, da an diesen überhaupt die grössten Momente auftreten, diese Momente aber auch massgebend sind zur Bestimmung der Transversalkräfte und Momente für die Querschnitte derjenigen Felder, in welchen die Last nicht liegt. Eine einfache Construction der Influenzcurven für die Momente an den Stützen eines Feldes, über welches sich eine Einzellast bewegt, hat Mohr¹⁰) aus den Ausdrücken für die Stützenmomente abgeleitet. Diese Ausdrücke kann man auf folgende Art erhalten.

In Fig. 49 sind diese Momente Ma und Mb durch die Segmente MM' und NN' repräsentirt, wenn CD das Moment des einfachen Trägers an der Stelle der Last darstellt. Sind nun a und b die Entfernungen der Fixpunkte F und F' beziehungsweise von der linken und rechten Stütze, yt und y₂ die in den Fixpunktvertikalen gemessenen Abstände der Schlusslinien MN und M’N'j or(/3) der Abstand der Last von der linken (rechten) Stütze, so hat man:

¹

   Eine ausführliche Tabelle giebt Lippich a. a. O. Seite 58.

²

   Winkler, Aeussere Kräfte. 2. Auflage. 1875. Seite 208.

³

   Lippich a. a. 0. Seite 11.

⁴

   Winkler, Aeussere Kräfte. Seite 210.

⁵

Lippich a. a. 0. Seite 49.

⁶

   Mohr a. a. 0. Seite 44.

⁷

   Winkler, Civilingenieur. 1862. Seite 153—156.

⁸

   Culmann, Graphische Statik. 1. Auflage. Seite 286.

⁹

   Mohr a. a. 0. Seite 48.

¹⁰

Mohr a. a. Ü. Seite 45.

v, = N'Kj = Ÿ-^r-CD

CD.

_ b_ Z + a l ~ l l

il — b) y, — ay₂

MM' = yl + (y, — y₂)

NN' =    + (y₂ — yt)

(*— a)y» — by,

Hierin für yx und y₂ die Werthe gesetzt:

»-I a

MM' = CD

21 —3b —a

NN' = CD

oder

Ma =

Q «(* — «) .

21 —3b —a

a(l — ot)

iO

l — 3 a -p «

Hiernach findet man (Fig. 53) Ma auf folgende Weise: Man construire für einen an den Enden frei aufliegenden Träger die

Lastmomentencurve für die Last y6r, d. i. die Momentencurve, deren Ordinate an der Stelle der Last gemessen das daselbst auftretende

ÏD

<-

ül~₃b

Fig. 53.

Moment darstellt; es sei AV B diese Parabel. Man mache AE — 21 — 3 b, GE = l — cl — b ; GH _L AB und projicire die Punkte der Parabel z. B. D auf GH nach H\ die Gerade EH schneidet die Parabelordinate CD in einem Punkte K der gesuchten Curve. In ähnlicher Weise lässt sich die Curve für Mb construiren.

von

Die Influenzcurve für Ma hat in der rechten, die für Mb in der linken Fixpunktvertikalen einen Wendepunkt. Das Maximum Ma, der höchste Punkt der Influenzcurve für Ma, ergiebt sich für

b-VrA + (V-A-

Vertauscht man hierin a mit l — a und b mit a, so hat man für das Maximum von Mb•*

welche Ausdrücke sich leicht construiren lassen¹).

Beschreibt man mit dem Halbmesser r von einem der Drei-

theilungspunkte des Feldes als Mittelpunkt einen Halbkreis und errichtet in der Mitte des Feldes eine /

Senkrechte auf AB, welche A_ den Halbkreis in K schnei- <-det, so sind durch F' K und FK die Wurzelgrössen in den obigen Ausdrücken gegeben und 77„ und 77* die gesuchten Punkte.

[IT a___B JTb\

ii

-i>4    (■ l

Fig. 54.

<K

Sind in allen Feldern die Influenzcurven für die Stützenmomente construirt, so findet man mit diesen sehr leicht die Influenzcurven der Transversalkräfte und Momente für einen Querschnitt eines bestimmten Feldes in allen übrigen Feldern. Sollen nun für mehrere Querschnitte in jedem Felde die Influenzcurven der Transversalkräfte und -Momente gezeichnet werden, so construirt man zunächst in allen Feldern die Influenzcurven für Ma und 717*; für eine gegebene Lage einer Last in einem Felde hat man dann sofort die Momente an den Stützen desselben und kann durch Ziehen von Geraden, die durch die betreffenden Fixpunkte gehen, die Momente in allen übrigen Feldern angeben, sowie die Transversalkräfte in denselben bestimmen; im fraglichen Felde (wo die Last liegt) selbst kann man, da durch die Stützenmomente die Schlusslinie der positiven Momentenfläche festgelegt ist, das erste Seilpolygon und somit die Momente construiren.

§ 41. Maximal-Transversalkräfte und Maximal-Momente für ein Einzellastensystem. Mit Hilfe der Influenzcurven kann man am bequemsten versuchsweise die Maximal-Transversalkräfte und Maximal-Momente in Folge der Wirkung eines Einzellastensystemes bestimmen. Man sieht sogleich, welche Felder zu belasten sind, je nachdem es sich um die grössten positiven oder negativen Transversalkräfte und -Momente handelt. Man wird die schwersten Lasten an die Querschnitte legen, welchen die grössten Ordinaten der be-

treffenden Influenzcurven entsprechen. Zur Summation der Ordinaten, an welchen Lasten liegen, bedient man sich zweckmässig durchsichtiger Hornblättchen (oder passend aufgespannter Pausleinwand), auf welchen die Entfernungen der Lasten durch hinreichend lange, mit den Lastgewichten versehene, parallele Liniensegmente markirt sind, durch deren Mitte beiläufig eine Gerade senkrecht — als Ab-scissenachse — gezogen ist. Der verschiedenen Grösse der Lasten trägt man durch verschiedene Massstäbe Rechnung.

Wie wir oben gesehen haben, ist die Construction der Influenzlinien leicht und verhältnissmässig rasch durchzuführen und wegen des grösseren Massstabes, den man für die Einzellast wählen kann, eine kleine Ungenauigkeit der Zeichnung von geringerer Bedeutung.

III. Der continuirliche Träger mit constantem Querschnitte bei ungleich hohen Stützen.

§ 42. Einleitung. Gefährlichste Belastungsweise. Soll ein Träger auf mehreren Stützen, die nicht in einer Geraden liegen, aufruhen, so muss er auch im nicht belasteten Zustande Deformationen, Biegungen erleiden; es müssen in den einzelnen Querschnitten auch im nicht belasteten Zustande Transversalkräfte und Momente auf-treten. Der Träger kann trotzdem als gerader angesehen werden, wenn diese Biegungen so klein sind, dass die Grundhypothese gerader Träger dx — ds erhalten bleibt; wir setzen dies voraus.

Wird ein solcher Träger in irgend einer Weise belastet, so werden die schon vorhandenen Senkungen der elastischen Linie, die bereits auftretenden Schubkräfte und Momente Aenderungen erleiden; diese sind sehr nahe dieselben, die man erhält, wenn die ursprüngliche Deformation nicht vorhanden und nur die Belastung am Träger wirkend angenommen wird; denn da wir die ursprüngliche Deformation so klein annehmen, dass dx = ds gesetzt werden kann, so ist es gerade so, als ob man den Stab in seinem unverbogenen Zustande vor sich hätte. Man kann demnach den Einfluss der Belastung auf Transversalkräfte und Momente ganz getrennt vom Einflüsse einer ungleichen Höhenlage der Stützen untersuchen.

Gefährlichste Belastungsweise. Nach dem oben Gesagten wirkt die Belastung auf den Träger bei ungleicher Höhenlage der Stützen, wenn dabei dx — ds, so, als ob der Stab in seinem unverbogenen Zustande sich befände. Es werden daher die grössten Transversal-

kräfte und Momente bei derselben Belastung auftreten, die sich bei gleich hohen Stützen ergiebt. Die gefährlichste Belastungsweise ist daher von der Höhenlage der Stützen unabhängig.

§ 43. Einfluss einer ungleichen Höhe der Stützen auf Momente und Transversalkräfte. Für die einzelnen Querschnitte ergeben sich die Momente und Transversalkräfte sofort, wenn man die Normalmomente kennt. Diese aber findet man durch Construction des zweiten Seilpolygones. Die früher bewiesenen Eigenschaften des zweiten Seilpolygones sind von der gegenseitigen Höhenlage der Stützen ganz unabhängig; es kam bei der Ableitung derselben nur die horizontale Entfernung der Stützen in Betracht. Mit Hilfe dieser Eigenschaften kann man also auch jetzt das zweite Seilpolygon zeichnen; es ist nur aus den Kräften U und W zu construiren; die mittleren Seiten fallen in eine zusammen. Man braucht von jeder mittleren Seite in jedem Felde zwei Punkte, um das ganze Seilpolygon zeichnen und somit auch die Momente angeben zu können.

Zur weiteren Erklärung seien für den nebenskizzirten Träger (Fig. 55) die Normalmomente in Folge der ungleichen Höhenlage der Stützen zu bestimmen.

Der Punkt 0 ist ein Punkt der mittleren Seite im ersten Felde; nach § 24 erhalten wir mit ihm einen Punkt der mittleren Seite im

st

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J'ä

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Fig. 55.

zweiten Felde, wenn wir 01 und willkürlich 0WlRi ziehen; Wt 1 bis U₂ verlängern und R₁ U₂ mit 01 zum Schnitt in S bringen. Aus § 25 folgt, dass S auf der linken Fixpunktvertikalen des zweiten Feldes liegt, welche für gleich hohe Stützen construirt ist. Bringt man S2 mit der linken Fixpunktvertikalen des dritten Feldes zum Schnitt, so ist dieser ein Punkt der mittleren Seite im dritten Felde u. s. w. In gleicher Weise vom rechten Ende gegen das linke vorhergehend, erhält man in jedem Felde von jeder mittleren Seite einen zweiten Punkt und kann daher das zweite Seilpolygon zeichnen. Der Schnittpunkt einer mittleren Seite SS' mit der Ver-

bindimgslinie der Stützen des Feldes 12 entspricht einem Wendepunkte J der elastischen Linie; bewegt sich die Stütze 1 in einer Vertikalen, so bewegt sich zufolge der Construction auch J in einer Vertikalen; die Stelle, wo das Moment im Felde Null wird, bleibt dieselbe; durch diese Höhenänderung wird das Verhältniss der aufeinanderfolgenden Stützenmomente nicht geändert. Verlängert man SS' bis zu ihren Schnittpunkten mit den Pfeilervertikalen, so sind die Segmente 11' und 2 2' den Stützenmomenten proportional. Man hat nämlich:

also

Ir =

EJ

22' =

EJ

Mx =

6EJ11'

h²

m₂ =

6 JEJJ22'

h²

Man kann sonach diese Momente auftragen, die Momentencurve zeichnen und mit dieser die Transversalkräfte construiren.

Bei einer ungleichen Höhenlage der Stützen wird man am besten den Einfluss dieser getrennt von dem der Belastung bestimmen.

IV. Der continuirliche Träger mit veränderlichem Querschnitte.

§ 44. Das zweite Seilpolygon. Bestimmung der Normalmomente.

Wie beim Träger mit constantem Querschnitte zerlegen wir die Momentenfläche in die negative, zwei Dreiecke, und in die positive Momentenfläche. Während früher die Wirkungslinien der Kräfte U und W wegen der Unveränderlichkeit des Querschnittes also des Trägheitsmomentes sofort gegeben waren, die elastische Linie construit werden konnte mit der constanten Poldistanz EJ und der

als

M

Belastungsfläche M, hat man jetzt als Belastungsfläche

Pçldistanz E zu nehmen. Es seien nun die drei Belastungsflächen, wie sie der angegebenen Zerlegung der Momentenfläche entsprechen, mit U, W und V bezeichnet. Da die positive Momentenfläche bekannt, sowie die Veränderlichkeit des Querschnittes gegeben anzusehen ist, so kann man die Lage und Grösse von V finden: Man construit nach § 17 für die positive Momentenfläche der Veränderlichkeit des Querschnittes entsprechend ein Seilpolygon; die Lage von V ist durch den Schnittpunkt der äussersten Seilpolygonseiten

bestimmt. Zieht man in der Entfernung E von diesem Schnittpunkte eine Gerade parallel zur Kraftrichtung, so schneiden die äussersten Seilpolygonseiten auf dieser Geraden ein Segment gleich V ab.

Bemerkt man, dass die Lage der Resultirenden eines Kräfte-systemes nur vom Verhältniss der Kräfte abhängt, so ergiebt sich die Lage von U und W, indem man für ein willkürlich angenommenes Ma und Mb die Lage der entsprechenden U und W bestimmt. Es sind also wie beim Träger mit constantem Querschnitte, von V die Lage und Grösse, von U und W die Lage bekannt.

Sind (Fig. 56) im Abstande x von der linken Stütze die Momente, wie sie den negativen Momentenflächen ABA' und ABB' — wobei AA' — Ma und BB' = Mb — und der positiven Momentenfläche entsprechen, M1} M₂ und M, so ist '

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a i

EM₁ dx

J J

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-j— dx —

Mn

a

- dx

r M₂dx

J J

X

~r t

dx

/* xdx ⁼ T‘J ~J~

f Mdx

J J ’

und es können diese, sowie die Poldistanz E nach dem Momenten-massstabe aufgetragen werden. Das aus diesen drei Kräften construirte Seilpolygon heisst wieder das zweite Seilpolygon. Die Kräfte Uund W wirken nicht mehr, wie beim Träger mit constantem Querschnitte, in den Drittel vertikalen; die Wirkungslinien von U und W sollen trotzdem auch hier Drittelvertikalen heissen.

Aus dem zweiten Seilpolygone kann man leicht die Grössen U und W bestimmen; man hat nämlich (Fig. 57):

l'X-

Fig. 56.

Bl

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Mh

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Fig. 57.

U = -V E und W = -w E.

a"

Entsprechen den Momenten M'a und Mb, mit deren Hilfe die Lage von U und W bestimmt wurde, die Grössen U' und W', so hat man:

W: W' = Mb : Mb

also

Mn

a

IU' = -

y"

M'

daher

Ma =

v" M'h

rE-

Man kann somit, wenn das zweite Seilpolygon gezeichnet ist, die Normalmomente bestimmen. Sind die Ffeilertangenten gegeben, so lässt sich das zweite Seilpolygon ganz analog dem Vorgänge in § 19 construiren.

§ 45. Eigenschaften des zweiten Seilpolygones. Die einer und derselben Stütze zunächst liegenden mittleren Seiten des zweiten Seilpolygones schneiden sich auf einer bestimmten Geraden, auf der Resultirenden der beiden Kräfte

xdx

M, r

und Ut — -j—I -

— x) dx

wenn l und lx die entsprechenden Feldlängen sind. Die Lage dieser Geraden lässt sich mit den Kräften U' und W' auf bekannte Weise finden; sie soll wieder die verschränkte Pfeilervertikale heissen.

Durch Schlüsse analog denen beim Träger mit constantem Querschnitte findet man auch hier zwei Reihen von Fixpunkten, in welchen die Momente von der Belastung der rechts beziehungsweise links gelegenen Felder unabhängig sind. Man kann sonach bei gegebener Belastung das zweite Seilpolygon zeichnen und aus diesem wie oben gezeigt die Normalmomente finden. Die Construction der Kreuzlinien ist wesentlich weitläufiger; sie fällt mit der Bestimmung von V zusammen.

§ 46. Gefährlichste Belastimgsweisen. Ist nur ein Feld mit einer einzigen Last belastet, so sind die Momente an den Stützen des belasteten Feldes negativ, das Moment an der Stelle der Last positiv, indem an den Stützen der Träger nach oben convex, an der Last nach oben concav gebogen wird. Wie in § 36 folgt hieraus, dass die Transversalkraft für alle Querschnitte des fraglichen Feldes

links von der Last positiv, rechts von der Last negativ ist. Die gefährlichste Belastung des Feldes, in dem der fragliche Querschnitt liegt, ist daher dieselbe, wie für den Träger mit constantem Querschnitte. Die übrigen Felder müssen — wie leicht einzusehen — abwechselnd belastet und nicht belastet sein.

Zwischen den Fixpunkten ist das Moment bei jeder Lage der Last im Felde positiv, für alle Querschnitte zwischen den Fixpunkten ist daher die gefährlichste Belastung dieselbe, wie bei constantem Querschnitt. Für die Querschnitte zwischen einem Fixpunkte und der ihm zunächst liegenden Stütze werden die grössten Momente analog dem Vorgänge beim Träger mit constantem Querschnitt bestimmt. Man sucht für eine angenommene Lage der Last den Querschnitt, an dem das Moment Null wird; sind die Kreuzlinien gezeichnet, so ergiebt sich die Lage der Last nach § 36; die Belastung für die positiven und negativen Maximalmomente findet man dann so wie beim Träger mit constantem Querschnitt.

Die Bestimmung der Maximaltransversalkräfte und Maximalmomente selbst ist nach § 39 vorzunehmen.

Inhalt.

Grundziige der graphischen Statik.

Kräfte in derselben Ebene.

Seite

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§ 4.

§    5.

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6 H (M w ^ tH vH vHI vH vH

Das Kräfteparallelogramm..................

Resultirende beliebig vieler Kräfte an demselben Angriffspunkte . Zerlegung einer Kraft in Componenten, die mit ihr an demselben Angriffspunkte wirken

Zwei Kräfte in derselben Ebene an verschiedenen Angriffspunkten. Kräfte und Seilpolygon..............

Beliebig viele Kräfte in einer Ebene an verschiedenen Angriffspunkten ..........................

Gleichgewicht beliebig vieler Kräfte in einer Ebene.......

Zwei Seilpolygone für dasselbe Kräftepolygon aber verschiedene Pole 13

Seilpolygon durch drei gegebene Punkte......

Die Mitteldrucklinie...............

Zerlegen einer Kraft in zwei Componenten.....

Horizontaler Träger, der an den Enden frei anfliegt

Bogenträger mit drei Gelenken..........

Zerlegen einer Kraft in drei Componenten.....

Das Seilpolygon als Momentencurve........

10

12

15

18

19

21

22

23

24

Der continuirliche Träger.

I. Die elastische Linie.

§15. Einleitung. Erklärungen und Voraussetzungen . . . .

§16. Construction der elastischen Linie..........

§ 17. Bestimmung der Durchbiegung von belasteten Trägern

28

31

34

co ca

vH vH

C00 C/50

§ 20. § 21.

§ 22.

Der continuirliche Träger mit constantem Querschnitte bei gleich hohen Stützen.

Allgemeines. Das zweite Seilpolygon.............

Construction des zweiten Seilpolygones bei gegebenen Pfeilertangenten .........................

Construction der Normalmomente...............

Der einfache an den Enden eingespannte Träger. Eigenschaften

der Kreuzlinien......................

Ergebnisse der bisherigen Untersuchungen...........

41

44

45

46

48

Seite

§ 23. § 24. § 25.

§ 26. § 27. § 28. § 29.

Ein nicht belastetes Feld des continuirlichen Trägers......

Zwei aufeinander folgende nicht belastete Felder........

Beliebig viele unbelastete Felder. Die Fixpunkte des continuirlichen Trägers.......................

Momente und Transversalkräfte in den nicht belasteten Feldern . Ein belastetes Feld.....................

48

49

53

55

57

Zwei aufeinander folgende belastete Felder...........

Construction des zweiten Seilpolygones bei gegebener Belastung.

Bestimmung der Stützenmomente..............

Kreuzlinien für totale gleichmässige Belastung .........

Der continuirliche Träger bei totaler gleichmässiger Belastung. .

59

60

§ 30.

§ 31.

§ 32. Kreuzlinien für partielle gleichmässige Belastung........

§ 33. Continuirlicher Träger bei partieller gleichmässiger Belastung . .

§ 34. Kreuzlinien für eine Einzellast................

§ 35. Kreuzlinien für ein Einzellastensystem.............

§ 36. Momente und Transversalkräfte im belasteten Felde bei Belastung

des continuirlichen Trägers mit einer einzigen Last......

§ 37. Bestimmung der * gleichmässigen Belastung für die Maximaltransversalkräfte ........................

62

63

64

68

69

71

72

74

§ 38. Bestimmung der gleichmässigen Belastung für die Maximalmomente .........................

§ 39. Maximaltransversalkräfte und Maximalmomente bei gleichmässiger Belastung.....................

§ 40. Influenzcurven........................

§ 41. Maximaltransversalkräfte und Maximalmomente für ein Einzellastensystem ........................

75

78

82

87

III. Der continuirliche Träger mit constantem Querschnitte bei ungleich hohen Stützen.

§ 42. Einleitung. Gefährlichste Belastungsweise...........

§ 43. Einfluss der ungleichen Höhe der Stützen auf Transversalkräfte und Momente........................

00    GC

CD    00

IV. Der continuirliche Träger mit veränderlichem Querschnitte.

§ 44. Das zweite Seilpolygon. Bestimmung der Normalmomente . . .

§ 45. Eigenschaften des zweiten Seilpolygones............

§ 46. Gefährlichste Belastungsweisen................

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