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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Die

Graphische Statik.

Elementares Lehrbuch für den Schul- und Selbstunterricht sowie ;um Gebrauch in der Praxis bearbeitet von

W. LauenfLein,

Baurak, Professor an der Vangewerkefchule in Karlsruhe.

Achte Auflage.

Mit 285 Mbbildungen.

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Stuttgart 1904.

Arnold Aergfträßer Verlagsbuchhandlung

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Alle Rechte vorbehalten.

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Druck von Carl Grüninger, K. Hofbuchdruckerei Zu Gutenberg (Klett & Hartmann), Stuttgart.

Akc. Nr.

Vorwort.

THe vorliegende Bearbeitung der graphischen Statik soll einerseits als Lehrbuch in technischen Unterrichtsanstalten, anderseits auch zum Gebrauche in der Praxis dienen. Diesem Zwecke entsprechend ist sowohl die Art der Behandlung, wie die Auswahl des Stoffes, bei welcher der Verfasser immer die Anwendung ans praktische Fälle im Auge hatte, möglichst angepaßt. Von den allgemeinen Entwickelungen wurde nur so viel gegeben, als zur Lösung der dem Techniker hauptsächlich vorkommenden Aufgaben nötig ist, dagegen alles das fortgelassen, was nur theoretisches Interesse bietet.

Das Buch enthält außer den in den ersten Paragraphen behandelten allgemeinen Grundlagen der graphischen Statik die Anwendungen derselben auf dem Gebiete der belasteten einfachen Balkenträger sowie der Fachwerke, und zwar für bleibende als auch für veränderliche Belastung, und der verschiedenartigen Dachbinder; ferner die Bestimmung des Winddruckes und des Erddruckes (nach v. Rebhann), die Untersuchung der Stützmauern, Tonnengewölbe, Kreuz- und Kuppelgewölbe, sowie der Widerlager und Pfeiler, nebst einem Anhange mit Tabellen über Eigengewicht, Belastung und Beanspruchung von Bauteilen.

Den einzelnen Paragraphen ist eine größere Anzahl dem Baufache entnommener Zahlenbeispiele beigefügt, welche von den Studierenden zur Übung durchzukonstruieren sind. Dabei ist es nützlich, die durch graphische Lösung gefundenen Ergebnisse nachträglich durch Rechnung zu prüfen; es zeigt sich dadurch, mit welcher Genauigkeit die stets mit kleinen Zeichenfehlern behaftete Konstruktion durchgeführt war.

Die rasche Aufeinanderfolge der starken Auflagen beweist wohl am besten, daß das Buch sich als brauchbar herausgestellt und viele Freunde erworben hat.

Allen Fachgenossen, die mir durch freundliche Winke, durch Rat und Tat auch diesmal zur Seite gestanden haben, spreche ich hiermit meinen besonderen Dank aus, mit der Bitte, mich auch fernerhin durch ihre Ratschläge zur Verbesserung und weiteren Vervollkommnung des Buches unterstützen zu wollen.

Karlsruhe, August 1903.

W. Lauenstern.

Inhalt.

Seite

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03

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VOR VOR GO

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CD

Einleitung............................

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften in der Ebene......

1)    Die Kräfte wirken in derselben geraden Linie..........

2)    Die Kräfte schneiden sich in einem Punkte...........

3)    Die Kräfte liegen in der Ebene zerstreut............

4)    Die Kräfte sind parallel...................

Zusammenhang zwischen dem Kräfteplan und dem Seilzuge.......

1)    Gleichgewichtsbedingung...................

2)    Veränderung des Poles bei einer und derselben Kräftegruppe . - .

3)    Der Seilzug als Mittelkraftslinie...............

Das statische Moment der Kräfte..................

Graphische Flächenbestimmung...................

1)    Das Dreieck........................

2)    Das Viereck........................

3)    Das Vieleck.........................

4)    Kreisausschnitt und Kreisabschnitt...............

Graphische Schwerpunktsbestimmung.................

1)    Das Dreieck........................

2)    Das Viereck........................

3)    Das Vieleck........................

4)    Zusammengesetzte Figuren..................

Trägheitsmomente.........................

Der belastete Träger.......................

A.    Bleibende Belastungen.....................

1)    Unmittelbare Belastung durch Einzelkräfte...........

2)    Unmittelbare gleichmäßig verteilte Belastung..........

3)    Unmittelbare zusammengesetzte Belastung............

4)    Mittelbare Belastung durch Einzelkräfte............

5)    Mittelbare gleichmäßig verteilte Belastung...........

B.    Veränderliche Belastungen....................

1)    Unmittelbare Belastung durch eine bewegliche Einzelkraft.....

2)    Unmittelbare Belastung durch eine bewegliche Gruppe von Einzelkräften

3)    Unmittelbare gleichmäßig verteilte Belastung..........

4)    Mittelbare Belastung durch eine bewegliche Einzelkraft......

5)    Mittelbare Belastung durch eine bewegliche Gruppe von Einzelkräften

6)    Mittelbare gleichmäßig verteilte Belastung...........

Zahlenbeispiele zu dem belasteten Träger...............

A.    Bleibende Belastungen.....................

B.    Veränderliche Belastungen....................

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Seite

§ 10.

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§ 19.

§ 20.

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§ 23.

^ lO (M CM

§ 26.

§ 27.

Fachwerke für bleibende Belastung . • . .............

1)    Fachwerke mit wagerechtem Obergurt.............

2)    Fachwerke mit wagerechtem Untergurt.............

3)    Fachwerke mit wagerechtem Ober- und Untergurt (ParaÜelträger).

4)    Das allgemeine ebene Fachwerk...............

Zahlenbeispiele zu dem bleibend belasteten Fachwerke.........

Fachwerke für veränderliche Belastung (Brückenträger)........

Zahlenbeispiele zu den Brückenträgern...............

Fachwerkartige Dachkonstruktionen.................

1)    Das deutsche Dach.....................

2)    Das englische Dach.....................

3)    Das belgische Dach.....................

4)    Das französische oder Polonceau-Dach............

5)    Die Vordächer.......................

6)    Die Sägedächer......................

7)    Die Holzdächer......................

Zahlenbeispiele zu den Dachkonstrnktionen.............

Winddruck...........................

Erddruck ............................

Druckverteilung in Mauerwerkskörperu...............

1)    Winkelrecht und zentral belastete Mauern...........

2)    Zentral, aber schief belastete Mauern.............

3)    Exzentrisch belastete Mauern ................

Druckverteilung in Pfeilerquerschnitten bei exzentrischer Belastung • • .

1)    Druckverteilung mit Zulassung von Zugspannungen.......

2)    Druckverteilung mit Ausschluß von Zugspannungen.......

Statische Untersuchung der Stützmauern..............

Die Stützlinie der Mauern...................

Unterschnittene Futtermauern..................

Stützmauern mit Strebepfeilern.................

Statische Untersuchung der Fabrikschornsteine............

Die Tonnengewölbe.......................

1)    Das symmetrisch belastete Gewölbe..............

2)    Das unsymmetrisch belastete Gewölbe.............

3)    Die verschiedenen Lagen der Drucklinie (Maximal- und Minimal-

Drucklinie)........................

Die Kreuzgewölbe........................

1)    Die Lagerfugen laufen parallel den Längsachsen der Tonnengewölbe

2)    Die Lagerfugen sind im Grundriß senkrecht zu den Graten angeordnet

Die Kuppelgewölbe.......................

Die Widerlager und Pfeiler...................

1)    Die Widerlager......................

2)    Die Pfeiler ........................

Die Stärken der Brückengewölbe und Pfeiler............

Beispiel. Statische Untersuchung einer Eisenbahnbrücke......

Belastung der Lehrgerüste durch die Gewölbe............

75

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154

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167

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189

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202

209

215

215

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219

222

222

224

230

CO CO CO -h CM (M

Anhang. Tabellen über Eigengewicht, Belastung und Beanspruchung von Bauteilen 246

8 l.

Einleitung.

Durch die graphische Statik werden die Aufgaben der Statik, d. h. der Lehre vom Gleichgewicht der unter Einwirkung von Kräften befindlichen Körper, auf zeichnerischem Wege mit Hilfe von Lineal und Zirkel gelöst, indem man sich dabei ausschließlich der geometrischen Konstruktionen bedient und die Rechnung ausschließt.

Zu dem Zwecke werden die Kräfte in der graphischen Statik nicht durch Zahlen, sondern durch gerade Linien dargestellt.

Eine Kraft ist vollständig bestimmt durch Größe, Richtung und Lage; eine gerade Linie ist Bestimmt durch Länge, Richtung und einen Punkt, durch welchen diese verläuft. Bei einer eine Kraft darstellenden geraden Linie gibt die Länge der Linie die Größe der Kraft an, die Richtung der Linie entspricht der Richtung der Kraft und irgend ein Punkt in der geraden Linie bestimmt die Lage der Kraft. Die Kräfte werden gemessen durch Gewichtseinheiten, die geraden Linien durch Längeneinheiten. Die gerade Linie also, durch welche eine Kraft dargestellt werden soll, muß so viele Längeneinheiten enthalten als die Kraft Gewichtseinheiten; sie wird gemessen mit einem Maßstabe, dem sogen. Kräftemaßstabe, dessen Einheit (gewöhnlich das cm) einem bestimmten Gewichte entspricht.

Stellt z. B. 1 cm 500 kg dar, so wird eine gerade Linie von 4 cm Länge eine Kraft von 4.500 — 2000 kg bedeuten, eine Linie von 6,3 cm Länge eine Kraft von 6,3.500 — 3150 kg.

In dem Maßstabe: 1 cm — 3000 kg wird eine Kraft von 9600 kg

9600

— 3,2 cm Länge u. s. w.

3000

dargestellt durch eine gerade Linie von

Fig. 2.

Fig- 1.

O-

Die Richtung einer Kraft wird am einfachsten angegeben durch einen Pfeil oder auch durch die Reihenfolge der Buchstaben, mit denen die Endpunkte der die Kraft darstellenden Geraden bezeichnet sind.

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Ausl.

So wird z. B. die Kraft P in Fig. 1 angegeben durch die Strecke AB, weil sic (entsprechend der Pfeilrichtung) von A nach B wirkt, in Fig. 2 durch die Strecke B A, weil sie von B nach A wirkt.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften in der Mene.

Unter Zusammensetzung von Kräften versteht man die Bestimmung ihrer Mittelkraft oder Resultierenden, deren Wirkung dieselbe ist, wie die Wirkungen der einzelnen gegebenen Kräfte zusammengenommen. Die Kräfte selbst nennt man Seitenkräfte oder Komponenten.

Die Zerlegung von Kräften ist das Umgekehrte der Zusammensetzung. Aus einer Kraft, welche man als Mittelkraft auffaßt, werden daher durch Zerlegung die Seitenkräfte gebildet, welche zusammengenommen dieselbe Wirkung hervorbringen als die Mittelkraft.

1) Die Kräfte wirken in derselben geraden Linie.

Liegen beliebig viele Kräfte in derselben geraden Linie und haben alle dieselbe Richtung, so ist die Mittelkraft gleich der Summe derselben. Ihre Richtung fällt mit der Richtung der ursprünglichen Kräfte zusammen.

Liegen zwei Kräfte in derselben geraden Linie, haben aber entgegengesetzte Richtung, so ist die Mittelkraft gleich dem Unterschiede derselben und hat die Richtung der größeren Kraft. Für den Fall, daß die beiden gegebenen Kräfte gleiche Größe haben, ist deren Mittelkraft — Null.

Beliebig viele Kräfte, welche in derselben geraden Linie liegen, aber ungleiche Richtung haben, werden zu einer Mittelkraft vereinigt, indem man die die Kräfte darstellenden Strecken der Reihe nach, von einem beliebigen Punkte A der geraden Linie ausgehend, den Richtungen entsprechend aneinander reiht. Die Mittelkraft wird dann dargestellt durch die Strecke von: Anfangspunkte A bis zum Endpunkte der letzten Kraft.

Fig. 3.

P,

Pv

P*

So z. B. gelangt man (Fig. 3) durch den Pfeilrichtungen entsprechendes Aneinanderreihen der Kräfte P, bis P₅, welche sämtlich in der Geraden XX liegen sollen, von dem beliebig gewählten Anfangspunkte A aus nacheinander zu den Punkten 1, 2, 3, 4, 5. Die Strecke A5 ist dann die Mittelkraft der Kräfte P, bis P₅.

Die Aufgabe, eine Kraft in zwei oder allgemein n Seitenkräfte zu zerlegen, welche in derselben geraden Linie wirken, ist nur lösbar, wenn eine bezw. (n — 1) Seitenkräfte der Größe und Richtung nach bestimmt sind.

2) Die Kräfte schneiden sich in einem Punkte.

Wirken zwei Kräfte P, und P₂, welche zwar in derselben Ebene, aber nicht in derselben Geraden liegen, sondern einen Winkel miteinander bilden und ihrer Größe und Richtung nach durch die Linien AB und AD bestimmt sind (Fig. 4), auf einen Punkt A, so stellt nach dem Parallelogrammgesetze die Diagonale AC des aus den beiden Kräften konstruierten Parallelogramms ihrer Größe und Richtung nach die Mittelkraft E dar.

Zur Bestimmung von E braucht man nun nicht das ganze Parallelogramm ABCD, sondern es genügt die Hälfte desselben, z. B. das Dreieck ABC.

Fig. 4.

Fig. 5-

B,

75

Man trägt zu dem Zwecke in einer besonderen Figur (Fig. 5) von dem Endpunkte b der Kraft P, = ab aus die Kraft P₂ = bc ihrer Größe und Richtung nach so ab, daß die Pfeilrichtung von a aus über b nach c sich nicht ändert. Der Linienzug abc wird durch die Gerade ae zu einer geschlossenen Figur, dem sogen. Kräftedreieck. Die Gerade ac heißt deshalb die Schlußlinie; sie stellt ihrer Größe und Richtung nach die Mittelkraft der Kräfte P, und P₂ dar. Die Pfeilrichtung der Mittelkraft geht immer vom Anfangspunkte a nach dem Endpunkte c des Kräftezuges.

Soll nnigekehrt eine Kraft E in zwei Seitenkräfte P, und P₂ von gegebener Richtung zerlegt werden, so geschieht dies graphisch ebenfalls durch Konstruktion des Kräftedreiccks, indem inan durch die Endpunkte von E Parallelen zu den gegebenen Richtungen der P, und P₂ zieht (Fig. 5). Statt der Richtung beider Seitenkräfte kann auch Richtung und Größe einer derselben oder aber die Größe beider Seitenkräfte gegeben feilt.

Im letzteren Falle, welcher zwei Lösungen zuläßt, beschreibt man aus den Endpunkten von E mit P, bezw. P₂ als Halbmesser Kreisbögen, welche sich tut Punkte b schneiden. Die Lösung ist natiirlich nur dann ntöglich, wenn die Summe der Kräfte P, und P₂ größer als E ist.

Hat matt 3 Kräfte P, P₂ P₃, welche auf denselben Punkt A wirken (Fig. 6), so bestimmt man deren Mittelkraft, indem man mittels des Kräftedreiecks zunächst Pt und P₂ zu der Mittelkraft Bi_₂ zusammensetzt, sodann

diese letztere in derselben Weise mit P₈ zu der Mittelkraft R, ₈ = R. Man trägt also an ac von c aus die P₃ ihrer Größe und Richtung nach so ab, daß die Pfeilrichtung von a aus über c nach d sich nicht ändert. Es ist dann ad = R kraft von P, P₂P₃.

Zu demselben Ergebnis gelangt mmt, wenn man die Kräfte P, bis P₃, von a anfangend, zu einem fortlaufenden Zuge mit demselben Umfahrungssinn

1—3

— R die Mittelkraft von R, ₂ und Pg, somit auch die Mittel-

Fig. 6.

Pz

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Fig. 7.

____j

Pi

b'

zusammensetzt. Dabei ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Kräfte aneinandergefügt werden. In Fig. 7 z. B. ist die Reihenfolge P₃ P, P₂ gewählt. Man erhält auch hier wieder dieselbe Schlußlinie ad = R.

Ganz in derselben Weise verfährt man, wenn man die Mittelkraft von beliebig vielen, auf einen Punkt wirkenden Kräften zu bestimmen hat. Man setzt in beliebiger Reihenfolge die Kräfte als gerade Linien so aneinander, daß die Richtungspfeile immer denselben Sinn haben. Die Schlußlinie stellt dann die Mittelkraft sämtlicher Einzelkräfte dar; die Pfeilrichtung derselben geht immer vom Anfangspunkte nach dem Endpunkte des Kräftezuges. Die einzelnen

Diagonalen stellen die Mittelkräfte dar aus den Kräften, welche als Vieleckseiten zwischen den Endpunkten der Diagonalen liegen.

Fig. 8.

b,

-7

P3

Jp-

In Fig. 8 z. B. ist R, die Mittelkraft aus P, und P₂;

die Mittelkraft aus R, und P₃, also auch aus P, P, P,t; R,_₄ = R die Mittelkraft aus und P₄, also auch aus

—2

1—3

—2

B,

—3

P P P P

Die Aufgabe, eine Kraft in mehr als 2 Seitenkräfte von gegebenen Richtungen, welche die Kraft in demselben Punkte schneiden, zu zerlegen, ist unbestimmt, da unendlich viele Lösungen möglich sind.

Fällt der Endpunkt des Kräftezuges mit dem Anfangspunkte zusammen, ist also der Krüftezug geschlossen, so ist die Mittelkraft — Null. Es sind dann die Kräfte miteinander im Gleichgewichte. Bei dem geschlossenen Kräftezuge haben sämtliche Richtungspfeile denselben Umfahrungssinn, es diirfen sich also nie zwei Pfeile begegnen. Ein solcher Kräftezug heißt ein Kräfteplan.

Sind beliebig viele Kräfte, welche denselben Angriffspunkt haben, miteinander im Gleichgewichte, entspricht ihnen also ein geschlossener Kräfteplan, so ist jede von ihnen gleich, aber entgegengesetzt der Mittelkraft aller übrigen Kräfte. Kehrt man also in einem geschlossenen Kräfteplan den Richtungspfeil einer Seite um, so stellt diese die Mittelkraft aller übrigen Kräfte dar.

3) Die Kräfte liegen in der Ebene zerstreut.

Ist die Mittelkraft von beliebig vielen Kräften, welche sich nicht in einem Punkte schneiden, zu bestimmen, so kann dies in folgender Weise geschehen:

Man bringt zwei der gegebenen Kräfte zum Schnitt und setzt sie nach dem Vorhergehenden zu einer Mittelkraft zusammen; diese bringt man zum Schnitt mit der dritten Kraft und vereinigt sie mit letzterer wieder zu einer Mittelkraft und so fort, bis alle gegebenen Kräfte zu einer Gesamtmittelkraft vereinigt sind. Da durch Parallelverschiebung einer Kraft die Größe und Richtung derselben nicht verändert wird, so wird die Große und Richtung der Gesamtmittelkraft dargestellt durch die Schlußlinie des aus den gegebenen Einzelkräften gezeichneten Kräftezuges. Auf diese Weise ist in Fig. 9 die Mittelkraft B aus den Kräften P, bis P₄ bestimmt.

Fig- 9-

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Dies Verfahren zur Bestimmung der Mittelkraft ist aber nur dann möglich, wenn die Schnittpunkte der Einzelkräfte wirklich in der Zeichenflüche liegen. Ist dies nicht der Fall, so ist ein Verfahren anzuwenden, bei welchem die Schnittpunkte nicht erforderlich sind.

Es sollen zunächst die beiden Kräfte P, und P₂ (Fig. 10), deren Schnittpunkt außerhalb der Zeichenfläche liegen möge, zu der Mittelkraft R vereinigt werden. Die Größe und Richtung von R ergibt sich aus dem mit den Kräften P, und P₂ konstruierten Kräftezuge a t> c. Die Lage von R bestimmt man folgendermaßen:

Man füge den wirklich vorhandenen Kräften P, und P₂ (Fig. 10a) noch zwei gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete, sich also gegenseitig aufhebende Kräfte + K und — K von beliebiger Größe hinzu, deren Angriffspunkte zwei willkürlich in den Richtungslinien von P, und Pä gewählte Punkte I und II sein können.

Pj und + K werden in dem Krüfteplane Fig. 10 b zu der Mittelkraft rv P₂ und — K zu der Mittelkraft r₂ zusammengesetzt. Nach Fig. 10b

Fig. 10 b.

Fig. 10 a.

+K ! -K

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ist R die Mittelkraft von P, und P₂, gleichzeitig aber auch die Mittelkraft von rt und r₂. Zeichnet man die letzteren beiden Kräfte in Fig. 10a ein, indem man durch I die m I parallel zn r,, durch II die n II parallel zu r2 zieht und verlängert diese Linien bis zu dem Schnittpunkte S, so muß durch diesen Punkt die Mittelkraft R gehen, deren Größe und Richtung in Fig. 10b durch die Strecke a c bestimmt ist.

Den Linienzug mllln, dessen einzelne Seiten parallel den aus dem PoleO gezogenen Strahlen 0 a, Ob, 0 c (den Polstrahlen) sind, nennt man Seilzug, wenn die in den einzelnen Seiten durch die äußeren Kräfte P, P₂ hervorgerufenen inneren Spannungen Zugspannungen sind, dagegen Drucklinie, wenn die inneren Spannungen Druckspannungen sind. Die Eckpunkte I und II des Seilzuges bczw. der Drucklinie heißen die Knoten, die erste und letzte Seite m I bezw. n II die äußersten Seiten. Der Seilzug ist danach die Gleichgewichtsform eines Seiles, an welchem in beliebigen Punkten Kräfte angreifen oder auch (und dies gilt ebenfalls für die Drucklinie) einer aus gelenkartig verbundenen Stäben bestehenden Kette, in welcher Kräfte in den Knoten angreifen.

Die Form des Seilzuges hängt von der Lage des Poles 0 ab, welche bestimmt wird durch Größe und Angriffspunkt der Kräfte K. Da aber sowohl Größe als auch Angriffspunkt der Kräfte K beliebig angenommen waren, so folgt, daß man zu den Kräften P, und P₂ unzählig viele Seilzüge konstruieren

kann; alle aber haben die Eigenschaft, daß durch den Schnittpunkt 8, welcher sich ergibt durch Verlängerung der äußersten Seilzugseitcn, die Mittelkraft R hindurchgehen muß.

Aus dem Vorhergehenden ergibt sich zur Bestimmung der Mittelkraft R der Kräfte P, und P₂, welche sich nicht in der Zeichenfläche schneiden, folgende Regel:

Man zeichnet zuerst den Linienzug ade, dessen Seiten gleich und parallel den Kräften P, und P₂ find; die Schlußlinie a c gibt die Größe und Richtung der Mittelkraft R. Aus einem beliebig gewählten Pole 0 zieht man sodann die Strahlen 0 a, Ob, Oe und zeichnet durch einen in der Richtung der einen Kraft willkürlich gewählten Puilkt (z. B. den Punkt I in der Richtungslinie der Kraft P,ft den Seilzug mllln so ein, daß in III 0 a, IIIII Ob, II n II 0 c ist. Durch den Schnittpunkt 8 der äußersten Seilzugseitcn geht die Mittelkraft R.

Ersetzt mau die Mittelkraft durch eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft, so befindet sich das ganze System im Gleichgewichte. Da dies auch für jeden Knoten des Seilzuges gilt, so müssen die an einem Knoten angreifenden Kräfte, d. h. eine äußere Kraft und die anschließenden Seil-spannungen, im Kräfteplane ein geschlossenes Dreieck bilden.

Ganz in derselben Weise, wie oben bei 2 Kräften gezeigt wurde, ist die Mittelkraft R mehrerer in der Ebene zerstreut liegender Kräfte mit Hilfe des Kräfteplanes und Seilzuges zu konstruieren.

Soll z. B. ans den 4 Kräften P, P₂ P₃ P₄ (Fig. 11) die Mittelkraft bestimmt werden, so reihe man die gegebenen Kräfte zunächst in einem Kräfte-

Fig. 11.

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P,

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zuge nach Größe mm Richtung aneinander und ziehe von einem beliebig gewählten Pole 0 nach den Eckpunkten a b c d e die Strahlen. Darauf folgt die Aufzeichnung des Seilzuges, indem man von einem beliebigen Punkte I der Kraft P, die Seiten ml, III, IIIII . . . . parallel den zugeordneten Polstrahlen 0 a, 0 b, 0 c . . . . zieht. Der Schnittpunkt 8 der äußersten Seilzugseiten gibst die Lage der Mittelkraft an, Große und Richtung derselben liefert die Schlußlinie a e im Kräftcplanc.

Sollen in Fig. 11 nicht alle Kräfte P, sondern nur z. B. die Kräfte P, P₂P₃ zu einer Mittelkraft vereinigt werden, so sind für diese Kräfte ml und IVIII die äußersten Seilzugseiten. Diese schneiden sich in S,_₈ und durch

Fig. 12.

Größe und Richtung derselben wird

1—8'

diesen Punkt geht die Mittelkraft R dargestellt durch die Linie ad im Kräfteplane.

Fig- 13.

P. \

p,

Pz

p.

p\\

Die Reihenfolge, in welcher die Kräfte P im Kräfteplane aneinander getragen werden, ist gleichgültig; man gelangt in Bezug auf die Mittelkraft

Fig. 14.

P,

ä\

p,

R p>

immer zu demselben Endergebnis. In Fig. 11 z. B. war die Mittelkraft R der 4 Kräfte P, bis P₄ bestimmt, welche im Kräfteplane in der Reihenfolge P, P₂ P₃ P, aneinander getragen sind. In Fig. 12 ist dieselbe Aufgabe gelöst für die Reihenfolge P, P₃ P₂P₄, in Fig. 13 für die Reihenfolge P₂ P₁P₄P₃, in Fig. 14 endlich für die Reihenfolge P₄ P₂ P, P₃. Die Mittelkraft geht immer durch den Schnittpunkt der äußersten Seilzugseiten.

Eine Kraft R Fig. 10 S. 6 wird in 2, der Lage und Richtung nach gegebene Seitenkräfte P, und P₂, deren Schnittpunkt mit R außerhalb der Zcichenebene liegt, zerlegt, indem man durch den einen Endpunkt der die Kraft R darstellenden Geraden eine Parallele zu Pv durch den anderen Endpunkt eine Parallele zu P₂ zieht.

Soll eine Kraft R in 3 der Lage und Richtung nach gegebene Seitenkräfte P, P₂P₃ zerlegt werden, so ist diese Aufgabe nur dann lösbar, wenn sich die Seitenkräfte nicht in einem Punkte schneiden und wenn keiner ihrer Schnittpunkte auf der Richtungslinie von R liegt. Unter dieser Voraussetzung ist die Lösung folgendermaßen:

Man verbinde den Schnittpunkt A zweier Seitenkräfte, z. B. Px und P₂, mit dem Schnittpunkte B der dritten Seitenkraft P₃ und der Kraft R durch die

Fig- 15 a.

Fig. 15 b.

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Gerade AB (Fig. 15a). Man zerlege sodann in dem Kräfteplane Fig. 15b die Kraft R nach den Richtungen von P₃ und A B in die Seitenkräfte P₈ und r, ferner r nach den Richtungen von Pt und P₂ in die Seitenkräfte P, und P₂.

. Sollen die Kräfte P, P₂P₃ der Kraft R das Gleichgewicht halten, so erhalten dieselben die entgegengesetzte Pfeilrichtung von der in Fig. 15a eingezeichneten, so daß dann der Kräfteplan Fig. 15b zu einem geschlossenen wird.

Die Aufgabe, eine Kraft in mehr als 3 Seitenkräfte zu zerlegen, welche sich nicht in einem Punkte schneiden, ist unbestimmt, da unendlich viele Lösungen möglich sind.

4) Die Kräfte find parallel.

Die Zusammensetzung paralleler Kräfte geschieht mit Benutzung des Kräfteplanes und Seilzuges in derselben Weise, wie die unter 3) in diesem Paragraphen beschriebene Zusammensetzung von in der Ebene zerstreut liegenden Kräften.

Es seien z. B. die 4 Parallelkräfte P, P₂ P₃ P₄ (Fig. 16) zu einer Mittelkraft zu vereinigen. Man setzt zunächst die gegebenen Kräfte zu einem Kräftezuge, der in diesem Falle eine gerade Linie, die sogen. Kraftlinie, bildet, zusammen, so daß ab = P,, bc = P₂, cd = P„, de = P₄ ist. Es stellt dann die ganze Linie ae die Mittelkraft R der Größe und Richtung nach dar. Aus einem beliebigen Pole 0 ziehe man sodann die Strahlen Oa, Ob, Oc, Od, Oe, und zeichne den Seilzug so auf, daß die einzelnen Seiten desselben parallel den zugeordneten Polstrahlen sind, also ml II Oa, IIIII Ob u. s. tu. Der Schnittpunkt S der äußersten Seilzugseiten ist dann ein Punkt, durch welchen die Mittelkraft R verlaufen muß.

Fig- 16.

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So

Das Verfahren bleibt dasselbe, wenn die gegebenen Parallelkräfte ungleiche Richtung haben, wie dies z. B. in Fig. 17 durchgeführt ist, wo P₁P₃P4 lotrecht abwärts wirken, P₂ dagegen lotrecht aufwärts gerichtet ist.

Haben 2 Parallclkräftc P, und P₂ entgegengesetzte Richtung, so läßt sich aus diesen nur dann eine Mittelkraft bilden, wenn Px entweder größer oder kleiner als P₂ ist. Ist P, — P₂, so ist die Mittelkraft — Null und es entsteht ein Kräftepaar, wovon weiter unten die Rede sein wird.

Fig. 17.

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Es soll hier zunächst (Fig. 18) P, > P₂ vorausgesetzt werden. Durch Aneinanderfügen der Kräfte P, = ab lotrecht abwärts und P₂ = bc lotrecht aufwärts zu einem Kräftezuge, welcher hier wiederum eine gerade Linie bildet, ergibt sich die Mittelkraft R — ac; dieselbe ist gleich dem Unterschied der gegebenen Kräfte und hat die Richtung der größeren Kraft. Zur Bestimmung der Lage von R zeichne man den Kräfteplan aus dem beliebigen Pole 0, und den Seilzng mllln, so daß mlllOa, IllilOb, II n II0 c wird. Der

Schnittpunkt 8 der äußersten Seilzugselten (hier ml und nII), durch welchen die Mittelkraft R gehen muß, liegt stets außerhalb der gegebenen Kräfte Pt und P₂ und zwar auf der Seite der größeren Kraft.

Zur Lösung der Aufgabe, eine Kraft R in zwei ihr parallele der Lage nach gegebene Seitenkräfte P, und P₂ zu zerlegen, zeichne man (Fig. 19) einen beliebigen Seilzug ISII, trage seitwärts ac gleich und parallel R auf und ziehe durch a eilte Parallele zu IS, durch c eine Parallele zu SII. Durch den Schnittpunkt 0 dieser Linien ziehe zu der Schlußlinie III eine Parallele, welche die ac in b schneidet. Es ist dann ab = P, und bc = P₂.

In dieser Konstruktion ist zugleich die Lösung der Aufgabe enthalten, die Größe von 2 der Lage nach gegebenen Parallelkräften R, und Rä zu bestimmen, durch welche eine beliebige Anzahl gegebener Parallelkräfte P, P₂ P₃.... ersetzt werden kann.

Man füge die gegebenen Kräfte P zu einem Kräftezuge a c (Fig. 20) aneinander, zeichne aus einem beliebigen Pole 0 den Kräfteplan und danach den Seilzug, dessen äußerste Seiten die Richtungen von R, und Rä in den Punkten m und n schneiden. Man ziehe die Schlußlinie m n und durch bett

Fig. 18.

Pt

SK

jR

P,

l.....

Fig. 19.

Pz

Pz,

Pi

Mg. 20.

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R, P,

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Pol 0 eine Parallele zu derselben, welche den Kräftczug in b schneidet. Es ist dann ab = R, und bc = R₂. Der Schnittpunkt S der verlängerten äußersten Seilzugseiten gibt die Lage der Gesamtmittelkraft R = R, -s- r₂.

Diese Konstruktion findet eine wichtige Anwendung zur Bestimmung der Auflagerdrücke eines belasteten Balkens auf 2 Stützen, welcher später ausführlich besprochen wird.

Ersetzt man die Kräfte R, und R₂ durch 2 ihnen gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte, so halten diese den gegebenen Kräften P das Gleichgewicht.

Die zeichnerische Arbeit wird etwas vereinfacht durch teilweises Ineinanderfügen des Kräfteplanes und des Seilzuges, wie dies z. B. in Fig. 21

Fig. 21.

m,

*■ p.

durchgeführt ist, wo die Größe der der Lage nach gegebenen Kräfte R, und R₂ bestimmt wurde, welche den Kräften P, und P₂ das Gleich-t z gewicht halten. Die Kraftlinie 4    fällt hier mit der Richtung von

j    R, zusammen, der Pol 0 ist in

P,

der Richtungslinie von P, angenommen. Dadurch füllt der erste Polstrahl aO mit der ersten Seil-zugscite zusammen, die zweite Seilzugseite ist die Verlängerung des zweiten Polstrahles bO.

Für die Genauigkeit des Zeichnens ist es überhaupt vorteilhaft, Kräfteplan und Seilzug möglichst nahe beieinander aufzutragen, um beim Ziehen der Parallelen nicht zu große Verschiebungen zu haben. Ferner ist es ratsam, die Seilzugseiten von vornherein möglichst lang durchzuziehen, weil späteres nochmaliges ^Anlegen des Lineals zum Zwecke der Verlängerung der Seiten die Zeichnung ungenauer macht.

'SSj

CO

Zusammenhang Mischen dem Krästeptan und dem Keihuge.

1) Gleichgewichtsbedingnng.

Im vorigen Paragraphen wurde unter 2) bereits angeführt, daß beliebig viele Kräfte, welche in einer Ebene liegen und sich in einem Punkte schneiden, miteinander im Gleichgewichte sind, wenn der aus ihnen konstruierte Kräfteplan geschlossen ist.

Schneiden sich die in einer Ebene liegenden Kräfte nicht in einem Punkte und ist der aus ihnen gebildete Kräfteplan geschlossen, so folgt hieraus noch nicht ohne weiteres, das; Gleichgewicht unter den Kräften besteht.

So z. B. ist der aus den gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten Parallelkräften Pj Pz und P₃P₄ (Fig. 22) gebildete Kräfteplan abcd jedenfalls geschlossen, die Kräfte sind aber nicht miteinander im Gleichgewichte, suchen vielmehr eine Drehung im Sinne der Zeiger einer llhr hervorzubringen.

Für den Gleichgewichtszustand von Kräften muß also jedenfalls außer der Bedingung, daß der Kräfteplan geschlossen ist, noch eine andere Bedingung bestehen, die zunächst festgestellt werden soll.

Fig. 22.

’P,

ls d

Bildet man aus den Kräften P₄ P₂P₃ (Fig. 23) den Kräftezug ab cd und schließt denselben durch die Linie a d, so stellt a d bekanntlich die Mittelkraft R der Kräfte P, Pz Pg der Größe und Richtung nach dar. Zeichnet man

Fig. 23.

,a

•m

d,

b,

•0

[JZ

[R

Pz

dann entsprechend einem beliebigen Pole 0 den Seilzug mlIIHin, so muß die Mittelkraft R durch den Schnittpunkt der ersten und letzten Seilzugseite, also durch den Schnittpunkt IV der verlängerten Im und Hin hindurchgehen. Der Seilzug bildet alsdann die geschlossene Figur IIIIIIIV.

Ersetzt man die Mittelkraft R durch die gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft P₄, die demnach auch durch den Punkt IV gehen muß, so sind die Kräfte P, P₂ Pg P₄ miteinander im Gleichgewichte. Der aus diesen Kräften gebildete Kräfteplan ist geschlossen, zugleich aber auch der Seilzug. Ginge die Kraft P₄ nicht durch den Punkt IV des Seilzuges, sondern hätte dieselbe irgend eine andere parallele Lage, etwa P'4 (Fig. 24), so wäre der Kräfteplan allerdings noch immer geschlossen, die Kräfte

Fig. 24.

p:

./Az

P,

in

<Pz

würden aber nicht miteinander im Gleichgewichte sein, denn die P'₄ (= R) bildet alsdann mit der Mittelkraft R der Kräfte P, P₂ P₃ ein Kräftcpaar, dessen Moment') bei dem Hebelarme l die Größe hat:

M — R. l.

Das Moment lvird nur dann — Null, wenn l — Null wird, d. h. wenn P'₄ mit R in einer Geraden liegt, also durch den Punkt IV des Seilzuges geht, wodurch sich letzterer dann schließt. Hieraus ergibt sich der Satz:

Mehrere in derselben Ebene wirkende Kräfte, welche sich nicht in einem Punkte schneiden, halten sich im Gleichgewichte, wenn der aus ihnen gebildete Kräfteplan geschlossen ist und wenn ihnen zugleich ein geschlossener Seilzug entspricht.

2) Veränderung des Poles bei einer und derselben Lräftegrnppe.

Zu einer und derselben Kräftegruppe lassen sich unendlich viele Scilzügc zeichnen, die aber alle zn demselben Ergebnis ftihren müssen.

Es seien die Kräfte P, P₂P₃ (gig. 25) gegeben, die zu dem Kräftezuge ab cd aneinander gefügt sind. Soll nun entsprechend dem Pole 0 ein Seilzug aufgezeichnet werden, so kann nach 3) § 2 S. 5 u. f. ein beliebiger Punkt in

Fig. 25.

n'

<P

m'

sn

ja'

iß

p,

der Richtungslinie einer der gegebenen Kräfte, z. B. der Punkt I in der Richtungslinie von P₄ gewählt werden, durch welchen der Seilzug ml IIIIIn hindurchgeht. Wird irgend ein anderer Punkt auf der P,, z. B. der Punkt P als Ausgangspunkt gewählt, so ergibt sich der Seilzug m' I' II' IIP n'. Da die einzelnen Seiten beider Seilzüge parallel den zugeordneten Polstrahlen sind, so müssen sie auch parallel untereinander sein, daher der Satz:

Die gleichnamigen Seiten zweier Seilzüge, welche zu einer und derselben Kräftcgruppc mit Benutzung desselben Poles 0 konstruiert sind, sind einander parallel.

Die Lage des Poles 0 für eine Kräftegruppe ist nun ebenfalls ganz willkürlich und es könnte irgend ein anderer Punkt 0' als Pol gewählt werden. Mit der Lage des Poles ändert sich dann auch die Lage des Seilzugcs. Die

-) S. § 4, S. 17.

Seilzügc aber, welche verschiedenen Polen einer und derselben Kräftegruppe entsprechen, stehen in einer gewissen Beziehung zueinander, was jetzt näher untersucht werden soll.

Es seien die Kräfte P, und P₂ gegeben, welche in Fig. 26b zu dem Kräftezuge abc vereinigt sind; in Fig. 26a ist der Seilzug mllln entsprechend dem Pole 0 und ein anderer ml'II'n' entsprechend dem Pole 0' aufgezeichnet.

Denkt man sich die Verbindungslinie 0 0' der Pole 0 und 0' in Fig. 26b als Kraft K, so bildet diese mit den die Seilspannungen darstellenden Strahlen s, und s', ein Kräftedreieck, welchem in Fig. 26 a der Knoten m entspricht. Die Kraft K muß deshalb durch den Punkt m gehen und, da s, IIml und s', II ml' ist, so muß auch KII 00' sein. Die 0 0' bildet aber auch mit den Strahlen s₂ und s'₂ ein Kräftedreieck, welchem in Fig. 26 a der Knoten A

Fig. 26 a.

X,

Fig- 26b.

771 /

in

s/

s> i

A'

-K

B?

0'

X'

(Schnittpunkt der verlängerten Seilzugseiten III und II' I') entspricht. Die Kraft K muß deshalb auch durch den Punkt A gehen und, da s₂1! III und s'₂ II I'II" ist, auch parallel zu 0 0' sein.

In derselben Weise schließt man, daß K auch durch den Schnittpunkt B der verlängerten Seilzugseiten n II und n'IP gehen muß und parallel zu 0 0' ist. Da K in Fig. 26a aber nur durch eine Gerade dargestellt werden kann, so folgt daraus, daß die Punkte mAB auf einer geraden Linie XX liegen, welche parallel zu 0 0' ist.

Aus obiger Betrachtung folgt der Satz:

Wenn für denselben Kräftezug mit zwei verschiedenen Polen zwei Seilziige konstruiert werden, so liegen die Schnittpunkte der verlängerten gleichnamigen Seilzugseiten auf einer Geraden, welche der Verbindungslinie der beiden Pole parallel ist.

Liegen die Pole 0 und 0' auf derselben Seite des Kräftezuges, so haben die zugehörigen Seilzüge gleichartige Spannung, also je nach der Richtung der Kräfte entweder beide Zugspannung oder beide Druckspannung; liegen aber die Pole auf entgegengesetzten Seiten des Kräftezuges, so haben die zugehörigen Seilziige entgegengesetzte Spannung.

Es seien die Kräfte Pt und P₂ (Fig. 26 a) gegeben, welche zu dem Kräftezug abc (Fig. 26b) aneinander gefügt sind; es sei ferner der Seilzug mllln entsprechend dem Pole 0 aufgezeichnet. Um aus diesem den dem Pole 0' entsprechenden Seilzug abzuleiten, ziehe man in Fig. 26b den ersten Strahl O'a und in Fig. 26 a durch m eine Parallele dazu bis zum Schnittpunkte I' mit der Pv Es ist dann mP die erste Seite des gesuchten Seilzuges. Durch m ziehe eine Parallele XX zu der Verbindungslinie 0 0' der Pole 0 und 0'. Verlängert man dann die zweite Seite III des ersten Seilzuges bis zum Schnittpunkt A mit der XX, verbindet A mit I' und verlängert diese Linie bis zum Schnittpunkt IP mit der P₂, so erhält man in PIP die zweite Seite des gesuchten Seilzuges. Man verlängere ferner n II bis zum Schnittpunkt B mit der XX, verbinde B mit IP und verlängere diese Linie bis n'. Der Linienzug mPIPn' ist der dem Pole 0' entsprechende gesuchte Seilzug.

Mit Hilfe der oben gezeigten Beziehung, welche zwischen zwei Seilzügen besteht, die für dieselbe Kräftcgruppe mit zwei verschiedenen Polen konstruiert sind, läßt sich mm leicht die Aufgabe lösen: Aus einem Seilzuge, welcher für eine bestimmte Kräftegruppe mit deni Pole 0 aufgezeichnet wurde, einen anderen Seilzug für dieselbe Kräftegruppe aber mit einem anderen Pole 0' abzuleiten.

3) Der Leitzug als Mittelkraftslinie.

Da die Lage des Poles für einen gegebenen Kräftezng willkürlich ist, so kann man denselben auch mit dem Anfangspunkte der ersten Kraft zusammenfallen lassen. Der diesem Pole entsprechende Seilzug verdient besondere Beachtung und soll deshalb hier kurz besprochen werden.

Fügt man die Kräfte P, P₂ Ps (Fig. 27) zu dem Kräftezuge ab cd aneinander, so stellen die Diagonalen ac und ad ihrer.Größe und Richtung nach die Mittelkräfte dar aus den Kräften Pt P₂ bezw. aus P, P₂P₃.

Fig. 27.

Pt

P,

Pt

W 1;3 -

Jl

Läßt man nun den Pol mit dem Punkte a zusammenfallen und zeichnet dazu den Seilzug, so schrumpft der erste Polstrahl zu einem Punkt zusammen, folglich ist die erste Seilzugseite irgend ein Punkt auf der Richtungslinie von P,. Die zweite Seilzugseite III fällt mit P, zusammen, die dritte Seite IIIII hat die Richtung der Diagonale ac, die vierte Hin die Richtung der Diagonale ad.

Die Seite IIIII fällt daher mit der Mittelkraft aus I\ und P₂, die Seite Hin mit der Gesamtmittelkraft aus P, P₂ P₃ zusammen.

Legt man für eine gegebene Kräftegruppe den Pol in bett Anfangspunkt des Kräftezuges, so fällt mit jeder Seite des Seilzuges die Mittelkraft aus allen, dieserSeite vorangehenden Kräften zusammen, so daß in der letzten Seite des Seilzuges die Mittelkraft aus sämtlichen gegebenen Kräften liegt.

Wegen dieser Eigenschaft nennt man einen solchen Seilzug die Mittel-kraftslinie.

Das statische Aloment 6er Kräfte.

Unter dem statischen Momente einer Kraft P (Fig. 28) in Bezug auf eilte außerhalb der Kraftrichtung liegende Drehachse C, welche rechtwinklig zur Kraftebene gerichtet ist, versteht man das Produkt aus der Kraft und dem (rechtwinkligen) Abstande l derselben von der Drehachse.

Man nennt diesen Abstand l den Hebelarm der Kraft in Bezug auf die Drehachse und kann danach kurz sagen:

Statisches Moment — KraftXHebelarm M — P.l

Ziemlich allgemein wird das Moment einer.Kraft als positiv bezeichnet, wenn die Kraft eine Drehung im Sinne der Zeiger einer Uhr um die Drehachse hervorzubringen sucht; bei der entgegengesetzten Drehrichtung ist das Moment negativ (Fig. 29).

Das Moment wird — Null, wenn der Hebelarm

—    Null wird, wenn also die Kraftrichtung ditrch die Drehachse hindurchgeht.

Da die Kräfte in Gewichtseinheiten, die Hebelarme (als gerade Strecken) aber in Längeneinheiten ausgedrückt werden, so ist für die Größenangabe der Momente eine Einheit zu Grunde zu legen, welche zusammengesetzt ist aus einer Gewichtseinheit und einer Längeneinheit. Werden z. B. die Kräfte in kg, die Hebelarme in m angegeben, so ist die Momenten-einhcit das m kg.

Stellt man nun, wie dies in der graphischen Statik immer geschieht, die Kräfte durch gerade Linien dar, so erscheint das Moment graphisch als das Produkt zweier Linien, d. h. als Fläche.

Das statische Moment ist danach gleich dem Flächeninhalte desjenigen Rechtecks, welches man erhält, wenn man die Kraft als Grundlinie, ihren Hebelarm als Höhe, oder umgekehrt, aufträgt.

So z. B. wird man unter Zugrundelegung eines Kräftemaßstabes 1 cm

—    200 kg und eines Läugenmaßstabes 1:100 als graphische Darstellung

Lauen stein, Die graphische Statik. 8. Aufl.

Fig. 28.

\l

oder

bC

Fig. 29.

des Momentes einer Kraft P — 500 kg, deren Hebelarm l — 200 cm ist, ein Rechteck erhalten

von der Grundlinie:

500

200

— 2,5 cm

200

— 2 cm

und der Höhe:

Jedc andere Figur von gleichem Flächeninhalte, in welche sich das Momentenrechteck verwandeln läßt, kann ebenfalls als graphische Darstellung des statischen Momentes benutzt werden. So ist z. B. das statische Moment auch gleich dem doppelten Flächeninhalte eines Dreiecks, dessen Grundlinie die Kraft ist und dessen Spitze in der Drehachse liegt (Fig. 30).

Mg. 31.

Mg. 30.

,c

Pu

V*-

%*■

■K

APP,

Ist R die Mittelkraft der Kräfte P, und P₂, welche sich im Punkte A schneiden (Fig. 31) und werden in Bezug auf die Drehachse C die statischen Momente von RP, P₂ bezw. mit Bl M, bezeichnet, so ist, wenn man noch die Hilfslinie AC zieht:

M = 2.AACE = AO.ll

M, = 2. A ACD = AC . h,

Mz = 2. A ACB = AC.h2 Da nun, wie sich leicht aus der Figur beweisen läßt:

h — h, 4" h₂

ist, so folgt:

M — M, -s- M₂

oder in Worten:

Das statische Moment der Mittelkraft ist gleich der all-gebraischen Summe der statischen Momente ihrer Seitenkräfte in Bezug auf eine gegebene Drehachse.

Liegt die Drehachse C zwischen den Seitenkräften P, und P₂, so haben deren Momente entgegengesetztes Vorzeichen.

Sind beliebig viele in der Ebene zerstrcirt liegende Kräfte P, Pa . . . . P„ gegeben und ist R deren Gesamt-Mittelkraft, so vereinige man, um eine Beziehung zwischen den Momenten der Kräfte P und dem Momente der Mittelkraft R in Bezug auf eine feste Drehachse C herzustellen, die Kräfte P, und P₂ zu einer Mittelkraft R, ,. Das Moment der letzteren ist nach dem Vorigen gleich der Summe der Momente der Kräfte P, und P₂. Setzt man dann weiter R._₂ mit P₈ zu der Mittelkraft R₁_₃ zusammen, so ist das Moment gleich der Summe der Momente der Kräfte R,_₂ und P₃, folglich auch gleich der Summe der Momente der Kräfte P, P₂P₃. In derselben Weise weiter schließend erhält man den Satz:

von E

1—3

Das statische Moment der Mittelkraft beliebig vieler in der Ebene zerstreut liegender Kräfte ist gleich der algebraischen Summe der statischen Momente aller einzelnen Kräfte in Bezug auf eine gegebene Drehachse.

Die Momente der einzelnen Kräfte erhalten bei der Summation das Zeichen -f- oder —, je nachdem ihr Drehsinn positiv oder negativ ist (vergl. Fig. 29).    "

Unter Benutzung des letzten Satzes kann das statische Moment beliebig vieler in der Ebene zerstreut wirkender Kräfte in Bezug auf eine feste Drehachse mit Hilfe des Kräftcplanes und Seilzuges folgendermaßen bestimmt werden:

Fig. 32.

Fig. 33.

s"

■Sb

a:

rV

!•

Man füge die gegebenen Kräfte P₂ P₃ P₄ (Fig. 32) zu dem Kräfte-zuge abcde aneinander; die Linie ae stellt die Mittelkraft E der Größe und Richtung nach dar. Man zeichnet darauf den dem beliebig gewählten Pole 0 entsprechenden Seilzug m IIIIIIIVn und zieht durch den Schnittpunkt S der äußersten Seilzugseiten ml und nIV die Mittelkraft R parallel ae. Fällt man dann von der Drehachse C auf E die Senkrechte l, so ist das gesuchte Moment ein Rechteck von der Grundlinie E und der Höhe 1

M ^ E.l

Das Moment M kann auch als vierte Proportionale zu den Größen E, l und 1 aufgefaßt werden, indem man schreibt:

M 'l

und erscheint dann als Linie (ab in Fig. 33), welche nach dem Kräftemaßstab zu messen ist, denn ab stellt diejenige Kraft dar, welche am Hebelarme 1 dasselbe Moment hervorbringt, als die Kraft R am Hebelarme l.

Zieht man in Fig. 32 durch die Drehachse 0 zu R eine Parallele, auf welcher die verlängerten äußersten Seilzugseiten (ml und nIV) das Stück

y: B — l: H

y — FG abschneiden, so sind die Dreiecke FGS und eaO wegen des Parallelismus ihrer Seiten einander ähnlich, es verhalten sich daher ihre Grundlinien wie ihre Höhen

wobei H die rechtwinklige Entfernung der Kraft B von dem Pole 0 bedeutet und Polentfernung genannt wird.

Aus der letzten Proportion folgt:

oder

B.l = H.y = H . y

Daraus ergibt sich der Satz:

Das statische Moment beliebig vieler in der Ebene zerstreut wirkender Kräfte in Bezug auf eine gegebene Drehachse ist gleich dem Produkte aus der Polentfernung ihrer Mittelkraft und der Strecke, welche von den äußersten Seilzugseiten aus einer durch die Drehachse parallel zu der Mittelkraft gezogenen Geraden abgeschnitten wird.

In dem Produkte H. y bedeutet H als Polstrahl eine Kraft, y eine Strecke; es kann indessen auch umgekehrt H mit dem Längenmaßstab, y mit dem .Kräftemaßstab gemessen werden, ohne daß das Ergebnis sich dadurch ändert.

Macht man H gleich der Längeneinheit, so stellt die Strecke y, nach dem Kräftemaßstab gemessen, unmittelbar das Moment M dar.

Fig. 34.

P,j

£öx-

■H

Das Verfahren, das statische Moment auszudrücken als Produkt ans der Polentfernung H und der Strecke y, erweist sich besonders vorteilhaft und einfach, wenn es sich darum handelt, das Moment von Parallelkräften zu bestimmen; denn in diesem Falle bildet der Kräftezug eine gerade Linie, die einmal angenommene Polentfemung bleibt daher für sämtliche Kräfte dieselbe.

Es seien P, P₂Pg drei gegebene Parallelkräfte und C eine feste Drehachse (Fig. 34). Man ziehe nach Aufzeichnung des Kräftcplanes und Seilzuges durch C eine Gerade parallel den gegebenen Kräften. Für die Kraft P, sind die äußersten Seilzugseiten ml und III; diese schneiden auf der durch C gelegten Geraden die Strecke y, ab, folglich ist das Moment der Kraft P,

M, = II. y, f9i₂ = H . y₂

Für die Straft P₂ sind die äußersten Seilzugseiten III und IIIII. Diese schneiden auf der durch C gelegten Geraden die Strecke y₂ ab, folglich ist das Moment der Kraft Pä

Ebenso erhält man für das Moment der Kraft P₃

= H . y₃

Daraus folgt: Zieht man durch die Drehachse C eine Parallele zu den gegebenen Kräften, so schneiden die zwei Seilzugseiten, welche sich auf einer Kraftlinie treffen, auf jener Parallelen eine Strecke ab, welche, mit der Polentfernung H multipliziert, das statische Moment der betreffenden Kraft in Bezug auf die Achse C liefert.

Macht man die Polentfernung H gleich der Längeneinheit, so stellen die Abschnitte y₁y₂y₈, nach dem Kräftemaßstab gemessen, unmittelbar die Momente der Kräfte P, P₂ P₃ dar.

Die Mittelkraft R geht durch den Schnittpunkt 8 der äußersten Seilzugseiten ml und n’lll, das Moment derselben ist nach Fig. 34:

oder

• 2R == H (y, + y₂ + y₃)

^ = m, + w₂ + ajf₃

Hieraus ergibt sich nochmals der oben allgemeiner bewiesene Satz, daß das Moment der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte.

Fig. 35.

<?c

p,

Pt

P,

si •

t

;R

In Fig. 35 ist P, lotrecht aufwärts, P₂ und P₃ lotrecht abwärts gerichtet. Die Mittelkraft R = P, — P₂ — Pg geht durch den Schnittpunkt 8 der äußersten Seilzugseiten ml und nlll und wirkt, wie der Kräfteplan zeigt, lotrecht aufwärts, liefert also in Bezug auf die Drehachse C ein positives Moment. Die äußersten Seilzngseiten schneiden auf der durch C gelegten Lotrechten die Strecke y ab; folglich ist das statische Moment sämtlicher gegebener Kräfte in Bezug auf die Drehachse C:

3)1 = H.y

und wenn auch hier wieder H = 1 angenommen wird:

M — y

Graphische Nlächenöestimnmng.

.Unüliil

3) Machwerke mit wagerechtcm Ober- und Untergurt.

Nachwerkartige Dachkonstruktionen.

h — 2,2 m

2) Zentral aber schief belastete Mauern.

Unterschnittene Futtermauern.

3) Die verschiedenen Lagen der Drucklinie (Maximal- »nd Minimal-

1) Das Aebengewölbe. (Fig. 272.)

Graphische Nlächenöestimnmng.

1) Das Dreieck.

Bekanntlich ist der Flächeninhalt des Dreiecks — Grundlinie mal Höhe dividiert durch 2

KN

Fig- 36.

jB

B,

..J

Verwandelt man das gegebene Dreieck ABC (Fig. 36) in das inhaltsgleiche Dreieck A B, C,, dessen Grundlinie AB, — 2 ist, so ist die Höhe h, = dem Flächeninhalte, denn:

F = AB, • A- = 2 • ^ = h

in cm gemessen, den

Ist die Einheit das cm, so gibt die Höhe h Inhalt des Dreiecks in qcm.

Um die Verwandlung vorzunehmen, trage man AB, — 2 Längeneinheiten von A aus ab, verbinde B, mit C, ziehe durch B zu B, C die Parallele BC, und verbinde B, mit C,. Es ist dann:

A AB, C, = A ABC

Mg- 37.

.........ch ,,,, Der Beweis ergibt sich aus der Gleichheit der Dreiecke BC, C und BC,B,, welche gleiche Grundlinie und gleiche Höhe haben.//

Um ein gegebenes Dreieck ABC (Fig. 37) in ein inhaltsgleiches Dreieck A B, C, von gegebener Höhe h, zu verwandeln, ziehe man zu der Grundlinie AB eine Parallele im Abstande h,, verlängere AC bis zum Schnittpunkte C, mit der Parallelen, verbinde C, mit B und ziehe durch C die Parallele CB, zu C, B. Es ist dann:

c.

h,

B, B ''

A AB, C, = A ABC

Macht man die Höhe h, — 2, so ist die Grundlinie AB, = dem Flächeninhalte des Dreiecks.

2) Das Viereck.

Der Inhalt des Parallelogramms AB CB (Fig. 38) ist gleich dem Inhalte des Rechtecks ABC, D, von derselben Grundlinie und der gleichen Höhe, wie unmittelbar ans der Kongruenz der Dreiecke AI)D, und BCC, folgt. Das Parallelogramm läßt sich also immer durch ein Rechteck ersetzen.

Um das Rechteck A B C D = b . h (Fig. 39) in ein inhaltsgleiches Rechteck von der gegebenen Grundlinie b, zu verwandeln, mache man AB, — b,, ziehe

Fig- 39.

Fig. 38.

jD

C,

h<\ h

B,

AB,C,D, = ABCD

B,D und durch B die BD, II B,D. gesuchten Rechtecks, also:

Es ist daun AB, — h, die Höhe des

Der Beweis folgt ans der Proportion

b : b. = h.: h

oder

b . h = b,. h,

Macht man b, — der Längeneinheit, so stellt die Höhe h, unmittelbar den Flächeninhalt des Rechtecks dar.

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen, verwandle mmt dasselbe in ein inhaltsglciches Parallelogramm. Man halbiere zu dem Zwecke eilte der nicht parallelen Seiten, z. B. BC (Fig. 40) in E und ziehe durch E bie B,C, II AD. Es ist dann:

A B, C, D = ABCD

Der Beweis folgt aus der Kongruenz der Dreiecke BB, E und C C, E. Um den Flächeninhalt als Linie zu erhalten, verwandle ntmi nach dem Vorigen das Parallelogramm AB, C,D in ein inhaltsgleiches Rechteck von der Grundlinie 1, die Höhe desselben ist dann — dem Flächeninhalte.

Fig. 40.

Fig- 41.

C_C,

B,

B, B

Das unregelmäßige Viereck ABCD (Fig. 41) wird zur Bestimmung des Flächeninhaltes am besten in ein inhaltsgleiches Dreieck verwandelt. Man ziehe zu dem Zwecke die Diagonale BD und durch C zu BD eine Parallele, welche die verlängerte AB in B, schneidet. Es ist dann, wenn man noch B, mit D verbindet:

ABCD = AB,D

Um den Flächeninhalt des Vierecks ABCD als Linie zu erhalten, verwandle man das Dreieck AB,D in ein Dreieck mit der Höhe 2.

3) Das Vieleck.

Zur Bestimmung des Flächeninhaltes wird das Vieleck durch schrittweise Verminderung der Seitenzahl in ein Dreieck verwandelt.

Aus dem Sechseck ABCDEF (Fig. 42) wird zunächst das Fünfeck AB, DEF gebildet, indem durch die Linie BD von dem Sechseck das Dreieck BCD abgeschnitten und dafür das inhaltsgleiche Dreieck BB,D an die Stelle gesetzt wird. Ebenso wird durch die Linie AE das Dreieck AEE abgeschnitten und durch das Dreieck AE A, ersetzt. Wie das auf solche Weise entstandene Viereck A, B,DE weiter in ein Dreieck zu verwandeln ist, wurde bereits oben unter 2 gezeigt.

A, A

Mg. 42.

<C

B B,

Fig. 43.

C, D P,

’B

Nicht selten liegt die Aufgabe vor, einen geknickten Linienzug AB CD (Fig. 43) durch eine Gerade so auszugleichen, daß die Flächen links und rechts sich der Größe nach dadurch nicht ändern.

Man ziehe zu dem Zwecke die Gerade BD und CG, IIBD, ferner die Gerade AC, und BD, IIAC,. Es ist dann AD, die gesuchte Gerade.

Der Beweis ist mit Hilfe des Satzes, daß zwei Dreiecke von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe inhaltsgleich sind, leicht zu führen.

4) Kreisausschnitt und Kreisabschnitt.

Bezeichnet man in Fig. 44 den Bogen AB mit b, so ist: Ausschnitt AOB

v²n

2r n

folglich:

rb

Ausschnitt A 0 B =    ₀

Der Ausschnitt kann also ersetzt werden durch ein Dreieck von der Höhe r und der Grundlinie b, welches sich ergibt, wenn man auf der Tangente in A den Kreisbogen AB = b durch Abtragen genügend kleiner Teile abwickelt.

Ist:

Fig. 44.

so wird:

AB, — AB

iB

Ausschnitt AOB — Dreieck AOB,

zieht man BB.JIAO, so ist wegen Gleichheit der Dreiecke AOB und AOB₂:

Kreisabschnitt AB = AB,B.₂0

Ist der Kreisbogen sehr flach, so kann man ihn genügend genau als Parabelbogen auffassen. In diesem Falle ist der Inhalt des Abschnittes AB

b Bz B,

Fig. 46.

Fig. 45.

VjA

**uZ_

ta

<Fig. 45), wenn die Sehnenlänge A B mit s, die Pfcilhöhe mit h bezeichnet wird, gleich einem Rechteck von der Höhe ²h h und der Grundlinie s, oder gleich einem Dreieck von der Höhe ⁴/s h und der Grundlinie s (Fig. 46).

Ci

Graphische Schwerpunktsbestimrnung.

Der Schwerpunkt eines Körpers ist bekanntlich derjenige Punkt, in welchem der Körper unterstützt sein muß, um sich in jeder Lage im Gleichgewichte zu befinden. Denkt man sich den Körper zusammengesetzt aus sehr vielen, sehr kleinen Teilchen, so bildet der Schwerpunkt des Körpers den Angriffspunkt der Mittelkraft der Gewichte sämtlicher Körperteilchcn. Der Körper kann dabei die Gestalt einer ebenen, seitlich beliebig begrenzten Platte haben, die bei sehr geringer Dicke genügend genau als Fläche angesehen werden darf. Man kann unter dieser Voraussetzung dann auch von dem Schwerpunkt einer Fläche reden und versteht darunter den Angriffspunkt der Mittelkraft von allen auf die einzelnen Flächenteile wirkenden und der Größe nach denselben proportionalen Einzelkräften.

Die Bestimmung des Schwerpunktes einer Fläche kommt als Zwischen-anfgabc bei der zeichnerischen Lösung von Aufgaben im Gebiete der Bau-nnd Jngenieurwissenschaften (z. B. bei der graphischen Untersuchung von Stützmauern und Gewölben, ferner bei Konstruktionen aus Profileisen mit nn-symmetrischen Querschnitten u. s. w.) so häufig vor, daß der Techniker mit dem bei den verschiedenen regelmäßig oder unregelmäßig begrenzten Querschnitts-Figuren gebräuchlichen Verfahren der Schwerpunktsbestimmung durchaus vertraut sein muß. Es sollen daher diese Verfahrungsartcn für die wichtigsten Querschnittsformen hier in folgendem kurz besprochen werden').

1) Das Dreieck.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt auf der Mittellinie, d. h. auf derjenigen Geraden, welche die Mitte einer Seite des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Spitze verbindet.

Sind D und E die Mitten der Seiten AB bezw. AC (Fig. 47), so liegt danach der Schwerpunkt 8 im Schnittpunkte von CD und BE.

Airs der Ähnlichkeit der Dreiecke DES und

BGS folgt:

Fig. 47.

DS :SC = DE:BC

da nun:

DE = V₂ BC

ist, so folgt:

DS = ¹k SC

oder:

DS = 1/3 DC Danach kann man sagen:

Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt auf der Mittellinie und in 1/3 der Höhe.

2) Das Viereck.

Da das Parallelogramm durch jede der beiden Diagonalen in je zwei kongruente Dreiecke zerlegt wird, so liegt der Schwerpunkt eines

Fig. 48. PFC

Parallelogramms im Kreuzungspunkte der Diagonalen.

\!

gonale AC zerlegt wird. und St S₂ ist der Schwerpunkt des Trapezes.

Halbiert man bei einem TrapezeABCD (Fig. 48) die parallelen Seiten AB und CD in E und F, so ist die Verbindungslinie EF eine Schwerlinie, d. h. eine Linie, auf welcher der Schwerpunkt des Trapezes liegen muß. Eine andere Schwerlinie erhält man durch Verbindung der Schwerpunkte S₁ und S₂ der beiden Dreiecke ABC und ACD, in welche das Trapez durch die Dia-Der Schnittpunkt S der beiden Schwerlinien EF

²) Vergl. auch die Aufsätze von R. Land im Ceutralbl. d. Bauverw. 1894. S. 192 u. S. 458, 459.

Eine andere, etwas einfachere Konstruktion des Schwerpunktes ergibt sich, wenn man das Trapez in ein Parallelogramm und ein Dreieck zerlegt (Fig. 49).

Verbindet man den Schwerpunkt 8, des Parallelogramms mit dem Schwerpunkt S₂ des Dreiecks und verlängert diese Verbindungslinie bis zu den Schnittpunkten H und J mit den verlängerten parallelen Seiten A B und C D, so wird, wie sich leicht beweisen läßt'), BH = CD und DJ — AB. Hiernach ist die Konstruktion des Schwerpunktes eines Trapezes folgendermaßen auszuführen:

Fig. 50.

Fig. 49.

„S.

fb?

:• vr

b:

. pj----------------N

tX5

/ ?

Mau verlängere jede der beiden parallelen Seiten nach entgegengesetzten Richtungen um eine Strecke gleich der anderen Seite, mache also BH = b, und DJ = b Mg- 50). Der Schnittpunkt 8 der Verbindungslinie HJ mit der Mittellinie EF ist der Schwerpunkt des Trapezes.

Eine andere, von Prof. Land angegebene einfache Konstruktion des Schwerpunktes eines Trapezes ist folgende:

Man ziehe (Fig. 51) die Diagonale AC und durch D die DG I! AC, verlängere die Mittellinie EF bis G und mache E 8 = V₃ E G. Es ist dann 8 der gesuchte Schwerpunkt.

Fig. Bl.

.,1C

Fig. 52.

\G

>.

AE_c

___

-------&

sn

s, .. I

Beweis. Sind S, und S₂ (Fig. 52) die Schwerpunkte der Dreiecke ABD und BCD, so ist:

_    SjSg-IlAC

‘) Siehe Lauenstein, Mechanik, 5. Stuft. S- 44 u. 45.

S, S II A C II D Gr ES, = V₈ ED ES = V₈ EG

also auch: Da nun: so folgt:

Um den Schwerpunkt eines beliebigen unregelmäßigen Vierecks AB CD (Fig. 53) zu bestimmen'), teile man dasselbe durch die Diagonale A C in die beiden Dreiecke ABC und ACD und bestimme deren Schwerpunkte S, und S₂. Die Verbindungslinie S, S₂ ist dann eine Schwerlinie des Vierecks. Eine zweite Schwerlinie erhalt man, wenn man das Viereck durch die Diagonale BD in die Dreiecke ABD und BCD zerlegt und deren Schwerpunkte S8 und S₄ miteinander verbindet. Der Schnittpunkt 8 der beiden Schwerlinien S, S₃ und S₈ S₄ gibt daun beit Schwerpunkt des Vierecks.

Fig. 54.

Fig. 53.

\>$

**V

Etwas einfacher ist folgendes Verfahren: Mau teile das Viereck ABCD (Fig. 54) durch die Diagonale AC in die Dreiecke ABC und ACD und bestimme deren Schwerpunkte 8, und S₂. Der Schnittpunkt der Verbindungslinie S₄S₂ mit der Diagonalen A C sei E. Tragt man dann die Strecke S₂E auf der S,S₂ von 8, aus bis 8 ab, macht man also 8,8 — S₂E, so ist 8 der Schwerpunkt des Vierecks^).

3) Das Vieleck.

Um den Schwerpunkt eines Vielecks zu ermitteln, zerlege man dasselbe durch Diagonalen in Dreiecke, deren Schwerpunkte man in bekannter Weise besümmt. Die Flächeninhalte der Dreiecke als beliebig gerichtete Parallelkräfte betrachtend, bilde man aus ihnen einen Kräfte- und Seilzug und bestimme die Lage der Mittelkraft, welche durch den Schnittpunkt der äußersten Seilzugseiten verläuft. Die Mittelkraft bildet alsdann eine Schwerlinie des Vielecks, lim noch eine zweite Schwerlinie zu erhalten, wiederhole man dasselbe Verfahren, indem man für die Parallelkräfte eine andere Richtung annimmt. Der Schnittpunkt beider Schwerlinien bildet dann den Schwerpunkt des Vielecks. Der

') Bezüglich der neueren von R. Land angegebenen Verfahren zur Schwer-punktsbestimmung von Trapezen unb unregelmäßigen Vierecken wird auf Lauenstein, Mechanik, 5. Ausl. S. 47 u. 48 verwiesen.

²) Der Beweis findet sich in Lauenstein, Mechanik, 5. Anst. S. 48 u. 49.

Flächeninhalt der einzelnen Dreiecke kann dabei entweder berechnet oder nach 1) § 5 6. 22 zeichnerisch ermittelt werden.

In Fig. 55 ist in dieser Weise der Schwerpunkt eines unregelmäßigen Sechsecks bestimmt. Dabei ist der Bequemlichkeit der Zeichnung wegen die eine

Fig. 55.

PI

NI

BF)

!„

ZiF)

Richtung der Parallelkräfte lotrecht, die andere Richtung wagerecht angenommen; ferner wurden die äußersten Polstrahlen unter einem Winkel von 45° gegen die Kraftlinie gezogen.

^Zusammengesetzte Figuren.

Handelt es sich darum, den Schwerpunkt einer zusammengesetzten Figur zu bestimmen, so zerlege man dieselbe in eine Anzahl einfacher Figuren, deren Schwerpunkt bekannt ist und deren Flächeninhalt leicht berechnet werden kann.

Fig. 56.

BF)

F„

R,

=/•

Fr

Fi.

Fi'

F'

⁺S(F)

Die weitere Konstruktion mit Hilfe des Kräftcplans und Seilzuges ist ganz übereinstimmend mit der unter 3) besprochenen durchzuführen.

Ein Beispiel hierzu gibt Fig. 56.

Man findet:

In Fig. 57 ist in derselben Weise der Schwerpunkt bestimmt für ein unglcich-schenkliges Winkcleiscn 4X6X0,7 cm, welches sich zerlegen läßt in die Rechtecke: F, = 4.0,7 — 2,8 qcm F₂ = (6 — 0,7) 0,7 — 3,71 qcm x₀ — 1,06 cm y» = 2,06 cm

Genauer ergibt sich mit Berücksichtigung der Abrundungen r x₀ — 1,05 cm y₀ — 2,04 cm

Fig. 57.

G)7cm

1-2

1 qcm - 3 mm

lqc m=3 mm

-«

!'o    1

öcm

F,

Fe

-■v

Die Schwerpunktsbestimmung des Winkeleisens läßt sich noch etivas einfacher^ in folgender Weise durchführen:

Man verbinde (Fig. 58) die Schwerpunkte 8, und S₂ der Flächen F, und F«, durch eine Gerade und teile diese durch den Punkt 8 im umgekehrten Verhältnis

-* Fig. 58.

der Rechteckflächen Fj und F₂. Da sich bei gleicher Breite aber die Rechtecke verhalten wie ihre Seiten oder auch halben Seiten a und b, so ergibt sich leicht das in Fig. 58 angedeutete zeichnerische Verfahren zur Bestimmung des Schwerpunktes S¹).

! /    >5r

_:    Sind die Schenkeldickcn des Winkeleisens ver-

x-

-ii schieden, so treten natürlich die Flächenteile Ft und F₂ an Stelle der Längen a und b.

Hat die Fläche, deren Schwerpunkt zu bestimmen ist, eine Symmetrieachse, so geht diese durch den Schwerpunkt, und es braucht deshalb nur noch eine andere Schwer-liirie für die Fläche konstruiert zu werden (Fig. 59).

9 Vergl. auch Lauenstein, Mechanik, 5. Ausl. S. 49.

In einigen Fällen ist es, auch wenn die betreffende Fläche unsymmetrisch ist, doch nur erforderlich, eine Schwerlinie zu bestimmen, während der Schwerpunkt selbst nicht weiter verlangt wird. Als Beispiel kann ein Hauptgesims gelten, bei welchem nur die lotrechte Schwerlinie besonderes Interesse bietet.

Die ganze Querschnittsfläche wird in solche Teile zerlegt, daß der Schwerpunkt jedes derselben genau genug bestimmbar ist. Dabei kann für einzelne Teile die gegliederte Außenkante nach Augenmaß ersetzt werden durch eine gerade Linie, wodurch sich häufig eine mathematisch regelmäßige Figur bilden läßt, deren Schwerpunkt leicht ermittelt werden kann.

Fig. 59.

-6

73

<73    73

•ö-

tZ(F)

In Fig. 60 wurde die lotrechte Schwerlinie zeichnerisch bestimmt für die Querschnittsfläche des Hauptgesimses der Großherzogl. Baugewerkeschule in Karlsruhe. Die ganze Fläche ist zu dem Zwecke durch lotrechte Linien in fünf einzelne Teile zerlegt *), deren Inhalte in qm sich nach den in Fig. 60 in cm eingeschriebenen Maßen ergeben zu:

Fj — 0,19.0,1 — 0,019 qm F₂ = 0,42.0,3 = 0,126    „

F₃ — 0,13.0,5 — 0,065 „

F₄ = 0,13.0,95 = 0,1235 „

F₅ = 0,55.1,29 = 0,7095 „

Die Fläche F₁ ist durch eine Dreiecksfläche von gleichem Inhalte ersetzt, deren lotrechte Schwerlinie um ²/s. 19 — co 13 cm von der Kante D absteht. Die Schwerlinien der übrigen Flächen F₂ bis F₅ können genau gemrg als mit den Mittellirrien zusammenfallend angenommen werden.

*) Häufig ist es ratsam, aus Gründen, welche erst später angeführt werden können, die Zerlegung in einzelne Teile durch wagerechte statt durch lotrechte Linien vorzunehmen; namentlich gilt dies für die Steinkonstruktionen.

Mit Hilfe des Kräfteplanes und Scilznges hat sich der Abstand der Schwerlinie der ganzen Figur von der Kante A, ein (wie sich später bei den Steinkonstruktionen zeigen wird) sehr wichtiges Maß, ergeben zu x — 9,5 cm.

Fig. 60.

1:25

19

42

*l3„.

55

30

57

lqm = 4cm

F,

4L

co

Fs

F₃

F< i

iS(F)

Schließlich verdient noch ein Verfahren kurz erwähnt zu werden, durch welches bei unregelmäßig begrenzten Flächen der Schwerpunkt mit ziemlicher Genauigkeit sich leicht und rasch bestimmen läßt. Man zeichnet die Figur, bereit Schwerpunkt man sucht, auf starkes Zeichenpapier, schneidet sie recht genau aus und läßt sie sodann auf einer Nadelspitze balancieren. Wenn die ausgeschnittene Figur wagerecht liegt und nach keiner Seite hin ein Überkippen stattfindet, so hat man mit der Nadelspitze den Schwerpunkt getroffen.

yy:

Trägheitsmomente.

Sind k, f₂ f₃ ... . die einzelnen sehr schmalen Flächenstreifen, in welche irgend eine Querschnittsfläche durch Parallelen zu einer in der Ebene der Fläche liegenden Geraden NN (Fig. 61) zerlegt werden kann; sind ferner y, y₂ y₃ . ... die Entfernungen der Schwerpunkte der einzelnen Flächenstreifcn von der Geraden NN, so nennt man die Summe:

f, y,² + W + fsy»² • • • • = 2 (fy²) = j

oder in Worten: die Summe aller Flächenteilchen, multipliziert mit dem Quadrate ihrer Abstände von der Achse NN, das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche in Bezug auf die Achse NN.

Mg. 61.

Die Größe des Trägheitsmomentes hängt einerseits ab von der Größe und Form der Querschnittsfläche selbst, andererseits aber auch von der Lage der Achse, und da diese unendlich viele verschiedene Lagen haben kann, so gibt cs atich für eine und dieselbe Querschnittsfläche unendlich viele verschiedene Trägheitsmomente.

's \f \f :/₄

Rückt die Achse der Querschnittsfläche näher, so werden die Entfernungen y kleiner, folglich wird auch das Trägheitsmoment kleiner; es erreicht seinen kleinsten Wert, weitn die Achse durch den Schwerpunkt der Fläche hindurchgeht.

Ist das Trägheitsmoment in Bezug auf die Schwerachse ermittelt, so läßt sich daraus leicht das Trägheitsmoment in Bezug auf eine andere, der Schwcr-achsc parallele Achse ableiten').

Das Trägheitsmoment einer beliebig begrenzten Figur, deren Flächeninhalt — F sein möge, läßt sich mit Hilfe der graphischen Statik bestimmen, indem man die einzelnen Flächenstreifen als Kräfte auffaßt, welche der Achse parallel gerichtet sind.

lii

Man berechne (Fig. 62) die Flächeninhalte f, . ... f₇ der Streifen und bilde daraus in einem passenden Maßstabe den Kräftezug AB (= F), wähle einen Pol 0 (Polentfernung — H) und zeichne den Seilzug ml ... . VIIn. Durch den Schnittpunkt der äußersten Seilzugseiten wird die Lage der Schwerachse 88 bestimmt. Zur Ermittlung des Trägheitsmomentes betrachte man einen beliebigen Streifen, z. B. den zweiten. Das Trägheitsmoment desselben in Bezug auf die Achse 88 ist = f,. y₂². Dieses läßt sich durch eine Fläche darstellen. Verlängert man nämlich die f₂ einschließenden Seilzugseitcn bis p den Schnittpunkten a und ß mit der SS, so wird dadurch das Dreieck Haß, dessen Flächeninhalt mit A₂ bezeichnet werden möge, gebildet, welches wegen Parallelismus der Seiten dem Dreiecke OCD im Kräfteplane ähnlich ist. Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate der Höhen, folglich ist:

Al_ _. y₃²

OCD

H²

Da nun:

ist, so wird: oder:

0 CD = f₂ .

^2    2 H “ ' -

f₂yj = A„.2H

’) Näheres darüber findet sich in Lauenstein, Festigkeitslehre, 7. Stuft. § 5.

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Stuft.

Das Dreieck A₂, multipliziert mit der doppelten Polentfernung, stellt also das Trägheitsmoment des Streifens f₂ dar.

Führt man dieselbe Betrachtung für alle übrigen Streifen der Querschnittsfläche durch, so kommt man zu dem Schluß, daß das gesamte Trägheitsmoment der Querschnittsfläche in Bezug auf die Schwerachsc dargestellt wird durch die, von dem Seilzuge selbst und den vcr-

Fig. 62.

iS

-1-

's*

s₄

f₅

r\ Dk

.2T

f\

F'

"fi

längerten äußersten Seilzugs eiten begrenzte Fläche, multipliziert mit der doppelten Polentfernung. Wird diese Fläche mit F' bezeichnet, so ist:

J = 2H.F'

Zieht man die äußersten Polstrahlen imter 45° gegen den Kräftezug, so wird, da AB = F ist, H = -|-

folglich:

J = F . F'

Die Fläche F' ist dabei in demselben Maßstabe zn messen, in welchem die Querschnittsfläche F ausgezeichnet war.

In Fig. 64 ist das soeben besprochene Verfahren an einem Schienenquerschnitt (verstärkter badischer Oberbau), dessen Abmessungen in Fig. 63 angegeben sind, konstruktiv durchgeführt.

Der ganze Querschnitt, welcher im Maßstabe 1:2,5 aufgezeichnet ist, ist in 11 Streifen geteilt (Fig. 64), deren Höhen- und Flächeninhalte folgende sind:

Höhe Flächeninhalt

Streifen Nr. 1

„ io „ 11

O CO GO^ iC lO_    iO^ oq

t-7 O O r-7 t-7

§ * *=

h-

O LLLLLLLLLL CT¹

Z 8 Z 8 !Z K 2 K 2^ © oo

cd cd cd cd cd cd c<T id t-h ad

Summe

14 cm

56,5 qcm

Mg- 63.

1-2,5

65

s?

$

7

KL

^Sä ¹ k.

.......

,v>-

Äai-350

!3S-

!>

25

W

iS \ y

•y^7

- to \

-V.

125

Aus bett Flächeninhalten der einzelnen Streifen ist der Kräftezug int Maßstabe 1 qcm — 1 min gebildet und die Endstrahlen unter 45° gezogen, danach der Seilzug gezeichnet. Die Fläche F' hat sich dabei ergeben zu:

und da: so wird:

F' — 26,3 qcm F — 56,5 qcm

J = 26,3.56,5 = 1485 cm⁴.

Die Abstände der wagercchten Schwerpunktachse vom Kopf bezw. vom Fuße der Schiene sind:

e, — 7,2 cm e₂ — 6,8 cm

Mg. 64.

e,

F'

i C£

-4-

-r -rl

lqem = 1mm

VzF

i.

2    3 4 5678 9

10

11

Daraus ergeben sich die Widerstandsmomentes: für den Kopf: W, = —

ei

für den Fuß: W₂ — —

1484

7,2

1485

— 206,3 cm

e2

6,8

— 218,4 cm³

§ 8.

Der betastete Träger.

Ein an beiden Enden unterstützter, durch lotrechte Kräfte belasteter einfacher Träger übt auf die llnterstützungspunkte lotrecht abwärts gerichtete

’) Vergl. Lauenstein, Festigkeitslehre, 7. Anfl. § 4, Gl. 15.

Drücke aus; umgekehrt erfährt der Träger durch die Uuterstützungspiluktc die gleichen, aber entgegengesetzt, also lotrecht aufwärts gerichteten Drücke. Man nennt diese letzteren die Stützenwiderstände. Die Lasten und Stützenwiderstände bilden die äußeren Kräfte, gegenüber den inneren Spannungen des Trägers.

Die Belastung besteht entweder aus einer Anzahl von Einzellasten oder sie ist gleichmäßig über einen Teil des Trägers oder über die ganze Länge desselben verteilt; auch können Einzellasten und gleichmäßig verteilte Belastung (Streckenlast) gleichzeitig vorhanden sein.

Man nennt einen Träger unmittelbar belastet, wenn die Belastung am Träger selbst angreift; wird dagegen die Belastung durch Zwischenkonstruk-tioncn ans einzelne bestimmte Punkte des Trägers übertragen, so nennt man den Träger mittelbar belastet. So z. B. werden bei einer größeren Brücke die Lasten durch kleinere Längstrügcr auf Querträger und von diesen weiter auf die Hauptträgcr übertragen, letztere sind daher mittelbar belastet.

Man unterscheidet ferner bleibende und veränderliche bezw. Verkehrsbelastung. Die bleibende Belastung ist stets vorhanden, die veränderliche Belastung wirkt nur zeitweise. Das Eigengewicht der Träger bildet z. B. eine bleibende Belastung, während ein Lastwagen bei einer Brücke, Schnee- und Winddruck bei einem Dache veränderliche Belastungen sind.

Bei der statischen Berechnung eines belasteten Trägers handelt es sich zunächst um die Ermittlung der Stützenwiderstände, sowie um die Bestimmung der in den verschiedenen Querschnitten des Trägers wirkenden Schubkräfte (Qu er kr äste), und der Biegungsmomente der äußeren Kräfte.

Die Schubkraft für einen bestimmten Trägerquerschnitt ist diejenige Kraft, welche den einen (z. B. den links befindlichen) Trägerteil gegen den anderen (den rechten) in der Richtung des Querschnittes zu verschieben sucht.

Das Biegungsmoment für einen bestimmten Querschnitt ist dasjenige Kraftmoment, welches den einen (z. B. den linken) Trägerteil gegen den anderen (den rechten) in dem betrachteten Querschnitte zu verbiegen sucht. Von besonderer Wichtigkeit ist das größte Biegungsmoment und der Querschnitt, in welchetn dasselbe auftritt, der sogen, gefährliche Querschnitt.

Die Stützenwiderstände sollen für die Folge mit A und B, die Schubkräfte mit S, die Momente der äußeren Kräfte mit M bezeichnet werden.

A. Bleibende Belastungen.

1) Unmittelbare Belastung durch Einzelkräfte.

Wirken auf einen an beiden Enden frei aufgelagerten wagerechten Träger AB die Lasten P, P.,P₃, so werden dadurch die zunächst zu bestimmenden lotrechten Stützenwiderstände A und B hervorgerufen, (Fig. 65). Die Konstruktion derselben ist im wesentlichen bereits in 4) § 2 S. 10—12 angegeben. Man füge die gegebenen Lasten P, P₂P₃ zu dem Kräftezuge ab cd aneinander.

wähle einen beliebigen Pol 0, unb zeichne danach den Seilzng, dessen äußerste Seiten die durch A und B gelegten Lotrechten in den Punkten A, und B, schneiden. Man ziehe die Schlnßlinie A, B, und durch den Pol 0 eine Parallele zu derselben, welche den Kräftezng in t schneidet. Es ist dann ta — A und dt = B.

Die Stützenwiderstünde A und B halten den gegebenen Lasten P das Gleichgewicht, denn es entspricht allen diesen Kräften ein geschlossener Kräfteplan und ein geschlossener Seilzug.

Die äußeren Kräfte suchen den Träger dnrchznbiegen; dadurch werden innere Kräfte hervorgerufen, welche als Widerstände die Biegung zu verhindern

Fig. 65.

P.

P.

■P

...t

,P

33

ju

toi

JO

4,

:,TT

suchen. Für den Gleichgewichtszustand des Trägers müssen die äußeren Kräfte mit diesen inneren Widerstünden sich im Gleichgewichte befinden. Um die letzteren näher untersuchen zu können, denkt man sich den Träger durch einen Schnitt in zwei Teile zerlegt, hat dann aber an der Schnittstelle äußere Kräfte anzubringen, welche genau dieselbe Wirkung hervorbringen, als vorher die inneren Widerstände, also solche Kräfte, durch welche der frühere Gleichgewichtszustand für jeden der beiden Trägerteile genau wieder hergestellt wird.

Die Ermittlung der inneren Widerstände, welche an der Schnittstelle als Zug- und Druckspannungen auftreten, ist Gegenstand der Festigkeitslehre, auf welche hier verwiesen werden muß.

Denkt man sich nun den Träger an einer beliebigen Stelle D durch einen lotrechten Schnitt aß in zwei Abschnitte geteilt, so ist zunächst festzustellen, daß es zur Bestimmung der an dieser Stelle D wirkenden Schubkraft und des Momentes der äußeren Klüfte gleichgültig ist, ob das links oder rechts vom Schnitte aß befindliche Trägerstück in Betracht gezogen wird.

Auf das linke Trägerstück wirken die Kräfte A und P,, deren Mittelkraft B' — A — P, durch den Schnittpunkt s der Seilzugseiten A, P>, und III geht; die Größe dieser Mittelkraft ist im Kräfteplane durch die Strecke tb gegeben, die Pfeilrichtung ist lotrecht aufwärts.

Auf das rechte Trägerstück wirken die Kräfte BP₂P₃. Die Strecke bt im Kräftcplane gibt die Größe der Mittelkraft B" = P₂ -|- P₃ — B, welche lotrecht abwärts gerichtet ist, und deren Lage durch denselben Schnittpunkt s der zugehörigen Seilzugseiten A₁B, und III bestimmt wird.

Die Mittelkraft Bz der auf das linke Trägerstück wirkenden Kräfte A und Pj und die Mittelkraft B" der auf das rechte Trägerstück wirkenden Kräfte BP₂P₈ liegen also in derselben Lotrechten und sind einander gleich, aber entgegengesetzt gerichtet, halten sich daher im Gleichgewichte.

Die Momente dieser Mittelkräfte in Bezug auf den Drehpunkt D sind der Größe nach einander ebenfalls gleich, haben aber entgegengesetzten Drehsinn, halten sich daher im Gleichgewichte.

Daraus folgt, daß, wenn man zur Ermittlung der Schubkraft und des Biegungsmomentes für einen bestimmten Querschnitt den Träger an dieser Stelle durchschnitten denkt, es gleichgültig ist, ob man das linke oder rechte Trägerstück in Betracht zieht.

Für die Folge soll immer, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt ist, das links von der Schnittstelle befindliche Trägerstück in Betracht gezogen werden.

a) Moment. Nach § 4 2. 20 und 21 ist das Moment der am linken Trägcrteil angreifenden Kräfte A und Pt in Bezug auf den Punkt D gleich der Polentfernung H, multipliziert mit der Strecke y, welche die für die Kräfte A und P, äußersten Seilzugseiten Al B, und III auf der durch D gelegten Lotrechten abschneiden.

M — II. y

Dabei ist H im Kräftemaßstabe, y im Längenmaßstabe auszudrücken oder umgekehrt. Nimmt man H — der Längeneinheit an, so wird:

M — y

wobei y mit dem Kräftcmaßstabe zu messen ist.

Die lotrechten Linien y stellen in diesem Falle also unmittelbar die Momente dar; man nennt deshalb die durch den Seilzug und dessen Schlußlinie begrenzte Fläche die Momentenfläche.

Aus dieser Momentenfläche ergibt sich, daß die größten Momente lotrecht unter den Belastungspunkten liegen und von Belastungspunkt zu Bc-lastungspunkt entweder zu- oder abnehmen; ferner, daß die Momente an den Auflagerpunkten — Null sind. , i

Das größte Moment erhält man, wenn man an den Seilzug eine Tan-gcute parallel der Schlußlinie legt. Entweder berührt die Tangente eine

Ecke des Seilzuges; das größte Moment liegt dann lotrecht unter einem Bc-lastuugspunkte, oder es kann eine Seilzugseite der Schlußlinie parallel laufen; im letzteren Falle hat das größte Moment für alle Querschnitte, welche lotrecht über dieser Seite liegen, denselben Wert.

Bei Berechnung der Träger mit unveränderlichem Querschnitt braucht immer nur das größte Moment bestimmt zu werden.

Es erübrigt noch zu zeigen, welches Vorzeichen das Moment hat.

Für einen Querschnitt C (zwischen A und P, gelegen) ist A die einzige auf das linke Trägerstück wirkende Kraft, welche, da sie aufwärts gerichtet ist, in Bezug auf C eilt positives Moment liefert, denn dasselbe sucht eine Drehung int Sinne der Zeiger einer Uhr um den Punkt C zu bewirken.

Für den Querschnitt D (zwischen P, und P₂ gelegen) geht die Mittelkraft R' aus A und P, durch den Schnittpunkt s der Seilzugseiten A,B, und III und ist lotrecht aufwärts gerichtet, liefert daher, weil s links von D liegt, ein positives Moment.

Für irgend einen zwischen den Angriffspunkten von P₂ und Ps gelegenen Querschnitt E des Trägers ist die Mittelkraft der am linken Trägerteil angreifenden Kräfte: R', = A — P, — P₂. Diese geht durch den Schnittpunkt s, der Seilzugseiten A, B, und IIIII, welcher nach Fig. 65 rechts von E liegt. Die Mittelkraft R't wird aber nach dem Kräfteplan durch die Strecke tc dargestellt, ist also lotrecht abwärts gerichtet, das Moment derselben folglich positiv.

Für einen Querschnitt F endlich (zwischen P₈ und B) wird die Mittelkraft der auf das linke Trägerstück wirkenden Kräfte A — P, — P₂ — P₃ im Kräfteplane durch die Strecke t d dargestellt, sie ist also abwärts gerichtet und geht durch den Punkt B, (Schnittpunkt der Seilzugsciten A, B, und III Ist », liefert daher in Bezug auf den Punkt F ebenfalls ein positives, d. h. ein im Sinne der Uhrzeiger drehendes Moment.

Man erhält aus diesen Betrachtungen die beiden Sätze:

Bei einem durch lotrecht abwärts gerichtete Kräfte belasteten Träger auf zwei Stützen ist das Moment der äußeren Kräfte für jeden Querschnitt des Trägers positiv.

Die Mittelkraft der auf einen Trägerteil wirkenden Kräfte kann nie zwischen die Auflagerpunkte fallen.

v) Schubkräfte. Die Schubkraft sucht, wie bereits S. 37 gesagt war, ein Trägerstück gegen das andere in der Richtung des Querschnittes zu verschieben, was durch die in dem betreffenden-Querschnitte auftretenden inneren Schubspannungen verhindert wird.

Für den Querschnitt I) (Fig. 65) ist die Schubkraft S gleich der Mittelkraft der auf das linke Trägerstück wirkenden Kräfte. Wird die Richtung aufwärts positiv angenommen, so ist:

Im Kräfteplane wird diese Kraft dargestellt durch die Strecke tt>, welche durch die Strahlen Ot und Ob auf dem Kräftezuge abgeschnitten wird. Diese

Strahlen sind aber parallel den Seilzugseiten A, B, und III, welche lotrecht unter I) liegen.

Man erhält danach den Satz:

Die Schubkraft S für den linksseitigen Trägerteil AD wird auf dem Kräftezuge durch zwei Polstruhlen abgeschnitten, von denen der eine parallel der Schlußlinie des Seilzuges, der andere parallel zu derjenigen Seite des Seilzuges ist, welche lotrecht unter dem Punkte D liegt.

Die Schubkraft ändert sich sprungweise in den Belastungspunkten und ist innerhalb zweier aufeinanderfolgender Belastungspunkte unveränderlich.

„    P₃    „    B    „    ©    =    A-(P,+P₂+P₃) =-B

Diese Schubkräfte werden im Kräfteplane dargestellt durch die Strecken

ta,    tb, tc, td.

Um eine graphische Darstellung der Schubkräfte zu erhalten, ziehe man durch t eine Wagerechte, welche von den durch A und B gelegten Lotrechten in A₂ und B₂ geschnitten wird. Überträgt man sodann die Abschnitte ta,

tb,    tc, td aus dem Kräfteplane auf die Lotrechten der aufeinanderfolgenden Belastungspunkte, so erhält man einen gebrochenen Linienzug, mit dessen Hilfe man die Schubkraft für irgend einen beliebigen Trägerabschnitt leicht bestimmen kann. Die Ordinaten der durch diesen gebrochenen Linienzug, die Gerade A₂B2 und die Auflagerlotrechten begrenzten Fläche stellen nämlich unmittelbar die Schubkräfte dar, so z. B. stellt die lotrecht unter D liegende Ordinate die Schubkraft für den Trägerteil AD im Querschnitt D dar.

Aus der Schubkraftfiäche erkennt man ohne weiteres, daß unter dem Belastungspunkte, wo das größte Moment stattfindet, die Schubkraft — Null ist; links davon sind die Schubkräfte nach oben gerichtet, also positiv, rechts davon nach unten gerichtet, also negativ. Ist eine Seite des Seilzuges der Schlußlinie parallel, so ist die Schubkraft für alle Querschnitte des Trägers, welche über dieser Seite liegen, — Null. Die Schubkraft erreicht ihren größten Wert an den Auflagerpünkten, wo das Moment — Null ist.

Die Biegungsmomente lassen sich auch wohl mit Hilfe der Schubkraft-fläche darstellen, so z. B. ist das Moment der auf den Trägerteil AD wirkenden Kräfte gleich dem Flächeninhalte des lotrecht unter AD befindlichen Abschnittes der Schubkraftfläche, wie sich leicht beweisen läßt; indessen ist die Benutzung der oben beschriebenen Momentenfläche zur Bestimmung der Biegungsmomente vorzuziehen.

2) Unmittelbare gleichmäßig verteilte Belastung.

Eine gleichmäßig über die ganze Länge eines Trägers oder über einen Teil desselben verteilte Belastung kann angesehen werden als bestehend aus

einer sehr großen Anzahl sehr kleiner Einzellasten; denn die ganze Belastung kann durch sehr nahe nebeneinander liegende lotrechte Schnittebenen in Streifen zerlegt werden, von denen jede als Einzelkraft betrachtet werden darf.

Fügt man alle diese Einzellasten, deren Angriffspunkte in den Schwerpunkten der Streifen liegen, zu einem Kräftezuge aneinander und zeichnet den einem beliebig gewählten Pole 0 entsprechenden Seilzng, so können mit Hilfe desselben die Momente und Schubkräfte in derselben Weise bestimmt werden wie unter 1) in diesem Paragraphen.

In Fig. 66 ist die gleichmäßig ans die Länge CD verteilte Belastung in 3 Streifen von gleicher Breite zerlegt, die letzteren sind zu dem Kräftezuge abcd aneinander gefügt und bcnt Pole 0 entsprechend der Seilzug

Fig. 66.

Ak

iB

Ac

B,

tt

Al

tr-

lß*

A , IIIIII Bx gezeichnet. Dieser wird zwischen den lotrecht unter C und D gelegenen Punkten C, und D: um so mehr Seiten enthalten, sich also um so mehr einer stetigen Kurve nähern, je größer die Anzahl der Streifen ist, in welche die auf die Länge CD verteilte Belastung zerlegt ist. Nimmt man die Anzahl der Streifen unendlich groß, also die Breite der einzelnen Streifen unendlich klein, so geht der Seilzug zwischen C, und D, in eine Kurve, die sogen. Seilkurve, über. Die einzelnen Seiten des Seilzuges in Fig. 66 sind Tangenten an die Seilkurve und die Punkte C, und D,, sowie die Schnittpunkte der in den Streifengrenzen gezogenen Lotrechten mit den Scil-zugseiten sind die Berührungspunkte.

Der durch dcu Pol 0 parallel zu der Schlußlinie A,    gezogene

Strahl Ot teilt den Kräftezug ad in die Stützenwiderstände A und B.

Das Moment für irgend einen Querschnitt ist gleich der lotrecht unter

diesem Querschnitte liegenden Ordinate der Momcntenfläche multipliziert mit der Polentfernung H.

Die Schubkraft ist von A bis C unveränderlich und gleich dem Stützenwiderstande A; zwischen C und D nimmt dieselbe gleichmäßig ab (daher C₂D2 geradlinig) und erreicht in D den größten negativen Wert (— dem negativen Stützenwiderstande B), welchen sie bis B unverändert beibehält.

Durch den Schnittpunkt F₂ der Geraden C₂D₂ und A₂B₂ wird die Stelle F des Trägers bestimmst wo die Schubkraft — Null ist; an derselben Stelle ist das Biegungsmoment am größten und der Querschnitt F daher der gefährliche Querschnitt.

Von besonderer Wichtigkeit ist noch der Fall, wo die Belastung gleichmäßig über die ganze Länge des Trägers verteilt ist.

Fig. 67.

pl

rz

J»i

Z

L-ac

paex

p(l-os)

Ai

px

As

>S

pfi-x)

B,

Ö Ä₂

Y~

Wird die Belastung auf die Längeneinheit des Trägers mit p bezeichnet und trägt man diese als überall gleiche Ordinate auf, so erhält man als Betas t u n g s f l ä ch e ein Rechteck von der Höhe p und der Länge AB = l (Fig. 67), dessen Inhalt pl die ganze Belastung des Trägers darstellt.

Diese letztere verteilt sich zu gleichen Teilen auf die beiden Auflager, so daß jedes derselben die Hälfte der ganzen Belastung aufzunehmen hat. Die Stützcnwiderstände sind danach:

pl

a) Momente. Um das Moment für einen Querschnitt C des Trägers in der Entfernung x vom Auflager A zu bestimmen, betrachte man die ans die beiden Trägerteile A C und B C kommenden Belastung p x und p (l als Einzelkräfte, deren Angriffspunkte die Schwerpunkte S, und S₂ der betr. Belastungsflächen sind. Fügt man die Belastungen p x und p (l — x) zu dem Kräftezuge abc aneinander und zeichnet entsprechend dem Pole 0 den Seilzug A, IIIB,, so wird auf der durch C gelegten Lotrechten durch die Scilzugscite III und die Schlußlinie At Bt die Strecke y abgeschnitten und cs ist, weitn wieder mit H die Polentfernung bezeichnet wird:

M. = H. y

und für H = 1:

9Rx = y

Ändert sich nun x, nimmt also der Querschnitt C andere Lagen an, so ändert sich dem entsprechend auch die Seilzugseite III, ihre Projektion auf AB aber, tvelche gleich der Entfernung der Schwerpunkte der beiden Belastungsteile ist, bleibt stets dieselbe und ist, wo auch der Punkt C liegen möge, gleich der halben Trägerläuge.

Die verschiedenen Lagen der Scilzugscite III umhüllen die Seilkurve (im vorliegenden Falle eine Parabel), welche mit der Schlußlinie A, B, die Momcnten-fläche begrenzt.

Die Tangenten an die Seilkurve oder, was dasselbe ist, die verschiedenen Lagen der Seilzugseite I II lassen sich in folgender einfacher Weise aufzeichnen.

Man teile die den Polstrahlen Oa und Oc parallelen äußersten Seilzugseiten Aj 8 und Bt S in eine gleiche Anzahl unter sich gleicher Teile und

Fig. 68.

B,

Ai

verbinde die in Fig. 68 mit gleichen Ziffern versehenen Teilpunkte durch gerade Linien. Die Projektionen der Verbindungslinien ans die Gerade A, B, sind = ¹/a A, Bt; folglich sind die Verbindungslinien selbst die Tangenten an die Seilkurve, welche sich um so genauer einzeichnen läßt, in je mehr unter sich gleiche Teile man die A, 8 und B, 8 geteilt hatte.

Wählt man die Lage des Poles 0 in Fig. 67 so, daß Oa — Oo ist, so wird wegen des gleichmäßigen Belastungszustandes die Schlnßlinie A, B, wagerecht.

Die größte Ordinate der Momentenfläche befindet sich lotrecht unter der Trägermitte und es ist:

ymax — ’WS

Wegen Ähnlichkeit der Dreiecke A, MS und Ota (Fig. 67) verhält sich:

M S : A, M = at: 01

oder:

pl

2 * H

folglich:

MS

und:

Ymax = -H- M S — —

1 pl²

pl²

für H = 1 wird:

- Jmax —    5~

b) Schubkräfte. Auf den Querschnitt C in der Entfernung x vom Auflager A wirkt die Schubkraft:

pl

Sx — A px — —r--p X =

Man erkennt aus diesen! Ausdruck, daß die Schubkräfte sich in linearem Verhältnis mit den Längen x ändern, die graphische Darstellung derselben wird daher eine gerade Linie sein:

pl

für x — 0 wird S — ~

k " @==0

pl

„ x = l „ S — —

Durch diese Werte ist die Gerade, welche zur Darstellung der Schubkräfte dient, festgelegt. Dieselbe begrenzt mit der A₂B₂ und den in A₂ und B₂ errichteten Lotrechten die Schubkraftfläche, welche, wie schon oben unter 1) in diesem Paragraphen angeführt wurde, auch zur Bestimmung der Momente sich benutzen läßt. Aus dieser Fläche ergibt sich z. B. das Moment, der am linksseitigen Trügerei wirkenden Kräfte fiir den Querschnitt C in der Entfernung x vom Auflager A der Wert:

rH

(iM*

iH

[NO

9flx =

x (l — x)

3) Unmittelbare zusammengesetzte Belastung.

Wenn ein Träger außer gleichmäßig verteilter Belastung noch Einzellasten zu tragen hat (ein Fall, der streng genommen immer vorliegt, sobald ein Träger den Einwirkungen von Einzellasten ausgesetzt ist; denn das Eigengewicht des Trägers bildet eine über die ganze Länge desselben verteilte gleichmäßige Belastung), so können zur Bestimmung der Momente zwei verschiedene Wege eingeschlagen werden.

Das erste Verfahren besteht bann, daß man tut Kräfteplane die Einzellasten zwischen den gleichmäßig verteilten Belastungen einschaltet und den Seil-zng dazu zeichnet. So ist für den Belastungsfall Fig. 69 der Kräfteplan in der Weise anzufertigen, daß auf P, die gleichmäßig von C bis D verteilte

Belastung folgt, nach dieser P.„ sodann die gleichmäßig von D bis E verteilte Belastung u. s. w.

Man erhält auf diese Weise einen Kräfte- und Seilzug, welche

—1-der gleichzeitigen Wirkung der Einzel-

E F    lasten und der gleichmäßig verteilten

Belastung entsprechen.

Nach dem zweiten Verfahren, welches im allgemeinen den Vorzug verdient, behandelt man getrennt: die Einzelkräfte für sich, und die gleichmäßig

Fig. 69.

Fig. 70.

Aa

Air

l|B

3C

,r

cffl'

-B,

Pl,

i-

ta

A'

pl

r2

lc

stcl

verteilte Belastung für sich, zeichnet für jede Belastungsart die Momentenfläche und die Schubkraftfläche, und hat dann einfach die Ergebnisse mit Rücksicht auf das Vorzeichen zu addieren.

Damit sich die Summe der Ordinaten der beiden Momcntenflächcn

unmittelbar als eine gerade Linie abgreifen läßt, sind die Pole für die Einzelkräfte und für die gleichmäßig verteilte Belastung auf verschiedene Seiten des betreffenden Kräftezuges zu legen und bei derselben Polentfernung H die Lage derselben so anzunehmen, bezw. die Lage des einen Poles später so zu verändern, daß die der gleichmäßig verteilten Belastung entsprechende Seilkurve und der den Einzelkräften entsprechende Seilzug dieselbe Schlußlinie erhalten.

In Fig. 70 ist diese Konstruktion durchgeführt worden für einen Träger A B, welcher gleichmäßig über die ganze Länge l mit p auf die Längeneinheit belastet ist und auf welchen außerdem die Einzelkräfte P, P₂ P₃ wirken.

Die Seilkurve A, M, IS, entspricht der gleichmäßigen Belastung, der Seilzug A, I'iriH'B,' den Einzelkräften PtP₂P₈. Der letztere ist in den Seilzug A, IIIIIIB, mit der Schlußlinie A, B, umgewandelt.

Die Umwandlung geschieht in der Weise, daß durch den Punkt t, welcher auf dem Kräftezuge a b c d die von den Kräften P, P₂ P₈ hervorgerufenen Stütz en-widcrstände abschneidet, eine Parallele zu A, B, gezogen tvird, welche die durch den ursprünglichen Pol 0' gelegte Lotrechte in 0 schneidet. Wählt man 0 als neuen Pol und zeichnet den Seilzug für die Kräfte Pd P₂ Ps, so wird, wenn man bei At beginnt, A, B, die Schlußlinie desselben sein.

Nach 2) § 3 S. 15 schneiden sich je zwei gleichnamige Seiten des ersten und des zweiten Seilzuges auf einer zu 0 0' parallelen Geraden. Da nun 0 0' lotrecht gerichtet ist, so liegt der Schnittpunkt je zweier gleichnamiger Seilzugseiten auf der durch A, gezogenen Lotrechten. Mit Zuhilfenahme dieses Satzes läßt sich der Seilzug A, I'II'III'B,' ebenfalls sehr rasch in den Seil-zug A, IIIIII B, mit der Schlußlinie A, B, verwandeln.

Fig. 71. ß ß fB

iß

ig

A\

|A

pl

z

o’<

-t

>c

pi

l2

Die zweimalige Aufzeichnung des Seilzuges für die Einzellasten läßt sich aber auch vermeiden, wenn man die Schlußlinie A, B/ des zuerst kon-fintierte» Seilzuges A, ririll'B/ beibehält, und darunter sofort anschließend die Montentenparabel fiir die gleichmäßig verteilte Belastung zeichnet, deren Endtangenten folgendermaßen gefunden werden:

Man trage (Fig. 71) in A, die Lotrechte A, D = p l auf und halbiere dieselbe in C. Durch C ziehe CO IIA, B/ bis zum Schnitt 0 mit der in der Polentfernung H gezeichneten Vertikalen. Ziehe sodann A, 0 und D 0, ferner B/S I! DO bis zum Schnitt 8 mit der verlängerten A, 0. Die Geraden A, 8 und B/S sind dann Tangenten an die Parabel in den Punkten A, und B/. Die Parabel selbst wird in bekannter Weise eingezeichnet.

mit dem Zirkel ab-

Die Fläche zwischen der Seilkurve A, Mt B₁ und dem Teilzuge A, IIIIIIB, (Fig. 70) bezw. der Seilkurve A, M, B/ und dein Seilzuge A, ril'IH'B/ (Fig. 71) ist die den gesamten Kräften entsprechende Momentcnfläche. Durch Ziehen einer zu der betreffenden Seite des Seilzuges (III in Fig. 70, I'IT in Fig. 71) parallelen Tangente an die Parabel läßt sich leicht der gefährliche Querschnitt finden, wonach ntatt die größte Ordinate y greifcn kann.

Fig. 72.

Aa

jfjnax

fr

■k

Z---

-W-

S.

Pz

älit

y_-..

<d

■2

Schärfer erhält man die Stelle, wo das Moment seinen größten Wert erreicht (also die Stelle des gefährlichen Querschnittes) mit Hilfe der zeichnerischen Darstellung der Gesamtschubkräfte (Fig. 70 u. 72), welche sich ergibt durch Addition der durch die gleichmäßig verteilte Belastung und der durch die

Einzelkräfte P, P₂ P₃ Hervorgerufenen Schubkräfte, deren Bestimmung nach 1) und 2) in diesem Paragraphen auszuführen ist.

Kommt es nur auf die Bestimmung des größten Momentes und der Stelle des gefährlichen Querschnitts an, so fasse man die gleichmäßig verteilten Belastungen links und rechts vom gefährlichen Querschnitt als Einzelkräfte K, und K₂ auf und füge sie oben und unten zu beut Kräftezuge ab cd für die Einzelkräfte P, P₂ P₃ hinzu. Man mache also (Fig. 72):'

aa, = Kj

cc«

pl

.--b t

gibt Jmax.

Die zu den Kräften K, P, P₂ P₃ K₂ konstruierte neue Momentenfläche

4) Mittelbare Selastung durch Cinselkrästr.

Wirkt die Last P nicht unmittelbar auf den Träger AB (Fig. 73), sondern wird sie durch zwei Querträger C und D auf AB übertragen, so bilden diese Querträger die Stützen für den darauf ruhenden Zwischenträger CD und erhalten die Auflagerdriicke P₁ tittb P₂, deren Größe in bekannter Weise ermittelt wird.

Fig. 73.

ID

iß

?ß

f?

A:

Zeichnet man nämlich für die Kraft P = ac den dem Pole 0 entsprechenden Seilzug ISII, zieht die Schlußlinie III und durch 0 den Strahl Ob IIIII, so wird ab = P, und bc = P₂. Verlängert man dann die Seilzugseiten 81 und 8II bis zu den Schnittpunkten A, und B, mit den Auflagerlotrechten, zieht die Gerade A, B, und durch 0 die OtllA, B,, so stellen die Abschnitte ta und et die durch die Kräfte P, und P₂ erzeugten Stützenwiderstände A und B dar. Dies sind offenbar dieselben Stützenwider-ständc, welche die Kraft P hervorrufen würbe, wenn sie unmittelbar auf bett Träger AB wirkte, denn der der unmittelbar wirkenden Kraft P entsprechende

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Ausl.

Da, wie Fig. 73 zeigt, die Momente für die unter den Querträgern liegenden Querschnitte des Hanptträgers bei unmittelbarer und mittelbarer Belastung einander gleich sind, so kann mmt leicht aus dem der unmittelbaren Belastung entsprechenden Seilznge den Seilzug für mittelbare Belastung ableiten.

Seilzug ist A, SB,, welcher bei mittelbarer Belastung in den Seilzug A₁1IIli, übergeht.

Man zeichne (Fig. 74) den Seilzug für unmittelbare Belastung, ziehe die Querträgerlotrechten und bestimme die Schnittpunkte IIIIII derselben mit den Seilzugseiten. Diese Schnittpunkte sind die Eckpunkte des der mittelbaren Belastung zukommenden Seilzuges, welcher mit der Schlnßlinie A, B, die

ß 1^3

iß

’ß,

.Unüliil

A:    ; :

ia

b₂

g-

’d

Momentenfläche begrenzt. Das Moment für einen in der Entfernung x vom Auflager A liegenden Querschnitt ist dann bekanntlich wieder, wenn y die lotrecht unter diesem Querschnitte liegende Ordinate der Momentenfläche und H die Polentfernnng bedeutet:

Mx — Hy

Eine Vergleichung des Seilzuges A, IIIIIIB, mit dem der unmittelbaren Belastung entsprechenden zeigt, daß bei Anwendung von Querträgern das Moment zwischen je zwei Querträgern kleiner ist, als wenn die Lasten unmittelbar auf den Träger wirken.

Man erhält die auf die verschiedenen Querschnitte wirkenden Schubkräfte, wenn man von dein Pole 0 aus Parallelen zu den einzelnen Seiten des Seil-zuges A, IIIIIIB, zieht. Diese schneiden auf dem Kräftezuge die Schubkräfte ab, welche, wenn Ot IIA, B, gezogen ist, von t aus zu messen sind. Zwischen je zwei aufeinander folgenden Querträgern ist die Schubkraft unveränderlich.

während bei unmittelbarer Belastung die Schubkraft zwischen zwei aufeinanderfolgenden Lastpunkten unveränderlich ist tind sich auch in anderer Weise verteilt als bei Vorhandensein von Querträgern.

5) Mittelbare gleichmäßig verteilte Belastung.

Der Träger AB — l (Fig. 75) sei auf die ganze Länge gleichmäßig mit p auf die Längeneinheit mittelbar belastet, d. h. die Belastung tverde durch Querträger auf den Hauptträger übertragen.

Die ganze Belastung pl verteilt sich zu gleichen Teilen auf die Auflager, so daß die Stützenwiderstände sind:

pl

A = B = Ar

Zur Bestimmung der Momente kann man die der unmittelbaren Belastung entsprechende Seilknrve (Parabel) zeichnen und in diese den der mittelbaren Be-

Fig. 75.

pl, ¹ 2'

Pl ¹2

A>—

' a

iß

ß,

-G

,pa

,pa

Ri

. pa

A,

ß-

,pa

lastung entsprechenden Seilzug oder mit anderen Worten den Seilzug für die auf die Querträger wirkenden Lasten in der Weise einzeichnen, daß die Eckpunkte des letzteren auf den Querträgerlotrechten liegen.

Für den Fall, daß die Entfernungen der Querträger voneinander (die Feldlängen) gleich sind, ist es zweckmäßiger, die Querträgcrbelastungen als Einzelkräfte, welche für alle zwischen den Auflagerpunkten A und B liegenden Querträger einander gleich sind, zu einem Kräftcznge zusammenzufügen und dazu den Seilzug aufzuzeichnen.

Bezeichnet man die Fcldlänge mit a, so ist die Belastung jedes zwischen A und B liegenden Querträgers = pa; die Endquerträger erhalten jeder die

Belastung    An dem Punkte A wirkt daher der Stützendruck ^ lot

recht aufwärts und die Querträgerbelastung ^ lotrecht abwärts. Da nach

Fig. 75: l — 5a ist, so bleibt als lotrecht aufwärts gerichtete Kraft:

2~ ~ 2Pa

Diese Schubkraft bleibt unverändert bis zu dem ersten Querträger, wo sic um die Querträgerbelastung pa abnimmt.

Im zweiten Felde ist daher:

p. 5a

int dritten Felde:

S — 2pa — pa = pa

S — pa — pa — 0

In den folgenden Feldern wird die Schubkraft negativ, und zwar im viertelt Felde — — pa, im fünften Felde — — 2pa.

Man kann zu der graphischen Darstellung der Schubkräfte auch folgendes einfache Verfahren benutzen: Man trage von den lotrecht unter A und B

pl

liegenden Punkten A₂ und B₂ der Geraden A₂B

die Ordinaten -j- - ^ -

bezw. — y auf und verbinde die Endpunkte derselben durch eine gerade Linie.

Die Strecke zwischen dieser Geraden und der A₂B₂, lotrecht unter der Mitte eines Feldes gemessen, stellt die Schubkraft für dieses Feld dar.

B. Veränderliche Belastungen.

1) Unmittelbare Lelastung durch eine bewegliche Einzelkraft.

Ein solcher Belastungsfall liegt z. B. vor bei Brückenträgern, bereit Spannweite kleiner ist, als die Achsenentfernung eines Fuhrwerkes (Lokomotive oder Lastwagen), so daß nur je ein Räderpaar sich zur Zeit auf der Brücke befinden kann.

a) Momente. Um den Einfluß einer Einzellast P zu untersuchen, welche sich über den Träger AB (Fig. 76) fortbewegt, nehmen wir zunächst umgekehrt an, die Last sei feststehend und der Träger bewege sich unter derselben fort.

Der dem Pole 0 entsprechend gezeichnete Seilzug min ändert sich durch wagerechte Verschiebung des Trägers nicht, aber jede besondere Stellung des Trägers zu der Last bedingt eine besondere Schlußlinie.

Da die Momente nach § 4 dargestellt werden durch die Ordinaten der von dem Seilzuge und der Schlußlinie begrenzten Fläche, so ist diejenige Lage

der Schlußlinie die ungünstigste, welche die größte Ordinate liefert. Für diese Lage der Schlnßlinie ergibt sich dann das überhaupt größte Moment unter dem Lastpnnkte.

Die ungünstigste Lage der Schlnßlinie findet man am besten durch Rechnung. Es ist nämlich:

Mx = Ax =

P(l

x)

Dieser Ausdruck läßt erkennen, daß die verschiedenen Lagen der Schlnßlinie die Berührnngsgeraden einer Parabel sind.

Mx erreicht seinen größten

yx(l-x) Fig. 76.

>5'

aa

■iß

"““A

■>i

Wert für:

t-t: .

Qo

oder:

x — V 2l Es entsteht dann:

Pl

= H.y

b) Schubkräfte. Um die in irgend einem Querschnitt D des durch P belasteten Trägers AB auftretende Schubkraft zu untersuchen, nehmen wir Zunächst an, P greife rechts von D an, es sei also (nach Fig. 77a) x > AD. Es entsteht dann in D die Schubkraft:

=    =p(l--X

welche wegen x<jl stets positiv ist. Sie wird um so größer, je kleiner x wird, und erreicht ihren größten Wert, wenn die Last P unmittelbar rechts von D angreift.

Fig. 77b.

¹ Fig- 77 a.

Ak

T)

-LB

Aa

iB

Trägt man die den verschiedenen x entsprechenden Werte von S als Ordinaten auf, so ist die Verbindungslinie der Endpunkte derselben eine Gerade MB, (Fig. 78), welche bestimmt ist durch die Grenzwerte:

S — P für x = Null S = Null für x = l

Es möge nun zweitens die Last P links von D angreifen, also x<AD sein (Fig. 77 b).

Bei dieser Laststellung ist die in D auftretende Schubkraft:

Px

l — x

also negativ. Sie wird um so größer, je größer x wird, und erreicht ihren größten (negativen) Wert für x — Av, d. h. wenn die Last P unmittelbar links von D angreift. Es wird:

S = Null für x = Null S — —P für x = l

Fig. 78.

Durch diese Werte ist die Begrenzungsgerade A, N (Fig. 78) der Ordinate», durch welche die negativen Schubkräfte dargestellt werden, festgelegt.

Nochmals kurz zusammengefaßt ergibt sich aus der obigen Betrachtung, daß in einem Trägerquerschnitt eine positive Schubkraft entsteht durch eine Last rechts, eine negative Schubkraft durch eine Last links von dem betreffenden Querschnitte. Die größte positive Schubkraft (©max) wird erzeugt durch eine unmittelbar rechts, die größte negative Schubkraft (Sww) dagegen durch eine unmittelbar links vom Querschnitt angreifende Last P.

Ak

%B

<5 «tax I

iiv

-P

2) Unmittelbare Belastung durch eine bewegliche Gruppe von EinjelKrästrn.

a) Momente. Sind die Lasten P,P₂P₃P₄ gegeben, welche auf den Träger AB (Fig. 79) wirken, so zeichne nian den diesen Lasten entsprechenden Kräfteplan, sowie den Seilzug ititb verschiebe dann den Träger derart, daß die ungünstigste Schlußlinie, welche die größte Ordinate liefert, zum Vorschein kommt.

Das größte Moment ist zu erwarten unter derjenigen Last, welche der Mittelkraft aller Lasten am nächsten liegt. Wenn die Ordinaten unter zwei benachbarten Lasten einander gleich sind, so bleibt das Moment zwischen denselben unveränderlich.

Bei dem Träger A B (Fig. 79) möge z. B. die Mittelkraft R der Last P2 am nächsten liegen. Es wird dann das größte Moment wahrscheinlich unter P₂, sonst aber unter P₃ liegen. Die Lage von P₂ auf dem Träger, bei welcher das unter dieser Last liegende Moment überhaupt das größte wird, ergibt sich ans km allgemeinen Ausdruck für Mx-

Mx — A x — P. a

oder wenn:

b)

eingesetzt wird:

Mx = --

(l — x — b) x — P: a

Mx erreicht seinen größten Wert für:

l — x — b = x

d. h. cs muß die Trägermitte gerade zwischen P₂ und R liegen. Daraus ergibt sich der Satz:

Das Moment unter einer bestimmten Last wird so groß wie möglich, wenn diese Last von der Trägermitte ebenso weit entfernt ist wie die Mittelkraft R aller auf dem Träger befindlichen Lasten.

Fig- 79.

Pi

fl

ct

l-x-V,

Ix

Vil

ii

Pt-

ct

Ps

P<

Ta. wie früher (S. 40) nachgewiesen wurde, das Moment für die belasteten Träger auf zwei Stützen stets positiv ist, so wird durch jede Last das Moment vergrößert; es müssen daher, mit für irgend einen Querschnitt des Trägers das größte Moment zu erhalten, möglichst viele Lasten auf den Träger gebracht, und die größten derselben dem betreffenden Querschnitt möglichst nahe gerückt werden. Welche von allen beweglichen Lasten über dem Querschnitt stehen muß, um in diesem das größte Moment zu erzeugen, kann durch folgendes von Weyrauch zuerst angegebene Verfahren') leicht ermittelt werden.

Man füge die Lasten P, P₃ . . ., welche bei der Vorwärtsbewegung derselben von B nach A auf dem Träger AB (Fig. 80) noch Platz finden, auf der in A errichteten Lotrechten, mit der Last P, beginnend, aneinander, und

') Zeitschrift d. Arch.- u. Jng.-Ver. zu Hannover 1875, S. 467 u. ff.

verbinde den Endpunkt C der letzten Last mit dem Auflagerpunkte B des Trägers durch die Gerade BC.

Um nun für einen beliebigen Querschnitt D des Trägers das größte Moment zu bestimmen, zieht man D E IIB C. Diejenige Last in dem Lastzüge

AC, welche von der BE geschnitten wird, muß über dem Querschnitt D stehen. Liegt der Punkt E gerade auf der Grenze zwischen zwei Lasten, so ist es gleichgültig, welche derselben iiber den Querschnitt D gestellt wird.

Der Beweis folgt aus Fig. 81, in welcher die Mittelkraft sämtlicher links von D liegender Lasten mit R der rechts von D liegenden Lasten mit R₂ bezeichnet ist.

und in D das Moment —¹ — b

R„n

—r—a

SAjE

a.

Fig. 80.

ps

.5

ps

,, die

Ej erzeugt in B den Stützenwiderstand

E, m

E₂ erzeugt tu A den Stützenwiderstand

E₂n

und in D das Moment

Die in D angreifende Last P erzeugt daselbst das Moment

Pab

Fig. 81.

In: ganzen entsteht: E, m

b + ^-a +

Pab

Ak

.<

'ir    Wird nun die Lastengrnppe

1 nach rechts um eine kleine Strecke z verschoben, so ändert sich dadurch das Moment um die Größe A M, und es wird:

M    = R| O + X)b J_ R₂(n — Z)a P a (b — Z)

oder:

M-j-AM =

M-j-AM ^ M^-A(R>b

Pab . E. A b    EAa P A a

E₂ a — Pa)

Soll M das größte Moment bleiben, so muß /X M negativ sein, also:

Rb<(E₂+P)a

E₂ -j— P

oder:

Ebenso folgt, wenn die Lastengruppe um die kleine Strecke l nach links verschoben wird:

R, + P

er¹1 P

R₂

Diese Bedingungen sind aber erfüllt durch die Konstruktion (Fig. 80), wenn darin (entsprechend der obigen Ableitung) eingesetzt wird:

AG = R,; CF = R₂; FG = P

b) Schubkräfte. Auf S. 53 und 54 wurde gezeigt, daß eine Last rechts von einem bestimmten Trägerquerschnitt in diesem positive, eine Last links davon dagegen negative Schubspannung erzeugt. Danach ergibt sich bei einer gegebenen Gruppe von Einzellasten zur Bestimmung der Schubkraft die Regel: Um für einen Querschnitt die größte positive Schubkraft zu erhalten, belaste man nur den rechts von demselben befindlichen Trägerteil und stelle die erste (womöglich schwerste) Last gerade über den Querschnitt. Um die größte negative Schubkraft zu erhalten, belaste man nur den linken Trägerteil und stelle dabei die erste (womöglich schwerste) Last gerade über den Querschnitt.

Man zeichnet auch hier wieder für die gegebene Lastgruppe den einem beliebigen Pole 0 des Kräftezuges entsprechenden Seilzug, und verschiebt dann den Träger wagerecht unter der Lastgruppe derart, daß derjenige Querschnitt, für welchen die größte Schubkraft zu bestimmen ist, gerade unter der ersten Last sich befindet.

Fig. 82.

d<

Ps

Ak

P,

Pz

P,

P,

-r-'

ß,

Um z. B. für den Querschnitt D des Trägers A B (Fig. 82) die größte positive Schubkraft zu finden, verschiebe man den Träger unter der Lastgruppe Pj P₂ . . . so, daß der Punkt D gerade unter P, liegt und die rechte Trägerseite durch die übrigen Kräfte P₂Pg . . . belastet, die linke Trägerseite dagegen gänzlich unbelastet ist. Die bei dieser Laststellnng in 1) auftretende Schubkraft ist dann gleich dem Stützenwiderstande A, welcher nach den früher gegebenen Regeln in bekannter Weise zn ermitteln ist.

Man bestimme ans dem Seilznge die Punkte At und B, lotrecht unter A bezw. B, ziehe die Schlußlinie At B, und im Kräfteplan durch den Pol 0 die 01II A,Br Es ist dann at = A, also zugleich, da A die einzige auf den Trägerteil AD wirkende äußere Kraft ist, gleich der gesuchten Schubkraft S im Querschnitt D.

Ein anderes, zuerst von E. Winkler angegebenes, noch etwas einfacheres Verfahren zur Bestimmung der größten Schubkräfte für die verschiedenen Trägerquerschnitte ist folgendes:

Fig- 83.

Pt

P,

Man füge die Lasten P, P₂ . . ., welche bei der Vorwärtsbewegnng derselben von B nach A auf dem Träger AB (Fig. 83) noch Platz finden, ans der in A errichteten Lotrechten, mit der Last P, bei A beginnend, zu einem Kräfteznge aneinander, uni) wühle den Auflagerpunkt B des Trägers als Pol. Man trage dann die Lastengruppe in umgekehrter Richtung, also mit Last P, voran, von A nach B fortschreitend so ans, daß P, lotrecht unter B liegt, und zeichne den dem Pole B entsprechenden Seilzug mlII. . . n, dessen erste Seite m I wagerecht angenommen wird. Jede von dem Seilzuge und der verlängerten ersten Seite desselben, also der Wagerechten A, Bt begrenzte Ordinate y stellt dann die größte positive Schubkraft (<3max) für den lotrecht darüber ip    liegenden Trägerquerschnitt dar.

in.I

--»<......

Es ist nämlich in Bezug auf den Drehpunkt B:

A l = Pj bj + P₂ b₂ -|- P₃ b8 und da nach (Fig. 83): b. = b i; b₂ = b ₂; b₃ = b a

ist, so wird wegen A — S

@maxl — Pjb', "f'Pgb^ -j-Pg b'g

Die rechte Seite dieser Gleichung ist das Moment der Kräfte P, P₂ P₃ in Bezug auf den Punkt D, (Fig. 83 unten), welches nach S. 21 dargestellt wird durch die Ordinate y, multipliziert mit der Polentfernung l. Es ist daher auch:

D/+

Pt

b\

^ Pt Pt

y I = P₁ b'x + P₂ b'₂ + P₃ b'g Ans den letzten beiden Gleichungen folgt:

y — S

Da die positive Schubkraft für einen Trägerquerschnitt D', welcher denselben Abstand von dem Auflager B hat wie der Querschnitt D vom Auflager A, beut Zahlenwerte nach gleich ist der negativen in D auftretenden Schubkraft (die Laststellung für @min tut Querschnitt D ist nämlich das Spiegelbild der Laststellmig, bei welcher S die Fig. 83 auch unntittelbar zur Bestimmung der größten negativen Schubkräfte benutzt werden.

int Querschnitt D' entsteht), so kann

3) Unmittelbare gleichmäßig verteilte Betastung.

wenn der

a) Momente. Nach S. 40 können bei einem Träger auf zwei Stützen nur positive Momente entstehen; es tragen deshalb alle Lasten, wo sie auch liegen mögen, zur Vergrößerung des Momentes in irgend einem beliebigen Querschnitt bei. Es entsteht folglich für jeden Querschnitt M Träger voll belastet angenommen wird.

Bezeichnet man für die Längeneinheit:

die bleibende Belastung mit p die veränderliche „ und die Gesamtbelastung: p-j-v mit q so wird nach S. 45 das größte in der Mitte des Trägers auftretende Moment:

ql*

und das Moment tut Abstande x vom Auflager A (vergl. Fig. 67 S. 43):

M. = x (l

d) Schnbkriifte. Jede Last rechts von dem Querschnitt D (Fig. 84) erzeugt nach S. 54 in diesem eine positive, jede Last links eilte negative Schubkraft. Um also für den Querschnitt D die größte positive Schubkraft zu erhalten, muß der Träger nur von L) bis B belastet angenommen werden; die größte negative Schubkraft entsteht durch ausschließliche Belastung der Strecke AD.

Ak

x)

Fig. 84.

l-x

,b

be-

Wir wollen zunächst S stimmen und nehmen zu dem Zwecke vl die Verkehrsbelastung von B bis zum i Querschnitt D fortgeschritten an. Es ist dann die in D auftretende Schubkraft gleich dem Stützenwiderstande A, welcher sich ergibt aus der Gleichung der statischen Momente in Bezug ans den Drehpunkt B.

B,

"B,

Man erhalt:

n \ ¹ — x v (l    x) —

A =

Al

y (l — x):

Dieser Ausdruck läßt sich durch eine Parabel darstellen, d. h. meint man für die jedesmaligen entsprechenden x als Ordinaten von einer Wagerechten A, B, aus aufträgt, so erscheint als Verbindungslinie der oberen Endpunkte derselben eine Parabel. Diese ist durch die Greitzordinateu festgelegt. Es wird:

die Werte von S

vl

= Null

für x = Null für x — l

Die Parabel kann in bekannter (auch auf S. 44 in Fig. 68 angegebener) Weise aufgezeichnet werden. Einzelne Parabelpunkte, z. B. der lotrecht unter D liegende Punkt G, können in folgender Weise bestimmt werden:

v t

Man mache C = und ziehe C B,, welche die Lotrechte durch D

int Punkte E schneidet. Zieht man dann E F II A, B, und verbindet F mit B, durch eine Gerade, so-schneidet diese die Lotrechte durch D in dem Parabel-punkte G. Es ist nämlich:

Fig. 85.

.B

D. G

iiiiiimmiiiiiillimm

*    iD

also auch wegen

A, F = Dj E

l — x

CV

Dt E

+ vl z

ferner ist:

S,

A,C

Daraus folgt durch Multiplikation: D,G_ _ (l — x)²

A. C

l²

woraus sich wegen

vl

ergibt:

D. G =

Ä«C = T

v(l —x)²

21

Aus Fig. 84 können (nach der Erklärung auf S. 58 unten) auch unmittelbar die negativen Schubkräfte abgegriffen werden, da 0min für den Punkt D dem Zahlenwerte nach gleich ist 8max für den Punkt Dz, wenn beide Punkte den gleichen Abstand von A bezw. B haben.

Zu den durch die Verkehrsbelastung erzeugten Schubkräften sind die durch die bleibende Belastung (das Eigengewicht) hervorgerufenen Schubkräfte, deren Ermittlung aus Fig. 67 S. 43 hervorgeht, mit Riicksicht auf das Vorzeichen zu addieren.

Dies ist für eilte bewegliche gleichmäßig verteilte Belastung geschehen in Fig. 85, wobei aber die der bleibenden Belastung entsprechenden Werte von S des bequemeren Abgreifens wegen in umgekehrter Richtung, also die positiven Werte nach unten aufgetragen sind. Es ergibt sich aus der Figur, daß die Werte S

vom Punkte 8 ab nach rechts negativ sind.

4) Mittelbare Mästung durch eine bewegtiche Einzelkraft.

a)    Momente. Nach Fig. 73 S. 49 befinden sich die Knickpunkte der Momentenfläche lotrecht unter den Querträgern. Die Ordinate der Momenten-fläche unter einem Querträger wird aber bei einer beweglichen Last am größten, wenn diese gerade über dem Querträger steht. Das Moment für den Träger an dieser Stelle ist dann genau so groß, als wenn die Last unmittelbar am Träger selbst angriffe.

Man bestimme daher die Maximal-Momente für die lotrecht unter den Querträgern liegenden Trägerquerschnitte, mit Laststellung, jedesmal unmittelbar über dem betreffenden Querträger, nach den früheren Regeln. Trägt man sodann die gefundenen Werte lotrecht unter den Querträgern von einer beliebigen Geraden aus als Ordinalen auf, und verbindet die aufeinanderfolgenden Endpunkte derselben durch gerade Linien, so begrenzen diese die Momentenfläche, ans welcher auch die Momente für beliebige zwischen den Querträgern liegende Trägerquerschnitte abgegriffen werden können.

b)    Schubkräfte. Die Schubkraft, welche nach Fig. 73 S. 49 in dem lotrecht unter der Last P> liegenden Trägerquerschnitt auftritt, hat die Größe

S = A — P,

und ist im Kräfteplan dargestellt durch die Strecke b t. Sie wird für eine bestimmte Laststellung — Null, wenn nämlich die Seilzugseite III parallel der Schlußlinie A, B, gerichtet ist, so daß im Kräfteplane die Punkte b und t zusammenfallen. Die Lage, welche die veränderliche Last P haben muß, um in dem Felde OB die Schubkraft S — Null zu erzeugen, kann unter Benutzung der Fig. 78 S. 54 in folgender Weise gefunden werden.

Man zeichne (Fig. 86) die Schubkraftfläche A, MB, N genau wie in Fig. 78, ziehe die Querträger-Lotrechten CG, und DD,, ferner die Verbindungsgerade C, Dj. Die durch diese Gerade und die A, B, begrenzten Ordinate» stellen dann die Schubkräfte für das Feld CD dar. Die durch den Schnittpunkt 8 der C, D, mit der A, B, gelegte Lotrechte ST bezeichnet die'gesuchte

Fig. 86.

+P

a;

C,

ö.

-p

iV

Lage von P, bei welcher in dcni Felde CD die Schubkraft Null entsteht. Eine Last rechts von ST erzeugt eine positive, eine Last links von ST dagegen eine negative Schubkraft.

Die Lotrechte ST, bczw. der Punkt T wird die Belastungsscheide

genannt.

Kommt es nur darauf an, die Belastungsscheide zu bestimmen, so können die durch A, und B, gezogenen Parallelen A, N und Ist M beliebig gerichtet sein.

5) Mittelbare Belastung durch eine bewegliche Gruppe von Ein)elkrästen.

a) Momente. Da nach 4a S. 61 die Momente unter den Querträgern genau so groß sind, als wenn die Lasten unmittelbar am Hauptträger selbst angriffen, so bestimme man die Maximal-Momente für die Querträger-Angriffspunkte, trage dieselben lotrecht unter diesen Punkten von einer wagerechten Geraden aus als Ordinalen ans und verbinde die Endpunkte dieser Ordinaten der Reihe nach durch Gerade. Letztere begrenzen dann die Momentenfläche, deren Ordinaten auch genau genug die Maximal-Momente für die zwischen den Querträgern liegenden Trägerquerschnitte liefern.

Zur Ermittlung der die Maximal-Momcnte hervorrufenden ungünstigsten Laststellungen kann das S. 55 u. 56 beschriebene Weyrauchsche, oder besser noch das folgende von R. Land angegebene Verfahren benutzt werden.

Man bilde aus der Lastengruppe, die über beide Trägerenden hinüber-rcichen kann, einen Kräftezug und zeichne dazu den Kräfteplan mit der Pol-entfernung H und den Seilzug (Fig. 87). Man teile sodann die Polentfernung H durch die Punkte I, II, III, IV in demselben Verhältnis, wie die Stützweite l des Trägers durch die Querträger 1, 2, 3, 4 geteilt ist.

Mg. 87.

ab

EI

ri

K.

M.

Handelt'es sich nun z. B. um das Maximalmoment, für Querträger 2, so errichte man in II zu H eine Senkrechte und bestimme den Schnittpunkt II' derselben mit dem Strahl Oa, welcher die auf dem Träger befindliche erste Last begrenzt. Durch IF ziehe man eine Parallele zu dem andern Grenzstrahl Ob, d. h. demjenigen Strahl, welcher die letzte noch auf dem Träger befind--liche Last begrenzt. Die Parallele durch IV trifft auf dem Kräftezuge diejenige Last (hier die vierte), welche über Querträger 2 gestellt werden inuß, damit für diesen das größtmögliche Moment entsteht. (Der Beweis ist genau so zu führen, wie bei dem Weyrauchschen Verfahren S. 56.) Durch entsprechende Trägereinstellung erhält man sodann die Schlußlinie s und (lotrecht unter Querträger 2) die Ordinate ymax. Es ist dann:

- H . ymax*

b) Schubkräfte. Innerhalb eines durch zwei Querträger begrenzten Feldes wird nach dem Vorhergehenden durch jede Last rechts von der Belastungsscheide eilte positive, durch jede Last links davon eine negative Schubkraft erzeugt. In irgend einem Querschnitt des Trägers innerhalb eines Feldes wird daher die größte positive Schubkraft auftreten, wenn die bewegliche Lastgruppe vom rechten Auflager nach links fortschreitend mit ihrer ersten Last bis zur Belastungsscheide gelangt ist. Die größte negative Schubkraft entsteht, wenn die Lastgruppe von: linken Auflager aus nach rechts fortschreitend mit der ersten Last bis zur Belastungsscheide des betreffenden Feldes gekommen ist.

Fig. 88.

Pa

P* P.

ff

1? B-

Co

a? o? o?

B,

n Br P*

p. p,

Sind bei der beweglichen Lastgruppe die Abstände der einzelnen Lasten voneinander unveränderlich, wie dies % B. bei einem Eisenbahnzuge der Fall ist, so entsteht in einem bestimmten Felde meistens die größte positive Schubkraft, wenn die erste Last der von rechts aus vorrückenden Lastgrnppe gerade über demjenigen Querträger steht, welcher unmittelbar rechts neben dem betreffenden Felde liegt. Diese Laststellung bezeichnet man als Normalstellung.

Es kann jedoch vorkommen, daß eine etwas größere Schubkraft entsteht, wenn die Lastgrnppe noch weiter uni so viel vorrückt, daß die zweite Last über dem das Feld rechts begrenzenden Querträger steht. Um aber doppelte Rech-

nung zu vermeiden, hat Keck vorgeschlagen, die Normalstellung immer festzuhalten, dafür aber die erste Last etwas größer anzunehmen, als sie in Wirklichkeit ist, z. B. bei einem Eisenbahnzuge die erste Lokomotiv-Achse mit 15 statt mit 13 Tonnen in Rechnung zu stellen. Die Schubkräfte ergeben sich dabei im allgemeinen etwas zu groß.

Unter Voraussetzung der Normalstellung werden nun zunächst die Schubkräfte für die unter den Querträgern liegenden Querschnitte nach dem S. 58 mitgeteilten Verfahren ermittelt.

Man trage (Fig. 88) auf A₁ Bt die Lasten, soweit sie auf dem Träger ^ Platz finden, in ihrer natürlichen Reihenfolge so auf, daß P, unter Bt liegt, und füge dieselben auf der Lotrechten in A, zu einem Kräftezuge aneinander. Man wähle sodann den Punkt B, als Pol, ziehe die Polstrahlen und zeichne den Seilzug m III.... n.

S2.

Die durch A, B, und den Seilzug begrenzten, lotrecht unter den Querträgern liegenden Ordinaten stellen dann die der Nornralstellung entsprechenden größten positiven Schubkräfte für die zugehörigen Querträger-Angriffspunkte dar. So z. B. erhält man in Fig. 88 durch die lotrecht unter dem Querträger 2 liegende Ordinate cd die dem Querschnitt 2 zukommende Schubkraft

Fig. 89.

Schiebt man nun die Lastgruppe auf dem Träger AB nach links weiter vorwärts, so daß die zweite Last über dem Querträger 2 steht, so übt die Last P, auf den Querträger 1 den Druck aus:

P, a

P,

P/ =

wobei a den Abstand der beiden ersten Lasten, und l die Feldlänge (Abstand der Querträger voneinander) bedeutet. Aus dem Verhältnis:

p.'

Pi

e'

p,

Pi'

ergibt sich leicht das in Fig. 89 in doppeltem Maß-stabe besonders angedeutete zeichnerische Verfahren zur Ermittelung von P/.

Bei dieser Laststellung ist nun die lotrecht unter der ersten Last auftretende Schubkraft:

@' = A'-P/

Der Stützenwiderstand A' wird aber dargestellt durch die Ordinate c'd' in Fig. 88, folglich ist von dieser Ordinate die Strecke c'e' = P/ in Abzug zu bringen, um @₂' zu erhalten.

Ergibt sich durch Messung @₂'><S₂, so ist die letzte Laststellung (mit Last P₂ über Querträger 2) die gefährlichste, umgekehrten Falles bleibt die Normalstellung die maßgebende.

In derselben Weise lassen sich die größten positiven Schubkräfte für alle übrigen Felder bestimmen. Bezüglich der negativen Schubkräfte (©min), welche ebenfalls aus Fig. 88 entnommen werden sönnen, verweisen wir auf die Erklärung S. 58 unten. So ist z. B. @min für Querschnitt 1 gleich — ©max für Querschnitt 4.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß zu den gefundenen durch die Verkehrsbelastung hervorgerufenen Werten ± 6max noch die durch das Eigen-gewicht entstehenden Schubkräfte (vergl. Fig. 75 S. 51) mit Rücksicht auf das Vorzeichen hinzuzufügen sind.

6) Mittelbare gleichmäßig verteilte Setastung.

a)    Momente. Die größten Momente entstehen bei voller Belastung des Trägers und sind nach Fig. 75 S. 51 zu bestimmen.

b)    Schubkräfte. Für irgend ein beliebiges Feld entsteht die größte positive Schubkraft, wenn die bewegliche Belastung, vom rechten Auflager ans nach links fortschreitend, bis zur Belastnngsscheide des betreffenden Feldes gelangt ist. Die Ermittlung der letzteren erfolgt mit Hilfe zweier durch die Anflagerpunktc gelegter Parallelen nach Fig. 86 S. 61.

Fig. 90.

JS"*

m-r

HB

**)

Hl.

«!

&max

A,

0-

Ei

ß,

Es sei bei dem Träger AB (Fig. 90) die gleichmäßig verteilte Verkehrslast (v für die Längeneinheit) bis zur Belastnngsscheide T des zweiten Feldes vorgerückt. Bei dieser Laststellnng ist der linksseitige Stiitzenwiderstand:

vx² 21

Die im zweiten Felde befindliche Belastung übt ans den das Feld links begrenzenden Querträger Nr.1 nach den Bezeichnungen der Fig.90 den Druck ans:

P.' —

vz²

Nach Einsetzung dieses Wertes erhält man für S

den Ausdruck: vL x

so daß sich für die zwischen den Querträgern Nr. 1 und 2 auftretende Schubkraft der Wert ergibt:

vx²

=    -Ji

vz²

2Z

Nach Fig. 90 ist nun:

l,

l — l. — Z

woraus folgt:

lz

l (x — t,)

daher:

z²

(X

(x — l,)x

l(x

[X² — (X — l,) X] =

Man mache (nach Land) in Fig. 90: A, C = —, ziehe CB, und bestimme

den Schnittpunkt E derselben mit der Lotrechten durch Querträger 2. Ziehe ferner EF IIA, B, und verbinde F mit B, durch eine Gerade, welche die Lotrechte durch T im Punkte G schneidet. Es ist dann:

E,E ₌ l A. C l

vl

oder E, E = A, F = ——

vl

und:

vL x

DtG

21

a₃ f

Auch hier gilt die Schlußbemerkung zu 5 b S. 65.

§ 9.

Zahlenberspiele M dem belasteten Träger.

A. Bleibende Belastungen.

Beispiel 1. Ein Balken AB (bergt Fig. 65 S. 38) sei 4,5 m lang und werde belastet durch:

P, — 1600 kg;

P₂ = 800 kg;

P₈ = 940 kg

Die Entfernung vom Auflager A bis zum Angriffspunkte der Last P, sei — 200 cm, die Entfernungen der Lasten voneinander je 100 cm.

Der Balken ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1:50.

Man wähle den Kräftemaßstab 500 kg — 1 cm und die Polentfernung H = 2000 kg (— 4 cm).

Die Stützenwiderstände ftitb: A = 1260 kg; L — 2080 kg.

Man findet ymax — 126 cm (unter der Last P,) und es ist daher das größte Biegungsmoinent:

— H . ymax — 2000.126 — 252 000 kg cm.

Beispiel 2. Die Belastung einer Deckenkonstruktion einschließlich Eigengewicht sei — 700 kg für das qm. Die Entfernung der 5 m langen Balken voneinander sei — 75 cm. Es soll für einen Balken das größte Moment, ferner das Moment und die Schubkraft in der Entfernung x = 1,5 m vom Auflager zeichnerisch bestimmt werden (Längenmaßstab 1:50, Kräftemaßstab 500 kg = 1 cm, Polentfernung H — ¹k l = 250 cm).

Die ganze Belastung eines Balkens ist:

p 1 = 0,75.5.700 = 2625 kg Davon kommt auf jedes Auflager die Hälfte, also:

A = B = 1312,5 kg Dies ist zugleich der größte Wert der Schubkraft:

@max — 1312,5 kg

Die Ordinalen der Momentenfläche sind, da als Polentfernung ein Längenmaß angenommen wurde, mit dem Kräftemaßstabe zu messen.

Man findet:

ymax - 656,25 kg

daher

= H . ymax — 250.656,25 = 164062,5 kg cm

In der Entfernung x = 150 cm vom Auflager ist:

y = 551,25 kg

folglich

M. = 250.551,25 = 137812,5 kg cm Sx = 525 kg

Aus der Schubkraftfläche findet man ebenfalls:

1312,5 + 525

Mx =

. 150 = 137812,5 kg cm

Beispiel 3. Ein Träger AB von 4,6 m Länge sei auf die ganze Länge gleichmäßig belastet mit p = 6 kg für das cm; außerdem wirken auf denselben die Einzellasten:

280 „ „

380 „    „

P, = 800 kg in der Entfernung 130 cm vom Auflager A P₂ = 650 „ „ „    „

p“ — 700 „ „ ,,

(Vergl. Fig. 70 und 71 S. 46 und 47.)

Es soll die Momentenfläche und die Schnbkraftfläche aufgezeichnet werden.

Längeimiaßstab 1:50; Kräftcmaßstab 500 kg = 1 cm; Polentfernung = 1500 kg.

Die Stützenwiderstände sind:

A = 1380 + 950 = 2330 kg B = 1380 + 1200 = 2580 kg

Aus der Momentenfläche ergab sich durch Messung:

bei P, die Ordinate yt = 168 cm folglich M, = 1500.168 = 252000 kg cm

y₂ — 198 „ y₈ — 125 „

2 ff

3 ff

„ Mz = 1500.198 — 297000 „ „ „ Mg = 1500.125 = 187500 „ „

Das größte Moment befindet sich zwischen P, und P₂ in der Entfernung 255 cm vom Auflager A. An dieser Stelle wurde gemessen:

ymax — 199,5 cm folglich Mmax — 1500.199,5 — 299250 kg cm Die genauen Werte der Momente ergeben sich durch Rechnung zu:

M, = 252200; M₂ = 297 200; Mg = 187200; ^max = 299075 kg cm

Beispiel 4. Ein Träger AB von 10 m Länge (vergl. Fig. 74 S. 50) sei belastet durch:

P, — 2000 kg in der Entfernung 4 m vom Auflager A P₂ — 1800 „ „

3,5 „    „

Ps — 3000 „ „

Diese Lasten werden durch Querträger, welche in 2,5 m Entfernung voneinander liegen, auf den Haupttrüger übertragen.

Es sind die Momente unter den Querträgern und unter den Lastpunkten durch Zeichnung zu bestimmen.

Längeumaßstab 1:100; Kräftemaßstab 1000 kg — 1 cm; Polentfernung — ¹/₂1 = 500 cm.

Die Stützenwiderstände ergaben sich übereinstimmend durch Zeichnung und Rechnung zu:

B = 4430 kg

A — 2370 kg;

yn = 1970 kg;

Die unter den Lastpunkten gemessenen Ordinaten waren:

y₈ — 970 kg

yra = 1610 kg

Die unter den Querträgern gemessenen Ordinaten waren: yi — 1180 kg;

y, = 1660 kg;

y₂ — 1830 kg;

Daraus erhält man für die Momente die Werte:

Die durch die Rechnung bestimmten Werte der Momente sind folgende:

M, — 828000 kg cm M» = 914000    „

Mz = 484500    „

Beispiel 5. Der in Fig. 91 dargestellte Träger sei von A bis C und von D bis B gleichmäßig mit p = 8 kg auf das laufende cm belastet. Es soll der gefährliche Querschnitt und das in diesem herrschende Biegnngs-moment durch Zeichnung ermittelt werden.

Mi — 592 500 kg cm Mn = 985000 Mm — 807500

Fig. 91.

uB

MPJÜ|b

A,<

B,

0<

Ein solcher Belastungsfall liegt z. B. vor, wenn ein Träger eine Mauer zu unterstützen hat, welche durch eine Türöffnung (C D) unterbrochen ist.

Das Beispiel ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1:100; Kräftemaßstab 1000 kg — 1 cm; Polentfernung H — 3000 kg.

Die Ergebnisse sind: a) Durch Zeichnung gefunden:

A = 2000 kg;

B = 2400 kg

Entfernung des gefährlichen Querschnitts vom Auflager A:

x = 495 cm

Ordinate der Momentenfläche unter dem gefährlichen Querschnitt:

Jmax -    118 cm

Größtes Moment:

= 3000.118 = 354000 kg cm

b) Durch Rechnung gefunden:

A = 2012,5 kg;

B = 2387,5 „

x — 501,56 cm Mmax — 356,260 kg cm

Beispiel 6. Der Träger AB (Fig. 92) sei bei C belastet durch die Einzelkraft P — 2100 kg, ferner von D bis B gleichmäßig belastet mit p — 12 kg auf das laufende cm. Die Lage der Punkte C und D ist bestimmt durch die in Fig. 92 eingeschriebenen Maße. Trägerlänge L = 8 m.

Es soll für diesen Träger die Momentenfläche und die Schubkraftfläche aufgezeichnet mtb daraus die Lage des gefährlichen Querschnittes und das größte Monicnt bestimmt werden. Beim Aufzeichnen ist anzunehmen der

Fig- 92.

J3

C Dl :

CQ

D-

:a

A/

1,5 ui

A,

,K

i-

A-5

QLri

B,

Längenmaßstab 1:100, der Kräftemaßstab 1 cm = 1500 kg, die Polentfernung H = 4500 kg (= 3 cm). Füx die Einzelkraft und die gleichmäßig verteilte Belastung ist ein gemeinsamer Kräfteplan anzufertigen, a) Durch Zeichnung gefundene Werte:

A — 3225 kg

B = 4275 kg

Entfernung des gefährlichen Querschnitts vom Auflager A:

x — 444 cm

Ordinate der Momentenfläche unter dem gefährlichen Querschnitt:

ymax — 168 cm

Größtes Moment:

= 4500.168 = 756 000 kg cm b) Durch Rechnung gefundene Werte:

A = 3225 kg

B = 4275 kg

x — 443,75 cm Mniax = 761 485 kg cm

B. Veränderliche Belastungen.

Beispicl 1. Ein Träger von 10 m Länge soll der Einwirkung von Lokomotivlastcn ausgesetzt sein. Jede Radbelastung betrage 6,5 Tonnen; für die Radabstände sind die in Fig. 93 eingeschriebenen Maße zu Grunde zu legen. Es soll für den Träger das größte Moment bcstimnit toerbeit.

Längenmaßstab 1: 50, Kräftemaßstab 1 Tonne = 4 mm, Polentfernung H = 40 Tonnen.

Es können entweder 5 oder 4 oder 3 Räder auf dem Träger stehen. Bei 5 Radlasten ergibt sich mit Hilfe des Kräftcp laues und Seilzuges, daß die Mittelkraft B,_₅ um 1 m rechts von der Last Nr. 3 liegt. Die Mitte zwischen B^ und der dritten Last müßte daher nach S. 55 die Trägermitte

Fig. 93.

f,5m

1,5 m 1,5 tu

►l

SP

:£

**>

und P₃ an, und zieht bei dieser Trägerstellung die Schluß-

1-4

sein. Dann aber steht das Rad Nr. 5 gerade über dem Auflager und liefert keinen Beitrag zu beut Momente, so daß zur Ermittlung des größten Momentes höchstens 4 Radlasten itt Frage kommen können. Die Mittelkraft E, „ ₄ derselben liegt um 0,125 m links von der Last Nr. 3. Nimmt matt nun, der Forderung S. 55 gemäß, die Trägermitte im Halbierungspunkt der Entfernung von B

linie s, so findet man als Ordinate unter P₈:

y — 0,94 m

folglich wird:

M = H y = 40.0,94 = 37,6 tm (Rechnerisch ergibt sich M = 37,385 tm.)

Wenn sich nur 3 Räder auf dem Träger befinden, so fällt die Mittelkraft B. ₃ mit der mittleren Radlast zusammen; ebendaselbst liegt dann auch die

Trägermitte. Wir ziehen die dieser Trägerstellung entsprechende Schlußlinie s'. Die unter der Last Nr. 2 gemessene Ordinate ist dann:

y' = 0,98 m

daher:

9JJ' = Hy' = 40.0,98 = 39,2 tm (Durch Rechnung ergibt sich SU' — 39,0 tm.)

Demnach ist das durch 3 Radlasten erzeugte 9Ji' von allen das größte Moment.

Beispiel 2. Für den Träger AB einer Eisenbahnbrncke (Fig. 94) von l — 19,2 m Spannweite sollen die größten Momente und Schubkräfte bestimmt werden.

Fig. 94.

JI’

ffl’

> . ².m    ^ 1,5 ^ ij52,0    %0    ^    _ J, _!|5_    . _2t0    1,5 ^ 1-3 _    1,5

;    1    ¹ (?>mm ¹

I    T I

A^r

iß

13l

13

13

8 8l

13    13    13

>B/

>B>:

si

y,

y₃

Als Verkehrsbelastung sind für die Momente zwei Kopf an Kopf stehende Lokomotiven und ein Tender, für die Schubkräfte zwei vorwärts gehende Lokomotiven, die erste mit nachfolgendem Tender, anzunehmen. (Der Tender der zweiten Lokomotive findet auf dem Träger keinen Platz mehr.)

Die bleibende Belastung (das Eigengewicht) betrage p — 1,4 tons für das laufende Meter. Die Achsenbelastungen sind angenommen zu je 13 tons für die Lokomotiven, und zu je 8 tons für den Tender; die Radabstände sind aus Fig. 94 zu entnehmen.

Die Belastungen werden durch Querträger, die in 3,2 m Entfernung voneinander liegen, auf den Haupttrüger übertragen.

Zum Aufzeichnen des Beispiels ist zu wählen:

Längenmaßstab 1:100 Kräftemaßstab 1 ton — 1 mm Polentfernung H — 100 tons

a) Momente. Nach Aufzeichnung des der Verkehrsbelastung entsprechenden Kräfteplanes und Seilzuges ermittle man zuerst nach dem S. 62 angegebenen Landschen Verfahren diejenigen Laststellungen, welche für die einzelnen Querträger-Angriffspunkte die gefährlichsten sind.

Zu dem Zweck teile man die Polentfernung H in sechs gleiche Teile (entsprechend den 6 unter sich gleichen Feldern des Hauptträgers), und ziehe durch die Teilpunkte I, II, III Parallelen zu der Kraftlinie, welche den oberen Grenzstrahl (Last 1 bleibt nämlich immer auf dem Träger) in den Punkten I', IP, IIP schneiden. Durch Ziehung der Parallelen durch die Punkte P, IP, IIP zu dem andern Grenzstrahl (für Querschnitt 2 gilt der vorletzte Strahl, weil das Nad Nr. 9 dann nicht mehr auf dem Träger steht) findet man, daß das größte Moment entsteht:

für Querschnitt I, wenn das Rad Nr. 2 über 1 steht

n    n    n

£t

ff    ff    ff

Man verschiebt nun den Träger AB unter dein Lastenzuge so, wie es den gefundenen ungünstigsten Laststellungen für die einzelnen Querträger-Angriffspunkte entspricht, bringt die jedesmaligen Auflager-Lotrechten zum Schnitt mit dem Seilzuge, und zieht die Schlußlinien s, s₂ ss. Es werden dadurch die lotrecht unter den Querträgern 1, 2, 3 liegenden der Verkehrs-belastung entsprechenden Ordinaten y,y₂ys bestimmt, für welche die Maße gefunden wurden:

y, = 1/5. m; J₂ — 2,3 m; y₈ = 2,6 IN Diese liefern, mit der Polentfernung H multipliziert, die Momente:

Die von der bleibenden Belastung herrührenden Momente, welche den obigen hinzuzufügen sind, werden erhalten durch Koilstruktion einer Parabel mit der Pfeilhöhe:

— 64,5 tm

pl² 1,4.19,2²

Die unter den Querträgern gemessenen Ordinaten dieser Parabel sind:

Mx, — 36 tm; N+ — 57 tm; Mx₈ — 64,5 tm so daß sich im ganzen unter den Querträgern die Momente ergeben;

M, = Mv, + Mx, = 150 + 36    = 186 tm

M₂ = Wy₂ + mP2 = 230 + 57    = 287    „

Mz = M.z + B+ = 260 + 64,5 = 314,5 „

Die Momente unter den Querträgern Nr. 4 und 5 stimmen mit denen unter den Querträgern Nr. 2 und 1 überein.

Die durch Rechnung ermittelten genauen Werte der Momente sind:

M, — Mz — 188,82 tm

HH, = a»₄ = 288,12 „

Mg = 321,61 „

Die Momente sind in Fig. 95 als Ordinalen im Maßstabe 10 tm = 1 mm graphisch aufgetragen, und zwar die der bleibenden Belastung entsprechenden oberhalb, die der Verkehrsbelastung entsprechenden unterhalb der Wage-

Fig. 95.

Ai

;2

iß

A,

10 tm

rechten A^ B,. Aus dieser Figur können auch für beliebige zwischen den Querträgern liegende Querschnitte die Momente genügend genau abgegriffen werden. Streng geitommeit sind die für Zwischenpunkte in Wirklichkeit entstehenden Momente etwas kleiner, da z. B. für einen Punkt x innerhalb eines Feldes nicht gleichzeitig die ungünstigsten Laststellungen für die angrenzenden Querträger-Angriffspunkte eintreten.

Fig. 96.

: LS

(o

PL

w=\

nn

sa

fl

<S>\

¥l

«© ■*"

b) Schubkräfte. Für das erste Feld ergibt sich die der Verkehrsbelastung entsprechende größte Schubkraft, wenn die vordere der von B nach A vorrückenden Lokomotiven mit der zweiten Achse über dem Querträger Nr. 1

steht (Fig. 96). Um für das zweite und die folgenden Felder die größte Schubkraft zn erhalten, muß die vordere Lokomotive mit ihrer ersten Achse über den Querträger Nr. 2 bezw. 3 it. s. w. gestellt werden.

Bezüglich der zeichnerischen Darstellung der Schubkräfte, die in Fig. 96 durchgeführt ist, wird auf Fig. 88 S. 63 verwiesen. Es ergeben sich die Ordiuaten:

SP6 = —11,2 „

Sv, — 44 tons Svz — 29    „

Svg — 18,5 „

Sp, — 11,2 tons 6,7    „

2,2 „

2,2 tons

P2 -

©P3 "

Die durch gleichzeitige Wirkung der Verkehrslast und des Eigengewichtes entstehenden Maximalschubkräfte sind danach:

für    das    erste Feld:

Hieraus folgen ohne weiteres die Minimalschubkräfte

Sg — -j- 11,2 tons ©, = + 3,2 „

=    44    -j-    11,2 —    +    55,2    tons

@₅= 3,5 - 6,7 = -©6=0

3,2 „

11,2 = — 11,2 „

für das erste Feld:

„    „ zweite „ : mm^g —•

- max

Sind die Achsbelastungen durch zwei, drei u. s. w. Hauptträger aufzunehmen, so betragen sowohl die Momente als auch die Schubkräfte für jeden Träger natiirlich nur die Hälfte, den dritten Teil u. f. tu. der oben berechneten Werte.

§ io.

Nachwerke für bleibende Belastung.

Ein ebenes Fachwerk ist eine Anordnung von geraden Stäben, welche in einer Ebene liegend in ihren Endpunkten gelenkartig miteinander verbunden und zu einem Netz von Dreiecken so aneinander gefügt sind, daß die Eckpunkte der Dreiecke sämtlich auf dem äußeren Umfange des Netzes liegen (Fig. 97).

Die Eckpunkte der von bett Stäben gebildeten Dreiecke, also alle die Punkte, in denen zwei oder mehrere Stäbe zusammentreffen, nennt man die Knotenpunkte des Fachwerkes; die Stabreihen, welche das Fachwerk nach oben und unten begrenzen, heißen die Gurtungen; die Stäbe, welche zwischen den Gurtungen liegen und dieselben miteinander verbinden, die Wandglieder. Letztere unterscheidet man in Vertikalen, wenn sic lotrecht und in Diagonalen, wenn sie schräg gerichtet sind.

Für die Folge soll die obere Gurtung mit 0, die untere Gurtung mit U, die Vertikalen mit V, die Diagonalen mit D bezeichnet werden.

Es soll bei den nachstehenden Untersuchungen stets vorausgesetzt werden, daß alle äußeren, auf das Fachwerk wirkenden Kräfte in einer Ebene mit dcni Fachwerke selbst liegen, und daß nur die Knotenpunkte die Angriffspunkte der Kräfte bilden, was sich stets durch Anbringung von Hilfs- oder Zwischenträgern erreichen läßt. Ferner sollen die Knotenpunkte als reibungslose Gelenkverbindungen vorausgesetzt werden.

Denkt man sich ein Fachwcrk durch einen Schnitt in zwei Teile zerlegt, tvelcher bei einen: richtig entworfenen und statisch bestimmten Fachwerke nicht

Fig. 97.

mehr als drei Stäbe trifft, so hat man, um den früheren Gleichgewichtszustand wieder herzustellen, bei jedem der beiden Teile an den durchschnittenen Stäben äußere Kräfte anzubringen, welche die Wirkung des abgeschnittenen Teiles genau wieder ersetzen. Diese Kräfte nennt man Spannkräfte, oder auch innere Kräfte tut Gegensatz zu den äußeren Kräften, nämlich den gegebenen Lasten und den Stützenwiderständen. Die Spannkraft eines Stabes muß immer mit der Richtung desselben zusammenfallen, da sie sonst den Stab um seinen Endpunkt drehen würde.

Hierin liegt ein großer Vorteil der Fachwerke, denn da jeder Stab desselben nur durch Kräfte in Anspruch genommen wird, welche in seiner Achsenrichtung wirken, also nur durch Zug- oder Druckkräfte, so verteilt sich die Spannung gleichmäßig über den ganzen Querschnitt des Stabes, und das Material kann voll ausgenützt werden, während bei einem Stabe, welcher auf Biegung in Anspruch genommen wird, die Spannungen sich im Innern des Stabes ungleichmäßig verteilen, das Material also nur unvollkommen ausgenutzt wird.

Das Eigengewicht des Fachwerks kann genügend genau als eine über die ganze Länge gleichmäßig verteilte Belastung angesehen werden; die zwischen zwei Knotenpunkten liegenden Konstruktionsteile übertragen ihr Gewicht zur Hälfte auf den einen, zur Hälfte auf den anderen Knoten, so daß die Knotenpunkte ausschließlich die Angriffspunkte des Eigengewichts bilden. Streng genommen verteilt sich das Eigengewicht auf sämtliche Knoten des Fachwerkes, es ist aber für die Praxis hinreichend, wenn man annimmt, daß nur diejenigen Knoten das Eigengewicht der Konstruktion aufzunehmen haben, welche die Angriffspunkte der äußeren Lasten bilden. Häufig kann bei kleineren Fachwerken das Eigengewicht ohne wesentlichen Fehler gänzlich unberücksichtigt bleiben.

Die Belastung der Fachwerke kann, ebenso wie bei jedem einfachen Träger, entweder bleibend oder veränderlich sein. Zu den Fachwerken mit veränderlicher Belastung gehören z. B. alle fachwerkartigen Brückenträger, während die im Hochbau verwandten Fachwcrke, zu denen auch die größere Änzahl der Dächer zu zählen ist, Träger mit bleibender Belastung bilden.

Es sollen hier zunächst die Fachwerke mit bleibender Belastung besprochen werden, während die für veränderliche Belastung zu berechnenden Fachwerksträger an einer späteren Stelle (§§ 12 und 13) ihre besondere Erledigung finden.

Bei einem an den Endpunkten unterstützten Fachwerke werden die durch gegebene Lasten erzeugten Stützenwiderstände genau in derselben Weise bestimmt, wie bei einem einfachen Träger auf zwei Stützen, und dürfen demnach als bekannt vorausgesetzt werden. Die Spannkräfte der einzelnen Stäbe des Fachwerkes können nach verschiedenen Verfahrungsarten ermittelt werden; eine der gebräuchlichsten besteht in der Anfertigung eines Kräfteplanes, welcher nach dem Grundsatz aufgezeichnet wird, daß, wenn die auf das ganze Fachwerk wirkenden äußeren Kräfte im Gleichgewichte find, sich dann auch die auf jeden einzelnen Knoten desselben wirkenden äußeren und inneren Kräfte im Gleichgewichte befinden müssen, daß ihnen also ein geschlossener Kräfteplan entspricht. (Verfahren nach Cremona.)

Bei Herstellung des Kräfteplanes beginnt nrnit mit einem Knoten, auf welchen eine der Größe und Richtung nach bekannte äußere Kraft wirkt und in dem nur zwei Stäbe zusammentreffen. Die Spannkraft dieser beiden Stäbe läßt sich zeichnerisch dann leicht ermitteln. Beim Übergange zu einem der benachbarten Knoten ist die Spannkraft desjenigen Stabes, welcher beide Knoten miteinander verbindet, bereits bekannt und es treten daher bei jedem folgenden Knoten immer nur zwei neue Spannkräfte auf, die zu bestimmen sind. Man ordnet dabei den Kräftcplan so an, daß jede Spannkraft nur einmal in demselben vorkommt.

Um zu entscheiden, ob ein Stab gezogen oder gedrückt wird, denke man sich den betreffenden Knoten herausgeschnitten und bringe an den in ihm zusammenlaufenden Stäben die Pfeile so an, wie sie mit dem Umfahrungssinn des zugehörigen Kräfteplanes übereinstimmen. Weist bei einem Stabe der Pfeil mit seiner Spitze auf den Knoten, so wird der Stab gedrückt, im umgekehrten Falle gezogen.

In den Kräfteplänen pflegen die äußeren Kräfte durch einfache starke Linien, die Spannkräfte der gezogenen Glieder durch einfache dünne Linien, die der gedrückten Glieder durch dünne Doppellinien bezeichnet zu werden.

Bei den folgenden näher zu besprechenden einzelnen Arten der Fachwerkträger soll angenommen werden, daß dieselben in Bezug auf die Mitte symmetrisch angeordnet sind, ferner daß alle Feldweiten, ebenso alle Knotenpunktsbelastungen einander gleich sind. Da in diesem Falle alle Stäbe, welche symmetrisch zur Trägermitte liegen, die gleiche Spannkraft erhalten, so ist es nur nötig, die Spannkräfte für die eine Trägerhälfte zu bestimmen, der Kräfteplan braucht folglich auch nur zur Hälfte gezeichnet zu werden.

1) Fachwerke mit wagerechtem Obergurt.

(Lasten am Obergurt.)

Den einfachsten Fall bildet der verspannte oder armierte Balken. Der Balken AB (Fig. 98) ist in der Mitte C gestützt durch eine lotrechte Strebe, deren unterer Endpunkt E mit den Balkenenden A und B durch Zugstangen verbunden ist. Jedes der beiden Felder sei mit P belastet, der ganze Träger also mit 2P; davon kommt auf den Knoten C die Last P, auf die Knoten A und B je die Last ‘/»P. Jeder Stützendruck ist — P, so daß in den Punkten A und B je die nach oben gerichtete Kraft ¹/i P angreift.

Zur Bestimmung der Spannkräfte, für welche dieselbe Bezeichnung (OUV) gewählt werden soll wie für die Konstruktionsteile selbst, beginnt man mit einem Auflager, z. B. A. Denkt man sich den Knoten A durch einen Schnitt von

der übrigen Konstruktion abgetrennt, so wirken an diesem die Kräfte AOÜ, die miteinander im Gleichgewicht sein, also ein geschlossenes Kräftedreieck bilden müssen. Man trage daher in einem passenden Maßstabe A = ab auf, ziehe durch a eine Parallele zu A C, durch b eine Parallele zu AE. Ist c der Schnittpunkt dieser Parallelen, so stellt ac die Spannkraft 0, bc die Spannkraft ü dar. Da A lotrecht aufwärts gerichtet ist, so ist bacb der Umfahrungssinn des Kräftedreiecks. Die Spannkraft 0 wirkt von a nach c, hat also die Richtung nach dem Knoten A hin, erzeugt daher Druckspannung; die Spannkraft U wirkt von c nach b, also von A weg, erzeugt daher Zugspannung.

Man kann nun weiter entweder zu dem Knoten C oder zu dem Knoten E

Fig. 98.

A,

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V V'

"A

d*

übergehen.

[ß

In E halten sich die beiden gleichen Kräfte U und U' und die Kraft V int Gleichgewichte. Da U = b c bereits im Kräfteplane festliegt, so ziehe man durch c eine Parallele zu CE, durch b eine Parallele p BE; man erhält dadurch das Kräftedreieck bcd und es ist oä — V. Der Umfahrungssinn des Kräftedreiecks ist bcdb, die Kraft V wirkt in der Richtung von c nach d, wird also, da ihr Pfeil auf E zu gerichtet ist, in der Strebe CE Druckspannung

erzeugen.

Bei gleichmäßig verteilter Belastung erfahren die Teile AC und CB des Obergurtes außer der durch die Knotenpunktslast P erzeugten Druckspannung auch noch eine Biegungsspannung').

*) Vergl. Lauenstein, Festigkeitslehre, 7. Stuft. § 16.

In derselben Weise wie der einfach verspannte ist der in Fig. 99 abgebildete doppelt verspannte Träger zu behandeln.

Der Balken AB ist außer an den Endpunkten noch an den Punkten C und C' gestützt durch die lotrechten Streben CE und C'E', deren untere Endpunkte E und E' einerseits untereinander, anderseits mit den Balkenendcn A und B durch Zugstangen verbunden sind. Bei symmetrischer Anordnung des Trägers in Bezug auf die Mitte und bei gleichen Knotenpunktslasten P find die Stützenwiderstände:

A — B — b

Zur Bestimmung der Spannkräfte trage man ab = A auf und ziehe durch die Endpunkte a und b Parallelen zu AC und AE. Ist c der Schnittpunkt dieser Parallelen, so wird ac = 0, und bc = TJV Zu dem Knoten E, an welchem sich die Kräfte TJ, V U., im Gleichgewicht halten, übergehend, findet man durch Ziehung der Linien cd II CE und bd IIEE' die Spannkräfte V = cd und U₂ = b d. Damit ist zugleich auch der Kräfteplan für den Knoten C festgelegt, welchem das Rechteck cabd als Krüftezng entspricht. Es ergibt sich

m 99.

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U1 ‘A

E V, E’

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daraus, daß 0₂ absolut genommen = U₂ ist, da sich diese beiden Spannkräfte, welche durch die Linie bd dargestellt werden, int Kräfteplane decken. Die Spannkräfte 0', U^V' haben gleiche Größe mit den bereits gefundenen 0, ütV. Aus dem Umfahrungssinn der den einzelneil Knoten entsprechenden Kräftezüge geht hervor, daß 0,0₂0/ sowie V und V' Druckspannungen, dagegen U, U₂ ü₁' Zugspannungen sind.

Es mag hierbei erwähnt werden, daß die gegebene Berechnung der Stabspannkräfte bei dem einfach und doppelt verspannten Träger (Fig. 98 und 99) nur eine angenäherte ist, da die geraden Obergurte als steife Balken durchgehen, also keine Gelenke haben.

Der in Fig. 100 S. 80 dargestellte Träger ist in 6 gleiche Felder geteilt; jeder Knoten des wagerechten Obergurtes sei belastet mit P, es sind dann die Stützenwiderstände:

A — B — 2x/₂P

Man trage A = ad in einem passenden Maßstabe auf und zeichne den Kräfteplan in der Weise, daß man die Parallelen zu den unbelasteten Teilen (hier den Stäben des Untergurtes) von dem unteren Endpunkte d des Kräftezuges aus zieht.

Man beginnt wieder mit dem Auflager A. Es halten sich hier die Kräfte A0₁ü₁ im Gleichgewichte und bilden int Kräfteplane das Dreieck dae, welches man erhält, wenn man durch a eine Parallele zu Ot, durch d eine Parallele zu U₁ zieht. Da A lotrecht aufwärts gerichtet ist, so hat das Kräftedreieck den Umfahrungssinn daed. Die Kraft 0₁ = ae wirkt von rechts nach links auf den Knoten A, erzeugt also Druckspannung; Uj = ed, von A weg wirkend, erzeugt Zugspannung.

Die beiden benachbarten Knoten sind 1 und 2. Zu dem Knoten 2 kann man noch nicht übergehen, da an diesem außer der Last P und der nun bekannten Spannkraft 0₁ doch drei unbekannte Spannkräfte, nämlich V₁ 0₂, wirken. Dagegen hat man bei dem Knoten 1 nur zwei unbekannte Spannkräfte zu bestimmen, nämlich \\ und U₂, welche mit der bekamtten Spannkraft

Fig. 100.

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V₃

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³ X=X)C

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ÄP..

U,    int Gleichgewichte sind. Man zeichne also zunächst den Kräftezug-für den Knoten 1, indem man es IIV, und df II U₂ zieht, wodurch das Kräftedreieck de’f entsteht. U, — de erzeugt, wie von dem Knoten A her bekannt ist, Zugspannung, wirkt also von dem Knoten 1 weg, der Umfahrungssinn für das dem Knoten 1 entsprechende Kräftedreieck ist daher defd. Daraus folgt, daß

V,    Druckspannung, Ua Zugspannung erzeugt.

Nunmehr kann man zu dem Knoten 2 übergehen, da von den sämtlichen auf diesen Knoten wirkenden Kräften alle bis auf 0₃ und D, bekannt sind. Diese schließen sich im Kräfteplane mt V, 0,P an, man wird deshalb f'g II und bg II 0₂ ziehen und erhält dadurch den Kräftezug abgfea mit demselben Umfahrungssinn (weil P — ab lotrecht abwärts gerichtet ist), in welchem bg = ()., und g f = D, ist. 0₂ hat die Richtung auf den Knoten 2 zu, ist also Druckkraft, D, wirkt von 2 weg, ist also Zugkraft.

Zu dem Knoten 3 übergehend, an welchem sich die Kräfte V₂V,V₂ und

U₃ im Gleichgewichte halten, ziehe man, da U₂ nnd Dl bereits bekannt und im Kräfteplane durch df nnd fg dargestellt sind, durch g eine Parallele zu V₂, durch d eilte Parallele zu U₃. Aus dem dadurch entstehenden Kräftezuge dfghd ergibt sich V₂ = gh als Druckkraft, U₃ = hd als Zugkraft.

An dem Knoten 4 sind die Spannkräfte 0₃ und D, noch unbekannt, während V₂0₂P durch den Kräftezug b gbc bestimmt find. Man ziehe daher ci !l 0₃ und hi I! D₂, wodurch der Kräftezug cihgbc entsteht. 0₃ = ci erzeugt Druckspannung, D₂ = ih Zugspannung.

Die Spannkräfte sämtlicher Stäbe des Fachwcrkes sind damit bestimmt bis auf V₃. Man hat die Wahl, entweder den Knoten 5 oder 6 zur Bestimmung voit V₃ zu benutzen. Am schnellsten kommt man hier mit Knoten 6 zum Ziele, denn da 0₃ — ist nnd diese beiden Kräfte nach entgegengesetzten Richtungen in derselben Geraden wirken, so ntnß auch V₃ = P seht und die Richtung lotrecht aufwärts nach dem Knoten 6 zu haben, also Druckspannung erzeugeit. Int Kräfteplane bilden die int Knoten 6 angreifenden Kräfte P 0'₃V₈ (lg die Figur cc'i'ic.

Man erkennt aus dem Kräfteplatte, daß die Stäbe der oberen Gurtung und die Vertikalen sänitlich gedrückt, die Stäbe der unteren Gurtung und die Diagonalen gezogen werden.

Erwähnenswert ist noch, daß in dem Kräfteplane die Spannkräfte der Vertikalen und Diagonalen einen zusammenhängenden geknickten Linienzug efghii' bilden, ferner daß die Spannkräfte der im Fachwerke ein Dreieck bildenden Stäbe int Kräfteplanc durch denselben Punkt gehen.

So gehen 0,U,V, durch den Punkt e, V₁U₂D₁ durch den Punkt f, 0₂ vj V₂ durch den Punkt g u. s. w.

2) Fachwerke mit wagerechtem Untergurt.

(Lasten ant Untergurt.)

Zu diesen Fachwerken gehören auch die sogen. Hängewerke. Bei dem in Fig. 101 dargestellten einfachen Hängewerke ist der Balken AB in der Mitte C aufgehängt. Die Zugstange oder Hängesäule OB nimmt die Last P unmittelbar auf nnd überträgt dieselbe mittels der Streben AB und BB auf die Punkte A und B.

Die Stützenwiderstände sind:

A = B = VaP

Zur Ermittelung der Spannkräfte in den einzelnen Konstruktionsteilcn trage man in einem abgerundeten Maßstabe ab — A auf, ziehe acIlAE unb bcIlAC. Es ist dann bac das Kräftc-dreieck für die am Knoten A angreifenden Kräfte AOU und ae = 0, cb = U.

2 anen stein, Die graphische Statik. 8. Aufl.

Fig. 101.

tc

U'

0,

lA

Da A lotrecht aufwärts gerichtet ist, so ist der Umfahrungssinn des Kräftc-dreiecks bacb, folglich hat 0 die Richtung nach dem Knoten A, ist also Druckkraft ; U ergibt sich als Zugkraft.

Am Knoten C heben sich die beiden gleichen in derselben Geraden AB, aber nach entgegengesetzten Richtungen wirkenden Kräfte U und U' gegenseitig ans, daher hat die Hängesäule CE den Zug P vollständig aufzunehmen.

Der Balken des in Fig. 102 dargestellten doppelten Hängewerkes ist in den Belastungspunkten C und C' aufgehängt.

Die Anfertigung des Kräfteplanes geschieht in derselben Weise wie bei dem doppelt verspannten Träger (Fig. 99). Es ergeben sich daraus die Spannkräfte:

0, = ac; II, — ob; V — cd 0₂ — U₂ = a d

Da ad = cb ist, so haben U,U₂0ä gleiche absolute Größe.

Der Obergurt AEE'B wird gedrückt, der Untergurt ACC'B sowie die Hängesäulen CE und C'E' gezogen.

Fig. 102.

zp.

CQ

CQ

Auch hier bei beit Hängewerken gilt wieder die Bemerkung, daß die angegebene Berechnung der Spannkräfte nur eine angenäherte ist, wenn, wie es meistens der Fall, der gerade Untergurt als steifer Balken ohne Gelenke ausgeführt wird.

Der Träger AB (Fig. 103) ist in 6 gleiche Felder geteilt, jeder Knoten des Untergurts mit P belastet.

Die Stützcnwiderstände sind: A = B = 20? P.

Man mache a«l = 2,5 P und fertige den Kräfteplan in der Weise an, daß man die Parallelen zu den unbelasteten Teilen (hier den Stäben des Obergurtes) von dem oberen Endpunkte d des Krüftezuges aus zieht.

Das

Vom Auflager A aus beginnend ziehe man ae I! ü, und de II 0 dadurch gebildete Kräftedreieck hat den Umfahrungssinn adea, folglich ist 0, — de Druckkraft, Ul = ea Zugkraft.

Am Knoten 1 halten sich die 4 Kräfte P U, V, U₂ im Gleichgewichte, müssen daher im Kräfteplan ein geschlossenes Viereck bilden. Von diesen 4 Kräften sind bereits zwei, nämlich die Last P = ba und die Zugkraft U, = ae, bekannt, an welche sich die noch unbekannten Kräfte V, und U2 anreihen müssen. Man ziehe daher durch e eine Parallele zu V,, durch b eine Parallele zu U₂; ist f der Schnittpunkt dieser Parallelen, so ist es = V, und fb — U₂. Beide sind Zugkräfte, wie ans dem Umfahrnngssinnc hervorgeht.

Von den am Knoten 2 wirkenden 4 Kräften 0,4^ D, 0₂ sind 0, und V, bekannt und bilden den Kräftezug des. Zieht man fg II D, und dg II 0₂, so entsteht das Viereck defg mit dem umgekehrten Umfahrungssinn, nämlich dgfed, weil 0, als Druckkraft die Richtung e d nach dem Knoten 2 zu, ebenso V, als Zugkraft die Richtung fe von dem Knoten 2 weg hat. 0ä = dg erzeugt daher Druckspannung, D, = gf Zugspannung.

Der dem Knoten 3 entsprechende Kräftezug ist zu bilden aus den Kräften P U₂ D, V₂ U,;; davon liegt bereits der Zug ob kg, bestehend aus den Kräften PU₂DV fest und es sind nur noch die Kräfte V₂ und U₈ anzureihen. Man ziehe zu dem Zwecke g h IIV₂ und ch IIU₃. Der Umfahrungssinn ist cbfghc, folglich sind V₂ = gh und U₈ — Ire beide Zugkräfte.

Fig. 103.

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An dem für den Knoten 4 gezeichneten Kräftezuge dghi mit dem Umfahrungssinn gdihg ergibt sich 0₃ = di als Druckkraft und D₂ — ih als Zugkraft.

Die Spannkraft V₃ folgt am einfachsten unter Benutzung des Knotenpunktes 6. Hier halten sich die drei Kräfte 0₃V₃ 0Z₃ im Gleichgewichte, von denen die beiden gleichen Kräfte 0₃ und 0'₃ bereits bekannt sind. In dem Kräftedreieck idi' gibt i'i die Spannkraft Yg.

Statt den Kräfteplan nach der gegebenen Beschreibung von Knoten zu Knoten fortschreitend anzufertigen, wird der Geübtere beim Aufzeichnen des Planes einen Weg einschlagen, welcher dieselben Ergebnisse liefert, aber etwas schneller zum Ziele führt. Man kann sagen, der Anfänger wird den Kräfteplan Stück für Stück zeichnen, der Geübtere wird denselben gleich als Ganzes ausführen.

Man ziehe, um den Kräfteplan für den Träger Fig. 103 schnell anzufertigen, durch die Punkte abc Parallelen zu der unteren Gurtung (also

wagerechte Gerade), ferner durch d Parallelen zu den Stäben 0, 0₂ 0₃ der oberen Gurtung. Die Parallele zu 0, schneidet die durch a gelegte Wagerechte in e. Man ziehe es IIV, und trage darauf den geknickten Linienzug fghi derart ein, daß die Eckpunkte der einzelnen Strecken, welche der Reihe nach parallel zu D,V₂D₃ gezogen werden, abwechselnd auf einer Wagcrechten und einem durch d gehenden Strahle liegen. Die letzte Strecke ii', durch welche die Spannkraft V₃ dargestellt wird, liegt zwischen den Strahlen di und di'.

Wird der geknickte Linienzug von e ausgehend stetig durchfahren, so bezeichnen die Pfeile die Richtung, in welcher die Kräfte V und D auf die Knoten der unteren Gurtung wirken. Dadurch wird festgestellt, ob die Vertikalen gezogen oder gedrückt werden; die Diagonalen werden stets gezogen, ebenso die Stäbe der unteren Gurtung. Die obere Gurtung erfährt stets Druck.

3) Machwerke mit wagerechtcm Ober- und Untergurt.

(Parallelträger.)

Der in Fig. 104 dargestellte, in 6 gleiche Felder geteilte Träger sei für ein Feld gleichförmig belastet mit P; es erhält dann jeder der mittleren (zwischen den Auflagern liegenden) Knoten die Belastung P, die Endpunkte

Fig. 104.

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0,    ■ 'i Q, "4 P

0,

des Trägers je die Belastung X P, so daß die in A und B lotrecht auf- ; wärts gerichteten Kräfte sind:

A = B = 3P —¹/äP = 2'/sP Aus der Gleichgewichtsbedingung des Knotenpunktes A ergibt sich V, = A -(- ¹h P und U, — Null. Der Stab II, — Al könnte daher in dem Fachwerke fehlen, und die erste Vertikale V, = AA' hat den ganzen Auflagerdruck 3P unmittelbar aufzunehmen, daher ist der Punkt A' als eigentlicher Stützpunkt des Fachwerkes anzusehen. Dasselbe gilt von dem Punkte B'.

In A' halten sich dann die Kräfte A0, D, im Gleichgewichte; man mache daher ad = A und ziehe aellO, und deIID,, wodurch das Kräftedreieck dae entsteht mit ae — 0, und ed = D,. Die weitere Aufzeichnung des Kräfteplanes geschieht in gewohnter Weise nach den früheren Regeln.

9,

Os_

Uz.

u,.

Pf

Für den Knoten 1 ist der Kräftezug: defd

abgfea dfghd b c i h g b

Die durch den unteren Endpunkt d des Kräftezuges ad parallel zu der unbelasteten unteren Gurtung gezogenen Strahlen fallen hier in eine Gerade zusammen.

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Für den Fall, daß die Lasten an den Knotenpunkten des Untergurtes angreifen, ist der Kräfteplan nach Fig. 105 anzufertigen. Es ist hier V, = A und U, — Null. Außerdem ergibt sich aus dem Knoten 5, bezw. 6, daß V₄ — Null ist; die mittlere Vertikale könnte deshalb theoretisch fortgelassen werden.

4) Das allgemeine ebene Fachwerk.

Die Fig. 106 zeigt ein unsymmetrisches Fachwerk allgemeinster Form, tvelches in den Knotenpunkten der oberen Gurtung durch die lotrechten Kräfte P, P₂ P₃ belastet ist. Die Stützenwiderstände A und B ergeben sich in bekannter Weise aus dem Kräfteplane und dem Seilzuge. Man reihe die Kräfte P, Pz Pz zu dem Krüftezuge ab cd aneinander, wähle einen beliebigen Pol 0 und ziehe die Polstrahlen Oa, Ob, Oc, Od. Man zeichne darauf den Seilzug A< IIIIIIB,, dessen einzelne Seiten den zugehörigen Polstrahlen parallel sind. Die durch den Pol 0 der Schlußlinie At B, parallel gezogene Gerade 01 zerlegt den Kräftezug ad in die Stützenwiderstände A und B.

Die Spannkräfte der einzelnen Stäbe des Fachwerkes lassen sich mittels des in Fig. 106 b dargestellten Kräfteplanes bestimmen, welcher nach den früher mitgeteilten Regeln, von einem Auflager beginnend und von Knotenpunkt zu Knotenpunkt fortschreitend, aufgezeichnet wird. Man erhält durch den Kräfteplan die Spannkraft sämtlicher Stäbe des Fachwerkes.

Handelt es sich darum, die Spannkraft nur eines bestimmten Stabes zu ermitteln, so ist es nicht erforderlich, den ganzen Kräfteplan aufzuzeichnen und man komnit durch folgendes Verfahren schneller zum Ziele.

Fig. 106 a.

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Fig. 106 b.

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Fig. 106 c.

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Man führe einen Schnitt aß so durch das Fachwerk, daß durch denselben der Stab, dessen Spannkraft bestimmt werden soll, getroffen wird. An jedem der beiden Teile, in welche das Fachwerk durch den Schnitt aß zerlegt ist, müssen sich dann sämtliche auf denselben wirkende äußere und innere Kräfte im Gleichgewichte halten, z. B. an dem linken von aß befindlichen Teile die Kräfte AP, 0₂D₂U₂.

Die Kräfte A und P, bilden die Mittelkraft R, deren Größe im K'räfte-plane durch die Strecke tb = A — P, gegeben ist, und deren Lage bestimmt wird durch den Schnittpunkt 8 der verlängerten Seilzugseite III und der Schlußlinie A, Br

An dem linken Trägerteile müssen sich demnach die Kräfte R0₂D₂U2 im Gleichgewichte halten. Die Mittelkraft aus je zweien dieser Kräfte muß durch den Schnittpunkt der beiden anderen Kräfte gehen und der Mittelkraft derselben gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sein.

Bringt man z. B. die Kräfte 0₂ und R zum Schnitt, so muß die Mittelkraft L der Kräfte D₂ und U₂ durch diesen Schnittpunkt gehen und mit 0₂ und R sich im Gleichgewichte halten; es müssen daher die Kräfte R 0₂ L ein geschlossenes Kräftedreieck bilden.

Man trage R = A — P, auf und ziehe durch den oberen Endpunkt von R eine Parallele zu 0₂, durch den unteren Endpunkt von R eine Parallele zu L. Aus dem dadurch gebildeten Kräftedreieck tbg (Fig. 106c) ergeben sich die Größen der Kräfte 0₂ und L. Die Kraft L zerlege man dann weiter in die Seitcnkräfte D₂ und U₂, indem man gf II D₂ und t f II U₂ zieht. Da R lotrecht aufwärts gerichtet ist und das Kräfteviereck tbgf einen ununterbrochenen Umfahrungssinn haben muß, so erhallen 0₂1>₂ IJ₂ die in Fig. 106c eingezeichneten Pfeile. Denkt man die Kräfte 0₂ D₂ U₂ an den durchschnittenen Stäben des links vom Schnitte aß befindlichen Trägerteiles in der durch die Pfeile bezeichneten Richtung angebracht, so erkennt man, daß U₂ Zugspannung, dagegen 0₂ und v₂ Druckspannung erzeugen.

In derselben Weise lassen sich durch passend angebrachte Lage des Schnittes aß die Spannkräfte sämtlicher anderer Stäbe des Fachwerkes bestimmen; wie aber auch der Schnitt aß gelegt sein möge, immer wird derselbe mehrere Stäbe (zunächst den Auflagern zwei, an allen anderen Stellen des Fachwerkes drei Stäbe) treffen, deren Spannkräfte in der angegebenen Weise gemeinsam gefunden werden.

Die Spannkraft eines einzelnen Stabes eines Fachwerkes kann aber auch unabhängig von allen anderen bestimmt werden mit Hilfe der Ritterschcn Methode der statischen Momente').

Für ein System von Kräften, welche in einer Ebene wirkend sich im Gleichgewichte befinden, gelten bekanntlich die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen:

1)    Die algebraische Summe der lotrechten Kräfte muß — Null sein.

2)    Die algebraische Summe der wagerechten Kräfte muß — Null sein.

3)    Die algebraische Summe der statischen Momente sämtlicher Kräfte in Bezug auf einen beliebigen Drehpunkt muß = Null sein.

Denkt man sich das Fachwerk Fig. 107 durch einen Schnitt aß in zwei Teile zerlegt und bringt an den Schnittstellen des einen, z. B. des linken Trägerteiles die Kräfte ODÜ an, welche die Wirkung des anderen Teiles ersetzen und, wie früher gezeigt wurde, mit der Richtung der durchschnittenen Stäbe zusammenfallen müssen, da sich sonst die Stäbe um ihre Endpunkte drehen würden, so kann man für diesen linken Fachwerksteil die dritte der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen anwenden, um die Spannkraft irgend eines der durchschnittenen Stäbe zu ermitteln.

Man stelle für den betreffenden Trägerteil die Gleichung

') Siehe Ritter, Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Bruckenkoustruktionen.

der statischen Momente auf und wähle dabei den Schnittpunkt derjenigen zwei Stäbe, deren Spannkraft vorläufig nicht verlangt wird, als Drehpunkt.

Soll z. B. die Spannkraft 0 bestimmt werden, so wähle man den Schnittpunkt 3 von D und U als Drehpunkt. Die Gleichung der statischen Momente lautet dann:

woraus folgt:

O.x-s-A(a-s-b) — Pj.b — 0 A (a + b) — P, b

A.

\A

S?<;

-A\

Mg 107.

Vt

"'y

LI

[6

Zur Bestimmung von D wählt man den Schnittpunkt 8 von 0 und U als Drehpunkt und erhält:

D.y —A.m4-P₁(m + a) = 0 Am — P₁ (m -|- a)

Die Spannkraft ü ergibt sich aus der Gleichung der statischen Momente in Bezug ans ⁰ den Drehpunkt 2 (Schnittpunkt von 0 und D)

— U.z +A.a = 0 A . a

iir-f

LU

Werden durch den Schnitt aß nur zwei Stäbe getroffen, so wähle man bei Aufstellung der Gleichung der statischen Momente zur Bestimmung der Spannkraft des einen Stabes irgend einen beliebigen Punkt in der Richtung des anderen mit durchschnittenen Stabes als Drehpunkt.

Die Methode der statischen Momente, welche in allen Fällen sicher zum Ziele führt, hat den großen Vorteil, daß sie nur das Gesetz des Hebels in seiner einfachsten Form voraussetzt, und daß sie sich sehr leicht dem Gedächtnisse einprägt. Wer einmal diese Methode richtig anzuwenden gelernt hat, wird sie niemals wieder vergessen.

§ 11.

Zahtenbeispiete dem bleibend belasteten Nachwerke.

Beispiel 1. Zn einer Deckenkonstruktion sollen verspannte Träger verwendet werden, die in 0,8 m Entfernung voneinander liegen. Die Belastung einschließlich Eigengewicht sei 800 kg für das qm; Spannweite AB = 7 m; Länge der Strebe CE = 1 m (vergl. Fig. 98 S. 78).

Die ganze Belastung eines Trägers ist:

0,8.7.800 — 4480 kg

Davon kommt auf den Knotenpunkt C die Hälfte, folglich: P-    2240 kg

Die Stiitzenwiderstände sind:

A — B — 1120 kg

Es sollen die Spannkräfte zeichnerisch ermittelt werden (Längenmaßstab 1: 50, Kräftemaßstab 1 cm — 500 kg).

Es wurde gefunden:

durch Zeichnung: 0 = 3930 U = 4100 V — 2240

durch Rechnung: 0 = 3920 U = 4077 V = 2240

Beispiel 2. Der dreifach verspannte Träger AB (Fig. 108) von 12 m Länge sei in jedem der Knotenpunkte 2, 4 und 6 mit 4000 kg belastet. Die unteren Zugstangen seien mit 1: 20s gegen die Wagerechte geneigt, so daß die Länge der mittleren Strebe 6: 2¹k — 2,4 m beträgt.

Die Stiitzenwiderstände find:

A = B = 6000 kg

Mg. 108.

M00

W00

4000

1Zm

3 in

Ak

<4

V,

v,

U :2,4 77t

Für die Spannkräfte ergeben sich folgende Werte:

V, = 4000 V₂ = 8000 D = 5385

<4 — 0₂ — 15000 U, = 16155 U₂ = 10770

Das Beispiel ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1 : 66²/s (l'/a cm = 1 m), Kräftemaßstab 1 cm — 1500 kg.

Beispiel 3. Bestimmung der Spannkräfte für einen Träger von der Form Fig. 100 S. 80 und den folgenden Abmessungen:

Spannweite . . . . AB — 18 m Feldweite. . .

Länge der Vertikalen V, — 2,6 „

V    — 3 3

»    ff n    n    v 2    ff

V    — q ii

ff    ff    ff    v 3 - * ff

Jeder der zwischen den Auflagern befindlichen Knoten der oberen Gur- * tnng sei belastet mit P — 10000 kg.

Der Träger ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1:100; als Kräftemaßstab ist zu wählen 1 cm = 5000 kg.

Es ergeben sich folgende Spannkräfte:

| Zug

0, = 28846 0₂ = 36363 Druck 0₃ = 38571 U, = 38172 U₂ -- 29621 Zug U₃ — 36444

V, — 18269 V₂ = 12576 | Druck V₈ — 10000 üj = 11175 I)₂ = 3393

Beispiel 4. Der Träger Fig. 109, welcher zur Unterstützung eines Vordaches dient, ruht bei A und B auf Säulen und ist in den Punkten A, und B, mit je 1500 kg, in den Punkten 4, 8 und 4' mit je 3000 kg belastet. Die ganze Spannweite AB beträgt 12 m, die Entfernung der Knoten Aj 2 4 u. s. w. voneinander je 1,5 m. Die Trägerhöhe ist zu 0,75 m angenommen, so daß die Diagonalen unter 45° gegen die Wagerechte geneigt sind.

Fig. 109.

iS 00

3 000

3 000

3 000

1500

WO

WO

100

wo

WO

wo

100

50

/\/\/\7:

*HT1 TL 3 V, 5 tr 7 tt₅ r    t    ?    ? ir

/£ 111

Es sind die Spannkräfte der sämtlichen Stäbe zu bestimmen unter Berücksichtigung des Eigengewichtes des Trägers, welches zu 800 kg veranschlagt ist. Ein passender Maßstab ist 1:25 (die Hälfte des Trägers braucht nur aufgezeichnet zu werden), Kräftemaßstab 1 cm = 1500 kg.

Das Eigengewicht darf als eine gleichmäßig über die ganze Trägerlänge verteilte Belastung angesehen werden, als Angriffspunkte desselben werden die Knotenpunkte der oberen Gurtung angenommen. Da die obere Gurtung in 8 gleiche Felder geteilt ist, so ist das auf ein Feld kommende Eigengewicht — Vs. 800 = 100 kg. Jeder der zwischen-A, und B, befindlichen Knoten erhält daher 100 kg, die Endknoten A, und B, erhalten je 50 kg als Beitrag des Eigengewichtes.

Die gesamten Belastungen sind in Fig. 109 eingeschrieben.

Die Stützenwiderstände sind:

A — B — 4850 kg.

Beispiel 5. Der in Fig. 110 dargestellte, in 4 gleiche Felder geteilte Träger AB sei 10 m lang. Die Form der oberen Gurtung ist symmetrisch

Fig. no.

Or

V,

U,

Es ergeben sich folgende Spannkräfte:

V = 4850 + 1550 = 6400 kg 4850 „

0g — 14450 „

0g = 20950 „

0₄ = 24250 „

Dt = D₂ = 6859 kg Ds = D₄ = 6718 „

Die Diagonalen D₂D₄D₆D₈ werden gedrückt. n    ii -Dj Og Dä D₇

Ohne Berücksichtigung des Eigengewichtes würde man folgendes Spannkräfte erhalten:

ü, = Null

U₂

Druck

9700 kg U₃ — 19200 „ U₄ = 22500 „ U₅ = 25600 „

D₅ = De = 2333 kg D₇ = Dg = 2192 „

gezogen.

Zug

V = 4500 + 1500 = 6000 kg 4500 „ 0₂ = 13500 „ 0g = 19500 „ 0₄ — 22500 „

IL = Null

9000 kg U₃ ----- 18000 „ U₄ = 21000 „ U₅ = 24000 „

D, = D₉ = D₃ = D₄ = 6364 kg Dä = D₆ = D₇ = Dg - 2121 „

0, =

ü.

14

6000

10000

6000

in Bezug auf die Mitte, die untere Gurtung wagerecht. Die Länge der Vertikalen beträgt V, = Vs = 1,2 m; V₂ = 1,6 m. In den beiden Mittel-feldern sind gekreuzte Diagonalen angeordnet. Die Knotenpunkte 1 und 5 seien mit je 6000 kg belastet, während an dem Knotenpunkte 3 die Last 10000 kg angreift.

Es sollen die Spannkräfte in sämtlichen Teilen dieses Trägers zeichnerisch ermittelt werden. Maßstab 1 : 66²/s, Kräftemaßstab 1 cm = 1500 kg.

Man denke sich den Träger zusammengesetzt aus den beiden Trägern Fig. lila und 111b, von denen jeder die Hälfte von der auf den Träger Fig. 110 wirkenden Belastung aufzunehmen hat. Diese beiden einfachen Träger unterscheiden sich in der Form nur dadurch voneinander, daß bei dem Träger

Fig. lila die Diagonalen die Richtung von links oben nach rechts unten, bei dem Träger Fig. 111b aber die entgegengesetzte Richtung haben.

Es ergeben sich für den Träger Fig. 111 a folgende Spannkräfte:

0, = 12710 kg 0₂ = 12660 „ Og = 11604 „ 0₄ = 12710 „ 3000 „ 4500 „ 3667 „

1

D₃ =

V₂

U₁ = 11458 kg U₂ = 11458 „ U₃ - 12500 „ U₄ = 11458 „ 1155 „ 1237 „

V₃ =

Die obere Gurtung und die Diagonale Ds werden gedrückt, alle übrigen Glieder gezogen.

Mg. lila.

A,

u,

V,

vt

ü₄

,ß

3000

SOOO

3000

Fig. 111b.

0,

0,

Vz

V,

V,

Uz

U₃

3 000

SOOO

3 000

Denkt man sich die Fig. lila so herumgedreht, daß der Punkt A nach B und der Punkt B nach A kommt, so entsteht der Träger Fig. 111b. Die Spannkräfte desselben sind:

IT, 11458 kg U₂ = 12500 „ Ug = 11458 „ U₄ = 11458 „ 1237 „ 1155 „

0, = 12710 kg 0₂ = 11604 „

Og = 12660    „

0₄ = 12710 „

1)

3667 „

V,= V₃ =

I>4 =

4500 „

3000 „

Die obere Gurtung und die Diagonale I)₂ ivcrden gedriickt, alle übrigen Glieder gezogen.

Die Spannkräfte in den Gurtungen und Vertikalen des zusammengesetzten Trägers Fig. 110 erhält man, wenn man die Spannkräfte der

§ 12.

ÄachwerKe für veränderliche Betastung.

(Brückenträger.)

Eine Einzelkraft, möge sie rechts oder links von einem betrachteten Querschnitt angreifen, wirkt auf die Gurtungsglieder eines an den Enden frei unterstützten Fachwerkes immer in demselben Sinne, und erzengt in der oberen Gurtung stets Druck-, in der unteren Gurtung stets Zugspannung.

Daraus folgt, daß die obere Gurtung die größte Druckbeanspruchung, die untere Gurtung die größte Zugbeanspruchung erführt bei voller Belastung des Fachwerkträgers.

Für die Beanspruchung der Wandglicder sind die auftretenden Schubkräfte maßgebend, ans welche, wie S. 53 und 54 nachgewiesen wurde, eine bewegliche Last, wenn sie einmal rechts, ein anderes Mal links von dem betreffenden Gliede angreift, in entgegengesetztem Sinne einwirkt.

Ein Wandglied (Vertikale oder Diagonale) wird daher am stärksten beansprucht, wenn auf der einen Seite desselben der Träger in den Knotenpunkten voll belastet, ans der anderen Seite desselben dagegen unbelastet ist.

a) Gurtspannkrilste. Man ermittle nach S. 55 oder 62 für die einzelnen belasteten Knotenpunkte die ungünstigsten Laststellungen, trage die denselben entsprechenden Momente, die in bekannter Weise (bergt Fig. 94 S. 72) durch Konstruktion des Kräfteplanes und Seilzugcs gefunden werden, von der Wagerechten Aj B, (Fig. 112) als Ordinalen lotrecht unter den Knotenpunkten ans.

Denkt man sich alsdann durch das Fachwerk den Schnitt aß gelegt, so hat man nach den Bezeichnungen der Fig. 112 zur Bestimmung der dem Knoten 3 gegenüberliegenden Spannkraft 0₂, indem man den Punkt 3 (Schnittpunkt von U₂ und D₂) als Drehpunkt wählt, die Bedingungsgleichung:

M,

also:

gleichnamigen Teile in den einfachen Trägern Fig. lila und 111b addiert. Man gelangt zu folgenden Werten:

0, = 0₄ = 25420 kg )

0, = 0₈ = 24264 „ f V, = V₈ = 6667 „ I 9000 „ )

Druck

V,

Zug

U, = U₄ = 22916 kg U₃ = U₃ = 23958 „ D, =D₄ =

I>2 ~ -^3 ⁼

1155 „ 1237 „

Zug

Druck

0z - r3 + 2KS = 0 0₂ =

Zur Bestimmung von U₂ wählt man den Punkt 2 (Schnittpunkt von 02 und D₂) als Drehpunkt und erhält:

U₂ • r₂ + M₂ = 0

folglich:

u₂ =

M₂

r2

In derselben Weise lassen sich die Spannkräfte aller übrigen Gurtglieder

ermitteln.

Die Spannkraft eines Gurtstabes wird erhalten, indem man das Moment der äußeren Kräfte in Bezug auf den gegenüberliegenden Knotenpunkt durch den winkelrechten Abstand des Gurtstabes von diesem Knotenpunkte dividiert.

Bestehen die Wandglieder des Fachwerkes aus Vertikalen und Diagonalen, so haben die Momente in Bezug auf zwei lotrecht übereinanderliegende Knotenpunkte denselben Wert. Sind außerdem die Gurtungen des Trägers einander parallel, so ist für sämtliche Felder der lotrechte Abstand eines Gurtstabes

Ng. 112.

(X

,4

0,

Os

U,

%/i MÄ

v.

Ad,

Mr Mz

von'dem gegenüberliegenden Knoten unveränderlich und zwar gleich der Entfernung der Gurtschwerlinien. Bezeichnet man diese Entfernung kurzweg als Trägerhöhe, so kann man für den Parallelträger sagen:

Gurtspannkr aft =

Moment Trägerhöhe

wobei das Moment stets in Bezug auf den gegenüberliegenden Knotenpunkt zu nehmen ist.

Für Fachwerksträger von größerer Spannweite J) ist es zulässig, folgenden in der Praxis üblichen Annäherungsweg einzuschlagen:

Mau ermittle bei einer gegebenen beweglichen Lastengruppe (z. B. Eiscn-bahnzug) nach S. 55 Fig. 79 die für die Mitte des Trägers ungünstigste Laststellung und bestimme danach das überhaupt auftretende größte Moment M

Bezeichnet man die Lasten links von dem gefährlichen Querschnitt D mit 2 (I’a), die Lasten rechts davon mit 2'(Pb), und die Abstände der Lasten

*) Für Träger unter 10 m Spannweite ist dieser Weg, der zu ungenauen Ergebnisse wegen, nicht zu empfehlen.

vom linken bezw. rechten Auflager mit a und b (Fig. 113), so erzeugt 2(Pb) für sich allein den Stützenwiderstand:

2(Pb . b)

und in D das Moment:

Md = Ax = y 2 (Pb . b)

.2(Pa) erzeugt für sich allein den Stützenwiderstand:

2 (Pa. a)

und in D das Moment:

Ma — B(l —x) —

- 2(Pa . a)

Zusammen entsteht:

7- 2 (Pb . b) -j-

-X 2 (Pa . a)

Die Last P', welche über D steht, darf nach Belieben zu ^(Pa) oder zu 2(Pb) gerechnet werden.

Mg. 113.

Ak

l-x

Z(ß)

Z(Pt)

Man berechne sodann diejenige gleichförmig verteilte Belastung v für die Längeneinheit, welche vorhanden sein müßte, um dasselbe Moment M zu erzeugen.

Aus:

vl²

ergibt sich:

v = ^M

l²

Hierzu kommt die voin Eigengewichte herrührende Belastung p, man erhält folglich die Gesamtbelastung für die Längeneinheit:

1 = v + P

und bei der Feldlänge z die Knotenpunktsbelastung:

p = q Z = (v p) ^

Dieser Knotenpunktsbelastung entsprechend wird der Kräfteplan in bekannter Weise aufgezeichnet, aus welchen: die Gurtspannkräfte dann unmittelbar zu entnehmen sind.

b) Spannkräfte in den Wandgliedcrn. Die in bett Wandgliedern durch die bleibende Belastung (p für die Längeneinheit) erzeugten Spannkräfte werden, wie dies bei allen bleibend belasteten Fachwerken geschieht, mit Hilfe eines Cremonaschen Kräftcplanes bestimmt. Man braucht diesen aber nicht besonders aufzuzeichnen, sondern kann dazu den für die Gurtspannkräfte angefertigten Kräftcplan benutzen, wenn man die daraus abgenlessenen Spannkräfte der Wandglieder mit p/q multipliziert, oder, was dasselbe ist, wenn man daraus die Spannkräfte nach einem q/p mal so großen Maßstabe abgreift.

Ist z. B. p — 1 ton, q — 4 tons für das Meter und war der Kräfteplan für die Gurtspannkräfte, entsprechend der Gesamtbelastung, im Maßstabe 1 ton — 1 mm aufgezeichnet, so hat man, um die durch die bleibende Belastung erzeugten Spannkräfte für die Wandglieder zu erhalten, die diese Spannkräfte darstellenden Strecken des Kräfteplanes mit dem Maßstabe 1 ton — 4 mm zu messen.

Die in den Wandgliedern durch die Verkehrsbelastung hervorgerufenen Spannkräfte bestimmt man in folgender Weise:

Mg. 114.

'<>

A-V°n

D'a

D'c

ts /A' A=lton

A,

[ß, m

Pc Ps K

Pc Pa Pt

Man denke sich (Fig. 114) das rechte Trägerende fest eingespannt und auf den links frei gedachten Träger nur die aufwärts gerichtete Stützkraft A — 1 ton wirkend, welche in den Wandgliedern Spannkräfte D' erzeugt, die nach dem Cremonaschen Verfahren bestimmt werden. Diese sind dann mit den der jedesmaligen ungünstigsten Laststellung (siehe S. 63) entsprechenden wirklichen Stützendrücken zu multiplizieren.

Diese letzteren aber, deren Bestimmung sich bei der Normalstellung (stehe S. 63) mit derjenigen der in den einzelnen Knoten auftretenden größten Schubkräfte deckt, werden wieder in der bekannten Weise (vergl. Fig. 83 S. 58 und Fig. 88 S. 63) durch Aufzeichnung eines Seilzuges ermittelt.

Die durch den Seilzug selbst und die verlängerte erste Seilzugseite m B, A, begrenzte, lotrecht unter der ersten Last der von B nach A vorrückenden Last-grnppe gemessene Ordinate stellt den dieser Laststcllung entsprechenden Stützenwiderstand dar.

§ 13.

Dahlenbeifpiele )u den Brückenträgern.

Beispiel 1. Parallelträger für eine zweigleisige Eisenbahnbrücke nach der Anordnung von Mohniö mit Vertikalen und gezogenen Diagonalen (Fig. 115).

O CM CO

Stützweite.... I =

Trägerhöhe . . . h =

Feldweite . ... I —

Die Brücke besteht aus zwei Hauptträgern, so daß jeder derselben die Belastung eines Geleises aufzunehmen hat.

Die Belastungen und Radabstände sind dieselben wie in dem Beispiel 2 Fig. 94 S. 72, von dem das vorliegende Beispiel die Fortsetzung ist.

a) Gurtspannkräfte. Die abgerundeten Werte der S. 74 gefundenen Momente für die Knotenpunkte sind:

Mg — 288 tm;

Es ergeben sich daraus nach S. 94 die Druckspannkräfte im Ober-

M, — 322 tm

M, — 189 tm;

gürt zu:

0, =

189

2,4

79 tons

0₂ =

Mg _ _ 288

2,4

-120 „

Os =

_ '" "3 _

322

2,4

= -134 „

ferner die Zugspannkräfte im Untergurt zu:

. Null

M

XJ] — JTZSL —

M, 189

2,4

— -J~ t9 tons

ü₃ =

M, 288 h ~ 2,4

= + 120 „

S”

b) Spannkräfte in den Diagonalen. Die durch die Wirkung der einseitigen Verkehrsbelastung (des sich von B nach A bewegenden Eisenbahnzuges) und des Eigengewichtes in den einzelnen Feldern hervorgerufenen größten Schubkräfte sind nach S. 75:

für das erste Feld:

Der Seilzug in Fig. 96 S. 74 für die von der Verkehrsbelastung und der darunter gezeichnete geknickte Linienzug für die vom Eigengewichte herrührenden Schubkräfte wurden nach Fig. 115 übertragen und so aneinander gefügt, daß sich die Ordinaten gleich gemeinsam als Strecke abgreifen lassen.

S, muß die Lokomotive mit ihrer zweiten Achse über dem Knotenpunkte 1 stehen.    Man    hat also von der lotrecht unter der ersten

Lokomotivachse gemessenen Gesamt-Ordinate noch den auf das Auflager A kommenden von P. herrührenden Betrag:

S^ — -ft 55,2 tons S^-ft 35,7    „

@₃ = + 20,7    „

@« = - 3,2 „

@, = -11,2 „

Für

zu erhalten (vergl. Fig. 88 S. 63). Für dre übrigen

abzuzrehen, um Knotenpunkte ist die Normalstellung die maßgebende.

Mg. 115.

Oj_

2l

v₃,.Xä

’S

'6

ZE5=

Die Diagonalspannkräfte ergeben sich ohne weiteres aus den Schubkräften durch die in Fig. 115 angedeutete Konstruktion, indem man durch die oberen Endpunkte der Schubkraftordinaten wagerechte Linien, dirrch die unteren Endpunkte derselben aber Parallelen zu den Diagonalen zieht. Man findet die auf volle Tonnen abgerundeten Werte:

Bewegt sich der Eisenbahnzng in umgekehrter Richtung von A nach B über die Brücke, so ergibt sich natürlich auch die umgekehrte Anordnung der Diagonalen, also im ersten und zweiten Felde von links nach rechts abfallend, in den übrigen Feldern von links nach rechts ansteigend. Daraus folgt dann, daß die beiden mittleren Felder gekreuzte Diagonalen erhalten müssen.

Die Diagonalen D₅ und D₆ würden hiernach Druckbcanspruchung erfahren. Sollen aber der Voraussetzung gemäß die Diagonalen nur gezogen werden, so sind dieselben im fünften und sechsten Felde von links nach rechts ansteigend anzuordnen.

Dt = -|- 92 tons

D₂ = + 60 „ Dß = + 35 „

D₄ = -|- 13 tons D₅ = — 5 „ D« =-19 „

^Spannkräfte in beit Vertikalen. Während es für die Spannkräfte in den Gurtungen und Diagonalen gleichgültig ist, ob die Knotenpunkte der oberen oder unteren Gurtung die belasteten sind, so müssen bei Bestimmung der Spannkräfte in den Vertikalen die beiden Belastungsfälle auseinander gehalten werden.

Die Spannkraft in einer Vertikalen ist immer das Entgegengesetzte von der lotrechten Seitenkraft derjenigen Diagonalen, welche mit der Vertikalen an einem unbelasteten Knotenpunkt zusammentrifft. Die Vertikalen werden mithin bei gezogenen Diagonalen stets gedrückt. Da nun die lotrechte Seitenkraft einer Diagonale gleich ist der in demselben Felde wirkenden größten Schubkraft S, so erhält man abgerundet

bei belastetem Untergurt (Fahrbahn unten):

V₀ - IQÜxS

55 tons

V,

V₂

©,= -36 „

@3    =-21    „

V₈ =

bei belastetem Obergurt (Fahrbahn oben):

@4=- 8 „

V₂

Vß =-

S₄ — — 55 tons @₂ = -36 „ @3 =-21 „

Die Endvertikale hat bei belastetem Obergnrt den ganzen Auflagerdruck aufzunehmen, welcher nach Fig. 115 durch die Strecke A₂ C gemessen wird. Man findet:

Sg — — 73 tons

v₀ =

Da es sich hauptsächlich nur um die Feststellung der größten Beanspruchungen in den einzelnen Gliedern handelt, so sind die in den Diagonalen und Vertikalen auftretenden kleinsten Beanspruchungen nicht mit aufgeführt worden.

Streng genommen find nicht, wie stillschweigend vorausgesetzt wurde, die belasteten Knoten allein die Angriffspunkte für das Eigengewicht, sondern es kommt ein Teil davon auch auf die unbelasteten Knoten und tibt einen gewissen Einfluß auf die Spannkräfte der Vertikalen aus. Von diesem Einfluß, wodurch

bei unten liegender Fahrbahn die Vertikalen noch etwas mehr belastet, bei oben liegender Fahrbahn dagegen uni ebensoviel entlastet würden, soll hier (als für die

Praxis belanglos) abgesehen werden.

Die ermittelten Spannkräfte sämtlicher Stäbe sind in Fig. 116 (für Fahrbahn unten) und Fig. 117 (für Fahrbahn oben) zusammengestellt.

Beispiel 2. Parabelträger für eine eingeleisige Eisenbahnbrücke mit gerader oberer Gurtung und netzartig angeordneten Diagonalen (Fig. 120—123).

Stützweite . . I = 32,4 m Trägerhöhe . . h = ¹/₈1 = co 4 m Anzahl d. Felder n — 9

Feldweite . . . I

Fig. 116.

-79

-120

-m

§§-

-73

-79

-36

22 -

-21

9-

+ 79

+ 120

Fig. 117.

-m

--34

+ 79

-36

21

+ 120

32,4

—g— — 3,b m

Die Brücke besteht aus zwei Hauptträgern, folglich hat jeder derselben die Hälfte der Geleisbelastung aufzunehmen.

Das Eigengewicht der Brücke für das Meter Geleis kann berechnet werden nach der Erfahrungsformel:

g = 28 l + 750 kg

worin die Stützweite l in m einzusetzen ist.

Für unser Beispiel wird:

g = 28.32,4 + 750 = 1657 kg = co 1,66 tons Auf das Meter Träger kommt dann:

co cra

— 0,83 tons

Als Verkehrsbelastung für die Gurtungen wird ein Güterzug mit drei Lokomotiven angenommen, von denen zwei Brust an Brust stehen. Die zu

Grunde zu legenden Achsbelastungen und Radabstände von Lokomotive und Tender, für welche abgerundete Zahlenwerte einzusetzen zweckmäßig ist, sind in der Skizze Fig. 118 angegeben.

fl

r.5

1,5.

Fig. US.

(?) (?) (?)

1,5

1,5

1,5.

Als Verkehrsbelastung für die Wandglieder wird ein Güterzug mit drei vorwärts gehenden Lokomotiven angenommen, und zwar die erste Achse zu 15 tons (nach Kecks Vorschlag).

15

15

Die ungünstigste Laststellung für die Gurtungen, die mit Hilfe des Landschen Verfahrens (Fig. 87 S. 62) ermittelt werden kann, ist in Fig. 119 angegeben. Es steht dabei (von links ab gerechnet) die achte Last über der Trägermitte.

Das Moment in Bezug auf die Trägermitte ergibt sich nach der Formel S. 95, in welche hier:

einzusetzen ist, zu:

= ¹/₂^(Pa.a)+¹/₂2'(Pb.l))

Fig. 119.

i'o lb Vj

lb 1b Vo

..... M1 f,5 L... .4 m... 1 /,5 ]. _/,5.1    „3,5 .. 1 _/,5 i A5 j ..

ib n n

-r-rh

fei

'24¹

7,7

' lrf-

.9,7

3,2

12,7

-16,2 m

m>r

IG, 2 i7i

Für die gefundene ungünstigste Laststellung Fig. 119 ist nun, wenn man die über der Trägermitte stehende Last zu der linken Gruppe rechnet:

3 (Pa. a) = 24.2,7 + 13.7,7 + 52.12,7 = 825,3 tm v(Pb . b) = 39.3,2 4- 24.9,7 + 13.14,7 = 548,7 tm

folglich wird:

= y (825,3 + 548,7) = 687 tm Auf einen Träger kommt davon die Hälfte mit:

M'max — co 344 tm

Bei einer gleichmäßigen Belastung v für das m würde sein:

vl²

Träger:

■ 344 — 2,62 tons

- 32,4-

Nochmals kurz zusammengestellt sind die Belastungen für das Meter

Ti"

Bleibende Belastung . . p = 0,83 tons Verkehrsbclastung . . . v = 2,62 „ Gesamtbelastung. . . . q = 3,45 „

0 Es ist nämlich:

ql²

Die Knotenpunktsordinaten der Parabel sind berechnet nach der Gleichung:

4 h    j

y — -n- x (i — x)!)

i²

Man findet:

y₇ — 3,8 m y₉ == h — 4,0 m

y, — 1,1 rn

y₃ = 2,22 „

y₅ = 3,21 „

Die danach berechneten Stablängen sind in Fig. 120 zusammengestellt.

Fig- 120.

.3,6

3,6

I2

3,65

3,61

Die Gurtspannkräfte werden erhalten aus dem Kräfteplan, welcher für die Knotenpunktslast:

P —    — 3,45.3,6 = 12,42 tons

anzufertigen ist. Das bequemste ist, für die Knotenpunktslast einen abgerundeten Maßstab zu wählen, z. B. P = 2 cm, und die Gurtspannkräfte dann abzugreifen mit dem Maßstabe:

2.10 . _

1242

die von der bleibenden Belastung herrührenden Diagonalspannkräfte später aber mit dem Maßstabe:

10 tons =

• CO

10 tons — 1,6 • — = 1,6 -7^

— 6,65 cm

0,83

Man erhält aus dem Kräfteplane (Fig. 121):

Die Obergurtspannkräfte Die Untergurtspannkräfte 0. — 109 tons

U, — 120 tons

U₂ = 123 „ Us = 119 „ ü₄ = 116 „ U₅ = 115 „

y = 3Jtx = -— x (l — x) h = 3K

woraus sich durch Division der obige Ausdruck ergibt.

für die Achslasten 1 ton = 1 mm Längenmaßstab für den Träger 1:100

Zur Ermittlung der Diagonalspannkrüfte ist zunächst die Kurve für die Stützenwiderstände A in bekannter Weise aufzuzeichnen. Passende Maßstäbe sind:

Die Stützenwiderstände A sind dann, da jeder Träger nur die halben Achslasten aufzunehmen hat, im Maßstabe 1 ton — 2 mm abzugreifen.

13

13

13

8f

0,

13

13

13

13

13

15

Fig. 121.

0₁    2    0.,    4 Oa 6    0₄    8 Q.-t 10

12

14

16

14

it

13

17

15

ii

13

0-

<k

", F

13    13    13

13    13    13

13    13    15²

‘12/

[/

14

ia

"16

Es ergeben sich nach Fig. 121 folgende Werte:

A₁₀ = 10,9 tons 7,0 „ 3,8 „ 1,4 „

12

A₂ — 37,4 tons A₄ = 29,4 „

14

⁼

Ag = 22,4    „

A₈ = 16,3

Man fertigt sodann einen Kräfteplan mt für den Stützenwiderstand A — 1 ton (passender Maßstab 1 ton — 1 cm)'), aus welchem die Diagonal-

spamrkräfte D' gewonnen werden. Durch Messung wurden folgende Werte gefunden:

D'j = 0,17 tons + = 0,15    „

+ -0,35 „ + = 0,30 „ + =0,58 „ + = 0,56 „ D'₇ = 0,88 „ + = 0,87    „

D'

10

Dy

ii

D'

43 -

1.39    tons

141 „ 2,30 „

2.39    „ 4,28 „

D'

14

4,8

D'₁₅ = 10,3

+ ₆ = 11,6

ff

ff

ff

In einer Dragonale entsteht die größte Druckbeanspruchung minD, wenn die vordere Lokomotive mit ihrer ersten Achse bis an den Kopf der Diagoiralen gelangt ist. Bei derselben Laststellung wird in der links angrenzenden Diagonalen die größte Zugbeanspruchung erzeugt. So z. B. entsteht bei der in Fig. 122 angedeuteten Zugstellung minD₅ und zugleich maxD₄.

Fig. 122.

[lllllllllMß

Durch Multiplikation der B' mit den zugehörigen ^.-Werten erhält man daher die durch die Vcrkehrsbelastnng allein erzeugten Diagonalspannkrüfte:

I)

D'₈ . a + -A6

A8

I)

11

13

14

15

16

—    0,17.37,4 — — 6,4 tons

•A₄

= 2,39 . 3,8 = + 9,1 „ = 4,8 . 1,4 = +6,7 „

maxO.g = 9(UE

oder bet, wie sich bei umgekehrter Zugrichtmtg ergibt,

Do —

maxDj — maxDjß Itltb minDg '— minD j 5 Dj ₄    minD₄ minD^ 3

ist, so erhält man:

minD.

D, = Null „ D₂ = + 4,4 tons

rt D₃ ⁼ 4™ 6,7 „

Fig. 123.

109

110

in

112

'*0

'er-

119

115

HO

Zu diesen Spannkräften sind noch diejenigen hinzuzufügen, die durch das Eigengewicht hervorgerufen werden und aus dem Kräfteplan für bleibende Belastung zu entnehmen find. Durch Messung wurde gefunden:

D₅ — — 1,9 tons vg — — 1,5 „

1>7 — — 1,6    „

D₈ = — 1,7 „

so daß sich schließlich die folgenden durch gleichzeitige Wirkung des Eigengewichts und der Vcrkehrsbelastung entstehenden Diagonalspannkräfte ergeben:

D, =    —    2,1    tons

v, = 0

„ DG=-16,1-1,5 = -17,6 „

„ D₇ = -14,3-1,6--=-15,9 „

„ D₈ = - 15,2 — 1,7 = — 16,9 „

Die sämtlichen Stabspannkräfte sind in Fig. 123 zusammengestellt.

§ 14.

¹

r = ^'

daher:

²

Es ist praktisch, für die Diagonalspannkräfte der linken Trägerhälfte einen besonderen größeren Maßstab zu wählen, etwa 1 ton — 5 cm.

Nachwerkartige Dachkonstruktionen.

Die Belastung eines Daches besteht im allgemeinen aus dem Eigengewichte der ganzen Konstruktion (Binder, Pfetten und Eindeckung), aus der Schneelast und aus der von dem Winddrucke herrührenden Belastung. In einzelnen Fällen kann das Dach noch zum Tragen besonderer angehängter Lasten benutzt werden.

Das Eigengewicht der ganzen Dachkonstruktion uitd die Schneelast bilden eine lotrechte gleichmäßige Belastung, welche gewöhnlich für das qm der Grundrißfläche angegeben wird.

Für das Eigengewicht der Dächer sind Tabellen im Anhange angegeben; die Schneelast nimmt man für Mitteleuropa zu 75 kg für das qm an; der Winddrnck soll in einem folgenden Paragraphen besonders behandelt werden.

Es ist ziemlich allgemein üblich, die Dächer nur für lotrechte gleichmäßige Belastung zu berechnen, obgleich dies insofern nicht ganz richtig ist, als der Winddruck weder eine lotrechte Belastung bildet, noch sich gleichmäßig auf das ganze Dach verteilt, da zur Zeit immer nur ein Teil des Daches vom Winde getroffen werden kann. Der Fehler, den man unter Zugrundelegung einer lotrechten gleichmäßigen Belastung macht, ist um so schlimmer, je steiler das Dach ist, so z. B. würde man eigentümliche und gänzlich unbrauchbare Ergebnisse erhalten, wollte man einen Turmhelm nur für lotrechte

Fig. 124 a.

Belastung berechnen, dagegen ist bei flachen Dächern diese Berechnungsweise wohl noch brauchbar.

Die Belastung wird von der Dachdeckung auf Querträger, die sogen. Pfetten, und von diesen in den Knotenpunkten auf die Binder übertragen, so daß ebenso wie bei allen Fachwerksträgern auch hier wieder die Knoten ausschließlich die Belastungspunkte bilden.

Die folgenden Untersuchungen sollen sich nur auf solche Dachbinder erstrecken, bei denen der Obergurt nur einen, der Untergurt keinen oder einen Knick, höchstens aber zwei Knicke hat und bei denen die Gurtungen bei den Auflagern in einer Spitze zusammenlaufen lB (Fig. 124a, b, c). Der Grundriß des Daches soll stets rechteckig vorausgesetzt werden. Bei diesen Dächern ist volle Belastung, auch für die Wandglieder, der ungünstigste Fall.

Bezeichnet man die Spannweite eines Daches mit l, die Entfernung der Binder voneinander mit b, so ist die Belastungsfläche für einen Binder = bl. Nennt man betrat p die auf 1 qm der Grundrißfläche kommende lotrechte

Fig. 124b.

Fig. 124c.

Belastung, so erhält der Binder die Belastung pbl. Ist die ganze Spannweite durch die Knotenpunkte der oberen Gurtung in n gleiche Felder geteilt, so komnlt auf jedes einzelne Feld die Belastung:

P =- pbl

Das erste Feld überträgt auf den Auflagerpunkt A nur die Hälfte seiner Belastung, ebenso entfällt auf den Auflagerpunkt B die Hälfte der Belastung des letzten Feldes, während auf jeden der übrigen Knotenpunkte je zwei benachbarte Felder die Hälfte ihrer Belastung übertragen. Die Knoten-puuktsbelastung der zwischen den Auflagern A und B befindlichen Knoten ist daher gleich der Belastung eines Feldes.

Ist z. B. bei einem Dache

die Spannweite.... I = 24 „ Binderentfernung. . b — 3,5 „ Felderzahl . .

so ist bei einer Belastung p — 160 kg für das qm die Belastung eines Binders: pbl — 160.3,5.24 — 13440 kg

die Belastung eines Feldes:

P — Vs. 13440 = 1680 kg

Die Endknotcn A und B erhalten daher jeder die Belastung V2 P — 840 kg, die übrigen Knoten die Belastung P — 1680 kg.

Für einige der gebräuchlichsten Dachbinder ist in folgendem die Bestimmung der Spannkräfte mit Benutzung der Cremonaschen Kräftepläne und unter Voraussetzung lotrechter gleichmäßiger Belastung durchgeführt.

1) Das deutsche Dach. Fig. 125.

Die Strebe 1 1' teilt die Obergurte AC und BC in je zwei gleiche Felder; die Mitte 2 der Strebe ist mit dem Scheitel C und den Auflagern A und B durch Zugstangen verbunden.

Fig. 125.

,P

ic

'n Fir'

,P

tr

q:

VzP

SB

d'c

n’

Oi

ls

ne

% A

nF B

<k

a'

Die Feldbelastung sei — P; die Knoten 1C1' sind dann je mit P, die Knoten A und B je mit Os P belastet, so daß die in A und B lotrecht aufwärts gerichteten Kräfte (die wirkenden Stützenwiderstände) sind:

A — B — 2P — V2P — IO2P

Aus dem Stützendrucke A = 1^/2 P und den der Richtung nach bekannten SpannkräftenO, und U wird das Kräftedreieck ade aufgezeichnet und dadurch ad — 0, und de = U gefunden. Im Knotenpunkt 1 sind die Kräfte 0 und P bekannt, die Kräfte 0₂ und D unbekannt; man ziehe b e II 0₂ und de II D, wodurch das Kräfteviereck abed entsteht mit be = 0₂ und ed = D. Am Knoten C halten sich die Kräfte 0₂ P 0',V im Gleichgewichte. Diesen Kräften entspricht der Linienzug bb'e'e mit e'e = Y. Der Kräftezug für den Knoten 2 bildet die in c zusammenlaufende Figur cdee'd'c.

> Mg. 126.

,P

je

,P

Di

Oi

e'a

>b

Oi

P>

e⁰⁶

Pv

Di f

O3

>b'

Py

Fig. 126 zeigt ein deutsches Dach, bei welchen! die Gurtungen A 6 und B 0^,durch die Streben in je drei gleiche Felder geteilt sind.

Das deutsche Dach ist ungünstig, da die gedrückten Glieder lang und die Anschlüsse schief sind; auch stößt die sachgemäße Ausbildung des Mittelknotens häufig auf Schwierigkeiten.

2) Das englische Dach. Fig. 127.

Die Wandglieder des englischen Daches bestehen aus Vertikalen und Diagonalen und sind meistens so angeordnet, daß die oberen Gurtungen durch die Knotenpunkte in eine beliebige Anzahl unter sich gleicher Felder eingeteilt werden. Die untere Zugstange kann entweder gerade durchgehen oder wie in Fig. 127 angehoben sein. In einzelnen Fällen ist sogar die Zugstange gesenkt, wodurch das Aussehen allerdings verschlechtert wird, der Binder aber an Tragfähigkeit gewinnt, was dann wünschenswert ist, wenn das Dach noch zum

Tragen besonderer Lasten (z. B. Decken) bestimmt ist. Die Diagonalen werden bei der Anordnung Fig. 127 gedrückt; ein englisches Dach mit gezogenen Diagonalen ist in § 16 behandelt.

Die aufwärts gerichteten Stützenwiderstände sind A — B = 2¹/aP. Der Kräfteplan wird in gewohnter Weise aufgezeichnet, indeni man bei einem Auflager, z. B. A, beginnt. Die Parallelen zu der oberen Gurtung

Mg. 127.

is

oM

Vi

V,

u,

P„

•b

p..

o;

>i-

SP„

c'

p;..........

schneiden auf dem Kräftezuge die Knotenpnnktslasten P ab, die Parallelen zu der unteren Gurtung gehen sämtlich durch den Punkt d und fallen, da sie dieselbe Richtung haben, zusammen (de = Uv dg — U₂). Die 'Parallelen zu den Wandgliedern bilden den geknickten Linienzug efghh'. Da die Spannkräfte der symmetrisch zur Mitte liegenden Stäbe gleich sind, so braucht der Kräfteplan nur zur Hälfte aufgezeichnet werden.

3) Das belgische Dach. Fig. 128.

Bei dem belgischen Dachbinder, dessen Streben N winkelrecht zu der oberen Gurtung gerichtet find, werden die Spannkräfte in derselben Weise ermittelt wie bei dem englischen Dache.

Hat das Dach einen Aufsatz wie in Fig. 128, so kann man bei Anfertigung des Kräfteplanes nicht unmittelbar von dem Knoten 4 auf den Knoten 5 übergehen, da außer den von den Knoten 3 und 4 her bekannten Spannkräften 0₃ und D noch drei unbekannte Spannkräfte, nämlich N₃, 0₄ und V, welche sämtlich an dem Knoten 5 angreifen, zu bestimmen find. Man hat folgendermaßen vorzugehen:

Aus der Gleichgewichtsbedingung für den Knoten A findet man Ot und Uv

ü.

N

0₂P    „ Dx .,

ii N₂ „

„    8 ist

„    7 sind

r^Uz ⁴

iß

Nachdem auf diese Weise V bestimmt ist, kann man auch den Knoten 5 lösen. Am Knoten 5 sind bekannt 0₃ D₂ und V, man findet Ns und 0₄

« isf₃ „

womit dann sämtliche Spannkräfte bestimmt sind.

Die Kräfte U,U₂U₃ decken sich int Kräfteplane; es ist: es = U,, — U₃. Dem Knotenpunkte 8 entspricht das Kräftedreieck d d' n,

u₃

eh = U₂, ek

dem Knoten 7 der Linienzug cdnoc, in welchem oc = V ist.

Mg. 128.

Pv

0,

11

Os

Os

d'

'3

Os

0,2

5.

3'

'3

⁷Z

’3

tP

Liegt 0₅ in der Richtung BC und ist 0₆II AC, so ist absolut genommen 0₅ — 0₆ und Y = 2 P. Im Kräfteplane fällt alsdann der Punkt o mit dem Punkte dy zusammen.

Bei dem in Fig. 129 dargestellten belgischen Dachstuhle mit gesenkter Zugstange sei jeder Knoten des Obergurtes mit P, jeder Knoten des Untergurtes mit Q belastet. Die Stutzenwiderstände sind dann:

A — B — 2V2P 4- IV2 Q

Man füge die Lasten in der Reihenfolge P, P, V2 P, */2 Q, Q zu dem Kräftezuge a — f aneinander und zeichne den Kräfteplan von A beginnend und von Knoten zu Knoten fortschreitend nach den früheren Regeln so auf, daß den an einem Knoten angreifenden inneren und äußeren Kräften ein geschlossenes Kräftevieleck entspricht.

Dem Knoten A entspricht das Vieleck agfa

abhga efghie b c k i h b

ff

ff

ff

ff

ff

if

ff

ff

ff

ff

ff

Die Obergurtstäbe und die winkelrecht dazu gerichteten Streben werden gedrückt, die Untergurtstäbe, die Diagonale und die mittlere Vertikale werden gezogen.

Fig. 129.

P ic

Ö3

,P

03

>b

in*

ti

14

N,\

u,

Statt für die Lasten P und Q einen gemeinsamen Kräfteplan anzufertigen, kann man auch zwei besondere Kräftepläne aufzeichnen, den einen für die Knotenpunktslasten P, den andern für die angehängten Lasten Q. Die aus diesen beiden Plänen sich ergebenden Spannkräfte werden dann addiert.

4) Das französische oder Poloncrau-Dach.

Ein Polonceau-Binder in seiner einfachsten Gestalt ist in Fig. 130 abgebildet. Die oberen Gurtungen AB und BC sind in 2 gleiche Teile geteilt durch die winkelrecht dazu stehenden Streben N, deren Endpunkte unter sich, ferner mit den Auflagern A und B und mit dem Scheitel C durch Zugstangen

,P

Fig. 130.

.P

0₅

[C

,P

0,

P,

0,

«4

z!

c"

N'

0Z

verbunden sind. Die untere Zugstange kann entweder angehoben sein, also in den Knoten 2 und 2' einen Knick bilden (wie in Fig. 130) oder sie kann geradlinig von A bis B durchgehen.

Fig. 130 zeigt den Kräfteplan, welcher unter der Voraussetzung gezeichnet ist, daß jeder der Knotenpunkte 1 CI' die Last P aufzunehmen hat. Die obere Gurtung und die Streben N werden gedrückt, die untere Gurtung und die Diagonalen D gezogen.

Soll der Poloncean-Binder für größere Spannweiten benutzt werden, so genügt die Form Fig. 130 nicht mehr, und es ist dafür die Form Fig. 131 zu wählen, welche durch Einschaltung von mehr Wandgliedern aus Fig. 130 entstanden ist.

Mg. 131.

'S

Oo

\c

0₃

U₃

y <d SW

'3

p ,ivk

■c

,p

,P

’-i

N}

o,J-

Oi,

,P

'3

AAÜ,-2^    *Ui

Jeder der zwischen den Auflagern A und B befindlichen Knoten der oberen Gurtung in Fig. 131 sei mit P belastet, wodurch die in A und B aufwärts gerichteten Kräfte entstehen:

A — B — 3Y₂ P

Im Kräfteplanc zerlege man A = a e in die Seitenkräfte a f = und !! 0j und fe — und li Ur Für den Knoten 1 werden darauf aus den bekannten Kräften und P mittels des Kräftevierecks abgf die beiden Kräfte N, und 0₂ bestimmt. Zum Knoten 2 übergehend erhält man aus der Figur

= U₂. 3 be-

efgh die Kräfte gh = D, und Am Knoten 3 halten sich kannten Kräfte POäD, und die drei vorläufig noch unbekannten Kräfte N₂D₂0₈ im Gleichet, gewichte. Danach erscheint die Aufgabe unbestimmt, wird aber durch den Umstand lösbar, 7)z daß die Spannkräfte D, und D₂ einander gleich sind, denn zerlegt man die am Knoten 3 angreifende äußere Kraft P in die Seitenkräfte P sin a und Pcosa (Fig. 132), so hat P sin a nur Einfluß auf die Gurtspannung, während die in der Richtung der Mittelstrebe N₂ wirkende Kraft P cos a symmetrisch zu D, und D2 steht. Der Unterschied der Spannkräfte in den einzelnen aufeinanderfolgenden Stäben des Obergurtes ist aber bei gleichen Knotenpunktsbelastungen P stets derselbe, nämlich — Psin«, woraus folgt, daß im Kräfteplane die unteren

Fig. 132. . vd-

s: &

9-

'i

Endpunkte der O-Kräfte auf der winkelrecht zu 0, gezogenen geraden fl liegen müssen. Danach ergibt sich folgende Lösung:

Von dem dem Knoten 3 entsprechenden Kräftevieleck liegt der Teil h g b c bereits fest. Man ziehe durch h eine Parallele zu Nä, durch c eine Parallele zu 0₃; verlängert man dann die Richtung von N, bis zum Schnittpunkt k mit 0₃ und legt D₂ — D, an, indem man durch k eine Parallele zu

I)., zieht und ki = gh macht, so wird ih = N., und das vollständige dem Knoten 3 entsprechende Vieleck ist bckihgb. Die weitere Aufzeichnung des Kräfteplanes bietet keine Schwierigkeit, indem man entweder zu dem Knoten 4 oder zu dem Knoten 5 übergeht und danach den Knoten 6 löst. Von den Spannkräften decken sich im Kräfteplane der Richtung nach: TJ₁ und U₂, ferner D₃ und D₄; es ist es = U,; eh = U₂; im = Ds; Im = D₄.

Die Obergurtstübe und die Normalen werden gedrückt, die Untergurt-stäbe und die Diagonalen gezogen.

Fig. 133.

fi

'Z

N}

A,

0-

0.

ö,

fi

d'

0o

0.*

fi

fi

p W

no,jkyb.

iC

fi

fi

'S

fi

xtW¹

Sind die Knotenpunktslasten ungleich, so wird im Kräfteplan N₃ nicht mehr in der Verlängerung von N₄ liegen. Die Lösung ist dann folgendermaßen vorzunehmen (Fig. 133):

Nachdem die Spannkräfte für die in den Knoten A, 1, 2 zusammentreffenden Stäbe in gewohnter Weise bestimmt sind, denke man sich um den Knoten 5 herum einen Schnitt geführt und zeichne für diesen Knoten das Kräftedreieck cl'd. In diesem ist cd = P₃; cV = N₃ und dU — dem Unterschiede der Spannkräfte 0₃ und 0₄, also dl' — 0₃ — 0₄.

Denkt man sich sodann einen Schnitt um den Knoten 6 herumgeführt, so ergibt sich für diesen Knoten aus der nunmehr bekannten Kraft cl' = N.. das Kräftedreieck c V i' mit V V = D₄ — D₃ und ei' — D₂.

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Ausl.

iB

Damit läßt sich jetzt der Knoten 3 lösen; man erhält für diesen den Kräftezug hgbci'i, den man so verschiebt, daß sich 0₃ richtig an P₂ anschließt. Es kommt dadurch ci' (= D₂) in die Lage ki, ferner cl' (— N₃) in die Lage kl.

Die weitere Lösung bietet keine Schwierigkeit.

Mg. 134.

p,~

0,

'3

Pt'

k.

0S

<2

Qs

N}

(k

3'

f6

'3

Ist das Polonceau-Dach mit einem Aufsätze versehen (Fig. 134), so werden nach Lösung der drei Knoten A, 1, 2 zunächst der Reihe nach die Knoten 8, 7, 5, 6 gelöst, und zwar entspricht

dem Knoten 8 das Vieleck dd'nd

lO CD

tf

cdnoc

col'c

cl/i'c

Danach ergibt sich die Kräftefigur ligbci'i für den Knoten 3. Die Parallelverschiebung von 0₈ ist ebenso wie bei Fig. 133 auszuführen.

5) Die Vordächer.

Die Vordächer sind entweder freitragend, d. h. nur am Gebäude befestigt, oder auch noch durch Säulen gestützt. Im ersteren Falle kann die Unterstützung des Daches in den Punkten A und C erfolgen, wie in Fig. 135 und 136, oder es kann eine besondere Druckstange bezw. Zugstange zur Anwendung kommen, von welchen Anordnungen die Fig. 137 und 138 Beispiele geben.

Bei dem Bordache ABC (Fig. 135) ist BC durch die lotrechten Streben in drei gleiche Felder geteilt; jedes Feld sei mit P belastet, so daß auf die Punkte 1 und 3 je die Last P, auf die Punkte B und C je die Last ¹k P entfällt.

Bei Anfertigung des Kräfteplanes beginnt man mit dem Knoten B, an welchem sich die Kräfte ’/aP, 0, und ü, im Gleichgewichte halten. Man mache ab = laP und Zerlege ab in af — und II U₄ und bf = und I! 0r

Fig. 135.

VzP

k t/₃ h (/, f u, a

ic

•Qs    p

HP l

'3

P>

⁹ 0z

>C

u₃ *    14

² Vt

VtP

Am Knoten 1 bestimme man aus dem Krüfteviereck bcgf, in welchem bc = P und fb — 0, bereits bekannt sind, die Kräfte 0₂ = cg und V, = gf. Zum Knoten 2 übergehend vereinige man U, und V, zu der Mittelkraft ag und zerlege diese nach den Richtungen D, und U₂; man erhält dadurch gh = D, und ha = U₂. Der dem Knoten 3 entsprechende Kräftezug ist cdihg mit di = 0₃ und ih = V₂. Bon den vier Kräften, welche sich am Knoten 4 im Gleichgewichte halten, sind die beiden Kräfte Uä und V₂ von den vorigen Knoten her bekannt, und es iverden die beiden anderen Kräfte I>₂ und U3 aus dem Linienzuge ahika gefunden, und zwar ik = D₂ und ka — Ur Das für den Knoten C gezeichnete Fünfeck delkid gibt die Kräfte Z = el und V₃ = lk.

Fig. 136.

‘/zP

k t/, h g £ U,

0,16

o-

hP

0-z

<¥

|A U₃ *

Uz i

\d

U,

hP

HP)

Durch den Umfahrungssinn der den einzelnen Knoten entsprechenden Kräfteziige wird festgestellt, daß' die Vertikalen V und die Untergurtstäbe U Druckspannung erleiden, während die Obergurtstäbe und die Diagonalen gezogen werden.

Die Verankerung bei dem Dache Fig. 135 erfolgt in der Richtung der oberen Gurtung, der Anker hat dabei die Zugkraft Z aufzunehmen. Häufiger geschieht die Verankerung wagerecht, was insofern zweckmäßiger ist, als das Mauerwerk dann für den Anker nicht schräg durchbrochen zu werden braucht.

Ein Vordach mit wagerechter Verankerung der oberen Gurtung, welche durch die Normalen N in drei gleiche Felder geteilt wird, ist in Fig. 136 dargestellt. Jedes Feld sei wieder mit P belastet. Die Anfertigung des Kräfteplanes geschieht in derselben Weise wie bei dem vorigen Dachstuhl und bedarf keiner weiteren Erläuterung. Die Kräfte 2'(P) = 3P, H und W halten sich im Gleichgewichte, müssen sich daher in einem Punkte 8 schneiden und bilden im Kräfteplane das geschlossene Dreieck ael.

Fig. 137 zeigt ein Vordach mit Druckstrebe, welches im Punkte A fest-gelagert und in B durch die Strebe B E unterstützt ist. Die Gurtungen werden durch die Vertikalen V in vier gleiche Felder geteilt; ist jedes Feld mit P

’/aP

Fig. 137.

1

I

r* v

i3

A___—-yt

bl

'4

cj

KP)

U<

KP

e<

belastet, so erhalten die Punkte B und C je die Belastung V2P, jeder der Punkte 1 3 5 die Belastung P. Der ganze Dachbinder befindet sich unter der Einwirkung der drei Kräfte 3(P), W und K, welche miteinander im Gleichgewichte sind, folglich sich in einem Punkte 8 schneiden müssen und im Kräfteplane ein geschlossenes Dreieck bilden.

Man trage A(P) = 4P in einem abgerundeten passenden Maßstabe als Strecke af auf, ziehe durch den oberen Endpunkt a eine Parallele zu BE, durch den unteren Endpunkt f eine Parallele zu A8, wodurch man Ja — K nnd f J — W erhält. Bei Aufzeichnung des Kräfteplanes beginne man mit dem Punkte B, an welchem sich die Kräfte ‘/aPO, TJ, K im Gleichgewichte halten. Von dem diesen vier Kräften entsprechenden Vielecke liegt bereits der Zng Jab mit Ja = K und ab — V2P fest; das Vieleck wird vervollständigt durch bg II 0, nnd JgllU,. Die weitere Ausführung des Kräfteplanes bietet keine Schwierigkeit. Die Spannkräfte der Obcrgurtstäbe schneiden ans dem Kräftezuge die Strecken P ab, die Spannkräfte der Untergurtstäbe gehen sämt-lief) durch dm Punkt J. Die Parallelen zu den Vertikalen und Diagonalen bilden den bei g beginnenden geknickten Linienzug ghiklmn. Zeichenprobe: Der Punkt n, welcher sich bei Bestimmung von Dg aus dem Knoten 6 ergibt, muß auf der Kraftlinie af liegen, da die am Knoten A angreifenden WV₄U₄ ein geschlossenes Kräfte-Dreicck (Jfn) bilden müssen.

Die obere Gurtung und die Vertikalen werden gedrückt, die untere Gurtung und die Diagonalen gezogen.

Durch die bei dem Dache Fig. 137 zur Anwendung gebrachte Druck-strebe EB wird der Verkehr etwas gehemmt und ist aus diesem Grunde das folgende Dach Fig. 138 vorzuziehen, bei welchem die Verankerung der Zugstange BE höher am Gebäude erfolgt. Die Punkte B und C erhalten jeder die Belastung Vs P, die übrigen Punkte der oberen Gurtung die Belastung P. Es sei 8 der Schnittpunkt der Kräfte -(P), Z und W, die sich einander im Gleichgewichte halten.

Fig. 138.

ap.

.2

c.

1c

X5

vvV

ÄTT4

,S

P,

w.

C.₂

'4P

'4P

V, Oj

0₄

6    Ut 2 vL

S(P)

Man bestimme zunächst die Spannkraft Z der Zugstange BE aus dem Kräftedreieck afJ, indem man -(P) = af aufträgt, durch a eine Parallele p ES und durch f eine Parallele p AS zieht. Am Knotenpunkte B wirken die Kräfte ¹/sPZ0₁U₁, von denen Vs P und Z bekannt sind und den Kräftezug Jab bilden. Durch Ziehung der Parallelen bg und Jg zu der oberen, bezw. unteren Gurtung erhält man bg = 0, und gj = Ur Die Lösung der übrigen Knotenpunkte erfolgt in der Reihenfolge 1234560 in bekannter Weise. Da in Fig. 138 die untere Gurtung geradlinig angenommen wurde, so liegen im Kräfteplane die Spannkräfte U in einer Geraden. Es ist J g — 11, und Ji = U₂ Zug, ferner JI = ü₃ und Jn = U₄ Druck.

Auch hier gilt wieder als Zeichcnprobe, daß der Punkt n (Schnittpunkt der Dg und U₄) auf der Kraftlinie af liegen muß, und zwar aus deniselbcn Grunde wie bei Fig. 137.

Jn einzelnen Füllen kann es vorkommen, daß einer der Untergurtstäbe bei voller Belastung spannungslos ist. Es mag hier erwähnt werden, daß volle Belastung für den Untergurt nicht der ungünstigste Fall ist; indessen soll hier auf die veränderliche Belastung noch nicht näher eingegangen werden (siehe Beispiel 13 § 15). Alle übrigen Glieder werden bei voller Belastung am stärksten beansprucht, und zwar werden die Obergurtstäbe und die Vertikalen gedrückt, die Diagonalen gezogen.

Ein Beispiel eines durch Säulen unterstützten Vordaches zeigt Fig. 139. Die in den Knotenpunkten des Obergurtes wirkenden Lasten erzeugen die Stützenwiderstände A und B, deren Größe mit Hilfe eines Seilzuges bestimmt wird. Bei Aufzeichnung des Kräfteplanes beginnt Ulan entweder mit dem Punkte A oder mit dem Punkte E.

Mg. 139.

<iP

IC

tAa

.5-    3 v[    tTF

y*p

5,

h‘

0,

a

Tl'zP

Id

'y-n

Von E ausgehend zerlege man die bekannte Kraft ‘/sP = ab in 0, = bg und U, =ga; ferner am Knoten 1 die Mittelkraft cg ans P und 0, in die Kräfte 0₂ = ch und V₁ = hg. Am Knoten B halten die bekannten Kräfte BUjV, den zu bestimmenden Kräften D, U₂ das Gleichgewicht; man erhält aus dem diesem Knoten entsprechenden Vieleck taghit die Kräfte it — U₂ und hi = D,. Am Knoten 2 wird der aus den Kräften D,0₂P gebildete und bereits festliegende Kräftezug ihcd durch ik II V₂ und dk II 03 vervollständigt zu dem Vieleck cdkihc, woraus ki=V₂ und dk = 0g gefunden wird.

Die den Knoten 3 und 4 entsprechenden Kräftezüge find bezw.

tiklt (Knoten 3) demlkd (Knoten 4)

mit bereit Hilfe die Kräfte D₂U₃V₈ und 0₄ bestimmt werden. Am Knoten 5 bilden die drei Kräfte USDSV₃ das geschlossene Kräftedreieck tim, woraus folgt, daß die vierte an diesem Knoten angreifende Kraft U₄ = Null ist. Die Vertikale V₄ hat allein den Stützenwiderstand A aufzunehmen, daher V₄ = A.

Die Druckspannkräfte sind in dem Kräfteplane (Fig. 139) durch Doppellinien bezeichnet.

6) Die Sägedächer.

Fig. 140.

Die bei Fabrikbauten vielfach benutzten Sägedächer oder LKeä-Dächer (Fig. 140) entstehen durch eine Aneinanderreihung mehrerer nebeneinander gestellter Satteldächer von ungleich geneigten Dachflächen. Die steileren nach Norden gekehrten Dachflächen sind mit Glas, die weniger geneigten mit irgend einem anderen Stoffe eingedeckt. Diese Dächer sind geeignet zu gleichmäßiger Beleuchtung großer Räunie.

Die Knotenpunktslasten werden, entsprechend der verschiedenen Dachneigung und der verschiedenen Eindeckung, im allgemeinen ungleich ausfallen.

Man bestimme zunächst die Stützenwiderstünde A und B mit Hilfe eines Seilzuges in bekannter Weise, und beginne bei Anfertigung des Kräfteplanes mit dem auf der Seite der flacheren Dachneigung liegenden Auflagerpunkte B.

Fig. 141.

[C

A.

O,

ls

Fig. 142.

A^

Zb i/?

4: Dn

,1

⁵;    , v.

Uz =

14

U,

Einige Beispiele von Kräfteplänen für einfache Sägedächer zeigen die Figuren 141 und 142.

7) Nie Holrdächcr.

Bei den fachwerkartigen Holzdächern trifft die im Ansang des § 10 S. 75 über das Fachwcrk im allgemeinen gemachte Voraussetzung, daß die Knotenpunkte reibungslose Gelenkverbindungen bilden sollen, nicht zu; es. lassen sich daher bei den Holzdächern die Spannkräfte nur angenähert bestimmen. Aus diesem Grunde und da außerdem manche der üblichen Holzkonstruktionen statisch unbestimmt sind, sollen hier nur einige einfache Fälle besprochen werden.

Mg. 143.

,P

E’

IE_Oi

o.

(X

Ul

Jk

Mg_ c

Das Hängewerk wurde bereits unter 2) § 10 S. 81 und 82 besprochen; bei dem doppelten Hängewerk (Fig. 143), welches in den oberen Knoten E und E' je mit P belastet sein möge, kann die Ermittlung der in den einzelnen Teilen auftretenden Spannkräfte in derselben Weise mit Hilfe eines Kräfteplanes geschehen. Der Stützenwiderstand A = P (= ab) zerlegt sich in die Kräfte 0, = ac (Druck) und ü, = cb (Zug). Der für beit Knoten A

Mg. 144.

O,

e'

,P

yiP

f O,

JE

0/ |p

E'

O,

gezeichnete Kräftezug abc entspricht auch dem Knoten E, woraus folgt, daß 0₂ — — Uj und V — Nltll ist. Die Hängesäule bleibt also spannnngslos, da die Kraft P sich nach den Richtungen E A und EE' zerlegt und hat nur den Zweck, die beiden Gurtungen zusammen zu halten. (In: Falle die Lasten P in den Punkten C und C' angriffen, wie bei Fig. 102 S. 82, würden die Hängesäulen die Zugkraft P aufzunehmen haben.) Aus der Gleichgewichtsbedingung für den Knoten C ergibt sich U₂ — ür

Fig. 144, welche ein dreifaches Hängewerk zeigt, ist ein vereinfachter Fall der Fig. 127 S. 109 und bedarf keiner weiteren Erläuterung.

Bei den im Hochbau seltener vorkommenden Sprengwerken wird der Balken A B (Fig. 145 und 146) durch Streben, welche sich gegen die Widerlager legen und auf diese einen schräg gerichteten Druck ausüben, abgestützt. Die statische Berechnung der Widerlager soll in einem späteren Paragraphen

Fig. 145.

s‘

s V

durchgeführt und hier vorläufig angenommen werden, daß dieselben stark genug gehalten sind, um die durch die Streben übertragenen Schübe aufnehmen zu können.

Bei dem einfachen Sprengwerke (Fig. 145) ist der Balken AB nur in der Mitte C durch die Streben CD und CE abgestützt, welche durch die Last P auf Druck beansprucht werden. Die einander gleichen Druckkräfte 8 und 8' ergeben sich aus dem Kräftcplane durch Zerlegung von P nach den Richtungen der Streben. Die Strecken a d und d c des Kräfteplanes stellen die wagerechte und lotrechte Seitenkraft von 8 dar.

Ng. 146.

■53

PH i

s'

Der Unterschied zwischen dem Hängewerke und Sprengwerke besteht hauptsächlich darin, daß der Seitenschub H beim Hängewerke in der Stangen- bezw. Balkenverbindung selbst aufgehoben wird, beim Sprengwerke dagegen nicht.

Ist der Balken AB an zwei Punkten C und C' unterstützt, zwischen denen der Spannriegel C C' eingeschaltet wird, so entsteht das doppelte Spreng-werk Fig. 146. Die Kräftezerlegung desselben ist aus dem der Figur beigefügten Kräfteplane ersichtlich.

Der Binder Fig. 147 ist in 6 gleiche Felder geteilt, jedes Feld mit P belastet, so daß auf die inneren Knotenpunkte je die Belastung P, auf die Punkte A und B je die Belastung VaP kommt. Die nach oben gerichteten Stützenwiderstände sind danach:

A = B = 2‘/aP

Macht man ad = 2‘/äP und zieht durch a eine Parallele zu 0,, durch d eine Parallele zu Uv so entsteht dadurch das dem Knoten A entsprechende Kräftedreieck ade mit ae = 0, (Druck) und ed = U, (Zug). Am Knoten 1 halten sich die Kräfte P 0, 0₂1)₁ im Gleichgewichte; von diesen sind P und 0t bekannt und im Kräfteplane durch den Linienzug eab festgelegt. Man ziehe

Fig. 147.

,P

,P

,P

,P

A.

V-

J),

V,

Ia

3,

.KP

-v<

Vi

y-

bf II 0₂ und es II Dj, wodurch die Druckkräfte 0.₂ und D, bestimmt sind. Am Knoten 2 erhält man aus den bekannten Kräften P und 0₂ mittels des Linienzuges bcgfb die beiden anderen an diesem Knoten angreifenden Kräfte V, — gk (Zug) und H = cg (Druck). 0S bleibt spannungslos, da die Kraft P durch die Vertikale V₂ unmittelbar auf die Streben D₂ übertragen wird. Von den fünf am Knoten 3 angreifenden Kräften sind bereits die drei Kräfte UjDjVj bekannt; es entspricht denselben der Kräftezug de kg, welcher durch Ziehung von gh IID₂ vervollständigt wird zu dem Vieleck defghd. Aus diesem ergibt sich die auf die Strebe kommende Druckkraft Da = gh und die Untergurtspannkraft U₂ = hd (Zug). Das Glied V₂ überträgt die Kraft P unmittelbar auf den Knoten 4, daher V₂ = P (Druck).

Fig. 148 zeigt einen Pfettendachstuhl mit Kniestock, und zwar links das Leergebinde, rechts das Hauptgebinde. Die in den Punkten AEG des Leergebindes angreifenden Lasten seien bezw. P₄P₂P₃, die zu dem Kräftezuge ab cd aneinander gefügt sind. Pg zerlegt sich nach der Richtung der Streben in 0'₂ = de und 0₂ = ec. Am Knoten E halten sich die Kräfte P,0, 0₂ und der von der Pfette E geleistete lotrechte Gegendruck V₂ int Gleichgewichte; es entspricht diesen Kräften das Kräfteparallelogramm bcef, aus welchem hervorgeht, daß 0₄ — 0₂ und V₂ =’P₂ ist. Auf den Knoten A wirken die Kräfte P, und 0j, deren Mittelkraft E, von der Pfette A aufgenommen werden muß.

Fig. 148.

<c

o.:

K n

Pj / ß

H" Fi

R'

<4

I,

: V"

S °‘

H'

oV

w-

Al

V’

Leergebinde.

I,    Hauptgebindß.

vAs

y4A

ia

Sind zwischen zwei Hauptgcbinden n Leergebinde angeordnet, so werden durch die Pfetten auf die Punkte F und B des Hauptgebindes die Kräfte V" = (n -f- 1) V₂ bezw. B/ — (n -s- 1) Rt übertragen*). Der Sparrenteil CF erfährt im Hanptgebinde dieselbe Beanspruchung wie im Leergebinde. Zerlegt man die Mittelkraft bV der in F angreifenden Belastung V" und der Spannkraft 0'₂ nach der Richtung des Spannriegels und der Strebe, so erhält man

') Streng genommen ergibt sich R' als Mittelkraft aus nR, und P,, da int Hauptgebinde der Sparrenteil RF spannungslos bleibt; der Sicherheit wegen kann aber doch R' = (n +1) R, gesetzt werden.

aus dem Kräftedreieck b' e' f' den Druck auf den Spannriegel H" = e' f und den Strebcndruck 8 — f b'. Der Sparrenteil BF des Hauptgebindes bleibt spannungslos.

Am Punkte B zerlegt sich die Kraft Bz = (n -j- 1) B, in die lotrechte Seitenkraft V' — gzbz, welche von dem Kniestockpfosten aufzunehmen ist, und in die wagerechte Seitenkraft Hz = azgz, durch welche die Zange auf Zug beansprucht wird. Die Kraft Hz wird dann durch die Zange auf die Strebe übertragen, welche daher außer der durch 8 erzeugten Druckspannung noch eine Biegungsspannung erfährt. Der Bundbalken wirb durch die wagerechte Sciten-kraft H = dzfz des Strebcndruckes S auf Zug beansprucht, außerdem wirft auf denselben noch die in B, angreifende Seitenkraft gzhz der Kraft Hz, welche ebenfalls Zug hervorruft, während die andere in F angreifende Seitcnkraft azhz von Hz den Druck im Spannriegel verringert. Fehlt der Bundbalken A,B so wird das Dach dadurch zu einem frei gesprengten und der Seitenschub H -\- der Kraft g'hz ist von der Mauer, bczw. einem Strebepfeiler aufzunehmen.

Fig. 149.

fl

Ht

A‘

\N fl

JL

H,

,.fl

/Ä

's a

MV'

v'

's

fl

-Ö,

H,

°y\w\

•......h

f3

Fig. 149 zeigt einen Holzdachstuhl mit eiserner Zugstange A B, bei welchem der obere Endpunkt F der Strebe A/F zwischen die Punkte A und E fällt, so daß die Pfette E nicht unmittelbar unterstützt ist. Es wird diese Anordnung, deren Ausführung allerdings einiges gegen sich hat, bei einzelnen Dächern zuweilen des Aussehens wegen getroffen. Aus Schönheitsrücksichten wird dabei die Zugstange AB so schwach gehalten, daß sie nur einen gewissen

Die Knotenpnnktslast P₃ = cc' zerlegt sich nach der Richtung der Hauptstreben und erzeugt irr diesen die Druckkräfte 0₃ — ce und 0'₃ — c'e.

Teil des Seitenschubes aufnehmen kann; der Rest desselben wird dann mittels der Strebe A'F ans die Mauer übertragen, die gewöhnlich durch Strebepfeiler verstärkt ist.

Den am Knotenpunkte E angreifenden Kräften P₂ 0₃ H₂ 0₂ entspricht der Kräftezug bcef mit den Druckspannkräften es = H₂ und fb — 0₂.

Im Punkte F findet eine weitere Kräftezerlegung statt. Man darf annehmen, daß nur ein Teil 0, = bg der Kraft 0₂ und zwar ein Teil von einer solchen Größe, daß die wagerechte Seitenkraft H, desselben von der Zugstange AB aufgenommen werden kann, sich als Druckkraft in dem Hauptstrebenteile FA fortpflanzt und im Punkte A angreift, so daß dem Knoten A der Kräftezug abgh entspricht, mit gh = V und ha = Hv Der andere Teil fg der Kraft 0₂ zerlegt sich dann in die in der Richtung der Strebe A'F wirkende Seitenkraft S = fi und in N = gi, welche senkrecht zu der Hauptstrebe AE gerichtet ist und in dieser eine Biegungsspannung hervorruft.

Die Strebenkraft S zerlegt sich tut Punkte A' in die lotrechte Seitenkraft V' und in die wagcrechte Kraft H', welch letztere als Seitenschub auf die Mauer wirkt.

Durch die wagerechten und lotrechten Seitenkräfte der durch die Kraft N in den Punkten A und E hervorgerufenen Stützenwiderstände werden die übrigen in diesen Punkten angreifenden Kräfte etwas verändert, so daß dadurch z. B. die Kraft H, um das Stück mn vergrößert, die Kraft V um das Stück gm verkleinert wird; desgleichen wird der Druck Hs im Spannriegel um das Stück il verringert.

§ 15.

Zahtenöeispiele ßu den Dachkonstruktronen.

In den folgenden Beispielen ist die Spannweite des Daches mit l, die Höhe des Scheitels über der durch die Auflagerpunkte gezogenen Wagerechten mit h bezeichnet. Die Feldweiten fiitb stets einander gleich vorausgesetzt. Für die Spannkräfte sind nur die gerechneten Werte angegeben. Man kann dann aus der Vergleichung derselben mit den zeichnerisch zu ermittelnden Werten den Genauigkeitsgrad der Zeichnung beurteilen. Die Beispiele sind sämtlich durchzukonstruieren unter Benutzung eines Längenmaßstabes 1:100 und eines Kräftemaßstabes 1000 kg = 1 cm.

Beispiel 1. Deutsches Dach nach Fig. 125 S. 107.

l = 8 m;

h — 2 m;

Binderentfernung: b = 3 m

Belastung für das qm der Grundrißfläche: x — 165 kg Danach ergibt sich die Belastung eines Binders zu:

pbl = 165.3.8 = 3960 kg

V= 1 m

die Belastung eines Feldes zn:

3960

^    — 990 kg

Die Spannkräfte sind:

Ot — 6641 kg 0₂ = 4427 „ D = 1980 „

Druck

U = 6123 kg | V = 2970 „ |

Zug

Beispiel 2. Deutsches Dach nach Fig. 126 S. 108

V = 1,6 m

l = 12 n>;

h = 2,4 m;

Binderentfernung: b = 3,5 m Knotenpunktsbelastung: P = 1120 kg Wie groß also die Belastung auf das qm der Grundrißfläche? Die Spannkräfte sind:

0, = 11309 kg 8293 „ 6785 „

0,

Druck

°3 =

U = 10593 kg) V = 3920 „ 1 2800 „ ) 1508 „ I

Zug

D, =

d₂ =

Beispiel 3. Englisches Dach nach Fig. 127 S. 109

V₂ = 2,5 m

l = 15 in;

h = 3 m; Binderentfernung: b = 4 m Belastung: p = 150 kg/qm P = 1500 kg

Die Spannkräfte sind:

0, = 12117 kg 0₂ =

0₃ =

9694 „ 7271 „ U, = 11275 „ U₂ =

9020 „

Druck

Druck

| Zug

O ü <1 <1

, — 750 kg ) 2 = 3902 „ |

1    ⁼ 2328 „ )

₂    = 2624 „ |

Zug

Druck

Beispiel 4. Belgisches Dach nach Fig. 128 S. 110 l — 20 m; b = 4 m;

Die Spannkräfte sind:

h = 5m; p = 160 kg/qm;

Ns = 3 m;

0₆II 04 P = 1600 kg

Ot = 16433 kg 0₂ = 15720 „ 0₃ = 13016 „ 0₄ =

- Druck

0₅

0₆ =

D₂ =

d₈ =

9594 „

1789    „    Zug

1789    „    Druck

2115 „

2448    „    Zug

5307 „

ü, = 14801 kg U₂ = 12686 „ U₈ = 10571 „ U₄ =

N, =

n₂ = n₃ =

• Zug

7084 „ j 1425 „ 1 2137 „ 4275 „ 3200 „

Druck

Beispiel 5. Belgisches Dach nach Fig. 129 S. 111

l — 14,4 m;

P = 1560 kg Q = 2000 „

Die Länge der mittleren Vertikalen ergibt sich zu: Y — 5,653 m. Die Spannkräfte sind:

0, = 10053 kg

o₃ =

U, =

u,

9299 „ Druck 6326 „

9016 „ I 7342 „ |

Zug

N, = 1366 kg N₂ — 3360 „

V = 4585 „ I D = 2981 „ I

Druck

Zug

Beispiel 6. Französisches Dach nach Fig. 130 S. 111

h = 2,5 m;

P = 1000 kg

l = 8,8 m;

Die Spannkräfte sind:

Oj = 4037 kg 0„ = 3543 „

N = 870 „ .

Ut = 3543 kg U₂ = 2076 „ Zug D = 1604 „

Beispiel 7. Französisches Dach nach Fig. 131 S. 112

h = 4 m;

P = 2000 kg

Druck

l = 20 m;

N₂ — 2 m

Die Spannkräfte sind:

0, = 20099 kg l 0₂ = 19356 „

Oz = 18613 „

0₄ = 17870 „

Uj = 18666    „

ü₂ = 15999 „ Zug U₃ = 10370 „

Beispiel 8. Vordach nach Fig. 135 S. 115

- Druck

N, = 1857 kg N₂ = 3714 „ Ns = 1857 „ Dt = 2667 „ D₂ = 2667 „ Dg = 5728 „ D₄ = 8395 „

Druck

-Zug

AB = 4,5 m;

P = 900 kg

y₃ = 1,2 m

Die Spannkräfte sind:

0, = 1746 kg 0₂ = 1746 „

Oz = 3493 „

Z = 5239 „

D, = 1913 „

D₂ = 2161 „ I

Zug

U, = 1688 kg U₂ = 3375 „ U₃ = 5063 „ 900 „ V₂ = 1350 „ V₈ = 1350 „

V,

Druck

Beispiel 9. Vordach mit wagerechter Verankerung nach Fig. 136 S. 115

AB = 4,8 m;

V — 1,2 m

p — 800 kg

Die Spannkräfte sind:

0₄ — 1649 kg 0₂ = 1844 „

0z = 3592 „

H -    4800 „

D, = 1600 „

D₂ = 1740 „ J

Zug

U, — 1600 kg U₂ - 3200 vz = 4800 „ 778 „ N₂ -    1167 „

V — 2400 „

N, =

Drnck

Beispiel 10. Vordach unterstützt durch Druckstrebe (Fig. 137 S. 116) mit geradliniger wagerechter unterer Gurtung

AC = 1 m;

P — 1000 kg

AE = 2,6 m

AB = 6 m;

Die Spannkräfte sind:

K = 5031 kg 0, = 9120 „

0₂ = 9120 „ Druck

Oz = 6080    „

0₄ = 3040 „ .

Dt = 3160 „

D₂ = 3360 „ Zug Dg — 3606 „

U, == 13615 kg U₂ = 10615 „ 7615 „ 4615 „ 1000 „ 1500 „ V₃ = 2000 „ V₄ =

us

-Zug

V, =

V.

- Druck

2000 „

Beispiel 11. Vordach unterstützt durch Säule nach Fig. 139 S. 118. Ganze Ausladung = 8 m und zwar:

AC = 1,6 m

BE — 2 m; P — 1200 kg

Die Auflagerdrücke ergeben sich zu:

A — 1600 kg;

AB — 6 in;

B = 3200 kg

Die Spannkräfte sind:

0₁ — 3060 kg s 0₂ — 3060 „ J Oz = 2040 „

0₄ = 1700 „ Druck U, — 3000 „ ü₂ — 2000 „

U₈ — 1667 „ • Zug U₄ — Null „

Zug

V, — 1200 kg' 200 „ V₃ — 1333 „ V₄ — 1600 „

D, 5385 „ D₂ = 389 „ s D₃ = 2133 „ 1

V.

Drnck

Zug

Beispiel 12. Sägeförmiges Dach nach Fig. 150

l = 6 m;

h — 2,2 m

Binderentfernung: b — 3,6 m Firstwinkel bei C = 90°

Aus:

h² = l₄.l₂ = l, (l — l,)

ergibt sich nach Einsetzung der Zahlenwerte für h und l:

l, = 5,04 m h = 0,96 „

Durch den Knotenpunkt 1 wird die obere Gurtung AC in zwei gleiche Teile geteilt. Strebe 1—2 ± AC, untere Zugstange AB geradlinig.

Die Belastungen für das gm der Grundrißfläche betragen

danach:

für die mit Wellblech eingedeckte Dachfläche AC: p₄ = 160 kg tt n ii Glas    „

Die Knotenpunktslasten werden

BC: xz — 600 „

Fig- 150.

Pj = p, -~b = 1452 kg

p2 ⁼ (pi IjT + Pa 4r) b = 1763kg

0,

Die Stützenwiderstände ergeben

sich zu:

A - 1124 kg; B — 2091 kg

v,

Uz

1-& m

Die Spannkräfte sind:

0, = 2810 kg '

0₂ = 2229 „ N, = 1331 „ N₂ = 2281 „ .

Druck

II, = 2570 kg

912 „ Zug

ü.

D — 1662 „

Beispiel 13. Aufgehängtes Vordach nach Fig. 138 S. 117

AE — 3,6 m

AB = 6,0 m;

AC = 1,2 m;

P = 1150 kg

Die Spannkräfte sämtlicher Stäbe mit Ausnahme derjenigen des Untergurtes sind für volle Belastung zu bestimmen und ergeben sich zu:

0, = 8796 kg 0₂ — 8796 „ Og — 5865 „ 0₄ — 2932 „

D, = 3096 kg D₂ — 3349 „ Dg = 3682 „

V, = 1150 kg V₂ = 1725 „

V₃ — 2300 „

V₄ = 2300 „

Die Diagonalen D werden gezogen, sämtliche anderen Glieder gedrückt. Die Spannkräfte der Untergurtstäbe dürfen nicht aus dem für volle Belastung konstruierten Kräfteplane entnommen werden, da volle Belastung

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Ausl.

für diese Stäbe nicht der ungünstigste Fall ist. (Nur in U₄ entsteht bei voller Belastung die größte Druckspannung.)

Der Einfluß der Einzelkraft P auf die Spannkraft eines Untergurtstabes läßt sich in sehr klarer Weise erkennen mit Hilfe der Ritterschen Methode der statischen Momente (Fig. 151). Auf die ganze Stangenverbindung wirkt außer den Kräften P und Z, welche sich in 8 schneiden, noch der Widerstand W

des festen Stutzpunktes A, dessen Richtung durch die Gerade AS gegeben ist. Diese drei Kräfte halten einander im Gleichgewichte, die Mittelkraft von P und Z ist daher gleich, aber entgegengesetzt gerichtet dem Stutzen-drucke W, hat also die Richtung SA.

Um die Spannkraft U zu ermitteln, führe man den Schnitt aß, welcher die Stäbe UDO trifft, und stelle für das rechts von aß liegende Trägerstück die Gleichung der statischen Momente auf, indem man den Schnittpunkt L der mitdurchschnittencn Stäbe D und 0 als Drehpunkt wählt. Hat nun P eine solche Lage, daß die Gerade A 8 durch den Punkt L geht, so liefert die Mittelkraft aus P und Z, welche, wie vorhin bereits gesagt wurde, die Richtung 8 A hat, keinen Beitrag zu der Momentengleichung. Ebenso ist der Beitrag von 0 und D — Null, da diese Kräfte ebenfalls durch den Drehpunkt L gehen. Es bleibt von sämtlichen Kräften daher nur die Kraft U übrig, welche einen Beitrag zu der Momentengleichung liefern kann. Bezeichnet man den Abstand der Kraft U von dem Drehpunkte L mit x, so erhält man:

Fig. 151.

Z'

sy

Sa

LS

JC

U.x = 0

woraus folgt, daß U = Null ist.

Eine Kraft P, deren Richtung durch den Punkt 8 (Schnittpunkt der verlängerten AL mit Z) geht, bringt also in dem Stabe U die Spannung Null hervor, der Punkt 8 kann deshalb der Nullpunkt genannt werden.

Irgend eine andere rechts vom Nullpunkte wirkende Kraft P' bildet mit Z' eine Mittelkraft W' (von S' nach A wirkend), welche eine Drehung um den Punkt L im Sinne der Zeiger einer Uhr hervorzubringen strebt (Fig. 152). Bezeichnet man den Hebelarm von W' mit y, so erhält man:

XJ. x 4- W'. y = 0

folglich:

W'. y

d. h. eine rechts vom Nullpunkte wirkende Kraft P' erzeugt in dem Untergurtstabe U Druckspannung. In derselben Weise läßt sich zeigen, daß eine links vom Nullpunkte wirkende Kraft in U Zugspannung hervorbringt.

Um die größte in U auftretende Zugspannung zu erhalten, muß man daher alle links von 8 befindlichen Knotenpunkte voll belastet, alle rechts von 8 befindlichen Knotenpunkte unbelastet annehmen.

z'-

Sig. 152.

Um die größte in U auftretende Druckspannung zu erhalten, hat man alle rechts von 8 liegenden Knotenpunkte voll belastet, dagegen alle Knotenpunkte links von 8 unbelastet anzunehmen.

-ö

ip'

Danach ergeben sich für unser Beispiel folgende Belastungsfälle (vergl. Fig. 138 S. 117):

max mlnU^ minUg

minll,

U₁ entsteht, wenn die smoten 1 3 5 belastet sind,

3 u. 5

U₃

U₄

der

tf

„ kein Knoten belastet ist,

„ der Knoten B belastet ist,

ft

„ die

bd bd bd

u. 1

sind,

Die Belastung des Knotenpunktes C kann unberücksichtigt bleiben, da dieselbe ganz ohne Einfluß ans die Spannkräfte U ist. Der besseren Übersicht wegen ist die Konstruktion der Spannkräfte Umax und Umin in den Figuren 153 und 154 gesondert durchgeführt worden.

a) Die Spannkräfte Umax (Zug).

Man füge die Belastungen der Knotenpunkte 1 3 5 zu dem Krüftezuge abeä aneinander, wähle einen beliebigen Pol 0 und zeichne dazu den Seilzug ml III Vn (Fig. 153).

Für

Zur Bestimmung von maxU, nehme man die Knoten 13 5 belastet an. Der Schnittpunkt s, der verlängerten Seilzugseiten ml und n V gibt die Lage der Mittelkraft dieser Belastungen, welche die Zugstange BE hn Punkte S, schneidet. Durch Zeichnung des Krüftedreiecks ade, in welchem aellEB und de II AS, gezogen ist, erhält man die durch die Belastungen der Knoten 13 5 hervorgebrachte Zugkraft Zt = ae. Da die Kräfte 2,0,11, miteinander im Gleichgewichte sind, so ziehe man im Kräfteplane af II 0, und es IIU,. Man erhält dadurch es = maxU,.

U₂ erhalten die Knoten 3 und 5 je die Belastung P, deren Mittelkraft durch den Schnittpunkt s₂ der verlängerten Seilzugseiten IIII und nV geht und die Zugstange BE im Punkte S₂ schneidet. Den in S₂ angreifenden Kräften entspricht das Kräftedreieck b d g, in welchem bgllEB und dg II AS₂ gezogen ist. Zieht man durch b eine Parallele zu der oberen Gurtung BC und durch g eine Parallele zu der unteren Gurtung AB, so erhält man gh =

U₂.

üg ergibt sich, wenn allein der Knoten 5 belastet ist durch die Kraft P, welche die Zugstange BE in S₃ schneidet. Man zeichne für die in S₃ angreifenden Kräfte das Kräftedrcicck edi und zerlege ei in eklIO und ikliU. Es ist dann ik = maxU₃.

Fiir maxU₄ sind sämtliche Knotenpunkte unbelastet anzunehmen, wodurch sich maxü₄ — Null ergibt.

Fig-153.

Umax. (Zug)

P„

U₂

<7    /

/'■

!/i

<2

U₃ j* 14    ;2 U<

>h

:P ;2P :3P

KT

(Druck).

b) Die Spannkräfte ü Man füge die Belastungen der Knotenpunkte B 13 5 zu dem Kräftezuge abcde aneinander und zeichne entsprechend dem beliebig gewählten Pole 0 den Seilzug mB, IlllVn (Fig. 154).

Für minU, und minü₂ ist der Knoten B mit st's P belastet anzunehmen. An diesem Knoten halten sich dann im Gleichgewichte die Last Va P, die durch dieselbe erzeugte Spannkraft Zt in der Zugstange BE, und die Kraft ü, bczw. U₂ (die Obergurtspannkraft 0 ist = Null). Das diesen drei Kräften entsprechende Kräftedreieck abf erhält man, wenn man durch a eine Parallele zu BE, durch b eine Parallele zu ü zieht. Es ist dann b f = mmll, — minU₂.

U₃ entsteht, wenn der Knoten 1 mit P, der Knoten B mit ¹j-2 P belastet wird. Die Mittelkraft aus diesen beiden Lasten geht durch den Schnittpunkt sg der verlängerten Seilzugseiten m B, und IIII und trifft die Zugstange BE im Punkte Ss. Die drei am Punkte S₈ angreifenden Kräfte (Mittelkraft aus P und ¹/äP, die Spannkraft Z₃ in der Zugstange BE und der in der Richtung A S₃ wirkende Gegendruck W₃ des festen Stützpunktes A) halten sich einander im Gleichgewichte und bilden das Kräftedrcieck acg, aus welchem cg — W₈ und ga = Z₃ gewonnen wird. Die dem Gegendrücke W₃ gleiche aber entgegengesetzte Kraft (im Kräfteplane durch die Strecke g c dargestellt) ist die Mittelkraft der Knotenpunktslasten P und ‘/iP und der Kraft Z₃ und muß den Kräften 0₃ D₂ U₃ das Gleichgewicht halten. Die Zerlegung von W₃ in die Seitenkräfte 0₃ D₂ U, geschieht nach 4 § 10 @. 86. Man bestimme den Schnittpunkt J₃ von W₃ und 0₃ und verbinde diesen mit dem Schnittpunkte 4 der Kräfte U₃ und D₂ durch die Gerade J₃ 4. Im Kräfteplane ziehe man sodann ch II 0₃ und ghll J₃ 4 und zerlege die Kraft gh nach den Richtungen von D„ und ü₃, wodurch man ig — mtnU₃ erhält.

8ftg. 154.

fl

A    tj, TTü<

! W

ift

t'/2 P

771

U min (Druck)

fr

P.

LL

>k

ck

*♦

Genau in derselben Weise ist die Bestimmung von minU₄ durchzuführen, wobei der Knoten B mit V2P, die Knoten 13 5 mit P belastet anzunehmen sind. Man erhält mk = ml„U₄. Diese Spannkraft kann übrigens auch aus dem für volle Belastung gezeichneten Kräfteplane entnommen werden.

Für obiges Zahlenbeispiel ergeben sich folgende Werte:

U, — 5750 kg maxü₂ = 2875 „

958 „ ü₄ = Null „

ü₈

minU, = — 958 kg

rninP.-* -

minU₃ = - 1917 „ minU4 = - 3833 „

958 „

§ 16.

Mnööruck.

Im mittleren Europa kann der Winddruck auf eine rechtwinklig zur Windrichtung stehende Fläche zu p — 150 kg für das qm angenommen werden. Erfahrungsgemäß bildet die Windrichtung mit der Wagcrechten einen Winkel von

etwa 10°, so daß der Winkel, den die Windrichtung mit einer um den Winkel a gegen die Wagerechte geneigten Dachfläche A B (Fig. 155) einschließt, = a -j-10° ist. Die lotrechte Windebene ist dabei rechtwinklig zur Dachtraufe vorausgesetzt.

Zieht man die Linie AC rechtwinklig gegen die Windrichtung und betrachtet ein Stück des Daches von der Tiefe der Binderentfernung b, so drückt

Mg. 155.

gegen die Dachfläche b . A B ein Windprisma vom Querschnitt

■10°

190°:

\CL+IO°

b . AC = b . ABsin(a-f 10°),

der Winddruck gegen die Dachfläche b . AB ist daher:

'OL+IO

Ml.

P — p . b . A C — p . b . A B sin (cc -|- 10°).

Zerlegt man P in zwei Seitenkräfte, von denen die eine W rechtwinklig zur Dachfläche, die andere T parallel zur Dachfläche gerichtet ist, so kann man letztere vernachlässigen, da der Reibungswinkel des Windes gegen die Dachfläche = Null ist. Es bleibt daher nur die rechtwinklig zur Dachfläche gerichtete Seitenkraft:

W = P . sin(a + 10°) = p . b . AB sin²(a + 10°)

zu berücksichtigen.

Der rechtwinklig zur Dachfläche gerichtete Winddruck für das qm der geneigten Dachfläche ist daher:

b . AB

= p . sin² (a -f- 10°) *)

Fig. 156.

und für p — 150 kg:

w — 150 . sin² (a -s- 10°)

Bedeutet l die ganze Spannweite des Daches, h die Firsthöhe (Fig. 156), so ergibt sich aus der j letzten Gleichung für verschiedene Werte von h: l folgende Tabelle:

Tabelle des rechtwinklig zur Dachfläche gerichteten Winddruckes für das qm der geneigten Dachfläche:

i—l CO

r—I xsl

T-H lO

i—l ' ZQ

Z£>\ p-i

wird w —

Zerlegt man w tu eine lotrechte und eine parallel zur Dachfläche gerichtete Seitenkraft (Fig. 157), so ist erstere:

COS OS

anzunehmen.

') F. R. b. Lößl setzt: w — psin«, dabei ist es dann genügend, p — 125 kg/qm

Die längs der Dachfläche wirkende Seitenkraft kann vernachlässigt werden, u ist der lotrechte Winddrnck für das qm der schrägen Dachfläche. Bei der üblichen Berechnungsweise flacher Dächer werden aber die Belastungen für das qm der Grundrißfläche angegeben und es ist danach der lotrechte Winddrnck für das qm der Grundrißfläche:

Fig. 157.

3C\W

cos²a

Danach ist folgende Tabelle berechnet:

cos a

'OL

Tabelle des lotrechten Winddruckes für das qm der Grnndriß-

fläche:

10

200 101

23

wird v —

Wird bei der Berechnung eines Daches der rechtwinklig zur Dachfläche gerichtete Winddrnck W eingeführt, so ist die Mittelkraft R aus W und den lotrechten Lasten (Eigengewicht und Schnee) schräg gerichtet und es lassen sich die Stützenwiderstände A und B mit Sicherheit nur dann bestimmen, wenn das eine Auflager, z. B. dasjenige bei A, als bewegliches Rollenlager ausgeftihrt tvird, was bei den jetzigen größeren eisernen Dächern ziemlich allgemein geschieht, während das andere Auflager B als festes Auflager hergestellt ist. Da in diesem Falle der Stützcnwiderstand bei A, abgesehen von dem verhältnismäßig

68

49

38 • 31 ■ 27

21

Fig- 158.

Fig- 159.

•v.8

At

A,

,/y

°S

A*

kleinen Rcibungswinkel, lotrecht aufwärts gerichtet ist, so läßt sich der Schnittpunkt 8 von A und der Kraft R genau festlegen. Der Stützenwiderstand B muß dann ebenfalls durch diesen Schnittpunkt 8 gehen, hat also die Richtung BS oder SB, je nachdem der Wind von links oder rechts kommt. Die Größen von A und B ergeben sich leicht ans dem Kräfteplane.

Die zeichnerische Ermittlung der Stützenwiderstände A und B eines nur durch den rechtwinklig zur Dachfläche gerichteten Winddruck belasteten Daches ist^in den Figuren 158 und 159 gezeigt, wobei m Fig. 158 der Winddruck von links wirkend, in Fig. 159 von rechts wirkend angenommen wnrde.

Mg. 160.

o₃

u'

hP

Ou

Oa

a' P

< p

q;

v, %XK

O;

'3

V,

Die Ermittlung der Spannkräfte eines englischen Dachbinders mit gezogenen Diagonalen unter Berücksichtigung des rechtwinklig zur Dachfläche wirkenden Winddruckes, welcher für ein Feld = W sein möge, ist in den Figuren 160, 161, 162 durchgeführt.

Die Fig. 160 gibt den Kräfteplan für die lotrechte Belastung (Eigenlast und Schnee), welcher nach den früheren Regeln aufzuzeichnen ist und weiter keiner Erklärung bedarf.

J/zW

Fig. 161.

A4

,c

yv

i ILo

KW

\W

0>

MW

A. W A \ 0.

0,3,

o'

V₃

W!

'3

B^

V₃

,B

U'

tiT^vf

Für den Winddruck sind zwei Kräftepläne anzufertigen und zwar einer für Winddruck links (Fig. 161), der andere für Winddrnck rechts (Fig. 162). Das bewegliche Auflager sei bei A angeordnet; es ist dann der Stützenwiderstand A lotrecht aufwärts gerichtet und wird durch die Mittelkraft 2 ( W) der Windbelastungen in 8 geschnitten. Durch diesen Punkt muß der Stützen-widerstand B gehen.

In Fig. 161, welche für Winddruck von links gilt, sind die Windlasten zu dem Kräftezuge abcdef aneinandergefügt. Zieht man agil AS und fgllBS, so erhält man aus dem Kräftedreieck afg die Stützenwiderstände A = ga und B = fg. An der rechten unbelasteten Dachhälfte halten sich die drei durch den Punkt B gehenden Kräfte B(B1B im Gleichgewichte, es sind daher die auf der rechten Seite befindlichen Wandglieder spannungslos und können fortgelassen werden. Am Auflager A wirken die Kräfte ¹k W0, ü, A, wölche im Kräfteplane die Figur abliga bilden, aus der die Spannkräfte 0, = bh und U, = hg gefunden werden. Die weitere Ausführung des Kräfteplanes ist aus Fig. 161 zu ersehen.

Fig. 162.

w

Ai

/sm

o; /w

VTUT;

'B

V/

p;

a:

f.

,/l

o;

_5\ v;

\ \v<

°L

Kommt der Wind von der rechten Seite, wie in Fig. 162 angenommen wurde, so ist wieder der lotrecht aufwärts gerichtete Stützenwiderstand A mit 2 (W) zum Schnitt 8 zu bringen, ivodurch die Richtung BS des Stützenwiderstandes B festgestellt wird. Nach Ermittlung von A und B ist die Aufzeichnung des Kräfteplanes in gewohnter Weise vorzunehmen. Es sind hier die Wandglieder der linken Dachhälfte spannungslos.

Nachdem für jeden einzelnen Stab die durch den linksseitigen und rechtsseitigen Winddrnck hervorgebrachte Spannkraft bestimmt ist, muß die größere dieser Spannkräfte zu derjenigen hinzugefügt werden, welche sich aus dem für die lotrechten Lasten aufgezeichneten Kräfteplane (Fig. 160) ergibt.

In gleicher Weise kann der Einfluß des schrägen Winddruckes bei sämtlichen in § 14 besprochenen Dächern bestimmt werden, doch genügt es in den meisten Fällen, namentlich bei flachen Dächern, statt dessen nur die lotrechte Seitenkraft des Winddruckes einzuführen und die Spannkräfte aus dem für lotrechte Lasten aufgezeichneten Kräfteplane zu bestimmen. Nur bei verhältnismäßig hohen Dächern empfiehlt es sich, die statische Berechnung mit Beriick-sichtigung des schrägen Winddruckes durchzuführen.

Beispiel. Statische Berechnung eines englischen Daches mit gezogenen Diagonalen nach Fig. 160, unter Berücksichtigung des rechtwinklig zur Dachfläche gerichteten Winddruckes. (Die untere Zugstange AB ist wagerecht angenommen.)

Spannweite Firsthöhe.

l — 24 m h —

Binderentfernung. . . . d — 4 „

Eigengewicht des Daches. g = 60 kg für das qm Belastung durch Schnee . p = 75 „ „ „ „

Die lotrechte Belastung eines Binders beträgt:

(g + p)b . I = (60 + 75). 4.24 = 12960 kg folglich ist die Belastung eines Feldes:

= 1620 kg

12960

Für !' =

„. — ist der rechtwinklig zur Dachfläche gerichtete Wind-£ 4 o

druck für das qm der schrägen Dachfläche nach der Tabelle S. 134:

w = 70 kg

Der ganze Winddruck ans einen Binder ist daher:

w . b Vh² + (¹ /21)² = 70.4. V8² + 12² = csd 4000 kg und der Winddruck auf ein Feld:

= 1000 kg Es ergeben sich folgende Spannkräfte:

Eigengewicht und Schnee

Spannkräfte hervorgerufen durch

Winddruck links

Winddruck

rechts

Gesamt-

Spannkräfte

—    10206 kg -10206 „

—    8748 „

- 7290 „

—    3085 kg -3752 „

—    3340 „

—    2927 „

—    2166 kg

—    2166 „ — 2166 „ — 2166 ,,

—    13291 kg —13958 „ —12088 „

—    10217 „

0'

Uz

Uz,

V,

V₂ = V₃ =

Vz

2

\7Z — v 3

D₂ = D₃ =

Dz,

Dz.

x.

Eigengewicht und Schnee

Spannkräfte hervorgerufen durch

Winddruck links

—10206 kg

—10206 „

—    8748 „

—    7290 „ 8505 „ 7290 „ 6075 „ 4860 „ 8505 „ 7290 „ 6075 „ 1620 „ 2430 „ 3240 „ 1620 „

—    2430 „ 3240 „ 2025 „ 2717 „ 3460 „ 2025 „ 2717 „ 2025 „

Fig. 163 a.

—    2166 kg 2166 „

—    2166 „ — 2166 „

2295 „ 1395 „ 495 „ 405 „ 405 „

-    405 „ 405 „

- 1200 „

—    1800 „ — 2400 „

1500 „ 2012 „ 2563 „

Winddruck

rechts

Gesamt-

Spannkräfte

—    3085 kg

—    3752 „

—    3340 „

—    2927 „ 1808 „ 1808 „ 1808 „ 1808 „ 4508 „ 3608 „ 2708 „

- 1200 „ — 1800 „ -2400 „

1500 „ 2012 „ 2563 „

—13291 kg —13958 „ - 12088 „

-    10217 „ 10800 „

8685 „ 7883 „ 6668 „ 13013 „ 10898 „ 8783 „

—    2820 „ 4230 „

—    5640 „

—    2820 „

—    4230 „

—    5640 „ 3525 „ 4729 „ 6023 „ 3525 „ 4729 „ 6023 „

w»

W,

We;

Fig. 163 b.

W₅

V'

A. \

i W'

w₀

Ol

) V" /b x£(W) ⁹* V ³ X

Es mag noch erwähnt werden, daß, wenn der volle Winddruck berücksichtigt wird, es meistens genügt, eine geringere Schneelast, etwa 30 kg für das qm, anzunehmen, da bei starkem Winde sich bedeutende Schneemassen ans dem Dache nicht halten.

Zur weiteren Veranschaulichung wurden iit Fig. 163 für einen doppelten Polonceau-Dachstuhl mit Aufsatz die Windkräftepläne gezeichnet, die nach dem Vorhergehenden leicht zu übersehen sind. Die Lage der Mittelkraft -(W) sämtlicher Winddrücke wird mit Hilfe eines Seilzuges bestimmt, wie in Fig. 163 b für Winddruck von links (bewegliches Auflager auf der Windseite) angedeutet ist. An den Knotenpunkten 5 und 7 werden dabei die einzelnen, rechtwinklig zu den anschließenden Dachflächen gerichteten Winddrücke zu den Mittelkräften Wg und W₇ zusammengesetzt.

Fig. 164.

:-V.

JV/J

³,

Ai

N,

Hi

Ar

0,

Uz

W7

R''

!v';c

o.\

O]

Fig. 165.

Hl

w₃,

\    3:

o;

'3

Bl

x Ä'

■-Ö3

Bei den in größerem Maßstabe ausgeführten Kräfteplänen Fig. 164 für Wind von links, und Fig. 165 für Wind von rechts, wurden die Spanu-kräfte, welche in den Wandgliedern der dem Wind abgekehrten Dachseite auftreten, der Deutlichkeit wegen besonders gezeichnet. Bei Wind von links

VI

V'

bleiben die Glieder D', und N',, bei Wind von rechts die Glieder D, und N, spannungslos.

Im Vorhergehenden wurde (als ungünstigster Fall) stets angenommen, daß die lotrechte Windebenc mit einer in der getroffenen Fläche liegenden Wagerechten (z. B. mit der Traufenlinie der Dächer) einen Winkel von 90° bildet.

Es soll nun der allgemeinere Fall untersucht werden, wo die Windrichtung im Grundriß mit der Traufenlinie den beliebigen Winkel d einschließt.

Bezeichnet man den Winkel zwischen der Windrichtung und der Senkrechten zu der getroffenen Fläche mit rj (Fig. 166), so drückt gegen 1 qm der Fläche ein Windprisma vom Querschnitt 1. cos r>, folglich ist der Druck in der Windrichtung — p cos rj, und der Druck rechtwinklig zur getroffenen Fläche für ein qm:

w — p cos²17

wobei wieder wie früher p den Druck auf eine rechtwinklig zur Windrichtung stehende Fläche für das qm (für gewöhnliche Verhältnisse p — 150 K^) bedeutet.

Es ist nun zunächst rj in den gegebenen Winkeln a, ß, d auszudrücken.

Es sei ABC (Fig. 167) eine beliebige Dachfläche, durch welche ein rechtwinkliges Achsenkreuz in solcher Weise gelegt ist, daß die XE-Ebene mit der lotrechten Windebene übereinstimmt. Man ziehe AD rechtwinklig zu BO und verbinde D mit 0. Es ist dann:

A D 0 = a

WOX = ^.ß

0 C B — ^ ^

Von 0 aus fälle man auf die Ebene ABC das Lot OE, dessen Fußpunkt E in der Geraden AD liegen muß. Es ist dann:

WOE =

Man ziehe sodann die Geraden EF und EC, welche, da sie in der Ebene ABC liegen, mit der OE rechte Winkel bilden. Ferner ziehe man EGi auf die X X-Ebcne, OB »der X-Achse und verbinde H mit E.

Aus AOEF mit rechtem Winkel bei E folgt:

Fig. 166.

s>.:

*• ?os

1.

p.COS

vW = p.COS²1f

OE

cos?; —

Bei den in derselben Ebene liegenden Dreiecken OEC (R. W. bei E) und OEH (R. W. bei H) verhält sich aber:

OE

OE

OH

00

OE

also:

OE = OC.

OH

OE

Aus AOGH (R. W. bei H) folgt:

daher:

OH — 0 Gcos(90 — (?) — 0 Gsin d

OE = OC.

OG

OE

sine? — 0 C sin a sin d

und:

OC

OE

sin a sin d

Fig- 167.

JE

'OC;

\H

-:a\

7)

B,

Es ist aber:

OC = 0J +JC = 0 F cos /S —j— J C

Aus dem Verhältnis:

i-A

\ sin d )

JC _ OC JE    0 A    0D . tga

sin d tg a

ergibt sich dann:

JC= JF

OE sin/?

sin d tg a

= OF

cos a sin/?

sin d tg a

so daß man nach Einsetzung dieses Wertes erhält:

sin a sin d

OC = OFcos/? + OF

cosa sin ß

sin a sin d

oder:

OC

cos a sin ß

OF

sin a sin ck

folglich wird:    cos^ —

sin a sin d ^cos ß

cos a sin ß

sin a sin d

und nach Ausführung der Multiplikation:

cos i] — sin a cos ß sin d -j- cos a sin ß

Danach ergibt sich der Winddruck rechtwinklig zur getroffenen Fläche für 1 qm ganz allgemein zu:

w — p (sin a cos ß sin d -f- cos a sin ß)²

für d = 90° wird:

w = p (sin a cos ß -f- cos a sin ß)² — p sin² (a + ß)

und bei ß — 10°:

w = p sin² (a -j- 10°)

übereinstimmend mit dem schon S. 134 angegebenen Werte.

Für ß = 0 (wagerechte Windrichtung) und beliebigen Winkel 6 wird:

w = p (sin a sin ö)²

Ist dabei a — 90° (wie z. B. bei prismatischen Pfeilern und annähernd auch bei Fabrikschornsteinen), so wird der Winddruck auf die im Grundriß schräg getroffenen Flächen für 1 qm:

w = p sin² d

Für einen Pfeiler oder Schornstein, dessen Grundriß ein Quadrat von der Seite a ist, betrügt der Winddruck für 1 m Höhe unter der Annahme, daß der Wind wagerecht und in der Richtung der Diagonale weht (Fig. 168) nach v. Lößl: ^)

W — 2 ap sin² 45° — 2ap(¹/2'\/2)² — pa ist also ebenso groß, als wenn eine Seitenfläche rechtwinklig vom Winde getroffen wird.

Fig. 168.

A.

Fig. 169.

\a

J)

z>

h =.->5

Für ein regelmäßiges Sechskant ist bei der in Fig. 169 angegebenen Windrichtung:

W = 2 . D J\j¹h p sin³ 60° — 0,75 p D 0 v. Lößl: Die Luftwiderstandsgesetze. Wien 1896.

Beispiel: Berechnung des Winddruckes auf die achteckige Turmspitze der neuen Synagoge in Straßburg (Fig. 171) mit dem Durchmesser D — 18,2 m und der Höhe h — 15,5 m, unter der Annahme, daß die Windrichtung den Winkel ß — 10° mit der Wagerechten bildet. Der Druck auf 1 qm _L zur Windrichtung wurde angenommen zu p — 150 kg.

Es ist: dem entspricht:

= 1,7

tgC6 =

Ebenso groß ist, wie sich leicht nachweisen läßt, der Winddruck, wenn der Wind eine Seite des Sechskantes rechtwinklig, die anschließenden Seiten unter einem Winkel von 30° trifft.

Für das Achtkant (Fig. 170) mit der Seitenlange I) (\/2 — 1) = 0,414 D ist:

W = 0,414 D(1 + 2 sin³ 45°) = 0,707 pD

Fig. 171.

1/

Für den Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser D ergibt sich der Winddruck auf 1 m Höhe nach Pinzger zu:')

W — ²/₃pD

für die Kugel ist:

„T i, D²5T

W — '/3    ^ P

I,

d.

Mg. 170.

o,mD

±d

>

o^mD

15,5

9,1

a = 59° 40'

Jede einzelne Fläche der Turmspitze hat den Inhalt:

F = J/₂.0,414 D . I = v*. 0,414.18,2 \/l5,5² + 9,1² = 67,7 qm

Der auf 1 qm rechtwinklig zu den einzelnen Flächen wirkende Winddruck ist für die Fläche aac:

w, — p sin² (a -)-/?)= 150 sin² 69° 40' — 132 kg

für die Flüchen abc:

w₂ — 150 (sin 59° 40' cos 10° sin 45° -)- cos 59° 40' sin 10°) — 103 kg

’) v. Reiche gibt an: W = 0,5 p D.

für die Flächen bdc:

w₃ = 150 (cos 59° 40' sin 10°) — 13 kg Der gesamte Winddruck beträgt danach:

W = F(w, + 2w₂ + 2 w₈) = 67,7 (132 + 2.103 + 2.13) = 24643 kg

Bei wagerechter Windrichtung (ß = 0) würde sich ergeben:

w₁ = p sin² a — 150 sin² 59° 40' = 112 kg w„ — 150 sin 59° 40' sin 45° — 91,5 kg Wo — Null

und

W = 67,7 (112 + 2.91,5) = 19972 kg

§ 17.

Ärööruck.

Fig. 172.

Wird eine lockere Erdmasse auf einer wagerechten Ebene aufgeschüttet, so bilden die Seiten AC und BC des dadurch gebildeten Erdhaufens (Fig. 172) mit der Wagerechtcn einen gewissen Winkel cp, dessen Größe von der Beschaffenheit der Erdart abhängt. Diesen Winkel cp nennt man den natürlichen Böschn ngswinkel.

A/&\

Eine Erdmasse, welche unter einem Winkel angeschnitten wird, welcher größer als der natürliche Böschungswinkel ist, kann für sich allein nicht im Gleichgewichte sein, sondern muß in irgend einer Weise, z. B. durch eine Mauer, abgestützt werden. Die Mauer erfährt durch die Erdmasse dann einen Druck, den sog. Erddruck, welcher bei der Untersuchung der Standfähigkeit einer Stützmauer zu bestimmen ist. Der Erddruck soll für die Folge immer mit E bezeichnet werden.

Bei gewachsenem Boden oder festgestampfter Erde ist das Zusammenhaften der einzelnen Teilchen aneinander (die Kohäsion) und infolgedessen auch der Neigungswinkel gegen die Wagerechte, bei welcher die Masse noch für sich selbst im Gleichgewichte sich befindet, bedeutend größer als bei einer lockeren Erdmasse, indessen nimmt man bei Berechnung der Stützmauern hierauf keine Rücksicht, da durch ungünstige äußere Einflüsse, besonders durch Feuchtigkeit, das Zusammenhaften der Erdteilchen (die Bindekraft) stark vermindert werden kann.

In folgender Tabelle sind die Mittelwerte der natürlichen Böschungswinkel cp, die zugehörigen Reibungskoeffizienten und die Gewichte eines Kubikmeters der gewöhnlich vorkommenden Erdarten zusammengestellt.

10

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Aufl.

Erd arten

Böschungs-    Reibungswinkel    koeffizient

f = tg <f

Gewicht eines cbm in kg

Tonerde, trocken n uaß .    .

Lehmerde, trocken .

naß . . Dammerde, trocken .

,, naß. . Sand nnd Kies, fencht Gerölle, feucht . .

oooooooo

iCOOOOOOO

P p p p P P P H* 00 Qi CH 00 DO 00 05 "

^ 00 oc hi-    Oi

1600

2000

1500

1900

1400

1800

1800

1700

Es sei (Fig. 173) AB die Rückenfläche einer den Erdkörper ABCM stützenden Mauer und a (>q>) der Winkel, den dieselbe mit der Wagerechten bildet.

Die Bodenoberfläche, welche die obere Begrenzung des Erdkörpers bildet, stehe recht-? winklig zur Bildebene, und schneide dieselbe in der Geraden B C. Ist ß der Winkel, den die Bodenoberfläche mit der Wagerechten bildet, so muß ß<tcp sein.

Denkt man sich durch den Fußpunkt A M der Mauer die Ebene AC unter beut Winkel cp gegen die Wagercchte AM gelegt, so ist die unter AC befindliche Erdmasse für sich im Gleichgewichte, der Erddruck rührt daher lediglich von dem über AC liegenden Erdprisma vom Querschnitte ABC her. Durch ein geringes Nachgeben der Mauer würde eine Bewegung dieses

Erdprismas ABC eintreten und zwar in der Art, daß dasselbe in einer C Ebene AH spaltet, in dieser Ebene abbricht und der Teil ABH abgleitet. Die Ebene AH wird deshalb die Bruch-ebene oder Gleitebene genannt. Wäre die Stützmauer nicht vor-! Handen, so würde die Gleitebene mit der natürlichen Böschungsebene AC zusammenfallen. Durch die an der Rückenfläche der Stützmauer auftretende Reibung erhält die Gleitebene aber die steilere Lage AH.

Die Lage der Gleitebene und die Größe des Erddruckes E wird am einfachsten durch folgendes von v. Nebhann l) angegebene zeichnerische Verfahren bestimmt (Fig. 174):

’) v. Rebhann, Theorie des Erddruckes und der Futtermauern. Wien 1871.

Fig. 173.

Fig. 174.

Sl

/V .

sc

M Av    'Tr'7

/fr f)/

Z//

147

^    ^ § 17. Erddruck. * /    "

Ziehe AC unter Winkel cp gegen die Wagerechte AM; BD unter Winkel 2<p gegen die Rückenfläche der Mauer AB, beschreibe über AC einen Halbkreis und ziehe DFJ_zu AC. Mache AG = AF, ziehe GHIIBD und mache GJ = GH. Die Gerade AH ist die Gleitlinie. Zieht man dann noch die Gerade H J, so wird die Größe des Erddruckes E dargestellt durch ein Prisma, dessen Querschnitt das Dreieck GHJ ist. Man nennt dieses Dreieck GHJ das Erddruckdreieck.

Statt einen Kreisbogen über der Böschungslinie AC zu beschreiben, kann man zur Aufzeichnung des Erddruckdreiecks auch die Rückenfläche A B der Mauer benutzen (Fig. 175).

Fig- 175.

p, ry..

Man ziehe die Linien AG und BD wie oben angegeben und beschreibe über AB einen Halbkreis; ziehe sodann DD, II BC und D, F, J_ AB, mache AG, —AB, und ziehe G,GIIBC. Nachdem auf diese Weise der Punkt G festgelegt ist, ist die weitere Aufzeichnung des Dreiecks GH J genau wie oben vorzunehmen.

Mg. 176. q

Zweckmäßig führt man die Untersuchung durch für 1 m Tiefe (die Abmessung rechtwinklig zur Bildfläche), da alsdann der Flächeninhalt des Dreiecks GH J, in gm gemessen, gleich dem Erddruck in cbm ist. Ist y das Gewicht eines cbm Erde in kg, so ist der Erddruck in kg:

c'

E — y. GH J

t!

\ZP

Ist der Winkel, den die Bodenoberfläche mit der Wagerechten einschließt, gleich dem natürlichen Böschungswinkel, also ß = cp, so ziehe man durch einen, auf der unter dem Winkel cp gegen die Wagerechte gelegten Geraden A C' beliebig gewählten Punkt G (Fig. 176) GH II BD und mache GJ — GH. Durch geradlinige Verbindung der Punkte H und J erhält man das Dreieck GHJ, durch welches die Größe des Erddruckes bestimmt ist.

Ist die Bodenoberfläche geknickt, wie in Fig. 177, so ziehe man die Gerade AK und verwandle das Dreieck ABK in das inhaltsgleiche Dreieck

ABX K, indem man BBj II AK zieht und die Gerade CK über K hinaus bis B₁ verlängert.

Man ziehe BD unter dem Winkel 2 cp gegen die Rückenflüche der Mauer ' und durch Bt die Gerade Bt Dt II BD, ferner D₁ F J_ 31t AC.

Die weitere Ausführung ist genau wie bei Fig. 174 S. 146.

Ng. 177.

k-

Um den Angriffspunkt des Erddruckes zu finden, verwandle man nach 1 § 5    22 das Erddruckdreieck GHJ in ein inhaltsgleiches Dreieck,

Fig. 178.

■Hl

L,

j

dessen Höhe gleich der Höhe h der Stützmauer ist, und bestimme den Schwerpunkt 8 desselben. Zieht man durch 8 eine Wagerechte, so trifft diese die Rückenflüche AL derMancr in dem Angriffspunkte von bi. Die Richtungslinie von E schließt mit der Normalen zu AB den Winkel cp ein. In Fig. 178 ist das Dreieck GHJ zunächst in das rechtwinklige Dreieck GH'J von derselben Höhe verwandelt, darauf letzteres in das inhaltsgleiche Dreieck abc von der Höhe h. Der Schwerpunkt 8 des Dreiecks abc, also auch der Angriffspunkt des Erddruckes E, liegt im ersten Drittelspnukt der Höhe der Mauer.

Ist die Rückenfläche der Mauer nicht geradlinig, sondern geknickt nach der Linie A, AB (Fig. 179), so bestimme man für das obere Stück AB der Mauer das Erddruckdreieck GHJ in der oben angegebenen Weise und verwandle dasselbe in das inhaltsgleiche Dreieck abc von der Höhe h. Die Wagerechte durch den Schwerpunkt 8, dieses Dreiecks schneidet AB im Angriffspunkte des auf das obere Mauerstück AB wirkenden Erddruckes E,, dessen Größe durch den Inhalt des Dreiecks abc — GHJ gegeben ist. Um den

auf das untere Stück A, A der Mauer tvirkcnden Erddruck E₂ zu finden, denke man sich A, A bis zum Schnittpunkte B, mit der Bodcnoberfläche verlängert, betrachte die Gerade A, B, als Rückenfläche der Mauer und zeichne dafür das Erddruckdreieck G, H, J,, welches in das inhaltsgleiche Dreieck a, b, c, mit der Höhe h, verwandelt wird. Der Inhalt des Dreiecks a,b, c, würde danach die Größe des Erddruckes angeben, welchem eine Mauer mit der Rücken-fläche A, B, ausgesetzt ist. In Wirklichkeit ist von dieser Mauer aber nur das untere Stück A, A vorhanden, dem das untere trapezförmige Stück a, c, d a des Erddruckdreiecks a, bL c, entspricht. Bestimmt man von diesem Trapeze a, c, d a, dessen Flächeninhalt die Größe des auf das untere Manerstück A, A wirkenden

4-,

ji

Bj

#v

. "y;..

JÜz' ■

Fig. 179.

H,

iJ,

\c‘

r-

e, a,

i. '

' F,

Eindruckes E₂ angibt, den Schwerpunkt S₂ und zieht durch diesen eine Wagerechte, so schneidet dieselbe die Gerade A, A im Angriffspunkte des Erddruckes Ea. Die Richtungslinie von E₂ schließt mit der Normalen zu A, A den Winkel cp ein.

Ruht auf dem Erdkörper noch eine zufällige Belastung p für ein qm, so kann dieselbe ersetzt werden durch eine über der Bodenoberfläche aufgetragene Erdschicht von der Höhe p/y, wobei y das Gewicht eines cbm Erde in kg bedeutet.

Ist z. B. p — 600 kg für ein qm, so würde sich die Höhe der Erdschicht, welche die gleiche Belastung darstellt (bei y — 1600 kg), ergeben zu:

= 0,375 m

600

1600

In Fig. 180 sei die zufällige Belastung dargestellt durch eine Erdschicht von der Höhe hr Mau verlängere die Rückenfläche AB der Mauer bis zum Punkte B, und zeichne nach dem oben angegebenen Verfahren das Erddruckdreieck GHJ genau so auf, als ob AB, die Rückenfläche der Mauer wäre. Verwandelt man das Dreieck GHJ in das inhaltsgleiche Dreieck ab,c, mit der Höhe h + h,, so würde dieses letztere den ans die Mauerfläche AB, wirkenden Erddruck darstellen. Nun fehlt aber das Stück BB, der Mauer und der ans die wirklich vorhandene Mauer A B wirkende Erddruck wird daher dargestellt durch das in Fig. 180 schraffierte Trapez ac,db.

Ci

Fig. 180.

A-,

di

A\

Wäre die zufällige Belastung nicht vorhanden, so würde abc das Erd-druckdreieck sein; das Parallelogramm c c, d b bezeichnet d aher den durch die zufällige Belastung herrührenden Teil des Erddruckes.

Zieht man durch den Schwerpunkt 8 des Trapezes ac, db eine Wagerechte, so ist der Schnittpunkt derselben mit der Rückenfläche der Mauer der Angriffspunkt des Erddruckes, dessen Richtung mit der Normalen zu AB den cp einschließt.

Fig. 181.

<-

/'

Erstreckt sich die zufällige Belastung nicht ganz bis zur Mauerkante B, sondern nur bis zu dem Punkte L (Fig. 181), so bestimme man zunächst nach dem bei Fig. 174 angegebenen v. Rebhannschen Verfahren den Punkt H ans der BC, also ganz ohne Rücksicht auf die zufällige Belastung. Die Gerade AH bezeichnet dann die Lage der Gleitebene, welche unverändert bleibt und durch eine Überlast in keiner Weise beeinflußt wird.

Da die zufällige Belastung rechts von der Gleitebenc (Fig. 181) keine weitere Rolle spielt, so verwandle' man das Belastungsviereck von der Höhe h, und der Grundlinie HL (nach 2 § 5 Fig. 39) in ein inhaltsgleiches Viereck von der Grundlinie BH, verlängere AB bis zum Punkte B, und konstruiere in der bekannten Weise das Erddruckdreieck G-,H, J, genau so, als ob AB, die Rückenfläche der Mauer wäre. Das Weitere wie oben.

Ist statt der stetigen Belastung eine Einzellast P vorhanden, so hat dieselbe nur Bedeutung, wenn sie zwischen der Gleitebene und der Mauerkante, also zwischen den Punkten H und B (Fig. 181) liegt. Man ersetze in diesen: Falle die Last P durch einen Erdkörper von der Tiefe 1 m und der Breite BH bei entsprechender Höhe und verfahre im übrigen wie vorher.

In einfachen Fällen läßt sich der Erddruck auch rechnerisch leicht ermitteln. Nimmt man z. B. die Rückenfläche der Stützmauer lotrecht, die Bodenoberfläche wagerecht an, und vernachlässigt man die zwischen der Erde und der Mauer auftretende Reibung (also E wagerecht), so ist nach Fig. 182 das Gewicht des drückenden Erdprisma ABH:

yh²

2"tgX

Das Erdprisma ABH befindet sich unter der Einwirkung der Kräfte QEW im Gleichgewichte. Der auf die Seite AH wirkende Gegendruck W bildet den <£</> mit der Normalen zu AH, diese aber mit der Lotrechten den <£y -f- <p, folglich ist der Winkel zwischen W und der Lotrechten — y.

Fig-182.

Aus dem Kräftedreieck abc ergibt sich dann:

E = Qtgy =

ylr

2 tgxtgy :

Der Erd druck erreicht seinen I, größten Wert für:    •

y>

oder:

tgx — tgy

X,

T*

90 — cp

x = y = —2

Um unter den obigen Voraussetzungen den Punkt H oder die Gleitebene AH zu bestimmen, braucht also nur der Winkel BAC halbiert Zn werden. Für den Erd druck erhält man dann den Ausdruck:

für cp — 30° wird daraus:

E - yb²

E ~6~

z. B. bei y = 1600 kg wird: E = 266,7 h2 „ y = 1500 „    „ : E = 250 h²

Für Wasser ist <[> — Nult und y — 1000 kg einzusetzen, daher der Wasserdruck W in kg:

W =    = 500 h²

Danach ist z. B. der Erddruck auf eine Mauer von 5 m Höhe (die obigen vereinfachten Annahmen vorausgesetzt), wenn y — 1600 kg angenommen wird:

E = 266,7.5² — 6667 kg und der Wasserdruck auf dieselbe Mauer:

W = 500.5² = 12500 kg

60‘.

/V

Fig. 183.

<G

Nach dem zeichnerischen Verfahren von v. Rebhann ergibt sich bei lotrechter Rückenfläche der Mauer und wagerechter Bodenoberfläche und für <p — 30° ohne die obige Vernachlässigung der Reibung zwischen Erde und Mauer nach Fig. 183:

AD = BD=DC = h

also:

daher:

AG = 2h

tlild da auch DF = h ist: AG = AF = VAD² + DF² V2h^ h V"2

GH = CG = AG—AG = 2 h — h V 2 GH = h (2 — V2)

Der Inhalt des gleichseitigen Dreiecks GH J, dessen Höhe sich zur Seite verhält, wie V3:2 ist dann:

(GH)² V3 _ li²(2 — V2)² \/3

A GH J =

Daher der Erddruck:

h²

y — (3 — 2 V2) V3 = 0,1486 yh²

oder abgerundet:

E — 0,15 yh²

z. B. bei y — 1600 kg wird: E = 240 I?

„ y = 1500 „    „ : E = 225 h²

Zur Bestimmung des Erddruckes auf eine gekrümmte Mauerfläche, z. B. auf die Rückenfläche eines Gewölbes, kann folgendes Annäherungsverfahren benutzt werden:

Man denke sich (Fig. 184) die lotrechte Ebene AB durch den belastenden Erdkörper (z. B. Eisenbahndamm mit der Oberkante MN) gelegt und bestimme

das Erddruck-Dreieck ABC, durch welches der auf AB wirkende Erddruck dargestellt wird, nach den früher angegebenen Regeln (Richtung des Erddruckes wagerecht). Man zerlege ferner den unmittelbar auf dem Gewölbe ruhenden Erdkörper AB B, A, durch lotrechte Ebenen in einzelne Be-lastungsstrcifen, und setze deren Gewichte G, G₂ G₃ mit den auf sie entfallenden Erddrücken E, E₂ E3 zusammen zu den Resultierenden E, E₂ Eg. Letztere stellen (angenähert) die wirklichen auf die einzelnen Gewölbeabschnitte wirkenden Erddrücke dar.

Fig. 184.

M__r

Schließlich mag hier noch der sogen, passive Erddruck kurz Erwähnung finden.

Wird nämlich eine Mauer von außen durch irgendwelche andere Kräfte, z. B. durch Wasserdruck oder durch den Schub anschließender Gewölbe, gegen einen Erdkörper gepreßt, so entsteht im Falle eines Ausweichens der Mauer nach dem Erdkörper zu, der ruhende oder passive Erddrnck, der stets bedeutend größer, als der bisher betrachtete tätige oder aktive Erddruck ist.

Zur Konstruktion des passiven Erddruckes werden die Winkel cp an A M (bei Punkt A) und 2cp an AB (bei Punkt B) im negativen Sinne, also in entgegengesetzter Richtung als bei dem aktiven Erddrucke, aufgetragen.

Fig. 185.

V3T

Für die weitere Konstruktion gilt genau das S. 147 für Fig. 174 angegebene Verfahren, welches in Fig. 185 mit Benutzung derselben Buchstaben, wie in Fig. 174, durchgeführt ist.

Der passive Erddruck weicht von der Normalen zur Rückenfläche der Mauer um den Reibungswinkel cp nach unten ab.

§ 18.

Druckverteilung in AlauerwerKsKörpern.

1) Miiikelrecht und zentral belastete Mauern.

Bei den winkelrecht und zentral belasteten Mauern darf man annehmen, daß sich die Belastung gleichmäßig über den Querschnitt verteilt; es ist dann die Inanspruchnahme in allen Punkten des Querschnittes dieselbe. Die Tragfähigkeit der Mauer ist in diesem Falle nur abhängig von der Größe der Querschnittsfläche und der Festigkeit des Materials.

Die Belastung besteht im allgemeinen aus irgend einer Last P und dem Eigengewichte G der Mauer. Die obere Querschnittsfläche F: der Mauer, auf welche nur die Kraft P wirkt, ist zu berechnen aus:

F —

¹ k

wobei k die zulässige Inanspruchnahme des Materials bedeutet.

Je tiefer irgend ein anderer Querschnitt der Mauer unter dem oberen liegt, ein um so größerer Teil des Eigengewichts G wirkt außer der Kraft P auf denselben; die größte Belastung erfährt die Grundfläche, nänilich durch die Kraft P und durch das volle Eigengewicht G. Ist F₂ der Querschnitt der Grundfläche, so ist diese zu berechnen ans:

F = I+A =    k

Man kann für k folgende Mittelwerte annehmen:

Bei Kalkstein und Sandstein k — 20—30 kg für ein qcm

„ Ziegel.....

„ Kalkmörtel . . .

„ Zementmörtel . .

„ gutem Baugrunde. . .

Als Zahlenbeispiel möge (unter der Annahme gleichmäßiger Druck-verteilung) die statische Untersuchung der vorderen Umfassungsmauer für die Baugewerkeschule in Karlsruhe hier Platz finden (Fig. 186 S. 155).

Die Dachbelastung ist zu 350 kg für ein qm, die Fußbodenbelastung des I. Stocks zu 650 kg, des II., III. und IV. Stocks zu 500 kg für ein qm angenommen. Für das Fundamentmauerwerk wurde 1 cbm = 2000 kg, für das übrige Mauerwerk 1 cbm — 1600 kg gerechnet. Die am stärksten beanspruchten Querschnitte sind die in Fig. 186 mit A, B, C, D bezeichneten und ist die Inanspruchnahme k dieser Querschnitte durch die folgende Berechnung, welche für einen Streifen der Mauer von Fenstermitte zu Fenstermitte durchgeführt ist, bestimmt worden. (Die Maße sind in Fig. 186 in Metern eingeschrieben.)

6—12 „ „

4

• ff - ^    ft ff

. „ — 10—15 „    „

ft -

2,5

ft '

1,58

..

0,7

2.8

0,9

%0,55

6,65

6,42

•I

0.75

«3,07

6,24

>1

0,9

3,47

085

6,05

.8

Fig. 186.

5,64

->!

-V

DP

2,4

//ifl

Schnitt A.

6564 kg

Dachlast = -    • 5,64.350

Mauerlast = [(1,58.0,6+0,52.0,7). 5,64+2,8.0,7.1,48]. 1600 = 16480 „

Fußbodenlast = -6,|° . 5,64.500

9377 „

zusammen 32421 kg

Querschnitt des Pfeilers — 70.148 — 10360 qcm Inanspruchnahme: k —

32421

10360

— 3,13 kg/qcm

Schnitt B.

Belastung durch den Pfeiler des III. Stocks a«aueriaft=[(0,9.0,7+0,55.0,75). 5,64+3,07.0,75.1,48]. 1600 = 14860 „

™. 5,64.500

= 32421 kg

Fußbodenlast =

6,42

= 9052 „

zusammen 56333 kg

Querschnitt des Pfeilers = 75.148 = 11100 qcm 56333

Inanspruchnahme: k =

11100

= 5,1 kg/qcm

Schnitt C.

Belastung durch den Pfeiler des II. Stocks

=' 56333 kg

Mauerlast=[(0,9.0,75+0,55.0,85). 5,64+3,47.0,85.1,48] .1600=17294 „

Fußbodcnlast =

6,24

-    . 5,64.500

= 8798 „

zusammen 82425 kg

Querschnitt des Pfeilers = 85.148 = 12580 qcm 82425

Inanspruchnahme: k =

12580

= 6,6 kg/qcm

Schnitt D.

= 82425 kg

Belastung durch den Pfeiler des I. Stocks Mauerlast=1.0,85.5,64.1600+(2,4.1,1 +0,4.1,4).5,64.2000 = 43766 „

Fußbodcnlast =

6,05

. 5,64.650

=11090 „

zusammen 137281 kg

Querschnitt der Mauer am Fuße = 140.564 = 78960 qcm

Beanspruchung des Baugrundes: k =

= 1,74 kg/qcm

137281

78960

Streng genommen stellen sich die Inanspruchnahmen etwas größer heraus, da in Wirklichkeit keine ganz gleichmäßige Druckverteilung stattfindet; indessen ist die hier durchgeführte Berechnung die bei den Architekten allgemein gebräuchliche. Dasselbe Beispiel ist übrigens weiter unten (S. 165 bis 167) unter Berücksichtigung der exzentrischen Druckverteilung genauer durchgeführt.

2) Zentral aber schief belastete Mauern.

Der Angriffspunkt der auf eine Mauerfuge mn (Fig. 187) wirkenden Kraft R liege in der Mitte c, die Kraft R sei aber nicht rechtwinklig zu mn gerichtet, sondern schließe mit der Normalen zu mn den Winkel « ein. Zerlegt

man R in eine rechtwinklig zu mn gerichtete Seitenkraft P und in eine in die Richtung von mn fallende Seitenkraft H, so wird durch erstere die Mauer winkelrecht und zentral belastet, während die Kraft H auf Abscherung wirkt, d. h. den über mn liegenden Teil der Mauer gegen den unteren Teil, oder wenn mn die Bodenfläche der Mauer bedeutet, die ganze Mauer auf dem Untergründe zu verschieben strebt. Damit kein Abschieben erfolgt, muß der Winkel a kleiner sein als der Reibungswinkel des Materials.

Zulässige Werte des Winkels a sind: innerhalb der Mauer:

3; « bis zu 30°

an der Bodenfläche der Mauer bei gutem ’f Bangrunde:

Fig. 187.

r\:p

V-

ii

'/zb

i.

b'z b

a bis zu 20°

Besteht der Baugrund aus Ton, welcher durch Nässe schlüpfrig wird, so ist die Bodenfläche der Mauer rechtwinklig oder doch nahezu rechtwinklig zu R anzunehmen. Überschreitet bei wagerechten Lagerfugcn der Winkel a im Inneren der Mauer oder an der Bodcnfläche die zulässige Grenze, so muß mit geneigten Fugen gemauert werden.

3) Exzentrisch belastete Maliern.

Der Belastungsfall Fig. 188, wo die Kraft R die Mauerfuge mn in der Entfernung e (e wird die Exzentrizität genannt) von der Mitte trifft und mit der Normalen zu mn den Winkel a einschließt, läßt sich durch Zerlegung von R in die Seitenkräfte P (_L zu m n) und H (|| m n) immer ans den Belastungsfall Fig. 189 zurückführen, da, wenn der Winkel a innerhalb der erlaubten Grenze liegt, die Seitenkraft H, welche keinen Einfluß auf die in der Fuge mn auftretenden Pressungen ausübt, unberücksichtigt bleiben kann.

Ohne an dem Belastnngszustande (Fig. 189) etwas zu ändern, samt man in der Mitte c zwei der ursprünglichen Kraft P parallele und gleiche,

H Fig. 188.

r\:p

\OC

Vzb

Fig. 189.

Fig. 190. P P

ii

i,

yc_

ii

f/zb

it

Vzh

aber entgegengesetzt gerichtete, sich also gegenseitig aufhebende Kräfte P anbringen, wodurch die Fig. 190 entsteht. Durch die in c angreifende, nach unten wirkende Kraft P wird eine Druckspannung kt erzeugt, welche sich gleichmäßig

über die ganze Querschnittsfläche verteilt; die anderen beiden Kräfte P bilden ein Kräftepaar vom Momente Pe, wodurch eine Biegungsspannung erzeugt wird, welche von der Mitte ans nach beiden Seiten gleichmäßig zu- bezw. abnimmt und in m und n ihren größten Wert k₂ erreicht, und zwar ist k für den Punkt m Druckspannung, für den Punkt n Zugspannung. Da bei Mauerwerkskörpern nur die Druckspannungen von besonderem Interesse sind, so sollen diese als positive Spannungen eingeführt werden. Danach entsteht durch das Kräftepaar vom Momente Po in m die Spannung -|-k₂, in n die Spannung — k₂.

Fiihrt man die Untersuchung durch für ein Stück der Mauer, dessen Tiefe (Abmessung ± zur Bildfläche) — Im — 100 cm ist, so ist, wenn die Breite der Fuge mn = b in cm ausgedrückt wird, der Querschnitt in qcm: F — 100. b, folglich:

100b

k| F Aus der Biegungsgleichung *):

Pe — k₂W —

,    100 b*

kg 6 folgt:

6Pe

Pe

100 b²

k2= w

Im ganzen entstehen in den Punkten m bezw. n die Kantenspannnngen: km = k, + k2 kn — k, — k₂

und wenn für k, und k₂ die obigen Ausdrücke eingesetzt werden:

km —

00 b \    ¹ b /

k„ =

6e

100 b

die in der Mitte c

p

In der letzten Gleichung bedeutet der Faktor

auftretende Spannung; dieselbe ist gleich derjenigen sich iibcr den Querschnitt gleichmäßig verteilenden Spannung, welche durch eine in der Mitte angreifende und rechtwinklig zu mn gerichtete Kraft P erzeugt wird.

Die Figuren 191 und 192 zeigen die graphische Darstellung der Spannungen kt und k₂. Durch die Zusammensetzung derselben entsteht die Fig. 193. Setzt man die Kantenpressung kn im Punkte n — Null, so ergibt sich aus:

P / 6e\ 00b \    b )

x) Vergl. Lauenstein, Festigkeitslehre: Widerstand gegen Biegung.

für den Abstand e der Kraft P von der Mitte der Wert:

und die Pressung int Punkte m wird alsdann:

km —

2P

100 b

also doppelt so groß, als wenn die Kraft P in der Mitte angreift.

in

n Mg. 191,

wird kn negativ.

positiv.

Liegt der Angriffspunkt der

Kraft P in der Entfernung j! rechts

von c, so wird die Pressung bei m — Null und erreicht ihren größten 2P

Wert k„ =

für e <

bei n. Die in

,P

IHüwü

n Fig. 192.

i Fig. 193.

100 b

der Entfernung *! links und rechts b

von c liegenden Punkte d und d' (Fig. 194) werden die Kernpunkte oder

Kerngrenzen, der Raum zwischen ihnen |dd' = -jj j der Kern genannt.

Der Kern oder das mittlere Drittel der Mauer ist für die Druckverteiltmg von besonderer Wichtigkeit. Greift nämlich die Kraft P innerhalb des Kernes an, so entstehen in der Mauer nur Druckspannungen, greift P außerhalb des Kernes an, so würden in einem Teile der Mauer auch Zugspannungen auftreten. In solchen Fällen aber, wo man Zugspannungett im Mauerwerke nicht zulassen kann, z. B. bei dem ohne Mörtel aufgeführten sogen.

Trockenmauerwerke, und außerdem bei Mörtelmauerwerk an der Bodenfuge, ist derjenige Teil der Mauer, in welchem die Zngspaimnngen auftreten würden, als spannnngslos p betrachten, und infolgedessen verteilt sich die Kraft P nicht mehr über die ganze Fuge mn, sondern nur über einen Teil m n' derselben (Fig. 195). Da in n' die Spannung Null herrscht, so ist der Angriffspunkt der Kraft P die Kcrngrcnze für die Fuge mn'. Bezeichnet man daher den Abstand der

Fig- 194.

Ab

Td

Ab

r-v \d'

b _ ZP 3003C

Kern

Fig. 195.

3 je

n’

Kraft P von der Kante m mit x, so muß mn' — 3x sein, wodurch die Lage des Punktes n' bestimmt ist. Die in m auftretende Kantenpressung ist dann:

2P

2P

100.3 x 300 x

Bei Mauern, welche dem Wasserdrücke ausgesetzt find, und bei Gewölben gilt es als Regel, dieselben so stark auszuführen, daß die Drucklinie, d. i. diejenige Linie, welche die Angriffspunkte der auf die einzelnen Fugen wirkenden Drücke miteinander verbindet, innerhalb des Kerns verläuft. Bei allen übrigen Stützmauern darf der Druckpllnkt außerhalb des mittleren Drittels liegen, vorausgesetzt, daß dabei die größte Kantenpressung unterhalb der praktisch zulässigen Grenze bleibt.

Nach den obigen Betrachtungen ergibt sich für die Kantenpressung k je nach der Lage des Angriffspunktes der Kraft P folgende Zusammenstellung:

1) Die Kraft P greift in der Mitte der Fuge an (Fig. 196).

100 b

Fig. 197.

Fig. 196.

-m-

-til.....

■m.....i

i-

\woib

2) Die Kraft P greift in der Entfernung e von der Mitte der Fuge innerhalb des Kernes an, also e < (Fig. 197).

Fig. 198.

100b \ ^ b )

3) Die Kraft P greift am Kern-

i.

rande an, also e —

(Fig. 198).

2P

100 b

LP

\joob

4) Die Kraft P greift in der Entfernung e von der Mitte der Fuge, aber

außerhalb des Kernes an, also e>- -. Dabei sind Zugspannungen Zulässig (Fig. 199).

zo

km -

- h+—)

»t. VT i /

Druck

P fl--)

1001) V b /

5) Die Kraft P greift außerhalb des Kernes in der Entfernung x von der Mauerkante an. Zugspannungen sind unzulässig (Fig. 200).

kn —

Zug

2P

300 x

Fig- 199.

Fig. 200.

ni_

ii

i* -fyi—

-Vrb'-

>!

TP

'10 ob

Nach den angeführten Formeln werden die Kantenpressungen berechnet und die Spannungsfiguren danach aufgezeichnet. Man kann aber auch folgendes einfache zeichnerische Verfahren zur Ermittlung der Kantenpresfungen benutzen.

Für die Fälle 2 bis 4 (Fig. 201 bis 203) trage man

100 b

Mitte der Fuge mn und JL zu derselben in beliebigem Maßstabe auf, verbinde

in der

Fig. 201.

Fig. 202.

"f

7z

P

den von P abliegenden Kernpunkt d' mit dem Endpunkte von ———

100 b

längere diese Verbindungslinie bis zum Schnittpunkt c mit P, und ziehe durch « eine Parallele zu mn bis zum Schnitt mit der in m errichteten Senkrechten. Verbindet man nun diesen zuletzt erhaltenen Schnittpunkt mit dem Endpunkte

p

100 b un'³ verlängert diese Linie bis zum Schnitt mit der in n errichteten

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Aufl.

, ver-

von

11

Senkrechten, so bildet diese Linie die obere Begrenzung der Druckverteilungs-fignr für die Fuge mn.

Für den Fall 5 (Fig. 204) trage man in der Mitte von 3x und rechtwinklig zu mn auf, verbinde den in der Entfernung 2x von der Maner-

Fig. 204.

Fig. 203.

11

jy-i

p

₀^r- n. s. w. wie oben. dUUx

Zum Beweise des Verfahrens dient die Fig. 205. Danach ist:

P . b

TÖÖb":"6

kante liegenden Punkt i mit dem Endpunkte von

km: (e + ~ _)

051 er-

oder:

km •

^b (e + '~)

05 i er

k ui —-

''    (i+®±)

looi) \ T b /

Da ferner:

Fig. 205.

km "l⁻ kn    P

" 100 b

oder:

kJ

'1

h* p.i\

wob \

\ht

k„ —

2P

100 b

km

*.....S

ist, folgt:

-b

kn —

'' ll-—)

100b \ b /

Für die Kanteupressnngen km und kn, welche entstehen, wenn eine beliebig gerichtete Kraft L (bergt. Fig. 188 S. 157) in der Entfernung e von der Mitte der Fuge m n angreift, läßt sich aus den oben angeführten Formeln leicht noch ein anderer einfacher Ausdruck ableiten, welcher in der Anwendung häufig sehr bequem ist. Es ist nämlich:

km —

6P

100b²

(•+-)

05 er

Bezeichnet man dann die winkelrechten Abstände der Kernpunkte d und d' von der Kraft R mit rn bezw. i*m (Fig. 206) so ist:

folglich:

p(e + -)

--    11    . 1‘lQ

Fig. 206.

k-m — " Ebenso ergibt sich:

k„ =

6R. rm

100b²

-¹/d.....>

pi Ir

d'

e.....,/sb" "

100 b²

■<

b-

Beispiel 1. Eine wagercchte Mauerfuge von der Breite b = 1,2 m ist für 1 m Tiefe durch eine lotrechte Kraft P — 30000 kg belastet und zwar:

1)    Der Angriffspunkt der Kraft P fällt mit der Mitte der Fuge zusammen. Es findet in diesen! Falle gleichniäßige Druckverteilung statt, und der

Querschnitt erfährt in allen Teilen die gleiche Beanspruchung:

— 2,5 kg

30000

100b ~ 100.120

2)    Der Angriffspunkt der Kraft P hat die Entfernung e — 10 cm von der Mitte der Fuge.

Die größte Kantenpressung ist in diesem Falle:

30000

100.120

*    (l+~)

JOb \    ' b /

/ ^10\ \ ^ 120 )

= 3,75 kg

3) Der Angriffspunkt der Kraft P liegt auf der Kerngrenze, also in der Entfernung ^

Die größte Pressung entsteht in der dem Angriffspunkte der Kraft P zunächst liegenden Kante und hat die Größe:

2P _ 2.30000 100b ~ 100.120

120

—— — 20 cm von der Mitte. 6

— 5 kg

Die Pressung an der entgegengesetzten Kante ist — Null.

4) Die Kraft P greift außerhalb des Kernes an in der Entfernung e = 30 cm von der Fugenmitte. Zugspannungen sind zulässig.

Die Kantenpressung auf der Druckseite ist:

6.30

30000

100.120

120

— 6,25 kg

Auf der entgegengesetzten Kante entsteht die Zugspannung:

6.30

30000

100.120

120

— — 1,25 kg

5) Die Kraft P greift außerhalb des Kernes an und hat die Entfernung X — 30 cm von der Mauerkante. (Der Angriffspunkt der Kraft ist also derselbe wie in 4.) Zugspannungen sind ausgeschlossen.

Die größte Kantenpressung ist:

2P

2.30000

300 x    300.30

— 6²/s kg

Beispiel 2. Betrachtet man von dem am Schluffe des § 6 S. 31 u. 32 bereits angeführten Hauptgesimse der Großh. Baugcwerkeschule zu Karls-riche ein Stück von 1 m Tiefe, so sind die an obiger Stelle für die Flächeninhalte F, bis Fs berechneten Zahlen übereinstimmend mit dem Rauminhalt der einzelnen Teile. Der Rauminhalt des Gesimses ist danach für 1 m Tiefe:

V = 0,019 + 0,126 + 0,065 + 0,1235 + 0,7095 = 1,043 cbm Rechnet man das cbm zu 2000 kg, so ist das Gewicht des Gesimses:

G = 1,043.2000 = 2086 kg

Da der Abstand der Schwerlinie von der Kante A (vcrgl. S. 32 und Fig. 60) sich zu:

x — 9,5 cm

ergeben hat, so wird bei Ausschluß von Zugspannungen die Kantenpressung:

2G

2.2086

300x    300.9,5

— cv> 1,5 kg

Beispiel 3. Es soll bei demselben Hauptgesimse (Fig. 207) die Kantenpressung in A berechnet werden unter der Annahme, daß auf dem Gesimse, in der Mitte zwischen den Punkten B und D, sich eine Einzellast P — 150 kg befindet (zwei hintereinander stehende Arbeiter).

Die Gewichte der einzelnen Gesimsteile pro m Tiefe sind:

G, — 0,019 . 2000 —    38    kg

G₃ = 0,126 . 2000 = 252 „

Gz = 0,065 . 2000 = 130 „

G₄ = 0,1235.2000 = 247 „

Gs = 0,7095.2000 = 1419 „

Aus diesen Gewichten und der Einzelkraft P = 150 kg ist in der Reihenfolge G, GzPGzG₄Gr der Kräftezug ab gebildet und dem Pole 0 entsprechend der Seilzug ml IIp IIIIV Vn gezeichnet, dessen äußerste Seiten ml und nV sich in 8 schneiden. Durch diesen Punkt geht die Mittelkraft R = P + ^(G).

Die Kraft R hat die Größe:

R = 150 + 38 + 252 + 130 + 247 + 1419 = 2236 kg Der Abstand derselben von der Kante A ergibt sich zeichnerisch zu:

x = 6,0 cm

folglich wird bei Ausschluß von Zugspannungen die Kantenpressung in A:

— cv> 2,5 kg

2R    2.2236

300 x    300.6

Fig. 207.

1-15

er

"S*

so*"3r—

Beispiel 4. Statische Untersuchung der vorderen Umfassungsmauer der Baugewerkeschule in Karlsruhe mit Berücksichtigung der exzentrischen Druck-verteilung (vergl. S. 154 bis 156 und Fig. 186).

Die Länge der Balkenauflagerung ist iiberall zu 30 cm angenommen.

Schnitt A.

6564 kg 8560 „

Dachlast = V₂.6,65.5,64.350    .

Mauerlast = 0,6.1,58.5,64.1600

Fußbodenlast = '/*. 6,65.5,64.500 .    .

Mauerlast — 0,7 (0,52.5,64    2,8.1,48) 1600 . . . P

zusammen: P, — 15124 kg .    .    .    . P

9377 kg 7920 „

Gesamtlast: E = 32421 kg '

Die Lage von R wird graphisch mit Hilfe eines Seilzuges oder durch Rechnung bestimmt. Es möge hier der letztere Weg eingeschlagen werden.

Bedeutet x₀ den Abstand der Kraft E und x, x₂x₃ die Abstände der Kräfte Pt P₂ P₃ von der äußeren Mauerkante, so istl):

Rx₀ •= I*i xt + P₂X2 +1*3 x₃

*) Vergl. Lauenstein, Mechanik, 5. Stuft Gl. 28, S. 34.

also nach Fig. 208:

xo —

15124.30 -s- 9377.55 + 7920.35

32421

— 38 cm

folglich:

Inanspruchnahme: k —

6 — 38 — 35 = 3 cm 32421

6.3

148.70

70

— 3,9 kg/qcm

Schnitt B.

Belastung durch den Pfeiler des III. Stocks .    .

Mauerlast = 0,7.0,9.5,64.1600.....

Fußbodenlast = '/-. 6,42.5,64.500 . . . .

Mauerlast — 0,75 (0,55.5,64 + 3,07.1,48) 1600    . . P₄

. . P, — 32421 kg 5685 „ 9052 „ 9175 „

Gesamtlast: R — 56333 kg Mg. 209.

Fig. 208.

Tf.

so

IS

38

J5

35

37,5

35

P,

p,

P,

Pt

X 0 = 36

Ir

Nach Fig. 209 ist:

xo =

32421.38 + 5685.35 -f 9052.60 -f- 9175.37,5

56333

— 41 cm

folglich:

Inanspruchnahme: k —

6 — 41 — 37,5 — 3,5 cm 56333

148.75

h’-m

— 6,5 kg/qcm

Schnitt C.

Belastung durch den Pfeiler des II. Stocks . .

Mauerlast = 0,75.0,9.5,64.1600 ....

Fußbodenlast = lh . 6,24.5,64.500 . . . .

Mauerlast = 0,85 (0,55.5,64 + 3,47.1,48) 1600    . . P₄ = 11203 „

Gesamtlast: R — 82425 kg

. . P, — 56333 kg 6091 „ 8798 „

P₂ =

xo =

Nach Fig. 210 ist:

56333.41 4- 6091.37,5 + 8798.70 -f 11203.42,5

82425

— 44 cm

folglich:

Jnanspruchuahme: k —

e — 44 — 42,5 — 1,5 cm 6.1,5

82425

148.85

85

— 7,3 kg/qcm

Schnitt D.

Belastung durch den Pfeiler des I. Stocks . .    . .

Mauerlast = 0,85.1.5,64.1600    ......

Fußbodenlast = + . 6,05.5,64.650    .....

Mauerlast = (1,1.2,4 + 1,4.0,4) 5,64.2000 . .

82425 kg 7670 „ 11090 „ 36096 „ Gesamtlast: E = 137281 kg

P.=

+ =

Fig. 210.

Fig. 211.

85

I/O

70

£2J.

IW

>„/

/JO

SO

70

AZ?.

p,

59.

57,5

P,

Nach Fig. 211 ist:

82425.59 + 7670.57,5 + 11090.110 + 36096.70

137281

folglich:

= 70 — 66 = 4 cm

Die Beanspruchung des Baugrundes an der Außenkante ist danach:

= 2 kg/qcm

137281

140.564

§ 19.

Druckverteilung in A'feilerquer schnitten bei e+entri scher

Belastung.

Es soll vorausgesetzt werden, daß die hier zu betrachtenden, im übrigen beliebig begrenzten Pfeilerquerschnitte eine Symmetrieachse haben, und daß in dieser der Angriffspunkt der Kraft P liegt.

1) Drnckveiteilung mit Zulassung von Zugspannungen.

Bedeutet F die Querschnittsfläche eines Pfeilers, und werden die Wider-standsniomente dieser Fläche für die Kanten m und n mit Wm bezw. Wn

bezeichnet, so sind, wenn die Kraft P in der Entfernung e von der neutralen Achse angreift, nach § 18 S. 158 die Kantenpressungen:

km —

Pe

Pe

kn = - jT

Man zerlege (Fig. 212) die Querschnittsfläche durch Linien rechtwinklig zur Symmetrieachse XX in Streifen, welche man als Kräfte behandelt. Man

W„

Fig. 212.

"s

\7l

Wn

Q,

P/p *

’/zF

ti.

Q.

.--Pa

zeichne den Kräfteplan mit dem Polabstand V2 F, und dazu den Seilzug abc. Der Schnittpunkt s der verlängerten äußersten Seilzugseiten ergibt die Lage der neutralen Achse, deren Abstände von den Kanten m und 11 in Fig. 212 mit Wm bezw. wn bezeichnet sind.

Bedeutet dann J das Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche, so ist: Wm — J UNd Wn = —

P ! P 6 Wm

folglich:

km. -—

F ' J P P e wn

oder da nach S. 34:

J = F . F'

gesetzt werden kann, wobei F' die von dem Seilzuge selbst lmd ben verlängerter: äußersten Seilzugseiten begrenzte Flüche bedeutet:

P 6 . Wm

km -

e . Wm

F.F'

F'

kn -p

P e . Wn

e . Wn

F.F'

F'

Daraus ergeben sich die Verhältnisse: F' -f- e . Wm

km

F' — e . wn

kn

und

(P/F)

(P/F)

welche sich zeichnerisch leicht darstellen lassen.

Zur Bestimmung von km ziehe man die Gerade ad so, daß die in Fig. 212 schraffierten Flächen einander gleich sind. Es ist dann:

z/a s d — F'

F'

F'

Man verwandle dann das Dreieck asd durch df II as in das inhaltsgleiche Dreieck asf, letzteres weiter in das Dreieck afg. Halbiert mau af im Punkte h und zeichnet das Rechteck ahig, so ist: -

aliig — F'

Man mache sodann hk gleich der Exzentrizität e und ziehe kl ± hk. Es ist dann:

folglich:

llkli — 6 . Wm

Daraus ergibt sich:

aklg = F'-j-e. wm

also auch:

F'-(- e . wm

F'

km

aklg a k

aliig    ah

ak

(P/F)

Trägt man ao — P/F auf, zieht die Gerade ho und durch k die kp II ho, so ist:

km = a p

In derselben Weise wird k„ bestimmt. Man ziehe cd' so, daß:

z/cd's = F'

wird, ziehe «Ff II cs, halbiere cf in lf und mache h'k' — e. Trägt man dann c o' = P/F auf, und zieht durch k' die k' p' II h' o', so ist:

kn = cp'

kn ergibt sich als Zugspannung, wenn e > elf ist, wenn also der Punkt k' unterhalb c liegt.

Es mag hierbei erwähnt werden, daß für den vorliegenden Fall, wo der Spannungsmittelpunkt auf einer Hauptachse liegt, die Rechnung einfacher ist und wohl schneller zum Ziele führt, als das zeichnerische Verfahren.'

2) Drnckverteilung mit Ausschluß von Zugspannungen').

Es sei (Fig. 213) ein ringförmiger Querschnitt F gegeben, auf welchen die Druckkraft P wirkt, deren Angriffspunkt außerhalb des Kernes liegen soll. Ist NN die neutrale Achse, so erfährt nur der schraffierte Teil mNN = FN des Querschnittes Druckspannung, der übrige Teil ist wirkungslos.

Bezeichnet man die Druckspannung in irgend einem Flächenteilchen f mit p, die Entfernung des Flächenteilchens von der neutralen Achse NN mit x und die Entfernung der Kraft P von der NN mit l, so ist nach dem Satze:

Das statische Moment der Mittelkraft ist gleich der Summe der statischen Momente der Einzelkräfte²):

Pl==2"(pfx)

Die Druckspannung in der im Abstande x₀ von der NN liegenden und dieser parallelen Schwerpunktsachse der gedrückten Flüche ist:

k — -

⁰ FN

und da sich die Spannungen der Flächenteilchen verhalten wie ihre Abstände von der neutralen Achse, so ist:

oder p —

ko

folglich:

xo

und daraus:

Pl — -^-^(fx²) =

xo    Fnx₍₎

J(fx²)

2(fx²)

_    _ Trägheitsmoment

Fn x₀ Mn Statisches Moment

Jn

Man teile nun die Fläche F durch Linien parallel der N N in Streifen, fasse dies!? als Kräfte auf und zeichne den Kräfteplan mit dem Polabstand ¹kF (F ist die ganze Fläche) und dazu den Seilzng.

’) Nach Mohr, Zeitschrift des Hannov. Arch.- u. Ing.-Vereins, Jahrg. 1883,

S. 163.

•²) Vergl. Lauenstein, Mechanik, 5. Anfl. S. 29.

Verlängert man die erste Seilzugseite, und die neutrale Achse NN bis zum Schnittpunkt E, so ist nach S. 34 das Trägheitsmoment der Fläche FN in Bezug auf die Achse NN:

JN = 2 (Vs F) GH DE

und nach S. 20 deren statisches Moment:

Mxi — Fnx₀ = V2F.DE

folglich:

Jn

2 . GHDE

DE

Fnx₀

Verwandelt man die Fläche GHDE in ein inhaltsgleiches Dreieck mit der Grundlinie DE, indem man die Gerade DE so zieht, daß die in Fig. 213 schraffierten Flächen einander gleich sind, so wird:

Fig. 213.

2.DEF

DE

d. h. l ist gleich der Höhe eines Rechtecks mit der Grundlinie D E.

Der Angriffspunkt der Kraft P liegt demnach auf der durch den Punkt F gezogenen Lotrechten.

Um also bei gegebenem Angriffspunkte der Kraft P die Lage der neutralen Achse zu bestimmen, ziehe man itach Aufzeichnung des Kräfteplancs und Seilzuges von P aus lotrecht herunter nach F, und lege durch F die Ausgleichungslinie FD so, daß die schraffierten Flächen einander gleich werden. Durch den Punkt D ist die gesuchte Lage der neutralen Achse NN festgelegt.

Nun ist:

aG

......IS

i,n

km

oder:

ko

ko

km = — W

xo

⁼ Fnx₀ W

und wenn nach dem obigen:

eingesetzt wird:

Fux₀ = V²F . DE

km —

Pw

VF. DE

Daraus ergibt sich das geometrisch leicht darstellbare Verhältnis:

km

DE

2P: F

Trägt man nämlich in Mg- 213 die Strecke G K = 2 P: F auf, und zieht KM II GD, so ist wegen Ähnlichkeit der Dreiecke GKM und GDE:

GD

DE

2P:F KM LM

oder:

LM

DE

2P:F

folglich wird die gesuchte Kantenpressung km dargestellt durch die Strecke L M.

km = LM

Beispiel 1. Auf den in Fig. 214 skizzierten Pfeilerquerschnitt wirke die lotrechte Kraft P — 40000 kg. Der auf der Symmetrieachse liegende Angriffspunkt derselben ist um x — 25 cm von der linken Pfeilerkante entfernt. Es sollen unter der Annahme, daß Zugspannungen zulässig sind, die Kantenpressungen km und k„ graphisch bestimmt werden. Maßstab 1:10.

Die ganze Querschnittsfläche ist:

26

Fig. 214.

F = 26.130+65.104+13.52 = 10816 qcm folglich:

_l£

wn

65

J3-

P _ 40000 F ~ 10818 Durch den Schnittpunkt der verlängerten äußersten Scilzugseiten ergeben sich die Maße:

wm — 46,7 cm ; wn = 57,3 cm Danach ist:

— 3,7 kg

e — wm — x = 46,7 — 25 — 21,7 cm

bOl

/30

25 *

Man findet durch Aufzeichnung der Aus-gleichungslinien (vergl. Fig. 212):

sd = 25,5 cm ; sd' = 20,8 cm und daraus:

ah = 18 cm ; ch' = 14,7 cm

Die gesuchten Kantenpressungen ergeben sich durch das weitere an Fig. 212 erläuterte zeichnerische Verfahren zu:

km — 8,2 kg (Druck) kn — 1,8 kg (Zug)

Der Nullpunkt liegt in 19 cm Entfernung von der rechten Pfeilerkante. Beispiel 2. Ein ringförmiger Kaminquerschnitt von D — 200 cm äußerem und d — 100 cm innerem Durchmesser ist belastet durch die Kraft

p — 45000 kg, bereit Angriffspunkt 60 cm von der Mitte entfernt ist. Es soll die größte Kantenpressung km zeichnerisch bestimmt werden, wobei Zugspannungen als unzulässig zu betrachten sind. Maßstab 1: 10.

Der Querschnitt hat die Größe:

— 23562 qcm

(I)* — dV

2.45000 23562

Man findet mit Hilfe des Mohrschen Verfahrens (Fig. 213 S. 171) den Abstand der neutralen Achse NN von der Kante m zu:

v — 1,11 in

folglich wird:

t NO

= 3,8 kg

und die Kantenpressnng:

km = 7 kg

§ 20.

Statische Untersuchung der Stühmauern.

Auf die Stützmauer ABCD (Fig. 215) wirkt außer dem Eigengewichte G noch ein Seitendrnck E, welcher von der zu stützenden Erdmasse gegen die Mauer ausgeübt wird. Unter dem Einflüsse der Mittelkraft R dieser beiden Kräfte G und E müssen, wenn die Mauer standsicher sein soll, folgende Bedingungen erfüllt sein:

1)    Es darf keine Drehung der Mauer um die äußerste Kante (die Kipp-kante) erfolgen, es muß daher die Kraft R die Grundfläche der Mauer innerhalb der Kanten A und D schneiden.

2)    Es darf kein Gleiten der Mauer auf der Lagerfläche AD erfolgen; der Winkel, den die Kraft R mit der Winkelrechten zu AI) bildet, muß daher kleiner sein als der Reibungswinkel des Materiales.

3)    Die größte Kantenpressung darf das für den Baugrund zulässige Maß nicht übersteigen.

Der Angriffspunkt des Eigengewichtes G der Mauer liegt im Schwerpunkte der Querschnittsfläche ABCD, welcher nach 2 § 6 und Fig. 50 oder 51 ermittelt wird. Der Flächeninhalt des Querschnitts in qm ist gleich dem Rauminhalt eines Mauerstückes von der Tiefe Eins in cbm. Das Gewicht G desselben wird erhalten durch Multiplikation des Rauminhaltes mit dem Gewichte eines cbm Manerwerk.

Die Größe des Erddrnckes E wird nach § 17 (S, 145 u. f.) bestimmt und dargestellt durch das Dreieck abc von der Höhe der Mauer, dessen Inhalt, in qm gemessen, den Erddrnck in cbm (für die Tiefe Eins) angibt. Der Schwerpunkt dieses Dreiecks liegt in gleicher Höhe mit dem Angriffspunkte des Erddruckes, dessen Richtnngslinie mit der Normalen zur Rückenfläche der Mauer beit Winkel cp einschließt. (Bei Wasser ist <p = Null, folglich ist der Wasser-bntcf rechtwinklig gegen die Rückenfläche der Mauer gerichtet.)

Die beiden Kräfte G und E, ausgedrückt in derselben Einheit (kg oder Tonnen), werden zu einem Kräftezuge zusaminengesetzt und zu der Mittelkraft R vereinigt, welche die Grundlinie AD der Mauer in einem Punkte t schneidet. Nach 3 § 18 (S. 157 n. f.) bestimmt man sodann die durch R erzeugte, bei D auftretende größte Kantenpressnng k.

Fig. 215.

E,

Gv /R

D st A

Beispiel. Es soll bei einer Stützmauer (Fig. 215) die größte Kantenpressung bestiulmt werde:: unter folgenbcn Voraussetzungen.

Die Bodenoberfläche sei wagerecht.

Böschungswinkel des Erdmaterials . cp — 30°

Gewicht eines cbm Erde

= 0,9 m.

y — 1600 kg „    „    „ Manerwerk . . yt = 2000 „

AB lotrecht, AD und BC wagerecht.

Die Abmessungen der Mauer sind: AB — 3 m; B0 — 0,5 m; AD

Das Beispiel ist ailfznzeichnen im Maßstabe 1:20; Kräftemaßstab 1000 kg — 2,5 cm.

Das Gewicht der Mauer für 1 m Tiefe ist:

G = h AD4-BC

• 2000 = 4200 kg

₀ 0,5+ 0,9 = 3--g—

Bestimmt man nach § 17 das Erddrnckdreieck und verwandelt dieses in das inhaltsgleiche Dreieck abc mit der Höhe h = AB, so erhält man ac = 0,9 m.

Der Erddrnck E für 1 m Tiefe ergibt sich danach zu:

ac

h-

Das Gewicht G greift int Schwerpunkte 8 des Trapezes ABCD an; der Angriffspunkt von E liegt int ersten Drittel der Manerhöhe, also 1 m

3- + 1600 = 2160 kg

über A, die Richtimgslinie von E schließt mit der Wagerechten den Winkel cf = 30° ein. Die beiden Kräfte G und E werden int Kräfteplanc zu der Mittelkraft E zusammengesetzt, deren Lage durch den Schnittpunkt 1 in der Hauptfigur bestimmt wird. Die Grundlinie der Mauer wird von der Mittelkraft E im Punkte t geschnitten und es ergibt sich Dt — x — 26 cm.

Die lotrechte Seitenkraft von B wird ans dem Kräfteplanc durch Messung gefunden zu:

P — 5270 kg

folglich ist, da der Punkt t außerhalb des mittleren Drittels der Grnnd-linic AD liegt (nach § 18 S. 160), die in D auftretende größte Kantcn-prcssnng in kg:

2P

2.5270

300 x 300.26

= 1,35 kg

Der Nullpunkt liegt in der Entfernung 3x — 3.26 — 78 cm von der Kante D; die Mittelkraft B bildet mit der Lotrechten einen Winkel von lO'/s⁰.

Handelt cs sich darum, die Stärke einer Stützmauer annähernd zit erhalten, so kann folgendes Verfahren benutzt werden (Fig. 216).

Fig. 216.

E_

b'

C\

'/zJi

\3

A"

Man teile die beliebig, aber stark genug altgenommene Mauer, von der Rückseite derselben ausgehend, durch lotrechte Schnitte in dünne Streifen, bereit Gewichte G,G₂G₂ ... . man mit dem Erddrucke E zit einem Kräfteplan vereinigt. Die Kräfte E und Gt bilden die Mittelkraft 0 b = Rt, die in der Hauptfigur durch den Schnittpunkt 1 geht. Man ziehe also durch den Pimkt 1 eine Parallele zu dem Strahl Ob; durch den Schnittpunkt 2 von R, und G2 ziehe man weiter eine Parallele zu dem Strahl 0 c = R₂ u. s. f. Man erhält auf diese Weise den Punkt t, in welchem die Grundlinie AI) der Mauer voit der Gesamtmittelkraft, deren lotrechte Seitenkraft P sich aus dem Kräfteplane ergibt, geschnitten wird. Die äußere Manerkante I) mich nun eine solche

Entfernung x von dem Punkte t haben, daß die Kantenpressung k die erlaubte Grenze nicht überschreitet.

Die Größe x ergibt sich ans der Bedingung: k —

2P

300x

zu:

2P

300 k

Fällt danach der Punkt D (zufällig) mit der äußeren Grenze des letzten Mallerstreifens zusammen, so waren bei vorn lotrecht abfallender Mauer die Gewichte richtig. Liegt der Punkt D außerhalb des in Rechnung gezogenen letzten Streifens, so kann entweder die Mauer vorn so geböscht werden, daß die in Fig. 216 schraffierten Dreiecke einander gleich sind, in welchem Falle sich die Mauergewichte ebenfalls nicht ändern, oder man hat noch einen mehr oder weniger breiten Streifen hinzuzufügen, wodurch das wirkliche Mauergewicht größer als berechnet war ausfällt. Man erhält dadurch eine neue Kraft Pv folglich auch ein neues x,, mit dem man wie oben verfährt, ulld kann nötigenfalls durch nochmalige Widerholung dieses Verfahrens die erforderliche Mauer-stärke bis zu ziemlicher Genauigkeit feststellen.

Beispiel. Es soll bei einer 5 m hohen, an der Rückseite lotrechten Stützmauer die erforderliche Stärke am Fuße bestimmt werden unter Annahme einer Kantenpressung k = 4 kg.

Die Bodenoberfläche sei wagerecht.

Böschungswinkel des Erdmaterials. <p — 30°

Gewicht eines cbm Erde . . . . y — 1600 kg „    „    „ Manerwerk . . y, = 2000 ,,

Das Beispiel ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1.25; Kräftemaß stab 1000 kg — 1 cm. Man führt die Untersuchung wieder für 1 m Tiefe durch. Der Erddruck ergibt sich dann zu:

E — 5200 kg

Denkt man sich die Mauer durch lotrechte Schnitte in 0,3 m breite Streifen geteilt, so ist der Rauminhalt jedes Streifens:

V, = V₂ = . . . = 0,3.5 = 1,5 cbm

folglich das Gewicht:

Gt = 0₂ = . .. = 1,5.2000 = 3000 kg

Nach Aufzeichnung des Kräfteplanes und Seilzuges ergibt sich die Entfernung des Punktes t außerhalb der Außenkante des dritten Streifens zu 15 cm.

Nach dem Kräfteplan ist die lotrechte Seitenkraft P der Kraft R₃ (Mittelkraft aus dem Erddrnck E und dem Gewichte dreier Streifen):

P = 12000 kg

folglich

2P

2.12000

300 k

300.4

— 20 cm

Verbindet man den so gewonnenen Punkt D mit dem Mittelpunkt der äußeren lotrechten Seite des dritten Streifens, so ergibt sich die Böschung der Mauer zu 1: 7¹h.

Die Grundlinie der Mauer ist:

AD = 1,25 m.

Die Ztiitzlinie der Mauern.

Es sei ABCD (Fig. 217) der Querschnitt einer Mauer, welche einen Wasserdruck auszuhalten hat und AEFG das Fundament derselben. Denkt man sich die Mauer durch wagerechte Schnitte A, D,, A₂ D₂. . . in Streifen zerlegt llnd ermittelt für die verschiedenen Schnitte die Druckpunkte, so entsteht durch die Verbindungslinien aller einzelnen Druckpunkte miteinander die Drucklinie 'oder Stütz linie, deren Verlauf ein deutliches Bild von der Druckverteilung int Innern der Mauer gibt.

Der größte Wasserdruck, welcher entsteht, wenn der Obcrwasserspicgel mit der Mauerkrone BC abschneidet, ist gleich dem Gewichte eines Wasserprisma, dessen Querschnitt das Dreieck abc mit ae = ab = h ist.

Betrachtet man, wie gewöhnlich, von der Mauer ein Stück von 1 m Tiefe, so wirkt auf den oberen Streifen das Gewicht G, und der Wasserdruck Wv welche im Kräfteplane zu der Mittelkraft R, vereinigt werden.

Werden die Flächen in qm gemessen und bedeutet

y das Gewicht eines cbm Wasser

„ Mauerwerk

so ist:

G, = A, BCD, . y,

W, = a, b c, . y

Zieht man durch 1 (Schnittpunkt von G, und W,) eine Parallele zu R,, so schneidet diese die Fuge AtD, int Punkte tv Der Punkt t, ist daher der Druckpunkt für die Fuge A, Dr

Das Verfahren wird bei allen folgenden Fugen wiederholt, indem man jedesmal das ganze Mauerstück betrachtet von der Krone bis zu der betreffenden Fuge.

Auf die beiden ersten, von der Mauerkrone B C bis zu der Fuge A₂ D2 reichenden Streifen, d. i. auf das Mauerstück A₂BCD₂ wirken die Kräfte G₂ = A₂BCD₂. y, und W₂ = a₂bc₂.y. Durch Zusammensetzung derselben ergibt sich die Mittelkraft R₂, welche die Fuge A₂D₂ int Punkte t₂ schneidet.

Die auf die Fuge AD wirkende Kraft R₃ (Mittelkraft aus G₃ — ABCD.y, und \V₃ — abc.y), welche die Grundfläche AD im Punkte t3 schneidet, wird schließlich zusammengesetzt mit dem Gewichte G₄ des Fundamentes zu der Mittelkraft R₄. Der Schnitt der Kraft E₄ mit der Fundamentsohle gibt den Druckpunkt t₄.

Lauen stein, Die graphische Statik. 8. Stuft.

Durch die geradlinige Verbindung der Punkte t, t₂1.; t₄ entsteht ein die Drucklinie umhüllender geknickter Linienzug, welcher, wenn die Punkte t, t₂... nahe genug aneinander liegen, oder was dasselbe ist, wenn die Höhen der Streifen klein genug angenommen waren, an Stelle der wirklichen, stetig ver-laufenden Drucklinie gesetzt werden kann. In den meisten Fällen genügt es bei Mauern von der Form der Fig. 217, die Druckpunkte in der unteren Fugest) und in der Fundamentsohle F G zu ermitteln und danach die in den Punkten D und F auftretenden Pressungen festzustellen.

Fig. 217.

Wz

_Wl

w₂

w₃

rJ<agz

r—rr

Ä3y

tG3

E D,

Beispiel. Eine Teichmauer von der Form der Fig. 217 habe folgende Abmessungen:

AB = 3

BO — 1,2 „

AD = 1,95 „

AE = FG = 2,4 „

GA = AA₂ — A₂Aj = Aj B = 1 m Das Gewicht von 1 cbm Mauerwerk sei y, — 2000 kg.

Es soll die Drucklinie eingezeichnet und die Pressungen in den Punkten D, D₂ D und F bestimmt werden. (Maßstab 1: 20, Kräftemaßstab 1000 kg = 1,5 cm.)

Die Gewichte der einzelnen Mauerabschnitte sind:

G, = A,BCD, . y, = 1,325.2000 = 2650 kg" G₂ = A₂BCD₂. y, = 2,9    . 2000 — 5800 „

G₃ = ABCD .y, — 4,725.2000 = 9450 „ G₄ = AEFG . y, = 2,4    . 2000 = 4800 „

Die Wasserdrücke sind:

Wj = at b Cj . y    =    0,5.1000 = 500    kg

W₂ = a₂ b c₂. y    —    2,0.1000 = 2000    „

W₈ = abc . y    =    4,5.1000 = 4500    „

Die auf die Fugen A,D1Z A„D₂, AD, FG wirkenden Kräfte ergeben sich aus dem Kräfteplane, deren rechtwinklige Abstände von den maßgebenden Kernpunkten (vergl. Fig. 206 S. 163) aus der Hauptfigur. Man findet:

rmi — 24 cm rm2 = 38 „ l'm₃ =57 „ r“4 ⁼ 74 „

E,

E.

2700 kg 6150 „

Eg = 10450 „

R₄ — 14950 „

Daraus berechnen sich die Kantenpressungen nach der auf S. 163 angegebenen Formel:

km —

In D, wird: k, —

6 E. rm 100 b²

6.2700.24

In D₂ „ : k₂ =

100.1452 6.6150.38

= 0,18 kg

In D

100.1702 6.10450.57

= 0,5    „

In F

100.1952 6.14950.74

= 0,94 „

100.240²

= U5 „

Die Kraft R, trifft die Fuge A, D, gcnail in der Mitte; es findet daher in dieser Fuge gleichmäßige Druckverteilung statt, und die Pressung k, läßt sich etwas einfacher wie oben auch berechnen aus:

= 0,18 kg

k,

2650

100.145

100. A, D

Die Drucklinie bleibt überall im mittleren Drittel der Mauer.

Die Winkel, welche die Kräfte R, . .. E₄ mit den Normalen gn den Fugen bilden, sind:

a₈ = 25-/2° a₄ = 17-/2°

a, = 10¹/2° a₂ = 19°

Die Druckpunkte in den Fugen einer Stützmauer lassen sich noch in einer anderen Weise bestimmen, welche den Vorteil großer Übersichtlichkeit bietet und in Fig. 218 durchgeführt ist.

Die Mauer und das Erddruckdreieck teile man durch wagerechte Schnitte in eine beliebige Anzahl Streifen. Die Gewichte G, G₂.. . der einzelnen Streifen und die auf dieselben wirkenden Erddriicke E, E₂ . . . werden in der Reihenfolge G, E, G₂E₂ .. . zu einem Kräfteplane aneinandergefiigt und darauf

Gr, und E, zu der Mittelkraft r,, Gz und E₂ zu der Mittelkraft r₂ u. s. w. vereinigt. Wird dann mit einem beliebig gewählten Pole 0 zu den Kräften r ein Seilzug aufgezeichnet, so läßt sich für irgend eine der Mauerfugen A, D,, A₂ D₂ . . . die auf dieselbe wirkende Mittelkraft R bestimmen, deren Größe ans dem Kräfteplane entnommen wird und deren Lage gegeben ist durch den Schnittpunkt der die Kräftegruppe r einschließenden Seilzugseiten.

Fig. 218.

t*3

4L

or

So z. B. wirken auf die Fuge AD die Kräfte >-, bis r₄, deren Mittelkraft R₄ im Kräfteplane durch die Strecke ui dargestellt wird, und deren Lage bestimmt ist durch den Schnittpunkt S₄ der die Kräfte r, bis r₄ einschließenden verlängerten Seilzugseiten ml und VIV. Der Punkt t₄, in welchem die Fuge A D von der Kraft K₄ geschnitten wird, ist der Stützpunkt der Fuge A D. Aus der Lage des Punktes t₄ und der Größe der Kraft R₄ läßt sich dann die in D auftretende Pressung berechnen.

In derselben Weise werden die Stützpunkte und Kantenpressungen in allen anderen Fugen ermittelt; wichtig ist von diesen indessen nur die Kenntnis der Pressung im Punkte F der Fundamentsohle.

AR — 3,2 in; R0 — 0,5 m; AD = 1,0 m AE = FG = 1,3 m

G A = A A„ = A₃ A₂ = A₂ A, = A, E f= 0,8 m

Beispiel. Die in Fig. 218 dargestellte Stützmauer habe folgende Abmessungen:

Das Gewicht von 1 cbm Erde sei:

y — 1600 kg „ Mauerwerk: /, = 2000 „

ft    tt    n 1

anzunehmen.

Der Böschungswinkel y ist = 30° und die Bodeuoberfläche wagerecht

Es soll die Drucklinie mit Hilfe eines Kräfteplanes und Seilzuges eingezeichnet und die Kantenpressungen in den Fugen A, D,, A₂ D₂ .. . berechnet werden. (Maßstab 1:20; Kräftemaßstab 1000 kg = 2 cm.)

Die Gewichte der einzelnen Mauerstreifen für 1 m Tiefe sind:

G, = 'Zs (0,5 -f 0,625) 0,8.2000 = 900 kg G₂ = '/r (0,625 + 0,75) 0,8.2000 = 1100 „

Gs = ¹ /2 (0,75 + 0,875) 0,8.2000 = 1300 „

G₄ = V2 (0,875 + 1,0) 0,8.2000 = 1500 „

1,3 0,8.2000 = 2080 „

G5 =

Der ganze auf die Mauer wirkende Erddruck ist nach S. 152:

E = 0,15/1?

und wird dargestellt durch ein Dreieck von der Höhe h = 4 m, und der Grundlinie 2.0,15 h — 1,2 in. Die auf die einzelnen Streifen der Mauer wirkenden Erddrücke sind danach:

154 kg 461 „

Die Streifengewichte G und Erddrücke E werden nun in der Reihenfolge G, E, G₂E₂G₃Eg it. s. w. zu dem Kräftezuge abc . . . I aneinander gefugt und aus Gx und Ej die Mittelkraft r, = a c, aus G₂ und E₂ die Mittelkraft r₂ = ce u. s. to. gebildet und in die Hauptfigur so eingezeichnet, daß r, durch den Schnittpunkt 1 von G, und Ev r₂ durch den Schnittpunkt 2 von Gz und E₂ u. s. to. geht. Dem beliebig gewählten Pole 0 entsprechend wird sodann der Seilzug mlIIIIIIV Vn aufgezeichnet.

Auf die Bodenftlgc EG tvirkt die Kraft R₆ = al (Mittelkraft aus r, bis r₅), deren Lage durch den Schnittpunkt S₅ der verlängerten Seilzugseiten ml und nV gegeben ist, und welche die Fuge EG im Punkte t₅ trifft. Die Entfernung dieses Punktes von der Kante F ist: x — 42,5 cm. Die lotrechte Seitenkraft P₅ der Kraft Rä hat (nach dem Kräfteplan) die Größe:

P₅ = 8800 kg

und erzeugt im Punkte F die Pressung:

2.8800

— 1,4 kg/qcm

k5 =

2?- ,

300.x    300.42,5

Um die in I) auftretende Kantenpressung zu berechnen, hat man die oberhalb der Fuge AD wirkenden Kräfte r, bis r₄ zu der Mittelkraft R₄ = ai

zusammenzufassen, welche durch den Schnittpunkt S₄ der verlängerten Seilzugseiten ml und V IV geht und die Fuge AD im Punkte t₄ schneidet. Man findet: Dt₄ = x = 31 cm. Die lotrechte Seitenkraft P₄ der Kraft R₄ ergibt sich aus dem Kräfteplane zu:

P₄ = 6000 kg

wonach sich dann die Pressung im Punkte D berechnet zu:

2 . P₄ _ 2.6000

300.x

k4 =

300.31

= 1,3 kg/qcm

Die Pressungen in den oberen Fugen fallen wesentlich geringer aus. Man findet nach 2) S. 160 für die Punkte Ds und 1)₂:

4000

k3 =

I¹,

6.9,6

100. AgDg

100.87,5

87,5

= 0,76 kg

k2 ~~~

P₂

100. A„D

2 (¹⁺A₂dJ

2300

100.75

('+¥)

= 0,38 kg

Die Fuge A, D, wird von der Kraft B, = r, = ac in einem Punkt t, geschnitten, welcher rechts von der Fugcnmitte liegt. Die größte Pressung in dieser Fuge findet folglich im Punkte A, statt und ist:

1000

k.

P,

6.1,5

100. At D,

100.62,5

62,5

= 0,18 kg

Unterschnittene Futtermauern.

Die neueren Stütz- oder Futtermauern sind gewöhnlich vorn geböscht mit 1: 5 bis 1 :10 und an der Rückseite unterschnitten. Dadurch läßt es sich

Fig. 219.

erreichen, daß die Mittelkraft R aus dem Eigengewichte G der Mauer und dem Erddrucke E etwa die Mitte der Grundlinie AD (Fig. 219) trifft, was insofern vorteilhaft ist, als sich dann die Pressungen gleichmäßig über den Querschnitt AD verteilen. Die Unterschneiduug darf dabei aber ein gewisses Maß nicht überschreiten; denn da während des Aufmauerns (wenn nicht gleichzeitig die Hinterfüllung mit Erde vorgenommen wird, was selten geschieht) noch kein Erddruck vorhanden ist, so muß die Mauer auch ohne Erddruck standsicher sein; d. h. es muß G die untere Mauerfuge innerhalb der Punkte A und D schneiden, und es darf die durch das Eigengewicht G int Punkte A erzeugte Pressung das praktisch zulässige Maß nicht überschreiten.

Die Lagerfugen der Mauern sind nötigenfalls so geneigt anzuordnen, daß der Winkel, welchen die Mittelkraft mit der Normalen zur Fuge bildet.

überall kleiner bleibt als der Reibungswinkel des Materials. Dieses ist namentlich bei der Bodenfuge zu untersuchen, weil dort die Gefahr des Abschiebens am größten ist. Häirfig legt man aus praktischen Gründen die Lager-fugen rechtwinklig zur Außenfläche der Mauer.

Bei der Stützmauer A A, B C D (Fig. 220a) sei die Bodenoberfläche wagerecht; auf dieser ruhe außerdem noch eine gleichmäßig verteilte Belastung p für das qm, welche nach § 17 S. 149 ersetzt werden kann durch eine Erdschicht von der Höhe BB, = —. Man bestimmt zunächst den auf das

Fig. 220b.

Fig. 220 a.

gj.

J."

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er

Fig. 220 c.

V.

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0'«

L'

IP'

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az

Mauerstück A, B wirkenden Erddruck E, nach den in H 17 angegebenen Regeln, wodurch man das Erddruckdreieck GH J erhält. Verwandelt man dieses in das inhaltsgleiche Dreieck a^, dv so ist das schraffierte Trapez a, bcd, die Be-lastungsfläche für den oberen Teil A,B der Mauer. Die Wagerechte durch den Schwerpunkt dieses Trapezes trifft die Rückenfläche der Mauer im Angriffspunkte des Erddruckes E,, welcher mit der Winkelrechten zu A, B den Winkel cp einschließt. Der Erddrnck E₂ ans das untere Stück A A, der Mauer kann nach Fig. 179 S. 149 oder auch in folgender Weise bestimmt werden. Man verlängere AA, bis B₂, betrachte A,B₂ als Rückenfläche der Mauer und konstruiere dafür das Erddruckdreieck G, Ht J,, welches in das inhaltsgleiche Dreieck a, b, d₂ verwandelt wird. Verlängert man die Seiten b, at und b. d₂ dieses

Man füge nun die Kräfte in der Reihenfolge E, G₂ E₂ zu dem Kräftezuge abcde (Fig. 220b) aneinander, aus welchem die Mittelkräfte r, = ac und r₂ = ce erhalten werden. Diese werden in die Hauptfigur eingezeichnet. Man ziehe zu dem Zwecke durch den Schnittpunkt der Kräfte G, und E, eine Parallele zu ac und durch den Schnittpunkt der Kräfte G₂ und E₂ eine Parallele zu ce.

Dreiecks bis zu den Punkten a und d, so gibt das Trapez a d d₂ a, die Belastungsfläche für den unteren Teil A A, der Mauer. Die Wagerechte durch den Schwerpunkt dieses Trapezes trifft die Rückenfläche der Mauer im Angriffspunkte des Erddruckes E₂, welcher mit der Winkelrechten zn A A, den Winkel «p einschließt.

Der Schnittpunkt der Kraft r, mit der Fuge AtD, gibt den Druckpunkt t,.

Um den Druckpunkt t₂ auf der Bodenfuge AD zn erhalten, zeichne man entsprechend dem beliebig gewählten Pole 0 den Seilzug ml IIn. Die auf die Fuge AD wirkende Kraft B = ae (Mittelkraft aus r, und r₂) geht durch den Schnittpunkt der verlängerten äußersten Seilzugseiten ml und nll und trifft AD in dem gesuchten Punkte t₂.

Aus der Lage der Punkte t₍ und t₂ und der Größe und Richtung der in diesen Punkten angreifenden Kräfte r, und B lassen sich nach den früher gegebenen Regeln die in D, und D auftretenden Kantenpressungen berechnen. Von der Größe dieser Pressungen wird es abhängen, ob man die gewählte Form der Mauer beibehalten kann, oder ob die Abmessungen zn verändern find. Fallen die Pressungen kleiner aus, als praktisch gestattet ist, so könnte man die Mauer schwächer halten; würden dagegen die Pressungen das zulässige Maß überschreiten, so hat man die Mauer zn verstärken.

Znni Schluß ist noch die Untersuchung durchzuführen, ob die Mauer ohne Erddruck standsicher ist. Man bilde aus den Gewichten G, und G₂ der Mauerabschnitte den Kräftezug a'b'c' (Fig. 220c) und zeichne dem beliebig gewählten Pole 0' entsprechend den Seilzug m'B II'tV. Der Schnittpunkt der verlängerten Seilzugseiten m'I' und nz IT/ bezeichnet die Lage der Mittelkraft G, + G₂, welche die Bodcnfuge in tz schneidet. Aus der Größe von G, G₂ und der Lage des Punktes tz kann die Kantenpreffung in A berechnet werden.

Beispiel. Bei einer unterschnittenen Futtermauer (Fig. 220) soll die Kantenpressung in D bestimmt werden unter folgenden Annahmen:

Die Vorderfläche CD sei geböscht mit 1:6, BA, lotrecht, A, All CD,

AD ± CD

Höhe der Mauer:

BC = 0,6 AD — 0,9

Die Bodenoberfläche sei wagerecht und habe eine gleichmäßig verteilte Belastung von 600 kg/qm zu tragen.

y — 1600 kg „ Mauerwerk: y, = 2000 „ er = 30°.

Das Gewicht von 1 cbm Erde sei:

Der Böschungswinkel:

G, — 2740 kg G₂ = 3860 „

E, == 1140 kg E₂ = 2720 „

Die Mittelkraft R aller dieser Kräfte schneidet die Bogenfuge AD in einem Punkte, dessen Abstand von der Kante D sich ergibt zu:

x — 21 cm

Die rechtwinklig p AD gerichtete Seitenkraft P von R ist:

P — 8600 kg

folglich erscheint in D die Pressung:

2P

— 2,73 kg

2.8600

300.21

Das Beispiel ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1 : 20, Kräftemaßstab 1000 kg — 1,5 cm.

Die gleichmäßig auf der Oberfläche der Erde verteilte Belastung wird

— 0,375 m. Man findet:

ersetzt durch eine Erdschicht von der Höhe

600

1600

300.x

Die Mittelkraft R bildet mit der Normalen zu AD einen Winkel von 14".

Die durch das Gewicht der Mauer allein, ohne Berücksichtigung des Erddruckes in A erzeugte Kantenpressung ist:

k = 2,73 kg

Um die Inanspruchnahme des Baugrundes klein zu erhalten, werden die Stützmauern nieist mit einem sich nach unten verbreiternden Fundamente ausgeführt, welches stärker unterschnitten sein kann, als die Mauer selbst, da es in festem, nicht angeschüttetem Boden liegt.

Stützmauern mit Strebepfeilern.

Die Stützmauern mit Strebepfeilern (Fig. 221) werden häufiger angewandt und sind auch in Bezug auf Materialverbrauch nicht ungünstig. Die

fyig. 221.

Mauer selbst zwischen den Pfeilern wird verhältnismäßig schwach ausgeführt, so daß sie nur einen Teil des durch den Erddruck erzeugten Seitenschubes aufnehmen kann; der andere Teil wird auf die Pfeiler übertragen. Der Strebepfeiler hat danach außer dem unmittelbar auf ihn wirkenden Erddruck noch den von der Mauer herrührenden Seitenschub aufzunehmen und ist dementsprechend stark zu bemessen.

Auf die Mauer AB CD (Fig. 222) wirken die Kräfte E und G, deren Mittelkraft R die Bodenfuge AD so nahe der Kante D schneiden möge, daß die in D auftretende Pressung die zulässige Grenze bedeutend überschreitet, oder

wie in Fig. 222 angenommen wurde, die Fuge A D überhaupt nicht mehr trifft, sondern ganz außerhalb füllt.

Danach würde die Mauer an und für sich zu schwach sein, um den auf sie wirkenden Kräften zu widerstehen. Sie ist aber im stände, eine Kraft R, aufzunehmen, welche die Bodenfnge im Punkte in einer solchen Entfernung x von der Kante D schneidet, daß p in D die zulässige Pressung k nicht überschritten wird. Die Bedingung für die Standsicherheit der Mauer ist daher, wenn P die lotrechte Seitenkraft von R bedeutet:

Fig. 222.

Ci

R,

'V

*jtA

R ’R,

2P

300 x

ober: x

2P

300 k

Hierdurch ist die Lage des Punktes t und damit auch die Lage von R, gegeben. Trägt man R, im Kräfteplan an, so erhält man H, d. i. diejenige Seitenkraft, welche von der Mauer nicht aufgenommen werden kann und auf den Pfeiler übertragen werden muß.

Ist nun l die Länge der Mauer zwischen den Pfeilern (Fig. 223), so wirkt (da H den Seitenschub für 1 m Tiefe bedeutet) auf die Mauer die wage-

Fig. 223.

rechte Schubkraft H l als gleichmäßig verteilte Belastung und ruft in ihr eine Biegungsspannung k, hervor. Nach der allgemeinen Biegungsgleichung:

M = k,W

ist, wenn die mittlere Stärke der Mauer mit b, die Höhe derselben mit h bezeichnet wird:

X..4

Hl.l

, hb²

— kt_fT

woraus folgt:

. Vs=

k, ist sehr niedrig, etwa 1 bis 1,5 kg für 1 qcm anzunehmen.

Auf 1 m Tiefe des Pfeilers Emitmcn nun die Kräfte: E, G' (Gewicht

des Pfeilers) und H' — welche zu der Mittelkraft R' zusammengesetzt

werden (Fig. 224) (die Lage von H' ist bestimmt durch den Schnittpunkt der Kräfte E und G in Fig. 222).

l = 2b

hk

Fig. 224.

//'

H'

at

's*

G'

p'

P' /!

d'

xyT

R'

Wird die Bodenfuge A'D' des Pfeilers von der Kraft R' in der Entfernung x' von der Kante D' geschnitten und ist P' die aus dem Kräfteplan zu entnehmende lotrechte Seitenkraft von R', so ergibt sich die Kantenpresfmlg zu:

k' —

2P'

300 x'

Noch vorteilhafter für den Materialverbrauch würde es sein, die Mauer zwischen den Strebepfeilern nicht geradlinig, sondern gewölbartig (nach Fig. 225) auszuführen.

Fig. 225.

Beispiel. Es soll eine 4 m hohe, an der Rückseite lotrechte Stützmauer mit Strebepfeilern ausgeführt werden, wobei die Bodenoberfläche um 10° gegen die Wagerechte geneigt anzunehmen ist.

Böschungswinkel des Erdmaterials. </> — 30° Gewicht eines cbm Erde . . . . y = 1600 kg „    „    „ Mauerwerk . . y, — 2000 „

für die Stärke der Mauer selbst sind gegeben (Fig. 222):

BC — 0,6 m

AD = 0,9 m;

die Pfeilerbreite soll betragen: L — 1,2 m für die Pressungen sind die Werte einzuhalten:

k — 3,5 kg;

kj = 1 kg

Das Beispiel ist aufzuzeichnen im Maßstab 1:25; Kräftemaßstab für die Mauer: 1000 kg — 1 cm, für den Strebepfeiler: 1000 kg = 0,5 cm.

Der Erddruck ergibt sich durch Konstruktion zu:

E — 4560 kg

Das Gewicht der Mauer beträgt:

. 4.2000 = 6000 kg

0,6 -f 0,9

Die Mittelkraft R aus den Kräften E und G trifft die Bodenfugc nicht mehr, sie schneidet die Verlängerung derselben in 4 cm Entfernung von der Kante D. Nach dem Kräfteplan hat die lotrechte Seitenkraft P der Kraft R die Größe:

folglich wird:

P — 8250 kg

2P

2.8250

300 k

= 15,7 cm

300.3,5

Hierdurch ist die Lage von R, gegeben und man erhält ans dem Kräftcplan:

H = 1300 kg

für:

k, = 1 kg/qcm — 10000 kg/qm 0,6 -ft 0,9

= 0,75 m

wird dann:

V“k

folglich bei E — 1,2 m:

3H=²-⁰'⁷⁵

4.10000 3.1300

— 4,8 m

H' =

Hl

1300.4,8

1,2

= 5200 kg

Die Höhe von H' über der Bodcnfuge ergibt sich durch den Schnittpunkt der Kräfte G und E zu 1,12 m.

P' = 13600 kg

Denkt man sich den Pfeiler bestehend aus lotrechten Streifen von 0,2 m Breite und setzt man die Mittelkraft r aus den Kräften E und H' mit den einzelnen Streifengewichten (g = 0,2.4 .2000 = 1600 kg) zu einem Kräfteplan zusammen, so findet man durch Einzeichnung der Drucklinie, daß der Punkt t (bergt. Fig. 216 S. 175) mit der äußeren Kante des siebenten Streifens zusammenfällt. Die den Kräften E, H' und 7 g entsprechende lotrechte Seitenkraft ist:

folglich wird:

x' —

2P'    2.13600

300k — 300.3,5 “ 6 Cm

Hierdurch ist die Lage hes Punktes I)' (bergt. Fig. 224) gegeben. Wird der Pfeiler von D' ans mit 1:7,7 geböscht, so wird von der oberen Hälfte des Pfeilerquerschnitts durch die Böschungslinie ein Dreieck abgeschnitten, welches ersetzt wird durch ein inhaltsgleiches Dreieck in der unteren Hälfte des Pfeiler-querschnittes, begrenzt von der Böschungslinie und der äußeren Kante des siebenten Streifens. Die Gewichte werden also durch die Abböschung der Mauer nicht verändert. Man erhält (Fig. 224):

D'A' — 1,66 m ; B'C' = 1,14 m § 21.

Statische Untersuchung 6er Naßrikschornskeine.

Die auf einen Schornstein wirkenden Kräfte sind das Eigengewicht und der Winddruck, deren Mittelkraft mehr oder weniger von der Lotrechten abweicht und die Grundfläche in einer gewissen Entfernung e von der Mittelachse schneidet. Unter dem Einfluß dieser Mittelkraft darf, wenn der Schornstein standsicher sein soll, kein Kippen und kein Gleiten erfolgen und es muß die größte auftretende Kantenpressung innerhalb der für den Baugrund zulässigen Grenzen bleiben. Dasselbe gilt für jeden höher gelegenen Querschnitt des Schornsteines, auf welchen die Mittelkraft aus dem Gewichte des über dieseni Querschnitt befindlichen Mau'erkörpers und dem darauf entfallenden Winddrnck einwirkt. Die größte Kantenpressung darf dabei die für das Mauerwerk zulässige Grenze nicht überschreiten.

Bei gutem Steinmaterial und bei Verwendung von verlängertem Zement-mortet sind Druckspannungen bis zu 12 kg, Zugspannungen bis etwa 4 kg/qcm als zulässig zu betrachten.

Um ein klares Bild von der Spannungsverteilung innerhalb des Schornsteines zu erhalten, wird die Drncklinie nach den bekannten, schon bei den Stützmauern S. 177 u. f. angegebenen Regeln eingezeichnet.

Zu dem Zweck zerlege man den Schornstein (Fig. 226) durch wagerechte Schnitte in eine Anzahl Teile, füge die Gewichte G, G₂ . . . der einzelnen

Teile und die darauf wirkenden Winddrücke W,W₂ . . . zu einem Kräftcplane aneinander und vereinige G, und W, zu der Mittelkraft rv G₂ und W₂ zu der Mittelkraft r₂ it. s. w. Wird dann entsprechend einem beliebig gewählten Pole 0 zu den Kräften r ein Seilzug aufgezeichnet, so lassen sich für die Querschnitte A, D,, A₂D₂... die auf dieselben wirkenden Mittelkräfte R,E₂... bestimmen und zwar der Größe nach aus dem Kräfteplane, der Lage nach durch den Schnittpunkt der die Kräftegruppe r einschließenden Seilzugseiten.

Fig. 226.

777 I A,

Ml

¹    ■ r5 / \ \

ijk

Ri JL \\

h/¹³ r

■j

G;

r,pl

Ik/

/Sn

'n

VI,

II

W₂

4

fiM,

ist

RA'

H'h⁻

Wo

w₃

ft

Die Kraft R, — r, trifft die Fuge A, im Druckmittelpunkte t,, die Kraft R2 die Fuge A₂D₂ im Punkte t₂ u. s. w. Die stetige Verbindungslinie der Punkte t liefert die Drucklinie.

Die Kantenpressung für einen bestimmten Querschnitt wird alsdann berechnet nach der Gleichung S. 168:

Pe

k —

wobei:

P — lotrechte Seitenkraft der auf den Querschnitt wirkenden Kraft R F — Flächeninhalt des Querschnittes

e — Entfernung des Angriffspunktes der Kraft P von der Mittelachse W = Widerstandsmoment der Querschnittsfläche.

Für den Ringquerschnitt mit den Durchmessern U außen und d innen ist:

(D² — d²) n D² + d² _ D² d²

(D⁴ — d⁴) n

32 D

8D

8D

n •/

folglich:

I'±

8De

Mg. 227.

11?

I)² + d²

Bei quadratischer Bodenfläche mit der Seite b ist das kleinste Widerstandsmoment in Bezug auf die mit der Diagonalen zusammenfallende Achse:

:⁷L.

r;

83

r20

09h

b³

b⁴ b

i2⁺

folglich ist bei diagonaler Windrichtung die in einer Ecke auftretende größte Kantenpressung zn berechnen nach:

6 V2

Fb

8,5

09h

155

09h

Zugspannungen in der Bodcnfuge sind natürlich ausgeschlossen.

Da die Winddrücke im Vergleich mit den Gewichten der Mauerwerkskörper klein ausfallen, so ist es, um die Abweichungen der Mittelkräfte von der Lotrechten deutlicher zur Anschauung zu bringen, und die Abstände e derselben von der Mittelachse genauer abgreifen zu können, empfehlenswert, den Höhendurchschnitt des Schornsteines und den Kräfteplau in verzerrtem Maßstabe aufzuzeichnen und für die Breiten, sowie für die Windkräfte den Maßstab 2, 3, 4 ... mal so groß zu wählen, als für die Höhen bezw. die Gewichte der Mauerwerkskörper.

Der Winddruck nimmt, wie durch Messungen festgestellt ist, mit der Höhe an Stärke zu, und zwar beträgt nach den Untersuchungen von Professor G. Lang die, Zunahme etwa 10 kg/qm für je 10 m Höhe. Nach zahlreichen bewährten Ausführungen von hohen Fabrikschorn-steinen ist es genügend, den unteren _

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Winddruck mit 125 kg/qm in Rechnung zu stellen'). Die Windrichtung wird dabei wagerecht angenonnnen.

Beispiel. Statische Untersuchung des Kamines für die Eisengießerei von Seneca in Mühlburg bei Karlsruhe.

Der im Querschnitt runde Schornstein hat die in Fig. 227 eingeschriebenen Abmessungen. Die Gewichte der Kaminabschnitte sind bei y = 1600 kg für ein cbm:

G. = (1,23² — 0,83²)

. 4,6 . 1600 = 4763 kg

G₂ = (1,39² — 0,89²)

.4,6.1600 = 6590 „

G„ = (1,55* — 0,95²)

.4,6.1600 = 8671 „

G₄ = (1,71* — 0,97²)    . 4,6.1600 = 11464 „

G, = (1,87² — 1,03²)

. 4,6.1600 = 14081 „

G. = (2,21*-1,11*)

.    7.1600 = 32124 „

Das Fundament ist quadratisch gehalten und hat

bei y = 2000 kg für Bruchsteinmauerwerk und „ y, = 2500 „    „ Kiesbeton

das Gewicht:

G₇ = (2,61² + 3,01² + 3,41²) 0,8.2000 + 4².1.2500 = 84000 kg

Der Winddruck wurde für den unteren 7 m hohen Kaminabschnitt angenommen zu 125 kg/qm, dann für die oberen 4,6 m hohen Abschnitte um je 5 kg größer, also von unten ab gerechnet zu 130, 135, 140, 145, 150 kg/qm.

Setzt man nach S. 144 bei dem Kreisquerschnitt ²/z des Aufrisses als Angriffsfläche für den Wind voraus, so ergeben sich die Winddrücke:

W, = ²/s. 1,23.4,6.150 = 566 kg W₂ = ²/₃.1,39.4,6.145 = 618 „ W₃ = ²/s. 1,55.4,6.140 = 665 „ W₄ = ²/s. 1,71.4,6.135 = 708 „ W₅ = ²ls. 1,87.4,6.130 = 745 „ W₆ = »/>. 2,21.7,0.125 = 1289 „

') Die bekannte Firma H. R. Heinicke in Chemnitz nimmt den Winddruck von unten bis oben unverändert an zu 120 kg/qm und rechnet die für den Wind wegen der Zylinderform einzuführende Druckfläche nach v. Reiche zu 0,5 der Ansrißfläche, läßt dagegen nur Zugspannungen bis 0,9 kg/qcm zu.

Die Querschnitte I bis VII haben den Flächeninhalt:

F, = (131² — 91²)-J = . 6974 qcm

97²)4 =

4

103²) ~ =

105²)4= 16506 „

4

Fg = (195² — lll²)^- = 20188 „

F₆ = (221²-lll²)^-

F₇ = 400 . 400 Für die graphische Untersuchung wurden folgende Maßstäbe gewählt:

(Die eine Kaminhälfte braucht nur aufgezeichnet zu werden.)

Die Entfernungen der Druckpunkte von der Mittelachse wurden durch Zeichnung ermittelt zu:

F₂ — (147²

Fs = (163²

F₄ - (179²

9582 „

12535 „

28683 „

= 160000 „

e4 = ⁷³    tf

Die auf die Fugen wirkenden lotrechten Kräfte sind:

Pi = C,

p₂ = G, -f- G₂ = 4763 + 6590 = 11353 „ p₃ = p₂ -j- G₃ = 11353 + 8671 — 20024 P₄ = P₃ + G₄ = 20024 + H464 = 31488 „ P₅ = P₄ + G, = 31488 + 14081 = 45569 P₆ = P₅ + g'₆ = 45569 + 32124 = 77693 „ p’ = P₆ 4- G, = 77693 + 84000 = 161693 „

e₅ — 80,5 cm ©g 83,5 ,, e₇ = 47    „

4763 kg

Danach berechnen sich die folgenden Kantenpressungen:

8.131.26,5

ki

4763

6974

k2 =

11353

9582

(**

131² + 912 8.147.46

)“{

1,4 kg Druck 0,06 „ Zug

k3

20024

_j 3,3 kg Druck

" 10,9    „ Zug

| 5,1 kg Druck

12535

147² + 97ä 8.163.62 163² -f- 103² /    | 1,9    „ Zug

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Stuft.

13

k4 —

31488

k. —

16506

45569

(‘±

k6 =

20188

77693

28683

k„ =

161693

8.179.73 \ _ (6,5 kg Druck 179*+ 105*/ ~ 12,7    „ Zug

/    8.195.80,5    \    _    (7,9    kg Druck

\ - 195² +    lll²    )    ~    |3,4    „ Zug

9,3    kg Druck

3,8    „ Zug

2 kg Druck

8.221.83,5

221² + 111 6>/+ 47

)=!

160000

Vielfach wird bei der statischen Berechnung der Fabrikschornsteine eine Druckverteilung mit Ausschluß von Zugspannungen angenommen. Die graphische Behandlung zur Ermittelung der Kantenpressungen wurde bereits unter 2. § 19 S. 170 bis 173 gezeigt. Analytisch wurde derselbe Gegenstand behandelt von Keck in der Zeitschr. d. Hann. Arch.- u. Jng.-Vereins 1882 S. 627. Die nach den Keckschen Formeln aufgestellten Tabellen, mit deren Hilfe die Berechnung wesentlich erleichtert wird, sind umgerechnet und vervollständigt in Lang, Schornsteinbau, Heft II S. 104 Z.

400

§ 22.

Die Tonnengewölbe.

Von den verschiedenen möglichen Gewölbeformen ist das symmetrische Tonnengewölbe mit wagerechter Achse das verbreitetste und wichtigste und soll deshalb bei den folgenden Untersuchungen zu Grunde gelegt werden. In derselben Weise wie bei den Stützmauern wird auch hier bei den Gewölben die

Fig. 228.

Untersuchung stets für 1 m Tiefe durchgeführt.

.-I-S

'G

Hat das Gewölbe außer seinem Eigengewichte noch eine andere Belastung auf- • zunehmen, z. B. bei Brückengewölben die zur Herstellung t H der wagerechten Fahrbahn v K nötige Aufschüttung, ferner Xx* die Verkehrsbelastung, so wird diese zunächst durch einen Mauerwerkskörper von gleichem spezifischen Gewicht als das Gewölbematerial ersetzt. Der Schnitt DF (Fig. 228) der oberen Begrenzungsfläche dieses Mauerwerkskörpers mit der lotrecht zu der Gewölbeachse stehenden Bildebene heißt die Belastungslinie, die ganze Fläche. AA,DFB,B die Belastungsflächc.

Aus das Gewölbe (Fig. 228) wirken drei Kräfte, nämlich das Gewicht G des ganzen Gewölbes mit der darauf ruhenden Belastung, und die Kämpfer-

■) Vergl. auch: Beiträge zur stat. Untersuchung von Schornsteinen von M. Preuß und Lang in Z. d. V. d. I. 1902 Nr. 35 S. 1321.

drücke K, und Kä. Diese drei Kräfte müssen sich im Gleichgewichte halten, folglich durch einen Punkt 8 gehen. Zerlegt man die Kämpferdrücke K, und Kg in ihre wagerechten und lotrechten Seitenkräfte, so lauten die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen:

1) Die wagerechten Seitenkräfte H der Kämpferdrücke müssen einander gleich sein:

H — Const.

2) Die Summe der lotrechten Seitenkräfte der Kämpferdrücke muß — G sein:

V, + Yg = G

3) Die Summe der statischen Momente der Kräfte G K, K₂ in Bezug auf irgend einen beliebigen Drehpunkt muß — Null sein.

Es sind nun Größe, Richtung und Angriffspunkt von jeder der beiden Kräfte K, und K₂ zu bestimmen, also im ganzen 6 Unbekannte, wozu die drei Gleichgewichtsbedingnngen ohne weitere Annahmen nicht ausreichen. Die Unbestimmtheit der Aufgabe verschwindet aber, wenn man die Angriffspunkte von K, und Kg und außerdem noch irgend einen Punkt im Inneren des Gewölbes annimmt, durch welchen die Drucklinie verlaufen soll.

1) Das symmetrisch belastete Gewölbe.

Fig. 229.

K/

Bei diesem genügt die Untersuchung einer Gewölbehälfte. Denkt man sich ein solches Gewölbe durch einen lotrechten Schnitt im Scheitel in zwei gleiche Teile geteilt, so muß zur Erhaltung des Gleichgewichtes bei jedem der Teile an der Schnittstelle eine Kraft H angebracht werden, welche wegen der Symmetrie des Gewölbes selbst und der Belastung wagerecht gerichtet ist, und der Horizontalschub des Gewölbes genannt wird. Nimmt man (Fig. 229) die Angriffspunkte a und y für die Kräfte K und H an, so ergibt sich die Richtung des Kämpferdruckes K aus der Bedingung, daß sich die Kräfte GHK in einem Punkte 8 schneiden müssen. Die Größe von H und K folgt dann aus dem Kräfteplane, indem man durch den oberen Endpunkt a der bekannten Kraft G = ab (— Gesamtbelastung der einen Gewölbehälfte) eine Parallele zu y S und durch den unteren Endpunkt b von G eine Parallele zu a 8 zieht.

Die Gleichung der statischen Momente in Bezug auf den Drehpunkt a lautet (Fig. 229);

oder

Hieraus folgt, daß unter sonst gleichen Verhältnissen der Horizontalschub H bei einem Gewölbe um so größer wird, je größer (i ist, also je stärker das Gewölbe belastet ist; ferner je größer x wird, b. h. je größer die Spannweite des Gewölbes ist; endlich je kleiner y wird, also je tiefer der Angriffspunkt von H liegt, oder je flacher das Gewölbe ist.

Aus der Größe der Kräfte K und H und aus der Lage der Angriffspunkte a und y derselben ergeben sich die in den Punkten A A, CC₁ auftretenden Pressungen. Es ist empfehlenswert, Zugspannungen im Gewölbe ganz und gar zu vermeiden und das Gewölbe so auszuführen, daß die Drucklinie überall innerhalb des Kernes (des mittleren Drittels) verläuft.

Die Konstruktion der Drucklinie für das symmetrisch belastete Gewölbe ist folgendermaßen:

Man teile die eine Gewölbehälfte mit der darauf ruhenden Belastung (Fig. 230) durch lotrechte Schnitte in Streifen von so geringer Breite, daß

Fig. 230.

rW""

Ar

^ -P

XFWWt"

der Querschnitt jedes einzelnen derselben als Rechteck oder Trapez angesehen werden darf, und bestimine deren Gewichte g, g₂ . . . Die lotrechten Schwerlinien können dabei (vom Scheitel ab gerechnet) für den ersten, allenfalls (namentlich bei flachen Gewölben) für die paar ersten Streifen genau genug in der Mitte der Streifcnbreiten angenommen werden. Fiir die übrigen Streifen, die schon ausgesprochene Trapezform haben, ist die lotrechte Schwerlinie besonders zu bestimmen, wozu das folgende von R. Land angegebene Verfahren') sehr geeignet ist.

Man ziehe in dem trapezförmigen Streifen ABCD (Fig. 231) eine Diagonale AC, markiere den Schnittpunkt F mit der anderen Diagonalen, und mache AG = FC. Die Schwerlinie geht dann durch den nach der größeren Parallelseite (A B) zn gelegenen Drittelspunkt M der Mittelstrecke F G.

Fig. 231.

Fig- 232.

Der Beweis ergibt sich leicht aus Fig. 232. Zieht mau nämlich CK II AD, macht AH = BL = Vs BK und zieht durch H und L Parallelen zu den Diagonalen AC bezw. BD, so ist der Schnittpunkt 8 derselben der Schwerpunkt des Trapezes ABCD¹). Da nun wegen Gleichheit einer Seite (LH — NA) und der anliegenden Winkel ALSH^ANHA, so ist MS II AB; also wenn AB lotrecht, so liegt auch M lotrecht über 8, ist folglich ein Punkt, durch welchen die lotrechte Schwerlinie des Trapezes ABCD gehen muß.

Es kommt nun zunächst darauf an, die Mittelkraft der Streifengewichte der Lage nach zn bestimmen. Zu dem Zwecke reihe man in Fig. 230 die Streifengewichte zu dem Kräftezuge abc... f aneinander, wühle einen beliebigen Pol 0 (am besten auf einer durch den Anfangspunkt a des Kräftezuges gezogenen Wagerechten) und zeichne dazu den sogen, ersten Seilzug m'I'IT... n'. Durch den Schnittpunkt 8' der verlängerten äußersten Seilzugseiten ist die Lage der Mittelkraft G bestimmt.

Wählt man nun den Angriffspunkt y der Kraft H in der Mitte der Scheitelfnge CG,, so ist dadurch, weil H wagerccht gerichtet ist, der Schnittpunkt 8 von G und H gegeben. Der Kämpferdruck K muß, da die Kräfte GHK sich im Gleichgewicht halten, ebenfalls durch den Punkt 8 gehen. Nimmt man dann den Angriffspunkt a von K in der Mitte der Kämpferfuge A A, an, so ist durch die Gerade aS die Richtung von K festgelegt. Die Größen der Kräfte H und K ergeben sich ans dem Kräfteplane, wenn mau durch den unteren Endpunkt f des Kräftczuges eine Parallele zu «8 zieht, welche die durch a • gelegte Wagcrcchte im Punkte 0, schneidet. Es ist dann 0, a = H und f 0, = K. Man betrachte nun 0: als neuen Pol und ziehe von 0, ans Strahlen nach den Punkten bcd . . .

Auf die Fuge F, wirken die Kräfte H und g,, deren Mittelkraft r,

*) Vergl. Lauenstein, Mechanik. 5. Aust. S. 47 und Fig. 49 und 50.

durch den Schnittpunkt I geht und gleich und parallel dem Strahle 0, b ist; sie schneidet die Fuge F, im Punkte tr

Die auf die Fuge F₂ wirkende Kraft r₂ ist die Mittelkraft aus den Kräften Hg,g₂ oder, was dasselbe ist, aus den Kräften r, und g₂; sie geht durch den Schnittpunkt II von r, und g₂ und ist gleich und parallel den: Strahle 0, c. Die Fuge F₂ wird von r₂ im Punkte t₂ getroffen.

In derselben Weise fortschreitend erhält man die Punkte tst₄.. ., in denen die Fugen F₃F₄ . . . von den Kräften r₈r₄ geschnitten werden.

Zeichnet man also zu dem Kräfteplane mit dem Pole 0, einen Seilzug, von y beginnend, so muß die letzte Seite desselben durch den Punkt a gehen und mit «8 zusammenfallen. Der Seilzng y III... a umhüllt die Drucklinie, kann aber bei gcniigend großer Anzahl der Streifen als Drucklinie selbst gelten.

Das soeben besprochene Verfahren zur Einzeichnung der Drucklinie ist insofern nicht ganz scharf, als die Fugen des Gewölbes in Wirklichkeit nicht lotrecht, sondern radial gerichtet sind; indessen sind die Abweichungen der in obiger Weise bestimmten Drucklinie von der wirklichen Drucklinie in den meisten Fällen so gering, daß, namentlich bei den flachen belasteten Gewölben, das angegebene Verfahren praktisch vollständig genügt.

Fig- 233.

f/xx

92

Sl

nV

■Py

P IQ

c.

cb

n'

Bei den im Hochbau vielfach vorkommenden unbelasteten Gewölben, welche zur Überwölbung von Räumen benutzt werden und häufig nur ihr Eigengewicht zu tragen haben (g. B. bei Kirchengewölben), ist es dagegen vorzuziehen, das Gewölbe zur Einzeichnung der Drncklinie nach Fig. 233 durch radiale Schnitte in eine Anzahl unter sich gleicher Teile zu zerlegen, deren Gewichte in den Schwerpunkten derselben angreifen.

Zahlenbeispiel. Statische Untersuchung des in Fig. 234 dargestellten symmetrisch belasteten Gewölbes. Belastungslinie DE wagerecht; Gewicht eines cbm Mauerwerk: y — 1800 kg.

Das Gewölbe ist im Maßstabe 1:10 aufzuzeichnen und die Drucklinie so zu konstruieren, daß sie durch die Mitten der Scheitel- und Kämpferfnge verläuft.

Fig. 234.

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'/

Av

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Z,*t VI

A->. X .

Die ganze Gewölbehälfte ist durch lotrechte Schnitte in 7 Streifen geteilt und zwar so, daß die Streifen 1 bis 6 die gleiche Breite b = 0,4 m erhalten; der Streifen 7 wird 0,35 m breit. Für die mittleren Höhen und die Gewichte der Streifen erhält man folgende Werte:

Gewicht in kg

Streifen Mittlere Höhe

H (M CO ^ iO CD I>

CD CM xh-xfl CM tC iO iO CD l> D (M CD GO

cd d d d

Dt

lO

(M

Dt

00 GO 00 QO 00 GO GO

o o o o o o o o o o o o

CO CD ^s) o (M 00 IO O ^ CO 00 OO CD Tfl lO CO CO H H

lO

ID

CD

Die Streifengewichte sind nun in einem passenden Maßstabe (100 kg — 0,5 cm) zu einem Kräftezuge aneinander zu fügen; der Pol 0 wird beliebig

gewählt und dazu der erste Seilzug aufgezeichnet. Aus dem Schnittpunkte der verlängerten äußersten Seilzugseiten ergibt sich die Lage der Kraft G, deren wagerechter Abstand von der Kante A gefunden wird zu:

x — 0,695 m

Nunmehr kann die Kämpferkraft K der Lage nach bestimmt werden. Bringt man nämlich den der Annahme nach in der Mitte der Scheitelfuge angreifenden Horizontalschub H mit dem Gewichte G zum Schnitt, so gibt die Verbindungslinie dieses Schnittpunktes mit der Mitte der Kämpferfuge die Lage von K an. Zieht man sodann durch den oberen Endpunkt des Kräftezuges eine Parallele zu H, durch den unteren Endpunkt eine Parallele zu K, so ergeben sich für die Größen von H und K die Werte:

H = 3222 kg

K = 6192 „

Die in der Scheitel- und Kämpferfuge auftretenden, sich gleichmäßig verteilenden Pressungen sind danach:

3222

— 1,29 kg

100.25

100. CG

in der Scheitelfnge: kc =

in der Kämpferfuge: ka —

= 1,55 kg

6192

100. AA, 100.40

Zeichnet man die dem Horizontalschube H entsprechende Drucklinie in das Gewölbe ein, so ergibt sich, daß dieselbe in der Fuge zwischen dem dritten und vierten Streifen sich am meisten von der Gewölbemitte entfernt. Man findet hier:

e — 1 cm

Da die Breite der Fuge an dieser Stelle (radial gemessen) b — 28 cm beträgt und die auf die Fuge wirkende Kraft nach den: Kräfteplan: P = 3510 kg ist, so berechnet sich hier die größte Kantenpressung zu:

('+¥)

6e

— 1,52 kg

3510

100.28

100. b

Die Gewölbe unter hohen Dämmeil kann man annähernd auch als symmetrisch belastete Gewölbe betrachten, indem man auf die veränderliche Verkehrsbclastung keine Rücksicht nimmt.

Auf ein solches Gewölbe (Fig. 235) wirken als lotrechte Kräfte das Eigengewicht des Gewölbes und das Gewicht des dariiber befindlichen Erd-körpers; ferner als seitliche Kräfte die nach Fig. 184 S. 153 zu bestimmenden Erddrücke E.

Man teile das Gewölbe und den darüber befindlichen Erdkörpcr durch lotrechte Schnitte in Streifen, oder aber (wie in Fig. 235 geschehen ist) man zerlege das Gewölbe durch radiale Schnitte (bezw. durch Schnitte in Richtung der Fugen) in einzelne Teile, von denen jeder durch den unmittelbar darüber befindlichen lotrechten Erdstreifen belastet wird.

Die Gewichte der Gewölbeteile sind in Fig. 235 mit g, g₂ . . die der zugehörigen Erdstreifen mit p, p₂ ... bezeichnet. Mit Hilfe des Kräfteplanes und Seilznges wird aus je einem g und p durch den Schnittpunkt der an-

Fig. 235.

-M

o₍

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vft

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Pi

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ft

ft

Pit

Pi

ft

Es

M--

ft

ft

ft

ft

ft

schließenden Seilzugseiten die Mittelkraft q gefunden, die dann weiter (Fig. 236) mit dem auf den betreffenden Gewvlbeteil entfallenden Erddruck E zu der Resultierenden r zusammengesetzt wird. In Fig. 236 sind nur die aus Fig. 235 übernommenen Kräfte q, q₂ . . . eingezeichnet, die g- und p-Kräfte dagegen fortgelassen.

In dem Kräfteplane sind q, und E, zu der Mittelkraft r,, ferner q2 und E₂ zu der Mittelkraft r₂ u. s. w. vereinigt. Wird dann entsprechend den: beliebig gewählten Pole 0 zu den Kräften r ein Seilzug aufgezeichnet, so gibt der Schnittpunkt s der äußersten Seilzugseiten die Lage der Gesamt-Mittelkraft E an, deren Größe und Richtung aus dem Kräftcplane zu entnehmen ist. Die Kraft R wird sodann in der Hauptfigur zum Schnitt gebracht mit deni in der Mitte y des Scheitels angreifenden Horizontalschube H, und der Schnittpunkt 8 von R und H mit der Mitte a des Kämpfers durch die Gerade a 8 verbunden. Dadurch ist die Richtung des Kämpferdruckes K festgelegt. Die Größen der Kräfte H und K ergeben sich aus dem Kräfteplan, indeni man durch den unteren End-

Punkt b eine Parallele zu aS zieht, welche die durch den oberen Endpunkt a gelegte Wagerechte int Punkte 0, schneidet. Es ist dann 0ta = H und bO, = K. Entsprechend dem Pole 0, wird die Drucklinie in das Gewölbe eingezeichnet.

Fig. 236.

RS

»sc

PS

'S⁵-

es

fr

Das Gewölbe wird am günstigsten in allen seinen Teilen beansprucht, wenn die Mittellinie desselben mit der Drucklinie zusammenfällt. Ergibt sich nun bei der eingezeichneten Drucklinie, daß dies nicht der Fall ist, so verändere man die innere und äußere Gewölbelinie derart, daß die eingezeichnete Drucklinie Mittellinie wird. Die Gewichte werden sich dadurch wenig ändern, wohl aber unter Umständen die seitlichen Erddrücke auf die einzelnen Gewölbeteile, weshalb dann nötigenfalls die Konstruktion für das in seiner Form abgeänderte Gewölbe noch einmal durchzuführen ist.

2) Das unsymmetrisch belastete Gewölbe.

Außer der bleibenden Belastung, welche aus dem Eigengewichte, der Hintermauerung und Aufschüttung besteht, kann bei einem Gewölbe noch eine veränderliche Belastung vorhanden sein, durch deren Einfluß die Drucklinie eine unsymmetrische Gestalt annimmt. Das Gewölbe wird am stärksten beansprucht, wenn die veränderliche Belastung sich iiber eine Seite desselben erstreckt bis zu denjenigen Punkte, wo die Tangente an die Drucklinie wagerecht gerichtet ist, die andere Seite aber unbelastet bleibt, d. h. keine veränderliche Belastung zu ertragen hat. Dieser genaue Grenzpunkt zwischen belasteter und unbelasteter Seite ist nicht so ganz leicht zu bestimmen und praktisch genügt es vollkommen, als ungünstigsten Belastungsfall, eine Hälfte des Gewölbes voll belastet, die andere Hälfte unbelastet anzunehmen.

Fig. 237 a.

ff

XX,

9s

X *»

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i..

Gz

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n'

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.....4'

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Fig. 237 b.

fr

Um die Drucklinie in ein solches einseitig belastetes Gewölbe einzeichnen zu können, nimmt man drei Punkte an, durch welche dieselbe verlaufen soll und zwar zunächst die Mitten a und ß der Kämpferfugen und die Mitte y der Scheitelfuge (Fig. 237 a). Man teilt sodann die belastete, sowie die unbelastete Gewölbehälfte in eine Anzahl Streifen ein, deren Gewichte man zu einem Kräfteplane abc (Fig. 237b) aneinander fügt. Mit dem beliebig gewählten Pol 0 wird darauf der erste Seilzug m'I'II' ... n' aufgezeichnet, mit dessen Hilfe sich durch Verlängerung der entsprechenden Seilzugseiten bis zu den Schnittpunkten 8/ und S₂' die Lagen von G, (Mittelkraft der Streifengewichte der belasteten Gewölbehälfte) und Ga (Mittelkraft der Streifengewichte der unbelasteten Gewölbehälfte) bestimmen lassen.

fr

■fr

9s

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An der linken belasteten Gewölbehälfte halten sich die Kräfte G, und die durch G, allein hervorgerufenen Kämpferdrücke W, und W₂ im Gleichgewichte, müssen also durch einen Punkt 8, gehen. Dieser Punkt 8, ist aber dadurch bestimmst daß W₂ die Richtung ßy haben muß, weil sonst die rechte unbelastete Gewölbehälfte um den Punkt ß gedreht werden würde.

An der rechten Gewölbehälfte halten die Kräfte G₂ und die durch G₂ allein erzeugten Kämpferdrücke D, und D₂ einander im Gleichgewichte und schneiden sich im Punkte S₂, welcher dadurch festliegst daß D, die Richtung ay haben muß.

Durch die gemeinsame Wirkung von G, und G₂ entstehen die Käinpfer-drücke K, (Mittelkraft aus W, und D,) und Kä (Mittelkraft aus W₂ und D₂), welche dem Gesamtgewichte G = G, -f- G₂ das Gleichgewicht halten.

Aus dieser Betrachtung ergibt sich folgende Konstruktion: Man ziehe die Kreuzungsgeraden ßy und ay und verlängere dieselben bis zu den Schnittpunkten 8, und S₂ mit den Belastungen Gt bezw. G₂. Der Punkt S, wird sodann trat a, der Punkt S₂ mit ß geradlinig verbunden.

Im Kräfteplane (Fig. 237 b) zerlege man G, in die Seitenkräfte W, und W₂, indem man ad II 8, et und bd II ,58, zieht; ferner G₂ in die Seitenkräfte I), und I)₂ durch Ziehung der Geraden b e II a S₂ und ce I! ßSr Vervollständigt man den Linienzug dbe zu einem Parallelogramm durch dO, IIbe und eO, I! bd, so ist dO, = be = D, und e0, = b d = W₂. Vereinigt man sodann Ist — 0, d und W, = da zu der Mittelkraft K, — 0, a, ebenso Dg = ce und W₂ = e0, zu der Mittelkraft K, = cO,, so bilden K, K₂ und G = G, + G₂ das geschlossene Kräftcdreicck acO,, halten sich also im Gleichgewichte.

Zeichnet man mit dem durch obige Parallelogramm-Konstruktion gewonnenen Pole 0, in das Gewölbe einen Seilzug in a beginnend, so wird derselbe auch durch die Punkte y und ß gehen, und die gesuchte Drucklinie des Gewölbes umhüllen.

Eine andere von Prof. R. Land angegebene ’) und wegen ihrer Einfachheit sehr empfehlenswerte Lösung, eine Drucklinie durch die drei gegebenen, bezw. angenommenen Punkte ayß zu legen, ist folgende:

Man zeichne für den beliebig gewählten Pol 0 den ersten Seilzug mzr II'. . . n', und bestimme auf diesem die Punkte a‘y‘ ß‘ lotrecht über den Punkten ayß (Fig. 238). Man ziehe sodann die Schlußlinien a'y' und ß'y\ und im Kräfteplan durch den Pol 0 die Ost II a‘y‘ und 01₂II ß‘y‘.

Der Punkt st zerlegt die Strecke ab = G, in die Abschnitte äst und t, b, welche bekanntlich die in den Lotrechten durch a und y auftretenden Seiten-krüfte von G, darstellen. Da aber diese Seitenkräfte für beliebige andere Seil-züge ungeändert bleiben, so muß, wenn ay die Schlußlinie des gesuchten Seil-zuges werden soll, der Pol 0, derselben auf der durch st II ay gezogenen Geraden liegen (bergt. Fig. 70 S. 46). Ans demselben Grunde muß 0, auch auf der durch t₂ II ßy gezogenen Geraden liegen.

*) Zentralbl. der Bauverw. 1890. S. 94.

Der Schnittpunkt 0, der t, 0, II ay und t₂0, II ßy ist danach der Pol des Kräfteplanes für den gesuchten Seilzug, welcher durch die Punkte ayß verläuft.

Mg. 238.

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Eine dritte, sich auf den in § 3 Seite 15 angeführten Satz stützende Lösung, eine Drucklinie durch die Punkte ayß zu legen, gibt Prof. Barkhaufen folgendermaßen an:

Man konstruiere für den in Fig. 239 b beliebig angenommenen Pol 0 den Seilzug m IIIIIIIV V so, daß er durch den Punkt a verläuft. Dieser ist zunächst so zu schwenken, daß er auch durch den Punkt y geht. Zu dem Zweck verlängere man die lotrecht unter y liegende Seilzugseite IV V bis zum Schnitt ö mit der im Punkte a errichteten Lotrechten und ziehe die Gerade öy. Durch den Punkt b (Grenzpunkt zwischen den Streifengewichten g₄ und g₅) in Fig. 239b

ziehe man sodann eine Parallele zu dy bis zum Schnittpunkt 0' mit der durch 0 verlaufenden Lotrechten. Der dem Pole 0' entsprechende durch den Punkt a gelegte Seilzug geht dann auch zugleich durch den Punkt y. Von diesem letzteren Seilzuge wird nur die zweite Hälfte (von y ab) gezeichnet. Die letzte

Mg. 239 a.

3.

in

9<

9s

Fig. 239 b.

Seite desselben möge die Lotrechte g₈ im Punkte ß‘ schneiden. Man verlängere dieselbe bis zum Schnittpunkt s mit der verlängerten ay und ziehe in Fig. 239 b durch c eine Parallele zu ß'e, ferner durch 0' eine Parallele zu ay. Beide schneiden sich in 0,. Der dem Pole 0, entsprechende, durch den Punkt a gelegte, in Fig. 239a aber nicht weiter eingezeichnete Seilzug wird dann auch durch die Punkte y und ß verlaufen.

Der Beweis ergibt sich aus 2 § 3 S. 15. Nachdem die Drucklinie eingezeichnet ist, können die Spannungen an jeder beliebigen Stelle des Gewölbes leicht in der bekannten Weise bestimmt werden. An der belasteten Seite nähert sich die Drucklinie dem äußeren Rande, an der unbelasteten Seite deni inneren Rande des Gewölbes; man wird daher außer den in der Scheitclfuge und den Kämpferfugen auftretenden, sich gleichmäßig iiber die betreffenden Querschnitte verteilenden Spannungen, namcnt-lich noch die Spannungen an denjenigen Stellen des Gewölbes berechnen, wo die Drucklinie sich am weitesten von der Mittellinie des Gewölbes entfernt.

Zahlenbeispiel. Statische Untersuchung des in Fig. 240 skizzierten einseitig mit p = 800 kg für 1 qm belasteten symmetrischen Tonnengewölbes. (Das Beispiel ist dem Werke: „Kircher, Vorlagen für den gewerblichen Fachunterricht an technischen Lehranstalten" entnommen.)

o'i

\9s

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"97

'9s

Gewicht eines cbm Mauerwerk: y — 1600 kg.

Spezifisches Gewicht der Aufschüttung gleich dem des Mauerwerkes, so daß die Belastnngslinie DE wagerecht. Die veränderliche Belastung wird ersetzt durch einen Mauerwerkskörper von der Höhe:

800

-    0,5 m

1600

Die Aufgabe ist aufzuzeichnen im Maßstabe 1:20; Kräftemaßstab 1000 kg — 2,5 cm.

Fig. 240.

1 ■66‘²y'i

so

20

6    7    9    10 ß

15

I.

Dt

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B>

*37

Das ganze Gewölbe ist in 10 Streifen geteilt, von denen die acht mittleren je 40 cm breit angenommen sind, so daß für jeden der beiden Endstreifen die Breite ’/a. (437 — 8.40) — 58,5 cm bleibt. Es ergeben sich dann folgende Streifengewichte:

Belastete Seite

Unbelastete Seite

Streifen Gewicht in kg

Streifen j Gewicht in kg

1610 kg

928 „ 800 „ 717 „ 678 „

r*

0 GO 05 O

358 kg 397 „ 480 „ 608 „ 1142 „

G₄ — 4733 kg

G₂ — 2985 kg

Diese Gewichte werden sodann zu einem Kräfteplane aneinander gefügt. Ans dem mit einem beliebig gewählten Pole 0 gezeichneten ersten Seilzuge findet man durch Verlängerung der äußersten Seiten bis zu den Schnittpunkten mit der lotrecht unter der Gewölbmitte liegenden Seilzugseite die wagerechten Entfernungen der Belastungen G, und G-₂ von der Mittelachse des Gewölbes zu:

y₂ ±= 119,5 cm y₂ — 128,5 „

Es werden darauf durch die Mitte der Scheitelfuge und der beiden Kämpfer-fugen die Kreuzungslinien gezogen, bereit Schnittpunkte mit den Belastungen G, und G₂ bestimmt und diese Schnittpunkte mit den Mitten der Kämpfer-fugen geradlinig verbunden. Durch Ausführung der oben gezeigten Parallelogrammkonstruktion im Kräfteplane erhält man den neuen Pol 0,, mit welchem die durch die Mitte der Scheitel- und Kämpferfugen verlaufende Drucklinie zu verzeichnen ist. Noch schneller führt zur Bestimmung des Poles 0, die Anwendung des ans S. 205 Fig. 238 angegebenen Landschen Verfahrens zum Ziele. Es zeigt sich, daß die Drucklinie überall innerhalb des Kernes bleibt. Aus dem Kräfteplane findet man die Kämpferdrücke:

K, — 5920 kg K₂ — 5280 „

wonach sich die Pressungen in den Kämpferfugen A und B, deren Stärke (nach Fig. 240): b — 45 cm beträgt, ergeben zu:

5920

— 1,32 kg

ka =

100.b 100.45

in Fuge A:

in Fuge B:

kb —

K.

5280

= 1,17 kg

100.45

Auf der belasteten Seite nähert sich die Drucklinie in einer Fuge F (zwischen den Streifen 3 und 4) am meisten dem äußeren Gewölbrande. Man mißt an dieser Stelle:

den Abstand des Druckpunktes von der Mittellinie des Gewölbes: e = 5 cm

die radiale Fugenstärke: b — 36,6 cm

die auf die Fuge F wirkende Kraft: P — 4160 kg.

Die am äußeren Gewölbrande in Fuge F auftretende Kantcnpressung berechnet sich danach zu:

100. b

= 2,07 kg

kf —

4160

100. b

100.36,6

In derselben Weise kann auf der unbelasteten Seite zwischen den Streifen 7 und 8, wo sich die Drucklinie am meisten dem inneren Gewölbrande nähert, die dort erzeugte Kantenpressung berechnet werden.

Die Drucklinie wurde vorläufig so eingezeichnet, daß die Mitten der Fugen A und B die Angriffspunkte der Kämpferdrucke bilden. Die Spannungen in diesen Fugen verteilen sich dann gleichmäßig über den Querschnitt, können also zeichnerisch durch ein Rechteck dargestellt werden, während an allen anderen Stellen des Gewölbes (ausgenommen am Scheitel), wo die Drucklinie von der Mittellinie des Gewölbes abweicht, sich als Darstellung der Spannung ein Trapez oder Dreieck ergibt. Man wird im allgemeinen für verschiedene Stellen — 1,52 kg

des Gewölbes verschiedene Spannungen finden; so z. B. weichen in unserem Beispiele die Spannungen kakb kf wesentlich voneinander ab.

In Wirklichkeit wird nun die Drucklinie bei den einseitig belasteten Gewölben nicht durch die Mitten der Kämpferfugen gehen, sondern eine solche Lage annehmen, daß die in den Fugen A, B und F auftretenden größten Spannungen (die Kantenpresfungen) einander nahezu gleich find; denn aller Wahrscheinlichkeit nach ist die günstigste Drucklinie immer die wirkliche. Es würde bei der günstigsten Lage der Drucklinie dann in den drei Fugen ABF die mittlere Spannung entstehen:

ka -j- kb + kf

1,32 + 1,17 + 2,07

Nach dieser berechneten mittleren Spannung können die Angriffspunkte in den Fugen ABF festgelegt und es kann danach eine neue Drucklinie eingezeichnet werden, die der wirklichen schon sehr nahe kommt. Dieses Verfahren, welches das Schwenken der Drucklinie genannt wird, ist dann immer vorzunehmen, wenn die erste durch die Mitten des Scheitels und der Kämpfer gelegte Drucklinie an einzelnen Stellen aus dem Kern heraustritt. Tritt auch die geschwenkte Drucklinie noch aus dem Kern heraus, so muß, wenn man an der Forderung festhält, daß keine Zugspannungen entstehen sollen, das Gewölbe verstärkt werden. Ein Beispiel Dom Schwenken der Drucklinie gibt die statische Untersuchung des Hauptgewölbes der auf S. 233 it. f. behandelten Eisenbahnbrücke.

3) Die verschiedenen Lagen der Drucklinie (Maximal- »nd Minimal-

Drucklinir).

Am günstigsten für ein Gewölbe würde es immer sein, wenn die Drucklinie mit der Mittellinie desselben zusammenfiele, da dann die Spannungen, weil sic sich gleichmäßig über die Querschnitte verteilen, am kleinsten ausfallen. Dieser Fall ist theoretisch durch passende Annahme der Gewölbeform bei unveränderlicher Belastung allerdings zu erreichen; praktisch liegt die Sache jedoch derart, daß in den Gewölben Formänderungen (sog. Störungen) vor-kommen, die sich häufig einer scharfen Beurteilung entziehen, und daß infolgedessen die Form eines Gewölbes nie genau so bleibt, wie sie entworfen war. Die Formänderungen bestehen hauptsächlich in dein Setzen des Lehrgerüstes während des Aufmauerns, in dem Setzen des Gewölbes selbst nach Entfernung des Lehrgerüstes und in dem Ausweichen der Widerlager; ferner ist der Wärme-zustand von Einfluß. Infolge dieser Formänderungen läßt cs sich, auch bei den unveränderlich belasteten Gewölben, nicht mit Sicherheit behaupten, daß die Drucklinie mit der Mittellinie des Gewölbes immer zusammenfällt. Bei dem einer veränderlichen Last ausgesetzten Gewölbe wird unter allen Umständen die Drucklinie je nach der Lage der Belastung von der Mittellinie abweichen. Es ninß daher der Drucklinie ein gewisser Spielraum gestattet sein und das Gewölbe so ausgeführt werden, daß dasselbe standsicher ist, wie auch immer

14

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Ausl.

die Drucklinie innerhalb des ihr gestatteten Spielraums liegen möge. Für diesen Spielraum wird, damit keine Zugspannungen im Gewölbe entstehen, von den meisten maßgebenden Fachleuten das mittlere Drittel des Gewölbes (der Kern) angenommen und demnach die Forderung aufgestellt:

In ein Gewölbe muß, damit es standsicher sein soll, sich eine Drucklinie so einzeichnen lassen, daß dieselbe überall innerhalb des Kernes bleibt; die auf Grund dieser Drucklinie berechneten Pressungen dürfen an keiner Stelle des Gewölbes die zulässige Grenze überschreiten.

Von allen Lagen, ivelche die Drucklinie innerhalb des Kernes einnehmen kann, verdienen besondere Beachtung die beiden .Grenzlagen, von denen die eine (die Maximaldrucklinie) dem größten, die andere (die Minimal-drucklinie) dem kleinsten Horizontalschube entspricht.

Da, wie bereits Seite 196 angeführt war, unter sonst gleichen Verhältnissen der Horizontalschub um so größer sein muß, je geringer die lotrechte Entfernung des Angriffspunktes desselben von bent Angriffspunkte des Kämpferdruckes ist (bergt Fig. 229, S. 195), so wird bei einem und demselben Gewölbe dem größeren Horizontalschube eine flachere, dem kleineren Horizontal-schnbc eine steilere Drucklinie entsprechen.

Bei Gewölben mit kleinem Pfeil geht die dem Maximal-Horizoutal-schnbe entsprechende Drucklinie, welche von allen Drucklinien, die sich in den Kern einzeichnen lassen, die flachste ist, im Scheitel durch den unteren Kernpunkt, an den Kämpfern durch die oberen Kernpunkte (Fig. 241); umgekehrt

Fig. 241.

Maximal-DrueJilinia.

Fig. 242.

Minimal -Druchlinie.

geht die dem Minimal-Horizontalschube entsprechende Drucklinie (von allen innerhalb des Kernes liegenden Drucklinien die steilste) durch den oberen Kernpunkt des Scheitels und durch die unteren Kernpunkte der Kämpfer (Fig. 242). Die Kämpferfugen bilden daher bei allen flachen Gewölben auch die Bruchfugen').

0 Unter Bruchfugen versteht man diejenigen Fugen, in denen am leichtesten ein Bruch des Gewölbes entsteht, weil sich dort die Drucklinie am meisten dem Gewölbrande nähert.

Dies ist nicht immer der Fall bei hohen Gewölben, bei denen die Bruch-fugen besonders bestimmt werden müssen.

Die Bestimmung der Brnchfnge für den Minimal-Horizontalschub (Hmill) ist durchgeführt bei dem symmetrisch belasteten Gewölbe Fig. 243. Hmln greife dabei zunächst im oberen Kernpunkte o des Scheitels an.

Nach Einteilung des Gewölbes in Streifen und Aneinanderfügen der Gewichte derselben zu dem Kräftezuge abc . .. g bestimme man mittels des ersten Seilzuges mit beliebigem Pole 0 die Lage von G,^ (Mittelkraft sämtlicher Streifcngewichte) und bringe diese zum Schnitt S₆ mit Hm;„. Verbindet man dann S₆ mit dem unteren Kernpunkte u₆ der Kämpferfuge und zieht durch den unteren Endpunkt g des Kräfteplanes eine Parallele zu u₆ S₆, so

Fig. 243.

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\\\

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>......r-

min Hs

L niiivHß

n’.

schneidet diese auf der durch a gelegten Wagerechten den Horizontalschnb minH6 ab, welcher einer durch die Punkte o und ue gehenden Drucklinie entspricht. Diese Drucklime genügt für die Kämpferfuge, kann aber möglicherweise bei einer der folgenden Fugen 5, 4 . . . aus dem Kern heraustreten. Um dies Sit untersuchen, bestimme man weiter die Lage G,_₅ (Mittelkraft der Streifen-gewichte gj bis g₅), welche Hmin im Punkte S₅ schneidet. Verbindet man S5 mit dem Punkte u₅ (Schnittpunkt der Fuge 5 mit der unteren Kernlinie des Gewölbes) und zieht durch f im Kräftcplane eine Parallele zu u₅S₅, so schneidet diese den Horizontalschub mlnH₅ ab, welcher einer durch die Punkte o und u₅ gehenden Drucklinie entspricht. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens findet man den Horizontalschnb Hmln für alle übrigen Fugen; mit dem größten derselben ist die Drncklinic aufzuzeichnen und derjenige Punkt, für welchen Hmin den größten Wert erreicht, bezeichnet zugleich die Brnchfnge.

In derselben Weise ist die Bruchfuge für den Maximal-Horizontalschub zu bestimmen. Von allen Werten, die sich dabei für H Aufzeichnung der Drucklinie der kleinste zu nehmen.

ergeben, ist zur

In manchen Fällen wird bei hohen Gewölben die Minimaldrucklinie nicht durch den oberen Kernpunkt, die Maximaldrucklinie nicht durch den unteren

Fig. 245.

Fig. 244.

Minimal-

DrucKlinie.

Maximal -Druchlinie.

Kernpunkt der Scheitelfuge geheu (Fig. 244 ititb 245); der Angriffspunkt von H wird dann am besten durch Versuch bestimmt.

Im allgemeinen ergeben sich ftir den Maximal- und Minimal-Horizontal-schub zwei verschiedene Drucklinien, die sich irgendwo schneiden (Fig. 246) und zwischen denen sich eine Reihe von anderen innerhalb des Kernes verlaufenden

Drucklinien einzeichnen läßt, entsprechend einemHorizontal-schube, welcher zwischen H und H

Fig. 246.

liegt. Je verschiedener die Maximal- und Minimaldrucklinien in ihrer Forni sind, um so standsicherer ist das Gewölbe.

4s

Die erforderliche Scheitelstärke dfl eines neu zu entwerfenden Gewölbes ist nach dem Maximal-Horizontalschube zu bestimmen. Greift derselbe im unteren Kernpunkte der Scheitelfuge an und ist k die zulässige Kantenpressung, so ist:

2.H

kann dabei unter vorläufiger Annahme der Gewölbe-

Die Größe von H form annähernd berechnet werden aus der Bedingung (Fig. 247).

Da der Kämpferdruck K immer größer ist als der Horizontalschub, so muß auch die Kämpferstärke d in demselben Verhältnis größer ausgeführt werden als die Scheitelstärke, damit die in der Kämpferfuge auftretende Kantenpressung das zulässige Maß nicht überschreitet. Greift (bei der Maxi-maldrucklinie) K tut oberen Kernpunkte der Kämpferfuge an, so wird:

Fig. 247.

do H

2K

d = -k

Kleinere Backsteingewölbe werden meistens mit gleichbleibender Stärke durchgeführt und so bemessen, daß die Beanspruchungen in bett Kämpfern oder den Bruchfugen nicht zu groß ausfallen; die Pressungen int Scheitel erreichen dann das zulässige Maß nicht.

Wird bei einem Gewölbe, welches einer bestimmten ruhenden Belastung ausgesetzt ist, die Form so gewählt, daß die Drucklinie mit der Mittellinie des Gewölbes zusammenfällt, so nennt man ein solches Gewölbe ein Stütz-liniengewölbe. Selbstverständlich kann bei veränderlicher Belastung von einem Stützliniengewölbe nie die Rede sein.

Fig. 248.

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Dr"

—xF

/k,

dr-r

bü

4(7

Der Horizontalschub bei einem Stützliniengewölbe ergibt sich nach Fig. 248 wegen Ähnlichkeit der Dreiecke abO und mnC ans dem Verhältnis:

H _ Q ybz₀ ~ b

zn:

wobei:

H = yQz₀

q — Krümmungshalbmesser tut Scheitel z₀ — Belastungshöhe im Scheitel (DF in Fig. 248 ist die auf Gewölbemauerwerk bezogene Belastungslinie.)

Für ein kreisförmiges Gewölbe ist der Krümmungshalbmesser unveränderlich, also (j — r, daher:

H = y rz₀

z. B. für r = 5 m, z₀ = 2,8 m, und y — 1600 kg wird:

H = 1600.5.2,8 = 22400 kg

Bei den Stützliniengewölben muß, wenn sie überall gleiche Widerstandsfähigkeit gegen Druck besitzen sollen, die Stärke der rechtwinklig zur Kraftrichtung angenommenen Fugen vom Scheitel nach den Kämpfern zu beständig

Fig. 249.

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<a\

I. -yc

\a

G.

7>

in demselben Maße zunehmen, als die wirkenden Kräfte größer werden, oder mit anderen Worten: Die Fugenstärken müssen sich verhalten, wie die auf die Fugen wirkenden Kräfte. Vergleicht man z. B. in einem Gewölbe Fig. 249 die beliebige Fuge d, auf welche die Kraft P wirkt, mit der Scheitelfuge d₀, so besteht die Beziehung:

O^j P-

Fig. 250.

\ \d°

d₀

Schließt die Kraft P mit der Wagerechteu den Winkel a ein, so ist:

cos a

also auch: ^ %

cos«

woraus folgt, daß:

d . cos a = d₀

d. h. der Aufriß der Fuge d ist gleich der Scheitelfuge d₀.

Da die Fuge d beliebig gewählt war, die letzte Gleichung also für sämtliche Fugen gilt, so erhält man den Satz:

Bei einem Stützliniengewölbe von überall gleicher Widerstandsfähigkeit gegen Druck muß der Aufriß jeder Fuge gleich der Scheitelfuge sein (Fig. 250).

8 23.

D

Die Kreuzgewölbe.

Unter einem Kreuzgewölbe versteht man bekanntlich die Durchdringung zweier Tonnengewölbe (Fig. 251). Die Stirnseiten A B,

BC, CD, DA werden begrenzt durch Mauern oder durch Gurtbögen, die Diagonalen AC,

BD heißen die Grate oder Gratbögen.

Die Ausführung der Kreuzgewölbe erfolgt 4 entweder derart, daß die Lagerfugen parallel den Längsachsen der Tonnengewölbe laufen, ^ oder so, daß die Lagerfugen senkrecht zu den Gratbögen angeordnet werden. Jede dieser Konstruktionen ist bei der statischen Untersuchung für sich zu betrachten.

Fig. 251.

,1s

1) Die Lagerfugen laufen parallel den Längsachsen der Tonnengewölbe.

Man teile das tut Grundriß quadratisch angenommene Gewölbe (Fig. 252) in Streifen senkrecht zu den Lagerfugen und zwar alle vier Gewölbeteile in dieselbe Anzahl. Jeder dieser Streifen bildet für sich ein kleines, d. h. schmales Tonnengewölbe, dessen statische Untersuchung wie bei jedem andern gewöhnlichen Tonnengewölbe durchzuführen ist. Wir untersuchen zunächst das Tonnengewölbe Nr. IV, und teilen dieses in ebensoviel Be-lastungsstreifen, wie tut Grundriß angenommen waren, also tut vorliegenden Falle in vier. Durch Einzeichnen der Drucklinie in bekannter Weise erhält man den Horizontalschnb H und Kämpfcr-drnck k₄. In derselben Weise werden für die kleinen Tonnengewölbe Nr. III, II, I die Kämpferdrücke k₃ kä kj graphisch bestimmt.

Auf den Gratbogen wirken nun die Kräfte kt und k,, k₂ und k2 k₃ und ks, k₄ und k₄, welche in h ³i wagerechte und lotrechte Seiten- . fräste zerlegt werden. Die wage- /

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Fig. 252.

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rechten Seitenkräfte H und H setzen sich wieder zusammen zu der in der Richtung des Gratbogens wirkenden Mittelkraft Hr Die lotrechten Scitcn-kräfte bestehen aus den doppelten Gewichten g, sind also: 2 g,, 2g₂, 2g₃, 2g₄. Bildet man aus diesen letzteren und dem Horizontalschube H,*) einen Kräfteplan (Fig. 253 b), so ergeben sich daraus die Kräfte r,, r₂, rs, r₄, durch welche der Gratbogen beansprucht wird. Durch die bekannten Angriffspunkte 1, 2, 3, 4 der Kräfte r (es sind dieselben Punkte, in denen die Kräfte k angreifen) ziehe man in der Hauptfigur (Fig. 253a) Parallelen zu r,, r₂, ra, r4 und bestimme, indem man aus den Kräften r (in kleinerem Maßstabe) einen

Fig. 253 a.

Fig. 253 b.

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Fig. 253 c.

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besonderen Kräfteplan (Fig. 253 c) bildet und, dem beliebigen Pole 0 entsprechend, den Seilzug m IIIIIIIV n aufzeichnet, die Lage der Mittelkraft R, deren Größe und Richtung aus dem Kräfteplan zu entnehmen ist.

Man ziehe sodann durch die Mitte y der Scheitelfuge eine Wagercchte, bestimme den Schnittpunkt 8 derselben mit der Kraft E und verbinde 8 mit der Mitte a der Kämpferfuge. Die Gerade 8 a gibt die Richtung des Kämpfer-druckes K. Die Große von K und H₂ folgt aus dem Kräfteplau (Fig. 253 c), indem man durch Anfangs- und Endpunkt des Zuges der r-Kräfte Parallelen zu «8 und yS zieht. Dadurch erhält man zugleich den Pol 0,, mit dessen Hilfe die Drucklinie dann in bekannter Weise in den Gratbogen eingezeichnet werden kann.

Auf den Eckpfeiler wirkt die Kraft K, welche sich in V und Hs zerlegt; die Gurtbögen erhalten keinen Schub.

') Ist wird dargestellt durch die Hypotenuse eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks, dessen Katheten gleich dem Horizontalschube H sind.

2) Die Lagerfllgrn sind im Grundriß senkrecht zu den Graten angeordnet.

Die Gratbögen erhalten bei dieser Ausführungsart meistens eine Ver

stärkung.

Man teilt das Gewölbe (Fig. 254) in Streifen I, II, III, IV, senkrecht zu den Gratbögen. Sämtliche Streifen übertragen auf die Gratbvgen Horizontalschübe, die sich gegenseitig aufheben. Von den innerhalb des Vierecks JLMN

Fig. 255.

Fig. 254.

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II

liegenden Streifen lehnen sich je zwei zusammengehörige (I und I, II und II) im Scheitel aneinander und üben die Horizontalschübe H aufeinander aus, die sich zusammensetzen zu der in der Richtung der Gewölbeachse wirkenden Mittelkraft H, (Fig. 255).

Die außerhalb des Vierecks JLMN liegenden Streifen stützen sich mit ihren Anßcnendcn gegen |bte Gurt-bögen nnd übertragen auf diese die Seitenschübe H (d. s. die in die Richtung der Gewölbeachse fallenden Seitenkräfte von H).

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Fig. 256.

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Wir untersuchen zimächst den äußeren Streifen IV, und denken uns denselben ergänzt bis zum Scheitel des Tonnengewölbes (bis zu der verlängerten M J in Fig. 254). Dieser wird in so viel Belastungsstreifen geteilt, wie im

Grundriß Gewölbestreifen vorhanden sind, also im vorliegenden Falle in vier. Die Untersuchung wird nach Fig. 256 in bekannter Weise durchgeführt und ergibt den Horizontalschub H, welcher für die anderen Streifen III bis I dieselbe Größe hat.

Danach wird die statische Untersuchung durchgeführt für den (ebenfalls in vier Belastungsstreifen eingeteilten) Gratbogen (Fig. 257). Auf diesen wirken nur lotrechte Kräfte, da sich, wie schon oben bemerkt, die Horizontalkräfte gegenseitig aufheben. Der von dem Gurtbogen auf den Streifen IV ausgeübte Gegendruck hat eine nach unten gerichtete lotrechte Seitenkraft, welche gleich ist dem Gewichte der in Fig. 254 punktierten Verlängerung des Streifens.

Fig. 257.

Dasselbe gilt von dem Streifen III. Danach sind die Belastungen des Gratbogens (außer dem Gewichte der Verstärkung desselben, wenn das Gewölbe nur sich selbst zu tragen hat):

herrührend von den Gewichten der Streife:: I

2 g,

II

2 (g,    ~j— gg)    ft    ’t    "    tf    "

„ III „ IV

2 (g,    —{"“ gg ~f“ gß)    tt    tt    tt    tf    rt

2 (g,    ~f~ go | gß ~~i~    04)    tt    tt    tt    tt    n

Diese Belastungen sind in Fig. 257 mit 1', 2', 3', 4' bezeichnet.

Die statische Untersuchung des Gratbogens ergibt den Horizontalschub H' und den von dem Eckpfeiler aufzunehmenden Kämpferdruck K.

Auf den Gurtbogen AB (Fig. 254) wirkt die Schubkraft 2H, (herrührend von den Streifenpaaren I und II) im Scheitel und die von den Streifen III und IV ausgeübten Kräfte H, deren Lage sich ans dem Aufriß und Grundriß des Gewölbes leicht ergibt. Diese Schubkräfte werden entweder ans die das Gewölbe begrenzende Mauer übertragen, oder sie werden durch gleiche aber entgegengesetzt gerichtete, von deni Nachbargewölbe ausgeübte Kräfte aufgehoben.

§ 24.

Die Kuppelgewölbe.

Die Kuppelfläche entsteht durch Drehung einer passend geformten Kurve (meist Kreisbogen) um eine lotrechte Achse (Fig. 258). Die zur Überdeckung solcher Flächen dienenden Gewölbe (Kuppelgewölbe) bestehen aus einzelnen in sich geschlossenen wagerechten, kreisförmigen Ringen, von denen jeder einzelne sich im Gleichgewichte befinden muß, wenn die ganze Kuppel standsicher sein soll. Dabei ist es gleichgültig, ob die Kuppel oben geschlossen oder offen ist. Bei den offenen Kuppeln dient die obere kreisförmige Öffnung zur Anordnung eines Oberlichtes, der sog. Laterne.

Die Kuppelgewölbe sind meistens unbelastet, d. h. sie haben außer ihrem Eigengewicht keine weiteren fremden Lasten aufzunehmen. Nur der obere Ring der offenen Kuppeln hat außer seinem Eigengewicht noch die Last der Laterne zu tragen.

Fig- 258.

4-1-

Betrachtet man in einem Ringe, der zur Zeit der oberste, d. h. der zuletzt gemauerte Ring der Kuppel sein möge, einem beliebigen Stein ab cd (Fig. 259), so darf derselbe nicht gleiten und sich auch nicht um die Kante a drehen.

Dies wird verhindert durch die Kräfte h, welche von den nebenliegenden Steinen desselben Ringes ausgeübt werden. Die beiden Kräfte h setzen sich zusammen zu der Mittelkraft H.

Auf den betrachteten Stein wirken dann die Kräfte: Horizontalschub H, das Eigengewicht g und der Gegendruck r. Die Kraft r darf von der Normalen zur Fuge all höchstens um den Reibungswinkel cp (etwa 30°) abweichen und muß dabei eine solche Lage haben, daß die in a auftretende Kantenpressung das zulässige Maß nicht überschreitet. Hält man, wie bei den Tonnengewölben, auch hier an der Forderung fest, daß die Kräfte nicht außerhalb des Kernes angreifen sollen, so ergibt sich die Konstruktion folgendermaßen:

Man bestimme (Fig. 259) ans der Mittellinie mn des Steines den Punkt C so, daß mC — Vsmn ist, und ziehe durch C eine Wagercchte, welche die Lage von H angibt. Diese schneidet die im Schwerpunkte des Steines angreifende lotrechte Kraft g im Punkte 1. Bestimmt man dann auf der

Fig- 259.

h.

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Fuge ad den Punkt t so, daß at — ¹/sad ist, so gibt die Gerade 1t die Richtung des Gegendruckes r. Die Größen von H und r erhält man aus dem Kräfteplan, indem man durch den oberen Endpunkt von g eine Wagerechtc, durch den unteren Endpunkt eine Parallele zu tl zieht. Dadurch ergibt sich zugleich auch die Kraft h, da der Winkel, den h und h miteinander bilden, durch den Grundriß bekannt ist.

Stellt es sich bei der Konstruktion heraus, daß die Kraft r mit der Normalen zur Fuge ad einen größeren Winkel als cp einschließt, so muß sic um den Punkt 1 nach der Mitte zu geschwenkt werden, kann dann also nicht mehr durch den Kernrand t gehen.

Fig. 260.

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Zur statischen Untersuchung des ganzen Kuppelgewölbes denke man sich mittels zweier lotrechter durch die Gewölbe-Achse gehender Ebenen einen Meridianstreifen ABCD (Fig. 260) herausgeschnitten und teile denselben in eine beliebige Anzahl gleicher Teile. Die in bett Schwerpunkten der einzelnen Streifenteile angreifenden Gewichte g, g₂. . . werden ermittelt mit Rücksicht ans die Grnndrißbildung. Sie sind bei gleichbleibender Stärke des Gewölbes proportional den Längen der durch die Schwerpunkte der Streifenteile im Grundriß gezogenen Kreisbögen m, nv m₂n₂ u. s. w. Wird also die Querschnittsfläche eines Flächenstreifens mit f bezeichnet, so ist:

g, = yf.m,n, g₂ = yf. m₂ n₂

Das Gewicht g, setzt sich bei offenen Kuppeln zusammen mit der ans den ersten Streifenteil entfallenden, von der Laterne herrührenden Belastung p zu der Mittelkraft qr

Man füge g, bezw. q, und g₂g₈ ... aneinander zu dem Kräftezuge ab... g, zeichne dann int Aufriß die Kernränder und markiere auf dem oberen die Punkte C, C₂ . . . in den Mittellinien der Streifenteile, ans dem unteren die Punkte t, t₂ ... in den Fugen. Der Schnittpunkt der durch Cj gelegten Wagerechtcn mit dem Gewichte g, bezw. q, gibt den Punkt 1. Man ziehe die Gerade 1 tt und im Kräfteplan durch b eine Parallele dazu. Diese ergibt die Kraft r, und schneidet auf der durch a gelegten Wagerechtcn den Horizontal-schnb H, ab. Die Kraft rt setzt sich zusammen mit g₂ zu der Mittelkraft p,, welche die durch C₂ gezogene Wagcrechte im Punkte 2 schneidet. Man ziehe 2t2 und im Kräfteplan durch c eine Parallele dazu, wodurch man die Kräfte r2 und H₂ erhält. Das Verfahren wird in derselben Weise fortgesetzt. Ergeben sich dabei zu große Winkel zwischen den Kräften r und den Normalen zu den Fugen, so sind nicht mehr die Punkte t maßgebend, sondern die Richtungslinien. In diesem Falle ergibt sich r, dadurch, daß man durch den Punkt 1 eine Gerade zieht, welche mit der Normalen zur ersten Fuge den Winkel cp (= 30°) einschließt u. s. w.

Sobald die Mittelkraft aus einer Kraft r mit dem Gewichte g des folgenden Steines (in Fig. 260 die Mittelkraft aus r₈ und g₄) die untere Fuge innerhalb des Kernes schneidet, ist keine durch die Ringspannuugen erzeugte, nach außen hin gerichtete Horizontalkraft mehr erforderlich, um den Stein im Gleichgewicht zu halten. Die von den oberen Gewölberingen herrührenden und aus die unteren Ringe übertragenen Horizontalkräfte treten dann für den unteren Teil der Kuppel als Zugkräfte auf und suchen ein Herausschieben der Steine nach außen zu bewirken. Dieses wird verhindert durch genügende Hintermauerung des unteren Knppelteiles oder durch umgelegte eiserne Reifen, welche geeignet sind, die Zugkräfte aufzunehmen.

§ 25.

Die Widerlager und Pfeiler. ]) Die Widerlager.

Alls ein Widerlager, gegen welches sich ein Gewölbe lehnt, wirkt außer dem lotrecht abwärts gerichteten Eigengewichte Q und der auf dem Widerlager ruhenden Belastung Q' noch der schräg gerichtete Kämpferdruck K des Gewölbes (Fig. 263 S. 223). Letzterer entspricht der Minimaldrucklinie, wie aus folgender Betrachtung hervorgeht.

Fig- 261.

C,

ß,

A,

Angenommen, ein Gewölbe stiitzt sich gegen zwei Widerlager, die nicht genügend widerstandsfähig sind und unter der Wirkung der Kämpferdrücke nach außen ausweichen, so wird sich der Scheitel des Gewölbes immer mehr senken, es wird ein Klaffen der Scheitelfuge unten, der Kämpferfugen oben eintreten, bis schließlich bei dem in Fig. 261 skizzierten Grcnzzustandc, wo die Drucklinie durch die Punkte AC,B geht, der Einsturz des Gewölbes erfolgt. Umgekehrt

Fig. 262.

\A

ist es klar, daß durch Zusammenschieben der Widerlager der Scheitel des Gewölbes steigt, die Drucklinie flacher wird und im Grenzzustande durch die Punkte A, C B, geht, wo dann ebenfalls der Einsturz des Gewölbes stattfinden würde (Fig. 262). Da die Drucklinie bei einem standsicheren Gewölbe nun stets innerhalb des Kernes bleiben muß, so sind die praktisch zulässigen Grenzzustände die Minimal- bczw. Maximaldrucklinie. Man erhält daher den Satz:

Durch Ausweichen der Widerlager nach außen steigt die Drucklinie und geht im Grcnzzustandc in die Minimaldrnck-linie über. Durch Zusammenschieben der Widerlager nach

innen wird die Drncklinie flacher und geht int Grenzznstande in die Maximaldrncklinie über.

Zur statischen Untersuchung des Widerlagers ist nun das anschließende Gewölbe voll belastet anzunehmen, und da hier das Widerlager das Bestreben hat, nach außen ansznweichen, so ist die Minimaldrucklinie einzuzeichnen nnd danach der Kämpferdruck K zu bestimmen. Durch Zusammensetzung der Kräfte KQQ' erhält man die ans die Bodenfuge des Widerlagers wirkende Mittelkraft R (Fig. 263) und kann dann ans der Größe, Richtung und Angriffspunkt derselben auf die Standsicherheit des Widerlagers schließen. Die Bedingungen für die Standsicherheit sind, daß die Kraft R die Bodenfuge innerhalb der Punkte I) und F schneidet, daß der Winkel, welchen R mit der Senkrechten zu D F bildet, kleiner bleibt als der Reibnngswinkel, und daß die in D

Fig. 263.

O’

H .0

K,

IR

ti’-

T>

auftretende Kantenpresstmg die für den Baugrund festgesetzte zulässige Grenze nicht überschreitet. Solleil nur Druckspannungen auftreten, so nlllß R int mittleren Drittel von DF angreifen.

Der Angriffspunkt der Kraft R steht nun mit der Drncklinie des Gewölbes in bestimmter Beziehung. Schneidet nämlich R die Bodenfuge DF int Kernrande, so geht auch die Drncklinie durch bett Kernrand der Kämpferfugen (bezw. der Brnchfngen) und der Scheitelfuge; greift R innerhalb des Kerns an, so weichen die Widerlager weniger aus und die Minimaldrncklinie tritt nicht ein, es schneidet vielmehr die wirklich eintretende Drncklinie die Kämpferfngen (bezw. die Brnchfngen) und die Scheitelfnge auch innerhalb des Kernes.

Obgleich durch die Belastung Q' die rechtwinklig zur Bodenfuge D F gerichtete Kraft P vergrößert wird, so kann doch Q' günstig auf die Standsicherheit des Widerlagers einwirken, indem dadurch die Mittelkraft K mehr nach der

Mitte zu gedrängt wird, was wieder eine günstigere Spannungsverteilung zur Folge hat. Es kann sogar sehr wohl der Fall eintreten, daß durch Fortnähme der Belastung Q' ein Einsturz des Widerlagers erfolgt (wenn nämlich die Mittelkraft aus K und Q über die Kante D hinausfüllt), welches vorher unter gleichzeitiger Wirkung der drei Kräfte KQQ' vollständig standsicher war. So z. B. hat die Auswechselung einer schweren, das Widerlager belastenden Steinwand gegen einen leichten Holzbail schon häufiger den Einsturz eines Gebäudes herbeigeführt.

Findet an der äußeren, dem Gewölbe abgewendeten Seite des Widerlagers eine Auffüllung mit Erde statt, wie dies meistens bei den Fundament-manern der Gebäude der Fall ist, so tritt zu den genannten Kräften KQQ' noch der Erddruck E hinzu, welcher die Stützlinie nach der Mitte zu drängt und insofern günstig auf die Standsicherheit des Widerlagers einwirken kann. Bei sehr hohen Widerlagern wird aber häufig der Erddruck so groß, daß dadurch die Stützlinie über die Mitte von DF hinaus nach der inneren Kailtc F zu gedrängt wird. In diesem Falle würde liicht mehr D, sondern F die Kippkante sein, das Widerlager hätte dann das Bestreben, nach innen auszuweichen, wodurch im Gewölbe als Grenzfall die Marimaldrucklinie entstehen würde.

2) Bit Pfeiler.

Auf einen Mittelpfeiler wirkt das Eigengewicht Q, die Belastung Q' und von beiden Seiten der Schub der anschließenden Gewölbe. Sind letztere einander gleich und gleich belastet, so sind auch die Kämpferdrücke K gleich und

Fig. 264.

Hl_

Q’

Hl

Hl

■K,

('2

Gi

Hz

'Q

sä'

gleich gerichtet. Man hat dann für beide Gewölbe die durch Mitte der Scheitcl-und Kämpferfugen verlaufenden Drucklinien einzuzeichnen. Die Kämpferdrücke K schneiden sich auf der Mittellinie des Pfeilers, und da die Horizontalschübe H sich

gegenseitig aufheben, so ist die Mittelkraft der Kämpferdrücke eine mit der Mittellinie des Pfeilers zusammenfallende lotrechte Kraft, deren Größe gleich der Summe der Belastungen der anschließenden Gewölbehälften ist. Der Pfeiler ist in diesem Falle lotrecht und zentral belastet, ititb die sich gleichmäßig über die Querschnittsflächen verteilenden Spannungen sind nach 1) § 18 S. 154 u. f. zu berechnen.

Sind die Gewölbe veränderlichen Belastungen ausgesetzt, so tritt für den Pfeiler der ungünstigste Fall ein, wenn ein Gewölbe voll belastet, das andere unbelastet ist (Fig. 264). Ein etwaiges Kippen des Pfeilers würde um die der unbelasteten Seite zugewendete Kante N eintreten; es ist deshalb für das belastete Gewölbe die Minimaldrucklinie, für das unbelastete Gewölbe die Maximaldrucklinie anzunehmen. Diese Annahme ist aber nur so lange richtig, als die Mittelkraft E aus den Kämpferdrücken K, K₂ und den lotrechten Lasten Q und Q' die Bodenfuge U di auf derjenigen Hälfte schneidet, welche der unbelasteten Seite zugewendet ist. Ist dies nicht der Fall, so ist die Annahme der Minimal-bezw. Maximaldrucklinie in den Gewölben unzulässig, denn die Kante Nrn u ß immer Kippkante sein. Es treten dann in Wirklichkeit Drucklinien ein, die von der mittleren Drucklinie weniger abweichen als die Minimal- bezw. Maximaldrucklinie.

Wie dieselben schärfer bestimmt werden können, dazu möge folgende Betrachtung dienen:

Fig. 265.

Q!

c Hz

Ml

ßi

:Gi

Ift

Q'

\P

As;

‘t 's

Fügt man die sämtlichen lotrechten Lasten G, QQ' G₂ zu dem Kräftezuge abcde aneinander (Fig. 265), zieht von dem beliebig gewählten Pole 0 aus die Polstrahlen Oa, Ob ... uud zeichnet dazu in der Hauptfigur den entsprechenden' Seilzug, so wird bekanntlich durch den Schnittpunkt der verlängerten ersten und letzten Seilzugseite die Lage der Mittelkraft V (— G, + Q + Q' + Gä) bestimmt.

Lauenstein, Die graphische Statik. 8. Aufl.

Auf den Pfeiler wirken die Kräfte VH,H₂, von denen die letzteren, nämlich H₁ und H₂, sich zum Teil gegenseitig aufheben, folglich unter der Annahme, daß diese Kräfte in den Mittelpunkten der Scheitelfugen angreifen, nur deren Unterschied H, — H₂ als wirkender wagerechter Seitenschub auftritt. (Die Horizontalschübe H, und H₂ ergeben sich in bekannter Weise durch Konstruktion der betreffenden Kräftepläne und Seilzüge.)

Die Mittelkraft E aus den Kräften H, H₂ V muß nun die Bodenfuge des Pfeilers in einem solchen Punkte treffen, daß die zulässige Pressung an der Pfeilerkaute N nicht überschritten wird. Die Große dieser Pressung hängt nur von der lotrechten Kraft P (— V) ab und wird berechnet aus der Gleichung

— (1 + -)

00 b \    ‘ b /

worin die Größen b und e die in 3) § 18 S. 157 angegebene Bedeutung haben. Wird für k ein paffender (dem Baugrund entsprechender) Wert eingesetzt,

p

der zwischen 1()0)|

und

2P

liegt, und die letzte Gleichung für e aufgelöst.

100 b

so ergibt sich dadurch der Angriffspunkt t und die Richtung der Mittelkraft R. Durch Ziehung der Parallelen af zu R erhält man dann aus dem Kräfte-plan die Größe AH.

In Wirklichkeit greifen nun die Horizontalschübe nicht in der Mitte der Scheitelfugen an, sondern sind um ein Stück e, bezw. e₂ von der Fugenmitte entfernt, wodurch die Größe der Horizontalschübe sich ändert, oder, wie man

sich auch ausdrücken könnte, neue Horizontalschübc an die Stelle der alten H, und H₂ treten. Für diese neuen Horizontalschübe besteht nur die Bedingung, daß der Unterschied derselben = A H sein muß. Diese Bedingung wird erfüllt, wenn man bildet (Fig. 266):

Fig. 266.

Hi

Hk

H,

H, — h₂ — Ah

Man halbiere zir deni Zweck die Strecke H, — h₂ und trage vom

A TT

Halbierungspunkte aus —c— nach beiden Seiten ab. (In Fig. 266 sind die Kräfte

in doppelt so großem Maßstabe aufgezeichnet, als in den Fig. 265 und 267.) Es erhalten dann die neuen Horizontalschübc die Größen:

H,' = Ht — h H₂' = H₂ + h

Hiernach sind die ursprünglichen Seilzüge in der Hauptfigur zu berichtigen. Man ziehe zu dem Zweck (Fig. 267) c^S, IIK/ und a₂S₂ II K₂' und durch die Punkte S, und S₂ die Wagerechten Sty, und S₂y₂. Die Lage von a, S, bezw. a₂ S₂ muß dabei eine solche sein, daß in den Scheitel- und Kämpferfugen die Kantenpressungen innerhalb der erlaubten Grenzen bleiben.

Da Horizontalschub und Kämpferdruck für das belastete Gewölbe größer sind als für das unbelastete, so ist beim Einzeichnen der Geraden a, S, und a₂S₂, damit in den 4 Fugen A, Ct A₂C₂ möglichst gleiche Kantenpressungen entstehen, die Entfernung des Punktes a₁ von der Mitte der Fuge A: etwas kleiner anzunehmen, als die Entfernung des Punktes a₂ von der Mitte der Fuge A„.

q!

Fig 267.

h;

mL

k;

gi

Hi

c,

9z

A\y; y Ä

ct

Gj

R]

a'

Streng genommen müßte noch eine kleine Berichtigung angebracht werden, denn die Horizontalschübe H/ und H./ liegen nicht mehr auf der Geraden, welche die Mitten der Scheitelfugen miteinander verbindet; doch unterbleibt diese meistens, da die schließlichen Ergebnisse doch nur unbedeutend dadurch beeinflußt werden.

Beispiel 1. Das Widerlager des unter 2) § 22 (Fig. 240 S. 207) untersuchten Gewölbes habe die in Fig. 268 angegebenen Abmessungen. Es soll die in D auftretende Kantenpressung bestimmt werden und zwar einmal ohne, dann mit Berücksichtigung des Erddruckes.

Y = 1600 kg

Gewicht eines cbm Gewölbemauerwerk:

„    „    „ Widerlager- und Fundamentmauerwerk: y₂ — 2000 „

y = 1800 „

„    „    „ Erde:

Die Belastung Q' besteht in dem Gewichte des auf dem Widerlager ruhenden Mauerwerkes der oberen Etagen (Fensteröffnungen sind dabei abzuziehen), ferner aus der durch die Balken übertragenen Fußbodenbelastung und aus der Dachlast und sei ermittelt zu:

Q' = 12800 kg

mentes ist:

Der Angriffspunkt von Q' liege in der Mittellinie der 0,75 m breiten Mauer. Das Eigengewicht Q der Widerlagsmauer einschließlich des Funda

Q = (0,8.0,55 + 0,95.3,15 + 1,15.0,4). 2000 = 7785 kg Nach Seite 207 ist das Gewicht der belasteten Gewölbehälfte:

G — 4733 kg

lind die wagerechte Entfernung desselben von der Mittelachse des Gewölbes:

y = 119,5 cm

Fig. 268.

1-66%

ö'

o,s

\0,55

„..AfA.

ox

0,35

0,95

315

3,0 in

3,7

⁺a

Rl

r!

^TTTZ&TTTTTTTTTZffTTTTTTTZ?/

Der Erddruck E ergibt sich durch Zeichnung (cp — 30°) bei der Höhe h = 3,7 m zu:

E = 3670 kg

Nimmt man, der Minimaldrucklinie entsprechend, den Angriffspunkt des Horizontalschubes H im oberen Kernpunkte der Scheitelfuge, den Angriffspunkt des Kämpferdruckes K im unteren Kernpunkte der Kämpferfuge an, so erhält man durch Messung ans dem Kräfteplane:

H — 4400 kg

K = 6530 „

oxo

Die Mittelkraft r von K und Q trifft die Bodenfuge D F nicht mehr, sondern geht außerhalb des Punktes D vorbei, es würde also das Widerlager ohne die Belastung Q' nicht standsicher sein. Die Mittelkraft B aus r und Q' (oder aus KQQ') schneidet die Bodenfnge DF in einen: Punkte t, dessen Entfernung von der Kante D gemessen wird zu:

t'

b\x’ i

x = 24 cm

Da die auf die Fuge DF wirkende lotrechte Kraft die Größe hat:

P = G + Q + Q' = 4733 + 7785 + 12800 = 25318 kg so entsteht in D (ohne Berücksichtigung des Erddrnckes) die Kantcnpressung:

2P _ 2.25318 300.x — 390.24

— 7 kg

Setzt man R mit dem Erddruck E zusammen, so erhält man die Mittelkraft R', welche die Bodenfuge DF im Punkte t' schneidet. Es ergibt sich die Entfernung t'D = x' zu:

x' = 38 cm

Die auf die Fuge D F wirkende Kraft P' setzt sich zusammen aus P und der lotrechten Seitcnkraft des Erddruckes und ist nach dem Kräfteplane:

P = 27360 kg

Die in D (mit Berücksichtigung des Erddruckes) entstehende Kantenpressung hat danach die Größe:

2P'

300. x'

2.27360 300.38

— 4,8 kg

Nach den gefundenen Ergebnissen würde bei den obigen Belastungsannahmen das Widerlager besser etwas stärker auszuführen sein.

Beispiel 2. Es soll unter Beibehaltung desselben Gewölbes wie in Beispiel 1 der Pfeiler Fig. 269 statisch untersucht und die Pressung an der Kippkante N bestimmt werden.

Gewicht eines cbm Gewölbemauerwerk: y, — 1600 kg „    „    „ Pfeilermauerwerk: y₂ — 2000 „

Die auf dem Pfeiler ruhende Belastung Q' betrage:

Q' = 7360 kg

Das Eigengewicht des Pfeilers ist nach den in Fig. 269 eingeschriebenen Abmessungen:

Q = (0,6.3,7 + 0,8.0,4). 2000 = 5080 kg Nach Seite 207 beträgt:

das Gewicht der belasteten Gcwölbehälfte: Gj — 4733 kg

„ unbelasteten

G₂ = 2985 „

Die Entfernungen dieser Gewichte von der Mittelachse des Gewölbes sind:

yt — 119,5 cm y₂ — 128,5 „

Zeichnet man für die belastete Gewölbehälfte die Minimal-, für die unbelastete Gcwölbehälfte die Maximaldrucklinie ein und konstruiert danach den Kräfteplan, so findet man:

Kj — 6400 kg K₂ — 4640 „

Bringt man sodann die Mittelkraft r ans K, und Ka zum Schnitt mit den Lasten Q und Q', so erhält man die Kraft R, welche die Bodenfnge MN in dem nach der unbelasteten Seite zu von der Mitte abweichenden Punkte t schneidet. Die Entfernung e dieses Punktes t von der Pfeilermitte wird gefunden zu:

e = 3 cm

H, = 4320 kg H₂ = 3600 „

Die auf MN wirkende lotrechte Seitenkraft von R ist nach dem Kräfteplane: P = 20160 kg

und bn MN = b = 80 cm ist, so wird danach die in der Kippkante N erzeugte Pressung die Größe haben:

El

y<

3,0 77L

20160

100.80

Fig. 269.

a'

Ta

K¥)

= 3,1 kg

3 0 in

3,7 nt

T*t

V////////////////////////

l/t '//////%//////////////////,

As TrX

Zur genaueren Untersuchung der Widerlager und Pfeiler werden diese durch wagerechte Ebenen in eine beliebige Anzahl von Mauerabschnitten zerlegt und es kann dann die Konstruktion der Gcwölbestützlinien fortgesetzt und mit Hilfe des Kräfteplanes der Druckpunkt in jeder einzelnen Fuge bestimmt werden.

§ 26.

Die Stärken der Vrückengewölbe und Pfeiler.

Wie die statische Untersuchung eines in seinen Abmessungen gegebenen Gewölbes durchzuführen ist, wurde in § 22 S. 194 u. f. gezeigt.

Um bei dem Entwurf eines Brückengewölbes einigen Anhalt über die anzunehmenden Stärken zu haben, sind verschiedene einfache Erfahrungsformeln aufgestellt, die unter gewöhnlichen Umständen mehr oder weniger brauchbare Ergebnisse liefern.

Es können danach die vorläufigen Stärken berechnet werden, die auf Grund einer später stets vorzunehmenden statischen Untersuchung dann erforderlichenfalls etwas abzuändern sind.

Baudirektor v. Hänel nimmt bei Ausführung in Haustein und einer Überschüttung bis zu 1 m für Flachbogenbrücken mit lk bis Ve Stich die Scheitelstärke d₀ eines Brückcngcwölbes von l m Spannweite an zu:

d₀ = niY L 0,1

wobei zu setzen ist:

m — 0,2 für Straßenbrücken m — 0,25 „ Eisenbahnbrücken

Danach ist folgende Tabelle berechnet:

Scheitelstärke d₀ in Meter

Eisenbahnbrücken

Spannweite l in Meter

Straßenbrücken

0,38

0,50

0,59

ff

ff

O «C O t-O o IC O lO o

OKMCOCO^^iOiOCO

1,10

1,20

1,28

1,36

1,44

1,51

ff

1,22

1,35

1,47

ff

ff

ff

ff

ff

1,58

1,68

1,78

1,87

1,95

2,04

ff

Die Hänelsche Formel liefert bei kleinen Spannweiten reichlich große Werte, während bei größeren Spannweiten die nach der Formel berechneten Scheitelstärken mit denen vieler ausgeführter neuerer Bauten gut überein-stinlmen.

Die Widerlagerstärke (Fig. 270) kann vorläufig berechnet werden nach ' der Formel'):

bx =

V l |o,6 -j- n --2^ -f- 0,04 x|

’) Vergl. „Annales des Fonts et Chans,sees“ 1855. I. S. 256.

worin zu setzen ist:

Fig 270.

-------i .

n — 0,1 für Stichbögen n — 0,05 für Korbbögen n — Null für Halbkreisbögen

Für x — Null wird:

b. =

Für x = li wird:

b2 — V • |0,6 -\- n |y — 2j -j- 0,04li|

z. B. erhält man für einen Stichbogen von l — 10 m Spannweite, f = 2 m Pfeilhöhe und h = 3 m Höhe des Widerlagpfeilers die Stärken:

Vl0|0,6 + 0,l(~-2jj b₂ = VTo|o,6 + 0,1    — 2j + 0,04.3 j = 3,23 m

— 2,85 m

A. v. Kaven') gibt für Eisenbahnbrücken und Straßenbrücken unter Voraussetzung von Quadermauerwerk und einer Überschüttung bis zu 1 m Höhe für die Gewölbestärke im Scheitel die Formel:

d₀ = 0,25 + l (o,025 + 0,0034yj

worin: l die Spannweite (Lichtweite zwischen den Widerlagern) in m f die Pfeilhöhe der inneren Bogenlinie in m bedeutet.

Nach dieser Formel ist die folgende Tabelle berechnet:

Spannweite l in Meter

Scheitelstärke d₀ in Meter

l: f = 2 (Halbkreis)

(N^cOCOOtCOiCO t—I rH cm cm CO

in

ff

tf

tf

1,16

1,05 „

1,20 „

1,39

1,61

tf

0,35 m 0,46 „ 0,56 „ 0,67 „ 0,77 „ 1,03 „ 1,29 „ 1,56 „ 1,82 „

’) 3t. v. Stauen, Kurze Anleitung zum Projektieren von Eisenbahnen. Aachen 1878.

Für größere Spannweiten als 30 m ist die v. Kavensche Formel nicht mehr recht geeignet; es würden sich danach zu bedeutende und mit praktischen Ausführungen nicht mehr übereinstimmende Scheitelstärken Herausstellen.

Bei Überschüttungen von der Höhe s Q> 1 m) über dein äußeren Gewölbescheitel und für eine Spannweite des (halbkreisförmig vorausgesetzten) Gewölbes bis zu 10 m, ist nach v. Kavcn die oben angegebene Scheitelstärke d0 zu multiplizieren mit einem Zahlwert rj, und zwar ist:

4,5

t] —^/ 1-|- — ,cz * für Eisenbahnbrücken

„ Straßenbrücken

Wird das Gewölbe in Ziegelmauerwerk mit Zementmörtel ausgeführt, so gibt v. Kavcn die Scheitelstärke d₀' an zu:

für Klinker

(y-0,5d₀)

— 0,5 d₀

„ gute Ziegelsteine

<v =

die bei Überschüttungen von mehr als 1 m noch mit dem oben angegebenen Zahlenwerte zu multiplizieren sind.

Die angeführten Formeln von v. Hänel und v. Kaven sind wegen ihrer Einfachheit bcgneni und liefern für mittlere Verhältnisse int allgemeinen auch brauchbare Werte, die jedoch immer nur als vorläufige gelten können, und unter gewissen Umständen nicht unbeträchtlich abzuändern sind. Überhaupt ist es nicht möglich, eine einfache Formel aufzustellen von solcher Allgemeinheit, daß sie für alle vorkommenden Fülle gleich passeird bleibt. Es sind zwar Formeln aufgestellt worden, in denen auf die verschiedenen möglichen Verhältnisse Rücksicht genommen ist¹), doch können solche naturgemäß nicht so einfach gestaltet sein, wie es für eine schnelle praktische Anwendung oft wünschenswert ist.

Die Pfeilerstärke am Kämpfer wird bei Flachbogenbrücken = ¹/e bis V», bei hohen Viadukten — lk bis lh der Spannweite genommen.

Beispiel. Statische Untersuchung der in Fig. 271 skizzierten eingeleisigen Eisenbahnbrücke. (Projekt einer Bahnüberführung über den in die Adda mündenden Fontanabach.)

Das ganze Bauwerk besteht aus einem Hauptgewölbe und aus je zwei zu beiden Seiten desselben befindlichen halbkreisförmigen Nebengewölben, von denen sich auf jeder Seite das erste unmittelbar auf das Hauptgewölbe stützt.

Das Hauptgewölbe hat (in Fundamenthöhe gemessen) 20,3 m Spannweite und 6,6 m Pfeilhöhe. Die Scheitelstärke beträgt 1,2 m; die Stärke am Känipfer ist 2,4 m. Die nach unten verbreiterten Fundamente setzen sich auf

0 Vergl. G. Tolkmitt, Das Entwerfen und die Berechnung der Brückengewölbe. Zeitschr. f. Bauwesen 1885, S. 265 und H. Müller-Breslau, Elastizitätstheoric der nach der Stützlinie geformten Tonnengewölbe. Zeitschr. f. Bauwesen 1886, S. 274.

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Mg. 271.

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festen Fels, welcher hier ein natürliches Widerlager bildet. Die obere Schicht von verwittertem Fels ist, als nicht genügend tragfähig, fortzuräumen.

Die Nebengewölbe haben 0,4 m Scheitelstärke und 0,7 m Kämpferstärke ; die Mittelpfeiler derselben von 0,7 m oberer Stärke stehen mit ihrem Fuße auf dem entsprechend weit ausgebauten Kämpfermauerwerk des Hauptgewölbes.

Die Endgewölbe sind durch Widerlager gestützt, welche an der Bergscite einen Stirnflügel, an der Talseite einen Böschungsflügel haben.

Das Gewicht von 1 cbm Erde beträgt:

Böschungswinkel des Erdmaterials:

y — 1600 kg „ Manerwerk beträgt: y, = 2000 „ cp = 40°

Die Eisenbahnbelastung p — 1600 kg/qm wird ersetzt durch einen Mauerwerkskörper von der Höhe:

h = -L

1600

y, 2000

= 0,8 m

1) Das Aebengewölbe. (Fig. 272.)

Das einseitig belastete Gewölbe ist durch lotrechte Schnitte in 8 Streifen geteilt, von denen die sechs mittleren je 0,65 m, die beiden äußeren je 0,6 m breit sind. Es ergeben sich für 1 m Tiefe die Streifengewichte:

Belastete Seite

Unbelastete Seite

Streifen Gewicht in kg

Streifen Gewicht in kg

r⁵

rr

H (M CO

3420 kg 3354 „ 2756 „ 2496 ,,

iO CD 00

1456 kg 1716 „ 2314 „ 2460 „

g, — 12026 kg

g₂ -    7946 kg

Der dem beliebig gewählten Pole 0 entsprechende erste Seilzug liefert durch Verlängerung der äußersten Seiten bis zu den Schnittpunkten mit der lotrecht unter der Gewölbemitte liegenden Seilzugseite die Lagen von g, und g₂. Nach Fig. 272 ergeben sich deren Entfernungen von der Mittelachse des Gewölbes zu:

y, = 1,40 m y₂ — 1,44 „

Die Einzeichnung der dem Pole 0, entsprechenden Drucklinie, welche durch die Mitten der Kämpfer und des Scheitels verläuft, ist in Fig. 272 nach dem S. 203 Fig. 237 angegebenen Verfahren durchgeführt. Nach dem Kräfteplane ergeben sich die Kämpferdrücke:

V — 13300 kg k₂ = 11400 „

Man erhält danach die Pressungen:

k - ki -

100 b 100.70

in Fuge A:

13300

— 1,9 kg

in Fuge B:

kb —

11400

100b    100.70

- 1,63 kg

Mg. 272.

1:100

3t

<i

-3*T

■k-

O,

!1;/L

»r

Spannweite' ^5 ml

~5

10

75000 k(j

Auf der belasteten Seite nähert sich die Drncklinie in der Fuge F zwischen den Streifen 3 und 4 am meisten dem äußeren Gewölberande. An dieser Stelle beträgt:

der Abstand des Druckpunktes von der Fugenmitte: e = 5 cm

die radiale Fugenstärke: b — 45 cm

die auf die Fuge F wirkende Kraft: P — 7500 kg.

Die äußere Kantenpressung ist danach:

kf —

oob V W

7500

100.45

= 2,8 kg

Die Drucklinie bleibt iiberall innerhalb des Kernes.

2) Das Widerlager des tlebengewölbes. (Fig. 273.)

Nach S. 151 ist der Erddruck:

1?

E = y -j~ tg-

also für P = 40°

tg²25°

O,¹*

r>

Ni

EjI riA

Pi

Mg. 273.

1-100

1000 kcj -

2 m rrv

;n

:CT

3*

Ji

Ead. 2,25

A?

Pz

:30

/ E,

x-

R%

\z

jkii

35"'^

'fl

zAx

~o

~7i

~20000l\(j

z~x

Wird derselbe dargestellt durch ein Erdprisma, dessen Querschnitt ein Dreieck von der Höhe h und der Grundlinie b ist, so wird:

hb

h²

y y tg²25°

woraus folgt:

b = h.tg²25° — 0,22 h

Nach Fig. 273 ist h — 6,15 m. Danach wird die Grundlinie des Erd

druckdreiecks :

b = 0,22.6,15 = 1,35 m

Das an das Widerlager anschließende Gewölbe ist belastet anzunehmen und die Minimaldrucklinie in dasselbe einzuzeichnen. Aus dem unter 1 (Fig. 272) bereits ermittelten Gewichte g, = 12026 kg und dem Abstande desselben von der Gewölbemitte y, — 1,40 m erhält man ans dem Kräfteplane den Kämpfer-drnck kj 14000 kg.

Dieser ist zn vereinigen mit der Mittelkraft q, aus dem Gewicht des Widerlagers, dem Gewicht des darauf ruhenden Erdstreifens und der Eisenbahnbelastung zu der Resultierenden r, (die Lage von q, erhält man leicht mit Hilfe eines Kräfteplanes und Seilznges). Die Zusammensetzung von r, mit dem Erddruck E, liefert die ans die Fuge ah wirkende Kraft Rr

Das Gewicht des Fundamentes ist in Fig. 273 mit dem Gewichte des darauf ruhenden Erdstreifens und der Eisenbahnbelastnng vereinigt zu der Mittelkraft q₂, deren Lage wieder mit Hilfe eines Kräfteplanes und Seilznges gefunden wird, und welche mit dem Erddruck E₂ die Resultierende r₂ bildet. Durch Zusammensetzung von r₂ mit R, ergibt sich dann die auf die Bodcnfngc c d wirkende Kraft R₂.

Man erhält für die verschiedenen Kräfte folgende Werte:

= 1,1.0,8.2000= 1760 „

ErdstreifenitberdemWiderlager = (1,1.1,87 + Vf. 0,7.3,5) 1500 = 4923 kg Eisenbahnbelastnng über dem Widerlager Gewichtd.Widerlagers —(1,25.2->-0,87.1,5-s-Oz.0,75.0,3) 2000 = 7835 „

zusammen q, = 14518kg

Erdstreifen über dem Fundament Eisenbahnbelastnng über den: Fundament Gewicht des Fundamentes

= 0,3.5,35.1500 = 2408 kg = 0,3.0,8 . 2000 — 480 „ = 1,7.0,8 . 2000 = 2720 „

zusammen q₂ — 5608 kg

Erddruck ans das Widerlager: E, = 0,7.4,65.1500 — 4883 kg „    „    „ Fundament: E₂ — 1,26.0,8.1500 — 1512 „

Ans dem Kräfteplane (Fig. 273) findet man alsdann:

R, — 26700 kg und P, 26500 kg R₂ = 32200 „    „ P₂ 32200 „

sowie deren Abstände von den Mitten der Fugen ab und cd ans der Hauptfigur:

e, — 24 cm e2 ⁼⁼ ^0 „

Danach berechnen sich die Kantenpressnngcn

in a (Fuge ab): kt =

26500

6.24

100.150

150

— 3,5 kg

in c (Fuge cd): k₂ =

32200

100.180

6.16

180

= 2,7 „

3) Der Pfeiler für die Uebengewölbe. (Fig. 274.)

Von den anschließenden Gewölben ist das eine voll belastet, das andere unbelastet anzunehmen. Die Gewichte g, und g₂ sowie deren Entfernungen y, und y₂ von den Gewölbe-Mitten werden aus 1) S. 235 (Fig. 272) ent-nomnien. Es war dort gefunden:

g, = 12026 kg

g₂ — 7946 „

y, = 1,40 m y₂ — 1,44 „

Die Drucklinie für das belastete Gewölbe hat die relativ steile Lage; sie schneidet die Scheitel- und Kämpferfuge in Punkten, welche zwischen der Fugenmitte und dem Kernrande liegen, erreicht also nicht ganz die durch die Kernränder verlaufende Minimal-Drucklinie. Dasselbe gilt für die relativ flache

1100

Fig. 274.

1000kg = 2

Ofi

0,7

',0,7

3t

k......-

^ 3i

Vki

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QO

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74

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Hooook

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t>8¥

Drucklinie des unbelasteten Gewölbes, die aber Scheitel- und Kämpferfuge in Punkten schneidet, welche noch etwas näher den Kerngrenzen liegen, als dies bei der Drucklinie für das belastete Gewölbe der Fall ist.

Aus dem Kräftcplanc ergeben sich dann die Kämpferdrücke:

k, — 14500 kg k₂ =. 10300 „

Die Mittelkraft r dieser beiden Kämpferdrücke setzt sich zusammen mit dem Pfeilergewichte:

q — 6640 kg

zu der auf die Bodenfuge wirkenden Kraft R

Nach dem Kräfteplane (Fig. 274) ist:

P = 26600 kg

E — 26700 kg; '

Die Kraft E bezw. P schneidet die Bodenfuge in der Entfernung e — 8 cm von der Fugenmitte, folglich wird bei b — 84 cm Fugenbreite die Kantenpressung in m:

= 5,0 kg

26600

100.84

4) Das Hauptgewölbe. (Fig. 275.)

Die eine Hälfte der Brücke ist voll belastet, die andere Hälfte unbelastet anzunehmen. Die Drucklinien für die Nebcngewölbe verlaufen wegen des symmetrischen Belastungszustandes durch die Mitten der Scheitel- und Kämpfcr-fugcn. Für g, — 12026 kg und g₂ — 7946 kg (vergl. 1) S. 235) erhält man dann für die Kämpferdrücke der Nebcngewölbe:

kj — 15100 kg (belastete Seite) k₂ — 9800 „ (unbelastete „ )

Die Gewichte der Pfeiler für die Nebengewölbe sind:

q, — 6800 kg (belastete Seite) q₂ = 6640 „ (unbelastete „ )

Das Hauptgewölbe selbst ist durch lotrechte Schnitte in 10 Streifen geteilt (Nr. 3 bis Nr. 12). Dazu kommen rechts und links je zwei Fundament-Teile (Nr. 1 und 2 links, Nr. 13 und 14 rechts). Für die Gewichte ergeben sich folgende Werte:

Belastete Seite

Unbelastete Seite

Streifen

Gewicht in kg

Streifen

Gewicht in kg

r*

H (M CO ^ iO CO 1>

9880 kg 8320 „ 6400 „ 10400 „ 23700 „ 16080 „ 13440 „

00 05 O ri (M CO ^

ri i—H H r—I i—I

9600 kg 12240 „ 19930 „ 10400 „ 6400 „ 8320 „ 9880 ,,

Dre sämtlichen Kräfte sind in natürlicher Reihenfolge in Fig. 27o zu dem Kräftezuge a bis e aneinandergefügt.

Für das Hauptgewölbe selbst wurde zunächst die durch die Mitten der Scheitel- und Kämpferfugen verlaufende Drucklinie eingezeichnet. Diese tritt bei Fuge F (zwischen den Streifen Nr. 5 und 6) aus dem Kern heraus.

cco

\*

m/tujj ~ß}j 0000s

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Q>

X-

Mg. 275.

1:200

10000/cy - 4 mm

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1--100

EX

K\

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10 5 O 1    2    3    4    &    6 Y ö 9    10    //    12 in

Isoooo'kcf

100

/jrx

V-

7 '2

und es mußte deshalb eine Schwenkung derselben vorgenomnien werden. (Bergt, die Bemerkung unter 2) S. 209.)

Zunächst ergibt sich für die durch die Mitten der Scheitel- und Kämpfer-fugen verlaufende Drucklinie:

Kämpferkraft links: K, — 99000 kg; Fugenbreite b, — 240 cm

b» = 240 „ b — 138 „

Entfernung der Kraft P von dem äußeren Gcwölbcrande:

x — 39 cm

Danach berechnen sich die Kantenpressungen:

99000

100 b,    100.240

97000

100 h,    100.240

2P    2.76000

„ rechts: K₂ = 97000 Kraft bei Fuge F: P — 76000

ka =

kti =

kf =

K,

= cv> 4,13 kg

— cv> 4,04 „

300 x

300.39

13,0    „

Die mittlere Spannung ist:

= cv) 7,1 kg

ka + kb + kf _ 4,13 -f 4,04 + 13,0

Die Drucklinie verläuft in Wirklichkeit nun so, daß in den drei Fugen A, B, F diese mittlere Spannung k entsteht.

Hiernach kann man die Abstände e der Druckpunkte von den Fugcn-mittcn berechnen.

Für Fuge A ist:

7,1 =

99000

100.240

daraus:

s — 28 cm

Für Fuge B ist:

7,1 =

97000

100.240

daraus:

6 — 30 cm

Für Fuge F ist:

7,1 =

76000

6.6

100.138

138

daraus:

e = 7 cm

Durch Abstechen dieser Abstände e von den Fugenmitten ergeben sich die Punkte a, ß, y (in Fig. 275), durch welche die, jetzt innerhalb des Kernes

§ 27.

Belastung der Lehrgerüste durch die Gewölbe.

Das Aufmauern der Gewölbe beginnt gleichzeitig an den Kämpfern und schreitet allmählich bis zu dem Scheitel vor, wo dann die Schlußsteinschicht sorgfältig eingepaßt wird.

Solange ein Gewölbe noch nicht geschlossen ist, muß es unterstützt werden durch das Lehrgerüst. Dieses wird berechnet nach dem größten Druck, den es an jeder Stelle erfahren kann, und welcher stattfindet, wenn die drückende Steinschicht gerade die letzte ist. Durch Versetzen einer weiteren Schicht wird der Druck der vorhergehenden auf das Lehrgerüst verringert.

Fig. 276.

/ö

Wir betrachten (Fig. 276) eine letzte (oberste)

.--'Pu

G sin a

ciu-

verlaufende Drncklinie in bekannter Weise, entsprechend dem Pol 0 gezeichnet ist.

Für die Fundament-Bodenfugc links erhält man aus dem Kräfteplane die Kraft P, — 144000 kg, und aus der Hauptfigur den Abstand des Angriffspunktes der Kraft P, von der Fugenmitte e, = 40 cm. Die Kantenpressung wird daher bei b — 410 cm Fugenbreite:

144000

6.40

— 5,5 kg

ki =

Ebenso erhält man für die Fundament-Bodenfugc rechts: P₂ = 129000 kg und e₂ — 20 cm

100.410

410

folglich:

k2 =

129000

100.410

— 4,1 kg

Steinschicht, deren Fugenrichtung den Winkel a mit der Wagerechten einschließen möge, und zerlegen das Gewicht G derselben in die Seitenkräfte Gsince in der Richtung der Fuge, und G cos a rechtwinklig dazu. Unter der Einwirkung der Kraft Gsina, welcher nur die Reibung fG cos os entgegenwirkt, würde bei genügend großem Winkel a ohne weitere Unterstützung ein Herabgleiten der Steinschicht stattfinden. Damit die Schicht sich im Gleichgewicht befindet, ist eine Kraft E, entgegengesetzt G sin a, nötig von der Größe:

E = G (sin o: — fcos a)

Diese Kraft E ist demnach der Druck, welcher von der jeweils obersten Steinschicht ans das unterstützende Lehrgerüst ausgeübt wird.

Durch Einsetzung von:

erhält man:

R, = G (sin a

f = tg cp =

sin cp

COS f/)

cos cc

sincp

cos Cp

^    0 / sin a cos cp — cos a sin cp \

/    \    eosP    /

oder:

sin l« — cp) cos cp

Bedeutet:

d die mittlere Stärke der Steinschicht in m y das Gewicht von 1 cbm Gewölbemanerwerk

Fig. 277.

so ist für 1 m Länge und 1 m Tiefe: G — y d, folglich:

R = yd

sin (« —- cp)

cos cp

Die Druckhöhe in der Fugenrichtung hat danach die Größe:

, sin (« — cp)

p — d--™

cos cp

Dieser Ausdruck läßt sich leicht geometrisch darstellen. Zieht man nämlich (Fig. 277) CAt unter dem Reibungswinkel cp gegen die Wage-rechte, ferner durch Me a, b II A,C bis zum Schnitt b mit der durch a gelegten Lotrechten, so ist in dem Dreieck aa,b nach dem Sinussatz:

ab _ sin(a — cp)

Ri a₁

cos cp

oder da aa₁ = d ist:

ab = d^i“ = V>

COS cp

Beschreibt man aus a mit ab einen Kreisbogen bis zum Schnitt c mit der Fuge aa„ so ist:

ac = p

Durch Wiederholung des Verfahrens für beliebige andere Fugen und Verbindung der äußeren Endpunkte der radialen Druckhöhen p erhält man die ganze Belastungsfläche (Fig. 278).

Für a = cp wird p — Null (also auch R — Null), d. h. von beit Punkten A und B au abwärts braucht das Gewölbe durch et» Lehrgerüst nicht weiter unterstützt zu werden.

Fig. 278.

Der Reibungswinkel <p von Stein auf Stein ist 20" bis 30" anzunehmen. Ein üblicher Wert für beit Reibungskoeffizient f ist:

f — tg cp — 0,5

Dem entspricht:

cp — 26" 40'

Anhang.

Tabellen über Eigengewicht, Belastung und Beanspruchung

von Bauteilen.

1) Eigengewicht der Baustoffe in kg für 1 cbm.

A. Holz (ürfttrocken).

Eichenholz . Buchenholz . Kiefernholz . Tannenholz. Fichtenholz .

650

kg

B. Metalle.

Schweißeisen Flußeiscn. Gußeisen . Kupfer. . Zink. . . Zinn. . . Blei. . . Messing .

7800 kg 7850 „ 7250 „ 8900 „ 7100 „ 7300 „ 11400 „ 8500 „

C. Mauerwert.

aus gewöhnlichen Ziegeln . . . aus porigen oder Lochziegeln . .

aus Klinkern........

aus Schwemmsteinen.....

Bruchsteinmauerwerk......

Sandsteinquader.......

Kalksteinquader........

Granit...........

Basalt...........

cg rc LO to io    —

000000*000

OOOOOOOOO

D. Verschiedene Stoffe.

Sand und Kies . . Damnierde und Lehm Kalkmörtel ....

Zementmörtel......

Kiesbeton........

Asphalt (rein)......

Gußasphalt mit Rieselschotter

Stampf-Asphalt.....

Gips.........

Fensterglas.......

Mauerschutt.......

.    1600 kg

. 1600 „

. 1700 „

. 1800 „ ca. 2200 „

. 1100 „

. 1600 „

. 1800 „

. 1150 „

. 2650 „

. 1400 „

2) Eigengewicht und Belastung der Dächer.

A. Eigengewicht eiserner Binder für 1 qm der Grundrißfläche.

Einfache Vordächer und Pultdächer bis 10 m Spannweite . . 10—15 kg

Kleinere Satteldächer und Walmdächer . Größere französische und englische Dächer

15—20 „ 27—30 „

B. Eigengewicht der Emdeckung einschließlich Lattung oder Schalung und einschließlich der Sparren').

a) Für 1 qm der schrägen Dachfläche.

Holzdncher

Einfaches Ziegeldach .... Doppeldach und Kronziegeldach

Schieferdach........

Asphaltdach mit Lehmunterlage „    „ Fliesenunterlage

Teerpappe........

Zink- ober Eisenblech auf Holzschalung

102 kg

127 „ 76 „ 75 „ 102 „ 30 „ 41 „

Metalldächer

Schiefer

Ebenes Eisenblech

Eisenwcllblech

Zinkwellblech

auf Winkeleisen .

FT

⁵⁸ ⁵⁸ dq

Glas

„ Sprosseneisen

b) Für 1 qm der Grundrißfläche.

L.

DO

t—l I CO

rH lO

tH CO

CO H-⁴-

rH

Metalldächer | Holzdächer

Einfaches Ziegeldach.....

Doppcldach und Kronziegeldach.

Schieferdach........

Asphaltdach mit Lehmnnterlagc „    „ Fliesenunterlage

Teerpappe...... . . .

Zink-od.Eisenblech auf Holzschalung

^ O £5 co Oi

Gi 05 2 ⁰⁰ ^

^ O b* co ’sfi M QO

rH tH i—I i—H rH

CO CO 03 lO

t-H

GO GO

GO GO

CM -rH

CO o

114

110 108

CO rH

LO

GM CO

I D- g 03

I 2⁰⁰ ^

i oo 55 co

ö CO ^

77

104

DO

Glas auf Sprossenciscn. . .

auf Winkcleisen

i—< t>* r—i Tfi 03 D- CO CO CO «rti

O H CD O O CO CO 03 03 CO

iO CM 03 03 CO

^ GO xH CO 03 iO 03 03 03 CO

CO l> CO iO (M iO 03 CM CM CO

CM t> CO iO iGKM (M (M

! b* CO iO I I CM CM CM I

O- CO iO CM CM CM

DO DO DO ^ DO ^

') Nach Heinzerling, Die angreifenden und widerstehenden Kräfte.

Asphaltfilz auf Schalung ^ y Kupferblech „

Bleiblech Holzzement „

CtL 12

40 kg

(t

Z li

8 12

ClL 12

mit Kiesdecke | y —

20

±)

40/

55— 85 „

65—100 „

180 „

0. Belastung der Dächer für 1 qm der Grundrißflächc.

Belastung durch Schnee.........

Belastung durch Wind bergt Tabelle S. 135.

75 kg

3) Belastung -er Zwischendecken in kg für 1 qm. A. Verkehrslast der Zwischendecken.

.    .    .    250    kg

760—1200 „

Für gewöhnliche Wohnräume . .

„ Tanz- und Versammlungssäle

„ Heuböden........

„ Fruchtböden (Kornböden) . .

„ Salzspeicher.......

„ Kaufmannsspeicher ’) ....

„ Decken unter Durchfahrten oder befahrbaren Höfen 800 „ Belastung durch Menschengedränge

400 „

B. Eigengewichte der Zwischendecken

nach den Vorschriften der Bauabteilung des preußischen Ministeriums der öffentlichen Arbeiten vom 16. Mai 1890²).

a) Holzdecken.

Entfernung der Balken von Mitte zu Mitte 1 m, Stärke der Balken

24/26 cm.

Balkenlage nur mit Fußboden (3,5 cm stark)........

Balkenlage mit Stülpdecke (3 cm stark) darüber, sowie Lehnrschlag

(10 cm stark)...................

Balkenlage mit gestrecktem Windelbodcn (Lehmschicht 10 cm stark) 230 „ Balkenlage mit halbem Windelboden, Lehmfüllung bis Unterkante

Fußboden (11 cm stark), sowie Fußboden (3,5 cm stark) . . 220 „ Balkenlage wie vorher, aber außerdem mit Deckenschalung (2 cm stark) gerohrt und geputzt

70 kg

210 „

250 „

') In Hamburg wurde für die großen Lagerhäuser 1500 kg gerechnet.

²) Die für Karlsruhe geltenden Zahlenwerte findet man in der „Bauordnung für die Residenzstadt Karlsruhe".

Balkenlage mit halbem Windelboden, Lehmfüllung (11 cm stark)

und mit Gips- oder Lehmestrich (5 bis 7 cm stark) .... 310 kg Balkenlage wie vorher, aber außerdem niit Deckenschalung (2 cm

340 „

stark), gerohrt und geputzt..............

Balkenlage mit ganzen: Windelbogen, auch unterhalb mit Lehmbesatz bis Unterkante Balken, sowie Fußboden (3,5 cm stark) 360 „

b) Gewölbte Decken.

Kappenstich — +. Füllung mit Sand oder Koksasche einschließlich Hinter-maucrnng bis Scheitelhöhe. Lagerhölzer des Fußbodens 10/10 cm, 0,8 m von Mitte zu Mitte, Dielen 3,5 cm stark. Die Gewichte verstehen sich ausschließlich des Gewichtes der eisernen Träger.

370 kg 310 „ 260 „

Preußische Kappe bis 2 m Spannweite, ¹k St. stark aus Vollsteinen ......................

Desgl. aus porigen oder Lochsteinen...........

Desgl. aus Schwemmsteinen..............

Preußische Kappe, 2 bis 3 m Spannweite, + St. stark aus Voll-

440 „ 380 „ 330 „

steinen......................

Desgl. aus porigen oder Lochsteincn...........

Desgl. aus Schwemmsteinen..............

Kappe aus Zement-Kiesel-Beton bis 1,5 m Spannweite.... 370 „ Bei Füllung des Raumes zwischen den Lagerhölzern erhöht sich die Belastung der gewölbten Decken um 140 kg/qm.

4) Belastung eiserner Balkenbrücken.

A. Bleibende Belastung.

Bedeutet b die Briickenbreite in m, l die Stützweite in m, so ist nach Scharowskh das Eigengewicht kleiner Fußwegbrücken in kg für das lfd. m Brücke einschließlich der Geländer

a)    bei leichten Fußwegbrücken mit Bohlenbelag:

P = 120b + l,5l² + 60 kg

b)    bei schweren Fußwegbrücken mit Beschotterung:

p = 350 b + 1,751² + 60 kg

Für Straßenbrücken von 7,5 m Breite ist nach Laißle und Schübler für das laufende m Brücke

a)    bei Anwendung einer 0,2 m dicken Beschotterung:

p = 421 —f- 3600 kg

b)    bei Anwendung von doppelter eichener Bedielung:

P = 281+ 1300 kg

Bei Eisenbahnbrücken ist nach Winkler für das lfd. m Geleis: p = 281 + 750 bis 301 + 800 kg

B. Veränderliche Belastungen.

Für kleine Fußwegbrücken rechnet man als Verkehrslast ein Menschengedränge von 400 kg auf 1 qm.

Straßenbrücken sind belastet anzunehmen durch einen zweiachsigen Wagen mit je 10 t Achsdruck und 4,5 m Nadstand (Fig. 279), nötigenfalls

Fig. 280.

Mg. 279.

2,3

f.......I

iot

10t

10i

0,8 t 0,8t

Fig. 281.

2,0 „...3,5..........

-1    ' ! >-r^

•§:--+----------4----i»

^    CII|

'ins

(?) ©

I    I— durch eine Dampfwalze mit 10 t für das

ei

61

o,il oil    Vorderrad, 13 t für die Hinterräder zu

sammen (Fig. 280). Der übrige Teil der Brückenbahn lvird belastet gedacht durch leichtere zweiachsige Wagen mit je 6 t Achsdruck und 3,5 m Radstand (Fig. 281), oder durch Menschengedränge von 400 kg auf 1 qm.

Bei Eisenbahnbrücken besteht die Verkehrsbelastung aus einem von zwei oder drei Lokomotiven geführten Güterzuge. Es empfiehlt sich dabei, die

Fig. 282.

7 8 in

6l0 in

Pt Q?il.

-r

(?) (?) (?)

(?) Cf;

•i-tf

i?.

i?.

~¹-s-

i5 {13)1    13

Achsbelastungen und Radstände als runde Zahlenwerte anzunehmen wie z. B. in Fig. 282 nach Müller-Breslau. Andere Belastungsannahmen zeigen die Fig. 283 (für preußische Staatsbahnen) und 284 (für die Reichseisenbahnen)²).

9t

Nach dem Erlaß des preußischen Ministeriums der öffentlichen Arbeiten vom September 1895J) ist bei der Berechnung der eisernen Eisenbahnbrücken

Fig. 283.

8,8 77t

6JH m

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AP.

SA Ja

12 61    12,5    13 s

9,9    8,6    9,1

9.0

9 öl

Fig. 284.

8j5 17t

6,0 in

60 m

(?) (?) (?)

(?)    (V)

L-..A7.

.....,.A<

Al..;,.A7..Ab.

,3k    ,3

,3

7,3    73    73

9.0

ein Zug aus zwei Lokomotiven in ungünstigster Stellung mit einer unbeschränkten Anzahl einseitig angehängter Güterwagen zu Grunde zu legen.

Für Lokomotiven, Tender und Güterwagen sind dabei die in Fig. 285 angegebenen Radstände und Achsbelastungen maßgebend.

Fig. 285.

M.m.

Wm.tr

ru7 uätätät;

(?) (?) (?) '■ (?)

CD i

1,65    1,65    17² ^ 1,8    «3, 0

₇t j!t

3 13 13

12

12

Bei der Berechnung kleinster Brücken (Spannweite << 3,3 m), sowie der Quer- und Schwellenträger sind entweder eine einzelne Achse mit 16 t .Belastung, oder zwei Achsen mit je 14 t Belastung und 1,4 m Radstand zu Grunde zu legen, im Falle dadurch höhere Beanspruchungen hervorgerufen werden, als durch die in Fig. 285. skizzierte Lokomotive.

5) Mästung gewölbter Lteinbrücken.

Die Verkehrsbelastung beträgt:

400— 600 kg für 1 qm bei Straßenbrücken 1000—1600 „    „ 1 „    „ Eisenbahnbrücken

und zwar gelten die größeren Zahlenwerte für kleinere Spannweiten und umgekehrt.

6) Mästung von Ufermauern.

Bei diesen wird als Verkehrsbelastung eine über der Bodenobcrfläche aufgetragene Erdschicht von 1 m Höhe angenommen, welche einer Belastung von etwa 1600 kg/qm entsprechen würde.

7) Zulässige Beanspruchung der Baustoffe in kg für ein qcm.

Zug

Druck

Abscherung

Schmiedeisen.........

Gußeisen...........

Gerades Eiscnwellblech.....

Gewölbtes Eisenweüblech.....

Eisendraht .    ........

Eichen- und Buchenholz.....

Kiefernholz ..........

Granit...... .....

Sandstein je nach der Härte . . .

Kalksteine in Quadern......

Bruchsteinmauerwerk iit Kalkmörtel. G ewöhnlich es Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel ...........

1000 (750) 1000 (750)

800 (600)

250

500

200

750

750

500

500

1200

100

100

80

60

45

15—30

20-25

11

12—14

Ziegelmauerwerk in Zementmörtel . Bestes Klinkermauerwerk in Zementmörtel ..........

Mauerwerk aus porösen Steinen. . Guter Baugrund........

3-6

2,5

Die eingeklanimerten Werte für Schmiedcisen gelten für solche Bauteile, welche bedeutenden Erschütterungen oder starken Belastungswechseln ausgesetzt sind.

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POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GZ.ÖWNA

inw.

2817

Kdn 452/57

Biblioteka Politechn.ki Krakowsk.ei

¹

Vergl. Platt. Die Brücken der Düsseldorfer BahnhofSanlagcn. Zeitschr. f. Bauwesen 1894, @. 265 und 266.

²) Eine vollständige Zusammenstellung der in den verschiedenen Staaten vorgeschriebenen Belastungsannahmen gibt O. Hanger in der Allgemeinen Bauzeitung 1896, <3. HO.

²

Zentralbl. b. Saubern). 1895, S. 485 u. f.